Упорные подшипники скольжения. Теория и расчет - Подольский М.Е.

Автор: Подольский М.Е.
Теги: детали машин передачи (механические) подъемно-транспортное оборудование крепежные средства смазка общее машиностроение машиноведение машиностроение подшипники
Год: 1981
Похожие
Детали машин
Машиностроение. Энциклопедия. Том IV-1. Детали машин. Конструкционная прочность. Трение, износ, смазка
Техническое обслуживание и ремонт локомотивов
Детали машин
Текст
                    
М. Е. ПОДОЛЬСКИЙ
УПОРНЫЕ
подшипники
СКОЛЬЖЕНИЯ
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ
ЛЕНИНГРАД „МАШИНОСТРОЕНИЕ**
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1981
ББК 34.445
П44
УДК 621.822
Рецензент канд. техн, наук Б. А. Балашов
Подольский М. Е.
П44 Упорные подшипники скольжения: Теория и расчет. —
Л.: Машиностроение, Ленингр. ртд-ние, 1981. — 261 с., ил.
В пер.' 1 р. 20 к.
В книге изложена теория гидродинамических и тепловых процессов в несу*
щих масляных пленках, межколодочны* каналах и корпусах упорных подшип*
ников скольжения; рассмотрена работа устройств, выравнивающих нагрузки
на колодки; приведены результаты исследований опорных подшипников с само*
устанавливающимися подуШками и нестационарных явлецдй в ,упорных под*
шипниках; даны методы расчета подшипников.
Книга предназначена для инженерно-технических работников.
п 31302-807
П038(01)-81 2°~82-	2702000000
ББК 34.445
6П5.3
© Издательство «Машиностроение», 1981 г
Предисловие
Теоретической основой проектирования и расчета упорных
подшипников скольжения служит гидродинамическая теория
смазки. В своем классическом виде она ограничивается изучением
гидродинамики масляных пленок и относится к случаю слабо
нагруженных опор тихоходных машин. Рост нагрузок и скоростей
скольжения в значительной степени усложняет условия работы
опоры и требует учета новых факторов, которые в классической
теории не рассматривались. Особую роль при этом начинают иг-
рать процессы, которые происходят за пределами несущих масля-
ных пленок (в колодках, упорном диске и корпусе подшипника);
Подшипник, таким образом, приходится рассматривать как еди-
ную систему, характеризующуюся достаточно сложным механи-
ческим, гидродинамическим и тепловым взаимодействием ее от-
дельных частей.
В предлагаемой вниманию читателя книге подведены некото-
рые, пока еще первые, итоги исследований по созданию теории и
методов расчета, учитывающих специфику работы упорных под-
шипников при высоких нагрузках и скоростях. Содержание книги
большей частью базируется на результатах, полученных автором.
Последнее обстоятельство в известной степени определило отбор
материала и выбор методов, которые использовались для решения
задач, рассматривающихся в книге.
Экспериментальному материалу, использованному в книге,
автор во многом обязан С. Л. Ямпольскдму. а также И. С. Юрченко,
которым он выражает свою искреннюю признательность.
Автор благодарен Н. Л. Евдокимовой и М. А. Силичевой за
участие в подготовке рукописи к изданию.
1*
ВВЕДЕНИЕ
, Упорные подшипники служат для осевой фиксации валов и вос-
принимают нагрузки, действующие по оси вала. Наибольшее рас-
пространение для тяжелых условий работы получили упорные
подшипники скольжения, работающие в режиме жидкостного
трения. Жидкостный режим, как известно, характеризуется тем,
что трущиеся тела взаимодействуют друг с другом не непосредст-
венно, а через тонкий слой смазочной жидкости, отделяющей со-
пряженные поверхности друг от друга. Так как сопротивление
жидкостей сдвигу, по сравнению с твердыми телами, мало, то
процесс скольжения переносится в масляную пленку, и, таким
образом, закономерности трения определяются законами трения
в жидкостях. Если молекулы масла находятся в непосредственной
близости от твердого тела, их поведение во многом определяется
влиянием сил со стороны поверхности, на которую нанесена смазка.
Для смазки, находящейся в таких граничных пленках, характерна
особая реология, промежуточная между реологией твердых тел
и жидкостей. По мере увеличения расстояния от поверхности твер-
дого тела влияние создаваемого им силового поля ослабевает, и
к маслу возвращаются его объемные свойства. Исследования пока-
зывают, что граничные пленки имеют толщину 0,02—0,1 мкм [20].
При больших толщинах смазку можно рассматривать как обычную
жидкость, подчиняющуюся законам гидродинамики. Впервые воз-
можность применения гидродинамйческих уравнений к решению
задач смазки .была доказана Н. П. Петровым.
Теоретической основой изучения гидродинамики масляных пле-
нок в подшипниках с жидкостным трением служит уравнение Рей-
нольдса, которым определяются давления, развивающиеся в зазоре.
Выводы, которые следуют из решения уравнения Рейнольдса,
качественно хорошо объясняют поведение смазки в пленке. В част-
ности, они приводят к хорошо известному результату, Состоящему
в том, что для получения избыточных гидродинамических давлений
слой должен иметь форму клина, толщина которого уменьшается
в направлении движения. Однако использование уравнения Рей-
нольдса для расчетов наталкивается на одну трудность принци-
пйального характера. Трудность эта состоит в том, что в уравнение
Рейнольдса входит динамическая вязкость смазки р,, которая для
всех известных на сегодня смазочных масел зависит от темпе-
ратуры. Так как последняя, в свою очередь,-определяется режимом
работы подшипника, то к решению задачи следует привлекать
также и уравнения баланса тепла.
4
Если нагрузки и скорости невелики, влияние тепловыделений
также невелико, и вязкость р. можно считать заданной величиной,
определяя ее, например, при температуре масла’на входе в под-
шипник.- Такое решение, однако, годится лишь для очень легких
условий работы. Более точные результаты можно, получить, рас-
сматривая процесс нагрева масла в пленке. В широко известной
методике М. И. Яновского [91 ] эта задача решается на оснрве
допущения о постоянстве вязкости по объему слоя. Кроме того,
предполагается, что температура масла на входе в клин, есть из-
вестная постоянная величина, и принимается, что вся. теплота,
выделившаяся в зазоре, уносится проходящим через него маслом.
Принятые допущения приводят к линейной зависимости нагрева
масла от удельной нагрузки рт и к отсутствию связи между темпе-
ратурой и скоростью скольжения U. Обширные экспериментальные
исследования, выполненные Е. В. Трифоновым и С. Л. Ямполь-
ским [79, 82, 83, 89], показали, что выводы теории удовлетвори-
тельно согласуются с данными опыта лишь при малых рт и U, но
по мере их увеличения расхождение с экспериментом становится
все более заметным. Отсюда следует, что допущения, послужив-
шие основой для решения температурной задачи, или хотя бы
часть из них, должны быть пересмотрены. Первое, на что здесь
было обращено внимание, — это неизовязкостность течения масла
в пленке. Действительно, проходя через зазор, масло, под дейст-
вием сил трения, нагревается и постепенно изменяет свою темпера-
туру, так что в разных точках слоя температура, а следовательно,
и вязкость, различны. Однако оказалось, что хотя учет перемен-
ности вязкости по пленке позволяет выявить ряд принципиально
важных результатов, ликвидировать с его помощью несоответствие
между опытом и теорией не удается.
Рассмотренные пути решения задачи объединяет одна общая
черта — все они, в конечном итоге, имели дело с изолированным
смазочным слоем, не вступающим в какое бы то ни было тепловое
взаимодействие с окружающими его деталями. Таким образом,
в тех тяжелых условиях работы, которые постепенно становятся
типичными для большинства современных машин, к упорному
подшипнику следует подходить как к единому объекту, не огра-
ничиваясь при его изучении одной лишь масляной пленкой, но
рассматривая и те процессы, в первую очередь гидродинамические
и тепловые, которые происходят за ее пределами. Справедливость
такой тачки зрения подтверждается и прямыми экспериментами.
Что касается теории вопроса, то она .чрезвычайно сложна.
С чисто математической точки зрения трудности в ее разработке
связаны с необходимостью рассматривать системы уравнений,
включающие в себя гидродинамические и тепловыр процессы не
только в слое, но и в масляных потоках, омывающих колодки и
гребень. Сюда же входят уравнения для температуры и, в общем
случае, для напряжений и деформаций деталей, ограничивающих
пленку. Решение столь большой системы уравнений представляет
5
собой задачу, непосильную для современной вычислительной тех-
ники. Кроме того, в связи с недостаточной разработанностью не-
которых вопросов общей теории тепло- и массопереноса, возникают
серьезные затруднения и чисто физического характера, главным
образом, при исследовании гидродинамики и теплообмена в меж-
колодочных каналах и других частях корпуса подшипника. В на.-
стоящее время естественный и, по-видимому, единственный путь
построения теории состоит в поэтапном решении проблемы: сна-
чала, путем решения отдельных задач, выявляются наиболее су-
щественные черты изучаемых явлений; затем, на основе получен-
ных результатов, строится схематизация всей задачи в целом. Осо-
бое значение при этом приобретают приближенные методы, по-
скольку с их помощью могут быть получены относительно простые
аналитические зависимости, позволяющие замкнуть задачу. Более
строгие подходы целесообразно применять к анализу модельных
задач, проясняющих физическое .существо дела и являющихся
основой для оценки точности приближенных решений.
Кроме тепловых задач важную сторону современной теории
упорных подшипников представляет изучение нестационарных
процессов, а также вопросов, связанных с изучением неравномер-
ности нагружения отдельных колодок. Решение этих задач также
рассмотрено в книге.
Г лава 1
ГИДРОДИНАМИКА СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Для описания гидродинамики масляных пленок используются
уравнения гидродинамики вязкой жидкости. С учетом малости тол-
щины пленки по отношению к другим размерам подшипника они
приводятся к более простому виду и, в конечном итоге, сводятся к
уравнению для давления масла в зазоре. В классической форме это
уравнение для давления, являющееся основным уравнением теории
смазки, было получено Рейнольдсом и носит его имя. Далее это
уравнение рассматривается применительно к упорным подшипни-
кам. Особое внимание обращено на анализ физического смысла
гидродинамических явлений в масляном клине и на получение
приближенных аналитических зависимостей для интегральных
характеристик несущей пленки.
1.1.	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ
Асимптотическая форма уравнений гидродинамики в тонком
слое. Движение смазки в зазоре подчиняется уравнениям гидро-
динамики. Вследствие того, что толщина пленки мала по сравнению
с остальными ее размерами, эти уравнения могут быть существенно
упрощены. Для'решения этой задачи воспользуемся известным ме-
тодом Н. А. Слезкина [66] и перейдем к безразмерным величинам
(помечены чертой) по формулам:
v9 = (70»ф, ‘ vr = Uovr, vy = (6/R) Uovv,
p = (y.°RU0/&)p, <р = ф, r = Rr,
y = §y, t = р. = р.оц.
(1-1)
Здесь Uo —окружная скорость гребня на дуге среднего радиуса;
Цр, vr, vy — составляющие скорости вдоль осей <р, г и у; р — давле-
ние; R — средний радиус подушки; t°, р°, 6 — соответственно
характерные время, вязкость и толщина пленки.
Вводя дополнительные обозначенйя
е = в/R; Re = U06/v; Sh = R/(f/0/°),
(1.2)
можно показать, что уравнения гидродинамики, если в них пре-
небречь массовыми силами, приведутся к следующей системе урав-
нений (записана в полярной системе координат) 17, 66].
7
Уравнения движения:
/„, dvr , _ dvr , “ф do,
\&n dl
Icl dS<P
\Sh di
'ft T r ^vy dg Re 8 —
»<p dvv dv9 M<p\D
-4—нт- 4- vu—^~ H—— IRee =
г дф 1 y ду r Г
dp
dr
. dVff
'r ~dF '
(1.3)
= _^+ * +
гдф ду \1 ду J ' k 7
d/W = 0 (e2).
Уравнение неразрывности:
dvr/dr + vT/r 4- dvjr d<j> + dvyldy = 0.	(1.4)
Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформа-
ций (масло считается ньютоновской жидкостью, режим движения
предполагается ламинарным):
Р„ = -р-\-0 (а2); рт = -р + О (е2); руу = -р + О (в2);
Ргч, — Р<рг~О (в2); pvy = рт = ер [dv^/dy + О (в2)];
Pur = Pry = ldvr/dy + О (в2)].
(1.5)
В уравнениях (1.3)—(1.5) все безразмерные величины имеют
порядок единицы, а через О (в2) обозначены слагаемые, порядок
которых в2 и выше. В подшипниках скольжения толщина пленки
мала, поэтому 6 R и, согласно первой из формул (1.2), е <С 1.
Отсюда следует, что в уравнениях (1.3) и (1.5) слагаемые О (в2)
можно опустить.
Возможность дальнейших упрощений определяется числом
Рейнольдса Re и числом Струхаля Sh. Рассмотрим сначала ста-
ционарную задачу. В этом случае характерное время процесса /°
бесконечно велико, и из (1.2) имеем Sh = 0. Поскольку значение 8
мало, то при умеренных значениях чисел Рейнольдса произведе-
ние Re е также мало. Это дает основание не учитывать инерцион-
ные слагаемые в уравнениях (1.3). Вместе с тем следует иметь в виду,
что для быстроходных машин значение Re в может быть и не малым,
однако это возможно при относительно толстых смазочных плен-
ках, когда нагрузки, действующие на подшипник, относительно
малы и поэтому нехарактерны с точки зрения определения его
несущей способности. Кроме того, при тех числах Рейнольдса,
которые могут сделать существенным влияние инерционных сла-
гаемых, режим движения смазки в зазоре обычно становится тур-
булентным, в связи с чем сами исходные уравнения уже непри-
менимы. В настоящее время известен ряд работ как по теории тур-
булентных смазочных пленок, так и по учету влияния инерцион-
. ных сил, однако пока еще они не получили широкого выхода в ин-
8
женерную практику. Далее эффектами, обусловленными повышен-
ными значениями Re, будем пренебрегать. В таком случае слагав-,
мые, содержащие произведение Re 8, могут быть опущены, и,
возвращаясь к исходным размерным переменным (1.1), из (1.3) и
(1.4) получим систему:
др = tor_\. др д ( d°<i>\ JP_n.
dr	ду Iй ду )' гдц> ~ ду\г ду )’ ду U>	„	’
dvr , Ру 	, 90У	п
дг г "Г ,гд<р ду
Уравнения связи между, напряжениями и скоростями деформа-
ций (1.5) примут вид:
Prr = PW = Руу = —Р\ Рц>У = Руч, = Н^ф-W;
Руг '= Pry = P-doJdy.	(1.7)
Перейдем теперь к нестационарным режимам. Уравнения, опи-
сывающие неустановившееся течение смазки, могут отличаться от
(1.6) только за счет локальных производных по времени. Как
ясно из (1.3), роль этих слагаемых определяется числом Струхаля
Sh, значение которого зависит от конкретных условий работы под-
шипника.
Рассмотрим отдельные примеры. В качестве первого примера
возьмем динамическое нагружение ротора, возникающее в резуль-
тате сбросов и набросов нагрузки на турбоагрегат. Осциллографи-
рование сил [901, действующих на подшипники в таких условиях,
показало, что время, соответствующее максимальному изменению
осевого усилия, имеет порядок 1 —2 с и во всяком случае не меньше
0,5 с. При угловой скорости со <=» 300 1/с это даст для числа Стру-
халя Sh = R/U0P = 1/(<о/°) значение 0,002—0,007. Из уравнений
(1.3) ясно, что при таких значениях Sh локальные производные
малы даже по сравнению с отбрасываемыми инерционными сла-
гаемыми и ими можно пренебречь. Это означает, что в рассматри-
ваемом случае для описания работы подшипника могут быть ис-
пользованы уравнения (1.6)—(1.7).
Другой -Пример нестационарного течения смазки в упорных
подшипниках дает гидростатический подъем вала при пуске под
нагрузкой. Под действием давления масла, подаваемого в камеру,
расположенную в центральной части колодки, упорный гребень
приходит в движение, отодвигаясь от колодки, вследствие чего
увеличивается количество и объем смазки, находящейся в зазоре.
Скорость изменения этого объема пропорциональна произведению
из скорости подъема гребня dS/dt на площадь рабочей поверхности
колодки F. Поскольку изменение объема зазора определяется раз-
ностью между количеством смазки, поступающей под колодку, и
маслом, вытекающим из зазора по периметру Г, то скорость изме-
нения объема зазора можно представить в виде а У°Г, где V0 —
характерная скорость движения масла в слое, а а — некоторый
9
коэффициент, меньший единицы и учитывающий тот факт, что
только часть масла, протекающего через зазор, идет на увеличение
объема слоя. Поскольку производную d№dt можно оценить значе-
нием отношения характерной толщины пленки 6 к характерному
времени /°, то ~ аУ°Г6. Так как F/Г ~ R, то для числа Стру-
халя Sh, согласно (1.2), имеем отсюда оценку Sh ~ а, из которой
следует, что порядок Sh во всяком случае не больше единицы. Та-
ким образом, линейные инерционные члены имеют порядок нели-
нейных и вместе с ними могут быть опущены.
Рассмотренные примеры показывают, что уравнения (1.6)
описывают как стационарное, так и, во многих практически инте-
ресных случаях, неустановившиеся течения смазки. При этом
время входит в полученные упрощенные уравнения в качестве
параметра.
Основное уравнение теории смазки. Систему уравнений (1.6)
нужно дополнить уравнениями, выражающими граничные усло-
вия задачи. Как ясно из вида уравнений (1.6), граничные условия
следует ставить для составляющих скоростей vr, иф и vy и для дав-
ления масла в слое р. Так как масло прилипает к поверхностям
трения, то частица смазки на границе с твердым телом имеет ско-
рость соответствующей точки тела. Полагая, что в общем случае
движутся и гребень и колодки, граничные условия для скорос-
тей запишем в виде: ’
Цр = U»', vr = 0; Vy = при у = у0;
Цр = Uh, vr = 0; vy = Vh при у yh = y0 -f- h.
Здесь Uo = (o0r и Vo — составляющие скорости точек гребня
вдоль осей ф и у; Uh — г и Vh — то же для колодки; h — тол-
щина слоя; со (с соответствующим индексом) —угловая скорость.
Движение со скоростями Уо и Ун отвечает осевому движению
гребня й качанию колодок. Что касается скорости Uh, то в боль-
шинстве практически интересных случаев Uh = 0 (вращение кор-
пуса и колодок отсутствует). Вместе с тем возможны конструкции
подшипников, в которых одновременно вращаются и колодки и
гребень,^так что Uh =/= 0.
Согласно третьему из уравнений (1.6), давление постоянно по
толщине пленки. Вводя новую переменную у = у — у0 и прини-
мая во внимание независимость давления от у, из первых двух
уравнений (1.6), с учетом условий (1.8) для иф и vr, получим:
- (<Г„ —	7^ +
+ (1-^)у" + Т7у*' -	<L9)
Здесь использованы следующие обозначения [591:
В .	h
(110)
J	J г*
0	0
(1.8)
ю
Интегрируя уравнение неразрывности [последнее из уравнений
(1.6)] и принимая во внимание условия (1.8), будем иметь
«h	vh
=	rvrdy +
Уо	Уо
+ u	(1.11)
11 rdy u rdq>	v '
Учитывая, что согласно (1.10)
Л	Л дф
j <P*v dy = y<fky I? — J dy = Аир* - <p*+1,
0	0
из (1.9) получим
Уи	h
qv = J vq>dy = \vvdy = (U0-Uh)f + hUh-ty-^', .
Уо	0
Vh h	d	.	(112)
qr = j vr dy = J v, dy = —
Уо	0
где
I|r= <p2 - <P|/<Pq, f = Ф1/Фо,	(1.13)
а дф и qr — расходы смазочной жидкости через единицу ширины
пленки, вычисленные в окружном и радиальном направлениях
соответственно.
Подставляя (1.12) в (1.11), приходим к уравнению
• dq^r дф + д (rqr)/r dr = Uh dyhlrdq Uo dy0/rq — (Vh — Vo). (1.14^
В практически интересных случаях плоскость, в которой ле-
жит рабочая поверхность упорного гребня, или неподвижна (ста-
ционарный режим), или перемещается параллельно самой себе.
Отсюда следует, что dy0/dq> = 0, dyh/d(p = dh/d<p, и с учетом неза-
висимости Uo и Uh от <р из уравнения (1.14) получим
(115)
где через иА = УА — Уо обозначена скорость изменения толщины
масляной пленки:
vh = dh/dt.	(1.16)
Уравнение (1.15) представляет собой основное уравнение тео-
рии смазки упорных подшипников и может рассматриваться как
обобщение уравнения Рейнольдса на случай подшипников с по-
движными колодками, переменной во времени толщиной пленки и
непостоянной по объему пленки вязкостью.
11
Если р = const, то формулы (1.10) и (1.13) дают
f = 0.5Л и ф = Л»/(12|л).	(1.13а)
В этом случае уравнение (1.15) принимает вид
= WU,-UJ-^+l2m,.	(1.15а)
Приведем еще некоторые формы уравнения (1.15). Положим
х — R<p; z = r—R; . U = (<а0 — соЛ) R, (117)
где R — по-прежнему средний радиус колодки: <в0 и соА — угло-
вые скорости гребня и колодой.
С учетом того, что. Uo — Uh = (<a0 — coft) г, 'Уравнение (1.15)
в переменных (1.17) можно будет переписать в следующем виде:
где £ = 1 + z/R.
Предположим далее, что длина L и ширина В подушки имеют
один порядок значений и L В < R. Тогда, положив х ~ Lx,
z = Lzvi пренебрегая значениями порядка L/R по сравнению с еди-
ницей, получим, что Последнее уравнение, а следовательно, и урав-
нение (1.15) может быть, упрощено:
с-156)
Если р = const, то подобным же образом вместо (1.15а) полу-
чим уравнение
i('‘,I)+4('‘3»“6^l-+'2№.	(1-15В)
Уравнения (1.156) и (1.15в) показывают, что при малых по
сравнению с R размерах колодок гребень можно рассматривать
как пластину, поступательно движущуюся в своей плоскости.
Расчеты показывают, что в практически интересных случаях этот
вывод сохраняется и для умеренных значений L/R.
Если вместо переменной г ввести в рассмотрение переменную г,
такую, что г — Ref, то уравнение (1.15) примет вид
•£• (t О+4 (* О -<' 15г»
где U принимается по формуле (1.17).
Контур колодок секторной формы преобразуется при этом в пря-
моугольник 0 <р sg <pL, In (1 —0,5В/R) f sg In (1 + 0.5B/R),
где — угловая протяженность колодки. Поскольку уравнение
(1.15г) имеет более простой, чем (1.15), дифференциальный опера-
тор в левой части, его применение в расчетах предпочтительнее.
12
Все рассмотренные формы уравнения (1.15) относятся к эллип-
тическому виду. Последнее вытекает из того, что в силу неравен-
ства Буняковского значение ф, определяемое формулой (1.13),
положительно. Впрочем, для уравнений (1.15а) и (1.15в) этот ре-
зультат очевиден, так как толщина масляной пленки h > 0.
Граничные условия. Для уравнений (1.15)—(1.15г) гранич-
ные условия обычно формулируются в виде задания давления на
границе области, занятой масляной пленкой. В упорных подшип-
никах пленка, как правило, распространяется на всю площадь
рабочей поверхности -колодки, и, таким образом, граница слоя
совпадает с контуром колодки. Давление pQ масла во всех точках
контура колодки примерно одно и то же. Во всяком случае, раз-
ность между давлениями в разных точках на границе пленки много
меньше давлений в зазоре подшипника. Принимая pv за начало
отсчета давлений, граничные условия для р можно записать в виде
Р|г."=0,	(1.18)
где Го — контур колодки в плане.
В большинстве случаев решение уравнения (1.15) с условиями
(1.18) приводит к положительным значениям р. Вместе с тем, глав-
ным образом, в результате деформаций поверхностей тренид, воз-
можны такие ситуации, когда в отдельных частях слоя расчетное
давление оказывается отрицательным. Если при этом сумма
р + Ро положительна, то никаких изменений в решение вводить
не следует. Если же р 4- р0 < 0, то в связи с тем, что жидкость
не выдерживает значительных растягивающих напряжений, в соот-
ветствующей области зазора произойдет разрыв пленки. Экспери-
ментальные исследования показывают, что абсолютное давление,
при котором наступает кавитация, меньше атмосферного. По-
скольку, однако, в масле всегда растворены воздух и другие газы,
снижающие разрывную прочность пленки, оно не равно и нулю.
Вместе с тем, с практической точки зрения вполне допустимо счи-
тать давление кавитации нулевым, так как не учитываемое при
этом снижение прочности пленки, составляющее сотые доли мега-
паскаля, много меньше давлений, развивающихся в несущей части
слоя. Что касается давления р0 на границах колодки, то оно опре-
деляется давлением, под которым масло подается в корпус под-
шипника. В подшипниках крупногабаритных машин, где вследст-
вие деформаций колодок и гребня возникновение кавитации осо-
бенно вероятно, давление подводимого масла незначительно пре-
восходит атмосферное и составляет около 0,15 МПа. Таким обра-
зом, значение р0 также мало. С учетом сказанного следует, что зна-
чение давления, при котором происходит разрыв слоя, можно по-
лагать равным нулю.
Условия р = 0 еще недостаточно для решения задачи, по-
скольку оно не содержит указаний о положении границы пленки.
В практике расчетов подшипников, прежде всего опорных, где рас-
сматриваемая проблема особенно актуальна, к настоящему времени
'	13
наметилось несколько способов определения границы слоя и рас-
чета подшипника в целом. Эти способы можно разделить на четыре
группы. К первой группе относятся методы, в которых влияние
кавитации не учитывается, а давление р определяется путем реше-
ния уравнения Рейнольдса при нулевых граничных условиях,
сформулированных на геометрических границах пленки. Со-
гласно второму способу в эпюре давлений, полученной при усло-
вии (1.18), отбрасывается ее отрицательная часть, т. е. предпола-
гается, что р = 0 там, где по расчету р <. 0. Третий способ — он
считается наиболее обоснованным —состоит в предположении,
что там, где происходит обрыв пленки, одновременно обращаются
в нуль и давление, й его градиент. Наконец, в Четвертую группу
выделим методы, которые или уже не используются, или находятся
в стадии становления и еще не получили широкого распростране-
ния в расчетной практике. К этой группе следует отнести допуще-
ние об обрыве пленки на линии минимального зазора, а также те
или иные физические гипотезы, связывающие разрыв и последую-
щее поведение слоя в кавитационной зоне со значением касатель-
ных напряжений, силами поверхностного натяжения и другими
факторами.
Рассмотрим более подробно условия
р |г = 0; grad р |г = 0,	(119)
где Г —линия обрыва. Условие, близкое к (1.19), впервые было
сформулировано
Рейнольдсом, но более подробное обоснование
оно получило значительно позднее [17, 1031.
Экспериментальные исследования пока-
зывают, что разрыв пленки в подшипниках
скольжения большей частью сопровождается
fee распадом на отдельные струи. В пределах
каждой струи масло целиком заполняет зазор
между поверхностями трения, но сами струи
отделены друг от друга воздухом, парами
воды и другими газами, выделившимися из
масла в процессе кавитации. Описанная
картина поведения смазки наблюдалась
еще Ньютоном и впоследствии получила
подтверждение в работах многих авторов,
изучавших как статические, так и динамические режимы работы
подшипников [108]. Естественно предположить, что после раз-
рыва пленки масло переносится по зазрру, главным образом,
струями, а расход через каверны пренебрежимо мал. Пользуясь
этим допущением, оказывается возможным достаточно просто
подсчитать расход в струях, и, приравнивая его к расходу через
границу из несущей части пленки, получить условие для опреде-
ления grad р.
Рассмотрим (рис. 1.1) элемент масляной пленки АВС, ограни-
ченный в плане отрезками АВ и ВС (построены в зоне сплошного
14
течения /) и отрезком границы АС (проведена со стороны кавита-
ционной зоны. 2). Проинтегрируем обе части уравнения (1.14) по
площади элемента АВС. Считая размеры АВ, ВС и АС малыми и
определяя на этом основании площадь криволинейного треуголь-
ника АВС как dS = 0,5r dr dtp, после применения к интегралу от
правой части (1.14) теоремы о среднем значении, получим
И [4-^г + 4- 4rdrd(p=°.5Fwrdrd(p- о-2°)
ABC
Здесь через F (Л4) обозначено значение правой -части уравнения
(1.14) в некоторой точке М, принадлежащей элементу АВС. Обо-
значив левую часть (1.20) через J и преобразовав ее по формуле
Грина, будем иметь
J =*= J q<f dr — rqr dtp,
(АБС)
где (ABC) — контур элемента АВС.
Учтем теперь, что при движении по пути (АВ) будет dtp = 0;
dr < 0 и dtp > 0;- dr = 0 вдоль пути (ВС). Вычисляя с учетом ска-
занного интегралы на отрезках АВ и ВС и применяя к ним теорему
о среднем значении, находим
J = — <7,|гЖр|-<7ф|4г|4- J q^dr — rqrdtp. '	(1.21)
<СЛ)
Отрезок СА лежит в кавитационной зоне. Поскольку здесь р =
= 0 = const, то, следовательно, и grad р = 0. Из формул (1.12)
в таком случае получаем, что для каждой струйки масла qr = 0,
<7Ф = (Uo — Uh) f + (7h/i и для интеграла по пути (СД) будем
иметь
J q9dr-rqrd4 = a[(U9-Uh)f + UMdr\.	(1.22)
(СЛ)
Здесь индекс 2 указывает на то, что вычисления проводятся во
второй области, а коэффициент а учитывает тот факт, что общая
ширина струек не превосходит длины отрезка В А = | dr | и потому
a sg 1.
Пути (АВ) и (ВС) проходят через дообрывную часть. Это озна-
чает, что в формуле (1.21) расходы qr и <?ф, стоящие вне знака ин-
теграла, определяются по полным формулам (1.12). Учитывая
сказанное, из (1.20) — (1.22) находим
Ф (dp/dr)f | г dtp | 4- ф (др/r dcp)t | dr | = [(t/0 — Uh) f +	| dr | —
— а [(£70 Uh) f + Uhh^ | dr | + 0,5F (M) r dr dtp, (1.23)
где индексом 1 помечены величины, вычислемые в первой зоне.
Предположим, что вдоль границы AC d<p =# 0 (если dtp = 0,
то dr 0 и все рассуждения проводятся аналогично). Разделим
15
обе части (1.23) на г dtp и перейдем к пределу при dr -* 0. Учиты-
вая непрерывность'функций Uo, Uh, h, Fji а, получим
ф [(dp/dr) + k* (dp/r &p)J = [(Uo -Uh)f + Uhh\ (1 - a) F, (1.24)
где fe2 = |dr/dtp|/r; dpldr и dplrdy вычисляются на границе несу-
щей части слоя.
Будем далее считать, что (t/0 — Uh) f + Uh > 0. Физически
это означает, что пленка рвется вниз по потоку, проходящему
через зазор. Таким образом, правая часть (1.24) неотрицательна.
С другой стороны, каждая цз производных dpldr и dplrdy не мо-
жет быть положительной, • так как, с учетом условия р = 0 на
границе пленки, это означало бы, что вблизи границы р < 0.
Следовательно, левую и правую части уравнения (1.24) можно со-
гласовать друг с другом, лишь если dpldr — 0 и dptrdy — 0,
откуда и вытекает второе из условий (1.19). В проведенном анализе
предполагалось № Ф 0- Если Л2 = 0, то на линии обрыва
drldq = 0 и dpi dry = 0, поскольку вдоль границы давление по-
стоянно.
Заметим, что большей частью вместо условия grad р — 0 доста-
точно потребовать обращения в нуль лишь одной из производных
dpldr или dplrdy. Действительно, вычисляя производную от р
вдоль кривой Г, получим
dptdV — (dplrdy) cos a + [dpldr) sin a,
где a — угол, который единичный вектор касательной к Г со-
ставляет с осью ф.
Из последней формулы ясно, что, например, при а 0 усло-
вие dpldr |г — 0 есть следствие условий pl-р = 0 и dplrdy |г = 0.
С учетом сказанного в дальнейшем вместо условий (1.19) будем
пользоваться условиями:
Р 1г = 0; dp/dy |г = 0	(1.19а)
или аналогичными им условиями, записанными в переменных
р |г = о, др/дх|г = 0.
Принцип работы гидродинамических подшипников. Рассмо-
трим уравнение (1.15в). Ограничимся,для простоты случаем весьма
широких подшипников, когда размер колодки вдоль оси г беско-
нечно велик и, таким образом, картина течения во всех плоскостях,
перпендикулярных Ог, одна и та же. Опуская на этом основании
в уравнении (1.15в)г производные по г, получим
4('1*-Ж-) = 6^'£-+121‘о-	(|25>
Предположим теперь, что в масляной пленке развиваются по-
ложительные Давления, причем на ее границах х = 0 и х = L
давление р = 0 (рис. 1.2). Для эпюры давлений, показанной на
рисунке, в начале слоя dpldx > 0, в конце dpldx < 0 и, кроме того,
в некоторой точке х = х* имеем dpldx — 0, а dPptdx* < 0.
16
Представляя левую часть (1.25) в виде №д2р!дх2 + ЗЛ2 (dh'dx} х
хдр/дх, получаем, что при х = х* она отрицательна. Таким об-
разом, отрицательна и правая часть (1.25). Иными словами, для
возникновения избыточных гидродинамических давлений выраже-
ние tyUdh/dx + 12|Wft должно быть меньше нуля, по крайней
мере, на части области, занятой пленкой. Если, например,
Udh/dx = 0, то это означает, что поверхности трения должны сбли-
жаться друг с другом (vh < 0), сдав-
ливая пленку. В том случае, когда ₽
цЛ = 0, для образования избыточных	\
гидродинамических давлений нужно, ‘	/	\
при U > 0, иметь dh/dx < 0, т. е. /	\
пленка должна иметь форму клина, /	\
толщина которого уменьшается /	\
в направлении движения упорного q	р
гребня.
Полученные результаты уста-	Рис' 1,2
новлены формально математическим
путем. Вместе с тем они допускают и достаточно простое
физическое истолкование. Следуя способу рассуждений, предло-
женному впервые Рейнольдсом, рассмотрим сначала Куэттовское
течение вязкой жидкости между двумя весьма длинными, по
сравнению с толщиной зазора, параллельными пластинами, одна
из которых неподвижна, а вторая движется в своей плоскости со
скоростью U (рис. 1.3). Движение жидкости'в этом случае проис-
ходит под действием одних только сил трения, гидродинамических
давлений в слое не возникает, а эпюры скоростей, одинаковые по
'///////////////Л
Р~+	:-—P+&P
Рис. 1.3
Рис. 1.4
всей длине зазора, имеют вид треугольников. Напряжение трения,
согласно закону Ньютона, пропорционально скорости скольжения
и обратно пропорционально толщине слоя’/i и определяется фор-
мулой т = pJJIh, где коэффициент пропорциональности р есть ди-
намическая вязкость жидкости 4см. также (1.7)].
Рассмотрим далее зазор между неподвижными пластинами
(рис. 1.4). Течение масла в таком зазоре может происходить лишь
под действием разности давлений в начале и конце щели. Из усло-
вия равновесия системы сил, приложенных к элементу смазочной
пленки длиной Дх, следует, что —Дрй = т Дх, где | Др | — перепад
давлений на длине Дх, ат — напряжение трения на стенках щели.
Отсюда Др = —т t^xlh. Величина т с учетом приведенной выше
формулы закона Ньютона оценивается как y.UciJh, где Ucp— сред-
17
няя скорость течения масла в зазоре. Обозначая через Q расход
через единицу ширины зазора, получаем’t/cp = Qlh. В итоге для
Др находим оценку
Др------pQ Ax//i8,	(1.26)
которая, в частности, показывает, что перепад давлений |'Др | про-
порционален расходу смазки через щель Q.
Еще один возможный вариант — течение между двумя парал-
лельными пластинами. Одна из них неподвижна, вторая движется
навстречу первой (рис. 1.5), вытесняя из зазора смазку и создавая
таким образом течение вдоль щели. Обозначив скорость сближе-
ния пластин через vh, получаем, что расход Q масла, проталкивае-
Рис. 1.5
мого через зазор, пропорционален | vh |, и, согласно (1.26), в слое
смазки возникают гидродинамические давления, также пропор-
циональные | vh |.
Пусть теперь одна из пластин наклонена под небольшим углом
к другой пластине, поступательно движущейся в своей плоскости
(рис. 1.6). Если предположить, что, как и в схеме по рис. 1.3, дав-
ления в слое смазки отсутствуют, то эпюры скоростей будут иметь
вид треугольников. Однако, как ясно из рис. 1.6, площади этих
треугольников, а следовательно, и расходы смазки через соответ-
ствующие сечения зазора по длине щели оказываются разными:
на входе в слой расход больше,- на выходе — меньше Такая ситуа-
ция, естественно, невозможна. Остается предположить, что в плен-
ке возникают дополнительные течения (показаны на рис. 1.6
стрелками), уменьшающие расход на входе и увеличивающие его
на выходе из зазора. Как и в случае схем, показанных на рис. 1.4
и 1.5, указанные течения, связанные с проталкиванием некоторого
добавочного количества масла через зазор, возможны лишь при на-
личии гидродинамического давления в центральной части зазора.
Таким образом, получаем, что в зазоре возникают избыточные давле-
ния и,следовательно, пленка приобретает способность нести внеш-
нюю нагрузку. Аналогичные рассуждения показывают, что при
изменении направления движения нижней пластины на обратное
давление в зазоре сменяется разрежением. Это означает, что тол-
щина зазора должна уменьшаться в направлении движения.
Все полученные результаты как для схемы на рис. 1.5, так и для
схемы на рис. 1.6 полностью согласуются с тем, что было установ-
18
лено аналитически с помощью уравнения (1.25). Эти результаты
проясняют также физический смысл уравнения Рейнольдса (1.15),
которое представляет собой не что иное, как записанное в диф-
ференциальной форме условие баланса р'асхода смазки через
пленку.
Контрвращающиеся валы. В связи с решением некоторых
специальных задач, прежде всего, в области судостроения воз-
никает необходимость в отработке конструкций и исследовании
подшипников для валов, вращающихся
роны с равными скоростями [16, 35].
Схематическое изображение контр-
вращающихся валов дано на рис. 1.7,
где 1,2 — гребные винты; 4, 8 — упор-
ный и опорные подшипники для внутрен-
него вала; 5, 3 —то же для наружного
в противоположные сто-
Рис. 1.7
вала; 6 — внутренний вал; 7 — наружный вал. Специфика под-
шипников для внутреннего вала состоит в том, что в этом случае
подвижны обе рабочие поверхности — и внутренняя, и внешняя.
Рассмотрим сначала упорные подшипники. Режим работы
будем считать стационарным. В этом случае векторы скоростей
подушек и гребня лежат в параллельных плоскостях, состав-
ляющие Vo и Vft равны нулю, а значения Uo и Uh удовлетворяют
соотношению Vh — —Uo. Поэтому из уравнения (1.15) получим
— *	+ J_ 4 (n|.	= 2U0 -%- •
r dtp rdtp / r dr \ 1 dr )	“ г dtp
При неподвижном наружном вале Uh = 0, Uo — Uh — Uo,
и, таким образом, режиму контрвращения соответствует работа
подшипника при удвоенной скорости вращения.
Совсем иначе обстоит дело в опорных подшипниках. Ограни-
чимся случаем постоянной вязкости. Рассматривая толщину
пленки как функцию от х = а<р (рис. 1.8), для давления в пленке
получим уравнение (1.15в). В режиме контрвращения согласно
выражению (1.17) имеем U = 2сооа. Что же касается значения
vh, то, в отличие от упорных подшипников, оно не обращается
в нуль. Из рис. 1.8 ясно, что, поскольку векторы окружных скоро-'
19
стей внутреннего и внешнего валов неколлинеарны, то имеется
составляющая скорости, свидетельствующая о дополнительном
изменении толщины пленки и для схемы по рис. 1.8 определяемая
по формуле оЛ = Uhdh!dx = —<aoadhldx. Подстановка указанных
значений U и vh в правую часть уравнения (1.15в) дает для нее
нуль, и, таким образом, гидродинамические давления в пленке
не возникают. Это означает, что опорные подшипники обычных
конструкций в режиме контрвращения неработоспособны.
Более подробный анализ показывает, что в несущую способ-
ность масляной пленки, ограниченной подвижными поверхностями
трения, вносят вклад две составляющие: одна из них пропорцио-
нальна сумме касательных ско-
ростей, вторая пропорциональна
разности нормальных. В режиме
контрвращения первая составля-
ющая всегда равна нулю, а вто-
рая зависит от конструктивного
выполнения подшипника. В упор-
ных подшипниках за счет наклона
подушки к гребню скорость по
нормали к поверхности подушки,
вращающейся вместе с корпусом,
нулю не равна; в опорных же
подшипниках в случае гладкоци-
линдрических валов вектор ско-
рости. направлен по касательной
к поверхности трения, и нор-
мальная составляющая, а вместе с ней и несущая способность, от-
сутствуют. Не останавливаясь' на математической стороне дела
(см. [52, 54]), покажем, как сформулированные сейчас резуль-
таты могут быть получены с помощью соображений качественного
характера.
Пусть пластины Iv.ll (рис. 1.9) движутся в своих плоскостях
со скоростями Ui и U2, а пластина II, кроме того, имеет еще и нор-
мальную составляющую У,,. Проведем сечения 1^-1 и 2—2 на рас-
стоянии Дх друг от друга и рассмотрим объем ABCD, заключен-
ный между этими сечениями и пластинами. Предполагая линейный
закон распределения скорости по толщине пленки, расходы смазки
(на единицу ширину слоя) через сечения 1—1 и 2—2 .можно запи-
сать^ виде Qi = 0,5Л ft/j + (72) и Q2 = 0,5 (h + Д/i) (t/x + U2),
где U2 = U2 cos a — Vn sin a — проекция вектора скорости точки
пластины II на ось х. Угол а в задачах смазки мал. Поэтому U2
я* U2 — Vna.
Если Vn =И= 0, то площадь трапеции ABCD изменяется во вре-
мени. Скорость этого изменения равна AQ„ = Vn | ВС | Vn Lx-
Подсчитаем разность AQ между расходами QBX и QBUX на входе
и выходе из объема ABCD. Имея в виду, что QBX = Qlt а QBblx =
20
= Qa 4- Дфл, и отбрасывая значения порядка а2, малые по сравне-
нию с единицей, получим
AQ = —Дх (0,5 (t/j + U2) М/Лх + Vn ].	(1.27)
Значение | Д Q | определяет 'собой то количество смазки, которое
дополнительно должно поступить в рассматриваемый объем (или
вуыйти из него), для того чтобы обеспечить сохранение баланса
расходов. Подобно случаю клинового зазора (см. рис. 1.6) это до-
полнительное течение смазки может быть лишь результатом дей-
ствия гидродинамических давлений, значения которых, согласно
(1.27), пропорциональны выражению [—0,5 (^ + £/2) ДЛ/Дх—
— Vn]. Заметим также, что из (1.27) и (1.26) следует оценка
\ р Дх J	2 Дх ' п) ’
являющаяся аналогом соответствующего уравнения Рейнольдса.
Из приведенных соотношений видно, что, например, примени-
тельно к схеме, показанной на рис. 1.9, дополнительные течения
должны вносить-масло в зазор (AQ < 0). Это возможно, если в слое
возникает разрежение. Для того чтобы каждому из слагаемых
правой части (1.27) соответствовали положительные давления
в слое, необходимо выполнение неравенств (t/j + U2) Ыг/&х < 0
и Vn < 0. В том частном случае, когда U2 = 0 и = 0, эти ре-
зультаты полностью совпадают с теми, которые были получены
применительно к схеме по рис. 1.6.
1.2. ГЕОМЕТРИЯ МАСЛЯНОГО КЛИНА
В практике конструирования упорных подшипников с само-
устанавливающимися колодками используются в основном три
способа опирания колодок: на шаровую опору, на ребро, парал-
лельное выходной кромке, и на ребро; проходящее через ось упор-
ного гребня (такое ребро называется радиальным). При опирании
на шаровую пяту (на точку) колодка имеет максимальное <&сла
степеней свободы, хорошо приспосабливается к зеркалу диска,
который может менять свое положение относительно колодок по
причинам как технологического, так и эксплуатационного харак-
тера, однако применение точечного опирания связано также с из-
вестными трудностями, обусловленными необходимостью точного
определения положения опоры в радиальном направлении. По-
следнее, между тем, не всегда возможно, поскольку на значение
требуемого радиального эксцентриситета влияют такие трудно
поддающиеся учету факторы, как деформации подушек и неравно-
мерность распределения температур по слою. Кроме того, при то-
чечном опирании, по-видимому, сильнее проявляются дефор-
мации по радиусу упорного гребня, заметно снижающие несущую
способность колодки. Реберное опирание с указанных точек
зрения имеет определенные преимущества, хотя в связи с дефор-
21
мациями гребня и неизбежными технологическими погрешностями
может быть рекомендовано лишь для колодок не очень больших
размеров, когда отмеченные искажения геометрии зазора могут
быть сделаны малыми. При использовании реберного опирания
наиболее желательным следует считать выполнение ребра опроки-
дывания по линии, параллельной выходной кромке, поскольку
в этом случае минимальная толщина слоя для всей колодки на
разных радиусах одна и та же. Такому же требованию, очевидно,
должен удовлетворять и
выбор радиального эксцен-
триситета колодок с точеч-
ным опиранием.
Схема колодки,' опира-
ющейся на радиальное
ребро, показана на рис.
1.10. Поскольку угол по-
ворота колодки мал, можно
считать, что колодка по-
ворачивается вокруг оси
О—О. Расположим оси X
и У в плоскости зеркала
упорного гребня S, а ось Z
направим по оси вала.
Тогда единичный вектор 1,
идущий по ребру пово-
рота О—О, будет иметь
Рис. 1.10
направляющие косинусы
cos фс, sin фс и 0. Будем колодку считать недеформированной.
Единичный вектор нормали к рабочей поверхности Р колодки
n = |ni, га2, п3\ должен быть перпендикулярен к 1. Поэтому
Х	nl = rtj cos фс + /г2 sin фс = 0. •	(1.28)
Обозначим угол между плоскостями Р и S через а. Тогда п3 —
= cos а, и, в силу известного соотношения + и2 + Пз = I,
получим
nf-|-nl = sin2a.	(1.29)
Решая систему уравнений (1.28) и (1.29) относительно tii и п.г,
найдем:
«i — ±sin a sin фс; n3 = Tsin a cos фс.
Уравнение поверхности P получим из условия
(X - Хо) + п3 (Y - Уо) + п3 (Z - Zo) = 0.	(1.30)
Поскольку рабочая поверхность подушки содержит в себе ось О—О,
пересекающуюся с осью Z, можно принять Хо = 0, Уо= 0, а ве-
личина Zo представит толщину слоя hc под ребром поворота. Таким
образом, полагая X — г cos ф; У = г sin ф; tga а, получим
Z = hc — г a sin (ф — ф<.)	(1.31)
22
(из двух возможных знаков удержан тот, который дает уменьше-
ние Z с ростом ф).
Формула (1.31) показывает, что при фиксированном ф толщина
слоя есть линейная функция радиуса, возрастающая с увеличе-
нием г при ср < <рг и убывающая при ф > фс. В частности, для тол-
щины слоя на выходной кромке (при ф = ф£) получаем
/г, = hc — га sin (ф£ — фе).	(1.31а)
Если с помощью (1.31а) выразить hc через h2, то из (1.31) будем
иметь следующую формулу для толщины слоя:
ft = h2 + 2ra sin [0,5 (ф£ — ф)] cos [ф£ — фс. — 0,5 (ф£ — ф)]. (1.32)
Введем снова переменные
(1.17). Тогда для колодок,
размеры которых малы по
сравнению с /?,’ из (1.31) и
(1.32) получим:
h = h2 — ах;
h2 = hc — а (£ — хс) '
hi = h2 + aL, (1.33)
где hi — толщина слоя на
входе в зазор.
Учитывая, что
а — (k — 1) ft2/£; k = ftx/ft2,
(1.34)
формулы (1.33) для толщины
пленки h можно записать
Рис. 1.11
в виде:
h = h2h; h = k — (k — 1) x/L.
(1.33a)
В случае опирания на ребро, параллельное выходной кромке
(рис. 1.11), направляющие косинусы вектора 1 будут cos ф£ и
sin ф£, и аналогично предыдущему для пъ п2 и п3 получим =
= ±sin a sin ф£; n2 = Tsin а cos ф£; п3 = cos а. Рабочая по-
верхность колодки по-прежнему описывается уравнением (1.30),
причем в качестве Мо {Хо; Уо, Zo\ можно взять точку на выход-
ной Кромке колодки. Тогда
Zo = h2, Хо sin ф£ — Yo cos ф£ = 0.	(1.35)
Полагая снова tg а а, из (1.30) и (1.35) получим выражение
для толщины слоя
h = h2 4- ar sin (ф£ — ф).	(1.32а)
Из формулы (1.32а) следует, что, как и при радиальном опирании,
толщина слоя есть функция радиуса, однако на этот раз она на
-		23
выходной кромке от г не зависит. Для колодок, размеры которых
малы по сравнению с радиусом, h по-прежнему может определяться
формулой (1.33).
1.3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СМАЗКИ
Уравнение Рейнольдса (1.15) и близкие к нему уравнения
(1.15а)—(1.15г) допускают точные аналитические решения лишь
в простейших частных случаях. Поэтому при выполнении расчетов
подшипников приходится прибегать к тем или иным способам
приближенного решения задачи. В настоящее время широкое рас-
пространение получили численные методы. Вопросы численного
интегрирования эллиптических уравнений хорошо разработаны
и достаточно подробно описаны в математической литературе
(см., например, [62)). В тех случаях, когда граничные условия
имеют вид (1.18), эти методы могут быть использованы без каких
бы то ни было изменений. Если же задача решается при условии
(1.19), возникают определенные трудности, обусловленные необ-
ходимостью использовать итерационную процедуру для поиска
линии обрыва пленки. Объем вычислительной работы при этом
зависит, естественно, от того, насколько удачно выбрано первое
приближение. Далее излагается способ, который для многих
практически интересных задач позволяет ограничиться одной ите-
рацией.	,
Идею способа поясним сначала на примере уравнения (1.25).
Полагая vh = 0 и возвращаясь к обозначениям (1.13а), запишем
(1.25) в виде:
d(^dp!dx)/dx = f*; f* = U df/dx.	(1.36)
Введем сетку х, = i Дх (i = 0, 1, 2, ..., m; Дх = L/m) и по-
строим разностную аппроксимацию уравнения (1.36):
Фж/2 (Рж ~ Pt) — Ф/-1/2 (р< — Pi-i) = ft (Дх)2,
что можно еще записать в виде
APi+i — BiPi + CiPi-t = — Ft (1 < i < m - 1), '	(1.37)
где
А = фм-1/2; Ct — i/2i Bi= Ai -{-Сг, Fi = —fi(&x)2. (1.38)
Граничные условия для давления будут:
Ро = Р(0) = 0; р, = р(/Дх) = 0	(1.39)
а условие для определения точки обрыва запишется в виде
(Р/ — Pi-i)lbx = 0, или pz_i = pi.	(1.40)
Для решения системы (т — 1) уравнений (1.37) воспользуемся
методом прогонки [62 ]. Будем искать р, в виде
Pi = •^z+iPz+i + Г;+1.	(1-41)
24
Выражая с помощью’(1.41) p(_j через р,, из (1.37) получим соот-
ношение (Bi — С(Х,) Pi = AiPi+1 + С,У, + Fj. Сравнивая это
с (1.41), получим рекуррентные соотношения:
Х^-ЛД^-ЗД); Y^iCXi + FMBi-CiXi). (1.42)
Для того чтобы удовлетворить первому из условий (1.39), следует
принять:
X, = о, Ух = 0.	(1.43)
Располагая значениями Xt и Уь все остальные X,- и Y, можно
найти последовательно по формулам (1.42). Заметим, что, по-
скольку Хг < 1, то и все Xi < 1 (i > 1). Действительно, коэффи-
циенты A,, Bi и Ci положительны, причем, согласно (1.38), Bt —
= А( + С{. Поэтому, если при каком-либо i X,- < 1, то в силу
(1.42) Xz+1 < 1, откуда и следует доказываемый результат. Одно-
временно получаем также, что Bt — CiXt > 0.
Обратимся теперь к условию (1.40). Сопоставляя (1.40) и (1.41),
получим
Pi — Pi-i — ^//(1 ~ %i)>
и, так как согласно (1.39) Pi — 0, то должно быть иУ( = 0.
Если вязкость постоянна, значение Yt может при i > 1 обра-
титься в нуль или стать отрицательным только в диффузорной
части слоя. Это можно показать следующим образом. Если F, > 0,
то с учетом обращения в нуль Ух и положительности выражения
В{ — CiXi из (1.42) аналогично предыдущему получаем У,+1 > 0.
В случае постоянной вязкости согласно (1.13а), (1.36) и (1.38),
F{ = —0,5 U Дх2 (dhldx)i. Следовательно, F, > 0, если dh/dx < 0
(конфузор), и Ft < 0, если dh/dx > 0 (диффузор). Проведенные
рассуждения показывают, что прогоночные коэффициенты Yt
всегда положительны в зоне уменьшения толщины пленки в на-
правлении движения, но они могут стать отрицательными в расши-
ряющейся. части зазора, В дальнейшем будем предполагать, что
зазор имеет не более одной конфузорной области. В этом случае
обозначив через i* то значение i, при котором функция Ft —
= Ft» < 0, получаем, что при всех i > i* будет F, < 0. Поэтому,
в частности, если Yt «s 0, то, как ясно из (1.42), при i > I все
Yt < 0.
Полученные результаты позволяют предложить следующий ал-
горитм расчета давлений в слое. Сначала по формулам (1.42)
с учетом (1.43) вычисляются коэффициенты Х; и У} с одновремен-
ным контролем знака У(. Вычисления продолжаются вплоть до
узла i = /, где значение Yi первый раз становится отрицательным
(или равным нулю). Если окажется, что при всех i sg т коэффи-
циенты Yt > 0, то вычисления заканчиваются в точке i = т. За-
тем, полагая в соответствии с условием (1.39) во всех случаях pz =
йрт = 0 и принимая Y[ = 0, если Yt < 0, по формулам (1.41)
ведем счет в обратном направлении, определяя последовательно
Pz_i, pz_2, ..., р0. Поскольку по доказанному функция У может
25
сменить знак только один раз, поиск границы по предложенному
алгоритму не связан с какими-либо принципиальными трудно-
стями.
Помимо рассмотренного способа можно также, вне зависи-
мости от существования кавитационной зоны, находить [прого-
Лночные коэффициенты Х; и Y{ для всего промежутка значений
1 sg t т. В этом случае для определения точки обрыва слоя
нужно осуществить последовательный перебор значений У,- (на-
чиная с Ym) до тех пор, пока при Ym < 0 не будет У/ = У/_х > 0.
Практически это удобнее делать, вычисляя давление р,- по формуле
(1.41) (первым подсчитывается pm_t = Хтрт + Ут = Ут) и
полагая р, = 0,*если по результатам расчета окажется р( < 0.
Узел, в котором* в предпоследний раз р = 0, принимается при-
ближенно за точку обрыва слоя. Очевидно, что расчеты, выполняе-
мые по указанной схеме, вполне аналогичны описанным выше.
Отличительной особенностью описываемого алгоритма (и в пер-
вом, и во втором варианте) является то, что в рассматриваемом
случае одномерной задачи он дает возможность весь расчет слоя,
включая определение точки обрыва, выполнить за одно прибли-
жение, которое, таким образом, является одновременно и точным
решением.
Перейдем теперь к слою конечных размеров. Имея в виду, что
с помощью соответствующей замены переменных дифференциаль-
ный оператор в левой части уравнения (1.15) может быть приведен
к оператору, записанному в декартовых координатах [см. выра-
жение (1.15г)], без уменьшения общности можно рассматривать
уравнение
о 44>
где f* — некоторая функция от х и г.
Построим сетку X; — i &х (i = 0, 1, 2, ..., m); Дх — Ыт,
zK = k &г (к = 0, 1, 2, ..., n); Az = Bln. Полагая, что
д / . др \ I _
дх V дх / l*/. гк ~
— 1 fih	PM,k~Pi,k	i	Pl,k~pi-l,k\.
~	^'+V2. k-----Aj-------'pi—1/2. k	,
д / . др_\ I =
dz V dz J |v zK
• 1	/.i.	pi,k+i~pi,k .i,	pi, k~pi, k-i\.
*+1/2 —s-----------• *-i/2 —ss—] ’
'l'<+l/2, ft = Ф (xZ-f-1/2, ZK); ф/. ft-f-1/2 == Ф {Xl, Zft+1/2); /*, k — f* (xit гк),
разностную аппроксимацию рассматриваемого уравнения полу-
чим в виде
ai+i, ftPz+i, ft — (—kpl, k_i 4- dlt kPh * bit k+iPt, ft+i) +
+ ai, kPi-t, k = —Pi, k-	(1 -45)'
26
Здесь
а,-_ k = фг-1/2. *; bh k = (Дх/Az)2 i|?z> *_V2;
di, k = Oi+i, k + di, k + bi, *+1 4- bi, k', Pt, k — —fi, k Ax2.
Учитывая, что в соответствии с граничными условиями задачи,
р (х,-, г0) = 0 и р (xh z„) —0, систему уравнений (1.45) перепишем
в матричной форме
Ар<+1 - &iPi + c<P<-i = ~Pi-	(1 -46)
Здесь Л(, Bit Ci —квадратные матрицы порядка (п — 1); р„
F, — векторы (матрицы — столбцы). Они определяются форму-
лами:
^<+i> 1	0	0... О
О ai+i, 2	0... О
О 0	0... а,- и> п_г
Ci^A^,
dt,i —bi, 2	0...0
—^/.2 dit 2 —bit 3...0
О 0	0... dh n_i
Pi,i
Pi, 2
Pit п-1
Систему уравнений (1.46) можно решать по методу матричной про-
гонки [62]. По аналогии с (1.41) определяем вектор р(- в виде
Р< = -Xf+iPi+i + Y/+1,	(1-47)
где матрицы X, и векторы Y, находятся по рекуррентным формулам:
XM = (Bi-CiXi)-'Ai, Yw = (B,-C/X/)-’(CzY/ + Fz). (1.48)
Начальные данные для расчетов по формулам (1.48) находятся
на основании граничных условий при i = 0 с помощью аналогич-
ных (4.43) соотношений Xt = О, Yx= 0.
Для того чтобы подсчитать значения р (i, k) в узлах сетки,
нужно определить по (1.48) матрицы Xz и векторы Yz, а затем,
пользуясв рекуррентным соотношением (1.47), найти векторы р,.
Порядок расчетов следующий. Сначала по известному вектору
Рт = 0 определяется вектор pm_i = Ym, затем вектор Рт_2 =
Xm_1pm_^ + YИ Т. Д.;
В том случае, когда граница пленки совпадает с контуром
подушки, указанный алгоритм приводит к точному решению за-
дачи. Если граница подлежит определению, он может быть исполь-
27
зован для получения первого приближения. Делается это так.
Определяется вектор pm_v Те его элементы, которые по расчету
оказались отрицательными, приравниваются к нулю, а граница-
в соответствующих точках сдвигается на Лх влево. Найденный
таким образом вектор рт_! используется для определения вектора
Рт-2 ==, Xm-jPm-! + Y^, ПО pm_2 НЭХОДИТСЯ И Т. Д. ОкОНЧИ-
тельно граница несущей части слоя определяется теми узлами,
в которых значения р,.А предпоследний раз обращаются в нуль.
Следует особо подчеркнуть, что рассмотренный алгоритм не сво-
дится к отбрасыванию отрицательной части расчетной эпюры
давлений, как это делается в некоторых методах численного реше-
ния уравнения Рейнольдса. Однако он не дает точного решения,
поскольку, как ясно из (1.48), для вычисления, например, элемен-
тов матрицы Xi+1 нужно знать матрицы Д,-, В, и С,, которые могут
быть составлены лишь в области, занятой пленкой, и, следова-
тельно, зависят от формы и положения неизвестной в начале рас-
чета границы слоя. Вместе с тем, по крайней мере для упорных
подшипников, расчеты по первому приближению, полученному
указанным способом, обеспечивают вполне удовлетворительную
точность.
Для получения точного численного решения здачи приходится-
использовать метод последовательных приближений.
Перепишем (1.45) в виде
й/4-i, kPi+i, k — dit kPi. k 4- cit, kPi—i,k = —P*, k',
P*, k = Fc, * + b(t kPi, k-i + bi' k+iPi, fe-t-i. (1.45a)
Пусть в s-м приближении давление p = ps, а следовательно, и.
F*,-k= (F*.h)t известны. Тогда (s + l)-e приближение можно
построить по формуле
Ps+i = aPs+i + (1 - а) Р»,
где функция ps+1 удовлетворяет (1.45а) при F*, k = (F*. *)s. Для
определения ps+1 может быть использован тот же алгоритм, что и
при решении уравнения (1.37). Ускоряющий множитель а (0 <
< а < 1) выбирается экспериментально.
1.4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В-ТЕОРИИ СМАЗКИ
Численные методы дают возможность получить достаточно
точные решения уравнения Рейнольдса для широкого диапазона
граничных условий и конфигураций маеляных пленок. Однако то
обстоятельство, что результаты расчетов представляются в графи-
ческой или табличной форме или хранятся в запоминающих уст-
ройствах ЭВМ, делает их малоудобными для последующего исполь-
зования в инженерной и исследовательской практике, например
при решении тепловых задач. С этой точки зрения аналитические
методы, если они приводят к сравнительно простым расчетным
28
формулам, имеют определенные преимущества. В настоящее время
известно большое число способов приближенного решения уравне-
ния Рейнольдса [17, 21, 24, 69, 91 ]. Далее в основном используется
вариационный метод приведения к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям (метод Л. В. Канторовича [18]), который приме-
нительно к задачам смазки обладает приемлемой простотой и удов-
летворительной точностью.
Стационарная задача. Рассмотрим уравнение (1.15в). Тол-
щину пленки h будем определять по формулам (1.33а). Перейдем
к безразмерным переменным, полагая:
т] = h/hi — k — (k— 1) х/£; £ = z/(eL); е = ВЩ
q = plp°> pQ = ^UL/hl .	(1.49)
В стационарном случае, согласно (1.16), vh = 0. С учетом послед-
него обстоятельства уравнение (1.15в) в переменных (1.49) запи-
шем в виде
+	I)2 Ж '	-А,5°)
<
Граничные условия принимаются в форме (1.18) и будут:
<7 = 0 при ц = 1, т] = k, £ = ±0,5.	(1-51)
Для получения приближенного решения уравнения (1.50)
положим
Я = ==?/>« 01) <РР(£)>	(1.52)
где функция q^ (т]) удовлетворяет уравнению (1.50) при е -> оо.
Имея в виду условия (1.51), находим
<7Роо = [т]’1 - k (k + 1 )-1 V - (k + 1 Г1] (k - 1 Г1.	(1.53)
Для определения <pp (t) воспользуемся методом Л. В. Канторовича.
Составляем функционал
0.5 Л
J - И И^)‘+	«МС- (1-54)
- -0,51
Принимая во внимание (1.52), его можно переписать в виде
0,5
J - [ [М^ +МЙМ)2-2азф₽(0]С /	(1.54а)
-0,5
k
где ах = j П3(-^р) flhi;	L ф J пУр»	X
1 . 1
л	’	' ,
xj<7poodr]-
1 ‘ е
29
Легко показать, что аг — а3, и получаем следующее уравнение
Эйлера для функционала (1.54):
d^p/d^2 — (а3/аг) фр = —а3/а2.
Интегрируя его при условии <рр (±0,5) = 0 и вычисляя а2
и а3 с учетом (1.53), будем иметь:
= 1 — ch 2Xp£/ch XD; = 0,5ефр;
фр = /2 (#> - 1) ФРоо/( 1 - £<DSoo).	(1.55)
Здесь
флоо = 6 [In k - 2 (k - 1)/(/?+ 1)] (k- I)2; <DSoo =
= 6 (/г2- 1 — 2£ ln£)/[(* — 1)3(^+ 1)1-	(1.56)
Формулы (1.52), (1.53) и (1.55) полностью решают задачу по
приближенному определению эпюры давлений в слое. Заметим, что
аппроксимация (1.52) обычна для большинства приближенных ме-
тодов (см. например, [17, 911), однако в предложенном методе
удается наиболее удачно подобрать функцию фр (?) исходя из
условия экстремальности функционала (1.54).
Приведем формулы для основных интегральных характеристик
слоя.
Гидродинамическая реакция определяется интегрированием
выражения (1.52) для давления
0,5В L
Р= J ^qpdxdz = ^- Фр; Фр = Фр^р. (1.57)
-0,5В 0
Здесь Фроо — по формуле (1.56), а коэффициент kpt учитывающий
уменьшение гидродинамической реакции вследствие боковых уте-
чек, равен
0,5
.	•	j <pp(£)d?=l-4^-.	(1.58)
Для определения скоростей и расходов смазки через слой обра-
тимся к формулам (1.9) и (1.12). Переходя в них к переменным
(1.17) и полагая р = const, у0 = 0, так что У = у, будем иметь:
vr = v2 = w = 0,5ц’1 др/dz (у2 — yh)\
vv = vx = и = 0,5ц"1 др/дх (у2 — yh) + Uo (1 — y/h) + Uhy/h-,
qr. = = — (/i3/12 ц) dp/dz\ q<p — qx = — (№/12 ц) др/дх +
+ Uh/2 + Uhh, U = U3-Uh. ?
(1.59)
Расход смазки, проходящей через зазор, по отношению к ко-
лодке определяем интегралом
0,5В Л	0,5В
G = j \(yK — Uh)dydz = J (qx — Uhh)dz.
-0,5В 0	-0.5В
30
Выполняя необходимые вычисления, для расходов на входе и вы-
ходе из зазора 02, а также для среднего расхода 60, получим:
Gx = BUh2gt- G2 = BUh2g2; Gft = 0,5 (Gr+ GJ = BUh^;
g2 = o,5(i -у + ад + П;	|( '
go = 0,25 (fe-|-1)(1 - kp) + kkp/(k + 1).
Боковые утечки из клина представляют собой разность между
расходами на входе и выходе из слоя. Таким образом,
Обок = Gx - 62 = St//i,gs; gs = 0,5 (k - 1) (1 - kp). (1.61)
Боковые утечки можно также подсчитать непосредственно,
использовав для этой цели формулу
L
Обок = I \Яг {х, В/2) — q2 (х, — В/2)] dx.
о
Отсюда находим
Обок = BUhig's; g; = gsc(k)-, c(k) = tfp/\2.	(1.62)
В силу приближенности расчета формулы (1.62) и (1.61) не
совпадают друг с другом, однако соответствующая разница, опре-
деляемая множителем с (k), сравнительно невелика и, как правило,
не превышает 10—15%. Далее всюду будем пользоваться формулой
(1.61).
Коэффициент боковых утечек из слоя i определяется по фор-
муле
i =т G^/G. = (k - 1) (1 - kp)/[k (1 - kp) + 2kkp/(k + 1)]. (1.63)
Подсчитаем силу трения на упорном гребне, отнеся ее к одной
колодке. Имеем
0,5В L
• F = J j | т (х, 0) | dx dz.
—0,5В о
Напряжение трения т =' рху определяется по второй из формул
(1.7), если там перейти к переменным (1.17) и заменить на и
[см. формулы (1.59)]. Следовательно,
т = рди/ду,	(1-64)
и для F, с учетом (1.59), после интегрирования по частям полу-
чаем
F.= (pt/BL/M [(Ink)/(k - 1) + 0,5Р(k - l)/ii/(pBl/L2)]. (1.65)
Формула (1.65) носит общий характер и определяет силу трения
не только в стационарном, но и в нестационарном случае. Если
задача стационарна, то
F =* pUBL^pIhi, <Df = (In k)/(k - 1) + 0,5 (k - 1) kp®px. (1.65a)
31
Мощность, затрачиваемая на
трение, равна
N = UF = (|Ш2ЛВ/Л2) Фг,
(1.66)
а коэффициент трения f = F/P
будет
f = V pU/(Lpm) Фл Ф( = ФР!У ф;
,pm = P/(BL).	(1.67)
Графики для коэффициентов, вхо-
дящих* в приведенные выше
формулы, приведены на рис.
1.12—1.16.
Оценим точность полученных
решений. В табл. 1.1—1.4 даны
результаты расчетов масляных
пленок под колодками прямоуголь-
ной формы в плане по методу ко-
нечных разностей [104] (числи-
тель) и по приближенным форму-
лам. Как видно из таблиц, в целом
оба способа дают близкие резуль-
таты. Вместе с тем при вычисле-
нии расходов разница между двумя
решениями становится более за-
метной. Последнее объясняется
сравнительно низкой точностью
операции дифференцирования, ко-
торая используется при вычис-
лении градиентов давления [см.
выражение (1.59)]. Подобные по-
грешности характерны также и
для метода конечный разностей
(достижение высокой точности
требует применения мелкой сетки)
и при использовании рядов [102]
(нужно увеличивать число членов
ряда). Однако в целом разница
между точным и приближенным
решениями по-прежнему остается
достаточно малой. Выполненное
сравнение показывает, таким об-
разом, что метод Л. В. Канторо-
вича обеспечивает вполне прием-
лемую точность расчетов.
32
Рассмотрим еще вопрос о допустимости замены секторных ко-
лодок прямоугольными. Воспользуемся для этой цели данными ра-
боты [97 ], где было дано численное решение задачи. Упрощающих
предположений о форме слоя, которые используются в некоторых
работах по подшипникам с секторными колодками, в [971 не де-
лалось. Расчеты выполнялись для величин:
Ро= (Р/в)/(р(//?ЭД; Уо = (ВД/(ц(/Ш2); G'o^iGjBKUht,
при разных значениях отношений = k (вычислялось по дуге
среднего радиуса 7?), B/R = Ьо и центрального угла колодки 0.
Последний был связан с числом колодок гк формулой 0 = 5 X
X 180/(лгк). Длина колодки при среднем радиусе L = 5R/zK.
Величины Ро, No и Go, определяемые через характеристики прямо-
угольных колодок, можно представить в виде:
Ро = (5/zK)2 Фр; No = (5/zK) Фр;
Go = 0,56(1—kp) -|- kkp/(k 4~ 1),	(1.68)
причем для е = B/L служит формула е = гк Ьо/5.
ТАБЛИЦА 1.1
B/L	Значения	при k					
	1.5	|	2	|	1 2-5 ' 1	1	3-	4 1	1 5
9	0,0900	0,1100	0,1100	0,1030 *	0,0872	0,0728
	0,0902	0,1100	0,1100	0,1040	0,0887	0,0749
1,5	0,077?	0,0946	0,0950	0,0900	0,0769	0^0649 '
	0,0773	0,0947	0,0951	0,0902	0,0J73	0,0656
1,0	0,0558	0,0689	0,0700	0,0670	0,0584	0,0501
	0,0555	0,0684	0,0692	0,0661	0,0573	0,0491
0,75	0,0404	0,0504	0,0516	0,0498	0,0441	0,0384
	0,0399	0,0494	0,0503	6,0483	0,0425	6,036&
0,5	0,0229	0,0289	0,0300	0^0294	0,0268	0,0238
	0,0222	0,0277.	6,0283	0,0273	0,0242	0,0212
2 Подольский М. Е.
33
ТАБЛИЦА 1.2
‘ B/L	Значения фр при k					
	1.5	2 1	2,5	|	1 3 1	1 4	5
	0,833	0748	0,693	0,652	0,593	0,548
Z	0,833	0,748	0,694	0,654	0,595	0,552
1,5	0,830	0,740	0,682	0,639 1	1 0,577	0,532
	0,830	0,740	0,682	0,639	0,578	0,534
1,0	0,825	0,728	0,663	0,616	0,550	0^503^
	0,825	0,727	0,663	0,615	0,548	0,501
0,75	0,82Г	0,718	0,650	0,599	0,528	0,479
	0,821	0,718	0,649	0,598	0*526	0,476
0,5	'0,817	0,708	0,633	0,579	0,502	0,450
	0J816.	0,707	0,632	0,577	0,498	0,445
ТАБЛИЦА 1.3
B/L	Значение при k					
	1.5	|	2 1	2,5	|	3	4	|	1 5
о	0,643	0,765		0,979	1,175	1,362
	0,647	0,769	0,876	0,972	1,143 -	1,295
1,5	0,657	0,796	0,925	1,050	1,282	1,510
	0,662	0,801	0,927	1,043*	1,253	1,444
1 л	0,680	0,847	1,008	1,165	1,470	1,769
1 ,и	0,687	0,857	1,015	1,165	1,446 •	1,709
Л 7R	0,696	0,885	1,069	1,250	1,607	1,960
U,ZO	0,704	0,896	1,079	1,255	1,591	1,911
0,5	. 0,715	0,927	1,137	1,345	1,761"	2,174
	0,725	0,942	1,154	J,361	1,766	2,159
ТАБЛИЦА 1.4
B/L	Значение- gs при k					
	1,5	2	2,5	3	4	5
о	0,065	0,130	0,195	0,260	0,391	0,522*
2	0,078	0,154	0,226	0,296	0,428	0,554
1,5	0,086	0,173	0,259	0,348	0,522	. 0,699
	0,103 	0,202	0,298	0,390	0,566	0,733
1,0	0,122	. 0,246	0,371	0,496	0,750	1,006
	0,144	0,285	0,421	0,553	0,808	1,051
0,75	0,148	0,297	0,448	0,600	0,909	1,219
	0,174	0,344 ‘	0,511	0,674	0,989	1,294
0,5	0,1'78	0,357	0,539	0,721	1,091	1,463
	0,208	0,413	0,616	0,815	1,207	1,591
34
На рис. 1.17 представлены типичные' кривые (штриховые ли-
нии — по формулам (1.68), сплошные линии — по данным из [97 ])
при гк = 8 и Ьо = 0,6.
Анализ показал, что в общем, расчеты прямоугольных и сек-
торных подушек дают близкие результаты \ Наибольшая разница
наблюдается при вычислении расходов, но даже в наиболее небла-
гоприятном случае (Ьо = 1) она не превосходит-20%. Для практи-
чески же интересного диапазона значений Ьо порядка 0,5—0,6 по-
грешность заметно меньше. Определенная разница наблюдается
также в значениях No, однако она может быть заметно снижена с по-
мощью простого поправочного коэффициента, который получается
следующим путем. Допустим, что силы трения, действующие на
прямоугольную колодку и соответствующую ей колодку секторной
формы, примерно равны друг другу. Предполагая, что сила тре-
ния, приходящаяся на единицу площади колодки, обозначаемая
далее «/ерез рт, примерно постоянна, для момента сил трения от-
носительно оси упорного гребня получим (рис. 1.18)
е я,
М = pt J J r2drdq> = pxQ ~ .
0R,.
Определяя рт формулой рт = Ff(BL) и учитывая, что R2 — Ri — '
= В, L = QR, для мощности, затрачиваемой на трение, будем
иметь:
АГ = MU/R = (jdfLB/ht) Ф^флг; <pN = 1 + 6§/12; b'o = B/R. (1.69)
Расчеты показывают, что с помощью коэффициента <pw значения
потерь энергии на трение удается заметно сблизить друг с другом.
 В отношении несущей способности аналогичные выводы были получены
в работе (73].
2*	.	_	35
Из формулы (1.69) видно также, что при Ьл порядка 0,5 и ниже
влияние «секторности» подушки на N невелико, и его можно не
учитывать.
Проведенный сравнительный анализ приводит, таким образом,
к выводу, что полученные формулы обладают достаточной точ-
ностью и позволяют рассчитывать не только прямоугольные,но и
в практически интересном диапазоне конструктивных параметров,
секторные колодки.
Нестационарная задача. В нестационарном случае ско-
рость vh, вообще говоря, не равна нулю. Согласно (1.16) и (1.33а)
для vh имеем-
v* = \k - (k - 1) x/L] й2 + М (1 - x/L),
что в переменных (1.49) можно записать следующим образом:
vh = — hzbl(k — 1) 4- [й2 + hyk/ik — 1 ] г).
Подставляя полученное выражение в (1.15в) и переходя к перемен-
ным (1.49), получим уравнение
= —С1 — С2Т),	(1.70)'
где 3?— оператор из формулы (1.50),
+	<|70а’
Примем граничные условия для функции q в виде (1.51). Тогда
имеем линейную задачу, и решение уравнения (1.70) можно искать
в виде суммы двух функций, одна из которых отвечает первому
слагаемому в левой части (1.70), а другая — второму. Первое из
упомянутых решений с точностью до постоянного множителя сов-
падает с (1.52) для отыскания второго нужно решить уравнение
S (<7s) — —Воспользуемся снова методом Л. В. Канторовича
и будем искать функцию qs в виде
= ?soo 01) <Ps (ъ)>	(1-71)
где qs и, — есть решение для случая бесконечно широкой колодки
(е -> оо) и находится по формуле
’ ‘/soo = <&ос2>	= — °-5 Un Л - 02 in k)/(k2 -1)4-
4-02ln й)/((й2- l)n’]}.	(1-72)
Составляем далее функционал
0,5 k
j=z J i k(w)4+^-i)^3(-^)a~ 2c2n?J
—0,61
36
и, как и ранее, приходим к обыкновенному дифференциальному
уравнению для функции <ps (£). Решая это уравнение при условиях
<ps (±0,5) = 0, находим -
<ps= 1 -ch2Xs:/ch\,	(1.73)
где	__
= 0,5eips, ф. = (k — 1) V J (JJi,
• J0 = [(^-jr-4fc4n2*]/8(^-l);	(174)
, _ 1 ( k*— 1 , ,2 , , Г fe2 In2 k	3 n
Jl~ 4 t 32	' S rl й [ (й2—I)2	В ]/
Для вычисления гидродинамической реакции, соответствующей
полученному решению, следует проинтегрировать функцию
С учетом (1.71)—(1.73) имеем
Rs = - (pBLW [й2 4- kh^k - 1 )] Ф5,	(1.75)
где
(Ds = ф$ ks = 1 - th ЛА.	(1.76)
Составляющая гидродинамической реакции, отвечающая сла-
гаемому (—Ci), определяется путем умножения Р из (1.57) на ве-
личину (k — 1) Ср
Rp = (pUl?B/ty[l +,(2L/U)k/(k- 1)2]Фр.	(1.77)
Полная гидродинамическая реакция пленки (в предположе-
нии, что суммарная эпюра давлений не имеет отрицательного
участка) равна
Т?2 = 7?P + 7?S.	(1.78)
Представление о точности выполненных расчетов дает табл. 1.5,
где в знаменателе указаны значения Ф5 по формуле (1.77), а в чис-
лителе — результаты численного интегрирования (использова-
лась сетка 16X16).	1
Как видно из табл. 1.5, совпадение между обоими методами
удовлетворительное.
Центр давлений при стационарном нагружении. * Выраже-
ния (1.52)-и (1.53) для давления в пленке позволяют определить
координаты центра давлений лишь в первом приближении (для
бесконечно широкой колодки), без учета влияния отношения
B/L — е. Более точные решения можно найти, если в формулу
(1.52) для qp ввести дополнительные слагаемые, зависящие от т],
с последующим их определением вариационными методами [56].
Этот путь, однако, связан с весьма громоздкими вычислениями.
Для стационарной задачи может быть получено весьма простое ре-
шение, зависящее только от «стационарного» Фр и «нестационар-
ного» Ф4 коэффициентов нагрузки. Степень приближенности та-
кого решения определяется лишь приближенностью вычисления
37
ТАБЛИЦА 1.5
B/L	Значения	при k				
	1,5	, 2	3	4	5
л	0,4422	0,3133	0,1837	0,1217	0,0870
2	0,4432	0,3141	0,1844	0,1225	0,0877
1,5	0,3L92	0,2695	0,1590	0,1060	0,0761
	0,3795	0,2696	0,1590	0,1061	0,0762
1,0	0,2733	0,1955	0,1169	0,0788	0,0571
	0,2721	0,1942	0,1156 '	0,0777	0,0561
0,75	0,1980	0,1424	0,0861	0,0587	0,0429
	0,1956	0,1401	0,0840	0,0568	' 0,0412
0,5	0,1119	0,0811	0,0500	• 0,0346	0,0256
	0J087	0,0781	0,0472	0,0322	0,0235
Рассмотрим функции qx и </2, удовлетворяющие при нулевых
граничных условиях уравнениям:
=	=	.	(1.79)
Из (1.79) следует, что
4<7i - ?2 =	(<7i) - ft (</2).	(1.80)
Пользуясь тем, что граничные условия для функции <?2 нулевые,
после интегрирования по частям получим
0*5 k	0,£	k
J jfc?(9.)- j	+
.-0,5 1	-0.5 1
J- *1*	d<?21 ,
‘ e2(k — I)2	d£ J	1 ъ‘
Точно так же	~	.
0,5 k	' 6.5 k
- J	j	+
—0,5 1	-0,5 1
+_____!1!__rfTldr
+ e2(fc-l)2 dg. J “Ла'=’
и, следовательно,
. j /1<72^(<71)-<71^(<7-1)НП^ = О-	(1-81)
38
Из уравнений (1.81) и (1.80) находим
0,5 k	0,5 k
= f f^d^d?.	(1.82)
—0*5 1	—0,5 1
Из формулы (1.82) следует, что безразмерный статический момент
«стаццрнарных» гидродинамических давлений равен безразмерной
«нестационарной» гидродинамической реакции. Для интегралов
от qt и q2t~ выражая их через коэффициенты нагрузки Ф„ и Ф
имеем:	р '
0.6 *	0,6 k
-0*5 I	—0,5 1
Отсюда
0,5 k	I 0,5 fe
V = j j^dridd j j q1d^d^ = -^-^-,
-0.51	I -0,5 1	p.
а координата центра давления xpc = L (k — iu)/(4 — 1) (cm.
первую из формул (1.49) будет
= [k/(k — 1) ^ 0.5Ф/Ф J L.	(1.83)
Заметим, что если Фр и Ф5 найдены точно,’то формула (1.83)
дает для х^ точное значение. При определении Ф„ и Ф5 пр при-
ближенным формулам из (1.57) и (1.76) значение хрс также будет
вычисляться приближенно. Сопоставление с численным решением
. из работы [104] (числитель) приведено в табл. 1.6, где видно, что
приближенное решение обеспечивает удовлетворительную точ-
ность.	_	<
ТАБЛИЦА 1.6
B/L		т					—				 Значения хрс при k				
	1,5	2	3	4	5
2	0,543	0,573-	0,613	0,640	0,659
	0,543	0,574	0,615	0/643 .	0,664
1,5	0,545 О,о45	0,576 0,576	_0,617 0,619	0,645 0,648	0,665 0,669
1,6	0,548	0,582	0,627	0,657 ,	0,678 ’
	0,547	0,580	0,625	0,656	1	k 0,679
0,75	0,552 0,549	0,588 0,583	0,636 0,630	0,668 0,662	0,691 > 0,673
0,5	0,560	0,601	0,654	0,688 .	0,713
	0,551	0,587	0,636	0,670	0,695
39'
Центр давлений при нестационарном нагружении. Поскольку
координата центра давления равна хс = (RpXpc + RsxJ)/(Rp +
+ Rs), где величины Rp, R, и хрс можно считать известными [см.
(1.75), (1.77) и (1.83)], то задача сводится к определению коорди-
наты xiC центра «нестационарных» давлений qs (или q2\ В этом слу-
чае простое решение типа (1.83) получить не удается.* Поэтому
приходится прибегать к приближенным способам.
Рассмотрим оператор
,	дг ,	1	д2	.. я..
1 ~ дт)2 + (Л — 1)» д?
и применим его к функции
и = е2 (k — 1)2<р (?) т)'	(1.85)
В результате получим
/(u) = W'(?).	(1.86)
Рассмотрим интеграл
0.5 *
J J f Ш («) - Ul (?S)]<M?,.	(1.87)
-0,61
где функция q2 подчинена нулевым граничным условиям и удовле-
творяет второму из уравнений (1.79).
Интеграл (1.87) можно записать в виде
.0,5 k
—0,51
(1.88)
Выберем функцию ф (£) из (1.85) так, чтобы ф (±0,5) = 0,
и выполним в (1.88) интегрирование по т) в первом слагаемом и по
£ —во втором. С учетом нулевых граничных условий для ф и q2
будем иметь
0,5
'=- J	<L89>
-0,5
Выражая оператор S в (1.79) через I по формуле (1.84), находим
I (ft) - — П"2 — ЗгГ^/дт].	(1.90)
• 40
Подставим / (и) по (1.86) и I (q2) по (1.90) в формулу (1.87) и при-
равняем полученное выражение к интегралу (1.89). С учетом нуле-
вых граничных условий для q2 получим
0,5	к	0.6
е~* {k _ ! )-2 J ф" (0 J	+ in k J ф (£) % +
-0.5	1	—0,5
*	0.5
+ [ (ni)l‘<P(^ = O.	(1.9Г)
J \	/ 11
—0,5
Будем искать q2 в виде
<?2 = s 01) % (£)» s(n) = <7°00(n)(l +<№),	(1.92)
где 9?» (п) и (ps (£) — по формулам (1.72) и (1.73), а С — постоян-
ная, подлежащая определению.
Подставляя (1.92) в (1.91) и полагая ср (£) = (ps (£), что можно
сделать, поскольку единственное условие ср (±0,5) = 0, наложен-
ное выше на функцию ср (£), при этом выполняется, приходим к со-
отношению
k
j nsCn)<fy =	— 0 - л)[*'(0 —(193)
i
левая часть которого представляет собой статический момент от
усилий s (т|), действующих в срединном сечении, масляной пленки.
Для вычисления и Jo служат формулы (1.74), а значение А
определяется выражением
Л = 0.5&1	(1 -kl)-ks],
где k, —по формуле (1.76).
Соотношение (1.93) представляет собой линейное алгебраи-
ческое уравнение для постоянной С. Определив отсюда С, согласно
(1.92), найдем q2 (т]); подсчитаем
0,5 к	I 0,5 к.
—0,5 1	I —0,5 1
И
• Xsc = L(k-vsc)l(k-V).	-	(1.94)
Выполняя необходимые вычисления, получаем
у. _________хох1/1 4~ к, (7i//q) In k_ л[-\
lsc *з (x,ViVo + x2) + x4 [(Л/Jo) In k - Jo] ’	1
где .
_ 1-4 . - _ (ft2+ i) ink-0,5(^-1) .
• s x° X1-----------------------& ’
х,-(£±рп*-|)^ ;	. ,	
_F-l-2felnfe.- _ Г fe_! fe, + fe+i - 1
'	2(^+1)	’ x4— [	2 + З(Л-М) lnj k ’
- 41
Сравнение расчетов по формулам (1.94) и (1.95) с численным
решением (сетка 16 X 16) дано в табл* 1.7 {числитель —расчеты
на ЭВМ). Как видно, точность приближенного решения — удов-
летворительная.
- ТАБЛИЦА 1.7
	Значения xsc при k				
В/ L	1,5	2	3	4	. 5
о	' 0,535	"0,55'9	0,591	0,612	0,626
	0,535	0,559	0,591	0,611	0,626
Ь,5	0,536	’0,560	0,593	0,614	,0,629
	0,536 '	0,561	0,592	0,613	0,628
1,0	0,537	0,563	0,597	0,619	0,635
	0,537	0,562	0,595	0,616	0,631
0,75	0,539	0,566	0,602 '	0,625	0,642
	0,538	0,564'	0,598	0,620	0,635
0,5	0,543	0,572	0,612	0,637	0,655
	0,539	0,566	0,602	0,626	0,64?
<	Глава 2
ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ
Несовпадение между опытом и теорией, которое наблюдается
при решении тепловых задач, требует подробного анализа существа
допущений, используемых при построении'методов расчета темпе-
ратур в слое. Во многих работах по теории смазки весьма широкое
распространение получило предположение о том, что температура
в несущей масляной пленке изменяется в направлении лишь одной
из координат: или вдоль или, реже, поперек пленки. Первое допу-
щение, по существу, означает, что внимание принимается
только конвективный перенос теплоты, осуществляемый смазкой,
движущейся в зазоре; согласно второму, конвекция не учитывается,
и считается, что вся теплота, выделившаяся при трении, отдается
окружающим деталям посредством-теплопроводности. Естественно,
что в общем случае имеют значение и тот и другой вид теплоотвода,
хотя в определенных условиях на первый план может выступать
лишь один из них.
Помимо вопросов теплообмена, весьма важной стороной Тепло-
вых явлений в несущей пленке является также влияние темпера-
туры масла на его вязкость. Изменение вязкости с температурой
сказывается на несущей способности подшипника прежде всего
вследствие общего снижения уровня вязкости при нагреве слоя,
42
что, как известно [см., например, формулу (1.57)], приводит
к уменьшению гидродинамической реакции. Вместе с тем, в некото-
рых случаях, помимо среднего значения вязкости существенное
значение может иметь и характер ее изменения по объему пленки.
Так, в результате нагрева масла по мере его прохождения через
зазор, вязкость уменьшается и тем самым создаются условия для
поворота подушки на опоре даже тогда, когда опора расположена
по середине длины подушки. Как известно, при постоянной вяз-
кости центрально опертая подушка может находиться в равнове-
сии, лишь оставаясь параллельной рабочей поверхности упорного
гребня, и, таким образом, вследствие отсутствия причин для
образования масляного клина не в состоянии нести нагрузку.
К еще более любопытным результатам приводит одновременное
изменение вязкости по длине и толщине слоя [95, 119, 120]: изме-
нение вязкости с температурой вызывает появление гидролинами?
ческих давлений в смазочных слоях постоянной толщины [класси-
ческая теория, йак известно, предсказывает в этом случае для
Гидродинамической реакции нулевое значение—см. формулы
(1.57) и (1.56) для Р, из которых следует, йто при k 1 значение
Фд->0]. Именно так в [119] объяснились опытные данные ра-
боты [98], в которой обнаружена заметная несущая способность
у подшипников с параллельными поверхностями трения. После-
дующие исследования (см. работы [39, 100 и др.]) показали, что
это объяснение несостоятельно, однако сам факт существования
зависимости между полем гидродинамических давлений и непо-
стоянством вязкости по объему зазора бесспорен.
Применительно к подшипникам с неподвижным корпусом
(t/л = 0) рассматривается комплекс вопросов, относящихся к раз-
личным аспектам тепловых явлений в смазочных пленках упорных
подшипников. Главным образом исследуются закономерности рас-
пределения температуры по объему масляной пленки для случая
постоянной вязкости. Несмотря на известную потерю информации
о поведении пленки, допущение р = const позволяет выявить не-
которые важные обстоятельства, которые при другом подхбде
весьма трудно обнаружить вследствие математической сложности
проблемы и невозможности получить решение в замкнутой форме.
В частности, выявлена особая роль упорного гребня, как тепло-
вого аккумулятора, перераспределяющего тепло между "отдель-
ными частями масляной пленки и всего подшипника в целом. С уче- *
том'результатов, полученных при изучении температурных полей
в зазоре и, прежде всего, температуры упорного требня, рассмо-
трены задачи о неизовязкостных течениях смазки.
2.1.	УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
Уравнение закона сохранения энергии некоторого жидкого
объема постоянной плотности р может быть записано в виде
pdEldt = Ф 4- div (A. grad Т).
43
Здесь ё — сТ — внутренняя энергия единицы массы жидкости;
с—теплоемкость; Т—температура; Ф—диссипативная функ-
ция; 1 —теплопроводность.
Записывая отдельные слагаемые этого уравнения в полярных
координатах и переходя к безразмерным переменным по формулам
(1.1) и (1.2), получим:
ф = (,х°уЖ) (й е2) [(№<₽ ду)2 + (dvr ду)2 + О(е2)];
div (X grad Т) = {^iR^^^^T.dy2О(е2)];
dE/dt = (cU0T°/R) [(R/Uot°) dT/dt + vr дТ/д?+
+ (Цр/r) dT/dip + Ну дТ/ду].
Здесь дополнительно принято, что Т Т°Т (Т° — характерная
температура), и предположено, что X = const.
Отбрасывая в квадратных скобках члены, имеющие порядок в2
и возвращаясь к исходным размерным переменным, приходим
к уравнению
дТ/dt + (иф/г) дТ/дц> + vr dT/dr + vy дТ/ду =
= (И/рс) [(dv^/dy)2 4- {dvr/dy)2\ + (Х/рс) d2W.	(2.1)
Аналогично для определения температуры в слое под колод-
ками прямоугольной формы служит уравнение
dT/dt + udT/dx + vdTldy + wdT/dz = (р/pc)[(d«/dy)2 +
+ (dw/dy)2} + (X/pc) d2T!dy\	(2.2)
которое, например, может быть получено из (2.1), если перейти
к переменным (1.17) и предположить, что размеры подушки малы
по сравнению с радиусом R. В уравнении (2.2) и, и и оу — соста-
вляющие скорости соответственно вдоль осей х, у и z [см. также
(1.59)].
При отсутствии бокового истечения (подушки бесконечной
ширины) составляющая w = 0 и уравнение (2.2) принимает вид
’ dT/dt + udTldx + vdTldy = (ii/pc)(du/dy)2 + (X/pc) d2T/dy\
(2.2a)
Выпишем еще уравнение, накладывающее связь на скорости и,
v и w.
duldx + dvldy + dwldz = 0.	(2.3)
В случае плоской задачи, когда а> = 0, уравнение (2.3) надо
заменить уравнением
duldx + dvldy — 0.	(2.3а)
В дальнейшем понадобится выражение для интеграла от дисси-"
пативной функции, вычисленного по толщине пленки. Восполь-
зуемся тождеством
р {dvldy)2 = d {pvdvldy)lду —vd {pdv!dy)1dy.
44
Подставляя вместо v величины vr и и принимая во внимание
уравнения (1.6), получим
Уь
• МО’О
у*
(	, dvr\ h др	др
U Vw -т-Г vr	Q Ф “Т-Qr •
г \ ф ду 1 г ду / о	^Фгдф	дг
Здесь (?ф и qr определяются по формулам (1.12). Вычисляя теперь
VqdVqJdy и vrdvrtdy с помощью (1.9) и используй (1.12), искомый
интеграл представим в виде
• Jf = (t/0 - С/Л)2/Ч^ + Ф [(др/гду)2 + (др/дг)2], ’	(2.4)
где фо определяется по (1.10), а ф — по (1.13).
В переменных (1.19) для интеграла (2.4) будем иметь
Jf - (Uo - (УЛ)2/ф0 + Ф а(др/дх)2 +с (dpldz)2 ].	(2.4а)
Если принять р = const, то, вместо (2.4а), получим 4
Jf = р (t/o - Uh)2/h + (Л3/12р)[(др/дх)2 + (dp/dzfil. (2.46)
2.2.	ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫЙ СМАЗОЧНЫЙ СЛОЙ
Одним из наиболее распространенных допущений, использу-
емых при решении температурной задачи, является предположе-
ние о постоянстве температуры по толщине масляной пленки.
Обычно такое допущение' обосновывается тем, что, если тепло-
отдачей от слоя пренебречь и тем самым рассматривать слой как
теплоизолированный, то производные от температуры по коорди-
нате на границах слоя будут равны нулю 124]. Отсюда делается
вывод о равенстве нулю производной дТ/ду по всей толщине пленки
и, как следствие, о независимости температуры от у.
Следует заметить, что сама возможность не учитывать обмен
теплотой между слоем и окружающими его деталями в общем слу-
чае сомнительна. Если такое допущение все же принять, то и оно/
вообще говоря, не обеспечивает постоянства температуры по тол-
щине пленки. ‘Дело в том, что поле скоростей в слое весьма не-
однородно: около гребня скорости велики, вблизи колодки они
малы. Поэтому частицы масла, примыкающие к колодке, остаются
в.зазоре в течение большего времени и^ следовательно, в случае
тепловой изоляции пленки, сильнее нагреваются. По мере про-
движения масла вдоль зазора его температура, в результате пере-
дачи теплоты по слою за счет теплопроводности, выравнивается
и на некотором удалении от входа, теоретически на бесконечности,
становится постоянной по толщине. Отсюда следует, что, при изве-
стных условиях, даже при отсутствии теплообмена температурное
поле может быть существенно неравномерным. Для выяснения
условий, при которых непостоянство скорости по толщине слоя
может быть существенным с точки зрения его влияния на характер
температурного поля смазочной пленки, решается задача о движе-
45
Нии жидкости между параллельными пластинами. На основе по-
лученных результатов оказывается также возможным оправдать
сравнительно простые приближенные методы, используемые
в дальнейшем при анализе более сложных вопросов, где получение
точного решения и его численная реализация представляют боль-
шие трудности. Решение проводится в предположении, что' вяз-
кость масла и другие теплофизичесйие койстанты не зависят от
температуры. Поле скоростей в пленке определяется на основе
обычных предположений теории смазки (см. гл.. 1), в частности,
в соответствующих уравнениях опускаются все инерционные сла-
гаемые. Последнее означает, что течение в гидродинамическом
отношений полностью развито (стабилизировано), т. е. не учиты-
вается влияние начального профиля скоростей на входе в зазор.
Правомерность такого предположения большей частью оправды-
вается следующими соображениями. Длина начального участка,
в пределах которого еще сказывается влияние входного профиля,
имеет порядок [70] I (0,14-0,2) h Re, где h —толщина пленки,
Re —число Рейнольдса, подсчитанное по толщине пленки h.
Полагая, как и в гл. 1, е — h/R ~ h/L (R —средний радиус,
L —длина слоя), URN ~ е-1, получим для I оценку I (0,1ч-
4-0,2) eL. Отсюда видно, что, действительно, длина начального
участка, как правило, мала, и поэтому процессы, которые в нем
происходят, можно не принимать во внимание.
Уравнение для температуры в слое н его решение. В стацио-
нарном рлучае dTIdt — 0. Учитывая еще, что в слое постоянной
толщины
и = Uf>ylho, v = 0,	(2.5)
из (2.2а) будем иметь уравнение
' г\дТ/д% = Pe-WW + А '	(2.6)
где
Л — У/^о> l — x/L-, Ре = (рсД) f = yUoL/(pctio). (2.7)
Граничные условия задачи получим, задавая температуру
На входе в слой (ее можно принять равной нулю) и полагая гра-
ницы слоя теплоизолированными. Тогда будем иметь
Т = 0 при В — 0; дТ/дт\ = 0 при rj = 0 и при г) = 1. (2.8)
Решение задачи (2.6)—(2.8) можно получить в следующем виде
[43, 118):
Г = Т(1)[1+<Р(В, Т))];
ОО	t
<Р & Л1) = 4 -у- 2 ЗД1^-!/з(РпП3/2) [1 - ехр (- 4
Л=1
(2-9)
ап = J J-j/3 (х) dx/{pXi/3 (₽„)]; f (|) = 2ft.
О
46
Здесь J-i/з —функция Бесселя порядка —1/3;	— корень урав-
нения
Л/з(рЛ) = а.	-	(2.Ю)
Неравномерность температурного поля в пленке. Выясним сна-
чала физический смысл функции Т (|). Для этогб умножим на т)
(2.9) и проинтегрируем полученное выражение по т] рт 0 до 1:
1 1 *
Jw,
- о	о
Поскольку безразмерный расход через слой равен [см. (2.5)1
Ло	1
j и dylU^ =.J т] drj =	,
о	о
то для температуры, осредненной по расходу, или, что то же самое,
для калориметрической температуры в каждом сечении слоя
будем иметь
1	I 1
Tm J U^T (I п) J di\ = T®.	(2.11)
о	I о
Таким образом, функция t (Е.) представляет собой калори-
метрическую температуру слоя в его сечении, соответствующем
координате |. Этот же результат можно получить и более про-
стым путем, для чего нужно непосредственно проинтегрировать
по т] уравнение (2.6). Тогда после перехода к переменным (2.7)
для калориметрической температуры Тт получим уравнение
dTmldli, — 2f. Его интегрирование при начальном условии Тт(Ъ> =
- 0) = 0 дает
Тт = 2П,'	(2.12)
к
т. снова получаем (2.11).
Функция <р (5, л) в формуле (2.9) характеризует степень изме-
нения температуры по сравнению с ее средним значением и, сле-
довательно, определяет неравномерность температурного поля
по толщине слоя. Физические соображения, подкрепляемые также
расчетами по формуле (2.9), приводят к выводу, чТо в условиях
рассматриваемой задачи температура будет наибольшей у не-
подвижной поверхности и наименьшей — на движущейся пла-
стине.
47
В качестве меры неравномерности температурного поля может
служить значение функции ф (^, т]) при т] = 0. Полагая в (2.9)
т] — Q, получим
Фо - -VT-S^[l-exp(--W?)]’	(213>
' П=1
91/3	ж 1Л/_
где У - TW ’ b* = J	(X) dx/[pi0/3JL1/3 Ш
о
При Е/Ре -> оо из (2.13) имеем ф0 -> 0. Точно так же ф -> 0
при £/Ре -> оо. Эти результаты означают, что на большом рассто-
янии от входа в слой или при малых числах Пекле [см. (2.7)]
температура полностью выравнивается и становится постоянной
по толщине пленки.
Выясним характер температурного поля в начальном участке
слоя (при малых £/Ре).
Анализ показывает, что при 5 -> 0 имеет место следующая
асимптотическая формула [43]:
То = О,375ТГ (1/3) Г [1+0 (£1/4)L
где £ = 9£/(4Ре), из которой следует, что вблизи от входа в слой
значение ф0 может быть достаточно велико (при g/Ре -> 0 вообще
имеем фо -> оо). Расчеты по определению значения коэффициента
неравномерности будут приведены ниже. Здесь только отметим,
что полученные результаты показывают, что предположение
о теплоизолированности смазочного слоя само по себе еще не обес-
печивает постоянства температуры по толщине пленки.
Приближенные формулы для температуры в слое. Найдем
приближенное решение рассматриваемой задачи, более удобное
с вычислительной точки зрения. Как показывает его сравнение
с точным решением (2.9), соответствующие формулы обладают
достаточной точностью и, таким образом, оказываются полез-
ными в дальнейших расчетах, в частности, применительно к зада-
чам, где получение точного решенйя затруднено или невозможно.
Будем искать температуру в виде полинома четвертой степени
по т):
Т - <х0 + оц (1 — Т]) + а2 (1 — п)2 + а3 (1 — т))3 + а4 (1 — т))4.
(2.14)
Здесь а0, ап а2, а3, а4 есть некоторые функции £.
Удовлетворяя граничным условиям (2.8), получаем:
а! = 0, 2а2 + За3 + 4а4 = 0.	(2.15)
Еще два условия, налагающие связь на а,-, можно получить,
если потребовать, чтобы функция (2.14) удовлетворяла уравне-
нию (2.6) на линиях т] = 0 и т] — 1. Тогда будет:
2а2 + 6а3 + 12а4 + Ре f = 0; da0/dg = 2Pe'4a2 + f. (2.16)
48	ч	•	•
Решая совместно второе уравнение (2.15) и первое уравнение
(2.16) и определяя из второго уравнения (2.16) а2, получим:
=ч=“4“= + -тЛ «.-l-Tf;
(2.17)
Для калориметрической температуры с учетом (2.11), (2.14)
и (2.17) имеем
Тт = а0 + (Ре/30) da9/d% —fPe/60.	(2.18)
Подставляя (2.18) в (2.11), получаем дифференциальное.урав-
нение для функции а0 (g):
da0/dl + (30/Ре) а0 = 0,5/ + 60/g/Pe.
Начальное условие для а0 найдем с помощью первого из усло-
вий (2.8), удовлетворяя ему в среднем:
1
j7’dT] = 0-
о
В результате для а0 получим
а0 - f 12g — Ре/20 + (Ре/15) exp (— 30g/Pe)L
Используя найденные выражения для а,, получаем из (2.14)
следующую формулу для определения температуры как. функции
g и т]:
7’ = 2fg[l+<p1(^, п)];
Ф1 (В, П) = (Ре/6) Г11Ф101) + Фг (n) exp (—30g/Pe)];
Фх (П) = -о, 15 + (1 - п)2 [ 1,5 - (1 - т])1;	(	}
ф2(т]) = 0,2 — (1 — т])2 {3 — (1 — л) [4 — 1,5 (1
Сравнение точного (2.9) и приближенного (2.19) рёшений за-
дачи выполним на границах слоя rj = 1 и т) — 0, где, при фикси-
рованных значениях g, достигаются соответственно минимальные
и максимальные значения температуры масла. Рассмотрим сначала
решение (2.19). При т] = 1 имеем:
фх = —0,15; ф2 = 0,2;	= Peg'1 [—0,025 +
+ О.ОЗЗЗехр (—30g/Pe)],
а при т) = 0 будет:
Фх = 0,35; ф, = —0,3; фх = Peg-1 10,0584 ^О.Обехр (—30g/Pe) ].
На достаточно больших расстояниях от входа в слой, таких,
что exp (— 30g/Pe)	1, вторые слагаемые в квадратных скобках
' 49
в формулах для Ф1 (5» Л — 0 Ф1 (£> Л — 0) можно опустить,
и из (2.19) получим:
Т (I Л) ln=o -2fg(l+ 0,0584 Ре Г); 1
Г (В, Л)1п=1-2Д(1 -0,025 Ре Г)-’ J (2'20)
Рассмотрим теперь решение (2.9). Как и в приближенном реше-
нии, расстояние от входа в слой будем считать достаточно большим
и на этом основании пренебрежем экспонентами ехр (—90£|/(4Ре) 1
по сравнению с единицей. Тогда [см. также (2.13)] получим:
Ф (В, Л = 1) — 4" -у- 2 OaJ-l/З Фп) =
л=1
оо
= 4 т S J /_1/3(x)dx/[^_1/3(pn)];
n=1?	‘J (2.21)
Ф(В, Л = 0) = Фо =4Т Х '
00 /п	.
х 2 J •'-изWdx/[pi0/3jl1/3(P„)].
п=1 О
Вычисления по формулам (2.21) приводят к формулам (2.20),
т. е. приближенное и точное решения на большом .удалении от
входа в слой совпадают друг с другом.
При малых £/Ре, т. е. вблизи входного сечения, точное и при-
ближенное решения дают результаты, отличающиеся друг от
друга. Однако при не очень малых | соответствующая разница не
слишком велика. Так, при Е/Ре = 0,0275 на подвижной стенке
Л — 0 имеем ф = 1,35 и фг = 1,32, а на подвижной (ц = I):
Ф'= —0,40 и фг =— 0,38. В пересчете на температуры, которые
пропорциональны соответственно значениям (1 + ф) и (1 + ф^,
относительная погрешность будет меньше.
При дальнейшем уменьшении |/Ре погрешность приближен-
ного решения возрастает: сравнительно слабо для максимальной
температуры (при |/Ре = 0,01375 и ц =.0 имеем ф = 1,96 и фх =
= 1,84) и более заметно на линии r| = 1 (при £/Ре = 0,01375
величина ф = —0,44, а ф1 = —0,21). Таким образом, прибли-
женное решение дает приемлемую точность, если |/Ре имеет поря-
док нескольких сотых долей единицы и выше.
Анализ результатов. Полученные решения показывают, что,
в общем случае, непостоянство скорости смазки в пределах сма-
зочного слоя приводит также и к неравномерности температуры по
толщине пленки. Сказанное иллюстрируется рис. 2.1, где даны
кривые TlTn = f (y/ho), построенные для различных значений
5Q
= 0,03--0,07, что дает
£/Ре (Тт — калориметрическая температура слоя & данном сече-
нии; Т —местная температура). С увеличением расстояния от
входа в зазор, т. е. с ростом неравномерность температуры по
толщине, обусловленная указанными причинами, снижается (см.
рис. 2.1).
Численные значения |/Ре, в зависимости от конструкции
подшипника и условий его работы, могут колебаться в достаточно
широких пределах. Рассмотрим, например; подпятник вертикаль-
ного гидрогенератора. Примем: скорость Uo = 10 м/с; 4 ==
0,4 м; h0 = 100 мкм = 10"4 м; рс/К = 1,4-107 с/м2. Тогда [см.
(2.7)] для числа Пекле получим Ре = 3,5, чему соответствует
fL = Ре"1, подсчитанная по всей длине
подушки, пример'но равная 0,3. э
При возрастании нагрузки на под-
шипник толщина слоя и число Пекле
уменьшаются, a растет.' В целом
можно принять, что для подпятников
гидрогенераторов величина имеет
порядок 0,3—1,5, и коэффициент не-
равномерности сро невелик. Иначе
обстоит дело с малогабаритными упор-
ными подшипниками быстроходных
мап!ин (паровые и газовые турбины,
компрессоры). Принимая Uo = 40-н
-4- 80 м/с, L = 4-10^2м, h0 = 20-т-30мкм4
аналогично предыдущему получаем
уже более высокие значения ср0- Вместе с тем, как и выше,
возрастание нагрузок на колодки вызывает увеличение и, как
следствие, снижение коэффициенте неравномерности. Поэтому
при больших нагрузках, когда толщина слоя заметно умень-
шается — до 8— 10 мкм и ниже,- значение <р0 также оказывается
небольшим.
Таким образом, в целом ряде случаев неравномерность темпе-
ратур по толщине^ обусловленная уменьшением скорости у по-
движной стенки, может не приниматься во внимание. Более того,
если даже' по расчету такая неравномерность получается, то
практическй, ввиду неосуществимости полной тепловой изоляции
слоя, она, по-видимому, окажется заметно сниженной. Таким
образом, в общем случае, особенно применительно к малогабарит-
ным быстроходным подшипникам, задачу о температуре в слое
следует решать с учетом теплообмена^лежду слоем и Окружающими
его деталями. В такой постановке задача оказывается достаточно
сложной. Поэтому естественно воспользоваться приближенными
методами. Выполненные решения показывают, что достаточно
эффективным приемом можно считать использование метода ин-
тегральных соотношений при задании температурного профиля
в виде параболы четвертой степени, которая позволила получить
вполне удовлетворительное совпадение с точным решением.
51
13. НЕАДИАБАТИЧЕСКИЙ СМАЗОЧНЫЙ СЛОЙ
” Учтем влияние тепловых потоков, идущих в колодки и гре-
бень. В общем случае решение этой задачи представляет серьезные
трудности, обусловленные не только сложностью тепловых явле-
ний в самой пленке, но и необходимостью рассматривать пленку
во взаимодействии с окружающими ее деталями. Поскольку пос-
ледние осуществляют перёдачу теплоты от пленки к маслу, теку-
щему в корпусе подшипника, и другим его деталям, то ясно, что
в полном виде задача сводится к исследованию тепловых процессов
в подшипнике в целом. В такой постановке задача крайне сложна
и практически неразрешима. Возможное упрощение состоит в том,
чтобы ограничиться изучением влияния деталей, непосредственно
примыкающих к смазочнб^у слою, а учет процессов, происходя-
щих в остальных частях подшипника, произвести с помощью
соответствующим образом заданных коэффициентов теплоотдачи.
Хотя принятая схематизация существенно упрощает вопрос,
задача все еще остается очень трудной, поскольку получение
окончательных результатов требует совместного решения уравне-
ний для температуры в слое, колодках и гребне. В настоящее
время известны попытки при некоторых частных предположениях
о температуре пленки со стороны диска выполнить совместное
рассмотрение слоя и колодки. Однако решение такой задачи тре-
бует для своей реализации длительных и трудоемких расчетов.
Учет влияния диска еще более усложнил бы задачу. Поэтому
представляется целесообразным выяснить возможность решения
задачи в такой постановке, когда пленка рассматривается само-
стоятельно, а учет влияния деталей, ограничивающих слой, произ-
водится путем соответствующего подбора граничных условий,
которые должны быть сформулированы так, чтобы с той или иной
степенью точности отразить основные особенности протекания
тепловых процессов в колодках и гребне.
По существу, указанный прием лежит в основе большинства
работ по температурной задаче теории смазки. Если, однако, его
можно считать в достаточной степени обоснованным примени-
тельно к классической постановке, когда температура предпола-
гается постоянной по толщине, а теплоотдача от слоя'не учиты-
вается, то при решении температурной задачи с учетом неравно-
мерности температурного поля вопрос гораздо менее я.сен. Не-
смотря на то, что граничные условия во многом определяют ха-
рактер температур в пленке, в целом ряде случаев они назна-
чаются весьма произвольно," без должного анализа физической
картины тепловых явлений в подшипнике.
Вопросы, связанные с выбором температурных граничных
условии, могут иметь значение не только'с точки зрения тепловой
напряженности слоя, но еще и потому, что, в определенной ситу-
ации, они непосредственно сказываются на гидродинамике и несу-
щей способности подшипника. Имеется в виду образование в слое
52
притягивающих сил, которые являются результатом неравномер-
ного прогревания пленки и которые не возникают при ином харак-
тере температурного поля.
Тепловые явления в пленке столь существенно влияют на ее
гидродинамику не всегда. Более того, обычно основную роль
играет гидродинамика в «чистом» виДе, а температура важна
в среднем и лишь постольку, поскольку ею определяется средняя
вязкость смазки (плюс эксплуатационные качества масла). Однако
из сказанного ясно, что граничные условия по температуре не
могут* быть назначены произвольно и их следует определять на
основе специального анализа процессов распространения тепла
в упорном гребне и ко-
лодках.
Влияние движения греб-
ня на температурное поле
слоя. Гребень движется по
отношению к колодкам и
L	L+OS
межколодочным каналам.
Поэтому через одну и ту	Рис. 2.2
же элементарную пло-
щадку на поверхности
гребня, в зависимости от ее положения относительно слоя,
идут тепловые потоки разной интенсивности, причем, как пра-
вило, вектор теплового потока изменяется не только по значению,
но и по знаку. Если, например, тыльная и боковая поверхности
гребняг теплоизолированы, то суммарное количество теплоты,
поступившей в гребень через его рабочую поверхность, должно
равняться нулю. Поэтому любой элемент гребня, воспринимая
теплоту, когда он проходит мимо наиболее нагретых частей пленки,
отдает ее там, где слой в среднем имеет более низкую температуру.
Естественно предположить, что при больших скоростях, когда
нагревание и охлаждение быстро сменяют друг друга, темпера-
тура каждой отдельно взятой точки гребня не успевает заметно
измениться и, следдрательно, температуру на поверхности диска
можно будет приближенно считать постоянной и не меняющейся
в направлении вращения:
В целях оценки справедливости такого допущения рассмотрим
процесс распространения теплоты более детально. Схематизируем
гребень поступательно движущейся упорной пластиной (рис. 2.2)
и введем жестоко связанную с ней систему координат х*, ц*. По-*
скольку температура в гребне Т может меняться во времени, то для
определения Т следует воспользоваться нестационарным уравне-
нием (уравнение теплопроводности), которое применительно к ра^
сматриваемой задаче можно взять в виде
dTIdt. = a2s (д~Т/дх* + д2Т/дуЦ
*(2.22)
где al — коэффициент температуропроводности материала гребня.
53
Запишем уравнение (2.22) в неподвижной системе координат
х, у. Так как х, у и t (t —время) связаны с хж, у* и зависимо-
стями Сем. рис. 2.2) х — х*+ Uot*, у — у^, t = L, то дТ/дС =
= dT/dt + UodT!dx\ д2Т/дх>. = д2Т!дх\ д*Т/д£ = д2Т/ду2.
Подставляя это в (2.22), получим уравнение
dT/dl + U0dT/dx = al(dTldx2 +дТ/ду1). . <2.23)
При установившемся режиме работы подшипника задачу в не-
подвижной системе координат носит стационарный характер.
Поэтому в уравнении (2.23) dT/dt = 0. Значение al/(Uos) мало.,
Например, для UQ — 50 м/с, s = 6-10~2 м в случае стального
гребня (al — 1,4-10’5 м2/с) имеем al/(Uos) «=* 4,7-10’®	1. Следо-
вательно, член аЦРТ/дэ? — (allsi')d‘iTldx'1 мал по сравнению
с иодТ/дх = (UQ/s) дТ/дх (здесь всюду х = x/s), и уравнение (2.23)
можно заменить более простым
дТ/дх ^(al/U0)d2T/dy2.	(2.24)
Температура гребня является, очевидно, периодической функ-
цией угловой координаты, что, в терминах рассматриваемой
плоской задачи, означает периодичность по х. Если все подушки
находятся в одинаковых условиях, то период равен s. С таким
же периодом изменяется и плотность теплового потока на поверх-
ности упорной пластины. В целях получения оценочного решения
задачи примем, что поток тепла на рабочей стороне пластины за-
дан и подчиняется синусоидальному закону, а' на второй границе
теплоотдача в окружающую среду отсутствует. Граничные усло-
вия, соответствующие такой схеме, будут:
дТ/ду = (T*/Hs) sin (2nx/s) при у = 0; дТ/ду = 0 при у = Hs,
(2-25)
где Hs —толщина пластины; Т* —некоторая постоянная, име-
ющая размерность температуры.
Решение уравнения (2.24) с граничнылЛ условиями (2.25)
будем искать в виде мнимой части функции й (х, у):
T = T0+.Im&; $ = f(y/Hs)exp(2nix/s),	(2.26)
Здесь То — некоторая постоянная, определяющая собой среднее
значение температуры диска:
S
To = -H7’dx-	(2-27)
s о
’Ч
Обозначая у/Н; через £ и подставляя (2.26) в (2.24), получим
уравнение для определения функции / (£) в виде:
TO-(2i7K)/© = 0:’ p2=n-1(alH;1/t/0)(s/^s).	(2.28)
54
Характеристическое уравнение для уравнения (2.28) имеет
корни k = ±(1 4- 0 р#. Следовательно, решение (2.28) можно
записать в следующем виде:
f С) = Cj sh 1(1 + 0 g/Р* ] + С, ch [(1 + 0 С/р* ].	(2.29)
Граничные условия (2.25) будут удовлетворены, если, с учетом
(2.26), принять f (С = 0) = Т*, f' (С = 1) = 0. В таком случае
из (2.29) для Ci и С, получим:
Ci = Т*РД1 + 0; Сг = —С, cth [(1 + 0/pJ,
а для f (С) при £ = О, согласно (2.29), будем иметь f (0) =
— —+ 0] cth [(1 + 0/Р*].' Подставляя найденное значе-
ние ~в формулу (2.26), подсчитаем температуру на границе у = 0:
Т = То — Im ПРжТ*/(1 + 01 cth [(1 + 0/0J exp (2nix/s)\.
Отсюда
Т —	= — Р*	sh» Р;1 + cos» fi;1 .
0 V2 ch 20;1 + cos 20;1 sh» Р;1 + sin» Р;1 Л
X [sin 2P;1 cos n(2x/s — 0,25) — sh2P;1sin л (2x/s — 0,25)1. (2.30)
Оценим порядок величины p# [см. {2.28)1. Примем s = 6x
X 10‘2м, Hs = 3-10~2м, Uo — 50 м/с. Тогда при = 1,4-10‘5м2/с
(для стали) получим р* = 2,44-10"3. При изменении скорости
от 20 до 80 м/с значение р* будет лежать в пределах от 3,8 -10'3
до 1,5-10-3. Таким образом, Р;1	1, в связи с чем в формуле
(2.30) можно пренебречь тригонометрическими функциями по
сравнению с гиперболическими и принять sh ch, так что для
величины, определяющей ’ максимальное изменение температуры
на границе упорного гребня по отношению к ее среднему значе-
нию То, будем иметь
6 = max [а(Т — То)/То ] ~ Лр^/То/2.	(2.31)
Оценим величины Т*и То. Заметим сначала, что температура То
имеет порядок температуры масла в слое. Плотность теплового
потока Q, идущего из слоязз гребень, пропорциональна произведе-
нию'из перепада температуры по толщине слоя ДТ на-теплопро-
водность масла X и обратно пропорциональна толщине пленки h..
Полагая, что ДТ ~ То, получим
Q ~ KToih.	(2.32)
С другой стороны, согласно (2.25), Q можно представить в виде
(2.33)
где —теплопроводность гребня.
Сопоставление (2.32) и (2.33) дает
Т*/Т0~(Х/М(ВД.	(2-34)
55
Если принять 1 = 1,25-10"* кВт/(м°С), Xs = 4,2-10"2 кВт/(мХ
X °C),	= 3-10-2м, h = 10 мкм, получим Т*1Тп = 9. Тогда,
согласно (2.31), 6 имеет порядок Юр*, что, с учетом приведенных
выше оценок для р#, составляет не более нескольких процентов.
Отсюда следует, что температура слоя на границе с упорным
гребнем близка к постоянной. Этот результат, как показывает
специальный анализ, сохраняет силу и для случая очень тонких
пленок. Таким образом, граничное условие для температуры
на стороне диска можно принимать при у = 0 в виде
Т =	= const,	(2.35)
где Ts —температура поверхности упорного диска (численное
значение Ts определяется по результатам теплового расчета под-
и. т	шипника в целом).
тк2>тк!	Заметим, что постоянство
Рис. 2.3
температуры 7\ не только не
исключает возможности теп-
лообмена между слоем и
упорным гребнем, а наобо-
рот, с неизбежностью при-
водит к выводу о том, что
они непрерывно обменива-
ются теплом друг с другом.
Действительно, проходя че-
рез зазор, масло под действием сил трения нагревается. По- -
скольку Т3 = const, отсюда следует, что температура смазки
должна меняться по толщине пленки, и потому температурные
градиенты по нормали к упорной' поверхности не равны нулю.
Последнее означает существование тепловых потоков, которые,
в общем случае, идут из слоя в гребень и обратно (рис. 2.3). Таким
образом, условие Ts — const в приближенной форме выражает
собой достаточно сложные тепловые взаимодействия между сма-
зочной пленкой и упорной поверхностью. Основная черта этого
взаимодействия состоит в том, что гребень выполняет функции
теплового аккумулятора, который отдает накопленную в нем те-
плоту относительно холодным объемам масла и пополняет свои
запасы теплоты при соприкосновении с теми частями пленки, где
она нагрета больше.
Слой постоянной толщины. Рассмотрим слой постоянной тол-
щины с учетом его теплообмена с окружающими деталями. Урав-
нение распространения тепла возьмем в виде, аналогичном (2.6),
координату у, по соображениям удобства дальнейших вычисле-
ний, будем отсчитывать от подвижной границы (см. рис. 2.2).
Тогда исходное уравнение запишется в виде
(1 - г)) дТ/д^ = [U/(pct/o/io)l д2Т/д^ + pU0L/(pchl), (2.36)
где я = y/hn-, | = x/L.
56
Сформулируем граничные,условия. На стороне диска они опре-
деляются соотношением (2.35). На стороне колодки в общем слу-
чае следует ставить условие непрерывности температуры и тепло-
вых потоков на границе слой — колодка. Это означает, что урав-
нение (2.36) нужно решать совместно с уравнением распростране-
ния тепла в колодке ДТ = О (Д — оператор Лапласа). Граничные
условия к последнему уравнению определяются путем задания
коэффициентов теплоотдачи а* на наружных поверхностях ко-
лодки и температуры Т* омывающего масла. Такая постановка
задачи, будучи достаточно строгой, вместе с тем представляет
значительные трудности при ее числовой реализации. Кроме того,
коэффициенты теплоотдачи «к в настоящее время могут быть
определены лишь грубо приближенно, что в значительной мере
снижает практическое значение точных решений. Далее по-
этому условия на границах с колодкой формулируются в прибли-
женном виде.
Предположим, что температура рабочей поверхности колодки
Тк известна и известен коэффициент теплоотдачи с поверхности
колодки (Хк, а также температура Т*. Тогда можно будет подсчи-
тать соответствующее принятым условиям количество теплоты,
которое проходит через колодку. Относя это последнее к произ-
ведению из температурного перепада (Гк — Т“) и площади рабочей
поверхности колодки, получим некоторое осредненное значение
коэффициента теплопередачи от масляного слоя через колодку ак.
Тогда граничное условие при у ~ h0 запишем в виде
ХдТ/ду=-ак(Т~Т*)'	(2.37)
Решение уравнения (2.36) с граничными условиями (2.35)
и (2.37) может быть выражено через Бесселевы функции. Однако
оно весьма громоздко и, кроме того, получение окончательных
результатов требует большой вычислительной работы, в связи
с необходимость») определять интегралы, не выражающиеся через
элементарные функции. Поэтому, основываясь на результатах,
полученных при рассмотрении теплоизолированного смазочного
слоя, будем искать приближенное решение, применяя для этой
цели метод интегральных соотношений при аппроксимации тем-
пературы в виде полинома от у. В качестве аппроксимирующего
полинома используем параболу второго порядка. Сравнение с ре-
шениями, получаемыми для полинома 4-й степени, показывает,
что параболическая аппроксимация обладает удовлетворительной
точностью. С учетом граничных условий (2.35) и (2.37) для Т
получим
Т = Т? + пк(7’к-П)(1 -П) + (7’5-7’к-Лк7’к+'
+ пкП)(1 - т])2,	(2.38)
где л = у11гй\ пк = aKh0/X. ;
57
Здесь черев Тк обозначена неизвестная функция х, которая,
как ясно из (2.38), представляет собой температуру слоя на гра-
нице с колодкой (дри у = Ло).
Для плотности теплового потока имеем
X дТ/ду = (1/йо) 1-«к (Тк - Т?)
—2 (Ts - Тк - пкТк 4- пкП) (1 - Л)]-	(2.39)
Интегрируя обе части уравнения (2.36) по у от 0 до Ло и поль-
зуясь для Т выражением (2.38), с учетом того обстоятельства, что
Ts = const и, следовательно, dTJdx = 0, получим следующее
уравнение для определения Тк:
+	^т+Ь+-гтт;;(7'-+"Л)- <240>
где
qL = [8Х£/(р^)] (3 + 3nK)/(3 + пк) Л = x/L.
.Интегрирование (2.40) дает
.Тк = Т|х/(14-Пк)+Т»/(1+Пк) + ПкТ?/(1 +nK) + Dexp(—qL$. (2.41)
Здесь обозначено
Тц = 0,5|Д/о/Х.	*	(2.42)
Формула (2.41) определяет Тк как функцию х = £L. Она со-
держит две неизвестные постоянные величины Ts и D. Условия
для их определения можно получить следующим образом. Во-
первых, должен соблюдаться тепловой баланс на упорном диске,
т. е. количество теплоты, поступающее в гребень от смазочного
слоя, должно равняться количеству теплоты, которое гребень
отдает в окружающую его среду. Второе условие состоит в задании
тем или иным способом температуры масла Тт1 на входе в слой.
Рассмотрим первое из названных условий. ДАя этого подсчи-
таем сначала количество теплоты QL, которое масляный клин
отдает гребню:
l	,
Ql = XzKB f 1 dx,
* J ду |^=о	’
о
где гк — число колодок.
Пользуясь уравнением (2.39), находим
«‘•--ЬНЖ7’»-
—гг^(т--«) + Р + О-ггЬ	<2«)
где
=	— exp (—qL)].	(2.44)
58
Количество теплоты, отдаваемое гребнем омывающему его
маслу, определяется выражением
Qs = as(Ts-T-)Fs.	(2.45)
Здесь а4 — коэффициент теплоотдачи от гребня; Fs — площадь
теплоотдающей поверхности гребня; Ts( — температура масла,
омывающего гребень.
В общем случае следует принимать во внимание дополнитель-
ный подогрев смазочного слоя за счет теплоты, поступающей через
вал со стороны проточной части турбины. Если же потоки теплоты
из гребня в вал не учитывать, то должно выполняться условие
Ql = Qs-
Отсюда с учетом уравнений (2.43) и (2.45) получаем
° - - (Л - т?>'' <2-,4”
где через ns обозначена величина, аналогичная пк по формуле
из (2.38):
ns = аХД; а; = (а,/ф) (г, - 71)/(Т, - Т/); ф = zKBLlFs. (2.47)
Рассмотрим второе условие (по температуре масла на входе
Тт1). Определение температуры Тт1 представляет собой один
из наиболее неясных вопросов теории упорных подшипников
скольжения. В классической теории смазки предполагается, что
температура масла во входном сечении слоя известна и равна
температуре масла в межколодочном канале, причем последняя
принимается равной температуре холодного масла, подаваемого
в подшипник. При больших скоростях и нагрузках такое допу-
щение может привести к существенным ошибкам.
Не рассматривая явления, определяющие температуру Tmi
в общем виде, ограничимся предварительной оценкой влияния
теплообмена с гребнем и колодками на температурное поле слоя.
• Вычисление калориметрической температуры на входе в слой
станет возможным, если будет известно количество теплоты QM,
которое вносится в слой вместе с маслом, поступающим в клйн.
Поток (?! на входе в слой можно считать состоящим из двух частей:
во-первых, это масло, -которое, имея среднюю калориметрическую
температуру Tmi, вышло из-под. предыдущей колодки и перено-
сится диском через межколодочный канал на вход в клин (соот-
ветствующий расход равен G2); во-вторых, поскольку расход че-
рез входное сечение G2 > G2, то из межколодочндго канала в коли-
честве Gx — G2 подсасывается масло, компенсирующее боковые
утечки из несущего слоя. Вместе с этим маслом в слой вносится
количество теплоты Q' — pc (Gx — G2)7\, где 7, — среднекалори-
метрическая температура подсасываемого масла. С учетом ска-
занного величину Qi можно представить в виде
Qi = а-греСъТтг 4- рс (О2 — 62) Т(,
59
где а2 — некоторый коэффициент, учитывающий изменение тем-
пературы смазки, вышедшей из-под предыдущей колодки, в ре-
зультате теплообмена в межколодочном канале.
Отсюда для Тт1 будем иметь
Tmi — Qi/(p£Gj) — Q-iTmiQilGy 4~ Ti (Gj — G2)/Gj,
или, с учетом (1.61) и (1.63),
Tmi — о» (1	0 Т'тг ~1~ iTс ,
г
Вводя обозначения Г = 1 — а2 (1 — i)', Т'{ = i7\/[l — а2 (1 — i) ],
последнюю формулу можно переписать в виде
Тт1 = (1-ОТтг + ГП .	(2.48)
М. Г. Ханович предположил (см. [85]), что масло, отработав-
шее под колодкой и вышедшее в межколодочный канал с темпера-
турой Тт2, в канале не охлаждается и температура масла, подса-
сываемого из межколодочного канала в дополнение к расходу 62,
равна температуре свежего масда в центральной части канала 7,.
В этих предположениях а2 = 1, Г = i, Т’{ = Т1 = Т,, и формула
(2.48) дает
^ = (1-OT^ + iTe	(2.49)
Условия, близкие по своей идее к условию (2.49), использова-
лись также в работах ряда зарубежных авторов.
Заметим, что из формулы (2.48) получается также условие для
входной температуры, соответствующее допущениям классической
теории о полной очистке отработавшего масла в межколодочном
канале. В этом случае достаточно положить .1’ =1, Т’( = Tt.
Тогда из (2.48) получим Тт1 = Т,.
Используя условие (2.48) и принимая во внимание (2.41)
и (2.46), можно, пол учить формулы для расчета температур в слое.
Не останавливаясь на подробностях, приведем окончательные
результаты.
Калориметрические температуры на входе Тт1, на выходе Ттг
и перепад Тт2 — Тт1 определяются выражениями:
ТтХ = Т\ + [2рВД(рс/1о)] 1(1 - »')/»'] (1 - <₽);	(2.50)
Тт2 = Т'( + [2pt/0V(pc/$] (1 Л') (1 - <р);.	(2.51)
rm2-7’ml = [2fxt/oL/(pcfto)](l-<Р),	(2.52)
а для температуры Т3 служат формулы:
Ts = Ti + РТЦ + (₽'-!) ДТ<;	(2.53)
Т, = П4-рти + р'дл.	(2.53а)
60
Здесь
'	m лк + "s + «K^s /Д I ft' &TI 1 •
2 + лк уР~*"Р Тц /’
₽ = (t - 1) Г + ^+Л-±.М» Я’1;
> L J + %	* т лк J
о/  Г 3 + 2%	। 3 —[- /гк Лк + + nKns /1 1 •
Р ~ [3(1+%)	6	(2 + %) (1 + %) Ч ’
*	t-qUi' + qd(expqL — 1), ДТ< = 7< —Т?.	(2.54)
Связь между температурами Тт, Ть и Ts дается зависимостью
Тт = 0,5Тк + ЛкТи/б - nKT?/6 + 0.5Г,.	(2.55)
Рассмотрим отдельные частные случаи. Сначала выясним, как
следует изменить выражения для Тт1, Тт2 и Тт2 — Тт1, если
температура на входе в слой определяется согласно предположе-
ниям классической теории о том, что в клин поступает только све-
жее масло с температурой Т,. В этом случае следует положить
Т'( = Тi, i' = 1, тогда получим:
Тт1 = Тг, Tm2 = 7’f-h[2Ht/oV(pcftg)(l — Ф); [ *
— Тт1 = [2и*/о£/(р^)3 (1 — Ф). I
Значение ф, если принять, что температура Т“ масла, омыва-
ющего колодки, равна температуре свежего масла Т,, определится
в силу (2.54) выражением
Ф = Р0К + "s + Ms)/(2 + «к).	(2.56а)
Для температуры упорной поверхности имеем 1см. (2.53) ]
Т^Т.+рТ^.	(2.566)
В обеих последних формулах
о Н П (3 + 2nK).| »k + ^s+wk^s Л-1
р = и - Ч +	+------2+Тк---ч ’	(2.56в)
где t = qL -J- (?z./(exp qL — 1).
В том случае, когда теплоотдача от колодок и гребня к омыва-
ющему маслу отсутствует, т. е. когда otK = 0 и as = 0, из (2.38)
и (2.47) получим пк — 0 и ns’= 0. Поэтому <р = 0, и формулы
(2.56) принимают вид:
Тт! = Ti, Tm2 = Ti + 2VU0L/(pc^); 
T m2 T mi = 2pi/o4/(pc7lo),
(Z.ul)
TS = TZ + PTU; p = 0,5(/^l);
Г = <7г + <7д/(ехр!74-1).
61
Другой частный случай даёт гипотеза М. Г. Хановича [см.
(2.49) ]. Полагая i' = i, Т'( = Т, и, как и в «классическом» ва-
рианте, принимая = Т{, найдем:
Tmi = Т( + [2рВД(рсйо)] [(1 - 0/Л (1 - ф);
Ттг = Т< + [2pt/0i/(p^)] (1/0 (1 - <р>;
Тт2-Тм1 = [2р1/0£/(рсЛ?)](1 — ф);	.
где .	• z
Р = (I - 1) Г2 о-1п2пв) + Пк+Д+ПкД». /Г;
L 3 + лк	2. + пк J
< = <7l/< + <7i/(exp <7д - 1).
Если а, = 0 и fij = 0, то формулы (2.58) принимают следу-
ющий вид:
Tmi — Tt-]- [ZidJoL/tpctiMil - i)H-
Tm2 = Tt + [ZvUoL/tpch^] (1/0;
T, = T,4-pTg,
где
P = 0,5 (t — 1); t = qji + <7L/(exp qL — 1).
Общая характеристика тепловых явлений в неадиабатической
пленке. Выясним физический смысл сомножителя 2pt/oL/(pc/io),
который входит во все формулы (2.50), (2.52), (2.56), (2.57) и (2.59).
Легко видеть, что он представляет собой значение нагрева смазки
в пленке в предположении, что все количество теплоты, выделя-
ющееся в слое в результате действия сил вязкого трения, уносится
смазкой, движущейся в зазоре. Действительно, обозначив через N-
мощность сил трения в пленке, а через G — расход смазки через
слой, получим: .
А/ = pf/JLB/V G = */ДВ/2,	(2.60)
так что
2pf/0L/(pc/$ = N/(pcG) •	(2.61)
есть изменение средней температуры масла при его течении вдоль
зазора.
Сказанное делает также понятным и физический смысл вели-
чины ф, которая представляет собой, очевидно, долю теплоты,
отдаваемой масляным слоям через колодки и гребень в окружа-
ющую среду. К этому выводу можно придти и другим путем, не-
62
посредственно подсчитав количество теплоты <2Ф, которое посту-
пает из слоя в окружающие его детали.
В формулы (2.50) и (2.51) входят также сомножители, завися-
щие от коэффициента i'. Для выяснения роли этого коэффициента
проведем элементарное рассмотрение тепловых явлений в пленке.
В соответствии с -полученными выше результатами, изменение
калориметрической температуры по длине слоя с учетом тепло-
отдачи в окружающие детали можно представить в виде
Тт2 - Tml = [N/(pcG) ](1 - ф).	(2.62)
Присоединяя к уравнению (2.62) условие (2.48), получаем
систему, которая дает возможность определить обе температуры
Tmi й Тт2. В результате имеем:
Тт1 = Т< + [W(pcG)] [(1 т (1 - ф); 1
Tm2 = n + [A//(pcG)](l/i')(l -ф).	j
Принимая во внимание (2.61), убеждаемся, что формулы (2.63)
полностью совпадают с (2.50) и (2.51). Заметим, что таким элемен-
тарным путем можно получить, считая значение ф известным,
формулы лишь для средних температур в слое. Для определения
температуры гребня и конкретного выражения для ф требуется
полное решение задачи, учитывающее особенности распределения
температуры по толщине пленки.
Соображения, которые привели к формулам (2.’63), показы-
вают, что величины, зависящие от i", отражают влияние темпера-
турных условий на входе в слой и учитывают повышение темпе-
ратуры пленки за счет заноса тепла, выделившегося под преды-
дущей колодкой.
Если, например, Г = 0, то при отсутствии теплоотдачи в ко-
лодки и гребень формулы (2.63) дают Тт1 -* оо, Тт2 -* оо. Физи-
ческий смысл этого результата очевиден: при Г = 0, согласно
(2.48), Тпп = Ттг, т. е. на вход в слой поступает неохлажденное
масло, что, естественно, приводит к неограниченному росту тем-
пературы.
Если воспользоваться условием (2.49), которое предполагает,
в частности, что i' = i (i'—коэффициент боковых утечек из
несущего слоя-), .то окажется, что (при as = 0, ак = 0) основную
роль в подготовке холодного масла на входе в слой играют, в ко-
нечном итоге, боковые утечки, которые приводят к необходимости
подсоса свежего масла из межколодочного канала.
Проанализируем вопрос о соотношении между конвективным
переносом тепла движущейся смазкой и теплоотдачей в окружа-
ющие детали в зависимости от толщины пленки Ло. Рассмотрим
тот случай, когда температура в слое определяется формулами
(2.58). Для очень большие толщин слоя, полагая h0 ->• оо, будем
иметь [см-, выражения. (2.38), (2.40), (2.47) и (2.54)]:
nK->oo, п, ->-оо, qL —»24XL/(pct/o/io) -> 0, /->1.
63
Поэтому
,fi _ ”к + ”s + »k”s О -4- 1)____________► П. i~ 1
l2 + «k .Р ( U 4 + (ns+l)/	ns
<
При малых толщинах пленки (h0 -*• 0) получим:
пк—> 0, ns—> 0, qL-^8\lJ^cU^ —> оо,
I -> 8XL/(pcZ/o'/io) —> оо;
(«К + ns) t = (ак + а?) VA-* оо.
й для ф будем иметь
пк 4" Д» 4" пк^з о пк 4" Д»_____________t___________
2 4~	2	2 4; 0,5 (як -|~ Л,) t
nK + «s 2t
2 (пк 4* й») t
->0.
(2.64)
(2.65)
(2.66)
Таким образом, при больших толщинах (1 —ф) -* 1, и вся
теплота, выделяющаяся в слое, уносится смазкой, движущейся
в зазоре, в связи с чем теплоотдачей в окружающие детали можно
' пренебречь. Наоборот, при очень малых толщинах пленки тепло-
передача в колодки и гребень становится основным видом отвода
теплоты (ф -> 1), а конвективный перенос резко уменьшается.
С физической точки зрения увеличение ф с уменьшением Ло вполне
естественно, так как в очень тонких пленках тепловое сопротивле-
ние мало, тепловые потоки в стенки велики, а количество теплоты,
уносимое смазкой, ввиду малости проходного сечения зазора,
незначительно.
В связи с формулами (2.65) следует иметь в виду, что, согласно
(2.34), при малых h0 возможны отклонения от условия Ts = const.
Однако можно показать, что при уменьшении h0 уменьшается и пе-
репад температур по толщине пленки, в связи с чем предположение
ДТ ~ То оказывается слишком грубым. Оценки приводят к вы-
воду, что для практически реализуемых значений коэффициентов
теплоотдачи от колодок и гребня условие Ts = const можно счи-
тать выполненным и при Ло -> 0. Последнее делает допустимым
использование полученных формул и в случае , очень тонких
пленок.
Приведем еще формулы, определяющие характерные темпера-
туры слоя для рассмотренных предельных случаев Ло -► оо и
Для больших толщин, на основании (2.64) и (2.58), имеем:
Тп1 = Tt + [2idJ0L/(pchl)] (1 - t)/t;
7’m2 = 7’1 + [2p(/oL/(pC/ig)](l/0,
Tm	Т’пц = 2pt/gZ>/(pC/l^).
(2.67)
64
Переходя к случаю малых толщин, найдем сначала асимптоти*
ческое выражение для величины (1 — <р). Представляя (1 — <р)
в виде [см. (2.58)]
I _ _ 2 (2 4~ Як) (3 4~ 2пк)/(3 -|- Як) 4~ як 4~ (1 4~як)
42	2 (2 + я„) (3 + 2пк)/(3 + я„) + [nK + Hs (1 +«„)] t
и используя (2.66), находим, что при Ло -»• О
 _ _ .	4______ • ftg pct/ti
(«к 4- ns) t 2 (nK 4- я4) XL
Подставляя это в (2.58), получим:
Тт1 СО Ti + pi^o(l — l)/l^o(aK + as)];
Tmi CO Ti -]- pt/o/lfy) (aK “Ь as)];
T m2 — 7’miCopt70f7[/lo(aK-|-as)].
(2.68)
Сравнение формул (2.67) и (2.68) показывает, лто если в первом
случае характер калориметрических температур слоя тот же, что
и при полном отсутствии теплоотдачи от пленки, то в случае малых
толщин влияние основных параметров, характеризующих работу
подшипника, на температурное поле изменяется. Во-первых,
важную роль начинают играть коэффициенты передачи ак и а‘.
Во-вторых, изменяется и качественный характер зависимости
температуры от таких величин, как скорость скольжения Uo
и толщина пленки h0.
Происходит это вследствие того, что другим становится меха- '
низм передачи теплоты в пленке. В случае больших толщин основ-
ную роль играет конвективный перенос, с помощью которого
отводится большая часть теплоты, выделившейся в слое. При ма-
лых же толщинах теплота из пленки передается посредством тепло-
проводности в граничащие с .пленкой детали.
Дополнительные сведения об особенностях протекания тепло-
вых явлений в слое при наличии теплоотдачи в стенки дает анализ
картины распределения температуры по длине зазора. Если
передачей теплоты за счет теплопроводности пренебречь, то в слу-
чае пленки постоянной толщины средняя температура будет изме-
няться по линейному закону [см. (2.12) ]:
Tm = Tml + (Tm2-Tmi)i	(2.69)
При учете переменности температуры по толщине слоя в соот-
ветствии с (2.55), (2.41), (2.46) и (2.53а) будем иметь
- т'(Л“П) +бДт£) I	(1 - Ф) ехр (~^)17-„.
(2.70>
3 Подольский М. Е.	65
Продифференцировав (2.70) по В, находим:
dTM = {(3 Н- лк)/[6 (1 +ик)]}1аМ/Д1 — (p)Tuexp(—qL$;
d2Tm/dl2 = -{(3 + nK)/[6 (1 + nJ)} (1 ~ ф) T’u exp (-qLl).
(2-71)
Поскольку 1 — Ф > 0, то dTm/d% > 0, a d2Tmld^2 < 0. Ана-
логичные результаты получаются и для температуры слоя на гра-
нице с колодкой Т*. В этом случае, воспользовавшись формулой
(2.41), найдем:
(1 + «к) dTJdt, = wLqL(\ - ф) exp (-qLfy, |
(1+пк)^7’к/^2 = -^Н1-ф)7’иехр(-<?£|); } Л2'7^
и снова dTK/d% > 0, dtTJd^ < 0.
Полученные результаты показывают, что, в соответствии с фи-
зическим смыслом задачи и опытными данными, температура на
Это становится ясным, если
поверхности колодки и средняя
температура в самом слое растут
в направлении движения, однако
характер изменения температуры
по длине пленки отличается от
того, что дают методы расчета,
не учитывающие обмена теплотой
между слоем и окружающими
деталями. При этом учет обмена
теплотой между окружающими
деталями и слоем масла приво-
дит к качественному изменению
характера зависимости темпера-
туры от продольной координаты,
рассмотреть «классический» случай
отсутствия теплоотдачи от колодок и гребня в умывающее их
масло. Тогда а,. = а„ = 0 и, как было показано выше, ф = 0.
При ф = 0 получаем те же значения калориметрических темпера-
тур, что и в классической теории. Как ясно из (2.71) и (2.72), при
этом температура все равно остается нелинейной функцией
кривая температур оказывается выпуклой и, следовательно, более
полной, чем профиль по формуле (2.69).
Отмеченные свойства кривых температур иллюстрируются гра-
фиками на рис. 2.4, где для ряда значений qL представлены функ-
ции
(Tm - Tmi)/(Tmi - Тт1) = [1 - exp (-<7LB)]/ll - exp (-t/J],
(2.73)
легко получаемые с помощью (2.70).
С физической точки зрения дело здесь в том, что упорный
гребень, воспринимая теплоту от нагретых частей пленки, пере-
дает ее более холодным частям, и, таким образом, на начальном
участке слоя, где температура еще близка к входной, нагрев
66
происходит более интенсивно, а по мере приближения к выходной
кромке кривая, сглаживается. Формально математически послед-
ний результат следует из отрицательности, например, d*Tm/d&,
что означает уменьшение dTnJd^ с ростом 5- Таким образом, при-
ходим к выводу, что тепловое взаимодействие между слоем и окру-
жающими его деталями происходит даже при отсутствии тепло-
отдачи от колодок и гребня и приводит к деформации температур-
ного профиля как по длине, так и по толщине пленки. Отсюда
следует, что малость температурных градиентов по толщине ко-
лодки, которая использовалась в работе [24 ] для обоснования до-
пущения о постоянстве температуры по толщине слоя, еще не
обеспечивает возможности пренебрегать явлениями передачи те-
плоты в пленке за счет теплопроводности. Более того, при малых
толщинах, когда, согласно ходу рассуждений из работы [241,
постоянство температур пр толщине пленки можно считать до-
стигнутым с высокой точностью, теплообмен между слоем и диском
становится особенно интенсивным (из рис. 2.4 видно, что при
относительно больших qL и, следовательно, малых Ло профиль
температур весьма заметно отличается от линейного).
Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство. Из
формулы (2.73) видно, что для всех 5 5о > 0 при h0 -*• 0 (qL -►
-*• оо) величина Тт имеет одно и то же значение Тт = Тт2. Таким
образом, если только i 0, то, как ясно из сопоставления первой
из формул (2.67) со второй из формул (2.67), при h0 -* 0 в точке
5 = 0 кривая температур претерпевает разрыв. С физической
точки зрения такой разрыв мало вероятен и в данном случае
является результатом произвольного задания температуры на
входе с помощью соотношения (2.48), в котором принимается
Г = i и Т\ = Т*. Более детальный анализ процессов, определя-
ющих температуру на входе, приводит к расчетным формулам,
обеспечивающим непрерывность температурных кривых при лю-
бых Ло во всем диапазоне значений 5, в том числе’и в точке 5 = 0.
В заключение сравним полученное решение с тем, которое
дает аппроксимация температурного профиля параболой четвер-
той степени. Соответствующие расчеты приводят для характер-
ных температур слоя к тем же выражениям (2.50)—(2._53), что
и раньше, но коэффициенты 0 и р' надо заменить на р и Р', опре-
деляемые по формулам:
R 17	Г2 (3 + 2лк) - . лк-|-ns + nKns xl"1.
Р = (?-«)[ з+“”е + —2+^—Ч •
о/__ Г 3 -|- I_____1 3 пк Пк +	4~ nK^s 1
Р ~ L 3(1+«к) ё 6	<2 + «к) (1+лк)-J ’
где
= __ 15 1 -|- лк/3 . I __ I____<7L
16 1 -J- ЗЛк/8’ i' exp —1 *
= Щ..
3*
67
Как видно из сопоставления с формулами (2.54), соответству-
ющая разница, определяемая близкой к единице величиной ё,
невелика и, следовательно, аппроксимация параболой второй сте-
пени обладает достаточной точностью. Что касается вида темпе-
ратурного профиля, то, как показывают расчеты, в широком
диапазоне практически интересных значений параметров он мало
отличается от параболического (см. также (71, 921), причем по
мере уменьшения толщины пленки, а следовательно, и числа Пекле
эта разница уменьшается. Характер температурного профиля ил-
люстрируемся табл. 2.1, где даны значения безразмерной темпе-
ратуры, подсчитанные при kL/tpcUJi2) = 0,1735 (Ре = 5,75),
AT'i = 0, пк — 0, £ = 1 для ns = 0 и ns = 0,2 (индекс в таблице
показывает степень аппроксимирующего полинома). -При увели-
чении толщины пленки Ло отличие температурного профиля от
параболического может стать заметным (см. также [75]), однако
на интегральных тепловых характеристиках слоя это сказывается
слабо.
ТАБЛИЦА 21
	ns =	= 0,2		= 0
X	т - т* | т М- 12	1 к*	r~ri 1 Тп ,2	ж
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,23 1,44 1,61 1,72 1,80 1,82	• 1,25 1,45 1,59 1,71 • 1,79 1,82	1,47 1,66 1,81 1,92 1,99 2,01	1,48 1,68 1,78 1,89 1,97 2,00
Слой клиновой формы. Получим приближенные зависимости
для расчета температур в слоях переменной толщины, а также
для колодок с конечным отношением ширины к длине (е = B/L <
< оо). Предварительно рассмотрим' условие теплового баланса
в слое. Обозначая через N мощность потерь на трение, через <р
долю теплоты, которую слой отдает окружающим его деталям,
можем написать
pcGxTmi + N (1 — <р) = pcGaTOT2 + pc (Gx — G )Тт0.	(2.74)
Здесь в левой части стоят величины, определяющие приток те-
плоты в слой (это теплота, вносимая смазкой,поступающей на вход
в слой —, первое слагаемое, и тепловыделения от трения за выче-
том теплоотдачи в стенки). Слагаемые в правой части представляют
собой количество теплоты, уносимое смазкой при вытекании ее
из выходного сечения слоя (первое слагаемое) и вместе с баковыми
68
утечками (второе слагаемое). Предположим приближенно, что
калориметрическая температура боковых утечек Тт0 есть среднее
арифметическое из температур на входе и выходе из слоя:
Tmo = O,5(Tml + 7,m2).	(2.75)
Тогда из (2.74) получим «правило среднего расхода» (см. также
[85, 91])
Тт - Тп1 = У (1 - <p)/(pcG0),	(2.76)
где
Go = 0,5 (Gx + G2)	(2.77)
есть средний расход через слой.
Если уравнение (2.76) решить совместно с уравнением (2.48),
определяющим температуру на входе в слой, то получим:
(2.78)
Формулы (2.76) и (2.78) вполне аналогичны формулам (2.62)
и (2.63), полученным для случая одномерного течения смазки,
но отличаются от них численными значениями входящих в эти
формулы величин. Поскольку, в свою очередь, (2.62) и (2.63)
тождественны формулам (2.50)—(2.52), то отсюда следует, что пос-
ледние можно будет использовать для расчета реальных смазоч-
ных слоев, если удастся построить корректирующие поправки,
устанавливающие соответствие между идеализированным и реаль-
ным случаем по мощности тепловыделений У и расходам смазки,
а также по величинам, определяющим коэффициент <р.
Для решения этой задачи рассмотрим уравнение (2.36), которое
запишем в виде:
pcUQ (1 - т0 дТ/дх = (k/h20) <?2TW +
где т) y/h0.
Интегрируя полученное уравнение по толщине пленки, по-
лучим	• ' ’
,, . f ,,	. дТ . К дТ |i .	'
peUoho J (1 - Л) -g-	= --w |Q + J^L.	(2 79)
0
Интегрируя (2.79) по площади колодки, будем иметь
в L 1	BL
pct/oM J р1-г1)4г^х^=-k J J
0 0 0	0 0
I pl/JLB
(2.80)
69
Замечая, что
о	о
левую часть (2.80), используя (2.60), запишем в виде
pc (p,5U0h.0B) (Тm2	Т т1) = pcG (У т2 Т mi).-	(2;81)
Отсюда следует, что рассматриваемый член уравнения пред-
ставляет собой разность между количествами теплоты, вносимой
и выносимой из слоя движущейся в нем смазкой. Соображения,
использованные при выводе (2.76), показывают, что в предположе-
нии (2.77) для колодок реальной геометрии соответствующая
разность тепловых потоков составляет
pcGo (Тm2	Ут1).	(2.82)
Сопоставляя (2.82) и (2.81), видим, что эквивалентность между
идеализированной пленкой постоянной толщины и реальным сма-
зочным слоем по конвективным потокам теплоты может быть до-
стигнута, если в левой части уравнения (2.81) заменить O,5/io
на goh2, где коэффициент g0 находится из условия
Uoh^Bgg = О#.
Принимая во внимание (2.77), получаем, что для g0 можно
пользоваться формулой (1^.60):
go = 0,5 [0,5 (k + 1)(1 -kp) + 2kkp/(k + 1)1.
Аналогичным образом, сравнивая второе слагаемое из правой
части (2.80) с мощностью потерь на трение [она находится по
(1.69)1, получаем, что входящую в это слагаемое величину h0
следует заменить на nft2, где, в силу (1.65) и (1.69), п можно под-
считать по формуле
п = [(In k)/(k - 1) + 0,5 (k - 1) Лрфро.]’1, (2.83)
где
Флг = 1 + (В//?)2/12.
Рассмотрим теперь член
в L
 (284)
о о
которому, в случае слоев переменной по х толщины, должен
соответствовать интеграл
в L
К ( [ . J, . -4^-11 dx dz,
J J hth(x) dr] |q ’
0 0
70
Здесь h (х) — безразмерная толщина слоя, отнесенная к ее
минимальному значению И.2.
Пользуясь обобщенной теоремой о среднем значении, пред-
ставим последний интеграл в виде
Л, «И] Io J Л(х) ‘	<2-85'
о
Принимая приближенно, что интеграл (2.84) равен
KBL дТ [1
Ло д’) |о’
и сравнивая ^полученный результат с (2.85), находим, что для
эквивалентности по тепловым потокам в стенки величина /i0 в пер-
вом слагаемом правой части (2.79) должна быть заменена на а/ц,
где
1 _ 1 Г dx
а ~ L J Я (х)
Подставляя сюда h (х) из (1.33а), имеем
о = (k — 1 )/ln k.	(2.86)
В итоге приближенное уравнение, описывающее процесс рас-
пространения тепла в слоях реальной геометрии, примет вид
1см. (2.79)1
'	2^Л	+	(2.87)
О
Входящие в это уравнение коэффициенты g0, п и а естественно
назвать коэффициентами эквивалентности по расходу, мощности,
потерь на трение и тепловому сопротивлению слоя.
Для решения уравнения (2.87) примем, подобно (2.38), что
Т = Тк + /гк(Тк-Т?)(1 -П) +
+ (Ts -Тк- пкТк + ЯкТ?) (1 - Т))2-	(2.88)
Входящая в (2.88) величина пЕ находится из условия равенства
друг, другу суммарных потоков теплоты, поступающей из слоя
в колодку и отводимого из колодки в омывающее ее масло. По-
скольку, с одной стороны, плотность теплового потока в колодку,
согласно (2.88), равна
- [X (o/i2) 1 dTfdr] |ч=1 = [KnJfrhJ] (Тк - п),	(2.89)
а,’с другой стороны, по аналогии с (2.37), она определяется выра-
жением ак (Тк — Т“), то для пк имеем
пк = aha/i2/X.	(2.90)
71
Пользуясь (2.88), уравнение (2.87) представим в виде
где
	41L	1 3 + Зпк
C,L ~~ pcUuh% og0 3 + nK ’
(2.92)
Интегрирование (2.91) приводит к формуле (2.41) с той, однако,
разницей, что Тц следует теперь подсчитывать по формуле
Гц = 0,5 (сг/п)	(2 .93)
Дальнейшее решение задачи, как и выше, проводится с исполь-
зованием условия теплового баланса на гребне и условия по тем-
пературе на входе (2.48). Представляя, подобно (2.89), плотность
теплового потока в гребень в виде
[%/(аМ] 0770*11п=о =
= U7(oh2)] [-2 (Ts - Т?) + (2 + пк) (Тк - П)],	(2.94)
определим суммарное количество теплоты, поступающее в упорный
диск, формулой
В L
Ql = zk J J 4^-1 dx dz =
0 О
= -4- zKBL ГTV - гт*~ (Ts - Т?) + d] • (2.94a)
aha h L'+nK ц 1+пк' 5	" 1 wl J v '
Приравнивая к потоку теплоты, идущего из гребня в омы-
вающее его’ масло [см. (2.45) 1, снова приходим к формуле (2.46)
для О, где на этот раз значения ns определяются по формуле
ns = ajofta/^,	(2.95)
где
as* = (й5/ф) (Ts - T9/(TS - T?); ф = z^LlF,. (2.95а)
Остальные преобразования полностью аналогичны предыду-
щим. Выполняя их, находим:
Tmi = Ti + [ pM)V(pc/l2)] [ 1 /Wo)] [(1 — i )/i ] (1 — ф);
Tm2 = Ti + Ipt/oL/CpcM)] I l/(ngo)] (l li )(1 — ф);
тm2	Tml = [qL/(pch®)] [ 1 /(ftgo)] (1 — ф)>
Л = п +	+ P' ДЛ; <P =	(p + P' -T^-) •
(2.96)
72
Значения £ и 0' определяются по формулам (2.54), однако
?£> Та, пк и ns должны быть найдены из формул (2.92), (2.93),
(2.90) и (2.95).
г.Формулы (2.96) отличаются от (2.50)—(2.53) множителями п
и go (последний вместо 1/2), наличия которых, однако, следовало
ожидать, поскольку с их помощью осуществляется пересчет рас-
хода и мощности сил трения на их реальные значения. При этом
существенно, что выражения (2.96) были получены не в результате
произвольного введения в них сомножителя (ngo)'1, а как след-
ствие преобразований, выполненных в процессе"решения исход-
ного уравнения (2.87). В известной степени этот результат свиде-
тельствует о правильности выбранного способа перехода от иде-
ализированного случая к реальным колодкам.
Проверкой могут также служить предельные соотношения:
lim Ф = 0 и' lim ф = 1,	(2.97)
й,->оо	Л>->0
являющиеся аналогами (2.64) и (2.66).
Ограничиваясь снова случаем ATi = 0 и пользуясь условием
(2.49), получаем, что предельные переходы (2.97) выполняются
и в условиях рассматриваемой задачи. Точно так же могут быть
получены и формулы (2.68), с тем лишь отличием, что величина Ло
должна быть заменена на nh2. Последнее понятно, поскольку озна-
чает переход к действительным зйачениям мощности, затрачива-
емой на трение.
Применительно к упорным подшипникам формулы (2.97)
и (2.96) позволяют понять [пока в рамках условия (2.49) ] некото-
рые экспериментальные факты, которые не могут быть (даже
качественно) объяснены с помощью расчетов, основанных на
предположении об отсутствии теплоотдачи от слоя. Здесь имеется
в виду нелинейная зависимость температуры от нагрузки на под-
шипник, а также ее зависимость от скорости (как известно, со-
гласно классической теории температура есть линейная функция
удельной нагрузки и совсем не зависит от скорости вращения
вала).
Выразим минимальную толщину пленки через удельною
нагрузку рт и скорость Uo, согласно формуле (1.57):
----h2 = У^^Фр/Рт pm = P/(BL).	.	(2.98)
Подставляя (2.98) в формулу для Тт2 из (2.96) и, в соответ-
ствии с допущениями классической теории, полагая T'i =
Г = 1, ф = 0 (теплообмен отсутствует), будем иметь
Т m2 — T'i + Рт! (pcgort®₽) •
Таким образом, классическая теория приводит к выводу о ли-
нейной зависимости температуры от рт и ее независимости от
скорости U9.
73
Такие же результаты, при отсутствии теплоотдачи, получаются
и при использовании условия (2.49), как это ясно из формулы
(Т'( = Tf, i' = i)
Tm-2 = т* + [ 1 /(рс^омфр)! (1/0(1- <Р) pm,	(2.99)
если в ней положить ср = 0.
При наличии теплоотдачи, в связи с тем что ф есть функция
толщины й2, а последняя, вследствие (2.98), зависит от рт, темпе-
ратура оказывается уже нелинейной функцией нагрузки. При
малых нагрузках (больших толщинах), когда, в силу (2.97),
значение <р мало, отличия (2.99) от линейного закона невелики,
но при высоких нагрузках и, следовательно, малых толщинах
множитель (1 — <р) -► 0, и отклонения от линейности становятся
сильными. Из характера изменения ф с рт ясно также, что по
мере увеличения нагрузки на подшипник темпы роста температуры
снижаются.
При больших нагрузках становится также заметной зависи-
мость температурного режима от скорости вращения вала. Поль-
зуясь формулами (2.68), которые можно считать справедливыми
при h0 -> 0, полагая в них h0 = nh^ и выражая h2 через рт с по-
мощью (2.98), находим
(2.99а)
откуда видно, что Тт2 есть нелинейная функция нагрузки и к тому
же зависит от скорости Uo (как непосредственно, так и через
коэффициенты теплоотдачи ак и а*). Поскольку коэффициенты
теплоотдачи изменяются со скоростью не сильнее, чем i/g (п <=«
0,8 в турбулентном режиме и п — 0,5 в ламинарном), то из
(2.99а) следует, что температура растет с ростом скорости. В связи
с тем, что вязкость ц уменьшается при нагревании смазки, кон-,
кретный вид функции, определяющей Т через рт и Uo, будет
несколько иным, чем при р — const, однако качественный ха-
рактер соответствующих зависимостей остается тем же. •
2.4. ТРЕХМЕРНЫЕ СМАЗОЧНЫЕ СЛОИ
Движение масла в пленке трехмерно: масло движется вдоль,
поперек и по ширине слоя. В общем случае пространственный
характер имеет и температурное поле. Хотя в целом ряде случаев
непостоянство температуры по ширине зазора можно не учиты-
вать, однако, во-первых, такая возможность заранее не очевидна
и, во-вторых, в определенной ситуации соответствующие измене-
ния температуры могут оказаться существенными. Кроме того,
трехмерные температурные задачи представляют интерес в связи
с тем, что с их помощью можно получить более детальную ин-
формацию о локальных свойствах температурного поля и, путем
сравнения с экспериментом, уточнить представления о характере
74
тепловых процессов в подшипнике и выбрать адекватную модель
для их описания.
Исходные уравнения и метод решения. Рассмотрим уравне-
ние (2.2), полагая в нем dT/dt = 0 (стационарная задача). С уче-
том уравнения неразрывности (2.3) левую часть (2.2) можно запи-
сать в виде
udTldx + vdTldy + wdT/dz = d (uT)ldx + d (vT)/dy + d (wT)/dz.
Используя это тождество, проинтегрируем (2.2) по толщине
пленки. Тогда получим
л	л
44 uTdy + ^«>Tdy-	+	-
О	о J
-IЛ+«Л+^-^-и+/,	(2.100)
где
h
'=44 [(47+(-£-)>
о
а индексами «О» и «А» помечены значения соответствующих вели-
чин при у = 0 и у = h. Будем считать, что uh = wh = vh — v0 =
= 0 (корпус подшипника неподвижен, движение по нормали к ра-
бочим поверхностям отсутствует), тогда из (2.14) получим
d (qxTx)/dx + d (q^/dz = [K/(pc)] dT/dy |oh + f,	(2.100a)
где
h	h	h
qx= \udy; q2=\wdy; Tx= j uT dy/qx;
0	0	0
h
Tx = \wT dy/qx.
о
Ход дальнейшего решения задачи зависит от характера изме-
нения температуры по толщине пленки. Далее ограничимся одно-
параметрическими профилями температуры, полагая, что Тх и Тг
могут быть выражены через некоторую функцию 0 (х, г) от пере-
менных х и г. Уравнение (2.100а) в этом случае представит собой
уравнение в частных производных первого порядка относительно
0 (х, г). Для его решения можно использовать метод характе-
ристик, а также метод конечных разностей.
Метод характеристик и его физическое истолкование примени-
тельно к тепловым процессам в масляной пленке .рассмотрим
на примере решения отдельных задач.
Остановимся на разностном методе. В общем случае уравнение
для функции 0 имеет вид db/dx + adQ/dz = b, где а и ft - некото-
рые функции х, z и 0.
75
Рассмотрим прямоугольную область D х £ [О, L1, z £ [О, В ]
и построим сетку х — ikx, г — kAz (t — 0, 1, 2, in; k = О,
1, 2, ... kn). Значение функции 0 в точке х = iAx, z = ktxz обозна-
чим через 0?. Тогда, применяя двухслойную неявную схему [62 ]
и используя для д$!дх одностороннюю, а для dbtdz симметричную
разностную аппроксимацию, уравнение для внутренних точек
области D перепишем в виде
0Л	(\k
Д*
д^+1	—1\
2 дг /'
(2.101)
Уравнения (2.101) необходимо решить при условии
0 (0, г) = 0О,	(2.102)
где 0О — известная функция г.
Для точек, лежащих на граничных прямых z = 0 и z = В,
аппроксимация (2.101) не годится, поскольку для вычисления пра-
вой части (2.101) необходимо знать значение функции 0 за пре-
делами области D [на линиях г — —Az и z = (kn + 1) Azl. По-
этому для граничных точек уравнения (2.101) целесообразно
заменить уравнениями, в которых для вычисления производной
dQ/dz используются значения 0, определяемые во внутренних
точках, области D:
0ж + е° АО „0	1
------= Ож/2 — йЖ/2
-зео+4е|-е^
.	2 дг
(2.1.03)
а 1 /е‘"-2-4е>-14-зе>
—Т*-----= &,+1/2 ~ Ж/2 ~ \------------2дг---------*"
(2.104)
Решая систему уравнений (2.100)—(2.104), получаем возмож-
ность найти 0 во всех узлах области D, как внутренних, так и
граничных. Практическая реализация намеченного алгоритма
может быть осуществлена с помощью метода прогонки [621. Еще
один способ решения системы (2.101)—(2.104) состоит в том, что
система записывается в матричном виде, после чего искомые
значения 0* находятся путем обращения соответствующих матриц
(по стандартным программам).
Теплоизолированный слой. Если теплоотдачи от слоя нет, то
дТ>ду 1^=0 = дТ/ду |,_h = 0	(2.105J
и первое слагаемое в правой части (2.100а) обращается в нуль.
Предположим еще, что величины Тх и Тг, имеющие физический
76
смысл калориметрических температур масла в потоках вдоль
осей х и z, равны друг другу, так что
ТХ^Т2^Т.	(2.106)
Заметим, что условие (2.106) строго выполняется, если темпе-
ратура постоянна по толщине пленки.
Интегрируя уравнение неразрывности (2.3) по толщине слоя,
нетрудно показать, что в условиях рассматриваемой задачи имеет
место соотношение
dqx!dx + dqz!dz — 0,	(2.107)
где qx и q2 —единичные расходы смазки в направлении осей х
и г. Для вычисления qx и q2 служат формулы (2.100а).
Принимая во внимание (2.105)—(2.107}, уравнение (2.100а)
запишем в виде
qxdTldx + q2dT/dz = f.	(2.108)
Для интегрирования уравнения (2.108) воспользуемся методом
характеристик. Рассмотрим линии тока осредненного (по у) дви-
жения масла, которые определяются дифференциальным урав-
нением
dx/qx — dz/q2.	(2.109)
Двигаясь по линии тока, объем смазки нагревается. Подсчи- •
таем приращение температуры dT, которое получит смазка в ре-
зультате перехода из точки А в бесконечно близкую к ней точку
А'. Используя уравнение (2.109), найдем
j'p дТ	j ।	дТ	•	/ дТ	.	дТ \ дх	,п	,
dr =-з—ах 4-—dz=(——л л.——q \---------------(2.110)
дх 1	дг \ дх	1	дг ^г) qx	'
Но, согласно (2.108), выражение, стоящее в (2.110) в скобках,
равно f. Поэтому (2.110) дает
dTIdx = F (х, z); F (х, z) = f/qx.	(2.111)
Для каждой конкретной линии тока величину г можно считать
известной фуйкцией х. Отсюда следует, что (2.111) представляет
собой обыкновенное дифференциальное уравнение для определе-
ния температуры вдоль линии тока, как функции одной перемен-
ной х, и, таким образом, в данном случае температурная задача
сводится к одномерной.
Выясним физический смысл Полученного результата. Рас-
смотрим для этого трубки тока в осредненном движении. По-
скольку в исходные уравнения производные д2Т/дх2 и д2Т1дг2
не входят, то теплообмена между отдельными трубками тока нет,
в связи с чем каждую из них можно считать теплоизолированной
от соседних. Это означает, что температура масла в отдельно взя-
той трубке тока не зависит от теплового состояния окружающих ее
объемов масла и определяется только начальной температурой
на входе в слой, а также уровнем тепловыделений и расходом
77
масла в самой трубке. Если, в частности, тепловыделения отсут-
ствуют, то температура в трубке тока, очевидно, меняться не бу-
дет. Это же следует и из (2.111), если там положить f = 0.
Далее приводятся результаты некоторых расчетов, выполнен-
ных по изложенному методу (подробнее см. [43]). На рис. 2.5, а
для случая е = B/L -+ оо для разных k — [см. (1.34)] даны
графики функции (х), представляющей собой нагрев масла
в пленке, отнесенный к его макси-
мальному значению на выходе из
зазора. Такие же кривые для слу-
чая узких колодок (е = 0) и для
колодок конечной ширины (е — 1)
показаны на рис. 2.5, б и
рис. 2.5, в. Как видно из рисун-
ков, все кривые идут выпукло-
стью вниз.
Расчеты показывают также,
что, аналогично широким колод-
кам, при е — 0 температура постоянна по ширине слоя. Аналогич-
ный результат применительно к опорным подшипникам получен
в [ПО].
Значения А? — рей* (Т2 — Т1)/(2р.(/0^-) при е — 1 зависят
от z, но незначительно:
г..................
Si х ~ L............
0	0,2	0,3	0,4	0,5
0,53	0,53	0,53 0,53 0,54
Таким образом, боковое истечение в очень слабой степени
сказывается на непостоянстве температуры по ширине слоя.
Аналогичные выводы были сделаны в работе [113], где дан
пример численного расчета температур в слое с учетом перемен-
78
ности вязкости. Для опорных, подшипников сходные результаты
получены в работе [1011.
В связи со сказанным наблюдающееся иногда на практике
изменение температуры в поперечном направлении следует объяс-
нять другими причинами (в первую очередь, деформациями коло-
док и неравномерностью теплоотдачи от слоя). Между тем, если
толщина пленки не зависит от z и неравномерность теплоотдачи
от нее мала, то температура от z зависеть не будет. Это косвенно
подтверждается экспериментами по измерению температур в опор-
ных подшипниках скольжения, где
условия работы близки к тем, которые
сейчас были указаны. Несмотря на то
что, ввиду конечности размеров под-
шипника по длине, боковые утечки
имеют место, температура, как пока-
зывает опыт, практически постоянна
по оси подшипника [96].
На рис. 2.6 представлены зависи-
мости безразмерного нагрева Ф =
= (Т2—-Ti) pc/i;/(pt/0L) в функции
от параметра k = для трех зна-
чений е (помечены индексами у Ф).
Из этих кривых следует, что боковые
утечки, не изменяя качественной' картины поведения темпера-
турных кривых, снижают температурный уровень слоя.
Проведем сравнение с расчетом температур по методу сред-
него расхода. Пользуясь формулами (2.76), (1.69), (2.83), полагая
В НИХ ф = 0 И уЧИТЫВаЯ, ЧТО ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ^ОЛОДОК фд, =
— 1, представим выражение для максимального приращения кало-
риметрической температуры по длине слоя в виде:
AT™ = [pt/0L/(pc/i22) 1Ф' (k, е);
(ЬЧЬ _ (,n k}l(k — »> + 0,5 (* — 1) йрФрда
Ф («. е) — 0>25 (й + 1} (1	+ kkp/(k+\) ‘
Сравнительные расчеты, выполненные при е = 1, показывают,
что значения Ф' близки к Фл при k = l-r-З. По мере увеличения k
разница возрастает и достигает порядка 20 % при k — 5. Сказан-
ное иллюстрируется рис. 2.6, где штриховой линией показана
функция Ф' (/г, е). При е -> оо Ф' (k, е) = Ф» (k) при любых k.
Влияние теплообмена. Исходным уравнением задачи служит
уравнение (2.103), однако теперь первое слагаемое в правой части
(2.100а) не равно нулю. Аппроксимируем профиль температур по
толщине пленки квадратичной параболой. Пренебрегая тепло-
отдачей в тело колодки, получим:
Т = TJ1 + (2т)-т)2) О (х, z) 1; и = y/h. (2.112)
79
Ранее было показано, что температура поверхности упорного
гребня Ts слабо зависит от х и с учетом результатов, полученных
для теплоизолированного слоя, ее можно считать не зависящей
от г. Таким образом, задача сводится к отысканию функции
0 (х, z). С учетом (2.112) уравнение для 0 (х, г) можно получить
в виде
дШх + f^Q/dz = —ДО + Д>	(2.113)
где Д, Д и Д — некоторые функции х и z.
Уравнение (2.113) решается аналогично уравнению (2.108).
Сначала находятся интегральные кривые уравнения dz/dx — Д,
представляющие собой своего рода линии тока, вдоль которых
переносится величина 0. Затем на этих кривых ищется решение
обыкновенного дифференциального уравнения
dQ/dx = —Д0 + Д.
В табл. 2.2 приводятся результаты расчетов по определению
приращений вдоль слоя калориметрической температуры Тт
и на границе с колодкой Тк. Все значения температур.даны в без-
размерном виде [отнесены к характерной температуре Т° =
= p.£/0L/(pc/i|) ]. В расчете принималось е = 1, Ts = 0,1, Tml =
= Tm (х = 0) = 0, Ре = pct/0^/(lL).
Из табл. 2.2 видно, что температура сравнительно слабо зави-
сит от z. Это дает основание при получении количественных ре-
зультатов ограничиться срединным сечением г = 0.
ТАБЛИЦА 2.2
		k = 3	|						k = 5		
Ре	Темпе- ратура	Z								
		0,00	0,09	0,19	0,28	0,39	0,00	0,15	0,31 1	0,48
	ДТт	0,61	0,60	0,60	0,59	0,58	0,45	0,45	0,43	0,42
5	дтк	1,17	1,17	1,16	1,15	1,15	0,92	0,92	0,90	0,90
	ДТт	0,48	0,48	0,47	0,46	0,46	0,39	0,39	0,38	0,36
2	дтк	0,94	0,93	0,93	0,92	0,92	0,82	0,81	0,79	0,79
0,5	АДп	0,25	0,25	0,24	0,24	0,23	0,25	0,24	0,23	0,22
	АТК ♦	0,51	0,51	0,51	0,50	0,48	0,56	0,55	0,53	0,51
0,1	ДТт	0,13	0,13	0,13	0,13	0,13	0,14	0,14	0,13	0,12
	дтк	0,31	0,31	0,30	0,30	0,29	0,37	0,36	0,35	0,33
80
При больших k = расчет температур, выполняемый
с учетом теплообмена, связан с определенными трудностями прин-
ципиального характера, которые обусловлены тем, что в началь-
ной части слоя вблизи неподвижной поверхности образуется ре-
циркуляционная зона (рис. 2.7). Формально математически эти
трудности проявляются в том, что в соответствующих точках слоя
коэффициент при дТ/дх в уравнении (2.2) становится отрицатель-
ным. Для принятой аппроксимации температур в определенной
области значений k знаменатели в формулах для входят
в ,(2.113)1 обращаются при этом
в нуль или становятся отрицатель-
ными. Аналогичные затруднения ха-
рактерны и для других методов рас-
чета (рапример, метод сеток). Иссле-
дование картины тепловых явлений
в рециркуляционной зоне представ-
ляет собой достаточно сложную за-
дачу, которая требует для своего ре-
шения детального анализа температурных условий на входе в слой
на основе решения системы полных гидродинамических и тепловых
уравнений без отбрасывания значительной части слагаемых, как
это было сделано при выводе (1.6) и (2.2).иВместе с тем для решения
вопроса об интегральных тепловых характеристиках пленки
можно использовать более грубый подход и принять, что в рецир-
куляционной зоне температура не зависит от у и равна ее значе-
нию при подходе из области основного течения. Соответствующие
расчеты показали, что для исследованного диапазона параметров
учет обратных течений в пленке мало влияет на окончательные
результаты.
Выполним сравнение с расчетами по приближенным формулам,
полученным для неадиабатического смазочного слоя. Дадим сна-
чала выражения для основных коэффициентов, входящих в фор-
мулы (2.96).. Температуру будем отсчитывать от значения Т\
и примем 7“ = Т*. Поскольку теплота, поступившая в гребень
от всех слоев, с одной стороны, равна [см. (2.112)].
о
О
а с другой — она определяется формулой (2.45), то для as имеем
as = 2XQ2KBL/j(/i2^s)- Подставляя это в (2.95), найдем ns =
=	= 2Qa. Учитывая, что пк = 0 и принимая Д7^ = О,
подсчитаем по (2.54) 0, после чего определим
Ф = O,5ns0.	(2.115)
81
Теперь уже, зная <р и 0, можнб по формулам (2.96) найти ДТй, -
.-= Тт, — Тт) и Ts. Результаты расчетов представлены в табл. 2.3—
2.7 [числитель—по формулам (2.96)1. В таблицах приведены
также значения коэффициента <р по (2.115) и (в знаменателе)
по формуле [см. (2.114) и (1.66)1
fn(i) _ Qs   2Хгк LB TSQ_h2_______2QTs	i < c\
p ~~ NF ~ h2 г^ЩЬВФр ~ ФрРч ’
которая определяет долю теплоты, отданной посредством тепло-
отдачи, в условиях задачи настоящего параграфа.
Величину Np в (2.116) можно было бы также подсчитать как
мощность тепловыделений в срединном сечении слоя (при £ =
= 0). Соответствующие вычисления приводят к формуле
фИ _ Ф, =	(1п b + 3 (, _ _1_ у [,п	).
Значения ФР и Фр (при е — 1) даны в табл. 2.8, из которой сле-
дует, что обе эти величины близки друг к другу.
Рассмотрение результатов, приведенных в табл. 2.3—2.7,
показывает, что расхождения в значениях приращений калори-
метрических температур по слою, подсчитанных по двум разным
методам, невелики и соответствующая разница в целом меньше
той, которую дает сравнение с формулами для- теплоизолирован-
ного слоя. Достаточно близкими оказываются также значения
температур на гребне и <р, определяющие тепловой поток в гре-
бень. Вместе с тем, при наличии притока теплоты в слой со стороны
гребня (величина <р < 0) расхождения могут оказаться заметными.
ТАБЛИЦА 2 3
Ре	1 k 1	2		3	4	5
		0,249	0,086	0,153	0,103	0,073
	Ф	0,236	0,083	0,149	0,105	0,079
	А 'Г	0,765	0,931	0,586	0,472	0,392
5		0,762	0,946	0,606	0,512	0,451
	т	0,105	0,492	0,103	0,098	0,092
	* S	0,100	0,400	0,100	0,100	0,100
На рис. 2.8 показаны кривые, иллюстрирующие характер из-
менения температуры по длине слоя при k = 3 для Ts = 0,1
(сплошная линия) и Ts = 0,4 (штриховая линия). Для других
значений k кривые имеют аналогичный вид. Обращает на себя
внимание тот факт, что по мере уменьшения числа Ре температур-
ные кривые становятся все более полными (увеличивается пло-
щадь, ограниченная кривой температур и осью абсцисс). В этом
82
ТАБЛИЦА 2.4
Ре	k	2		3		4	5
	ф	0,479 0,445	0,208 0,199	0,320 0,307	0,024 0,024	0,226 0,227	0,165 0,176
2	А Тт	0,540 0,538	0,807 0,804	0,471 0,478	0,676 0,721	0,407 0,430	0,353 0,393
	Ts	0,106 0,100	0,417 0,400	0,104 0,100	0,393 0,400	0,099 0,100	0,094 0,100
ТАБЛИЦА 2.5
Ре	k	*	2		3		4	5
	ф	0,646 0,614	0,342 0,324	0,035 0,033	0,490 0,465	0,093 0,092	0,371 0,364	0,284 0,294
	АТт	0,360	0,670	J\982_	0,353	0,628	0,331	0^303
1		0,361	0,657	0,953	0,354	67641	0,339	0,323
	л	0,105	0,422	0,741	0,105	0,406	0,102	0,097
		0,100	0,400	0,700	0,100	0,400	0,100	0,100
ТАБЛИЦА 2.6
Ре	k		2		3		4	5
		0,769	0,454	0,129	J,647	0,191	0,532	0,434
	ф	0,736	0,428	0,119	0,608	0,180	0,508	0,430
0,5	АТт	0,236	0,556	0,887	0,245	0,560	0,246	0,240
		0,240	’ 0,539	0,839	0,247	0,546	0,248	0,246
	Ts	0,104	0,425	0,756	0,106	0,424	0,105	0,101
		0,100	0,400	0,700	0,1 оо'	0,400	0,100	0,100
ТАБЛИЦА 2.7
Ре	k	2			3		4		5
	Ts	0,102	0,422	0762	0,104	0,440	0,106	0,447	0,106
		0,100	0,400	0,700	0,100	0,400	0,100	0,400	0,100
0,1	ьтт	0,129	0,448	0,789	0,132	0,468	0/135	0,476	0,137
		0,130 0,874	0,430 0,560	0,730 0,226	0,134 0,809	0,434 0,324	0,137 0,743	0,437 0,094	0,139 0,676
	ф	0,853	0,530	0,207	0,774	0,295	0,703	0,084	0,639
83
отношении они вполне аналогичны кривым на рис. 2.4. Объясня-
ется указанный характер изменения температуры по длине слоя,
как и ранее, влиянием упорного гребня, который перераспределяет
теплоту между отдельными частями пленки. Заметим, что если
температура по толщине пленки считается постоянной, то темпе-
ратурные кривые всегда вогнутые (см. рис. 2.5), и их вид не зависит
от числа Ре, которое в этом случае вообще не входит в исходные
уравнения и расчетные формулы.
Некоторые из кривых, изображенных на рис. 2.8, на большей
части значений х идут выпуклостью вверх и лишь в непосредствен-
ной близости от точки х = 1 становятся вогнутыми. Такое пове-
дение расчетной температуры объ-
ясняется тем, что вблизи выход-
ной кромки толщина слоя мала,
тепловыделения, следовательно,
ТАБЛИЦА 2.8
k	2	' 3	4	5
ф/7	0,727	0,615	0,548	0,501
ф;	0,724	0,610	1 0,544	0,498
велики, а расход смазки, вследствие боковых утечек, уменьшен.
Поэтому в этой области слой нагревается быстрее, причем соот-
ветствующий рост температур не компенсируется усиливающейся
теплоотдачей в диск. Следует заметить, однако, что отмеченный
местный подъем температур на практике обычно не наблюдается.
Связано это с тем, что'в реальных условиях на температуру вблизи
выходной кромки оказывает влияние масло, Kotopoe омывает
боковые грани колодки и тем самым приводит к дополнительному
охлаждению масла на выходе из слоя. Вместе с тем с помощью
полученных результатов качественно верно удается описать по-
ведение температурных кривых по слою в целом. Здесь имеется
в виду выпуклая форма этих кривых при некоторых числах Ре,
а также зависимость их формы от числа Ре. Обычно эксперимент
дает для температур по длине колодки выпуклые кривые 127 ].
Вместе с тем расчеты, основанные на постоянстве температуры по
толщине пленки, дают, как правило, вогнутые кривые. Это от-
носится как к случаю постоянной вязкости (см. рис. 2.5), так
и к расчетам зазоров к чиновой формы, выполненных с учетом
зависимости вязкости от температуры [113].
Определенным экспериментальным свидетельством в пользу
изложенных сейчас соображений о роли теплообмена между слоем
и гребнем в формировании кривой температур по длине слоя могут
84
служить графики, показанные на рис. 2.9, где даны профили тем-
ператур по длине колодки на дуге среднего радиуса для одного
и того же подшипника, но при разных удельных нагрузках (по
данным С. Л. Ямпольского). Из этих кривых отчетливо видно,
что с ростом нагрузки полнота кривых увеличивается. Поскольку
с увеличением рт уменьшается толщина пленки, то рост рт
означает уменьшение числа Ре. Таким образом, качественно ха-
рактер зависимости формы кривых от числа Ре совпадает с тем,
что было получено выше.
Отмеченные особенности в поведении эпюр температур по
длине слоя можно было бы, на первый взгляд, попытаться объ-
яснить зависимостью вязкости
масла от температуры, поскольку
по мере продвижения смазки
вдоль зазора ее вязкость падает и,
как следствие, в соответствующих
частях слоя уменьшается тепло-
выделение. При фиксированной
температуре -масла на входе и
•заданной геометрии зазора ука-
занные явления будут, очевидно,
сказываться тем сильнее, чем
больше нагрузка на подшипник
(с ростом нагрузки увеличивается
нагрев и, следовательно, более
заметным становится перепад вязкости по длине). Однако такое
объяснение оказывается неудовлетворительным. Во-первых, тем-
пература масла на входе в слой зависит от режима работы под-
шипника. Во-вторых, как это следует из теории неизотермической
задачи с учетом изменения вязкости по длине слоя, с ростом удель-
ной нагрузки колодка разворачивается на опоре, причем так,
что параметр k — hjlb увеличивается. С ростом же значения k
температурный профиль, подобно случаю р. = const, становится
более вогнутым [113]. Поэтому влияние уменьшения вязкости
вдоль слоя на температурный профиль по длине скорее всего про-
тивоположно влиянию теплообмена с гребнем и сводится к умень-
шению «полноты» температурной кривой.
Влияние деформаций колодки и гребня. Полученные резуль-
таты приводят к выводу о том, что температура масляного слоя
по ширине колодки близка к постоянному значению. Вместе с тем
экспериментальные исследования показывают, что в ряде случаев
температура заметно изменяется по ширине слоя [27 ]: в центре-
температура выше, по бокам она меньше. До некоторой степени
такое изменение температуры по ширине получается и в теории
(см. табл. 2.2), однако расчетное снижение-температуры на краях
колодки в ряде случаев заметно меньше того, -что дает экспери-
мент. Так, согласно опытным данным, полученным во время на-
турных испытаний подпятника гидрогенератора. [27], при общем
85
изменении температуры по длине колодки на 35 °C колебания
температуры по ширине составили 20 °C, т. е. Перепад температуры
по ширине достиг 57%. В другом случае эти значения соответствен-
но были 28 и 20 °C (72%). Наряду с такими сравнительно боль-
шими изменениями температуры по ширине, эксперименты дают
и другие результаты. По данным опытов С. Л. Ямпольского,
на подшипнике с наружным диаметром колодки 160 мм и внутрен-
ним 95 мм перепад температур по ширине составил 5—10 °C
при общем изменении температуры по длине 40 °C, т. е* всего
лишь 10—25 %. Такие, на первый взгляд, противоречивые pe-
er)
Рис. -2.10
зультаты, а также несоответствие с данными расчетов заставляют
' более подробно рассмотреть физи-
ческие явления, обусловливающие
непостоянство температуры по
ширине слоя.
Падение температуры на краях
колодки может быть вызвано не-
сколькими причинами. Во-пер-
вых, это неравномерный отвод
теплоты от слоя через колодку
и гребень; во-вторых, силовые и
температурные деформации гребня и колодок, которые приводят
к изменению формы зазора по ширине слоя и, следовательно,
влияют на гидродинамику и уровень тепловыделений в отдельных
частях пленки; в-третьих, непостоянство окружной скорости
по радиусу (по мере уменьшения радиуса скорость падает). Сле-
дует заметить, что в опорных подшипниках, где так же, как и в
упорных, наблюдается истечение смазки в торцы, но где все от-
меченные сейчас обстоятельства практически не реализуются,
температура изменяется мало вдоль оси вала [96].
Разберем вопрос о влиянии деформаций и переменности ско-
рости скольжения на температурное поле. Форму слоя предполо-
жим известной, причем рассмотрим два случая — симметричную
(рис. 2.10, а) и несимметричную (рис. 2.10,. б) деформации. Пер-
вая из этих схем, по-видимому, ближе к случаю точечного опира-
ния (колодка ориентируется по гребню), вторая — реберного.
Вязкость масла предполагается постоянной, теплоотдача в стенки
не учитывается.
Рассмотрим сначала колодки прямоугольной формы в плане.
Толщину пленки аппроксимируем функциями:
для симметричной деформации
h = k - (k - 1)х + (1 - 2z)26//i2; k =
x = x/L;z = z/B;	(2.117)
для несимметричной
h--= k — (k — l)x-f- z26/li2; k = fti;7i2; x = x/L; z = z/B. (2.117a)
Здесь hi = h(x = 0) |e~o’>	= h (x = L) |e=0; h = h/h^
86
Давление в слое определяется уравнением (1.15в) при vh = 0.
Искать его решение в виде произведения двух функций в рассма-
триваемом случае нельзя, поэтому функция р (х, г) аппроксими-
ровалась полиномом
р = У г и (х — х2) (z — z2) x‘~izi,
(=0 /=0
x = -f-, Z = ±.,	(2.118)
Ритца.
коэффициенты которого определялись по методу
В расчетах принималось п = 3 ^соответствующая система 10
алгебраических уравнений решалась
на ЭВМ.
Данные вычислений основных
интегральных характеристик масля-
ных пленок сведены в табл. 2.9 при
zc — 0,500 (симметричная деформа-
ция) и табл. 2.10 (несимметричная
деформация). В этих таблицах Фр —
= РЛ2/(ц£ЛРВ), Ф* = ЛГЛ2/(Н^ЬВ),
N — мощность потерь на трение;
glrg2, g-з и gn — безразмерные расходы
через грани х = 0, х = L, г = 0 и z — В\ хс и zc — безразмер-
ные координаты центра давления.
В целях оценки точности выполненных расчетов были прове-
дены контрольные вычисления по методу конечных разностей.
Расчеты показали, что для принятых значений параметров все
методы дают близкие результаты. Наибольшее расхождение, как
и следовало ожидать, наблюдается при определении расходов.
Имеются также известные погрешности и в выполнении условия
баланса расходов. Мерой этого небаланса служит величина &g =
= (gx — g2 — g3 — gt )/gv Ошибки в расходах, вообще говоря,
могут повлиять на температуру в слое. Однако, как показали
сравнительные расчеты, даже при относительно больших 6gошибка
в вычислении температур невелика.
Определение температур выполняется путем решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (2.109) и (2.111),
где значения qx, qz и f находятся по формулам (2.100а), (2.100)
с учетом (1.59) и выражений (2.117) и (2.117а) для h и (2.118)
для р.
На рис. 2.11 представлены, графики безразмерных температур
Т (хгг) Т/Г, Т° = pt/0L/(pc^),
на выходе из слоя (при х = L) для различных значений 6/й2
при k = 3, построенные в функции от координаты z. Сплошные
линии относятся к случаю симметричной деформации (см.
рис. 2.10, а), штрих-пунктирные — несимметричной (см. рис.
87
ТАБЛИЦА 2.9
k '	б/л2	фр .	1 1 -~хс |	фл?	«. 1 1	£2	2»		6g
	0	0,0691	0,419	0,728	0,86	0,58 j	0,12	0,12	0,05
	0,25	0,0568	0,421	0,684	0,91	0,62	0,13	0,13	0,03
2	0,50	0,0476	0,422	0,648	0,95	0,66 1	0,13	0,13	0,03
	1,00	0,0348	0,426	0,593	1,05	0,74 j	0,12 ;	0,12	0,07
	2,00	0,0206	0,433	0,518	1,23 	।	0,90 j	0,08 |	0,08	0.14
	0	0,0667	0,376 ‘	0,616	1,23	0,62	0,24	0,24	0,11
	0,25	0,0571	0,378	0,581	1,28	0,66	0,26	0,26	0,08
3	0,50	0,0495	0,380	0,552	1,34	0,70	0)27	0,27	0,07
	1,00	0,0381	0,385	0,506	1,43	0,78	0,27	0,27	0,08
	2,00	0,0242	0,395	0,443	1,62	0,96	0,22	0,22	0,13
	0	0,0572	0,350	0,548	1,67	0,62	0,36	0,36	0,20
	0,25	0,0503	0,352	0,518	1,72	0,67	0,39	0,39	0,16
4	0,50	0,0445	0,354	0,494	1,76	0,71	0,40	0,40	0,14
	1,00	0,0355	0,359	0,453	1,84	0,80	0,41	0,41	0,12
	2,00	0,0238	0,369	0,397	2,02	0,98	0,38	0,38	0,14
	0	0,0479	0,334	0,498	2,16	0,62	0,48	0,48	0,27
	0,25	0,0430	0,336	0,473	2,20	0,66	0,51	0,51	0,24
5	0,50	0,0387	0,337	0,451	2,23	0,71	0,53	0,53	0,20
	1,00	0,0317	0,341	0,415	2,30	0,80	0,56	0,56	0,16
	2,00	0,0221	0,351	0,364	2,44	1,00	0,54	0,54	0,15  *
ТАБЛИЦА 2.10
k	б/л,	фр	1 - *с	гс			62		£4	eg
	0,00	0,0691	0,419	0,500	0,728	0,86	0,58	0,12	0,12	0,05
	0,25	0,0581	0,422	0,480	0,685	0,90	0,63	0,12	0,13	0,02
2	0,50	0,0498	0,425	0,463	0,650	0,95	0,67	0,11	0,14	0,03
	1,00	0,0383	0,429	0,435	0,595	1,03	0,75	0,10	0,15	0,03
	2,00	0,0254	0,434	0,394	0,520	1,21	0,92	0,09	0,17	0,02
	0,00	0,0667	0,376	0,500	0,616	1,23	0,62	0,24	0,24	0,11
	0,25	0,0579	0,380	0,484	0,582	1,27	0,66	0,24	0,26	0,09
3	0,50	0,0510	0,384	0,470	0,554	1,32	0,71	0,23	0,27	0,08
	1,00	0,0407	0,390	0,446	0,509	1,40	0,80	0,22	0,30	0,06
	2,00	0,0284	0,398.	0,409	0,447	1,58	0,98	0,20	0,32 .	0,05
	0,00	0,0572	0,350	0,500	0,548	1,67	0*62	0,36	0,36	0,20
	0,25	0,0507	0,354	0,487	0,519	1,70	0,67	0,36	0,38	0,17
4	0,50	0,0454	0,358	0,474	0,495	1,74	0,72	0,35	0,40	0,15
	1,00	0,0372	0,364	0,453	0,456	1,80	0,82	0,33	0,42	0,13
	2,00	0,0268	0,374	0,420	0,401	1,97	1,01	0,30	0,46	0,10
	0,00	0,0479	0,334	0,500	0,498	2,16	0,62	0,48	0,48	0,27
	0,25	0,0432	0,338	0,489	0,473	2,18	0,67	0,48 -	0,51	0,24
5	0,50	0,0392	0,341	0,478	0,452	2,20	0,72	0,47	0,53	0,22
	1,00	0,0328	0,347	0,459	0,418	2,26	0,82	0,45	0,56-	0,19
	2,00	0,0243	0,357	0,429	0,368	2,39	1,03	0,42	0,65	0,11
88
рис. 2.10, б). Из графиков видно, что в соответствии с получен-
ными ранее результатами при отсутствии деформаций температура
мало' меняется по ширине слоя. Числовые значения для Т (1,0)
при 6 = 0 также совпадают с теми, которые были получены при
использовании для определения давлений и скоростей в слое
(см. кривую для Фх на рис. 2.6).
Из рис. 2.11 видно также, что поперечные деформации сравни-
тельно слабо влияют на максимальную температуру (при неизмен-
ной толщине пленки), но заметно отражаются на распределении
температуры по ширине слоя. При этом, особенно при относительно
больших деформациях, температура существенно снижается по
мере приближения к боковым границам слоя. В этом отношении
наблюдается картина, подобия той, которая была обнаружена
в экспериментах на .подпятниках гидрогенераторов. Поскольку
размеры подушек подпятника велики, а устройства для уменьше-
ния деформаций отсутствовали, то деформации в этом случае
могли быть большими (см. соответствующие расчеты в работе
[58]), и, следовательно, полученные в опыте особенности темпе-
ратурных кривых можно объяснить влиянием деформаций.
Что касается тех же опытных данных, в которых было обна-
ружено слабое изменение температуры по ширине слоя, то они
могут быть объяснены малой деформацией колодок (колодки имеют
сравнительно малые размеры, опора колодки выполнена в виде
ребра).
Рассмотрим также особенности температурного поля, обуслов-
ленные секторной формой колодок. Вязкость масла предположим
постоянной, температуру — не зависящей от координаты у.
Исходным для расчета температуры служит уравнение
q<?дТi(rdtp) + qrdT/dr = f,	(2.119)
которое получается аналогично (2.108) в результате интегриро-
вания (2.1) по толщине пленки. Для вычисления <7Ф, qr и f =
— Jf/(pc) служат формулы (1.12) и (2.4).
Далее приводятся результаты вычислений хдля колодок, рабо-
чая поверхность которых деформирована по сфере, касающейся
рабочей поверхности в недеформированном состоянии в точке,
расположенной на дуге среднего радиуса на середине длины ко-
лодки.
Толщина пленки, с учетом (1.32а), определяется по следующему
выражению:
й = /гЛ, 1s~(<PL~q>) (&-1) +
Z?sincp£, '	’ 1
г2 + #2 ~ cos (ф — 0,5ф£)	6
2R2 (1 — соз0,5ф£) Л2
1 Расчеты выполнялись совместно с Л. П. Сенчуриным.
89
где 6 = А(/?, 0) = А (/?, <pj; г — r/Rt; R = R/Ri, А — прогиб
пластины; k — отношение толщин пленок на входе и выходе из
зазора на дуге среднего радиуса для недеформированной колодки.
Решение уравнения Рейнольдса (1.15г) выполнялось численно
по методу, изложенному в гл. 1. Полученные таким образом
значения функции р использова-
лись для вычисления q^ qr и f,
затем выполнялось численное ин-
тегрирование уравнения (2.119),
для чего, вместо г, вводилась
новая переменная £ = In г.
На рис. 2.12 представлена за-
висимость безразмерного на-
грева масла АТ =iTIT°, Т° —
== liaR2<pL/(pch%), в функции . от
^=//7?! для различных значений
6//г2 при <pL = 30°, R2 = R2/Ri ~
= 1,64, k = 2 и <р = <pL. Из рис. 2.12 видно, что при отсутствии дефор-
маций температура монотонно растет в направлении от внутрен-
него радиуса к внешнему. Этот результат объясняется увеличением
протяженности соответствующих линий тока и ростом скорости
скольжения. Увеличение деформаций искажает температурный
профиль и, в конечном итоге, приводит к падению температуры
на периферии слоя. С качественной точки зрения характер кри-
вых на рис. 2.12 согласуется с рассмотренными выше эксперимен-
тальными данными [271.
2.В. ОСОБЕННОСТИ НЕИЗОВЯЗКОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ
Рассмотрим эффекты, которые обусловлены изменением вяз-
кости масла в результате его нагрева в пленке.
Изменение вязкости по длине слоя. Предполагая, что темпе-
ратура изменяется только по длине пленки, уравнение для ее
определения, согласно (2.108), можно записать в виде
qxdTldx = f,	(2.120)
где qx и f находятся с помощью формул (2.100а), (2.100) и (1.59).
Давление р, необходимое для вычисления qx и /, определяется
путем решения уравнения Рейнольдса, которое на этот раз при-
ходится рассматривать в более полном виде:
4- (2L	+ a (2L	= 6t70 4-.	(2.121)
дх \ дх / 1 dz \ |л dz /	0 dx v '
К уравнениям (2.120) и (2.121) нужно присоединить вязкостно-
температурную зависимость
ц = 1*<7’).	(2.122)
90
Выясним некоторые общие свойства решений системы (2.120)—
(2.122). Перейдем для этого к безразмерным переменным:
р = рор; АТ — Т^Г\ р.= pjp; №Lx; z = Bz‘, h = h2h,
Ро =	То = ^UoL/ipchi) = ро/рс, qx ==UJhqx\
f = [^/(ptA,)] f-	(2.123)
Здесь под AT понимается нагрев масла в пленке, под щ — вяз-
кость во входном сечении.
Фиксируя температуру на входе в слой и используя (2.123),
уравнения (2.120) и (2.121) можно переписать в следующем виде:
- д?	f д Г 1 и 1 д Г й’ дР 1 с dh
q* дх дх [Й(ДП дх J г е2 дг [й(ДП dz J — 0 дх '
(2.124)
Второе из уравнений (2.124), с учетом первой и седьмой формул
(2.123) и формулы (1.33а) для й, показывает, что давление есть
функционал вида
P = Pofi\x> z, k, е, й(АТ)].	(2.125)
Аналогично для АТ, принимая во внимание вторую и восьмую
формулы (2.123), получим
&T — Pof2[x, z, k, е, »(№)].	(2.126)
Из выражения (2.126) следует, что
АТ = р0/1(х, 2, k, е, ро).	(2.127)
Поэтому, в силу (2.125), р — р0К (х, z, k, е, р0). Интегрируя
последнее выражение по площади колодки, удельную нагрузку
на колодку представим в виде р,п = p0f6 (k, е, р0), а'безразмерную
координату центра давления
хс = Jj рх dx dz/pm	(2.128)
запишем^ в виде хс = /в (/г, е, р0) = /? (&> рт). Следовательно,
k = fs (хс, е, рт).
С учетом’полученных результатов для температуры, согласно
(2.127), будем иметь
AT = pmfe(x, z, е, хс,рт).	(2.129)
Если вязкость постоянна, так что й (АТ) = 1, то аналогичным
образом из формул (2.125), (2.126) и (2.128) легко получить
AT = pmcp2(x, z, е, хс).	(2.129а)
Формула (2.129а) означает, что нагрев масла прямо пропорци-
онален удельной нагрузке и не зависит от скорости скольжения.
Если вязкость изменяется с температурой, то зависимость АТ
от рт 1см. (2.129)] становится более сложной, однако влияние
91
скорости на температурный режим пленки по-прежнему не обна-
руживается. Поскольку опыт свидетельствует об обратном, то
одним лишь изменением вязкости по длине пленки объяснить
известные на сегодня опытные данные не удается.
Переменность вязкости по длине слоя изучалась в ряде работ
[13, 30, 57, 74, 113]. Следуя в дальнейшем изложении работе
[57 ], аппроксимируем функцию р. (АТ) зависимостью
р = н exp (—ДТ/Т*),	(2.130)
где Т* — постоянная, определяемая сортом масла.
В интервале температур 30—70 °C можно принять Т* — 26 °C
для масла турбинное 22 и Т* = 23 °C — для масла турбинное 30
[24].
Используя зависимость (2.130), первое из уравнений (2.124)
перепишем в виде:
—2^№й-1 dp/dx = f\ Н = )/0,5Т*/Т0 = h2 f/'O^pc/^UoL).
(2.131)
В случае плоской задачи (е -> оо) уравнение (2.124) дает
др„/дх = 6р (Я - Я*)/Я3.	(2.132)
Здесь Я* — постоянная интегрирования, определяемая из условия
р (0) = Р (1), которое, согласно (2.132), равносильно условию
Я*= J рЯ'Мх/|р.Я-3Лх.	(2.133)
о /о
Исключая из (2.132) и (2.131) др/дх = др+дх (др/дх входит
в формулы для qx и /), получаем уравнение
HW	й , 0-(Я-Д*)2
Т" dx--------Я >' Я*
Оно легко интегрируется и с учетом условия й (0) = 1 определяет
функцию
Й = й(х, Я*, Я2).	(2.134)
Функция (2.134) имеет громоздкий вид [24] и поэтому неудобна
для последующих исследований. Расчеты показывают, что до-
статочной точностью обладает параболическая аппроксимация
Й = Ах2 + Вх -|- 1/(1 -|- в),	(2.135)
где
А = 2(2 + 0)/( 1 + 0) -_4ps, В = 0/(1 +0) - А,
Й$ = й (х = 0,5); _
0 = Р1/Й2- t Й2=И(*=1)-
(2.135а)
Подставляя (2.135) в (2.133), находим Я* как функцию й5>
после чего, определяя й$ через Я* с помощью формулы (2.134),
92
получаем кубическое уравнение для й*. Отсюда находим Я*,
а затем и p.s. Пользуясь (2.135), теперь уже нетрудно, интегрируя
(2.132), найти Ра,.
Полученное решение относится к случаю плоской задачи. Учет
конечности размеров может быть выполнен по методу Л. В. Кан-
торовича. Давление р ищется в виде р = рж (х) <р (z), причем для
Ф (г) снова получается функция (1.55), но при другом
Уточненное выражение для давления, учитывающее влия-
ние конечности размеров на характер зависимости р от х, дается
формулой
яр ~ р»ф (^) (Со Ci tyf
где Со и Сг — постоянные. Их
значения можно найти из усло-
вия минимальности функцио-
нала типа (1.54): дЛдСп = Ои
дЛдСх = 0.
После того как выражение
для давления найдено, опреде-
ляется удельная нагрузка на
подшипник
Рт^Ро JJpdxdz = poiMM,6)
(2.136)	Рис. 2.13
и с помощью (2.128) находится координата точки опоры
хс = Фг (к, е, 0).	'	(2.137)
Интегрируя уравнение энергии (2.131) по объему пленки,
получаем еще одно условие, связывающее величины k, е и 0
друг с другом:
№ = ф3(й, е, 0).	(2.138)
Не останавливаясь на выписывании громоздких выражений
для функций приведем результаты некоторых расчетов.
На рис. 2.13 представлены зависимости хс от параметра k
при различных 0, построенные по уравнению (2.137). Как видно
из рисунка, при 0=0 [изовязкостное течение см. (2.135а)]
и хс = 0,5 величина k = 1, и, таким образом, масляный клин
отсутствует. Если же 0	0, то k > 1 при хс = 0,5 и даже при
хс < 0,5, т. е. подшипник способен нести над>узку как при цен-
тральном опирании колодок, так и при обратном сдвиге точки
опоры. Вместе с тем количественная сторона дела в сильной
степени зависит от нагрева смазки и сопровождающего его из-
менения вязкости по длине слоя.
Физический смысл полученного результата состоит в том, что
гидравлическое сопротивление зазора с уменьшением вязкости
93
масла падает и поэтому по сравнению с изовязкостным случаем
гидродинамические давления уменьшаются в выходной части
слоя и увеличиваются — во входной. Следовательно, центр дав-
лений смещается в сторону входного сечения, так что клиновая
форма пленки обеспечивается при меньших хс, в том числе и при
хс = 0,5.
Полученный результат обычно используется для объясне-
ния принципа действия подшипников с центрально опертыми ко-
лодками, для которых классическая теория предсказывает-нуле-
вую несущую способность.
Для приведения результатов расчетов к виду, удобному для
практического использования, заметим, что, в силу (2.131) и вось-
мой из формул (2.123), р0 = Ъ,ЪрсТ*1Н*. Отсюда, согласно
(2.138), р0 = 0,5рсТ*/фя (k, е, 0). Подставляя это в (2.136) и
учйтывая, что в соответствии с (2.137) k = k (хс, е, 0), получаем
П = 2рт1(рсТ*) = ф4 (хс, е, 0).
Аналогично из (2.138) находим
Н = ф5 (хс, е, 0). .
Исключая из двух последних уравнений 0, будем иметь
Н = Н(хс, е, П).	(2.139)
Если значение Н известно, то минимальную толщину пленки
можно подсчитать по формуле [см. (2.131)]
h2 = ]/2р1(/0Л/(рсТ*)Д .
Нагрев масла в слое АТ^ определяется зависимостью
АТ'тах = А?о; А?о = In (1 + 0),	(2.140)
которая следует из (2.130) и двух последних формул (2.135а),
если учесть, что = АТ (х = 1). Функции (2.139) и (2.140)
при е = 1 представлены на рис. 2.14, а и 6 соответственно.
Изменение вязкости по объему слоя. Эффект притяжения.
Рассмотрим сначала слой постоянной толщины. Возьмем урав-
нение Рейнольдса в форме (1.156) и ограничимся случаем плоской
стационарной задачи при U = Uo. Тогда (1.156) примет вид
д ($др/дх)/дх = U^dfldx,	(2.141)
где ф и f даются формулами (1.13), причем f> 0 и ф > 0.
Интегрируя (2.141) по х, получим
др/дх — (UJ — q)/ty,	(2.142)
где q — постоянная интегрирования, имеющая физический смысл
расхода смазки через единицу ширины масляной пленки.
Рассмотрим нулевые граничные условия для р. Для того
чтобы им удовлетворить, производная др!дх должна или менять
знак или тождественно равняться нулю. Пусть др/дх 0. Тогда,
в силу положительности произведения I7of (ось х направлена в ту
94
же сторону, что и скорость U„), должно быть q > 0, так как, если
q < 0, то др/дх > 0, и обращение р в нуль на обеих границах
пленки (при х ~ 0 и х - L) невозможно.
Предположим теперь, что f монотонно растет с ростом х.
Если при этом числитель в (2.142) меняет знак, то £/0/ < q при
х = 0, Uof > q при х = L и существует точка х = с, такая, что
Uof (с) = q. Из (2.142) тогда получаем, что др/дх <0 в про-
межутке 0 sc х < с, др/дх = 0 при х = с и др/дх > 0 в про-
межутке с < х L. Аналогично в случае монотонного умень-
шения f будет dpidx > 0 при 0 с х < с, др/дх = 0 при х = с
и др/дх < 0 при с < х < L. Отсюда уже легко получить, что
если при 0 < х L производная df/dx < 0, то в слое возникает
положительная гидродинамическая, реакция, если df/dx >0 —
гидродинамическая реакция отрицательна. В случае, когда df/dx =
== 0, точно так же получаем р = 0, т. е. гидродинамическая ре-
акция отсутствует.
Применим полученные результаты к анализу масляных пле-
нок постоянной толщины h0. Из формул (1.13) и (1.10) следует, что
f есть ордината центра тяжести S площади, ограниченной кривой
И-1 (х, у), причем если h0 = const, то положение точки S опре-
деляется только функцией р (х, у).
Если вязкость постоянна, то при h0 = const положение точки
S по длине слоя не меняется. Следовательно, f = const, и гидро-
динамические силы в слое не возникают. Аналогичные результаты
получаются и тогда, когда вязкость в слое изменяется только по
длине (в функции от х) или только по толщине (в функции от у).
В упорных подшипниках температуру упорной поверхности
можно считать примерно постоянной. Средняя же температура
слоя, за счет нагрева в результате тепловыделений в пленке, ра-
стет в направлении движения, т. е. с ростом х. Поэтому вязкость
95
падает, значение р.-1 возрастает, и точка $ приближается к не-
подвижной поверхности. Последнее означает, что dfldx > О,
и, как следует из доказанного выше, Гидродинамическая реакция
слоя отрицательна, т. е. масляная пленка между параллельными
поверхностями трения обладает; притягивающим действием.
Остановимся на физическом смысле полученных результа-
тов. Будем аппроксимировать температурно-вязкостную зависи-
мость (2.142) рядом Бачинского 121], удерживая в нем два пер-
вые члена:
р = /ив/т; т = Т — т-„	(2.143)
где тй и т7 — постоянные. Приближенный анализ явления при-
тяжения, выполненный с помощью (2.143) в [39], приводит
к следующей формуле для dpidx-.
hn
др _ 3	0 — Qi	Us .[	dy	х
2l/0Lps ~ 4	0	’ °' Ло J	и	’ Х~ L	’
(2.144)
где щ — вязкость, при температуре подвижной пластины; Qi —
некоторая положительная постоянная, а величина 0 удовлетво-
ряет уравнению
_____ ^1	*	к ____	.	__ Mst/g _ 1 /О |
dx ~ 0	0	’ 1— pcl/oftg ’ Зт0Х '•
Повторяя рассуждения, использовавшиеся при анализе формулы
(2.142), приходим к выводу, что образование в слое отрицатель-
ных давлений связано с ростом вдоль х величины 0. Последнюю,
с учетом (2.143), можно записать в виде
Л©	Ло
e=-V	<2146)
0	0
Здесь й0 есть некоторая приведенная толщина слоя. Таким об-
>разом получаем, что рост 0 эквивалентен увеличению приведен-
ной толщины пленки Ло, которая растет вместе со средней темпера-
турой тот [см. (2.146) ] потере увеличения х. Последнее означает,
что в направлении основного течения происходит что-то вроде
расширения пленки, только оно носит не геометрический, а теп-
ловой, точнее, вязкостный характер. Естественно, что это при-
водит к появлению в слое отрицательных давлений (положитель-
ные давления, как известно, могут образоваться только в кон-
фузорной части зазора).
Отмеченное «расширение» масляной пленки имеет простой фи-
зический смысл. Он состоит в том,' что по мере движения смазки
уменьшается гидравлическое сопротивление зазора и поясняется
рис. 2.15, на котором показаны эпюры скоростей в различных се-
96
чениях по длине зазора. В сечении /—/ средняя температура ма-
сла в слое, а потому и температура колодки, за счет охлаждения
масла в межколодочном канале, меньше температуры упорной
поверхности. В связи с этим (вязкость растет с уменьшением
температуры) тормозящее действие колодки сказывается в большей
степени, чем ускорение движения частиц масла упорной поверх-
ностью. Профиль скоростей вогнут. По мере прохождения через
зазор смазка нагревается и вместе
с ней нагревается и поверхность
колодки. Вязкость смазки, нахо-
дящейся в пристенной области,
уменьшается. В то же время,
ввиду постоянства температуры
упорной поверхности, вязкость
прилипшей к ней смазки не
меняется. Это приводит к отно-
сительно большей роли разгона
по сравнению с торможением,
и профиль скоростей имеет такой
вид, как в сечении II—II. Таким образом расход масла через
зазор увеличивается, что математически проявляется в росте й0.
На самом деле никакого притока смазки в зазор нет, и требуемое
равенство расходов может быть достигнуто только за счет возник-
новения в слое отрицательных давлений, вызывающих дополни-
тельное движение смазки в направлениях, указанных на рис. 2.15
стрелками. При этом увеличится расход в сечении I—I и умень-
шится в сечении II—II.
Рассмотрим вопрос о положении равнодействующей притягива-
ющих сил. С помощью (2.144) и (2.145) можно показать, что
дх \ дх ) .	' di* \ дх )
(2.147)
откуда следует, что функция F = др!дх растет в направлении
положительных значений х и что соответствующая кривая вы-
пуклая. Имёя в виду отмеченные -особенности кривой F =
= др!дх и принимая во внимание соотношение
1 1
f Fd* = I“fjF d* = ро) “ = °’
о о
из геометрических соображений получаем, что др!дх = 0 и,
следовательно, р (х) достигает экстремума в некоторой точке х =
= с < 0,5 (рис. 2.16). Поскольку, в силу (2.147), производная
д*р/дх*, оставаясь положительной, убывает с ростом х, то в проме-
жутке 0 < х < 0,5 кривизна эпюры давлений больше, чем на
участке 0,5 < х < 1. Поэтому при 0 <« х < 0,5 разность
| р (х) | — | р (1 — х) I > 0,'откуда следует, что равнодействующая
4 Подольский М. Е.	97
притягивающих сил расположена влево от точки х — 0,5, т, е.
сдвинута в сторону входной кромки.
Полученный результат важен с двух точек зрения. Во-первых,
если рассматривать зазоры клиновой формы и предположить,
что и в этом случае общая гидродинамическая реакция слоя имеет
притягивающую составляющую Р_, то окажется, что за счет дей-
ствия притягивающих сил центр давлений будет несколько сдви-
нут в сторону выходной кромки. Последнее ясно из следующей
формулы для хс (рис. 2.17):
хс = (Р+х+ - Р_х_)/(Р+ -
- Р_) = Х+ + (х+ - х_) Р_/(Р+ - Р_),	(2.148)
где индекс «+» относится к положительной составляющей силы Р,
«—» — к отрицательной,
и предполагается, что Р4 > Р_, х+ >
> х_. Ранее было показано, что изме-
нение вязкости, предполагаемое про-
исходящим только по длине слоя, при-
водит к сдвигу центра давления в сто-
рону входной кромки. Из выражения
(2.148)следует, что наличие притяги-
вающих сил в известной мере компен-
сирует' этот эффект.
Второе обстоятельство, связанное
с положением равнодействующей при-
тягивающих сил, относится к само-
устанавливающимся колодкам. В этом
случае колодка качается на опоре, которая сдвинута от се-
редины в сторону выходной кромки. Если предположить,
что в силу каких-то причин поверхности трения оказались парал-
лельными и, таким образом, в слое возникла притягивающая
сила, то момент, создаваемый этой силой, будет, применительно
к схеме, показанной на рис. 2.18, разворачивать колодку против
98
часовой стредки. Последнее означает, что зазор примет диффузор-
ную форму. Таким образом, на «вязкостное» расширение слоя на-
ложится расширение геометрическое и, притягивающая сила
станет еще больше. Следовательно, притягивающий эффект ока-
зывается устойчивым, в том смысле, что, раз возникнув, он будет
сам себя поддерживать. Рассмотренная ситуация может реали-
зоваться на практике во время работы подшипника на нестацио-
нарных режимах.
В связи с последним результатом необходимо сделать следую- .
щее замечание. Масло, как и всякая жидкость, практически не
выдерживает растягивающих напряжений. Поэтому говорить
о сколько-нибудь значительной притягивающей силе можно
лишь до тех пор, пока масло в корпусе подшипника находится
под большим давлением или же если давление возникает в самом
слое, как это будет в случае зазоров клиновой формы, где тол-
щина пленки уменьшается в направлении движения. Во всех
остальных случаях более или менее заметные притягивающие силы
развиться не могут, поскольку максимальное значение отри-
цательных давлений ограничено давлением испарения летучих
жидких фракций и газов, растворенных в смазке. Сказанное, в ча-
стности, означает, что с практической точки зрения величина
притягивающих сил, в конечном итоге, не имеет значения, так
как если давление снизится до некоторого предельного уровня,
то произойдет кавитационный разрыв масляной пленки, и она
потеряет способность нести нагрузку.
Рассмотрим теперь слой клиновой формы. Не останавливаясь
на подробностях (решение выполнялось по методу интегральных
соотношений при аппроксимации температурного профиля ква-
дратичной параболой, [43]), приведем окончательные результаты.
Введем обозначения:
Ре =	D — m« Uo/ni', w = 0,51F/12/(Xt,L);
Фр» = Pho/(nsUoL ); Фр = ФрооД! t== ^/т^; Ps = p (^s)»
где P и W — нагрузка на колодку и тепловой поток в гребень,
приходящиеся на единицу ширины колодки; т — по формуле
(2.143); rs — температура рабочей поверхности гребня; т£- —тем-
пература на входной кромке колодки.
На рис. 2.19 для случая Ре = 2,81; D = 39 показаны Фр»
(кривая /), w (кривая 2), А = 1 — хс (кривая 3), значения А,
подсчитанные по изотермической теории (кривая 4), Фр (кривая 5).
Расчеты выполнялись для k = 1 (рис. 2.19, a), k = 1,5
(рис. 2.19, б), k = 3 (рис. 2.19, в) и k = 4 (рис. 2.19, г).
В случае k = 1 расчеты приводят к отрицательным значе-
ниям Фр оо. Таким образом, снова получаем, что между параллель-
ными поверхностями трения развиваются притягивающие силы.
При этом расчеты подтверждают сделанный ранее вывод о том,
что точка приложения равнодействующей притягивающих сил
4*	99
сдвинута в сторону входной кромки (1 — хс > 0,5). Величина
притягивающей силы, отнесенной к вязкости при температуре
упорного гребня, растет с ростом t, т. е. с уменьшением тепло-
отдачи от слоя (см. кривую 2 для щ). Отсюда следует, что при
затрудненной теплоотдаче эффект притяжения будет сказываться
в большей* степени. Между тем, он проявляется и при наличии
теплоотдачи от слоя, (заметные притягивающие силы развива-
ются и при теплоотдаче, достигающей 50—80 %).
Притягивающие силы оказывают влияние на гидродинамику
смазочного слоя и в случае зазоров клиновой формы. Из рассмот-
рения рис. 2.19,6 (fe = 1,5)
видно, что, хотя, в отли-
чие от случая k = 1, гидро-
динамическая реакция по-
ложительна, однако она
уменьшается с ростом t. Сказанное станет понятным, если учесть,
что притягивающая составляющая растет с ростом t. С увеличе-
нием t изменяется и положение центра давления. Эт*о также объ-
ясняется влйянием притягивающей составляющей, которая со-
здает дополнительный момент, разворачивающий подушку про-
тив часовой стрелки (в условиях схемы на рис. 2.18), и, следо-
вательно, приводит к сдвигу центра давлений в сторону выходной
кро'мки.
На рис. 2.20 даны кривые Д = 1 — хс в функции от параметра k.
для теплоизолированного гребня при D — 39, w = 0 и Ре =2,81.
Характер этих крйвых существенно отличается от того, что
дает «изовязкостная» теория, а также неизотермическая теория
[24, 113], построенная в предположении, что вязкость постоянна
по толщине слоя. Обе эти теории приводят к выводу о том,- что Д
есть монотонная функция k, убывающая с ростом k. Кривые на
рис. 2.20 показывают, что при малых k его уменьшение приводит
не к увеличению, а к уменьшению Д. При этом следует ожидать, -
что при k = k* величина д терпит разрыв (см. штриховую кри-
ки
вую на рис. 2.20). Последнее объясняется "расположением равно-
действующих отталкивающих и притягивающих сил по разные
стороны от середины колодки. Поэтому, когда при малых k они
становятся равными друг другу (при этом Ф v = 0), момент,
создаваемый ими, нулю не равен и, согласно (2.148), Д оо.
При больших k результаты расчета приближаются к тому,
что дает изовязкостная теория. Вместе с тем при фиксированном
положении точки опоры наблюдается некоторое увеличение пара-
метра k по сравнению с изовязкостным случаем.
Если k рассматривать как функцию Д, то, как видно из
рис. 2.20, k =* k (Д) есть неоднозначная функция, так что при
заданном положении точки опоры теоретически можно получить
два значения &, из которых, по крайней мере, на стационарных
режимах, реализуется одно и притом большее. Это объясняется
следующим: в начальный период работы подшипника, ввиду боль-
шой инерционности тепловых процессов, масло не успевает разо-
греваться [38], и параметр k определяется, как при постоянной
вязкости, по формулам классической изотермической теории.
Поскольку при k > 2-т-3 положение центра давления весьма
' ТАБЛИЦА 2.11
Ре	0,4	1,4	0.48	2,8	ол	2.6	1.1
D	0,4	0,8	0,85	2,6	1,7	5,4	1,83
Ф	0,654	0,285	0,585	0,100	0,430*	0,12	0,571
01	1,40	1,40	1,66	1,66	1,85	2,04	1,20
0?	1,77 1,80	1,83 _ 1,86	2,27 2,34	2,36 2,42	2,71	3,20	1,90
					2,81	3,31	2,02
Os	1,60	1,60 1,62 "	2,00 2,08	2,00 2,02	2,30	2,60 2,64	1,31
	1,64				2,38		1,37
60fe	0,12 0,16	0,17 0,24	0,21 0,26	0,27 0,40	0,29 0,44	0,44 0,67	0,43 0,66
60s	0,17	0,23	0,27 ;0,26	0,36	0,41	0,60	0,59
	0,16	0,24		0,40	0,44	0,67	0,66
фр	0,088_ 0,092	0,088 0,090	0,070 0,074	. 0,070 0,072	0,060 0,063	0,053 0,055	0,092 0,092
I— Хс	0,396 0,393	0,398 0,393	0,397 0,393	0,400 0,393	0,399 0,393	0,402 0,393	0,400 0,393
101
близко к тому, что дает изотермическая теория, то последующий
разогрев смазки приведет к небольшой корректировке угла по-
ворота колодки, в соответствии с правой ветвью кривой А =
= A (к).
Из кривых на рис. 2.20 следует, что в области положитель-
ных значений гидродинамической реакции тахА < 0,5, что оз-
начает, что при построении теории и методов расчета Подшипников
реверсивных машин следует учитывать не только неизотермические
явления, но и другие факторы. В первую очередь сюда, по-види-
мому, относятся деформации поверхностей трения [56, 111,
112, 116] и теплоотвод от пленки (он снижает роль притягиваю-
щих сил).
Сравним еще результаты расчетов, рассмотренных в этой главе,
с тем, что дают формулы, полученные на основе осредненного под-
хода к решению тепловой задачи. Полагая в (2.96) i' = 1, для
средней по длине калориметрической температуры слоя получим
(как и выше, т = Т — /п7)
т то = тОТ1 + p.U0L (1 — <p)/(pcngbM).	(2.149)
Если р, определять по температуре Тт0, то (2.149) представит
собой квадратное уравнение для тт0. Решая эта уравнение и
определяя гидродинамическую реакцию слоя по вязкости р (тт0),
после вычисления необходимых коэффициентов получим
О,-
= 2O0-fll. о! = <>,[,+^<.^)--
р__	лу _ mtU0L2 ф,
М р —
9s = т5/то	}/х{ (i = 0,1);
p»z = р> (т,); Фр = Фроо/t.
(2.150)
Результаты некоторых из выполненных сравнительных рас-
четов при k = 3 представлены в табл. 2.11 [в знаменателе расчеты
по (2.150) ]. В расчетах фиксировался параметр k, а параметры Ре,
D и t подбирались с учетом расчетных данных по толщинам пле-
нок и температурным полям, полученных в гл. 4. В табл. 2.12
для этих же значений параметров приведены результаты вы-
числений по оценке притягивающего эффекта (k = 1). Помимо
уже упомянутых величин, в табл. 2.11—2.12 даны значения раз-
ности 60* = (т*2 — тта)/т,, определяющей собой безразмерный пе-
репад между температурой на поверхности колодки и калори-
метрической температурой слоя, и величины 6OS = О2 — Os.
При р = var для 60* имеем формулу 60* = (1 + a) Os— 02, а
в «изовязкостной» постановке при пк = 0 в силу (2.55) будет
Tk3 — Tm2 = Tm2 — Т„ так что 60* = 02 — Os.
102
ТАБЛИЦА 2.12
Ре	0,4	1,4	0,48	|	2,8	0,8	2,6	М
D	0,4	0,8	0,85	2,6	1,7	5,4	** 1,83
Ф	0,817	0,594	0,781	0,402	0,700	0,435	0,812
01	1,30	1,30 ч	1 1,50	1 1,50	1,64	1,79	1,15
О, •	1,71	1,81	2,19	2,47	2,62	3,33	1,79
Л»	1,60	1,60	2,00	2,00	2,30	2,60	1,31
So*	0,12	0,21	0,19	0,45	0,30	0,73	0,46
60s	о,и	0,21	0,19	0,47	0,32	0,73	0,48
ф₽	—0,0075	—0,021	.—0,0096	—0,030	—0,014	—0,027	—0,016
1— Хс	0,642	0,603	0,640	0,590	0,630	0,601	j 0,620
Кроме того, на рис. 2.21 приведены графики коэффициентов
нагрузки Фр (штриховая линия — по изовязкостной теории)
при Ре = 2,81, D = 39 и w = 0.
Рассмотрение таблиц и графиков
показывает, что в области значе-
ний k, близких к единице, учет пе-
ременности вязкости приводит
к уменьшению гидродинамической
реакции и сдвигу центра давлений
в сторону входной кромки, что
можно объяснить действием притя-
гивающих сил. При больших значе-
ниях k, а именно при k > 2,5 4-3,
оба метода расчета дают близкие результаты. При этом, однако,
наблюдается тенденция к завышению перепада температур Tk2 —
— Тт2, полученного по методу постоянной вязкости. Что касается
среднеинтегральных характеристик слоя (калориметрическая
температура и температура гребня, гидродинамическая реак-
ция), то они определяются формулами (2.150) с приемлемой
точностью.
юз
Глава 3
ГИДРОДИНА ИКА И ТЕПЛЭЭБЛЕН
B *KJPil/_zE 11ЭДШ ЛПЯ/1КА
Помимо процесов, происходящих в несущей масляной пленке,
работоспособность упорного подшипника во многом зависит
от гидродинамических и тепловых явлений в межколодочных ка-
налах, в зазорах между корпусом и гребнем, корпусом и колод-
ками и т. д. Объясняется это, в первую очередь, тем, что темпера-
тура масла на входе в масляный клин, коэффициенты теплоотда-
чи от деталей, окружающих слой, и, вообще, условия теплообмена
в подшипнике определяются не только масляной пленкой; йо
и всем подшипником в целом. Имеет значение и сам факт передачи
теплоты через колодки и гребень, поскольку при неравномерном
прогреве в деталях, окружающих слой, возникают тепловые де-
формации и, следовательно, искажается форма пленки. При
больших деформациях последнее приводит к снижению несущей
способности подшипника, при малых — может сыграть положи-
тельную роль [56, 111, 1121.
На работоспособность упорных подшипников, особенно в слу-
чае быстроходных машин, оказывают также влияние процессы
вихреобразования и вакуумирования масла, которые могут при-
вести к образованию газовых пузырей и нарушению питания под-
шипника свежей смазкой. По-видимому, здесь имеют значение
два обстоятельства: во-первых, газовые пузыри, способствуя
образованию застойных зон, увеличивают гидравлическое сопро-
тивление потоку масла и затрудняют теплоотдачу от колодок и
гребня; во-вторых, изменяются условия работы масляного клина.
Последнее связано с тем, что в газированн й масляной пленке
вследствие сжимаемости слоя деформируется эпюра давления.
[77). Указанные изменения особенно сильно проявляются при
значениях k [см. (1.34) 1, близких к единице, и приводят к возник-
новению момента, который стремится установить рабочую поверх-
ность колодки параллельно зеркалу упорного гребня. Расчеты
в работе [771 показывают также, что на основном режиме работы
подшипника (при достаточно больших k) гидродинамическая ре-
акция изменяется мало.
Если нагрузка на подшипник велика, то толщина минималь-
ной масляной пленки мала, и под действием тех или иных случай-
ных^факторов колодка может коснуться гребня. Это приведет
к увеличению силы трения и развороту колодки в сторону умень-
шения величины k. В случае обычной (несжимаемой) смазки ус-
ловия восстановления нормального рабочего положения колодки
после снятия нагрузки более благоприятны, при наличии газовых
пузырей, согласно 1771, менее б ;агоприятны. Таким образом,
при прочих равных условиях, вероятность разрушения подшип-
ника при смазке его вспененным маслом повышается.
104
Экспериментальные исследования [79 ] показывают, что суще-
ствует несомненная связь между нагрузкой, выдерживаемой под-
шипником. и отсутствием вакуумных зон: путем повышения
давления масла в корпусе удалось значительно повысить величину
разрушающего усилия на упорны подшипники быстроходных
машин. Вместе с тем, в упорных подшипниках больших габаритов
даже при высоких частотах вращения зависимость разрушающей
нагрузки от давления масла выражена гораздо слабее [14].
Если приведенные соображения о влиянии газовых пузырей
правильны, то такой результат легко объясняется наличием гаран-
тированного масляного клина: в опорных подшипниках он созда-
ется автоматически за счет радиального зазора, в упорных’— вслед-
ствие деформаций колодок (деформации увеличиваются с ростом
размеров).
3.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
И ТЕПЛОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В МЕЖКОЛОДОЧНОМ КАНАЛЕ
Экспериментальные исследования показывают, что одной из
особенностей гидродинамики межколодочного канала является
существование в нем закрученных потоков масла. Под действием
сил трения со стороны упорного гребня масло увлекается в движе-
ние и набегает на расположенную вниз по течению стенку канала
(входная грань колодки); Последняя, естественно, разворачивает
поток, и в результате частицы масла приходят во вращательное
Рис з I
движение вокруг оси, идущей вдоль канала ежколодоцный ка
нал (рис. 3.1) формируется колодками 2 и 4, подкладным коль-
цом 3 и упорным гребнем 1 182, 79] Вихревое движение смазки
в канале было обнаружено также экспериментально 1115 1, путем
непосредственного наблюдения за траекториями движения частиц
масла в пространстве между колодками. Визуализация потока
осуществлялась с помощью красящего вещества, впрыскиваемого
в канал (использовалась черная тушь).
105
Наличие таких вихревых движений важно по двум причинам:
во-первых, вихреобразование способствует появлению в канале
вакуумных зон (в центре вихря давление меньше, чем на пери-
ферии) и, таким образом, приводит к развитию кавитационных
явлений в масле, сопровождающихся появлением пены и газовых
пузырей. Местные вихри могут образовываться и в связи с резким
поворотом потока масла на входе в канал и выходе из него [12];
во-вторых, закрутка потока представляет интерес с точки зрения
теплового состояния' подшипника, поскольку движение масла
в вихре с достаточно большими скоростями, превышающими сред-
нюю скорость расходного течения через канал, может оказать
влияние на теплоотдачу.
Как показано в работах [82, 94], задача подавления вакуум-
ных зон в подшипниках быстроходных машин может быть решена
путем повышения уровня давления масла в корпусе (для этого
следует подавать масло в подшипник под более высоким давлением,
дросселировать слив, устанавливать специальные уплотнения
[94 ]) и с помощью соответствующей организации маслоснабжения
(подача масла производится от периферии к центру, и тем самым
осуществляется снос газовых фракций, которые имеют тенденцию
скапливаться в центральной части подшипника [79]). Конкрет-
ное значение давления подачи, необходимого для предотвращения
кавитационных явлений, зависит от скорости движения и особен-
ностей конструкции подшипника и должно быть подобрано так,
чтобы во всех точках масляного тракта давление не опускалось
бы ниже давления парообразования.
Рассмотрим теперь вопрос о температуре на входе в клин. Бу-
дем считать, что приняты меры для предотвращения ценообразо-
вания и вскипания масла. Поэтому газовые пузыри, которые сами
по себе могут представлять гидравлическое и тепловое сопротив-
ление, отсутствуют, масло в подшипнике находится под давле-
нием, и межколодочный канал целиком заполнен маслом. Во время
работы подшипника через канал прокачивается свежее масло,
которым он должен обеспечить несущий^ смазочный слой. В теориях
классического направления рассматривается тот идеальный слу-
чай, когда в межколодочном канале происходит полная очистка
масла, отработавшего под предыдущей колодкой. В этом случае
в пленку поступает только охлажденное свежее масло, так что
температура в начальном сечении пленки принимается равной
температуре на входе в подшипник. Вместе с тем понятно, что
‘полная замена отработавшего масла свежим невозможна, и,
таким образом, температура масла на входе в клин будет больше
значений, принимаемых в расчетах по классической теории. Для
учета этого обстоятельства в некоторых методиках [58 ] предлага-
ется несколько повышать расчетное значение входной темпера-
туры, однако такой способ не дает возможности учесть влияние
условий работы подшипника и особенностей его конструкции и
носит поэтому условный характер.
106
Рассмотрим более подробно физическую картину явлений,
сопровождающих процесс охлаждения и очистки масла, отра-
ботавшего в подшипнике. Эту картину можно представить следу-
ющим образом. Горячая смазка, нагретая под колодкой, поступает
в межколодочный канал. Здесь она, с одной стороны, захватыва-
вается упорным диском, который увлекает ее на вход в следующий
масляный клин, а с другой — взаимодействует с потоком свежего
масла, текущего вдоль канала.
Известны два способа организации подачи свежей смазки
в упорных подшипниках. Первый способ применяется в подпят-
никах гидрогенераторов и состоит в том, что при вращении
упорного диска в масляной ванне под действием центробежных
сил происходит циркуляция масла, и, таким образом, оно про-
качивается через каналы между колодками [12, 32]. Картина
движения в масляной ванне выглядит примерно так. Вращаясь,
диск приводит во вращение примыкающее к нему масло. Возни-
кающие при этом центробежные силы уравновешиваются гидро-
динамическими давлениями, которые, естественно, повышаются
по мере удаления от оси вращения (косвенно это увеличение дав-
ления проявляется в повышении уровня масла у краев масляной
ванны). У дна ванны вращение жидкости в результате действия
сил трения затруднено. Поэтому в пограничном слое, который об-
разуется на дне ванны, скорости вращения частиц масла умень-
шены (они постепенно убывают от максимального значения в
ядре потока в центральной части ванны до нуля на дне) и, таким
образом, центробежные силы также снижены. Давление же, как
это следует из теории пограничного слоя, остается таким же, как
в ядре потока вне пограничного слоя. Поскольку теперь уже пе-
репад давлений по радиусу не уравновешивается соответству-
ющими центробежными силами, то скорости движения частиц
масла должны иметь составляющую, направленную к центру
ванны. В результате возникает циркуляционное движение: у дна
ванны —'к центру, у свободной поверхности — к периферии
(см. [10, 86]), которое приводит, в частности, к тому, что в каналах
между колодками масло движется от внутреннего радиуса к на-
ружному. Примерно такая картина движения была обнаружена
экспериментально [32], причем было также показано, что ско-
рость расходного течения через канал пропорциональна скорости
вращения диска. К сожалению, количественные результаты, по-
зволяющие оценить величину расхода через канал, в работе [32]
не приведены.
Другой способ организации маслоснабжения подшипника,
широко используемый в турбино- и компрессоростроении, состоит
в принудительной прокачке подшипника маслом от специаль-
ного насоса (иногда совмещенного с упорным гребнем подшипника
[79]). В этом случае расход через подшипник можно считать за-
данной величиной, а расход через канал определяется как частное
от деления полного расхода на число колодок. Вообще говоря,
107
при оценке практически реализуемого значения расхода через
канал следовало бы считать > с возможностью циркуляции масла
в подшипнике, подобной юй, которая была списана выше при-
менительно к подпя1никам гидрогенераторов. Вместе с тем в под-
шипниках рассма1риваемого типа проходные «рец ркуляционные»
сечения, образуемые зазорами между колодками и подкладным
кольцом, малы. Поэтому соответствующие расходы также малы,
и ими можно пренебречь. Этот вывод следует также из экспери-
ментов на подшипниках паровых турбин (84 J и, в известной сте-
пени, подтверждается результатами работы [121, в которой было
показано, что увеличение гидравлического сопротивления в ванне
подпятника затрудняет циркуляцию. Таким образом, для опре-
деления расхода в канале вполне допустимо исходить из значения
расхода через подшипник. Далее будем имет^дело только с под-
шипниками с рассмотренной сейчас организацией смазки. По-
скольку расход смазки в этом случае известен, то оказывается
возможным оценить и характер взаимодействия между потоком
свежего масла, текущего в канале, и горячим маслом, отработав-
шим под предыдущей колодкой.
Оценим предварительно скорости частиц масла, вышедшего из
клина в межколодочный канал. Можно предположить, что эти
скорости близки к скорости на поверхности упорного диска.
Дело в том, что толщина масляного клина, особенно при высоких
нагрузках на подшипник, мала. Во всяком случае самими уравне-
ниями теории смазки можно пользоваться для очень тонких
слоев, таких, что силы инерции оказываются существенно мень-
шими, чем силы трения, и ими поэтому в уравнениях гидродина-
мики можно пренебречь. Иначе обстоит дело с межколодочным
каналом. Здесь твердых стенок, тормозящих движение жидкости
непосредственно у поверхности упорного гребня, нет. Поэтому
основное изменение скорости на диске происходит в пределах
более широкой зоны, где инерционные и вязкостные слагаемые
имеют один порядок значений (ширина зоны определяется тол-
щиной пограничного слоя). Вблизи же диска, на расстояниях,
имеющих порядок толщины пленки, скорость изменяется слабо.
Следовательно, частицы масла, вышедш е из несущего слоя и
захваченные упорным диском, на большей части своего пути
в межколодочном канале будут иметь окружную скорость, близ-
кую к скорости диска. Естественно, что этот вывод тем точнее,
чем меньше толщина пленки. Полученный результат, по существу,
означает, что масло, вышедшее из клина, не размывается маслом,
находящимся в канале, а в виде тонкой пленки увлекается на
вход в следующий по течению масляный клин.
Помимо окружных скоростей необходимо иметь в виду воз-
можность продольного движения масла (вдоль канала). Оценим
характер продольных движений в самой пленке Важность этого
вопроса определяется тем, что, если бы удалось осуществить
сброс горячей пленки с упорного диска, то это могло бы сущест-
108
венно уменьшить температуру масла на Входе в клин и, таким об-
разом, снизило бы общий температурный уровень слоя и повысило
бы его несущую способность. К сожалению, те скорости расход-
ного движения, которые реально можно осуществить в межколо-
дочном канале, не позволяют решить эту задачу.
Возьмем, например, подшипнике расходом Gv = 1,5-10‘3 м3/с,
числом колодок гк = 8 и с площадью поперечного сечения канала
F = 2 X 2 см2. В этом случае средняя скорость будет =
0,5 м/с. Ясно, что скорости радиального движения, создаю-
щегося при прокачке масла через подшипник, во всяком случае
по порядку не больше vm, а у твердых стенок, в результате под-
тормаживания потока, они еще меньше и, следовательно, весьмЗ
малы по сравнению с окружными скоростями диска, величина
которых в подшипниках быстроходных машин составляет несколь-
ко десятков метров в секунду. Таким образом, рассчитывать
на то, что пленку горячей смазки удастся смыть с диска путем
прокачки масла через подшипник, нельзя.
Продольные движения в пленке могут также возникнуть под
действием центробежных сил. Поскольку, однако, толщина пленки
мала, то и скорости соответствующих радиальных движений vr
по сравнению с окружными также будут малы. Этот результат
получается тем же путем, что и вывод о возможности отбрасыва-
ния инерционных членов в уравнениях теории смазки. Уравнение
для vr можно записать в виде pd2vrldy2 — —pv^lr.
Полагая иф = //оиф; vr = Vrvr ; у = hy\ г = rR, где Uo —
окружная скорость при среднем радиусе; Vr — характерное
значение радиальной скорости, находим Vrd2vrldy2 =
= —в2 Re Uov%/r-, е = h/R; Re = pU0R/y.
Величины d'vrldy2 и йф/г имеют порядок единицы, и для Vr
получаем оценку Vr = е2 Re t/0.
При малых толщинах пленки величина в2 Re мала и, следо-
вачрльно, Vr < Uo- Как и в гл. 1, этот результат тем точ-
нее, чем меньше толщина пленки по сравнению с размерами под-
шипника.
Проведенные оценки говорят о том, что в пределах межколо-
дочного канала снос пленки в радиальном направлении мал.
Поэтому отработавшее масло, вышедшее из клина в канал, прак-
тически целиком попадает в слой под следующую по направлению
вращения колодку. Этот вывод подтверждается и прямыми экс-
периментамй на упорном подшипнике с прозрачным диском
[115]. Посредством введения в несущий слой красящего вещества
(черная тушь), оказалось возможным проследить за движением
частиц масла, вышедшего из слоя в канал. Опыты проводились
при угловой скорости до 3000 об/мин. Нагрузка на подшипник
была весьма низкой (около 0,2 МПа). В таких условиях следует
ожидать достаточно больших толщин масляных пленок, в связи
с чем инерционный снос масла в канале мог проявить себя в наи-
более. полном виде (по сравнению с тем, что можно ожидать
109
в реальных условиях эксплуатации высоконагруженных упорных
подшипников). Однако никакого сноса этих частиц в пределах
канала обнаружено не было. Опыты, таким образом, подтвер-
ждают вывод о том, что влияние центробежных сил на характер
движения пленки отработавшего масла в межколодочном канале
несущественно.
. Тот факт, что отработавшее горячее масло, вышедшее в канал
из слоя, целиком переходит в следующий масляный клин, застав-
ляет более тщательно подойти к оценке температуры масла на
входе в зазор. Следует иметь в виду, что масло, переносимое ди-
ском через межколодочный канал в виде горячей пленки, вышед-
шей из зазора, лишь частично покрывает потребности в смазке,
поступающей на вход в клин. Дело здесь в том, что под действием
давления, развивающегося в несущем слое, часть масла выбрасы-
вается из слоя непосредственно в корпус подшипника в виде бо-
ковых утечек. Последнее означает, что, помимо плерки, перено-
симой диском из-под одной колодки под другую, на вход в клин,
для компенсации боковых утечек, должно еще поступать и све-
жее масло из межколодочного канала. Поскольку можно ожидать,
что температура этого масла ниже температуры горячей смазки,
отработавшей в слое, то тем самым и температура на входе будет
меньше ее значения Тт2 на выходе из клина. В работе [85] было
предложено определять входную температуру как среднекалори-
метрическую из температуры Тт2 и температуры свежего масла Т,,
дополнительно поступающего из межколодочного канала. Вели-
чина Tit согласно [85], считалась равной температуре холодного
масла Т[ на входе в подшипник. Такой способ определения тем-
пературы Т,, по существу, равносилен допущению, что холодное
масло подсасывается в смазочный слой непосредственно из цен-
тральной ненагретой части канала. Естественнее, однако, было бы
считать, что на вход в клин масло прежде всего поступает из
той области, которая примыкает к упорному гребню. Не останав-
ливаясь на более подробном анализе, отметим, что предположение
о преимущественной роли слоев масла, непосредственно приле-
гающих к переносимой через канал горячей пленке, подтвержда-
ется экспериментом. Таким образом, ца вход в клин поступает,
во-первых, горячее масло, нагретое под предыдущей колодкой, а,
во-вторых, масло, которое находится в тесном соприкосновении
с прилипшей к гребню горячей пленкой и имеет поэтому темпе-
ратуру, несомненно большую, чем температура свежего масла
в центральной части канала. Рассмотренная схематизация про-
цессов в канале приводит к выводу, что основное значение с
точки зрения охлаждения масла в слое и, в частности, снижения
температуры на входе в клин приобретает отвод теплоты от пленки
между колодками. Последний может быть осуществлен, прежде
всего, за счет прокачки через канал холодного масла, которое за-
бирает выделившуюся теплоту и уносит ее из подшипника. От-
110
сюда следует также, что при тепловом расчете смазочного слоя
нужно не столько интересоваться входной температурой (во вся-
ком случае ее нельзя задавать произвольной), сколько обращать
внимание на определение коэффициента теплоотдачи от пленки.
3.2. ВИХРЕ0БРА30ВАНИЕ В МЕЖКОЛОДОЧНОМ КАНАЛЕ.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
При движении гребня, который ’захватывает прилипшую
к нему смазку, частицы масла, набегая на стенки канала, раз-
ворачиваются ими и приходят в круговое движение (см. рис. 3.1).
Рассмотрим закономерности этого движения в рамках плоской
задачи (во всех параллельных друг другу сечениях канала, пер-
пендикулярных его оси, картина движения предполагается одной
и той же). Пренебрегая течениями в зазоре между колодками и под-
кладным кольцом, которые, ввиду малости этого зазора, не могут
оказать заметного влияния
на гидродинамику канала в
целом,схему задачи пред-
ставим в виде рис. 3.2. При
этом на рис. 3.2, а, по-
скольку толщина слоя мала
по сравнению с размерами
канала, предполагается,
что движущаяся пластина
примыкает к стенкам ка-
нала плотно, без зазора.
Учет влияния пленки мас-
ла, вышедшей из-под пре-
дыдущей колодки, произ-
водится с помощью схемы
на рис. 3.2, б.
В указанной сейчас
постановке задача соот-
ветствует известной гид-
родинамической задаче о движении жидкости в нише [65,
99, 107, 114]. Полученные решения, как правило, выполнялись
численно, путем решения на ЭВМ уравнений йавье—Стокса
для плоского движения жидкости. В основном, рассматривался
случай схемы на рис. 3.2, а. Кроме того, в работе [65 ] исследо-
валось движение по схеме рис. 3.2, б, но для величин Н;, соиз-
меримых с размерами ниши (в подшипниках Hf Н). Результаты
расчетов показывают, что, как и следовало ожидать, жидкость
в нише движется по замкнутым траекториям, и, таким образом,
происходит закрутка потока движущейся пластиной. При этом
были обнаружены и некоторые особенности гидродинамики таких
потоков, проявляющиеся в образовании вихрей в углах b и с
ниши, а также в дополнительном вихреобразовании в случае
111
“ глубоких ниш (значение Н в несколько раз больше ширины ка-
нала С, см. [107]). Вместе с тем, в выполненных решениях числа
Рейнольдса Rer = U0Clv были сравнительно невелики (это объ-
ясняется тем, что при больших Rec требуется большой объем па-
мяти, который не в состоянии обеспечить современные вычисли-
тельные машины). Поскольку в межколодочных каналах упорных
подшипников быстроходных машин значение Rec составляет
ГО4—10s, то в применении к подшипникам указанные результаты
имеют скорее качественный, чем количественны^ характер. По-
этому целесообразно рассмотреть задачу при больших Rec.
Как известно, при больших числах Рейнольдса область, в ко-
торой преимущественно проявляются силы трения и происходит
основное изменение скорости, сосре-
доточена в непосредственной бли-
зости от твердой стенки (погранич-
r^/	i	ны® сл°й)- Естественно воспользо-
к/Н [ Ядропотока \	ваться этим обстоятельством и в рас-
Jvfl I----1----сматриваемом случае. Ориентируясь
2 wL\	/ ffy ° еще на Результаты расчетов при
1 у J//7 умеренных значениях ReC) можно
---представить картину движения
в нише таким образом: в перифе-
с--рийной части ниши, на стенках об-
разуется пограничный слой (зона I
Рис- 3.3	на рис. 3.2, а), а в центральной
части располагается невязкое ядро
(зона II на рис. 3.2, а), в котором жидкость совершает враща-
тельное движение, а силы трения малы и ими можно пре-
небречь.
В такой постановке (схематизация потока в виде пограничного
слоя и ядра) задача рассматривалась в работе [93 и др. ] примени-
тельно ,к случаю двух цилиндров (рис. 3.3), один из которых
(цилиндр 1) неподвижен, а другой (цилиндр 2) вращается*. Ци-
линдры 1 и 2 входят друг в друга плотно, без зазора (в этом от-
ношении задача аналогична задаче по схеме на рис. 3.2, а),
а цилиндр 1 имеет прорезь (ее ширина равна С), так что жидкость,
находящаяся внутри цилиндра 1, соприкасается со стенкой под-
вижного цилиндра 2 и приводится им в движение. В известном
смысле, по крайней мере, в отношении закрутки потока, течение
жидкости в цилиндре аналогично случаю движения жидкости
в камере (см. рис. 3.2, а).
Особенность рассматриваемой задачи, отличающая ее от за-
дачи расчета пограничного слоя в классической постановке, со-
стоит в необходимости определения скорости на внешней границе
слоя. Рассмотрим более подробно задачу по схеме на рис. 3.3.
Очевидно, что скорости, с которыми жидкость движется в ядре
потока, развиваются постепенно, по мере разгона внешнего ци-
линдра 2. В начальный момент цилиндр 2 и жидкость внутри него
112
неподвижны. Когда цилиндр 2 начинает вращаться, приходит
в движение и жидкость, увлекаемая силами трения, действующими
на участке С. Ускоряясь на участке С, жидкость тормозится стен-
ками- цилиндра 1. В результате получаем некоторый установив-
щийся периодический режим движения, когда разгон сменя-
ется торможением и обратно, а ядро потока движется, по существу,
уже по инерции. При этом очевидно, что в сумме силы трения
(или моменты трения) на подвижном и неподвижном участках
должны давать нуль. Из общих выводов теории пограничного
слоя следует, что при больших числах Рейнольдса силы трения
проявляются только в пристенной области. Поэтому можно счи-
тать, что ядро потока при больших Rec практически занимает всю
область внутри цилиндров. Таким образом получаем, что ядро
имеет форму круга и, в силу симметрии задачи, поля давлений и
скоростей в нем не зависят от угловой координаты. И более того,
поскольку силы трения в ядре, по предположению, отсутствуют,
то оно может двигаться только как твердое тело. Действительна,
записывая, с учетом угловой симметрии, выражение для напря-
жения трения в виде [66] ргЧ> == ргд (у^г)1дг и приравнивая его
нулю, получаем v^/r = о = const, т. е. жидкость вращается
как твердое тело с угловой скоростью © (см. также работу [93],
где для общего случая плоского движения с замкнутыми линиями
тока доказывается, что внутри невязкого ядра вихрь rot v дол-
жен иметь постоянное значение).
Что касается численного значения угловой скорости ядра,
то оно определяется скоростью на внешней границе пограничного
слоя и может быть найденр из условия равенства нулю суммарной
силы трения на каждой линии тока, взятой внутри пограничного
слоя. Вводя в рассмотрение функцию тока ф и имея в виду, что
и = ду/ду, для напряжения трения в пограничном слое получим
т = \kduldy = 0,5рди2/дф.	(3.1)
Выполняя здесь интегрирование по длине слоя и приравнивая
результат нулю, получаем, что вдоль каждой линии тока
i
и2т = -j- J u2dx = const.	(3.2)
о
На внешней границе пограничного слоя скорость и ?= U°
постоянна и интеграл (3.2) обращается в С/02, а на стенке бупет
и2т = ЩСИ. Таким образом, для £/° имеем
U9 = U0k s,	(3.3)
где s — CH.
Условие (3.2) и формула (3.3) (несколько более формальным
путем) были впервые получены в работах [93, 106].
113
"о
Vo
V,
>777/77777
Рис. 3.4 I
I
I
Рассмотренная задача о движении вязкой жидкости внутри ци-
линдра по схеме на рис. 3.3 полностью аналогична задаче о по-
граничном слое на пластине, состоящей из подвижного и неподви-
жного участков, периодически чередующихся друг с другом
(рис. 3.4). В этом случае разгон жидкости вне пограничного слоя
также осуществляется под действием сил трения со стороны под-
вижной пластины, и после выхода на станционарный режим
дальнейшее движение- происходит по инерции. Что касается по-
граничного слоя, то он оказывается периодическим по х. Соот-
ношения (3.1)—(3.3) по-прежнему сохраняют силу.
В схемах на рис. 3.3 и 3.4 предполагается, что градиент дав-
ления равен нулю. Картина движения в нишах прямоугольного
поперечного сечения сложнее: во-первых, давление в пограничном
слое в результате набе-
гания потока на стенку
не остается постоянным;
во-вторых, как показы-
вают численные решения
соответствующей системы
уравнений Навье—Стокса
и экспериментальные ис-
следования [106], более сложной становится и сама картина
движения (помимо основного центрального вихря возможно
еще вихреобразование в углах ниши). Все это существенно
осложняет решение задачи. Вместе с тем эксперименты, выпол-
ненные для ниши квадратного поперечного сечения при Rec =
= 10Б, показали, что градиент давления по периметру ниши
изменяется сравнительно не сильно, а скорость на периферии
ядра примерно постоянна и близка'к £/° = О,5(/о П06]. Этот ре-
зультат можно объяснить тем, что образование угловых вихрей
приводит к оттеснению линий тока от стенки, вследствие чего
их форма приближается к круговой и течение в невязком ядре
становится близким к течению по схеме на рис. 3.3. Что касается
численного значения скорости на периферии вихря U° = O,5f/o,
то оно может быть получено из (3.3) при I = 4С, т. е. схематиза-
ция течения в виде ядра потока и безотрывного ламинарного по-
граничного слоя дает приемлемые результаты и для ниш квадрат-
ного поперечного сечения. В нишах, форма которых сильно от-
личается от квадратной, картина движения жидкости будет, по-
видимому, более сложной. Вместе с тем в практическом отношении
наибольший интерес представляет первый случай, так как в боль-
шинстве подшипников поперечное сечение межколодочного канала
близко к квадрату. Поэтому в дальнейшем градиент давления
будем считать равным нулю, а саму задачу схематизируем в виде
безотрывного пограничного слоя на пластине (см. рис. 3.4) или
в цилиндре (см. рис. 3.3).
Численное решение. В условиях рассматриваемой задачи
уравнения пограничного слоя целесообразно записать в форме
114
Прандтля—Мизеса (86]. Полагая, в соответствии со сказанным
выше, др/дх —' 0, получим
диЧдх = чи&иЧд^.	(3.4)
Здесь х — координата вдоль линии тока; v — кинематическая
вязкость; ф — функция тока. Составляющие скорости вдоль
стенки и и по нормали к ней v связаны с ф формулами:
и — dty/dy; v = —дф/дх.	(3.5)
Перейдем к безразмерным переменным, положив (см. рис. 3.3
и рис. 3.4):	~
П2 = <М х = Е/; ф = t70/Re70’4
Rez = C/0//v.	(з.б) V
Тогда уравнение (3.4) примет вид з
d(f/dl = I (рд2([/дт|2.	(3.7)
2
Сформулируем граничные усло-
вия. Полагая функцию тока ф рав-
ной нулю на стенке, получаем •
<р(£,0) = 1 при 0<£<s;
<f(g,O) = O при s<|<1.	(3.8) °
На внешней границе погранич-
ного слоя обычно задают скорость.
В нашем случае этого сделать нельзя, поскольку скорость
должна быть найдена в результате решения задачи. Поэтому вос-
пользуемся тем обстоятельством, что на достаточно большом удале-
нии от стенки напряжение трения равно нулю, и положим [см.
(3-1)]
дф дт) | п=п* = 0 ОТ ~> °0)-	(3.9
К условиям (3.8) и (3.9) следует присоединить условие перио-
дичности
<р(В, п) = Ф(В + 1, П).	(3.10)
Численные результаты (см. подробнее [48]) были получены
для случая s = 0,25, что соответствует пограничному слою на стен-
ках канала квадратного поперечного сечения. При этом для ско-
рости на внешней границе пограничного слоя получилось ее тео-
ретическое значение ийШй — 0,5, силы трения 7\ и Т2 на под-
вижной и неподвижной стенках равны О,34р.(/о V Rez .
На рис. 3.5 построены кривые и = й (у), где й — иШй, у —
= yVReJl, которые дают представление о характере развитие
профиля скорости в пограничном слое.
Приближенное решение. Следуя [106], линеаризуем уравне-
ние (3.4), заменив коэффициент при д2иа/дф2 на каждой линии тока
115
его среднеквадратичным значением ит ~ ]/ s Uo. Тогда, в силу
(3.2), после перехода к переменным (3.6), получим уравнение
dtf/d^ = sd2([/<5r]2.	(3.11)
Согласно (3.10) решение уравнения (3.11) должно быть периоди-
ческой функцией £ (с периодом £ = 1). Отыскивая ее в виде ве,-
щественной части ряда
^5^ ak (n) exp (2nikl) (i = V
и удовлетворяя граничным условиям (3.8) и (3.9), получим
ф _ , + 4 Re {	 Lr- “И- ехр [2я,че -
I А=1
/я^(1 + <)Т1 1	,о 1
$о,25 Jr	(o.iz;
Переходя в (3.12) к пределу при т] -> оо, получаем <р -> s,
что согласуется с (3.3) и результатами численного решения при
s = 0,25.
Безразмерная сила трения на стенках согласно (3.12) получа-
ется равной 0,366 (см. [44 ]), что достаточно близко к значению
0,34, полученному на ЭВМ. Этот результат в сочетании с вычисле-
ниями по определению скорости на внешней границе погранич-
'ного слоя, где обнаруживается полное совпадение с точным и
численным решениями, свидетельствует о достаточной точности
приближенного метода.
Учет влияния слоя смазки,' вышедшей из-под предыдущей
колодки. Рассмотрим схему по pjic. 3.2, б. Здесь между нишей
и подвижной пластиной имеется зазор Hf. Вообще говоря, масло,
выходящее из зазора и поступающее в канал, уменьшает воздей-
ствие подвижной пластины на масло, находящееся в центральной
части камеры, и, таким образом, приводит к уценыпению ин-
тенсивности вихря в канале.
Разобьем область, занятую маслом, на три зоны: невязкое яд-
ро III, пограничный слой //, струя масла /, вытекайлцего из-под
Предыдущей колодки. Предположим, что существует разделяющая
линия тока, которая отделяет зону I от зоны II. С физической то-
чки зрения такое предположение вполне естественно. Оно под-
тверждается также результатами численного решения [65].
В области II движение масла описывается уравнениями по-
граничного слоя..Как и ранее, их целесообразно записать в форме
Прандтля—Мизеса. При этом, поскольку др/дх — 0, снова полу-
116
чаем уравнение (3.4). Это же уравнение пригодно и для области /,
так как здесь толщина слоя мала.
Порядок решения задачи может быть намечен в следующем
виде. Зададимся выражением для скорости на участке dea разде-
ляющей линии тока. Пусть это выражение содержит п неизвест-
ных параметров. Тогда, решая при соответствующих граничных
условиях уравнение (3.4) для областей / и II соответственно,
сможем подсчитать напряжение трения на линии dea при под-
ходе к ней из зоны / и зоны" II. Разбив теперь линию dea на п
участков и потребовав, чтобы-на каждом из них силы трения,
определенные указанным способом, равнялись друг другу, полу-
чив п уравнений для определения п неизвестных параметров.
Исследование (см. [44 ]), выполненное для случая п — 1
с помощью уравнений, линеаризованных по типу (3.11), показало,
что скорость на разделяющей линии тока удовлетворяет уравне-
нию
1-Фт = (р0Ф3^,	(3.13)
где	________
Фт = (н/</0)8; <Р° = f (s) W1 V 0,5 Rez/n.
Здесь f — функция s и коэффициента расхода g2 на выходе из
слоя; при s = 0,25 и g2 = 0,6 f 3,4.
Рассмотрим пример. Возьмем Uo = 50 м/с, I = 0,1 м (этому
значению I соответствует ширина канала- С — si — 2,5 см).
Толщину пленки на выходе из слоя возьмем равной h2 = 10 мкм =
= 10-10“® м; вязкость масла v0,5-10-5 ма/с (для турбинного
масла 22 принятое значение вязкости достигается при темпера-
туре порядка 90 °C). Тогда
Rez = 50-0,1 /(0,5 • 10"6) = 10е; h.Jl = 10-4; <р° «0,14.
При увеличении температуры до 140—150 °C вязкость снижается
примерно в два раза, так что Rez «=> 2- 10е и <р°	0,20, а при
уменьшении температуры до 50—60 °C вязкость увеличится при-
мерно в три раза, так что Rez == 0,3- 10е и <р°	0,08. С увеличе-
нием нагрузки на подшипник, что вызывает уменьшение тол-
щины пленки, значение <р°, как это ясно из (3.13), будет уменьша-
ться. Снижение нагрузки приводит к обратному результату.
Решая уравнение (3.13), получаем, что при изменении ф° в ука-
занном диапазоне значений Ф,п находится в пределах 0,83—0,92,
а * Ф,а, представляющая собой, согласно (3.13), среднеквадрати-
ческое значение скорости на разделяющей линии тока, изменяется
при этом от 0,91 до 0,96 и оказывается, таким образом, близкой
к единице.
Для скорости на периферии вихря также получаем значения,
мало отличающиеся от случая отсутствия смазочной прослойки,
переносимой из-под одной колодки под другую.
117
Тот факт, что скорость на разделяющей линии тока оказыва-
ется близкой к скорости подвижной пластины, показывает, что на
большей части своего пути в межколодочном канале пленка масла,
вышедшего из-под предыдущей колодки, движется с постоянной
скоростью и имеет толщину, равную частному от деления рас-
хода, приходящегося на единицу ширины пленки, на скорость
подвижной пластины. Основное изменение толщина пленки пре-
терпевает на участке развития
течения, вблизи входа в^канал.
Вихреобразование при тур-
булентном режиме течения.
Числа Рейнольдса, достига-
ющиеся при течении масла
в межколодочном канале, мо-
гут быть велики. Это делает,
в принципе, возможным воз-
никновение турбулентности.
Предполагая, что течение всюду
турбулентно, для- схемы на рис. 3.2 можно получить следующую
зависимость безразмерной скорости на периферии вихря й° =
= ий1ио от s [44]:
1 -f <Р2 (й°) ’ 44 ’
й» Г 7(1-«>) 11/8
1 — йо [ 1 _|_ 7йо J •	О514*
s =
На рис. 3.6 приведен график (кривая 2) зависимости безраз-
мерной скорости й° в функции от величины $, построенный по
формуле (3.14). Здесь же показана кривая /, определяющая ско-
рость на периферии вихря в случае ламинарного пограничного
слоя [формула (3.3) ]. Из сопоставления кривых 1 и 2 видно, что
интенсивность вихреобразования в ядре потока при турбулентном
режиме в целом ниже, чем при ламинарном. В частности, при
s = 0,25 вместо й° = 0,5 для ламинарного пограничного слоя
получаем й° = 0,36 при турбулентном.
3.3. ВЛИЯНИЕ ПРОКАЧКИ МАСЛА
НА ЗАКРУТКУ ПОТОКА..
ОЦЕНКА ВАКУУМА В КАНАЛЕ
Выполненные расчеты приводят к сравнительно большим зна-
чениям для скорости закрутки потока в канале между колодка-
ми: по расчетам скорость на периферии вихря имеет значение
порядка 0,4—0,5 скорости на упорном гребне. Косвенно о закру-
ченности потока можно судить по перепаду давлений, который
создается по сечению канала в результате действия центробежных
сил. Последний определяется по формуле Ар = 0,5р(/02, где U° —
скорость на периферии закрученного ядра. По результатам изме-
рений давлений в отдельных точках масляного.тракта в упорных
подшипниках в работе [82] приводятся оценки для U°, которые
составляют (0,2-г-0,4) Uo, что в целом меньше полученных выше
118
расчетных значений как при ламинарном, так и при турбулентном
режиме движения. Вместе с тем эксперименты [106] хорошо под-
тверждают теорию и приводят к значениям U°, близким к O,5t/o-
Одно из возможных объяснений отмеченного противоречия состоит
в том, что масло, поступая в канал незакрученным, вовлекается
во вращательное движение постепенно, по мере удаления от вход-
ного сечения. Поэтому значения Ар, подсчитанные по скорости U°,
следует рассматривать лишь как предельные, устанавливающиеся
при полной закрутке потока. Для анализа этого вопроса заменим
приближенно межколодочный канал круглой трубой 2 с подвижной
(на части длины окружности) стенкой 1,
закручивающей поток (см. рис. 3.3 и
3.7). При больших числах Рейнольдса
UqRIv в пристенной области образуется
пограничный слой, толщина которого
мала по сравнению с радиусом трубы.
Силы трения в пограничном слое рас-
кручивают остальную часть жидкости,
находящейся в трубе, — ядро потока,
и если бы жидкость через трубу (не
прокачивалась, то ядро - вращалось
бы как твердое тело, с угловой ско-
ростью, равной отношению скорости на
внешней границе пограничного слоя (/°к
радиусу трубы R. При наличии прокач-
ки, когда на входе в трубу крутка отсутствует, жидкость в ядре
закручивается постепенно, по мере того как она продвигается
вниз по потоку и все большие объемы масла вовлекаются во вра-
щательное движение. Ввиду малости скорости расходного те-
чения через межколодочный канал по сравнению с t/0, продоль-
ная компонента скорости вблизи стенки также мала и поэтому,
как показывает анализ соответствующих уравнений, слабо вли-
яет на закрутку потока в пристенной области. Отсюда следует,
что окружные скорости в пограничном слое и, в частности, на его
внешней границе определяются зависимостями, полученными
ранее. Но в таком случае окружную скорость на периферии ядра
С/° можно считать известной, и задача сводится к изучению раз-
вития течения во вращающейся трубе. При этом, ввиду того что
скорость U° не зависит от угловой координаты <р, течение будет
осесимметричным.
Решение задачи, выполненное с помощью метода С. М. Тарга
[70], дано в [45]. На рис. 3.8 представлен график для коэффи-
циента с в формуле
Др = cpt/02,	(3.15)
где Ар — перепад давлений по сечению канала, развивающийся
в результате действия центробежных сил. На оси абсцисс отло-
жен параметр vz!Gc, где Gc = л/?2И7 есть расход через канал.
119
Из графика видно, что величина с достигает своего предельного
значения с = 0,5, которое развивается в случае полной закрутки
ядра потока, лишь при больших значениях параметра vz/G
(т. е. или на больших расстояниях от входа в трубу или при малых
расходах). Оценим порядок величин, с которым приходится
иметь дело в упорных подшипниках. Рассмотрим для этого под-
шипник со следующими характеристиками: ширина колодок (она
же длина канала) В = 4,5-10-ам, кинематическая вязкость
масла v — 0,2-10-4 ма/с, расход через подшипник Gz — 10“3 м3/с,
число колодок 10, расход через канал Gc = Gs/10 = 10"4 м3/с.
Тогда, принимая г = В, получим vBIGc = 0,009, с = 0,14. Рас-
смотренный пример в достаточной степени типичен и свидетель-
ствует о том, что практический интерес может представить,
главным образом, начальная часть кривой с = f (yz/Gc), т. е.
та ее область, которая соответствует
еще не раскрученному полностью
потоку. В этой области перепад дав-
лений заметно зависит от парамет-
ров потока в, канале. Так, при
уменьшении расхода через канал
в два раза величина с возрастает до
0,21, а при таком же увеличении
расхода она падает до 0,09.
Подсчитаем еще эквивалентную скорость на периферии вихря
(/“кв, понимая под ней ту скорость на внешней границе полностью
закрученного ядра, при которой перепад давлений равен заданному
значению Др. Из (3.15) получаем £/экв = Г2с1/°, что при U° =
— O,5t/o дает t/?KB = |/ Q,5cU0. Используя найденные выше зна-
чения с, в зависимости от расхода через подшипник, получим
t/экв = (0,21 ... 0,33) Uo. Это значение меньше, чем 0,5£7о и ле-
жит в пределах (0,2 ... 0,4) Uo, которые были получены в ра-
боте [82].
Выполненные расчеты показывают, таким образом, что, при
одной и той же скорости на внешней границе пограничного слоя,
образующегося на стенках трубы, закрутка потока в канале
в целом (количественно ее можно оценивать значением t/экв)
может изменяться в сравнительно широких пределах. Максималь-
ной она будет в условиях плоской задачи и заметно снижается
при наличии продольных течений. При этом характер движения
жидкости в пристенной области и скорость на периферии погра-
ничного слоя, если только выполнено условие W <? Un, остаются
теми же, а уменьшение закрутки, по сравнению со случаем пло-
ской задачи, происходит потому, что вращатель ым движением
охвачена только часть ядра потока.
Следует иметь в виду, что в действительности картина движе-
ния в канале сложнее рассмотренной. Здесь прежде всего име-
ются в виду вторичные продольные [течения, которые возникают
120	•
как результат изменения давления вдоль канала при закрутке
потока (см. также [105]) и вследствие искривления линий тока
в углах канала. Вместе с тем полученные результаты в известной
степени проясняют физическую картину явлений в межколодоч-
ном канале и, в частности, позволяют согласовать расчетные пе-
репады давлений по каналу с данными опытов.
С практической точки зрения представляет интерес получение
приближенных оценок для величины вакуума, который создается
в межколодочном канале. Полученные результаты показывают,
что эта задача может быть решена с помощью формулы (3.15)
для Др, где с — по рис. 3.8.
Если давление на входе в канал обозначить через рсвх, то
давление в центре канала будет р = рс вх — &р.
3.4. ВТОРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В МЕЖКОЛОДОЧНОМ КАНАЛЕ
Помимо движения вдоль канала при прокачивании масла через
подшипник и закрутки потока, в межколодочных каналах обра-
зуются также вторичные течения, обусловленные тем, что в ос-
новном течении частицы смазки движутся по криволинейным тра-
екториям.
Первая группа вторичных
течений — это движение вдоль
канала под действием избыточных
давлений, возникающих как след
ствие закрутки потока (они иссле
дуются на примере щелевых и трех-
мерных каналов); вторая — про-
дольное движение, создаваемое
центробежными силами, которые
действуют на смазку, увлекаемую
вращающимся гребнем.
Щелевые каналы. В этом случае (рис. 3.9) Н В, Н С.
Для математического описания движения масла в таких каналах
можно воспользоваться уравнениями теории смазки. Полагая
в уравнении Рейнольдса (1.15в) h = Н = const, ил = 0, получим
62p/dx2-|-a2p/5z2 = 0.	(3.16)
Расходы вдоль осей х й г через площадки единичной ширины
будут [см. (1.59) при Uh — 01:
qx =	— (Я8/12р) др/дх; q2 = — (Я3/12р) др/дг. • (3.17)
Предположим сначала, что длина канала В много больше его
ширины С. Пренебрегая в уравнении (3.16) вторым членом, при-
дем к уравнению плоской задачи д*р/дхг — 0, откуда
др/дх = const.	(3.18)
121
Поскольку через стенки х = 0 и х = С жидкость не течет,
то соответствующие расходы qx должны быть равны нулю. В силу
(3.17) и (3.18) это означает, что
др/дх = 6ц(/0/№.
Из (1.59) получим следующее выражение для составляющей
скорости vx = и в канале
и = Uo (1 - у/Н) (1 - Зу/Н).	(3.19)
Формула (3.19) показывает, что и > 0 при у < Н/3 и и < О
при у > Н/3. Таким образом, в канале устанавливается вихре-
вое движение, характеризующееся тем, что частицы жидкости
вблизи подвижной пластины переносятся в направлении оси х,
а у неподвижной стенки они возвращаются в обратном направле-
нии (см. рис. 3.9). Что касается составляющей скорости vy, то
этим решением она не определяется. Составляющая vz = w,
пропорциональная др/dz, в силу исходного предположения В
С, мала и может считаться равной нулю.
Полученное решение показывает, что для достаточно длинных
каналов продольные движения не существенны, а -жидкость,
захватываемая подвижной пластиной, около неподвижной стенки
движется в противоположном направлении, оказываясь тем са-
мым в закрученном состоянии.
Перейдем к случаю соизмеримых С и В. Полагая, как это
обычно делается в теории смазки, что давление на свободных
поверхностях г — 0 и г = В равно нулю, и учитывая, подобно
предыдущему, непроницаемость стенок х = 0 и х = С, граничные
условия запишем в виде:
др/дх = 6у,ий/Н2 при х = 0 и х = С; р = 0 при z = О и г = В.
(3.20)
Решение уравнения (3.16), удовлетворяющее условиям (3.20),
можно получить в виде
~__ Ml/» 24 \	1 sh кт (х 0,5C)sinXmZ ?q
p W« я Zj 2m — 1 %OTchO,5AmC ’	7
m=l
где
« ___ я (2m—1)'
Am-------g
Градиенты давления будут:
др	ц(70	24	VT	ch кт (х — 0,5С) sin кт2	.
дх	~	И*	л	Zj	(2т — l)chO,5XmC
m=l
др	pl/0	24	VI	sh кт (х — 0.5С) cos ктг
дг	~~	Н* .	л	Zl	(2m—1) ch0,5XmC	’
m=l
122
а расход смазки в направлении оси г через площадку единичной
ширины, характеризующий собой среднюю (по толщине слоя)
скорость движения масла вдоль оси г, определится с учетом
(3.17) и (3.23) формулой
/71=1
sh Х/п (0,5С — х) cos
(2m — 1) ch 0,51mC
(3.24)
Формула (3.24) показывает, что на свободных от твердых
стенок поверхностях расход дг не равен нулю, причем на поло-
вине ширины канала G, например, на
границе z = 0, значение > О, а на
другой половине (при х > 0,5С) q2 < 0.
На границе г = В знаки ~q2 меняются
на противоположные. В точках линии
х = С/2 расход обращается в нуль.
Таким образом, приходим к выводу,
что происходит обмен маслом между
каналом и окружающим его простран-
ством: на участке 0,5С < х < С масло
выбрасывается из канала, на участке
0< х < 0,5 С масло засасывается в ка-
нал. Суммарный же расход как на
линии z = 0, так и при z = В [обра-
щается в нуль.
Подсчитаем количество жидкости Qc, которое канал одной
своей стороной, например на поверхности г = 0, выбрасывает
и соответственно засасывает из окружающего пространства.
Интегрируя (3.24), получим:
0,50
Qe= J ^х = О,25{/оВЯре; ₽е 1 -
о
00
22	8 VI	COSXmZ
В л2 (2т — l)2chO,5XmC ’
т=1
(3.25)
Функция в (3.25) при С/В -> 0 стремится к 0, откуда сле-
дует, что в этом случае расход будет равен нулю. Наоборот,
.если С/В -> оо, то рс -> 1—2г/В, и при г = 0 и г = В имеем
' Qc | = О,25£/оВЯ.
Таким образом, с ростом С/В коэффициент растет. Вычисле-
ния показывают, что этот результат носит общий характер: с уве-
личением С/В расход жидкости, циркулирующей из канала в окру-
жающее пространство и обратно, возрастает.'
В рассматриваемом случае малых Н/В нетрудно получить
решение и для каналов секторной формы (рис. 3.10). Выполняя
123
выкладки, во многом аналогичные предыдущим, получим (обозна-
чения см. на рис. 3.10):
__ gci>/?|___24 VI [sh Х„, (ф — 0.5а)) sin Х^р..
Р ~~ иг In </?2/Л1)	(4 + X>n) ch O.5Xma
p = In (r Ri); = (2m — 1) n In (R, RJ. .
Расход масла в радиальном направлении, приходящийся на
единицу ширины слоя, определяется выражением
________Я* др ____	2 VI Хщ sh Xm (0,5a — <p) cos Xmp
Vr— 12ц dr ~ г 1пЯ2/Я1 Д| (4 + Xm)ch0,5Xma
m—l
Отсюда находим расходы QC1 и Qr2, определяющие количество
жидкости, циркулирующей в канале соответственно со стороны
внутреннего и наружного радиуса (см. рис. 3.10):
Qcl = #i f	Qrt = — #2 ( <7r (<p, R2) Й-
о	о
Выполняя интегрирование, получаем, что, как и в случае
прямоугольных каналов, расходы и равны. Подсчитать
их можно по формуле
«« - - -ОТТ 5 Т+йГ (’ - таг)  <3 26)
Если ширина колодки В = R,—Rx мала по сравнению с Rlt
формула (3.26) переходит в формулу (3.25).
Полученные решения позволяют сделать вывод о том, что
движение стенки канала в своей плоскости в направлении, пер-
пендикулярном к оси канала, приводит к образованию продоль-
ных течений. Эти течения имеют своим результатом обмен жид-
костью между каналом и окружающей его средой и проявляются
тем в большей степени, чем больше отношение ширины канала С
к его длине В. В частности, для очень узких и длинных каналов
движение стенки приводит, главным образом, к закрутке потока.
Наоборот, в сравнительно широких и коротких каналах (С/В
велико) основное значение будут иметь продольные течения,
а закрутка заметно ослабевает. Последнее ясно, например, из
формулы (3.22), которая при С/В -* оо приводит к нулевому
значению для др/дх, так что в первой из формул (3.17) остается
только первое слагаемое, соответствующее течению жидкости
лишь в направлении движения подвижной пластины.
Трехмерные каналы. Простые решения возможны лишь в том
случае, когда высота канала мала. В упорных подшипниках Н
обычно имеет тот же порядок значений, что и остальные размеры
канала. Поэтому течение носит трехмерный характер, что суще-
124
ственно усложняет задачу и практически не оставляет надежд
на получение окончательных результатов в аналитической форме.
Приведем результаты исследования движения в канале с помощью
численного решения полной системы уравнений Навье—Стокса.
Схема канала дана на рис. 3.9. По поверхностям z = 0 и
z = В канал свободно сообщается .с окружающей жидкостью,
а по плоскости у = 0 он закрыт пластиной, которая плотно при-
мыкает к его стенкам и движется в направлении оси х со ско-
ростью ио.
Исходные уравнения движения жидкости. пренебрегая массо-
выми силами и используя общепринятые обозначения, можно
записать в следующем виде:
dVIdt + udNidx vdNldy -f- wdVldz == — p-1 gradp 4~ A, AV;
div V = 0; A = d’/дх2 4- д*1дуг 4- d2ldz2\ V = ui + vj + te»k.
(3.27)
Полагая T = C’/v; p0 = pUjC; Re = U0C/v и переходя к без-
размерным величинам х = х!С\ у = у/С‘, z = z/C-, V = V/£/o;
р = р/р0; I = t/T, из (3.27) получим (черточки над безразмер-
ными переменными - и- функциями опускаем):
dV/dt + Re (идУ/дх 4- vdV/dy 4- wdN/dz) = — grad p 4* AV,
divV = 0; Д = д’/дх24-д2/д^4-д2/дг2; V = «14-0)4-
4-tok.
(3.28)
Сформулируем граничные условия. На твердых стенках это
будут обычные условия прилипания:
и = v = щ== 0 при х — 0, х — С, у = Н-,
и—1, v = 0, w = 0 при у — 0.
(3.29)
Условия на поверхностях z = 0 и г = В определяются движе-
нием жидкости за пределами канала. Далее, так же как и в ще-
левых каналах, воздействие окружающего масла будем учитывать,
задавая при z = 0 и z = В давление, которое, очевидно, можно
просто принять равным нулю:
р = 0.	(3.30)
Здесь имеется прямая аналогия с теорией движения жидкостей
в трубах, когда, в том числе и в начальном участке, задается
давление на входе в трубу [70].
Помимо (3.30), для получения однозначного решения надо по-
ставить еще два условия. В простейшем случае их можно принять
в виде:
и = 0, о = 0 при г = 0, г = В,	(3.31)
что соответствует допущению об отсутствии движения жидкости
вдоль осей х и у за пределами канала. В качестве другого пред-
положения, в известной степени альтернативного предыдущему,
примем, что жидкость, находящаяся внутри, канала, закручивает
125
поток и во внешней области. Оценку степени закрутки можно
произвести, приравнивая нулю напряжения трения на свободных
поверхностях: .
ххг = ди/дг + dw;dx — 0; хуг = dv/дг + dw'dy — 0.	(3.32)
Рассмотренные два варианта граничных условий соответствуют
двум крайним возможным случаям, определяющим максимальное
и минимальное влияние жидкости во внешней области на потоки
внутри канала. Заметим, что разница, в расчетах по одному и
другому варианту граничных условий оказывается небольшой.
Прежде чем переходить к численному решению задачи, рас-
смотрим медленные стационарные течения, полагая Re = 0.
Из (3.28) получим:
др/дх = Ди; др/ду = До; др/дг = Дда; div V = 0.	(3.33)
Решение системы (3.33), удовлетворяющее условиям (3.31),
можно искать в виде:
Р = S Рх (х> У)sin ^xz; и = 2- ик (х, у) sin %xz;
v = 2 Vx (*, У) sin Xxz; щ = 2 W (x, у) cos Xxz;
Ax = jtx/B,
где функции px, ux, vK и a>x удовлетворяют системе
дрк/дх——^x)“x, ‘дрх/ду—(д —Хх) их, (Д —
— Ц) Рх = 0,
wK = Хх1 (дик/дх + dvK/dy), Д' = д2/дх2 +д?/ду2.
(3.34)
(3.35)
Порядок решения системы (3.35) может быть следующим.
Зададим (произвольно) граничные условия для функции рх (х, у).
Коэффициенты разложения этой функции в ряды Фурье на пря-
мых х = 0, х = С, р = 0, у — Н обозначим через а‘т •(/ =1,2,
3, 4). Решая при принятых граничных условиях третье уравне-
ние (3.35), найдем рх (х, у), после чего из первого и второго урав-
нений (3.35), удовлетворяя граничным условиям для их и их
[последние легко составляются с учетом (3.29) 1, получим их (х, у)
и vK (х, 1у). Используя теперь тот факт, что на контуре прямо-
угольника OsgXsgC, 0 sg у Н функция а»х (х, у) = 0, из
четвертого уравнения (3.35) получим совокупность четырех групп
условий для определения неизвестных коэффициентов а1т.
Проведенный анализ показывает, что в рассмотренном част-
ном случае можно получить аналитическое решение, однако реа-
лизация намеченного алгоритма весьма сложна, ввиду необходи-
мости решать бесконечные системы алгебраических уравнений.
126
К тому же он непригоден для нелинейных задач. Поэтому целе-
сообразно воспользоваться численными методами. Вместе с тем
полученные результаты дают представление о решении в целом,
и, в частности, приводят к условию
dw, dz |г=о = dw/dz |г=в = 0,	(3.36)
которым можно заменять условие (3.30).
Физический смысл условия (3.36) состоит в том, что вторичные
продольные течения развиваются постепенно и их скорость до-
стигает экстремального значения на выходе из канала [см. также
3.24)].
Принципиальная трудность, возникающая при решении про-
странственных задач гидродинамики, связана с тем, что, в общем
случае, трехмерные течения не имеют функции тока. Поэтому для
удовлетворения уравнению сплошности приходится использовать
специальные приемы [25], суть которых сводится к тому, чтЪ
в уравнение неразрывности вводится дополнительное слагаемое,
содержащее производную от давления по времени. Уравнение
количества движения также записывается с учетом локальных про-
изводных по времени. При определенных условиях решение та-
кой видоизмененной системы сводится к решению исходных гидро-
динамических уравнений. Решение стационарной задачи при этом
целесообразно получать как предел нестационарного решения
при t -» оо (метод установления). Если искомые гидродинамиче-
ские величины в некоторый момент времени известны, то их
определение в любой последующий момент производится после-
довательно, шаг за шагом, из уравнения количества движения
и неразрывности, которые, таким образом, удовлетворяются ав-
томатически.
Аппроксимация системы (3.28) имеет вид [25]:
dN/dt + Re [идУ/дх + vdV/dy + wdVldz + 0,5 (divV) V] =
= — grad p + AV; edpfdt + div V = 0,	(3.37)
где 8 — малый параметр.
Если ищется стационарное решение, то при t -* оо должно
быть div V = 0. Поэтому в целях уменьшения объема вычисле-
ний слагаемое 0,5 (div V) V, целесообразно отбросить. Возмож-
ность такого упрощения обоснована в работе [60].
Для разностной аппроксимации системы (3.37) воспользуемся
неявной несимметричной схемой дробных шагов [25]. Так как
в пределах одного дробного шага по времени изменение исследуе-
мых величин происходит только по одной координате, то система
разностных' уравнений распадается на подсистемы, каждая из
которых может быть решена по методу прогонки.
Не останавливаясь на более подробном описании алгоритма
[49], приведем результаты некоторых расчетов.
127
Рассмотрим сначала решение задачи с условиями (3.31). Рас-
четы 1 проводились на машине Минск-22. Вычисления, как пра-
вило, заканчивались при выполнении условия
(Ч-ВЛл)МЛл<о,О5.
Здесь
Ак = У д*. вк = У ьк,
i. I	i. I
= wi<> bk = 0, если wk 0; ak = 0, bk = —wk, если wk < 0,
i, /, k — текущие значения номеров узлов по осям х, у, z (i —
= 0, 1, ...	= 0, 1, ... k ).
В выполненных расчетах принималось t„ = /„=•£„ = 9 в
менялись шаги т] и £ по пространственным переменным.
Так как стационарное решение системы разностных уравне-
ний задачи зависит от шага по времени т, вычисления выполня-
лись при разных т. Кроме того, варьировался параметр 8. Реше-
ния сравнивались друг с дру-
гом по величине Ок = 0,5 X
х(Акп + Вкп), которая оче
-видно, пропорциональна
w
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
Рис 3 '1
расходу жп 'к	ытекающей из канала и втекающей в неге
обратн > из к	iiiero пространства. В выполненных расчетах
изменение т и t сказывалось на Q*n сравнительно слабо.
На рис. 3.11 и 3.12 представлены некоторые результаты вы-
числений (см. также [49]) для случая £ = т] = £ = 0,1; Re = 0;
8 = 0,05; т = 0,0125. Через 0*на рис. 3.12 обозначена величина
0,5 (Ак + B^!(i j ). Из рисунков видно, что под действием по-
движной пластины в канале, помимо закрутки потока, индуци-
руются также продольные течения. Этот результат сохраняется
и в случае более быстрых течений (Re = 100, см. штриховую
кривую на рис. 3.11). Учет инерции потока однако приводит
к асимметрии течения—жидкость в сравнительно узкой области
удаляется из канала и засасывается в него на более широком
1 Программа была составлена Л. А. Лебедевой.
128
участке. Так же как и в безынерционном случае, максимальные
скорости развиваются в районе набегания жидкости на неподвиж-
ную стенку. Все эти результаты согласуются и с соображениями
чисто физического характера; жидкость, увлеченная подвижной
пластиной, ударяется о стенку канала и растекается по ней.
Естественно, что при ударе давление жидкости повышается, при-
том тем больше, чем больше скорость, т. е. чем ближе к подвиж-
ной границе расположены соответствующие'частицы жидкости.
Поэтому и растекание в этой области происходит более интенсивно.
Расчеты, выполненные для различных соотношений шагов £,
т)’и £, показывают, что с ростом отношения С/В увеличивается
доля жидкости Qc, циркулирующей из канала в окружающее про-
странство и обратно. Сказанное следует из табл. 3.1, где при
Re = 0 для разных С/В приведены значения коэффициента
[см. (3.25) ], который в условиях рассматриваемой задачи можно
подсчитать по формуле
Pc= (^Qkn/i-nin) С/В.
ТАБЛИЦА 3.1
С/В	а	п	С	т	Ъп	₽с
0,25	0,05	0,05	0,10	0,0200 0,0125	2,94 2,94	0,036 0,036
0,50	0,10	0,10	0,10	0,0250 0,0125	2,88 2,70	0,071 0,067
1,00	0,10	0,05	0,05	0,05	3,53	0,174
2,00	0,20	0,05	0,05	0,0250 0,0125	4,71 4,89	0,466 0,482
Из табл. 3.1 видно, что £<.. растет с увеличением С/В.
Решение задачи 1 с граничными условиями (3.32) показало [81,
что характер течения, равно как и количественные результаты,
близки к полученным выше.
Основной вывод, который следует из рассмотренных решений,
состоит в том, что в межколодочных каналах создаются продоль-
ные потоки, способствующие обмену маслом между каналом и
корпусом подшипника. Продольные скорости, как это ясно из
рис. 3.11, максимальны в углах канала между подвижной пла-
стиной и твердыми стенками^ причем в практически интересном
случае ненулевых чисел Рейнольдса зона, где в основном сосре-
доточены продольные течения, уносящие смазку из канала, ста-
1 Выполнялось совместно с Е. Н. Горовой.
& подольский м. в.	129
новится более узкой и теснее прилегает к входной грани колодки,
на которую набегает поток. Из графиков видно, что max | w | ««
« (0,3 ... 0,4) Uo. Если сравнивать со скоростями, которые соз-
даются при прокачке масла от насоса, эта величина оказывается
достаточно большой, особенно для быстроходных машин. Тече-
ния рассмотренного типа характерны не только для упорных
подшипников, но и для других устройств, где имеются каналы
с подвижной стенкой. В частности, такие течения образуются
в нерабочей зоне дейдвудных подшипников, где они играют важ-
ную роль в формировании теплового баланса.
Что касается количественной стороны.дела, то указанные выше
значения скоростей следует рассматривать как ориентировочные,
поскольку они были получены для сравнительно низких значе-
ний чисел Re. Расчеты для более высоких чисел Re требуют су-
щественно более мелкой сетки, что приводит к резкому увеличе-
нию объема вычислений и делает их недоступными даже для совре-
менных ЭВМ.
Течения под действием центробежных сил, развивающихся
при вращении гребня. Вращаясь вместе с упорным гребнем,
масло находится под действием центробежных сил, которые,
стремясь сбросить масло с гребня, вызывают вторичные радиаль-
ные течения. Особенность этих течений по сравнению с хорошо
исследованным случаем осесимметричного обтекания вращающе-
гося диска (см. [10]) состоит в существенно пространственном
характере движения жидкости, который обусловлен возмуща-
ющим влиянием колодок подшипника.
Наибольший интерес представляют течения масла вблизи
поверхности упорного гребня. Для их описания могут быть исполь-
зованы уравнения теории пограничного слоя, записанные в ци-
линдрической системе координат [10]:
vrdvr/dr+ vvdvr/rdq+ Vzfor/dz— Vy'r ^v&Vr/dz1, Vtdv^/dr '
+ Рф^ф/гЛр + v^v^dz + vrvv/r = v&Vyldz-, dv^rdq +
+ dvz[dz -f- d (rvr)/rdr = 0.
' (3,38)
Считая, что жидкость вне пограничного слоя покоится, гра-
ничные условия задачи (рис. 3.13) примем в виде:
иг = 0, г»2 = 0, цф = (ог при г = 0, vr = Q, u<p=0L3 39)
при <р = 0; vr —»0, Цр—>0 при г—>оо.	]'
Кроме условий (3.39), следовало бы еще поставить условие
обращения в нуль при г -> <х и компоненты г»г, однако на основе
уравнений теории пограничного слоя этого сделать нельзя. Си-
туация здесь вполне аналогична той, которая наблюдается и
при обтекании неподвижной пластины. При этом оказывается, что
v2 сначала изменяется от нуля до своего максимального значения
на внешней границе пограничного слоя (понимаемого как та об-
130
ласть, в которой происходит основное изменение скорости набе-
гающего потока),' а потом уже медленно, в гораздо более широкой
зоне, падает до нуля [40].
Приближенное решение уравнений (3.38) при условиях (3.39)
получим с помощью метода так называемой осесимметричной ана-
логии [7]. Предполагая, что скорость вторичного течения vr
мала по сравнению с окружной скоростью v,t, два последних
уравнения (3.38) запишем в виде:. •
v^dv^'rdtp v2dvl(ldz — vcfiv^dz2-, dv^rdy dvjdz — 0. (3.40)
В безразмерных переменных
х — ср; у = z/z°; и = v^/U0; v = vjv°, (3.41)
где	___ _
z° •_ ] v/ю, U° = cor, v° = z°(o = j/ v(o, (3.42)
уравнения (3.40) можно записать в следующем виде:
udutdx + vduldy = д2и/ду2\ duJdx + dvldy = 0,	(3.43)
причем, согласно (3.39), функции мио должны удовлетворять
условиям:
и = 1, v = 0 при у — 0; и — 0 при х = 0; и ->
‘	-> 0 при у -+ оо.	(3.44)
Если решение задачи (3.43), (3.4.4) известно, то скорость ра-
диальных вторичных течений vr найдется из уравнения
udwldx + vdwldy — и2 — d2wldy2\ w = vJU0 (3.45)
и граничных условий
w = 0 при у = 0; w -> 0 при у -> оо. (3.46)
Уравнениями (3.43)—(3.44) описывается течение в погранич-
ном слое на пластине, которая вдвигается в жидкость, покоящуюся
на бесконечности (рис. 3.14). Функцию тока ф этого течения можно
искать в виде:
ф = х°.5/ (£), g Qt5yx~°-S.
5*	131
Учитывая, что и — cty/dy, v = —cty/dx, для функции / из (3.43)
получим уравнение
cPf/dl3 + ftPf/dt? = 0.	(3.47)
Граничные условия для /, согласно (3.44), будут:
/ == 0, dfld% — 2 при £ = 0; df/d% -> 0 при £ -> оо. (3.48)
Численное решение уравнения (3.47) найдем, используя метод
последовательных приближений [871. Рассматривая (3.47) как
уравнение относительно d?fldg, получим (С — произвольная
постоянная)
dW = Cexp	.
. о
Выполняя здесь интегрирование по |, принимая во внимание
условия (3.48) и учитывая, что и — O,5d/7d|, найдем
С	/5	\ 00 ’ (	\
и = 1 — J ехр — J fdt, ld£/ j exp —J fd% j d|. (3.49)
о	\ о	Jo \ о /
Расчеты с помощью формулы (3.49) показывают, что профиль
скорости удовлетворительно описывается приближенной зависи-
мостью
u = (l—y/f>)9, 6 = К42х,	(3.50)
полученной по методу интегральных соотношений из (3.43) и
условий й = 1 при у = 0; и = ди/ду — дги!ду2 = 0 при у = 6.
Хорошее совпадение обнаруживается также с расчетами из
[117]. Согласно [117], напряжение трения на стенке и толщина
вытеснения равны т = 0,444^1|/ U%vx, 6* = 1,616 l/vx/U^. Те же
величины, подсчитанные с помощью (3.50), составляют т =
= 0,462р	6* = 1,62 1/vxiTQ.
Рассмотрим теперь задачу (3.45)—(3.46). Будем искать w
в виде
w = xg (т)); т| = у/д,	(3.51)
где 6 — по (3.50).
Учитывая, что и = 0 при у > б, по второй из формул (3.43)
найдем v:
о = (—f + т|/') dbldx при у =5 б; v = 0,25 при у > б, (3.52)
где f = 0,25 [1 - (1 - т))‘].
Подставляя и из (3.50) и v из (3.52) в уравнение (3.45), получим:
d2g/drf = 42 (g (1 — т])3 — 0,125 [1 — (1 — т|)4] dg!dr\ —
— (1 — т])’} при т] < 1,
d2g/dr]2 = — 5,25dg/dTj при t) > 1.
(3.53)
132
Граничные условия для g следующие: g (0) = 0, g (4) -* 0
при Т)\-► оо.
На рис. 3.15 приведена кривая g (4), полученная в резуль-
тате численного интегрирования (3.53).
Из рис. 3.15, в частности, видно, что основное изменение
функции g (4) происходит на участке [0, 1 ] . и, таким образом,
толщины пограничных слоев в основном и'вторичном течениях
близки друг к другу.
Используем этот результат для полу-
чения приближенного аналитического ре-
шения задачи. Предполагая, что толщина
пограничного слоя имеет одно, и то же
значение для окружных и радиальных по’-
токов и аппроксимируя функцию g (я) поли-
номом
2 = 04(1-4)8,	(3.54)
из (3.45) с учетом (3.50) и (3.51) после инте-
грирования по толщине ' слоя получим
0 = 3,53. Функция (3.54) показана на
рис. 3.15 штриховой линией.
Расход масла в радиальном направлении
равен
ф	оо
Qr = j q/dy, где q^= J vrdz.
Определяя vr с помощью (3.45), (3.51) и
(3.54) и принимая во внимание (3.41), (3.42)
и (3.50), получим:
qr = 0,545r (v®)0-^1-5; Qr=. 0,218r2 (v®)0’5^5.
(3.55)
Максимальное значение скорости радиального течения, со-
гласно (3.45) и (3.54), составляет огта = 0,2(7°ф и, следовательно,
приближенное решение справедливо, если значение ф мало.
Ограничивая огшах/^° значением 0,1—0,45, для ф имеем 30—40”.
Таким образом, полученными выше формулами можно пользо-
ваться, если угловая ширина межколодочного канала фс не пре-
восходит указанных значений.
Оценим порядок величин, с которыми приходится иметь дело
в упорных подшипниках. Примем ® = 500 1/с, <ре = 15”, г =
= 0,1 м, v = 30-10”в м’/с (соответствует турбинному маслу 22
при Т 40 °C). По формуле (3.55) получим Q, = 9- 10-в м8/с.
При числе колодок гк = 8 расход через подшипник будет zKQr =
= 0,72-10"4 м3/с «=< 0,07 л/с. Толщина пограничного слоя 6е =
= И 42фсу/ш а=> 0,26 мм. Максимальная скорость радиального
течения реализуется вблизи входной грани колодки и имеет зна-
чение 0,2фс£/°	О,О52£/о = 2,6 м/с.
133
З.б. ПОДСОС МАСЛА В КЛИН
ИЗ МЕЖКОЛОДОЧНОГО КАНАЛА
Для решения вопроса о температуре на входе в слой необхо-
димо знать, из каких зон межколодочного канала масло поступает
в клин. Далее эта задача рассматривается с учетом закрутки по-
тока в канале. Канал моделируется вращающейся трубой. Для
того чтобы учесть влияние подсоса масла под колодку, предпола-
4 гается, что имеется узкая щель, расположенная вдоль образу-
ющей трубы и занимающая неизменное положение в неподвижном
пространстве, по отношению к которому вращается труба. Расход
через щель предполагается заданным и равномерно распределен-
ным по ее длине.
Рассмотрим случай медленного движения. В общепринятых
обозначениях исходные уравнения можно записать в виде (ис-
пользуется цилиндрическая система координат):
р.~1др/дг = Avr — v Jr2 — 2диф/г2дф + д^/дг2;'
р~хдр!гдц = ДЦр — иф/г2 + 2<fy./r2dj^+
-f-d^/dz2;
р.~1др!дг = &vz — cFvJdz2-,
д (rvr)/rdr + dvq/rdq -|- dvjdz = 0; A =
= c^/dr2 + d/rdr + o2/r2d(f2.
Используя понятие о 6-функции, для функций о,, оф и vz по-
лучим условия:
г = R: vr — qb (ф)/₽; кф = со/?; vz = 0;
2л R
2 = 0:	fuzrdrd<p = W.
о о
(3.57)
Здесь q — расход через единицу длины щели; со — угловая
скорость трубы.
Не останавливаясь в подробностях на математической стороне
задачи [46], приведем основные результаты. Решение системы
уравнений (3.56) с граничными условиями (3.57) имеет вид:
vz = 2Г (1 - qzlB) (1 - r2/P2); q = qB;nR2W\
vr = vn + О — r2/2R2) qr.nR2; vv = кф1;
p — — [z — qz2/(2nR2W)] BpW/R2 — 2q^r2!nR2 + px,
где функции vrl, иф1 и pt удовлетворяют уравнениям:
р"1 dpt dr = At>rl —• vrl V2 — 2 dv^/r2 дф;
p'1 dpt/r дф = Аиф1 — иф1'г2 4- 2 dur]Jr2 dtp;
д (rvn)/dr + диф1/0ф == 0
(3.58)
(3.59)
134
й граничным условиям.
г R: <?ф1 •-ю/?; v, = — q:2nR \-qb(f^R.	(3.60)
Из (3.59) и (3.60) следует, что функции vrl, иф1 и рх описывают
плоскопараллельное безынерционное движение жидкости внутри
кругового цилиндра со стоком на образующей (г = R, ф = 0)
и равномерно распределенными источниками на границе г = R.
Эта последняя задача сводится к решению (при соответствующих
граничных условиях) бигармониЧеского уравнения ДДфх = 0
для функции тока фх. После того как функция будет определена,
скорости vrl и v41 найдутся по формулам:
= —д^/гдф; иф1 = dtyj/dr.	(3.61)
Выражение для можно получить'в виде [461:
ф1 = O.SwR2^!, ф1 = р2 аф? (р, <р), a = <?/nwR2, p = r/R,
ф? = Ф — 2л + 2F (р, у) при 0 « ф < л,
ф? = Ф — 2л — 2F (p,i/i) при л < ф < 2л,
Р(Р. У) = arcsin (у!]/' 1 + у*) - py/(l -f• у*),
г/= ctg 0,5ф (1 — p)/( 1	p); & = i/(p, ф = у); у = 2л — ф.
(3.62)
Частный случай неподвижной трубы получится, если в (3.62)
положить о = 0.
Рассмотрим более подробно плоское течение во вращающейся
трубе. Используя (3.62), для линий тока, начинающихся на окруж-
ности р = 1 в точках (р = 1, ф = ф* < л), получим уравнение
Ф1 = 1 + аф* — 2ла,
или
р2 = 1 — а (ф — ф*) — 2aF (р, у) (0 sg ф л); 1
р2 = 1 — а(ф — ф*) + 2aF (р, yj (л sg xp ig 2л). )
(3.63)
Анализ формул (3.63) показывает, что при всех ф из проме-
жутка (ф*, 2л) значение р’< 1 и равенство р2 = 1, кроме точки
Ф = ф*, возможно прилф = 0 и ф = 2л. Аналогичный результат
получается и в случае ф* > л. Таким образом, все линии тока,
выходящие из точек на окружности р = 1, снова попадают на
нее только в точке стока (р = 1, ф = 2л). Положим теперь ф* =
= 0. Первая из формул (3.63) в силу неравенства F (р, у) > О
показывает, что при любом а > О найдется такое ф, при котором
р < 1. Это означает, что линия тока, выходящая из точки (р = 1,
Ф = 0), не вырождается в точку и представляет собой некоторый
замкнутый контур Qo- Линии тока внутри области, ограниченной
контуром Qo, также замкнуты и в совокупности образуют ядро
135
потока, которое не участвует в переносе жидкости от источников
к’стоку. Картина линий тока (приа=0,1) представлена на рис. 3.16.
Размеры ядра зависят от а и с уменьшением а растут. При а 1
форма ядра близка к круговой. Радиус круга имеет порядок
величины [см. (3.63) при <р* = 0, <р = 0 и ф = п ]:
р =	— ла « 1 — 0,5ла. -
Рассмотрим линии тока исследуемого течения. Они находятся
в. результате решения системы дифференциальных уравнений
Рис. 3.16
dr/vf(r,	— г dtplv^^r, <p) =
= dz’vl(r, г),
где [см. (3.58) ] v2 не зависит от <р,
а скорости vr и иф есть функции
только г и <р. Последнее означает,
что каждая линия тока располо-
жена на некоторой цилиндрической,
поверхности с образующими, па-
раллельными оси г. Форма кривой
S, по которой эта поверхность пере-
севает плоскость z — const, найдется
из решения уравнения
dr/v, (г, ф) = г d<p/v9 (г, ф),
которое, с учетом (3.58) и (3.61), можно переписать в виде
(дфх/дг) dr + (5ф1/5ф) dtp = d^ = n-1<?p2 (1 — 0,5р2) dtp;
р = r/R.
Отсюда получаем [а — по формуле из (3.62) ]
ф
Ф1 = tio + а J т(р)й; т (р) = 2р2 (1 — 0,5р2); р = р(ф,фг). (3.64)
ф.
Поскольку при р 1 функция т (р) > 0, то кривая S (она
же проекция линии тока на плоскость г = const) пересекает ли-
нии тока плоскопраллельного движения фг = const, причем так,
что с увеличением угла д> кривая S переходит на Линии тока
с большими значениями фх. Можно показать, что увеличение фх
соответствует переходу на те линии тока фх = const, которые
расположены ближе к стенкам трубы. Таким образом, пока ча-
стица находится внутри цилиндра, ограниченного контуром Qo
(см. рис. 3.16), ее траектория в проекции на плоскость г, ф пред-
ставляет собой спираль, которая, переходя от одного замкнутого
контура к другому, постепенно приближается к границе ядра
потока плоскопараллельного течения фх = const. После того
как частица жидкости достигнет поверхности цилиндра Qo, она
переходит на цилиндрические поверхности, соответствующие тем
линиям тока фх = const, которое начинаются на окружности
136
р = 1 и, согласно доказанному выше, идут в точку стока (р = 1,
Ф == 2л). Здесь жидкая частица совершает последний виток своей
спирали, заканчивающийся, на линии, через которую происходит
отсос.
Оценим порядок величины а. Масло, подсасываемое из канала
в клин, должно компенсировать боковые утечки. Поэтому для q,
в силу (1.61), имеем q —	Окружную скорость трубы
следует выбирать из условия эквивалентности между трубой и
межколодочным, каналом по закрутке потока. Отсюда со = pt/0/7?,
где с учетом ранее -полученных результатов можно принимать
р 0,5. Подставляя указанные значения в формулу из (3.62)
для а, находим
а = (2^/л) h2/R.
Поскольку /ц «/?, то и а<^ 1.
Рассмотрим далее поэтому случай малых а. При а 1 линии
тока плоскопараллельного течения = const, расположенные
внутри ядра, мало отличаются от окружностей, а граничный кон-
тур й0 близко подходит к стенкам трубы. Следовательно, можно
ограничиться значениями р, близкими к 1. Оценим порядок изме-
нения р за один оборот спирали. Из (3.64) с учетом (3.62) получим:
Ф+2Л
Др2 + аДф? = a j T(p)d<p; Д/ = f|q>+2« — fl<₽- . (3.65)
ф
Поскольку значение р близко к единице, то приращение Др
мало и Др2 «=> 2рДр 2Др. Что касается функции -ф?,то ввиду
ее периодичности по <р изменение Дф" при переходе с одного замк-
нутого контура на другой будет обусловлено только лишь изме-
нением р. Поэтому приближенно Дф? «=«(дф1/др) Др, причем, как
показывают вычисления, производная дф°/др ограничена. Полагая
еще в правой части (3.65) р 1 и учитывая малость а, с учетом
сказанного из (3.65) найдем
Др *=« ла.	(3.66)
Такой же результат получим, если сразу линии тока Ф1 =
= const внутри ядра заменим приближенно окружностями р =
= const. Тогда проекция линии тока на плоскость г, <р будет
приближенно иметь вид спирали Архимеда с уравнением
dp — 0,5ad<p,	(3.67)
что при Д<р = 2л снова дает (3.66).
Проведенные рассуждения показывают, что жидкость посту-
пает в щель из кольцевой области 1 — 60 < р < 1, непосред-
ственно ’примыкающей к стенке трубы. При этом перемещение
жидкой частицы в радиальном направлении происходит относи-
тельно медленно. Соответствующая скорость находится следу-
ющим образом. Окружная составляющая скорости при р <=« 1
137
близка к U° = <aR, поэтому dtp ю dt, и в силу (3.67), dp'dt
«« 0,5а<1> или dr/dt «« 0,5а(/°, при малых а последняя величина
много меньше U*.
Оценим еще порядок величины 60, определяющей размер
кольцевой площадки, через которую (в количестве qB) проходит
жидкость, поступающая затем в щель. Предполагая в№ малой,
из первой и второй формул (3.58) получим:
2л R
qB = J J vz rdrdtp « 4л№Я26о, 6о = 0,257-
О Я(1-6о)	Z=0,
Если значение 60 разделить на Др из (3.66), то получим оценку
для числа витков, которые сделает по спирали наиболее удаленная
от стенки трубы частица, прежде чем она попадет в щель. Это
число равно 60/ла и при малых а может быть велико.
Таким образом, приходим к выводу, что, в условиях рассмо-
тренной задачи, жидкость поступает в щель из области, непосред-
ственно примыкающей к стенкам. Применительно к межколодоч-
ному каналу это означает, что масло, потерянное масляным кли-
ном за счет боковых утечек, восполняется в результате подсоса
его из тех частей канала, которые находятся в окрестности упор-
ного гребня (во всяком случае, прежде чем попасть в клин, масло
должно пройти эту зону). Полученный результат был установлен
в предположении, что инерционными членами в исходных уравне-
ниях можно пренебречь. Учет инерционных слагаемых изменил
бы количественную сторону, однако на окончательные качествен-
ные выводы он не влияет. Действительно,, если бы результаты
расчетов медленного течения подтверждали бы альтернативную
гипотезу о подсосе смазки из центральной’частиУ канала [85],
то это означало бы, что разрежение, создаваемое при отсосе в щель,
создает сравнительно большие скорости, которые в состоянии
резко изменить траекторию частицы, движущейся до того вдоль
стенок со скоростью U°. Иными словами, в этом случае инерцион-
ные эффекты были бы значительными, и'их учет мог бы привести
к существенному изменению картины движения. В рассматривае-
мой ситуации этого нет. Наоборот, как показано выше, частица
жидкости достаточно медленно, по сравнению с (7°, переходит
с одной замкнутой линии тока на другую, поэтому инерционны^
слагаемые не имеют здесь принципиального значения. Если же
они и оказывают влияние на кинематику потока, то лишь в сто-
рону создания дополнительного сопротивления подсосу смазки'
из центральных частей канала, замедляя переход с одного контура
на другой.
Тот факт, что свежее масло поступает в клин из той части
канала, которая примыкает к упорному диску, вытекает и из
непосредственных' наблюдений над движением смазки в про-
странстве между колодками [115]. Эксперименты ставились на
упорном подшипнике с прозрачным диском. Движение частиц
138
смазки визуализировалось с помощью черной туши. Опыты по-
казали, что красящее вещество затягивается в слой лишь в том
случае, когда зонд подводится непосредственно к поверхности
диска. Если же тушь доставляется через зонд, находящийся на
некотором расстоянии от гребня, то она в слой практически не
попадает. Интересны также зарисовки'линий тока, выполненные
по результатам наблюдений (рис. 3.17). На рисунке отчетливо
видно, что жидкость в канале совершает вихревое движение и
красящее вещество, прежде
чем поступить в клин, дви-
жется сначала в сторону, про-
тивоположную вращению упор-
ного гребня 1. При этом, как
отмечается в работе [115], лишь
незначительная часть краски,
вышедшей из канала 2, затя-
_________ f
Рис. 3.17
гивается в слой.
Отсутствие подсоса масла непосредственно из центральной
части межколодочного канала заставляет пересмотреть исполь-
зовавшиеся ранее способы определения температуры на входе
в масляный клин.
Как известно, традиционный путь решения этой задачи состоит
в предположении или о поступлении в несущую пленку только
хододной смазки или о смешении горячего масла, вышедшего
из-под предыдущей колодки, с холодным маслом в центральной
части канала. Свежее масло, однако, может попасть в клин лишь
после того, как оно вступит в тепловой контакт с горячей пленкой
на гребне и, следовательно, нагреется ею, поэтому полная замена
горячего масла холодным невозможна. В формировании же
теплового баланса слоя играют роль не столько процессы смеше-
ния, сколько процессы теплообмена в межколодочном канале и,
в первую очередь, теплоотдача от пленки, переносимой из-под
одной колодки под другую, к холодному маслу в канале.
3.6. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
• В МЕЖКОЛОДОЧНЫЙ КАНАЛ
Для- расчета коэффициента теплоотдачи в межколодочный
канал можно предложить две схемы.
Схема 1. Воспользуемся для решения задачи рассмотренной
выше схематизацией канала в виде двух труб (см. рис. 3.7). Одна
из этих труб (труба 2) вращается, а вторая, имеющая пр'орезь
шириной С, неподвижна. Решение будем проводить в предполо-
жении, что основным источником тепловыделений в канале яв-
ляется горячая пленка отработавшего масла, переносимого греб-
нем с колодки на колодку, и что вся теплота, поступившая в ка-
нал, уносится прокачиваемым через него маслом. Тогда тепловая
часть задачи состоит в определении коэффициента теплообмена
139
от подвижной стенки, поддерживаемой при заданной темпера*
туре Те, к жидкости, текущей вдоль трубы, при условии, что
неподвижная труба теплоизолирована.
Будем пренебрегать вторичными продольными течениями.
В таком случае, если толщины пограничных слоев малы по сравне-
нию с радиусом трубы, аналогом рассматриваемого течения будет
движение жидкости по схеме на рис. 3.18 (см. также рис. 3.4).
Здесь пластина 2, бесконечная в направлении оси х и движущаяся
вдоль х со скоростью Uo, отделена от омывающего ее потока бес-
конечно тонкими теплоизолированными неподвижными пласти-
нами 1. Жидкость, омывающая
.У 1	/ f	пластины, движется вдоль оси z
Рис. 3.18
со скоростью W.
Пограничный слой, образу-
ющийся на пластинах, можно
разделить на две зоны. В пер-
вой-зоне, непосредственно при-
мыкающей к стенке, составля-
ющая скорости w мала, и ос-
новное влияние на картину .
течения оказывает движение
в плоскостях, параллельных
этого движения можно воспользо-
плоскости ху. Для описания
ваться результатами, полученными при исследовании периоди-
ческого пограничного слоя, из которых, в частности, следует,
что в первой зоне составляющая и изменяется от своего значения
на стенках до U° (скорость на периферии ядра потока). Во второй
зоне w постепенно увеличивается до своего предельного значе-
ния W при у -► оо, а и падает от (7° до 0.
Обозначим через би и б толщины первой и второй зон. Можно
показать, что би г- I	б ~ z (IFz/v)-0-5. В упорных
подшипниках скорость расходного течения W обычно много
меньше скорости скольжения Uo, поэтому толщина первой зоны ба
мала по сравнению с толщиной б второй зоны.
Смазочные масла имеют высокие числа Прандтля Рг = vpc/X.
Это означает [87 ], что тепловой пограничный слой тоньше гидро-
динамического, т. е. < б.
В предположениях би < б и б, < б задача о теплообмене
в каналу в- указанной выше постановке рассматривалась в работе
[47], где выполненный анализ показывает, что местный коэффи-
циент теплоотдачи от подвижной пластины может быть представ-
лен в виде
а = <ра0.
(3.68)
Здесь а0 — коэффициент теплоотдачи от неподвижной пластины,
омываемой потоком вязкой жидкости со скоростью W\ <р — коэф-
фициент, больший единицы, зависящий от Uoz/(Wl), s =
= СИ и Рг.
140
Поскольку <р > 1, то теплоотдача от подвижной пластины
происходит ооЛее интенсивно, чекг от неподвижной. Выясним
физический смысл этого результата. ‘
Двигаясь в направлении оси z, жидкость одновременно при-
нимает участие в движении вдоль оси х. Поэтому, если траекто-
рию какой-нибудь частицы жидкости спроектировать на ось z
и соответствующее перемещение обозначить через Дг, то окажется,
что лишь часть пути Дг жидкая частица проходит над теплоотда-
ющим участком. В результате, при одной и той же длине пути
вдоль оси z, жидкость при наличии промежуточных теплоизоли-
рованных участков прогревается в целом меньше, и, следовательно,
проходя над горячей пластиной, может забрать больше теплоты.
Поясним это с помощью рис. 3.19, где штриховкой помечены теп-
лоизолированные участки и кривая 1 дает примерный характер
изменения толщины погранич-
ного слоя вдоль оси z для схемы
по рис. 3.18, а кривая 2 отно-
сится к случаю неподвижной
пластины. Из рис. 3.19 ясно, что
в первом случае толщина тепло-
вого пограничного слоя при од-
Рис. 3.19
них и тех же г меньше, чем во
втором, и, следовательно, значение а0 < а (как известно, а ~ б;1).
Полученные результаты можно интерпретировать еще и так.
Рассмотрим случай вращающейся трубы (см. рис. 3.7). Как след-
ствие закрутки потока, частицы жидкости, нагревшейся около
подвижной горячей стенки, возвращаются к началу зоны нагрева
(линия О—О). Если бы при своем движении около неподвижной
стенки жидкость продолжала нагреваться, то к моменту ее возвра-
щения на линию О—О температура была бы достаточно высокой.
Точнее, сравнительно большой была бы глубина прогрева жидко-
сти, что формально математически проявляется в увеличении
толщины теплового пограничного слоя 6t. В том же случае, когда
на участке ВВССОО жидкость лишь сохраняет полученную ранее
Теплоту, ее средняя температура и толщина теплового погранич-
ного слоя будут меньше. Математическая обработка намеченной
сейчас схемы теплообмена приводит соответственно к формуле
для а0 в первом случае и к формуле (3.68) — во втором.
Для расчетной оценки местного коэффициента теплоотдачи
в предположении 6Z < 6и служит формула
А 07 I / Ч х Ш А0-25 (	А0-5
а = 0,37ф(я)—’
в которой , при s = 0,25 ф (s) = 2,48. Среднее значение а на
длине канала В равно
, .о . , , А / WI \0.25 ( pcBW\o.s
а=1,48ф(5)-^(т-5)	\
Отсюда получаем, что а > а0.
141
Рассмотрим пример. Возьмем В = 4-10"’ м; С = 2-10'а м;
s = 0,25 [так что I — C/s = 8*10-2 м, ф (s) = 2,48]; Uo = 50 м/с;
к = 1,26-10’4 кВт/(м-°С); рс~ 1,76-10е Дж/(м3-°С); v = 0,2 X
X 10~4 м3/с. Для средней скорости в канале 117 примем следующие
значения: W = 0,2; 0,4 и 0,8 м/с, что при восьми колодках и пло-
щади поперечного сечения канала 4 см2 соответствует расходу
через подшипник порядка (0,6—2,5) л/с. Результаты расчетов
даны в табл. 3.2. Помимо осредненного значения коэффициента
теплоотдачи а, приведены местные значения а при г = В, а также
указаны осредненные значения а0.
По поводу выполненных расчетов необходимо сделать следу-
ющее замечание: если канал имеет неподвижные стенки, то тепло-
ТАБЛИЦА 3.2
	а	а	а0	«о
М/С		кВт/(м2	• °C)	
0,2	1,150	0,288	0,272	0,136
0,4	1,940	0,485	0,384	0,192
0,8	3,270	0,816	0,544	0,272
				
отдача может быть опреде-
лена из расчета теплооб-
мена для продольно обте-
каемой пластины. Вообще
говоря, течение в канале
отличается от движения
жидкости на плите, однако
в начальном участке, пока
толщины пограничных
слоев малы, соответству-
ющая разница невелика. Отсюда следует, что в последнем случае
форма и размеры поперечного сечения трубуне играют роли 134).
Для жидкостей с числами^Рг > 100 последнее справедливо (см.
[34, рис. 12.5]), еслиа ~ (В/d3)2v/(WВ) < 5-Ю'2, где В —длина
канала; d3 — его эквивалентный диаметр (для каналов с квадрат-
ным поперечным сечением d3 равен стороне квадрата; в рассмо-
тренном примере значение а < 10-2, и, следовательно, данное
условие выполнено).
Условием а < 5- 10-2 можно пользоваться (с некоторым запа-
сом) и в случае, когда жидкость совершает дополнительное дви-
жение в окружном направлении. Это следует из того, что толщина
гидродинамического пограничного слоя 6 при движении пла-
стины вдоль оси х остается неизменной, а толщина теплового,
слоя уменьшается [47 ]. Таким образом, выполненные расчеты
показывают, что схема на рис. 3.18 может быть применена и к те-
чение в трубе (см. рис. 3.7).
Из табл. 3.2 видно, что коэффициент теплоотдачи а значи-
тельно превосходит а0, т. е. в рассматриваемых условиях тепло-
обмен заметно интенсифицируется по сравнению с тем случаем,
когда охлаждающая жидкость прокачивается через канал с не-
подвижными стенками.
Вместе с тем полученные формулы приводят к значениям
коэффициентов теплоотдачи, которые, по-видимому, меньше реали-
зуемых в действительности. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Важную роль в общем тепловом балансе подшипника играет тот
факт, что вследствие закрутки потока частицы масла, нагрев-
142
щегося при контакте с горячей пленкой на гребне, возвращаются
к месту выхода отработавшего масла из-под колодки в канал.
Эти частицы, перенося с собой полученную ими ранее теплоту,
повышают температуру на границе со струйкой, выходящей из-под
предыдущей колодки, и тем самым затрудняют теплоотдачу от
горячей пленки к холодному маслу в центре канала. С количе-
ственной точки зрения здесь весьма существенным оказывается
запас теплоты, который накапливается в циркулирующих слоях
масла. Последнее ясно видно из сравнения значений а и а0, от-
личающихся друг от друга приблизительно в 5 раз (см. табл. 3.2).
В рассмотренной схеме предполагалось, что теплота, получен-
ная при контакте с отработавшим маслом, полностью возвращается
к начальному сечению горячей пленки, переносимой через канал.
Это предположение нуждается в поправках по двум причинам.
Во-первых, на вход в клин, в силу необходимости компенсировать
боковые утечки из несущего слоя, поступает дополнительное ко-
личество масла, источником которого является масло, непосред-
ственно соприкасающееся с горячей пленкой и, следовательно,
лежащее в области теплового пограничного слоя, образующегося
на гребне. Отсюда ясно, что соответствующая часть теплоты, посту-
пив на вход в клин, не может быть перенесенаг назад, к выходу из-
под предыдущей колодки. Второе обстоятельство, которое следует
принять во внимание, состоит в том, что в межколодочном канале,
особенно при больших С, образуются достаточно мощные продоль-
ные течения, причем своей наибольшей интенсивности они дости-
гают как раз там, где горячие слои набегают на колодку. Поэтому
масло, нагретое при соприкосновении с горячей пленкой на гребне,
выносится из канала, и, следовательно, условия охлаждения
смазки, вышедшей из-под предыдущей колодки, улучшаются.
Таким образом, в определенной ситуации более близким
к истине может оказаться предположение, согласно которому
обратный перенос теплоты по межколодочному каналу вообще
отсутствует.
' Схема 2. Если рециркуляция масла в поперечном сечении
канала отсутствует, то охлаждение пленки происходит сразу
в холодное масло с температурой, близкой к температуре в цен-
тральной части канала. Поэтому на гребне образуется тепловой
пограничный слой, аналогичный слою на пластине, вдвигаемой
в холодную жидкость (см. рис. 3.14).
Для получения количественных результатов нужно знать
поле скоростей. Здесь могут быть сделаны два предположения.
Согласно первому из них, скорости масла вдоль оси х, за исклю-
чением тонкого пограничного слоя, малы, так что в представлен-
ной на рис. 3.14 схеме пластина движется в покоящейся жидко-
сти. Это допущение можно считать приемлемым в том случае,
когда, в результате интенсивного обмена маслом между каналом
и корпусом подшипника, закрутка потока ослабевает. Что ка-
сается возникающих при этом продольных течений, то их влияние
143
сводится, главным образом, к перемешиванию масла в канале.
В первом приближении оно может быть учтено, если рассмотреть
осредненный плоский поток в пограничном слое на пластине,
которая движется в масле, имеющем некоторую осредненную по
ширине канала температуру.
Еще одна возможная схематизация кинематики потока состоит
в сохранении предположения о существовании вращательных
движений, которые происходят в поперечном сечении канала.
Для этого случая тепловая .часть задачи может быть решена по
тому же плану, что и в схеме 1. В пределах принятых допущений,
обе схематизации картины движения приводят к одним и тем же
расчетным формулам для
коэффициента теплоотдачи а.
Гидродинамическая часть
задачи. Схема течения пред-
ставлена на рис. 3.20. Про-
филь скорости находится из
уравнений:
иди/дх + vduldy — ^dluldyi\
ди/дх 4- dvldy — 0
и условий и = Uo, v = 0 при
у = 0, и -+ 0 при у -► оо,
к которым необходимо присоединить условие сопряжения с плен-
кой под колодкой при х — 0.
Для приближенного решения задачи разобьем жидкость/при-
мыкающую к пластине, на две области: пленку толщиной h, в пре-
делах которой масло, вышедшее из-под колодки, переносится по
гребню, а скорость изменяется от Uo до <pt/0, и слой толщиной 6,
где скорость падает от фUo до 0. Поскольку толщина пленки мала,
то напряжение трения здесь примерно постоянно, а скорость
приближенно изменяется по линейному закону:
и = Uo [1 — (1 — <p)y/h]\ х = — pi/0 (l — ф)/Л.	(3.69)
Определяя расход в пленке Gs по формуле из (1.60), из (3.69)
получим
h = 2G2/Uo (1 + ф) = 2&М1 + <₽)•	(3-70)
Если бы масло, отработавшее под колодкой, не поступало
• в канал, то профиль скорости в пограничном слое определялся бы
зависимостью
и = Uo (1 - у/б)3,	(3.71)
которая пол-ностью аналогична (3.50) и находится из тех же урав-
нений.
Принимая эту же зависимость и при ft 0, для и во второй
области получим:
и = фС/о/ 01); f (п) = (1 - п)3; п = у/ь. (3.72)
144
Найдем ф и. 6. Определяя из (3.72) т и имея в виду, что при
у = h величина т должна быть равна его выражению из (3.69),
е учетом (3.70) получим:
б/ф = 2g2 (/i2/C) /х/(1 — ф2); б = б/С; К = —f (0). (3.73)
Представим уравнение количества движения в виде диЧдх +
4- д (uv)/dy = vd^uldy2, и проинтегрируем его по у в пределах
от 0 до 6. Вычисляя входящие сюда интегралы с учетом формул
(3.72), будем иметь:
о
Rec = -^-.	(3.74)
Исключая из (3.74) и (3.73) б, получим дифференциальное
уравнение для определения ф:
1 d ( Ф8 _ А> / С у 1
1 -Фа dx k 1 -<р» П \ 2g2h2 ) Rec •
Решение последнего уравнения, удовлетворяющее условию Ф =
= 0 при х = 0, можно получить в виде
x = (2^yRetJLfW;
f«=4feig--4in4^r <3-7S>
Формула (3.75) определяет зависимость скорости на внешней
границе пленки в функции от координаты х = хС. На рис. 3.21
построены кривые ф = ф (х)
для различных значений пара-
метра (2g2/i2/C)2 Rec [цифрами
на кривых указаны значения
величины <7= 100 (2g2ft2/C)2 Rec ].
Рассмотрим пример. Возьмем
Uo = 50 м/с; g2 = 0,5; С =
= .0,025 м; /г2 = 10"6 м; v =
= 0,5-10"8 м2/с. Получим Rec =
= 2,5-108, h2/C = 4 -10’4, д = 4,
чему на рис. 3.21 соответствует
кривая 4. Увеличение нагрузки на подшипник, имеющее своим
результатом уменьшение толщины пленки, приводит к переходу
на кривые с меньшим индексом, снижение нагрузки увеличивает
индекс кривой. В целом, как это ясно из рис. J3.21, для достаточно
больших нагрузок на подшипник кривые ф (х) на большей части
промежутка х С (0, С) лежат сравнительно близко от прямой
Ф = 1,-и, таким образом, скорость на внешней границе пленки
близка к скорости на диске. Этот вывод тем точнее, чем 'меньше
толщина пленки, т. е. чем больше нагрузка на подшипник. Точно
145
так же характер течения вне пленки близок к случаю обтекания
пластины. Физический смысл полученных результатов очевиден
и состоит в том, что в рассматриваемых условиях толщина погра-
ничного слоя на упорном гребне много больше толщины пленки,
которая переносится с одной колодки на другую.
Проанализируем еще возможность турбулизации погранич-
ного слоя на упорном гребне. Поскольку экспериментальные дан-
ные по этому вопросу отсутствуют, воспользуемся результатами
исследования модельных течений. Исходить будем из схемы на
рис. 3.14. Устойчивость ламинарного режима при обтекании как
подвижной, так*и неподвижной пластины изучалась в работе
[117]. Расчеты, выполненные в этой работе, показали, что число
Рейнольдса Res/ в точке потери устойчивости на подвижной пла-
стине выше, чем на неподвижной (табл. 3.3). Как только поток
становится неустойчивым, отдельные колебания, обусловленные
случайными возмущениями, начинают возрастать, однако должно
пройти некоторое время, прежде чем эти колебания перейдут
в беспорядочное, хаотическое движение, характерное для турбу-
лентности.
ТАБЛИЦА 3.3
Схема течения
4,96 106
3600
5^
17777777777777777/
530	0,95 105 I
I
Поэтому значения, указанные в табл. 3.3, определяют собой
лишь нижнюю границу ReKP. Так, известно [86], что для погра-
ничного слоя на неподвижной пластиде ReKP = 3>1054-10в, что
более, чем в три раза превышает значение ReiZ, полученное для
этого случая в [117]. Для примеров подшипников, которые были"
рассмотрены выше, числа Рейнольдса имели порядок 103-i-5-105.
Это заметно меньше числа ResZ 5-10е и тем более меньше кри-
тического числа Reh.P, которое всегда больше, чем ResZ.
Помимо отмеченных обстоятельств, при оценке критических
чисел Рейнольдса надо принимать во внимание и другие факторы,
из которых в условиях рассматриваемой задачи основное значе-
ние, по-видимому, имеет теплопередача через пограничный слой.
Последняя влияет на вид профиля скоростей, а тем самым и на
146
устойчивость потока. Известно, что с точки зрения потери устой-
чивости наибольшую опасность представляют профили скорости,
имеющие точку перегиба. Наоборот, по мере увеличения степени
вогнутости (или выпуклости) профиля запас устойчивости возра-
стает. В рассматриваемом случае теплота от отработавшей пленки
передается во внешний поток, и, следовательно, температура
с ростом у падает, а вязкость р растет. Это приводит к тому,
что жидкость в меньшей мере увлекается подвижной пластиной,
так что, по сравнению со случаем постоянной вязкости, эпюра
скоростей будет вогнутой, а устойчивость ламинарного режима
движения возрастет.
Таким образом для критических чисел Рейнольдса следует
ожидать, еще большего значения, чем 5- 10е. По-видимому, реально
говорить о значениях порядка 107 и выше. Далее будем считать,
что Rec < 107. Для большинства подшипников, с которыми при-
ходится иметь дело на практике, это условие выполняется.
Коэффициент теплоотдачи. Воспользуемся схемой погранич-
ного слоя на пластине, нагретой до некоторой температуры Тс
(см. рис. 3.14). Поскольку для смазочных масел числа Рг 1,
толщина теплового пограничного слоя мала по сравнению с тол-
щиной гидродинамического слоя. Поэтому в пределах основного
изменения температуры скорость близка к скорости на пластине,
причем, с учетом полученных результатов, ее можно приближенно
полагать равной скорости на упорном гребне Uo. Таким образом,
для температуры получим уравнение
UdTldx = (Х/рс) д2Т!ду\	(3.76)
Граничные условия будут:
Т = Тс при у = 0; Т = 0 при х = 0 и у -+ оо. (3.77)
Хотя решение уравнения (3.76) при условиях (3.77) хорошо
известно, для получения окончательных результатов используем
приближенный прием, который оказывается более удобным
с точки зрения использования выведенных формул в дальнейшем.
Аппроксимируем профиль температур полиномом:
' Т = Tcf (n); Hn) = 1 - 1.5ri + 0,5Л8; n = ylbt, (3.78)
где &z — толщина теплового пограничного слоя.
Интегрируя (3.76) по у от 0 до 6, и вычисляя получившиеся
интегралы с помощью (3.77), для 6Z будем иметь уравнение
6Z ddt/dx = 4k/(ficU0).	(3.79)
Интегрирование (3.79) при условии 6Z (х = 0) = 0 дает
6Z = V8Kx/(pcU0).	(3.80)
147
ип, м/с	Значения ас, кВт/(м8.°С), при С, мм				
	10	20	30	40	50
20	22,2	15,7	12,9	11,1	9,96
40	31,4	22,2	18,2	15,7	14,1
60	38,6	27,2	22,3	19,3	17,2
80	44,4	31,4	25,7	22,2	19,9
100	49,6	35,1	28,8	24,8	22,2
Коэффициент теплоотдачи определится формулой
а = — (Х/Те) дТ/ду L-o = 1,5Х/6Л	(3.81)
а для его значения, осредненного по ширине канала С, из (3.80)
и (3.81) будем иметь
с
ас = -£- j adx = 1,06 j/ KpcU0/C,	(3.82)
о
что достаточно близко к точному решению.
Еще одна возможная схема для расчета теплоотдачи^может
быть построена на основе рассмотрения потока в условиях обте-
кания по рис. 3.18, в пред-
положении, что, проходя
над неподвижной пласти-
ной, жидкость полностью
охлаждается. Анализ этой
схемы также приводит
к формулам (3.80)—(3.82).
В табл. 3.4 даны зна-
чения ас, подсчитанные '
для различных Уо и С
[в расчетах принималось
1 = 1,26-10"4 кВт/(м.°С),
рс = 1760 кДж/(м’-°С) ].
Приведенные значения заметно выше тех, которые дает расчет
по схеме 1.
Примечательно, что, хотя в исходные уравнения по схеме на
рис. 3.18 входит скорость потока вдоль канала W, в окончатель-
ных расчетных формулах ее нет. Последнее связано с тем, что при
полной тепловой «очистке» горячих струек в канале механизм
теплообмена определяется не продольным потоком масла, который
сам по себе не в состоянии обеспечить более или менее значитель-
ной отдачи теплоты, а прежде всего движением гребня: двигаясь
с большой скоростью, гребень уносит с собой- и большое количе-
ство теплоты. Эта теплота в канале не остается, и, таким образом,
достигается интенсивное охлаждение масляной пленки, вышед-
шей из-под колодки в канал.
Из этого не следует, что прокачка канала маслом не оказывает
никакого влияния на тепловой режим работы подшипника. На
самом деле влияние прокачки весьма велико, однако оно прояв-
ляется не в увеличении коэффициента теплоотдачи от пленки,
а, главным образом, в том, что при увеличении расхода масла
через подшипник снижается средняя температура масла в под-
шипнике в целом и в центральных областях межколодочного ка-
нала, в частности. Это приводит к увеличению температурного
напора, и, как следствие, возрастает количество теплоты, которое
может быть передано от пленки в канал, т. е. в конечном итоге
снижается температура пленки.
148
8.7. ГИДРОДИНАМИКА ОБТЕКАНИЯ КОЛОДОК
И ГРЕБНЯ.
ПОТЕРИ МОЩНОСТИ НА ТРЕНИЕ
Одна из возможных конструктивных схем упорного подшип-
ника представлена на рис. 3.22, где видно, что масляные объемы 1
и 2 ограничены как неподвижными, так и подвижными поверхно-
стями, причем во всех случаях подвижные по. ерхности — внутрен-
ние (расположены на меньшем расстоянии от оси вращения).
Последнее, как известно [10, 86], означает низкую устойчивость
ламинарной формы течения и, таким образом, по крайней мере,
при достаточно больших скоростях ре- •
жим движения будет турбулентным.
Критерием здесь служит число Тейлора
Та = (o>£a/v) (s/R)™,
где R — радиус внутреннего цилиндра;
s — разность радиусов наружного и
внутреннего цилиндров.
Потеря устойчивости происходит
при Та > 41,3. Турбулентность без-
условно наступает при Та > 400 [86].
В подшипниках, с которыми прихо-
дится иметь дело на практике, обычно
Та > 400. Далее поэтому потоки в объе-
мах 1 и 2 будем считать турбулент-
ными.
Картина обтекания колодок и
гребня маслом носит весьма сложный
характер и пока еще исследована
недостаточно подробно.
Используем расчетную схему, предложенную в работе [29].
Несмотря на то, что в этой схеме не учитываются вторичные
течения, обусловленные взаимодействием ядра потока и пристен-
ных пограничных слоев, в целом она, насколько можно судить
по опытным данным работы^.[82 ], имеет удовлетворительную
точность.
При достаточно .больших числах Рейнольдса поток в зазоре,
например в объеме 1 (рис. 3.22), можно разделить на две зоны:
пристенные пограничные слои и ядро потока. Ядро потока вра-
щается как твердое тело, и его угловая скорость 6, очевидно,
, пропорциональна угловой скорости упорного гребня со.
В дальнейшем удобно различать разгоняющие (подвижные)
и тормозящие (неподвижные) поверхности. Например, на рис. 3.22
к разгоняющим относятся цилиндрические поверхности f'c', а'а
и торцевая поверхность а'Ь', к тормозящим — цилиндрические
поверхности ff, сс', b'b, ed и торцевые поверхности fe, cd и ab.
Далее величины, относящиеся к подвижным поверхностям,
обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, относя-
149
щиеся к неподвижным — строчными буквами. Кроме того, ис-
пользуются индексы: «д» — для цилиндрических поверхностей
и «/» — для торцевых.
Рассмотрим ядро потока. Угловая скорость ядра 5 и угловая
скорость гребня ® связаны зависимостью
& = р<о,	(3.83)
где Р — коэффициент, подлежащий определению.
Скорость обтекания участка тормозящей поверхности, распо-
ложенной на дуге радиуса г, равна и = бг = fiw. Определяя
напряжение трения т формулой т = О.бс^ры2 (где Qj — коэффи-
циент сопротивления, р — плотность масла), для момента трения
на участке цилиндрической поверхности радиуса г$ и длиной /а
получим
1д
Шд = j т 2nrgTddl = лрС/OJ2 p2r^d.	(3.84)
о
Аналогичным образом для участка торцевой поверхности,
заключенного между дугами радиусов rtl и rZ2, будем иметь
mt = j т 2лг rdr = 0,2 лр с{ы2 (r:>t2 — г,\) р2.	(3.85)
r/t
Точно так же, имея в виду, что скорость обтекания подвиж-
ных поверхностей есть и = (со — б) R = (1 — Р) a>R, для мо-
ментов Mg и Mt получим:
Мд = лрС/о>2/&,3(1 -Р)2;
Mt = 0,2лрс/(о2 (Rn - R5tl) (1 - 8)2.
Сумма моментов трения на разгоняющих и тормозящих по-
верхностях должна быть равна, нулю. Отсюда, испо'льзуя (3.84)—
(3.86), находим
1/6=1 I 1 f I №cf (f/2 — dl) + X CfrUd]
к JL 0,2с, (Rb - R5ti) + X CfRiLd] '
Здесь суммирование' распространено на все участки торможения
(числитель) и разгона (знаменатель).
Значения коэффициентов сопротивления С/ зависят от усло-
вий обтекания соответствующих участков поверхностей подшип-
ника. Наибольшее значение они будут иметь на поверхностях,
органичивающих наружные и внутренние грани колодок (уча-
стки ff и с'с на рис. 3.22), где, в связи с резким изменением кар-
тины течения при переходе от колодки к межколодочному про-
странству и снова к колодке, гидравлическое сопротивление зна-
чительно возрастает. Это последнее обстоятельство может быть
согласно Е. В. Трифонову учтено увеличением расчетного значе-
150
ния Cf примерно е пять раз по сравнению с коэффициентами сопро-
тивления на гладких поверхностях, где они могут быть прибли-
женно приняты одинаковыми для всего подшипника. Таким обра-
зом, приходим к следующей формуле для 0:
о _ 11 , I f t У 0.2 (г/2 — гл) + У 1 * /о Я7,
П [£о,2 (/&-/&) + ЕяЫ ’ .( }
в которой = 1, если тормозящая поверхность гладкая, и =
= 5 при наличии резких изменений формы.
С помощью (3.87) и (3.83) нетрудно подсчитать S и найти пере-
пад давлений по зазору
гд
\р = j Ao2 dr = 4- 0 _	р2р(02.	(3.88)
«д
Последняя формула может быть использована для определения
избыточного давления, необходимого для подавления вакуумных
зон в подшипнике.
Расчеты по формуле (3.88), при использовании для 0 фор-
мулы (3.87), удовлетворительно согласуются с экспериментом.
Вращение гребня в корпусе подшипника сопровождается по-
терями энергии (так называемые дисковые потери), которые в слу-
чае малых скоростей малы по сравнению с потерями в несущих
масляных пленках, но они становятся весьма существенными для
подшипников быстроходных машин. Расчет дисковых потерь про-
изводят по следующей эмпирической формуле [84 , 89]:
Л/д = пяр (0,01 со)3 D4 (D + 5//s),	(3.89)
где #д — мощность дисковых потерь, кВт; пд — эмпирический
коэффициент [можно принимать пд = 0,11 для подшипников
с центральным подводом смазки (от центра к периферии) и ггя =
= 0,135 для подшипников с периферийным подводом]; р — плот-
ность смазки при соответствующей температуре, кг/м3; со — угло-
вая скорость гребня, рад/с; D — наружный диаметр, м; D = 27?2;
Hs — толщина гребня, м.
Из формулы (3.89) следует, что дисковые потери резко увели-
чиваются с ростом размеров подшипника и для подшипников паро-
вых турбин при D > 0,5 м достигают нескольких сотен кило-
ватт. В этом случае с целью снижения Л/д целесообразно отказы-
ваться от масляной ванны и переходить к индивидуальному под-
воду масла к каждой колодке [33].
3.8. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ УПОРНЫЙ ГРЕБЕНЬ
Теплоотдача от гребня. Теплоотдача от упорного гребня
в масло осуществляется (см. рис. 3.22) по наружной цилиндриче-
ской поверхности (участок f'c'), по торцевой поверхности (уча-
151
сток a'b') и по поверхности той части вала, которая примыкает
к диску (участок аа'). При этом основное значение имеет отдача
теплоты с площадки f'c', так как здесь сочетаются наибольшая
площадь поверхности, омываемой маслом, с максимальными
скоростями масляных потоков, которую дальше, в основном, и
будем рассматривать.
Расчетная схема пбказана на рис. 3.23, где 1 — ядро потока;
2 — пограничный слой; 3 — ламинарный подслой. Через б и S(
обозначены толщины пограничного слоя и ламинарного подслоя
соответственно, через Tf и Tw — температуры в ядре потока и на
стенке, через а — плотность теплового потока от стенки к ядру.
Рис. 3.23
Коэффициент теплоотдачи опре-
деляется формулой
«а = <7/(Л«> — 7»	(3.90)
и, очевидно, зависит от коэффи-
циента теплопроводности в турбу-
лентной и ламинарной части
слоя.
В широко известных спосо-
бах расчета теплопередачи, осно-
ванных на принятой здесь двух-
слойной модели Прандтля 187 ],
обычно принимается, что в. лами-
нарном подслое теплопроводность
равна ее молекулярному значению X. В случае высоковязких
жидкостей, в частности смазочных масел, приходится принимать
во внимание, что в ламинарный подслой проникают турбулент-
ные пульсации, которые повышают как суммарную вязкость
va = v + vz, так и суммарную теплопроводность = к + kt.
Вблизи стенки турбулентная вязкость резко падает, ~и в подслое
значением vt пренебрегают по сравнению с v (собственно, из этого
условия и определяется толщина 6;). Что касается теплопровод-
ности, _то поскольку при больших числах Прандтля Рг, даже при
малых vz/v, отношение
= (vzpc/Prz): (vpc/Pr) <=» Рг vt/v,
где Рг, — турбулентное число Прандтля может быть и не малым,
то значением по сравнению с X пренебрегать нельзя.
В настоящее время, путем отказа от двухслойной модели,
разработаны методы расчета, охватывающие и случай больших
Рг (28, 67], однако их практическая реализация связана с гро-
моздкими вычислениями. Приведем более простое решение, суть
которого состоит в том, что из пограничного слоя- по-прежнему
выделяется ламинарный подслой, однако, в отличие от схемы
Прандтля, теплопроводность в подслое подсчитывается с учетом
проникающих в него турбулентных пульсаций.
152
В силу симметрии задачи, напряжение трения т й плотность
теплового потока q постоянны. Они связаны со скоростью и и
температурой Т формулами:
i==pvadu!dy, q = —дТ/ду.
Принимая турбулентное число Прандтля Prz« 1, в турбулент-
ной части пограничного слоя можно положить:
ve = vz, la = X.z = pcvz, vt~ = Р | duldy I, l — ky, (3.91)
а в ламинарном подслое:
v0 = v, = X +	(3.92)
Здесь k't = pcv't есть теплопроводность, обусловленная проникно-
вением турбулентных пульсаций в ламинарный подслой; вели-
чина v't представляет собой соответствующую турбулентную вяз-
кость.
Перейдем к безразмерным переменным, полагая:
х = q/[pcu*(Т„ - Tf)], $ = (TW- T)/(TW - Tfr
г) = yu*/v; v* = У —'t/р, ф = (u — u^/v*,
где индекс w относится к стенке, индекс f — к потоку.
Обозначив еще через t]z безразмерную толщину ламинарного
подслоя, с учетом (3.91) и (3.92) получим:
дф/дт] = —v/vz, дО/дг] = (v/vz)x при	(3.93)
дф/дт] = —1; дй/дг) = (vpc/XCT) х при т] < t)z. (3.93а)
-	vt = 62т]21 дф/дт] | V.	(3.94)
Согласно [26], турбулентная вязкость v't ~ у*. Отсюда сле-
дует, что V® можно представить в виде
Vj = V?T]4/T]Z,
где V® — турбулентная вязкость на границе ламинарного под-
слоя.
Из (3.93) и (3.94) получим v* = kv\tv, так что
v't = nr)4v: п = k/rfi. ’	(3.95)
Если принять [7 ] k = 0,4, T]z = 11, то (3.95) даст п = 0,0003.
Используя найденное значение v't для определения и
из'(3.92) и интегрируя (3.93а), для перепада безразмерной ско-
рости и температуры по ламинарному подслою получим:
ф, = —r)z,	= х Рг3/4ф (Рг);
♦ (Рг) = - А® ( -Г1 + S1g + S' - arctg 1Ц + „);
'	2 К 2n°’26 2	1 — g /2 +	5 52 — 1 — }
Z=nln°-25Pr°-25.
(3.96)
153
При выводе (3.96) использован тот факт, что при Рг > 1
значение | > 1.
При числах Прандтля Рг > 1 функция ф (Рг) очень слабо
зависит от Рг и близка к постоянной (ф -=^8,4).
Для определения перепада температур по турбулентной части
слоя разделим второе из уравнений (3.93) на первое. Тогда будет
д&/д<р - —к.	(3.97)
Интегрируя (3.97) по <р от <pz = —t)z до <р = (и{ — uj/v*.
получим
1 — = х ((Ии) — uf)!v* — t]/L
(3.98)
Исключая из (3.96) и (3.98) найдем
?/[(>«'* <TW - Tf)] = [(«„ - hz)/p* - t)/ + ф Рг3/4]’1-	(3.99)
Если трение на стенке выразить через коэффициент сопротив?
• ления Cf и перепад скоростей Д4/ = uw — щ, то (3.99) даст:
с* __________£//2_____. cf________£_____. r _ 2т
1 + Kcf/2(фPr3/4 — r)Z) ’ ^~pc(Tw-Tf)^U'
(3.100)
а для коэффициента теплоотдачи будем иметь , [см. (3.90)]
ад = рс Д1/St.	(3.101)
Преобразуем полученные формулы к виду, удобному для рас-
чета теплообмена в трубах. Поскольку для труб имеются опытные
данные по числу St, это даст возможность проверить формулу
(3.100) экспериментально. При расчете теплообмена в трубах
критерий Стенстона обычно вычисляют по средней скорости и,п
и средней по расходу температуре Tw—Tm.
В этом случае
stm = (<Ш т 11 + Фш /£/8 (Ф Рг3/4 -
) dlm— pc(Tw-Tm)um ’ рт~ ли’
о,  Т w — Тт. j-  St
vm т Т. ’ Ь о
Tw—lf	ригт
(3.102)
Для круглых труб при распределении скорости по закону
одной седьмой <р,п «=> 0,816 [87], а значение Оот, особенно при
больших Рг, весьма близко к единице. На рис. 3.24 расчеты по
формуле (3.102) (штриховая линия) сопоставлены с вычислениями
из работы [67 ], хорошо согласующимися с экспериментом. Коэф-
фициент сопротивления £ определялся по формуле Блазиуса £ —
= 0,3164Rei0>2S для числа Red = 10\ при котором формула
Блазиуса еще справедлива. Как видно из рис. 3.24, обнаружи-
вается удовлетворительное совпадение между предложенными фор-
мулами и расчетами из работы [67].
154
Удовлетворительное совпадение наблюдается и при сравнении
с теорией, изложенной в работе [281, где при больших числах Рг-
была получена асимптотическая формула St ~ О,ОК1''2 Рг-3/4.
Формула (3.102) в этом случае с учетом (3.96) дает St ~ а£1/2Рг-3/4;
а = и1/4/л = 0,0419, так что расхождение составляет менее
5 %. Заметим также, что полученные формулы были установлены
без привлечения новых экспериментальных данных (использова-
лись только, две константы турбулентности k и т)().
Для практических расчетов коэффициента’ теплоотдачи надо
знать коэффициент сопротивления с/. Можно считать (см. рис. 3.22),
что цилиндр радиуса Rs вращается в жидкости со скоростью
Лео = рд(о, где, например, для объема 20д = 1 — р2. Коэффициент
сопротивления с/ в этом случае можно определить из уравне-
ния [10]
<7 1/2 =- -0,6 + 4,-071g (Re/f1/2),	(3.103)
где
Rea = AwPs/v.
Его приближенное решение можно представить в виде:
cf = 0,187 Ред0'35 при Ред< 1,5-104;
cf — 0,044 Re^0,2 при Rea> 1,5-104.
(3.103а)
'Имея далее в виду использовать эти формулы для расчета
теплоотдачи от наружной цилиндрической поверхности упорного
гребня, будем полагать Rs = R2. С учетом принятых обозначе-
ний формулу (3.101) для коэффициента теплоотдачи можно за-
писать в более удобной для расчетов форме:
ad = (Х//?г) PrReASt; St = 0,5cf/[ 1 + |/б^ (8,4 Pr3/4 - 11)1,
(3.104)
’	155
где Cj — по формулам (3.103). Для оценки порядка ад примем
Rt = 0,1 м, Л = 1,25-10“4 кВт/(м.°С), Рг = 200, Ред = 1,5-10».
По формуле (3.104) получим оп <=» 3,7 кВт/(м2-°С).
Коэффициент теплопередачи через гребень. Расчетную схему
примем в виде полого диска толщиной Я,, который со стороны
наружной поверхности г = R2 омывается маслом с температурой
Т1, коэффициент теплоотдачи* равен ад. Температура плоско-
сти у = 0 есть Т = Т3 (ось у направлена по нормали к торцевым
поверхностям диска), а поверхности у = Hs и г = R1 предпола-
гаются теплоизолированными. Требуется рассчитать тепловой
поток, идущий через гребень от поверхности у = 0 к поверхно-
сти г = ₽2- Такая схема соответствует указанным предположе-
ниям о характере процесса теплоотдачи гребнем и, в частности,
предполагает, что теплоотдача происходит только от наружной
поверхности. Математически задача сводится к решению уравне-
ния
1 д ( дТ \ , д2Т _	/о
Т дг	— 0	(3.105)
с граничными условиями:
T = TS при z/ = 0, дТ/ду = 0 при у = Hit
ад (Т — TSi) — — Xs dTldr при г = R2,
дТ/дг = 0 при г =
(3.106)
где Xs — коэффициент теплопроводности материала упорного
гребня.
Решение задачи (3.105)—(3.106) можно получить в виде
Ts - Т = О = 0S У [ AkI0 (/n*r) + BkK0 (m*r)] sin mky,
k=0
где 0S = Ts - Tl,
= я(2Л+ 1) {	~	+
B* = - Akr0 (m.RiVKo (mkRJ, mk = (2k + 1) л/(2Я,).
Здесь Io и Ka — функции Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента.
Коэффициент теплопередачи от рабочей поверхности упорного
гребня у = О’ к его цилиндрической поверхности г = R2 опре-
делится формулой
2я Hs
= d(P'
156
Произведя необходимые преобразования, получим [41 ]
.	(3.107)
Здесь [с учетом использовавшихся ранее обозначений 7? = 0,5 х
х(Ях + Яг),. В = Я2 — Ях; Ьо = В/R} -
Ад = 2Я2ЯДЯ’ Т- Я*) = [(1 + O,5fto)/M Hs/R,
Аа = 2хФ/л2,	(3.108)
где
nks . ф _ V'______________№___________.
Wsa„’	(A + 0,5)[l + (fe + 0,5)i|>Ax] ’
*=0
.и Л (^А^г) 1Л (mkRi)/Ri Кг (т*Яг) zn i Поя\
Здесь Ii и Кг — функции Бесселя первого порядка от чисто мни-
мого аргумента.
В частном случае, когда Ях и R2 Hs, формулу для фъ с уче-
том известных асимптотических разложений для функций 1п
и Кп> можно представить в виде [41 ] оо th mkB, где В =
= Я2 — Ях — ширина колодки. Отсюда для коэффициента ka
получим
, _ 2х уч	th mkB
R“ ~ я2 Zj (я + 0,5) [1 + (k + 0,5) х th ткВ] '
k=o
Если еще положить Яг — Ях — В Rt, то коэффициент Ад
обратится в HJB, и в результате получим формулу для коэффи-
циента теплопередачи через полосу
_ Hs 2>$ уч	th ткВ
as —ад в -jjT (ft + о,5) [1 + (* + 0,5) х th mkB] '
ft=o
Рассмотрим зависимость коэффициента теплопередачи от пара-
метра х. В случае больших х, когда коэффициент теплоотдачи ад
мал по сравнению с Ks/Hs, имеем
об	00
k «XV__________I____= XV_________!__=1
“ я2 Zj (fe + 0,5)2 Я* Zj (2Л+1)2	1»
*=0	Л=0
так что
а$==Од^д.	.	(3.109)
Коэффициент Ад представляет собой отношение площади на-
ружной цилиндрической поверхности диска к площади его торца.
Так же, следовательно, в силу (3.109), относятся и as и ад. Физи-
чески этот результат понятен, поскольку при больших KIHS
тепловое сопротивление диска мало и температура всех его точек
примерно равна Т$. Поэтому условие равенства тепловых пото-
157
ков через нагревающую и охлаждаемую поверхности гребня
приводит к соотношению л (/?! — Ri) (Ts — Т*) as — 2nR2Hsaa X
X (Ts — Т;), откуда и следует (3.109).
Другой крайний случай дает предположение х -* 0 (значе-
ние Xs///S мало по сравнению с а ). Из выражений (3.108а) при
х —*• 0 получаем Ф -► оо. Однако коэффициент теплопередачи as
остается ограниченной величиной и, более того, стремится к нулю.
Это следует из асимптотического разложения для функции Ф
при х -* 0, которое, как можно
показать (см. [41 ]), имеет вид
Ф оо In х"1. Таким образом, ka -*
-> (2/л2) х In х-1 -> 0 при х —> 0,
а следовательно, и as -* 0. Физи-
ческий смысл этого результата
состоит в том, что при большом
тепловом сопротивлении диска
передача теплоты через дйск
мала.
Применительно к упорным под-
шипникам интерес обычно пред-
/	1	3 r/hs ставляют сравнительно малые зна-
Рис 3 25	чения х. В таких условиях ряд,
определяющий функцию Ф, схо-
дится медленно (при х —► 0 он
вообще расходится) и, следовательно, мало пригоден для вычис-
лений. Так, в работе [3J отмечается, что получение требуемой
точности в аналогичной задаче о полосе потребовало удержания
999 членов ряда. Удобные вычислительные формулы можно по-
лучить, построив асимптотическое разложение для Ф (х) при
х —>• 0. Соответствующий анализ приводит к следующей формуле
для ka [41 ]:
ka = 2 (х/л2) [4ф0/(2 + хф0) + In (1 + 2/Зх) 4 (1/3) (1 +
+ 1,5х)-Ч,
(3.110)
где ф0 определяется по формуле из (3.108) для фА при k = 0.
Вычисления, выполненные для различных b0, HJR и х, представ-
ляющих практический интерес (Ьо = 0,4 4-0,8; R/Hs = 1 4-4; х =
= 0,14-4), показали, что формула (3.110) дает для ka результат
с погрешностью не более 1,5 %. Графики для величины ф0 (R/Hs,
b0) представлены на рис. 3.25.
Аналогичным образом в случае теплопередачи Через полосу
для коэффициента теплопередачи получим:
ос$ — ®д^д/2(х, ^д — Hs/B;
k* = 2 (х/л2) [4фй/(2 + хфо) + In (1 4- 2х-1/3) +
+ (1 + 1.5х)-1/31,
(3.111)
где фо « th (nB/2HJ.
158
Заметим, что для рассмотренных значений параметров коэф-
фициенты ka и оказываются близкими друг к другу (с ошиб-
кой 10 %).
Последовательность расчетов и порядок получающихся при
этом коэффициентов теплопередачи проиллюстрируем примером.
Возьмем R/H^ = 2; b0 = 0,6; ад = 4,19 кВт/(м2-°С);	== 4,02 X
X 10’2 кВт/(м-°С); Hs = 3-10~2 м. Имеем ф0 = 0,8; х = лХ5/(адЯ5) =
— 1; ka = 0,36; /гд = 1,08. Отсюда k„ka — 0,39. Коэффициент
теплопередачи составляет as = 1,64 кВт/(м2-°С).
Влияние горючих частей машины. Рассмотрим вопрос об учете
теплоты, которая может поступать в подшипник со стороны горя
чих частей машины. Предполо-
жим, что известна темпера-
тура Тг в сечении вала //—II,
находящемся на расстоянии Lr
от упорного гребня (рис. 3.26).
Поток теплоты Qa через^ рабо-
чую поверхность гребня можно
рассматривать как алгебраиче-
скую сумму потоков теплоты Q’
через наружную цилиндриче-
скую поверхность и Qr через вал.
Для Qst имеем формулу Q?=as х
Рис. 3.26
х (7\- Л) л (R22 - ^.аналогично Qr = ar(Ts — Tr) n(Rl — Rl),
где ar — соответствующая величина коэффициента теплопере-
дачи. Если-длина вала Lr велика по сравнению с размерами гребня,
то тепловым .сопротивлением диска можно будет пренебречь,
и значение аг найдется из условия (см. рис. 3.26)
ar (Ts - Тг) л (R* - RD = a; (Ts - Т,) лг2, (3.112)
где коэффициент теплопередачи между сечениями I—I и II—II а'г
находится по формулам теории теплопередачи в так называемом
тонком стержне [87 ]:
г	I*г I*a (Т, - Тд) ch fflf _____ "I Г ССд' 2 .
~ shmr	Tr-*TS	’ mr ‘ У кг г1"
(З.НЗ)
Здесь. — коэффициент теплопроводности материала вала; Та —
.температура среды, в которой вращается вал; аа — коэффициент
теплоотдачи от боковой поверхности вала.
В частном случае, когда теплоотдача в окружающую среду
отсутствует , (ао = 0), последняя формула переходит в более
простое соотношение
а; = ХгДг.	(3.113а)
а выражение для аг, согласно (3.112), примет вид
ar — r*/(R* -RD(K/Lr).
159
Введем в рассмотрение приведенный коэффициент теплопере-
дачи через рабочую поверхность диска а®. Представив поток
теплоты Qa = Qi + Qr в виде Qa = а£л (Rj — Rl) (Ts — T?),
с учетом указанных формул для Q’ и Qr получим
а? = as I1 - [r2/(Rl - ₽?)] l(7\ - TS)/(T, -
Этой формулой можно пользоваться для учета влияния горячих
частей машины на тепловой режим подшипника. Она показывает,
в частности, что воздействие теплоты, идущей в подшипник извне,
может быть снижено путем уменьшения г2 по сравнению с R22—R2,
а также за счет увеличения Lr и уменьшения Ориентировочные
расчеты приводят к выводу, что
влияние дополнительного подо-
грева масла за счет перетока тепла
по валу сравнительно невелико.
Примем as = 1,67 кВт/(м2*°С);
%. = 0,042 к Вт/(м-°C); Ь9 =
= B/R = 0,6; г = Тг — Ts «
10 (Ts — Тр. Оценивая а'г
по формуле (3.113а), получим
а° = as (1 — 0,l/Lr). Если для
длины Lr принять Lr = 0,4 м,
что, например, при радиусе Rt =
= 0,1 м составляет около двух диаметров подшипника, то а®
снизится по сравнению со, на 25 %. При уменьшенных темпера-
турных перепадах Тг—Т s или в случае установки подшипника
на. большем расстоянии от горячей части вала разница между a
и а° будет меньше.
Распределение температур по ширине слоя. Одной из причин,
обусловливающих непостоянство температуры по ширине слоя,
может быть теплоотдача от Гребня. Для получения приближенного
решения задачи заменим секторные колодки на колодки прямо-
угольной формы в плане, а гребень схематизируем в виде полосы,
движущейся вдоль оси х со скоростью Uo (рис. 3.27). Размеры ко-
лодок и гребня показаны на рисунке. Колодка отделена от гребня
слоем смазки, толщину которого будем считать постоянной. Ус-
ловия теплоотдачи от полосы принимаем следующие: поверх-
ности г = 0‘ и у = Hs считаем теплоизолированными, а на по-
верхности z = В зададим коэффициент теплоотдачи ад. Темпера-
туру жидкости, омывающей полосу, обозначим через Т*. Коэф-
фициент теплопередачи через колодку обозначим через ак, тем-
пературу масла, омывающего колодку, — через Т?. Вязкость
смазки в пределах слоя предполагается постоянной. В результате
решения задачи оказывается возможным определить температур-
ное поле слоя и, в частности, найти закон изменения температуры
рабочей поверхности гребня по ширине колодки.
160
С учетом того, что температура поверхности у — 0, согласно
результатам, полученным в гл. 2, слабо зависит от х, можно счи-
тать, что температура гребня есть функция только у и, следова-
тельно, процесс распространения теплоты достаточно рассмо-
треть для произвольного элемента гребня, перпендикулярного
сси х (см. рис. 3.27). Уравнение для температуры будет
д'Пду1 4- дУПдг* = 0.	(3.114)
Сформулируем граничные условия.’ На поверхностях г = 0,
z=^Bviy = Hi запишем:
ад (Т — П) = —ks дТ/dz при z = В; 1
дТ/дг = 0 при z = 0; дТ/ду = 0 и у = Hs. J
Рассмотрим теперь плоскость у = 0. Количество теплоты, ко-
торое проходит через площадку шириной dz и длиной L + С
в сторону положительных значений у, т. е. в тело гребня, равно
dQ = —Xs дТ/ду |у=+0 dz (L + С).
С другой стороны, значение dQ равно количеству теплоты
dQL ——dx]dz,
\0J дУ Ь=о J
поступающей в гребень из масляного клина, за исключением теп-
лоты dQc, которую гребень отдает в межколодочный канал. Для
простоты; ограничимся простейшим предположением dQc = 0.
Аппроксимируя теперь, как и в гл. 2, температуру по толщине
слоя параболой второй степени и выполняя соответствующие пре-
образования с использованием условия баланса теплоты в меж-
колодочном канале (2.48), получим
Ks дТ/ду = at(T — T'i — 07\-0' A7<) при у = 0, (3.116)
где
а/ = ТТ ГТТ~ +	-rl Тд’	(3-116а)
0 = 0 (t, nK, ns = 0); 0' = 0' (t, n„ ns = 0), уд = L/(L + C).
Здесь 0, 0', t и AT; определяются по формулам (2.54), nx — no
формуле из (2.38),	— по формуле (2.42).
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (3.114)
с граничными условиями (3.115) и (3.116). Введем переменную
о=т - г?—0тц - 0' ат;
и примем дополнительно, что Т* « Т* — Tt. Тогда для 0 по-
лучим уравнение
д*Ыду* 4- д*в/дз» = 0	(3.117)
6 Подольский М. Е.
161
с граничными условиями
ад (9 + 6«) — —К dtydz при г — В;
dQ/dz = 0 при z==0; дО/ду — 0 при y'—Hs\
Xs ЭО/dz/ = az0 при у — 0.
Здесь
О^РТц.+ ГДП
(3.118)
Решение задачи (3.117), (3.118) можно получить в виде:
О = 0S £ Am cos хт (1 — y/Hs) ch xmz/Hs,
Л _	* Sin хт______________1	_ Xs
т . 2xm + sin2xm ch (Bxm/Hs) + Цт sh (Bxm/Hs) ’ Hsad ’
Здесь xm есть корень уравнения.
Xm tg xm = rf, d = A-	(3.119)
Отсюда для температуры рабочей поверхности диска Т'4 имеем
у»  у I л j 1  sin Xtn cos хт	ch (xmzlHs)	|
2xm+sin2xm ch(Bxn/Hs) + yxmsh(Bxm/Hs) ‘
\ m=O	/
(oo
i-2j
m=Q
Поскольку/в силу (3.119), sin 2xm = 2dxm/(d- + x2m), то послед-
нее выражение можно переписать в виде
2d____________ch (xmziHs)________\
d + d2 + х2т ch (xmB!Hs) +	sh (xmBlHs) I ‘
(3.120)
Из формулы (3.120) следует, что температура рабочей поверх,
ности упорного гребня есть функция z и уменьшается с ростом г.
Температуры при* 2 = 0 и г = В на основании (3.120) будут.
(оо
1 — 2j ат!ст
Т.н = Ts \z^b
(3.121)
- d + d2 +	1 + xxm th (ХтВ/Н,) ; Ст - Ch
1	1 tn
Среднеинтегральная температура по ширине слоя равна
В	/	оо.	\
^ = -rj7’’<fee7’' + es(1--^'S ^th(XX~/tfS)|- (3122>
0	'	ш=0	/
162
Для вычисления сумм в формулах (3.121) и (3.122) могут быть
использованы выражения [42]:
f a,nlcm = f ат/ст 4- Д1( Дх < 2 [ d/(cm0X^8)] к (3) - Т’ лГ8 I;
т=о	/л=о	L	.1 J
f ат = m£l ат + Д2; Д2 < 2 [d/(Xn3)] к (3) - "е*m"® 1;
т—0	m=0	L	1
оо	/п0—1
S ~	+ Дз, (#тЛт)
т-Q	т—0
 As<2[d/(xji4)J[С(4) -TV4]'
1
Рассмотрим пример. Исходные данные для расчета следующие:
а,, = 4,19 кВт/(м2-°С), Xs = 0,0419 кВт/(м-°С), Я, = 2-Ю’2 м,
B/Hs = 2, Ло = 2-10“5 м, Х=1,26-10’4 кВт/(м-°С), ак = 0,
ух = 1, t = 3. Подставляя численные значения, получаем az =
= 4Х/(/Ло) = 8,38 кВт/(м2-°С), d = 4, % = 0,5.
Корни уравнения (3.119) будут х0 = 1,265; хх — 3,94; х2 =
= 6,81; х3 = 9,81; х4 = 12,87; х5 = 15,95, а для с, и а имеем
с0 = 6,32; сх = 1322; а0 — 0,228; ах = 0,0756; а2 = 0,0274; а3 =
= 0,01165; а, = 0,00584; а6 = 0,00325.
Ограничиваясь при вычислениях Ts0 одним членом ряда
(т0 = 1), получим Ts0 = Т, + 0,9640, с погрешностью, не пре-
восходящей Дх05, Дх = 2£ (3) d/Xn8 < 0,5-10-8.
оо
Для вычислений TsB и Ть примем т0 = 6. Тогда £ ап =
о
= 0,352 с ошибкой, не л ревосходящей 0,01, так что Tsli Tt +
+ 0,65 0s,'a для Ts будем иметь Ts = Д 0,898 0S с ошибкой
Д3 (HJB) 0S < 0,000130s. Разность между и TsS составляет
^0,310S.
Если_для_принятых значений параметров подсчитать коэффи-
циенты р и1Р', то искомые температуры можно будет выразить
через Тц и ДТ'(. При этом, в частности, для Т$ получим
Л = Tt + 0,907’ц + 0.90ДП
Подсчитаем еще температуру рабочей поверхности упорного
диска, исходя, из дспущения о ее постоянстве по ширине колодки.
Согласно (2.53а), при ак = 0 в Т* = Tj —Tt Ts находится по
формуле
. Л = Tz + (t - 1 )'(2 + 0,5ns0-1 Тц + (1 + 0,'25ns0-1	••
Здесь, в силу (2.47), ns = аД/Хф, ф = у14 [см. (3.116а)], а зна-
чение as подсчитывается по формуле (3.111). Подставляя числен-
ные значения, находим Ts = Т( + 0,89Тц + 0,89ATz.
6*	‘	163
Если взять t — 12, h0 = 10"5 м, оставив остальные значения
неизменными, то аналогичным образом получим Ts0 = Tt +
-I O,920s; TsB = T[ + O,530s; Ts = T, + O,820s=r, +4,527'„ +
+ 0,82ДТ;-, Ts = Ti + 4,4Tg + о.вдт;.
Выполненные расчеты показывают, что за счет теплоотдачи
от диска, которая приводит к неравномерному отводу теплоты от
слоя, может наблюдаться непостоянство температуры по ширине
колодки. Вместе с тем, даже при сравнительно больших перепадах
(в рассмотренных примерах он составлял 30—50 % от среднего
подогрева) приближенное решение, основывающееся на пред-
положении о постоянстве температуры по радиусу, дает для
средней температуры удовлетворительные результаты.
3.9. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ КОЛОДКУ
Теплоотдача от колодки. Колодка омывается маслом по ее
боковым поверхностям, а также с тыльной стороны. Поскольку
в Зазоре между колодкой и подкладным кольцом условия для
интенсивного движения масла отсутствуют, то и теплоотдача здесь
должна быть небольшой. Боль-
шую роль играют межколодоч-
ный канал и цилиндрические
поверхности колодки. Далее,
с определенным запасом по
расчетным температурам, рас-
сматриваются только цилинд
рические поверхности.
Расчетная схема показана на
„	„	рис. 3.28. Режим течения в по-
о.^о	граничных слоях будем считать
ламинарным. Если число Рей-
нольдса меньше критического значения, это предположение не
противоречит выводу о турбулентности потока у гребня, так как
при Re < ReBP возмущения, проникающие из ядра потока,
затухают и, таким образом, не турбулизируют слой.
, Рассматривая приближенно пограничные слои как слои на
пластине, для коэффициента теплоотдачи осредненного по
длине слоя получим [87 ]	_____
а, = 0,664 (MJ v'Pr VUjfi-	(3.120)
Учитывая, что а. ~ V UJli и на каждой из цилиндрических
поверхностей (/.//, = ft t/0/L (£/0 — скорость при среднем радиусе;
L — длина колодки), из формулы (3.123) получим
Ш = 0,664 / ft (X/L) ]ZPf / UJJv.
Для среднего- (по площади боковой поверхности колодки)
коэффициента теплоотдачи ат будем иметь
а.„ = 0,664ак (Х/£) УРг	(3.124*)
164
где коэффициент ак зависит от геометрии колодки и подшипника
в целом и определяется формулой:
2
—птггЕтИ"* &	«о-^. (3.125)
1»=1
где R — средний радиус колодки.
Значения рх и Р2 подсчитываются по формулам (3.87). Вели-
чина kft определяет долю площади соответствующей поверхности
колодки, омываемой маслом. Если Л/х — ki2 = kf и рх =« pt = р
то с, = kf^ р/(1 + B/L).
Для оценки порядка а„ примем Uo = 50 м/с; L В — 0,04 м-
X >= 1,25-10-* кВт/(м-*С); v - 1,4-10“* м*/с; Рг - 200; kfi - lj
р, ^0,3. По формулам (3.124) и
(3.125) получим а.п = 1,26 кВт/(м* • *С).
Коэффициент теплопередачи че-
рез колодку. Схематизируем колодку
в виде пластины толщиной Н, с пло-
щадью в плане F и периметром Г
(рис. 3.29). Оси Ох и Oz располо-
жены в рабочей плоскости колодки,
ось Оу направлена по перпендику-
ляру к плоскости xz. Коэффициент
теплоотдачи на боковых поверх-
ностях пластины считаем всюду оди-
наковмм и равным его среднему зна-
чению а..п, которое вычисляется по
температуру поверхности у = 0 обозначим через Тк, а температуру
масла, омывающего колодку, через Т*.
Уравнение распространения теплоты в пластине можно запи-
сать в виде
+	=	(3.126)
формуле (3.124). Среднюю
« Интегрируя (3.126) по площади поперечного, т. е. перпенди-
кулярного оси Оу, сечения пластины и воспользовавшись форму-
лой Грина, получим
<3|27>
г
где F — площадь пластины в плане; dy — элемент контура Г
пластины; п—направление внешней нормали к контуру Г; Т —
средняя температура, определяемая формулой
Т = 4- flTdxdz.
F J J
F
Обозначим через Tv среднюю (по контуру) температуру эле-
мента боковой грани высотой dy, отстоящего на расстоянии у
165
от плоскости хг. Тогда количество теплоты, отдаваемое этим эле-
ментом в единицу времени, будет ?т (7\ — 77) Ydy. С другой
стороны, это же количество теплоты равно —J (dTIdn) dydy,
г
где — коэффициент теплопроводности материала пластины.
Тогда из формулы (3.127) получаем
(3.128)
Если тепловое сопротивление пластины много меньше тепло-
вого сопротивления пограничных слоев на ее стенках’, то темпера-
туры Т и Ту близки друг к другу. В общем же случае Ту =£ Т.
Найдем приближенное выражение для Т—Т.„ Рассмотрим экви-
валентную круглую пластинку с радиусов Rk — j/ F/n и толщи-
ной dy. Тепло, поступающее в пластинку, уходит через ее боковую
поверхность в количестве ат (7\ —Т“) Ydy. Если предположить,
что плотность потока тепла, поступающего в пластину, постоянна
по площади ее поперечного сечения, то тепловой поток через коль-
цевую площадку радиуса г и толщиной dr будет ат (7\ —
—Т*) Г dy2nrdr/F. С другой стороны, эта величина должна рав-
няться (—2пгкдТ1дг)1дг] drdy. Отсюда для температуры полу-
чим уравнение
<3'129)
Интегрируя (3.129) при условиях Т (Rk) = Ту и | Т (0) | <j
< оо, найдем Т (/) и подсчитаем разность
Т - Ту = (1/8л) (атГ/М (Ту - Т*),
откуда
7\-77 = (Т-77)/(1+х); Х = атГ/(8лХА).
Подставляя это в формулу (3.128), будем иметь
d2T/dtf = (1 + Х)'1 (8лх/Г) (Т - 77)•	(3.130)
Уравнение (3.130) по форме совпадает с известным из теории
теплопроводности уравнением для тонкого стержня (см. ра-
боту [87]).
Разница между ними состоит в наличии множителя 1 + х>
который учитывает неравномерность в распределении температуры
по площа и поперечного сечения.
Интегрируя уравнение (3.130) (для этого достаточно восполь-
зоваться известными решениями из [871) при условиях Т= Тк
166
при у — 0, —'Klldtldy = ан(Т—Т*) при у = Н, найдем Т (у)
и подсчитаем коэффициент теплопередачи через пластину
„ __ _ U дТ |	,	+ th mH
Тк — Т* ду 1</=о	* .1 + (aH/mXA)-1 th mfi ’
"j=V-T'TTY-	(3131>
Здесь И — толщина пластины; ан — коэффициент теплоотдачи
на конце пластины при у = Н,
Найдем теперь коэффициент теплопередачи через колодку.
Обычно колодка представляет собой двухслойную конструкцию,
состоящую из основания колодки (стальное, бронзовое или латун-
ное) и слоя антифрикционного материала (баббит). Поэтому задача
решается в два этапа. Сначала подсчитывается коэффициент тепло-
передачи через основание колодки.
Поскольку теплоотдачей с тыльной стороны пренебрегаем,
то ан = 0, и формула (3.131), если в ней а заменить на а0,	—
на Хо, Н — на Но, .дает [с учетом того, что Г = 2 (В + L), F =
= BL\:
„ __m fh m«H« • m . 1/" Хо • v _______________ 1 + Д/Ь Lam
a0— L mnlti L , m0 у B/L 1 + Хо» Хо — 4jl	•
(3.132)
Здесь L — длина колодки, а индекс «О» означает, что соответствую-
щее значение берется для основания колодки.
Затем, рассматривая распространение теплоты через баббит
и замечая, что в этом случае роль а>и играет а0, из (3.131) найдем
« -= m th (m6H6/L) + тЛ (тбА.б)~ЧЬ (m9H9/L)	. .
* “ L тб 1 + тЛ) (тбА,б)-1 th (m0W0/£) th (m6H6/L) ’ Vх
Ъе	_________________
m6 = V (8ftL/B) %6/( 1 + Хб); Хб = КI + B/L)/(4n)] Lam/K6.
Индекс «б» означает, что соответствующая величина относится
к баббитовой заливке.
Рассмотрим пример. Исходные данные: Uo = 50 м/с; =
= р2 = 0,3; kf = 1; L = 4-10“2 м; B/L =1; Но = 1,8-10-2 м;
Нв = 0,2-10-2 м; X = 5-Ю"2 кВт/(м-°С);	= 3,35-10"2 кВт/(мХ
Х°С). По формуле (3.124) имеем ап — 1,26 кВт/(м2-';С). Отсюда
находим Хо = 0,159; Хб — 0,237; т0 = 1,855; т5 = 2,2; а0 =
= 1,59 кВт/(м2-°С); а* = 1,64 кВт/(м2-°С).
В рассматриваемом случае оказалось, что значение ak > ап.
Это связано с тем, что площадь боковой поверхности колодки
(Яо + Нь) 2 (В + L) = 32 см2 больше площади рабочей поверх-
ности колодки BL == 16 см2.
167
Г лава 4
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУР
В НЕСУЩЕМ МАСЛЯНОМ СЛОЕ
Для того чтобы определить температурное поле несущей мас-
ляной пленки, необходимо располагать, во-первых, зависимостями,
связывающими температуры в слое с температурой рабочей по-
верхности упорного диска и с температурой на входе в клин;
во-вторых, необходимо связать температуру на входе в слой с тем-
пературой на выходе из-под предыдущей колодки и с условиями
теплообмена в канале; в-третьих, необходимо получить условия
для определения температуры
упорного диска и общего темпера-
турного уровня в подшипнике.-
С учетом результатов, установ-
ленных в предыдущих главах, ока-
зывается возможным выполнить
совместные решения этих задач и
получить сравнительно простые
формулы для определения темпе-
ратуры в слое. Анализ физиче-
ского смысла формул для темпе-
ратур и их сравнение с экспери-
ментом показывают, что предлагаемые расчетные зависимости об-
ладают приемлемой точностью.
Температурное поле пленки в межколодочном канале. Согласно
результатам, полученным в гл. 3, можно считать, что масло, вы-
шедшее из-под предыдущей колодки, переносится упорным диском
через межкоЛодочный канал в виде тонкой пленки примерно по-
стоянной толщины hc со скоростью, близкой к U9 (рис. 4.1).
Толщина пленки hc определяется формулой [см. (1'60) [
hc = Gt/(BU0) —	(4-1)
Пренебрегая тепловыделением за счет диссипации энергии в пленке
и вводя общепринятые для тонких пленок упрощающие допуще-
ния, уравнение для температуры можно записать в виде
дТ/дх = (qc/\2) &Т1ду\	(4.2)
где
qc = 12%C/(pct/„h?); х = х/С, у = y)hc.
Температурное поле пленки Т = Т (х, у) определяется темпера-
турой масла на выходе из клина [она же температура на входе
в пленку Т (х = 0) ], температурой рабочей поверхности упорного
гребня Ts и условиями охлаждения пленки маслом, текущим в меж-
колодочном канале. Основываясь на схеме процесса теплообмена,
рассмотренной в гл. 3, для теплового потока из пленки в канал
получим:	„
$ = аД.5С, бс = Тс-71,	(4.3)
16»
где ас — коэффициент теплоотдачи; Тс — температура на внешней
границе пленки, принимаемая • постоянной; Т\ — температура
масла в канале.
Будем искать Т (х, у) в виде полинома второй степени от у:
$ = + Д — <Е) У + а (х) (у — уг)\
(44)
Интегрируя (4.2) по у от 0 до 1 с учетом формулы (4.4) для Т,
получим уравнение
da (x)/dx +	(х) = О,
из которого найдем а (х). В результате будем иметь:
d = ds + (ac-as)i/ + [6«m2-
-3(ds + ^)](y - у2)ехр(—qct)-,
flm = o,5(fls + ac) + .	(4{5)
-Е Pm. - 0,5 Р, + Д)] exp (—qex)’, flm2 =	- П•
Здесь
ftc I
-= j uftdy j udy
0	I 0
есть разность между калориметрической температурой в слое и
температурой в канале Т; и принято, что калориметрическая тем-
пература на входе в пленку Т,п = О,„ (х = 0) + Тс{ равна кало-
риметрической температуре на выходе й8 клина Tmi.
Тепловой поток на внешней границе пленки равен
(—х wL.*,)dx “
о	*
КВС Г л л 6&т2 — 3 (frs + Фс)1 .____________Чс_____ g\
ЛГ1 с ’	WC J’ Wt - l-expC-Qj •
Приравнивая (4.6) и (4.3), найдем
= «2^2 + («1 — И2) ^s.	(4-7)
где
Xj = (3 + wc) х,/6; х2 = 6/[3 + wc (1 + пс)]; пс = аДД.
Подсчитаем калориметрическую температуру на входе в мас-
ляный клин. Она равна частному от деления суммарного коли-
чества теплоты, которое вносится в слой, на расход смазки во вход-
ном сечении слоя:
+ (1 - 0 Gm 11-!; Omi = т,п1 - rt. (4.8)
Здесь i — коэффициент боковых утечек [см. (1.63)]; у, — коэффи-
циент, учитывающий степень уменьшения средней температуры
169
свежего масла, подсасываемого из канала в клин, по сравнению
с температурой границы пленки
Формулу для у, можно получить так. Количество теплоты,
которое поступает в слой вместе со свежим маслом, компенси-
рующим потери на боковые утечки G6nK — Gx—G2, равно
Q' — рсВ f uft dy,	.(4.9)
о
где значение h’ находится из условия
ft-
Bj«dy = G1-G2.	(4.10)
о
Воспользовавшись результатами, полученными в гл. 3, можно
принять и Uo, $ =	(1 — 1,5у + 0,5у3) при у < bt/hc‘, 0=0
при у > f>t!hc, где б, — толщина теплового пограничного слоя.
Подставляя это в (4.9) и (4.10) и определяя б, по значению а,с
1см. формулу (3.82)1, после приравнивания Q' к значению
получим:
у,-= 1 — 0,75<р + 0,125tp3 прги <р<1; у, = 0,375/<р при <р> 1;
[<р =2шс/3(1-0,	'	(4.11)
где пс — по формуле из (4.7).
Для калориметрической температуры на входе в слой из фор-
мулы (4.8) с учетом (4.7) и (4.5) будем иметь
Тт1 - Г. = Аг (Tmi - Tty + 4S (Tj - Л),	(4.12)
где
Я2 = iy,x, + (1 — 0 exp (—qc) -f-- 0,5 (1 — i) [ 1 — exp (—?<-)] x2;
Л, = /у, (xL — xj 4- (1 — i) [1 — exp (—?c)] (1 + 0,5nc) (Xj — 0,5x2).
Температуры масляного клина и поверхностей трения. Фор-
мулу (2.55) для калориметрической температуры слоя можно пере-
писать в виде:
t.n -= 1(3 + лк)/6] tK + iJ2; 
l.n TKi-  tK = Тк - П; ts = Ts - П, (4.13)
а из (2.41) следует, что
tK - Ml + nK) + /Д1 + /iK) + D exp (-^B),	(4.14)
где Тц определяется по (2.93).
Подставляя (4.14) в (4.13) и определяя постоянную D из усло-
вия tm (£ = 0) = tmi, получим
/ _ 3 4“ пк т_1_3-Ь	/ ।
'"‘=-6(1 + ^) ум-+-3(1+„к)^-1-
ц- Г/ 3 + "к т 3 + 2п« у 1	(4 15)
•	. + Г"'1	6(1+лк)7ц	3(14-«К)М	’
170
а для tm2 будем иметь
= МгЙ5г» + о —-О+4».-^ (4.153)
Согласно (2.96), связь Между-температурами im2 и tmi опреде-
ляется выражением
у 1 _____	1 Г ।	~4~ Дз (I + я«)	1
ч ^1- рсЛ2 адв	2+^	-T7J’
которое, с учетом формулы (2.92) для qL, можно записать в виде
у у  	3 |- Лк Г J, пк 4- ns (1 Ц- пк) . 1	/Л ’ I R)
1,42	1„11— 2 3(1 д.„к) [ 1ц	2 + пк Ч' 1	'
В последней формуле коэффициент ns, в соответствии с (2.95),
есть функция as, которая представляет собой осредненное значе-
ние коэффициента теплоотдачи от гребня к омывающему его маслу.
Теплоту, полученную от несущего слоя, гребень отдает маслу,
которое омывает его наружную цилиндрическую поверхность
(см.- гл. 3), и в межколодочный канал, поэтому можно написать
[см. Также (2.45)1
. б/, (Л - 71) = asFs (Л - 71) +	.(4.17)
где Fs = л (Rl — /?;) = г,. (L + С); as — по формуле (3.107);
гк — число колодок; Qc — тепловой поток от гребня к пленке,
которая переносится в канале с колодки на колодку.
Значение Qsc равно
о
-	[(2 + Пс) х2 (Тт, - Т‘{) - (2х2 + nexx) (Т, - 71)]. (4.18)
Подставляя (4.18) в (4.17), находим:
5, = as - (Л/М (С/L) ф (сЦт2 - с£)/(Т$ - 71);	(4.19)
С2 = с2(7’„.2-7’0/(7’т2-Т();
' с,=*(2 + пс)п2, cs == 2х. + ncv.i,
(4.19а)
ф — определяется из выражения  (2.95а).
Подставляя найденное значение as в формулу (2.95) для йа,
из (4.16) получим уравнение, связывающее t,n2, t.nl и ts^ Присоеди-
няя к нему уравнения (4.12) и (4.15а), получим систему:
у j	3 + Як Г<т> Як Ч~ ns (1 + пк) , ।
imi — imi— 2 3(!+nK) [ •*	2 + nK s г
1 4~ Як 0^2 С
2 + nK he L
171
t - Г 3 + w” <r 1 3 + 2яи . I z. -g,\ .	_7
lm* L6(l+nK) “ +3(1 + пи)Ч U e 7-t-W
/mi “ A2tm2 4” ^s/j-
Здесь nt определяется формулой
ns = а^г’Г1 (r, - Л)/(Л - П),
где ф-1  1 + C/L, а значения A2 и A's связаны c At и
(4.12) зависимостями:
_ T-m2-n T’ml-T’T . '	T,-T‘ Tml-rf
2 Tm2-r? Tml-T< 2’	’ T -T*? Tm\~T<i ‘
; Если T* =^'TCi, TO A2 = Ai, A’s = As, C2 = C2, c's = cs.
Решение системы (4.20) приводит к следующим формулам для
температуры рабочей поверхности гребня 7\ и калориметрических
температур Тmi И ТП2*
Л =	+ Ттг-^ + 'П- Тт2 = 1|)2Тд + П
Здесь
a;
(4.20)
(4.21)
А, из
(4.21a)
(4.22)
Ф2 ='I’As 4-*2/. '
= 1(3 + л„)/6 (1 -f- nK)] sMi;
, _ 3 + 2лк <; л' _i___A'_____.
*““3(1+ nK) S'A2 + J _ A; exp (~qL) '
Ъ = Э + Пк S  b — 3 + 2nK с I c •
6(l+nK)S“ *2S —3(l+nK)S1+S2’
ф -	3 + n« x
6(l+nK)X
1 ~Ь $3$i — (1 — Л2) sJqL
X ------------------------------	- 	- . _____ !
Г	/1 —	_ J'] s! I. 3 + пк rtK + Яд (1 + ^к) I e ’
[з(1+ли)11 if ‘J<7l +6(l+n«)	2 + nK +s3J4
sx «(1 - exp (—<7t)]/n - A2exp (—qL)]-,
s, - A’t exp (—<7J/[ 1 - Ai exp (—gr)l;
$ о, 3±я« °*t f (g I я \w Тт2~Т* 
S* 6(2 + яи) he ПГ (2 + n‘f^ Tmi _ TK ’
s. = — — -3-+ 2ntt_ _
4	c'2	3(l + nK)&i Sv
Температуры на поверхности колодки, в соответствии с
определяются формулами:
тк1 = [6/(3 4- nK)l (Tmi - 0.5Л + nKT?/6);
тм = [6/(3 4- пв)] (Тт3 - 0,57\ + пкТ?/б): .
(4.23)
(4.13),
(4.24)
1 72
Для того чтобы иметь возможность практически выполнить
расчеты температур, надо знать еще температуры масла, омываю-
щего колодки и гребень, и вязкость масла в слое р [она входит
в выражение (2.93) для Гц]. Полагая приближенно, что 7?,
Т* и Т\ равны друг другу, можно написать
Т? = Тед + ^Д/; Д/= ЛГ2/(рсО2).	(4.25)
Здесь Те0-—температура масла на входе в подшипник; —
мощность потерь на трение; G2 — расход масла; Д/ — общий
подогрев масла в подшипнике; kf — коэффициент (с помощью^,-
учитывается тот факт, что в результате боковых утечек из несу-
щих слоев и циркуляции масла в межколодочных каналах часть
теплоты, выделившаяся при трении, поступает непосредственно
на слив и таким образом выносится из подшипника, не принимая
участия в формировании теплового баланса смазочной пленки).
Согласно опытным данным С. Л. Ямпольского, k; 0,5.
Величина АС в формуле (4.25) есть сумма мощности дисковых
потерь N-i и мощности потерь на трение в несущих слоях N,..
Полагая kf = 0,5 и имея в виду, что Af,t = zKN, где, согласно
(1.69) и (2.83), N = pt/^LB/(n/i2), формулу (4.25) представим в виде
-= Те -Ь pG^BzK/(2pc/i/i2G2).	(4.26)
Здесь температура Те зависит от дисковых потерь и дается выра-
жением
Те=Тео + Те1, Tel = Na/(2pcGz),	(4.27)
где 2УД определяется по формуле (3.89).
Что касается вязкости масла в слое 41, то согласно результатам
расчетов, выполненных в гл. 3, будем ее определять по средней по
длине слоя калориметрической температуре 1 Т,п0 = 0,5 (Tml +
+ Тт2), которую, с учетом (4.22) и полагая Т* = Т‘, можно пред-
ставить в виде	,
7’то = ф2’7’д + П 4от = О,5(ф1 + ф2).	(4.28)
Из (4.26), (4.28) и (2.93) имеем
= т, + ф„ (а/п) (0,51/2/Х) |Х (Т^),	(4.29)
где
Фи = Фо* + Фд. Фд = kBLzK/(pcah2G2).	(4.30)
Располагая зависимостью вязкости масла от температуры и счи-
тая известными температуру Те и толщину пленки й2, можно с по-
мощью (4.29) найти Тто, после чего находится и все остальные
температуры [см. (4.22)—(4.2^ ]. Нагрузка, выдерживаемая слоем,
определяется по формуле (1.57).
1 Близкие результаты дает также определение р по среднеинтегральной
калориметрической температуре пленки.
173
Асимптотические формулы для температур. Рассмотрим сна-
чала предельный случай очень больших нагрузок на подшип-
ник. Тогда толщину слоя можно будет считать весьма малой и
выведенные выше формулы заметно упрощаются. Последнее поз-
воляет проследить влияние отдельных параметров на темпера-
турный режим в общем виде, а также дает возможность выяс-
нить физический смысл полученных результатов.
Найдем сначала асимптотические разложения для коэффициен-
тов, входящих в формулы (4.22) и (4.23). При й2 -* 0» согласно
(4.1), (4.7) и (4.11), имеем:
йс = g2h2 = 0 пс = acgih-A =- О (й2); у,= 1 + О (йД, (4.31)
а значения qc, wc, qL nwL [см. (4.2), (4.6), (2.9) и (2.4)] неогра-
ниченно растут:
qc - О (Й72); wc = 0 (йГ2); qL = О(ЙГ2); wL = О (йГ2) • (4.32)
Отсюда для и Xj из (4.7) находим:
х2 - (бм) [ 1 + о (й.2)1 = о (М); хх = г + а(й2).	(4.зз)
С учетом (4.31)—(4.33) из (4.12) и (4.21а) имеем разложения)
Л2=О(й2); Д2 = О(й2); Дэ = I + О (й2);
л;=[(л - 71)/(т\ - т?)] l(7’mi - П)/(тт1 - 7’0] [1+0
после чего, принимая еще во внимание (2.90), получаем формулы
для коэффициентов sb $j, Ss, s4 и их Комбинаций с qL и ехр (—qL):
Sj = 1 + О(й2), $2 = о (hz), $viqL = О (h%)t
$2-ехр qL = 4‘[Г+о (й|)]7
s8 = 0,25 (a/g2) (С/L) (12/ujJ x
X [(Ттг - T$/(Tmi - T?>] Ц + О О = О (й1),
= m/12) [(Ts -^)/(7’s - 7?)] X
x [(Tm2 - Г{)/(Тт2 - 71)] [1+0 (й2)].
(4.34)
Формулу для фДсм. (4.23)] можно представить в виде
ф	'	_______Q.5 [ 1 + о (MJ _____________
[1-Л+ О(М1°(Л2) ! 0.25(«k4«s)[I + O(A2)]+ ’
-|- 0,25 (nfa/g.) (С. L) (Ts - T‘)/(Tf - 7?)
* * 4
что, с учетом соотношений пк = О (h2), ns ~ О (h2), пс — О (й2),
можно переписать следующим образом:
,1,	______________2[1+О (Л2)]_________________ц ,. ос\
«к + «5 + (^2)(С/^[(Л-^)/(Л-7’?)]'’с	( 2 ' ( ‘ /
174
Подставляя (4.35)-в формулу (4.22) для Ts и имея в виду фор-
мулы (2.93), (2.90), (4.21) и (4.7), определяющие соответственно
Тц, пк, п5 и пс, найдем
т. -т‘ - Т-------Г '+0,',’) -------= 0
««+<.. ^(.+4)+«+++•
Ts — Т* \ Ь / • L Ts — TKl
(4.36)
Получим еще асимптотические формулы для температур Тт1,
Т„,_, Т1Л и Ткг. Имеем 1см. (4.22) и (4.23) ]:
Фх = Ф 1(Л - 71)/(Л - П)] [(Ттх - П)/(Тт1 - 71)] X
х [ 1 + О (hz)] + О (h2)t
Ф2 = фП + 0О + р(М-
(4-37)
Первая из этих формул после подстановки в (4.22) приводит
к соотношению TmX — Т1 = (7\ — 71) [1 + 0 (Л2)], откуда сле-
дует, что
Tmi - 7’s[l +О(/г,)|.	(4.38)
Поскольку >[’s = О (ft;1), то вторая из формул (4.37) дает
ф2 — ф5 11 + О (Л2)]. Таким образом, из формулы (4.22) находим
Tm2 = Ts [1 + O(ft2)]	(4.39)
и вообще
Tm= ts [1 +О (Ш
(4.40)
Аналогично для температуры рабочей поверхности колодки Тк
и на внешней границе пленки в канале Тс находим:
=7’s[l ЬО^)]; Tc = 7\[l+O(h2)].	(4.41)
Подсчитаем долю теплоты, которую слой отдает окружающим
его деталям. В соответствии с результатами, полученными в гл. 3,
она определяется величиной [см. формулу (2.96) и (4.22)]
<Р = Ф [«к + «s (1 + «к)1/(2 + +)•	(4.42) •
Согласно (2.9),’ (4.19) и (4.21),
+ = п, - (<r/&) (С/L) [с2 (Ттг - T?)/(TS - Т?) - gJ.
Отсюда, с учетом формул (4.19) для с'2 и c's и пользуясь соотноше-
ниями (4.33), находим
+	= 1 +W (п _|_ п+ С Т*-Т[пс\ - О(1г>).
2 + Лк	2 I " Ts т г2. i	j v
Йодставляя это в (4.42) и имея в виду (4.36), получаем
<р -* 1 при h2 -* 0.	(4.43)
175
Другой предельный случай будет при h2 -> оо. Выполняя пре-
образования, в известной степени аналогичные предыдущим, по-
лучим
<р -► 0 при h2 -► оо,	(4.44)
а для температур будем иметь формулы:
т ___тс. I pUeL 1 1 — i . 'р _____ТЧД- * —	(4 44я1
р<?Л2 „go i .	рсА2 {, (4.44 а)
отличающиеся от первых двух формул из (2.59) только коэффи-
циентом l/(ngo), учитывающим реальную форму слоя.
Общая картина тепловых процессов и анализ основных факто-
ров, определяющих температурный режим в подшипнике. Из фор-
мулы (4.43) следует, что в случае очень малых толщин пленок
вся теплота, выделившаяся в клине, отводится посредством тепло-
проводности в детали, окружающие масляный слой. Существен-
ным при этом оказывается тот факт, что количество теплоты на
входе в масляный клин целиком определяется (с точностью до зна-
чений порядка Л2) температурой масла на выходе из-под предыду-
щей колодки [согласно (4.38)—(4.41) калориметрические темпера-
туры Тт1 и Тт2 близки друг к другу!. Это означает, что подток
холодного масла из межкблодочного канала практически отсутст-
вует и, таким образом, не оказывает влияния на тепловой режим
подшипника.
Последнее понятно, так как масло, компенсирующее потери
на боковые утечки, поступает в клин из той зоны канала, которая
непосредственно примыкает к упорному гребню. При h2 -> О
толщина этой зоны мала и, следовательно, температура масла в ней
близка к температуре пленки, переносимой с колодки на колодку.
В сочетании с (4.43) сказанное означает, что в предельном случае
очень тонких слоев отвод теплоты, выделившейся при трении, осу-
ществляется только за счет теплоотдачи, которая происходит как
от пленки, переносимой в межколодочном канале, так и с омывае-
мых маслом поверхностей колодок и гребня. К тому же выводу
приводит формула (4.36). Принимая во внимание (4.41), (4.36)
можно переписать в виде
ai;LB (Т„ - 7?) + as (С + L) В (Ts - Л) + асВС (Те - Л) = Q„,
(4.45)
где Qn = p(70LB/(+i2) [1+0 (ft2)] — теплота, выделившаяся
в слое.
,Из выражения (4.45) следует, что теплота отводится посред-
ством теплоотдачи от пленки, вышедшей из-под предыдущей ко-
лодки (третье слагаемое левой части) и от колодок и гребня [со*
ответственно первое и второе слагаемые левой части (4.45)].
Если колодки и гребень теплоизолированы (a,. = as = 0), то
вся теплота отдается в межколодочном канале, а для температуры
176
слоя (согласно (4.38)—(4.41) при Л2 -> О она во всех точках при-
мерно одна и та'же] из (4.45) получим асимптотическую формулу
Т оо 7^ + (vUlL/nhJ (асС)~1.	(4.46)
Формула (4.46) показывает, что при h2 0 роль адежколодоч-
ного канала состоит не столько в замене масла, отработавшего
в клине, свежей холодной смазкой, сколько в том, чтобы забрать
теплоту от пленки, проходящей через межколодочный канал.
Если толщина й2 не мала, то межколодочный канал выполняет
обе функции: охлаждает горячую пленку и заменяет относительно
холодным маслом масло, потерянное в виде боковых утечек.
Более детальное представление о процессе теплообмена в под-
шипнике можно получить, подсчитав плотность теплового по-
тока ql от смазочного слоя к гребню. Она определяется выраже-
нием' (2.94), которое, принимая во внимание (4.13), можно за-
писать в виде
<	Гб(2-|-Лк)^	2 (3 + «к) + 3 (2 + Пк) j 1	- /л л7\
[ 3 + лк tm	3+^ sJ '	( J
Согласно (4.15), при /г2 О будет (ф5 = ит»)
tm = 1(3 + «„)(! + пк)-’/6 + (3 + 2nK) (1 + nJ"1 ф$/3] 7\ + 0.01).
Подставляя это в (4.47), находим
£ = (X/o/iJ [-M-s/(l + пк) + (2 + nj/(l + nj + о 0D1 Тц,
откуда, имея в виду (4.35) и формулу из (4.7) для пс, получим
4s = (Х/аЛ,) [ns +-а (C/L) (Ts - 71) аД//Д + о 01)]
Если теплоотдача от гребня отсутствует, то ns = 0, qf, —
= (С/L) а,с (Л — Л) + о 01), а суммарный поток теплоты Q,
от слоя к гребню определится выражением
, Qfs = BCac(l\ -71)4-0 01). ’	(4.48)
Поскольку, согласно (4.41). Ts Т( [1 + О 02)], то с точ-
ностью до значений порядка Л2 поток совпадает с потоком теп-
лоты Qrc от пленки на гребне в канал [см. (4 3) ]:
$-&[!+0(М1-	»(4.49)
Формула (4.49) показывает, что теплота, поступившая из слоя
в гребень, идет далее в пленку, переносимую гребнем с колодки
на колодку, и затем отдается холодному маслу с температурой Tct,
текущему в межколодочном канале.
Заметим, что, согласно (4.40), при /г, -> 0 температуры Тт1
и Тт, близки друг к другу, т. е. в случае малых толщин темпера-
тура пленки изменяется в межколодочном канале мало. Таким
образом, теплообмен в межколодочном канале, не приводя, по
крайней мере, для случая очень малых толщин, к заметному умень-
177
шению входной температуры по сравнению с температурой на вы-
ходе из клина вместе с тем снижает общий температурный уровень
слоя. Последнее позволяет, в частности, объяснить тот факт, что
при больших нагрузках экспериментальные значения температуы
получаются меньшими, чем это следует из традиционных методов
расчета, не учитывающих перенос теплоты с колодки на колодку
и предполагающих, что температура на входе в клин равна тем-
пературе масла на подводе в подшипник (казалось бы, что допол-
нительный учет теплоты, вышедшей из-под предыдущей колодки,
повышая температуру на входе в слой, должен был бы повысить и
максимальную температуру масляной пленки). Дело здесь в том,
что при больших нагрузках на подшипник, когда толщина масля-
ной пленки как в несущей части слоя, так и между колодками мала,
тепловое сопротивление пленки также уменьшается. Поэтому об-
легчается, по сравнению со случаем малых нагрузок, перенос тепло-
ты из слоя в гребень, а затем из гребня в межколодочный канал.
Существенную роль при этом играет упорный гребень, который,
имея температуру, близкую- к постоянной, перераспределяет теп-
лоту между отдельными частями пленки (см. гл. 2).
Для случая ft2 0 ус'ловие 7\ = const нуждается в специаль-
ном обоснований. Это может быть сделано следующим образом.
Согласно (4.48) плотность теплового потока на рабочей поверх-
ности гребня имеет порядок ас (7\ — Г;). Отсюда для Т* в (2.31)
получаем оценку "Т* ~ (Ts — 7^) acHjk^. Поскольку [см.
(2.27) ]Т0 ~ Т., то.7’*/7’0 —at. НJk,. Для величины 6, определяю-
щей степень непостоянства температуры дис^а, согласно (2.31),
будем-иметь 6 ~	[z2 . Подставляя сюда ас по (3.82)
и р* из (2.28), получим, что б имеет порядок / Apc/(X.$p4cs) .
Для сочетания масло—сталь это дает значения приблизительно
4-ЮЛ
Установим еще характер зависимости температуры от основных
параметров подшипника. Поступая так же, как при выводе
(2.99а), из (4.46) получим
Т ~ К 4- и,/2<’С-’/2п 'Фр 1/2 (L/C),/2 t/oy2Pm2- (4.50)
Если вязкость аппроксимировать формулой р = АТ'т и предпо-
ложить, что температура 7/ мала по сравнению с 7, то с учетом
формулы (3.82) для ас из (4.50) будем иметь
1 '	-	__L- 2	1
Т /	\ m+2	1	( ^ \ т*2 jjtn+2 „т+2 (А С1\
-----znvc) Uq Рт • (4-51)
7п2ФР) ';н-
Формула (4.51) показывает, что температура есть функция
скорости и нелинейно зависит от р п. Например, если т = 1,
то 7 ~ Ul Зр}п дри т --= 2 7 — U^p}^- Качественно эти выводы
совпадают с данными опыта.
178
Полученные сейчас результаты относились к случаю больших
нагрузок на подшипник, когда толщина пленки /ц 0. Другой
крайний случай дает малые нагрузки (Л2 -> оо). Соответствующие
зависимости указаны выше [см. формулы (4.44) и (4.44а)].
Физический смысл формул (4.44) и (4.44а) состоит в том, что
при больших Л2 теплоотдача затруднена. Охлаждение слоя про-
исходит в этом случае за счет смазки, которая подсасывается в клин
из межколодочного канала и заменяет тем самым горячее масло,
потерянное в виде боковых утечек. Поскольку толщина пленки
велика, то толщина зоны, из которой масло поступает в клин,
оказывается больше, чем толщина теплового пограничного слоя,
в связи с чем средняя температура подсасываемого масла будет
близка к температуре Т; в цен-
тральной части канала.	----1-------rzs^T---—
Если из (4.44а) и (1.57) ие-
ключить.Л2, то для Ттх и Т„12 по-
лучим линейные зависимости от
удельной нагрузки р,п, которые
к тому же не содержат Г70. Это
известный результат решения
• температурной задачи теории
смазки в классической поста-
новке.
На рис. 4.2 сплошными ли-
ниями представлены результаты
расчета калориметрических температур на выходе из слоя для
подшипника, у которого L = 4,84-10"2 м, С — 2,42-10~2 м, В =
= 4,5-10"2 м, k = 3, G£ = 0,5 л/с при смазке его маслом тур-
бинное 22. При этом предполагалось, что теплоотдачи от гребня
и колодок нет (as = 0, aK = 0), так что охлаждение слоя проис--
ходит только, через межколодочный канал. Расчеты выполнялись
для различных значений скорости Uo, при фиксированном значе-
нии температуры масла Те на входе в подшипник. Прямой линией
на рис. 4.2 показана максимальная температура слоя при том же
значении Те, определенная по методике М. И. Яновского [91 ].
Из рисунка видно, что температура есть нелинейная функция на-
грузки на подшипник, 'причем с увеличением нагрузки темп роста
температуры уменьшается, и при достаточно больших удельных
нагрузках температура становится меньше ее расчетного значения
по методике из работы [911- Кроме того, температура зависит от
скорости (поскольку значение Те для всех скоростей принималось
одним и тем же, то тем самым влияние дисковых потерь на зависи-
симость Тт2 от Uo исключалось). Физический смысл этих резуль-
татов был выяснен выше.
На рис. 4.2 для того же подшипника приведены результаты
расчетов (штриховые линии) при наличии теплоотдачи от колодок
(предполагаются стальными) и гребня. Коэффициенты теплоотдачи
подсчитывались по формулам из гл. 3. Из рисунка видно, что учет
179
теплоотдачи с поверхностей колодок и гребня не изменяет качест-
венной картины поведения температурных кривых. Вместе с тем
он приводит к снижению температур в слое.
На рис. 4.3 для Uo = 20, 40 и 60 м/с соответственно темпера-
турные кривые (Т,!2 — сплошная линия, Т, — штриховая) по-
строены (с учетом теплоотдачи от колодок и гребня) для различ-
ных значений параметра k = hjh^. Эти кривые показывают, что
с ростом k температурный уровень несколько снижается, хотя
кромке. Расстояние между ребром опрокидывания и выходной
кромкой (0,4 4-0,45) L, где L — длина колодки. Температуры за-
мерялись термопарами, горячий спай которых выводился непо-
средственно на рабочую поверхность по дуге среднего радиуса.
Температуры колодок определялись вблизи выходной кромки
(1 — x/L 0,08-т-0,09), где, по результатам предварительных экс-
периментов, нагрев был наибольшим. Опыты проводились в ши-
роком диапазоне удельных нагрузок и скоростей. Скорости (при
среднем радиусе) были 15, 30, 45, 60 и 80 м/с. Для смазки исполь-
зовалось масло турбинное 22. Расход масла на. подшипник изме-
нялся от 0,5—0,6 до 1,5 л/с (меньшие значения — соответственно
при меньших скоростях).
В целях сравнения с опытом далее приводятся результаты не-
которых расчетов. Расчеты проводились при следующих значе-
ниях исходных параметров: 2Rt = 230 мм, 2Rt — 140 мм, R =
= 0,5 (7?! + R2) = 92,5 мм, 0 = 30°, длина колодки L — RB =
— 48,4 мм, параметр k = h.-Jh2 = 3, В = R2, — Ri = 45 мм,
толщина колодки Н — 0,45 L, толщина слоя баббитовой заливки
Нг> = 1 мм, толщина основания колодки Но — Н — Н-, = 21 мм,
толщина упорного гдебня Hs — 55 мм. Ширина межколодочного
180
канала С = (2л/г,: — 0) R в зависимости от числа колодок бу-
дет 24,2'; 96,8 и 242 мм соответственно при гк = 8, 4 и 2.
Коэффициенты, определяющие скорости потока в зазорах
между корпусом, гребнем и колодками подшипника, определялись
по формулам (3.87). Применительно к рассматриваемому подшип-
нику следует различать следующие три зоны: зазор между наруж-
ной цилиндрической поверхностью диска и корпусом, [угловая
скорость ядра потока есть (1 — 0Д) ш], между наружной цилин-
дрической поверхностью колодок и корпусом (угловая скорость
ядра ₽2©) и со стороны внутренней цилиндрической поверх-
ности колодск (угловая скорость
ядра Pjto), рис. 4.4. Для каждой
из упомянутых зон формулы (3.87)
дают:- 1 — 01 = 0,4; 0Д = 0,6;
0! = 0,28; 02 = 0,14.
Коэффициенты kfi, определя-
ющие долю площади боковой по-
верхности колодки, омываемой
маслом, можно полагать равными
единице.
Теплофизические постоянные
для материалов колодок и гребня
в расчетах принимались следу-
ющими (обозначения см. в гл. 3):
\ = 0,05	кВт/(м-°С), Хо =
— 0,05 кВт/(м-°С) (стальные ко-
лодки) и Хо = 0,386 кВт/(м-°С)
(медные колодки). Теплофизиче-
ские параметры масла (в экспери-
ментах использовалось масло турбинное
зависимости их от температуры, а для вязкости учитывалось
еще влияние давления (см. подробнее гл. 7).
Температура масла Те принималась равной эксперименталь-
ному значению температурьте слое при нулевой нагрузке на под-
22) выбирались с учетом
шипник.
Для подшипника с восемью колодками при Хо = 0,05 кВт/(м-°С)
приведены результаты расчетов на рис. 4.5 для скоростей Ua—
« 15, 30,45, 60 и 80 м/с соответственно. На рисунке кривыми пред-
ставлены; 1 — максимальная температура, рассчитанная по ме-
тодике из работы [91 ]; 2 — температура Тк2, 3 — темпера-
туру Тт2, а кружками — опытные данные. Результаты аналогич-
ных расчетов для случая = 0,386 кВт/(м-°С) даны на-
рис. 4.6, а при скорости скольжения t/0 = 30 м/с и на рис. 4.6, б
при Uo = 60 м/с, а для подшипника- с уменьшенным числом коло-
док при Uo = 45 м/с и Хо — 0.05 кВт/(м-°С) — на рис. 4.7 для
гк ~ 4 и 2 соответственно.
Данные по температурам рабочей поверхности упорного диска
при скорости скольжения Uo — 30 м/с в подшипнике со стальными
181
Рис. 4.7
Рис. 4.8
б?)
Рис. 4.9
182
183
колодками приведены на рис. 4.8 для zK = 8, а при Uo = 45 м/с —.
на рис. 4,9, где а — для гк = 8; б — для г,( = 4; в — для а, = 2.
Случай Хо •= 0,386 кВт/(м °С) и г;; •= 8 представлен на рис. 4.10, «
для Uo = 30 м/с и рис. 4.10, б для Uo •= 60 м/с.
Анализ этих кривых и их сопоставление с экспериментом
(кружки) показывают, что расчет по предложенным формулам
хорошо отражает основные качественные особенности температур-
ных кривых, обнаруженные на опыте (зависимость температуры
от скорости, резкое снижение темпа роста температур при увели-
чении нагрузки на подшипник), м в целом приводит к более или
менее удовлетворительным количественным результатам.
Как видно из рисунков, согласие опытных и расчетных темпера-
тур получается вполне приемлемым как на диске (см. рис. 4.6—
4.10), так и (несколько хуже) на выходе масла из слоя. При этом
под выходной температурой можно в равной степени- понимать
температуры Т,П2 и поскольку для большинства рассмотрен-
ных примеров они сравнительно не сильно отличаются друг от
друга. Исключение здесь составляют только подшипники с малыми
коэффициентами заполнения, где лучшее совпадение с экспери-
ментом обнаруживается при сопоставлении замеренных температур
с калориметрическими. Последнее, по-видимому, объясняется тем,
что, как показывают анализ физической картины явления и пря-
мые расчеты, с ростом ширины межколодочного канала увеличи-
вается перепад температур по толщине пленки на выходе из слоя.
Вместе с тем использованный в расчетах метод постоянной вяз-
кости дает хорошие результаты для калориметрической темпера-
туры 7\ , но приводит к завышенным значениям для разности
ТК2 —Т\2 (см. гл- 2), Естественно поэтому, что поскольку сама
разность (Т„,—Т:„) возросла, то и отклонение Тч2 от Та следо-
вательно, и ошибка в определении Тм станет более ощу-
тимой.
Здесь уместно также заметить, что вообще, в силу самой при-
роды использованных методов, они дают удовлетворительные ре-
зультаты при определении интегральных величин, например,
температур Тт и 7\, но могут*приводить к большим ошибкам при
расчете локальных характеристик слоя.
Эксперименты по определению температур в подшипнике Мит-
челя проводились в работе [88]. Термопары устанавливались на
расстоянии около 0,5 мм от рабочей поверхности колодок и рас-
полагались по дуге среднего радиуса вблизи выходной кромки
(1 — xJL 0,08). Опыты проводились при удельной нагрузке
рт = 2,7 МПа для различных скоростей вращедия вала. Расход
масла на подшипник составлял С2 = 360 л/мин.
Основные расчетные параметры следующие: 2Р, = 180 мм,
2/?j = 85 мм, R = 0,5 (Рх + /?2) = 66,2 мм,. L = 62,о мм, k = 3,
В = R2 — Rt = 47,5 мм, толщина колодки Н — 18 мм, толщина
слоя баббитовой заливки Яг, = 2 мм, толщина гребня Я, = 35 мм,
ширина межколодочного канала С = 20,8 мм, г,( = 5, Xs — Хо =
184
0,05 кВт/(мсС), Лб = 0,034 кВт/(мсС). Для смазки исполь-
зовалось масло турбйнное 22.
Коэффициенты*^, и определяющие скорости вращения
цасла в зазорах между корпусом, гребнем и колодками подшип-
ника, и коэффициенты kfi принимались следующими: = 0,3;
0t - 0,34; рд - 0,66; kfl - 1; k[2 - 0,35.
Расчеты выполнялись так же, как и в предыдущем случае,
с той лишь разницей, что температура Те не задавалась (темпера-
тура при нулевой нагрузке в опытах не определялась), а находи-
лась с учетом потерь на трение о диск по формуле (3.89). При этом
температура масла на входе в подшипник принималась, как и
в опытах, Т<0	40 *С.
Результаты расчетов представ-
лены на рис. 4.11, где 1—тем-
пература Т1<2; 2 — температура
Тт2- Как видно из рисунка, в об-
щем наблюдается удовлетвори-
тельное совпадение расчетных и
экспериментальных данных (круж-
ки). Вместе с тем теория не
выявляет обнаруженной на опыте тенденции к местному спаду тем-
пературы при больших скоростях. Уменьшение (а не возрастание)
температуры с ростом скорости, как показывают выполненные
расчеты, объясняется, по-видимому, тем, что при сверхвысоких
скоростях диска происходит изменение режима обтекания колодок
и других частей корпуса подшипника.
Рассмотренные выше эксперименты проводились при достаточно
высоких скоростях. В таких условиях, вообще говоря, следует
считаться с возможностью неньютоновского поведения масла, по-
скольку время ti, в течение которого частица масла проходит
через слой, или величина /2, обратная градиенту скорости, могут
сказаться соизмеримыми с так называемым временем релаксации tr
(см. [17]). По оценкам работы [1]
.	2,4.10-“	/.
^-7 + 273 еМ1-
Т + 273 dfi \
И dT )'
где tr — в секундах; Т — в градусах Цельсия.
Последняя формула получается из формул (60) и (61) работы [1 ]
предельным переходом при 7\—Т2 -> 0 (7\ и Т2 — температуры,
Для которых известна вязкость). Для конкретных расчетов по
определению tr удобно при вычислении р. и d[i/dt пользоваться фор-
мулой Фогеля [21 [.
Для используемых в турбо- и компрессоростроении масел тур-
бинное 22 и турбинное 30 получаем значения tr, не превосходя-
щие 10“8—10_# с при 60 СС и 10“10—10-11 с при 100 °C. Если при-
нять Uo — 100 м/с, L — 0,04 м, А = 10 мкм, то 4 = 4-10"* с,
= 10“’ с. Поскольку и /ь и /а много больше tr, то из приведен-
ных оценок следует, что в практически интересных случаях
185
неньютоновские эффекты в упорных подшипниках скольжения
можно не учитывать. В этой связи уместно заметить, что, согласно
распространенной модели неньютоновских жидкостей Ри-Эй-
ринга [1], напряжение трения т ~ arcsh {trdu/dy). Поэтому,' даже
если ty близко к tr, отклонение от линейной зависимости между т
и ди!ду невелико (менее 10 % при > 2tr).
При оценке достоверности полученных результатов следует
также иметь в виду погрешности эксперимента. Однако, во-пер-
вых, техника измерения температур термопарами достаточно хо-
рошо отработана, и с помощью специальных мер, описанных выше,
возможные ошибки опыта были сведены к минимуму; во-вторых,
как видно из рис. 4.5, разница между расчетом по традиционной
методике [91 ] и опытом настолько велика, что не может быть объяс-
нена ошибками измерений. Вместе с тем расчеты на основе теории,
предложенной в настоящей работе, приводят к значительно мень-
шему расхождению с экспериментом.
Таким образом, полученные выше формулы в целом правильно
описывают закономерности изменения температуры в упорных
подшипниках. При этом наблюдается не только хорошее качест-
венное, но и удовлетворительное количественное совпадение с дан-
ными опыта. Вместе с тем сравнение с экспериментом обнаружи-
вает и слабые стороны, предложеннбго метода расчета. Так, фор-
мулы, определяющие коэффициент теплоотдачи от колодок, дают
для него, по всей' вероятности, заниженные значения. Косвенно
это проявляется в том, что при переходе от стальных колодок
к медным снижение расчетных температур оказалось меньшим,
чем в эксперименте. Возможно, что здесь имеют значение потоки
масла в межколодочном канале, не учтенные при выводе формул
для а.. Еще один недостаток, хотя насколько можно судить по
выполненным расчетам и менее существенный, по крайней мере,
для колодок относительно небольших размеров, — это отсутствие
учета деформаций колодок. Тенденция к занижению расчетных
значений температур по сравнению с экспериментальными, про-
являющаяся при. больших температурах (см. рис. 4.5), возможно,
связана с деформациями колодок (с ростом скорости растут тем-
пературы, а следовательно, й деформации; последние, приводят,
при той же нагрузке, к уменьшению толщины пленки, и макси-
мальная температура возрастает; другими словами — та же са-
мая максимальная температура развивается при меньшей нагрузке
на колодку).
Еще один вопрос, на который следует обратить внимание, —
это вопрос о выборе параметра остроты клина k. Вообще в теории
подшипников с самоустанавливающимися-колодками параметр k —
одна из наиболее плохо определяемых величин. Связано это с тем,
что отношение = k находится из условия обращения в нуль
суммы моментов сил на колодке и поэтому в большей степени,
чем другие характеристики слоя, оказывается чувствительным
к конкретному виду эпюры давлений. Поскольку характер рас-
186
пределения давлений в слое зависит от геометрии зазора и от вяз-
костного, а следовательно, и температурного поля, то досто-
верное значение параметра k можно получить только на основе
более или менее детального исследования, в котором гидродина-
мические, тепловые и деформационные задачи были бы увязаны
не тол! ко друг с другом, но и с процессами в межколодочном ка-
нале, определяющими температуру на’ входе в слой и тепловой по-
ток из пленки в упорный гребень. Понятно, что в такой постановке
задача вес! ма трудна и оказывается очень сложной даже при ис-
пользовании современной вычислительной техники. Поэтому для
получения конкретных решений приходится ограничиваться от-
дельными частными предположениями. На сегодня известен ряд
таких решений. Эти решения, хотя и выявляют общую тенденцию
изменения тех или иных параметров, вместе с тем приводят к тому,
что роль некоторых из них или недооценивается или искусственно
преувеличивается. Например, произвольно задавая температуру
масла на входе в слой, получают чрезмерно большой прирост тем-
пературы по длине пленки, а тем самым и сильное изменение вяз-
кости со всеми вытекающими остюда выводами по части гидроди-
намических давлений и геометрии зазора. Наоборот, не учитывая
влияния деформаций и температурных перепадов, можно прийти
к выводу о резком влиянии на несущую способность положения
точки опоры. Хотя такое влияние безусловно имеется, оно оказы-
вается не столь сильным, как это следует из классической теории,
предсказывающей, например, полное отсутствие несущей способ-
ности у колодок с центральным опиранием. Из сказанного следует,
что в настоящее время, до получения более точных решений, пара-
метр k может быть выбран только ориентировочно. Для рассмо-
тренных конструкций (1—xJL — О,Л 4-0,45)-такой выбор был
сделан с учетом того, что в силу изменения температуры по длине .
слоя (см. гл. 2) и неизбежных деформаций колодок значение k
должно быть несколько б'л шим, чем его классическое значение
k - 2. При этом учитывалось, что последующее увеличение k
сверх-значения k = 3 относительно слабо влияет на температур-
ный режим подшипника (см. рис. 4.3).
’ Глава В	•
НЕРАВНОМЕРНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ
колодок ПОДШИПНИКА
Одним из важнейших факторов, во многом определяющим ра-
ботоспособность упорного подшипника, является степень равнр-
мерности распределения нагрузки между отдельными колодками.
Особый интерес представляют оценки.влияния неравномерности
нагружения колодок на несущую способность подшипника, а также
Разработка теории выравнивающих устройств.
187
6.1. ИСКАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
УПОРНОГО ПОДШИПНИКА
Неравномерность в распределении нагрузки по колодкам обус-
ловлена неодинаковостью условий, в которых работают отдельные
смазочные слои. Определенную роль здесь могут играть такие
обстоятельства, как различия в температурном режиме, связан-
ные, например, с влиянием местных подводов свежего масла.
Основное значение, однако, имеют нарушения в положениях ко-
лодок относительно упорного гребня и, в первую очередь, в раз-
мерах зазоров между рабочей поверхностью колодки и гребнем,
которые, в силу целого ряда причин технологического и эксплуа-
тационного характера, могут изменяться от колодки к колодке.
Далее будем различать искажения геометрии в виде перекосов,
когда зазор при переходе от одной колодки к другой изменяется
систематически, и разнотолщинности (распределение толщин но-
сит случайный характер). Перекосы появляются вследствие тех-
нологических погрешностей (например, перекос ротора в опорных
подшипниках, ошибки при изготовлении корпуса подшипника
и т. д.), а также в результате силовых и температурных деформа-
ций корпуса и вала, возникающих во время работы машины.
Разнотолщинность связана, в первую очередь, с технологическими
погрешностями (например, неодинаковость толщин колодок, ошиб-
ки в изготовлении подкладного кольца и т. д.), вместе с тем не-
которую роль здесь могут играть и эксплуатационные факторы
(тепловые деформации колодок, износ).
Определенное значение имеет также торцовое биение упорного
гребня. Оно вызывает периодическое изменение перекоса, и, сле-
довательно, нагружение колодок в этом случае носит нестационар-
ный характер. К такому же результату приводят и поперечные
колебания вала в опорных подшипниках.
Перекосы. Рассмотрим тот случай, когда толщина Нк для
всех колодок одна и та же, а опоры крлодок (выполненные в виде
ребер или точе<) лежат в одной плоскости Sj (рис.5.1). Плоскость,
параллельную Sx и сдвинутую по отношению к ней в сторону упор-
ного гребня на расстояние Нк, обозначим через SK. Очевидно, что
в плоскости SK лежат те точки М; рабочих поверхностей, которые
расположены над точками опор колодок. Относительно упорного
гребня предположим, что его поверхность трения Зд плоская и
перпендикулярна оси вращения. При наличии перекоса плос-
кости SK и Зд составляют друг с другом угол 6 =# 0.
Свяжем с упорным гребнем систему координат Ох'у'г', распо-
ложив ее таким образом, чтобы плоскость х'у' лежала в плоско-
сти Зл, а ось 0z' совпадала с осью вращения вала. Точку пересе-
чения плоскости S,. с осью 0z' обозначим через 0v Координаты
точки 0х есть (0, 0, Zq), где z'o = OOp Уравнение плоскости SK
можно записать так	.
ГП = 0,	(5.1)
188
где г есть радиус-вектор любой точки на плоскости SK, имеющий
своим началом точку 0ъ а п — вектор нормали к 5К.
Поскольку (см. рис. 5.1) г = x'i + y’j + (г' — Zo) k; п =
= sin 6 cos <;i + sin 6 sin <pj + cos 6k, то из уравнения (5.1) по-
лучим
г'= го — cos <p tg 6x'— sin <p tg6/.	(5.2)
Для удобства выкладок ориентируем систему координат таким
образом, чтобы проекция нормали п на плоскость Ох’у’ состав-
ляла бы с осью х’ угол ф = 0. В этом случае ось Ох' совпадает с пря-
мой, соединяющей точки соответственно максимального и мини-
Рис. 5.1
мального удаления плоскости SK от 5Д. Такую прямую в дальней-
шем будем называть линией перекоса.- Учитывая сказанное, • из
формулы (5.2) получим
z=Zo — x'tg6.	(5.3)
Рассмотрим те точки М;, которые лежат на дуге среднего ра-
диуса R или (в случае точечного опирания) на дуге некоторого
радиуса R', определяющего положение точки опоры и сравни-
тельно слабо отличающегося от /?. Обозначив угловые координаты
этих точек через из выражения (5.3) найдем
Zz = Zq —со? y(tg 6.	(5.4)
Величины у, можно представить в виде:
Vz = a0 + pz; 0, = 2л (i — l)/zK; t=l, 2, ...zK.	(5.5)
Здесь a0 — угловая координата для 1-й колодки (i = 1). Вообще
говоря, счет колодок можно вести произвольно, но удобнее в ка-
честве первой выбрать колодку, находящуюся на наименьшем рас-
стоянии от упорного гребня. Тогда а0 будет иметь минимально
возможное значение,
189
Обозначим величину zj через hcl (очевидно, что hCL есть толщина
слоя под первой колодкой в точке AfJ. Тогда, согласно уравне-
нию (5.4), толщины слоев hci ~ г\ в точках Afz будут:
=	+ Vosa0 —T]cos(ao + 0,)l; )
n=.0,5(m2)(AD/fth): AD = 2/?2tg6, }	(5 6)
где R2 — наружный радиус колодки.
Если для толщины слоя принять закон’(1.33а), то минимальная
толщина пленки h2i выразится через hci формулой I
/l2i = hci'f >	(5. /)
где / = 1 — (k — 1) (Lo — 1); Lo = Lo/L (Lo — координата точки
опоры).
Из уравнений (5.6) и (5.7), с учетом формулы (1.57) для гидро-
динамической реакции слоя, получим следующее выражение, оп-
ределяющее нагрузку, воспринимаемую i-й колодкой:
Pi = D [1 + т) cos a0 — т) cos (a0 + 0,) Г®,	(5.8)
где —
П=р(70£2ВФ//Л21.
Величина D'в формуле (5.8) есть функция вязкости р и пара-
метра k, которые, вообще говоря, могут менять свое значение при
переходе от'одной колодки к другой.
Если, однако, в первом приближе-
нии, этими изменениями пренебречь,
то значение D можно будет считать
постоянным.
Формула (5.8) проверялась экс-
периментально к процессе проведе-
ния натурных испытаний подшип-
ника компрессора. Подшипник имел
10 колодок с опорами в виде ребер,
средний радиус R = 54,5 мм. В про-
цессе сборки колодки пришабрива-
лись к упорному диску с последующей
проверкой его по натйрам, что позво-
лило свести к минимуму возможную разнотолщинность. Во время
испытаний, которые сопровождались изменением параметров
работы компрессора в достаточно широких пределах, замеря-
лись давления в смазочном слое, для чего на каждой колодке под
ребром поворота при среднем радиусе были просверлены отверстия
диаметром 1 мм, которые’сообщались с отожженными красно-
медными трубками диаметром 1,6 мм и толщиной 0,3 мм. По труб-
кам масло поступало к манометрам. Типичная кривая, полученная
в опытах при £ = 1,78 [см. (5.11)], дана на рис. 5,2, где кружками
показаны опытные значения давлений, сплошными кривыми —
результаты расчетов по формуле (5.8), параметры которой D, а0
и t] определялись с помощью метода наимен: ших квадратов. Как
190
видно из рисунков, теоретический характер распределения на*
грузок сравнительно приемлемо совпадает с экспериментальным.
Воспользуемся формулой (5.8) для определения степени не-
равномерности нагрузок по колодкам. Поскольку наибольшая
нагрузка на колодку будет там, где толщина слоя имеет наимень-
шее значение, то, согласно принятым выше обозначениям,
Ртах — Pi ~ В.	(5-9)
Считая, что число колодок г,, четное, для наименьшей нагрузки
получим РШ|П = Л=о.5гк+1 = D (1 + 2т] cos а0) 2- Отсюда
Ртах Pmln “О ^^I^OSOCq)2.
Ограничимся далее- случаем а0 = 0. При этом отношение
Ртах/Ртт достигнет максимального значения и будет равно
Г = (1 + 2п)2.
С практической точки зрения наибольший интерес представляет
коэффициент неравномерности, подсчитанный как отношение
максимальной нагрузки к средней. С учетом выражения (5.8)
и полагая а0 = 0, среднюю нагрузку Рт можно определить фор-
мулой
ч	ZK
Рт = 7Г S [l+T)(l-cos^№ •	<5-1 °)
/=1
Тогда коэффициент неравномерности выразится формулой [см.
уравнения (5.5) и (5.9) 1
I 2К
£ = (1 + П)2 /	[1 — xcos2л(I — 1)/гк]2гк ’	* = 1 +ц ' ^ll)
В случае достаточно больших гк сумму из формулы (5.11)
*к	гк
___________1______________JL V____________!__________—
[1 — %cos2n(f — l)/zK]2zK — 2л 11 — xcos2n(t — l)/zK]2 zK
можно приближенно заменить интегралом
2л
1 [ 1,
2я J (1 -xcosP)2	’
•и коэффициент неравномерности будет
$ = (Ц-г|)2(1-Х2)3/2 = (1+2п)3/7(1+11).	(5.12)
На рис. 5.3 даны графики для коэффициента неравномерности £
(см. кривые для случая = 0), построенные по формуле (5.11)
и (5.12) (zK->oo, штриховые линии). Из сопоставления этих кривых
191
следует, что для значения т) порядка двух и ниже, коэффициент
неравномерности слабо зависит от числа колодок в подшипнике
и может определяться, с некоторым запасом, по формуле (5.12)
для случая z,. -*• <х>. По мере-увеличения угла перекоса влияние
числа колодок становится более заметным (с ростом zH коэффи-
циент £ растет), однако соответствующей увеличение максимальной
силы, действующей на колодку, в целом не компенсирует ее сни-
жения за счет распределения нагрузки между большим числом ко-
лодок. Такая компенсация наступает лишь при достаточно боль-
0,6
0,2
5)
0,8
Рис.
5.3
0,<
ших I] (тем больших, чем больше zK),
когда отношение £/zl(	1.
Оценим количественную сторону
влияния перекосов на несущую
способность подшипника. Примем
погрешность перекоса (R/R,)	=
мкм — 0,02 мм, согласно выра-
0,5, что соответствует (см. рис. 5.3)
Z 2. Таким образом, наиболее
= 0,02 мм. При hcl = 20
жению (5.6), получим г| =
коэффициенту неравномерности £
нагруженная колодка воспринимает силу, в два раза большую
средней нагрузки. При увеличении нагрузки на подшипник,
что связано с уменьшением толщины слоя, значение i] растет, и
коэффициент неравномерности также увеличивается. Следует
обратить внимание на то, что обычно допускаемые технологические
погрешности на изготовление деталей подшипника имеют порядок
принятого выше значения 0,02 мм, и, таким образом, проведенные
расчеты показывают, что перекосы могут привести к значительной
перегрузке колодок подшипника. Последнее безусловно недопу-
стимо в случае тяжело нагруженных опор, когда коэффициенты
неравномерности особенно велики.
Разнотолщинность. Будем предполагать, что перекосы отсут-
ствуют и что расстояния между гребнем и колодками представляют
собой случайные величины. Толщину слоя под точкой опоры i-й
колодки (i — 1, 2, 3. . .) можно представить в виде (рис. 5.4)
(5.13)
Лй = hc + 6Z,
192
Рис. 5.4
где hc — минимальное из всех значений hci\ 8, — случайная вели-
чина, определяющая разбр^р в толщинах смазочных слоев.
Обозначим через S* и hc математические ожидания величин 6,
и hci и рассмотрим безразмерную толщину
В/ = hcii hc,	(5.14)
Тогда, с учетом формул (1.57) и (5.7), выражение для безразмерной
нагрузки на i-ю колодку можно записать в виде:
^. = Г2; ^.=
= зд7(рЦЛ2вф/)-
(5.15)
Предположим, что
функция распределения
величины известна.
Обозначим ее через F (£). Тогда функцию распределения Ф (0>),
определяющую вероятность Р того, что случайная величина
получим, с учетом (5.15), в виде
Ф(^) = Р{^<^|^Р|?7>^Г,1 = 1 — F(1/)О). (5.16)
Плотность вероятности <р (Р) найдется дифференцированием (5.16)
и выразится через плотность вероятности / (|) случайной величи-
ны | формулой
т (<?) = d®/d£P = 0,5^'3/2f (^-1'2). / (1) = dFidl. (5.17)
Конкретный вид функции /(£) зависит от технологии изготов-
ления подшипника. Поскольку в настоящее бремя соответствую-
щая статистика отсутствует, примем для ориентировочных расчет
тов, что величины 6( распределены по нормальному закону с мате-
матическим ожиданием 6* = 0,5Д и дисперсией Di, = oj, где
об = Д/6, Д = 6, тах — допуск на разнотолщинность (выбран-
ный способ определения 6* и ой соответствует известному правилу
«три сигма»). Тогда f (?) можно записать в виде
= (5J6)
£	э J
где
__	.	__ А
— 6 (1 Н- 0,5111) ’	111 “ hc ’
а для <р (^), согласно (5.17) и (5:18), получим
J-3/2
ехр
G .ИЮ'
(5.19)
*/2? Подольский М. Е.
193
Математическое ожидание и дисперсию, соответствующие за-
кону (5.19), можно определить формулами: ,
14-За»	j
т_ Г ./(£)	_____3 f exp (—4,5х»)
т~ J §2 ~a^J (1+30-х)» ах*
1—3(Т£	—1	6
i4-3a|	1
f л	3 f exp (—4,5х») .	2
О== J	-^=J (i + 3ffx)«
1-зае’	-1	6
(5,20)

где коэффициент а = 0,99756 выбран так, чтобы т = 1 при
= 0.
Нагрузка, выдерживаемая подшипником, есть.сумма гидро-
динамической реакции на колодке i = 1, наиболее близко распо-
ложенной от зеркала диска (значение этой нагрузки определяется
минимально допустимой толщиной масляной лленки), и гидроди-
намических реакций на остальных колодках i = 2, 3, ..., zH,
которые могут находиться на большем расстоянии от упорного
__________________________________________________ гк ____
гребня (в пределах hc hci hc -j- Д). Сумма = 5 9{
i=2
есть случайная величина, функция распределения которой опре-
деляется композицией законов (5.19). Для приближенного-опреде-
ления соответствующей плотности вероятности <рт (^') восполь-
зуемся теоремой Ляпунова, согласно которой при большом числе
независимых случайных слагаемых закон распределения их суммы
мало отличается от нормального [4]. Таким образом, получим:
фЛ^') =
Г<Гхр
Г .(J'-m'H.
[ 4	2с'2 J ’
= (z* - 1) т, <г2 = (гк - 1) о2,»
где т и о определяются по формулам (5.20).
Суммарная реакция всех колодок, определяющая несущую спо-
собность подшипника, есть Ф =	+ 0'. Будем считать, что
задана надежность подшипника, определяемая как,вероятность Q
того, что несущая способность не ниже некоторого предельного
значения. Это последнее можно определить формулой
9 =	+ tn' — асг',	(5.21)
где а есть функция Q и для нормального закона распределения
связана с Q известной зависимостью

194
В пересчете на удельную нагрузку из формул (5.15) и (5.21)
для несущей способности получим:
Рт —
цЦ9ЬФр 1 .	1   1 ।	—1 (т
hl С ’	I ~ г« гк \т
eta__\ / hc V
Д л;)
hc 1
ft* 1+0.5П1’
где /г2 — минимальная толщина слоя под первой колодкой.
Аналогичным образом при совместном учете перекоса и разно-
толщицности получим формулу
где gt = 1 4- т] (1 — cos р,) + 0,5т]!; /и, и d( = oj определяются
по формулам (5.20) при = ,П1/(6&). ₽/ по (5.5). Зависимость
1/£ от т]х и гк для вероятности Q = 0,95 приведена на рис. 5.3.
Полученные результаты, равно как и практика эксплуатации
упорных подшипников, показывают, что существенного повышения
несущей способности следует искать на пути создания устройств,
выравнивающих нагрузки на колодки. В настоящее время Известен
ряд таких устройств. Это подкладные сферические кольца, под-
кладные упругие кольца, гидравлические устройства и рычажно-
механические устройства (подшипники Кингсбери). Особенно ши-
рокое распространение получили подшипники типа Кингсбери.
Большую конструктивную простоту имеют устройства сферичес-
кого типа, выравнивающая способность которых, однако, ниже,
чем в случае рычажно-механических устройств.
6.2. ВЫРАВНИВАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
СФЕРИЧЕСКОГО ТИПА
Назначение и принцип действия. Сферические подкладные
кольца (рис. 5.5), не ликвидируя неравномерности,-обусловленной
разнотолщинностью колодок, позволяют выравнивать нагрузку
в случае перекосов. При перекосах, когда отдельные колодки на-
гружены неодинаково, равнодействующая реакций колодок сдви-
нута относительно оси на величину е. В результате на сферу дей-
ствует момент Фе, который стремится развернуть сферу и по-
ставить ее в такое положение, чтобы перекос, а с ним и эксцентри-
ситет были бы .ликвидированы. Развороту сферы препятствуют
силы1 трения. Поэтому уменьшение перекоса и вызванной им не-
равномерности может происходить лишь до известного предела.
Неравномерность, очевидно, тем больше, чем больше остаточный
эксцентриситет е0, который, в свою очередь, есть функция коэффи-
циента трения и геометрии сферы.
195
Из этого следует, что решение задачи по определению значе-
ния неравномерности, сохраняющейся при использовании сфери-
ческих подкладных колец, сводится, во-первых, к отысканию
зависимости между е0 и конструкцией сферы и, во-вторых, к оп-
ределению, при известном значении е0, коэффициента неравномер-
ности £.
Остаточный эксцентриситет е0. Подсчитаем момент сил трения
на сфере. Обозначим через As вектор элементарного линейного
перемещения некоторой точки на поверхности сферы, / — коэффи-
циент трения, р — нормальное давление. Тогда напряжение тре-
ния определится формулой
т — —/p’As/| As |.
Сила Р (рис. 5.6) создает момент, который стремится развер-
нуть сферу на некоторый угол Дф. При выбранной ориентации
Рис. 5.5
Рис. 5.6
системы координатных осей вектор этого углового перемещеция
будет направлен вдоль оси у', так что Аф=—Дф j, и для As получим:
As=— Дф)хг; r=R sin-у cos <pi sin у sin <р j -|-7?cosyk.	(5.22)
Аппроксимируем давление на сфере зависимостью р = ро0 (у),
где значение р0 находится из условия равновесия сферы и при ма-
лых y2—yt может быть определено формулой (см. также [9])
Ро ~ 2nR- 0 (Y) cos у sin у (у2 — у,) ’	(5.23)
где у = (ух + уа)/2.
Вектор т найдется по формуле
т _ f„ а cos yi — sin у cos <рк
196
Момент силы трения относительно точки О будет
Мтр. о = J J г х т do,
2
где 2 — поверхность сферы, а его проекция на ось Оу', с учетом
(5.22) и (5.24), определится так .
2л V,	.
MTP = j j Rlfp0Q (у) sin у У sin2 у cos2tp + cos2 у dy dtp. (5.25)
о v.
При малых у2—У! формула (5.25) с учетом (5.23) даст
Я/2
=	£(V) = J /1-sin2 у sin2 <p dtp,
о
где Е (у) — полный эллиптический интеграл второго ряда соот-
ношения Ре—М^, для эксцентриситета, соответствующего мо-
менту трения МТр, получим
е = 2n~lRbfE (у)/с os у.
Коэффициент трения f может меняться от нуля до коэффи-
циента трения покоя Следовательно, сфера находится в равно-
весии, если е < е0, где
е0 = 2n~lRbf<‘E (y)/cos у.	(5.26)
Величина е0 представляет собой максимально возможное зна-
чение эксцентриситета и характеризует остаточную неравномер-
ность в распределении нагрузки, которая не может быть ликвиди-
рована сферическим кольцом.
Коэффициент неравномерности нагрузки на колодки. Для опре-
деления коэффициента неравномерности можно использовать фор-
мулы (5.11) и (5.12) при условии, что будет известно значение т),
которое найдем, воспользовавшись условиями равновесия сферы:
1^ = ^;	=	(5.27)
где — гидродинамическая реакция на i-й колодке; х\ — плечо
силы относительно оси у*.
Принимая ji = const и а0 = 0 (применительно к рассматри-
ваемой задаче эти допущения могут быть строго обоснованы)
и имея в виду, что, согласно принятым ранее обозначениям,
х'( = R cos Рь получим из (5.27) следующее уравнение для оп-
ределения т) как функции е0:
гк	*и
2C0S Р<_______________» у»________1	& ~ el R
[1 +л (1 -cosp,)]» -eo^j [i + t) (1 -C0Spt)]2- ’ е<>
(5.28)
7 Подольский М. Е.
197
Практический интерес представляют значения е0, малые по
. сравнению с единицей. В ’этоМ случае, как уюжно показать, при-
ближенное решение уравнения (5.28) будет иметь вид
ц ~ 8о/(1 - е0).	(5.29)
Располагая значением т], коэффициент неравномерности можно
найти по графику на рис. 5.3 или, с учетом малости т], по формуле
(5.12).
Оценка выравнивающей способности. Из формул (5.26) и (5.29)
видно, что коэффициент неравномерности тем меньше, чем меньше
величина
е0 = 2л"1Е (y)Icos-1 yf^Rt/R.	(5.30)
Из выражения'(5.30) следует, что для уменьшения е0, при про-
чих равных условиях, целесообразно уменьшать радиус сферы Rb
по отношению к среднему радиусу колодок R. Ограничения здесь
накладывает размер 2R' (см. рис. 5.5), который должен быть, по
крайней мере, больше диаметра вкладыша опорного подшипника.
Обозначим
с = R4R.	(5.31)
Тогда, заметив, что R' = Rb sin у, формулу (5.30) для е0
запишем в виде
= cf>e (у),	(5.32)
где е (у) = 4л” lE (y)/sin 2у.
Функция е (у) достигает минимума при углах у, находящихся
в пределах 40—60°. По мере увеличения угла у до 90° или умень-
шения до нуля е0 растет до бесконечности. Физический смысл
этого результата состоит в том,-что если угол близок к 90°, то ли-
ния действия нормальной реакции на сфере становится почти пер-
пендикулярной к оси вала. Поэтому для уравновешивания осевой
нагрузки, нормальная реакция должна быть достаточно большой,
в связи с чем возрастают и силы трения. В случае же малых уг-
лов у нормальная реакция будет иметь порядок но, вследствие
того, что значение R' фиксировано, резко возрастает радиус
сферы Rb, а следовательно, и плечо и момент сил трения. Таким
образом, получаем, что оптимальное значение угла раствора сфе-
рического кольца составляет 2у = 804-120° (близкие результаты
получены в работе 181 ]).
Для оценки выравнивающей способности сферы рассмотрим
пример. Примем у = 50°, /° = 0,1, с = 1. Тогда е (у) = 1,7 и
е0 = 0,17. По формулам (5.29) и (5.12) получим £ = 1>4. Измене-
ние у на ±30° по сравнению с оптимальным значением дает увели-
чение t, до 1,8—2,2.
В очень сильной степени на коэффициент неравномерности влия-
ет коэффициент трения. Так, если в условиях рассмотренного при-
мера коэффициент трения увеличивается в два раза, то £ = 1,9
при у = 50° и £ = 3,4 при у = 20°. Наоборот, двукратное умень-
шение коэффициента трения (до значения = 0,05)' позволяет
198
получить t, — 1,2 при у = 50° и £ — 1,4 при у = 20°. Влияние,
аналогичное коэффициенту трения, оказывает с [см. выражения
(5.31) и (5.32)], изменение которой равносильно такому же из-
менению /°. Для реально осуществимых в настоящее время коэф-
фициентов трения и конструкций подшипников выравнивающая
способность сферы остается низкой. К тому же сфера позволяет
бороться только с перекосами и не ликвидирует вредного влияния
разнотолщинности. Поэтому на практике используют обычно вы-
равнивающие устройства других типов, в частности, подшип-
ники Кингсбери.
Применение сферы, оправданное ее относительно небольшими
габаритами и конструктивной простотой, может быть целесообраз-
ным в случае сравнительно небольших нагрузок на подшипник,
когда перегрузка отдельных колодок не так опасна. Отдельные
случаи использования сферических подкладных колец описаны
в работе [5].
6.3, РЫЧАЖНЫЕ ВЫРАВНИВАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Назначение и принцип действия. Конструктивная схема рычаж-
ного выравнивающего .устройства показана на рис. 5.7. Принцип
действия устройства состоит в том, что при перегрузке одной из -
колодок она начинает отодвигаться от упорного гребня и переме-
щается до тех пор, пока нагрузки между колодками не станут оди-
ь ъ
xt*i
Рис. 5.8
наковыми. Подшипники с рычажными выравнивающими устрой-
ствами (подшипники Кингсбери) известны давно и достаточно ши-
роко применяются в практике машиностроения. Вместе с тем,
наряду с положительным опытом их.эксплуатации, известен ряд
случаев, когда выравнивающая способность устройства оказыва-
лась явно недостаточной. Это вызывало недоверие к подшипникам
Кингсбери и даже породило мнение о том, что они в принципе
неработоспособны (так, некоторые специалисты считают, что в ры-
чажном устройстве невозможно выравнивание нагрузок при пере-
косах, поскольку в этом случае соседние колодки одновременно
должны смещаться в одном и том же направлении, например ото-
двигаться от диска).
Статцка рычажной системы. Рассмотрим схему устройства
в вице, показанном на рис. 5.8. Для простоты все рычаги будем
считать равноплечими. Обозначим через силу, действующую
7*	199
на рычаг верхнего ряда со стороны i-й колодки, через х,-— воз-
можное перемещение точки приложения силы в направле-
нии ее действия. Тогда, воспользовавшись принципом возможных
перемещений и предполагая, что трение отсутствует, условие рав-
новесия системы можно записать в виде
2К
У ^iXi = 0.	(5.33)
Если бы перемещения xt были независимы, из равенства (5.33)
следовало бы, что все = 0. На самом деле это не так, по-
скольку х, связаны соотношением
*к
Г х, = О,	(5.34)
<=1
которое можно получить суммированием равенств (рис. 5.8)
х,- = 0,5а (<р; н — <р(),	(5.35)
заметив, что <P*K+i = Фх-
В качестве независимых возможных перемещений системы це-
лесообразно выбирать угловые перемещения ф,. Это связано с тем,
что рычаги нижнего ряда можно независимо друг от друга повора-
чивать на любые достаточно малые углы. Смещения рычагов верх-
него ряда, которые при этом произойдут [их значения опреде-
ляются формулами (5.35) ], никаких ограничений на ф, наклады-
вать не будут. Из формул (5.33) и (5.35) получаем
ZK
Уфм(^-^+1) = 0,	(5.36)
откуда следует равенство =° ^(+1. Последнее означает, что
^1 = ^=...=^гк,	(5.37)
т. е. условие равновесия рычажного устройства с равноплечими
рычагами без трения состоит в равенстве сил, действующих на
колодки.
Физический смысл условия (5.36) и вытекающих из него соот-
ношений (5.37) состоит в том, что при равновесии системы в рав-
новесии должен находиться каждый рычаг нижнего ряда, для
чего сумма моментов действующих на него сил должна равняться
нулю.
Кинематика рычажной системы. Выясним, в какой степени
условия равновесия (5.37) совместимы с кинематическими возмож-
ностями устройства. Этот вопрос важен в связи с тем, что гидро-
динамическая реакция слоя зависит от толщины пленки и поэтому
равенства (5.37) могут быть реализованы лишь в том случае, если
система Кингсбери позволяет колодкам перёмещаться в требуемые
положения.
200
Предположим-, что в начальный момент, например, после сборки
подшипника колодки находились на расстояниях у> от поверхности
трения гребня и что условия равновесия требуют равенства этих
расстояний. Таким образом, колодки должны будут переместиться
на отрезки х,, с тем чтобы выполнились условия
$/1 + *1==& + *г = ••• — Угк~\~хг1С	(5.38)
Соотношение (5.34) и условия (5.38) дают следующую систему
уравнений дл$ определения гк неизвестных хь х2, ..., хгк:
ZK
v1-x2=^2-^. • • •, *1y =	(5.39)
1=1
я
Определитель этой системы, как можно показать, равен гк и,
таким образом, отличен от нуля. Поэтому система (5.39) имеет един-
ственное решение и, следовательно, по заданным искажениям yt
Рис. 5.9
значения х, могут быть однозначно определены. Тем самым дока-
зывается и совместимость статических и кинематических требо-
ваний.
Последнее, естественно, относится и к перекосам, поскольку,
как это ясно из приведенного доказательства, например, случай
У1 > Уз > Уз также допустим, как и все другие. Проиллюстрируем
полученный результат примером. На рис. 5.9 тонкими линиями
показано положение рычажной системы в начальном положе-
нии, толстыми — в смещенном. Как видно, смещения х2 и х8
направлены в одну сторону. При этом никакого противоречия
с принципом действия рычажной системы не возникает. Нужно
только, чтобы углы поворота рычагов <plt <р2 и <р8 не равнялись друг
другу.
При конструировании подшипников Кингсбери следует обра-
тить внимание на то, что перемещения отдельных точек рычагов
больше требуемых значений перемещений колодок х(. Так, при-
нимая х2 = 1 мм, х2 = 0,7 мм, х8 = 0, что соответствует перекосу
на 2 мм по диаметру при числе колодок zK = 8, получим (рис. 5.9)
т)х = 1‘ мм, = 2,4 мм, т)8	2,5 мм. При том же уровне переко-
сов, но при 10 колодках максимальное значение т],- достигает 3,6 мм.
Это свидетельствует о том, что между рычагами нижнего ряда и
подкладным кольцом необходимо предусматривать достаточно
большие зазоры.
Неопределенность положения рычагов в выравнивающей
системе Кингсбери. Уравнения (5.35) можно рассматривать как
201
систему для определения углов ф< при йзвестных значениях х,-.
Запишем ее в виде:
—Ti 4“ Фг 4* 0 • ф» 4* • • • + 0 • ф*к—1 4- 0 • фгк = 2х2/а;
О • Ф1 — Фг + ф34---+ 0 • Фгк-1 + О • Ф»к = 2х2/а;
Ф1 + 0-ф2 + 0-ф3Н-----,+ О-фгк-1 — Фгк= 2хгк/а.
Можно показать, что определитель системы равен нулю.
Равны нулю и все определители Рф.,’получающиеся заменой Лео
столбца столбцом из свободных членов системы (5.40). Отсюда,
Рис. 5.10
как известно, следует, что решение системы (5.40) неопределенно.
Более точный результат можно получить, рассмотрев первые гк —1
уравнений системы (5.40):
—Ф1 + ф2 + 0 • Ф4 4-4- 0 • фгк—1 = 2хх/а;
О-Ф1-Фг4-Ф>4--------Н0-фгк-1 -- 2хг/а; g 4J>
о • Ф1 4- о • ф2 4- 0 • ф, 4-Фгк-1 = 2Хгк-1/а — ф2К.
Определитель последней системы D'v =/=0. Поэтому система
(5.41) имеет единственное решение, выражающееся через xlt х2,
..., x2k_i и ф2к, причемjугол фгк можно задавать произвольно.
Таким образом, получаем, что если положение колодок изве-
стно и тем самым заданы значения х,, то угловые положения рыча-
гов выравнивающего устройства определяются неоднозначно. В ка-
честве примера можно привести подшипник с числом колодок г£—
= 4, показанный на рис. 5.10, где жирной линией даны рычаги
в некотором исходном положении (для простоты предположено, что
все они лежат на одной прямой), тонкими линиями показано поло-
жение рычагов после их поворота на угол ф. Как видно из рисунка,
точки Ai—At остались на месте, т. е. указанный поворот рычагов
не привел к изменению положения колодок.
Полученные результаты означают, что рычажному выравнива-
'ющему устройству свойственна неопределенность положения ры-
чагов. Эта его особенность есть органическое свойство системы
Кингсбери и имеет принципиальное значение. В самом деле,
если бы устройство было сконструировано так, что при заданных
х, значения ф,- определялись однозначно, то в качестве независи-
202
мых'возможных перемещений системы можно было бы в равной
степени выбирать как ср,, так и х,. В таком случае, как следует
из рассмотрения статики рычажной системы, все »• 0, т. е.
равновесие системы было бы возможно лишь при нулевой нагрузке.
Неопределенность положения рычагов, обусловливая извест-
ную свободу движения рычагов, необходима, таким образом, для
нормальной работы устройства
Кингсбери.
Неравноплечие рычаги. Схема
устройства для этого случая пока-
зана на рис. 5.11. Связь между си-
лами определяется формулами*
а> __________ ^за2 ал .	_
~е --------ё ^2’	'
=ж ^заз д>	ЬгкСгк д> _ ^iai д
et «>•••> e2K ZK ex p
(5-42)
Из формул (5.42) следует, что для того чтобы силы $ не равня-
лись нулю, должно быть выполнено условие
гк
П«.- 1,
4=1
(5.43)
где а,- =
В случае равноплечих рычагов условие (5.43), очевидно, удов-
летворяется автоматически.
Можно показать, что при выполнении условия (5.43) переме-
щения xt связаны соотношением
2к / 2к \
у. П	=	(5.44)
1=0 \i=zK— /	/
При а, = 1 соотношение (5.44) переходит в (5.34). Используя
(5.44), можно также показать, что и в рассматриваемом случае
устройство Кингсбери позволяет колодкам смещаться в те поло-
жения, которые требуются условиями статики (при этом силы
могут быть и не равны друг другу).
Исследование вопроса о возможности однозначного определе-
ния положения рычагов [641 показывает, что, используя неравно-
плечие рычаги, можно добиться ликвидации неопределенности,
ZK
однако это возможно’лишь если Па(=/=1, т. е. при нарушении
i=l
условия (5.43). Если же условие (5.43) выполнено, то положение
рычагов выравнивающего устройства неопределенно.
• Наконец, следует обратить внимание на тот факт, что неодина-
ковость плеч рычагов сама по себе может быть причиной неравно-
мерного нагружения колодок подшипника. Рассматривая для про-
203
стоты подшипник, состоящий из двух колодок, получаем, что, на-
пример, при сх = dlt сл = dj отйошение нагрузок равно
a2/Z>x и с точки- зрения удовлетворения условию (5.43), которое
в этом случае имеет вид Ь^Ь3 — а^, может быть любым.
Особенности, накладываемые секторной формой рычагов. На
рис. 5.12 схематически показано выравнивающее устройство, в ко-
тором рычаги верхнего ряда 1, 3 и рычаги нижнего ряда 2 контак-
тируют по радиальным прямым. Предположим, что нагрузки со
стороны колодок передаются через точки Ох и О3 и что опирание
рычага нижнего ряда на подкладное кольцо также точечное
(точка О2). Нагрузка по длине контактной линии, вообще говоря,
распределяется неравномерно. Поэтому точки Л,,; , через кото-
рые проходят равнодействующие контактных давле'ний, могут
находиться в любом месте на линии контакта. Наряду с этим усло-
вия равновесия каждого из рычагов требуют, чтобы сумма момен-
тов действующих на него-сил равнялась нулю. Отсюда получаем,
что точки Л/, j должны лежать на прямых, проходящих через
точки Ох, О2, О3 и т. д. (рис: 5.12). Из рисунка видно, что, вообще
говоря, отрезки Ai_biOt и O^,-11+1, образующие ‘фактически
плечи рычагов, неодинаковы. Последнее, однако, в связи с тем, что
d = b и а = с, не приводит к неравномерности нагрузки на ко-
лодки.
Рассмотрим теперь тот случай, когда рычаг нижнего ряда опи-
рается на подкладное кольцо по ребру (рис. 5.13). Точка Ог, через
которую проходит равнодействующая реакций со стороны под-
кладного кольца, может занимать любое положение по длине опор-
ного ребра. Несмотря на это неравномерности в распределении на-
грузок, как можно показать, по-прежнему не возникает (она могла
бы появиться, если бы одновременно и колодки опирались на верх-
ний рычаг через ребра). Таким образом, получаем, что если точеч-
ные опоры имеются, по крайней мере, в одном из рядов, то харак-
тер опирания рычагов непосредственно не сказывается на неравно-
мерности нагружения колодок.
204
При реберном опирании эпюры контактных давлений между
рычагами неравномерны. Это связано как с технологическими по-
грешностями, так и с особенностями кинематики системы. На
рис. 5.14 показан нижний рычаг, у которого плоскость опорных
поясков находится на расстоянии Н от подкладного кольца. Здесь
же изображен соседний рычаг нижнего ряда (угол между ли-
ниями опор этих рычагов равен 4).. При повороте рычагов линии
АВ и А'В' также поворачиваются. Исследование показывает, что
определитель
хв — хА Ув — У а гв — гА
хВ’ — хА> ув> —У А’ 2в‘ — 2а-
Ха’ — ХА у А' — У А 2А- — 2 а
приближенно можно подсчитать по формуле
£>=«0,5 (б'2 —б2) АВ2 sin фН,	(5.45)
где б и б' — углы поворота рычагов; остальные обозначения
ясны из рис. 5.14. Таким образом, в общем случае D 0. Это, как
известно, означает, что прямые
АВ и А’В' не лежат в одной пло-
скости и, следовательно, контакт
между верхними и нижними ры-
чагами в рассматриваемых усло-
виях не может быть равномерным.
Неравномерность контактных
давлений и особенно появление
резких пиков нагрузки — явление
нежелательное, поскольку в со-
ответствующих точках контакта
создаются условия для выдавли-
вания смазки и повышения тре-
ния. Эксцентричное приложение
нагрузки может также привести
к поломке рычагов [64]. Кроме
того, в тех случаях, когда устройство
должно выравнивать боль-
шие неравномерности нагрузок на колодки,'так что 6 и б' сравни-
тельно велики, не исключена возможнбсть чрезмерных поворотов
верхних рычагов, которые приведут^к их заклиниванию^ непо-
движных деталях подшипника.
Из проведенного анализа следует целесообразность перехода
к точечному" опиранию рычагов и к уменьшению км. выражение
(5.45) ] размеров Ни АВ (последнее достигается уменьшениём дли-
ны рабочей части опорных поясков — см. штрихпунктир на
рис. 5.14).
Неравномерность нагружения колодок. В правильно скон-
струированных подшипниках неравномерность нагружения, глав-
205
ным образом, определяется силами трения. Оценка их влияния
в настоящее время может быть выполнена только качественно и
здесь не рассматривается. Опыт эксплуатации упорных подшип-
ников показывает, что в типовых конструкциях коэффициент не-
равномерности С «= ^niax^cv составляет 1,1—1,3.
Г лава 6
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ
Один из основных выводов гидродинамической теории смазки
состоит в том, что для возникновения гидродинамической реакции,
уравновешивающей внешнюю нагрузку на подшипник,' зазор
между сопряженными поверхностями должен иметь форму клина.
В опорных подшипниках масляный клин создается автоматически
за счет разности радиусов вала и вкладыша при смещении центра
вала под действием внешней нагрузки. В упорных подшипниках
эта задача решается двумя путями. Первый из них реализуется
в подшипниках с неподвижными колодками, где выполнены скосы,
обеспечивающие постоянный наклон поверхностей трения друг
к другу; второй — в так называемых подшипниках Митчеля, ко-
лодки которых устанавливаются на опорах и благодаря этому
могут поворачиваться на небольшие углы, приспосабливаясь тем
самым к изменению условий работы подшипника. Последний спо-
соб предпочтительнее и имеет наибольшее распространение.
Вместе с тем свобода движений, которой обладают самоустанавли-
вающиеся колодки, делает такие подшипники более сложными в ди-
намическом отношении. В частности, в отличие от опорных под-
шипников, где масляный клин образуется с самого начала движе-
ния вала, в подшипниках Митчеля ситуация другая: под действием
внешней силы, прижимающей колодки к упорному гребню, поверх-
ности трения сближаются друг с другом по всей площади их кон-
такта и, таким образом, масляный клин в обычном понимании
этого слова отсутствует. Выяснение условий, обеспечивающих
формирование масляной пленки при пуске машины, представляет
большой научный интерес, который стимулируется и чисто прак-
тическими соображениями. Хотя в большинстве машин, имеющих
упорные подшипники скольжения, осевые силы создаются посте-
пенно по мере нарастания частоты вращения вала, имеется ряд
случаев, когда большие осевые нагрузки действуют на подшипник
уже при пуске. Такая ситуация характерна для главных упорных
подшипников некоторых судов, подпятников вертикальных гидро-
генераторов и упорных подшипников компрессоров, устанавли-
ваемых на магистральных газопроводах. Решение’ относящихся
сюда вопросов возможно только на основе решения нестационарных
206
задач. Изучение поведения подшипника на нестационарных режи-
мах представляет также интерес в связи с тем, что разрушение
колодок может происходить при резкой смене условий нагружения
подшипника.
6.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ АНАЛИЗ
Исходные уравнения. Для описания поведения упорного под-
шипника в нестационарных условиях следует составить уравнения
движения ротора и колодок. Считая, что колодки идентичны по
конструкции и несут одинаковые нагрузки, эти уравнения можно за-
писать в следующем виде (рис. 6.1):
рне. 6.1
/nzs = Rx — Р;	= — RpLap —
— RsL.as — РХН. (6.1)
Здесь т — масса ротора, отне-
сенная к единичной колодке; г*—
осевое перемещение ротора (счи-
таемся положительным при отходе
ротора от колодок);] Rx = Rp -j-
+ Rs — гидродинамическая реак-
ция слоя; Р — внешняя осевая
сила, отнесенная к единичной ко-
лодке; J — момент инерции массы
колодки относительно оси ее поворота (перпендикулярна плоско-
сти чертежа, рис. 6.1); Rp и Rs — составляющие гидродийамиче-
ской реакции; Рх — сила трения, приведенная к рабочей поверх-
ности колодки и учитывающая, в частности, влияние трения
в опоре; ар и as определяются формулами:
обр — хрс Z/p; ocs — xsc £*о’, Z.Q — Z.q/Z., хрс — xpJL>t xsc  xsc/Z.,
(6.2)
остальные обозначения пояснены на рис. 6.1.
При выводе формул (6.2), равно как и формул для Rz в гл. 1,
учтено, что угол ф мал, и поэтому всюду полагалось cos ф «=> 1.
Ограничимся далее тем случаем, когда колодки и гребень не-
деформированы, а вязкость масла в слое постоянна. Тогда для
Rs, Rp и Rz можно будет воспользоваться формулами (1.75),
(1.77) и (1.78). Считая, что корпус подшипника .неподвижен (Uh —
=0), положим, согласно (1.59), U = Uo.
Введем безразмерные величины:
h = hz/h0; т] = hclh°, и = Uo/U0-,
x==t/T°; Т° — L/U°; ц> == q>L/h0-,
P = Phf/tvdJ'BU9), m = (h°/L)s m(/°/(jiBL), J = (h°/L)3 x
x (J/La)t/°/(pBL).
(6-3)
207
Здесь hc — толщина слоя под опорой колодки (см. рис. 6.1), Л®
и (/° — характерные значения минимальной толщины пленки и
скорости скольжения, а т| и ф связаны с h и k зависимостями (см.
рис. 6.1):
Л =	f=l+(A-l)(l-Le); ф==(£-1)Л.	(6.4)
Наряду с ар и as рассмотрим коэффициенты ар и as, определяе-
мые формулами:
dp = xps Lq\ <Xs = xsc — Lol Lq =r:	fr == Pt/^s> (6.2а)
где L'o — эффективная координата точки опоры, и учтем, что zs =
= fic-
Тогда систему уравнений (6.1) можно будет записать в виде:
Фр Г	,	2 dk 1	Os Г dh , ft	dk 1	•
ft2 LU (ft—	I)2 dr J	ft8 [dt + ft — 1	dx J
Фр	Г	I	2	dk 1 _	<DS г dh	,
ft2	Iм	(ft —	I)8 dx J aP	ft8 L dx	'r
.	h	dk 1 ~	“7 d2<p
(6-5)
Еще одну форму уравнений (6.5) получим, если dh/dx и dk/dx
выразим через производные от ц н ф. Выполняя необходимые
преобразования и учитывая, что согласно (1.83) и (6.4)
//(Л-1) = аР+-0,5Ф,/Фр,	(6.6)
приходим к системе:
— d2i) /* 2Фр di)	. /* 2Фр®р	d<₽	( ФрР
m dr2"	— — n3 ft — 1 dx tj8 ft— 1	dx i)8	U~
£рф __ f8 2Фрйр di) 7s 2Фр
J "dtf ~ V dx ~ Vft77* X
чл Г’- i ф» /	\1 4ф Фр^р
X I a₽a₽ + -2Ф“ (aP ~	-----“•
(6.5а)
Системы уравнений (6.5) или (6.5а) служат для описания пове-
дения подшипника с самоустанавливающимися колодками. Если
колодки неподвижны, второе из этих уравнений с учетом (6.4) и
(6.3) заменяется уравнением
q> = (fe — 1) x\!f = ф° = с nst,	(6.7)
а первое из уравнений (6.5а) дает
_J*.	и_р	(6 8)
т dx2 ~	т)8 ft— 1 dx п и8 “
208
Поскольку величина в силу равенства (6.7) легко выражается
через я» то задача о динамике упорного подшипника с неподвиж-
ными колодками сводится к решению одного дифференциального
уравнения (6.8), в котором k есть известная функция я-
Вспомогательные соотношения. Проанализируем функции,
которые в качестве коэффициентов входят в уравнения (6.5).
Их аналитические выражения даны в гл. 1. Прежде всего рассмо-
трим область значений параметра k, близких к единице. Используя
разложение в ряд Тейлора для функции In Л и полагая а = k—1,
после весьма утомительных, хотя|и простых преобразований, полу-
чим следующие формулы:
Фр о» = 0,5а [ 1 - 1,5а + ЗЗа2/20 + О (а3)];
ф5 ю = 1 - а + 0,8а2 + О (а3); kp = k°p [ 1 + 4Л°а2/35 +
+ О (а3)]; ks = k°s [1 + 103Д°а2/1260 + О (а3)];
^р = kp |а=о == ks = ks 4° = As |ао0 = Ар |а=0', А( =
= 0,5 (МЫ dkddU = [М (1 - k}) - kt]l(2kt) (i = p, s);
ЯРС = fe-(fe - 1)^= 1 + 0,5а -0,1 (1 +41Л°/126)а3 +
+ О(а3);
T)Sl = k - (k - l)xJC = 1 + 0,5а -(1J- 0,2Л°)а2/12 + 0(а3);
 as = -(Zo -0,5) + O(a), ap = — (L'o - 0,5) -f- О (a);
ap - as = (1/60 4- A°/63) a + О (a2).-
(6.9)
Последняя из формул (6.9), с учетом того, что 0 < Д°< 1,
показывает, что
ар — as > 0 при a > 0.
(6.10)
Если е = BIL -* оо, неравенство (6.10) может быть доказано
для любых k > 1. К такому же результату приводит решение зада-
чи в предельном случае узких колодок (е -* 0). Для промежуточных
значений е подобное доказательство по причине громоздкости
формул для ЯрС и я5С построить затруднительно. Однако непосред-
ственные вычисления приводят к выводу, что (6.10) выполняется
при всех практически интересных значениях е и k.
Вырожденные уравнения. Расчеты по формулам (6.3) пока-
зывают, что значение th мало. Примем, например, Рг — 3-104 Н;
гкт = 100 кг; U° = 50 м/с; В = L = 4-10-2 м; zK = 8;	—
= 1,2-10-2 Па-с; Р = Фр = 0,05. Тогда получим т = 0,6-10-2.
Как следует из (6.3), величина J связана с т зависимостью J —
— mJ/(mL2). Для колодки в форме параллелепипеда длиной L и вы-
сотой HJ = тк (L2 •+ 4Н2)/12, где тк — масса колодки. Полагая
еще Н 0.5L, оценку J найдем в виде J = ттк/(6т), и так как
m « 1 и всегда ти < т, то значение J тем более мало.
209
1 Таким образом in и J малы. Полагая, с учетом сказанного,
в системах (6.5) и (6.5а) m = 0 и J = 0, получим вырожденные
системы
Гц ।	2	^1	I h <*А] _ р-
A2 [ (А — I)2 Л] A2 L dx k~ 1 dx J ~ ’
ФР Г I 2 ЛА 1 Ф5 Г dh A dk Т _ п
А2 [ "г (А — I)2 dx J р h* L dx k — 1 dx J “s — U’
(6.11)
_ f3 2фР
T}3 k — 1
f3 2Фрар dT]
Л3 k — 1 dx
dT)
dx
. f3 2Ф,
T|3	1
®p?<ip
f* 2Фрар d<j> . Фр/2 p
г)8 A — 1 dx ф Г)2 u r ~ u’
[ap«p +	(“p — as) —
-^-« = 0.
(6.12)
Известно, что решение исходной системы уравнений при стрем-
лении соответствующих малых параметров к нулю в ряде случаев
оказывается близким к решению вырожденной задачи. Вместе
с тем предельные решения вырожденной задачи могут значительно
отличаться друг от друга [2 ]. Для ответа на вопрос о возможности
отбрасывания в системах (6.5\и (6.5а) членов, содержащих произ-
водные d2T|/dx2 и cPifldx*, воспользуемся теоремой А. Н. Тихонова
(2]. Не останавливаясь на подробностях, ограничимся анализом
системы (6.5а) и рассмотрим систему:
_ /8 2фг . JL 2Фр“р о _i_ фрр » Р-
dt' ~ TjS А-1	Т)» 4.-1 иФ
dv<f f» 2Ф-ар f» 2Фр Г ~ . Ф5 . ' J
dt' ~ t]2 A — 1 Vt> t)8 k — 1 L ₽ap + 2Фр (a₽ ~ V<f
(6-13)
ФрР&р
f)»
в которой f|, ф и т (от т могут зависеть и и Р) считаются параме-
трами, и исследуем на асимптотическую устойчивость по Ляпунову
точку покоя системы (6.13), т. е. такое ее решение = v^, иф =
= оф, которое обращает правые части (6.13) в нуль. Если окажется,
что точка покоя устойчива, то предельный переход в (6.5а) при
т -> 0 и J -> 0 возможен. При этом дополнительно требуется,
чтобы начальные значения оп0 и оф0 принадлежали так называе-
мой области влияния точки покоя. Последнее означает, что и
иф0 должны быть выбраны так, чтобы решение оф системы (6.13)
' стремилось к t^, оф при V -> оо. В силу асимптотической устой-
чивости точки покоя такие значения всегда могут быть найдены.
Составим характеристическое уравнение для системы (6.13).
Имеем
АЛ -J-	= 0,
(6.14)
210
где
'	= Р +аА + -§|- (а,-а,)];
_ / /» 2ФР \2 Ф,	<615>
°2 Л Т)» k—l) 2Фр ^аР
Асимптотическая устойчивость будет обеспечена, если все кор-
ни характеристического уравнения (6.14) имеют отрицательные
вещественные части. Для этого, в свою очередь, согласно крите-
рию Рауса—Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лись неравенства > 0, аг > 0.
Предположим сначала, что трением можно пренебречь. Тогда
арйр = ар, и из (6.15) с учетом (6.10) следует, что при а =# 0
ах > 0 и > 0. Из (6.9) ясно, что и при а — 0 по-прежнему аг > 0,
02 > 0. Прй учете сил трения может случиться так, что произведе-
ние арйр < 0. Если, однако, (Lo — Ц)2 = (fJHL)2 < 4, то
1 + арйр 0. Поэтому, полагая, что коэффициент трения удов-
летворяет практически всегда выполняемому условию /т 2LIH,
получим, что,'как и в случае отсутствия трения, > 0, а2 > 0.
Таким образом, точка покоя системы (6.13) асимптотически ус-
тойчива, и замена исходной системы уравнений вырожденной си-
стемой (6.12) оправдана. Поскольку (6.11) получается из (6.12) про-
стым переходом к новым переменным, то тот же результат имеем и
для систем (6.5) и (6.11). Для подшипника с неподвижными колод-
ками [см. уравнение (6.8) ]в силу отрицательности коэффициента
при di}/dx, возможность отбрасывания слагаемого с производной
d2T]/dr2 при малых т очевидна.
6.2. ГИДРОДИНАМИКА ПУСКОВЫХ РЕЖИМОВ
Если осевая нагрузка действует еще до начала вращения вала,
то наиболее опасным для подшипника является пуск машины.
Известны два способа отделения поверхностей трения при
пуске: гидродинамический и гидростатический. В первом случае
подъем гребня осуществляется за счет гидродинамических сил,
развивающихся при относительном скольжении поверхностей
трения; во втором — давление, необходимое для уравновешивания
внешней нагрузки, создается специальным насосом. В некоторых
случаях упорный гребень поднимают непосредственно перед пу-
ском на тормозах. По существу этот способ является разновид-
ностью гидродинамического.
Физическая картина работы подшипника при пуске весьма слож-
на и пока еще не выяснена окончательно. Решающую роль, безус-
ловно, играют гидродинамические явления в зазоре между колод-
кой и гребнем, поскольку, в конечном итоге, только в результате
действия гидродинамических сил возможно образование устойчи-
вой масляной пленки. Вместе с тем важное значение имеют и сопут-
ствующие явления, обусловленные нагревом деталей подшипника
211
и их деформациями. В начальный период пуска, особенно после
длительной стоянки под нагрузкой, необходимо принимать во
внимание процессы взаимодействия между микронеровностями
поверхностей трения.
Характер изменения параметра к. Рассмотрим гидроди нами-
ческий режим трения. Поскольку в процессе пуска толщина масля-
ной пленки мала, то малой должна быть и т] [см. (6.3) ]. Умножим
обе части уравнений (6.5а) на т)8. Тогда окажется, что при старших
производных будут стоять малые сомножителит]3/йи т)3/, значение
которых тем меньше, чем меньше т]. Поэтому изучение пусковых
режимов целесообразно проводить с помощью вырожденных урав-
нений.
Исследуем сначала процесс прижатия к колодкам невращаю-
щегося упорного гребня. Рассматриваемая ситуация может быть,
например, реализована при остановке машины под нагрузкой,
а также при подъеме ротора перед пуском на тормозах. Восполь-
зуемся уравнениями (6.11). Полагая в них, в соответствии с приня-
той постановкой задачи, и = 0, получим
1 2Фр /. k—ld>s\dk <DS dh -р- )
А2	2 Фр) dx л» dx-Г'
_L 2Ф₽ /я k~l Ф*	®sasdft_n °'
ft» (ft—1)« \ p 2 Фр Ь) dx ft» dx ’
Исключая из системы (6.16) dh/dx, находим
dk/dx — F(k)~Ph2, F(k) = —0,5 (k - l)2®;1»,/^ - as). (6.17)
При k, близких к единице, вследствие (6.9) будет
. dk/dx = (L'o - 0,5) W, x2 = 1/60 + Л°/63 > 0. (6.17a)
Отсюда следует, что при Ц > 0 5 и малых а = k — 1 произ-
водная dk/dx > 0. Это означает, что если, в силу каких-либо слу-
чайных причин, колодка займет положение, в котором параметр
k или равен единице или близок к ней, то при наличии нагрузки
на подшипник, колодка неизбежно выйдет из этого положения,
причем так, чтобы стало k > 1.
Полученный результат имёет простое физическое истолкование.
Предположим, что рабочая поверхность колодки параллельна
упорной поверхности. Тогда течение в зазоре симметрично и реак-
ция смазочной жидкости, уравновешивающая внешнюю нагрузку,
приложена по середине длины колодки. Если точка опоры сдвинута
от середины, то создается момент, который и разворачивает ко-
лодку.
Неизбежность обращения параметра k в’единицу имеет прин-
ципиальное значение, поскольку означает, что в зазоре автомати-
чески создаются условия для образования масляного клина.
I Найдем теперь те значения k, которые устанавливаются в про- *
цессе прижатия гребня к колодкам. Для простоты рассуждений
212
ограничимся тем случаем, когда силы трения отсутствуют или со-
храняют постоянное значение. Тогда величина as есть функция
параметра k, положения точки опоры и отношения В/L. Системе
уравнений (6.16) можно удовлетворить, если положить
dk/dx = 0; as = 0; dh/dx = — РЛ3/Ф5.	(6.18)
Первое из уравнений (6.18) показывает, что в отношении пере- -
менной k система имеет положение равновесия. Выяснцм его устой-
чивость.
Согласно неравенству (6.10) знак функции F(k) в (6.17) проти--
воположен знаку as. В свою очередь функция as, как это следует
из ее физического смысла и подтверждается непосредственными
расчетами, растет с ростом k. Поэтому в окрестности точки k = k0,
где k0 — корень as (k), F (k) можно представить в виде
F(k) = -(k-k0)^, у2>0.
Интегрируя (6.17), находим
(т	\
— J у2Л2Р dx I; k0 = k(x — т0).
То	/
Так как подынтегральное выражение положительно, то при
t -+ оо k -> k0. Поэтому решение k = k0 устойчиво и, следова-
тельно, со временем реализуется в подшипнике (при условии, что
взаимодействие колодок и гребня осуществляется только через
масляную пл.енку).
Проведенные рассуждения показывают, что в рассматриваемой
сейчас чисто гидродинамической постановке в качестве началь-
ного значения параметра k при пуске следует выбирать корень
функции as (k). Этот корень всегда больше единицы, если L'o > 0,5.
Рассмотрим теперь поведение подшипника при пуске. Разрешая
систему (6.11) относительно производных dh/dx и dk/dx, получим:
dk/dx = 0,5 (k - 1 )2 {—и (т) + РА (k) Л2];	|
__	_ 1У)
dh/dx = —0,5 (k - 1) I—и (т) + Pfr (k) Л2] h + Pf2 (k) ha,
где
fi (£) = —«s KaP ~ as) ФрГ1, h (k) = —ap [(ap—as) Ф,)Г2. (6.20)
Начальное значение k, по доказанному выше, есть корень
функции as. Начальное значение скорости при пуске также равно
нулю. Поэтому 1см. (6.19)j dfe/dT|T=0 = 0. В этот же момент вре-
мени cPk/dx* — —0,5w (k0 — I)2, где w — du/dx — безразмерное
ускорение разгона. Поскольку должно быть w > 0, то cPkldx* < 0.
Это означает, что в начальный период пуска параметр k убывает,
однако уменьшение k происходит до известного предела и во вся-
ком случае поверхности трения не могут стать параллельными
друг другу.
213
С учетом первого из уравнений (6.19), второе уравнение (6.19)
дает
Выполняя здесь интегрирование, получим
*= Mj^Lexp p/Mh.ix,	(6.21)
То
Предположим, что значение k стало близким к единице. В силу
(6.20) и (6.9) функция f2 W ПРИ малых а = k — 1 и Lq > 0,5 по-
ложительна. Следовательно, экспонента в (р.21) всегда больше
единицы. Поскольку при этом [k (т0) — 1 ]/(k — 1) -* оо, то h
неограниченно возрастает. С другой стороны, коэффициент при
Ph3 во втором из уравнений (6.19) с учетом (6.20), (1.83) и (6.9)
может быть представлен в виде
__/ (k) —____L Г1 J- I1 — Пре) I-----Г1 I 3° (Lp — 0.5)1 , д . .
I»w—	os [1 -t- ap_as J—	p -b 1+60Л0/63 ] + U W-
(6.22)
При L'o >0,5 и малых a f3 (k) > 0. Поэтому нри больших h
и близких к единице k производная dh/dx [см. (6.19)] должна
стремиться к отрицательной бесконечности, что однако находится
в противоречии с неограниченным возрастанием h. Впрочем, и
из чисто физических соображений ясно, что при наличии осевой
нагрузки (Р 0) безграничное возрастание толщины слоя невоз-
можно. Таким образом, хотя значение k и уменьшается в начальные
моменты времени, но достигнуть единицы оно не может.
Еще одно доказательство неравенства k > 1, имеющее доста-
точно прозрачный физический смысл, можно получить с помощью
уравнений (6.12). Исключение из этих уравнений dr\/dx дает
dq/dx = ф3Р/2 (k)/(k - 1 )2.	(6.23)
Обозначим через k° корень функции ар (fe). Если Е’о > 0,5, то
/г® > 1. При k < k° функция ap (k) < 0 [см. также формулу для
ар в (6.9) 1, и, следовательно, /2 (k) > 0.‘ Из (6.23) теперь следует,
что как только k станет меньше /г®, угол ф начнет возрастать. С уче-
том неотрицательности начального значения ф получаем отсюда,
что если значение h ограничено, то [см. (6.4)1 k > 1.
Полученные результаты важны по следующим причинам. Во-
первых, из них следует, что в подшипниках с самоустанавливаю-
щимися колодками существуют условия для образования масля-
ного клина при пуске в гидродинамическом-режиме. Во-вторых,
как ясно из хода доказательства, для образования клина имеют
значение два обстоятельства: выполнение неравенства L'o > О',5
и наличие нагрузки на подшипник. В-третьих, невозможность обра-
214
щения значения k в единицу служит ориентиром при численном
решении задачи.
Неустойчивость начального положения ротора на. масляной
пленке. Системе уравнений ( 6.19) можно удовлетворить, поло-
жив h — 0. Это означает, что в отношении h существует положение
равновесия, которое соответствует нулевой толщине пленки. Ис-
ходные уравнения задачи выведены в предположении, что поверх-
ности трения разделены смазкой, и они лишены смысла, если смазка
отсутствует. Поэтому решение h = 0 следует рассматривать лишь
как некоторое приближение к реальным условиям. Однако сам
факт существования такого решения может означать отсутствие
условий для всплывания ротора, в связи с чем требуется более
подробный анализ поведения подшипника при малых толщинах
пленки и, в частности, исследование устойчивости решения h - 0.
Предположим, что решение h = 0 устойчиво. Это означает,
что, получив малые отклонения от нулевого значения, Л будет оста-
ваться сколь угодно долго близкой к нулю.
Перепишем второе из уравнений (6.19) в виде
dh/dx = 0,5 (k - 1) hu (т) - f3 (k) Ph3,	(6.24)
где fs (k) — по формуле (6.22).
Согласно доказанному 1г > 1. Рассмотрим сначала тот случай,
когда k js k* > 1. Так как функция f3 (k) ограничена, то, если
только и (т) «о > 0, второе слагаемое в (6.24) будет малым по
сравнению с первым при достаточно малых h. Поэтому поведение
производной dh/dr будет определяться величиной 0,5 (k—1)х
х hu (т)	0,5 (k* — 1) hu (г). Интегрируя уравнение dh/dx =
= 0,5 (k* — 1) hu (т), получим
ft>ftoexp
0,5(Дг* — 1) j и (т)^т
о
(6.25)
Отсюда следует, что с ростом т значение h неограниченно воз-
растает и, таким образом, предположение об устойчивости реше-
ния h — 0 не выполняется.
Если допустить, что разность k — 1, оставаясь положительной,
может быть сколь угодно малой, то также придем к противоречию
с предположением об устойчивости, ибо в этом случае h -> оо
[см. (6.21)1.
Таким образом, решение h = 0 неустойчиво. Поэтому, при на-
личии даже весьма тонкой пленки масла между рабочими поверх-
ностями, в подшипнике с самоустанавливающимися колодками
создаются условия для самовсплывания.
Вместе с тем неустойчивость нулевого решения носит асимпто-
тический характер, понимаемый в том смысле, что при бесконечно
малых Яо конечные значения h достигаются через бесконечно боль-
шое время.
215
Приближенное решение задачи о гидродинамическом подъеме.
.Начальное значение параметра k = есть корень функции as (k).
На стационарном режиме, как это ясно из (6.11), значение k = k0
равно корню функции ар (k). Расчеты (см. табл. 1.6 и 1.7) показы-
вают, что при одном и том же значении L'o, значения k0 и k° не сов-
падают друг с другом, однако разница между ними выражена не
очень сильно. Поэтому, по крайней мере, в первом приближении
целесообразно рассмотреть случай k = const. При этом допущении
первое из уравнений (6.11) примет вид:
dh/dx = b*hu (т) —	= Фр/Ф$, b2 = Pl®s. (6.26)
Уравнение (6.26).есть уравнение Бернулли. Интегрируя его
при условии Л (т = 0) = Ло, получим
h = Лоехр
т
J brti (r)di;
о
т
exp j 2biU (x)dx
о
-0,5
dx
(6-27)
1 + 2йо j Z?2
о
В случае P — const:
и (т) = wx, w - WT°IU°,
(6-28)
где IF — ускорение разгона упорной поверхности; Т° — по фор-
муле из (6.3), с учетом (6.26) и (6.3) из (6.27) получим
-0,5
eS‘^
е-V + Qe-У
Л =— Ло
(6.29)
Здесь [см. (6.3) и (6.28)]:
^ = x]/b1W =t	? =
= (6'30)
На рис. 6.2 представлены кривые hlh0 — f (5), построенные
для ряда значений параметра q. Из рисунка видно, что процесс
всплывания может быть разбит на два этапа. В течение первого
этапа h/h0 практически не зависит от параметра q, отражающего
влияние осевой нагрузки на подшипник. Основную роль на этбм
этапе, как ясно из формулы (6.30) для |, играют ускорение разгона
W, длина колодки L, а также значение параметра k (через посред-
ство Отношения Фр/Ф,.). Толщина пленки в функции времени опре-
деляется формулой
Л = Лоехр(О,5ФрФ;ЧГ/2/1),	(6.31)
которая получается из (6.29), если там положить q — 0.
Из (6.31) следует, что при одних и тех же значениях kn L вели-
чина h/h0 есть функция только пути скольжения IFP/2. Такой же
результат при Р = 0 в предположении отсутствия сил трения
216
можно получить и из точных уравнений (6.19), которые в этом
случае дают:
х^Г-Т- <6-32>
На втором этапе влияние нагрузки на подшипник становится
заметным. Известно (см. [19]), что при |	1
Учитывая еще, что при больших 5 величина 5 охр (—£2) мала
по сравнению с единицей, из (6.29) получим
/ц = Уу-В^Ф^ЦР .	(6.33)
Последнее выражение можно рассматривать как квазистацио-
нарное решение задачи, поскольку Wt представляет собой скорость
скольжения Uo, и, следовательно, (6.33) совпадает с формулой для
толщины пленки на стационарном режиме.
Рассмотренное решение получено в предположении k = const.
Сравнение с результатами численного интегрирования системы
(6.19) показывает, что в целом приближенная формула (6.29)
правильно описывает процесс всплывания гребня. Сказанное
иллюстрируется рис. 6.3 (штрихпунктир — численное решение).
Здесь же нанесена кривая k = k (/). Исходные данные были при-
няты следующими: L = В = 0,04 м; k° =' 2; h20 = 1 мкм; р =
= 0,03 Па-с; W = 10 м/с2; Р = 3000 Н.
Значение k в расчетах по формуле (6.29) принималось равным
k = k°.
С помощью численного интегрирования системы (6.19) ока-
зывается возможным проанализировать влияние сил жидкостного
217
трения на колодке. Как и следовало ожидать, оно незначи-
тельно [37].
Используя предположение k — const, можно также доказать
неустойчивость нулевого решения без отбрасывания старших
производных в уравнениях движения [36 ] и оценить влияние инер-
ционных членов на первом этапе пуска. Задача в такой постановке
сводится к решению уравнения
b3h3d2h/dx2 — byU (x)7i — b2h.3 — dh/dx,
где b3 = которое с точностью до значения порядка Л6 может
быть представлено в виде
dh/dx — bji [// — b3(du/dx t\u2) /г3] — b2h3.
Оценки показывают, что в практически интересных случаях
второе слагаемое в квадратной скобке, учитывающее влияние
инерции, мало по сравнению с первым, и им можно пренебречь.
Один из наиболее неожиданных выводов рассмотренной теории
состоит в том, что на первом этапе пуска осевая сила не оказывает
влияния на процесс отделения гребня от колодок. Объясняется
это тем, что при малых толщинах пленки гидравлическое сопро-
тивление зазора весьма велико и внешняя нагрузка мала как по
сравнению с подъемной силой, так и по сравнению с силой, кото-
рая обусловлена сопротивлением подтеканию масла в зазор и ко-
торую нужно приложить к поверхностям трения, чтобы оторвать
их друг от друга.
Если k — const, то первая из этих сил есть^Рр, ^вторая Rs [см.
(1.78)]. Закон движения на начальном этапе определяется на ос-
новании сказанного из уравнения Rp + Rs = 0, которое совпа-
дает с (6.26) при Ь2 = 0. По мере увеличения толщины пленки
гидравлическое сопротивление падает, и силы Rp и Rs становятся
соизмеримыми с нагрузкой Р, причем, как ясно из (1.75) и (1.77),
Rs падает быстрее, чем Rp. Поэтому в конце пуска роль составля-
ющей Rs ослабевает, и закон движения определяется условием
Rp = Р, которое и приводит к квазистационарной формуле (6.33).
Отсюда становится понятным и то, что согласно (6.31) и (6.32),
всплывание на первом этапе происходит тем быстрее, чем меньше
L: с уменьшением Лумен! шается сопротивление подтеканию масла.
Оценка продолжительности полужидкостного режима трения
при гидродинамическом пуске. Полученные выше решения отно-
сились к тому случаю, когда взаимодействие поверхностей трения
осуществляется через пленку смазочной жидкости. Наибольший
практический интерес представляет, однако, запуск из такого
положения, когда гребень прижат к колодкам. Рассмотренная
выше теория могла бы быть применена и к этому случаю, если бы
поверхности трения были идеально гладкими. Но, во-первых, на
практике идеально гладких поверхностей не бывает; во-вторых,
по мере уменьшения толщины пленки изменяется реология смазки
(трение становится граничным); в-третьих, в силу асимптотиче-
218
ского характера неустойчивости нулевого решения отделение по-
верхностей трения, разделенных весьма тонкой смазочной пленкой,
оказывается невозможным: из формул (6.27) и (6.29) следует, что
ири стремлении hQ к нулю продолжительность выхода на стацио-
нарный режим резко возрастает (теоретически до бесконечности).
Рассмотрим более подробно механизм возникновения гидро-
динамических сил в зазоре при пуске. Как следует из уравнения
Рейнольдса, решающую роль здесь играет форма зазора. При этом
могут иметь значение как микроклинья, образуемые выступами
микронеровностей [23], так и макроклинья, как это имеет место
в случае опорных подшипников, где клин создается за счет раз-
ности радиусов вала и вкладыша. Не останавливаясь в подробно-
стях на анализе первого фактора, следует только отметить, что
за счет одних микроклиньев переход к жидкостному режиму тре-
ния невозможен, в связи с чем основное значение имеет макрогео-
метрия пленки.
Известно, что фактическая площадь контакта много меньше его
номинальной площади. Поэтому цри контактировании шерохо-
ватых деталей между ними образуется зазор. Форма пленки масла,
заполняющего зазор, определяется относительным положением
сопряженных деталей и рельефом поверхностей трения. Толщина
слоя поэтому резко переменна. Вместе с тем для описания гидро-
динамики пленки достаточно рассматривать сглаженную функцию,
получающуюся осреднением высоты зазора по площадке, размеры
которой много меньше размеров колодки, но достаточно велики
по сравнению с шагом микронеровностей.
Пусть колодка прижата к упорному гребню. Под действием
силы, прижимающей их друг к другу, колодка и гребень дефор-
мируются. Если при этом эксцентриситет точки опоры е =
= LJL — 0,5	0, то колодка в процессе деформирования повер-
нется на некоторый угол <р, а осредненный зазор примет форму
клина.
Обозначим через р (х) сглаженное давление в контакте. Тогда
уравнения равновесия колодки можно записать в виде:
L	L
В j р (х) dx = Р; В j хр (х) dx = PL0.	(6.34)
о • о
Величина р в достаточно общем случае может быть представ-
лена зависимостью
Р = (y/P)v.	(6.35)
где у — сближение поверхностей; Р и у — постоянные.
Предположим, что деформирование происходит только в кон-
такте между выступами. Тогда у = у0 -F <рх, и, положив у± = yQ +
+ <pL, из (6.34) и (6.35) получим
-у + г0 =Рт-^-(М + Уо)<р; ‘v+1°	(6-36)
219
Отсюда, полагая е = Lo/L — 0,5; y-Jtja = |; рт = PIBL, на-
ходим:
e_(v-n Г2-1 _ 1U-п-1_____________L- „ _
8	\ Т + 2 gv+i _ ]	? /	1'	2 ’	,
_Г(6-1)(т+1)1УУо 1/7	.....
— gv+i _ । J PPm '	(6.37)
Рассмотрим пример. Считая шероховатыми обе поверхности
трения, примем Ra± — Ra2 = 0,5 мкм (соответствует 8-му классу
шероховатости). Согласно [78], можно положить у = 3, р =
= 3,47? ас1/3р71/3- Здесь с — отношение номинальной площади
контакта к контурной, Ra = Rc^ + Ra2, а рг для случая
пластического деформирования может быть принята равной
микротвердости наиболее мягкого из материалов пары. '
Для баббита Б83 рг = НВ = 300 Н/мм2. Полагая рт — 2 Н/мм2,
с = 1, е — 0,1, получим у0 = 0,45 мкм, z/x = 0,68 мкм,.#! — у0 =
= 0,23 мкм. Заметим, что при е=0 формулы (6.36) и (6.37) дают
У1 — Уо = PPmV> так что клин отсутствует.
Оценим толщину той части смазочного слоя, которая принимает
участие в. создании гидродинамической реакции. Пропускная спо-
собность зазора между гладкими поверхностями определяется ве-
личиной №, где Н — высота зазора. В случае шероховатых по-
верхностей Н следует рассматривать как случайную величину,
а гидравлическое сопротивление зазора определять по математи-
ческому ожиданию М (№).
Г Предположим, что высоты выступов шероховатости распреде-
лены по нормальному закону. Тогда наибольшая высота выступа
Rp пропорциональна среднеквадратичному отклонению о = d
(d — дисперсия). Так как дисперсия суммы случайных величин
равна сумме их дисперсий, то для максимального отклонения
зазора от его среднего значения Н,п получим величину Rpm =
= VRp\ + Rp\.
Воспользуемся полиноминальной аппроксимацией нормаль-
ного закона распределения, предложенной в работе [22]. Запи-
сывая ее в виде
7 (ftp) = 35(1 - h^IRfinWRpm при
| ftp | с Rpm\ f = о при I ftp I > Rpm
и определяя зазор Н формулой Н = Н,п + Лр, для М (№) по-
лучим Нт + HR^JS. При 'непосредственном контакте деталей
Нт = Rpm и М (Я3) = 4/?р3л/3, откуда следует, что эквивалент-
ная толщина пленки Яэкв. = V4/3 Rpm Rpm-
В нашем случае Rpx <=« 2,5 мкм, Rax = 1,25 мкм, Rpm =
= 1,77 мкм. Принимая во внимание найденные выше значения
у0 и ylt получим следующие оценки: Л10	1,77 — 0,45 = 1,32 мкм;
Ла0 «=» 1,77 — 0,68 = 1,09 мкм; k = 1721.
220
Рассмотрим теперь процесс всплывания гребня. В начальный
период пуска большая часть нагрузки воспринимается выступами
на поверхностях трения и, следовательно, сила, действующая на
смазочную пленку, невелика. С учетом полученных ранее резуль-
татов это дает основание для оценки скорости всплывания гребня
воспользоваться формулой (6.31), которая определяет толщину
пленки на первом этапе пуска.
До тех пор пока в формировании режима трения существенную
роль играет контакт микронеровностей, всплытие остается неболь-
шим. Поэтому приближенно положим exp |2	1 + |а. Учиты-
вая еще, что для умеренных значений k Ф₽/Ф5	0,5 (k — 1), вы-
ражение для толщины слоя запишем в виде
(Лг - /i2o)/^o	0,25 (k - 1) Wt2/L,	(6.38)
где /ia0 — начальное значение Л2, для k — 1 имеем оценку
А-1~£-1)иЛо.	(6.39)
Выступы перестанут контактировать друг с другом после того,
как гидродинамические силы отодвинут гребень от колодок на
расстояние, имеющее порядок начального сближения у№ =
= 0,5 J1 + 5) у0. Полагая h2 — h20 ~ ycv, из (6.38) и (6.39) для
продолжительности работы подшипника в полужидкостном ре-
жиме получим оценку:
ТАБЛИЦА 6.1
	W,	^0		
			У L/(3We)	V /./(W'e)
МПа	м/с1	С		
2	27,8	0,066	0,071	0,123
1,7	5,9	0,130	0,154	0,268
1,2	31,8	0,060	0,066	0,114
1,9	31,8	0,060	0,066	0,114
t0 ~	ft = 0,5 (£ - !)/(£ + 1).	(6.40)
Согласно (6.37), fe есть функция эксцентриситета е. Расчеты
показывают, что /Е растет с роетом е, причем зависимость f (в) близ-
ка к линейной: /е fa,
fe = 3/у. Из формулы (6.40),
таким образом, следует,
что 4 - V L/(W&).
В табл. 6.1 приведены
значения е t0, полученные
экспериментально, и дано
их сравнчние с расчетом
для слу ая L = 0,042 м,
в = 0,1. Переход к жид-
костному трению опре-
делялся в опыте по поло-
жению минимума на кривой момента трения. Момент трения
измерялся с помощью тензодатчиков, наклеенных на балочки,
которые несли на себе корпус подшипника, и записывался на
пленку шлейфного осциллографа. Погрешность определения /0
по такому способу составляла 0,01—0,02 с. Перед испытаниями
подшипник выдерживался под нагрузкой около 15 мин, что, как по-
казывают расчеты, для подшипника исследуемой конструкции и
размеров обеспечивает практически полное выдавливание смазки
из зазора (расчетное значение Л, <5 0,1 мкм).
221
Формула (6.40) определяет /0 с точностью до постоянного коэф-
фициента. Как видно из табл. 6.1, при /е = 3 результаты расчета
оказываются близкими к экспериментальным.
Формула (6.40) носит ориентировочный характер. При ее вы-
воде не учитывалось влияние сил трения и изменения значения k
по мере всплывания. Определенную роль может играть характер
распределения нагрузки между колодками и обусловленное им
отличие в начальном положении колодок. Более сложной, чем это
было принято, оказывается картина деформаций, поскольку в об-
щем случае на деформации микровыступов накладываются объем-
ные макродеформации контактирующих тел, например изгиб
колодок. При этом следует иметь в виду, что поскольку объемные
деформации растут с увеличением давления в контакте, их учет
приводит к уменьшению показателя степени у в формуле (6.35).
Вместе с тем, как это видно из сравнения с опытом, формула
(6.40) хорошо определяет порядок /0 и, таким образом, показывает,
что принятая расчетная схема позволяет объяснить причины
образования масляной пленки в процессе пуска.
После перехода к жидкостному трению подшипник работает
в чисто гидродинамическом режиме. Поскольку к этому моменту
толщина пленки изменяется мало, то dh/dx 0. Тогда из (6.19)
для k при t = t0 получим .уравнение
0,5(£0-1)ц(т0)-Ш)?= 0.
Величину Л2о к этому моменту времени можно полагать равной
h20 — I'7 Rp'i + ftp*. Результаты расчетов по указанному алго-
ритму приведены на рис. 6.3 сплошными линиями.
О критериях работоспособности при пуске. Одним из «основных
показателей, характеризующих надежность опорных узлов, ра-
ботающих в режиме жидкостного трения, является толщина сма-
зочной пленки, разделяющей трущиеся поверхности. Поэтому
все те факторы, которые способствуют повышению скорости всплы-
вания гребня, благоприятно сказываются и на условиях работы
упорного подшипника при пуске. Вместе с тем нужно иметь в-виду,
что при запуске под нагрузкой основную роль играют процессы,
происходящие в самый начальный период пуска, когда микроне-
ровности непосредственно взаимодействуют друг с другом. С этой
точки зрения основной интерес представляют критерии, которые
связывают работоспособность подшипника с отсутствием аварий-
ных повреждений на рабочих поверхностях.	•
В работе [11) было предложено работоспособность при пуске
оценивать с помощью удельной работы трения, понимая под ней
работу,, приходящуюся на единицу площади поверхностей трения
и затрачиваемую с момента трогания до выхода на жидкостный
режим. Естественно предположить, что повреждения при пуске
производятся той составляющей силы трения, которая создается
* в контакте между выступами. Удельная нагрузка в контакте умень-
222
щается по мере всплытия гребня и в общем случае изменяется по
закону pmF t0), где F=1 при t — 0 и F = 0 при t > tn. По-
этому выражение для удельной работы трения можно записать
в виде
Ат = 0,5npmWtl,	(6.41)
где
1
х == 2fc j xF (х, t0) йх,
•	о
fc — коэффициент трения (предполагается постоянным).
Если принять, что всплывание происходит по закону (6.38),
то с учетом (6.35) F (х, /0) = (1 — x2)v и х —	+ у). Исполь-
зуя формулу (6.40) для t0, выражение (6.41) представим в виде
Ат ~ 0,5xpmL/fe.	(6.42)
Отсюда следует, что удельная работа трения растет с ростом
длины колодок и уменьшается при увеличении эксцентриситета е.
Обращает на себя внимание, что ускорение разгона в выражение
(6.42) не входит. Получается так потому, что уменьшение времени,
образования масляной пленки с ростом W компенсируется увеличе-
нием пути трения.
Формулы (6.40) и (6.42) относятся к предельному случаю высо-
кой чистоты поверхностей. Увеличение высоты выступов приводит
к увеличению эффективной толщины масляной пленки перед на-
чалом пуска и, как следствие, к возрастанию роли параметра q
[см. (6.30) ]. При’больших q процесс всплытия переходит во второй
этап, что приводит к изменению характера влияния основных
параметров на’процесс’пуска [ср. (6.31) и (6.33)]. В этом случае
необходимо совместное численное решение уравнений, описываю-
щих процессы всплытия и деформирования деталей подшипника.
При исследовании пусковых режимов подпятников вертикаль-
ных гидрогенераторов особенно остро стоит вопрос о деформациях
подушек, поскольку по причине специфичного конструктивного
оформления и больших размеров подпятника деформации могут
быть велики. Решению этой интересной задачи, но в чисто гидро-
динамической постановке, без учета взаимодействия между высту-
пами микронеровностей, посвящена работа [76]. Важное значение
имеют также тепловые процессы, поскольку ими определяются, во-
первых, вязкость смазки и, во-вторых, температурные деформа-
ции. Некоторые из относящихся сюда вопросов рассмотрены в ра-
ботах [38, 76].
6.3. БЫСТРОЕ РАЗГРУЖЕНИЕ
При резких изменениях режима работы турбомашцны осевая
нагрузка на ротор может менять знак. Далее дается качественное
исследование поведения подшипника в таких условиях.
223
Предположим, что в результате изменения направления осевой
силы гребень начал отходить от колодок с некоторой скоростью
zs. Рассмотрим начальный момент движения, предполагая, что
при t = 0 подшипник находится в положении, определяемом ре-
шением стационарной задачи. В этом случае, как ясно из (6.11) и
(6.12), ар— 0. С учетом последнего условия и имея в виду, что на
стационарном режиме и = 1, из (6.12) получим:
'^(1-тМ	<6-43’
Если значение vs велико, то сила, нагружающая смазочный
слой, может, как это ясно из (6.43), обратится в нуль и даже при
условии отсутствия кавитации стать отрицательной.
Нагружение масляной пленки способствует развороту колодки
в сторону создания масляного клина. Если же нагрузки на'слой
нет, то нет и условий для образования клина. Разберем этот вопрос
подробнее.
Пренебрегая трением и полагая Р = 0, из (6.19) имеем
k- 1 =(k°-	(6.44)
где k° и h* — начальные значения k и
Из-(6.44) следует, что в отсутствие осевой силы, по мере отхода
ротора от колодок параметр k уменьшается, приближаясь к еди-
нице. В гл. 3 было показано, что при Л 1 в зазоре создаются
условия для возникновения притягивающих сил. Так как безраз-
мерная координата точки приложения притягивающей силы
меньше 0,5, то притяжение к гребню сопровождается опрокидыва-
нием колодки.
Такое же действие оказывают на колодку и силы трения
в пленке. Поскольку, согласно (6.2) и (6.2а), ар = ар +
+ PtH/(PzL), то, учитывая, что при использовании вырожденных
уравнений = Р, и принимая'во внимание (6.3), (6.4) и (1.65),
из (6.23) при = 0 получим
ln	(A ДЕЧ
Л» Л — Фь ap-as L '
Из (6.45) видно, что при Р = 0 $гол наклона колодки к зеркалу
гребня непрерывно уменьшается в том чисЛЬ и после того, как
колодка станет параллельндй гребню.
Таким образом, в подшипнике с самоустанавливающимися
колодками отсутствие нагрузки неблагоприятно сказывается на его
работе, способствуя формированию «обратного» клина, возникно-
вению разрежения и обрывов пленки и «прилипанию» колодок
к греЬню.
Из проведенного анализа следует также, что динамическое
нагружение таит в себе меньше опасностей для подшипника,
нежели его быстрая разгрузка. Оба эти результата находятся
в соответствии с экспериментальными данными [90].	•
224
Быстрая разгрузка может поэтому представить для подшип-
ника серьезную опасность: после исчезновения осевой силы при
последующем нагружении подшипник оказывается неподготов-
ленным к тому, чтобы нести нагрузку.
Формула (6.43) показывает, что для того чтобы исключить воз-
можность исчезновения нагрузки на слой, нужно уменьшить os.
Поэтому в тех случаях, когда, по условиям эксплуатации, могут
иметь место резкие сбросы—набросы нагрузки, целесообразно
переходить на подшипники с короткими колодками, а также умень-
шать осевой разбег — при этом колодки с противоположной
стороны гребня раньше вступают в работу и дополнительно на-
гружают масляный слой. Возможны и некоторые другие пути
решения задачи. Они здесь не рассматриваются.
Физический смысл формулы (6.43) и вытекающих из нее вы-
водов состоит втом, что при отходе гребня от колодок образуется
некоторый объем, который должен быть заполнен маслом. Гидра-
влическое сопротивление подтеканию масла и обусловливает
уменьшение суммарной силы, действующей на колодку.
6.4. ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ ПУСК
При гидродинамическом пуске большей частью не удается
исключить контакт выступов микронеровностей, а следовательно,
и возможность повреждения поверхностей трения. Поэтому в.ряде
случаев используется гидростатический подъем валов [58], поз-
воляющий создать масляную пленку еще до начала вращения вала.
Выбор систем гидростатического подъема должен удовлетворять
ряду требований, основные из которых сводятся к получению
пленки достаточной толщины и обеспечению маневренности агре-
гата (всплырание должно быть достаточно быстрым). При этом по-
требная мощность насоса и развиваемые им производительность и
давление должны быть минимальными.
Приближенное решение задачи основывается на следующей
схематизации. Колодка заменяется круглой пластиной радиуса
га, который находится из условия
га = ]/Г/л,	(6.46)
где F — площадь рабочей поверхности колодки. В центре пла-
стины расположена камера радиуса г\ для подачи смазки (рис. 6.4).
Масло в камеру подается от насоса объемного типа. Относительно
характеристики насоса предполагается, что она безынерционна
и в общем случае имеет вид (рис. 6.5):
Ро. = Рп>ах при Q<Q*; p0 = ps-₽z*Q при р*<р0<рши,
Q = <2шах при р0 < р*.	(6.47)
Здесь Q — расход смазки; Qmax — максимальный расход; р0 —
давление, развиваемое насосом (оно же принимается равным даВле-
225
нию в центре камеры); ртах — максимальное давление, развивае-
мое насосом; ps, р*, Р — условные параметры, определяющие вид
характеристики насоса; г1; — число колодок.-
Если принять р* = Ртах, из (6.47) получим характеристику,
показанную на рис. 6.5, б. Отечественной промышленностью вы-
пускаются насосы, имеющие характеристики как по рис. 6.5, а,
так и по рис. 6.5, б. 
Рис. 6.'4
Основные уравнения. Движение смазки в зазоре может быть
описано с помощью уравнений (1'.6). В предположении постоянства
вязкости и с учетом симметрии задачи (иф и все производные по <р
равны нулю) их можно переписать в виде:
др/дг = рд^г1ду-\ др/ду — 0; г'1д (гиг)/дг диу/ду — 0. (6.48)
Граничные условия будут:
иг = 0 при у = 0 n'y — h\ Vy — Q при р = 0;
vy-= dh/dt при y = h.	(6.49)
Из первых двух уравнений (6.48) с учетом граничных условий
для vr получим
vr = (2р.)"1 (у2 — yh) др/дг.
Условие баланса расходов дает:	•
h
Q = Qr + nr^-, Qr—^2nrvrdy---------(6.50)
о
К моменту пуска гребень прижат к колодкам. Если бы поверх-
ности трения были идеально плоскими и гладкими, то зазор между
ними отсутствовал бы. Практически, однако, в силу наличия мик-
ронеровностей и в результате деформирования колодок и гребня,
высота зазора нулю не равна.
Возможны два варианта пуска: масло высокого давления по-
ступает в зазор, уже заполненный смазкой, и перед пуском сплош-
ной пленки в зазоре нет. На практике обычно реализуется первый
вариант. Поскольку, однако, при быстром отделении гребня от
226
колодок пленка может рваться, в общем случае будем считать, что
протяженность слоя ограничена некоторым значением а < г2.
Скорость измененйя а определяется из условия
2nhada/dt = Qa,	(6.51)
а уравнение (6.50), записанное при г = а, примет вид
Q = Qa 4- ла2 dh/dt.	(6.52)
Определяя из (6.50) производную
др/дг — —6pQ/(n/i3r) + 6рЯг/Я3	(6.53)
и интегрируя (6.53) по г с учетом того, что р = р0 при г = i\ и р =
— 0 при г = а, получим
ро = 3pQ In (а2/г2) /лЛ3 — Зр(а2—rj )h/h3	(6.54)
Гидродинамическая реакция на подушку определяется выражением
Р = j 2npr dr + лг2р0 = —л J г2 dr.
Г1	п
Выполняя интегрирование, находим
Р = 3ц(^=4)	-	(б55)
Полученные формулы удобно записать в безразмерном виде,
полагая:	'
h = Я0Я; х = (а/г2)2; х0 = (г^)2;
Po = Po/ps; t = Tx, 7 = 3prl/(ps/i^), Ч ^QT/inrlhfj)’,
p=P/(nrlps).
(6.56)
В качестве h0 будем принимать толщину слоя в начальный
момент (при t = 0).
Используя обозначения (6.56), из соотношений (6.51), (6.52),
(6.54) и (6.55) получим:
hdx/dx = qa,	(6.51а)
q = qa + х dh/dx,	(6.52а)
р0 = qh~3 In (х/х0) — (х — х0) Я-3 dh/dx, (6.54а)
р = qh~3 (х — Xq) — 0,5 (х2 — Хо) Я-3 dh/dx. (6.55а)
Запишем еще в безразмерном виде уравнение характеристики
насоса. Имеем
р0 = т при q < (1 — т) х"1, р0 = 1 — nq при ф < р0 < т, q =
= (1 — <р)х-1 при р0<ф.	(6.47а)
Здесь
т = Pmax/Ps, <Р = p*lp~i, X =* ирхк/йг’/з. (6.57)
227
Установившийся режим. Применим полученные уравнения
к установившемуся, режиму работы подшипника. В этом случае
область, занятая смазкой, распространяется на весь зазор, так
что х = 1, а толщина слоя перестает меняться во времени и, сле-
довательно, dHldx = 0. Кроме того, внешняя нагрузка полностью
воспринимается смазочным слоем, в связи с чем она равна гидроди-
намической реакции пленки, и имеем р = у, где у = pm/ps; рт —
удельная нагрузка на подушку.
Исключая с учетом сказанного из (6.54а) и (6.55а) величину
q, находим
ро = у (1 — хо)’1 In хо1 • .	(6.58)
Из сравнения с (6.47а) отсюда, в частности, следует, что при
заданном значении удельной нагрузки на подушку максимальное
давление, развиваемое насосом, должно удовлетворять условию
У < т (1 — Xj) In Xq* ИЛИ рп < Ртах (1 — rl/rl)/\n (Ыгх)2. (6.59)
Для безразмерной толщины слоя fi° на установившемся ре-
' жиме получим:
Л° й= х/ х"1 [(1 — Хо)у-1 — Inxo1] при ро > <р,
9г_____________________(6.60)
й° = /x'Y1 (1 — <р) (1 — х0) при р0 < ф.
Приведем еще формулы, определяющие (в размерном виде)
расход через слой’ и зависимость удельной нагрузки на колодку
от давления в центре камеры р0. Из (6.54) при h — 0 и а = г2
«имеем
Q = n/i3p0/(6p In £-1), £ = Г1/г2,	(6.61а)
а формула (6.58) дает
Рт = 0,5р0 (1 — £2)/1п Г1.	(6.616)
Сравнение расчетов по формулам (6.61а) и (6.616) t численным
решением для колодок секторной формы, полученным в "[73],
показало, что расхождение между ними невелико. Сравнение про-
водилось при Ri/R2 = 0,44-0,8; 2rj/V?2 — RJ = 0t05 4-0,4;
(Rt — Ri)/L = 1. Лишь в отдельных случаях разница достигала
10—14 %. Большей частью, особенно при вычислении Q, она не
превышала нескольких процентов.
Процесс пуска. Рассмотрим задачу о пуске в предположении,
что зазор между колодками и гребнем заполнен маслом. Ограни-
чимся характеристикой насоса по рис. 6.5,6. Из рис. 6.5, б ясно,
. что в принципе в начале пуска возможны две сйтуации: 1) р0 —
= Ртах (Ро = 1) И 2) Q = Qtnax = Япшх ~ QttaxTЧ(яГ^Ло) 1- ЕСЛИ
при t = 0 р0 = ршах, q < 9шах, то согласно (6.54а) и (6.55а):
dh _ 2Д»	х —х0—ydt .	1 —2y(x4-x0)-i	.
dx ~ х2 —х? At — At ’ 4	41 — Ла	" ’
A-mf.	(6.62)
228
При этом должно быть q < <7maK.
Если всюду по слою в области х0.^ х 1 давление р > О,
то х = 1. Согласно (6.53) это возможно при выполнении условия
Q nr2h = nr\h, которое в безразмерной форме может быть пере-
писано в виде
q > х dfi/dx = dh/dx.	(6.63)
В противном случае область положительных давлений рас-
пространяется лишь на область х0 х хк, где в силу (6.62)
и (6.53), хк есть корень уравнения
1	(X	/с Z? л \
<	— 2х In (х/х0) — (х — х0)/х ’	( •	)
имеющего, как можно показать, единственное решение.
После выхода на вертикальный участок характеристики (Q в
= Qmax), что происходит в момент времени т = хк, х или остается
равным 1, или, если при т - хк было х = х* < 1, определяется
из условия d (xh)/dx = 7max, откуда
х = [Xkfik + «/max (т — T*)]/fi; ftk = Л (хк).
Если Q = Qmax уже при х — 0 (для этого необходимо, чтобы
Значение q, подсчитанное по формуле (6.62), удовлетворяло нера-
венству q 9тах)> т0 значение хк, определяемое с помощью усло-
вия p5s0, находится по формуле
xk — 'о + А + Д/~ (А'о + А)2 — Хо»
где А = yhs/qmax.
Толщину пленки удобно находить, интегрируя уравнение
dh/dx = 2fi3 (х2 — Хо)"1 [? (х — х0) /Г3 — у].
Анализ того случая, когда зазор предварительно не заполнен
масяоМ, требует для своей реализации более сложного алгоритма,
который здесь не рассматривается. Можно ожидать, что отсутствие
смазки в saiope перед пуском машины замедляет всплытие вала.
Этот вывод подтверждается расчетами, результаты которых при-
водятся на рисунках, где сплошная линия — первый вариант
пуска, штриховая — второй.
Полученные уравнения большей частью не могут быть проин-
тегрированы в конечном виде. Поэтому приходится пользоваться
численными методами.
В качестве примера был рассмотрен упорный подшипник со
следующими параметрами: i\ =’ 50 мм, г2 = 334 мм, гК = 10,
р = 41,2*10"3 Па*с. Характеристика насоса принималась прямо-
угольной, максимальное давление насоса = 19.6 МПа, мак-
симальный расход ZKQmax = 1,67-10‘3 м3/с.
На рис. 6.6, а даны кривые для Л, построенные при Ло = 15 мкм
и рт = 2,94 МПа, на рис. 6.6, б для тех же условий построена
зависимость расхода насоса от времени. Из рисунков видно, что
229
230
большую часть времени, потребного для достижения стационар-
ного значения толщины слоя, ft изменяется слабо, а расход масла
по сравнению с его стационарным значением мал.
Рис. 6.7 иллюстрирует влияние нагрузки на подшипник при
Ло = 15 мкм. С увеличением нагрузки время всплывания резко
увеличивается, а стационарная толщина пленки [см. (6.60) ] из-
меняется сравнительно мало. Отсюда следует, что хотя для обеспе-
чения всплывания достаточно выполнения условия (6.59), необ-
ходимость обеспечения маневренности установки накладывает
более жесткие требования на величину максимального давления.
На рис. 6.8 представлены кривые, определяющие зависимость
времени всплывания /п от начальной толщины зазора ft0. Из кри-
вых на рис. 6.8, построенных при рт — 2,94 МПа, zKQ = 1,67 л/с,
видно, что уменьшение ft0 приводит к увеличению времени всплы-
вания. Вообще можно показать, что при Ло -► 0 время tn йеогра-
ниченно возрастает. Отсюда следует, что с точки зрения пусковых
характеристик подпятника тщательная пригонка трущихся по-
верхностей, исключающая возможность создания полостей, запол-
няемых маслом, нецелесообразна.
Расчеты, выполненные при разных расхода» смазки, показали
(рис. 6.9), что уменьшение расхода не приводит к ощутимому уве-
личению времени всплывания. Этот результат объясняется тем, что
основные затраты времени при пуске связаны с работой насоса
при высоком давлении.
Заметное влияние на время всплывания оказывает диаметр ка-
меры для подачи смазки (см. рис. 6.4). Соответствующие кривые
даны на рис. 6.10.
Г лава 7
РАСЧЕТ УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ
Расчет подшипника основывается на полученных в предыду-
щих главах формулах для гидродинамических и тепловых харак-
теристик масляной пленки, а также на эмпирических зависимостях
для вязкости и других величин, определяющих теплофизические
свойства масла.
7.1.	ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАСЕЛ
Вязкость. В общем случае динамическая вязкость р зависит
от температуры и давления, в связи с чем ее можно представить
в виде
=	(7.1)
где — определяет зависимость вязкости от температуры, а
учитывает влияние давления.
231
Одну, из наиболее удачных аппроксимаций, функции дает
формула Фогеля [21 ] (Т — в градусах Цельсия)
= /Wj exp [mj(m3 + Г)].	(7.2)
В ориентировочных расчетах удобно пользоваться гипербо-
лической аппроксимацией
р == mJ(T — т7),	(7.3)
но следует иметь в виду, что формула (7.3) дает удовлетворитель-
ные результаты в сравнительно узком интервале значений Т.
Для определения рр можно воспользоваться зависимостью:
[|1р = ex р [(m4 — mtT) р], если Т < m4/m6;
рр=1, если	(7.4)
которая получена на основе формул из работ [6, 72 ].
Плотность определяется формулой
р = р°(1- 1(Гад. '	-(7.5)
Теплопроводность дается выражением
Х = А°(1 - Ю^Т).*	(7.6)
Удельная теплоемкость находится по формуле
с = <?»(1 + 10-ЗД.
В тепловых расчетах подшипников удобнее иметь дело с теп-
лоемкостью, отнесенной.к единице объема масла. Последняя равна
произведению рс и, с учетом (7.5), дается формулой
рс = р°с°( 1 + 10‘3V) (1 - 10"3V)-	(7.7)
Сведения о физико-мехднических свойствах масел, приводимые
в различных литературных* источниках, не. всегда согласуются
друг с другом. Указанные далее значения величин в формулах
(7.2)—(7.7) получены с учетом [21]. В табл. 7.1 даны значения
— тз> т« и т-. Остальные величины можно приближенно счи-
тать не зависящими от сорта масла и принимать — 0,0324 МПа-1;
mt = 1,76-10‘4 МПа'^С; р° = 910 кг/м3; kp = 0,75 °C"1;	=
ТАБЛИЦА 7 1
Сорт масла (	Величина, единица измерения				
	zn, . 10*. Па.с		тя	Па.с-°C	т,. °C
			С		
Турбинное 22	3,100	392	46,8	0,286	36,4
Турбинное 30	0,711	813	88,0	0,374	37,0
Турбинное 46	1,180	* 752	80,4	0,665	30,7
Газотурбинное	0,795	573	78,0	0,179	23,7
232
- 0,13 Вт/(м-°С); kK = 0,54 V1; р°с° = 1,58 МДж/(м3-°С); kc =
= 2,66 °C"1. .	•
В ориентировочных расчетах, ввиду слабой зависимости р, %
и с от температуры, их можно полагать-постоянными и принимать
р^880 кг/м3, рс«* 1,76 МДж/(м3-°С);	0,126 Вт/(м.°С).
7.2.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ
Осевая нагрузка связана с удельной нагрузкой на подшип-
ник pmS зависимостью.
= 2nRBmpms.	(7.8)
где R — средний радиус; В — ширина колодки; т — коэффи-
циент заполнения (определяется как отношение площади рабочей
поверхности колодок к площади кольцевой площадки, ограничен-
ной дугами наружного и внутреннего радиусов солодки). Следова-
тельно, т = zKBLI[n (R* — RD 1, где L — длина колодки по
дуге среднего радиуса. В выполненных’ конструкциях подшипни<
ков т 4g 0,84-0,85.
Принимая во внимание, что
R = 0,5/?! (ад + 1); В = R, (а* - 1); ак = R^,	(7.9)
из формулы (7.8) получим
“Я = К1 + Ps/(™npmxRi) .	(7.10)
Поскольку т = Ы(Ь 4- С); zK = 2nRI(L 4- С) = 2nmR/L,
где .С — ширина канала, то с учетом (7.9),
zK = лте1к, е = В/L, = (ал + 1 )/(ал — 1).	(7.11)
Формулы (7.9)—(7.11) удобно использовать для выполнения
предварительного проектировочного расчета подшипника.
До начала расчета должен быть известен внутренний радиус
колодки Rlt который выбирается несколько большим радиуса г,
шейки вала. В свою очередь г, определяется из расчета вала на
прочность и колебания. Зная Rj и принимая, с учетом опыта
проектирования аналогичных конструкций, значения т и е, по
формуле (7.10) находим ак.
Далее следует выбрать значение е. Обычно его принимают
близким к единице. Располагая значениями ал и е, по формуле
(7.11) находим число колодок, округляя результат .вычислений
до целого, обычно четного, значения. Затем с помощью первой из
формул (7.11) корректируем е = В/L, после чего по второй из фор-
мул (7.9) находим В и по формуле L = В/е определяем длину ко-
лодки L.
Пример. Определить основные размеры и число колодок упорного под*
шипника, ьесли осевая сила = 35 кН, Rt = 0,07 м. Принимаем рт2 =*=
= 2 МПа, т = 0,67. По формуле (7.10) находим
aR = V1 4-35-10»/(я.0,67-2-W».0,073) = 1,642.
8 Подольский М. Е	233
Выбираем rK = 1- Согласно (7.11), имеем:
& — (1,642+ 1)/(1,642 — 1) =4,115;
zK= л-0,67-1-4,115 = 8,66.
Принимаем zK = 8. По первой из формул (7.11) уточняем е:
<г = гк/(лт^) = 8/(л-0,67-4,115) =0,924
и с учетом (7.9) находим В, L и /?2:
В = (1,642 — 1) 0,07 «0,045 м; L = 0,045/0,924 « 0,049 м;
Я2= 1,642-0,07 «0,115 м.
7.3.	УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ
Общая схема расчета. Так как вязкость масла есть функция
температуры, а температура в слое до начала расчета неизвестна,
то, как правило, задачу приходится решать по методу последова-
тельных приближений. Исключение составляет случай аппрокси-
мации р (Т) гиперболической зависимостью, когда для средней
температуры удается получить квадратное уравнение и необходи-
мость в последовательных приближениях отпадает. Поскольку,
однако, на тепловой режим оказывает влияние большое число од-
новременно действующих факторов, то вычисления все равно
остаются весьма утомительными. Поэтому уточненный расчет
целесообр’азно выполнять с помйщью ЭВМ, что позволяет также
отказаться- от искусственных аппроксимаций вязкостно-темпера-
турных кривых.
Расчет проводится в следующем порядке. Выбираем конструк-
цию подшипника и сорт масла, задаем частоту вращения, темпера-
туру на входе, Ъбщий расход масла через подшипник а также
минимальную толщину пленки h2.
С помощью формул, приведенных в гл. 1, подсчитываем коэф-
фициенты Фр, п, о и go- После этого строим итерационный процесс
по определению температуры и значения гидродинамической реак-
ции.
Пусть в j-м приближении известна средняя калориметрическая
температура iTnl0, температура рабочей поверхности гребня 'Ts,
температура в канале 'Tci и удельная нагрузка на колодку
Располагая этими значениями, по формулам гл. 4 можно найти
вязкость смазки в слое р (Тто, рт), а также теплофизические ха-
рактеристики масла в корпусе подшипника (по температуре Т\)
и в_плёнке масла, переносимой с колодки на колодку (по темпера-
туре Ts). Отсюда получаем все необходимые коэффициенты, позво-
ляющие в новом приближении /' определить /7W, i'pn, i'Ts и
' Т?. В целях ускорения сходимости (/ + 1)-е приближение *для
каждой из упомянутых величин целесообразно строить по формуле
= 0,5 (//+/'/).
234
Счет заканчивается при одновременном выполнении неравенств:
| 1 — i+iTmo/ITmo | с е, | 1 — i+ipm/ipm \ < е.
Не останавливаясь на подробностях вычислений, рассмотрим
более детально отыскание первого приближения. По этому же
способу могут быть выполнены вычисления и при ручном счете.
Будем считать все теплофизические характеристики масла,
кроме вязкости, постоянными величинами. По формуле (3.89)
найдем потери мощности на дисковое трение, определяемый этими
потерями подогрев масла Те1 и температуру Те (см. (4.27) ]. Темпе-
ратуру масла в корпусе подшипника и в канале можно прибли-
женно принять равной Тс( <=& Те. После этого находим коэффициент
теплоотдачи в канале ас и коэффициенты теплопередачи через
колодки ак и гребень as.
Располагая указанными величинами, можно подсчитать коэф-
фициент ф„ и из уравнения (4.29), аппроксимируя вязкость зави-
симостью (7.3), найти среднюю калориметрическую температуру
=	+	(7.12)
Все остальные величины определяются по формулам (4.22)—
(4.24). Удельная нагрузка на колодку подсчитывается по формуле
. Pm = p(T’mO)i/oW/l2-	(7-13)
Сводка формул, необходимых для выполнения вычислений по
первому приближению, дана в табл. 7.2—7.4.
В тех случаях, когда задана р,п, вычисления следует проводить
для ряда значений h2 и находить толщину пленки интерполяцией
или последовательными приближениями.
Критерии работоспособности. Для подшипников скольжения
критериями работоспособности могут служить максимальная
температура и минимальная толщина слоя. При оценке роли темпе-
ратуры следует различать температуру масла в корпусе подшип-
ника и в несущих смазочных пленках. Во избежание старения
масла (см. подробнее [61]) температура на сливе Твых не должна
превышать 80 °C 16 ]. Температуры масла в пленке,, как показы-
вают опыты, могут быть значительно больше. По данным (79, 83 ],
подшипник может нормально работать при температурах, дости-
гающих 160—180 °C. В работе (88 ] указывают в качестве предель-
ной температуры 140—150 °C. Несколько более низкие значения
(до 130 °C) получены авторами работ [63, 109]. Допустимая рас-
четная температура, согласно [6], равна ПО^С.
По-видимому, ограничения по температурам в масляном слое
следует связывать с прочностью граничных пленок, которые разру-
шаются при некоторых критических температурах Ткр (31 ].
Для турбинных масел по данным [31] Ткр = 120-т-140°С. На
первый взгляд, граничные явления прй жидкостном режиме тре-
ния не должны играть решающей роли. Эта точка зрения под-
8*	235
1 t'ts 1 | 289*0 | 90*2 1	191*0 ZL‘\ 101*0 6Z9‘0 ZZl‘0 1 69*1 1 t66*0 t98*0 ’ £96*0 894 9-0146*9 lOt 8-01’I> 90l 4t*l »-0l 483*0 t930*0 3*3t 8*61	ЭГЛР&Ч A 90* I (T.7 W 41 (г-lW 41 i?Xt W™ + 1 0,„ J_ (. 7nW°w) 41 l’Yl’w®Y0“ +'(x-7yWyw) 41	4 (OX + i)/t>>Xk8 A (Оу1Г0/ш»7 (9 + 0 (°x + Q/t-^Xirg A (оу1С^)/ш» 7 (»+ l) (<Z) Ml'n AM A (7/X) м°ТО9‘0 Щ (°<?9‘0 + I) + 4/ l/9 (°«S*0- 0) ’-(a -+-1>S'O y/s/Z A(°<?S‘O + I) (£/t (xs‘ 1 +1) + (e/i-%? +1) UI + (<MiH + s)/ *я ®-“*s 8M/IS Jd X l(ll — »/EJdt +8) /3S‘° + ^lhQ'° V«Z) Md ,OI-S‘I<WoH	ro-9HW0*0	«du 98-o_3MZ81'0 (<Z) л/Уг(°<?9‘0 + I) “Л Й <J/(’l)Ti + *w)/®w] dxa lw (^Qod)l^vN + 0,>Z (5№ + а)»а»(®ю‘о)<^и	fees) (eere) • (eere) fe€l£) (sere) (sere) (тоге) (ssre) (zore) (sore) (one) (egore) (тоге) (тоге) (вео re) (eore) fe'Z) (68’e)	(эочи)Мая *’»	‘ (Эо-«")Мая ‘*® 9w 9X °U/ OX (ЭоЧ")МЯя *“® ЯП too-jw)/^» ,s° »2/ И (Эо-«и)/*0* *tf° 1	ls • (*2) Jd b “эМ Э-gW ‘(»1) A. Э-ВЦ ‘(’I)11 1	' igx ,VN
iBWirAead	в^ЛлЗоф KBHiahoed	нкЛяёоф dawoH	вниьикэд	j
I	' _____________________________________________________________
£•’ vTiHifavi
6t8‘0	t	93’8	Йоге)	°<N
989*0	(I + 4)/a^ + (a4 — !)S‘O	8Г1	'(091)	*3
189*0	i-КI +	+ (a4 — I) Vl (d4 — I) (I —	9Г1	(694)	'	i
38*1	?ui/(l—У)	—	(982)	о
916*0	(I + ^)/“w + (a4 — l) (1 + tt) SS‘O	tri	(091)	»8
09*1	(л'<Ь^ф)/1 = лгл/рф (I — q) s‘o + г/ U| x.(i — ?)]	9Г1	(ess)	и
to* I	SI/?9 + I		(691)	N<b
090*0		—	(ZS'I)	d(t>
688*0	tfX41T-X—I	ЗГI	(8s;i)	аг/
18*1	(°°*Ф у — О/^ф (i—8y) g a as‘o •	—	(SS’l)	dX
t93*0	ls(l — 9) (I + ?)]/(? Щ уг — I — г?) 9	—	• (9S‘l)	“s®
8tI*0	1в(1 —9) (1 +?))/[(! — ?) 2 — 9 4(1 +¥)] 9	31’1	(99’l)	““ф
iBiqirAwd	в и* Ли d оф кгнхэьээд	вмнЛэис! ddHOH	пиЛидоф dawoH	BHHhHirag
z'L vnHiravi
ТАБЛИЦА 7.4
	Беличика	Номер формулы	»	Расчетная формула	Результат
	hc, мкм	(4.1)	gth2	5,85
		(4.2)	\2kC/(pcUJil)	10,5
		(4.6)	qc/[ 1 — exp ( — gj]	10,5
	п€	(4.7)		1,13
	*2	(4.7)	6 [3 + ^(1 + nJ]’1	0,236
	Х1	(4.7)	(3 -f- a)Jx2/6	0,532
	<₽	(4.U)	2inc (1 — i)-1/3	0,853
		(4.П).	1—0,75ф-f- 0,125ф3 при ф<1; 0,375ф"1 при ф>1	0,438
	^2	(4.12)	1?,х2 + (1 -») е’^ + 0,5 (1 - 0 (1 - е’^) х.	0,110
		(4.12)	»Т< (xi — х2) + (1 — «) (1 — е~?с) (1 + 0,5nJ (Xj — 0,5х2)	0,373
	ПК	(2.90)	акой2/Х	0,0913
	Пк1	см. (4.23)	(з+ма+пкН/б	0,472
	ПК2	см. (4.23)	(3 + 2пк) (1 + ПкП/З	0,972
	Яь	(2.92)	21L/(pc{/cft?ag0nK1)	2,25
	S1	(4.23)	(1 — e-<?L) (1 — Л2е-<?£)	0,905
	«2	(4.23)	Л5е-<?1/(1 — Л2е'+-)	0,0397
	S3	(4.23)	(3 + пк) (2 + n^a^CL-1 (2 + nJ х2/6	0,192
	^4	(4.23)	(2 + ПсХ!/Х2)/(2 + пс) — nK2S! — s2	0,535
	ns	(4.21)	(1 J- С/L) asoA2/X	0,329
Продолжение табл. 7.4
Величина	Номер формулы	Расчетная формула	Результат
t, ^JS &2S ттв, °C Hs=p(7’mJ, Па-с Тм, °C Т‘, °C Т„ °C Tmi, °C Гк2. °C pm, МПа Мк, кВт М„, кВт М, °C 7’вых, °C	(4.23) •	(4.23) (4.23) (4.23) (4.23) (4.28) (4.30) (4.30) (7.12) (7.3) (2.93) (4.25), (4.27), (4.30) (4.22) (4.22) (4.24) (7.13) (1.66), (2.83) (4.25)		1 + 53s! — О — Л2) S-JqL	 K1 [ЛК2 (1 — ^2) — Л] s^qi. 4~ Лк1 (Пк 4~ п3 -j- nKns)/(2 + пк) + s3s4 ^K2sl-^2 4“ ^s/0 1— ^2® nK2Sl + S2 'H’s^lS 4" HkiS1^2 ^S^2S 4- ^K1S1 0,5 (^4-^2) KBLzK/(pcoh2Gz) m7 + 0,5 (Te - m7) [l + Kl + 2i|>uo (Te - т^таЩ1(пК)] то — m-j) 0,5qi[/§/(nX) T'e 4~ ц, ^+71 № + 71 6(Tm2-0,5Ts + nKTj/6)/(3 + nK) р4/0£Фр/й? zKp(/gLB/(nA2) Мд + MK M2/(pcG2) T'eo 4~	0,958 0,474 0,920 0,502 1,308 0,905 0,0234 0,928	• 94,1 0,498-10‘2 56 43,5 97,2 117 134 7,69 11,5 30,8 7 47
тверждается и данными опытов Е. В. Трифонова и С. Л. Ямполь-
ского 179, 83]. Вместе с тем следует иметь в виду, что при случай-
ных перегрузках, возникающих во время эксплуатации, возможен
непосредственный контакт рабочих поверхностей. В этом случае
граничные пленки несомненно выполняют защитные функции, и их
разрушение, особенно при высоких скоростях скольжения, может
привести к аварии.
Из приведенных выше данных следует, что при использовании
турбинных ма1сел максимальная температура в пленке во всяком
случае не должна превышать 120 °C. Принимая в качестве расчет-
ной максимальной температуры Температуру Tk2 и имея в виду, что
расчет по связан с ошибкой в сторону завышения температуры,
можем с известным запасом полагать ]Т ] = ПО °C.
Указанные значения относятся к подшипникам малых размеров
(2/?2 < 300-г-400 мм). При увеличении габаритов возрастает роль
температурных деформаций. В этом случае расчеты по рассматрива-
емой методике, не учитывающей, влияние деформаций, носят ориен-
тировочный характер. Косвенно влияние деформаций может быть
учтено снижением [Т ] до 80—90 °C (по мере роста температуры
деформации растут) и повышением [h2] до 20—30 мкм против 10 мкм
при меньших размерах (для обычно реализуемой шероховатости).
Влияние неравномерности нагружения колодок. Если нагрузка
распределена между колодками равномерно, то, при заданной
толщине масляной пленки, удельная нагрузка на подшипник опре-
деляется формулой (7.13). При неравномерном нагружении pms <
< pm. В первом приближении, не учитывая влияния снижения
температур на менее нагруженных колодках, можно полагать
л	Pms = PnJZ>
где рп — по формуле (7.13); £ — коэффициент’неравномерности.
Если выравнивающие устройства отсутствуют, то для опреде-
ления $ служит рис. 5.3. Рис. 5.3 может быть использован и для
случая сферических подкладных колец, но величину ц следует
определять как наименьшее из двух значений: значения, опреде-
ляемого формулой (5.6), и значения, к которому приводят формулы
(5.29) и (5.32).
Для определения т) и ifc нужно знать толщину пленки hc под
точкой опоры. Если минимальная толщина пленки известна, то
hc, при заданной координате точки опоры 40, определяется углом
наклона колодки к гребню. При этом чем больше угол наклона/тем
больше отношение Ay/ij и меньше т] и т|х, а следовательно, меньше
и влияние перекосов и разнотолщинности на несущую способ-
ность подшипника. При анализе опытных данных было показано,
что в результате неравномерного нагрева пленки отношение	=
= k превышает то значение, к которому приводит решение изовяз-
костной задачи для плоских' поверхностей трения. Для случая
£0 = 0,55-4-0,6 оно может быть принято равным трем. Принимая
во внимание (5.7) и имея в виду, что наличие более толстых пленок
240.
приводит к некоторому снижению температурного уровня под-
шипника, можно приближенно полагать
/iA = (3-2L0)^2.	‘	(7.14)
В подшипниках с рычажно-механическим выравниванием коэф-
фициент неравномерности плохо поддается количественному учету.
В этом случае, ориентируясь на опытные данные для подшипни-
ков типичных конструкций, можно принимать £ = 1,2ч-1,3.
Определение расхода масла. При выборе расхода масла следует
учитывать влияние, которое он оказывает на температуру на вы-
ходе из подшипника (допустимое зна-
чение Твых определяется противо-
окислительной стойкостью масла и
его сопротивляемостью старению),
а также на температуру (см. [14]) и
толщину несущей пленки и мощность
потерь на трение.
На рис. 7.1 показаны типичные
кривые, построенные для случая
2/?2 =118 мм, 2/?х = 68 гмм, гк =
= 10, т = 0,8, рт = 1,72 МПа,
© = 1650 с-1, масло — газотурбин-
ное. Из рис. 7.1 видно, что по мере
увеличения расхода температура,
толщина пленки и потери мощности стабилизируются. Наоборот,
при малых расходах изменение G2 приводит к значительным изме-
нениям основных характеристик.
Таким образом, расход не следует назначать слишком малым,
так как, во-первых, при очень низких значениях Gz толщина
пленки мала, а ее температура велика, и, во-вторых, в области
малых G2 при отклонении фактического расхода от номинального
возможны значительные изменения основных показателей работы
подшипника. С другой стороны, нецелесообразно делать расход и
слишком большим, поскольку это приводит к увеличению габари-
тов и стоимости масляной системы.
На практике расход следует выбирать на основе анализа
кривых типа рис. 7.1, с учетом конкретных условий работы под-
шипника и системы в целом. Один из возможных способов решения
этой задачи, легко реализуемый на ЭВМ, состоит в таком выборе
G2, чтобы последующее, вплоть до бесконечности, увеличение G2
приводило бы к уменьшению Тк2 не более чем на некоторое зара-
нее заданное значение. Если принять соответствующее изменение
-Тк2 равным 10 %, то, с учетом'указанных выше значений [Т71 при
7\0 = (35 4-40) °C, температура на выходе из подшипника также
будет находиться в допустимых пределах (<80 °C).
Рассмотрим несколько примеров расчета.
Пример 1. Выполнить в первом приближении расчет упорного
подшипника при следующих исходных данных.
24J
Геометрические параметры подшипника: длина колодки L —
= 6,2 см; ширина колодки В = 4,8 см; отношение толщин пленок
на входе и выходе из зазора k = 3; ширина межколодочного ка-
нала С = 2,1 см; средний радиус /? = 6,6 см; толщина упорного
гребня Я, = 3,5 см; диаметр упорного гребня D = 18 см; тол-
щина колоДки Н = 1,8 см; толщина баббитовой заливки Нб =
= 0,2 см; число колодок zK = 5.
Значения коэффициентов: пд = 0,135 (подвод масла перифе-
рийный); k< = 0,5;	= 0,3; 02 = 0,34; В. = 0,66; fe,, = Г,
kfi = 0,35.
Теплопроводность материалов гребня и колодок: Xs = 10 ==
= 50,2 Вт/(м- °C); Хб = 33,5 Вт/(м- °C).
Теплофизические характеристики масла: р = 880 кг/м3, рс =
=! 1,76 МДж/(м8-°С); 1= 0,126 Вт/(м-°С);	= 3,1-10“4 Па-с;
т2 = 392 °C; т3 = 46,8 °C; me = 0,286 Па-с-°C; /п7 = 36,4 °C.
Эксплуатационные параметры: угловая скорость вала о —
= 758 рад/с; температура масла на входе Те0 = 40 °C; расход
масла Gs = 2,5-10"3 м3/с; минимальная толщина пленки h2 =
= 10 мкм.
Используя эти значения, получаем скорость скольжения Uo =
= a>R = 50 м/с; толщину основания колодки Но = Н — Н5 =
о -=1,6 см; 60 = B/R = 0,727; внутрен-
т; с ний и наружный радиусы колодки
160 R1= R(l— O,5bo) = 4,2 см и R2 =
f20 = Я (1 + О,5Ьо) = 9 см; отношение
ширины колодки к длине е = BIL=
so = 0,774.
Результаты вычислений приве-
дены в табл. 7.2—7.4.
< В табл. 7.5 для того же подшип-
z ника дано сравнение расчетов по
формулам первого приближения (чи-
слитель) с расчетами, в которых для
вычисления р, р, Хи рс исполь-
зовались формулы (7.1), (7.5)—(7.7). Из табл. 7.5 видно, что
формулы первого приближения обладают приемлемой точностью.
Пример 2. В условиях примера 1 определить допустимую удель-
ную нагрузку на подшипник в предположении, что нагрузка
между колодками распределена равномерно. На рис. 7.2 даны за-
висимости иЛ2 от р,п, построенные по результатам расчетов по
полному алгоритму (см. табл. 7.5). Горизонтальными прямыми
на рисунке показаны предельные значения температуры Т*2 =
= ПО °C и толщины пленки ft2 = 10 мкм. Как видно из рис. 7.2,
в рассматриваемом случае несущая способность подшипника'
определяется температурным критерием и составляет <=«
*=« 5 МПа.
Пример 3. В условиях примера 2 определить допустимую удель-
ную нагрузку на подшипник, если в процессе эксплуатации воз-
242
ТАБЛИЦА 7.5
/'2, мкм	рт, МПа	^к2			N-%, кВт
		°C			
30	2,01 2,06	71,7 72,8	68,9 69,8	63,4 64,1	28,3 28,4
15	4,67 4,99	108 111	95,8 98,8	81,0 83,3	29,8 30,4
10	7,69 8,27	134 139	117 121	97,2 100	20,8 31,6
8	10,2 11,0	146 152	129 133	109 112	31,6 32,4
6	15,1 16,2	159 166	143 149	126 129	32,9 33,8
5	19,5 21,1	166 175	152 159	136 141	34,0 35,0
можен перекос До = 0,02 мм. При сборке подшипника разнотол-
щинность колрдок устранена.
Исходя из максимально допустимой нагрузки на колодку
[рт 1 — 5 МПа по рис. 7.2 находим h2 — 15 мкм и по (7.3) полу-
чаем Нл — 2-15 = 30 мкм. По
формуле (5.6) подсчитываем т) =
= 0,5 (R/RJ	= 0,5 (6,6/9) х
. х (0,02/0,03) = 0,244. По рис. 5.3
или по формуле (5.12) находим
£ & 1,46, откуда рт~ = [рт ]/£ =
= 3,4 МПа.
Пример 4. Подобрать ширину
межколодочного канала для упор-
ного подшипника, у которого
R2 = 37 см; Rj = 19 см; гк = 8;
(о = 32,8 рад/с; Hs = 14 см;
#*= 7,3 см; Нб = 0,3 см; 0, =
= 02 = ₽д = 0; пд = 0,135; kf = 0,5; Тс0 = 45 °C; G. =
= 0,48-КГ8 м3/с; тг = 0,144-10~4 Па-с; т2 = 1324 °C; т3 =
= 117 °C;' mt = 0,0324 МПа’1; тъ = 1,76-10"4 МПа^-’С"1; me =
= 0,687 Па-с-°С; т, = 30 °C. На рис. 7.3 даны кривые Tk2,
hi, рт в функции от суммарной нагрузки на подшипник Р2.
Цифрами на кривых даны значения ширины канала С. Следует
иметь в виду, что для подшипников таких размеров (В = R2 —
— Ri = 18 см) деформации колодок весьма существенны.
243
Поэтому, как отмечалось выше, расчеты носят ориентировочный
характер и дают не столько количественную, сколько качествен-
ную картину.
Из кривых на рис. 7.3 следует, что при малых нагрузках на
подшипник (менее 400 кН) выгоднее иметь меньшие расстояния
между колодками, при больших — большие. В рассматриваемом
примере при > 4004-500 кН увеличение С сверх 8—10 см
не приводит к заметному снижению температуры (при С > 14;
как показывают расчеты, Т. растет), но вызывает уменьшение рас-
четной толщины пленки. Поэтому в рассматриваемом случае це-
лесообразно назначить С = 6 4-8 см, чему соответствует L —
= 14-7-16 см и коэффициент заполнения m = L/(L + С) =
= 0,73-7-0,64.
Глава 8
ОПОРНЫЕ ПОДШИПНИКИ
С САМОУСТАНАВЛИВАЮЩИМИСЯ ПОДУШКАМИ
В настоящей главе теория упорных подшипников применяется
к анализу статики и динамики опорных подшипциков с самоуста-
навливающимися подушками (ПСП). В энергетическом машино-
строении ПСП находят в настоящее время все более широкое при-
менение для подавления так называемых масляных вибраций, ко-
торые возникают при использований подшипников традиционных
конструкций.
Разработку теории ПСП значительно осложняет необходимость
совместного рассмотрения большого числа уравнений, описыва-
ющих поведение подшипника. К их числу относятся уравнения
гидродинамики, уравнения распространения теплоты в смазочных
пленках, в межподушечных каналах и корпусе подшипника,
уравнения равновесия вала. В отличие от упорных подшипников,
где в первом приближении нагрузку на колодки можно считать
распределенной равномерно, подушки ПСП нагружены неодина-
ково. Поэтому трудности расчета растут вместе с увеличением
числа подушек. Задача оказывается еще более -сложной, если
речь идет об изучении динамических явлений.
Вследствие большого объема вычислений окончательные, ре-
зультаты даже при использовании современной вычислительной
техники удается получить только в отдельных частных предполо-
жениях. Одно из наиболее распространенных — это предположе-
ние о постоянстве вязкости масла, которая считается одинаковой
по всем подушкам [15, 51 ]. Допущение р = const позволяет от-
делить гидродинамическую задачу от тепловой. Поэтому при уме-
ренных затратах машинного времени оказывается возможным
построить численные решения уравнений Рейнольдса и уравнений
244
равновесия [15]. Таким же путем удается получить и коэффици-
енты линеаризированной системы уравнений колебаний вала.
Распространение указанного подхода на совместное решение
тепловых и гидродинамических задач требует существенного уве-
личения объема вычислений. Большие трудности возникают и
при исследовании нелинейных колебаний ротора.
Еще один путь состоит в том, чтобы, с учетом специфики
условий работы ПСП, упростить исходные уравнения [68, 50,
55]. Возможности соответствующих упрощений определяются
тем, что в большинстве'случаев, когда целесообразен переход
к ПСП, коэффициенты нагруженности £ невелики. При малых £
относительные эксцентриситеты также имеют небольшие значения.
Поэтому геометрические зависимости для толщины слоя прини-
мают более простой вид. Кроме того, предположение о малости С
позволяет использовать для анализа ПСП теорию упорных под-
шипников, а также ввести и некоторые другие допущения, суще-
ственно упрощающие расчет.
8.1.	СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Геометрия. Схеуа подшипника показана на рис. 8.1, где
г — радиус цапфы; гх — радиус рабочей поверхности подушки;
0 — угол, определяющий положение линии центров; ф, — угол
разворота t-й подушки. Предполагается, что если ф, = 0, то ра-
бочие поверхности подушек лежат на цилиндре, радиус которого
равен гх, а ось проходит через точку 0.
Получим выражение для толщины слоя под t-й подушкой.
Рассмотрим сначала случай ф,- = 0. Обозначая соответствующую
толщину слоя через h', обычным для теории опорных подшипников
способом получаем (см. рис. 8Л)
h’ — Дг — er cos ф' — 0),	(8.1)
где Дг = гх — г.
245
При повороте подушки на угол ф, (рис. 8.2) толщина пленки
изменится на /г". Из рис. 8.2 (см. ДА00') имеем
АО'1 — АО2-\-s — 2AOszqs /.А00',	(8.2)
где АО' = Г1, АО — гг — h"\ s — 2Cfl’ sin (ф./2); С .O' = rr 4-
/ A00' = P + 0,5л — 0,5ф,, а угол 0 отсчитывается от прямой,
проходящей через центр расточки подшипника 0 и точку опоры
С, i-й подушки. В подшипниках скольжения зазоры малы. По-
этому h" < Г, а угол Ф, оценивается величиной Лтах/^Ртах)-
Имея в виду эти результаты и пренебрегая в (8.2) величинами
второго порядка малости, для h" получим
h" = s sin 0 = (Г14- 6) ф, sin р.	(8.3)
Толщина пленки Я(0 = h'(—hl. Отсюда, с учетом (8.1) и (8.3)
находим
Hi = \r — er cqs (0 — Р') — (rt Ц- 6) фг sin 0.
Поскольку Р' = у,- + 0, то формулу для Hf можно еще пере-
писать в виде
Hi — \r — er cos (0 — у,) cos р —
— [er sin (0 — у,) + (q + 6) ф(] sin 0.	(8.4)
Аналогичным образом для случая, когда центры расточки
подшипника и подушек при ф( = 0 не совпадают, получим фор-
мулу
Нi —	— е, cos (О — 0') — (rt -j- б) ф, sin р + Er (1 — cos Р),
где Ег = гр —	— радиальный зазор; гр — радиус расточки
подушки.
Если угол р мал, то для Н, имеем приближенную формулу
Я,- = A J 1 - х cos (0 - yz) - [Х sin (0 - у,) 4
4-(г14-б)ф./Д,]Р},	(8.5)
где х — efl^r> которая, очевидно, тем точнее, чем меньше 0.
Погрешность (8.5) уменьшается также с уменьшением х> поскольку
в этом случае уменьшается влияние слагаемого, содержащего
cos 0 {см. выражение (8.4) 1.
Численное решение уравнения Рейнольдса по алгоритму, из-
ложенному в гл. 1, показало, что при вычислении гидродинамиче-
ской реакции замена (8.4). на (8.5) не приводит к существенным
погрешностям. Так, для подшипника, у которого В = L = г
(В — длина подшипника, она же — ширина подушки),’ L0IL =
= 0,6, — 0,1 с х «S 0.5, соответствующая ошибка не превышала
5%. Поскольку, согласно (8.5), Я, (0) есть линейная функция 0,
это дает основание в последующих расчетах воспользоваться ос-
новными. результатами теории упорных подшипников.
Гидродинамическая реакция. Значение гидродинамической
реакции на отдельной колодке определяется, в приближении
246
теории упорных подшипников, выражением (1.57). Вектор сум-
марной гидродинамической реакций R в общем случае имеет две
составляющие Rx и Ry. С учетом (1.57) их можно подсчитать по
формулам:
1=1
и
<8-6>
2 га
Здесь
Р° = Вб/р.о(о/ф2; d — 2г; ф = Лг/г; Ф( =
= Pi^pi, /if = 1 — х cos (0 — у,),	(8.6а)
где f — определяется по второй из формул (6.4); •& = L/r — уг-
ловая протяженность продукции; п — число подушек; р0 — ха-
рактерная вязкость (может быть принята равной вязкости масла
на подводе в подшипник), р, — средняя вязкость в i-м слое.
Для определения k по заданному положению точки опоры служит
формула (1.83).
Мощность потерь на трение. Потери энергии в подшипнике
обусловлены трением в несущих масляных пленках и в межподу-
шечных каналах. Потери на трение в масляном клине подсчиты-
ваются по формуле (1.66), так что для всего подшипника будем
иметь
Nf =	(8 7)
где
t = -L У Д
. 2 Zj Ро hi
1=1
Для определения потерь в межподушечных каналах восполь-
зуемся результатами гл. 3. Схематизируя течение в канале в виде
пограничного слоя на пластине (см. рис. 3.20), с помощью формулы
(3.69) получим следующее выражение для мощности потерь на тре-
ние в i-м канале:
2	1
Ncl = U\	(8.8)
.0	о
Здесь U = а>г — окружная скорость; = С/г — угловая про-
тяженность межподушечного канала; С — ширина межподушеч-
нрго канала; hfi =	— предельная толщина пленки в
канале между (i — 1)-й и i-й подушками; H"t-i — минимальная
247
толщина пленки в (t — 1)-м клине; gi-i — коэффициент расхода
в выходном сечении (t — 1)-го-зазора, определяется по формуле
(1.60) для ga.
Подставляя в выражение (8.8) значение (1—фг) согласно.
(3.74а) и интегрируя, получим
где
Здесь V, — кинематическая вязкость в пограничном слое i-ro
канала, а ф*, находится из уравнения
M?F(<p.f)=l,	(8.Ю)
где F определяем по формуле (3.75).
Если толщина- пленки масла, переносимой из-под предыдущей
колодки, мала по сравнению с толщиной пограничного слоя, то
значение х, также мало. В этом случае из (8.10) можно получить
следующее приближенное решение для ф#,- (индекс i опускаем):
x^ + K8.+ x-|3 + 2>W1L	(8.!,)
4 + Xs [ 1 + b (х)]	9	v '
2 1Л2"_х
где ft = 6 In---------. При Xsc 0,5 погрешность формулы’(8.11)
менее 2%.
Анализ формул (8.9) и (8.И) показывает, что с ростом х, зна-
чение Nci уменьшается. Поэтому в приближенных расчетах
с определенным запасом можно полагать х(.	0. Учитывая, что,
согласно (8.11),
lim Ф* = 1; lim ,2x<lp* = И2,
х->о *	х->0
•
и принимая, что температуры в каналах близки' друг к другу,
для суммарных потерь в каналах получим
Nc = £• Ntl = 0,93р(/2пВ ИЁё;,	(8.12)
где р, вычисляется при температуре в канале Тс.
Полная мощность потерь на трение определяется суммирова-
нием Nf й Nci-.
(8.13)
-	1=1
Положение линии центров. Известно, что в подшипниках
с круглоцилийдрической расточкой линия центров составляет
некоторый угол с линией нагрузки и несовпадение этих линий
248
друг с другом в конечном итоге может привести к потере устой-
чивости положения равновесия вала на масляной пленке. По-
этому вопрос о положении линии центров носит принципиальный
характер.
Для приближенного решения задачи ограничимся тем случаем,
когда для всех подушек вязкость масла и размеры одинаковы.
Предположим, что вектор внешней нагрузки направлен по оси Оу.
Тогда Rx = 0, и первая из формул (8.6) дает
п
S [1-XCOS(0-YZ)P = °’	(8,14)
При симметричном расположении опор подушек относительно
линии действия внешней силы условие (8.14) удовлетворяется при
0 = 0, т. е. линия центров по отношению к вектору нагрузки
не поворачивается. На практике большей частью используется
симметричное расположение подушек, но могут встретиться и
такие случаи, когда, по тем или иным причинам симметрия нару-
шается, и, следовательно, угол 0, представляющий собой корень
уравнения (8.14), не равен нулю.
Способ получения приближенного решения уравнения (8.14)
указан в работе [51 ]. На останавливаясь на подробностях, при- ,
ведем окончательные результату для подшипника с пятью подуш-
ками (п = 5). При малых % (меньше 0,5) угол нагрузки определя-
ется формулой
sin 0 = —jU3 sin5y0 7-,-, J.4-1,’7!—»—Е-,	(8.15)
где Уо £ (0,2л/п) — угол между линией действия силы и на-
правлением на опору первой подушки.
Из выражения (8.15) следует, что 0 = 0 в трех случаях:
а) То = 0; б) у0 = 2л/п; в) у0 = л/n. Все эти случаи соответствуют
симметричному расположению подушек. Следует также заметить,
что при умеренных значениях х угол 0 мал. Так, при х = 0,5,
полагая 5у0 = л/2, получаем 0 <=& 0,04 рад.
Температурная задача. Так же как и в упорных подшипниках,
на формирование теплового режима ПСП в общем случае оказы-
вают влияние все виды теплового взаимодействия: конвективный
теплоотвод вместе с маслом, движущимся в зазоре и других ча-
стях подшипника, теплообмен между пленкой и окружающими
деталями, перенос теплоты из-под одной подушки под другую,
теплоотдача в межподушечный канал и т. д. Вместе с тем в слу-
чае характерных для ПСП малых нагрузок анализ можно упро-
стить, ограничиваясь лишь учетом конвективного переноса теп-
лоты и оценивая влияние горячего масла, вышедшего из-под
предыдущей подушки, с помощью условия (2.49).
Введем следующую систему обозначений: величины на входе
в зазор будем помечать штрихом, на выходе из зазора — двумя
штрихами; индекс i отнесем к i-й подушке. Тогда для средней
249
температуры на выходе из t-ro масляного клина, согласно (4.44а),
будем иметь:
77 = Тс + т,-; т, =	ФТ(-, Фт, =	, (8.16)
()СП	ё i	z
где Pi определяется по температуре Tmi — 0,5 (T't 4- 77).
Температура T't, в силу (2.49), удовлетворяет соотношению
т; = рв. га+о - We pg. •=
= G-_1/G; = 777_1gL1/(//;gz)-	(8.17)
где Tc — температура в каналах.
Если все подушки подшипника одинаковы по конструкции и
размерам, так что = L, Вс — В, kL = k, то для pgii будем
иметь
Pg.^PWi,-; P = g7g',	(8.18)
где р — функция k и BIL, а /г, — по последней из формул (8.6а).
Исключая из выражений (8.16) и (8.17) Т';, получим
77 = Pg. iVi-i + ti,
(8.19)
где /,. = (1 — pgJ Тс + т, .
Из (8.19) вытекает соотношение
77=пПрга+-р-~
*=i	р*-,+i
(8.20)
оправдываемое по методу математической индукции. Если в (8.20)
положить i = п, .то получим уравнение для определения 77.
Его решение (подробнее см. [55]) приводит к формуле
П = тс +
где
п-1	1 /
+ Е Т/ф(/+ 1, П>|/[1 — <Р(1, п)],
/=1	J/
(8.21)
ф (/, о = П pg, к.
к=/
По известному значению температуры Т”п все остальные тем*
пературы Т"{ находятся по формуле (8.20). Температуры на входе
в слой T'i можно подсчитать по (8.17) или по формулам Т'( =
= Т} — ti, которые следуют из (8.16).
Расчетные зависимости упрощаются, если коэффициенты pg,,
подсчитываются по формулам (8.18). В этом случае:
Tn = Тс + X F-jtjh^V - Р") /!„];
7=1
(n	i	\
j-S- £	+ £ Г'тЛ 
р /=1 /=1 '
(8.22)
-250
Температура в канале Тс определяется по формуле, анало-
гичной (4.25):
(8.23)
'sTmi + sTrni)/2,
температуры, получающиеся по фор-
i	T'i	т"с		
1	73	89	i	• 1,459 1,171
2	68	79	1,20	0,323 0,215
3	63	70	1,48	—0,553 —0,301
4	62	70	1,50	—0,562 —0,301
5	67	78	1,24	0,333 0,215
Tc = Te0 + kfN/(pcG£),
где N определяется по формуле (8.13).
Порядок расчета. Расчет ПСП носит проверочный характер
и, в связи с зависимостью вязкости от температуры, выполняется
по методу последовательных приближений. В нулевом прибли-
жении температуры в смазочных слоях и каналах принимаются
равными температуре масла на входе в подшипник Те0. Для при-
нятых температур находятся вязкости и по формуле (8.23) уто-
чняется Тс, а также значения Tnii, принимаемые равными Тс.
По найденном Tmi определяются р,( и подсчитываются Тс и Т'[.
В целях ускорения сходимости ($ + 1)-я итерация средней тем-
пературы sTtni строится по правилу s^Tmi — (sTmi + sTmi)/2,
где знаком «~» помечены
мулам (8.22), если в них
вязкость р(. определяется
по температуре sTmi.
Пример. Рассмотрим
подшипник при следующих
исходных данных: п = 5;
180#/л = 50"; 0 = 0; у =
= 2п (i — l)/n; d = 2г =
= 90 мм; В = 50 мм; ф =
= 0,001; Lo = 0.6L; х =
= 0,3; © = 1047 с"1; Gv =
= 0,2 л/с; Те0 = 40 °C;
kf = 0,5; масло турбин-
ное 22. Результаты рас-
четов сведены в таб-
лицу, в последнем столбце
которой в знаменателе
даны результаты расчетов
ложении, что = ц2 = ...
Из таблицы видно, что температура по подушкам распределена
неравномерно. Поскольку верхние подушки нагреты меньше,
вязкость масла в соответствующих пленках выше, и их гидроди-
намическая реакция (в долях от Ryf возрастает по сравнению
с тем случаем, когда вязкость на всех подушках одна и та же.
Это, в свою очередь, приводит к дополнительному нагружению
нижних колодок (силы R9,, и Riy отрицательны, причем при
р, = var их значение почти в два раза выше, чем при р, = const).
Расчеты показали также, что при 0 = 0 Ry = 3900 Н, Rx
?=» —150,Н. Тот факт, что Rx =# 0, объясняется влиянием пере-
носа теплоты с одной подушки на другую и обусловленной им
. несимметрией в значениях вязкости. Отсюда следует, что при сим-
метричном по отношению к вектору нагрузки расположении по-
251
по ' определению Riy/R , в предпо-
= Нп-
душек линия центров поворачивается на некоторый угол. Соот-
ветствующие расчеты, выполненные для случая Rx = 0, показы-
вают, однако, что этот угол весьма мал .и в диапазоне нагрузок
от 100 до 6000 Н не превосходит 2,3°.
8,2.	НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Исходные уравнения. При составлении уравнений колебаний
ротора на масляной пленке следует принимать во внимание движе-
ние не только ротора, но и подушек. Поскольку эти движения вза-
имосвязаны, динамика ПСП по сравнению с подшипниками,
имеющими неподвижные рабочие поверхности, значительно ус-
ложняется.
Ограничимся далее тем случаем, когда ротор совершает
поступательные перемещения (прецессия ротора не учитывается),
а вектор угловой скорости каждой подушки коллинеарен -оси
подшипника.
Введем в рассмотрение безразмерное время т и оператор диф-
ференцирования определяя их формулами: т = со/; S) = d/dx,
где со — угловая скорость вала.
Считая ротор гибким и одномассовым, уравнения его колебаний
можно записать в виде:
тсо202 (х + хг) = Rx 4 Fx; то№2 (у + yr) = Ry + Fy. (8.24)
Здесь tn и F — масса ротора и вектор внешней силы, отнесенные
к одному подшипнику; х и у — проекции на оси Ох и Оу смещения
оси ротона в опорах; хг и уг — проекции прогиба ротора; Rx
и Ry — проекции суммарной гидродинамической реакции.
Величины Rx и Ry даются выражениями:
Rx = 1 (RPi + Rsl) sin ?i; Ry = f (Rpi + Rsl) cos T<. (8.25)
f=l
Здесь Rp, и Rsi вычисляются по формулам (1.77) и (1.75), в кото-
рых соответствующие величины должны иметь индекс i, а мини-
мальная толщина пленки, обозначаемая через Н}, связана с без-
размерной толщиной слоя под t-й подушкой hi зависимостью
[см. выражения (8.5) и ^8.6а)1
Hr—^rhilf.	(8.26)
Обозначим через сг жесткость ротора, отнесенную к одному
подшипнику. Заметив, что = —Rx; cryr = —Ry, из (8.24)
получим уравнения:
тш23)2х = 1уФ2 4- 1) Rx 4- Fx; т&ЗРу =
= (v<Z>2 4- 1) Ry + Fy, v =	(8.27)
252
К уравнениям (8.27) необходимо присоединить уравнения
движения подушек. По аналогии со вторым из уравнений (6.5)
или (6.1) эти уравнения имеют вид (см. также (6.4)1:
Л<о’02Ф. = —RpiLiUpi — Z?s,L7aSI-; ф< = (£,• — \)H”lLi. (8.28)
В уравнениях (8.27) и (8.28) минимальную толщину пленки
необходимо выразить через х и у. Замечая, что (см. рис. 8.1)
er cos 6 = —у, er sin 0 = —х, в силу последней из формул (8.6а)
будем иметь:
И, — 1 -j- т] cos yi + £ sin dht/dx = (dt]/dr) cos у, -P (dZ,/dx) sin y(.
(8.29)
Здесь | = x/Ar; т] = g/Ar. Для определения по известной
величине Л,- служит формула (8.26).
Соотношениями (8.27)—(8.29) полностью определяются диф-
ференциальные уравнения колебаний ротора. Эти уравнения
линейны относительно производных не-
известных функций, в связи с- чем мо-
гут быть сравнительно просто решены
на ЭВМ. Используем полученные уравне-
ния для исследования влияния статиче-
ской разбалансировки применительно
к подшипнику, рассмотренному в при-
мере. Центробежная сила ротора, воз-
никающая при его вращении, равна
таа>2 (а — смещение центра масс от оси •
ротора). Ее лроекции на оси Ох и Оу
будут FK = —та®2	sin <о/; Fy =
= —mao)2 cos ®t. На рис. 8.3 даны результаты расчетов1 тра-
ектории центра жесткого рот.ора (О“ — положение статического
равновесия) для случая а®2 = 0,5g (g — ускорение' свободного
падения), т = 400 кг, «7( = 0, р,(- = 5,2-10~8 Па«с. В целях
упрощения вычислений рассматривался случай е -► оо [см.
(1.49)], а влияние боковых утечек учитывалось с помощью коэф-
фициента kq (с учетом того, что kp «« A>s, принимался равным
kp на стационарном режиме).
Малые колебания. Рассмотрим более подробно случай малых
колебаний ротора около положения равновесия, предполагая, что
в статике ротор нагружен вертикальной силой. Будем считать,
,что подушки расположены симметрично и имеют одинаковые кон-
струкцию и размеры. Кроме того, пренебрегаем влиянием на про-
цесс колебаний сил трения и инерции подушек.
1 Расчеты выполнялись совместно с Л. П. Сенчуриным.
253
Введем обозначения:
т = W Ar (#2Р°); F = F (й2Р°);
В = (х — х°).'Дг; л = (У — !/0)/Дг;
х( =	Ф1.-=ФР/Л; Ф2. = о,5ад; Ф31-= 0,5 (/г, - .
— 1 )2 (dapi/dki)/(api — as(),
ф41. 0,5 (*,. - 1)2Л [f^f- + 2Фр/ (1 — Ео)],	(8 30)
_ у» sin2yf
, • х ~ Zj л?3 ’
i=i
с _ V cos2V<
»" L л? ’
1=1
где верхний индекс «0» относится к величинам, определяемым
на стационарном режиме.
Учитывая, что в рассматриваемом случае в положении равно-
весия 0 = 0, api - Lo, | = 0, л. = 0, х(- = 0, и выполняя ли-
неаризацию уравнений (8.27) и (8.28), после исключения из этих
уравнений х,- (см. подробнее работы 150, 53]) получим систему:
{тЗУ-а? (0) -Ь (v02 + 1) (рФ20 4- Ф4) #(£>) +
+ Ф&]8х\1 = а?(Ф)Рх-
\m2P2 (S>) + (v#2 + 1) ((М>20 + Ф4) S’ (0) +	(8‘31 >
+ Ф40] Sp| л = (®) Fy,
где S’(S>) = 2 + Фз/а.
Из системы (8.31) следует, что колебания вдоль осей Ох и Оу
происходят независимо друг от друга. Значение полученного
результата состоит в том, что из него следует возможность су-
щественного уменьшения вычислительной работы по интегриро-
ванию линеаризованной системы уравнений динамики ПСП.
Уравнения (8.31) показывают также, что колебания ротора
в ПСП принципиально отличаются от колебаний в подшипниках
с неподвижными элементами, поскольку схематизация в виде оди-
ночной кассы, колеблющейся на пружинах (при соответствующем
демпфировании), здесь неприменима. Поэтому, например, понятие
о жесткости подшипника приобретает в ПСП несколько другой
смысл, так как жесткость, определяемая при статических испы-
таниях, не может быть непосредственно использована для расчета
динамических характеристик подшипника.
Сформулированный выше вывод о независимости колебаний
вдоль осей Ох и Оу был получен на базе приближенной теории.
К таким же результатам приводит и более полный анализ, осно-
254
вывающийся на рассмотрении уравнений для давления в слое
без ограничительных предположений о форме зазора. Не оста-
навливаясь на подробностях, приведем окончательные резуль-
таты [50]. Как и в упрощенной постановке, задача о колебаниях
ротора в ПСП сводится к рассмотрению двух уравнений, каждое
из которых описывает движение вдоль одной из координатных
осей. Порядок этих уравнений есть 3 + N [N = Е (0,5/г + 0,5),
п — число подушек, Е (х) — целая часть х] и меньше-порядка
исходной системы, который равен 6 + W. Если бы вал считался
абсолютно жестким, то соответственно имели бы 2 + W и 4 + W.
Устойчивость равновесных положений ротора. Применим си-
стему уравнений (8.31) к анализу вопроса об устойчивости системы
ротор—подшипник. Рассмотрим первое из уравнений (8.31).
Вводя обозначения: s = sx/m-, Ф2 = йФ2; ф3 = Ф3/д, однородное
уравнение, соответствующее исследуемому уравнению, запишем
в виде
Здесь
Гд4_Дк==0.
/='о
(8.32)
По =	= 1 SV (Oj Ф2Ф3 Ф4), @2
= Ф3 + Ф1Ф35¥ -|- $Ф2,
ал = S (Ф! + ФгФ3 + Ф4),	= «Ф1Ф3-
(8.33)
Критерием устойчивости нулевого решения уравнения (8.32)
(критерий Рауса—Гурвица) является положительность То =
= fl3j Tj == д/, 1\ —	— ^3д3; Т'з ~ ^3^2 — я4Др Т4 =	3.
Подставляя в эти выражения д, из (8.33), находим
Тд = [ 1 -|- sv (Ф1 Ф2Ф3 Ф4)] (1 4~ •$'’Ф1) Фд -|- 5Ф2;
Т3 = зФ3 [ 1 + sv (Фх + Ф2Ф3 + Ф4)1 (Ф2Ф3 + Ф4) +
+ 52Ф2 (Ф1 + Ф2Ф3 + Ф4)-
Анализ показывает, что в практически интересных случаях вели-
чины s, v, Фъ Ф2, Ф3 и Ф4 положительны. Следовательно, ‘
все Т, > 0, и исследуемое решение устойчиво. Таким же образом
доказывается устойчивость и для второго уравнения (8.31).
Полученные результаты свидетельствуют о том, что, по крайней
мере, для подушек малой массы (Л -> 0) и при симметричном на-
гружении подушек неустойчивость, обусловленная процессами
в масляной пленке, в ПСП не возникает. Другим путем этот ре-
зультат получен в работе [15].
Список литературы
1.	Белл, Кеннел. Интерпретация данных о толщине масляной пленки при
качении, ч. 2. Влияние реологических факторов. Проблемы трения и смазки,
1971, №, 4, с. 45—59.
2.	Васильева А. Б., Бутузов В, Ф. Асимптотические разложения решений
сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с,
3.	Венсант, Ларсон. Теплоотдача от полубесконечной прямоугольной по-
лосы. — Теплопередача, 1963, № 2, с. 137—138.
4.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М-: Наука, 1969. 576 с.
5.	Герасимов Б. Я* Подшипники скольжения центробежных компрессорных
машин. — Энергетическое оборудование, 1972, № 6, с. 55.
6.	Гидродинамические опоры прокатных валков/Тодер И. А., Кудрявцев Н. А.,
Рязанов А. А., Иванов М. Д. — М.: Металлургия, 1968. 399 с.
7.	Гинзбург И. П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: Изд-во ЛГУ,
1970. 375 с.
8.	Горовая Е. Н., Подольский М. Е. Трехмерное движение вязкой жидкости
в канале с подвижной стенкой. — В сб.: Гидроаэромеханика и теория упругости.
Днепропетровск, 1976, в. 21, с. 40—47.
9.	Дмитриев В. А..Детали машин. Л.: Судостроение, 1970. 791 с.
10.	Дорфман Л. А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вра-
щающихся тел. М.: ГИФМЛ, 1960. 260 с.
11.	Дьячков А. К. Исследование работы упорных подушек подпятника на
пусковом режиме. — Вестник машиностроения, 1955, № 6, с. 9—13.
12.	ДьячковА. К. Формы контура упорных подушек и их приемного скоса. —
В кн.: Расчет и конструирование деталей машин. М.: Машгиз, 1956, с. 163—179.
13.	Дьячков А. К- Расчет центральноопертых подушек упорного подшипйика
при неизометрическом процессе. — Машиноведение, 1973, № 6, с. 76—88.
'	14. Зарецкий Е. И., Сережкина Л. П., Усачев И. Д. Маслоснабжение упор-
ного подшипника. —Энергомашиностроение, 1970, № 7, с. 28—31.
15.	Зиле А. 3., Руденко М. Н., Малаховский Е. Е. Устойчивость роторов на
сегментных подшипниках скольжения. —Машиноведение, 1976, № 1, с. 23—29.
16.	Инженерные проблемы применения соосных противоположно вращаю-
щихся винтов для морских судов: Экспресс-информация «Судостроение», 1973,
№24, Реф. 93, с. 1—19.
• 17. Камерон А. Теория смазки в инженерном деле. М.: Машгиз, 1962. 296 с.
18.	Канторрвйч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-
лиза. М.: ГИТТЛ, 1952. 695 с.
2
19.	Карпов К. А. Таблицы функции w(z) = e“*z,j* e**dx в комплексной
о
области. М.: Изд-во АН СССР, 1954. 536 с.
20.	Коднир Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. М.:
Машиностроение, 1976. 304 с.
21.	Коровчинский М. Ю. Теоретические основы работы подшипников сколь-
жения. М.: Машгиз, 1959. 403 с.
22.	- Кристенсен, Тондер. Гидродинамическая смазка подшипников конечной
ширины^: шероховатыми поверхностями.—Проблемы трения и. смазки, 1971,
23. Кудинов В. А. Гидродинамическая теория полужидкостного трения.
Тр. НТВсесоюзной конференции по трению и износу в машинах, т. II. М,: Изд-во
АН СССР, 1960, с. 161-170.
256
24.	Кунин И. А. Гидродинамическая теория смазки упорных подшипников.
М*: Изд-во АН СССР (Сиб. отд-ние), 1960. 130 с.
25.	Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжи-
маемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
26.	Ландау Л. Д«» Лившиц И. М. Механика сплошных сред. М»: ГИТТЛ,
1953. 788 с.
27.	Летков Н. Л. Натурные испытания подпятника гидрогенератора Волж-
ской ГЭС им. В. И. Ленина. — Сб. «Развитие гидродинамической теории смазки
применительно к упорным подшипникам скольжения*. М.: Изд-во АН СССР,
1959. с. 132—141.
28.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.
29.	Ломакин А. А. Центробежные и осевые насосы. М.:—Л.: Машинострое-
ние, 1966. 364 с.
30.	Максимов В. А. Расчет упорных подшипников с самоустанавливающи-
мися подушками высокоскоростных турбомашин. — Энергомашиностроение, 1980,
№ 8, с. 6—9.
31.	Матвеевский Р. М. Температурная стойкость граничных смазочных слоев
и твердых смазочных покрытий при трении металлов и сплавов. М.: Наука,
1971. 227 с.
32.	Маховенко А. И. Методика определения скоростей движения масла
в модели крупного подпятника с самосмазкой. Тр. III Всесоюзной конференции
по трению и износу в машинах, т. III. М.: Изд-во АН СССР, 1960, с. 95—102.
33.	Осевой подшипник без масляной ванны с индивидуальным маслоснабже-
нием каждой колодки/Томков Ю. П., Зарецкий Е. И., Вишнивецкий М. Г.,
Мищенко Ю. И., Пипин А. А. —Энергомашиностроение, 1978, № 10, с. 20—22.
34.	Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении
жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 4-11 с.
35.	Пинкус. Подшипники скольжения с противовращением. — Техническая
механика, 1962, т. 84, серия Д, № 1, с. 135—144.
36.	Подольский М. Е. Плоская нестационарная задача гидродинамической
теории смазки подпятника. — Механика и машиностроение, 1961, № 1, с. 107—113.
37.	Подольский М. Е. О пусковых режимах упорных подшипников скольже-
ния.— Механика и машиностроение, 1963, № 1, с. 197—200.
38.	Подольский М. Е. Тепловые явления в смазочном слое упорного подшип-
ника в начальный период пуска. — Инженерный журнал, 1963, т. III, в. 1,
с. 144—149.
39.	Подольский М. Е. К гидродинамике неизотермического смазочного
слоя. — Механика, 1965, № 2, с. 26—32.
40.	Подольский М. Е^ Об определении вторичных течений при обтекании
плоской пластины. — Механика жидкости и газа, 1966, № 5, с. 133—135.
41.	Подольский М. Е. О тепловом сопротивлении гребня в упорных подшип-
никах скольжения. — В сб.: Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и
техника, 1967, с. 539—548.
42.	Подольский М. Е. К вопросу о неоднородности температурного поля
смазочного слоя по ширине колодок упорного подшипника скольжения. — В сб.:
Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1967, с. 527—538.
43.	Подольский М. Е. К вопросу о температурном поле смазочного слоя
в упорных подшипниках скольжения. — В сб.: Развитие гидродинамической
теории смазки. М.: Наука, 1970, с. 89—104.
44.	Подольский М. Е. О вихреобразовании в межколодочном канале упорных
подшипников скольжения. — Машиноведение, 1970, № 5, с. 92—99.
45.	Подольский М. Е. Вихреобразование в межколодочном канале упорных
подшипников при наличии продольного течения смазки. —Машиноведение,
1970, № 6; с. 78—83.
46.	Подольский М. Е. Медленное движение вязкой жидкости в круглой трубе
с щелевым отсосом. — В сб.: Гидроаэромеханика и теория упругости, 1971,
в. 13, с. 12—18.
47.	Подольский М. Е. Об одной пространственной задаче теплообмена при
вынужденном конвективном течении.—Инженерно-физический журнал, 1971,
т. ХХП, № 1, с. 25—30.
257
48.	Подольский М. Е. Плоский периодический пограничный слой. — В сб.:
Гидроаэромеханика и теория упругости, 1972, в. 14, с. 60—66.
49.	Подольский М. Е. Об одной пространственной задаче движения вязкой
жидкости. — В сб.: Тепло- и массоперенос. Минск, 1972, т. 1, ч. 2, с. 192—200.
50.	Подольский М. Е. Некоторые вопросы теории опорных подшипников
скольжения с самоустапавливающимися подушками. — В сб.: Контактно-гидро-
динамическая теория смазки и ее практическое применение в технике, в. 2.
Куйбышев, 1978, с. 49—57.
51.	Подольский М. Е. Приближенный расчет статических характеристик
опорных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками. —
Тр. Ленингр. кораблестроительного ин-та. Проблемы конструирования в судовом
машиностроении, 1979, с. 54—61.
52.	Подольский М. Е., Сенчурин Л. П. Вопросы теории масляных пленок
между подвижными поверхностями трения. — Тр. Ленингр. кораблестроитель-
ного ин-та. Проблемы конструирования в судовом машиностроении, 1979,
q. 62—71.
53.	Подольский М. Е. Уравнения приближенной теории динамических
явлений в опорных подшипниках скольжения с самоустанавливающимися подуш-
ками. — Тр. Ленингр. кораблестроительного ин-та. Проблемы конструирования
в судовом машиностроении, 1980, с. 38—45.
54.	Подольский М. Е., Балашов Б. А., Сеичурин Л. П. Гидродинамика
опорных подшипников скольжения для контрвращающихся валов. — Тр.
Ленингр. кораблестроительного ин-та. ПрЪблемы конструирования в судовом
машиностроении, 1980, с. 46—53.
55.	Подольский М. Е. К расчету температурного режима опорных подшипни-
ков с самоустанавливающимися подушками. — Машиноведение, 1980, № 3,
с. 107—113.
56.	Попов П. 3. Изотермическая задача теории смазки подпятника с деформи-
рованной подушкой. — Машиноведение, 1968, № 5, с. 95—105.
57.	Попов П. 3. Построение, преобразование и сравнительная оценка харак-
теристических коэффициентов подпятника при изотермическом и неизотермиче-
ском процессах. — Тр. Ленингр. кораблестроительного ин-та, в. 81, 1972, с. 77—
86.
58.	Проектирование гидрогенераторов/Домбровский В. В. и др. Л.: Энергия,
1968. 364 с.
59.	Регирер С. А. Об учете зависимости вязкости от температуры в гидродина-
мической теории смазки. — Механика и машиностроение, 1959, № 2, с. 198—199.
60.	Ривкиид В. Я-О явных и неявных схемах для уравнений Навье—Сток-
са. — В сб.: Тепло- и массоперенос. Минск, 1972, т. 1, ч. 3, с. 3—9.
61.	Розенберг Ю. А. Влияние смазочных масел на долговечность и надеж-
ность деталей машин. М.: Машиностроение, 1970. 312 с.
62.	Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
552 с.
63.	Сережкина Л. П. О предельной нагрузке и критерии надежности работы
упорного подшипника. —Электрические станции, 1959, № 10, с. 32—34.
64.	Сережкина Л. П. Исследование работы самовыравнивающегося упорного
подшипника типа Кингсбери.—Теплоэнергетика, 1963, № 2, с. 36—41.
65.	Симуни Л. М. Численное решение задачи движения жидкости^ прямо-
угольной яме. —Журнал прикл. мех. и техн, физики, 1965Л № 6, с. 106—108.
66.	Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ,
1955. 520 с.
67.	Снегова М. П. Применение формулы Ван Дрийста для расчета тепло-
обмена при больших числах Прандтля. — Механика жидкости и газа, 1970,
№ 6, с. 125—127.
68.	Соколов Ю. Н. Шпиндельные многоклиновые гидродинамические под-
шипники жидкостного трения. Расчет и проектирование. М.: ЭНИМС, 1965. 88 с.
69.	Сусси И. Р., Фридман В. М. Решение задачи о движении шипа'на масля-
ной пленке методом расчленения. — Механика жидкости и газа, 1977, № 6,
с. 23—30.
258
70.	Тарг С. М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.:—Л.:
Гостехиздат,-1951. 420 с.
71.	Тахара. Принудительное охлаждение подшипника с переменным зазо-
ром. — Проблемы трения и смазки, 1968, № 4, с. 315—324.
72.	Тодер И. А., Розлер Г. М. Расчет предельных режимов работы подшип-
ника жидкостного Прения. — В сб.: Развитие гидродинамической теории смазки.
М.: Наука, 1970, с. 68—88.
73.	Токарь И. Я. Проектирование и расчет опор трения. М.: Машинострое-
ние, 1971. 168 с.
74.	Токарь И. Я., Сайчук И. В. Расчет упорных подшипников реверсивных
машин. — Вестник машиностроения, 1972, № 9, с. 18—21.
75.	Токарь И. Я.» Сайчук И. В. Неизотермическая задача смазки упорных
подшипников с учетом теплоотвода в тело подушки. — Машиноведение, 1973,
№ 1, с. 78—83.
76.	Токарь И. Я., Урасов П. Г. О пусковых режимах работы подпятников
гидрогенераторов. — Машиноведение, 1979, № 5, с. 99—103.
77.	Тоидер. Влияние пузырьков газа на поведение изотермических подшип-
ников Мичеля. — Проблемы трения и смазки, 1977, № 3, с. 46—52.
78.	Треиие, изнашивание и смазка: Справочник. М.: Машиностроение, 1978,
Кн. 1. 400 с
79.	Трифонов Е. В. Исследование работы быстроходных упорных подшипни-
ков. — В сб.: Развитие гидродинамической теории смазки применительно к упор-
ным подшипникам скольжения. М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 116—131.
80.	Трифонов Е. В. О методах расчета быстроходных упорных подшипников
скольжения. — Тр. Калужского филиала МВТУ. М.: Машиностроение, 1964,
в. 1, с. 124—147.
81.	Трифонов Е. В. Неравномерность нагружения колодок упорных подшип-
ников со сферическими выравнивающими устройствами. — Тр. Калужского
филиала МВТУ. М.: Машиностроение, 1970, в. 3, с. 336—349.
82.	Трифонов Е. В., Ямпольский С. Л. Влияние давления масла на несущую
способность упорных подшипников паровых турбин.*—Энергомашиностроение,
1957, № 1, с. 8—11.
83.	Трифонов Е. В., Ямпольский С. Л. Температурный режим упорного
подшипника и надежность его работы.—Электрические станции, 1958, № 3,
с. 23—27.
84.	Френкель Л. Д. О работе упорных подшипников Мичеля высокооборот-
ных турбин большой мощности. — Советское котлотурбостроение, 1946, № 1,
ес. 27—30.
85.	Хаиович М. Г. Опоры жидкостного трения и комбинированные. М.:—Л.:
Машгиз, 1960. 272 с.
86.	Шлихтииг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.
87.	Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.:—Л.: Гос-
энергоиздат, 1961. 680 с.
4 88. Юрченко И. С., Герасимов Б. Я., Захарова Л. А. Экспериментальные
исследования высокоскоростных упорных подшипников скольжения. — Энерго-
машиностроение, 1976, № 5, с. 36—38.
89.	Ямпольский С. Л. О расчете и снижении потерь мощности в упорных
гидродинамических подшипниках. — Энергомашиностроение, 1970, № 12,
с. 40—41.
90.	Ямпольский С. Л., Хомяков В. П. Несущая способность упорных под-
шипников и осевые усилия в турбинах при динамических режимах. — Энерго-
машиностроение, 1971, № 12, с. 17—19.
91.	Яновский М. И. Конструирование и расчет на прочность деталей паровых
турбин. М.:—Л.: Изд-во АН СССР, 1947. 647 с.
92.	Andreason S. The pivoted slider bearing of infinite width considering va-
riable viscosity heat transfer and elastic thermal deformations. Acta Politechnica
Scandinavica, Meeh., Eng. Series, 1967, N 29, p. 1—44.
93.	Batchelor G. K. On steady laminar flow with closed streamlines at large
Reynolds numbers. J. Fluid Meehs., 1965, 1 (2), p. 170—190.
94.	Papery R. A., Peterson G. Cooper G. P. Qi! seals to provide positive
259
lubrication on large or high-speed thrust bearings. Tr. ASME, 1958, v. 80, N 4,
p. 819—825.
95.	Cameron A. The viscosity wedge. Tr. ALSE, 1958, v. 1, N 2, p. 248—253.
96.	Cole J. A. Experimental investigation of the temperature influence on the
journal bearings characteristics. Inst. Meeh. Eng. Lubr. Wear Conf., 1957. Proc.
London, 1958, p. 111—117.
97.	Floberg L. On the optimum desing of sector—shaped tilting—pad thrust
bearings. Acta Polytechnica Scandinavica, Meeh. Eng. Series, 1969, N 45, p. 1—36.
98.	Fogg A. Fluid film lubrication of parallel thrust surfaces. Proc. Inst. Meeh.
Eng., 1946, v. 55, p. 49—67.
99.	Greenspan D. Numerical solution of a class of nonsteady cavity flow problems.
BIT, 1968. N 4, p. 287—294.
100.	Hahn E< J., Kettleborough C. F. Thermal effects in slider bearings. Proc.
Inst. Meeh. Engrs, 1968—69, v. 183, Pt 1, N 31; p. 631—645.
101.	Hakansson B. The journal bearing considering variable viscosity. Tr. Chaim.
Univ. Techn., Gothenborg. Sweden, 1965, N 298, p. 1—167.
102.	Hays D. F., Plane sliders of finite width. Tr. ASLE, 1958, v. I, N 2,
p. 233—240.
103.	Jakobsson B., Floberg L. The finite journal bearing considering vaporiza-
tion. Tr. Chaim. Univ. Techn., gothenborg, Sweden. 1957., N 190, p. 1—117.
104.	Jakobsson B., Floberg L., The rectangular pad bearing. Tr. Chaim. Univ.
Techn., Gothenborg, 1958, N 203, p. 1—44.
105.	Lavan Z., Nielsen H., Fejer A. A. Separation and flowreversal in swir-
ling flows in circular ducts. Phys. Fluids, 1969, v. 12, N 9, p. 1747—1757.
106.	Mills R. D. On the closed motion of a fluid in a square cavity. J. Roy.
Aeronaut. Soc. 1965, v. 69, N 650, p. 116—120.
107.	Mills R. D. Numerical solutions of the viscous flow equations for a class
of closed flows. J. Roy. Aeronaut. Soc., 1965, v. 69, N 658, p. 714—718.
108.	Pinkus O., Sternlicht B. Theory of hydrodinamic lubrication. Me. Graw—
Hill Book Comp., 1961. 465 c. <
4	109. Pollmann E. Beobachtungen an Axialgleitlagern mit grossen Umfangsgesch-
windigkeiten. Maschinenbautechnik, 1967, Bd. 16, N 6, S. 321—326.
110.	Purvis M. B., Meyer W. E., Benton T. C. Temperature distribution in
journal—bearing lubricant film. Tr. ASME, 1957, v. 79, N 2, p. 343—350.
111.	Raimondy A. A., Boyd J. The influence of surface profile on the load
capacity of thrust bearings with centrally pivoted pads. Tr. ASME, 1955, v. 77, N 3,
p. 321-330.
112.	Raimondy A. A. The influence of longitudinal and transverse profile on the
load papasity of pivoted pad bearings. Tr. ASLE, 1960, v. 3, N 2, p. 265—276.
113.	Raimondy A. A. An adiabatic solution for the finite slider bearing(L/B=l).
Tr. ASLE, 1966. v. 9, N 3, p. 283—298.
114.	Ratkowsky D. A., Rotem Z. Viscous flow in a rectangular cut out. Phys.
Fluids., 1968, v. 11, N 12, p. 2761—2763.
115.	Ribary F. Aus Untersuchungen and Segmentkammlagern. Brown Bovery
Mitteilungen, 1933, N 4, S. 119—121.
116.	Robinson C. L., Cameron A. Studies in hydrodynamic thrust bearings. III.
Ph. Tr. Roy. Soc. London, 1975, v. 278, N 1282, p. 385—395.
117.	Tsou F. K., Sparrow E. M., Kurtz E. E. Hydrodinamic stabibity of the
boundary layer on a continuous moving surface. J. Fluid Meeh., 1966, v. 26, part. 1,
p. 145—161.
118.	Vogelpohl G. Die Temperaturverteilung in Schmierschichten Zwischen
parallelen warmedurchlassigen wanden. ZAMM, 1951, Bd. 31, Nr. 11/12, S. 349—356.’
119.	Zienkiewicz О. C. A note on a new theory of hydrodinamic lubrication
of parallel Surface thrust bearings. IX Congres Int. Mec. Appl. Actes. Tome 4, 1957,
p. 251-258.
120.	Zienkiewicz О. C. Temperature distribution within lubricating films
between paralel bearing surface and itseffect on the pressure developed. Inst. Meeh.
Eng. Lubr. Wear Conf. Proc. London, 1958, p. 136—141.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................... 3
Введение.................................................................. 4
Глава 1. Гидродинамика смазочного слоя.................................... 7
1.1. Уравнения движения смазки в зазоре............................ —
1.2. Геометрия масляного клина.................................... 21
' 1.3. Численные методы в теории смазки............................ 24
4 1.4. Приближенные аналитические методы	в	теории	смазки ...	28
Глава 2. Тепловые процессы в смазочном слое.............................. 42
2.1.	Уравнение баланса энергии.................................... 43
2.2.	Теплоизолированный смазочный слой............................ 45
2.3.	Неадиабатический смазочный слой.............................. 52
2.4.	Трехмерные смазочные слои.................................... 74
2.5.	Особенности неизовязкостных течений	в	смазочном слое ...	90
Глава 3. Гидродинамика и теплообмен в корпусе	подшипника........	104
3.L	Общая характеристика гидродинамических и тепловых
явлений в межколодочном канале..............*............. 105
3.2.	Вихреобразование в межколодочном канале. Плоская задача 111
3.3.	Влияние прокачки масла на закрутку потока. Оценка ваку-
ума в канале............................................. 1L8
3.4.	Вторичные течения в межколодочном канале.................... 121
3.5.	Подсос масла в клин из межколодочного канала................ 134
3.6.	Коэффициент теплоотдачи в межколодочный канал.......	139
3.7.	Гидродинамика обтекания колодок и гребня. Потери мощ-
ности на трение .......................................... 149
3.8.	Теплопередача через упорный гребень . •..................... 151
3.9.	Теплопередача через колодку................................. 164
Глава 4. Расчет температур в несущем масляном слое...................... 168
Глава 5. Неравномерность нагружения колодок подшипника..........	187
5.1.	Искажения геометрии упорного подшипника.........	188
5.2.	Выравнивающие устройства сферического типа.................. 195
5.3.	Рычажные выравнивающие устройства........................... 199
Глава 6. Нестационарные задачи теории упорных подшипников ....	206
6.1.	Уравнения движения и их анализ.............................. 207
6.2.	Гидродинамика пусковых режимов.........L.................... 211
6.3.	Быстрое разгружение....................7 . : . . . .	223
6.4.	Гидростатический пуск ...................................... 225
Глава 7. Расчет упорных подшипников..................................... 231
7.1.	Теплофизические свойства масел.........:...................... —
7.2.	Предварительный расчет ..................................... 233
7.3.	Уточненный расчет........................................... 234
Глава 8. Опорные подшипники с самоустанавлнвающимися подушками 244
8.1. Статические характеристики ................................. 245
8.2. Некоторые .задачи динамики ................................. 252
Список литературы....................................................... 256
т	261
ИБ № 3108
Марлен Елизарович ПОДОЛЬСКИЙ
УПОРНЫЕ
ПОДШИПНИКИ
СКОЛЬЖЕНИЯ
Редактор Е. Г. Лукин
Художественный редактор С. С. Венедиктов
Технический редактор И. В. Буздалева
Корректор А. И. Лавриненко
Обложка художника Г. Л. Попова
Сдано в набор 13.07.81. Подписано в печать 04.12.81. М-42727.
Формат 60x90l/ie- Бумагй типографская № 3. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ л. 16,5- Уч.-изд. л. 16,75.
Тираж 11 000 экз. Заказ 636. Цена 1 р. 20 к.
Ленинградское отделение издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
ПО делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, IQ.
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
В магазине № 5 «Техническая книга»
имеются в продаже следующие книги,
выпущенные издательством
«Машиностроение»:
1.	Медовой И. А. и др. Исполнительные раз-
меры калибров: Справочник. В 2-х книгах. Книга 1. —
М.: Машиностроение, 1980. 385 с. 2 р. 40 к.
2,	Воскресенский В. А., Дьяков В. И.
Расчет и проектирование опор скольжения (жидкостная
смазка): Справочник. — М.: Машиностроение, 1980. —
224 с. 1 р. 10 к. (Б-ка конструктора).
3.	Решетов Л. Н. Самоустанавливающиеся
механизмы: Справочник. М.: Машиностроение, 1979. —
334 с. 1 р. 60 к. (Б-ка конструктора).
4.	Башенные краны. — М.: Машиностроение,
1979. — 1 р. 30 к.
Заказы на книги направляйте по адресу:
194049, Ленинград, Пушкинская ул., 2,
магазин № 5 «Техническая книга» —
опорный пункт издательства
«Машиностроен ие»
Книга будет выслана
наложенным платежом