Текст
                    Г.А.Сарданашвили
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
(Современные методы теории поля. Т. 3)
В этом томе излагаются основные методы и имеющиеся модели
алгебраической формулировки квантовой теории. Эта формулировка основана на
так называемой конструкции Гельфанда--- Наймарка---Сигала, когда квантовая
система характеризуется некоторой алгеброй наблюдаемых, а физически
достоверными считаются значения той или иной положительной формы на этой
алгебре. В книге приводятся необходимые математические сведения по
топологическим векторным пространствам, инволютивным алг-ебрам и мерам.
Книга призвана помочь читателю ориентироваться в современной литературе по
алгебраической квантовой теории. Содержание
Введение
3
Глава 1. Пространства
5
§1. Топологические векторные пространства
5
§ 2. Сопряженные пространства
8
§3. Пространства линейных отображений
11
§4. Гильбертовы пространства
12
§ 5. Операторы в гильбертовых пространствах
16
§6. Счетно-гильбертовы и ядерные пространства
18
§7. Дополнение. Кэлеровы многообразия
20
Глава 2. Алгебры и их представления
26
§1. Инволютивные алгебры
26
§ 2. Представления инволютивных алгебр
29
§3. Гильбертовы интегралы представлений
32
§4. Конструкция ГНС
35
§5. Следы
40
§6. Гильбертовы интегралы состояний
45
§ 7. Дополнение. Функциональное представление C*-алгебр
47
Глава 3. Симметрии квантовых систем
51
§ 1. Морфизмы и йордановы морфизмы
51
§2. Дифференцирования
54
§ 3. Модулярная группа
59
§4. Инвариантные состояния
62
§5. Группы и C*-алгебры
65
§ 6. Дополнение. Группоиды и C*-алгебры
72
Глава 4. Квантовомеханические системы
84
§1. Универсальные обертывающие алгебры
84
§2. Конечно порожденные C* -алгебры
87
§ 3. Когерентные состояния
91
§4. Квантование по Березину
97
§5. Геометрическое квантование
102
§ 6. Канонические коммутационные соотношения
110


§ 7. Протяженные системы 124 § 8. Канонические антикоммутационные соотношения 129 § 9. Квантовые группы 131 § 10. Деформационное квантование 139 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля 149 §1. Алгебры неограниченных операторов 149 § 2. Алгебры свободных полей 152 § 3. Производящие функционалы 156 Глава 6. Дополнения 161 § 1 Квантовая теория при конечной температуре 161 § 2. Системы со многими вакуумами 170 Приложение А. Меры 178 Приложение Б. Преобразования Лапласа 194 Библиография 203 Список обозначений 206 Предметный указатель 207 Предметный указатель А абстрактная теорема об ядре, 19 алгебра Борхерса, 153 --- Вейля, 142 --- Гейзенберга---Вейля, 111 --- КАС, 129 --- Пуассона, 98 --- Хопфа, 132 --- --- инволютивная, 132 --- --- квазитриангулярная, 133 --- --- классическая, 135 --- --- кокоммутативная, 132 --- банахова, 26 --- инволютивная, 26 --- --- нормированная, 26 --- ---типаI,32 --- конечно порожденная, 88 --- простая, 35 --- с присоединенной единицей, 27 --- свободная, 87 --- фон Неймана, 29 --- --- конечная, 41 --- --- полуконечная, 41 --- --- порожденная, 29 --- ---типаI,29 --- - типа III, 170 --- --- σ-конечная, 59 --- C*-функций, 124 C*-алгебра, 26 --- группоида, 82 --- квазилокальная, 126 --- конечно порожденная, 88 --- локальная, 126 --- локально компактной группы, 66 --- порожденная присоединенными элементами, 90 --- элементарная, 34 CCR-алгебра, 35 GCR-алгебра, 35 Oр*-алгебра, 149 алгебраически сопряженное, 8 аналитический вектор, 60 анти голоморфное касательное пространство, 22 антиморфизм, 51 антиобратное отображение, 132 аппроксимативная единица, 27 Б базис, 6 --- меры, 184 --- ортонормальный, 14 барицентр, 193
бикоммутант, 29 бинваринтное подпространство, 70 борелевская алгебра, 191 — мера, 191 внутренне регулярная, 191 локально ограниченная, 191 борелевское множество, 191 — пространство, 191 подчиненное топологии, 191 стандартное, 191 бэровская мера, 192 бэровское множество, 192 В вакуум, 170 вакуумное среднее, 170 вектор бесконечно дифференцируемый, 85 — допустимый, 91 — ортонормальный, 13 векторная форма, 36 векторное поле комплексное, 22 вероятностное пространство, 158 верхний интеграл, 180, 183 виковский поворот, 201 воспроизводящая система, 99 — тройка, 99 воспроизводящее ядро, 92 второе сопряжение, 10 выпуклая оболочка, 5 Г гамильтониан, 58 гауссова мера с ненулевым средним, 120 — промера, 189 — промера каноническая, 189 гиббсовское состояние, 161 гильбертов интеграл, 33 гильбертова алгебра, 42 группы, 70 полная, 42 совершенная, 42 — размерность, 14 — сумма, 15 представлений, 30 гильбертово пространство дуальное, 15 сепарабельное, 14 гиперподпространство, 5 голоморфное касательное пространство, 22 — многообразие, 22 граф-топология, 150 группа Гейзенберга—Вейля, 111 — изотропная, 73 — когомологий группоида, 77 — модулярных автоморфизмов, 60 — равномерно непрерывная, 53 — сильно непрерывная, 54 — слабо непрерывная, 54 групповая алгебра, 66 групповое расслоение, 74 группоид, 72 — главный, 73 — топологический, 78 — транзитивный, 73 — тривиальный, 74 — /-дискретный, 79 Д дези нтегрирование представления, 34 действие группы раздельно непрерывное, 53 — слабо непрерывное, 54 деформационное квантование строгое, 147 деформация Ли, 140 — ассоциативная, 140 — билинейной формы, 139 С*-динамическая система, 162 Ж*-динамическая система, 162 дискретная серия представлений, 70 дифференцирование внутреннее, 55 — внутренние аппроксимативно, 55 — допустимое, 57 — симметрическое, 54 допустимая пара, 72 дуальная пара, 9 Е
евклидизация пространства Минковского, 199 единица левая, 73 — правая, 73 естественный положительный конус, 61 3 замыкание оператора, 56 — представления, 150 И идеал, 27 — двусторонний, 27 максимальный, 27 — примитивный, 31 — собственный, 27 — существенный, 88 измельчение меры, 184 измеримое отображение, 183 — подмножество, 183 изометрия, 51 изоморфизм пространственный, 29 изотонности условие, 126 инволюция, 26 интеграл, 178 — верхний, 179 — со значениями в векторном пространстве, 190 Й Йорданов автоморфизм, 51 — изоморфизм, 51 — морфизм, 51 К калибровочная функция множества, 7 квазиспектр, 32 квантование по Березину, 99 квантовая алгебра Ли, 137 — группа, 135 — решетка, 127 квантовое гильбертово пространство, 106 — распределение, 127 — тождество Якоби, 138 — удвоение, 136 — число, 137 квантовые коммутационные соотношения, 138 — структурные константы, 138 квантовый детерминант, 136 — факториал, 137 коалгебра, 132 когерентное состояние, 92 — состояние ковариантное, 95 — состояние обобщенное, 94 — состояние обобщенное допустимое, 94 когомологии Хосшильда, 140 — Шевалье—Эленберга, 141 коединица, 132 коммутант, 29 — сильно ограниченный, 150 — слабо ограниченный, 150 комплексная форма, 22 комплексное гамильтоново векторное поле, 24 — касательное пространство, 22 — касательное расслоение, 22 — кокасательное пространство, 22 — кокасательное расслоение, 22 комплексный касательный вектор, 22 конструкция ГНС, 3 — Федосова, 142 копроизведение, 132 коэффициент представления, 69 кэлерова метрика, 23 кэлерово многообразие, 23 КАС, 129 ККС С*-алгебра, 124 ККС алгебра, 111 ККС в форме Вейля, 111 ККС в форме Гейзенберга, 111 ККС группа, 111 Л лемма Шура, 86 линейное расслоение, 103 локально интегрируемая функция, 184 локальной коммутативности условие, 127
м матрица плотности, 59 мера, 178 — Баргмана, 122 — Дирака, 178 — Л иу вил ля, 98 — Хаара, 186 левая, 186 — борелевская стандартная, 191 — вероятностная, 191 — внешняя открытого множества, 179 произвольного множества, 180 — инвариантная, 186 на пространстве единиц, 80 — индуцированная, 183 на группоиде, 80 — квазиинвариантная, 186 на пространстве единиц, 80 — максимальная, 193 — множества, 178 — обратная, 185 — ограниченная, 179 — ортогональная, 46 — положительная, 179 — псевдососредоточенная, 192 — сосредоточенная, 183 — точечная, 178 меры эквивалентные, 184 метрическая связность, 23 множество локально пренебрежимое, 182 — орбит группоида, 74 — пренебрежимое, 180 множитель подалгебры, 88 модуль группы, 186 — элемента, 40, 49 модулярная группа, 60 — инволюция, 60 — функция, 80 модулярное условие, 60 модулярный оператор, 60 мультипликатор меры, 186 Н норма, 6 — Гильберта—Шмидта, 17 — операторная, 16 — следовая, 18 носитель меры, 178, 183 — обобщенной функции, 197 О обертывающая алгебра фон Неймана, 172 — С*-алгебра, 38 область, 196 — определения оператора, 56 обобщенная функция, 194 обобщенное граничное значение, 197 обобщенный собственный вектор, 20 оболочка выпуклая замкнутая, 5 образ меры, 184 — промеры, 188 образующие элементы, 87 огибающая, 179 оператор Гильберта—Шмидта, 17 — Казимира, 86 — Лиувилля, 167 — замкнутый, 56 — замыкаемый, 56 — компактный, 17 — комплексной структуры, 21 — неограниченный, 56 — нормальный, 16 — ограниченный, 16 — полного числа частиц, 116 — положительно определенный, 17, 190 — присоединенный, 58, 89 — разложимый, 33 — рождения, 115 — самосопряженный, 56 — симметрический, 56 — сопряженный, 16, 56 максимальный, 56 — сплетающий, 31 — суперотбора, 172 — существенно самосопряженный, 56
— унитарный, 16 — уничтожения, 115 — эрмитов, 16 — ядерный, 18 операторное поле измеримое, 33 определенное почти всюду отображение, 181 основные функции, 194 отделяющее подмножество, 59 относительно инвариантная мера, 187 отношение эквивалентности единиц, 73 отображение антилинейное, 15 — аффинное, 52 — вполне непрерывное, 17 — вырожденное, 17 — положительное, 51 — скалярно непрерывное, 190 — слабо непрерывное, 12 — сопряженное, 12 — ядерное, 19 — ц-собственное, 184 П параметр деформации, 139 плотность меры, 184 подалгебра максимальная, 97 подмножество абсолютно выпуклое, 5 — ограниченное, 10 — относительно компактное, 180 — поглощающее, 6 — слабо ограниченное, 10 — уравновешенное, 5 подобные гомоморфизмы, 75 — группоиды, 75 подпространство самосопряженное, 151 поле гильбертовых пространств измеримое, 32 с интегрируемым квадратом, 33 — представлений, 34 — С*-алгебр, 124 полная масса меры, 180 — система обобщенных собственных векторов, 20 полунорма, 6 полуплотность, 106 польское пространство, 191 поляризация, 105 полярное разложение, 41 пополнение, 7 преддвойственное пространство, 53 предквантование, 105 предквантовое расслоение, 105 предмера, 182 — локально ограниченная, 182 — ограниченная, 182 преднорма, 6 представление Шредингера, 121 — вполне приводимое, 71 — группоида, 81 — замкнутое, 150 — квадратично интегрируемое, 91 — невырожденное, 30 — неприводимое, 151 алгебраически, 31 топологически, 30 — ограниченное, 81 — полное, 133 — регулярное левое, 68 правое, 69 — с интегрируемым квадратом, 70 — самосопряженное, 150 — со следом, 43 — сопряженное, 150 второе, 150 — существенно самосопряженное, 150 — точное, 30 — фоковское, 118 — циклическое, 30 — чисел заполнения, 122 — эрмитово, 149 представления дизъюнктные, 31 — квазиэквивалентные, 31 — со следом квазиэквивалентные, 43 эквивалентные, 43
преобразование Гельфанда, 48, 50 — Лапласа, 198 — Фурье обобщенной функции, 196 промеры, 188 функции, 195 функции обратное, 195 — Фурье—Лапласа, 196 преобразования Боголюбова неоднородные, 121 однородные, 119 принцип соответствия, 97 слабый, 99 присоединенное действие алгебры Хопфа, 137 проективное гильбертово пространство, 24 проектор, 16 проекторы ортогональные, 43 проекционный оператор, 16 произведение Вейля, 143 — Мойла, 141 — косое, 76 — мер, 185 — подкрученное, 148 — полупрямое, 76 производная Радона—Никодима, 184 производящая функция, 112 промера, 188 пространства ^-эквивалентные, 180 пространство Гординга, 85 — Фреше, 7 — Шварца, 194 — банахово, 7 — выпуклое, 5 — гильбертово, 14 — единиц, 73 — локально выпуклое, 6 — оснащенное гильбертово, 20 — предгильбертово, 13 — пробных функций, 194 — рефлексивное, 10 — случайных величин, 158 — счетно-гильбертово, 18 — ядерное, 19 протяженная система, 124 прямая сумма гильбертовых пространств,15 прямой интеграл представлений, 34 Р равномерно непрерывное действие, 53 разложение единицы, 96 — эргодическое, 64 распределение Шварца, 195 — умеренного роста, 194 расслоение группоидов, 77 — линейное универсальное, 109 — модулей, 77 постоянное, 77 — на С*-алгебры, 125 — подгрупп, 79 расширение представления, 150 расширенная числовая прямая, 180 решетка, 193 ряд Лорана, 148 С свертка мер, 185 — меры и функции, 187 — функций, 187 связность абелева, 146 — допустимая, 105 — симплектическая, 145 семейство полное, 14 — топологически свободное, 13 — тотальное, 14 сепарабельное пространство, 7 сеть, 27 сильно непрерывное действие, 54 символ оператора, 100 контравариантный, 100 симплекс, 193 система Хаара, 78 правая, 79 скалярное произведение, 13 след, 41 — конечный, 41 — нормальный, 41 — полуконечный, 41
— точный, 41 случайный процесс, 158 гауссовский, 158 собственное подпространство, 20 сопряженные показатели, 183 состояние, 36 — КМШ, 162 — инвариантное, 63 — когерентное, 96 — на ненормированной алгебре, 152 — основное, 63 — сепарабельное, 169 — точное, 59 — эргодическое, 64 спектр, 31 — оператора, 16 — элемента, 27 спектральное разложение, 20 спиновая решетка, 131 стационарная подгруппа, 93 субпредставление, 151 сужение группоида, 75 сумма мер, 183 суммируемое семейство мер, 184 существенный верхний интеграл, 181,182 Т тензор кривизны симплектической связности, 146 тензорная алгебра, 85 тензорное произведение гильбертовых пространств, 16 неполное, 128 С*-алгебр, 127 теорема Алаоглу—Бурбаки, 11 — Борхерса—Арвесона, 58 — Бохнера, 188 — Вика, 155 — Колмогорова, 10 — Макки—Аренса, 11 — Пуанкаре—Биркгофа— Витте, 85 — Рисса, 193 — Сакаи, 29 — Томита—Такесаки, 60 — Хана—Банаха, 9 — Шура, 72 — фон Неймана, 122 термополевая динамика, 166 топологически сопряженное, 9 топологическое векторное пространство, 5 топология Джекобсона, 31 — Макки, 11 — Фелла, 79 — индуктивного предела, 8 — компактной сходимости, 8 по всем производным, 8 — определяемая семейством преднорм, 7 — ослабленная, 198 — поточечной сходимости, 7, 158 — прямой суммы, 86 — равномерная, 7 — равномерной сходимости, 8 на семействе множеств, 10, 12 — сильная, 10 операторная, 28 — слабая, 9 операторная, 28 определяемая пространством, 9 — слабая*, 10 — сходимости в среднем, 181 порядка/>, 181 — ультрасильная, 28 — ультраслабая, 28 — широкая, 179 — согласующаяся с двойственностью, 9 тотализирующий вектор, 30 сильно, 150 точка крайняя, 11 трансляционная квазиинвариантность, 114 трубчатое множество, 197 У универсальная обертывающая алгебра, 85
— 7?-матрица, 133 универсальное представление, 38 унимодулярная группа, 187 уравнение Янга—Бакстера, 134 — Янга—Бакстера квантовое, 133 условие Бора—Зоммерфельда, 106 — Дирака, 98 — КМШ, 162 — КМШ для мер, 80 — сильной аналитичности, 60 — слабой аналитичности, 60 — справедливое почти всюду, 180 — целочисленности симплектической формы, 105 Ф фактор, 29 фактор-представление, 31 фильтрующееся семейство, 182 фоковское представление, 122 — представление КАС, 131 форма Киллинга, 87 — ковариации, 189 — мажорирующая, 36 — ортогональная, 46 — положительная, 35 — нормальная, 53 — центральная, 45 — чистая, 39 — эрмитова, 13 невырожденная, 13 положительная, 13 формальная размерность, 70 формула Костанта—Сурьо, 105 формы связанные с представлением, 36 фундаментальная форма эрмитовой метрики, 23 функции быстро убывающие на бесконечности, 194 — интегрируемые, 181 — интегрируемые в ^-степени, 181 функция Грина, 167 — Уайтмана, 199 — Швингера, 199 — антиголоморфная, 21 — аффинная, 192 — вогнутая, 192 — выпуклая, 192 — голоморфная, 21 — интегрируемая, 181 — модерантная, 183 — положительного типа, 68, 188 чистая, 68 — пренебрежимая, 180 — существенно ограниченная, 33 X характер, 44 — группы, 71 — коммутативной алгебры, 47 характеристическая функция множества, 178 ц целые аналитические элементы, 61 центр универсальной обертывающей алгебры, 86 центральный носитель, 71 циклический вектор, 30 Э эквивалентные представления, 30 экстремальное разложение, 47 элемент Гильберта—Шмидта, 42 — Казимира, 87 — положительный, 40 строго, 89 — со следом, 42 эрмитова метрика, 22 эрмитово многообразие, 23 Я ядерная группа, 112 ядро положительного типа, 159 Алгебраический подход в квантовой теории основывается на предположении, что квантовая система характеризуется некоторой топологической инволютивной алгеброй А, но физически достоверными могут быть только значения той или
иной непрерывной положительной линейной формы на А, которые интерпретируются как средние значения наблюдаемых квантовой системы. При этом действие алгебры А на себя левыми умножениями выглядит под знаком формы / как ее представление в некотором гильбертовом пространстве. Это составляет содержание так называемой конструкции Гельфанда—Наймарка— Сигала (конструкции ГНС). В рамках алгебраического подхода были получены глубокие результаты, но провести, как надеялись, аксиоматическое построение квантовой теории в целом не удалось. Одна из причин неудачи заложена в исходном постулате алгебраического подхода. Вышеупомянутая форма/на алгебре наблюдаемых с точностью до постоянного множителя определяется своим ядром fl(0). Таким образом, задание средних значений — это задание аннулятора на алгебре квантовой системы. Следовательно сама эта алгебра по средним значениям реконструируется не полностью и остается, вообще говоря, неизвестной. Поэтому в данной книге мы не обсуждаем аксиоматику алгебр наблюдаемых квантовых систем (см., например, [25]), а следуем конструктивному подходу, когда квантовые наблюдаемые отождествляются с эрмитовыми элементами топологических инволютивных алгебр. В квантовой механике это, как правило, нормированные алгебры, выполняемые ограниченными операторами в гильбертовых пространствах. В алгебраической квантовой теории поля алгебры квантовых полей не нормированы [24]. По алгебраической квантовой теории существует обширнейшая литература. Эта теория имеет много аспектов, которые ни по методам, ни по кругу решаемых задач не выстраиваются в какую-либо единую логическую схему. Суммировать их все в рамках одной монографии невозможно. Поэтому в данной книге затронуты в основном те стороны алгебраической квантовой теории, которые так или иначе имеют выход в квантовую теорию поля. При этом, как и в предыдущих томах, мы уделяем основное внимание не моделям, а методам и идеям, на которых эти методы основаны. Чтобы сделать изложение компактным, мы опускаем, как правило, доказательства приводимых утверждений и теорем, отсылая читателя за деталями к цитируемой литературе. В отношении алгебраической квантовой теории поля мы решаем тоже ограниченную, но более близкую к реалистическим моделям задачу, сводя описание квантовых полей к заданию производящих функционалов их хронологических вакуумных средних. Под знаком такой формы квантовые поля (будем говорить для определенности о скалярном поле) коммутируют, и их алгебру можно заменить соответствующей коммутативной тензорной алгеброй, которая, в свою очередь, представляет собой обертывающую алгебру коммутативной алгебры Ли трансляций в бесконечномерном ядерном пространстве Q. Состояние на такой алгебре задается функцией Z положительного типа на Q и имеет смысл производящего функционала. Она является преобразованием Фурье некоторой положительной меры на сопряженном к Q пространстве обобщенных функций, т.е. записывается в виде функционального интеграла. Это важно, поскольку широко применяемые сейчас в
квантовой теории поля функциональные интегралы строятся обычно как формальный предел мер в конечномерных пространствах и на них иногда необоснованно экстраполируются свойства этих мер, например, трансляционная инвариантность меры Лебега.
Введение Алгебраический подход в квантовой теории основывается на предположении, что квантовая система характеризуется некоторой топологической инволютивной алгеброй А, но физически достоверными могут быть только значения той или иной непрерывной положительной линейной формы на А, которые интерпретируются как средние значения наблюдаемых квантовой системы. При этом действие алгебры А на себя левыми умножениями выглядит под знаком формы / как ее представление в некотором гильбертовом пространстве. Это составляет содержание так называемой конструкции Гельфанда—Наймарка—Сигала (конструкции ГНС). В рамках алгебраического подхода были получены глубокие результаты, но провести, как надеялись, аксиоматическое построение квантовой теории в целом не удалось. Одна из причин неудачи заложена в исходном постулате алгебраического подхода. Вышеупомянутая форма / на алгебре наблюдаемых с точностью до постоянного множителя определяется своим ядром /~'(0). Таким образом, задание средних значений — это задание аннулятора на алгебре квантовой системы. Следовательно сама эта алгебра по средним значениям реконструируется не полностью и остается, вообще говоря, неизвестной. Поэтому в данной книге мы не обсуждаем аксиоматику алгебр наблюдаемых квантовых систем (см., например, [25]), а следуем конструктивному подходу, когда квантовые наблюдаемые отождествляются с эрмитовыми элементами топологических инволютив- ных ачгебр. В квантовой механике это, как правило, нормированные алгебры, выполняемые ограниченными операторами в гильбертовых пространствах. В алгебраической квантовой теории поля алгебры квантовых полей не нормированы [24]. По алгебраической квантовой теории существует обширнейшая литература. Эта теория имеет много аспектов, которые ни по методам, пи по кругу решаемых задач не выстраиваются в какую-либо единую логическую схему. Суммировать их все в рамках одной монографии невозможно. Поэтому в данной книге затронуты в основном те стороны алгебраической квантовой теории, которые так или иначе имеют выход в квантовую теорию поля. При этом, как и в предыдущих томах, мы уделяем основное внимание не моделям, а методам и идеям, на которых эти методы основаны. Чтобы сделать изложение компактным, мы опускаем, как правило, доказательства приводимых утверждений и теорем, отсылая читателя за деталями к цитируемой литературе. В отношении алгебраической квантовой теории поля мы решаем тоже ограниченную, но более близкую к реалистическим моделям задачу, сводя описание квантовых полей к заданию производящих функционалов их хронологических вакуумных средних. Под знаком такой формы квантовые поля (будем говорить для определенности о скалярном поле) коммутируют, и их алгебру можно заменить соответствующей коммутативной тензорной алгеброй, которая, в свою очередь, представляет собой обертывающую алгебру коммутативной алгебры Ли трансляций в бесконечномерном ядерном пространстве Q. Состояние на такой алгебре задается функцией Z положительного типа
4 Введение на Q и имеет смысл производящего функционала. Она является преобразованием Фурье некоторой положительной меры на сопряженном к Q пространстве обобщенных функций, т.е. записывается в виде функционального интеграла. Это важно, поскольку широко применяемые сейчас в квантовой теории поля функциональные интегралы строятся обычно как формальный предел мер в конечномерных пространствах и на них иногда необоснованно экстраполируются свойства этих мер, например, трансляционная инвариантность меры Лебега.
Глава 1 Пространства Эта глава посвящена пространствам, с которыми имеет дело алгебраическая квантовая теория. К ним относятся всевозможные бесконечномерные топологические векторные пространства, в том числе гильбертовы пространства, в которых реализуются представления алгебр наблюдаемых. § 1. Топологические векторные пространства Мы ограничимся в этом параграфе вещественными векторными пространствами. Топологическое векторное пространство Е над R — это векторное пространство, наделенное топологией, согласующейся с его алгебраической структурой, т.е. операции сложения векторов и их умножения на числа непрерывны. Более того, эти операции являются гомеоморфизмами и топология Е определяется базисом окрестностей его начала. Приведем основные понятия (см. [5, 17]). Подмножество топологического векторного пространства, если оно само является векторным пространством, называется векторным подпространством. Замыкание векторного подпространства является векторным подпространством. Максимальное собственное векторное подпространство именуется гиперподпространством. Гиперподпространство либо замкнуто, либо плотно. Подмножество V векторного пространства Е называется выпуклым, если линейная комбинация Хх + цу принадлежит V для всех элементов х, у Е V и чисел A, fi Е R, удовлетворяющих условиям: А ^ О, ц ^ О, А + /z = I. В частности, пересечение любого семейства выпуклых множеств выпукло. Если V выпукло, то множество х + XV тоже выпукло для любых х Е Е и A Е R. Пусть V — подмножество Е. Множество всевозможных конечных линейных комбинаций А,-а:', где хг Е V, А,- ^ 0 и £ А,- = I, выпукло и называется выпуклой оболочкой i подмножества V. Это наименьшее выпуклое подмножество Е, содержащее V. Подмножество V называется уравновешенным, если As Е V для всех х Е V и таких А, что |А| < 1. В топологическом векторном пространстве замыкание выпуклого (соотв. уравновешенного) множества выпукло (соотв. уравновешено). В частности, замыкание выпуклой оболочки подмножества V выпукло. Оно называется замкнутой выпуклой оболочкой V. Подмножество V называется абсолютно выпуклым, если оно и выпукло, и уравновешено, т. е. \х+цу g v для всех х,у Е V и таких чисел А, ц, что |А|+|^| < 1. В частности, если подмножества V и W абсолютно выпуклы, то подмножество V + W, образованное суммами элементов из V и W, и подмножество AV тоже абсолютно выпуклы.
6 Глава 1. Пространства Говорят, что подмножество V топологического векторного пространства Е является поглощающим, если для каждого элемента х £ Е существует такое А > 0, что х £ eV для всех е, \е\ > А. Абсолютно выпуклое множество V является поглощающим тогда и только тогда, когда оно порождает Е, т. е. Е = (J nV, п £ N. п Пусть Е — топологическое векторное пространство и Wo — его базис (фундаментальная система) окрестностей начала. Легко видеть, что для всякой окрестности начала U £ Щ имеют место следующие свойства: • U — поглощающее множество; • существует окрестность V £ U0 такая, что V + V С U; • существует уравновешенная окрестность W С U. Из последнего следует, что в каждом топологическом векторном пространстве имеется базис уравновешенных окрестностей начала. Топологическое векторное пространство Е называется локально выпуклым, если в нем имеется базис выпуклых окрестностей начала. Очевидно, что в таком пространстве существует базис абсолютно выпуклых и поглощающих окрестностей начала, обладающих свойствами: • если U £ Щ, то XU £ Но для всех А ф 0; • для любых U,V £ Wo существует окрестность W £ Но такая, что W С U Л V. Обратно, если в векторном пространстве Е задано семейство абсолютно выпуклых и поглощающих множеств с приведенными выше свойствами, то в Е существует локально выпуклая топология, в которой это семейство составляет базис окрестностей начала. В дальнейшем мы будем рассматривать только локально выпуклые топологические векторные пространства. Топология в таких пространствах определяется системами преднорм. Определение 1.1.1. Неотрицательная (принимающая конечные значения) функция р на векторном пространстве Е называется преднормой (или полунормой), если она удовлетворяет условиям р(х) ^ 0, р(\х) = |А| р(х), р(х + у) ^ р(х) + р{у) для всех х, у £ Е, А £ К. Невырожденная преднорма р, когда р{х) = 0 влечет х = 0, называется нормой. О Пусть р — преднорма на Е. Тогда множества {х : р(х) < е} и {х : р(х) < е) для любого е > 0 абсолютно выпуклые и поглощающие. Обратно, каждому абсолютно выпуклому и поглощающему множеству V С Е соответствует преднорма pv(x) = inf{A : А > 0, х £ XV} на Е, обладающая свойством {ж : pY(x) <1}СУс{х: pv(x) s£ 1}.
§ 1. Топологические векторные пространства 7 Преднорма ру именуется калибровочной функцией множества V. Пусть Е — топологическое векторное пространство. Калибровочная функция ру на Е непрерывна тогда и только тогда, когда V — окрестность. В этом случае {х : ру(х) < 1} — внутренность, а {х : pv(x) ^ 1} — замыкание множества V в Е. Указанная связь между преднормами и абсолютно выпуклыми поглощающими множествами и позволяет определять топологию локально выпуклого векторного пространства посредством преднорм. Теорема 1.1.2. Пусть на векторном пространстве Е задано некоторое семейство преднорм Q = {pi, г £ I}, индексируемое множеством /. Тогда в Е существует слабейшая топология, в которой каждая преднорма из семейства Q непрерывна. В этой топологии Е является локально выпуклым топологическим векторным пространством с базисом замкнутых окрестностей начала, образованным множествами вида {х : sup pi(x) ^ е}, е > О, р{ £ Q, п £ N. Говорят, что эта топология определяется семейством преднорм Q. а Заметим, что топология, определяемая семейством преднорм, в общем случае не отделима. Она отделима тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого элемента х £ Е существует преднорма р £ Q такая, что р(х) > 0. В частности, пусть р — норма на векторном пространстве Е. Топология в Е, задаваемая семейством Q, состоящим из одного элемента р, называется равномерной. Она является метрической топологией с функцией расстояния р(х, у) = р(х - у) и отделимой. В свою очередь, топологическое векторное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно отделимо и обладает счетным базисом окрестностей начала. Не всякое метризуемое топологическое векторное пространство является нормированным. Полное нормированное векторное пространство называется банаховым, а полное метризуемое векторное пространство — пространством Фреше. Замечание 1.1.1. Топологическое векторное пространство называется полным, если всякий фильтр Коши в нем сходится. Всякое нормированное векторное пространство и всякое метризуемое векторное пространство всегда могут быть минимальным образом расширены до полных векторных пространств, называемых их пополнением. □ Замечание 1.1.2. Топологическое пространство именуется сепарабелъным, когда его топология имеет счетную базу. Если пространство метризуемо, то оно сепарабельно тогда и только тогда, когда в этом пространстве существует плотное счетное множество. □ Приведем некоторые примеры топологических векторных пространств. Пример 1.1.3. В конечномерном векторном пространстве единственной отделимой топологией является евклидова. Р Пример 1.1.4. Пусть X — произвольное множество. Векторное пространство всех вещественных или комплексных функций / на X можно сделать локально выпуклым пространством, наделив его топологией поточечной сходимости, определяемой преднормами Px(f) = \f(x)\ для каждого х € X. а
8 Глава 1. Пространства Пример 1.1.5. Векторное пространство L(K) непрерывных вещественных функций / на компактном топологическом пространстве К допускает метрическую топологию равномерной сходимости на К, определяемую нормой || / ||= sup \f{x)\. (1.1) х€К □ Пример 1.1.6. Пространство L(X) непрерывных вещественных функций на топологическом (не обязательно компактном) пространстве X может быть наделено топологией компактной сходимости, задаваемой семейством преднорм Рк(Л = sup |/(а0|, (1.2) х£К где К — всевозможные компактные подмножества X. Обозначим fC(X) плотное в L(X) относительно топологии компактной сходимости пространство непрерывных вещественных функций с компактным носителем. Это банахово пространство относительно нормы (1.1). Однако соответствующая равномерная топология в нем сильнее топологии компактной сходимости, определяемой преднормами (1.2). В дальнейшем, если особо не оговаривается, будет подразумеваться, что fC(X) снабжено именно топологией компактной сходимости. В то же время пространство К,{Х) может быть наделено еще одной топологией, которая сильнее и топологии компактной сходимости, и равномерной топологии. Это топология индуктивного предела,'особенно приспособленная к теории интегрирования. Для каждого компактного множества К С X обозначим К,К(Х) векторное подпространство пространства К,{Х), состоящее из тех функций, носитель которых содержится в К. Пусть U — множество всех абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств U из fC(X) таких, что U Л К,к{Х) для каждого К есть окрестность в /С#(X), наделенном топологией равномерной сходимости в К. Тогда U — базис окрестностей локально выпуклой топологии в К,{Х), индуцирующей на каждом К,К(Х) топологию, мажорируемую топологией равномерной сходимости. □ Пример 1.1.7. Пространство бесконечно дифференцируемых функций на прямой R допускает локально выпуклую метризуемую топологию компактной сходимости по всем производным, определяемую преднормами Pmn(f)= sup |/(m,(z)|, m€N, 71=1,.... (1.3) z€[-n,n] □ § 2. Сопряженные пространства Рассмотрим множество Е* линейных форм на векторном пространстве Е. Это векторное пространство, именуемое алгебраически сопряженным к Е. Пусть / € Е* — ненулевая линейная форма на Е. Ее ядро /~'(0) образует гиперподпространство пространства Е. Всякая ненулевая линейная форма на Е полностью определяется заданием своего ядра и значением в некоторой не принадлежащей ядру точке. В частности, для любого гиперпространства в Е всегда существует линейная форма, ядром которой
§2. Сопряженные пространства оно является. Линейная форма на топологическом векторном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда ее ядро замкнуто. Приведем один из вариантов теоремы Хана—Банаха о продолжении непрерывной линейной формы. Теорема 1.2.1. Любая непрерывная линейная форма, заданная на векторном подпространстве (локального выпуклого) топологического векторного пространства Е, допускает непрерывное линейное продолжение на все Е, хотя, конечно, не единственное. Q Определение 1.2.2. Обозначим Е' векторное подпространство пространства Е*, состоящее из всех непрерывных линейных форм на топологическом векторном пространстве Е. Оно называется топологически сопряженным или просто сопряженным к Е. Q Отображение 5 :/->/(а:), х£Е, f£E', (1.4) определяет вложение векторного пространства Е в векторное пространство Е'*. Приведем одно из следствий теоремы Хана—Банаха. Следствие 1.2.3. Пусть Е — отделимое топологическое векторное пространство с сопряженным Е'. Если /(г) = 0 для всех / £ Е', то х = 0. □ Рассмотрим топологии, которые вводятся в сопряженном пространстве. Начнем с конструкции, обобщающей понятие сопряженного пространства. Пусть Е и F — два векторных пространства, и на произведении Е х F задана билинейная форма (х, у), удовлетворяющая условию, что для каждого элемента х ф 0 из Е существует такой элемент у 6 F, что (х, у) Ф 0, и соответственно для каждого элемента у ф 0 из F существует такой элемент х 6 Е, что (х. у) Ф 0. Тогда имеет место естественный мономорфизм F в Е*, при котором образом у 6 F служит форма у(х) = {х,у). Соответственно задается мономорфизм Е в F*. В этом случае говорят, что (Е, F) — дуальная пара. Очевидно, если (Е, F) — дуальная пара, то (F, Е) — тоже дуальная пара. Пусть (Е, F) — дуальная пара. Каждому элементу у G F отвечает преднорма Ру(х) = 1(а,3/)| на Е. Топологию в Е, задаваемую системой таких преднорм {ру, у £ F}, называют слабой топологией, определяемой пространством F, и обозначают <т(Е, F). Множества {х: sup \{x,yi)\ < l}, (1.5) где {у*} — всевозможные конечные наборы элементов из F, образуют базис замкнутых окрестностей начала в топологии а(Е, F), которая локально выпукла и отделима. Значение топологии cr(E, F) состоит в том, что всякий элемент из F является непрерывной формой на векторном пространстве Е, наделенном этой топологией, т е. F С Е'. Более того, можно показать, что F совпадает с сопряженным пространством Е' к векторному пространству Е, наделенному топологией о~(Е, F). Однако это не единственная топология в Е, которая обладает таким свойством. Всякая локально выпуклая топология в векторном пространстве Е, дающая в качестве сопряженного к Е пространство F, называется топологией, согласующейся с двойственностью между Е и F. Топология а(Е, F) является слабейшей из них. В частности, пусть Е — отделимое топологическое векторное пространство, Е' — его сопряженное и (,) — естественная билинейная форма на Е х Е'. Тогда (Е, Е') — дуальная пара. Топология а(Е, Е') в Е называется слабой. Это слабейшая топология в Е,
10 Глава 1. Пространства при которой все линейные формы из Е' непрерывны. В частности, она слабее исходной топологии в Е. Введем топологию и в сопряженном пространстве Е', исходя из того, что (Е', Е) — тоже дуальная пара. В Е1 может быть задана топология а{Е\ Е), которая называется слабой*. Это такая топология, что для всякого элемента х 6 Е форма х (1.4) на Е' является непрерывной, и сопряженным к Е', наделенному слабой* топологией, служит Е. Замечание 1.2.1. Отметим противоречивость встречающейся в литературе терминологии. Например, в [5] слабая топология в Е называется ослабленной, а слабая* топология ь Е' — просто слабой, о Слабая* топология в сопряженном пространстве Е' представляет собой частный (слабейший) случай так называемых топологий равномерной сходимости в Е' на семействе подмножеств из Е. Опишем эти топологии. Напомним, что подмножество V топологического векторного пространства называется ограниченным, если оно поглощается всякой окрестностью начала U, т.е. V С XU, Л б К, начиная с некоторого значения |Л|. Замечание 1.2.2. Отметим, что согласно теореме Колмогорова отделимое топологическое векторное пространство, содержащее ограниченную окрестность начала, нормируемо. Отсюда следует, между прочим, что шары {х : р(х) < е} метризуемого ненормированного векторного пространства не являются ограниченными множествами. D Пусть (Е, Е') — дуальная пара и V — некоторое семейство слабо ограниченных (т. е. ограниченных в слабой топологии) подмножеств из Е (напомним, что Е отделимо). Рассмотрим подмножества V' = {y£E': sup\(x,y)\^\\, F£V, (1.6) сопряженного пространства Е'. Они абсолютно выпуклые и поглощающие. Их калибровочные функции Pv,(y) = sup\(x,y)\, VeV, (1.7) zev образуют систему преднорм на Е'. Следовательно, в Е' существует слабейшая топология, в которой подмножества (1.6) образуют базис окрестностей начала. Она называется топологией равномерной сходимости на семействе подмножеств V. В случае, когда V — семейство всех конечных подмножеств векторного пространства Е, топология равномерной сходимости на этом семействе совпадает с введенной выше слабой* топологией вй'и является слабейшей из всех топологий равномерной сходимости. Отсюда, в частности, следует, что всякая топология равномерной сходимости отделима. Сильнейшая топология равномерной сходимости отвечает семейству всех слабо ограниченных подмножеств из Е. Она называется сильной топологией в Е'. Пространство, сопряженное к Е' в случае сильной топологии в Е', называется вторым сопряжением к£и обозначается Е". Говорят, что пространство Е рефлексивно, если оно изоморфно своему второму сопряжению Е". Рассматривая дуальную пару (Е', Е), пространство Е также можно наделить топологией равномерной сходимости на семействе подмножеств из Е' (например, слабой* и сильной топологиями). Более того, каждая отделимая локально выпуклая топология в Е является топологией равномерной сходимости на семействе подмножеств из Е'. Сильнейшей из них является сильная топология в Е. Однако не всякая топология равномерной сходимости согласуется с двойственностью между Е и Е'. Для этого необходимо и достаточно, чтобы она была топологией равномерной сходимости на каком-
§ 3. Пространства линейных отображений 11 либо семействе абсолютно выпуклых слабо* компактных подмножеств из Е' (теорема Макки—Аренса). Среди таких топологий есть сильнейшая — топология равномерной сходимости на семействе всех абсолютно выпуклых слабо* компактных подмножеств Е'. Она называется топологией Макки. Предложение 1.2.4. Для всех топологий в отделимом топологическом векторном пространстве Е, согласующихся с двойственностью между Е и Е', ограниченные множества одни и те же. □ Пример 1.2.3. Пусть Е — нормированное пространство. Рассмотрим семейство всех шаров {х : || х ||^ е, е > 0} в Е. Топология равномерной сходимости на этом семействе совпадает с равномерной топологией в Е', задаваемой нормой || у ||= sup \{х,у)\ (1.8) МИ на Е1, а также с сильной топологией, поскольку ограниченные по норме множества в Е совпадают со слабо ограниченными. Единичные шары нормированного пространства Е' слабо компактны (теорема Алаоглу—Бурбаки\ и топология Макки в Е совпадает с сильной и исходной равномерной топологиями в Е. Пусть Е — банахово пространство, получаемое пополнением нормированного пространства Е. Тогда Е' канонически отождествимо с (Е)' как нормированное пространство. Однако слабые* топологии в Е' и (Е)' различны. Подчеркнем, что Е' и второе сопряжение Е" являются банаховыми пространствами и что нормированное пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его единичный шар слабо компактен. Если Е — банахово пространство, то оно замкнуто в Е" в сильной топологии в Е" и плотно в слабой* топологии в Е". Слабая* топология в банаховом пространстве Е совпадает с топологией а(Е, F), где F С Е и F' = Е С Е". Таким образом, резюмируя вышесказанное, в банаховых пространствах обычно рассматриваются слабая, слабая* и сильная, она же равномерная, топологии. □ Замечание 1.2.4. Скажем несколько слов о компактных подмножествах отделимого топологического векторного пространства Е. Компактное множество в таком пространстве замкнуто и ограничено. Если в Е существует компактная окрестность начала, то оно конечномерно. Например, локально компактные векторные пространства конечномерны. Напомним, что точка х выпуклого множества V в векторном пространстве Е называется крайней, если из соотношения x = Xy + (\-X)z, y,z£V, следует, что А = 0 или А = I. Каждое компактное выпуклое множество в отделимом топологическом векторном пространстве представляет собой замкнутую выпуклую оболочку множества своих крайних точек. Пусть V — компактное множество, обладающее компактной замкнутой выпуклой оболочкой W. Тогда каждая крайняя точка множества W принадлежит V. О §3. Пространства линейных отображений Рассмотрим линейные отображения топологических векторных пространств и приведем соотношения между условиями непрерывности этих отображений относительно различных топологий.
12 Глава 1. Пространства Линейное отображение отделимого топологического векторного пространства Е в отделимое топологическое векторное пространство F называется слабо непрерывным, если оно непрерывно при наделении Е и F слабыми топологиями. Предложение 1.3.1. Непрерывное отображение Е в F также слабо непрерывно. При этом, если топология в Е — это топология Макки, то каждое слабо непрерывное отображение Е в F непрерывно. □ Всякое линейное отображение *у : Е -+ F порождает соответствующее линейное отображение 7': F' -+ Е', определяемое соотношением <а>,7'(у)> = (7(аО,У>, * £ Е, yZF1. (1.9) Оно называется сопряженным к 7- Предложение 1.3.2. Если 7 слабо непрерывно, то 7' слабо* непрерывно. □ Пример 1.3.1. Если Е и F нормированные пространства, то всякое слабо непрерывное отображение j : Е —> F является непрерывным и сильно непрерывным, а для непрерывности сопряженного отображения 7' (относительно равномерных топологий в Е и F) необходима и достаточна непрерывность 7- е Обозначим L(E, F) векторное пространство непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства Е в топологическое векторное пространство F. Введем топологию в L(E, F) по аналогии с топологизацией сопряженного пространства. Пусть V — некоторое семейство ограниченных множеств из Е, и пусть Uq — базис абсолютно выпуклых окрестностей начала в F. Для каждого множества V € V и каждой окрестности U € Uq положим Wv,u = b: 1(V)CU), <yeL(E,F). Множества Wu,v являются абсолютно выпуклыми и поглощающими. Они определяют в L(E, F) локально выпуклую топологию, называемую топологией равномерной сходимости на семействе множеств V. Эта топология определяется также семейством преднорм, когда каждому множеству V £ V и всякой непрерывной преднорме р на F ставится в соответствие преднорма pv(i) = sup p(j(x)) (1.10) 16V на L(E,F). Сильнейшая такая топология получается, если в качестве V взято множество всех ограниченных подмножеств пространства Е, В частности, если Е и F — нормированные пространства, то пространство L(E, F) тоже нормируемо с нормой || 7 ||= sup ||7<а0||. (1.П) § 4. Гильбертовы пространства Пусть теперь Е — комплексное векторное пространство. Заметим, что все изложенное ниже легко переносится и на вещественные векторные пространства. Поэтому можно говорить о вещественных предгильбертовых и гильбертовых пространствах.
§ 4. Гильбертовы пространства 13 При этом вещественные отделимые предгильбертовы пространства — это вещественные нормированные пространства, а вещественные гильбертовы пространства — это вещественные банаховы пространства (см. ниже Замечание I.4.I). Определение 1.4.1. Эрмитовой формой на Е называется комплексная функция ф на Е х Е, удовлетворяющая следующим условиям: ф(х, у) = ф(у, х), х,у£Е, ф(х + z,y) = ф(х, у) + ф(г, у), ф(Хх, у) = Хф(х, у), A G С. D Говорят, что эрмитова форма ф положительна, если ф(х, х) > 0 при всех х £ Е. Положительная форма обладает свойством ф(х,у)2^ф(х,х)ф(у,у). (1.12) Она называется невырожденной, если ф(х, х) > 0 для всех х Ф 0. Векторное пространство Е, наделенное положительной эрмитовой формой, именуется предгильбертовым. В дальнейшем эрмитову форму, задающую на Е структуру предгильбертова пространства, будем обозначать Ц.)Е или просто (.|.). Она наделяет предгильбертово пространство Е преднормой \\х\\=(х\х)хп (1.13) и соответствующей топологией. В этом случае положительная эрмитова форма на Е называется скалярным произведением. При этом для отделимости Е необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение (.|.) было невырождено, т.е. преднорма (1.13) была нормой. Изоморфизм -у предгильбертова пространства Е на предгильбертово пространство F предполагает, что (7(x)|7(j/))F = (х\у)Е- Замечание 1.4.1. Легко убедиться, что в случае вещественного нормированного пространства Е норма || . || на Е задает вещественную невырожденную положительную эрмитову форму Ш=1-(\\х + у\\-\\х-у\\) на Е, превращая его в отделимое вещественное предгильбертово пространство. В свою очередь, всякое предгильбертово пространство имеет структуру вещественного нормированного пространства. □ Наличие эрмитовой формы позволяет ввести понятие ортогональности векторов предгильбертова пространства. Семейство {е,-, i £ 1} векторов предгильбертова пространства Е называется орто- нормальным, если векторы е,- и е,- ортогональны при i Ф j и || е,- ||= 1 для всех г £ I. Справедливы следующие утверждения. • Каждое ортонормальное семейство в отделимом предгильбертовом пространстве топологически свободно, т.е. каков бы ни был индекс j 6 /, замкнутая линейная оболочка векторов {е,-, г Ф j} не содержит е;-.
14 Глава 1. Пространства • Для каждого х £ Е множество тех г 6 /, для которых (ж|е,) ф О, не более чем счетно и имеет место соотношение £<х|е,)2 < || х ||2 . Ортонормальное семейство векторов {ег-, г £ 1} называется тотальным (полным), если его линейная оболочка плотна в Е. Для этого необходимо и достаточно, чтобы из условия, что (ж|е,-) = 0 для всех е,, следовало а: = 0. Тогда для всякого х £ Е имеет место выражение х = £>|е;)еь || х \\2= J2\(x\ei)\ ■ ig/ «g/ Если семейство {е*, г £ 1} тотально, то для всякого набора чисел {А', г € /} таких, что £ М2 < оо, 16/ существует элемент х € Е, для которого (х|е,) = А' при каждом г. Если {(5\ i Е 1} — другое такое же семейство чисел ну — соответствующий вектор, то (х\у)=^^- г Тотальное ортонормальное семейство векторов {е*, г € /} в отделимом предгильбертовом пространстве Е называется ортонормалышм базисом этого пространства, а числа {x\ei) — координатами вектора х Е Е относительно базиса {ej. Подчеркнем, что ортонормальный базис в отделимом предгильбертовом пространстве существует не всегда. Определение 1.4.2. Полное отделимое предгильбертово пространство называется гильбертовым пространством. □ Любое отделимое предгильбертово пространство единственным образом может быть пополнено до гильбертова пространства. При этом ортонормальный базис предгильбертова пространства (если он существует) становится и ортонормальным базисом его пополнения. В каждом гильбертовом пространстве существует ортонормальный базис, и всякое ортонормальное семейство векторов содержится в некотором ортонормальном базисе. Причем все ортонормальные базисы гильбертова пространства имеют одну и ту же мощность, называемую гильбертовой размерностью этого пространства. В частности, если гильбертова размерность не более чем счетна, то гильбертово пространство является сепарабельным; справедливо и обратное утверждение. Всегда имеется автоморфизм гильбертова пространства, преобразующий один ортонормальный базис в другой. Приведем некоторые операции с гильбертовыми пространствами. Пусть Е' — сопряженное к гильбертову пространству Е. Отображение у ^ у(х) = с {х\у), х, у 6 Е, (1.14)
§ 4. Гильбертовы пространства 15 осуществляет биективное отображение нормированного пространства Е на нормиро- ванное пространство Е' с нормой (1.8). Это отображение антилинейно, т.е. (Ху) = Ху. При этом \т* = ми- Более того, Е' наделяется скалярным произведением (у\х)' = (х\у). (1.15) Пространство Е' изоморфно гильбертову пространству Е, получаемому из Е путем наделения Е внешней композицией (А, х) = Хх. Оно называется дуальным к Е. Пусть {Еа} — семейство гильбертовых пространств. Обозначим ЦЕ" произведение векторных пространств Еа из этого семейства, а £ Еа — их прямую сумму. Последняя представляет собой подпространство U.E", образованное теми точками х £ П-Ё"*, у которых ха Ф О лишь для конечного числа индексов а. Для любой пары элементов х = {х") и у = (уа) из Т. Еа определена сумма {^E^Ert'V, (i.i6) а которая задает на 52 Е" невырожденную положительную эрмитову форму и наделяет 52 Е" структурой отделимого предгильбертова пространства. Гильбертовой суммой Е = фЕа а семейства гильбертовых пространств {Еа} называется пополнение 52 Еа по форме (1.16). Его можно отождествить с подпространством произведения U.E", состоящим из точек х, для которых J2 II ха ||В-.<00. а При этом объединение ортонормальных базисов гильбертовых пространств Еа составляет ортонормальный базис предгильбертова пространства 52 Е" и гильбертовой суммы Е. Аналогично определяется тензорное произведение гильбертовых пространств. Пусть Е и Н — два гильбертовых пространства. Обозначим S векторное пространство всех билинейных форм на произведении Е х Н. Пусть S* — его алгебраическое сопряженное. Существует естественное отображение q : (х, у) !-► q(x, y)(z) = z(x, у), х £ Е, у £ F, z £ S, произведения Е х Н в S*. Его образ, вообще говоря, не является векторным подпространством. Рассмотрим линейную оболочку Т образа q(ExH) в S*. Каждый ее элемент может быть записан в виде конечной суммы w = J2 х° ® v"> х° 6 Е, уа б F,
V6 Глава 1. Пространства хотя и не единственным образом. Тем не менее пространство Т может быть наделено положительной невырожденной эрмитовой формой (wt\w2)=j:(^\<4)B(yi\^)H, afi которая превращает его в отделимое предгильбертово пространство. Пополнение Т по этой форме называется тензорным произведением Е®Н гильбертовых пространств Е и Н. Пусть {е,} и {hj} — ортонормальные базисы гильбертовых пространств Е и Н соответственно. Тогда семейство {е,- ® hj} составляет ортонормальный базис предгильбертова пространства Т и гильбертова пространства Е®Н. § 5. Операторы в гильбертовых пространствах Если специально не оговорено, оператором в гильбертовом пространстве Е называется непрерывное линейное отображение Е —> Е как топологических векторных пространств. Всякий такой оператор а ограничен, т.е. существует такое число А, что \\ах\\ ^ Х\\х\\, Vx G Е. В частности, всякий оператор а в гильбертовом пространстве наделен операторной нормой \\а\\ = sup \\ах\\Е. (1.17) |1*11в=1 Замечание 1.5.1. В отличие от квантовой теории поля, в квантовой механике мы имеем дело, как правило, с ограниченными операторами. Пример неограниченных операторов дают дифференцирования — генераторы однопараметрических групп автоморфизмов алгебр наблюдаемых (см. § 3.2). □ Для каждого оператора а в гильбертовом пространстве Е существует оператор а*, именуемый сопряженным, такой, что (ах\у) - (х\а*у), Ух,у ЕЕ. Очевидно, что (а*)* = а. Напомним основные термины. Оператор а в гильбертовом пространстве называется: • эрмитовым, если о* = а; • проектором (проекционным оператором), если он эрмитов и а2 = а; • нормальным, если аа* = а*а; • унитарным, если он нормальный и аа* — 1, где 1 всюду в дальнейшем обозначает тождественный оператор или единичный элемент алгебр и групп. Спектром Sp а оператора а именуется множество комплексных чисел А таких, что оператор о - А1 необратим. Остановимся теперь более подробно на операторах Гильберта—Шмидта и ядерных операторах в гильбертовых пространствах.
§ 5. Операторы в гильбертовых пространствах 17 Определение 1.5.1. Непрерывное отображение у гильбертова пространства Е в гильбертово пространство Н называется вполне непрерывным, если это компактный оператор, т.е. переводящий всякое ограниченное множество в множество с компактным замыканием. □ Для того чтобы отображение у было вполне непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы существовали ортонормальные базисы {е'} и {h'} пространств Е и Н, относительно которых отображение у принимало бы вид 7(z) = X><z|eVi\ (1-18) « где А, — положительные числа, причем А,- Ф О для не более чем счетного множества ин дексов г и lim А, = 0. Всякое вполне непрерывное отображение может быть представле- но в виде у = UT, где Т — положительно определенный (т. е. (Тх\х) ^ 0, Va: G Е) вполне непрерывный оператор в Е и U — некоторое изометрическое отображение Е в II. Например, всякое вырожденное отображение (т. е. отображение Е на конечномерное подпространство Н) вполне непрерывно. Примером может служить отображение 7 : х -> {х\у)Е$, где у и £ — некоторые фиксированные элементы соответственно Е и II. Более того, множество вполне непрерывных отображений совпадает с пополнением множества вырожденных операторов по операторной норме || 7 11= sup ||7(aO||tf=maxAj, где А, — коэффициенты из разложения (1.18). В частности, всякий оператор в конечномерном гильбертовом пространстве вполне непрерывен. Определение 1.5.2. Оператором Гильберта—Шмидта в гильбертовом пространстве Е называется вполне непрерывный оператор £ — UT, для которого сходится ряд II е ||2= В^Г)2 = тг(£ ч), составленный из квадратов собственных значений Xf оператора Т. о Для этого необходимо и достаточно, чтобы ряд £ II ее' ||2 > \\£\\2 i сходился для некоторого ортонормального базиса {е1} гильбертова пространства Е. Тогда он будет сходиться для любого другого ортонормального базиса Е, и его сумма будет равна imiHs=fEA,2 X в представлении (1.18). Эта величина называется нормой Гильберта—Шмидта оператора £■ Множество операторов Гильберта—Шмидта является полным нормированным
18 Глава 1. Пространства пространством относительно этой нормы и более того, гильбертовой алгеброй (см. Замечание 2.5.3). Заметим, что если а — оператор в гильбертовом пространстве и £ — оператор Гильберта—Шмидта, то а£ и £а — операторы Гильберта—Шмидта. Определение 1.5.3. Вполне непрерывный оператор £ = UT в гильбертовом пространстве Е называется ядерным, если сходится ряд imi/=£A,., i составленный из собственных значений \J оператора Т. □ Значение этого ряда называется следовой нормой оператора £. Множество ядерных операторов составляет полное нормированное пространство относительно этой нормы и, более того, гильбертову алгебру (см. ниже Замечание 2.5.3). Например, всякий (непрерывный) оператор в конечномерном гильбертовом пространстве ядерный. Очевидно, что ядерные операторы являются операторами Гильберта—Шмидта. Более того, произведение любых двух операторов Гильберта—Шмидта является ядерным оператором, и всякий ядерный оператор может быть представлен как такое произведение. § 6. Счетно-гильбертовы и ядерные пространства Применение аппарата гильбертовых пространств ограничивается тем фактом, что, как уже отмечалось, сопряженное гильбертову пространству изоморфно самому этому гильбертову пространству. Конструкция счетно-гильбертовых пространств описывает дуальные пары (Е, Е'), где Е и Е' обладают целым рядом хороших свойств, но Е' значительно шире Е [8]. Примером могут служить описанные в Приложении Б. 1 пространство Шварца быстро убывающих функций и сопряженное ему пространство обобщенных функций. Определение 1.6.1. Пусть в комплексном векторном пространстве Е задана счетная система невырожденных эрмитовых форм (.|.)„, п = 1,2,..., такая, что (ж|ж), < . .. < {х\х)п < ... для всех х 6 Е. Пространство Е называется счетно-гильбертовым, если в нем введена топология, определяемая семейством норм . ||„= (.|.)У2, п=1,...}, (1-19) и если оно полно в этой топологии. □ Замечание 1.6.1. Указанная выше топология является метрической, и пополнение берется относительно метрики , ч v^ i-n 'I Х I'" р(ж)=\?,2 TTiMU-
§ 6. Счетно-гильбертовы и Ядерные пространства 19 Счетно-гильбертово пространство в общем случае не является предгильбертовым, но гильбертовы пространства — счетно-гильбертовы. , Обозначим Е„ пополнение счетно-гильбертова пространства Е по норме ||.||„ (1.19). Имеют место вложения Е{ D Е2 D ... Э Е„ D ■ ■ ■ и гомеоморфизм E = f]En. п Для сопряженных пространств, в свою очередь, находим Е\СЕ'2С..СЕ'ПС..., E'=[jE'n. п Можно также показать, что счетно-гильбертово пространство рефлексивно. Определение 1.6.2. Пусть га^ии!^ — отображение EnD ЕЭх^хе ЕС Ет, продолженное до непрерывного отображения Е„ на плотное подмножество в Ет. Счетно-гильбертово пространство называется ядерным, если для любого т найдется такое п, что Г„ является ядерным отображением, т. е. имеет вид i где {е'п}, {е'т} — ортонормальные базисы соответственно а Е„ v\ Ет, все А; ^ О и ряд Т, А, сходится. □ Ядерное пространство сепарабельно. Слабая и сильная топологии в нем совпадают. Бесконечномерное гильбертово пространство не может быть ядерным, но всякое конечномерное гильбертово пространство является таковым. Для ядерных пространств выполняется так называемая абстрактная теорема о ядре. Приведем ее частный вариант. Теорема 1.6.3. Пусть Е — ядерное пространство, и М(х,у) — билинейная форма на Е х Е, непрерывная по каждому аргументу. Тогда найдутся такие значения т и п, что М(х, у) можно представить в виде М(х,у) = {у,£х) = '}2>ч{х\е'}Ет{уЛдЕ',1, г где £ — оператор Гильберта—Шмидта, отображающий гильбертово пространство Ет в гильбертово пространство Е'„, {е'} и {/i,} — некоторые ортонормальные базисы в Ет и Е'п, А, ^ 0 и ряд £ А- сходится. □ 2 Следующая конструкция приводит к определению оснащенного гильбертова пространства. Пусть Е — ядерное пространство, и, помимо форм (.|.)„, в нем еще задана невырожденная положительная эрмитова форма (.|.), непрерывная по каждому аргументу. В частности, найдется такое число т, что (х\х) < е\\х\\2т, х&Е, е> 0.
20 Глава 1. Пространства Форма (.|.) превращает ядерное пространство в предгильбертово. Построим гильбертово пространство Ё, пополнив Е по этой форме. Имеют место вложения ЕСЁСЕ', (1.20) где Е — плотное подпространство Е,^а Е — плотное подпространство Е', наделенного слабой* топологией. Вложение Е —► Е' является антилинейным отображением, сопряженным к вложению Е —► Е. Последнее может быть продолжено до ядерного отображения Е„ —> Е для некоторого числа п. Тройка (1.20) называется оснащенным гильбертовым пространством. Одно из важных свойств оснащенных гильбертовых пространств связано со спектральным представлением унитарных и самосопряженных операторов в них. Пусть £ — оператор, действующий в топологическом векторном пространстве Е. Обобщенным собственным вектором оператора £, отвечающим собственному значению А, называется такой элемент ф\ сопряженного пространства Е', что для всех х е Е имеет место равенство фх(Ех) = \фх{х). (1.21) Каждому собственному значению А соответствует собственное подпространство V\ пространства Е', образованное элементами, удовлетворяющими условию (1.21). Сопоставим всякому элементу х £ Е и числу А форму х\(ф\) - Фх(х) на V\. Соответствие х —> хх называется спектральным разложением х относительно оператора £. При этом спектральным разложением элемента £х будет АжЛ. Система обобщенных собственных векторов оператора £ называется полной, если из равенства жд = 0 для любого А следует, что х = 0. Теорема 1.6.4. Если задано оснащенное гильбертово пространство Е С Ё С Е' и оператор £вЕ может быть продолжен до унитарного (соотв. самосопряженного) оператора в Е, то 6 обладает полной системой обобщенных собственных векторов в Е', отвечающих комплексным собственным значениям А с |А| =' 1 (соотв. вещественным собственным значениям). □ §7. Дополнение. Кэлеровы многообразия В этом параграфе мы коротко коснемся в необходимом нам аспекте кэлеровых многообразий, моделируемых над комплексными гильбертовыми пространствами [37, 52]. Их конструкция обобщает конструкцию конечномерных кэлеровых многообразий (см. [13, 22]). Пусть Е.— гильбертово пространство, Е — дуальное к Е и Е Эх^хеЁ — соответствующий антилинейный морфизм (см. (1.14)). Рассмотрим прямую сумму Е © Е. Определен ее автоморфизм J :Е®ЕЭх + у>-+гх-гу = 1х + (гу) 6 Е@Ё (1.22)
§7. Дополнение. Кэлеровы многообразия 21 такой, что J = — 1. Он называется оператором комплексной структуры. Пространства Е и Е являются его собственными подпространствами, отвечающими собственным значениям г и —г соответственно. Выполняется соотношение Jx = Jx. Обобщим теперь на гильбертовы пространства конструкцию голоморфных и антиголоморфных производных из комплексного анализа. Пусть Е и Н — комплексные гильбертовы пространства, U С Е — открытое подмножество и f : U -* Н — дифференцируемая функция между вещественными банаховыми пространствами Е и Н. Это означает, что для всякой точки za £ U существует непрерывное Ш-линейное отображение lZo : Е -+ Н такое, что /(z) = /(z0) + lz„(z - z0) + o(z - z0), zeU. Это условие можно переформулировать в следующем виде. Существуют отображения а:Е-+Н, 1 г a(z) = -lZo(z) ~ 2^«(zz)' и Ь : Ё - Я, 1 г Hz) = 2^о(г) + J'«.(«). такие, что /(*) = f(z0) + a(z - z0) + b(F="z^) + o(z - z0). (1.23) Они определяют С-линейные отображения (d2J)(x + y) = a(x), (dzJ)(x + y) = b(y) (1.24) из E © E в H. Назовем С-линейное отображение f'z0 = d2J + d2J, (1.25) производной функции / в точке z0 G U. Аналогично определяются производные высших порядков. Соответственно, функция / между гильбертовыми пространствами называется: • гладкой, если она бесконечно дифференцируема; • голоморфной, если она дифференцируема и dzf = 0 для всех z £ U; • антиголоморфной, если она дифференцируема и dzf = 0 для всех г£С/. Как и в конечномерном случае, голоморфность функции означает, что она гладкая и представима в виде ряда.
22 Глава 1. Пространства Рассмотрим голоморфное многообразие V, моделируемое над гильбертовым пространством Е. Это означает, что оно покрыто картами (£/,, rpL), где морфизмы tpL принимают значения в гильбертовом пространстве Е, а функции перехода ^Vf1 из ^i(Ut П U() С Е Bi>((Ut П C/f) С Е являются голоморфными. Понятие касательного вектора к голоморфному многообразию вводится по аналогии с конечномерным случаем. Для точки z G 73 рассмотрим пару (v; Ut, ip,) вектора v € В и карты голоморфного многообразия (U,, ^>4), накрывающей z. Две такие пары (v;Ut,ipt) и (v';U(,ip() считаются эквивалентными, если Классы эквивалентности этих пар образуют голоморфное касательное пространство TZV к голоморфному многообразию V в точке z € V. Оно изоморфно Е как топологическое векторное пространство. Дуальное к TZT пространство TZT называется антиголоморфным касательным пространством. Комплексным касательным пространством к голоморфному многообразию V в точке z именуется прямая сумма TZT = TZV © TZV. Оно естественным образом наделяется операцией инволюции V + й I—> V + и и оператором комплексной структуры Jz. Всякий комплексный касательный вектор х € Т/Р однозначно раскладывается в сумму х = v + й своих голоморфных и антиголоморфных компонент. Комплексный касательный вектор х называется действительным, если х = х. Объединение комплексных касательных пространств к голоморфному многообразию V образует комплексное касательное расслоение TV над Р. Его сечениями являются комплексные векторные поля на V. Сопряженное пространство к комплексному касательному пространству Т/Р называется комплексным кокасательным пространством к голоморфному многообразию V в точке z. Комплексные кокасательные пространства составляют комплексное кокаса- телыюе расслоение T*V над V, сечения которого именуются комплексными 1-формами. Обобщая эту конструкцию, можно рассмотреть тензорные произведения касательных и кокасательных расслоений над V. В частности, определены внешние формы на голоморфном многообразии V и действующий на них оператор внешнего дифференцирования d. Пример 1.7.1. Дифференциал df гладкой функции / : V —> С может рассматриваться как комплексная 1-форма. Обозначим ее голоморфную и антиголоморфную компоненты соответственно как df и df. При этом для всякого комплексного касательного вектора 1?2 = vz + nz в точке z £Т выполняются соотношения (**№ = fzWz), (Vz\df) = (vz\df) = {dzf)(vz\ {$Adf) = {nz\df) = {dzf){uz). □ Перейдем теперь к определению эрмитовой метрики на голоморфном многообразии Т. Это комплексная симметричная билинейная форма g на TV, удовлетворяющая условиям:
§ 7. Дополнение. Кзлеровы многообразия 23 • g{&z,vz) = 0, если оба комплексных касательных вектора i)z,vz € TZV одновременно голоморфны или антиголоморфны; • g($z, #г) > 0 для всякого ненулевого касательного вектора tiz € TZV; • топология, порождаемая билинейной формой gz(.,.) в комплексном касательном пространстве TZV, эквивалентна его топологии как гильбертова пространства. Из определения д следует, что g{Jtiz,Jvz) = g{-dz,Vz). Пример 1.7.2. Пусть V — Е — гильбертово пространство. Эрмитова форма (.|.) на Е однозначно определяет постоянную эрмитову метрику на Е: д : (Е 0 Ё) х (Е 0 Ё~) -> С, 5(*l,*2)=(«ll«2) + (»2l«l), (1.26) для всех комплексных векторов #] =у1+щ и #2 = v2 +Щ- Обратно, любая постоянная эрмитова метрика на гильбертовом-пространстве Е задает на нем эрмитову форму. □ Пара (V,g) называется эрмитовым многообразием. Всякой эрмитовой метрике д на голоморфном многообразии V отвечает антисимметричная билинейная форма ш на V, определяемая равенством u(tiz,vz)=g(JVz,vz) (1.27) для произвольной точки z Е V и произвольной пары комплексных касательных векторов ,9z,vz € TZV. Она называется фундаментальной формой эрмитовой метрики д. ^ля нее, как и для эрмитовой метрики, выполняются соотношения w(Jztiz,Jzvz)=w('dz,vz). Определение 1.7.1. Эрмитова метрика д называется кэлеровой, если dw = 0, т.е. если ш является симплектической формой. В этом случае говорят, что (V, д) — кэлерово многообразие. □ Пример 1.7.3. Пусть, как в Примере 1.7.2, V = Е — гильбертово пространство с эрмитовой метрикой д (1.26). Ее фундаментальная форма (1.27) постоянна на£и имеет вид w(til,ti2) = i{vl\u2)-i(v2\ul) (1.28) для всех векторов "в\ = V\+Hi и •в2 = v2 + и2. Ясно, что йш = 0. Поэтому метрика д (1.26) является кэлеровой. □ На эрмитовом многообразии (V, д) всегда существует метрическая связность такая, что ковариантный дифференциал эрмитовой метрики обращается в 0, т. е. V<7 = 0. Справедливо равенство для любой пары комплексных векторных полей ■&, и на V. В случае кэлерова многообразия Vw = 0, а также V J = 0, где J рассматривается как сечение расслоения T*V ® Т7>.
24 Глава 1. Пространства Обозначим D и D голоморфную и антиголоморфную компоненты V. Если # = v + u — комплексное векторное поле на V, выполняются соотношения Vtf = Д, +D0, Аз = V„, D# = Vff> Dje = гД?, Д™ = -гД?. Если / — функция на кэлеровом многообразии, тогда, как обычно, V/ = df. Пример 1.7.4. На гильбертовом пространстве Е, рассматриваемом как кэлерово_мно- гообразис с кэлеровой метрикой (1.26), метрическая связность тривиальна, a D и ./^совпадают с обычными голоморфными и антиголоморфными дифференциалами д и д. □ Приведем также соотношения для ковариантных дифференциалов второго порядка (VV/)(tf„ vz) = (VV/)((/2, ОД (JPD/)(tf„i/f) = (I>JP/)(^,^). (DDf)(flz,vz) = (DDf)(vt,Qx), (DDfWz,vz)=:(DDf)(vz,i>z), где $, ^ — комплексные векторные поля, а / — функция на кэлеровом многообразии V. Кэлерова метрика g и ее фундаментальная форма ш определяют соответствующие изоморфизмы g : TV Э v ^ v\g 6 T*V, (1.29) iJ : TV Э v ь-+ vjw 6 TV. (1.30) Обозначим i?" и w" обратные изоморфизмы Т*Р -+ TV. Они обладают свойствами <7J(0)J<r = <7J(<r)j0, w,(0)Ja = -w,(a)j0, cp,a€T*V, g*=JtJ, J = -Jg\ а также V^ = 0, Vw' = 0, где g' и (J рассматриваются как сечения расслоения T*V <S> TV. В частности, всякой функции / на кэлеровом многообразии V можно сопоставить комплексное векторное поле 94df) = g4df) + g4df), (1.31) где gHdf) и g\df) — его голоморфная и антиголоморфная составляющие, а также комплексное гамильтоново векторное поле J{df) = -J(gl(df)) = -ig\df) + igHdf). (1.32) В заключение приведем важный пример проективного гильбертова пространства РЕ, образованного (комплексными) 1-мерными подпространствами гильбертова пространства Е. Это голоморфное многообразие. Опишем его стандартный атлас. Для произвольного ненулевого элемента х € Е обозначим х такую точку РЕ, что х € х. Всякому
§ 7. Дополнение. Кэлеровы многообразия 25 нормированному элементу h € Е, \\Щ = 1, гильбертова пространства Е сопоставим карту (Uh, iph) на проективном гильбертовом пространстве РЕ, где Uh = {xePE : <i|/i)#0}, ^й(х) = ■—- - h. (1.33) Образом этой карты в гильбертовом пространстве Е является подпространство Eh = {z£E : <z|/i)=o}. (1.34) Обратно, образ ipj^iz) всякого элемента z £ Eh — это такой элемент в Uh, что z + h € iphl(z). Семейство таких карт образует голоморфный атлас проективного гильбертова пространства РЕ. Заметим, что для всякой точки х € РЕ можно выбрать карту Eh, h £ х, с центром в х, т. е. такую, что VVi(x) = 0. На проективном гильбертовом пространстве РЕ существует единственная эрмитова метрика д такая, что определяемая ею функция расстояния на РЕ имеет вид р(х,х') = %/2arccos(|(x|x,>|), (1.35) где х, х' — нормированные элементы Е. Это кэлерова метрика. Она называется метрикой Фубини—Штуди и в локальной карте (Uh, Е/,) на РЕ дается выражением (vi\u2) + (у2\щ) _ {z\u2){v\\z) + (z\u\){v2\z) i + NI2 (i + INI2)2 А(*1,*2)= Г, „T^-^-1— /, , И-112 2 » 2e^", (1-36) для комплексных векторов д\ = ui +«|, #2 = v2 + и2, ■в\,'д2 Е TZPE, ■в\,'02 € TZPE. Соответствующая фундаментальная форма имеет вид .(vi\u2) -{у2\щ) _ ,{z\u2){v\\z) - {z\u\){v2\z) i + NI2 г (i + NI2)2 u>(i>l,b) = i- , , „_,„ -* „ , „.,,2.2 • (L37) В центрированной карте в точке 2 = 0 выражения (1.36) и (1.37) сводятся к выражениям (1.26) и (1.28).
Глава 2 Алгебры и их представления Алгебрами наблюдаемых в квантовой механике являются, как правило, инволютивные алгебры, С*-алгебры и алгебры фон Неймана. В этой главе мы приведем основные сведения об этих алгебрах и их представлениях [3, 10, 25]. § 1. Инволютивные алгебры Начнем с определения инволютивных алгебр. Пусть А — ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел С. Инволюцией в А называется такое отображение »и а* алгебры А на себя, что (а) =а, (а + Ь)*=а*+Ь*, (Аа)* = Ха*, (ab)* = Ь*а* для всех а, b G A, A G С. Определение 2.1.1. Алгебра А, снабженная инволюцией, называется инволютив- ной. □ Как и для операторов в гильбертовых пространствах, вводятся понятия эрмитова, нормального и унитарного элементов инволютивной алгебры (см. § 1.5). Инволютивная алгебра называется нормированной, если она как векторное пространство наделена нормой ||а|| такой, что |ИК |Н| ||Ь||, ||а*|| = ||а||, a,b£A. В дальнейшем, если специально не оговорено, подразумевается, что нормированная алгебра снабжена определяемой нормой равномерной топологией. Таким образом, она является также топологическим векторным пространством. Полная нормированная алгебра называется банаховой. Определение 2.1.2. Инволютивная банахова алгебра именуется С*-алгеброй, если IMP = ||а*а||. □ Если С*-алгебра имеет единицу 1, то ||1|| = 1.
§ 1. Инволютивные алгебры 27 Инволютивная алгебра А не обязательно содержит единицу. Однако такой элемент к А всегда можно присоединить, рассмотрев алгебру А = А + Х1, AG С, называем; ;о алгеброй с присоединенной единицей. При этом многие свойства алгебры А продолжаются на алгебру А с присоединенной единицей. В частности, если А — инволютивная нормированная алгебра, то на А существует норма, например, ||о + А1|| = ||о|| + |А|, продолжающая норму на А и превращающая Л в инволютивную нормированную алгебру. Если А — С*-алгебра, то такая норма на А единственна и превращает А в С*-алгсбру. Вместе с тем бывают ситуации, когда наличие или отсутствие единицы имеет существенное : тачение. Поэтому вводят также понятие аппроксимативной единицы. Замечание 2.1.1. Напомним, что сетью именуется частично упорядоченное множество /, в котором для всякой пары i,j € / найдется такой элемент к € /, что г < к, j ^ к. Сеть элементов топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия последовательности. □ Определение 2.1.3. Аппроксимативной единицей в нормированной алгебре А называется сеть {«,-, i £ 1} элементов А такая, что • \\щ\\ < 1 при любом г £ /; • \\ща — а\\ —» 0, ||аи,- — а\\ —+ 0 при любом a £ А. а Единица, очевидно, является аппроксимативной единицей. В С*-алгебре всегда существует аппроксимативная единица. Левым (соотв. правым) идеалом алгебры А называется се подалгебра N С А такая, что AN С N (соотв. NA с N). Когда идеал одновременно правый и левый, говорят, что он двусторонний. Двусторонний идеал N алгебры А называется максимальным, если он собственный (т. е. N ф А, N ф 0) и не существует другого собственного двустороннего идеала, содержащего в себе N. Пусть А — инволютивная алгебра и N — самосопряженный (N* = N) двусторонний идеал в А. Инволюция в А индуцирует при факторизации А по N инволюцию в фактор-алгебре A/N, а каноническое отображение А на A/N является морфизмом инволютивных алгебр. Если А — инволютивная нормированная алгебра (соотв. С*-алгебра) и N — самосопряженный замкнутый двусторонний идеал, то A/N — инволютивная нормированная алгебра (соотв. С*-алгебра). Пример 2.1.2. Пусть А — С*-алгебра и А — С*-алгебра, получаемая из А присоединением единицы. Тогда А является замкнутым двусторонним идеалом коразмерности 1 в А. а Обозначим Sp^ а — спектр элемента инволютивной алгебры А, т. е. множество комплексных чисел А таких, что (а — А1) — необратимый элемент в алгебре А с присоединенной единицей. Очевидно, что sP/t а* = SP^ а-
28 Глава 2, Алгебры и их представления Заметим, что если В — инволютивная подалгебра А и а £ В, то Sp^ а, вообще говоря, не совпадает с SpB а. Однако в случае С*-алгебры Sp^ а = Sp^ а для любой (^-подалгебры В алгебры А. Пусть А — С*-алгебра. Если а — эрмитов элемент, то все числа из Sp^ а вещественны. Если А — С*-алгебра с единицей на — унитарный элемент, то все числа из Sp^ а имеют модуль 1. Пусть А — банахова алгебра с единицей и а £ А. Если / — голоморфная комплексная функция в окрестности Sp^ а С С, то существует элемент /(а) € А такой, что Sp,i /(а) = /(SpA а). Как уже отмечалось, физическими наблюдаемыми квантовой системы являются средние значения. Математически это означает задание положительной формы на ее алгебре наблюдаемых, что соответствует операторному представлению этой алгебры в некотором гильбертовом пространстве. Поэтому рассмотрим в качестве важного примера алгебру В(Е) непрерывных (т. е. ограниченных) эндоморфизмов гильбертова пространства Е. Это инволютивная алгебра относительно операции эрмитова сопряжения операторов. Операторная норма (1.17) превращает В{Е) в нормированную алгебру. Тогда всякая замкнутая в равномерной топологии инволютивная подалгебра В С В(Е), в том числе и сама алгебра В(Е), является С*-алгеброй. В алгебре В(Е), помимо равномерной топологии, рассматриваются и другие топологии. Сильной операторной, слабой операторной, ультрасильной и ультраслабой называются топологии в В(Е), определяемые соответственно следующими семействами преднорм: • рх(а) = \\ах\\Е, х 6 Е; Рх,х'(а) = 1<аяг|ат')|, х, х' € Е; Г00 1/2 где {а;,} — последовательности элементов гильбертова пространства Е такие, что EIWI2<°°; i оо ?{*.•},{*;}(«) = £ \(axi\x'i)\. 8=1 где {Xi}, {х'{} — такие последовательности элементов Е, что £ IWI2 < оо, £ ||а:Л|2 < оо. i i Связь между указанными топологиями может быть представлена схемой равномерная > ультрасильная > ультраслабая V V сильная > слабая,
§ 2. Представления инволютивных алгебр 29 где знак > означает «сильнее». Отметим, что отображения а <-> аЬ и а >-» Ьа алгебры В(Е), когда элемент b алгебры В(Е) фиксирован, непрерывны во всех пяти топологиях, тогда как отображение а *-> а* непрерывно только в равномерной, ультраслабой и слабой топологиях, а отображение (а, Ь) у~* ab непрерывно только в равномерной топологии. Замечание 2.1.3. Пусть В — инволютивная подалгебра В(Е) и В\ — единичный шар в В. Следующие восемь условий эквивалентны: подалгебра В сильно, слабо, уль- трасильно, ультраслабо замкнута и шар В\ сильно, слабо, ультрасильно, ультраслабо замкнут. □ Пусть N — подмножество В(Е). Коммутантом N называется множество N' элементов В(Е), перестановочных с элементами N. Множество N' является подалгеброй В(Е) с единицей. Обозначим N" ~- (N1)' бикоммутант подмножества N. Имеем - ч NCN", N' = N'". Определение 2.1.4. Инволютивная подалгебра В с единицей алгебры В(Е) называется алгеброй фон Неймана, если В = В", что эквивалентно каждому из восьми упомянутых в Замечании 2.1.3 условиям. □ Пример 2.1.4. Например, В(Е) — алгебра фон Неймана. Алгебра скалярных операторов (умножений на число) С(Е) в Е тоже алгебра фон Неймана. Если N — самосопряженное подмножество в В(Е), то N' — алгебра фон Неймана, a N" — наименьшая алгебра фон Неймана, содержащая N. Она называется алгеброй фон Неймана, порожденной подмножеством N. о Пусть В — алгебра фон Неймана. По определению В к В' служат коммутантами друг друга. Общим центром В к В' является В Г) В'. Если он сводится к скалярным операторам, то алгебра фон Неймана В называется фактором. Алгебра фон Неймана именуется алгеброй типа I, если она изоморфна алгебре фон Неймана В такой, что В' коммутативен. В этой связи заметим, что изоморфизм j алгебр фон Неймана В\ С В(Е\) и Bj С В(Е2) является изоморфизмом В] и В2 как инволютивных алгебр; он изометрический (см. §3.1). Изоморфизм гильбертовых пространств Е\ и Е2 тоже определяет изоморфизм, называемый пространственным, соответствующих алгебр фон Неймана. Однако, не всякий изоморфизм алгебр фон Неймана является пространственным. В заключение отметим следующую связь между С*-алгебрами и алгебрами фон Неймана. Алгебра фон Неймана слабо, а тем самым равномерно замкнута в В(Е) и является С*-алгеброй. Однако теория алгебр фон Неймана не сводится к теории С*-алгебр. Алгебры фон Неймана могут быть наделены той или иной более слабой операторной топологией, и объекты, непрерывные в такой топологии, обладают дополнительными свойствами. В частности, С*-алгебра изоморфна некоторой алгебре фон Неймана тогда и только тогда, когда согласно теореме Сакаи она является сопряженным пространством некоторому банахову пространству (см. §3.1). § 2. Представления инволютивных алгебр Рассмотрим теперь представления инволютивных алгебр и С*-алгебр в гильбертовых пространствах.
30 Глава 2. Алгебры и их представления Представлением инволютивной алгебры А в гильбертовом пространстве Е называется морфизм я- алгебры А в инволютивную алгебру В(Е) непрерывных операторов в Е. При этом говорят, что два ее представления я-] и 7Г2 в гильбертовых пространствах Е\ и Ej эквивалентны, если существует изоморфизм гильбертова пространства Е\ на гильбертово пространство Ei, переводящий %\(а) в Ъг(а) для всех a £ А. Подчеркнем, что алгебры А и ж(А) не обязаны быть изоморфными. Более того, инволютивная алгебра А может не иметь представления в виде изоморфной ей операторной алгебры тг(А). Однако для всякой С*-алгебры существует ее изометрическое ииъективное представление в гильбертовом пространстве. Оно называется точным. Поэтому замкнутые инволютивные подалгебры алгебр В(Е) дают самые общие примеры С*-алгебр. Представление 7Г инволютивной алгебры А в гильбертовом пространстве Е продолжается единственным образом до представления ж в Е алгебры А, полученной из А присоединением единицы; при этом 7г(1) = 1. Говорят, что представление % инволютивной алгебры А в гильбертовом пространстве Е невырождено, если множество АЕ плотно в Е, или эквивалентно, когда не существует ненулевого элемента в Е, который обращался бы в нуль всеми операторами тг(а), a £ А. В дальнейшем представление, если специально не оговорено, будет подразумеваться невырожденным. Пусть 7г — представление инволютивной алгебры А в гильбертовом пространстве Е и в £ Е. Замыкание множества it(A)6 является замкнутым векторным подпространством Е, инвариантным относительно тг(А). Если оно совпадает с Е, то говорят, что в — тотализирующий или циклический вектор для представления 7г, которое называют циклическим. Пусть {7гм i £ 1} — семейство представлений инволютивной алгебры А в гильбертовых пространствах Et, пусть Е = © Et — гильбертова сумма. Если для всякого эле- i мента о £ А нормы [|7г((о)|| ограничены (это всегда верно для инволютивной банаховой алгебры, поскольку при ее морфизме норма элементов не увеличивается), то можно построить непрерывный линейный оператор тг(а) в Е, который индуцирует оператор тг4(а) в каждом гильбертовом пространстве EL. Тогда a i-> тг(а) является представлением АвЕ, которое называется гильбертовой суммой представлений 7г4. Теорема 2.2.1. Всякое представление инволютивной алгебры является гильбертовой суммой представлений, допускающих тотализирующий вектор. □ Это обстоятельство указывает на особую роль тотализирующих векторов, которые в физических моделях обычно связывают с вакуумом или основным состоянием системы. Определение 2.2.2. Говорят, что представление 7г инволютивной алгебры А в гильбертовом пространстве Е топологически неприводимо, если оно ненулевое и удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: • единственным ненулевым замкнутым векторным подпространством в Е, инвариантным относительно к(А), является само Е; • коммутант 7г(Л) в В(Е) сводится к скалярам; • любой ненулевой вектор в Е является тотализирующий для представления ж. а
§ 2. Представления инволютивных алгебр 31 Представление 7г инволютивной алгебры А называется алгебраически неприводимым, если единственным векторным подпространством (не обязательно замкнутым) гильбертова пространства Е, инвариантным относительно тт(А), является Е. Для бесконечномерных представлений инволютивных алгебр это условие строже, чем топологическая неприводимость. Но для представлений С*-алгебр оба понятия эквивалентны. Отметим, что всякое конечномерное представление инволютивной алгебры является гильбертовой суммой неприводимых представлений, однако для бесконечномерных представлений это в общем случае неверно. Неприводимое представление инволютивной алгебры А —+ п(А) (как и всякой ассоциативной алгебры) можно характеризовать его ядром 7г_1(0) С А. Оно является двусторонним идеалом в А, который называется примитивным идеалом. Имеется каноническая сюръекция множества А классов алгебраически неприводимых представлений инволютивной алгебры А на множество Рпт(Л) ее примитивных идеалов. Это означает, что неэквивалентные неприводимые представления А могут иметь одно и то же ядро. Но если неприводимые представления имеют разные ядра, они заведомо неэквивалентны. Пример 2.2.1. Если алгебра А имеет единицу, тогда всякий максимальный двусторонний идеал А является примитивным. Пусть А — это С*-алгебра А с присоединенной единицей. Тогда А является примитивным идеалом в Л, а именно ядром представления 7г(а + А1) = А1, Va£4, VA 6 С. □ На множестве Рпт(Л) примитивных идеалов вводится так называемая топология Джекобсона, которую мы здесь не будем описывать. В общем случае она неотделима, но обладает свойством, что для любых двух точек из Рпт(Л) каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку. Посредством канонической сюръекции множество А алгебраически неприводимых представлений наделяется прообразом топологии Джекобсона, и в этом случае А называется спектром инволютивной алгебры А. Пусть А — С*-алгебра, {а1} ь б 1} — семейство элементов, плотное в А, и Zt — множество таких 7г € А, что ||7г(а,)|| > 1. Тогда {ZL, i € 1} образует базу топологии в спектре А. Спектр С*-алгебры локально квазикомпактен. Он отделим тогда и только тогда, когда для всякого элемента a € А функция 7г —> ||7г(а)|| непрерывна на А. Наряду с эквивалентностью и неэквивалентностью представлений, вводятся также более детализирующие понятия квазиэквивалентности и дизъюнктности представлений. Пусть А — инволютивиая алгебра и 7Г| и 7г2 — ее представления в гильбертовых пространствах Ei и Е2. Всякий линейный оператор Т : Е\ -+ Е2 такой, что Ттг, (а) = тг2 (а)Т, Va 6 А, называется оператором, сплетающим Ж\ и 7г2. Говорят, что представления 7Г| и 7Г2 дизъюнктны, если единственным сплетающим их оператором является 0, т.е. никакие под- представления Т\ в п\ и т2 в тг2 между собой не эквивалентны. Представление 7Г инволютивной алгебры А называется фактор-представлением, если его нельзя представить как сумму двух дизъюнктных представлений. Представления ж\ и 7Г2 инволютивной алгебры А называются квазиэквивалентными, если выполняются эквивалентные условия: • ни одно подпредставление п\ не дизъюнктно с 7г2, и ни одно подпредставление 7г2 не дизъюнктно с я-,;
32 Глава 2. Алгебры и их представления • существуют эквивалентные кратные представления фтг] и ©7г2 представлений ъ\ и 7г2, где п и m — некоторые кардинальные числа; • имеется такой изоморфизм у алгебр фон Неймана В\ и В2, порожденных 7Г|(Л) И 7Г2(Л), что я"2(а) = liKiia)), Va G Л. Условия эквивалентности и квазиэквивалентности представлений связаны следующим образом. • Если представления эквивалентны, то они квазиэквивалентны. • Если представления топологически неприводимы и квазиэквивалентны, то они эквивалентны. • Если два представления конечномерны и квазиэквивалентны, то в их разложения на неприводимые компоненты входят одни и те же неприводимые представления, но не обязательно с одинаковой кратностью. • Когда представление квазиэквивалентно топологически неприводимому представлению 7г, оно имеет вид ф7г, где п — некоторое кардинальное число. п • Фактор-представления либо квазиэквивалентны, либо дизъюнктны. Множество А классов квазиэквивалентности фактор-представлений инволютивной алгебры А называется квазиспектром. Говорят, что представление 7г инволютивной алгебры А имеет тип I, если алгебра фон Неймана, порожденная 7г(Л), имеет тип I. В частности, фактор-представление типа I квазиэквивалентно топологически неприводимому представлению. Инволютив- ная алгебра называется алгеброй типа /, если все ее представления — типа I; для такой алгебры спектр и квазиспектр совпадают. § 3. Гильбертовы интегралы представлений Одной из особенностей представлений бесконечномерных инволютивных алгебр является конструкция гильбертова интеграла представлений, не имеющая аналога в конечномерном случае. Определение 2.3.1. Пусть Y — борелевское пространство и ц — положительная мера на нем (см. Приложение А.6). Тогда (i-измеримым полем гильбертовых пространств на Y называется пара {Еу, Y, Г}, состоящая из семейства гильбертовых пространств Еу, параметризуемого элементами Y, и множества Г векторных полей на Y со значениями в Еу, удовлетворяющие следующим условиям. (а) Г — векторное подпространство произведения гильбертовых пространств ЦЕУ. (б) Существует последовательность («i,«2> • • •) элементов Г таких, что для любого у £ Y элементы щ(у) образуют последовательность, тотальную в Еу (т. е. пространства Еу сепарабельны). (в) Для любого меГ функция у —> \\и(у)\\вг, где ||.||j?f обозначает норму в гильбертовом пространстве Еу, является /г-измеримой.
§3. Гильбертовы интегралы представлений 33 (г) Пусть и — векторное поле на Y со значениями в гильбертовых пространствах Еу. Если для любого и' G Г функция У -* Ыу)\и'(у))Е, ^-измерима, то и G Г. При этих условиях элементы Г называются измеримыми векторными полями. □ Пусть {Еу, Y, Г} — ^-измеримое поле сепарабельных гильбертовых пространств на борелевском пространстве Y. Векторное поле и G Г называется полем с интегрируемым квадратом, если / \\и(у)\\2Еу d/i < со. Если и, и' — поля с интегрируемым квадратом, то и + и' и Aw, A G С, тоже поля с интегрируемым квадратом, а функция У -* (и(у)\и'(у)) интегрируема. Определим (и\и') = J{u(y)\u'(y))E> d(i(y). (2.1) Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Е с положительной эрмитовой формой (2.1) (поля, совпадающие почти всюду, отождествляются). Оно называется гильбертовым интегралом E(Y, ц) = J Еу dft. (2.2) Если fi' — положительная мера на Y, эквивалентная ft, то существует изоморфизм между гильбертовыми интегралами E(Y, fi) и E(Y, fj,'). Пусть {Еу, Y, Г} — измеримое поле гильбертовых пространств и для каждого у G Y задан элемент а(у) G В(Еу). Если для любого и G Г поле у -> а(у)и(у) измеримо, то а(у) называется измеримым операторным полем и функция у —* \\а(у)\\Еу измерима. Предположим также, что она существенно ограничена (т. е. имеется число А такое, что ||a(2/)|U < А для всех у G Y). Пусть Е — гильбертов интеграл (2.2). Тогда для любого и G E(Y, fi) поле аи:у-^ а(у)и{у) принадлежит E(Y, (i), т.е. а Е B(E(Y, ц)) и норма ||а|| равна существенной верхней грани функции у —* ||а(у)||. Обозначим а = J а(у) d/л. (2.3) Операторы в E(Y, /л) такого типа называются разложимыми. 1 Зак. 4»5
34 Глава 2. Алгебры и их представления Рассмотрим сепарабельную С*-алгебру А и измеримое поле сепарабельных гильбертовых пространств {Еу, У, Г} таких, что для каждого у G У задано представление жу алгебры А в Еу. Говорят, что у —► жу — поле представлений А. Оно называется измеримым, если для каждого а £ А операторное поле жу(а) измеримо. При этом, поскольку ||7Tj,(a)|| < ||a||, оно существенно ограничено. Тогда для каждого а £ А можно образовать непрерывный оператор тг(а) = J тгу(а) dp (2.4) в гильбертовом пространстве E(Y, у.) (2.2), и отображение а —> ж(а) является представлением А в Е(У, ц). Представление (2.4) называется прямым интегралом представлений {жу, Y}, и оно определено с точностью до поля представлений меры 0. Опишем теперь операцию дезинтегрирования представлений. Пусть 7Г — представление сепарабельной С*-алгебры А в сепарабельном гильбертовом пространстве Е, и Z — центр алгебры фон Неймана, порожденной ж(А). Тогда существуют: стандартная мера \l на квазиспектре А (который для сепарабельных С*-алгебр наделен борелевской структурой), /4-измеримое поле {EV,A,T} гильбертовых пространств на А, /i-измери- мое поле жу ненулевых фактор-представлений А в Еу такое, что жу G у С А, и изоморфизм 7 : Е —> Е(ц, А), который отображает Z в алгебру диагональных операторов, а ж в прямой интеграл представлений 7Г = / жу d\i. (2.5) Равенство (2.5) называют дезинтегрированием представления ж. Пусть ц', Е'у, ж'у и 7' имеют те же свойства. Тогда меры ц и ц' эквивалентны. Следовательно, класс эквивалентности мер ц на А определяется представлением ж однозначно. Пусть ж\ и 7Г2 — два представления сепарабельной С*-алгебры в сепарабельных гильбертовых пространствах. Тогда для их квазиэквивалентности необходимо и достаточно, чтобы классы мер на квазиспектре А, определяемые представлениями ж\ и 7Г2, совпадали. Можно осуществить дезинтегрирование на неприводимые представления. Пусть ж — представление сепарабельной С*-алгебры в сепарабельном гильбертовом пространстве Е и Z — максимальная коммутативная подалгебра фон Неймана в коммутанте ж(А)'. Существуют: стандартное борелевское пространство У, ограниченная положительная мера у. на У, измеримое поле {Ey,Y, Г} гильбертовых пространств, измеримое поле {жу, У} неприводимых представлений АвЕу н изоморфизм Е на E(Y, ц), который преобразует .2 в алгебру диагональных операторов, ах в прямой интеграл представлений JKydii. Заметим, что если при данном ж изменить Z, то дезинтегрирование может полностью измениться так, что никакое неприводимое представление не будет принимать участие в обоих разложениях одновременно. Естественно возникает вопрос о классификации представлений С*-алгебр. Она существует только для некоторых типов С*-алгебр, к которым относятся элементарные алгебры, сепарабельные CCR-алгебры и сепарабельные GCR-алгебры. С*-алгебра А называется элементарной, если существует такое гильбертово пространство Е, что А изоморфна С*-алгебре К{Е) вполне непрерывных (непрерывных
§4. Конструкция ГНС 35 компактных) операторов в Е, т. е. таких операторов а £ Е, что замыкание множества a(Dj), где D\ — открытый единичный шар в Е, компактно в Е. Например, если Е конечномерно, то В(Е) = К(Е) и В(Е) — элементарная С*-алгебра. Элементарная С*-алгебра является простой, так как единственными замкнутыми двусторонними идеалами в такой алгебре являются 0 и сама алгебра. Тем самым элементарная алгебра имеет всего одно неприводимое представление К(Е), которое является точным. С*-алгебра называется CCR-алгеброй, если для любого ее неприводимого представления 7Г в гильбертовом пространстве Е оказывается, что 7г(Л) = К(Е). Очевидно, что элементарная С*-алгебра является CCR-алгеброй. Заметим, что С*-алгеб- ра А, получаемая из CCR-алгебры А присоединением единицы, не всегда оказывается CCR-алгеброй. Если А — CCR-алгебра с единицей, то все се неприводимые представления очевидно конечномерны, поскольку замыкание открытого единичного шара является компактом только в конечномерном пространстве. Наконец, С*-алгебра именуется GCR-алгеброй, если всякая ненулевая фактор- С*-алгебра алгебры А обладает ненулевым замкнутым двусторонним CCR-идеалом. Каждая GCR-алгебра является CCR-алгеброй, но не обратно. Всякая GCR-алгебра является алгеброй типа I. В частности, все ее фактор-представления квазиэквивалентны неприводимым представлениям, и А = А. Важно также, что неприводимые представления такой алгебры с одним и тем же ядром эквивалентны, т.е. отображение ее спектра А на Prim А является биекцией. Приведем классификацию представлений сспарабельной GCR-алгебры. Пусть А — такая алгебра и ж — ее представление в сепарабельном гильбертовом пространстве Е. Тогда существуют попарно независимые (т. е. не кратные друг другу) положительные меры ц\,..., fioo на спектре А = А такие, что 7Г эквивалентно представлению Jyd/ii ®2 J ydn2®---®N j yd/ioo, У € A, (2.6) где N — кардинальное число множества натуральных чисел. При этом, если меры ц\,..., /4о обладают тем же свойством, то цп и Ип эквивалентны для каждого п. Представление 7Г также квазиэквивалентно представлению Уydfii® Jуйц2®---<5> JУ ^оо = J уйц, где H = Hi+... + Hoo. (2.7) Поэтому класс мер на А, определяемых представлением 7Г, содержит меру ц (2.7). §4. Конструкция ГНС Как уже отмечалось, физическими наблюдаемыми квантовой системы являются средние значения. Математически это означает задание линейной числовой функции — положительной формы — на алгебре наблюдаемых. Рассмотрим такие формы и их связь с представлениями алгебры наблюдаемых. Пусть / — комплексная форма на инволютивной алгебре А. Говорят, что форма / положительна, если f(a*a) > 0 для всех а£ А.
36 Глава 2. Алгебры и их представления Определение 2.4.1. Если А — инволютивная нормированная алгебра, то состоянием на А называется положительная непрерывная форма / на А с нормой 11/Ц d^f sup |/(а)|=1. N1=1 а Если А — инволютивная банахова алгебра с единицей и ]|1|| = 1, то положительная форма f на А всегда непрерывна и ||/|| = /(1). Пусть теперь А — инволютивная банахова алгебра, допускающая аппроксимативную единицу {щ}, и / — непрерывная положительная форма на А. Тогда: . f(a*) = J(a); • l/(a)|2 < ||/||/(а*а); • |/(Ь*о6)| < ||о||/(6*6), в частности, |/(о)| < ||а||; . Ц/11 = sup f(aa'); lle||=i • /(«,-) - 11/11, /(и*щ) -» ll/H; • / однозначно продолжается до такой положительной формы на А, что /(1) = ||/||, и всякая положительная форма /' на А, продолжающая /, мажорирует /, т.е. /' - / — положительная форма на А. Приведенными выше свойствами обладают и положительные формы на С*-алгебрах. В частности, они непрерывны, а непрерывная форма / на С*-алгебре с единицей положительна тогда и только тогда, когда /(1) = 1. Пусть А — инволютивная алгебра. Если ж — ее представление в гильбертовом пространстве Е и в — некоторый элемент Е, то а -» (тг(а)в\в) (2.8) — положительная форма на А, про которую говорят, что она определяется я" и в. Для заданного представления 7г и разных элементов в G Е получаем множество положительных форм на А, которые называются связанными с представлением -к. В частности, пусть В — инволютивная подалгебра алгебры В{Е) непрерывных эндоморфизмов гильбертова пространства Е и в — некоторый элемент Е. Обозначим шв положительную форму (2.8) на В, связанную с естественным представлением В в Е и элементом в. Положительная форма на В называется векторной, если она совпадает с шв для некоторого в € Е. Предложение 2.4.2. Пусть ?n и 7г2 — представления инволютивной алгебры А в гильбертовых пространствах Е\ и Ej соответственно, в\ 6 Ег и в2 G Ег — тотализирующие векторы для 7Г] и тгг и /,(о) = (1Г,(а)0,|0,)£| = (Ыа)вг\вг)Ег = /2(о), Va 6 А. Тогда существует единственный изоморфизм Е{ на Ег, переводящий it\ в 7Гг и в\ в #2- п
§4. Конструкция ГНС 37 Таким образом, представление инволютивной алгебры определяет на ней положительную форму, которая является непрерывной, если эта алгебра банахова. Верно и обратное. Непрерывная положительная форма на инволютивной банаховой алгебре с аппроксимативной единицей задает ее представление. Это положение составляет содержание уже упоминавшейся конструкции ГНС. Теорема 2.4.3. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, допускающая аппроксимативную единицу, А — инволютивная алгебра с присоединенной единицей, / — непрерывная положительная форма на А и / — ее продолжение на А. Определим на алгебре А эрмитову форму (а\Ъ) = НЪ*а), (2.9) которая вводит на А структуру предгильбертова пространства. Рассмотрим в А левый идеал Nf = {a: f(aa) = 0}, который является также множеством таких элементов a £ А, что /(6а) = 0 для любого Ь G А. Фактор-пространство A/Nf — отделимое предгильбертово пространство. Обозначим Ej его пополнение по факторизованной норме (2.9). Для каждого а £ А определим оператор т(а) в A/Nf, возникающий при переходе к фактору из оператора левого умножения на а в А. Пусть Of = 7/(1) — канонический образ 1 в A/Nf. Тогда справедливы следующие утверждения. • Любой оператор т(а) продолжается единственным образом до непрерывного линейного оператора 717(a) в Ef. • Отображение а —> 717(a) является представлением А в Ef. • Вектор Of — тотализируюший для представления 7Cf(A). • /(а) = {TTf(a)ef\ef) для любого а £ А. а Говорят, что представление 7Cf и тотализирующий вектор Of определяются формой /. В частности, пусть А — инволютивная банахова алгебра, допускающая аппроксимативную единицу, / — непрерывная положительная форма на A, a -Kf и Of — представление и тотализирующий вектор, определяемые /. Тогда положительная форма (2.8) на А, определяемая -Kf v\.9f, совпадает с /. Замечание 2.4.1. Линейная форма / на алгебре А как векторном пространстве однозначно характеризуется своим ядром и значением в некоторой точке, не принадлежащей ядру (см. § 1.2). Поэтому, с физической точки зрения, конструкция ГНС означает, что задание средних — это определение аннулятора на алгебре наблюдаемых квантовой системы, действие которой на себя левыми умножениями выглядит при факторизации как представление в некотором гильбертовом пространстве, получаемом как фактор-пространство самой алгебры. Таким образом можно сказать, что вся информация о квантовой системе содержится в ее алгебре наблюдаемых. При этом согласно Следствию 1.2Л алгебра наблюдаемых не содержит «скрытых» наблюдаемых. □ Разные формы на алгебре А могут быть связаны с одним и тем же представлением, но разными тоталиэирующими векторами. Важно уметь это установить. Основным критерием является следующий.
38 Глава 2. Алгебры и их представления Предложение 2.4.4. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, допускающая аппроксимативную единицу, / — положительная форма на А, а 7г^ и Oj — представление и тотализирующий вектор, определяемые /. Тогда при любом Ь G А форма о —* f(b*ab) связана с ттг и, если /' — другая положительная форма на А, связанная с 7г^, то /' является пределом по норме в А форм о —> /(Ь*оЬ,), Ь; Е А. О Замечание 2.4.2. Приведенная ниже конструкция обертывающих С*-алгебр позволяет в большинстве вопросов о представлениях инволютивных банаховых алгебр, допускающих аппроксимативную единицу, ограничиться случаем С*-алгебр. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, допускающая аппроксимативную единицу. Пусть F(A) — множество непрерывных положительных форм на А. Для любого о е А обозначим ||о||' = sup /(о*о)1/2. f£F(A) Тогда ||а||' ^ ||а||. Отображение а —> \\а\\' является преднормой на А, обладающей свойствами ЦаЬЦЧ Ы \\Ъ\\, ||а*||' = ||а||, ||а*а|| = ||а||'2 для любых о, b 6 А. Пусть / — множество таких а £ А, что ||а||' = 0. Это замкнутый самосопряженный двусторонний идеал в А. Отображение а —* \\а\\' при переходе к фактору определяет норму на А/1. Пополнение А^ фактора А/1 по этой норме является С*-алгеброй, называемой обертывающей С*-алгеброй алгебры А. Каноническое отображение т : А —* А* представляет собой морфизм инволютивных алгебр, не увеличивающий норму. Если А — С*-алгебра, то А^ = А. Теорема 2.4.5. Пусть А, А^ и т — введенные выше объекты. Справедливы следующие утверждения. • Если 7г — представление алгебры А, то существует единственное представление 7г* ее обертывающей С*-алгебры А* в том же гильбертовом пространстве такое, что я- = 7г* о т и п\А*) — С*-алгебра, порожденная ж{А). Отображение ж —► я-' является биекцией множества представлений А на множество представлений А\ При этом, для того чтобы представление я-1 было невырожденным (соотв. неприводимым), необходимо и достаточно, чтобы 7г было невырожденным (соотв. неприводимым). • Пусть / — непрерывная положительная форма на А. Существует единственная положительная форма /* на А^ такая, что / = /'от. При этом / —> /* является биекцией множества непрерывных положительных форм на А на множество положительных форм на А*. а В частности, пусть F(A) — множество непрерывных положительных форм на ин- волютивной банаховой алгебре А, допускающей аппроксимативную единицу. Представление 7Г = ф 7Г/ f£F(A) называется универсальным представлением А. Тогда INI' = Ыо)\\, Va е А.
§ 4. Конструкция ГНС 39 Отсюда следует, что соответствующее представление я-' обертывающей алгебры А* осуществляет изоморфизм А^ на п(А) — замыкание п(А). О Рассмотрим теперь положительные формы, связанные с неприводимыми представлениями. Определение 2.4.6. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, / — непрерывная положительная форма на А. Говорят, что ненулевая форма / на А является чистой, если все непрерывные положительные формы на А, мажорируемые /, имеют вид А/ (О ^ А ^ 1). □ Теорема 2.4.7. Представление Kf инволютивной банаховой алгебры А с аппроксимативной единицей, определяемое непрерывной положительной формой / на А, топологически неприводимо тогда и только тогда, когда / — чистая форма. □ Для чистых форм и неприводимых представлений конструкция ГНС из Теоремы 2.4.3 упрощается. Пусть А — С*-алгебра, / — чистая форма на А и N{ — левый идеал в Л, образованный такими элементами а £ А, что f(aa*) = 0. Тогда Е/ = A/Nj, наделенное скалярным произведением (2.9), полно и является пространством представления, определяемого /. Более того, Nf состоит из элементов о £ Л, для которых 7Tf(a)6f = 0, где 0/ — тотализирующий вектор, определяемый /. Критерий того, что чистые состояния на С*-алгебре А связаны с одним и тем же неприводимым представлением, принимает следующий вид. Предложение 2.4.8. Для того чтобы чистые состояния /i и /2 на А определяли эквивалентные представления, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой унитарный элемент U в А, что /г(а) = MU*aU), Va е А. Обратно, пусть А — инволютивная алгебра, 7г — ее топологически неприводимое представление в гильбертовом пространстве Е, а в\ и в2 — элементы Е. Положительные формы на А, определяемые (тги в\) и (ж2, &i), равны тогда и только тогда, когда в\ = Хв2, где АеСи |А| = 1. □ В § 7 будет показано, что чистые формы, отвечающие одному и тому же неприводимому представлению С*-алгебры, составляют проективное гильбертово пространство. Следующее утверждение является аналогом Теоремы 1.2.1 Хана—Банаха о продолжении форм. Предложение 2.4.9. Пусть С*-алгебра А имеет С*-подалгебру А\ и фх — состояние на А\. На Л существует состояние ф (не единственное), продолжающее ф\, и если ф\ — чистое, то ф можно выбрать чистым. D Обозначим: • F\(A) — множество положительных форм на С*-алгебре А с нормой ^ 1; • Е(А) — множество состояний на А; • Р(А) — множество чистых состояний. Все они — подмножества топологически сопряженного к А пространства А'. При этом справедливы следующие утверждения. • Множества F^A) и Е(А) выпуклы, поскольку для С*-алгебр выполняется равенство 11/1+Л11 = 11/||| + 11ЛН.
40 Глава 2. Алгебры и их представления • Множество F\(A) слабо* компактно и образует слабо* замкнутую оболочку своих крайних точек, каковыми являются 0 и элементы Р{А). • Если С*-алгебра А содержит единицу, Е(А) слабо* компактно и является слабо* замкнутой выпуклой оболочкой Р(А). Предложение 2.4.8 устанавливает сюръекцию Р(А) —> А. Это отображение биективно тогда и только тогда, когда любое неприводимое представление С*-алгебры А одномерно, чтс^ имеет место только для коммутативных алгебр. Ниже будет показано, что Р{А) ->1 — это топологическое расслоение на кэлеровы многообразия (см. § 7). Замечание 2.4.3. Из приведенного в Предложении 2.4.8 критерия для форм, связанных с одним и тем же неприводимым представлением, можно получить такое следствие. Пусть А — С*-алгебра с единицей, фиф' — чистые состояния на А, для которых \\ф — ф'\\ < 2. Тогда представления тгф и яу эквивалентны. Таким образом, в Е(А) чистые состояния, отвечающие неэквивалентным неприводимым представлениям, не лежат близко в равномерной топологии. С физической точки зрения это означает, что степень нарушения симметрии не бывает малой. □ §5. Следы Следы — еще один тип форм, рассматриваемых на С*-алгебрах. В отличие от положительных форм, они не обязательно конечны, но определяются только на положительных элементах С*-алгебры. Элемент а инволютивной алгебры называется положительным, если он эрмитов и Sp^ а ^ 0. Будем писать а ^ 0. Обозначим А+ множество положительных элементов алгебры А. Пример 2.5.1. Элемент а С*-алгебры В(Е) непрерывных операторов в гильбертовом пространстве Е является положительным тогда и только тогда, когда а — положительно определенный оператор из В(Е). о На множестве А+ определено отношение частичного упорядочения а-Ь^ 0, согласованное со структурой векторного пространства в А. В частности, если a ^b,a,b & А+, то ||а|| ^ ||6||, а также с*ас ^ с*Ъс для любого с G А. Если А — С*-алгебра и элемент а Е А эрмитов, следующие условия эквивалентны: • а — положительный элемент; • а принимает вид bb*, b £ А; • а принимает вид h2, где h — положительный эрмитов элемент. Элемент h имеет смысл квадратного корня из о и обозначается \[а или а1''2. Если о — произвольный элемент С*-алгебры А, то элемент аа* положителен, и поэтому можно определить модуль \а\ = Vaa* элемента а (см. ниже Пример 2.7.4). Если а обратим, то элементы аа* и \а\ тоже обратимы, и а = и \а\, где и = а\а\~] — унитарный элемент из С*-подалгебры Аа, порождаемой а и а*. Это частный случай так называемого полярного разложения. Замечание 2.5.2. Пусть Е — гильбертово пространство и а € В(Е). Зададим оператор и на подпространстве \а\ Е гильбертова пространства Е, полагая и \а\ х = ах, х € Е.
§5. Следы 41 Это корректно определенный изометрический оператор на \а\ Е, и можно расширить и до частично изометрического оператора в Е, доопределив его нулем на ортогональном дополнении к \а\ Е и расширив по свойству линейности. В результате получаем полярное разложение а = и\а\, (2.10) которое единственно. Оператор и принадлежит алгебре фон Неймана, порождаемой С*-алгеброй Аа. D Операторы физических наблюдаемых связывают обычно именно с положительными элементами С*-алгебры квантовой системы. Определение 2.5.1. Следом на множестве А+ положительных элементов С*-алгеб- ры А называют функцию _ ф : А+ - R+ = [0, оо], удовлетворяющую таким условиям: (а) ф(а + Ь) =_ф(а) + ф(Ь); (б) если А £ R+, то ф{\а) = \ф(а) с условием 0 • оо = 0; (в) ф(аа*) = ф(а*а). а Говорят, что след ф конечен, если ф(а) < оо для всех о ё А+, и полуконечен, если для каждого а & А+ значение ф(а) — верхняя грань чисел ф(Ъ) для таких Ъ £ А+, что Ь ^ о и ф(Ь) < оо. В дальнейшем мы будем предполагать полунепрерывность снизу следа на А+. Если след не конечен, обозначим Я+ф множество таких а ё А+, что ф(а) < оо, и Тф множество таких а £ А, что ф(аа*) < оо. Тогда Тф — самосопряженный двусторонний идеал в А, и Тф = Яф — множество линейных комбинаций элементов из R+ф. На Яф существует единственная линейная форма ф', совпадающая с ф на R+ф. Подчеркнем, что Иф — двусторонний идеал, т.е., если о ё Лф, то Ьа, аЬ ё Яф. Имеем ф'(а) = ф'(а), а Ё Яф, ф'(Ьа) = ф'(аЬ), аеЯф, Ъ Ё А. (2.11) Подобно следу на А+, определяется след t на множестве положительных элементов В+ алгебры фон Неймана В. В этом случае видоизменяется условие (б), а именно: (б) если а ё В+ и U — унитарный элемент из В, то t(UaU~l) = t(a). След t называется точным, если из условия t(a) = 0, а ё В+, следует а — 0. След t называется нормальным, если для любой возрастающей сети F С В+ с точной верхней гранью Ь ё В+ число t(b) является точной верхней гранью t(F). Примером полуконечного точного нормального следа на В(Е) служит <(&) = Тг(&)=Г5>е!|е<), (2.12) где {е,} — некоторый ортонормальный базис гильбертова пространства Е, но след (2.12) не зависит от выбора ортонормального базиса. Определение 2.5.2. Алгебра фон Неймана В называется конечной (соотв. полуконечной), если для любого ненулевого Ь 6 В+ существует конечный (соотв. полуконечный) нормальный след t на В+ такой, что t(b) Ф 0. □
42 Глава 2. Алгебры и их представления Например, алгебра типа I полуконечна. Пусть В С В{Е) — полуконечный фактор и t — полуконечный точный след на В+. Тогда нормальный след на В+ всегда имеет вид Xt, где А G Ш+, и идеалы Т( и Rt не зависят от выбора t. Элементы Rt называются элементами со следом, а элементы Г( — элементами Гильберта—Шмидта относительно полуконечного фактора В. В случае В = В(Е) со следом (2.12) это просто операторы Гильберта—Шмидта. Замечание 2.5.3. Введем понятие гильбертовой алгебры. Пусть инволютивная алгебра А наделена скалярным произведением (.|.), превращающим ее в предгильбертово пространство и удовлетворяющим условиям: • <о|6) = <6*|а*), а,Ь€А; • (са\Ь) = {a\c*b), а,Ь,с€ А; • для любого Ь G А отображение а —> Ьа предгильбертова пространства А в себя непрерывно; • произведения аЪ, а,Ъ G А, плотны в А. Отсюда следует, что (аф) = (а|6с*), а,Ь,с€ А, и что отображение а —> аЪ также непрерывно. Инволютивная алгебра с таким скалярным произведением называется гильбертовой алгеброй. Пусть Е — гильбертово пространство — пополнение А, а Щ и Vb — элементы В(Е), продолжающие умножения слева и справа на Ь в А. Тогда b i-+ Щ и Ъ *-* Vj образуют невырожденные представления А в Е. Очевидно, что операторы Щ и Vb перестановочны и Слабое замыкание множества элементов Щ (соотв. Vb) образует алгебру фон Неймана Ы{А) (соотв. V(A)), называющуюся связанной слева (соотв. связанной справа) с А. Имеем ЩА) = V(A)', V(A) = ЩА)'. В частности, если с G U(A) П V(A), то (с(ж*))* = с*(ж), Vz € Е. Говорят, что элемент х G Е ограничен (относительно А), если отображение Ь —> Vbx (или эквивалентно Ъ —> U\,x) пространства А в Е непрерывно. В частности, всякий элемент a G А С Е ограничен, а элемент х* ограничен тогда и только тогда, когда х ограничен. Гильбертова алгебра А называется совершенной, если все ограниченные элементы принадлежат АСЕ. Например, полная гильбертова алгебра (когда А — гильбертово пространство) совершенна. Обозначим теми же символами Ua и Va непрерывные продолжения на Е отображений А Э Ъ —> Уьх € Е и А Э Ь —> Щх € Е. Если элементы а,Ь G Е ограничены, то Uab — Vbd. Положим ab — Uab. Это определяет на множестве st ограниченных элементов Е структуру гильбертовой алгебры, содержащей А как плотную гильбертову
§ 5. Следы 43 подалгебру. Гильбертова алгебра st совершенна. Имеем U(A) = lt(sf) и V(A) = V(s/). Для элемента с е К(А)+ положим [ (а\а), : Ua — л/с при а £ &/, t(c) = Г " v н ' (2.13) I оо : в противном случае. Тогда t (2.13) — полуконечный точный нормальный след на Ы(А)+. Например, операторы Гильберта—Шмидта £ в гильбертовом пространстве Н образуют инволютивную алгебру. Эта алгебра, снабженная скалярным произведением (£,£') = Тг(£'*£), является полной гильбертовой алгеброй. Она изоморфна гильбертову пространству Н' ® Н так, что элементу £ ® а £ Н' ® Н ставится в соответствие оператор X 1-+ (х, £)<7. Пусть А — полная гильбертова алгебра и PL — семейство минимальных проекторов из Ы(А) П V{A). Они взаимно ортогональны, т. е. для Pt Ф Рк подпространства РЬ(Е) и РК(Е) взаимно ортогональны. Тогда: • At = PL(A) является совершенной гильбертовой алгеброй, так что алгебры At попарно аннулируются, т.е. AtAK = О, и являются самосопряженными двусторонними идеалами в А; • гильбертово пространство А является гильбертовой суммой AL; • после умножения нормы в At на константу гильбертова алгебра становится изоморфной гильбертовой алгебре операторов Гильберта—Шмидта в некотором гильбертовом пространстве; • если ЩА) и V(A) — конечные алгебры фон Неймана, то все А,, конечномерны. □ Подобно тому как положительная форма на С*-алгебре определяет ее представление, след на С*-алгебре определяет ее представление со следом. Определение 2.5.3. Представлением С*-алгебры со следом называется пара (х, t), обладающая следующими свойствами: • t — точный нормальный след на В+, где В — алгебра фон Неймана, порожденная х(Л); • -к(А) П Т( порождает В. Из этих условий следует полуконечность t и полу конечность В. □ Пусть (хь t\) и (х2, t2) — два представления С*-алгебры А со следом, а В\ и В2 — алгебры фон Неймана, порожденные ir\(A) и ж2(А). Говорят, что представления со следом (7Ti,*i) и (7г2, t2) квазиэквивалентны (соотв. эквивалентны), если существует изоморфизм (соотв. пространственный изоморфизм) В\ на В2, который преобразует ж\ в -к2 и t\ в t2. Тогда представления 1Г\ и 1Г2 квазиэквивалентны (соотв. эквивалентны).
44 Глава 2. Алгебры и их представления Если (тг, () — представление С*-алгебры со следом, тогда ф(А+) = Цтг(А+)) — полунепрерывный полуконечный снизу след на А+. Про него говорят, что он связан с (тг, ()■ Если заменить (тг, () на квазиэквивалентное представление со следом, то след ф не изменится. Обратно, пусть ф — полунепрерывный снизу полуконечный след на А+. Обозначим iV^ — множество таких а 6 Тф, что ф(аа*) = 0. Это двусторонний идеал в А. Форма (2.9) при переходе к фактору определяет структуру отделимого предгильбертова пространства на инволютивной алгебре Тф/Иф. Обозначим Еф гильбертово пополнение Тф/Иф и {.\.)ф — скалярное произведение в Еф. Отображение а —» Ъа, Ъ 6 А, а 6 Тф, переносится на фактор-пространство Тф/Иф и продолжается по непрерывности до линейных операторов Жф(а) в Еф, реализуя представление А в Еф. Скалярное произведение {.\.)ф на Тф/Иф удовлетворяет всем тем условиям (см. Замечание 2.5.3), которые превращают Тф/Ыф в гильбертову алгебру. Воспроизведем для Тф/Иф те же конструкции, что и в Замечании 2.5.3. Тогда можно показать, что алгебра фон Неймана Ы{Тф/Нф) есть алгебра фон Неймана Вф, порожденная Кф(А), и Ьф (2.13) — след на Вф+. Построенное представление со следом (тгф, Ьф) называется связанным с ф. Предложение 2.5.4. Пусть А — С*-алгебра и ф — полунепрерывный снизу полуконечный след на А+, а (тг^, Ьф) — представление со следом, связанное с ф. Тогда след на А+, связанный с (Жф,Ьф), совпадает с ф. Обратно, пусть (ж, t) — представление А со следом и ф — след, связанный с (тг, t). Тогда представление со следом, связанное с ф, квазиэквивалентно (тг, (). Таким образом, существует каноническая биекция множества полунепрерывных снизу полуконечных следов на А+ на множество классов квазиэквивалентности представлений С*-алгебры А со следом. □ Так же как неприводимым представлениям С*-алгебры А отвечают чистые формы на ней, ее фактор-представления находятся в соответствии с характерами алгебры А. Определение 2.5.5. Полунепрерывный снизу полуконечный след ф на А+ называется характером А, если всякий другой такой след на А+, мажорируемый ф, пропорционален ф на положительных элементах замыкания множества Иф. □ Предложение 2.5.6. Пусть ф — полунепрерывный снизу полуконечный след на А+ и (Яф, Ьф) — представление С*-алгебры со следом, связанное с ф. Для того чтобы ж было фактор-представлением, необходимо и достаточно, чтобы ф был характером. Существует каноническая биекция между множеством классов квазиэквивалентных фактор-представлений С*-алгебры, допускающих след (т. е. если есть такой след ( на А+, что (тг, () — представление со следом), и множеством характеров А с точностью до положительного множителя, а Например, пусть А — GCR-алгебра и тг — неприводимое представление А. Для каждого а £ А+ введем ФЛа) = Тг(тг(а)). Тогда фъ(а) является характером, и существует изоморфизм Тф/Иф на гильбертову алгебру операторов Гильберта—Шмидта в Е„. Если тг' — другое неприводимое представление А и фт = фъ', то тг и тг' квазиэквивалентны и эквивалентны. Каждое представление GCД-алгебры имеет след. Замечание 2.5.4. Пусть тг, тг' — неприводимые представления инволютивной алгебры в онечномерных векторных пространствах. Если
§ 6. Гильбертовы интегралы состояний 45 Тг(т(о» = ТгОг'(о)), Vo'Gil, тогда 7г и 7г' эквивалентны. □ Связь между формами на С*-алгебрах и следами устанавливается в случае конечных следов. Предложение 2.5.7. Рассмотрим положительную центральную форму f на С*-алгеб- ре А (т.е. f(ab) — /(6а), а, Ъ € -А). Тогда сужение / на А+ представляет собой конечный след. Обратно, пусть ф — конечный след на А+, тогда ify = А, и / — положительная центральная форма на А, продолжающая ф. □ В этом случае: • ■К; = 1Гфш, • след Ьф на Д^ конечен, и если Ь'ф — его продолжение на Вф, то <*(*/(«» = (*7(а)в/|0/) для всех a G j4; • fy — тотализирующий и отделяющий вектор для алгебры фон Неймана Вф, совпадающей с алгеброй фон Неймана, порождаемой itf(A). Замечание 2.5.5. Пусть В — инволютивная подалгебра В(Е). Напомним, что ненулевой вектор х € Е называется отделяющим для В, если из условия Ь(х) = 0, b € В, следует, что 6 = 0. □ § 6. Гильбертовы интегралы состояний Аналогично операциям интегрирования и дезинтегрирования представлений определены операции интегрирования и дезинтегрирования форм и следов. Пусть / — положительная форма на сепарабельной С*-алгебре А, Е — пространство представления Kf, Y — борелевское пространство, \ь — положительная мера па Y, Еу — измеримое поле гильбертовых пространств, жу — измеримое поле неприводимых представлений А в Еу таких, что Е = Еу dfi, irf = I ity dfi. Пусть By — такое поле векторов, что 0f = J09 dfi. Для почти каждого у имеем 0У Ф 0. Пусть /,, — чистые положительные формы (для почти всех у), определяемые тгу и 0У. Тогда для каждого a G А функция у —> fy(a) интегрируема и f(a) = J fy(a)dfi. (2.14)
46 Глава 2. Алгебры и их представления Пусть ф — полуконечный полунепрерывный снизу след на А+, определяющий объекты Еф, -Кф, Вф, Ьф. Тогда существуют: стандартная положительная мера р на квазиспектре А, характер фу для каждого у £ А и такие измеримые поля Еу, тту, Ву, ty, что: ту G у почти всюду, Еф= I Еу dp, 7гф= I тгу dp, Вф= I Ву dp, гф = J ty dp, а для каждого a £ A+ функция у —> фу(а) измерима и ф(а) = J фу(а) dy. Если мера р', характеры ф'у и поля Е'у, тт'у, В'у t'y обладают теми же свойствами, то меры р и р' эквивалентны. Разложение (2.14) является частным случаем так называемых барицентрических разложений (см. Приложение А.7). Рассмотрим описание состояний на С*-алгебрах в терминах этих разложений. Пусть А — С*-алгебра. Напомним, что множество состояний Е{А) на алгебре А выпукло, слабо* компактно и является слабо* замкнутой выпуклой оболочкой множества чистых состояний Р(А). Поэтому всякое состояние / на алгебре А является барицентром f = fydpf (2.15) некоторой положительной меры pf на Е(А) с полной массой 1. Разложение (2.15) неоднозначно. Обозначим множество всех таких мер Mj и рассмотрим его подмножество Oj ортогональных мер. Положительные формы f\ и fi на С*-алгебре А называются ортогональными, если они удовлетворяют следующим эквивалентным условиям: • представление, определяемое суммой / = /i + /2, является прямой суммой представлений, определяемых fi и fi, • если /' — положительная форма на А такая, что /' < /i и /' < /г, то /' = 0; • существует такой проектор Р G ft]{A)', что fi{a) = (vJ{a)0J\P0!), Vo€i4, /2(0) = (1Г/(0)в,|(1-Р)в/). Пусть р — положительная мера на Е(А). Если для любого борелевского множества V С Е{А) формы J у dp и J У dp V E(,A)\V ортогональны, то р называется ортогональной мерой на Е(А).
§7. Дополнение. Функциональное представление С*-алгебр 47 Пусть в дальнейшем А — С*-алгебра с единицей. Следующие утверждения устанавливают связь ортогональных мер со специальными классами подалгебр фон Неймана и проективных операторов. Если р, € Mf, то существует единственное линейное отображение Х„ : Ь°°(Е(А), ц)Э$-> Х„(') € »,(^)', (2.16) удовлетворяющее соотношению (Х„(в)ж,(А)в,\в,) = J s(y)y(A) dfi(y). Напомним, что L°°(X,p,), Ll(X,/i) — дуальная пара, и можно снабдить L°°(E(A)) топологией a\.L'x{E(A))^Lx(E{A))\. Тогда, если коммутант 7Cf(A)' наделен слабой операторной топологией, то отображение (2.16) непрерывно. Эквивалентны условия: • мера р, ортогональна; • отображение (2.16) является инъективным морфизмом L°a(E(A)) в irj(A)'. Если они выполнены, то В — Xii(L°°(Е(А))) является абелевой подалгеброй фон Неймана в irf(A)'. Пусть / — состояние на А. Существует взаимно однозначное соответствие между тремя множествами: множеством ортогональных мер О/, множеством всех абелевых подалгебр фон Неймана В С тг/(А)' и множеством всех ортогональных операторов Р в iTf(A) таких, что Рв, = в}, Рж,{А)Р С (Pirs(A)P)'. Причем В = {kj{A) U Р)' и Р — ортогональный проектор на пространство ВВ;. В заключение приведем теорему, которая описывает экстремальные разложения (2.15), т.е. разложения по чистым состояниям. Теорема 2.6.1. Пусть / — состояние на С*-алгебре А с единицей, В — максимальная абелева подалгебра в ^j(A)' и р, — соответствующая ортогональная мера на Е(А). Тогда мера р максимальна и псевдососредоточена на множестве чистых состояний Р(А). Если А сепарабельна, то р сосредоточена на Р(А). Если коммутант ir;{A)' абелев, то такая максимальная мера единственна. Для того чтобы всякое состояние на А обладало таким свойством, необходимо и достаточно, чтобы алгебра А была абелева (в этом случае Е(А) — симплекс). □ В § 3.4 будет рассмотрен другой тип барицентрических разложений — так называемые эргодические разложения. §7. Дополнение. Функциональное представление С*-алгебр Начнем со случая коммутативных С*-алгебр (см. [6, 10]). Характером коммутативной С*-алгебры называется ненулевой морфизм этой алгебры в С. Любой характер коммутативной С*-алгебры А имеет ненулевую норму ^ 1 и эрмитов.
48 Глава 2. Алгебры и их представления Замечание 2.7.1. Следует отметить определенное противоречие в терминологии. Характер коммутативной С*-алгебры А как общей С*-алгебры является функцией вида а н-» А%(а) на А+, где А > 0 и %(а) — характер А, как мы его только что определили. □ Множество характеров коммутативной С*-алгебры А, снабженное слабой топологией, является локально компактным пространством, называемым спектром алгебры А. Он совпадает со спектром А алгебры А как общей С*-алгебры, а также с множеством примитивных идеалов Prim А и множеством чистых состояний Р(А) на алгебре А. Это обусловлено тем, что любое неприводимое представление коммутативной С*-алгебры одномерно. Отсюда также следует, что коммутативная С*-алгебра есть ССД-алгебра. Пример 2.7.2. Пусть X — локально компактное пространство, А — инволютивная алгебра непрерывных комплексных функций / на X, стремящихся к нулю на бесконечности (т. е. в бесконечно удаленной точке в пространстве, получаемом компактифика- цией X). Наделенная нормой Ц/11 = sup |/<я:)|, (2.17) хйХ эта алгебра становится С*-алгеброй. □ Определение 2.7.1. Пусть А — коммутативная С*-алгебра. Для всякого a £ А функция Га:Х^Х(а) (2.18) на спектре А называется преобразованием Гельфанда элемента а. □ Функция (2.18) непрерывна, разделяет точки А, и для любого х € А существует такой элемент а € А, что Fa(x) Ф О- Если А содержит единицу, то множество значений функции Та совпадает со спектром элемента а. Пример 2.7.3. Пусть А — коммутативная С*-алгебра с единицей. Предположим, что ее под-С*-алгебра, порожденная 1 и элементом а, равна А. Тогда преобразование Гельфанда (2.18) является гомеоморфизмом А на Spa, где А — компакт. Заметим, что если А — С*-алгебра с единицей и a — ее нормальный элемент, то элементы 1 и а порождают коммутативную под-С*-алгебру Аа алгебры А. Отсюда следует, что спектр Sp4 a нормального элемента a е А относительно алгебры А совпадает с его спектром относительно алгебры Аа и является компактом, о Приведем основную теорему теории коммутативных С*-алгебр. Теорема 2.7.2. Пусть А — коммутативная С*^алгебра, А — ее спектр и S(A) — С*- алгебра непрерывных комплексных функций на А, стремящихся к нулю на бесконечности. Преобразование Гельфанда осуществляет изоморфизм С*-алгебры А на С*-алгебру 5(1). □ Функциональное исчисление в коммутативных С*-алгебрах основывается на следующем утверждении. Предложение 2.7.3. Пусть А — С*-алгебра, a — нормальный элемент А и ^(Sp^ a) — С*-алгебра непрерывных комплексных функций на Sp^ а. Существует единственный изометрический морфизм С*-алгебр С : S(SpA о) Э / - /(a) е А такой, что С(1) = 1 и С(А) = а, где А обозначает функцию А —> А на А. Образом этого морфизма является под-С*-алгебра Аа С А, порожденная элементами 1 и а. о
§7. Дополнение. Функциональное представление С*-алгебр 49 Тот факт, что ( — изометрический морфизм, выражается следующими соотношениями, где / и д — непрерывные комплексные функции на Sp^ а: (/ + д)(а) = /(а) + д(а), (_/$)(<*) = f(a)g(a), № = На), Н/(а)11 = 11/11. Sp4 /(о) = f(SpA а). Следствие 2.7.4. Пусть А — коммутативная С*-алгебра с единицей, а — элемент А н Т — преобразование Гельфанда, / — непрерывная комплексная функция на Sp4 а. Тогда •?7(о) = fi^a)- D Пример 2.7.4. Пусть а — эрмитов элемент С*-алгебры а. Рассмотрим функцию /(А) = |А| на его вещественном спектре. Ей отвечает положительный элемент \а\ этой алгебры, называемый модулем эрмитова элемента а. Можно ввести эрмитовы элементы a+=2(Jal + a)> а_ = -(|а|-а) такие, что а+а,- = а—а+ = 0. Отсюда следует, что а2 = \а\2, и \а\ является модулем элемента а, как он был определен в § 5. о Перейдем теперь к случаю некоммутативной С*-алгебры с единицей, элементы которой могут быть представлены функциями на пространстве чистых состояний Р{А). Начнем с алгебры В(Е) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Е. Рассмотрим проективное гильбертово пространство РЕ (см. § 1.7). Сопоставим элементу a £ В{Е) комплексную функцию /0(х) = (ах\х) (2.19) на РЕ, где х € Е — нормированный представитель элемента х G РЕ. Отображение (2.19) является включением В(Е) в пространство гладких функций С00{РЕ) на РЕ. Оно линейно и согласуется с операцией инволюции. Чтобы превратить его в морфизм алгебр, зададим на элементах РЕ операцию произведения f*g = fg+\{dfj@g)) = fg + ^(df,g4dg)) + %-{df,w4dg)), (2.20) где g — метрика Фубини—Штуди (1.36), aw — ее фундаментальная форма (1.37). Тогда можно показать [36, 37], что fab = fa* fb- Более того, _ IWI= sup(/e*/e)(x). х€РЕ Чтобы построить функциональное представление произвольной С^-алгебры А с единицей, воспользуемся тем, что каноническое отображение Р{А) —► А является топологическим расслоением, каждый слой которого РЖ(А) (т. е. множество чистых состояний,
50 Глава 2. Алгебры и их представления связанных с неприводимым представлением 7г) в индуцированной топологии является кэлеровым многообразием, изоморфным проективному гильбертову пространству РЕц, где Е„ — пространство представления 7г [37, 61]. Этот изоморфизм определяется тем, что каждому чистому состоянию ф £ Р*(А) сопоставляется единичный тотализирующий вектор Хф£ Е„, который является представителем некоторого элемента Хф проективного гильбертова пространства РЕЯ, и обратно. На РЖ{А) вводится кэлерова метрика такая, что соответствующая функция расстояния имеет вид р(ф, ф') = v/2arccos(|(x0|a;^)|)- Сопоставим всякому элементу а £ А функцию Мф) = (а, ф) на пространстве чистых состояний Р(А) алгебры А. Определим на множестве таких функций произведение *, задаваемое послойно формулой (2.20). Тогда отображение а •-* fa, тоже называемое преобразованием Гельфанда, является линейным, согласующимся с инволюцией вложением А в С°°(Р(А)) таким, что fab = fa*fb И ||0||= SUP (7„*/а)(0). феР(А) В частности, если А — коммутативная С*-алгебра с единицей, то Р(А) = А, и мы приходим к классическому преобразованию Гельфанда, описанному в Предложении 2.7.3.
Глава 3 Симметрии квантовых систем Как следует из конструкции ГНС, алгебра наблюдаемых полностью характеризует квантовую систему. Поэтому под преобразованиями симметрии квантовой системы мы, как правило, будем подразумевать автоморфизмы С*-алгебр и алгебр фон Неймана. При этом следует иметь в виду, что нет полной эквивалентности между автоморфизмами алгебры наблюдаемых и морфизмами ее состояний, в том числе морфизмами гильбертовых пространств ее представлений, т.е. между симметриями в «гейзенберговской» и «шредингеровской» картинах квантовой теории. § 1. Морфизмы и йордановы морфизмы Пусть 7 : Л\ —* А2 — линейное отображение инволютивной алгебры А\ как векторного пространства в инволютивную алгебру А2. Говорят, что [3, 25]: • 7 — морфизм, если 7(а&) = 7(a) 7(b), 7(a*) = 7(a)*i • 7 — антиморфизм, если 7(аЬ) = 7(Ь)7(а), 7(а*) = 7(а)*; • 7 — положительное отображение, если 7(-^1+) С А2+\ • 7 — изометрия, если А\ и А2 — нормированные алгебры и ||-у(а)]|2 = ||a||i, а £ А\; • 7 — йорданов морфизм, если 7 (К Ь}) = {7(a), 1(b)} , 1(a) = 7(a)*, где {а, Ь} = ab + ba — антикоммутатор; • 7 — изоморфизм (соотв. йорданов изоморфизм), если j — морфизм (соотв. Йорданов морфизм) и существует обратный морфизм (соотв. обратный Йорданов морфизм) 7-1; • 7 — автоморфизм (соотв. йорданов автоморфизм), если -у — изоморфизм (соотв. Йорданов изоморфизм) инволютивной алгебры А на себя.
52 Глава 3. Симметрии квантовых систем Морфизмы С*-алгебр как инволютивных алгебр являются их морфизмами как С*-ал- гебр, т.е. образом такого морфизма является С*-алгебра. Они непрерывны и положительны. Изоморфизм С*-алгебр изометричен. Аналогично, морфизмы алгебр фон Неймана как инволютивных алгебр являются их морфизмами как алгебр фон Неймана. Они положительны и ультрасильно (а значит сильно, ультраслабо и слабо) непрерывны, т.е. непрерывны в ультрасильной операторной топологии в алгебре фон Неймана. Изоморфизм алгебр фон Неймана изометричен. Морфизмы и антиморфизмы являются йордановыми морфизмам, но Йорданов морфизм может не быть морфизмом инволю- тивной алгебры. Йордановы морфизмы С*-алгебр положительны. Рассмотрение йордановых морфизмов связано с тем, что преобразования, дуальные преобразованиям множеств состояний на С*-алгебрах являются именно йордановыми морфизмами этих алгебр (см. ниже Предложение 3.1.4). Предложение 3.1.1. Пусть 7 — линейное сохраняющее операции инволюции отображение С*-алгебры А\ как векторного пространства на С*-подалгебру А2 С В(Е) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Е. Отображение 7 является йордановым морфизмом в том и только том случае, если существует оператор проектирования Т Е А'2п А" такой, что А\ —> ^(А])!1 является морфизмом, а Л,->7(Л|)(1-Т) — антиморфизмом. □ Таким образом, йордановы морфизмы можно получить «сложением» морфизмов и антиморфизмов. Это важно для характеристики йордановых морфизмов. Пусть С*-алгебры А\ и А2 обладают единицами и А2 С В(Е) — алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Е. Рассмотрим линейное отображение 7 : А\ —* Ai, имеющее обратное; причем 7(1) = 1. Следующие условия эквивалентны: • 7 — Йорданов морфизм; • если элемент а унитарен, то оператор -у(а) унитарен; если а эрмитов, то 7(H) = |7(«)|; если а обратим, то 7(a) обратим и 7(а~') — 7(а)"'; • 7 — изометрия; • сопряженное к 7 отображение 7' обладает тем свойством, что j'(E(A2)) = E(At), где Е(А\) и Е(А2) — множества состояний соответственно на А\ и А2. Замечание 3.1.1. Напомним, что если 7 : А\ —> А2 — линейное отображение, то сопряженное отображение 7' : А'2 —* А\ непрерывно в слабых* топологиях в Е(А\) и Е(А2), а из линейности -у следует, что отображение 7' является аффинным, т.е. 7'(A/ + (l-A)<7). = A7'(/) + (l-A)7'(<7), VA 6 [0, 1]. а Таким образом, приходим к следующему утверждению. Предложение 3.1.2. Пусть 7 — Йорданов автоморфизм С*-алгебры с единицей. Он индуцирует сопряженное биективное слабо* непрерывное аффинное отображение пространства состояний Е(А) (а также множества чистых состояний Р(А)) на алгебре А на себя. □
§ 1. Морфизмы и йордановы морфизмы 53 Справедливо частичное обращение этого утверждения. Нормальной положительной формой на алгебре фон Неймана В называется форма / такая, что для любой возрастающей сети F С В+ с верхней гранью s € В+ число f(s) является точной верхней гранью f(F) (см. определение нормального следа). Форма / на В+ нормальна тогда и только тогда, когда она ультраслабо непрерывна. Множество В* нормальных форм на алгебре фон Неймана В называется преддвойствен- ным пространством. Оно банахово относительно нормы, индуцированной из сопряженного пространства В', и В сопряжено банахову пространству В* как пространство форм / —► /(о), a G .В*. Таким образом, как уже отмечалось, алгебра фон Неймана — это С*-алгебра, которая является сопряженной преддвойственному пространству. Теперь можно сформулировать следующее утверждение. Предложение 3.1.3. Пусть В — алгебра фон Неймана и N(B) — множество нормальных состояний на В. Если ( — аффинное отображение N(B) на себя, то существует единственный Йорданов автоморфизм j алгебры В такой, что ( = j'. D Этот результат можно распространить и на С*-алгебры. Предложение 3.1.4. Пусть А — С*-алгебра с единицей и Е(А) — множество всех состояний на А. Всякое слабо* непрерывное аффинное биективное отображение множества Е(А) на себя является дуальным некоторому йорданову автоморфизму С*-алгеб- ры А. и С физической точки зрения, Предложения 3.1.2—3.1.4 устанавливают связь между преобразованиями симметрии в «гейзенберговской» и «шредингеровской» картинах. Поэтому преобразования симметрии квантовых систем естественно отождествлять с йордановыми автоморфизмами С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Однако, если перейти к рассмотрению связных топологических групп симметрии, реализующие эти группы йордановы автоморфизмы оказываются просто автоморфизмами (см. ниже Предложение 3.1.5). Замечание 3.1.2. Напомним, что действие топологической группы G в топологическом пространстве X называется: • непрерывным, если отображение G х X —► X непрерывно; • раздельно непрерывным, если частичные отображения G х X —► X при каждом фиксированном х £ X и при каждом фиксированном g G G непрерывны. Первое условие более сильное. Например, действие операторной алгебры па себя внутренними автоморфизмами непрерывно только в равномерной операторной топологии (см. §2.1). При этом условие равномерной непрерывности является весьма жестким ограничением. Например, известно, что неприводимые унитарные представления связной вещественной группы Ли, непрерывные в равномерной операторной топологии, конечномерны. Поэтому в дальнейшем под непрерывным действием группы автоморфизмов будет пониматься именно раздельно непрерывное действие. Как правило, мы будем иметь дело с топологическими группами, действующими в банаховых пространствах. Говорят, что топологическая группа G действует в банаховом пространстве X: • равномерно непрерывно (или коротко, что G — равномерно непрерывная группа, действующая в X), если дано ее непрерывное отображение в группу ограниченных операторов в X, наделенную равномерной операторной топологией, которая действует непрерывно в равномерной (сильной) топологии в X;
54 Глава 3. Симметрии квантовых систем • сильно непрерывно или просто непрерывно, когда действие G (раздельно) непрерывно в равномерной (сильной) топологии в X (т. е. дано непрерывное отображение G в группу ограниченных операторов в X, наделенную сильной операторной топологией); • слабо непрерывно, когда ее действие (раздельно) непрерывно в слабой топологии в X. а Предложение 3.1.5. Пусть G — связная группа йордановых автоморфизмов С*-ал- гебры А с единицей, наделенная слабой операторной топологией и действующая слабо непрерывно в А. Тогда: • G — слабо непрерывная группа автоморфизмов алгебры А; • если 7г — представление А в гильбертовом пространстве Е, то жд(а) — тг(д(а)), д G G, для всякого а Е А — сильно непрерывная группа, действующая в Е. а Аналогичная ситуация имеет место для некоторых типов алгебр фон Неймана. Пусть G — связная ультраслабо непрерывная группа йордановых автоморфизмов алгебры фон Неймана В. Если В абелева или фактор, то G — группа автоморфизмов. Например, алгебра В(Е) — фактор, и все ее йордановы автоморфизмы — автоморфизмы. Учитывая это, будем под группами симметрии, как правило, понимать слабо или сильно непрерывные группы автоморфизмов С*-алгебр и слабо или ультраслабо непрерывные группы автоморфизмов алгебр фон Неймана. §2. Дифференцирования Рассмотрим особо однопараметрическис группы автоморфизмов С*-алгебр и алгебр фон Неймана. В частности, такие группы описывают эволюцию квантовых систем. При этом сошлемся сразу на следующую теорему [3]. Теорема 3.2.1. Слабо непрерывная группа изомстрий банахова пространства является сильно непрерывной. □ Генераторы упомянутых однопараметрических групп автоморфизмов являются дифференцированиями [3]. В этом параграфе мы рассмотрим обратную задачу, при каких условиях дифференцирования могут служить генераторами однопараметрических групп автоморфизмов, а также условия выполнения этих групп унитарными операторами в гильбертовых пространствах. Определение 3.2.2. Симметрическим дифференцированием С*-алгебры А называется линейный оператор 6, действующий из некоторой инволютивной подалгебры D(6) С А в А и такой, что для любых а и b из его области определения D(6) выполняются равенства 6(аЬ) = 6(а)Ъ + а6(Ъ), 6(a) = 6(a)*. Последнее из них является условием, что дифференцирование симметрическое. D В дальнейшем мы будем иметь дело только с симметрическим дифференцированием, называя его просто дифференцированием. Предположим также, что А содержит единицу и что 1 € D(6). Нетрудно убедиться, что 6(1) = 0.
§ 2. Дифференцирования 55 Рассмотрим сначала случай, когда операторы дифференцирования ограничены. Предложение 3.2.3. Если D(6) — С*-алгебра, например, D(6) = А, то оператор 6 ограничен. Обратно, если множество D(6)A плотно в А и дифференцирование 6 ограничено, оно единственный образом продолжается до ограниченного дифференцирования на А. и В дальнейшем будет предполагаться, что область определения дифференцирования плотна в алгебре А. Пример 3.2.1. Дифференцирование С*-алгебры А называется внутренним, если существует такой элемент b G А, что 6(a) = i[a, b]. Внутреннее дифференцирование определено на всей алгебре А. Оно ограничено. Дифференцирование 6 называется аппроксимативно внутренним, если существует такая последовательность эрмитовых элементов {Ьп} алгебры А, что 6(a) = lim i[bn, а], а £ D(6). о Существует следующая связь между ограниченными дифференцированиями и од- нопараметрическими группами автоморфизмов С*-алгебр. Предложение 3.2.4. Пусть 6 — линейный оператор в С*-алгебре А. Следующие условия эквивалентны: • 6 — всюду определенное, а следовательно ограниченное дифференцирование алгебры А; • 6 — генератор равномерно непрерывной однопараметрической группы автоморфизмов gt = exp[t6], t G R, алгебры A. О Более того, при выполнении приведенных выше условий для каждого представления тг алгебры А найдется самосопряженный оператор Н G я(А)" такой, что 7г(<5(а)) = г[Я,7г(а)] и ir(gt(a)) = eitHir(a)e-itH для всех а G А и t G Ш. Таким образом, равномерно непрерывные однопараметрические группы автоморфизмов С*-алгебр (и алгебр фон Неймана) унитарно представимы. Однако не все С*-алгебры допускают нетривиальные группы равномерно непрерывных автоморфизмов, равно как и нетривиальные ограниченные дифференцирования. Поэтому перейдем к случаю^ когда оператор дифференцирования не обязательно ограничен на своей области определения.
56 Глава 3. Симметрии квантовых систем Замечание 3.2.2. Приведем основные понятия, касающиеся неограниченных операторов в гильбертовых (и аналогично банаховых) пространствах. Оператором в гильбертовом пространстве Е с областью определения D(a) называется линейное отображение а из плотного в Е векторного подпространства D(A) С Е в Е. Оператор а считается ограниченным в D(a), если величина ||а|| = supjIMU : \\х\\в = 1, х Е D(a)} конечна. В противном случае говорят, что он неограниченный. Любой ограниченный в области определения оператор однозначно продолжается до ограниченного оператора на всем гильбертовом пространстве Е. Оператор а с областью определения D(a) называется замкнутым, если из условий, что последовательность {ж*} в области определения D(a) сходится к некоторому элементу х € Е, а ее образ {axi} сходится к некоторому элементу у € Е, следует, что х € D(a) и ах = у. Оператор а является замкнутым тогда и только тогда, когда его график {(ж, ах), х € D(a)} является замкнутым подмножеством Е® Е. Оператор а называется замыкаемым, если существует его расширение до замкнутого оператора Ь, т. е. такого, что D(a) С D(b) и Ь\ща) = а. Замыканием а оператора а считается его минимальное замкнутое расширение. Как уже отмечалось, ограниченный оператор с областью определения Е замкнут и, обратно, замкнутый оператор с областью определения Е ограничен, а следовательно непрерывен. Операторы а и Ь в гильбертовом пространстве Е с областями определения D(a) и D(b) называются сопряженными, если (оя:|у> = (x\by), Vx е D(a), Vy € D{b). Для оператора а с плотной областью определения D(a) существует единственный максимальный сопряженный оператор а*; он замкнут. Оператор а называется симметрическим, если (ах\у) = (х\ау), Уж, у € D(a), т. е. D(a) С D(a*) и а* совпадает с а на D(a) или, короче говоря, а С а*. Таким образом, симметрический оператор замыкаем и 5 С а*. Иногда под замыканием симметрического оператора понимается оператор а**. Однако заметим, что в общем случае сопряженный к а оператор а* не является симметрическим. Если а = а*, то оператор а именуется самосопряженным. Наконец, оператор а называется существенно самосопряженным, если его замыкание является самосопряженным оператором. □ Свойство замкнутости является существенным условием для того, чтобы дифференцирование С*-алгебры А было генератором ее группы автоморфизмов. Приведем критерии замыкаемости симметрического дифференцирования 6 с плотной областью определения D(6) [49]. Предложение 3.2.5. Дифференцирование <5 С*-алгебры А является замыкаемым, если существует такое состояние ф на А, что представление 7Г^ алгебры А точно и |«*(о))| < А||о|| (3.1) при всех а £ D(6) и некотором А ^ 0. а
§ 2. Дифференцирования 57 Дифференцирование 6 называется допустимым, если для всякого положительного элемента а 6 D{6) существует состояние ф на А такое, что ф(а) = \\а\\, ф(6(а)) = 0. Предложение 3.2.6. Если дифференцирование 6 является допустимым, то оно замыкаемо и его замыкание 6 тоже является допустимым. D Укажем на следующие два случая, когда дифференцирование оказывается допустимым. • Дифференцирование 6 допустимо, если для всякого положительного элемента а 6 D{6) его корень \/а тоже принадлежит D{6). • Дифференцирование 6 допустимо, если оно является аппроксимативно внутренним. Замечание 3.2.3. Если дифференцирование 6 замкнуто и для всякого положительного элемента а 6 D(6) его корень \/а тоже принадлежит D(6), то D{6) = А и 6 ограничено. □ Установим теперь связь между (неограниченными) дифференцированиями С*-ал- гебр и генераторами их однопараметрических групп автоморфизмов. Предложение 3.2.7. Пусть 6 — замыкаемое симметрическое дифференцирование С*-алгебры А с плотной областью определения D{6). Его замыкание 6 является генератором сильно непрерывной однопараметрической группы автоморфизмов алгебры А тогда и только тогда, когда: а) множества (1 + А<5)(£>(<5)) плотны в А для любого А 6 1R \ {0}; б) ||(1 + Х6)а\\ ^ Н|, А е R, а 6 D(6). □ Заметим, что условие (б) выполняется, если дифференцирование 6 допустимо. В этом случае Предложение 3.2.7 можно переформулировать следующим образом. Следствие 3.2.8. Пусть 6 — допустимое симметрическое дифференцирование в С*-алгебре А с плотной областью определения D{6). Его замыкание 6 является генератором сильно непрерывной однопараметрической группы автоморфизмов алгебры А, если выполняется условие (а) Предложения 3.2.7 [32, 57J. Q Утверждение, аналогичное Предложению 3.2.7, можно сформулировать и для алгебр фон Неймана. Предложение 3.2.9. Пусть В — алгебра фон Неймана и 6 — линейный оператор с областью определения D{6) С В, плотной в слабой топологии. Пусть 1 6 D(6) и 6 слабо* замкнут. Оператор 6 является генератором ультраслабо непрерывной однопараметрической группы автоморфизмов алгебры В тогда и только тогда, когда для В выполняются условия (а) — (б) из Предложения 3.2.7. Р Пусть теперь 6 — симметрическое дифференцирование, определенное на инволю- тивной подалгебре В алгебры В(Е) в гильбертовом пространстве Е, в — единичный вектор, тотализирующий для В, и и>е — соответствующее ему состояние. Тогда эквивалентны следующие условия: • при всех a G В и некотором А > 0 |о>в(£(а))| < А[а»о(а*а) + а;в(аа*)] ; (3.2)
58 Глава 3. Симметрии квантовых систем • существует симметрический оператор Н в Е такой, что D(H) = ВО и 6(а)х = г[Н, а]х, Va G В, Vx G D{H). Таким образом, если gt — сильно непрерывная однопараметрическая группа автоморфизмов С*-алгебры А или ультраслабо непрерывная однопараметрическая группа автоморфизмов алгебры фон Неймана А и ее генератор удовлетворяет условию (3.2) для некоторого состояния ф на А, тогда группа gt выполнима посредством сильно непрерывной однопараметрической группы 7i>(5f(a)) = C/(7r^(a)U(*, а £ А, с генератором ■кф(6(а))х = г [Я, 710(a)] х, х£-кф (£>(<$)) вф, где симметрический оператор Н в гильбертовом пространстве Еф можно выбрать самосопряженным. В частности, если Н — самосопряженный оператор на всем гильбертовом пространстве Еф, то группа автоморфизмов продолжается до слабо* непрерывной группы автоморфизмов алгебры В(ЕФ). Замечание 3.2.4. Заметим, что для под-С*-алгебры В условие (3.2) совпадает с условием (3.1) замыкаемости дифференцирования. □ Приведенные выше условия унитарного выполнения однопараметрической группы автоморфизмов достаточные. Полное решение задачи такого представления ультраслабо непрерывных однопараметрических групп автоморфизмов алгебр фон Неймана В следует из теоремы Борхерса—Арвесона. Мы не приводим здесь ее формулировку и лишь отметим, что она дает описание класса групп с полуограниченным спектром (содержащего класс равномерно непрерывных групп с ограниченным оператором дифференцирования, спектр которого компактен) и устанавливает, что полуограниченность спектра влечет реализацию группы автоморфизмов группой унитарных операторов, и обратно, спектр генератора унитарной группы полуограничен. Причем унитарные операторы Ut можно выбрать внутри алгебры В, а генераторы таких групп имеют вид 6(а) = г[Н,а], а£В, (3.3) где самосопряженный оператор Н {гамильтониан) можно выбрать положительным и присоединенным к алгебре фон Неймана В, т.е. B'D(H) С D(H) и Н{Н}' D {Н}'Н, где {Н} обозначает одноэлементное множество, состоящее только из Н. Пример 3.2.5. В качестве еще одного примера унитарного выполнения групп автоморфизмов рассмотрим алгебру фон Неймана В(Е). Все ее автоморфизмы внутренние, и группа автоморфизмов Aut(B(E)) изоморфна фактор-группе унитарных операторов в гильбертовом пространстве Е по подгруппе умножений на комплексные числа А, |А| = 1. Последнее означает, что операторы U1, отвечающие автоморфизмам 7 6 Аи1(В(Е)), образуют группу только с точностью до фазового множителя ехр(г'а), т. е. U7Up = ехр(га)177/3, a G R. Однако в случае однопараметрической слабо* непрерывной группы jt автоморфизмов В(Е) возможен согласованный выбор представителей Ut, при котором они образуют однопараметрическую слабо (сильно) непрерывную группу, п
§3. Модулярная группа 59 §3. Модулярная группа Опишем особо так называемую модулярную группу автоморфизмов ст-конечиых алгебр фон Неймана [3, 64]. Приведем несколько понятий. Определение 3.3.1. Алгебра фон Неймана называется а-конечной, если мощность любого ее ортонормального семейства не более чем счетна. □ В частности, всякая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве Е, в том числе В(Е), ст-конечна. Пусть В — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Е. Подмножество N С Е называется отделяющим для В, если для а£Виз условия ах = 0, Vz G N, следует, что а = 0. Отделяющее множество для В является тотализирующим для коммутанта В', и обратно. Состояние ф на алгебре фон Неймана называется точным, если ф(а) > 0 для любого ненулевого а £ В+. Предложение 3.3.2. Пусть В — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Е. Тогда эквивалентны условия: • В является ст-конечной; • существует счетное подмножество в Е, отделяющее для В; • существует точное нормальное состояние на В; • В изоморфна алгебре фон Неймана ж(В) в некотором гильбертовом пространстве, обладающей отделяющим тотализирующим вектором. □ Отметим, что большинство алгебр фон Неймана В в алгебраической квантовой теории относятся именно к классу ст-конечных алгебр. Это вызвано следующим обстоятельством. Пусть ф — нормальное состояние на алгебре фон Неймана В, действующей в гильбертовом пространстве Е. Тогда существует положительный оператор р в Е, имеющий след Тг(/)) = I и такой, что ф{Ъ) -■= Тт(рЬ) = Tr(bp), Vb G В. (3.4) Оператор р обратим тогда и только тогда, когда состояние ф точно. В физических приложениях р — это матрица плотности. При этом в случае несепарабельного пространства Е оператор р имеет не более чем счетное множество ненулевых собственных значений и векторов. Поэтому состояние ф' — продолжение ф на В{Е) — обязательно обратится в 0 на некотором элементе В{Е) и не будет точным. Следовательно, алгебра фон Неймана В(Е) действительно ст-конечна только в случае сепарабельного пространства Е. Пусть ф — точное нормальное состояние на ст-конечной алгебре фон Неймана В, а (тг, 0) — представление и тотализирующий вектор в некотором гильбертовом пространстве Е, определяемые ф. Зададим два антилинейных оператора: S0a0 = а*в, Vo € тг(Б) и Foa0 = а*0, Va € я"(В)',
60 Глава 3. Симметрии квантовых систем имеющие плотные области определения D(SQ) = п(В)в и D(F0) = п(В)'в. Оба оператора замыкаемы: S = S0 и F — F0. Полярное разложение S = JAX/2 оператора S определяет единственным образом обратимый положительный самосопряженный оператор Д, называемый модулярным оператором, и антилинейный оператор J с областью определения D(J) = Е, называемый модулярной инволюцией. Имеют место следующие равенства: A=FS, A~l=SF, S = JAU2, F = JA~l/2, J = J*, J2 = l, A'U2 = JAl/2J. Области значений операторов А и J находятся из теоремы Томита—Такесаки, а именно: Jtt(£)J = тг(В)', А{\(В)А~и = тг(В), Vf G Ш. Она устанавливает существование ультраслабо непрерывной однопараметрической группы автоморфизмов алгебры фон Неймана В, которая задается формулой erf (а) = тГ1 (дйтг(а)Д~!() , а G В. (3.5) При этом выполняется модулярное условие (Д1/27г(а)6>|Д1/27г(Ь)6>) = (х(Ь*)0\*(а*)0), а,ЬеВ. (3.6) Определение 3.3.3. Группа (3.5) называется группой модулярных автоморфизмов, ассоциированных с парой (В, ф), или модулярной группой. □ Подчеркнем, что наличие модулярной группы является свойством любой сг-конеч- ной алгебры фон Неймана. Более того, такая группа допускает продолжение в область комплексных параметров t и в такой форме играет ключевую роль при построении алгебраической квантовой теории при конечной температуре (см. §6.1). Опишем это продолжение. Пусть на комплексном банаховом пространстве X задана слабо (а значит и сильно) непрерывная однопараметрическая группа изометрий gt. Вектор а Е X называется аналитическим для gt, если существует полоса TA = {z: |1тг|<А}, A G С, в С и функция qa : Т\ —> X такие, что (а) qa(t) = gt(a) при t G Ш; (б) z —> f(qa(z)) — аналитическая функция при всех / G X'. При выполнении этих условий будем писать gz(a) = qa(z), z€Tx. Условие слабой аналитичности (б) эквивалентно условию сильной аналитичности, которое гласит, что lim/Г1 (qa(z + h) - qa(z)) существует в смысле нормы в X при каждом z € Т\. Пусть о — некоторый элемент X.
§ 3. Модулярная группа 61 Обозначим an = (-J J gt(a)exp [-nt2] dt, где n — натуральные числа. Все а„ — аналитические элементы для gt. Причем, ||а„|| ^ ||а|| и а„ —> а в слабой (а, следовательно, сильной) топологии при п —> оо. Элементы ап именуются целыми аналитическими элементами. Они образуют слабо (и сильно) плотное подмножество в X. В случае X = В и gt(a) = А'*аА~'*, где Д — обратимый положительный самосопряженный оператор, получаем gz(a) = AizaA~iz, z G С, для всякого аналитического элемента а G В. В частности, если Д — модулярный оператор, при t = i/2 модулярное условие (3.6) принимает вид ф{42(а)а%2{Ь))=ф(Ьа). (3.7) Пример 3.3.1. Если В = В(Е) — алгебра фон Неймана ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Е, то каждое точное нормальное состояние ф на В(Е) имеет вид (3.4) с обратимым оператором р. Тогда соответствующая модулярная группа приобретает форму af (а) = риар-н, a G В(Е), (3.8) и выполняется модулярное условие (3.7): Тг (р(р-,/2ар,/2)(р,/2Ьр-,/2)) = Тг(рба) = ффа), где использовано соотношение (2.11). Этим условием модулярная группа af определяется однозначно, а Пусть В — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Е, имеющая тота- лизирующий отделяющий вектор в, а Д и J — модулярный оператор и модулярная инволюция, ассоциированные с (В, в). В пространстве Е выделяется так называемый естественный положительный конус Р, ассоциированный с (В, в) и определяемый как замыкание множества {aJaJO, а G В]. Он обладает следующими свойствами: • Р = А}1*В+в = А^^В'+б; • АиР = Р, Vf е Е; • если х G Р, то Jx = х; • конус Р самосопряжен, т.е. Р = {х £ Е : (х\у) £0, Vj/ G Р}; • Е совпадает с линейной оболочкой Р;
62 Глава 3. Симметрии квантовых систем • если вектор £ принадлежит Р, то он является тотализирующим для В тогда и только тогда, когда он отделяющий для В; • если { G Р — тотализирующий (и следовательно отделяющий) вектор для В, то для модулярной инолюции J^ и положительного конуса Р^, ассоциированных с парой (В, £), получаем равенства J( = J и Р( = Р. Для любой положительной нормальной формы / (обозначим их множество В,+) на В существует такой единственный вектор £(/) £ Р, что / = Ш(ф, т.е. Да) = (а£(/Ж(Я), а € В. В частности, для всякого тотализирующего отделяющего для В вектора х £ Е существует единственный вектор £ £ Р со свойством (а:ф) = (а£|£), Va £ В. Отображение £ —► а^ является гомеоморфизмом, если наделить Р и В,+ равномерными топологиями, и множество положительных векторных форм ш^, отвечающих тотализирующим отделяющим векторам для В, плотно по норме в В,+. Отсюда следует, что существует единственное унитарное выполнение 7 £ Aut(B) ->■ U1 в Е группы Aut(B) всех автоморфизмов ст-конечной алгебры фон Неймана В вЕ, обладающее свойствами: • Ща17* = 7(a), a £ В; • U7P С Р; . U70(f) = 0(7,_1(Я), / € В.+ , где 7'(Л(а) = /(7(a)); • Щ, J] = 0. Однако такое выполнение перестает быть единственным и, более того, не всегда может оказаться естественным, если рассмотреть однопараметрическую группу автоморфизмов (т-конечной алгебры фон Неймана. Существует ее другая, не совпадающая с Щ £ В (с генератором (3.3)), унитарная реализация Vj со свойствами 7((a) = VtaVt" = UtaUt, Vt = UtJUtJ, VtP С P и генератором H' = H- JHJ. (3.9) § 4. Инвариантные состояния Для исследования симметрии квантовых систем важным является тот факт, что группа симметрии допускает унитарную реализацию, если существует состояние, инвариантное относительно этой группы. Приведем соответствующее утверждение [10].
§ 4. Инвариантные состояния 63 Предложение 3.4.1. Пусть ф — состояние на С*-алгебре А и -у — автоморфизм А, оставляющий ф инвариантным, т. е. 0(7(а)) = 0(a), Va G А. Пусть -Кф и вф — представление и тотализирующий вектор, связанные с ф. В гильбертовом пространстве Еф представления тгф существует и единствен такой унитарный оператор U, что и*ф(а)и* = V7(a)) <3-10) для всех a G А и j/(7(o)) = {/«7(a), ЕГО, = 0,, где 7/ — каноническое отображение А —► .A/i\fy С ify (см. Теорему 2.4.3). Пусть теперь G — сильно непрерывная группа автоморфизмов С*-алгебры А и ф — состояние, инвариантное относительно G. Тогда в Еф существует сильно непрерывное унитарное представление G операторами (3.10). Если G — однопараметрическая группа, то ее генератор замыкаем, a Остановимся на случае однопараметрических групп более подробно. Пусть {gt} — однопараметрическая сильно непрерывная группа автоморфизмов С*-алгебры А с генератором 8. Состояние ф на А называется основным, если - гф{а8{а)) > О, Va 6 D(6). (3.11) Основное состояние является инвариантным относительно группы {gt} [58]. Поэтому эта группа имеет сильно непрерывное унитарное представление Ut = ехр[г'Ш] в гильбертовом пространстве Еф, где Н — самосопряженный оператор в Е, который можно выбрать так, что Н £ Кф(А). Следует подчеркнуть, что инвариантность состояния ф на С*-алгебре А относительно однопараметрической группы {gt} автоморфизмов этой алгебры не обязательно предполагает, что ф(6(а)) = 0, Va £ А. Однако, если это условие выполняется, то очевидно, что состояние ф является основным и инвариантным. Заметим, что подобное состояние удовлетворяет условию (3.2) унитарной выполнимости однопараметрических групп автоморфизмов. Инвариантные состояния допускают барицентрические разложения [3]. Пусть G — группа автоморфизмов -уд, д G G, С*-алгебры А с представлениями (%ф)(а) = 0(7,-. (а)), а € А, 0 G Е(А), на пространстве состояний Е(А) на А и (7,/)(0) = /(7г-(0)) на пространстве функций L°°(E(A), р) на Е{А). Множество G-инвариантных состояний — это выпуклое слабо* замкнутое, а значит и слабо* компактное подмножество Е°(А) в Е(А), крайние точки которого называются
64 Глава 3. Симметрии квантовых систем эргодическими состояниями (обозначим их множество Nq). Полому всякое G-инвари- антное состояние ф на С*-алгебре А с единицей допускает барицентрическое разложение (см. Приложение А.7). Существует взаимно однозначное соответствие между следующими тремя множествами: (а) множеством Q^ всех ортогональных мер ц G Оф на Е(А) с барицентром ф, которые удовлетворяют условию инвариантности /i(7s(/i)/2) = M/i/2) (3.12) при всех fi,f2e L°°(E(A), fx)ngeG; (б) множеством всех абелевых подалгебр фон Неймана В коммутанта (тГф(А) U иф(0)', где £^(G) — унитарное представление G в пространстве Еф представления жф; (в) множеством всех ортогональных проекторов Р в Еф таких, что Рвф = вф, иф(д)Р = Р, Ржф(А)Р С (Ржф(А)Р)'. В частности, если коммутант из пункта (б) абелев, максимальная мера, удовлетворяющая условию инвариантности (3.12), единственна, и обратно. Следующий результат касается носителя инвариантных ортогональных мер, имеющих своим барицентром инвариантное состояние. Эквивалентны условия: • МТлД/О/г) = M/i/г) Для всех функций /ь /2 G К.{Е{А)) на Е{А) с компактным носителем; • носитель ц содержится в Еа(А). Если \i удовлетворяет этим условиям и максимальна, то она псевдососредоточена на множестве эргодических состояний NG, а если алгебра А сепарабсльна, то ц сосредоточена на Nc- Такое разложение называют эргодическим. Обозначим Рф ортогональный проектор на подпространство в Еф, образованное векторами, инвариантными относительно [/^(G). Рассмотрим следующие условия: (а) (жф(А))" П иф(С) = {А1}; (б) проектор Рф одномерен; (в) состояние ф является эргодическим; (г) тГф(А) U иф{С) неприводимо в Еф. Имеет место импликация (а) —►(б) —►(в) *-* (г). Кроме того, из (а) следует, что вектор вф является отделяющим для Жф(А)". Обратно, если вф — отделяющий вектор для Жф(А)", то все четыре приведенные выше условия эквивалентны. Однозначность эргодического разложения связана с условием асимптотической абелевости. Для каждого a G А обозначим Co(7g(«)) выпуклую оболочку множества ja(a)- Пусть ф — некоторое (^-инвариантное состояние на А. Пару (А, ф) называют G-абеле- вой, если inf \ш([а',Ь])\ = 0 (3.13) для всех а,Ь £ А и всех G-инвариантных векторных состояний ш, ассоциированных с Жф. Подчеркнем, что если Н — подгруппа G и пара (Н, ф) является Я-абелевой, то она автоматически будет G-абелевой. Эквивалентны условия: • пара (А, ф) является G-абелевой;
§5. Группы и С*-алгебры 65 • коммутант (жф{А) U иф(0)' абелев; • существует единственная максимальная ортогональная мера ц £ Оф. Если пара (А, ф) абелева при всех ф G EG(A), пространство EG(A) является симплексом. Отметим, что эргодические состояния обладают определенными кластерными свойствами. Пусть ф, Рф, Co(yG(a)) — ранее принятые обозначения. Тогда эквивалентны условия: • проектор Рф одномерен; • при всех а, Ь £ А inf \ф{аЪ') - ф(а)фф)\ = 0; • для любого Ь 6 А существует такая сеть {Ь,} 6 Со(7с(&)), что при всех а £ А Iim \ф(аГд(Ъг)) - ф(а)ф(Ъ)\ -> 0 равномерно по д £ G. Приведем в заключение результат, касающийся разложения G-инвариантного эрго- дического состояния по состояниям с более низкой симметрией. Пусть G — топологическая группа, а Я — такая ее нормальная подгруппа, что фактор-группа G/H компактна. Обозначим dg нормированную меру Хаара на G/H. Пусть G действует как сильно непрерывная группа автоморфизмов у на С*-алгебре А с единицей, и пусть ш 6 Nq- Тогда найдется максимальная мера у.ш с полной массой I и с барицентром ш, сосредоточенная на некотором замкнутом подмножестве в Nn. Кроме того, существует состояние ш £ Nh такое, что ш{а) = J' w(yg(a)) dg G/H при всех а £ А. Если пара (А, ш) является .ff-абелевой, то цы — единственная максимальная мера на ЕН(А) с барицентром ш, и она совпадает с максимальной ортогональной мерой, соответствующей (7tw(j1) U иы{Н))'. §5. Группы и С*-алгебры В следующей главе будет показано, что если квантовая система наделена группой симметрии, выполняемой операторами в некотором гильбертовом пространстве, то генераторам этой группы должны соответствовать определенные наблюдаемые. В этом параграфе мы рассмотрим сильно непрерывные унитарные представления локально компактной (и, в частности, компактной) группы G, содержащиеся в ее регулярном представлении в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на G. Тогда в таком пространстве реализуются представления некоторых связанных е группой G алгебр, в том числе С*-алгебры локально компактной группы G [10]. В дальнейшем, если специально не оговорено, под непрерывным унитарным представлением (или просто унитарным представлением) локально компактной группы понимается ее непрерывный морфизм в группу унитарных операторов в гильбертовом
66 Глава 3. Симметрии квантовых систем пространстве, наделенную сильной операторной топологией. Заметим, что в унитарной группе сильная и слабая операторные топологии совпадают. Пусть G — локально компактная группа. Обозначим dg левую меру Хаара на G. Пусть Ll(G) — банахово пространство классов совпадающих почти всюду комплексных интегрируемых функций / на G, наделенное структурой инволютивной банаховой алгебры относительно операции свертки функций (/l * /2)(5) = / fdq)f2(q~l9) dq, g,geG, и операции инволюции /(ff)-»/*(ff) = A(ff"')7(?:T) (см. Приложение А.З). Определение 3.5.1. Алгебра Ll{G) называется групповой алгеброй группы G. □ Пусть Ml(G) — инволютивная банахова алгебра ограниченных комплексных мер на G, заданная относительно операций свертки мер У f(g)d(n\ * 1Л2Х9) = J f(9\gi) dni(g\) dfi2{gi) и инволюции dy.*(g)-dii(g~x). Если с каждой функцией / е L\G) связать меру dn{g) = f{g)dg£M\G), то получим изометрическое вложение банаховой алгебры Ll(G) в M\G). В частности, dn*(g) = f*(g) dg. Будем в дальнейшем отождествлять Ll(G) с ее образом в MX(G). Групповая алгебра Ll(G) допускает аппроксимативную единицу, сходящуюся к мере Дирака £% — единице bM'(G). Пример 3.5.1. Пусть G — группа трансляций в Ш". Ее групповое пространство — само пространство R", мера Хаара — d"x, а инволютивная алгебра LX(G) — алгебра интегрируемых комплексных функций / на R" с операцией умножения U\*h)i.y) = Jh(x)h(y-x)dnx. а Определение^.5.2. Обертывающая С*-алгебра C*(G) групповой алгебры Ll(G) называется С*-алгеброй локально компактной группы G. Q Связь между унитарными представлениями локально компактной группы G и представлениями алгебр М'(G), Ll(G) и, следовательно, C*(G) устанавливается следующим образом.
§5. Группы и С*-алгебры Пусть ж — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Е„. Для любой меры [1 6 Ml(G) положим 7гV) = / А9) dfi(g) 6 В(Ег). (3.14) Тогда (j, —► ж1(у.) — представление инволютивной банаховой алгебры M\G) в Е„, сужение которого на LX{G) невырождено. Говорят, что полученные представления алгебр Ml(G) и L^(G) связаны с представлением ж группы G. В частности, справедливы соотношения (см. обозначения в Приложении А.З) ж1(ед) = ж(д), *L Ыд)Л = Ле3-' * Я = *($" W), irL (T(g)f) = ж1 (Д(«Г')/ *V') = A(ff_ V(/K(jf'), где Д — модуль группы G и е * / обозначает свертку меры и функции. Обратно, пусть Е — гильбертово пространство, ж1 — невырожденное представление инволютивной банаховой алгебры L[(G) в Е. Тогда ж связано с единственным унитарным представлением G в Е, которое получается вложением G на меры ед, д 6 G, bM'(G), т.е. ж(д) = ж^ед). Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между непрерывными унитарными представлениями ж группы G и невырожденными представлениями ж1 групповой алгебры L (G) в одних и тех же гильбертовых пространствах. При этом • замкнутые векторные подпространства, инвариантные относительно ж и ж1, — одни и те же; • тотализирующие векторы для ж и ж1 — одни и те же; • эти представления имеют один и тот же коммутант и порождают одну и ту же алгебру фон Неймана. В частности, топологическая неприводимость ж1 эквивалентна топологической неприводимости ж. При этом представление ж1, вообще говоря, не является алгебраически неприводимым. В дальнейшем, если специально не оговорено, под неприводимыми представлениями топологической группы понимаются именно ее топологически неприводимые представления. Обозначим G множество классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений локально компактной группы G. Имеет место биек- ция^Сг на спектр С*-алгебры группы G, что позволяет наделить G топологией и ввести на G другие конструкции, как на спектре С*-алгебры. Биективное соответствие между представлениями G и LX(G) дает возможность задавать унитарные представления локально компактной группы G в рамках конструкции ГНС посредством непрерывных положительных форм на Ll(G). Всякая такая форма определяется элементом из пространства функций L°°(G) (см. Приложение АЛ), который, чтобы форма была положительна, должен удовлетворять определенным условиям.
68 Глава 3. Симметрии квантовых систем Определение 3.5.3. Непрерывная комплексная функция ip на G называется функцией положительного типа, если для любых наборовд\,...,д„ элементов изСпхп матрица с компонентами ip(gllgj) положительно определена, т.е. Y, ~Ф<£]Х9i)CiCj ^ 0, Vc,-, Cj £ С. □ В частности, при п = 2 и д\ = 1 получаем, что Предложение 3.5.4. Пусть ip £ L°°(G) и W) = Jl>(9)f(9)dg (3.15) — непрерывная линейная форма на L[(G), определяемая ip. Для положительности ф необходимо и достаточно, чтобы ip была локально почти всюду равна некоторой непрерывной функции положительного типа. Тогда в представлении 7г^' с тотализируюшим вектором вф, определяемым формой (3.15), задано циклическое унитарное представление ?r(G) группы G такое, что Ш = (*(9Щ\в*)- (3.16) Обратно, комплексная функция ip на G является непрерывной функцией положительного типа тогда и только тогда, когда существует унитарное представление 7г группы G с тотализирующим вектором вф таким, что выполняется соотношение (3.16). □ Непрерывная функция положительного типа ip на G называется чистой, если определяемое ею представление тгф неприводимо. Это условие равносильно тому, что положительная форма (3.15) на L[(G), определяемая ip, является чистой. Следующее утверждение показывает, что локально компактная группа имеет «достаточно много» неприводимых унитарных представлений. Предложение 3.5.5. Любая непрерывная комплексная функция на G является пределом в топологии компактной сходимости линейных комбинаций чистых функций положительного типа. □ Широкий класс унитарных представлений локально компактной группы содержится в ее левом регулярном представлении П в гильбертовом пространстве L2(G) комплексных квадратично интегрируемых функций на G: (U(g)f) (х) = Hg~lx), f е L2{G), xeG. Регулярное представление инъективно. Соответствующее представление П(я) групповой алгебры LX(G) в L2(G) задается согласно (3.14) в виде (П<«)/) (х) = J s(g) (U(g)f) (х) dg = J s(g)f(g-xx) dg = (s* /)(x). (3.17)
§5. Группы и С-алгебры 69 Правое регулярное представление локально компактной группы на L2(G) дается выражением 9 : fix) ~ f'(x) = Mg)U2f(xg). Левое и правое регулярные представления изоморфны. Замечание 3.5.2. Приведем следующую общую конструкцию [38]. Пусть Y — топологическое пространство, на котором действует слева топологическая группа G. Пусть ц — мера на Y, квазиинвариантная относительно этого действия, т.е. -1 d/Iq dfigiy) = d/i{g у) = -гЧу) dfi(y), где (dfig/dfi)(y) — производная Радона—Никодима. Существует унитарное (см. ниже (4.102)) представление G3g:u^Tgu, (Tgu)(y) = dllg, , -Г (У) а/л -1 1/2 «(д-'у), иеЬ2(¥,^ (3.18) группы G в гильбертовом пространстве L2(Y, fi) квадратично /i-интегрируемых комплексных функций на Y. При этом на группе G существует слабейшая топология такая, что представление (3.18) сильно непрерывно. Например, если G — локально компактная группа, Y = G и fj, — левая мера Хаара, эта топология слабее, чем исходная топология на G. □ В дальнейшем в этом параграфе предполагается, что группа G унимодулярна (см. общий случай в §4.3). Предложение 3.5.6. Пусть G — унимодулярная группа и %р — непрерывная функция на G положительного типа с интегрируемым квадратом (т.е. tp G L2(G)). Тогда представление Жф группы G содержится в ее левом регулярном представлении П. Обратно, пусть ж — циклическое унитарное представление G, содержащееся в П. Тогда существует связанная с 7г непрерывная функция положительного типа на G с интегрируемым квадратом. □ Представление Жф из Предложения 3.5.6 устроено следующим образом. Для всякой непрерывной квадратично интегрируемой функции tp на G положительного типа существует такая функция в G L2(G) положительного типа, что Элемент в является тотализирующим для представления тг^. В частности, если представления ж^ и яу, определяемые непрерывными функциями положительного типа гр и V' с интегрируемыми квадратами, неприводимы и неэквивалентны, то элементы в и 9' ортогональны, а функции tp и tp' удовлетворяют соотношениям / 1>'(g) i>(9)dg = 0, V * i>' = 0. (3.19) Пусть ж — неприводимое подпредставление левого регулярного представления П группы G и £, т] 6 Еп. Рассмотрим функцию Ф(л(9) = Ф'чЖ) = (* (ffXto) = (Ч*Г)(5) на G. Она называется коэффициентом представления ж.
70 Глава 3. Симметрии квантовых систем Тогда _ 4„ = WeL2(G), а замкнутое векторное подпространство Кц С L2{G), порожденное коэффициентами фс„, является биинваринтным, т.е. инвариантным относительно левого и правого регулярного представлений. Биинвариантное подпространство К^ является минимальным. Говорят, что оно связано с представлением тг, и Еж С К^. Неприводимое унитарное представление тг группы G называется представлением с интегрируемым квадратом, если существует такой вектор £ £ Еп, что коэффициент ф^ представления тг является квадратично интегрируемой функцией. Согласно Предложению 3.5.6 оно содержится в левом регулярном представлении. Можно показать, что все коэффициенты ф^ такого представления являются квадратично интегрируемыми функциями на G. При этом существует единственная константа d^ (0 < йж < оо) такая, что 1ф(Л(9)Ф^№*д = ё;\№)Ш), (3.20) ф(,ч*Фм = &(£\т!')ф(.1Ч (3.21) для любых £, г], £'т]' £ Е„. В частности, если V — непрерывная функция положительного типа, связанная с неприводимым унитарным представлением тг и равная 1 в 1 £ G, то HVH2 = <*;', iP*iP = d~lTp. (3.22) Константа d^ называется формальной размерностью представления 7г, поскольку в случае компактной группы (см. ниже) равна размерностям ее неприводимых унитарных представлений (они конечномерны). Пример 3.5.3. Пусть G — полупростая локально компактная группа Ли (она уни- модулярна). Всякое ее неприводимое унитарное представление с интегрируемым квадратом имеет квадратично интегрируемые коэффициенты представления и тем самым принадлежит дискретной серии представлений группы G. о Пусть 7г и 7г' — неэквивалентные неприводимые унитарные представления с интегрируемым квадратом. Биинвариантные подпространства К* и К*, связанные с этими представлениями, ортогональны, а для коэффициентов ф^ и ф^^ этих представлений выполняются соотношения /фьпШм(з)*д = 0, (3.23) Ф(,ч * Фы = °- <3-24) Рассмотрим инволютивную алгебру K.(G, С) комплексных непрерывных функций на G с компактным носителем (относительно операции свертки функций), снабженную скалярным произведением (f\f') = Jm7(9)dg. Она является гильбертовой алгеброй, и ее пополнение совпадает с L2(G) (см. Замечание 2.5.3). Гильбертова алгебра Aq ограниченных элементов из L2(G) (K.(G, С) С Ас С L2(G)) называется гильбертовой алгеброй группы G.
§5. Группы и С*-алгебры 71 Пусть тг — неприводимое унитарное представление G с интегрируемым квадратом. Рассмотрим проектор Рж £ ЩАс) на биинвариантное подпространство Kt, связанное с тг, и его центральный носитель F^, т.е. минимальный проектор из U(Ac) Л V(Aq), мажорирующий Рг. Получаем Kr = Fr{I?{G)), и if * — гильбертова алгебра. Для любой функции / G £'(G) П i2(G) имеем J\(FAf)) (9)fdg = d, Tr (*(/)*(/)*) = ||/||2. Предложение 3.5.7. Пусть тг и тг' — два неприводимых унитарных представления группы G с интегрируемыми квадратами. Для того чтобы представления я" и тг' были эквивалентны (соотв. неэквивалентны), необходимо и достаточно, чтобы соответствующие центральные проекторы F„ и F^ были равны (соотв. ортогональны). □ Замечание 3.5.4. Отметим, что локально компактная группа G может и не иметь неприводимых унитарных представлений в L (G). Это, например, комплексные полупростые связные группы Ли и нильпотентные односвязные вещественные группы Ли. а Пример 3.5.5. Пусть G — коммутативная группа иС — множество классов эквивалентности ее неприводимых унитарных представлений. Элементы % £ G являются характерами группы G, т.е. ненулевыми морфизмами группы G в С. При этом \х\2 = I. Поэтому, если G компактна, то любой элемент G — представление с интегрируемым квадратом; а если G некомпактна, то ни один элемент G не является представлением с интегрируемым квадратом. □ В заключение остановимся коротко на случае компактных групп [10, 15]. Приведем основные утверждения. • Всякое непрерывное представление компактной группы is предгильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению. • Неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно. • Всякое унитарное представление компактной группы является гильбертовой суммой неприводимых представлений. В частности, любое конечномерное представление компактной группы вполне приводимо, т.е. является прямой суммой неприводимых представлений. Мера Хаара на компактной группе выбирается так, что ее полная масса равна 1. Гильбертова алгебра Aq компактной группы равна L2(G) и является полной. Пусть Ft — семейство попарно ортогональных минимальных проекторов из U(Ac) Л V(Aq). Тогда Ас — гильбертова сумма попарно аннулирующих друг друга самосопряженных двусторонних идеалов FL(AG), каждый из которых изоморфен гильбертовой алгебре операторов Гильберта—Шмидта в конечномерном гильбертовом пространстве. В частности, пусть тг — неприводимое унитарное представление компактной группы G и К* — биинвариантное подпространство L2(G), связанное с тт. Тогда Кп изоморфно гильбертовой алгебре операторов Гильберта—Шмидта в конечномерном гильбертовом пространстве. Установим связь между неприводимыми унитарными представлениями компактной группы G и ее характерами. Определение 3.5.8. Пусть тг — неприводимое унитарное представление G. Непрерывная функция ХЛ9) = Tr(ir(ff» на G называется характером компактной группы G. □
72^ Глава 3. Симметрии квантовых систем В частности, %(1) = dim 7г. Когда группа G коммутативна, мы получаем обычное определение характера. Если {£i,... ,£„} — ортонормированный базис пространства представления Еж, то Отсюда следует, что характер Хж является коэффициентом ф^ представления 7г, где € = й + ...+&.. Следовательно, ^ — функция положительного типа с интегрируемым квадратом, связанная с представлением 7г и зависящая только от его класса эквивалентности. В частности, это означает, что всякое неприводимое унитарное представление компактной группы содержится в ее левом регулярном представлении, и для неэквивалентных таких представлений л- и ж' выполняются соотношения (3.20), (3.23) и (3.24): Хж *Х* = (dimTi-r'x*, JхЛд)хАд) dg = о, Хж * Хж' = о. Более того, характеры группы G образуют ортонормальный базис центра гильбертовой алгебры L2{G). Замьчаиие 3.5.6. Пусть {£*} — ортонормальный базис пространства представления -к. Обозначим ФЬ(д) = Ш\ф коэффициенты этого представления. Тогда частным случаем равенств (3.20), (3.21), (3.23) и (3.24) являются соотношения теоремы Шура: J ФЪШ?,?(д) dg = 0, (тг, г, j) ф (тг', г1, /), j\4>lj(g)\dg = d~l. О § 6. Дополнение. /Группоиды и с*-алгебры Конструкция С*-алгебры локально компактной группы может быть обобщена на группоиды, в которых единичный элемент не является единственным [59]. Это важно для ряда физических приложений, например, при описании систем канонических антикоммутационных соотношений (§4.8) и квантовых систем при конечной температуре (§6.1). Группоидом называется множество G, снабженное операцией перехода к обратному а; —* х~1 и операцией произведения (х, у) —♦ ху, которая, однако, определена не на всем прямом произведении G х G, как в случае группы, а на его подмножестве G2 С G х G так называемых допустимых пар. К допустимым парам относятся:
§6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 73 • пары (ж, ж ') и (ж ', ж) (обозначим 1(х) = хх ' и г(х) = х 'ж); • а также пары (х,у) такие, что г(х) = 1(у), т.е. ж_|ж = уу~1. Тогда вышеупомянутые операции удовлетворяют условиям: (аИаГ1)-1 =а:; (б) если (х, у) е G2, то (у~\ ж"1) € G2 и (ж?/)""1 = зГ'ж-1; (в) если (ж, у) € G2, то (ж-1, ху) £ G2 и ж~'(ж2/) = 2/; (г) если (ж, ?/) € G2, то (ху, y~l) € G2 и (ху)у~х = ж; (д) если (ж, у), (у, z) е G2, тогда (ж?/, г.), (ж, yz) £ G2 и (жт/)г = x(yz). Условие (в) показывает, что для всякого элемента ж € G элемент 1(х) = хх'] является левой единицей, но не на всех элементах G, а только на тех у, которые образуют с ж допустимые пары (ж, у) £ G2. Соответственно из условия (г) следует, что для произвольного у € G элемент г(у) = у~ху служит правой единицей на тех элементах ж, которые образуют с у допустимые пары (ж, у) £ G2. Множество G° = 1(G) = r(G) именуется пространством единиц группоида G. Группоид G называется транзитивным, если отображение (l,r):G Эжь->(жж~',ж_1ж) £ G° х G0 (3.25) является сюръекцией. Это имеет место тогда и только тогда, когда для любых двух элементов х,у £ G существует элемент z £ G такой, что пары (ж, z) и (z, у) допустимы. Группоид G называется главным, если отображение (3.25) является вложением. Это происходит тогда и только тогда, когда для любых элементов ж, у ф ж-1 пары (х,у) и (у, ж) не являются одновременно допустимыми. Пусть и, v € G0 — элементы пространства единиц. Обозначим G" = l~x(u), Gv = r~l(v) и G" = G" n G„. Ясно, что всякий элемент ж принадлежит одному и только одному множеству G". Легко проверить, что: • G" является группой, называемой изотропной группой элемента и; • отношение такое, что и ~ v тогда и только тогда, когда G" / 0, является отношением эквивалентности, называемым отношением эквивалентности единиц; • образом отображения (3.25) является график R С G° х G0 отношения эквивалентности единиц; • если группоид G главный, то он отождествляется с графиком отношения эквивалентности единиц и обратно; • группоид является транзитивным тогда и только тогда, когда его пространство единиц G0 состоит только из одной орбиты отношения эквивалентности единиц. Приведем несколько примеров группоидов. Пример 3.6.1. Пусть группа К действует на пространстве S справа. Тогда произведение S х К может быть наделено структурой группоида, если: . ч-1 def, _к • is,9) =(sg,g ); • пара ((s, g), (s', g')) является допустимой, только если s1 = s ■ g; • (s, g)(s • g, g') = (s, gg').
74 Глава 3. Симметрии квантовых систем Тогда l(s,g) = (s,l), r(s,g) = (s-g,t) и отображение (s, 1) -+ s отождествляет пространство единиц G0 с S. Легко убедиться, что этот группоид является главным (соотв. транзитивным) тогда и только тогда, когда группа К действует на S свободно (соотв. транзитивно). □ Пример 3.6.2. Пусть на множестве S задано некоторое отношение эквивалентности s~s',HiJc5xS — его график. Тогда R является главным группоидом, если: • (s,s) =(s, s); • пара ((s, s'), (q, q')) является допустимой, только если s' = q; • (s, q)(q, q') d= («, ?')• Его пространство единиц R° состоит из пар (s, s), s € S, и является диагональю отношения эквивалентности R. Оно может быть отождествлено с S. □ Пример 3.6.3. Группоид G называется групповым расслоением, если 1(х) = г(х) для всех х G G. Отсюда немедленно следует, что график отношения эквивалентности единиц сводится к диагонали множества G° х G0, т.е. и ~ v, только если и = v. Поэтому отображение 1(х) — г(х) = (/, г)(х) является проекцией группоида G на его пространство единиц G0. При этом элементы группоида образуют допустимые пары тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же слою G„ этой проекции. В результате групповое расслоение G представляет собой объединение изотропных групп элементов пространства единиц G0, которое служит базой этого расслоения. В частности, всякая группа G является группоидом — групповым расслоением над G0 = {1}. Заметим, что всякое групповое расслоение G может рассматриваться как топологическое расслоение, если наделить G и G0 дискретной топологией. Обратно, всякое топологическое групповое расслоение 7г : Q —+ Q0, слои которого являются группами, наделяется структурой группоида с пространством единиц Q0 так, что его элементы образуют допустимую пару, только если принадлежат одному и тому же слою 7г_,(щ) этого расслоения, и на таких элементах определены групповые операции группы 7г~'(щ), которая является тем самым изотропной группой элемента и G Q0. □ Пример 3.6.4. Всякое множество X может рассматриваться как тривиальный группоид, если считать допустимыми парами только (х, х), х G X, и положить Например, множество орбит G°/R группоида G наделяется структурой тривиального группоида так, что естественная сюръекция 1>:G±G°-+^- (3.26) является гомоморфизмом группоидов. Отсюда, в частности, следует, что элементы х, у группоида G могут образовать допустимую пару, только если они проектируются на одну и ту же орбиту [и] е G°/R. Обратно, сопоставим каждой орбите [и] € G°/R некоторый ее представитель и в G0. Тогда вложение G°/R —+ G° С G тоже является гомоморфизмом группоидов. □
§6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 75 Гомоморфизмы группоидов по определению сохраняют алгебраические операции, переводят допустимые пары в допустимые пары и отображают пространство единиц в пространство единиц. Два гомоморфизма 7, £ : G —► Н группоида G в группоид Н называются подобными, если существует такая функция Ф : G° —► Н, что (Ф о 1)(хУ)(х) = £(х)(Ф о r)(x), Уж G G. (3.27) Определение 3.6.1. Два группоида G и Н называются подобными, если существуют гомоморфизмы f : G —► If и £ : Н ^ G такие, что 7 ° £ и £ 07 подобны тождественным гомоморфизмам группоидов G и Н. □ Отношение подобия группоидов является важным, например, для гомологичеких характеристик группоидов. Чтобы пояснить его, приведем следующий пример подобных группоидов. Определение 3.6.2. Пусть G — группоид и N — подмножество его пространства единиц. Ограничение G\N = {xeG : l(x), r(x) G N } является подгруппоидом группоида G, называемым сужением группоида G на N. о Предложение 3.6.3. Пусть G — группоид. Если подмножество N С G0 пересекается со всеми орбитами, то группоиды G\n и G подобны. □ Чтобы доказать это утверждение, достаточно рассмотреть случай, когда подмножество N пересекается с каждой орбитой в G0 только в одной точке. Рассмотрим естественное вложение подгруппоида G\n в G и построим следующую проекцию G на G\^ (заметим, что она не является канонической). Пусть и — точка пересечения орбиты группоида [и] с множеством N. Группоид G\^ представляет собой групповое расслоение над N, слоем которого над точкой и является изотропная группа GJj элемента и. Зададим отображение слоя ф~]([и]), где ф — проекция (3.26), на GJJ. Пусть элемент х G тр~]([и]) принадлежит подмножеству Gvw, т.е. х~]х = v и хх~х = w. Тогда существуют такие элементы к,с£ G, что v = kk~\ w = c"1c, и = к~1к = сс~\ (3.28) Легко проверить, что пары (с, х) и (х, к) допустимы, а элемент схк определен и принадлежит множеству GJJ. Тогда 7 : х н-» схк для всех х G G является искомым отображением G —► G\if. Нетрудно убедиться, что это гомоморфизм группоидов. В частности, если (х, у) — допустимая пара, т. е. х G Gvw и у G G%, тогда 7(эг) = схк, 7(2/) = к'1 у а, -у(ху) = схуа, где и = a~la, q = аа~1, элементы к, с определяются соотношениями (3.28) и ху Е G4W. Легко проверить, что отображение G\n —> G^G\n является тождественным преобразованием группоида G|#. Поэтому, чтобы доказать подобие группоидов G и G\n, достаточно показать, что отображение
76 Глава 3. Симметрии квантовых систем подобно тождественному преобразованию группоида G. Для этого надо построить функцию Ф : G0 -+ G, удовлетворяющую условию (3.27), а именно (Ф о 1)(х)-у(х) = ж(Ф о r)(x), \/х £ G. Это условие выполняется, если для всякого элемента v £ [и] положить Ф(и) = к, где v — kk~[ и и = к~1к. Перейдем теперь к описанию когомологий группоидов. Введем предварительно несколько важных конструкций. Определение 3.6.4. Пусть G — группоид, А — группа и р : G -+ А — гомоморфизм. Косым произведением G^ называется группоид G х А, где: • (х,аТх = (х~\ар(х)у, • пара ((х. а), (у, Ь)) является допустимой, только если пара (х, у) допустима и Ь — ар(х); • (ж, а) (у, ар(х)) = (ху, а); • 1(х, а) = (1(х), а) и г(х, а) = {г(х), ар(х)). Пространством единиц косого произведения GA является GA = G° х А. а Определение 3.6.5. Пусть G — группоид, А — группа и а : А -+ Aut(G) — гомоморфизм. Обозначим х ■ а = \а(а~ )] (ж), х £ G, а £ А. Полупрямым произведением G ха А называется группоид G х А, где • (х, а)~{ = (а;-1 • а, а-1); • пара ((х, а), (у, Ь)) является допустимой, только если у = z ■ а и пара (х, z) допустима; • (х, a)(z ■ a.b) = (ху, ab); • l(x, а) = (l(x), 1) и r(x, а) = (r(x) ■ а, 1). D Например, пусть GA — косое произведение. Задано каноническое действие А на GA по формуле а(а)(х, b) = (х, ab), и существует естественный гомоморфизм р(х, а) = а полупрямого произведения G ха А вЫ. Справедливы следующие утверждения: • группоиды GA х« А и G подобны; • группоиды (G ха А)а и G подобны. Пусть тт: А —> .40 — групповое расслоение с изоморфными слоями. Обозначим Аи = 1г_1(и), и £ .40. Пусть Iso(j4) — множество всевозможных изоморфизмов -у" : Av —* Аи, и, v € -4°. Это множество имеет естественную структуру группоида, где:
§6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 77 • (7") ' — обратный морфизм к у"; • пара (7",7ш) является допустимой тогда и только тогда, когда г; = q; • тиУ = 'Vй о -Vs База А0 группового расслоения А отождествляется посредством и —► Id" с пространством единиц группоида Iso(.A). Определение 3.6.6. Пусть G — группоид с пространством единиц G0 и А —> А0 = G0. Пара (G, А) вместе с гомоморфизмом Ф : G —* Iso(A) над G0 называется расслоением группоидов. Если А — расслоение абелевых групп, то пара (G, А) называется расслоением модулей. Если специально не оговорено, групповая операция в абелевых группах будет записываться как сложение. В этом случае 1 обозначается как 0, а А0 отождествляется посредством и —+ О G Аи с множеством нулей слоев расслоения модулей. D Пример 3.6.5. Расслоение модулей (G, А) называется постоянным, если все слои А —+ G0 канонически отождествимы с одной и той же абелевой группой В (типичным слоем) и Ф(ж) = Id В для всех г£(?.п Имея расслоение модулей (G, А), можно сконструировать следующий коцепной комплекс. Множества G°, G1 = G, G2 уже были определены. Для п > 2 обозна- п чим G" подмножество элементов (хо,..., ж„_|) произведения xG таких, что всякая пара (xi-i,Xi), i = I,... ,i = п— 1, является допустимой. Тогда n-коцепыо называется отображение / : G" —» А, которое удовлетворяет условиям • (7г о /)(ж0,. ..,!„_,) = г(ж0); • если п > 0 и Х{ £ G0 для некоторого г = 0,..., п — 1, то /(жо, • • •, a;„_i) G Ап. Множество Cn(G, А) n-коцепей является абелевой группой относительно поточечного сложения, и мы получаем коцепной комплекс О -» C°(G, А) £...-* Cn(G, А) £ Cn+\G, А)-*..., (3.29) (6°f)(x) = Ф(х)(/ о г)(а;) - (/ о г)(ж), П (6nf)(x0, ...,х„) = Ф(ж0)/(Ж1,..., х„) + ^(-О'/^о. • • •, a;,-ia;,-;..., х„) + + (-l)n+lf(x0,...,xn.l), п>0. Определение 3.6.7. Группа п-коциклов комплекса (3.29) обозначается как Z"(G, А), группа п-кофаниц — как B"(G, А), и группа га-когомологий коцепного комплекса (3.29) обозначается Zn(G, А) H"(G,A)= —^—'-. Bn(G,A) Группы H"(G, А) называются группами когомологий группоида G с коэффициентами в расслоении модулей А. о В частности, 0-коцепи — это сечения группового расслоения А —* G°. Такое сечение / называется инвариантным, если оно удовлетворяет условию Щх)(/ о г)(х) - {f о 1)(х) = О,
78 Глава 3. Симметрии квантовых систем т.е. инвариантное сечение является 0-коциклом. Поскольку О-кограницы представлены единственным сечением /, принимающим значения в 0 абелевых групп Аи, то H°(G, А) = Z°(G, А) — множество всех инвариантных сечений расслоения А —► G0. Соответственно, 1-коциклом с G Zl(G,A) является ]-коцепь, которая удовлетворяет условию с(ху) = Ф(ж) с(у) + с(х). Например, если (G, А) — постоянное расслоение модулей с типичным слоем В, то всякий 1-коцикл с — это гомоморфизм группоида G в абелеву группу В. В этом случае вместо Zn(G, А) можно писать Zn(G, В). Предложение 3.6.8. Группы когомологий подобных группоидов со значениями в постоянном расслоении модулей изоморфны. D Подобно топологическим группам рассматриваются топологические группоиды, когда операции х —► х~1 и (х, у) —► ху непрерывны. При этом: • множество Gn наделяется топологией, индуцированной из х G; • переход к обратному х —► х~1 — гомеоморфизм, a l,r : G —► G0 — непрерывные отображения; • в пространстве единиц G0 топология подпространства G0 С G и топология фактора I: G —► G0 совпадают; • если группоид G отделим, то G0 — замкнутое подпространство G. В дальнейшем мы будем рассматривать только локально компактные группоиды. Определение 3.6.9. Пусть G — локально компактный группоид и !C(G,C) — пространство комплексных функций на G с компактным носителем. Левой системой Xaapa на G называется семейство мер {ци, и G G0} на G такое, что выполняются следующие условия: • носителем supp(/*„) меры ци является G" — Г[(и); • (условие непрерывности) для всякой функции / G 1C(G, С) отображение /if:G°Bu^ /iu(f) е С (3.30) является непрерывным; • (условие левой инвариантности) для всех / € G и / G IC(G, С) J f(xy) <1цНх)(у) = J f(y) di(x)(y). a Если G — локально компактный группоид с левой системой Хаара, то можно показать, что отображение >C(G,C)ef^fcfeic(G0,C) является непрерывным, а проекция I : G —> G0 открыта, т.е. переводит открытые множества в открытые.
§6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 79 Пример 3.6.6. Пусть К — локально компактная группа, действующая непрерывно в локально компактном пространстве S. Рассмотрим группоид S х К из Примера 3.6.1. Это локально компактный группоид с левой системой Хаара {fis, s 6 S}, где \is = £$ ® Рк — произведение меры Дирака е, на S и левой меры Хаара Цк на локально компактной группе К. □ Пример 3.6.7. Пусть G — локально компактное групповое расслоение из Примера 3.6.3. Левая система Хаара для G, если она существует, определена с точностью до непрерывной положительной функции h на G0 такой, что ри = h{u)p!u. В частности, пусть К — локально компактная группа. Множество Sk подгрупп К, наделенное топологией Фелла, является компактным пространством. Определим топологический группоид G = UQ,x) : QeSK, xeQ} (3.31) с топологией, индуцированной из Sk х К, и структурой группоида: • (Q,x)-x = {Q,x-'); • пара UQ, х), (Q', х'у) является допустимой тогда и только тогда, когда Q = Q'; • (Q, x)(Q, у) = (Q, ху). Группоид (3.31) является локально компактным групповым расслоением над Sk, называемым расслоением подгрупп группы К. Он допускает левую систему Хаара {/xq, Q G Sk}, где (j,q — левая мера Хаара на Q. с Пример 3.6.8. Локально компактный группоид G называется l-дискретным, если его пространство единиц является открытым. Такой группоид обладает рядом примечательных свойств. • Для всякого и € G0 подпространства G" и Gu являются дискретными пространствами. Это следует из того, что пересечение G" (соотв. Gu) с открытым множеством G0 является открытым в Gu (соотв. Gu). Однако такое пересечение сводится к точке и, которая тем самым является открытым множеством в G" и Gu. Отсюда нетрудно показать, что произвольная точка в G" (соотв. Gu) является открытым множеством в G" (соотв. Gu). • Если группоид G допускает левую систему Хаара, то ее можно выбрать так, что Ри({и}) = 1 Для всех и G G0, а тогда из условия инвариантности следует, что ^«({я}) = 1 Для всех х £ G". • Если группоид G — i-дискретный и допускает левую систему Хаара, то операция произведения G2 —► G и проекция I — локальные диффеоморфизмы. Справедливо и обратное утверждение. D Пусть в дальнейшем G — это локально компактный группоид с левой системой Хаара {fiu}- Обозначим \iu = (J,u~l обратную меру — образ меры р,и при переходе к обратному. Тогда меры р," образуют правую систему Хаара. Для всякой меры А на пространстве единиц G0 локально компактного группоида G с левой системой Хаара {р,и} определим меру и = [ ца d\{u) (3.32)
80 Глава 3. Симметрии квантовых систем па G из условия v(f) = J М/(«) <*А(«), / € K(G, С), где /t/(w) — функция (3.30). Она называется мерой, индуцированной мерой А. При этом обратной ей мерой является v~x = f ци d\{u). Определение 3.6.10. Мера А на пространстве единиц G0 называется квазиинвариантной, если индуцированная ею мера и на G эквивалентна обратной мере v~l. Соответствующая производная Радона—Никодима dv Д = г dv~x называется модулярной функцией меры v. Квазиинвариантная мера называется инвариантной, когда модулярная функция Д тождественно равна 1. □ Пример 3.6.9. Если G — локально компактная группа, то G0 = {!}, и ее левая система Хаара сводится к левой мере Хаара ц. В этом случае квазиинвариантной мерой на {1} является, например, мера Дирака, а индуцированная ею мера на G совпадает с левой мерой Хаара р. Соответствующей модулярной функцией представляет собой модуль группы G (см. Приложение А.З). □ Пример 3.6.10. Рассмотрим группоид G = S х К из Примера 3.6.1 с левой системой Хаара из Примера 3.6.6. Пусть А — мера на S. Тогда индуцированная ею мера на группоиде G — это произведение мер Цк ® А, где цк — левая мера Хаара на группе К. Пусть К действует на S транзитивно, т. е. является орбитой своего элемента s. Тогда квазиинвариантной мерой А на 5 является мера Дирака es. о Приведем еще одно полезное понятие. Заметим сначала, что когомологии на локально компактном группоиде с коэффициентами в локально компактном групповом расслоении определяются так, что все отображения считаются непрерывными. Тогда, например, Zl(G,R) — группа непрерывных гомоморфизмов группоида G в К. Пусть с £ Zl(G, R) — некоторый 1-коцикл. Обозначим Min(c) множество таких единиц и G G0, что c(Gu) содержится в [0, +оо), и Мах(с) — множество Min(-c). Определение 3.6.11. Пусть с € Zl(G,W) и /9 G [-со, +со]. Говорят, что мера А на пространстве единиц G0 удовлетворяет (с, (3)-уаювию КМШ (Кубо—Мартина—Швин- гера), если: • для конечного /3 мера А является квазиинвариантной с модулярной функцией ехр[-/?с]; • для /3 = ±оо носитель меры А содержится в Min(±c). D При этом можно показать, что пределом при /3 —► со семейства мер, удовлетворяющих условию КМШ для (с, /3), является мера, удовлетворяющая условию КМШ для (с, оо)/ Перейдем теперь к описанию С*-алгебр группоидов. Пусть G — локально компактный группоид с левой системой Хаара {//„} и а е Z2(G, Т), где Т — абелева группа
§6. Дополнение. Группоиды и С-алгебры 81 комплексных чисел с модулем 1, записанная мультипликативно. Рассмотрим пространство fC(G, С) непрерывных комплексных функций на группоиде G с компактным носителем. Предложение 3.6.12. Пространство fC(G, С) становится топологической инволютив- ной алгеброй, будучи наделенным операциями (/ * д)(х) = J f(xy)g(y~l) а{ху, y~l) dfir(x)(y), f,ge K(G, С), f,(x) = f(x-l)cr(x,x-1). Обозначим эту алгебру C(G, а), а Заметим, что алгебра C(G, а) зависит от выбора 2-коцикла а, который необходим для задания операций произведения и инволюции. При этом можно показать, что, если коциклы а и а' принадлежат одному и тому же когомологическому классу, т.е. отличаются на кограницу, то инволютивные алгебры C(G, а) и C(G, а') изоморфны. Инволютивная алгебра C(G, а) становится нормированной инволютивной алгеброй, если на fC(G, С) ввести норму ПЛ|/ = тах(||Л|/)||Л1г), /€/C(G,C), 11/Ц, = sup / |/| dfiu, ||/||r = sup / |/| dfi". Эта норма задает на /C(G, С) топологию, более сильную, чем топология индуктивного предела. Определение 3.6.13. Представлением 7г алгебры C(G,a) в гильбертовом пространстве Е называется ее гомоморфизм в алгебру ограниченных операторов В(Е) в Е, непрерывный, когда алгебра C(G, а) наделена топологией индуктивного предела, а В{Е) — слабой операторной топологией. Предполагается, что представление невырождено, т. е. C(G, а)Е плотно в Е. Представление называется ограниченным, если ||7r(/)j| ^ ||/||/, V/ € C(G, а), а Например, вес представления группоида К х S из Примера 3.6.1 и /-дискретного группоида из Примера 3.6.8 в сепарабельных гильбертовых пространствах ограничены. Пример 3.6.11. Ограниченное представление алгебры C{G, а) можно получить в следующем виде. Пусть пространство единиц G наделено квазиинвариатной мерой А. Рассмотрим расслоение гильбертовых пространств Н —> G0. Тогда представлением группоида G называется его отображение Ф : G —* lso(H) в множество изометрий Iso(tf) = {<?" : Я„ -» Ни, u,veG0} такое, что • Ф(ж): ЯР(Я) -» H,ix) и Ф(и) = Id Ни, и е G0; • Ф(а;)Ф(2/) = а(х, у)Ф(ху) почти всюду на G2 относительно меры v2 = j ци® fj,udX(u), индуцированной на G2 мерой А;
82 Глава 3. Симметрии квантовых систем • ф(ж) ' = а(х,х ')Ф(ж ') для почти всех х относительно меры v (3.32), индуцированной на G мерой А; • отображение х -> (ф(ж)(в о r)(x)\(s о 1)(х))тг \ I Нцг) является ^-измеримым для любой пары А-измеримых сечений s и s' расслоения ff-.G°. Два представления (Ф, Я, А) и (Ф', Я'А') группоида G считаются эквивалентными, если меры А и А' эквивалентны и существует такой изоморфизм Ф расслоений Я и Я' над G0, что (Ф'о Ф)(ж) = (Ф о Ф)(ж) . для почти всех х £ G относительно меры на G, индуцированной А. Рассмотрим гильбертово пространство L2(H) сечений расслоения Я —> G0 с интегрируемым квадратом. Тогда представление группоида G в Я индуцирует представление 7г алгебры C{G, а) в гильбертовом пространстве L2(H), задаваемое соотношением: (тг(Яф') = J Пх){Щх)(з о г)(аО|(*' о l)(x))B^A-l/2(x) dv(x). (3.33) При этом, если представления группоида G эквивалентны, то и соответствующие представления (3.33) алгебры C{G, <т) тоже эквивалентны. □ Определение 3.6.14. Пополнение алгебры C(G,a) по норме ||/||= sup |И/)||, где 7г пробегает все ограниченные представления алгебры C(G, а), является С*-алге- брой, обозначаемой C*(G, <т) и именуемой С*-алгеброй группоида G. □ Рассмотрим автоморфизмы С*-алгебры C*(G, <т). Пусть А — локально компактная абелева группа, А' -•- ее дуальная группа и с G Z\G,A) — 1-коцикл. Для всякого характера £ е А' определим отображение a((f)(x)=Z(c(x))f(x), fEC(G,a). (3.34) Это отображение является автоморфизмом алгебры C(G, а), который продолжается до автоморфизма С*-алгебры C*(G, а). Более того, является непрерывным гомоморфизмом А' в группу Aut(.C*(G, а)) автоморфизмов алгебры C*(G, а), наделенной топологией поточечной сходимости [55]. Если с — 1-граница, то автоморфизмы ct( внутренние. В частности, можно построить а-инвариантное состояние на С*-алгебре C*(G,a). Пусть \i — некоторая положительная мера на пространстве единиц G0. Ограничивая функции из C{G, <т) на &° и интегрируя их по мере \ь, мы получим положительную форму фр на C(G, а), неггаерывную в топологии индуктивного предела. Если G — /-дискретный группоид и д^- вероятностная мера, то фц определяет состояние на С*-алгебре C*(G, а). Это состояние а-инвариантно, поскольку с(х) = 1, х £ G0, и £(1) — 1 в выражении (3.34) для а^.
§6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 83 Теорема 3.6.15. [33, 59] Пусть: • C*(G, а) — С*-алгебра группоида G; • с€ Z\G,W) — коцикл; • at, t € R — группа автоморфизмов (3.34) алгебры C*(G, а), определяемая с; • фц — а-инвариантное состояние на C*(G, а), определяемое мерой ц на пространстве единиц G0; • /3 € [0, +оо]. Рассмотрим С*-динамическую систему (C*(G,<r),a) (см. §6.1). Следующие условия эквивалентны: • мера ц удовлетворяет (с,/3)-условию КМШ из Определения 3.6.11; • Фи — (а> /?)-состояние КМШ на С*-алгебре C*(G, а), удовлетворяющее условию КМШ (6.4).
Глава 4 Квантовомеханические системы В этой главе приводятся некоторые основные варианты квантования механических систем в рамках алгебраического подхода. § 1. Универсальные обертывающие алгебры В квантовой механике одними из главных наблюдаемых, характеризующих систему, являются операторы физических величин —• импульса, момента, спина и др. Они представляют собой базисные элементы алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Однако при этом возникают две проблемы. • Если дано унитарное представление группы Ли в гильбертовом пространстве, то алгебра Ли в общем случае выполняется неограниченными операторами в этом пространстве. • Алгебры Ли не являются ассоциативными и сами по себе не могут служить алгебрами наблюдаемых. Замечание 4.1.1. В дальнейшем, если специально не оговорено, мы ограничимся случаем связных конечномерных групп Ли. Примером бесконечномерных групп Ли является группа Гейзенберга—Вейля канонических коммутационных соотношений над ядерным пространством (см. §6). Напомним в этой связи, что локально компактные группы Ли конечномерны и обратно, а связные локально компактные группы сепара- бельны. Заметим также, что под неприводимым представлением алгебры Ли понимается именно ее алгебраически неприводимое представление. □ Говоря о первой проблеме, заметим, что все равномерно непрерывные неприводимые унитарные представления вещественных групп Ли только конечномерны. В частности, все группы внутренних симметрии (момента, спина и др.) компактны и их неприводимые унитарные представления равномерно непрерывны и конечномерны. В случае конечномерного представления гомоморфизм группы Ли G в группу Ли GL(E) изоморфизмов пространства представления Е является вещественно-аналитическим, и представление алгебры Ли группы G выполняется ограниченными операторами из алгебры Ли gl(E). В случае произвольной действительной группы Ли G представление ее алгебры Ли Q, ассоциированное с унитарным представлением я- группы G в гильбертовом пространстве Е, строится следующим образом. Обозначим через E^ подпространство Е, состоящее из векторов х, для которых (тг(д)ж, г;) : G -» С
§ 1. Универсальные обертывающие алгебры 85 являются гладкими функциями на G при любом v € Е'. Они называются бесконечно дифференцируемыми векторами в Е. Тогда на пространстве Д», называемом пространством Гординга, естественным образом реализуется представление алгебры Ли Q группы G. Пространство Е^ плотно в Е. Отметим, что в число бесконечно дифференцируемых векторов входят векторы вида xt = vL(f)x = j f(gMg)xdg, хбЕ, /6 /C°°(G) С L\G), где K°°(G) — пространство гладких функций на Gc компактным носителем и ж1 — ассоциированное с тг представление групповой алгебры Ll(G) группы G. Пусть «„ — правоинвариантное векторное поле на группе Ли G, отвечающее элементу а алгебры Ли Q. Полагая Тоо(а): irL(f)x » irL(ua\df)x, (4.1) мы получаем представление тг,» комплексифицированной алгебры Ли Qc на векторах Xf. Заметим, что из топологической неприводимости представления тг отнюдь не следует алгебраическая неприводимость представления тт,». Более того, представление тг^, может содержать бесконечное множество попарно неэквивалентных неприводимых представлений алгебры Ли Qc. Что касается второй из упомянутых выше проблем, то всякой алгебре Ли можно сопоставить соответствующую ассоциативную алгебру — универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли. Опишем эту конструкцию [11]. Пусть Q — вещественная алгебра Ли некоторой (конечномерной) группы Ли G. Рассмотрим тензорную алгебру т = ж®д®д2®--- (4.2) п векторного пространства Q, где Q = ® Q. Пусть / — двусторонний идеал алгебры Г, порожденный элементами вида х®у-у®х-[х,у\, х,уед, (4.3) т. е. / — минимальный двусторонний идеал, содержащий элементы (4.3). Определение 4.1.1. Бесконечномерная ассоциативная алгебра Q = Т/1 с единицей называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли Q. о Имеется каноническое вложение Q —> Q {теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витте). Используя это вложение, фиксируем некоторый упорядоченный базис {ei,..., ek} алгебры Ли Q. Тогда элементы вида er®-"®C (4.4) где т,- — всевозможные натуральные числа, образуют базис векторного пространства Q. На алгебре Q определен антиавтоморфизм *:еГ®---®е^^(-1)"11+-+"1'еГ®---®е1п', (4.5) где правую часть надо привести к упорядоченному виду (4.4), используя соотношения е,- ® е$ — 6j ® е,- — Суе;- = О
86 Глава 4. Квантовомеханические системы (c\j — структурные константы алгебры Ли Q). Комплексифицируем алгебру Q и наложим на антиавтоморфизм (4.5) добавочное условие * : Az ь-* AV, хеб, А € С. Тогда он будет удовлетворять всем требованиям, предъявляемым к операции инволюции, и алгебра Q становится инволютивной. В частности, элементы ге\,... ,iek являются эрмитовыми. Инволютивная алгебра Q может быть наделена топологией, превращающей ее в топологическую инволютивную алгебру. Рассмотрим евклидову топологию в конечномерном векторном пространстве Q. Введем в тензорной алгебре Т (4.2) топологию прямой суммы, когда последовательность {а!'= (4,..., 4,...), х^ед"} (по индексу г) элементов из Т сходится к нулю, если при любом п соответствующая последовательность {х'п} С G" сходится к нулю относительно топологии в G" и существует число N, не зависящее от г, такое, что х'п = 0 при всех п > N. Затем определим в Q фактор-топологию. Использовать универсальную обертывающую алгебру Q в качестве алгебры наблюдаемых позволяет следующий факт. Теорема 4.1.2. Пусть А — алгебра с единицей и 7 — гомоморфизм алгебры Ли Q в А. Тогда 7 продолжается единственным образом до гомоморфизма у универсальной обертывающей алгебры Q в А, переводящего 1 в 1. о Следствие 4.1.3. Пусть р — представление алгебры Ли Q в векторном пространстве V. Тогда существует одно и только одно продолжение р до представления р универсальной обертывающей алгебры Q в V. а При этом векторные подпространства V, инвариантные относительно р, являются инвариантными и относительно р. В частности, если представление р алгебры Ли Q не- приводимо, то представление р алгебры Q тоже (алгебраически) неприводимо. Если р\ и р2 — два представления алгебры Ли Q, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие представления р, и р2 универсальной обертывающей алгебры Q. В результате имеет место определенное соответствие между множеством примитивных идеалов ассоциативной алгебры Q и множеством неприводимых унитарных представлений группы Ли G [11]. Пример 4.1.2. Пусть Q = so(3) со стандартным базисом {73, #+, #_}. Ядром представления универсальной обертывающей алгебры Q, характеризуемого спином 1/2, является примитивный идеал алгебры Q, порождаемый элементами вида Н+,Н", п > I, а Замечание 4.1.3. Напомним известную лемму Шура. Подмножество ZQ элементов универсальной обертывающей алгебры Q^ коммутирующих со всеми элементами а € Q (и следовательно со всеми элементами Q), называется центром алгебры Q. Можно показать, что в центре ZQ существует конечное число полиномиальных образующих С\,С2,---,СР таких, что любой элемент z € ZQ является полиномом от образующих С,-. Согласно лемме Шура, если представление р алгебры Ли Q неприводимо, то операторы р(С,), называемые операторами Казимира, пропорциональны 1. □ Приведем еще одно следствие Теоремы 4.1.2 [15].
§2. Конечно порожденные С"-алгебры 87 Следствие 4.1.4. Поскольку для всякого элемента о G 9, правоинвариантное векторное поле иа на группе G отождествляется с правоинвариантным линейным дифференциальным оператором на G, универсальная обертывающая алгебра Q изоморфна алгебре всех правоинвариантных линейных дифференциальных операторов на G. о Опираясь на Следствия 4.1.3 и 4.1.4, вернемся теперь к исходной проблеме. Пусть ж — унитарное представление группы Ли G в гильбертовом пространстве Е, п^ — ассоциированное с ним представление комплексифицированной алгебры Ли Qc и жж — соответствующее представление универсальной обертывающей алгебры Q. Если представление ж конечномерно, то элементы га, a G Q, алгебры Q выполняются эрмитовыми ограниченными операторами в Е и могут играть роль квантовомехапических наблюдаемых. Если представление ж группы Ли G бесконечномерно, то представление жж (4.1) алгебры Ли Q в пространстве Гординга Е^ продолжается до представления жх универсальной обертывающей алгебры Q в Е<х [23]. Тогда представление ж^ можно интерпретировать как выполнение топологической инволютивной алгебры Q неограниченными операторами в гильбертовом пространстве Е с областью определения Е^, плотной в Е. При этом эрмитовы элементы из Q, в частности ia, переходят в симметрические операторы в Е^. Однако, чтобы эрмитов элемент b £ Q можно было считать квантовомеханической наблюдаемой, нужно, чтобы оператор ж^Ъ) в Е был существенно самосопряженным. Это условие выполняется, если, например, эрмитов элемент Ь принадлежит центру ZQ алгебры Q. Пример 4.1.4. Рассмотрим форму Киллиига 9тп = cmlcnk на алгебре Ли Q. Пусть Q — полупростая алгебра Ли, т. е. форма Киллинга невырождена. Тогда элемент С2 = дтпетеп, (4.6) называемый элементом Казимира, принадлежит центру универсальной обертывающей алгебры Q. Легко видеть, что он эрмитов. Например, в случае Q = so(3), это квадрат момента, о §2. Конечно порожденные с*-алгебры Универсальные обертывающие алгебры, описанные в предыдущем параграфе, дают пример конечно порожденных алгебр. Они, однако, не- являются С*-алгебрами и, вообще говоря, выполняются неограниченными операторами в гильбертовых пространствах. Развивая эту конструкцию, мы рассмотрим С*-алгебры, порождаемые конечным набором элементов, которые сами, однако, не обязательно принадлежат такой алгебре и поэтому могут быть неограниченными операторами [69, 71]. Например, в отличие от универсальной обертывающей алгебры Q, порождаемой генераторами (связной) локально компактной группы Ли G, С*-алгебра, порождаемая этими же генераторами, является С*-алгеброй C*(G) группы G. Остановимся сначала на случае конечно порожденной С*-алгебры, когда ее образующие элементы принадлежат самой этой алгебре. Начнем с самых общих понятий. Рассмотрим свободную алгебру Afrcc всех некоммутативных полиномов от N элементов еь ..., eN с комплексными коэффициентами. Эти элементы называются образующими. Пусть задано некоторое множество отношений (алгебраических равенств), накладываемых на образующие. Пусть I — двусторонний идеал, порождаемый этими
88 Глава 4. Квантовомеханические системы отношениями. Тогда фактор называется конечно порожденной алгеброй. Другой способ построения конечно порожденной алгебры состоит в том, чтобы задать согласованный с упомянутыми выше отношениями гомоморфизм 7 алгебры Afrcc в некоторую алгебру В, т.е. такой, что 7(^0 удовлетворяют этим отношениям в В. Тогда идеал I является пересечением ядер всех таких гомоморфизмов 7, согласованных с отношениями. Например, пусть Е — сепарабельное гильбертово пространство. Выберем в качестве В алгебру В(Е) ограниченных операторов в Е. Предположим, что отношения равномерно ограничены, т.е. существует набор чисел М\,..., Mjy таких, что 1№Н ^ М{ (4.7) для всех наборов ограниченных операторов Т\,...,Т^ в Е, удовлетворяющих отношениям. Тогда для всякого элемента а £ Аггсс положим \\а\\ = sup ||7(в)||, (4.8) 7 где 7 пробегает все гомоморфизмы Afcc в В(Е), согласованные с отношениями. Это преднорма на А(кс. Тогда 1={а€Аасс : ||а|| = 0}, и при переходе к фактору преднорма (4.8) определяет норму на алгебре А[КС/1, пополнение которой по этой норме является С*-алгеброй. Определение 4.2.1. Эта алгебра называется конечно порожденной С*-алгеброй. о Пример 4.2.1. Под-С*-алгебра А алгебры В(Е) конечно порождена операторами Т\, ■. ■, Тм, если она является замыканием по операторной норме множества алгебраических комбинаций из этих операторов. □ Перейдем теперь к конструкции С*-алгебры, порождаемой неограниченными элементами, которые тем самым не могут быть элементами этой алгебры. Ради простоты, как в Примере 4.2.1, мы рассмотрим случай, когда конструируемая С*-алгебра является подалгеброй алгебры В(Е) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Е. Как уже отмечалось, всякая С*-алгебра изоморфно представима в таком виде. В дальнейшем мы будем предполагать, что Е — сепарабельное гильбертово пространство и С*-алгебра А сепарабельна. Обозначим С(Е) множество всех невырожденных сепарабельных под-С-алгебр А алгебры В{Е) (невырожденность означает, что АЕ плотно в Е). Оператор а € В(Е) именуется множителем подалгебры А, если аА и Аа содержится в А. Обозначим М(А) множество всех множителей С-алгебры А. Легко убедиться, что М(А) является С*-алгеброй и А — ее замкнутый двусторонний идеал. Более того, если а € М(А) и аА — 0, тогда а = 0. Поэтому говорят, что А — существенный идеал М(А), и М(А) — наибольшая С*-алгебра, содержащая А как существенный идеал. Пример 4.2.2. Пусть А = К{Е) — алгебра непрерывных компактных операторов в Е. Тогда М(А) = В(Е). □ Пример 4.2.3. Если^С*-алгебра А коммутативна, то согласно Теореме 2.7.2 она изоморфна С*-алгебре <S(A) непрерывных комплексных функций на локально компактном
§2. Конечно порожденные С"-алгебры 89 спектре А алгебры А, обращающихся в Она бесконечности, и тогда М(А) — алгебра ограниченных непрерывных функций на A. О Эрмитов элемент a G М(А) называется строго положительным на А, если он положителен (а > 0) и аА плотно в А. Мы будем писать а > 0. В рассматриваемом случае сепарабельной С*-алгебры А строго положительный элемент всегда существует. Для эрмитовых элементов а, b 6 М(А) мы будем писать а > Ь, если а — Ъ — строго положительный элемент на А. Легко установить, что а + Ъ > 0 для всех а > 0 и Ъ > О и что, если а > b и b > с, то а > с. Предложение 4.2.2. Поскольку Л — замкнутый двусторонний идеал в М(А), всякое состояние ф на С*-алгебре А однозначно продолжается до состояния на М(А), обозначаемого тем же символом ф, и а > 0 тогда и только тогда, когда ф(а) > 0 для всякого чистого состояния ф на А. □ Пусть теперь Т — в общем случае неограниченный оператор в гильбертовом пространстве Е с областью определения D(T), плотной в Е. Введем оператор zT = T(t + T*T)~i/2. (4.9) Оператор (4.9) ограничен, т.е. zT £ В{Е), и \\zT\\ < 1. Он содержит всю информацию об операторе Т, поскольку Т = zT(l - z*TzTyx'2'. В частности, ||Т|| < со, если ||-гт|| < 1. В этом случае можно показать, что Т и z? принадлежат одной и той же С*-алгебре (как пределы некоторых сходящихся по норме последовательностей). Определение 4.2.3. Пусть А 6 С(Е) — сепарабельная под-С*-алгебра алгебры В(Е) и Т — замкнутый оператор в Е с плотной областью определения. Будем говорить, что оператор Т присоединен к А, и писать TtjA, если zt £ М(А) и z^zT < 1 на А. □ Обозначим Ап множество операторов, присоединенных к А. Легко убедиться, что если TtjA, то T'tjA и Т*ТцА. Множители А являются единственными ограниченными операторами, присоединенными к А, т. е. А С М(А) С Ап. Пример 4.2.4. Всякий замкнутый оператор с плотной областью определения в Е является присоединенным к алгебре К(Е) непрерывных компактных операторов в Е. П Пример 4.2.5. Если А — коммутативная С*-алгебра, тогда А1 — пространство непрерывных функций на спектре А алгебры А. и Предложение 4.2.4. С*-алгебра А является конечно порожденной своим элементами (см. Определение 4.2.1) тогда и только тогда, когда Ап = А. о Обозначим R(A, Н) множество (невырожденных) представлений С*-алгебры А 6 С(Е) в гильбертовом пространстве Я. Поскольку алгебра А — существенный идеал в М(А), всякое ее представление ж 6 R(A,H) единственным образом продолжается до представления алгебры М(А) в Н. Более того, представление 7Г распространяется на элементы, присоединенные к А. Если Тт/А, то zt £ М(А) и существует замкнутый оператор 5 в Н с плотной областью определения такой, что ir(zT) = zg. Обозначим его т(Т). Пусть В € С(Н) — некоторая под-С*-алгебра В(Н). Будем говорить, что представление тг е Д(А, Н) является морфизмом А в В, если я(А)В плотно в В. Обозначим R(A, В) множество таких морфизмов. Справедливы следующие утверждения:
90 Глава 4. Квантовомеханические системы • ЩА, Н) = ЩА, К(Н)); • если Тт)А и 7Г G R(A, В), то ж{Т)г]В; • если а>0наЛи7г€ ЩА, В), то 7г(а) > 0 на В. Определение 4.2.5. Пусть A G С(Е) и T\,...,TN — операторы, присоединенные к А. Говорят, что С*алгебра А порождена присоединенными элементами Т\,..., Т^, если для любого гильбертова пространства Н, любой С*-алгебры В G С(Н) и всякого представления 7Г G Д(Л, Я) из условия ir(Ti)7)B, г= 1,..., N, следует, что 7Г G Д(Л, В). □ Приведем два конструктивных критерия того, что С*-алгебра порождается присоединенными элементами. Предложение 4.2.6. Пусть А, В — сепарабельные С*-алгебры и -у G ЩВ, А) — вложение. Если Ti,...,TN — присоединенные элементы к В и 7№) порождают А, тогда у(В) = А. а Предложение 4.2.7. Пусть Л — сепарабельная С*-алгебра и Ти ..., TN — присоединенные к ней операторы. Обозначим Т подмножество М(А), состоящее из элементов вида (1 + Т*Т()~[, (1 + TiT*y\ Предположим, что: • операторы 1\,..., TN разделяют представления А в Е, т. е. для различных -к, -к' G ЩА, Е) найдется такой элемент Ij, что 7г(Т<) Ф я'(Т(); • существуют элементы t\,..., t/. G Т такие, что их произведение <[ ... £* G А. Тогда алгебра А порождается присоединенными операторами Т\,..., Т^. □ Приведем несколько примеров. Пример 4.2.6. Пусть С*-алгебра A G С(Е) конечно порождена своими элементами 1, Т\,..., TN. Если 7r(Ti) присоединены к В, тогда по определению z^Tj) G М{В), а поскольку 7г(Т;) ограниченные операторы, то они тоже являются множителями В и присоединены к В. Отсюда следует, что 7Г G ЩА, В), т.е. алгебра А порождена Т\,...,Тц в смысле Определения 4.2.5. Обратно, если алгебра А порождена ограниченными присоединенными элементами Т\,..., TN, в этом случае Т, G М{А). Пусть алгебра В конечно порождена операторами 1, Т\,..., TN. Тогда она является подалгеброй М{А) и вложение В —► М(А) принадлежит ЩВ, А). Согласно Предложению 4.2.6 получаем В = А. □ Пример 4.2.7. Пусть X — локально компактное пространство и Т\,...,Тц — непрерывные комплексные функции на X. Они являются присоединенными элементами к С*-алгебре S(X) непрерывных комплексных функций на X, убывающих на бесконечности. Алгебра S(X) порождается этими элементами, если они разделяют точки X и выполняется условие N Jirn $2 \Шх)\2 = +00. (4.10) X_>0°i=l Доказательство следует из Предложения 4.2.7. Поскольку функции Т\,..., Т^ разделяют точки X, они разделяют представления S(X). Можно также показать, что соотношение (4.10) эквивалентно jLmn(i+m^)i2)_, = o,
§ 3. Когерентные состояния 91 откуда следует, что произведение a+T{Ti)~' ...(t + T*NTNy{ содержится в S(X). Верно и обратное утверждение. Если алгебра <S(X) порождается присоединенными элементами Т\,..., TN, то эти функции разделяют точки пространства X и удовлетворяют условию (4.10). □ Пример 4.2.8. Пусть G — связная локально компактная группа Ли и Q — ее алгебра Ли с базисными элементами е\,..., е^. Пусть ж — произвольное унитарное представление группы G г гильбертовом пространстве Е, ж' — представление ее групповой алгебры Ll(G), ж^ — соответствующее представление С*-алгебры C*(G) группы G в Е и tTqo — представление алгебры Ли Q неограниченными операторами (4.1). Можно показать, что базисные элементы 7Too(ei)>..., ж^е^) являются операторами, присоединенными к С*-алгебре тг*(С*(С)), и C"(G) порождается элементами еи ..., ек [71]. □ § 3. Когерентные состояния Пусть G — локально компактная группа и ж — ее неприводимое унитарное представление с интегрируемым квадратом в гильбертовом пространстве Еж. Тогда можно выделить систему векторов в Е, называемых когерентными состояниями и обладающих рядом полезных свойств. Когерентные состояния возникают во многих моделях [14, 16, 26], например, при построении канонических коммутационных соотношений (см. §6). Представления с интегрируемым квадратом уже рассматривались в § 3.5, но теперь мы не будем предполагать, что группа G унимодулярна. Напомним, что неприводимое унитарное представление ж локально компактной группы G называется представлением с интегрируемым квадратом (или квадратично интегрируемым представлением), если существует такой вектор £ £ Е„, что коэффициент ф^ представления ж является квадратично интегрируемой функцией относительно левой меры Хаара dg на G, т. е. f\(T(9)(\()fdg<co. (4.11) Назовем такой вектор допустимым. Легко убедиться, что если ( — допустимый вектор, то все векторы ж(д)£, д £ G, являются допустимыми. Очевидно, что множество допустимых векторов инвариантно относительно G и, поскольку представление ж неприводимо, оно образует плотное подмножество в Ег, которое совпадает с Еж тогда и только тогда, когда группа G унимодулярна. При этом соотношение ортогональности (3.20) коэффициентов представления обобщается на неунимодулярный случай следующим образом [26, 43]. Предложение 4.3.1. Существует единственный положительный замкнутый обратимый оператор С в гильбертовом пространстве ЕТ, определенный на множестве всех допустимых векторов и такой, что 1фа9)Ф^)Лд={С£\С£')Ш), v,v'eE«. (4.12) Причем С = А1, А > 0, а соотношения (4.12) сводятся к (3.20) тогда и только тогда, когда группа G унимодулярна. Отсюда следует, что все коэффициенты ф^ представления ж, когда один из векторов допустимый, являются квадратично интегрируемыми функциями на G. □
92 Глава 4. Квантовомеханические системы Соответственно соотношения (3.21) в общем случае локально компактной группы заменяются следующей конструкцией. Определение 4.3.2. Воспроизводящим ядром на локально компактной группе G называется функция К : G х G —* С такая, что K(9,g)>o, VgeG, К(д,д') = К(д',д), К(д,д') = jK(g,g")K(g",g') dg". (4.13) п Пусть £ — допустимый вектор, нормализованный условием /|0«|2<*5=<Ш. (4Л4) С учетом соотношений (4.12) это условие принимает вид <С£|С0 = 1- (4-15) Тогда можно показать, что функция К(д, д) = (*(д)£1*(0'К) = 4Wk(s) (4.16) является воспроизводящим ядром на группе G. Например, в случае унимодулярной группы G условие нормализации (4.15) имеет вид «10 = 4т, и тогда соотношение (4.13) для функции (4.16) является частным случаем равенства (3.21). Перейдем теперь к понятию когерентных состояний. Определение 4.3.3. Пусть тг — неприводимое унитарное представление с интегрируемым квадратом локально компактной группы G и £ — допустимый вектор пространства представления Еж, нормализованный условием (4.14). Рассмотрим его орбиту S( = {tg=*lg)t--9€G} (4.17) в Дг под действием группы G. Ее элементы называются когерентными состояниями. □ Приведем основные свойства когерентных состояний (4.17). • Во-первых, как мы ранее отмечали, когерентные состояния задают воспроизводящее ядро (4.16) на группе G. • Рассмотрим отображение W( : Еж -» L2(G), (WiV)(g) = ф^(д) = (ijjirteK), V G В,. (4.18)
§3. Когерентные состояния 93 Согласно соотношениям (4.12) и (4.15) это изометрическое вложение, образ которого Е( является плотным в L2(G). Более того, отображение W( (4.18) представляет собой сплетающий оператор представления ж и левого регулярного представления П группы G в L2(G), т. е. W(n(g) = THg)Wit Vg G G. • Отсюда следует, что неприводимое унитарное представление ж с интегрируемым квадратом локально компактной группы G содержится в ее левом регулярном представлении. Используя соотношения (4.12) с учетом нормировки (4.15), можно показать, что пространство Е( состоит только из тех элементов / G L2(G), которые удовлетворяют условию /(<?) = JK(g',g)f(g')dg'. (4.19) • Обратное к W( отображение Е( —► Еж имеет вид Wf' (/) = / f(gXg dg, / G % (4.20) В частности, получаем равенство г, = /(Wj»7)($)fc dg = ]m9)ig dg- Оно определяет разложение всякого элемента rj пространства представления Еж по когерентным состояниям. Поскольку представление ж неприводимо, когерентные состояния (4.17) образуют полное семейство в Еж, которое, однако, не будучи ортонормальным, в общем случае является переполненным. Конструкция когерентных состояний имеет, однако, определенный дефект. Пусть ж — неприводимое унитарное представление локально компактной группы G и £ — некоторый вектор гильбертова пространства Е„. Рассмотрим те элементы h группы G, действие которых на вектор £ сводится лишь к появлению фазового множителя, т.е. h£ = eialh)C (4.21) Такие элементы образуют подгруппу Щ группы G, именуемую стационарной подгруппой элемента £. Тогда подынтегральное выражение в условии (4.11) допустимости вектора £ фактически является функцией не на группе G, а на фактор-пространстве G/H^. Можно сказать, что в интеграле (4.11) происходит лишнее интегрирование по стационарной подгруппе Н(. В частности, его конечное значение предполагает компактность группы Н{. Следовательно, целесообразно модифицировать определение когерентных состояний так, чтобы проводить интегрирование не по группе G, а по фактор-пространству G/Щ. Поэтому вводят понятие обобщенных когерентных состояний. Пусть G — локально компактная группа, наделенная левой мерой Хаара dg, и ж — ее унитарное неприводимое представление в гильбертовом пространстве Еж. Выберем некоторый фиксированный вектор £ Е Е„ и обозначим и>( определяемую им векторную форму (2.8) на алгебре В(ЕЖ) ограниченных операторов в Еж. Рассмотрим множество «% (4.17) векторов £д = ж(д)£, д € G. Пусть Н^ С G — стационарная подгруппа формы Ш{, т. е. Ш(к - ш(, hGH. (4.22)
94 Глава 4. Квантовомеханические системы Согласно Предложению 2.4.8 равенство (4.22) имеет место тогда и только тогда, когда действие Н^ на вектор £ сводится к умножениям (4.21) на фазовые множители. Определение 4.3.4. Множество векторных форм ш^, д € G, называется системой обобщенных когерентных состояний [16] (см. также ниже Определения 4.3.5 и 4.3.6). п Ясно, что обобщенные когерентные состояния параметризуются элементами фактор-пространства G/H^. Сохраняя эту параметризацию, более удобно, однако, использовать другое определение обобщенных когерентных состояний. Определение 4.3.5. Пусть а — сечение расслоения С : G -> §-. (4.23) Тогда множество векторов S, = j&(,) = *(<r(q))t, Я£~) (4-24) из Еж тоже называется системой обобщенных когерентных состояний [16]. п Легко убедиться, что при фиксированном сечении а существует взаимно однозначное соответствие между обобщенными когерентными состояниями в смысле Определений 4.3.4 и 4.3.5. Группа G действует на обобщенные когерентные состояния (4.24) по закону 9 : £,(,) ь-> тг(0)&(?) = e'a(s^^(gq). Исходя из этого, условие допустимости этих когерентных состояний может быть сформулировано следующим образом. Пусть фактор-пространство G/H^ наделено G-инвариантной мерой fi. Тогда обобщенные когерентные состояния (4.24) считаются допустимыми, если / \(ж(<т(яЖ\ч)\ d(i(q)<<x>, Vt?€^. (4.25) G/щ В частности, когда проекция G —> G/H( является собственным отображением относительно меры Хаара dg на G и ц на G/Щ — образ dg при этом отображении, условие (4.25) эквивалентно условию допустимости когерентных состояний (4.11). В этом случае из соотношений (4.12), если вектор £ нормализован условием (4.15), получаем, что интеграл (4.25) равен / |(*<<т(д)К|ч)| dfi(q)=(V\r1), Щ€ЕЖ. (4.26) G/щ Определение 4.3.6. Под обобщенными когерентными состояниями часто подразумевают именно допустимые обобщенные когерентные состояния из Определения 4.3.5, которые удовлетворяют дополнительно условию (4.26). В этом случае говорят, что вектор £ и сечение а являются допустимыми, а
§3. Когерентные состояния 95 Например, в упомянутом выше случае, когда G-инвариантная мера ц на фактор- пространстве G/H( является образом левой меры Хаара dg на G, система обобщенных когерентных состояний в смысле Определения 4.3.6 является подсистемой когерентных состояний в смысле Определения 4.3.3, состоящей из векторов £д=<7оЦд). Условие допустимости (4.26), однако, не является самым общим. Определение 4.3.7. Система векторов (4.24) из Определения 4.3.5 именуется системой ковариантных когерентных состояний, если существует G-инвариантная мера ft на фактор-пространстве G/H( и выполняется условие допустимости / |(тИд))£1*?)|2 dfi(q) = {rt\aart), Vt? G Еж, (4.27) G/Щ где aa — некоторый обратимый ограниченный положительный оператор в Ev [26]. □ Замечание 4.3.1. Таким образом, существует неоднозначность в имеющейся терминологии. Ковариантные когерентные состояния относятся к обобщенным когерентным состояниям из Определения 4.3.5, а их примером, когда аа = 1, являются обобщенные когерентные состояния из Определения 4.3.6. В свою очередь ковариантные когерентные состояния представляют собой частный случай воспроизводящих систем (см. следующий параграф), элементы которых тоже называются когерентными состояниями. □ Приведем основные свойства ковариантных когерентных состояний Sa. Введем функцию КАЧ, Я) = (WK'W)) (4-28) на произведении G/H( х G/H^. • Имеет место вложение (Wtf)(q) = fo|&<?)>, V G Еж. (4.29) Его образ Е( состоит из функций / с интегрируемым квадратом относительно меры ft на G/H(, удовлетворяющих условию /(g) = | K(q', q)f(q') dfl(q'), (4.30) аналогичному условию (4.19) для когерентных состояний. • Обратное к W( отображение Е( —> Ек имеет вид Wf\f) = [ f(q)a?t,w dfi(q), f G Ev (4.31) В частности, получаем равенство 4 = f(WiJi)(q)a;1Z„iq)dfi(q) = JwUgJa^bwdiiiq), (4.32) или эквивалентно ь<тЧ = J {v\t*(q))t*(q) dn(q). (4.33)
96 Глава 4. Квантовомеханические системы • Подынтегральное выражение в (4.33) можно записать в виде F*(q)V = {£\£)Po(q)V, где Pff(?) — проекционный оператор на вектор ^д) вить в виде равенства J Fa(q)dn(q) = aa, понимаемого как слабое равенство. • Образ Е^ отображения И^ (4.29) является полным относительно нормы (f\f)« = (f\Wta-a]W[lf), (4.35) а само это отображение становится изометрическим, если наделить Е^ этой нормой. Ряд существенных дополнений к приведенным выше свойствам возникает для обобщенных когерентных состояний, т. е. когда а„ = 1. В этом случае функция Ka(q, q') (4.28) становится воспроизводящим ядром на фактор-пространстве G/H^, т.е. она удовлетворяет условиям G Ka(q, q) >0, Vq £ —, щ К<т(Я, q) = Ka(q', q), KAq, q) = J K„(q, q")Ka(q", q) d(i(q"). Норма (4.35) совпадает со стандартной нормой в пространстве L2(G/H^,n), и отображение W( (4.29) является изометрическим вложением гильбертова пространства Е„ в L2(G/H{, fi). Равенство (4.34) принимает вид j Fa(q)dn(q) = l (4.36) и может интерпретироваться как разложение единицы. В дальнейшем, если специально не оговорено, под когерентными состояниями будут пониматься обобщенные или ковариантные когерентные состояния, а также элементы воспроизводящих систем (см. ниже Замечание 4.4.1). Приведенная выше конструкция когерентных состояний зависит, очевидно, от выбора сечения а расслоения (4.23). Однако эта зависимость не очень существенна. Действительно, всякие два сечения а и а' расслоения G —> G/H^ связаны между собой соотношением a(q) = a'(q)h(q), h(q) G Щ. Поэтому, если /z-измеримое сечение а этого расслоения удовлетворяет условию допустимости (4.27), то тому же самому условию удовлетворяет и всякое другое его /^-измеримое сечение а'. При этом соответствующие системы когерентных состояний Sa и Sa> находятся во взаимно однозначном соответствии Тогда (4.33) можно предста- (4.34) U9) = <r\q)4q)Z = е'-Ю&ч,,.
§ 4. Квантование по Березину 97 Другой произвол в задании когерентных состояний связан с выбором вектора £ пространства представления Е„. Оказывается, что во многих случаях можно найти такой вектор £, что соответствующие когерентные состояния наиболее близки к классическим состояниям, т.е. в некотором смысле обладают минимальной неопределенностью. Пусть G — вещественная локально компактная группа Ли и 5е — комплексифи- кация ее алгебры Ли Q. Рассмотрим неприводимое унитарное представление ж группы G в гильбертовом пространстве Et и соответствующее представление алгебры Qc в пространстве Гординга Е^ С Е„. Выберем £ € Е^,. Обозначим 7^ С Qc стационарную подалгебру элемента £ в алгебре Qc, т.е. множество таких элементов Г G Qc, что Т£ = А£. Пусть Т$ — подалгебра 0е, комплексно сопряженная к 7^. Нетрудно видеть, что 7^ Л Q — Н( — стационарная подалгебра вектора £ в алгебре Ли Q и Подалгебра 7^ называется максимальной, если Способ построения когерентных состояний, наиболее близких к классическим состояниям, состоит в таком выборе вектора £, чтобы его стационарная подалгебра 7^ в Qc была максимальной [16]. Например, пусть G — компактная простая группа Ли. Н — ее картановская подгруппа, Н — соответствующая ей алгебра Ли и тгм — неприводимое унитарное представление G со старшим весом М. Заметим, что в случае компактной группы Ли G ее алгебра Ли Q реализуется ограниченными операторами в Е^. Пусть £ — некоторый элемент#„. Нетрудно видеть, что если его стационарная подалгебра 7^ максимальна, то dim 7^ = -(п + г), где п — размерность G кг — ее ранг. Таким элементом является вектор (,м со старшим весом М. Было показано, что это состояние, а также все построенные с его помощью когерентные состояния обладают наименьшей неопределенностью [39], а именно, £ = £м минимизирует величину дтг(с2) = (*(с2т) -дтп(-я(етт){мепт), где Сг — элемент Казимира (4.6). § 4. Квантование по Березину В квантовой механике существуют разные точки зрения на процедуру квантования. В частности, распространено мнение, что классическая система содержит достаточно информации о квантовой системе, пределом которой при h —► О она является, и что квантование — это переход [классическая механика] => [квантовая механика] при выполнении принципа соответствия [классическая механика] = lim [квантовая механика]. Одним из способов такого квантования является квантование по Березину [I, 16, 26, 28]. 4 Зм. 491
98 Глава 4. Квантовомеханические системы Пусть Z — конечномерное симплектическое многообразие и O0(Z) — пространство гладких функций на Z, наделенное структурой алгебры Пуассона sf{Z) относительно скобок Пуассона (/, /') - {/, /'}, /, /' € 0\Z\ (4.37) которые в локальных канонических координатах q\pi имеют вид {/, /'} = дЧд'г - difd'f. Алгебра Пуассона sf(Z) описывает классическую стационарную механическую систему [20]. Идея квантования такой системы сводится к тому, чтобы всякой функции / € s/(Z) сопоставить эрмитов оператор / в некотором гильбертовом пространстве Е так, что выполняется условие Дирака [/, Т\ = -iHfTf'}, (4-38) гДе [/i Т\ — коммутатор операторов / и /'. Укажем возможный путь решения этой задачи. Пусть Е — гильбертово пространство, наделенное системой векторов £г, параметризуемых точками симплектического многообразия Z и таких, что соответствующие проекционные операторы Рг порождают разложение единицы J Fz dudz) = J(tz\tz)Pz dnL(z) = 1, (4.39) FzV=(v\£z)tz, VrjCE, относительно меры Лиувилля на Z, которая в локальных канонических координатах имеет вид 1 m dfii = jr-z^ П dPi А d4\ 2m = dim Я. (4.40) U?u i=l Тогда всякой функции / из s/(Z) можно поставить в соответствие эрмитов оператор / = j f(z)Fz dfiL(z) (4.41) в гильбертовом пространстве Е. Если функция / положительна, то этот оператор положителен. Замечание 4.4.1. Разложение единицы (4.39) существует не всегда [26, 47]. В общем случае рассматривается сепарабельное гильбертово пространство Е и ограниченный положительный оператор а в Е, который допускает интегральное разложение а = Fz dn(z) относительно меры ц на некотором пространстве Z, где Ft — компактные операторы в Е. Можно интерпретировать F(z) = Ft как интегрируемую операторозначную функцию на Z. Оператор о может не быть обратимым, т.е. область определения D(a~l) оператора о-1 неоплатна в Е. Если оператор о обратим (но не обязательно ограничен,
§4. Квантование по Березину 99 т.е. D(a~ ) плотна в Е), тройка (H,F(z),a) называется воспроизводящей. Если оператор а-1 ограничен, а операторы Fz для всех г£2 имеют один и тот же конечный ранг п (т.е. отображают Е в n-мерные подпространства), то имеется система векторов ('z в Е, параметризуемых точками пространства Z и индексами г = 1,..., га, которая порождает разложение единицы (4.39). Она именуется воспроизводящей системой, а векторы £ — когерентными состояниями. Действительно, для каждого z £ Z рассмотрим га-мерное подпространство Ez С Е — ортогональное дополнение KerFz. В нем может быть задан базис {v'(z)}, ортонормаль- ный относительно скалярного произведения (v\z)\v>(z))z = {Flvi(z)\vi(z))E = 6ij. Определим С = a-,/2Fzv\z), Vz£Z, t=l,...,n. (4.42) Тогда имеет место разложение единицы / Fz dtfz) = 1, FzV dM ^(7/ld) d- (4.43) В частности, каждой непрерывной функции / на Z может быть сопоставлен эрмитов оператор / = J f(z)Fz dfi(z) (4.44) в гильбертовом пространстве Е. □ Перейдем теперь к точной формулировке квантования по Березину. Квантованием алгебры Пуассона s/(Z) по Березину называется инволютивная алгебра А, удовлетворяющая следующим условиям. 1. Существует семейство инволютивных алгебр A/t таких, что: (a) h пробегает некоторое подмножество N С М+ положительных чисел, имеющее предельную точку 0, но 0 £ N; (b) АСШ Ah. h 2. Существует гомоморфизм Ф : А —* s/(Z) со следующими свойствами: (а) для любых двух точек z, z' £ Z найдется разделяющая их функция /, принадлежащая Ф(А), т.е. f(z) ф f(z'); (б) для любых двух элементов а, а' £ А ф([а,а']) = -^{ф(а),Ф(а')}; (в) Ф(а*) = Ща), Va 6 А. Условия (2а) и (26) выражают принцип соответствия, а параметр h играет роль постоянной Планка. Говорят, что квантование удовлетворяет слабому принципу соответствия, если гомоморфизм Ф определен не на всей алгебре А, а на некотором ее векторном подпространстве А'. Квантование называется специальным, если выполняются следующие дополнительные условия. 4»
100 Глава 4. Квантовомеханические системы 3. Для каждого Л алгебра А^ состоит из функций ^->С. 4. Алгебра А состоит из функций N х Z —» С так, что их ограничения на {Л} х Z принадлежат .4/, для всякого фиксированного Л. 5. Гомоморфизм Ф : А —> s/(Z) дается формулой Ф(о)(2) = lim о(Л, z). Л—* о Квантование по Березину оказывается наиболее эффективным, когда Z — кэлерово многообразие. Чтобы описать такое квантование, введем предварительно следующую конструкцию. Пусть Z — 2т-мерное симплектическое многообразие, наделенное мерой Лиувил- ля ц\_ (4.40), и дана воспроизводящая система {£2} векторов гильбертова пространства Е, параметризуемая элементами Z и задающая разложение единицы (4.39). Всякому оператору а в гильбертовом пространстве Е, область определения которого содержит все векторы £г, сопоставим комплексную функцию a(z) = Tr[P2a] = ^jp (4.45) на Z, где Pz — проекционный оператор на вектор £г. Она называется символом оператора а и может быть расширена аналитически до функции а(х, у) = ./ (4.46) на Z х Z. Пусть W : Я -» L2(Z, pL), (4.47) (Wi7)(«) = (vlizh (4.48) — изометрическое вложение. Тогда можно записать (W(ar,))(z) = J а(х, z)^|ff(i|) d/i(aO, (4.49) где введена новая мера dp,(x) = ||6t||2d/iL(aO- Отсюда видно, что оператор а по функции (4.46) восстанавливается однозначно. В ряде случаев ограниченные операторы а восстанавливаются однозначно по своим символам (4.45), которые образуют алгебру относительно следующей операции произведения. Пусть с = аЬ и а, Ь, с — символы соответственно операторов а, Ъ и с. Тогда <&1&> ,2 c(z) = (а о b)(z) = J а(х, z)b(z, х) ц^рц'^ ц2 <М*>- (4-50> Комплексная функция a(z) на Z называется контравариантным символом оператора о, если о = W'\a) = J a(z)Pz dp,(z)
§ 4. Квантование по Березину 101 (см. (4.31)). Символ и контравариантный символ оператора А связаны соотношением |2 ~Ф)=1~а(х)ШЬамх)- Ш\2Ш\ Предположим теперь, что Z — (конечномерное) кэлерово многообразие (см. § 1.7 и [13, 22J). Это означает, что Z — комплексное многообразие, наделенное эрмитовой метрикой д = gjkdzJ ® dzk, j,k=l,...,m, (4.51) такой, что соответствующая фундаментальная форма (1.21) ш = -gikdz3 A dzk (4.52) г является замкнутой. Форма (4.52) вещественна и наделяете структурой 2?п-мерного вещественного симплектического многообразия. Соответствующие скобки Пуассона для функций / и д на Z в комплексных координатах даются выражением Предположим, что кэлсрова метрика д выражается через потенциал д2Т 9jk ~ Wdz11 и что существует аналитическое продолжение T{z3 ,хк) потенциала T(z\zk) на некоторую окрестность диагонали в Z х Z. Рассмотрим гильбертово пространство L2(Z, (i/,) квадратично интегрируемых комплексных функций на Z относительно меры dHh(z) - \ - ) ехр г 2тг —Г-Н*,*) h det \\gik\\ П dz* A dz\ (4.54) наделенное скалярным произведением U\9)h = Ф) J f(z, z)g(z, z) dith(z, z), (4.55) где c(h) — нормировочная константа. Можно показать, что подмножество Hh голоморфных функций в L2(Z, fih) является замкнутым гильбертовым подпространством. Более того, оно допускает воспроизводящее ядро 00 Kh(z, я) = £ /*(2)Л(в), z, х е Z, (4.56) где {/*}, к = 1,..., — ортонормальный базис в Hh такой, что оо £ НЛ<*>112 < °° vzez.
102 Глава 4. Квантовомеханические системы Тогда множество когерентных состояний <$л = {бг : b = Kh(z,x), xez) (4.57) является переполненным и образует разбиение единицы в Н/, относительно меры /1д. Мы ограничимся весьма распространенным в физических приложениях случаем, когда потенциал Т является логарифмом воспроизводящего ядра Kh. А именно, предположим, что существует такое подмножество N С R+, имеющее своей предельной точкой 0 (см. условие квантования (1а)) и такое, что Kh(z, z) = Аехр т'М (4.58) для каждого h G N (A=const). Выберем нормировочную константу c(ft) = J Kh(x,x) так, чтобы А = 1. Обозначим Ah алгебру символов ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Я),, определенных относительно воспроизводящей системы (4.57) и снабженных произведением (4.50). Рассмотрим подмножество А' из © Ah, состоящее из функций вида a (h,z\zk) = a (0,z\zk) + Аа, (г-,^) + А_ а2 (z."j2*) ; , (4.59) 27Г ч ' 4nz ч ' где а, а\,а2 — функции на Z, имеющие аналитическое продолжение на Z х Z. Можно убедиться, что (а о S) (ft, z\ zk) = а (О, z\ zk) b (о, z\ zk) + o(ft) и (aob-boaj (ft, г"', г*) = -— {a,b} (о, z\ zk) + o(ft). Таким образом, А1 является специальным квантованием по Березину, удовлетворяющим слабому принципу соответствия. § 5. Геометрическое квантование Геометрическое квантование предлагает другой, отличный от (4.41), способ, как функциям / на симплектическом многообразии Z сопоставить операторы / в гильбертовом пространстве [23, 50, 63, 68]. Начнем с частного случая. Пусть М — m-мерное многообразие. Его кокасательное расслоение Т*М с голономными координатами (q\pi) является 2т-мерным симплек- тическим многообразием, наделенным канонической симплектической формой Q = dpi A dq' (см. [20]). Рассмотрим тривиальное расслоение (4.60) Т*М х С — Т*М. (4.61)
§ 5. Геометрическое квантование 103 На нем может быть задана линейная связность Г = dpj ® д3' + dq> ® (dj - iTripjCdc) , (4.62) где с — координата на С. Кривизна этой связности равна R = -2тг1сП. (4.63) Тогда всякой функции / из алгебры Пуассона sf(T*M) сопоставим следующий дифференциальный оператор на сечениях s расслоения (4.61): /(e) = (Vtf/ - 2тгг/) s = (д*Щ + 2-iripj) - djfd* - 2ттг/)з, (4.64) где V# — ковариантная производная, задаваемая связностью Г (4.62), вдоль гамильто- нова векторного поля 0f\Q=-df, 0/ = fffdi - difd\ ассоциированного с функцией /. Нетрудно убедиться, что fog-gof = {f^g} (4.65) для всех /, g € sf(T*M). Причем это свойство является прямым следствием выражения (4.63) для формы кривизны связности Г. Замечание 4.5.1. В этом параграфе при использовании стандартных геометрических объектов мы будем следовать условию Дирака (4.65). Чтобы получить условие Дирака (4.38) с физическими коэффициентами, надо выбрать связность (4.62) в виде Г = dpj ® д3' + dq1 ® [dj + ^Pjcdc), а оператор (4.64) задать формулой /(*) = -ift(v,, + £/)*. а Обобщим приведенную выше конструкцию. Пусть Z — симплектическое многообразие с симплектической формой О. Рассмотрим одномерное комплексное векторное расслоение ( : С —* Z, т. е. его типичным слоем является С. Это расслоение со структурной группой 1/(1). Оно называется комплексным линейным расслоением над Z и наделено послойными координатами (z11, с). Его подрасслоением с той же структурной группой является расслоение ( : Со —* Z с типичным слоем С0 = С \ {0}. Пусть T = dzl'<8>(dlt + Yltcdc) (4.66) — линейная связность Г на расслоениях С —* Z и Со —► Z. Она определяет ковариант- ный дифференциал Vs = VpSdz'' = (df,s - Tps) dz* на сечениях s этих расслоений.
104 Глава 4. Квантовомеханические системы На расслоении Со -* Z существует комплексная 1-форма а, которая для произвольного векторного поля и на Z и сечения s этого расслоения удовлетворяет соотношению Она имеет координатный вид Нетрудно убедиться, что Vus — 2ж1 [и]s*a) s a=h(j-v^] i da = -R, Ж1С (4.67) где R = -Rvpdz11 Л dz11, — форма кривизны связности Г. Из этого соотношения следует, что на симплектичес- ком многообразии Z существует комплексная 2-форма ш такая, что индуцированная ее 2-форма на С0 совпадает с da, т.е. da = < V (4.68) Она имеет координатный вид и> = -—dvT„dzv Adz11. 2тгг Эта форма замкнута, но не обязательно точна, поскольку T^dz11 не является в общем случае 1-формой на Z. Пусть д — послойная эрмитова метрика на расслоениях С и С0. Говорят, что она инвариантна относительно связности Г, если для любого векторного поля и на Z и произвольных сечений s, s' расслоения С выполняется соотношение ч\ d (5(я, я')) = д (У„я, я') + д (я, У„я') . Предложение 4.5.1. На расслоении С существует эрмитова метрика д, инвариантная относительно связности Г на С тогда и только тогда, когда форма 2iri(a - а) на Со является точной. Тогда метрика д определяется соотношением 27ri(a - а) = d Щд(с, с)). (4.69) Если связность Г на расслоении С удовлетворяет условиям Предложения 4.5.1, тогда форма (Г + Г)/с является точной и 2-форма ш (4.68) на Z вещественна: <*(w - 57) = d(a - a) = 0, т. е. это пресимплектическая форма.
§5. Геометрическое квантование 105 Предположим теперь, что на комплексном линейном расслоении С ~* Z над сим- плектическим многообразием Z существует связность Г, называемая допустимой, такая, что ш — И, т. е. ее форма кривизны R удовлетворяет соотношению (4.63). Согласно Предложению 4.5.1, в этом случае существует и Г-инвариантная эрмитова метрика на С. Например, для связности (4.62) такой эрмитовой метрикой является д(с, с) = се. (4.70) Теперь, как и в (4.64), сопоставим всякой функций / из алгебры Пуассона s/(Z) дифференциальный оператор На) = (V„; - 2vif) s (4.71) на сечениях s линейного расслоения С —> Z (формула Костанта—Сурьо). Тогда операторы (4.71) удовлетворяют соотношению (4.65) для всех f,g € s/(Z). Чтобы получить условие существования допустимой связности Г с формой кривизны (4.63), заметим, что форма Чженя сх такой связности дастся выражением г г R ci = r- F=- = П (4.72) 2тг 2ж с (см. [19]). Она является представителем целочисленного когомологического класса в группе когомологий де Рама H2(Z). Таким образом, необходимым (и достаточным) условием существования допустимой связности на расслоении С ■—» Z является то, что симплектическая форма П па Z должна иметь целочисленный когомологический класс де Рама (условие целочисленности симплектической формы). Например, каноническая симплектическая форма (4.60) на Т*М является точной, т.е. имеет нулевой когомологический класс де Рама. Определение 4.5.2. Комплексное линейное расслоение С —> Z над симплсктическим многообразием Z, форма Чженя с\ которого совпадает с симплектической формой О, Ha'Z, называется предкваншовымрасслоением. О Смысл этого названия состоит в том, что операторы / (4.7!) действуют в подпространстве гладких функций гильбертова пространства L~(Z,fii) комплексных функций на Z с интегрируемым квадратом относительно меры Лиувилля (4.40) на Z. Однако по ряду причин такое представление алгебры Пуассона s/(Z) оказывается не вполне удовлетворительным для квантования. Например, «квантование» (4.64) (локальных) функций f = Pj и / = q3 приводит соответственно к операторам pj = dj, qi--d3+2itiq\ последний из которых отличен от стандартного оператора канонической координаты. Поэтому процедура построения предквантового расслоения над симплектическим многообразием, именуемая предквантованием, — лишь первый этап геометрического квантования. Его второй этап состоит в следующем. Пусть Z — симплектическое многообразие с симплектической формой П. Поляризацией называется (максимальное) инволютивное распределение Т С TZ на Z такое, что П(#, v) = 0, W, v£Tz, zGZ,
106 Глава 4. Квантовомеханические системы а также алгебра его сечений Та. Интегральные многообразия этого распределения являются лагранжевыми. Обозначим s/r подалгебру алгебры Пуассона s/(Z), состоящую из функций / таких, что [0/, Та] С Та. Квантуют только элементы этой подалгебры. В частности, локальные функции / = pj и / = q\ вообще говоря, не принадлежат этой подалгебре. Пусть симплектическая форма П является целочисленной и С —► Z — соответствующее комплексное линейное расслоение, Г — допустимая связность ид — инвариантная послойная эрмитова метрика на С. Обозначим Т> комплексное линейное расслоение полуплотностей над Z, т. е. объектов с законом координатных преобразований Р = 1/2 det т р- Тогда формула предквантования (4.71) может быть следующим образом распространена на сечения s <8> р расслоения С ®Т> —> Z: /(я ® P) = (Vtf/ - 2тгг/) (я ® р) = (/я) ® р + я ® L^p, (4.73) Vtf/(s ® р) = (Vtf/s) ® р + s ® L^p, где — производная Ли. Нетрудно убедиться, что операторы (4.73) удовлетворяют условию Дирака (4.65). Обозначим Hz множество сечений q расслоения С®Т> —► Z таких, что V„g = 0, W е Тп. Приложение 4.5.3. Для каждой функции / G s/r и произвольного сечения q £ Hz выполняется соотношение fq € Hz- а Таким образом определено представление алгебры s/r в пространстве Hz- Определение 4.5.4. Квантованием функции / € s/r называется ограничение оператора /(4.73) на Н2- а Заметим, что пространство Hz не всегда существует (условие Бора—Зоммерфельда). Если симплектическое многообразие Z компактно (без границы), то эрмитова форма {s\ ®P\\s2®P2l = — J9(s\,s2)piP2 (4.74) z превращает его в предгильбертово пространство. Пополнение Hz по этой форме называется квантовым гильбертовым пространством Hz- При этом операторы / являются антиэрмитовыми, а будучи взятыми с физическими коэффициентами (см. Замечание 4.5.1), они эрмитовы. Изложенная нами процедура геометрического квантования, конечно, схематична и требует детализации. Необходимо учесть случай некомпактных многообразий Z, не все
§ 5. Геометрическое квантование 107 важные с оизической точки зрения операторы попадают в подалгебру si-т и квантуются таким образом и т.д. Мы отсылаем за подробностями к литературе [50, 63, 68], а сейчас остановимся на геометрическом квантовании на голоморфных многообразиях и на его связи с когерентными состояниями [26, 53, 54]. Пусть Z — то-мернос голоморфное многообразие иС-»2 — комплексное линейное расслоение с комплексными координатами (с, z\zJ). Это означает, что функции перехода между координатными картами на Z удовлетворяют условию dz'{ _ dzH _ Предположим, что на С существует линейная связность Г = dzi ® (д{ + Ticdc) + dz{ ® (д{ - Ticdc) с невырожденной 2-формой кривизны R = -27ггсП, где Г2 — замкнутая невырожденная вещественная 2-форма на Z. Тогда многообразие Z наделено симплектической структурой с симплектической формой £1 и Г-инвариантной послойной эрмитовой метрикой д. В локальных комплексных канонических координатах (zJ,zJ) симплектическая форма (I имеет вид П - 2г J2 dzj Л dzj, з а эрмитова метрика д дается выражением (4.70). Поэтому приведенная ниже конструкция геометрического квантования на комплексном многообразии Z выглядит аналогично геометрическому квантованию на вещественном симплектическом многообразии Z, если комплексные и вещественные канонические координаты связать локальными соотношениями т? = 2 (Pj + V), zJ = -(pj - iq}). На голоморфном многообразии Z существует каноническая поляризация Т = {v G Tz : Jv = -iv}, сечениями которой # € %i являются комплексные векторные поля вида ■& = v'di. Напомним обозначения 9 -н д Oi — г, О; = г, * dz1' ' dz" d = d + d, d = dz{di, d = dz%. Рассмотрим, как и ранее, подалгебру sfT алгебры Пуассона sf(Z), состоящую из комплексных функций / на Z таких, что [*/,Тц]СТа,
108 Глава 4. Квантовомеханические системы где ■Of — гамильтоново векторное поле, ассоциированное с /. В локальных канонических координатах это векторное поле имеет вид Отсюда легко установить, что, например, все голоморфные функции на Z принадлежат sfr- Построим пространство, в котором действуют операторы /, сопоставляемые функциям / € sfr. Для этого возьмем сечения s расслоения С —> Z такие, что V„s = 0, tf € Та, т.е. (9,- + r,)s = 0, и голоморфные сечения Р = P\...mdzi Л ... Л dzm расслоения Т*(т,0) —► Z. Рассмотрим соответствующие сечения q= s® р = sp\.„mdzx Л ... Л dzm (4.75) расслоения С®Т*(т'0) —> Z. Теперь всякой функции / € sfr сопоставим оператор /(s®p)= (Vtf/ - 2тгг/) (s)®p+s®Ltf,p. (4.76) В локальных комплексных канонических координатах (г3,т?) этот оператор имеет вид /(в®р)= (-^535*/(в*в-Г*в)-2«/в) ®p + s® (-^Е^(мя) • Операторы (4.76) удовлетворяют условию Дирака (4.65). Если Z — компактное пространство без границы, то сечения q (4.75) образуют предгильбертово пространство Hz относительно скалярного произведения (4.74), а операторы / (4.76), / 6 sfr, действуют в нем (т. е. fHz С Hz) и являются антиэрмитовыми. Если пространство Z не компактно, то в качестве Hz выбирается предгильбертово пространство сечений q (4.75) таких, что выражение (4.74) конечно. Операторы (4.76) в таком пространстве в общем случае не являются ограниченными и симметрическими. Следующая конструкция предлагает своего рода стандартный способ геометрического квантования на голоморфном многообразии Z, когда задано вложение Z в некоторое гильбертово пространство Е. Пусть Z — голоморфное многообразие, наделенное симплектической формой П, иС-»2 — комплексное линейное расслоение над Z. Обозначим Ez гильбертово пространство — пополнение пространства сечений q расслоения С<8>Т*<т'0) —> Z таких, что выражение (4.74) конечно. Пусть задан атлас расслоения С<8>Т*(т'0) ->2с областями тривиализации Ut и базисами st® dz] А ... Л dz™ слоев этого расслоения, где г* — локальные комплексные канонические координаты и st — голоморфные базисы расслоения С —» Z такие, что atst = 1. Предположим дополнительно, что для любых точек z\,z2€ Z существуют сечения qu q2 & Ez'. qj(z1) = qjt(z)st<8>dz\ A...Adz?, zx£Ut, j = 1,2, qj(z2) = qJK{z')sK ®dz2l Л...Л dzf, z2 e UK,
§ 5. Геометрическое квантование 109 такие, что V q2i(z\) qinizi) у v ' Это условие не зависит от выбора атласа расслоения. Теорема 4.5.5. Существует функционал KL(x, z) = Км{х, z)sK ® dxx Л ... Л dxm (4.78) такой, что qM = {q(.)\Kt(; z)) = — J ?(хЖ,(х, г). D Функционал (4.78) обладает свойствами воспроизводящего ядра: • Ku(z, z) > 0; • Кы(х, z) = KlK(z, х); • ЛГк,(я:,г)=(лГ1(.)2)1^к(.,я:)). Он определяет отображение JC:ZjUt3z^Kl(.,z)eEz. (4.79) При этом в силу предположения (4.77) Kt(., z) Ф \КК(., z'), А € С, ни для каких z, z' G Z. Таким образом, отображение (4.79) — это также вложение Z в проективное гильбертово пространство PEz (которое является вложением многообразия, если К, имеет максимальный ранг). Обозначим 6 = /C(z) = A',(.,z)€£*. (4.80) Нетрудно убедиться, используя свойства воспроизводящего ядра (4.78), что векторы £г, z £ Z, образуют воспроизводящую систему, которая задает разложение единицы в гильбертовом пространстве Ez относительно меры Лиувилля на Z, т.е. векторы (4.80) могут рассматриваться как когерентные состояния. Интерес к проективным гильбертовым пространствам (см. § 1.7) в схеме геометрического квантования вызван тем, что над таким пространством существует каноническое линейное расслоение и соответственно имеет место стандартная процедура предкван- тования. Опишем эту конструкцию. Пусть ради простоты Е — сепарабельное гильбертово пространство и РЕ — соответствующее проективное гильбертово пространство. Рассмотрим расслоение C = {(z,z)£ExPE : zez) (4.81) с соответствующими проекциями £ : С —► РЕ и тг: С —► Е. Оно называется универсальным линейным расслоением. Его подрасслоением Со с типичным слоем С \ {0} является расслоение Со = Е \ {0} -» РЕ, 7Г: z -» z.
110 Глава 4. Квантовомеханические системы Фиксируем карту (Щ, iph) (1.33) проективного гильбертова пространства РЕ. Ее образом в Е является подпространство Е/, (1.34). Зададим в этой карте следующую систему координат. Выберем в Е ортонормальный базис {Л, ед,.}, к — 1,..., dim Е — 1. Тогда {е*} составляет ортонормальный базис подпространства 2£Л, а координаты z\ относительно этого базиса образуют координаты в карте (Uh, iph) проективного гильбертова пространства. Проективное гильбертово пространство РЕ наделено метрикой Фубини—Штуди (1.36) и соответствующей фундаментальной формой ш (1.37), которая имеет координатный вид "~ ;5МйР-<ШЙ¥)' MJ = pv. (4.82, На универсальном линейном расслоении (4.81) существует связность Г = dz> ® \dj + brj^^cdcj +<&® \dj - toj-^cdcj , (4.83) которая оставляет инвариантной послойную метрику (4.70) на С и удовлетворяет условию R = — Ъкгси. Пусть теперь Z — некоторое голоморфное многообразие, и определено его вложение К. в проективное гильбертово пространство РЕ. Предположим, что индуцированная форма К*ш на Z является невырожденной, т.е. симплектической. Упомянутый выше стандартный способ геометрического квантования на голоморфных многообразиях состоит в том, чтобы рассмотреть индуцированное линейное расслоение К.*С над Z. На этом расслоении существует индуцированная связность /С*Г, форма кривизны которой равна — 2iricK.*uj, т.е. К*С является предквантовым расслоением над Z. § 6. Канонические коммутационные соотношения В подходе геометрического квантования, как было отмечено, возникают сложности с квантованием канонических координат и импульсов. Они в общем случае не принадлежат ни алгебре Пуассона sf(Z), ни ее квантуемой подалгебре s/T. Дело в том, что операторы канонических импульсов и координат являются неограниченными. Они описываются алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС) в схеме канонического квантования. Известна теорема, что представление этой алгебры в сепара- бельном гильбертовом пространстве возможно только неограниченными операторами или импульсов, или координат [25]. Существуют различные подходы к построению алгебр ККС и их представлений. Имея в виду теорию поля, мы не станем ограничиваться системами с конечным числом степеней свободы и рассмотрим общий случай алгебр ККС над ядерными пространствами [8] (к которым относятся и конечномерные пространства). Выбор ядерных, а не гильбертовых пространств обусловлен тем, что для построения представлений алгебр ККС нужны гауссовы меры, задание которых на бесконечномерных гильбертовых пространствах сталкивается с ограничениями (см. Пример А.4). В наиболее общем варианте алгебра ККС определяется над предгильбертовым пространством.
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 111 Пусть Q — вещественное ядерное пространство, наделенное невырожденной положительной эрмитовой формой {q\q'), q,q' € Q, непрерывной по каждому аргументу, которая превращает Q в предгильбертово пространство. Ядерное пространство Q, его пополнение Q по эрмитовой форме (.|.) и сопряженное к Q пространство Q' составляют оснащенное гильбертово пространство Q С Q С Q' (см. § 1.6). Определение 4.6.1. Алгеброй ККС (алгеброй Гейзенберга—Вейля) называется (бесконечномерная) алгебра Ли Q(Q), образованная элементами <p(q),n(q) (q G Q) и /, удовлетворяющими коммутационным соотношениям [0(g),/] = [ir(e),/]=O> (4.84а) И<7), Ф(Я)] = [*(?), *(д')] = О, (4.84Ь) [<№),*&)] =i(q\q')L (4.84с) D Коммутационные соотношения (4.84а)—(4.84с) называются каноническими коммутационными соотношениями в форме Гейзенберга. При этом операторы (p(q) и тг(д) линейны по q, т.е. <t>(\q + q) = \(j>(q) + (j>(q), n(Xq + q) - Xn(q) + n(q'), A G K. Поэтому, если задан ортонормальный базис {qk} предгильбертова пространства Q, ККС (4.84Ь)-(4.84с) принимают вид [4>(qj), ф(Як)] = [тг(<А *(q>j\ = 0, [ф(^), *(9*)] = 6>kl. (4.85) Группа ККС (группа Гейзенберга—Вейля) G(Q) с алгеброй Ли Q(Q) (4.84а)-(4.84с) состоит из всевозможных троек (qit q2, А), где qi, q2 G Q и A G С, |A| = I. Закон композиции этих троек имеет вид (9ь 92, A) (q\,q2,X') = (q\ +q'\,qi + Ь, cxp[i{q2, q\)]\X') . (4.86) Рассмотрим унитарные представления группы ККС G(Q) (4.86), когда ее абелева подгруппа (О, О, А) реализуется умножениями па комплексные числа А. Группа ККС G(Q) содержит еще две абелевы подгруппы G^ и Gr с элементами (q, 0,0) и (0, q, 0) соответственно. Обозначим соответствующие операторы T(q) = ехр [гф(д)\, P(q) = exp [мг(«)]. (4.87) Они удовлетворяют соотношениям T(q)T(q') = T(q + q), P(q)P(q) = P(q + q'), (4.88) T(q)P(q') = exp[-i{q\q')]P(q')T(q), которые называются каноническими коммутационными соотношениями в форме Вейля. Преимущество ККС в форме Вейля состоит в том, что, в отличие от ККС в форме
112 Глава 4. Квантовомеханические системы Гейзенберга, они реализуются ограниченными унитарными операторами на всем пространстве представления. Замечание 4.6.1. ККС в форме Вейля записывают также в следующем виде. Пусть Z — комплексное предгильбертово пространство с эрмитовой формой {.|.>. Его элементам z £ Z ставятся в соответствие операторы W(z), которые удовлетворяют соотношениям W(z)W(z') = exp -\m{z\z) W(z + z'). Их связь с ККС (4.88) устанавливается следующим образом. Пусть Z = Q®iQ, z = p + iq, p,q€Q. Положим (4.89) W(p + iq) = exp >!<?> T(p)P(q) = exp :(p\q) P(q)T(j>). (4.90) Тогда ККС (4.89) для W(p + iq) эквивалентны ККС (4.88) для Т(р), P(q). о Чтобы построить унитарные представления группы ККС G(Q), опишем сначала (сильно непрерывные) циклические унитарные представления абелевой подгруппы Ли вф, которая является группой трансляций в ядерном пространстве Q. Она называется ядерной группой. Как и в случае локально компактных групп (см. Предложение 3.5.4), такое представление группы G$ задается непрерывной комплексной функцией положительного типа Z{q) на Q, т. е. Z(0) = 1 и Y, Z(Ai - 4j)CiCj ^ 0 (4.91) »j для любого конечного набора элементов qu ..., qn £ Q и комплексных чисел с,. Назовем Z(q) производящей функцией. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких производящих функций Z(q), что функция t -> Z(tq) (4.92) на Ш является аналитической в точке t = 0 для всех q £ Q. Поскольку пространство Q ядерно, согласно теореме Бохнера (см. Приложение А.4) производящая функция является преобразованием Фурье Z{q) - J exp[z(g, и)] dp,(u) (4.93) некоторой положительной меры р. с полной массой 1 на топологически сопряженным к Q пространстве Q'. Соответствующее ей сильно непрерывное циклическое унитарное представление Т абелевой группы Ли йф реализуется в гильбертовом пространстве L2(Q', ц) комплексных квадратично /^-интегрируемых функций на Q' унитарными операторами T(q)p(u) = s4(u)p(u) = exp[i(q, и)]р(и). (4.94)
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 113 При этом функции sq(u) удовлетворяют услоцию Z(q)sq{u) ~ J sq(u + и) dfj,(u'). Тотализирующим вектором в представления (4.94) является класс функций, /j-эквива- лентных функции р(и) = 1, так что замыкание С$,в совпадает с L2(Q',fi) и согласно (4.93) Z{q) = (Tfo)*!*)^, где (.|.)^ обозначает эрмитову форму на пространстве L2(Q',(i). Представление (4.94), однако, не является топологически неприводимым. Например, пусть s(u) — функция на Q1, множество нулей которой не является /j-пренебрежимым. Тогда замыкание СфЭ является замкнутым С^-инвариантным подпространством L2{Q\ fi). Замечание 4.6.2. Заметим, что, в отличие от случая локально компактной группы, представление ядерной группы Gq, задаваемое функцией положительного типа, реализуется в пространстве квадратично интегрируемых функций не на Q, а на топологически сопряженным к Q пространстве Q'. Представление (4.94) строится следующим образом. Для всякого элемента q £ Q производящая функция Z(q) определяет непрерывную функцию Zq{q')uMZ{q'- q) на q' е Q. Рассмотрим конечные линейные комбинации v = Y^v'Zqn v е С, i для всех элементов д, € Q. Они образуют предгильбертово пространство Н относительно эрмитовой билинейной формы (v'\v) = Z(q{ -q^v'v'3. Эта форма является невырожденной и задает пополнение Н до гильбертова пространства Н, в котором группа G<$, действует по закону г(?) : Х>% ^ Х>Ч-?- »' i Существует изометрическое вложение U Э Zq(q') ^ s^q(u) € L2(Q', ц), продолжаемое на гильбертово пространство Н. □ Можно показать, что для разных производящих функций Z(q) и Z'(q) представления Г и Г' (4.94) эквивалентны тогда и только тогда, когда меры fj, и /л,' эквивалентны. Действительно, пусть dfi'(u) = /2(«) йц(и), (4.95)
114 Глава 4. Квантовомеханические системы где f(u) — положительная почти нигде не нулевая функция на Q' такая, что p(f2) = 1. Тогда отображение L2(Q', //) Э р(и) .-» f(u)p(u) е L\Q', р) (4.96) осуществляет изоморфизм представления Т' в представление Т так, что T'(q) = T(q) и Z\q) = <Г(д)/(и)|/(и))^. (4.97) В частности, всякий тотализирующий вектор / £ L2(Q', р) представления Т определяет эквивалентное представление ядерной группы G$ с мерой (4.95) и производящей функцией (4.97). Если вектор / t L~(Q', р) не является тотализирующим, то меры р! (4.95) и р не эквивалентны и представления ядерной группы G^ с производящими функциями Z\q) (4.97) и Z(q) не эквивалентны. При определенном условии на меру р в выражении (4.93), построенное представление группы G$ в L2(Q', fi) можно расширить до представления всей группы ККС (4.88). Обозначим uq элементы Q', задаваемые соотношением (Я',ия) = (я'\я), Vg'Gg. (4.98) Они образуют образ канонического вложения Q в Q', определяемого данной эрмитовой формой (.|.) на Q. В частности, uaq = auq, a£S. Пусть мера р в (4.93) квазиинвариантна относительно сдвигов на элементы из Q С Q', т.е. dp(u + uq) = a2(q,u)dp(u), (4.99) где a(q, и) — почти нигде не нулевая положительная квадратично /^-интегрируемая функция на Q' такая, что о(0, u)=I, a(q + q, и) = a{q, и) a{q , и + uq). (4.100) Свойство (4.99) называется трансляционной квазиинвариантностью. При этом следует иметь в виду, что на бесконечномерных векторных пространствах, как правило, не существует мер, инвариантных (мера Лебега) или квазиинвариантных относительно произвольных трансляций. Если мера р в преобразовании Фурье (4.93) трансляционно квазиинвариантна, тогда представление операторов P(q) в пространстве L2(Q', р.) можно определить в виде P(q)p(u) = a(q,u)p(u + uq) (4.101) (см. Замечание 3.5.2). Исходя из свойства (4.99), получаем унитарность таких операторов P(q): \\Р\\1 = / И«)|2 <*/*<«) = / \р(Ц + uq)f dfi(u + и,) = (4.Ю2) = J a2(q, и) \р(и + uq)\2 dp(u) = \\P(q)p\^ .
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 115 Таким образом, полученное нами представление (4.94), (4.101) группы ККС G(Q) в пространстве L2(Q', fi) является унитарным. Соответствующее представление алгебры ККС Q(Q) (4.84а)—(4.84с) в пространстве L2(Q',fi) дается (неограниченными) операторами 1=1, <Kq)p(v) = (q,u)p(u), (4.103) n(q)p(u) = -i(6q + r](q, u))p(u), где 6qp(u) = lim a~l yp(u + auq) - р(иц, a G R, n(q, u) = lim a-1 \a(aq, u) - ll. (4.104) С учетом (4.100) получим полезные соотношения 6д6д, = 6q,6q, 6q(t)(q', и)) = SfWq, и)). В частности, 6q = -6-q, 6q{q',u) = (q'\q), 77(0, щ) = о, 6qe = 0, Vu е q', \/q e q. Используя эти соотношения, легко убедиться, что операторы (4.103) удовлетворяют ККС (4.84а)—(4.84с). Из свойства унитарности (4.102) следуют правила сопряжения {q,u}* = {q,u), 6*q =-6q - 2T)(q, и), (4.105) так что операторы (4.103) являются симметрическими. Вводят также операторы рождения a+(q) и уничтожения a~(q): a±(q) = -^{<P(q)Ti*(q)} = ^[Щ Т Щ,и) + (q, и)]. (4.106) Они подчиняются правилам сопряжения (a±(g))* = aT(q) и коммутационным соотношениям [aT(q),a+(q'j\=(q\q')l, (4.107) ja+(g), a+(g')j = [a'(q), <Г(</)] = 0. Операторы (4.103) алгебры ККС определены на пространстве Е^, гладких функций из L (Q , ц), все производные которых содержатся в L2(Q'', ц), а операторы <p(q) — на
116 Глава 4. Квантовомеханические системы всем пространстве L2(Q', ц). В частности, если Q конечномерно, £?«, совпадает просто с множеством гладких функций из L2(Q', ц) и плотно в L2(Q', ц). На пространстве Еоо реализуется также представление универсальной обертывающей алгебры G(Q) алгебры Ли Q(Q), которая, как и в случае конечномерных групп Ли, может быть наделена структурой топологической инволютивной алгебры. Представление этой алгебры в пространстве £?„,, вообще говоря, приводимо. Поэтому рассмотрим его векторное подпространство Eg = G(Q)9 С Ь'оо, где в — тотализирующии вектор представления группы ККС в L2(Q', ц). Представление алгебры ККС в Eg алгебраически неприводи- мо, и, если в' — другой тотализирующии вектор из L2(Q', ц), ее представления в Eg и Eg' эквивалентны. Выберем для определенности в(и) = 1. Замечание 4.6.3. В пространстве представления Е\ алгебры ККС вводят также оператор полного числа частиц N, удовлетворяющий соотношениям [N, a+(q)} = a+(q), ^ aT(qj\ = -aT(q). (4.108) Этими соотношениями оператор N определяется не однозначно, а с точностью до скалярного оператора А1. В частности, пусть {qk} — ортонормальный базис (сепарабель- ного) предгильбертова пространства Q. Тогда, как нетрудно проверить, ЛГ = 5>+(9*)в"(9*) (4-109) к — оператор полного числа частиц. В любом другом ортонормальном базисе пространства Q он имеет тот же вид. В случае конечномерного пространства Q оператор N (4.109) является элементом универсальной обертывающей алгебры Q(Q) и хорошо определен. Если Q бесконечномерно, то оператор полного числа частиц может быть задан в пространстве представления Е\ алгебры ККС не всегда. Например, он определен всюду на Е\, если в Е\ существует какой-либо его собственный вектор £: N£ = Af, |А| < со. Пусть теперь р! (4.95) — другая, эквивалентная р, положительная мера на Q' с полной массой 1. Мера р! трансляционно квазиинвариантна: dp (и + uq) = f~2(u)a2(q, u)f2(u + uq) dp! (и). Тогда изоморфизм (4.96) соответствующих представлений Г и Г' ядерной подгруппы G$ группы ККС расширяется до изоморфизма представлений всей группы ККС: P'(q) = f~]P(q)f : p(v) ~ f~\v)a(q, «)/(« + uq)p{u + uq). Приведем теперь некоторые основные типы представлений ККС. На пространстве Q', сопряженном ядерному пространству Q, условию трансляционной квазиинвариантности (4.99) удовлетворяет гауссова мера р с преобразованием Фурье 1 Z(q) = ехр -2<«1«> (4.110)
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 117 и формой ковариации M(q) = (q\q) (см. Приложение А.4). В этом случае в выражении (4.99) находим 1 a (q, и) = Z(q) exp [-{q, и)] = ехр Легко убедиться, что функция а(<7, и) = ехр :(?1?)-(?.«) ■^{я\я)-^(Ч,и) (4.111) (4.112) (4.113) полученная из (4.112), удовлетворяет соотношениям (4.100). Рассмотрим на пространстве Q' гауссову меру цк с формой ковариации MK(q) = M(K-'q) = (K-lq\K-]q), (4.114) где К — ограниченный обратимый линейный оператор в гильбертовом пространстве Q — пополнении Q по эрмитовой форме <.|.). Форма (4.114) также является невырожденной положительной эрмитовой формой на Q, непрерывной по каждому аргументу. Аналогично гауссовой мере fi с формой ковариации M(q) (4.111), гауссова мера /% является квазиинвариаптной относительно сдвигов на векторы uf, q € Q, такие, что (q\uKq) = {K''q'\K-'q). Однако, поскольку uq — USqi s = кк\ гауссова мера цк квазиинвариантна и относительно трансляций на элементы uq (4.98). Тогда получаем dy,K(u + uq) = dfiK (и + u§q) = aK(q, и) d(iK(u), где о-к(я, и) = ехр --MK(Sq)-~{Sq,u) (4.115) Заметим, что оператор 5 эрмитов. В частности, при 5 = 1 выражение (4.115) сводится к выражению (4.113). Построим теперь представление алгебры К.К.С Q(Q), задаваемое производящей функцией 1 ZK = ехр Подставив (4,115) в (4.104), найдем -jMK{q) (4.116) V(<l,u) = --{Sq,u). (4.117)
118 Глава 4. Квантовомеханические системы Тогда операторы канонических координат и импульсов (4.103) принимают вид 0(9) =<?,«), (4.118а) 1 \ (4.118Ь) 7г(д) = -г [б,- ~{Sq,u) Соответственно операторы рождения и уничтожения (4.106) даются выражением а+(9)=7! ~69+2^Sq,v,) + ^u) ' (4.119a) a-(q)=-= 6q--(Sq,u) + (q,u) . (4.119b) Они действуют в пространстве L2(Q', цк) и являются симметрическими относительно эрмитовой формы (.|.)^А. на L2(Q', рк) (см. (4.105)). Исходя из свойств гауссовых интегралов (см. Приложение А.4), находим средние значения (a±(g)^|e)/j = 0. Пример 4.6.4. При К = л/2 • 1, когда производящая функция (4.116) имеет вид -АШ) (4.120) (4.121) (4.122) ZF(q) = ехр получаем фоковское представление (см. ниже) алгебры ККС: (p(q) = {q,u), Tr(q) = -i(6q- (q,u)), a+(q)=-j=[-6q + 2(q,u}}, a~(q) = ~-=6q. Оно характеризуется тем условием, что существует тотализирующий вектор в такой, что a~(q)e = 0, VgGQ. (4.123) В данном случае, когда операторы a~(g) даны выражением (4.119Ь), в(и) = 1. Другой эквивалентный характеристический признак фоковского представления состоит в том, что оператор полного числа частиц N в пространстве неприводимого представления алгебры ККС определен и имеет ограниченный снизу спектр. В фоковском представлении (4.122) минимальное собственное значение оператора полного числа частиц N (4.109) равно 0. Соответствующим собственным вектором является тотализирующий вектор в(и) = 1, т. е. N6(u) = 0. Если интерпретировать его как бесчастичное состояние, то согласно соотношениям (4.108) операторы a+(q), a~(q) — действительно операторы рождения и уничтожения, о В общем случае представления ККС с производящей функцией Zx(q) (4.116), как это следует из выражения (4.119Ь), равенство (4.123) для операторов a~(q) не выполняется. Критерием того, что такое представление эквивалентно фоковскому представлению
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 119 с производящей функцией Zp(q), может служить условие, что оператор полного числа частиц з i L 1 -6q,6q, + Sl{q\u)dq, + (4.124) + [6km--S{Sii{q\u){qm,u) - [6. 'u где {qk} — ортонормальный базис Q и Sj. = Sf, определен на E\ и его спектр ограничен снизу. Как можно показать, для этого необходимо, чтобы оператор 5 являлся суммой оператора 2 • 1 и ядерного оператора, т. е., в частности, 1 Тг II- -5 1 < со. В то же время согласно Примеру А.6 это условие является также достаточным для эквивалентности меры цк и меры /ip, приводящей к фоковскому представлению (4.121) алгебры ККС, т.е. для эквивалентности представления (4.118а)—(4.118Ь) фоковскому представлению. Пример 4.6.5. Представление алгебры ККС с производящей функцией с1Ф 1, Z(q) = exp j- — (q\q) не эквивалентно фоковскому. о Замечание 4.6.6. Переход (неизоморфный) к фоковскому представлению всегда возможен с помощью однородных преобразований Боголюбова 1 bV) = Ala+(qk) + Bla-(qk) = —(-^+2(^,11)), 1 7Г b-(qJ) = CJka+(qk) + D{a-(qK) = -^fy, (4.125a) (4.125b) с коэффициентами A[ = ^\ 36i - -S3 к j k d{ = \U + \s{], в1 = -с1 = Чб{-Ы Заметим, что операторы а* (4.119a)—(4.119b) и Ь* (4.125a)—(4.125b) записаны в разных гильбертовых пространствах функций на Q'. В частности, в отличие от а*, операторы Ь+ и Ъ~ являются взаимно сопряженными относительно эрмитовой формы (.1.)^. В общем случае однородные преобразования Боголюбова (4.125а)—(4.125b), где (4bL - 44.) f>km = о, (cikDL-ClDim)6km = 0, (AiD>m - Bid) 6кт = tf",
120 Глава 4. Квантовомеханические системы являются автоморфизмом алгебры ККС, но необязательно осуществляют изоморфизм представлений. Например, если представления ККС рассматриваются в одном и том же гильбертовом пространстве, то имеем условие A)=D% Щ = С% и представления являются эквивалентными, если ТгЛ2 = Л}Л*/<оо. (4.126) Замечание 4.6.7. Нефоковское представление (4.118а)—(4.118Ь) алгебры ККС (4.84а)-(4.84Ь) в гильбертовом пространстве L2{Q', fiK) является фоковским представлением фк(д) = Ф(ч) = {q,u}, irK(q) = тг(5-'д) = -i ^ - ~{д, «) J , tf* = 6s-,q, алгебры ККС {фк{я), пк(ч), I}, где [4>K(q),*K(q)]=i<K-lq\K-W)I- а Рассмотрим также представления ККС, определяемые гауссовыми мерами с ненулевым средним. Пусть ц — гауссова мера на Q' с преобразованием Фурье Z{q). Гауссовой мерой с ненулевым средним называется мера dfia = dfi(u - a), aEQ'. (4.127) Ее преобразование Фурье имеет вид Z<r(q) = exp[i(q,a)]Z(q). (4.128) Мера (4.127) трансляционно квазиинвариантна: йца(и + uq) = a2a{q, и) йца(и), a„{q, и) = a(q, и - а), ^(д, и) = т?(д, и - а). Например, мера ц?^ определяет Представление алгебры ККС операторами a+(q) = -j=(-8q + 2{q,u)-{q,cr)), a~(q) = -д(б, + {q, а)), (4.129) которые обладают ненулевыми средними (а±(Я)в\в) =T(q,o).
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 121 Переход к фоковскому представлению осуществляется неоднородными преобразованиями Боголюбова b±(q) = a*(q) ± <?> а). Однако эти преобразования являются изоморфизмом представлений, только если а — u,f G Q С Q'. В этом случае меры fiF и fiff(r эквивалентны, и изоморфизм представления (4.129) и фоковского представления осуществляется оператором р(и) >-> ехр[-(?', и)]р(и + Uf). Когда a g Q С Q', такой оператор нельзя определить. Теперь остановимся специально на системах с конечным числом степеней свободы, т.е., когда Q — Q' = R". В этом случае группа ККС является локально компактной. Согласно теореме фон Неймана (см. ниже), все неприводимые представления ККС такой системы эквивалентны фоковскому представлению. Однако представляют интерес различные формы этого представления. Пусть Q = Ш", наделено евклидовой билинейной формой (.|.), ортонормальным базисом {qk}, к = 1,..., п, дуальным базисом {^} и координатами (а;') относительно дуального базиса. Это ядерное пространство, и Q = Q = Q'. Поскольку все гауссовы меры на Q' = Ш" эквивалентны друг другу (а также эквивалентны мере Лебега d"x), рассмотрим представление группы ККС, определяемое производящей функцией Zp(q) (4.120). Оно реализуется в гильбертовом пространстве L2(M.",Hf), где d[if = 7г "' ехр «\2 -£<**) dnx. (4.130) Соответствующее представление алгебры ККС (4.85) выполняется операторами ф(4) = х\ Tr(qi)=-i(^--xi), (4.131) +,,-, \ ( в . л _. .-. 1 д a+^ = 72{-d*+2xt)> a~(qt)=V=2^> (4-'32) определенными на подпространстве Д» гладких функций из L2(Rn, /iF), которое плотно в L2(R",/j,f). Представление (4.132) называется представлением Шредингера. Оно неприводимо. Базисными векторами этого представления служат функции (m„...,mII)^(ND-,/22-|-|/2n(«V)r- 1 = (4-133) = (М!Г1/22Нт|/2П#т4(хА'), тк=0,\,..., \m\ = mi+... + mn, k=i где Hmj(xl) — многочлены Эрмита. Напомним рекурентные формулы для этих многочленов Нк+1(х) =(-~+ Ъв) Нк(х), £;#*(*) = 2кНк^(х).
122 Глава 4. Квантовомеханические системы В базисе (4.133) действие операторов (4.132) имеет вид a+(q')(mu...,mn) = J\m\+ l(m,,..., т,; + l,...,m„), (4.134а) <Г(д,)(т|,...,тп) = J\m\(mlt... ,т{ - 1,...,т„). (4.134Ь) Выполнение алгебры К КС операторами (4.134а)—(4.134Ь) называется представлением чисел заполнения. Именно его обычно называют фоковским представлением. Оно реализуется в тензорном произведении ® L2 (К, ц1) , d/*F(a;) = 7Г_1/2 ехр [-ж2] da;, которое плотно в L2(M", /xF). Замечание 4.6.8. Стандартное выражение для операторов К КС можно получить, если перейти от (4.131) к представлению ф{^) = ехр 7г(д') = ехр -\\*\ х ехр 6^ 7 - а; ехр = -г- (4.135) в пространстве -L2(R", d"a;) квадратично интегрируемых функций на М" относительно меры Лебега dnx. D Приведем теперь теорему фон Неймана. Теорема 4.6.2. Всякое представление группы ККС G(R") для системы с конечным числом степеней свободы эквивалентно прямой сумме конечной или бесконечной кардинальности dimH ее представлений Шредингера в пространстве Н ® L где Н — некоторое гильбертово пространство. D 2/топ м, В заключение рассмотрим представление ККС, записанных в форме (4.89) (см. Замечание 4.6.1). Для простоты ограничимся случаем одной степени свободы, когда Z = С. Легко убедиться, что соответствующая группа ККС W(z)W(z') = ехр осуществляется унитарными операторами W(z): р(у) >->■ ехр (ZZ — ZZ) W(z + z') zz г _ Р\У+^ (4.136) (4.137) в пространстве голоморфных функций р(у) на С, квадратично интегрируемых относительно меры Баргмана dp.(x) = — ехр \-yy]dy Л dy 2Ж
§ 6. Канонические коммутационные соотношения 123 на С. Соответствующая алгебра ККС реализуется в виде г W(z) = ехр ~(za+ + za-) a (z),a¥(z')\ ~zz, а =У, ду' Тотализирующим вектором этого представления является функция р(у) — 1. Другое представление ККС (4.136) можно получить, если использовать формулу (4.90), где операторы Т(р) = ехр[г'0(р)] = схр[1рф], P(q) = ехр|иг(д)] = ехр[г'д7г] выбраны в представлении (4.135) на пространстве 1?(Ш, dx) квадратично интегрируемых функций на Ш относительно меры Лебега dx: Ф = х, . д дх Получаем W(p + iq) : р(х) >-+ ехр -pq + ipx р(х + q). Соответственно операторы рождения и уничтожения имеют вид (4.138) + I ( 9 \ _ 1 ( д а = —j= — -—ha;), а = —^ -—Ух у/2 \ дх )' V2\dx (4.139) Представление (4.138) стандартно используется для задания системы когерентных состояний ККС [16]. Обозначим £о = т 1/4ехр el\R,dx), |&|=|. Всякому элементу z = р + iq € С сопоставим функцию & = Щг)& = 1г|/4ехр -pq+ipx- -(x + q) (4.140) Нетрудно проверить, что элементы £z нормированы и являются собственными векторами оператора уничтожения а~ (4.139): а 6 = ^z&- Покажем, что векторы £t (4.140) пространства представления L (Ш, dx) образуют систему (обобщенных) когерентных состояний согласно Определению 4.26.
124 Глава 4. Квантовомеханические системы Векторы £z параметризуются элементами пространства С, которое является фактором группы ККС GQBL) по абелевой подгруппе (О, О, А) умножений на комплексные числа А, |А| = 1. Это стационарная подгруппа Я^0 элемента £0 (см. (4.21)). Группа ККС действует на С как группа трансляций, оставляя инвариантной меру Лебега du = —dp A da 27Г на С. Векторам £г соответствует выбор сечения а(р + iq) = (р, q, 0) расслоения GQBL) —» С. Наконец, элементы £z образуют разложение единицы (4.33), а именно для произвольной функции т)(х) G L2(R, dx) получаем f(v(x)\Ux))Uy) dfi = 2тг3/2 / exp 1 2 i 2 ip(y -x)- -(x + q) - -(y + q) T)(x) dx dp dq = T)(y). В то же время элементы £z, z 6 С, не являются взаимно ортогональными и образуют переполненную систему. В заключение заметим, что, как и в случае локально компактной группы G, для группы ККС G(Q) можно построить С*-алгебру ККС, но не на базе пространства L\G), а из функций, обращающихся в нуль всюду, кроме конечных подмножеств пространства Q [25]. § 7. Протяженные системы Мы приведем здесь методы описания так называемых протяженных систем, когда всякой точке или открытому подмножеству некоторого пространства сопоставляется алгебра наблюдаемых. Стандартным примером таких систем являются квантовые решетки. Пусть А — С*-алгсбра и X — локально компактное топологическое пространство. Рассмотрим множество А(Х) функций о(ж) на X со значениями в А таких, что ||а(а:)||^ стремится к нулю на бесконечности на X (т.е. при стремлении к бесконечно удаленной точке в пространстве, компактифицирующим X). Множество А(Х) наделено структурой инволютивной алгебры относительно операций поточечного умножения, сложения и инволюции. Определим на А(Х) норму, положив для каждого a Е А{Х) ||o||*:rsup||o(a:)||. (4.141) хех Она превращает А(Х) в С*-алгебру, называемую алгеброй С*-функций. Замечание 4.7.1. Существует более общая конструкция непрерывных полей С*-алгебр подобно полям гильбертовых пространств из Определения 2.3.1, где: Y — просто топологическое пространство, в условии (в) требование /z-измеримости заменено на требование непрерывности, а условие (г) формулируется следующим образом:
§ 7. Протяженные системы 125 • пусть ф € П Еу — векторное поле; если для каждого у € Y и каждого е > О существует такое ф' € Г, что \\Ф(У) ~ Ф'(У)\\ ^ е в окрестности у, то ф € Г [10]. Эту конструкцию можно сформулировать в терминах расслоений на С*-алгебры, когда каждой точке х £ X соответствует некоторая С*-алгсбра Ах. Пусть X — топологическое пространство. Рассмотрим локально тривиальное расслоение на алгебры над X, типичным слоем которого является С*-алгебра А. Обозначим его П —* X. Рассмотрим семейство А(Х) ограниченных по норме непрерывных сечений а(х) расслоения П такое, что для всякого х € X семейство {а(х), а € А(Х)} является тотальным и инвариантным относительно умножения и инволюции подмножеством Ах. Оно составляет непрерывное локально тривиальное поле С'*-алгебр над пространством X и может быть наделено структурой инволютивной алгебры с нормой (4.141), которая, вообще говоря, не будет полной. Для ее полноты, в частности, необходимо, чтобы X было полным равномерным пространством. Таковыми и являются, например, локально компактные пространства [4]. Пусть X — такое пространство и, как и раньше, А(Х) — подмножество сечений П, стремящихся по норме к 0_на бесконечности. Тогда А(Х) с нормой (4.141) является С*-алгсброй. При этом, если X — компактификация X, то существует вложение А(Х) на главный двусторонний плотный идеал в А(Х) [10]. Алгебра А(Х) содержит единицу, если алгебра А имеет единицу и X компактно. Заметим также, что алгебра А содержится в А(Х) только тогда, когда X компактно и расслоение П —* X тривиально. Мы ограничимся случаем только тривиальных расслоений на С*-алгебры с типичным слоем А. Q Для каждого х £ X соответствие а *-> а(х) осуществляет морфизм С*-алгебры А(Х) на С*-алгебру А. Пусть ж — некоторое представление А. Тогда соответствие а н-> 7г(а(а;)) задаст некоторое представление р(ж, х) алгебры А(Х). Если ж — неприводимое представление алгебры А, то р(ж,х) — неприводимое представление алгебры А(Х). Причем для х Ф х' неприводимые представления p(ir, х) и р(тг,х') не эквивалентны, даже если 7Г — одно и то же представление А. Это обусловлено тем, что всегда существует непрерывная числовая функция / на X такая, что f(x) = 1 и f(x') = 0. Тогда все элементы алгебры А(Х) вида fa, ж(а)х Ф 0, принадлежат ядру представления ^(тг, х'), но не содержатся в ядре представления р(ж, х). Указанное свойство устанавливает взаимно однозначное соответствие, хотя и не гомеоморфизм, между спектром А(Х) алгебры С*-функций А(Х) и множеством X х А, где А — спектр алгебры А. В частности, когда А — элементарная С*-алгебра, т.е. ее спектр А состоит из одного элемента, тогда спектр А(Х) гомеоморфен пространству X. Таким образом, можно строить С*-алгебры А(Х) с наперед заданным спектром. Следующая теорема показывает, насколько конструкция С*-алгебр А(Х) является общей [101. Теорема 4.7.1. Если А — элементарная С*-алгсбра, то алгебра С*-функций А(Х) — ССД-алгебра, и обратно, всякая ССД-алгебра с отделимым спектром может быть представлена как алгебра, определяемая непрерывным (но не обязательно локально тривиальным) полем элементарных С*-алгебр. п Принимая во внимание биекцию А(Х) = X х А, представления алгебры С*-функ- ций А(Х) можно искать в пространствах прямых интегралов (2.5) представлений алгебры А.
126 Глава 4. Квантовомеханические системы Пусть (i — некоторая положительная мера с полной массой 1 на локально компактном пространстве X и / — некоторая положительная форма на С*-алгебре А. Тогда функция х I-* f(a(x)) является //-интегрируемой для всякого элемента a £ А(Х), а интеграл f(a) = ff(a(x))dp(x), аеА(Х), задает положительную форму на А{Х) и представление р(д, /) алгебры А(Х) в гильбертовом интеграле E = fEfdfi(x), если пространство Ej представления алгебры А, определяемого формой /, сепарабель- но. В частности, если у, = ех — мера Дирака, то представление р(ех, /) — это представление рЫ/, х), где 7Г/ — представление алгебры А, определяемое формой /. Например, когда А — элементарная сепарабельная С*-алгебра и топологическое пространство X сепарабельно, тогда алгебра А(Х) сепарабельная и всякое ее представление в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть получено как гильбертова сумма (2.6) представлений p(fii, f) для некоторых мер д,-, г = 1,..., со на X. Замечание 4.7.2. Алгебры С*-функций могут описывать, помимо протяженных систем, также снятие вырождения в квантовой системе. Пусть, например, фх, х Е X, — некоторое множество состояний на С*-алгебре А, связанных с одним и тем же ее неприводимым представлением 7Г, т. е. А" — это подмножество проективного гильбертова пространства РЕЖ (см. §2.7). Предположим, что X наделено той или иной локально компактной топологией. Это всегда может быть дискретная топология или индуцированная топология, если, например, X С РЕЖ — орбита некоторой локально компактной группы унитарных операторов в Еж. Рассмотрим С*-алгебру А(Х). Тогда состояния фх на А — это также состояния на А(Х) такие, что фх и фх<фХ отвечают неэквивалентным неприводимым представлениям алгебры А(Х), которая тем самым снимает вырождение по состояниям фх, х 6 X. □ Алгебры С*-функций являются частным случаем так называемых квазилокальных алгебр, описывающих протяженные системы [3, 25]. Пусть X — локально компактное счетное в бесконечности топологическое пространство, и всякому его открытому относительно компактному подмножеству U С X сопоставлена С*-алгебра Аи с единицей, называемая локальной С*-алгеброй. Множество всех таких подмножеств U является сетью относительно включения. Предположим, что выполняется так называемое условие изотонности, т.е. для всякой пары ({7,- с Uj) существует вложение Tij : AVi -» AVj такое, что ry(lj) = \j и г^ о rki = rkj для всех Uk С U{ С Uj. Определение 4.7.2. Квазилокальная алгебра Ах определяется как индуктивный предел Ax={Jru(Au) (4.142) и семейства С*-алгебр {Аи}. Таким пределом называется С*-алгебра Ах и семейство вложений {ги : Av —* Ах} такие, что rUt = гУу огу для всех пар Щ С Uj открытых локально компактных подмножеств X. Индуктивный предел (4.142) существует и является С*-алгеброй с единицей. □
§7. Протяженные системы 127 Пример 4.7.3. Рассмотрим описанную выше алгебру С*-функций А(Х) на локально компактном пространстве X. Сопоставим всякому открытому относительно компактному подмножеству U С X алгебру A(U), получаемую присоединением единицы (т.е. характеристической функции множества U) к подалгебре A(U) С*-алгебры А(Х), состоящей из всех С*-функций, носитель которых содержится в U. Для всякой пары Ut С Uj существует естественное вложение A{Ui) —> A{Uj), которое расширяется до вложения A{Ui) —> A(Uj) отображением 1,- —> tj. Индуктивным пределом этих алгебр является алгебра А(Х), получаемая из А(Х) присоединением единицы. □ Для квазилокальных алгебр часто требуется выполнение условия локальной коммутативности. Оно состоит в следующем. Пусть 17; П Uj = 0, тогда любые элементы a, G ги-(А^) и a.j G Tu^Au) коммутируют между собой. В приведенном выше примере алгебр С*-функций это условие выполняется автоматически, поскольку поточечное умножение С*-функций, имеющих непересекающиеся носители, равно нулю. Остановимся на важном примере квазилокальных алгебр, описывающих квантовые распределения, частным случаем которых являются квантовые решетки (т.е. счетные квантовые распределения). Пусть Q — некоторое множество, наделенное дискретной топологией, и пусть каждому элементу q G Q сопоставлена С*-алгебра Aq с единицей. Открытые относительно компактные подмножества Q — это всевозможные конечные наборы элементов из Q. Всякому такому поджмножеству U сопоставим следующим образом С*-алгебру Ау. Построим инволютивную алгебру (8М, (4.143) и снабдим се нормой как операторную алгебру, действующую в тензорном произведении гильбертовых пространств qeu где Нд — пространство точного представления С*-алгебры Aq. При этом II ®,<gi = niNi- Алгебра Av — пополнение алгебры (4.143) по этой норме — является С*-алгеброй. Она называется тензорным произведением С*-алгебр. Сохраним за ней обозначение (4.143). Пусть теперь 17, С Uj. Введем отображение \qtUi I \яЩ ) \9щ\и( ) продолжив его по непрерывности до вложения Аи{ —> Ацг Тогда семейство {.4^} имеет индуктивный предел Aq, который обозначим Ад = ®А,. (4.144)
128 Глава 4. Квантовомеханические системы Представления квазилокальной алгебры Aq могут быть реализованы в бесконечном тензорном произведении гильбертовых пространств Еч представлений С*-алгебр Aq. Обобщая конструкцию конечного тензорного произведения гильбертовых пространств (§ 1.4), оно определяется следующим образом. Обозначим Е векторное пространство, получаемое при факторизации векторного пространства всех формальных линейных комбинаций семейств {xq}, xq 6 Eq, q 6 Q, по векторному подпространству, порожденному элементами вида: • ixq} + iVq) ~ izq}i гДе xi + У> — zi Для какого-либо одного значения г индекса q из Q и xq = yq = zq при всех q Ф г; • {xq} - \{yq}, где Xi = \yt для какого-либо одного значения г индекса q из Q и xq = yq при всех q Ф i. Для некоторого фиксированного семейства {vq : vq 6 Eq, q 6 Q, \vq\ = 1} обозначим <g>X (4-145) q£Q подпространство в E, полученное конечными линейными комбинациями всех элементов вида {xq, q е Q, где xq — vq для всех элементов q G Q, кроме конечного числа}. Снабдим пространство (4.145) скалярным произведением (®Xq\®yq) = H(xq\yq)E4, ч ч q которое превращает его в предгильбертово пространство. Пополнение Е° этого пространства называется неполным тензорным произведением гильбертовых пространств Eq относительно задающего семейства {vq}; сохраним за ним обозначение (4.145). Пусть на каждой алгебре Aq задано состояние фч, определяющее представление irq алгебры Aq в гильбертовом пространстве Eq с нормированным на 1 тотализирующим вектором 6q. Образуем неполное тензорное произведение гильбертовых пространств Ee = (g)eEq (4.146) q£Q относительно семейства {9q, q G Q}. Для каждого семейства {aq : aq 6 Aq, aq = 1, для всех q € Q, кроме конечного числа} и для каждого семейства {xq : xq 6 Eq, xq = 9q для всех q£Q, кроме конечного числа} образуем отображение 7г(® а?)(® xq) = ® Trq(aq)xq, которое допускает расширение до представления квазилокальной алгебры An = ® А„ я в Ев (4.146) с тотализирующим вектором в = ® в„. Обозначим его ч 7r« = (g)^. (4.147)
§ 8. Канонические антикоммутационные соотношения 129 Представление 7Г и тотализирующий вектор в задают состояние ф на алгебре Aq такое, что Ф(®ад) = Цфд(ад) (4.148) 4 я для любого семейства {aq : aq 6 Aq, aq = lq для всех q 6 Q, кроме конечного числа}. Причем состояние ф (4.148) является чистым тогда и только тогда, когда все состояния фд чистые. Построенное представление тгв квазилокальной алгебры Aq зависит, очевидно, от выбора задающего семейства элементов {вя, q 6 Q}. Встает вопрос — как связаны между собой такие представления для различных задающих семейств {вд}. Справедливо следующее утверждение [25]. Предложение 4.7.3.- Пусть {7г?,д 6 Q} — одно и то же семейство неприводимых представлений С*-алгебр Ад в пространствах Ед, и пусть {0д, q £ Q} и {ед, q G Q} — два задающих семейства тотализирующих векторов для этих представлений. Представления 7Г9 и 7ге эквивалентны тогда и только тогда, когда £||<e,|0,)|-l|<oo. ?€<? D Отсюда, в частности, следует, что представления квазилокальной алгебры Aq в гильбертовых пространствах Ев и Ее, ассоциированных с задающими семействами {вд, q G Q} и {ед, q G Q}, не эквивалентны, когда векторы вд и ед ортогональны в Ед для всех q G Q, кроме конечного числа. В следующем параграфе мы используем приведенную конструкцию квазилокальной алгебры Aq (4.144) для описания спиновой решетки. § 8. Канонические антикоммутационные соотношения Проблема канонических антикоммутационных соотношений (КАС) гораздо проще проблемы ККС [25, 33]. Они реализуются ограниченными операторами в гильбертовых пространствах. Более того, для систем с конечным числом степеней свободы пространства неприводимых представлений КАС конечномерны. Определение 4.8.1. Пусть Q — сепарабельное предгильбертово пространство с эрмитовой формой (.|.). Алгеброй KACsf(Q) называется С*-алгебра с единицей, порождаемая элементами a+(q), a~(q), q G Q, подчиняющимися операции инволюции (а*)* = ат и каноническим антикоммутационным соотношениям {КАС) [о"(9), oT(q')]+ = [a+(q), a+(q')]+ = О, [a-(q),a+(q')]+ = (q\q')t. (4.149) При этом элементы a~(q) линейны, a a+(q) антилинейны по q, т.е. a~(Xq + q) = Xa~(q) + a~(q), A e С, a+(\q + q') = Aa+(g) + a+(g'), и По*^)!! = Italic. □ <; T,,- 495
130 Глава 4. Квантовомеханические системы Замечание 4.8.1. Пусть {q } — ортонормальный базис предгильбертова пространства Q. Используя условие линейности и вводя обозначения af = а±(91), алгебру КАС можно однозначно задать соотношениями [<*Г, <*»]+ = [of, <*£]+ = 0, [of, aU+ = 6ikl. (4.150) D То, что алгебры КАС являются С*-алгебрами, позволяет применить к ним стандартную технику С*-алгебр и, в частности, конструкцию ГНС. Более того, можно убедиться, что всякая алгебра КАС является простой. Поэтому все ее представления точные. Если пространство Q конечномерно то, как и в случае алгебр ККС, все неприводимые представления алгебры КАС si(Q) эквивалентны ее фоковскому представлению (см. ниже Пример 4.8.2). Приведем следующую полезную реализацию КАС (4.150). Пусть М обозначает С*-алгебру комплексных 2 х 2-матриц, порождаемую матрицами Паули '■-(!J)- '={°<~Z)- '4i-°.) и единичной матрицей а0 = 1. Рассмотрим счетное тензорное произведение (4.144) экземпляров Мк, к € Z+, алгебры М: М{Ъ+)=®Мк. (4.151) fcez+ Существует каноническое вложение алгебры КАС s?(Q) (4.150) в С*-алгебру M(Z+) (4.151) такое, что ak-i (vk + ivk) , ак-\ (о* - iok) ■ Следующая теорема позволяет во многих случаях отождествлять алгебру КАС &t(Q) с образом этого вложения в M(Z+). Теорема 4.8.2. Для любого представления 7г С*-алгебры М(Е+) определим представление 7г° алгебры КАС sf(Q) к к сужение я- на st(Q) С M(L+). Тогда: • 7г —► 7г° является биекцией множества всех представлений алгебры M(Z+) на множество всех представлений алгебры КАС s?(Q); • я- — циклическое (соотв. неприводимое) представление тогда и только тогда, когда представление я-0 — циклическое (соотв. неприводимое); • два представления т:\ и 7Г2 алгебры M(Z+) эквивалентны (соотв. квазиэквивалент- ны), только если соответствующие представления ж° и "к\ алгебры s/(Q) эквивалентны (соотв. квазиэквивалентны). ак 1 а» --а,... п
§9. Квантовые группы 131 Таким образом, можно строить представления алгебры КАС sf(Q) (4.150) как представления квазилокальной алгебры M(Z+) (4.151). Для этого заметим, что алгебра М(Ъ+) — это С*-алгебра одномерной спиновой решетки Z+, в каждом узле k £ Z+ которой находится частица спина 1/2, описываемая алгеброй наблюдаемых Мк- Всякое ее неприводимое представление типа ж* (4.147) характеризуется определенной задающей последовательностью (si,s2)...) чисел заполнения \sk\ < 1 — средних значений операторов <у\. Оно реализуется в гильбертовом пространстве Ев (4.146), порождаемом последовательностями чисел заполнения (s\,s'2,...), отличающихся от задающей последовательности (s\, s2, ■ ■ ■) не более, чем в конечном числе узлов решетки. Задающие последовательности чисел заполнения (sk) и (sk), отличающиеся друг от друга в бесконечном числе узлов решетки Z+, согласно Предложению 4.7.3 соответствуют неэквивалентным представлениям КАС, если ряд ? О ~ \ k°+s*)(i+~sk)+^° ~вкЮ - *к)}) (4л52) расходится. Пример 4.8.2. Неприводимое представление алгебры КАС с задающей последовательностью чисел заполнения (1, 1,...) (т.е. все спины ориентированы вверх), называется фоковским. Оно характеризуется тем, что о-(в)(1,1,...) = 0> VgGQ. Ясно, что в случае конечного числа степеней свободы все неприводимые представления алгебры КАС эквивалентны фоковскому представлению. □ Замечание 4.8.3. Отметим, что для описания спиновых решеток и, следовательно, представлений алгебр КАС может быть использован аппарат группоидов [59]. Пусть на всем множестве 5 последовательностей чисел заполнения s = (si,s2,...) спиновой решетки Z+ задано отношение эквивалентности R такое, что s ~ s', если эти последовательности отличаются только конечным числом членов. Тогда его график R С S х 5 является главным группоидом (см. Пример 3.6.2). □ § 9. Квантовые группы Мы ограничимся здесь основными алгебраическими понятиями из теории квантовых групп (см. [34, 35, 40, 65]), оставляя для следующего тома вопросы дифференциального исчисления и дифференциальной (некоммутативной) геометрии на квантовых группах [70]. Квантовые группы дают пример деформационного квантования, когда модифицируются коммутационные соотношения алгебр Ли, алгебр Пуассона и т.д. Квантовые группы и квантовые алгебры Ли являются частным случаем алгебр Хопфа. Поэтому начнем с определения абстрактной алгебры Хопфа. Пусть s/ — ассоциативная алгебра с единицей 1 над С (или R), операцию произведения в которой обозначим т(а ® 6) >-» ab, a,b € sf. 5»
132 Глава 4. Квантовомеханические системы Отметим, что тензорное произведение st ®st также является ассоциативной алгеброй с операциями (а®Ь)® (а ® Ъ') н-> (ad) ® (ЪЪ1), Х(а ® Ъ) = (Ха) ®b = a® (Xb), a, be st. Коалгеброй называется векторное пространство st, наделенное линейными отображениями: • копроизведением А : st —+ st ® st; • и коединицей е : st —+ С, которые удовлетворяют соотношениям (Д <8> М)Д(л) = (Id ®Д)Д(а), (б ® 1с1)Д(а) = (Id ®£)Д(а) = а, а Е .<:/. Вводят обозначения Ma) = Y1 а(\) ® аЬ)- Биалгеброй {st, т, А, е) именуется ассоциативная алгебра st с единицей, которая одновременно является коалгеброй, так что Д(1) = 1 ® 1, 6(1) =1. Определение 4.9.1. Алгебра Хопфа (st,m,A,e,S) — это биалгебра st, наделенная обратимым линейным отображением S : st —► .st, называемым антиобратным и таким, что т((5 ® И)Д(о)) = m((Id ®5)Д(о)) = б(о)1. Отсюда, в частности, следует, что антиобратное отображение S является антиморфиз- мом, т. е. S(ab) = S(b)S(a), a,best,n 5(1) = 1. □ Пусть st — инволютивная ассоциативная алгебра с операцией инволюции а >-► а*. Алгебра Хопфа (st, т, Д, е, S) называется инволютивной, если Д(а*) = Еа(Ь®а*2), е(а) = ё(а), (5(о*))* = 5_1(о). Алгебра Хопфа считается кокоммутативной, когда Д = Р о Д, где Р — операция перестановки а ® b i-> Ь ® а. Если (<р/, т, Д, 6, 5) — алгебра Хопфа, то (st,m,A' = PoA,e,S' = S''i) — тоже алгебра Хопфа.
§ 9. Квантовые группы 133 Алгебра Хопфа si называется квазитриангулярной, если задан обратимый элемент 72 G si ® si, представимый некоторой суммой 72 = г; ® г', который подчиняется соотношениям (Д ® И)(Я) = Я,зЯ2з, (4.153а) (id ®д)<тг) = 7г,27г2з, (4.15зь> (Р о А)(а) = ПА(а)П~1, a£sf, (4.153с) где 72-12 =f rk®rk® 1, dcf b 72,3 = rk ® 1 ® r, n2i = 1 ® rk ® r\ Элемент 72 называется универсальной R-матрицей алгебры Хопфа si. Она удовлетворяет квантовому уравнению Янга—Вахтера Пп11п1123 = 7г2з7г137г,2. (4.154) Пример 4.9.1. Пусть (/ — конечномерная алгебра Ли с базисом {efc}. Ее универсальная обертывающая алгебра Q может быть наделена структурой кокоммутативной квазитриангулярной алгебры Хопфа так, что: А(ек) = ек ® 1 + 1 <8> ек, €(ек) = О, S(ek) =-ек, 72 = 181. D Говорят, что инволютивная алгебра Хопфа (s/1, т', Д', е', S') дуальна инволютивной алгебре Хопфа (sf, т, Д, е, S), если существует невырожденное внутреннее произведение {.,.): s/® sf-+С такое, что для любых a,b £ si и а',Ь' 6 ,s/': (оЬ, о') = (о ® Ь, Д(о')), (Д(о), о' ® Ь') = (о, а'Ь'), (4.155а) (1, а) = б'(а'), б(о) = (о,1), (4.155Ь) (S(o),e'> = (e,5'(o')>, (4.155с) (o*,a') = (e,(sV))*). (4.155d) Эти соотношения достаточны, чтобы, имея алгебру Хопфа si, построить дуальную ей алгебру Хопфа si'. В частности, пусть U — алгебра Хопфа и р(Ы) — ее полное представление комплексными N х N матрицами, т.е. всякий ненулевой элемент и € U выполняется
134 Глава 4. Квантовомеханические системы ненулевой матрицей р(и), и для всякой пары индексов i,j = 1,..., N существует такой элемент ti£W, что p'j(u) Ф 0. Такое представление позволяет построить новую алгебру Хопфа sf, дуальную U. Она порождается N2 элементами A'j такими, что (и, A'j) = p'jiu), Ve € U. (4.156) Поскольку представление р полное, внутреннее произведение (4.156) невырождено, и элементы A'j £ sf определяются однозначно. Удобно считать, что они образуют N х N матрицу, но это не числовая матрица, т.е. A'jAkr Ф AkrA'j. Произведение элементов A'j алгебры Хопфа sf согласно условию дуальности (4.155а) определяется ко- произведением Дм в алгебре Хопфа U. Условия дуальности (4.155a)~(4.155d) приводят к следующим операциям в алгебре Хопфа sf: А(А)) = А{к®Ак1, е(А'з) = 6), S{Aii) = {A~i)ii. (4.157) Если алгебра Хопфа U квазитриангулярна с универсальной JZ-матрицей Щ, тогда, используя ее свойство (4.153с), получаем 0 = {пи Дм(и) - Р о АиПи, А\ ® Aj,) = (4.158) = (и, RijmnAmkAni - А>„А'тВГяы), Vu € И, где Rijki ={Ки, А\ ® А\) = (р® р)'\ЛЮ (4.159) можно рассматривать как компоненты числовой N2 х N2 матрицы R. Пусть А ■ А обозначает N2 х N2 матрицу с компонентами (А ■ A)ijk, = А(кА>, и Р(А ■ А) — матрицу с компонентами (Р(А ■ A))ijkl = AjiA\. Тогда соотношение (4.158) можно записать в компактном виде R(A • А) = Р(А ■ A)R. (4.160) Матрица R удовлетворяет уравнению Янга—Вахтера R\iR\iRn = R23R11R12, (4.161) где Rap = (р® р®p)(R) — N3 х JV3 матрицы с коэффициентами (Rll)*3 Imn = R' Im^ni (Rn)iikimn = RikinSL (4-162) (Л23) Imn = R mn#-
§ 9. Квантовые группы 135 Уравнение (4.161) непосредственно следует из квантового уравнения Янга—Вахтера (4.154), так как Ri2R\3 Д23 = (/> ® Р ® /»)(^12^!3^23)- Определение 4.9.2. Алгебра Хопфа sf, которая дуальна некоторой квазитриангуляр- ной алгебре Хопфа, называется квантовой группой, п Таким образом, квантовая группа является алгеброй Хопфа, а не истинной группой или полугруппой. Смысл этого термина состоит в том, что квантовая группа порождается элементами, которые образуют N х N матрицу с нечисловыми компонентами. Часто квантовую группу определяют именно как алгебру Хопфа, порождаемую N2 элементами A%j так, что выполняются соотношения (4.157) и (4.160), где R удовлетворяет уравнению Янга—Вахтера (4.161). В широком смысле под квантовой группой понимают всякую некокоммутативную алгебру Хопфа [34]. Например, алгебра Хопфа из Примера 4.9.1 не является квантовой группой даже в широком смысле. Она именуется классической алгеброй Хопфа алгебры Ли Q. Пример 4.9.2. Простейшим примером квантовой группы (в узком смысле Определения 4.9.2) является деформация группы GL(2), обозначаемая GLq(2), где q € R+. Эта алгебра Хопфа порождается четырьмя образующими элементами а, Ь, с, d, удовлетворяющими коммутационным соотношениям аЪ = qba, ac = qca, ad-da = Xbc, ^ = g-g-1, (4.163) be = cb, bd = qdb, cd = qdc. Эти образующие элементы можно представить как компоненты матрицы "С d ) ■ <4.164) Тогда коммутационные соотношения (4.163) получаются из условия (4.160), где R= п * 1 п • (4-165) м 0 0 U 0 1 А 0 0 0 1 0 0 \ 0 0 я ) Соответствующие соотношения (4.157) имеют вид Д(о) = а®а + Ь<8)с, Д(Ь) = a®b + b®d, Д(с) = с® a + d® с, Д(ф = с® b + d® d, е(о) = e(rf) = 1, e(b) = е(с) = 0, S(a) = (det 4)"' d, S(b) =-q~l (det A S(c) = -g(det A)~{c, S(d) = (det 4)_1a, где det A = ad - qbc i def
136 Глава 4. Квантовомеханические системы называется квантовым детерминантом матрицы А (4.164). Он принадлежит центру алгебры GLq(2), т.е. коммутирует со всеми порождающими ее элементами. В «классическом пределе» q —♦ 1 матрица А становится числовой и квантовая группа GLq(2) сводится к матричной группе GL(2). и Существуют разные методы построения квантовых (в широком смысле) групп. Например, пусть si — алгебра Хопфа с генераторами {а1} и В — дуальная ей алгебра Хопфа относительно некоторого внутреннего произведения (.,.) с генераторами {&,}. Тогда существует единственная алгебра Хопфа V такая, что • si и В являются подалгебрами V; • V порождается элементами вида a'fy; bja' = £(a*(1\ SB(bm))(aim, Ьт)атЬт, где использованы обозначения (Д.с/ 0 Id)A.v(o') = J2 ai(,) 0 ai(2) 0 ai(3), (Ав 0 ld)AB(bj) = Y, bi(\) ® bjQ) ® biO)- Она называется квантовым удвоением алгебры Хопфа si. Этот прием используется, в частности, при квантовании простых комплексных алгебр Ли [34]. Мы ограничимся здесь простейшим примером квантования Uq(su(2)) алгебры Ли su(2). Пример 4.9.3. Выберем базис Вейля (Х±,Н) алгебры Ли su(2) с коммутационными соотношениями [Я, Х±] = ±2Х±, [Х+, Х-] = Я. (4.166) Эта алгебра Ли имеет две подалгебры (Х+,Н) и (Х+,Н). Проводится их раздельное квантование si+ и si-, и алгебра Хопфа Uq(su(2)) строится как квантовое удвоение V алгебр Хопфа si+ и si- относительно некоторого внутреннего произведения (.,.). В результате получаем, что алгебра Uq(su(2)) — это инволютивная квазитриангулярная алгебра Хопфа, порождаемая элементами Х+, Х- и Я по модулю коммутационных соотношений тт —ТТ [Н,Х±] = ±2Х±, [Х+,Х-] = Я ~Я . , qem+. (4.167) q-q l Соответствующие операции копроизведения, коединицы, антиобратного отображения и инволюции имеют вид Д(Я) = Я01 + 10Я, Д(Х±) = Х±0 9Я/2 + д~я/20Х±, (4.168) е(Я) = е(Х±) = О, S(H) = -Я, 5(Х±) = -q±lX±, Я = Я, Х±. — Хц:. Алгебра Хопфа (4.168) не кокоммутативна и является квантовой группой (в широком смысле). В пределе q —+ 1 она переходит в классическую алгебру Хопфа алгебры Ли su(2) из Примера 4.9.1. Универсальная Д-матрица TZ для Uq(su(2)) имеет вид п = g (1 ~ q~ )" ql(H®H+n(H®t-t®H))хп g Jrn> (4.169) n=0 W
§ 9. Квантовые группы где использованы стандартные обозначения для квантового числа [и], q>~\ и квантового факториала [oy = i, Н!=П1Ч Заметим, что матрицы 1 0 \ v /00 н~{ о ij' х+~ \-i о )> Л-~ {0 0 реализуют фундаментальное представление как алгебры su(2), так и квантовой группы Uq(su(2)). Соответствующее выполнение (4.159) универсальной Д-матрицы V, (4.169) посредством численной 4x4 матрицей имеет вид q~lf2R, где R — матрица (4.165). □ Упомянем еще одну разновидность алгебр Хопфа — квантовые алгебры Ли. Замечание 4.9.4. Левое (соотв. правое) присоединенное действие алгебры Хопфа si на себя определяется как aob:a®bi—>^ a^bS («(2)) , b <а : а ®Ь ^ ^ S (flfi)) ba\2)- Например, левое (соотв. правое) присоединенное действие классической алгебры Хопфа из Примера 4.9.1 на себя для элементов a,b £ Q имеет вид а > b — [a, b], Ь < а = [Ь, а]. Определение 4.9.3. Алгебра Хопфа si называется квантовой алгеброй Ли, если существует конечномерное подпространство В С si (с базисом {bj}, г = 1,..., N) такое, что: • si как векторное пространство является универсальной обертывающей алгеброй элементов из В по модулю их коммутационных соотношений; • подпространство В инвариантно относительно левого присоединенного действия алгебры si, т. е. si > В С В; • Д(Ь) £Si®(t®B) для всех Ъ е В; • е(Ь) = 0 для всех Ъ € В. а Исходя из этих условий, можно показать, что Д(Ь.) = 6, ® 1 + О* ® bk, О,-* G si, (4.170) bi > h = f№% fikj 6 c, Oik>bj=B*mtjbm, д%е<с,
138 Глава 4. Квантовомеханичеокие системы и наконец bibj-Rkmijbkbm = fijnbn. (4.171) Пример 4.9.5. Сравнивая (4.168) с (4.170), мы видим, что алгебра Хопфа Uq{au(2)) из Примера 4.9.3 не является квантовой алгеброй Ли. о Соотношения (4.171) называются квантовыми коммутационными соотношениями, а коэффициенты /у" в них — квантовыми структурными константами. При этом коэффициенты Rkmij можно рассматривать как компоненты числовой N2 х N2 матрицы. Если Л km jcfc icm У = °i °j > квантовые коммутационные соотношения (4.171) сводятся к обычным коммутационным соотношениям алгебры Ли. Можно сказать, что квантовые коммутационные соотношения (4.171) являются деформацией обычных коммутационных соотношений алгебры Ли как по структурным константам Д," (которые, например, не обязательно антисимметричны), так и по матрице Д*ту. При этом квантовые структурные константы Д," и матрица Д*ту в квантовой алгебре Ли подчиняются определенным соотношениям. Это уравнение Янга—Вахтера Л12Л13Л23 = -^23^13-^12, где использованы обозначения (4.162), квантовое тождество Якоби t * f ' — Т)'Т t * f m — t m / * Jit Jjn Л ijjtm Jrn — Jij Jmn i а также Лак * m jyar nmk • I pmA fa I?'' Bmr f * injji Л ji11 tljrn — Л anjji ~ Л |'пЛ jajrl i Л mi 1 1 n>r t>H ± m jajkn — ■"■ jk-tt rnjsl • Подчеркнем, что коммутационные соотношения (4.171) не обязательно независимы, а матрица R не является, вообще говоря, универсальной Д-матрицей алгебры Хопфа si, т. е. квантовая алгебра Ли si не обязательно квазитриангулярна. Пример 4.9.6. Рассмотрим в качестве простого примера квантовую алгебру Ли Uq(sl(2)). Она представляет собой универсальную обертывающую алгебру четырех элементов ( *1 ь+\ \Ь- ь2 ) по модулю коммутационных соотношений Ь\Ь+ - Ь+Ь\ + -6+62 = -Ь+, 9 9 b\b- — b-b\ bob- = —ь_, я я ЫЬ+ - q ь+б2 = -qb+, b2b-—zb-b2 = -b-, я2 я
§10. Деформационное квантование 139 М- - Ъ-Ъ+ + -Ь2(Ь, - Ь2) = -(Ь, - Ь2), я я bi£>2 ~ Ьг&1 = О, где А = q - q~l. При q —► 1 эти коммутационные соотношения сводятся к коммутационным соотношениям алгебры Ли sl(2). О §10. Деформационное квантование Идея квантования путем деформации алгебраической структуры может быть перенесена на алгебры функций на многообразиях, в частности, алгебры Пуассона. Такие конструкции получили название деформационного квантования. Не углубляясь в детали, приведем основные элементы деформационного квантования. Пусть Z — конечномерное симплектическое многообразие и O0(Z) — векторное пространство гладких вещественных (или комплексных) функций на Z. Рассмотрим на этом пространстве две алгебраические структуры: кольца функций С°°(7) относительно поточечного умножения и алгебры Пуассона sf(Z) относительно скобок Пуассона {.,.} (4.37). Целью деформационного квантования является построение нового произведения функций / * /' и нового коммутатора {.,.}*> зависящих от параметра деформации j (играющего роль постоянной Планка h) так, чтобы при 7 —► 0 операция /*/' сводилась к обычному произведению функций, а скобки {.,.}» — к скобкам Пуассона [12, 27,40, 45]. Начнем с общего определения деформации. Определение 4.10.1. Пусть В — некоторая С°°(£)-значная R-билинейная форма на векторном пространстве C°°(Z). Ее (формальной) деформацией называется следующий формальный (мы не исследуем его сходимость) степенной ряд по вещественному параметру 7^0: ВД>/') = ХЛГ<?Г(/,/'), (4.172) г=0 где Со(/, /') = B(f, /') и Сг>о(/, /') — тоже С°°(7)-значные билинейные формы на С°°(Я). □ В качестве исходной билинейной формы В мы рассмотрим: • обычное поточечное умножение функций J9(/, /') = //', обозначив его деформацию *,(/, /') = / *7 /' = //' + Е ТгСг(/, /'), (4.173) г=1 которая предполагается ассоциативной, но не обязательно коммутативной; • скобки Пуассона B(f, /') = {/, /'}, обозначив их деформацию S7(/>/') = {/>/'}. = {/>/'} + £7rSr(/,/'), (4.174) r=l которая, как предполагается, имеет структуру алгебры Ли.
140 Глава 4. Квантовомеханические системы Деформация (4.173) называется ассоциативной деформацией алгебры C°°(Z), а (4.174) — деформацией Ли скобок Пуассона. В частности, если построена ассоциативная деформация / * /', можно определить деформацию Ли в виде {/,/'}♦ = -</*/'-/'*/). (4-175) 7 Ассоциативная деформация должна удовлетворять условию 00 (/| *7 Л) *7 /3 ~ /l *7 (Л *7 /з) = Е T*A(/l, /2, /з) = 0, (4.176) Dk(fhfbh)= Е Cr(cs(fuf2),h)-Cr(fuCAf2,f3)), (4.177) s+r=fc, s,r^0 т.е. Dk(fi, /2, /з) = 0 для всех А; = 1,2,.... Это условие формулируется в терминах когомологий Хосшильда. Замечание 4.10.1. Напомним когомологий Хосшильда. Пусть А — ассоциативная р алгебра. Определим р-коцепи как р-линейные отображения С : ® А -* А и введем гомоморфизм (дС)(а0, ...,ар) = а0С(аи ...,ар)+ (4.178) Р-\ + Е(-1),+'С(ао, • • ■ , OiOi+i, ...,ар) + (-\)р+1С(а0,..., ар+1) ар. i=0 Легко убедиться, что д2 = 0, и соответствующие когомологий Н^(А) называются кого- мологиями Хосшильда. □ Вернемся к выражению (4.177). Обозначим Ek(f\, /2, /3) сумму членов в его правой части с индексами s,r ^ 1. Тогда оно перепишется в виде Duifu /2, /з) = Я*(/ь /2, /з) - (0Cfc)(/i, /2, /3), (4.179) где д — оператор (4.178). Теперь построение ассоциативной деформации (4.173) может быть осуществлено как рекуррентная процедура. Предположим, что существуют 2-коцепи С,-(/, /'), г ^ к, так что Д = 0 для всех i ^ к. Надо найти такую коцепь Ск+\, чтобы Dk+\ = 0- Заметим, что Ек+\ зависит только от С^к и можно показать, что если Di^k = 0, то дЕк+\ = 0. В этом случае Ек+\ является 3-коциклом. Если этот коцикл оказывается кограницей, т.е. принадлежит нулевому элементу группы когомологий Хосшильда J?H(C0C(Z)), тогда требуемую коцепь Ск+\ можно найти. Таким образом, препятствием построению ассоциативной деформации является нетривиальная группа когомологий Хосшильда ЯН(С<Х(^)). Если эта группа когомологий равна нулю, ассоциативная деформация может быть определена. Например, ассоциативная деформация всегда существует на симплектическом многообразии [67]. В частности, для начала рекуррентной процедуры, чтобы D\ — 0, всегда можно выбрать <?,(/,/') = А{/,/'}, где А — некоторая константа (см. ниже произведение Мойла).
§10. Деформационное квантование 141 Аналогично рассмотрим условие существования деформации Ли (4.174), где SAf,f') + Sr(f',f) = 0. Деформация Ли должна удовлетворять тождеству Якоби {/ь {/2, /з}.}. + {/2, {/з, /.}.}. + {/з, {/ь /2>*}, = (4.180) 00 = ЕГ*(/,,/2>/з) = 0, 2*(/ь/2,/з)= £ [5г(/1,5,(/2,/з))+ (4.181) + 5r(/2> 5,(/з, /,)) + 5г(/з, 5,(/!, /2))]. Обозначим Q*;(/i,/г,/з) сумму членов в правой части выражения (4.181) с индексами s, г ^ 1. Тогда оно перепишется в виде Sk(fi, /2, /з) = <?*(/i, /2, /з) - (dSk)(fuf2, /3), (4.182) где оператор (0&)(/i, /2, /з) = [{/., 5*(/2, /з)} + {/2, 5*(/3| /,)} + {/з, 5t(/,, /2)}] + + [5* (/,, {/2) /з}) + Sk(/2, {/3, /,}) + 5fc (/3, {/,, /2})] является оператором кограницы {д1 = 0) для когомологий Шевалье—Эленберга. Поэтому построение деформации Ли (4.174) тоже может быть проведено как рекуррентная процедура. Предположим, что существуют 2-коцепи 5,-(/, /'), г < fc, так, что Г, = 0 для всех i ^ fc. Надо найти такую коцепь Sjt+i, чтобы Тк+{ = 0. Слагаемое Qk+\ в правой части выражения (4.182) зависит только от 5,-^j. Как и для ассоциативных деформаций, было показано, что-если Т*^л- = 0, то Ек+\ является 3-коциклом, и если группа когомологий Шевалье—Эленберга Hce(C°°(Z)) тривиальна, то деформация Ли существует. Рассмотрим некоторые варианты деформационного квантования. Пусть Z = К2" с координатами (Q\Pi), наделенное стандартной симплектической формой. Введем оператор /Р /' = {/,/'}, /, /' G C°°(R2n). Зададим формальную ассоциативную деформацию /'. (4.183) Она называется произведением Мойла [44, 48]. Произведение Мойла (4.183) определяет соответствующую деформацию Ли (4.175). Замечание 4.10.2. Чтобы установить класс функций, на которых произведение Мойла определено, построим его следующим образом. Ограничимся для простоты случаем Z — R • Возьмем дуальное ему импульсное пространство М2 с координатами (q, р) /*/' = / ехр
142 Глава 4. Квантовомеханические системы (см. обозначения в Приложении Б.1) и рассмотрим операторы ККС W(p + iq) (4.138), действующие в пространстве обобщенных функций S'(R) на R по закону W(p + iq) : р(х) ь-> ехр & ( -jVq + рх Р(х + q), где, в отличие от (4.138), учтена постоянная Планка ft. Выберем в S'(M) полную систему Акх обобщенных собственных векторов е оператора трансляций х ь-> х + а (см. Теорему 1.6.4) и определим линейную форму в классе обобщенных функций ф[Щ = — / e~a*Weik* dk dx на операторах ККС. В частности, получаем <p[W(p + iq)W(p' + iq')] = -6(р + p')6{q + q) ехр ih (-(p'q' + pq) + p'q) = 1 / = ^S(p + p)S(q + q)- n Пусть / — функция на R2 и fF(p, q) — ее преобразование Фурье на R2- Поскольку функция / вещественна, то fF(-p, -q) = fF(p, Я)- Сопоставим функции / оператор WfF = iirfJfF(p'q)W(p+iq) dp dq- (2ir) Возьмем другую функцию /' на К2 и рассмотрим величину 4>[W(p + iq)WjFWf.F]. (4.184) Нетрудно убедиться, что она является преобразованием Фурье произведения Мойла / * /' (4.183). Можно показать, что величина (4.183) определена на некотором подклассе обобщенных функций ff £ £'ДОг) на Кг. включающем, например, L2(K2)- о Следующая конструкция, называемая конструкцией Федосова, обобщает произведение Мойла на произвольное симплектическое многообразие [41, 42]. Пусть Z — 2п-мерное симплектическое многообразие с координатами (za) и сим- плектической формой ft = -Uapdza Л dz*3. Определение 4.10.2. Формальной алгеброй Вейля sfz над касательным пространством TZZ называется ассоциативная алгебра с единицей, элементами которой являются формальные суммы <*<У,7)= £ 1kak,ax...a,ya' ..-У"', (4-185) 2*+г>0
§10. Деформационное квантование 143 где у1* — z^ — голономные координаты на касательном пространстве TZZ. Алгебра sfz наделена произведением Вейля а о а = ехр -*la*iz)±J. а(»,7)в'(»',7)1»=^= (4.186) 2 дуа ду'Р к 1 я* „ як J -г(-Щ}-а«*ы fi<^(*) — ^~ Ясно, что это определение не зависит от выбора системы координат. Беря объединение алгебр Вейля Аг, z € Z, мы получим расслоение на алгебры Вейля А —► Z, сечения которого имеют вид а(*,У,7)= Е тЧв...^^)»"'■••»"'. (4-187) 2*+г>0 / где akia^„ai(z) — сечения симметризованных тензорных расслоений VTZ. Множество сечений (4.185) расслоения А тоже составляет ассоциативную алгебру sf с единицей относительно послойного умножения (4.186). Ее единицей является элемент a(z, у, 7) = 1. Центр Z алгебры sf состоит из элементов 00 а=ХлЧ-(*), (4.188) *=о не зависящих от координат уа. Имеет место фильтрация sf D sf\ D ... алгебры sf по элементам с фиксированными значениями 2к + г в выражении (4.187). Усложним конструкцию. Рассмотрим градуированную алгебру 1=0 внешних дифференциальных форм на многообразии Z и зададим тензорное произведение алгебр sf ® 0*(Z). Его элементами являются .4-значные внешние формы на многообразии Z: a(z,y, dz, 7) = £7Ч,а,...а,д.../з,(2)2/а' • • • Va'dfx Л ... Л dz13', (4.189) которые будем называть просто формами. Их произведение определяется как внешнее произведение дифференциальных форм и умножение Вейля о (4.186) полиномов по у". Обозначим его тем же символом о. Определим коммутатор двух форм а и а' (4.189) по формуле [а, а] - а о а' - (- l)|oV о а, (4.190) где \а\ означает степень формы а' € sf ® С1" \Z). Говорят, что элемент а принадлежит центру алгебры sf® 0*(Z), если его коммутатор (4.190) со всеми элементами этой алгебры равен нулю. Таким центром алгебры sf ® 0*(Z) является Z ® 0*(Z). Существуют две проекции формы a(z, у, dz, 7) на центр Z ® 0*(Z). Это а0 = a(z, 0, dz, 7), a00 = a(z, 0,0,7>- (4.191)
144 Глава 4. Квантовомеханические системы На формах (4.189) определяют также два оператора: 6 : slr ® O'(Z) -* stT-\ ® Os+l(Z), а д 6а = dz Л а, 6* :slr® Os(Z) -+ s/r+i <g> Os~\Z), о a = y la. Эти операторы имеют следующие свойства: • оператор 6 является антипроизводной, т. е. 6(а о а') = (6а) о а' + (-1)|а|а о ,5а', и можно записать 6а = — -Uapyadzp, а 7 • б2 = (б*)2 = 0; • при действии на одночлен получаем a = yai ...ya'dz^ Л... Adz? (66* + 6*6)а = (r + s)a. Определяют также оператор (Г1 : slr ® Os(Z) -> slr+i ® CS"'(Z) его действием на одночлены (4.192) по формуле „1 Ur + s)-l6*a, r + s>0, 6 а = < . [ 6~la = 0, r + s = 0. Тогда всякая форма (4.189) допускает разложение а- (б6~* +6~1б)а + аж. (4.192) (4.193) Введем еще один необходимый объект — связность на симплектическом многообразии Z. Она представима тангенциально-значной формой T = dzA \дг^+Т%хду^) (4.194)
§10. Деформационное квантование 145 (см. формулу (1.69) в [19], где для согласования с принятыми в [41, 42] обозначениями изменен знак). Связность Г (4.194) называется симплектической, если она симметрична и ковариантный дифференциал симплектической формы по этой связности равен нулю: DQap = dzxDxQap = dzx (-^Пар + r"aAft„/3 + T"pxQa J = 0. В локальных канонических координатах, когда Qap = const, коэффициенты Г^а = П^Г%а (4.195) симплектической связности являются симметричными по всем индексам. Симплекти- ческая связность всегда существует, но не единственна. Коэффициенты (4.195) разных симплектических связностей отличаются на симметричный по всем индексам тензор т^х- Ковариантный дифференциал D по симплектической связности Г распространяется и на элементы а (4.189) алгебры s/ ® 0*(Z): Da = dzx A Dxa. Он обладает свойствами: • D(a о а') = Da о а' + (- l)|a|a о Da'; • для всякой скалярной формы ф е Ok(Z) D(<j> Aa) = d<j>Aa + (-l)k<pA Da; • (D6 + 6D)a = 0; • в локальных канонических координатах Da = da + -G,a L7 где d - dzA A dz д, G=-TllvXyliyudzx; D2a= [£д,а],где R = -R^axy^y dza A dz\ Величина R^ax =■ ft^gir тол называется тензором кривизны симплектической связности. При заданной симплектической связности Г на симплектической многообразии Z, рассмотрим в расслоении на алгебры Вейля А —* Z более общую связность, ковариантный дифференциал которой имеет вид Da-Da + г —т, а L7 da + -(G + r),a 7 (4.196)
146 Глава 4. Квантовомеханические системы где т — А-значная 1-форма на Z. Форма т, удовлетворяющая условию (4.196), не единственна. Поэтому наложим дополнительное условие т0 = 0, которое определяет ее однозначно. Форма -R = - (Л + Dt + т2) (4.197) называется кривизной связности (4.196). Связность (4.196) именуется абелевой, если для всякого элемента о алгебры sf' O'(Z) выполняется соотношение ГРа г ~ -R,a L7 т.е. кривизна R (4.197) этой связности принадлежит центру Z ® 02(Z) алгебры sf ® 0*(Z). Предложение 4.10.3. Для всякой симплектической связности на симплектическом многообразии Z на расслоении А —► Z на алгебры Вейля существует абелева связность вида D = D-6 + -г,. = D + - (Qa0adzp + г) ,. (4.198) где г — элемент s/j ® Ox{Z) такой, что г0 = 0. D Вычисляя кривизну связности (4.198), получаем 1 i R = - -Ua0yadzp + R-6r + Dr+ -г2 2 7 Связность будет абелевой, если 6r = R + Dr+ -г. (4.199) Тогда R = -ft — центральная форма. Лемма 4.10.4. Уравнение (4.199) имеет единственное решение г такое, что <Г'г = о. (4.200) Более того, такой элемент г может быть построен итерационной процедурой, о Заключительный этап конструкции Федосова состоит в следующем. Пусть дана абелева связность D (4.198), удовлетворяющая условиям (4.199), (4.200). Обозначим подалгебру J//? алгебры sf, состоящую из элементов о таких, что Da = 0; они называются плоскими. Теорема 4.10.5. Для всякого элемента Ь G Z (4.188) существует единственный плоский элемент a(z, у, j) G sfn такой, что . dcf <r(o) = a0(z, 0,7) = Ь.
§10. Деформационное квантование 147 Такой элемент тоже может быть построен итерационной процедурой. D Тогда ассоциативная деформация для элементов а, а' £ Z (4.188) на симплектичес- ком многообразии Z всегда может быть определена как а*о' = (г((г"|(о)о(г"1(о')). (4.201) Пример 4.10.3. Если Z — R2", симплектическая связность в конструкции Федосова может быть выбрана нулевой. Тогда соответствующая абелева связность (4.198) имеет вид ___ D - -6 + d. В этом случае ассоциативная деформация (4.201) воспроизводит произведение Мойла (4.183). D Отметим, что конструкция Федосова применима и к пуассоновым многообразиям. Одна из проблем, которую в разных вариантах пытаются решить в схеме деформационного квантования, заключается в том, чтобы деформация Ли (4.173) была задана не в качестве формального степенного ряда по параметру деформации у, а как обычная гладкая функция, и чтобы классический переход у —» 0 был непрерывен. В этой связи вводят понятие строгой деформации в терминах С*-алгебр [60]. Пусть Z — пуассоново многообразие и С°°(^) — кольцо комплексных гладких функций на Z. Предположим, что скобки Пуассона на С°°(^) вещественны, т.е. {/*,/*} = {/,/'}*. Обозначим Coo(Z) подалгебру гладких функций на Z, стремящихся к нулю на бесконечности. Это С*-алгебра относительно нормы Ц.Цоо (2.17). Определение 4.10.6. Пусть sf — плотная инволютивная подалгебра С*-алгебры CX(Z), например пространство Шварца S(Z) быстро убывающих гладких функций на Z. Строгим деформационным квантованием алгебры sf называется открытый интервал I в R, содержащий 0, и тройка (*7,*7 , Ц.||7), 7SJ, (4.202) ассоциативной деформации, операции инволюции и С*-нормы на si таких, что • при 7 = 0 тройка (4.202) совпадает с исходными операциями в sf; • пополнения sf^ алгебры sf по нормам ||.||7 образуют непрерывное поле С*-алгебр (в частности, отображение j —» ||/||7, / G sf, непрерывно); • для произвольных функций /, /' £ sf -if *Т f ~ f *t Л -{/,/'} 7 при 7 —♦ 0. D
148 Глава 4. Квантовомеханические системы Пример 4.10.4. Пусть А — С*-алгебра, и задан гомоморфизм р группы трансляций Ж2п в группу автоморфизмов Aut(.4) алгебры А, непрерывный в равномерной топологии в Aut(j4). Для произвольного числа -у £ Ж, симплектической формы Q на Ж " и двух любых бесконечно дифференцируемых для р элементов a, b £ А можно определить ассоциативную деформацию (подкрученное произведение) а*уЬ= / (р(-уи)а) (p(v)b) ехр[27п'П(и, и)1 du dv (4.203) так, что элемент а *7 b £ А тоже является бесконечно дифференцируемым. Пополнение множества таких бесконечно дифференцируемых элементов образует деформированную С*-алгебру Ат Это пример строгого деформационного квантования, который может быть обобщен на случай, когда вместо Ж2" рассматривается группа трансляций в гильбертовом пространстве Н [66]. □ Проблема возникает с представлениями деформированных С*-алгебр. Ее общее решение может быть дано в рамках конструкции ГНС, если рассматривать такую алгебру как инволютивную алгебру над полем С((-у)) степенных рядов Лорана 00 k=-N с действительными или комплексными коэффициентами, ограниченных по отрицательным степеням параметра деформаций j. На такой алгебре определяется положительная форма со значениями в поле C((j)), которой, как можно показать, соответствует представление этой алгебры в предгильбертовом пространстве над полем C((j)) [30]. Этот формализм может быть распространен и для деформационного квантования при конечной температуре [31]. В заключение упомянем еще одно обобщение деформационного квантования, когда параметр деформации не является числом и не коммутирует с элементами исходной алгебры [56].
Глава 5 Алгебраическая квантовая теория поля Особенность применения алгебраического подхода к квантовой теории поля, как уже отмечалось, состоит в том, что инволютивные алгебры, описывающие полевые системы, в общем случае не нормированы и их представления реализуются неограниченными операторами. Однако, используя формализм Ор*-алгебр, конструкция ГНС может быть распространена и на квантовые полевые системы [24, 29]. Более того, проблема существенно упрощается, если ограничиться хронологическими вакуумными средними квантовых полей. В случае бозонных полей они могут быть представлены как состояния на универсальной обертывающей алгебре коммутативной алгебры Ли, и для их описания может быть использована техника представлений ядерных групп Ли, уже применявшаяся в §4.6 для канонических коммутационных соотношений. § 1. Алгебры неограниченных операторов В Замечании 3.2.2 были приведены основные понятия, относящиеся к неограниченным операторам. Поэтому перейдем к определению Ор*-алгебр таких операторов [24]. Определение 5.1.1. Ор*-алгеброй называется пара (B,D), где В — некоторая алгебра (неограниченных) операторов с единицей в гильбертовом пространстве Е и D — плотное векторное подпространство в Е такое, что (а) D(b) = D и bD С D для всех Ь £ В; (б) D С D(b*); (в)Ь+ =b*\DeB. D Это инволютивная алгебра с инволюцией b —* b+. В силу свойства (Ь) все ее элементы замыкаемы. В отличие от §2.2, посвященного представлениям инволютивных алгебр в гильбертовом пространстве Е только ограниченными операторами из В(Е), здесь мы рассмотрим представления этих алгебр неограниченными операторами. Представление я(А) инволютивной алгебры А неограниченными операторами в гильбертовом пространстве Е является Ор*-алгеброй, если существует плотное векторное подпространство D{w) С Е такое, что D(ir) = £)(тг(а)) для всех а € Л, и если это представление эрмитово, т.е. тг(а*) С т(а)* для всех а € Л. В этом случае образуют также следующие конструкции: D(J) = П D (Ща)) , 064 £>(0 = П D (ir(a)*) , абЛ , . del —т-^ тг : а -> я-(а) = n(.a)\Dm, ■к : а -> тг (а) = тг(а ) \щ^,
150 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля т" : а - т» = ЛаУ\ , ЖО = f| D (т*(а)*) , которые называются соответственно замыканием представления ж, сопряженным к представлению я" и вторым сопряженным к представлению я\ Справедливы соотношения ■к С тг С ж** С тг*, где 7Г| С 7Г2 обозначает расширение представления, т.е. Х?(тГ|) С £>(7Гг). Из эрмитовости представления ж следует эрмитовость ж и тг**, а для ж* справедливы равенства _* _ Яг* — .*■*** 7Г = 7Г = 7Г Эрмитово представление (Ор*-алгебру) ж(А) называют: • замкнутым, если ж = ж; • существенно самосопряженным, если я-** = я-*; • самосопряженным, если тг = 7Г*. При этом для замкнутости (соотв. самосопряженности) ж достаточно, чтобы был замкнут (соотв. самосопряжен) хотя бы один из операторов ж(а). В области D(ir) задается'так называемая граф-топология. Пусть N — некоторое конечное подмножество элементов из А. Граф-топология на D(n) порождается системой окрестностей нуля U(N, s)={xe Б{ж) : £ ||т(о)в|| < е]. оелг Все операторы ж{а) непрерывны в граф-топологии. Обозначим Ys замыкание подмножества Y С D(ir) в граф-топологии. В частности, представление ж является замкнутым тогда и только тогда, когда его область определения замкнута в граф-топологии, т.е. D(W) = D(jrf'. Вектор в € Б(ж) такой, что (ж(А)в)я D D(ir), называется сильно тотализирующим. Вводятся сильно и слабо ограниченные коммутанты Ор*-алгебры ж(А): ■к', = {Г 6 В(Е) : ЪТ = ТЪ, be ж(А)}, ж'„ = [Т G В(Е) : (Ь*х\Ту) = (Т*х\Ъу), Ь 6 ж(А), х, у € Х?(т)}. Подчеркнем, что они состоят из ограниченных операторов и обладают следующими свойствами: • 7г„ — слабо замкнутое самосопряженное векторное подпространство В(Е), содержащее единицу и порождаемое своими положительными элементами (ir'w = H'w); • ж', — слабо замкнутая алгебра с единицей; • П'а Cn'w И, еСЛИ 7Г = 7Г*, TO ж', = ж'ы.
§ 1 ■ Алгебры неограниченных операторов 151 В случае самосопряженного представления (ж = ж*) его коммутант ж' = ж', = ж'ш является алгеброй фон Неймана. Векторное подпространство V С Е считается инвариантным относительно Ор*-ал- гебры ж(А), если V С D, ж(А)У С V. Сужение ж\у задает субпредставление Ор*-алгебры ж(А) в гильбертовом пространстве V — замыкании V. Справедливо следующее утверждение. Предложение 5.1.2. Пусть ж — эрмитово представление, V — векторное подпространство в Е, а Р и Р1 — проекторы на V и его ортогональное дополнение V . Эквивалентны условия: • Р е ж',; • Р±€ж',; • V ортогонально приводит ж, т. е. для всех а £ А РЯ(тг) = Vn 2?(тг), 1г(а)Р2?(тг) С PDfr), ж{а)Р10{ж) С P1D(ir). Также эквивалентны условия • Р 6 iri; • P1e*'w; • V слабо ортогонально приводит ж, т. е. для всех а Е А PD(ir) С V П 2?(тг), тг*(а)Р2?(1г) С РЯ(тг), »*(a)P±2?(ir) С Р^тт). D В случае самосопряженного представления условие, что проектор Р 6 ж', выделяет в Е подпространство, где действует самосопряженное субпредставление ж. Такое подпространство называется самосопряженным подпространством. Для самосопряженного представления ж существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех проекторов из коммутанта ж' и множеством всех самосопряженных подпространств. Эрмитово представление ж(А), для которого ж'ш сводится только к скалярным операторам, называется неприводимым. Его свойства отличаются от свойств неприводимых представлений нормированных инволютивных алгебр. Предложение 5.1.3. Если ж — самосопряженное представление, то условия (а) ж неприводимо, (б) ж не имеет нетривиальных самосопряженных подпространств, (в) ж не имеет нетривиальных замкнутых в граф-топологии инвариантных подпространств, (д) любой вектор из Б(ж) сильно тотализирующий, (г) любой вектор из Б(ж) тотализирующий связаны импликацией (о) «—» (б) «—» (в) I I (д) — (г) D
152 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля Конструкция ГНС обобщается на ненормированные топологические инволютивные алгебры следующим образом [24]. Пусть А — топологическая инволютивная алгебра с единицей. Состоянием на А называется непрерывная положительная форма ф на А такая, что ф{1) = 1. Определение чистого состояния повторяет Определение 2.4.6. Предложение 5.1.4. Каждому состоянию ф на топологической инволютивной алгебре Л с единицей отвечает сильно циклическое эрмитово представление 7Г алгебры А такое, что для всех а £ А ф(а) = (*(а)вф\еф), (5.1) где вф — сильно тотализирующий вектор для тт. При этом представление 7Г, порождаемое состоянием ф, неприводимо тогда и только тогда, когда ф чисто. □ В общем случае о некоторых свойствах состояний на 0р*-алгебре В можно судить, рассматривая состояния на ассоциированной с В алгебре фон Неймана (B'w)', когда они определяются как векторные состояния (5.1) одним и тем же вектором в £ D(B). Однако для описания систем квантовых полей мы в дальнейшем ограничимся некоторыми частными случаями Ор*-алгебр, состояния на которых будут построены в явном виде. §2. Алгебры свободных полей В рамках алгебраического подхода, как уже отмечалось, система квантовых полей характеризуется топологической инволютивной алгеброй А с единицей и непрерывной положительной формой (состоянием) / на ней: f(aa*)^0, /(!)=!, аеА. При этом большинство реалистических моделей квантовой теории поля исходит из концепции частиц и описывается тензорными алгебрами. Для простоты мы ограничимся здесь случаем вещественного скалярного поля. Пусть Q — вещественное (локально выпуклое) топологическое векторное пространство, снабженное некоторой (возможно тривиальной) операцией инволюции q —> q*, q £ Q. Рассмотрим тензорную алгебру Aq = © Q", Q° = Ш, Qn>0 = <8>Q, с операцией тензорного произведения Э q .. .q =g®...®5, q £ Q. Она является инволютивной алгеброй относительно операции инволюции (q ...q) =(q) .. . (q ) . Будучи наделенной топологией прямой суммы (см. §4.1), алгебра Aq становится топологической инволютивной алгеброй с единицей. Состояние / на Aq задается набором непрерывных форм {/„} на пространствах Q". При этом его значение f(ql . ■ я") интерпретируется как вакуумное среднее для системы полей ql,..., qn.
§ 2. Алгебры свободных полей 153 Для описания вещественного скалярного поля на пространстве Минковского М = R4 выберем в качестве пространства Q вещественное ядерное пространство Шварца RS4 основных вещественных функций на R4. Это вещественное подпространство пространства Шварца 5(К4) (см. Приложение Б.1). Топологически сопряженным последнему является пространство обобщенных функций S'(R4). Укажем два свойства, которые побуждают сделать такой выбор образующего пространства Q алгебры вещественных скалярных полей. Во-первых, оператор сдвигов х —> х + а, х £ К4, обладает в 5(К4) полной системой обобщенных собственных векторов (плоских волновых функций) е'рх £ 5'(К") (см. Теорему 1.6.4). Во-вторых, при преобразованиях Фурье пространства 5(К4) и 5'(К4) переходят в изоморфные им пространства 5(1^) и 5'(М4) (см. Приложение Б.1). Соответствующая тензорная алгебра ARSi называется алгеброй Борхерса [24, 29]. Отметим, что подмножество <8> 5(Efc) плотно в S(Rkn) и всякая непрерывная форма на этом подмножестве однозначно продолжается до непрерывной формы на S(Rkn). Поэтому можно положить Arsa =КфД5'фД52ф---. (5.2) Тогда всякое состояние на алгебре Борхерса (5.2) представимо семейством обобщенных функций {Wn € 5'(К4")}: /Ш = Jwn(xu...,xn)i>n(xu...,xn)d4xl...d4xn, ipn£RS4n. (5.3) В частности, если состояние / удовлетворяет аксиомам Уайтмана аксиоматической квантовой теории поля, Wn представляют собой n-точечные функции Уайтмана [2, 18] (см. Приложение Б.З). Замечание 5.2.1. Хотя вакуумные средние (5.3) определяются на элементах из пространства Шварца 5(К4), это не значит, что реальные физические поля должны представляться только гладкими быстроубывающими на бесконечности функциями. Пространство Шварца 5(К4) является плотным подпространством пространства обобщенных функций 5'(К4), и, например, вакуумные средние (5.3) могут быть продолжены, как это обычно имеет место, на плоские волновые функции е'рх G 5'(Е4), но уже не в классе непрерывных форм на 5'(Е4). □ Рассмотрим состояния на алгебре Борхерса RS4, которые описывают скалярные поля массы т. Зададим на RS4 положительную комплексную билинейную форму (V#') =- I <fx <?yip{x)D-{x - y)i>'(y) = f -^-i>F(w, P)i>'F(u, P), (5.4) г J J ш D~{x) = г'(2тг)_3 / <fp exp[-ipx]0(po)6(p2 - m2), где D~(x) — отрицательно частотная часть функции Паули—Йордана, в — функция ступеньки, р2 — минковский квадрат импульса с сигнатурой (+ — ) и ш = (P + т2)1/2. Так как функция tp(x) вещественна, ipF(р) = ip (-р). Билинейная форма (5.6) вырождена, поскольку функция Паули—Йордана D~ удовлетворяет уравнению массовой поверхности (D+m2)X)~(x) = 0,
154 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля а форма (5.4) может принимать ненулевые значения только на элементах i>F($) € RS4, не исчезающих на массовой поверхности р2 = т2. Поэтому рассмотрим фактор-пространство 7 : RS* - Щ-, (5.5) где J = {i> € RS4 : ty#) = 0} — ядро квадратичной формы (5.4). Отображение у сопоставляет всякому элементу ip € RSA, имеющему своим преобразованием Фурье ipF(po, Р) € RS4, пару функций (V>Vp),^(-w,p)). Зададим на фактор-пространстве RSA/J вещественную билинейную форму ЫЫ')ь = Rety№') = (5.6) Фактор-пространство (5.5) представляет собой прямую сумму RS* = L+ Ф L" J взаимно ортогональных относительно формы (5.6) подпространств L* = {^(ы, Р) = ±^±(-w, Р)}. Существуют непрерывные изометрические отображения 7+ : V+(w, Р) ~ /(Р) = w"l/V+(w, Р), 7- : V-(w, Р) •-» /(Р) = -iw_1/V-(w, Р) пространств L+ и I" в пространство JR53, наделенное невырожденной положительной эрмитовой формой («М =/VcpWCpW, (5-7) непрерывной по каждому аргументу. Заметим, что образы j+(L+) и j~(L~) не являются ортогональными в RS3 относительно скалярного произведения (5.7). Суперпозиции отображений у и у± определяют непрерывные отображения т+(<ф) = 7+(7^) = 2^172 /[^*(wi Р) + ^F(-«i Р)] ехР[~* Р Щ d3P, т_(^) = 7-(7^) = ^щ f[l>F(u, Р) - 1>Е(-ш, Р)] exp[-i Р х] d3P пространства AS4
§ 2. Алгебры свободных полей 155 Рассмотрим теперь алгебру ККС g(RS3) = {ф(д), n(q), q € RS3} (4.84a)-(4.84c), где (.|.) — эрмитова форма (5.7) на пространстве Шварца RS3. Зададим отображение RS* Э V ~ Ф(т+(Ф)) - 1г(т_(^)). Оно придает алгебре Q(RS3) смысл алгебры одновременных канонических коммутационных соотношений полей гр е RS4. С его помощью всякое представление (4.103) этой алгебры, задаваемое некоторой трансляционно квазиинвариантной мерой \i на S'(R3), определяет состояние /(V1 ... Г) = 1[ф{т+(гр1)) - к(т.Ц>1))] ■ • ■ {ф{т+(гр")) - «(т.Ц>п))] dfi (5.8) на алгебре Борхерса ARS*. При этом соответствующие обобщенные функции W„ удовлетворяют уравнению массовой поверхности и выполняется коммутационное соотношение W2(x, у) - W2(y, х) = -iD(x - у), (5.9) где D(x) = г(2тг)~3 У <?р ехр [-грх](в(р0) - в(-р0))б(р2 - тп2) — функция Паули—Йордана. Это показывает, что состояние (5.8) описывает скалярные частицы с массой тп. Замечание 5.2.2. Подчеркнем, что, в отличие от того, как это обычно делается, мы не задавали никаких коммутационных соотношений для элементов алгебры Борхерса, т.е. не определяли коммутатор квантовых полей tptp'-tp'tp. Известные коммутационные соотношения получаются под знаком состояния f(rpip' - ip'ip) (5.8) в силу соотношения (5.9). □ В частности, в случае фоковского представления (4.121) алгебры ККС G(RS3) состояние / (5.8) удовлетворяет теореме Вика: л (^' •..'/-") = £ л (tfV) ••• h (V'°V"), где сумма берется по всем разбиениям множества 1,..., п на пары i\ < i2, • • •, Jn-i < in, а форма ii представлена функцией Уайтмана W2(x, у) = -D~{x - у), i Такое состояние / описывает свободное скалярное поле с массой т. Можно получить также состояния / (5.8) на алгебре Борхерса SRSt скалярных полей, порождаемые нефоковскими представлениям алгебры ККС g(RS3).
156 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля §3. Производящие функционалы Состояния (5.2) на алгебре Борхерса характеризуют невзаимодействующие поля. Взаимодействие полей в терминах рождения и уничтожения частиц описывается хронологическими формами /с, задаваемыми функционалами Wcn(xu ...,*„) = £*(*?, -4) • ■•*(*?.-. ~xl) W» (*.-.>• • •,*.-.) , (5-Ю) где сумма берется по всем перестановкам индексов (z'i ... i„). Функционалы (5.10) симметричны, но в общем случае не являются непрерывными, а формы /с — положительными на пространстве Шварца 5(М4"). Поэтому хронологические формы не задают состояний на алгебре Борхерса ARS->. Замечание 5.3.1. Чтобы проиллюстрировать, в какой мере хронологические формы (5.10) не являются непрерывными, укажем, что хронологическая форма W\(x) = 6(x)Wdx) принадлежит S'(M), только если W\ £ 5'(Е00), где К^ — компактификация R, получаемая присоединением отождествленных точек {+оо} и {—оо} [2]. D Чтобы использовать конструкцию ГНС для описания процессов рождения и уничтожения полей, перейдем к рассмотрению симметричных форм на алгебре Борхерса Ars* полей в евклидовом пространстве-времени К4. Заметим, что они отличны от функций Швингера (см. Приложение Б.З). Их виковский поворот (см. Приложение Б.4) дает полные функции Грина (хронологические вакуумные средние) релятивистских полей на пространстве Минковского. Используем тот факт, что симметричные формы на алгебре Борхерса ARSt идентичны формам на симметричной тензорной алгебре BRS* евклидовых полей ф, получаемой как фактор алгебры ARS* по двустороннему идеалу, порожденному множеством элементов вида фф' — ф'ф, где ф, ф' G ARs". Коммутативная тензорная алгебра BRS* является топологической инволютивпой алгеброй и представляет собой универсальную обертывающую алгебру абелевой ядерной группы Ли GRSt трансляций в RS4. Поэтому состояния F на BRs4 можно получить как векторные формы, отвечающие сильно непрерывным циклическим унитарным представлениям группы GRs*. Поскольку группа GRS* абелева, к ней применим способ построения представлений ядерной подгруппы G$ группы ККС (см. §4.6). Пусть Q — вещественное ядерное пространство, наделенное скалярным произведи, шем (.|.), и Gq — абелева ядерная группа трансляций в Q. Ее сильно непрерывное циклическое унитарное представление tt(Gq), как уже отмечалось, характеризуется производящей функцией (непрерывной функцией положительного типа) Z(q) на Q, являющейся преобразованием Фурье Z(q) = Jcxp[i{q,u)]dfi(u) (5.11) некоторой положительной меры у. с полной массой 1 на топологически сопряженном пространстве Q'. Напомним, что такое представление реализуется унитарными операторами (4.94): ^—^ Г(д) : р(и) <-* exp[i{q, и)] р(и)
§ 3. Производящие функционалы 157 в пространстве L2{Q',(i) квадратично /^-интегрируемых функций р(и) на Q'. Его тота- лизирующим вектором в является класс функций, /^-эквивалентных функции р(и) = I. Замечание 5.3.2. Чтобы описать свойства этого представления, можно ввести алгебру фон Неймана В = {т(д) = exp[i(g,e)], q € £?}", (5.12) являющуюся замыканием (в слабой и сильной топологиях) инволютивной алгебры, образованной линейной оболочкой множества k(Gq). Она абелева, и тотализирующим для нее служит тотализирующий вектор в представления ж. Поскольку В С В', вектор в является также отделяющим для В, т.е. алгебра фон Неймана В (5.12) согласно Предложению 3.3.2 является сг-конечной, а векторное состояние w,(T(g)) = (Пд)9\в) = Z(q) точным и нормальным. Легко убедиться, что соответствующий модулярный оператор Д = 1, а модулярная инволюция совпадает с обычной инволюцией. □ Ограничимся, как и ранее, рассмотрением производящих функций Z(q) таких, что функция (4.92) является аналитической в 0 для всех q £ Q. В этом случае соответствующее состояние F на универсальной обертывающей алгебре Bq группы Gq дается формулой F^..-4n) = i-n^-..~Z^qi)l== (5.13) = ]{Ч\,и) ■■■ {qn,u)dn{u). Из нес следует, что в приложении к квантовой теории поля, когда Q = RS4, производящая функция Z(Q) имеет физический смысл производящего функционала полных функций Грина (вакуумных ожиданий) (5.13) евклидовых полей, а выражение (5.11) задает представление этого производящего функционала D виде функционального интеграла по вещественному подпространству пространства обобщенных функций 5'(Е4). Например, если ц — гауссова мера, ее преобразование Фурье имеет вид Z{q) = ехр -\щьч) (5.14) где форма ковариаций М — невырожденная непрерывная положительно определенная билинейная форма на Q. Производящая функция (5.14) определяет непрерывную форму F на коммутативной тензорной алгебре Bq, где *Ч«) = 0, F(qxq2) = M(quq2), а вакуумные ожидания F(q\ ... qn>2) подчиняются теореме Вика. Замечание 5.3.3. Отметим, что в случае бесконечномерного пространства Q меру \i в функциональном интеграле (5.11), вообще говоря, не удается записать в явном виде. Привычное выражение ехр [-£(<£)] П .[««*(*)]
158 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля в производящем функционале пертурбативной квантовой теории поля не является истинной мерой. В то же время, всякая мера р, на Q' однозначно определяется набором мер hn на всевозможных конечномерных фактор-пространствах Q' ffiiV - Ту-' где Q'N С Q' — подпространство непрерывных форм на Q, обращающихся в 0 на некотором конечномерном подпространстве JR^ С Q. Мера ц^ является образом меры ц при каноническом отображении Q' —* R^. В частности, ограничившись вакуумными ожиданиями только для некоторого фиксированного конечного набора полей ql,...,qN, порождающих подпространство jR^ С Q, их производящую функцию можно записать в виде конечномерного интеграла ZfriXjq1) = J exp (iXjUj) dp,N(uj), (5.15) где {uJ} — координаты относительно дуального к {q3} базиса в RN. Например, если ц — гауссова мера с невырожденной матрицей ковариации М, мы приходим к известному выражению (А. 13): dNu, (5.16) где М'-* = M(ql,q3). С физической точки зрения, Zn (5.15) можно интерпретировать как эффективный производящий функционал, получаемый из полного производящего функционала Z (5.11) путем учета внутренних диаграмм по всем полям, кроме q\..., qN. D Замечание 5.3.4. Подчеркнем также, что тройку (Q1, р,, Q) можно интерпретировать как случайный процесс, где (Q1, ц) — вероятностное пространство и Q = Q" — пространство случайных величин. Если мера р, — гауссова, то это гауссовский случайный процесс. Отметим, что на любом счетном множестве / можно определить гауссовский случайный процесс. Пусть / — некоторое множество и М/ — векторное пространство вещественных функций / на /, наделенное топологией поточечной сходимости, т.е. топологией, задаваемой семейством преднорм {ft(/) = 1/(01, fei}. Каждому элементу i £ I сопоставим линейную форму ti : / -► /(г) на R1. Такие формы составляют базис сопряженного к М.1 пространства V. Ядром положительного типа на / называется вещественная функция М(г, j) на Ixl такая, что М (г, j) = M(j, г), п 53 XaXpM(ia, ip) ^ 0, \J3=\ (det М)'и dtiN= (2*УП СХР --(M-l)yeV
§ 3. Производящие функционалы 159 каковы бы ни были положительные целые числа п, элементы t|,..., in из I и действительные числа Л),..., Л„. Если M(i, j) — ядро положительного типа, то формула М(Хкек)= £ А'А%(,',]) i,j€I (5.17) определяет положительную квадратичную форму на V. Обратно, когда М — положительная квадратичная форма на V, тогда формула М(г, j) = 1- (М(е, + е3) - М(е,) - М(е,)) задает ядро положительного типа на I. Ядро положительного типа M(i, j) на I определяет гауссову промеру ц на пространстве Ш.1 с формой ковариации М (5.17) на V. Если множество I счетно, то ц — мера [7]. В этом случае, если дополнительно предположить, что ядро М(г, j) невырождено и диа- гонализуемо, гауссова мера \i является тензорным произведением ® Ц{ гауссовых мер dUi = M(i, г')1'2 ехр 2М(г, г) dr (2ir)1'2' re на Ж. Для такой меры имеет смысл формальная запись d/z = (detM)1/2exp 1 •^..■n'J --(M-)0tVj dr которая является обобщением выражения (5.16) на счетномерное пространство. □ В случае евклидовых полей Q = RS*, матрица ковариации М гауссовой меры задается некоторой обобщенной функцией W £ 5'(К8): М(фиф2) = j W(3/i, 3/2)01 (3/1 )02<2/2> <?У\ <?У2- (5.18) Предположим, что W(y\, yi) является функцией Грина некоторого положительного эллиптического дифференциального оператора: Тогда LyM(y, у) = 6(у - у). W(yuy2) = w(yl -у2) *Ч0102) = М(ф,, ф2) = j W(y\ - У2)Ф\(У\)Ф2{Уг) <?У\ й*У2 = - J го(у)ф^у\)ф2(у\ - у) d*y <?У\ = J w(y)<p(y) d*y = J wF(q)<pF(-q) d4g, У = У\ ~ Уг, V&O = J Ф\(У\)Фт.(У\ ~ У) (?У1-
160 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля Например,если rexp[-iq(yi - у2)] ' МУу ~Уг)= / ч~,—2 d4l (5-19^ J ql +тг — функция Грина эллиптического оператора —Д + т.2, где д2 — евклидов квадрат, матрица ковариации (5.18) характеризует свободные евклидовы поля с массой га. Замечание 5.3.5. Функция w(y\ —3/2) (5.19) совпадает с функцией Швингера s2 (В.14) на области определения последней (г/? — у2) < 0. □ Пусть обобщенная функция wF(g) удовлетворяет условию (В. 15). Тогда ее виковский поворот (В.20) задает билинейный функционал w(x) = в(х) I w (q) exp (-qx) dq + в(—х) I w (q) exp (—qx) dq Q+ Q- на полях -ф на пространстве Минковского. Например, для свободного массивного евклидова скалярного поля, когда w(y) дается выражением (5.19) и wF(q) = (q2 + m2rl, используя аналитичность wF(q) при Im q ■ Re q > 0, легко показать, что w(x) = -iDc(x), где Dc(x) — известная причинная функция Грина.
Глава 6 Дополнения Приведем в качестве дополнения два раздела алгебраической квантовой теории, которые, по нашему мнению, полезно иметь в виду при исследовании также и квантовых полевых моделей. § 1. Квантовая теория при конечной температуре Учет температурных эффектов в квантовой теории поля приобрел сейчас принципиальное значение [51, 62]. Это связано с разработкой объединенных моделей фундаментальных взаимодействий, а также инфляционного сценария эволюции ранней Вселенной, в которых ключевым пунктом является спонтанное нарушение симметрии в результате формирования хиггсовского вакуума при определенной температуре. Таким образом, согласно современным представлениям хиггсовский вакуум в квантовой теории поля заведомо должен быть температурным объектом. Более того, он сам может быть источником температурных эффектов, выполняя роль своеобразного термостата. Здесь мы, одг.ако, ограничимся только алгебраическим подходом к квантовой теории при конечной температуре. Суть состоит в том, что состояния квантовой системы при конечной температуре удовлетворяют так называемому условию Кубо—Мартина—Швингера (КМШ) [25, 33], которое аналогично модулярным условиям (3.6), (3.7) и может быть введено для всякого нормального точного состояния на cr-конечной алгебре фон Неймана наряду с модулярной группой автоморфизмов (см. § 3.3). Условие КМШ обосновывают по-разному. Поясним эти условия сначала на примере следующей формальной квантовостатистической конструкции. Пусть Ау — локальная С*-алгебра с единицей, описывающая квантовую систему в «объеме» V, и Ну — гамильтониан этой системы, а фур — гиббсовское равновесное состояние Тт[е~рВуа) <t>vAa)= lxe-pHv > а€^> <6Л> где /3 = \/Т — обратная температура. При этом предполагается, что: • Ау имеет точное представление в сепарабельном гильбертовом пространстве; • гамильтониан Hv самосопряжен; • ехр[—/3HV] — оператор с конечным следом; • существует состояние фр квазилокальной алгебры Л,» — термодинамический предел состояний фу$ при V —► со. а а.. М
162 Глава 6. Дополнения Примером такой системы может служить спиновая решетка в магнитном поле В с гамильтонианом Hv = J2 B(k)a3k, kevcz+. к Рассмотрим в Av группу автоморфизмов Tttv(a) = eitHvae~itHy, aeAv, (6.2) и запишем формальное тождество _Тг[е-^(ей*'ае-ЙЯ")Ь фур(т,,у(а)Ь) = —1 -jTe-pHv = <б-3> Тг^еимр)Иуае-т^РШу)е-РИу^ = Tr e-Wv = Tr\e-PH4{ei(MI3)Hvae-i(i+ie)HA) = -1 Тге-РНу = ФУл[ЬтМр,Г(.а)), где мы использовали соотношения (2.11). Предположим, что существует термодинамический предел Т((^4оо) семейства Tty(Av), хотя, поскольку гамильтониан неограниченной системы в общем случае не определен, нельзя заранее гарантировать, что автоморфизмы Т( алгебры А^ имеют вид (6.2). Совершив формальный переход к термодинамическому пределу в выражении (6.3), получаем равенство Фр(п(Ъ)а) = фр(атМр(Ь)), (6.4) которому, если термодинамический предел существует, должно удовлетворять состояние фр. Оно называется условием КМШ. Условие КМШ (6.4), как уже отмечалось, имеет тот же вид, что и модулярные условия (3.6), f3.7) в теории Томиты—Такесаки. Это позволяет получить условие КМШ, исходя из группы модулярных автоморфизмов. Приведем строгую формулировку условия КМШ. Назовем С*-динамической системой пару (А, т), состоящую из С*-алгебры А и сильно непрерывной однопараметрической группы т(, t 6 R, автоморфизмов А. Обозначим АТ равномерно плотную в А инволютивную подалгебру целых аналитических для т элементов из А. Она т(-инвариантна при всех ( £ 1. Будем рассматривать также W*-динамическую систему (В, т), где В — алгебра фон Неймана и т( — ультраслабая однопараметрическая группа автоморфизмов В. Соответственно Вт — ультраслабо плотное т-ипвариантное подмножество целых аналитических элементов из В. Определение 6.1.1. Пусть (А,т) — С*-динамическая система. Состояние о; на алгебре А называется (т■, ^-состоянием КМШ (т.е. состоянием КМШ относительно группы автоморфизмов т, соответствующее значению /3 ^ 0), если ш(ат{р(Ь)) = w(ba) (6.5) для всех элементов, из равномерно плотной т-инвариантной инволютивной подалгебры в Ат. а Аналогично, если (В, т) — TV*-динамическая система, состояние ш на алгебре В называется (т, /9)-состоянием КМШ, когда равенство (6.5) выполняется для всех элементов
§ 1. Квантовая теория при конечной температуре 163 из равномерно плотной т-инвариантной инволютивной подалгебры в Вт. Укажем связь между состояниями КМШ для С*-динамической и W*-динамической систем. Пусть ы — (г,/?)-состояние КМШ С*-динамической системы (А,т) при р > О и ш — расширение ы до. нормального состояния на алгебре фон Неймана Вы = пш(А)", где жш — представление алгебры А, определяемое ы {Вы = 7fw(B), где В — обертывающая алгебра фон Неймана для А (см. § 2)). Тогда существует единственная ультраслабо непрерывная группа т автоморфизмов Ви такая, что т(пш(А)) = пш(т(А)) и ш является (г, /3)-состоянием КМШ на алгебре Вш. Условие КМ Ш (6.5) определено только для целых т-аналитических элементов алгебры А, что неудобно для приложений. Поэтому полезна следующая переформулировка условия КМШ. Пусть (А, т) — С*-динамическая система, ш — состояние на А и /3 € К. Определим Dp = {z : z € С, 0 < Im z < /?}, и пусть Dfj^o — замыкание Dp, a Dp=o = Ш. Эквивалентны условия: • ш — (т,/?)-состоянис КМШ; • для всякой пары элементов а,Ь £ А существует комплексная функция Fa>b(z), которая аналитична на Dp, ограничена и непрерывна на Dp и такая, что Fajb(t) = w(ot,(6)), Fa%b(t + г/3) = ы(т,(Ь)о). (6.6) Если эти условия выполняются, тогда sup |^(г)| < ||а|| ||6||. zeD,, Приведем некоторые свойства состояний КМШ. • Если ш — (г, /?)-состояние КМШ и 6 — генератор г, то для всех a G £>(<5) - i/3uj(a'6(a)) > ш(а*а) In —, . (6.7) \w(aa*)J • Пусть ш — (т,/?)-состояние КМШ на С*-алгебре А при р > 0. Тогда оно т-инвариантно, т.е. w(.Tt(a)) = ш(а), а € А, и следовательно существует унитарное представление Uu группы т в пространстве представления Еы алгебры А такое, что nu(Tt(a)) = Uu(t)nu(a)UJl(t). • Пусть (А, т) — С*-динамическая система и ш — (г, /?)-состояние КМШ. Тогда тотализирующий вектор 0Ш, определяемый состоянием ш, является отделяющим для бикоммуганта vu(A)" = Вш. 6я
164 Глава 6. Дополнения Последнее свойство и позволяет установить связь между теорией КМШ и уже упоминавшейся теорией Томита—Такесаки модулярной группы, определяемой точным нормальным состоянием на алгебре фон Неймана. Предложение 6.1.2. Пусть В — алгебра фон Неймана и и> — нормальное состояние на В. Эквивалентны условия: • и> является точным как состояние на 7ГШ(В), т.е. существует проектор Г € В' Г) В такой, что w(l - Г) = 0 и ш\вт — точная форма на ВТ; • существует ультраслабо непрерывная однопараметрическая группа т автоморфизмов В такая, что ш является (г, 1)-состоянием КМШ. D Если эти условия выполнены, то ц(Т) = Г и ограничение т на ВТ является однозначно определенной модулярной группой автоморфизмов ВТ, ассоциированной с состоянием ш. Аналогично состояние ш на С*-алгебре А является состоянием КМШ относительно некоторой однопараметрической группы т автоморфизмов 7гш(Л)" в том и только том случае, когда ш — точное состояние на т:ш(А)". При этом группа т определена однозначно. Замечание 6.1.1. В этой связи напомним полезный критерий точности состояния. Пусть В — С*-алгебра в гильбертовом пространстве Е и в — тотализирующий вектор, определяемый состоянием ф. Если из условия ф(а*а) следует ф(аа*) для всех а £ А, то вектор в является отделяющим для А и состояние ф точное. □ Хотя модулярная группа точным состоянием ш определена однозначно, не однозначно ее представление унитарными операторами в пространстве Еш (см. (3.9)). Дело в том, что в пространстве Еш разные тотализирующие отделяющие векторы могут быть ассоциированы с одной и той же положительной нормальной формой ш на сг-конечной алгебре фон Неймана. Проиллюстрируем это следующим примером. Пусть С*-алгебра А совпадает с алгеброй В(Е) для некоторого сепарабельного гильбертова пространства Е и ш — точное нормальное состояние (3.4) на А, задаваемое матрицей плотности р. В физических моделях это может быть локальная С*-алгебра некоторой ограниченной квантовой системы, а ш — ее гиббсовское равновесное состояние (6.1). Построим представление жш алгебры А с тотализирующим вектором 6Ш, определяемое состоянием ш. Такое представление эквивалентно В(Е). Однако вопрос состоит в том, чтобы построить тотализирующий вектор вы в явном виде. Рассмотрим инволютивную алгебру S(E) всех операторов Гильберта—Шмидта в Е, снабженную скалярным произведением (aI|a2)=Tr(a,aJ). Напомним, что S(E) — двусторонний идеал в алгебре В(Е). Это позволяет определить на S(E) представление С*-алгебры А левыми умножениями жы(а)Ъ = аЬ, а£А, Ь € S(E), (6.8) с тотализирующим вектором 6Ш = р1^2. Нетрудно проверить, что представление (6.8) и вектор р1/2 6 S(E) действительно ассоциированы с формой ш{а) = Тт{ар).
§ 1. Квантовая теория при конечной температуре 165 Состояние ш является (г, /?)-состоянием К.МШ относительно группы автоморфизмов т,(а) = p-it/papit/f3, а &А, (6.9) которую в пространстве S(E) можно реализовать операторами Ut{apm) = p-UIPapU2. (6.10) Однако эти операторы не оставляют неподвижным тотализирующий вектор 0Ш = р'^2. Построим модулярный оператор Д и модулярную инволюцию J, ассоциированные с (1ГШ(А), в„). Определим Jb = b\ b£B(E). Легко показать, что для любых а, Ь, с £ А выполняется равенство жш(а^1гыф^жш(с)вы = aJbJcp^2 = JbJacp1/2 - J7rIi;(b)J7rIi;(a)7rIi;(c)p'/2, т.е. Jiru{A)J = *Ы(А)'. (6.11) Следовательно оператор J является модулярной инволюцией. Тогда, исходя из определения операторов 5а0ш = а*9ш, Д|/2 = JS (см. § 3.3), получаем 5 = p-I/2Jp1/2, ^l2 = Jp-"2Jpxl\ Д = Jp-,/2Jpl/2Jp-|/2Jpl/2 = pJp-'j. (6.12) Оператор (6.12) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к модулярному оператору, в том числе, оставляет неподвижным тотализирующий вектор: Модулярная группа совпадает с группой (6.9) автоморфизмов алгебры А, но в пространстве S(E) реализуется унитарными операторами Vt = A~it/P = UtJUtJ, (6.13) Vt(ap1/2) = p-iWapiWp. При этом, если генератором преобразований (6.10) является гамильтониан Н (т.е. р = ехр [—(ЗЩ), то генератором преобразований (6.13) служит оператор Лиувил- ля (3.9) H' = H-JHJ. (6.14) Необходимо отметить, что задание оператора J выводит за рамки представления ■кш(А) в силу свойства модулярной инволюции (6.11). В более общем виде это вытекает из следующего утверждения.
166 Глава 6. Дополнения Предложение 6.1.3. Пусть В — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором в, а Д, J, Р — ассоциированные с ними модулярный оператор, модулярная инволюция и естественный положительный конус. Если U — такой унитарный оператор, что UP = Р, то существует проектор Т € В П В' такой, что UBU* = ВТ + В'(1 - Г). а Таким образом, автоморфизмы алгебры А действуют в объединении жи(А) и жи(А)' и происходит как бы удвоение операторной алгебры (поскольку коммутант пи(А)' анти- изоморфен nw(A)). Этому удвоению можно придать следующий смысл. Обозначим о = JaJ. Тогда ы (ъ(Ъ)а) = ы(а*т№)) и модулярное условие можно записать в виде w (атмр(Ь)) =w(a*Tt(b*)). Это означает, что в физических моделях (особенно в квантовой теории поля) комплек- сификацию параметра эволюции, возникающую при учете температуры, можно заменить удвоением операторной алгебры, что и делается в рамках так называемой шермо- пожвой динамики [21, 46, 51]. Проиллюстрируем процедуру удвоения на примере состояний КМШ алгебры ККС. Пусть А — алгебра ККС на предгильбертовом пространстве Q, порождаемая элементами «*(#), q € Q. Хотя, если быть строгим, следует рассматривать С*-алгебру ККС, для простоты изложения ограничимся операторами a (q). Здесь удобно ввести обозначения а = а~, а* = а+. Пусть Tt(a(q)) = a(rt(q)) — группа автоморфизмов алгебры ККС, порождаемая группой автоморфизмов предгильбертова пространства Q с генератором Н — самосопряженным оператором в Q, спектр которого не содержит нуля. Пусть а; — (г,/3)-состояние КМШ С*-алгебры ККС и Д, J, вы — соответствующие модулярный оператор, модулярная инволюция и тота- лизирующий вектор. Тогда u(aW)a(qj) = -(q\q') + ш(а(Я)а*(Я')) = = -(q\q')+u(a^(q')Aa(q)A-^) = -(q\q') + <j(a\q')Aa(q)). Отсюда получаем, что и(а*(д')(1 - Д)a(q)) = -{q\q') ф 0, (6.15) т.е. a(q) не является оператором уничтожения относительно вакуума вы. Так и должно быть, иначе состояние, определяемое ви, не было бы точным. Введем операторы а = JaJ, а* = Ja*J,
§ 1 ■ Квантовая теория при конечной температуре 167 которые удовлетворяют ККС и коммутируют с операторами а, а* в силу условия (6.11). Будем обозначать ^(а) просто как а. Исходя из свойств модулярного оператора Д, получаем А1/2ави = а*ви, А~и2ави = ави, w(a,(q')a(q))=w(a(q)Aa'(q'))=w(a'(q)a(q')), т.е. a(q') также не является оператором уничтожения относительно вакуума вш. Однако, если qk — собственные векторы оператора Я, т.е. #Ы = ЬкЯк, можно, учитывая равенство (6.15), построить преобразования Боголюбова Hqt) = ch(Qk)a(qk) + 8п(П*)5*(д*), Ь*Ы = sh(Qk)a(qk) + ch(fi*)a*(9fc), (6.16) sh2(fi*) = - Igs-, (6.17) 1 — e "A* такие, что b*(qk), b(qk) — операторы рождения и уничтожения относительно вакуума вш. Однако преобразования (6.16) в общем случае, если не удовлетворяется условие (4.126), не являются преобразованиями эквивалентности представлений алгебры ККС. Аналогично можно рассмотреть состояния КМШ алгебр КАС, но и этом случае в результате удвоения операторы (о, а , о = JaJ, а* = J a J) не образуют алгебру КАС, поскольку элементы о и о коммутируют, а не антикоммути- руют. Эту трудность можно преодолеть посредством некоторой дополнительной конструкции, на которой мы здесь не станем останавливаться. Мы рассмотрели случай ограниченных систем, но построение модулярных операторов (6.13) и процедура удвоения остаются справедливыми и в термодинамическом пределе. Более того, в этом пределе определен именно оператор Н' (6.14), а не Я. Поэтому эволюция описывается именно группой модулярных операторов (6.13). Сам переход к термодинамическому пределу удобно осуществлять в терминах функций Грина. Пусть (Av,Tttv) — ограниченная С*-динамическая система н шу — ее (т^у,/^-состояние КМШ. Определим двухточечные функции Грина Gv(a, Ь; t) = uv (от,,к(Ь)) . (6.18) Они удовлетворяют условиям: (а) отображение (о, Ь) н-+ GV(a, b; t) билинейно; (б) отображение t н-+ Gy(a, Ъ; t) непрерывно; (в) Gv(a, сЪ\ 0) = Gv(ac, Ъ; 0); (r)Gv(l,l;0)=l; (д) если {o<}i^,^„ С Ау и {£<}i^„ С К — конечные последовательности, то п £ Gvialaj-Jj-t^^O;
168 Глава 6. Дополнения (е) существует такое /3, что 00 00 J f(t)Gv(a, b; t)dt= J f(t + i/3)Gv(b, a; -t) dt (6.19) — 00 -00 для всех a, b £ Ay и всех функций /, преобразования Фурье которых fF относятся к классу бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем. Равенство (6.19) — это одна из форм условия КМШ. Функции Грина (6.18) однозначно задают не только ограниченную, но и произвольную С"-динамическую систему. Пусть А — С*-алгебра с единицей и G:AxAxM.^C — функция, удовлетворяющая выписанным выше условиям (а)—(с). Тогда a i-> ш(а) = G(l, а; 0) является состоянием на алгебре А. Обозначим (Еш, 7гЫ) вш) определяемое ш представление А. Существуют гильбертово пространство Е и сильно непрерывная однопараметри- ческая группа Ut, действующая в Еы, такие, что UtEu СЕ, W <Е R, G{a, Ь; t) = (^7гш(Ь)^|7гш(а*)^). Если для G также выполняется равенство (6.19), то вектор вш является отделяющим для тгш(А)" и группа автоморфизмов бикоммутанта тгш(А)", определяемая операторами Ut, совпадает с модулярной группой, ассоциированной с (пы(А)",вы). При выполнении определенных требований, которые мы не будем здесь перечислять [33], система, задаваемая локальной алгеброй Av и функциями Грина Gy, имеет своим термодинамическим пределом систему, описываемую квазилокалькой алгеброй Лоо и функциями Грина G, удовлетворяющими условиям (а)-(е). Рассмотрим теперь множество состояний КМШ относительно данной модулярной группы. Пусть В — алгебра фон Неймана, ш — ее точное нормальное состояние, г — соответствующая модулярная группа, а ф — некоторое другое нормальное состояние В. Эквивалентны условия: • ф — (г, 1)-состояние КМШ; • существует положительный оператор Т, присоединенный к центру В П В' и такой, что ф(а) = ш(т1/2аТ1/2), а &В. Оператор Т единствен. В частности, и является единственным (г, /3)-состоянием КМШ тогда и только тогда, когда В — фактор. Кроме того, если и и ф — два точных нормальных состояния алгебры фон Неймана В, а ты и тф — соответствующие модулярные
§ 1. Квантовая теория при конечной температуре 169 группы, то существует сильно непрерывное однопараметрическое семейство t ь-> Tt унитарных элементов в В таких, что т/(а) = TtT?(a)Tt*, Tt+S = Т,т?(Т,), а е В. Приведем некоторые свойства множества Кр (г, /3)-состояний КМШ С*-динамичес- кой системы, предполагая (без существенных ограничений общности), что С*-алгебра А содержит единицу: • Kg выпукло и слабо* компактно; • Кр — симплекс; • ш — крайняя точка Кр тогда и только тогда, когда состояние ш факторное; • две крайние точки ш\ и ш^ из Кр или равны, или дизъюнктны; • для ш £ Кр единственная максимальная мера /мы па Кр с барицентром ш является центральной. В квантовой статистике состояния КМШ описывают равновесные состояния, а крайние состояния КМШ —-чистые термодинамические фазы. В частности, если состояние ш сепарабелъно (т. е. гильбертово пространство Еш сспарабельно), мера р,ш (см. §2.6) сосредоточена на множестве крайних точек и равновесное состояние представляет собой суперпозицию чистых термодинамических фаз. Разложение по чистым термодинамическим фазам при определенных условиях совпадает с г-эргодическим разложением. Пусть (.4, г) — С*-динамическая система (где А — С*-алгебра с единицей), Кр — множество (г, /3)-еостояний КМШ, ш € Кр и р, £ Ми(Кр) — однозначно определенная максимальная мера с барицентром ш. Эквивалентны условия: • существует однозначно определенная максимальная мера иш £ МШ{Е°(А)) такая, что ры = vu, где EG(A) — пространство r-инвариантных состояний на А; • пара (А,ш) асимптотически абелсва, т.е. 1 % lim w(a[Tt(b),c]d)dt = 0 (6.20) «2-«[—00 (2 — t\ J V ' для всех a, b,c,dE А; • состояние ш является центральным. В частности, крайнее состояние КМШ ш может быть эргодическим тогда и только тогда, когда выполняется условие (6.20). Заметим, что суперпозиция состояний КМШ при разных /3 не является состоянием КМШ, т.е. равновесным состоянием, и для неограниченных систем состояния КМШ, вообще говоря, весьма чувствительны к вариациям /3. Пусть (А, т) — С*-динамическая система и ш, ф — два состояния КМШ при разных /?i и 02- Если 1гш(А)" — алгебра фон Неймана типа III(т. е. тш\Во,т не является внутренней группой автоморфизмов ВШТ ни для одного проектора Т из центра Д, П B'J), 1 о_- АО<
170 Глава 6. Дополнения состояния ш и ф дизъюнктны. Например, термодинамический предел равновесных систем бозс-частиц описывается алгебрами фон Неймана типа III. Определение состояния КМШ можно распространить на экстремальный случай /3 = +оо — нулевой температуры. Пусть (А, т) — С*-динамическая система, «5 — генератор тиш — состояние на А. Состояние ш называется (г, оо)-состоянисм КМШ, если -ш(а6{а)) > О (см. (6.7) для всех а £ D(6). Эквивалентны следующие условия: • w — (т, оо)-состоянис КМШ; • для a, b е А существует функция F0ib(z) такая, что Fa,b(t) = «(071(b)), непрерывная при lm z > 0, ограниченная и аналитическая при Imz > 0; • ш является т-ипвариантным и, если eitHl"xu(a)Ou = 7гы(т,(а))0„ — унитарное представление г в Еы, то Нш > 0 и е"я" е vu(A)n, t е R. Имеется ряд существенных отличий между состояниями КМШ при /3 < оо и J5 = сю. Одно из них состоит в том, что (т, оо)-состоянис КМШ ш на тгш(А) не является точным. §2. Системы со многими вакуумами Рассмотрим в этом параграфе некоторые общие свойства нсинвариаитных и неэквивалентных состояний квантовых систем. Проблема состоит в том, что переходы между такими состояниями не выполняются унитарными операторами. Если квантовая система имеет подобные состояния, то о ней можно говорить как о системе со многими вакуумами. Под вакуумом мы будем понимать тотализирующий вектор в представления, определяемого состоянием системы, реализующий это состояние как векторную форму (2.8), называемую вакуумным средним. Всякий вакуум характеризуется таким образом, но, помимо этого, в зависимости от рассматриваемой модели на него накладываются еще другие условия — минимума энергии, трансляционной инвариантности и т.д. [9]. Мы здесь не касаемся этих дополнительных требований и исследуем только проблему переходов между вакуумами, являющимися тотализирующими векторами неэквивалентных представлений. Начнем с критерия, как различать неэквивалентные состояния. Он основывается на Предложениях 2.4.2 и 2.4.4. Положительные формы f\ и /г на С*-алгебре А связаны с одним и тем же ее представлением тогда и только тогда, когда /г(о) является пределом по норме в А последовательности форм а>-> f\(b*kabk), he А,
§ 2. Системы со многими вакуумами 171 т.е. когда форма f2 получается из формы /i асимптотически внутренним линейным отображением алгебры А: Л(в) = /i(9(a)), 9(a) = Km ftjaft*. (6.21) Если /i и /2 — чистые состояния, то <7(а) в (6.21) — внутренний автоморфизм д(а) = C/*oC/ алгебры Л (алгебры А с присоединенной единицей), осуществляемый посредством некоторого унитарного элемента U € А (см. Предложение 2.4.8). В физической интерпретации это означает, что неэквивалентные вакуумы квантовой системы не могут быть переведены друг в друга операторами из ее алгебры. Иллюстрацией могут служить неэквивалентные состояния спиновой решетки (см. §4.8), отличающиеся друг от друга ориентацией спинов не менее чем в бесконечном числе узлов. В этой связи встает вопрос — существует ли алгебра, операторы которой могут выполнять переход между неэквивалентными вакуумами, и существует ли оператор, по собственным значениям которого эти вакуумы можно было бы различать. Оказывается, что существуют, хотя возникает вопрос об их физическом смысле. Пусть А — С*-алгебра и /|, f2 — состояния па ней, определяющие представления 7Г| и 7Г2 этой алгебры в гильбертовых пространствах Е\ и Е2 с тотализирующими векторами в\ и 02- Рассмотрим представление р = х, © Х2 алгебры A d пространстве Е\ © Е2, а также алгебру В(Е\ © Е2) и алгебру фон Неймана В = р(А)"', порождаемую р(А) в£[© Е2. Векторы 9\ и в2 являются тотализирующими для С*-алгебры В(Е\ ф Е2) и задают векторные состояния oty и шдг, продолжающие на В(Е\ ф Е2) состояния /, и f2 на алгебре А. При этом существует унитарный оператор U G В(ЕХ ®Е2) такой, что 02 = ивХ И "*(&) = Ш02) = (U*bU9x\e,) = uei(U*bU) для всех 6 € В(Е\ © ф). Таким образом, в «расширенной* квантовой системе с С-алгеброй В(Е\ ф #2) «расширенные» состояния /i и /2 оказываются эквивалентными. Коммутант В1 = р(А)' алгебры фон Неймана В содержит проекторы Р и (1 - Р) на Е\ и Е2. Поэтому можно ввести оператор Г=А1Р+А2(1-Р), (6.22) для которого пространства Е\ и #2 будут собственными подпространствами с разными собственными значениями. Если представления чс\ и тг2 дизъюнктны, оператор (6.22) можно выбрать из центра самой алгебры В, т. е. Т € В П В'. Приведем более общую конструкцию. Пусть F(A) — множество положительных форм на С*-алгебре А и тг/ — представления, определяемые / € F(A). Рассмотрим универсальное представление алгебры Л в гильбертовом пространстве Е„= © Я,.
172 Глава 6. Дополнения Оно точно. Обозначим В слабое замыкание тг(Л), которое является алгеброй фон Неймана в Е„. Она называется обертывающей алгеброй фон Неймана для А и обладает следующими свойствами [10J, • Любая нормальная положительная форма на В является векторной формой шо для некоторого в G Еж. • Для любой непрерывной формы / па А существует единственная слабо непрерывная форма / на В такая, что /(т(а)) — /(a) для всех а € А. • Отображение / -* / является изометрическим изоморфизмом банахова пространства А1, сопряженного к 4, на нреддвойствеипое пространство для В, который переводит множество положительных форм па А н множество положительных нормальных форм на В. • Определим форму $■■/>-+ НУ), У 6 В, на А'. Тогда у н-> у представляет собой изометрический изоморфизм В на А" (непрерывный в слабой операторной топологии на В и топологии а(А", А') па А"). • Для всякого представления г алгебры А существует единственное нормальное представление т алгебры фон Неймана В а ЕТ такое, что ?(7г(а)) = т(а), \/а £ А, и т(В) есть слабое замыкание т(А). Алгебра В представляет собой прямую сумму алгебр фон Неймана тт/{В), действующих в пространствах Ef, и се центр В П В' содержит проекторы Ре на подпространства Ej С Е%. Причем эти проекторы образуют разбиение I. В результате можно построить оператор Г= £ X(f)Pf, (6.23) собственные подпространства которого ify различаются собственными значениями Д(/), где А(/) — некоторая функция из F(A) в 1R. В общем случае оператор Т (6.23) или принадлежит центру В, или присоединен к нему, Он обладает свойством f(Ta) = X(f)fra), Vci е В, т.е. всякая форма / (и форма /, продолжением которой на В является /) оказывается обобщенным собственным вектором оператора Г с собственным значением А(/). Оператор (6.23) является вариантом так называемого оператора суперотбора, когда имеются состояния, не переводимые друг в друга элементами алгебры наблюдаемых [24]. Например, операторами суперотбора, различающими неэквивалентные неприводимые представления группы Ли G и ее С*-алгебры C*(G), служат операторы Казимира из универсальной обертывающей алгебры Q алгебры Ли Q. Отметим, что операторы суперотбора принято связывать с макроскопическими наблюдаемыми, поскольку они коммутируют, а значит совместны, со всеми операторами из алгебры наблюдаемых квантовой системы. Это говорит за то, чтобы рассматривать неэквивалентные состояния как взаимно классические, переходы между которыми в рамках данной квантовой системы
§ 2. Системы со многими вакуумами 173 невозможны (см. также Замечание 2.4.3). Однако приведенная выше конструкция обертывающей алгебры фон Неймана показывает, что, вообще говоря, может существовать более широкая квантовая система, относительно которой эти состояния перестают быть взаимно классическими. Рассмотрим теперь случай, когда состояния на С*-алгебре А связаны некоторым ее автоморфизмом д (не обязательно внутренним), т.е. (g(f))(a) = f(g(a)), а € А. (6.24) Покажем, что пространства представлений, определяемые такими состояниями, изоморфны. Зададим отображение (см. обозначения Теоремы 2.4.3) А А - Ъ '■ -лг Э ^(а) ^ т1пф(з№) е -Гг—. « € А (6.25) Оно получается факторизацией преобразования автоморфизма a i-+ д(а), которая согласуется с отношениями эквивалентности, отвечающими факторизаци.чм алгебры А по левым идеалам Nf и Ng(f), поскольку Ng^ — g(Nf) и из условия а = b (mod Nf) следует условие д(а) ~ д(Ь) (mod g(Nf)). Если автоморфизм д непрерывен, то отображение (6.25) непрерывно. Оно обладает непрерывным обратным, а следовательно является гомеоморфизмом топологических пространств A/Nf и A/Ngy). Кроме того, поскольку структуры предгильбертова пространства в A/Nf и A/Ng(f) определяются факторизован- пыми формами f(a) и /,/(/)(а) = /(</(«)), отображение (6.25) осуществляет изоморфизм предгильбертовых пространств A/Nj и A/N!l(fh который расширяется до изоморфизма гильбертовых пространств Ef и Едц) представлений 7Г/ и 7rf/(/). определяемых формами / и g(f). В частности, lg{6f) = #ff(/)- Так как для всех а,Ь € А выполняются равенства (7ff_1Ttf(/)(«)7ff)(»?/W) = (7j Ч</)(<*)) (%(/) (аФ))) = ^ЪХ{Ъ(!) ШЬ))) = V/(g~\a)b) - itf(g-l(a))(vf(bj), изоморфизм (6.25) гильбертовых пространств порождает изоморфизм операторных алгебр кд{;)(А) и Wf(g~l(A)). Однако это не означает эквивалентность представлений тг,,(/)(.4) и iTf(A), поскольку в общем случае не эквивалентны представления TTf(g"l(A)) и iTf(A) алгебры А. Однако, если д(а) — V*aU — внутренний изоморфизм, то указанная эквивалентность имеет место. Отмстим еще, что, когда представление 7Г/ нсприводимо, представление 1гдщ тоже неприводимо, поскольку, если g(f) - /' > О, то / -<?""'(/') > О и 5~'(/') = А/, а значит /' = Xg(f), т.е. g(f) — чистая форма. Отображение (6.25) позволяет рсализовывать все представления ъд(})(А), определяемые формами <?(/), получаемыми из данного состояния / на алгебре А посредством ее автоморфизмов, в одном и том же гильбертовом пространстве Ef представления 7Г/(Л). Примером могут служить преобразования Боголюбова алгебры К.К.С. Рассмотрим несколько примеров автоморфизмов алгебр наблюдаемых. Как уже было отмечено, для всякого представления С*-алгсбры А, определяемого состоянием /, существует единственное нормальное представление тг/ в Ef обертывающей алгебры фон Неймана В для А такое, что Sj.(7rU» = ITf(A),
174 Глава 6. Дополнения где 7г — универсальное представление А. В частности, это означает, что на Ef может быть определена матрица плотности р и f(a) - Tr(pTrf(a)), а £ А. Если / — состояние С*-алгебры А, при котором алгебра фон Неймана К/(В) оказывается сг-конечной, то g(f) эквивалентно / для всех автоморфизмов д алгебры А, продолжаемых на слабое замыкание К/(А), поскольку они в этом случае выполнимы унитарными операторами в Ef (см. §3.3). Состояния g(f) и / эквивалентны также, когда д — элементы 1-параметрической слабо непрерывной группы автоморфизмов с полуограниченным спектром (см. §3.2). На этом основании можно сделать вывод, что в широком диапазоне квантовых моделей преобразования симметрии не сопровождаются переходами между неэквивалентными состояниями. Хот;» нетрудно привести и контрпримеры. Пример 6.2.1. Рассмотрим спиновую решетку Z+ из §4.8 и состояние /, характеризуемое задающей последовательностью (1, 1,...). Совершим автоморфизм алгебры наблюдаемых °к ~* ак cos а + ак sin а, з i • з ак —у —ак sin а + ак cos а, 2 2 <Тк -> <Тк. В результате состояние / перейдет в состояние /' с задающей последовательностью (cos a, cos а,...), которое не эквивалентно /, поскольку ряд (4.152) расходится. □ Пример 6.2.2. Другой пример преобразований симметрии, сопровождаемых переходами между неэквивалентными состояниями дают сдвиги пространства X в алгебре С* функций А(Х) на X (см. §4.7). Пусть ж — неприводимое представление алгебры А(Х) и /ж — соответствующее состояние на А(Х). При сдвиге х —» х' состояние fx-a^ Д(а(ж)), а £ А(Х), определяющее неприводимое представление р(г, х) алгебры А(Х), переходит в состояние Л- : а >-► Л(«(ж')), которое задаст неприводимое представление р(7г, х'), неэквивалентное р(тг, х). о Пример 6.2.3. Укажем также на неэквивалентность, которая возникает при переходе от инвариантного состояния к неинвариантному. Ограничимся неприводимыми представлениями. Пусть чистое состояние / инвариантно относительно некоторой группы G автоморфизмов алгебры А. Если чистое состояние /' эквивалентно /, то существует такой унитарный элемент U £ А, что /'(а) = niTaU), и состояние /' инвариантно относительно изоморфной G группы автоморфизмов алгебры А. Таким образом, эквивалентные чистые состояния имеют изоморфные группы инвариантности и изоморфизм этих групп осуществляется внутренним автоморфизмом С*-алгебры А. и
§ 2. Системы со многими вакуумами 175 Остановимся подробнее на ситуации, когда в С*-алгебре А действуют две (сильно непрерывные) группы автоморфизмов — однопараметрическая группа г (можно считать, что это некоторая динамическая группа) и группа G. Рассмотрим несколько вариантов. Пусть группы г и G коммутируют и / — единственное G-инвариантнос состояние А. Тогда из равенства Ma) = f(rt(a)) = /(Gr((a)) = f(rtG(a)) = ft(G(a)), a € A, следует, что состояния /( для всех rt являются G-инвариантными. Поскольку по предположению / — единственное G-инвариантное состояние, то /( = /, т.е. состояние / устойчиво относительно преобразований динамической группы т. Тогда согласно Предложению 3.4.1 группа г действует унитарными операторами в пространстве представления Ef и ее генератор имеет в своем спектре 0. Допустим теперь, что группы г и G не коммутируют и состояние / является т-инвариантиым, но G-нсинвариантным. Пусть симметрическое дифференцирование 6 к А — генератор г, и пусть д — такой элемент из G, что 6{д) = 6д-дбф0 и принадлежит £>(<5). Тогда !<,№)) = f(g6(a)) = f(6g(a)) - f(6(g)(a)) = -/(%)(a)) jt 0, a £ D(6), т. е. состояние fg = fog оказывается т-нсинвариантпым. Вместо этого оно инвариантно относительно преобразований с генератором 6д-д6д~1. Рассмотрим случай, когда группа G компактна и коммутирует с группой г; причем в центре G содержится такой автоморфизм а, что а2 — 1. Обозначим Ас подалгебру А, состоящую из G-инвариаптных элементов, а А+ и Л_ — четную и нечетную подалгебры А относительно автоморфизма а, т.е. А± = {а : а(а) = ±а, а € А}. Предположим также, что выполняются асимптотические соотношения lim ||[a,74(ft)]||=0, а € А, Ь € А+, |*|-00 lim ||{а,т((Ь)}||=0, а,Ъ€А... l'1-oo При этих условиях на систему (Л, г, G, а), если ш — т-инвариантное эргодическое состояние на AG, существует расширение ш до т-инвариантиого крайнего (в множестве таких расширений) состояния ф на С*-алгебре А, и любые два таких расширения ф\ и </>2 связаны соотношением ф\ = ф2 о д, д g G [33]. В частности, группы G\ и Gj, оставляющие инвариантными состояния ф\ и фъ, изоморфны и сопряжены в группе G. С физической точки зрения это означает, что степень нарушения симметрии определяется состоянием ш на подалгебре G-инвариантных элементов С*-алгебры А. Причиной являются кластерные свойства т-инвариантных крайних состояний рассматриваемой системы. Предложение 6.2.1. Пусть (А, т, G,a) — описанная выше система и ф — т-инвари- антное состояние на А. Тогда эквивалентны условия:
176 Глава 6. Дополнения • ф — эргодическое состояние; • ф обладает кластерным свойством 1 h Ijm / ф(ац(Ь)) dt = ф(а)фф). t\ D В частности, рассмотрим случай, когда т — модулярная группа в С*-алгебре А, в которой непрерывно действует еще группа автоморфизмов G. Пусть и) — состояние КМШ. Если оно G-инвариантно, то ш{аЪ) — ш (bg~ Ад(а)) для всех а, Ъ G А, д G G, т.е. модулярная группа коммутирует с группой G. Когда состояние ш является G-пеинвариантным, т.е. шд(а) = ш(да) Ф ш(а), то шд(аЬ) =шд (bg~lAg(a)) , и в результате, если операторы д G G и Д коммутируют, состояние ид — еще одно, помимо ш, состояние КМШ для данной модулярной группы. Этого не может быть, когда и — факторное (т. е. крайнее) состояние. Следовательно, если крайнее состояние КМШ G-пеинвариамтно, то модулярный оператор Д тоже С-непнвариантен. Более конкретно характер такой G-нсипвариантности можно выявить, рассмотрев, как и выше, систему (А, т, G, <т). Если и — крайнее (т, /3)-состоянис КМШ алгебры AG при /3 > О такое, что соответствующее представление 7гш алгебры Ас точно, то крайнее т-инвариантпос состояние ф алгебры А является /3-состоянием КМШ относительно однопараметрической группы автоморфизмов А вида t н-* rtgt, где t ^ gt — одпопара- метрическая подгруппа из центра группы Gf = {g : фод = ф, д е G} — стабилизатора состояния ф. Группа gt состоянием ф определяется однозначно. Группа Ttgt выполняется в пространстве представления Еф унитарными операторами, и ее генератором является сумма HG = Н + \I, A G R, (6.26) G-инвариантного генератора Н группы т и (^-инвариантного, но G-неинвариантно- го генератора I подгруппы gt группы G. Таким образом, в состоянии ф имеет место нарушение симметрии с группой нарушенных симметрии G и группой точных симметрии вф. Причем, что важно подчеркнуть, необходимым условием такого нарушения является переход к гамильтониану вида (6.26). Матрица плотности ограниченной равновесной системы в этом случае равна e-P(Hv+M) Pyfi ~ Tr е-р(Нг+\1) ■
§ 2. Системы со многими вакуумами 177 Например, если А —- С*-алгебра ККС или КАС, порожденная операторами а±(д), и G — фуппа фазовых преобразований то А — химический потенциал.
Приложение А Меры Гильбертовы и оснащенные гильбертовы пространства допускают реализацию в виде тех или иных пространств интегрируемых функций. Это делает теорию мер одной из математических основ алгебраической квантовой теории. При этом приходится выходить за привычные рамки мер на компактных пространствах, рассматривая более общие случаи мер, включая меры на бесконечномерных векторных пространствах [7, 8, 38|. 1. Меры на локально компактных пространствах Мерой на локально компактном пространстве X считается любая непрерывная линейная форма ц на пространстве К(Х) непрерывных вещественных функций с компактным носителем из Примера I.I.6. Значение этой формы на функции / 6 JC(X) называется интегралом Г f dp от / относительно меры р. Пусть К — компактное подмножество X и фк — его характеристическая функция, т. с. равная I па К и 0 на Х\К. Мерой множества К называется интеграл от характеристической функции р{К) = р(фк)- Требование непрерывности р можно заменить следующим эквивалентным условием. Пусть {.К",} — семейство компактных подмножеств из X, внутренности которых образуют покрытие X. Для того чтобы линейная форма р на К.{Х) была мерой, необходимо и достаточно существование для каждого Ki такого числа А;, что 1МЯКА«||/|| (A.l) для любой функции / € К,(Х) с носителем в К,. Если р и и — две меры на X такие, что р{К) — v(K) для произвольного компактного подмножества К С X, то р = и. Пример А. I. Легко убедиться, что для всякой точки х £ X отображение £х ■ f i-" f(x) пространства К.(Х) в К удовлетворяет условию (А. I), где Мк = I для всякого компактного множества К, содержащего х. Тем самым ех является мерой на X. Она именуется мерой Дирака. О Носителем supp(/j) меры р. на локально компактном пространстве X называется замкнутое множество, являющееся дополнением наибольшего множества U из всех открытых подмножеств X, на котором мера р обращается в нуль, т.е. p(f) = 0 для всех / 6 K(U) С К(Х). В частности, всякая мера на X с конечным носителем (точечная мера) является линейной комбинацией мер Дирака из Примера А.1. Обозначим М(Х) = /С(Х)' векторное пространство мер на локально компактном пространстве X. Это сопряженное к !С(Х) пространство может быть наделено локально выпуклой отделимой топологией равномерной сходимости на некотором семействе слабо ограниченных множеств V из К(Х). Наиболее употребительной топологией в М(X)
1. Меры на локально компактных пространствах 179 является слабая* топология — топология равномерной сходимости на семействе конечных множеств из К.(Х), которая называется широкой топологией в М(Х). Мера на локально компактном пространстве X называется положительной, если /*(/) ^ 0 для всех / € К,(Х). Всякой мере /z можно сопоставить положительную ме- РУ И (/) = l/*(/)l с тем же носителем. Обозначим множество положительных мер М+(Х). Отметим, что множество точечных мер тотально в широкой топологии в конусе М+(Х) х R, т.е. всевозможные линейные комбинации точечных мер образуют плотное подмножество этого конуса. Мера на локально компактном пространстве X называется ограниченной, если она непрерывна относительно равномерной топологии в К.(Х). Это эквивалентно существованию такого числа Л ^ О, что для любой функции / € 1С(Х) справедливо неравенство Ш)\ < АЦ/Ц. Ограниченные меры образуют пространство М1(Х), которое является банаховым с нормой |И = sup |/z(/)|, / € К(Х). (А.2) Например, мера Дирака ех ограничена и \\ех\\ = 1- Нормированное пространство 1С(Х) и пространство ограниченных мер М1(Х) образуют дуальную пару. Отметим также, что единичные шары {/z : ||/z|| j$ 1} в нормированном пространстве М1{Х) широко компактны. Расширим пространство функций, на котором определяется мера. Обозначим J+ множество положительных полунепрерывных снизу функций на локально компактном пространстве X со значениями в расширенной числовой прямой Ш, получаемой присоединением к Ш точек {+оо} и {—оо}. Оно обладает теми свойствами, что сумма произвольного семейства функций из J+ принадлежит J+, а также верхняя огибающая произвольного семейства функций из J+ и нижняя огибающая конечного семейства функций из J+ принадлежат J+. Замечание А.2. Напомним, что, если {/,-, i £ 1} — семейство числовых функций на множестве X, верхней огибающей (соотв. нижней огибающей) семейства {/,} называют определенную на множестве X числовую функцию sup/,(a;) (соотв. inf /,-(х)). D Распространить определение меры на пространство J+ позволяет следующий факт. Всякая функция / € J+ есть верхняя огибающая множества положительных функций д € К.+(Х), удовлетворяющих условию д < /. Тогда, если на X задана положительная мера /z, то верхним интегралом от функции f £ J+ относительно \i называется положительное число * /ЛЯ = / / dp = sup{/z(<7): д£К+(Х), д $ /} (А.З) из R. При этом для любой функции / € 1С+(Х) выполняется равенство /**(/) = /*(/), и /z* есть продолжение \i на J+. Примером верхнего интеграла (А.З) является внешняя мера открытого множества. Если U — открытое множество в X, то его характеристическая функция фц полунепрерывна снизу на X. Если на X задана положительная мера /z, то внешней мерой n*(U) открытого множества U называется верхний интеграл (1*(фц). В частности, внешняя
180 Приложение А, Меры мера открытого относительно компактного подмножества (т.е. содержащегося в некотором компакте) конечна. Если число /х*(Х) конечно, то оно называется полной массой меры /х. Рассмотрим теперь положительные функции / па локально компактном пространстве X со значениями в R, не требуя их полунепрерывности снизу. Для всякой функции / > 0 найдутся функции д £ J+ такие, что д ^ / (например, д — const -- +00). Тогда, если /х — положительная мера на X, верхним интегралом от / относительно /х называют положительное число /**</) = тГ{/Л<?) : 9 € J+, д > /}• (А.4) Для / £ J+ это определение совпадает с (А.З). Приведем следующие свойства верхних интегралов положительных функций / на X: • для всякой возрастающей последовательности {/„} /Asup/n) = sup//(/„); •t II • для любой последовательности {/„} Примером верхнего интеграла (А.4) является внешняя мера /x*(V) = /x*(<?V) произвольного множества V С X, которая является нижней гранью внешних мер открытых множеств, содержащих V. Положительная функция / на X называется пренебрежимой относительно меры /х на X, если |/х|* (/) = 0. При этом сумма и верхняя огибающая последовательности {/„} таких функций тоже препебрежимы. Для того чтобы положительная полунепрерывная снизу функция на X была /х-прснебрежима, необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в нуль на носителе меры /х. В случае, когда / = фу — характеристическая функция множества V из X, мы приходим к определению ц-пренебрежимого множества V такого, что \ц\* (V) -- 0, и получаем свойства таких множеств: • всякое подмножество препсбрежимого множества пренебрежимо; • всякое счетное объединение пренебрежимых множеств пренебрежимо; • открытое множество /х-пренебрежимо тогда и только тогда, когда его пересечение с носителем меры /х пусто. Говорят, что какое-либо условие справедливо почти всюду относительно меры /х на X, если множество тех х £ X, для которых оно не выполняется, /х-пренебрежимо. В частности, пусть /х — мера на локально компактном пространстве X и F — некоторое множество. Два отображения 7 и 7' множества X в F называются ^-эквивалентными, если j(x) = 7'(ж) почти всюду на X. Это задает отношение эквивалентности на множестве всех отображений из X в F, и определен фактор этого множества по отношению /х-эквивалентности, элементами 7 которого являются классы ^-эквивалентных отображений. Классы д-эквивалентности 7 отображений X в F могут быть расширены
1. Меры на локально компактных пространствах 181 за счет отображений, определенных не всюду, а почти всюду на X и ^-эквивалентных у. Отображение ( множества V из X в множество F называется определенным почти всюду па X, если дополнение V есть /t-пренебрежимое множество. Классом д-эквивалент- ности такого отображения С, считают класс эквивалентности всякого отображения у, определенного всюду на X и совпадающего с ( на V. Введем теперь понятие интегрируемых функций. Пусть / — R-значная функция на локально-компактном пространстве X и ц — мера на X. Обозначим 11/Р Np(f) = / 1/Г d Ы (А.5) положительное число из Ж, Очевидно, что Np(f) = Np(g) для д-эквивалсн^ных функций / и g на X и любого р > 1. Для величин (А.5) выполняется перавенство\Минков- с ко го NP(f + g)^ Np(f) + Np(g). (A.6) Введем следующие пространства функций. • ЩХ) — пространство R-значпых функций на X. • ПР(Х) — локально выпуклое подпространство ЩХ), состоящее из функций /, для которых Np(f) < оо. В силу свойства (А.6) Np(f) является преднормой па этом пространстве, и В.Р(Х) наделяется топологией, определяемой этой преднормой. Она называется топологией сходимости в среднем порядка р (и просто топологией сходимости в среднем, если р — I). Пространство RP(X) полно, но не отделимо. Его подпространством является К(Х). • 1/(Х) — замыкание в RP(X) векторного подпространства К(Х) в топологии сходимости в среднем порядка р. Функции из LP(X) называются интегрируемыми в р-степени, а функции из LX(X) — просто интегрируемыми. Например, множество V С X называется интегрируемым, сети фу С L{(X). В частности, для того чтобы мера ц на локально компактном пространстве X была ограничена, необходимо и достаточно, чтобы X было |/и|-интегрирусмым. т.е. \/i\* (X) < ос. • L°°(X) — пространство функций, интегрируемых в любой степени. • LP(X, Ж) — множество определенных почти всюду конечных и почти всюду R-значных функций на X, которые ^-эквивалентны функциям из 1/(Х). в LP(X) — отдслимос__банахово пространство классов ^-эквивалентных функций из LP(X) и из LP(X, R) с нормой (А.5). Наряду с верхним интегралом определяется еще существенно верхний интеграл. Пусть X — локально компактное пространство ид — положительная мера на нем. Рассмотрим пространство R+(X) неотрицательных М-значных функций на X, приписывая произведению О-оо значение 0. В частности, если / € R+(X) и V С X, то /фу —функция, совпадающая с / на V и равная 0 на дополнении V. Для любой функции / € R+(X) существенным верхним интегралом от / относительно /л называется ЖЯ = sup И*(/Фк), (А.7)
182 Приложение А. Меры где К пробегает множество компактных подмножеств из X. Поскольку /фк ^ / для любого компактного подмножества К из X, то/1(/) < /**(/). Например, для подмножества V интеграл n*(V) = О означает, что V пренебрежимо, а Щфу) = О — что V локально пренебрежимо, т. е. для любой точки х Е X существует окрестность U такая, что V Л U пренебрежимо. Именно существенные верхние интегралы фигурируют при определении меры на отделимых, но не обязательно локально компактных пространствах. 2. Меры на отделимых пространствах Предмерой на отделимом пространстве X называется отображение fi, которое каждому компактному подмножеству К из X ставит в соответствие некоторую меру цк па К так, что если К и Q два компактных подмножества из X и К С Q, то мера (hq)k, индуцированная мерой fiQ на К, совпадает с цк. Пусть \i — положительная предмера на X. Для всякой функции / € R+(X) определяется существенный верхний интеграл Jl(f) = sup цк(/фк), (А.8) к где К пробегает множество компактных подмножеств из X. Предмера ц на X считается ограниченной, если ~р(Х) < со, и локально ограниченной, если для любого х £ X существует такая окрестность U, что Ji(U) < -ю. Предмера \х на отделимом пространстве X называется мерой, если предмера |/х| локально ограничена. В частности, если X — локально компактное пространство, всякая предмера на X является мерой, и обратно, для всякой меры /t на X отображение К —> \iK является предмерой, так что существенные верхние интегралы (А.7) и (А.8) совпадают. Меры на отделимом пространстве X включают в себя все меры с компактными носителями. В частности, для любой точки i£X определена мера Дирака ех, которая характеризуется равенством £*(/) = f(x), f е R+(X). Приведем два свойства существенных верхних интегралов. • Пусть / — возрастающее фильтрующееся семейство положительных функций, полунепрерывных снизу на любом компактном подмножестве из X (напомним, что упорядоченное множество называется фильтрующимся сверху (соотв. снизу), если каждое его конечное подмножество ограничено сверху (соотв. снизу)). Тогда 7*(sup/,-) = sup//(/,-). i i • Пусть I — убывающее фильтрующееся семейство положительных функций, полунепрерывных сверху на любом компакте из X. Если среди {ft, г € 1} существует такая функция /, что /!(/) < со, то /Z(inf /i) = inf/Z(/i)- t i Функция / € М+(ЛГ) на отделимом топологическом пространстве (соотв. множество V С X) называется пренебрежимой относительно меры /х, если ~fl(.f) = 0 (соотв.
2. Меры на отделимых пространствах 183 ЩУ) = 0). Это эквивалентно тому, что функция /\к пренебрежима относительно меры цк для любого компактного подмножества К С X. В частности, говорят, что мера р. сосредоточена на подмножестве U С X, если его дополнение X \ U локально пренебрежимо. Носителем меры р, на отделимом топологическом пространстве X называется дополнение наибольшего открытого /j-пренебрежимого множества. Говорят, что отображение j отделимого топологического пространства X в топологическое пространство Y измеримо относительно меры р на X, если для любого компактного подмножества К С X отображение j\g является /^-измеримым, т.е. существует разбиение К на /Jx-прснсбрежимос множество N и на последовательность Кп таких компактных множеств, что суженные отображения ^\Кг непрерывны. Говорят, что подмножество V из X измеримо, если характеристическая функция фу измерима. В частности, открытые и замкнутые подмножества /^-измеримы. _ В случае отделимого пространства верхний интеграл функции / 6 R+(X\) определяется в виде j /Л/) = шГД(0), (А.9) где g пробегает множество полунепрерывных снизу функций, мажорирующих /. Для локально компактных пространств интегралы (А.4) и (А.9) совпадают. Для отделимых пространств они совпадают на множестве модератных функций. Говорят, что функция / на отделимом пространстве X со значениями в К моде- рантна относительно меры р, если она обращается в 0 на дополнении счетного объединения открытых ^-интегрируемых множеств. Если функция / £ R+(X) модерантна, то fi*(f) — ~p(f), в противном случае p*(f) = +оо. Обозначим LP(X) пространство /^-измеримых в р-стспени модерантных функций на X. Оно является полным пространством с преднормой Np(f) = M\f\P), а пространство L (X) — банаховым и рефлексивным. Пространство LP(X) обладает многими свойствами пространства LP(X). В частности, пусть р, q = 1, 2,..., со — сопряженные показатели, т. е. р"1+</-' = !. Всякая непрерывная линейная форма на ЬР(Х) имеет вид / ~* J f9 dfi, —п —Ч где g — функция из L (X), класс которой в L (X) однозначно задан. Определим некоторые операции над положительными мерами на отделимом пространстве X. Индуцированная мера. Пусть V — /^-измеримое подмножество X. Мерой pv, индуцированной р на V, называется сужение отображения р : К —► рк на множество компактных подмножеств из V. Сумма мер. Пусть {pt, i £ /} — возрастающее фильтрующееся семейство мер на X. Для того чтобы семейство мер {pi) было мажорировано в М(Х), необходимо и достаточно, чтобы величина sup,- pi была локально ограничена. Тогда семейство {р^ имеет в множестве М(Х) мер на X верхнюю грань р, и р = sup,- р{. Пусть J — множество конечных подмножеств из I и рв = £ Pi ДЛЯ каждого s £ J. Если семейство {ps, s € J}
184 Приложение А. Меры имеет в М(Х) верхнюю грань р, то семейство {щ} называется суммируемым, а ц — его суммой. Пусть р — сумма суммируемого семейства {/*,, г £ /} мер на X. Для того чтобы отображение пространства X в топологическое пространство Y было ^-измеримым, необходимо и достаточно, чтобы оно было /^-измеримым для любого г £ I. Измельчение. Измельчением пространства X относительно меры р называется локально счетное семейство {Ki,i £ /} таких попарно непересекающихся компактных подмножеств из X, что множество А' \ U К{ локально /i-пренебрежимо. Справедливы следующие утверждения: • измельчение пространства X относительно р существует; • если {Ki} — ^-измельчение и щ — индуцированные меры на Ki, то семейство {р.} суммируемо, его сумма равна ц и для любой функции / £ R+(X) выполняется соотношение а*(/) = £/*«-Ш; г • для всякого /х-измеримого отображения 7 пространства X в топологическое пространство Y существует такое измельчение {К,, г £ 1} пространства X относительно ц, что сужение 7 на if,- непрерывно для всех г £ I. Отметим, что если {Ki, г £ 1} — /i-измельчение X, то множество X можно наделить топологией, являющейся суммой топологий подпространств К; и дискретной топологии в X \\jKi, превратив его в локально компактное пространство. Обозначим это г пространство X". На нем существует мера р° такая, что /£(/) = Т?(Л, / £ R+(X), и измеримые отображения будут одними и теми же для мер р и р°. Это позволяет многое в описании мер на отделимых пространствах сводить к мерам на локально компактных пространствах. Меры, определенные посредством числовых плотностей. Функция / £ R+(X) называется локально р-интегрируемой, если она /i-измсрима и для любой точки х £ X имеется такая окрестность U, что Ш!Фи) < оо. Определим меру }i/:К-+/кцк, 1к = 1\к = 1Фк, где К пробегает все компактные подмножества X. Она называется мерой с плотностью f и базисом р. Для любой функции g £ R+(X) выполняется соотношение ~Pf(g) = Mfg)- Для того чтобы мера и на X была мерой с базисом р, необходимо и достаточно, чтобы всякое компактное /i-пренебрежимое множество было ^-пренебрежимым. В этом случае меры pwv называются эквивалентными, а функция / — производной Радона—Никодима. Она часто обозначается / = — dp, Образ меры. Отображение 7 пространства X в топологическое пространство Y называется р-собственным, если оно измеримо и любая точка у £ Y обладает такой окрестностью U, что p(-y~](U)) < со. Если 7 — /^-собственное отображение, на Y существует единственная мера /i7, обладающая тем свойством, что М7(5) = М#°7)
3. Меры Хаара на топологических группах 185 для любой функции д G R+(Y). Она называется образом меры р при отображении j. В частности, если X — подпространство У и 7 — вложение X в Y, то мера р1 сосредоточена на X и (p-j)x = ^. \ Произведение мер. Пусть X и У — топологические пространства, наделенные топологическими предмерами /ihi' соответственно. Пусть К — компактное подмножество произведения X х Y. Рассмотрим сужение (р®и)к на К тензорного произведения двух линейных форм р и v на /С(-Х") <8> £(У). Определяемая соотношениями p®v:K^>(p®v)K предмера р. ® и называется произведением предмер_^ и v. Это единственная предме- ра на X х Y такая, что для любых функций / G R+(X) и g G R+(Y) выполняется соотношение p®v(f ® g) = pU)V(g). Если //иг/ — меры, то ^ ® i/ — тоже мера. Свертка мер. Пусть Х\,... ,Хп — локально компактные пространства и pi — меры на X,. Обозначим X = х Х{, р- ® pi. i i Пусть 7 — отображение X в локально компактное пространство Y. Последовательность {pt} называется 7-свертываемой, если отображение у является ^-собственным. В этом случае образ р1 меры р при отображении 7 называется сверткой мер pi относительно 7 и обозначается *pi. Справедлива формула J f(y)d * pi{y) = J /(7(0:1,..., хп)) dpx{xx)... dpn(xn), где / G )C(Y). Из нее следует, что d * pdy) = J del(Xir..>x%)(y) dpi(xi)... dpn(xn). x 3. Меры Хаара на топологических группах Пусть G — топологическая группа, действующая непрерывно слева в отделимом топологическом пространстве X: -у(д):ХЭх^дх£Х, gEG. Действие группы G на функции / и меры р на X определяется формулами (7(9)f)(x) = f(g~lx), (l(g)p)(f) = p(l(9~l)f)- Мера у(д)р может быть определена как образ меры р при отображении у(д). В частности, если V — (707)^)-интегрируемое множество, то g~l(V) является ^-интегрируемым множеством. Образ р~1 меры р при переходе к обратному д —» д~1 называется обратной мерой. Она задается соотношением / /(5) dp~x(g) = J fig'1) dp(g) = / f(g) dp(g~l). Говорят, что (комплексная) мера р на X: Я ч«г. 495
186 Приложение А. Меры • инвариантна, если j(g)fi = ц, т. е. J f(gx) dfi(x) = J f(x) dfi(x) для всех g 6 G; • относительно инвариантна, если j(g)fi пропорциональна fi для любых g 6 G; • квазиинвариантна, если i(g)fi эквивалентна р. для любого g 6 G. Если мера р, относительно инвариантна, то для каждого g € G существует единственное комплексное число х(9) такое, что 7(5)M = X(5)"V При этом функция g —► х(9) на группе G является представлением G в поле комплексных чисел С. Она называется мультипликатором меры р.. Пусть G — топологическая группа, действующая непрерывно в отделимом топологическом пространстве X справа: т(д) :Х Эх^хд~1 е X. Ее действие на функции и меры на X дается формулами: (r(g)f)(x) = f(xg), (r(g)fi)if) = fi(r(g-l)f). Так же как и в случае левого действия определяются инвариантные, относительно инвариантные и квазиинвариантные меры относительно правого действия G на X. Пусть теперь G — локально компактная топологическая группа, которая действует на себя как левыми, так и правыми сдвигами: 7(5) -Я^9Я, T(g):q»qg-\ q£G, 7(5i)t(52) = гЫ7Ы- (А.10) Соответственно определяются левоинвиариантные, правоинвариантные и т.д. меры на группе G. Левой мерой Хаара (или просто мерой Хаара) на локально компактной группе G называется левоинвариантная положительная ненулевая мера на G. На всякой локально компактной группе существует и притом одна с точностью до постоянного множителя левая мера Хаара. Если р — мера Хаара на G, для произвольного д € G мера т(д)р. в силу равенства (А.10) тоже левоинвариантна, и поэтому существует единственное число А(д) > 0 такое, что т(д)р = А(д)р. Поскольку все меры Хаара друг другу пропорциональны, число А(д) не зависит от выбора меры Хаара р. Функция Д на G называется модулем группы G. Она задает непрерывное представление G в К+. В частности, выполняется соотношение dfi~l(g) ^ W1) = b(g)-ldit(g), где мера рГх называется обратной-
4. Меры на бесконечномерных векторных пространствах 187 Если Д = 1, то группа G называется унимодулярной. Например, дискретные, компактные, коммутативные, нильпотентные и полупростыс группы унимодулярны. Имеется следующий критерий унимодулярности. Если в группе существует компактная окрестность единицы, инвариантная относительно внутренних автоморфизмов, то группа унимодулярна. В унимодулярной группе левые и правые меры Хаара пропорциональны. Меры у\,...,уп на локально компактной группе G называются свертываемыми, если они свертываемы относительно отображения (9\,---,9n)^9i ■■■9п, т.е. J f(g) d * fii(g) = J f(gi ...g„) dyx(gx)... dyn(gn). В частности, для всех x,y,z £G справедливы соотношения: • ех*у = j(x)y, у * ex = т(х~х)у; • если меры А, у, и свертываемы, то то же верно и для пар А и у, у и и, |А| * \у\ и и, А и \у\ * \и\. Причем А * у * v = (А * у) * v = А * {у * v). Пусть у\,..., у„ — меры на G. Если все у,, кроме может быть одной, имеют компактный носитель, то они свертываемы. В частности, любые два элемента из MX(G) свертываемы, и MX(G) является полной нормированной алгеброй относительно свертки и нормы \\у\\, обладающая единичным элементом е\. Определены также: • свертка меры и и функции f — это плотность свертки и * fy относительно меры Хаара у; • свертка функций /i и /г — это плотность свертки f\y * fay относительно меры Хаара у, т. е. (/i * /г)(9) = //i(5)/2(«7_1?) dy(g), q,g£G. 4. Меры на бесконечномерных векторных пространствах Пусть в дальнейшем Е — локально выпуклое отделимое вещественное топологическое векторное пространство. Все меры считаются положительными. Обозначим N(E) множество замкнутых векторных подпространств, из Е конечной коразмерности, упорядоченное отношением вложения. Для того чтобы подпространство V из Е принадлежало N(E), необходимо и достаточно, чтобы в топологически сопряженном пространстве Е' нашлось конечное число таких элементов У\,-.. ,уп, что V состоит из элементов х € Е, удовлетворяющих соотношениям (x,yi)=Q, г=\,...,п. 8*
188 Приложение А. Меры Промерой (i на Е называется семейство {fly, V 6 N(E)} положительных ограниченных мер fiy на конечномерных пространствах E/V с одной и той же полной массой. Причем fiv = ry(iw, когда W С V и ry : E/W -> E/V. В частности, пусть \i — ограниченная мера на£с полной массой 1. Для произвольного V £ N(E) обозначим цу образ меры \l при каноническом отображении rv : Е —> S/V. Семейство {fly} является промерой на Е, ассоциированной с мерой fi. Отображение /*-{/*к, ^ елг(Я)} — это биекция множества ограниченных мер на Е на множество промер на Е, удовлетворяющих следующему условию. Для любого е > О найдется такое компактное подмножество К С Е, что Рассмотрим линейное непрерывное отображение 7 векторного пространства Е в (локально выпуклое) топологическое векторное пространство F. Для любого W G N(F) подпространство V = j~l(W) из Е принадлежит N(E), и 7 определяет линейное отображение 7w пространства E/V в F/W. Пусть теперь fi = {fiy, V£N(E)} — промера на Е. Для любого W € N(F) определим меру v-w =7wr(/V'(wr))- Семейство v = {vw, WeN(F)} является промерой на F, которую называют образом промеры fj, при отображении j. В частности, выберем в качестве F поле R. Для любой непрерывной формы у на Е обозначим fly меру на №. — образ промеры \l на Е при отображении у. Преобразованием Фурье промеры \l называется функция Z(y) = У е" dny(t), у£Е'. (А.П) Если /i — ограниченная мера на Е, то ее преобразование Фурье имеет вид Z(y) = J exp[i{x, у)] dp(x), у € Е'. (А.12) Е Справедлив следующий вариант теоремы Бохнера. Определение А.1. Комплексная функция Z на топологическом векторном пространстве Е называется функцией положительного типа, если выполняется неравенство £ Же,- - ej)ciCj ^ О для произвольного конечного набора ei,..., е„ элементов из£и любых комплексных чисел ci,..., Сп. □
4. Меры на бесконечномерных векторных пространствах 189 Теорема А.2. Преобразование Фурье является биекцией множества промер на топологическом векторном пространстве Е на множество функций Z положительного типа на Е', сужение которых на всякое конечномерное подпространство из Е' непрерывно. □ Важный для приложений тип мер на вещественном топологическом векторном пространстве Е составляют гауссовы меры. Для любой положительной квадратичной формы М на топологически сопряженном пространстве Е' существует единственная промера цм на Е такая, что ее преобразование Фурье имеет вид Z(y) = ехр Щу) У£Е'. Полная масса рм равна 1. Она называется гауссовой промерой с формой ковариации М. Для любого элемента у 6 Е' образ рм при отображении у : Е -+ Ш. является гауссовой мерой на М. с формой ковариации М{у). Обратно, если образ ру промеры р. на Е при отображении у является гауссовой мерой на Ж, то р. — гауссова промера на Е. Пусть р — гауссова мера на Е с формой ковариации М на Е'. Для всякого целого п ^ 0 и любого у £ Е' справедливы соотношения /( Е /( Л2п (2п)! (х,у)) dp(x)=^M(y)n, Е (Я, У)) 2п+] dp(x) = 0. Е Приведем примеры гауссовых мер. Пример А.З. Пусть Е = R" — конечномерное пространство. Гауссова мера с (невырожденной) формой ковариации М эквивалентна мере Лебега и, будучи записанной относительно базиса {е,} в Е' = Ж", имеет вид (detM)!/2 ** = 12^5- СХР ■\{Щхх**) dnx. (А. 13) Пример А.4. Пусть Е — действительное гильбертово пространство, Е' — его сопряженное, наделенное положительной эрмитовой формой (.|.)'. Гауссова промера на Е с формой ковариации м(у) = (у\у)', у е е', называется канонической. Можно показать, что в случае бесконечномерного пространства Е эта промера, однако, не является мерой. Пусть Т — непрерывный оператор на Е'. Отображение Е' Э у ~ {Ту\Ту)' является положительной квадратичной формой на Е'. Соответствующая промера на Е — это мера в том и только в том случае, когда Т — оператор Гильберта—Шмидта. В виду этого ограничения гауссовы меры предпочтительно рассматривать на ядерных пространствах. □ Пример А.5. Пусть Е — вещественное ядерное пространство и Е' — его топологически сопряженное, наделенное топологией равномерной сходимости, которая совпадает
190 Приложение А. Меры в данном случае со слабой* топологией. Пусть /z — промера па Е'. Для того чтобы /z была мерой, необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье было непрерывно на пространстве Е (которое является топологически сопряженным к Е', наделенному слабой* топологией). Преобразование Фурье задает биекцию множества положительных ограниченных мер на Е' на множество непрерывных функций положительного типа на ядерном пространстве Е. В частности, всякая гауссова промера на пространстве Е', топологически сопряженном ядерному пространству Е, с непрерывной формой кова- риации на Е является мерой. Это не так, если Е — счетно-гильбертово, но не ядерное пространство. □ Пример А.6. Пусть Е С Ё С Е' — оснащенное гильбертово пространство и /z — гауссова мера на Е', определяемая невырожденной положительной эрмитовой формой (.|.) на Е. Рассмотрим положительно определенный оператор Т в Е, т.е. Шт = (Ту\у) > 0, (А. 14) и гауссову меру р,т на Е', определяемую формой ковариации (А.14), суженной на Е-С Ё. Если Т имеет дискретный спектр и ряд J2 ^к, составленный из его собственных значе- к ний, сходится (например, Т — ядерный оператор), то меры /zy и р. неэквивалентны. Наоборот, если произведение П^л конечно и не равно 0 (т.е. Т представляет собой сумму единичного и ядерного операторов), то меры /zy и /z эквивалентны. В частности, все гауссовы меры на конечномерном пространстве эквивалентны. □ 5. Интегралы со значениями в векторных пространствах Пусть X — локально компактное пространство, Е — локально выпуклое отделимое вещественное топологическое векторное пространство, Е' — его топологически сопряженное, а Е'* — алгебраически сопряженное Е'. Пространство Е отождествимо с некоторым подпространством пространства Е'* (см. § 1.2). При этом пространство Е'*, наделенное топологией ст(Е'*, Е'), совпадает с пополнением пространства Е в топологии а(Е,Е*). Пусть К(Х,Е) — пространство непрерывных отображений и:1->£ с компактным носителем, a S(X, Е) — пространство скалярно непрерывных отображений (т. е. функция х *-> {v(x), z) непрерывна при всех z G Е') с компактным носителем. Ясно, что К(Х, Е) С S(X, Е). Для любого отображения v G S(X, Е) интегралом от v со значениями в векторном пространстве Е относительно меры /z на X называется элемент / v dp, из Е'*, определяемый формулой vdn,zj=p,((v,z)) для любого z е Е'. В частности, / vdex - v(x). Заметим, что элемент f v dp не всегда принадлежит Е С Е'*. Например, это имеет место, когда Е — банахово пространство, или когда v(X) содержится в полном выпуклом подмножестве пространства Е. Если Up — носитель меры р. и Е'* наделено топологией а(Е'*,Е'), то интеграл j v dp. принадлежит замыканию в Е' выпуклого конуса, порождаемого vlJJp). Частным случаем интегралов со значениями в векторном пространстве являются интегралы от комплексных функций. /
6. Борелевские меры 191 6. Борелевские меры Все рассмотренные выше меры так или иначе связаны с мерами на компактных пространствах. Более общий тип мер составляют борелевские меры, определяемые алгебраически не на топологическом пространстве, а на борелевской алгебре множеств. Борелевским пространством называется множество X вместе с некоторым множеством Е его подмножеств, замкнутым относительно операций счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению множества, а также включающим 0 и X. Элементы Е называются борелевскими множествами, а само Е — борелевской алгеброй на X. Пусть Л — некоторое множество подмножеств из X. Среди борелевских алгебр Е на X существует наименьшая, содержащая Л. Говорят, что она порождается Л. Борелевской мерой на борелевской алгебре Е (или на борелевском пространстве X) называется такое отображение т : Е —> R+, что m(U Vd = £ m(Vi), i где {Vi} — счетное семейство элементов из Е таких, что V) П Vj = 0 для всех г Ф j, т.е. отображение т счетно аддитивно. Борелевская мера с полной массой 1 называется вероятностной мерой. Ограничимся случаем, когда борелевское пространство X — это топологическое пространство. Пусть Л — множество всех открытых и замкнутых подмножеств из X. Рассмотрим борелевскую алгебру Е, порожденную Л. Такое борелевское пространство (X, Е) называется подчиненным топологии в X. Пусть X — отделимое топологическое пространство и (X, Е) — борелевское пространство, подчиненное этой топологии. Рассмотрим борелевскую меру т на X. Для того чтобы на X существовала такая мера (i, что ~p(V) = m(V) для любого V € Е, необходимо и достаточно, чтобы: • т была локально ограничена, когда всякая точка х € X обладает открытой окрестностью Vx, для которой m(Vx) < со; • внутренне регулярной, т. е. для любого множества V £ Е m(V) — sup т(К), к где К пробегает множество компактных подмножеств из V. Борелевские множества в отделимом топологическом пространстве X /г-измеримы относительно любой меры (г на X. Замечание А.7. Борелевское пространство называется стандартным, если оно подчинено топологии польского пространства, (т. е. пространства, гомеоморфного полному сепарабельному метрическому пространству). Мера т на борелевском пространстве X называется стандартной, если существует такое борелевское подмножество N С X, что m(N) = 0 и X \ N — стандартное борелевское пространство, п Пусть К — выпуклое компактное подмножество (локально выпуклого) отделимого вещественного топологического векторного пространства Е. Оно является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек Nk (см. Замечание 1.2.4). Напомним некоторые понятия. Функция / 6 ЩК) называется:
192 Приложение А. Меры • выпуклой, если / (Ах, + (1 - А)х2) < А/(х,) + (I - А)/(х2), VA 6 [0, 1]; • вогнутой, если / (Ах, + (1 - А)х2) > А/(х.) + (I - А)/(х2); • аффинной, если / (Ах, + (I - А)х2) = А/(х,) + (1 - А)/(х2). Обозначим S(K) множество всех выпуклых непрерывных функций на К. Множество S(K) — S(K), образованное разностями элементов S(K), равномерно плотно в R(K), т.е. непрерывная функция на К может быть равномерно аппроксимирована разностью непрерывных выпуклых функций. Множество положительных мер М+(К) на К наделяется широкой топологией. Обозначим Mi(K) его подмножество положительных мер с полной массой у.(К) = 1. Согласно теореме Рисса имеет место взаимно однозначное соответствие между мерами из М+(К) и регулярными ограниченными борелевскими мерами на К, когда m(V) = sup m(U), V 6 Е, и где U С V — всевозможные замкнутые подмножества V. Заметим, что к борелев- ским множествам в К относятся все счетные объединения замкнутых множеств (Fa- множества) и все счетные пересечения открытых множеств (G^-множества). Бэровские множества компакта К определяются как элементы борелевской алгебры Е0, порождаемой замкнутыми б^-множествами или открытыми i^-множествами в К. Всякая мера на £о называется бэровской мерой. Она автоматически регулярна и обладает единственным регулярным расширением до борелевской меры на Е. На компактном пространстве К меры из М+(К), регулярные борелевские и бэровские меры можно отождествить. В дальнейшем они будут обозначаться ц. Напомним, что мера ц считается сосредоточенной на множестве V С К, если fj,(V) = ц(К), и псевдососредоточенной на V С К, если jx(W) = р(К) для любого бэровского множества W, содержащего V (при этом возможно, что fj,(V) = 0). 7. Барицентрические разложения Барицентрические разложения широко применяются в алгебраической квантовой теории. Они, например, описывают разложение состояний С*-алгебры с единицей по чистым состояниям, инвариантных состояний по эргодическим состояниям и равновесных состояний по чистым термодинамическим фазам. Пусть Е — (локально выпуклое) отделимое вещественное топологическое векторное пространство и К — выпуклое компактное подмножество из Е. При каноническом отождествлении Е с подпространством в Е1* топология, индуцированная в К топологией а(Е'*, Е'), совпадает с исходной топологией в К. Поскольку каноническое вложение К в Е непрерывно и имеет компактный носитель, для любой меры у. на К интеграл К/0 = xd/i,
7. Барицентрические разложения 193 где х — тождественное отображение К в К С Е, определен как элемент из Е'*. Дня любой положительной меры ц £ М\{К) он называется ее барицентром. В частности, барицентром меры Дирака ех, х £ К, является х £ К С Е'*. Справедливы следующие утверждения. • Барицентр всякой меры fi € М\{К) принадлежит К, и обратно, всякая точка из К является барицентром некоторой меры /j, € М\ {К). • Всякая точка из К является барицентром меры /j, € М\(К), которая псевдосо- средоточена на множестве крайних точек Nk множества К, т.е. /j,(W) — 1 для всякого бэровского множества W, содержащего Nk- Если К метризуемо, то его бэровские и борелевскис множества совпадают, и /j, сосредоточена на Nk- • Точка х является крайней точкой множества К тогда и только тогда, когда ех — единственная мера на Nk, имеющая х своим барицентром. • Пусть / — аффинная полунепрерывная сверху функция на К. Если /j, € М\{К) имеет барицентр Цц), то ' / dfi = ДЦл)). /• Рассмотрим, в какой степени мера на выпуклом компактном подмножестве К определяется своим барицентром однозначно. На М+(К) можно ввести частичное упорядочение, задаваемое условием fi ^ v тогда и только тогда, когда //(/) > v(f), / € S(K). Обозначим Мь множество мер, имеющих своим барицентром точку Ъ. Справедливы следующие утверждения. • Мера (1 принадлежит Мь тогда и только тогда, когда ц ^ еь. • Всякая точка b £ К является барицентром некоторой меры ц € М\(К), максимальной относительно упорядочения ^, и каждая такая максимальная мера псев- дососредоточена на Nk- • Всякая точка b £ К является барицентром единственной меры ць тогда и только тогда, когда К является симплексом, т. е. конус С = К" х Е+, порождаемый К, на-- делен таким упорядочением, что а ^ b в том и только том случае, когда a- b € С, а также является решеткой, т.е. любая пара его элементов имеет верхнюю и нижнюю грань.
Приложение Б Преобразования Лапласа Мы приведем здесь основные сведения об обобщенных функциях и преобразованиях Лапласа [2], выпишем преобразования между функциями Уайтмана и Швингера [18] и виковского поворота в алгебраической квантовой теории поля. 1. Обобщенные функции Существуют различные типы обобщенных функций. Обобщенные функции вводятся как элементы пространства, топологически сопряженного некоторому пространству «хороших» функций, называемых пробными функциями. Мы ограничимся здесь рассмотрением в основном только одного типа обобщенных функций — так называемых распределений умеренного роста. Пусть C°°(R", С) — пространство комплексных бесконечно дифференцируемых (гладких) функций на Шп. Используем стандартные обозначения: • а = (c*i,..., а„) — набор п произвольных натуральных чисел (включая 0) и |ог| = ах+... + ап; • для всякого такого набора а введем оператор D" = dxai ... дха" на пространстве C°°(R", С). Выберем в качестве основных функций те гладкие функции а на Ж", для которых величина ||ti||t,m = max sup(l + \x\)m\Dau(x)\ (B.l) конечна для всех натуральных чисел к, тп. Они называются гладкими функциями, быстро убывающими на бесконечности. Обозначим 5(R") пространство этих функций. Будем называть его пространством пробных функций, или пространством Шварца. Оно наделяется топологией, определяемой семейством преднорм (В.1). Можно показать, что это ядерное пространство. Пусть 5'(К ) — пространство, топологически сопряженное пространству Шварца 5(М"). Его элементы / называются распределениями умеренного роста, или просто обобщенными функциями. Хотя в общем случае обобщенные функции / не являются функциями на Е", принято писать (*,/>=/ f(x)f(x)dnx. (В.2)
1. Обобщенные функции 195 Поскольку пространство Шварца S(R") ядерно, оно рефлексивно, т.е. совпадает со своим вторым сопряженным S(R") = (S'(R"))'. При этом S(R") является плотным подпространством пространства обобщенных функций S'(R.n). Пространство Шварца может быть наделено невырожденной положительной эрмитовой формой Ш')= j'№)¥W)d"x, (В.З) непрерывной по каждому аргументу и согласующейся с (В.2). Пополнение пространства 5(М") по этой форме превращает его в оснащенное гильбертово пространство S(R") С L2(R") С S'(R"). Замечание В.1. Упомянем еще один тип обобщенных функций. Обозначим 2?(R") пространство комплексных гладких функций V на R", обращающихся в 0 вне некоторого компакта Q в R". Топология в V(R") задается набором преднорм Рш№) = supl^Z 4>a(x)Datp(x)\, хеи' а где {фа} — такое семейство гладких функций, что на любом компакте Q С К" отлично от нуля только конечное число функций из этого семейства. Пространство 2>(R") является подпространством S(R") и плотно в нем. Элементы топологически сопряженного к Т>(Ш") пространства V'(R") называются распределениями Шварца. В отличие от обобщенных функций (распределений умеренного роста) допустимый рост распределений Шварца в R" на бесконечности никак не ограничен. В то же время всякое распределение / £ V(R"), удовлетворяющее условию \(i>,f)\^\\i>\\k,m для некоторых натуральных чисел A;, m и произвольных гр G V(W), может быть единственным образом продолжено до непрерывной формы на S(R"). Таким образом, всякую обобщенную функцию из S'(R") можно рассматривать и как распределение из V(Rn). а Важное преимущество пространства S'(R") распределений умеренного роста, в сравнении, например, с пространством V'(R") всех распределений Шварца, состоит в том, что преобразование Фурье является отображением S'(R") и 5(Ж") на изоморфные им пространства. Пусть пространство R" снабжено мерой Лебега d"x. Обозначим дуальное и изоморфное ему пространство как R„ с координатами р\,...,рп, наделив его мерой Лебега dnp = (2n)-"d"p. Будем обозначать свертку (х, р) просто рх. Преобразованием Фурье квадратично интегрируемой функции ф(х) на R" называется функция фр(р) = J rl,(x)eipxdnx (В.4) на Шп. Обратное преобразование Фурье имеет вид tl>(x) = JTpF(p)e-ipxdnP. (В.5)
196 Приложение Б, Преобразования Лапласа Преобразования Фурье (В.4), (В.5) осуществляют изоморфизм пространств Шварца 5(ЕП) и S(R„). Преобразование Фурье fF обобщенной функции f € S'(R") определяется из условия J /(хЩх) dnx = J f(v)i>F(-V) dnp. Как и для обычных функций, будем записывать преобразование и обратное преобразование Фурье в виде интегралов f(p) = J№eifXdnx, f(x) = JfF(p)e-ipxdnp. Эти преобразования осуществляют изоморфизм пространств обобщенных функций S'(R") и 5'(К„). 2. Преобразование Фурье—Лапласа Преобразование Фурье—Лапласа, вообще говоря, определяется для распределений Шварца из Замечания В. 1, но мы ограничимся в основном случаем обобщенных функций. Пусть / € S'(R") — обобщенная функция и Г(/) — подмножество таких q € R„, что e~qxf(x) е S'(R"). (В.6) Это выпуклое множество. В частности, 0 € Г(/). Обозначим Int Г(/) внутренность, a dT(f) — границу подмножества Г(/). Преобразованием Фурье—Лапласа обобщенной функции / € S'(Rn) называется обобщенная функция fL(p + iq) = (e-gxf(x))Fd>) = J f(x)ei(p+i,l)xdnx (B.7) из 5'(M„), являющаяся преобразованием Фурье обобщенной функции (В.6) и зависящая от q как от параметра. Выражение (В.7) можно также интерпретировать как преобразование Фурье обобщенной функции / с комплексной переменной k = р + iq. Важнейшим свойством преобразования Фурье—Лапласа является аналитичность. Пусть lntT(f) ф 0. Тогда преобразование Фурье—Лапласа fl(k) (В.7) является голоморфной функцией от комплексной переменной к = р + iq в открытом трубчатом множестве Ш„ + i Int Г(/) С С„ с основанием 1шТ(/)- Причем для любого компакта Q С IntT(/) существуют числа А, т > 0 (зависящие от Q и от /) такие, что \fL(j> + iq)\^A(l + \p\)m, peRn, q£Q. (В.8) Все вышесказанное остается справедливым, если / € V'(M") — распределение Шварца. Обратно, пусть h(k) — голоморфная функция в трубчатой области Ts = Е„ + iS, где 5 С М„ -^-выпуклая область (непустое связное открытое множество). Если для
2. Преобразование Фурье—Лапласа 197 любого компакта Q С S имеет место оценка (В.8), тогда существует единственное распределение / £ X>'(R") такое, что, S С Г(/) и h(k) = fL(k) в Ts. При этом для h(k) оценка (В.8) эквивалентна тому, что функция h(p + iq) определяет семейство обобщенных функций hq(p) из S'(M.„) по переменной р, непрерывно зависящих от параметра q £ S. Заметим, что если 0 £ Int Г(/), то предел fL(p + iq) при q —*• О совпадает очевидно с fF(p). Однако особо надо рассмотреть случай, когда точка q = О не принадлежит IntlX/). Пусть S — выпуклая область в R" такая, что 0 £ 8S, и пусть h(p + iq) — голоморфная функция в трубчатой области Т , определяющая семейство обобщенных функций hq(p) из S'(R„), непрерывно зависящих от параметра q. Будем говорить, что h(p + iq) имеет обобщенное граничное значение h0(p) в S'(R„), если для любого компактного усеченного конуса Кт С S U {0} (т.е. Kr = {q £ К : \q\ < г}, где К — конус в R„) выполняется равенство ,f,V^{0}w(p» = fto(^» для всех ^ £ S(R„). Справедливо следующее утверждение. Пусть / £ S'(R"), Int Г(/) ^ 0 и 0 £ Int Г(/). Тогда обобщенное граничное значение преобразования Фурье—Лапласа fL(k) существует в S'(R„) и совпадает с преобразованием Фурье fF(p) обобщенной функции /. Конструкция предела в смысле обобщенного граничного значения сводится, как в ситуации 0 £ Int Г(/), к обычному пределу также в следующем важном случае. Напомним, что носителем supp / обобщенной функции / называется дополнение максимального открытого множества U, на котором / обращается в 0, т. е. /(ф) = 0 для всех ■ф £ S(R") с supp ■ф С U. Пусть / £ S'(R") имеет носитель в подмножестве R!J. С R" с неотрицательными координатами (в общем случае — в остром замкнутом конусе в R"). Тогда R„+ С Г(/) и преобразование Фурье—Лапласа fL является голоморфной функцией в трубчатой области с основанием Rn+ = Int R„+ (fL удовлетворяет определенной оценке, которая здесь не приводится), а ее граничное значение в 5'(R„) можно определить в смысле равенства Jim fLqm?)) = fFW(F)) для всех ф £ 5(Rn). Обратно, по свойствам голоморфной функции h(k) в трубчатой области R„ + Ж„+ можно судить о том, является ли она преобразованием Фурье—Лапласа некоторой обобщенной функции с носителем в R+. Это можно сделать даже, когда функция h(k) известна лишь на iRn+. Пусть функция h(k) = fL(k) является* преобразованием Фурье—Лапласа обобщенной функции / с носителем в R+. Тогда формулы Цф) = J Л(гд)<Д(д) dnq = J dnq J e-qzf(x)<j>(q) d"x = (B.9) = J Цх)ф(х) d"x, ф £ S(Rn+), ф(х) = J е-*хф{4) d„q, x e Щ, Ф£ S(K), (В. 10)
198 Приложение Б. Преобразования Лапласа определяют линейный непрерывный функционал h(q) = h(iq) на пространстве 5(КП+). Замечание В.2. Укажем, что элементами 5(К„+) считаются функции из 5(R„), обращающиеся в 0 на К„ \ Rn+, а элементами 5'(К„+) — обобщенные функции из S'(R„), суженные на 5(К„+). Элементы 5(M!J.) можно отождествить с функциями из 5(К"), суженными на Ж+ (т. е. умноженными на характеристическую функцию множества EJ.), а элементам 5'(R+) можно сопоставить обобщенные функции из 5'(К") с носителями ъЖ+. О Пример В.З. Проиллюстрируем соотношение (В.9) в одномерном случае. Пусть / € 5'(1+). Имеем 00 h(p + iq) = I ei(p+iq)xf(x) dx, q>0. о Тогда f(x), x ^ 0, восстанавливается no h(z) = h(iz) в виде: — J h(p+iq)e~ipxdp = e~qxf(x), -00 . oo . q+ioo f(x) =— [ e-i(p+iq)xh(p + iq) dp=— [ e{q~ip)xh(q ~ ip) d(q - ip) = -oo q-ioo q+itx = ЪЙ I e"~Hz) dZ> q > °' 7-100 При q —► 0 существует граничное значение h(p + гО). В результате получаем . 0+ioo *{х)=гй I e"~h^dz' ko-ip) = fF(p)- (B.ii) O-icc Функция oo h(q) = h(iq) = J e~qxf(x) dx, q > 0, о называется преобразованием Лапласа обобщенной функции /. D Образ пространства 5(КП+) при отображении <j>(q) —> ф(х) (В. 10) является плотным в 5(Щ), а совокупность преднорм \\ф\\' = \\ф\\ определяет в 5(Rn+) новую ослабленную топологию, относительно которой функционал (В.9) является непрерывным. Можно показать, что формулы (В.9) и (В. 10) осуществляют взаимно однозначное соответствие между сужениями h(q) = fL(iq) на множество мнимых точек преобразований Фурье— Лапласа (т.е. преобразованиями Лапласа) обобщенных функций / из S'(R^) и обобщенными функциями из S'(Rn+), непрерывными в ослабленной топологии в 5(R„+). Это важный математический факт. Например, с его помощью в алгебраической квантовой теории поля устанавливается соответствие между функциями Уайтмана и функциями Швингера.
3. Функции Уайтмана и Швингера 199 3. Функции Уайтмана и Швингера Согласно аксиомам Гординга—Уайтмана [2, 18] функции Уайтмана Wu(xu...,xn)CS'(M.4n) в пространстве Минковского удовлетворяют условиям трансляционной инвариантности и спектральности, т.е. существуют обобщенные функции wn & 5'(IR4n~4) такие, что Wn(X\ -Х2,. -.,Хп-[ -хп) = W„(xu... ,х„), suppu£(p\...,pn-,)C^, (В.12) где V+ обозначает замкнутый верхний световой конус в импульсном пространстве Минковского М4- Из условия спектральности (В.12) следует, что функция Уайтмана wn является граничным значением в 5'(М4"-4) функции (ги„ )L, являющейся преобразованием Фурье—Лапласа по переменным рга функции w% и голоморфной в трубе прошлого (Е4 + iV-)n~l С С4". Соответственно W„(x\,..., х„) является граничным значением в 5'(Е4п) функции Wn(z\,..., zn), голоморфной в трубчатой области [г{ : \m(zi+\ - Zi) е V_, Re z, G E4}. В силу условия лоренц-ковариантности функций Уайтмана, функция Wn(zu ..., zn) может быть однозначно аналитически продолжена и в более широкую область — так называемую симметризованную трубу в С4". Из условия локальности функции Уайтмана можно получить, что функция Wn(x\,..., хп) симметрична в этой области. Обозначим в дальнейшем X пространство Ж4, отображаемое на вещественное подпространство в С4, и обозначим как Y пространство М4 с координатами (у0, у1'2'3), отображаемое на подпространство Y в С4, образованное точками с координатами (гу°, у1'2'2). Если X — пространство Минковского, то Y считается его евклидизацией. Рассмотрим подмножество К? С У" С С4", состоящее из точек (z\,..., zn) таких, что zi Ф Zj. Оно принадлежит области аналитичности функции Уайтмана Wn(z\,..., zn), и ограничение последней на Ёф определяет функцию S„(i/i,..., у„) = W„(zh ..., z„), Zi = (iy1-, j/-'2'3) , на К?, которая называется функцией Швингера. Она симметрична. В области У", состоящей из точек (j/|,..., yk) таких, что 0 < у° < ... < у„, функция 5„ представима в виде Sn(y\,..., у„) = sn(yi - J/2, • • •, 2/n-i - Уп), где з„ — обобщенная функция из 5'(У"-1), непрерывная на S(Y"~l) в ослабленной топологии. Тогда, используя формулу (В.9), всякую такую функцию з„ можно представить в виде зп(У\ ~ 2/2, • • •, 3/n-i - Уп) = / ехр[р^ [у] - y°j+i) - (В.13) - i £ А {у) ~ tf+OKG»', • • •,*>") V ■ •. d4Pn-\ k=l
200 Приложение Б. Преобразования Лапласа где обобщенная функция w„ € S'(R„+) — преобразование Фурье функции Уайтмана w„, рассматриваемая как обобщенная функция из S'(K„+) с носителем на множестве р'0 ^ 0. Формула (В. 13) позволяет реконструировать в аксиоматической квантовой теории поля функции Уайтмана по симметричным функциям Швингера в евклидовом пространстве- времени [18, 72]. Приведем пример функций Уайтмана и Швингера w2 и s2 для массивного скалярного поля. Функция Швингера s2 имеет вид «2(2/1 ~Уг)= / -у- г d*<l> (в14> J ql + тг где q2 — евклидов квадрат и (у? - у2) < 0. Оставляя за скобкой вычисления под знаком интеграла /• _2 и вводя обозначения у0 = у° - у\ и М = (ч + т2)112, с учетом (В.П) получаем 2т J рц + М1 2М 1 0+ioo . 0+*оо 1 О—too 0—too = T" I ^e"(Af~P0) dx = ЧЪ6{** - M) = *<Po - M')> P° < °> * = -*'»°- 27Г V 2M 2M -00 Отсюда, как и должно быть, w2(p0,P) = -iD~(p), где .D- — отрицательно частотная часть функции Паули—Йордана. 4. Виковский поворот Перейдем теперь к преобразованию виковского поворота. Чтобы избежать громоздких выкладок, прибегнем к следующему упрощению. Поскольку пространство Минковского М и его евклидизацию Е при вложении в С4 можно по пространственным координатам отождествить, зависимость по этим координатам в дальнейшем выписываться не будет. Итак, рассмотрим комплексную плоскость С1 = X ф iY времени х и евклидова времени у и комплексную плоскость С\ = Р ф iQ соответствующих им импульсов р и q. Замечание В.4. В этих обозначениях рассмотренная выше функция Уайтмана w2 является обобщенной функцией на Р+, а функция Швингера s2 — обобщенной функцией на Y-, непрерывной в ослабленной топологии и связанной с w2 соотношениями 1 °° s2(y) = ^~ J e™w2(p) dp, у < О, 2*о
4. Виковский поворот . 0+ioo w2(p) = — J e pvs1(y) dy = -iD (p). 2iri 0-ioo П Возьмем такую обобщенную функцию W(q) £ S'(Q), что W = W+ + W-, W+ в S'(Q+), W- £ S'{QJ. (B.15) Например, W(q) является обычной функцией в 0. Для всякой функции -ф+ 6 S(X+) можно записать i- J W(q)$+(q) dq= — J' dq J dx[W(q) exp(-9x)V+(x)J = = 7Z-T2 J dQ J dP J dx[W(q)ip+(p) exp(-ipx - qxj\ = Q+ p x+ = IT* I d1 fdP W(q)^t = i- / WWiWdq, (B.16) (z7rr J.J p — га 27Г J 1 исходя из того, что преобразование Фурье—Лапласа щ(? + ^Я) функции "ф+ £ S(X+) С S'(X+) существует и голоморфно в трубчатой области Р + iQ+. Причем i>+(p + г0) — чр+(р), и функция /ф+(я) — i>+(iq) £ S'(Q+) интерпретируется как виковский поворот функции i>+(x). Равенство (В. 16) можно переписать в виде — J W(q№+(q) dq= J W+(x)i>+(x) dx, (В. 17) W+(x) = —J exp(-qx)W(q)dq, x £ X+. (B.18) Оно ставит в соответствие обобщенной функции W(q) £ S'(Q) обобщенную функцию W+(x) £ S'(X+) (B.18), непрерывную в ослабленной топологии на S(X+). Для всякой функции ^>_ £ 5(Х_) имеют место аналогичные соотношения — J W(q)$-(q) dq= J W_(x)<p-(x) dx, (В. 19) W-(x) = — f exp(-qx)W(q) dq, x £ X_. 27Г J Комбинируя (В. 17) и (В. 19), получаем 1 — J W(q)i>(q) dq = J W(x)i>(x) dx, (B.20)
202 Приложение Б. Преобразования Лапласа где W{x) является линейным функционалом на функциях -ф 6 S(X) таких, что -ф и все ее производные обращаются в 0 в точке х = 0. Он представляет собой виковский поворот обобщенной функции (В. 15). Его можно рассматривать как функционал на S(X), если добавочно доопределить в точке х = 0. Это известная неоднозначность хронологических форм в квантовой теории поля.
Библиография [1] Ф. Березин, Квантование, Изв. АН СССР 38 (1974) 1116. [2] Н.Боголюбов, А.Логунов, А.Оксак, И.Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. [3] У. Браттели, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. [4] Н.Бурбаки, Общая топология. М.: Физматгиз, 1958. [5] Н.Бурбаки, Топологические векторные пространства. М.: Иностранная литература, 1959. [6] Н.Бурбаки, Спектральная теория. М.: Мир, 1972. [7] Н.Бурбаки, Интегрирование, Гл. III-V, IX. М.: Наука, 1977. [8] И. Гельфанд, Н. Виленкин, Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4). М.: Физматгиз, 1961. [9] А. Гриб, Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1978. [10] Ж.Диксмье, С" -алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. [11] Ж.Диксмье, Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978. [12] В.Дрипфельд, Доклады АН СССРПЪ, N3, 531 (1983). [13] Ш.Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, т.2. М.: Наука, 1981. [14] И.Малкин, В. Манько, Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. [15] М. Наймарк, Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. [16] А. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. [17] А. Робертсон, В. Робертсон, Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. [18] Б.Саймон, Модель Р{ф)2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. [19] Г. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. [20] Г. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 2. Геометрия и классическая механика. М.: УРСС, 1998. [21] Х.Умедзава, X. Мацумото, М.Татики, Термополевая динамика и конденсированные состояния. М.: Мир, 1985. [22] Р.Уэллс, Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976. [23] Н.Харт, Геометрическое квантование в действии. М.: Мир, 1985. [24] С.Хоружий, Введение в алгебраическую квантовую теорию поля. М.: Наука, 1986. [25] Ж. Эмх, Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. [26] S.T.Ali, J.-P.Antoine, J.-P.Gazeau and U.Mueller, Coherent states and their generalizations: A mathematical overview, Rev. Math. Phys. 7 (1995) 1013.
204 Библиография [27] F. Bayen, M. Flato, С. Fronsdal, A. Lichnerovicz and D. Sternbeimer, Deformation theory and quantization, Ann. Phys. Ill (1978) 61,111. [28] F. Berezin, General concept of quantization, Commun. Math. Phys. 40 (1975) 153. [29] H. Borchers, Algebras of unbounded operators in quantum field theory, Physica 124A (1984) 127. [30] M. Bordeman and S. Waldmann, Formal GNS construction and states in deformation quantization, Commun. Math. Phys. 195 (1998) 549. [31] M. Bordeman, H. Romerand S. Waldmann, A remark on formal KMS states in deformation quantization, Lett. Math. Phys. 45 (1998) 49. [32] O. Bratelli and D. Robinson, Unbounded derivations of C*-a!gebras, Commun. Math. Phys. 42 (1975)253;46(1976) 11. [33] O. Bratelli and D. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, II (Springer- Verlag, Berlin, 1981). [34] Z.Chang, Quantum group and quantum symmetry, Phys. Rep. 262 (1995) 137. [35] V.Chari and A. Pressly, A Guide to Quantum Groups (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994). [36] R. Cirelli, A. Mania and L. Pizzocchero, Quantum mechanics as an infinite-dimensional Hamilto- nian system with uncertainty structure, J. Math. Phys. 31 (1990) 2891,2898. [37] R. Cirelli, A. Mania and L. Pizzocchero, A functional representation for non-commutative С -algebras, Rev. Math. Phys. 6 (1994) 675. [38] X. Dao-Xing, Measure and Integration Theory on Infinite-Dimensional Spaces (Academic Press, N.Y., 1972). [39] R. Delbougro and J. Fox, Maximum weight vectors possess minimal uncertainty, J. Phys. A 10 (1977) L233. [40] H.-D. Doebner, J.-D. Henning (eds), Quantum Groups, Lecture Notes in Physics, 370 (Springer- Verlag, Berlin, 1990). [41] B. Fedosov, A simple geometrical construction of deformation quantization, / Diff. Geom. 40 (1994) 213. [42] B. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory (Akademie Verlag, Berlin, 1996). [43] A. Grossmann, J. Morlet and T. Paul, Integral transforms associated to square integrable representations, J. Math. Phys. 26 (1985) 2473. [44] F. Hansen, Quantum mechanics in phase space, Rep. Math. Phys. 19 (1984) 361. [45] M. Hazewinkel and M. Gerstenhaber (eds), Deformation Theory of Algebras and Structures and Applications (Kluwer, Dordrecht, 1988). [46] P. Henning, Thermo field dynamics for quantum fields with continuous mass spectrum, Phys. Rep. 253(1995)235. [47] C.Johnston, Remarks on resolutions of Hilbert—Schmidt operators, J. Math. Phys. 36 (1995) 5968. [48] J. Kammerer, Analysis of the Moyal product in flat space, J. Math. Phys. 27 (1986) 529. [49] A. Kishimoto, Dissipations and derivations, Commun. Math. Phys. 47 (1976) 25. [50] B. Kostant, Quantization and unitary representation, In: Lectures in Modern Analysis and Applications III, Lecture Notes in Mathematics, 170 (Springer-Verlag, Berlin, 1970), p. 87. [51] N. Landsman and Ch.van Weert, Real- and imaginary-time field theory at finite temperature and density, Phys. Rep. 145 (1987) 141. [52] J. Mujca, Complex Analysis in Banach Spaces (North- Holland, Amsterdam, 1986).
Библиография [53] A. Odzijewicz, On reproducing kernels and quantization of states, Commun. Math. Phys. 114 (1988) 577. [54] A. Odzijewicz, Coherent states and geometric quantization, Commun. Math. Phys. 150 (1992) 385. [55] G. Pedersen, C*-Algebras and their Automorphism Groups (Academic Press, London, 1979). [56] G.Pinson, Noncommutative deformation theory, Lett. Math. Phys. 41 (1997) 101. [57] R. Powers and S.Sakai, Unbounded derivations in operator algebras, J. Fund. Anal. 19 (1975) 81. [58] R. Powers and S.Sakai, Existence of ground states and KMS states for approximately inner dynamics, Commun. Math. Phys. 39 (1975) 273. [59] J.Renault, A Gruppoid Approach to С-Algebras, Lecture Notes in Mathematics, 793 (Springer- Verlag, Berlin, 1980). [60] M. Rieffel, Deformation quantization of Heisenberg manifolds, Commun. Math. Phys. 122 (1989) 531. [61] F. Shultz, Pure states as a dual object of C* -algebras, Commun. Math. Phys. 82 (1982) 497. [62] A.Smilga, Physics of thermal QCD, Phys. Rep. 291 (1997) 1. [63] J.Sniatycki, Geometric Quqntization and Quantum Mechanics (Springer-Verlag, Berlin, 1980). [64] M.Takesaki, Tomita's Theory of Modular Hilbert Algebras and its Applications, Lecture Notes in Mathematics, 128 (Springer-Verlag, Berlin, 1970). [65] L. Takhtajan, Lecture on quantum groups, In: Introduction to Quantum Groups and Integral Massive Models in Quantum Field Theory, ed. Mo-Lin Ge and Bao-Heng Zhao (World Scientific, Singapore, 1990). [66] N. Weaver, Deformation quantization for Hilbert space actions, Commun. Math. Phys. 188 (1997) 217. [67] M.DeWilde and P. B. A. Lecomte, Existance of star-products and of formal deformations of the Poisson-Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds, Lett. Math. Phys. 7 (1983) 487. [68] N. Woodhouse, Geometric Quantization (Clarendon Press, Oxford, 1980). [69] S.Woronowicz, Unbounded elements affiliated with C*-algebras and non-compact quantum groups, Commun. Math. Phys. 136 (1991) 399. [70] S. Woronowicz, Differential calculus on compact matrix pseudogroups (quantum groups), Commun. Math. Phys. 122 (1989) 125. [71] S. Woronowicz, C* -algebras generated by unbounded elements, Rev. Math. Phys. 7 (1995) 481. [72] Yu. Zinoviev, Equivalence of Euclidean and Wightman field theories, Commun. Math. Phys. 174 (1995) 1.
Список обозначений Л',38 Л+,40 AfKe, 87 А, 27 А, 32 2,31 st(Z), 98 .«V, 106 В(Е), 28 В., 53 5+, 41 Bt+, 62 С(Я), 29 C*(G), 66 Со(7с(а)), 64 d„p, 195 Я', 9 £", 10 Я(Л), 39 E{Y, (1), 33 Д*, 8 ^,44 Ех, 84 Б, 15 Е, 20 -Pi (4), 39 Л, 48 /F,196 G(£), 111 GL(E), 84 Г(/), 196 £,85 0,85 0(Q), Ш G, 67 flb, 24 P(,24 gl(E), 84 J, 60 Л, 179 K(E), 34 ЛГ„70 K(G,Q, 70 K(X,E), 190 K+W, 179 £(Я,Л, 12 L(X), 8 L\G), 66 £2(G), 68 £°°, 181 LV(X), 181 £P(X,R), 181 V(X), 183 Z'(.Y), 181 M(X), 178 M\G), 66 M'(X), 179 AM*). 179 M,(iD, 192 M;>46 JV', 29 JV", 29 N(B), 53 N(E), 187 iVG, 64 JVjt, 193 Nr(f), 181 0*(Z), 143 0/, 46 P{A), 39 i>£, 24 Рпт(Л), 31 Ж*), 181 Л54, 153 №(X), 181 R£,197 Rn, 195 Л+(Х), 181 R^, 197 R, 179 S'(R"), 194 S(K), 192 5(Rn), 194 Sp^ a, 27 S(X,J3), 190 2>,41 Ta, 106 «(Л), 42 V(4), 42 7,. 63 7,. 63 Д, 60 ex\ 178 в/, 37 Д, 182 /Л 179 /J ', 185 /*7, 184 M/, 184 */<,-, 185 T/, 37 7Г, 30 a(E, F), 9 <rf, 60 Фк, 178 ьД 24 (Л 24 ore, 36
Предметный указатель А абстрактная теорема об ядре, 19 алгебра Борхерса, 153 — Вейля, 142 — Гейзенберга—Вейля, 111 — КАС, 129 — Пуассона, 98 — Хопфа, 132 инволютивная, 132 квазитриангулярная, 133 классическая, 135 — — кокоммутативная, 132 — банахова, 26 — инволютивная, 26 нормированная, 26 типа I, 32 — конечно порожденная, 88 — простая, 35 — с присоединенной единицей, 27 — свободная, 87 — фон Неймана, 29 конечная, 41 полуконечная, 41 порожденная, 29 типа I, 29 типа III, 170 (г-конечная, 59 — С*-функций,124 С*-алгебра, 26 — группоида, 82 — квазилокальная, 126 — конечно порожденная, 88 — локальная, 126 — локально компактной группы, 66 — порожденная присоединенными элементами, 90 — элементарная, 34 ССЯ-алгебра, 35 ССД-алгебра, 35 Ор*-алгебра, 149 алгебраически сопряженное, 8 аналитический вектор, 60 антиголоморфное касательное пространство, 22 антиморфизм, 51 антиобратное отображение, 132 аппроксимативная единица, 27 Б базис, 6 — меры, 184 — ортонормальный, 14 барицентр, 193 бикоммутант, 29 бинваринтное подпространство, 70 борелевская алгебра, 191 — мера, 191 внутренне регулярная, 191 локально ограниченная, 191 борелевское множество, 191 — пространство, 191 подчиненное топологии, 191 стандартное, 191 бэровская мера, 192 бэровское множество, 192 В вакуум, 170 вакуумное среднее, 170 вектор бесконечно дифференцируемый, 85 — допустимый, 91 — ортонормальный, 13 векторная форма, 36 векторное поле комплексное, 22 вероятностное пространство, 158 верхний интеграл, 180, 183 виковский поворот, 201 воспроизводящая система, 99 — тройка, 99 воспроизводящее ядро, 92 второе сопряжение, 10 выпуклая оболочка, 5 Г гамильтониан, 58 гауссова мера с ненулевым средним, 120 — промера, 189 — промера каноническая, 189 гиббсовское состояние, 161 гильбертов интеграл, 33 гильбертова алгебра, 42 группы, 70 полная, 42 совершенная, 42 — размерность, 14 — сумма, 15 представлений, 30 гильбертово пространство дуальное, 15
208 Предметный указатель сепарабельное, 14 гиперподпространство, 5 голоморфное касательное пространство, 22 — многообразие, 22 граф-топология, 150 группа Гейзенберга—Вейля, 111 — изотропная, 73 — когомологий группоида, 77 — модулярных автоморфизмов, 60 — равномерно непрерывная, 53 — сильно непрерывная, 54 — слабо непрерывная, 54 групповая алгебра, 66 групповое расслоение, 74 группоид, 72 — главный, 73 — топологический, 78 — транзитивный, 73 — тривиальный, 74 — /-дискретный, 79 д дезинтегрирование представления, 34 действие группы раздельно непрерывное, 53 — слабо непрерывное, 54 деформационное квантование строгое, 147 деформация Ли, 140 — ассоциативная, 140 — билинейной формы, 139 С*-динамическая система, 162 W*-динамическая система, 162 дискретная серия представлений, 70 дифференцирование внутреннее, 55 — внутренние аппроксимативно, 55 — допустимое, 57 — симметрическое, 54 допустимая пара, 72 дуальная пара, 9 Е евклидизация пространства Минковского, 199 единица левая, 73 — правая, 73 естественный положительный конус, 61 3 замыкание оператора, 56 — представления, 150 И идеал, 27 — двусторонний, 27 максимальный, 27 — примитивный, 31 — собственный, 27 — существенный, 88 измельчение меры, 184 измеримое отображение, 183 — подмножество, 183 изометрия, 51 изоморфизм пространственный, 29 изотонности условие, 126 инволюция, 26 интеграл, 178 — верхний, 179 — со значениями в векторном пространстве, 190 Й Йорданов автоморфизм, 51 — изоморфизм, 51 — морфизм, 51 К калибровочная функция множества, 7 квазиспектр, 32 квантование по Березину, 99 квантовая алгебра Ли, 137 — группа, 135 — решетка, 127 квантовое гильбертово пространство, 106 — распределение, 127 — тождество Якоби, 138 — удвоение, 136 — число, 137 квантовые коммутационные соотношения, 138 — структурные константы, 138 квантовый детерминант, 136 — факториал, 137 коалгебра, 132 когерентное состояние, 92 — состояние ковариантное, 95 — состояние обобщенное, 94 — состояние обобщенное допустимое, 94 когомологий Хосшильда, 140 — Шевалье—Эленберга, 141 коединица, 132 коммутант, 29 — сильно ограниченный, 150 — слабо ограниченный, 150 комплексная форма, 22 комплексное гамильтоново векторное поле, 24 — касательное пространство, 22 — касательное расслоение, 22 — кокасательное пространство, 22 — кокасательное расслоение, 22 комплексный касательный вектор, 22 конструкция ГНС, 3 — Федосова, 142 копроизведение, 132 коэффициент представления, 69 кэлерова метрика, 23 кэлерово многообразие, 23 КАС, 129 ККС С*-алгебра, 124
Предметный указатель ККС алгебра, 111 ККС в форме ВеЙля, 111 ККС в форме Гейзенберга, 111 ККС группа, 111 Л лемма Шура, 86 линейное расслоение, 103 локально интегрируемая функция,184 локальной коммутативности условие, 127 М матрица плотности, 59 мера, 178 — Баргмана, 122 — Дирака, 178 — Лиувилля, 98 — Хаара, 186 левая, 186 — борелевская стандартная, 191 — вероятностная, 191 — внешняя открытого множества, 179 произвольного множества, 180 — инвариантная, 186 на пространстве единиц, 80 — индуцированная, 183 на группоиде, 80 — квазиинвариантная, 186 на пространстве единиц, 80 — максимальная, 193 — множества, 178 — обратная, 185 — ограниченная, 179 — ортогональная, 46 — положительная, 179 — псевдососредоточенная, 192 — сосредоточенная, 183 — точечная, 178 меры эквивалентные, 184 метрическая связность, 23 множество локально пренебрежимое, 182 — орбит группоида, 74 — пренебрежимое, 180 множитель подалгебры, 88 модуль группы, 186 — элемента, 40, 49 модулярная группа, 60 — инволюция, 60 — функция, 80 модулярное условие, 60 модулярный оператор, 60 мультипликатор меры, 186 Н норма, 6 — Гильберта—Шмидта, 17 — операторная, 16 — следовая, 18 носитель меры, 178, 183 — обобщенной функции, 197 О обертывающая алгебра фон Неймана, 172 — С*-алгебра, 38 область, 196 — определения оператора, 56 обобщенная функция, 194 обобщенное граничное значение, 197 обобщенный собственный вектор, 20 оболочка выпуклая замкнутая, 5 образ меры, 184 — промеры, 188 образующие элементы, 87 огибающая, 179 оператор Гил ьберта—Шмидта, 17 — Казимира, 86 — Лиувилля, 167 — замкнутый, 56 — замыкаемый, 56 — компактный, 17 — комплексной структуры, 21 — неограниченный, 56 — нормальный, 16 — ограниченный, 16 — полного числа частиц, 116 — положительно определенный, 17, 190 — присоединенный, 58, 89 — разложимый, 33 — рождения, 115 — самосопряженный, 56 — симметрический, 56 — сопряженный, 16, 56 максимальный, 56 — сплетающий, 31 — суперотбора, 172 — существенно самосопряженный, 56 — унитарный, 16 — уничтожения, 115 — эрмитов, 16 — ядерный, 18 операторное поле измеримое, 33 определенное почти всюду отображение, 181 основные функции, 194 отделяющее подмножество, 59 относительно инвариантная мера, 187 отношение эквивалентности единиц, 73 отображение антилинейное, 15 — аффинное, 52 — вполне непрерывное, 17 — вырожденное, 17 — положительное, 51 — скалярно непрерывное, 190 — слабо непрерывное, 12 — сопряженное, 12 — ядерное, 19 — /^-собственное, 184 П параметр деформации, 139 Плотность меры, 184 подалгебра максимальная, 97
210 Предметный указатель подмножество абсолютно выпуклое, 5 — ограниченное, 10 — относительно компактное, 180 — поглощающее, 6 — слабо ограниченное, 10 — уравновешенное, 5 подобные гомоморфизмы, 75 — группоиды, 75 подпространство самосопряженное, 151 поле гильбертовых пространств измеримое, 32 с интегрируемым квадратом, 33 — представлений, 34 — С*-алгебр, 124 полная масса меры, 180 — система обобщенных собственных векторов, 20 полунорма, 6 полуплотность, 106 польское пространство, 191 поляризация, 105 полярное разложение, 41 пополнение, 7 преддвойственное пространство, 53 предквантование, 105 предквантовое расслоение, 105 предмера, 182 — локально ограниченная, 182 — ограниченная, 182 преднорма, 6 представление Шредингера, 121 — вполне приводимое, 71 — группоида, 81 — замкнутое, 150 — квадратично интегрируемое, 91 — невырожденное, 30 — неприводимое, 151 алгебраически, 31 топологически, 30 — ограниченное, 81 — полное, 133 — регулярное левое, 68 правое, 69 — с интегрируемым квадратом, 70 — самосопряженное, 150 — со следом, 43 — сопряженное, 150 второе, 150 — существенно самосопряженное, 150 — точное, 30 — фоковское, 118 — циклическое, 30 — чисел заполнения, 122 — эрмитово, 149 представления дизъюнктные, 31 — квазиэквивалентные, 31 — со следом квазиэквивалентные, 43 эквивалентные, 43 преобразование Гельфанда, 48, 50 — Лапласа, 198 — Фурье обобщенной функции,196 промеры, 188 функции, 195 функции обратное, 195 — Фурье—Лапласа, 196 преобразования Боголюбова неоднородные, 121 однородные, 119 принцип соответствия, 97 слабый, 99 присоединенное действие алгебры Хопфа, 137 проективное гильбертово пространство, 24 проектор, 16 проекторы ортогональные, 43 проекционный оператор, 16 произведение Вейля, 143 — Мойла, 141 — косое, 76 — мер, 185 — подкрученное, 148 — полупрямое, 76 производная Радона—Никодима, 184 производящая функция, 112 промера, 188 пространства ^-эквивалентные, 180 пространство Гординга, 85 — Фреше, 7 — Шварца, 194 — банахово, 7 — выпуклое, 5 — гильбертово, 14 — единиц, 73 — локально выпуклое, 6 — оснащенное гильбертово, 20 — предгильбертово, 13 — пробных функций, 194 — рефлексивное, 10 — случайных величин, 158 — счетно-гильбертово, 18 — ядерное, 19 протяженная система, 124 прямая сумма гильбертовых пространств, 15 прямой интеграл представлений, 34 Р равномерно непрерывное действие, 53 разложение единицы, 96 — эргодическое, 64 распределение Шварца, 195 — умеренного роста, 194 расслоение группоидов, 77 — линейное универсальное, 109 — модулей, 77 постоянное, 77 — на С*-алгебры, 125 — подгрупп, 79 расширение представления, 150 расширенная числовая прямая, 180 решетка, 193 ряд Лорана, 148 С свертка мер, 185 — меры и функции, 187 — функций, 187
Предметный указатель 211 связность абелева, 146 — допустимая, 105 — симплектическая, 145 семейство полное, 14 — топологически свободное, 13 — тотальное, 14 сепарабельное пространство, 7 сеть, 27 сильно непрерывное действие, 54 символ оператора, 100 контравариантный, 100 симплекс, 193 система Хаара, 78 правая, 79 скалярное произведение, 13 след, 41 — конечный, 41 — нормальный, 41 — полуконечный, 41 — точный, 41 случайный процесс, 158 гауссовский, 158 собственное подпространство, 20 сопряженные показатели, 183 состояние, 36 — КМШ, 162 — инвариантное, 63 — когерентное, 96 — на ненормированной алгебре, 152 — основное, 63 — сепарабельное, 169 — точное, 59 — эргодическое, 64 спектр, 31 — оператора, 16 — элемента, 27 спектральное разложение, 20 спиновая решетка, 13.1 стационарная подгруппа, 93 субпредставление, 151 сужение группоида, 75 сумма мер, 183 суммируемое семейство мер, 184 существенный верхний интеграл, 181, 182 тензор кривизны симплектической связности, 146 тензорная алгебра, 85 тензорное произведение гильбертовых пространств, 16 неполное, 128 С*-алгебр, 127 теорема Алаоглу—Бурбаки, 11 — Борхерса—Арвесона, 58 — Бохнера, 188 — Вика, 155 — Колмогорова, 10 — Макки—Аренса, 11 — Пуанкаре—Биркгофа— Витте, 85 — Рисса, 193 — Сакаи, 29 — Томита—Такесаки, 60 — Хана--Банаха, 9 — Шура, 72 — фон Неймана, 122 термополевая динамика, 166 топологически сопряженное, 9 топологическое векторное пространство, 5 топология Джекобсона, 31 — Макки, 11 — Фелла, 79 — индуктивного предела, 8 — компактной сходимости, 8 по всем производным, 8 — определяемая семейством преднорм, 7 — ослабленная, 198 — поточечной сходимости, 7, 158 — прямой суммы, 86 — равномерная, 7 — равномерной сходимости, 8 на семействе множеств, 10, 12 — сильная, 10 операторная, 28 — слабая, 9 операторная, 28 определяемая пространством, 9 — слабая*, 10 — сходимости в среднем, 181 порядка р, 181 — ультрасильная, 28 — ультраслабая, 28 — широкая, 179 — согласующаяся с двойственностью, 9 тотализирующий вектор, 30 — — сильно, 150 точка крайняя, 11 трансляционная квазиинвариантность, 114 трубчатое множество, 197 универсальная обертывающая алгебра, 85 — Д-матрица, 133 универсальное представление, 38 унимодулярная группа, 187 уравнение Янга—Вахтера, 134 — Янга—Вахтера квантовое, 133 условие Бора—Зоммерфельда, 106 — Дирака, 98 — КМШ, 162 — КМШ для мер, 80 — сильной аналитичности, 60 — слабой аналитичности, 60 — справедливое почти всюду, 180 — целочисленности с им пл е ктической формы, 105
212 Предметный указатель Ф фактор, 29 фактор-представление, 31 фильтрующееся семейство, 182 фоковское представление, 122 — представление КАС, 131 форма Киллинга, 87 — копариации,189 — мажорирующая, 36 — ортогональная, 46 — положительная, 35 — нормальная, 53 — центральная, 45 — чистая, 39 — эрмитова, 13 невырожденная, 13 положительная, 13 формальная размерность, 70 формула Костанта—Сурьо, 105 формы связанные с представлением, 36 фундаментальная форма эрмитовой метрики, 23 функции быстро убывающие на бесконечности, 194 — интегрируемые, 181 — интегрируемые в/>-степени, 181 функция Грина, 167 — Уайтмана, 199 — Швингера, 199 — антиголоморфная, 21 — аффинная, 192 — вогнутая, 192 — выпуклая, 192 — голоморфная, 21 — интегрируемая, 181 — модерантная, 183 — положительного типа, 68, 188 — чистая, 68 — пренебрежимая, 180 — существенно ограниченная, 33 X характер, 44 — группы, 71 — коммутативной алгебры, 47 характеристическая функция множества, 178 ц целые аналитические элементы, 61 центр универсальной обертывающей алгебры, 86 центральный носитель, 71 циклический вектор, 30 Э эквивалентные представления, 30 экстремальное разложение, 47 элемент Гильберта—Шмидта, 42 — Казимира, 87 — положительный, 40 строго, 89 — со следом, 42 эрмитова метрика, 22 эрмитово многообразие, 23 Я ядерная группа, 112 ядро положительного типа, 159
Содержание Введение 3 Глава 1. Пространства 5 §1. Топологические векторные пространства , . 5 § 2. Сопряженные пространства 8 §3. Пространства линейных отображений 11 §4. Гильбертовы пространства 12 §5. Операторы в гильбертовых пространствах 16 §6. Счетно-гильбертовы и ядерные пространства 18 §7. Дополнение. Кэлеровы многообразия 20 Глава 2. Алгебры и их представления 26 § 1. Инволютивные алгебры . 26 §2. Представления инволютивных алгебр 29 § 3. Гильбертовы интегралы представлений 32 § 4. Конструкция ГНС 35 §5. Следы 40 §6. Гильбертовы интегралы состояний 45 § 7. Дополнение. Функциональное представление С*~алгебр 47 Глава 3. Симметрии квантовых систем 51 § 1. Морфизмы и йордановы морфизмы 51 §2. Дифференцирования 54 § 3. Модулярная группа 59 §4. Инвариантные состояния 62 §5. Группы и С*-алгебры 65 § 6. Дополнение. Группоиды и С*-алгебры 72 Глава 4. Квантовомеханические системы 84 § 1. Универсальные обертывающие алгебры 84 §2. Конечно порожденные С*-алгебры 87 §3. Когерентные состояния 91 §4. Квантование по Березину 97 §5. Геометрическое квантование 102 §6. Канонические коммутационные соотношения ПО §7. Протяженные системы 124 §8. Канонические антикоммутационные соотношения 129
214 Содержание §9. Квантовые группы 131 §10. Деформационное квантование 139 Глава 5. Алгебраическая квантовая теория поля 149 §1. Алгебры неограниченных операторов 149 §2. Алгебры свободных полей 152 §3. Производящие функционалы 156 Глава 6. Дополнения 161 §1. Квантовая теория при конечной температуре 161 §2. Системы со многими вакуумами 170 Приложение А. Меры 178 Приложение Б. Преобразования Лапласа 194 Библиография 203 Список обозначений 206 Предметный указатель 207