Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Том 1 - Биргер И.А., Болотин В.В., Вольмир А.С., Абрамян Б.Л., Арутюнян Н.Х., Демьянушко И.В.

Автор: Биргер И.А. Болотин В.В. Вольмир А.С. Абрамян Б.Л. Арутюнян Н.Х. Демьянушко И.В.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация физика механика термодинамика справочник теория упругости издательство машиностроение
Год: 1968
Похожие
Основы теории упругости, пластичности и ползучести
Механика деформируемого твердого тела
Прикладная теория пластичности и ползучести
Текст
                    ПРОЧНОСТЬ • УСТОЙЧИВОСТЬ
• КОЛЕБАНИЯ то*. 1
СПРАВОЧНИК В ТРЕХ ТОМАХ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ:
И. А. Биргера и Я. Г. Пановко
•
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
С, А. Амбарцумян, В. Л. Бшрман,
И, А. Бнргер, В. В. Болотин, А, С. Вольмир,
Л. М, Начанов, Я, Г. Пановко, В. И.Фводосьев
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МАШИНОСТРОЕНИЕ"
Москва ¦ 1968

УДК 539.3/.4 + 5341@31)
Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех го мах.
Том 1. Под ред. д-ра теки- наук п;)<"|>- И. А. Б и р г с р а и чл.-ьор.
АН Латвийской ССР Я. Г. Пановко.
В первом тоне приведены основные уравнения деформируемых
сред, справочные сведения по теории упругости, пластичности, пол-
ползучести, усталости и надежности механических систем, по термоупру-
госги и термопластичности, по определению напряженки и деформаций
при растяжении, изгибе и кручении прямых и кривых стержней, прямо-
прямоугольных и круглых пластинок, оболочек.
Книга предназначена для инженеро и-конструкторов, расчет-
расчетчиков — прочнистов машиностроительных заводов, проектных органи-
организаций, научно-исследовательских институтов. Она может быть полезна
также студентам и преподавателям nryjon.
Рис. 733. Табл. 155. Библ. 440 названий.
АВТОРЫ ТОМА:
Абрамян Б. Л., д-р физ.-мат. наук; Арутюнян Н. X., академик
АН Армянской ССР; Биргер И. А., д-р техн. наук, проф.; Боло-
Болотин В. В., д-р техн. наук, проф.; Вольмнр А. С, д-р техн. наук
проф.; Демьянушко И. В., канд. техн. наук; Калинин Н. Г.,
проф.; Качанов Л. 1И.4 д-р физ.-мат. наук, проф.; Кильдибе-
ков И. Г., инж.; Пановко Я. Г., чл.-кор. АН Латнийской ССР;
Савин Г. Н., академией АН УССР; Федоров Н. А., канд. техн.
наук; Черных К. Ф., д-р физ.-мат. наук; Шорр Б. ф., д-р техн.
наук.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Преднсл.
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
ва 1. Напряжения и деформации в сплошных средах {Л, М. Ка-
)
Напряжения
Деформация
Скорость деформации
Литература
Закон Гут (Л. М. Канонов)
Уравнения теории упругости в перемещениях {Л. М.
Уравнения теории упругости в напряжениях (Л. М. Ка
Граничные услов Прии СВена на Нлн?
(Л Л* Као
Глава 2- Теория упруго
К
уп
пругости в напряжениях (Л М Канате). .
Гр	у	Принцип Сен-Вена на Начальны? условия
(Л. Л*. Канонов)		2«
Общие теоремы- Вариационные методы решения (Л. М. Качаное)	3»
Плоская задача (Л- М- Кочанов)		32
Осесимметричные задачи (Л. М. Качанав)		42
Дополнительные сведения по плоской задаче (Г. Н. Савин). . ¦	47
Литература		Б5
Глава 3. Теория пластичности (Л. М. Качйное)		Б»
Механические свойстна твердых тел		5»
Уравнения пластического состояния		<Л
Некоторые осеснмметричные упруго-пластические задачи. . , .	65
Общие теоремы к методы решения		68
Плоскаи реформация		75
Осесимметрнчная деформация. . , , ,		|7
Литература		68
[ а в а 4- Теория ползучести (Л. М- Качаное).
Ползучесть металлов
Уравнения ползучести прн одноосном напряжс
Уравнения ползучести при слпжном напряжен!
Система уравнений ползучести. Варнациокш
Задачи неустановившейся ползучести. . '.
Ползучесть Труб
Время разрушения (длительная прочность).
Литература
1 а в а 5. Терноупругость и терчопластичность {Л- М. Качанпв) .
Уравнения терм
Плоская задача
Осесннметрнчная
О задачах термо
гих постоянны

циях		'И
Влияние ползучести на температурные напряжения	,	130
Литература		130
Главе 6. Теория упруго-Вязких тел (Л- М- Качачоа)		132
Простые тела		132
Сложные линейные тела (линейная вияко-у пру гость)		134
Сложные нелинейные тела		144
Литература . . 		147
Глава 7. Элементы теории усталости (В. В. Болотин)		149
Основные понятия		149
Усталостное разрушение как случайный марковский процесс. .	154
Применение статистической теории усталостного разрушения	158
Накопление усталостных повреждений при неоднородном цикли-
циклическом нагружении		ifiO
Литература		162
Глава 8 Основы теории надежности механических систем (В. В. Во-
Основные понятия		164
Особенности приложения теории надежности к вопросам проч-
прочности 		168
Определение статистических характеристик прочности		169
Определение статистические характеристик внешних нагрузок	171
Определение средней долговечности при действии циклических
напряжений		175
Вычисление надежности И коэффициента ззпнеа		178
Литература		181
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ
Глава 9. Растяжение и изгиб стержней (И- А- Бирвер) . . . .	1«3
Растяжение стержней		183
Гибкие нити		187
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня		197
Касательные напряжения о поперечном сечении стержни. , . .	208
Прогибы стержня при изгибе		212
Изгиб стержней на упругом основании		223
Продольно-поперечный изгиб стержней		21*9
Литература		23Я
Глава 10. Кручение стержней (И. X. Арутюняч, Б, Л Абрамян)	239
Поста новка задачи		239
Общее решение основных уравнений при помощи функция напря-
напряжений и граничные условия		242
Определение перемещении		244
Теорема Бредта о циркуляции касательного напряжения. . .	245
Жесткость призматического стержня		247
Максимальное касательное напряжение		24?
Функция перемещения		248
Касательные напряжении в вершинах выступающих и входящих
углоз контура поперечного сечения стержня		251
Мембранная аналогия		253
Другие аналогии		254
Кручение прямоугольного стержня		255
Кручение круглого вала с полукруглой канавкпй		258
Кручение некоторых прокатных н простых профилей		260
Приближенная форму.-ia Он Вена на для жесткости		268
профилем		268
Кручение тонкостенных стержней открытого профиля и а прямо-
прямоугольных и трапецеидальных полосок		272
М
Д
К
К

Концентрации напряжений по «ходящих углах тонкое ген hi
Круговой стержень		2S7
Обозначения 		2«7
Дифференциальные уравнения изгиба		2ЯЧ
Стержни постоянного сечения, нагруженные перпендикулярно
их плоское™ 		309
Замкнутое круговое кольцо		3D!)
Основные соотношения		309
Элементарные нагрузки на кольцо		312
Усилия и перемещения при простейших нагрузках в плоско-
плоскости кольца		320
Кольца переменной жесткости. Составные кольца		335
Гибкие брус и кольцо		341)
Влияние нормальных сил		340
Влияние начального прогиба		314
Тонкостенные стержень н кольцо		346
Плоский изгиб		346
Нагрузка, перпендикулярная плоскости стержня		346
Кольца с произвольным расположением осей инерции		358
Кольцо с присоединенной цилиндрической оболочкой		361
Кольцевые системы с малым числом спиц		365
Шарнирное соединение спиц с кольцами		365
Жесткое соединение спнц с кольцами		ЗВ2
Кольцевые системы с большим числом спиц		396
Внутреннее кольцо абсолютно жгегко.-		309
Шарнирное соединение спиц с кольцами		402
Литература		415
to)
продольной нагрузки.		42E
Кривые стержни (М- А- Б ирге р)		430
Общие сведения. Нормальные напряжения		430
Условия раакоиссия. касательные напряжения н перемещения	437
|ава 13. Естественно закрученные стерший (Б- Ф. Шорр) . . .	440
Основные положения	-		441)
Теория Кирхгофа—Клебша		443
Общая теория закрученных стержней		446
Техническая теория закрученных стержней удлиненного про-
Нелинейные задачи '. '.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.	462
Литература		465
1ава 14. Составные стержни (Я. Г. Калинин)		466
Балки сп сгенк.
ющиии тольк
Многослойные <
эей едяига. ..." 		471
Учет сил трения и конструкционное демпфирование		474
Литература		4Г9

¦ авз 24- Расчет сферических оболочек (К Ф, Черных)		737
Осесимметрнчный нэгиб		739
Осесиммстришкн- кручение		746
Обратноснммегричный случай		747
Примеры расчета		766
Литература		774
I а в а 2J1. Расчет горообразных озолочен (/(. Ф- Черных)		776
Осесимметричный изгиб		778
Осесимметричное крученке 		793
Обрагноснмметрнчный случай	,		791
Примеры расчета		802
Литература		810

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие современного машиностроения тесно связано с проблемами
прочности и динамики, Интенсификация рабочих процессов, повышение
нагрузок, скоростей, давлений, температур, уменьшение веса и габари-
габаритов конструкций, увеличение надежности и ресурса приводят к необ-
необходимости расширения теоретических и экспериментальных исследова.
ннй в области прочности, устойчивости и колебаний.
При создании современных машин важным этапом янляется расчет
на прочность. Однако в практической работе при проведении расчетов
на прочность конструктор и расчетчик сталкивались с большими
трудностями, так как не было достаточно полной справочной .лите-
.литературы.
Отсутствие такой литературы затрудняло практическое использо-
использование многих важных результатов, полученных отечественными и за-
зарубежными учеными в теории упругости, пластичности и ползучести,
в расчетах на прочность стержней, пластинок и оболочек.
Основная цель предлагаемого справочника — дать инженерам-
машиностроителям достаточно полное и доступное изложение основных
результатов современной науки о прочности и динамике.
Материал справочника разбит на три тома.
В п е р d о м томе изложены необходимые сведения из теории упру-
упругости, пластичности и ползучести, рассмотрены вопросы термоупругости
и термоилантичности. Специальная глава посвящена теории упруго-
вязких тел, представляющей интерес для расчета на прочность стекло-
стеклопластиков и других полимерных материалов. В этом же томе приведены
основы теории усталости и надежности механических систем, даны нуж-
нужные сведения из теории стержней, пластинок и оболочек.
Дополнительные сведения из теории пластинок и оболочек изложены
во втором томе. В нем указаны методы расчета на прочность
составных, анизотропных и трехслойных оболочек, круглых пластинок,
оболочек вращения переменной толщины. В этом же томе приведены
справочные сведения о концентрации напряжений в пластинках и
оболочках, расчете контактных деформаций и толстостенных цилиндров.

10
Последний ¦— третий — том посвящен вопросам устойчивости и
колебаний. В нем рассмотрены устойчивость и колебания стержней,
пластинок и оболочек, аэроупругоегь, дейстаие случайных FiarpyaoK
и Др.
Материал справочника может служить основой для разработки ме-
тодои расчета на прочность, устойчивость и колебания деталей и узлов
конструкций. Расчетную схему, условия закрепления и другие конкрет-
конкретные данные выбирают й процессе расчета с учетом особенностей работы
конструкции.
Замечания и пожелания по содержанию справочника просьба
направлять по адресу: Москва, Б-66, 1-й Басманный пер-, 3, Изда-
телм-'пво «Машиностроение-»

• ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
Глава 1
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
НАПРЯЖЕНИЯ
Тензор напряжения. В сечении тела на произвольно ориентиро-
ориентированной площадке с нормалью п действует вектор напряжения Sn (рис. 1).
Нормальную составляющую ап вектора напряжения называют нор-
нормальным напряжением, касательную —%п — касательным напряже-
напряжением на данной площадке.
Рис. I. Вектор напряжения	Рнс 2. 1
на произвольной площадке
Напряжение Sn может быть охарактеризовано тремя проекциями Snx,
S/iii. Snz на координатные оси х, у, г и зависит от направления площадки
в данной точке тела. Первый индекс указывает на направление пло-
площадки, второй — на ось проектирования.
На площадках, соответственно перпендикулярных к осям .v, у, г,
напряжения имеют компоненты {рис. 2). которые образуют тензор
напряжения

Напряжения и деформации в сплошных средах
Напряжение на произвольно ориентированной площадке вычи-
вычисляется по компонентам напряжения (формулы Коши):
Srlx = ах cos пк f- т-ху cos ny -|- т„ cos пт,
$Пу ^ ТуХ cos nx -\- Oy cos ггу + Туг cos яг;
$пг = %гх cos nx + ^/j, cos пу И- о г cos пг-
(')
Эти формулы вытекают из условий равновесия элементарного те-
тетраэдра (рис. 3); пх, пу, пг — углы между нормалью к косой площадке
4 соответственно осями х, у, г-
Если к элементам тела не приложе-
'У ны внешние объемные моменты (начри-
,п мер, магнитные моменты), то тензор на-
напряжения симметричен, т. е.
В дальнейшем будем рассматривать
Sax только этот случай; несимметричную меха-
механику сплошной среды, см., например, в
работе |8 J.
Нормальное напряжение на данной
площадке
гет-	ап = о* cos2 nx -f- оу cos2 ny +
-4- аг cos2 пг + 2тХу cos nx cos ny +
-j- 2tv? cos ny cos пг ¦+- 2тлг cos nx cos «г.	B)
При рассмотрении общих вопросов удобно обозначать оси прямо-
прямоугольных координат через xi (/ = 1, 2, 3). Тогда компоненты напряже-
напряжения будут обозначены через оц (i, }¦= 1, 2, 3). При переходе к другой,
прямоугольной координатной системе x't компоненты напряжения пре-
преобразуют по формуле
C)
где ct(? — косинус угла между старой осью х( и новой осью х^.
Главные напряжения. В каждой точке тела существуют, по крайней
мере, три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касатель-
касательные напряжения ранны нулю. Эти площадки называют главными, а на-
направления нормалей к этим площадкам называют главными направле-
направлениями (или главными осями) тензора напряжения. На главных пло-
площадках действуют главные нормальные напряжения alt o2, a3. Если глав-
главные ггапряжения различны, имеется только три главных направления.
Если два главных напряжения равны (например, ог = ст3), напряженное
состояние характеризуется осеной симметрией; любая площадка.
содержащая ось 1 — главная. Если все главные напряжения равны

Напряжения
lax = аг — os). напряженное состояние характеризуется центральной
симметрией, любая площадка н данной точке является главной (случай
гидростатического напряженного состояния).
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
или (в развернутой форме)
-/.»+/, (Г„) V + lz (Т„) X + /3 (Г
Коэффициенты этого уравнения
/t (Т„) = Oj + °"г + о:) = За;
'г G\т) — "iO2 + osos + <т3п,;
/, (Г„) - о,о„оа
D)
E)
F)
не зависят от выбора координатной системы и называются соответ-
соответственно линейным, квадратичным и кубическим инвариантами тензора
напряжения. Величину а называют средним давлением.
В сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями,
действуют главные касательные напряжения
Ох -— Сз	(Т^| — Я]	O"i — Og
Максимальным касательным напряжением называют величину
Хтях — max {f тх |, |Tt|( Jt3|).	G)
Если главные оси нумерованы так, что
О, ^ 17г ^ О3,
-max	2
Не существует площадки, на которой бы действовало касательное
напряжение, превосходящее т,„ях.
Девнатор напряжения. Так как тела по-разному сопротивляются
равномерному ксестороннему давлению и касательным напряжениям,
то удойно представить тензор напряжения в ниде суммы
Та = о-Г, + Do,
о oil
где aTt ¦= ' о а 0 — шаровой тензор, соответствующий среднему
0 0 о-

Напряжения и деформации в сплошных
— тензор, характеризующий нап-
напряжения сдвига в данной точке и называемый девиатором напряже-
напряжения. Главные направления девиатора напряжения и тензора напря-
напряжения совпадают. Линейный инвариант девиатора напряжения Ix (Da)
равен, очевидно, нулю. С квадратичным инвариантом 12[ОС) связана
интенсивность касательных напряжений:
'. - -h /FT- °»У+К " "О1 - <"• ~ •.)'+•«, + '2.+'«)¦
(8)
В случае чистого сдвига (напряжение сдвига т) с^ = т, ств = О,
оа = х; тогда т/ = т. При одноосном растяжении (сжатии) оа *= as = О,
Иногда рассматривают интенсивность напряжений (или приведенное
напряжение), равную Oi — ^Зт;. Очевидно, что при одноосном растя-
растяжении (сжатии) O( = |Ojj.
Отметим важное неравенство
из которого вытекает приближенное соотношение
(9)
т*<*1@8ттах	A0)
с наибольшей погрешностью около 7%.
Компоненты девиатора напряжений будем обозначать через 5Ц {/, / =
= 1,2, 3); заметим, что
где б,/ — символ Кронекера (й,-/ = 1 при / = / и б</ =0 при i=f=j).
В плоском напряженном состоянии компоненты
напряжения
Главные напряжения равны
+4-
о3 = ог = 0.

Напряжения
Угол I, х, образуемый первым главным направлением с осью х.
ол редел ЯЮТ и з соотношен и я
Максимальное касательное напряжение Tmax-=—(°Ч —0j). если
«!, <га — разных знаков; хтах = —1 ai j, если о±, az — одинакового
знака.
Диаграмма Мора (рис. 4) дает наглядное представление
о распределении нормальных и касательных напряжений в различных
сечениях, проходящих через дан-
данную точку. Значения ап ит^лежат "
в заштрихованной области.
Форма диаграммы Мора харак-
характеризуется коэффициентом Лоде
и Надаи
ИЗмеНЯЮЩИМСЯ В пределах ОТ—1	Рис. 4. Диаграмма Мора
до +1. При фиксированном \ia и
фиксированных главных осях напряженное состояние определено с точ-
точностью до общего множителя (пропорционального интенсивности о,-) и
аддитивного среднего давления о. Коэффициент ji0 янляется характе-
характеристикой «вида напряженного состояния».
Дифференциальные уравнения равновесия. Компоненты напряже-
напряжения должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия
A2)
где X, У, Z — компоненты объемной силы. В случае движения в правых
частях уравнения A2) будут инерционные силы, соответственно рав-
равные pwx, pwy, pu>z, где р — плотность тела: ы)х, wg, wz — проекции
ускорения частицы тела.
В цилиндрических координатах г, <р, г (рис. 5) уравнения равнове-
равновесия имеют вид
A3)

Напряжения и деформации в сплошных средах
В сферических координатах, показанных на рис. Ь, уравнения рав-
равновесия имеют нид
да, 1 дт,6	1	дхгц>
дг г дН ' с sin 9 дф
- -i- Bar — ае - оф + тгв ctg 0) 4- Хг = 0;
йл	г tH г sin G дц,
*" ~r W "^ r sin 0 flip" "*"
Уравнения равновесия в пронзнольной криволинейной ортогональ-
ортогональной системе координат см. н работах [2, 4].
ДЕФОРМАЦИЯ
Тензор деформации. Деформацией называют изменение расстояния
между точками тела. Пусть и, V. ш ~ составляющие смещения, испы-
испытываемого точками тела (рис. 7), Квадрат элемента длины
ds' = dx* + dy* + dzl
после деформации будет равен
*; = A + 2Е;с) Л*2 -г A + 2f,s) dif + A -J- *г) dz1 +
+ 2узд dx dy + 2тв2 dy Аг + 2yxz dx dz,	A5)

Деформация
г ^ц ди
[~dx "dj
dv dv dw dw 
Ж ' ~ду +'дТ ' ~ду \
A6)
Остальные компоненты имеют аналогичную структуру и получаются
круговой перестановкой индексов. Совокупность величин еХ1 еу, ??,
~2~УхУ' ~1? Yyzi "9" Ухг образует
симметричный тензор второго
ранга — тензор деформации Те.
Всякая деформация может
быть осуществлена простыми
растяжениями е1? е3, е3 (глав-
(главными удлинениями) в трех
взаимно перпендикулярных на-
направлениях (главных направле-
направлениях) .
Малая деформация. В слу-
случае малой деформации компо-
компоненты тензора деформации 8Л,
?у, . . ., -х- ухг малы по сравнению с единицей. Если при этом малы
и углы поворота, то в формулах A6) можно отбросить квадратичные
слагаемые [3 ].
Тогда имеют место формулы Коши
ди
"дх ¦
dw
ду'
Здесь ех, Zy, ег — относительные удлинения соответственно в на-
направлениях осей х, у, г, а уке, ууг, ухг —относительные сдвиги (изме-
(изменения первоначально прямых углов между направлениями х, у; у, г; х, г
соответствен но).
Относительное изменение объема
?¦-?*+ *и+ к*-	A8)
Следует иметь в виду, что даже при малых удлинениях и сдвигах
формулы A7) часто являются недостаточными при анализе деформаций
и устойчивости гибких тел (стержней, пластинок, оболочек) вследствие
того, что элементы таких тел могут испытывать значительные перемеще-
перемещения и повороты [3].
Главные удлинения являются корнями кубического уравнения
—К* + 1Х (Те) >.* + /, (Ts) X ~\- !3 (Те) = 0.

Ifc	Напряжения и деформации в сплошных средах
Коэффициенты этого уравнения — соответственно линейный, квлдра-
щчный и кубическим инварианты тензора деформации; заметим, что
Л (Тг) = в.
Тензор деформации удобно представить в виде суммы
1
где ?)е — девиатор деформации, характеризующий изменение формы
элемента тела, а -«- еТ^ — шаровой тензор объемного расширения.
Компоненты девиатора деформаций будем обозначать через е.^, оче-
очевидно, что
Положительную величину, пропорциональную квадратному корню
из квадратичного инварианта
* - М2 + (е„ - в
г + (е, - е
низывают интенсивностью деформаций сдвига.
Иногда рассматривают интенсивность деформаций (или приведен-
приведенную деформацию) е(- = —— Yi-
Компоненты де<|юрмации не могут быть вполне произвольными
функциями. Для возможности определения перемещений ц, v, iv no
деформациям, последние должны удовлетворять шести условиям сплош-
сплошности (или неразрывности) Сен-Венана:
B0)

Деформация
При интегрировании уравнений A7) необходимо вычислить ряд
криволинейных интегралов [2, 3]. Условия сплошности гарантируют
независимость этих интегралов от пути, т. е. однозначность смещении
(для односвязной области — с точностью до жесткого перемещения).
Компоненты деформации в цилиндрической
системе координат г, (р, г имеют вид
ди
1 ди
ди
¦ -щ ;
ди
B1)
здесь и, у, w — составляющие вектора смещения по осям цилиндриче-
цилиндрической системы координат.
Компоненты деформации в сферической си-
системе координат г, <р, 9 имеют вид
ди	и , 1	dv
дг
1
г sin 0 дер
1 йи
ar
B2)
здесь и, у, w — составляющие вектора смещения по осям сферической
системы координат.
Формулы для компонентов деформации в произвольной криволиней-
криволинейной ортогональной системе координат и соответствующие условия сплош-
сплошности см. в работе [2].
Натуральные деформации. Пусть главные оси деформации Xj (j = 1,
2, 3) не вращаются, lj — текущая (мгновенная) длина элемента в на-
направлении х,-, dlj — приращение длины. Тогда приращения деформации
dl,- '
d?-j = -у—. Суммирование приводит к натуральным деформациям
ч
где Ijq — начальная длина элемента.
Натуральные деформации обладают групповыми свойствами (сумма
Двух последовательных натуральных деформаций также является
натуральной деформацией) и при больших деформациях, но не образуют
тензора, в связи с чем использование натуральных деформаций в расче-
расчетах ограничено отмеченными выше условиями.

Напряжения и деформации ь сплошных средах
СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ
При изучении неупругих деформаций необходимо воодить скорости
деформации.
Тензор скорости деформации. Пусть частицы тела движутся со ско-
скоростью v, проекции которой
vx = v* (*. У. г, t); v,, = vu {x, у, г, /);
vz =- v? (х, у, г, О-
При этом тело испытывает деформацию, скорость которой характе-
характеризуется компонентами тензора скорости деформации
dvu
dz
B3)
Величины %к, \yt I? определяют скорости относительных удлинений
элементарного объема в направлениях координатных осей х, у, т.
Цху lye- ^xz определяют угловые скорости скашивания первоначально
прямых углов.
Главные значения (главные скорости удлинения) симметричного тен-
тензора скорости деформации
ь 4
I
" Члг
определяют так же, как и на стр. 17. Скорость относительного объем-
объемного расширения
и является линейным инвариантом тензора Т^.
Аналогично предыдущему вводят девиата/! скорости де^юрмщиа
который характеризует скорость формоизменения.

Литература
Интенсивность скоростей деформаций сдвига
- ы* -г а» -
*)( - I -r- I/	_j_ 3 / 2 I 2 I 2
B5)
Интенсивность скоростей деформаций с/ = -¦ T)t-.
S случае малой деформации спранедлияы простые соотношения
д
B6)
Компоненты скорости деформации не могут быть вполне произволь-
произвольными функциями (см. стр, 18) и должны удовлетворять шести условиям
Сплошности, которые получаются из раненств B0) при замене компо-
компонентов дарирмации компонентами скорости деформации,
Компоненты скорости деформации в цилиндрических и сферических
координатах легко получить, заменив и формулах B1) и B2) состав-
составляющие с.мещеиня и, v, ш составляющими скорости vx, vy, uz.
Компоненты тензоров Деформации и скорости деформации и произ-
произвольной прямоугольной системе координат xj будем обозначать соот-
соответственно через Е(/ и ?,¦/.
ЛИТЕРАТУРА
1.	КаЦ А. М. Теории упругости, М-, ГИТТЛ. I936.
2.	Ляа А. Математическая теория упругости М.. ОНТИ, 1ПЯ5.
3.	Падай Л. Пластичность и раарynieiuie твердых тел. М-. ИЛ, J 9-54.
4.	Н о н о ж и л о в В- В. Теория упруг«лги. Л.. Судпром! из, 1958.
5.	II pare р В. Введение в механику сплошных сред. М.. ИЛ, 1963.
6.	С е д о в Л. И. Введение ii механику сплошной среды. М.. Физматгиа,
1962.
7.	Т ii м о ш е и ко С П. Теория упругости. М , ОНТИ, 19:17.
Paris,' 1»оэ!

Глава 2
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Задачей теории упругости является точное количественное описание
деформированного и напряженного состояний упругого тела, испыты-
испытывающего внешние воздействия. Ограничимся рассмотрением чалых де-
деформаций упругого тела, когда справедлив закон Гуна.
ЗАКОН ГУКА
Упругий потенциал. Из основных законов термодинамики следует
существование такой положительно определенной функции W компо-
компонентов деформапии, что
dW
dW
Функцию W называют упругая потенциалом; № — 0 только в том
случае, когда все компоненты деформации равны нулю.
Обобщенный закон Гука предполагает линейную зависимость
компонентов напряжения от компонентов деформации
ох -- Спгх + С12гу -f- С13е7 + С14» + Си,ухг + СнуЛ„\
Вследствие существования зависимостей (I) должно быть
Сц=Сц, </, /= 1, 2, 3).	C)
Благодаря равенствам C) число упругих постоянных С,/ сокра-
сокращается до 21,
Упругие постоянные, определяемые в условиях изотермического н.чи
адиабатического процессов, различаются;' эти различия, однако, незна-
незначительны.

Закон Гука
Упругий потенциал W является однородной положительно опреде-
определенной квадратичной формой, имеющей нид
*h +¦¦¦+ скел
С
+ i-C№yly.	D)
Упругий потенциал всего тела
W = j W dV,
где V — объем тела; dV — элемент объема.
Упругий потенциал можно также представить в виде (формула
Клапейрона)
Уравнения B) можно разрешить относительно компонентов дефор-
деформации; последние будут линейными функциями компонентов напряже-
напряжения. Потенциальная энергия W, если перейти в выражении D) к на-
напряжениям, будет однородной положительно определенной квадратич-
квадратичной формой компонентов напряжений. При этом справедливы формулы
Кости лья но
aw
Y« =:
dW
E)
Некоторые случаи упругой симметрии. Одна плоскость
упругой симметрни.В этом случае н нроизнольно выбранном
точке тела любые два направления, симметричные относительно указан
пой плоскости, эквивалентны. При этом число независимых упругих
постоянных сокращается до 13.
Ортотропное тело характеризуется тем, что в каждой
его точке имеются три ортогональные плоскости упругой симметрии.
Число независимых упругих постоянных уменьшается до 9. Имеются
три главные направления упругости. Закон Гука имеет вид (в главных
осях х, у, г)
"'^--t a*-~it °" +

24
Теория упругости
причем из независимости потенциальной энергии элемента от порядка
приложения напряжений следует, что
?iVn = Е2\'п; Е2\эг = if8vM; ?3vt3 = ?,vai;	G)
здесь ?,, ?2, Ея — модули упругости; G^, G-i3l GI3—модули сдвига;
via. v21, v]3. v31, v2a- v32 — коэффициенты Пуассона.
Трансверсально-изотропное тело характери-
характеризуется наличием плоскости упругой изотропии, т. е. имеется ось сим-
симметрии г, расположенная так, что все направления, перпендикулярные
к ней, эквивалентны. В этом случае
]
Ухи =-?^
о,
(8)
Криволинейная анизотропия имеет место в тех
случаях, когда материал обладает какой-либо симметрией, но оси сим-
симметрии в различных точках тела имеют разные направления. Наиболь-
Наибольший практический интерес представляют цилиндрическая и сфериче-
сферическая анизотропии [6, 8, 12].
Изотропное тело характеризуется эквивалентностью всех напранле-
ний. Число независимых упругих постоянных равно двум. Закон Гука
принимает вид
— -i- — 4-
(9)
где ? — модуль упругости; <? — модуль сдвига; V — коэффициент Пуас-
Пуассона. Относительное изменение объема пропорционально среднему
давлению
о»).
A0)
	коэ»(хрициент объемного сжатия.
Решая равенства (9) относительно напряжений, получасу
а, — Ле + 2цг,;
У = as -j- zjiey; > iyZ — PYjfzi
~? =¦ Уд. -\- 2(ЯЕг; J т_,-г = Ц-Ух;, J
(И)

Закон Гука	25
где А. и Ц = G — упругие постоянные Ламе. От одних постоянных к дру-
другим переходят по формулам табл. 1.
Пас
Модуль упруг
Коэффициент
Модуль сдвиг
Пост.»»,.»» Л
Коэффициент
пяиные
пстн Е
Пуассон
<; --11
а„е>.
объемы
я у
го ежа-
2
A +
Формулы liupt
Е; v
V
F.
A + v)
?v
v) (I — -lv)
¦Jzr~
хпда дли сие
>.: V
11C1 +
)- +
Л
1 1). +
-
1
тс»
2»)
Упругие постоянные положительны, причем для реальных мате
риалов 0 <! v <[ 0,5.
Для упругого несжимаемого тела V = 0,5.
Упругую потенциальную энергию единицы объема изотропного тела
определяют по формулам
W " ~Ь \"' + "I + "' ~ 2v ("'"a + "к"' "*" а*а^
Среднее давление о и интенсивность касательных напряжении т;
Определены в гл. 1, формулы F), (8).
В последней формуле первое слагаемое — упругая энергия измене-
изменения объема, второе слагаемое — упругая эниргия изменения формы.
Если тело испытало нагрев до температуры Т, то к гшрным трем соот-
соотношениям (9) следует добавить тепловые расширения аТ, гди a — тем-
температурный коэффициент линейного расширения.
Первая группа уравнений A1J будет доно.ик
(см. гл. 5).

Теория упругости
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Так как по закону Гука напряжения можно выразить через дефор-
деформации (а следовательно, чгрез перемещения и, v, ю) и, обратно, де^юр-
мащш можно ныраэить через напряжения, то в теории упругости одну
и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях,
рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений.
Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы
(принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильнно).
Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это
не всегда удобно.
Уравнения Ламе. Внося в дифференциальные уравнения равно-
равновесия |A2) гл, 1 ] компоненты напряжения согласно A1) гл. 1 н заменяя
компоненты деформации по формулам Коши [A7) гл. 1J, находим диф-
дифференциальные уравнения динамики упругого тела
A3)
т	ви . dv dw	,
одесь е = -^~ -}- -^—(—-	относительное изменение объема;
д2
Лапласа;
"Ж-
составляющие ускорения; f> — плотность; X, Y, Z — составляющие
объемной силы.
В задачах статики упругого тела ускорение равно нулю; при отсут-
отсутствии объемных сил уравнения статики имеют вид
A4)
Некоторые следствия. Из уравнений A4) вытекает, что объемное
расширение s является гармонической функцией
Де = О,
а составляющие перемещения и, v, w — бигармоническими функциями
ДДи = 0; АД о =» 0; ДЛш = 0.
A) ~ + |i До = 0;
-^ + V 4» =-¦ 0.

Уравнения теории упругости в напряжениях
27
Но тогда с помощью соотношений A1) легко установить, что среднее
давление — гармоническая функция
До = О,
а компоненты напряжения — бигармонические функции
ДДо, = 0; . . .; ДДт„ — 0.
Решение Папковича—Нейбера. Решение уравнений Ламе A4) может
быть представлено через гармонические функции Ф„, Ф,. Ф:, Ф;:
и — ф,	— .	 |
1/1 4A — v) дх
И = Ф3 — -:
1 — v) ду
1	д
4 A — v) дг
1 -Н уФ2 -г ^Фз h ^о);
1 + уФа + 2Фа + Фи);
1 + ^Фв -f-гФз 4-Ф0).
A5)
Через эти функции по формулам A1) можно выразить компоненты
напряжения. Имеются также другие формы общего решения уравнении
Ламе (решения Кельвина, Бусинеска-Галеркипа и т. д.).
Уравнения Ламе в цилиндрических координатах
,- , ч Зв	( и i 2 dv \ i
A6)
где «, у, ш — проекции перемещения на оси г, ф, г; оператор Лапласа
Уравнения Ламе в ортогональных криволинейных координатах см.
работу [8].
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Уравнения Бельтрами—Митчелла. Внося компоненты деформации
по закону Гука (9) в условие сплошности B0) гл. 1, получаем с помощью
Дифференциальных уравнений равновесия уравнения Бельтрамн-
Митчелла
дУ	v / дХ , дУ , dl \
-^ -2
ду
[ —V \ дх
ди
дг
A7)

Теория упругости
At« -,
1 1
' 1
;i
3
3
v
V
0 a
дхду
дао
дудг
дао-
1 -j- v
_v	/дХ_ dY_
I — v \ дх ду
hdy	\~ду~^~дк~)'
дг т ву ,
дг дХ '
дх + Аг ,
A7)
При отсутствии объемных сил правые части этих уравнений равны
нулю; напомним, что 3(Т — <jK + °y^~ °z- Для получения полной си-
системы уравнений в напряжениях к уравнениям A7) следует присоеди-
присоединить дифференциальные ураннепия равновесия A2) гл. 1. Этой системе
уравнений можно удовлетворить с помощью тензора функций нэпря-
жени я 17 ].
Уравнения Бельтрам и—М итчелла н цилин-
цилиндрических координатах (при отсутствии объемных сил):
Да,,.
—
-
"г)
ч°
/ \
4 "
fi "
г*
да
С*ф
+
1
+
4
3
1 +V
¦ Лр
a»o \
I
v^-^1
4t,.._i«_4-
2 Л,,
I 4" V
(IS)
УравнеиияБельтрам и—М итчелла в крииоли-
неиных ортогональных координатах см. в рабо-
работах 17. 81.

Граничные и начальные условия. Принцип Сен-Венана 29
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Первая основная задача. На поверхности тела -S заданы нагрузки
(Хп> Уп> %п)\ тогда на этой поверхности должны выполняться условия
ох cos пх + ixy cos пу -г tXz cos nz = Хп;
т^у cos пх -f а у cos пу -\- т-уг cos nz = Yn;
А	А
z cos пх + Туг cos пу
Л
-I- о> cos пг =
A9)
В качестве примера приведем задачу о толстостенной трубе под
действием внутреннего давления р. Тогда на наружной поверхности
трубы нагрузки Хп ~ Уп — Zn = 0, а на внутренней поверхности они
сводятся к внутреннему давлению.
Вторая основная задача. Заданы смещения us, vs, ws точек локерх-
ности тела; тогда на S должно быть
а = us, у = vs, w —¦ wjs.	B0)
В чистом виде эта задача встречается значительно реже.
В качестве примера приведем задачу о сплошном упругом круглом
диске, запрессованном в жесткое очко. Здесь на контуре диска задано
радиальное перемещение.
Основная смешанная задача. На части поверхности $f заданы
нагрузки, а точкам остальной части Sn поверхности тела предписаны
смещения.
Примером может служить круглый диск с отверстием, яапрсчхонан-
ный на жесткий вал. На внутреннем контуре (SH) задано радиальное
перемещение, на внешнем контуре {Sp} заданы нагрузки (напряжения
равны нулю).
Кроме основной смешанной эадачи встречаются более сложные
смешанные задачи, когда на одной и той же части поверхности тела за-
заданы частично смещения (например, нормальное перемещение), частично
напряжения (например, касательное напряжение).
Принцип Сен-Венана. Решение граничных задач связано с матема-
математическими трудностями. Большое значение имеет возможность некото-
некоторого изменения (ослабления) граничных условий, определяемая прин-
принципом Сен-Венана: статически жешзалешпные системы нагрузок, дей-
действующие на небольшой части поверхности тела, в некотором отдалении
от последней (на расстоянии, сопоставимом с ее поперечны.» размером)
приводят к практически одинаковым напряженный состоянием.
Статически эквивалентные системы нагрузок имеют одинаковые
главные вектор и момент. Предполагается, что поперечные размеры
рассматриваемой небольшой части поверхности тела малы по сравне-
сравнению с характерными размерами всего тела. Строгое доказательство
принципа Сен-Венана отсутствует. Однако принцип Сен-Венана хорошо
подтверждается имеющимися точными решениями частных задач и
Экспериментальными данными.
Начальные условия. При рассмотрении динамических зчдач необ-
необходимо задать в начальный момент времени t = 0 смешения и скорости.

Теория упругости
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ,
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Теорема Клапейрона. Потенциальная энергия тела равна половине
произведения внешних сил на вызванные ими перемещения, т. е.
J W dV = -i- Г J (Xu + Yv + Zw) rfl-' -r
V	V
+ У„и i- гйш) dS] .	B1)
4- J (Хпи
Теорема взаимности работ (теорема Бетти)
Пусть на тело действуют две системы нагрузок:
!) Х'п, У'п, Z'n; X \ У', Z (соответствующие им смещения равны
и', у', аи');
2) Х~п, У*, Z*; X , Y", Z" (соответствующие им смещения равны
и", и", w").
Из независимости потенциальной энергии тела от порядка прохо-
ждепи я нагрузок следует, что работа сил первого состояния на смещениях
второго состояния равна работе сил второго состояния на смещениях
первого:
j (Х'и + Y'v -f Zw) dV + | (Хпи -f- УпО* -I- Znw") dS **
V
- f (X"u' + Y'v + Z"ui') dt/ + J(X>' + K>' + Z>') dS. B2)
i	s
Теорема единственности. Решение уравнений теории упругости
[уравнений Ламе A4) или уравнений н напряжениях A2) гл. 1, A7)]
для рассмотренных выше основных задач является единственным (с точ-
точностью до перемещений твердого тела). Эта теорема верна при не слиш-
слишком больших нагрузках — пока можно не учитывать изменений в кон-
конфигурации тела при составлении уравнений равновесия. Для гибких
тел возникновение новых форм равновесия при достаточной интенсив-
интенсивности нагрузок является весьма важным для решения вопросов проч-
прочности.
Помимо общего значения, теорему единственности широко иегголь-
зуют при решении конкретных задач. Иногда удается частично «угадать»
форму решения (см., например, нолуобратный метод решения задач
кручения, изгиба и т. д.). Если при этом можно удовлетворить всем
дифференциальным уравнениям и граничным условиям задачи, то,
в силу теоремы единственности, тем самым найдено искомое ре-
решение.
Принцип минимума потенциальной энергии системы (принцип
минимума для смещений). Из всех кинематически возможных систем
перемещений, принимающих заданные значения на поверхности тела.

Общие теоремы. Вариационные методы решения	31
только действительные перемещения сообщают минимум потенциаль-
потенциальной энергии системы
П = j W dV — f (Xu + Yv + Zw) dV —
v	?
— J (Xau +- Ynv + Zn^) <1S - min.	B3)
s
Кинематически возможные перемещения непрерывны и удовлетво-
удовлетворяют заданным граничным геометрическим условиям.
Здесь имеет место абсолютный минимум.
Это вариационное уравнение эквивалентно дифференциальным
уравнениям равновесия [A2) гл. 1] и условиям равновесия A9) на по-
поверхности тела. Это уравнение является следствием начала возможных
перемещений.
Принцип Кастнльяно (принцип минимума для напряжений).
Из всех систем напряжений, находящихся в равновесии с заданными
объемными и поверхностными силами, только действительная система
напряжений сообщает минимум дополнительной работе
Г W dV — |' (Хпи + Ynv + Znxd) dS - min.	B4)
v	su
Поверхностный интеграл берут по той части поверхности, на которой
заданы перемещения. Если рассматривают первую основную задачу
(Su = 0) или на 5„ смещения равны нулю (опоры), то реализуется ми-
минимум потенциальной энергии тела
?= f W dV= min.	B5)
Вариационное уравнение Кастильяно эквивалентно условиям сплош-
сплошности.
Теорема Кастильяно. Если на тело действуют обобщенные сосре-
сосредоточенные нагрузки Qt (( = 1, 2, 3, . . .). а на Su смещения равны нулю
(опоры), то
&¦>«¦ <*>
где ?; — обобщенные перемещения,
Принцип Гамильтона. Пусть упругое тело находится в состоянии
движения; его действительное движении характеризуется перемеще-
перемещениями и, v, w. Сравнивая это поле перемещений с близким кинемати-
кинематически возможным нолем и + б«, v + 6v, w — &w таким, что бы = &v =
~ &w — 0 для заданных моментов времени t0 и /1( можно показать,
'¦ _	_
что для действительного движения интеграл J (Т — A Jr Щ tit при*
нимает экстремальное значение, т. е.
I-, _
о j' (Г — A -j- W)dt^i3,	B7)
i

Теория упругости
здесь W— упругий потенциал тела; Т—кинетическая энергия тела;
А — работа внешних сил;
Л = f (Хи + Yv + Zw) dV + f (Xnu + Ynv + Znw) dS. B8)
V	S
Вариационные методы решения задач теории упругости (Ритца,
Галеркина, Трефца) см. в работах [5, 91-
ПЛОСКАЯ ЗАДЛЧА
В теории упругости к плоской задаче относят задачу о плоской де-
деформации и задачу о плоском напряженном состоянии. Обе задачи при-
приводят к одной и тон же математической проблеме.
Плоская деформация имеет место в длинном прямом цилиндре
(с осью г) при условии, что составляющая смещения ш = 0, а внешние
нагрузки не зависят от г, при-
причем " Zn -"-О, Z =- 0, Следова-
Следовательно,
г = *у, - 0;
B9)
Рнс. 1. Плоск
Длинная плотина, работаю-
работающая в условиях плоской дефор-
деформации, схематически показана
пи рис. 1.
Если закрепления концов таковы, что условие w = 0 не выполняется
(например, концы свободны), то рассматриваемую задачу можно решать
в условиях плоском деформации, вычислить согласно равенствам B9)
осевое усилие Р и затем наложить на это решение состояние надлежаще
выбранногоодноосного растяжения (например, для свободных концов —
растяжение силой Р). Суммарное решение по принципу Сен-Венана будет
справедливо в некотором отдалении от концов.
Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид
л* fHv,,	дтхи да и
-Х = 0: —з^- -ь -JL + Y = 0. C0)
ду
дх
дУ
Соотношения закона Гука также упрощаются:
\ дх '
dv
ди
-rr- ¦
дх '
C1)

Плоская задам
Уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах г,
, i имеют вид
_-~_. (с,+ оф):
B9а)
до, 1 <*тГф о> —
дг 'г дц!	г
[	до, дт,ф	| 2т,ф
V"	()ф дг	' г
д«	. а . 1	^w \
+ Лф = 0;
C0а}
C1а)
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластина
со свободными от нагрузки основаниями; пластина деформирует
ся нагрузками, параллельными
основаниям и симметричными
относительно срединной плос-
плоскости (рис. 2).
Принимая срединную плос-
плоскость за плоскость ху, имеем на
основаниях (т. е. при г —
= ±А/2)
а2 = ххг = ту2 ~ 0.
Усредняя все величины по
толщине пластины, получим
уравнения равновесия C0) и
соотношения
= ^ (-ЭГ + Ж)
Эй
C2)
ди
где положено

34
Теория упругости
а знак» усреднения ииущгпы hem объем nut силы распределены
равномерно по толщине, то уже на небольших расстояниях от контура
средние значения напряжены» ох, Qy, хху и смещений и, v в силу прин-
принципа Сен-Венана мало отличаются от истинных.
Уравнении плоского напряженного состояния имеют тот же вид,
что и ураннения плоской деформации, лишь и уравнениях C2) стоит
коэффициент Я' (вместо?.). В дальнейшем рассматривается система урав-
уравнений плоской деформации. Для перехода к плоскому напряженному
состоянию необходимо заменить X на 'к' и учесть, что в плоском напря-
напряженном состоянии ог = 0.
Уравнения плоской задачи в смешениях следуют из уравнений
Ламе A3):
C4)
где Д —оператор Лапласа для двух переменных
дх + ду "
В полярных координатах г, ср уравнения в смещениях имеют вид
rdip г \ г2 гг dip} '
135)
где е = —т—|	1	• —г- ; Xr, Xl?l — составляющие объемной
or г г оф	v
силы по осям г н f, a
д-	1 д ' яа
Л = "ЯП- + "Г ' -ЛГ + "
dr2
Уравнения плоской задачи в напряжениях. К уравнениям равно-
равновесия C0) следует присоединить условие: сплошности
вытекающее из уравнений Бельтрами—Митчелла A7).
К случаю отсутствия объемных сил приводят
подысканием какого-нибудь частного решения </0), у@) уравнений Ламе

Плоская задача
C4), если задача решается в смещениях, или какого-нибудь частного
решенкя <rjo>. oj0), т['^ уравнений C0) и C6). если задача решается в на-
напряжениях. Разыскивая общее решение в виде
или соответственно
получим для величин со штрихом однородные уравнения Ламе (в сме-
смещениях) или однородные уравнения C0), C6). При этом несколько
усложняются граничные условия.
Случай силы тяжести: X = О, Y = —f>g, где р — плот-
плотность; g — ускорение силы тяжести. Частное решение уравнений в на-
напряжениях
Случай центробежной силы: X = ры-х. У = рш2у,
где ш —угловая скорость; осью вращения янляетсн ось г. Тогда
Функция напряжений (функция Эри). Дифференциальные уравнения
новесш (,*Ю) при отсутствии объемных сил удовлетворяются при
становке
Функция нап
равновесш (,*Ю)
подстановке
азф	азф	а2Ф
Из услопия сплошности вытекает, что функция напряжений Ф
удовлетворяет бигармоническому уравнению
ДДФ"=-- О
или в развернутом виде
В- полярных координатах г, ц> имеем
_ 1 дФ 1 д%Ф	^ф
1 дФ 1 й^Ф
прячем
/_iL j__L JL4-— ^2 \ / ^^ 1 1 ** i-
\ дг* ~*~ г дг г2 дф2 / \ дг2 г дг

Теория упругости
О граничных условиях. Е1 случае первой основной граничной задачи
па контуре тела заданы поверхностные усилия Хп, К„ (рис. 3); тогда
ох о у	ох-
Интегрирование этих соотношений вдоль дуги контура приводит
к формулам для значений производных функции напряжений в произ-
произвольной точке контура s — sx
ной к участку дуги (О,
й	ф
где sx — длина дуги контура, от-
отсчитываемая от некоторой точки, а
К*. Яр — проекции главного век-
вектора внешней нагрузки, приложен-
приложенПовторное интегрирование позволяет
й
уу у (, ^)	р	р
найти значение функции напряжений на контуре
(ф), = -
, - х) У„ - ((/, - Щ А•„) А.
D0)
Это значение, следовательно, равно моменту нагрузки, приложенной
на участке контура (О, s(), относительно конечной точки sL рассматри-
рассматриваемого участка.
Приняв за оси х, у направления нормали ft и касательной s к контуру
в точке s = Sj, можно переписать формулы C9) в такой форме
г. е. можно считать известными производные функции напряжений по
нормали и дуге; Rn, Rs — нормальная и касательная составляющие
главного вектора внешней нагрузки, приложенной к участку (О, Sj).
Так как из формулы длв (Ф)± вытекает первое из соотношений D1),
ТО независимыми граничными значениями будут значения Ф и ~^~,
on
Для односвязного контура эти значения однозначны. Для много-
связного контура эти значения однозначны только в том случае, когда
главный вектор и главный момент по каждому из контуров равны
нулю [12].

Плоская задача
37
О зависимости напряженного состоянии от упругих постоянных.
В случае первой основной задачи {на контуре тела заданы напряже-
напряжения Хп, Уп) напряженное состояние не зависит от упругих постоянных
(т е. от материала), если тело занимает конечную односнязную область.
В случае многосвязной области необходимы дополнительные усло-
условия: на каждом контуре главный вектор внешних нагрузок Ха, Уп
должен равняться нулю.
Приведенные результаты {иногда называемые теоремой Лсни-Мит-
челла) лежат в основе использования оптического метода исследования
напряжений.
Простейшие решения в полиномах. Если функцию напряжений
брать в виде целого полинома я, у и подбирать его коэффициенты так,
чтобы удовлетворялось бигармоничеекое уравнение C7) и и той или
иной мере граничные условия, то можно построить много интересных
решений для более или менее длинных прямоугольных полос. При этом
на торцах полосы удовлетворяются, как правило, «подходящие» гранич-
граничные условия 115. 19].
Решения для полосы в рядах Фурье. Если нагрузки на гранях
полосы у= ±h разрывны (или вообще достаточно сложны), решение
Е
\
\
задачи часто можно построить в рядах Фурье, Для этого нагрузки раз-
разлагаем в ряды Фурье и ищем решения бигармоннческого уравнения {37)
в форме
(если нагрузка четная). Функция ф (у) имеет вид
<р (у) = Cl cb ау -г Сг sh ay + С3у ch ay + САу sh ay,
где а = ~ -, n — целое число; Clt . . ., C4 —произвольные постоян-
постоянные. Подробное изложение см. в работах A5, 19].
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих «рассасывание» действия
сосредоточенных нагрузок.
Сжатие сосредоточенными силами узкой по-
л°сы (рис. 4) / > h. Напряжение о^ быстро убывает по мере удале-
удаления от сечения х — 0. На рис. 5 показан график напряжения a» при
У= 0 [19].	У

Теория упругости
Сжатие сосредоточенными силами высокой
полосы {рис. 6) / < А. По мере удаления от точки приложения со-
сосредоточенной силы распределение напряжения rrv будет все более рав-
равномерным. На рис. 7 показаны графики ау в сечениях у — Л	=- ,
у ~ h — I, у = h — 2/. ^гот пример характеризует усланин примени-
применимости принципа Сен-Веиана.
отщ..р&
Рис. 6. Сжатие со-
сосредоточенными
силами высокой
Функция напряжений в полярных координатах. О с е с и м м е -
тричное на пряженное состояние. В этой случае
Ф = A In r-\- Br*\nr+ Cr2+ D,
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
Задача Ламе о полой трубе. Применяя приведенное
решение к задаче о равновесии трубы (диаметры 2а, 1Ь), испытывающей
действие внутреннего давления р и внешнего давления q, получим
2 (д — р) dlp — h-q
2 _ Й2) Г1
Радиальное перемещение
1 +v Г а?Ь2 (р — д)

Плоская задача
Чистый изгиб кривого бруса (рис. 8).
Используя то же решение, получаем
= О,
Рис. 9. Клин под действием
сосредоточенной силы
i — (b2 — a*) —4aJ*a(ln -Ь-\ .
Клип под действием сосредоточенной силы,
приложенной в вершине (рис. 9). Здесь напряжения будут
_ IP f sin у sin Ф , cos у cos ф \
°г	7~ \ 2<х — sin 2a~ ^ 2a + sin 2u / '
a, = тГЧ; = О.
Полагая а = -^- , у — 0, получаем решение задачи о действии на
упругую полуплоскость сосредоточенной силы, перпендикулярной
к границе {задача Фламана):
2Р
О7--
Сжатие круглого диска сосредоточенными
сн л а ы н можно получить, опираясь на решение задачи Фламана {19].
•4>и действии вдоль диаметра двух равных сил (рис. 10) в сечении у = 0
иапояжоыиА
ЧР Г
Оу = —— 1 — -

40
Теория упругости
Решение плоской задачи с помощью функций комплексного нере-
неременного. При решении плоской задачи теории упругости широко
применяют методы теории функций комплексного переменного ПО,
Бнгармоническая функция может быть представлена в форме
Ф= Re п<р(г)+ х(г)],	D2)
где г — х+ iy. а г = х — iy — сопряженное комплексное переменное;
Re — символ вещественной части; ц> (г) и х (*) — некоторые аналити-
аналитические функции переменного г.
В дальнейшем необходима формула
^ ^	7	D3)
где черта сверху означает сопряженную фуннцию
[т. е. <р' (г) — сопряженная функция по отношению
к ф' (г) и т. д. ], а
Смещения через введенные функции представ-
представляют так;
2ц (и -f ii>) = *<р {г) - ztfjz) — tlF). D4)
где к = 3—4v — для плоской деформации; к = -:-—	для плос-
плоского напряженного состояния.
Компоненты напряженного состояния определяют по формулам
Колосова-Мусхелншвили
ау — о, + 2(t,B =2 1гф" <г) -г- ф' (г) ]. )
В случае первой основной задачи производные
-д—, -з—согласно формулам C9) известны па контуре области, т. е.
имеем граничную задачу
Ф (г) 4- г^иТ-Ь ТТй = /i + tft + const,	D6)
где fx (х, у), /2 {х, у) — известные на контуре функции.
В случае второй основной задачи па основании
формулы D4) имеем граничную задачу
*Ф (г) - гф' (г) - $ (г) =
tgt).
D7)
где gl( g2 — заданные иа контуре функции.
Необходимо определить аналитические функции ф (г) и г|) (г), удо-
удовлетворяющие на контуре области условию D6) н.ш {47).
Для решения указанных граничных задач широко используют
методы теории функций комплексного переменного (см. Дополнитель-
Дополнительные сведения по плоской задаче и работы 110, 14, 16, 18]).

Плоская задача
Плоская задача для бесконечной полосы. Решение «.троится при
помощи интегралов Фурье. Функцию Эри разыскивают в форме
Ф^ \ (fi (Ky) cos \x d'K ¦ \- \ фи (ky) sin Kxdh.
Ось х направлена по оси полосы, начало координаты —¦ посреди п.
(см. рис. 4). Если полоса нагружена симметрично относительно оси у,
второй интеграл можно опустить; при кошеимметричной нагрузке
можно опустить парный интеграл. Функции ф, (ку), <ра (Ку) являются
решениями дифференциального уравнения
т. е. 0'= 1. 2)
tp/ — A,- ch "ку \- В,- sh Ку -\- Cjhj ch \у 4- Djky sh \у,
где Aj, Bj, Cj, Dj — вообще гокоря, функции л. Если напряжения oXi
Оу симметричны относительно оси х, то Вj — 0, Су ~ 0.
Вычисляя напряжения
ах ¦-¦¦ \ , 2 cos XxdX -г \ 22 sin ?jt d\ и т. д.
и сопоставляя их на краях полосы у =— ±h с. заданными граничными
значениями напряжений (записанными при помощи интеграла Фурье),
определяем величины Aj (k), . . ., Dj (?>.)¦
Плоская задача для анизотропного тела. В длинном цилиндре при
нагрузках, перпендикулярных к образующей цилиндра н не меня-
меняющихся вдоль нее, в случае, когда имеется в каждой точке плоскость
упругой симметрии, нормальная к оси цилиндра, реализуется плоская
деформация. Функция напряжений удовлетворяет уравнению
д1ф
гДе Р*2< - . ., Рц — упругие константы.
В однородной анизотропной пластине, имеющей в каждой точке
плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости,
при краевых нагрузках, лежащих в срединной плоскости, реализуется
Обобщенное плоское напряженное состояние. Функция напряжений
Удовлетворяет приведенному выше дифференциальному уравнению при
несколько иных значениях коэффициентов.
^^тетоды решения и различные частные задачи рассмотрены в ра-

Теория упругости
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Основные уравнения в цилиндрических координатах. Рассматриваем
тело нращения, осью которого является ось Ог цилиндрической системы
координат г, ф, г. Предположим, что нагрузки также симметричны
относительно оси Ог- Из рассмотрения исключается случай кручения
круглого нала переменного диаметра, тогда смещение v = 0, а
и= и (г, г); w = w (г, г).
Компоненты деформации
D8)
Днф(|юре[1циальные уравнения равновесия A3) гл. 1 принимают
более простой вид
D9)
да.
~дТ ~
дГ
dtn
дг
~дТ
+
о,
Г
Т
=
Оф
0.
= 0;
Условия сплошности Бельтра.чи—Митчелла в рассматриваемом
случае таковы:
1 +V
3
„
где Д — оператор Лапласа:
E0)
' г ' дг

Осесимштричные задачи
Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются с по-
помощью функции напряжения Ф (г, г):
®г — -д- ( v ДФ	^-^ ;
<* / л* 1 <ЗФ
Стг = ^_ B — v)Acl>-
E1)
Уравнения сплошности E0) будут удовлетворены, если функция
напряжений — бигармоническая
ДДФ = 0.	(.32)
Компоненты смещения выражают через функцию напряжения по
формулам
1+V |
E3)
Здесь принедсна формулировка осеснмметричиой задачи в напряже-
напряжениях. При формулировке задачи в смещениях общее решение может был.
представлено через гармонические функции согласно решению Папко
внча—Нейбера A5), см. работы [7, 15].
Уравнения в сферических координатах. Иногда удобно исходить
из уравнений осесимметричной задачи в сферических координатах rt
ф, 0; при атом напряжения, деформации и смещения не зависят от угла ц.
ось симметрии характеризуется значением 0=0. Функция напряжении
удовлетворяет бигармоническому уравнению, причем оператор Лапласа
имеет теперь вид
Связь с плоской задачей. Решение первой и второй основных задач
Для осесимметри'шого тела можно привести к задаче определения
Двух аналитических функций для плоской задачи (для области, образо-
образованной Диаметральным сечением) при соответстзуюших граничных
условиях [1]. Граничные значения этик аналитических функции на-
находят из системы интегральных уравнений.
Полый шар под действием внутреннего и внешнего давления.
Пусть а, Ь обозначают соответственно внутренний и наружный радиусы

Теория упругости
шара, р, ц — внутреннее и наружное равномерное давление. Напряже-
Напряжения будут
Если внешнее давление отсутствует (<у = 0), ти наибольшей растяги-
растягивающее напряжение будет на внутренней поверхности
Местные напряжения вокруг сферической поло-
полости в поле растяжения (рис. 11). Пусть в простран-
пространстве, испытывающем одноосное растяжение в на-
направлении оси г, имеется сферическая полость, сво-
свободная от нагрузок; тогда вблизи полости воз-
возни пнет концентрация напряжений. Аналогичное
состояние будыт иметь место н растягиваемом
стержне с малой сферической полостью. Равно-
Равномерное одноосное напряжение в достаточном уда-
удалении от полости обозначим через р.
Нормальное напряжение а плоскости г — 0
Рис. П. Сфери-
Сферическая полость в
растягиваемом
2G-5v)
2 G — 5v
•-лГ Р-
Наибольшее значение (<*г)г=о имеет на контуре г — а:
- 27—Mv
V,. га«х)г=0 - 2G_5v) Р'
Нормальное напряжение оф при г = 0 и г — а также является растя-
растягивающим:
^Vz^o. ,=м - 2 G — 5v) F'
На полюсах полости (г = ±а) реализуется сжатие
,„ ,	3+ I5v „

Осесимметричные задачи
Сосредоточенная сила в упругом пространстве. Сосредоточенная
сила Р, приложенная в начале координат и направленная по иен г,
вызывает в теле бесконечных размеров следующие напряжения:
1 — V)
1A — 2v) г
8л A — v) '
1 — 2v) z
—Р
8л A — v)
[(I — 2v)
где введено обозначение R2 = г* + г3.
В плоскости г = 0 действует только касательное напряжение тгг.
Действие сосредоточенной силы на полупространство (рис. 12).
На границе тела z = 0 в начале координат (г — 0) приложена сосредо-
сосредоточенная сила Р, направленная по оси г. Напряжения определяются
формулами
t™—^ «•«-•¦
Рис. [2. Действие сосре-
сосредоточенной силы на по-
полу пространство
Напряжение, действующее по любой горизонтальной площадке,
направлено по линии 00v, проходящей через начало координат, и по
величине равно
Перемещения, возникающие в полубесконечзюм теле под действием
силы Р:
I- 1 +

Теория упругости
Для точек граничной плоскости г= 0 имеем
(l-gv)(l+v)	Ш31±
2я?
Действие распределенной нагрузки на полупространство. Используя
решение для сосредоточеЕшой силы, можно, на основании принципа
сложения дейстния сил, получить решение задачи о действии распре-
распределенной нагрузки на полупространство.
Для частного случая равномерной нагрузки р, распределенной по
площади круга радиуса а, имеют место следующие результаты.
Вертикальное смещение в центре круга (г = 0. г = 0) определяется
формулой
Wq = -
i на окружности (г = 0, г = а) оно будет
Напряжения в точках, лежащих на оси г,
¦т[
2A 4- у) г
А
где Л2 ** а3 4- г3.
Максимальное _ касательное напряжение имеет место в тачке г
= а 1. ^^ ¦¦, его величину определяют по формуле
В случае равномерного давления р, распределенного по прямоуголь-
прямоугольнику (стороны а, Ь), среднее вертикальное перемещение (по площади
прямоугольника)
р (\ — v»)
где Р = pF — нагрузка; F — площадь, на которую действует давление.
Значения коэффициента т приведены в табл. 2.

Дополнительные сведения по плоской задаче
Круг
0,96
Прямоугольник при -?-
. 1 ...
Л, 96
0,04
2,0 1 3,0 | 5
0,92
11,38
0,8-'
10
0,71
100
0,37
Давление круглого жесткого штампа па полупространство {рис. 13).
Давление не будет постоянным, его определяют по формуле
Р
Р
где Р — полная нагрузка; а — радиус штампа.
Вертикальное перемещение под штампом постоянно
_ Р A — V2)
Пространственные задачи для анизотропных
тел. В трансверсально-изотролном теле враще-
вращения при осеснмметрнчных нагрузках возникает
оееснмметричное напряженное состояние. Функ-
Функция напряжений Ф удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
/ ^ I д \ ( д*Ф 1 дф .
где а, с, d — упругие постоянные.
Это уравнение для изотропного тела переходит в бигармонн'!еское
уравнение {52).
Имеются решения [6] различных задач для анизотропного тела
(равновесие полого цилиндра, полон сферы, полупространства и т. д.).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
Односвязная область. Для односвязной области (внутренняя задача)
функция ф (г) определена с точностью до слагаемого Ciz-\- у, функ-
функция ty(z) — с точностью до слагаемого у', где С — действительная,
а V- Y — комплексные произвольные постоянные.
Произвольным постоянным, входящим d функции ф (г), $ (г), можно
придавать, в зависимости от удобства, те или иные определенные зна-

Теория упругости
Считая Для определенности, что качало координат находится в об-
области $, можно выбрать эти постоянные следующим образом [10].
Первая основная задача
Ф @) = 0; Jmtf @) = 0; ф @) = 0.
Первое достигают подходящим выбором у, второе — подходящим
выбором С, третье — подходящим выбором у .
Вторая основная задача
В этом случае С = 0; v.y —у' =¦ 0. Поэтому для удобства можно
принять ф @) -= 0 или \|i @) = 0.
Многосвязная область. Рассмотрим случай, когда S — мпогосвязнан
конечная область.
Будем предполагать, что область S ограничена несколькими про-
простыми замкнутыми контурами Lt, Lt, . . ,, Lm, Lm+i, из которых по-
последний охватынает все предыдущие (пластинка с отверстиями)
Предполагаем также, что эти контуры не имеют общих точек.
В рассматриваемом случае функции ф (г) и 1|) (г) будут иметь вид
Ф (*)=- —
In (г — гц) + ф (г);
(Хд — iK*> In (л — г*) Н- -
(г),
E4)
где <р (г), Чз (г) —функции однозначные и регулярные а области S;
Zk (ft = I, 2, . . ., т) — постоянные точки, произвольно выбранные
внутри контуров I,, L2	Lm; X^, Yь — компоненты главного век-
вектора усилий, приложенных к контуру ?.* (к = 1, 2	т).
Рассмотрим случай, когда 5 — бесконечная область (бесконечная
плоскость с отверстиями). Этот случай получается из предыдущего,
когда контур Z./,u-i целиком уходит в бесконечность.
Функции напряжений Ф (г), ф (г) в рассматриваемом случае имеют
вид
*1
Ф„ И;
Ф (г) =
где X = S **¦ ^ = 5 У*. г = В 4 1С. Г = В' + /С - постоян-
постоянные; фв (г), ij-'o (г) — функции, имеющие при достаточно больших | г\
разложение вида <р0 (г) = aQ Л	 Н	1- -f- • • -, т|з0 (г) = а^ 4- ~ +
Напряженное состояние не изменится, если принять а0 - aQ = 0,
т. е. ф„ (оо) = (ри (оо) = 0и С — 0.

Дополнительные сведения по плоской задаче
Действительные постоянные И, В'. С имеют простой физичесю
сыысл н выражаются соотношениями
iC =-±.(Nl-
E6)
где Nn №2 — значение главных напряжении на бесконечности; а —
угол, который главная ось, соответствующая W,, составляет с осью Ох.
Конформное отображение. Преобразование основных формул. Рас-
Рассмотрим конечную или бесконечную односвязную область, ограничен-
ограниченную одним простым контуром L.
Отобразим с помощью функции г — ш (?) область S на внутренность
(внешность) единичного круга.
Идея конформного отображения на единичный круг состоит в том.
что фактически решеЕше рассматриваемой двумерной задачи сводите:
к решению некоторой одномерной задачи, что значительно упрощает
исследование [10, 16].
Граничное условие первой оснонной задачи в этом случае примет [10 1
Ф (о) -|-
ф' (о) - ijT(a)
if2 + const,
где о = е* — произвольная точка на окружности у. Граничное условп;-
второй основной задачи [471 соответственно примет вид |10|
хф (а) —	— ф' (а) — ij1 (п) = 2{а (gj -j- igz).	(Г)8)
«' (а)
Компоненты напряжений Хх, Уи, Ху и компоненты смещений и, и
будут ВЫражатьгя следующими соотношениями [10]:
Хх+ У и — 4Re (Ф (С)!;
У у - Хх + 2(Х„ - 2 \^Щ Ф' К) + ? (Г)};
(и 4- *о) = к
E9)
Легко также найти [10 ] компоненты у , v§ смещения н ком-
компоненты рр, ufr, pft напряжения относительно криволинейных коорди-
координат (р, щ, которые определяют из формул
2ц \ и' С) I ($¦ А- /0А) ~-	1
Ч- V>0 = 4Re {
F0)

50
Теория упругости
В формулах E3) и E4)
Приведение основных задач к и н т е г р а- л ь .
и ы м уравнениям. Важным методом исследонания плоской за-
задачи теории упругости, особенно для многосвязных областей, нюнец-я
приведение основных задач к интегральным уравнениям.
Fie останавливаясь на различных типах интегральных уравнений
[101, приведем лишь интегральные уравнения Шермана—Лауричелла
[20, 21 ], которые являются наиболее эффективными, поскольку их
можно легко решать приближенными методами с помощью электронных
вычислительных машин.
Рассмотриммногосвяануюобласть5, где L = Li+ L2-\—¦+ L-m+\ —
полная граница области. Предполагаем, что каждый из контуров Lj
имеет кривизну, удовлетворяющую условию Гельдера 110].
В случае первой основной задачи [20, 21 ] решение представляется
в виде
1 f о) (t) dt VI ь!
	i_ Г l<i}(t)dt V^ bj
где со @ — функция точки контура, подлежащая определению; г/—
произвольно зафиксированные точки областей Sf^., j = \	т {ко-
{конечные области, ограниченные контурами Lj), a bj—действительные
постоянные, связаЕШые с ч> (t) следующей зависимостью
bj = t j" {<u{t)dT—u>(t)dt} (i= 1, 2, . . ., m).
Исследование рассматриваемой плоской задачи сводится к решению
интегрального уравнения Шермана
— Ck=l Со) на
F2)

Дополнительные сведения по плоской задаче	51
где гт*\ = 0, а неизвестные постоянные С* связаны с искомой функ-
функцией ш @ соотношением
{t)ds, (Л=1.2	т)\
F3)
jg	дифференциал дуги L^,
Условие F3) будет всегда выполняться, если будет соблюдено
условие равенства нулю главного момента внешних усилий.
В случае втором основной задачи функции q> (г) и ф (г) разыскиваются
<of,t)dt
F4)
где А/ — постоянные.
При этом А/ связаны с искомой функцией w (t) соотношениями
Л, = \a(t)ds.	F5)
Предполагается, что to(f) имеет производную м' (/), удовлетворя-
удовлетворяющую условию Гельдера [101-
Исследование поставленной задачи сводится к решению интеграль-
интегрального уравнения
хш Со) + .
¦2л
Г	' ~~ '"
1 |п(/-г)-Ь|
где In ^0 —
-1.) a(t)ds = g(t<>) на L, (об)
In (/0 — гЛ — однозначная функция, равная
Предполагаем, что заданная функция g (t) имеет производную g' (t),
ъЯРвл*творяющую условию Гельдера,
Показано, что интегральные уравнения F2) и F6) имеют единствен-
w решение.

Т-,2
Теория упругости
Основные уравнения и соотношения плоской задачи момент ной тео-
теории упругости. В основе классической теории упругости лежит модель
греды, между частицами которой предполагается одно лишь централь-
центральное взаимодействие.
Фойгт ввел новую модель среды, между элементами которой предпо-
предполагалось кроме обычного центрального еще и вращательное взаимодей-
стние.
Эта модель была положена в основу теории упругости с несимметрич-
несимметричным тензором напряжений, первое изложение которой дано в моно-
монографии Коссера.
На каждой грани элементарного параллелепипеда, выделенного из
среды Коссера, действуют кроме обычных напряжений еще и моментные
напряжения. В общем случае на пространственный элемент действуют
еще объемные силы и моменты (пары сил).
В плоском случае уравнения равновесия имеют вид
дх„
дх
г+-
F7)
где ах, Ту,, Тух, оу — силовые напряжения; цЛ, }iy — моментлые напря-
напряжения; Fx, Fg — компоненты объемных сил; М2 — объемный момент
относительно оси, перпендикулярной плоскости хОу.
Моментная теория упругости развивается в основном в двух направ-
направлениях-вариантах:
в первом варианте малые жесткие вращения среды w полностью
описываются вектором перемещений и, ибо принимается, что вектор
¦* I ->
<х> = -— rotu;
во втором варианте наряду с полем перемещении «, вводят кинемати-
кинематически независимое поле векторов Q, характеризующих малые враще-
вращения среды.
Б первом варианте соотношения между компонентами напряжений
для упругой изотропной среды принимают в виде [111
М) +
№)
V-x = *Wx> (V = 4Г\КУ
Здесь X, \i — упругие постоянные Ляме; п. — новая упругая кон-
константа материала (изгибко-крутильный модуль)
ди	dv	,	dv ди
ди
F9)

Дополнительные сведения по плоской чадаче
53
Условия совместности деформаций и кривизн находим из выраже-
б F9), исключая 8 последних перемещения и, и si вращение idz.
В напряжениях и моментых напряжениях эти условия имеют вид
G0)
G0
G2)
Здесь Р = -5- {константа / имеет размерность длины).
- Ошетим, что только три из условий совместности G0)—G2) являются
неаависнмыми, так как, например, уравнения G0) и {72} содержат
» себе условие G8).
Если ввести две функции напряжений U и F соотношениями "' '
дЮ d2f	^"'' л" ^
[11]
о0 =
дхду ду2
df
G3)
to плоская задача мочентнон теории упругости (при отсутствии объем-
объемных сил и моментов) сводится к решению уравнений
0; у3 (F — I-
G4)
дополненных соответствующими граничными условиями. Функции U
в Р кроме уравнений G4) должны удовлетворить ище условиям
±.
)— 2 (I - v) P J_
G5)
При таком выборе функций напряжений уравнения равновесия F7)
в Уровня совместности G0)—G2) удовлетворяются тождественно.
~с н о в н ы е граничные задачи. При решении плоской за-
^^* моментной теории упругости возникают три основные граничные

Теория упругости
I. Найти упругое равновесие среды по заданным усилю™ (напря-
(напряжениям Х„, У„ и моментным напряжениям ц„), действующим на гра-
границе рассматриваемой среды, т. е.
Хп ~ Qx cos (п. х) + хух cos {п. у);
Уп — тху cos (га, х) -\- су cos (л, у);
Мп = цх cos (л, -с) -г \iy cos (л, у).
G6)
При решении задач о концентрации напряжений около отверстий
на контуре отверстия задаются в полярных координатах нормальные о>,
касательные т,е и моментные [V напряжения,
2.	Определить напряженное или деформированное состояние тела
по заданным па его границе компонентам и, V, вектора перемещений и
и компоненте ш2 вектора вращений а*.
В полярных координатах на контуре отверстии задают радиальное v,
н тангенциальное v$ перемещения и вращение шЛд,
3.	Смешанная задача. Найти упругое равновесие тела, если на
одной части его поверхности ааданы усилия Хп, Уп и рл, а на остальной
части перемещения и, v а вращение тг.
Возможна постановка и других смешанных задач [17J, например
различных «контактных задач».
Приближенный метод решения задач о концент-
концентрации напряжений около произвольных криволи-
криволинейных отверстий. Известны точные решения задач о концент-
концентрации напряжений около кругового отверстия (как свободного, так
и подкрепленного), находящегося к однородном напряженном поле
(простое растяжение, чистый сдвиг, чистый изгиб). Для отверстий не-
некругового очертания переменные в решении уравнения Гельмгольца но
разделяются и задача допускает лишь приближенное решение. Наи-
Наиболее эффективным оказался «метод возмущения формы границы».
Пусть функция
*= ш<?)= R 1?+ е/(БI	G7)
осуществляет конформное отображение плоскости С с отверстием еди-
единичного радиуса па бесконечную плоскость г с отверстием заданной
формы.
Здесь ft, г и / (?) характеризуют размеры и формы отверстий.
Из выражения G7) следует
г = Vx^T^ = R V Р2 + * [If (?)
G8)
где р — угол между радиальным направлением и нормалью
на плоскости г.

Дополнительные сведения по плоской задаче
55
На основании соотношении G8) предполагается, что все величины,
зависящие от г, 0 и р, можно разложить в ряд по степеням е. Следова-
Следовательно, компоненты напряженного состояния в естественных криволи-
криволинейных ортогональных координатах представимы в виде
G9)
Для й-го приближения имеют место формулы
(81)
'•-функции С/д ы Fb являются й-м приближением в разложении реше-
¦¦ч уравнений G4) в ряды по степеням ?.

56	Теприч упругости
В формулах (80) Lj* m) (i =^ I, 2. .... 5) — некоторые дифферен-
дифференциальные операторы, зависящие от нида функции / (?) |11 ].
Ввиду линейности задачи компоненты напряженного состояния
можно кредита нить в виде
Здесь о!], . , ., ц!^ — компоненты основного напряженного состояния,
Ор, . . ., [i^ — компоненты дополнительного напряженного состояния,
вызнанного наличием отверстия.
Граничные условия для первой основной плоской задачи имеют вид
(83)
Следовательно, для определения напряженного или деформирован-
деформированного состояния около криволинейного отнерстия необходимо знать вид
дифференциальных операторов l.ik~m\ входящих в формулы (80) и
зависящих чт формы отверстия, а также основное напряженное состоя-
состояние, характеризующееся компонентами о^, . . ., ц". Наконец, из гра-
граничных условий G7) определяем неизвестные коэффициенты искомых
функций напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александрой А. Я- Некоторые зависимости между решениями
плоской к осеснмметричиой задач. Доклады АН СССР. Т. 129, As i, M-, изд-нч
АН СССР, 1959.
И. Г а л и н Л. А. Контактные задачи теории упругости. М,, ГИТТЛ,
1953.
3.	К я К А. М. Теория упругости. М., ГИТТЛ, 1356.
4.	ЛсйПсняо » Л. С. Курс теории упругости. М . Гостехнздат,
1947.
5.	Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории
упругости. М., Гостехиэдат, 1943.
6.	Л а к и и ц к и и С- Г. Теория упругости анизотропного icvia. M.,
ГИТТЛ, 1930.
7.	Лурье Л. И. Простри ист пенные задачи теории упругости. М..
8.	'л я в А. Математическая теория упругосги. М.. ОНТИ, 193^.
9.	М и х л и и С- Г. Вариационные ме^годы а математичсскоП физике.
М., ГИТТЛ, 19Ь7.
10. М у С х е л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные задачи матема-
математической теории упругости. М., иэд-во АН СССР, 1966.

Литература	57
II Ми и дл и it I- ;l IbiHHtme моменты* напряжении на концентра-
концентрацию напряжений. Сб. «Механика*. М-. «Мир», „% 4. 1У64.
12.	Н а й Д. Физические свойства кристаллов. М.. ИЛ. IO6i>.
13.	Не ииш Ю. 11. Концентрация напряжений окплп криволинейных
отверстий в несимметричной теории упругости. Прикладная механика. Т. N.
Вып. 4. 1066.
14.	Новожилов В. В. Теория упругости. Л-. Судпромгиз, 1958.
15.	П а II к о в и ч П. Ф. Теория упругости. М., Оборонгия, 1939.
IS. Савин Г. П. Концентрация напряжений около отверстии. М..
Гостехиздат, 1951.
17. С а в и и I'. H. Основы плоской задачи моментной теории упругости.
Кие», Ичд. КГУ, 1965.
Фиэматгиз. 1961.
19. Тимошенко С. 11. Теория упругости. М.т ОНТИ, 1937.
2A. Шар ман Д. И. ДАН СССР, т. 27, № 9, 19-10.
21.	Шер м а и Д. И. ДАН СССР. т. 28, № 1. 19-10.
22.	Ш т а с р м а н И. Я- Контактная задача теории упругости. ,М.
Госте хиздат, 1919.

Глава 3
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
При воздействии значительных нагрузок тела или хрупко раз-
разрушаются, или испытывают неупругие, пластические деформации.
Пластические свойства весьма разнообразны и зависят от рассматринэс-
мых материалов к внешних условий {температура, длительность про-
процесса и т. д.). Обычно считают, что теория пластичности изучает напря-
напряжения и деформации в телах при условии, что пластические деформации
не зависят от времени.
Задачи, в которых пластические деформации с течением времени
растут, рассматриваются в теории ползучести. Более сложные мате-
материалы изучают в реологии.
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Объемное ежа г не твердых тел является упругой деформацией,
причем зависимость относительного изменения объема от давления
близка к линейной. При том же условии деформации сдвига для и:*;>
тропных материалов мало зависят от давления [II1.
Упругая и пластическая деформация. Кривая одноосного растяже-
растяжения показана на рис. 1. Если нагрузку уменьшать, то кривая раз-
разгрузки CD близка к прямой линии, имеющей наклон упругого участка;
Остаточная деформация измеряется отрезком OD. Кривые деформации
чистого сдвига (кручение трубы) имеют аналогичный вид.
В теории пластичности кривые деформации схематизируют (рис. 2):
Растяжение	Чистый сдвиг
Упругий участок ОА	а{ = ?е?	т = Gy
Участок текучести АВ ах = const = пг х~ const = tT
Участок упрочнения ВС ot — gtl (ej) Ei t — g (y) Y
где E, G — модули упругости и сдвига.
Для современных конструкционных металлов, применяемых в маши-
машиностроении, участок текучести обычно отсутствует.
Если кривая деформации (рис. 3) характеризуется незначительным
упрочнением, ее можно аппроксимировать ломаной с горизонтальным
участком текучести АВ. Соответствующее напряжение в теории пластич-
пластичности называют пределом текучести пг (или т7).
Функцию glt (Gj) (или g (у) ] иногда называют модулем упрочнения.
По опытным данным 0 < gu (е^ ^ ?; 0 < g (у) ^ G.

Механические свойства твердых тел
На кривой деформировании (см. рис. 2) могут отсутствовать тс или
иные участки. Металл вследствие первоначальной вытяжки повышает
предал упругости (упрочнение или наклеп).
Деформационная анизотропия. Эффект Баушингера, Упрочнение
имеет направленный характер. В результате пластической деформации
материал приобретает деформационную анизотропию. Одним из проявле-
проявления такого упрочнения является эффект Баушннгера: предварительная
О
Нис. 2- <;.<t
и осуществляют обычно
ие, кручение и гшутреп-
бх
пластическая деформация одного знака ухудшает сопротивляемость
.^материала D отношении последующей пластической леф:>рмацпн обрат-
обратного знака.
Опыты при сложном напряженном состояв
ла тонкостенных трубах. Комбинируя растнже
аее давление, можно иызвать в стенке трубы
оровзвольное плоское напряженное состоя-
вне (см. работы |6, 141).
.... Важно различать простое (пропорциональ-
(пропорциональное) в. сложное погружения. В первом слу-
,аде напряжения и данной точке возрастают
пропорционально одному параметру; при
«он форма тензора напряжении и его глав-
,Япе направления сохраняются.
При сложном нагружешш направления
главных осей и взаимоотношения главных
напряжений изменяются.
Условия текучести (пластичности). В со-
сгеяннн текучести компоненты напряжения
Удовлетворяют условию текучести (или плас-
пластичности). Для изотропного тела условие
Мачестн должно быть функцией инвариантов напряжений.
Так как влияние среднего давления а для большинства металлов
незначительно, то условие текучести имеет вид
I Лпгфокснчи
:•¦ И деформации (
нелыгым упро
г.Ц^-ь 1% (De), /я (Da) — квадратичный и кубический инварианты девиа-
в напряжения.
В пространстве главных напряжений о,, о2. а3 плоскости <Т| + о8 +
^J2 const перпендикулярны примой ог = а2 = а3, называемой ги-
таческ осью. Уравнение A) не содержит среднего давления,

Теория пластичности
поэтому Оно определяет поверхность цилиндра, осью которого яв-
является гидростатическая ось. Эту поверхность называют поверхностью
текучести. Следом поверхности текучести на плоскостях Oj + ох -\
~\- а;, — const является кривая текучести. Из уело ни й единственности
решения иытекает, что кривая текучести должна быть выпуклой, т. е,
должна лежать по одну сторону касательной (или опорной линии).
Условие текучести Треска—Сен-Венана требует, чтобы в состоянии
пластического течения
тщ«= const - -Нр-,	{2}
где ттах берут согласно формуле G) гл. 1.
Поверхность текучести — поверхность правильной шестигранной
призмы, кривая текучести ¦— правильный шестиугольник {рис. 4).
Условие текучести Треска—Сен-Венана удов-
удовлетворится! но согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными.
Условие текучести Мнзеса:
В пространстве напряжений условие те-
текучести Мизеса определяет круговой ци-
цилиндр, описанный вокруг призмы Троска-
Сен-Венана, кривая текучести—круг, описан-
л к г	> -тн ный ВОКРУГ шестиугольника Треска—Сен-
Миз'еса и шестиугольник Венана (рис. 4). Условие текучести Мизеса
Треска— Сси-Впнша несколько лучше согласуется с опытными
данными, чем предыдущее условие.
Более общие условия текучести. Для некоторых
материалов необходимо учитывать влияние среднего давления; тогда
принимают (условие Мизеса—Шлейхера)
о, = / (о), о-
или аналогичное уравнение, основанное на использовании тшах.
Для анизотропного материала обычно приравнивают постоянной
квадратичную форму напряжений, содержащую некоторое число
коэффициентов—констант пластичности [25]. Разработан также |5 ]
вариант условия текучести, использующий понятие ттах.
Условия упрочнения характеризуют связь между характеристиками
напряжения и деформации, существующую в фазе упрочнения. Про-
Простейшее условно упрочнения (гипотеза «единой кривой») имеет вид
где g^ ft-;) [или g (у() ] — положительная функция, характерная для
данного материала и не зависящая от вида напряженного состояния;
поэтому се можно определять, например, из опытов па простое растя-
растяжение или чистый сдвиг; gt (е*) — секущий модуль кривой а,, в?.

У равнении пластического сосп
Если исходными являются опыты на растяжение, то из последних
' метен также «коэффициент поперечного сжатия»
-—=	т—г* тогла F.i = — ' ' &1-
	: простого растяжения о1 = gn(ei) et и заменяя а1 на о,-,
[ искомую зависимость E). Функции g[ и g связаны простым
Отношением
1 / Y \
*'*=' Условие E) выполняется с практически достаточной точностью
я|» "простом нагружении или к нему близком.
Другое условие {энергетическое условие), справедливое для более
широкого класса нагружении, имеет вид
др = ф (П;),	F)
(ЯеФ (Of) — характерная дтя данного материала функция, не зависящая
от вида напряженного состояния;
^?ь'работа пластической деформации, de^, . . . —приращения компо-
ЦЭДК№ пластической деформации.
¦ f^tiSljeKeiиспользуют другие условия упрочнения [12, 15, 25].
Хрмтерии нагружения и нагрузки. Важное значение имеют крите-
рни, позволяющие в случае сложного напряженного состояния судить
о том — происходит ли дальнейшая пластическая деформация (нагру-
&гние) или материал стал деформироваться упруго (разгрузка).
Материал нагружается, если работа пластической деформации
(ЯкЯет, т. е. если
> 0.	G)
ем ел
t < 0;
Используя это условие, получаем следующие критерии разгрузки:
•"".состояние текучести
Состояние упрочнения
**?*1>узка протекает по закону Гука.
.Для
^УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
развития теории необходимы уравнения пластического состоя-
""•тающие напряжения и деформации. Задача построения таких
в общем случае не решена вследствие сложности процесса
:кого деформирования. Предложено много различных теорий

Теория пластичности
Здесь изложены лишь основные схемы, получившие развитие и
широко применяемые в инженерных расчетах.
Теория пластического течения основана на следующих предполо-
предположениях:
1)	тело изотропно;
2)	относительное изменение объема является упругой деформацией,
пропорциональной среднему давлению;
3)	компоненты полной деформации ех, ¦ ¦ -, Ухг складываются из
компонент упругой деформации е*, , . ., "fxz и компонент пластической
деформации е?, . . ., у?2;
А) выполняется условие текучести Мизеса или условие упроч-
упрочнения;
5J приращения компонентов пластической деформации (/«?	&fxz
пропорциональны соответствующим компонентам девиатора напряже-
напряжения sx	тхг.
Из этих предположений вытекают уравнения Прандтля-Рейса
d& — Zk da;
(8)
где к —-
коэффициент объемного сжатия; v — число Пуас-
Пуассона. Е —модуль упругости; <&— некоторый бесконечно малый скаляр-
скалярный множитель, связанный с приращением работы пластической дефор-
деформации соотношением
dAp
(9)
В состоянии текучести т/j — const = т^, тогда dk —
=>—'—-. В этом случае нет однозначной зависимости приращений ком-
компонент пластической деформации от компонентов напряжения и их при-
приращений.
В состоянии упрочнения выполняется условие (8);
сопоставляя это условие с соотношением (9), находим «
. = F (т<)
A0)
В случае упрочнения уравнения (8) устанавливают однозначную
зависимость приращений компонент деформации от напряжений и
их приращений. Уравнения (S) применимы при d%i > 0. При dlj-^.0
происход1гт разгрузка.

Уравнения пластического состояния
63
Георяя пластичности Сен-Венана—Мизсса. Жест ко-пластическое
fClWi Использование уравнений (8) для решения конкретных задач
додано с математическими трудностями, так как эти уравнения нели-
нелинейны н имеют сложную структуру. При рассмотрении развитых пла-
пластических деформаций можно пренебрегать компонентами упругой де-
деформации; отбрасывая последние н уравнениях (8) для состояния те-
дмдогш, получим (после деления обеих частей уравнений на дш[н}>ерен-
аиал времени dl)
lx = К (ох - а); . . .; цхг = 2Гтху.	A1)
где множитель
¦ o*s* — и„;
A2)
пропорционален мощности пластической деформации. «Время» t введено
& уравнения A1) для удобства; I может быть физическим нременш или
каким-нибудь монотипно изменяющимся параметром (например, пара-
параметром внешней нагрузки). Исключая в X' компоненты напряжения с по-
помощью эанисимостей A1), находим
где T|j — кптениинность скоростей деформаций сдн;;га.
Следовательно, уравнения (II) можно еще предешшть таи:
Уравнения Сен-Венана—Мизеса но сути дела исходят из схемы
жестко-пластического тела, получившей п последние годы значитель-
значительное развитие. В этой схеме полностью пренебрегают упругими дефор-
деформациями. Вмесю криной деформации с упругим уччетком (рис. 5. а)
Рассматривают кривую деформации с одной лишь площадкой текучести
(рис. 5, 6).
Жестко-пластическая схема приводит к приемлемому решению,
•елн ничто не сдерживает развития пластических деформации.
Подобно схеме жеегко-пластического гела (характеризуемого пло-
^ВДКой текучести), иногда вводят схему жестко-упричняющееося тела
Ц>ис. 5, в).

64	Теория пластичности
Теория упруго-пластических деформаций, предложенная Генки
и Надан, использует конечные зависимости между компонентами на-
напряжения и деформации, т. е. зависимости, аналогичные по струк-
структуре закону Гука.
Предположения 1—4 теории пластического течения сохраняются.
Предположение 5 заменяется другим: компоненты пластической дефор-
деформации пропорциональны соответствующим компонентам девиатора
напряжения.
Тогда вместо уравнения (9) получаем уравнения Генки
е = 'бко;
e*--^-R-iMo*-a); . . .; ухг - 2Ч)т*
где i|> — некоторый скалярный множитель, причем
\ 2фт или Z	$ai
A5)
В случае упругого тела ^ -= -^- и уравнения Генки перехолят
в закон Гука; здесь т; = Gyj. а приращение работы деформации dA
является полным дифференциалом упругого потенциала №\
В случае идеальной пластичности выполняется условие Мизеса
Т,= Const =1r;* = J[L---^L.	A6)
Здесь также существует потенциал работы деформации
» = -f^--|-VW.	A7)
равный сумме энергии упругого объемного сжатия и работы изме-
изменения формы xryt. Компоненты деформации не являются однозначными
функциями компонентов напряжения.
Разрешая уравнения (И) относительно напряжений, находим
Заметим, что —— — "Т"^ •
Напряжении, представленные этими формулами, — однозначные
функции компонентов деформации и тождественно удовлетворяют усло-
условию текучести Мизеса.
В состоянии упрочнения выполняется условие упроч-
упрочнения; оно принимается в простейшей форме E). Множитель \|; является
функцией интенсивности yi (или т;). Тогда уравнения Генки A4) опреде-
определяют взаимно однозначные зависимости между напряжениями и де-
деформациями.

Осесимяетрщные упруго-пластические задачи
Потенциал деформации имеет вид
в»
64
" = тпг + f e CYi) Y, <<Yi	A9)
Во всех случаях справедливы формулы Лагранжа
дп	an
а<- —; ¦¦¦• г"-ж:	B0)
и услоние разгрузки: если dXi <" 0. то происходит упругая деформации
по заколу Гукл. Уравнения теории упруго-пластических деформаций —
нелинейные, по благодаря относительной простоте (по сравнению с урав-
уравнениями теории течения) они нашли широкое применение, несмотря на
некоторые принципиальные недостатки.
Урштиния теории упруго-пластических деформаций являются уран-
нениями нелинейно упругого тела.
Использование этих уравнений для описания пластических дефор-
деформаций при сложных нагруженнях может привести к неудовлетвори-
неудовлетворительным результатам. Уравнении теории упруго-пластической дефор-
деформации к полной мере описывают пластическую деформацию при простом
нагружении и пригодны для решения практических задач при воздей-
воздействии достаточно простых нагрузок.
Более общие законы пластического течения см. в работах [12, 16,
24, 25].
НЕКОТОРЫЕ ОСЕСИЛКИЕТРИЧНЫЕ
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Полый шар под действием внутреннего давления. Вследствие сим-
симметрии сдвиги у,-ц., 7(ffl. Yrfl и касательные напряжения Tr(f, т^ц, тг(,
равны нулю, а еф = кв, оф = оц; имеет место простое нагружение. Для
Давлений
2 / а У	~ ~	а3
Р< — \1Г) °г = Ро; р-р^з^Г'
где а, Ь — радиусы шара (рис. 6); р — давление; шар деформируется
упруго, и напряжения будут
При р>р0 возникает пластическая зона а^г^с.
"При идеальной пластичности условие текучести
имеет вид
;.	0ф-оу = о>
и напряжения в пластической зоне
"	тГ = 2or In	р; о,р = Or + оТ .	B2)
3 Заказ 1636

66
Теория пластичности
Радиус пластической зоны с определяют из уравнения
1п~а Т\Т) ^ ~2a~f Г*
B3)
Напряжения в упругой зоне c^r^b можно получить из -фор-
-формул B1). заменяя а на с, а р на q = —2or In	+ р.
Остаточные напряжения в шаре после снятия
нагрузки определяются разностями
(,;=„«¦-<? «J-oy-oJ,	B4)
о^р, off — напряжения в упруго-пластическом шаре перед сбросом
нагрузки; cr;pt o^1—напряжения в упругом шаре согласно формулам B1).
Графики напряжений о?, о^р показлиы на
рис. 7. Предельная нагрузка достигается при
с -> Ъ
B5)
По достижении предельной нагрузки вну-
внутреннее давление не может превысить рш (при
отсутствии упрочнения).
Случай упрочняющегося ма-
материала в данной задаче также рас-
рассматривается достаточно просто. При степенно»
зависимости т- = Byf, где В, \х ^ I — постоянные, компоненты на-
напряжения будут такими же, как при установившейся ползучести.
Цилиндрическая труба под действием внутреннего давления. Рас-
Рассматриваем длинную трубу (диаметры 2а, 2н) с донышками; осевое уси-
усилие равно рпа2. Упругое состояние описывается формулами Лачс
B6)
Распределение упругих напряжений показано на рис. 7, а.
Пластическое состояние впервые появляется на вну-
внутренней поверхности трубы при давлении
e, = -?F(i-?).	B7)
Точное решение пластической задачи (с учетом сжимаемости) тре-
требует значительных вычислений [7,25]. Здесь приведено приближен-

Осесиммстричныр упруго-пластические, задачи
Ное решение, основанное на допущении, что в пластической зоне (как для
упругого решения и для тоьтхтгкиой трубы) ог = — (сг + оф). Пла-
Пластическая деформация разнивается в кольце а^г^с.
В упругой зоне r^rs- b распределение напряжений описывается
формулами Ламе B6), если вместо р внести ц -- — -j-^-—^. вместо а —
радиус с; q — радиальное напряжение на линии раздели г = с.
Рис. 7. Распреде
ии;ецнП а трубе: а — упругой; 6 — упруго-пласти-
упруго-пласти; о — остаточные напряжения
При идеальной пластичности условие текучести
Мнзеса имеет вид
2
о,,-. — а, --= г=-
B8)
а напряжения и пластической зоне
Радиус пласти'1ес:-;о1[ зоны г ~ с определяют из уравнения
После нахождения с величину ^ вычисляют по |}H|1муле
Радиальное смещение н упругой зоне определяют по закону Гука
а в пластической — по ураннениям теории упруго-пластических де-
деформаций

68
Теория пластичности
Для несжимаемого материала (ft = 0) полученное решение будет
точным, а осевое удлинение «г — 0. Распределение напряжений в упру-
упруго-пластической трубе показано на рис. 7, б.
Остаточные напряжения в трубе после сброса давления
определяются разностями B4):
где aer'', ojjf — напряжения в упруго-пластической трубе перед сбросом
давления; о*, о? —напряжения в упругой трубе по формулам Ламе.
Распределение остаточных напряжений показано на рис. 7, в. Если
теперь вновь поднять давление, не превышающее первоначального, то
при о4 — а® <?—•?— от новых пластичес-
пластически 3
ких деформаций в трубе не будет. Прои-
Произошло упрочнение (автофрешаж) трубы.
Расчеты автофретажа с учетом упрочнения
металла см. в работах [7, 171.
Предельная нагрузка для
трубы
C0)
Рис. fi. Риспределени
пряжений в трубе в
дельном состояни
Распределение напряжений в пре-
предельном состоянии показано на рис. 8.
Упрочняющаяся труба. Для определения напря-
напряженного состояния можно пренебрегать сжимаемостью, тогда при
условии упрочнения E) решение имеет вид
dr
о> = 2 j Tj —	p. o<p - а,
здесь Ti = g (yi)
. причем yi =
, гди С— произвольная постоян-
постоянная, определяемая по условию непрерывности напряжений о> (I аф при
г =~- с. Если вся труба находится в состоянии упрочнения, то о, —- О
при т — Ь.
При степенной зависимости т(. — ByP напри/кснии будут такими же,
как в состояние установившейся ползучести [см. формулу B9) гл. 4].
График напряжения сТф н зависимости от показателя степени [i
приведен на рис. 11 гл. 4.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Экстремальные принципы для жестко-пластнческого тела (см.
рис. 5, б) характеризуют свойства пол^й скорости vx, &,,., vz п напряже-
!1ИЙ ах, , . ., ixz. Так как в схеме жестко-пластического" тела неизбежны
разрывы напряжении и скоростей, формулировки экстремальных прин-

Общие, теоремы и методы решения
ципов охватывают разрынные поля. Тело занимает объем V, ограни-
ограниченный поверхностьюЗ. На части поверхности тела^рзаданы усилия ./V,,
на части Sv — скорость V (рис. 9). Объ^миыг силы F дли простоты
ниже опущены.
Минимальные свойства действительных
скоростей. Рассмотрим кинематически возможные скорости v\,
V , vz, удовлетворяющие условиям на Sv и имеющие, вообще говоря,
разрывы в касательной составляющей скорости на некоторых поверх-
поверхностях разрыва Sj. Тогда полное рассеяние достигает абсолютного ми-
минимума для действительного поля скорости
f (Xnvx
,' dV -
SF	) Sj
здесь r\j — интенсивность скоростей деформаций сдвига для кинемати-
кинематически возможно;! скорости V ; [и( | —скачок в касательной составля-
составляющей скорости -о'. Знак равенства будет только :t
том случае, когда у' — и (при 6V / 0).
Правую часть нерапенства Ci) вычисляют
|гри задании любого ки[тематически возможного
Поля v', так как внешняя нагрузка на Sr за-
задана.
Максимальные свойства дейст-
действительного напряженного со-
состояния. Рассмотрим наряду с действитель-
действительным напряженным состоянием ах, . . ., тхг ста-
тачески позможные напряженные состояния те-
текучести од., . . ., тл2, удовлетворяющие только диф-
дифференциальным уравнениям равновесия [A2) гл. 11, р
граничным условиям на части SF	н
av соз пх -f- XKtJ cos ny -\ tv, cos пг -- X/t;
т" cus /w -1 - о" cos ny ~ ty'2 cos /u* — Кл;	C2)
! cos nx
г cos n
-J- ar cos пг —- Zri
не выходящие за пределы круга текучести Мизеса, т, е.
. Через tJ обозначена интенсивность касательных напряжений теп-
*P»oj	т^г. Напряжения а"х, . . ., тхг могут иметь разрывы на не-
№	поверхностях внутри тела. Тогда мощность действительных
х сил на заданных скоростях больше мощности, раззизаемой

Теория пластичности
поверхностными силами, соответствующими любой другой статически
возможной системе напряжений, т. е.
f (Xnvs + Ynvy + lnvz) dS >
К
*[ {X>x + y>1J+Z>1)'iS	C4)
Знак равенства будет только в случае, когда напряжения о>
ткг и о", , , ., т"хг отличаются на однородное гидростатическое давление.
Неравенство C4) справедливо для непрерывных полей действительной
скорости v. При наличии разрывов [vt\ в касательной составляющей
скорости v на некоторых поверхностях S(- правую часть неравенства C4)
необходимо дополнить слагаемым
У. f (tT±r")\[ot]idS;
i s.
здесь %* — касательная составляющая статически допустимого напря-
напряжения на поверхности S< в направлении вектора относительной скоро-
скорости; знак перед т" обратен знаку \щ ).
Правую часть неравенства C4) вычисляют при задании любого
статически возможного состояния текучести о"х	т"хг, так как vx,
v , иг на 5^ з;!Д?.!.ы, a Xn, Yn, Zn вычисляют по формулам Коши C2)
через напряжения.
Энергетический метод нахождения предельных нагрузок. Для эф-
эффективного применения полученных неравенств необходимы некоторые
ограничения. Примем:
1)	на понерхности Sv ux — vy = vz — 0;
2)	на поверхности Sp нагрузки возрастают пропорционально одному
параметру, т. е. Хп — mXQn, Yn = mVj, Zn = ml\, где Х°п, Y°nt l\ —
цекоторое фиксированное распределение нагрузок на Sp.
Значение m = тф, при котором достигается предельное состояние,
называют коэффициентом предельной нагрузки.
Кинематически возможным коэффициентом называют ветчину
вычисляемую по выбранному кинематически возможному полю ско-
скорости vx, v , vz во всем теле. Пусть, далее, во всем теле построено
статически возможное напряженное состояние текучести о"х, . . ., т^.
удовлетворяющее следующим граничным условиям на Sp:
X"n=msXQn; Vn = m%YQa; Z"n = mszj.	C6)

Общщ теоремы и методы решения
Число /% называют статически возможным коэффициентом.
Из приведенных выше неравенств для жестко-пластического тела
вытекает, что
ms ¦^т^^т/!.	C7)
Подходящим выбором полей 'v'x, v'y, v'z и o"r , . ., х"хг можно сблизить
верхнюю н нижнюю оценки к получить значение предельной нагрузки
с достаточной точностью.
Пример. Нийги верхнюю it нижнюю границы предельной нагрузки, для
растягиваемой полосы с круговыми вырезами (рис. 10, а) в случае плоской де-
деформации. Верхняя граница: от круговых границ распространяются осеснм-
Ь)	в)	Ц
Рис. 10. Растягиваемая полоса с круговыми вырезами: а — размеры полисы
х	 «гпIIа ^ jтй| if?c |? к tto t vokcivo^ По 1с" 0 т	 nDOfl^ftilllltt QaDHfltlT СТЗТНЧ6С1СИ КОЗ
метричные поля скольжения (рис. 10, 6). По сечению у =* 0 напряжение <Тф ¦=
= 2тг|"] + 1п~). Части полосы выше и ниже пластических ээн остают^
жесткими И движутся с некоторыми скоростями V, задание v полностью оп;>?
Деляет скорость в пластических зонах. Следовательно, во всей полосе построенс
кинематически возможное поле. Соответствующая нагрузки
границей. Нижняя граница: возьмем простейшее поле мапряже-
в незаштрихопанных частях напряжения равны нулю. Отсюда
1Кжкяя граница Ps = 4отг. Для улучшения оценки возьмем статически воз-
возможное поле, изображенное на рис. 10, е. В каждой из заштрихованных зэн
¦м*ет место равномерное напряженное состояние, не нарушающее условия
.текучести; в верхнем и нижнем прямоугольниках — одноосное растяжение,
и незвштрнхованмы* зонах, примыкающих к вырезам, напряжения равны
*>лю. Точки Л, В произвольны; меняй их, находим наибольшее значение сга-
ВОЗМОЖ
юй нагрузк!
у. Следоаап
5,A4 :
-<-5.М.
Теоремы о приспособляемости упруго-пластичееннх тел. С рас-
рассмотренными выше экстремальными теоремами связаны теоремы о при-
приспособляемости упруго-пластических тел. Практически важным яв-
является случай, когда нагрузки претерпевают изменения (например,
Циклические), а tivio испытывает упруго-пластические деформации.

72	Теория пластичности
Хотя при этом нагрузки не достигают предельных значений, тем не ме-
менее, если их интенсивность достаточно велика, то при каждом цикле
будет происходить пластическая деформация, Следует различать два
случая: 1) пластические деформации с каждым циклом нарастают;
2) чередуются пластические деформации различного знака.
В первом случае происходит недопустимое накопление пластических
деформаций {прогрессирующееразрушение). Во втором случае разрушение
наступает вследствие явления усталости металла при пластических
деформациях (переменная пластичность).
Для того чтобы указанные явления не происходили, необходимо,
чтобы пластическая деформация имела место при первичных ннгруже-
инях, а происходили бы лишь упругие деформации. Это возможно.
если в результате первичного нагружения образовались остаточные
напряжения, частично компенсирующие напряжения от последующих
воздействий, так что условие текучести больше не достп гаетгя.
Говорят, что при этом тело приспособилось к данный воздействиям.
Естественно, что нагрузки при этом должны удовлетворять некото-
некоторым ограничениям. Последние определяются теоремами о при-
приспособляемости.
Пусть па упруго-пластическое тело действует некоторая система
нагрузок, зависящих от времени. При нагружеиии в теле возникнут
напряжения пх, , . ., ххг, а при снятии нагрузки — остаточные напря-
напряжения о^, . . ., т°г. Обозначим через (fx	т?г напряжения придан-
приданных нагрузках в идеально-упругом теле. Поскольку нагрузки изме-
изменяются, компоненты напряжения являются функциями времени.
Теорема Мелана (или первая теорема о приспособляемости).
Пусть удалось найти частное распределение остаточных напряжений
лд. ¦ ¦ •, тдг, не занисящее от времени. Тогда при всевозможных нагруз-
нагрузках, таких, что напряжения
не превосходят условия текучести, поведение тела будет вполне упру-
упругим, т. е. наступит состояние приспособляемости.
Поле напряжении ох	тхг следует выбирать таким, чтобы ий-
ласть допустимых изменений нагрузок была наибольшей.
Теорема Койтера — вторая теорема о приспособляемости,
связана с рассмотрением кинематически допустимых скоростей пласти-
пластической деформации и их цикла |!2].
Минимальные принципы в теории упруго-пластических деформаций
аналогичны принципу минимума потенциальной энергии и принципу
Кзстильяно к теории упругости.
Принцип минимума полной энергии. Деистом -
телыше перемещения сообщают полной энергии тела минимальное
значение
^ II dV—A = mm,	C8)
где А — работа внешних сил,
Л = f (Хпи + У> f Znw) dS + Г [Хи + Yv -r Zw) dV.

Общие теоремы и методы решения
Потенциал работы деформации Я для упругого состояния опреде-
определяется формулой A9) при g (yt) = const = G, для идеально-пластиче-
идеально-пластического—формулой A7), для упрочняющейся среды—формулой A9).
Если в теле имеются области различного состояния (упругого
и пластического), минимальный принцип сохраняется [8].
Принцип минимума дополнительной работы.
Действительное напряженное состояние отличается от всех статически
возможных состояний тем, что оно сообщает минимум дополнительной
работы тела
, RdV ¦
C9)
Дополнительная работа численно равна площади, заштрихованной
на рис. 11 горизонтальными линиями. Функция g (т,-) — — = —-—- .
Потенциал деформации характеризуется площадью, заштрихованной
вертикальными линиями. Очевидно,
что R = ijVt — Я.	%i
Для упругой среды, подчиняю-
подчиняющейся закону Гука, R = W, прин-
принцип C9) переходит в принцип Ка-
стильяно.
Для идеально пластического со-
состояния	EzStI	Vfl
R=.
- ka*.
Для состояния упрочнения
wr
боти Ц п работа деформации Я
Обобщение теоремы К а с т и л ь я п о. Если приложены
обобщенные сосредоточенные силы Р;, то частная производная допол-
дополнительной работы по величине любой силы P-t равна обобщенному
перемещению А,- точки приложения силы:
И Ai.	D0)
. Модифицированный метод Рита. Вариационные уравнения C8)
C9) могут быть использованы для приближенного решения. Применение
метода Ритца в обычной форме связано с большими трудностями, так
Еак коэффициенты теперь определяют из нелинейной системы уравнений.
В некоторых случаях легко найти лишь первое грубое приближение
с одной произвольной постоянной.
Надежные результаты можно получить с помощью модифицирован-
модифицированного метода Ритца [10]. Рассмотрим его применение к разысканию,
например, минимума дополнительной работы C9). Решение строим
последовательными приближениями в форме

Теория пластичности
где о,-/в — частное решение уравнений равновесия, удовлетворяющее
заданным условиям na S;.-; о^/, — частные решения уравнений равнове-
равновесия, удовлетворяющие нулевым граничным условиям на Sp, a Cjts —
произвольные постоянные. Полагая g (tt) ~-~; -^—, где Go ¦—модуль
сдвига, находим нулевое приближение oj-.-', соответствующее упругой
задаче. Коэффициенты C/iS определяют, очевидно, из системы линейных
алгебраических уравнений. Вычисляя по найденным напряжениям о|р.'
интенсшшость т ц, i юла гаем О, = е\ —— 1 и определяем первое прибли-
\ Yin /
жение оФ из условия минимальности квадратичного функционала
|Dж)	{42)
и т. д. Таким образом, в каждом приближении рассматривается упругая
задача с секущим модулем G, определяемым по деформации.
Общие методы решения задач теории пластичности. Для решения
нелинейных уравнений теории упруго-пластических деформаций при-
применяют различные варианты метода последовательных приближений.
Решение задач теории пластичности сводится при этом к решению по-
последовательности линейных задач, каждая из которых может быть ин-
интерпретирована как некоторая задача теории упругости.
Рассмотрим кратко некоторые из этих схем [1, 6|.
.Метод дополнительных нагрузок. Исходим из
уравнений Генки A4), представив их в следующей форме:
- -гр) + (T-
Отклонения ст закона Гука о предел яются подчеркнутыми членами.
Внесем эти соотношения в дифференциальные уравнения равновесия
|см. A2) гл. 1] и граничные условия C2), причем слагаемые, возника-
возникающие из-за наличия подчеркнутых членов, перенесем н правые части
уравнений и условимся считать их известными. Тогда мы как бы получим
систему уравнений теории упругости относительно компонентов смеще-
смещения, по с дополнительными объемными и поверхностными силами. В пер
вом приближении полагаем эти дополнительные нагрузки равными нулю
I т. е. т):' ' = —^-j и решаем задачу теории упругости. Найдя переме-
перемещения й*0', и[1}>, ц/1, вычисляем интенсивность v]0) и затем if:*1' =
" ''— 7о")\~ '"° >1СЛОВД1° упрочнения EI. Во втором приближенно

Плоская деформация	75
щлеем задачу теории урругоста с дополнительными нагрузками, отлич-
отличными от нуля и вычисляемыми по цA>, УA), к/1' и т. д.
Заметим, что наличие дополнительных нагрузок по всей поверхности
тела усложняет решение упругой задачи, превращая ее и объемную.
Метод дополнительных деформаций. Запишем
уравнения Генки в форме
1	1 .	. . / .	1 \ .
и будем решать задачу в напряжениях. Дифференциальные уравнения
равновесия [A2) гл. 1J и граничные услония D2) останутся без изме-
изменения. Уравнения же сплошности вследствие наличия подчеркнутых
членов будут содержать дополнительные слагаемые, которые можно
интерпретировать как дополнительные деформации и определять по-
последовательными приближениями (см. работу [[]).
Метод переменных параметров упругости.
Здесь систему уравнений представляют к форме уравнений теории
упругости с переменными «параметрами упругости» и применяют ме-
метод последовательного их вычисления.
Метод переменных параметров упругости удобен для расчета
дисков, круглых пластин, оболочек вращения. В каждом приближении
решается упругая задача с переменным модулем упругости, равным
секущему модулю, определяемому но деформациям (см. П И
«М е т о д ш а г о в» в т е о р и и
сти»). В важных частных задачах (трубы, диски) применяют численно
интегрирование, прослеживая «шаг за шагом» развитие пластических
Деформации. На каждом этапе внешняя нагрузка получает небольшое
приращение, затем вычисляют соответствующие приращения напрнже
net н деформаций в т [251 На каждом этапе необходимо решить
фр
приращение, затем вычисляют соответствующие приращения напрнже
net н деформаций в теле [251. На каждом этапе необходимо решить
некоторую задачу для упругого анизотропного тела с переменными пара-
параметрами упругости [ 1 ].
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Общие замечания. При плоской деформации перемещения парал-
¦Чвяьны плоскости х, у и не зависят от г;
и = и {х, у); р = v (х, у); ш = 0.
Плоская деформация возникает в длинных призматических телах
¦И нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от г.
¦ Хорошо разработана плоская задача для жестко-пластического
тола в случае идеальной текучести. Эта схема приводит к удовлетвори-
**йьной верхней границе для предельной нагрузки и дает представление
0 пластическом течении тела при исчерпании несущей способности.

Теория пластичности
Основные уравнения. В рассматриваемом случае о2 — о, откуда
D3)
Максимальное касательное напряжение и интенсивность касатель-
касательных напряжений совпадают, вследствие чего условие текучести име^т вид
(а, «а^-т-^^А",	D4)
где к => г_ — по условию Мнзеса я * = ~~ —по условию Треска—
Сен-Венана.
Дифференциальные уравнения равновесия
D5)
Скорости vx, Vy удовлетворяют условию несжимаемости
и связаны с напряжениями формулами Сен-Венана—Мизеса A3), кото-
которые пюжно записать в форме
ду ~г дх
D7)
Обычно развивается следующая схема решения этой системы пяти
уравнений для пяти неизвестных функций ох, <jy, т^., vx, Vy, Вначале
стролтея решение системы трех уравнений D4), D5) для компонентов на-
напряжения, а затем исследуется поле скоростей.
Интегрирование уравнений для напряжений. Система уравнений D4),
D5) — гиперболического тина. Семейства характеристик ортогональны,
совпадают с линиями скольжения (линиями, касающимися в каждой
своей точке площадки максимального касательного напряжения) и
определяются уравнениями
- — В = const = ?
IK
() = const -- ц
(P). '48)
где 8 — угол наклона касательной к липни скольжения а-семейства
(рис. 12). Характеристический параметр \ постоянен вдоль а линии.
1| — ВДОЛЬ р*-ЛИНИИ.
Сетка линий скольжения обладает рядом простых свойств, суще-
существенно облегчающих решение конкретных задач.

Плоская деформация
11
Если н некоторой области одно семейство линий скольжения (на-
(например, семейство а) образовано прямыми линиями, то вдоль каждой
прямой линии напряжения постоянны, а параметр i| имеет »о всей об-
области постоянное значение (простое напряженное состояние).
Если в некоторой области оба семейства линий скольжения пря-
прямолинейны, то в этой области напряжения распределены равномерно,
я параметры 5 и Л постоянны. Приведенные простые случаи полей сколь-
скольжения отвечают интегралам плоской задачи.
Построение решении дифференциальных уравнений для напряжений
сводится к решению ряда граничных задач (задача Коши, начальная
характеристическая задача, смешанная задача и т. д.). Из решения за-
задачи Коши вытекает, что ноле напряжений у границы, свободной от
У
усилий, определяется только формой границы, В частности, у прямо-
прямолинейной свободной границы всегда будет поле равномерного одноосного
растяжения или сжатия. У круговой свободной границы поле скольже-
скольжения образовано логарифмическими спиралями, а напряжения дань:
формулами B8) при р — 0.
Численные и графические методы решения.
Решение граничных задач достигается проще всего приближенными
численными или графическими методами [8, 18, 19, 20, 24, 251.
Линии разрыва напряжений. Важное значение имеют
решения с разрывам» поли напряжении (простерший примем — пласти-
пластический изгиб балки: при переходе через нейтральную плоскость напря-
напряжение меняется скачком от а,, к — сгг). Вдоль линии разрыва L возможен
разрыв только для нормального напряжения а( (рис. 13). Па условию
пластичности скачок в о"; равен
A9)
где тп — касательное напряжение.
Определение поля скоростей. Система оставшихся двух уравне-
уравнений D6), D7) для скоростей vx, иу также я мнется гшкфбо.чи'к-скон,
Шричем ее характеристики совпадают с линиями скольжения. Вдоль а,-
и Р-линин скольжения выполняются соотношения Гейрингер
Ц"	du — и dd = 0; dv + u <# = 0,	E0)
гДе и, v — составляющие вектора скорости соответственно в направле-
направлениях а- и Р-линии скольжения.

Теория пластичности
Линия раздела пластической и жесткой областей является линией
скольжения или огибающей линий скольжения.
Поле скоростей может быть разрывным вдоль некоторых линий М,
проходящих ло линии скольжения. Разрын в составляющей скорости,
нормальной к липни М, невозможен (трещина), Разрывна составляющая
скорости, касательная к линии М.
Поле скоростей в пластических зонах должно быть согласовано со
скоростями движения жестких частей тела. Таким образом, моле ско-
скоростей строится во всем тем. а поле напряжений — лишь в пластиче-
пластических зонах, Следовательно, определяемая при этом предельная нагрузка
является верхней границей (кинематически возможной нагрузкой,
см. стр. 70).
Растяжение полосы с надрезами с круглым основанием (рис. И).
Отношение пределыюй'нагрузки Р к предельной нагрузке Р — 4kh
для гладкой полосы шириной 2ft называют коэффициентом усиления
Наличие материала выше и ниже выреза сдерживает пластическое
чении и повышает предельную нагрузку.
Рис, 15, Растяжение
полосы с разрезами
В данной задаче при — -^ev —1
при --'- > .V _ i
i)
При а — 0 имеем полосу с угловыми надрезами. Наибольший
коэффициент усиления имеет место при а — 0, у — ^—, т. е. для полосы

Плоская деформация
Растяжение полосы с отверстием. Если отверстие достаточно юмнко,
то картина полей скольжения соответствует показанной на рис. 16. При
этом q = I.
Малое отверстие практически не сказывается на величине предель-
предельной нагрузки. Способы расчета полей вблизи отверстий другой формы
см. работу !20.|.
Изгиб полосы с надрезами. О д и о •
сторонний глубокий над.
рез с
круговым основанием (рис 17). При :
<0,64 реализуется поле скольжения с разрывом напряжения ох\
при г——> 0,64 поле имеет изолированные линии скольжения. Коэф-
"га	М / п
фнциепт усиления q = ——• \ М ¦=
2
момент для гладкой полосы высо-
высотой h \ определяют по графику,
приведенному на рис. 18.
Двусторонние симме-
симметричные надрезы с кру-
круговым основанием (рис. 19)
и глубокие односто-
односторонние и двусторон-
двусторонние угловые надрезы усиления: ; —
(рис. 20-21). Коэффициенты уси- "" " ¦"•™""
лення берут также из. графиках
рис. 18.
Изгиб полосы с круговым отвер-
отверстием (см. рис. 16, но с изгибаю-
•Дим моментом М). Коэффициент усиления
1,0
двусторонние надрезы с круговым
основанием; 3 — односторонний
yi-ловой надрез; 4 — доусторопние
1, причем
Изгиб короткой консоли поперечной силой (рис. 22). Для коротких
«алок элементарное решение

80
Теория пластичности
приводит к заниженной предельной нагрузке. Решение, приведенное
в работе C1, учитывающее влияние касательных напряжений, дает
результаты, показанные сплошной линией на рис. 23.
Рис. 19. Изгиб полосы Рис, 20. Изгиб полосы С
с днустороинимн над- односторонним угловым
реэамн	надрезом
Рис. 21. Изгиб полос
с двусторонними угле
выми надрезами
—~—
Рис. 22. Изгиб
роткой консоли
ю п
Рис. аз. Предельная нагрузка при
изгибе консоли поперечной силой
Клин под действием равномерного одностороннего давления р
(рис. 24). Предельное давление:
Рис. 24. Клин под
действием равномер-
равномерного одностороннего
давлен и •а
Рис. 25. Срез прямо-
прямоугольного перешейка
Срез прямоугольного перешейка (рис. 25). Массивные части lull
соединены шейкой высотой h и длнной I и сдвигаются усилием Q. По

Плоская деформация
элементарному решению срезывающее усилие Q0 — kl. По решению
Грина |4] предельная нагрузка
Предельные нагрузки при перешейках иной формы приведены
в той же работе Грина.
Слой между жесткими плитами. Сжатие тонкого слоя
между шероховатыми плитами (рис. 26, при Q = 0}-
Предполагается, что —у— <^ 1, а па поверхностях контакта касательные
напряжения достигают максимального значения k; последнее; условие
допустимо принимать при развитых пластических деформациях. Для
тонкого сюя имеет место приближенное решение Прандтля
к	2	h ' k ' ' h '
Вдали от торца напряженное состояние приближается к состоянию
' большого всестороннего давления при относительно малых касательных
напряжениях. Предельная нагрузка
по элементарной одноосной схеме	,?р
2Р° — —Ш; предельная нагрузка
по решению Прандтля	• . лл
,	j	TI \	Y//S/////SS/ '¦'/////
Влияние сдвигающего
.усилия (см. рис. 26). Добав-
Добавление сдвигающей силы 2Q з]1ачи-
цельно снижает несущую способ-
способность слоя [9].
"^ Предельная кривая опреде-
-дяется уравнением
i\-q) \2p -A-?) ~- I =-^- + 1!
— arc sin B?— 1),
E2;

Теория пластичности
При q — О отсюда получаем выражение E1). Ма рис. 27 показаны
предельные кривые для значений -— = 10 и -р- = 20.
Л	/I
Изгиб и сдвиг слоя. Длина прослойки 41, толщина 2Л.
Прослойка изгибается моментом М = API и срезается усилием AQ.
Левая половина прослойки @,2/) испытывает сжатие и сдвиг, правая
{21, 4/) — растяжение н сдвиг; при этом
2m = p(q); (m-Ji-, MQ = 8k?} .
Под p (q) понимают зависимость р = p (q), определяемую уравне-
уравне1
ием E2).
4 '
\
4
Рис. 27. Предельные кривые для ежа-	Рис. 28- Вданлн
Общий случай сжатия слоя. Если слой не является
топким, решение строится численными или графическими методами
[20, 25]. Предельная нагрузка при 3,64 <— < 6,72 близко следует
уравнению [25]
Приведенные выше решения относятся к конечной стадии пласти-
пластического течения тонкого слон, когда касательные напряжения на линии
контакта достигают максимального значения к. Развитие напряженного
состояния в тонкой прослойке изложено в работе [11].
Вдавливание плоского штампа без трения (рис, 28). Пластическое
течение наступает при нагрузке
Pt = 2akB*'r л).
Штамп выпуклой формы при наличии трения и случай криволиней-
криволинейного очертания границы пластической среды рассмотрены В. В. Соко-
Соколовским [20 ].
Вдавливание жесткого клина (без трения). Среда выдавливается
по обе стороны (рис. 29). Граничная линия АС = I аппроксимируется

Плоский деформация
прямо!!, вдоль АВ контактное давление р постоянно. Усилие вдавлива-
вдавливания (на единицу длины клинд в направлении оси г)
Р — 2pl sin у;
cosy — am (Y — ф)
Рис. 29. Вдавливание жест!
Нагрузку Р (или внедрение Л) следует считать заданной.
j: Смятие клина жесткой плоскостью (без трения, рис. 31).
мые АС — 1 характеризуют конфигурацию клина после дефо?
Давление на контактной плоскости по-
'стоянно [25]	/К7*1
Пря-
Прямации.
р = 2k A + ц); Р= 2Р1.
Ширина контактной плоскости равна 11,
р
причем
! -f- sin
cos ф
.,ХЛ
созфB+ sin ф)
Нагрузку Р (или смятие Л) следует считать заданной.
. Технологические задачи теории пластичности. Теорию пластичности
вироко применяют для анализа технологических процессов обработки
¦**еталлов даванием — прокатки, волочения, выдавливания, резания,
г*0вки и т. д. Методы решения этих задач приведены в работах [2, 14,

Теория пластичности
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В тонкой пластине (толщина А), деформируемой силами, лежащими
в ее срединной плоскости х, у, аоэникает плоское напряженное состоя-
состояние. Основания пластины г = ± -у свободны от нагрузок. Можно при-
принимать, что компоненты напряжения аг, ххг, ху, равны нулю, аод, о,.,
тку распределены равномерно по толщине, т. е. являются функциями
лишь координат х, у.
Плоское напряженное состояние при
условии пластичности Мизеса. Из общего
услови я C) пол у чаем
°1 + °1 ~ °хсу + Зт*у -^ °1 <53>
или в главных осях
а\ 4- о\ — ст,а, = а].
Это — уравнение эллипса (на плоско-
плоскости переменных Oj, oa), наклоненного под
Заметим, что
<—^гг-ог. К уравнению E3) следует присоединить дифферен циаль-
ные уравнения равновесия D5) и уравнения для скоростей vx, vy,
dvx	dvy	dvx , dvy
dx	dy _ dy ' dx
2ox — а у
(Ml
вытекающие из соотношений Сен-Венлна—Мизеса A3). Скорость v:
определяется из условии несжимаемости.
Система уравнений для напряжений может быть гиперболической,
параболической и эллиптической.
В случае гиперболической системы, отвечающей дугам эллипса АН,
CD, имеются два различных вещественных семейства характеристик.
Характеристики не ортогональны и образуют между собой углы, ме-
меняющиеся, вообще говоря, от точки к точке, Важное значение иметт
случаи, когда одно (или оба) семейство характеристик состоит из пря-
прямых линий (простые напряженные состояния).
Параболическая система отвечает точкам А, В, С, D.
При эллиптической системе (дуги ВС, AD) решение уравнений свя-
связано с большими трудностями.
Разрывные решения играют важную роль для областей гиперболич-
гиперболичности и параболичности. Разрывы в напряжениях и касательной со-
составляющей скорости аналогичны разрывам, рассматриваемым в пло-
плоской деформации. В плоском напряженном состоянии существенное зна-
значение имеет ноный тин разрыва — разрыв нормальной составляющей
скорости {«шейка»), приводящий к резкому утонению (или утолщению,:
пластинки вдоль некоторых линий.

Плоское напряженное состоять
Плоское напряженное состояние при условии пластичности Треска—
Сен-Венана. Трудности интегрирования уменьшаются при переходе
ц условию пластичности Тщд^ — const = ts. В связи с этим задачи пло
ского напряженного состояния решают большей частью при условии
пластичности Треска -- Сен-Венана. На
плоскости о,, а2 вместо эллипса теперь г^-—-
будет вписанный шестиугольник (см.
ряс. 32).
Ci Необходимо различать два случая;
д, и os имеют разные знаки @i0"a<^0)
или ctj и аг имеют одинаковые знаки
В перном случае условие пластичности,
основные уравнения и методы решения
будут такими же, как в задаче о плоской
деформации.
Во втором случае (а^а2 > 0) условие
:яластичности имеет вид о^ = ±ат или
(Г, = ±ог (прямые, параллельные осям
координат, рис. 32); соответствующая си-
система уравнений параболическая и имеет
ЙрЬстое решение.	пластическом состоянии
Поле скоростей определяют согласно
Закону ассоциированного течения.
Упруго-пластическое равновесие пластины с отверстием под дей-
Спием равномерного внутреннего давления (рнс. 33). Напряжения в
МастическоЙ зоне г ^с с при условии Треика — Cen-Benans
юд действием внутрсн
влоння. Распредслсни
О-ппИ о,, Оа ы упругг
Тяк как напряжения по величине не
превышают от, пластическая зола может
распространиться до —~ 1,65. В упру-
упругой зоне г z*; с напряжения будут
Распределение напряжений показано на рис. 30. Давление р =
этическое равновесие растягиваемой пластины с круговым
гием (рис. 34). По схеме Треска—Сен-Венана напряжения

Теория пластичности
Растяжение полосы, ослабленной круговыми надрезами (рис. 35).
Коэффициент усиления ц = ~ , где Р° --- 2&ash — элементарная
предельная нагрузка (Л — толщина пластины), равен [26]:
при 0^ — ^ 1,07
q-- I -i-0,2:1 ¦
h+u '
при —~ > 1,07
Растяжение полосы с острыми надрезами (рис. 36). Коэффициент
усиления [26 J;
при 70° 32' s^a<4-
при а ^ 70е 32'
?= 1,154.
Растяжение квадратной пластинки с центральным круговым отвер-
отверстием (рнс. 37). Длина стороны пластинки равна 21, растягиваюдае
напряжение р равномерно распределено. Верхняя и нижняя границы
предельной нагрузки -?-*-, вычисленные энергетическим метолом (см.
гтр. 70), приведены на рис. 38.

Осссимметричная деформация
87
Растяжение бесконечной пластины, ослабленной одним рядом
отверстий {|)ис. 39); растяжение на бесконечности равно р. Предельная
нагрузка ограничена неравенствами
\
\\
\
О 0,2 0,4 0,6 0,8 j
Рис. Ы. Нерх
-'- аг (I - d) ^
г? 1,15.
Изгиб короткой консоли поперечной силой (см. рис. 24) в случае
плоского напряженного состояния, Элементарное решение Р„ := ®г—г~ •
Предельную нагрузку Р* с учетом влияния касательных напря-
напряжение определяют на штриховой кривой графика на рнс. 23.
ОСЕСИММЕТРИЧНЛЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Основные уравнения. В системе цилиндрических координат г,
f, z при осевой симметрии тела и нагрузок имеем тгф = ji{Z — 0, v<{: — О
(кручение исключается).
Компоненты напряжений и скорости деформации не занисмт от ф.
/Йвпряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям рав-
¦ювеси я
до, дгГ2 ^ аг — Оф __
— + —fa- -1 — и;
текучести Мезиса

Теория пластичности
К этим уравнениям следует присоединить еще уравнения пласти-
пластического состояния.
Приближенные результаты обычно получают и предположении, что
"/- ~ °<f (условие полной пластичности). Допускаемую при этом по-
погрешность оценить трудно.
Значительного упрощения достигают также при использовании
условия текучести Треска—Сен-Венана и ассоциированного закона
течения [13 f.
ЛИТЕРАТУРА
1.	В и р г с р И. А. Некоторые общие методы решения задач теории
пластичности. Прикладная математика и механика. Т. 15, вып. 6, 1951. См.
также Изв. ОТН. Механика и машиностроение, S- I. 1963. № 2, 1965.
2.	Гоффман О. и Закс Г- Введение в теорию пластичности для
инженеров. М,, Машгиз. 1957.
3.	Грин А. Пластическое течение полос и балок при изгибе. Сб. пере п.
«Механика», Л> 4, М., ИЛ, 1965.
«Машиностроение»! -V fi, M-, ИЛ, 1955.
5.	И плев Д. Д. К теприн идеальной пластической анизотропии,
Прикладная математика н механика. Т. 2». Вып. 6, 1959.
6.	Ильюшин А. Л- Пластичность. М. Гостехиздят, 1948.
7.	И л ь ю ш и н А. Л., О г it G a л о в П. М. Упруго-пластические
деформации полых цилиндры. М-, взд-во МГУ, 1960.
8.	К а ч а к о в Л. М. Основы тсорин пластичности. М., ГИТТЛ, Юйй.
9.	К а ч а н о в Л. М- Сдвиг и сжатие пластичного слоя, Изв. АН СССР.
ОТН. Механика. .V» 2. 1963.
10. К а ч а и о а Л. М. О вариационных методах решения задач теория
пластичности. Прикладная математика л механики. Т. 25. вып. I. 1961.
11- К а чанов Л. М- О напряженном состоянии пластичной прослойки
11*1». АН СССР. ОТН. Механика, № 5. 1962.
12.	К о й те р В- Общие теоремы теории упруго-пластичиских сред
М.. ИЛ. 1961.
13.	Л II и и м а н Г. Теория главных траекторий при осеенмметричн.чч
пластической деформации. Сб. перев. «Механика*, .V 3, М-. ИЛ, 1963.
14.	Н а д а и Д. Пластичность и ра.чрушгнис чиердых тел. М.. ИЛ, 105;.
15.	Ольшак В., Мруз 3.. Пежина П. Современное состояв ¦
теприн пластичности. М., «Мир*, 1964.
16.	О л ь in а к В.. Р ы х л с не к II » Я-, У р й а н о л с к и й Н.
Теория пластичности неоднородных тел. М., «Мир». 19(Н.
17.	Пономарев С. Д. и др. Расчеты на пиичиость в машин остр сс-
иин. Т. 2. М , Машгиз. 1958.
18.	П р п г с р В. Проблемы теории пластичности. М., Физматгиэ, I9?.1.,
19.	П р а г с Р Б. п X о д ж Ф. Теория идеально пластических тс i
At., ИЛ. iOSfi.
20.	Р ж а и и ц ы 1! А. Р. Расчет сооружений с учетом пластическич
enotli-m чнгнриалоэ. М.. Госстройиздат. 1951,
20.	С о к о л о и с к и й В. В- Теория пластичности. М.. ГостсХнз^- ;.
193U.
21.	Т а р и о в с к и П И, Я. и др. Теот>ия обработки металлов даи.т;-
нием. М., Мктэлдурги:1Дйг. 1963.
22 То
Т
«ЛЛнр»,
23. Т о
23.	Т о м л с II и в А Д. Теория пластических деформаций метал
М-, Машги:), 1951.
24.	Ф р е й д е и т н л ъ А. Б. и Г с а р и п г е р X. Математиче
теории неупругой сплошной среды. ГЛ., Фи sMiiTno, 1962.
25.	Хилл Р. Математическая теории пластичности. М.. ГИТТЛ,
20. Н i М К. On discontinuous nhi.^if stait-s. Journ. *Mcch. a
nf Solids», t. 1, N I, 19Л2-

Глава 4
ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
'¦ Под действием нагрузки материалы обнаруживают в той или иной
«юре медленную текучесть. Это явление называется ползучестью (или
-Крипом — от слова creep — ползучесть).
J	ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
1! Кривая ползучести. Кривая испытаний на растяжение при псстоян-
. яой нагрузке и температуре показана на рис, 1, По оси абсцисс отложено
^рремя /. по оси ординат — относительное удлинение е = —т— , где \1 —
^абсолютное удлинение, а /0 — первоначальная длина. При нагружекии
.'.Стержень получает мгновенную деформацию еО {отрезок GA), Мпювен-
''~Щкя деформация может быть упругой или упруго-пластической {имеется
4 t виду пластическая деформация, не связанная с временем, см. гл. 3).
;. участок А8 характеризуется убыванием скорости ползучести и назн-
назначается первым (или переходным) периодом ползучести; длительность его
;.-*»аосительно невелика. Скорость деформации становится практически
t Достоян ной на участке ВС. называемом вторым периодом ползучести
-тали периодом квазивязкого течения). Испытание закапчивается либо
Щрупким» изломом, в точке С, либо «низким» разрушением, сопрово-
1ащаемым образованием шейки. Б последнем случае наблюдается участок
¦ "—юренной ползучести CD. Если напряжение велико, второй период
w, кет быть кратковременным.
Кр Кривая релаксации. Если длина растянутого стержня псе пречя
"Чдержинастся иостояшюк (в — const), то напряжение в стержне с тк-
:ием времени убывает, происходит релаксация напряжения. Это
не объясняется развитием в стержне деформации ползучести,
твие чего доля упругой деформации падает. Релаксация характе-
"ся резким спадом напряжения в начале процесса (рис, 2).
яаксацня затрудняет работу болтовых соединений, прессовых
адок, пружин и т. д. С другой стороны, благодаря релаксации резко
>шаются начальные и температурные напряжения в элементах
рукций. Явление релаксации непосредственно изучается с по-
. ю релаксационных испытательных машин [24].
Обратная ползучесть. Если в некоторый момент времени произошла
"^грузка, то длина стержня после разгрузки медленно сокращается.
1 явление называется восстановлением, или обратной ползучестью.

Теория ползучести
Восстанавливается только некоторая часть деформации, накопленной
в первом периоде ползучести. Восстановление наблюдается в поликри-
поликристаллических металлах и связано с неоднородностью загружекия кри-
кристаллов; н монокристаллах восстановление ничтожно.
Рис. 1. Крив;
Рис. 2- Крив;
Обычно можно пренебречь эффектом обратной ползучести при
медленно изменяющемся напряжении. Этот эффект может оказаться
значительным при циклических изменениях напряжения.
Ползучесть при повторном нагруженни. После сброса нагрузки
материал испытывает обратную ползучесть, При повторном нагружении
до прежнего уровня скорость ползучести сначала будет несколько выше
н
f
-»
ГО 15
Sj—-
1
.—
——
1
V.
Рис. Я. Ползучесть при повтор-	Рис, 4. Кривые ползучести стали
ном нагружвиии	с содержанием 0-31% С; 0,54% Мп;
0,11% Si; 2,05% Ni: 0.83»/o Cr;
0.45% Мо при температуре 450° С
скорости ползучести до перерыва, но затем быстро вернется к прежнему
значению (рис. 3). Следовательно, деформация к некоторому моменту
времени мало зависит от наличия перерывов. Иногда, впрочем, наблю-
наблюдается другая картина [16], когда общая деформация при ползучести
с перерывами больше, чем при отсутствии перерывов.
Зависимость от напряжения. Для выяснения зависимости скорости
от напряжения проводятся опыты при различных нагрузках. На рис. 4
показаны результаты длительных опытов над низколегированной
сталью при температуре 450" С.
Кривые кратковременных испытаний имеют в общем аналогичный
вид, хотя скорость ползучести обычно продолжает уменьшаться. В этом

Ползучесть металлов
01
случае целесообразно определять среднюю скорость ползучести н вы-
выбранном интернале.
Экспериментальные данные по ползучести характеризуются значи-
значительным разбросом, в связи с чем данные но ползучести необходимо
сглаживать, что обычно достигают построением экспериментальных
точек п логарифмической сетке.
По опытам скорость ползучести во вторим периоде \\\ налается
монотонной, быстро возрастающей функцией напряжения о±. Экспери-
Экспериментальные точки на логарифмической сетке обычно группируются
около некоторой прямой линии, что свидетельствует о наличии степен-
степенной зависимости
где коэффициент ползучести й, и
показатель ползучести т — посто-
постоянные, характерные для данного
материала при данной темпера-
температуре. Показатель ползучести, как
правило, больше единицы и доходит
иногда до 10—12 и выше.
При очень малых напряжениях
скорость деформации пропорцио-
пропорциональна напряжению, что не согла-
соглаA)
Рис. 5. Влияние температуры
р,
суется с законом A). Этот недостаток степенной зависимости lie яв-
является существенным, так как области очень малых напряжении
слабо влияют на ползучесть всей детали.
О подобии кривых ползучести. Кривые ползучести (см. рис. А)
часто можно рассматривать как подобные; тогда при степенно» зависи-
зависимости их можно представить в форме
е?-?1,@ <".	а)
Функция п-i (t) пропорциональна какой-либо из кривых ползучести.
При небольших величинах времени хорошим приближением является
степенная функция
О, @ = АР <0<а<1).
При отсутствии подобия кривых полэучестн
Влияние температуры. При фиксированном напряжении минималь-
минимальная скорость ползучести с увеличением температуры возрастает по по-
показательному закону
¦-Се
C)
где С, v — постоянные; Т — абсолютная температура.
Кривые ползучести при разных температурах и одном и том же
¦апряжении показаны на рис. 5.
Коэффициент В1 и показатель m зависят, вообще говоря, от темпе-
температуры. Часто а заданном интервале температуры показатель m

Теория ползучести
практически можно считать постоянным, температура сказывается
лишь на изменении коэффициента Bt. В таком случае имеет место про-
простая зависимость от температуры.
Ползучесть при сложном напряженном состоянии изучают обычно
в опытах по ползучести тонкостенных труб. Таких опытов проведено
много |14, 15, 27]. Приведем основные выводы ич ^тих опытов.
Если при данной температуре металл достаточно стабилен, т. е
в нем не развертываются фазовые превращения, то гидростатическое
давление не влияет на ползучесть, изменение объема является упругой
деформацией.
В условиях простого нагружения {см. гл. 3) главные направления
тензоров напряжении и скорости деформации совпадают. Опытные дан-
данные свидетельствуют о приближенном подобии тензороо напряжение
и скорости деформации. Имеется также зависимость между ынтен-
сивностямн касательных напряжений т.1; и скоростей деформации
сдвига Г|г, характерная для данного материала при данной температуре.
При сложном нагружении ползучесть связана с развитием деформа-
деформационной анизотропии и, следовательно, зависит от пути нагруженип,
При сложных, резко меняющихся нагруженинх простые зависимости.
отмеченные выше, уже не имеют места A5, 25].
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ ОДНООСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Для описания ползучести предложены различные (простые и бол№
сложные) уравнения. Здесь рассматриваются уравнения ползучести
(теории ползучести) и их особенности и случае одноосного напряженного
состояния (растяжений, сжатие).
Теория течении. В случае ползучести растягиваемого стержня no;i
дс и (.мни ем нлиряжгнир. ст, полная деформация е, можкт быть разложен.:]
на три составляющие
где Ej — упругая деформация; t^ — пластическая деформация; г'—
деформация ползучести.
Дифференцирование по времени дает
&1 = i; + if + е;-	и)
Скорость упругой деформации определяют по закону Гуна. Примем
здесь для простоты, что напряжение не превышает предела упругости
при данной температуре, тогда Щ ~~ 0. Деформация ползучести при
наличии подобия и постоянном напряжении определяется соотноше-
соотношением B). Тогда скорость ползучести (в случае степенной зависимости)
будет

Ползучесть при одноосном напряженном состоянии
93
Функция Вх (t) — положительная убывающая функция времени,
отсчитываемого от момента начала ползучести, асимптотически стре-
стремящаяся к предельному значению f^ (рис. 6). Условие подобия и сте-
степенной зависимости Lie является существенным.
Уравнение теории течения имеет пил
O,ft)
При Bl {t) — const и m = 1 получаем известное уравнение Мак-
Максвелла.
Уравнение теории течения E) справедливо при не слишком малых
скоростях ползучести и при напряжениях, изменяющихся медленно и
монотонно: кроме того, начало
процесса ползучести должно про- О
текать при достаточно больших
напряжениях. Эти условия обычно
выполняются; локальное их нару-
нарушение (например, вблизи нейтраль-
нейтральной плоскости в задаче изгиба)
несущественно.
В задаче о релакса-
релаксации напряжения стержень
в момент t — 0 получил удлине-
удлинение е10 — —Щ- ¦ В последующее
время длина стержня остается не-	-¦-->-
нзмекной, т. е. |: ~ 0.
Подобная картина имеет место, например, для болтового соединения.
Полагая |, = 0 в уравнении ползучести E), получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение ре.чиксищш
Рис. 6. Графики функций
Его решение имеет вид
р=-[1 j-{m~\
где введены безразмерные величины
G)
-. С течением времени напряжение в стержне падает, стремясь к пулк*.
Дрнвые релаксации для некоторых значений т приведены на рис. 7.
Йри т = 1 имеем уравнение Максвелла, тогда р = е~'*.
Теоретическая кривая релаксации F) лежит несколько ниже экспе-
экспериментальной, т, е. расчет по формуле (б) дает некоторый «запас» i:j
времени до заданной величины" релаксации.

Теория ползучести
Если известны кривые ползучести (см. рис. 4) и число т, то легко
построить кривую релаксации. Задаемся каким-нибудь значением р,
и по формуле G) или с помощью графика (рис. 7) находим t*. Берем
одну из кривых ползучести о^ = const (желательно н области напряже-
напряжений, близких к Ощ) и полагаем йг (/) =~ —— ¦ По оыбранноЙ кривой
°1
находим такое время, для которого ef = —~ ( ~^—\ **¦ При дроб-
дробном т значение t* определяют интерполяцией.
Имеется удобный графический прием непосредственного построении
кривой релаксации по первичным кривым ползучести |7).
Теория старения. В теории ста-
старения принимают, что
Тогда полная деформация
При степенной зависимост!
подобии кривых ползучести
Приведенные соотношения пригодны только при постоянной
слабо изменяющейся нагрузке.
Релаксация определяется уравнением
откуда при прежних обозначениях следует
AГ-)
Релаксация по теории старения происходит несколько медленнее-.
чем по теории течения.
Решение задач по теории старения связано с меньшими математиче-
математическими трудностями, в связи с чем эту теорию довольно широко приме-
применяют в инженерных расчетах. Удобная для расчетов формулироокл
теории старения предложена Ю. Н. Работноаым [17]. Исходя из кривых
ползучести при постоянных напряжениях, строят изохронные криви-
ползу'ггстм для моментов времени О. /,, t», ij. . . . (рис. 8). Эти кривее
обычно можно приближенно рассматривать как подобные (особен'.->
в области значительных напряжений); при этом под f1 понимают полную
деформацию.

Ползучесть при одноосном напряженном состоянии	95
Изохронные кривые ползучести позволяют непосредственно исполь-
использовать решения теории пластичности при данной кривой о, -- о, (г,)
в задачах теории ползучести (для выбранного момента времени, незави-
независимо от того — имеется подобие или нет). В случае подобия объем расче-
расчетов значительно меньше, так как тогда «^ --- / (at} ф (t) и при постоян-
постоянных нагрузках распределение напряжений ие изменяется, деформа-
деформации же пропорциональны ф (t).
К теории старения обычно относят
уравнение Н. М. Беляева [7, 13]	в,
.1*0
Теория упрочнения. По теории
упрочнения имеется зависимость видя
(при заданной температуре)
Р1^ф(ст1, Р.).	(П)
где pk — ef -Ь Sj —необратимая де-
деформация. Эту зависимость иногда
записывают в форме
где / (<Tj), g (p,) —монотонно возрас1агощие функции. С ростом необ-
необратимой деформации скорость рг падает, что интерпретируется как
супрочпение». Эквивалентность обеих составляющих (p.j и p,f). как
показали опыты, не имеет места. Под р^ следует понимать лишь дефор-
деформацию ползучести »[.
Для простоты расчетов часто принимают [19]
, f(ffl)«/fexp-L^L; g(ei)-(ftf)u; К^О, Л 5^0, а ^ 0.
Область малых напряжений исключается из рассмотрения. Если
ввести безразмерные переменные
А
А
уравнение теории упрочнения принимает вид
Р\Р\ = "Г h-
A3)
S случае релаксации ?| = е^ -|—-г- — const - Ещ, откуда pt ~r
**^'»! = s0 и рх + 5! = 0. Исключая с помощью этих соотношении р1

Теория ползучести
и р, из (!3>, получаем дифференциальное уравнение релаксации; ре-
решен и*' последнего имеет вид
т = j (_ч ..- sf е-&<1ч.	A4)
Теория упрочнения правильно характеризует ряд особенностей!
течении при изменяющихся нагрузках. При не очень сложных путях
нагруження теория упрочнения удовлетворительно описывает ползу-
ползучесть металлургически стабильных металлов и сплавов. Применение
теории упрочнения для расчетов деталей машин связано со значитель
ными математическими трудностями.
Лучше согласуется с экспериментальными данными недавно пред-
ложен кий энергетический вариант теория упрочнения
/}, =¦ tp(alt l),	A51
где X — I oldp1 —¦ работа деформации ползучести.
Теория наследственности. Для описания ползучести используют
также различные варианты теории упругого последействия Болых-
мана—Вольтерра [17, 23 ].
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ СЛОЖНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Основные положения. Опыты показывают, что при сложном напря-
напряженном состоянии ползучесть определяется касательными напри ж*
пнями и протекает в общем по законам «обычной» пластической дефор
мации. В связи с этим принимают следующие основные положения
1)	измененik: объема является упругой деформацией; ползучесть
нр зависит от гидростатического давления;
2)	главные направления тензоров скоростей деформации ползучести
н напряжения совпадают;
3)	формы девнаторов напряжения и скорости деформации совпадают.
Отсю.!а ск'дуют уравнения
где п.алярпал функция i|; зависит, вообще говоря, от скалярных пара-
параметров, связанных с напряженным и деформированным состояниями,
or оремени t и температуры Т. Ниже температура Т считается фиксирс
вашюй. Функцию ф выбирают по-разному в различных теориях по.:
зу чести.
Теория течения. Здесь принимают, что интенсивность скоростей
деформаций сдвига ползучести rf. является функцией интенсивности
касательных напряжений т/, характерной для данного материала при
данной температуре:
/("!,) Т,.

Ползучесть при сложном напряженном состоянии	97
Рассматриная случай одноосного растяжения и ераинкная равен-
равенство A7) с опытными данными, находим вид функции /. В случае степен-
степенной зависимости
где В-— 3 2 BL. Легко внДпъ, что 2iJ) =~- f (т,-).
Расширяя соотношение A8) на лерный период ползучести так же,
как при одноосном растяжении (см. стр, 92), и добавляя скорости упру-
упругой деформации, получаем полные уравнения ползучости
A9)
где а — среднее давление.
В случае степенной зависимости и подобия кривых ползучести
Важное значение имеют уравнения установившейся ползучести (поля
напряжения и скорости не зависят от времени)
B0)
Эти уравнения аналогичны уравнениям деформационной теории
пластичности (скорости деформации %х	i\Xi заменяют на деформа-
деформации ?,х	Ухг)- Отсюда следует так называемая упругая аналогия (см.
¦иже).
Теория упрочнения. Здесь принимают, что
:где V; —накопленная деформация ползучести
V,' - J" n'f
В энергетическом варианте имеем

Теория ползучести
Функция г|з определяется по опытным данным, например, по кривым
ползучести при растяжении. Тогда т, = —— пх.
2
По уравнению A6) имеем ?? = -^- фол.
Теория старения формулируется пнешне так же, как и теория упруго-
пластической деформации. Второе и третье основные положения
(сгр. 96) заменяются более простыми. Здесь
Компоненты упругой деформации е.*, . . ., 7*г определяют по закону
Гука, а компоненты деформации ползучести находят по формулам
В случае степенной зависимости
/
/.(t,,0 = 0@t"-1; Q@= f B(t)dl.
и
Другие теории см. в работах E, 9, 21, 29].
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ.
ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Система уравнений теории течения состоит из трех дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия A2) гл. I, закона ползучести A9) и шеста
условий совместности для скоростей B0) гл. 1. Внося а последние усло-
условия скорости деформации согласно уравнений A9), получаем вместе
с уравнениями A2) гл. 1 систему девяти дифференциальных уравнение":
относительно компонентов напряжения. В общем виде эта система нмесг
сложный вид и здесь не приведена. Уравнения системы содержат одно-
однократное дифференцирование по времени.
Обычно встречаются следующие граничные задачи:
1)	основная задача — на поверхности тела S заданы напряжения,
постоянные во времени;
2)	релаксационная задача — часть поверхности тела Sp свободна
от напряжений, на другой части Sv заданw постоянные во времени сме-
смещения (тогда на Sv скорости vK= vy = ьг = 0); объемные силы
отсутствуют;
смешанная задача — на части поверхности Sp заданы постояннее
во времени напряжения, на Sv — перемещения (т. е. vx = vu = vz — 'Ь.
В начальный момент времени t = 0 распределение напряжении и
смещений упругое (или, если нагрузки велики, упруго-пластическое).

Уравнения ползучест
Качественная картина течения такова: в оспонноп задаче с течением
времени напряженное состояние изменяется, стремясь к некоторому
установившемуся состоянию {см. стр. 100); в релаксационной задаче
напряжения со временем падают (релаксируют). стремясь к нулю.
Действительное, распределение, напряжений сообщает минимуч
дополнительной мощности те.т
С (	dW \
по сравнению со всяким статическим возможным напряженным состоя-
состоянием. Интегрирование в зависимости B3) проводится но всему объему
тела V. Функций
есть плотность упругой потенциальной энергии, а
Л- \ f(s.t)sds	B4)
{где / — характерная для данного металла функция; / — время) на-
называют плотностью дополнительного рассеяния. При степенном законе
и подобии кривых по,-;зучести iiMi'PM
Вариационный принцип B3) выражает условия сплошности и его
можно рассматривать в некотором смысле как обобщении принципа
Кастильяно.
При наличии пластических деформаций к потенциалу W в фор-
формуле B3) следует добавить дополнительную работу [7].
Система уравнений теории старения не содержит производных
¦по времени; время i входит в качестве параметра. Для всякого фиксиро
ванного момента времени имеем задачу, вполне аналогичную соответ-
соответствующей задаче теории упруго-пластических деформаций (гл. 3).
Для решения последней применимы методы последовательных прибли-
приближений, численные методы, вариационный методы (см. гл. 3).
В теории старения имеет место принцип минимума дополнительной
работы
Здесь уравнение выписано для случая степенного закона и подобия
кривых ползучести. Так как уравнения теории старгния совпадают
по существу с уравнениями теории упруго-пластических деформаций.
**> имеет место второй принцип — принцип минимума полной энер-
ган [7], характеризующий минимальные свойства перемещений.

100
Теория ползучести
Система уравнений теории упрочнения имеет значительно более
сложную структуру, вследствие сложности соотношений ползуче-
ползучести A6) и B1). Для решения используют численные методы.
В теории упрочнения имеется вариационный принцип, характери-
характеризующий экстремальные свойства действительного напряженного со-
состояния.
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ
В устанопившемся состоянии уравнения, ползучести имеют вид
1\хг = /
B6)
причем
Ш~ f fa) Т( ИЛИ t( = g (Т|[) Г|?-	t27)
Функции / (т,) и ^ (i>i) определяют по опытным данным при растяже-
растяжении. Тогда т,- — -—= ох, т|? -= V^ Й^.г и согласно B7)
К 3
По кривым ползучести во втором периоде имеем
Следовательно,
где т,- — интенсивность касательных напряжений; x\i — интенсивность
скоростей деформаций сдвига; заметим, что—- — ~,——, где |j -'
Т| i у 3 h {
= —=tli — шгтексивность скоростей деформации; а; —интенсивность
У *
напряжений.
Вариационные уравнения. Истинные скорости vx, Vy, vz сообщают
минимум полной мощности
f L dV — Л = min,	B6j
где Л — мощность заданных внешних сил;
vz) dS.

Установившаяся ползучесть
В случае степенной зависимости
l = —^-т-г)Г+1; в^в-*.
Минимум разыскивают в классе скоростей vx, vy, vz, >дон.четворл-
ющих условию несжимаемости и принимающих заданные граничные
значения на части поверхности Sv |7|.
Второй принцип устанавливает экстремальные свойства истинных
напряжений. Из всех апатически возможных напряженных саапонний
только истинное напряженное состояние сообщает минимум дополни-
дополнительному рассеянию тела
Л = Г Л (IV ¦¦= min.	B9)
v
Дополн;:и.'.'!1.11ое рассеяние
Х-	I -
Л = f тцЛ, = f I (О I dl
о	О
При степопнон зависимости
<30»
Обобшсн1!^м известных теорем Кастильяно являются следующие
*еоремы.
1.	Частная производная от дополнительного рассеяния тела по ее
личине приложенной сосредоточенной силы Р/ равна скорости точки
приложения этой силы по направлению действия последней:
дЛ	C1)
дР, ~ "/¦
2.	Лишние неизвестные X/ (/ = 1, 2, . . ., s) определяют из системы
Ч/равнений
'it__ Упругая аналогия. Сопоставление полученных уравнений с соот-
'*етствующими уравнениями нелинейно упругого тела показыоает,
**я> распределения напряжений, скоростей деформации и скоростей

Теория ползучести
в случае установившейся ползучести будут такими же, как распределе-
распределения напряжений, деформаций и перемещений в аналогичной задаче
для нелинейно упругого тела (в теории упруго-пластических деформа-
деформаций). Эта аналогия позволяет использовать в теории ползучести реше-
решения, полученные для нелинейно упругого тела (и обратно).
Зависимость решения от показателя т. Рассмотрим основную
и смешанную задачи при степенном законе ползучести. В этих задачах
напряжения не зависят от коэффициента В, а скорости пропорциональны
ему. Показатель т существенно влияет на распределение напряжений.
При т = 1 распределение напряжений совпадает с распределением
напряжений в соответствующей задаче для линейно упругого тела.
При т -> оо распределение на-
напряжений иногда аналогично рас-
распределению напряжений в идеаль-
идеально-пластическом теле, иногда лишь
напоминает некоторые особенности
этого распределения. Имеет место
следующее утверждение [7]: с воз-
возрастанием т распределение напря-
напряжений стремится к идеа.-1ьно-пла-
стическому распределению, если
по жестко-пластической схеме дан-
данная задача допускает вполне пла-
пластическое (т. е. без жестких зон)
решение.
Приближенный метод решения задач установившейся ползучести.
Простой характер зависимости решения от показателя т позволяет
указать эффективный метод приближенного решения. Решение ищем
в форме [7|
ic. 9. Графиi
К (jb)
o-J + К (а; - с!); ¦ ¦ .; т« = 4 -г Л' (т„ - т*,). C3)
где ах, , . ., ххг —упругое распределение напряжений (при m = L);
о^, . - ., тхг — распределение напряжений при т -»- оо ; считаем, что
эти решения известны и различны, Если предельное состояние о"
. . ., т°2 не совпадает с идеально-пластическим и неизвестно, то это ре-
решение можно заменить известным решением для достаточно большого т
(например, для m — 8-МО).
Множитель /С — функцию т — определяют из условия минимума
дополнительного рассеяния -?=- = 0. Зависимость К (т) имеет, как
on.
правило, вид, показываемый на рис. 9. Различные приемы вычисления
этой зависимости изложены в работе [7].
Зависимость решения от параметра нагрузки. Пусть усилия, задан-
заданные на поверхности 5 (основная задача), изменяются пропорционально
одному параметру X, т. е. Fn = XFno, где Fno зависит только от коорди-
координат точек S. В общем случае зависимость напряжений и скорости от У-
нвляется сложной и задачу нужно решать для каждого фиксированною
Значения Л, В случае степенного закона ползучести (]8) напряжения

Установившаяся ползучесть
пропорциональны параметру нагрузки Л., а скорость пропорцио-
пропорциональна А.'", т. е.
где индекс 1 характеризует решение для X — 1.
Метод последовательных приближений. Для решения нелинейных
уравнений установившейся ползучести используются различные па-
рианты метода последовательных приближений. Эти методы, благодаря
отмеченной выше упругой аналогии, совпадают с методами последо-
последовательных приближений, применяемыми в теории упруго-пластических
деформаций (см, гл. 3). Представим уравнения установившейся пол-
ползучести B6) в форме
где to ((],) = 1	—; и — коэффициент вязкости, соответствующий
наклону кривой ползучести на начальном участке, а со (т|;) характери-
характеризует нелинейность. R дальнейшем применяют различные варианты ме-
метода последовательных приближений, вполне аналогичные приемам,
используемым п теории упруго-пластических деформации. Так. можно
перенести нелинейные члены н правые части и трактовать их как допол-
дополнительные объемные и поверхностные нагрузки. Другой прием состоит
в том, что множители —- рассматривают как переменные коэффици-
коэффициенты вязкости, определяемые по данным предыдущею приближения,
и т. д. (см. литературу к гл. 3).
Модифицированный метод Ритца позволяет строить решения пря-
прямыми методами с необходимой точностью. В частности, решения задач
.теории упругости, полученные вариационными методами, нетрудно
распространить на соотнетствующие задачи теории ползучести. Рас-
Рассмотрим этот метод применительно к разысканию минимума дополни
тельного рассеяния [7].
Решение строим последовательными приближениями в форме урав-
уравнения E2) гл. 3.
Вариационное уравнение ft-го приближения записано в форме
1 -х- • -4~ dV = min.
',' Ok 2
It?.
WW Gi{— g \y;—- j является известной функцией, определяемой
по {k — 1)-му приближению. В нулевом приближении Go постоянно и
-рвВно тангенсу угла наклона касательной для начального участка кри-
¦WA закона ползучести т^ -¦'¦ g (щ) т],-; нулевое приближение а^\ . . .,
•"• ¦. 1^г* соответствует упругой задаче. В представлении E2) гл. 3 целе-
целесообразно удерживать число членом, обеспечивающее необходимую точ-
^сть решении упругой задачи, Квадратуры удобно находить численно.
'Нри определении «секу него модуля» G^ можно непосредственно исходить

104	Теория ползучести
из опытной кривой. Сохранение той же формы решения в каждом при-
приближении {изменяются лишь коэффициенты C/iS) упрощает вычисления
и исключает громоздкость результатов, Аналогичный метод применим
и для разыскания минимума полной мощности |7|.
ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
В нагруженном теле в начальный момент времени возникают упру-
упругие или упруго-пластические деформации. С течением времени напря-
напряженное состояние тела вследствие ползучести будетизменяться, стремясь
(при постоянных внешних нагрузках) к состоянию установившееся
ползучести. Точное решение задач неустановившейся ползучести по
теории течения связано с большими математическими трудностями
даже в простых случаях. Вследствие большого разброса эксперименталь-
экспериментальных данных, характерного для явления ползучести, следует отдать
предпочтение простым приближенным методам.
«Метод шагов». Система дифференциальных уравнений неуста-
неустановившейся ползучести содержит производные по времени первого
порядка. Заменяя последние разностными соотношениями, находят
напряженные состояния в последовательные близкие моменты времени.
В этом «методе шагов» на каждом этапе необходимо решить систему
линейных уравнений (И).
Процессы приближения могут быть различными. Так, в одном из
них рассматриваемый интервал времени разбивают на ряд малых
промежутков. В каждом из них приращения деформации будут линей-
линейными функциями приращений напряжений с коэффициентами, не
зависящими от времени, но изменяющимися от точки к точке. Связь
между указанными приращениями аналогична уравнению Гука для
упругого анизотропного неоднородного тела. В первом приближении
для коэффициентон принимают значения, следующие из расчета на
предшествующем этапе нагружения. В дальнейшем эти значения уточ-
уточняют методом последовательных приближений [3 ].
Другая схема расчета — метод дополнительных деформаций —
использует в качестве исходной модели изотропное упругое тело с по-
постоянными коэффициентами упругости. Здесь приращения компонентой
деформации представляют в виде суммы приращений упругих деформа-
деформаций и дополнительных слагаемых — пластических составляющих.
Последние вычисляют последовательными приближениями (см. ра-
работу [3]).
Неустановившаяся ползучесть при заданных нагрузках. Напряжен-
Напряженное состояние определяют решением вариационного уравнения, Реше-
Решение отыскивают в виде
где ах, . . ., тхг — упругое распределение напряжений в начальный
момент времени; ах, . . ., ххг — напряжения в состоянии установив-
установившейся ползучести; т (/) — искомая функция времени. Она оказывается
равной

Задачи неустановившейся ползучести
где введено безразмер[[ое время
C6)
1 случае степенной зависимости и подобия кривых ползучести
здесь т^ — интенсивность напряжений о^., . . ., %кг; П^ —плотность
упругой потенциальной энергии разности напряженных состояний
с~ — (ок — о\)	a
Интегрирование ведут но
объему тела V.
Следовательно, для решения
задачи необходимо вычислить
„~
два интеграла Q @) и /7_ ст
известных функции. График за-
зависимости C5) приведен на
рис. 10 (сплошная линия).
. Согласно полученному реше-	f
нию состояние ползучести сте-
стечением времени монотонно изменяется
состояния к состоянию установи тлейся
/
/
.у'
—
0,5 КО. 1,5 2,0 2,5 3,0 f
10. График функции т
от начального упругого
ползучести. Приведенное
решение дает хорошее приближение для основных по величине состав-
составляющих напряженного состояния. Это решение легко обобщается в
случае отсутствия подобия кривых ползучести и смешанных задач 17].
Релаксационная задача. Решение вариационного уравнения B3)
ищется в ниде
Множитель релаксации р (/) ранен (ниже приводятся формулы для
Случая степенной зависимости)
Р= [1-1- (>п- 1) 1
где введено безразмерное нремя
t* -¦ xQ (t).
C8)
C9)
tl— 1
' dV;

Теория ползучести
здесь IV — упругая потенциальная энергия тила в начальный мо-
момент t = 0. Кривые релаксации при фиксированном т вычисляют раз
навсегда для тел любой формы. Для каждой конкретной задачи меняют
лишь отсчет по оси времени.
Если отдельные части системы испытывают релаксацию независимо
одна от другой (распадающиеся системы), рассмотренный приближен-
приближенный метод следует применять к каждой автономной части системы.
Решение задач неустановившейся ползучести по теории старения
более просто, чем по теории течения. В силу приведенной ранее ана-
аналогии с задачами теории упруго-пластических деформаций (см. стр. 94 —
95) необходимо пронести ряд расчетов упр> го-пластического состояния
при фиксированных значениях времени.
Расчеты значительно упрощаются при вариационном методе разыска-
разыскания решения о форме C4). Тогда в основной задаче
г°
Эта зависимость показана на рис. 10 штриховой линией.
В теориях упрочнения и наследственности установившиеся режимы,
вообще говоря, не выделяются. Поэтому расчеты всегда связаны с рас-
рассмотрением неустановившихся течений я реализуются, как правило,
численными методами.
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
Рассматриваем ползучесть труб под действием внутреннего дянле-
ния р, я также дополнительных нагрузок —особой силы Р и скручи-
скручивающего момента М; инутренний » внешний диаметры трубы гоответ
стпашо 2а, 2Ь: 0 = —-: h = Ъ — а\ с — ~{Ь-\- а).
Ползучесть тонкостенных труб ( — « 1 V В тонкостенных трубач
напряжения о^, аг по толщине трубы распределены приблизительно
равномерно, а а. относительно мало.
Трупа с донышками пол действием внутрен-
внутреннего давления. В этом случае Р — яа2р и а, = 0; аф — ~ ,
\ pa	\ pa
а' = -Т- — ' т' = -2"-Г-
Скорость относительного увеличения диаметра трубы 2б?ф, причем
Труба под действием в ft утрени его д а в л е •
ннп и осевой силы Р.
0; Ок =
Ра	k ра ,	Р
h '	2 h '	л а2р '

Ползучесть труб
= -f (т,-.
оф; |, = / (т,-. I) ~-^- о,;
г, ^ V 4--2ft
2 V 3
Труба с донышками л о д д е ft с г о и е ч н ;i у т р е I
него давления и крутящего момента Л1.
ра 1 рп
о, => 0; оФ = -j- ; о^ = -J	j- ; т„,, = т„ = 0;
о,Р; Ь = 0-
^-/(т(. От,,: t,^-^V'
Труба под действием осевой силы и к р у¦
т я щ е г о момента М.
г„Тгф = 0; о, =-5^-;
Ег => -у- / (Т(. t)a,\ 1\щ - f (т,-. () т,г
УстановAвшаяся ползучесть толстостенной трубы. По оси трубы
¦ Действует сила Р — па*р {давление на донышки). Ползучесть в осевом
направлении отсутствует. При степенном законе ползучести
ог = а, -
D0)
Скорости относительного увеличения внутреннего и наружного
Диаметров трубы

10Й
Теория ползучести
Распределение напряжения Оф заьисиг от показателя иолэучесш т.
(рис. 11); оф ~- const при т ~ 2. С увеличением т распределение на-
напряжений приближается к идеально-пластическому распределению.
Радиальное напряжении о, измсе[ястся незначительно.
При сбросе давления и снижении температуры в трубе возникнут
остаточные напряжения, ранные разностям напряжений D0) и напря-
напряжений в идеально-упругон трубе
о -¦= s 1 - —
D1)
Неустановившаяся ползучесть толстостенной трубы. Согласно
общему методу (см. стр. 104)
	, , ,	°, ¦-- °г -г т @ (а,' — о));
1,6 \
gu
1
1
/Упруг-
т = 1
\
\
\
Ч
У
-»

I,1* ',s ',*
oz = о, 4- т (/) (а2 — аг).
1@= 1-е-'1.
Безразмерное время
'" = JTV (Р. ,
Рис. П. Напряж1ч
в трубе, нспьпыг..
действие пну грен
соответственно деформация ползучести к моменту / в растягиваемом
стержне при напряжении
t>
(среднее тянгенциальное напряжение
в труйе) и упругая деформацпя в тех же условиях; значение вг можно
брать прямо с кривых ползучести. Значения V ф. т) даны и таблице
»
1.2
! -1
1.6
2,0
т
0.S4
1.07
1,51
1,99
.',52
Г.
1 'Л
2, НО
ч,77
2:1
7
1.71
4 80
','3.1
J41
J
2, id
ОТ, 4
fil7
1800

Время разрушения
Ползучесть неравномерно нагретых труО. Приименные ниже ре
зультаты относятся к случаю простой зависимости от температуры,
когда показатель ползучести т можно считать постоянным, при этом
В(Т)= В,/7.
Тонкостенная труба, Температура Т постоянная по тол-
толщине и длине трубы, но сравнительно медленно изменяется по окруж-
окружности Т= Т (([>), где ф — полярный угол. Скорость относительного
увеличения наружного диаметра трубы
здесь принято, что Т (<р) = Т (~ф).
Толстостенная труба при осеснмметрнчном устапои
шемся поле температуры
Т (г) == Г (о) + Т,1а~,
T =T(b) — T (a)
* In b — ]п а '
Напряжения в трубе
\ T I '
D3)
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ (ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ)
В условиях ползучести величина разрушающего напряжения
аавнснт от длительности работы; с увеличением длительности работы
Прочность надает. Вместо обычных характеристик прочности игноль-
г предел длительной прочности (напряжение, которое при данной
ре и данной длительности работы приводит к разрушению).

П.!	Теория ползучести
Н условиях ползучести различают «низкие» и «хрупкие» разрушения
Вязкие разрушения происходят при больших удлинениях (с образова-
образованием шейки) и отличаются относительной кратковременностью. Хрупки
разрушения происходят при малых удлинениях (иногда менее 1% t
к реализуются обычно при сравнительно низких напряжениях (рледо
н.п-слыю, при длительной работе). Имеются и смешанны? типы разр\
НКМНЙ.
Продолжительность работы детали обычно определяют эксперимен-
экспериментально. В последнее время разработаны теоретические методы определи
пня времени разрушения деталей поданным о разрушении стандартных
образцо» при растяжении |7. 8 ].
Время вязкого разрушения можно определить как время, в течение
которого деталь неограниченно «расползается» (например, растягивае-
растягиваемый стержень превратится в Гхчжонечно топкую и длинную нить)
Следовательно, определение времени вязкого разрушения сводится
к анализу неограниченного течения детали в условиях ползучести.
Так, рассматривая ползучесть стержня, растягиваемого силой Р.
получаем время иязкого разрушения
/, =—V- ¦ Iq^ Biao>	М1р
где 1и есть скорость деформации при начальном напряжении а„. Опыт
пые данные удонлетворительно согласуются с решением D4).
Т о н к о с i e ii и а я т р у б а п о д д е й с т в it с м в и у т [I с II ¦
него давлен и я. Анализ неограниченного расширения трубы
лриводит к следующей формуле:
где |v,(i — начальная скорость деформации (скорость деформации г:;
диаметру при малых смещениях).
Толстостенная труба под действием вну-
внутреннего л а в л е н и я. В этом случае
Коэффициент Aj определяют по формуле
[	J
т [ 2тф (Р) J '
1
Теоретическое время вязкого разрушения несколько больше набл'
даемого в опытах.

Время разрушения
Хрупкое (малодеформационное) разрушение связано с накоплением
повреждений в металле, в частности — с развитием трещи но ватости.
Уровень поврежденное™ можно характеризонать некоторой функ-
функцией ф, изменяющейся в интервале 1 > i|) > 0 и называемой сплош-
сплошностью. В начальном состоянии t|)= 1, в момент разрушения ij-1 г~ О,
функцию ty можно интерпретировать как отношение несущей части пло-
площади сечении к первоначальной («неповрежденной») площади, Сплош-
Сплошность удовлетворяет дифференциальному уравнению
где А, п — постоянные, определяемые из олытоо по растяжению образ-
образцов; оmix — наибольшее растягивающее напряжение.
Как показывают опытные данные, наибольшее растягивающее
напряжение сггаах является удовлетворительным критерием прочности
при хрупких разрушениях в условиях ползучести. Отношение —""*
можно рассматривать как истинное напряжение в поврежденном ме-
металле. Согласно уравнению D7) скорость развития повреждений про-
пропорциональна л-й степени истинного напряжении. Стеленная зависи-
зависимость взята для простоты расчетов. При растяжении L-гержня время
хрупкого разрушения
I' -	.	D8)
(n-J- I) Ao%
С помощью уравнения C6) может быть изучено время хрупкого раз-
разрушения различных детален (труб, дисков и т. д. 125)).
- Уравнение D7) может быть применено к определению времени раз-
разрушения при переменных напряжениях. Тогда из этого уравнения можно
вывести формулу суммирования повреждений
здесь tj — интервал времени, в течение которого демствшзало постоян-
постоянное напряжение а- (режим /); /-—время разрушения:
вычисляемое в предположении, что о у действует все время; г — число
режимов. Напряжения а/ должны быть найдены из решения задачи
ползучести для рассматриваемой детали.
Если напряжение а„ меняется во времени непрерывно, формула
суммирования повреждений принимает вид
f о0" {t)dt=-

112	Теория ползучести
Отсюда находят время разрушения /'. Напряжение о0 (/) опреде-
определяют из решения задачи о неустановившейся ползучести. Хрупкие
разрушения в условиях ползучести происходят во многих случаях при
малых деформациях ползучести, сопоставимых но величине с упругими
деформациями, На условия работы детали эти деформации ползучести
часто не оказывают сколько-нибудь заметнор-о влияния. Это не означает,
однако, что можно пренебрегать ползучестью, так как последняя может
существенно изменить распределение напряжений п детали. Для рас-
расчета длительной прочности важно знать действительные напряжения
в детали, зависящие от процесса ползучести.
Изменения, которые вносит ползучесть в напряженное состояние
детали, зависят от характера нагрузок. При быстро меняющихся знако-
знакопеременных нагрузках ползучесть о ряде случаев не успевает про-
япитьсн 129].
Смешанный тип разрушения (разрушение происходит хрупко,
но при заметных деформациях) анализируется, как процесс трещино-
образования, развертывающийся на фоне возрастающих деформаций
ползучести G].
ЛИТЕРАТУРА
I. Ал ьфре й Т. Механические СклЯстяа пысокополимеров. М.
ГЧктехиэдат, 1^52.
2- А р у т ю и я н II. X. Некоторые вопросы теории ползучести. М.,
Гостехиддат, 1953.
?>. Б и р г с 11 И- Л. Расчет конструкций с уютом пластичности и пт-
эучести. Илэ. ЛН СССР, Механика и машиностроение, № 2. 1965.
¦1. В а и - Б ю р к е я. Дефекты в кристаллах. М., ИЛ, 1962.
5.	В л н и П |» а г е р. Иди я «не ползучести и нагрепа в упрочняющим; м
упруго-пластических телах- Сб. перся. «Механика», № 2. 19N5.
6.	Гольденблатт И. И.. Ннколаенко Н, А. Теория пол-
ползучести строительных материалов- Л1.. Госстройиздат, I960.
7.	К а ч а н о в Л. М. Теория ползучести. М,, Фнзматтнз, I960.
8.	К э ч а и о в Л. М- Rpc-мя разрушения в условиях ползучестч.
Проблемы механики сплошной ср(>ды. М., над-во, АН 1961.
0. К а ч а и с в Л. М. К eonpocv ползу чесги анизотропных тел. Vi^u
All (Г.СР. Механика, № ¦!, 1S64.
10. К о т т р е л л Л. Дислокация и пластическое течение в кристалла
И., Металл ургиздат, 1»58.
П. К У р а т о в П. С. Розенблюм В. И. Об иитегрировам-н
урэене.мм неуст.шоминшеио, пилэучегти. i рнкладв^я математика
12.	Малин ип 11. Н Осиоиы расчетов на ползучесть. М., Машин,
1948.
13.	М з л и н и и Н. П. Рнсчиты на ползучесть И ки. Поном;||1ев С Л
и др.,» ^Расчеты на прочность ц машиностроении». Т- П. М., Машгиэ, 1ЙГ^.
14.	Наместников li. С. О ползучести при переменных нагруэкч.\.
Из,,. ЛН СССР, ОТН, № It), I957.	РУ
15.	Наместников ВС- О ползучести при сложном напряженно i
состоянии. В кн. «Ползучесть и Уалнгрльная прочность»- Изд-во СО АН ССС11.
1963.
16.	О д н н I- И. А. и ЛР- Теория ползучести и длительной ирочпогг-
металлов. М.. ,Четаллургиздат, 1959.
17.	Работной Ю. Н- Ползучесть элементов конструкции Л*
.Наука», 1966.
18.	1'аГютвон Ю. Н- Равновеснг упругой среды С последсйсти:- i.
Прикладная матсилщкэ н механика- Т. 12. Нып. I, 1948.
19.	Работ нов Ю. И- О некоторых возможностях описания hcj^i- -
HOSHBiii&nc^ Tjoji ii v ч e с Tit с n p цл ом^е и нем it исследос^ и и ю пол Т\ v чует и рото!''^ '
Иза. АЕГ СССР, ОТН. № 5. 1957.
20.	1] ж а н и ц ы и А. Р- Некоторые вопросы механики систем, дефор-
деформирующихся во премени. М., Гостехиздат, 1949.

Литература	I \?>
22. Р о з е н б л го м В. И. Время до разрешения вращающегося диска.
Прикладная математика к механика Т 21. Вып. 3 1957
21. Р о я о п с к и й М. И. О некоторых процессах деформирования
матсриалсш. Изк. АН Арм. ССР. Т. 8, > 3, Креван. 1955.
21 Салли А. Ползучесть металлов. М-, Оборонгиз, 1953.
2 j Ползучесть и д гя и тел tiHn^i глрочн ость Тр УДЬ1 совет, л н и я по ползучести
Иэд-ео СО AEI СССР, 1963.
26.	F i n n i е а. Н с 1 I е г. Стер of Eng. Materials. N. Y. London, 1959.
27.	Johnson. Henderson. Khan. Complex—stress creep,
28.	M a r i n J Mechanical Behavior of Eng. Materials. Prentice—H.ill
1962.
29.	О d q v i s t n H u I t. Kriechfestigkeit meUllischer werkstoife
Springer-Verlag. 1962.
30.	Odqvisl. Mathematical theory oi creep and creep rupture. Oxford,

Глава 5
ТЕРМОУПРУГОСТЬ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТЬ
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Рассмотрим упругое изотропное неравномерно нагретое тело. Темпе-
Температурное поле Т = Т (х, у, г, t) предполагаем известным и независимым
от напряженного состояния. Влияние изменений объема, вызываемых
напряжениями, на тепловое поле крайне незначительно и в технических
задачах, как правило, можно не учитывать,
Закон Гуна при тепловых расширениях. Складывая тепловые рас-
расширения с удлинениями, обусловленными напряжениями, имеем
•x = ~-r[ax — \ (ay -j- o2)] -
A)
где а — температурный коэффициент линейного расширения.
Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v являются, вообще
говоря, функциями температуры. Решая уравнения A) относительно
напряжений, получаем
B)
: Wxz-
где модули "К, (i = G, k (см. гл. 2) — также функции температуры.
Относительное изменение объема
е = 3ka + ЗаГ,	C)
здесь
?v	1 — 2v	?

Уравнения термоупругосп
115
Уравнения термоуптугости в перемещениях. Используя принцип
сложения действия сил, можно разыскивать температурные смещении
и напряжения при нулевых внешних силах, а заттм сложить найден-
найденные величины со смешениями н напряжениями от действия заданных
нагрузок.
Внося уравнения {21 в дифференциальные уравнения равновесия A2)
гл. 1 и опуская объемные силы А", У, Z и инерционные члены, получаем
уравнения термоупругости в перемещениях (Е, v, w постоянные)
а/Г
дТ
~-
] - 2v ' ду
D)
Уравнения термоунругости в напряжениях. В случае первой основ-
основной задачи на поверхности тела .S' заданы напряжения, и часто удобно
решать такую задачу в напряжениях.
Для чисто температурных напряжений капряжени" "" 	"
тела равны нулю. Температурные напряжения удовлет]
цяальным уравнениям равновесия
[Я на поверхности
:творяют дифферс-н-
дх ду	fa
и т. д.;
условиям сплошности (Е, v, a — const)
. . . 3
дхду '
н условиям tia поверхности тела
ак cos /гл; -|- тху cos /гу -г
E)
F)
G)
Температурные напряжения равны нулю, если. температура Т
постоянна, или является линейной функцией координат.
Вариационные уравнения термоунругости. Принцип мини
.мума потенциальной энергии системы имеет вид
| w dV — °f2v J Те dV - min;	(8)

Термоупругость и тсрмопластичность
здесь W — плотность упругой потенциальной энергии A2/ гл. 2,
ди dv dm
е + +
В первой основной задаче возможные перемещения произвольны
на поверхности тела.
Во второй основной задаче возможные перемещения на поверхности
теля равны иулю.
В смешанной задаче на части поверхности Sp возможные перемеще-
перемещения произвольны, а на Su равны нулю.
Принцип Кастильяно имеет кид
* W dV + За Г Та dV=*mii\.	(9)
V
Допустимые напряжения должны удовлетворять дифференциаль-
дифференциальным уравнениям равновесия (без объемных сил) и однородным гранич-
ным условиям на Sp:
пх cos nx -\- iXy cos пу -)- xXi cos nz = 0 \	/jqj
и т. д. /
Плотность потенциальной энергии U-" определяется первой форму-
формулой A2) гл. 2.
Способы построения приближенных решений уравнений (8) и (9)
аналогичны способам, изложенным в гл. 2 для случая равномерно на-
нагретого тела.
Теорема о взаимности работ. На основе аналогии температурной
задачи с задачей о напряженном состоянии тела под действием не-
некоторых фиктивных объемных и поверхностных нагрузок теорема
о взаимности работ B2) гл. 2 переносится на задачи термоупругости.
Выбирая определенным образом силы и перемещения первого и вто-
второго состояний, имеем
\N)aix){N, M)dV(N).	A1)
Два аналогичных соотношения имеют место для и (Д4), w (M),
В этих формулах ,V — произвольная точка тела; о1'1'1 (Л', М) —сред-
—среднее давление в точке Л\ вызванное единичной сосредоточенной силой,
приложенной в точке М к направленной параллельно оси х. Фор-
Формулы A1) дают решение задачи термоупругости, если известны функции
Грина а(д:> (,V, M), aiyi {N, М), о(г)(Л/, М). Этот метод развит в рабо-
работах В. М. Майзеля [16].
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Плоская деформация имеет место в длинном цилиндрическом теле
fc осью г), если осевое перемещение w = 0. температура не зависит от
координаты г, т. е. Т = Т (х, у); внешние нагрузки считаем отсутству-
отсутствующими. Тогда

Плоская задача термоупругости
117
Пели длинное цилиндрическое тело имеет свободные торцы, то спи
может удлиняться и w =f- 0. Напряжения, подсчитанные согласно
формуле A2), приводятся к осевому усилию Р и двум моментам Мхц Л1,7.
Случай снобо/шых торцов можно получить, добавив к напряжению Ьг
но формуле A2) напряжения от сжимающей силы Р и напряжения от
действия изгибающих момент» —Мх, —Му.
Функция напряжении" Ф
д-Ф	д2ф	д*Ф
о	«	Т
удоалетморяет дифференциальному ура мнению
Если поле температуры стационарное, то Д7" = 0 и тогда функции
напряжений является бигартонической. Нагрузку по боковой поверх-
поверхности можно считать отсутствующей, следовательно, граничный уело ни я
для функции напряжений будут
однородными. Тогда в односалзном
цилиндре напряжения о*, asi, тху
равны нулю (для любого стацио-
стационарного'поля). Этот результат при-
принадлежит Н. И. Мусхелипшили
[18].
В многосвязном цилиндре тем-
температурные напряжении ох, о у,
тХу будут совпадать с напряже-
н и ями о та ком же ра вномерно
нагретом цилиндре, подвергнутом
некоторой дислокации [17, IB].
Дислокации связаны с возможными
гозлачными смещениями н имеют следующий смысл. Так, в двух-
двухсвязной области (рис. 1, а) можно удалить тонкую полоску н затем
принудительно вновь соединить края разрыва (рис. 1,6); при этом
в теле возникнут деформации и напряжения. Эти напряжении, как
отмечено выше, совпадают с температурными напряжениями при над-
надлежащим выборе характеристик дислокации.
Температурные напряжения в трубе при установившейся темпе-
температуре. Распределение температуры имеет вид
в многоссязныч ооластях ммо-
anrn -f- bnr~n) cos rt<p 4- {cnrn -j- dnr~") sin ntp, A4)
где Т1г Тг, ап, bn, cn, dn — постоянные; а, Ь — соотоетственно вну-
внутренний и наружный диаметры трубы.

Термоупругость и термопластичность
Осеснмметричное поле отвечает нерным двум членам
разложения A4); тогда 7\, 7 — температуры соответственно внутрен-
внутренней и наружной поверхностей трубы. Температурные напряжения
трубе
Напряжение oz определяют по формуле
A2). Напряжения по формулам A5) таки«
же, как при чистом изгибе разрезанного
кругового кольца. Соответствующая дисло-
дислокация состоит в удалении радиального клина
и сведении краев разреза. Распределение напряжений для случая
7*1 > 0; Т2 — 0 показано на рис. 2. Для тонкостенной трубы напря-
напряжения оф, oz на внутренней и наружной поиерхностях трубы:
при г ~ а
2A -v)
ф - Ог - +
] -V)'
Неосесимметричное тепловое поле соответ-
соответствует в разложении A4) бесконечной сумме. Напряжения зэнисят
только от коэффициентов Г
Еа
2A — v) ' da-\-t
X (bt cos ф -4- dx sin <p);
с& + Ьг
X (h cos ф + ^i sin <p);
*"Р- 2A — v) а"
X (&i sin ф — (*! cos ф).
Напряжение сг вычисляется по формуле A2), причем для темпе-
температуры Т берут в выражении A4) только бесконечную сумму.

Плоская задача термпупругости
Напряжении но [[юрмулам {16} соответствуют напряжениям в раз-
разрезанном кружком кольце при изшГк: силой. Пели тепловое поле, кроме
(iccKuu^'uioii суммы, содержит еще периые два членя, то напряжения
и трубе будут складываться из напряжений согласно формулам A5)
и аи. ¦
Случай произвольного о с е с и м м е т ри ч и о г о
теплового поля Т -¦= Т {г), Формулы для напряжений имеют
нид
A7)
Эти формулы относятся к случаю плоской деформации (рг — 0)
Для сплошного цилиндра следует положить а ~ 0. В случае свободных
торцов к о*г следует добднить напря-
напряжения равно мер кого сжатия так.
чтобы равнодействующая суммарных
напряжений была равна кулю. При
этом формулы для аг, оф не изменятся,
а в формуле для п2 не будет множи-
множителя v n "числителе второго слагае-
слагаемого.
Для установившегося поля фор-
формулы A7) приводят к решению C5).
Температурные напряжения в охла-
охлаждающем ребре К телу с температу-
температурой ТЛ присоединено тонкон ребро
Шириной (• i; толщиной h (рис. 3).
Поверхности х ± 4 отдают тело ''яс- 3" °™»^*w *<*>•>
в окружающую среду, имеющую температуру Тс. Напряжения в ребре
cli m (b — л")
У
h
i
-Л
ок — тх:1 --- а., = 0; 0z= — Е<& (То — Тс) -
ch mb
где ,
m~ \ -r-r- ', ft — коэффициент теплопередачи; X — коэффициент
теплопроводности.
Плоское напряженное состояние реализуется в тонкой пластине
при температурном поле, зависящем лишь от координат х, у в плоскости
Пластины. В этих задачах

Термоупругость и термопластичность
1 функции напряжений Ф удовлетворяет уравнению
Д2Ф+
0,
сличающемуся от уравнения A3) постоянным множителем перед
1торым членом. Следовательно, задачи о температурных напряжения*
три плоско» деформации и плоском напряженном состоянии приводятся
к одной и той же математической проблеме.
Напряжения в тонком круглом диске при осесимметрмчном поле
температуры; тогда Т — Т {г). Пусть диск имеет постоянную толщину.
Напряжения в диске радиуса Ь при произвольном тепловом поле
Trdr I •
С 9)
Напряжения в диске переменной толщины определить более
сложно [1, 3].
Для диска с отверстием напряжения о>, оф можно вычислять по фор-
формулам A7). предварительно вычеркнув в знаменателях множи-
множитель A — v).
В случае устанонн вшегося пиля темпера-
температуры напряжения в диске (внутренний радиус а, внешний — Ь)
определяют по формулам
Ь	Ь'1
I in
07^= С,
B0)
[In А^ 1 —+П
1пТ"	T^^'J
С,-	;.-?<* (Г,-Г,).
Напряжения ал, пф н диске меньше соответствующих напряжений
в трубе в (I — v) раз.
Напряжения а круглом диске, вызванные источником тепла, нахо-
находящимся в центре. Источник тепла мощностью Q, контур г= Ь диска
имеет постоянную температуру Т = 0:
Ь	/, Ь \

Плоская задана термоупругоспш
здесь /i — толщина диска; Д, — коэффициент теплопроводности [17].
Напряжения в круглом диске при постоянной температуре границы
г - Ь и потере тепла через боковые поверхности г ~= ± -<^-[i7J:
Г 1г (mb) /i (mr) ]
Л (mr)
- /о i"tr)
EaQ
(mb)
2k
здесь к — коэффициент теплопередачи; X — коэффициент теплопровод-
теплопроводности; Q — количество тепла, подводимое к гранит; г — Ь н единицу
времени; /j — цилиндрическая
функция первого порядка от
мнимого аргумента.
Напряжения в бесконечной
пластине с круговым отвер-
отверстием при подводе тепла вдоль
контура отверстия и охлажде-
охлаждения через боковые поверхности
[17]:
О Г	К. (mr\	n 1
Ог = -
Л.'[ (та)
тгКц (тг
(mr)
г (mo)
где q = —
- а —радиус отверстия; Kn(mr), Kt (mr) — ци-
линдрическне функции нулевого и пероого порядка от мнимого аргу-
аргумента.
Решения задач о напряжениях в осеснмметричных пластинках
при других граничных ус-ювиях см. и работах [4, 17].
Напряжения в длинной полосе при одномерном распределении
температуры (рис. 4). Температура Т - Т (у); рассмотрим различные
случаи закрепления концов пластины х--- ±/. Da всех случаях ау —
— т-ху — 0, отлично от нуля ах.
Концы пластины закреплены

Тсрмоупругость а термопластичность
¦1A.1 пластины саобадны Т (у) " Т (—и).
B1)
Концы пластины свободны, температурное пале несимметрично
''	1
~
Формулы B1) и B2) справедливы на некотором расстоянии от кон [pi is.
Напряжения в свободной пластине, симметрично нагретой по тол-
толщине. Температура Т — Т (г), причем Т (г) — Т (-Z).
Координату г отсчитывают от срединной плоскости х, у; толщина
пластины h. пластина тонкая. Тогда а7 — ххг — хуг = \ку — 0, а
°^ ~ ау- Используя (формулы закона Гука B) и условие \ ох di = О,
где Т — средняя температура по толщине пластины.
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Общие уравнения. В цилиндрических координатах г, ф, г (по оси
вращения) отличные от нуля компоненты деформации будут
ди	и	dw	1 / <lu dw\
Компоненты напряжения тП( ~ тфг — 0. Дифференциальные урад-
нения для перемещение! имеют вид (Д —оператор Лапласа)
B1)
Компоненты перемещения можно представить в форме
дф	дф

Осесимметричная задана термоупругости
причем потенциал Ф {г, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Дф = L±Zar.	B5)
Компоненты напряжения
B6)
где функция Ляпа W — Ангармоническая ДАТ — О,
Источник тепла на поверхности полупространства. Начало коорди-
координат помещено D точечном источнике. Теплопос поле определяется фор-
формулой
Q	о г 2 -
где Q — мощность источника тепла. Напряжения имеют вид
здесь
о, = -2A—
Компоненты напряжения оГ, тГ2 равны нулю.
Температурные напряжения в шаре. Начало сферической системы
координат г, ф, В помещено в центре шара; температура является функ-
функцией только радиуса г. Обозначим через а и Ь внутренний и наружный
радиусы полого шара, тогда
2аЕ
B7)
Для сплошного шара а = 0.

Термоупругость и термопластичность
Ксли поле температуры — установившееся, то
где Г; — температура внутренней поверхности; температура наруж-
наружной поверхггости равна нулю. В этом случае
Если шар тонкостенный, то радиальное напряжение мало, а танген-
тангенциальное у поверхностей шара
аЕТ, /2	Л
знак минус берут гтрк г — д, а знак плюс — при т ----- Ь; ксли чин»
±1
О ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ
ПРИ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ
Предыдущие рсзультсны получены в предположении, что в рассма-
рассматриваемом "интервале температур упругие постоянные и коэффициент
линейного расширения постоянны. Если же интервал температур зна-
значительный, то необходимо учитывать зависимость коэффициентов упру
гости от температуры, т. е.
Е= Е(Т), v = v(T).
Уравнения теории упругости становятся уравнениями с переменным"
коэффнционтдмп, что существенно усложняет решение задач. Так к;::;
температура —заданная функция координат, то коэффициенты ynpv-
гостл являются известными функциями координат. Следовательно.
рассматриваемая задача термоупругисти приводится к соответствуют*-;'
задаче для неоднородного равномерно нагретого упругого тела при
некоторых фиктивных объемных и поверхностных на грузка л.
В ослсимметричных задачих возможны некоторые аналитически1?
решения; широко применяют численные методы A, 2],

Напряжения при упруго-пластических деформациях	12">
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Квазистатические задачи. При изменяющихся со времс-н™ тепловых
полях изменяются и поля температурных напряжений. Обычно при
рассмотрении указанных задач можно пренебрегать силами инерции.
При этом упрощении мы имеем квазистатические задачи, Время будет
входить в решение как параметр, содержащийся в формулах, определя-
определяющих тепловое поле. Например, в формулы для напряжений в трубе A7).
в диске A9), шаре B7) достаточно внести соответствующие тепловые
поля Т ~ Т {г, ().
Типичные нестационарные тепловые ноля, представляющие интерес
для применения:
поля при иагренапии (или охлаждении); многочисленные примеры
вычисленных полей напряжения приведены в книгах D, 17, 191:
периодически изменяющиеся тепловые поля; по прошествии доста-
достаточного времени влияние начальной стадии процесса затухает и можно
рассматринать чисто периодические изменения температуры, при
этом напряженное состояние также будет испытывать периодические
изменения; различные задачи этого типа изложены в работах [4, 17, 19];
поля движущихся источников тепла. В общем случае определение
теплового поля связано с большими математическими трудностями.
В случаях, когда тепловой источник движется с постоянной ско-
скоростью н неограниченном теле (примеры: точечный источник пере-
перемещается по поверхности пол у пространства; линейный источник пере-
перемещается вдоль бесконечной полосы и т. д.), задача о нахождении
теплового поля существенно упрощается. Вводят вспомогательную
систему координат, движущихся вместе с источником; относительно
этой координатной системы температурное поле не зависит от времени
[4, 17, 19].
В тех случаях, когда источник перемещается с постоянной скоростью
по окружности в теле вращения, температурное поле является перио-
периодическим [19].
Динамические задачи. Вопрос о необходимости учета сил инерции
возникает при весьма быстром нагреве {тепловой удар) или при быстрых
периодических изменениях температуры.
Решение ряда задач с учетом сил инерции [1, 19 j показывает, что
даже при очень высоких скоростях нагрева при тепловом ударе дина-
динамический эффект, как правило, не имеет практического значения.
Влияние инерционных членов для оболочек и пластин растет с умень-
уменьшением толщины, но \:ож(.'т быть заметным только для очень тонких
оболочек, пластин и балок [4. 19].
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
•	ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
."' ' Общие замечания. Расчет температурных напряжении при пла-
пластических деформациях значительно труднее, чем для упругого тела.
Исходные соотношения, связывающие напряжения и деформации, ста-
становятся нелинейными, вследствие чего необходимо решать нелинейные
.Дифференциальные уравнения. Из-за нелинейности недопустимо нало-
наложение решений, поэтому нельзя, как это делалось для упругого тела,
Рассматривать отделы-то задачу о напряжениях в теле от внешней на-
ГРУзки и задачу о чисто температурных напряжениях. Изучены лишь

Термоупругость и термоплаетичность
одномерные задачи (с одной независимой переменной). Решение бол«г
сложных задач может быть получено численными методами, вариацион-
вариационными методами или методами малого параметра [2, 3, 5, 17, 251.
Уравнения термолластичностн состоят нз общих уравнений меха
пики сплошных сред (уравнений равновесия и сплошности) и уравнений'
пластического состояния, в которые необходимо включнть тепловое
расширение.
В теории пластического течения уравнения Прандтля—Рейс
1C) гл. 31 принимают вил
dF.x-~—de ^-^d$x
йЧх? = -^г г'тх,-г2Ьт«;
здесь рассмотрен простой случай, когда механические свойства не зэ-
инсят от температуры (см. работу 14]).
В теории упруго-пластических деформаций уравнения A4) гл. \
перепишутся теперь и форме
е - ЗАа + ЗаГ;	|
- — е - iks ¦	¦ ~Нт f	COJ
Условия текучести и упрочнения сохраняют прежний вид.
Так же. как и для равномерно нагретого тела, можно добиться в ря:е
задач значительных упрощении, если использовать критерий тгаал л
закон ассоциированного течения.
Вариационные уравнения для неравномерно нагретого тела.
В теории упруго-пластических деформаций для решения конкретны*
задач используют вариационные методы. Приведем вариационные
уравнения, являющиеся обобщением уравнений C4) и C5) гл. 3.
II р II н ц и п минимума полной энор ги и. Действи-
Действительные перемещения сообщают полной энергии тела минимальное зна-
значение
v
'V —~у\ Tt.dV -A ---ml
v
C1)
где Л — работа внешних сил; П — потенциал деформации (гл. 3).
Выполняя варьирование в уравнении C1), можно показать,
в случае неравномерного нагрева определение перемещений v, .
сводится к «обычной» изотермической задаче добавлением к задат
объемным силам X, У, 2фиктивной объемной силы	г
k дх
иным
дТ
	Г ~д~~ • а к заданным поверхностным нагрузкам Xn, Yn, Zn —фи
Sy)~

Напряжения при упруго-пластических деформациях	127
Этот результат аналогичен соответствующему результату для
упругого тела.
Принцип минимума дополнительной р ;i fi о т ы.
Действительное напряженное состояние сообщает минимум дополни-
дополнительной работе тела
RdV -\- За Тп dV = min,	C2)
где R—дополнительная работа (см. гл. 3).
Париационные уравнения для упругого тела (8) и (9) являются част-
частными случаями вариационных ураннений C1) и C2).
Напряжения в неравномерно нагретом упруго-пластическом теле
можно представить в том же виде E), причем компоненты ох	т1г
удовлетворнютдифферс-нциальным уравнениям равновесия и сплошности
для равномерно нагретого тела при д<>йстнии дополнительных к К, У. Z
а дТ к дТ а дТ
фиктивных объемных сил ~-g'-g- > ~~f'7>^> ~~ Т ' ~сГ "а ПСШ-1)Х"
ности тела, кроме заданных нагрузок Хп. Yn, Zn, действует фиктивное
Приспособляемость неравномерно нагретых упруго-пластических
тел. При более или менее значительных циклических изменениях
температурного поля возможны нарастание пластической деформации
или переменные пластические деформации; последние приводят к раз-
разрушению вследствие етепловой» усталости. Можно указать такую
предельную амплитуду цикла, при которой указанные явления не воз-
возникают. При этом тело приспосабливается к колебаниям температуры,
благодаря появлению благоприятного поля остаточных напряжений.
Для неравномерно нагретого тела сохраняется теорема Милана
(см. гл. 3): необходимым и достаточным условием приспособляемости
является существование такого поля остаточных напряжении ах
• ¦ -I тл2. что интенсивность о"; суммарного напряженного состояния
°л ~^~ °jr	xxz ~^~ ^лг (rJlc °а> - ¦ *¦ т.(г — термоупругне напряжения)
не превосходит предела текучести ог.
Рассмотрим свободное тело, испытывающее лишь циклический
нагрев. В случае регулярного теплового режима
Т =-- То @ + р (О Ф (*, у. г); 0 < р < р1ъ
где То (t),p (t) — известные функции времени; это поле отвечает медлен-
медленным изменениям теплового режима. Термоупругне напряжения имеют
Шд сг^ = ра°, . . ., т*хг — рт^.г, где а", . . ., т^2 не зависят от времени;
Другими словами, о^, . . ., ^ — температурные напряжения в упру-
упругом теле для стационарного теплового поля Т = Ф (х, у, г). Полагая
чх'= со^. ¦ • .t ixz — с^хр где с — некоторая постоянная, находим по
(«ореме Мелана, что приспособляемость имеет место, если интенсивность
термоупругих напряжений не превышает удвоенного предела текучести.

I2H
Термоцпругость и термопластичность
Рассмотренная система — однопараметрическан (параметр р). Бши-м-
сложен анализ приспособляемости миотопараметрическнх систем [7, Н.
22, 23]. когда изменяются температура и нагрузки.
Напряжения в свободной пластине, симметрично нагретой по тол-
толщине (рис. 5). Для упругой пластины эта задач."! рассмотрена на стр- 122
Основные обозначения и система координат сохраняются. FIvcti.
пластина- -упруго-пластическая, причем
» пластических зонах справедливо усло-
условие текучести Ми чеса.
Тогда в этих зонах
Пусть для определенности 7" - .
= TJ — j , тогда Т г_ .- 7 0 ив упругой
Ыяибояыине по величине напряжения будут вблизи основа ни,';
пластины
Приравнивая эту величину — ог, получаем температуру Та -
-. — ¦ х Оу, при которой возникают пластические деформации. При
дальнейшем возрастании То образуются две пластические зоны с ¦а
*Z г 'Z -к-, в которых ох = ае = ±аг. Из условий равенства нулю рав-
равнодействующей напряжений ох и условия непрерывности ох при г —
= с находим
при j z '¦ < с имеем
При достаточно большом Т'п возникает третья зона пластичности
вблизи срединной плоскости. При охлаждении возникнут остаточные
напряжения.
Упруго-пластическое состояние неравномерно нагретой трубы по,'
действием внутреннего давления. Точное решение рассматриваемо!;
задачи связано с математическими трудностями и требует значительных
вычислений [25, 261. Ниже приведено приближенное решение задач;;
для случая установившегося теплового поля.

Напряжения при упруго-пластических деформациях	129
Напряжения в упругой трубе складываются из напряжений от дей-
действия внутреннего давления
—па*
C3)
и температурных напряжений A5). Исходим из условия текучести
Треска—Ссн-Венана т1Ш!С -- —ф-. Анализируя напряженное состояние
в трубе, определяем согласно условию текучести давление р и перепад
температур, при которых впервые возникают пластические деформации
в трубе, В дальнейшем необходимо рассматривать две зоны — пласти-
пластическую и упругую, строить в каждой из них решение и определить не-
неизвестный радиус пластической зоны из условий непрерывности,
Приводимое ниже простое приближенное решение основано па предпо-
предположении, что аг в пластической зоне является промежуточным главным
напряжением; тогда условие текучести имеет вид
сгф —а, — - аТ.	C4)
Пусть для определенности поток тепла направлен снаружи внутрь
G1!^>7I тогда пластическая зона примыкает к внутренней поверх-
поверхности трубы, в условии C4) следует взять знак плюс и напряжения в пла-
пластической зоне (д < г < с) будут
О/ — — р -г о> In	; оФ — оТ + в/-.	C5)
а
где с — радиус пластической зоны. Напряжения а упругой зоне (с <
*? г <; Ь) получим из формул C3) и A5), заменяя в них а на с, р на —q.
Из непрерывности о> следует, что
q^ _р4-аг1п —.
Из непрерывности аф при г ^ с вытекает уравнение для определе-
определения с
Уравнение C6) целесообразно решать относительно А. при зала-

130	Т'рмоупругостъ и термоплмтичность
Влияние упрочнения, iu-симме ркчнисги wn.vmwi поли и ;|атих
факторов см. и |i«<V>i;ix 12Г), '25 |.
Упруго-пластическое состояние неравномерно нафетого полого
шара, йены швающего действие внутреннего давления. В сл\ ч;ц?
центральной симметрии, как уже отмечалось н гл. 3, имеет место гфиетии
иагружение и можно исходить из уравнении теории упруто-пл/кч-иче-
ских деформаций C0).
Напряжения н упругой трубе складываются из напряжении B1)
гл. 'S чг ^оистння внутреннего даъ-чежы и -;емт'р тлриьг; иапрн.ко
ний B7) Ана.им этого решения покажет, когда впервые станет выпил-
пяться условие текучести. Напряжения в пластической зоне
о> = — р + 2а7 In — ; о"ф = ог Л- <*т-	(;^7)
Здесь принято, что иластич. екая зона примыкает к внутренней
поверхности г = о, а Оф > 0. Радиус пластической зоны с определяется
по условиям непрерывности напряжений ог и Оф на границе раздела
г — с.
Для шара можно получить ре енис задачи о температурных напря-
напряжениях и при уп очнении материала [И].
ВЛИЯНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
Ползучесть и температурные напряжения. При достаточно высоких
температурах металлы под действием напряжений испытынают замет-
заметную текучесть (ползучесть). Это янление принодит к изменению перво-
первоначального упругого {или упруго-пластическото) напряженного us-
стоянии. Наиболее существенные изменения прегерпенэюг температур
ные (и вообще — собственные) напряжения, который с течением нре-
нени релаксируют и, в зависимости от интенсивности и длительности
ползучести, могут практически исчезнуть. При охлаждении нозкикггут
соответствующие остаточные напряжения.
Температурным напряжениям соответствуют ма.чые деформации
(порядка 0,001), поэтому дополнительные деформации ползучести,
разнивающнеен при релаксации темпера гурпых напряжений, незна-
незначительны Следовательно, во многих случаях {для достаточно «вязких-
материалов) можно в условиях ползучести пренебрегать влиянием тем-
температурных напряжений.
Расчеты релаксации температурных напряжений связаны с мате-
математическими трудностями. Обычно достаточно приближенного решения
задачи, поэтому удобно использовать вариационный метод.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б и р i е р И- А. Круглые пластинки и оболочки вращения М,
Оборонгнз, 1961.
2 Биргер И. А, Расчет конструкций с учетом пластичкогп и н пол-
ползучести. Иза, АН СССР. Механика и машиндстроение, -Чв 2. 1965.
3. Б л а и д Д. Упруго-пластическая толстостенная труба из yjip:w
И перепаду температур- Сб- перен. «Механика», Л» 2, 1057.

Литература	131
Н1П;;|».*М., ИЛ. 1%2. '
6. Г г й : в у д С- П. Температурные напряжении. М., ИЛ, 1059.
Вып. 'и' К не п,*" гид-и"' АН УССР,'' 1%|"' "	"" * 3-"емеит<1л Т^Р
8.	Г о х ф f .1 ь д ДА- и Е р м а к О а П. И- Прщ-погойляемогть
вого пиля. Сб. «Расчеты на лрочногть». Вып. 10. М-. еМашиногчрпение*. 1961
9.	Г и с 6 е р Г. и Эр к С. Псионы УЧГ1ШМ о теплпоГт-не. М.. ГОНТИ.
1930.
10.	Ильюшин А. Л. и О г и б и л о и П. М. Упруго-пластические
деформации полых цилиндров. М., изд-во МГУ, 1360.
11.	Качано п Л. М- Механика пластических сред. М., Гостсхнэдат,
194 В.
12.	К и ч и и о и Л. М- Упруго-пластическое ранновесш* неравномерно
нагретых толстостенных цилиндров. ЖТФ, т. 1A, X» 14. 1940.
\'Л. Коваленко А. Д. Введение н термоупругость, Киев. «Наукова
думкл», 1965.
М., ГТТИ, 1937.
\$. Ляв А. Математическая теория упругости. М.. ОНТИ, 1У35.
16 йайзеп В. М. Температурная <ядача теории ут>угости Изд-ио
АН УССР, 1951.
17.	М е .1 а н Э. и Париу( Г. Термоупругие напряженна, вызы
18.	М у с х е л и ш в и л и П. И. Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости- М., изд-"<> АН СССР, 1966.
19.	Н о в а ц к и я В. Вопросы термоупругости. М.. цяд-"о. АН СССР.
1962.
20.	11 а п к о я и ч П. Ф. Теория упругости. М., Оборонгиа, ЮЗУ.
21.	Паркус Г. Неустпковившисси гемперагурные напряжения.
М. Фшматгкз, 1903.
22.	Роэекблюм В. И. О прнспиепбляемости неравномерно нагретых
упруго-плаотических тел. Изв. АН СССР, ОТН, № 7. 1957.
215. Розенблюм В. И. К течрии приспособляемости упруго-пласти-
упруго-пластических тел. И-jb. АН СССР. ОТН, № 6, 19о8.
¦>¦[ Тимошенко С. JL. Теория упругости. М., ОНТН. 1937.
25. Фом и и li. Л. П.чоскэя деформация упрочняющихся голых цилин-
цилиндров под де»1-гп|1ем внутреннего давления и стационарного теплового по-'.и
«Исслелмваиия п« упругости и плапичности>. Сб. 3. Л-, Изд. ЛГУ, 19G4
ШСКОЙ
р р Ь. Ф. К расчету неравномерно нагретых цилиндров в упругч
Ияв. АН СССР ОТН- Механика. № 6, I960.

Глава б
ТЕОРИЯ УПРУГО-ВЯЗКИХ ТЕЛ
Новые материалы, используемые в технике (в частности, полимеры),
обладают сложными механическими свойствами. Деформация этих ма-
материалов обычно является неравновесным процессом, развертыва-
развертывающимся во времени по определенным законам. Правильное использ.1
ванне новых материалов требует знания законов деформации, которые
они подчиняются.
Деформация и течение различных реальных материалов изучаются
в реологии (наука о течении).
Реология охватывает обширный круг веществ — твердых и жидких,
однородных и различных смесей. Ниже рассмотрены вопросы, связан-
связанные в основном с расчетами по-
полимерных материалов, исполыпч-
мых в конструкциях.
ПРОСТЫЕ ТЕЛА
Линейно упругое тело.
гий элемент, следующий
Гука
1 1
Упру ¦
закоку
at= Eelt	A)
где ах — нормальное напряжешь;
Ех —относительное удлинение при
одноосном растяжении. можно
изобразить в виде пружинм
(рис. 1, а); Е — модуль упругоггч
Линейный закон показан на рис. 2. и
прямой ОЛ.
Если упругая среда испытывает сложное напряженное состояние.
ныполняетсн обобщенный закон Гука {см. гл. 2)
Рис. 1. Модели простых тел:
упругий элемент; б — вязкий
мент, « — пластичный элеме
где G — модуль сдвига; v — коэффициент Пуассона.
Относительное изменение объема е пропорционально
давлению [см. гл. 2 формулу A0) |.

Простые тела
Закон Гука в форме, решенной относитель
апряжений, имеет вид
-^д.-.	О)
Нелинейно упругое тело. При одноосном растяжении уравнение
деформирования нелинейно упругой среды имеет вил
Функцию / (et) определяют по экспериментальной кривой деформи-
деформирования, показанной на рис. 2, а линией Ой, эта функция численно
равна тангенсу угла наклона секущей.
Подобный материал также можно представить пружиной, но с не-
нелинейной характеристикой.
Сложное напряженное состояние нелинейно упругой среды описы-
описывается уравнениями теории упруго-пластической деформации (урав-
(уравнениями Генки, см. гл. 3).
Линейно вязкое тело б,
(ньютоновская жидкость).
Элемент, следующий зако-
закону вязкости Ньютона
где Ц. — коэффициент низ-*
кости; -^- = tl — ско-
скорость деформации (рас-
(рассматривается одноосное
растяжение), можно изоб-
изобразить моделью, состоящей на поршня, двигающегося в цилиндре с
вязкой жидкостью (рис. 1,6), Закону E) па рис. 2, б отвечает пря-
пряная ОА.
При переходе к сложному напряженному состоянию обычно при-
принимают, что объемная вязкость отсутствует, тогда компоненты ско-
ростя деформации (см. ел. I) скнзаны с компонентами напряжения обоб-
обобщенным законом Ньютона
^-^ <«,-*);
F)
Компоненты напряжения являются линейными функциями ком-
компонентов скорости деформации
Вследствие несжимаемости компоненты напряжения определены
Компонентами скорости деформации с точностью до гидростатического
Давления а.
Нелинейно вязкое тело (неньютоновская жидкость). При одноосном
¦апряженном состоянии (растяжения, сжатии) уравнение нелинейно
вязкого течения имеет вид
h = Ф (Oi) о„ ф (о1)>0.	(8)

Теория упруго-аязких тел
Функцию<р (а,) определяют но опытным данным, они численн
«^тангенсу угла наклона секущей ОВ (рис. 2. 0).
В сложм'ом напряженном состоянии течение определяется
Ъх - 4 Ф (°ii (°х — о); . . . ; tUv =- :)ф (О() тАг,	(()j
где о; — интенсивность напряжений (при одноосном растяжении
<Ч = о,).
Уравнения этиго типа используют в теории ползучести (см. гл. -lj.
Пластичное тело при напряжениях ниже предела текучести не
деформируется. При достижении предела текучести оТ развиваете;!
пластическое течение, происходящее при постоянном напряжении
О( = <тг.	A0)
Это соотношение называют условием текучести {см. гл. 3). Пласти-
Пластическую среду можно представить в виде элемента сухого (кулонона}
трения (рис. 1, в).
СЛОЖНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГЕЛЛ
(ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКО-УПРУГОСТЬ)
Реальные тела обладают одновременно упругостью, вязкостью,
пластичностью в различных формах и соотношениях. Комбинируя
рассмотренные выше простые модели, можно вводить сложные среды,
соответстиующие поведению тех или иных реальных материалов. При-
Принято различать линейные и нелинейные тела в зависимости от того,
являются ли законы деформации линейными или нелинейными. Решения
задач для линейных тел существенно проще и обладают многими про-
простыми свойствами. Так, распределение напряжении (или смещенн;!,)
во многих сну чаях будет таким же, как в упругом теле (см. стр. 142).
Упруго-вязкая среда Кельвина (или Фойхтй). 11редстаяим cede,
что каждая частица тела состоит из упругой» и вязкого элеметгтчш.
соединенных параллельно (рис. 3). Тогда напряжение будет склядц-
паться из напряжения, определяемого упругой деформацией, и напря-
напряжения, вызываемого вязким сопротивлением, т. е.
с, = ?6,+^-^.	Ill)
Интегрируя это уравнение, получаем
N	,12)
где Ею—деформация в начальный момент времени (— 0; Т = -^
время релаксации. В состоянии покоя упруго-вязкая среда ведет <¦<?'>я
как упругая ( ибо-тт = 0 1. Если среде сообщить постоянную деф:-Т'

Сложные линейные тела
135
машио (е, - const f(i). то напряжение будет постоянным ч1 ;= ?е0;
если о момент t 0 залать постоянное напряжение ах -~ const ~ Ов,
то деформация постепенно нарастает, стремясь к значению —-- по
показательному закону
-ua показаны на рис. 3.
е. 3. Модель упруг
ой среды Кельвина
Если напряжение — заданная функция времени, то деформацию
вычисляют по формуле A2).
Модель упруго-вязкой среды представляет интерес для анализа
затухания колобами и, вызываемого внутренним трением (вязкостью).
Уравнения упруго-вязкой среды в сложном напряженном состоянии
получают сложением правых частей уравнений Гука C) и Ньютона G);
среднее давление о исключается при помощи соотношения A0) гл, 2.
Если ввести упругие постоянные Ламе (гл. 2).
_	?у
'~ .'1 1- v)(l — 2v)'
аналогичные коэффициенты нязкостн
2
В дифференциальные операторы
dt '
то уравнения деформирования упруго-вязкой среды можно записать
¦ виде
¦нелогичном закону Гука в форме Ламе (гл. 2). Тогда дифференциаль-
дифференциальные уравнения движения упруго нязкой среды принимают нид
'	де	дъи

Теория упруго-вязких тс я
где Л — оператор Лапласа; р — плотность; и, v, w — составляющие
перемещения: два других уравнения получают круговой перестановкой.
Уравнения (М) внешне аналогичны уравнениям Ламе и теории упру-
упругости (гл. 2).
Свойства колебаний, совершаемых упру го-вязким телом, можно
проиллюстрировать на примере продольных колебании уируго-вязхот-и
стержня, описываемых уравнением
W~a~ ~№ ~ b dx*dt ^ °'
где
' Р '	* Р '
Если вязкость значительна, то колебания невозможны, возмущение
просто затухает, Если вязкость не столь велика, то продольные колеба-
колебания складываются из конечного числа затухающих гармонических ко-
колебаний и «хпоста» апериодических затухающих движений. Затухание.
отдельных гармоник неравномерное: чем выше гармоника, тем быстрее
она затухает. По истечении некоторого времени стержень будет коле-
колебаться в основном тоне.
Упруго-вязкая среда научена Фойхтом, Томпсоном, Герасимовым
и др.; см. работы [1, 6] и обзор Бленда [3].
I'nc. 1. Модель ре.
Релакеирующая среда Максвелла. Пусть упругий и вязкий элементы
соединены последовательно (рис. 4), тогда надлежит складывать ско-
скорости деформации, отвечающие одному и тому же напряжению, т. с.
I da,
-Ё-
dt
Интегрируя это уравнение, получаем
A5)

где п1() — иапряже
время релаксации.
Нсли сообщить
в момент t —0, то
ачлльгшп момент врем
/ =.-, (); Т -"¦ -?- —
п'ца настоянное напряжение а, — const -
получит мгновенную упругую деформацию -
а затем будет течь с постоянной скоростью. При снятии напрнж(
скорость деформации обратится в нуль, по останется некоторая оста,
нан деформация.
Нсли же задана постоянная
деформация (например, стер-
стержень растянут и концы его
фиксированы, как в случае бол-
болтового соединения), то (^ —-
= const = F!o. Тогда из выра-
выражения A5) следует
т. е. напряжение падает с тече-
течением времени {релаксация на-
напряжения).
Схема Максвелла при нели-
нелинейной вязкости лежит в основе
ОДНОЙ ИЗ теорий иолзугнстн —
теории течения (гл. 4). С ной-	среды
стно релаксации напряжений
является наиболее важной механической особенностью среды Мак-
Максвелла.
Колебания в среде Максвелла также затухают, но декремент зату-
затухания будет одним и тем же для несх гармоник.
Для получения уравнений среды Максвелла в сложном напряженном
состоянии нужно продифференцировать закон Гука B) по времени и
сложить его правую часть с правой частью обобщенного закона вяз-
вязкости Ньютона F).
Обобщенная линейная среда. Более сложные модели позволяют
лучше приблизиться к механическим свойствам реальных материалов.
Эти модели образуются сочетанием упругих и вязких элементов с раз-
различными коэффициентами упругости и вязкости. Наиболее простая
из таких моделей, содержащая лишь первые производные по времени,
показана па рис. 5; она содержит три параметра Elt E2, fi и называется
иногда обобщенной линейной средой. Закон деформации этой среды
можно вывести из законов деформации простых элементов /, //, ///
or -~ ?i&'; а" = Е2?"; о'" — ц -
dt
н условии равновесия и неразрывности
о' + а'" — а^, в" — $1, с' — ?'"; е' ¦
Исключая промежуточные неличины, находим
A6)

Ti-ори.ч упруго-вязких rw/t
Эта С|юда объединяет стюнства среды Максиелла и упруго-иязк<ш
:|)еды Кельвина. При заданной постоянной деформации ел = const — г„
«пряжение
I. е. в среде происходит релаксация, но до напряжения о1по ---¦ Е f0
(рис. 5). При заданном постоянном напряжении Oj = cons! = ол
деформация раина
г 1	I __L?,-i
т. е. среда испытывает течение до деформации f]cc = ~- (см. рис. 5).
При гармоническом измтении напряжения
Трех-
т. е- изменения деформации запаздынают (а < 0) по
отношению к изменениям напряжения.
Если задан более сложный закон изменения напря-
модель	жений но времени, деформация определяется реше-
решением линейного уравнении первого порядка.
Многоэлементные модели, Включение в модель новых упругих
и вязких элементов позволяет вводить дополнительные параметры
упругости и вязкости и более полно характеризовать поведение реаль-
реальных материалон. Порядок дифференциального уравнении, описыва-
описывающего деформацию среды, зависит от числа элементов вязкости. Напри-
Например, поведение модели, показанной i:a рис. 6, описывается уравнением
вида
dt
dt*
где a, b. с — надлежащие значения постоянных. Способ составление
уравнений деформирования сложных элементом состоит в следующем:
а) выписывают уравнение деформации каждого л-го (вязкого или упру
гого) элемента, вводя напряжения о,„, деформацию е1П (или скорость
деформации ъ1П) и соответстнующую постоянную {Еп или и.п)\ б) состав
ляют уравнения равновесия и неразрывности; в) исключают из получен-

Сложные лине/
ной системы вспомогательные переменные, оставляя суммарные напря-
напряжение (г, и деформацию кх.
Общи1 уравнение сред подобного типа можно записать а форме
У at
i-i	li
A7)
постоянные коэффициенты.
последомителыш п упруго-вязких элсментои (рис. 7)
амн E/t и \iift, получим среду с теми же общими свойствами,
какими обладает одиночный упруго ьязкий
элемент (см. рис. 3), но с более ^ижиол за-
зависимостью процесса деформации от и ре 't.;:n.
Параллельное соединение д элементов Мак-
'jut свелла (ряс. 8) с коэффициентами ?/,, |1^ недет
себя подобно одиночному элементу Л\аki ясл.ia
{см. рис. 2), но позволяет лучше описать релак-
Рис 7. Модель
обобщен но А сре-
среды Кельиин»
Рнс. 8. Модель обобщенной среды
сащшнные свойства реальных тс\т. Так, в задаче о релаксации, вместо
A5) теперь будет
Екв
14,
A8)
Можно перейти к пределу при п->оо, заменяя константы ?д.,
функцией распределения Е (Г):
A9)
Наследственная феда Больцмана. Много элементные модели i po-
моздки и в Tf> же время не охватывают некоторых особенностей деформа-
деформации реальных тел. Компактная форма общего линейного закона,

Теория упруго-вязких тел
выражающего принцип суперпозиции воздействий н их затухание во
времени, дана уравнением Больцмана
fi (О =
где Q (t — т) — ядро (или коэффициент) ползучести — характерная
для данного материала монотонно убывающая функция; ? — мгновен-
мгновенный модуль упругости; время отсчитывают от момента первого нагру-
жени я.
?,,
Более общее уравнение со-
содержит ядро вида Q (t, т), одна ко
зависимость ядра от разности
t — х соответствует тому, что
«память» материала о силовом
воздействии, п рои наеденном а
момент т, определяется истек-
шим временем t — т. Это обстоя-
тельство имеет важные следс.т-
ВИЯ- ^ частности, если одну из
нсличин (например, напряже-
напряжение ог) изменяется периодиче-
периодически, то другая (&J через некоторое время также будет изменяться с
тем же периодом.
Пусть в момент ( — 0 приложено постоянное в дальнейшем напрчжс-
ние ог @ = an, тогда
Рис. 9. Поведение на<
среды при нагруженни i
*i @ = -^- -I- oo
i-
Эта занисимость показана на рис. 9 линией АВ.
Дифференцируя выражение B1). находим, что ядро ползучести про-
пропорционально скорости ползучести при постоянном напряжении:
Q (t) =	^1 .	(9'2)
В момент нагружения (/ = 0) скорость деформации обычно очень
велика и часто принимают, что Q @) -> оо. Характер этой особенности
по опытным данным определить трудно, в связи с чем необходимо при-
привлекать дополнительные данные.
Пусть постоя ни ие напряжение ох = const = о0 действовало в ин-
интервале времени 0 ^ t ^. /,, а зятем было снято, тогда деформация при
t>> (, уменьшается" (обратная ползучесть, восстановление), величина
ее будет
р, (() ^ о0 1' Qit — т) йт = о0 f Q(s)ds.
iLri)
Эта зависимость на рис. 9 показана линией CD.
Уравнение Больцмана содержит в себе, как частные случаи, рас-
рассмотренные выше дифференциальные зависимости и приноднтся к ним
при том или ином выборе ядра.

Сложные линейные тела
Если задана деформация ех = *л (/), то напряжение находят из урав-
уравнения B0), которое в этом случае будет линейным интегральным урав-
уравнением второго рода типа Вольтерра. Решение его имеет нпд
I
a, (t) =¦--- Ei?! (t)-iR(t --TJ р, (ti dt.	B-1)
о
где R (I — т) — ррзольнента ядра Q (t — т).
Если в момент i -- 0 стержень получает удлинение f0, которое при
*> 0 остается неизменным, то
0, @ = р0 Е~\ R(t —
Г '.
eJ Е-~ } R (s) rfs
Дифференцируя, находим, что R it) пропорционально скорости ре-
релаксации
Функцию R (t — т) называют ядром релаксации.
Уравнения Больцмана можно записать в более компактной форме,
если внести линейные временные операторы
Ej=--Ef— \ R(t— T)/di=(?— /?*)/;
1	1	Г	/ 1	\
Я / = -т^/ -1- Q (( — X) / (/t =; I -тг- + Qt ) /¦
Тогда уравнения B0) и B4) принимают вид
Р1=Г-1сг1; о, =?^ь	B6)
внешне аналогичный закону Гука.
При частных формах ядер можно получить рассмотренные ранее
более п ростые модел и.
Е '
При R(t—T)~-=re
из выражения B4) следует уравнение
Максвелла A5).
Если ядро представить приближенно суммой экспоненциальных
функций
R(t-T) - У ,-j^e Т" ,

142	Теория упруго-вязких тел
то материал объединяет свойства п максвелловских элементов. Релак-
Релаксация \>, нем протекает согласно уравнению A8). При этом уравнение
Болъцмана B4) жни валентно дифференциальному соотношению A7)
(при некоторых дополнительных условиях).
Приведем некоторые другие виды ядер:
Q (/ — т) = -у—_— , а— постояЕшая;
Q (/ — г) ^-	, 0 < а < I (абелеоо ядро).
it — х)п
t—x
Q (( — т) = —	— , Г, а — постоянные.
При переходе к сложному напряженному состоянию ограничимся
рассмотрением случал несжимаемого тела / v = -9- )¦ Тогда (вместо зл-
кона Гука) будут линейные соотношения Больцмана
2	1
— b»Y«.	B7)
или. обратно,
, = -— Е71 (а,. - а); . . .; \хг
здесь а — среднее давление.
Приведенные формулы внешне аналогичны формулам обобщенного
закол.! Гука, упругие константы заменены операторами (по времени)
Принцип Вольтерра [7, 8]. В теории линейных сред важное значение
имеет принцип Вольтерра. позволяющий широко использовать решения
задач теории упругости при разыскании решений соответствующих
задач для наследственных сред.
Для получения полной системы уравнений к соотношениям B7,1
или B8) нужно присоединить дифференциальные уравнения ранновешя
и неразрывности, содержащие производные по пространственным
координатам. Так как операции дифференцирования и интегрирования
по пространственным координатам н времени перемести тел ыш. можно
указать следующий способ решения.
Пусть на поверхности тела заданы либо поверхностные нагрузки
(как функции времени и координат точек поверхности), либо перемеще-
перемещения. Решаем соответствующую задачу теории упругости. В конечны у
формулах заменяем упругие константы соответствующими операто-
операторами. В дальнейшем для наследственной среды необходимо лишь росши
фр&ячпь полученные операторные выражения. Отсюда вытекает важное
следствие.

Сложные линейные те ли
Если решение упругой задачи или часть его (например, поле напря-
напряжений) не зависит от упругих постоянных, то что рти-ние справедливо
и для линейной наследственной среди.
Принедс-мльк1 формулировки часта позволяют получить Сыигрый
и простои отает на вопрои о напряжениях и деформациях д< ni.iut hj
линейно наследственного материала.
Приведем несколько примеров,
баЛ1
и а балке из линейно наследстве
Юнга; для нсупругой ба-'ки
со временем. Рассмотрим балку
. 10), прогиб ПОД силой для
Для
Una*
ннй. Пус
еулругой балки
ь, например, задано перемещение Д
соли (рис. 11). тогда упругий прогиб	Риг. 12. Труба под дей-
модуля упругости. Следов
ю, по принципу Вольтсрра,
е (не будет зависеть от времени). Далее, реакции на конце упругой fc
= еЦ±. Для неупругой коисоли
P_K,"i_i^.E_ i'R(,_t
оисходит релаксация.
¦ мер 2. Труба под действием внутреннего
* я (рис- 12). Распределение напряжений в упругой трубе описыч

Теории упруго-вязких шея
Пример 3. Вращающийся диск. Распределение напряжении
в упрук.м вращающейся диске нз и еж маемо.» мл риала |\ _ ,, j
висиг от упругих постоянных. Следовательно, такое же напряженное состояний
СЛОЖНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕЛА
Упру 10-пластическое тело. Последовательное соединение упругого
и пластического элементов (рис. 13, а) приводит к модели упруго-пласти-
упруго-пластического тела. До предела текучести о> тело деформируется упруго;
пластическое течение происходит при постоянном напряжении. После
разгрузки возникает остаточная деформация (рис. 13, б).
Модель упруго-пластического тела лежит в основе теории пластич-
пластичности (см. гл. 3).
Рис, 13. Модель упруг.
Вязко-пластическое тело (сред;} Бингама). Вязко-пластическая
среда характеризуется параллельным соединением вязкого и пластиче-
пластического элементов (рис- 14, а). При напряжении, меньшем предела теку-
текучести от, тело не деформируется; при о^ —= const = ао^> аг скорость
деформации пропорциональна избыточному напряжению <т0— от
(рис. 14, б). Эта модель соответствует таким веществам, которые обна-
обнаруживают заметную текучесть лишь при достаточно больших напряже-
напряжениях (например, металлы при высокой температуре, густые смазки.
краски, различные жидкие пластические массы и т. д.).
При одноосном напряженном состоянии закон деформации вязко-
пластической среды имеет вид
Уравнения при сложном напряженном состоянии можно получить,
складывая напряжения, отвечающие жестко-пластической среде Мн-
зеса, с напряжениями, соответствующими течению линейно кязкои
жидкости:

Сложные нелинейные тела
где Hi — интенсивность скоростей деформаций сдвига:
Среда считается несжимаемой. Из равенств C0) следует зависимость
где Tj — интенсивность касательных напряжений.
Картина движения вязко-пластической среды своеобразна: в зонах
невысоких напряжений деформации не происходят.
Течении вязко-пластической массы в круг-
круглой трубе {диаметр 2Ь). Движение осуществимо при условии,
что градиент давления р = р (г) достаточно велик, именно
Центр;
движется как твердое тело; в деформируемой кольипной зоне г0 ^ г ^. Ь
скорость нозрастает по параболическому закону от нулевого значения
на стенке трубы (г = Ь) д» максимального значения при г ^~ г0. Профиль
скоростей при течении в трубе- показан на рис. 15. Касательное напряжи-
b dp
ние максимально у стенки трубы г = о, где оно равно -^~ • ——, и сни-
снижается до —~- на границе иедеформируемого ядра. Масса, протекаю
V з
щая и единицу времени.
При иТ — 0 отсюда следует известная формула Пуазсйля.
Последовательное соединение вязкого и пластического элементов
{рис. 16) приводит к среде, обладающей следующими свойствами:
при О! < аг среда течет подобно вязкой жидкости;
при ох — иГ наступает пластическое течение; напряжения не могут
превосходить предел текучести.
Упруго-вязко-иластнческое тело. Включение упругого элемента
в вязко-пластическую схему позволяет учесть влияние упругих дефор-
деформаций. Первая умруго-иязко-пластическая модель {рис. [7, а) при
напряжениях ниже предела текучести (о, < <тг) ведет себя как

146
Теория упруго-внпких тел
у up у го-вязкая среда Максвеллл; при ах — о> наступает пластическое
течение — напряжения не могут превосходить предел текучести.
Вторая модель (рис. 17, б) при напряжении ниже предела текучести
(о, <^ ат) ниляется чисто упругой.
Нелинейное упруго-вязкое "тело. Сочетание упругого элемента-
f. не,идейно вязким приводит к схемам, обобщающим среды Кельвина
и Максвелла,
В первом случае (см. рис. 3) имеем	ig
а, = &i-\-f til) г\.	C-V> !
Во втором случае (см. рис. 4)
Уравнения последнего типа широко используют в теории ползучести
металлов (см. гл. 4).
Уравнения C2) и C3) принодят качественно к тнкнм же кнрпшам
деформирования, что и соответственно модели Кельнипа и Максвелла.
Дальнейшим обобщением является переход к нелинейной упругости
и добавление пластического элемента.
Нелинейная наследственная среда. Для многих материалов (особенно
при высоких напряжениях) линейная зависимость между напряжениями
и деформациями не подтверждается опытами и необходимо исходить in
нелинейных уравнений.
Весьма общие уравнения нелинейной наследственной среды получил
Вольтерра [18]; однако эти уравнения очень сложны. Более просто-1
уравнение, предложенное Ю- Н. Работноным |8], имеет вид
+
) dx.
C1)
Если t мало, то деформация последействия, описываемая интеграль-
интегральным членом, мала и тогда
о л = <Р (Si).	C5)
т. е. функция ф (рл) характеризует кривую деформации при быстром
испытании. По уравнению C4) около этой кривой развертывается

Литература
процесс- последействия. Следует подчеркнуть, что по отношению к функ-
функции f (е,) уравнение C4) является линсйны.м. Решая его относительно о,,
получаем
/
ffi (/)-?- f R (t-i)f (т) dx,	C6)
где R {! — т) — ядро релаксации.
При постоянном напряжении at = const = о0 из уравнения C4)
следует
t
K(t)- \Q(t-T)dz.
т. е. кривые деформации при фиксированных напряжениях подобны.
В случае релаксации постоянна деформация (е( — const ~ е„);
тогда из уравнения C6) находим
f R(t-x)dx.
Нети начальное растяжение осуществлялось быстро, то в силу ра-
венстка C5)
-*--1-МО.
т. е. кривые релаксации также подобны.
Уравнение C4) описывает эффект обратной ползучести. Переход
к случаю сложного напряженного состояния обычно осуществляется
из основе предположения о пропорциональности девиаторов напряже-
напряжения и деформации.
Несколько иные формулировки уравнений нелинейной наслед-
наследственности предложены Н. X. Арутюняном и М. И. Розовским
f Q(/-T)/[a,(T)]dT.	C8)
1.	Лльфрей Г. Механические chouctfifi высокпполимеров. М.. Гос-
техиздят, 1952.
2.	А р у т ю н я н Н- X. Некоторые вопросы теории ползучести Л',.,
Гостехиздат. 1953.
li. Бленд Д. Теория лииеЙпоН пяако-упругасти. М.. «Мир», 10е=>.
«апискн МГУ. Выи. з'э! М., Изд. МГУ, 1940.

Теория упруго-вязких тел
5.	И ш л и н с к и й А. Ю. Уравнение деформирования не вполне
упругих и визко-п.тстнческих тел. Изв. АН СССР. ОТН. Ле i -2. 19-15.
6.	К а ч ;i ii о в Л- М- Механика пластических сред. М-. ГИТТЛ. 104 Я.
7.	V л 6 к т и о в Ю. И. Рапноиисис упругой среды с последействием.
Прикладная математик;! и механика. Т. 12. Вып. 1, 1948.
8.	Р.чботнов Ю Н Иолзч'чесгь элементом конструкций. М
.Наука», I960.
И I' е И н с р М. Реология. М.. «Наука», 1965.
10. Реология. Теорин и приложения. Пол ред. Эйрихя Ф., М.. ИЛ. 1!N^.
И. Р ж а я и ц ы н Д Р Hi-которые вопросы ксхгшики систем. дрфо]>-
Мируютихся но времени. М., ГИТТЛ, 194!*,
12. Розовский М. И. О нелинейных уравнениях полчучести и пе-
лакга	 матсриалои. ЖТФ. Т. 25. D.Jn. 13. 1055.
16.	F г е"и d е n I h а |" ' X! Inelastischcs ~~VerhaHcn von werkstnffct
Berlin, 1955.
17.	II о u v i n k \f. Elasticity. Plastioitv and Hie Sluclure of Mattel
Cambridge, l'J37.
18.	Vol terra V. 'Итогу of Functional. London, 1931,

Глава 7
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТАЛОСТИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Усталоитное разрушение. В реальных материалах под дсйстнием
циклических нагрузок могут накапливаться необратимые механические
изменения, Это происходит даже в тех случаях, когда максимальные
макроскопические напряжении ни превышают предела упругости ма-
материала, Если число циклон достаточно велико, то в результате накопле-
накопления необратимых механических изменений в какой-либо точке образца
или детали образуется макроскопическая трещина, постепенное раз-
развитие которой приводит к разрушению. Накопление необратимых ме-
механических изменений в материале при приложении циклических на-
нагрузок называют усталостью, а разрушение в результате постепенного
развития трещины — усталостным разрушением.
Усталостное разрушение родственно явлению разрушения в резуль-
результате повторных упруго-пластических деформаций. Но последнее про-
происходит лишь при макроскопических напряжениях, превышающих
предел упругости, в то время как усталостное разрушение может иметь
место при значительно меньших макроскопических напряжениях,
Повторные пластические деформации разбиваются в макрообъемах,
сопоставимых с объемом тела. Напротив, усталостные повреждения,
по крайней мере на первой стадии процесса, носят микроскопический
и субмикроскопический характер, локализуясь в слабейших зернах
и кристаллитах. Разрушению в результате повторных пластических
Деформации предшествует число циклон порядка Ю1—104; число циклов,
предшествующих усталостному разрушению, обычно превышает 10*.
Резкой границы между двумя типами разрушений провести нельзя.
Механизм усталостного разрушения. Вначале под действием цикли-
циклической нагрузки накапливаются пластические деформации в наиболее
слабых и наиболее напряженных зернах материала. На первом этапе
существенную роль играют дислокационные искажения кристаллический
структуры. Затем в этих зернах появляются линии скольжения. При
повторных нагружениях число этих линий скольжения увеличивается
и постепенно они сливаются, образуют полосы скольжения и субмикро-
субмикроскопические трещины. Слиянием субмикроскопических трещин и созда-
создаваем условий для развития прогрессирующей макроскопической т/ы-
щины заканчивается первая стадия усталостного разрушения. Число
Циклов, приходящееся па эту стадию (называемую иногда подго-
подготовительной или инкубационной) составляет 6.1—90% от полного

Элементы теории усталости
разрушающего числа циклон. Вторая стадия, состоящая в прогресси-
прогрессирующем развитии макроскопической трещины, занимает, следовательно,
меньшую часть разрушающего числа циклов. Примерное распределен!1,.'
числа циклов по перечисленным этапам разрушения показано на рис. I,
где- по вертикали отлажено отношение максимального напряженки
цикла к некоторому харак-
характерному напряжению (пре-
(пределу выносливости),
Перная стадия усталоеi-
ного разрушения носит ярко
выраженный вероятностны Я
характер. I ^обратимые изме-
изменения возникают в т:рв\ н>
очередь в наиболее слабых и
наиболее напряженных зер-
зернах, число и свойства кото-
которых в общей совокупно-
совокупности можно охарактеризонать
лишь при помощи некото-
некоторого распределения нероят-
ностей. Развитие лигшй
с кол ьжени я и микроскоп и ¦
не. 1- Этапы усталостно™
— образование лнний ckojii
образование первых мККр
ре.ци»; III -слияние микр
¦р«щ,нн с образопанием видт
Г — начало ускоренного pi
мой трещины: V — изло]
)й трещиi
тития вн.
образца
ческих трещин при каждом
последующем цикле также
подчиняется некоторому рас-
распределению и зависит от рас-
распределении вероятностей, достигаемого в результате предыдущих ци
клов. После того как из одного среди многих возможных чарлдышм!
начинает развиваться макроскопическая трещина, xapiHTip процесс i
существенно изменяется. Развитие макроскопической трещины прот
Рис. 2- Сечение обра:
ходит скачками (см. линии «отдыха» на рис. 2) или непрерывно. В по-
последнем случае оно может быть удовлетворительно описано как детер-
детерминистический процесс с применением методов теории пластичности.
Кривая усталости. Стандартные испытания на усталость шетонт
в нагруженни растягиваемых, скручиваемых и.'ри изгибаемых образцов
силами, периодически меняющимися во времени. При этом каждый цик-i

изменения номинальных напряжений п (I) r
любом парой следующих параметров:
г быть характеризован
здесь стщах н °mm —максимальное и минимальное напряжения цикла
соответственно ]; о„, — среднее напряжение цикла; аа — амплитуда
цикла (рис. 3); безразмерный
параметр г называют коэффи-
коэффициентом асимметрии цикла.
Самыми распространенными яв-
являются испытания при симме-
симметричном цикле напряжений,
т. е. мри г~ —1. Испытания
обычно доводят до некоторого
предельного числа циклов, на-
называемого базой испытаний. рис 3 цнклическое изменение на-
В стандартных испытаниях базу	пряжений во времени
испытаний обычно принимают
равном 10е —К)'.
Результаты испытаний представляют графически (рис. 4). По гори-
горизонтали откладывают разрушающее число циклов N (обычно по лога-
логарифмической шкале), а по вертикали — соответствующее максимальное
напряжение цикла или его амплитуду. Даже при самых тщательных
30
20
о-Опытнее
цакяеб 5
paip
точки
ыдерх
з Зида
¦ttLZHUh
Г"" t
т
алЮ7
испытаниях числа Л'имеют разброс, достигающий иногда трех порядков.
Этот разброс является естественным следствием вероятностной природы
усталостного разрушения. По найденным опытным точкам путем осред-
осреднения проводят кривую, называемую кривой усталости или кривой
;суждешп! ведуп

Элементы теории усталости
Веле.ра. Грубо говори, ординаты кривой Вилера соответствуют напря-
напряжениям, вызывающим разрушения при заданном числе циклопе вероят-
вероятностью, близкой к 0,5.
Предел выносливости. Многочисленные испытания позволяют пред-
предполагать, что кривая Велера для стали, чугуна и ряда других тяжелых
металлов и сплавов имеет горизонтальную асимптоту, не совпадающую
с осью абсцисс. Далее, существует напряжение ог^>(), такое, что т
неравенства |cmaxl < о> с достаточно большой вероятностью следует,
что разрушающее число циклов Лг-*- со. Это напряжение называют
пределом выносливости. В учебно ii литературе предел выносливости
определяют обычно как наибольшее напряжение цикла, которое образец
может выдерживать при сколь угодно большом числе циклов. Факти-
Фактически за предел выносливости принимают напряженно, соответству-
соответствующее базе испытаний и некоторой малой вероятности разрушения.
Для черных металлом и сплавов обычное определение: предела выносли-
выносливости оправдано наличием перелома кривой усталости при достаточно
большом числе циклов.
Предел выносливости находится и корреляционной спязп с другими
прочностными характеристиками материала. Обычно предел выносли-
выносливости при симметричном цикле о_, = @,2-ь0.4) ав, где ав — предел
прочности. Более подробные сведения можно найти п специальной ли-
литературе [12—15, 191.
Некоторые аналитические аппроксимации для кривой усталости
приведены н табл, 1.
Фор-
мулл
Вид
пой
уста-
о < сгг
Стег
\
0 Cgf/, ?jA'
.V г= .V, X
( °г \r"
X —-
\ a J
tgK,
С LgN, LqN
-V = .V,X
xhr)
,V -> со
T\
¦V= Л', екр X
"( »r )
Л' -* w
В.нбулла
Обработка результатов усталостных испытаний. Зависимость между
максимальным напряжением цикла (в дальнейшем обозначаемым у)
и разрушающим числом циклов N даже при самом строгом соблюдении

Факторы, влияющие на сопротивление разрушению	153
однородных учлоннй эксперимента имеет ярко выряженный случайный
характер. В связи г этим обработку результатов испытании следует
вести в строгом соответствии с методами математической статистики.
Эти методы наложены в работах [8, 0, 14].
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ
УСТАЛОСТНОМУ РАЗРУШЕНИЮ
На сопротивление усталостному разрушению существенное влияние
оказывают различные технологические, конструкционные и физико-
химические факторы (см. работы [10, 14, 18, 191). Ограничимся важней-
важнейшими факторами механического происхождение.
Масштабный фактор. Сопротивление усталостному разрушению
зависит от абсолютных размером деталей и уменьшается с увеличение.!
размеров. Это явление называется масштабным (рактором или мас-
масштабным эффектом. Оно объясняется вероятностной природой уст.ч-
лоетного разрушения и поэтому может быть удовлетворительно описано
лишь в рамках статистической теории усталостного разрушения (см.
нижи).
Влияние концентрации напряжений. Наличие концентраторов
напряжений снижает предел выносливости. Однако это снижение,
как правило, оказывается не столь значительным, как это следует
из сопоставления максимальных макроскопических напряжений в об-
обра-од-' с концентратором и без концентратора. Поэтому к отличие от
теоретического коэффициента концентрации kT вводится эффективный
коэффициент концентрации кЭфф, равный отношению предела выносли-
выносливости о_| гладкого образца к проделу выносливости о_( образца с кон-
концентратором:
Связь между кэфф и kT дается эмпирической формулой
Ьфф~= 1+ q{kT~ I)-	(?)
где 0 s^ у ^ I — коэффициент чувствительности материала к концен-
концентрации напряжений. Для материалов с грубой структурой коэффи-
коэффициент q близок к нулю. Для металлов и сплавов с высокой степенью
структурной однородности коэффициент q близок к единице.
По Нейберу 111] эффективный коэффициент концентрации можно
получить осреднением макроскопических напряжений на расстоянии \,
имеющем порядок диаметра зерна. Так, для остроугольной выточки
с углом ы и радиусом закругления дна р
Сопоставляя формулы {2) и C), видим, что по Нейберу коэффи-
коэффициент q не является константой материала.

15 •!	Элементы теории усталости
Влияние асимметрии циклов. Ьольшая часть экспериментальных
результатов относи тс и к симметричному циклу напряжений. Дня
оценки прочности при несимметричны* циклах существуют различные
эмпирические и пол у эмпирические соотношения. Эти соотношения
получают интерполяцией опытных данных, нанесенных на плоскость,
одной из пар параметров (I). Например. С. В. Сервисен и Р. С. Кинл-
сошвилч предложили 112, 14, 15] линейную интерполяцию на пло-
плоскости ст. аа:
Or- om(\ -i|))- а_,;	A)
здесь $ — коэффициент, зависящий от соотношения между пределами
выносливости при симметричном цикле O..J и пульсационном цикле а0.
Согласно модели Орована [21 |, коэффициент гр должен быть равен
нулю. Это значит, что предельное значение амплитуды напряжений
не зависит от среднего напряжения цикла. Опытные значения состнн-
ляют iji = 0,05^0,3.
Влияние типа напряженного состояния. Это влияние учитывают
по пол у эмпирическим ()юрмулам. Так. для нахождения предельных на-
напряжений симметричных циклон при расчете валлн па совместное дей-
действие изгиба и кручения используют формулу
gg ^ та _ {	-
oil ' Т-\
Из нее следует формула для вычисления ко'*рфицнента запаса к
по парциальным коэффициентам k,j и kx, вычисленным отдельно для
изгиб» и кручения:
Более общие формулы для оценки усталостной прочности при слож-
сложном напряженном состоянии приведены в работах |3, 4. 12 |, Отправно:'!
точкой при построении этих формул являются теории прочности дли
статического на гружен ия. Поскольку усталостное разрушение ес;ъ
процесс накопления и развития местных пластических деформации.
то естествеЕШо, что наиболее удачные критерии получают обобщениеу
критерия Сен-Венана и критерия Губера—Мизеса в теории пластич-
пластичности. Подробнее об опытных данных и приемах расчета с учетом раз-
различных факторов см. в работах [12, 14, 15].
УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ КАК СЛУЧАЙНЫЙ
МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс накопления усталостных повреждений можно трактовать
как случайный процесс марковского типа с непрерывным множеством
состояний и дискретным временем. Вероятностные характеристики
такого процесса к концу п-го цикла нагружелия могут быть выражены
через характеристики п — 1-го цикла и некоторые переходные вероят-
вероятности, зависящие от механизма процесса и от нагрузки n-го цикла.
Э	б	книге [6].
р
Эта концепция была предложена впервые в кн

Разрушение как случайный марковский процесс
Модель процесса накопления усталостных повреждений. Рассмо-
Рассмотрим стержневую систему, изображенную на рис. 5 и находящуюся под
дейсгнием понторных нагрузок. Механические- снайетна ее элементов
(модули упругости и упрочнения, предел текучести, сопротивление
отрыву и т. д.) предполагаются случайными величинами, что позьо.шет
моделировать случайную структуру поликристаллического материала.
При нервом нагруженнн пластические деформации возникают и наи-
наиболее слабых и наиболее нагруженных элементах, а после снятия на-
нагрузки возникает система остаточных напряжений. Понторные nai-руже-
ния изменяют эту картину: в отдельных элементах происходит процесс
упрочнения, пока местное напряжение не
достигнет величины сопротивления отрыву
для данного элемента. Разрыв единичных
элементов соответствует появлению суб-
субмикроскопических трещин при усталост-
усталостном разрушении. Процесс выхода из
строя одного элемента за другим модели-
моделирует процесс развитии прогрессирующей
усталостной трещины. Наибольшее значе-
значение периодической нагрузки (при задан-
заданном режиме ее изменения), при котором
еще имеет место упруго-пластическая при-
способляемость системы, соответствует
пределу выносливости для поликриста т-
лического телу. Таким образом, модель
передает наиболее существенные черты
усталостного разрушения [61.
Математическое описание процесса
усталостного разрушения. Допустим, что	чреждений
механическое состояние каждого элемента
можно охарактеризовать конечным числом параметров, которые яв-
являются случайными величинами. Общее число элементов — также
случайная величина, уменьшающаяся а результате обрыва отдель-
отдельных элементов. Состояние системы будем считать заданным, если
известна совместная плотность вероятности для перечисленных слу-
случайных параметров, которые обозначим через </i. Ч*	Ят- Допус-
Допустим, что известна плотность вероятности рп (</i, Цч, . - -, Ят) Для состоя-
состояния, наступающего после п го цикла нагружения. Плотности вероятно-
вероятности для п + 1-го и л-го циклов связаны между собой соотношением
I
I
!¦ Ч*< ¦ ¦ ¦' Ят) =
/ц Чг>
Ят \ 'ь г2,
¦ dr!n]
G)
здесь Р (qlt q2	Qm\ri> ra	rm'< ^i+i) — ядро, характеризующее
распределение переходных вероятностей; оно должно, очевидно, зави-
зависеть от параметра нагрузки п + 1-го никла, обозначенного через о\,+1.
¦ Уравнение G) — кинетическое уравнение, описывающее необрати-
необратимый процесс накопления усталостных повреждений [6]. Основная
Трудность состоит и построении ядра
Qt

[56
Элементы теории усталости
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Общая формулировка статистических свойств кривой усталости,
Эта формулировка состоит в задании совместной функции распределе-
распределения F (о, /V), равной вероятности усталостного разрушения при числе
циклон, меньшем, чем N и характерном напряжении цикла, меньшем,
чем о\ На плоскости .V, о
эта вероятностная зависи-
зависимость может быть пред-
представлена в виде семейства
кривых Л' — N (о, р),
каждая из которых соот-
соответствует некоторой одной
и той же вероятности раз-
разрушения р. Такое семей-
семейство показано па рис. 6.
Здесь а0 — наименьшее:
напряжение, при котором
еще шзможно усталостное
разрушение.
Вместо функции рас-
распределения F (о, Л') может
Рис в. Семейс-шо кривых усталости, соот- оказаться удобнее рас-
вегствующих равной вероятности разруше- сматривать соответству-
ни" ''	ющие условные функции
распределения F (о \ A'j
и F (jV |o). Первая из них равна вероятности обнаружить раз-
разрушающее напряжение, меньшее чем о, если число циклов равно в точ-
точности .'V. Вторая функция распределения равна вероятности разрушения
при числе циклон, меньшем чиы Л', если напряжение ракно в точности о.
Р(л /л.
р (о | Л') " р (Лг |
Обе кривые распределения получаются сечением поверхности F ~~
— F (о, (V) соответствующими плоскостями (см. рис. 6). Вид плотностей
условных вероятностей р (о I Л') и р {N \о) показан на рис. 7. Подроб-
Подробнее см. [], 6, 16, 22].
Основы статистической теории. Изложим статистическую теорию,
позволяющую предсказать время до образования прогрессирующий
макроскопической трещины. Рассмотрим деталь или элемент конструк-
конструкции, находящиеся в сложном напряженном состоянии. Пусть все
компоненты тензора напряжений заданы с точностью до общего мно-
множителя а и пусть of (х, у, г) — эквивалентное с точки зрения выбран-

Статистическая теория усталостном разрушения	157
ной теории прочности максимальной по времени напряжение н произ-
произвольной точке, Развитие макроскопической трещины может начаться
лишь после разрушения некоторой слабейшей совокупности зерен.
Предположим, что каждая такая совокупность (первичный элемент)
обладает индивидуальной криной усталости. Параметры этих кривых
для статистического ансамбля перничных элементом, вообще говоря,
являются случайными величинами, совместная функция распределения
вероятностей для которых предполагается заданной. Далее можно вы-
вычислить вероятность события, состоящего в том, что и заданном доста-
достаточно малом макрообъеме найдется хотя бы один нерничиыи элемент,
разрушающее напряжение для которою будет меньше, чем а/ (д:, у, г).
Однако не всякий зародыш должен превратиться к прогрессирующую
трещину.
Условная вероятность образования макроскопической трещины
из зародыша, расположенного в окрестности выбранной точки,
очевидно, зависит от формы образца и от тина настриженного состояния.
Эту вероятность можно найти из дополнительных соображении. Здесь
мы будем считать ее известной.
Пример реализации статистической теории. Составим выражение
для функции распределения F (с, Л') при следующих предположениях.
Пусть индивидуальная кривая усталости для первичного элемента
имеет вид
Л' - Л'„ +
О,— 00
где Л;о. Nc, <т0 и т —детерминированные неотрицательные константы;
#! —случайная величина с функцией распределения F (аг). Иредпо"
ложим, что при аг, близких к нулю, эта функция может быть аппрокси'
мнроняна при помощи выражения
здесь с и а — некоторые положительные константы. Число первичных
элементов п в единице объема будем считать достаточно большим, а функ-
функцию / (х, у, г) и вероятность образования макроскопической трещины
из зародыша Р (х, и, z) будем считать достаточно медленно меняющимися
функциями координат. Для функции распределения F (о, Л') получаем
формулу [6]
X Р (х, у, z)dVJ ;	(8)
здесь |5=—; Vo — некоторый эталонный объем, например объем
стандартного образца; ос — некоторое характерное напряжение (кон-
(константа материала), выбираемое из условия
1

]Г)8	Элементы теории усталости
Н 4"'|>мУле (^) ннтегриронннис производят по той части объема V.
в которой of (х, у, г) > о0. В случае однородного напряженного состоя-
состояния и вероятности образования макроскопической трещины из эаро
дыша, постоянной во всем объеме, из формулы (8) получаем двойное
распределение Вейбулла [16].
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Среднее разрушающее напряжение. Величину этого напряжения гт
при заданном числе циклов А' определяют по формуле
Подставляя сюда выражение (8), получим
g{a)=
В первом приближении можно с большой достоверностью положить,
что макроскопическая трещина развивается из зародыша, расположен-
расположенного в точке некоторого объема У, и не развивается, если точка лежит
вне этого объема, Иначе говоря, Р (х, у, г) = I, если точка лежит в Vlt
в противном случае Р (х, у. г) — 0. По-нидимому, объем l^i совпадает
с. поверхностным слоем, глубина которого по порядку величины равна
десяткам характерных размеров первичных элементов. При этих пред-
предположениях для макроскопически однородного напряженного состоя-
состояния формула A0) принимает вид
1	__!_
где Г (х) — гамма-функция. Для напряжений о (р), соответствуют^
заданной вероятности разрушения р, имеем формулу F]
«и = «,+«, -^
где r = —In A — р). Формулы A2) и A3) описывают явную зависимость
разрушающих напряжений от характерного объема детали Vx. Имея
ссмейггно эмпирических кривых усталости для различных вероятности;!

Применение статистической теории	159
разрушения и используя формулы A2) и A3J, можно подобрать значения
параметров 0„, ос, Ыс, шипи \\.
В случае, когда а0 — А'в — D, формулы A2) и (П) ошкынают се-
семейство степенных кривых усталости (см. таПл. 1). Пусть Л', -база
испытаний. Предил выносливости о,, определяемый как среднее разру-
разрушающие напряжение- ни базе Л/,, составляет
Для напряжений по формуле A3) получаем
i
o(p)^or(^-Y' ф(а, р),
,(e>rt=
Разброс прочности при действии циклических напряжений. Это
явление может быть охарактеризовано дисперсией (о — о)'2. Здесь
Подстановка сюда формулы (8) дает искомую формулу, которую мы
здесь не выписываем. При предположениях, при которых была выведена
формула A2), получаем
[()(+-i-)r.	О»
Формулы A2), A3) и A5) остаются в силе и для неоднородного напря-
напряженного состояния, если о0 <? о. Вместо объема в эти формулы следует
подставлять приведенный объем
V^= [ }adV	A6)
Эффективный коэффициент концентрации. Этот коэффициент есте-
естественно определять как отношение средних значений разрушающих
напряжений для детали без концентратора о и для детали с концен-
концентратором о'.

Элементы, теории усталости
Если о0 •¦¦; о, а„ С о', то эффектинный коэффициент концентрации
*Ьфф не зависит от числа циклов N и определяется приближенной
формулой
A7)
6,<0,
При VY =--- V формула A7) была дана Н. Н. Афанасьевым {1 ]-
НАКОПЛЕНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ
ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Мера усталостного повреждения. Для расчета на прочность при
неоднородных и случайных режимах изменения напряжений необ-
необходимо уметь оценивать величину повреждения на основании харак-
характеристик прочности при однородных режимах и некоторых характери-
характеристик неоднородного режима.
Простей шее феноменологи -
ческое описание основано на
введении некоторой меры
повреждения.
Рассмотрим простейший
случай, когда прочность де-
детали целиком определяется
изменением номинального на-
напряжения о (?) и некоторой
се точке. Пусть процессе (t)
состоит из совокупности сим-
симметричных циклов с ампли-
амплитудой ОтцХ| обозначаемой н
дальнейшем просто через а.
Введем меру повреждения D.
равную нулю Для начального
состояния материала и единице при полном разрушении. А\ера по-
повреждения D является, очевидно, неубывающей функцией времени.
Ее приращение ADn при n-м цикле напряжений зависит лишь от со-
состояния детали, достигаемого к концу я — f-го цикла (т. с согласно
предположению, от I*n_i), и от максимального напряжения п-го
цикла ort. Следовательно,
АЯя---$(/>„_!, ап)
(/1 = 0, I, 2, . . .; ?>„- 0).
Заменяя для медленных процессов конечную разность SDn npoiii
dD
dn ''
¦- g (D, a).
Гипотеза суммирования усталостных повреждений. Правая часп
уравнения A8) может быть составлена бесчисленным множество-

Накопление повреждений при циклическом погружении	161
в
!-
1|
К
i
Q
"a
3
Л
C5
|I
s
4
S й §
ill
? I
S 2
О
I
9
II
г
Общий
=
с
¦^.
!>•
I
о
ft;
-
-г
1 --
Две
ступени
нягру-
— — ™*

Элементы теории усталости
способов. Пусть процесс повреждения при о -- const является автомч.
дельным E | в том смысле, что мера повреждения ?)„ зависит лишь or
отношения	и не зависит ЯВНО от напряжения о (рис. 8). Тогла
из уравнения A81 вытекает весьма простая формула для нахождении
предельного числа циклов N* (табл. 2). Эта формула соответствует
изнестной гипотезе о суммировании усталостных повреждений [2, 13,
20 J. Она состоит в том. что повреждение, вызываемое данным циклом
напряжения, предполагается не зависящим от состоянии конструкции
в данный момент и от предшествующей истории нагружения. Поэтому
каждое новое повреждение просто суммируется с повреждениями, вы-
вызванными предшествующими циклами. Условие разрушения имеет вид
1-57-
U9,
здесь п/г — число циклов с максимальным напряжением о>: /V# —
предельное число циклон при однородном испытании с амплитудой <тд.
Некоторые другие предположения О характере накопления поврежде-
повреждений. В работах [5, 17] рассмотрены модели, позволяющие описать
наблюдаемое на опытах отступление от гипотезы суммирования повре-
повреждений. Некоторые формулы приведены r табл. 2. Удобный путь для
уточнения и обобщения теории суммирования повреждений открывает
введение двух или нескольких мер повреждения [51. Так. разделяя
усталостное разрушение на две стадии, одна из которых является инку-
инкубационной, а другая соответствует развитию макроскопической тре-
трещины, и вводя две соответствующих меры повреждения D и Do, придем
к модели, приведенной в последней графе табл. 2. В таблице даны также
соотношения для случая двухступенчатого режима нагружегшя, часто
применяемого для исследования процесса усталостного повреждения.
Формулы для расчета долговечности при случайном режиме изменения
напряжений приведены в гл. 8.
Дальнейшие подробности можно найти и работах [5—7, У, М |.
В частности, в работе [7] показано, как изложенные здесь методы можно
распространить на процессы, содержащие несимметричные и сложные
циклы.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Афанасьев Н. Н- Статистическая теория устачостноЛ прочности
металлов. М-. Изд-во АН СССР. 1953.
2.	Б а х я с е а В. М- Об утомляемое ги стали при понторных перегруз-
перегрузках. Труды ЦИАМ. ,\-9 91. М., Оборонно, 1<145.
3.	D и р г с р И- Л. Запасы прочности при переменных напряжениях.
«Вестник машиностроения., 19*8, № 6.	F
4.	Ьиргер И. А. Сравнение условий усталостной прочности. «Вестник
5.	Боло т'п н В. В". Некоторые ойойщекия теории суммирования уст;.-
лостных повреждений н их приложение к анализу долговечности при дейстпи.1
случайных сил. Известия вузои, «Машиностроение». ,\"з 8, 1959.
6.	Б о л о т и н В. В. Статистические методы в строительной механике.
П.. Стройичдат. 1961 A-е изд.), 1965 B-е иад.).
7.	Болотин R. В. Накопление усталостных повреждении при на-
Сб. «Расчеты на прочность», № 9, М., Машгнз," 1963.
8.	В е й б у л л В. Усталостные испытания и анализ их результатов.
М.. «Машиностроение». 1964.

Литература	163
9. Вопросы механической устилнеги, Под 1>ед. С !i Серсисена М,, «Ма-
«Машиностроение*, 1964.
10.	И и ;i it о в и В. Г. Усталостное разрушение металлов. М., Метал-
лургиядат, 1963.
11.	Н е й б е р Г. Концентрация напряжений. М., Госте х и адат, 1947.
I?. Пономарев С. Д, Видермак В. Л„ Л и i а р е н К- К.,
М а к у ш и ir В. М., М а л к и и и Н. Н,. Ф е о д о с ь е в В. И. Расчеты
на прочнпгть в машиностроении, Т. Ill, M.. Машгиз, 1953.
13. Решето в Д. Н. Расчет деталей станков. М-. Машгиз. 1947.
М. С о р е н с е и С. П.. К о г а с и В. П., К о а л о в Л. А., Ш н е В
де р о й и 'I Р. М- Несущая спосабнисть и расчеты деталей машин на проч-
прочность. М., Машгиз, 19j4 A-е изд.», 1963 B-е над.).
15.	Справочник машиностроителя. Т- III. M., Машгиз, 1962.
16.	Фрейденталь А-. Гумбел Э. Явление усталости в физи-
физическом н статистическом аспектах. Со. «Проблемы меха и пин». М-. ИЛ, 1950
17.	С о г ten Н- Т., Dolan Т. J. Cumulative fatigue damage- Proc.
of the International conference on fatigue of metals. London —New York, 1956.
IB. Forrest P. J. K.iilque of metals. Pergamon Press, Oxford, 1962.
1!). He у wood K- B. Designing against fatigue of metals. Reinhold
New York, 1962.
20.	Miner M. A- Cumulative damage in fatigue, -loiim. Appl. Mech .
vol. 12, No 1, 1945.
21.	О г о v a n E. Theory of the fatigue Of metals. Proc. Roy. Sac, vol 171
A. No 944 AЭД9).
22.	w с i Ь u 1 I w. A statietkHt representation of fatigue falures in solids.
Trans. Roy. lust. Techn., No 2?, Stockholm. 1949.

Глава 8
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Надежность. Отказ. Под надежностью понимают способность ме.х.1
пиеской (электрической и т. п.) системы выполнять заданные ей функ-
функции в заданных условиях эксплуатации в течение установленного срок;!
Прекращение выполнения хотя бы одной из этих функций называю!
отказом. В зависимости от характера появления, степени наносимого
ущерба, возможности быстрого устранения и т. п. в теории надежпост ¦
рассматривают различные типы отказов. Для простоты в дальнейшее
мы не будем различать отказы но их типам, полагая, что каждый отка t
означает выход детали или конструкции из строя. Такой подход естг
ственен в задачах прочности, где отказ, как правило, означает либо
разрушение, либо потерю несущей способности.
Мера надежности. В теории надежности отказ рассматривают к;>к
случайное событие, а надежность — как вероятностную характеристик.
системы. Наиболее удобной мерой надежности является вероятное:: -
безотказной работы системы. Для простоты ату меру будем называл
надежностью системы. Иногда целесообразно измерять надежное i ¦¦
в логарифмических единицах (беллах), определяя уровень надежное-1л
как
r==lgj. = _lg(l _pj.	,1,
где Q — вероятность отказа; Р — надежность системы.
Применяют также гауссовские единицы надежности. Уровень
надежности у и надежность Р связаны зависимостью
График для пересчета с одной меры надежности на другую принеси
на рис. 1.
Частота и интенсивность отка кш. Надежность Р, очевидно, «пу-
«пуляется невозрастаюшей функцией времени / (рис. 2). Изменение на-

Основные понятия
ческой мерой над<
дежностн но времени, помимо функции Р (t), может быть охарактери-
охарактеризовано частотой отказов
и интенсивностью отказов
МО- —
dt
Л (О
Интенсивность отказов равна, очевидно, числу отказов в единицу
времени, отнесенному к числу не отказавших к данному моменту систем.
Р, вероятность отказа Q, частота отказов f н
1зоа ?„ рассматриваемые как функции вре-
Произведен.)с л (i) dt предстапляет собой условную вероятность
*тказа а теч^ия^ интеркала времени t, t + dt для системы, безотказно

Основы теории надежности механик
проработавшей нршя t. Надежность и интенсивность отказов связи!
зависимостью
I С
¦"')
Эта формула получается интегрированием соотношении D).
Если интенсивность отказов X постоянна во времени, то из фор-
формулы E) шп-кает экспоненциальный закон распределения отказав,
широко применяемый при расчете радиоэлектронных устройств [2, 31 ].
Часто изменение интенсивности отказов во времени носит следующий
характер: вначале интенсивность отказов относительно велика (этот
период называется периодом приработки); затем интенсивность сни-
снижается и остается примерно постоянной в течение длительного интервала
эксплуатации, увеличиваясь к концу его нследствне старения и износа.
Долговечность и нормативный ресурс. Под долговечностью пони-
понимают свойство системы, обеспечивающее ее длительную работоспособ-
работоспособность в заданных условиях эксплуатации. За меру долговечности обычно
принимают время работы системы от начала эксплуатации до ныхода
из строя. Это время обозначают через Т и называют сроком службы или
долговечностью.
Долговечность системы Т является случайной величиной. Ее функ-
функция распределения F (Г) совпадает с функцией Q (Г) при замене t на Т.
а плотность распределения вероятности р (Т) — с частотой отказов f {()
при той же замене.
Среднюю долговечность Т определяют по формуле
Т= \tp{t)dt = \P{t)dt.	F)
C	0
Время эксплуатации, соответствующее некоторой предельной на-
надежности Pf, no достижении которой система должна быть снята с экс-
эксплуатации, называют ресурсом. Очевидно, ресурс 7", может быть опре-
определен из условия Р G\) —¦ Рч (см. рис. 2). Ресурс равен такой нижнем
границе для долговечности, вероятность превышения которой равна
минимальной нормативной величине Р%.
Определение надежности системы ло надежностям ее элементов.
Различают последовательное соединение элементен системы, при котором
отказ одного элемента олечет за собой отказ системы, параллельное
соединение, при котором откаа системы наступает лишь в случае отказа
всех элементов, и смешанное соединение. Формулы для вычисления на-
надежности системы Р по известным надежностпм элементов р& приведены
втабл, 1.
Параллельное соединение элементов или их групп обеспечивает
Дублирование отказавших элементов запасными элементами. Такой
метод повышения надежности называют резервированием. Формулы
для расчета схемы общего резервирования и раздельного резервирования
даны а табл. 1. При этом пред полагается, что надежности pk соответ-
соответствующих дублирующих элементов одинаковы.
Другие задачи теории надежности. К ним относят: определение
надежности системы по известным надежностям се элементов; отыска-
отыскание принципов синтеза систем, обладающих заданной надежностью;
разработка методов повышения надежности, долговечности и ремонте-

Основные понятия
si
it

168
Основы теории надежности механических систем.
пригодности систем; определение экономически обоснованных значений
надежности и долговечности; обоснование методов индикации откааон,
методов контроля качества и методов испытаний, обеспечивающих за-
заданный уровень надежности и т л
ОСОБЕННОСТИ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
К ВОПРОСАМ ПРОЧНОСТИ
Отказы, имеющие механическое происхождение. Эти отказы могут
бытЕ) разбиты на две группы. К первой групле относят отказы, носящие
характер случайного выброса: хрупкое разрушение, превышение предела
упругости r какой-либо точке конструкции или машины, для которой
остаточные деформации недопустимы, и, наконец, возникновение слиш-
слишком больших упругих деформаций. Ко второй группе относят отказы,
возникающие в результате постепенного необратимого накопления по-
повреждений в конструкции: накопление пластических деформации или
деформаций ползучести, накопление усталостных повреждений, кеду-
шее к развитию усталостной трещины, и, наконец, механический износ.
Структурная схема механических аспектов теории надежности,
Решение проблемы надежности (рис. 3) предполагает изучение статисти-
ту
Обоснебание
м;ятсдо8 контроля
\
*е*ие
«мети
обоснование
мгтадоб нор/чатиВ
Рис. 3. Структурная схема механических аспектов теории надежности
ческих свойств внешних воздействий, изучение статистических свойств
материалов и конструкций и исследование поведения конструкций при
случайных воздействиях, На оснонс полученных результатов должна
быть получена количественная оценка надежности 'и долговечности
конструкции или машины. Для решения инженерных вопросов требуется
задание нормативных значений надежности и долговечности. Отыскание
этих значений требует решения задач, родственных задачам теории оптп
мальных конструкций. На основе общей теории могут быть далее рпл-
виты отдельные приложения — теория методов сокращенных испытании
на надежность и долговечность, теория проектирования конструкт'"

Статистические характеристики прочности	1C0
и деталей машин повышенной живучести, а также могут быть разрабо-
разработаны нормативные инженерные методы расчета, не содержащие в явной
форме теоретико-вероятностных элементов.
Особенности механических задач теории надежности. Методы реше-
решения задач надежности существенно зависят от вида нагружения. Будем
различать дискретное и непрерывное нагружения. Дискретные нагруже-
itHfl могут быть как однократными, так и многократными. Поведение
системы при таких нагружениях может быть описано в рамках класси-
классической теории нероятностей и теории марковских цепей. Но, как пра-
правило, внешние воздействия представляют собой стационарные или
нестационарные случайные процессы. Повеление системы при этих воз-
воздействиях, включая накопление повреждений в системе, также пред-
представляет собой случайный процесс. Надежность и долговечность механи-
механических систем при непрерывном эксплуатации может быть правильно
понята, описана и рассчитана лишь на уровне теории случайных про-
процессов. Понятие надежности нельзя рассматривать вне времен», в от-
рынс от понятия долговечности. Только опираясь на аппарат теории
случайных процессов, можно получить решение задач о невыполнении м
сочетании нагрузок, о законе распределения долговечности конструк-
конструкций и т. д.
Расчеты на надежность и закон больших чисел. Иногда чрезмерно
подчеркивают те принципиальные трудности, которые возникают при
применении теории надежности к системам, осуществляемым в неболь-
небольшом количестве экземпляров. Действительно, к таким системам не при-
применим закон больших чисел и статистическое истолкование вероятности.
Тем не менее-, вычисляемая методами теории надежности вероятность
безотказной работы и здесь сохраняет смысл объективной характери-
характеристики надежности системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРОЧНОСТИ
Характеристики прочности материалов и конструкции (продел
текучести, предел прочности, разрушающая нагрузка и т. п.) являются
случайными величинами; их находят из испытаний в однородных усло-
условиях достаточно большой серии образцов и обработки результатов испы-
испытаний методами математической статистики [16]. Приведем некоторые
основные формулы для обработки результатов.
Среднее арифметическое значение. Для выборки Rlt R.j, . . ., Rn
случайной величины R среднее значение R определяют по формуле
Дисперсия. Несмещенная оценка для дисперсии (квадрата среднего
квадратического отклонения) определяется как

о	Основы теории надежности механических систем
Отношение
1аьыьают коэффициентом изменчивости случайной величины /?.
Кроме того, для описания эмпирических распределений применяют
\ другие параметры, в частности коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Доверительные интервалы. Характеристики, определяемые по фор-
vi у лам G) и (8), являются эмпирическими оценками для математического
ожидания а# и среднего квадратического отклонения ад, Ширина до-
доверительного интервала, внутри которого с заданной вероятностью Р
находится математическое ожидание ац, определяют по формуле
Ы - Щ
) - Sn-i (-d); (Ю)
здесь S/c {t) —функция распределения Стьюдента для k степеней
свободы, таблицы которой можно найти, например, в работах [13, 16].
Ширину доверительного интервала для стандарта од определяют по
формуле	__
= P(yl п~1)-Р(х{. п-1).	A1)
где Р {/}, п) ¦—функция ^распределения Пирсона [13, 16]. Формулы
A0) и A1) применяют также для определения минимального объема
выборки, необходимого для того, чтобы оценить математическое ожи-
ожидание ац и стандарт од с заданной надежностью.
/Т\
[ E)
Распределения случайных величин. Результаты испытаний на проч-
прочность после грушшропки найденных значений по достаточно малым
интервалам и вычисления средних относительных частот для каждого
нитерпала можно представить графически в виде гистограммы или
полигона (рис. 4), Следующая задача состоит и подборе теоретического
распределения, наилучшим образом аппроксимирующего найденное
эмпирическое распределение. Для расчетов обычно самым удобным
янляегся нормальное распределение; однако его использование для опн-

Стапшспииеские характеристики внешних нагрузок
сани и прочностных характеристик ни кипрепш вниду того, что распре-
распределение распространяется на отрицательную полуось. Более обосно-
обоснованно применение логарифмически нормального распределения, распре-
распределения Ррлея, распределения Вейбулла. Последнее представляется наи-
наиболее теоретически обоснованным для описания хрупкой и усталости»
прочности |У |, Для описания усталостной прочности и длительно» проч-
прочности при высоких температурах часто употребляют также логарифми-
логарифмически нормальное распределение. Оценка близости эмпирического
и теоретического распределений может быть выполнена при помощи
критерия %*, критерия А. Н. Колмогорона и других критериев матема-
математической статистики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ВНЕШНИХ НАГРУЗОК
Внешние нагрузки и другие внешние условия эксплуатации, как
правило, представляют собой случайные процессы. Поэтому для их
статистического описания следует применять методы теории случайных
процессов.
Элементарное рассмотрение. Если силы приложены квазиста-
тически и причиной отказа является превышение параметром нагрузки
I р (SIT) для
блюден и
некоторого заданного уровня хотя бы один раз, то допустимо рассма-
рассматривать отказ в рамках элементарной теории вероятностей. Для этого
необходимо знать плотность распределения вероятности р E|Т) для
максимальных значений параметра нагрузки s (t) в течение интервала
времени Т, равного назначенному сроку службы. Существенно, что это
распределение зависит от времени (рис. 5). Продолжительность на-
наблюдения можно сократить, если разбить время Т на m равных интер-
интервалов А7\ каждый из которых достаточно велик, чтобы корреляция
максимумов для дн\'х соседних интервалов была пренебрежимо малой.
Тогда абсолютные максимумы для каждого интервала ДТ можно при-
приближенно рассматривать как случайные величины в последовательности
независимых испытаний. Тогда плотность вероятности р (S\T) опреде-
определится по формуле
dF(S\&T)
р (S\T) =
ds
A2)
F {S\AT)—функция распределения вероятности для максимумов
базе наблюдении, равной Д7\

Основы теории надежности механических систем
Корреляционное описание. Ьсли параметр нагрузки необходимо
рактонать как случайный процесс s @. то одной из форм его описания
влнется описание при помощи полной системы корреляционных функ-
ий-
-- «О;
113)
i так далее. Здесь осреднение производится по множеству реализа-
1кй случайного процесса s (/) (рис. 6). Корреляционные функции
для стационарных случайных процессов зависят лишь от интервалов
!\ — t2, l± —1-6 и т. д. Средние значения и корреляционные функции
эргодического стационарного случайного процесса могут быть определены
путем осреднения по времени:
7	\
[т) = lim-уг f s {t) sit -\- T)dt;
' L
A4)
^[im—
и гак далее. Эмпирические оценки для средних значений и корреляци-
корреляционных функций определяют по формулам, вытекающим из формул A4)
при замене интегралов конечными суммами Продолжительность реа-
реализации Т ныбирают с учетом необходимой точности иычислений.
Подриинее см. в книгах LI8, 23J.

Статистические характеристики внешних нагрузок	173
1
п
Э
X
г
5
S
s
1
i
\
i
а
1
ь
э
« f
аус
1 1
о.
и
1
О
й
is
О0"
Y
1-
а
з"
1
;
о.
>,
к
Л
S
о а
и
+ ,_.	,
т -
I
| Sv
t" J^' г,
S о,
. - ¦
?
_
=
с
>.д=
I
и0
1
si
si
Пл
j
о.
V
-ж
?!
8 Д,
с
Is
[исло
>0 за
. *
a: g
a-s

74	Основы теории надежности механических систем
2
э-
3 а
6
I
е
Обо
Характеристик
""¦¦
	^
b™
	"
a,
s
с
h.
а.
si»
Hi
w * a
8'—
ка для
l|
ji
С
—-^
I
>
a.
I
a.
Ё
4
f
i
1
5
¦8-
1
I !
!
i
i
V
i
; ?
я плотное
1
T
j
e

Средняя долговечность при циклических напряжениях
Спектральная плотность. Важной характеристикой эргодического
стационарного случайного процесса является его спектральная плот-
плотность Ф (to). Если спектр процесса не содержит дискретных составля-
составляющих, то связь между корреляционной функциям (порого порядка
Kss <*) и спектральной плотностью Ф (<о) дается формулами
\ Ф (<а) cos tux d(u;
ф (ш) к — \ К,., (т) cos rax dx.
A5)
Дальнейшие подробности можно найти в третьем томе.
Характеристики выбросов случайного процесса. Для суждения
о надежности нч-^бходимо знать некоторые характеристики пыбросов
'А') \№
"^\
Рис. 7. Свлаь между средним числом V (S\T> лр-пытеннй
уровня .S за время Т н плотностью распределепт: ,'i^co-
лклкых мчкенмумо» процесса S {О зл В1»емк '/'
случайного процесса s(t). К ним относят: cpe,afiee число Vn (S4) пре-
превышений функцией 5 {?) уровня 5 (выбрпшн) в единицу времени: сред-
среднее число V (S\T) превышений уровня S за время 7"; вероятность
Р (S\T) превышения заданного уровня S за время Г хотя бы один раз;
функцию распределения р {S) максимумов процесса л (?) и т. д. Формулы
для некоторых характеристик даны в табл. 2. Следует иметь в виду, что
формула для нероятности Р (S\T) не является точной, л дает для иско-
искомой вероятности при S^> So G*) оценку сверху (рис, 7), Поэтому при-
приближенной является и формула для р (S[T). Дополнительные сведения
по этому вопросу содержатся в книге 19 |.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Средняя долговечность при циклических напряжениях со случай-
случайными амплитудами. Пусть процесс состоит из симметричных циклов,
каждый из которых характеризуется максимальным напряжением S.
Используем гипотезу суммирования устя;юстных повреждений (см.
стр. 160). Если известны уравнение кривой усталости Л1 = -V E)
при однородном режиме напряжений, эффективный период изменения
напрялочшй Т*фф и плотность вероятности р {S) максимальных

176	Основы теории надежности механических систем
значении процесса н (I). то средняя долговечность может быть оце-
оценена по формуле |9|
Формулы для вычисления средней долговечности при некоторых
предположениях относительно вида кривой усталости и распределения
случайных амплитуд приведены н габл. 3. В этих формулах Г (х) —
гамма-функция; Р (ха, п)-функция ^"распределения Пирсона, прота-
булированиая в работах A3, 16]- Эффективный период Т^ф выражают
через спектральную плотность Ф (ш) процесса s (t) согласно формуле
A7)
Долговечность при широкополосных случайных процессах. Формулы,
приведенные в табл. 3, справедливы, строго говори, для узкополосных
стационарных эргодических случайных процессов. Для неузкополос-
ных процессов формулы дают оценку снизу. Методы расчета на "дол-
"долго нечность при широкополосных процессах изменении напряжений,
а также при нестационарных процессах даны в работах G, 101.
Применение более общих теорий суммирования повреждений. Нс;ш
используют обобщенное уравнение для меры повреждения D (стр. 160),
то среднюю долговечность определяют по формуле [9J
dD
о J
Применение теории двух стадий усталостного повреждения дает
формулу
I	1
Г Р (S) dS	Г р (S) dS
J Л' [S) — Л*'„ (Si	J Nti (S)
" (S|
Вычисляемая по приведенным выше формулам долговечность яв-
является условной в том смысле, что она найдена при фиксированные
характеристиках прочности. Если полное число циклов до разруше-
разрушения достаточно велико, то значения условной долговечности плотно
группируются около среднего значения (9J, Учет разброса характери-
характеристик прочности будет освещен в следующем параграфе.

Средняя долговечность при циклических напряжениях 177
Е
5,ft>"
48 Is

178	Основы теории надежности механических систем
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА
Способ Н. С, Стрелецкого, А. Р. Ржаницына к А. М. Фрейденталя
125, 30, 33]. Предположим, что отказ наступает ii|ni нарушении не
равенства
У (?i. ?>	Яа) >0,	A8]
где lF — функция от случайных параметров qx, q%, . , ., qn, характери-
характеризующих нагрузку, условия эксплуатации и свойства конструкции.
Совместная плотность нсроятности для этих параметром р ((fi, q-i, . . .,
. . ., qn) предполагается известной. Надежность Р может быть опре-
определена по формуле
A9)
Если параметры qlt qit . . ., qn подчиняются нормальному рас-
распределению и если функция ? является линейной функцией этих i:;i-
раме-трон
то гауссонскую меру надежности подсчитывают но формуле А. Р. Ржа-
Ржаницына |25, 27]
i/ii<
B0)
здесь К„.„ —центральные корреляционные моменты параметров ц
Если V = R--S, где /? —параметр прочности; S — параметр нс-
грузки. и параметры R и S иекоррелированы, то формула B0) прини-
принимает ВИД
У <П*
Строго говоря, формулы A9)—B1) пригодны лишь для случая одно-
однократного дискретного 'нзгружения. Используя схему независимых
испытаний, их можно распространить на случай дискретных многократ-
многократных нагружений. С некоторыми оговорками формулы B1) можно при-
применить для непрерывного нагружения, если под R понимать мннималь
ное значение случайной функции R (i), а под S — максимальное значе-
значение случайной функции S @ за время эксплуатации Т. Для нагружений.
представляющих сабой непрерывные случайные процессы с накоплением
повреждений, эти формулы непригодны.

Надежность и коэффициент запаса	179
Способ В. В. Болотина. Большинство задач механической надеж-
надежности можно рассматривать по следующей схеме [4, 9]. Вначале опре-
определяют надежность внутренне детерминированной системы под действием
случайных внешних нагрузок, трактуемых как случайный процесс.
Эта надежность Ро (rt, гг, . . ., rn; t), называемая условной надежностью,
зависит от параметров гх, г2, . . ., г„, характеризующих внутренние
свойства системы (механические свойства материала, начальные де-
дефекты и неправильности). Совместная плотность вероятностей р (г,,
г2, . . ., гп) для этих параметров должна быть получена путем изучения
достаточно больших выборок конструкций. Надежность системы Р (()
вычисляют по формуле полной вероятности.
Р (/) = f • - • f Ро (rj.rt	гп: Op Ov r2	ra) dr,drit . . ., drn.
B2)
Например, в случае, когда нагрузка характеризуется одним пара-
параметром s ((), изменение которого представляет собой стационарный
гауссонский процесс, а отказ наступает при нарушении неравенства
R > S, условная надежность определяется приближенно как
Формула B3) дает оценку снизу, пригодную при надежности, близ
кой к единице. Если же причиной отказа является усталостное разру-
разрушение, то, учитывая малый разброс условной долговечности 70, можно
записать
{ 1 при t < Тп
"•("-{о„?»,>г.,	B4)
где То определяют по формулам типа A6).
Общие соображения по выбору нормативного коэффициента запаса.
Инженерный расчет носит, как правило, детерминистический характер.
Условий безотказности R > 5, которое может быть выполнено лишь с не-
некоторой надежностью Р, заменяют детерминистическим.] условиями
. Расчетное значение нагрузки SPac4 и расчетное значение проч-
прочности RpacH выбирают до некоторой степени произвольно: это могут
быть математические ожидания или наиболее вероятные значения,
3 также математические ожидания максимальных (минимальных)
значений. После того как расчетные значения Spac« и Ярасч установлены,
Нормативный коэффициент запаса к^рм выбирают так, чтобы из усло-
условий B5) с надежностью Р вытекало условие R > S, Отсюда видна вза-
взаимосвязь параметров, входящих в условия B5).

Основы теории надежности механических систем
Если параметр внешних сил принимает детерминированное значе-
значение, то последнее естественно принять за расчетное. Тогда норматив-
нормативный коэффициент запаса определяется как
Roqch
R(P) '
где R (Р) — значение параметра прочности, такое, что вероятность
осуществления неравенства /? > R (Р} равна надежности Р. При нор-
нормальном распределении параметра R, принимая за Rpac4 среднее зна-
значение R, получим
здесь у — гауссовский уронспь
надежности.
В общем случае, когда слу-
случайными являются как нагруз-
нагрузки, так и характеристики проч-
прочности, назначение нормативного
коэффициента запаса становится
весьма сложной задачей, тре-
требующей предварительного раз-
решения соответствующей з*-
дачи надежности. Для ориенти-
ориентировочных подсчетов можно воспользоваться формулой B5), в котором
под R и S следует понимать соответственно минимальное значение проч-
прочности н максимальное значение нагрузки за кремя эксплуатации Т.
Определяя коэффициент запаса как отношение математических ожида-
ожиданий этих параметров (рнс. 8)
придем к следующей формуле, связывающей нормативный коэффициент
запаса fiH0PM с гауссовским уровнем надежности
Для ориентировки на рис. 9 дан график для нормативного коэффи-
коэффициента запаса при wr — Ws- Нормативный коэффициент аапаса, таким
>бразом, существенно зависит от нормативной надежности Ртря'
которую назначают на основании технико-экономических соображе-
соображений [9, 11, 28, 34).
Коэффициенты запаса в практических расчетах. 5 инженерных
нормах в качестве расчетной нагрузки принимают некоторое «максималь-
«максимальное» (т. е. соответствующее некоторой малой вероятности осуществления)
значение, а в качестве расчетного сопротивления материала — нижнее
значение из технических условий. Выбор этих значений, а также коэф-
коэффициента запаса в определенной степени произволен: одной и той же

Литература
надежности могут соответствовать различные значения коэффициента
запаса. Для того чтобы оценить величину надежности, предусматривае-
предусматриваемой нормами, необходим
статистический анализ на-
нагрузок, сопротивлений и
других параметров, влия-
влияющих на поведение кон-
конструкции [9].
В машиностроении
обычно принимают запас
прочности 1,5—2,5 при
статических нагрузках
или нагручках с неболь-
небольшим числом циклов и 2—
4 при переменных нагруз-
нагрузках. Поскольку при наз-
назначении размеров деталей
машин определяющими
обычно являются кон-
конструктивные, технологи-
технологические н эксплуатацион-
эксплуатационные соображения, то тен-
тенденция к снижению jana-
сон прочности в машино-
машиностроении невелика. В
строительстве, а также в
тех областях, в которых
важнейшим фактором яв-
является общин вес конст-
конструкции, стремятся к обос-
обоснован ном v снижению за-
0
0
НТО
/
0.9
t
1
J
4
1 0,9399
6
w
If
г
ЛЭффи
пасов прочности. Это тре- "Hei
бует уточнения расчетных ности <'норм и от коэффициентов иэменчкв.-)-
схем, уточнения сведений	с™ при wR = ws
о нагрузках, условиях ра-
работы и механических свойствах материалов. В действующих ныне строи-
строительных нормах коэффициент запаса расщепляется на коэффициенты
нагрузки (для каждого типа нагрузок D отдельности), коэффициент не-
неоднородности материала и коэффициент условий работы. Сходным
по характеру является предложение о таблично-дифференциальном
выборе коэффициентов запаса в машиностроении.
ЛИТЕРАТУРА
!. Ь и з о и с к и ii И. Надежность. Теория и практика. М., «Мир*. 1065.
2.	Белов Ф. И., Соловейчик Ф. С. Вопросы надежности радио-
Мектронной аппаратуры. М-, Госэнергоиздат. 1961.
3.	Болотин В В. Статистические методы п нелинейной теории упру-
упругих оболочек, Изв. АН СССР. ОТН. Кч 3. 1958.
4.	Болотин В В Применение статистических методов для оценки
прочности конструкций при сейсмических воздействиях.Инженерный сборник.
" ~ "-¦ АН С""" ""¦"
Т. 27. Изд-во АН СССР, 1959.
чавныл нагрузках. Л!.. Известия
строение», Л"? 0. 19^9.
учебн
аведен ей, «р. «Маш
горые обобщения теории суммирования уст;
;еннн к анализу долговечности при действц

182	Основы теории надежности механических систем
случайных сил. М., Известия высших учебных заведении, сер. «MaL
нне». М 8. 1959.
7. Б о л о т и н В. В. Долговечность кокет
пых случайных режимах напряжении. Инженернь
АН СССР. I960
8 Болотин R. В Расчеты на прочнос
Пирсона. «Вестник машиностроении», i960. Ж 11.
9. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.
М., Стройиэдат. 1961 A-е изд.), 1965 B-е изд.).
10. Болотин В. В. Накопление усталостных повреждений при на-
напряжениях, представляющих собой широкополосный случайный процесс.
Сборник «Расчеты на прочность*, .V* 9. М-. Машгнз, 1963.
П. Болотин В. В. Механика твердого тела и теория надежности.
Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике- Т. :i
М.. -Наука», 1466.
13! Г и е де а ко Б. В. Kypi" теории вероятностен. М., Гостехиздат. 1954.
14. Г п еден ко В. В., Беляев Ю. К.. Соловьев А. Д.
Математические метиды в теории надежности. М.. *H;ij;;h», I9G5.
ционар'ных случайных напряжениях. Изп. АН СССР, ОТН. «Механика и ма-
машиностроение». Й! 3, 1962.
16.	Д у н и н - D я р к о в с к и Я И. В. и Смирно» Н. В. Теория
вероятностей и математическая статистика п технике М-, Гостехиздат. 1955.
17.	К У Г е -ч ь Р. В. Распределения долговечности машин, их деталей
И агрегатов. «Вестник машиностроения», 1959, № 8.
18.	Лившиц Н. А.. Пугачев В. Н. Вероятностный анализ систем
антоматического управления. М., «Советское радио». 1903.
19.	Ллойд Д. К-, Л и и о о М. Надежность. Организация исследо-
исследований, методы, математический аппарат. М., «Советское радио», 1964.
20.	Макаров Б. П. Применение етатиегнчисксго кетода для анализ..
экспериментальных данных по устойчивости оГюлочск И*=1 АН СССР, ОТН
«Механика и машиностроение». Ла 1, 1962.
21.	Макарон Б. П- Анализ нелинейных задач устойчивости оболочек
при помощи статиСги чес кого метода. Инженерный журн.-J. Т. 3, Л» I. 19fi:i.
22.	П о л о н к о А. М. Основы теории надежности .W. «Наука», 1961.
23.	Пугачев С. С. Теория случайных фушщиП и се применение к зада-
задачам автоматического управления. М., Гостсхн (Дат, 1057.
24.	Р е ш е т о в Д Н. Расчет деталей станков нл долговечности. Сб. «По-
«Повышение прочности деталей машин». Изд-do АН СССР, 19-19.
25.	Р ж а н н ц ы н А. Р. Определение зала^а прочности coop ужен и Ч.
нип при продп"ьно'мЫюгибё. Нау^ш^еообщени"' ЦНИПС!)?'вып. 3- Д", Гос-
стройиздят, 1951.
27. Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических
28 Р ж а н и ц ы н' А. Р. Определение характеристики безопасности
и кочффициентои запаса из экономических соображений.СО. «Вопросы теории
пластичности и прочности строительных конструкций*. М-. Госстройи:-*д»т, 1961.
29. С е р е н с е н СВ., К о г а е в В- П.. Ш а с ft д е р о п и ч Р- М-
Несущая способность к расчеты деталей машин на прочность. М-, Машгиэ, 1963.
запаса "прочности спор уже ни Я*. М- Госстрой издат, 1947
31, Шишонок Н. А., Репкин В. ф., Бар
и эксплуатации радиоэлскт!
Н надежности'. М-, «Сопетское радио», 1962.
^3. F r e u d e n I h a L A. M. Safety and the probability of structural fai-
failure. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs. vol. 8, No 408, 1954.
34,	Johnson A. I. Strength, safety and economical dimensions of struc-
structures. Bull- of Div. Struct. Engng, Roy. Inst. Techn. Stockholm. No 12, 1933.
35.	Miles At A. On the structural fatigue under random loading. Jorun.
Aeronaut. Sci., vol. 21, No U. 1954

• НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
СТЕРЖНЕЙ
Глава 9
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
Общие замечания. Рассматриваются стержни с прямолинейной
осью при действии сил, направленных вдоль оси. В соответствии с ги-
гипотезой плоских сечений напряжения распределяются равномерно по
всей площади поперечного сечения. Предполагается, что при сжимаю-
сжимающих силах стержни не теряют устойчивость.
Различают статически определимые и статически неопределимых
задачи.
В статически определимых задачах (рис. 1, а) на основании уравне-
уравнений равновесия можно определить усилие о поперечном сечении стержня,
/
А
/
> *i
в
/
/
е
/
/ /v
,/
В'
/
У
1
- 1
\
в заделанном стерж
В статически неопределимых задачах (рис. 1, б) усилия в стержнях на-
находят из условия неразрывности деформаций и равновесия.
Растяжение и сжатие стержней сосредоточенными силами. О т -
Дельный стержень. Напряжения и деформации в стержне при
Действии сосредоточенных осевых сил рассматриваются в курсах сопро-
сопротивления материален [], 13, 14].

184
Растяжение и изгиб стержней
где Е — модуль
Если <Т~^
нейшее возраста
инГ[ [о ~- —Oj).
мои А^В, @б1
повторном нагре
ипетсн снока от
Температурные напряжения в стержне с заделанными коми»ми
(рис. 2) при нагреве его до температуры 7* составляют
о = —ЕаТ.	A,
упругости; а — коэффициент линейного расширит:;,
'г (диаграмма пластичности без упрочнения), то даль-
дальние температуры не приводит к увеличению наприжг
При охлаждении напряжение изменяется вдоль т>л
— остаточное напряжение после снятия нагрева), llpi
ве с температурной деформацией а.Т напряжение мз.\й-
Зх к Л,; движение вдоль прямой АХВХ повторяется пp;i
каждом цикле пагрива, деформации оказываются
упругими, наступает приспособляемость сишс:'ч
Если <хТ J> 2ty (или температурные напряжения
для идеально упругого материала больше 2ог|, -¦•-,
состояние приспособляемости не наступает {напря-
{напряжения изменяются по циклу А2В2В'2А*,А2 при на-
наличии пластических деформации в каждом цикле-!.
Стержневые системы. Рассмотри i
плоские стержневые системы (фермы), внешгИК'
усилия к которым приложены в узловых точк.'-ч
(узлах).
При расчете узлы предполагают шарнирными.
Условие статической определимости стержневой
системы
растягивающей	с = 2л — 3,
где л — число шарниров; с — число стержней.
При с <* In — 3 система является механизмом, при с >
>2« — 3 система статически неопределима.
В статически определимых стержневых системах усилие, прихо-
приходящееся на стержень, не зависит от поперечного сечения и материала
стержня.
Усилия в простейших стержневых системах приведены в табл. 1.
Расчет стержневых систем см. в работах [7, 9, 10, Ц].
Растяжение стержней распределенными силамн. Стержень
под действием собственного веса и растяги-
растягивающего усилия (рис. 3). Напряжение растяжения в сечем ни г
( Y (*
F{z)
- + -
где v (г) — удельный вес материала стержня в сечении г; F (г) -
щадь поперечного сечения стержня.
Для стержня постоянного сечения с поск
плотностью материала
C)

Растяженир стержней
a
f
0*
¦7.
a
I1
¦
с
a
3 d
3 II с
S <
_
=
¦"

Растяжение и изгиб стержней
1
1
?
н
i
H
i!
f
.
¦
1
с *¦ -
^ i
	 3
-
+ 4,'
ь."
¦

H
0,
о. -^*
Iji!
.
¦
f-
+
^	^
C
0.
r
j
|
a
с
3
s
!
Л' — усилие
я
I
a.
С

Гибкие, нити
ш а д и поперечного сечения (Q -^ 0)
Для стержня с постоянным напряжением
растяжения о{у= const)
В сечении г— / приложен груз
Стержень в ноле центробеж-
центробежных сил (рис. ¦!). Напряжение растяже- !
иин в сечении г	I
F (г) Г F (г)
V
где р -^ —	-плотность материала стержня; о) — угловая скорость.
При отсутствии усилия Q напряжения растяжения не зависят от
абсолютных размеров площади поперечного сечения стержня и олроле-
ляготся законом ее изменения вдоль радиуса.
Для стержня постоянного сечения
а (г) = рш3 —
R2 - г
G)
ГИБКИЕ НИТИ
Общие сведения. Стержень с исчезающе малой жесткостью на изгиб
называют гибкой нитью. При расчете к гибким нитям относят тросы,
шарнирные цели, канаты, струны и т, п. [5, 6, II].
Два основных свойства гибких нитей:
ннть работает только на растяжение (отсутствие изгибной жесткости
приводит к потере устойчивости при появлении сжимающих усилии);
усилие, растягивающее нить, всегда напранлено по касательной
к нити (нмтекает из условия равенства нулю изгибающего момента
в любом сечении нити).

188
Растяжение и изгиб стержней
При заданной поперечной нагрузке обычно рассматривают дна
типа задач:
пзнсстен распор нити (горизонтальная составляющая усилия нити)
и требуется определить ее прогибы и длину;
нзиестна длина нити и необходимо найти распор и прогибы.
Основное уравнение прогиба нити. В сечении действует усилие N
(рис, о)
N = УнГ+ф*	(8)
где И — распор; Q — перерезывающее усилие.
Та-ич'нс угла наклона касательной к осевой линии
¦ = tg я = -?- . 19)
Для пологих нитей -— <Ц
igl u приближенно можно
принять Л' s> И.
Условия рннновесня эле-
элемента нити
4?
ттггщ „„
Г
-•	z	»4«i.—.д>-^-—
/
1
-t-
?
2
4?
* 4Ь'
тле ? и ft — интенсивна ib
Рнс j Усчовнс раниоьесия элемента вертикальной И ГОризОнталь-
ниш	ной нагрузки на единицу
длины нити в кГ/см.
Основное уравнение прогибов нити, вытекающее из условий (9)
и A0),
При отсутствии распределенной горизонтальной нагрузки (А = 0)
величина распора И постоянна для всех сечений нити. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение прогиба нити при II = const
Уравнения прогибов eihth в интегральной форме
Z	2
У (*) - J tg a. Bl) dzt + У @) = | ^М dzy + У @). A3)
о	о
При постоянном распоре
y{z)=-~j j Q t»i) dzx + у @).	A4)

Гибкие нити
Г.сли опоры расположены на одном уровне, то перерезывающее уси-
усилии Q (г) не зависит от распора И и прогибы нити обратно пропорцио-
пропорциональны величине //. Если горизонтальное натяжение (распор) нити для
различных случаев нагружения остается постоянным, то прогиб от
действия нескольких поперечных нагрузок равен сумме прогибов от каж-
каждой нагрузки в отдельности.
Этот принцип справедлив по отношению к перерезывающим усилиям,
но не приложим к натяжению пити.
Расчет гибких нитей без учета упругости нити н собственного веса.
Упругостью нити можно пренебречь, если отношение длины нити к рас-
расстоянии) между опорами сущест-
существенно больше возможной деформа-
цм и нити (обычно, если -г— '>
> 1,03, где L — длина нити; / —
расстояние между опорами).
Собственным ьесоч нити обычно
пренебрегают, если он составляет
ни больше 10% от внешних на-
г р узок.
Отдельные расчетные ел у чин	^"с' fi
рассмотрены ниже.
Нить под действием поперечной сосредото-
сосредоточенной силы (рис. 6). Первый вариант — распор нити известен.
Вертикальные реакции в точках А и В
Pa
1
Тангенсы угла наклона нити
,	Rh Ra
tga, ._ — = _.
A5)
A6)
Прогиб нити н точке а по уравнению A3)
* (а) = ~ | Q йг = J tg а (г) dz = о tg а, = - f('~°)'' . A7)
Btrwpou вариант — известна длина нити L, величину И подлежит
определить. Длина нити

Растяжение и изгиб стержней
из равенства Aв) следует
\ i* р { р 1
П,ш a^-s-l
A9) .
B0)
При ——> I (начальное провисание отсутствует) натяжение нити
И -> ос. Однако при учете упругости нити натяжение остается ко-
конечным.
Прогиб нити при а =—?— !
Отмстим, что небольшое превышение длины нити над длиной пролета
вызывает значительные прогибы. Например, при -т-=1,01 будем
иметь
= 0,07/.
Нить под действием двух сосредоточенных
поперечных сил {рис. 7). Первый вариант — распор нити И
известен. Вертикальные реакции определяют из уравнений статики
Р'"-а'1-Л-f;
Углы наклона нити |формула GK
tg а°=^ 4т- ¦ tRa>"-
* -! -	Н
Прогиб нити по уравнению A3)
У{г)--тг\ 1 <*i> <и> = [ tg а (г,) it,.
B2)
B3)

Условие у (/) = с выполниется, так как Q (г) определяется в соответ-
соответствии с условиями равновесии.
Прогибы нити
!/ (я.) = a, tg ct0 h (a, — a,) rg cz, -
Pt(i — az)q, P. () — n.) o2 ,
B1)
У (I) = с.
Подъем опоры В на высоту с сообщает точкам нити дополнительный
прогиб
Уд (г) = c-j- .	B5)
Второй вариант — известна длина нити L, величина И подлежит
определению. Расчет ведут по уравнению
B6)
которое, в силу равенств (!5) и (l(i), i'pe;xT'"p."Oi.*T зависимость L -=
= f (Н). Аналитическое решение задачи г\у-л-;уз.1.к.,. поэтому применяют
приближенный метод. Задаваясь различными величинами Я (//1,
Н2, . , .), определяют из условия B6) длину нити Lx, Z.2 и, строя кри-
кривую L = f(H), находят величину Н, отвечающую заданному зна-
значению L.
Нить под действием п сосредоточенных сил
(рис. 8). Первый вариант — известна величина И. Прогиб нити
t — aj) щ
B7)

Растяжение, и изгиб стержней
Напряжение нити на участка i, i-
ai+,—о,-
Второй вариант — известна величина L.
B8)
B9J
C0)
где lga(- определяется равенствами B9) и B7j.
Решение уравнения
L = / (Я)
C1)
находят приближенным способом (см. стр. 191).
Нить под действием равномерно распреде-
распределенной нагрузки (рис. 9). Первый вариант — известна
величина И. Интегрируя дважды уравнений A2), находим
У{г) =	ffi-ilz - г**) + с —.
C2)
При расположении опор на
одном уронне максимальный
прогиб
— ()&<ю>
Второй вариант — известна длина нити L.
Длина интк при с™ 0 определяется равенством
C4)
Для пологих нитей (прогибы нитей малы по сравнению с /) равен-
равенство C4) можно представить в более простой форме 1:
1 дЧэ
из C4), если принять для подынтегрального

В общем случае величина И находится из соотношения C4) указан-
указанным ранее приближенным способом. Для пологих нитей ( "так <^
\	^ 1
<0,| I. в силу равенства C5),
C6)
Максимальный прогиб нити
КЗ
C7)
Нить под действием произвольной распре-
распределенной нагрузки. Прогиб нити при известной величине И
определяют но формуле
с ~г ¦ C8)
/Г
о о
Вторая опора поднята на
высоту с.
Расчет гибких нитей с уче-
учетом собственного веса. Для
сравнительно пологих нитей
/ Рпмх ^Q_3j допустимо учи-
учитывать собственный вес с по-
помощью введения равномерно
распределенной нагрузки (на
единицу длины по оси г) интен-	Рис !0
снвностью
Я ~- <7о -" V*7-	C9>
где у — удельный вес материала нити; F — площадь поперечного се-
сечения.
При болы и их прогибах нити приходится учитывать наклонное
положение элемента нити (рис. 101.
В этом случае дифференциальное уравнение прогиба нити {при
постоянной величине Н)
A0)
имеет следующее решение:
й f
(г| L
D1)

194
Растяжение и изгиб стержней
содержащее неизвестный параметр а (абсциссу сечения, для которой
Величину а определяют из условия у (I) = с, что дает
Уравнение D2) решают способом подбора.
Длина нити
D3)
Это уравнение, также способом подбора, позволяет определить И
при заданной величине L,
Если опоры нити на одном уровне ( с = 0, а = — J, то прогиб
При -g- < 1 формулы D4)
. и {32} совпадают (с = 0).
Длина нити
L = Щ- sh -^-. D5)
Расчет нитей с учетом упру-
Рис. и	гости материала. Нить под
действием попереч-
поперечной сосредоточенной силы, приложенной а се-
середине пролета (рис. II), Тангенс угла наклона
наибольший прогиб
Натяжение нити
постоянно по ее длине.
Dв)
07)
DS)

Длина нити
L = lV\ -r tg2ao -- I У I +-^г ¦	D9)
Если первоначальная длина нити LOr то длина нити под нагрузкой
L- Lo(\ + e),	E0)
где деформация
В этом равенстве ?F — жесткость сечения нити па растяжение.
Из равенств D9)—E1J вытекает
(
Прогиб нити в середине пролета
/. Я L.V-!-1- (ЭЗ'
V Т? ¦ — )
Если первоначальная длина нити равна длине пролета 10 = I.
то из ракенства E2)
Прогиб в точке приложения силы
Нить под действием равномерно распреде-
распределенной нагрузки (рис. 12). Рассматриваются пологие нити.
В распределенную нагрузку может быть включена нагрузка от силы
веса. Усилие в нити принимается равным распору

'. и и;киО ап<ч)_тисй
Используя уравнения C5). E0) и считая е — -~у . будем иметь
Ql	I
E6)
Максимальный прогиб
|57)
первоначальная длина нити La равна длине пролета /, то
Рас>!Р1 нитей с учетом упругости материала нити и температурных
деформаций. Нить под действием поперечной со-
сосредоточенной силы, приложенной в середине
пролета (см, рис. 11). Длина ннти в рабочих условиях
L= Lo{\ + е+ e,j,
E8)
г- -j—\ at dz\
здесь t — техтература нити в сечении г, а. — коэффициент линейного
расширения.
Используя равенство E1), получаем
Р = 2Н 1 /
E9)
Уша> — — -пт —	5~
U \К-
т
гт - I. F0)

Нормальные напряжения
Нить под действием равномерно распреде-
распределенной нагрузки (см. рис. 12). В этом случае
2М |'^(чт?-
@1)
Если обозначить разность Lu — 1= Д, то равенство F1) можно
представить о следующей форме:
' = н, у
Д + Де + А,'
F2)
где Н„ = —$—=	— — натяжение нити без учета упругости и тем-
6 \ г
пературных деформаций; Де ^ „ - , Д( — ?ок, — удлинение нити от
действия напряжений и температуры. Из формулы F2) вытекает, что
учет упругих и температурных удлинений существенен, если они со-
составляют величины того же порядка, что и разность первоначальной
длины нити и расстояния между опорами.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ
СТЕРЖНЯ
Общие сведения. В соответствии с гипотезой плоских сечений пере-
перемещение произвольной точки сечения А (х, у) (рис. 13) вдоль оси стержня
w-= Lt'0 — фу + tx,	F3)
где ф, тр — углы поворота сечения относительно осей х; у: w0 — пере-
перемещение точки О (начала координат).
Относительная деформация
где 8п "^ —г^- —относительное удлинение и точке О.
Напряженное состояние в стержне предполагается одномерным
На основании закона упругости
где L — молуль упругости материала стержня; а/ — температурная
деформация. Эти неличины относятся к рассматриваемой точке попереч-
поперечного сечения и могут изменяться по сечению.

Растяжение и изгиб стержней
Нормальное напряжение
Неизвестные параметры е0, - ¦ и -~-определяют из трех условий
с dF = N\ \ау dF = — Мх; \ ах dF = Му
i
F7)
где f — площадь поперечного сечения; N, Мх и My — растягивающее
усилие и изгибающие моменты и сечении. Положительные направления
силовых факторов показаны на рис. 13, Для упрощения расчетных фор-
формул выбирают положение осей ху, руководствуясь следующими со-
соображениями. Начало системы коорди-
координат (точка О) выбирают исходя из
условия
F8)
f Ex dF = 0; J Ey dF = 0.
F	F
Точку О называют приведенным
центром тяжести сеченая* а оси ко-
координат — центральными осями.
Если направление осей выбрано
так, что выполняется равенство
Рис. 13. Напряжения и сил
вые факторы в поперечном <
Exy dF - 0,
F9)
то оси координат называют главными центральными осями- Параметры
деформации определяются следующими формулами [2]:
\EatdF
4!=JIiF + F\EdF '
F	"F
\EatydF
d<f	Mx	jf
d' ~ f ?»• dF f Ey' dF '
f Ealx dF
Ex"dF f Ex'dF
!	F
G0)

Нормальные напряжения
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня
а-Е
N
\ Е d?	f Еу* dF	f Ex' dF
F	F	F
f\ EatdF
F
\ EalydF
f Et/>dF '
G1)
где x, у—координаты точки сечения в главных центральных осях.
Первая группа членов в формуле G1) выражает напряжения от внешних
сил, вторая — температурные на-
напряжения.
Правило знаков. Рас-
Растягивающее напряжение и растя-
растягивающее усилие считаются поло-
положительными. Изгибающие моменты
считаются положительными, если
они стремятся осуществить пово-
поворот вокруг соответствующих осей
по часовой стрелке (если смотреть
с конца оси н ее начало).
Стержень с постоян-
постоянным модулем упруго-
упругости в различных точках попе-
поперечного сечения. Нормальные па-
пряжения
Ph<
POCT(
(' f at dF	[ itudF \alxdF	\
F ' * J, ¦ ' JB	"')¦
G2)
где ~ — Op — напряжения растяжения или сжатия (равномерно
распределены по поперечному сечению); —у —=-— -4~х ' — — °и —
¦>х	J у
напряжения изгиба (распределены по линейному закону); Jх —
= f у1 dF, Ju — ( хг dF — главные моменты инерции поперечного
сечения (см. ниже).
Простой и сложный изгиб стержней. Пели в поперечном сечении
стержня действует изгибающий момент только в одной из главных
плоскостей (в плоскости xz или yz), то изгиб называется простым.
Распределение напряжений в этом случае показано на рис. 14. При
наличии изгибающих моментов в двух плоскостях изгиб принято

200	Растяжение и изгиб стержней
наэыгипъ сложным1. Для упругих деформаций напряжения и деформа-
деформации при косом изгибе в практических дадичах целесообразно рассмат-
ринать как сумму соответстнующих напряжений и деформаций при
прямых простых изгибах (относительно глинных осей), причем прямые
изгиОы рассматривают совершенно независимо один от другого.
Нейтральная линия при изгибе. Совокупность
точек поперечного сечения стержня, для которых напряжение изги(м
равно нулю (аи = 0) называют нейтральной линией. Нейтральная ли-
линия пвл'яется прямой, проходящей через центр тяжести сечения. При
простом изгибе нейтральной линией является главная ось сечения,
перпендикулярная плоскости изгиба.
При сложном изгибе нейтральная линия определяется уравнением
-уЛ*?- + х1Ь=0,	G3)
JX	Jy
Наибольшие напряжения изгиба и момент
сопротивления. Наибольшие (по абсолютной величине) на-
напряжения изгиба имеют место в точках, наиболее удаленных от ней-
нейтральной оси. При изгибе относительно оси х (см. рис. 14). считая,
что точка Л является наиболее удаленной,
0,„„ = |_ *^^| = |^kfte|.	,74a)
Равенство G4а) часто записывают в следующей форме:
<W - Щ-,	G46)
где №г — -т-^ —момент сопротивления сечения при изгибе относи-
"а
тельно оси х.
В некоторых случаях целесообразно определять момент сопротивле-
сопротивления для различных точек сечения. Например, для точки В (см. рис, 14)
Мх
Геометрические характеристики сечения. При вычислении напря-
напряжений и деформаций в стержнях необходимо знать координаты центра
тяжести сечения, площадь, моменты инерции и другие геометрические
характеристики сечения.
Координаты центра тяжести. Для определения
координат центра тяжести сечения используют вспомогательную (про-
(произвольную) систему координат x.)t у.г (рис. 15).
' Просюй и сложный изгиб сгсржня ч„аи нааываюг соотвегсгистш при-

Нормальные напряжения
Коордишлы шчпра шжести определяют но формулам
G5)
Главные моменты инерции с е ч е н и н. Осп (.v
являются произвольными центральными осями. Главные оси
ния х, у, для которых центробежный момент инерции ране'! iiy.ii
la,— J
повернуты па угол р, причем
2 [ Xly, dF
7S)	rl I
инерции сечения откоси-	"" Q" '
тельно главных осей назынают главными	Ри
моментами инерции.	д
Главные моменты инерции	"
I
G7)
или о другой форме
G9)
v-- 2 < »•¦ ' J«J~ T
(80)
Один из главных моментов инерции имеет наибольшее, а другой —¦
наименьшее значения среди всех других моментов инерции относи-
относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения. Если сечение
имеет ось симметрии, то одна из главных осей сониадает с осью симме-
симметрии, другая — приходит через центр тяжести перпендикулярно к осп
симметрии.
Значения координат центров тяжести, главных моментов инерции
и моментои сопротивлений для некоторых сечений приведены в табл. 2.

Растяжение и изгиб стержней
. Значения координат центров тяжести, моментов инерцт
lib' . ,„ И'
'Г 64	D<"
(a + sin a cos a) X
J. = (a— sin a cn> a) -
sin a ft1 —г

Нормальные напряжения
Продолжение тибл. 2
Геометрические характера
(а + sin o-co= а) -
2 sin a ^ fl] - -г*
H*-r* 4 sin» а (йа-.
(a —sin acosa) —т
=(o-4no.cosn) ^р
a+ sin a-cos a —2 -
a + slnacosa-2

Растяжение и изгиб стержней
Продолжение таб..
1
1 ^
* т
If
1'
I
* j;
L
I
(
Ir-
Щ
Co,™.
1
pif
p^'
Tit (
-1
F
	i—
— s-
*
У.
1
i ~ :Г
',-
BH1 —
в -J.
1
6// + (B-
6// + (B — й) с
by\ +By'j — (B —
(В — й) Л'
(B —Л) fts
k »' - (ft !- r
j c,B" + <,6'
at, и- ii
ft) с
hft*
— +
f ЛА
г..
12
+ (И
ft (A
t-(
л
- ft} fi"
- (П /s-
+ ')
f + 'O

Нормальные напряжения
205
Вспомогательные формулы при о и р *¦ д о „ч <.¦ .
нии геометрических характеристик сечен и й.
При определении моментов инерции сечений сложного профиля исполь-
используют формулы, связывающие моменты инерции относительно диух
систем коордш.ат (рис. Hi).
Пусть известны моменты инерции от- »
поентельно осей с, i] и требуется опреде-
определить их значения для осей xt, у,-
Учитывая зависимости
А', - т + % cos ф — 11 sin
у, - -- п \ с sin ф -} t\ cos
f- 2n (sin
— trirf-\-
+ 2m (cos fpSn - sin <
(83)
-r (cos2 <|> — sin2 ф) J^ + (m sin ф + n cos ф) S,j +
+ (m cos ф — n sin ф) Sj,	(84)
5i = 1' n ^
F
здесь 5л и S^ — статические моменты инерции.
Если оси |, г\ центральные, то статические моменты S^ ~ St) — 0.
Для главных осей J^ — 0.
Упруго-геометрические	характеристики
сечения. Во многих случаях при сложном профиле поперечного
сечения интегрирование при вычислении геометрических характери-
характеристик выполняют численно; сечение разбивают на 20—100 элементарных
клеток и составляют соответствующие суммы.

Растяжение и изгиб стержней
ес», pai ный Е.
Например, координаты приведенного центра тяжести определяют
по формулам, подобным равенствам G5):
f у2Е dF
(85)
а = ~	; Ь = -	.
\EdF	\EdF
F	F
Приведенные главные оси составляют угол $ с центральными
осями, причем
2 [xiy^
tg 20 =
y\E dF	(86)
F	F
Температурные напряжения в стержне определяются формулой
/ f Fat dF	J F.atg dF	\ Eixlx dF	\
при постоянном модуле упругости в сеченни
'\utdF	\atydF	\alxdF
Эги формулы пригодны только для приближенной оценки темпе-
температурных напряжений, так как основаны на некоторых упрощающих
предположениях:
а)	напряженное состояние является одномерным (рассматриваются
напряжения вдоль оси стержня). Допущение не дает большой погреш-
погрешности для незамкнутых сечений. Для сечений замкнутого профиля
(например, трубчатый стержень) возможно появление напряжений
такого же порядка в перпендикулярных к плоскости сечения пло-
площадях;
б)	па свободных торцах стержня не соблюдаются краевые условия
б напряжениях; формулы (87) и (88) справедливы на некотором удалении
от свободных торцов, обычно на расстоянии @,3-?-0,6) Ь, где Ь — наи-
наибольшая хорда сечения.

Нормальные напряжения
207
Для пластинок с постоянным по длине полем температур фор-
формулы (87) и (88) совпадают с решением методом теории упругости.
Если температуря (точнее, температурная деформации) изменяется
по сечению по линейному за-
закону
at = c0 + ctx -г c2y,
ш
W/Шо,
то (при любом распределении
модуля упругости ?) темпера-
температурные напряжения в стержне
отсутствуют (предполагается,
что общие деформации стержня
не стеснены двумя заделками).
Пример 1. Определения темпе-
температурных напряжений в стержне
прямоугольного сечении {рис. 17).
Температура изменяется вдоль
оси к по закону параболы п-й сте-
степени. Величины Я и а постоянны.
По формуле (88) находим и{ =
= Ел,
1
и+1 "
Рис. 17. Температурны
в стержне прямоугол:
Температурные напряжения для некоторых сечений стержней
приведены в табл. 3.
3. Температурим
Температурное
напряжение
Примерное
распределена

Растяжение и изгиб стержней
'\
Teunepj
напря
?„„
ф +
турнос
--4F-
i
Ц
l
— i -\
¦*-¦
Продс
Ир
pact
?
f
sin 24
Ф '
h t ¦ ~!r
2 Sill* ф
лжение
имерное
релсленн
A ^^
w
" У
В
Л
}
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ
СТЕРЖНЯ
Основная формула для определения касательных напряжений.
В приближенной теории стержней касательные напряжения опреде-
определяют из условия равновесия элемента стержня, показанного на рис. 18.
Предполагается, что сечение имеет ось симметрии; распределение
модуля упругости Е и температурной деформации а* также симметрична.
Распределение касательных напряжений i предполагается равномерным
по отрезку Ь. Из условия равновесия элемента, при отсутствии распре^
деленных усилий вдоль оси г, следует
где .V,- = 1 о dF — нормальное усилие, действующее на площадь /
I
отсеченной части сечения
1 Г. dt	\ F.ii dF
- мх ±	1- I Eat dF I
I EydF
+ 1 Eatij dF -
- — I Eat dF.
df

Касательные напряжения
209
Стержень постоянного сечения. Модуль упругости и температур
пая деформация (по длине стержни) постоянны. В силу равенств (89)
и (90)
(91)
где Qy = ¦—,—	перерезывающая сила в сечении; Sf (у) т= J у dF —
статический момент относительно оси х отсеченной части сечения.
Для стер ж н я пря-
прямоугольного сече-
сечения {рнс. 19)
»--ЙГ ("Г -«2)-га2»
Максимальное касательное напряжение (у 0}
Ттах - — ¦ -^- = — ¦ -у-.
(93)
Для т р у Г) ч а 1 о г о стержня (рнс. 20, а), сечение в виде
тонкостенного кольца
-A.
лг/6

Растяжение и изгиб стержней
СЭ|
I
I I I
с
~, a,
1
* "a
1
•¦ :• .»
m

Касательные напряжения
2П
1
я
1
I
3
э
о.
I
1
1
-
а,
j
b
+ *
а
а
и
ь"
е
-f- '&
w
а
+ w
а
=
+
a
si
^"
a,
-
1
»
1 "
t
-
-1
-i-
в
g
= о
a
1 о
° 8
3
|
a
g
t t
11 ||
¦з.
-Г' 3
т.
II "^
7
T
-
|
s
9
в
§
3
1
e
s
a
II

Растяжение и изгиб стержней
Для круглого сплошное о
i и (рис. 20, 6)
Распределение касательных напряжений в тонкостенных стержнях
открытого профиля см. в гл. 12.
Стержень переменного сеченнн с постоянным модулем упругости.
Температурные напряжения в стержне отсутствуют. Касательные
напряжения определяют по формуле, вытекающей из ранена н (89)
и (90),
1
f
(94)
где f и Sf — площадь и статический момент отсеченной части сечения*
При отсутствии продольной силы Л'
дг * Jx
(95)
Нормальные и касательные напряжения для некоторых случаев
нагружения клина приведены в табл. 4, Точные решения получены
методами теории упругости, приближенные решения выполнены по
формулам G2) и (95)"
При угле ct-> 0 точное и приближенное решения совпадают,
при а-<45° погреншость приближенного решения остается допу-
допустимой (при действии распреде-
распределенной нагрузки можно приме-
применять приближенное решение при
ПРОГИБЫ СТЕРЖНЯ
ПРИ ИЗГИБЕ
Основное дифференциальное
Р»с. ai. Плоский кзгиб стержня	уравнение упругой линии стерж-
стержня. Рассмотрим плоский изгип
равномерно нагретого стержня (изгиб в главной плоскости yoz,
рис. 21).
Изменение угла поворота сечения <р (z) но длине стержня на оснон;:-
нии гипотезы плоских сечений {формула G0))
1л
где Мх — изгибающий момент в сечении стержня (рис. 21); ?" \ у'1 dF —
'f
= EJx — жесткость сечения стержня на изгиб.

Прогибы стержня
2C
Так как
dy
йг *
(96)
где у — упругое смешение центра тяжести сечения стержня вдоль
оси г, то
(97)
Уравнение (97) представляет собой дифференциальное уравнение
изгиба стержня (упругой линии стержня) [1, 13, 14 J.
В тех случаях, когда имеется связь изгибной и крутильной дефор-
деформации стержня, прогибы стержня выражают смещения центра жест-
жесткости сечения. Отличие в
положении центра тяже-
тяжести и центра жесткости	В
сказывается для тонко-
тонкостенных стержней откры-
открытого профиля (см. гл. 12).
Если для сечения
стержня
где Anin — минимальный Рис. 22,
момент НЕЕерции сечения;	стержня
Т — геометрическая жест-
жесткость на кручение (см.гл. 10), то можно применять обычную тео-
теорию изгиба стержней и не учитывать несовпадение центра тяжести и
центра жесткости сечения.
Вторая форма дифференциального уравнения упругой линии осно-
основана на использовании условий равновесия элемента стержня
(рис. 22). Если отсутствует распределенная моментная нагрузка
dz " Ч"'
(98)
(99)
где Qy (г) — составляющая перерезывающей силы в сечении по оси у;
q!f — составляющая распределенной нагрузки по оси у.
Из соотношений (97)—(99) вытекает BTopdH форма для дифферен-
дифференциального уравнения упругой линии
A00)

Растяжение и изгиб стержней
Краевые условия для уравнения A00) относятся к значениям про-
прогиба у, угла поворота —г~, изгибающего момента Мх (г) — EJх (г) -.-тг
и перерезывающей силы Qy {г) = —;— ( EJх (г) ,, |.
Стержень постоянного сечения, интегрирование по методу на-
начальных параметров. Дифференциальное уравнение упругой линии
/*TQF\'.U- Г1ГТ ПЛДТП ГТ11 ППГП /чл _
стержня постоянного се-
сечения имеет вид
tt*g
A01)
где q = qy — интенсив-
иость распределенной иа-
грузкн.
Нормальные фунда-
фундаментальные функции одно-
однородного уравнения
будут такими
Общий интеграл уравнения A00) при наличии скачков второй и
третьей производной прогиба в сечениях, где приложены сосредоточен-
сосредоточенные моменты и сила {рис. 23);
приложены сосре
)^у @) V, (г) + -^- @) У, (г) + -^- @) У, (г) +
+ % @) Y, B) + ^ 4„е (в,) У, (г - а,) +
Z
A03)
где Д„(- = -pj	скачок второй производной у (г) в сечении х = ец;
&si — ~pj	скачок третьей производной у (г) в сечении х — Ь{\
е (аг), е (bi) — единичные разрывные функции
{0 при г-<.а/;	( 0 при г^Ь.;
.	?-	e(bi) = { ,	' (Ю4)
1 при 2_>G(;	t^ 1 при г > bi,
суммирование проводят по всем сосредоточенным нагрузкам. Предпо-
Предполагается, что прогиб стержня у (г) и угол поворота —У— B) изменяются
плавно (без скачков).

Прогибы стержня
Последний член в формуле A03) выражает действие распределенной
нагрузки, Если нагрузка постоянна на участке от с,--^ лг ^: d,-, то
!/' (г) --
-W^
A05)
Положительные направления силовых факторов показаны на рис. 23.
При учете связи производных прогиба и силовых факторов уравнение
упругой линии стержня записывают в виде
Рис, 24
Величины
и Qu — называются начальными
параметрами упругой лшши
стержня. Примеры использова-
использования уравнения упругой линии по методу начальных параметров см. в
работах [9, 14 ]."
на рис. 24.
Мо — Jtt	pi- Q^^ p_ (j/.
IV) уравнению U06), учитывая равенство A05). мачодим
Уравнение упругой линии в интегральной форме. При определении
прогибои стержней переменного сечония или при сложной нагрузке
часто оказывается целесооб[)азным использовать уравнение упругой
линии в интегральной форме
где г у, гг — переменные интегрирования.

Растяжение и изгиб стержней
энного гсчеиия лежит на двух опорах (рис
изпсстен, требуется определить прогиб.
0 0	0 0
Интегралы вычисляют приближенно по правилу трапеций.
Пространственная упругая линия. При изгибе в двух главных
плоскостях (рис. 26) на оснооании равенств G0) для равномерно нагре-
нагретого стержня
i/ф Мх	dip
ния пространстненнон упругой линии имеют вид
A10
Уравнение упругой линии при наличии естественной закрутки см.
в гл. 13.
Уравнение упругой линии с учетом деформации сдвига. Рассмотрим
плоский изгиб стержня. Если длина стержня соизмерима с его высотой,

Прогибы стержня
то необходимо учесть влияние деформации сдвига на его прогиб (рис. 27).
В приближенной теории угол сдвига сечения принимают
где Qy (г) — перерезывающая сила с сечении г (положительное направ-
направление показано на рис. 22); F (г) — площадь поперечного сечения
стержни; G — модуль сдвига материала; k (г) — безразмерный коэф-
коэффициент (коэффициент сдвига), зависящий от формы поперечного се-
сечен и л.
На основании усреднения энергии
сднига можно приближенно принять
= -V I -zMf: <ll2>
обозначения — ем. формулу (91).
Для стержня прямоугольного ее-
, 6
чепия « — -?-¦, для сплошного круг-
10
лого сечения к = — , для сечения В
Уис. 27. Деформация
результате дейсть;|>1
вяющей си-ih
ере 31
виде тонкостенной трубы к — 2. Влия-
Влиянием изменения сечения по длине
стержня на величину k пренебрегают.
Соязь дополнительного прогиба оси стержня и угла сдвига
йг
- = _Y-. *.
GF{z) "
(ПЗ)
Знак минус в равенстве A13) зависит от выбора положительного
направления перерезывающей силы.
Прогиб стержня ул (z), вызванным деистием изгибающих моментов,
определяется прежними соотношениями
A14)
Дифференциальной уравнение упругом линии стержня с учетом влия-
влияния деформации сдвига
EJx(z)	dz
A15)
где у (г) = ум (г) + у?д (г) — полный прогиб стержня (смещение
центра тяжести сечения по оси г).

Растяжение и изгиб стержней
Уравнение упругой линии стержня в интегральной форме
J J tJx[2s)
(Н6)
Прогиб стержня только от действия перерезывающих сил
A17)
dyca ,m 4 С @)
dz l'" GF(OI
Пример 4. Определить прогибы консольного стержня под деЯстиием со-
сосредоточенной силы с учетом влияния сдвига (рис. 28).
,4 (г) = — Р (I — гУ, Q (г) =^ /".
чктыння кряеыые условия
У @) =0; -j- @) =г—А-
Наибольший прогиб (г = I)
где коэффициент Я, выражает приращение прогиба при учета деформации
сдвига. Для стержня прямоугольного сечения <оысота сечекия h)
При h = I; v =- о.з; >. = 0,78.

Прогибы стержня
*л {2) = 1>М@) +—JT @> * +
Из условия ^^ @ = о
Наибольший прогиб (г =
Прогив от действия перерезывающей силы
Наибольший прогиб
Отношение максимальных прогнбо!
!U
_384_ ^_ _?_
40 A/2 G '
Для стержн;
d*; v=0,3; A=6,24-^-.
Определение прогибов при помощи интеграла Мора. Метод опреде-
определения прогибов стержня, получивший широкое практическое при-
применение, основан на использовании интеграла Мора [1, 9, 10, 14].

220
Растяжение и изгиб стержней
Если требуется найти прогиб стержня в сечении г = а (рис. 30, а),
то п этом сечении прикладывают единичную силу и определяют изги-
изгибающий момент от эго/i силы в сечениях стержня M[ZJ (рис, 30, б).
Рассматривая работу внутренних н внешних сил в единичной системе
на дополнительных (виртуальных) прогибам, в качестве которых при-
принимаем действительные прогибы стержня, получим
Н'-
х (г) Ми (г)
A18)
где Мх (г) и М1х(г) — изгибающие моменты в сечеггии стержня от
внешегнх сил и единичной силы.
М,(г)
Раненство A18) выражает Н!!теграл Мора. При определении прогиба
по интегралу Мора положительное значение соответствует совпадению
направления прогиба и приложенной единичной силы.
Влияние перерезывающей силы на прогиб.
Интеграл Мора с учетом перерезывающей силы имеет нид
A19)
где Qy (г) и Qiu {г) — перерезывающая сила в сечении г; к — коэффи-
коэффициент сдвига |см. формулу A12) |.
Интеграл Мора для неравномерно нагре-
нагретого стержня. В этом случае следует учесть работу силовых
факторов от единичной силы на температурных деформациях. Интеграл
Мора будет
Х (г)
GF(z)
-dz, A20)
где Mix (г) = —Е I а/у dF — условный температурный момент.
Модули упругости и сдвига считают постоянными.

Прогибы стержня
221
Интеграл Моря для пространственного из
г и Г) а. При изгибе стержня п двух гланных плоскостях (рис. 31) пере-
перемещение точки стержня в произвольном направлении определяется
следующим интегралом Мора:
._. rV/H.WAW)
М, {г) М1У (г)
Чн (г) git (г)
Е1и (г)
OF И
<?« (?) Qu (г)
OF (г)
A21)
где Мх (г). My {г), Qj: (г), Q^ (г) —изгибающие моменты и перерезы-
перерезывающие силы в сечении от внешних нагрузок; Мц (г), М)v U). Qix B).
Q%f, B) — то же от действия единичной силы, приложенной в направ-
направлении искомого перемещения. Величина 6 выражает проекцию полного
перемещения ТОЧКИ на направление «/».
Определение углов поворота сечений с помощью интеграла Мора.
В этом случае (рис. 32) в сечеЕ1ии z — а прикладываем момент, ранный
единице (единичный момент).
Угол попорота
¦<<">=} —
(г) Mix (г)
EJ, (г)
A22)
Формулы A22) и A18) совпадают, но величины Л11А. (г) имеют раз-
разный смысл. В раненстве A22) MiX (z) означает изгибающий момент в се-
сечении г от единичного момента в сечении и.
Положительные значения угла поворота получаются в том случае,
если его направление и направление приложенного единичного момента
совпадают. Углы поворота с учетом влияния перерезывающей силы и
неравномерного нагрева определяют по приведенным ранее фор-
формулам.

222
Растяжение и изгиб стержней
Обобщение интеграла Мора. В некоторых случаях целесообразно
использовать «единичную систему сил». Например, если трсбуетгя
определить прогиб Ь точки В относительно прямой, соединяющей
точки А и С (рис. 33), то единичная система состоит из единичной силы
в точке В и двух уравновешивающих сил в сечениях А и С. Определяя
¦Wi.v B) и внося его в интеграл Мора, получаем искомый прогиб. По-
Подобным образом можно использовать различные системы, причем физи-
физический смысл результата устанавливают исходя из того, что интеграл
Мора представляет работу сил единичной системы на действительЕшх
перемещениях.
Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Для вычи-
вычисления интеграла Мору в практических расчетах используют правило
Верещагина. Это правило основано Eta том, что эпюра изгибающих мо-
моментов от единичной нагрузки состоит из отрезков прямых {рис. 33).
Если на участке стержня от zt до га (рис. 34) эпюра М1Х (г) — прямая
линия и жесткость стержня постоянна, то интеграл Мора в пределах
участка
EJX [г]
-FMW,
A231

Изгиб стержней на упругом основании
где F — площадь эпюры изгибающих моментом от ннешкей нагрузки
(площадь ABCD); М1Ц — ордината эпюры от единичной нагрузки
в сечении, соответствующем центру тяжести площади F. Равенство A23)
справедливо при условии, что
изгибающий момент от внешней
нагрузки М (г) в пределах участка
не изменяет знака. Величина Af][{
считается положительной, если она
совпадает по знаку с М (г).
Абсциссы центра тяжести дл л
часто встречающихся участков эпюр
изгибающих моментов показаны на
рис. 35.
Пример В. Определить прогиб
точки А для балки под действием
двух сосредоточенных сил (рис. 36).
Решен и е. Прикладываем в се-
эпюру изгибающих моментом от внеш-
внешних сил и от единичкой силы, Для
удобства расчета интеграл Мора раз-
I Pi I 2 21
PI l_ 9	2l_
' 3 ' 3 ' 2 . ' 9
ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Основные уравнения. Рассмотрим стержень, лежащий на упругом
основании, которое представим в виде среды, препятствующей проги-
прогибам и углам поворота стержня (рис. 37). В общем случае (сложное
упругое основание) распределенные реактивные усилия н моменты
зависят от прогибов у (г) и углов поворота <р (г) — ¦??—
Чо (г) = *и» (г)
dy
dz
A24)
""»(г) = *!i!/ (г) + кп
A25)
где kn, fc12, feai и fca3 — коэффициенты жесткости упругого основания
(для реальных оснований &ls = /eai, &п ]> О, А;22^>0).
Из равенств A24) и A25) следует, что величины д0 и т0 зйннснг
только от параметров деформации в данном сечении, что отличает

Растяжение и изгиб стержней
? —
J
1
>^=
Iw
j
L
rr
-— 2	<-
Рис. 37. Стерже:
стержня из упругим основании
рассматринаемую модель от реального основания в виде упругого полу-
полупространства. Уравнения равновесия элемента стержня (рис. 38)
Уравнение изгиба стержня1
A26)
A27)
A28)
Дифференциальное ураннение упругой линии стержня на сложном
упругом основании при feI2 = ftai будет
A29)
В большинстве расчетных схем встречается простое упругое осно-
основание, для которого k\* — &21 ~ 0, feaa ^ 0; fen = к. Уравнение для
стержня на простом упругом основании
Для стержня постоянного сечения на упругом основании
d*y	к	q (г)
A31)
В уравнениях A30) и A31) коэффициент к — коэффициент жесткосп
(и кПсм1) основания при данной опорной поверхности стержня.

Изгиб стержней на упругом основании
225
Стержень бесконечной длины на упругом основании. Обще е
р с: in г н и е. Рассмотрим стержень (балку) постоянного сечения на
простом упругом основании. Так как па бесконечном удалении у (г) -~
-+ 0, то общий интеграл уравнения A31) может быть представлен
у (г)
&* (С\ cos рг -f- С, sin рг) г у* (г),
A32)
у* (z) — частное решение неоднородного уравнения A31).
Для распределенной нагрузки постоянной интенсивности q (z) = q
!/•(?) = 4"''	<IM)
Произвольные постоянные Ct и С, определяют из краевых условий
при г = 0.
Случаи и а г р у ж е и и я бесконечной н полубесконечной
балки па упругом основании приведены в табл. 5.
погружения балок на упругом основании
«агруж"",™

Краевые
условия при
du
ИГ-"
d3tj P
"(П^ = ~ 2EJ
Т^^ 2EJ
X (со^рг -sin p/);
Р
'J<) ^ ~8(Jai-./'
i/ @) =0; М (г) = —~ г-*0^ х
X (slnpz-cuspz): ЛМО)--^-
«"> — w^51»"-
xwsfi, Mn рг); »¦(»)- 4р?/-
« B> --^- «""-* cos Р-'; « @) -- -^-

Растяжение и изгиб стержней
Схема
У
Р
X""'-'/'	 г
У
у
¦м
\~ f,,
' т А
у///ШУ//ЛЩ '
1 ¦
при г = 0
¦?¦-'
3"а"-н»";а"Е"ощ»; »™"hioo.bop°t"
р
"|С) "' 2p";;j !
»-B) = 1j|E7«-PM=osp2 + !inp2);
X sin рг; Л1 @)-0
xr-e* costly /10) „„;
м (г) = м«—Р' (cos рг + si» pa):
AJ @) = М
У (г) = ^- (l — е^Рг cos [!г}; (/@)^0;
»' (г) =-|-P^-Pz(cosp2 4-sin fz);
Л1 B) - - ^|j~ <.-P»sin рг; AI @) = 0
У (г| = -i [l - «-»' (cos рг 4- sin ps)J;
В @) —0: »' (г) -2? -|- «-^sin ^г;
(/' @) = 0; .VI (г) = -T§— e Рг X
2p"
X (COS рг - sin JJ|; ,« 10) - -ф-

Изгиб стержней на упругом основании
227
Действие произвольной системы сил на беек о-
II v ч и о д л и иную б а л к у. Решение для одной сосредоточенной
силы может быть использовано для расчета бесконечно длинной балки
под действием системы сил (рис. 39). Прогиб балки под дештнием п сил
У {г)----
I
> [cos Р (г — в/) -|- sin Р (г — я()]т
A35)
где Qi — абсцисса сечения, в котором приложена сосредоточенная сила.
-ff,- I
^ t
При действии распределенной нагрузки (рис. 40)
ь
1
j Я (z
-*.)Х
X [cos р (г — гх) + sin p (z — zL)] dzv	A35a)
Соответствующим образом могут быть найдены углы поворота, изги-
изгибающие моменты и т. п.
Краевой эффект. При расчетах Eia прочность балку па упру-
упругом основании можно рассматривать как бесконечно длинную, если
р/ > 3. При таком значении параметра прогибы и моменты возле
одного края не зависят от условий закрепления другого края.
Стержень конечной длины на упругом основании. Метод начальных
параметров. Общее решение. Рассмотрим стержень (балку)
постоянного сечения па простом упругом основании. Общее решение
уравнения A31), выраженное через нормальные фундаментальные
функции (функции А. Н. Крылова), имеет вид
у (г) =. у @) К, (
+ -j ¦ -%- @) Ki
p- • ¦§¦
@) К2 фг) +
• -0- @) Kj
- J ч (s) К, [Р (г - s)\ ds, A36)
где у @), -$- @), -j-^- @), -^- @) — прогиб и производные прогиба
а начальном сечении г — 0.

Растяжение и изгиб стержней
Функции А. Н. Крылова
ch (ticos рг;
К, фг) = -1- (ch Pz sin Рг + sli рг cos Рг):
A37)
A38)
A40)
Значения функций Крылова приведены в табл. 2 гл. 21. я про-
производные — в табл. 6.
Ь. Производные функций А. Н. Крылова
фу
Л,
к.
>\а
КЦИЯ
(рг)
(рг)
№>
К
К
К
(Р
,-
г)
г)
2)
г)
-4К,
-4Л',
К. (
«1 (
г)
г)
1
В1 ' и
—
—
4К, rft7|
Л'! (Рг)
4Л'Э (Рг*
.. <Вл
jMn, Qa и при учете сосредоточенных воздействий (рис. 41) уравнение
упругой линии имеет вид
у (г) = у @) Ко Фг) + -j- ¦ -^- @) Л'] (Й) +
а упругой основании
(Ul)
где ? (Л(), е (?»,-)—единичные раз-
разрывные функции (см. стр. 214).
Случаи нагружения.
T;iK как уравнение упругой линии
балки на упругом основании сов-
совпадает с уравнением для прогиба
цилиндрической оболочки, то можно
воспользоваться результатами, по-
помешенными в гл. 22 (случаи осе-
симметричного нагружения оболоч-
оболочки конечной длины |4|).

Продольно-поперечный изгиб
Применительно к балке на упругом основании следует заменить D
на EJ И —=- \\я к.
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
Основные уравнения. Изгиб стержня под действием поперечной
нагрузки с учетом влияемн продольных сил называют продольно-
поперечным изгибом (рис 42). Влия-
Влияние продольных сил оказывается
существенным, если их абсолютная ^
величина имеет один порядок с ве-
величиной усилий, вызывающих по-
потерю УСТОЙЧИВОСТИ СТерЖНЯ.	Р"с' №. Продольно-поперечный
Рассмотрим плоский изгиб стерж-	изг стержня
ия. Условия равновесия элемента
стержня (рис. 43) при малых отклонениях (cos <р = 1, sin ф = <j:)
(Ю	d
—.— "¦ Ц |- —-.— (Л'ф);	A42)
dN
Q; A43)
- т	A44)
где у и Уо— упругое; и перво-
первоначальное смешение оси
стержня; ? и п—интенсив-
п—интенсивность поперечной и продоль-
продольной распределенной нагру-
нагрузок; N — продольное усилие.
Существенно, что уряпнение равновесия элемента стержня состав-
составляется для деформированного состояния.
Уравнение изгиба стержня имеет такой же вид, как и для обычного
поперечного изгиба
Из равенств A42), A43) и A45) вытекает дифференциальное уравне-
уравнение изгиба стержня с учетом влияния продольных сил
Краевые условия для уравнения A47) при различных схемах закреп-
закрепления концов стержня приведены в табл. 7.

Растяжение и изгиб стержней
7. Краевые условия урапненнн A47)
Краевые усливнн
Продольные силы, постоянные по длине. Общее решение.
Рассмотрим продольно-полеречпый изгиб стержня постоянного сечения.
Дифференциальное уравнение упругой линии стержня имеет следую-
следующий нид:
Лг»
Лг2 '
A48)
Общее решение уравнения A48) при действии растягивающей силы
у = С, + С,г + С» ch kz + С, sh кг + у',	A49)
(ISO)
у*—частное решение неоднородного уравнения (Ы8).
Произвольные постоянные С; определяют из краевых условий. При
действии сжимающей силы (JV<;0) решение имеет вид
С2г + Cs cos кг -\- Ct sin кг -
A51)
Решение по методу начальных параметров.
Решение в нормальных фундаментальных функциях (по методу началь-
начальных параметров) имеет вид:

Продольно-поперечный изгиб
при действии растягивающей силы (N )> 0}
при действии сжимающей силы (N < 0)
y{z) = уф)-1 + if @) 2 Н- -0- @) -^ (I — cos кг) +
Решения для частных случаев иагружения
приведены в табл. 8.
Приближенное решение. Анализ точных решений по-
показывает, что особенности прогибов и изгибающих моментов в задачах
продольно-поперечного изгиба зависят от безразмерного параметра
гибкости стержня
^-/-,	(,52)
Мир
где (V — осевое усилие, действующее на стержень; NKp — критическая
сила при потере устойчивости стержня.
Для стержня пи двух шарнирных опорах параметр гибкости
Для прогиба стержня от действия внешних нагрузок можно исполь-
использовать приближенную формулу
У (г) - -
A54)
где у (г) — прогиб только от действия поперечной нагрузки.
При действии растягивающей осевой силы {v ^> 0) прогиб умень-
уменьшается, при действии сжимающей силы (V <^ 0) прогиб увеличивается.
Формулу A54) применяют при V > —1. При v = — 1 у (г) ->¦ оо.
Формула A54) дает точные результаты, если прогиб от действия
поперечной нагрузки совпадает (с точностью до множителя) с прогибом
стержня при потере устойчивости.

Растяжение и изгиб сгпержней
1
I
s
нбаго
X
i
Ура
li
? - "t~ ^
1| ; «
Г|7 i °-
¦5
*
II 1 3
¦s ; * s
1
¦s
a J _i
1 i
— 1 4
4, ' -
Й I
S »K в '
1
г
¦I
J
1
1
s
Л
5
1
^~^ —1
- ; if
-
~* л
1 1
II
¦* 3
1 ? 1
IX
J
«u

Продольно-поперечный изгиб

Растяжение и изгиб стержней
р
'i
с
1
1
1
1
;>.
я
1
II
1
in ?г
I
Т.
м- !
1!
г;"
J f
1
ii J?
S 1
г
- i
\
'7.
s
5;"
1 a
s g
p 1
1
| S
1
=
°
1
\
II
t
C 1
S 1 -
I i 1
1
¦* ^
-(- л
i ^
s =.
'" л:
-1 8
~\
-I-
|
и
1 s
V
\ i
ii
+ i Л

Продольно-поперечный изгиб
о
8
+
	 *
~.—-
'—-
—¦ ,^^^_
л; й-
"Р
? i

Растяжение и изгиб стержней
Нзгибшомшн момент в иочеиии г (рис. 4-1)
Мх{г)= Мх(г) —
уо(г)\,
A55)
где Мх (г) — погибающий момент только от действия поперечных
нагрузок.
Величину у (г) в равенстве A55) при приближенных расчетах при-
принимают по уравнению A54).
Продольные силы, переменные по длине. В практике расчет стержней
ну ичгиб при действии распределенных осевых усилий применяют при
проектировании вращающих-
вращающихся лопастей (лопаток паро-
паровых и газовых турбин, осе-
осевых компрессоров, воздуш-
воздушных винтов и т. п.), эти воп-
вопросы рассмотрены в раблтах
[3, 9].
Продольно-поперечный hj-
гнб стержня на упругом
Рис. 44	основании. Р е ш е и и е п о
методу начальные
параметров. Рассмотрим плоский изгиб стержня на простом
упругом основании при действии продольных сил (рис. 45).
Дифференциальное уравнение изгиба стержня |см. уравнение D7
где k — коэффициент жесткости основания.
Для стержня постоянного сечения и постоянной по длине продоль-
продольной силы дифференциальное уравнение изгиба

Продольно-поперечный
237
Решение уравнения A57) в нормальных фундаментальных функция*
имеет вид
ij (г) ¦¦- I, <<)» Уо (г) + у' @) К, (г) + -^- @) У-, (г) +
! -Й- @) К, (г) + f / (s) Уэ (г - s) rfs.	AБ8)
''• <г> "J	. _ v2 (v2 ch fiz — ll° ch v^)^
г — ch vz);
A59)
-V -t
Производные функций
A60)
A61)
•^ Гг (г) = У, (г) - р2У3 (г);
Аг,(г)= К, (г).
Случай жесткого основания или неболь*
ш и х осевых усилил В этом случае

23Ь	Растяжение и изгиб стержней
Так как при этим условии -^ р\<^р^ то значения ц и v получаются
комплексными- Равенства A59) удобно представить в форме
I
1'и U) — "yfVv" [^Pyc'i Рг cos Y* — (P2~ Y2) stl Рг sin Y21;
i + y2) IP <3V2 - И ch рг sin уг —
_ у (-у* — 3fi2) sh рг cos уг];
[|3 ch Pz sin уг—Y al1 P* c°s yz],
A63)
_L_ i-Bl ^ "	' ' ^ v-".j t'-j»
0=]' -^-?p± — -\-P2\ y= \¦ -Y^Pi-Y^-p*., A64)
причем
И= P+ iy; v= P — 'V-
ПрИ ОТСУТСТВИИ ОССВЫХ СИЛ
ii равенства A63) выражают функции А. Н. Крылова.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Беляев II. М. Сопротивление м^геркалов. М-, ГИТТЛ, 195У.
2.	Ь и р г е р И. А. Неравномерно нагретые стержни с перемещенными
параметрами упругости. Сб. «Расчеты на прочность». № Т, М., Мишгиз, 196].
3.	Б и р г е р И. А. Некоторые математические методы решения инже-
инженерных задач. М., Оборонгиэ, 1956.
4.	15 ii р г е р И. Д., Ш о р р В- Ф-, Ш н е й д е р о в и ч Р. М,
Расчет на прочность деталей машин. М., «Машиностроение». 1965.
5.	Д у к е л Ь с к и Я А. И- Поднесные канатные дороги и Кабельные
краны. М-, Машгиз, 1951.
6.	К п ч у р я н В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. М., ГИТТЛ,
1656.
7.	Короткий Я- И.. Л о к ш и и А. 3.. С и в е р с Н. Л- Изгиб
к устойчивость стержней и стержневых систем, М., Машгиз, 1953.
8.	П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля. Л., изд-ао
«Морской транспорт», 19^7.
9.	Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении,
Под ред- С. Д. Пономарева. Т. 1. 31 к III. M-, Машгнз. 1956, 1959.
Ш, Рабинович ИМ Курс строительной механики, стержневых
систем. М,, ГосстроГ1иЗД1и'. 1951,
11.	Справочник проектировщика- Под ред. А. А. Уманского. М,, Госстрой-
издат. 19S0.
12.	Ти иошен ко С. П. Статика сооружений. М.. Госстройнздаг.
1034.
13.	Тимошенко СП. Сопротивление материалов. ГИТТЛ, 1946.
14- Ф е О Д о с ь е в В, И- Сопротивление материалов. М-, Физматгиз.
1963.

Глава 10
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим упругий призматический стержень с поперечным сочр-
нием произвольной формы. Пусть боковая поверхность стержня сво-
свободна от внешних усилий, а к торцам его приложены силы, статически
эквивалентные крутящим моментам М.
Поместим начало прямоугольной системы координат в некотором
произвольной точке торцового сечения стержня и ни правим есь г
параллельно образующей боковой поверхности стержня (рис. 1). Тогда
граничные условия будут иметь вид:
на боковой поверхности
Сд. cos nx -\- tXy cos ny = 0; |
хху cos nx + Oy cos ny = 0; {	0)
гхг cos nx -f- x,K cos ny = 0;
на торцах стержня (г — 0 и г = I)
\ j л-OjdQ - 0; j \ yoxdU = 0
B)

Кручение стержней
Л!,
¦'¦)
где 'i — внешняя нормаль к боковой поверхности стержня; ох, оу и ог --"
нормальные напряжении; тху, тх?, х^г — касанльные напряжения;
Q — площадь поперечного сечения.
Задачу решаем непосредстнс-нным определением напряжений, ноль
з\ яеь полуобрзтным методом Сен-Венана. Положим
определим остальные компоненты напряжений так, чтобы удовлетми-
рить нсем уравнениям теории упругости.
Согласно равенства D) дтрференциальные уравнения равновесия
дг
даг
1||>И?,1\ I ВИД
дх ' ду ' дг
а дифференциальные уравнения совместности деформаций, выраженные
в напряжениях
i«)
i
cflS
где 5 — оА. — о„ -I- аг; v — коэффициент Пуассона, а Д = -^-^ -'
оператор Лапласа, приводятся к виду
так как на основании равенства D) S = аг, а АоГ — Аоу — Дт^»
Из первых двух уравнений равновесия F) следует, что напряжения тд.

Постановка задачи
и iyi не зависят от координаты 2, т. е. эти напряжения одинаковы но
всех сечениях стержня.
Из уравнений совместности (8) непосредственно следует, что аг
есть функция координат х, у и г нида
о, = ¦¦ Лгу -Ь Йгя + Dx + Ey-\- Fz+ И.	(9)
Подставляя выражение (9) в торцовые условия'B), для нахождении
постоянных получаем однородную систему шести линейных уравнений.
из которой следует, что Л -= В ¦ - D -- Е --= F = Я = 0, т." е. ог - О
во всех поперечных сечениях стержня.
Тогда уравнения рлннонесия F) и уравнения совместности (8)
примут вид
^^
АтЛ-г-0; Дту,-0.	A1)
Следовательно, принимая, что три составляющие напряжений ах,
°и и хху равны нулю, остается определить распределения касательных
напряжений ххг и туг по поперечному сечению скручиваемого стержня
так, чтобы они удовлетворяли исходным уравнениям A0) и A1) и гра-
граничным условиям A)—C), так как при этом нормальные напряжения аг
во всех сечениях стержня тождественно равны нулю.
Продифференцировав уравнение A0) поли вычтя из него первое из
уравнений A1), получим
/ Лт.	At \
A2)
ду ( Ох	Лу )'
Аналогичным способом с помощью второго из уравнений A1) найдем
йг1-зг-тг)-°-	AJ)
Из уравнений A2) и A3) непосредственно следует, что
где С — постоянная, подлежащая определению в дальнейшем.
Заменив н ле.нои части уравнения A4) напряжения 1хг и т,/г их выра-
жеииичи через перемещения, т. е.
„ / ди . dw \	_ / dv dw \	....
где G — модуль сдвига материала стержня, а и, v и w — компоненты
смещения точек стержня по направлению координатных осей х, у и г,
получим
г - дт** djVz - г, д ( ди аи \	пел
С~~ду	дГ ~ ° Ж \~dy- - dT) ¦	(lб)

Кручение стержней
Пользуясь выражением для компонента элементарного вращения
относительно оси г
из выражения A6) получим
il?^_4r^ = -2G0,	A8)
by	дх
где C = —^	угол закручивания на единицу длины волокон стержня,
параллельных оси стержня (часто этот угол называют круткой).
Следовательно, решение задачи о кручеЕШИ призматического стержня
снодится к интегрированию уравнений A0) и A8),
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Общее решение основных уравнений A0) и A8) ищем d форме
rm Т °В^	A9>
где U (х, у) — некоторая функция от переменных х и у. Эту функцию
называют функцией напряжений при кручении или функцией Прандтля.
При таком ьыборе общего решения A9) уранненис равновесия (Ш)
удовлетворяется тождественно. Подставив выражения A9) в уравнение
совместности AВ), получим следующее уравнение для определения
функции сопряжений U (х, у):
Следовательно, функция напряжений U (х, у) в области поперечного
сечения скручиваемого стержня должна удовлетворять ураннению
Пуассона B0).
Рассмотрим граничные условия на боковой поверхности стержня.
Первые два условия из уравнений (I) на основании равенства A) удо-
удовлетворяются тождественно. Подстаьнв выражения для напряжений тхг
и Туг из равенств A9) в третье условие (I), получим
-д— cos nx	-.— cos ny = 0.	B1)
Заметив (рнс. 2), что
dx dy	\
cos nx = —г- = -j- = cos sy; I
~ dy" dx	-	<22)

Обшре решение основных уравнений
243
запишем условие B1) на контуре в виде
<№_ dx^ dU_ dy _ Ш
д.к ds ди ds ds
B3)
Отсюда следует, что функция напряжений U (х, у) на контуре по-
поперечного сечения стержня должна принимать постоянное значение.
П счучае, когда поперечное сечение стержня представляет собой
односвязную область, это постоянное значение можно выбрать произ-
произвольно. Для сплошных стержней величину этой постоянной принимают
равной нулю, т. е.
U = 0 иа 1„,	B4)
где LQ — контур поперечного сечения сплошного стержня.
Пусть поперечное сечение стержня представляет собой мцогосонз-
ную область (рис. 3), т. е. контур L*, ограничивающий поперечное се-
сечение стержня, будет состоять из нескольких замкнутых контуров L,.
Lir . . ., Ln, охваченных внешним контуром Lo. В этом случае функция
напряжений U {х, у) на контурах Li (t = 0, 1, . . ., п) поперечного
сечения будет иметь постоянные, но, вообще говоря, различные зна-
значения
?/= Ui на Lt(i= О, I	п),
B5)
где L'i — значение функции напряжений U (х, у) на контуре ?[.
Из всех этих постоянных Ui можно выбрать произвольно только
одну, например Ь\ ~ 0, остальные следует определить из соотношений
~ds-—2Lli ((= 1, 2,
B0)
которые должны выполняться для каждого из внутренних контуров Li.
Здесь Hi — площадь области, ограниченной контуром ?,. Соотноше-
Соотношения B6) представляют собой аналитическое выражение теоремы
Р. Бредта о циркуляции касательного напряжения при кручении.
вы йод которо й см. на стр, 24 5.

Кручение стержней
1
Интегрируя
V
Угх
nepi
Узд
dv
дг '
_ д"
ше два
ы =
" ~S/~ ~<
dw I
ду 7Г
dw I
уравнения
W ~
B7),
(И
Л/
"' ~ ~дх
ду
найд™
(>. г).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
На основании равенства нулю напряжений о^, яи, ог н т,^, фор-
формул A9) и из зависимостей закона Гука имеем
ди .	dy	dw
ехх = --— =^ 0; сУу -гг- - 0; егг — -=~ —
B7)
B8)
т. е. перемещение и не зависит от х, а перемещение v — иг у. На осно-
основании четвертого уравнения B7) и B8) имеем
"о W / \ ) Уг (	B9t
у = и0 (г) + / (г) л, j
где «о (г). и0 (г) н / (г) — произвольные функции от г, подлежащие
определению в дальнейшем. Подставив значения B9) в пятое и шестое
уравнения B7), получим
«)i (?) — / (г)у = В -г	^— :
C0)
Правые части этих уравнений не зависят от г, так как перемещение а»,
согласно третьему уравнению B7), и функция напряжений V (х, у)
не зависят от г. Следовательно, и левые части этих уравнений не должны
зависеть от г, т. е. выполняются следующие равенства:
%<г) = С,; vQ(z) = C2; /" (z) = C3.	C1)
где Сх, С, и С3 - произвольные постоянные, подлежащие определению
в дальнейшем.
Интегрируя уравиения C1), имеем
«,<*)= C,z+ «„: 1
»о (г) = С3г + у0; [	C2)
f (г) = Сз2 + /„. )
где и0, va и /о — постоянные интегрирования. Подставив значения ве-
величин из уравнений C2) в выражения B9), получим
и (у, г) = —Саг + Cxt — f<}ij + щ; I
у (*, z) = Сздгг + Caz + /о* + v0. j

Циркуляция касательного напряжения	24Г>
Дли того чтобы устранить поступательные перемещения стержня по
намравлеЕШям осей х и у, положим, что некоторая произвольная точка
пи его торце г — 0 закреплена так, что в этой точк« и - и -¦ 0. Поме-
Поместим начало координат п этой точке и потребуем, чтобы н ней пыпо.чня-
ди d:> iiv n
лнеъ пцн лсловия --, -	:— -:- -т— - 0, устраняющие ничтожность
¦	дг дг дх	3 F
вращении стержня как жесткого тела вокруг осей х, у и г. В этом случае
С, ~ Са = /о = "о - vn^0	C4)
выражения C3) для перемещений и и v примут вид
и — —С3уг; v — Сяхг.
По согласно формуле A7) и выражений C5)
ды4 I д / до ди ''
C5)
ы4 I д I до ди \
дг	2 dz \ дх ду )
С3 -- 0,
т. е. выражения'для перемещений а и у окончательно запишем гак:
и= —буг; о-Пхг.	C7)
Подставляя значения перемещений из формул C7) н выражения A5)
о учитывая соотношения A9), получим
Умножив периос из уравнений C8) на их, а второе на dy, сложив
эти произведения и учитывая выражения B2), получим
= В (ji dx — .v dy) — U 2У- ds.
on
C9)
Интегрируя это выражение, можем определить перемещение w,
которое будет зависеть только от координат х а у.
ТЕОРЕМА БРЕДТА О ЦИРКУЛЯЦИИ
КАСАТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Пусть /. — замкнутая кривая, полностью лежащая в области по-
поперечного сечения (односвязного или многосвязного) стержня (см.
рис. 3).
Циркуляцией касательного напряжения называют криволинейный
интеграл
J = р Ъг ds,	D0)

Кручение стержней
взятый по замкнутой кривой L. Здесь т5г — составляющая тангенци-
тангенциального напряжения по напранленню касательной к этой кривой
tsi — Ixz COS SX + ty2 COS St/.	D1)
Воспользуясъ соотношениями {19) и B2), получим
oV
D2)
Подставляя значение TS2 из выражений D2) в формулу D0) и учиты-
учитывая равенство C9), получим
/ -- — G9 (f) ™ ds = G &, dw + G8 (t) (х dy — у dx) D3)
I,	L	L
Первый интеграл в правой части этого равенства в случае замкну-
замкнутого контура L нвиду однозначности перемещения w обращается в пуль.
Второй интеграл в правой части равняется удвоенной площади Q,
ограниченной контуром L:
х dy — у dx) г-т 2 j | dx dy =-- 2Q.	D4)
Таким образом из выражений C7) следует
/ = 2бвЙ или &0jLd&^. — 2U.	D5)
Формулы D5) предстанляют аналитическое выражение теоремы
Р. Бредта о циркуляции касательного напряжения при кручении.
Они справедливы и в случае, когда замкнутый контур L охватывает
полости поперечного сечения стержня. В частности, интегралы в фор-
формулах D5) могут быть взяты по замкнутым контурам Li (i —1,2,...,
. . ., н), являющимся границами области сечения стержня, так как
перемещеЕШЯ и и v имеете со своими частными производными непрерывны
вплоть до этих границ.
Теорему Р. Бредта можно сформулировать так: для любого замкну-
замкнутого контура, целиком лежащего в пределах поперечного сечения стержня,
циркуляция касательного напряжения при кручении равна площади,
ограниченной этим контуром, умноженной на 2G9.
Значение этой теоремы при определении функции напряжений
U (я, у) заключается в следующем: для сплошных стержней теорема
Бредта является лишь повторением того факта, что функция напряже-
напряжений U (х, у) должна во всей области сечения стержня удовлетворять
уравнению Пуассона B0) н граничному условию B4). Для стержней
с млогосвязным сечением теорема Бредта требует дополнительно, чтобы
функция напряжений V (х, у) удовлетворяла еще условиям B6) или D5),
которые обеспечивают однозначность осевых перемещений & с скру-
чинаемом стержне.

Жесткость призматического стержня
ЖЕСТКОСТЬ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Неличина крутящего момента М не входит в основные зависимости
теории кручения призматических стержней A9), B0) и B3), которыми
определяется функция напряжений U {х, у). Подставик выражения A9}
н соотношение C), для крутящего момента получим
или, интегрируя это выражение по частям, будем иметь
M-2GQJJU(X, y)dQ-Gd\j \I-{xU)-\,-L {ууЛ dQ. D7)
а	с
Произведем преобразование кторого слагаемого в выражении D7)
по формуле Грина—Остроградского
Ф(Q cos"* + Pcos "y] <l% D8)
где i2 — площадь поперечного сечения стержня, являющаяся много-
связной областью, ограниченной контурами Li (i = 0, 1, . . ., «); инте-
интегрирование по контурам Li проводят всегда так, что область Q остается
слева {см. рис. 3); Р и Q — функции непрерывные вместе со своими част-
частными производными первого порядка в области ?2j вплоть до v.e границы.
Тогда получим
^ ~ 2Ut §{x dy -y dx) ^ ~2 2UiQii {49)
при этом использованы значения функции напряжений U {х, у) иа
внешнем контуре Сй сечения, указанного в формуле B4), и инте-
интеграла D4).
Подставляя выражение D9) в формулу D7), получим
i—n
М = 2G0 j j U (xt у) dQ + 2G6 ^ (/,Й?.	E0)
a	i=i
Если поперечное сечение стержня является односвязной областью,
тогда вместо выражения E0) будем иметь

24S	Кручение стержней
В выражениях E0) и E1) интегралы от U {х, у) следует брагь ни исей
площади поперечного сечения стержня, занятой материалом, а суммиро-
суммирование па i распространяется на все внутренние контуры L(.
Формулы для крутящего момента М E0) и E1) можно представить
также н виде
М - СН = вйУ,.,	152)
где С — жесткость при кручении; JТ — геометрическая >Kteiкость при
кручении.
'Для полых стержней с п полостями
[
I' \ U(x,
для сплошных стержней
С-- 2G j f U(x. у) d&.	E4)
Следовательно, решение задачи о кручении причматическнх стерж-
стержней при помощи функции Напряжений U (х, у) сводится к решению
задачи Дирихле для уравнения Пуассона B0) при граничном усло-
условии B5) на контуре сечения, причем в случае многосвязного сечения
требуется еще выполнение на каждом контуре сечения дополнительных
условий B6), необходимых для определения постоянных значений функ-
функции напряжений Ui на внутренних контурах сечения /.j (/ —1,2,-,
.... п), таких условий, которые обеспечивают однозначность осеных
перемещений w (x, у) стержня.
МАКСИМАЛЬНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Обычно максимальное касательное напряжение в сечении стержня
при кручении возникает на контуре сечения на средних участках длин
пых сторон профиля и в закруглениях у входящих углов. Максимальное
касательное напряжение
где М — крутящий момент; Wr — момент сопротивления сечения кру-
кручению. Как геометрическая жесткость при кручении, WT также зависит
от формы и размеров поперечлого сечения стержня. Значения WT
для некоторых профилей приведены в табл. 2.
ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Перемещение w (x, у) представлено Сен-Венаном в виде
w{x, у) = 9у(х, у).	E6)
Функцию ф (х, у) называют функцией кручения Сен-Венани или
функцией перемещения.

Функция перемещения
tc-ли пользоваться равенствами C7) и E6). то им ныражсний A5)
получим
,„,..«,(.?._,); !„.-.<» (-?- + ,).	«S7,
Подставляя эти выражения для напряжений тхг и т^г в уравнение
равновесия A0), мы увидим, что оно удовлетворяется, если функция
Ф (х, у) в области сечения стержня является гармонической функцией,
т. е. Дер = 0. Уравнение же совместности в напряжениях A8) при усло-
условии E7) удовлетворяется тождественно.
Подставляя выражения E7) в третье из уравнений A), получим
^0 на L.	E8)
где L — контур области сечения.
Учитывая соотношении B2) и заметив, что
dw	дф	да>
-Я.аЯпх+-?-Са,„у^-?,	E9)
соотношение E8) приведем к виду
¦~-
у cos пх — х cos пу нл L.	F0)
Саедовательно, задача о кручении стержня сводится к определению
гармонической в области сечении стержня функции, когда на контуре
сечения задано значение нормальной производной этой функции.
Пользуясь выражениями C), E2) и E7), для жесткости при кручении
получим формулу
C = GJP + G J J fxJpL-y^L\ dQ.	F2)
Q
где Jp= \ 1 (x2 -\- y") dQ —полярный момент инерции попереч-
"п
ного сечекня стержня относительно центра кручения, совпадающего
с центром тяжести сечения.
Если преобразовать второе слагаемое в выражении F2) по формулам
Грина—Остроградского и Грина, тогда это выражение можно привести
к виду
/	f f г t Агл \ 2 / <5<в V- I 1
- +(-тг-\ \М- К»)

Кручение стержней
Этл формула иоказшает, что жесткость призматического стержня
удовлетворяет неранснству
C^GJp.	F1)
Знак равенства в соотношении F4) имеет место только для круга
и кругового кольца, так как в этих случаях ф ^- -^- — 0. Отсюда еле-
tr
дует, что из всех сплошных призматических стержней е одинаковым
полярным моментом инерции (Jp = const), стержень кругового сечения
имеет наибольшую жесткость при кручении, а из всех полых стержней
при Jp — const наибольшую жесткость при кручении имеет стержень
кольцевого сечен ня.
Е. Николаи, представляя жесткость при кручении в виде
где Jx ~ | \ у2 dx dy; 3 у — 1 | хг dx dy; ii — область поггеречного
1 и	а"
сечения ск'ржпя; f {х, у) — некоторая гармоническая функция, свя-
связанная с функцией кручения Сен-Венанн соотношением
/(.т, ^)==--ф(л-, у)	~	г~ху,	F6)
J х Т" •> У
получил для жесткости при кручении следующую оценку:
4Jx3y
CsS	G,	F7)
так как О 0.
В выражении F7) знак равенства, как это следует из зависимо-
зависимости F6), имеет место только для эллиптического сечения (когда /—0)
при условии, что центр кручения совпадает с центром тяжести эллипса.
В самом деле, для эллиптического сечения имеем известные формулы
nab*	j.a*b	nab , .-, . ...
Jx = _^ ; Jy _ _^ . Jp ^ _^ @. _. 6J);
F8)
Следовательно, из всех цилиндрических стержней с одинаковыми
жесткостями при изгибе в главных плоскостях стержень эллиптиче-
эллиптического поперечного сечения имеет наибольшую жесткость при кручении.
Из соотношения F7) при Jy^Z-~ можно получить для жесткости
при кручении следующую оценку:
(o9)

Напряжения в вершинах углов контура сечения
Для жесткости полупим еще одну оценку
G0)
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ВЕРШИНАХ
ВЫСТУПАЮЩИХ И ВХОДЯЩИХ УГЛОВ КОНТУРА
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
Рассмотрим некоторую угловую точку на коптуре поперечного
сечения скручиваемого стержня. Пусть угол, составленный касатель-
касательными к контуру в этой точке ON и ОМ равен а (рис. 4). Поместим начало
координат О в этой точке и воспользуемся полярной системой коорди-
координат г, tp, причем угол ф будем отсчитывать от направления одной из
касательных, например ON.
При а <; п угол выступающий, при а. ]> л — нходящий.
Функция напряжений'// (г, <р) в окрестности данноГ| угловой точки
контура должна удовлетворять уравнению Пуассона, которое н поляр-
полярной системе координат имеет вид
dr»
дг
и граничным условиям
U (г, 0) ^ U (г, а) = 0;
здесь касательные напряжения т,
определяются формулами
т„„(г0-1-.-*-; х,ф = -00-^. G3)	рвс. 4
Общее решение уравнения G1) можно представить в форме
kiltf
G4)
В выражении G4) первое слагаемое есть частное решение уравне-
уравнения G1), а остальные члены в виде рядов являются гармоническими
функциями и представляют собой обща; решение соответствующего
однородного уравнения. Здесь ми исключаем из рассмотрения случаи,
л	Зт
когда а = -рр и а = —-,

Кручение стержней
Для того чтобы функция напряжений О (г, Ф) в рассматриваемой
области была ограниченной, в выражении G4) нужно положить
Ct = Dk'-=Q.	<<5)
Чтобы удовлетворить еще и условиям G2), достаточно потребовать
в выражении G4)
В/г — 0;	G6)
тогда выражение для функции напряжений V (г, <р) примет вид
*=!
Для определения тгг, согласно равенствам G3), получим выражение
Рассмотрим отдельно следующие случаи:
1.	Пусть а < л (выступающий угол). Тогда из формулы G8) сле-
следует, что lim rr7 = 0. Следовательно, в случае выступающих углов
в скручиваемом стержне касательные напряжения в вершине его всегда
раокы нулю.
2.	Пусть а ^> л (входящий угол). Из формулы G8) для этого случая
следует, что lim rfZ = оо. Следовательно, н случае входящих углов ка-
касательные напряжения в их вершинах бесконечно велики.
3.	При а = л (п окрестности данной точки контур сечения гладкий).
Из формулы G8) получим, что lim тГ2 = GQ A t cos <p, т. е. касательные
напряжения в таких точках всегда являются конечными.
Аналогичная картина имеет место и для компонента напряже-
напряжения тфг, определяемого формулой
— 1 — GO
J
G9)
Результаты, полученные выше, свидетельствуют об очень высокий
концентрации касательных напряжений в окрестностях вершин входя
щих углов контура поперечного сечения стержня при его кручении.
Значения этих напряжений в самых вершинах этих углов получаются
по формулам G8) и G9) бесконечно большими и тем самым они теряют
физический смысл. Это объясняется тем, что при выводе этих форм>л
предполагалось, что материал стержня является идеально-упругим
и подчиняйся закону Гука и при напряжениях, превышающих предел
прочности материала о9.

Мембранная аналогия
253
Для определения величин местных напряжений и вершине входя-
входящего угла (в окрестности, где контур сечения имеет входящий излом
или даже закругление, но весьма малого радиуса кривизны) методы
теории упругости недостаточны, так как в этих случаях величины мест-
местных напряжений существенно будут зависеть от того, насколько де-
деформации материала стержня в окрестности излома или закругления
отклоняются от закона Гука и как изменяется а этом месте очертание
самого контура сечения вследствие пластических деформаций.
МЕМБРАННАЯ АНАЛОГИЯ
Часто решения различных задач механики приводятся к одинаковым
по своей структуре математическим уравнениям.
Представим себе мембрану из однородного материала, натянутую
на жесткий контур того же очертания, что и поперечное сечение скру-
скручиваемого стержня, и подвергнутую
затем равномерному поперечному дав-
давлению интенсивности р кПсмг. Натя-
Натяжение мембраны q кГ/см на единицу
длины контура будем считать настолько
большим, что прогибы мембраны малы
по сравнению с пролетом, т. е. мембрана
имеет настолько малые прогибы ш, что
/ dw \2 / dw \2
величины ( -Б~ ] и [ -з— ) нре-
\ дх / \ ду } v
небрежнмо малы по сравнению с еди-
единицей.
Составим уравнение равновесия
элемента поверхности мембраны, спро-
спроектировав на вертикальную ось z все
действующие на пего силы (рис. 5):
¦ dw
dw ,
-isrdx-
(80)
После приведения подобных членов и сокращения получим
-—§-.	(81)
bx*
причем прогибы мембраны на контуре в силу жесткости его будут
равны нулю, т. е.
w = 0 ла L,	(82)
где L — контур мембраны.
Если положить
(S3)

'!.') |	Кручение стержней
то дифференциальное уравнение (81) и граничное условие (82) будут
тождественно совпадать с дифференциальным уравнением B0) и гранич-
граничным условием B4), определяющим функцию напряжений при кручении
призматического стержня.
В этом и заключается аналогия, установленная Л. Прандтлем,
между задачами о кручении призматических стержней и об изгибе
мембраны.
Эту аналогию можно применить н к кручению полых призматических
стержней. Для этого нужно теорему о циркуляции касательного на-
напряжения B6) выразить, использовав терминологию мембранной
аналогии.
Согласно аналогии Прандтля, на соответствующих внутренних
контурах мембраны должны выполняться условия
w - Wj = const на Li',
которые получаются из соотношения B6), если заменить в нем U (х, у)
на 2jLw{x, у).
В случае применения мембранной аналогии для стержней с много-
связным контуром поперечного сечения необходимо натянуть мембрану
на контур, тождественный внешнему контуру сечения стержня. В об-
областях мембраны, соответствующих внутренним контурам многосвяз-
пого сечения стержня, необходимо жестко прикрепить плоские неве-
невесомые диски; эти диски должны иметь возможность перемещаться только
параллельно плоскости наружного контура мембраны. Вся эта сложная
мембрана нагружается внешним давлением р.
ДРУГИЕ АНАЛОГИИ
Существует несколько аналогии между задачами о кручении призма-
призматических стержней а задачами гидродинамики о движении жидкости
в цилиндрических трубах.
Буссииеск установил, что дифференциальное уравнение и гранич-
граничное условие, служащие для определения функции напряжений U (х, у)
при кручении призматических стержней, совершенно одинаковы по
виду с уравнением и граничным условием, которыми определяются ско-
скорости различных слоев вязкой жидкости при ламинарном движении
жидкости по цилиндрической трубе того же поперечного сечения, что
и скручиваемый стержень.
Тоисон и Тэт указали, что если идеальная несжимаемая жидкость
заключена в цилиндрическую трубу, вращающуюся вокруг CBoeii
оси г с постоянной угловой скоростью со, то функции тока Ф (х, у)
для движения такой жидкости относительно осей хну, жестко связан-
связанных с трубой (вместе с не» вращающихся), является гармонической
функцией и удовлетворяет на стенках трубы такому же граничному
условию, какое имеет место для гармонической функции ij> (x, у),
сопряженной с функцией крутни я ф (х, у) мя призматического стержня
такого же сечения, что и труба.

Кручение прямоугольного стержня
255
Грннхиль показал, что функция напряжений U (х, у) при кручении
математически эквивалентна функции току при циркуляции идеальной
жидкости в рассматриваемой выше трупе с постоянной вращательной
скоростью для каждой частицы жидкости.
Имеются и другие аналогии, связывающие задачу о кручении
призматических стержней с некоторыми другими задачами механики,
электростатики и пр.
КРУЧЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим задачу о кручении призматического стержня с прямо-
прямоугольным поперечным сечением. Согласно мембранной аналогии функ-
функция напряжений U (х, у) для прямоугольного профиля будет симме-
симметричной функцией относительно осей Ох и Оу (рис. 6). Поэтому эту функ-
функцию достаточно определить только в четвертой части области сочи-
сочини я ОАВСО, потребовав при этом, чтобы нормальная производная
функции напряжений на осях симметрии
равнялась нулю:
(*L) r(*L) -0. (85)
\ а* }х=а \ ду )у...'\	к
На остальной части контура обла-
области ОАВСО функция U (х, у) прини-
принимает значение
А
I
... . 0
Решая уравнение B0) методом разделения переменных, функцию
напряжений U (х, у) представляем в виде
U(x,
('2k— I) :\x
+ Bk sh -i	 '	cos -i		.	(87)
Легко видеть, что второе из условии (86) удовлетворяется тожде-
тождественно выражением (87).
Удовлетворив первому из условий (85) и условиям (85), получим
Л„=-
= 0, Ак

Кручение стержней
Подставляя эти значения г> формулы G3), будем имен
,,, ... Ь' ., .
B*—1)л*
(89)
л-' / | B*— 1)" t Bk— I) ли
Пользуясь формулой (о4) для определения жесткости при кручении
сплошного стержня, которая для нашего случая принимаем вид
С — 86' \ ilx \ U (.(, у) йу,	(90)
произведя интегрировании, получим
С «"Л'—^"- У	',h^-l=0^,. (91)
1 Г 192 Ь	\\	1	ha I-
L	Arrri. a. . .	I
(92)
Дли вычисления коэф(()ициеита А, можно пользоваться также при-
приближенной формулой
0,052
(93)
Эта формула дается в курсах теории упругости и сопротивления
материалов.
Некоторые значения коэффициента kr в зависимости от отноше-

Кручение прямоугольного стержня
1. 'Значение коэффициентов k. k, n h2
ft i
I
0,847"/
fl. SO 5
0,9044
A,9.101
0,2312
0,2315
0,2405
0,2455
0,2532
0.2575
0,2670
D.2053
0.29&4
0.3035
П.3071
П.3124
Пользуясь обычными формулами A9) для определения напряжений
и функцией напряжений (89), получим
, 8^ V4 (-1)*
^ я2 ^ B*— IJ
^— 1) JLC
BА--1) ла
8Ь
Bk — 1) л
5
к—1
B/.- — I) пх
~~ Ь	B»-1)лу
(94>
Наибольшее напряжение в прямоугольном правиле при кручении
стержня возникает в точке х = 0, у'— Ь/2 (если а> Ь):
-5- = I т,п«х i -
— GDife,	(95)
(96)

258	Кручение стержней
Испо.'1ьчон;ш формулу
М --¦= СО — GQk,aba.	@7)
можно формулу (95) принести к виду
*,-^.	(99)
Для вычисления А2 можно пользоваться	также и приближенной
формулой
*-ПРГ*	A0Г|)
Имен функцию напряжений U (х, у), можно определить также
деплапаиию сечений при кручении стержней, т. е. функцию Сен-Вг-
uaua ф (х, у).
Сопоставляя формулы A9) и E7), для напряжений xxz и т,/г, получим
dtp	дО дФ	dU	,.,.
-—!- = и -\	• —!- — - -X	— .	( I U i I
ах	оу * оу	ох
Пользуясь теперь выражением (89), вычисляя производные —г—
и —-— и по формулам A01) произведя интегрирования, дли функции
ф (х, у) найдем
ф {х, у) --^ ~ху -f
(-1)'+'
Постоянную С[ определяют из условия закрепления одной iu ю¦.t
поперечного сечения стержня.
КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО ВАЛА
С ПОЛУКРУГЛОЙ КАНАВКОЙ
Рассмотрим задачу о кручении круглого вала с полукруглой кап.м:
кой (рис. 7). Удобно задачу решать в полярных координатах, с k.vkp.1»/
координат в центре полукруга выточки, а ось симметрии сечешзи при
нять за полярную ось.

Кручение, вала с полукруглой
Функции напряжений Ф ((>, <\) п области поперечного сечения вала
удовлетворяет ураннению llyncconil B0). В полярных координатах
это уравнение имеет вид
dp i p*
A03)
Па контуре области сечения функция напряжении принимает зна-
значение, равной нулю. Для нашего случая
ф (И] ф) = ф B/i cos ф, Ф) = 0.	A04)
Напряжения т0? и т^г D полярных координатах выражаются через
функцию напряжений Ф (р, (р) соотношениями
I дф	tht>	в
Для этой задачи функцию напряжений
Ф (р. ф) К. Бебер представил в виде
Ф (Р. Ф) =" <2# cos ф — р) / (р), A06)
где / (р) —функция, подлежащая определе-
определению.
При таком выборе функции Ф (р, ф) второе из	|.ilc. 7
условий A04) удовлетворяется автоматически.
Подставляя функцию Ф (р, ф) из выражения A06) в уравнение A03),
получим
2 я cos ф [У ф) +-L г ф) -1-
1-
• (р) -
/' (р) + — / (р) j - -2.
Отсюда, иогрепован одновременное выполнение уравнении
получим решение
Удометворнв первому из условий A04), найдем
A07)
A08)
A09)
(ПО)

Кручение, стержней
Решение (lOfi) примет вид
Для определения жесткости вала и напряжении по обычным форму-
формулам получим следующие соотношения:
С ... :IG f |ф(р.
хцг--г.— I ffM -i-_^-jcos<{ —1>\ GO.	A13)
В точке ф = 0, р ~ а напряжение т(рг имеет наибольшее значение,
определяемое выражением
I VW"= B# —о) AВ.	A14)
Перейдя в этом выражении к пределу при а ->¦ 0, найдем
|тфг1тах= 2tfGB.	A15)
между тем, в поперечном сечении бе:ч выреза напряжение из контуре
имеет значение R(lQ. Сопоставление этих результатов показывает, что
наличие \\я круглом валу малой круглой продольной выточки приводит
к удвоению максимального касательного им пряжения.
КРУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОКАТНЫХ
И ПРОСТЫХ ПРОФИЛЕЙ
Приближенные расчетно-теоретическне формулы, приведенные
в табл. 2 для прокатных профилей, получены теоретическим iiyrfj
tin основе точных решений fl J. Эти расчет.'ю-течтггпчесхие форму;]!:!
спранедлпвы для большого диапазона п-омогрмческнх параметров
про(|шлен.
Отметим, что при точном решении задач по кручинно прокатим ч
профилен оаластн сечений были взяты без закруглении около соедине-
соединений стенок профиля с полками. Следователь;») и табл. 2 в данных при-
приближенных формула* для прокатных профилей не учтены влиянии
закруглений н областях соединений eienoK профиля с полками. Одн^к"
имеющиеся закругления могуг оказать влияние на величину жесткости
прокатного профиля в сюропу ее незначительного увеличения. Закру!
лепия в значительной мере ослабляюi местную концентрацию напря-
напряжении у входящих углов профиля. Величина же максимального напря-
напряжения, приведенная в табл. 2 для данного профиля, lie получит ощути-
ощутительного изменения, если это напряжение возникает в точке r достаточ-
достаточном удалении от входящего угла.

Кручение простых npotftUArii
« =
ц
5.
E .-
?s
8»
I*
x Q-
?.»
|1
«, =.
c s
i
'O ^
?
1.
=
a
Й
I
x =
el
j.
i
«
i
s
ё
4,
^^^^ t
-
«1-
1
м\Ъ^1

1 2
1 z
'i =
С ^
- 1
ения
s§
II
is
Геометрическая
при кручении
I8
cq ^
1 Eo „ 1
I "III
z ? s Ц 5
| I ™ n ?
1
•-I
,|,
-
г S
к ]
1 c"
B|. L
II
с Г;
II
= ft
„
Г.
1 о
- S
о -
1 —р
=
s
|
к 1-|
Г
S
1
=
1
1
L

Кщ/чгнис простых профилей
г Ш
П
т г
L

Кручение стержней
о =
°S =
Й-
- %
К
?g
Ё *
1
~i
б'-
t о аз
15 I
Л
|
j
» i;
х -=
-
[
р.
Е
iu
и
1
-с
щ
Очках
1
I
=
о
Л
с
ё
F-
1
5
S
1
иг.
ш -
та я с &
iz i
й
«
¦с|ъ
V
в.
_
: с.
h
.;ri
&j
1Г
i
1 :i
~ 1
- =
i- ¦
га.
¦'¦'"<
с
,s
—
t _s
s
—

Кручение простых профиле
й
= 1
'Л
А
X
"•S
1
= 1
; "
1 Й5
= S*
[
-
1
1
iiii
Ipi
г I
ь
\
с
-о
li
li
h
crop
"о
i
__
ig
a
0,1Я«
i
s
и
3,
=•
1
- j
I -
j
.1
1
I
j

KpyntHiu1 стержней
/KVc г коп 1.
'(поляки t;ik >i
пикон, сосгав
при кручени
с, k.jk сумм
1НЮЩИХ про
профи
просри л ей приближенно иы-
слдеиьпых узких прямоуголь-
d — высота (ширина) и толщина отдельных прямоугольников.
яние соединений отдельных прямоугольников учитывается
ором поправочном коэффициенте- а. Значения этого коэффици-
шненшж от формы профили, для различных профилей опытным
стдновлены А. Фелплем, они прицелены н табл. 3. Однако дли
!ения коэффициешэ а опыты были произведены лишь для тонко-
с оержнен, и пользоваться приведенными в табл. 3 значениями п.
ютостешшх стержней нельзя (при b/dt^.2 ошибка может ока-
заться более 20"о).
i коэффициента и
Профиль
Швеллер
Тавр
Двугяир
Двутиир широконолочный 1Грея и
Ilofuiepa)
Коэфф.ш
различных
О.Ьо— 1. 10
0,98—1,25
0,92—1,45
1.16- 1,44
1.21—1,47
1. 13—1,20
средний
0.9У
1,12
1,15
1,30
1,29
Коэффи-
по опытам
ЦНИИПСа
1.0
1,20
4. Значения коэффициента и для швеллера и двутавра
Профиль
Шв-.млер Л» 12
Двутавр X, 16
4,51
12,0
1 19
159
Ь
52.9
ю
d
Д. 5
7.4
10.0
10.5
1
IN
4,0В
8,73
коэффн-
циент и
1,10
1
1,37

Кручение простых профиле:
Для некоторых прокатных профилей значения поправочного ко-кр-
фициента а. установлены опытным путем в ЦНИИПСе. Эти значения
приводятся в табл. 3 и 4,
Для определения жесткостей прокатных профилей даются и другие
приближенные формулы (табл. 5), которые установлены опытно-тео-
ретическнм путем Вебером и Шмиденом. Эти формулы также применимы
только для определения жесткостей тонкостенных профилей.
Профиль
сР
ft3"
—
14' —
Q
1 ~'
M
~^i
d>
/Iя
d'
рокатных
по Номеру
- Ui \-tt —
(lt .j.. ^ _
(D -^ ;3 _
(!(,+'.-
ирофеле
,„„,,«,
1.6i)
I,M|
1 ,.d)
d1
„o
V
i
V
Шм,|д,-,1у
-
-

Кручение стержней
ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА СЕН-ВЕНАНА
ДЛЯ ЖЕСТКОСТИ
Для определения жесткости при кручении и инженерной
иногда пользуются приближенной формулой
где F — площадь сечения стержня; Jp — полярный .момент инерции.
Приближенная формула A16) дает хорошую точность для определения
жесткости эллипса, круга.
Жесткость эллипса
С = Ол-^5,	A17)
где а и Ь — полуоси эллипса. Испольаонав это выражение, нетрудно
вывести формулу A16). Действительно, формулу (i 17) можно переписать
в форме
?-.	("8)
(о2 -|- *2) -1л>
2 —Л2); 4л* * 40.	A19)
Формулу A16) часто применяют для приближенного определения
жесткости при кручении сплошных призматических стержней произ-
произвольного профиля. Следует отметить, что она во многих случаях можег
привести к неправильным результатам. Так, например, для секториаль
ното сечения приближенная формула Сен-Венана всегда дает завышен-
завышенные значения для жесткости, за исключением случая весьма малых
углов сектора а. Для кругового сечения с радиальной трещинок, до-
доходящей до центра круга (а = 2л), по приближенной формуле A16)
получим С— 1.57СЯ1. Между тем точное значение жесткости в этом
случае равно С — 0,878Сй*, т" е. ошибка достигает 80% . На это впервые
обратили внимание Д. Фстшль и Л- Фепнль.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТКРЫТЫМ ПРОФИЛЕМ
В современной технике, особенно в машиностроении и авиастроении,
широко применяют тонкостенный конструкции. Основными элементами
таких конструкций часто янляются стержни с удлиненными или тонко-
аенными профилями. В последнем случае их называют тонкостенными
стержнями, так как размеры их поперечного сечения в одном напрянле-
нни являются мальши по сравнению с размерами в другом. Примерами
тонкостенных стержней являются прокатные профили: угловой, швел-
швеллер, двутавр и др.

Тонкдстенныс стержни с криволинейным профилем	2(iO
I Io форме поперечного сечения юнкостеппыи сгержпн делят на
открытые (швеллер и др.) и закрытые (трубы с различной формой
могут нызнать п них большие деформации и опасные напряжения.
Поэтому развитию '[сирин кручи ни я стержней i: удлиненными и
тонкостенными профилями, л также разработке зффектинных методов
ения конкретных задач пос.ч^щеио много исследований как и-орети-
коги так и экспериментального характера Главные из этих работ
к современных курсах по прикладной
материалов |E, 7," 9, 16, 17, 20, 23].
ной аналогии Прандтля или гидродинамических аналогий
TOii же ширины, что и рассматриваемая. При этом влияние .,....;,..,..,	.
и ужесточения за счет соединения между собой отдельных полосок,
составляющих данный профиль, учитывают введением в расчетные фор-
формулы поправочных коэффициентов, определяемых из омы гон (см.
стр. 20ti—267).
Очевидно, что такой метод расчета на кручение призматических
стержней с удлиненными и тонкосменными профилями дает лишь
приближенное решение задачи п является более или mi1 нее точным
в зависимости от того, насколько узки или длинны те полоски, из
которых сиггавлен данный профиль,
Кроме того, при использовании метода мембранной d"'iFinrH" ""Io
решения задач о кручении тонкослойных стержней с кр!
решения задач и круче им л юпкис^ннмл стердшен с куч Hu.itnitiiiib;.^
профилем последний обычно рассматривают как совокупность прямо-
прямоугольны ч. Следовательно. =»ю peineiine не учитывает влияния кривизны
средней линии скручиваемого прпфиля на распределенир напряжений.
В частности, оно не дает возможности определить [юлиппну концентра-
концентрации напряжений во входящих углах скручиваемого профиля в зави-
зависимости от радиуса закругления.
Математическая сторона приближенного метода расчета призмати-
призматических стержней' с удлиненными и тонкостенными профилями на кру-
образующим стержня.
Пусть контур профиля Г относительно средней линии, выражается
уравнением
п - ± -i-A(s),	A20)

270
Кручение стержней
т. е. профиль будет симметричным относительно его средней линии,
причем h @) — А {!) — 0 и max |Л (я)| - Ь.
Как известно (см. стр. 242), задача кручения рассматриваемого
стержни сводится к определению функции напряжений U(s, я), удо-
удовлетворяющей внутри области (.i поперечного сечения стержня урав:
нешио Пуассона B0), которое d системе криволинейных координат s, n
примет вид [8, 13]
I f дК>	д / I \ 3U	i)*U	дН dU 1
A21)
где N = 1 +	коэффициент Лямс; р — радиус кривизны средней
линии профиля,
На контуре, выраженном уравнением
A20), функция напряжений удовлетво-
удовлетворяет условию
U/r= 0.	A22)
Заметим, что
рирует лишь один
остальные коэффициенты равны еди-
единице, так как длина дуги rfs* в выбран-
выбранной системе координат (s, л, г) опреде-
определяется равенством
i уравнении A21) фигу-
коэффицнент Ляме И,
ds>
1 ^ ( 1 -|- JL ) ds* -I- drC- + dzn~.
A23)
Касательные напряжения zSi и xnz через функцию напряжений
U (s, п) выражаются следующими формулами \\\:
а жесткость при кручении
С = SO j ds j" (/ (s, n) A 4- —-) dn,
A25)
где 0 —-угол закручивания па единицу длины стержня; G — модуль
сдвига.
В приближенном методе решается не точное уравнение A21) при
граничном условии A22), а некоторое упрощенное, которое получается
и'* точного, если, приняв во внимание удлиненность профиля (I -]-
+ -^- » ! I, пренебречь в нем. а также в формулах A24) и A25) про-
производными но s и членами порядка — по сравнению с единицей. Сле-

Тонкостенные стержни с криволинейным профилем	271
дователыю, в приближенном методе уравнение A21) заменится одно-
одномерным уравнением
с граничными условиями
h(s)
Решение уравнения A26) при указанных граничных условиях
имеет нид
тогда, согласно формулам A24) и A25), получим для жесткости С,
крутящего момента М и максимального касательного напряжении
l^niax следующие соотношения:
h (sj
I	2
C
-26'Jrfs j [^-n^=4U
M - Cti - -^ f /ia (s) ds;
A29)
Эти приближенные формулы широко используют в инженерно/г
практике при расчете на кручение тонкостей г :кх ск'ржней О1Крыгого
профиля. Они впервые были получены при помощи мембряшюй аналогии
Гриффитсом и Прескотом, а изложенным выше .методом —Д. Ю. Пи-
Пиковым н Г. Ю. Джанелидзе. Эти формулы являются совершенно точными
только для случая бесконечной полосы с постоянной шириной h =
= const. Во нсех остальных случаях они дуют лишь приближенное ре-
решение. При этом точность этого решения существенно зависит от того,
насколько рассматриваемый профиль является удлиненным и искрив-
искривленным, т. е. зависит от отношений — и ¦ , которыми характеризуются
степень тонкостейности скручиваемого профиля и искривленность
(где h — максимальная толщина стенки профиля; р — наименьшее ич
значений радиуса кривизны средней линии профиля; / — длина сред-
средней линии).
Полученные формулы известны как формулы Грнффнтса—Проекта
для тонкостенных стержней с криволинейным открытым профилем.

Кручение стержней
Из ны1К1Да эти х формул следует,
.LMoi:ib их исть t -! — ~' 1
Р
(см. par'i:i,-y || ] стр. 479—483).
Кроме того, при применении формул Грнффитса—Прескота к от-
открытым профилям с криволинейной формой их средней лишш мы
фактически выправляем эти профили н рассматриваем их как прямо-
прямолинейные.
Следовательно, формулы Гриффит са—П|нч'кот а A29) не учитывают
влияние кривизны средней линии скручиваемого профиля на распре-
распределение напряжений в нем и на пеличину его жесткости.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
открытого профиля из прямоугольных
И ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ПОЛОСОК
Анализ расчетно-теоретических формул (см. стр. 260) и вычисления
показали, что с точностью, вполне достаточной для технических при-
приложений, их можно применить при расчете стержней на кручение не
только для тонкостенных, но и для стержней со средней толщиной
езенок, а практически часто и для толстостенных.
Однако в современной технике зачастую применяют стержни с более
сложными профилями, чем рассмотренные ранее, а также стержни.
составленные не только из прямоугольных, но и из трапецеидальных
полоток (рис. 9). В этих случаях нахождение точного решения и построе-
построение на оснонании его приближенных формул для расчета такн.ч стерж-
стержней па кручение связано с большими математическими трудностями.
Поэтому при расчете па кручение тонкостенных стержней со"сложными
профилями, составленными из узких прямоугольных и трапецеидаль-
трапецеидальных полосок, приходится пользоваться приближенным способом,
основанным на применении формул Гриффитса— Прескота.
Прежде всего рассмотрим кручение стержней, поперечные сечения
которых имеют форму узкой трапецеидальной полоски или вытянутого
прямоугольника (рис. 10). Будем пользоваться прямоугольной систе-
системой координат хоу, как показано на рис. 10.
Тогда
h (х) =
A30;

Тонкостенные стер кии открытого профиля из полосок 2V3
Подставляя Э'Ю значении h (x) в формулу Гриффите:' --Прескота
A29). находим после интегрирования жесткость
"»>
пр
сост
Для максимального напряжения согласно формул A50) имеем
Тщах г" ¦ iTjrzlttiDX "= <$dt.	A32)
В частном случае при d.2 = dy — d (узкий прямоугольник) из вы-
выражений A31) и A3'2) получим
С -- ~~-— ; Тшах — GQd.	A33)
Этими формулами широко пользуются в инженерной практике д.1я
шближенного расчета па кручение тонкостенных открытых профилен,
ставленных из узких прямоугольных и трапецеидальных полосок.
Оценим точность формулы A33) в зависимости от отношения ——-
рассматриваемого прямоугольника (Ь — ширина прямоугольника, d —
толщина). Для этого запишем выражение для жесткости С* прямоуголь-
прямоугольника при его кручении в форме [см. формулу (91)]
htl* 64 VI 1 tmb
тогда погрешность формулы A33)
*=1. 3, ...
или, заметив, что
\ч 1 , kxb	\Л 1
получим из соотношения A35)
Д <с 0,630 —.	A37)
о
Для того чтобы погрешность формулы A33) не превосходила, на-
например, Ъ% (такой процент погрешности обычно допускается в техни-
технических расчетах), необходимо
-~^-tU ¦+¦ ~.	A38)
К этому заключению можно прийти, и непосредственно рассмотрен
Данные табл. 1. Из этой таблицы следует, что погрешность при при-
применении формулы A33) будет не более 5%, если Ь ^ lOd. Из табл. 1

274	Кручение стержней
также видно, что при применении формулы A33) для определения мак-
максимального напряжении погрешность не буде! превышать ")"ц уже при
Ь :¦» 3d.
Следовательно, с относительной погрешностью Л -= о% формулы
типа Гриффитса—Прескота можно применять лишь к удлиненным
профилям, у которых максим иль на я толщина не превосходит 0,'Ов—
0,1 части их длины.
Следует отметить, что в некоторых курсах теории упругости оши-
ошибочно считают, что формулы типа Гриффитса—Преснота A29) при
расчете стержней прямоугольного сечения на кручение практически
дают высокую точность уже при отношении сторон Ъ > Ъс!. Из соотно-
соотношения A37) следует, что при таком отношении сторон прямоугольника
погрешность, получаемая в результате применения формулы A29)
или A33), достигает 13%.
Приближенный способ расчета па кручение открытых топкоетенныч
профиле», составленных из прямоугольных и трапецеидальных полосок,
заключается в следующем.
Допустим, что на контур профиля, показанного на рис. 9. натянута
мембрана, равномерно загруженная распределенной нагрузкой. Рели
отдельные полоски, из которых состоит этот профиль, достаточно учки
(относительная толщина этих полосок должна удовлетворять нера-
неравенству —г- ^-гтг -f- rrr- ], то тогда пронисание мембраны на большой
части длины в каждой из этих полосок будут таким же, как и у бесконеч-
бесконечной полосы той же ширины. Напряжения н таком стержне вдали г/г
мест сопряжения отдельных полосок будут близкичи к напряжениям
в соответствующих точках этих полосок, если рассматривать их как
отдельные. В районах же сопряжения одной полоски с лругоп имеет
место значительная концентрация напряжений. Однако это явление
не может влиять па величину жесткости С скручиваемого стержня
ввиду малости тех областей, в которых эти напряжения действуют,
по сравнению со всей площадью профиля. Поэтому дли каждой из этих
полосок можно будет применить формулы Грнффитса— Прескота A29)
или A31)—A33). Что касается определении концентрации напряжении
и местах сопряжения этих полосок, то этот вопрос требует специального
исследования и будет рассмотрен в конце главы.
Очекидно, что углы закручивания всех голосок, входящих и состав
скручиваемого профиля, должны быть одинаковыми. Поэтому крутя-
крутящий момент Afг, действующий п j'-fi полоске, будет пропорционален
жесткости С( этой полосы. Так как сумма всех таких моментов должна
равняться моменту М7 скручивающему профиль, то между этим мо-
моментом, углом закручипания (I и жесткостямп отдельных полосок Со-
Сосуществует зависимость
М = V Mi = й 2 С.	1139)
откуда следует, что жесткость всего профиля С реппа сумме жестко<
всех отдельных полосок, из которых составлен данный профиль.
С = '>" С;.	(

Тон кистей ныг стержни открытого профиля из полосок 275
Для 1-й трапецеидальной полоски (в частном случае для прямо-
прямоугольной) согласно формула A31) имеем
где bj —ширина i-й полоски; d.,j и dl>i — толщины /-й полоски соот-
соответственно » самом широком и самом узком местах.
Обычно в сортаменте проката дается средняя толщина полки dcPj
и уклон ее kc-
*, = *^.	(Н2)
Подставив в формулу A41) значения
<*1, / -¦ dcP, i-h~; dit i = dcPi i + ki-^-t	A43)
использовав соотношения A40) и A41) и введя поправочный коэффи-
коэффициент а, получим для определения жесткости С всего профиля следу-
следующую окончательную формулу:
суммирование производится по всем полоскам, составляющим данный
профиль, при этом для прямоугольных полосок принимается dcp,i= di,
ki ~ 0. Максимальное напряжение в i-й. полоске определится формулой
(И5)
Коэффициент а определяют из опытов, он учитывает влияние за-
закругления и ужесточения профиля, вызванного соединением отдельных
полосок между собой. Числовые значения а приведены в табл. 3.
При кручении призматических стержней узкое прямоугольное
сечение является невыгодным профилем, так как его жесткость, как
это следует из формулы A33), значительно меньше жесткости круглого
сечения, имеющего такую же площадь, что и узкий прямоугольник
I примерно Fi -j—r раз 1. Между тем, приняв гипотезу плоских сечений,
согласно выражения F3), и положив в этой формуле <р — -д- — О,
¦олучим обратный результат. Отсюда ясно, насколько важен в задачах
0 кручении стержней учет депланации сечения стержня. Пренебреже-
Пренебрежемте депланацней может привести к неправильным не только количе-
количественным, но и качественным результатам.

271)	Кручение стержней
Ич формулы A14) следует, что тонкостенные стержни открыт^,
профиля, составленные им прямоугольных и трапецеидальных полосок,
пиль же- пени годны при кручении, как и стержень и узким примоуголь
т„м сечением, поскольку его жесткость значительно меньше жесткости
круглого стержня с той же обиден площадью поперечного сечения.
"Однако было бы поспешным удовлетвориться лишь копиатироил-
ПИ-.М этого факта и считать вышеприведенное заключение окончатель-
окончательным. В действительности оказывается, что тонкостенные стержни от-
открытого профиля обладают дополнительными ресурсами в отношении
их сопротивления кручению. Как известно, две статически эквивалент-
эквивалентные нагрузки, приложенные к торцам таких стержней, могут вызвать
и них существенно различные деформации и напряженные состояния,
причем эта разница будет иметь уже не местный характер. Поэтому
если решить для тонкостенных стержней открытого профиля так назы-
называемую задачу о стесненном его кручении, т. е. положить, что деплана-
цми на торцах скручиваемого стержня устранены* то жесткость его С.
окажется гораздо большей, чем жесткость, вычисленная по фор-
формуле A14) при свободном кручении. На практике условия закрепления
торцов скручиваемого стержня всегда бывают такими, что они п той или
иной мере запрещают торцовые денланапии.
Для нетонкостенных стержней как для сплошных, так и для полых
это обстоятельство не играет существенной роли, так как для них в пол-
полной мере действует принцип Сеп-Всиана, и, как показывает ряд иссле-
исследований, жесткости таких стержней при стесненном и свободном кру-
кручении оказываются почти одинаковыми. Что касается поведения тонко-
тонкостенных стержней замкнутого профиля с деформируемым контуром,
то, как показали В. В. Новожилов, М К- Кожевникова и В. Л. Бндер-
мап. влияние стеснения деллалацни торцов для таких стержней сказы
вается па величине их жесткости С совершенно незначительно.
Иначе обстоит дело в случае тонкостенных стержней открытого про-
профиля. Запрещение депланаций на торцах таких стержней пгрнет весьма
существенную роль и оказывает решающее нлняние ка величину жест-
жесткости стержня при его кручении.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБЧАТЫХ ПРОФИЛЕЙ
Тонкостенные стержни с замкн)тыми или трубчатыми профилями
делят на два основных класса: ira стержни с двухсвязными профилями
(рис. Л) и на стержни с многосвязнымн профилями (рис. 12). Рас-
Рассмотрим сначала кручение стержней с двухсвязными профилями
(put. II). Такие стержни обычно называют трубчатыми или просто
трубами.
Приближенный способ расчета широко используемых в технических
приложениях тонкостенных стержней с трубчатыми профилями осно-
сан па следующих двух гипотезах;
касательные напряжения по всей толщине стенки скручиваемого
профиля направлены параллельна ее средней .ниши;
касательные напряжения постоянны по толщине стенки профиля.
Обе эти гипотезы следуют непосредственно из мембранной анало-
аналогии, если применить ее к стержням такого нида.
Рассмотрим кручение тонкостенной трубы с поперечным сечением
произвольной формы с неременной толщиной стенок h (s) (рис. 13).

Линию, проведенную между наружным и внутренним контурами /'„
и Гг сечения на одипакоиом расстоянии от них, назовем среОней линией
профиля и обозначим черен /", а длину ее обозначим через /. Отшчччм
профиль скручиваемого стержня к координатам sun, где s — коорди-
координата, отсчитываемая вдоль дуги средней линии профили /' от некоторой
ее точки, ал — координата", отсчитываемая по нормали к пей. Ось г
1
Г
D
направим параллельно образующим трубы. Очевидно, что профиль
скручиваемого стержня будет полностью задан, если известны кри-
кривая Г и толщина профиля h как функция переменной s, т. е. А — A (s).
Согласно мембранной аналогии {см. стр. 253) для тонкостенных
профилей направление наибольшего уклона в каждой точке мембраны
примерно совпадает с уклоном мембраны в точках средней линии Г
профиля (рис, 14), причем этот уклон
будет почти постоянным по толщине
профиля.
Переводя этот результат мембран-
мембранной аналогии на язык теории кру-	инс. м
ченин, можно сказать, что результи-
результирующее касательное напряжение ь каждой точке трубчатого профиля
почти параллельно средней линии Г профиля и но величине мяло
Изменяется н пределах толщины этого профиля, а также, что при
h(s) — const функция напряжений U будет зависеть только от коор-
координаты п.
Этот вывод подтверждает справедливость принятых выше гипотез
о характере распределения касательных напряжений в тонкостенном
замкнутом профиле и позколяет построить приближенную теорию кру-
кручения для таких стержней.
Действительно, поскольку изменением касательных напряжений
в пределах толщины трубы можно пренебречь, постольку т E, п) ---
== т (s). Что же касается характера зависимости т от s, ти ее можно

Кручение стержней
A46)
где f/j — значение функции напряжений на внутреннем контуре се-
чемия. Использовав соотношения A46) и A26)
A47,
получим для компонентов напряжений |т,г| и \хп,\ с точностью до
h(s) 1
I- 0Q|^-1-.080', '
A48)
Из соотношений A48) следует, что граничные условия задачи, ш-
ражающие, что поверхность скручиваемого стержня свободна от im-
пряжений, tie выполняются точно, так как в общем случае т„г (¦?,
± - }— \ фО. Эти условия будут удовлетворены тождественно только
в том случае, если h ~ h (s) — const. Во всех остальных случаях
[h (s) =j= const] поверхностные условия будут удовлетворены прибли-
приближенно, и, как нетрудно показать, ошибка, допущенная при этом, булег
\h{s)\
иметь порядок величины max ¦
скручиваемого стер:
1ЖНЯ ( П — ±
I
¦ . Дсйствительни, на поверхности
A(s)>
компонент касательного напря-
напря(s) согласно формулам A48) выражается так:
\h' (s)|
\ _ oet/, -
2h(s)
Заметим, что h (s) есть периодическая функция, так как при любом я
имеем h (s -h I) = h (s). Допустим, далее, что функцию h (s) ^foж^[0
аппроксимировать тригонометрическим полиномом л-го порядка отно
сительно 5. Тогда, согласно теореме С Н. Бернштейна A1J. имеем

Кручение тонкостенных трубчатых профилей	27<
где А — in;ix 'Л (.s)j; / — длина средней линии трубчатого ирофиля
Испо.-ib.jLHiii» формулы A18), A49) и пера пенсию A50), получим
It I .-- 1- \.<\ ( __ \	/I Г, I
где 0 ( — 1 — множитель порядка —г-.
Следов;! к лыю, если толщина трубчатого профиля мала ло сравнению
с длиной его средней линии ( у < 1 J , касательное напряжение т„г
и таких профилях значительно меньше напряжения т5г и с точностью
до малых величин порядка ~— можно им пренебречь. Отсюда следует,
что результирующее касательное напряжение х (s) в замкнутых профи-
профилях будет
get/,
h(s) '
A52)
Для определения постоянного значения Ux воспользуемся теоремой
о циркуляции касательного напряжения при кручении (см. стр. 245),
которая к данном случае принимает вид
^Ф*~ = 2".	A53)
где Q — площадь области, ограниченной средней линией Г трубчатого
профиля (см. рис. 13). На основании равенства A53) и формулы A52)
находим
A54)
Т (S) -"= TSi (S) = -
2C6S2
Далее, использовав выражение E3), получим для жесткости С
при кручении
~ '"	ОГ Г О | f A	f Г '	_5_1 ( \ А " ^
A55)

Кручение стержней
и.ш, ограничившись после интегрировании точностью до членен по
рядка —jj- , где h ¦— толщина профили, л R,, — наименьший из величин
риднусои крииизпи (> средней линии профиля /' или длины / средней
линии, получим
С ,~.
-20Х', h
где 0 / —г 1 — члены порядка —. Заметим, что под Q можно подразуме-
подразумевать как площадь, ограниченную средней линией Г профиля, так и
площадь Qx, ограниченную внутренним контуром 1\ профиля, так как
погрешность, получаемая в результате такой замены, имеет такой же
порядок/l-i -- »1J, как и погрешность приближенной теории.
ГЬдстанив r выражение A57) значение. Ь\ из соотношения A5-J).
получим око][чательпую формулу для определения жесткости С при
кручении трубчатого профиля с произвольным законом изменения его
толщины h (s) {формула Бредта):
(Л»
A58)
Пользуясь этим выражением, можно формуле A55) для результн
рующего напряжения т (s) придать следующий вид:
Формулами A58) и A59) полностью решается задача о к]>у чежп
трубчатых стержней, поскольку эти формулы определяют нзпрнжеш:
к поперечных сечениях и угол закручивания при действии крутяшет
момента М. Пользуясь этими формулами, нетрудно показать, что ;.
осех тонкостенных трубчатых профилей, имеющих одинаковую то.итцт \
стенок h и одинаковую длину средней липни / (т. е. имеющих один -л кшн.'1
площади), наибольшей жесткостью обладает ко.чьценос сечение. Так:--
сечение наиболее выгодно, еще н в том отношении, что ему соответствую.
минимальные значения наибольших кяслтель.чых напряжений при кру-
кручении. Воспользуемся изоирримечричеекпм неравенством
где Q — площадь, ограниченная замкнутой кривой Г заданной дл m:w. ¦'¦
Иерлвснство A60) показывает, что из всех площадей, образование,
замкнутыми плоскими кривыми, имеющими заданную длину /, наиболь-
наибольшей является та, которая ограничена окружностью.

Тонкостенные стержни С многоевнзными профилями
Тогда мл основании неравенства A60) и соотношений {158) и A59)
при / - const и h = const получим
С^°1&Г и t-т,,^ -,);,--;	A61)
отсюда непосредственно следует справедливость прти-деп^ого выше
утверждения, так как r выражениях A61) ну. я к рши'нстпм имеет место
только для случая, когда средняя линия /' трубчатого профиля является
окружностью.
Характерные особенности замкнутых про-
профи л е й. В трубчатых стержнях, согласно формуле (J5Q), максимальное
касательное напряжение получается п наиболее узком месте профиля.
Это не имеет места в тонкостенных стержнях с открытым профилем,
наоборот, н стержнях открытого профиля с падким контуром, к<?к пра-
правило, наибольшее касательное напряжение возникает на контуре в самых
толстых местах профиля. При равном площади сучении я одинаковой
величине крутящего момента максимальное результирующее напря-
напряжение, возникающее в тонкостенном стержне открытого профиля,
будет значительно превосходить таковое в тонкостенном стержне замкну-
замкнутого профили, а жесткость при кручении стержня открытого профиля
при тех же условиях будет значительно меньше жесткосш огржпн
замкнутого профиля. Отсюда следует, что с шчкп ярении чистого
кручения тонкостенные стержни замкнутого профиля значительно
более выгодны, чем стержни открытого "профиля.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
с многосвязными профилями
Тонкостенные: спфжнм с многосвязными профилями можно рассчи-
рассчитывать так же, как и в случае двухсвязных профилен, рассмотренных
ранее. На основании мембранной аналогия, с точностью до соотноше-
соотношения 1 |- — - я* 1, функция напряжении С'1 будет нчменягься только по
толщине профиля h.
Используя это обстоятельство, а также гг-^ни'шле \слонин для U
(см. стр. 212) на всех контурах, ограничивающих данный профиль,
можно получить формулы, аналогичные формуле {146}. Их будет и дан-
данном случае столько, сколько внутренних контуров имеет рассматривае-
рассматриваемый профиль. Входящие в чти формулы константы Ult U*	(•¦'«
должны быть найдены с помощью тсоргмы о циркуляции к;-к.тш>лытго
напряжения при кручении, для чего ее нужно применить к каждому
внутреннему контуру отдельно.
Положим,6 что' Ь\х ^""'суть^еиЛестные 'лкиче.'ия фу^ю^п^Тапряженйя О
на внутренних контурах Г, и Гг профиля, а У = il - значение е^ ия внешнем
контуре / о. Пусть Я, н П, — площади, ограниченные кривыми, окружа-
окружающими контуры !', и Г2 и проходящими через середины стенок ьтого профиля,
толщины которых на участках ВСЛ, ADD и АПВ соответственно равны fi4.
6, и Оа (рис. 15J.
На основании линейного закона изменения (Ьунчнпи мч'пяже-шЛ U п>
толщине стенок скручиваемого профиля и формул \\\1} имеем
т==Ткг=_СВ ^L-s-.tnJL .	A62)

Кручение стержней
где л — длина перпендикулярно опущенного из произвольной точки Р (по-
(полюс а) на касательную к дуге средней линии Г профиля (рис. 15). Подставив зна-
значения Тд, tj и Та из соотношений A63) в выражение AG4J, получим
A051
прибли-
приблиj> rrfs = 2Qt и Ф nh = 2Я5.
АСВЕА	BDAEB
найдем
Пользуясь формулой Б|кдтй о циркуляции касательного напряжения
-У т. ds -^ 2G&ii{ U = 1. 2	п)	A67;
и применяя ее к каждому из яиутреннкх контуров ЛСВЕА и BDAEB отдельно,
получаем
т,г, + т,;, s= B(J9fl,i 1
Tt/2 - V, = 2060,. )	U68'
АСВ? ADB и* А ИВ. Решив совместно уравнения A66) и A08) и использовав
1А2 '3 ("l +°-.)
мметричного профиля (й, = о„ /, = /. и Q, т* С,. I, = 0;
т полностью передается на наружную оболочку профиля >'
ся ненапряженной. В случае несимметричных профилей тож-1
го достаточно, как это'следует из формул A6В), чтобы имел:1

Концентрация напряжений па входящих углах
распределение^ напря>ке^ий^п^райо^1ах рдэког^изчем^мн^ кри^визны^пкупт^in
в угла* коробчатого грчсешя).
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВО ВХОДЯЩИХ УГЛАХ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
При кручении тонкостенного стержня по н\одящих углах его про-
профиля возникает значительная концентрация касательных напряжении,
которая зависит от радиуса закругления «ходящего угла профиля.
Использовав мембранную аналогию, С. П. Тимошенко получил прибли-
приближенную формулу для определения наибольшего касательного напря-
напряжения в окрестности кходмщего угла скручиваемого профиля.
Для открытых тонкостенных npoij
W:" Сх**.	П70)
где тРтах == GOft — наибольшее напряжение,
имеющее место вдоль длинных сторон про-
профиля вне района входящего угла; <хк -¦ коэф-
коэффициент концентрации, в данном случае
\г ]
A71)
здесь h — толщина стенок профиля; /- — радиус закругления входя-
входящего угла профиля (рис. 1G). Однако формула A70) дает лишь грубое
приближенное значение наибольшего напряжения к закруглении угла
и может служить только для качестненной оценки явления концентра-
концентрации напряжений.
А. Феппль и Л. Феппль на основе гидродинамической аналогии
и теоремы о циркуляции касательного напряжения при кручении
Предложили более точную формулу для определения наибольшего на-
напряжения в местах закругления углов в открытых профилях
A72)
По этой формуле можно с достаточной для практических целей точ -
иостью вычислить величину максимального шлфиженнн в закругле-
закруглении входящего угла скручиваемого стержня.
Более строгое исследование вопроса о концентрации напряжений
во входящих закругленных углах скручиваемого профиля были вы-
выполнено Кеттером, Треффцем и Дассеном. Э. Треффц получил следу-
следующую формулу для определения наибольшего напряжения в закруг-
A73)
где г — радиус закругления входящего угла профиля; h — толщина
полок. Формула A73) выведена для случая, когда полки профиля имеют

284
Кручение стержней
одипакойую толщину. Если же полки скручиваемого профиля имеют
различную толщину А, и ht, тогда в формуле A73) берется большая
из них, Отметим, чил при радиусах закругления -„-^ г г?/t резуль-
результаты, полученные но этом формуле, хорошо согласуются с эксперимен-
экспериментальными данными Кушмана.
Значения местных касательных напряжений r закруглениях откры-
открытых профилен при их кручении можно приближенно определить также,
пользуясь решением задачи о кручений стержней с открытым профилем,
найденным методом малого параметра, и ограничиваясь в этом решении
точностью до членон порядка -j-. В этом случае для определения каса-
касательного напряжения xsz получаем (I)
Касательное напряжение т1г достигает максимума (см. рис. 16)
точке
A	h
п _ _	и р = pm[n = г + — ;
тогда из формулы A74) получим
г ¦«,
A75)
Для малых радиусов закругления, а именно когда г — (О,I*0,5) h,
полученные по этой формуле результаты согласуются с соответствую-
соответствующими результатами, полученными по формуле A73), и могут быть
использованы для практических целей.
Для закрытых тонкостенных профилей
(т р у б). Если профиль имеет входящие углы (рис. 17), н окрестности
этих углон имеет место значительная концентрация напряжений.
Максимальные напряжения в окрестности этих углов оказываются
значительно большими по сравнению с напряжениями, определяемыми
выражением A59). и зависят от радиусов закруглений входящих углон.
Использован мембранную аналогию, С. П. Тимошенко получил при-
приближенную формулу для определения наибольших кас.пельпых на-
напряжении в окрестности входящего угла, аналогичную формуле A70);
где ак — коэффициент концентрации:
1 —
- B/- + ft)
A77)
Tinax — наибольшее касательное напряжение в стенках просри.чя « ло-
лопаточном удалении от входящего угла; h — толщина стенки; / — длина
средней линии профиля; Й — площадь области, ограниченной средне»
линией; г — радиус закругленна внутренней грани входящего угла.

Концентрация напряжений со входящих углах	285
Diwici: точную формулу можно получить при помощи решения задачи
о кручении тонкостенных стержней с замкнумам профилем, найденного
методом малого параметра [ш. работу U I), сохранив и лом ришенни
т., = -20A — A-— +л .
L р \ р / J
A78)
Касательное напряжение tw достигает максимума в точках (см.
рис. 16)
— и — = г \ ''
Тогда из формулы A7S) получим
1^1™* "-W-206г. [l--,-
A79)
где Гц =-г	некоюрый характерный линейный размер поперечного
сечення стержня. Обозначив через т(:'г1.)х ^ 2G0-^- -- 2G'tV0- Ki;ca
тельное напряжение на прямых участках контура скручиваемого про-
<•¦¦¦¦¦ ¦¦! '
филн на достаточном расстоянии от закругления, которое определяется
формулой Брсдга, соотношение A79) можно нрипести к виду
A80)
Учением (рис. 17) с размерами о — Ь = 10 i.«.
= I t.H. г = (,\;

Литература
точные рмультаты, если скручиваемый профиль имеет закругленные углы
с внутренней и с внешней стороны (рис. 18).
ЛИТЕРАТУРА
1.	А р у Г го Li Я н И. X, и А б р а м я н Б. Л- Кручение упругих тел.
М . Фчлмалгнз. 1963.
2.	Т> и Ц е и к о К. и Г г а м м е л ь Р. Техническая динамика. Т. I.
М.. Гостсхиздат, 1950.
3.	Б Ы ¦! к о в Д. В., МрощинскиИА. К- Кручение металлических
Палок. М. — Л., Стройиэдаг, |<ЬМ.
4.	В л я С о в В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Иад. 2-е, М., Фнч-
матгиз, 1959.
«лепных стержней/М-. Гостехиздат, 1918° К°	аткка упругих он о-
0. Д и н н и к А. Н. Продольный изгиб. Кручение. М., и ад-во АН СССР.
' 1. Л е й б е н з о Н Л. С. Собрание трудон. Т. 1. Ъ\., изд-ао АН
СССР, 1951.
8.	Л у р ь е Д. И. Пространственная задача теории упругости, М.,
Госпгхнядат. 1965,
9.	М у с хе л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные задачи математи-
математической icopuii упругости. М-. 1ид-во АН СССР, 1954.
10.	Николаи Е, Л. Труды по механике. М-, Гостсхиздат, 1055.
11.	Намансон И- (I- Конструктивная теория функции. М.. Гостсх-
нздаг.ч 1940. стр. 126.
13! Н о но жРц л о в V "l" ^согия^упр^гости. "л", Судт^ромгиз'. 1Ш.
14. Новожилов В. В, Кожевнкко» М- К. Приближенная
теории 1:ткснекпого кручен и я тонкостенных Стержней замкнутого профиля,
учитывающая нскрипления поперечных течений. Изв. АН СССР. ОТН, J* 9.
195,6. 72 — 83.
15- П и II о е Д- Ю, Об одном методе решения краевых -Чадач днфферен ¦
цпнльных уравнений в частных про».*видных- ДАН СССР. Ш (8). № 2 162).
1935. 63-86.
16.	If а я о Q Д. Ю- Решение краевых задзч дифференциальных уравне-
уравнений II частных производных для длинных и узких областей. Иза, АН СССР-
серии математическая, ,\» 1. 1937, G3—77.
17.	П я п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. М.. Обороигиз. 1939.
18.	Пешль Т. Сопротивление мптерналов. М.-Л-, ОГИЗ, 1948.
10. II о л а а Г. н Се г с Г. Изопвримстряческие неравенства в матема-
математической физике. М.. Фпзматгиэ, 1S62.
?0. Пономареве- Д., D и д е р м а н В. Л-, Лихарев К- К-,
М а к у -л и fi В. М-, М а л и Н в 11 Н. Н., Ф е о д о с ь е в В. И. Расчеты на
прочность в машиностроении. М-. .Манн из. т. 1, 1956, т. II. 1939.
21.	Работипв Ю. Н. Сопротииление материалов. Шд- МГУ, 19"H.
22.	С и и-Вс и а н. Мемуар о кручении призм. Мемулр об изгибе при ш-
Перев. с фр. под ред. Г. Ю. Джанелидзе. AV, Физматгнз, 1У61-
24. Тимошенко С II. Теория упругости. Л— М.. ОНТИ. 1931.
_ Э1._ Ц и н ь В ч и - ч ;¦ н. Линь X у н - с у и ь. N у X а Й ¦ ч и н
vthiiie). П«кин, 1956.
Й">. Р г a n <l t 1 1-. Zur Torsion von prismaiischen Stuben Phys, Zeibclir.
-!, I'jfW. S- 758—75».

Глава fl
РАСЧЕТ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
И КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМ
КРУГОВОЙ СТЕРЖЕНЬ
Круговой стержень и кольцо рассчитывают незанмсимо Д-чя нагрузок
в плоскости стержня и из его плоскосш. Участок стержня при нагру-
Рис. 2
женин в его плоскости показан па рис. 1, а на рис. 2 — при нагружеггни
перпендикулярно к его плоскости,
Обозначения
if, a — угловые координаты текущих сечений стержн?;
ф,-, а- — угловые координаты сечении, и которых при/ю-
жены внешние сосредоточенные нагрузки;
N, Q], А/, — нормальная и перерезывающая силы и изгиба-
изгибающий момент в текущем сечении стержня в его
плоскости;
Оа, М2, Мк — перерезывающая сила, изгибающий и крутящий
моменты в текущем сечении из плоскости стержня:
^"ii. T[, iji — внешние сосредоточенные нагрузки и плоскости
стержня в J-M течении: радиальная и касательная
силы и сосредоточенный nai ииающий момент;

2fi8	Расчет круговых колец и кольцевых систем
P2i, L,,, L,;! — ннешние сосредоточенные нагрузки из плоское^'
стержня в /-м сечении: сила пи бинормали, наги-
нагибающий и крутяшчи моменты;
.у. />,, тг —внешние распределенные нагрузки н плоскости
стержня, направленные но радиусу и по касатель-
касательной, и погонный моменч;
Рг, т.2, ш,- — внешние распределенные нагрузки, перпендику-
перпендикулярные плоском и стержня: усилии по бинормали
и моменты изгибающий и крутящий;
v, а\ и — смещения сечений стержня в тангенциальном и
радиальном направлениях н по бинормали;
0|, О1.,, (i\ —углы поворота сечений стержня в его плоскости.
перпендикулярно к ней и угол закручивании;
Jj, ./a, JK, F моменты инерции сечении относительно осей
Ь—Ь, л—л, момент инерции кручения и площадь
сечения;
/Г, О — модуль упругости и модуль сдвига материал и
стержня;
EJ, GtJK ¦ - жесткости стержня па изгиб и свободное кручение:
"К = —рг-г	отношение жесткостей;
GJK
R — радиус оси стержня. При расчете тонкого стержня
и плоскости кринизны R — радиус центров тяжести сечений; тот ш'
смысл имеет он при рассмотрении масенвиого стержня, нагруженного
из его плоскости.
При расчете тонкостенного стержня ib его плоскости R — радиус
центра изгиба сечений.
Для стержня, имеющего сечение с двумя осями симметрии, ценчр
изгиба и центр тяжести совпадают.
Положительное направление углов поворота принято по часовой
стрелке.
Векторы, перпендикулярные плоскости чертежа, изображены круж-
кружком с точкой, если они направлены к читателю (вверх), и кружком
с крестиком, если они напр а плены вниз.
Расчет стержня (кольца) следует начинать с разложения внешних
нагрузок по трем направлемням: радиальном, тангенциальном и по би-
бинормали. Затем следует перенести все нагрузки в данном сечении n.i
ось стержня с добавлением соответствующих изгибающих и крутящих
моментов.
Дифференциальные уравнения изгиба
Теория расчета плоского кругового стержня и замкнутого колы и
основана на следующих допущениях: I) одна из главных осей инерцн.
сечении С1ержня располагается в плоскости стержня; 2) стержень яв-
является «ерастяжимым; 3) применима гипотеза плоской нормали; 4) по-
поперечное сечение стержня не деформируется при его кагружении:
5) деформации стержня малы и поэтому уравнения, написанные Д-i*'
недеформировашюго состояния, справедливы и для деформированног')
состояния.
Ниже приведены также решения некоторых задач при меньших
ограничениях.

Круговой стержень
При -т— > 5 стержень называют тонким или стержнем малой кри-
визны. При -у- <^ 5 стержень относят к стержням большой кривизны.
Здесь рассмотрены тонкие стержни,
Основные дифференциальные зависимости расчета плоского круго-
кругового стержня в соответствии с принятыми допущениями имеют вид
dQ,
- Pi« = 0;
i- _ ,V — qR = 0;
dQ,
f
- -г М?
Ы, /
' "/Г (
"^(
+ mKR
' <№г
¦, dtf
' d«K
>~d?~
du
dtp
Л
+ #.
Л-'. . ''»¦ .	„„ _	И./А	Л \.	(l>
= T(~df+ !');
	do_^
Отсюда видни, что после проектирования внешней нагрузки на
плоскость стержня и перпендикулярно к ней уравнения распадаются
на две независимые группы: одна группа описывает изгиб стержня
в его плоскости, а вторая — из его плоскости.
Разработано несколько методов расчета кругового бруса.
В первом методе для бруса постоянного сечения из уравнений A)
составляют уравнения в перемещениях
d'h-
dip*
B)
Здесь функции
C)
висят только от внешней нагрузки.

Расчет круговых колец и кольцешх систем
Решение уравнений B) заиисынашгси я iin,ic
v = А и-\- /1, siп ф + Л z cos ф + ,4 ;if -+- /4,,ф sinij; -)-
-I- Л5Ф COS (p + i'*;
ы - О,, -т- й, sin ф + Ва cos ф -т- Й.^р — Й4ф sin ф + I
+ Йг,ф cos Ф + и*,	J
звездочками о[ мечены частные решения неоднородных уравнении',
определяемые по известным функциям t( (ф} либо подбором, либо
формулами
v* = I sin (ф — (pj j sin (ф, —
и	и
«* = ^ sin (ф — ф,) j sin(q>, — ф
E)
/1,- и Bi — произвольные постоянные, определяемые из граничных
условии. Постоянные с индексами 0, 1, 2 характеризуют смещения
стержня как жесткого целого и при отсутствии последних должны
приравниваться нулю. Остальные искомые неличины по стержню опре-
определяются дифференцированием решений D) it соответствии с форму-
формулами A).
Второй, наиболее применимый, метод основывается на последова-
последовательном интегрировании уравнений (]), причем постоянные интеграции
записывают в форме начальных параметров. Это позволяет срачу
записывать выражения для искомых величин в случае нагружения
бруса в точках ф( сосредоточенными усилиями Plt-, Г/, Lxi, P»i, I..tu LK:
при и а г р у ж е и и и и и л о с к о сi и бруса
Q\ cos ф + JV°sin ^
^ cos((f —(p,)
cos ф — ^j pu sin (ч= — Ъ)
- 4i) -
^ ^i/ (ф - ф/) - 2 p^i
I — ч,) + Afj;

Круговой стержень
-= о" сев <р — »" sin ф т- Gj'RC, (qi)	J - к
М"С, (ф) - Q'/AfCa (Ф) - Л'и«С4 (ф) +
ti<c= (ф - <ы - 2 p«rc' <ф - ф<> -
и -- v° sin rp - x'0 cos ф — ^°A' sm ф -I- ~xi— :<
X [M'JC, (ф) - Qi'WC, (ф) - /V°«C3 (if) :
- 2 ;-i'ci cp - *.' - 2 /'"AICs '* - ч«> -
— У TiUC, (Ф —
при нагружен и и перпендикулярно плоско-
плоскости бруса
Ул - Q°2 -r 2 ?2i + Q'l-
— V р,/^ Sjn (ф — (j-j.J + Л-!^;
Л!л = — М" iiu Ф + Ml cos Ф + <?2^С1 №) —
— ^ /,?i Sin (ф — ф() -}- ^\LK[ COS (ф —¦ ф() -f-
—- V рл.Н(* /ф — фЛ •)- /М^;
о
^2 "" Й 2 C0S Ф ~ ®'« sin Ф	7Г7~" Х
7^D! (Я, ф) -}- /ИЬ2 (X, ф) 4- AlJ (>. -f 1) С6 (ф) -

Расчет круговых колец и коаьцгшх систем
l\ - Ф" Sill »(' | 1>" COS ф	—'— X
X ((/j (J. -H) RCS (ф) -|- /И? (Л -| I) C6 (<f)
u = u" + в^ Я sin q. - #J
X (ySfiO, (»., Ф) + AljDj (X.
- V Pa-WD, (Л. (f -
-!- 2 '¦-¦ <* + ') c» (Ф - f')J -r «•
Здесь через d (ф) и D; (X, ф) обозначены функции:
Ci = 1 — cos ф; Cs — ф — sin Ф1
1	3
Ся t= 1 — cos q	^ f sl" V, Ct = (f-	j- sin ф J
+ -y (f cos ф; (.'„--= -j- sin ф	— ф cos ф;
С. = -j- Ф sin ф; С, •-¦- -j- siu ф -,- — ф cos ф;
Di (X, ф) = -у- (f sin ф — >. ( 1 — cos ф	g- ф sin ф J
= C, - ?.C, (ф)-,
D2(l, <p) = —z- (sin ф ~ ф cos ф)	^( sin tp — (fcos (f)
Da (?.. Ф) = -j- (sin Ф — Ф cos Ф) + -j- (sin ф -f ф cos ф) =
= C5 (ф) + >.CT (ф);
I ^ 3
D4(X, ф) в — (sin ф—(fcosip) — M 'f	j" sin f +
-! -j-ih»tJ = (.sitj - /.(.,, (if).

Круговой стержень
При малых <р(ф<С 1) эти функции удобнее вычислять но следу-
следующим формулам:
15 ' 560 У
Значения этих функций приведены в табл. 1. более подробные
таблицы значений этих функций можно найти в работе [15].
В формулах F) члены со звездочкой означают частные решения не-
неоднородных уразнений только or распределенных нагрузок. Выражение
дли Q, находят из уравнения
dtp*	'	\rfT
подбором или по формуле
Ф Г
о L
а остальные величины определяют согласно соотношений
)¦ sin (Ф- 0 i«; ffif< = -
(96)

Расчет круговых колец и кольцевых сш
и с par)
0
10
2A
30
40
50
60
70
80
90
00
L0
20
зо
40
50
60
70
80
90
00
10
20
30
50
70
90
ад
яо
,120
340
M0
360
VJ00O
0.0152
0,0603
0. 1340
0,2340
0.3572
0,5000
0,6л80
0,8264
1.0000
1
с
с
с
с
с
,1736
,3420
, 5000
,fii2«
,7660
,8660
.000A
,9818
,939?
,8660
.7060
,0428
! 3-120
,0000
,6580
,5000
,3572
,2340
,0603
,0152
0.0000
с,
0,00000
0,00053
0.00707
0.02300
0.05533
0, 1 0666
0. 1М2О
о, 'la'ios
П, 11140
0.57080
0,7Ы153
о, ййо 16
1,22810
1,50293
1,8Q06t!
2,11799
% 14160
1.4Н97
3,83266
4,16519
4,48252
4.78025
5,30302
5,7 I2J'J
0,00116
6. 1D199
6.1 7652
6.227Й7
6,27612
6,28226
6.28319
0,00000
—0,00005
—0,00051
—0,003 10
—0,00962
—0.022S7
—0,0465(i
—0.08400
—0.13888
-0.51500
- 0,11-120
— о, «905
—0.59313
—0.77380
—0,98007
— 1,21151
—2,00000
—2,2756В
—2,53660
—2,78229
—3,00000
—3,18026
—3,31H12
—3,35019
—3.03613
—2.76718
—2,42913
—2,02904
— 1.07503
—0,54543
0,00000
J, 00000
0,00007
о.оооов
0.0 (МНР
1),00K2
o.oum
0.01000
0.02110
0,04101
0.07080
0.11№1
0.18201
0.27180
0. 3909 И
0.54341
0.73441
1,57080
1,93366
2,36357
2.828L7
3,33331
3,87306
*>, 02671
6,21239
7,33652
7,84308
8.29S16
8.68834
9,23527
О.37СО7
9,42478
О, 011000
0,00080
0,00!)!)
0,02 42
0.051I)
0,101! S
0.1712
0,2E0")
0,3712
O,5(Hfl
'1.643П
0.79В1
0,9501»
,L 122
,2572
,^3.Г1
.5460
.4740
,3307
,1192
0,9071
0,2762
—0,5000
— ],.145J
— 1.ЙУ20
—2,1219
—2,4604
FT
.09!O
—1,1'П59
С
:, 0DO0O
j. 01 f> 1 j
1.05! 6Г)
, 11H91)
L,224 57
0.3Й25
0,4j34j
0,57403
O.G8752
0,78540
0.85041
0.00204
0.00000
O.MG
0,78
O.fi.i
0,00
—0.28
—0,59
—0,91
—
-
-
—
—
,24
,53
05
.51
51)
til
0A
09
55
7H
12
,0496fJ
.35G00
..'S7S24
,2fi724
,07171
,79510
,01510
— I), ,i2937
0,00000
0.00000
0, 172 76
0,33502
,47672
J.5S&74
o.6G;s
0,004
0,078
0,613
0,50!)
0.34D
0,141
—0,000
— 0, 34 G
— O.fil-1
— 0,883
— 1,141
—
—
—¦
-
-
—
,374
,570
,719
.fill
,837
,673
'aie
!500
!394
's
f)
7
3
1
2
0
1
1
3
0
6
0
,&760:
,30717
,81767
2.616R7
2,92163
3.14150
Выражения для Q.->, Af2 и т. д. будут
ф
К = - J [К (Ф) + гпк (ф) R]
A0)

Круговой стержень
№
В формулах F) и G) <-е члены под знаком сумм учитывают только
при переходе через точку ф<; при ф'Сф* этн члены следует полагать
равными пулю.
Этот метод позволяет также найти решения для сге|»жпя переменной
жесткости. В этом случае усилия в брусе вычисляют по формулам F)
и G), а смешении можно определить из соотношений:
в плоскости стержня
О, =¦- О,1 — .lfi'fi-Ф, (ф) — CjJS'-Oj Up) + .vVitj (ф) —
- Vi,,-«O, (ф—ф|) — УРкЯЗДа (Ф--Ф,)-
_:. V Т(«'-Ф3 (ф - ф.) — *'ь
г - dc cos ф — iAin ф -f- <l"RC, (ф) — М|«=Ф,(ф) -
- !?';я3ф5 (ф) + л'"«'фй (ф) - У i.hr4>4 (t- - ф,.) -
ш = i'" sin ф 4- ш° cos ф — fi'^ sin ф -]- Л1^/?2ФГ (<f I +
— QiVo8 (ф) — л'°а;:1ф9 (ф) + У t,,.R>; (ф — ф,.) |-
-1 ''„¦«Ч (<р - Ф<) - ¦ 1 '".-«Ч (ф - ф,-) - -¦';
пс-рпепднкулярпо плоскости стержня
«2 = в;] cos ф — ftj sin ф — QoRJi|!, (ф) - /И5«Ч2 (Ф> —
- M°RiCa (Ф) - У Р2,А>2Ф, (ф - Ф,) - 2 ^,-«Ф.. (ф - <F() -
ft, ~ ft1] sin Ф + К cos ф + Q?R24:4 (Ф) - M°R% (<f) :-
+ Aljfl-ifj (Ф) I У />,,Я2Ч>4 (ф- ф,-) I¦ 2i2,-«*i (ч - ф,) +

29(i	Расчет круговых колец и кольцевых систем
и = и" + #3 К sin ф — в'^ЯС, (<() — <A'W4; (ф> --
) - /M°ff24>9 (ф) - 2 р., «Ч-7 ('с - <Pi)
Здесь обозначено
Ф» «F - ip0
ф
) ф'(/) Sln 'Ч1 — (
®ь (Ф — Ф() = J Фг @ sin (ф — I) (M;
Ф,-
Ф
Фв (ф — <Р() =' ) 1>s С) sin (9 — /) Л:
ф
¦> (ф) - f % @ ^; Фв <<f) --

Круговой стержень
297
Постоянные интегрирован и н определяют из усюпий на краях
стержни. На евдбодном крае Q, — М t = N = Q2 --. л/., = AfK — О,
на заделанном крае и = у = ьу — О1! - 02 ¦= i\~— 0, на концевой
шарнирной опоре и -= v --- ш — Л* t = Л-f., — Л/л. -- и.
При расчете по формула*] (Ь) и G) следует ушгыннть все нагрузки,
втом числе и риактинные. В случае статически неопределимого стержня
сначала находят реактивные нагрузки из условии опмрапии по допол-
дополнительным опорам. Ниже приведши пример решения статически неопре-
неопределимой задачи,
Смещения точек бруса можно также определить энергетическим
методом [3, 7]. Смещения точек стержня переменной жесткости в его
плоскости с учетом деформаций от нормальных и перерезывающих сил
определяют по формуле
] J p ~gf
- R dtp.
(П)
Смещения стержня при нагружепии перпендикулярно его плоско*
определяют по формуле
здесь величины усилий без штрихов означают внутреш
внешней нагрузки, а со штрихами — or единичной
гаемой в той точки и в том направле-
направлении, в которых определяют смешение,
(J — коэффициент формы сечения, при-
принимаемы]! как у прямых брусьев.
Для бруса постоянного сечения в
работе [22] принодятся расчетные
формулы для смещений н плоскости
стержня и таблицы, облегчающие
пользование этими формулами.
Пример I. Круюнон сгержемь с углом
раствора <i = 120". заделанный на одном
конце и шарннрно опертый па другом,
нагружен вертикальной силой Р в гичке С	">IC- a
(рис. 3). Определить эпюру изгибающих
Система дпанеды статически неопределим;!. Выбрач сечение В а качестве
= и; М V — Л1 R =^ (
A2l)S) + V\&*

29Й
Расчет круговых колец и кольцевых систем
А1, --
Lu.Jfi (I — fos <(.l — 0,37 sin qi 1 при 0 *? <(.¦ s; ДО",
(O.Brt A — cos ф) - 0Л7 sin ф -sin (ф — ЗГГ1 1 при 30' <- tp < !20J.
Для стержня, заделанного по обеим концам трижды статически
неопределимой системы (рис. 4), разработаны методы расчета |10, 14!
с использованием понятия упругого центра пролета (точки, в которой
приложенная сила вызывает смеще-
смещения только по направлению этой
силы). I [иже приведены расчетные
формулы для такого пержня при н
гружешш в плоскости и из плоскости
и ключевом сечении и приложением
сил а упругом ценj ре.
П плоскости стержня (рис. 5) усилия в ключевом сечу-
ннн для стержня переменного сечения с учетом растяжения определяют
по формулам

Круговой стержень
LVi
оси бруса, отсчитываемая
и перереэывакгцая силп от
здесь у — /? A —¦ cos <$.) — с — ордината
от упругого центра; М р, Q р — момент
[чиешних сил в основной системе.
Пели стержень имеет постоянную толщину и можно пренебречь
растяжением его, то коэффициенты 6'; примут вид
йл (а) = 2я.
Лы, Ду, Д^! вычисляют как разности перемещенн:": купцов tipanoii и
левой дуг под действием заданной нагрузки. Коэффициенты di для
дуг с углом раствора Q <*а <- \Ш° даны в табл. 2. Разложение заданной
внешней нагрузки на симметричную и кососнммемричную позволяет
<оэффицне*
й,
0
10
20
30
40
50
60
70
ВО
90
Cl
П ООП
0 Ч
6
i
h
n
A
-
Ч
2
J
h
1
4
0
Q П
-
-
3

300
Расчет круговых колец и кольцевых систем
(¦нести несь расчет к расчету одной иолсшнны бруса. В случае кососпм-
метричиого пагружспия Л'г(| = М® = 0, в случае симметричного нагру-
жепия Qj — 0.
11 ]i и и а г р у ж е н и и в плоскости стержня (рис. в)
усилия о ключевом сечении С определяют но формулам
а — sina
sin a *
Aw, Д03, Д^Л — разности перемещений леного и правого концов
брусьев в разрезе, определяемые, например, по формулам G). Вели-
Величина е1 характеризует положение упругого центра. Разложением про-
произвольной нагрузки на симметричную и кососимметричную можно
свести весь расчет к расчету одной половины бруса. В случае симметрич-
симметричной нагрузки Q2r = О, М*? = 0; в случае кососнмметричной нагрузки
Мкс =0."
Стержни постоянного сечения, нагруженные в нх плоскости
Формулы для определения усилий и перемещений при гтраслем-
ших нагрузках стержня в его плоскости при статически опреде-
определимом и статически неопределимом закреплении стержня приведены
в табл. 3.
Формулы для смещений относятся только к свободным конца4
стержня, причем смещения v, w направлены по касательной и по ра-
радиусу от центра, а смещения х, у — по горизонтальной и вертикальной
осям, пропс денным из конца стержня; "& — угол поворота сечения (по-
(положительное направление протиы часовой стрелки).

Круговой с/пержень
301
а. Ус
с*
ей,
Af ^ /.
См
Я2
С ( ) (
Cie (ф) = -р
A.-t + P«[cos
-
- Т til
4- /'Я
Шеищ
[LC. (
с, («)
-[ta-
х[._
— COS
х[,
( =
sin (о
»-«
„«-1
Г,-
-[Lu +
ГК (а
пгые формулы
ф; Л' ^ Я sin ф -j- 7
4in <(> — I'ft U — co^ q
— IRC, (a) I- P«C,
-ГДС,,«, + ^,(.
42 * ^ 144 '
Ф1 ф* 1
м. crp. 29G1
— ф) — Т cos (a — ф)
-cos«]-™|sma-
i)-r«(.-i«-
:;::tt
РД (sin a — a cos a)
sina-l + co5«)]
яГ х
"' V

302	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение табл :t
У Л7^51пф, X—qR A — сок ц; 1, Л-1 = qR - A — СОЗф).
л i7ft ,.
4--—4)
= ~pft A — COS Ч>); А7 = /»Д ?1П <(¦;
.4 = — рК (ij. — 5Jn Ч1).
Смещения свободного конца
Q —0. .V = 0. M=mRif;
-TP- "A~"B
h (or)
J
i-
», (a) = cos a - -1 cos 2a - J- a sin 2a _i--.
ft, (a) = a + -2- cos 2a —|- sin 2a

Круговой стержень
s (-2- - ») - P»i" D- - <r): -
l-ib, tat -^ PRb,
, (a) - P«!;4 (a);
'Чг	—• < = =«""»

304
Расчет круговых колец и кольцевых систем
Va/P
"л""
M.IPI
мы pi
0,1
0,5
I,2t№*
fi,00131
0,0002-2
A,5
0.6378
0,00414
0,00158
0,5
0,-1342
0,00925
0,00159
0,4
0,1)
0.3356
0.01649
0,0O7'2fi
0.2758
0,02167
0,01175
МЬ=МЛ, НВ = ПА; VU~VA
a
haip
MAIPl
M/P
0,1 I 0.2	0,3	0,4	0,
2.3461
0,0324!
0,5
0,1677
0,03526
0,5
0.7740
I), 04014
0,05793
в
MA/Tl
Mn/Tl
Mc/Tt
0,2141
0,785"
0,«Jfi8
0,01811
—0,0022
0,4 I 0.5
0,0899
D.2182
0.7Я18
0.033J
0.07QC'
—0,00-11
'fiA
vAn
M Л/Т1
€.2110 0,269'J
0,0445 U.0654

Круговой стержень
Продолжение табл. i
Cll,,a
flu
.¦ПО,СТ„Ы. ФО„ИУ„„
1';и,п<)м«1Л1Ый плгрви бруса на температуру Г':
¦¦с -г- а а
" Г — [«A спч -) /¦*«* " f — cos* с -й
0 О
сп) кц1 следует подступить л/~ величину усадки a vj-
1
Лу = 0; Mr- = 0, М ^ = — М о = Q(--——;
С кем:.
Рж-ч^тиме формулы
Смещения снебодного конца:
\>К= g-j- \PR l' 2~ si" 2n 4	2~~ ° — *• sifI ftj +

30<i	Расчет круговых колец и кольцевых систем
l:,,v,
р р
н»—*н
!'ilC4CTfil.ii; <|<>], -,,!., ..
ДB = ^ ,jWh A — со* ч »; -1\. - - >'<< ' <!1 - -in Ф>-
»,^?gl|,,.+1,(-,,,«-4-) +
¦l^.ln-i.-taco.aj;
^1 4"" J^'V
sin -Ja n \|
AJ j ^ — Л1 n S; O.'ipR" ¦
Q = сДф; Л1- = М„^.-со5 q;+pRs(l — cos ф);
Л^.- .M9Csln4 1 Ofi'li, — sinq?)
-(l+M (« —P) sin fi+2A(cos p-cosn)J;
f Мг? cos ip При 0 < if < |3,
i' ^Jo/' sin ф при 0 ^ ф *.V |3,

Круговой стержень
A a-SO'
P С
У г 'i ы ''
1
0<Ч- С fi
IP c
Y
-"I
N
- v
(TO
(ТП
»гЛ-
K|)a» 6
[ка А/
чки Bi
«I
M
1
fid
gu
i
-PR
V
npv
til
= 2u +
ЙИ — u
='2|<«-
ц> — M
sin (ф -
Момент
педеннь
	-_
d4Pff
in Jet
Pad
-PR
Г PR
= «,,
1 Л
-*«л
н- и -
IJlcosp 4 cc
8i
-»! 1С
-H)
-'S
ы М,
x выи
= 0-
««с
ie
П]1..Л1,.'1ЖС1
со. . _ /_л	j ij(]
-f'RcosP;
- —-. cosj+esi
?'<С(™"-Т«^;"при'
а; I", (- n) =¦ О^д;
4?.l
1 + к) -и — A — л) sin
I> 1 л"~*Л i
= 2U— Sill J(l: fi,, s= a
- A — A) sin 2a) — U-s
-.a-sin (a —p)—2(?ina
-p-sinB-Э);
cos#-c<,,<..Sm(«_f
¦Vl«
+ P« [1 —CO.* (ф
= dtPR. AiKC = dfiPt
в произвольных точи
(i!;
' «fi
рн ij/^n
-1
— .-?п и;
ns a;
-sin (til;
x бруса

308	Расчет круговых колец и кольцевых систем
ш
У Г ML
0 < ф s
у ^ ф <
в«»«
Схема
<~
\t
%
:в
;<¦
Г
м
/.
,TTR f
q COS ф
Af ? cos <j
X Si
в.-
fi« =
мс
-Pft*
.(•
<.,
г 12 с
4 IP
cos m
[1 -
!¦¦*!
_ J_
Л
dt =
rf, =-
Э fa
«.-
i'
Pc = 0;
;= 	 [(/
in U —si
= 2 cos с
-¦Vlco*
cos (ф -
4-sii
1 i,
-4g, iin
-Р)ч|„
г, is о;
(P - v)
¦V)
Ы
u;
T)l
<
O(
til ,|
s,-
-
, __ и • .¦,;
i Й i - A —
r(u-p)
(a — v) —
.-2OU-
AJC sin
,\tc sin
- 2 sin §-
-t (gs + ge ~
Д. - » -
?i: (fin ~?
(a — v) sin
^o tg «; s
со; (a — \)
,.,ы
11'
OS fi
Sitl
M-
Afc
v-
дол>
^ — i
-(a
«_
(¦-
A.,
sin
PR'
sin (ф —
PA ¦
e) —
,R>
-(
-8
«n >
e.<,
Men
a + s
-»-
(cihio T;ifui. 4
g,l;
— V) cosyj;
Wl:
- ?.) sin 2a.
[»-V-
v)l
P-C.I- Ti:
-p.-

Замкнутое круговое коаы\о	309
Стержни постоянного сечения,
нагруженные перпендикулярно их плоскости
Формулы для определения усилий и перемещений при простейших
нагрузках стержня перпендикулярно его плоскости при статически опре-
определимом и статически неопределимом закреплении принедены в табл. 4.
Формулы для смещении относятся к свободным концам стержня.
ЗАМКНУТОЕ КРУГОВОЕ КОЛЬЦО
Основные соотношения
Разработано несколько методов расчета замкнутого кругового
кольца, являющегося статически неопределимой системой-
Первый метол основан па использовании решений для кругового
стержня в форме выражений D) пли F) и G), г* которых постоянные
интегрирования определяют из условий стыка
V Bл) = у@); и» Bл) - щ@); О, Bл) - ft, @); \
и Bл) - и @); <тв Bл) - $2 @); ®к Bл) - #к «)}. J
При этом постоянные, .характеризующие смещения кольца как жест-
жесткого целого не определяют; их можно приравнять пулю, так как члены,
содержащие их, не входят о выражения для усилий. Эти постоянные
могут быть определены из условий стыка с сопрягаемой деталью или,
в ряде случаев, из других условий (см. стр. 313).
. Для решений в форме уравнений F) и GJ условия A3) даюг:
в плоскости кольиа
Q° = 7ГЙ \ S 1'"С'Bл - *'¦> ~ P"RC> <2л~ ''<> "
- T/RC, Bл - <,,)] + -^ w" Bл)|;
+ PUR {С, Bл - Ф/) - Са Bл - ф,)} -
-TiR [С, Bл - ф() - С, Bл - <г,)}] -|-
+ Л /« {-f С, Bл - ф,) - С3 Bл - ф,) J -
- Г, й |-|" С, Bл - ф() _ С, Bл - ф,)| J +

Рисчст круговых колец и кольцевых систем.
i е р и е и д и к у л я р н о плоскости кольца
ттт
-г С. Bп - Ф;) +
+с,Bл-%)^.и;Bл)^|4гт)-"«B:1) щггп|;
i
A-!¦«.) л
+ LKl (К + D С,- Bп - ф,)] + #' Bл) -?Ы ¦
Di {)-2я ~ "'I"~ z
В, (X, 2п - ф,)\ - iKi J
c
., 2л - ф|) -
(ЗЯ+ 1) J"
A5)
Начальное сечение для кольца рекомендуется выбирать по оси
симметрии или кососимметрии нагрузки. В этом случае часть начальные
параметров обращается в нуль.
Другой метод [3, 16] Основан на составлении канонических уравне-
уравнений сил. При этом взаимные смещения определяются интегралом
Лора A1), A2J. Дальнейшее развитие этого метода в работе [3] прино-

Замкнутое круговое кольцо
311
дит К следующим выражииины для силон ы.ч факторов в начальном
сечении:
в плоскости кольца
M'J = — -i- f M]p (ф) ()ф	— \ Mlp (Ф) cos ip <lcp,
г e p II e и д л к у л я р и i> плоскости к о л ь ц ;
A6)
(ф)
A7)
"" ^7Г J Мда (cf) rflp;
здесь My, (ф), .М^р (ф) и Мкр (ф) — нагибающие н крутящий моменты
от внешней ндгфузки в разрезанном кольце:
MV = R | И [,,,(() sin (<p— 0 — »(/)сов(ф-/)]«Л+/я,(|р)} rfq,;
= - R
! V) Я + т3 (<)] sin (ф - о -
— /??s (/) cos (ф— ()} dt.
После определения начальных силовых параметров величины
Усилий и смешений по длине кольца определяют по формулам F) и G).

312	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Кроме изложенного метода можно регтмепдонать метод изложения
элементарных нагрузок, изложенный ниже. Метал применим только
о случаях нагружемия кольца сосредоточенными нагрузками.
Элементарные нагрузки на кольцо
Три типа нагрузок в плоскости кольца (рис, 7—9) и три типа на-
нагрузок из его плоскости (рис. 10—12) называют элементарными [G].
Такие нагрузки возникают в кольце, подкрепляющем свободную
Оезмоменшую цилиндрическую оболочку, при нагружении кольца
сосредоточенными силами; уравновешивающие их касательные к оси
кольца и направленные по бинормали к ней распределенные на-
нагрузки распределяются по радиусу г (радиусу сопряжения с обо-
оболочкой).
Нагрузки в плоскости кольца. Первая элементарная
нагрузка (см. рис. 7) —сосредоточенная радиальная сила Р, уравно
вешенная касательными усилиями, распределенными ло закону
Я= --—sinif.
Перенеся эту нагрузку на есь стержня, получим
Р	Р /, г

Замкнутое круговое кольцо
тогда правая часть уравнения B) будет /х =	р-. sin tp и общее ре-
решение с учетом кососимметрии функции и примет вид
PR:i
и = Л, sin ф + Ал<р + Аъу cos ф 4- -g?j~ 9" sin Ф-
Из условий A3) находят постоянные Аэ и А:,. Коэффициенты жест-
жестких смещений кольца определяют из соотношении
Л	2л
у = 0; I v (ф) sin ф dq> = 0; | о (rpj cos tf dep = 0. A8)
о	и
Окончательные выражения для усилий и смещений по кольцу на
участке 0 <=; ф ^с 2л
Q = KqPP; N = К^рР; Мх = KMPPR;	j
где коэффициенты Ktp означают:
__1_[к_ ,)Со- —(—- — ) -in ]
1 Г	( 1г	1 \
Кмр — -п~ ( ф sin ф -[—^- cos ф + 1 — л, sin ф I;
KvP = y~ 1(л — ф) A — cos ц>) +
1 / п3 11	фй \ 1
Кк:Р ~" ~2лГ [- [ + -у *л - Ф) sil1 Ф -Ь
1 / л2 3	ф2 \ ]
!<qp = -nz- (л — Ф) A — cos ср)	'— sin ф .
B0)
Графики этих коэффициентов показаны на рис. 13—16.
Вторая элементарная нагрузка (см. рис. 8) — касательная к оси
кольца сосредоточенная сила Т, уравновешенная рнсгцхделншой
.йагрузкой по закону
Т (	, R \

Расчет круговых колец а кольцевых систем
\
\
1 1
к U
to f^
3
i
/
/
/
/
IS
\
"ho
I
1
4
1
\
\
p
3
\
:
0
d.
ay
z
If
77
}
л

пмкнутм кругтог кольцо
Vai.'iiiij и илкчцгнпя по кильцу при Or
К NT '- 5^- (л — ф> COS ф ¦ - I - ^	j- j sin <f J ;
К.ит — -^— (t — <F) cos (f -J- -^- .sin <p -;- (| л ;
-f- -i- cos if — (я — qi) siti ip I ;
1 Г	Л-'
2Л I	6
	i_ s	LlnL	Ё__-, ф3 \ co; r
— -i — i sin 1
-IJ^- [A - <p) A — COS ф) +
B2)
Третья элементарная нагрузка (см. рнс. 9} — сосредоточенный
"•омент L, урнонов^шенный распределенной нагрузкой
Усилия и смешения по кольцу лри 0 s; ф ^ 2л:
J л'«'- "Б"; л' " A'-Vi 4-; ¦'" = KMLL\
D — А'г
L Д'^
"- И,
B3)

Расчет круговых колец и кольцевых систем
	j- cos <f -i- (-т — ф) sin ф ;
j^- [я — ф — -j- sin ф — (я — ф) сое ф] ;
B4)
Графики коэффициентов К, содержащих в индексе Т, показаны н;<
рис. 14, 17—18, а содержащих в индексе L — на рис. 19—21.
Нагрузки перпенди-
перпендикулярно К ПЛОСКОСТИ
кольца. Четвертая элементар-
элементарная нагрузка (см. рис. 10J — сосре-
сосредоточенная осевая сила Р%, ypaiv
новешенн а я распредел ен ной, на-
правленной по бинормали к оси
кольца, нагрузкой
Определив частные решения со-
согласно формулам A0). значения на-
начальных параметров в выражениям
для усилий можно найти по фор
рис. 17	мулам A5). Значения начальные
параметров в выражениях для сме-
смещений, в которые также входят коэффициенты смещений кольца как
жесткого целого, определяют из соотношений
| и (<р) dtp= 0; j и (ф) sin
i	ft
— 0;
2л
\ и (<р) c
В результате окончательные выражения для усилии
ний записывают в виде

Замкнутое круговое кольцо
ь
1
T'V
_~-
\\
л
)
\
111
lj
т
\
\
\
•30 : /t
i
¦ 1
I
i///
i
1
1
l_
/,
'//
4
Y
300 tf
V
с
J
"V
т
cos
0.0k
омг
0.01
cot
0
-0,0!
!{»'
-0,0k
-0,0!
VI.
JxLT
4
i
m
-
x
\
[
/'! i
KtV
4
-<\
У
\
!
1Ц—
I / i
ISO
L
-
1-
\
f
--
11 «>•
i\ 1
V' 1
i1/I !
.
j
41
i i
-1-
\
-1
_

31ft	Расчет круговых колец и кольцевых систем
КМР =	~- Г (Я — q:) Sin ф	5- COS cp — 1
-г -тг I cos ф	ъ- (л — ф) sin ф +
,	|^3
R
—— (л — ф) sin ф| );
[ 4" (! " "г) cos ф + Т"(л ~ ф) sin ф]} *
Пятая элементарная нагрузка (см, рис. 11) —сосредоточенный на-
нагибающий момент La, уравновешенный распределенными по кольну
в направлении бинормали усилиями:
Приведем, в качестве примера, решение задачи энергетическим ме-
методом. Перенеся нагрузку р2 на ось бруса, будем иметь

Замкнутое круговое кольцо
Выражения изгибающего и крутящего мочеитои к р;п'н>занном
кольцо определяются по формулам G) и A0). Подсганляч н н;;.\ ныраже-
ни я B6) при г = ft, получим
М?[>	^'-— (ф uos tp т- sin ф);
М*р =¦¦ ~ -^f Ф sin ф.
Подступил теперь эти выражении и формулы A7), получим чиачс;;ия
начальных силовых парамстро». Вырян^ення для смешений необходимо
при.мимгпъ но формулам G). При атом начальные параметры cviemtinii'i
слелус! определять из cooTiioinemin BrS).
В peHy.'ibiiiK1 усилия и смешения в этом случае нагружения буду!
4 3 cos Ф "¦ -у *in
KhL =	n— {-"* — <1) s Ф	^~ cos (l: — !¦
т — cp> (I — cos ф) — 9 sin q ]; -

320
Расчет круговых колец и кольцевых систем
Шестая элементарная нагружа (см. рис.. 12) — сосредоточенны и
к])у 1ЯЩНЙ момент LK, уравновешенный распределенными по кольцу
усилиями
Vcn. in я и смощ?иия в этом случае нагружепия
77; ^*fl""W
1 1 — ЗХ I
f—т>	j—рсоаф ;
[(л"" ф) cos ф + Т' Т^Х
-^ Г (л — 9J cos ф + 2 (л — ф) sin ср —
(в? 3 \	Л
"" ч'J cos <Р — 2 (л —
/ л- 1 \	1 Г,	, .	1
- (-з	^-)cos9j + [(я —ф) атф-Ь-^
Усилия и перемещения при простейших нагрузках
в плоскости кольца
Формулы для определения усилий » перемеще-
перемещений при простейших нагрузках в плоскости кольни
приведены в табл. 5. На рис. 22 показаны положи-
положительные направления для усилий, действующих
на впереди лежащее сечение кольца в напра^"!-
пии возрастания угла ф; 6Л н f)y —изменения д--.а-
метров кольца а папранлении осей х и у. Знак
плюс соответствует увеличению диаметра.

Замкнутое круговое кольцо
321
6. Усилии
и перемет
Схем*
2л
я
,Р
р-4—f—
иС
p
I ¦ J 1
Г т*"Ч2г )
ения при простейш
<|
Q =
iV
p
= o;
2
2 =
ax
+ i
4-ГЯ[('2л-а)[
+ 7* [— <*2
+ sino
' "
P[Bn
Я-О)
•COS,
>[Bn
- а) со
га5ф|
их нагрузи
¦С1ГП1ЫС ф
0; М — 0;
Р
sin
Р
Л
г
Iя "
Г
[ ^л
а sin я
п« 2
— сол(а —
+ L[ л
—а»со= («
sin (с — ф)
+2-?-|со
— a) sin (a
V
= -
(-г
?ч1
!„¦-
а
>)]-г
Ф)
пл
оск<
,ы
-г)
-,):
Л
¦2
я
я
sin
«
У"
4
sina(I
up ь
¦Hslna
сти
]
J'
г
к
4
+
-со
111 [I
кольца
]¦
?) —
<f)lJi
j +
—2соз<р A — cosa} +
— Ф
ч (а — ф) +2 si
L
+ ft |S'
(а-
Ф)-с
— sin
1 ф A -
-Ф.+
«*]
-cos
sin (j
Ф] +
a) +

322	Расчет круговых коми, и кольцевых систем
С.чемл
Расчетные формула
а < ф «г ¦.'я
/И =. —— {PR (с sin (а —<)>) -•- >in« sin ф —
-t- TR |—u + ucos (а- ф) + Lin а A — с
— 2A—cosa)8hi<rj —*.[а+2б1Пф Ь^-i
+ 7" [a-sin (а —Ф) — 2 cos ф (I- cos U) -t-sii
+ Г [-a-cos (а-ф) -|.asInV A - со
+ sin a cos (pi Ь 2 -jj- [sin (a — ф) f- s
0 ^c Ф < a
Ai e= — {ЯД [I — со, a — (л — u) sin a
+ л cos a-sin cpj + TR [л — a+ sin
— [Л — a) cos a cos ф — sin uco? ф — л-sin
+ L[n-a -2sina cos*]};
Q= — |p (л cos a-cos ф -f- (л — a)-sin a
. L ,.
+ _a8lna.s.n9j.
,v=> — [P [(л— a) sin a. cos ф — л cos a
л )
-f T [n sin o.^in Ф+51П a cos <p f- (я —a}-co
+ -p- 2 sin a cos ф!
J
а <ч> <, л
M=J-{p«[l_cosa-f-asina со*ф1 + 7
— a + (a cos a — sin a) cos <p| ~ L (a + 2 si
Q= JL j—Ра.а1па.Мнф + Г5|п(р (sina-
+т!||п№4
V = -I. [_ p.a sin a.co=. ф - T со.ч Ф (
- arose)+-~ 2sino-eo=(rJ.
cosa+l| +
D- 0) —
(а —ф|};
asinu)-
-.«) ¦ t-
П ф]}
i-
«¦Sin (fl +
Sill ф] +
.IIHPJ +
a cos '(¦] -!-
*i(ilna-
..ObHli
a cos a) -\
in a —

Замкнутое круговое кольцо
Продолжение табл. 5
Схема
Ф
Расчетные формулы
в < а < -?
+ /-R» ^2 + ^^iLia_^cosa-2a] +
TtEJbx = PR3 f2cos a -f —¦-\~-"-' sin о —я cos o —
— 2J — Г?я Г2 (л — a) +2 sin a — -?- (я— «) cos a —
— ^ sin ol — i«! {'2 (л — «1 — л Чп а]
At ~~ PR (o.»183 — 4-sln fI 'v = ~ir Р'*1пф:
Q = — ~ p ct>5 ф; бг = — 0.137 -^A-j
0 < ф < а
M - РЙ [0,3183 (sin a - a-cos a -[- a to» (p -
,V = P [0.3183 (« — sin a-cos a) — l]-cos rp;
Q = — P @.3183 (a —sin a-cms a) — 1] sin ф
о < ф <n
Л1 = РЯ @,3183 (sin « — a-cos о — a cos ф —
— sin a-cos a cos ф];
,V = P [0..1Ш соьф (я - sin a cos a)];
q ^ -. P-0,3183-sin <p (a — sin a cos a);
6^. = — -~^ [0,6366 (sin a — « cos a) +
+ —- (sin a-cosn —a)];
6^ = -^-[о.6366Ыпа-а.са*«>-! ооч а |

324	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение табл.
с,
V:
Л
щ
is
v\
м
м
М ^
Л-1 =
Расчетные форму-
0 <; ф < а
= L [0.3183 B cos ф X
X sin а+ а) — 1];
M = L
,v - -
ы
rt е-: Ф < я
- 0.6366cosrf>-5ina
бл - —^'- @.6:166а — sin в>:
Ьу = -~- @,6366а-|-cos о-1)
я
= Z. @,6366 со* ip —
-т)
Al — I.
0 ^ ф ^ Я
Лг" = -^-0,6366 cos q; Q = -JT
0 < ц; С а
Рй [0.3183 (а-sin а -\- cos u + ь
-Sina + sin ф|;
Q = Р (cos ф — 0,3183 sin1
Л' = Р-0.3183 (ч]иг « cos if
я
@,6366 со^ф +
0,6366 sin ф;
•
In' a-costp—1)-
a-sinq;);
» РД [0,3183 (a sin « 4-соз а + sin2 a-tos ф — 11];
Q= — P0.3t8.3sin* n-sin4>;
Л' =sP-0,31!i3-S пг а-cos ф;
tSx^H51 |^--l-sin=«-i-O.Ca66(asin«-r

Замкнутое круговое кольцо
Рнсчетни? формул
flff = -g-jr Г-у (а 4- sin u-cos а) +
+ 0.6366 (а sin а + cos а — 1> — sin а]
М = PR @,3l8Jcosq> +
+ sin ф —0,8183);
N = Р @,318a cos ф +
+ sin ф>;
Q =— Р @,3183-sin if —
— cos Cp)
Ai = PR @.1817 |-
+ 0.Э183 cos ф);
M = PR 10,3183 (в si n в -f cos в — a sin а - cos «
— sin* а-cos ф H- sin' в cos <p> — sin i ^- sin a];
Q=-.H [0,3183 sin ф <sin* a - sin' в)];
,V ^~ P [0,3183-cos ф (sina a — sin3 в)].
M = PR [0.3183 (d sin в + cos в — a-sin a — cos a —
,\- = Р|0„1Ш cosф (sin» fl-sln=u) + s!nv!;
Q = — Л [0.31Ki Sin ф (sin1 в —sin* a) — со*ф|.
M == PH [0,3183 (b sin 9 -f cos в — a sin a + cos a -
/У = P [0,3184 cos ф (sina 6 - sin* a)];
Q = — P.0,3183 sin ф (sin* 6— sin* Bl;
+ coa В — aslti « — cos a) -|- 1 —2 sin llj;
= -^j- [y (slno-coso + l —sin в-и» o — o)

326	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение табл.
о™.
'—г
"Г'Й
'Л
W
р\^ \t
Щ\
Л
М -,-. [
М^РН
Л.<
1
2 Я
= PR
А*
0 =
Л [0.31
N = Р
0 < г
0.3183 (со-
- cos а) +
t= Р.П.ЗШ
фор
<а
муль
1 а-cos ц:
та
cos1
- P.0,8183-cosa
О<ф
3(cos«e.c
-J-S П ф
0,3183 cos1
я
*т
asv-
1
~т
AСО
Q= Я (соз ф —0,3183с
Го,3183
-V
Q =
PR'
с = ^-
-0,63
sin1 a -
-
cos* а.cos
= Р-0.3183
— p-o,3ie
у (sin» а
-г cos
[Sin« —
66 (а-sin а
¦¦К--
.@, + pR
1 ч1пз ц
ф - а
1
2
и-со
«¦si
— a sin a —
:
т;
i<f.
- a sin « —cos а» Н-
,
1
Ф +
os a
sin ф);
¦slnlf).
¦ sin a - cos a) +-?-!¦
cos" О cos
+ 1)
«)];
- (sin
+ соч
rsin
3
4
-[si.
а<si
чр;
— О.бЗбй («sin a +
acosa -т-а) —
a) -T-0-7R54J
sin a
as
'»>
П ф —

Замкнутое круговое кольцо
Схо-а
Р = pR sill a
Раочсг
«--,*(!;.¦„
Q = — pR (t^siii3
Л* = Af @) — pfi2
Q = — pR (— sii
2рЯ' Г1 1 .
°» EJ U 2
" ' 2P«. I l"
'» EJ I 12
л-И) = --?|-
1
a
a
1j
in3
+
(л
Ф
a)
Q = pR [sin a.cos ф — A +
.\' = — pR [sin a.sin ф + A4.
,. Dv 1 1
:Л1 = p кг [cos ф	— (
Q = — p/? sii
Л' = -/,Д A +
О,ф.
|„ф-
и-cos
sin Ф
1
"^ 4
1 ^.
-sin
+ A +
+«
COS «)
< Л
in о — a)
Ф
- Л' {7
Продолже
-s,,,<,sii,
Sin О. СО,
ф -f Sill2 ф
— sin ф cos
1
sin a u
tit!)]
а + « cos a
cos u) cos
in Ф] - ,V
СО5ф]-Л
+ Лг !л>-
) sill ф;
V (л] cos <p
«ет
ф);
,)
)-
;
*);
P —
(л) si
(n) cu
? cos
;
и ф:
s<p.

круговых колец и кольцетх систем
Схема
Р — ?oR B« sina);
q = q0 (COS <p — cos a)
Продолм
л „ ^
&x=— %т v—~~t- ~~sina—b"
_ilCOSa + —cosa).
0 s; a <l л
etf = TT B—5-+-^sin«--|"a'sine
+ -y sin a cos u —^-a-cos'a);
N(n)= 4-j?- (a — 3sina-cos a +2a-co
4Л
»<Ф<а
M = M in) -\- X (Л) R A +co5 ф) -
— ?fi^. [—2 соя n + (sin aco= a— a) si
-+¦ A + Cos1 a) cos ф 4- ф sin Ф]г;
+ (a— sin a-cos aj.tos ф — ф cos ф>;
a <. <p -с л
M = M (п) +ЛР (л) R A 4-cos ф);
Q = -N <Л> *in Ф; .V = - А' (л) cos
0 < a < T
в,-^[5-^A6ссэа-751па.с
+ 7Q— 2Я cosa а —Зл— 2а sinE a)|
— 2a sin acoi a 4-a2 — 3 sin2 a];
здесь \ = 2a cos a — sin a cos a 4-a— 2
ем не табл. :
ina —
— cos «)
« +
s2 a)
Пф +
a—Ш)\
sa +

Замкнутое круговое кольцо
Продолжение табл. 5
Расчетные формул
М" = pRl [о,3183 (-j- -fa-sin* n -|-^- sin « cos a) —
Q = — рД sin ф.СО5 ф
М = Л(« - pR1 (sin a X
X sin q>	T-sJn'aJJ
Л' = — pR sin a.sin q>;
Q ^ — pR -.sin a-cos ф
x^??~. |_siIia_^-siir1u-r0,3l83(a +
+ 3 sin a cos a + 2a ¦sin2 a) J
+ 3slna-cosa -j-a)|
[o,3183 (ysin a— a wsn j
i...-i.i.
—^- -j- cos a	cos1 a j,
I'' *-3" '3"
— a cos a) + cos a — 1 j.
M = MO — Л">Л A — cos ф)	~ pfti (l — cos3 Ф).
,V s= JV» cos ф -rpR A — cos (;) гояф;
Q^ — Л*1* sjn i(. — pR Ц — со5ф) sin ц).
№ < Ф < я

.>30	Рас:cm круге
А-
Щ
тин
1
^>
р
.V =
Q = -
Л1 ^ М"
л
Л)
л' -
« =
,4 = — q
р.
- Л'° ii
,0.306
-л™
-- .V
= —л
«Л1"
1 ф -
= -*
»«¦;
A-
"S ф
~s
— Л'
ф —
Л'О cos Ф —
- Л'» sin ч
,o.jJ. />
н
УЧ!
1 ч.пл
ыс форму.
Р« \\ — ее
- р/? A —
с; Л! -^
Л10 = —
-СО.ф,-
]
ф	— Pf
; Ф с я
•«<! -СО
1
2
? а) со
05A) :.
4
.0Л83
у«
пф;
»)-
— i!n
С05ф
sB= —o.iao-S
стке ЛС
-0.219
96 1
s ij;
!! ф
мп ф;
ф)';
^"
п((-

Замкнутое круговое кольцо
Схема
'•¦\pl
P — '2q /?sin a
MO --
¦1 V
лг =
Я
+ ,«¦
Q
.Vе =
Q =
l>
a.
«.[
cos=
П|шдшше
Р.сЧетяы, формулы
иге табл. Я
0,318.4 (-?- -}--I-sina-i-ae0S«_
„acosa+^slna-co^aH
1 ^- s n a- ens a — fi- a cos.
— — A — cos a)aJ J
\"> =¦¦ pR* ^0.3183 (-g- + -^ a cos2 ц -
«
4-
л
[-
-<
= ;
.V
¦COS
M
ti-
till COS
— Л
4
Af
Л-с
-Л
fill)
It со
- t\'«
M
= N
1 12 ч " a'cos a/ -2
ОСфйа
= ,Ч»-Л;оЛ A-ciisa) 4-
co.^)--i-(l-cos«)(l-
x (i~№(р)-а«(pj;
о sin Cf -р«г [— A — 2 cos u
cos (p) Ц — cos ф) ?in (f.J .
a < fp < л
= Л1" — iV'fl A — cos a) 4-
— cos a) \-y 4- -y- cti.s a — со
os ф 4- -^— {1 — cos g)э cos q
. и„ ,,_-?«!-a _ „* .)¦•*
3181 (sin a— a cos a) — cos о
0 <. Ф < a
-. Л1» — Л'°Л A —cos ф) —
sin Ф ¦+¦ qR (sin a-cos tf — ?in
а й ф *; л
fl/?2 (cos a-cos i(. — cos if);
cos ф + qR A — cos a) cos (/.
cos a)-J .
cos,,];
¦¦ Ф) X
+
'01;
,ф.
-U;
-i]-
-i);
4)-

332	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение табл. 5
Q = — Л'° sin <е + <}R ((:os п - Dsin tp;
= dl^l [-1-й cos « + 0,31830 — О.ЗШ-ын
_ JL Cos u- 0,0183 sin a- ~]
0 < Ф < Ц
M = PR (o, 15915 [a sin u +cos a- b s
+ C0S4. (sin2 a —sin2 6) — sin ф (sin
.M se PR [о,15913 [a-sin a
¦sa-9 sin 6 —cos B4-
4-cos <p (sin* u— sin1 6) — sin ф (sin a-cosa 4-a 4-
Tsln 6cos В 4- e> - q> (sin a 4--sin 6)] 4-
+ i-(sin a 4-sin e> j.
Вл — b < ф <- 2л
M г= РЛ jo. 15915 fa sin a + cos a - p.sin Ь — co5 I' ¦--
4- cos ф (sin! a — sin1 8) —sin ф (sin a>cos a 4- a 4-
4 sin % cosfl 4-6) — ф (sin a 4- sin Щ 4-
.V = P {0,15915 [cos tp (sin» a —sin'B) - sin ф (sin a-
Q= P @,15915 [- sin a -sin 6- sin Ф (sin1 a -
— sin2 B) — cos ф (sin a cos a 4* n 4- sin 6 cos 8 4-
-V == P {0.15&15 [cos ф (hiMs a — sin! 6) —
— sin <p (sin ц-со5 a 4-о 4- sin fl-cosj 4- e>]);
Q=^ P to.15915 i— sin a — sin 0 —sin <p (sin* a -
— sin' в) — cos <jp (sin tt-cos a 4- a 4- sin ft-cos в 4- G1] ¦
At = PR [0,2387 cos ф - —- sin a 4- 0,15913 (ф sir. ч -
+ a sin a 4- cas a — cos (p cos2 a) ;

Замкнутое круговое кольцо
с
ь
» = -
?
Ч
Р =
2
Е-
В
р
Расчетные
Л' = Р [0,15915 (ср sin ф —
М = PR
А
Q
\
ft
+
AI
,7Ы
Л1 =
Л'
Q =
0,15915 (ф cos ф -
[о.2387 cos ф — 4}
+ asin a + cos a
= P [o.15915 (ф si
— 0,07958 cos ф
= _ p m.issis (ф
+ sin ф'Сов* a
Пцодо
формулы
cos
I
si
-c
пф
__
CO.
-
= -??1. [o,3l63(a-
_T(sJn»
._^|0.3183
- (sin aco= a + «
., = _ 0,0LKl'2Pfi ,
x (+Д1) — fl.01-156J
= — Л1 (л — ф);
0 *S ф
J/? (о,1Ш7 cos ф -f-
= P @,lj9ir>v sin
— P @,15315 ф со
— -u q
ЛР. (l),23868-eos <|
.4- м„
»-
(=
) —
V
'ft
M
0,1
Ф -
Ф
+
Ф 'Cos* a]
sin ф -rs
лженне табл. 5
— 0,07SoS];
¦.-¦)].
Ф +0.15915 <Ф51ПФ +
«,.c«.«
— cos ф-са
-slnipl;
Ф- ¦¦-
1 cQ 1
in a + со
Ы>] =
sin a+co
i-sIn«-
^ — ti.;;7
при Ч ^
при ф ^
J:
s; a) —
Пф -,-
«) —
ч a) -[-
-t)
66.K3;
113.2°.
= 0 при if- = -J .
5915 ф sin
-0,07958 cc
— 0.07<-58.
л
0,15915 ф
S <J'l:
in if).

331	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Сх
yffIT
Ml
w
р
р
¦°
щ.
ТЩ
р
Л1 = f («,15915 гр sin cp
Q =з — Р (о, 15915 ф cos
О
м = ,м» — лго« A
.V=^.V° со5ф 4- — q
Я
и
М = AJ» — .V»/? A -
4-cos ф — 1 -
Л' = fV*cos«p + -
Q = - N9 sin ф
4-2 (a-si
4-а — 2 sin а) Н
Нл участи
На участк
»| = М д —
— 0,07958 cos ф — ~ sin ф).
ф — 0.07958-Мп ф	j- cos ф) .
t- a sin а — я-siti а 4- sina а):
< Ф <. а
_ cos ф) +-^ № sin Ф 4
э* ф—i).
sin ф; Q = —N« й1Пф 4-
- l(, СОз ф
; Ф < л j
СОЗфL--^1ф5[П(р4- |
-я (iin ф —sin а)]; 1
¦^- (q:sin v — л sin ч); Е
4- — <Ф — П) cos ф;
п ft — cos a)j J
-2 («sin a 4- cos a)J
na-ncosa + 2aco»al.
x I — 4 a 2 — 3
PR A — со» if).
x I_ 2 и 3 — 4
PR A — coia) j

Замкнутое круговое кольцо
Кольца переменной жесткости, Составные кольца
Наиболее удобными методами расчета колец переменкой жесткости
являются энергетические методы [5).
Усилия в плоскости кольца вычисляю! по формулам
Ml = M^— QiR sin ф— ,\'°R (I — cos tp) + MlP;
Ql r= Q® cos ф 4- jVj sin ф + Q]/t; ,\ = — Q1/ sin q> -- № cos (p |- ,VP.
Начальные параметры
где
1<ф) '
Из плоскости кольца моменты
М, -^ м1} cos ф + (М\ — RQty sin ф -|- М.2Р;
Начальные параметры
<--

Расчет круговых колец и кольцевых систем
т
* - и f Г М J sln Ф j_ М«р('-
2Л
"ч"'к! -Е77Щ- + сл(ф)
J ф>
Ниже приведены решения некоторых частных задач для составных
колец.
(рис. 23).
М)=! М{—
р
О, =— /V* Sin <P-r-^- (sinv ^(p cosip);
¦ ф s[n фт
Рис. 23	Здесь обозначено
а, = (Х _ 1) а + я; я» ™ <Х — П (s'n а - -у.) - л;
а, = (X - Н (Sin a 4- гл) + «:
и4 = (х—и (bin а cos а —а) —л; х = 4гт~ •

Замкнутое круговое кольцо
О, = (х — 1) t» sin a — a cos а — 2а) — я;
- '-^- [2а cos 2« — 7 sin 2« — 16 sin а + 16а соч а + 12а -(¦
.	_	_'))П4-		^
Дли ряда значений угла а и отношений жесткостей х в табл. 6 вычислены
величины изгибающих моментов в точках ф — 0. Ф = сь, ф = л,
Пример 3. На кольцо, как в предыдущей задаче, действует третья эле-
элементарная нагрузка (рис. 24).
Рнс. 24	Ря
Усилия по кольцу
Q.= (Э° со; ф 4- -^^- (I +cos (f); Л' = Q° sin q
Для кольца из двух
юстоянной жесткости
iMtin — 4а cos a -f 2а — sin 2а) +6л
(X— U Bа — sin 2«) +2л
Пример 4. Составное кольцо из двух секторов круговой формы разного
сечения и разных радиусов нагружено равномерно распределенной нагруе
кой q по радиусу г (рис 25>. Обозначении: ft,, ft, и Jt, Jt — радиусы окруж-
окружностей, определяющих нейтральную ось, и моменты инерции сечений каждого
секторч кольна: а — угол, определяющий протяженность обеих частей кольца;
E,J,	_ _/^	ff3

Расчет круговых колец и кольцевых систем
изгибающие моменты
С W
Л'о
Af
М6
*
Л'.
-"я
3
к
3
S
1,1
0.2370
Й.О787
0,2420
0Д59П
0.236
0,078
0,243
0,086
0,236
0,0803
0,245
0,0255
1,2
0,2350
0,0777
0,245
0, lfil
0,233
0,077
0,091
0,233
0,0773
0.248
0,0281
М
0,234
0.077С
0,247
0,163
0,230
0,0755
0.252
0,095
0,230
0,0768
0,253
0,0327
X ~ "
,.4
0,233
0.0767
0,248
0,164
0,22Ь
0,074
0,255
0,098
0,228
0,0754
0,256
0,0356
E.lj
...
0,232
0.075Е
0,250
0,166
0.226
0,073
0.258
0,101
0.22С
0,0746
0.2G0
0,0385
2.0
0,227
0.073 b
0,257
0,174
0.219
0,06Э5
0,268
0, НО
0,21В
0,0 7 16
0.273
0,0504
2.5
0,224
0,0722
0,261
0,178
0.213
0,067
0,278
0.120
0,210
0,0081
0,284
0,0617
3,0'
0,2225
0,0716
0,264
0, 180
0,210
0,065
0,282
0.124
0,206
0,0661
0.291
0,0673
М" ~ Л'4 (Rt-
при 0 й ф < а;
s ф) — Qotf2 sin Ф + 4R?r (I — cos ч
при а < ф < 2л;
N = А'и cos ф + Q° sin ф — qr (I — cos <p):
у = _tf° sin ф + Q° cos tp - qr. sin ф.
Параметры Л*», Q°, Л" определяют иэ уравнений
[ц, Bл — а) + Hi<i]];

Замкнутое кругоние кольцо
330
I(lj [lli II-со» a)	i- ц, A— COS20)J| ;
|nj({«-ism»+-!!!p) + i^ [и, <«-«)
+ u, (л-i-J^)+ <„•!-,.,> sin a]):
Решения ряда задач этого типа приведены в табл. 7.
Схема конструкции
Ф
Щ
с<= >,
\» = —qr; Q»=0; Af» = O;
.\ = ~qr; Q—0; AJ =0
.M» —I); y°^0; ,\'* = —qr;
прн 0< ф< a M=0;
при а <ф (?2Я Л1 =4Г (tfj- Rt); S'^^-qr;
Q - 0
Af» ^Q» = A'*=O;
при а<ч>< 2л Л* =0

3-10	Расчет круговых колец и кольцевых систем
ё
а
«,-
2 Ш
п
¦ '+.
при
при 0?
'(-
"л/
—л
Продол
я
sin^j: Q-
1-
.И = -jre I
•-
4
л
4
1С
»
4
я
со5ф;
ф);
,„)
ГИБКИЕ БРУС И КОЛЬЦО
Влияние нормальных сил
В случае расчета гибких круговых стержней и колец уравнения
раннопссия элемента записывают для деформированного состояния.
При нагружении в своей плоскости имеем [16]
B7)
где i?i — радиус кривизны после деформации, определяемый из соот-
соотношения
_L-_i -_L ?5l
R, ~ R + *' "'" R ' dcp ¦
B8)
Ич второго уравнения B7) находим
Вместо уравнения B) получим
, R' rf Г / <i% do \ 1
r ?J ' rf L' W3 rfJ
+ ?=''№¦ >30»

Гибкие брус и кольцо
311
В этом уравнении правая часть записывается по-прежнему в виде
формул C). Уравнение C0) может быть использовано при рассмотрении
нлияния гибкости кольца, влияния осевых усилий, задач устойчивости.
После определения функции v смещения и усилия в кольце определяют
из соотношений
<Ь „ 1 / dw , \ .
C1)
Пусть на кольцо действует нагрузка q постоянной интенсивности
(рис. 26). Эта нагрузка вызывает в кольце нормальные силы N = qR.
Смещения и усилия по кольцу вычисляют по формулам
v — Ло + j4j9 + Аг cos ф + ^з sin Ф +
-|- Л5 sin |ч.ф + в*;
щ — ^i — Аг sin ф + Л3 соз ф — (а (Л4
— Аь cos ц<р) -г а^;
*	\а + Л D ')
C2)
Ц l) (Лл sin n<p -
— Л5 cos цф)] + Mj;
i = Щь [И2 (^2 - I) (^ cos |лф + Аъ sin цфI -f
члены со авездочкой — частные решения, определяемые согласно со-
соотношений C1) из функции и*; v* —частное решение неоднородного
уравнения C0), определяемое подбором или по формуле
v* - — J sin ц (ф — фХ) J sin ц (щ —
1)	И
— Фа)

Расчет круговых колец и кольцевых систел.
Величины Ai —произвольные постоянные, определяемые из гра-
граничных условий или условий стыка.
Решения C2) справедливы при -~- > - 1.
Пели нагрузка направлена в обратную сторону {рис. 27), то решение
- ~^> 1 будет
v = Ао 4- Л(ф j- Л j cos ф | А3 sin <р -f-
и.ф -г у**,	C3j
для v при ~р-.— Z> 1 будет
где ь** вместо v* следует находить по формуле
Ф	fi
= — j sh fi (<р — ф,) j sin (ф, — <
о о
- —1.
Пример S. На коль
Пряная часть ураниення C0) будет fj = ^-^ ¦simp. Тогда частные решения
его. определенные подбором, будут
Г v (ф) sin (p dip = 0:
б
Рнс. 28
Твким образом, для изгнвею
получим выражение
-Р^т cos Ф - цл 7 ^
ц^-1	* Sinn"
] рис. 2У. Методом наложения
получим выражение для изгибают*

f'uGnur брус и кольцо
343
Решение ураипенля C0) может быть выполнено в рядах Фурье.
'->шт способ решения позволяет получить однотипное решение для про-
произвольного направления нагрузки ц. Правая часть уравнения C0) раз-
разлагается п ряд
Решения запишутся в виде
л<р)
cos л(р — f sin n(p
Al = R-
/ cos ггф — f sin «Ф
Наиболее опасный случай, когда нагрузка q направлена к центру;
тогда в формулах C1) следует брать перед -¦¦¦ ¦ ? а	г— ^нак минус.
Наибольшее влияние на напряженность оказывают первые гармоники.
Рис. 31)
:но силой Р и давлением qa (рис. 30).

Расчет круговых колец и кольцевых систем
Пример 8. Кольцо под наружным даиленнем q, В этом случае /, (ф)-^ О
и все частные решения v* — ш* = #*=...= О- Условия стыка
v <2л) = и (О); w Bл) = а,- @); # Bя) = в @)
приводят к уравнениям
2ПА, + A, (cos 2цл — 1) + Л, sin 2^л = 0;
Л4 sin 2|ui — Л» (cos 2цл — I) = 0;
2лЛ, - 1цг — 1) U, (cos 2цп — l> + At sin 2^я] = 0-
Решение этих уравнений существует, если их определитель равен нулю:
2A- cos 2un) ~ 0;
отс юда
2|1Л = Элл или \Х = п.
При |1 = I решения нулевые. При ц = 2 существуют ненулевые решении,
^7
Я =-¦ Окр - -ЩГ-
Влиянне начального прогиба
Если стержень или кольцо имеют начальный прогиб v, w в ceoeii
плоскости, то после деформации смешение точек кольца (от круговой
формы) и изменеике кривизны будут
v --¦ v -г Vynp; w = w + Wynp; у, = и + и^р.
Исходное уравнение для гибкого кольца с учетом начального про-
прогиба можно получить из уравнения C0) предыдущего параграфа
Если кольцо жесткое, четвертое слагаемое в левой части урмви
ния можно отбросить. Решение уравнения C5) в замкнутой* <|юр

Гибкие брус и кольцо
345
записывают в пиде формул C2) или C3), только частные решения
неоднородного уравнения должны быть соответственно изменены
»* "= — J sin ц (ф — ф!) J sin (ф! - фа) J j X
ф	ф	Фа Ф.
o* = -L j sh^Cf—ft) I sin (ф, — tf») J |
0	U	0 0
Решение уравнения C5) записывают также в рядах Фурье. Допустим,
смещение ц; начального прогиба запишем рядом
w = ^ (an cos "Ч1 "т" *n sin лф)
re=J
и кольцо нагружено равномерно распределенной нагрузкой qOi тогда
уравнение C5) в функции w примет вид
w dw \ _ quR* f d*w dw\
Pa ^Ф /	tV \^фа"|"^фу/
Его решение
Изгибающий момент
^ cos пф -f ^^ sin па>
Наибольшие напряжения вызывает эллипеность кольца (при п ~ 2).
Если гибкостью кольца пренебречь, то
А1 - —?(,/? 2 КСО5"Ф -¦' ^ sin Л<Р)-
Подробнее см. работы [15, 21].

Расчет круговых колец и кольцевых систел,
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖЕНЬ И КОЛЬЦО
Плоский изгиб
При изгибе тонкостенного профиля деформируется контур попереч-
поперечного сечения, что приводит к перераспределению напряжений но се-,
чению и снижению жесткости. Для стержня, составленного из цилин-
цилиндрических и плоских стенок, получены точные решения в случае чистого
нчгиба при рассмотрении стенок как оболочечных элементов и полок
как кольцевых пластин. Подробное изложение метода решения задачи
можно найти в работе [16].
Расчет тонкостенного кривого стержня па прочность и жесткость
выполняют по обычным формулам для стержня с недеформируемым
сечением с заменой действительного сечения эквивалентным. Эту
замену осуществляют умЕЕОжением ширины цилиндрической полки
на коэффициент fe,; размеры плоских стенок оставляют без изменения.
Момент инерции J и момент сопротивления W вычисляют для эквива-
эквивалентного сечения с размерами цилиндрической полки akL- Местные
нзгнбные напряжения в цилиндричес-
цилиндрической полке оценивают коэффициен-
коэффициентом k0:
Ом — Ok0 = -—¦ ka .
Значения коэффициентов ^ и k0
для некоторых профилей приведены
в табл. 8,
Нагрузка, перпендикулярная
плоскости стержня
Основные положения теории кру-
кручения и изгиба тонкостенных стерж-
стержней подробнее изложены в гл. 12. Ниже приведены расчетные фор-
формулы для кругового стержня-
Дополните'льные обозначения (рис. 31):
R — радиус кривизны тонкостенного стержня, проходящий
через центр изгиба сечений;
Мк (ф) — момент свободного кручения;
М (ф) — момент стесненного кручения;
В (ф) —бимомент; считается положительным, если он увеличивает
кривизну верхней полки и уменьшает кривизну нижней
полки;
?VM — жесткость стесненного (изгибного) кручения;
GJK — жесткость свободного кручения;
у. - R
Нагрузки приводят к оси стержня. Силы Р2с переносят с добавле-
добавлением соответствующих крутящих моментов. Если крутящий момент
приложен к отростку, выходящему за пределы сечения вдоль оси
стержня, то при переносе момента Л/ в сечение следует добавить бимо-
бимомент В( = Ki<iK- При переносе распределенной нагрузки следует учи-
учитывать распределенные моменты и бимоменты.

Тонкостенные стержень и кольцо
обозначения: А-=
В. Значения коэффици
/;
г Пул.
Расчетные формулы и график
/3(l-v2)
I Щ- I*"
1 / Я	ch 2ka— eosSfea
о "~ Г 1 — v* 2 + ch 2ka + cos 2fta '
Увеличение ширины полки профиля ay VbRh
sh 2^a + sin Ika
-. пЛ
1 = Чка ch Ika + cos ika
ЛрИ*а>*	°-Ь
Ai V, ~~— = 0 39 1/		л 7
1 Ika	Y a2	'-''

318	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Расчетные формулы и графт
sh 2fea -+- sin Ua + 31*д (ch 2ka -¦- cos 2feg — 2)
a +ch 2fta 4-c<i3 2*a+2Xfta (sh 'ika — sin2Ae)'
ch -Ika — cos Sfai + \ka (sli 2Ao + a in 2*a)
ЭкйиЬй/Чнття.
ичение ^
KfT
При я1 > \.iRh
h = ' ' + kka
1 ~ ka 1 + 2\ka
1.0496 g -г

ые формулы ii гр,|фш
J' = li'J, где ф — 1 — -
/^ Л („»* _«,,„?)
а
(>
1 0
1 ь
'Л С
4 A
Ь,1
0,83,1
0,662
0.S84
0,-199
0.4Д9
0.4Я9
»|
0.750
0,602
0,5.10
0,4S4
0.415
вычислять по форму:»
3 \[% Ч: У р
«л
ч,
0,3
1.68
1.30
1,4
0,88

350
Расчет кругошх колец и кольцевых систем
Изгибающий момент Л12 (ф) и крутящий момент Мк определяю:
по формулам G), Кроме того, необходимо вычислять момент стесненного
кручения А1 (ф) и бимомент В ((р), которые определяют нз соотношении
Интегрирование уравнений приводит к следующим выражениям:
) = Л?°сЬхф-Н/
. | V ti [х sh ч (9 — ф.) -г sin (ф — ф|)] i-
L«< [ч2 ch х (cf — ф() I- cos (cp — <P()J ^ Л1*;
) .-г, fl°ch кф -,- Я0 — sh хф -I-
"' '*sh * '*—

Тонкостенные стержгнь и кольцо
Смещения тонкостенного стержня
и ¦ ¦ ц„ + ЩИ sin <p — «IК A — cos <j) —
I- ШП <<f) - -i- В°ПВ «p) J + и* (ф);
ва (cp) — *S cos ф — Oj sin if —
„ (ф) -г МЧ D;) - -1- В°фв (фI + «; (<p);
f>* (ф) ~ ft® sin ф — iV^ cos ф 4-
+ *;
Относительный угол закручивания
Здесь и в формулах C8) обозначено:
ПЯ (ф) ~ -TJ- (sin ф — ф cos ф) -i-
¦л1 Cxz + 5) .	я2ф cos ф
I)
C8)

Расчет круговых колец и кольцевик систем
Ик (ф) - ~2~ (Sill Cp — ф COS q>) -i-
г [2 sh Иф -[- (хг — 1) (х3 -Ь 2J к sin tf -
— к3 (иа + ]) ф cos tf];
= -j- (f Sin qi +
> Г cli хф и2ф sin ф и3(х2 -j- 2)
Фл1 (ф) = —ф cos ф — sin ф -h
х^ (у? 4- 3)	х'ф cos ф к sh иф
2(х2+|)! S'n ф- 2(хЧ-1) WT
Ф» (ф) = -jj- ф sin ф +
+ 1J [ch хф + — и2 (х2 ~ 1) ф sin <р — cos ф
5(ф) m „a.j. , (cos ф - en хф);
Фв (*' ~' X2_i. | (х Sin ф — sh xqj);
V<j (ф) = — (sin ф — ф cos ф) -,-
Iй f1**-!-3) sln ф —х(х*+ I) граи qi —2sh
— — ф sin
?vx- Г	1
-j	J~~2~T~i ,2~ c^ ИФ	л~ (XB "j- 1) tf Sin ф — С

Тонкостенные стержень и кольцо
к (ф) "- -g- (sin ф — ф cos <p)	2 (ха + ^а- [к11 (к- -i- 1) ф cos q
Начальны!: параметры, определяемые нн условий закрепления
стержня в формулах C7) и C8), отмечены пулями. При защемлении,
не препятствующем свободной депланации края стержня, В' — О,
ф° — 0, г1)^ = 0, ы° — 0; на свободном конце стержня Q$ -- Л11 —
= AfK = 0; над концевой шарнирной опорой М ' ~ М:к ~- В ' — 0
и и — 0; на полностью жестко защемленном конце Мк = М" и и" =
= 00 = #о _ 0
Звездочками отмечены величины усилий и смещений только от за-
заданных нагрузок, определяемые как частные решения неоднородных
уравнений:
R Г
sh к (ф —
В выражениях для смещений члены от приложенных в точках ф;
сосредоточенных нагрузок отнесены к частным решениям. Выражения
для них получают по общему правилу использования начальных пара-
параметров аналогично выражениям для М (ф) и В (ф): заменой Qo, Mo,
М®., Во и ф соответственно на P.,, L,, LK, LB, ц>—ф;.
Ниже приведены частные решения ряда задач.
> середине пролета (рис. 32). Реакции в опорах:
¦j sin a A — cos «)
P=~C2 <«> p-

354	Расчет круговых колец и кольцевых сист
— и sin -j а— С! (sh 2ха — и sin 2а) — С2 (sh иа — х sin о) .
Наибольший бимоменг (н сечении под силой Р)
»шп " в (т) - 4-s" - ^ + м?ттг с> (•'¦"-¦'sl" т)-
Пример Ю. Стержень с углом раствора 2а защемлен ойоиим концам;!
агружен произвольной нагрузкой перпендикулярно его плоскости (рис- 33).
(« sin a clg xa - cos u) _ R;

Тонкое/пенные сшрлень и кольцо
л,, ^« {v.n tlli ка- 1] - /
,1/; = у. -I, Jv.u:
(Х- -4- 1 ) Ц	-	.S
лсиой и пряной пнлоипны t-iopiKiid tii.ilko от внешней кагру
определить пп формулам G) и i.JS). Пронзнчли-
рекомендуется разлагать iki симметричную n	|Pj
расчет к расчету одной нплопииы стержня.
В случае симметричной нагручыг у" = Л-l" -
ЛТ° - В0- 0. I) сирапочиико llf ] ирш^л^'Ы
тпблицы коэффициентоп 6,- и .-1 (-	\р ^>
Тонкостенное или массинпое кильцо.
oncp'iot! сiaiически оп|)елелимым образом	\>\
и нагруженное системой спиредоючгпиых
сил ii моментов (рис. 34). После определения реакщ
усилия в любом сечении кол та определяют на ф<>[:
<?«р>	{-%РС?Лч-тУ-
Л ^™	~	Л :
MV.'I^M
Ф - <F<J - — S ^^i (Ф —
1 i
C9)
Для маслинного кольца моменты М и S не определяют

3f>6	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Смещения тонкостенного кольца:
и = и" 'г Rfr" sin ф — R9]; cos ф i-
^ |S Pi [V, (Ф - Ф1) + Wio (Ф- Ф(I +
d = d° cos ф + ®l sin ф Ь
S Р< 1—^11 (Ф - Ф') - ^18 (ф - Ф.)] +
i
-i №j (ф— фО + ^13 <Ф — 9()] -:-
+ 2 i«i l-f" (ф - Ф1) + «-i"» (ф - f-)i + 4" 2 L4;
*, = *° sin ф — #J cos ф +
(Ф - <
t [V, (ф -
4" 2
D0)
Суммирование ведут по всем силовым факторам, действующим u,i
кольцо, включая и опорные реакции, (ф — (р,-) — кратчайшее углоко(;
расстояние между сечением, в котором определяют усилия, и сечением,
в котором приложен данный силовой фактор. Функции ?;((?¦) опреде-
определяют по формулам

Тонкостенные стержень и кольцо
- V
¦2
(л* - I) (л2 I- к2)
"' sl" "Ф
2j (»»
т10 <ф) = 2j „«(„«-iy.(/
2
«3 sl" "Ф
Л3Х8 COS Лф

358
Расчет круговых колец и кольцевых систем
Функции имеют период 2п; функции ф,, *|):(, %. %, lf7, 1рц. ty,>, ^x:, —
почетные, т. е. при замене <р на —ф знак у них изменяется на обрлшый;
функции фа, 1(>„, фя, i(),i. ф]0, i|j]3. ^,д. фю — четные, т. е, знак у них со-
сохраняется мри замене ф на —ф. Если угол между силой и рассматрипае-
мим сеченлем больше 180°, то вместо него берут со знаком минус угол,
дополнительный до 360°. В справочнике [18] приведены таблицы функ-
функций ф/.
Дли стержня «массивного» сечения выражении для смещений можно
получить из формул D0), если положить х -¦- оо.
Вычисления рекомендуется выполнять в следующем порядке.
В произвольном сечении кольца по формулам C9) определяют внутрен-
внутренние силовые факторы. Приняв эти усилия зд начальные, по форму-
формулам G) определяют силовые факторы
в других сечениях кольца.
По найденным неличинам кнугрен-
них силовых факторов н данном сече-
сечении определяют нормальные и каса-
касательные напряжения по формулам
для прямых стержней:
М,	В
0 Х^ш;
J2t
где <а—секториальная площадь для точек контура поперечного сс-
чкиия, госч'роенная при полюсе О выбранном в центре изгиба сечения;
ы считают положительной, если радиус-вектор, описывающий секто-
риалькую площадь, вращается против часовой стрелки (рис. 35);
?щ = \ 0) dF — статический бимомент части сечения; ( — толщина
о
стенкн профиля.
КОЛЬЦА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ
ОСЕЙ ИНЕРЦИИ [16]
Если ни одна из главных центральных осей инерции поперечного
сечения не совпадает с плоскостью кольца, то деформации кольца
в своей плоскости и из своей плоскости взаимоенязаны. Пусть ?, 1| —
главные центральные оси поперечного сечения кольца; х, у — вспомо-
вспомогательные оси, расположенные в плоскости и перпендикулярно к пло-
плоскости кольца; <х0 — угол между осями х и ? (рис. 36).
Моменты инерции Jx, Jy выражаются через главные центральные
моменты инерции /|, JT|:
Jх=^
D1)

Кольца с произвольным расположением осей инерции
{дчкнутое кольцо предстанлнег собой б раз статически неопредели-
неопределима ч систему. Разрезав а каком-либо сечении кольцо, находящееся иод
действием заданных нагрузок, следует приложить шесть внутренних
/ ¦ \
силовых факторов (которым придается также смысл начальных пара-
параметров): три в плоскости кольца Х1 = М®, X,, = Л'1', Х-х —- Q1' и i|in
перпендикулярно к нему ХА= М% Х- = М°к, Х6=<$\ (рис. 37).
Эти начальные сиговые факторы определяют из условий отсутствии
линейных и угловых перемещении одной грани разреза относительно
другой. Эти условия записывают в виде
0; У16,кХк + Ьго = О; У
- 0-
Коэффициенты б,-* определяют по формуле Мора
EJi
- 0;
D2)
D3)

360	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Моменты М^, /Иу, выражают через моменты Мх, М,/
М% = Mj^cosa,, -Ь At,, sin я0; 1
Л4Л = — M,smcto + Al#cosaft. J
После подстановки этих выражений н формулу D3) для коэффици-
коэффициентов бц! получим
' [А-АЛ^ + MhM'v -г >.2 (МхМу + MyM'j.) -|-
b=-?i *,=-
JxJK
После вычислений для коэффициентов 6^ полутаем выражения
бц = 2л; eIS = 2n.R; Ь13 = 0; 6„ = 0; 615 = 0; в„ = 0;
ви = 2я«; 622 = ЗлЯ2; 6!3 = 0; 6г4 = — я/.гЯ; SM = 0; 62,= 0;
«и = 0; 6И = 0; б„ = я«г; бм = 0; S;)s = лХгД; S,, = лХ2Д3;
«41 = 0; «42 = -nX2/?; «в = 0; «44 = л (>ч + »ч); «45 = 0; «„ = 0;
бы = 0; «52 = 0; 6,а = лХгК; ви = 0; «5s = я (i, + Я,);
«и = л (»., + 1з);
«.1 = 0; б„ = 0; ви = я».,/?»; вм = 0;
в.. = « Р + 3X) Я
л (X, + Aj);
Задачу следует решать раздельно для нагрузок в плоскости кольца
и перпендикулярных к плоскости кольца.
Для нагрузок в плоскости кольца свободные члены канонических
уравнений I после деления на множитель	J J принимают вид
81Р = j МРу (ф) Лр = Ау; б^ = R\ Mf..y (<p) A — cos q>) (U\: =
бзр ~ R I Мр^ (ф) sin ф dq> = RSy, §iP — к2 \ Мру (ф) cos ф 1^ф ~~-
дър — ^-2 | '^'ру (Ф) s'n Ф <^ф = hiSyl б6Р = ?,а/? | Л-Jpy (ф) sin ф dff --
тогда для начальных силовых факторов можег бьпь иолушно решен ;е
1 i ~ ~ 2л. \ у	^'' ' ~ дй " 1 "" л/Г'
Qj = 0; М°х = 0; ,VfJ = 0.

Кольцо с подсоединенной цилиндрической оболочкой
При нагружении перпендикулярно к плоскости ко.
силовые факторы определяются по формулам
>-А +(>¦¦ - ->-1) с,
(Ф) ''ф; Сх = \ My.t (ф) cos
S* = J М„х (9) sin ф dip:
J MM (Ф) dif; Ск = f
(ф) cos
S« = J .WCs (ф) sin ф <*р.
Отсюда видно, что внешние нагрузки, перпендикулярные к плоско
сти кольца, вызывают внутренние силооые факторы не только по на-
направлению нагрузок, но и в плоскости кольца.
По найденным значениям моментов Мх. My определяют но фор-
формулам D4) моменты jW|, Мц и по последним — напряжения в кольце:
6= ±\
¦Щ
+ i-
мк
где U''c, W-ц —моменты сопротивления поперечного сечения кольца
относительно гланных центральных осей.
КОЛЬЦО С ПОДСОЕДИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКОЙ
Окончательные расчетные формулы для силовых факторов по
кольцу в конструкциях, показанных на рнс. 38—39, под действием со-
сосредоточенных нагрузок на кольцо [финедены в работах ['2, 7]. При
выводе формул предполагалось: кольца тонкие и нерастяжимые, одна из

круговых колец и кольцевых систем
главных осей ачггжя кольца лежит и т> плоскости; оболочки -
цилиндрические круговые, тонкие, безмоментиые, заделанные на оджл:
краю; деформации колец и оболочек малы; кольцо соединено с оболоч
i по среднему радиусу кольца. Кроме топ
доточен
аисолюп |i
i.x нагрузок
плоскости кольц;
епкнм из своей плоскости, a npi
агрузок, перпендикулярных к п.
ается абсолютно жестким в ское
|, при рассмотрении соерс-
предполагалось кольца
рассмогрешш сиередого
пскости ко/1 ъи.г, кол ьци
Рис. 38	Рис 39
11 а г [1 _\ /< е и и е р а д и а л ь н о й силой Р (рис. 3S):
/V -~- I -д- cos rf — ф sin tf + 2 /j —5—Л~ cos П(Р ;
Ql " ~5
5TT
Т —2S л'—I si" "vy
n=2	J
О D I	1
Л1, = —±— | ф sin ф — — cos ф — 1 — 1
n-fta(n2_iJ(ft3 + ai)+a2
М а г р ужение касательной силой Т (рис. 38):
Ч'-^к

Кольцо с подсоединенной цилиндрической оболочкой	363
ees*--!~8т
Н а г р у ж t; и и е моментом I, и плоскости к о л ь и г
(рис. 38):
SM^T5s"""f •
л-2	J
Harp ужение осевой силой Р2 (рис. 39):
t [?s'ntp 2
[
1
»5'юф + -cos tp-l_2
I sin f - ф - * ctB ф - 2

f- л* (n' — 1 f (n! -r 4o3) «,

364	Расчет круговых колец и кольцевых систем
1 а г р у ж е и и р моментом L-t (рис. 39):
~я7?
ч:>	Ь	1 / i и	^ 1 '
Л-1-, = ¦
1
-^- sin ф -]- ф COS ч — 2
sin * ; 4- cos <p
^-4
С	(- |)" д (Да + at) [П1 A + 11.) - >¦]
rt ' («a + I) (ns -f- a8) + n3 (rta — l)a (na -t- 4u3) tt4'
Harp ужение крутящим моментом Z.K (рис. 39):
'«~- -? \fcos» - ^г ¦
("•--1)
(n? + К) (л3 + а>) + л!
IK (я3
этих формулах
?„*„«• '
lT Ло — длина и толщина оболочки; Яо, Go — модули упругости и модуль
сдвига материала оболочки.
Весьма употребительны решения, данные Л. И. Балабухо.м \2
для цилиндрической оболочки, подкрепленной рядом колец. В работе 11
приведены графики распределения силовых факторов по длине кольца
под действием сосредоточенных нагрузок на одно из колец в его пло-
плоскости.

Кольцевые системы с малым числом спиц
КОЛЬЦЕВЫЕ СИСТЕМЫ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ СПИЦ
Дна соосешх кольца, расположенных в одной плоскости, соеди-
соединены '1 спинами, вообще гоноря, наклонными к радиусу, жестко или
шарнир но соединенными с кольцами (рис. 40). Относительно колец
сделаны допущения, такие же как на стр. 288. Внешняя произвольная
нагрузка приложена в плоскости колец. Система Зп + 3 раз статически
неопределима в случае жесткого крепления спиц и п + 3 раз — R случае
шарнирного крепления. Спицы нумеруются i = 1, 2, . . ., п.
Обозначения: #, г — радиусы наружного и внутреннего
колец; I —длина спицы; \р, ^ — углы наклона спиц к радиусу, оди-
одинаковые у всех спиц; Xi, Y{, Z-t — нормальная и перерезывающая силы
и изгибающий момент в ;-й
спице в точке ее соединения с
внутренним кольцом. Осталь-
иые обозначения см. в начала
главы. Величинам, относящимся к наружному кольцу, придается
индекс «я», а относящимся к внутреннему кольцу — индекс «в» и к
спицам — индекс «с».
Координатные оси х, у неподвижной системы координат лронодят
так, чтобы ось у проходила через точку крепления 1-й спицы к наруж-
наружному кольцу (рис- 41).
Подробно о методах расчета кольцевых систем см, в работах [9,
11, 12, 17].
Шарнирное соединение спиц с кольцами
Неизвестные усилия Xi в спицах определяют из условий совмест-
совместности деформаций Ас = Д« по всем п спицам и уравнений равновесия
Ул = - У, X, sin (ф, - ф.) + Рх = 0;
У.у-1 Xi cos (Ч>, - ф,) + Ру = 0;
Ум = г У
При составлении уравнений совместности выражения д |я смещений
точек кольца составляют с учетом всех действующих сил и смещений

.V»6	Расчет круговых колец ч кольш'лых систем
одного кольца AТ!юппG]ыю другого как жесткого целого; r результате
Утл соотношения принимают пил
6,At+ 6..Х, + 63Л, + •-¦ I- й„Х„ -г Л, -г A, t Л1Ц = О:
Й,Л, -'- 6,,Y2 + Г>.,Х3 + ¦ ¦ • + 6..,.,Х„ + Л, +
-| Л» cos ф! + Л;) sin ф, + Д№ = 0;
6jX, + 6.Л, 4- в,Ха + ¦ ¦ ¦ + б„_,Х„ + Л, +
Н .4 2 cos <['г + Ал sin *p.i 'h Лзр — 0;
. 6„Х, -i- 6„^Х, + 6,,_,A'S + ¦ ¦ ¦ 4- Ь,Х„ -I Л, +
-г Лг cos ф,7_] + Л:( sin Ф,,_| I- Лчр = 0:
здеа. Л; — коэффициенты смещений колен как жесткого целого;
6, - 0,04297 (cos! vj' + Xi cosa i]),) + 0,0095 (sin2 i|) + XiSin3 >|i,)+Xi;
6( = «„p (9,) (cos2 4: + x, cos- if,) — KvT (<p,) (sins i|) + Xi sin' i\),
(i ¦= 2, 3	n);
.;- »w (<[,) cos if - v,p (Ti) sin vj, _ !;¦„„ (cfj) cos til;
Если спицы расположены равномерно по окружности, уравнения
допускают простое решение.
При четном числе спиц
пХ, -- r ^* 4- 2Реу- cos ict + 2flj cos 2ia -|- ¦ ¦ ¦ -4- S л cos -J- la -| •
T
+ 2P«-sin ia + ^Cj sin 2ict+ ... +Cn -sin (-2- —l)ict.
При нечелном числе спиц
"А' = 7Т7Т+2Р-с05'а +
-, 2fl, cos 2ia -г • • . + В л+| cos -!i±i (ct 4- 2Р„. sin ict 4-

Кольцевые сш:ш?мы с малым число.» спиц
" + ''
Dj = 2°; с<к С— ')*«. °« = 2Di sin С — ') ta'
Й =-- — 14/0+ -4, •¦- .4scos(i — l)ot+ /l,sin(< — l)a|;
"k = 2 fiicos с —') fa: ** — 2*'sin B ~ " ta'
1-1	h=l
Коэффициенты жсс1Ких смещений:
У Л; cos (i — 1) a + У
-h sin (i - l)a.Pex\
t — 1) a-P
Л3---^- V AjSlnl
)a-|- У t>t[$\n (i- \)*.P€y-\-
+ cos(i— \)а-Рвх}\.
Частные решения некоторых задач при плглу.-кенпи наружного
кольца элементарными нагрузками приведены 15 табт. 9. После опреде-
определения усилий Xi вычисляют внутренние усилия в произвольных сече-
сечениях колец методом наложения элементарных нагрузок (или любыч
другим методом). Принимай эти сечения на нулевые, внутренние уси-
усилия по кольцам определяют по формулам F),
Если внутреннее кольцо представляет собой абсолютно жесткую
ступицу, то конструкция относится к типу колес. Применительно
к таким конструкциям разработаны другие методы расчета, примени-
применимые для нагрузок по оиолу, уравновешенных нагрузками по ступице.
Решения ряда'задач для колеса с абсолютно жесткой'втулкон при иагру-
зкении указанными нагрузками приведены в табл. 10.
Предварительный выбор сечения обода колеса, в котором сила по
ободу приложена в сечении между спицами, можно выполнять по фор-
формуле
При п~ 8 погрешность R М№ состааляс
ч*сла спиц погрешнос i ь уменьшается.
7,5уо; с увеличением

368	Расчет круговых колец и кольцевых систем
[
щ
1
¦
А
f
1
р
к
\
7
Сх
коль
i
-f
\
V
^гру
ч'Д
я , ,,
»,
;'| РУ
А
р
г
\
V"
1
%
//
х
,
\ J ~	 _Y
0.W56 A
U,0d5li Ц
При 90°
1 + х
+ Xi)
тильк
•X,)-
мр +
< Ф **
= JLL
,(Ф)Я
— — .
0.
(l (СО
АХ
180°
- [cos
Л-
-1- sin t|; (cos
При
,25Р
-f- 7,0
^ = 0
11
HL
з ц;
1с
ч-
t.
ф
ф
II
м
т
4)ros
Р
4 "
cos ij;
+ sln
оч ij- (с
+ sln
{COS If
— |co
- sin u
*=-
¦-<*
+ Xi с
агруя
4- Xi со
Ф-1];
О5ф —
P— DJ
+ sin
+ D1;
ф (cos
+ 1>].
« 90°
2 (C
...
1
41
OS*
и
sin
f)
Ф
oS
sii
-'«
U:i) -
Ф.) H
4-) +
f
-sin
X
-)
J) +
nil1);

Кольцевые системы с малым числом спиц
IIP
20°
В тс
/
В то
наг
но
и
Xi -
X
—0,250
—0.252
—0,258
pa si -«к
Hai|>y;
ружио
рая але
ручка
кольц
середин
ц
Г
0
0
%
f i,i аз
O.I'il
< [а.
0,114
0,115
—
кольцо
" НДД
ей)
7'
.i наруж-
е м.-жду
Расчетные фор*
fill'
1); т^т г[) =0
0,00
11,05
0,10
0,21)
А'
-0 0
—0 185
—0,141!
—0,104
У -Т
¦1
При t =
п
7
4
-ft
п.
0,114
0 143
0 1«6
0.1Я7
г
"=¦
1) 121
0.0W
0,A74
0.0S2
Xi
0 00
0,25
0,50
1.00
0,0356 si
О,о:й6 A + Xi) + 0,
и
о
+ У1 cos2 tJj
V) =0; Л1^ (Ф)
O.lffll с
0,0356 A+ Xi) + 0
и it = 0
4- X cos2 t|
Xs
X
0 24)
—0,200
—0.107
—0,125
071 (со
1 4 Хг
,1071 (cc
i) "I- Xa
0.01777Г
0,1427 {1 + X i
+ Xs
= 0
г
0
о.
0.
- \
or
kL
14
34
55
7B
c:
"-
0,1.'5
0,100
O.tfil
0,1.0:'

370	Расчет круговых колец и кольцевых систем
;
: Третья элементарная
н.!д спицей)
L
; W
нагрузка на наруж-
поссрсдкне пролета)
L
I*/lYY
tig/
Произвольная на-
нагрузка по кольцам
hi — смещение на-
наружного кольца
нагрузки в /-й
точке
х L
Х R '
При if = 0
у **
Х R
При i\) = С
?¦ Ь ^
а, =0,0261 A
dt = 0.0137 A
Da = [—0,027
Мн @) =
— 0,102
Расчетные (iifips
«.MS
O.U3S6(l + Xi)-:-
+ Xi cw;' i|
A = 0; .Me (Ф) -
0,0517
0.0ЭМ A -( Xx) +
L 0,0
R 0.1427 A 4
2~ 1 llB09 ^~ ^
1 / O,
"•> I0-691 ~d^~ "•"
+ Xi) + 0,0874 (со
+ Xi) + «.M60(co
4-[2ii — 1,618 (
f- 0,618 (i, + a4)]
in i|;
),lu71 (cos*
i.) +
0; Д*
cos i|>
H.h71
17
Xi) -
0,589
г* +
1 if +
hhjh
~Rr~
3 (i, — Л.) [-0,447 (us -
cos i|Si Г0,23ЯАг1 —
+ 0,040 (X, — X
•Л*да. <tP) + R со-
Xs + xs) + o.o;i3
— Л sin i|; L—0.02D (X, — АБ)
0,102
-0,020
I;
4- [0-2
Jf, -1
- 0,04;
(cos
Zj
Jj
Xi с
Xi С
i) +
- 1.
x2
{Xi
«Л,
(-f J
¦ +- '
^ +
\
J1
\
l;
»¦*,) +
Я J
1—^ ;
f X.) +
— A"B) +
—
—
-Xt)\

Кольцевые системы с мплым числом спиц
1
ic
II
(с
i
<
Cptl-lfi
XP«..
-irpy-
ндд
.^
!!iii;ip-
o;ibii,i)
-*^-w----
pi
V
A
&Л
np
я
f/Я
I /
Л
a/'
r
s
-<
^)
грузка ¦¦ id
Of HGJlbll.4
посередине
ал от а
IY
±*
t>
Y
Пр
1
e
A
.чепкя rf,-
и ^ = 0 и
0.400P
1 + X , '
^ O.lfiL'/"
I + 7.
A'j s = — 0,803A'
Me @) =
,0.3.0*,:-
= r со; i|)t [-
0.080Л.1 —
MH{0) ^0,1'dHP
+ R s
Up
— 0,05
.К-Ч.Т1,
0 Г
-U.8CB
puHi-де
z.-u
0104 со
Продол Ж1
ie форму.]i,i
P
' 0,0107 "'„*/=
|Ы в предыдущей
0.323P .
1т*,1 »¦'
5 i|j — O.n204sin ij-)
@,0117 cos it +0,!
—7— @,0189 cos ij:-|-0,00
-'i,008 (
r sin if
- 0,0<й
in V [—0.01503 (.Y,
и ф = П и
0,№Cf
1 + Zi
X» = f
; Л1
?, 4-Хг)- 0,055 (
, [-0,060^ (X,- Л
A';,- XJ];
о* i[) [—0,008 (Л,Н
^Ys) — и,1Ш^41 +
- Л,Ц-0,«35 (А1
0.172P v
HKf
зад
Г
1
0,l(
1
1Й4
8f.i
табл. 9
1ЧС
124 P
-У., '
1PR
'¦'
in «;
.*);
- A's) -j-
- Л
—
) —
0.213P
О,ГЦЛ9Р«
1

372	Расч,
ictn круговых колец и кольцевых систем
т
j
сил
ft
\
I
lliir|
T над спицей)
Г ,
arpy
t
IIpf>Jl;»B
¦la|>
Ш
ai руз
J
%
ментарная
ка на
кольцо
i- над
льн-л-л
КОЛЬЦО
ты
щ
А, »
При i|)
Постоя
Прн Ч-
А
,=0; Ха
4 — о,зю х
иные d ¦ см
= 0 и Xl =
о, лВ(
3,4
„ 1
тныв r|xip
*Г; Х2
-0
— А' 4 — -
0,0349 sin
+ °-0В6"
. ранее.
0
0,
s -1- 1 -f
__ 0.447
1 г 7.
6 ^ rf.
1 / Dj
', = 0,1Ю7 A + Xi) — U.C8L3.1 |.-iii!
О, = [2(
0,01505 {1
. + *.,-
Iip4j
аул :.-
— ~ l
1 ~-
<).
1
-;- Xi
Ч1 <-
ft
77
Xi
?
- da
- D,\
r rfi
i|; + 7
_ Xjj —0,01367 (
-^ +
— Л ч
.81.8 Л
H27
г Xi
*"Г
L
¦
'"^
J..II
-ia) ]
no тнбл. «1
tost
EJ

Кольцевые системы с малым числом спиц
373
Мвф) = — г cos t]:j [О.ЗЗОЛ, — I',O8»8 (Аг + А',) -
— 0,024» (Ха + Xj) -f O.WSfiX ,) -j-
f л sin if, [~ U,OWL (Xj — X(| -j U.043I (X t — Л'4)];
н @) = Mp @) гЯсоэтЦО.'ЙЗХ, -0.03:;« (Л', + Л'„1 -
— О.(И4Я(Х1+ Хь) f 0.WS6X,]-
- К sin ij:f— 0,( 4!I (А, - X,) +0,0431 (Xй — А'5)|
(сила Р над спицей!
D, = f»,221o cos Ч'Р, /Js ^ (),0150о со
Ог = (—0,1107 cos it -f 0.090» fin Ц;;
См. Предыдущую ладичу
При ф^Ои ц, =0
0.&.10
1 -
- !•, Kt =s X, ^
0.16ТР . ,.
@) = о.азэрг —
Р; Л, =- Л, =0:
/)г =в @,0903 l-
Л', == X, =-0; Л, = X
= -O.OOOSSsin 1,
Третья .элементарная
нагруака на
наружное кольцо
(момент I нал спицей)
D, ^0,1079 .-.in if ~ ; D» = 0,01337 sin ij> -
Dt = @.240 cos if — 0.1405 sin ^Л ~ -
_ °'a62 L_
@) = fi. M @) — - 0.5L

374	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Схема
Перв;„, элементарная
нагрузка по
наружному кольцу
Р
w
Произвольная
нагрузка
('!
-й
dt =
Л
ч
*, = -
A, = X
Al
x2
*a
*4,
-0,1427 (
= 0,0416 (
- 0.01G3 (
D,
lfl @) - -
0,091 (X
/¦ iin it-.
Расчетные фпр
1+Xi '  "
_ 0-0655 г. ^ =
- l iDi i
^ w ц.
4- Xi)-0,1071 (sin
+ Xl) —0,0334 (sin
H x,)- 0.0156 Ып
= [if — Ai + i6 —
= Ui — ui -i- ia —
i4 — 0,707 tJ, -i,
Де —0,707 (Л, -: J,
дв +0,707 (i, — Д,
- г cos if, [0,23'IA, -
» + *,)-«.row, H
[—0.05S <Л, — A»)
+ 0.C45 (X4 -
мулы
' ' 1 -г
-Vf = —
(>, D
h ¦ ¦,¦¦- h.
n. •¦
'" "dTj
2 U1 -:- 7. i
: i|;4- Xi ?
'44 '/-.^
С J
— Ля
- Д.-, 4- Д
~ Li,050 (A'
- 0.015 IX
+ 0,012 l.Y
v.)l;
1G
У.
0
"Г
D
in
и
)
1
f)
-)
4
- p.
4 7.i
;
*.)¦! 2X,;
«¦ '
^#-
—^ ;
- A',) -
X.)] -t- -:
-.v,i ¦•¦ ;

Колицеш? систем
Продолжение табл. 'J
.U.t @) = Mpi'J) + К cos ip l(J,2M-Vi — u.iGC (Л,-, A;J —
— 0,№1 (X, 1-Л,) + Of№>Jis —0,015 (X, + Л,)] —
— It -in 1|> L—0,053 (Л'3 - Л',) + U.01J (A, — Л',} +
; 0,043 {X, — Xa)}
Первая э
in пир:.*
<^я
>?
Нюраи i-
r
rp\
XT
]\
''r'
у
.-тьцо
ариан
%
li
ч
D, — — Г
11|>И
Д3,7
При
л
3
-1! —
ПГ6
lj) ^
D0S5
(±
IT
U,l !-'/ 141
О.ОЖЛ со
= -U. 010
sin ty: D
Он Xi —
1+7.,
O.125P
1 + Xi
rt @) = 0,
sin ^Г -J
O.OOtfico
O.0168 cos
¦
A j
0.1007"
i-l-x
Me @)
4'! ''a
cos iji
; SB 0,1
0
Г ' Л;'
* + o.
ij) — 0
0
, л4
—
—
0
wx
00
=
0)
0 015?
1,0331
cos i|)
1
1 4-
— 0,00
Mtistn
Э sh: U
1)9 sin
0,
1 +
A,
cos ip:
— U.U331 sin ф.
о.;юоя
(!,(ЙОР
1 -1-Х, '
f*/- ¦ '
X!
4 sin .ф S3— .
¦jh
96 r.
i).05:w

3/0	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение глб,ч
нлгру^ка на
наружное кольцо
1
Г
ш
еой, второ
элсме!
и а груде
раяд
L
р х**Ь
гарных
к даны
1>ы-чииые форму.-!»
Al-o.«i3«siH^-t^L; ,^ a 023. мп 4 i^:
1 Л'
13 г = (-t 0,01124 cos ij! — 0,0254 sin i[i ^' ;
Прн ff- « X,-0
,Ин @) --: 0,5L; Л*л(л)=0
Сила Р над спицей;
0.66Г.Р . 0.230Р .
*' 1+х. - " " 1+Х, ¦
,. С.177Р „ „ 0.WP
Л j = А а = -—:	 ; А, = Лв = -1 д, v -
v (!,0H6P v O.057P
Сала Т нал спицей:
Момент 1 нлд спицей:
0,285 L v v 0,054 L
i + x, ' « ' - " '"'"" i + л. ¦ я ¦
M,= m -«, (л)«0; «„(I))—±0.tt;
,Ия(л)-0

Кольцевые системы с милым числом спиц
тулицей и шарнирным соеднискт
ф?- Р; л1» ^A,6773.-, .if:
0.01 ГчЧ9 — 1,05481 х
0,00711 -г i\430Т9Х8 + -Х
'	0.04782 +3/.
При Хг — 'J
X =0,035lP; ,V» =0,0203P; M" = —О.3
-	/¦:
-	Р;
лш~ 0.01717 +
— о. doom + а, 35355?;
0,01717 Ц-2.82^Хг
0.00100 + 0,17бТ7у,., t- I ,-H4JXi
V = — ft.tK^P

Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжении таСл 10
щу
и
Пр
ха
1
-
1
A,00174 +(
0,00174 4 L
- Я ' V -
-X,; Л1„ =
— @,1073
,2975В*., 4'2
0,214В
— 0,25 ( Р -
-Х*}Х,К.
= 0; Л-1» =
4
X
А
Р;
-Л
" =
й
у
/1 = 3
При
л, =
Л1 -
C.0C«'(R4 0.S36>.77.4->.
0,003802 4 1.3150-/., "I- 1J
0,002063 4 0.47820Х-, 4
lt,(:0J8J2-l- 1,3150x-j 4
0,001058 — И. 13064-/,, 4'
0.003802 4 1.3150ха4
0,000783 4 1>.28514х2 +Я
0,000358 - (),и7058х.-> —
0,И!Ь802 4 1.315ОХ:, 4 1
Y.2 =0
^О.ЙЗЭР; Хг ~ — 0.543Р; Л
Л1" = —0,206PR; Л'° = —
М, = М*40.5Р«-мпф4Л7
0 ^ ф й а = 360;
Л-f = AJ, = М , — Xti?-sln
36° < ф < 108°;
М = ЛГа = Л1, — X,R'Sin (ф
108° <фй 180"
588X2
,Ы52Х2
2.588Х^
3330Х2
.323ву.2
2,588X2
, = — 0
0.094Р
R{\~
Ф-а)
— 108е)
.27S/1;
COS<f).

Кольцевые системы с малым числом спиц	379
Прг.д.^жснни табл. 10
с»,».,
iy
—
к*
1 =
в
= 6
XI*
X
X
Л
При
X, =
х„ - (i
Расчетные формулы
Л 0 =	'-
Xi 1.-2197 -H12,S68-<! ' Л
, = — (п,5о!Й -j- 491,0/,ц -г -НЙ7х
X, «= --i- @.8456 ¦(- Ч«,«Х,)
= _4-(«.5это + 1Я.з*а + -а»7
- - ~ @.3215 -|- 202.2х-2 + '^ЗМ
0 ] ¦ i ffi)
J-1,367 +lW4xa + WOCOjcj
O,295P; Л j = — 0.45,^, Лг, =
0.172РЯ. ,VD =^ 0.127P; ^Л =
О.Ш1684+0..8гах2+2.СЭ2й1(Х
0.0C0168-1 +О,Ю737Х2 + 4,2780/;
^0,03102 -Ь 0,433z2 + 4,8Tz,^
— @,03102 +0,21йг7^) >
0.03387 + 2,1307х.? :-Я,74
4332 +9,74Xo) ¦Vij- (",4433+1
- 1.4332P;
X, = A'o + A', — A', - Pi
,Vfl — 0.57735Л, +C.:83ii7X,;
= — О.17122РЯ — 0,IH312A'[R -j- (
P;
803 P;
P;
X?) P'.
'X^
0,0137 -
¦<o-

Расчет круговых колец и кольцевых систем
/1 = 8
а
= 8
X!=-j-@,0000888+ 0,1В07х2+7.5С6Х^-г 26,BlxJ) P;
х2 = —— (o.oaiosss + [),mm<\x2 + i.523xf -
Х,=	~ (О.СС0О&26 +0,09651х2 + '1,255х^ -J-
+ 11,10x2) /Э;
А^, ^	j- @,00СО64О + О,П,5179х2 + 1-767Х^ +
+ 26,81X2) Р'
ЛГ =	~ ^0,0000318 + 0,051077.^ + 3,147)^ +
+ 28,73x5) РН>
/V0 =	j- @,0000471 +0,01169Хо — 0.0755у.^ -
— 10,26Xj) р-
где Д = 0,0002482 + 0.3816х2 + 19,22х| +
+ 116,1X2-
При Х»=-0
Л, =0,355Я; Л, = — 0,386Я; А, = — О.'212Р;
Xt = — 0.258Р; Л1° = — Q.V2&PR; Л'° = — O.IGOP
0.003607 +4.3Э08х.^ + «7,ТОХ^ + 10638Х^ +
0,003607+ 4.9874х2 + 638.*»х? + 21722x2-1-
+ 122570x9
@,16691- 1,010х2—0.688X2-0.085x5) Р-
- (о, 16691 +2,153Х2 + 0,5чах2 —
~0,509у2) Хп
0,04807—1,1A7X2 — 3.459x^-0,115x5
Л,- @,2337 +3,1«Х|) Л„+ @,1507+2,222у.2) Л,-
— @,1737 +2,222Xi) Х3 — @.2337 + 1.5708Ха) Р-
Х<=[Ха — Р) +1.4142 (XL— Л',);

Кольцевые, системы с малым числом спиц	381
Схема
Пне, Ш
я =8
Л
-0
At —
Хг =
А-, = -
Л4 -
х>-
где
д = 1
При

Л" -- (\ЬШ
•-["¦«'+-
[ij..j43 4- 1950у.^
-г3.97-10вхЙ
"^
1 1.
— ^0,'JTO 4- ^5
1 rmoV
— (о, 169 4- -Ис
(о, 339 — 433Хо
+ 1.08Л0 х
((...378-г 251 Хз
— 0.0521-Hi8у.
335+.'WMXrt -г
+ 12,11-Kj8
0,-1(i7P; X-i —
O,JOCJP; A'-, =
Л J
,-T
V ,
+
¦I-
*.
+
+
-
8
4
¦-
|. Л 2 |
J XUH 4
« i -V-
1.71-105.
H),(^'1O8
62,40-ЮЯ
«к
-1-63700?
+ 876M-,
0,97.,,0»
1,29-10 »
0,361-10°
4,5,-10»
189-KI5X
|- 52,65-
0,:И1Р;
0.127P;
v.,u
,lMA',i
Л,«-0,3
K+=l»-10
4^7,80,
: + S4,oo..
5+35.HMI
-j + 49,70-10
Й«о.
4+ и,*-
+ 535,8.10J
08-X?-
Af" = -0.
te тлил. К
27P«
¦*:! +
]¦ in5 -
"¦х:! +
"Vi 4"
V!-
o5/32-

38?	Расчет круговых колец и кольцевых систем
4,1
( 1
«. *
Ш с„
»
4
G
8
10
.К Ч(!Т
i.ie формулы
щам зад.ши пр-.-лмрим.чыгл.-
4а-sin* а
,М°
С, 09905 Я
М45ЦЧ
—0.577S
—U.7U75
—0,8.315
	5
—1,31,4
—1.6.S*
5
r.j
Жесткое соединение спиц с кольцами
Методы расчета конструкций с жестким соединением спиц с коль-
цгпш аналогичны методам при шарнирном креплении спиц. Однако
расчетные формулы, ввиду их громоздкости, здесь не приведены.
Для частного ни да конструкции.
когда внутреннее кольцо предстанлнет
собой абсолютно жесткую ступицу
(рис. -12), используют другой широко
распространенный метод расчета —
метод конечных разностей, подробно
изложенный в работах [18]. Здесь
приведены решения А. А. Подорож-
Подорожного для колеса с радиальными не-
нерастяжимыми спицами при нагруже-
нии обода сосредоточенными усилия-
усилиями Р, Т и L в произвольном сечении
пролета, Каждая нагрузка на обол
уравновешивается реакциями ступицы.
Рис- 42	Пролеты между спицами нумерую:
х = 0, 1, 2	 л— 1, где к —
число спиц, предполагаемое четным. Внешние усилия из обол при-
прикладывают н нулевом или п-м пролете.
кладывают н нулевом или п-м пролете.
Внутренние усилия н середин и обода *-го незагруженного г
Отнесенные в упругий центр пролета, определяют пи формулам

Кольцевые системы с малым числом спиц	383
р, (*- -?-) + В, -sh Р, (л: - -f) -
х [л.-st. р,
-5-)
где л:— 1, 2, . . .. « — I. В этих выражениях параметр Р определяют
из соотношений
ch (), = -у- B + г,); ch р, = - 4- B - г.).
A — сJ- sin3 а-б.дш — cos- a-bQQ
_ l	- _ ^3 F-cJc
G - x ¦ 6 qq [ (I - c)' - 2 A - c) ^ I - -3- j cos а +
+ f 1 - т| -г —-) cosa al -|- -i. A - c)> sin! a.
Параметры /л и \р

Расчет круговых кплец и кольцевых систем
г2 (I — с) cos a
4=1-
X-\vm [ (I - 0 ( I - -|-) - ( 1 - Ti -I- -i-) cos a] • sin i
X-«w[(! -c)-(l--^-)cosa] - -i- (I - с) sin* a
A-СNл,л,	JL^
Коэффициенты смещений
ct3	,	а5	J	о?
м = а; "qq ~^ "з~; l'.v-v ~^ 5" *Г а "f"^a" > -И(? ~"—2
Характеристики упругого центра определяют из соотношении
,	sin a	sin a
Далее
1 - A - 0 m. I - *i И - A — О m, I +
+ (т, — ш.) ctga;
— (т, — тг) ctg ее.
Усилия, дейстнующие на спицы, определяют по формулам (при
=г 0):
Хх = cos а (<?„, — Qx) + sin а (Л'„, + Nx);
Y, = — sina (Qxt, + QJ + cosa (.V,,, — Л',);
Zx = Й,„ - Я, - A - с) (Л',„ - Л'л) + Гх.
Усилии в (л — ])-й спице
Х„_, = — [<?„., — Q, I cos а. + | Д|„_, + /V,) sin а +
+ P-cos (а — v) + 7"'Sin (а — у):
IVi =- —IQn-i + Qolsina— №„., - /V0]cosa -
— Я-sin (а — v) + T-cos (а — v);
г,,-, = —[Я,., - л50] + [Л'„_, - ,v,| A -с) -
+ !-„.,+ г.- го -?•).
D6)
D7,

Кольцевые системы с малым числом спиц
383
Усилия в точке <р ненагружениого пролета кольца (левой половины,
рис. 43} вычисляют по формулам
МА = Мх ~QXR-sin у ~ NxR(l — cos ф);	i
Na = Nx cos ф — QK sin <f; Qa = Nx sin q> + Qx cos ф. [ *
где
Af.t - MXH H- Л'д-^с,
Для праной палонины пролета формулы получаются из выражений
D8) заменой ф на —<р.
Момент /. приложен в середине пролета
(рис. 44). Усилия в середине нагруженного пролета: ¦
Vn W°- 8 Uh P. + 1 + « / '
Усялия в середине х-го пролета (д: = 1. 2	п — 1):
sh р, * - -=-
si. p, х--
ch p, — 1
+ ?(-!)*
ij33>sh
8 (ch ps + 1) sh ps ^~
13 Злка! 1636

Расчет круговых колец и кольцевых систем
Сила Т приложена в середине пролета
(рис. 45). Усилия в середине пролета, нагруженного касательной сплин:
и; Л'„ = — N, = -?-;
*-c"=rfe-7hf^T^f)^-^--^TT
a2-|- 12-
32а
!-*,«
Усилия в середине ненагруженных пролетов
вычисляют по формулам
-(-I)'
shfc '--f
clip, (x—i.)
2

Кольцовы?, системы с малым числом спиц
Радиальная сила Р прилажена посередине
пролета (рис. 46). Усилия в середине нагруженного пролета (под
Na = ЛГ„ = 0;
Рис. 46	Рис. 47
Усилия в середине я-го пролета (х = I, 2, 3, . . ,, п — I):
8
Усилие Nx определяют по формуле D5), гле Я, = В2 = 0 и
{3 — ^2[2а — A — с) tgaj};
C —ф, [2« —(l-c
ch p
(<Ь - ф2) sh
ch |
i— 1
Зг -j- 1
/l
Момент L приложен над спицей (рис. 47). Усилия
1 серединах пролетов, примыкающих к нагруженному сечению кольца:
Мп = — М„ --
fT*,-ctga)-[ shp>.tnfe^.
- 1 \ ctg а;

388	Расчет круговых, колец и кольцгшх систем
N,, = - Л1,, =
Усилия в х-м пролете определяют по формулам D5), где
L \p2 — m2 ctg a ch р! — 1 ^
I = -2W *.-ctga ' p|)^ :
fl, =
_L ctg a	chftg
2 ' *.— ctg а ' . о .
*2 ch р\ + 1 *
Касательная сила Т приложена над спиц l*
(рис. 48). Усилия в серединах пролетов определяют по формулам I!
при всех х = 0, 1, 2, .... где
Лд =	} —°1.~ {^а — rt^clga) A —с') —
2 sh p,
"Г
ц-. sin a
A —¦(! — с)тг)\;

Кольцевые системы с малым числом спиц
А,-
Т	J ch p, + I ,
, -nz,ctga)(l -О-
Ji, Sill О '	J '
i - '"I els «) —
Приближенные формулы для максимальных
усилий в ободе.
При нагружении обода касательной силой Т посередине пролета
(см. рис. 45J максимальные усилия в ободе оценивают по приближенным
формулам
AW -- ± -у- TR A - cos a);
Л'так = ± — ¦
При нагружении обода радиальной силой Р в точке ф = у максималь-
максимальный момент в ободе
Mm = :
При нагружении кольца парой сил L = PR sin 2 (а —у), прило-
приложенной симметрично относительно спицы (рис. 49), максимальный
: момент в оболе
nPR a' — \! 13a' -rtoy —y'

39П	Расчет круговых колец и кольцевых систем
При погружении части обода на пролете ± k равномерно распределен-
распределенной радиальной нагрузкой максимальный момент в ободе
При погружении обода изгибаюиуей парой L = PR -sin 2y, приложен-
приложенной симметрично относительно середины пролета (рис. 50), максималь-
максимальный момент в ободе
Разработаны и другие методы расчета конструкций типа коле
A1. 12]. Частные решения для некоторых колес приведены в табл. 11
С*.„а
'Ц
q; \
Расчетные формулы
Из схеме пикаэаны положительные
направления усилий.
Коэффициенты
I Ehjh I' Ehjh

Кольцевые системы с малым числом спиц
Продолжение табл. 11
Схем,
f
/^-,
x,, yuz,
1
1
X/
Расчетные
„ @.6142 -fa-/,,
0.05W +2 VTX.
0,0956+0x>
@.6142+2x
1 ¦ " fcc -
Х, = /> + 2Л'1СС*60" + 2У
A'*-0.57735X.+0.65
Af» -- 1 — U.5,V» H-O.IW
+ 0,0865V,—
a — 0,'254&l +l,1547x
) 1) - 0 0'6-V
v , 0.CO168 + 1
1 ' 0.0478 + 31
- nd
,»1пй>4 r,=.Z,
и-^. + О.бМОУ,
&X, -f 0,391O~
o.sia,^ r.
+ 0,57735x, 4-;
/ Z1
-r-0.3849x,-sr
Л -0,83133 - 1.73211, -t- + Si, V'5~
H
X,- -!-(v, +v,l
V,= ' ((, + (,);
,,=-il±Ml№
—0,i^616 4- 0.W03X,
111 d
mo=4-(ti -4
X — ' — V
.--1-(ц,-ц,)
f
P;
-P:
-PR;

392	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение ыбл. L1
Схема
р
^е,„»Фор„улы
+ 2.1S4JC3 -дг] 1
!, = --?- (о, 1401 +1,801х, + 3,542Х,-J-J ¦
rf-o.ma + i.K»*,+6,379,,-i—
- 8,»5Хз -Цг + t,252xi ~ i
в = 0,000179 + 0,003344х, + 0,02567*, -^- 4
+ 0.Ш9х,,^Г+»,М5044-
й в 0,08340 + 11,356 +-7.054 ~^- + ^й,64 -^-j Xi +
+ 58,68х^ —
ai —0,01017 + [0,1640 + 0,7292-^-+ 1.421 -^-1 х* +
2 1г
Ь, =2,382 + (з7,49Ч- 157,0-^-+ 283,1 -^г) Ki +
а, ш 0,1547 + 12,074 + 5,077 -=- + 3,004-~) Хп +

Кольцевые системы с малым числом спиц
Схема
W
р
Продолжение т
6л. И
Расчетные формулы
Ь3 =18,38 + B36,2 +404,6-4-1 X»;
D = d C,127 + 185,Sxi);
а, = 0,0007016 + Xi (о.008566 + 0,03067 -^- +
+ 0,07341 —^ 1+0, ПЗбхз ~ТП~ '•
Р, = 0.1087 + (о.75в7 + О.И62-^.-ОЛав!-^
аг = 0,011N6+ [ 0,1011 +0,0520-^	0,1651 -?—1 Xj —
\ К К' /
Р, =0,4263 + f 3,098 — 0.1S62 -~	1.157 ~^-
а, = —0,0flfH7fil + ( 0,05485 + 0,09168 -4-j x3 ~
Р4-=0,03847+(l.WS + 1,285-1-] X, 4$~ ¦
О4= -0,00419 — (о,03668 + 0,02586 -^ +
\ «
+ 0,2355 •—] X» + 0.3213Х*-Sri
а. =0.01068 + @,1097 + 0,1375 -^-) %,;
В« = 0,5735 + C.855 + 1.92В-^-1 %а:
D, =0,009459 + I 0,1033+0.2311^- 1-0,3302 -?гг ) У» +
V Н К- !
+ О,454Лхз -^Г+ К2 (о.8111-г о,452X3 + 2.726хз -^" )

394	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Продолжение тмГ>.| И
Схема
\> Ж.' J
vLfcV
и
м
х
Y
г
5|
V,
т.2 «
S,
Расчетные формулы
1 ¦ ]
-' (v. + v,) X, J-(V, v,);
1 1
*, = S,-i-v, —0,8661I,;
Г, =O,e«SOv, _i (,_-?.;
здесь при X, = 0 и -~ « 0,9
	^-[0,06793 +G3.В1 + 117,85х,) XiJ.
	?j- [2,408 + D30,8 + 346,2-1xa) x»l
|i, = -g- 1 -0.04576 + 101,Biz,].
= -^-|-5.6070-(Ш.8-9,8905х,) X,].
', =--jp[2.!30 + 180,16)C,);
О _ 1.379 + 755.8X3 + 775.41Хз;
— -^- [o.C6793 + Xs (98.78 + 22810x, ^
+ 666OOX3+40554хз)];
= — -?- [2,408 + X» A314 + 1954x, —
-44520X3-40552хз)];
1»,--^- [-0.D4576 + X.X
x (ss.M + 26600x3 + э«"Хз)|;

Кольцевые системы а малым числом спиц	395
Продолжеяяе табл. U
Расчетные формул
V, = -^- [— О.вОТО — З
+ Kami} + 240300x1 + l
•"-¦?- I2'431 + !073Хз -Ь'86
1,379 4- 1ИИ|Ц + l88700z| +
х5 -Н В3181хз|:
Усилия в ободе около спицы:
V — удельный dcc,
Fo — средняя
площадь сечеиня
- 1
"«= S	2 fin a
«--^¦(¦5-S)-
Усилия в ободе посередине между спицами;
х
Билее подробные формулы см. в работа [9].

396
Расчет круговых колец и кольцевых систем
КОЛЬЦЕВЫЕ СИСТЕМЫ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СПИН
Два соосных кольца, расположенных в одной плоскости, соединена
некоторым, достаточно большим, числом спиц {см. рис. 40). Кольи.1
со спицами соединены жестко или шарнирно. Спицы заменяются упру.-
гой прослойкой Винклеровского типа с характеристиками жесткости
на растяжение и изгиб
ЕсК"
2л Rcp
D9l
где Fc и Jc — площадь и момент инерции одной (исходной) спицы.
Произвольная внешняя нагрузка приложена к кольцам в плоскости
колец.
Остальные допущения и обозначения приняты такими же, как
на стр. 365.
Обозначим через X, Y и Z усилия по направлению спицы, перпенди-
перпендикулярно к ней и изгибающий момент, действующие в стыке спицы
с наружным кольцом и приходящиеся на единицу длины кольца. Эти
величины определяют из соотношений
X =
^
[о. - vH+ J-fd, +*«)];
--^- (*.-2
150)
Внутренние усилия по кольцам определяют из условий ранновесия
XI	dQH	_ „	v п. л	dMH , __
Соотношения деформаций
1 / d'"l ,
9	-Я (/ф
(( з Н, в).
E1)
E2)
Полученные соотношения представляют собой полную группу
дифференциальных уравнений решения задачи. Решение этих уравне-
уравнений, имеющих 12-й порядок, в замкнутом ьиде довольно громоздко,
поэтому рекомендуется решение к общем виде разыскивать в рядах
Фурье.

Кольцевые системы с большим числом спиц	397
В качестве примера приведем решение задачи для системы нагружен-
нагруженной первой элементарной нагрузкой по наружному кольцу {рис. 51).
Задаваясь усилиями X, Y и Z в виде
выражения для внутренних усилий по кольцам находят интегрированием
уравнений равновесия элементов колец:
по наружному кольцу
р I
L
*<'¦&«»
AI.-—
Л
n—т;
Л (Л1 — 1)

398
Расчет круговых колец и кольцевых cucmcj
Из условий равновесия колец в целом и совместности деформаций
находят неизвестные коэффициенты хл, уп, гЛ рядов, При л = 1 ко-
коэффициенты #i = i/j = Z] = 0. При п ^ 2 коэффициенты определяют
из уравнений
+ RlcEcFi
я (л2 — ! >
E3)
ty»
Если принять сиицы нерастяжимыми, что часто допускается о расче-
расчетах подобных систем, то решение уравнений E3) резко упрощается.
В этом случае следует положить ECFC = оо и тогда а^ = 0, ай ~ 0.
В результате из уравнений E3) получим
"(— 0""«
Ряды в выражениях для внутренних силовых факторов по кольцам
сходятся достаточно быстро: обычно достаточно учитывать 2—3 члена.

Кольцевые системы с большим числом спиц
Внутреннее кольцо абсолютно жесткие
Если в системе спицы соединены с кольцами жестко, а внутреннее
кольцо представляет собой абсолютно жесткую втулку (диск), то в этом
случае задача сводится к решению одного уравнения
o —M<«.
E4)
ЕС.1С
E5)
Решение этого уравнения
V = Ло ch цхф + Аг sh И1Ф +
+ Л3 ch цгр sin V(p + At sh Цф sin vф -Ь
а ch цф-cos ?ф +
5 sh ^ф cos vф + v* (<p), E6)
где ^ ^= ±Ht и ^. — ±[i ± i'v — корни характеристического уравнения:
>.« -h B — ftj Я.4 + (I — 26, + 4j) Я! - F. + 6„) = 0. E7)
а о* —частное решение неоднородного уравнения. Постоянные Л,
определяют из условий стыка. Усилия по кольцам находятся согласно
формулам E1), а усилия и моменты по спицам (при числе л ^ 20) —
по формулам
Me =" 6 -
E8)
При малом чкеле спиц эти величины следует вычислять интегриро-
интегрированием соответствующих выражений по длине участков. Ниже приво-
приводятся решения нескольких частных задач.
На обод колеса действует первая элемен-
элементарная нагрузка (см. рис. 51). В этом случае
рря
{Al "sh ^
h .нф-sm vq:+
ф-sin v<p) -|- cos
-f- Ль sh (цф cos vy -\- sin
PR3
w= л /ft _i_ 6 л gH
v ch jiq;.cos vq>) + -4S
h цф-cos v<p — v«sh

Расчет круговых тлец и кольцевых систем
— л	*
1 2 sh (х,я 2 (ц2 — v2) — ц? -f 1	i '
— v — |i|) sh fin-cos vn.+ 2(iv ch(.in«sin vn
A3 = Л2 .sh UiJi
Л-, = 4, .shun
2(j,v (sh2 цл -г sin2 vn)	'
' «sh (Ал.соя vji— (jj/— va — j42) ch (in -sin vn
2|iv (sh2 ц,л + sinя vn)	~ '
Максимальные усилия в спицах и изгибающий момент в кольце
¦Vc.,,ax^-(b^)'n;Ash|.,nx
.сЬц.п
sh ЦЛ
2ц
2 , , Ch fliA
' ¦ 1
У*! Sh Ц,Я J '
В работе [12] показано, что вместо уравнения E4) можно пользо-
пользоваться уравнением
решение которого записывается в более простом виде
о= Aq+ А^ + Аъ ch (Аф-cos \чр -|- j43 ch jwp-sin v<p —
-f ^j sh |гф-з1п \'ф + Л5 sh цср-cos vqs + u* (ф),	F0)

Кольцевые системы с большим числом спиц
На обод колеса действует сосредоточенная
радиальная сила, уравновешенная нагруз-
нагрузками по диску {рис. 52). Тогда в силу симметрии AQ = А2 ~-
= Л4 = О и ввиду отсутствия внешней распределенной нагрузки
ti* =0, при этом
w — А1 +¦ As (ц -sh |Лф -sin Уф + v-ch цф-cos \чр) +
+ А ь (\i ch цц> ¦ cos vtp — х ¦ sh цф cos \'ф);
-{- 1) (Лз-sh (xff ¦ sin v(f-\-Au ch цф-cos vtp) -f-
+ v (Зц2 — v'2 + 1) (i43ch и,ф-соэ vф —
— Лй sh Aф. sin 'Уф)},
где
PR3
1xEJH(\ +Ьг— 2*.,)
[	 1 sh (ал -cos vn -j- 2jiv.cli [in. sin vrc
л, == 4?J ¦ -^—±—l	=	.
2A v	sh3 AЛ -f- sin2 vn
2jxv-sl: [ал-cos vji ¦— t
2fiv	sh3 р:л -\~ sin zvn
Максимальные значения прогиба и момента по ободу в точке ф = я:
PRA	Г	2(iv
~ 2?yH.2uv |/"l -f &8 — 2ft4 [ л у 1 !- 6Я — 26,
+ 	.shs^n+sin3vn J'
^ ^1 -|-Ь» —15"
F1)
2rt-2fj,vK 1 +й2— 264
(¦' + '^ — 2^ (v tSh 2ИЛ — И sin 2vn) ~ I
, ш1л	—(v-.sh 2ил -j- Li-sin 2vn)	I
+ о ¦	=	=	I ¦
ah2 (in -f- sin2 v л	I

102	Расчет круговых колец а кольцевых систем
1?слн цл5*6, то формулы для постоянных м для максимальных
величин можно упростить, принимая ch ЦП, = sh рл.
Приближенные значения для максимальных величин
PR3 Г	1
2 A + b, - 2b,)
i —26,—1)
Для первоначального выбора сечений можно пользоваться б;;:и
грубым приближением
PR*
w (я) = —=
8ца?7«
4 ц
Шарнирное соединение спиц с кольцами
Для конструкции из двух соосных колеи, шарпирио соединенных
спицами, решение задачи удобнее искать в усилиях. Функцию X уси-
усилий по упругой прослойке определяют из уравнения
Решение уравнения записывают так:
X == Со + СБф -f- С8 ch цф ¦ cos vy + Со ¦ ch ^ф ¦ sin vtp +
4- Cl0 sh |x<p'sin vtp + Си sh цф-cos \'ф -|- X*,	F4)
,' — v! + 1 = 0; 2|AV = /a).
F5)

Кольцевые системы с большим числом, спиц
Как только функция X определена, функцию vH (<р) перемещений
находят из уравнения
Яфя	Дф1 Дф" LJH dtp
решив уравнение, получим
р„ = Ai + Лф + Л3 cos ф + <4g sin q> 4 Л6ф2 + ЛН<Р cos ф Ч-
+ Л7ф sin (р 4- Л р sh цф cos vy I- /48 sh цф-sin \рф+ Л1о ch цф-sin vrp-,-
+ Ли ch fi(p-cos vф — y*.	F7)
В этом выражении часть постоянных Л,- выражают через С/:
F8)
Остальные постоянные А[ и С(- произвольные, их определяют из
условий стыка и равновесия.
Смещение ив записывают аналогично ин.
ve= 3j+ Ваф + В3 cos ф 4- В4 sin ф 4 Въц? + Ввф cos ф Н- \
sin уф -|- Д.. ch |Хф• cos \'ф 4" ve-
Согласно уравнению
постоянные S,- выражают через постоянные Л, и Q:
вг = Л,
*-^+-^{^-
G0)

40'!	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Выражения для внутренних усилий по кольцам определяют из фор-
формул F7) и F9) согласно выражений E1). Так, например, по наруж-
наружному кольцу
и>н- -- А* — А3 sin ср + АА cos гр-Ь2Л3ф : Л6 (совф —ф sin <р)-1-
¦+ Лт E1П'фН~ фсояф) — u.(v4ech цфССК \'ф+ АцсЬцц!- sin Уф-|-
-+- AlQsh цф-sin \чр-\- Ац sh цфсовУф) — v (Ав sh цф-sin уф —
— v49 sh Цфсо* уф — Л1()сп цф-со5Уф+ j4nchn^sin \'ф) + шн;
мн*=	^Й(л* +2Лвф —2Лв«вф—2Л7 sin ф— У ах
[[i(/1Nsh р,ф sin уф—i4esh ц.фсо$ Уф —
-|- Лц ch цф sin \-ф) -(- v (AH ch цф cos v-ф -(-
+ Л9сИ цф-sm уф-f-j4losh|j^-sin уф f-
4-i4nshfi9>coKV9)j} +Л1*;
С« = -^{2Л + 2Лв5тф—2Л7сов ф-f КоХ
X [Ив с'1 Цф-sin тф— -4flch цф-cos уф —
— Alash и-фак \'ф -\- А,х яЬцф51П Уф) —у"<х х
X (^8 sh цф-cos Уф 4" А9 sh цф- sin Уф -j-
-[¦ Al0ch цф-sln уф+Лпс1»цф-а»уф)][ + Q*;
¦v« = -^ i2^« cos Ф + 2Л7 sin ф -|- [(fi + v V"a) X
х (y48sh (хф-sin v-ф — Лн sh [Хф-сда v<f —
— /1 ift ch (Хф-cos Уф + Лц ch цф-sin vq>) -4- (v — (i ^ct) X
sh цф cos v-ф)] Ka} -Ь ;V* — XR.
Выражения для величин по внутреннему кольцу аналогичны выра-
выражениям G1), только следует заменять соответственно постоянные Ль
жесткость кольца и радиус.
Приа:?г70величнныц.иутакоаы, чтоцл ^6 и vn ^6. Тогда можно
принять sh Aл « ch (хл, и, кроме того, в формулах можно отбросить
sin ул. и cos уя (малы по сравнению с sh ця и ch цп). Эти условия позво-
позволяют записать окончательные формулы в более простом виде, ^'л
существенных ошибок.
Ниже приводятся решения ряда задач. В этих решениях приводятся
также приближенные значения при a rs 70.

Кольцевые системы с большим числом спиц
405
На кольца системы действуют симметрич-
симметричнее относительно вертикальной оси нагрузки
типе сосредоточенных радиальных сил, первой элементарной нагрузки
и распределенных нагрузок вида
рн = D, sin ф; рв z
2 sin ц>,
до показано на рис. 51—57, В этих случаях нагружения функции Л"
четные:
X = Со+ С8 cli до • cos vip I- Cl0 sh до sin v*p + С-cos ф, G2)
> функции vi — нечетные:
"	t sin <р |- Лвф
vtp +
-|- A,och цф sin \
у* ^= ^йф ~I~ ^a bin ф ~4- ^йф COS ф ~р /
+ В1П ch jicp. sin Уф + бф2- sin ф.
Постоянную С определяют из уравнения F2):
"хГ
Постоянные С8 и С|0 находят из соотношений К' (я) = 0;
= — яС0
а -\- 1 v sh ^я'Cos уя -(- |Л ch цл sin ¦<
а — пСв
v cos ул — \i sin vn
sh цл
га + 1 v ch цд-sin уд--
цл -J-sin3vn
,-, v sin vn — a cos vn
« 	 ЯСЛ	—;	 .
sh цл
Постоянную Со определяют из уравнения
G3)
Ж Ptf — равнодействующая внешних сил на наружное кольцо по
^ртикальной оси.

Расчет круговых колец и квльценых систем
Постоянные Aj определяют по формулам F8) из услоний vH ("О — U
$н (л) — 0 и из уравнения F6):
а У а
К*
A,-tA--~---^-, Л, = 4,1;
^~а sli ил- cos vn — ch цп ¦ sin vn
sha fin 4- sin2 vn
4 Ka-cos vji -- sin v.t
Sh ПЛ -COS V7t
B, = A,;
cos \'л + УГа- sin vn
Изгибающие моменты по кольцам
М№ = — /?а 14 Л —5Г^ ( ^ ^ ~о" C0S Ч* — ф51Пф) —
v sh (.in-cos v;t -J~ (i ch цл- sin vn
sh2 [in -j- sinB vn.
(j.л - cosvai — v ch \i,i ¦ si-n v.t; ,
sh^ ца-f sin2 v.t.
	-n
X ch ^ф-соэ \'ф( л Va T 1 [¦;
„ (	EhJh I	1	\
= — Rr l4Axi—bj A	T"cos Ф~ ф sin ф I -}-
Co Г . . /v sh ил-cos vn-|-a ch цл-sin vn
a |_ \	shs ^л -f sin2 vrt
X sh ц.ф sin \'ф -\-
X sh /хф sin \'ф -(- -
ц sh |1л ¦ cos ул — v ch }ул ¦ sin v.t
X ch цф-cos vq> ] л
На наружное кольцо действует первая элементарная нагрузка (см.
рис. 51). В этом случае усилия, действующие на спицы, вычисляют по
формуле G2), а моменты по кольцам — по формулам G5), где
Г	Р	г Р	а

Кольцевые системы с больишя числом спиц
8л A ¦
Максимальные значения
Х,ш " X (л) =
	 i / a v sh и,л ch цд Ч- (i sin ч'л-соэ уд 
~ Л I "oT+f	sIi'uji I- sin!vn	J
P
M.(!1) = ^w^f4.,^x
2n(l +Xi) L 2 '" a+
цй11алсЬил — v sin vn-cos vn
РД j' 3 j цл \
2л A +Zi) \ 2 ' KoT+1 /'
\ 1
)J
. sh цл-ch ия — v sin vn'Cos \n
° 2л A4- Хл) ("Х' /сГП j'
Яа внутреннее кольцо действует первая элементарная нагрузка
(рис. 53). Усилия определяют по формулам G2) и G5), где
Г	Р	с	р	» -
С= „DM _„_! • С«^— -^ЛГ
Xi) ' a +1'
CR>
J*	8лA Ч-
Максимальные анач^ния
А
Р	Г; , »
2лКA+ы1 «+1
finch цл + [* sin v.t- cos vnl (vn — 3j P
hE + 8	I * 2ЯA j )

Расчет круговых колец и кольцевых систем
\ 2 a+l X
l Sh [1Л'СЬ fi.1 — V Sin УЛ COS УЛТ
J
Ma (Л) =
2n(l
V	I 3
-I- Zi) 1 2 Xl
'	(\ I Л1^ГН
о-I-1 V	!
- У5ШУЛС«УЛ
Сосредоточенная радиальная сила Р, действующая на наружное
р
кольцо, уравновешивается распределенной нагрузкой рв	sin ф
по внутреннему кольцу (рис. 54). Усилия определяют по формулам G2)
и G5), г постоянные — по формулам G3) и G4), где
8л A

Кольцевые системы с большим числом спиц
Максимальные значения:
X (л) = -
2лЯ 1 + —
>/" a v sh jin ch ji.t; -j- Ц sin vn-cos vnl
a -f- 1	sli2|in+ sinBvn	J
_(v.i — 1) P
i sh u.i'Chiin — v sin v л cos \
1	'
2л (I -
Мв fa) = ¦
яA+х,) L 2 nfl
2л 1 + —
Сосредоточенная радиальная сила Р действует на внутреннее кольцо
р
и уравновешивается распределенной нагрузкой рн = —„--sin <p по пару ж-
ному кольцу (рис. 55). Тогда
с	Р	, с„-	Р	а ;
8л A +

4i^	Расчет круговых колец и кольцевых систем
Максимальные значения:
X (л) -,
2лН(] -|- xi) L « + 1
"^	у sli цп-ch ц.п j- ц Mill ул-cos ул
sh2 цл -f- sin'2 vn
}i sh цясИ ^л — v sin ул cos ул \ 1
shaji,n + sinav.T	)\
	Pr I 3	цл
2л A -rXi) I 2 Xl+ /5T
Сосредоточенные радиальные, взаимно уравновешенные силы дей-
действуют на наружное и внутреннее кольца (рис. 56). Тогда
с = о;с,= г.^^-, ,4 = 0.

Кольцевые системы с большим кислом спиц	4! 1
Максимальные значения:
Р	а
"Ш" я+1
a -h I v sh цл,-сЬ цл -\- ц sin ул cos ул 1
а	sh2 |хл -f- sin3 г-л	j
v-л - 1
У 2 (а-г 1)
Распределенные по обеим кольцам нагрузки
Р .	Р .
Рн — —ут sm ф; ра =	sin ф взаимно урав-
уравновешены (рис. 57). Усилия по спицам К =
Изгибающие моменты в обоих кольцах не
возникают. Кольца смешаются только как айсо-	Рис- 57
лютно жесткие.
В приведенных решениях не даются выражения для коэффициен-
коэффициентов At и В4. выражающих смещения колец как абсолютно жестких тел.
В случае надобности они могут быть найдены по формулам
, / ла , 11 \ 2C0R*
Ai = — I -*- т -я- А Т	f—т— X
X 1	у=

412
Расчет круговых колец и кольцевых систем
Наружное кольцо системы нагружено второй элементарной нагруз-
нагрузкой (рис. 58). В этом случае функция X нечетная:
X = Спф ¦¦{¦ Сц ch цф-sin vtp + Си sh [Лф-cos v<p + С-sin ф, G6)
а функции смешений ь\ (ср) — четные:
vd -=¦- А с,-'.- Ля cos ф + -46ф2 -+- <47ф sin (p -f- ABsb \n\> ¦ sin \'ф +
-г Ац ch («p-cos V9 + Лф2 cos ф;
vlt ~ В„ + S:J cos ф + В-эу'1 + В;ф sin ф + Вй sh цф sin \чр --
+ В,, ch (мр cos \'ф + Вфа cos ф.
Из уравнения F2) находят постоян-
постоянные С и С$:
С - — -
2лЯ 1 + ~)
Постоянные С9 и Си находят из соотношений X' (л) = 0;
f XR sin if> dtp = 0:
г _ _ л<"^ К a ch цл- sin ул + sh i-in-cos у л,
6	V"a	sha jin -(- sin2 vn
~> _ .я^ . Va~-sin vn H- cos\-я .
^ct	siiTui
_ 	 лС5 l/^а sh цл-cos vn — fh (in-sin vn
11	iA«	sh3 цл + sin2 vn
лС5 К а cosvn—sinvn
G8)
TR>
a+\
G9)

Кольцевые системы с большим числом, спиц
А	R* пСь
—¦2 (у cli цл- sin ул — |л sh ц.-icas ул)
Ка -|- 1 (v-slijirt-coKV.T — ftch ц.я- sin v.i) —
— 2 (v ¦ sh ця cos уд + У- с^ ЦД • sin ул)
а /а+ 1 (sh3 ^я -1 sin3 \n)
Из условия шк (я) — 0 определяют посто-
постоянную
Л" ¦ 2 '2лA
Постоянные 5; определяюг по формулам
1
- . 9,11-—— 9.Н.
В7 = А7; Въ = Аь + -^~ -	(80)
G9)
//а внутреннее кольцо действует вторая элементарная нагрузка
(рис. 59). В этом случае функцию X вычисляют по формуле G6), афунк-
цлю щ (ф) — по формуле G7), причем
г	с	Т
i+гН
2-1A + Zi)
я-h 1 '
Постоянные С9 и Сц вычисляют по формулам G8), а постоянные АЙ
к Аи — по формулам G9). Далее
8яA
4.1A -rXi)?«^« «+ Г
Яа наружное кольцо действует третья элементарная нагрузка
(рнс. 60). В этой задаче функция X нечетная, ее можно вычислить
по формуле G6), а функции vt ((р) — четные и определяют по форму-
формулам G7).
Произвольные постоянные
; = 0; с5 = -
о+ 1

Расчет круговых колец и кольцевых систем
_ ch ил sin v,t — Vash ил cos vn
.„ . = -ЛС,	gjj—j-—^--	 =
„ sin \л — к a cos v.i
sh цл
С -^ — лСг sh^m-cosvn |-V^ctch р,я-sin ул
.sh2 цл — sin2 v.n
4л С + Xi) ?«¦'« « + I
И--?-
1Лх+ 1 (v.sh^.T.cos vn + цсЬ цл-sin ул) —
— 2 (v sfi цл-cos уд — ll ch цп sin ул)
a/oXT(sli!(lnH- sin2yn)
Ka |- 1 (v ch jin- sin vn + fi shjin-cos \'я) —
%_, —2 (vch fin, sig ул — jxsli [x.t-cqs vn)
al/(a [¦ 1) (зЪ'^я + Sin2 vn)
Постоянные Bt определяют по формулам (80).

Литература
Внутреннее кольцо системы загружено третьей элементарной
нагрузкой (рис. 61). В этом случае функции X и и,- определяют тлкже
но формулам G6) и G7), где постоянные
С =-. 0; Съ =
2л A -\-x,)rR а+1
Постоянные Св и Сц вычисляют по формуле G8), а постоянные
и Ап — по формуле G9) и постоянные
4яA -|-Xi)r?»y«
LR'
Другие виды нагружения можно получить комбинацией рассмотрен-
рассмотренных случаев.
ЛИТЕРАТУРА
I. АстдхоеМ. Ф.т К л р а в а е в А. В.. М а к а р о в С. Я.Суз-
д а .-: ь ц с в Я- Я- Справочная книга по расчету самолети на прочность. М-,
Оборопги-). 195^.
2.	Б н р г е р И. А. Крупные пластинки и пболочки вращения, м.,
ОПпронгиз. 1931.
3.	Б и р г е р И. А. Расчет колец па прочность и колебания. Институт
им. П. И, Баранова. Труды № 304. М., Ойорсжгнз. 1957.
4.	Б И цен о К- В. ух Грамме л ьР- Техническая динамика.
Т. I. M., ГИТТЛ, 1950.
5.	]
1- Вопросы прочности цилиндрических оболочек. Сб. переводных статей
под ред. R. И. Даревского. М., Оборонгиз, I960.
К. Г р и г о р ь е в Ю. П. Формулы и таблицы д-ля расчета тонкостенных
кругопых колец. Сб. «Расчет пространственных конструкций». Т. I. M-. Г»с-
стр<1икздаг, 19fll.
ч Дацковский В. Определение напряжений в ободе махового
колена. Труды Одесского институт;! инженеров водного транспорта. Вып. 4.
М-, «Водный транспорт», 1938.
ю. Инженерные сооружения. Справочник. Т. 1. Госстройиздат. LP.V).
!1. К а Ц А. М- О распределении напряжений п спицах и ободе шкивов
и чубчатых KOiec Труды Ленинградского индустриального института. Л'1 Ь Л.,
1937.
12. К о р п б о н А. 11. Расчет колес С небольшим числом спиц под дей-
действием сил, лежащих в их плоскости. Известия Новочеркасского индустриаль-
индустриального института. Т. IX. 1941.
13 Лурье А- И. О малых деформациях криволинейных стержнеii.
Труды Ленинградского политехнического института нм- М- И. Калинина,
раздел фи.1-чаг. наук. М 3, Л.. 1441
р. Энциклопедический справочник. Т. 1. К п. 2.

416	Расчет круговых колец и кольцевых систем
15.	II а п к о в II ч П. Ф, Труды по строительной механике корабли. Т. 2.
Л., Судпромгиз. 1962.
16.	Пономареве. Д.. Б и л с [> м а и В. Л., Лихарев К- К-,
М я к у ш и н В. М . М л j. и г. и и Н. Н., ФеоДосъсвВ. и. |>;,гчсты ма
17.	Р а б II и о п и ч А. Л., Ф е д о т о в Н. М. Определение усилий и эле-
элементах шкипа. Инженерный сборник. Т. 111. Пып. 2. Изд-во АН СССР. 1947.
зданий и сооружений, расчеттш-теоретнческий, 11одрсд. А. А. Умипского. М.,
Гйсстройиздат. 1960.
19.	Справочник машиностроителя. Т. 3. М.. Машгиз. 1Э31.
20.	Ш It м л и с к и it Ю- А- Строительная мехашгка по диодных лодок. Л-,
Судпромгиэ. 1948.
2). Ш г и л е в Б. А. Формулы дли рлечета колец. * Вести н к машинострое-
машиностроения». 1956, л» 6.
22. Попов А. А. Новые таблицы для

Глава 12
ТОНКОСТЕННЫЕ И КРИВЫЕ СТЕРЖНИ
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
Общие сведения
Тонкостенными стержнями называют цилиндрические или призма-
призматические оболочки, три основных измерения которых выражаются
пели чинами различных порядков: длина во много раз превосходит
ширину {или высоту) поперечного сечения, а последняя — во много раз
больше толщины стенки. К этому типу стержней относят, например,
стержни углового, корытного, таврового, двутаврового сечений (рис. 1).
В общем случае нагружения тонкостенного стержня происходит
депланация (коробление, искажение) его поперечных сечений — се-
чения, плоские до приложения нагрузки, теряют свою первоначально
¦ плоскую форму. Пусть из — составляющая вектора перемещения
произаольной точки поперечного сечения, направленная параллельно
продольной оси г стержня. При депланацин концы составляющих w
располагаются не на плоскости, а на некоторой криволинейной поверх-
поверхности (рис. 2). Исключение представляют случаи, когда векторы внеш-
внешних сил проходят через центры изгиба (центры кручения, центры жест-
жесткости) поперечных сечений (определение координат центра изгиба см.
ниже); в этих случаях сечения остаются плоскими и после приложения
нагрузки, а нормальные и касательные напряжения определяются фор-
формулами, выведенными для обычных стержней сплошного поперечного
сечения.
Произвольную поперечную нагрузку всегда можно привести к линии
центров изгиба (оса изгиба, оси кручения, оси жесткости); при этом
Н Заказ 1G5G

418	Тонкостенные и кривые стержни
образуется система ¦ присоединенных пар, скручивающих стержень.
Напряжения, возникающие от приложенных вдоль оси изгиба внешних
сил, определяют по формулам, данным для стержней сплошного сече-
сечения. При кручении, вызываемом присоединенными парами, как пра-
правило, возникают не только касательные, но и нормальные напряжения;
их определяют указанными ниже способами.
Явление депланации с особой отчетливостью наблюдается при
свободном {чистом) кручении тонкостенного стержня. Если свободный
тонкостенный стержень подвергают действию приложенных по котим
скручивающих моментов М и (р — угол поворота произвольного сече-
сечения, то перемещения w точек сечения в направлении оси стержня опре-
определяются выражением
w (г, s) = —ф'О).	A)
в котором
*	— погонный угол закручивания, причем
Рис. з	произведение GJк представляет собой
жесткость при свободном кручении. .Мно-
.Множитель 01 — специальная координата, определяющая положение те-
текущей точки на средней линии сечения (см. точку М на рис. 3) Эту
координату называют секториальной площадью, она равна удвоенной
площади сектора, образованного дугой AM (отсчитываемой от неко-
некоторого начала А) и радиусами-векторам» О А и ОМ, проведенными
из произвольного полюса О в начало и коней дуги Секториальпая
площадь считается положительной, если она описана подвижным ра-
ради усом-вектором против хода часоной стрелки.
Следовательно, система перемещений w. характеризующая деплана-
цию сечения, определена с точностью до трех чисел —двух координат
полюса О и дуговой координаты точки .4. Способ определения этих чи-
чисел приведен ниже.
Стесненное кручение под действием скручивающих моментов
В большинстве практических случаев деиланация не может сноГюдно
развиначься. Она может быть стеснена деплапационными связями (см.
заделку левого конца стержня на рис. 4, а) или самим способом прило-
приложения скручивающих моментов (рис. 4, б; здесь среднее сечение стержня
должно оставаться плоским вследствие симметрии системы). С уда-
удалением от источника стеснения депланацпя рачвнвается псе более сво-
свободно.
В технической теории стесненного кручения принимают, что для
перемещений w остается справедливой зависимость A), в которой, од-
однако, производная <р', служащая масштабом чпюры перемещении к\
становится функцией координаты г.
Стеснение депланации приводит к появлению системы нормаль-
нормальных напряжений

Тонкостенные стержни
которые изменяются вдоль оси стержня (пропорционально производ-
производной ф") и по контуру сечения (пропорционально секториальной пло
щади и>). Система нормальных напряжений <уы должна быть самоурав-
самоуравновешенной, т. е. удовлетворять условиям
0(Лх dF - 0;
[F)
If)
jay dF = 0; f o№ dF = 0.
D)
где dF — Arfs — элемент площади поперечного сечения; /j — толщина
стенки; х, у — декартовы координаты текущей точки средней линни
поперечного сечения.
Условия D), выражающие отсут-
отсутствие изгибающих моментов и про-
продольной силы d поперечном сечении,
устраняют произвол в выборе поло-
положения полюса и начала отсчета дуг.
Из первых двух условий D) следуют
формулы, определяющие координаты
полюса (центра изгиба) в системе
г лаопы.х центральных осей инерции
поперечного сечения:
ах = - -j~ j wy dF;	E)
(F)
mxdF,
F)
(F)
причем секторнальные площади со определяются при любом полюсе
и отсчишваются от любого начала по дуге; УА и Jy — главные централь-
центральные моменты инерции поперечного сечения.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает
с центром тяжести поперечного сечения. Если сечение имеет одну ось
симметрии, то центр изгиба лежит на этой оси, но не совпадает с центром
ТЯЖРСТИ.
Третье из условий D) приводит к соотношению
о dF = О,
G)
из которого может быть определено положение начала отсчета дуг (по-
(положение нулевой секюриалыюй точки); в соотношении G) секторналь-
иые площади определяются при полюсе в центре изгиба. Сектор и альную
площадь, определяемую при полюсе в центре изгиба и начале отсчета
дуг и нулевой секториальной точке, называют главной сектариальноп
площадью. Если а> = a (s) — секториальная площадь, определяемая
при произвольном выборе начала отсчета дуг, то главную секториаль-
вую площадь находят из соотношения
jj dF.	(&)
.-5--LJ

420
Тонкостенные и кривые стержни
Пользонание соотношением (Ь) избавляет от необходимости спе-
специального вычисления нулевой секториальной точки.
Эпюры главных секториальных площадей и координаты центра
изгиба для некоторых сечений приведены в табл. I.
Нормальным Егапряжениям 0^ сопутствуют касательные напряже-
напряжения тш (рис. 5Т а):
tw = Яф^ц.	(9)
где
Величина 5И зависит от верхнего предела — дуговой координаты s
текущей точки средней линии поперечного сечения — и называется
а'.кториальным статическим моментом. При определении секториаль-
пого статического момента начало отсчета дуг s принимают у одного из
лраев сечения. Согласно соотношению G) секториальный статический
момент всего сечения равен
нулю.
Система касательных напря-
напряжений тш статически эквива-
эквивалентна крутящему моменту
М(й= -?W'. (И)
который представляет собой
часть полного крутящего момен-
момента. В выражении (II)
VW=|W A2)
— специальная геометрическая характеристика сечения, называем, и
секториальным моментом инерции. Произведение ?7Ш называю:
секториальной жесткостью. При вычислении секторнального момеыа
инерции за полюс принимают центр изгиба.
Эпюры секториальных статических моментов Бы и секториальные
моменты инерции приведены в табл. 2.
Другой частью полного крутящего момента Мп является момент
свободного кручения; согласно формуле B)
Крутящему моменту Л1„ соответствуют касательные напряжения гм
развивающиеся по законам свободного кручения (рис. 5, б); максималь-
максимальное касательное напряжение
Из выражений A1) и A3) следует дифференциальное уравнение

Тонкостенные стержни
Эпюра главных	Кгюрдилаты центра
;екгоркальных площадей	изгиба
В,1Н-С) \^-ВМ-с)
х —0;
1 — О
L

422
2. 3
Тонкостенные
, р
и
кривые
стержни
Эпюра
статически:
мм
«:*II» I
j;
ty+Zc)
12 ' // + IB
Примечание, При одинаковых шнрш
1Сотах сечений а — в, наибольшей секториал
х нормальных напряжений досп
перечного сечения;
пропорц!
для сечении a: F, = f, • -J- F;
для сечения о: F1=0,232F; F»=0,53ef,
для сечения s: F,=0,188f; Fj=O,6'24F,
здесь F, Fx, Ft — соответственно гтлсщади

Тонкостенные стержни
A6)
A7)
Функция т — т (г) представляет тобой интенсивность моментов
внешних скручивающих пар.
Четыре постоянные интегрирования, возникающие при решении
дифференциального уравнения A5), определяются граничными усло-
условиями, причем на каждом конце стержня имеются два условия, зави-
зависящих от характера наложенных связей:
в концевых сечениях со свободной депланацией а=0и поэтому
ф" — 0; в концевых сечениях, лишенных возможности делланировать,
w — 0 и, следовательно, <р' — 0; в кочценых сечениях со связью, пре-
препятствующей повороту вокруг оси г, угол ф = 0; в концевых сечениях,
снободных от такой связи, М -0 и, следовательно, ф'" — /?аф' = 0;
если в таких сечениях приложен заданный крутящий момент М, то
должно выполняться равенство ф'" — кгу' — — ~ri— ¦
L.J щ
Варианты сочетания граничных условий в зависимости от опорных
устройств приведены в табл. 3.
Выражения <f — ф (z), получаемые интегрированием ди<)креренци-
ального уравнения A5), для некоторых схем стержней даны в табл. 4.
По этим выражениям могуч быть найдены нормальные напряжения
[формула C)], касательные напряжения стесненного кручения [фор-
[формула (9)], а также касательные напряжения свободного кручения
[формула (L4)].
Расчет тонкостенных стержней иногда строят на понятии о бимо-
менте, который определяется выражениями
= -?Ушф"	A8)
= Г <
и является функцией координаты сечения г. При этом дифференциаль-
дифференциальное уравнение A5) записывают в виде
Для определения двух постоянных интегрирования, входящих а об-
общее решение, используют граничные условия, связанные с деплана-
ционными свойствами в концевых епчениях (по одному условию па каж-
каждом конце):
при свободной делланации Ва = 0; при отсутствии депланации
Вш= М.
После определения Ва в функции координаты сечения г находят
момент стесненного кручения
'v'u = В'	B0)

424
Тонкостенные и кривые стержни
Граничные условии в зависимости от опорных усгройс!
Характеристика
закрепления
Полней .наделка: поворот
и депланаиня невоз-
Поворог нсиоэможен; сво-
свободная депланация
Спободи ы п поворот; де-
планлиин невозможна
Свободный поворот, де
к торцу приложен кру-
гищий момент
Свободны*! конец
Свободный конец, к кото-
которому приложен крутящий
момент
Схеме
—о—
1

j—
ф —0;
Ф'-О
Ф=0;
ц.'" =0
М
1р —Til
Ф" =0;
г
t-
i—
ИП стерж|
и аагрузк
/77 I СИЛ
" ( л С
—'-
/
—1
71'
i
Зависимость
Г *(' *) 1
™ L 2 ch4- J

Тонкостенные стержни
Продолжение табл. 4
Tun стержня
к нагрузка
ijT-
Tr
J
7
%
m-conlt
—t
t)
—;
»
T
m'const
T\
"A
ь
r
-
r
f
T
T,
Зи
+ ch *г - 1 _ и
м г
• -.[ .
sh w
, = __Ж__[
~S ~2~ S
нснмость
li W -Ь fc/ sh
h kl — sh «
a 1 ch
I '
-i, *"-'
•'" 2
*-¦• J
±-) ]
± \
V
J
J

Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл. 1
ляь,	/Г) - СОП! t
Тг г г г г
:hftz-l+*t, <_-i- _
Aisli kl — ch kl	;
kt ch kl — bh kl
chW-1	— ch t
/rfch Ы —sh ft/
и момент свободного кручения
Л),, = ,'И — А1М
B1)
В табл. 5 даны выражения Вы, Ма и М* для случаев закрепления
и пагружекия тонкостенных стержней, приведенных в табл. 4.
Нормальные напряжения ош определяют через бимомент
а касательные напряжения стесненного кручения — через момент стес-
стесненного кручения М(,у
Х.-ЗФ	B3,
Касательные напряжения свободного кручения определяют по
формуле A4), причем крутящий момент свободного кручения находят
по формуле B1).
Стесненное кручение при действии внешних бимоментов
и продольной нагрузки
Явление стесненного кручения может быть вызвано не только кру-
крутящими парами, но и действием внешних бимоментов или внешней
Нагрузки, направленной параллельно оси г стержня.
Внешние бимоменты возникают в тех случаях, когда к тонкостенному
стержню приложены изгибающие пары, плоскость действия которых

Тонкостенные стержни
427
.=0; Л1 =0; Л!. = М
, sli tz -kWak (I - г>
"m~ k	и

Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл
Формул!-
_ _L	M	_ J±_
М
«СВ» -j--^
м "
"—"It-
2
I + ftl sh « - ch й/
I + fU sh f!l - ch A/ - -

Тонкостенные стержни
420
проходит в стороне от оси изгиба (рис. 6, а). Это воздействие можно
заменить такой же парой, лежащей в плоскости, которая проходит через
ось изгиба (рис. 6, б), и Оимоментом (бипарой), представляющим собой
совокупность двух равных и противоположно направленных пэр
{рис, 6, в). Пара (рис. 6, б) вызывает изгиб стержня, а бимомент
(рис. 6, в) служит причиной кручения стержня.
На примере стержня двутаврового сечения, показанного на рис, 7,
пояснена природа кручения, вызываемого бипарой. Совокупность двух
изгибающих моментов ± М (рис. 7, а) вызывает изгиб полок двутавра
в двух противоположных направлениях. Вследствие жесткости контура
сечения, деформация, изображенная на рис. 7, 6, невозможна, т. е. при
изгибе полок происходит поворот всего сечения (рис. 7, в). R данном
случае бимомент равен
прокчнедению одной из
пар на расстояние между
парами (плечобимомента).
Если нормальные напря-
напряжения на торце заданы
каким-либо законом а =
— а (s), то бкмомент
Вш = [ ош dF. B4)
I)
Причиной стесненного	Рис. 7
кручения может оказать-
оказаться также внешняя нагрузка в виде продольной силы Р, прило-
приложенной в произвольной точке А срединной поверхности параллельно
оси z (рис. 8). Действие такой силы эквивалентно совокупному дей-
действию: силы Р, приложенной в нулевой секториальной точки В; пары
переноса Ра.
Первое воздействие вызывает внецентренное растяжение (сжатие),
причем нормальные напряжения определяются обычными формулами
сопротивления материалов для стержня сплошного сечения. Втрое
воздействие, в свою очередь, приводится к паре Ра в плоскости, прохо-
проходящей через центр изгиба, и бимоменту бш = Ра, где со — секториаль-
ная площадь, соответствующая точке Л приложения силы.
Если к сечению приложено несколько сил Pi (i = 1, 2, . . ., л),
то полный бимомент определяется формулой

Тонкостенные и кривые стержни
При sienpepuBiiort вдоль контура приложенной внешней нагрузке
интенсинностью q (s) на единицу длины средней линии сечений
Se= J" фа df.
Если внешняя нагрузка q = ц (г, s) приложена непрерывно также
и по длине стержня, то кручение будут вызывать распределенные Ли-
моменты, интенсивность которых на единицу длины стержня
= [ q (г. s) to
B7)
В этом случае основное дифференциальное уравнение A5) приоб-
приобретает иид
т (г) — й
28)
В табл. 6 даны выражения для величин Вш, Ма и М# в различных
случаях действия на стержень внешней сосредоточенной бямоментной
нагрузки.
КРИВЫЕ СТЕРЖНИ
Общие сведения. Нормальные напряжения
Стержни с криволинейной осью называют кривыми стержням!
(чис. 9) Если высота стержня h мала по сравнению с радиусом
( стгр
1
ни малой кривизны —< -g-
то с достаточной точностью
справедливы основные зависимости для прямого стержня {см. гл. 9).

Кривые стержни
Для расчета стержней большой кривизны f — > -=- j применяют
приближенную теорию, основанную на гипотезе плоских сечений.
G. Бимоменты Вт, момент,,, стесненного круЧ<,ния М и *
свободного кручения Mt при действии на стеркщь
внешней сосредоточенной Инмоментнсп! нагрузки
Тип стержня и
I
t—(_
о
, г
-.	;
Ь	-1
нагрузка
о
г
-7
р
ж
вю = — в
Д1,
в = — в
Фир м улы
Д1, ^ В/, ^
>!.*(( -Я
_ - ?)), Л Щ1- .-)
si, *!/-г) Л кг
1 sh W D« чь Id "
ch к U— г) „ , ^h /,'г
sh и ""¦' sh и '
, ch k [I - г) „ ь ch «г
" ,1, и "'¦ (h »/

432
ТаыксС'Пенные и кривые стержни
Гипотеза плоских сечений. Для плоского сечения стержня переме-
перемещения точек поперечного сечения
w = wa + фу,	B9)
где w0 — перемещение точки О (приведенного центра тяжести сечения).
Центр тяжести поперечного сечения С находится на расстоянии R от
центра кривизны. Относительная деформация
*. r < i^ гу
! Г -\-y ~"~ ds ' Г -fy "
Нормальные напряжения
a~ \ ds 'r+y
d s г -j- у	J
C0)
C1)
где Я —модуль упругости; at —темпера-
—температурная деформация. Из условий равнове-
равновесия (рис. 10)
- i . \ ау (	. д	C2)
\E-L-dF ' \E-L-
J г + у	1 г +[
мх
\ Ealy dp
r+y
C3)
C4)
Положение приведенного центра тяжести определяют из условия
C5;
1 г+у
Расстояния от приведенного центра тяжести до центра кривизны
f EdF
EdF -
r + У
C6)

Кривые стержни
Например, для стержня прямоугольного сечения с постоянным мо
дулем упругости (рис. 11) с радиусом кривизны линии центров тяжести
сечений R
\ 4?
In
1
l
« - -if- ft
Смещение приведенного центра тяжести
ft
" 27?
I +
In-
S
C8)
Приблкженное равенство справедливо при -тр-<Г -^-.
1*1?-
Нормальные напряжения в поперечном сечении при плоском изгибе
стержня определяют по формуле, вытекающей из равенств C1), C3)
и C4),
'+*¦
г	t Л~ и С	ги%
Е —t— dF Л у | ? -2L_
г +У	J г + у
F
f Eat dF
'U
|" Па ty dF
- dF
г+У
гу"
--at . C9)
г + У '	J r + y
\	t	F
Другой, более краткий вид формулы C9):
г /.V4 .V, *1, + М«|\ аЛ
"Г » I f ?<(F	r f ?» rfF	('
V t	F	)	)
(A0)

Тонкостенные и кривые стержни
где условные температурные усилия и моменты
i = f Eat &F\
Ni = f Eat
Mxt - — | Eaty dF.
Вторая группа членов выражает температурные напряжения в кри-
кривом стержне. Предполагается, что температурное поле имеет плоскость
симметрии стержня.
Стержень с постоянными параметрами упругости, неравномерным
нагрев отсутствует. Напряжения определяют по формуле
где приведенные площадь сечения и момент инерции
здесь rt = г + у — расстояние рассматриваемой точки до центра
кривизны.
Положение приведенного центра тяжести определяется условиями
C3) и C6).
Для приведенного момента инерции часто используют формулу
Jxnp = | J^-f df=rj ydF - rSF.	D3)
SF- \ydF=eF	D.jj
*— статический момент сечения стержня относительно оси, проходя-
проходящей через приведенный центр тяжести; е— расстояние между центром
тяжести и приведенным центром тяжести сечения.
Значения радиусов кривизны линии приведенных центров тяжести
для различных сечений приведены в табл. 7.

Кривые стержни
Ридиус кривизны '
¦А о "]*¦ V
i	L

Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл
Сечение
*
l-Мт
.1 —	si-
—	si's iv' '&
Радиус кривизны г
di-4
/ i -i.
fci/i, -h bi*l2 + ЬаЛа
.,!„ P'-f*' -,-b, 1,, "' +"'¦'-''¦ +
1 f In "' + *' +"¦+*¦
' ''¦'" P, +*,+*,
BH -f bft
—?+—&
Распределение нормальных напряжений при чистом изгибе. В этом
случае (рис. 12)
rj	M	rj /VI
г + У f ry'
D5)
dF
Напряжение в точках А к В
о = '"* М ¦
Л r — h.'jxw'
rhB	М

Кривые стержни
437
Нормальные напряжения н поперечном сечении распределяются по
гиперболическому закону. Сопоставление с точным решением для
стержня с узким прямоугольным сечением (плоская задача в полярных
координатах, решение Головина) показывает, что приближенное ре-
решение на основе гипотезы плоских сечений [формула {45I обладает
достаточном точностью при 	*? 1,
/Ill
Случай растяжения центральной силой. В по-
поперечном сечении внешние нагрузки приводят к нормальному усилию N,
приложенному в центре тяжести сечения. В рассматриваемом случае
Мх= —Л'? и из формулы D1) следует
--*--. = <*
Напряжения распределяются по поперечному сечению равномерно.
Условия равновесия, касательные напряжения
и перемещения
Условия равновесия участка стержня (рис. 13). При плоском изгиб:.-
кривого стержня условия равновесия имеют вид
D6) *-<СЮ>~"'<'*
где q и л — интенсивность распределенной	рис. 13
нагрузки па единицу длины приведенной оси.
стержня (элемент дуги ds, радиус кривизны г); Л1Г, N и Q — изги-
изгибающий момент, нормальное и касательное усилия в сечении стержня.
Касательные напряжения. В приближенной теории касательные
напряжения в поперечном сечении определяют на основании условий

Тонкостенные и кривые стержни
равновесия. Для элемента стержня при отсутствии распределенного
усилия вдоль его оси (рис. 14) условие равновесия
где Nf и Qf — нормальное н касательное усилия, действующие на
отсеченной части сечения.
Касательное напряжение для равномерно нагретого кривого стержня
постоянного сечения определяют по формуле
-Я-
где Sf = I у dF — статический момент отсеченной части сечения,
F
площадь которой равна /.
Рис. 14
При г -> сю уравнение D8) выражает обычный закон распределения
касательных напряжений.
Потенциальная энергия деформации равномерно нагретого кривого
стержня
К
2GF
ds.
где Е и G — модуль упругости и модуль сдвига; Jxnp — приведенный
момент инерции, определяемый по формуле D2); F — площадь попе-
поперечного сечения.
Последний член в формуле D9) выражает влияние усилий сдвига;
коэффициент k может быть принят приближенно таким же, как и для
призматического стержня. Интегрирование ведут вдоль оси приведен-
приведенных центров тяжести сечений. Часто используют выражение для по-
потенциальной энергии при интегрировании по обычной оси и при приве-
приведении силовых факторов к обычному центру тяжести. Тогда выражение
для потенциальной энергии деформации будет
i\ 2 RESF +~T EF KMF 2GF/
EП)
где dsc — элемент дуги оси стержня (геометрического места центров
1яжестн сечений).

Кривые стержни
Перемещения. Для определения перемещений удобно воспользо-
воспользоваться интегралом Мора- Перемещение точки А стержня (рис. 15)
в направлении *h определяют по формуле
EJxn
EF
GF ,
E1)
В этом равенстве М1Х, i\\ и Q, — изгибающий момент, нормальное
и касательное усилия в поперечном сечении от единичной силы, при-
приложенной в точке А: Мх, Лг и Q — силовые факторы от действия внеш-
внешних нагрузок.
Интегрирование ведут по оси приведенных центров тяжести сечении.
Общий случай изгиба. Предполагается, что сечение стержня имеет
плоскость симметрии (рис. 16), которая совпадает с плоскостью кри-
кривизны.
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержни определяют
по формуле
Л-	'У	м<	|
Предполагается, что температура распределена симметрично отно-
сиюльно плоскости кривизны; такое предположение относится и к ве-
величине модуля упругости.

Глава 13
ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫЕ СТЕРЖНИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определения. Естественно закрученными называю'] i .гржни,
боконая поверхность которых может быть образована винтовым дни-
жением плоского контура j {?, х\) = О относительно прямолинейной
оси ?/. которая проходит через неко-
некоторую точку / плоскости, ограничен-
ограниченной указанным контуром, и перпен-
перпендикулярна к этой плоскости {рис. 1).
Примерами естественно закрученных
стержней 1 являются витые лопатки
осевых компрессоров и газовых тур-
турбин, воздушные винты, спиральные
снерла. закрученные манометрические
труEки н другие подобные детали.
Различают неподвижные х, у. г и по-
подвижные— \, т|, ? (связанные с теку-
текущим сечением) оси координат, напра-
направляющие косинусы которых прини-
принимают по табл. 1.
В таблице а„ — угол установки
текущего сечения. В дальнейшем
\, 1) — главные центральные оси се-
сечения.
Оси кс
ординат
1
¦п
t
прав
Л
cosa0
0
у
bin «a
cos ac
0
«
0
0
1

Основные положения
Относительная закрученн./сть стержня в данном сечении в рад/см
Стержень раинимерно закручен, если т0 = const. Тогда
и„ (г = а, @) + тог	Bа)
Т.--2-,	B6)
где а; — изменение угла установки сечений на дли ire /.
Соответственные точки М и М\ различных сечений закрученного
стержня располагаются на винтовых линиях ММХ. углы наклона ко-
которых
о= arctg (т
C)
где R ~ V(b — ?/K + (*) — Ч/J — расстояние точки М до оси ?,
Основное практическое значение имеют закрученные стержни
с умеренными углами наклона винтовых линий, у которых для все*
точек сечения углы
и, следовагельно,
Р„ ¦» т„Я-	E)
В этом случае, не нарушая общности, можно считать* что ось есте-
стненной закручеппости ?/ совпадает с линией центров жесткости i
(т. е. с упругой осью стержня). В дальнейшем различием в положениях
центра жесткости и центра тяжести сечений для простоты пренебрегаем.
Одни из особенностей поведения закрученных стержней зависят от
взаимного положения сечений (т. е, от абсолютного угла закрученно
сти а„), другие — от взаимного наклона винтовых линий в данном се-
сечении (т, е. от относительного угла чакрученности т0 и конфигурации
сечения).
Геометрические соотношения. Перемещения точек оси стержня и%,
tV|, ffi'j, yi-лы поворота 65, fif). Й^, а также компоненты вектора общей
;ме координат ё,
w, углами пово-
^, ffi'g, углы поворота 65, fif). Й^, а также компонента
деформации (кривизны Kg, Kj, и кручение т^) в систе?
г). S связа!1Ы соответственно с перемещениям!' " - -
ij. ^ cunjaiiu ciXJiHeiuTBeHHU с неремсш-ениями и, и, w, угJit
рота бх, 0^, 0z и компонентами вектора общей деформации
вами хх, у.у и кручением тг) в системе координат х, у, г coothi
табл, 1, ь частности
.х cos а0 + ху sin а0;
хх sin а0 + Ху cos а0.
ошениями
F)

Естественно закрученные стержни
При малых прогибах
(Г)
(штрихом обозначены производные по длине стержня) и, следовательно,
к& = — v cos а
кц => v" sin а
Кручение
и sin сс0 = — с^
u" cos a0 = Ц — 2
удлинение оси
e = w .	(]0j
Уравнения равновесия. Компоненты главного вектора Qj, Q^.
Qg и главного момента ,-И^, Л1Л, Л1^ внутренних сил в системе осей \.
i|, t связаны соответственно с компонентами Qx, Qy, Qg и Мх, Му. М,
и системе осей х. у, г также соотношениями табл. 1, в частности
Aft = Мя cosa0
по
Ураннсния равновесия элемента стержня в системе координат х.
у. г после исключения сил Qx, Qy имеют обычный вид
QJ + Яг — °>
A2)
где дЛ, i7;/, </г и /и*, /я^,, тг — соогветстненно компоненты распределен-
распределенной нагрузки и распределенного момента в направлении осей *, у, г.
В подвижной системе координат
М'ь - Мпт0 -
- % - 0; ]
m11 = 0. j
где G|, ^^ и mt, m^ — компоненты распределенной нагрузки и момента
в направлении осей Е, i].
Физические уравнения. Пренебрегая, как обычно в теории стержне»,
деформациями от поперечных сил Q§, Qn, получим, что компоненты
общей деформации закрученного стержня е, jcs, к,г т являются фуик-

Теория Кирхгофа — Клебша
413
цнями компонентов внутренних силовых факторов
В линейной постановке задачи
и обратно
1
«г
"Ее
«че
"те
Нг
ап%
°г|
Aei
ft|
а6Л
"л
"tr,
"ч
«6.
«ЧГ
«. 1
8
xs
ХЧ
A4)
A5)
где as/ = o^ и ftft; = hik (k, I = &,\, ц, т) — соответственно коэффи-
коэффициенты податливости и жесткости, вообще говоря, зависящие от отно-
относительной закрученности т0 стержня. Для простоты вместо dkk H hkk
пишем ak и hk-
Для отдельных классов задач система A4)—Ц5) упрощается. Извест-
Известные теории естественно закрученных стержней 1 различаются полнотой
используемых матриц коэффициентов податливости la^'j или жест-
жесткости || Aft/1] и выражениями этих коэффициентов
ТЕОРИЯ КИРХГОФА — КЛЕБША
Основные соотношения [15, 14, 6]. Для незакрученного стержня
(т0 = 0) система A4)—A5) распадается на четыре независимых соот-
соотношения
е	Q
A6)
где F — площадь сечения; -/-, Уп—осевые моменты инерции: Т„ —
геометрическая жесткость на" кручение.
Если естественно закрученный стержень можно полностью раскру-
раскрутить (т. е- перевести & незакручешюе состояние) путем упругой и линей-
линейной деформации, то для расчета такого стержня можно также пользо-
пользоваться соотношениями A6). считая т = Ti —тп. где тп —естественная
(начальная1, а т, — конечная относительные эакрученности,
1 См. литературу i

441
Естественно закрученные стержни
Пределы применимости теории. При закручивании на относитель-
относительный угол т0 стержня эллиптического сечения с отношением осей с =
= — @<;с< I) максимальные деформации сдвига ет — то* тпг*1>
а максимальный угол поворота продольного волокна р\,г = 0,5тпЛ.
Условие линейности деформаций требует, чтобы р1^ < ет> откуда
2с
A7)
Условие упругих деформаций требует, чтобы е,т < zy, где ку —
деформация, соответствующая пределу упругости (е0 порядка 10~3). т. е.
Рт<-^««	Ив)
Для стержней стойкими сечениями (<.< 0,]) определяющим является
условие A7). для стержней с толстыми сечениями — условие (|Я).
В обоих случаях применимость теории Кирхгофа—Клебша ограничи-
ограничивается стержнями с весьма малой величиной углов наклона винтовых
линий р0 = Рт (порядка Ш). При больших значениях углов р„
должны использоваться более общие теории закрученных стержней.
В частном случае для стержней с двусимметричными сечениями
в соотношениях A4) коэффициенты ag* ^0 (k Ф I), а^ — 0 (k Ф 1])
и система A4) распадается на дне системы соотношений для продолыю-
крутильных и изгибных деформаций, причем последняя при условии (<1)
совпадает с соотношениями теории Кирхгофа—Клебша для задачи по-
поперечного изгиба
=- Мц
М9)
так что в этом случае пределы применимости теории Кирхгофа—Клебшл
для задачи изгиба расширяются до значений рп порядка 10.
Изгиб закрученного стержня двусимметричного сечения. Разрешив
выражения (8) относительно и", v", получим с учетом A9) и A1) диффе-
дифференциальные уравнения упругой линии закрученного стержня [10 [,
справедливые для стержней двусимметричного сечения при fljj < 1:
v- = — Мх
B0a I

Теория Кирхгофа — Клвоии
где
А=
и" = — A sin Bа„) М, + {A cos Bа0) + в] М„;
-о" = \А cos Bа„) — В] Мх + A sin Bа„) My.
[J-J<
B06)
B1)
Частные слу-
случаи. Незакрученный
стержень а0 = 0; ? — л;
у) = у, тогда
V" = —
"Ё77-
/
L
?•
к -10
1
- 7
К.11'
"•—
_
— г у
90 ШО ПО 360 <t5!} 5<*0 630 а?
Стержень с равными
жесткостями на изгиб
Л = 0; /1=-^-
й
1
1
_ . |.^
~;—s^ i
*Со~Чм> 1
•	,	..
90 180 270 350 450 5^0 630
Естественная закру- «^х прогкО<
ченность В ЭТОМ случае не	ченности а? при разных значениях к
влияет на изгиб.
Изгиб равномерно закрученного консольного стержня моментом Л1
на кинце Мх = М\ Му = 0, an = Tu^, где ти = -у- = const (рис. 2).
и @J = v @) - и' @J - у' @) - 0.
Проинтегрировав выражения B06) и отнеся прогибы конца стержни
и/, vi к прогибу незакрученного стержня той же длины
'И'2
^ _(_ =
--^rl1-* -hi-*)
2а;
cos 2a; "j
^ 1'
B26)

Естественно закрученные стержни
k --= -r=- ; щ - т„/
•'n
При т0 ~ const выражения B26) справедливы при неограниченном
возрастании длины стержня и его абсолютной закрученности. причем
при rzi -у ос
т. е. многократно закрученный стержень изгибается так же, как не-
закрученный стержень, податливость которого на изгиб равна полу-
полусумме податливостей закрученного стержня.
При /— const выражения B26) справедливы только до таких зна-
значений угла ал пока соблюдается условие D) —см, стр. 461
Зависимости B26) показаны на графиках рис. 2.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Точные решения. Для некоторых простейших задач известны «точ-
«точные» решения, т. е. решения, полученные методами общей теории упру-
упругости или теории оболочек.
Растяжение слабо закрученного стержня |8J,
Деформации:
8 - ?^ ; т - т„ ар ( Гц ] ); хг = хч - 0.
Напряжения в поперечном сечении, нормальном к оси ^:
/ ],,
B4а)
B16)
здесь Jp — полярный момент инерции сечения: ф —функция кручен и ч
соответствующего незакрученного стержня.
Из формул B4) видно, что под действием растягивающей силы
(Ql~> 0) закрученный стержень раскручивается и в нем возникают
дополнительные касательные напряжения о-?, а^.
Формулы B4) справедливы при условии
B5)
Параметр р^ определяют по формуле C16).

Общая теория закрученных стержней
Деформации слабо '«акр у ценного стержня
дпу симметричного поперечного сечения [4].
Деформации:
P. = "FT- — Tn
OF \Т0
OF l Т„
B6а)
B66)
Выражения B6а) справедливы также при условии B5), а кырмже-
ния B66) — при менее жестком условии D).
Растяжение и кручение произвольно закру-
закрученного стержня удлиненного прямоуголь-
прямоугольного сечения [16] Для рассматриваемой задачи соотноше-
соотношения A5) принимают вид
Mi — Н„е i А,т.	B7)
При чистом растяжении
Л1, =0; т =
B8а)
где hp — «эффективная» жесткость при растяжении.
Hi.
B86)
При чистом кручении
B9а)
где ftT — «эффективная» жесткость при кручении,
B96)
Для незакручешюго стержня удлилер{ного прямоугольного сече-
сечения ЬХд величины Аяо = Eb&: hxn = -г- 0b№. Для закрученного стержня
эффективные жесткости зависят от максимального угла наклона воло-
волокон pV; — 0.5то6. соотношения сторон н коэффициента Пуассона v.
Зависимое! и h н Л от угла fl при — ^ 0,1 и v — — приведены на
рис 3.

448
Естественно закрученные стержни
Приближенная теория стержней произвольного профиля [И]. Если
Е, т| — гланные центральные оси сечения, то при выполнении условия D)
коэффициенты матрицы жесткости A5) определяются формулами
Ле = EF; /tj = EJ$ Нц -. EJ^, hx -• GT\ "t
= т„? ,.1Р —
= А,п ^ А6п = О,
0,1 0,! OJ ВЛ A,
0,1 0,1
C0)
\
\
\
4
0'
^1
мененке крутильной (а) и продольной <rt) эффективных жесткостсГ.
ти от угла наклона винтовых волокон В для стержня с удлиненным
прямоу
i — ра
чет в предположени
3 — расчет
°
1; Э — ра
Здесь F — площадь; J% = \ ff dF; Jn = i ?- dF — осевые; Jp —¦
i	i
^ \ R- dF — полярный; Jp-t = \ R2r\ dF и JPn = \ R'*l dF ~ no
F	F	t'
лярно-осевые моменты инерции; Л = \ Я1 dF; 7\. = \ (if 4- ф!) dF —
j p
геометрическая жесткость на кручение неэакрученного стержня;

Общая теория закрученных стержней	449
ф,. - ф, (S - 5,-) - <(>{ (л - ч,). <Pi = -5jT: S ' -^'
где ф — функция кручения соответствующего ие:*акрученного стержня.
Коэффициемм матрицы податливости A4)
1ц	1ц	*„ / '
C1а)
Формула
;ет f:b[Tb представлена также в виде
1
о2 2 (И У>^о(^ ~Тг)
—• C16)
Без учета стесненной деформации напряжения в гкннфечним сечении
определяются формулами:
нормальное иапряжеплс-
о. ^- ? (е - к,,;
C2а)
15 з.к.3 I

Естественно закрученные стержни
касательные напряжения
°т,с = Gx (Фг, "I-1 - 1}) - ?т0 (а - у.ц1 ¦ I- x6ti -
С учетом соотношений |14) и выражений C0)—C1) получим
г : C26)
Ш)
— «главное» значение функции <рф.
В закрученном стержне произвольного профиля все силовые фак
торы и все компоненты деформаций взаимосвязаны. С увеличением есте-
естественной за кручен ности г0 жесткость стержня на кручение возрастает,
а на растяжение и на изгиб — убывает. Помимо обычных нормальных
напряжений
в поперечном сечении закрученного стержня возникает система само-
уравновешенных нормальных напряжений, распределении которых
описывается функцией <р^.
В поперечном сечении закрученного стержня, помимо системы
касательных напряжений по Сен-Вепапу [первые члены в формулах
C26) ], даже при чистом кручении возникает дополнительная система ка-
касательных напряжений, причем крутящий момент М^ уравновешивается
суммой моментов обеих систем.
Внутренняя потенциальная энергия единицы длины закрученного
стержня
'pl-Tl)\-Gx*T\-	C5)
Стержень эллиптического сечения с произволь-
произвольным отношением осей с = -т- @ < с ^ 1). .Максимальный угол наклона
волокон рт = 0,5то6.

Общая теория закрученных стержней
В силу симметрии ,//,с - JPn — 1\ ~ Тц = О Л^Т ^ 1г1]х = o6g =
16 1 Н- с- ' '' "^ 64	1-f cS
Enb* , ЕлЬ-
Олб4 с3
A —с2K
'« = ^'-ЗГ" ' "ГТ^
а - >6A-г^) Г	(l-t-v)fe(l-r')-

Естественно закрученные
2(W -<2J
GnltV
() I V) Р^О -с')'
Зависимости ае = —— и аТ — —5- (где aef), аХA — значения аг,
оео	"го
ах при рт— 0) от угла рт показаны на рис. 4. Зависимость изменения
угла наклона крайнего винтового волокна Лр„, — 0,5тЛ от PfI при рас-
—
/I y'
X L-
flgZ —г
¦
\
0,10
0,05
'*5
ft! 'w
И.5
/
\
.	-
\
\
0,05
0,!0
0,20
\
\
.	—¦
~oM~
4
>

_	i
Рис- 4. И^мРкенче коэффициентов по- Рис. 5. 3ai
датливостей на растяжение и и кру- >''„ла наклон!

Общая теория закрученных стержней
¦153
тяже пин, когда т — a^Q^. показана на рис. 5. Знак минус указывает
на раскрутку стержня. Максимум на кривых Afln, — f (fl(fi) связан
с увеличением крутильной жесткости.
Графики зависимости nj = / (pm, с), где ст; — отношение максималь-
максимальных дополнительных нормальных напряжений (в точке Mv) к среднему
(•0,02
и,.
_-—
0.10-.
CJB-
O.Oi 0.10 0J> O.W fm
мона .hhtosux «олокон C„ и отно-	тяжсн„н ,„) и о ,- при круч.ннн (б)
сительной толщины профиля с при	от угла каклон^ винтовых волокон
растяжения (о) и кручении (в) аа-	рт и относительной толщины про-
"'	"	Лцпа г niKi 4tiift\uupiiiiorrk г'Ч'пагмя
напряжению при растяжении аср = -~ показаны на рис. 6, а, а к мак-
максимальному напряжению (а^тах = . $_ -2 при кручении — на
рис. 6, б.
На рис. 7 приведены графики зависимостей ац, <rn? — / фт. с),
где u?5 — отношение максимальных дополнительных касательных
напряжений (в точке М„„) к напряжению аср при растяжении,

EciiwcmuPHHo накрученные стсржн
а а^5—отношение дополнительных напряжений (н точке Л1„) к на-
напряжению (o??)lim- при кручении.
Из рис. 4—7 видно, что при значениях $fn Z 1 влияние закручен-
ностн становится практически важным для относительно тонких про-
профилей при с s?: 0,2, когда с2 < 1- Для таких удлиненных профилей
теория существенно упрощается.
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
УДЛИНЕННОГО ПРОФИЛЯ
Основные соотношения. Для стержней удлиненного в направлении
оси % сечения составляющая сдвигов в направлении оси л\ весьма мала,
вследствие чего для большей части сечения
ф^ да -R2.	{37}
Тогда в формулах C0) TQ < Jp; T^ < Jf,v T^ < Jpr), 7? < У? и коэф-
коэффициенты матрицы жесткости A5) будут
hz ^~ F.F; /ij = EJ^; hr\ — EJx]< ^h ~ GT;
¦38)
причем
T = TQ + 2 A Ь v) xpnr
Коэффициенты матрицы податливости A4) выражаются по-прежнему
формулами C1). Нормальное напряжение
C96)
/? = R	~-	~ с,	j2- 1] — «главное» значение функции R2:
очевидно, что R может принимать как положительные, так и отри-
отрицательные значения.
Наибольшее касательное напряжение
где 8 — максимальная толщина профиля.
К соотношениям технической теории закрученных стержней
придти также элементарным путем.

Теории
¦: стержней удлиненного профиля
Air,
Поск-днин член в формуле {39а) получается непосредственно, если
учесть, чш при повороте одного сечения относительно другого на
угол т/1г первоначальная длина винтового волокна ——— (см рис 1)
&г
cos
принимает значение — -ttj—;—о*-, так что его удлинение при (^ <
В .inneiiHofi пистанозке при
f-i ~- РРо » *<>*$'	D16i
Суммируя выражение D16) с составляющими плоский деформации
е — ХцЛ -: Ktt], получим полную деформацию s* и, полагая о^ » о* =
— Ег", — выражение C9а). Напряжения &* =s ар, действующие вдоль
винтовых волокон, вызывают в поперечном сечении стержня касатель-
касательные напряжения
момент которых т0 t o^R2 dF в сумме с моментом касательных напрнже-
F
нин по Сен-Венану ОТот уравновешивает внешний крутящий момент
% С
Введя выражение C9а) в выражение D2) и в остальные три урав-
уравнения равновесия
\Of(tF= Qr: \ «ЕЛ dF = Alt; ( art dF = —.Mn. D3)
]i	f	f
получим соотношения A5) при значениях коэффициент о и h^: согласно
формулам C8).
Уравнения в неподвижной системе координат. Подставив выраже-
выражения (8)—A0) в соотношения (И) и A5), придем к преобразованным
соотношениям в системе координат х. у, г:
0-WX
а*х at у
вуЪ
м,
м,
i обратно
V
Ад,
: li it"
'! в
D4)
D5)

45fi
где
Естественно закрученные стержни
tr '-1 ftg — t,r\ Лц "" п-^ — О/ \ fcwx — ™wy —~ '
sin2 a0 \- ЛТ) сек2 а« ; - t J v;
- hy$ sin a0 cos a0 = -~ EJ *,/
D6a)
aw = aE; a§ — oT; 0^4 = вет^
ж ~ я% cos" ав Ч Qt| sin8 ав"~ °^ri sin 2a0;
н ¦— ii| sin3 a0 -\- ол cos2 a« + a%n sin 2a0;
ду -- (fl? — a4) sin cto cos a0 -f- *^»l cos 2a0;
й^в ^ й^т cos «о — очт sin a():
"j/t — Q?x s'n aft + uiit cos aoi
«rw = O?e COS a0 — t.'nR sin a0;
a,/(if •-- й^е sin a0 + a^e cos ct0;
ki = hik\ ('ki^aik (fe. l = w, x, y, 6).
D66)
Подставив соотношении D5) в уравнения равновесия A2), получим
основную систему дифференциальных уравнений закрученного стержня
{hww' — hwxv' + tiwyti" f hmtt')' — qs = 0;
{—hxu + A^u" +¦ й(„0')" -I qu + m\ - 0;
(—hyxv 4- fteu" + *tf6e')" - ?T ¦+¦ «i =¦ °-
Двенадцать граничных условий устанавливают исходя из кон-
конкретных особенностей закрепления стержня.
Определение геометрических и упругих характеристик. Удлиненное
сечение, средняя линия которого представляет собой параболу с макси-
максимальной стрелой подъема Н, показано на рнс. 8, а. а нл рис. 8, б --
изменение относительной толщины типичных профилей, описывающихся
уравнением
т"'пп

Теория закрученных стержней удлиненного профиля
где б — максимальная толщина; g, ~ ~-~- от, п — постоянные, зна-
значения которых указаны в табл. 2.
В этой таблице приведены расчетные формулы и числовые коэффи-
коэффициенты для основных геометрических характеристик и коэ(рфициентон
	4
М
1	^
'/ 1
а)
податликости в зависимости от длины профиля Ь. относительной тол-
толщины с— -г-, относительной изогнутости профиля h = ~j~ и пара-
Знаки h и q совпадают со знаком h, причем h^> 0, если профиль
изогнут, как показано на рис. 8- Величина у, как и т0, положи!tvibJia
при естественной закрученности против часовой стрелки (см. рис. 1).
Изгиб закрученного стержня с несимметричным сечением. Переме-
Перемещения консольного стержня, нагруженного на коние изгибающим мо-
моментом Mt= M (рис. 9) согласно матрицы D4)
\)am,h; О-м|амЛг; j
v — — ,V1 ол<гга; и г-Л1
г
j j uy
о о

Естественна закрученные стержни
S
„,,„-
-
с*
2
3
-
-
-иф||^оч anTOhi'HEogo
1
1
_•
я
Щ
§
1
s
¦р
о
1
?
1,000
3
1,200
>
1
1!
—
i
о
М
If
«
I
1
с'
1
с
Р
1
^"
S
i
+
г
о
1!
1
S
g
>
i;
р-
?j
о
I
?
J!
=>'
li
1
i
=
¦="
1
2
15.
f
!
5
1
с
V
4
s
!!

Теория з нарушенных, стержней удлиненного профиля	459
i 2
I	i

Естественно закрученные стержни

Теория закрученных стержней удлиненного профиля	4Р>\
Отнеия прогиб конца стержня щ к прогибу vi^ незакрученного
стержня той же длины и того же поперечного сечения (см. формулу
B2а)]. с учетом формул D66) получим
а%ц 2сц — sin 2сц I
Для изогнутого сечения постоянной толщины при 6 < * и v -= 0.3
с учетом данных табл. 2
	0,0462<72у3	]
" A -|- l,067y2) (I +0.0433Y*) J
<5J а>
На рис. 9 построена зави-
зависимость vi от угла а/ при раз-
разных значениях изогнутости
сечения Я~~к~ Для случая
"тт"
"- 1 (угол а; возрастает
с увеличением т0 при / =
= const). Увеличение про-
прогиба у; с ростом угла а; при
q =/- 0 связано с уменьше-
уменьшением эффективной изгиб-
ной жесткости закрученного
стержня несимметричного се-
сечения.
Изгиб в плоскости уг соп-
сопровождается не только изги-
изгибом в плоскости кг, но так-
также кручением и изменением
длины оси стержня.
Уравнения технической
теории закрученных стерж-
стержней являются основой рас-
расчета на прочность и колеба-
колебания закрученных лопаток
турбомашии [13J.
- j6
-W
- «г
¦^+—
1
1
L_
k
к
\ °**1
А
\
Л
	1
-f-
—
._
90 ISO 770 360 <tbO W
Рис
а в lie
Рас
четки»
:ть отн
схем.
осите.
а иягиба
закручен-
трогибя vl
h
11 « - а

Естественно закрученные стержни
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
Раскрутка закрученного стержня. При небольших значениях угла р„
величина его изменения может быть того же порядка, что и $и. Сохра-
Сохраняя ны|>аж(мше для удлинения ет н форм? ('11а) и заменяя в урагане
____
¦
\
Jip-5
-
\
\
\\
ч
-/
—/-
-/—
w-
--в»
1—U
ч
i
3 «
J
Рис. 10. Зависимость Ф = f (ц. р ) при *л = О
лии D2) угол т0 на сумму т0 + т, что соответствует деформированному
состоянию, приведем уравнение крутящих моментов к виду
йч + Зр О2 -\- 2A + ц + РЭЛ it = 2 {€¦_„ — ИР )- E2а)
E26)
График зависимости E2а) для случая #.„ = 0 (крутящий момент от-
отсутствует) показан на рис. 10. При ц> 0 по мере возрастания растяги-
растягивающих нагрузок угол естественной закрученности убывает {ft<0).
причем темп убывания замедляется с ростом ц. Стержень практически
распрямляется при \х > I + р?. При ц < 0 естественная закрутка воз-
возрастает с ростом абсолютного значения \\i |, особенно резко при малых
значениях рр. Парабола (}[t = q соответствуег деформациям при кру-
крутильной потере устойчивости незакручешюго стержня, наступающей
при ц = —1.

Нелинейные задачи
Пренебрегая в формуле E2а) членами ii'J и Ь~, получим
ft = —*	**, .	E:5»
Для чистого растяжения при аср = —~~
CT-(' + 1r р»)
Сильно закрученные стержни. Общая теория сильно закрученных
стержней, у которых величина угла ft* соизмерима с единицей, не раз-
разработана. Для приближен-
приближенной оценки влияния силь-
сильной закрученности следует
учесть, что длина винтового
волокна, ранная до дефор- 1*
мниии
„ Аг	1,1
1,0
0,1
U
принимает после деформации
(рис II, а) значение
A те — Хц; у- XjT]
cos (ft, -|- Р')
где в линейной постановке
I" x?i) '-OS Ре s'^ Ро-
Удлинение винтового во-
волокла
E5а)
Рис. И К расчету при больших угл;К
закрученносги; " — рисчет;гая с.ч^м;];
6 — зависимость относительного лрогпба
-г- с учетом изменени
xR cos» p., tg p, = т„«
E56)

Естественно закрученные стержни
Нормальное напряжение в плоском поперечном сечении а. связано
с напряжением вдоль волокна о* ¦- Ег* соотношением
Oj = a* cos2 а0,
Изгиб сильно закручен лых стержней д в у -
симметричного сечения. Введя формулу E6) в последние
два уравнения равновесия D3). получим A7]
М%; ?Л|ХП - /Иг,,	E7а)
E76)
Интегрирование ведут по площади плоского поперечного сечения.
Для удлиненного прямоугольного сечения при 6^6
У5 = XJV	E8)
где Л — осевой момент инерции поперечного сечения;
X = 0,5 cos рт ( cos pm + 5^м ) ;	E9а)
&л = arctg (О,5то&).	E96)
Уравнения B0) остаются справедливыми при }амене J^ и Ул соот-
соответственно на У^ и Jt).
На рис. 11, б приведена зависимость относительного прогиба vt
от угла щ при различных значениях удлинения -г для случая изгиба
равномерно закрученного консольного стержня моментом на конце
при б < Ь, когда с учетом выражений B26)
1 — cos2a; \ I
= [ 1 + -
la-
При сильной закручешюсти изгибная жесткость надаег из-за уве-
увеличения длины и уменьшения напряженности наиболее удаленных
винтовых волокон. Участки кривых при ^т < 1 совпадают с кривой
/; — 0 на рис. 2, а.

Ли тература
ЛИТЕРАТУРА
1.	В и |> г с р И. А. Некоторые математические методы решен ни инж-.-
нерных задач. .4., Оборонена. !4fjfi.
2.	Гол у б е » О. D. Обобщилне теории тонкие стержпой. Груды Ло1Е!1Н-
градского политехнического ингтитуги мм. М. И. Калинина. М 226. 1963.
3.	Г ;> и н б е р г С. М- О роли о ret: ценности кручения при расчете час ют
двигателей». Вып. 3. М-. «Машиностроение». 1966.
4.	Д ж » и с л и д з е Г. Ю. Соотношения Кирхгоф.ч для естественно скру-
института им. М. И. Калинина, .W 1. 1946.
5.	Л у р ь е А. И., Д ж а н <- .1 и д з е Г. Ю. Задача Сен Bl-imhu дли с<<\-
ственнп скрученных стержней. ДАН СССР, т. XXIV. № I; 3; 4, 1939.
6.	Лив А. Математическая теория упругости. Пер. с англ. М.-Л,,
ОНТИ НК'Ш СССР, I93J.
8.	Риз 11.' М. Деформации естественно закпучешшх етержнеЛ. ДЛИ
СССР, т. XXJII, Л? 1; 5, 1939.
9.	Рухадэе Л. К- О деформации естественно закрученных стержне!.
Прикладная математика и чеханнкз. Т. XI. Вып. 5. 1447.
10. Т у м а р К и н С. Л. Равновесие и колебания закрученных стержней.
"АГИ. Вып. 3-11, 1937.
ручейных
строение,
1льньи ко.
тонкостенных с
№ 5. 1-J60.
тер:
[X
ей
. Из»
мпрес
Труды U--
11.	Шорр D- Ф- К гоории закрученных неравномерно нагретых ск^яс
ней. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. .4? К 1960.
12.	Шорр R. Ф. К теории	" "
АН СССР, ОТН. Механика и iuai
J3. Шорр В. Ф. Иагнбно-к,.,			 -_..г,
сорных лопаток. Сб. «Прочность и динамика авиационных двигателей».
М 1- М-, «Машиностроение». 196-1
14. С I е Ь s с h A. Ttieoric dei Elaslizifat fester Kurper, Leipzig. 18BJ.
]o, }( i г с n h о г [ tj. Udgt q35 tiieichE'e-'wicii't und Л!ц HcwcQun^ t?11\ti5
uber math. Physik. Mechanik. Leipzig, 188».
Shells. Quari. Appl. M'atli'.' 17, Л* 4, l'J60.
17. Zlckel J. Pretwi.stcd Bcanis and Columns Journ. of Appl. Mech,,
v. 23. № 3, 1У56.

Глава 14
СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
Составными называют стержни, которые образованы соединением
двух или нескольких монолитных стержней (голос). В металлических
конструкциях полосы соединяют заклепочными или сварными швами,
стенкой, стойками, решеткой. Рассчитать составной стержень значит
найти напряжения в каждом поясе и соединяющем элементе, иногдч
необходимо также знать деформации,
БАЛКА СО СТЕНКОЙ, РАБОТАЮЩЕЙ НА СДВИГ,
И ПОЯСАМИ, ВОСПРИНИМАЮЩИМИ
ТОЛЬКО ОСЕВЫЕ УСИЛИЯ
Пояса и стойки соединены шарнирами, панели зашиты листом,
работающим па сдвиг (рис. 1, а). Предполагается, что при заданном
нагрузке стенка не теряет устойчивость. Изгибающий момент Мх
в сечении балки (рис. 1, б) воспринимается поясами, а поперечная с»:\л
Qx — стенкой. Усилия Nx в поясах и погонные касательные усилия чк
определяют из условия равновесия отсеченной части балки
здесь Н — расчетная высота балки. Усилие на одну заклепку, соеди-
соединяющую пояс со стенкой, при шаге заклепок о будет

Многослойные Составные стержни
МНОГОСЛОЙНЫЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
Предположим, что слон постоянного сечения, работали н пределах
пропо]|циональмости, напряжения и деформации в них определяют
по формулам сопротивления материален, связи (шны) упр\гне и соеди-
соединяют слои непрерывно по всей длине. Различают спя.чи сдвига, которые
препятсюуют взаимному сдиигу одного слоя относительного другого,
н связи поперечные, удерживающие слои от взаимного смешения пер
пендикулярио оеи стержня. Рассмотрим балку, у которой п швов и
п + 1 слоев, связи сдвига упругие, поперечные связи недеформирус-
мыс [9]- Погонные касательные усилия q (ц кГ/см) в шве и взаимным
сдвиг Дс (н см) двух соседних слоев
пропорциональны, т. е	i—|	ш_—
q = У.АС,	B)
здесь у- — жесткость (отпорность)
связей едкига. Определение усилий
В швах и поясах является стати-
статически неопределимой задачей. В ка-
качестве основной системы берут па-
пакет из слоеи, между которыми
связи сдвига удалены и заменены	нс
касательными усилиями q. На
рис. 2 показаны / и i-j- I слои с касательными усилиями, действую-
действующими на них со стороны /— 1,/и (—1 швов. За лишние неизвест-
неизвестные удобно принять равнодействующую Т\ (х) касательных усилий
01 (*)¦ действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Для 1-го шва равнодействующая 7\ (х) и усилия ^ (х) связаны соот-
соотношениями
Tl (>') - Т{ @) + Г q (I) & или Т] (х) = qt {x).	13)
В основной системе общий изгибающий момент М° (х) в сечении
балки от внешней нагрузки распределяется между слоями пропорцио-
пропорционально их нзгпбным жесткостям; так, изгибающий момент в (-м слое
здесь V EJ —сумма жесткостей всех отдельных слоев, входящих в со-
составной стержень. Найдя величину сдвига в сечении х по t-му шву через
внешние силы и лишние неизвестные и пользуясь зависимостью B),
Получим дифференциальное уравнение
] (х) - к,- ^ П {х) Ь1к - Д1рх(.

Составные стержни
в/. -
E/.,fi.i V,?j
?77 + ?,.,f,-.,' + "V^;
в	l_ lijh,.,
1 , *i*i,i
»,-*=-
F)
Уравнений вида E) будет столько, сколько швов в составном стержне.
Эта система линейных дифференциальных уравнений второго порядка
хорошо исследована, Общее решение для неизвестной функции Т, (х)
записывают в виде
Ti {х) = 2 Pikft, <*)¦
где fiik (i, k = 1, 2, 3, . ., n) — постоянные множители; Tk (*} (ft ~
= 1, 2, 3, - ., n) —функции вида
fk(x)= Aksh >.k к-\- Bk ch Kkx,
здесь ?.ft — корни следующего уравнения:
Постоянные v4ft и Вд определяют из граничных условий на концах
k-m щна: если на конце шва нет препятствий взаимному сдвигу, то
Т = 0; если на конце шва имеется жесткое препятствие сдвигу, то здесь
должна выполняться зависимость B) при заданных к и &с.
После того как определены неизвестные 7\ (/-- 1. 2. 3, ¦ , п),
находят усилия в каждом слое составного стержня
.V,. (х) — Tt (х) — Г,_, (х) + К°;
(8)

Многослойные составные стержни
В частности, для двухслойной балки с упругими связями сдвига
получим дифференциальное уравнение
Г'-квГ-хД,	(Э)
корень уравнения G) будет А." = кб. Решение
Г (л:) - A sh U + 0 ch Ь: |- -у- J А (?) sh X (* -
</ (х) — Г' (*) — Л„4 ch Кх 4- ЯВ sh Ял- +
(Ю)
Окончательные формулы для днухслоЙной балки, Fraгруженной
равномерно распределен!ЮЙ нагрузкой или сосредоточенной силой,
привелоны в табл. 1, на концах балки сдвиг слоев свободный или
исключен.
Прогибы у двухслойной балки в случае отсутствия внешних осевых
сил определяют интегрированием дифференциального уравнения
Практически пажен случай, когда стержень, составленный из трех
слоев, имеет I-образпое сечение, симметричное относительно горизон-
горизонтальной и вертикальной осей В этом случае от неизвестных суммар-
суммарных усилий 7"j и Г3, приводящих к совместной системе днух уравне-
уравнений E), удобнее перейти к неизвестным 2Та = Т1 4- Т.г и 27\ =
= T1—Ti. Неизвестная Та — антисимметричная часть совокупности
усилий 7*! и Т2, а Тс —симметричная. Тогда получим два нечаоисимых
уравнения
A2)

470
Составные стержни

и«ухслойная балка
A3)
Индексами k отмечены величины, относящиеся к крайним слоям,
индексом п — к промежуточному (среднему) слою. Прогибы от попе^
речной нагрузки о балке, симметрично составленной из трех слоев,
Определяют интегрированием уравнения
K6"^6d	A4)
где Л-l'J, и fcMJy, — изгибающий момент и жесткость для монолитной
балки.
Напряженное состояние составной балки представляется в виде
частного решения, соответствующего монолитному сечению, и общего
решения, зависящего от длины стержня. Деформация связей сдвига
Существенно влияет на распределение нормальных и касательных на-
напряжений в составных стержнях лишь r сечениях, близко расположен-
расположенных к характерным точкам (концы стержня, места приложения сосре-
сосредоточенных сил н др.). При Хх 5* 4 влияние «местной» фактора пропа-
пропадает и напряжения можно определять как для монолитного стержня.
Величины напряжений в составной балке лежат между их значениями
для балки монолитного сечения и для балки-пакета, лишенной связей
сдвига. Они определяются формулой
а= (т„ф f о., {I —ty).	A5)
где ам и o\i — напряжения в монолитной балке и балке, лишенной сня-
эей сдвига; ip — коэффициент, занисящий от размеров балки и вида
нагрузки; приближенно для всех сечений балки можно взять
здесь L — пролег балки
ДВУХСЛОЙНАЯ БАЛКА С УПРУГИМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И БЕЗ СВЯЗЕЙ СДВИГА
Некоторые тонкостенные конструкции, содержащие мощный про-
лольпый элемент (хребтовую балку), собственной изгибнон жесткостью
которого пренебречь нельзя, можно свести к расчетной схеме двух

Составные- стерт ни
у
Все
балок, соединенных упругими поперечными связями (рис. 3, а). Обо-
Обозначим (рис. 3, б) v — прогиб; ф — угол поворота (положительный по
часовой стрелке); М — изгибающий момент в сечении; Q — поперечная
сила; EJ — изгибная жесткость; ц — интенсивность внешней погонной
нагрузки на участке от х -= с до х — d; р — погонная интенсивность
«отпора» связей; Р — внешняя сосредоточенная сила, приложенная
в сечении х = а; М — сосредоточенный изгибающий момент (положи-
(положительный по часовой стрелке),
действующий в сечении х — Ь.
.еличинам, относяидим-
балке /—/ или //—//,
приписывается индекс соответ-
соответственно 1 или 2.
Интенсивность отпора и раз-
разность прогибав поясон связаны
зависимостью
Р-- -*(:>:- v2). A7)
Написав дифференциальное
уравнение упругой линии для
каждого пояса, получим сов-
совместную систему
^7^ДГ	Г'
И
~i ———
1 ,
f
Щ^
A8)
A9)
ввести безразмерную абсциссу | ^ -
= у 	X	' и ||0СТ1:)ЯН1!Ь1е интегрирования выразить через на-
начальные параметры (рис. 3, 6), то полное решение системы A8)
примет вид
B0)
- (-^ I + ^) '-Фю + F - ВЦ /.Фг„ -

Двухслойная балка
«& 2 (*«• "*
.20)
Я (") <<"
B1)
и) du -r

Составные стержни
Таблицы входящих в эти выражения гиперболо-тригонометричес-
ких функций
li I cos |: Ct ¦-= -у sh J sin 1;
De. = --- (ch ? sin ? — sh с cos ^|
приведены в работе [11].
Из выражений B0) и B1), пользуясь зависимостями
EJ
(.22)
B3)
¦^=c6. («,
легко получить общие формулы для углов поворота, изгибающих
моментов и поперечных сил в любом сечении обоих поясов. Подробнее
см. работу [2].
УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ
И КОНСТРУКЦИОННОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ
Соединение слоев составного стержня связями (заклепками, болтами)
обычно осуществляют с предварительным натягом, в результате чего
слон оказываются прижаты один к другому, Взаимному сдвигу слоев
при этом будут препятствовать не только соединяющие элементы, но
и силы трения между слоями. Учет сил трения при расчете составных
стержней сводится к экспериментальному и теоретическому определению
той части сдвигающего усилия по шву. которая воспринимается силами
трепня [9, 12]. Замечательной особенностью жестких соединений в со-
составных стержнях является их способность рассеивать энергию при
циклическом нагружении. ^го явление называют конструкционным
демпфированием |3 ]. Сущность конструкционного демпфирования
заключается в том. что деформация жестко соединенных элементов может
вызвать проскальзывание по контактным поверхностям, в результате
чего силы трения совершат необратимую работу, которая исключается
из общего баланса энергии деформации. В зависимости от характера
касательных сил, действующих по контактным поверхностям, разли-
различают швы чисто фрикционные и упруго-фрикционные. В чисто фрикцион-
фрикционных швах касательные усилия, взаимодействуя между слоями, реали-
реализуются только в виде сил трения; в упруго-фрикционных швах взаим-
взаимному проскальзыванию слоев препятствуют как силы трения, так и упру-
упругие снязи сдвига. Рассматривая конструкционное демпфирование в со-
стаиных балках, примем следующие обозначения:

трения и конструкционное демпфирование
<хР, аМ — текущее значение внешней статически изменяющейся
нагрузки;
Р, М — амнлитуднею значение соогиетекк-шю внешней силы
или момента;
а — безразмерный коэффициент нагрузки, изменяющийся
в пределах f<a< 1;
г — характеристика цикла;
v —- прогиб под силой о.Р\
Ч; — угол поворота в сечении, где приложен момеш аЛ7;
bha
- — размеры I! момент инерции одного слоя;
р - удельное давление на контактной поверхности;
q — погонные касательные усилия по шву;
/ — коэффициент сухого трения;
G0 = /р — предельное значение касательного усилия, соответ-
соответствующее моменту проскальзывания;
Т — площадь петли гистерезиса.
Предполагается, что силы трения на контактных поверхностях
постоянные и отвечают закону сухого трения, а напряжения и деформа-
деформации во всех элементах состаиного стержня связаны законом Гука.
Схемы простейших составных балок, зависимости между действующей
нагрузкой и перемещением на различных этапах погружения, а также
петли конструкционного гистерезиса приведены в табл. 2. Схема /
предстаоляет собой простейшую модель рессоры, составленной из двух
листов, которые заделаны в корневом сечении и имеют точечный контакт
на другом конце [[, 10]. На первом этапе нагружепня, когда vine ыт
проскальзывания по контакту, балка рассчитывается как П-обрачния
статически неопределимая рама. Па втором этапе погружения, после
того кик произошло проскальзывании по контактной плоскости, моно-
монолитность системы нарушается и она будет деформироваться как две
балки, При разгрузке наблюдаются два аналогичных этапа, только
силы трения, изменяясь, перейдут через пуль и в конце третьего этапа
достигнут предельной величины с обратным знаком.
R схемах 2 н 3 проскальзывание между балкой и накладками,
как на лапе нагружения, гак и на этапе разгрузки начинается на сво-
свободном конце накладки одновременно с приложением нагрузки и рас-
распространяется к заделке по мерс изменения нагрузки.
В схемах 4 н 5 на первом этапе, когда касательные усилия по швам
меньше предельного значения, составная балка работает как балка
монолитного сечения. Второй этап (Q "- ?ц) соответствует совместному
изгибу пакета балок, состоящего из отдельных слоев, Процесс ра.ч
грузки состоит из двух этапов, аналогичных процессу нагружепня.
В работах [3, 61 исследовано конструкционное демпфирование в балках,
состоящих из многих слоев. Отличительной особенностью конструкци-
конструкционного демпфирования является возможность в определенных пределах
управлять потерями на трение. На рис. 4 приведены дна характерных
графики, полученных практически и экспериментально в работе [13]
и относящихся к схеме 4 табл. 2. Кривая / показывает изменение
коэффициента поглощения i|; о зависимости от величины р поперечного
прижатия слоев. Кривая 2 предстаилжм чависимость коэффициента
поглощения от амплитуды наибольшего напряжении am.,x в заделки,
отнесенного к пределу нынисливости ом. Коэффициент, поглощения

476
Составные стерщни
2. Конструкционное демпфирование ¦ составных балках
Процесс
|агруження
I
У) /з
aPl>
V' ~ -1AEJ '
[аР -{- 2Р*) fhl*
	yrrr
-^- [Pa (P -f-4P'| — rPb {rP + IP*) —
aj\ — k) Ml
H.lt
^ <Ц1 -ft) Ml
A + a2 — 2r —2ar) [k

Учет сил трения и конструкционно!' ^мпфирпп>гни>'	177
Схема балки
петля гисгсрсзи<
j
MJ, tliJ,
_ npi* i/ht*
i/if n
lap
A -
-4-
(l -
ГИ
— 1
IPJ
A
r)
_
fa
|J P**i +
— r) Pkqh
Pk+ :17ft]1
/¦)* Ра*г +
- г) />Aqfc
P - площадь сечения
Поперечный изгиб двухслойной консоли
,, = -^-««. -за.,; '
1
*
t I
1 1 »
"I г
1 ЖГ
-- f<ia — 8
щая распределенной иагруз

478
Состптыс стержни
определяется как отношение рассеянной энергии к наибольшей энергии
деформации одного слоя.
В балках с упруго-фрнкцноиными связями взаимному проскальзы-
проскальзыванию слоев препятствуют не только силы трения, но и связи сдвига,
которые предполагаются ранномерно распределенными по контактной
поверхности. Например, для двухслий-
~~~| нон балки, нагруженной на конце си-
силон аР (схема 4 табл. 2). будем иметь;
на первом этапе нагружепня, когда со-
составная балка деформируется как бал-
ка монолитного сечения,
V, =-
на втором этапе нагружекия, после
того как неличина касательных уси-
у лий по шоу превзойдет предельное.
J-'- значение, вступают в действие связи
сдвига. Тогда на контактной поверхно-
р"с'	сти интенсивность погонных касатель-
касательных усилий будет q-~- qn-\- 2си, где и —
взаимный сдвиг слоев в текущем сечении, который определяют из урав-
0,8 О
и" - tiu = - -
Прогиб на конце
[/я = -
В этих зависимостях с — коэффициент жесткости связей сдвига
сгй — коэффициент нагрузки, при которой q — qu.
В процессе разгрузки будут два аналогичные этапа.
Петля гистерезиса имеет такой же вид, как для чисто фрикционного
соединения (схема 4). Площадь петли гистерезиса
В работе [3] рассмотрен ряд схем с упруго-фрикционными связями.
Влияние конструкционного демпфирования на процесс колебания
систем, обладающих этим свойством, см. т. II.

Л и те pa my pa	47')
ЛИТЕРАТУРА
1.	БидерманВ. Л. РлСчет .тсгппыч рессор. И м[ «Рясчсты пи проч-
нпсть в машиностроении*. Т. I, M.. Mamnn, 19&7.
2.	К алии Н и Н. Г. К вопросу о гопместном шгнйе балок, сл.дшич!-
ных упругнчи спяяямн. Мяучиотехническии сборник Рижского выспст nii-
жеЯврно-аии:щчп11ИAГо училищл. пып. 3, Ригл, 1051.
.4. Калинин Н. Г. и др. Конструкционное демпфировано п нстю-
дрнжных соединениях. Иэд во ЛИ Латвийской ССР, I&B».
4- Калинин Н. Г. к ЛсЛсдсо Ю. А. Консгрукционное л-чП< I-
роианне в топкостешюй Лалке. И^д-ио .Ml Jliii'iuiScкой Г.СР. I*)l>**. \2.
Ъ. Ku.iKiisru If. Г. Две задачи о конструкционном димн.Ьнпонлшм!
в двухслойной fiiiJiKc. Вопросы динамики и причноогн. Пып. VH. Ригп. Издчю
АН ЛитиИскнй СХР, 1961.
6. Калинин Н. Г. Конструкционное демпфирование в нногпслоИиш!
fi.'i.iKe переменного сочения Вопросы дшммикп п прочности. Вып. VIM Рига
ичд-во АН Латвийской ССГ. Ю02.
7- К у ш е л е а Н- Ю. О расчете составной дощ.тго-гпоздево:] fl.j.!i:!t
Я. Ряби н о в и ч Д. И. Составные бплки из" брусьев.' «lipoeni ;i Спш-
Л-1РТ%'ЙР ж Н\7к И ы н А. Р. Теория сосга„ных ггсржнсЛ строигс.ьн ,ч ко,.-
сгрукций. М., Госсгройиэ-дат, 1918.
10. Страхов Г. И. Характеристика демпфирования в двухелопнч.Ч
rsfcopc Изв. АН Латвийской ССР. 1053. 10.
Ч. I. М., ОНТИ. 1«3э.
1Й. Ш а II и р и Г. А. РнбоТи чл к цепочных соединений craibHhix копе ri-.vii-
ций. Стройвоенморкздат. 1949.
13. Cioodman L. Е. а. К I u га р J, H. Analysis oF slip Dumping J.

Глава 15
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Стержневую систему называют статически неопределимой, если
усилия во всех ее стержнях ле могут быть определены только из урав-
уравнений статики. Статическая неопределимость обуславливается наличием
в системе избыточных (лишних) связей, помимо тиго минимума, который
необходим для образования геометрически неизменяемого скелета этой
системы. Число избыточных связей называют степенью или порядком
статической неопределимости.
О этически неопределимые системы отличаются от статически
определимых тем, что ? них смещение опор, изменение температуры,
неточность изготовления стержней приводят, как правило, к изменению
напряженного состояния. Усилия в стержнях статически неопределимых
систем зависят от геометрических размеров поперечных сечений стерж-
стержней и от модулей упругости материала, поэтому расчет статически не-
неопределимых систем носит проверочный характер — вначале назна-
назначают размеры (или соотношения между размерами) и материал стерж-
стержней, а потом производят расчет. R случае изменении размеров расчы
повторяют.
В зависимости от конструктивных особенностей системы ее расечн-
чынают обычно или методом сил, или методом перемещении, или сме-
смешанным методом. Существуют также различные модификации этих ме-
методов.
МЕТОД СИЛ
Канонические уравнения метода сил
Метод сил является универсальным методом расчета статически
неопределимых систем. Простая идея, лежащая в основе метода, ясный
геометрический смысл нсех величии, входящих в уравнения, каноиизи
рованная последовательность вычислительных операций делают этот
метод незаменимым для расчета простых статически неопределимых
систем. Основная трудность его применения к конструкциям, имеющим
высокую степень статической неопределимости, связана с решением
совместной системы многих линейных уравнений. Однако использова-
использование цифровых вычислительных машин в значительной мере снимает
и эту трудность.

Метод сия
-181
Установив степень (магической неопределимости данной системы,
вбрасывают избыточные связи так. чтобы оставшаяся система была ста-
тячески определимой if геометрически неизменяемой. Эту спетому
называют основной.
За основные неизвестные, через которые ныражают «се пеличины,
характеризующие напряженное и деформированное состояние данной
етатически неопределимой системы, принимают усилил Х1( Х%	Хп
в избыточных связях (,;шшпис неизвестные).
Для основной сиси мы, нагруженной заданной нагрузкой 1) лишними
неизвестными, исходя нз принципа независимости действия сил, за-
записывают условия равенства нулю суммарных перемещений по направ-
направлению каждой из отброшенных снязей. При злом получаем следующую
систему канонических уравнений мет ее а сил:
i-o,,,Xft
Р - 0;
6mA',
Хя 4- Апр - 0.
A)
Уравнений всегда будет столько, сколько лишних непз» cth-ix
В уравнениях обозначено:
8ц( — побочные коэффициенты уравнений, которые определяют
по формуле Мора как единичные упругие перемещения от силы А/= |,
по направлению силы Х/; — I (или наоборот);
bit - о*. -
rfs
NtNk ^
I f xQiQjds
1.1 OF '
интегрирование недут по длине одного стержня, суммирование
распространяется на веч» стержни сооружения;
&ц — главные коэффициенты уравнений, определяемые но формуле
Мора
6,1 ¦---
v.Q\ ds
C)
Aip — свободные ч тепы ураннений, определяют по формуле Мора
как перемещения в основной систем:; по направлению лишнего неизвест-
неизвестного 01 внешней нагрузки:
NpNt ds
If
ZA J ~Gf
D)

482
Статически неопределимые стержневые системы
Если внешним нозденсгпием явлжчси изменение температуры.
Д,г_ ^ Г MtMi ds f ^ Г NtNjds ]
tal ds
В этих формулах: Mp, Np, Qp—соответственно изгибающий мо-
момент, осевое и поперечное усилия от заданной нагручки; М,, Л1';, Q, -
изгибающий момент, осеное и поперечное усилия от Х[ = t; a — коэф-
коэффициент линейного расширения; / — изменение температуры: h — рас-
расстояние между крайними волокнами сечения.
Для балок и плоских рам основным видом деформаций является
изгиб, а деформациями, обусловленными усилиями Л' и Q, можно пре-
пренебречь. В этом случае
J*t.) EJ
¦2J
EJ
Формулы B) и F) относятся к плоским системам.
Интегралы Мора для балок и для рам, состоящих из прямых стерж-
стержней, удобно вычислять по правилу Верещагина.
После того как из решения уравнений A) определены лишние неиз-
неизвестные, усилия в элементах данной системы находят по принципу ;;е-
зависимое!и действия сил:
м ^ мр
х2м., ¦
При двух—трех лишних неизвестных решение уравнений (!) не иыбы-
иыбывает затруднений. Нсли же данная система обладает шеокой сте:к'нь;о
статической неопределимости, то получается большое число канониче-
канонических уравнении, решение которых становится операцией, требуюлк1-!
большого труда, значительного времени и опредетекных вычислите 1ь-
ныч навыков. При числе неизвестных порядка 10 обычно пользуio'iof
алгоритмом Гаусса, который представляет собой упорядоченный спос^п
последовательного исключения неизвестных. В Габл. 1 в общем \^;у.

Номер
уравнения
1
I
2
1.6,,
п
3
11!
114','
1. Алгоритм Га
X,
•
•
ft,.
"" ^7~
•й'
•
•
•
•
•
•
•
усеа дла чет
ft1,'1
в..
"ХГв"
•
•
•
•
~7Г
«а1
" w
«,.
-f«
«j?
-f*
•
"~ 77"
6,, 31
aI'I
_^	 .A)
Контроль
.,
-it"-'
	i	Л(ч
л
"эз
>.
sd)
sB)

484	Статически неопределимые стрржневыр системы
Продолжение
Л ,
Л.
•
,C)
Коптрш,..
(¦1)
мриы-деиа сх<-\1й решения но способу Гаусса четырех критических
уравнений:
1- 6,,Л, i- 6|BXj, + б,эА;| | t)]tXt -f Д, -- 0.
2.	ак1Х, -i- б^Х, -f 618ХЯ + 6„Х4 I- 'Ч - 0.
3.	ЛЯ1*1 + о.^Х, 4- ЙЯЗХЯ -f оЯ4Х4 + Л3 - 0.
4.	о+1Х, ¦ Л4аХ,. 4- Л«ХН -г Й«Х< -f Л, = 0.
По схеме нидно, чю исключение проподтся по шагам. Псриый шаг —
уравнение I решается относительно Xj (получается уравнение I).
Второй шаг—из урапнений 2 и I исключают неиз:-естное" Х1ф получен-
полученное уравнение решают относительно Х2 (И). Третий ш,чг — из урав-
уравнении 3, I и il исключают X, и Хи, и полученное уравнение решают от-
относительно Л.ч (III). Четвертый шаг — из уранненин 4. I, II и Ш исклю-
исключают Хр Х,г, Хя, из полученного уравнения находят ,Y4. После этого,
последовательно из уравнений III, II и I определяют Л';1. Хе, X,.
Контроль вычислений ведут суммированием коэффициентов,
Применение современных вычислительных машин к расчету сложных
статически неопределимых систем предполагает матричное представле-
представление всех исходных и искомых параметров задачи. Это обстоятельство,
я частности, послужило причиной широкого интереса, который про-
проявили н последнее время специалисты в области прочности к использо-
использованию мгнричного исчисления и различных задачах строительной ме-
механики.
В матричной форме система канонических урапнений метода сил за-
запишется так:
ЛЛГ--=-Др;	(8)
здесь А — матрица единичных, перемещении (|ыи матрица податли-
податливости), которая является квадратичной и симметричной (fi,> ~ й#;)
матрицей:
«.,
«13
«и
«п.

X — матрица-столбец лишних неизвестных
Ар — матрица-столбец действительных перемещений (свободных чле-
членов):
4so	(И)
Исследование детерминанта матрицы А показало, что сам детерми-
детерминант и все его главные миноры всегда положительны, также положи-
положительны след матрицы, ее квадратичная форма и все характеристиче-
характеристические числа.
Первостепенное значение при расчете статически неопределимых
систем имеет рациональный выбор основной системы. Хорошо выбранная
основная система упрощает канонические уравнения, уменьшает за-
затраты труда и времени, повышает точность расчета.
Рациональной следует считать такую основную систему, для ко-
которой наибольшее число побочных коэффициентов6,-& обращается в нуль.
Это значит, что в рациональной основной системе большое число эпюр
единичных усилий обладают
свойствами ортогональности. |	ь /jwf
Этого можно добиться удачным	¦™7!
выбором лишних неизвестных,	i	с
их группировкой, использова- ™	*
нием симметрии данной системы.
Статически неопределимые балки	^Дя	/тХ» п"'
Для закрепления балки как
плоского тела достаточно трех
связей. Если связей будет боль-
больше, то балка окажется стати-
статически неопределимой. Степень
^Vrjr 17*97? ЛЯ>77 уТ*№77 ТЛ^Т*
р
статической неопределимости балки равна числу лишних опорных
связей. Примеры статических балок показаны па рис. 1 (степень ста-
статической неопределимости обозначена п).
Степень статической неопределимости многопролетной неразрезной
балки равна числу опор без двух (заделка накладывает три связи).

48R
Статически неопределимые стержневые, системы
Постановка шарнира в каком-либо сечении балки снимает или у
СНЯЗЬ.
Если дана мпогопролетнан мура:|ре.чиг!я Смита (па рис. 12. а показаны
дна смежных пролета), то основную систему удобно выбрать, оставив
шарниры несениях над промежуточными опорами (рис. 2, б). При jtom
каждый пролег (лаиотпея балкой на днух коицепых опорах, нагружен-
нагруженной силами,действующими сданном Пронине, и неизвестными моментами
по коннам. Интегралы Мора F). которыми определяется изаиммыг углы
¦ТПйтг.
поворота 1)рцон над опорами от внешней нагрузки и липших неизиест-
яых, распристраняются только из два смежных ноолега, а потому ка-
канонические уравнения метода сил имеют трехчленную структуру.
Если у балки п лишних (промежуточных) опор, то получим
опХ, -т-б1ЕХ2 ! Дц, ¦-: 0;
,12)
Кроме первого и последнего уравнений, во все остальные входят i,o
три неизвестных опорных момента, поэтому каждое из них назьгваюг
уравнением трех моментов. Если в пролете жесткое)ь постоянная, то

по формуле Мора получаются следующие зависимости для коэфиршднен
тов и свободных членов:
Ц)( + 1Ь;+1
здесь со,- — площадь эпюры моментов только от нагрузки и пролете,
a,-, bi — расстояния до центра тяжести площади соотнстпнемно от левой
» правой опор i-ro пролета (рис. 2, в).
Если жесткость EJ постоянная по осей длине балки, то
П этом случае i-e уравнение трех моментов принимает вил
b)':lfe'tl V (|5-;
Заметим, что заделанный конец балки формально можно заменить
дополнительным пролетом, у которого EJ — оо или /„ = 0. Однопро
летные статически неопределимые балки также целесообразно рассчи-
рассчитывать, пользуясь уравнениями трех моментов. Решать систему трех-
трехчленных уравнений удобно путем последовательного исключиния неиз-
неизвестных, идя навстречу снизу вверх и сверху вниз
Плоские статически неопределимые рамы
Степень статической неопределимости плоской рамы может быть
определена из следующих соображений: замкнутый бесшдрнириын кон-
контур яплистся 3 раза статически неопределимым; постановка шарнира
понижает степень статической неопределимости па единицу, а разрез но
целому сечению снимает три связи. Для плоских рам, которые могут
быть многократно статически неопределимыми, особое значение приоб-
приобретает выбор основной системы. Например, для одноэтажной бесшар-
бесшарнирной многопанельной рамы (рис. 3, а) основную систему удобно вы-
выбирать, делая разрез в каждой панели (рис. 3, б). Идея такого выбора
заключается в том, что эпюра изгибающих моментов от каждого лишнего
неизвестного распространяется на стержни только одной панели.
При этом не будут равны нулю побочные коэффициенты, которые полу-
получаются путем перемножении эпюр в двух смежных панелях. Все побоч-
побочные коэффициенты при лишних неизвестных, разделенных хоти бы
одной панелью, равны нулю. Так, для 15 раз статически неопределимой
рамы получим б,-* = 0 при k= 1, 2, 3; /— 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. 15;.

Статически неопределимые стержневые системы
при k = 4, 5. 6. / - 10, II, 12, 13, 14. 15 и при й = 7. 8. 9: i = 13,
14, 15; из 15 канонических уравнений шесть урапненнй будут содержа.ь
ПО шесть лишних неизвестных и девять уравнении по девять лишних
неизвестных.
Пример 1. Замкнутая прямоугольная рама (рис
Статически неопределима. Однако рам;» симметрична
ноиЛщс 3 рала
сительно сред-
ой части рамы и ревны — Р ([inc. 4, ft);
одна неизвестная — изгибающи

* "" ""M>e
Пример U- Многоэта
тельно упрощлстся, ес
мметрчей римы. Пусть рлма
симметрична относ
(рис. 5, о). От ко
метричные лишние
только в стержох
видны групповые
эпюры моментов.
Перемножение
На две группы, одя
Симметричных лип
нтельно ср(
сосимыетр!
.¦дней г>1
1ЧН0Й к
неизвестные Xt,
одного яруса. На
енмметрич]
симметрии
а из котор1
шил неиз»|
ныо ли
МЫХ 9П1
"тнь°"
X,
ри
т
икаль
, X».
С. f>. i
.ннйоси, рн:
будут тол,-
X,. Л„. X,
ie неизвестные и
на косое нмметрнч
BTOpii
зех уравнен
:й'сГ;»т'
.кп косое и
,. В КЭЧСС
ы группой
кДЫ
тве
лншннх
ые кососим-
соотвегствук
|ные даст нууТп
ий относhi
ти уравне
рщие им
. (л|А—о
мметрии
.адастся
UTHOt И-

490
Статически неопределимые стержневые системы
ны\ ярусах \f>а Й.« — Л,, - t>.t = 0). Определи» групповые лишние неиз-
О( ионынаясь па понятии так называемого «упругого центра», можно
так преобразовать лишние неизвестные для бес шарнирного замкнутого
контура что все эпюры моментов от них будут взаимноортогональпы.
При этом система канонических уравнений перестает быть совместной
В теории матриц доказывается, что квадратную симметричную матрицу
всегда можно преобразовать в квазнди а тональную матрицу, однако.
клк прапило, такое преобразование практически себя не оправдывает
Плоскопространствснные статически неопределимые рамы
П.чоскопрострапственнымн назынают рамы, у которых стержни
расположены в одной плоскости, а нагрузка действует из этой плоскости,
П поперечных сечениях такой рамы в общем случае будут возникать
поперечная сила Q и изгибающий момент jW, нормальные к плоскости
рамы, и крутящий момент К. Усилия, лежащие в плоскости рамы,
раппы нулю. Формулы Мора для вычисления коэффициентов и свобод-
свободных членов в канонических уравнениях метола сил принимают вид
¦де к — безразмерный коэффициент, учитывающий неравномерность
касательных напряжений при изгибе и зависящий от формы сечения
:тержня. Кроме ранее введенных обозначений, здесь GJT — жесткость
ia кручение.
Пример 3. P
.не. О, а. Дан
¦реднеЙ горизои
статическую неопредел»
¦ просгранстпенная p;iMa с
)Си. Преобразуем нагр
ы, показанной
а относительнй
симметричную

Метод сил	491
(рис. 6, б) и кососимметричную <|>ж-. О, ¦<). Выберем ^ионную систему, |>,i.i|*-
зав раму по оси симметрии. Из шгстм лниших неизвестных. щ-.Av гпующнч и |.мз-
уснлиц1 Х4-4 Хь " Х„. дейгтиующпе в плоскости';>.imu, равны пулю. Ог.цу.ся
бающих и крутящих моментов ит шпчиней нагрузки и единичные знлчешп!
речной силы, ни фо[1му.|ич AGI найдем дли гимчотртптнон нагруби
Г-a* P'ii I j	Airt
. 	__ ' "	Г ¦ л — ' _, -' у 		ч> .
--°'
1.71 Р; Х„ = —О.??,:и!.
Статически неопределимые фермы
Уллы фермы считают шарнирными, а потому статическая неогкч'/и--
лимость обусла1)ли!«:етс(т наличием нзбыгочных (лишних) CTe[>n:,:t!i-
Степень статической i-еапределимости можеч г">;,цъ пп.^-читйил к? к pci.-t-
irocih между имеюихпмся числом стержней и минимальней чисчим сп'рл;-
пей. кгопходнмьгм для оирдзонания геометрически new лн'кж'мип ^fp'-i.i
дашюн схемы. Обозначим С — число стержней даш.юн фор-.п.: А' —
число узлоз; Л — ciencm. статической ;[еоп;»еяел1'м-.;С1:!.
Для плоских ферм ,.У — С — 2У + 3, ес.пм фе[!\|^ ^рикреп-'п-м:ib:i.
и Л =~ С - - 2У, если ферма свободная.
Предкарнгельиыii i:tMfjnp сечений стержней ci.i: :чо(.ч<н iicDi;HJ/^-
лимой фс[!мы можно сл».'.-1л;ь приближенно рассмаг|!Щ!ал ее как oL.i-чу
на доух опорах (р«с. 7. а), или кии неразрезную балку (рис. 7, б), п.гл
как рпму (рис. 7, в). При этом прсдмолагсЧ'тсп что и.^гнбающий \;омент
в сечении вг)сгтрнш!мио]ся поясами, а поперечная сила — раскосами.
Распределять силу но перекрестным раскосам мо-мю пороину п. и
в заданном 1,-тношении,
Если ферма многократно статически неопределима, ги для ксо.
так же как мри расчете рам. очень важно выбрать рациональнее оспен-
оспенную систему, при которой 1-зж1олымее число побочных коэффициент'-а
$ik (¦' Ф k) d кано::мчески.\ урапнениях обращаются ¦-¦ ну.чь. На p:;;s. 7
Двумя чертами отмечеии стержни, которые ныго^но перерезать, up-шка
усилия к них ja лишни;' неизвестные.

492	Статически неопределимые стержневые системы

Метод сил	493
В ферме на рис. 7, ас перекрытыми раскосами ,ia ли шине неизвест-
неизвестные следует принять усилия в раскосах, сохраняя симметрию основной
системы. При этом каждая липгняя неизвестная будет уравновеши-
уравновешиваться в пределах одной панели, я потому все коэффициенты bik с ин-
индексами неизвестных для несмежных
панелей будут равны нулю. Кроме
того, нспользонанне симметрии и груп-
группировка лишних неизвестных может зна-
значительно упростить расчет. Для фермы,
показанной на рис. 7, б, удобно перерезать
один из поясов в панелях непосредственно
слева или справа от промежуточной
олоры. В ферме арочного типа за лиш-
лишнюю неизвестную выгодно принять усилие
в стержне 3. Основную систему рассчи-
рассчитывают отдельно от внешней нагрузки и
от единичного значения каждого лиш-
лишнего неизвестного. Стержни фермы ра-
работают только на растяжение — сжатие,
а потому формула Мора для коэффициен-
коэффициентом и свободных ч-н!hoe* принимает нил
А/» -
6„ =
N-1
117)
Если внешним ноздействием является изменение температуры го
Вычисления целесообразно вести но форме табл. 3.
||
а
-
>.
<
IV;
о.

Статически неопределимые стержневые системы
МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Общие сведения
При этом мгтде. за основные неизвестные принимают углоные и
линейные перемещения, через которые ныражяют усилия в стержнях
и опорные реакции Метод всесторонне разработан и успешно приме-
применяемся при расчете плоских статически неопределимых рам, которые
имеют много избыточных связей и малую степень упругой подвижности.
Степень ynpyroii линейной подвижности рамы определяется как число
степеней свободы механизма, который получается изданной рамы после
замены жес!кнх узлов шарнирами; степень угловой подвижности равна
числу жестких узлов (опорные: узлы не учитывают, так как для них
перемещения равны нулю или заданы)
Основную систему выбирают такую, в которой после введения допол-
дополнительных связен ликвидируется подвижность узлов рамы Дополни-
Дополнительные связи инодят с таким расчетом, чтобы в основной системе каждый
стержень рамы являлся балкой, у которой оба конца заделаны или один
коней заделан, а другой шарнирно оперт Для этик случаев имеется
набор формул и таблиц, которые устанавливают зякиснмость усилий на
концах балки от перемещений и которые используют как рабочий аппа-
аппарат при определении коэффициентов в уравнениях метода. Деформа-
Деформациями растяжения — сжатия и
сдвига стержней рамы обычно пре-
пренебрегают. Наиболее эффективен
метод расчета (применительно к
раме с неподвижными узлами),
когда нет линейных упругих пере-
перемещений и узлы могут только по-
поворачиваться
Основные зависимости
для одного стержня
На концах стержня (рис. 8),
стоящего в раме между узлами А
"* " " "ъ "	и В, имеем изгибающие моменты М,
Рнс. 8	поперечные силы R, прогибы у,
углы поворота (р. Все ноли чины
на рис. 8 показаны с их положительными знаками, каждой игн них
приписывается индекс соответствующего узла.
Для стержня с защемленными концами концевые усилия и перемеще-
перемещения связаны зависимостями
Л1 , ,- П Bф4 + фв - Э*) - -^- (Зхв -1
2а>
A9)

Метод перемещений
	поворот стержня за счет смещения опор; / =
- — погонная жесткость стержня; w — площаль эпюры моментов
от внешней нагрузки для стержня, шарнирно опертого на концах;
R°A, /?g — концевые поперечные силы (опорные реакции) от ш;сшнсч"(
нагрузки, деионующей на стержень с шарнирными опорами по концам;
х х- — расстояния соответственно от опор А а В до центра тяжести
площади «
Для стержня, у которого конец А заделан, а кипец В ш.чршгрмо
оперт, зависимости между концевыми усилиями и перемещениями
имеют вид
ч: <	^	3A)
R =	-_ (ф — ^
На основе этих зависимостей составлена табл. -J.
Канонические уравнения метода перемещений
в статически неопределимую систему (рис. 9, о) пподяг дополнитель-
дополнительные снязи (рис. 9, б), лишающие ее узлы возможности перемещений.
Записывают условия, предполагая, что в действительности этих связей
нет, а потому суммарная реакция каждой из них равна нулю. Выражая
реакции через перемещения, величины которых Zx, Zv . -, Zn неиз-
неизвестны, придем к следующей системе канонических уравнений метола
перемещений
ги7.х +¦ rv3
л- Ryo - 0;
\----r .
r,nZ\ +
2 -\	 rmZn -г Rn p --¦-
здесь Rip — реакция i-й дополнительном свяж от .. <-м!г;еГ| нзгруак!г;
rik — реакция в /-й связи от единичного перемещения по направлению
связи A-ii; гц — реакция ;-й связи от единичного перемещения по ;:;i-
правлению ^;ой связи.
Расчет рам с вертикальными стойками
В этом случае удобнее пользоваться уравнениями метода переме-
перемещений в развернутом виде, когда в них вписаны формулы для коех
Коэффициентов. Напишем уравнения применительно к трехэтажной

49fj	Статически неопределимые стержневые системы
4. Реакции палок t
а.
^
А
\
У
и воздействия
на иего
Г S
I- -(--Г|
}"*— t	-""j
,r—Vi
I—i^-l
' Ординаты отложи
ft
мА
и.
к».
мо мен
и реакц
к
г
сторон
гов
ИИ '
<|*
ц
»<
Ы}}
у\
\
ы растя?
«Л
мА-
R
у то го
Форму
Р1
? а — ^^ C
3-Р-(Н
= 2 C
^Tr
а
МА	j—
= -«в-
	к
=0,,.»»,
ЛЫ
A — t|J);
C - «>:
- ""):
-»)
3
В 8 «
3w ),
.iEJ
- — '*
* —г"ч';
\l

Метод перемещений
i
g
7
в
и воздействия
на ifcro
Нерпбномсрный
HulptS s
ей
бЫгйСтбия N4-6
моментов
и реакц!!и *
-
Формулы
«,—Re_^..,..
^*
ного сечения; а— коэффи- ¦
циент лннеиного расшнре-
Формулы для такой
балки получают из пре-
предыдущих при помощи
подстановки /, =/
Валка < ущемленными концами
-
10
1—<-—-1
В
Мл-~и:-'М. \
«B = u41-M:'> f
ч О "

498	Статически неопределимые стержневые системы
Продолжение габл 4
i воздействия
на него
Эпюры изгнбающи;
зЖ'
t,-tj 't'>
'11ЮГП7~Т^
дылу.цих при лилшщи гюд-
* Ординаты от.южены со стороны растянутого

Метод перемещений
раме, показанной на рис. 9, а Степень линейной подвижности рамы
равна 3 (числу ярусов), степень узловой подвижности — II (число
узлов кроме шарнирного узла Л). Неизвестные углы поворота допол-
дополнительных защемлений узлов обозначены через Ф;. Условие равновесия
1
1 t
4 1
1 |
. |.
•1 L
\
1 I
«4 -
¦ 4
i
узла i (рапенство нулю суммы релктинных моментом), в когопом схо-
сходятся четыре стержня /1, i?, j'3. /4 {рис. 10, а), дает следующее уравнение
Ф( ^ Bi,'* -r l,oiis) + У iiwi, - 3 У (ей1,* - 1.5 V /,.^.5 --
-4- 0.5 У М? = 0.
здесь индексы к опюсятся к тем стержням, подходящим к узлу /, у ко.
торых другой коней к заделан; Индексы s относятся к стержням, у кото-
которых другой конец шарннрно оперт; ((.<¦ — угол поворота узла i\ ф^ —
угол поворота узла к; if = -j — угол перекоса стержней; У Мр—
сумма моментов в узле / от вненлтей нагрузки.
Положительное направление углов ф,, ц^ и д|; — по часовой стрелке.
При горизонтальных ригелях и четырех стержнях, сходящихся
в узле, уравнение B2) содержит не более семи неизвестных (пять утлон
и два линейных перемещения).
Разрезая все стойки в пределах одного этажа у нижних узлов и
проектируя па горизонталь силы, действующие на отсеченную часть
рамы, получим следующее уравнение:
B3)

Спштически неопределимые стержневые системы
здесь (fe, <|'„ — углы повороти соответственно верхнего и нижнего кон-
концов стойки; фч . , — угол поворота верхнего или нижнего конца стойки,
у которой другой конец шарнирно оперт; QH — поперечная сила в раз-
разрезанном сечении стойки (н узлах я); Q — сумма проекций на горизон-
горизонталь всех сил, лежащих нмше узлов ч.
Суммирование по к относится к стойкам с обоими наделанными кон-
концами, суммирование го s — к стойкам, у которых один коней заделан,
а второй 11!арнирно оперт-
Если концы стойки заделаны (рис. 10, б), то
B4)
Для стойки, у которой верхний конец шарнирно оперт, а нижний
заделан
Qhs — -
B5)
Если у стойки верхний конец заделан, а нижний шарнирно оперт, то

Смешанный метод
50!
Pacnei рам
i эстакады
Из уравнений B2) и B3) как частный случай получается система
уравнений для свободной рамной эстакацы (па рис. II показаны два
смежных пролета).
Уравнение равновесия моментов в у:*.и
'Pi-i^i-i. i ~Ь Я'^и ~1~ (l;i+i, iri, i*i + W(u + r:^-- U'	B7)
Число таких уравнений будет ранно
дислу п стоек. Уравнение суммы про-
проекций сил на горизонталь
B8)
Коэффициенты
главные
уравнений:
,-- (; -
-lt.
rit - I (if I- *,+1 4- i?) . г,.,( = 12 2^ -^7;
(и = rui - - -^- ; C0)
свободные члены
здесь ;, — погонная жесткость ригеля г; (* — погонная жесткость
стойки *'; и — горизонтальное перемещение первого узла, 5j Q\ ~~ по"
перечная сила к нижнем сечении стойки от нагрузки, непосредственно
приложенной к стойке; Q — сумма горизонтальных проекций сил,
приложенных к ригелю; "У. Mf — сумма моментов в узле / от внешней
нагр viKii.
СМЕШАННЫЙ МЕТОД
Смешанным методом пыгодно пользоваться при расчете рам, у ко-
которых н одной части имеется большое число избыточных связей, а в дру-
другой части — высокая степень упругой подвижности. При этом D первой
части за лишние неизвестные следует взять перемещения, а во второй
частя -усилии. Общее положение смешанного метола изложим при-
применительно к раме, показанной на рис. 12. а. Верхняя часть рамы
дважды статически неопределима и имеет четыре степени упругой не-
подпижмости. За лишние неизвестные принимаем усилия Х± и Хъ
в сечении по п'а^ниру. В нижней части рамы имеются шесть избыточных
связей и две степени подвижности. За неизвестные принимаем углы

502	Статически неопределимые стержневые системы
поворота Z3 и Z.t узловой 4. Оаюнная система изображена па рис. 12, (у.
Написав условия, что по направлению каждой на отброшенных связей
суммарное перемещение равно нулю, суммарный реактивный момент
в каждом дополнительном защемлении также pam-н нулю, получим
сиаиму канонических уравнений смешанного \к-:ода
{ -f Ь22Х2
=- 0;
- 0;
C2)
Здесь коэффициенты fi,/,, гц< (без штрихов) и свободные члены Д,-_,-.
Rip имеют то же значение и находятся тем же путем, как и методе пере-
перемещений и методе сил. Смешанные коэффициенты '\д ——г^ имеют
следующий смысл: б(д — упругое перемещение по направлению i-"i
связи (отброшенной) от перемещения Z/c — I; г ki — реакция допол-
дополнительной связи от неизнестной Х{ = I.
На рис 12, в—е прииедеггы эпюры изгибатшш.х ¦	. ш-
ничных лишних неизвестных.
ЛИТЕРАТУРА
строительной механики. М-, Оборниги:), 1951.
2.	БернштеЯн С. А. Осноны расчет
систем. М- — Л., ОНТИ, !93fi.
3.	Г в о з д е » А. Л. Обии.И метод расчета
делимых систем. М., Изд. МИИТ, 1927.
4.	Ж е м о ч к и н Б. Н. Расчет рим, М., Г

Литература
5 HoiniMBPf is С Д , Ii ii A <¦•¦ II м fl
л я л и н и н П. П.. М ,, к у ш е в В. М.. Ф о
¦»""	,т , j .. ,,,	 'Г	I	М	W
10.	Спраномни
стройиздат, 1960.
11.	У ма н с к
1961
к И II. Ti-upifH	с
ч И. М.. Курс	(
ч И. М. Методы	р.
С. А- Р)
i-Ч И.1Д., Ч 1 И II. М .
.й механики, ч. II- М..
Ч. I ii II. М.-Л., Г»с-
рчм. Машгпз, 194 8.
Под руд. Уманского А Л., М., Го(
сп В. И Conpoi
ика самолета. М., Оборон
|3. Ф и л о п с к к о - Б о р о д к '1 М. М. и др. Курс: сопротииленли
йатериалоа- Ч- 1 и II. М., ['пстдхтеорилдат, 1906.
14. Современные методы рисчега сложных статически неопределимых
систем. Сборник статей под ред Л II Фи.жма. Л-, Судпромгиз, 19GI.

Глава 16
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЯХ
Кривые деформации при растяжении и сжатии
Кривые деформации. В дальнейшем предполагаем, что материал
сопротивляется одинаково растяжению и сжатию. Случай различного
сопротивления см. в работе [12]. Кривая деформации при растяжении
показана па рис. 1. а (а — напряжение; е — относительное удлинение;
6)	8)
Рис. 1. Кривые дефор-ча
индексы в этой главе опускаются). Расчет стержней на рас|нжение и
изгиб может быть проведен при произвольной зависимости
«=/(«)¦	(П
Обычно, для упрощения расчетов, кривую деформации схемати-
схематизируют.
Идеальная упруго-пластическая схема
(рис, 1, б). Изучают напряжения и упруго-пластические деформации.
В пределе наступает идеально-пластическое (предельное) состояние.
Жестко-пластическая схема (рис. 1, в). Основной
задачей является нахождение предельной (разрушающей) нагрузки
Линейное упрочнение (рис. 1, г). Разыскивают напря-
напряжения и деформации системы,

Стержни при упруго-пластических деформациях
Степенной закон (рис. 1. д) вида
o^lJel^V	B)
Где Дх> 0 и ц <-, 1 — постоянные. Этот закон част является удовле-
удовлетворительным приближением и позволяет значительно у и рост шь
расчеты.
Шарнирные стержневые системы (решетки)
Статически определимые системы. Усилия в стержнях не зависят
от деформаций последних. В случае идеальной упруго-пластической
схемы существует предельная нагрузка, которая достигается, когда
напряжение, по крайней мере, в одегом из стержней достигнет по вели-
величине предела текучести аТ.
Статически неопределимые системы рассчитывают, как и упругие,
с помощью условий совместности деформаций элементов. Эти условия
можно составлять непосредственно; удобно их получать с помощью
обобщенной теоремы Кнстильяпо [формула D3) гл. 3] из соотношений
где Xj — .лишние неизвестные; R — дополнительная работа системы,
равная сумме дополнительных работ стержней R = ? Rk- Для каждого
из них Rk - ikPkRk- где //„ Гь - - длина и площадь сечения fe-ro
стержня,
ak
Rk^- J г do; n=-.if(a).	D)
Изгиб балок
Упруго-пластический нзшб. Предполагается, что сечение балки
имеет дие оси симметрии (рис. 2); гипотеза плоских сечений справедлива
и при пластическом изгибе, следовательно,
в — ук,	E)
гдех^ — —pj	кривизна балки; у= v (x) — прогиб балки.
Внося е в зависимость A), умножая на у и интегрируя по площади
сечения, получаем дифференциальное уравнение изгиба
j	F)
где М — изгибающий момент. Напряжения при изгибе распределяются
по закону
а -- ] (к#).	G)

50fi Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Дли упругого участка балки f (е) = Се; из уравнения F) вытекает
урапнолие вернулли
LJ - ~^- - - М	(8)
(чдесъ J — момент инерции), а из зависимости G) — линейный закон
рлспргдолеггия напряжении
М
' — '¦>
(9)
Для упруго-пластического участка балки (рис. 2) при идеальной
упруго-пластической схеме (см. рис. 1, 6) напряжения изгиба
± ат при \у | S* С.
где ? -— расстояние в данном
печении от нейтральной плос-
плоскости балки до зоны текуче-
текучести. Для величины изгибаю-
изгибающего момента имеем формулу
(напомним, что сечение имеет
две оси симметрии)
(Ю)
где Jc — момент инерции упругого ядра сечепня; Sp — удвоенный ста-
статический момент одной из пластических зон относительно нейтраль-
нейтральной оси;
- 4 \ Ь (у) у* dy; Sp = 4 | & {у) ydy.
о	t
Следовательно, ? = ? (| /И |). Для каждой формы поперечного сече
ни я имеется своя зависимость ?(|М|).
Пример 1. Для прямоугольною сечения (высота 2ft, ширина ЧЬ)

Стержни при упруго-пластических деформациях
Предельный нагибающий момент. Пластический шарнир. С возра-
возрастанием изгибающего момента рлзмер L упругого ядра уменьшается;
в пределр ц = 0 для предельного момента
где S — нсляпина удвоенного статического момента нерхнен по-'
поперечного сечения относительно нейтральной пси; величину
зынают пластическим моментом сопротивления- Отношение S к
гому моменту сопротивления W характеризует
резерв сопротивления деформации при переходе
за предел упругости. Это отношение достигает наи-
наименьшего значения, ранного! для идеального про-
профиля на изгиб; для доутаврового профиля оно не-
несколько мре.нышает ], для прямоугольника равно
1,5, для круга — 1,70. Эпюра напряжении пока-
показана на рис. 3; нейтральная плоскость является
плоскостью разрыва напряжений (от -j-a7 к — ст).
При достижении предельного изгибающего мо-
момента в сечении образуется пластический шарнир,
балка «надламывается», повышается и «пластичес-
«пластический механизм*, ее несущая способность исчерпы-
исчерпывается. Предельный момент определяется формой
поперечного сечения балки (т<|бл. 1).
Предельные нагрузки для некоторых случаев изгиба простых
приведены Fi табл 2.
npoi
инедепы F! ТйОЛ -.
Степенной закон деформирования [2]. Диффсрс-пци.ии
эгиба имел вил
yp.i
В^т'гл\[1~1 х - -М	A3)
п
где Jm = 4 1 f/1""^ (.v) (bj -¦ обобщенны" момент ::нерпип (см. табл.1)
G
Заметим, что в ыоп таилнце
где Г( ) —га.м.мч-функция. Гр;|[)ик q (|() показан на пне. 4.
Распределение иэг.^'.ных напряжений
A4)
Для отрицательных у напряжение меняет знак ("ржанки	напря-
("ржанки	напряжения а ;.-1я различных покач.лелей m = — [юкаланы на	рис. 5.
Максимальное Hamn/i^'i'iee ь н пряжение
-	, ^ «•¦« 4^.	с»)

5 Ой Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
моменты инерции
Ч-я* i "I

Стержни при упруги-пластических деформациях	509
t. Ирсд.льныс и;иру:|ки дли пи.
Q, - ^
П р и м е ч .1 и и С .11, см в i
где Wat — обобщенный момент сопротивления: Л] — расеючние наи-
наиболее удаленной ючки сечения от нейтральной плоскости.
fl?l I I	....
' fl 0,2 Qtt G,6 0.8 M
с 4. I рафик функции q Гц)
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Рис. 4. I'рафик функции q<V.)	Рис. о. Распрсделсн
мости от гткяма
A6)
где D —- —;—- J'n — обобщенная жесткость.
Ур^шгенпс A0) имеет решение
-¦ - - | j -~ | /М j"'-1 M dx dx 4- (\х чг Са,
здесь С^, С2 — произвольные постоянные.

Ь10 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Для э
Ре
под ;' пон
Заметим
поэтому
нагрузо
Влия
расчеты
ффективного решения удобен графо-аналитическин мет ид [2].
для простых балок приведены в табл. 4, необходимо лишь
имать прогиб в ючко А, под скоростью nxmopoia о» — поворот,
что кривизна не пропорциональна изгибающему моменту,
нельзя использовать принцип сложения действий отдельных
.
ие осевой силы. Допсгоие осевой силы заметно усложняет
а изгиб (см, работы [12, 13]). Нейтральная плоскость, как и
при упругом изгибе, смещается.
R идеально-пластической балке
продольные значения изгибающего
момента М и осокой силы Р связаны
некоторой зависимостью, характер-
характерной для данного поперечного се-
сечения. Так, для прямоугольного
поперечного сечения
?-•-(?)'¦ ""
деЯстзт
где Mt — предельны]': изгибающий
момент при отсутетпии осешй на-
нагрузки (см. табл. 1); Р# — предель-
предельное осевое усилие при отсутствии
изгибающего момента (Р„ = Far,
здесь F — площадь поперечного
сечения). Кривые предельного со-
состояния для некоторых профилей
показаны на рис. 6.
ш.(чо момента и otono-i i.i.ili	Изгиб балок из материала с
разным сопротивлением растяжению
и сжатию. Расчет таких балок несколько сложнее, чем в симметричном
случае, по также может бьмь проведен для различных сечений [12].
Расчет рай и сложных балок. Разыскание предельных нагрузок
для рамных конструкций требует рассмотрения возможных механизмов
пластического разрушения. Эффективны энергетические методы нахо-
нахождения предельной нагрузки |о|-
Применение обобщенной теоремы Кастильяно (см. г.ч. 3). Дополни-
Дополнительная работа единицы длины балки
М
где для данного поперечного сечения у, = х (М), например уравне-
уравнения A1) пли A6).
Дополнительная работа всей балки
R = \ R dx,
где I — длщ

Стержни при упруго-пластических деформациях
Так. в случае степенного закона
Прогиб Д под силой Р (или угол попорота сечеипя <( в теп
жения момента Л!о)
B0)
при.ю-
С2П
Изшб кривых стержней
Изгиб крияых стержней малой кривизны. В этом v,iy;:.v
кривизны стержня велик по сраннению с размерам;! noi:cpe'-:i
ченмя и рассмотренные гшше уряниения изгиба применимы. Д.:
деления пластич^екп.ч р.п) ормяции кршюго стержня удойно hi
щднус
If) СС-
спре-
из обобщенной iwvH'Mbi Кастильяно; при этом пил ,7.\ <:;хл
дифференциал дуги, а под / — длину осп кривого стержн
= Л10, при степенном законе деформации R = (
Прич^р 3. Ил li'i с
И прогиб Под С 11.10?!
Л'1/ti) = 1 со^'^Ч d'f.

512 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Изгиб стержней большой кривимы. 11редп1>лагжтсн, что ось
стержня — плоская крипая, а поперечные сечения имеют ось симметрии,
лежащую в той же плоскости. Решение основано на гипотезах плоских
сечений и отсутствия давлений между продольными волокнами. Пусть
р — радиус нейтральной линии пп, смещенной относительно центра
тяжести сечения (рис. 8); У. -¦ изменение крннизны при деформации.
Относительное удлинение волокна, отстоящего на расстоянии у от
нейтральной плоскости,
? - —^—	B2)
11о закону деформации A) находят на-
" 1ЭЛЫ1ОН ЛИНИИ
' \ i	Но закону деформации A)
П /м пРяже||ИС- Радиус нейтрал
41—' определяют ил условия
1 \ aft (у) dy = 0.
B3)
где 2 1> (у) — ширина
уравнения моментов
нии. Изменение кринизны к находят
2 \ayb(y) dy -^ M.	BA)
Предельный изгибающий монмп. В случае иде-
идеальной пластичности в расчянутой зоне а= or, is сжатой а~ —о..
Для сечений, имеющих две ОСИ симметрии, предельный момент М%
приведен в табл. 1. Для сечений с одной осью симметрии нейтральная
линия смещена и радиус определяют из условия B3) при а- ±ог.
Степенной закон деформации B). Напряжение
Радиус нейтральной линии определяют из уравнения
J <p-.v>M
а изменение кривизны — из уравнения
М = В^уУ; У = 2 1 ^	— Ь (У) dy.
J fp — УУ
Распределении напряжений описываемся формулой
(Р - W1
1 '(P-W"
С уменьшением показателя \i распределение напряжении н |)лстяну-
той и сжатой зонах выравнивается, а нейтральная линия приближается
к центру тяжести.

Стержни при упруго-пластических деформациях	Г) 13
Кручение
Основные положения. При кручении призматических стержней
(рис. 9) поперечные сечения испытывают жесткий поворот в сноей пло-
плоскости, но искривляются н направлении оси стержня, т. е. компоненты
перемещения '
и -- — югу; v = tiizx; ш — <р (&>; х, у),	B7)
где со — кручение на единицу длины стержня.
При этом ех = Яу ~- гг —- уХу ~ 0; <т( = а у = сх = тХу = 0.
Остальные компоненты напряжения выражают через функцию напря-
напряжений F (х, у):
На контуре сечения F ~ const, а крутящий мо-
нвн1г для односвязного контура
М = 2 \ J F dx dy.
B9)
Функцию напряжений определяют из дополни-
дополнительного уравнения (условия сплошности и закона
деформации: или из условия текучести) и граничного
услови я.
Условие сплошности вытекает из зависимостей B7)
*ч
Рис. 9. Кру-
C0) чение стержня
Упругое кручение. Используя закон Гука, получаем из равенств B8)
и C0) дифференциальное уравнение упругого кручения
&F ,
JUL
дх*
-- — 2Gd>,
C1)
где G — модуль сдвига. Это уравнение аналогично уравнению для про-
прогиба мембраны под действием равномерного давления, натянутой на
данном контуре (мембранная аналогия Прандтля).
Идеально-пластическое кручение. По условию текучести
причем k = —^=r при условии Мизеса и k = -~- при условии Треска —
Сен-Венана. Функция напряжений удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Это — уравнение поверхности естественного откоса. Вектор каса-
касательного напряжения постоянен по величине [согласно уравнению C3) |

514 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
и направлен перпендикулярно к нормали к контуру сечения. Предель-
Предельный крутящий момент Mt (в случае одпосвязного контура) вычисляют
по формуле B9). Предельные крутящие моменты для некоторых сече-
сечений приведены в табл. 3.
Влияние дополнительного осевого растяжения. Если круглый
стержень одновременно скручивают моментом М и растягивают (или
сжимают) усилием Р, то в предельном состоянии имеется приближенная
зависимость нида
("?J + ("ягJ = 11	C4)
где Р« = V^fma2; М* = -*- knd* — предельные усилие и момент соот-
соответственно для простого растяжения и кручения.
Упруго-пластическое кручение. При кручении стержня из упруго-
пластического материала (см. рис. 1, б) для крутящих моментов, мень-
меньших предельного Mv в сечении стержня, наряду с пластическими зо-
зонами, будут и упругие зоны. В упругих зонах функция напряжений
удовлетворяет уравнению C1), а в пластических — уравнению C3).
Аналитическое решение упруго-пластической задачи связано с большими
трудностями. Имеется удобный экспериментальный метод, предложен-
предложенный Надаи на основе мембранной аналогии [3].
Для круглого стержня имеется элементарное решение. Здесь каса-
касательное напряжение
~ k при
k при
где с — радиус упругого ядра. Скручивающий момент
•-«.(¦-!¦¦?)¦
угол кручения на единицу длины
к
Кручение упрочняющихся стержней. По уравнениям теории упруго-
пластических деформаций A4) гл. 3
Ухг = 8 (Т() Т„; ууг = g(Xi) Туг	C5)
при условии упрочнения E) гл. 'А
Внося выражения C5) в условие C0), получаем дифференциальное
уравнение д-ijt функции напряжений

Стержни при у пру го-пластических деформациях	515
Для сплошного нала а
Овальное сечение (а .? ЛЬ)
Тонкостенная труба с ргпрезом
пкс&-
Тонкостенный t

516 Расчет стержней с учетом пластичности и получсспш
На контуре F = const. Решение уравнения {36) затруднительно.
Для круглого сечения решение элементарно; здесь
т<р2 = Я (Ш/>) ыг< угол кручения находят нз уравнения
М
в 2яш \ g (tor) г8 dr.
о
C7)
Приближенное решение задачи круче-
кручения удобно находить на основе вариаци-
вариационного уравнения кручения, вытекаю-
вытекающего из принципа минимума дополни-
дополнительной работы C5), гл. 3:
Рис, 10. Тонкост
нутый профил]
J
о
J ё (С) ? dl -2
о
dxdy -min. C8)
Кручение упрочняющихся тонкостенных стержней открытого про-
профиля (на основе решения задачи о кручении вытянутого прямоуголь-
прямоугольника) В этой задаче можно принимать, что функция напряжений F
не заносит от х (продольное направление). При этом из уравнения C6)
следусч, что для такого прямоугольника
F = F (б, ш, у) = —2(й I g (—'2а>у) и dy,
C9)
где 6 —толщина стенки.
Для открытого тонкостенного профиля произвольного очертания
2 J j
о б
F (б, со, у) dy ds.
где s отсчитывают вдоль срединной линии профиля, 6=6 (s).
Теорема о циркуляции сдвига (обобщение теоремы Брсдта). Пусть
С — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий внутри сече-
сечения. Тогда
^(Trf-^A»-^.	HI)
dF
где -з	производная функция напряжения по нормали п к С;
п — площадь, заключенная внутри С
Кручение упрочняющихся тонкостенных замкнутых профилей
(рис. 10) рассматриваем с помощью предыдущей теоремы. Пусть С —

Расчет стержней в условиях ползучести
срединная линия тонкостенной трубы; б (s) — толщина трубы; И —
площадь, ограниченная С. Тогда Т( = ти
& g (х) т ds = 2шй,
D2)
прич<
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Стержневые решетки
Статически определимые решетки. Рассмотрим ползучесть стати-
статически определимой системы стержней, соединенных между собой идеаль-
идеальными шарнирами. Стержни работают на растяжение или сжатие;
механические характеристики ползучести материала при растяжении
и сжатии одинаковы. Напряжение в й-м стержне обозначим а&, длину
стержня — Ik, площадь сечения — Fk- Стержни изготовлены из одного
материала и работают при одной температуре.
В статически определимых системах напряжение о> находят из
уравнений статики. Скорость деформации определяют по закону пол-
ползучести (см. гл. 4)
Деформация ползучести
(
4- Jlft dt.	D4)
I)
При постоянной нагрузке
t
4 --= Qt (t) | ок I'" ok; Q,@ = f В, (/) dt.
о
Скорость vj некоторого узла в направлении действия нагрузки
удобно определять по обобщенной теореме Кастильяно (см. гл. 4)
где Л — дополнительное рассеяние решетки
Л = В, (*)
D5)
Если рассматривают большие деформации, то Ik = -j— """тт"'

518 Patnein стержней с учетом пластичности, и ползучести
где fft — длина стержни и момент времени /; напряжение будет, вообще
говоря, функцией ^. Игт-грмросшше D3) определит длину /д в функции
(ipl'Ml'HH.
Статически неопределимые решетки. Напряжения в лишних s стерж-
стержнях обозначим череп xt, xt, . . ., xs. Значения напряжений в начальном
упругом состоянии отличаем одним штрихом (ад,, хЛ, в установив-
установившемся состоянии — днумя штрихами (aft, хЛ.
По уравнениям статики
(k= I, 2, 3.
n-s),
D6)
где rtjf, $jtt — коэффициенты, зависящие от типа решетки и внешних
сил Пеличины х'^ определяют методами сопротивления материалов.
Величины X: находят нз системы нелинейных уравнений ft]
*=1
*; = 0 ('=1.2	s).
D7)
Если напряжение в А-м стержне взято за лишнее неизвестное х
то pft/,= I, ak = xp.
Решение нелинейной системы D7) связано с известными трудностями.
При постоянных нагрузках можно рекомендовать следующий способ
приближенного решения. Последнее ищут в форме
где а^ — напряжения в решетке в предположении, что она является
жестко-пластической.
Из условия минимума дополнительного рассеяния вытекает урав-
уравнение для К (т):
ч к-<>!;)
D8)
Множитель К (т), как правило, — монотонно убывающая функ-
функция т, причем К {т) < 1.
Неустановившуюся ползучесть решетки
удобно рассматривать по приближенному общему решению, изложен-
изложенному в гл, 4; тогда при заданных постоянных нагрузках
*,. = х) + х (Г) (х] - х)); г (<) « 1 — е-'-,
t, =-
2'A fi
-EQtit).
D9)
?m*;-*;j

Расчет стержней « условиях ползучеет
Релаксацию напряжений о решетке определяют по
общему приближенному решению (см. гл. 4), при этом
аЛ = р@"*:
\r\ -f (m—1)/*
ГЛ _ . I • \гп—\
ij % i «A i
E0)
E1)
Отдельные части решетки при заданных фиксированных смещениях
некоторых узлов могут рел а нейрона гь независимо от остальных частей.
Приближенный метод решения следует применять отдельно к каждой
автономной части; при атом суммирование распространяется на все
стержни рассматриваемой автономной части-
Изгиб
Установившаяся ползучесть при изгибе. Пусть поперечное сечение
стержня имеет две оси симметрии (см. рис. 2) и спранедлив степенной
закон ползучести
fc= В] \а\т
-= Вх
¦% (fi^
E2)
Дифференциальное уравнение для скорости прогиба н условиях
установившейся ползучести имеет такой же вид, как дифференциаль-
дифференциальное уравнение пластического изгиба балки при степенном законе (см.
стр. 509)
где v — скорость прогиба; М — изгибающий момент; D = BfVjJj —
обобщенная жесткость балки. Обобщенные моменты инерции для ряда
сечений приведены в табл, 1. Напряжении изгиба распределены по за-
закону (см. рис. 5)
Уравнение E3) легко интегрируется. Вычисления упрощаются раз-
различными приемами, аналогичными соответствующим приемам сопро-
сопротивления материалов, например графо-аналитическим методом [2).
Скорость прогиба v сообщает минимум полной мощности балки
Jh
— q (x) i11 с!х — min,
E5)

520 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
гд'1 q(x) — распределенная нагрузка. При \l = 1 получаем вариацион-
вариационное уравнение изгиба упругой балки (тогда v — прогиб).
Согласно второму вариационному принципу истинное распределение
изгибающего момента сообщает минимум дополнительному рассеянию
балки
E6)
По обобщенной теореме Кастильяно под сосредоточенной силой .
скорость прогиба
дА
Лишние неизвестные X/ определяют из уравнений
ал
= 0 (/= I, 2
в).
E7)
E8)
Можно считать, что в достаточно простой балочной системе лишние
неизвестные слабо зависят от т, поэтому в первом приближении для
лишних неизвестных можно принимать их значения для соответству-
соответствующей упругой балочной системы.
Справочные сведения по ползучести простых балок приведены
в табл. 4.
Л. Скорость
I скорость поворота для
|<>стых бало
Схеш,
Г
Т-	1-—Н
Скорость прогиба и
Л1 т12
аи
Рт;т+2
Рт?т+2
' [ ,)-.„„
Скорость поворота (и
Конца балки
(т + 1) О
H.i оiгоре
(т + 1) 4m+1D
Конца балки

Расчет стержней в условиях поязучести
Схе
t
У
г—
ма
1
A i
-н
17
Скор
¦ить прогиби v
-
с.
ЬЗ
На
(
jpocib повг
На опор
. .B/Н-1)
т — ця.'[
На опоре
п - 1| (ш 4
:0 '
+ 1) О
Касательные напряжения при изгибе в уело -
виях установившейся ползучести определяются формулой
A -i-
E9)
т=1
>7	/л
.пределенне
где Q — перерезывающая сила. Зави-
Зависимость распределения касательных
напряжений от т показана на рис. 11.
Неустановившаяся ползучесть при
изгибе постоянным моментом. В на-
начальный момент времени i = 0 напря-
напряжение о' определяют по формулам со-
сопротивления материалов. В устаНОВНВ-	мости от показатели m
шемся состоянии напряжение изгиба о"
находят по формуле E4). Точное решение задачи о неустановившийся
ползучести при изгибе требует применения методов численного ин-
интегрирования- Приближенное решение ищут в форме (см. гл. 4)
а=о' 4-т@(а"— <О-	<60>
причем
где
' Mh \m-\
Q, @) = - t|m («lT|^ — г,) 3 (r|) dij;

522 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
здесь J — момент инерции; значения ко'лрфициентов у,,. S для неко-
некоторых сечений приведены ниже.
Прямоугольник (высота 2Л, ширина 2Ь):
	1_ (т— \fh
9 m (m -f- 2) h '
Круговое кольцо (внутренний радиус а, внешний Ь,
а \
)
Для сплошного круга а, — 0. Зависимость g (fi) показана на рис. 4.
Релаксация при изгибе. Приближенное решение строят по методу,
изложенному в гл. 4. Напряжения изгиба
где о' — начальное упругое распределение нзгибиых напряженки.
Множитель релаксации р (t) определяют из уравнения E0), а
У = 4 \b{y) yl-
J
2EJ
¦ dx — упругая энергия балкн;
''= J (~)
Л; =
Напомним, что М' — изгибающий момент в начальном упругом
состоянии.
Установившаяся ползучесть стержней малой кривизны. Распреде-
Распределение напряжений в поперечном сечении стержня незначительно
отличается от распределения напряжений в прямом стержне. Зависи-
Зависимости, выведенные для последнего, можно поэтому применять и для
кривого стержня. Скорости прогибов и поворотов удобно определять
с помощью обобщенной теоремы Кастильяно (см. гл. 4). Дополнитель-
Дополнительное рассеяние стержня
(til)
где / — длина стержня; us — дифференциал дуги оси ст

гержней я условиях ползучести
На основании упругой аналогии (см. гл. 4) примеры, приведенные
в гл. 4, легко переносятся па случай уегнновившеш-н ползучести.
Установившаяся ползучесть стержней большой криви.шы по той же
аналогии рассматривают так же, как на стр. 512. Нужно лить
в формулах. B2)—B6) понимать под х — скорость изменения крипизны.
под fii — коэффициент ползучести в формуле A1), под ц. — —	по-
—	показатель ползучести.
Неустановившуюся ползучесть и релаксацию в кривых стержнях
можно рассчитать по общему методу (см. гл. 4). Расчет релаксации
в кольцевом разрезанном образце см. в рлГюте [2].
Графики ./, (т), к (ОТ) см. рис. 12; Ju (m)
Это решение пригодно для т.
филей при ft^const. Тогда b—д:
& 2 2	' ШаХ 4*2
Замкнутый тонкостенный профиль постоянной толщин:
2А; / — длина срединной линчи С; 2 — площадь внутри (

52-1 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Кручение
Основные положения. Кинематическая картина деформации та-
такая же, что и при пластическом кручении (см. стр. 513 и рис. 9), т. е.
формулы B7) сохраняются; нужно лишь пместо и, v, w теперь внести
составляющие скорости vXi vy, vz, а под со понимать скорость кручения
на единицу длины. От нуля отличны скорости деформаций т|Аг, %?
и компоненты напряжения ххг, тцг. Последние выражаются через
функцию напряжений F (х, у) согласно формулам B8). Соотноше-
Соотношение B9) для крутящего момента М сохраняется, а в условие сплошности
вместо ухг, ууг нужно внести соответст-
соответственно У\кг, Г\уг,
Установившаяся ползучесть. На осно-
основании упругой аналогии (см. гл. 4) за-
задача об установиошейся ползучести скру-
скручиваемого стержня аналогична задаче
\
1	.
ЛИ
Графики кпэфф
ft(m) vi k (m)
кручения упрочняющихся (по теории упруго-пластических деформа-
деформаций) стержней (см. стр. 514—517). С очевидными изменениями имеют
место дифференциальное уравнение C6) и нариационное уравнение C8)
для функции напряжений, а также и последующие формулы C9)—D2).
Кручение круглого вала см. стр. 516.
Приводимые ниже результаты относятся к случаю степенного закона.
Углоная скорость кручелия пропорциональна крутящему моменту
в степени m
) = BDM'",
F2)
где постоянная D зависит только от формы поперечного сечения и пока-
показателя тп.
Функция напряжений сообщает минимум функционалу
2(aF dx dy = min,	F3)
vm-
dF

Литература	525
Приближенны» метод решения состоит в разыскании функции
напряжений в виде
F -. F°- K(m)(F -F),
где F0 — функция напряжений при идеально-пластическом кручении
(т->со); {¦' — функция напряжений при упругом кручений (т — 1).
Формулы для определения угловой скорости кручения и максималь-
максимальных касательных напряжений при установившейся ползучести при-
приведены в табл. 5.
Неустановившуюся ползучесть при кручении постоянным момен-
моментом анализируют по общему методу (см. гл. 4 и работу [2]).
Релаксация крутящего момента определяется зависимостью
M{t) - м„р(о,
где р (/) берут по формуле E0); для круглого стержня
8С
Концентрация напряжений у мелкой выточки (кольцевой или про-
продольной) в условиях ползучести [2]
где ft — глубина выточки; R — радиус кривизны дна выточки (рис. 13);
х — касательное напряжение при отсутствии выточки.
ЛИТЕРА ТУРА
1.	Д и к о и и ч И. Л. Динамика упруго-пластических балок, Л., Суд-
промгиз, IS62.
2.	К а ч а к о в Л. М- Теория ползучести М., Физмлггиз, I960.
3.	М а л и я и н Н- И- Расчеты па ползучесть к кн. Пономареве. Д. и др.
«Расчеты на прочность в машиностроении». ]. Ц. м., Машгиз, 1959.
4.	Н а Д а и А. Пластичность и разрушение твердых тел. №.. ИЛ. 195-1.
5.	II ил Б. Г- Рнсчет конструкций с учетом пластических снойств. М.,
Госстройи:1даг. 1961.
6.	П о н о м а р е в С. Д. и др. Расчеты nil прочность н машиностроении,
т. II. М.. Машгнз. 1959.
¦ Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластически
j материалов. М-. Госсчройиздит, 1959.
. Р ж а н и ц ы « Л. Р. Некоторые вопросы механики систем, диформи
•сриалов. М-. Foccipoi
t а и и и, ы н Л. Р. Не,
рующкхен во времени- М., Го<	..
9. С о к <> л о в с к и It В. В- Теория платичностн. М., Гостехиэдлт, 1950.
10.	С т р е л ь 6 я ц к а я А. И. Предельное состояние рам из тонкостен-
тонкостенных стержней при изгибе с кручением. Кикв. «Наукова думка». 1964.
11.	F 1 л n i e a. Heller. Creep of engin. materials, N. Y. London. 1P59.
12.	Phillips A. Introduction to plasticity. New York, 1956.
13.	S 0 b о t k a Z. Theorle plasticity. T. 1 u 2, Praha, 1954,
14.	О b q v i s t a. H u 1 t. Kriechfestigkeit mctallischer werkstoHc Sprin-
Springer—Verlag, 1962.

• НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПЛАСТИНОК
ИЗГИБ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
ПЛАСТИНОК
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пластинкой постоянно:"! толщины называют тело, имеющее форму
примой призмы или прямого цилиндра н малую, по сравнению с разме-
размерами основания, толщину.
Под срединной плоскостью пластинки понимают плоскость, деля-
делящую ее толщину пополам.
" Пластинки, толщина которых не превышает V6 наименьшего размера
основания, относятся к тонким пластинкам.
Расчеты пластинок, толщина которых превышает 1/ъ наименьшего
размера основания, ведут на основе теории толстых плит.
Перемещения, которые получают точки срединной плоскости в на-
направлении, перпендикулярном к ней, называют прогибами. Срединная
плоскость пластинки после деформации пластинки переходит в средин-
срединную поверхность.
Пластинку считают жесткой, если при ее деформации под действием
поперечной нагрузки можно пренебречь напряжениями растяжения
или сжатия в срединной поверхности, пластинки относят к жестким,
если величина стрелы прогиба при изгибе не превышает V6 толщины.
i ибкой называют пластинку, при расчете которой, наряду с чисто
изгибными напряжениями, необходимо учитывать напряжения, равно-
равномерно распределенные ко толщине пластинки, называемые напряже-
напряжениями в срединной поверхности, или мембранными напряжениями.
I Ьтастинку принято считать абсолютно гибкой или мембраной,
если ее прогиб превышает толщину в 5 раз и более; при расчете мембраны
можно пренебречь собственно иэгибными напряжениями по сравнению
с напряжениями в срединной поверхности.
Теория тонких пластинок основана на следующих допущениях.
Любая прямая, нормальная к срединной плоскости до деформации,
остается после деформации прямой, нормальной к срединной поверх-
КОС!И.
Напряжениями, действующими н направлении, перпендикулярном
срединной поверхности, можно пренебречь.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
Основные уравнения. Выберем систему координат так, чтобы пло-
плоскость ху совпала со срединной плоскостью пластинки (рис. 1).

Прямоугольные пластинки
Условимся считать изогнутую поверхность по-тогок. Угол на-
наклона А* касательной к кривой
аналогично для сечения, параллельного плоскости уг,
редннной лонерх-
(та — прогиб)
Кринизна сечения имеет положительное значение, если выпуктость
обращена r сторону положительного направления оси г. Тогда криннэны
в сечениях, параллельных плоскостям хг и уг, будут
Угол 9^ может, вообще говоря, меняться также вдоль линии, парал-
параллельной оси у, т. е. при переменном у. Относя приращение угла <\
к приращению координаты у (или приращение Qy к приращению х).
находим «кривизну» кручения срединной поверхности
ду	дх '
у	d*w	6)
дх ду
В случае жестких пластинок срединную поверхность считают сво-
свободной от деформаций, сопровождающих изгиб- Деформации удли-
удлинения ех, и и ?j/, и Для произвольного слоя пластинки, лежащего на рас-
расстоянии г от срединной поверхности:

528	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
деформация сдвига
Y« = 2ч-
(8)
Нормальные напряжения ох. оу и касательные напряжения т
(рис. 3) определяются законом Гуна; пренебрегая напряжениями ог,
получим
°	(е + VE );	^ (	+	>
(9)
5У,"
Рис. 3 Напряжения в элементе плас-
A0)
Изгибающне моменты, действующие в сечениях, нормальных
к осям х и у, и приходящиеся на единицу длины сечения,
Мх = \ ах, иг dz,
Л1^ = D (хх + vxj); My = D (x, + vxj,
где Z? — цилиндрическая жесткость пластинки,
A2)
Касательные напряжения ти образуют крутящий момент, приходя-
приходящийся на единицу длины сечения
И = D (I ~ v) х-
A5)

Прямоугольные пластинки
Обозначим через QxQy значения поперечных скл, действующих в се-
сечениях хг и yz и приходящихся на единицу длины сечения. Значения Qx
и Qy определяют в виде
f
A6)
Из формул A0), A2) и A5) вытекают следующие зависимости между
напряжениями я моментами;
12Мхг	_ \2MyZ	12Я.
Ох, и = -
A7)
Максимальные по толщине пластинки напряжения будут у поверх-
поверхности:
,, „)„Их =
6Я
A8)
Составим уравнения равновесия элемента пластинки dx, dy, показан-
показанного на рис. 4. На элемент пласгинкн действуют внешняя поперечная
ft»< f'Ajrfy
(°, *%»'*)"
Рис. '1. Условия равновеси
нагрузка 9 и рассмотренные выше внутренние усилия, светлыми стрел-
стрелками нанесены вектор-моменты. Если в сеченйи с координатой х дей-
действует момент Мх dy. то в соседнем сечении, имеющем координату
dx, будет действовать момент (мх-\- —~- dx \ dy. Ан
алогичные
приращения получают остальные компоненты моментов и попереч-
поперечных СИЛ.

530	Изгиб и несимметричное растяжение пластинок
Срединную плоскость мы считаем недеформируемой; поэтому суммы
проекций сил па направления хну тождественно рапны нулю.
Уравнения равновесия элемента в проекциях на ось г и в моментах
относительно осей х и у после простых преобразований приобретают вид
-lir'--!*¦"* (ig)
B1)
Из уравнений A9)—B1) находим
+ 2
Пользуясь выражениями A2), A5), а также D), (б), прнлодим к диф-
дифференциальному уравнению изгиба жестких пластинок
B3)
ZViii = q,	B4)
где у*ц! = y\2w, yB = -?-?- -|- -^	двумерный оператор Лапласа.
Граничные условия. Интегрирование ураннения B3) следует вести
с учетом граничных условий. Рассмотрим некоторые из вариантой таких
условий.
Шарнир и о опертый край. Допустим, что один из краев,
например край х = 0, шарнирно оперт. Тогда прогиб и изгибающий
момент вдоль края
(АЦ^ =-I, (-??-+v 4* )=0.	,26)
Но условие B5) означает, что вдоль края х ~^0 одновременно -^-^ —0.
Следовательно, условие B6) перепишется в виде

Прямоугольные пластинки	531
Край х — 0 защимлен, Прогиб и угол	поворота в точках
края должны равняться нулю:
(w)*-ii = 0;	B8)
f-^-) =0-	B9)
Пластинка скреплена по краю * = 0 с упру-
упругим ребром, имеющим изгибную жесткость EJ. Одно из условий
сопряжения соаоит и равенстве прогибов:
здесь а»р — прогиб ребра. Второе граничное условие запишется в виде
дифференциального уравнения изгиба для ребра
"д.*~
C1)
где Rx — погонное усилие, передающееся от пластинки на ребро, ран-
ранное реакции со стороны ребра.
Крутящий момент И, действующий на элемент кромки лластннки,
можно представить в виде двух статически эквивалентных сил, которые
могут быть рассмотрены в сочетании с вертикальными поперечными
силами. В результате находим, что приходящаяся на единицу длины
Контура х = const сила давления R (х) со стороны пластинки будет
¦?¦-.
<32>
тогда условие C1) приобретает вид
Край х = 0 свободен. Граничные условия будут
(й,)„0 = °	C6)
C8)

532	Нагиб и осссимметричное растяжение пластинок
В дальнейшем для определения граничных условий на схемах пла-
пластинок приняты обозначения, показанные на рис- 5.
край; 6 — щзринрно опертый край; в — свободный край; г — упруг,
опертый край
Расчет прямоугольных пластинок
На пластинку (рис. 6) действует равномерно
распределенная по всей площади нагрузка; Ь^а.
Прогиб в произвольной точке пластинки [13]
2 ch а„
, C9)
D0)
У	D — цилиндрическая жесткость по формуле A3).
Изгибающие моменты
„ _ v) ,Ача
» _ A - v) ««ЪР
ch ^
. 2


Прямоугольные пластинки
Изгибающие моменты, действующие по лшшн у ~ 0, определяют
по формулам
(а - х)
iana V nfi[2vBm— I (I —
=1.3.5, . ..
X sin-
D4)
Для вычисления моментов можно пользоваться формулами
Значения коэффициентов Си С2 даны в табл. 1.
D6)
1. Коэффициенты С[ и Са для иэгнбающнх моментов шарннрно опертой
F 5= о; у =0; v = 0,3)
1.0
1.1
1,2
l Я
1.4
1,5
1,6
и
1.8
1.9
2,0
2.5
3,0
4,0
.
0.1ы
0,0209
0.0234
0,0256
0,0377
0,0297
0,0314
0,0330
(>,(Ш4
0,0357
0.0378
0,0413
0,0431
0,0445
0,04.™
0.2а
0,0343
0.U3B9
0,0432
0,0472
0,0500
0,0544
0.0572
о!062а
0.0644
A,0663
0,0729
0,0763
0.0791
0.0800
С, при
О.Зо
0,0424
0,0486
0,0545
0 059!)
0.0649
0,0695
0,0736
0,0773
0.0806
0|0861
0,A952
0,1000
0,1038
0.1050
х
0.4о
0,0-W6
0.0541
0,0607
0,0671
0,0730
1>,О7вЗ
0,0831
0,0874
0,0913
0,0948
0,0978
0,1085
0,1142
0.1185
D.1200
0.5а
0 0-179
0,0554
0,0627
0,0694
0,0755
0.U812
0,0662
0,0008
0,0948
0,0985
0,1017
1>,1129
0,1189
0,1235
0,1250
С, при х
0,1а
0,0168
0,0172
0,0174
0,0175
0,0175
0,0173
0,0171
0,0169
0,0167
0,0165
0,0162
0,0152
0,0143
0.0138
0.0135
0,2,7
0,0303
0,0311
0,0315
0,0316
0,0315
0,0312
0,0309
0,0306
0,0301
0,0297
0,0292
0,0272
0.U258
0,0246
0,0240
О.Яи
0,A400
0,0412
0,0417
0.0419
0,0418
0,0415
0,0411
0,0405
0,0399
0.ОЗК7
0.1Ш9
0,0340
0,0322
0,0315
0.4а
0,0459
O.D475
0,0480
0.0482
0,0481
0,0478
0,0472
0,0-166
0,0459
0,0444
0,0-Ш
0,0390
0,0369
0,0360
0,5а
0,0479
0,0493
0,0501
0,0503
0.0502
0.IH98
0,11492
0.0486
0,0479
0,0471
0.U464
0,04311
0,0406
0,01575
Изгибающий момент по средней линии х = -
[Мх) а = С3уаг, (Му)	= (
Значения С„ н Ct приводятся 8 табл. 2.
Перерезывающие силы
D7)
A8)

534
Изгиб и осесимметричнее растяжение пластинок
2. Коэффициенты С, я С4 для изгибающих н«ментов шлрннрно опертой
прямоугольной пластинки под равномерным давлением
ь
0
,1
'п
.4
/>
.7
.8
,9
.0
!о
0,4а
A,0168
0.0197
0,0225
0.0252
0.0273
0,0302
0.0324
0,0348
0,0371
0.СШ2
0,0413
0,il5«ii
0,0723
0.12оС
0.3а
0,0303
0,1L53
U, U401
0,0447
0,0491
0,05.40
0.0571
0,0607
0,0641
0,0673
0,070^
1). 118'JH
O.OSWS
0,1054
0,1250
С» при
0.2О
0,0400
0 0465
0,0526
P.0S85
О.ОС39
0,0690
0,0737
0,0780
I), 081S
O.0S34
О.08Й7
0,1012
0,1052
О.ПМО
0,1250
У
o.la
0.0459
0.0532
0,0600
0,0667
0.0727
0,0781
0,0832
0,0877
0,0917
0,0953
O.OSHfi
0J1U2
0.11С8
0,1^24
0.1250
0
0,0470
0.0554
(),U627
0,0694
0,0756
0.0812
0.0862
0.09A8
О.0П4Й
0.0Н85
0,1017
0.1129
0.11Н9
0,1235
0,1250
0,4а
п.оага
0,0225
0, IW3D
0.0252
0.0263
0.0J7.1
0,0288
Oftt»>S
0.0.104
0,0314
0,032^
0.С360
0,0^89
0,0426
0,0375
0,3а
0,(ШП
одшз
0,0.179
0,0391
0,0402
0,0410
0.0417
0.IM23
0,0428
0,0433
0,0436
0,0446
П,0447
0,0436
0,0375
С. при
0.0-1J4
0,0-142
0.0451
0,0462
0,0470
0.0470
0.0171
0,0470
0.1М69
0,0467
0,0464
0.0457
0,0431
0,0406
D.0S75
У
0,1а
0,04Й6
0,0481
0.0490
0,0444
0,0495
0.0493
0,0480
0,0-184
0.047S
0,0472
0.0465
0,0435
0,0414
0,0Ш
0,0375
0
0,0179
0,0493
0,0501
0,0503
0,0503
0.049»
0,0492
0,04Й&
0,0479
0 A471
0,1М(Ц
0,11430
П, 0400
0,0384
0,0375
Опорные реакции по стороне х = 0:
, тли
ch—-±-
4 а V Ch о
D9)
(S0)
E1)
, 2A-у) да V1
E2)

Прямоугольны: пластинки
535
Максимальные значения прогиба и силовых факторов:
шп,« = И о „^С»-7Г-;	E3)
(My)»
E4)
> - C,qa; E5)
E6)
Значения коэффициентов С5 — Сп приведены в табл. 3.
3
Значения коэффициентов
:
,0
.1
,2
,3
,4
¦ 5
,6
,7
,е
.0
0
0
с*
0,00400
0,00485
0,00564
0,00638
0.00705
0.00772
0.0О83О
0,00883
0,00931
0,00974
0,01013
0,01223
0,01282
0,01297
0,01302
с.
0,0479
0,0554
0,0627
0,0694
0,0755
0,0812
0,090В
0,0948
0,0985
0.1017
0,1 189
0,1235
0,12-16
0. 1250
С, — Сг1
с,
0,0479
0,0493
0.0501
0,0503
0.0502
0.049S
0,0492
0,0466
0,0479
0.0471
0,0464
0,0406
0,0384
0.0375
0,0375
в формулах E3)—E6) дл
С,
0,338
0,360
0.380
0,397
0,411
0,424
0,435
0,444
0,452
0,459
0,465
0,493
0.4S8
0.500
0.500
с,
0,338
0,347
0.353
0,357
0.361
0,363
0.365
0.367
0,368
0,369
0,370
0,372
0,372
0.372
0,372
с.
0,420
0,440
0,455
0,468
0,478
0.48G
0.491
0,496
0^502
0,503
0.505
0,502
0,501
0.500
Я OIJ
С
0
о!
0.
0.
0.
0,
о!
20
40
53
64
71
80
85
188
9!
94
96
0,498
0,
00
0,500
0,500
Пластинка (рис. 7) нагружена гидростатическим
Давлением.
Прогиб в произвольной точке [13]
тлу ,
тли  пгях
—?. sm	,
а \ а
E7)

536	Изгиб и осешмметричное растяжение пластинок
я»т> ch am	' ""' °~ л»т» ch «,„
Прогиб пластинки по оси х
E9,
(ш)- = ^j,1^»~-+л'sin ^- m
Для квадратной пластинки (а — Ь) будет
И(М> = "^у- (o,OO2O55 sin ^- — 0,000177 sin Щ^- +
+ 0,000025 sin ^-	V	F1)
Прогиб н центре квадратной пластинки
М „	= 0,00203 -М1; F2)
максимальный прогиб для квадратной пластинки
Штах = 0,00206 -^-	F3)
имеет место в точке х = 0,557а.
Пользуясь коэффициентами, приведенными в табл. 4, прогиб для
точек по оси * можно определить по формуле
<->
.--с,-И!.
Изгибающий момент Мк для оси х (т. е. при у — 0)
¦г \-1/_п"+1
F4)
I W2 У (-1)"+
ля {;,„! m3 ch a,
х[2 + A — v)amtham] sin-^^.	F5)
Изгибающие моменты можно определить из уравнений
F6)
Значения коэффициентов Сг, Сэ приводятся в табл. 5.

Прямоугольные пластинки
4. Коэф
,0
1,1
1.2
1.3
1.4
1,5
1.6
1.7
груженной гидростати 4fic
С, при х
0,25а
0,001.41
0.0015В
1,00186
J, 00212
Э.ОО2Э5
Й. 00257
), 00277
0,002%
0.50а
0,00203
0,0024i
0,00282
0,0031$
0,00353
0,00386
0,00415
0.00441
0,60а
0,00201
0,00242
0.0027У
0.O0J15
0,00348
0,00379
0,00407
0.00432
0,76а
0,00162
3,00192
3,00221
3,00248
), 0027.1
), 00296
3.00317
0.00335
ь
а
1,«
1,9
2,0
3,0
4,0
5.0
ким дав
С, i
0,1>5а
0,00313
э.оозгя
3,00342
1.00416
X 004.37
П. 004 41
l),D04i:t
О,50я
0,00465
Э.ПО4Я7
3,00506
3,OOfil2
1,00041
I.00C4S
1,00651
Ь > а)
ри х
0,60а
0.00456
0.01L 7 Г,
0.00494
0.00592
0,00622
0.00629
D, 00632
0,7Бд
0.00353
0,00:168
0,00382
A,00456
0, 00477
1), 00-18»
0.00-184
. 5. Коэффициент!
прямоугольной nj
ь
1,0
, i
,2
.3
,4
\l
.8
,9
,0
,0
,0
.0
<в
0,25а
0.0132
0,0156
0,0179
0,0200
0,0221
0,0239
0,0230
0,0272
0,02 80
0.029У
0.0309
0,0369
0,0385
0,0389
0,0391
С, пр
0,50а
0.023Э
0,0276
0,031 3
0,0346
0,0376
0,0406
0.0431
0,0454
0.0474
0,0492
0,0508
0,0594
0,0617
0,0623
0,0625
O.GOfl
0,0264
0,0302
0,0338
0,0371
0,0402
0,0429
0,0454
0,047b
0.0496
0,0513
0,0529
0,0611
0.0632
0.0638
0,0640
0.75а
0,0259
0,0269
0,0318
0,0344
0,0367
0.03Й8
0,0407
0,0424
0.0439
0,0452
0,0463
0,0525
0,0541
0,0540
0,0517
0,0149
0,0155
0.015Э
0,0160
0.0160
0.0159
0,A158
0,0155
0,0153
0,0150
0,0148
0,0128
0.0120
о, о 11 a
0.0117
Cs при х
0,0239
0,0247
0,0250
0.0252
0.O25J
0,0249
0,0246
0,0243
0,0239
0.02Я5
0,0232
0,0202
0,0192
0.0187
0.0IS7
0,60а
0,0245
0,0251
0,0254
0,025 5
0,0254
0.0252
0,С24с)
0,0246
0,0242
0,0238
0,0234
С,0207
0.01У6
0,0193
0,0192
0,75а
0,0207
0,0211
0,0213
0,0213
0 0212
0,0210
0,0207
0,020,1
0,0202
0.0199
0,0197
0,0176
0,0168
0,0166
0 0165
Выражения для перерезывающих сил
2w
«„ = —
F8)
Величину вертикальных опорных реакций Rx для сторон к — 0
и х — а определяют по формуле
Rx = ±C,w>.	F9)

'•8	Изгиб и осесимметричное растяжении пластинок
Вертикальные опорные реакции Ry для сторон у — ± -^~
Ряд значений коэффициентов Ct, С6 приведен в табл. 6.
G0)
в. Значения коэффициентов Ct и С6 В формулах F9) » G0) дли пластинки,
шариирно опертой по краям н нагруженной гидростатическим давлением
ib > a; v — 0,3)
b
1.0
1,1
1.2
1.3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
3,0
4.0
5.0
™
С,
,=0
„=0
0,126
0,136
0,144
0,150
0,155
0,159
0,162
0,164
0.166
0,167
0,168
0.169
0.168
0.167
0.167
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0.
0,
0.M*
098
107
12
13
14
14
16
16
167
x=a
0,294
0,304
0,312
0,318
0,323
0,327
о.зЭЬ
0,332
0,333
0,334
0,335
0,336
0,334
0.334
0,333
0,256
0,267
0.276
0.284
0.292
5,207
6,302
0,306
0,310
0,313
0,316
0,331
0.334
0,335
0,333
С
ЛЪа
0,115
0,110
0, 105
0,100
0,095
0,090
0.566
0,082
0,078
0.074
0.071
0,048
0.036
0,029
=0,50a
0,210
0,
0,
0,
0,
8-
0,
0,
0,
0,
0,
99
89
78
G9
60
51
44
36
30
24
0,083
0.063
0.050
-ГбО*
0,234
0.221
0.208
0,196
0,185
0, 76
0,1б6
0,157
0,149
0,143
0,135
0.09 L
0,068
0,055
=0.75a
0,239
0.224
0.209
0,196
0.1§4
0,174
0.164
0,155
0.147
0,140
0,134
0,089
0.067
0.054
Если Ь <3 а, то прогиб и силовые факторы можно определить,
пользуясь численными результатами, приведенными в табл, 7—9,
и используя формулы
7. Коэффициенты С,
опертой прямоугольной
формуле G1) для определения щ
иастинкн, нагруженной гидростат
-т-
2
-О.йа
0,00325
0,002 ВС
0,0028]
=0,50я
0,00651
0,00648
0,00641
0,00506
0,00487
3,00465
3.00441
=0,60я
0,00781
0.О077К
0,00751
0.00542
D. 005 16
3.00491
0,00463
-tii.
0,00976
0.00965
0,00832
0,00707
0,00492
0,004GD
3,00434
0,00404
-г
1.6
,4
,1
=П.25а
0,00249
0,00234
D.0D21S
0.ОО19У
0,00179
0.О015Э
), 00131
=О,Я0а
0.00415
0,00386
0.ОО35Э
0.D031E
0,00282
0,00242
3,00202
-Я.
0,00432
0,00399
0,00363
0,00326
0,00286
0,00245
0.00201
=О.75в
0.00372
0.00339
0.00304
0.00269
0.00234
0.0019У
U, 00162
G1)
G2)
G3)

Прямоугольные пластинк,
Я. Коэффициенты С
ш случае шар)
нрно опертой прямоугплыюй л
^статическим давлением q — г,
V = 0.3)
гннки, нагруженной
а
s~
5?0
4,0
3,0
2,0
1,9
1,8
1.7
1.6
1,5
1,4
1,3
1.2
1,1
1,0
С,
0,0094
0,0094
0,0094
0.0096
0,0108
0,0111
0.01M
0.0117
0.0120
0.0123
0,0126
0.0129
0,0131
0,0134
0,0132
=0,50ц
0.01S
0,018
0,019
0,020
0,023
0,023
0,0239
0,0243
0,0246
0,0249
0,0253
0,0252
0,0250
0,0247
0.0239
=0,60о
0,0225
0,0230
0,0237
0,0256
0,0285
0.0288
0,02»!
0,029а
0,0294
0,0294
0,0292
0,0290
0,0284
0,0276
=0,75о
0,0281
0,0309
0,0320
0,0345
0,0348
0,0345
0.0341
0.0337
0,0331
0,0324
0.031 о
0.0304
0,0291
0,0270
0,025!^
0, 03 12
0,0312
0,0312
0.0309
0,0284
0.0278
0.026Э
Ч, 0261
0,02ft I
0,0239
0,0225
0,0209
0,0152
0,01 G0
0.0140
П.062Г)
(),0fi2'i
0,0617
0,05 У 4
0,050К
0,0492
0,0474
0,0454
0.0431
0,01A6
i).o:i7d
O.tK4ti
0,0314
0.02,-tj
0,02li'i
0,0750
0,0742
0.0727
0.0671?
0,0554
0.0533
0.0509
0,0485
0.04i7
0.042S
П, 03116
0.0360
0,0323
0.0ИЙ5
0,0245
0,09,17
0,A877
0.08JH
0,0715
0.032 b
П,П4УЬ
1», I47(i
0,0442
0.04 1'»
0,0381
o,034a
0,0314
0,0270
0,0240
0,0207
. Значения коэффициентов С, и С1а в формулах G3) для определ<
нагруженной гидростатическим давлением q = qa —
JL
A
.0
,0
.0
.9
.8
,7
.6
,4
.3
1
0
,=0
У
0,000
0,013
0,023
0.050
0,055
0.060
0,066
0,088
0,097
0,116
0,126
b
У 4
0,006
0,010
0,018
0,038
0,041
0,045
0.050
0,055
0,060
0,067
0.074
0,081
0,090
0,098
x~
У
0.092
0,112
0,143
0,197
0,205
0,213
0,221
0,230
0,240
0.250
0.260
0,282
0,294
Ь
tJ 4
0,076
0,093
0.119
0,166
0,172
0.179
0, 187
0,195
0,204
0,213
0,223
0.244
0,256
х—
=0,25а
0,12ft
0.125
0.125
0.125
0,127
0,127
0, 128
0,127
0,127
о, la?
0,12b
0.124
0,120
0, l.i
r
у —
X—
=0,50A
0,250
0,250
0,251
0,252
0,251
0.231
0,249
0,248
0,245
0,2 4 3
0.2 ЗУ
0,234
0.220
A,210
±4
x_
=o,eoe
0.300
0.301
0,301
0,304
0,29 1}
0,294
0,291
0,288
0.284
0,279
0,273
0.2fifi
0.247
0.234
=0,750
0.375
0,379
0,377
0,368
o.;s;i7
0,33 1
0, 325
0,3]f
0,311
0.292
0.2Й1
li. 2 30

540	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Пластинка (рис. 8) под нагрузкой в виде тре-
треугольной призмы. Прогиб определяют по формуле [13]
¦ -|- АтсЬ—-~- +
G4)
1
т
-~
г
С
JL
1
V
а —•
Л
4B+gmlhgm) (-1)
* ch
4 (— 1)
Прогиб ео оси х
Г
G5)
G6)
-. G7)
Максимальный прогиб будет в центре пластинки
^ах==_*?_ V Г^+/,тН1)^].	G8)
m=l,a,6...
Пользуясь табл, 10, максимальный прогиб можно определить по
формуле
Ишах <= Сх -^-.	G9)
Максимальные значения изгибающих моментов имеют место в центре
пластинки:
(Мх)тах = С2?0о2;	(80)
(81)
Значения коэффициентов С2 и С3 даны в табл. 10.

Прямоугольные пластинки
иные значения коэффициентов Г,—С, в формула
1 шаркирно опертой прямоугольной пластинки м
¦ виде треугольно» призмы ib > a; v -= A,3)
ь
1.0
1
,2
,3
,4
\ь
,6
,7
.8
,9
.0
3.0
С,
0,00263
0,00314
0,00364
0.A0411
0,00455
0,0049 Г.
0,00533
0,00567
0,00597
0.00625
0,00649
0,00783
0,00833
0.0Я40
0,0390
0,0436
0,0479
0,051Я
0,055-!
0,058«
0,0615
0.0641
0,0664
0,0fi85
0.0794
О.ОВЗЗ
11.0317
0.0326
0,0330
0.0332
0,0331
0,0329
0,0325
0,0321
0,0,416
о.оап
0,0306
0,0270
0,0250
0.199
0.212
0
0
0
л
0
0
222
230
236
241
246
247
0 249
0,251
0.252
0,253
0,250
о,;Ш
0.2У7
(
0
0
0
0
0
0
260
2G5
Э50
2:N
224
212
201
A.191
11,183
0.122
с.
0,147
0, 161
0,173
0,184
0,193
0.202
0,208
0,214
0.220
0,254
0.228
0.245
0,250
С.
0,250
0,232
0.216
1), 2 02
0,18*»
0,17ft
0,168
0, !58
0.150
0.142
0,135
1), 000
В таблице приведены и численные коэффициенты С4~С7 для вычис-
шня перерезывающих сил и опорных реакций но формулам
(Qtf)ma
(82)
Для случая 6<а можно пользоваться формулами
.„..'= с;-е- да, н
(83)
(85)
(ejm.» -= с;»„а; («,)шм-ф0»; (86) X
(«От.» - ^«„в; («„)„„ =С>„6. (87)
Значения коэффициентов Cj—С^ приведены в гайл. 1!.
Пластинка под нагрузкой, равномерно распре-
распределенной по площади центральной пасти (рис. 9,
нагруженная площадь заштрихована).

осесимметричное растяжение пластинок
I)
?.,()
2
,0
,9
.8
,7
.6
.5
.4
.3
, 1
.0
в ви
с\
0,0 [ Ш1
0,00868
0.00680
0,0П656
0.00621
0,00588
0,00549
0,00508
0,00464
0,0041»
O.OO3G7
0,00316
0,00263
де треугольной призмы (Ь < a; v ~
с',,
0,0375
0,0.187
0,0392
0,0392
0,039)
0,0390
0.0388
0.0386
0,0382
0.0376
0,036»
0,0356
0,0340
c'i
0,1250
0, 092 2
0,0707
0.0b81
0.0651
0.0009
0.0585
0.0548
0.0508
0.0464
0.0418
0.0369
0,0317
'о, 045
0,001
0.098
0.
0,
0.
0.
0.
0.
0.
0,
0,
06
15
24
35
46
5Й
71
85
99
0,500
0,442
0.412
0.407
0,402
0.39G
0,389
0,381
0.371
0,360
0.347
0.332
0.315
J,3)
с
0,027
0.057
0.062
0.098
0,074
0.081
0,090
0.099
0.109
0.120
0,133
0,147
0.500
0,410
0.365
0,358
0.350
0,342
0,332
0,322
0.31 ]
0.298
0.284
0,268
0,250
Прогиб [13]
l	~^- [ch (о,„ -
mny ttijiy
(88)
mnbi
(89)
Уравнение (88) позволяет определить прогибы в любой точке за-
загруженного участка пластинки.
В центре пластинки получается наибольший прогиб
_ 4<?и4 VI 1
[ch (а,„ - 2f)m)
(90)

Прямоугольные пластинки
12. Коэффициенты С, и С, в формулах (Й2) и (93) для определен*
сималыгого прогиба шарнирно опертой прямоугольной пластин
нагруженной по иен симметрии, пара.тлепытй стороне а
±
2,0
1.5
1.4
1,3
г;,
0,00987
0.00911
0.00882
0.00844
1.2
1.)
1.0
1
С[ 1 т
0,00799
0.00712
0.00674
I, I
1.2
1,3
1.4
С 2
0.00В02
0.00926
0.01042
0.01151
~Ь
1,5
2.0
С,
o.oiar.i
0.0Н.21.!
0,i'20a:(
Максимальный прогиб для случая, когда aL = а, а Ьх представляет
весьма малую величину (случай равномерного распределения нагрузки
ПО оси х), можно представить в виде
Пользуясь табл. 12, можно определить максимальный прогиб ,
пластинки, равномерно загруженной по оси х:
при а< Ь
при а> Ь
D '
Рис. 10
Изгибающие моменты достигают максимальных значений в це:
пластинки:
где Р ~ aLbxq. Значения коэффициентов С3 для квадратной пласл
н для различных участков загруженного прямоугольного уча
приведены в табл. 13. Коэффициенты С4 находят из табл. 13 путем i
становкн букв о, и Ьг.
Численные коэффициенты С3 и Сй для пластинки с отношением
рон Ь — 1.4а и Ь = 2а приведены в табл. И—15.
Пластинка (рис. 10) в некоторой точке х
У = г| нагружена сосредоточенной силой
Прогиб пластинки [13]
- ft., "th ft _ P^i мн -1'тУ1
(94)
нки
ста
ере-
сто-
сто(95)

Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
13. Коэффициент С, для определения максимального изгибающего моя
п шарннрно опертой частично загруженной квадратной пластинке
д
0
од
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0,378
0.И2
0.1SB
0,170
0,155
О.Ш
0.321
0,284
0,254
0,225
0,203
0,lfi8
A,153
0.140
0,127
0,2
0.251
0,232
0,214
0,195
0,179
0,164
0,150
0,137
0.126
0,115
0,3
0.20»
0,
0,
0,
0
0
о
о
VI
К4
IM
!>8
ЯЬ
14
0.104
0.4
0.180
0,141
0,121
0,112
0,103
0,084
при -
0.5
0.158
П
II
II
0
II
50
ft.
vfi
ift
оч
ш
0,094
0.086
7"
(l,ti
0,141
0.134
0.127
0,120
О.ПЗ
0,106
0,099
0,091
О.ОВо
0.078
0.7
0.125
0.150
0,114
0,108
0.102
0.0У6
0,0!0
0,083
0,077
0,070
0,8
0,112
0,108
0,103
0.098
0,092
0,087
0,061
0,076
0.070
0,064
ОМ
0.102
0,098
0,093
0,088
0.084
0,074
0,069
0,063
0.05Й
1,0
0.092
0,068
0,084
0,080
0,076
0.067
0,062
0,057
0,053
14. Коэффициенты С, н СА в формулах (94) для определения максимальных
нагибающих моментов в шар мирно опертой частично загруженной пластинке
ь,
0
0
0.8
1.0
1,-1
о,
а
1)
С,„ри-Ь
0,187
0, 162
0.141
0.2
0.276
0.239
D, I5S
0,139
0.122
0,106
0.4
0,208
0,186
0,16В
0,134
0,118
0,104
0.091
0.6
о.юз
0,152
0,138
0,126
0,112
0.100
0,089
0,077
0,8
0,134
0,125
0,115
0,105
0.094
0,084
0,075
0,065
1,0
0.110
0,103
0,095
0.086
0.078
0,070
0,062
0,054
С. при -?
»
0.246
0,2
0.299
0,203
0, 57
0,125
0,102
0.085
0,1
0,230
0.175
0,138
run
0.091
0,077
0,065
0,6
0,183
0,147
0,119
0.097
0.060
0,068
0.058
0,050
0,8
0,151
0,124
0,101
0,053
0,069
0.058
0.050
0,043
1.0
0,125
0, 102
0.083
0.069
0,058
0,049
0,042
0.036

Прямоугольные пластинки
\Ъ. Коэффициенты <:„ и С, в формулах (94) дли
изгибающих моментов в шарнирно опертой част-i
(ft = 2а. v = 0.3)
ь
а
0
0,2
0,4
0.6
0,8
1,0
1.2
1.4
i.fi
1.8
2.0
ь,
а
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1,6
1.8
2,0
0,:й7
0,!>7.i
0,2.! Я
0,203
0,170
0. 1G1
0, 144
0. Ш
0,11В
0,107
0
-
0.242
0,1/2
0.133
0,107
0,089
0,071
0,064
0.056
0,049
0.044
0.2
0,2Stf
0,252
0.221
0.
0.
0.
о,
0,
0.
0.
195
174
155
141
127
115
104
0,0<Н
0,294
0,203
0,152
0,120
0,097
0,0В1
0,06 в
0,058
0,051
0,045
0,041
С, .фи ¦?
0,4
0,220
0
0,
0.
0,
о
0,
0,
0
99
81
64
48
34
22
11
01
0,091
0.083
Ctnp
о Л
0.225
0,170
0.133
0,1 ое
0.0В7
0,073
0.061
0.052
0,046
0.041
0,037
( .6
0,175
0,
0.
0,
0.
0,
0,
G3
50
38
26
15
05
0,096
0.057
0,079
0,072
0.6
0,179
0.143
0.114
0,093
0,076
0,064
0.054
0,046
0,040
0,036
0.032
о.в
0.144
0,135
0,125
0.115
0.106
0,097
0.089
0,081
0.074
0.067
0.061
O.ft
0,148
0. 120
0.097
0.079
0,065
0,055
0,046
0.040
0,035
0,031
0,028
1,0
0,118
0,111
0,103
0,095
0,088
0,080
0,074
O.OfiH
0.0Й2
0,056
0.051
1,0
0,122
0,099
0,081
О.0С6
0,054
0,046
0.039
0,033
0,029
0,026
0,023
Pm -« ——; У\ = ь — у, у ^ т|.
Если у<;\), то в ньфажении (95) вместо величины yh следует под-
подставить у, а вместо т| — величину т)х = Ь — Г|.
Пластинка (рнс. 11) н а г р у ж е н а с и л о н Р, сосре-
сосредоточенной d точке на осн симметрии. Общее выра-
выражение для прогиба [13]
а'п) sh
(96)
18 Заказ 1636

540	Изгиб и исесимметринное растяжение пластинок
тпЬ	.
а,п = —Т— ; у ^ 0
Прогиб пластинки по оси X
Ра*
- *»
В частном случае, когда нагрузка Р приложена в центре пластинки,
максимальный прогиб будет
\=С,-ТГ. (98)
Значения коэффициента Сх приведены в табл. 16.
В случае пластинки, загруженной по схеме рис. 10, изгибающие
моменты на оси х
; (99,
A00)
16. Значения коэффициентов Ct в формуле (S8), С, и С, в уравнениях A01 >
м A02) для расчета шарнир!io опертой прямоугольной пластинки, нагруженной
силой, сосредоточенной в центре
ь
1.0
1,1
1,2
1.4
1.6
с,
0.01160
0.012Ь5
0.01353
0.01484
0,01^70
с
—0,565
—0,350
—0,211
—0.125
,,
0,135
0,115:
0,085 :
0,057
ь
1,8
2,0
3,0
с,
0,01620
0,01651
0,01690
0.01695
с,
—0,07.3
—0,042
0
С
0,037
О.ОЭП
0

Прямоугольные пластинки	547
Для точек оси х, близких к точке приложения нагручки, изгиба-
изгибающие моменты можно определить по формулам
A01)
. A - V) Р у J_ sjn ^Л|_ sjn _ШТ? __ с _Р_ _
Zj та	а	3 4л
A02)	/>
где	f f <У '
Несколько значений коэффициентов С2
и С3 для случал приложения нагрузки в	р1к;. ]2
центре приведено в табл. 16-
Прямоугольная пластинка шарнир иооперта
по контуру, разность температур на верхней
и нижней поверхностях равна /, температура
ijo толщине меняется по линейному закону.
Изгибающие моменты имеют максимальное значение на краях (рис. 11):
где а — коэффициент линейного расширения.
Пластинка (рис 12) загружена моментами ин-
интенсивностью М„, равномерно распределен-
распределенными по краям. Прогиб равен [13]
¦ ¦„ .- 	- ( ат th am X
(,04)
тлЬ

548	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Прогиб на оси симметрии {у = (и
2Мла* V1 ' атIh а«< ¦ тпх	плк.
ет=1,:.,5...
Прогиб в центре пластинки
,_п— ' ¦ ""¦""''•' . A06)
v ¦	т* eh и,п
Несколько значений прогибов и изгибающих моментов и центре
пластинки в зависимости от отношения сторон — приведены R табл. 17.
Пластинка (рис. 13) нагру-
нагружена равномерно распреде-
распределенным давлением. Прогиб и
изгибающие моменты в центре пластинки
Шх)
!107)
A08)
Максимальный изгибающий момент
защемленных сторон	.
имеет место в серединах
17. Прогибы и изгибающие моменты в центре прямоугольной шарнирно
пластикки1 нагруженной моментами, равномерно распределенными п<
±
0
0,50
0,75
а
0, [250/W0 —
D
0.0964AI, -^
0,0620Af^ ~
0,300
0.387
П, 424
1,000
0.770
0.476
b
а
1,00
1,50
2,0
W
0,368Л*„ ^
0.280М, -^
0,D174Mft ~
С,
0,394
0,26<
A.1Л:>
с,
0.256
0.046
—0.010

Прямоугольные пластинки
Коэффициенты
см. в табл. 18.
jg. Коэффициенты С,—С, в формулах A07)—A09), для вычислений прогибов
Я нагибающих моментов пластинки, у которой два края шарннрно оперты и два
других защемлены, нагруженной равномерно распределенным давлением
(Ь>а v = 03)
а
1
.Я
Л
4
S
6
с,
0,00192
3,00251
5,00319
0,00388
Э,ОО4Ь0
J, 003 31
0.00603
с,
0,0244
0.OS07
0,0370
0.0446
0,05 И
0,1M«5
0,0650
с*
0,0332
0,0371
0.0400
0,0426
0,0448
0,0460
0,0469
—0,0697
—0,0787
—0.0868
—0,093В
—0.099S
—0.1049
—0, 1090
Ь
1,7
1.8
1.9
2.0
3,0
0,00608
3,007 ЗЙ
0.OO79U
3,00844
9,ОИС8
Э. 01302
С]
о, mvi
0,0768
U 082 1
0.0869
0,1144
0,1250
0,0475
0,0477
0,0470
0.0471
0.0119
с.
— 0, 1122
— 0,1152
— 0.117-1
—0,1191
—0.1246
- 0, |?50
Если 6<л, то вычисляют по формулам
A10)
Коэффициенты С1~С4 приведены в табл. 19.
19. Коэффициенты q— с'4 в формула» A10>—<И2> F < a,
2
1.5
1.4
1.3
\.'2
1.1
ПЛЮ260
0,00200
0.00247
0.00240
0.00234
0.00223
0.00209
0,0123
0.0142
0.DI79
0.0192
0,0203
0,0215
0,02 S0
0,01 IT
0,0420
0,0400
0.033Э
O.O38R
0.0375
С4
-о,оя;13
—0.0^42
—0,0822
—O.OSIO
На пластинку (рис 14) действует равномерно
распределенная нагрузка. Значения прогибов и изги-
«	"	Ь
бающих моментов для нескольких значений отношения — приведены
• табл. 20 ?131.

Изгиб и осесимметринное растяжение пластинок
wi. Прогибы и из
•шторой э
~
т
2
1.5
1.4
1,3
1.2
1,1
1.0
1/1,1
1/1.2
1/1.3
1/1,4
1/1.5
0.S
0
гибающие мом
енты прямоугольной плосгни
1
i
0.0130^-
0.U061 ~
0,0 05К -^¦
U, 1H5A ~-
«.oow-SJl
O,UO28 -^~
0,003Й ^~
0,0035-^-
0,0038-^1
0.0040-^-
0,0042 $~-
0,0049-^-
0,0052 -S^-
—0, 125 ца*
—Q,\22qa'
-о,„2,0.
—0. ЮЭ^а*
—0,104 Ча'
-0,0»,.
—0,092 ца>
-0,0»4,».
—0,0Э2(/''!
—0,098 qb!
—0,103«6г
—0,122^*
—0, 125 цЬ '<
II
	_»<
0, 12 5 ija ¦
0,094i?a'
„,оет,„.
0.06Э».
о,о56,„.
о,«9,а.
0,04,да-
0,031уаг
....„»¦
0,032 if ?>-
о.о:пчЬ.
0.030,,.
0,023,».
,,ои„Ь.
0.0,9,».
км, один край
с
г
0.037,.
0,047«о'
„,„,»,«.
0,047 ел ¦
0,045^а*
0,044(/я-'
0,042 <гаг
„,оп9,0.
0,043»^
0,04/^Ь2
0.050*)*-
0,052,.
0.054,,,.
0.000,,,
0,0„62,..

Прямоугольные пластинки
Изгибающие моменты по стороне у = -^~
8аа2
- am I h gm)
2ат — Hi а,„ (ат \h a,ti— 1) — cth am (a/ncth <xm — U '
A13)
-.— a —*
У
«	 д —*.
У
1 -
am = -^.	A14)
Пластинка (рис- 15) наг i» у жена гидростати-
гидростатическим давлением. Выражение для изгибающего момента Му
по краю у — -„- имеет вид [13]
2a,,, — th a,,, (a,,, th ««- l)ctha,n(amctham— 1)
. ()
Значения момента (Л-Ip /( для ряда ючек защем.1енного края
приведены в табл. 21.

Изгиб и осесимметричное рас/пяжение пластинок
21. Значения момента ЯЛ по защемленному «раю ця-r |
прямоугольной пластинки, нагруженной гидростатическим давлен!
2
3/2
1
2/3
1/2
(]
* = а/Л
—0,0.13 v»
—0,03» до1
—0,034 ч„а*
—0,025?»о*
—0.030 qab*
—0,031 qub-
—0.031 ?«/)¦'
—О.Обг^а-
—0.061 ({„а-
—О.ОЗбг/гл"
—0.042^а2
—0,056г/„^'
—0,061 у0Ь'
—0,062 д„Ьх
—0.055 W
—0,05 З^а'
—0,050 вой1
—0,0409,0'
—0,06D(jo&3
—О,073доЬг
—0, 094 qob*
На пластинку (рис. 16) действует равномерно
распределен лая по всей площади нагрузка.
Наибольший по абсолютной величнне момент возникает вблизи сере-
середины более длинной стороны пластинки. Этот момент защемления
имеет следующие значения: при — = 0,5 М ~ —0,118006*, при
Ь
— =1,0 принимает значение М =
= —0,0694 qb!1. Нанбольи[ий изгиба-
изгибающий момент близ центра квадрат-
квадратной пластинки Л1шах = 0,034(/аа
А'/
(для v = 0,3), а соответствующий ему прогиб w = f)fQQ2'3q-=r-. Другие
численные значения изгибающих моментов приведены в табл. 22 (при
v= 0,2).
Пластинка (рис. 17) нагружена силой Р, сосре-
д о точенной в середине свободной стороны D).
Прогиб под силой при а > Ь

Прямоугольные пластинки
22. Изгибающие моме
а
0.5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
l'6
1,7
1,8
1,9
2,0
' II
0,0191 qb
о!028] qb
0,02'ЛО qa
0,041 Baa
0,045lgi>
0.04814a
0,0507 qa
0,Qo2i*qa
о! 02 79 qa1
O,O224qa*
o!oi91oo2
¦ale,
ii
I!
—U.
—u.
— 1),
—Q,
—0,
— 0,
— IJ,
—0,
—0.
—Q.
>7№//a
)h ¦! .i qa
02 8 la
068 qa
104 да
II
4,
—0, 1 180(?&*
—о! 0772-/0'
В точке с
координа-
U = 0.16
Vf
0!04'j]<j6'
0.0524 00*
о!сM8С«п;
Расчетное напряжение
3.06Р
A17)
Для пластинки конечной длины при v = 0,3; х = 0, (/ — 0 изги-
изгибающие моменты At — CjP, где коэффициент С! имеет следующие
значения:
ь
с,
4
—О.О0ОЩ"
2
-0,0117
1,5
—0.C4S5
1 ' 2 3
—0,16.")! -0.366
0,5
—G.-MC
1,3 0.25
—0.4S»! —0,507
A
Некоюрые другие случаи расчета прямоугольных пластинок при
ведены в табл. 23.

554	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
23- Некоторые случаи расчета прямоугольных пластинок
Г
* ч«

Прямоугольные пластинки
У -~1,у~
7 Т

556	Изгиб и осрсимметричное растяжение пластинок
Продолжение таЬл
Нагрузка	Л* табл
°\—'^f
ггт*т
h
f:fi*
i	;
О ''¦

Прямоугольные пластинки
557
Я4. Изгибающие i
¦арнирно опертыми и дпу|
а
0,50
0,75
1,И)
1.25
1.50
2.0
"-i
-.,-0
0!023о"а'
0.02% ог
n,filG9(,a^
За
*',
0,0.л»,о"
, 1-0
o;i)!o?jj>
¦«»
—о! U") lG^«*
4 '
"•»
—0,04.) !/„ 'j -'
—0.03'i^jo1
-i>.|j.^f/eas
a
»
2
1,5
1.0
T
0.5
0
0,0021 -^'—
0.0023^
0.0013 i^-
0,0030 q"ji—
0,0045 -y; -
0.00fl5 -i^-
0.020<lna>
0,020 !7„д!
O.Ol^na*
0.02Bftft«
0.024 7ab*
a...*»-
0,009»^-
0.0 11,.a-
0,013,^-
0.01CW
0,(^1 tf,,b2
0,046,,6-
0.062^о&г
('"'l, _ a. t - il
-..«;,.,•
-0,0Н„„-
-—0,061 (/„a*
-0.048W
—0,071^0Ьа
-O.OB-1,,4'
a
1.0
1,1
1.2
1,3
* = O; (/ - t)| л^=-^-: '/ = 0
c,
0,00126
0.00150
0,00172
0,0O!91
Co
—O.OSi.S
—0.0581
—0,0639
—0.0(i*7
ca
—0.0013
—O.053S
—0,055*
—0,0563
л = Oi y = 0
(Mx) = Ctqa*;
Ct
0.02JI
0,0264
0,0399
0,0X27
(Mu) -
= dQ^
c>
0.0231
0.0231
0,0228
0,0222

Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Продолжение табл
b
1.6
1.7
1.8
1.3
»
с,
0,00207
0,0 022 U
0,00230
0,00238
0,00245
0,00249
0,00254
0.00260
*=-?t* = 0
С j
— 0.U726
— 0.0757
—0,0780
—0, 0799
—0,0812
—0, 0822
—0,0829
—0,0833
*=O; y~-±-
<*„>-<:.*,>;
c.
—0,O56e
—0,0570
—0.057
—0,057
—0,057
—0,057
—0,057
—0.0571
0,0349
0.036Й
0,0381
0,0392
0,0401
0,0407
0,0412
0,021V
о.ого,.
0.019:;
0.0182
0,0174
0.016F.
0.01.W
27. Прогибы и изгибающие моменты в прямоугольной i
ь
а
0.5
2
т
1.0
1.5
х ~0. у — и
!4'= С, X
Х Z)
с,
о.ооооао
0,000217
о, оооез
0,00110
0.00130
Мх =
(¦2
O.OOlOd
0.00451
0.0115
0.01Й4
0.0204
<:,
0,00515
ti.00817
0,0115
0,0102
Г». 006.1
Мх=ас
— Clqlla1
с,
—0. U115
—0, 018?
—0,0334
—0,0402
—0,0500
*=-у, ff=t
с;
—0.002S
—0,0066
—0.017У
— 0.0295
—о, о:ш
^=
'-•
—0,0104
—O,OI6fi
—0,0257
— 0.028а
28. Прогибы в центре и и:
моменты В серединах длкнг
для прямоугольной плас-
ft
1,0
1,2
1.4
1,Q
i.a
2,0
в центре (v =
9- С Pal-
1 D '
С,
0,A05fi0
0.00647
0,00691
0,00712
0.007^0
0,00722
0.00725
0.3)
Л-1 = СЖР
—0, 1^57
—0, 1490
—0.1604
—0,1651
—0.1667
—0,1674
—0,168
29, Прогибы ч Прямоугольной
пластинке, один Край которой
защемлены, нагрузка
равномерно распределена
по поверхности (v — <\ ;:>
h
а
0.6
0.75
1,0
4
т
2
0,00449 (,
0.00286 ч
0.OU157 q
0.00215 q
0,00257 q
b
2
~ir
b*
~D
ft»
~
a'

Прямоугольные пластинки
«щемлены (v = 0.2)
b
a
0,5
0.6
0,7
,9
.0
,1
if
Л
4
,6
,7
R
2
«
0,020м
0,0294 ?д
0,032 Sqa
0,0346 qa
0.0378 on
0.0390^
0.04054Q
0,0414i?a
0,04l7?a*
0,0554^6'
0,020A?a*
0,0166 qa'
0,0154 qa'
0,01411 qa*
0,0125^*
О.ОПв^а*
O.OI10(?o!
0,0083.?аг
(Al Л
—0,06Я9 да2
—0,07
— 0,07
—0,07
—0,07
—O.Ofi
—0,08
—0,08
— O.OS
?>ца3
—0,0833^a2
-0.111AA'
—0,0658^
—0,0574 4ua
—Q,03684d;
—0,D567(,'t-?
—О.ОВббоа-
—D.O&GC ijcJ-
гидростатическим давлен
0.5
0,75
1
O,00202,n Щ-
0,(HU12?H -^~
0,00074,, ¦?-
_o,o36s,Di.
-0,0344,,».
-0.02.7,.,.
(Л1А=0. „-*
—о.Обгзцгв*8
—О,О484 9Л6-
—0,0;i47y,,bL>
83. Прогибы н изгибающие моменты для равномерна нагруженной лл;
четвертый — защемлен (v = 0,3)
ь
0
1/5
1/2
2/3
«шах
0,125,-?-
0,09*4^-
0,0582, -?-
0,0335ч -^-
0
0,007 8 qa1
0,055641'
—0,500^Ь2
—0,428^6'
—0,'3\9цЬ-

560
Изгиб а осесинметричное растяжение пластинок.
i
i
Л/2
2
3
»
Пр и
опитого
-™«
0.01134 ~
0.0141 ^ -~
0.01500 -g-
0.0152^ ~-
0.01524 -jj-
г),0972(?а-
0.131,0-
0.133 (ja!
Р, I3jqa*
м е ч а и и е. Максимальный иригнб и (Л*г)
края.
-0,119.6
—0,125qa!
—0,125 за'
-O.I!5W.
]ах а середине не-
:и, у которой три края
а
4-
3
1
1.4
1
1,3
1
1.2
1
, 1
.3
,4
«
по всей поверхности (v
С,
0,007 10
0.0096Й
0,01023
0.0IO92
0.01158
0,01232
0,0) 2Н6
0,01341
0,01384
0,01417
0,01442
O,OI4fi2
0,01507
0,01520
0,01522
с»
0,060
0.083
0,088
0,094
0.100
0,107
0.112
0,117
0,121
0,124
0,126
0,128
0,1^2
0,133
0,2 33
а
м.-с.*
с,
0,039
0,055
0,059
0,004
0,069
0,074
0,080
0,0й5
0,090
0,094
0,008
0.113
0.122
(>. 125
Примечание- Максимальные прогиб и изгибаю
в с<*| сдинс свободного края.
= Ь
с,
0,022
0,030
О,0Ь2
0,034
О.ОЗй
0,037
0.0,49
0,040
0,041
0,042
0,042
0.04 1
0,039
0.0,17
дни мимент

Прямоугольные пластинки
561
14 Прогибы и изгибающие моменты и пластинке, три края которой шариирно
оперты, четвертый — свободен, нагруженной гидростатическим давлением
ь
1/2
2/3
1
1,5
2,0
к — 2
VI
с,
О.! 00304
0.0036Й
0,00347
0.00291
0
о, п 1 а 7
0,0265
0,0325
0,0308
0,02 5 Я
0
w ._
^.
0,00135
0,00207
0,00313
0,00445
0,00533
0,00651
*--!¦¦ «--
С,
0,0145
0,0220
0,0331
0.0453
0.0529
0,0625
с»
0.0120
0,0156
0.0214
0,0231
0,0222
0,0187
Ь
а
0,6
0.7
о.в
0,9
1,0
1,25
1.5
Ь
0,6
0,7
0,8
0,9
1,5
х =A
С,
0.00271
0.00292
0,00308
0,00323
0,00333
0,01Ш5
0,00335
* = -"¦
с.
—0,074:"!
—0,0782
—0,0812
—0,0836
—0,0»53
—0,0867
— 0,0842
Cs
0,0336
0.0371
0,0401
0.0425
0,0444
0,0467
11,0454
...
= с, ца
С-,
0,750
0,717
0.GS5
0.G56
.-...-4
С,
0,00124
0.00159
0,00185
0,00209
0,00230
0.00269
0,00290
' = -5- «-
С,
	и (j.1C-,
— 0,04,i9
—0.0505
— 0,0563
—0,0755
0,
0,
0.
0.
0.
0,
0,0168
0,0212
0,0252
0.0287
0,0317
0,0374
0,0 102
ь
c,v
\
J46
185
414
435
401
М
С,
.-0.
С10
—0.U554
—0,0545
—0,0535
—0.0523
—0,0510
—0, U1 ¦¦ U
— 0.0418
A.0071
0,0097
0,0116
0,0129
0,0138
0,0142
//=0
с,,
0,416
0.413
0,410
0.406
0.401
0.3&S
0,37 3

Изгиб и ооесимметричное растяжение пластинок
36. Прогибы, изгибающие моменты и опорные реакции для пластинки, три края
которой защемлены, четвертый — свободен, нагруженной гидростатическим
b
0,6
i!o
1,25
1,5
b
o,e
0.7
0,8
0,0
1.0
1,25
1,5
cl
0.0006У
0,00069
0.00068
0.00067
0,00065
0,00056
0,00042
C,
0,0080
0,0093
0.0096
O.0096
o!oO85
0.0065
¦ 0 0179
— 0, ill 72
—0,0164
—0,0156
—0,0146
—0,0119
—O.00B7
RK = C,qua
c,
0.093
0,081
0,000
0,057
0.045
0 OIB
—0,006
v = 0. y^±
c3
0,00044
0,00058
0,00072
O.00DB5
0.00097
0,00121
0,0013H
Ci
0,0060
0.00R0
0,0100
0,0118
0,0135
0.01 GO
0,0101
a li
Mx= a
—0,0131
—0,0171)
—0,0206
—0,0239
—0,0269
—0,0327
—0,0364
c»
0,1 Я 6
0,1 SS
0,177
0,194
0,205
0,234
0,245
с„
0,0062
0,0074
0.00&3
O.ODOO
0,0094
0.0П92
0,0075
л- = 0. tf-0
—0,0242
—0,02fil
—0,0278
—0,0290
—0,0290
— 0,0306
—0.0291
Г,,
0,248
0,262
0,275
0,286
A,295
0,309
0,311
b
0,5
1.0
2,0
c яа*
1 D
0,01377
0,01309
0,01289
0,01302
Ci
0,1235
0,1225
0,1235
0, 1250
Afy= Сяда*
С,
0,0102
0,0271
0,0364
0,0375
0.014-U
0,01504
0,01521
0,01522
М„ = Ctqa-
C'b
0,1259
0,1318
0,1329
0,1330

Круглые пластинки
«ышратмой
X —
100
30
10
б
1
э
I
0,0
о
Прим
плнстннкн, два
нпддержи
С,
0 UlMUfi
0,00409
0,004 Iti
0,00434
0,00454
0,00472
0.005Э9
0.00624
0.00756
0.Ш '109
i! ii fl 'I о FJ —
¦рая
lamr
которой шарнирно оперт
упругие балки {v — 0..JI
<\
U. U-4 ;"'J
0,0481
0,0500
0.U5H
0.ОГ.71
0.OGH
0.07+4
0. [ 2 2.1
««гкоеть к.жды.1 нз „.„к,,„л
I, а двп други*
»)„,,-'¦."¦-
0.У47Г
0.04GJ
D.O455
A.0117
0,0 37«
0,0ЧГ)
0.027 1
КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Основные уравнения и граничные условия
Если поперечная нагруша, действующая на пластинку, распреде-
распределена симметрично относительно оси, проходящей через центр пластинки,
то во всех точках, равноудаленных от центра пластинки, прогибы н
Все остальные величины, характеризующие напряженное состояние,
будут одинаковыми.
Диаметральное сх-чсние срединной поверхности деформированной
пластинки показано на рис. 18. Пользуемся цилиндрической системой
координат, начало координат О сонпа-
дает с центром иедеформнроаанной	f
пластинки, ось г совмещена с осью
симметрии пластинки, основная плос-
плоскость — со срединной плоскостью.
Расстояние произвольной точки т
От оси г обозначено через г; 9 — угол
между нормалью к поверхности, прове-
проведенной через т, и осью г:
Угол ft отсчитывают в направле-
направлении, обратном нращению от оси г
к оси г; поэтому в равенстве A18) принят знак минус.
Кривизна изогнутой поверхности в диаметральном сечении (для
Пологой кривой)

Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
.120)
Кривизну а сечении, проходящем через нормаль Am и перпенди-
перпендикуляр к плоскости rz, определяют по формуле
хт = -^е,	A21)
A22)
Кривизна кручения при осесимметричном изгибе равна нулю,
кривизны A20) и A22) являются главными.
Рис. 19. Услов
На рис. 19 показан элемент пластинки, ограниченный двумя радиаль-
радиальными сечениями, угол между которыми ране к dtp, и двумя дуговыми се-
сечениями, одно из них расположено на окружности радиуса г, а второе —
на окружности радиуса г+ dr. Mr и УИф — изгибающие моменты,
действующие по окружным и диаметральным сечениям пластинки соот-
соответственно и отнесенные к единице длины; на рисунке нанесены вектор-
моменты- Q — поперечная сила в дуговом сечении. Крутящие моменты
отсутствуют, поперечная сила в радиальном енчении также равна пулю.
Для определения изгибающих моментов воспользуемся формулами
типа A2); получим
Af, = D(k, + v^);	A23)
где D =
Eh*
12A —Vй)
Mv=
; A •— толщина пластинки.
A24)

Круглые пластинки
Выражения A23) и A24) можно представить а виде
MvJ-o(±.*L + .Jg.)-D± + vJg.). A261
Взаимно перпендикулярные оси х (вдоль радиуса) и у (вдоль ка-
касательной) проведены через середину внешней дуги (см. рис. 19)- Уран-
нение равновесия в моментах относительно оси у после отбрасьтания
величин нысшего порядка малости принимает вид
Пусть задана интенсивность поперечной нагрузки q в функции г;
тогда перерезывающую силу Q можно ныразить в виде
= -Ljqrdr.
Уравнение равновесия A27), с учетом выражений A25), A26) и A28),
можно записать
Введем оператор у3- тогда получим
где "F —функция нагрузки,
__(vsa,)=Y,	(ПО)
Ч^-Ljqrdr.	A31)
О
Уравнение A29) примет вид
о-зг[-г-аг™] = -4-	A32)
где угол наклона 8 определяют по формуле A18).
Граничные условия на контуре пластинки:
При шарнирном опирагши
При защемлении
0,= 0; 0 = 0.	A34)

560	Изгиб и осесимметринмое растяжение пластинок
Расчет круглых пластинок
Круглая пластинка шар пир но оперта по
контуру; нагрузка равномерно распределена
и о всей площади. Прогиб на расстоянии г от центра [13]:
A35)
где Ь — радиус пластинки; О — .^ . __—:
кость; q — интенсивность нагрузки; прогиб в центре
E -Ь V) qbx
т""" ~ 64A + v)D '
— цилиндрическая жест-
A36;
Мг = -fa- C + v) ф' - гг);
A37)
Mv = -jL- Ds C + v) - гг A + 3v)J.
A38)
Моменты в центре
3 +
A39)
Отсюда получаем максимальное напряжение
(а ) .= („ ) = 6М' =3C^v)'7''i
(НО)
где А — толщина пластинки.
Круглая пластинка защемлена но контуру,
нагрузка распределена рав[1омерно по всей
я л о щ а д и. Прогиб {13]
ш^-Bin (»'-'')''•
A41)
Прогиб в центре
qb'
TJ4D
A42)
A43)
A44)

Круглые пластинки
Напряжения в центре
С. „==<Ч. „=.(>.«,(-*¦)'.
A45)
Напряжении у контура
/ а V
(''IS)
Нижние волокна у контура сжаты.
Круглая кольцевая пластинка, шарнир и о
опертая по внешнему контуру, нагружена
моментами Мга и МгЬ, равномерно распределен-
,"	Чн Г "га
\Mr"
ными по внутреннему и ннешнему контурам
(рис. 20). Моменты Мга и Мгь приходятся на единицу длины. Про-
Прогиб [13]
" = -Т-с-|пг
A47)
Угол наклона
A48)
В выражениях A47) и A4S) принято
2 (Ь2МгЬ - сНл,а)
1 (I + v) О (Ь- - а') '•
1 (] — v)D(&3 — й2)
A49)
A50)
A51)
где О = -пгп	ц- ll ~ толщина пластинки.

?	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Изгибающие моменты будут
Mr^D [о,5С, A + V)	^- (I — v)l ;
-^- A - v)] .
Напряжения аг и аф определяют по формулам, аналогичным выра-
выражениям A8).
Круглая кольцевая пластинка защемлена
по внутреннему контуру, по внешнему контуру
распределена моментная нагрузка (рис. 21).
На единицу длины контура приходится момент Мо [4].
Прогиб
6 = 5,46 -
1,3
, 0,7
A52)
где h — толщина пластинки; а= —.
Напряжения на внутреннем контуре
12	Мл
A53)
Напряжения на внешнем контуре
1,3 + -
A54)
Круглая кольцевая пластинка нагружена
По контуру или равномерно по всей площади
(рис. 22). Максимальное напряжение и максимальный прогиб при
нагрузке, распределенной только по контуру пластинки, определяют
по формулам [13]
С Р
--1—-	A55)
(•I.
A56)

Круглые пластинки
где Р — равнодействующая нагрузки, распределенной по контуру;
d — толщина пластинки.
При нагрузке, распределенной по нсей поверхности пластинки,
используют формулы
^	A57)
A58)
где q — нагрузка, приходящаяся на единицу площади; h — толщина
пластинки. Значения коэффициентов С1 и С2 приведены в табл. 39.
.19. К
РИС. 22
а
6
г
д
е
к
Рис. 22
а
д
Ж
к
оэффнцненты (', и С г
i~ - I.2S
а
С,
1,10
0,66
0,135
0,122
0,090
0.115
0.592
0,227
0,1 »4
0,1 OS
Си
0.341
0,202
0,00231
о.оо 34 :i
0,00077
0,00129
0.184
0,00510
0,00504
0.00199
1,88
3,34
2,15
1,21
1,54
о,?оз
1,880
1,205
0.673
O.G37
Сх
0.734
1,290
0,293
0,291
0,110
0,062
0,82-1
0.20У
0,172
0,130
в уравнен
Ь
с.
1,26
1,1 У
0,410
0,220
0,976
0,428
0.320
0,25')
2,17
4.30
2,9?!
1,45
2.23
0,933
2,08
1.С11
l.OL'i
о ; i и
иях A55)--
= 1,5
с,
0,51!)
0,491
U. 0183
0,0313
0,0062
0,00fi4
0,414
0,0249
0,0242
AT.R) при
Ь
а
с\
1,48
2,04
1,04
0,74
0,71
О,4О=>
1,410
0,734
0,454
0,0139 0.4Ь0
— 4
0,724
1,300
0,448
0,417
0,179
0,092
0,830
0,217
0, Hil'
2, :\.\
5.10
1,'59
2,60
1. 13
2.19
1.745
1. 10 Я
0, 730
V - 0.3)
с,
0.672
0,902
0,0438
0,1250
0,0329
0,0237
0,604
0,0877
0.0810
O.U575
'¦¦.
0,704
1,310
0,564
0,492
0,234
0, 1L4
0.813
0.350
0,238
0, 175
Круглая пластинка шарннрно оперта по
контуру; нагрузка распределена равномерно
по окружности радиуса d (рис. 23). Прогиб для на-
наружной части пластинки (г ^ d) [13)
f.t, ,./. , 1 l-v i2 — d= \ .
щ ~ ¦
SnD
I —v
A59)

Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
где Р — полная приложенная нагрузка.
Прогибы внутренней части
A6!)
Круглая пластин»
и а и о контуру,
нагрузка распределена равномерно по окруж-
окружности радиуса d (рис. 24). Прогиб для внешней части (г ^ d)
A62)

Круглые пластинки
для внутренней части
Момент у контура
В уравнениях A62)—A64) через Р обозначена равнодействующая
приложенной нагрузки.
ГИГ
Круглая пластинка ш а р и и р н о оперта
контуру, нагрузка равномерно распредел
в централь!! ой части по площади круга
ди у с а d (рис. 25). Прогиб в центре
3— 1.03и2 -|-0,68а* In
-?~_
Напряжения в центре
Or. и = оф, „ = A.5 — 0,262аг —
— 1,95 in а) д (~)" . A66)
Напряжения у контура
Круглая пластинка защемлена по контуру, на-
нагрузка равномерно распределена в центральной
части по площади круга радиуса й. Принимаем d/b^i.
Прогиб в центре
(ш)г=и= (О.иЗ —0,51а3 -1-0,68а2 In а) -^j^-.	{1Щ
Напряжения в центре
и = 0,49 {а2 - 4 In ct) 9 (^)" •

572	Изгиб а осесимметричное растяжение пластинок
Напряжения у контура
A70)
Круглая пластинка шарнир и о оперта по
контуру, нагрузка Р сосредоточена в центре.
Прогиб в центре
Максимальные растягивающие напряжения
о», = -?@,68 .„-*.+'-«О-
A73)
Круглая пластинка защемлена по кон-
контуру, нагрузка Р сосредоточена в центре.
Прогиб в центре
Максимальные растягивающие напряжения
A74)
A75)
Круглая пластинка под действием произволь-
произвольной о с I' с и м м е т р и ч и о й нагрузки. Интегрируя уравне-
уравнение A29) для пластинки с отверстием при граничных условиях
Мг (а) = Мга\ Мг (ft) =- М,ь.	A76)
где Мга и ;Vf,rft — заданные значении изгибающих моментов (на еди-
единицу длины), получим
- [Ф, (М т Ф2 (Sll-js^-jr A + тг) -I- <">! М - Ф« С). С78'

Расчет пластинок различного очертания
где функции нагрузки
Ф2 (г) = -
A80)
здесь Q (г) — перерезывающая сила в сечении г (па единицу длины).
Для пластинки без центрального отверстия при граничных услониях
Мг @) = My (Э); М,(Ь)*=Мгь	081)
будем иметь
Мг(г)= М,ь—Ф,(й)—Фя(&)+Ф1 (г)+Ф2М; A82)
) — Ф, (
A83)
где функции нагрузки определяются равенствами A79) и A80) при
о=0. В центре пластинки (г = 0)
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК РАЗЛИЧНОГО ОЧЕРТАНИЯ
Условные обозначения закрепления краев пластинок см. ни рис. 5.
Пластинка, имеющая форму с е к i о р а круга,
шарнирно оперта по контуру; нагрузка рав-
равномерно распределена но всей поверхности.
Прогибы и изгибающие моменты определяют по формулам A3]
w — С, -
A81)
Mr = Ctqb2;
A85)
где Ь — радиус сектора; h— толщина пластинки; (/—-интенсивность
нагрузки. Значения коэффициентом С,— С3 для различных углов ~Г
пластинки-сектора для точек, взятых на оси симметрии сектора, приве-
приведены в табл. 40.
Пластинка, имеющая форму сектора круга,
защемлена по дуге контура и ша р п и р н о
оперта по прямолинейным краям; нагрузка
равномерно распределена по всей поверхно-
поверхности. Для такого случая справедливы формулы A84) и A85); значения
коэффициентов С, и Сг для тичек на оси симметрии сектора приведены
в табл. 41.

Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
(тора (v - 0.3)
k
т
л
т
».
я
=•
г 1
С,
[.¦.00001.
...,H0,,)
O.OO09S
О.ОО5В9
0,000-i'J
О.О00&2
0, 002 0j
0.00500
-(,'.(,(,,:.
—0,0025
+ 0,00.6
0.0G'J2
/ ]
1) J
f-г
U. 0 1 U i
0,0381
A.0С17
с,
u.OO.,
0.0177
0,0319
0,035/
0.0 [ liG
0.02 Li
0,0286
0.046Й
г 1
<:>
¦'.OIKr i ;
0.000 BO
0,00225
A,00811
с,
Л0№
0.0 НУ
0,0353
0.086»
с,
U.0I83
0,0255
0,0^52
0,0515
c,
и
0
0
0
С а
О
0
0
0
(-,
О.0025
0, ООН
0,0088
0,0221
41. Значении коэффици
углов ^г пластинки-сект
в формулах ((84) и (ГЯ5) для различггыя
ной по дуге контура и шарнирко опертой
л
л
4
т
л
0
сх
J,| 10005
0.00017
о, ;ji)osa
4
Со
—0,0008
—0.0006
O.OOGB
О, O-I 7 i
Ь
С,
0.1'00 2 6
«1.40 05 7
0,00132
1.ИН7
=;
f-'i
0,0087
0,0143
0,0272
lJlfl4h-
0,00028
О.ООШ7
0.00082
, ».15:!
с,
0,0107
0,0123
0,0113
0,00!Ъ
0
0
и
С г
—0,0250
—0.0340
—0,0488
-0,0756

Расчет пластинок различного очертания
Пластинка, имеющая форму сектора круга
(~Т*~ "Т")' шаРниР110 оперта по радиальным
краям, дуговой край совершенно свободен;
нагрузка равномерно распределена по нсей
поверхности [13]. Максимальный прогиб имеет место в средней
точке свободного края
ш1ПЯХ =0,0633
qb*
цилиндрическая
•" "	12(l-v)"
жесткость.
Изгибающий момент для этой точки
г
2te
1
Мф = 0,1331 tftfi.
A88)
G
Рис. 26
Пластинка, имеющая фор-
форму равностороннего тре-
треугольника (рис. 26), нагружена равномерно рас-
распределенными по ее контуру моментами М„
A3 J.
Прогиб
м.
х* - ЗуЧ
Ь»") + "гг а'
A89)
где D = — - ¦ fp__—2i~! h —толщина пластинки.
Прогиб в центре тяжести треугольника
Изгибающие моменты
Крутящий момент
н_ 3
''2а
Перерезынающие силы Qx — Qy = 0.
A90)
A91)
(IS?)
AЭЗ)

576	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Пусть 1]л — крутящий момент па стороне ВС; этот момент опре-
определяют по формуле
„0=,МЦ^к(„_КЗл).	A94)
Перерезывающая сила на контуре Qo ~ 0.
Вертикальные реакции по стороне ВС
A95)
По ди\м другим сторонам пластинки действуют такие же равномерно
распределенные реакции.
Сосредоточенные реакции в вершинах треугольника
Я = A _v) У~Ж0.	A96)
Максимальный изгибающий момент
(M,),,w,x^(M,)JL= ^<32-v) .	A97)
Равносторонняя треугольная пластинка
(рис 26) нагружена равномерно распределенным
давлением q [131, Прогиб
A98)
.Максимальный изгибающий момент получается на биссектрисах
углов треугольника. Для точек по оси х при v = 0,3 будет
(Мх)„шх = 0,0248,7а2 (в точке д: = —0.062а);	A99)
(^y)max =¦ 0,0259?а2 (в точке х = 0,129а).	B00)
Моменты в центре пластинки
Mx = My = (l+v -$~.	B01)
Равнисторонннн треугольная пластинка
Срис. 27) нагружена силой Р, сосредоточенной
а центре тяжести. Прогиб под нагрузкой
ш„ = 0.00575-^-.	B02)
На некотором малом расстоянии с от точки приложения нагруз-
нагрузки действуют изгибающие моменты
. _ 0,379 ]	A ~^v) P ; B03)
— II 3791 . С --¦>') P _ B0-1)

Расчет пластинок различного очертания
577
Равност о:р оннняя треугольная пластинка
(рис 28) под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхности. Для опре-
Л
~г5
деления максимального изгибающего момента и момента защемления
в середине защемленного края при v — 0,2 пользуются формулами
Мп = 0,0126?о2;
Му1 = 0,0147 qd1;
М„, = —0,0285.7а2.
B05)
B0S)
B07)
Равносторонняя треугольная пластинка
(рис. 29) под действием гидростатической на-
груз к и. Максимальные изгибающие моменты и моменты защемления
в середине защемленного края при v = 0,2;
Мх1 = 0,0053^;	B08)
Afj, = 0,0035?„о2;	B09)
/И„а = — 0,01 </„о2.	B10)
Равносторонняя треугольная пластинка
(рис. 30) под действием нагрузки, равномерно
Распределенной по всей поверхности. Максимальные
19 Заказ 1С56

578
Изгиб и всесимметрцчное растяжение пластинок
Изгибающие моменты и момент защемления в середине	края при
v = 0.2 определяют по формулам
МА| - 0.0ПЗGа2;	B11)
Ммх = 0,0110^;	B12)
Мпа — —0,02389а-.	B13)
Равносторонняя треугольная пластинка
(рис. 31) нагружена гидростатическим	дапле-
п и е м. Максимальные изгибающие моменты и моменты в середине
краев при v = 0.2 определяют по формулам
МХЛ = —0.0051 </0а2;	B14)
Myi = 0,0034д0а3;	B15)
Мпг=* —0,0091 ?оОа;	B16)
B17)
Пластинка (рис. 32) загружена равномерно по
всей поверхности [13]. Прогибы и моменты в центре пластинки
ш=~ С]-^--	B18)
B19)
Значения коэффициентов Ct и С2 приведены в табл. 42.
42. Коэффициенты С.\, Са в уравнениях B)9) н B19) для прогибов и изгнбиющн:
моментов равномерно нагруженной пластинки, имеющей форму параллелограмм;
и шарнирно опертой по контуру (v = о.а)
0
30
30
45
60
,„
2
2.02
1,92
2
2
2
1.75
1.67
1.414
0.518
с,
0,01013
0.01046
"о! 00938'
0,00796
0.A009+
Г j
0.099 Г!
о.ооеа
'о.Ьячн
0.0772
'J.03J5

Изгиб пластинок на упругом основании
Пластинка (рис. 33) нагружена равномерно
распределенным давлением. Пусть к и [М0),Ш]1 —
Прогиб и изгибающий момент в центре пластинки; (af,),l!ax и (M,)fflax —
соответственно для свободного края; жги ветчины можно определить
по формулам	д
х = Caqa>;
B22)
(AMmax =Ctqd'.	B23)
Значении коэффициентов Сх—С^ приведены в табл. 43.
«. Коэффициенты C,—<:t в формулах B20>—B23> для прогибов и изгибающих'
ф'
О
30
45
60
т
¦1
1.92
2
2
2
1,67
1,41 I
1
0.214
0,1183
0.D70S
0,0180
С,
0.19-»
0,368
0.2У1
0.166
П.224
o,i;«)-i
0,0 ЗЧё
с.
0.508
0, -F7
0,296
0.152
ИЗГИБ ПЛАСТИНОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
На практике часто встречаются пластинки, опирающиеся на упругое
основание (днища резервуаров, фундаментные плиты, бетонные покры-
покрытия автомобильных дорог, взлетно-посадочные полосы аэродромов).
При расчете поперечно-нагруженной пластинки, покоящейся на
упругом основании, кроме действующей нагрузки, необходимо учиты-
учитывать силы реакции, передающиеся от основания к пластинке.
Если следовать гипотезе о пропорциональности интенсивности
реакции основания прогибам а» пластинки, то эта интенсивность реак-
реакции будет равна kw (k — модуль основания, или коэффициент постели).
Величина k имеет размерность давления, отнесенного к единице длины
(кГ/см*).
Прямоугольные пластинки. Дифференциальное уравнение изгиба
где q — интенсивность действующей поперечной нагручки; k — модуль
Основания; D — ——	^	цилиндрическая жесткость; А — тол-
1 пластинки.
12A — V*)

580
Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок.
Рассмотрим несколько примеров. Балка прямоугольного
коробчатого сечения (рис. 34) вдавливается
в упругое основание силами Р. Нижняя пластинка
балки, нагруженная реакциями основания, удерживается вертикаль-
вертикальными стенками балки и вертикальными поперечными диафрагмами.
Края пластинки, параллельные оси у, шарнирио оперты, а два других
края у ~ ± ~^-защемлены |13|.
Пусть ш0 — прогиб краев нижней пластинки, w — прогиб пластинки
относительно плоскости ее краев, Прогиб пластинки будет
^Г1 . тлх Г Akwa
w = » sin 	 —=~- • -
^^	a	Dn
n=i,3.5...	L
.см $„у + Bmshamtf sin $my\,	B25)
al = VyAm + b4 + y2m; 2pJ, - VyAm -f I4 - \lv	B26)
причем
4	B27)
коэффициенты Ат и Bnl определяю! из урав-
уравнении
B28)
B25)
Пластинка (рнс. 35) шарнирно оперта ло всему
контуру н нагружена сосредоточенной силой Р,
приложенной в некоторой точке g, tj [4].
(А„«„ + Вт6т) sh ^JF cos -^ -

Изгиб пластинок на упругом основании
581
Прогиб
X 1 XI sin	i-sin—y!-
rnjix . пли
X sin	sin -¦ „¦— .
a	b
B30)
Если на пластинку (рис. 35) действует равно-
равномерно распределенная нагрузка, то прогиб будет
16?
У У
тлх пли
_^	.en	JL.
sin —	sin
B31)
Бесконечная в плане, покоящаяся на упру-
упругой основании пластинка (рис. 3G) нагружена по
оси х в равноотстоящих одна от другой точ-
точках силами Р. Прогиб
w _	^_ с УГг /'cos-^- -j- sin ^ +
2 У 2 ak	\ У 2	У 2 У
'V	X е~атУ фт cos pr,,y I- <xm sin pniy).	B32)
гДе величилы X, am, pm и Ym определяют по форматам B26) и B27).

58?	Изгиб и осесимметричпое растяжение, пластинок
Из выражения B32) определяют максимальный прогиб, имеющий
место под грузами Р, при jc = — , у = 0 получим
На неограниченную пластинку на упругом
основании действует единственный сосредо-
сосредоточенный груз Р. Максимальный прогиб
фГ	Максимальное давление на упругое
"* основание
?.»,=-?-vlr- *2з5>
На нижней поверхности пластинки под точкой приложения на-
нагрузки действует максимальное растягивающее напряжений. Если
с — радиус круга, по площади которого равномерно распределена
нагрузка Р. то
<<т,)тах — 0,275 A -+- V) -ту Ig j-rf ,	W&i
где ft — толщина пластинки,
при с<^ 1,724А
Ъ = |Л,6с*+ ft2 — 0.675ft;
при с> 1.724А
6= с;
при с = 0 получаем выражение для случая сосредоточенной силы.
Если нагрузка Р распределена по площади квадрата иХи. ю
вместо с необходимо ввести величину 0.57и.
Пол у бесконечная пластинка на упругом
основании нагружена равноотстоящими си-
силами Р, приложенными по ее краю (рис. 37) 113]. F-сли расстояние о
велико, то растягивающее напряжение на нижней поверхности пла-
пластинки под нагрузкой определяют по формуле
(О*)пмх =0,529 A -f 0,54v) -^ Tig ( JL!?L\ —0,7] I . \2'37)
Величину b определяют так же, как и в предыдущем случае, при-
причем с — радиус полукруга, по площади которого равномерно распре-
распределена нагрузка Р.

Изгиб пластинок на упругом основании
583
Бесконечная пластинка на упругом основании,
нагруженная ран но отстоя щи ми и ровными на-
грузками Р, из которых каждая распределена
равномерно по площади прямоугольника иХи
(рис. 38). Прогиб
у?„„ + *)
B38)
ет„ = I при т =h 0, п Ф 0;
или т ^=0, /г = 0;
Круглые пластинки. Введя в уравнение A30) реакцию упругого
основания (—kw)> получим дифференциальное уравнение изгиба пла-
пластинки на упругом основании
ГД6 q — интенсивность поперечной нагрузки; D = —¦¦--	^- ; h —
Толщина пластинки. Обозначим
Ураенснке B39) приведем к ниду
/ d- , 1 d \ f d'-z ,
B11)

584	Изгиб и осесимметричное растяжение пласглинок
Рассмотрим случай пластинки, нагруженной в центре силой Р.
Решением уравнения B41) будет A3|
+ Л2 ! х* - ¦
+ Л:
[у~ 2Мг + гм'.б'.в' ")'п
« +
+ ^[(^~^+4'-6'-8».№ -)'"' +
%.^_J!»^1,..+ ..].
3456
442368
B42)
Постоянные Л|—At определяют из соответствия граничным ус-
условиям.
Если контур круглой пластинки радиуса Ь свободен, то граничны-.'
условия для радиальных моментов |выражение A25)] и соответствующих
перерезывающих сил [формула A25) | можно выразить следующим
образом:
_
йг
d /Л, +_!_.^\ =0.
dr \ dr' т г dr ),-Ь
1243)
Используем еще два условия, относящиеся к центру пластинки:
первое — прогиб в центре пластинки должен иметь конечное значение:
второе — равнодействующая перерезывающих сил, распределенных
по боковой поверхности бесконечно малого круглого цилиндра, выре-
вырезанного из пластинки н ее центре, равна силе Р. Из первого условия
вытекает что о выражении B42) Ая = 0, По второму условию
Qr
B44)

Изгиб пластинок на упругом основании
где е — бесконечна малый радиус. Используя обозначения B40) и
выражение B42) для г, находим окончательно, что для бесконечно ма-
Из соотношений B43) находят остальные постоянные А г и А 2.
Неограниченная большая пластинка на упру-
упругом основании нагружена в центре си л* о и Р.
Прогиб в центре
шг|,ах = -??. .	B45)
Радиальные моменты на некотором расстоянии от нагрузки прини-
принимают отрицательное значение; наибольшее по абсолютной величине
значение отрицательных радиальных моментов равно 0.02Р (при v =
== 0,3). Моменты Мг и Мф будут
.«' = ^r[A+v)(""T"~Y)~4-A-v)]: <2«)
где у = 0,5772157. . . — постоянная Эйлера.
Формулы B46) н B47) неприменимы для точек в непосредственной
близости от центра пластинки.
Если нагрузка Р распределена по площади круга радиуса d, малого
в сравнении с /, то момент Л4тах Для центра бесконечно большой пла-
пластинки будет
д+у)Р/,_ а .. , 1 \
max	^ \ П d	) '
Если нагрузка равномерно распределена по площади малого ква-
квадрата иХи, то момент в центре
Мтах = -Ц—Р fin ~ + 1.177).	B49)

586	Изгиб и асесимметричнае растяжение пластинок
ИЗГИБ ТОЛСТЫХ ПЛИТ
Круглая плита закреплена по контуру и
нагружена равномерно по всей площади. Стрела
прогиба f при шарнирном опирании по контуру [4]
если плита защемлена по контуру, то
где f — стрела прогиба по соответствующей формуле теории тонких
пластинок; (/ — радиус плиты; ft —толщина.
Прямоугольная плита со сторонами а ХЬ.
шарнирно опертая по контуру, нагружена рав-
равномерно распределенным давлением (а ^ Ь).
Стрелу прогиба f определяют по формуле [4]
где / — стрела прогиба, определяемая по соответствующей формуле
теории тонких пластинок.
Коэффициент а принимают:
ь
а
1.0
1.IS
\Л
0.98
1,4
0,87
1,6
о.хо
1.8
U, 75
2.0
0,72
3.0
0.С1
0,62
5,0
0.61
-
0,61
Нормальные напряжения при изгибе шарнирно опертых толстых
плит можно определять по формулам теории тонких пластинок даже
в том случае, если отношение толщины к наименьшему размеру осно-
основания достигает -^-.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНОК
Основные уравнения
Рассмотрим осесимметричное растяжение (сжатие) круглых плас-
тннок (дисков) переменной толщины (рис. 39).
Предполагаем, что пластинка имеет плоскость симметрии; внешние
нагрузки {контурные и центробежные силы) и температурный нагрен
зависят только от радиуса; напряжения распределяются равномерна
по толщине диска; перпендикулярными к срединной плоскости диска

Осссимметричное растяжение пластинок
лапряжениямн можно пренебречь. Допущения справедливы при не
очень резком изменении толщины диска и для относительно тонких
дисков {^<-\г) ¦
Относительные деформации диска в радиальном и (жружиом на-
направлениях (рис. 40J
du
B50)
где и — радиальное смещение точки на радиусе г.
JH4^
Рнс. 40
Рис. 39
Уравнения упругости. На основании закона Гука
€, =
\'а6) +а(;
B52)
-(oe — vor) — а/.
B53)
где о, и пь — радиальное и окружное напряжения; Е — Е (г) — модуль
упругости; v — v (г) — коэффициент Пуассона; а = я (г) ~~ коэффи-
коэффициент линейного расширения материала; t = ^ (г) —температура пла-
пластинки на радиусе г.
В другой форме
B54)
Г.а.1
B55)

Изгиб и осесимметричное растяжение плйстинок
Уравнения равновесия. Условия равновесия элемент» пластинки
(рис. 41):
_L. A. (Ofrft) _ Ofl + q (Л) r = о
B56)
-^r (Oi-Л) — (<Te — ^) ~ i- </ f'') Л = 0,	B57)
6 rhdd* где <? *f) ~ радиальная распределенная
¦ г	нагрузка на единицу объема. Интегри-
j-r{6rrhdB)dr рованием выражения B56) и B57) в пре-
пределах от а до г, где а — внутренний ра-
радиус, можно получить уравнение равнове-
равновесия для круглой пластинки в интеграль-
интегральной форме
— I
\— \ Я (/Ч) h dr\ + ha0ra
B58)
B59)
В частном случае, когда пластинка представляет собой диск,
нагрузка на который вызывается действием собственных центробеж-
центробежных сил
где со — угловая скорость; i> — плотность материала диска.
Уравнение совместности деформаций
напряжениях это уравпение имеет вид
B60)
B61)
-i-(о> — vo,) + а/= ^г{[4" (°»-
B62)

Осесамметричное растяжение пластинок
Уравнение совместности в интегральной форме
г V0 +
аг dr - Eai± -^ | (M- v) f«/ dr
{263)
/ = exp j -y- dr.
В случае v = const
и уравнение совместности B63) примет вид
Лсс/ dr +
В уравнениях B63) и B64) индекс а означает, что рассматривается
значение параметра для радиуса г — а.
Краевые условия. Обычно красные условия для диска на внешнем
контуре относятся к радиальному напряжению
аг (Ь) ¦- о,ь,	{265}
где а,ь — заданное радиальное напряжение на внешнем контуре
(обычно, от действия центробежных сил лопаток).
На внутреннем контуре диска с отверстием краевое условие
о> (а) = а,а,	B66)
где ага — заданное радиальное напряжение. Если отсутствует посадка
Диска на вал, то оуй — 0. При наличии прессовой посадки
ога = -Р-	B67)
где р — давление напрессовки в рабочем состоянии.
Для диска без центрального отверстия (сплошной диск) в центре
Диска радиальное и окружное напряжения будут
a, @J = ай @)	B68)
(условие осевой симметрии).

590	Изгиб и осесимллетричное растяжение пластинок
Основное дифференциальное уравнение для радиального переме-
перемещения. Из уравнений равновесия и соотношений упругости получается
следующее дифференциальное уравнение для радиального перемещения:
B69)
Краевые условия устанавливают в соответствии с равенствами
B65)—B68) и соотношениями B54) и B55).
Основная система дифференциальных уравнении для напряжений.
Для решения задачи «в напряжениях» используют уравнения равнове-
равновесия и уравнения совместности деформаций в напряжениях.
Преимущество решения задачи «й напряжениях» — более простои
вид краевых условий.
Точные решения
Точные решения уравнения B69) изнестны в сравнительно неболь-
небольшом числе случаев [7, II ]. Ниже приведены наиболее важные точные
решения, которые используют также для построения приближенных
решении с помощью разбивки диска на участки.
Диск постоянной толщины (рис. -12). Оснонное дифференциальное
уравнение для диска с постоянными параметрами упругости
I —V2
- ро;-1/
B70)
имеет частные решения
1 --- г; ы3 =
B71)
Диск с центральным отверстием:
?.+ »„„, г»,+ „,_.:°2»2
B72)

Осесимметричное растяжение пластинок	^>!*1
в (г) - -^- j ra< dr.
B73)
B7-1)
ь|дШШЯг
л /«??
t'tt-br
чг?'г \^Л'\
РИС. 42
Сплошной диск без центрального отверстия:
, (г) = ог6
2 _. raj _]_ я [0 (д) — 6 (г)]; B75)
OlW = Ort+3fv ,„,(,._ >±Lv Л
3 +v
+ ?(вF)+0(г)-о/],
B76)

692	Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
П цент])е диска
B77)
Типичное распределение напряжений в диске постоянной толщины
от действия контурных нагрузок, центробежных сил и температуры
показано на рис. 42.
Радиальное перемещение в диске
. 3 + у
B78)
Формула B78) справедлива и для сплошного диска при а = 0.
Диск гиперболического профиля. Толщина диска на радиусе г
(рис. 43, а)
B79)
где тип — постоянные гели-
чины.
При п = 0 толщина диска по-
постоянна; н большинстве практичес-
практических задач п ~S> 0, что соотоетст-
1'ис 43	вует уменьшению диска при уве-
увеличении радиуса.
Основное дифференциальное уравнение для диска с постоянными
параметрами упругости
сГ*и 1 — п du
I -J- \п
—-
B80J

Осесим.кетричное растяжение пластинок
Это уравнение имеет два частных решения
«1= A ua= rk\	B81)
Произвольные постоянные в общем решении определяют из краевых
условий.
Днск конического профиля. Толщина профиля (рис. 43, б)
B82)
' Основное дифференциальное уравнение для диска с постоя ешымк
параметрами упругости
_a_41_iv)_p(|Jrl^_	BЮ)-
Уравнение интегрируют с помощью гипергеометрических рядоо
[3. 7, 101.
Диск составного профиля из ступицы и обода постоянной толщины
и полотна в виде диска конического профиля. Решение и таблицы
для расчета указаны в работе [2|.
Напряжения и деформации в дисках с произвольным изменением
толщины
Методы расчета па прочность диском неременной толщины применяют
при проектировании паровых и газовых турбин, компрессоров и т. д.
Температурные напряжения в дисках, изменение параметров упругости
вдоль радиуса, учет пластичности и ползучести материала см. в рабо-
работах [1, 6, 9], а также в более ранних работах [10]. Существует
свыше 50 методов определения напряжений в дисках. Эти методы можно
разделить на три группы: аппроксимации, конечных разностей, инте-
интегральные.
Методы аппроксимации. В этих методах реальный профиль диска
•ппроксимируют участками с другими законами изменения толщины,
ДЛЯ которых известно точное решение.
Аппроксимация участками постоянной т о л -
*1 и н ы (рис. 44). Существует большое число различных видоизменений
•toro способа, отличающихся алгоритмом расчета (методы Доната,

594
Изгиб и осссиммаиричное растяжение пластинок
Граммсля. Яновского и лр.) Наиболее употребителен способ, идея
которого близка к методу начальных параметров.
На основании решения для диска постоянной толщины с постоян-
постоянными параметрами упругости, напряжения н конце /го участка и на-
напряжения на его внутреннем радиусе связаны соотношением
1 = °',Л+П), (
Л,
в',7
О -
B84)
",-ih
Рис. 44
B86)
'—Ч^Ш'+Ч^Ш'+Цг*;
B88)
1 = -т» Г
rtattt) (rit, — rt). B89)
Так как на Лм радиусе происходит скачок толщины, то напряжения
в конце i — 1 участка о>,; и ар,,- связаны с напряжениями в начале
(-го участка следующими зависимостями:
B91)
Для удовлетворения краевых условий применяют метод двух рас-
расчетов. В первом расчете задаются на начальном радиусе произвольным
значением окружного напряжения Oflfl (i = 0). Значение радиального
напряжения на начальном радиусе или известно (диск с отверстием)
ИЛИ О>0 = Ofl0 (СПЛОШНОЙ ДИСК).
По формулам B84)—B91) от участка к участку находят напряжения
на внешнем "радиусе. Так как радиальное напряжение на ободе при пер-

Осесимметричное растяжение пластинок	595
аде расчете а*.^ не будет равно заданному значению, то проводят второй
насчет, при котором центробежные силы и нагрев считают отсутству-
отсутствующими [вформулах B84) и B85) учитывают дна первых члена]. Напря-
Напряжения второго расчета умножают на коэффициент k, который опреде-
определяют из равенства
4У г *о?1 - а,ь.	B92)
Окончательные напряжения в диске являются суммой напряжений
первого и второго расчета {последние умножают на k). Если требуется
раздельное определение напряжений от центробежных сил и темпе-
рзтурных напряжений, то первый расчет выполняют дважды.
Математическое обоснование метода двух
п ас ч е т о в состоит в следующем. Напряжения первого расчета свя-
связаны с частным решением неоднородного дифференциального уравне-
уравнения диска, напряжения второго расчета — с решением однородного
уравнения.
Аппроксимация участками дисков гипер-
гиперболического или конического профиля. Исполь-
ajjiOT равенства, подобные B84) и B85), ею основанные на точных реше-
решениях для дисков гиперболического или конического профиля. Так как
соответствующие аналитические выражения весьма громоздки, то для
практических расчетов составлены специальные графики.
Подобные графики были приведены в работах Черного и Бакла-
Бакланова, Риса, Тучаркина [14]; в последнее время они составлены за-
заново A2].
• Аппроксимация участками гиперболического или конического про-
профиля не требует использования формул B90) и B91), так как сопряжение
участков проводится плавно, без скачков.
Методы конечных разностей. В этих методах, впервые указан-
указанных для расчета дисков А. Стодолой, дифференциальные уравнения
равновесия и совместности заменяют уравнениями и конечных раз-
разностях.
Если использовать приближенное интегрирование по «правилу пря-
ноугольпиков», то можно получить систему уравнений в следующем
шде
hi 4rj
Различные уточнения в методах конечных разностей получаются
в результате более точных способов вычисления интегралов в уравне-
уравнениях равновесия и совместности в интегральной форме (например,
Использование «правила трапеций» и т. д.).

596	Изгиб и осесамметричное растяжение пластинок
Интегральные методы. Широкое практическое применение полу-
получили методы, использующие дли расчета уравнения равновесии и сов-
совместности в интегральной форме или сводящие их к одному интеграль-
интегральному уравнению (методы Томпсона, Ккнасошвили и др.)
Для решения используют метод последовательных приближений
или метод линейной аппроксимации.
Дополнительные вопросы. Расчет дисков с несимметричными обо-
дами и ступицей изложен в работе [5|.
Напряжения в дисках с радиальными лопатками определяют ме
тодамн, приведенными в работе [1].
ЛИТЕРАТУРА
1- Б и р ¦'е р И. А. Круглые пластинки и оболочки вращении. М.,
Овороягиэ, 1961.
2.	Ьнргер И. А.. Ш о р р Б. Ф-. ШнейдеровичР. М- Расчет
на прочность деталей машин. 1Л , «Машиностроение*, 1966.
3.	Бнцсно К- Б- иГраммельР. Техническая динамика. Т. 2
Л-— М-, ГТТИ, 1952.
4.	В о л ь м и р А. С. Расчет пластинок. Справочник машиностроителя.
Т. 3., ИЗД. 1-е. М.. Машгиз, 1955.
5.	ДемьянушкоИ. В. Расчет дискон С несимметричным ободом н
упицей. Сб. «Прочность и динамика авиационных двигателей*. Вып. 3. М-.
' ши вострое мне», 1966.
6.	КкнасошвнлнР. С. Расчет на прочность дисков турбошшин.
ступицей. Сб. «Прочность и дин;
*Машиног—	"""•
6.	*	 _ _. _
М.. Оборопгиз, 1954.
7.	Коваленко А. Д. Круглые пласгинки переменной толщины.
М., Фмэматгиз, 1959.
8.	Левин А- В. Рабочие лопатки и днекн паровых турбин. М— Л.,
Госэнергоиздат, 19f>3.
9.	М а л и и и и Н. Н, Прочность турбомашнк. М-. Машгнз, 1962.
10.	Мал кип Я- Ф. Профилирование турбинных дисков. М., ОНТИ.
11- Пономареве. Д, идр. Расчеты на прочность в машиностроении.
Т. П. М., Машгиз, 1958.
12. СхубачевскнЙ Г. С. Аниациоиныв газотурбинные двигатели.
М., «Машиностроение», 146S.
сткякн и оболочки- М.. Физматгиз, 1963.
11.	Яновский М. И. Конструирование и расчет нэ прочность дета-
деталей паровых турбин. М-, нзд-оо АН СССР, 1947.
15.	Шнманскнй Ю. А. Справочник по строительной механике
корабля. Т. 2. Л., Судпромгкз, 1958.
16.	Flugge W. Handbook of engineering mechanics. New York—London,

Глава 18
ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ
И МЕМБРАНЫ
Основные зависимости
Выражения для деформаций удлинения н сдвига в срединной по-
поверхности B1:
_ ди \ ( dw \2	_ (Ь г 1 / dw \i ч
ди dv dw dw	I
Координатные оси расположены в соответствии со схемой на рис. 1
гл. 17.
Деформации срединного слоя связаны уравнением совместности
деформаций
дх ду \ дхду .
Кр
1%1)ивизны изогнутой срединной поверхности определяют по фор-
формулам D) и F) гл. 17.
Полные деформации произвольного слоя находят суммированием
деформаций в срединной поверхности и деформаций изгиба:
17.
пределе
ности,
: - Соотнош
поэерхности
пределенных по сечению пластинки (напряжений в срединной поверх-
поверхности, или мембранных напряжений).
: - Соотношения Гука для деформаций и напряжений в срединной
поэерхности
Uy	Ux
V ^ — = 2т<1 -^

598
Гибкир пластинки и мембраны
2A -J. v)
E)
Такие же соотношения справедливы для напряжении и деформаций
изгиба [формулы (9) гл. !7]. Полные напряжения
,,«; тя-т+ти.
F)
Элемент гибкой пластинки, находящейся под действием внешней по-
перечноП нагрузки и всех внутренних усилий, показан на рнс. 1. Через h
равновесия элемента пластинки
обозначена толщина пластинки. Светлыми стрелками нанесены вектор-
моменты; их значения определяют по формулам (II)—A5) гл. 17.
Проектируя все силы на оси х и у, после упрощений получим
дох , дх . дх даи
дх ду	дх ду
Уравнение равновесия в моментах относительно оси у
дх ' ду х
Уравнение равновесия в моментах относительно оси х
G)
(8)

Прямоуги.
гибкие пластин.
599
Сумма проекций всех сил на ось гдля деформиронанного состояния
пластинки
dQx ^Qy , , d'*w . h d2w , d'1
? = 0. A0)
После подстановки значений Q* и Qy из уравнений (8) и (Э) в фор-
формулу A0)- используя зависимости A2) и A5) гл. 17, получим
С"
где Vй— оператор,
Напряжения в срединной поверхности представляют как производ-
«е некоторой функции напряжений Ф:
при подстановке выражений A3) в уравнения равновесия G) последние
выполняются.
После замены в равенстве (II) напряжений ах, о„нт через их зия-
чения в функции напряжений в срединной поверхности Ф уравнении
равновесия приобретает вид
^а--,-х. A4)
Подставлял в уравнение совместности деформаций B) вместо p,v.
и Y выражения A) и используя зависимости A3), получим
(IS)
Уравнения A4) и A5) представляют основную систему нелинейных
Дифференциальных уравнений теории гибких пластинок. Введем
оператор L, который в применении к функциям w, Ф записывают таи:
-— 2-
тогда уравнения (Ы) и A5) можно записать в виде
—	2~ L (w, w).
(Id
A7)
A8)

600
Гибкие пластинки и мембраны
В случае жестких пластинок необходимо принятьФ = 0, тогда урав-
уравнение A4) сводится к линейному уравнению B4) гл. 17.
При расчете мембран изгнбной жесткостью можно пренебречь;
уравнения A4) и {15) для этого случая принимают вкд
дх2
дх* dy2
дхду дхду
B0)
Граничные условия
Край jc = 0 шар пир но оперт; тогда
«,=0=0;
(Мх)х=0 - 0.
Второе условие можно записать в виде
B1)
B2)
Край х = 0 защемлен. При этом
Точки незагруженного края jc=O свободна
смещаются вдоль оси г. В этом случае
Ях - 0.	B6)
Давление на подкрепляющее ребро Rx определяют по формуле C3)
гл. 17. Условие (Щ можно записать в виде
Край *=0 оперт на упругое ребро. При этом
должно быть
«^«»,	B8)
где EJ — жесткость ребра по отношению к изгибу в вертикальной
плоскости.

Прямоугольные гибкие пластинки и мембраны	601
Точки незагруженного края х ~- 0 свободно
смещаются вдоль оси х. В этом случае напряжение ох
вдоль края должно быть
Точки незагруженного края х = О свободно
смещаются вдоль оси у. При этом должно быть
(t)x=0^fJ?®-\ f-_o.	C1)
Края х = Q и х= а закреплены так, что взаим-
взаимное смещение их точек вдоль оси х исклю-
исключено. Тогда должно соблюдаться условие
Согласно первой из зависимостей A) имеем
ди	! / dw \i
ди	1_ »Ф	v_ 3*Ф	I / д-л у
дх ~ Е ' А/2 Е ' дх' 2 \ <*> / '
Если учесть, что взаимное смещение точек краев х = а и х ~~ '
(при фиксированном значении у) будет
ди
dx,
О
то граничное условие в окончательном виде примет вид
C2)
Взаимное смещение краев л — 0 и г = а вдоль
оси х имеет фиксированное значение. Пусть от-
относительное сближение краев равно ех, т. е.
1 ( Г Д'Ф а^ф Е / дш у 1
— I I ^	v -^-з	-^- I ^— ) \ ах — е
C3)

Гибкие пластинки и мембраны
Расчет
Прямоугольная пластинка, шарнирно опер-
опертая по контуру, нагружена давлением, рав-
равномерно распределенным по псей поверхно-
поверхности; контур пластинки не смещается. Координат-
Координатные осн расположены, как показано на рис. 2. Пусть q — интенсивность
поперечной нагрузки; h — толщина пластинки; / — стрела прогиба
(в центре). Безразмерный прогиб в центре и безразмерное давление
обозначим
тогда соотношение для определе
прогиба
C4)
C8)
Коэффициенты С i, C2 приведены в
1бл. I [2].
Максимальные напряжения изгиба в
центре и напряжения в срединной поверхно-
поверхности в центре:
4hf #	—СЕ АН^ ¦
C6)
\ Ь ) '
C7)
Полные напряжения
Численные значения коэффициентов С3—С\ см. в табл. 1.
I. Значения коэффициентов С,—С в формулах C5)—C7) при V
ь
,0
, 1
,2
'а
.5
,6
,7
.8
.9
,0
С,
,82
,53
,34
,21
.11
,05
,00
0,У5
0,93
0,90
0,83
1,33
1,11
0,9Ь
0,84
0,76
0,70
0.65
0,60
0,57
0,54
0.52
с,
1,645
1
1
1
1
0
0
0
0
0
п
416
242
107
000
913
843
784
735
603
658
с*
,645
,587
,544
,510
,4&4
,462
,444
,429
.417
.407
,398
С s
0,615
0,518
0,448
0.392
0,351
0.315
0,288
0,263
0,246
0,230
0,217
С,
0,615
0,600
0,592
0.5В4
0,581
0,574
0,571
0,568
0,567
0,566
0,56ft

Прямоугольны? гибкие пластшши и мембраны
На рис. 3—5 приведены данные для определения стрелы прогиб;],
напряжений н срединной поверхности и напряжений изгиба для квадрат-
квадратной пластинки по результатам уточненного решения \2)\ ил рис. 4—5
обозначено: А — угол пластинки; С — центр.
Прямоугольная пластинка ш а р и и ри о оперта
по контуру и нагружена равномерно по всей
поверхности; края пластинки свободно сме-
смещаются (см. рис. 12). Стрела прогиба и поперечная нагрузка свя-
связаны приближенным com ношением [2)
^У? = 'Л C8)
192A — v=)
Величины ? и <?* определяют но формулам C4).
Q.8 1.1 U i	",4 D.S 1,1 UB ,',0 I
ll,t «,I ',! ',! I
Напряжения в срединной поверхности ст# достигают наибольшего
значения по абсолютной величине у кромок (х = 0, х = а) и по средней
Х = ~9~ } ;
Максимальные изгибные напряжения
«V'<>„.»= 2A-'vi) ?ж('';-
C9)
D0)
н имеют место я центре пластинки, при v — 0.3 эти напряжения будут
вдесь введены безразмерные величины
*	Оу / Ь У	»	Од. и I
Полные напряжения определяют как сумму
"у, 1 = "у + %, а-
D2)
D31

601
Гибкие пластинки и мембраны
Результаты уточненного решения для квадратной пластинки при-
приведены на рис. 6 (для стрелы прогиба) и рис. 7 и 8 для напряжений
в срединной поверхности н напряжений иэгкба [2J. По-прежнему
через А обозначен угол пластинки, через С — центр.
'¦¦
I
j
/
'-
—
'не. 6. Зависимость
(ежду безразмер-
•;;№
W4A"),
V
1>ис,7. Заыкяиость
ным прогибом и ия-
прмжениими в сре-
срединной поверхности
Прямоугольная пластинка, защемленная
по контуру, загружена равномерно распре-
распределенной нагрузкой; края пластинки непо-
неподвижны. Стрелу прогиба определяют из кубического уравне-
уравнения [21
I'll)
Напряжения в срединной поверхности равны сумме напряжений од.,
ст , найденных по формулам D8), и соответственно величин рх, р ,
которые вычисляют по формулам
Зп3
1
{46}
Напряжения изгиба определяют по форигулам теории жестких
пластинок.
Результаты уточненного решения для квадратной пластинки пока-
показаны на рис. 9—11, где С — центр пластинки; В — середина стороны.
Прямоугольная пластинка, защемленная
по контуру, загружена равномерно распре-
распределенной нагрузкой, края пластинки сво-

Прямоугольные гибкие пластинки и мембраны	605
бодно смещаются. Уравнение для определения стрелы про-
прогиба при v = 0,3 имеет вид
D7)
Максимальные напряжения в срединной поверхности будут в центре
пластинки, эти напряжения определяют по формуле
D8)
В формулах D7) и D8) использованы обозначения к формулам
C4) и D2).
Напряжения изгиба рассчитывают по формулам теории жестких
пластинок.
»-
ж
ж
т
/
/
0," 0.8 /.? Кб
кг ко /
Удлиненная пластинка нагружена ранно-
мерно распределенным поперечным давле-
давлением q; ay Ь [2]. Будем пользоваться обозначениями к формулам
C4) и D2). Параметр стрелы прогиба в случае шарнирного опиранин
длинных краев при отсутствии их смещения
D9)
если края защемлены, то
E0)
Напряжения в срединной поверхности Су (ось у параллельна ко-
короткой стороне пластинки)

Гибкие пластинки и мембраны
Если края шарнир но оперты, та максимальные и зги Оные напряже-
напряжении получают нижние волокна посредине пролета:
При защемлении краев напряжения изгиба будут наибольшими
у краев; для верхних волокон напряжения
для нижикх волокон напряжения посредине пролета определяют по
формуле
0* w ._ ' (i _ у2) «?*фЕ.	E4)
Значения и, ipj, i(;a, <pj, фг, х приведены в табл. 2 (для случаев He-
смещающихся краев пластинки); в этой таблице через А обозначена раз-
разница между соседними значениями lg [q* (I —v'-)\.
moo
1000
too
100
«0
и
10
1
II
//
/
у
/
j
-}
- j
4
6
7
ь'ч
i
!
V
,	.
*')-
X
S3
0
(!¦
i
i
j
i
3
<
пнями и срединной поверхности к прогибом
1 удлиненных пластинок; / — с защемлен-
ми краями', :' —с шарнирно опертыми края-
3 — С защемленными и шарнирно опертыми
нок с защемлен
йни; 3 — напри
средине пролег;
Зависимости между нагрузкой, напряжениями в срединной поверх-
поверхности и прогибом показаны на рис. 12. а между напряжениями изгиба
я прогибом — на рис. 13.
Квадратная мембрана, опертая шарнирно
и о контуру, нагружена по всей поверхности

Прямоугольные гибкие пластинки и мембраны	607
2. Вспомоп
-
0
0.5
1.0
1.5
2,0
2.5
3,0
Л
4,0
4,5
5.0
5.5
6,1)
7,5
«.0
».ь
9.0
10
11
12
14
15
10
1»
19
20
Нагрузка
0,111
0.517
0,827
1,089
1.S14
1,684
1,845
1,986
2.114
2,232
2,340
2,440
2,533
2,620
2,702
2,779
2.852
2,921
2,986
3,108
3,220
3,323
3,419
3,509
3,392
3,670
3,744
3,814
3,881
227
198
156
128
J00
93
65
122
103
96
70
67
3 *;-
х !
h-
0.783
1,114
1,337
1,519
1,826
1,960
2,084
2.199
2,306
2,406
2.499
2,587
2,669
2,747
2.821
2.891
2.958
3,021
3,082
3,195
3.300
3.397
3.487
3.572
3,652
3,727
3,798
3,865
3,928
331
161
146
124
115
107
ftR
67
61
90
8Б
Стри-ли
5
D.
1.000
0,908
0,711
0,532
0,380
0,213
O.iOG
0.132
0,107
О.ОКЙ
0,074
0,063
0,054
0,047
0,041
0.036
0.032
0,029
0,026
0,0235
0,0195
0,0104
0,0140
0,0121
0,0106
0,00930
0.00825
0,00736
0,00661
0,00597
npmi.6.1
я
Г) X
1.000
0.976
0,909
0.817
0,715
0,529
0.453
0,388
0.335
0,291
0,254
0,223
0,197
0,175
0,156
O.Hi
0.127
0.115
0,105
0,0960
0,081 1
0.0694
0,0601
O.O525
0,046?
0,041A
О.ОЗбй
0,0329
0,0297
0.0270
астипок
Напряж<;1
посередине
пролет;!
x
II»
.000
0,905
0,704
0,511
U67
0,200
0.153
0,120
0,097
0.D70
0.066
0.055
.047
,041
,036
0.031
0,028
,025
.022
,0200
,0166
,0139
0,011ft
0.0102
0,00880
.00781
,00692
,00617
,00554
.00500
iff
1,00A
0.972
0.894
0.788
0,67^
0,467
0.386
0,320
0,267
0.221
0, 1R9
0,162
0,121
0,106
0,093
0,083
0.074
0.066
0,0599
0,0496
0,0417
0,355
O.O3OG
0,0267
0,A235
0.020R
0,0185
0,0166
O.OloO
in
1
rt ex
1,000
0.984
0.9IW
0,876
0,806
0.736
0,672
0,614
o,5«;i
0.019
0,480
0,446
0,417
A,391
0,367
0,347
0.32 Я
0.311
0,206
0.283
0,270
0,248
0,229
0.2U
0.199
0.1 fi7
0.176
0, Iftfi
0,158
0.150
0.142
равномерно распределенным давлением ин-
интенсивностью q; края мембраны неподвижны.
Применяем обозначения к формулам C4) и D2). Прогиб
E5)
Напряжения в срединной поверхности для центра пластинки
а* ^ а* — 3.4;".	E6)
¦ Прямоугольная	мембрана.	получившая
предварительное натяжение в своей пло-
плоскости, нагружена равномерно распределен-
распределенным дан лен и ем (рис. J4) Ц |. Предварительные напряжения
Ох =* о„ = а.

Гибкие пластинки и мембраны
Стрелу прогиба определяют по формуле
S ~ я«	Г
Ы: «*=-в-(х)-
Удлиненная абсолютно гиб-
гибкая пластинка нагружена рав-
равномерно распределенной на-
нагрузкой; кромки неподвижны.
Стрела прогиба
3 —
(L -v2).
Напряжение в срединной поверхности (в центре пластинки)
E8)
E9)
В формулах E8) и E9) использованы обозначения к формулам
C4) и D2)/
КРУГЛЫЕ ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ИЗГИБЕ
Основные зависимости и граничные условия
Воспользуемся системой координат, принятой при рассмотрении
изгиба жестких пластинок (см. рис. 18 гл. 17). Введем следующие обо-
обозначения; и — радиальное перемещение точек срединной поверхности;
?г -— деформация удлинения в радиальном направлении; еф—'дефор-
еф—'деформация удлинения в направлении, перпендикулярном к радиусу. Де-
Деформации в срединной поверхности [2]
,Г = ^^Ч^,	<бо)
*Ф = ^-	F1)
Деформация сдвига при осесимметричном изгибе равна нулю. Из
зависимостей F0) и F1) вытекает уравнение совместности деформации
?(,„-.г) = _-'-(-?.I.	F2)

Пластинки и мембраны при осесимметртном изгибе 609
Кривизны -лТ и хф срединной поверхности определяют по форму-
формулам A19)—-A12) гл. 17; кривизна кручения х рання нулю.
Напряжения в срединной понерхноети связаны с деформациями за-
зависимостями
а, = [ _v2 (e, -f ve,,);
F3)
F4)
Изгибающие моменты определяют выражениями A23)—A26) гл. 17.
На рис. 15 показан элемент пластинки, ограниченный двумя радиаль-
Рис. 15. Ус|
шдш и двумя дуговыми сечениями со всеми действующими усилиями;
q — интенсивность поперечной нагрузки.
Уравнение равнон^сия в проекциях на ось х (ось проведена через
середину внешней дуги и совпадает с направлением радиуса)
(/¦с,) — оф = 0.
F5)
Уравнение моментов относительно оси у
Уравнение равновесия в проекциях на ось г (рис. 16) имеет следу-
следующий окончательный вид:
Q = W — /юД
F7)
где V — функция нагрузки:
* = — j Ч' <1г.

Гибкие пластинки и мембраны
Сопоставляя зависимости F6) н F7). получ
F9)
Используя выражения A25) и A26) гл. 17 для изгибающих моментов,
уравнение F9) приводим к виду
-Ла,0
G0)
r	dr
V / ®Т*Г^ \\f	Введем функцию	напряжений Ф по
n^XjjJ^ V	формулам
Т	1 ^ф	d^O
уравнение равновесий F5) при этом будет удовлетворено. Тогда вы-
выражение G1) будет иметь вид
G3)
оператор у3 отвечает формуле
1 i ( dw \
	I г — j
r dr \ dr j
Выражения для деформаций, определяемые из зависимостей F3)
и F4), подставим в уравнение F2), пользуясь функцией напряжений.
уравнению совместности деформаций придадим следующий вид:
г ' dr'
G5)

Пластинки и мембраны при осесимметричном изгибе 611
Следовательно, основная система дифференциальных уравнений
для круглой гибкой пластинки Лудет
„ d	,,, h (!Ф dw
П~ (V*w) - V + -—.-?_._;	G5)
Для жесткой пластинки малого прогиба уравнение G7) отпадает,
а уравнение G6) переходит в уравнение A30) гл. 17.
Для абсолютно гибкой пластинки в уравнении GC) можно пре-
пренебречь членом, содержащим D. тогда
7?-<*«»--а--(¦?¦)'• е*
Рассмотрим граничные условия. При шарнирном опиралин по ko:i-
туру пластинки радиуса Ь
\ dr* ' r dr 1,=ь
Если пластинка защемлена по контуру, то должно бьпъ
Н,_& = 0;	(82)
Д|1Я пластинки, не имеющей центрального отверстия, можно до
бавить условие отсутствия поворота нормали в центре пластинки
<e>->=-(-?-L,-a	(S4)
В случае, если смещение точек контура в радиальном направлении
^невозможно, должно выполняться условие
(«),_<, = 0.	(85)
Используя зависимости F1). F3), F4) и G2), получим
Г	\ dfL	Г йТ } '

Гибкие пластинки и мембраны
а условие (85) можно записать в виде
Условием, выражающим возможность свободного радиального сме-
смешения контура, будет
<*>-.-Н-?)„,-о
Отметим еще одно условие для функции Ф — условие ограничен-
. с*Ф
ности производной -j— для всей площади пластинки, в частности,
при т — 0. Величина о> также является ограниченной, тогда из выра-
выражений G2) вытекает условие
Расчет
Круглая пластинка нагружена равномерно
по всей площади [2]. Обозначим через д' интенсивность попе-
поперечной нагрузки. Уравнение для определения стрелы прогиба (в центре)
имеет вид
CjjP + СгЪ = д*.	(90)
где
«•--?-D-У;	№
здесь Ъ — радиус пластинки; Л—толщина.
Коэффициенты Сх и Са приведены в табл. 3.
3.
Коэффициенты f.
Граничные
8!
m
ags
V
х'&
I!
le
условия
сКХУ"о
скользит
Контур не
смещается
Контур
свободно
скользит
Контур не
смещается
1 —С
0,376
2,660
0.Й57
, и формулах
С,
1,436
1,436
5,862
5,862
В це
с„=с,
1,778
1,778
2,860
2,860
(Oil), (92) и (9
игре
cs = ce
A,295
0,005
0,500
0,976
'-а
0
0
4,400
4,100
3) при
У к
С
0,735
0,755
1,320
1,320
V =
>нтура
С
(I
0,610
0
0,476
,3
с.
—0,427
0.18;-
—0.33J
0,14о

Пластинки и мембраны при осасимметричном изгибе 613
Напряжения изгиба о,,„. оф,н и напряжения а срединной поверх-
поверхности о>, <Тф находят по формулам
„ д. ft/	r r Л/
пл,A — (-з': -ту ; Оф..( — с4л -r-jT ;	(92)
Полные напряжении
а,. „ — оЛ „ + аг; оФ, л = оф1 и + (тф.
@3)
(94)
¦ Значения коэффициентов Ся — Сс приведены в таб.т. 3; знак минус
относится к сжимающим напряжениям.
¦ Круглая пластинка под действием попереч-
поперечной силы Р, сосредоточенной в центре [2]. Стрелу
прогиба определяют из кубического уравнения
А&+ Я?= Р*,	(95J
Коэффициенты А а В приведены в табл. 4.
4. Коэффициенты А. И, а. В, у. А в фирчулах (95) (97), V = 0-3
КОЯ
I!
Шаря
эакрег
1
|
Условия
r?p!i1?x точек
Топки кон-
контура свобод-
свободно смеща ют-
Точки кон-
контура не сме-
смещаются
Точки кон-
контура свобод-
Точки кон-
контура не сме-
смещаются
0,157
0,825
0,294
0,651
0,577
0.577
1.47
1.47
В Цен-
Центре
V=5
0.407
0.895
0.875
1,232
и
0
0
2.196
2,198
У ко
Р
0.606
0,606
0.65D
0,659
нтура
Y
0
0.48&
0
0..157
б
-0,341
0,147
—0.250
0.107
Напряжения изгиба и напряжения в срединной поверхности находят
оо формулам
<?„ = «:. <?,« = ге:	(96)

Гибкие пластинки и мембраны
элесь внедены безразмерные параметры
Значения коэффищ|еитов а, р, -у. ^ берут по табл. 4.
Круглая мембрана радиуса Ъ нагружена
равномерно распределенным поперечным да-
клением; контур мембраны не смещается. Вели-
Величина прогиба в центре
(98)
Максимальное напряжение в центре
та^= 0,423 /ЦЁ)
(99)
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бубнов И- Г. Труды по
2.	В о л ь н и р А. С. Гибкие пластг
3.	Новожилов В. В. Основь
Гостсянздат, 1946.
4.	П а п к о в И ч П. Ф. Труды по с
Л.. Судпроыгиз, 1962-
кк и оболочки. М., Фнзматгжэ, 1963.
еорни пластин. М-, Гостехиадат, 1953.
гинкя И оболочки. М-, Гостехиздат, 1956.
аы нел ине Нно fi теор и И упругости. М.,

Глава 19
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЯХ
Основные положения
Исходные гипотезы. Теория изгиба пластинок за пределом упру-
упругости исходит из тех же геометрических представлении, что и теория
упругих пластинок: а) срединная плоскость не удлиняется; ее точки по-
получают лишь вертикальное смещение — прогиб w (x, у); б) прогиб w
нал по сравнению с толщиной пластинки h (рис. ]); в) линейные эле-
элементы, перпендикулярные до деформации к срединной плоскости, после
деформации переходят в лилейные элементы, перпендикулярные к сре-
срединной поверхности.
Расчеты, основанные на этих предположе-
предположениях, приводят к удовлетворительным ре-
результатам для пластин средней толщины.
Согласно приведенным гипотезам состав-
составляющие смещения будут
dw	dw
где г отсчитывают от срединной поверхности
(см. рис. 1).
Компоненты деформации
е.х = zkx; гу = zv.y\ уху — 1гкХу\ yxz = ууг = 0;	B)
Здесь введены кривизны срединной поверхности
Шду'
C)
Моменты и поперечные силы. В поперечных сечениях пластинки
напряжения приводятся к изгибающим моментам Мх, My, крутящему
моменту И и поперечным силам QK, Qy (см. гл. 17).

616 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
Названные величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям
ра внонесия
где д {х, у) -— распределенная нагрузка
Из равенсто D) вытекает уравнение
Работа деформации пластины (на единицу площади)
А = Л^и* -Ь МуУ.у + 2НкХу.	F)
Для всей пластины
Г Г
Контурные условия при упруго-пластическом изгибе имеют та
кой же вид, как н для упругой пластинки (см. гл. 17).
Приведенные выше уравнения необходимо дополнить соотноше-
соотношениями между моментами и кривизнами (или их скоростями); эти соот-
соотношения определяются зависимостями между напряжениями и дефор-
маииями.
Идеально-пластические пластины. Предельная нагрузка
Если материал пластинки следует схеме жестко-пластическоги
тела, то пластинка в момент достижения предельной нагрузки перехо-
переходит в состояние пластического течения. При этом некоторые части пла
станки остаются жесткими. В пластических же зонах выполняется
условие пластичности Мизеса или Треска—Сен-Венаиа (см. гл. 3).
Вместо перемещений u, v, w следует теперь рассматривать ско
рости и, v, w.
Предельное состояние при условии текучести Мизеса. Из уравне-
уравнений теории пластического течения (см. гл. 3) и формул B) следует, что
по величине напряжения ах, ау, %Ху п0 толщине пластинки постоянны
и меняют лишь знак при переходе через нейтральную плоскость. По-
Поэтому (для г>> 0)
А*	.	А*	„ А*
Мх = —т- Ох; Му — — Оу-, И = —г- %Х!/;	(/)
Внося эти значения в условие текучести Мизеса, получаем предель-
предельное условие для пластинки
,11; - МхМу + Ml -f- ЪН2 = М],	ib)
где Мт = -~	предельный изгибающий момент на единицу длины
сечения пластинки,

Расчет пластинок при упруго-пластических деформациях 617
Из уравнений теории пластического течения (см. гл. 3) следуют за-
зависимости для скоростей кривизн;
кх - X BМХ — My); -ky = X BMy — Мх)\ itX]/ = ЗХН; (9)
здесь ^ — произвольный множитель (пропорциональный мощности
пластической деформации).
Предельные нагрузки для некоторых случаев закрепления и на-
гружения пластинок приведены в табл. I.
Предельное состояние при условии текучести Треска—Сен -Вен ана.
Это условие имеет вид
max (|(iil, |(J4;, |О] — оу) — о>,
где ог и оа — главные напряжения. Внося сюда соотношения G),
приходим к соответствующему предельному условию для пластинки
max (|М,|, |Л*а|, \М1 — Л13|) = МТ,	A0)
Зависимости для скоростей кривизны определяются законом ассо-
ассоциированного пластического течения (см. гл. 3).
Предельную нагрузку находят из приведенных выше уравнений
¦равновесия, предельного условия (8) или A0) и соответствующих
зависимостей для скоростей кривизн. Решение этой системы уравнений
связано со значительными трудностями (исключая случай осесимме-
трнчных пластинок). Весьма эффективно применение энергетических
методов (см. гл. 3).
Энергетические методы разыскания предельной нагрузки следуют
ИЗ общих экстремальных теорем (см. гл. 3). Пусть
;	ц — mqQ; q0 = qn (x, у),
где q0 (x, у) — фиксированное распределение давления; гп — параметр
нагрузки.
Верхняя граница предельной нагрузки.
В соответствии с теоремой о верхней границе предельной нагрузки
,(см. гл. 3) всякое кинематически возможное поле скорости ш приводит
к верхней границе предельном нагрузки — кинематически возможному
коэффициенту предельной нагрузки
" '	'"к ~> "V	(П)
причем
Интегрирование проводят по ксей площади пластины. В пластине
могут быть при этом жесткие зоны и могут возникать линии пластн
чйских шарниров.
Нижняя граница предельной нагрузки. Венков
Распределение во всей пластине моментоз Мх, My, г/, удовлетворяющее

ыв
Расчет
пластинок
Ф<
с
ру
учетам
ула
пластичности
Схем л
ы
по.гзучести
Формула
I	<Ш-
6Л1 г
Q= tMM-SO
Круглые заделанные пластины
Длч полигон.|льной лласгиакн п — число сторон.

Расчет пластинок при упруго-пластических деформациях 619
дифференциальному уравнению равновесия E) при некотором зна-
значении т = ms, силовым граничным условиям и неравенству:
М\ — МхМи + /И* + З//2 ^ М2Т
.приводит К нижней границе
т.$ ^ nif -	O'i)
Осесимметричные пластины {рнс. 2). В случае изгиба осесимме-
тричных пластин основные соотношения упрощаются. Предельное
условие (8) принимает вид
м; — MrMv -|- м\ = M2lt	A4)
где г, 9 — полярные координаты; это — уравнение эллипса (рис. 3).
Рис. 2	Рис. 3. Эллипс Мидеса
и шестиугольник Треска —
Сен-Венана
Дис)х[)ереициальное уравнение равновесия имеет вид
dMr Мг — Mv
dr "'"	г	"" Уг'
где поперечное усилие
A5)
AС)
Соотношения (9) можно переписать в форме
it, = X @М, - Mv); хф = X B,ИФ - Мг),
при тем
1	^ ' .-	' d<"
*'~ dr* • X<f~ r dr '
A7)
A8)
Приведенные соотношения вместе с соответствующими граничными
условиями позволяют определить изгибающие моменты, предельную
нагрузку и картину течения в предельном состоянии.

620 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
Верхняя граница предельной нагрузки теперь определяется фор-
формулой
A9)
При определении нижней границы необходимо исходить из урашге-
ннн равновесия A5), предельного у слети я A4) в форме нерапенства и
силовых граничных условий.
При условии текучести Треска—Сен-Ве-
Треска—Сен-Вена и а решение значительно упрощается. Предельное условие имеет вид
тал- (| М, |. | Мф |. | М, - /Иф |) = МТ	B0)
и изображается на плоскости МГ1 Л4ф шестиугольником, вписанным
в эллипс Мизеса (см. рис. 3). Скорости кривизн хг, хф определяются
ассоциированным законом течения [9].
Упруго-пластический изгиб пластинок
Общие замечания. Материал пластинки следует идеальной упруго-
пластической схеме {см. гл. 3, рис. 4, о). При достаточно большой
нагрузке пластинка испытывает упруго-пластический изгиб. При этом
в пластинке будут сечения, деформируемые упруго и упруго-пласти-
<к?ски. В областях пластинки, де-
деформируемых упруго, прогиб опи-
описывается дифференциальным урав-
уравнением
B1)
Рис. 4. Зависимость
нагрузки при унруго-
нэгнбе опертой кругл
под действием равнп
где ДД — бигармонический опера-
оператор; D — жесткость пластины.
В упруго-пластических облас-
областях пластинки прогиб а/ опреде-
определяется сложным нелинейным диф-
дифференциальным уравнением чет-
четвертого порядка. Интегрирование
последнего может быть проведено трудоемкими численными методами
или методом последовательных приближений D]. Несколько более
удобен вариационный метод.
Осеснмметрнчные пластинки. Для осесимметричных пластинок
задача упрощается, по требует все же значительных вычислений.
На рис, 4 приведены результаты решения задачи упруго-пластического
изгиба круглой пластинки, опертой по контуру и загруженной равно-
равномерным давлением q; решение получело на основе теории упруго-пла-
упруго-пластических деформаций [8J. По оси ординат отложен безразмерный про-
прогиб в центре w0 ~ -^—^ w, где G — модуль сдвига; по оси абсцисс

Расчет пластинок при упруго-пластических деформациях 621
отложена безразмерная нагрузка q0 — —-гз— q. При (?„< 5,7 пластинка
деформируется упруго; при <уо>5,7 прогиб нарастает быстрее чем
нагрузка,
Изгиб пластинок кз упрочняющегося материала
Основные соотношения. Расчет упрочняющихся пластин по теории
пластического течения требует большой вычислительной работы.
Поэтому, как правило, используют уравнения теории упруго-пласти-
упруго-пластических деформаций. Для упрощения задачи принимают условие не-
несжимаемости. Уравнения изгиба пластин при общей зависимости между
ннтексивкостями напряжений к деформаций приведены в работе D].
Эти зависимости существенно упрощаются для случая степенного
закона
у? = Вт™ или т, = 'Byf,	B2)
где т, В — постоянные, причем [i =	; В "¦= В~~^.
На основании упругой аналогии (см. гл. 4) задачи о пластическом
изгибе и ползучести пластин имеют аналогичные математические
формулировки. Ползучесть изгибаемых пластин при степенном законе
подробно рассмотрена на стр. F23), приводимые в ней решения можно
переносить на случай пластической деформации пластин, если вместо
скорости прогиба w писать прогиб ю, а постоянной В придавать зна-
значение, соответствующее закону B2).
Решения частных задач приведены в табл. 2.
При степенном законе зависимости между моментами и кривиз-
кривизнами имеют вид
М, = Dx»-1 (х* -Ь — ху^ ; My - D*»-1 (у.у + -1- иг) ;
И =~Dn^-^xy,	B3)
_ Bfr+v-
где введены жесткость пластины и — -уг—,— и параметр кривизны
Внося зависимости B3) в уравнение E), получим дифференциальное
уравнение прогиба w; это будет нелинейное уравнение четвертого по-
порядка, переходящее при т — 1 в классическое уравнение B1). Решение
этого нелинейного ураннення наталкивается на большие трудности и
реализуется численными способами или методом последоват—ьных
приближении (метод «упругих решений»).

622 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
прогиб.1 и напряж
x- V ['¦'• \ 12 V 13/JS, ,'
График А, На рис. ?.
Напряжения вычисляются по формула]
Изгибающие моменты
где Р = -J--
Гра1нк К (м) ми рис. а.
]Г;1иГ»»1ьи1не напряжении в центре (р.О)
В центре
Гряфнк 5, из рнс. 7
А /13 I. 12 (ЛЗ Л5, /
График .Ss на рис. 7.
Напряжения вычисляют по формулам C1),
l изгибающие моменты по формулам C0), причем
W = ЫГц A — Рг>°.
График S4 на рн
Наружного края
026
О ~ 12 \ 24nDS
где Р — полное усилие.
Графики S» в зависимо

Расчет пластинок при деформациях ползучести	62.1
Вариационное уравнение прогиба пластинки, вытекающее из прин-
принципа минимума полной энергии (см. гл. 3), имеет вид
—:	 и1"*"'1 dxdy ¦— А — min .	('25)
Работу внешних сил для пластин, края которых оперты, заделалы
или свободны, определяют по формуле
А= \ j" Я (х, у) w dx dy.	BG)
Первое слагаемое в выражении B5) — энергия деформации пла-
пластики U. Грубое приближенное решение легко получить из вариацион-
вариационного уравнении B5), полагая
i2> = CW0,
где w0 — решение для соответствующей упругой задачи. Тогд.1 из
уравнения B5) следует, что
. г А(ш„) V»
Более точные результаты можно получить, применяя модифици-
модифицированный метод Ритца (см. гл. 3).
Использование критерия Треска—Сен-Венана. Определение прогибе»
осесимметричных пластин значительно упрощается при использовании
критерия Треска—Сен-Венана и ассоциированного закона пластиче-
пластического течения (см. гл. 3). При этом возможен численный расчет проги-
прогибов с непосредственным использованием машинной диаграммы растя-
растяжения [3].
Целесообразно применение метода переменных параметров упру
гости, так как в данном случае можно построить решение упругой
задачи с переменными значениями модуля Е по толщине и радиусу
пластинки. Сначала рассматривают решение при Е -- const, затем опре-
определяют секущий модуль (по найденному решению и закону деформации)
и снова решают упругую задачу, но с вычисленным переменным моду-
модулем Е и т. д. (см. работу [11).
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
ПРИ ДЕФОРМАЦИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Уравнения ползучести изгибаемых пластинок
Основные положения. Исходные гипотезы геометрического харак-
характера в теории изгиба пластин в условиях ползучести — те же, что и
в теории упруго-пластического изгиба (см. стр. 615). Пели в основе
расчета лежат уравнения теории старения (см. гл. 4), то расчеты пол-
ползучести пластин в принципе не отличаются от расчета упруго-пласти-
упруго-пластического изгиба пластин при упрочнении; необходимо лишь, используя
изохронные кривые ползучести (см. гл. 4), произвести ряд расчетов для
различных моментов времени.

624 Расчет пластинок с учетом пластичности и Ползучести
При использовании теории течения (см. гл. 4) вместо прогиба w
следует вводить скорость прогиба ш. Зависимости A)— C) сохраняются,
но нужно говорить о скоростях деформации ?,х, . . . и скоростях кри-
кривизн нх, х,,, xXjr Уравнения равновесия D) и E) переносятся без изме-
изменений. Мощность деформации пластины (на единицу площади)
Степенной закон ползучести. В дальнейшем принимается степенной
закон ползучести B2) и уравнения теории течения. Заметим, что при
расчете установившейся ползучести выбор теории ползучести не имеет
значения. Соотношения между моментами и скоростями кривизн имеют
вид формул B3) и B4); необходимо лишь в этих формулах от кривизн
перейти к их скоростям.
Вариационное уравнение скорости прогиба пластины, вытекающее
из принципа минимума полной мощности (см. гл. 1) имеет вид
[ \ -гт—Kl'^dxdy — [ [ q {x, ij)wdxuy=- min,	B8)
Это уравнение аналогично уравнению B5).
Ползучесть осесимметричных пластинок
Основные формулы. В случае осесимметричного изгиба круглых
пластинок (рис. 5) скорость прогиба w (г), а параметр скорости кривизны
' ' \ dr* I+ г йг dr* ' г2 \ dr ) '
B9)
В радиальном и круговом сечениях
на единицу длины действуют изгибаю-
изгибающие моменты
-	1 dm)
-	+ -2ГЧГ}-
1 dw \
C0)
Компоненты напряжения вычисляют через изгибающие моменты
по формулам
(г гг 0).
C1)

Расчет пластинок при деформациях ползучести	625
В область отрицательных значений г напряжения продолжаются
нечетно, а
Изгибающие моменты удовлетворяют дифференциальному уравне-
уравнений рэннонесия
Перерезынаютеи усилие
<33)
Дифференциальнре уравнение скорости прогиба пластинки. Согласно
формулам C1) и C2)
dr
Граничные условия:
шарнирно опертый край w = 0; Мг = 0;
свободный край	Мг = 0; Qr = 0.
C5)
Для решения уравнения C4) могут быть использованы различные
численные методы, в частности —- метод численного решения В. П. Со-
Соколовского [$]. iMoHtiio упростить уравнение для скорости прогиба на
основе критерия максимального касательного напряжения и ассоцииро-
ассоциированного закона течения. Применяется также [61 метод Галеркина;
в данной задаче этот метод приводит к тем же результатам, что и метод
Ритца,
Вариационное уравнение скорости прогиба имеет вид
+И
C6)
где вариация мощности заданных внешних сил
^2я \ q (r) wrdr + 2п [rQ.6wt —2п\ г МЛ-^-1 .
C7)

f>26 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
Скобки [-.-]д означают, что из значения при r~ b необходимо
вычесть значение при г = а. Для граничных условий C5) обе квадрат-
квадратные скобкн в формуле C7) равны нулю
Если пластина изгибается сосредоточенной силой Р, приложенной
в центре, то
дА => P6wa,	C8)
где w0 — скорость прогиба в центре пластины.
Для решения уравнения C6) целесообразно применить метод Ритца,
полагая
w = с1ар1 + с2ш% -+- • - ¦,
где wt, И"г, ... — подходящие функции, удовлетворяющие тем или
иным (в зависимости от задачи) однородным геометрическим усло-
условиям C5); clt c2 — произвольные постоянные. Если удержать только
один параметр clt задача будет иметь простое решение {см. стр. 623).
Решение можно улучшить при помощи модифицированного метола
Ритца (см. гл. 3). Дополнительные указания приведены в работе [5].
Вариационное уравнение для изгибающих моментов вытекает из прин-
принципа минимума дополнительного рассеяния (см. гл. 4) и имеет вид
f (М2Г - МГМ + М2) rdr=min.
C9)
Изгибающие моменты, входящие в уравнение C9), должны удовле-
удовлетворять дифференциальному уравнению равновесия C2) и силокым
граничным условиям (например, Afr = 0 для опертого края). Изгиба-
Изгибающий момент ЛТф определяют из уравнения
Ь
Ма, = —г- (гМг) — f or dr + bQr (b),
ч- dr	J	' '
где Qr (b) — перерезывающее усилие на контуре г = Ь. Для решения
вариационного уравнения C9) можно применить метод Ритца: зада-
задавая Мг в функции некоторого числа произвольных параметров, на-
находить последние из условия минимума C9). Для приближенного
определения напряженного состояния пластины в условиях ползучести
вариационное уравнение C9) более пригодно, чем вариационное
уравнение C6) для скорости прогиба.
Приближенное решение уравнения C9) можно искать также по
схеме с множителем К (т) (см. гл. 4)
Мг - Л*? + К (т) (М'г - МУ); Mv = М\ i- К (т) (Мф - М%), (Щ
где Mr, M — нагибающие моменты в соответствующей упругой задаче:
Л^, М* — моменты для идеально ползучей пластины (т. е. при т-? ос).

Расчет пластинок при деформациях ползучести
627
Тогда скорость прогиба (при условии, что внешний край оперт или
заделан)	^	^^
О неустановившейся нилзучссти пластин. Пои использовании теории
течения неустановившаяся ползучесть пластин может быть изучена
по общему методу (см. гл. -1). Если исходить из теории старения (см.
гл. 4). расчет неустановившейся
ползучести может бить построен
также с помощью функции т (t) или
шш,
¦
ft'
0,3
о,'
-
-
-
ч,
1
4.
I
-.1
1

0,6 в.й
с помощью изохронных кривых ползучести для выбранных фикси-
фиксированных моментов времени. Второй способ более трудоемок.
Ползучесть узких кольцевых пластин. Пусть относительно узкая
1 оперта только по одному внешнему или
внутреннему контуру и свободна
по другому (рис. 6). Действуют
распределенная нагрузка q и кон-
яолыдсиая пластина ( -т- ',
и
и
till
0.2
0
\
\
1
-
3 5
.с. а. График
, 1
г-
-г
if
1
ГУ
Щ
'¦ 1
^ --
эурное усилие Р, равномерно распределенное по краю. Напряже-
- яиси оГ7 обращающимся в нуль при г = а и г = 4, можно пренеб-
пренебрегать, и проводить расчет пластины как скручиваемого кольца. Тогда
отлично от нуля только напряжение
- I, |U—U
ОФ=В1Ц* |г|^ ,	D1)

628 Расчет пластинок е учетом пластичности и ползучести
гл« at — угловая скорость поворота сечения. Величина <¦>, определяемая
по условию статической эквивалентности, будет
• -(¦тТ-	<«>
- - B + 10A-1*)*"	" 'V 2 У "
Напомним, что
Изгибающий момент М определяют по формуле
М = Ра {Ь — а) + — q (b* + a3 — За**),	D3)
Вели пластинка оперта по наружному контуру, то скорость прогиб;!
на внутреннем контуре
w = {Ь — а) со при г = а.	D4)
Максимальное напряжение будет при г = а и | г j = Л
Распределение напряжений при т — 1 соответствует дарормации
упругого кольца. Неустановившуюся ползучесть кольца рассматривают
согласно общему методу [5).
Изложенная схема расчета применима для расчета колец боле)
сложного профиля, в частности для расчета ползучести различных
фланцев, кольцевых крышек и т. д. 15, 6].
Скорость прогиба и напряжения для различных случаев нагруження
и закрепления круглых и кольцевых пластинок приведены в табл. 2.
ЛИТЕРАТУРА
Оборонгнэ, p96L	'	' СХ>Л Ч " ВраЩе
2.	Г в о з де в А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М., Госстройиздат, 1919.
3.	Д у й д е Н к о Б. Н. Расчет круглых пластин ла пределами упру-
упругости. Mas. вузов СССР, «Машиностроение», Л"° 2. 9, 10, 1664.
1. Ильюшин А. А- Пластичность. Гостсхнздат, 1948.
5.	К а ч а н о в Л. М- Теория ползучести. М., Фиэмиттиз, I960.
6.	М а л и Н н н Ы- Н. Расчеты на ползучесть. В кн. Пономаре» С. Д.
и др. «Расчеты на прочность в машиностроении*. Т. И. М-, Машгиз, 5958.
7.	Р ж а к и ц ы и Л. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойсм к
материалов. М., ГастроЯиадат, 19S4.
8.	С о к о л и в с к и й В. R. Теория пластичности. М,, ГИТТЛ. 1930-
9.	X о д ж Ф, Пластический анализ конструкций.
10.	V с el k a t г a m а п ». Hodge. Crccy behaviour of circular pla'- ;
Journ. Appl. Mechan., T. 25, 1, 1958.
11.	Odqvist u. Hult Kriechre^tigkeit metallischer Werksiotfe. Spr i!^
ger.VeMag, 1962.

• НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В ОБОЛОЧКАХ
Более
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Ниже приведены основные эанисимости теории тонких оболочек.
— подробно см. работы [3. 6, 7, 12, 15, 24, 27, 28 и 29).
ГЕОМЕТРИЯ ОБОЛОЧКИ
Оболочками в теории упругости называют тела, один из раамерон
воторых — толщина — мал по сравнению с двумя другими. С геометри-
геометрической стороны оболочка определяется ограничивающими ее лицевыми
В, если она не замкнута, боковыми поверхностями. Обычно оболочку
описывают, задавая ее срединную (рав-	_
цоудаленнуго от лицевых) поверхность,
граничный контур последней и тол-
толщину. Будем считать, что боконэя по-
поверхность образуется отрезком (между
лицевыми поверхностями) нормали к
Срединной поверхности, движущейся
вдоль граничного контура. Тогда
•Мание срединной поверхности, ее
граничного контура и толщины обо-
оболочки полностью определяет геомет-
геометрию оболочки.
- Срединную поверхность отнесем к
криволинейным координатам а, ?, за-
задавая ее векторным равенством
(рис. 1)
7= г (а, Р).	A)
Введем единичные векторы, орты, еп, ер, п, первые два из которых
Исателыш к координатным линиям а и р\ а л — вектор единичной
.фйрмали к серединной поверхности. Для ортогональных координат1
1 дг _ у 1 дг -> г:> -»I
¦ * Соотношения для неортогональных координат приведены ь работа

Общие уравнения теории тонких оболочек
Л =
C)
так называемые параметры Ляме, являющиеся масштабными множите-
множителями в формулах
dsa — A da; dsp = В dp,	D)
снизывающих приращения криволинейных координат с приращениями
дуг соответствующих координатных линий.
Искривленность срединной поверхности характеризуется радиусами
нормальной кривизны Ra, tfp, R^. Первая из них является радиусом
плоской кривой, получающейся при пересечении срединной поверхности
плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную
к линии а. Вторая, соответственно, является радиусом нормального
сечения в направлении нторой координатной линии. Введенные вели-
величины связаны с ради усом-вектором срединной поверхности и ортом
нормали соотношениями
E)
= 0, называют линиями елав-
пых кривизн.
С радиусами кривизны связана очень важная для понимания харак-
характера работы оболочки величина
Координатные линии, к которых
называемая гауссовой кривизной срединной поверхности. Примерам
оболочки, имеющей во всех соонх точках положительную гауссову
кривизну, может служить сферическая оболочка, нулевую — цилиндри-
цилиндрическая и коническая, отрицательную — седлообразная. Встречаются
оболочки и смешанной кривизны, например, горообразная (рис I
гл. 25).
Радиусы кривизны и параметры Л яме связаны между собой соотно-
соотношениями Кодацни—Гаусса
а / а \ 1 а / в* \
) + X--aTl-ff^J
—
да

Деформация оболочки
Если граничный контур не ижнадаит с координатной линией и внеш-
внешняя нормаль к нему составляет с координатной линией (а) некоторый
угол а>, то для нанранлений, характеризуемых {рис. 2) так называемой
тангенциальна^ нормалью х и касательной к контуру Л кривизны
(величины обратные радиусам криннуп) подсчитывают по формулам
1 cos- ы 2 sin ш cos ш , sin- <и
- = sill со ;
I
ми' to
Обозначим через /( толщину оболочки
И через R наиченышш линейный размер
среды иной по Repхиости. Пр и н лто дели ть
оболочки иа тонкие а толстые в зависи-
зависимости от величины отношения -^-. Обыч-
Обычно [15] оболочку относят к тонным при
-jr <C SK • ^та оценка условная,ориенти-
условная,ориентировочная. Теорию топких оболочек прп-
h I 1
меняют и пря -у- ™ — -г- —-,
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ
В линейной теории рассматривают перемещения, малые но сравне-
сравнению с толщиной. Будем определять положение точки в оболочке ее
расстоянием от срединной поверхности по нормали (?) и координатами
основа fin я нормали {п., ft). Введем вектор смещения точек срединной
поверхности
в вектор смещении произвольной точки оболочки
*е$ -г-
A0)
В теории тонких оболочек при рассмотрении деформации оболочки
принимают первую (кинематическую) гипотезу КирхгофаТ согласно ко-
которой волокно, нормальное к срединной поверхности до деформации,
остается нормальным к деформированной срединной поверхности, не
меняя при этом своей длины. Сформулированная гипотеза дает следу-
следующую связь между смещениями точки оболочки и соответствующей ей
точки срединной поверхности:
U1 = и + ;0ц; V" = v т СОн; №'Е = w,	A1)

Общие уравнения теории тонких оболочРК
здесь Оа и ttp два из показанных на рис. 3 четырех углов, онисы-
иающих поворот (в процесс деформации) касательных к координат-
координатным линиям. При этом
1 ди
~B~"W
A2)
_ ша — top _ I { дВу дАи )
A3)
является средним поворотом окрестности рассматриваемой точки сре-
срединной поверхности вокруг нормали к срединной поверхности.
Деформацию же срединной поверхности (ее растяжение и скаши-
скашивание) описывают шесть компонеЕ1тов деформации
1 ди	1 дА	ш	\
"а = —к
дч
1
дВ
A1)

Деформация оболочки
В д I и \ _A_ a I u
A da + Att ' dp B ffaB
(И)
1
Л8 '
"W
act
A5)
Величины е0. eg, Y обычно называют компонентами тангенци-
тангенциальной (иногда цепной, мембранной) деформации. При этом га и eg
являются относительными удлинениями волокон, совпадающих соот-
соответственно с координатными линиями а и Р; Y — характеризуют
сдвиг срединной поверхности, т. е уменьшение первоначально пря-
прямого угла между координатными линиями. Компоненты изгибной
деформации у.а, xg описывают изгиб срединной поверхности а т —
ее скручивание в процессе деформации.
Компоненты деформации не являются независимыми величинами,
а подчиняются уравнениям неразрывности срединной поверхности:
1 дА т дВ
A6)

Общие уравнения теории тонких оболочек
A6)
выведенным из условия, что элемент сре-
срединной поверхности деформируется не-
непрерывно. Уравнения A6) являются также
условиями совместности, гарантирующими
возможность по заданным компонентам
деформации определить из системы урав-
нений {14)—A5) отвечающие им смеще-
смещения.
Перемещения точек граничного эле-
элемента оболочки (рис. 4) определяют век-
вектор смещений точек граничного контура
U
+
wn
A7)
и угол поворота граничного элемента
вокруг касательной к граничному кон-
контуру ¦flv При этом
uv — и cos tt> -г и sin (й; щ = —и sin <o + v cos to;
A8)
д ( ) cos to д ( )
111
A9)
— производная по нор-
мали к граничному контуру.
Дг^юрмацаю граничного элемента описывают четыре компонента
деформации
B0)

Уравнения равновесия
An ¦= COS1' ftWp — 2 Stn W COS (ОТ + Sin ' tDXa )-
*- К1П (i) COS (rt ( ~jj~~ ! -- - J -~	1	" ' - — '^v ;
xtv = sin со cos со (И3 — xa) ¦+¦ (cos* ot — sin- ш) т +
>m: и, cos to \ y cos11 hikb — sin-' b>gn ^ f,(v
( = СО52 <Of.g — Sin tO COS (
B1)
sin (о д( ) cos ад 0 ( )
W	Щ~
производная вдоль граничного контура; *>; — относительное удлинение
граничного контура (см. рис. 4); у.ц — искривление граничного элемента
в своей плоскости; х/л — искривление из плоскости; K;v — скручива-
скручивание граничного элемента.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ, СТАТИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
Используя малость толщины, в теории оболочек заменяют напряже-
напряжения, действующие в нормальном сечении оболочки, статически экви-
эквивалентной системой усилий и моментов, приложенных в срединной по-
поверхности. В результате такой замены рассматривают равновесие сре-
срединной поверхности, нагруженной: а) приведенной к срединной по-
поверхности поверхностней нагрузкой (в расчете на единицу площади
срединной поверхности)
б)	краевыми усилиями
flv) =
в)	краевыми моментами
qnn\
Tv4n:
M
<V)
B2)
B3)
B4)
! Mvvt — Mvtv.
В каждом нормальном сечении оболочки, проведенном в на-
направлении координатной линии, указанная внешняя нагрузка

Общие уравнения теории тонких оболочек
уравновешивается системой усилий и моментов (в расчете па единицу
длины координатной линии)
Величины iVa, A'g. Tvv — называют нормальными усилиями; 7,^,
7"p«, Tvt — сдвигающими, а Qa, Qp, Tvn — перерезывающими усилиями;
Af«, >Mp, AfVv ~¦ изгибающими, а Л*ар. Л1р«. Mv, —скручивающими
моментами.
Положительные направлен и я введенных статических неличин по-
показаны на рис. 5.
Map
Приравнивая нулю главный вектор и главный момент всех действу-
действующих на элемент срединной поверхности воздействий, приходим к двум
векторным уравнениям равновесия
B6)
ае - Tfau] AB = 0, B7)
равносильным шести скалярным. Последнее из них — шестое уравнение
равновесия — имеет следующий вид:
_ Mfjg Ма — Щ = 0
Rfi	Rp
|28>
Как было показано в работе [15], полученное конечное (недифферен-
цнальное) соотношение является интегральной записью условия сим-
симметричности напряжений (Оц? = Ора)' ^МУ можно тождественно удоиле-

Уравнения равновесия
творить, используя первую нэ елмметричных стати чески х величи 11
В. В. Новожилова
7„8 ~.±- Ща + ~ Ма _ ГВО
B9)
Используя введенные симметричные величины и исключая на остав-
оставшихся пяти уравнений перерезывающие усилия QQ н Qp, приходим
К трем уравнениям равновесия
dBNg , J_ дА2Т __ дВ_	*
I / дВМа
д$ ' В ' да др " '
I jdAMf 1 дВгН дА
	I / дВМл
_L дА'н
А ' др "
Ra
2Т _^	i_\_d	I (дВМа 1 АА-Н
RaB+ «в ЛЙЫа" ,4 \ da + Л ' dp
~faMt)+ op '~fi~\ dp т В ' 5a tip
if /1 1 \ ,, /Ma + 'Mpl
+ p— — I ,j- fy 	?	 = 4n-
C0)

638
Общие уравнения теории тонких оболочек
Согласно равенствам B3) и B4) на граничном контуре должны
быть заданы пять статических не.шчин 7"vv, Tvi, Tvn, Mvv, Mvl.
Однако порядок системы дифференциальных уравнении теории обо-
оболочек (восьмой) почволиет \доьлетворить лишь четырем условиям
нл каждом краю. Чтобы преодолеть что противоречие, в теории
тонких оболочек чаменяют систему усилий-моментов B3) н B4) ста-
статически эквивалентной eft системой четырех приведенных величин
(см. рис. 4)
Qvv - Tv, - -
fit, '
sin ct-
cos со (?
C1)
LK'pej усилии-моменты они выражаются по следующим форму-
(Qv - Qwv
<;\,vr= cos-o>A'(i H-2 sin a)cos<i>7" + sin-wA'g :r-
-r sin w cos at f -p- -. -5- J Я — —j5—
(?v( ^- sin to cos (и (Л-'р — iVa) -f- (cos13 w — sin^ w) У -f-
/ cos' ы sin-ы \ , sin- со/Ив — cos2 wAfn AJV;
дВ
fa"
C3)
Id AM
'6 , 1
"r лв \ ар ~ в
AJVV = cos'^ wAlu -|- 2 sin ш cos шИ -\- siir й
(Afvf = (cos2 d> — sin- со) Я — sin a* cos w (Alp — /Wa)].
Для случая, когда граничный контур совпадает с координат-
координатной линией Р в соотношениях A8), A9). B1), C3) надо полагать
ш = 0, если же границей является линия а, то со — -?-.

Свянь между усилиями-моментами и деформацией
По найденным усилиям и моментам значения напряжений опре-
определяются соотношениями
C4)
где равномерно распределенные по толщине напряжения
„IP) _. h'a . _(р> _ Т . _.(р) _ й
C5)
обычно называют тангенциальными (цепными, мембранными), а линейно
меняющиеся по толщине напряжения
6Л1а	,„. QH
о*»> = -
h-
, f
l"' -^
-v
— ичгибными. C6)
При расчетах часто необходимо определить суммарные напряжения
—	Hi	—	(u)	—	I ^"^
При этом величины о"*" отвечают волокнам, примыкающим к mif-imiefi
лицевой понсрхпости ( ^ ~ + —^- J, а О" — к внутренней поверхности
СВЯЗЬ МЕЖДУ УСИЛИЯМИ-МОМЕНТАМИ
И ДЕФОРМАЦИЕЙ
Связь между компонентами деформации и усилиями-моментами
можно получить из обобщенного закона Гука, принимая статическую
Гипотезу Кирхгофа, согласно которой нормальными напряжениями 'на
площадках, параллельных срединной покерхности. можно пренебречь
по сравнению с основными напряжениями оа, Oafj, Og. Получаемые при
этом варианты физического закона отличаются одни от другого различ-
различными малыми членами. В настоящее время считают, что наиболее по-
последовательным является вариант, предложенный В. В. Новожиловым
и несколько позже Л. И. Балабухом:
- VEe); M& --
12(l-v
C8)

Общие уравнения теории тонких оболочек
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Употребляемые н теории оболочек граничные услония очень
ра.чнооГфа.шы. Наиболее употребительные из этих услоний следую-
следующие:
свободный край
Qvv = Qv, = Qvn = 0; Mvv ¦-= 0;	C9)
шарнирный, неподвижно опертый край
Afvv -^ 0; uv = u, — tt- = 0;	D0)
шарнирный, свободный и нормальном направ-
направлении край
A*w = 0; Qvn -0; uv = щ -- 0.	D1)
абсолютно наделанный край
uv = ut = w — О; flv = 0;	D2)
жесткий край
хп - xiv = xw = 0; Btt *= 0	D3)
(в отличие от предыдущего случая здесь край может смещаться как
жесткое целое);
упруго-податливый кран {29 ]
«*---?¦ «---¦?. «--¦?.
(«)
^v + a4ft\)	D5)
— положительно определенная квадратичная форма — так называемый
потмциал обобщенных краевых сил.
Условия упругого сопряжения. Большое значение в теории оболочек
имеют условия упругого сопряжения п оболочек (п > 2) на общей
линии сопряжения. Пусть значок (k) сопровождает величины, отно-
относящиеся к k-i'\ оболочке. Тогда условия сопряжения имеют следующий
= к', = • • ¦ щ , ей =8и =...-—en .	D7)

Метод сил. Статикогеометрическая аналогия	641
Первая группа соотношений ныражает собой услопие уравновешен-
уравновешенности совокупности усилий и моментов, возникающих на "краях сопря-
сопрягаемых оболочек, Вторая отражает требование совместности деформации
сопрягаемых краев. Последние называют деформационными условиями
упругого сопряжения. Часто вместо них используют бокх' привычные
геометрические ус.штя сопряжения
Vdl^fw^ ...=,?<»>; в<,"--#»>=... „«<,">. D8)
Условия D3) и D7) более удобны, поскольку {см. формулы Bi)J
они формулируются в терминах компонент деформации и для того, чтобы
им удовлетворить, нет необходимости а предварительном определении
смещений. Это особенно удобно в задачах, где нас интересует лишь на-
напряженное состояние, но не жесткость оболочки. В задачах, где необхо-
необходимо определять и смещения, удобно подчинить искомое решение сна-
сначала деформационным условиям, а уже затем по найденным компонен-
компонентам деформации определить смещения. В многосвязных оболочках, огра-
ограниченных несколькими замкнутыми контурами, полностью заменить
геометрические условия деформационными нельзя, поскольку н этом
случае жесткое взаимное сближение контуров, определяющее напря-
напряженное состояние, не улавливается деформационными граничными усло-
условиями. Но и а этом случае все же целесообразно часть граничных усло-
условии формулировать как деформационные B8, 29].
Более подробно о граничных услониях см. в работах [15, 28, 29].
МЕТОД СМЕЩЕНИЙ
Этот метод состош в том. что выражения A4), A5) и C8) подставляют
в уравнения ранновесия C0). Полученную систему трех дифференциаль-
дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных интегрируют
при некотором варианте граничных условий, записанных через смеще-
смещения а их производные. Следует, однако, заметить, что полученная си-
система уравнений очень громоздка, даже для оболочек простой формы.
Поэтому в статических задачах ее используют сравнительно редко.
МЕТОД СИЛ СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Более употребительным является метод сил. Он состоит в том, что
к трем уравнениям раннонесия C0) присоединяют уравнения неразрыв-
неразрывности A6), записанные с помощью соотношений C8) через усилия и
моменты. Получас-мая при этом для шести искомых функций (Л'"а, Т,
^0' ^U' Н> ^й) система шести дифференциальных уравнений имеет
также восьмой порядок. Эта система довольно сложна и содержит много
малых, несущественных членов. Для ее упрощения обычно используют
различные соображения физического характера, основанные на име
ищемся представлении о характере работы оболочки. Широко исполь-
используют и так называемую статнку-геометрическую аналогию [7, 28, 29].
согласно которой каждому статическому соотношению (величине)
отвечают соответствующие геометрические (деформационные). Проявле-
Проявлением этой аналогии является то обстоятельство, что однородные уран-
нения равновесия C0) при q(l — qB — qn = 0 переходят в уравнения
21 Заказ ;65o

Общие уравнения теории тонких оболочек
неразрывности срединной поверхности A6) при замене статических
неличин (,Va, jVg, T, Ма, Л1р, И) соотпетственно на деформационные
неличин (Na, Nq, T, Mat М$, И
Отмеченное свойство дает возможность ввести функции напряжения
соотношениями
D9)
здесь (Na, yVp, T , М^, Ма, И ) — статическая система функций,
удовлетворяющих уравнениям равновесия, а в остальном произволь-
произвольная; {Ир, ха, т, eg, &у, у) — компоненты деформэции,_построенные, од-
однако, не по смещениям, а по некоторым функциям (и, и, и>). Выраже-
Выражения D9) удовлетворяют уравнениям равновесия при любых и, v, w.
Поэтому последние и называют функциями напряжения (функциями
Лурье—Гольденвейзера).
С помощью введенных функций напряжения граничным статическим
величинам C2) и C3) можно придать следующий вид:
Q*v -
E1)
Входящие сюда статические и деформационные величины подсчиты-
подсчитывают с помощью равенств C3) и B1) но (.V^, Jl'p, . . .) и (ea, Sp, . . .).
Простейшим и наиболее важным частным случаем статической си-
системы является безмоментное решение ;Va, Л'™, Т (при Д1^ = м'а ~-
— Я* = 0). Подробнее о статико-геометрической аналогии см. в рабо-
работах [7, 28, 29].
КОМПЛЕКСНЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В развитие статнко-геометрнческой аналогии введено понятие ком-
комплексной аналогии, согласно которой каждому статическому и геометри-
геометрическому соотношению (величина) отвечают соответствующие комплекс-
комплексные. Введены следующие комплексные комбинации:
комплексные смещения
¦iv,
(г -= \'"— 1), E2)

Комплексный вариант теории оболочек
комплексные усилии и момент'л
Л'и — Л'о — 'i'!<-KB, Ма --¦ Ма + iEhcfg]
Л-'g = Л'р — iEhcK/i: .Mp — \1q -f- iEhcea;
Т~Т-iiElict, Й = И — LEkc^-,
и комплексные граничные величины
E3)
M,, ^ Mvv - i?
, = Л-I^. 4- l
здесь и», K/v, и,„. e,/ — величины из формул A4) и B1), построен-
построенные по комплексным смещениям и, v, w.
С помощью соотношений физического закона C8) комплексные
моменты могут быть выражены через комплексные усилия Л'а, Л'0,
Т. При этом последние определяют из следующей системы уравне-
уравнений в комплексных усилиях (четвертого порядка):
, 1 дА*Т дВ -
~Г~Т' ар	да"в +
E5|
АВ [ да 'А ' doc "' д$ ' В
¦V = Х„ -г -V.
E6)

Общие уравнения теории тонких оболочек
Комплексные же компоненты деформации удовлетворяют системе
ура/тений в комплексных смещениях (также четвертого порядка)
= -щ- ( Л'р - vJV* -^ ,<И* J ;
E7)
которая может быть принята в в более упрощенной форме
E8)
Наконец для комплексных граничных величин справедливы
следующие упрощенные выражения:
Qvv = cos2wjVu -j- 2 sin ш cos и?" -j- sin'^toiVp;
Qv( ^ sin o> cos и (iVg — Л'а) -p (cos2 ы — sin- iu) Г,
E9)
+ v)cevv = itJV,
с
d
v
V
COS ?U
A
sin cd
/]
N
д
да
д
да
s
7;
П (
В
cos
н
го
й
V
д
1В
12A
-V»)
F0)
Соотношения C5)—E9) приближенные. Характер исиольаонанны:;
при их выноде упрощении, сопоставлении с соответствующими «веще-
«вещественными» соотношениями и проведенные многочисленные расчеты
конкретных оболочек позволяют утверждать, что для большинства
практически интересных случаев погрешность выписанных cooi ношений
имеет тот же порядок, что и погрешность исходных допущений теории
тонких оболочек.
Система E5) включает в себя как уравнения равновесия, так и урав-
уравнения совместности. Поэтому она может рассматриваться как разре-
разрешающая система теории оболочек. Мешд, основанный па ее ислользо-

Комплексный вариант теории оболочек
доний, н азывают методом комплексных усилиi
комплексных усилий обычные усилия и моменты
Re\'u
a = —cJm (
, После определения
находят по формулам
F1)
.Vg = /?e.'Vg; MB — — cJm {\'a i" v'"
T = tfeT; Я =¦ с A — v) JmT,
где Re обозначает вещественную, a Jm мнимую части соответству-
соответствующей комплексной величины.
Перемещения определяют из приближенно совместной системы
уравнении
1
Т7Г
- &¦<¦' {Л'й —v.Vo); xfl = —
I
Eh
Ehc
Jmf.
F2)
Для удовлетворения геометрическим граничным условиям исполь-
используют определяемые из последней системы смещения и, v. к1, при дефор-
деформационных и статических граничных условиях — вещественные н мни-
мнимые части выражений E4).
В очень важном для расчетной практики случае, когда сопрягаются
две оболочки одинаковой толщины hi = hli с равными упругими по-
постоянными ?1 — ?ii; vl ~ vli условия упругого сопряжения D6)—-D7)
можно согласно формуле E4) записать в комплексном виде
что серьезно упрощает проведение расчетов. Отметим, что использова-
использование условии F3) но.чможно и при стыковании оболочек под углом.
При использовании метода комплексных смещений исходной яв-
является система E7) |либо Солее простая E8)]. По наиденным из нее
комплексным смещениям и, v, к.1 комплексные усилия подсчитывают по
формулам
,Vn — A'q — iEhcKfc, .Vg — Л'д — iEhcKa; T -- T* ¦'¦- iEhci, F4)
а усилия и моменты из формул F1).
Смещения находят решением приближенно совместной системы
¦¦»¦ ч
= Re т;
— уЯеИЛ)\
= ж(^
v^
F5)
Понижение вдвое порядка разрешающих уравнений, отсутствие и тшх
малых несущественных членов и обозримость формул делают комплекс-
комплексный метод удобным не только для теоретических исследований, но и при

Общие уравнения теории mmt-ux
расчетах конкретных оболочек. Широко используемые в расчетной прак-
практике уравнения Меиснера и уравнение пологих оболочек В. 3. Власова
являются частными случаями приведенных выше комплексных урав-
уравнений.
Из приведенных соотношений видно, что в комплексном методе речь
идет не о функциях комплексной переменной, а об естественных, удоб-
удобных комбинациях пар вещественных функций. Для пользования мето-
метолом необходимо, по существу, помимо широко известных соотношений
л
U=Y~)
(а + tb) ± (с +»(/)= (а ± с) -г i (Ь ± d);
(а + ib) (с + id) - (ас — bd) + / (ad -r be);
а + ib (ас -j- bd) -f-1 (be — ad)
~	ta -f d*	'
F6)
c + id
знание формулы Эйлера
e*-t-(? = ех [cosy + ( sin у); ex~'s/ ~ e* (cosу ¦— i sin y). (ti7)
Подробнее о применении комплексного метода, об его достоинствах
и недостатках и области применения см. в работах [15, 28, 29].
УРАВНЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВЛАСОВА
Во многих случаях общие разрешающие системы уравнений удается
заменить более простой по структуре системой двух уравнений
~Eh
~ Uf 12A-va) "" ^> - " ^ - ъ
так называемыми уравнениями пологих оболочек Власова. Здесь
Д( ) = ' ( д В Д< ) | а( ' . А д{)\ ¦
С( ' = ~АВ\~да~ ' А~Щ'~да~ + ~да Щ dj~ +
1 р~ /г„з да "*~~5р~° SRo W/
При этом усилия определяют по формулам
Na=~~B~'~dJ\li"~dJ')~~AB"~dlr"T'lh'' '
„	i_ j>_/_}_ J®_\ _J_ j!A _L _^ф
e ~ A ' da { A ' da ) AB ' dji ' В ' r)ji '•
F9)
___
AB
jlA_ дф I дВ дф
G0)

Уравнение пологих оболочек Власова
а моменты по обычным соотношениям C8), в которых, однако, под
компонсншми иягнбных деформаций следует понимать упрощенные
выражения
1
Kb =
д
Дш ^
' очГ,
dw ^
дЛ
1 Дш \ 1
"X' <йГ/ ~"лв"~др в*"др"
1 да j_ Ао
^4В да" А "да
	1 / д'и-	1_ _дА_ да I ДВ Дх\
Г	АВ~\~оЧМ ~"А '~М'Иа ~ ~В"На ' Ж) '
PI)
отличающиеся от точных тем, что в них опущены слагаемые, зави-
зависящие от 1ангеиц)]алы1ы.\ смещений и и v.
Можно исходить и из эквивалентного F8), комплексного уравнения
ДД (и) — D (w) = -
h
G2)
V 12A- V)
где w — третье из комплексных смещений, связанное с щ и Ф соотно-
G3)
dw \ , _1_ дВ_ J_ _Дш_
1в""ДЙ" Л ' "Эта"
т — -п
00.
~доТ'
G4)
Выписанные соотношения, помимо погрешности основных гипотез
теории тонких оболочек, содержат и дополнительные погрешности.
Последними можно пренебречь в задачах, где функции, характери-
характеризующие напряженно деформированное состояние, значительно возра-
возрастают при дифференцировании хотя бы по одной координате, Такое
напряженное состояние реализуется, например, в не очень длинных
цилиндрических оболочках и при краевом эффекте (см. стр. 651). Кроме
того, отброшенные в формулах G0) и G1) члены содержат множителями
кривизны —рг~, -п—, -7т— и их производные. Поэтому выписанные
упрощенные соотношения могут быть с успехом использованы и для
расчета пологих оболочек.

648
Общие уравнения теории тонких оболочек
Для пепологих оболочек с напряженным состоянием, близким к без-
моментиому либо чисто изгибному, пользование уравнениями Власова
может быть сопряжено со значительной погрешностью. В работе ['29]
предложена модификация уравнения G2), свободная от этого недостатка.
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
Опуская в уравве!]нях равновесия C0) моменты, приходим к урав-
уравнениям безмоментной теории
вял'.'. I OA'f ав .
да.
1 дВ'Т* дА .
'"ТГ' da ~dp'a^
,v" т* If".
G5)
После определения из них безмоментных усилий перемещения на-
находят из уравнений [см. формулы A4), C8) ].
G6)
Каждая из систем G5) и G6) значительно проще соответствующих
соотношений моментной теории. Для оболочек пулевой гауссовой кри-
кривизны (цилиндрических, конических) и линейчатых оболочек отрица-
отрицательной кривизны их решение сводится к подсчету двух квадратур
[1, 15, 29].
Для оболочек, образованных вращением кривых второго порядка
вокруг их осей симметрии, каждая из систем сводится к гармоническому
уравнению. При их решении может быть использована теория функций
комплексного переменного [7 ].
К уравнениям G5) мы пришли, пренебрегая в уравнениях равно-
равновесия моментами и перереэынающими силами. Отсюда следует, что и
в граничных условиях нужно пренебрегать моментом /Wvv и перерезы-

Безмоментнах теория	649
ваюшим усилием Qvn. Далее, мы лишены возможности распоряжаться
отвечающими им <>бобш.енными смещениями: углом поворота vv и нор-
нормальным прогибом пэ, поскольку произвольное их заданно вызывает
появление реактивных изгибающего момента Mvv и перерезывающего
усилия Qvrj, реализующих заданные v и ш. Таким образом в рамках
безмоментпого решения на краю оболочки мы можем задавать лишь
по одной величине из каждой пары обобщенная сила—обобщенное
смещение
Qxv<-->uv; Qv,<-*ut.	G7)
Уравнения G5) и G6) являются системами второго порядка. Решая
первую из них, мы получаем дне произвольные функции. Если имеются
два граничных условия в усилиях (для оболочки с двумя краями),
то с их помощью мы фиксируем указанный пронзнол. В противном слу-
случае, сохраняя а рушении эти дне произвольные функции и интегрируя
- систему G6), получаем еще дне; произвольные функции. С их помощью
можно удовлетворить четырем геометрическим условиям. Существенным
в сказанном является то, что могут быгь удовлетворены только два
статических условия, а два обязательно должны быть геометрическими.
Отмеченное принудительное задание двух геометрических граничных
условий имеет глубокий физический смысл. Дейстпптелыю, п решении
уравнения G6) наряду с некоторым его частным решением входит и ре-
решение однородной системы
т. е. перемещения чистого изгиба. Роль упомянутых принудительных гео-
геометрических граничных условий как раз и сводится к ограничению этих
перемещений. Если этого не сделать, то оболочка с незакрепленными
краями будет вести себя не как несущая конструкция, а как подвижной
механизм. В работе [30]приведепы специализированные для безмомент-
ного напряженного состояния деформационные и статические граничные
условия.
Однако для очень длинных оболочек никакое закрепление краев не
может существенно повлиять на напряженно-деформироваЕШОе состоя-
состояние вдали от краев. Так, например, в очень длинной цилиндрической
оболочке некругового поперечного сечения, нагруженной равномерным
давлением газа, вдали от краев устанавливается сильно изгибное на-
напряженно-деформированное состояние, идентичное имеющему место
в кольце того же сечения при постоянной по неличине нагрузке, нормаль-
нормальной к оси кольца (о плоскости оси).
Усилия по безмоментнон теории определяют из системы уравне-
уравнений G5) вне зависимости от соотношений неразрывности срединной по-
поверхности, Поэтому последние оказываются в большей или меньшей
степени нарушенными. Это нарушение велико в местах быстрого изме-
изменения (тем более скачка) величин, характеризующих геометрию обо
лочки и внешнюю нагрузку Ra, Rq, fiup; A; qa, q$, qn. Поэтому одним
из условий применимости без момент ной теории является плавность этих
величин.
Далее, расчетная практика и теоретический анализ [15, 18, 291
показали, что п местах изменения знака гауссовой кривизны поверх-
поверхности имеют место значительные ичгибающие моменты. Примером такой

Общие уравнения теории тонких оболочек
оболочки может служить тор (см. гл. 25). Кроме того, на очень пологич
участках оболочки (близких к пластине) нормальная к срединной по-
поверхности нагрузка вызывает моянление больших изгибающих напря-
напряжений.
При использовании безмоменткой теории следует особо выделять
края, совпадающие с асимптотическими линиями, вдоль которых равна
ской линии может служить образующая на цилиндрической поверх-
поверхности.
На оболочках отрицательной кривизны через каждую точку сре-
срединной поверхности проходят две асимптоты. На оболочках нулевой
кривизны они сливаются в одну. На оболочках же положительной кри-
кривизны асимптоты отсутствуют.
Асимптоты на оболочках нулевой кривизны обладают тем неприят-
неприятным свойством, чти ндоль них входящие в безмоментное решение произ-
произвольные функции остаются постоянными и не дают возможности, сле-
следовательно, удовлетворить граничным условиям рассматриваемой за-
задачи.
На асимптотическом контуре оболочки отрицательной кривизны
в fieамоментном решении имеется одна произвольная функция, позволя-
позволяющая удовлетворить лишь одному граничному условию.
Для того чтобы создать требуемые по безмоментному решению де-
деформацию и нагрузку края, обычно ставят бортовые элементы (рантовые
балки, кольца), подбирая их размеры так, чтобы как-то н среднем удо-
удовлетворить граничным условиям безмоментной задачи.
Сказанное выше может быть кратко сформулировано в виде следу-
следующих критериев безмоментности напряженного со-
состояния:
1.	Края оболочки должны быть свободны от перерезывающих сил и
моментов, а их повороты и нормальные прогибы не должны быть стес-
стеснены. Следует предусматривать надлежащие бортовые подкрепления,
обеспечивающие необходимые по безмоментному решению деформацию
и нагрузку краев оболочки. Последнее особенно необходимо и случаях,
когда граничный контур асимптотический.
2.	Радиусы кривизны, граничный контур, толщина оболочка, ком-
компоненты поверхностной и краевой нагрузок должны быть плавными
функциями. Следует также, по возможности, избегать применения обо-
оболочек со срединной поверхностью, меняющей знак Гауссовой кривизны,
либо содержащей очень пологие (плоские) участки.
3.	Перемещения чистого изгиба должны быть устранены путем над-
надлежащего тангенциального закрепления краге. Нежелательны края
с большими незакрепленными участками, н также очень длинные обо-
оболочки.
Безмоментное напряженное состояние является технически наиболее
выгодным вследствие равномерности работы материала оболочки. По-
Поэтому сформулированные условия следует рассматривать как «проч-
«прочностные» рекомендации при конструировании тонкостенных конструк-
конструкций. Конечно, не всегда они могут быть выполнены либо в силу спе-
специального назначения проектируемой конструкции, либо в силу дру-
других соображений (подчас не связанных с прочностью: технология, га-
габариты, экономика и т. п.). Но они являются тем идеалом, к которому
следует стремиться.

Термоупругие напряжения	tj!H
Обычно путем выбора геометрни оболочки и бортовых подкреплений
удается добиться работы основной части оболочки в безмоментом на-
напряженном состоянии, локализован моментное напряженное состояние
в узкой зоне, примыкающей к краю оболочки. Такое напряженное со-
состояние называют поэтому краевым эффектом. Тонкостенную конструк-
конструкцию следует считать удачной (в прочностном отношении), если напря-
напряжения краевого эффекта по величине не превосходят безмоментных на-
напряжений.
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
Как правило, безмоментное решение не дает возможности полностью
удовлетворить всем граничным условиям общей (момептпой) задачи.
Если граничным контуром является неасимптотическая линия, то без-
безмоментное решение удается «подправить» краевым эффектом. Краевым
эффектом называют напряженно-деформированное состояние, при ко-
котором напряжения и смещения мало меняются вдоль контура, но
быстро убывают в глубь области.
Это своеобразное, характерное для тонких оболочек состояние объяс-
объясняется взаимодействием двух свойств оболочки: ее кривизны и малой
изгибной жесткости (см. работу [29], стр. 259). В книге [29] на стр. 255
введены коэффициенты податливости (жесткости) края и простые ком-
компактные формулы для основных напряжений, пригодные для оболочек
общего вида, ограниченных произвольным неасиылтотическим кон-
контуром.
В некоторых простейших случаях удается разбить напряженное
состояние на безмоментное и краевой эффект (обобщенный) в случае рас-
расчета асимптотического контура. Для цилиндрических и конических
оболочек соответствующие соотношения приведены в работах [7, 15].
Для оболочек более общего вида построение обобщенного краевого
эффекта становится очень сложным и метод деления напряженно-
деформированного состояния на безмоментное и краевой эффект не упро-
упрощает расчет.
ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Пусть температура оболочки изменилась на (J = 0 (а, Р; ?) град.
При этом каждый ее элементарный объем испытывает равномерное объем-
объемное расширение, определяемое коэффициентом линейного (температур-
(температурного) расширения &= к (а, р; ?). Неравномерность нагрева и перемен-
переменность коэффициента линейного расширения приводят к появлению тем-
температурных напряжений. Еще большие напряжения возникают при на-
нагреве сочлененных оболочек разной жесткости или с резко различными
коэффициентами линейного расширения. Возникающие напряжения
(их обычно называют контактными) часто значительно мренышакн на-
напряжения, обусловленные внешними силами, и вместе с последними
существенно влияют на прочность конструкции.
При умеренных температурах, когда упругие постоянные и коэффи-
коэффициент линейного расширения изменятся незначительно, расчет обо-
оболочки на температурные воздействия не сложнее, чем па Ешешние силы.
Приведенные выше соотношения сохраняют свой ннд за исключением
соотношений обобщенного закона Гука, которые необходимо дополнить

652
Общие уравнения теории тонких оболочек
членами, отражающими влияние нагрева, В результате этого они при-
принимают вид
1	'	¦	12
и Eh	"	г< а Eh3 u
Kft"
2A -¦ v) _.
(80)
-ft/3
— приведенные (по толщине) компоненты температурной деформации.
В случае принятия линейного закона изменения температуры по тол-
толщине, т. е. при
9 (а. Р; К) =9 о (а. Р) + ?<Ма. Р) 1
А = ft (а, р);	j
(81)
где 0 +- В —изменения температуры внешней и внутренней поверх-
поверхностей оболочки.
В работе [29] приведены выражения для соответствующих дефор-
деформационных и комплексных величин. Там же рассмотрен вопрос о тем-
температурных полях, не кызыКсШЩНХ тормоупругн.х напряжений, ы освязи
температурных смещений с дислокационными (многозначными). Более
подробно о расчете оболочек на температурные воздействия см. в моно-
монографиях [5, 14, 23, 24, 29).
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
С математической стороны расчет оболочек снодигся к решению
системы уравнений н частных производных восьмого порядка с пере-
переменными коэффициентами и малыми множителями при старших про-
производных. Граничные условия (условия периодичности, конечности ре-
решения) содержат производные от искомых функции до третьего порядка
включительно. В ряде, случаев при помощи метода разделения перемен-
переменных задачу удается свести к решению систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений того же типа.
Для решения задач теории оболочек широко исмольчуют и совер-
совершенствуют целый арсенал имеющихся математических методов и при-
приемов: вариационные и прямые методы математической физики [20, 21,
25, 29], интегральные уравнения (в том числе и сингулярные) [20,

Литература
21 25], теория функций комплексной переменной (и обобщенные ана-
аналитические функции) G, |, 20, 21, 25], различные численные методы
[20, 21, 251.
Наличие малого множителя при старших производных н разреша-
разрешающих уравнениях стимулировало применение к теории оболочек {и
дальнейшее развитие) различных асимптотических методов [7, 15, 29].
Последние целесообразно комбинировать с прямыми и численными
методами,
ЛИТЕРАТУРА
1.	В « к у я И. Н. Теория тонких пологих оболочек перемеппоО толщины.
Мецинреба, Тбилиси, 1965.
2.	В л а с о в В. 3. Общая теории оболочек и ее приложения К технике.
м._Л.. Гостехиздат. 1D49.
3.	П л а с о в В. 3. ИзПранныи труды. М., изд-во АН СССР. Т. 1, 1062.
т. 2, 1962.
4.	Влияние высоких температур на авиационные конструкции, GV CTiiTtsti
под реД- Н. Хоффа. М., Оборонгиэ. 1961.
5.	Г с й т в у д 1>. Е. Температурные напряжения применительно к само-
самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М., ИЛ, 1959.
6.	ГеккелерИ. В. Статика упругого тела. М. —Л., Гостех;пдлт, 1934.
7.	Гольденвейзер А- Л. Теория упругих тонких оболочек, М.,
ГИТТЛ, 1953.
в, Григорьев Л. Е. Судовые сосуды, работающие год давлением
(определение напряжений и деформаций)- Л.. «Судостроение», 19Ь5.
9. К а и С. Н. Прочность самолета- М-, Оборонгиэ, 1У63.
10.	К а к т о р о а и ч 3. Б. Основы расчет химических машин и аппара-
аппаратов. М., Машгиз, 1960.
11.	Кун П. Расчет на прочность оболочек в самолетостроении М..
Оборонгиз, 1961.
12.	Л у |» ь е в А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М., Гос-
технздат, 1947.
13.	Л я я А. Математическая теория упругости. 1Л., ОНТИ, 1935.
14.	Н о в а ц к и Л В. Вопросы термоупругости. М.. изд-во АН СССР,
1962.
15.	Новожилов В. В. Теория топких оболочек Л., Судпромгиз. 19Й2.
16.	Оболочка. БСЭ, изд. 2-е, т. 30 (В. В, Новожилов).
17.	О н и а ш в и л и О. Д. Расче-i оболочек и других тонкостенных про-
пространственных конструкций. В сб. «Строительная механика о СССР» (L917 —
1957), М., Госстройиздат, 1959.
1в. Пономареве. Д. ндр. Расчеты на прочность в машиностроении.
Т. 2. М.. Машгиэ. 1958.
19.	Р а б о т н о в Ю. Н Пластинки и оболочки. В сб. «Механик;, п СССР
за 30 лет». М. — Л., Гостехиздат, 1950.
20.	Теория пластин и оболочек Киев, изд-во АН УССР, 1962.
'21. Теория оболочек и плистин. Ереван, изд-во АН АрмССР, 190;.
22.	Тепловые напряжения в элементах конструкций- Вып. 4, Киев-
«Наукоаа думка», I9S4.
23.	Тимошенко С. II. Пластины в оОолпчки. М.-Л-. Гостсхкздат,
24.	Тлмошенко С. П. Вонновский-Кригер С Пластинки я обо-
оболочки. М., Фнзматгца, 196:*.
25.	Труды конференции по теории пластин и оболочек. К?мнь, нзд.
КазГУ. 19Й1.
2G.	У м а н с к и й А. А, Строительная механика самолета. М., Оборонгиз,
1061.
'Я-	Флюгге В- Статика н динамика оболочек. М., Госстройиздат. 19R1.
2S.	Ч с р н ы х К- Ф- Лиыийиая теория оболочек Ч. 1. Л., изд, ЛГУ, 196'i
29.	Черных К- Ф- Линейная теория оболочек. Ч. 2. Л., изд. ЛГУ,
условш
1965.
30. Черных К. Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных
---й е лийй	онких оболочек. Иэи. АН СССР- Механика. № 1.
ейной т

Глава 2i
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЯ ОБОЛОЧКИ
Для оболочек вращения, срединная поверхность которых образуется
вращением плоской кривой вокруг прямой, лежащей в той же плоскости,
в качестве криволинейных координат удобно выбирать углы 6, ф (рис. 1).
Параметры Ляме (см, стр. 630) связаны с главными радиусами кри-
кривизны соотношениями
А = /?в(9),
A)
При этом радиусы кривизны удовлетворяют уравнению Кодации—
Гаусса
B)

Деформация срединной поверхности
Из выпуклых оболочек вращения наиболее употребительны
срединные поверхности которых образованы вращением кривь
рого порядка вокруг их осей симметрии. Для них
п .	Rn	 п	°п
	д, : «ф
такие,
х нто-
A
¦ Jt sin'
х sin20)v'
D)
При этом % —• 0 отвечает сфера, X = —1 — параболоид,
>— 1 —эллипсоиды, а % <^ —1 — гиперболоиды.
Иногда срединную поверхность ОТНОСЯТ к цилиндрическим кс
натам г, ф. х. Имеют место соотношения (рис. 2)
н
г = /?ф sin 0; х — xv = \ /?ь s'n 0 dQ.
i
ДЕФОРМАЦИЯ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Перемещения срединной поверхности характеризуются волнчк-
ками и, v, w или иг, и, иж (рис. 2), связанными между собой равен-
равенствами
иг = и cos 9i ai sin 6; ux ~ & sin 0 — &> cos 9.	E)
Повороты краев оболочки, совпадающих егюгкегетвепно с коорди-
координатными линиями ф и 0, выражаются через смещения следующими соот-
соотношениями:
1 / Лт-ii \	1 / --i-.il	\
sm e-j ¦ F)
Деформацию срединной понерхности описывают шестью компонен-
компонентами
ч = -
1
u cos 0 —a' sin
Rt Л) Rv sin 0	Rv sin 0 Лр '
cos 6 /dm
о «ф sin 0 ^ SO
1 й Г 1 /да	о \1
Rr, 39 [ R(f sin в V dip	/J '

656
Общий случаи деформации оболочек вращения
При этом еа характеризует растяжение срединной поверхности вдоль
линии 6, в(р — растяжение вдоль линии <р, у — сдвиг срединной поверх-
поверхности, у.й и Хф — изгиб срединной поверхности соответственно нлоль
линий 8 и ф, т - ее кручение.
Деформация края оболочки, сони а дающего с параллельным кругом,
определяется четырьмя величинами (см. стр. 635)
_ _|_ jdv_
(8)
При этом первые две из них описывают изгиб (искривление) гранич-
граничного элемента соответственно из плоскости параллельного круга
C= const и в ней. Третья характеризует скручивание граничного эле-
элемента, а последняя —его растяжение,
ВыписаЕШые компоненты деформации края подсчитывают по вели-
величинам G) с помощью следующих выражений:
= Иф cos U + Кф,] sin 9;
_т	V
хф sin G — хФг, cos 0;
(9)
ПО)
Компоненты деформации удовлетворяют уравнениям неразрывности
срединной почерхнжти
дщ
dip
( =0;
1
I
то т ^[~ '"вф""
- Л„ sin в -^ + cos в (R, + Яф) vj = 0;
cj_ _,	I	I d ' dRy sin 0еф i ^y
?Ф ! A'i,A',f Яп 0 \Ж Й! 3D	2~ ' Лр "
<>*[(/?.,! sill 0J yj
A1)

Равновесие оболочки. Определение напряжений	657
РАВНОВЕСИЕ ОБОЛОЧКИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Напряженное состояние в точке оболочки, отстоящей от срединной
поверхности на расстоянии Z, (по нормали), определяется тримя компо-
компонентами: щ — нормальное напряжение па площадке с нормалью,
параллельной координатной линии 6; аф — соответствующая величина
для линии ф; ст6(р — касательное напряжение на тех же площадках.
Введенные напряжения связаны с усилиями и моментами следу-
следующими соотношениями:
A2)
где h — толщина оболочки;
'» ~ h
>2L- „(»)_.
A3)
A4)
Положительные направления усилий и моментов показаны на рнс. 3.
Напряжения а?0', о[^, о['^ называют тангенциальными (пеп::ыми.
мембранными), а о'"', а' — а!^1 — изгибными. Максимальных

658	Общий случай деформации оболочек вращения
значений напряжения достигают либо во внешних волокнах оболочки
либо во внутренних Г при ? =	¦?- j
На границе, совпадающей с параллельным кругом @ = const),
можно задавать следующие статические величины (рис. 4):
sin 9AI,
Вместо Q9 и Qbn удобнее рассматривать горизонтальное Qr и вер-
вертикальное Qx усилия
Qr — cos 6Q9 + sin QQ-in\ Qx = sin QQ$ — cos QQ$4.	A8)
Усилия и моменты удовлетворяют уравнениям равновесия
	^Б	Ь ^0 -Е-- — Rfi COS ОЛ'ф -f- ¦	**,; -Т7[	 ''
Л/ф_	1	d[(Rv sin 6)'2 T) ,
+ 2 cos в (До + #(,) Н~\ = — Д, Яф sin в%;
^ф sin e.-vi.
д( й
цД^ sin e | ев [ д,
j I ¦'"
A9)
в которых через g-,,, q,p, qn обозначены составляющие поверхностной
нагрузки (рис. 3).

Граничные условия	659
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Связь между компонентами деформации и усилиями-моментами
устанавливается соотношениями обобщенного закона Гука
, — vMv) + xr;
-Т; т.
B0)
здесь ? — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона; &г, кг —
температурные деформации, связанные с коэффициентом линейного
(теплового) расширения а и изменением температуры Т соотношениями
В случае линейного по толщине оболочки изменения температуры
Г (в, ф; ?)= Г„(в, Ф) f С
а = а (9, ф),
в. ф)
При этом
B2)
B3)
B4)
где Т* и Г~ — изменения температуры соответственно на внешней
и внутренней поверхностях оболочки.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Граничные условия, используемые при расчетах оболочек вращения,
весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них, наиболее упо-
употребимые.
Свободный край
Qr-Qx- Qw = 0; М% - 0.	B5)
Шарнирный, неподвижно опертый край
иг= их= о= 0; Ж9 = 0.	B6)
Скользящая заделка (скользящий шарнир)
Ur = 0; Ф = 0; (?ВФ = 0 (или и = 0);
Q* ~ Qo (Qq — заданная величина).	B7)
Полностью заделанный край
Ur= Ux^ v= 0; О=» 0.	B8)

660	Общий случай деформации оболочек «ращения
Жесткий край
хг ^ хх - хф„ = 0; е„р = 0.	B9)
От предыдущего варианта граничных условий условия жесткого
крап отличаются тем, что они формулируются в терминах компонент
деформации (см. стр. 656) и при их использовании не требуют предвари-
предварительного определения смещений. Они особенно удобны и задачах,
где нас интересует только напряженное состояние (см. стр. 641). Часто
используют условия упругого сопряжения, подробно рассмотренные
в гл. 1 т. II и в работах [6, 7, 9, 14].
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Выписанные зависимости позволяют определить напряжения и сме-
смещения, возникающие в оболочке, закрепленной по краям и нагруженной
заданной внешней нагрузкой.
Замкнутость оболочки вращения по ф, независимость коэффициентов
дифференциальных уравнений от ф. периодичность искомых и заданных
величин позволяют применить метод разделения переменных. Состоит
он в том. что все величины, как искомые, так и заданные, разлагаются
в ряды Фурье нида
) cos k<f} ~
) sin
C0)
В силу взаимной ортогональности функций cos Аф, sin Аф можно
порознь рассмотреть каждую А-ю гармонику, т. е. случаи, когда инте-
интересующие нас величины имеют следующую зависимость от ф:
и — Uf( cos Аф; v — Vjt sin Аф; 12) — 1L1/, cos Аф;
Mr ~ ur, k cos Аф; ux — Их, к cos Аф; О1 — #д cos Аф;
Рщ — f^ ^ cos Аф; Y ~ 7* sin Аф; к^ — ?ф, ft cos Аф;
ИЙ = z0. ft С05 ^Ф> T ~ Ti s'n ^rf; кц; — хф. ft COS Аф;
x-r — 'л.-, к cos Аф; Хфв — Кфв, ft sin Аф; хЛ- = у.х, ^ cos Аф;
Nq ~ A'q, a cos Аф; Т — Tfc sin A(j;; Л',р — iV((:. ft cos Аф;
Ah — /Wj, ^ cos Аф; // — Я/; sin Аф; Мф ^ МФ, ^ cos Аф;
Q' ~~ Qt. к cos Аф; Qq<f — Qmp, k sin Аф; Qx --- Q.v, ft cos Aq;:
?8 -~ ^ti. * cos ^Ф> 9ф " <?ф- * sin top; 17,; — qn. ft cos A(p.
Ниже приведены соотношения, которым удовлетворяют «ампли-
«амплитудные» множители иь\ iy, . . .; ?п, ?. Случай, когда в равенствах C1)
множители cos Аф заменены на sin top и наоборот, можно рассмотреть
путгм поворота осей у и г (см. работу [9]). В работе [14] оба случая
рассмотрены одновременно.
Для А-х гармоник соотношения E), (9), A2)—A6) и B0) сохраняют
свою форму. Требуется лишь снабдить входящие в них величины ин-
индексом ft. Остальные принимают следующий вид:

Метод разделения переменных
1 I Л"к , \
'" "'' cos е I ю* sln
1 ivk _ cose _ k uk
я, ' rfe яФ sin e * Rif sin о ¦
sin ад ~
C3)
	^
R,R4. sin U l Л)
C1)
i-cosOei,, И; C5)
)='
Qtn. i, = -
' dRv sin fliVlf,
(?,. sin в V	«i <-'в
У р л н и е н ii я р а в л о в е с ii fl
¦ + ikllt — cos I
C6)
dR,f sin UA1.,,;,
t — R, COS 6AV,
Яф sin ВЛ);, k
i 2Wj- cose,Mt,, j- —RaRv sin 0?,, t;
„ 1 rf(J?<r sinO)' ^	1
—*«'i-4, «T-p ..,,. о	Jii	'*-|--p-
sin 0-^4- - 2cos9
C7)
— —Я^Д'ф sin

Ы12	Общий случай деформации оболочек вращения
d Г liRa, sin 6М, 4
Ж[	R,dB	i
C7)
л [ » «!'«Ф, « - R(p S1I, 0	^J | ~ '"' *•
Уравнения неразрывности срединной поверх-
н о с т и
) sin 8еф, 4
f cos веэ. s " 0;
1	ii (ftp sin 6)=
	jj
+ ссв9(Л5 + Rt)y*) = 0;
»Ф. t , ,4 j	1 у
| <i Г rfi?(p sin Веф 4 ^	л
11Ш" L 5м?ё	J-Y4—ско
C8)
САМОУРАВНОВЕШЕННЫЕ НАГРУЗКИ D > 2)
Внешние нагрузки, отвечающие &5з2, янляготся самоуранновс-
шенными, в том смысле, что главный вектор и главный момент крае-
краевой нагрузки равны нулю на каждом граничном контуре. Соответст-
Соответствующее разрешающие уравнения представляют собой сложные и ма-
малообозримые системы обыкновенных дифференциальных уравнении
воевг.юго порядка, с переменными коэффициентами, «засоренные
к тому же малыми, несущественными для расчета членами.
Наиболее пролыми и свободными от малых членов явтяютсн
соотношения, полученные В. В. Новожиловым,
J_^_J_1:
Яф I sin3 В J '
C9)

(¦илоурттовсшенныс нигружи
*¦ ' ¦' «BJ?v sin 0 '¦
d i Rl sine d(, . ,)\ ^3 (¦ - -)
fl) /fj: sin 20j
D0)
Определнп кз системы C9) вспомогательные функции, подсчиты-
подсчитывают усилия и моменты
Л'о, м = Re Л'A| к; М9,
Л> .k= Re Л'ф, ft; ,ИФ,
cJm [NVik
(Re — вещественная часть, Jm — мнимая).
D1)
D2)
йф(?п.
Обобщение приведенных соотношений на случай температурного
воздействия приведено в работе 114}.
Основной интерес при расчете оболочек вращении представляют
случаи А— 0 и к ~ 1, называемые соответственно осесимметричным
(симметричным) и обраптосимметричным.

664	Общий случай деформации оболочек вращения
ОСЕСИММЕТРНЧНЫЕ СЛУЧАИ
Следует различать осесимметричное кручение и осееимметрнчный
изгиб.
Осесимметричное кручение оболочки поверхностной нагрузкой
и краевыми сдвигающими усилиями приводит к безмоментному напря-
напряженному состоянию, при котором [значок ° опускаем]
v @) ^ Дф sin О
sin e
-о,
D3)
D4)
= —2л (
ф sin 0)|_ео Г (в0)
D5)
— закручивающий момент, приложенный к краю оболочки 0 — tl0; Qx —
угол попорота оболочки как жесткого целого вокруг оси вращения
(рис. 5).
В случае оболочки замкнутой сверху
{9„ -- 0) сохранение в выражении A3)
закручивающего момента 90?^ означает
приложение в вершине оболочки сосредо-
сосредоточенного момента. При его отсутствии
следует полагать W° ^ 0. Сдвигающее
напряжение подсчитывают по формуле
Осссимметричный изгиб. При сим-
симметричном изгибе на при жен но-форми-
но-формированное состояние обычно удается раз-
разбить па безмомептное, термоупругое и
краеоой эффект. Снабжая величины пер-
первой группы значками *, вторые — ', а
третьи —к, получаем
•V, - ,v;; Л'ф =
> — ¦&' -.- Цт -{- №; иг =-- и* -f и]. ¦[- »*; ил ¦— и*х -.'- итх 4- икх: D8)
{и — ur cos 8 + их sin ft; tc = ur sin в — ux cos 8);
Qr = N"t cos в -i
D9)

Ои:симматричные случаи
Безмоментные усилия подсчитынают по формулам
е
-~ 7=2 + J (?„ сов в -Яь sin b)RhR,( мп ft(/0
Nt @) = -
E0)
E1)
'—осевая сила, деистнующая в сгче-
нин параллельного круга в = 0d
(рис. 6). В случае оболочки, зам-
кнутой сверху (Qj = 0), следует
положить F*]. = 0. Пели же обо-
лочка замкнута внизу, то из уело-
вия ограниченности напряжений
при 6 = л получаем F°x —
^bHS*
= — 2л j G„ cos в — уд sin 9) X	PlfC- 6
X ЯеЯф sin 0 d9 и первую из формул E0) следует заменить следующей:
Ode. E2)
Далее
1 г/ ^cosR
+ (i -i- v) ^e?fi] — sin e(a;J - v,v:.}j я0(/о,
здесь ax — осевое смещение оболочки как жесткого целого.
E3)

Общий случай деформации оболочек вращения
E4)
Температурные слагаемые ппрадсляют по формулам (см. работу A5]
стр. 292)
1 d /Jjly der\ ^lg^ Asr].
v d i %tf Uet \ , ctg 0 <ier I
E5)
С приемлемой для практических расчетов точностью, пренебрегая
величинами порядка 1/ -^- по сравнению с I, слагаемые, отвечаю
щгге краевому эффекту, можно записать
+ (Л2 cos fJ 4-Л, sin
Л1д = —с [(В, cos PL + Л, si
- (В, cos р\, — А2 sin р
]
(л2 - Щ) ™ р\; - (А2 + fl2) sin р
'~-вг}/тг{1К + *1)«»
- (Л, - в,) sin р,] »-»• +
(Л, + В,) cos р2 + (Л2 - fls) sin
E6)
E7)

Осесимметричные случаи
-?i
, cos р, — В: sin
-t- (Д3 cos р2 Н- В2 stu PJ^1];
u* ~- -jdk sin G; «* = —wK cos 0
E8)
E9)
Значения входящих в выражения E6)—E8) функций приведены
в табл. 1 и на рис. 7. Приведенные выше формулы дают возможность
из граничных значении на
краях оболочки 0 — Вх и
6 = 02 определить посто-
постоА А й В
р
В.-у,
Fx и построить эпюры на-
напряжений и смещений.
Отметим, что согласно
равенствам C4)
кг = — гт; еФ = — и„
F0)
т. е. горизонтальное сме-
смещение и, и угол пово-
поворота Ь с точностью до
множителя г --- Яф sin 9
совпадают с компонен-
компонентами Д1-форма ни и края.
Поскольку 01 г^ 0 ^ 92, ноличины (^Pi) и Р2 являются большими
по абсолютной величине отрицательными величинами, обращающимися
в нуль на отвечающих им краях. Поэтому функция <=~~Р' по мере удале-
удаления от края 0 — flj быстро затухает (этим и объясняется применяемый
термин—краевой эффект). То же происходит и с е$г при удалении от
края 6= 0а.
Если края 8! и I), отстоят один от другого на достаточно большом
расстоянии, то нзаимным влиянием краен можно пренебречь и удовле-
удовлетворять граничным условиям на краю в = 0! за счет выбора Ау и В(.
а при 0 — 62 — за счет пыбора А,, Д2. Оболочки, для которых такп*
раздельное удовлетворение граничным условиям допустимо, называют
длинными, и протикном случае оболочку считают короткой. Указанное

Общий случай деформации оболочек вращения
J.25
1.50
),75
,00
,50
!oo
i, 25
.50
3,00
1
0.779
O.fiOfi
0,472
0,368
0,287
0,223
0, 174
0,135
0, 105
0,1)82
0,1N4
0,050
1
D.755
0.532
0,346
0,199
0,091)
0,015
—0,031
—0.056
—0,066
—0.0G6
—0.039
—0,050
0
0.192
0,291
0.310
0,272
0,222
0.171
0.123
0,082
0,049
0,024
0,007
-Mnp)
1
0,5fi3
0,241
0,025
—0,111
—0,182
—0,207
—0,202
—0,179
—0.148
—0,115
—0,083
—0,ОЙ7
1
0,917
1\Ш
0,6G7
0.300
0,302
0,237
0,1-10
O,0t>7
0,010
—0,017
—0,035
—0,043
разделение существенным образом зависит от принятой точности рас-
расчета. Пусть, например, мы задались точностью в 5% . Из табл. 1 видно,
что при такой точности оболочку можно считать длинной, если
Для коротких оболочек можно существенно облегчить работу,
связанную с подчинением решения граничным условиям, если восполь-
воспользоваться методом начальных параметров. Состоит он н том, что соот-
соотношения EЬ)¦- E8) преобразуют к ниду (см. работу [8] к гл. 22)
ф) -
0 ф) - C\KX (P) - C,/C, (P) - CtK3 Ф),
&' F)
b
--4C,«,(P) + C,«0(P) ¦¦
Mf (в/
F2)
»Л sin в;
<P^ j
ц^ = —of COS 8, I
F3)

Осесимметричные случаи
ч
4 r	__	 r>
— т/ 3 ( I 	 Va) I -
'-^! *""
V4
Л-(в,)].
F4)
При v= 0,3
|см. формулы D7)—D9I*;
С, = i/ (в,) -= 'e
C3 =
sin 0,Q^ (e,) sin о
C' =	и»	="ЩЗ-
*1 (Р) - -J-1(г" +еГ^sin р + («в - с
Л', (Р) = -j- (ев - в"*1) sin P;
fa (В = X I(<lS + е~''] Sln P - <f" -
Величины /С,- —функции Крылова, значения которых приведены
в табл. 2.
Задавая какие-либо две из граничных величин ur (8j), V) (9J,
^и (Qi)i Qr @t), с помощью формул F4) находим два начальных пара-
параметра. Остальные два определяют, пользуясь выражениями F2) из
граничных условии на краю 0 ~- Вг. Следовательно, основная трудность
F5)
Члены 0" F,), #• (fl;!. Ут<
См. работу []4]*CTpei Ш

Общий случай деформации оболочек вращения
fl
0,-11
о! 44
0.48
0,30
0,52
0,34
0, 58
0,60
0.62
O.M
fl.'jlj
U.f.ti
0,70
0,72
0.74
0,76
0,78
O.SO
! 0,84
: с so
0,88
0.9»
П. У 2
0,94
0,96
o.sa
1.A0
1,04
1.0b
1,08
1.10
1.12
1,14
l.lfi
1,13
1.20
1.22
1.21
1,2ft
1-28
1.30
1.32
!.36
i.a
1.40
1.42
1,44
1,46
1.48
¦2. Фу и к
Л" о (fl)
Й.рр57
о'«488
О', 9925
0,9911
0.9835
0,4 В78
0.9RS8
0.Й83Й
0.9М1
0.У784
0,9734
0.0721
о!»644
0,9{i 00
0,9352
0.9301
0.3444
0.0384
0,9:118
0,9247
0,9171
0,9000
0,9A02
0,8808
0,8701
0,8587
0,8466
0,3:3.37
0.8201
0.S056
0,7УО2
0,7740
0,7568
0.73В7
A,7196
0,6495
0.6786
0.G5G1
0.G330
0,6082
O.3N24
0.52 72
0,497?
0,4345
0,4008
0.3656
0,2907
0.2509
0,2095
(ин Л. Н. Крь
*1 (Р)
0, .3996
{м;\ч4
IM593
0.4791
0.408У
0,5187
0,5384
0.55Й2
0.5778
0,5974
0,6169
0.6364
0,6558
0,6751
0,6944
0,7135
0.7326
0.7315
0,7704
0.7R91
0,8077
0,8261
0,8443
0.S624
0.8803
0.8980
0.9155
0,9328
0,9499
0.0GG7
0.9832
0.9995
1,0154
1,0311
1,0464
1.0013
1,0759
1,0901
L10H9
1,1173
1,1300
1.1426
1, 1545
1,1659
1,1767
1,1870
1,1960
1,2056
1,2139
1.2216
1,2286
1,2333
1.2402
1.2448
ловя
*.„.
0,0800
о! 0967
0,1057
0,1151
0,1249
0,1351
0,1456
0. 566
0.1680
0,1797
0,1919
0.2044
0.2173
0.2306
0,2443
0.2584
0,2729
0,2877
0,3029
0,3185
0,3345
0,3508
0.3G75
0.3816
0,4020
0,4198
0,4379
0,4564
0,4753
0,4944
0.5139
0.5337
0.5539
0,5744
0,5951
0,6162
0,6376
0.65УЗ
0,6812
0,7034
0.7259
0,7486
0.7716
0.7У48
0,8182
0,8419
0,8657
0,8897
0.9139
0 9383
0'9628
0,9764
1,0122
1.0370
0.0107
0.0123
0,0142
0,0162
0.0184
0,0208
0.О234
0,0262
0.0292
0,0325
0,0360
0,0397
0.04.16
0,0479
0,0524
0,0571
0,0621
0.0674
0.0730
0,0789
0,0851
0,09L7
0,0985
0,1057
0,1132
0.1211
0,1293
0,1379
0,1468
0.1562
0,1658
0,1759
0,1864
0.1973
0,2086
0,2202
0,2323
0,2449
0.2579
0,2713
0,2851
0.2996
0,3142
0,3294
0,3450
0,3612
0.3778
0, »948
0,4124
0,4304
0.4489
0,4680
0,4882
0,5075
0.5280

Осесимметричнш случаи
Прпд,
Р
1,50
1,52
1,54
1,56
Л
1,5а
1.60
1,02
1.04
1,66
1,68
1,70
1.74
1.76
,78
,80
1,82
,84
,86
,88
,90
,92
,91
,96
,98
.00
,02
.04
,06
,08
2,10
2,12
2.14
2. 0
2.13
2.20
2.22
2.24
2,20
2,28
2,30
2,32
2,3-1
2.36
2.38
2
2
2
2
2
40
14
48
2.50
2,52
2,51
1',56
Ко(р)
0,1661
0.12 16
0.0746
0.026&
0,0000
—0,024 Я
—0,0753
—0,1291
—0.1849
—0,2427
—0.3026
—0,3644
—0,4284
—0,4945
—0,5628
—0,6333
—0,7060
—0,7811
—0,8584
—0,9382
— 1,0203
— 1. 1049
— 1. 1020
—1,2815
—1.3736
— 1,468,!
—1,5656
— 1.G650
— 1.7G82
— 1,8734
— 1,9815
—2.0923
—2.205а
—2.3221
—2.4413
—2.5633
—2.6HR2
—2,8160
—2,9466
—3,0802
—3.21G7
—3,3562
—3,4986
—3.64:19
— 3.7У22
—3.9435
—4,0970
—4,2548
—4.4150
—1,5780
— 4.7139
— 4,9128
—5.0846
—5.2593
5, 4368
К, |р)
1.218Г.
1,2") 14
1,2534
1.2544
1.2540
1,25-55
1,2514
1,2 183
1.2 ПО
1,2321
1,2240
1,2148
1,2042
1.НШ
1,1788
1,1640
1,1476
1.1296
1,1100
1.0888
1.0658
1,0411
1,0! \5
0,9861
0.9557
0.9235
0,8891
0, 8528
0.8И2
0, 77.15
0, 7305
0,6852
0, 6376
0,5 К 70
0,5451
0,-1К00
0,4224.
0, J021
0,2902
0,2334
0,1648
МДНУО
— 0,0582
—0, L386
— 0,2221
— 0, 3088
— 0,:VfS7
-¦-0,4520
— U, 5885
—0,6885
— 0,74 У
— It, Ь^ЬЧ
*i <Р>
1.0G19
,0870
1,1120
1,1371
, 1506
1, 1622
1,1872
.2123
.2373
1,2622
1,2871
1,3118
1,3363
1,3607
1.3849
1,4089
,4326
,4560
,4791
,5019
,5243
1.5463
L.5079
.5889
1,6095
,6295
1,6489
L.G677
1.0859
,7033
1,7199
1,7358
,7509
1,7650
1,7783
.7905
,8018
1,8114
1,8209
1,828&
1.S354
1,8407
1, S И 7
1.8473
1,4484
1,8480
1,8461
1.8425
1,8,372
1,8501
,8212
.«104
,7976
!;обо
лже
hi: тлбл. 2
К3 (h)
0.5489
0,5704
0,5924
0,6140
0,6273
0.6,179
0,6614
0.6854
0,7099
0,7319
0,7604
0,7862
0,8129
0,839В
0,8673
0.8952
0,9246
3.9525
J.9819
,0117
,0419
,0727
, 1038
,1354
,1673
,1997
,2325
,2657
.2902
,3331
,3674
,4019
,43A8
,4719
.5074
,5431
,5790
,6151
,6515
.6880
,7240
,7614
,7983
.9352
,8721
,9091
.9460
,9529
,0198
,0561
,U929
,2192
,'.653
2,2 ii3f.

Общий случай деформации оболочек вращения
р
г!г,о
2.S2
2.4!
2,@)
2, fix
2^72
2.74
2.76
2,78
2.SO
2.84
2,86
2,88
2,90
2, У 2
2i06
3,00
3,02
3,04
3.06
3,08
3.10
3,12
3.14
Л
3.10
зля
3,20
3,22
3,24
3.26
3,28
3.30
3,32
'А, 34
3,36
3,38
3,40
3,-12
3. 14
3,46
3,48
3,50
3.52
3,54
3.56
3.58
3,130
—5,1.172
—5. ВОР*
—5.91*62
—6.1718
—6, .1661
—е.6580
—6.7563
—6,9556
—7,1571
—7,3011
— 7,56 7 Л
—7,7759
—7,9866
—8.1995
—8,4144
—8.0312
—8,8471
—9.0708
—9,5158
—9,7407
—9,9669
— 10,194:5
— 10,4225
— 10,6516
—10.8815
— 11,1119
— 11.3427
— 1 1.5919
— 1 [,591В
— 11,8015
—12.0353
— 12,2bDG
— 12.4356
—12,7373
— 12,9527
— 13,1793
— 13,4048
— 13.6285
— 13,8501
— 14,0695
— 11.2866
—14.5008
— 14,7118
— 14,9197
— 15.1238
— 13..32 38
— 15,5198
—15,7108
—15.8971
—16.0780
—16.2531
— IG.42I8
Л, @)
—1,0044
, 1236
,2415
.3G30
,4884
.0477
,75119
,Й8В0
—2.0231
—2.1743
—2,3236
—2,4770
—2,6346
—2.Г»йл
—2,9626
—3,1331
—3,3079
—3.4871
—3.S5H8
—4,0513
.2484
,4500
,6557
.8669
,0B2;i
—5..KJ22
—5,5268
—5,7559
—5,7743
—5.0897
—6,2281
—6,4710
—fi,71S7
—6,9709
—7,4890
— 7,7519
—8.0252
—8,8000
—8,5792
—8,8027
—9.1506
—'J,4427
— 9,7:191
— 1ПДКШ5
—10, 3440
— 10,6524
— 10,9047
— 11.2808
— 11,6007
—Л 1,9240
— 12,2507
1.74G!)
,7255
.7019
,6759
.6173
,6163
,5826
,5402
,5071
,4650
.4201
,3721
,3210
.2667
,2091
,1-lHl
,0837
,0158
0,gC89
0,7848
,7068
0,6198
0,5288
0,4336
0,3341
0.2303
0,1220
0,0091
0,0000
—0,1083
—0.2304
—0,3574
,-1 Hi).5.
—0,6262
—0,7681
—0.9153
— 1,0078
— 1,2255
— 1,3888
— ,5576
— 1.7320
,9121
—2, 0980
—2,2899
— 2,4876
— 2,6915
— 2.У014
—3,11 76
—3,3400
—3 5689
—3,8011
—4.0458
К, l&)
2,271В
2.3065
2.340$
2.3746
2.4078
2,4404
2,4724
2,5037
2,5343
2.5640
2,5528
2,6208
2,6477
2,6736
2,6984
2,7219
2.7443
2,7653
2,8030
2,8196
2,834<3
2,8479
2,859,1
2,8690
2.87Й6
2.&82U
2,8й38
2.S872
2.8862
2.8828
2,В 7 69
2,8685
2.8573
2.8434
2.826В
2,8067
2,7838
2,7577
2,7282
2,6953
2,6&80
2,6188
2.FJ750
2,5272
2,4754
2,4193
2,3^9.3
2.2М*
2.2281
2,1519
2,0733

Осесимметршные случаи
при удоил«творении граничным условиям состоит в решении системы
двух алгебраических уравнений [вместо четырех при использовании
выражений E6)—E8I-
Обозначим
F6)
[i = 0, 1, 2, 3),
рассмотрим некоторые наиболее
важные варианты граничных
условий.
К одному краю при-
приложены распределен-
распределенные изгибающий мо-
момент и перерезываю-
перерезывающее усилие, а на д ру-
гом — задано радиаль-
радиальное перемещение н
у г ол поворота (рис. 8,а).
В частности, если кран 6 — 6а
жестко заделан, следует пола-
полагать и2 = 0; 0а = 0.
Удовлетворяя с помощью выражений F2) и F4) граничным условиям
Мьф1) = М1; Qr@,) =
ur @a) — аг\ Ъ @,) - i
22

674	Общий случай деформации оболочек вращения
F9)
<*> =-И*.-»'
фа~ (лJ
К\
Значения функций ц>х—<ра приведены н табл. 3. Подсчитав параметры
С,, Сг, С3, С}, находим с помощью формул F2) слагаемые, отвечающие
краевому эффекту. Добавляя к ним соответствующие безмоментные
и гермоупругне слагаемые, получаем полное решение рассматриваемой
задачи.
К обоим краям приложены распределенные
моменты н радиальные усилия (рис. 8, б).
Удовлетворяя с помощью формул F4) и F2) граничным условиям
Жэ (9а) = Ма; Q,(Ha) = Q,,
находим
G0)
c,=-a№\Q,-«*w\{
! lc'
С, = С4ф, + С3
¦-'з'[и;
G0

Осесимметршные случаи
0.40
0,60
0,80
100
1.20
1.40
1.60
l.fcO
2,00
2,20
2.40
2.60
2.80
3,00
3,14
*
0,40
0,60
0,80
1.00
1.20
1.10
1.R0
1,80
2.00
a, 20
2,10
2,60
2,80
3.00
3.14
0,40
0,50
0,80
1,00
1,20
1,40
1 00
1,80
2,01)
2.20
2,40
2,60
2,80
:i.oo
3,14
44
0'. 02 11
0.0692
0, 151Л
0,2542
0,3513
0,4220
0,4630
0.482Э
0.4894
0.4911
0.4У
0,4914
0,4922
0,1934
Ф7
—2,5062
— 1.6727
— 1.2536
— 1.00У2
—0.8496
—0,7395
—0,6620
—-0.C073
— 0,5687
—0,5422
—0,5246
—0,5
35
—0.50C9
—0,5033
—0,5019
Ф.5
—1,8785
—1,2551
—0,9472
—0,7687
—0,6369
—0,5850
—0,5398
—0,5128
—0,4973
-0,4924
—0.4913
—0,4956
—0.4Э48
—0,496'J
-0,4981
—1
—1
l. Лил
0,079-1
0,
736
0,2867
0,3909
0.40IG
0,4938
0,4999
0,4947
0.4879
0.4837
0.4&27
0,4842
0,4871
0.4904
— 9,-1291
—4,1976
—2.373У
—1,5514
— 1,1161
—0,8652
—0,7162
— 0.622S
—0,5670
—0,533!)
—0,5154
—0,5050
-- 0,5017
— 0,5002
—0,5000
70Я5
2203
—0,8344
—0,6410
—0,5426
—0,4551
—0,4764
_(
—l
¦17'10
4772
483У
—0,4903
—0
—0
4?'53
4S.-86
—0,5000
4 i
чен
ня функций ф,— tf
Ф»
0,3962
0,5726
0,6941
0,7235
0,6554
0.5249
0,3773
0.2429
0.1334
0,0504
—0.O0B8
—0.0483
—0,0718
—0,0830
— 1,2594
—0,8349
—0.6203
—0.4926
—0.4043
—0.3380
—0,2396
—0,2000
—0, 1644
— 0, 1323
—0, ](Ш
—0,0782
— 0.0565
—0.0433
—-1,ЙВ7Ц
—2.O7U7
—1.1
—0,7
4G9
14
—0,4665
—0,3
10
—0,203?
—0,12ft!»
G82
0]0045
0.024C
0,0365
0,0-
\},Г.
Jl
131
Ф*
0,3873
0,9378
0,8197
0,6239
0,3849
0,1571
—0,0227
—0.1455
—0,2186
—0,2534
—0,2608
—0,2492
—0,2254
—0,1948
—9.4162
—4,167
—2.321
— 1,468
—О.99Б
—0,706
—0,511
-0,371
-0.267
-0,187
-0,125
-0.077
-0,041
—0.014
Фи
—С, 5013
—0,49&8
—0,4348
—0.4В81
—0,4761
—0,4571
—ОДЮО
—0,3946
—0,3516
—0,3031
—0.2521
—0,2016
-0.1513
—0,1123
-0.0863
,
J
У
0
Ф»
0,3979
0.5851
0,7422
0,8485
0,9006
0.9 L59
0.9171
0.91D0
0.9260
0.9374
0,9508
0.9639
0,9753
0,9841
— 47,234
— 14.156
—6,1-194
—3.36Н!
—2,1782
— 1,6050
— 1,3124
— 1,1572
— 1,0761
— 1,0349
— 1,0154
— 1,0072
— 1.0044
— 1,0038
— 1,0037
<Р.7
-11,931
—3.7661
—1,8517
—1 /2310
—О'9305
—0.9173
—0,9300
—0,9504
—0.9701
—0,9854
—0,9955
—1.0011
—1,0034
—1,0037
-11,681
— 1! 35-14
—0.613*1
—U, 2739
—0,0931
+0,0192
0,0754
о.пи;
0.1290
0.1327
о.'ш>
0!0866
Ф*
0,0424
0,1380
0,2994
0,4963
0.6690
0.7716
0,7964
0.7612
0.6883
0.5955
0.4954
0.3964
0.3039
0,2216
¦'' °
--47.034
—13.854
— 5.7514
—2.8720
— 1.5853
—0.9199
—0,5400
—0.3058
—0,1550
—0,0557
0,0094
0,0504
0,0740
0,0647
0,0866
Фи
-3,7541
—2,4913
— 1,8517
—1,4554
—1,1747
—0.Р5Б4
—0,7719
—0.6120
—U, 4704
—0,3459
—0.23&2
—0,1оС8
—0,08С«
-0.0280
0

Общий случай деформации оболочек вращения
...
0.4 0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
60
80
0
2
6
0
6
SO
3.00
З.И
ф„
— 0, 1331
— 0,199
—0,263
—0,325
—0,380
0,427
—0,403
—0,487
—0,502
—0,507
—0.508
—0.507
—0.505
— 0.503
— 0,5019
Ф.1
2,50G6
1,6857
1,2946
1,0858
0,9757
0,9274
0,9173
0.9289
0.9503
0,9691
0,9849
0,9953
1,0011
1.D034
1,0037
Til
0,0608
0,0994
0,1306
0. 1*87
0.1S12
0,t95J
0,1992
0,1024
0,176fi
0,1539
0,1283
0.1023
0,0780
0.05C3
0.04 33
...
2,455')
K6498
1.21A8
0,92 Я 5
0,7101
0,5315
0,3774
0,2455
0,1367
0,0522
—0,0091
—0.049Й
—0,0737
—0,084 G
--O.Ofif.l',
Продол jkl
—U,5J2J
—0,7967
— 1,0557
— 1,3009
— 1.5222
— 1.709:1
— 1,8525
— 1,9500
—2.0089
—2,0309
—2,0355
—2,0299
—2.0209
—2,0123
— 2.0075
кие табл. З
'J.2672
0,3977
0,5223
0,6349
0,724»
0,7813
0,7966
0,7604
0,7063
0,6156
0,5132
0,4093
0,3110
0,2254
0,1732
Wf (9.,)]; ^ = -^-[«,-«..111*
4 (Kaf + К,К„
Значения функций ф7—фп приведены в табл. 3.
Один край нагружен распределенными мо-
моментом и радиальным усилием,на другом — за-
задай момент и радиальное смещение (рис. 8. в).
В случае шарнирного опирания ыа = 0. Мг = 0.
Удовлетворяя с помощью формул F4) и F2) граничным условиям
G2)

Осесимметричные случаи
С ~-
sin (Ji
С, =- С4<р„ -|- С,<р14 — d;l<p,s Н- р2
С, -= С4ср„ + C,ifi, — Л,(р„ + р"
G3)
<Pifl = =~i-,	=-=¦'' «Pit = "
Значения функций «Pi.t—фщ приведены в табл. 3.
Оба кран нагружены распределенным мо-
моментом и заданы радиальные смещения (рис. 8, г).
В случае, если оба края шарнирно оперты, следует положить
Мх = М., ¦¦-= 0; «J = ца = 0.
Удовлетво[)яя с помощью формул F4) и F2) граничным условиям
С.-15П!Г1».-"НО.)—Ив.)];
С,
4 = — С3фа + С,фм
G5)

Общий случай деформации оболочек вращения
KqKi -f- '1/
Значения функций ф?0—фи6 приведены в табл. 3.
На краях заданы радиальные смещения и
углы поворота (рис. 8, о). При жесткой заделке краев следует
положить ut = Ui = 0; ^ =* $й =* 0. Удовлетворяя с помощью фор-
формул F4) и F2) граничным условиям
и, (в,) = и,; » (в,) = О,;	1
15ГВГ К-»И0,)—Ив.)]:
С, = -|- I», - »' @,I;
С3 = 4 1Са<р,
С4 = I [—С,«р, + С,Ф„ — р 4„Ф,„ —р- ^ср,,].
G7)
1"" sin в., И "'И/ "г\«2Л' "J й Г2 " Vu2;j-
Значения функций ф7—фп приведены в табл. ,3.
На одном краю заданы радиальное смеще-
смещение и угол поворота, на другом — заданы момент
и радиальное смещение (рис. 8, е).
В частности, если край 8=9! жестко заделан, следует полагать
н, = 0, #, = 0; если край G = 08 шарнирпо оперт, следует полагать
иг = 0, МЛ = 0.

Осесимметричные случаи
679
Удовлетворяя с помощью формул F4) н F2) граничным условиям
% (t>i) = «i: * Фх) = #ь
получаем
С, = — 4С,фи +
С, = 4С,ф17 —
G8)
G9)
Значения функций 9is—Фю принедены в табл. 3,
В случае очень коротких оболочек (см. стр, 695) соотношении F2)
следует заменить зависимостями, аналогичными A7а) и A8а) гл. 22.
Для длинных оболочек имеют место следующие соотношения:
«о = «о + < + «и (Со - Со) + «12 {¦% - K):
*>„ = «; + «,, (е„ - q;) + «..,, (.«„ - «;),
(80)
'(во); -«и = 'ИЛвс);
00 = (г, (в0); Q'U =
(81)
X [г0 = Кф (в„) sin 0
(82)

680	Общий случай деформации оболочек вращения
а (I = —1 на краю ео = 61( |1 *» +1 на краю 60 = 02 @, < 9 < В,).
Полные напряжения подсчитывают по формулам
о' = а', '"> + а„ (cos Р + sin P) е~* - ц	''
X dj sin ре 1
(cos р* + sin (
r 1^3 (I-v»)
»!?' = %"" + I10* cos P""" ~
о» sin I
Ojv) >(cos p _ sin
(83)
оь — 2 v' 3 A — va) I/ -т2- У sin
г п
ot"" = — ; "«""^"г
* ^3) f _&?=
07 ™-
(81)
Смещения и угол поворота определяются соотношениями
('~ "
) о,м_(cos р — sin
X {- -^3<'? "'' ом< (cos р - sin Р) е"" + цо* cos {
(85)

Обратносимметричный случай
> = ft -|- О'
(80)
Приведенные соотношения значительно упрощают расчет длинных
оболочек. В случае статических граничных условий (заданы Qn и М„)
напряжения подучи ты на ют по формулам (83), а соотношения (85} дают
значения смещений и угла поворота. В случае геометрических гранич-
граничных условии, условии упругого сопряжения или смешанных (когда
задается одна геометрическая величина и одна статическая) из системы
(80) определяют величины {% — Qq). (Мд — М$), после чего напря-
напряжения подсчитывают по формулам (83), а смещения и угол поворо-
поворота — по соотношениям (85).
ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ (k - 1}
Кроме осесимметричного случая нисамоуравновешенную краевую
нагрузку дает и так называемый обратносимметричный случаи (к = 1).
Его иногда называют также случаем антисимметричной или ветровой
нагрузки. Так же. как и в осесимметричном случае, напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние удается представить в виде суммы безмомент-
ного. термоупругого состояний и краевого эффекта. При этом
Г, -
1
Ur, 1 = 4. \+U'r, l-<. Ь
(8C)
Безмоментная часть решения. Безмоментные уси-
усилия подсчитывают я по формулам (см. работу [14] стр. 140)
(87)

Общий случай деформации оболочек вращения
iin в dtl +
+ ф (8) К, sin t
(88)
Ф @) =(<?„,, cos 9 — <?, , sin в) «ij sin 9 — \ (qn , sin в +
, ,совв —?ф. i)
(89)
ф (»l) ^п 6, [cos e./V; , @,) - r[ (H,)J;	(901
9Л»=л4 @,) 81п3в,Лг;, ^б,)	(91)
являются составляющими
главного вектора и главного
момента, усилий и изгибаю-
изгибающего .момента, приложенных
к краю Й = 8j. Положитель-
Положительные направления этих вели
чин показаны на рис. 9.
В обратноси ыметрично-v
случае ту же роль, что д и
симметричном случае, играет
упругим поворот
7. --#,--
(92)
представляющий cooofi полный поворот {в меридиональном сечении
Ф = 0J 1?! за вычетом поворота параллельного круга как жесткого це-
целого, на угол ~тт——- т- (см. работ\' []4]стр. 136). Эта величина является
г\ц sin 0
деформационной (см. формулы C4)]. Аналогично величину иг из сим-
симметричного случая заменяет также деформационная величина
«Ф sin 6еф. t = гш.	(93)
Обе величины не содержат в себе перемещений оболочки как жесткого
целого.

Обратносимметрияный случай
683
Геометрические безмоментпые величины подсчитывают по формулам
#Ф "П 0 ,i I А'^ | г- A',fi | \
Kb J9 \ ft9 sin 0 у
1	dRm sin Ollf
I -И)
Я(«ф sin» 0	rfB
(?„. iClgO-2?,. ,)]};
ctge
^0	^ R
cos6	dR4. sin 0У ,	W
sin3 0
;n. ,ctg6 — 2qt,
r-'T
к* = a + -!— f j ftt sin 9 rf('V>. ' ~?~ Д'ф. ') ,
'¦	' Eh J I #,	do	+
(Йф sin №) cosB
^ sin2 e"" <J8 + r, sir.ae"
— «,t sin 0 (</„, ! ctg в — 2?s. ,) I - El, —--} Rt M;
*	AV; Sin e
sin Э

681
Общий случай деформации оболочек вращения
где аг — жесткое смещение оболочки и направлении оси Z; Ц/ — ее
жесткий поворот вокруг оси у.
В случае оболочки, замкнутой сверху F, = 0), следует положить
f*g — 0; 3J?® = 0. Для оболочки же, замкнутой снизу F2 = л), выра-
выражение (86) необходимо заменить на следующее:
(95)
ф № = (in, I cos ° — Ь.
Sj sin » —
х
clg» d6r. 1	'г. i VI.
\ «9 ' <1й Кф siu10 // •
12 (f- v») {"+">*'¦¦
\
— \ (qn i sin 6 + <?Bt ! cos fi — </ф ,J RbRq sin Qd&. (96)
я
Термоупругие слагаемые имеют вид
(97)
1 " 12A +v) \ R, sin 9 de	ft,, sinae T-
%' = - -^ ¦ ^^p + ctg 0er, ,; (ruf = R, sin 0eT,,;
(99)

Обратносимметричный случай
4<t sin И dr.,, i ",, I
—Ъ±\Н,
ux 1
*{ — Xr + ^ s']n 6 ; f[ = Яф sin 6e,_ t — a\t x.
С той же точностью, что и для симметричного случая, слагаемые,
отвечающие краевому эффекту, записывают
^%, 1 ~ (^l cos Pi "~ ^[ sin Pi) ^~^' +
+ (S2 cos &. — Л, sin pB) ^'1;
Л1 - Si) sin ft] b-9' + [- (Л, + B,) X
X cosP, +(-4, — B,) sin Р„1ер'Ь
K*™' 6 [(Л, cos p, - B, sin PJ <r-8'
-1- (Ла cos |32 +fl, sin P2)cPs];
X ([(—A + Bi) cos P, + (Л, + B,) sin Pj) e—^' -
+ [Hi - Вг) cos p2 + (A, + fi2) sin P,] ««¦);
ц?_ , = (ло))*; и* t =--; —ctg 0 (гш)к\
A01)

68C
Общий случай деформации оболочек вращения
Значения входящих в выражения A00) функций даны в табл. 1 и на
рис. 7. Приведенные выше выражения дают возможность из граничных
условий на краях оболочки 9 — 0г и 8 = 92 определить постоянные Alt
А2, Dv B2; f&, >)TJy, аг, &у и построить эпюры напряжений и смеще-
смещений. Так же, как и в симметричном случае, в зависимости от
взаимного расстояния между краями, оболочки делят на короткие и
длинные; при этом критерий F1) сохраняет силу.
Для коротких оболочек можно использовать формулы F2)—G9).
заменяя в них величины
с различными значками соответственно на
Для очень коротких оболочек (см. стр. 695) указанную замену
следует проводить в зависимостях, аналогичных соотношениям A7а)
гл. 22.
Для длинных оболочек имеют место следующие более простые фор-
формулы:
A02)
% + ai2 (Qu - Q]) -г «22 (Мо - К) ¦
где, как и в симметричном случае,
аи = ц2 У 3A - v2) (-^-^ /sin 90 -i-;
[г0 = /?ф (в„) sin в0),
A03)
а ця: — 1 на краю 0„ = 0!; (i = +1 па краю в0 = б3; но
"о = <™)|-о„: *о = У- <во>; ме = м,. i <ео)' «о = «r. i(eo) <104>
(с соответствующими значками).

Обратмосимметршшый случай
Полные напряжения подсчитывают по формулам
X о-* sin fe~P;
<\ = °ф,' + v ["л. (cos Р + si» ft «-H - |
X и* sin p«—*];
,1
A05)
X cr^fcosp1— sin Pk"";
"i. 1 — "», 1 ¦ °S<p. 1 — "в*. 1' °H. 1 - "tip. v
6 (Л-f,, — AfJ)	4/	 -.f-T
A06)
fi=/3(l-v»)
Смешения и угол поворота определяются равенствами
ЛФ sin 9 (
X од,л (cos p — sin P) e~P -f и<тА co
- „• -1 ur _ ff|? CQS 8 J Kl
X аи< (cos P — sin ft г"" ^ цо,, cos
A07)

Общий случай деформации оболочек вращения
A07)
Примеры использования приведенных выше формул к расчету кон-
конкретных оболочек даны и гл. 22—25-
ЛИТЕРАТУРА
1.	Андреева Л. Е. Упругие эл
2.	А р о н с о н А. Я. и др. Расчет на i
М.—Л., «Машиностроение», I9G5.
3.	Б и р г е р И- А. Круглые пластинки
рокгна, 1964.
4.	В л а с о в В. 3. Общая теория оболе
М. — Л., ГИТТЛ, 1949.
5.	Гольденвейзер А. Л. Теория
ГИТТЛ. 1953.
6.
Т. 2.
1948.
Каороич
М., Машгиз, 1960.
8.	Л у р ь е А. И. Статика тонкосл
7.
9.	Новожилове. В. Теория i
10. II о н о м а р е н С. Д. и др. Рас
. М., Машщз, 1958.
П. Тимошенко С. П. Пластн
.
12. Ти
х упругих оболочек М.. ГИТТЛ,
х обо.чичек Л., Судпромгиз, 196^.
мошенко С. П., В о й н о в с к
лочки. М-, Фнаматгиз, 1963.
\'А. Ф л ю г г е В. Статика и динамика обол о
И. Черных К- Ф- Линейная теория обол'
15.	Черных К- Ф. Линейная теория обол(
16.	Черных К- Ф- Уравнения Мсйснера
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и i
оболочки. М. —Л., Гостехнзд
ский-Кригер С. Пласти
.. М., Госстройиздат, 1961.
к. Ч. 1. Изд. ЛГУ, 19G2.
к. Ч. 2. Изд. ЛГУ, 19G4.
инностроение. °1959, № 6.

Глава 22
РАСЧЕТ КРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК*
В главе рассмотрены тонкие круговые цилиндрические оболочки
постоянной толщины, находящиеся под действием осесимметричных и
обратносимметричных внешних нагрузок и нагрева.
В случае нагрузок, отличных от симметричных и обратноснмме-
тричных, следует пользоваться соотношениями гл. 21, полагая в них
RЯ	°;
Если какая-либо из величин, характеризующих геометрию оболочки,
нагрузку и термоупругие свойства материала, изменяется значком в се-
сечении х — х0, можно разбить оболочку па две н упруго сопрнчь реше-
решения для каждой из них. Вопросы упругого сопряжения круговой ци-
цилиндрической оболочки с соосными оболочками вращения, а также
подкрепления ее упругими кольцами рассмотрены в гл. 1 т, 2.
Приведенные в настоящей главе формулы могут быть использованы
н для оболочек с толщиной, плавно меняющейся по х и не зависящей
от ф. При этом в соотношениях бсзыомектного и термоупругого состоя-
состояний следует заменить постоянную ft на текущее значение толщины
Л (х), внося последнее под знак интегрирования в выражениях для сме-
смещений. В соотношениях же краевого эффекта под h — h (*„) следует
понимать значение толщины на рассматриваемом краю. При быстро-
быстроменяющейся толщине надо использовать уточненные соотношения (см.
гл, Г), т, 2 а также работы Ц, 6]).
Цилиндрические пластины (в том числе и пологие) рассмотрены в ра-
работах [4, 10, 14, 15, 171; о цилиндрических оболочках некругового
сечения см. в работе [101.
Полезно также ознакомиться с соответствующими разделами сле-
следующих обзорных работ [!7, 19] гл. 20.
Существует также целый ряд универсальных программ, позволяю-
позволяющих рассчитывать цилиндрические оболочки на ЭЦВМ (см. т. П, гл. 3).
Принятые обозначения:
Е — модуль упругости в дан!смг;
v — коэффициент Пуассона в см/см;
h — толщина оболочки в см.
Папнсаиа при участии Е. И. Мих,

Расчет круговых цилиндрических оболочек
R — радиус срединной понерхиости оболочки ь см;
х — расстояние по образующей от края оболочки
{рис. 1) в см:
L — длина оболочки в см;
и, v, w — смещения точек срединной поверхности в см;
¦& — угол поворота края оболочки в рад A рад —
' 18QC «Л
=	га 57 ;
Т
р — нормальные усилия;
— сдвигающее усилие;
Qr — перерезывающее усилие (рис. 2) в дин/см;
Мк, /Иф — изгибающие моменты;
И — крутящий момент (рис. 2) в дан-см/см;
а]?' = —г- ¦ a{pj = —г- - of = —	тангенциальные (цеп-
ные, мембранные) напряжения в дан/см2;
<а) &МХ	(и) 6//	,,,, 6Л1ф
ах — —тъ— ; а^ф; = -у?- ', °<р = ~Тл~ — изгианые напряже-
напряжения в дан!см2;
п+ = n<PJ 4
-|-	(О) | (II)	+	(О) | (к)
прнжерсия в наружном слое оболочки (jnic. 3);
пряжения во внутреннем слое оболочки;
aKt аг—перемещения оболочки как жесткого целого
в направлении осей X. Z (рнс. 4—6) в см;
&х. Qy — жесткие повороты оболочки викруг осей х, у
в рад;

Осесимметричный изгиб
F'XJ F? — составляющие главного вектор;* усилии, при-
приложенных К краю оболочки jc = 0 (рис. 4— 6),
в дан;
ЭД^. 1Шц — составляющие глакного момента усилий и
моментов, приложенных к краю jc = 0 (цен-
(центром приведения является центр круга х = 0),
в дан.см;
Ях< ?ф> Цп — составляющие ионерхностной [1агрузки
(рис. 2) в дан/см2;
о. — коэффициент линейного (температурного) рас-
расширения в Мград;
Х+, Т~ — изменения температуры на внешней и кнутре>1-
ней поверхностях оболочки но срав-
сравнению с начальной температурой (при
которой отсутствуют напряжения);
ьт~а	, xT-a.—h
компоненты температурной дсформнции
при линейном законе изменения темпе-
температуры по толщине [при нелиЕЕейном
закона см. формулы (80) гл. 20].
Осесимметричными (симметричными)
называют случаи, когда напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние не зависит отф.	-у I- /(т~!
Следует различать осесимметричный изгиб	*
и осес;;\1мстрнчное кручение.	Рис. t
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Для плавных нагрузок напряженно деформированное состояние
может быть разбито (см. гл. 20) на безмоментное, относящиеся к нему
величины помечены значком *, термоупругое (значок ') и краевой аффект
(значок к). Перемещения чистого изгиба и симметричном случае сво-
сводятся к жесткому смещению ах.
Осесимметричный изгиб характеризуется следующими величинами:
= Л'*
Л' — Л'* -|- Л1* ; Мх =
-\- M*;
+ в"; ©=
A)
Безмоментная часть решения
V* @)]

Расчет круговых цилиндрических оболочек
ТЯГ (
C)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в расчетной
практике ниды нагрузки.
Осевая растягивающая (сжимающая) сила
* ^_ 0; w* — —
2л?й
E)
Равномерное давление с осе-
осевой силой
г = р — const;
в" = 0;
(в»)
Если ва краю х = 0 установлена крышка или оболочка, восприми
мающая давление, то Р — п/?2р н
G)
(8)
Собственный вес оболочки (ось оболочки вертикальна). Пусть q =
= const — вес оболочки, приходящийся на единицу ее срединной по-
нерхности (в дан/см*). Тогда

Осесимметричный изгиб
(9)
Eh' '
Гидростатическое давление (ось оболочки вертикальна).
Если цилиндрическая оболочка полностью заполнена тяжелой
жидкостью с удельным весом уж (в дан!см3), то давление на стенку по
параллельному кругу х определяется весом столба жидкости над этим
сечением, т. е.
При этом
< = 0; Л-; - yxRx:
Термоупругие слагаемые определяют по формулам
A3)
A1)
е,т(х)-а
Т+—Т-
A5)
Краевой эффект. Цилиндрические оболочки делят на длин-
длинные, для которых можно пренебрегать взаимным влиянием краев, и
короткие, для которых этого нельзя делать (см. гл. 21, стр. 668).
Если приемлема /0%-ная погрешность расчета, то оболочку можно
считать длинной при
Ы>2.	A6)
Для 5% -ной погрешности •,
A6а)
.	.'3A — V-)	пп	, 1,285
| о — -—т—^-—- ; ПРН v =0,3 принимают b w A_
У Юг
У Rh i

Расчет круговых цилиндрических оболочек
Основные соотношения для коротких цилиндрических оболочек
в" (г) = С,Л„ ф) - С,*, ф) - ед, ф) - С4/Га (()).
М*1х)
с,к, фу,
MW+c.K,(fl);
) - 4С,«,
Eh
A7)
A8)
- Е№ ¦ р = Ьг Ь
CL = шк @) = ш @) — ш* @) — ш' @),
A9)
В формулах П)К„Ф). К, (P),^!(P)b«j(P) —функции А. Н. Кры
на (см. гл. 21).
Введем обозначения:
d.=
) — ** (Ц —
[Qr (Щ.
~W
B0)
Задавая теперь на каждом из краев по две из величин w. О, Л4Л, Q,,
находим с помощью соотношений A7)—A9) CL, Cz. Сч. Ct, тем самым
определяя решение краевого эффект Д::оавляя затем к нему безмомент-
ные и п:рмоупругие слагаемые, получаем i:o.:iiio^ решение рассматри-
рассматриваемой задачи.

Осесимметричный изгиб
При рассмотрении конкретных задач полезно использовать соотно-
соотношения F8)—G9) и рис. 8, ириг-еденпш-- ь гл. 21. При атом следует по-
полагать р = I, а для постоянных Clt Сг, Ся, С4; t/1, da, rf:i, t?4 использо-
использовать выражения A9), B0). В граничных же условиях F8) —G8) ве-
величины
ФУ), И F,), A*
», (В,); иг (О,). * @-.), Л1„ (ft..), Q, @a)
надо заменять соответственно на
, Ф @).
@). 0,@),
- (L),
Иногда в расчетной практике встречаются очень короткие оболочки
[2]. При расчете таких оболочек с использованием соотношений A7)
появляются мальч1 разности близких величин. Если пренебрегать сла-
слагаемыми порядка (ЬЦ* по сравнению с единицей, то соотношения A7)
для очень коротких оболочек следует брать в виде [9]
4"
A7а)
Для длинных опо.'ючек приведенные выше соотношения значительно
упрощаются. Так,
B1)
B2)
о' = К

Расчет круговых цилиндрических оболочек
перемещение, угол поворота и силовые факторы на краю х — .
aii = |i2/3(l-vi!)^ к ) Е
«а=И4 МЧ1 —
[А -
г- а12 = 12 A - v!) ( А)
B3)
В этих формулах следует положить jx = —1 на краю х0 = 0, ц ~
+1 ка краю х0 ~ L.
Полные напряжения подсчитывают по формулам
ст^"> - отх 1и) + али (cos p -f- sin р) с~р — '
3 _ _3„ о .—б.
<* = Ч'"' +v ки0 (Сй^ Р +sin Р) е"р-
з	_
— fl /	0K S [П pi
V'i A - v')
oMj (cos P - sin
(р) =„'(р)
h '
B5)
(см. также табл. 1 гл, 21).

Обратмсимметричный случай
Перемещения и угол поворота
ол(а (cos fl - sill P) е~е +
B6)
sin Р) е~»
и = и
В случае статических граничных условий {заданы Qo и Мо) напря-
напряжения определяют по формулам B4), а смешения и угол поворота —
по формулам B6). В случае же геометрических граничных услонин или
условий упругого сопряжения (гл. 1 т. II) из
соотношений B1) находят величины Qo. Mo,
после чего уже определяют напряжения и
смещения.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
При осесимметричном кручении воболочке
имеет место безмомеатное напряженное со-
состояние, описываемое формулами (рис. 5)
2A -г-у>
Eh
B8)
TQ= Тф));
(Щ
Рис. 5
ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Обрзтносимметричным (иногда антисимметричным, ветровым) на-
называют случай, когда искомые и заданные величины имеют следующую
зависимость от ф:
и = Цл соз ф; v = V-, sin ф; w == w* cos ф; 0 = $¦¦ cos t
v = vt sin ц>: w = Wj. p	^
Nx = Nx, i cos ф; T = T, sin <p; Nv- = N<$, i*cos <p;
Mx = Mx, i cos (p;
H = tf: sin ф; Мф = Л1ф, i cos ф; Qr = Qr, г cos <p;
Ях = qx,, cos <p; 9ф = 9ф,, sin ф; gn =» ?л, i cos ф.
C0)

Расчет круговых цилиндрических оболочек
При плавных нагрузках напряженно-деформированное состояние
можно разбить на безмомешпное (со значком *), термоупругое (со знач-
значком ') н краевой эффект (со значком").
При этом
!¦ Л1,р. 1 = м'ф,, + mj, ,; и, - н;;
C1)
Без момент II ое решение
C2)
+ J-i-ФМЛс;	C3)
C4)
Составляющие главного век-
Рис, п	тора и главного момента, уси-
усилий и момента, приложенных
к краю к ~ 0, скязаны с краевыми значениями безмоментных уси-
усилии соотношениями (рис. 6}
,@).
C5)
Случай, когла сила F и момент 9JI направлены под произвольным
углом, может быть рассмотрен с помощью приведенных ниже фор-
формул поворотом осей YZ н наложением решений (см. пример 12 гл. 1,
т.'II).

ОбратносимметричнЫй случай
Перемещения подсчитывают по формулам
uj dx' -j- аг;

C6)
где аг — жесткое смещение оболочки вдоль оси Z, a Qy — жесткий
поворот вокруг оси Y.
В обратносимметричном случае ту же роль, что ft в симметричном
случае, играет упругий поворот
Z = 0i--^-.	C7>
предстан-ч я ющий собой полный поворот (в осевой плоскости ф = 0) №±,
за вычетом поворота поперечного сечения как жесткого целого иа
угол 4г (см. работу |17] стр. 136J. Аналогично, ту же роль, что и иг
к
в симметричном случае, играет величина
(Rtu) = vx -h а>х.	C8)
Величины 1 и (R<i>) являются деформационными, не изменяющимися
при смещении оболочки как жесткого целого.
Для введенных величин имеют место следующие соотношения:

70»
Расчет круговых цилиндрических оболочек
Для наиболее интересного случая изгиба оболички краевыми уси-
усилиями (qx, х = </Ф- ! =* qn, , = 0) приведенные выше формулы при
кимают вид
2+v
D1)
D2)
T e p м о у п р у г и е слагаемые
X'	Я —
A3)

Обратносиммстричный случай
701
Величины ет, 1 м к!ш 1 енязаны (при линейном изменении темпе-
температуры по толщине) с температурой на внешней поверхности оболочки
У+ = Т^~ cos 0 и внутренней Т~ ^ Т^~ соз ф соотношениями
Т+-ТГ
D4)
при нелинейном законе см. формулы (82) гл. 20.
К р а е н о it эффект. Для коротких оболочек [удовлетворя-
[удовлетворяющих критериям A6) и A6а) J. соотношения краевого эффекта имеют
ид, аналогичный выражениям A7) и (la):
" (x) = CtK, Ф) -
(В - CsKs (ft - С,К, ФУ,
i =-- 4C,K, (P) + СУС„ ф) + C,K,
4СД.(Р)—4Cj
= 4СЛ (Р) -
Aft.
з (В + СА (Р);
D5)
D0)
г- = ' v;^
1.285
f=^	 при v =
V Rk	V Rh
C, - Лш* (9) = R [a @) _ со* @) _ шг @I;
C	=ЫМ@)Л*@)];
D7)

Расчет круговых цилиндрических ободочек
dx = Rto* (Z.) = R [w (/.) — 01* (L) — aT (Z.)};
\
Выписанные выше соотношения дают возможность решить рассма-
рассматриваемую краевую задачу. Определению подлежат три группы произ-
произвольных постоянных:
первая группа
вторая группа
третья группа
С1( С... С3, С4;
Постоянные первой группы обычно либо задают, либо подсчитываю!
по формулам C5). Во вторую группу (см. стр. 701) входят две статиче-
статические величины и две деформационные. Примером использования послед-
последних могут служить условия жесткого края #ш = 0, % = 0. Если же гра-
граничные условия сформулированы н перемещениях, то деформационные
граничные игличины могут быть подсчитаны по формулам C7) и C8)
Выражения D5) --D8) совершенно аналогичны осисимметричному
случаю; они позволяют сравнительно легко удовлетворить граничным
условиям в случае короткой оболочки. При рассмотрении конкретных
задач можно использовать соотношения F8)—G7) и рис. 8 гл. 21- При
этом следует полагать р = 1, а под постоянными С1( Са, С3, С,; di, d;.
ds. d± понимать выражения D7) и (-18). В граничных же условиях F8) —
G81 гл. 2\ величины н, (9i). * {Bj. Мв (BJ, Q, (б^; "и, (9,), ф (ВЛ,
Л1ц (9..), Q(,tN надо заменять соответствен но на па @), х @), Л1д- , (С),
Q,., @);/-co(L). хШ- .*/,.!<!.), Q,,, (?.).
Если не интересует жесткость конструкции (величины перемещений
и угла пово;)ота). то после определения постоянных второй группы
подсчитывают напряжения, и задача решена.
В случае, если необходимо знать и жесткость, приходится рассма-
рассматривать и смещения и определить входящие в них постоянные третьей
группы. При этом следует использовать то обстоятельство, что переме-
перемещения
«, - и, -J-t
D9)
можно считать независящими ог краевого эффекта.

Обратносимметричный CAf/чай
703
Для длинных оболочек все соотношения значительно упрощаются.
< + <*„(?„ + а-и (Л'ч - ЛЧ);
E0)
где, как и в симметричном случае.
4 ) '
E1)
Величина ц. ~- —I на краю Xq = 0, |j, — +1 на краю *,, =
I @< t< Л), но
(с соответствующими зчачками).
Напряжении подсчитывают мо формулам
o --= Qr, t (x0) E2)
"\ = аA°
[°.м. <cos f +sin
E3)
/3A _v*)
_ (cos P — sin f
<> , - a'

704	Расчет круговых цилиндрических оболочек
E4)
Суммарные перемещения подсчитынают по формулам
! = [»; + ш? + 4 {-
? + 4
o,Mg (cos p - sin
v M^ft cos Р
. 2/3Q-V'),
X оя, cos Pe-P - ah (cos P + sin
E5)
В случае оч^яь коротких оболочек надлежит пользоваться соитно-
шениями A7а).
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
пример 1 •. Кручение цилиндрической оболочки.
Пусть цилиндрическая оболочка (рис. 7), закрепленная на одном конце х — о,
Шх = -2nRzT.
18 нагрузка i
тх Т
Eh
Пример 2. Длинная цилиндрическая оболочка, h;i-
груженная давлением газа. Пусть оболочка длинная Гудоилс-
гворяетх-я критерий A6) и A6а) и можно пренебречь взаимным влиянием краев J
' См. также примеры гл 1 г. II.

Примеры расчета
705
формулам G) и (В):
Край жестко заделан (рис. 8). Грани
= # (L) ^ о придают системе B1) вид
0 = да WJ = I); 1
Согласно же формулам B4) и BG):

706
Расчет круговых цилиндрических оболочек
(гм. табл. 1 гл. 21).
lax оболочки на ее краях. При 5
}
2 1/3A- V") I
ри иона/1Ш1«иапря*{ии	Пр» v = 0,3 О г: 2,04-—- .
Ф/Я fin f'/w	3аныПнТ[м(са7ЯЖеИИЙ ЯЛЯ г=ж0'3плкй-
рассматриваемом случае Af0 = Мх {L) -
= 0 Ев.>а = w (i) = 0; систему B1) аапишем
¦2 /:ft
Ч- «nQa = 0;
а, ,<?„ = #,.
4д* V5? ^ и^^с^п&ГпГ;;".^™"^*01
Kn/Jbuitme напряжения
РИС. !
pi ?R	,„, _ ,
I "	»
П ример 3. Длинная цклиндрическаи о 6 о л о ч к а с п о < i
Пусть в круговой цилиндрической оболочке (рис. 1A) со свободными ки
по толщине и достигающее на поверхностях аизченнЭ Т+ и Т~, тогда i-oi-iuci
формулам A.1) — A5)
шсииях'оЗ)— A4) понимать пол к и ит выражения (8U) гл. ''О)'].

Примеры расчет
[Мх (II) — Мх (I.) -- I); Qr @) — Qr (L) =0];
J^— ?" Га (l - v
¦1 A - vl
а (Г*- Т-) [3d
Следова
Ea (Г*- Т~)
Эпюры напряжений показаны h;i рис 10.

708
При
мер
4.
Расч
Ц .1 п
ет
кругоныл
д р и ч с j
цилиндрических оболочек
......л.,к.. ...pUT.Vc
ш @) = н @) =0; <М0) = 0; Ф (LJ = 0; л (Z.) = л, it {L) = 0.
Прежде всего, поскольку iv (лг) s и* (л:) <не зноиснт от краевого эффект.))
а формул (fia| и краевых условий и* @) =0; и* (!-) = Л находим
2ЯЙ/1 ' 'Р
- : в* = 0. (So)
Формулы для напряжений и смещений
(при жестко заделанном крае) f> выражения
ель жесткой диафрагмой, к которой приложены сила Р и изгибающий i
Со'глнгио рис. 12 и 6
1/, @) = vv @) = И), @) =0; ¦&, (
ел h a),
(жесткий край).

Примеры расчета
Из формул D1) и E7)
-[(Л/ + РЦ-Рх)--
X (Л1 | PL) - -
1 = и-, {!,) И # = -#, (i,).
Прежде псе
нй F0)
и:. граничных услоикй
Ц
р _и- а ^ . .'_!-Т_.
'.'/ "' г	TiREh
C7). П8), (-30) и F1) следует
i = Ди (L) = И, {?.) =—w*(L);
<t=: — X {!,) = -
й	ft
:гом формул [62)
« ) ¦ >!i nEhR2 ' R "
Далее из соотношениЛ D0) и D2| получаем с учетом соотношений E7)
Пусть консоль короткая [см. критерий A^) и {lfiaJ]. Удовлетноряя с по-
помощью иырижепий D7) и D8] граничным условиям E9) н следующим из ра-
равенств E8):
ш @) =0; х @) = 0,

Расчет круговых цилиндрических оболочек
\\i формул G7) гл. 21 к
,,J
(значения функций Фв —ф12 приведен!* и т.чЛл. ^ гл. 21).
согласно F3) и C0) будут
¦км + РМЧн _ДгФ1., cos.,; o'w|-voi">;
V'J A — v') nR'h
- [PL -\ M) toad-; f'f'1 -vo'"'|
При достаточно больших Л (см. табл. 3 н формулы G1) гл. 21)
Фя ~	Х- ; ф]е «0; чч, ~ — 1; <г1: ~ 0;
из выражений F5) следуют формулм для напряжении в корни дл
р<"> =	gL-	 (AJ + PL) со;ф; O(") = V<J(«).
*	/:i (I _ v2) лКгЛ	ф
1.	Б я р г с р И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.,
Оборонгиз, 1964.
2.	Б и р г е р И. А., Шорр Б. Ф.. Ш н с ii д е р о и и ч Р. М. Расчет
ни прочность деталей машин. Машею. М-. 1^59.
3.	Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения к технике.
М-— Л., Гоогсхиздат, 1949.
4.	Гольденвейзер А. Л. Теории упругих тонких оболочек. М..
5.	Григорьев Л. Я- Судовые сосуды, работающие под давлением,
{определение напряжений к деформаций)- Л.. «Судостроение». 1У65.
ратов. М.. Мышгкз. 1960.
7. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек М.. Гос-
тскиэди. 1917.
ft* Михайловский F.. И- К Г>эсчоту коротких оПолочск врлщения.
Сб. fИсследования по упругости и пластичности», сб. 6, изд. ЛГУ, 1967.
9. Михайловский Е. И. Расчет элементов автоклави (определение
напряжений). Труды ВНИИстроммаш, сб. 7, 1067.
10.	Н п н о ж и л о в В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгцз, 1962.
11.	П О в о м а р е в С- Д. и др Расчеты ни прочность в машиностроении.
Т. 2, М-, Машгнз, 1958-
12.	Прочность цилиндрических оболочек. М., Оборонгиэ, 1959,
13.	С. о кол о в В. И. Ос новы и л счет*' ir KOHt'TpviipoiiQHiL^t др т чЗ_р1б ч и уз»" о is
пищевого оборудования. М., МашГна, 196Л.
14.	Тимошенко С П Пластинки i' оболочки М.Л., Гостехнздат,
1948.
16. Т it м о ш е н к о Q П.. П о п и о в с к и П - К р и г в р С. Пллпниы
и оболочки. М-. Физматгиз, 1963.
16.	Ф л вд г i с В. Статика к дннииик;! оГюлочск М . Госстрой«эдаг. 1961.
17.	Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 1. Шд. ЛГУ, \<Ж2.
18.	Черных К- Ф. Л инейн&я теория обо.-тчик. Ч- 2. Изд. ЛГУ. 1964.

Глава 23
РАСЧЕТ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК*
Рассмотрим прямые усеченные конические оболочки кругового се-
сечения. Предполагаем, что они являются тонкими непологими, имеют
постоянную толщину и находятся под действием плавных осесимме-
тричных или обратпосимметричных внешних нагрузок (температурных
полей),
В случае нагрузок, отличных от осесимметричных и обратносимме-
тричных, следует пользоваться приведенными в гл. 21 зависимостями,
полагая в них (рис. 1)
-^- = 0: ft, -=Stg«s; 7^5- = -^-.
Если какая-либо из величин, характеризующих геометрию оболочки,
нагрузку, упругие и термоупругие свойства материала, изменяется
скачком на' параллельном круге s — const, можно разбить оболочку
на две и упруго сопрячь решения для каждой из частей. Вопросы упру-
упругого сопряжения конической оболочки с соосными оболочками вра-
вращения, а также подкрепления ее упругими кольцами рассмотрены
в гл. [ т. II. Сосредоточенным нагрузкам посвящена гл. 2 т, II. Пологие
конические оболочки (ак.>80—85°) рассмотрены в работах [2, 3, 5. Ь\.
Приведенные к настоящей главе формулы могут быть нснользооаиы
в при расчете оболочек с толщиной, плавно меняющейся по s и не
зависящей от if. Для этого в соотношениях безмоментпого и термоу пру-
гого состояний следует заменить постоянную h на текущее значение
толщины h (j.-), вноия последнее под знак интеграла н выражениях
для смещений. В соотношениях же краевого эффекта под h ~- h (s0) сле-
следует понимать значение толщины на рассматриваемом краю. При
быстройзменяющейся толщине следует пользоваться уточненными соот-
соотношениями (см. гл. 5 т. П).
Кроме приведенных в гл. 22, использованы следующие обозначения:
ак — угол конусности (рис. 1) в рад;
s—расстояние от воображаемой нершины конуса (рис. 1) в см;
иг = и sincts -f- ccosa4; ux =- и cosaK — к.1 since,.; |
{и ¦¦= и, sin ак -'-- иЛ- cosa,,; a1 — и.г rasctK— ux sir. ah)l
• 1Г.,ш.са1,л при уччетни Б. М. Малькова.

Расчет конических оболоча
горизонтальное и вертикальное смещения; :VS. Лгф, Т, Qs — соответ-
соответственно нормальные, сдвигающее и перерезывающее усилия (рис. L1
и 4) в дан,см;
Qrr ,\'ssinaK-t- Q,cosaK; Qx =-- <VS cosaA-—<?ssinaK	G)
горизонтальное и вертикальное усилия;
М$, Л1ф — изгибающие моменты: И — скручивающий момент
(рис. 2) в дан-см/см.
«•." = -?-. <>--?-. <*" = ¦?-
тангенциальные (цепные, мембранные) напряжения в срединном слое
оболочки (рис. 3) в дан/см*;
-h ft
изгибные напряжения в дан:см*;
напряжения в наружном слое оболочки
(рис. 3);
напряжения во внутреннем слое оболочки:
F^, F^ — составляющие главного вектора усилий, приложении
к краю оболочки s= % (рис. 4, 8), в дан;

Осгсимметричний изгиб
9ft", WJ) — составляющие- iviiimioi о момента усилп» и момента
приложенных к краю оболочки s ¦¦¦-¦ s, (точкой принедешиг является
центр круга .ч ¦-= .sj, в дан-см;
<7si ?ipi Яп — составляющие поверх местной и л грузки (рнс. 2)
в дан/см*.
Осесимметричным называют напряженно-деформированное состоя-
состояние, не зависящее от угла ([;. Следует различать осссиммстршшый изгиб
и осесимметричное кручение.
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Для плавных нагрузок напряженно-деформированное состояние
может быть разбито на безмом?нтт>е, помечаемое значком *, термо-
упругое (значок г) и краевой эффект (значок *:), Перемещении чистого
- изгиба в симметричном случае сводится к жесткому смешению а*.
При этом
О = ** н- 1У — «"; и, = и) — и1, + и);
"х = "х + "I -г- \	C)
и — м, sin aK -;- их cos aK',
V! — иr cos п.к — ux sin а,.;
Qr — ,V* sin а, 4- Q".
Безмоментные усилия модечнтынают по формулам
-ц— Fl -j- sin aK [q[t sin ctK — <7S
s sin <2Л cos ah
\\ (s) = s tg OLKqnt
И)
где
F\ — 2nS| sin fxK CDs a.KNs у$Л	E)
осевая сила, действующая на краю конуса s= st (рис. 41. Далее
I
й'= —
Eh

Расчет конических оболочек
— cosa, (.VJ — viV*) rfs
1 -I- v) q.
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в расчстно:
практики виды нагрузок.
Осевая растягивающая (сжимающая) сила (см. рис. 4)
"д А 1
*'. ,Л
Для nee
2л sin aK cos aKi
Л'* - 0;
-е\ * ~*
Л cos-
2л?Л sin aK cos2 с
Равномерное давление с осевой силой (см. рис. 4)
F°x = Р; ?я = р; 4S = 0;
й	s ' 2л sin a* cos с
Л-'ф = р tg a^s;
v \йг a* I s\ \	P
s B_v)s + v-l- -
A0)
S J 2л/;Л COS о

Осесимметричный изгиб
Ux ~ ая
X In
2nth sin aK cos3 aK
p	sin a
X [3 sin3 aK — A — 2v) coss a,) -
A0)
Если ка краю .ч = s^ установлена крышка, либо присоединена
оболочка, воспринимающая давление (рис- 5), то
» = л (s,sinaj2p
1
(П)
f - р tg aKs;
B — у) р sin' ans*	щ
lEh cos a.	'
p sing.
°* 4ЯЛ cos'J a,	X
X [3 sin5 a.K — A — 2v) cos2 a,.) (s! — s',1).
жидкости нал этим сечением
Дли этой нагрузки
A3)
s,s , 1
Л'*,, -- V.» sin aK (s - s,) s;
уж sin'2 аЛ
A4)

Расчет конических оболочек
и.. — и. —
уж sin a*
1	I	(H)
Собственный вес оболочки. Пусть q — вес оболочки, приходящийся
\уа единицу площади ее срединной поверхности, в дан/см'2. Тогда (рис. 6)
qb~q coscc^; qn — —q since,;	A5)
A6)
°* -"' ~ Г.Н с "/a,, s tB + v) C°s2 ^	1	^-'-^j '
"* "" °* +
2 V
2?Л cosa a, X
X (s--sjjtsilnT j.
T с р м о у и р у г и с- слагаемые определяют по формулам
Eh3	г	/	c'f
12(f-v-)
stga«-^j ;
"«¦-- 12A-,
A8)

Осесимметричный иягиб
u'r -- s sin aK к.,,
cos ач
A9)
При температуре, меняющейся линейно вдоль оси вращения и при
незакрепленных краях, температурная деформация ком уса не сопро-
сопровождается напряжениями G, 2].
Краевой эффект. Оболочки принято
делить на длинные и короткие Первые оыгодно
отличаются от вторых тем свойством, что для
-них можно пренебречь влиянием воздействий,
приложенных к одному краю на напряженно-
деформированное состояние возле другого края.
Если длина конической оболочки вдоль
образующей такова, что отвечающие краям
оболочки значения slP s2 подчиняются усло-
s — VsJ > 0,8 |/Vtg txKi
B0)
то с точностью до 10% оболочку можно считать длинной. Если задаться
более высокой 5%-ион точностью расчета, то условие B0) заменяют
следующим:
Для коротких конических оболочек слагаемые краевого эффекта
можно записать
^- •	^	 4С,/С,
(Р) - 40^ (Р) -
B2)
M*^vMK< N
' > stga* ~ >
B3)

Расчет конических оболочек
f	;
Vh tg а„
3 (I -V-)
1,285
К"/и, tg о.
У Its,
(при v t- 0,3);
B4)
An (fi), Л] (Р), ^2 (Р), Л'з (Р) — функции Крылова, значения которых
приведены в табл. 2 гл. 21:
B5)
Задавая какие-либо две из граничных величин ur (sL); ft (s^, Ms (sj,
Q, (st) с помощью формул B5) находим два начальных параметра
(например, С^ и С.,). Остальные два (С3 и С4) находят по формулам {22|
из г]1аничных условий па краю sa. При рассмотрении конкретных задач
следует использовать соотношения F6)—G9) гл. 21, полагая в них
р= 1' — и заменяя величины (с разными значками) 9L, 6г, sin 0г
sin 6..,, Мц соотнетствепно Eia si( sa. cosaK, cosaK, Ms.
Для длинных оболочек приведенные выше соотношения значительно
упрощаются. Так,
«о - *J ¦:- «и (<?о - <?с) ¦ ;¦«., («о - м;),
B6)
«0 - «s (s0); MJ = M[ (s0);
(So); Q'o ^
B7)
BSJ

Осесимметричный изгиб
719
B8)
Полагаем ft -- —1 на краю s0 = s^ ]L = -'г! на краю s0 =
:s=gsi)-
Полные нагфяжения подсчитывают по формулам
(COS 0 4 sill р)е~"-
j («I
— V-77=
3
-о.sin Во-":
Сф'1 ^ ni'"' + v [".«„ (cosf + sin |
3 _ .,_ O^B
-'-Oj, (COS?— Sill I
B9)
ак=2 у 3A- v») I/ —
C0)
2y'3(l-t3)
Смещения и угол попорота
ia — щ* -|- и7 + ш*;	«г = uj + и\ + u^;
д — *" + О' + 0";	их =- u* -I- uj + к";
и = и -г иТ	[и = wrsin а*; -+- иА cos «к'1
C1)

Расчет конических оболочек
,,. л :*A —V3) -I/ s\gaK] 2V 3A - - v*
cos ал.; tf* — Uf*1 sin aK
C2)
Приведенные соотношения значительно упрощают расчет длинных
оболочек. В случае, если заданы статические величины, из формул C0)
определяют аИц, ад, а затем по приведенным выше формулам подсчиты-
подсчитывают напряжения и смещения. В слу-
случае же заданных геометрических гра-
граничных величин (Qq — Qo) н (Л10 —
— М.Л определяют решением системы
B6), а затем уже подсчитывают на-
напряжении и смещения.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
При осесимметричном кручении
{рис. 7) в оболочке имеет место безмо-
ментнон напряженное состояние, опи-
описываемое формулами
I
V (S) - S
C4)
h '
C5)
C6)

Обратносимметричный случай
ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Обратносиммстричным (иногда антисимметричным, ветровым) на-
называют случай, когда искомые и заданные величины имеют следующую
зависимость от угла ф:
и = «j cos ф; v — и, sin ф; w = a.'i cos ф; и, — uFi i cos ф; \
их — lix, I cos ф; -Ц = ^1 COS ф; Л\- — NSi ! cos ф;
Л'ф = Л'ф, ] cos ф;
Т = Т, sin ф; /VIS — Л15. , cos ф; Мф — Л1ф, , cos <p;
W - tf, sin tp;
Qr — Qr, i cos ф; ^s — ^s- | cos ф; qv ~ q,h , sin ф;
Цп ~ <ln, 1 t'OS^.
При плавных нагрузках напряженно-деформированное состояние
можно представить в виде суммы безмоменгпного *, термоупругого г
состояний и краевого эффекта к. Перемещения чистого изгиба в рассма-
рассматриваемом случае сводится к жесткому смещению оболочки аг и же-
жесткому повороту Qy. При этом
QA i — -Vj ! sin ал. -^ (^JJ :; tt1 — u^ -(- d| -j- Щ;
Б е з м о м е н т и ы с усилия подсчитывают по формулам
*	W	•
s-' s sin аЛcosак' *¦ '	rt- ь
1 /IT
cos ал tfs
I ^ tg аЛ. (<?п_ j sin аЛ — 9S> г cos аЛ
C8)
C9)
^ cos a* (s — s^ 4- л cos cu (Ф (s) ds |; D0)
Si	J
sin2 aK
) = (9n, i sin а„ — ft, i cos а
cos a*
(?„. , cos a, + ?s,, sin <x« — qv,,) s ds.
D1)

Расчет конических оболочек
Составляющие главного вектора и главного момента, усилии и изги-
изгибающего момента, приложенных к краю, связаны с краевыми значе-
значениями безмоментных усилий соотношениями (рис. 8)
[Л'* ! (S[) sin aK — Т\ (sj
j -^ щ sin" <хд
D2)
Случай, когда перерезывающая сила F и момент ЧЯ направлены
под произвольным утлом, могут быть сведены к рассматриваемому по-
поворотом осей Y, Z и наложением решений (см. пример !2 гл, 1 т. II).
Смещения и угол поворота ггаходят по формулам
\
D3)
где аг — жесткое смещение оболочки вдоль оси Y, a
поворот вокруг оси Y (см. рис. Я).
— ее жесткий

тричный случай
В обратное!iммс-тричном случае ту же роль, что 0 в симметричном
случае, играет упругий пово-
поворот
X-fli--—^-^, D4)
представляющий собой полный
поворот ftj {в осевой плоскости
ф — 0), за вычетом поворота по- .-
перечного сечения как жесткого ^
целого на \тол
(см.
s sin olk
работу [12], стр. 136). Анало-
Аналогично, ту же роль, что и и, в
симметричном случае, играет
величина
s sin ък.м =i\+ "г, ]¦ D5)
'Обе они являются деформационными (см. стр. 660), не изменя-
изменяющимися при смещения оболочки как жесткого целого.
Для введенных величин имеют место следующие соотношения:
хГ—
4- stg я,(<?„,, tga, — 2
D0)
Для наиболее часто применяемого случая изгиба оболочки кра-
краевыми усилиями и моментами (i?s, i ~ Чч .i ~ Qn.i —Q) приведенные
выше формулы значительно упрощаются, принимая вид
I
Л52 sin2 a,K cos <Хк
к.. =
~~ ns- sin aK cos aK ''
3 ая°-
._Lf
Eh jns2 sin a4 cos2 а*
(¦17)

Расчет конических оболочек
I 1+2 sin2 a» 1
и - --¦ s sin a <2	7-j	5	i^—-r- x
x / J	M здО	I	/ I — v sin- а.„ ^
\ s s2. I " " л^^ cos aK \ sin2 ct>;
s, — s 1 + 2 sitl'tz.
и* j — ez ~ cos ак (s — 5j) Ei^ -
X	5
irhsin ascos0
1
_ZJl + _L_lnJL__7_i_x
ssi	sin2 a« sx 2 sin2 aK
s sin a
i - v'vs i) - "
aK -|- ux i cos ax; ic^ — ^ t cos aK
— и . sin
D7)
Термоупругие слагаемые определяют по формулам
12 <(_v») "
ds	s sin a, cos a, J '
X (d + v) [>*.,+ tg a»^f-!
s sin a,c cos a*
+ VS tg «д ' т2 1 | ;
D8)

Обратннсимметричный случай
12A v) I cosiK
_
* 1
J s
A', 1
SSill 2,- ' '
u[ = u;, , sin st | I,
A8)
Здесь величины рГр ,; xri , при линейном распределении температуры
по толщине связаны i тташрратурой на онешнсй поверхности оболочки
Т~^~ = Т^ cos <р и внутренней 1 = 7"j~ cos Ф соотношениями
Т7 -.-Т7
'т. i —
h
D9)
[при нелинейном законе распределения температуры но толщине
следует пользоваться соотношениями (80) гл. 201.
К р л i; в о ii э ф ф е к т. Слагаемые краевого эффекта для коротких
оболочек
-i- |s tg C.U)" (s)| = C,KQ
- f,AC, (ft) -
) - iCsKs ф) + C,Ka ф) + CiKt (P);
E0)
j — stga^w''; и* j —ssina^w^;

Расчет конических оболочек
ж2
V hs, tga.
1 285
!»	¦	(при v — 0,3);
^ = ~r.v г,	~^г~'.
E1)
Ко (P)- ^i Ф)' fa(P). Л* (P) — функции Крылова, значения которых
приведены в табл. 2 гл. 21.
t = s; tg акч>" ih) = Ч tg «я |ш (si) — ш* (s"i) — шг (Si)];
E2)
Приведенные выше соотношения лают возможность решить краевую
задачу. Напомним, что нсегоопределению подлежаттри группы величин;
первая группа /^.'ffijj;
вторая группа С(. С2, С3, С4;
третья группа аг, Иу.
Постоянные первой группы задают непосредственно или подсчиты-
подсчитывают по формулам D2). Во вторую группу входят две статические и две
деформационные величины. Примером использования последних могут
служить условия жесткого края <¦> = 0, % = 0. Если граничные условия
сформулированы в перемещениях, то деформационные граничные
величины можно подсчитать по формулам D4) и D5) {о деформационных
граничных условиях см. стр. 660). Формулы D6)—D8) и соотношения
F6)—G9) гл. 21 позволяют сравнительно легко удовлетворять гранич-
граничным условиям для короткой конической оболочки. Необходимо только
d последних считать р = 1/ — и заменить величины (с разными знач-
значками) sin 6lt sin G2, u>, &, Л-fо, Qr, Mm, Лчр, иг, их соответственно на
cosa^, cosa^, s tga^-OJ, %, Ms, ,, Qr, 1( МФ, i, Л'Ф, lt ur, lt «.Y, i-
Если не интересует жесткость конструкции (величина перемещении
и угла поворота), то после определения постоянных «торой группы
подсчитывают напряжения и на этом расчет заканчивают.

Ойрагпнисимметричный случай
В случаях, когда необходимо определить жесткость, приходится
рассматривать смещения н находить постоянные третьей группы- При
этом используют то обстоятельство, что перемещения
i = "i + «!; ''1 =  + ч
E3)
не зависят от краевого эффекта.
Как и в симметричном случае, для длинных оболочек [см. крите-
критерий B8) н B1)| расчет значительно упрощается. Так,
где, как и н симметричном случае,
Kcosa, -т^;
4- 1 / S,, sin о|Г
E5)
а A = —I на краю s(l = Sj, jj, = +1 на краю s0 = s2 (si ^S^s.,), но
«0 ^ s0 sin аи Eo); d0 ^ ¦/ (s0): '^o -= AfSl x (,s0);
Qo = Q/. i (su)	E6j
(с соответствующими значками).
Общие напряжения подсчитывают по формулам
as'°i = al.(V ~\ ам„ fcos Р + sin Р) Й~Р —
1 K3(l-V)
°i?] ^ <тф!") +v °\v. <cos р -i-sin i
3	«I
— u —===¦ aK sin fie p
V3(l-v*)	J

728
Расчет конических оболачш
- Ow {cos [3 — sin ft) e P;
	з	u«.
rts. 1 — °.v. 1 - °s<p, 1 — 0s<f. V 'Чф, I ~ °sf. l-
(В8)
V cos а*
^
E9)
• (Я _ "Ф.1 .
V 1 --
I1 A tg aK
Смещения и угол поворота
,м„ (cos fi - sin
+ ц.о> cos pe p|;
F0)
+ |ioiicosp«~*j;
»i = "* +"[; w\ = Eii + иГ;
/3A- v2) -I /s tg а» ч
— os(cosfj- sin P)c~p|.
»,.о; + »Г+>'д"?-<-) }'^х

Примеры расиста	729
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
При мир. I. К о и И ч г; с к а Я оболочка. лад с л пикая н я
Поскольку понерхностная нагрузка отсутствует {<?ф - U), эакручииат-
щнй момент .та кран! s = s2 Ю1Г (s-J - 9л"- Из соотношения C3) — C6).
с учетом граничного уел опия на краю s = sl[f(Sil-=O|, имеем
I	И!1	1	И'л-
——	5- - .	^в*ЭП1а*'*.
Призер 2. Длинна и кониче- N^/^"!l	'
екая оболочка с (> ;. :. л и ¦. » о г о
И и м с р >i о г о давления.
Полагая, что на краю (s = S,) установ-
установлена крышка, воспринимающая давление,
с упругим кольцом и оболочкдци другого	РкС- 9
вида рассмотрены в примерах гл. 1 т. 11).
Напряжешю-дсформнроваиное состояние ч оболочка слагается из Сел-
момент.юго к краевого эффекта. Беамомстное решение ипр.делнется фор-
формулами 112).
Заделанный край. Граничные условия «„ = и, ("j = 0; <*в - О (Sj) —.
в О согласно фщшулам B6), A2) приводят к системе
/	*\	2 — v ps3 "'T1 an
Решив Э'су систему н учитывав соотношения B81. C0). м.и1дом
__	fJsa tgaK	^	з B — v) P-Sa 'Д^к
Из формул A2) и B9) следует
ln ,

I'uCirm конических оболочек
У ft щ о
из формул (Г2), (.41) п C-2) находим
(S —у) |/:l[l-f|
	^
,-р".1'
кр.ио s =«; па внутренней стороне обо-
«12 (»0-«*) = •<>¦
PeL,i;,i, ее и используя формулы BSI и C0), получаем
2-v "s» 'E",

Примеры расчета
Из равенств <V2), (й) и C0) следуе!
-И "¦,'«
Из формул A2). C1) к C^) н.
ш = [ —s2 ' ' "~ 1V ;* 2 ~
Пример 3. Коническая оболочка п р п линейном и 3 м е-
оболочки Г", а па внутренней—Г
Поскольку поверхностная и краевая иг
деформированное состояние оболочки онре
слагаемыми и краевым эффектом.
Согласно формулам A8) и A9)
„7" „7"	аТЕ!г

Расчет конических оболочек
Учитывая граничные условия на краях оболочки
I.	T+ _ т-
i формулам C^J и !:Ui) модсчнгыва*
n/f ГТ - Г
.</»_„. ..(pi »'¦' г -г К:'<1 -V)
„'."'¦О; о""--
|1-(а»Э | sli>0>'
„,	„/; гг-г
¦г rT - г
/
i^^i (cos f - Sin в),-^ ;
1 ~ v2)] /j g r't — 7-~	— p1
i приведенных выше формулах для края s = s,
[ля крня s = 5г (A — ^ 1;
h
4
11
V2)
— V')
Например, при Г4"— Т = ЮО3 С; а = 1,2-10 6 1/град: Г. =2,1 ¦ иРдан/см!;
= 0,3;
при умеренных
Эпюры напряжении для случая «К = 45С:; —^—^^50; v = 0,3 приведены t
рис. 12.

Примеры расчет
Пример 4. Коническая оболочка при заданном р а
о жТд е н и и (сближении) к р л е в под действ и i- м р а в н
Поскольку и {s) = и* (s) (-не зави-
зависит от краевой) эффекта; j« (s) ^ иЛ
(s) sin ал -г«д, (s) сия пл_], из parvi-iicTii F1)
получаем
sin aK cos2 a(
u «.us u	. 2	] _ 2v -^ ¦¦-
	Л -Ь л нп* a I s(	¦	—
±.1.	I	л	\r. SL
<2-vis;^

Расчет конических оболочек
тределяют но формулам B0), в котсфь
¦истемы BG) находим
1 консоли- Рассмотрим длинную
другом краю (s - ^i) абсолютно
жесткой диафрагмой. К диафрагме
приложена сила Р и изгибающий
момент М. Согласно рис, 8 полу-
W(s1)=0; X l*i» ^'' (же
Piic. II	(абсолютная задо.чк;.}-
Используя формулы D4) к D3), условия F4) заменим следующим1
Подсмиляя раЕРнсгил (G2) б формулы D7), получаем
Из выражений F6). C&), 06) c.-;c,ivct:
(;раю ^s,

Примеры расчета
Определяя теперь ня системы E4) -значения величин (Qq— <?p) к Af
И подставляя их в формулы (оЭ), получаем Д-:я обоих краев s = Si и s *= S
С помощью равенств E7) можно теперь подсчитать напряжения.
Жесткость коис<1ли к» изгиб характеризуют величины ¦fr = 4,(s1l а д =
= Иг , f-fjj {см. рис. 14). Используя соотношения D7) и граничные усло-
условия F3) к F5), полутаем па краях консоли
"»,.('¦)
(здесь я0 -^
Подстав.
получаем ве
где козф<11ицт1ентс.1 ж
найденное si
¦сткости kohci

Расчет конических ободочек
ЛИТЕРА ТУРА
I. А р о и с о н А Я- И др- Расчет на прочность деталей гидротурбин. М.,
«Машиностроение.. 1965.
2. Б и Р г е р И. Л. Круглые пластинки и оболочки нращепин. АД., (Уж-
|ii>iii-H3. 1964.
Л. Г р II г о р с н к о $i. И., Поли щу к Т. II. Решение задачи об
антисимметричной деформации конической оболочки лннеИно-переменной тол-
толщины пи R3CM-2M. «Прикладная механика». Т. 1. нык 2. 1965.
4. Григорьев Д. L. Судовые сосуды, работающие пид давлением
(определение напряжений и деформаций). Л.. Судостроение, 1465,
ратов. М., Маш г из. I960.
6.	К « и а .1 с к к о А. Д.. Г р и г о о с н к о Я. М., Ильин Л. А.
Кнеи- изд-во АН УССР,1ЙВ».
7.	Л у р ь с А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М., Гостех-
издат, 1047.
8- Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность и машиностроении.
Т. 2. М.. М;шни1. 1958.
9. Соколов В. И- Осноны расчета и конструиронания деталей и уэлоп
пшцепог» оборудования М., Машгиэ, 1963.
10. Т и м о"ш о и к о С. П.. ВоЙновскнй-КригсрС. Пластинки
и оболочки. М-. Филмлтгиз, 1963.
II- Ф л ю I1 г р В. Статика ч дин^льшк;! оболо^юк. М., Госстрой издаг, 196 U
12. Ч с р н ы к S- Ф ЛииеЛша теория оболочек. Ч. 1 и 2. Иад. ЛГУ.
1»В2, 1961.

Глава 24
РАСЧЕТ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК*
Рассмотрим тонкие непологие сферические оболочки постоянной
толщины, находящиеся под действием плавных осесимметричных или
обратносимметрнчных внешних нагрузок и температурных полей.
В случае нагрузок, отличных от симметричных и обратносимметрич-
ных, следует пользонаться приведенными в гл. 21 соотношениями, по-
полагая в них
fib = Яф = R.
Если какая-либо из величин, характеризующих геометрию оболочки,
нагрузку и термоупругие свойства материала, изменяется скачком и я
параллельном круге 8 — const, можно разбить оболочку на две и упруго
сопрячь решения для каждой из частей. Вопросы упругого сопряжения
сферической оболочки с сооснымн оболочками вращения, и также
подкрепления ее упругими кольцами рассмотрены н гл. 1 т. П. Сосре-
Сосредоточенным нагрузкам посвящена гл. 2 т. II. Пологие сферические
оболочки рассмотрены в работах [3, 4. 9, 17 |.
Приведенные в настоящей главе формулы могут быть использованы
и при расчете оболочек с толщиной, плавно меняющейся по 0 и не за-
зависящей от ф. Для этого в соотношениях безмоментного н термоупру-
термоупругого состояний следует заменить постоянную И на текущее значение
толщины ft @), внося последнее под знак интеграла в выражениях
для смещений. В соотношениях же краевого эффекта под h = Л (Н„)
следует понимать значение толщины на рассматриваемом краю. При
быстроменяющейся толщине следует пользоваться уточненными соот-
соотношениями (см. гл. 5, т. II. а также |1, 31).
В настоящей главе, кроме приведенных н гл. 22, использованы сле-
следующие обозначении:
R—-радиус срединной поверхности в см:
0, ф — углы (рис. 1, 4) в рад;
(flj < f) <- 0», 0 *? ф =С 2л);
иг = и соч б + w sin 0; их — и sin 0 — w cos й —	(I)
—горизонтальное и вертикальное смещения,
и = ur cos 0 -f ux sin 0;
_	w =¦ и, sin 0 — их cos G;

Расчет сферических оболочек
Nfi, Л'ф, Т, Q% — соответственно нормальные, сдвигающее и перере-
перерезывающее усилия (рис. 2, 4) в дан/см;
Qr = Nt cos 0 + Q6 sin 0; <?* = jVb sin В — Qb cos В — B)
горизонтальное и вертикальное усилия;
/ИР, Мф, Я—соответственно изгибающие и скручивающий моменты
(рис. 2) в дан-см/см;
°*PJ ~ ^" ' °вф' = Т ' афР) ~ ~^" ~ тангенциальные (цепные,
мембранные) напряжения в срединном слое оболочки (рис. 3) в дан/см'2;
(«) Щ* о(«) = Щ.; „W = 5^? _ изгивные напряжения;
о(«) =
.; „
а+ — а{рР) 4- о^и> — напряжения в наружном
слое оболочки (рис. 3);
аф = а^' — а^ ' — напряжения во внутрен-
внутреннем слое;
ах> aff, аг — перемещения оболочки как
жесткого целого в направлении осей X, Y.
Z (рис. 4, 7, 8) к см;
Qx, Qy, &z — углы поворота оболочки
как жесткого целого вокруг тех же ocefi
(рис. 4, 7, 8) в рад;
Fx, F , Fz — составляющие главного век-
вектора усилий, приложенных к краю оболочки в = в1 (рис. 4, 7, 8), в дан:
"fli^, "Pi,,. У!*, — составляющие гласного момента усилий и моментов,
прнложенпьк к краю оболочки 8—6, (точкой приведения является
цент)) круга Э — 0,), в дан-см;

Осеспмметршный W2ti6
Яъ- ?Ч" Яп — составляющие поверхностной нагрузки (рис. 2)
Ос\.'сим,чстричным (симметричным) назышшт напрнжснио-деформи-
ронянное состояние, \\\i аиниснии*1 от ф.
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Дли шкшных нагрузок напряженно-деформированное состояние
можно разбить на безмометпное. термоупругое н краевой эффект (со-
(соответствующие им величины отмечены значками *, ¦¦¦, «). При этом
{и = tt. cos 0 '- wv sin 0; и — и, sin 0 — ux cos I));
Q, " /V'JcosO | Q*.
Безмом житные усилия подсчитывают по формулам
-y^g р'„ + R \ (ч„ cos 8 — (
	ь,
0) sin 0 а
C)
F^ 2лЯ siirOjiVt(Gi) E)
— осевая сила, действующая в
сечении параллельнО1Ч) круга
в — 0г В случае сферы, замк-
замкнутой сверху (8, ~ 0), следует
положить Fx — 0. Если же обо-
оболочка замкнута снизу @2 := л),
первое из соотношений {4) необ-
необходимо заменить следующим:
Л'в* @) = —'Та \ (in cos 9 — It si" ") stn ° 'm-
Далее,
(в)
С)

740
Расчет сферических оболочек
} + A + V) q, —
<№.
G)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в расчетной
практике виды нагрузок.
Осевая растпгивающая {сжимающая) сила (см. рис. 4)
Для нее
(8)
. (9)
2яЕН sin (
Равномерное давление с осевой силой (см. рис. 4)
дп = р: q^ — 0; f-'^ -= Р;
sinS(!'-^^7
sin 01A-v
A0)
A1)
A2)
(!¦!)

Осесимметричнып изгиб
741
Если на краю В — 0, установлена крышка, либо присоединена обо-
оболочка, воспринимающая давление (рис. 5), то
О ^0;
Р = л <Я sin 9,)* р;
1 — v р«2 .
(И)
A5)
их = ах + ^ ¦ 1- V (cos 6t - cos 0).	A6)
Гидростатическое давление. Пусть сферический сегмент 0t «S ^ *-" (>
наполнен тяжелой жидкостью с удельным несом уж (а дан'см3). Данление
на стенку по параллельному кругу 0 определяется весом столба жидко-
жидкости над этим сечением:
Для этой нагрузки
, = "; К = о]
)S» 0, — coss в |
Л'*, - Я!уж (cos A, — cos 0) - iVj;
1 — v
cos2 0, -|	—- cos Gi cos б —
1 + v , sin 0
A8)
A9)

Расчет сферических оболочек
В случае замкнутой внизу сферы (Й9 = л) уже не может выполняться
условие Fx = 0. Из условия равновесия в этом случае следует
Складывая выражения A8) и A9) с соответстнующими им фор\7у-
лами (9)—A0). получаем
'^ж | ' v cos 0, sin 0 — sin 0 cos 8 —
tn \ I	l
I + v cos'O + I
3 ' sin 0
cosOt cos В —
i±^,n J}0±~l ¦
B0)
Собственный вес оболочки. Пусть q — вес оболочки, приходящийся
единицу площади ее срединной поисрхности в дан!с.ч*. тогда (рис. в
q sin 9;
— q cos 0; fj = 0;
B1)
B2)

Осссиммстричнш] и^
743
... i ,, ,. . cost). ¦ cos 01
«.-—й-ыиО cusO-(l | V, - ¦¦;i-,7Tr-
(sin-0 — sin- 0,) -|-
-.-(I -V) COS II, In 	?- -In-
B3)
T e p м о у п р у г и е слагаемые подсчитывают но формулам
,.т	И"	)
; R <№ + R dtt J '
12A — v2) ¦
B4)
Tt---- — Л cos Dp r;
B5)
При температуре, меняющейся лиией|го
вдо:|ь пси кра!цеш]я, и незакрепленных
краях температурное расширение сферы не
сопровождается напряжениями 110. 2U1.
Краевой эффект. Оболочки делят	Рис. 6
на короткие и длинные. Для длинных обо-
лочрк можно пренебречь к/жнннем воздействий, приложенных к одному
краю, на напряженно-деформированное, состояние возле второго края.
Если длина оболочки вдоль меридиана такона, что отвечающие верх-
верхнему и нижнему краям оболочки углы подчиняются условию (при
V = 0,1)
B6)

Расчет сферических оболочек
то с точностью до 10% такую оболочку можно считать длинной. При
принятии более высокой 5% -ной точности расчета услоиик B6) заме-
заменяют следующим:
0,— в, > 2,3 l/-A_	B7)
У R
Для коротких оболочек слагаемые краевого эффекта можно предста-
представить в виде
ш" @) = еуг, (ft - с,«, (Р) - сгк, (Р) - с,ка
е» (в)
= 4С\К, ф) + С:Ка
, (р) + C.A's
- 4с,л:г (Р) — к2к, (Р) + с„к,, (Р) + ел (Р);
- 4СЛ (Р) - 4CSKS (Р) +С,К, (
и^ — u/1 sin 0; ыл ^ — ш^ cosfl,
B8)
B9)
C0)
Ко (Р). Л"] (Р), /С2 (Р). /Ся <Р) —функции Крылова, значения которых
приведены в табл. 2 гл. 21;
sine,q;@,)
D6»
Is-[«, (в,)-»i" 9,^@,)].
C1)
Задавая какие-либо две из граничных величин иТ (Oi), Ь @,), Мд @().
Qr (Si) с помощью формул C1), находим два начальных параметра

Осесимметричнор кручение
745
(например, CL и Са). Остальные два (C;f и С,) находим из формул B8)
по граничным условиям на краю 0 -¦= Па. При решении конкретных за-
задач следует использовать соотношения F6)—G9) гл. 21, полагая в них
р 1.
Для длинных оболочек прниеденные выше соотношения значительно
упрощаются:
«j =«! -!- «'о + «и (Q« - <?(*) +- «и <**u - ^о); ]
C2)
где
«о
C3)
C4)
(i^2)
табл. ! гл. 21)
lcm [,t = —1 на краю 90 — ^i. 11 ~ -1 па краю Й1( — 0а
*2). Полные напряжения подсчитывают по формулам (см.
1^3A-У') а ,cosp_ sin Р)в-В^ а'»> = oj"*;
C5)

Расчет сферических оболочек
«К-¦«,').
о„ = 21
г,—т, I '~r . „ «и - <?;
А
C0)
(| 3A — v^) » 1.285 при v-0.3).
е|цения и угол гюноротл опреди.чяют из соотношений
i:1 --= ш' -f ^'! -;- 'JJK; ur — и\ | и] + sin 0 -цЛ;
О = в* ] *'¦ в*; и^ = и* — u;.— cos9-a";
и — а* — и'; (и — и, cos6 I- uK sin 6;
w ~ Ui sin 6 — их cost)),
C7)
X cr,f| (cos p — sin PI с
C8)
X cos (fe-P — о„- (cos p I- sin
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
При осесимметричном кручении (рис. 7) в оболочке имеет место
моментное напряженное состояние, описываемое формулами
-?^->я;-/? [?ф sin* о
C91

Обратносимметричный atytaii
D2)
В случае оболочки, замкнутой
сверху @J -- 0), в равенстве C9) сле-
следует положить *Й1° = 0 (условие отсут-
отсутствия в вершине сферы сосредоточен-
сосредоточенного крутящего момента). Если же
оболочка замкнута внизу @2 -¦- л), то
формулу C9) следует заменить сле-
следующей:
'—Чет,"- <43)
ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Обратносимметричным (антисимметричным, ветропим} i
случай, когда искомые и заданные величины имеют следующ-
следующей мость от угла ф:
)
асыплют
ю зани-
и = ,
sin ф;
,j cos ф;
('14)
и = U[ cos t
ш =-= tt'i cos ф; ь
ул = цх j QQ5 ф {) =i {Уг CDS ф;
¦V(] = Л'9,1 cos ф, ,\'ф = Л'',(-, 1 cos ф;
Г ¦= Г, sin ф; Л/A = ,ЩЛ cos ф:
ljr= Q,,j coi ф; f/H ~ дчл COS ф;
<7if ~ Ячл sin Т- ?п = Яп,\ e[)s ф.
Для плавных нагруз:ж напряженно-деформнриванное состояние
можно разбить на безчочентнос', те|шоупругое и краевой эффект (пе-
(перемещения чистого изгиба fs обратноснмметричпом случае сводятся
к жесткому смещению а. и повороту Qy). При этом
Я., = Н{;

748
Расчет сферических оболочек
<?гЛ ^ N'lA cosfl +- Q"rl; в, ^©; + Л; ¦(¦ ftf;
»'i — <"\ -г u>[ I- ">T- "i = "i 1- "i 1 »i =  + "i ¦
Безмоментныц усилия подсчитынают по формулам
. _ W	. _ „	W
Л«.'= R sin'(Г '4.1 ¦" "Vl-flsjn-if);
Г? = - о ..!.. а • 41- + Д «я.1 CQ5 В -.),,! sin 9),
D5)
D6)
1
+ лЯ ]ф(в) sinG
Ф (в) = R> 1(?„л cos в — <7,,, sin в) sin в —
в	\
— f (Qn., sin В + ?,.! cos в — ?ф.!) sin в dO\.
D7)

Обратносимметричный случай
Составляющие главного вектора и главного момента усилий и изгн
бающего момента, приложенных к краю О = 01( снизаны с краевыми
значениями безмоментных усилий соотношениями {см. рис. 8)
in Й, [
— Т\ (в])];
D8)
Случай, когда сила F и момент Ш( направлены под произвольными
углами, может быть сведен к рассматриваемому поворотом осей Y, Z
и наложенном решений (см. пример 12 гл. 1 т. II).
Ту же роль, что н Ф в симметричном случае, играет упругий поворот
D9)
представляющий собой полный поворот (в меридиональной плоскости
<р = 0) Оц за вычетом поворота параллельного круга как жесткого
целого на угол ¦
-тг—:—— (см. работу [19] стр. 136). Аналогично, ту же
п sin г)
роль, что иг в симметричном случае, играет деформационная величина
R sin 6ш
I + "г,..
E0)
В выражения D91 и E0) не нходят перемещения оболочки как жест-
жесткого целого. Эти величины, а также перемещения и угол поворота под-
подсчитывают по формулам
+ A + v) X
E1)
riEin
(v-ctga0) «?„.,—(
W
' R sin* 9
+ д
E2)

Расчет сферических оболочек
«'.1 = <¦» + -щ- J
' v) [-"«»¦¦ cos9 +
И* Л
i — и* ] sin 8 — jj^. j cos 9.
E2)
В случае сферы, замкнутой сверху @г = 0), следует положить
F^ — 0. Для сферы, замкнутой внизу, вместо выражения D7) надо
использовать
E3)
Ф @) = R8 I (,)„р1 cos 0 — 1M., sin в) sin в —
(Чп.\ sin 6 ¦{- 9e-i cos 9 — 9ф,1) s'n ^
E4)
Для практически наиболее интересного частного случая изгиба обо-
оболочки краевыми воздействиями (<7зл — ^ф,] = qnA = 0) приведенные
выше формулы значительно упрощаются:
~- = ens 0 о	1_ 1 — сек S, cos 0 о.
1 лДа5ш'9 > я« '	sin'e	»'
E5)

Обратносимметричный случай
- v rii. • _ (Ну) ,,• .
sin3 в •' ~ Eh «-1'
, cos В	cose.	I ,_b 2	1 Fo,,
y(_l	!_\1>
\sin8U, sin2O /Jj '
—	/? sin Й '
"r.l =ai — RQy (COS 0,- COs6) -J- тдУ" x
f" A + cosO,cosO) In-
E6)
teT"
'-cost"
E7)
R sin 8
i u^,siilO; »1 = u^j sin 9 — u* jC

Расчет сферических оболочек
Термоупругие слагаемые определяются по формулам
1
ctgB rfef.i _ e,.i )
A! M К sin2 0Г
H[ =
	j
12A +v) (ftsiilB ' </9
E8)
гг-_-0; v\ = 0; шГ = Кв.
dO"
F0)
Здесь величины еГ| ii xr, j связаны, в случае линейного по толщине
изменения температуры, с температурой на внешней поверхности
7"+ — Т~^~ cos ф и внутренней Т~ = Т~ cas ц> соотношениями [в слу-
случае нелинейного закона изменения температуры используются фор-
формулы (80) гл. 20]
здесь а — коэффициент линейного (температурного) расширения
в Цград.
Краевой эффект. Слагаемые краевого эффекта для коротких
оболочек могут быть приняты в следующем виде:
^ = 4СЛ,И
= 4С,гХг (ft) - 4
sin QQ' , @)
ф) - 4
, (Р) - 4С.ЛГ, (Р) + C,Kt (|

Обратносимметричнып случай
753
F3)
/Co (P)' ^J (P)' ^2 (P). Л'з (Р) — функции Крылова, значения которых
принесены в табл. 2 гл. 21;
<. (el
Fft)
Приведенные uu-jil1 соотношения дают возможность решить краевую
задачу. Напомним, что всего подлежат определению три группы про-
произвольных постоянных:
первая группа Р°г, "))i°y\
вторая группа Cj, C>. С3, С4;
третья группа ai7 SJ^.
Постоянные первой группы задают или подсчитывают по форму-
формулам (-18).
Во вторую группу входят две статические и две деформационные
величины. Примером использования последних могут служить условия
жесткого края м = 0, х = 0. Если граничные условии сформулированы
в перемещениях, то деформационные граничные величины можно под-
подсчитать по формулам D9) и E0) (о деформационных граничных усло-
условиях см. стр. 660). Формулы F2)—F5) и соотношения FG)— G9) гл. 21
позволяют сравнительно легко удовлетворить граничным условиям для
короткой сферической оболочки. Необходимо только н последних по-
положить р — 1 и заменить величины (с различными значками)
ет, г% Л-),,. Q,; Л1ф, ,V<p,
,V<p,
Соответственно па
. 1. Qr, ||
Если не интересует жесткость конструкции (величины перемещений
и угла поворота), то* после определения постоянных второй группы под-
подсчитывают напряжения и на этом решение задачи заканчивают.

Расчет сферических оболочек
В случаях, когда необходимо рассчитать смещения, определ
стоянные третьей группы. При нахождении последних следует
зовать то обстоятельство, что перемещения
можно считать независящими от краевого эффекта.
Как и в симметричном случае, для длинных оболочек [см.
рий B6) и B7)] расчет значительно упрощается. Так,
<<0 = и] + и[, + ап (<?,, — Q') ¦ |- ее,, (,-И„ - М'):
«„ = #5 + а„ («„—<?;) + а22 (М„ - Ml),
где, как и » симметричном случае,
я ют
нсполь-
кр
F6)
ите-
а„=ц4 CA-1
F7)
F8)
a ft = —1 на краю 90 = 0,, ц = +1 на краю 00 = 0а (вх
но
Л'о = *... W <»о = «„ 1
... W о „ 1 о) <69>
(с соответствующими значками).
Полные напряжения подсчитывают по формулам (см. табл. 1 гл. 21)
у
X sin
G0)

Случай малого центрального отверстия	755
В (;И0 -М[)
(! - ц v '3(l-v») |/ -?- (в, - 9)
|,'3(| -va) a 1,285 при v ^
Смещения и угоч поворота
R sin e I /3A —va)
СЛУЧАЙ МАЛОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ОТВЕРСТИЯ
В случае, если угол 9о= 61 (рис. 4) мал (примерно 10—15*), при-
приведенными выше для краевого эффекта соотношениями пользоваться
уже нельзя. Необходимо переходить к более сложной, так называемой
бесселевой асимптотике.

Расчет сферических оболочяк
При этом для симметричного случая в выражениях C2) коэффици-
коэффициенты податливости принимают:
G4)
Значения входящих в выписанные соотношения функций Томсон.ч
нулевого порядка ker x. kei * и их производных ker' jr. kei' x при
ведены в табл. 1.
I. Функции ker v. kei * n их производные
Л
0,0
0.1
0,2
0,3
0,4
0.5
0,6
О.7
0.8
0,9
кег х
«
2,4205
1,7;ш
1,3372
1,0626
0.8559
O.693I
0,5614
0..Ч625
К,!,
—0,7854
—0,7768
—0.7581
—
—
.7331
,7036
.6716
,6374
,6022
.5664
.S305
ker' a
_
—9,9СЮ
—4
—3
—2
— 1
— 1
—0
022!)
219!»
3521
81'Ж
4565
1909
9873
— 0.825П
0
0, И61)
0,2223
0,274"}
0.3005
0,3332
0.3JB:'
0,3563
O.359O
0,3571

Случай малого центрального отверстия
11 радолж
1,0
1.1
1.2
\.'Л
1.4
1.6
1.6
1*8
1,9
2.0
2,1
2,2
2,3
2.4
2,5
2.6
2.7
2,8
2,0
3.0
3.1
3,2
3,3
3.4
.4.5
3,6
3,7
3.8
3,9
4,0
4,1
4,2
4.:\
4,4
4.5
4.6
4.7
4,8
4,9
5,0
5.1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6.0
ел
6.2
6.3
6,4
G.5
kci" .1
0,2Во7
0,2228
0,1689
0,1234
O.0K5I3
0,05293
0.02603
—0.01 470
—A,02966
- 0.04166
—0,05111
—0,05834
—0, D63fi7
—0,06737
—0,06909
—0,07082
—0,07097
— 0.07050
—0.06S94
—0,007 Oi
—Р.06468
—0.06198
—0,05903
—0,00540
—0,052 64
—0,049.12
—И, 0-1597
—0,04265
—0,03037
—0.03618
—о.оза os
—0,03011
—0.02726
—0.02456
- -0,02200
- 0.01%0
—0,01734
—0,01525
—0,01331}
--0,01151
— 0,00986
—D. ООй 30
—0.00699
-0.00575
—0.00463
-0.00363
—0.00274
—0,00195
—0.00125
—0,00065
—0,00013
+ 0.00032
0.00070
0,00102
O.00I2H
kci *
—0.1У50
—0,4001
—0.4262
—0.3933
—0.4617
—0, .4.414
—0.302 G
—0.2494
—0,2251
—0.2024
- -0,1 й 12
—0.1614
—0,1431
—0,1202
—0.1 107
—0.09&44
—0,08142
— 0,07157
—0. Ой 082
—0,05112
—0,01240
—0,03453
—0.02762
--0.02145
— 0,01 «00
—0,01123
—0.00708
—0,00349
—0,00041
0,00220
o.oo 4 :is
0,00019
0.A0756
0,00882
0,00972
0,01038
O,OIOR3
0.01 NO
0,0112!
0.01L19
0.01105
0.0I0H2
0.01051
0,01014
0,00972
0,00925
O.0OB70
0.00НУ6
0.00774
0,007Z2
0,00070
0,00618
0,00508
о.оа.тю
0.00472
км1 л
—0,094 b
—0,5859
—0,4946
—0,4172
—O.lfSll
—0,2942
—0,2451
—0,1659
—0.1341
—0,1066
~0.08282
—o.osa м
—0,04475
—0,02071
—U.0L693
—0,00614
0,00200
0,01040
0,01653
0,02 N8
0.02537
0.02R3G
0.03056
0,03207
0,03299
0.03341
0.03340
0,03304
0,03236
0.03148
0.03038
0,00913
O.02777
0.02C3S
0,02481
0,02328
0.02171
0,02019
O.OISiifi
0,01719
0,01575
0,01437
0,01304
O.OU77
0,01058
0,00945
0,00839
0,00740
0,00648
0,005 6 Я
0.00485
0,00413
0,00348
0,00288
0,00235
kei' ж
0,3524
0,3445
0.3345
0.3227
0,3 096
0.2956
0.2800
0.2504
0.2351
0,219 J
0.204S
0,1401
0,1759
0,1621
П.14КЭ
0. 13611
0.1242
0,112<J
0,1021
0.09204
0.06259
0.0737H
0.0G55S
0,05799
0.0509»
0.04454
0,O:Sft64
0,03li25
0.02 S 35
0,02391
o.oifiai
0,01631
0.01310
0.01024
0.00772
0,0054')
0,01K55
0,00186
0,00042
— O.O00H2
—0.001 Й6
—0,00273
— 0,00343
—0,00400
—0,00444
—0,00477
—0,00500
— 0,00515
—0,00522
—0,00522
—0,00518
—0,0031)8
—0,00445
—0.00479
—0,00460

758
Расчет сферических оболочек
Напряжения подсчитынают по формулам |см. соотношении (ОД
+ ,'~" ¦ Y±- clg 0 ker' л]
V 12A -у') ' «	J
*
в, ft
6,7
fi,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7.3
7,4
?!б
7,8
7,9
8,
8,
8.
8,
8,
в.
8.
9,
0,
9,
9,5
в,6
8,7
9,8
9,0
10,0
0,00149
0,00165
0,00178
0,001 &б
0,00192
0,00195
0,00196
0.00194
0,00191
0,00186
0,00180
0.00173
0,00165
0,00157
0,00148
0.00140
0.00131
0,00122
0,00 ИЗ
0,00104
A,00095
0,00087
0,00074
0,00071
0,00064
0,00057
0.00050
0.00044
0,00038
0.00033
0,00028
0,00024
0,00020
O.OOOlfi
1), 00013
kei x
0,00427
0.00384
0.00344
0,00306
0,002 70
0,00237
O.OOZOG
0,00177
0.00151
0.00127
0.00105
0,00085
0,00067
0,00051
0,00037
0,00024
0,00013
0,00004
—0,00004
—0.00011
—0,00017
—0,00022
—0,00026
—0,00029
—0.00032
—0,00034
—0.00035
—0,00036
—о.оооад
—0,00036
—0,00035
—0,00034
—0,00033
—0,00032
—0.00031
1 1 |ШД1
кег' х
0,00187
0,00144
0,00105
0.00072
0,000-12
0,001I6
—O.OOOtlti
—0,00025
—0,00041
—0,00054
—0,00065
—0.00073
—0,00080
—0,00085
—0.0008В
—0.00090
—0,00001
— 0,00090
—{(,A0089
—0.ОО0Й7
—O.O00S5
—0,00082
—0,00079
—0,00075
—0,00071
—0,00067
—0,00063
—0,00059
—0.00054
—0.00050
—0,00046
—0,00042
—0,A0039
—0,(ЮО35
—0.000 52
ЛЖГННС 7.16л, 1
hel' х
—A,004 30
—0.00417
—0,00394
—0.00370
—0,00346
—0.00322
—0.00208
—0.00274
-0.00252
-0.01J30
-0.00208
—0.00188
—0.00169
—0.00151
—0,00134
-0,00118
-0,00103
—0,00089
—0,00076
—0.00065
—0.00054
—0.00044
—0.00036
¦-0.00028
—0.00021
—0,00014 '
—0,00009 |
—0.00004 |
—0.00000 j
0,0001K ]
0,00006 !
0,00009 !
0.00011
0,00013 :
0,00014

Случай малого центрального отверстия	759
¦|- [ — о и кег' -V -——— 	 о Ф J х
v кч\ х	-.	 I/ yr- rifi 0 кег' к
\!' 12 A^^~\^У
Vo
g>okci',( —?oker'i y 12A —va)
X	2y.	6
У 12A-v») ' R	:
+ („Л_И<^а„ *,-,.) x
f	'	].' -4 ctgeker'j
у 12A -- V-)	"

Расчет сферических оболочек
Смещения и угол поворота
V 12A-у») ' R
ei х + . 1+v - 1/ ~ с*8 6 кег';
/S'jl — v*)	ker' Jt» ker I + kei' x, kei
	з	а«„	^
j;
КЗA — va) „ кег1х„кег'л:+ kei'.v0 kei'* I
G6)
Для обратносимметричного случая коэффициенты податливост
в формулах F7) находят из равенств
/12A- v') T'l2(l-v»)
G8)

Случай мало™ центрального оншрстия
Ф,
,'12A ~v>)
12A -v=)
" : -Лпг keii.ru — V -"a ctg Si keij*0 ;
Sill О]	ГА	1
,- 12A -V')
—- ¦ -гг х
v 12A—v»)
rs , ¦ 1 + v Г 1	А
'!', - кс, I,— j-^-—-_ ——	 • —
,/12A — v") [у 12A -v") *
!	т /~	. ]
(f, ^ (кег, х0 кег', л-0 г kef, -r0 kei>0) -
Y ¦
+ Г kei; Ч - -{—-|	 [/A ctg Ol kci, ^j2;
'1/ 4
!i', -vu - T^p==^F |/ -y rtg 0, kci,
— 'Г! ker, Xq — -—	I/ -^ ctg 6i ker, x,
[	/12 (I-V) Г W
761

Расчет сферических оболочек
Значения функций Томсонл первого рода ktr, x. kei, х и их npons-
нолных подсчитывают с помощью табл. 1 но формулам
|<СГ| х - - —— (кег' х — kci' х)\
У 2
-=¦
кег; х -- - —=¦ (кег х -г kef х) - -^^ ;
keij х = —^= (кег х — kei г) —
кеи л
Напряжения находят из следующих выражений [см. формулы G|) |.
3„yL
V6|l-v'| Y.
1 ЛГТ
	 "_ _ у 12A — v«) ' H
Vi
kcr, x — t ' ~ г' |/ -A- ctg 0 kei; j: -|-
v Л I	"I
V 12 (
3	Ф,
' \ К б A -Vs) °"~
- ".«„ x
, 12A- v«) ' Л
X kri, .r + -,—- " I/-1 ctge kerji-
i	,12A -v!) ' "
у ±	i_ . I
i-v')' « ' sin*e eri" ;
(SO)

Случай малого центрального отверспшя
763
1
I 12A _ v")
V 4гctg "¦keii'
, \ v кег,., -	!	-v	 1/ -Л- ctB В kcij л- -i-
L	}'12(l-v"J ' K
,' 12A-
— • —7Г- •	j-7- keii i
(I),
X v kei
1 — V	ft	I	П
Vi2(i-v')"«" si"ae eri*J;
1/
"«Л - 4-=~^ 1/ 4-ctg 0, kci, .v0
	t lH(l-v-) ' Л
Yi
x'-.2(i' , []/'^':teeka-;-c-
J

76-1
Расчет сферических оболочек
Ф,	К 3A у')
keri ^-j— i	~ ]•'' -jj-ctR 0, ker, jro
1	h	I
^ kc"T
ki'i, x . — -
ISO)
'	A 	!_ ker .
Ф, V 3A— V-j
7W
x ker, jt —	'¦- — ]./ -|- ctg в keij x +
1	^Л_ 1 . ]
°»ф. i — "mi. г

Сличай малого центрального отверстия
765
Перемещения и угол поворота подсчитывают мо формулам
, , R sin (I
V-",..- "-¦¦ + —l—
I3A ~v'>
\/~ ctS в, kei,
,-'12A "
v,
XI kei, X -\-	I ~7Tc
ker, x:] — ^
^12A-v») ' R	J
Г f kei [ ^ — , '	|/-|-
\	у 12 (I - v') ' ;<
V^3(J — v
tg 9t kei, xt kei, -c
ken ¦<
+ -s-

766
Расчет сферических оболочек.
4 		_ Г
МП --у')
	з	«¦«» ¦-
:e|: x -	'	1 4- ctg В, kef, A'fl
;¦ 13 d-y')

12A - V-'»
«.-xi+ „"'in',, I'
(81)
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример I*. Замкнутая сферическая оболочка п ;; и
действии и о р и а л ь н о г и давления {рис. 91. Поскольку в рас-
рассматриваемом случае края гугсукггвуют, безмоментнос решение |И) — (\i)
при Р =¦ 0; 6=0; их --= 0 диет полное решение
""—Г—?ЗГ-
здесь под р понимают избыточное давление, при itom р > 0 при внутре
!1 ,0 < 0 при наружном давлении. В случае шгешмего давлении неойх^
проврсти расчет оболочки на устойчивпеть. Отметим, что для нормального д.
ими сферическая форма оболочки является оптнчальноП (оболочкой р..=.;
* См. также примеры г-i. 1 г. 2.

Примеры расчета	767
Пример 2. Замкнутая сферическая оболочка п р н
(рис- 10). Температура меняется линейно по толщине. Тогда согласно фор-
формулам <4>, B1) н B5) получаем
<и) («) _ Ея (Т* - Т~)
• - °<Р ""	Ml - v) '
¦& ~ 0: i,- = !i,
-Р рассматриваемом случае термоупругос решение, будучи периодическим по 0
V конечным. дает полное решение заДичч, При ^том жесткой гмсщснир o6o^(j4kh
вдоль оси фиксировано требованием, чтобы центр сферической оболочки при
нагреве не перемещался.
Из приведенных формул нидно,
что равномерный (по ft) перепад тем-
Рис. 9	Рнс. 10
пературы G** — 7""). не меняя геометрических размеров оболочки, приводит
к появлению иэгибных напряжений. Среднее же [по толщине) изменение тем-
температуры 4-(Г+— 7~'' не Bbl3hl";|il напряжений, равномерно расширяет
оболочку. Посл?Д1!б1.г относится и к случаю равномерно нагретой Сферы Т =
дующего общего свойства упругого тела с незакрепленными границами'- при
-вмпературе, изменяющейся линейно вдоль какого-либо пространственного
направления, тело расширяется бея поэникцонения в нем напряжений (см.
-«апрнмер, [20] стр. 280).
. Так. например, при
Г+ — Т~ = Ш\г- С; « i= \2-VS~^\jtpad; Е -= 2.1-Ю6 дан!смг\ v = 0,3
2,11Ов.12-1О-°.1ОО	1D.. .	,

Расчет сферических оболочек
12) Л. = 0; v ф±) - о, имеем
При этом (рис. 11) краевое сдвигаю-
сдвигающее усилие снизано с закручиваю-
закручивающим моментом соотношением 7" (U2>- ¦¦¦
/
!
! „ /
у
2я« sin Bs
Пример 4. Сферическая крыш-
а с различного вида -за-
крепленной края при деЦ.
с т в и и р в номерного
i W	I	крепленной края при деЦ.
у	с т в и и р и в номерного пну.
^'«I^'tt™	I	треннеш давления. Поскольку
t -?" /«,	Ч/	сферическая крышка замкнута ц Мршнн«,
в, = о; ^ = 0. Тогда
пип с упругим кольцом и оболочкями другого вида рассмотрены в пример..
гл. 1 т. II).
Крышка, заделанная по краю. Граничные условия ^ = и, (в,,) - t
?<, = tf (fl() = 0 придают системе C2f следующий вид:
' 7 V- sin в2-^~ + ац (<?о — <?о) +а12Л10 = °;
дельно .«о " (Q — Qo) получаем (используя форму.".
Рсптал ее
C4) и C6)]
2 V3{1 — \') h
*
{ «Л ,„ w . „г
<?'. (. - a - v, ,c,s p + ,.„ p, «-в) -ef; of"» - -&
Я = j, 3 A - VI |A-|- («, - ») (см. табл. 1 гл. 21).

Примеры расчета
Эпюры на при жен ни для 0, = 45Э; —г- ^ 50: v -= 0, а приведены на рис- 12.
й'а внутренней стороне крышки. При этом (в иAщем случае)
— о~Гв — tf(P) 6 \ — сг("' (Ъ ) — h 4- ^ f1 ~ V> 1 р/*
Крышка, шарнирно опертая по краю (рис. 13).
В рассматриваемом случае Л*в = АГ^ (ва( 0;
уравнений C2) запвсываетсу| в виде
13)
0; иц — и, \в&) = 0 и система
„ (q0 _ Qo) =0;
Из первого уравнения, используя формулы C5) и C7), получаем
25 Заказ 1636

Расчет сферических

Примеры расчета	77 L
%«•.¦>¦¦ Him» ж.-ний >ЧЯ ГП-.МЯ О Г" * - 50- v - О 1 .„.ищи нл
.-^НфМ ||.||||»,А4 НИН ДЛЯ С.1> ия », -!.,.__ >U. V -„- \}.Л IKIK.M.U.U .Ы
рИС U. По формулам C7) и C8), определим at из условия чх @,) = 0, находим
Крышки, сниоодно Ут'ргппЯ fio крпю (рнС. 14).
Hi гцгмшчпых утлоций AIfl = Л1 6 ((!„) = 0. Qo = 0f if*.,) = «J. используя
формулы i3.i), Cf)l и C3), пл^одим
а^'=^-у 3d -v-) |/ -^si
По формулам C7) и [38). определ
условия м (ft.> - 'J, находим
-fir
X sin 2U, (cos I), ens 3 — cos (ic ~P) ;	И» i
V3(i-v»)	'^
fl»e-B.	vtf^fTVTi
3|тюры напряжений при Йг — 45°; , _,	__—^
U еь
_j— = 51); v - 0.3 показаны на рис. 14.	¦' "
Сопоставление рис. 12 — 14 показы-
показывает, что при надлежаще за крепленном
крн? напряжения краевого эффекта яв-
являются величинами того же порядка.
что и бе.шпмеитиые- При свободном крае	^t!C' l5
до пол к ягельные напряжения могут зна-
значительно превышать основные — безмоментные (си. работу L20] стр. 26DJ.
Пример 5. Сферические оболочки с жестким цеп
т р о м. Оболочка С малым жестким центром (рис. 15), нагруженная равномер-
равномерным давлением-
Частное решение можно принять в виде П5)-Aб1- На краю 0, =. 0,
нмеют место у.-.;юним жесткого края «0 = иг ф^ = 0. ¦*„ = # \\) — 0.
Пусть R = IS* ел: h -= 4,76 си; В, ¦= 6е; р = 4,2 йал.г.и-. По формулам G3).
G4) и табл. 1 подсчитываем коэффициенты податливости
**й=> 12 A — v2) \'Л- j, = 1,09;
кег лг0 — 0.229: ker'.vo = — 0.59fi;
kei дг„ _= -0,4fi4; kci' x0 = 0,345:
E '
?/i '
1 Eh*

Расчет сферических оболочек
Подсчитанные по формулам <75> эпюры напряжений показаны на рис. 16.
,елки: Ci = 134 дан/см1.
Представление о напря
дают следующие формулы:
= '2^J-: °» ~V
состоянии в рассматриваемой оболо'
, PR (и)
центром. Коэффициенты 1г, h при различных
мулах
2. Значения коэффициентов la—13
R
h
20
50
9"
5
10
15
30
45
61)
5
11)
15
3»
45
60
0,717
,330
,340
¦ 530
.610
.650
,991
.330
,4ftO
,580
.взо
,000
2,35
зло
4,02
7,42
12,20
20.56
2,7 j
4.14
5,72
11,24
18.8/
32, Н
'-•
1,45
,36
,29
,17
р 1 1
.07
,39
.21
,0/
,'Н
— 0, 437
— О,ЙО2
—0.7 64
— 1.005
— 1,120
—1,2 аи
—O.Mlh
— 1.097
— 1,180
— 1,2'f'

Примеры расчета
773
Продолжрцис табл. 1
н
100
20'J
500
5
10
15
30
¦15
60
5
10
15
30
45
60
10
1Я
¦ло
4 л
60
1.180
1.430
1.620
1.010
1.640
1.660
1.3,40
1,510
1.570
1.620
1.640
1.660
1,400
1.570
1.600
1,640
1,650
1.660
3,2 у
5.40
7. С8
15,57
26.40
45.20
4.12
7.22
10,50
21,70
37.00
«Л. fit)
5,88
10.00
16,10
¦ .43,90
58,20
100.20
It
1,34
.22
,10
,08
,0Fi
.ОД
,28
.17
.12
,06
.04
¦ 02
.21
,12
.08
,04
.02
.01
'¦
—0,1L1
- -0.895
— 1,008
— 1. 150
— 1,200
— 1,240
—0.776
—0. !>90
— 1,07У
— 1.180
¦1.220
1.250
—0.925
— 1.085
— 1,150
— 1.210
1.540
— 1.261)
определяющих кольцевые i
краю сферической обо-
центру изгибающим моментом Шу — 155 000 дан-см и сдиигающсЙ
F°z = 4200 да» (рис. 8 и 15).
Используя соотношения G7) — (80), F7) и G1). i
ни. показанные на рис. 17.
Из этого следует, что при удалении от края н

Расчет сферических оболочек
Л	у	р	р
= 02) точно так, как это были сделано н примере •(. Тик как и рассмотренные
примерах оболочка предполагалась доста гачии длинной, оба кран ее могу г
Рис. IS
Пример 6, Короткая сферическая о б О л о q к i гто:
Пусть короткий сферический поясок (рис 18) шарнирно оперт по краям,
причем 9,= 35е; 0* = 45°; — = 50: v=0,3. Граничным условиям рассма-
рассматриваемой задачи
«, (в,) = 0; и, {0%) = 0
отвечает случай, показанный на рис. 8, г гл. 21 [формулы G4) —G5I. Эпюр,
напряжений, полученные с помощью формул B6> и G5) гл. 21, приведены у...
рис. L8.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Б и р г е р И. А- Круглые пластинки и оболочки вращения, ,М.,
Оборонгиз, 1964.
2.	Вате он Т. Н. Теория бесселевых функций. М., ИЛ, 1949.
'А. В е к v а И. Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины.
Тбилиси, Мецииреба, 1965.
4.	В л а с о в В. 3. Общая гсорнн оболочек и ее приложении к гехшжс.
М—Л-. ГИТТЛ, 1949.
5.	Геккслср И. В. Статика упругого тела. М-—Л.. Гостехиадэт, 193-1.
ГИТТЛ, 1953ЬД<! " В С ЗС	' ' е0Р11Я ^ПР>'ИХ ТО1"<их
7.	Григорьев Л. Я> Судовые сосуды, работающие под давлешк '
(определение напряжений и деформаций). Л,, «Судостроение», 1965.
8.	Канторо и и ч тЛ. Б. Осноны расчета химических машин и аппар:.
тов. М-. Л1ушги.1. I960.
9.	К р у г л я к о н а В. И. Оболочки прощения с малым центральны-
отверстием иод действием симметричной и обргпносимметрнчной нагруэе -
В erf «Исследование по упругости и пластичности-.. Изд. ЛГУ. 4. 1985.
10. Л у р ьс А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.. ГИТТ.':,
1947.

Литература
11.	11 О И О * If Л О н Д. В- ТсорИ^ГННКИХОб
12.	II о с о 1. а Л. Ц. Таблицы функций То
ных М.. Изд. АН СССР. Iflfi't.
13.	II о ii и н а р s в С Д. и ЛР I'a'.-'u.ri,! ш,
Т. 2. М-. Машпм. 1ЭГ.8.
. в машиностроении.
ДАн'сССР, J6 2,
1948.
И обо:
1'
о т о в Ф А Сферическая о?>илочк;1
Изп. ЛИ СССР. ОТИ, К? 2, 1962.
О ш I- ii к о С. П. Пляспшы и обол
М.— Л., Гостех
й - К р и г е р С- Мла
19 Черных К- Ф- Линейная теория обплочек. Ч. 1. Изд. ЛГУ, 1962.
2A. Черных К. Ф- Линейная теория оболочек. Ч. '2. Изд. ЛГУ, 196-1.
21.	Ш с в л я к о а Ю. А. Напряжения в сферическом днище, ослабленном
22.	Ямке F?., Эмде Ф- Таблицы функций с формулами и кривыми.
, Фюматгчз, 1959.

Глава 25
РАСЧЕТ ТОРООБРАЗНЫХ ОБОЛОЧЕК*
Рассмотрим гонкие горообразные оболочки кругового сечения по-
постоянно» толщины {замкнутые по ф), находящиеся под действием
плавных осесимметричных и обратиоснмметрнчпых внешних нагрузок
и температур. При рассмотрении общих случаев исходные зависимости
можно получить из соотношений гл. 21, если в них положить (рис. 1)
„ ,	п	а + b sin В	1 -t a sin О
Приведенные в главе зависимости получены методом асимптотиче-
асимптотического интегрирования н справедливы при следующем (ориентировоч-
(ориентировочном) условии:
Xя > 5-?- 6.	B1
\ = /12A — v*] (арK; Р=-^-.	C)
Это условие может быть нарушено либо вследствие малости ве.1и-
qHHbi а = —, либо недостаточно большой величины р1 = — (толстим
оболочка). В первом случае следует испо-пьгювать метод рядов [7,
15, 17]. Толстые горообразные оболочки рассмотрены в работе [8|.
Если какая-либо из величин, характеризующих геометрию оболочки,
внешнюю нагрузку (температуру) и упругие (термоупругие) свойств;!,
претерпевает скачок на параллельных кругах 0 = const, то торообра:*-
ную оболочку следует разбить на части, и решения для каждой из такич
частей упруго сопрягают по упомянутым параллельным кругам. Во-
Вопросы, связанные с упругим сопряжением частей торообразных оболочки
как между собой, так и с другими ооосныии оболочками вращения м
упругими кольцами рассмотрены в гл. 1 т. II, и частности, там приве-
приведены упрощенные формулы для прикидочпого расчета сильфонов.
Расчету сильфонон посвящены работы |6, 13. 18—26].

Расчет тороибразных оболочек
777
Если толщина оболочки плавно меняется по 0 и не зависит от *р,
можно использовать приведенные ниже формулы, заменяя при этом
в соотношениях основного и термоуиругого состояний постоянную А
па текущее значение толщины h @), внося ппеледнеи под знак интеграла
в выражениях для смещений. В соотношениях же краевого аффекта
под h =~= h ф„) следует понимать значение толщины на рассматриваемом
краю.
Обзор литературы (до 1962 г.) по линейной теории горообразных orto-
лочек дан в работе |17],
Кроме приведенных в гл. 22, использованы следующие обозначения;
а — радиус круговой оси тора в см;
b — радиус меридионального сечения тора в см;
иг = и cos б -г да sin 8; их "^ и sin 0 — и> cos 9 — горизонтальное й
вертикальное смещения (рис. 4);
•Vjj. А'ф, Т, Qf| — соответствен по нормальные, сдвигающее и пере-
перерезывающее усилия (рис. 2) в дан/см;
Qr = N$ cos fl -|- Qd sin 0; Qx — ,Vfi sin В — Q6 cos fl — горизонталь-
горизонтальное и вертикальное усилия (рис. 4);
AJq, Л4ф, Н — изгибающие и скручивающий моменты (рис. 2)
в дан - см!см;
°~9Р| -~ТГ~', 0Чф'^""ь"; 0фР! -"' ~~i	тангенциальные {цеппш\
мембранные) напряжения оболочки (рис. 3) в дан/ся2;
ЙЛ1
(и\ 6Afn ,,.» 6Я ,,.-. ЙЛ1ф
жения в наружном слое оболочки (рис. 3):
изгнбпы* напряжения;
жения но внутреннем слое оболочки;
F®, F^ — состамяющие главного вектора усилий, приложенных
к краю оболочки 0 — 0t (рис. 4 и 7), в дан;
SBt^: ШСу — составляющие главного момента усилии и момента, при-
приложенных к краю оболочки 6 = 0t (с точкой прннедения в центре круга
в= Bj) в дан-см (рис. 6 и 7);

778
Расчет шорообразмых оболочек
Яь- </<|> Яп — состанляющие поверхностной нагрузки (рис. 1)
в дан/см-;
аТ _ коэффициент линейного (температурного) расширения
в Иград.
Участки торообра зной оболочки, примыкающие к параллельным
кругам 0 = 0 и 6 — л (рис. 1). по своей работе напоминают кольцевые
пластины и не могут безмомент-
и	ным образом воспринимать \\v-
самоурзвновешенные нагрузки,
например осевуюснлу. В окрест-
ностях sthx линий, примерно —20 <0<20°, 160° <* 0 < 200°, воз-
возникает сложное моментное напряженное состояние, для описания ко-
которого приходится привлекать более сложный, чем обычно, мате-
математический аппарат 114, 16, 17, 18].
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Напряженно-деформированное состояние удобно разбить на сумму
основного напряженного состояния, отвечающего поверхностной и не-
самоурашювешенной краевой нагрузке (относящиеся к нему величин:»:
помечены значком *), термоупругого (значок г), отвечающего темпера-

Осесимметричный изгиб
779
турмым воздействиям, и краевого эффекта (значок '*). При этом (рис. -1)
Qr -. Q* + Q'r I- Q",: Л - - »" -I- *' -! #":
«, ™»; -r < i- <; ^ .= u; + u;, + uj.
(-1)
Основное состояние. В случаях, когда оболочка не со-
'.ржит окрестностей линий 0 = 0 и В —л (см. cip. 778),
Ь \ (qn cos 0 — ?в sin °) (' -f- a sin ") rf9
*i * „	1L	 	. |_
' B	sin B(i i-a sin U)
^ 2яа sin 0A + a sin 8) '
л,. = a (I +a5in 0) (i
b
a l (а„ cos 9 — ?i sin 6) A + a sin 0)</6
1
sina 0	2яа а sina 6 1
Q'r = A'J cos 0; i«J = Л4* = 0;
o; «;= °c + °"" 8) (,v;-v,v-;);
В частности, для равномерного нормального давления (qn ~ p ~ const;
pb Г 2 -¦- a sin 0 sin 6t 2+ a sin 0t 1 \
2 [ 1т- ix sin 0 sin9 1 -(- a sin 0J I
+ T-
<¦.,- 	1
5a sin 0A i-a sin 6)
F)

Расчет торообразпых оболочек
. _ р^Г	sin В, 2 + ее sin 0,1 Fx	I
ч 2 L	3	sliia 0 J 2я4 sin2 в >
Q* ='Vj cos 0; M] = м'^ = 0;
I sin 9 dO.
I
Если оболочка содержит <шс/?1б окрестности —20° <3 9 20°,
формулы E)—F) следует заменить такими:
b \ {qn cos 8 — q, sin 0) A + a, sin 0) tlB
lj	sin 0 A -f- a sm 0)
2ла A + а sin В) sin в
• _ a[l + a sin 0)
Ф ~	sirTe	'" ~
a i tq,, cos в — i), sin 9) A -|- a sin в) <ffl
e,:
sm'O
P	I	p_ _1_
2ло ' а 5тг9 ала "сГ Х
X |— >-2<p (в) ш' (9) ImE- (—Хш @)J +
+ Я<р' (в) /m? [— ).ш (9)| +
Ф' F) <p @) ш' (Q) |
a (9)	w>@l );
У 12 (I - v') " ~Ш~ lT (t)) "' <9" ReE> '-X

Осесимметричкый изгиб
G)
Здесь возможны три случая, показанные на рис. G:
а) в0 — 0 и Р — осевая сила, действующая в сечении 0 — 0, если
оболочка содержит линию 8 ~ 0 (рис. 5, а); при этом имеет место за-
зависимость
Р = f"x - 2лаЬ f (з„ cos О -
с
— 7, sin в) A + a sin 0) JO; (8) а)
6) в0 = в,: P = ^°(piic. 5,в);
и) ео = ва; Р=^ (рис. 5, в).
ГС двух последних случаях
е,
Г, = F°x f 2iuj6 ( (</„ cos6 —
f,
—4, sine)(l
(9)
Зипчоння функций ф (Э),
01(8). в'(«), [ф F) ш'(в)] при-
приведены в табл. 1—4.
Значения функций RcL (у),	м... к
/ш? (у), НеЕ' (у), 1тЕ' (у) йя
положительного аргумента даны
в табл. 5. При у <; 0 необходимо использовать следующие зависимости:
ReE (—у) = ReE {у); ReE' {-у) = —ReE' {у); у
1тЕ(~у) =—ImEtn); 1тЕ' {—у) = ImE' (у). I
(Ю)

Расчет торооОражых оболот
|Дп' (Щ (I т ((-=>in И)
1,017!)
1,0099
1,00-1-1
1,0013
,0704
.0452
,0295
,015;
,0057
(I 9590
0.9952
0.9942
0,9960
0.9658
0.9650
0,9682
0,9752
0.985'J
'i,G028
0,9730
О, Э 59 IS
0.94M
0.919S
0.9559
0,9663
0,9812
—	70
—	SO
—90
1.0044
1,0099
1,0179
1,028,5
1,0418
1,0581
1,0782
I.102E
0064
0150
0266
0384
1,0119
1.0258
1,0426
1.0612
.0856
.1 126
,И09
1,0229
1,0496
1,0798
1.112S
1,1481
1,1843
1,2208
1,2568
1,2912
44JV=
f
90
80
70
60
50
40
30
?n
in
~ 10
— 20
— 30
— 40
-CO
— fid
I)
1,4780
1,3310
1,1780
1.0200
0.8568
0,6900
0,5202
0.34Й!
0, 1714
0,00,:,
—0,1741
—0,34?]
—0,5202
—0,85i^
—1,02 Of
— i, 1 7&0
—1.3310
— 1,4780
fM
I.-1110
1.302<J
1,1550
1,0021.1
0.Й43Й
0,6812
0,5150
0,345;
0, 1738
O.OOOD
—0, 1754
— 0,3505
—0,5257
— 0,6997
—0,8714
—1,040'*
— 1,2050
— 1,3640
— 1,0170
M
i,4i:to
1.2760
1.1330
0.9847
0,8311
0.6728
0,5101
0,3434
0, 1732
0,0000
—0,1756
—0,3531
—0.5317
—0,7100
—0,8673
— 1,0620
— 1,2340
— 1,4 020
— 1.5600
i
0.3
1.3850
1,2521)
1,1 140
0,9691
0,8196
0,6649
0.5054
0.3411
0.1726
0,0000
—0.1 763
—0,3558
—0,5375
—0,7208
—0,9042
— 1,2660
— 1,4410
— 1, Г,! 00
0,4
1,3600
1.2300
1.0950
0.9546
0.8087
0,6575
0.5009
0,3390
0,1721
0.0000
—0, 1769
—0, 35 S5
—0,5437
—0,7323
—0,9230
— L, 1140
— 1,3030
— 1,4881)
—1,6670
0,5
1,3360
1,2100
I.O78C
0,9411
0,7984
0,6503
0,4965
0,33b'J
0,1715
0,0000
—0, 1776
—0,3613
—0,5507
—0,7451
—0.944И
— I. [450
— 1,545!'
-1.7WJ

Осссимметртный их
7ЯЗ
90
80
70
GO
50
40
30
20
10
0
—10
—20
—30
—40
—50
— 70
—80
—90
"A
1), К226
0,8602
0. ШШ
0,9214
0.0456
0,0652
0.9804
0,!)912
0,9975
1.0000
0,9475
0.0912
0,9804
0,9652
0.9156
0,8932
0.8602
0.8226
М
0,79Я4
0,829В
0.8G24
0.891Н
0,9181
0.9416
0,1610
0,9781
0,9910
1.0000
1,004?
1,0051
1.000Й
0,9909
0,9758
0,8276
0,8949
0,6556
0,2
0,7680
0,В0ЛО
О.в356
0,8658
0,8940
0,9201
0,9440
0,9E55
0.9344
1,0000
1,0120
1,0200
1,0220
1.0190
1,0096
0,9084
0,9352
0,8951
П,.Ч
0,715
0,779
0,811
0,842
0,871
0,900
0,927
0.95 36
0,9779
1.0000
1.0190
1,0350
1,0460
1.05Ю
1,0490
К0170
0.9849
0,0420
Л -9.1-
0,7579
0,7898
0.82DS
0. 8513
0.8ЫЧ
0.9120
0,9421
0.5713
1. №00
1,0270
1,0510
1,0721)
1.0&70
1,0940
1,0750
1.044S
0,9999
0, 131
0,70 85
0.7701
0, S0 1 1
0.8Й49
O,8'J7f>
0.0311
0,9652
1.0000
мшч
1,0686
1,1000
1.1270
1.Н70
1, М80
1,1210
1,0720
4. Значения функции [f !O)Cl
0°
90
80
70
GO
50
10
30
20
10
0
— ID
—20
—;to
—40
—50
—GO
—70
—80
—90
0
A,9009
0.9275
0,9451
0,9599
0,9725
0.9825
о, tool
0.905G
0.9988
1,0000
0.99Й8
0!095fi
0.0901
0,9825
0,9725
0,9451
0,0275
0.0069
u
0.1
0,8412
o!»7O9
0.H878
0.9059
0,9236
0.9406
0,9570
0,9724
0.98&9
1,0000
1.0111
1,0202
1,0272
1,A390
1.0279
1.0224
1,0119
0,0903
0.9752
0.2 0.;+
0,8000
0.8191
0,8387
0.8590
0,8304
0,9030
0,9264
0,9506
0,9754
1,0000
.0240
,04C3
0,7572
0,7755
0,7055
0,8177
0,8420
0.8688
0,8080
0.0300
0.96 4 I
1,0000
1,0368
1,0740
,0635 1.
,0814 , 1,
.0919 1,
,0960
.0922
.0791
,0578
1.
1,
U
091
410
671
842
902
Й22
601
0,4
11.719.1
11,7:171
1', 75 7(i
0,", 808
0,8073
[>* 87 1 R
O.'.iHM
0,9 5 iO
1 ('¦¦¦" 11
i.O-JOn
1.1035
1,2006
1.2321
1.3121
1,31 .'32
1,201".
0,6862
O.VOJ'j
0,72,^,4
0,747'J
0,776(!
0,40'XI
П.Й474
O.fOlV
0.0424
1,0000
1,0644
',,1354
1/2И1
1,2887
I.427J
1.4714
1,1861
1.1Й12

Расчет торообразных оболочек
5. Значения функций ReB [у), RelV
1,00
1,05
0,10
1>, 10
0,20
0,25
0,30
0,5i
0,40
0,45
I 0,f>U
1 0,55
0,60
0,05
0,7A
0.75
0,80
0,85
0.90
0,9j
I
i
j
1
j
.
j a
,00
,05
, И)
,15
,20
|зо
.35
.44
.45
,50
!«O
!70
,7!»
,80
85
,90
.95
,00
,05
,10
,15
,20
,25
,30
2,35
2,40
| 2,45
; 2,50
2.5G
2,60
2.65
2,70
2JS
2.80
— 1,288
— 1,287
— 1.Ш
— 1,277
— 1.208
— 1,257
— 1,244
—1.22»
— 1.210
— 1,193
— 1,163
— 1.144
— 1,118
— 1,090
— 1,061
— 1,0 .iO
—0.99»
—0,9fi5
—0,931
—0,896
—Q.8G0
—0,823
—0,786
—0,749
—0.711
—0,673
—0,636
—0,599
—0.562
—0.525
—0,48!)
—0,45-1
—0,419
—0,385
—0, ,352
—0,320
—0,290
—0.261
—0,2.42
—0,20-1
—0,178
—0,153
—0,130
—0,108
—0,088
—0,069
—0,051
—0,0.45
—0,020
—Q.OOo
0,006
0,017
0,027
0.036
0,044
0,050
O.OQti
ReE- [y)
A,01H
0,050
0,100
0,149
0,197
0,243
0,292
О.ЗЗГ
0, 38»
0.422
0,462
0.500
0,535
0,568
0,599
0,527
0,652
0,675
0,695
0,712
0.72fi
0,737
0.745
0,751)
0.753
0.753
0.750
0,745
0,737
0,727
0,715
0,700
0.683
0.664
0.644
0,623
a 601
0.578
0,554
0.539
0.503
0,476
0,4-1»
0,421
0.3У4
0,360
0,330
0,312
0,286
0.260
0.2IS5
0,211
0,188
0,F5
0, [44
0. 123
0, 104
;/>, ImE Ш, !
hnli (у)
1) 000
0,047
0.094
0,140
0,186
0,231
0,276
U.320
0,362
0,403
0,443
0,482
0,519
0,554
A,588
0.619
. 0,649
0.677
0,702
0,726
0,747
0,767
0,784
0,7ЧУ
0.812
0,822
0.830
0,836
0,841
0.841
0,846
0,845
0,842
0,837
0,831
0,823
0,811
0.804
0,793
0,780
0,706
0,75!
0,73G
0,720
0.703
0,686
0.66У
0,651
0,639
0,615
0,597
0,579
0,561
0,543
0,525
0.508
0.491
ImE- {y)
0,939
0,937
O.G32
0,924
0.913
0,89'J
0.8R2
0,862
0.839
0,813
0,785
0.755
0,72,1
0,683
0,652
0,611
0.574
0,534
0,493
0,450
0,407
0.364
0,32i
0,27H
0,2;M
0,193
0,151
0. HO
0,070
0,03i
—0,007
	0,043
	0,078
—0,111
—0,142
—0,171
—0-198
—0.222
	0 244
—0.264
—0,282
—0.298
—0.313
—0,326
	0,337
—0,346
—0,353
—0.35S
—0,361
—0.362
—0,363
—0,361
—0,353
—0,351
—0.349
—0,342
—0, 335

Осесимметричный изгиб
У
2.85
2,90
2,95
3.00
3,05
3,10
3.15
3,20
3.25
3.30
3,35
3,40
3.45
3,50
3,55
3-60
3.65
3,70
3,75
3,80
3,65
3,96
3,90
4,00
4,05
4,10
4,15
4,21)
4,25
4,30
4,35
4,40
4,45
4,50
.55
,60
,05
.70
.75
,80
,8j
,90
.95
5.00
ReE (i/)
0. no 1
0,06,".
0,068
0,070
0,071
0,072
0,073
0.073
0,072
0,071
0,069
0,067
0,06-5
0,063
0,060
0,0j3
0.056
0,053
0,050
0.047
0,044
0,041
0,033
0,035
0,032
0.029
0,027
0,021
0,022
0,020
0,0 IS
0,016
0.014
0,012
0,011
0,009
0,008
0.0П7
0,006
0,005
0,004
0,003
0.003
0.002
RrB' (y)
0,080
0,003
0,053
0,038
0,02*
0,01 1
0,000
—0.010
—0.019
—0,027
—0.031
—0.040
—0.015
—0,050
—0,053
—0,056
—0,058
—0,059
—0,059
—0,059
—0.059
—0,058
—0,057
—0.056
—0,054
—0,052
—0.050
—0,048
—0.046
—0,043
—0,040
—0.038
—0.035
—0,032
—0,030
—0,027
—0,025
—0,022
—0,020
—0,018
—0,016
—0.014
—0,012
—0,010
ImF. (y)
0.475
0,459
0,443
0,428
0, i 13
0,399
0,386
0,373
0,300
0,348
0,337
0.327
0,317
0,307
0,298
0,290
0,282
0.275
0.268
0.261
0,255
0,250
0,246
0,242
0,238
0,234
0,230
0,220
0.223
0,220
0,2 IB
0.215
0,213
0,210
0,208
0.206
0,205
0,203
0,201
0,200
0,198
0,197
0,195
0,195
ImE- (,/|
— 0,327
—0,313
—0.308
—0,208
—0,287
—0,276
—0.264
—0,254
—0,211
—0.230
—0,218
—0,200
-¦0,105
-0, 181
—0, I7,i
—0, 163
—0.152
—0, 142
—0,132
—0,123
—0,114
—0,106
—0,098
—0,090
—0.0S3
—0,077
—0,071
—0.066
—0,061
—0,057
—0,053
—0.04!J
—0,0-16
—0.043
—0,040
—0,03В
—0,0.48
—0,034
—0,033
—0.011
—0,030
—0,02'J
—0,029
—0.П2Й

Расчет шарообразных оболочек
В случае равномерного нормального давления
д,* _ pb Г 2 -г- a sin fl sin % 2 -f a. sin 6D I
е"" 2 [ 1 + « s'« 0 sin В " 1 -f а sin 9 J
1	Р ф (В) cos О
m sinO(Hasirie) 2ла I + a sin 0 '
ы* _ Р6 Г 1 i smBf» 2 -j- к sin 80 ] Р_
¦ !— л2ф @) ш' @) /т?' [— Яи (б)] +
ф' (в) ImE [— ?.<к (в)] 4-
Ф'(в) _ ф(В)ю'(8)) .
ш (в) , а,1 (в) I '
(И)
Случаи, когда оболочка содержит окрестность ]60°<'0 <^ 200',
могут быть рассмотрены с помощью приведенных выше формул, если
переменить направление оси X (изменить направление отсчета угла 0)
Рели же торообразнаи оболочка содержит обе окрестности (—20" <
<1 6 <; 20° и 160° -С 9 <С 200"), то ее рассекают на две части плоскостью
л / л \
В - - -)	~\ и построенные для каждой части решения упруго
сопрягают. Если при этом оболочка и нагрузка симметричны относи-
относительно плоскости сечения, то вместо условий упругого сопряжения
Используют условия симметрии (см. пример 2),

Осесимметрьчный щгиЬ
Термоупругое состояние. Основные зависимости:
Л'' - ——f'h~X'.:.,_ [ф (()) со' (B)j У?й?-' [— Хш (9)] С;
К 12 (I — v*) cci
Г cos 8A — vz sin 8) utj_ I -I- a. sin 8 <Jaer '
X I	sin3 8	<ЛГ	sin H dW~.
I Г[ф(9)щ' (9)| vet cos 0 ф 18)
+ *a [ ma (9)	1 + a sin 0 ' ШЩ +
+ V [ip (8) w' @I W [— лш (8I —
"Ф- 12(]-v=)V1T ¦'-' rlta л
cos9(v — a sin 9) ^eL 1 + a sin 9 Л
_ I_ Г у[ф@)ц-(8)| _ «cos!) фF)
' ~*оГ L	и2 (9)	1 + a sin 0 ' т(в)
[- \-X3 (ф (9) ш' (8)) И' [— л<о (9)] —
эаесь в случае, еслн оболочка не содержит окрестности особых точек,
следует [юласзть С = 0.

Расчет шарообразных оболочек
Если оболочка содержит окрестности особых точек, следует посту-
поступать так, как указано на стр. 781 - Величину С при этом принимают для
случаев, показанных на рис. 5:
/ tteT \
рис. 5, а \ —V7T-
Краевой эффект. Соотношения краевого эффекта имеют
следующий вид:
+ Dytmhx [— Дш @)] — Л2Л«Л;]— ijuo FI +
+ Bj/m*.j[—Лш(В)]);
«= Л^еЛ, [—аш@)] —Bj/m*! [—Дш(в)] +
-I- И^еЛ, [—До) (в)] — B,/mft, [—Дм (в)];
12 A—v11) a A +a sin в)
X {/4,/шЛ, [- !>Л) F)] + BiReh [- iho (в)] +
/raft; |— tXto (в)] + B.Reli* [—Лю F)]1;
0; Ж1 =
X [— ftm F)] + At
Л =		_ 0;
ф 0A— a sin 9) "
, [— iUj (9)] — ,8,/mft, x
[— ftm (9)J —
A3 [ — ihn (9)]1
A3)
(Hi
Помимо со F) и ш' @) (см. табл. 2 и 3), сюда входят вещественные и
мнимые части функций Эйри Reht (iy), /m/ij (iy), ... и их произвол-
пых Rvhx(iy), /ffiAj (iy), . . Их значения дляг/>0 приведенп
в табл. 6.

Осесиммстричпый ипгиб
и
0
0,1
0,2
0,3
0.4
0.5
0.Й
0,7
0.8
0.0
,0
,1
,2
.3
.4
,S
,7
,8
.9
,0
,2
.4
,5
.6
,Н
,У
,0
,1
,2
,:\
.4
,5
.6
.7
,8
.0
,0
,1
.2
,3
.4
.5
,6
,7
,8
.9
,0
,1
.2
.3
,4
,7
.Л
.9
6,0
0, DIJC
—0,0390
—0.0770
—0,1 13
—0,11 В
— 0,177
—0.2EKS
—0,22<i
—0.244
—0,2ЬЗ
—0,208
—0,273
— 0,275
—0,272
—0.2Й7
—0,25В
—0,24Ь
—0,233
—0.217
—0,200
—0,183
—0,165
—0. 116
—0. 1289
—0.1115
—0,09403
—0,07В38
—0,A6502
—0.0.1105
—0,01025
—0,0? В йо
—0,02103
—0,01347
—0,007192
—0.002
14
П,ОО!»67
0,004865
0,00699!)
0,008389
O.009I55
0.009412
0,003265
0,008813
о.ооат
0,007329
0,0004 36
0,005517
0,004613
0.003755
0.002967
0,002201
0,00 1G49
0,001129
0.000702
0,000160
0,000096
—0,000096
—0.000229
—0,000313
—0,000358
—0,000371
— 1,074
—1,007
—0,3388
— 0. Ь711
—0,8039
—0,
—О,
—-0,
—0.
—0.
—о,
—о,
—о,
—о!
—D,
—0,
—0,
372
714
008
438
828
4211
fiSl
150
6оЗ
192
381
035
—0,07285
—0.0161!)
—0,02316
—0.00388
0,01 194
0,02453
0.03416
0.О411!
0.0456!)
0.О4Н2!
0,04847
0.04K2S
0,04041
0,04365
0,04023
0,0 Л 638
0.042 28
0,02812
0,02401
0,02008
0,01041
0.01305
0,01005
0,00742
0,00518
0.00330
0,00177
0,00057
—0,00034
—0,00
00
—0.00145
—0,00172
—1),00
—0,00
—0,00
84
84
76
—0,00163
—0.00145
—0,00126
—0,00106
—0,000870
—0,000688
—О.00С1524
—0,000381
O.(i78.S
0,6782
0,0773
0,6749
0,670.4
0,6630
0,6524
0.6384
0.6207
0,5993
0,5742
0,5457
0,5141
О.479Н
0.44IW
0.405'.'
О.ЗОЬО
0.32G4
0,2870
0,24?.J
O,2ID8
0,1751
0,1416
0, llOti
0,08241
0.05710
0.03497
О.О15Н7
—0,00A1 7
—0,lH.'S2ii
—0,02358
—0,03131
—0.03G70
—0,04002
—СОИб"!
—0,04155
—0.041Ш
—0,03В 14
—0.03523
—0,03183
—0.02815
—O.O243G
—0,0206')
—0,01649
—0,0I3t>2
—0,01055
—0,007836
—0.005482
—0.003498
—I). l>01872
—0,000582
0,000401
0,001112
0,001588
0,001808
0,001980
0.ОО19Я7
0.00L892
0,001734
0,001536
0,001518
"""l
0. Г1У 1 П
0,Я86Г)
0,:!71'J
O,:1494
0.3201
0,2855
0,2468
0,205.!
0.1 (Ш
0,1187
0.0757
0.0342
—0.0050
—0.0412
—0.0739
— 0, 1025
—0.12bS
—0, 1406
—0,1020
— t>. 172S)
—0,1746
—0, !(Ш
—0. ISIS
—0, 1772
—0.1702
— 0.1004
--0,1498
—0,1373
—!), 12 39
—0,1100
—0,0960j
—0,0822
—0,0030
—0,0566
—0,045i
—0,0317
—0,0254
—0.0174
—0,0105
—0,0049
—0,0003
0,0031
0,0057
0,0075
0.008b
0,0091
0,0091
0,0088
0,0082
A.0074
0.00G5
0,0056
0,0047
0,0038
0.0030
0,0022
0,0016
9
У
э9
у
4
4
К
3
у
4
й
0,001072
0,000625
0,000272
0.000004

Расчет торообразных обалпчгг
0
0.1
0/2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
,0
,1
/2
.3
.4
,5
.6
1-7
1,8
.9
2,0
,1
2.2
2.3
г,4
Л5
г,в
,7
2.3
2,9
5,0
3,1
1.2
.Л
,4
.5
.6
,7
.8
>.9
1,0
.1
,2
,3
4.4
!,5
.6
,7
,3
.9
ь,о
,1
,2
-.1
,4
>,5
).6
1.7
5.»
>,9
6,0
Relit
0.01H0
0.07GM
0,1122
0,1437
0,1699
о,ш?
0,1991
o.isei
0,184"i
0,15ЯЗ
0,1034
0,0410
—0,0455
—0,1663
—0,3123
-0,49A8
—O.7U51
-O.ftSlj
—1,2.4
—1.595
-1.984
-2,422
—2.911
—3.4,11
—4,03ft
—4,668
—5,334
-6,022
-6,717
-7.395
—8,026
—8,564
—В.Э76
-9,18.1
—9.117
—В. 685
-7,783
—6,286
—4,054
-0,933
3,248
8,664
15,49
23,91
34,05
46,03
59,87
75,51
$1,14
111.16
13A,1
148.7
165,6
178,7
186.3
1В4.9
171,1
140,5
88,2
8,3
Imk,
—(
—
,074
,142
,210
.278
,347
,415
,4й5
.556
,62'J
,702
,778
,88")
,<йз
,ai-?
,0'Ю
,166
,237
.299
,350
,384
,303
,371
.307
,181
.004
,736
,367
,876-1
,241b
,5fi]4
,560
,7В1
—4,250
—5.992
-8,031
-10,38
-13,05
-16.03
—19,29
—22,79
—26.45
—30,14
—33,69
—36,87
—39.38
—40,83
—40,74
—38,52
-за, 47
—24.8A
-11,57
7,22
32,65
65,81
107,7
159,3
221,0
293,1
374,8
464,6
559.4
Ret*
0 678-1
0,6734
0,67i'3
0,fi8l7
0.686J
0,6933
0,7033
0 715'*
0,73*10
A,7473
0,7635
0,7775
0,786'J
0,7959
0,7715
О.7Я71
0.6752
, A„=.7<Й
0,4317
0,2274
—0,0199
—0.416J
-О.ЫШ
—l.tK'l
—2,236
—3.1-33
—4 102
—5 587
—7.143
—В ,905
—11,05
— 13,40
—16,02
—18,87
-2s!6o
-28,26
—31.23
—33,94
—35,95
—м,97
—36,53
—34,10
—29,02
—20.50
—7,66
10,49
35,05
67,15
107.9
158,3
219,3
291,1
373,8
466,1 ¦
566,0
669,5
770,7
861,2
929,2
939.4
—o.rwifi
-0,380)
—О.Звй
-0.Й372
-0,2912
—0,2290
—0,1-192
—0,0.103
О,С6!Й
0,'ЛОЙ
0,4762
0,Л67О
—\
\7849
,032
.309
,617
.959
^.740
,178
,644
.133
,(Й7
J.144
1,6,^3
j.4°6
j 795
Б.952
5.010
6,601
J.944
4.84J
1.184
),8«
.327
,478
.78
— 18,411
—;б,4я
—ас,22
—47.G8
—60.Р4
- 75,96
- 9-.Б7

10.5
47,6
G4,a
79,1
88,3
89,7
79,7
54,2
C,1
35,8
6Я.4
11,2
05, Я
651.1
!»55.7

Осссиммет/шчнып изгиб
При у <Г 0 следует пользоваться соотношениями
ЯеЛ, (—iy) =-- /frA, (iy);	/mA, (—iy) ^ ~lmht(iy);
Reht {—iy) = Ле/zj (iy),	/шЛг (—/у) =-= —Imhy (iy);
Reh\ (—iy) - /?t'/(j {iz/);	/m/ij [—iy) = —/m/i^ (if/);
ifrft', (-Й/) - ЯсЛ| (iy);	//дЛ] (—iy) = —/mAJ (iy).
A5)
Произвольные постоянные /11, fi1? .^._., /Зв определяются при удо-
удовлетворении граничным условиям на краях 0—0, и 0 — В.,.
Торообра.^ные оболочки можно делить n<i длинные, для которых
граничные условия на краях удовлетворяются независимо одно от
другого, и короткие, не обладающие этим свойством.
Ориентировочным критерием, позволяющим считать оболочку длин-
длинной, является выполнении неравенств:
при 5%-ной погрешности расчета
при 10% -нон погрешности
A6)
Для длинной оболочки на краю 0 = 6Х
"„=".*,+«.: -.¦ «и («о - «о - «о +• «и («о - «." - mi) ¦)
А. - #(' - »о + *i > («о ~ Q'o - С») + «jj (¦«,. - Л»о - ЛЧ) ¦ j
A7)
а" а Ш ¦ а М" '' Retimlmhm — lmk^Rehl0 ' th '
12A — v3) а Ц + a sin 6,) X
w, ™ 12 (I — v") -
«•, Rehlrilml,ia-lnlh,,Rchu F.№
i = a,,aJ2 - a;., = 12"?ГЛГ>°" С + * siu °)M-
A8)

Pac-tem шарообразных обило/ек
¦¦ "г («,); «о ¦- # (в,); <?„ = С, (О,): м„ -- м, <0,); . . .
Rehm = Rchl ( — Ли (в,)); . . .;
Imh \„ = lmh\ ( — ftoi @,)) ;
A9)
Напряжения подсчитывают по формула
о1,'" ¦¦= ч\'"' + о; <"> + о,„# -^ " т\1—'"'" '.' +
l^ — Rehltilmk\
/3A-V») *ш,; ЯеЛ„/тА!п-'»'*1О«г*;о'
) _ „• I»).
a' <"> -|- a 1
,', Ret\l0/mliK — /mh10Reh[0
/3 (I __ v2)	w RehwReh{ |- Imh^Imhj
3	"'«i Re/ilclmhm — rmhmR<?h'lA '
B0)
/?гЛ, = ЯеА, (— г\ю @))	lmh[ =
_»• о '"' — IL^E.
B1)

Осссимметршное кручение
Смещения и углы поворота
ftr У 12A —v') _й_ [ J^3_( I - \~)
¦*, + Im,
* Rehmlmk\0 — lmhiaReli'w J '
_ . T a(l -gsinB) «Г f \ГЩГ~:rv*)
u, = u, + ur+ j -,| 3- .„,>:
Reh.f.Reh, + lmhlalmh\	Reh'10Reh[ -|- Iml^blmh\ ]
X	;	— -I- 0*	;	— I ;
Reh^.lml^ — lmhmRehm	feftio/mftlo — /тЛ10ЯеЛ10 J
{22)
Reh,nhnh'—lmh.aRek'
При статических граничных условиях непосредственно задают Qn
И Мо, при геометрических — задают и„ и Фо, а Qo и Мо определяют при
решении системы A7).
Если рассматривают край 0 = Эг, то в приведенных выше соотно-
соотношениях необходимо заменить Gm из 94, а /it на Аг.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ КРУЧЕНИЕ
При осеешметричном кручении (рис. 6) в оболочке имеет место
безмоментное напряженное состояние, описываемое следующими соот-
соотношениями:
Г(й)=. —
j(
(I -fa s
= — 2.-Ш2 (I + a sin I),)- 7" («['
= 0"" = —
Ф	Ф	ft
B3)

Расчет шарообразных оболочек
Рис. 6
ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
В обратиосимметричном (антисимметричном, ветровом) случае иско-
искомые и заданные величины имеют следующую зависимость от угла ф:
иг ™ u,t г cos ф; их ~ iix, i cos ф", v — vL sin ф; fl1 = ^i cos cj
¦\'ь — ^V[). j cos ф; Л'ф = .'Vqj, ! cos ф; Т — 7\ sin ф; Л1( =
= Me, i cos ф;	B4)
Л'/ф = Mqi, j cos cr; Я — Hk sin ф; Q, = Qr, 2 cos q
?>J ~ Яь. l cos *Pi 4q> ~ Qq-. i sin (P« */« ~ 9«, i cos 4
f Напряженно-деформирован Fioc состояние разбиваем на основное
(величины со значком *), термоупругое (значок Т) и краевой эффект
{значок к). При этом
К
и,. , — av л - - и' , -г
г. 1 =«;.!+ «г, ! + «*.
¦. 1 "Г их, V v] =
Ос по иное состояние. Ограничимся рассмотрением наи-
наиболее сажного й расчетной практике случая, когда поверхностная на-
нагрузка отсутствует, а краевая может Данать в сечении 9t главный век-
вектор F'l и главный момент 9#и (рис. 7).
При этом главный момент и главный вектор в произвольном се*к-
Ш1Н 0 определяются cdothoi пен ними
Fz = f^; sjjiy ^ gj^J _ Ь (cos В — cos 9j) ?\.	№¦>)

Обрапшосимметричный случай
79.")
1ак же как и о симметричном случае, следует различать дна ва-
варианта: когда оболочка не содержит окрестностей — 20° <J 0 <:' 20J
и F0° <^ U << 200° и когда содержит их полностью или частично.
Если оболочка не содержит указанные окрестности, применяют
формулы
„м	I
1 жаЬ{\ |- a sin в)' sin (I | •»»"•""
— f°b | sin 0 + a(l—cosecosft|)]|;
К. = ЛС. i = "'i -0;
1 9J|J — f"»(cosO— cosO,)
™ "m?	sin 9 A + a sin 9J C0
1 a (I +asinO) '
с A4- a sin 0)
С ctsin9
J 1 + a sin
X
"*¦ 1 ~	M	J 1 + a sin 8
X (.vj_ , - v,VJ,. i) rf6 + SJ^a A + a sin 0);
A'! , — v.V" ,	u' . sin I)
¦ EH '¦ «*°-ТAТ^Г
dO-1-вг.
B7)

Расчет тарообралных оболочек
Если оболочка содержит окрестность —20" < 0 •< 20" (см. стр- 778),
,. _ ! ) Д° —tfg(cos6 —cosO,)
Л' =
[StJ - Ы$г A —cosS,)] ч> @) ш' @) х
1
1 iM/i \' » sin

0A +о sine)"
X (р (в) и' @) ReE' | - Яш (8I:
sin 6A + a sin в)»

Обратносиммстричный случай
X Ф(9) «с? [— ?.(о@)| |- !),;;
К-*('-«
(sin й + а) Ф(й) feE [ - >.ц. (B)j I
1 + a sin в	I h
+ b cos t) Qy -f аг;
X A + a sin 0) |
X dO + o(l +a sin
cos Вф (8) ReE ( - Ы @))
1 +a sin II
B8)
В обратгюснмметричиом случае ту же роль, что и $ н симметричном.
играет упругий поворот края
U A — Ci ^tll t
B9)
представляющий собой полный поворот ^ (в осе ной плоскости ф=0) за
вычетом поворота поперечного сечения (fl ~ const) как жесткого целого
на угол ., , х'-	7Г- [см. формулу (92} гл. 21]. Аналогично, ту жи
a (J -|- се sin и)
роль, что и иг в сил!метрпчном случае, играет величина
a (I -t- a sin 0) у
C0)
Обе величины являются деформационными (см. гл. 22), но изменя-
изменяющимися при перемещении оболочки, как жесткого целого.

Расчет торообразных оболоче*
Для основного напряженного состояния
¦li(l + cos 0,) f^l
\ V 12A — v=)
asinO)Y* - лШг1*'°~*('~cos9')f''l
X [ф (в) и' (в)) /т?' |— to> @)] (I — sin В).
C1
Значения функций, иходятих н выписанные соотношения, приведет.,
в табл. 1—5 1см. также зависимости A0) |.
Тер мо упругое состояние. Основные зависимости
/ (v --a sin 0)cos29 \ 1
\ A -a sm B) sln!e ^ rj
-v [Ф @) м' («)] (i + iVmfi' [- U, (9)]) -I-
C2

Обратнисимметричный случай
, = 6A +asin 9) J 1 , J si[| e (fT sin e H- "//cose) Л);
132)
здесь для оболочек, fie содержащих окрестностей линий 0 — 0 и 0 = .т
(см. стр. 778), следует полагать С = 0.
Если оболочка содержит окрестность —20° <^ 9 << 20", то вели-
величину С принимают:
для схемы на рис. 5. а
емы на рис. 5, б
для схемы на рис. 5,
Величины ег, хг связаны, при линейном изменении температуры
по толщине оболочки, с температурой на внешней поверхности обо-
оболочки 7""*"-= Т^~ cos ф и внутренней Т~ ~ Т~ cos ф соотношениями
Г+--1-7Г	Г+— ГГ
Fr =, a7 ' ; ' ; кг - a,- ' . ' ,	C3)

Расчет торообраэных оболочек
Краевой эффект
у' -_ ^LfL^A^^ [_().„, (О)] + B^mh, l-Гш (в)] -
—A.fieh, [— !"аш (l})| r Ba/mAj [—Иш @)]|;
XK = ALReh,\-iku>\
+ A..Reh2 [—Ям (I
= Л.ЯМ, [-iXn @)J — Si/mft, [-ita (9)] +
-f /I.Rc/ii, [— ib> (B)J — B./mfti [— Но (в)];
D "^Aта sin 9)
-|- BYRehL [—(Адд @)] + AJmkt [- Л« (б)] -f
12 (! - v1) '
C4)
, = »(!+a Sin9) j-
cosO
1 + a sin 0
¦/."dd;
C5)
Входящне сюда вещественные и мнимые части функций Ханкеля ft,,
Нг н их производные h[, h^ подсчитывают с помощью табл. 4 и соотно-
соотношений A5).
Произвольные постоянные At, Вк, As, Sa определяют при подчи-
подчинении величин B5) граничным условиям" на краях 9 = вх и б = 92.
Для длинных оболочек |см. критерий A6) и A6а)] на краю 0 = В,
справедливы равенства
»0 = "о+«; + «и(«0-^-во) + а12('«0-«0-«0Г); 1

Обратносимметричный случай	801
где коэффициенты подугли поста au, aia, a22 нодсчитыиают по форму-
формулам A8), другие величины находят из зависимостей
в„=х(в0: <?« - Qr. t (в,)-.
М„ -= М,, ! @,), ...	I1
(с различными значками).
По.'пше напряжения
ш- Kehu]lmh\ - /
1 — у»)
Relilalmh[0 - I
C8)
'¦m» „ , , „ , Qo — <?o — «J
а„ —	A + a sin 0.)	г	:
a	n
Rehl = ReAj f— Дга @)]; ... ; /шА[ ^ 1тк\1~Иш @I:
ш' = со' (9);
а». l	/Г- аФ. l	/Г- °«Ф. 1- л-
26 Заказ M-J

Расчет шарообразных оболочек
Смещения и угол поворота
f sin 6 +к , 1
-;+i+*{-"««J-TT!n?e*-
00)
где
* Rehl(/mhl0 — ImhiaReh[0 _
Если рассматривают край 8 = 6В, то в приведенных выше соотноше-
соотношениях необходимо заменить Bt на бв, a ftj на А4.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Рассмотрим некоторые наиболее Часто встречающиеся в расчетной прак-
практике виды торообразных оболочек (см. также примеры гл, 1 7. II). Напомним,
что рассматриваем оболочки, удовлетворяющие критерию B).
Пркмер 1- ЗянкЕутз^ торообрлэнйв оболочкэ ггод
Проделанный анализ показал (см, работу fI f> 3 стр. 3341, что при а, не
очень близких к 1, для определения напряжений можно исполь.ювать безмо-
уентмое решение Фепля
(р) 1 +0,Sa sin fl pb	iv) l pb	...
следующее из формул <1О при Р = « и (» = 0.

Примеры расчёта
Пример 2. Р ;i <
силой (рис. 10.
11 сечении Ч — -'-, имеют Mtt-го следующие условия сим»
¦& [ -?- I = 0; Qr (-тМ ^= 0-
D3)
1 ЦН-
распора, Уточненыый расчет по]
г/	ч	:
ч
ч.
Принятие граничных условий D,1) дает возможность ог
отрением основного состояния [формулы (L1) при р = О].
С помощью не ко горы к преобразований нэ этих формул
рооые асимптотические формулы Кларка для максимальных
есткости компенсатора <см. работы [17] стр. 277 и L181):
3S3s
радиуса и » толщины ft. рястяги
Величину расхождения кро
подсчи(ычают по формул)
возн икающее в цилиндр1
t-мой той же силой Ри.
D5)
трубе

Расчет торообразных оболочек
Для рассматр" пас моги ниже конкретною ко мне не а тор» \, = и, 0727ft,,:
соответствующее экспериментальное значение [201 fly = 0,08256». Формулы
D1) —D7) удобны для припадочных расчетов и могут быть применены для
предварительного определения параметре./! проектируемых компенсаторов.
При рассмотрении трубчатых компенсаторов с малыми значениями \ полезно
Обращаться к графикам, составленным Далом (см. работы 1! 7 1 стр. 384 и 120)].
На рис. 10 приведены подсчитанные по
формулам A1) графики основных напряжений
а = 21,6 ем: Ь = з,4Я см: h => 0,17 см:
v = 0,3; С = 2,1L- 10* дан/ся*:
\ =3,02; а = 0,254
при сжимающей силе Р" == —454 дан. Круж-
~9(Г-60 -30" f 30 б<Г*-9в напряжений, Крес
- ¦ л' '	мяльные значения
к
рений, подсчит
по асимптотическим формулам-
Пример 3. ПолныИ т р у б ч а Т
гор дейст!
полный трубчатый
вление, причем оу = ^^^
	пеличины одного порядка, то для
соотн
формул
D1).
расчета следует использовать соотношекн
A1). К напряжениям же по формулам D4)
Н 05) необходимо С добавить значения напряжение из формул D1). подсч)
тайных в точках 4,- Соотношении D6) и D7) для расхож
г*+ г- _
В рассматриваемом случае формулы A2) и формулы ДЛЯ гаи
' («) ' (")	^ат /...+¦ т-\ т (о) 1 (pi
°ч — °«; = ~ 2~ц~— v) ^ ~ '; °e = о<(
q' = I); $т = 0; и'г = яат A + а .-in В) Г !f T .
./_ ;,-. .... , Т+ + Т-
Выписанное решение удовлетворяет граничным условиям D2) и D31-
Поэтому его можно считать полным решением расечн грииасмон задачи [с уче-
учетом скачанного в примере 2 относительно приближенности оылэлненпя уело-

Примеры расчета
обусловьнп.ют irsMciiciiri* фирмы срединной поперхностн, а температурный
гн^рсп^д ( Т Т ) определяет величину возникающих i\ оболочко нагибных
ншгрижрн'ий. Цуггь. например,
(т* - 7") = ]i>tV С: а? ¦ - 12- 10"в l/град; И — ?.!. 10е дан см'. V-.-0.3,
¦ — —180Э дан/см~.
Следователь;in, и оболочке при ер.чншпелыт умеренных -(емпературах
вямицим моментом, приложенным в сечении в — 0. Поскольку i
момент), рассмотрению [.идлежаг лишь
соютис„е„„„ красого ,фф=„™ A3)-
М% @1 ^ Л10: Qr @) - 0: D8)
«t(-rr)=»: *i-(-7")~0' m8'"
лить life интересующие нас вели
следует воспользо
„(«)
1,474о)' (9)
aip)
— '.''.- = —0,852 &Л — v* co'((
(l + a sin fl) ш (в) /
»)] Л.

Расчет шарообразных абалочгк
Используя а
ледующие npoci
[18]):
мптотические зависимости |см. работы A7 1 стр. 2У4
v _ 0,720 У\ - V.JI
Основные напряжения для оболочки с параметрами к* = 6,131 (X = 1,8»),
4
1
N,
j
-Jpf
ss
у
5
1
1
si"
\
>'
A
Oioto n ^°
1
0,7 -
_J
S 1
s
.
10 20 ЗОЛ
H?
и
/i
IT
\
-
-
чины, подсчитанные по формулам D9), не учитывающи
Заметное расхождение кривых снизано с тем.
нельзя считать длинной [см критерии A6)].
ения для оболочки С параметрами \* 275
рис. 13. Для нее критерий A61
д	фру (, ущ
краев. Заметное расхождение кривых снизано с тем. что рассматриваемую
оболочку нельзя считать длинной [см критерии A6)].
Напряжения для оболочки С параметрами \* = 27,5 (К = 3,02), а = 0,254
13 Д	риий A61
поэтому ыожн!
пользоваться более простыми
О*		формулами D4). На рис. 12
При
считанные по форм
ер 6. И зг и A че
поро
имере, следует иегюльяовать соптнощенч
н A7)—B4) для длинных. В перьои случае
ют при подчинении выражении граничны
рис. 14). Как и в пред
A3) —A4) для коротк
постоянные ,-1 ,, В,, .4 -.
fl @) = 0; 0г (I!) =» Qo:

Примеры расчета
ой оболочки [если ны пол uneven критерий A6) J и л формул A7t —
o (В)] + 0,537/mft [iha (
u V 12 (L-v*) I
"r = - f1 + « sin в) «' (*1 -^
iORehl [iam F)] + 0,537/znAj [(Aw (B)J) rf9.
»аться также следующими простыми асим
_L 2 *
__1	2 J_
On"' (ViA = О.В25 (I — V») aa 3 P 3 i
1	1
[la diic. l.'i показлны эпюры напряжений для оболочки с параметрами
>.' — 6.61 {к - 1.881, t -- 0.1, подсчитанные по формулам A3) н A4) (кривые
с точками) и по формулам |М) (кривые с крестиками); на рис. 16 даны напряже-
напряжения для оболочки с параметрами ?.' = 2".S iX — 3,02), а = 0,254. Для этой
Пример 7. H -t г и б трубчатого компенса
м (рис. 17). Примем следующие грнничные условия:
Пертше дна следуют из симметрии расс.матркиаемой задачи. Край трубы

Расчет торообразных оболочек
«... -ir ="
Н
i
ft
IB 2
Р
*
f
'/
h
г
_
to 10 //li s
A
r
in
) 1
5»
-
/
A
¦-
/
10 20 10<t
/
f
1 \
V
Mm
50 60/70 SO в
1/
f
-
ft g
ческой Трубы, работал на изгиб, не может создать значительного распора.
Уточненные расчеты показывают, что замена условий E7) более точными усло-
условиями упругого сопряжения С цилиндрической трубой мало влияет на манси-
ma, описываемого формулами B6) при /^ = П.
жесткости компенсатора на нлгнО справед-
_(Р) \
V Umax
	I	_ j^
-±5,89A —V") ca эв31Ф A.) in' («,)]. E9)

Примеры расчета
Жесткость оболоч
т1ЛС1итыв;I01- по формуле
2 12 A — v1) <
б дан/см'
График:
Параметры оболочки
а ¦= 23,35 см; h = 0,2
D,3: ajl" — -14.4. 10я да/
У> = 4.75 (>. = 1,68): а =0,1
\S0 -10 10 /50 90 Щ\по 2W
rV-i—Л	,"/Г 1—1	1	1	1 —^-i	г—ш ¦/
-ьту
Пример 8. Сдвиг трубчатого
(pi;C. 20). Примем следующие граничные усл
а т о р а силой
v (-v) = »

2,«1 при i0tn=O; (), = — — . При этом справедливы следующие про

Литература
ЛИТЕРА ТУРА
1.	Андреева Л. IL- У npyi i
1962.
2.	Л ;> о н с о и Л. Я- и ДР- Рас
М.—Л., «MiinmnoCTprreinic», 1965.
к. Km
AM УССР, 1%:J.
4. Григорьев A- F-- Судовые сосуды. рлботаюни^е под давлением
(определении напряжниий и деформаций). Л., «Судостроение», 1 Убо.
о. К а и -I л и Ю. И. Деформация торообра-лшх мюлочек. Сб. «Расчет
6.	Л л упаЛ., D e il л П. Расчет KOMneiiraTo|>o:ir U-o5jui.ii[biMn ич^рлчи.
Труды американского обществ.-! ннженеров-мех;шико!1. Прикладная механика.
Т. 29. сер. Е. .Vj 1. М.. «Мир*. 1002-
7.	Л а х т и п А. Л. Расчет торообрллюЙ оболочки при осесимчстрнчноИ
нагрузке. Труды Уральского политехнического института. Сб. 71, I<ii>9.
нне элементов najinuux к г;«овых турбин и осевых компенсаторов. Труды
Ленинградского металлнчгекпго завода. Вып. 6. М. — Л. Машгия, 1960.
9, Наумов U.K. Графики расчета то [мюб разных элементог,. Труды
Ленинградского металлического я^вода. Иып. 0. М. — Л., М^шгнз, 1.960.
10.	Новожилов В. 11. Теории тонких оболочек. Л., Судпроагпа. 1062.
11.	П а л а т н и к о в Е. Д. РпСчст осевых компенсатороп, вводимых
в трубопроводы. М., Оборонгич. 1957.
12.	Руд» с М. Д. Расчет вращающихся -горообразный оболочек. Н*в.
АН СССР, ОТН, Механики и машиностроение. Л« 3, 1061.
инженеров-мехл(Ш кон. Прикладная
«Мир», 1962.
М. Т у м а р к и н С. А- Асимптс
j реш
leiiu
i торообразных
В. И. Упруги
!орияоболоч;к. Ч. 2. Изд. ЛГУ,
а П. А. Рлсчот Topo[.>flpa3nbix о!1ол
astic toi
Is. J. Mail]
Вып. 6, 1959.
15.	Феодос
М., Оборонгиэ. 1940.
16.	Черных К- Ф- Лии
17.	Черных К. Ф-, Ш
18.	Clark R. A. On The theory of thin
Phis., 1950, vol. 24,
19.	Clark R. A., G 1 I г о у Т. G., R
matlons of toroidal shells of elliptical cross s
1Э, no. I.
20.	D a li 1 N. C- Toroidal — shell exp;inision J<imls. .1. iippl. me
vol. 20, No. 4, 195;}.
schinenbauiechnik», No. 12, 1962.
22. M а г с a I P. V , T и г и и г С. Е. Elastic Solution in the l.imil \r,,
of Shells of Keyolufiiin with Special Reference to Rxpension Bellows ,1 of M
nical Engineering. Science, vol. 3, 1961.
ner E. Stresses ;irul d
J. Appl. Mcch., 19J2,

8j_2	Расчет шарообразных оболочек
23, Pa Inn-, V .,. Лм Approxuuaie АлаИНь Givlnj Ucslj«ci Date ior
C'0rru??3t6Q Pi p&s. ^I^roc^cJiriffs (j* I ric Ifistittiition o' A^cc'iiinlcul firT'inscrs*
London, England, vol. 174. 1060-
24. S ii I i m a ri п 1-. ihy.-r die Nachsiebigkell von Wsllcrohrexpansioncti.
schwelzerlsche Banzeitung, vol 127, 1946.
Plate and Tornidи 1 Expansion ficllows, Subjected to Axial f-Iccenlric, or Inor-ial
Pressure Loading, J. -if .\U-chiinic;,i F.ngineerinB, Scince. vol. 2. 1959.
London, bnglanri, vol. 171. 1900.

ПРЕДМЕТНЫЙ
АЛФАВИТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ

Д	Балки со стен ко Л, работающей пя ел виг.
оФретнж труб С8		 сос|;.Ш1ЬЬ многослойные— Деми-
алогиг гидродинамические 254. 255,	фировамие конструкционное 474 —
2Н9	478; — Изгиб 406, 467, 459, 471; —
алогия нембрашть	Ирандтля 253,	Прогибы 469, 471;—Силы тре-
254, 209, 271. '27i.	276, 277, 281,	474 473 47»
ИЗ
с т;п и когеометрическая (i41,
	упругая В7, 101, 102, 524
Аник тропии дефор\|пи1'Онна^ Я."
	криволинейная 24
¦176,
Mo мен*.
¦177
486. 496—49S
	И«1
- — У р.
методе*
¦стралы
чранилу
i прения
(аклйдками'-
бающие — м
л чип !В5—4
Мора — Вы
Верещагина
трех ыомеп
-¦'р'г
И'ЧРТ
!«¦'
то в
18(i.
яма-
летные — Насчет мето
ко^'олърыГ ^"чоУотк4»^ - П тиб БРУ^Я кривые - CM
7% 80. 87
477
	ii.i упругом ociioBii'iitu — Гасчет	валы круглые — Расчет 511; 	Сече
	 э" t	ния поперечны?— Характеристики
;;'-' "„ОЛу6е"<°"е''н"е ~~ ''""'"		-"с'шточкоИ кольцевой - Коицен-
2.0—Ш	грация напряжений 524, 52И
изгиб v аношюш 1яся г20;		 L канавкой полукруглой — Кок-
521; _ПрЬги'бу LM9; ' 1-а; - Рас	'^уТни" Тъй-№об2*' ^''^
—	Закон деформирования 507, 309, 511	ний 153	налряжс
~ й^ш^ибаюшне 506	Вязко-упругогть линейна- 134-144
—	Моменты изгибающие предельные
507, 5ПЙ	Д
—	Нагрузки предельные 509
—	Напряжения — Распределение 505,	Девиаторы деформаций 18, 20, 147
¦509, J09		напряжений 13—15, 59, 147
—	— Эпюры 50Т	Деформации — Девиаторы 18 20 И7;
—	Прогибы иО7. о 10. 511	— Тензор 16—18
—	Работа дополнительная 510		дисков 587, о**9, 595
—	Сечении поперечные — Моменты	—— малые 17 21, 130; — Комлоче)!-
инерции обобще.ыы* 507, 508	ты 18, 19; — Условия сплошности
—	Уравнения оси изогнутой 509	Сен-Benapia 18 —21; — Формулы
—	Шарниры пластические 507	К.оши 17

Деформации обожжен— Изгиб
	неупругнс -- Скорости — Тгнзчр	iafi, 133, 51-1
20.21	— Учет при расчет- аластнок til.1) —
	ни'геП тйких 195. 197	62Л
Деформации оболочек (тонких) б,Я— 6^5	~ Учет при расчет стержней 50-!- .', | 7
--Гипотеза Кирхгифа 631. 639	Диски -Деформации относительные
—	Компоненты— Выражения упро-	aS'— 'jSri
щенные 64?	~" Напряжения йНй—590, 594. 5 и Я
	 	 Связь г уситиимн-моментамн 639	— Перемещении рллилльные 590
—	Компоненты "длч граничного эл'с-	— Равчовесие -.лсмента — Уелопия
мента 632, 63,4	г'88
—	Компоненты для срединной пов.фх-	— Растяжение icmaiwl осесиммеч рич-
ности 634. f>:jf>	"ор 586—596
—	Условия совместное^. 634	— ' аг.Т_т_~ ,МеТУД1? «"^ральные ;.0С
Деформации оболе
СН8; — Компоненты 65R, 650; —
'19, 40
Уравнр!
™ил"чг" |1шч1ци«ьииг <меи-	— !г равнения сомместности деформа-
бранные, цепные) Компоненты	г;ий й88) 5g9i 5,H
	оболочек ™и™ягур»ые 659; -	_ ^"„"^"pSoTe", 1i.
- - о^Г?™и,^ 67. 88. 562-.73	i"""rn=rr^:i7 P""^i4,- -
	пластинок н мембран прямоуголь-	р-к-ирт ^Ч? ^US
!Ш< гибких 5S7—594		.«...г™ п„4,„ _ р„„„,
	пластические SB, «I, 92, 96,	593, 595 Л1»*™я
15д — Кривые схешгизирован-	переиганой толщины 53.1; — На-
rtl«n»» I» вч "?™ ' ' "~	пряжвиня 594. — Профили - Мс-
	„Г??? И ' «, 7S -«з ия- -	Т.«" »п„р?кснмяци.. 593. 595, -
цилиндрически» координатах	цснтрГчьныч — Расчёт 590 591
— Упяг.,р„,,я основные 76,	постоянной толщины сплошные —
33^-Ур,
	ползучести 95. У7; - Компоненты	, от"т,??иём - Р-с«
и скорость 92, 96, У8	.	тинкие— Напряжёнi
	69ВИ146~~ КР1111Ые 68: "" Скоростн	турныс 120, 121, \2в
прогибы 216—219	~~ Гкиг^й1!1*"!?"^—11СеКН
—	- сред вязко-илагтических 114. 145		 Расчет поа imci'tccca*
—— сред сплошных 16—19; — Ско-	,7а	'	'
рости 20, 21
—	•ц.улрг.-....». !«-.«, Мб.
	стержней 163, 18-J, 197, 108. 200
^ыех*442— 44?^ШН11а jaKP>4eH	ньютоновские 132, 1
потенциальная 438	u
	сгержнен призматических при	и
кручении— Уравнения совчест-	изгиб Салок двухслойных
ностн дифференциальные УН), 241	fiJI<IK чву\с юйкых с
489, 471, 47ti, -177
	колец кругов^ 2S8—257. 309—
ЛИ
и» наложениями темпераур	ЛИ
ними 125—130		компенсаторов трубчатых .нитнЫХ
Теория — Закон степенной 505, 507,	НОТ—81)9
Я09. 511, 512		мембран круглых 608-614
— Связь С термопластичностью	- оболочек вращения осрси:-:кст]>иЧ*
125—130	дый 064— 6S1; — Случай сбратнО-
	Теорема о приспособляемости 71,	симметричный СЗ 1—68Ь

8Ш
—
Интегралы — Кольце.
7 47 ¦--7 55, 760—766
тричшмЯ 779—79J; — Случай об- —
вые
III
401,
399,
Обо:
Сече
CUCflW.
400
'МЫ
и 396
кя 365,
бода —
396
Выбор 402
697—1
, пгинк
/9 80
521, 5
@4
'.и '
	 при пол
	пр'одолън
ее mi;с
¦пик
НО
620, 621
Интегралы
на 222,
Клинья —
83
— Давлен;:
— Непрям
,Чо
¦ 4
преугальные -
1адрезами или
зучести уста;
ю-поперечный
-""Йзгйб7""'
229—2J»
чого между плитами 32
1 — см. под н
— Изгиб; С
¦ра 219-223,
i
1
К
Вдавливание без
ie одностороннее
(ые- Изгиб
505—512,
439, 482; —
Верещаги-
трения 82,
предельное
399—402
с кольцам
405, 406,
- Нагрузка
- Нагрузки
4 1Л—415
— Нагрузки
403—415
— Уравнени1
	Постоя
406, 41
Кольцевые с
спиц и ;
с кольцам
— Нагружен
386. 388,
— Нагружен
- Нагр™
и 396, 402
408—411
элементарная втора
409 411
я основные н их решет
иные — Определение 40;
12—415
истемы с малым число
и 382
не моментами J85 387-
'389
ие с ила ми радиа ль иы м
387, 3&9, 391 —З9.т
равномерно распределе;
	: 210—212	Таблицы при жесткой ступице 390—
—	Напряжения температурные 207	395
—	Расчет под действием сосредоточен-	— Смещения и усилия — Определенна
ной силы 39	383—390
tyOJicCa с ЖсСткон ст у fin цен и жестким	спиц и Шарнирным соединением ii^-
соединением спиц 382, 399	с кольцами 365
390	'	371, 373—3О*
386, 388, 384	372, 37з', 375, 376
382—385, 387, 389, 391—395	372, 373, 376
—	Расчетные схемы и фоомулы — Таб-	— Нагрузки произвольные 36Ь. 370,
лицы при малом числе'спнц 390—395	372
—	Смещения и усилия — Определение	— Обозначения 365
З&З—390, 399—402	— Расчетные схемы и формулы —
Колеса с жесткой ступицей и шарнир-	Таблицы 367—376
иым соединением спнц 367		Таблицы при жесткоД cry лица
—	Расчетные схемы и формулы —	377—382
Таблицы 377—382	— Сечения обода — Выбор 367
—	Сечения обода — Выбор 367	— Смещения и их коэффициенты —
Кольца круговые — см. Круговые коло-	Определение 366, 367
ца	— Усилия— Определение 365

Компенсаторы трубчатые — Круговые стержни
807—аОЭ	элементарной 'i\b
—	Растнжинио силом осев;,;] iiOj, 604	Коэффициенты -
—¦ Расчет — Примеры Ь02—805 807—	316, 317
810	— Смещении и усилил
—	Сдвиг ВО!) «1ц	простейших — Схем
Концентрации напряжении — Влияние	Таблицы 320—ЗГИ
Коэффициенты эффективные 153.	Круговые кольца, нагр]
159, 16A	цккузярно и* ияое
	вокруг сферической иилостн в по-	3513
лс растяжения 44	— Нагрузка члемелта
	у выточек и канавок пал* 5С4,	318, 319
52&	— Нагрузка элемента]!
	 у ниточек остроугольных с ри-	320
	 у отпг.'рстнй*5:1	— Смешении и усилия 31fi, 318—J20,
нзвольиых j4—5й	— Уравнении и их решение 310, б\\
280	"	'	'	.135 336
Криные стержни 130 — см. ;акже	с подсоединенной цилиндрической
Круговые стержни	оболочкой 361; — Нагружепие ко-
—	Бнмоменты внешние 43!	ментами 363, 36-1; — Нагружение
—	Гипотеза плоских сеченнй 431, 432,	силами 3G2. 363
137		с л|юи.чвэль:;ым расположением
—	Деформации 432	осей инерции 358; — Силовые
—	— Экер| ни потенциальная 43S	факторы начальные и нх коаф4>»'
-¦ Деформации и изгиб упруго-пласТЯ-	циенты 359—3CI
ческий 511. 512		составные 335; —Расчет— При-
—	Изгиб 30, 431— 439	меры 338—339; — Усилия и мо-
—	Моменты кручения свободного и	менты изгибающие— Схемы н
стесненного 431 ф<1|>мулы 33'J, 340
бе 4J7. 43S	Формулы расчетные и графики
—	Напряжения нормальные при изгибе	i\b—349
432—4.14, 430		тонкостенные, нагруженные т\)
—	— Распределение 437	пеидикулярно нх плоскости —
—	Напряжения температурные 434	Расчет — Последовательность
—	Перемещения 439	358: —Смещения И усилия 355—
—	Ползучесть устанооившаяси 522,	35<
523	Круговые стержни 2S7
—	Ран повес ие участком - Условия	— Изгиб 287—30!)
4112, 437	— Классификация пц кривизне 289
Сё
Круговые кольца «17 287 309 — Из-	нагруженные в их плоскости 289 —
гнб 288—297, 309—334; — Расчет —	295; Расчегкые схемы И фчрму-
Мето„ы 309, 310, 312, 316, 335;—	лы — Таблицы Я00—305; — Сме-
Уравнения а перемещениях 2№,	щення и усилия — Определение
290; — Уравнения дифференциала	295—300
«ые И их решен иг 288—207, 309— 	нагруженные перпендикулярно нх
312	плоскости 289, 291—295; — Рае-
нрогиба 34-1, 345; — Расчет -	лнцы 305—309; — Смещения и
Примеры 342—344; — Уравнения	усилия — Определение 295—297
равновесия и нх решение 310—345 	 переменной жесткости — Смещс-
Круговые кольца, нагруженные в их	ння и усилия — Определение
плоскости 312	2rJ5—207
— Нагрузка элемента наи 312—^17,	—— статически неопределимые — Рас-
336, 337, 'И2	чет 297—300, 309
первой 313 '	Формулы расчетные и графики
	Коэффициенты — Графики 314	346—349

Круговые стержни — Напряжения
Круговые стержни тонкостенные, на-
груженные перпендикулярно их пло-
плоскости 34G
—	Онмоменты 350, 354	Надеж
—	Моменты стесненного кручения 350 — Ме
Я54
Надежность .
— МеРЫ 1G4,
^Г Пересчет- Графики
Ое о
Я54	^Г р	рф
-	Расчет— Примеры 353—355	— Определение по надежности элем
-	Смещения 351-Ш, 355	_ {^„^^ос, овные 164
-	Усилив' 353, М4	— Свяаь с выбором коэффициентов
Кручсние валов круглых с полукруглой	Iiaca l7!j—lal
канавкой 25R— 200, Й62	— (.вязь г интенсивностью отка
~Г ^^'ГХТ//'Т	- Связь с прочностью HiH 169
6	уов fjf
тричкое 720. 12% "	Напряжения II
	оболочек сферических псеснымс-	— Дебиторы 13—15. 50, 147
триччое 746. 747. 7G8	— Закон стеленной прн деформацияч
	оболочек тороойрязных осесииые-	упруго-шмс-шческих 50j. 507, 509,
тричное 793, 794	511, 512
	 оболочек цилиндрических круго-	— Интенсивность 14
аых осесимметричное 697 704	~-' Компоненты 14, 49
	 прн ползучести неус.танопиошекся	— — Зависимость от деформаций уп-
525	РУГНх — Закон 1 ука 22—24. С4,
—	при ползучести установашлейся	114, 132. 133
523—525		Уравнения равновесия 15. 16,
	профилей прокатных 260—267	115
	стержней -см. под нх наимсно-	— — Формулы Коши 12
ваниямн например Стержни	~ Концентрация — см. Концентра
призматические — Крупение;	Ч«л напряжений
Стержни тонкостенные — Кру-	— Линии ])а:1рыва или скольжения 76,
	 стесненное 276, .450, 354, 418— — Принцип минимума Кастильяво 31,
423; — Действие бнмоментов и	'¦=. 70
продольной нагрузки 424-430	— Релаксация 137, 519, 522, 523
	упруго-пластическое 514	-¦ Тензор 11, 12, 52
	упругое 513		Инварианты 13, 14
Крышки сферические - Расчет 768— — Уравнения при деформация плоской
771	;fi. 
—	Функция в координатах полярных
м	за. зз
—	Функция Эри 35, 41, 78S, 800
Мембраны квадратные, шарнкрно опер-	Таблицы 78В, 790
тые по контуру — Расчет при дав- Напряжении в дисках 588—590, 594,
606, 607
	круглые 526, Б08; — Деформации
и напряжения 608—610; — Изгиб
608 -614; — Расчет при давлении
равномерно распределенном 614;
Уравяенвя дифференциальные и
равновесия 609, 611; — Усливия
граничные 611, 612
Мембраны прямоугольные 526, 5У7
—	Деформации и напряжения 597—599
—	Изгиб 697—608
—	Равновесие элемента — Услопия
253, 598, 599
—	Расчет при давлении, равномерно
распределенном 607, 60S
—	Уравнении равновесия 59в, 599
—	Условия граничные 600, 601
честь металлов
Модуль сдвига 24, 25
—	— упрочнения 58
—— упругости 24, 2.S; —Зависимость
	 в мембра
лых гибк
	 в мембра!
	ВОболочк
кие) - н
14
Интенсип
Рас преде.
ра 15
212
212, 521
их 608—610
ах — см. Обчлочки
алряжения; Оболо
— Напряжения
12. 13; — Уравнен
нпсть Н. 25, 69, 1-
тение — Диаграмм:
ые п стержнях 208,
круг-
(тон-
:ип п
i5; —
1 Мо-

Напряжения температурные — Обо/очки
12, 193,
гоперсч-
	н
4
4
ор*
ней и
	оста
и - Ди
ИЗ 4
юм 41 а,
¦
4
11
к
19
'127.
153
и ю—21 а
ной
\№,
— Расчет с
193, 101
л/|
— Угл.
94-
— 1 НО
учетом собствег
196
1клоиа 18В—190,
,„ого
194
188,
вес;
189
i 134—141, 146,
	тел йя:ил1Х 133, I'M
Напряжения температурные 115; —	О
Влияние ползучести и релаксация
130; — Компоненты 123	Оболочки (тонкие) 629, 631
128 '	С35—63S, 642
	 в пологах длинных 121	— Геометрия 629—631, 651
	 в полупространстве при источнике	— Деформации — см. Деформации
тепла на ого ттоаерхностн 123	обо.ючек (гонких)
	 в ребрах охлаждающих 110	— Конструирование — Рекомендации
	пстержнях 1 S3, 184, 206—208 434	650
	в Tpyfiax 117—110, 125	— Конт.р граничный 62&, Ь50
состоянии 128—130 ' "	б/г41™" татичсскне ' <
»ы\ 117 '	— Кривизны 631, 547 650
	в шэрлх полых 12.4, 123	— Линии асимптотические 650
	в шарах полых при упруго-пла-	— Моменты 645, 646
стнчоском состоянии 130	— Моменты изгибающие и скручиваю-
	в шарах тонкостенных 124	щие 636
	 неустановившиеся 125	— Моменты комплексные 643
ческнх 125—130	— Нагрузки поверхностные Ь35
Напряженке циклические — Изменение	— Напряжения в^О
по времени 151; — Циклы асимме-	— — Функции Лурье—Гольденвейэе-
трнчные 154	1>а 642
Влияние на долговечность 161	— Перемочен и я 645, 64 И
	циклические разрушающие—On-	— Перемещения чистого изгиба 649,
158," 159	— Поверхности 630
	 циклический со случайными амп-	— Поверхность срединная 629, 631
литудамк — Влияние на долго-	—. — Деформации — Компоненты 632,
вечность 175—177	033
Нити гиЙкие 1S7		Нагрузки 635
—	Деформации 1951 197		Уравнения неразрывности 633,
—	Прогибы 188—145	634
—	Прогибы максимальные 193, 195, 196	— — Уравнения равновесия 635—638,
—	Равновесие--элементов — Условия ISS	641, 642
—	Pat-пор 1S&—130	— Радиусы крияиэны ИЗО, 650
—	Расчет без учета упругости н соб-	- Силы краевые обобщенные — Потен-
ствепного веса 189-103	цнал 640
—	Раечут длины 188, 189, 1У1, 192,	— Смещения 64S, 655, 680, 687
191—196	— — Ьскторы 631, 634

Оболочки вращения—Оболочки сферические
—	Смещения комплексные 642 644	— Усилия безмомеитные 665 681 6R2
647	— Усилия-моменты — Связь с ко'мпп-
—	Смещения обобщенные 649	центами деформации 659
—	Состояние напряженное — Крите-	— Условия граничные 659. 660, G73—
рнн безмомснтиогти 650	G8I
—	Состояние термпунругос 651, 652	— Эффект краевой 666, 667, 660, 674,
—	Теория — см. Теория оболочек	G85
—	ТсОр„A беамоментная 648—650	оболочки вращемия длинные 667: -
—	Stvii,i поворота ыг, Ь6Ъ	Расчет 679—681 686—688
—	Уравнения —см. Теория оболочек		 короткие 667: — Расчет 668, 66!>
(тонких) -Уравнения	67? 67У_ вв6
—	УСИЛИЯ 010, 040		 л цПяри чг^гте/а аа-г?>пйииьтав
—	- Усилия бшюиектные 648, 649	ргани! от г-
—	Усилия комплексные 643 645		 с к«5 !'
персриНв°Р«Гщие"б36СД°"ГаЮ'Ц"е "	Оболоч
—	Усилия-моменты 635, 638	— Да
>ЗГ?iZiZT бТГб. E^4k
649	' '	~ Изгиб осесим
—	Условия сопряжения упругого С40,	Случай ^о
" 1т1т„^,""Гсб34- ё?™"^	= &ки„ -" h
-	— Углы попорота 634 '	- Обозначен»
—	Эффект краевой 647. 651	Поворот уп
Оболочки ¦ращенн, 654 Р™
-	Величины - Разложение в ряды	Примеры 7S9-735
Оурье 66A ¦	— Ll™ осевые растягивающие (еж
—	Величины статические 658	мающие) 713. 714 733
-	Геоиетрия 654, 655	l™™™ 712 713 719 ™ г
	Изгиб осесимметричн
	 Случай обратное*
С81—688
— — Деформации 656
— Кручение осесимметр
— НаТпуа и аиги и
ровые) 681
!
ый 664—681
[мметричный
ячиое 664
трнчные (вет-
728. 732
— Состояни
	 угл'ы по'
— Усилия
721—724
од731ки
ie термоупругое 713, 71S,
ворота 713—716, 7 L9—722,
безмоментные 713—71С.
рисвой7[3, 717—720, 725—
шейные 662, 663	чег 718—720. 727—731
—	Нагрузки поверхностные 658		длинные консольные — Растет
—	Напряжения — Определение — Me-	7;!-!, 735
тод разделения переменных 660—662	короткие — Расчет 717,	П«,
-- Напряжения щгкбкые и тангеы-	725—727
циальные (мембранные) 657, 658		 с краем заделанным — Расчет 72Я.
—	Напряжения полные 680, 687	730, 734, 735
—	Параметры Ламе 054	—— с краем шар икр по опертым —
—	Перемещения 655	Расчет 730, 731
—	Поверхность Срединная — Виды 655	Оболочки пологие — Уравнение Вл.>
	Деформации 655, 656	сова ft46—648
	 Уравнения неразрывности 656,	Ополлчки сферические 7, 738
G62	— Давление равномерное гидростяги-
—	Поворот упругий 682	ческое 741, 742
—	Равновесие 657	— Давление равномерное с осевок си-
	Уравнения 6SS, fi6l	лой 740, 741
—	Радиусы кривизны 654	— Изгиб осесимметричиый 739—'At},
упругие) 666, 674, 684, 685	— — Случай ойратносимметркчш.п!
—	Смещения 667, 6В0. 687	747—755, 760—766
•	Определение — Метод разделе-	— Кручение осеснмметричнос 746, Ь',
ния переменных 660—GG2	768
—	Теория —СМ. Теория оболочек ера-	— Нагрузки — Виды 740—743
щения	— Обозначения 735—739
—	Углы ппворога 655 665, 667, 630,	— Поворот упругий 749—751, 766
6S1, 687, 688	—- Расчет 737—755
—	Усилия 658, 663		Примеры 766—774

Ободочки сферические — Пластики круглые
мающие) 73!J, 740	ми кольцами 301—364
—	Смещения 737 746, 749 750, 755,	— Силы осевые растя! паяющие 1сжи-
76A, 7R5	мающие) 692
—	Состояние термоупругое 739, 743,	— Смещении 090. №, 699, 704
752, 767	-	— Состояние термоучругое 69! 693,
—	Углы поворота как жесткое целое	70D 701 706 707
73S, 747	— Углы поворота 690—693, 6У5—fe'J7,
—	Углы поворота края 739—741, 716,	699, 704
755, 760. 765, 766	— Усилии Ссзмоментные 691—Ь9Л,
—	Усилии беэмоментные 739—743.	698—700
748—751	__	— '-Эффект краевой 693—697, 701
—	Эффект краевой 74Э—746. ;52—	Оболочки цилиндрические круговые
755, 76В—771, 774	длинные — Расчет 693. CfM, "ИЗ
Оболочки сферические длинные_- Рас-	J°t:I?,8J.,I!l	.,,ии жеСткИМн -
мкну-гыс — Расчет 766, 767	Расчет 70
Р744 745 72
— Pai-ur^-r 7Л.Л 74е. 7-i9—
Расчег744. 745- 7о2
ет 70S
ОЛЬЛhll* ¦— РаСЧет /On—пи
70
	 цптиир — Paiurr 7Л.Л 74. 7i9—
754 774 Расчег744. 745- 7о2		короткие - Расчет 693-Й95.
с краем заделанным — расчет 768,	J кра^ы зя7Данн^м
с,фаем шпрннрно опертые
Расчет 769—771		с краем шари
	с отверстием центральным ми-	чег 70Ь
тым — Расчет 755	766 771	774	Отверстия — Конц
Оболочки толстые 631		 крнэатиисйн
	тонкие —- см. Оболочки (тонкие)	Кпип^нтггги
Ойол^кн торообрааны* 776-778	Отказы сие ем Х
— Давления 1)аяномерные нормальные	178
анальный 166
- й
бенЭ	-
—	Поварит упругий 797, 708, 802
—	Расчет 770—802
	Примеры 802—810
—	Силы осевые 7й1
—	С»сЩе„„„ 777, 791., 797, 8Ш, 802
—	Состояние основное 779—7hij /94—
798, 803, 804, 808
—	Состояние термоупругое 778. 787,
758, 708. 799. 804 805
—	?„Г--'"'Г,,„П„01!°РО";1 780' 781' 7М' 7ЭЗ'
~ iSSlaV"" "9l ™- 791-™'
—	— Функчия Эри— Таоличы 788, 7В9
Оболочки горообразные длинные —
Расчет 79!~793, 800-802. Й05
	 замкнутые — Расчет сод рано-
мерным давлением 802
Оболочки цилиндрические круги;.ме
G89—691
—	Давления равномерные гидростати-
—	Давления рявиомерпые с ос?пой ся-	Шгиб'бг", "б23
лой 692	—— квадратные — Изгиб 536, 54,4, 544,
—	Изгиб осеснммстрнчныП 691—б«?	S55, 563, 6!8
697—704 ' '	вым — Растяжение 86
—	Кручение осесимметрнчпос 697,	704 Пластинки круглые — см. также- Писки
~~ Нагрузки — Виды 692, 693	— Деформации осесимметричиые 5<±3—
—	Обозначения 684—691	579
—	Поиорог упругий 699, 700	— Изгиб 56.3—579
—	Расчет 689—704	— Кривизны 563, 564
	Примеры 704—710	— Моменты изгибающие 564, 565
—	Расчет ни 7>UBU 68S	— Равювесие элемента — Условия 564
— Интен<
Пластины
	абсо
	идеа
«16.
фере
п
1 526; — Изгиб
кяй 620. 021; —
¦а 155, 166
ynpyro-:wa-
атурныё 121, 122; — Расчет
виях ползучести
при деформащ
чйских 615—623
лютно гибкие —
ь.ч*е гибкие
-620; — Нагрузк
617—620; — Сое
623. 624; —
4йх упруго-
Расчет 611
IHKU "РЯНО-
ге — Изгиб
ные при условиях текучести
617, «20; — Ура
нциалышя 619
	 идеально-пластически
трнч
иые — Изгиб 61!
1В11СНИЯ ДНф-
ie оссеккме-
Э. 620

Пластинки круглые — Пластинки прямоугольные
— Расчет при
рас г
феделенкс
— Расчет при
566,
1Й вцентральн
нагрузке рав
567
— Расчет при
572
— Рас
585
— Сил1
— Уел
опия гран
— Деформации и
— Изгиб 608—61
нагрузке рав
нагрузке сил
в центре 5
ывающие 565
ОЙ части
номерно
1ЛОЩЭДИ
72, 584,
нчные 565
ые гибкие 60S
напряжения 608—610
14
распределение
до то
— Ура
— Ура
— Усл.
Пластн1
.«иной .
ович гран
нки кругл
,м 612, 613
центре 613, (¦
вновесня 609
нчные 61 1, 6!
.ые. защемле*
618; — Расчет 566, 567, 57
Расчет 566, 569—572, 61)
груз
;кн предельные 618; —
114
ые 611
2
дельные
1, 572
1туру —
3, 620
- Расчет
в условиях ползучести 624—628; —
имметричн
юй 572; — Ур
иба 624—626
— Силы поперечные 52ч
Пластинки »ря
597; — Дсфор)
ния диффорен!
сия 598—000; -
600, G01
чет 604, 605
— шарнирно о
ювные 526—530
я 532
мнугольные гибкие
,1ации и напряжения
Э1-И6 597—608; — Рас-
602—606; — Уравис-
? по контуру — Рас-
Распертые по контуру—
Пластинки прямоугольные, защемлен-
кии равномерн
чет при да
552, 553
вленни равномерном
Расчет при давлении равномерном
554, 557; — Расчет при силе, со-
сосредоточенной в центре 554, 558
—- по одному краю и тремя шарнир-
при давлении гидростатическом
давлении pi
	 по одному 1
ми — Расчет
мерном 554,
)вномерном 549—55!
¦:раю со свободным и
559, 560; — Расчет
—— защемленные по контуру вцеш-	при нагрузке силой сосредото-
нему — Нагрузки предельные	ченной 552, 553
618; — Расчет 568—570		по трем краям и свободным кр.ч-
	защемленные по контуру внутрен-	ем — Расчет при днвлении гидро-
нему — Расчет 5й6	статическом 556. 561; — Расчет
	 со свободным контуром — Расчет	при давлении равномерном 555,
568—570	561
	узкие - Расчет 627, 628		 по трем краям и шарниряо опер-
	шарнирно опертые по контуру—	тым краем — Расчет при давле-
567. 568
Пластинки круг
	 круглые н
579—565
Расчет 578.
— по форме ci
573—575
— Деформации
лые на упруг
иб 583, 5Й4
а упругом о.
л основании
параллелогр
, 579
гкгора круга -
527, 528
— Изгиб 526—563 '
— Кришны ^се
528, 529
— Напряжения
малыше 528,
— Равновесиеw
чекнй 527
нбающис и i
529
530
— Расчет j ii—563
ом осио-
г 585
— Изгиб
амма —
— Расчет
срутящие
овия 529
Расч
554,
Пластмнк1
,ст при
558, !
550
л прамоуг
	 ™е'с
552-
Пластннк]
	ЯсТот
чес К'
оперть
-Рас
-550.
¦I С [)Д1
версти
веУ85У
1 ПРЯ
равно
ГЫМ11
¦ Pai
i-чении рар
пльные на
I VJJPVrot
:чет 579—581""
S81. 583
55П—561; —
531
1ИМ
ем
:рая
круювым
или упруг
краям и д
океНр^мР"
Расчет
VCJIOBH!
ерстин —
— Равно
при да к
т62
я упру:1

Пластинки прямоугольные — Полосы	823
лой сосредоточенной 5S2, R5:i	— Кривые — Подобие 91, 9», 105
Пластинки прямоугольные шарннрно	— Геирни - см. Теория т.ыцче* чт
опертые па контуру — Нагрузки	Ползучесть металлов 89—Н2, 140; —
предельные ЫН	Влияние на температурные напря-
	 Расчет при давлении i идроститиче	женкя 110; —- Кривые S9, У0, <<1; —
ском 535—539	Скорости — Зависимость от няпрн
—	Распет при давления равномерном	жений и температуры 00—9Р
532—535	—— обратная Я9, 147
—	Расчет при нагрове неравномерном		при нагруженип повторном 90
547	- — при напряженном состоянии слож
	 Расчет при нагрубил' и виде призмы	ном 92
треугольной МО. 54'	Ползучесть неустановившаяся 104 —
—	Расчет при нагрузке моментами по	106, 108, 627; —Задача релакки-
краям 547, 54Ь ционная 105; — Задачи — Решение
—	Расчет при нагрузке, равномерно	но тгари:; старения 106; — Ураоне-
распределенной по оси симметрии ння дифференциальные — Решеии?
543—545
распр.
в цент
Пласгин»
ГИДрО!
мерно
тат(
дап.
¦ре 546.
И СП ММ
нагрузке, равномерно
iofl по площади нем-
¦ти 541 — 543
ft М
.етрии Л15—547
:и прямоугольные шарнирко
м 549-
1ческо&
пении |
лком 551, 552, 555,
-551
[ 556, 561; —Расчет при
эавномериом 554, 500
	 при зидди
Уравнена!
шсиис 104
624—620
узких 027
ноосиом —
(ЮМ 92; —
won редел i
ных нагрузках 518; —
1 вариационные — Ре-
, 105
, G28
- Крииые и*
Уранненкя
нмык 518, 5
охропные
96— 9S
19
го-впзких наследствен-
наследственна
	_._с плоское 33, 34, 84—R7, 119,	труб толстостенных 107—109
120; —Условия пластичности Ми- 	труб тонкостенных 32, 106, 107,
seca 84; — Условия пластичности	!09
	треугольные равносторонние —	106, 107
Расчет при давлении гидростаги-	— установившаяся 107, 108; — За-
578; — Расчет при нагрузке мо-	Уравнения 97 100; — Уравно-
ментами или силой сосредоточен-	ния —Методы решения 102—
ной 575, 576	104; — Уравнения вариационные
	 треугольные равносторонние за-	100, 101
щемленные — Расчет 577. 578		 установившаяся при изгибе балок
нирно 'опертые — Расчет 575—577	521
ния температурные 128
Текучесть — Уо
	идеальная 64,
	 переменная 72
Плиты
— Изг
ные
толстые 526
иб 586
— Время рамрушеш
тельная» 109 - II
- У
ЮПИ!
05,
1Я |l
97
словия
67
фичнос
ть дли-
Пс
Пс
ней 519—523
™Рж„ей „рИ
>„1осги сферически
¦67, ,18
— длинные — Ня
рятурные 121
»„а
te -
par
Т!
Т1
.4
„ески
Напря)!
1Ж0НИЯ
адача п
523—
кепки
44
ЛОекЗЯ
темпе'

Полупространство ~ Сжатие
	 с надрезами с круговым основа
„иен — Расчет 78-80, 86
	С надрезами угловыми острыми —	Разрушения усталостные — см, цста-
Расчет 79, 80, 86	лостные разрушения
	с отверстием круговым — Расчет	Рамы статически неопределимые — Раг-
79	чет методом перемещений Б0 1
	 с разрезами — Расчет 7S		 многоэтажные со станками верти-
Полупространство — Давление кругло-	калышмн — Расчет методом п<--
го жесткого штампа 47; — Нагрузки	ремещеиий 495, 499, 50Л; — Рас-
распредслениые — Действие 46; —	чег методом сил 489
Напряжения температурные при	 плоские — Расчет методом перс-
источнике тепла на говерхиости 123	мещений 494; — Расчет методом
	vnpyroe —Силы сосредоточен-	сил 4S7—190: — Расчет мстпдг,-.!
«ые-Действие 45, 46	смешанным 501. 502
Поли температурные 114		 ллоскопространс!венные — Мо-
	 неосесиммегричные 1IH	менты изгибающие и крутящие —
—— нестационарные 125	Эпюры 491, 49'J; — Расчет мето-
	осесиммстричные ЦК—120	дон сил 490, 441
Пределы выносливости 152 159' —	прямоугольные — Расчет методом
Влияние концентрации напряжений	сил 488
153	Растяжение — Крипые деформаций
—- текучести 58, 1«У	упруго-ггласткческнх 504
Профили двутавровые 26»		дисков (пластинок круглых oci-
—	Воздействие бипары 429	симметрично*?) 580—Ь96
	 Жесткость при кручении 263 266 	 компенсаторов трубчатых полныч
•ZH7	80», В04
—	Изгиб упруго-Г1ласпичвский5П7 508, 	 одноосное 14, 44, Ш; — Кривые
510	5а, 59
—	Сечения поперечные — Характерн-	пластин с отверстиями В5—87
стики 20+, 436, 50Н	— полос с надрезами 78, R6
Профили прокатные 260, 268, 417	полос с отверстием 74
—	Жесткость при кручении 266. 267	—- стержней ]83—187
—	Кручение 260—267	—- стержней естественно аакручен-
—	Напряжения при кручении «аса-	ных 446, 447, 452, 453, 463
тельные максимальные— Таблицы	— стержней кривых 437
26 I —?65	Ребра охлаждающие — Напряжении
противлении при кручении 261—265	Релаксация моментов крутящих 525
	Характеристики геометрические 	 напряжений 105. 106, 137, 5Н>.
202—204	522, 52.1; — Кривые 89. 90, 94
Профили тонкостенные открытые— 	 напряжений температурных 1.5)
см Стержни тонкостенные пт-	Рессоры — Расчет 475
крытые	Решетки стержневые статически но-
	трубчатые (закрытые) — ем.	определимые — Ползучесть 51*.
тые	519; — Расчет 505
Процессы случайные — Плотносгьспек- 	 статически определимые 505; —
тральная 175	Ползучесть 517
—	Распределения и их функции 170,
171, 176, 177
—	Функции корреляционные 172	С
—	Характеристики — Определение
173, 174
—	Характеристики выбросов [75	Сдвиг 14; —Деформации 58. 69, МГ-,
Прочность— Коэффициенты запаса	2IG—219; —Модуль 24, 25; — Ск-
в расчетах практических 180, IS!	рости — Интенсивность 21
—	Коэффициенты запаса норматив-		 компенсаторов трубчатых полмьл
ные— Выбор 179, 180	809, R10
	Зависимость от надежности 181 	 перешейка прямоугольного НО, М
—	Связь С теорией надежности 168, 169	слоя тонкого между плитами N1.
—	Характеристики статические — Оп-	Ь2
ределснис 109—171, 178	Сжатие — Кривые деформаций упру-1
Прочность длительная 109—112	пластических 504
	дисков осесиммстричнос 580 — "">'(¦
Р	 дискон сосредоточенными силауи
39, 40
Разрушения В условиях ползучести —	—— объемное тело твердых 58
Время 109—112	одноосное 14. 44, 133
	пязкие 89; — Время 110		 полос — Задача плоская — I'ei. ¦-
—	смеша!!Г'Ы1! 112	кие S7, 33

Симметрия упругая — Стержни
82	Деформации и напряжения 146.
-	стержмсД силами сосредоточенны	147
ии 183	—— обобщенные линейные — Дефор-
		т —Случаи 23—25	мацкн и напряжении 137—1^4; —
ie —см. Кольцевые	Модели 137; — Модели многоэле-
¦ас те мы ¦	ментные 138, 139; — Уравнении
-	механический — Долюнгчиость	общие 13»
ifiS; — Долговечность — Расчет	релаксирующие Максвелла 138,
161. 175—177; — Надежность —	14й; — Деформации ы иапряже-
см. Надежность систем .махани-	иин 13R 137: —Моими 130
ческих; —Отказы 164—166, 168,	1,!9
ний 166, 1G 7	Статистика математическая Мето-
	стержневые простейшие 184; —	Ды — Применение в теории уста
Усилия и реакции 185, IBfi	лостиых разрушений 150-1СП
Системы стержневые статически гг«-	Применение для определении ха
определимые 183, 4В0 — см также	рактепистик внешних нащузон
Решетки '-топически хеопредели-	1 7 I — I 7о. I 7Ь
мые	Р		Примените для определения ха-
—	Моменты изгибающие 482, 494	рактеристик прочности 169—171,
	Эпюры 4ЙЬ, 488 489, 452 4Че— _ 17а
498*502	'	—Понятия основные Ю0- 171
—	Расчет методом перемещений 480,	Стержни 183
494—501	— Деформации 183, 1S4, 197, 198, 200
—	— Зависимости основные дли одно-	- Деформации сдвига — Плиики? на
го стержня 494, 495	прогибы 216—219
	Уравнения канонические 495	— Изгиб 199, 200, 212—223
—	Расчет методом сил 180—493	— ИзгнО продольно-поперечныЛ 224
	Алгоритм Гаусса 482 — 484	230
—	— Ир)тегралы «Лора 482	— Линия упругая — Уравнения 232—
4Я4, 488	— — Уравнения в интегральной фор-
	Уравнения канонические в ыаг-	ме 215, 218
ричной форме 484, 4В5, 490		Уравнения дифференциальные
	Уравнения трех моментов 486,	212—214, 216, 217
487		Уравнения с учетом деформаций
	Формулы Мора для коэффицнен-	сдвига L46—219
тов 481, 482, 490, 49ii	— Линия упругая пространственная
—	Расчет методом смешанным 480, 501	216, 221
—	Степень статической неопределимо-	— Напряжения касательные 208, 209
сти 481, 4й5, 4Э7, 491	212, 521
—	Усилия в элементах 4&2, 50О	— Напряжения нормальные 197—20A
Системы стержневые шарнирные — см.	— Напряжения температурные 183,
Решетки стержневые	184, 206—208. 4Л1
Спицы 3fi5	— Ползучесть при изгибе иеустановив-
—	Расчет при жестком соединении	ш«яся 521, 522
с ободом 384, 390—396, 400	— Ползучесть при юг лбе установи»
—	Расчет при шарнирном соединении	шадся 5 19—52 L
с ободом 365, 368—382, 406, 411	— Прогибы 212—210
Среды иязко-пластичеекие Бингаыа 144,	Влияние деформаций сдвн(а
145: — Течение в трубях 145. 146	216-21У
	пластичные 134	— — Влияние сил перерезывающих
	сплошные — Деформации 16—	218- 220
21; — Напряжения Н—16; — Пе-	— — Определение при помощи инте-
ремещения — Условии егтлош-	грала Мора 21У—223
ности (неразрывности} Сен-Вема-	— Прогибы в условиях ползучести
малые 17; — Удлинения относи-	521
тельные —Скорости 20
Среды упруго-вязки с Кельвин :i (
Фойхта) 138. 146;—Дефпрма
и напряжения 131 135:—Кол<
вин 13G; —Модели 135, lay
MJ: — Деформации и напряже-	ми
сия 140. 141; —Ползучесть—	— Расп
Ядра 140-142	ми
— Равновесие
213
— Рассеяние л
при
И 2 49
:ополн
ДС
и те
йст
юс
520.
ля
5:

Стержни — Стержни призматические
т'м.чьпая
	Момси
	Oc°,C iv
кич 504—51
ия напряжем
200
1ТЫ II
02—2!
ентрал
iiopuHi
прогив
>4
|ий 522
i обобщенны
лепим при кз
19»
СКИС
— Экер!
Стержни
442, 44,1, 456
естественно закрученные
е 4-14—447, 404
457
, 461, 464
сечения —
НИНЫ
лву-
Р;.с
	Характеристики геометрические	чения'— Расчет W, 448, 464
200—20-3	—— удлиненного сечении — Те
метрические 205, 206		чллиптическоно сечения — Ра
¦	Центр жегткостн 213	444, 450—454
	Центр тяжести — Координаты	' Стержни крипые — см. Кривые ст
202 204	н
устаноиившаися при кручении
перерезывающие 217—22и	523; —Расчет 212. 514; —Сече
12 32—233	' *"	киЯ202,™508
попорота течений - Опреде- 	 круговые — см Круговые стерж-
Стержни на упругом основании — Ич-
сдви]а сеченлЯ 21?	иб 22J 224; Иб родоль
р	уру
лы д	гиб 22J, 224; — Изгиб продольно
—	Удлинения относительные 197	поперечный 236—238; — Линия уп-
—	Условия краевые при ни ибе про-	ругая — Уравнения 224 228' —
дольло-тюперечиоч 230	Прогибы 227; — Равновесно 224
Стержни н поле центробежных енл—	бесконечные и полубесконечпые
Расчр! Ih7	Действие системы сил 227; — И.1
Стержни естественно закрученные 440	гиб 225—227; — Прогибы, угли
Деформации 442—447, 463	попорота и моменты изгибают»'1
М 1	'	конечной ДЛИНЫ — Изгиб 227 -
влияния 463, 464	пения— Ни те гр про на и не по ж-
—	Изгиб 444—446, 457, 461, 464	- " 	 - "'¦
—	Косинусы направляющие осей hoop-	a.o, iju—.too, -
динат 440	жения 228, 229
—	Коэффициенты жесткости 443, 448	Стержни нагретые равномерно — Изгиб
—	Коэффициенты податливости 443,	212; — Линия упругая — Уривж-
449, 452, 454, 437	НИЯ 212, 21»
—	— Расчетные формулы — Таблицы 	 переменною сечения — Напрнжо-
458—460	ння касательные 212; — ПрогнГ.ы
—	Кручение 447, 453, 462	216
—	Напряжения касательные 450, 453—	настоянного сечения — Иэгнч
455	продольно-поперечный 230, 231 -
—	Напряжения нормальные 449, 450,	236; — Линии упругая — Уран-
453. 454, 4К4	нения — Интегрирование по ш-
—	Определения ocuortiiue 440f 441	тоду начальных параметров 214,
—	11|)[>1>|бы 445. 461, 464	215; — Напряжения касательное
—	Равновесие элемента 442, 45ft	209, 212: — Прогибы 231; — Par
—	Раскрутка 4G2, 46Л	тяжеине 1Я7
—	Растяжение 446, 447, 452, 453, 463	Стержни призматические 239
—	Сечения поперечные 457	— Деформации — Уравнения совке-
—	Соотношения геометрические 441,	стлости 240, 241
442, 454. 456, 4Ь7	— Жесткость при кручении 247—lijl,
	Расчетные формулы — Таблицы	256, 260
458—4ftU		Формул<i Он-Венана приближал-
—	Теории Кирхгофа— Клебша 14Л-446	кэя 26в
—	Теория общая -- Решении приблн-	— Кручение 239—255, 268, 51»
жепные 448-454	— — Аналогии гидродинамические
	Решения точные 446. 447	254, 255, 269
¦	Удлинения нин
¦	Уравнения в не
координат 453,

Стержни призматические — Стержни тонкостенные
- Кручен л I- идеально- пластические Стержни растягиваемые — Г сор;
51Д---515	пения 42, 93, 01>—У9
'— Кручение с дополнительным осевым	пряжения температурные 183
растяжением 514	1*Н
-	Кручекис упруго пластическое 514	Стержни сосланные мнчгослойнме 466
-	Кручение упругое 513	467 iw.umi к чпо,
-	Моменты крути.цие 247. 248	_ демпфирование конструкциочиое
	Релаксации 525	474—47Я
-	Напряжения при кручения — frpati	тгнй 467—4Г>У 471
не..не Пуассона 242, 248, 251, 254,	_ Прогибы «* 47 Г
	Уравнения ра.ноиесня диффе-	1?5 478
рерщнальные 24A. 24!	_ Усипия в каждом слое 468
	Фуикцм Прандтля 242, 243,	_ усилия касательные — Уравнения
27» 254—257, 259, 270,	дифференциальные 467, 46Я
-Напряжения при кручений каса	Стержни тонкостенные 268, 417 - с»
тч-льные 2т1 2^7	также Профили прокотные
-	- Ко"ц»°траци» 252	- Бяшмситы внешние 423. 126-429
- - урин""»''55Д"рена»«ль»ые	¦- SfT;;s°'ln™%T7?y;il!"°zi*867' г™'
241242	2/1, J73, 27.э, 276, 2я1, 418
	Циркуляция — 1«ореи* Бсрдта	- ^°Г=Р*Ф^|ИСНТЫ поправочные 2G6,
243 ЧАЪ 246 2^4 516	*¦*' ¦''э
-	Н»пр4я3«е'н4„;,2^„25«4рЛе,„» к.са-	Г ^T^lf^k^L 2', 27,
тельные в вершинах углов контура	376 277 ^оранман г>{' 11*
-	№ПпрРяжНсвк°яГРприИЯкруч^1ни:> каса	— Кручение стесненное 276, 418—42:1
Ув	фф
	Функция ?48	250	^6—430
-	Ползучесть при кручении	523- - Моменты крутящие 27! 274, 282
525	— Моменты кручения свободного 420,
-	-^Жесткость при «Ру,е„ян	И1-	«3, 427, 428 	 	^__
265, 267
23
— На
-	Moira™ сопглатнмепм круче	ч™"« 271), 277
--SiirHLZir	--йгзкг" 260' 2и' '»¦
касательные „р„ кру,е„„„ 28,_	- " U-PKg».,»» -^ео„™. ЕрИт.
-	Углы закручивании (крутка) 242	~ Напряжении касательные при кру-
-	Уравнения дифференциальное ос-	«"¦* максимальные 271, 273, 281,
новные 240—242	ztti—•iR*J
	Решение общее 242— 24.S	— Напряжения касательные при кру-
— Условия граничные на боков.
верчностм н торцах 239 240, 242,
Э43, 251
Стержни призматические полые — Жест-
Жесткость при кручении 248, 250, 267; —
Кручение — Аналогия мембранная
254; — Напряжения при кручении
касательные 261, 264, 265	*.21
тльн п
420, 426
— Сече.
— — М
	Пл
1ия
iron
¦ты
ер
ечны
¦ктор
41
е ¦
иа
8, 414
—- Дег
Ф49
(лап;
420.
41Я'
щия
глы зк1чи
— * гЛЫ "РОфияя
ження касательные — - Конц
ння 260, 2С9, 274, 283-286
У
) — см. Стержни тон-
трубчатые
е — см. Крцглвые етерж-

Стержни тонкостенные — Тела
ны« — Кручение 272-276	формация
	открытые с профилями крнволн-	кн преде,'
Кручение - Формулы Гриффит-	68— 70
са—Преснота 271, 272 274	—— жестки укрпчииняцнеся 63
Стерший тонкостенные грубчатыс (зам-	изотропные 2 1, 47, 52, 104, 114; —
кнутыс) 270	Условия текучести 58, 59;—Энер-
—	Жесткость при кручении 280, 28]	гия потенциальная упругая 2л
—	Изгиб упруго-пластический 508		ортотропные 23
—	Кручение 27G—2S1, 284 — 286	полубесконечные — Напряжения
—	Кручение ндеально-пластичрское515	и перемещения 45, 46
—	Линия профиля средняя 277. 279		тиердые— Критерии нагружен ия
—	Напряжения каептмьные при кру-	изягруакк61: — Пластичность —
—	ченин 277—281	Теория —см. Теория пластин
—	— Концентрация 284. 285	посты; —Свойства
Н	5Н61 С
Конценрция 284. 85	псы; Свойства механические
—	Напряжения касательные при кру-	5Н—61; — Сжатие объемное 58
чении максимальные 284—286		 трап снерс 8 л ъно-изотропные 24, 47
—	Особенности 276, 281	Тела упругие — Деформации — см. Дс-
—	—¦ Ползу честь ус ген о вн вш а яся при	фордмщ ни у fip и сив
кручении 523	— Коэффициент Пуассона 24. 25
—	Сечения поперечные — Характера-	Зависимость от температуры 114.
стнки геометрические 202, 508	124
—	Углы профиля входящие— Напря-	— Нагрузки — Системы статнпескн
жения касательные — Концентра-	экнивнл!1
ЦНЯ 2S4, 285	— Перииещ
ГОСПЯ31ГЫЧИ профилями - Кручение	— Потенциал упругий 23
281—2НЗ	— Рассеяние дополнительное 101, 103
	трубчатые трехсвяэные — Рас-	— Симметрия упругая — Случаи 23	25
чет — Примеры 2&1—283	— Состояние напряженное — Зависи-
руго-пластическое 516, 517	— Состояние напряженное осесимме-
Стсржнн трубчлтые — см. также	тричное 38
Спгерлсни тонкое м&н ныч трубчй'	— Состоя ft и е напряженное плоское 33
тые; — Трубы	34, 41
—	Кручение идеально-пластическое	— Условии граничные 29. 3G. -:<)
515	-— Условия начальные 29
—	Ползучесть установившаяся при	гия потенциальная тел упругих
кручении D23	Тела упругие нелинейные — Кривые и
—	Прогибы 217, 219	уравнения деформирования 13,'j
Стержни упруго-вязкие — Колебания	 упругие неравномерно нагретые —
продольные 136	Перемещения 115, 122; — При-
Приспособляемость 127, 128; — Габо-
Т	та дополнительная 127; — Термо-
Термоупругость — см. Термоцпрц
Текучесть 62	гость; — Энергия полная —
—	Пределы 58, 109	Принцип минимума 126
—	Услопия 59, 00, 05, 126, 134		упруго-вязкие простые — Модели
—	Услопия Мил ее а 60, 64. 67, 76, 84,	132; — Теория 132—134
877 128, 513, 616, в IЯ		 упруго-вязкие сложные линей-
—	Условии Треска— Сен- Венана 60,	ные —Модели 1 35—169; — Прии-
7й, 85, 8S, 129, 513, 617, 619, 620,	цнп Вольтерра 142 143; — Tea-
623	рия 134—144
формвционная 59	ные — Модели 144, 146; — Тео-
—	Анизотропия кринолине иная 24	рия 144—147
—	Задача плоская 41		упруго-вязко-пластические 145: —
—	Задачи пространственные 47	Модели 140
—	Условия текучести 6U		 упруго-пляг.тн
Тела вязкие линейные (жидкости нью-	144; — При

Тензор — Теория упругости	829
и В градах сплош	Теории пластичности 58—8й. 144
	напряжений в с одах сгиошны*	- 3aA!"ia плоская ^—83
11, 12, 52; — Инварианты 13, 14	— Метод нагрузок дополнительных 74
	Уг,0Ргп1Н дс*°рма'1ИЙ ««упругих	— Метод Ритци модифицированный 7Л,
20, 21
_	 -.«пенной 505, 507	— Методы энергетические нахождения
509, 511, 512	предельных нагрузок 70, 71
—	— Принципы минимума 72, 73, 516	— Принципы экстремальные 68—;0
—	— Связь с термоплантичностью	— Теорема Мела па 72, 127
125—130	— Теоремы общие fiS, 71 — 7:1
—	— Георема " приспособляемости	— Ураннепия 61 —йл, $7
71, 72	— Уравнения Прандглн —Рейса 62,
—	— Уравнения Геик» 64, ЬЬ. 74, 75,	126
126. 130, 514	— Уравнения Ccir-Венана—Мнзеса 03
Теория надежности систем иеханнче-	Теория ползучести 89—112, НО
ских 164—181; — Аспекты мехали-	— Аналогия* упругая 97, 101, 102, 524
чтение— Схемы структурные 168;—	— Задачи граничные 08
Задачи lfif>, 169; — Приложение к	— Закон степенной 624
вопросам прочности 168, 1CQ; —	— Применение теории наследствен ¦
Применение методов статистики ма-	пост 96, 106
Тематической 169—175, 178	— Применение- теории старении 1L,
	наследственности {упругого гюс-ле-	98, 99, 106
действ-я) 96, 106	— Применение теории течения 92. 9-1.
Теория об<мочек (тонких) 620	96—99
—	Вариант комплексный 642—64d	— Применение теории упрочнения Эо.
~~ «чТбТГ граНИЧНЫе *0МШ1е1<с™е	_ ураанення _ системы 08-100
	 Величины граничные статистические	— Уравнения в состоянии наприжеи
635—638: 642 '	__ ном одноосном 92-06
геометрической 641, 642	ном сложном 90—9»
—	Метод сил 641, 642	— Уравнения в состоянии неустагЮ
—	Метод смещений 641	лившемся — Решение 104, 105
—	Метод усилий комплексных 643,	— Уравнения в состоянии установив
645, 646	шемси 97: 100
—	Уравнения в комплексных смещс-	Решение — Методы 102—104
ннях 644	— Уравнения вариационные НВ— 101.
—	Уравнения в комплексных усилиях	"Ч 105
643	Теория старения 94. 98, 99, 106
восьмого порядка — Методы реше-	ных Кирхгофн-Клс-бша 443—446
пня 6!>2, 653		общая — Решении приближен-
—	Уравнения Мейснера 046	ные 448—154; — Решении точные
—	Уравнения неразрывности поверх-	446 447
пости срединной 633, G34		техническая 454—461
—	Уравнения общие 629—653	Теория течения стержней рэст«гнвэе-
—	Уравнения равновесия 035—638,	мых 92. 93, 96—9У
641, 642, 644		упруго-вязких тел простых 132-
—	Уравнения совместности 634, 644	134
649	'	нейпых 1.М—144; — Принцип
—	Условия применимости 6,41 ^	Во.пьтсрра И2, 143
6*1, 645, 660 '" У ^ '	лин^ймы^н"—Н7
—	Формула ййлера 646		упрочнения 05—98, Ю0
Tcopt;« оболочек бсзмомеитная 648—	Теория упругости 22—51
650	— Задача внутренняя 47
	вращения — Метод начальные	—- Задача основная первая и вторая 24,
параметров й«8, 600, 674; — Уран-	30, 37, 40, 4'i. 48, 49—51. 56
пения — Решение 66A—662; —	— Задача основная смешанная 29, U'A
Уравнения не разрывности ере-	— Задача плоская IJ'2—-10
лнн но и попсрхшк'тн C5ti, 66Э: — 	 ¦— Решркио с помощью функциЛ
Уравнении Новожилова 662, 063;	комплексного переменного 40
— Уравнения равновесия 658,	— — Спадения дополнительные 47—Sfi
661 _	— — ьч-ловии i-ряничныс 36
646, 647
34.

30
~~ cmri'i
СВВЭ1
- Злда
ча [:ЛОС
юй 48,
1ОЙ 47
50,
51
Теория
11 абласп
ill
упругости -
1 много Те
- УПрОЧНх
рмопласти
Принцип
*ние
чнос1ь 114, 125
ы минимума 126.
\2f)—\?,H
127
		. _.	На .,	„_.
- Задача плоская Ламе о трубе гол	— Задача осееимметричная' 122—12»
сгостенной 38, |4(	—Задача плоскля 116—122
—	Задачи 22	— Задачи динами'юскиг и квазисгатн-
	Решение — Методы вариацио::-	чеекке 125
ные 30—32	— Задачи при яависящнх от темпера
—	Задачи осесимметричные 42—47	туры упругих постоянных 124
—	— Уравнения в координатах сфе-	— Закон Гука 114
рических 43	— Постоянные — Зависимость от т<-\
—	— Уравнения в координатах цнлим	пературы 114, 124
дрических 42, 43	— Принцип Кастильяно 116
—	Закон Гука 22—24, С4, 114, 142 133	— Принцип минимума потенциально*
—	Постоянные 22, 24, 25	энергии 113
—	Постоянные Ламе 24, 135	— Теория о взаимности райот 115
—	Принцип Гамильтона' 31 ¦	— Уравнения 114
—	Принцип Кастильяно 3), 72, 73	— Уравнения н напряжениях нли пе-
—	Принцип Сен-Пенаi:a 29. 3L>, fit	ремещенину П5, 122. 123
—	— Условия прнменимосш :\S	- Уравнении вариационные 115, 1!
—	Принцип минимум;) потенциальной	Термоупруг петь оболочек 651, 052
энергии 26, 30, 31		 вращения fin t>, 674, 684, 6Я5
—	Принципы вариационные 2С, 30—32		конических 713, 716, 717, 72 i.
—	Теорема Кастильяно 31. 5ОЗ, 510,	725, 731, 732
511		Сферических 739, 743. 752, 7Г>"
—	— Обобщения 101		горообразных 778 787, 788, 7'ь
—	Теоремы общие (Бетти. Клапейрона)	799 804. 805
30. .11		цилиндрических 691, 693, 70".
—	Уравнения — Ношение — *1к>рема	701. 706, 707
единственности 30, 51	Торы — Изгиб моментом краевым 80 i
—	Уравнения Пельтрамн-Мичелла 27,	?0б
28, ;Н	— Изгиб усилием горизонтальном
—	Уравнения в координатах ортого-	806, 807
нальных криволинейных 27, 2В, 40	Трубы — Автофретаж (упрочнение) Гл
——' j ря и пони я в коордннатэх сфериче~	— Wd i ip n^Keit ]^я температурный 11Г --
екпх 43	119. 125
j рлвн^ннн в коордиН"ТЗл цплнн~	ndпряження темяерэтл'рные ..i*j[
дпнчрских 27, 28, 42, 43	упруго-пластическом " состоянкн
—	Уравнения а напряжениях 27, 28,	12S—I3O
.10, 34, 35	— Течение сред внзко-плэстнчеекк*
—	Уравнения в перемещениях 126, 27,	145, 146
34	Трубы неравномерно нагретые — 1!'>л-
—	Уравнения интегральные Шерма-	эучесть 109
на— Лауричелла 50, 51		толстостенные—Задача Ламе Я.
—	Уравнения Ламе 26, 27, 30. 34, 35,	143; — Ползучесть 107—109.
Об	110; -- Разрушения виэкке
	Решение Папковича—Heilfiepa	Время N0; — Расчет 29
27		тонкостенные — Ползучесть '-',
—	Условия Гельдера 5!	106, 107 109, ПО; — Разрушении
—	Условии граничные 29, аб, 49, GG	вязкие — Время 110; — Сскм->л-
66—68
упрочня
пряжен
ipattiiciiHH кинетические 155,	160, Удар тепловой 125
101	Упрочнение 62. 68, iO4
Теория усталостных разрушений	ста- — Модуль 5в
¦¦нетнчесная 156—158	— Теория 95—48, 100
—	Применение 158—160	— Услоаия 61). 61, 64, 126, 514
—	Фактор масштабный 153	— Эффект Ьаушннгера 50

Упругость —Эстакады рамные
ццуо,,,
—	Теория—см Теория упругости		 распределения величин и процсс-
Усгалостшие испытания ISO, 151	со* случайных 170, 176
¦¦¦¦¦ Результаты ¦- Графики 151	Функция Прапдчля (напряжений при
	Обработки 152 is;Ъ	'кручении) 242, 244, 246, 252. 254-
Усталостные разрушая 149, 150	257, 259, 270, 278
—	Гипотезы суммирования 160—162		Он-Вснаин;| 248—25П. 25В
—	Меры 160 162 VII,	—— Эри 35, 41, 78Я. SOU— Тяб.-шцы
—	Модель процесса накопления 155	"89, 790
—	Накоплен in: лрп неоднократном цик-
циклическом погружении 100	Ц
—	Описание процесса математическое	^
'55	Цилиндры многое вязные — Нчлряжс-
Сопротивление Факторы влияю	1J7
щне Ш, 154		односвязныо — Hanp**cnm тем-
—	Теории статистическая 156-—158	псратуипые I 1 7
	Применение 15Я—160
—	— Фактор масштабный 153
ского процесса 154, 155
Усталостные трещины 149, 150. 155,	шары полные— Напряжения темпе-
156 paTvpJiwc 12Л, 135; — Расчет 4 3, 4 1
Усталость — Кривые 151), 151, 157,	^ полые - Напряжения темпера-
159> |77	турные 13П; — Расчет 65, 66
—	— Свойства статистические 156	Швет^ры^с116
—	Понятии основные 149—153	__ Жесткость при кручении 2БД, 266
~ -°Гипоточь,'1й1)-1ба	Штампы круглые жесткие г Дяадснне
160, Ifil	HJ,5, 82
ф	э
Фермы 184; — Усилия н реакции 185,
186	Энергия полная тел упругих неравпо-
неравпочет метолом сил 491. 493—493	126
Функции Крылова 227, 228, 23В, 669,	Энергия потенциальная стержней em?-
694, 718, 726, 7-14, 753; — Произ-	ственно закрученных 450
водные 22В; — ТаГшицы 670—672		 стержней кривых 438
	 Лурье—Гольденвейзера 642		тел упругих 23; — Принцип ми-
	Томпсона 756. 7G2: — Таблицы	нимумз 20, 30, 3L, 115; — Георе-
756—758	г.та Клапейрона 30; — Уравнения
	 комплексного переменного — Тео-	25
рия - Использование 40	Эстакады рамные — Расчет 501