/
Автор: Безухов Н.И.
Теги: механика теоретическая механика теория упругости издательство высшая школа теория ползучести
Год: 1968
Текст
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» М О О К В А
1
9
6
8
Н. И. БЕЗУХОВ
основы теории упругости, пластичности и ползучести
531.5 Б—406
УДК. 539.3:624.04
Рецензент —
Кафедра строительной механики Московского института инженеров железнодорожного транспорта
Николай Иванович Безухов ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Редактор 3. Г. Овсянникова Художник В. 3. Казакевич Худ. редактор Н. К. Гуторов Техн. редактор Л. М. Матюшина Корректор Л. П. Тарасова
Т-00447. Сдано в набор 2/VIII 1966 г.
Подп. к печати 2/11 1968 г.
Формат 60X907i6- Объем 32 печ. л. Уч.-изд. л. 26,74 Изд. № ОТ-186. Тираж 25 000 экз. Зак. 1899 Цена 1 р. 14 к.
Б3-53/7 от 20/VI1-67 г.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14 Издательство «Высшая школа»
Набор типографии издательства МГУ Москва, Ленинские горы
Отпечатано с матриц в Московской типографии № 4
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Б. Переяславская, 46
8—2—5 БЗ-53/7—67.
5
ПРЕДИСЛОВИЙ
В условиях социалистического строительства механика деформируемого тела развивалась, как и все другие науки, в тесной связи с практикой. В результате этого достигнуты исключительные успехи в области теории упругости, теории пластичности и строительной механики. Практика грандиозного строительства в СССР являлась источником развития этих отраслей. Их достижения обогащали практику строительства, которая давала возможность проверять достоверность открытий.
Таким образом, социалистическое строительство было и остается для механики деформируемого тела грандиозной лабораторией.
Научные достижения последних лет отражены в различной литературе, отличающейся принципиальностью, глубиной анализа и широкими горизонтами использования науки в различных областях нашего строительства.
Укажем, что Государственными премиями СССР отмечены выдающиеся исследования советских ученых в различных областях механики деформируемого тела, а именно: по вопросам теории упругости — академиков Б. Г. Га- леркина, Л. С. Лейбензона, Н. И. Мусхелишвили, чл.-корр. АН СССР проф. П. Ф. Папковича; по вопросам теории пластичности — чл.-корр. АН СССР проф. А. А. Ильюшина, чл.-корр. АН СССР акад. Польской АН проф. В. В. Соколовского, акад. АН Узбекской ССР проф. X. А. Рахматулина; по специальным вопросам теории упругости — чл.-корр. АН СССР В. 3. Власова, проф. С. Г. Лехницкого и др.
Большое значение для изучения теории упругости имеют труды заслуженного деятеля науки и техники проф. М. М. Филоненко-Бородича, акад. АН УССР проф. С. В. Серенсена, действительного члена АС и А СССР проф. Б. М. Жемочкина, чл.-корр. АН СССР проф. А. И. Лурье, чл.-корр. АН УССР проф. И. Я. Штаермана, а также монографии по нелинейным проблемам теории упругости и пластичности академика В. В. Новожилова, проф. Л. М. Качанова и др.
Большая потребность в инженерной практике производить расчеты прочности конструкций с учетом особенностей длительных процессов деформирования способствовала за последнее время созданию сравнительно новой ветви механики — теории ползучести. В этой области выделяются труды наших соотечественников акад. Ю. Н. Работнова, профессоров Л. М. Качанова, Н. Н. Малинина, В. М. Панферова, А. Р. Ржаницына и др.
Настольной книгой для инженеров-конструкторов является трехтомная монография профессоров С. Д. Пономарева, В. Л. Бидермана, К. К. Лихаре¬
6
ва, В. М. Макушина, Н. Н. Малинина, В. И. Феодосьева «Расчеты на прочность в машиностроении», удостоенная в 1960 г. Ленинской премии. В ней приведены исследования советских ученых в различных областях механики.
В трудах ученых*, обогативших советскую механику деформируемого тела, можно получить исчерпывающие ответы по многим вопросам, которые розникнут в практической деятельности инженера.
Настоящая книга является учебником для очных и заочных вузов, на факультетах которых для изучения курса отводится 50 — 70 учебных часов Однако этот учебник можно использовать также для преподавания теории упругости и пластичности, рассчитанного и на другие (меньшие или несколько большие) объемы программы.
При создании настоящего- учебника широко использованы следующие книги автора: «Введение в теорию упругости и пластичности», Стройиздат, 1949; «Теория упругости и пластичности», Гостехиздат, 1950; «Основы теории упругости и ползучести», Высшая школа, 1961; «Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести», Высшая школа, 1965.
В связи с недавно изданным сборником задач по теории упругости и пластичности в учебнике по сравнению с предыдущими изданиями не приводятся задачи для самостоятельных упражнений.
В этом учебнике учтены замечания, которые были опубликованы в отзы. вах на предыдущие издания указанных книг в СССР, а также замечания, поступившие от зарубежных коллег в связи с переизданием этих книг в других странах (в Китае, Японии, Румынии, Венгрии, Польше и Чехословакии).
При подготовке учебш ка к печати учтены также замечания академика АН Грузинской ССР Е. С Завриева, чл.-корр. АН СССР проф. В. В. Соколовского, профессоров А. Ф. Смирнова, А. П. Флиина, В. В. Синельникова, А. А. Петропавловского, которым автор выражает искреннюю и глубокую признательность
Кроме того, автор выражает благодарность зарубежным коллегам Цуне- зо Сато (Токио), Дун Чин Хуа, Пин Ча Чу (Пекин), Селлар Одой, Калиц- кий Шандор (Будапешт), Каракасто Андре (Бухарест), В. Ольпак (Варша ва), В. Колларж (Брно) за их участие в переводе и подготовке к печати у себя на родине первого издания этой книги.
Автор
* Точные названия трудов указываются в конце книги. Ссылки на эти труды отмечаются номером, стоящим в квадратных скобках.
„От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике— таков диалектический путь познания истины, познания объективной
реальности**
Ленин В. И. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 146—147.
1
ГЛАВА
ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАЧИ, ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 1.01. Различные ветви механики деформируемого тела. Их значение
Современная механика представляет широкий комплекс научных дисциплин, многие из которых фактически выделились из общей механики. Совокупность этих отделившихся от классической механики отраслей знаний получила название практической, или прикладной, механики, что отражает их прикладной характер в связи с обслуживанием определенной практической отрасли.
Рассмотрим комплекс научных дисциплин практической механики, применяемых для расчета сооружений и машин на прочность, и определим в этом комплексе значение теории упругости, пластичности и ползучести.
О реологии. Наука, устанавливающая общие законы образования и развития во времени деформации любого вещества от различных причин в различных термодинамических и физикохимических условиях, называется реологией* (наука о течении вещества).
* Перемещения, при которых деформации 'Тела отсутствуют (например,
перенос из одного положения в другое как абсолютно твердого тела и т. п.)( реология не изучает.
8
При этом вещество понимается именно любым: оно может быть твердым или жидким, упругим, пластичным, вязким и т. п. Причины для деформации также предполагаются самыми разнообразными: статические или динамические нагрузки: изменения в параметрах, характеризующих как внешнюю среду (температурное поле), так и самое вещество, и др.
Деформации происходят также в разное время — вслед за приложением нагрузки или продолжительное время спустя, когда полностью или частично удалены внешние причины, как в состоянии равновесия, так и в случае движения, и т. д.
Таким образом, реология позволяет определить, каковы деформации и напряжения в данной точке заданного тела в определенный момент времени при известных параметрах внешнего воздействия и его истории в прошлом.
По существу'перечисленных выше задач реология есть новый раздел механики, рассматривающий движение в относительно широком смысле. Сложность решения задач в реологии очевидна по сравнению с расчетами сооружений, излагаемыми в курсах сопротивления материалов, где также рассматриваются напряжения и деформации твердых тел.
В этих расчетах на прочность принимаются различные идеализированные схемы самого сооружения; многие обстоятельства, влияющие на напряжения или деформацию материала, исключаются при этом вовсе (отступление от закона Гука, явление ползучести, релаксации и т. п.), и все же расчет при этом часто остается трудоемким. По этой причине на данном этапе развития реологии представляется целесообразным несколько отступить от общей формулировки проблем этой науки, т. е. сузить задачи, схематизировать изучаемые процессы и т. д. В реологии, если считать эту ветвь механики оформившейся в самостоятельную науку, получены пока немногие, но важные результаты; сделаны лишь попытки установить взаимно однозначные зависимости между напряжениями и деформациями для системы классических тел (идеально пластическое, идеально вязкое и т. п.), имеющие в этой науке такое же важное значение, как, например, в сопротивлении материалов закон Гука.
Некоторое абстрагирование реального тела применительно к данным конкретным условиям, т. е. сознательное отбрасывание его второстепенных свойств и сохранение за ним лишь основных качеств, вполне допустимо для целей инженерной практики.
В практических расчетах неизбежно прибегают к тем или иным допущениям или гипотезам, если они подтверждаются опытом. Более того, метод абстрагирования совершенно необходим, и, как показывает история науки и техники, он является одним из условий прогресса научного познания. Но это, кбнеч-
9
но, не означает культивирования в реологии упрощенного взгляда на природу, на материю.
Метод абстрагирования должен учитывать бесконечную сложность природы, ее неисчерпаемость. Познание никогда с абсолютной полнотой не сможет исчерпать объекта природы, хотя оно будет все более и более приближаться к этому.
«Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное... — от истины, а подходит к ней» *.
Именно так по мере накопления опытных данных и результатов теоретических исследований должно быть и в реологии. При этом важно установить границы для практического применения той или иной идеализированной схемы, того или иного комплекса гипотез.
Теория упругости. Одной из таких идеализаций твердого тела является принимаемое для него свойство идеальной упругости. Это свойство и лежит в основе той ветви механики твердого деформируемого тела, которую называют теорией упругости.
Идеальная упругость, как известно, есть способность тела, получившего деформацию, после устранения причин, вызвавших ее, полностью восстановить свою первоначальную форму. Работа, затраченная внешними силами на перемещениях точек их приложения, принимается телом в обратимой форме, а именно в форме накопления в нем упругой энергии, равной по величине работе внешних сил.
Таким образом, идеально упругое тело выполняет первый закон термодинамики о сохранении энергии в изолированной системе.
Способность идеально упругого тела не оставлять на себе никакого следа от прошлых нагружений («забывать все пере- житое им ранее») приводит к тому, что такое тело всегда имеет форму, зависящую лишь от тех нагрузок, которые в данный момент действуют на тело, и не зависящую от того, как эти нагрузки постепенно «росли от нуля», т. е. каковы были нагрузки в предшествующие моменты времени **.
Вполне очевидно, какие существенные облегчения вносит в расчеты предположение об идеальной упругости тела: отпадают
•Ленин В. И. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 146.
** Если фактор времени (имеется в виду длительное время) — основное в реологии, то его отсутствие — основное в классической теории'упругости. Случаи быстрого нарастания нагрузки, связанные с приобретением частицами тела существенных ускорений, в теории упутости также изучаются и составляют так называемые динамические задачи теории упругости; эти задачи в настоящей книге не рассматриваются.
10
вопросы влияния «наследственности» (т. е. влияния на деформацию в данное мгновение, кроме действующих сил, также и тех нагрузок, которые когда-то в прошлом оказывали влияние на деформации и на напряжения), влияния последействия (временного отставания деформаций от изменений нагрузки), релаксации (непрерывного спадания напряжений при постоянной деформации) и т. д.
Упругое состояние твердого тела характеризуется тем, что для каждой температуры тела независимо от времени существует взаимно однозначная зависимость между напряжениями и деформациями. Эта зависимость обычно является линейной и, как известно из курса сопротивления материалов, носит название закона Гука.
Все строительные материалы в известной степени обладают свойством упругости; если внешние силы, вызывающие деформацию элемента конструкции, не превосходят определенной границы, то в указанных границах можно описывать законы деформации материала и конструкции в целом, исходя из предпосылки об упругом теле, чем и занимается теория упругости.
Свойством упругости обладают не только строительные материалы, но также жидкие тела и газы. Упругость есть основное свойство всех тел природы или во всяком случае их большинства.
Теорию упругости обычно считают разделом математической физики. Но ее можно рассматривать и как ветвь реологии, самую простую, но вместе с тем и основную.
Итак, теория упругости изучает действие сил на упругие те- ла и определяет возникающие при этом напряжения и деформации как в состоянии равновесия, так и в состоянии движения *.
Как известно, те же задачи стоят и перед наукой о сопротивлении материалов. Но между теорией упругости и сопротивлением материалов имеется принципиальное различие, заключающееся в исходных предпосылках, в методах решения задач и в диапазоне последних.
Исходные предпосылки в теории сопротивления материалов (например, так называемый закон плоских сечений) более или менее оправдываются опытом в том случае, когда исследуемое тело имеет продолговатую форму стержня, бруса.
* Здесь движение понимается в узком — механическом — смысле, например в смысле упругих колебаний и подобных малых перемещений, изменяющихся во времени, но, конечно, не «реологически». Таким образом, при этих движениях физические и прочие свойства материала во времени не изменяются.
11
Поэтому сопротивление материалов не может решать задачи на отыскание напряженного и деформированного состояния тела, если его форма отлична от обычного стержня и представляет собой, например, пластинку, оболочку, массив и т. п. Последняя задача (о напряженном состоянии массива) и ей подобные вообще не разрешены методами сопротивления материалов ни точно, ни приближенно.
Такие задачи (см. § 12.03) можно решать только с позиций теории упругости, основные предпосылки которой отличаются достаточной широтой и не ограничиваются такой формой тела, как стержень.
Принятию более общих предпосылок в теории упругости соответствуют и более общие методы решения задач и относительная строгость решения по сравнению с методами сопротивления материалов.
Теория упругости одновременно ставит своей целью по возможности точное решение поставленной задачи, хотя это не исключает применения различных приближенных методов решения задачи.
Выводы теории упругости широко используют в многочисленных областях техники. В сейсмологии, например, по результатам изучения распространения упругих волн в земной коре вычисляют координаты очага землетрясения. В строительном деле и в механике используют выводы и методы теории упругости для вычисления напряжений и деформаций в инженерных сооружениях и в машиностроении. Геологи используют теорию упругости для определения давления горных пород, физики широко использовали теорию упругости при разработке волновой теории света и т. д.
Наконец, решение целого ряда задач газодинамики, гидро- и аэродинамики, не имеющих прямого отношения к расчету на прочность, сводится к рассмотрению уравнений, близких или общих с уравнениями теории упругости и теории пластичности.
Следует, однако, заметить, что точное решение многих задач методами теории упругости вызывает чрезвычайные сложности чисто математического порядка.
Математическая и прикладная теория упругости. Сопротивление материалов. Наряду с развитием математической теории упругости, занимающейся изысканием способов точного решения механики деформируемого тела, параллельно развивается прикладная теория упругости. В ней, кроме предпосылки об идеальной упругости материала, вводятся некоторые дополнительные статические или геометрические гипотезы и упрощения, например относительно характера перемещений и т. д., что позволяет при решении многих задач исходить не из полной си¬
12
стемы уравнений теории упругости *. При расчете, например, на изгиб тонких плит и оболочек (см. § 14.02), т. е. в так называемых двухмерных задачах теории упругости (здесь объектом изучения является тело, у которого два размера одного порядка, а третий размер — толщина — мал по сравнению с первыми), вводят гипотезу, по которой прямолинейный элемент пластинки (или оболочки), нормальный к срединной плоскости (или срединной поверхности) до деформации, остается прямым и нормальным к искривленной плоскости (поверхности) после деформации (аналогично гипотезе плоских сечений в курсе сопротивления материалов).
Поэтому к прикладному направлению в теории упругости относят и сопротивление материалов; в этой науке действительно рассматриваются некоторые, но преимущественно одномерные задачи прикладной теории упругости, так как изучаемые в сопротивлении материалов тела — стержни — имеют два размера (высоту и ширину поперечного сечения), малые по сравнению с третьим — длиной.
Заметим, однако, что одномерные задачи прикладной теории упругости, исследуемые в сопротивлении материалов, изучают также и в математической теории упругости, где приводятся более строгие решения без привлечения тех геометрических гипотез (закона плоскости и др.), которые иногда оказываются очень приближенными (например, в случае высоких балок).
Название «одномерные и двухмерные задачи» не следует связывать с соотношениями в размерах тела по трем характерным направлениям. Чаще всего эти названия связывают или с количеством тех основных (определяющих) функций в данной задаче, посредством которых легко определить все необходимые величины в той же задаче (напряжения, деформации и т. п.), или с количеством аргументов, от которых зависят зти функции.
Так, например, в случае обычной балки, изучаемой в сопротивлении материалов (когда ее длина в пять и более раз превышает высоту), достаточно знать только уравнение изогнутой
* Заметим, что граница между классической и прикладной теориями упругости относительная, так как в ряде задач практики исключительные трудности непосредственного интегрирования уравнений теории упругости (т. е. получения точного решения) требуют применять различные приближенные методы. Если эти приближенные методы относятся к решению только самих уравнений классической теории упругости, т. е. при этом не привлекаются какие-либо новые физические или геометрические гипотезы (причем принятая форма приближенных решений не снижает возможности получить оценку точности решения), то такие методы обычно относят к классической теории упругости (см. § 15.02—15.03).
Если же приближенное решение задачи связано с принятием специальных для данной задачи допущений, например геометрического характера, то такое решение относят к прикладной теории упругости (см. главы 14—16).
13
оси стержня (функцию одного аргумента — размера вдоль оси стержня), чтобы затем путем дифференцирования найти все остальные величины (девиации, изгибающие моменты, поперечные силы).
Именно в этом смысле задачи о брусе и вообще о стержневых системах в теории упругости называют одномерными. По этой же причине пластинку, для которой такой определяющей функцией окажется уравнение ее изогнутой срединной поверхности (см. § 15.04), являющееся функцией от двух аргументов, считают двухмерной задачей теории упругости.
Линейная и нелинейная теория упругости. Теория пластичности. В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, а именно линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями (обобщенный закон Гука)*. Последнее, в свою очередь, означает, что если внешние силы, одновременно и статически прикладываемые к упругому телу, возрастают или убывают в каком-либо известном отношении, то в той же пропорции возрастают или убывают напряжения, деформации и перемещения (прогибы, девиации и т. п.) в любой точке тела. Диаграмма растяжения — сжатия для такого материала в обычных координатах «напряжение — деформация» представляется прямой наклонной линией, выходящей из начала координат.
Если для материала не применим закон Гука (даже при малых напряжениях) или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое и, стало быть, в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжения материала представляется явно выраженным отрезком кривой (фиг. 1.01 а), то в этих случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой, т. е.
o=f(e).
Представим себе, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО (рис. 1.01,а), причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс возвратится в начальную точку О и не произойдет никаких изменений, т. е. процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим.
* В теории упругости (см. § 2.11) под слагающими деформации в точке тела понимают относительные удлинения и относительные сдвиги в окрестности этой точки. Удлинения и сдвиги являются характеристиками деформации в бесконечно малом объеме тела.
Однако в инженерной практике прогибы и девиации тела также называют "деформацией; эти последние (линейные и угловые перемещения) будем считать характеристиками деформации тела в целом.
14
Теорию, устанавливающую законы образования деформаций в таком теле, назовем нелинейной теорией упругости *.
Однако снятию нагрузки, как известно, для большинства строительных материалов соответствует так называемая прямая разгрузка ВС (рис. 1.01,6), в результате чего тело не приходит в исходное положение: наблюдаются остаточные, или пластические, деформации.
Известно, что при последующем нагружении того же материала его деформации практически вначале происходят по линейному закону (если не учитывать образование петли упругого гистерезиса), и отступление от этого закона произойдет лишь при напряжениях, превышающих те, которые были в теле при первом нагружении.
При пластическом состоянии в каждый данный момент времени и для данной температуры зависимость между напряжениями и деформациями становится взаимно однозначной, если известны все предшествующие (или одно — последнее) напряженные и деформированные состояния материала и соответствующие значения температуры.
Наука, установившая общие законы образования пластических деформаций и возникающих на всех стадиях пластического
Рис. 1.01. Диаграммы растяжения:
а —для упругого материала, к которому не применим закон Гука; б — для неупругого материала
деформирования напряжений, называется теорией пластичности, имеющей тесную связь с нелинейной теорией упругости. Эта связь, как показано в § 17.02, заключается в том, что законы
* Точнее эту теорию можно назвать физически нелинейной теорией упругости. К задачам нелинейной теории упругости относят также и те задачи, в которых перемещения тела нельзя считать малыми, хотя в физическом отношении материал может являться и линейно-упругим, т. е. к нему применим закон Гука. В этом случае нелинейными оказываются некоторые геометрические уравнения, применяемые для описания перемещения обследуемого тела. В таком случае говорят о геометрически-нелинейной теории упругости.
15
деформаций упруго-пластического тела при так называемом простом нагружении можно описать при помощи уравнений нелинейного упругого тела с идентичной диаграммой растяжения.
Процесс нагружения тела считается простым, когда внешние силы (если их несколько) от начала их приложения (непременно все) возрастают, сохраняя между собой постоянное отношение, т. е. изменяются пропорционально их общему параметру (подробно о простом нагружении изложено в § 17.02).
Математическая и прикладная теории пластичности. Как и в теории упругости, наряду со строгой теорией пластических деформаций — назовем ее математической теорией пластичности — параллельно в теории пластичности разрабатываются упрощенные методы расчета путем введения дополнительных гипотез геометрического (например, закона 'плоскости, известного из курса сопротивления материалов), или физического характера (например, наделение тела свойствами идеальной пластичности). Круг задач по вопросам пластичности, решаемых в последнем направлении, составляет прикладную теорию пластичности.
Простейшие задачи теории пластических деформаций, изучаемые обычно в курсе сопротивления материалов и частично изложенные здесь (упруго-пластический изгиб, пластическое кручение бруса круглого сечения), характерны для такого прикладного направления.
Теория ползучести. В классической теории упругости и пластичности, как следует из изложенного выше, напряженное и деформированное состояние тела вполне определяется нагрузкой, приложенной к этому телу, и температурой окружающей среды. В отдельных случаях (при пластических деформациях) в какой- то степени может иметь некоторое значение история предыдущих нагружений тела.
По этим теориям считают, что если в нагрузке и температуре среды не предполагается никаких изменений, то и не будет изменений напряженного и деформированного состояния тела. В действительности, особенно в условиях высокого температурного поля, это не так, и деформация, хотя и медленно, может нарастать во времени.
Изменения во времени деформаций и напряжений, возникших в результате начального нагружения детали, принято называть ползучестью. Изменение деформации при постоянной нагрузке описано в курсе сопротивления материалов, где это явление называется упругим последействием.
Изменение напряжений при постоянной деформации часто называют релаксацией.
Ветвь механики, изучающая обе приведенные стороны (последействие и релаксацию), объединяемые обычао термином ползучесть, называют теорией ползучести.
16
Ползучесть происходит в случаях, когда при нагружении детали возникают пластические (остаточные) деформации, а также когда вслед за нагружением наблюдаются только упругие деформации. Поэтому в теории ползучести по мере возможности используются методы как теории упругости, так и теории пластичности.
Теория ползучести смыкается с реологией. Однако в теории ползучести занимаются установлением законов образования и развития во времени деформации не любого вещества, а только твердых тел и в ограниченных физико-химических условиях.
О строительной механике. Строительную механику, иначе называемую теорией сооружений, понимают в широком смысле как комплекс всех технических дисциплин, предназначенных для определения напряжений и деформаций во всех сооружениях (зданиях, мостах, машинах, механизмах и др.) независимо от их конструктивной формы (бруса, пластинки, оболочки, неограниченного упругого массива и т. п.). Теорию упругости, пластичности, ползучести, вместе с сопротивлением материалов и строительной механикой в узком смысле (т. е. строительной механикой стержневых систем, иначе статикой и динамикой сооружений) можно отнести именно к такой теории сооружений. Впрочем, инженеры-строители давно считают, что теория упругости составляет один из разделов самой популярной для них науки, а именно строительной механики.
Но суть не в том, куда формально отнести ту или другую область знания, а в том, что за последнее время отмечается сближение теорий упругости, пластичности, ползучести и строительной механики, т. е. проникновение методов, специфических для одной науки, в другую, и наоборот.
Заметим, что перенесение в теорию упругости (см. [3]) классических методов строительной механики (например, теории статически неопределимых систем и др.) значительно расширило круг задач теории упругости, оказавшихся при таком «кооперировании» решенными, хотя и с известной степенью приближения. От сближения с теорией упругости обогатилась и строительная механика, получив уточненные решения тех задач, для которых она раньше имела сравнительно грубые ответы.
В связи с общим развитием сопротивления материалов, теории упругости, строительной механики и т. п. в дальнейшем, по- видимому, будут стираться грани между ними (см. [21] и [37]). Имеется ряд задач, которые и теперь с равным успехом можно отнести к любой из перечисленных дисциплин (пластинки, оболочки). Даже прежде принятые отличительные конструктивные формы изучаемых в строительной механике объектов — стержня и системы стержней — уже не являются теперь специфическими для строительной механики.
17
В широком смысле строительная механика должна давать не только правила для расчета сооружений, т. е. анализ, но и устанавливать также новые эффективные схемы сооружений любых конструктивных форм, т. е. синтез. Таки^ задачи, конечно, может решать только наука, включающая весь комплекс перечисленных выше технических дисциплин.
§ 1.02. Основные гипотезы и принципы механики деформируемого тела и классической теории
упругости
Теория упругости, отличаясь от сопротивления материалов большей строгостью в решении задач, применяет также некоторую схематизацию явления, гипотезы, хотя число последних сводится к минимуму.
Основной предпосылкой в теории упругости, общей с сопротивлением материалов, является так называемая гипотеза о сплошности строения упругого тела.
По этой гипотезе сплошное тело, т. е. тело, непрерывное до деформации, остается непрерывным (без пустот, без разрывов непрерывности) и после деформации; непрерывным остается лю- *бой объем тела и элементарный (микрообъем) в том числе. В связи с этим деформации и перемещения точек тела считаются непрерывными функциями координат.
Таким образом, в классической теории упругости не учитываются дискретная, т. е. атомистическая, структура- вещества и, тем более, движение отдельных молекул, составляющих тело.
) Совершенно очевидно, что предположение о непрерывном • строении материала противоречит действительности, так как реальные материалы всегда обладают характерной структурой, для обнаружения которой даже не требуется микроскопа большого увеличения *. Однако также очевидно, что попытки математической интерпретации структуры материала в теории могут привести к результатам, слишком сложным для обычного употребления, если такая интерпретация окажется возможной (см. [3]).
Первые исследования по теории упругости строились, исходя из предположения 6 существовании именно индивидуальных частиц, отделенных друг от друга некоторым расстоянием и связанных друг с другом силами взаимного притяжения и отталкивания, действующими даже при нормальной температуре и дав¬
* Правомочность этой гипотезы, противопоставление ей гипотезы отдельных материальных точек и других гипотез время от времени подвергалось критике. Спор о них уход-ит,.в.гдубь__веков и связан с философскими проблемами мироздания.. Д .19.50 .г, Академия"!1аук СССР провела дискуссионное Всесоюзное : совещаний о .'лугах раз1*йТзф теории пластичности [3].
18
лении и лишь изменяющими свое значение при изменении температуры и давления. Такую теорию можно назвать дискретной теорией упругости.
Исключительные математические трудности такого изучения потребовали отказаться* впоследствии в исследованиях от принятия дискретной схемы строения твердого тела и перейти к.гипотезе * о сплошной, т. е. непрерывной, среде (механика континуума). К этому также побудило отсутствие (незнание) в то время многих физических постоянных, без которых теоретическое исследование невозможно.
Следует заметить, что и в теории упругости, оперируя с непрерывной средой, для анализа тело мысленно делят на частицы. Однако их берут достаточно и произвольно малыми (в пределе бесконечно малыми), вырезают произвольно, соседние частицы всегда предполагаютсяплотно прилегающими друг к другу, и частицы лишены в известном смысле индивидуальности.
Имеются попытки оценить степень точности результатов по гипотезе непрерывности в зависимости от поперечных размеров зерен и промежутков между ними. Эти попытки позволяют утверждать практическую пригодность гипотезы сплошности **.
Второй гипотезой, в некотором смысле примыкающей к первой, является гипотеза о естественном ненапряженном состоянии- тела. Согласно ей существующие до приложения поверхностных нагрузок начальные напряжения в теле, характер и величина которых зависят от истории возникновения тела, полагаются равными нулю. Определяемые в теории упругости напряжения не являются фактическими напряжениями в теле, а составляют лишь прирост напряжений в рассматриваемых точках над начальными (неизвестными) напряжениями в тех же точках.
Хотя и имеются способы экспериментального определения начальных напряжений методами современной теории упругости, однако строгое решение этой задачи могла бы дать (если бы была разработана) дискретная теория упругости, так как начальные напряжения, будучи уравновешенными по любому произвольному сечению тела в пределах любого ко¬
* Из приведенных выше соображений по поводу предпосылки о непрерывности среды совершенно очевидно, что ее трактовка как гипотезы не совсем удачна, так как она не соответствует представлению о гипотезе, принятому в философии, физике и т. д. В дальнейшем изложении за указанной предпосылкой и другими, ей аналогичными, сохраняется (в условном смысле) название гипотезы.
** Безухов В. Н. О характерном размере поликристаллического вещества в теории упругости и пластичности. Научные доклады высшей школы. «Строительство», № 2, 1959. См. также [96].
19
нечного объема, представляют собой также уравновешенную систему напряжений уже в пределах ничтожно малых объемов, захватывающих небольшое число элементарных частиц (микрообъемы).
Заметим, что пренебрежение в технических расчетах начальными напряжениями, так же как и неучет отступлений в структуре материалов от идеальной сплошности, частично компенсируется тем, что установление основных механических характеристик материала (предел упругости, предел текучести и т. д.) и связанное с ними определение нормы допускаемых напряжений экспериментально выполняются также без учета начальных напряжений и неравномерности заполнения веществом всего геометрического объема испытуемого образца. Например, в опытах с простым растяжением характерное напряжение находят путем деления характерной силы на площадь сечения, подсчитанную в предположении сплошного, без пустот, заполнения веществом. Компенсация, конечно, является неполной, так каи начальные напряжения в теле (деталь конструкции и др.) отличаются от напряжений в лабораторном образце.
Следующими предпосылками классической * теории упругости являются наделение материала свойствами идеальной упругости, шаровой изотропии, совершенной однородности и принятие линейной зависимости между деформациями и напряжениями (§ 1.01).
Заметим, что пропорциональность между компонентами напряжений и деформации в каждой точке тела (обобщенный закон Гука) не всегда приводит к заключению о существовании прямой пропорциональности между величиной внешних нагрузок и приобретаемых телом перемещений, а следовательно, и к закону сложения отдельных действий — принципу независимости действия сил. В отдельных случаях (например, в так называемых контактных задачах, см. § 12.04). линейная связь между компонентами напряжений и компонентами деформаций приводит к нелинейной зависимости между силами (например, нагрузка на шар) и перемещениями (смятие шара и т. п.).
Таким образом, линейному закону деформации в малом (т. е. в точке тела) не всегда соответствует линейный закон деформации в большом (т. е. для тела в целом).
Шаровая изотропия материала понимается в том смысле, что физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям, проведенным из данной точки материала, — любую плос¬
* Ниже под классической теорией упругости понимается только линейная теория упругости однородного изотропного тела. Случай анизотропии отнесем к области специальных задач теории упругости.
20
кость, проходящую через частицу, можно рассматривать как плоскость симметрии для нее. Полагая, что этим свойством и в тех же числовых выражениях обладают все частицы материала, получаем понятие однородного изотропного тела.
Для мельчайшего кристалла стали (для микрообъема) и вообще для технических сплавов, конечно, упругие свойства не одинаковы по различным направлениям, но беспорядочное расположение мелких кристаллов в частице создает так называемую квазиизотропию материала. Таким образом, применительно к объему, включающему большое количество частиц (для макрообъема), во всех направлениях материал обладает практически одинаковыми свойствами в смысле среднего статистического эффекта, создаваемого деформацией отдельных кристаллов.
Поэтому можно считать, что все величины, характеризующие напряжения и деформации, определяемые в теории упругости, являются статистическими средними действительного их распределения в конгломерате зерен металлов и подобных им технических материалов.
К предпосылкам теории упругости, а впрочем, и всех ветвей реологии следует также отнести предположение о том, что напряженное состояние в данной точке, необходимое для суждения о прочности и поведении материала в окрестности этой точки, зависит от состояния деформации в этой же точке, а не в некоторой области возле рассматриваемой точки (принцип «автономной прочности»).
Принадлежность точки однородно напряженной среде (во всех соседних точках имеются одинаковые напряжения и деформации) или неоднородно напряженной среде (соседние точки имеют другие деформации, например, меньшие, чем рассматриваемая точка) не может приблизить или отдалить момент разрушения материала в точке, если и в том и в другом случаях деформации в точках одинаковы. Это означает, что градиент напряжений (величина, характеризующая изменение напряжения от точки к точке) не влияет на прочность материала в данной точке.
Большое количество задач теории упругости решается с использованием принципа локальности эффекта самоуравнове- шенных внешних нагрузок — принципа Сен-Венана. Согласно этому принципу, если в какой-либо малой части тела приложена уравновешенная система сил, то она вызывает в теле напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от этой части (экспоненциальный характер затухания напряжений). Примером может быть случай с клещами, которыми сминают малую область тела (например, проволоку при ее перерезании). В этом случае клещи осуществляют уравновешенную систему сил. Как бы ни велики были эти силы, они почти не вызывают напряже¬
21
ний в остальных частях проволоки, вне малой области возле места нажатия клещами (рис. 1.02).
Так как по правилам механики абсолютно твердого тела операция замены одной системы сил статически ей эквивалентной другой (например, перенос силы с верхней поверхности балки на нижнюю или замена сосредоточенной силы, приложенной к концу балки, на группу распределенных сил, имеющих ту же равнодействующую, или наоборот) связана с использованием (добавлением и т. п.) дополнительных самоуравновешен- ных сил, то принцип локальности можно выразить иначе: в точках твердого тела, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения весьма мало зависят от детального способа осуществления этих нагрузок.
Рис. 1.02. Система взаимно уравновешенных сил:
а — сил, вьюывающих в теле напряжения, тень быстро убывающие по мере удаления от этой чаЛпи; б—распределение нормальных напряжений в среднем по высоте продольном сечении сжимаемого бруса
Изучение же закона распределения напряжений в области, лежащей в непосредственной близости к месту приложения сосредоточенных или почти сосредоточенных нагрузок, составляет особые задачи теории упругости — так называемые контактные задачи, исследование местных напряжений, точные решения которых (см. § 12.04—05) позволят установить те расстояния от нагрузок, на которых практически можно пользоваться принципом локальности. В инженерной практике применительно к стержневым системам часто полагают, что эти расстояния рав¬
22
ны двум-трем наибольшим размерам поперечного сечения стержня.
Наконец, в классической теории упругости (т. е. линейной) принимается, что:
а) перемещения тела (применительно к стержням в строительной механике их называют прогибами) малы по сравнению с линейными размерами тела. Для полного представления в § 3.09 рассмотрены еще два допущения линейной теории упругости, хотя они обычно и являются следствием допущения а);
б) относительные удлинения, а также и относительные сдвиги, т. е. углы сдвига в материале, пренебрежимо малы по сравнению с единицей;
в) углы поворота (т. е. девиации) малы по сравнению с единицей, а квадраты углов поворота пренебрежимо малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами.
Условия а) и в) рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики. При соблюдении этих условий возможна нормальная эксплуатация конструкции, машины и т. п.
Удачной иллюстрацией для принятия допущения является типичная диаграмма растяжения стали (рис. 1.03) как наиболее употребительного материала в современных конструкциях и характерного по масштабу деформаций.
Здесь приведены результаты испытания на растяжение образца, изготовленного из стали, применяемой в судостроении. По оси абсцисс отложены относительные удлинения, а по оси ординат — напряжения. На этой диаграмме участок ОВ соответствует упругой стадии работы стали, участок ВС — пластической стадии (площадке текучести) и наиболее длинный участок CD — стадии упрочнения. Длина упругого участка (отрезок) в данном случае равна 1,15-10—3, длина площадки текучести примерно 10-2 и лишь длина участка упрочнения (до максимума кривой) ^0,17.
23
Приведенные данные характерны для сталей. В них область упругих деформаций ограничивается относительными удлинениями порядка 10_3—5• 10~3, что пренебрежимо мало по сравнению с единицей.
Аналогичный порядок для тех же сталей имеет предельная величина упругих сдвигов.
Для теории конечных (немалых) деформаций (в нелинейной теории упругости) приведенные выше допущения а), б), в), конечно, снимаются.
В связи с принятыми выше допущениями из классической теории упругости вследствие ее ограниченности исключаются все так называемые нелинейные проблемы (задача изгиба брусьев, пластин, оболочек при прогибах, сравнимых с толщиной, и, тем более, за пределом упругости и т. п.). Эти нелинейные задачи можно решать только с позиций нелинейной теории упругости.
Приведенные выше гипотезы (иногда их называют рабочими), применяемые или одновременно все, или частично, позволяют решать широкий круг задач «прочностного» расчета. По окончательным результатам в большинстве случаев они в общем удовлетворительно согласуются с данными практики и опыта. Однако «самая простая истина, самым простым, индуктивным путем полученная, всегда неполна, ибо опыт всегда незакончен» *.
Ввиду бесконечной сложности природы и ее неисчерпаемости невозможно полностью познать объект, хотя эти познания постепенно приближаются к наиболее полному и глубокому раскрытию его.
Не исключаются, конечно, случаи (и они неизбежны) когда именно опыт (в отдельных, преимущественно новых по своему характеру примерах) покажет неприменимость некоторых прежних предположений. Так, несомненно, новые конструктивные формы, новые режимы работы изделий, создаваемые новые композиционные материалы (что уже и сейчас наблюдается в ракетной технике, в атомной энергетике и др.) могут сделать существенными те свойства тел, которые прежде были неощутимы либо их влияние было мало. Тогда выявится необходимость сформулировать новую систему предположений, гипотез.
Последнее, однако, не означает отказ от теоретических исследований и «прочностных расчетов» до получения более совершенных схем, «точных» законов, так как совершенствования расчетных схем в науке можно достичь в результате практической работы с современными, хотя и не всегда совершенными схемами и моделями.
Ленин В. И. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 154.
24
«Если бы мы захотели ждать, пока материал будет готов в чистом виде для закона, то это значило бы приостановить до тех пор мыслящее исследование, и уже по одному этому мы никогда не получили бы закона»*.
§ 1.03. Основные этапы в развитии теории упругости,
пластичности и ползучести
Отметим основные этапы в развитии теории упругости, пла-, стичности и ползучести. Рассмотрим те этапы развития механики деформируемого тела, которые главным образом отражают развитие взглядов на физические принципы, лежащие в основе перечисленных теорий (эти этапы относятся к XIX и началу XX в.) **.
Основной закон деформирования упругих тел в его простейшей, линейной, форме, но к тому времени еще без объяснения физической сущности явления упругости был сформулирован в 1678 г. Р. Гуком (1635—1702 гг.).
Первая попытка рассмотрения нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, т. е. в форме, отличной от закона Гука, была сделана Бюльфингером и опубликована в трудах Российской Академии наук в 1729 г.
Первые открытия в математической теории изгиба упругого стержня произвели русские академики Л. Эйлер (1707—1783 гг.) и Д. Бернулли (1700—1782 гг.). Их труды были опубликованы в 40—70 годах XVIII века. Эйлеру принадлежат первые исследования упругой устойчивости (задача о продольном изгибе). Эйлер и Бернулли занимались также проблемой поперечных колебаний упругого стержня.
Причины упругости и содержание понятия упругости изложены М. В. Ломоносовым (1711 —1765 гг.) в знаменитом трактате «Попытка теории упругой силы воздуха», представленном им в 1748 г. в Российскую Академию наук. В этом трактате М. В. Ломоносов решительно осуждал тенденции призывать «по обычаю века» на помощь для отыскания причины упругости воздуха «невесомую материю упругости». Он писал: «Мы довольствуемся тонкостью и подвижностью самого воздуха и ищем причину упругости в самой материи его». Материалистической корпускулярной философии Ломоносова было органически чуждо представление о невесомых материях.
М. В. Ломоносову принадлежит также и введение в употребление на русском языке слова «упругость».
Первым исследователем, занявшимся построением общих уравнений равновесия и колебания упругих тел, был француз¬
* Энгельс Ф. Диалектика природы. Госполитиздат, 1949, стр. 193.
** Более подробное изложение и преимущественно советскою период, имеется в книгах [3], [5], [28], [31], [61], [104], [108].
25
ский инженер и ученый Навье (1785—1836 гг.). Он исходил из концепции Ньютона о строении вещества и считал, что упругие реакции возникают вследствие тех изменений интрамолекулярных сил, которые являются результатом перемен во взаимном расположении молекул. В этом смысле исследования Навье примыкают к дискретной теории упругости *.
Полученные им дифференциальные уравнения выражались в смещениях молекулы и содержали одну постоянную, выражающую упругие свойства тела. Его мемуар был прочитан в Парижской Академии наук в 1821 г. Однако примененный Навье ход рассуждений не получил общего признания. Выдвигались возражения против принятого Навье выражения для силы взаимодействия двух молекул, оспаривалась также законность примененного Навье способа интеграции вместо трехкратного суммирования при подсчете сил, действующих на отдельную молекулу.
Открытия в теории распространения света (гипотеза поперечных колебаний) позволили осуществить дальнейшее развитие теории упругости.
Проблема распространения волн в упругой среде привлекла тогда внимание трех выдающихся математиков: М. В. Остроградского (1801 —1857 гг.), Коши (1789—1857 гг.) и Пуассона (1781 — 1840 гг.).
Русский академик М. В. Остроградский внес существенный вклад в развитие динамической теории упругости своими работами о распространении деформации в упругой изотропной среде, опубликованными в период 1829—1832 гг. С именем М. В. Остроградского связываются не только его работы тю динамической тебрии упругости, но и целая школа в области механики, получившая мировое признание [63].
В 1822 г. Коши ввел современное в теории упругости понятие о напряжении в точке. Он выразил деформацию в окрестности данной точки через шесть компонентов и вывел уравнения движения (или равновесия), которые отражают зависимость между компонентами напряжений и силами, распределенными по объему, а также силами инерции. Соотношения между напряжениями и деформациями Коши построил на допущениях, что эти соотношения линейны и что главные напряжения в данной точ¬
* Заметим, что молекулярная теория Навье, как и близкие ей последующие работы Пуассона и Коши, имеет мало общего с современными в физике представлениями о поведении молекул. Изыскания, проводимые в настоящее время по дискретной теории упругости, не представляют, конечно, возврата к элементарным концепциям Навье.
Для практических расчетов того времени Навье, по-видимому, считал возможным также исходить из гипотезы сплошности и отсутствия начальных напряжений в теле, что видно из характера изложения его курса сопротивления материалов, относящегося к тому времени.
26
ке совпадают по направлению с главными осями деформации. Но для описания последних допущений он не указал на экспериментальный закон Гука. Полученные им уравнения — именно те, которые приняты ныне для изотропных тел.
Методы первоначальных исследований Коши отличны от методов исследования Навье. В последующем Коши применил эту теорию и для случая кристаллического тела, воспользовавшись гипотезой о материальных точках. Гипотеза материальных точек, связанных действием центральных сил (через пустоту), Коши не применялась. Есть важные различия и в уравнениях: уравнения Навье содержат одну постоянную, выражающую упругие свойства тела, тогда как в уравнения Коши входят две такие постоянные.
В начале XIX столетия указанными выше трудами Навье, Коши, Остроградского, Пуассона и’другими учеными были положены основы той ветви, которую теперь называют математической теорией упругости. Однако методы теории упругости оставались в стороне от инженерной практики. Представители математической теории упругости того времени занимались главным образом такими физическими проблемами, как объяснение явлений распространения света, исходя из представления об эфире как об упругом теле, исследовали напряжения в земной коре вследствие тяготения и охлаждения земли и т. д.
Теория упругости оставалась наукой, достаточно далекой от конкретных технических приложений, и инженеры ею не пользовались. Такой отрыв теории упругости от требований инженерной практики, с одной стороны, развитие строительства железных дорог, металлических для них мостов, машиностроения, железного судостроения и связанная с этим необходимость производить расчеты на прочность машин и сооружений с другой, позволили создать учение о сопротивлении материалов как чисто практическую дисциплину, основанную на наглядных гипотезах и элементарных математических приемах, широко использующих экспериментальный материал, как полученный в результате специально поставленных опытов, так и накапливающийся в процессе эксплуатации тех или иных объектов.
Таким образом, дальнейшее развитие механики деформируемого тела разветвляется на два русла. Одно, отправляющееся от методов, введенных Л. Эйлером и Д. Бернулли, связанное в дальнейшем со славными именами наших соотечественников Д. И. Журавского (1821—1891 гг.), Ф. С. Ясинского (1856—1899 гг.), В. Л. Кирпичева (1845—1913 гг.) и других, получает название теории сопротивления материалов, и другое, именуемое математической теорией упругости, является продолжением теории Навье.
27
В Петербургском институте инженеров путей сообщения французские инженеры Ляме (1795—1870 гг.) и Клапейрон (1790—1864 гг.) развивали теорию Навье применительно к строительному делу.
Известную задачу Ляме об осесимметричной деформации толстостенной трубы развил русский академик А. В. Гадолин (1828—1892 гг.). Метод расчета скрепленных стволов, разработанный им, получил всеобщее признание и широкое использование во всех странах.
Возвращаясь к вопросу о развитии взглядов на физические принципы в теории упругости, отметим большие споры о количестве упругих постоянных (одна или две, или больше) и о значении некоторых констант. Причиной споров являлось расхождение опытных данных с результатами теории, вытекающей из гипотезы центральных сил. Заметим, что опыты приверженцев одних взглядов не всегда были достаточно убедительными для сторонников других воззрений вследствие ограниченности методики испытаний и специфики в выборе самого материала для экспериментирования (пробка, желатин, каучук), что было характерно для многих участников спора того времени, фактически оторванных от нужд практической жизни. Они, по выражению А. Лява, «интересовались скорее натуральной философией, чем материальным прогрессом, стремились скорее познать мир, чем сделать его более удобным» [59].
Вместе с тем эти споры не прошли для науки без пользы; они позволили уяснить самые недоступные вопросы о природе молекул и характере их взаимодействия (оказалась несостоятельной гипотеза упругой светоносной среды и т. д. и т. п.).
Одновременно происходившая эволюция в физических воззрениях на строение материи, развитие атомистической теории в химии, статистической молекулярной теории в физике, на распространение энергетических принципов и т. п. окончательно подорвали доверие, которым ранее пользовалась гипотеза материальных точек, связанных действием центральных си^ через пустоту.
Выдвинутую ранее гипотезу, отражающую дискретную схему строения материи, впоследствии заменила гипотеза о сплошности, т. е. механика континуума, которая рассматривается в наиболее выдающихся произведениях по теории упругости конца XIX в. и современности [3].
К таким произведениям следует отнести работы Сен-Венана (1797—1886 гг.), в которых строго разработаны проблемы изгиба и особенно кручения призматических тел, исследования Герца в области передачи силы (смятие шаров) и др.
Исследования Сен-Венана по изгибу показали, что элементарная теория изгиба, созданная Бернулли и Эйлером, обладает
28
весьма большой точностью и совершенно достаточна для практических целей.
Его исследования по теории кручения показали ошибочность предложения Навье рассчитывать стержень любого профиля по тем формулам, которые еще в 1784 г. были выведены Кулоном для стержней круглого сечения и основаны на гипотезе плоских сечений.
В области так называемой плоской задачи теории упругости следует особо отметить работы Г. В. Колосова (1867—1936 гг.), изложившего впервые метод, основанный на применении теории функций комплексного переменного. Метод Колосова был впоследствии развит и обобщен Н. И. Мусхелишвили.
Из русских ученых, труды которых были основополагающими, являлись И. Г. Бубнов (1872—1919 гг.) (теория пластинок с цепными напряжениями), Б. Г. Галеркин (1871 —1945 гг.) (приближенные методы решения статических задач о расчете пластинок, впоследствии использованные в других задачах теории упругости, в аэродинамике, гидродинамике и т. п.), Л. С. Лейбензон (1879—1950 гг.) (расчет безбалочных перекрытий), В. Л. Кирпичев (по сближению математической теории упругости со строительной механикой), X. С. Головин (1844— 1904 гг.) (теория изгиба кривых брусьев), П. Ф. Папкович (1887—1946 гг.) и А. Н. Крылов (1863—1945 гг.) (строительная механика корабля), С. П. Тимошенко.
Отрыв ученых от практики, характерный для науки дореволюционного периода, привел к тому, что теория в меньшей степени, чем она могла бы, содействовала материальному прогрессу человечества [59].
Великая Октябрьская социалистическая революция коренным образом изменила развитие науки в нашей стране. Характерными особенностями советской механики деформируемого тела являются ее тесная связь с практикой строительства, принципиальность, научность и глубина анализа.
Организация крупных научно-исследовательских институтов, оснащенных современным оборудованием, разработка проблем прочности не только отдельными талантливыми учеными, а большими коллективами, участие всей армии советских механиков в решении неотложных задач, выдвигаемых грандиозными стройками коммунизма, все это определило значительный перелом в развитии науки.
Таким образом, Великая Октябрьская социалистическая ре- волюция открыла новый этап в развитии теории упругости. Советские ученые разрабатывают новые проблемы в теории упругости: развивают методы решения так называемой в теории упругости плоской задачи при помощи теории функций комплексного переменного, разработанные Н. И. Мусхелишвили [64]; существенно приближена к запросам практики теория
29
толстых плит, а также теория гибких пластинок [11], [26], [27], [31], [34], [42], [70] и [107]; успешно продолжаются исследования в области отыскания общего метода решения системы дифференциальных уравнений равновесия упругого тела. В связи с этим отметим оригинальный способ определения напряжений в пространственном теле (призме) при помощи функций особого класса [115], предложенный М. М. Филоненко-Бородичем (1885— 1962 гг.). Отметим на эту тему также работы [119] и [121].
Общая теория пространственной работы тонкостенных стержней, складчатых систем и оболочек детально разработана в трудах В. 3. Власова (1906—1958 гг.), дважды удостоенных Государственной премии СССР [14] и [15]. В этой области выделяются работы многих советских ученых, например [1], [10], [11], [16], [19], [25], [44], [47], [58], [65], [77] и [107].
Разработка теории упругости анизотропных сред фактически целиком относится к советскому периоду развития науки. Некоторые исследования в этой области, получившие широкое признание в инженерной практике, описаны в работах [1], [18], [19], [24], [55], [56], [70], [74], [79], [93], [104] и [117].
Большие успехи за тот же период достигнуты в решении пространственных контактных задач классической теории упругости [19], [26], [35] и [61].
За последние годы при решении сложных задач теории упругости широко используется современная вычислительная техника.
Существенные достижения имеются в новой отрасли теории упругости — нелинейной теории упругости [51], [69] и [70].
Интересные исследования за последние годы выполнены в области уточненной, так называемой моментной теории упругости [19] и [94].
Важные результаты получены учеными нашей страны в механике новых композитивных материалов [19].
Вторая четверть XX в. характеризуется развитием новой ветви механики — теории пластичности. Особенно успешные результаты получены в СССР; они отражены в работах [40], [102], [46], [99] и [121].
Получили широкую популярность в инженерной практике решения и исследования по расчету пластинок и оболочек за пределом упругости по так называемому предельному состоянию [23], [91а] и [104].
Начавшаяся вторая половина XX в. характеризуется бурным развитием совсем юной отрасли механики деформируемого тела а именно — теории ползучести. Здесь выделяются работы [2], [86], [41], [6], [24а], [46], [91] и др.
Проводимые в СССР регулярные научные конференции по проблемам теории упругости и пластичности в немалой, степени
30
содействуют успешному развитию и координированию научно- исследовательских работ.
На проводившихся в последние годы (1964 и 1968 гг.) Всесоюзных съездах * по теоретической и прикладной механике, по проблемам прочности и пластичности с широким участием зарубежных ученых отмечены большие достижения советских ученых в области механики деформируемого тела и, естественно, намечен перспективный план дальнейшего развития науки с учетом бурно развивающейся техники в Советском Союзе.
ЛИТЕРАТУРА
13], [5], [13], [32], [37], [48], [63], [104], [108].
* См. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Академия наук СССР, М., 1968.
Безухо.в Н. И. Строительная механика в Советском Союзе за 50 лет. «Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура», Nb 10, 1967.
«Мы не можем представить, выразить, смерить, Изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление, — и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия. И в этом суть диалектики»
Ленин В. И. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 243.
1
РАЗДЕЛ
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
2
ГЛАВА
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
А. СТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ
§ 2.01. Обозначения составляющих напряжений.
Тензор напряжений
Устанавливаемые в этом разделе (в главах 2 и 3) уравнения являются общими и необходимыми как для теории упругости, так и для теории пластичности и ползучести. Эти уравнения не зависят от физической природы рассматриваемого тела и потому они едины для любого сплошного тела, будет ли оно упругое (линейно-упругое или нелинейное), или пластическое, или какое-либо иное.
Особенности же, превносимые в теорию каждым конкретным материалом, в зависимости от его физических свойств (проявляется ли строго явление упругости или явление ползучести и др.) рассматриваются в следующем разделе (главы 4—6).
Для удобства изложения условимся принять некоторые термины. Так, волокном тела назовем совокупность его точек, расположенных вдоль некоторой линии, а линейным элементом тела — дифференциально малый отрезок какого-либо волокна.
Слой тела — это совокупность его точек, располагающихся на некоторой поверхности, а элементарная площадка тела — бесконечно малый элемент какого-либо слоя.
34
Величины внешних, т. е. поверхностных, нагрузок, а также внутренних сил характеризуются их интенсивностью, т. е. величиной усилия, приходящегося на единицу площади поверхности, на которую они действуют.
При рассмотрении внутренних усилий эту интенсивность обычно называют напряжением. Это название можно сохранить и для внешних нагрузок, если они распределены на рассматриваемой области сплошным образом.
Для обозначений интенсивностей сил удобно применить следующую систему. Представим себе некоторое тело (рис. 2.01) с
заданными конфигурацией, опорными закреплениями и нагрузками, как внешними (т. е. приложенными на наружной поверхности тела), так и объемными силами (силы тяжести и т. п.), но при совокупности которых заданное тело находится в равновесии. Если в заданном теле, некоторым образом ориентированном в прямоугольной системе координат (х, у, z), рассматриваемая точка находится на какой-либо элементарной площадке, например на наружной поверхности тела (рис. 2.01), внешняя нормаль к которой у той же точки обозначена v и не параллельна ни одной из координатных осей х, у, z, то интенсивность усилия, или иначе полное напряжение для данной точки, обозначим Ру. Направление вектора pv совпадает с направлением усилия.
Если APV обозначим усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку AF, то указанное выше напряжение, или плотность силы, вычисляется как предел отношения:
при ДF, устремляющемся к нулю.
Заметим, что такая формулировка понятия напряжения непременно предполагает тело сплошным, непрерывным.
Для материалов, имеющих молекулярную структуру, невозможно связать элемент площадки только с силой, действующей на этом элементе. Для дискретной теории упругости приведенная выше формулировка напряжения неприемлема.
Рис 2.01. Обозначения полного напряжения в точке на площадке с заданной нормалью v
35
Проекции полного напряжения на координатные оси х, у, z соответственно обозначим р^ Pzv- Причем, очевидно, что
^v = ^v + ^v + ^v- (2-01)
Если обозначение напряжения имеет два индекса, то первый соответствует той оси, параллельно которой направлена составляющая напряжения, а второй — нормали к той площадке, на
i
Рис. 2.02. Обозначение полных напряжений на всех четырех гранях тетраэдра, вырезанного возле заданной точки
которой действует рассматриваемая составляющая (т. е. второй индекс означает адрес напряжения). Наличие у напряжения одного только индекса, указывающего нормаль к площадке, на которой оно действует, определяет полное напряжение в точке.
Рассмотрим теперь напряженное состояние в окрестности какой-либо точки М внутри тела, имеющей координаты х, у, z (рис. 2.02). Если провести через эту точку внутри тела какую- либо площадку, то для обозначения как полного напряжения на этой площадке, так и его составляющих можно сохранить ту же систему. В частности, если в рассматриваемом теле через произвольную точку М (координаты которой х, у, z) проведем три плоскости, параллельные координатным, и, пересекая их одной наклонной плоскостью, достаточно близкой к точке (х, у, г), вырежем элемент в виде тетраэдра (называемый ниже элементарный тетраэдр), то действующие по его граням полные напряжения, представляющие взаимодействие этого тетраэдра с остальным телом, обозначим рх, Ру, рг и pv. Если эти полные напряжения разложить на составляющие, параллельные координатным осям, то от полных напряжений, действую¬
36
щих по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным именно координатным плоскостям (эти Грани тетраэдра принято называть основными площадками), эти составляющие получат такие обозначения: от рх— составляющие рХх, рух, pzx\ от Ру — составляющие рху, руу, ргу, от Pz— составляющие pxz, Руг, Ргх.
Заметим, что составляющие рхх, руу, ргг как нормальные к соответствующим площадкам представляют известные из курса сопротивления материалов нормальные напряжения, остальные же — рху, руг и др. — касательные напряжения. Сохраняя систему обозначений из курсов сопротивления материалов, нормальные напряжения обозначим а. Индекс у этого напряжения указывает ту. ось, параллельно которой направлено .напряжение (одновременно эго является и обозначением нормали к площадке, на которой рассматривается нормальное напряжение). Касательные напряжения обозначим т с двумя индексами. Так, например, тху—касательное напряжение, имеющее направление, параллельное оси х и действующее на площадке, нормаль к которой параллельна оси у.
Нормальное напряжение принято считать положительным, когда оно вызывает растяжение (в этом случае оно направлено по внешней нормали к площадке, принадлежащей рассматриваемой части тела), и отрицательным, когда оно вызывает сжатие (в последнем случае оно направлено для данной части тела по внутренней нормали).
За положительные направления составляющих касательного напряжения, действующего на любой основной площадке, принимают положительные направления осей координат, если растягивающее нормальное напряжение по той же площадке имеет направление, совпадающее с положительным направлением той оси, параллельно которой действует нормальное напряжение. Если растягивающее напряжение на рассматриваемой площадке имеет направление, противоположное положительному направлению соответствующей, т. е. параллельной ему, координатной оси, то за положительные направления составляющих касательного напряжения на той же площадке следует взять отрицательные направления соответствующих им осей.
На рис. 2.03 приведены обозначения всех составляющих компонентов напряжений по граням бесконечно малого параллелепипеда, который мысленно вырезан из заданного тела, причем предполагается, что все напряжения положительны. В случае сильновыраженного неравномерного распределения напряжений, кроме главного вектора сил, следует учитывать также и главные моменты.
Учет этих моментов составляет в последнее время одну из задач уточненной, так называемой моментной теории упругости [18] и [94а].
37
Если размеры изучаемого параллелепипеда бесконечно малы и можно пренебречь его объемным весом, то одноименные и параллельные напряжения для каждой пары параллельных граней, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину, практически одинаковы (рис. 2.03). Такой бесконечно малый параллелепипед назовем элементарным объемом, или элементарным параллелепипедом.
Элементарный параллелепипед является одним из основных объектов изучения в теорий упругости и родственных ей науках *.
Вполне очевидно, что, когда возникает задача нахождения закона распределения напряжений в определенной области тела, то, переходя от одного элементарного объема к другому, ко-
Рис. 2.03. Обозначения компонентов напряжений по граням бесконечно малого параллелепипеда, вырезанного возле заданной точки
нечно, учитывают бесконечно малые разности в величинах напряжений по параллельны^ граням (см. § 3.02).
Следовательно, для исследования напряженного состояния элементарного параллелепипеда имеется по три неизвестных компонента на каждой паре параллельных граней, а всего девять величин — три нормальных и шесть касательных состав¬
* Отметим, что в рассматриваемой прямоугольной координатной системе элементарный объем имеет форму именно прямоугольного параллелепипеда. В случае использования других координатных систем (цилиндрических и др.) элементарный объем, очевидно, является иным, так как грани его определяются направлением (и формой) принятых координатных плоскостей (или поверхностей).
38
ляющих напряжений. Впрочем известный из теории сопротивления материалов закон о парности касательных напряжений справедлив и в данном случае пространственного напряженного состояния. В общем виде этот закон взаимности доказывается в § 3.04. Отметим, что в принятых выше обозначениях следующие составляющие касательных напряжений равны между собой:
Хху = v- V = т^. Тг, = т„. (2.02)
Таким образом, всего имеется шесть неизвестных компонентов напряжений.
Приведенные выше составляющие напряжений вполне определяют напряженное состояние рассматриваемого элементарного объема. Зная напряжения по трем ортогональным площадкам, проведенным возле рассматриваемой точки, как показано в § 2.05, легко вычислить напряжения по любой площадке, произвольно наклонной к основным взаимно перпендикулярным плоскостям.
Нетрудно также перейти от напряжений к деформациям вследствие простой линейной связи, существующей между первыми и вторыми (см. § 4.01). Если затем деформированные элементарные объемы сложить вместе, то, очевидно, получим в целом деформированное тело.
* *
*
Введем понятие о тензоре напряжения. Для этой цели расположим все напряжения, определяющие напряженное состояние в рассматриваемой точке, в виде следующей матрицы:
Тху>
тК2
Хух'
Xyz
т ,
т ,
о
гх’
гу>
2
(2.03)
В первой строке расположены все компоненты напряжений, имеющие направление, параллельное оси ху во второй строке — параллельное оси у ив третьей строке — параллельное оси г. Кроме того, в первом столбце сгруппированы напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой параллельна оси х, во втором столбце — все напряжения на площадке с нормалью, параллельной оси у*, и в третьем столбце — на площадке с нормалью, параллельной оси г.
В связи с этим первый индекс у напряжений, расположенных в первой строке, является общим, а именно ху у второй
* Можно поменять местами указания адреса и направления, т. е. вместо обозначения т^принять тдх. Как показано ниже (§ 3.04), такая перестановка индексов ничего не изменит; вместе с тем первая система обозначений имеет некоторое преимущество (см. § 2.13).
39
строки у, ay третьей z. Вторые индексы (а для нормального напряжения тот же единственный индекс) оказываются общими по вертикали. Так, у первого столбца обозначение оси х, у второго —■ оси у и у третьего — оси z.
Нормальные напряжения при таком способе построения расположены по главной диагонали, а одинаковые по величине касательные напряжения расположены симметрично относительно этой диагонали. Поэтому матрицу для краткости представим в виде
(2.03а)
Точки указывают, что члены, вместо которых они стоят, равны симметрично расположенным.
Приведенную выше симметричную квадратную матрицу называют тензором напряжений *.
Некоторые свойства этой матрицы расширяют представления о напряженном состоянии в точке. Вообще напряженное состояние в точке вполне определено, если задан тензор напряжений для этой точки (см. § 2.05 и 2.07).
§ 2.02. Частные случаи обозначения тензора напряжений
Если из трех пар параллельных друг другу наружных граней параллелепипеда одна пара окажется свободной от напряжений, как это показано на рис. 2.04 и, следовательно, остав-
Рис 2.04. Три случая плоских напряженных состояний
шиеся векторы напряжений лежат в одной плоскости, то такое состояние параллелепипеда принято называть плоским напряженным. На рис. 2.04 видимые плоскости, свободные от напряжений, заштрихованы; пояс действующих напряжений лежит
* Название «тензор» впервые введено в науку именно для обозначения совокупности всех векторов напряжений, действующих на площадках, проходящих через одну и ту же точку в деформируемом теле.
40
в срединной плоскости, параллельной этим видимым плоскостям. Для этих случаев тензор напряжений достаточно представить матрицей из двух строк и двух столбцов. Применительно к обозначениям и случаям, показанным на рис. 2.04,а, б, в, тензоры напряжений соответственно примут вид-
°х>
Ххг \ '
/ °х>
Х*«\.
( °V>
V
Tzjt>
Ог ) ’
\ Тух>
% г
\ Ъу,
Случай плоского напряженного состояния подробно изложен в курсе сопротивления материалов.
§ 2.03. Другие обозначения компонентов напряжений
Указанные в § 2.02 обозначения компонентов напряжений, как известно, широко применяются в учебниках по сопротивлению материалов и строительной механике. Для сопоставления приведем и другие обозначения (табл. 1).
Таблица 1
1
11
1П
IV
*ХЛ
av
Уу
♦
х2,
2,
'м
ТА/,
V
V
*2Л
2,
*Х2
Т31
Обозначения, приведенные в колонке II, широко используются в капитальных сочинениях по теории упругости. Обозначения, указанные в колонке IV, соответствуют обозначениям координатных осей не х, у, г, а /, 2, 3. Каждая из систем обозначений имеет преимущества и недостатки. Ниже применяются обозначения, приведенные в колонке I.
41
§ 2.04. Связь компонентов напряжений вблизи наружной поверхности тела с компонентами нагрузки на той же поверхности тела (условия на границе тела)
Между интенсивностью внешней нагрузки, действующей на какую-либо точку наружной поверхности тела, и компонентами напряжений, действующими внутри тела в окрестности той же точки, очевидно, существует зависимость, которую необходимо установить.
Для этой пели возле какой-либо точки границы тела мысленно плоскостями, параллельными координатным, вырежем бесконечно малый элемент.
В общем случае тела (когда оно не призматической формы) таким элементарным объемом окажется, очевидно, тетраэдр (на рис. 2.05 проекции таких тетраэдров на плоскость чертежа заштрихованы). В общем случае тело нельзя разбить только на «кирпичики», у его поверхности окажутся элементарные тетраэдры.
Рассмотрим условия равновесия такого элементарного тетраэдра, для чего, кроме заданных внешних нагрузок, на наклонную грань тетраэдра по остальным трем взаимно перпендикулярным граням надо приложить внутренние силы. На рис. 2.06,а отдельно показаны усилия по трем взаимно перпендикулярным граням вблизи заданной точки границы (т. е. внутренние силы), а на рис. 2.06,6 — внешние силы, т. е. усилия, действующие на наклонную грань тетраэдра и уравновешивающие внутренние силы.
Обозначим Fx площадь грани тетраэдра, нормальной к оси х, аналогично другие ортогональные к ней грани FVt Fz. Наружную грань (четвертую) тетраэдра, в общем случае не параллельную ни одной из координатных осей, обозначим F v (рис. 2.06.0), V—-нормаль этой «трижды» косой грани.
Условие равновесия в проекции на ось х запишется в виде
PX\FX = oxFx -f- xKlfFу + xxzFz% (a)
Так как отношение плошади любой из трех ортогональных граней к плошади наклонной грани составляет, как известно,
Рис. 2.05. Мысленное разбиение те- ла на элементарные объемы (параллелепипеды внутри тела и тетраэдры у его поверхности)
42
косинус угла наклона между нормалями к тем же граням, т. е.
F F F
-г- = cos (xv); —— = cos (yv)\ —= cos (zv),
fy Fv Fv
го из уравнения (а) следует
Pxv = ox cos (xv) + Txv cos (yv) 4- Xxx cos (zv). (2.04)
По правилу круговой подстановки можно привести и два других уравнения.
Вводя для направляющих косинусов обозначения cos(xv) = 1, cos (yv) = т, cos(zv) = п,
три условия на контуре (иначе граничные условия) представим в виде
= + Тхут +
PyV = VyJ 4 О yin 4- т угп, Рг\ = Vj + ТгуГП 4 0/1.
(2.05)
43
Соотношения (2.05) являются переходными формулами от внутренних сил возле границы твердого тела (о*, оу и т. д.) к внешним силам (рху, Pyv> Pzv), действующим на наружной поверхности того же тела (или, наоборот, от внешних сил к внутренним силам у границы тела).
Уравнения (2.05) называют условиями на контуре тела, или статическими граничными условиями.
В уравнения (2.05) не входят объемные силы (собственный вес) и инерционные члены потому, что они являются бесконечно малыми третьего порядка, тогда как все члены уравнения (а) в его первоначальном виде — второго порядка.
Действительно, равнодействующая нормальных сил с площади Fx составляет oxFx—бесконечно малую второго порядка, а
1 *
проекция объемной силы на ось Ох равна рXdxdydz— , т. е.
бесконечно малую третьего порядка. Это справедливо и для инерционного члена, если тело пребывает в движении. По тем же соображениям в соотношение (2.05) не введено никаких приращений напряжений (от точки О к центрам тяжести ортогональных граней). Для удобства запоминания условий (2.05) можно представить их в виде табл. 2.
Таблица 2
Поверхностные
компоненты
нагрузки
Множители
1
m
п
Pxv
ак
Х*У
txz
РУУ)
Ъух
Оу
V
Pzv
't'ZX
T'Ztl
<*г
'Квадратная матрица, выделенная в табл. 2 жирными линиями, составляет, как известно, тензор напряжений.
§ 2.05. Исследование напряженного состояния в данной точке тела при известном тензоре напряжений
для той же точки
Формулы (2.05) можно применять для исследования напряженного состояния в любой точке внутри тела и по любой площадке, проведенной через нее. Действительно, если заданы все компоненты тензора напряжений для данной точки, т. е. известны нормальные и касательные напряжения по трем ортогональным граням бесконечно малого параллелепипеда, вырезанного возле данной точки, и требуется определить напряжения в ка-
* X — проекция объемной силы на ось Ох» отнесенная к единице массы
44
кой-либо наклонной по отношению к граням параллелепипеда, («косой») площадке, проходящей внутри параллелепипеда (рис. 2.07), то нужно повторить все рассуждения, проведенные в § 2.04. Разница^была бы лишь в том, что составляющие Ру\> Pzv, которые считались в § 2.04 известными (внешние силы), в данной задаче будут неизвестными, т. е. определяемыми внутренними силами.
Рис. 2.07. Вычисление напряжений на «косой» площадке
Итак, при обозначениях на рис. 2.07 для наклонной площадки, имеющей направляющие косинусы /, т и п, компоненты напряжений, параллельные координатным осям, выразим в виде
PxV = ох1 + т хут + т Х2п, Pyv = xiJ + <уя +
Pzv = xj + т zym + огп
(a)
Полное напряжение, действующее по рассматриваемой наклонной площадке, определяется из выражения
р2 = р2 4- р2 + р2 .
*V ^XV 1 г yv I r'zv
Компоненты Pyv> Pzv не являются ни нормальными, ни касательными напряжениями и потому для суждения о прочности не совсем удобны.
Вычислим нормальное и касательное напряжения, действующие по рассматриваемой площадке, для чего вектор полного напряжения разложим на составляющие по нормали к площадке и по касательной к последней.
Проектируя компоненты pxv> Pyv> Pzv на нормаль v, имеем нормальное напряжение для наклонной площадки
<*v = Pxv cos (*v) + pyV cos (y\) + pzV cos (zv)
45
или, используя (а), получаем
av = aA/2 + oytri2 + огп2 + 2т + 2xyzmn + 2т2Лл/. (2.06)
Касательное напряжение по той же площадке определяем из уравнения
сг; + т2 = р\. (2.07)
§ 2 06. Главные напряжения
Из бесчисленного множества наклонных площадок, которые можно мысленно провести через обследуемую точку тела, будем считать, согласно известному определению из сопротивления материалов и используемому во всех ветвях механики, для этой точки ту площадку главной, на которой касательное напряжение отсутствует, т. е. т = 0'и поэтому av = Pv, т. е. полное напряжение и нормальное напряжение для главной площадки совпадают по величине и по направлению.
Из этого условия определим главные напряжения и положения площадок, на которых они имеются. Обозначая здесь искомое главное напряжение а и проектируя его на оси х, у, г, имеем
a cos(v*) = pxvy a cos (vy) = pyvy acos(v2) = pzv,
а при помощи (а? стр 44) получим
oi^aj + тхугп + хХ2п, от= х ух1 + оут + хугп, on = т J + хгут + о2п.
(а)
Кроме того, имеем известное из аналитической геометрии условие
/2 + т2 -f п2 = 1. (б)
Последние четыре уравнения содержат четыре неизвестных (главное напряжение и три его направляющих косинуса). Первые три уравнения представим в виде
(ах — о)1+ тхут + хХ2п = 0,
XJ + — °),п + хуР =
XzJ + хгут + (0г — °)п = °-
(В)
46
Так как приведенные уравнения однородны, а, кроме того, /, т, п одновременно не могут равняться нулям [согласно (6)1, то, следовательно, определитель системы уравнений (в) р^авен нулю, т. е.
ах-о,
Ххг
^ УХ'
о у а,
XUz
= 0,
Т'гх'
Хгу'
<V
— а
(2.08)
Раскрывая этот определитель, получаем кубическое урав: пение
о3 — о2 (ах + оу + аг) + о (охау + оуо2 + огох — х\у — х2уг — т )х) —
— (ахауа2 + ^ххухугх2Х
— оМ. — а„т?_ — о2х2 )
х yz
У zx
■ 0. (2.09)
При решении уравнения (2.09) получим три корня (аь а2, аз), и все они будут действительными *.
Расположим эти корни, т. е. значения трех главных напряжений, в таком порядке:
^1 <*3,
т. е. о 1 — максимальное, а оз — минимальное напряжение.
Внося какое-либо из этих значений а* (/=1, 2, 3) в уравнения (в) и пользуясь двумя из них, так как третье является следствием остальных двух вследствие условия (2.08), присоединяем к этим двум уравнение (б). Из совместного решения трех уравнений найдем величины направляющих косинусов для ои т. е. U, ти (i= 1, 2, 3).
Исследования приведенных направляющих косинусов показывают, что главные площадки, соответствующие значениям о>1, а2, о3, по отношению друг к другу являются взаимно перпендикулярными.
Кроме того, исследование (2.06) показывает, что при подстановке в него вместо направляющих косинусов значений /ь mi, п\ (соответствующих главной площадке с напряжением 0\) определяется именно наибольшее значение а* из всех возможных для данной точки нормальных напряжений. При подстановке в то же выражение другой группы значений направляющих косинусов /3, т3, пъ (соответствующих главной площадке с напряжением с>з) определяется именно наименьшее из всех нор¬
* Доказательство действительности всех трех корней такого уравнения, как (2.09), имеется в любом курсе аналитической геометрии (см. теорию поверхностей второго порядка). Основанием для такого утверждения является симметрия элементов определителя (2.08) относительно его главной диагонали.
47
мальных напряжений, действующих в различных плоскостях, проходящих через заданную точку.
Итак, в общем случае пространственно напряженного состояния тела через каждую его точку всегда можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которых касательные напряжения отсутствуют, причем действующие на них нормальные напряжения имеют стационарные значения (максимум, минимум и минимакс)* для рассматриваемой точки.
Применим для компонентов напряжений другую систему обозначений (табл. 1, колонка IV), т. е. нормальные и касательные напряжения по всем трем ортогональным площадкам обозначим тгде i и k принимают последовательно значения 1, 2, 3.
Соответственно для нормального напряжения, действующего на наклонной площадке (с внешней нормалью v), применим обозначение tvv , а для направляющих косинусов обозначения
Тогда выражение (2.06) кратко представим в такой форме:
Аналогично доказывается, что на той же наклонной площадке (с нормалью v) любая другая составляющая напряжения (например, касательное напряжение, параллельное некоторой оси г]) выразится в виде
Формулы (2.10) и (2.11) являются характерными для преобразования составляющих любого тензора. Именно поэтому матрицы вида (2.03) называют тензорами (точнее, аффинными ортогональными тензорами второго ранга). Другие тензоры в классической теории упругости и теории пластичности не рассматриваются.
* Минимаксом напряжения назовем промежуточное между максимумом и минимумом значение напряжения, по площадке действия которого сохраняются некоторые свойства, присущие площадкам с максимальным или минимальным напряжением [в данном случае отсутствие касательных напряжений и независимость величин главных напряжений (стационарность значений) от способа их вычисления (см. § 2.07)].
cos (xv) = /iv, cos (t/v) = /2v, cos (zv) = kv
(2.10)
(2.11)
48
Любые другие матрицы, не позволяющие применить к их компонентам формулы преобразования вида (2.11), нельзя называть тензорами.
§ 2.07. Инварианты тензора напряжений
Если около данной точки мысленно вырезать несколько бесконечно малых параллелепипедов, грани которых различным образом ориентированы по отношению к осям координат, то, очевидно, компоненты напряжений для одного такого элементарного параллелепипеда будут отличными от компонентов для другого, так как напряжения зависят от направления рассматриваемой площадки, проходящей через заданную точку. Однако также очевидно, что независимо от способа вырезания элемента около заданной точки при подстановке значений его компонентов напряжений в уравнение (2.09) получаются одни и те же значения главных напряжений для всех таких элементарных параллелепипедов. Главные напряжения в данной точке существуют, и величины их независимы от метода их нахождения, т. е. они инвариантны по отношению к преобразованию координатной системы.
Следовательно, корни кубического уравнения (2.09) не зависят от системы координат х, у, г, а потому коэффициенты этого уравнения также не зависят от выбора координатной системы, т. е. эти коэффициенты являются инвариантами преобразования координат.
В связи с указанным уравнение (2.09) представим в виде
а3 — о2о{ + оа11 — о111 = 0,
где а1, а11, а111—инвариантные соотношения, иначе называемые первым, вторым и третьим инвариантами тензора. Итак
о1 = ох + ву + ог = const,
°!I = ах°У + СУ°г + - Т% - - TL = COnst-
о111 = ахауаг + 2ххухугхгх - ахх-у2 - а4,т;л - огх% = const.
(2.12)
Заметим, чго первый (или линейный) инвариант представляет собой сумму членов, расположенных на главной диагонали в тензоре напряжений, которая, как показано ниже (см. § 4,03), пропорциональна относительной объемной деформации у рассматриваемой точки, т. е.
о1 ^ Е00.
(2.13)
49
Объемная деформация 0, т. е. относительное изменение объема вокруг данной точки, как явление физического порядка, конечно, не зависит от способа ее вычисления. Контролем правильности решения кубического уравнения (2.09) может служить равенство
°х + °У + Gz = а1 + 02 + <?3- (2.14)
Третий (кубический) инвариант представляет собой развернутый в строку определитель, составленный из компонентов тензора напряжений, т. е.
Т'ху’
ХУх>
Оу,
V
XZX’
V
<Уг
(2.15)
Контролем правильности решения уравнения (2.09) может также служить равенство, составленное применительно к параллелепипеду, гранями которого являются главные площадки возле данной точки:
о
ш _
(*i, 0, 0
0, а2, 0 0, 0, а3
— O1O2O3.
(2.15а)
Второй (квадратичный) инвариант представляет сумму миноров определителя (2.15), если произвести разложение его по главной диагонали, т. е.
а11 =
®х’ Хху
+
йу> Хуг
+
Xzx
Хух>
Xzy> °г
Xxz> °x
(2.16)
Контролем правильности решения уравнения (2.09) может, очевидно, служить и такое равенство:
alt 0
+
&2f
0
+
03, 0
0, aa
0.
0, CTj
= + а2аз + <*За1 •
(2.16а)
Контрольные соотношения (2.14) — (2.16а) можно использовать и для непосредственного вычисления корней кубического уравнения (2.09). Так, если один из корней найден непосредственно из (2.09), то остальные можно подсчитать при помощи
(2.14) — (2.16а).
Заметим, что в теории напряжений, а также в теории деформаций инварианты следует рассматривать как основные характеристики напряженного и деформированного состояния в
50
точке-, компоненты напряжений и деформаций, как связанные с осями координат, являются вспомогательными.
Приведенные выше три инварианта напряжений (2.12) не отражают всех возможностей комбинаций из компонентов напряжений, которые также инвариантны к ортогональному преобразованию координат. Ниже, в § 4.04, приведены другие инварианты; а вообще их имеется бесконечное множество. Инварианты (2.12) следует рассматривать как базисные, потому что все другие инварианты могут быть выражены как функции трех базисных инвариантов.
§ 2.08. Наибольшие касательные напряжения
Примем для заданной точки направления главных напряжений О], о2 и аз за направления координатных осей х, у, г. Тогда для любой косой площадки по отношению к главным направлениям нормальное и касательное напряжения согласно (2.06) и
(2.07) примут вид
ov = Oj/2 + суп2 -|- су г2, (а)
т2 = — CTv = аТ + а2т* + азп2 — (а/2 + а2т2 + оап2)2, (б)
Исключим теперь из уравнения (б) один из косинусов, например п, при помощи зависимости
/2 + пР -f я2 = 1.
После этого определим косинусы / и m таким образом, чтобы касательное напряжение т получило максимальное значение.
После подстановки я2 —1 — I2— пг2 в выражение (б) составим производные последнего по / и тп и приравняем эти производные нулю. Получим следующих два уравнения для направляющих косинусов / и пг, определяющих положение площадок, по которым напряжение т получает максимальное или минимальное значение:
1 [Vi — о3)Р + (ог — о3)пг2 (сг, — <т3) j = 0,
Г I 1 (®
m (oj — о8)/2 + (ст2 — 08)т2 (ст2 — о3) = 0.
Одно из решений этих уравнений получим, если приравнять I и m нулю. Можно получить и решения, отличные от нуля. Так, приняв 1=0, по второму из уравнений (в) найдем
61
Приняв т равным нулю, по первому из уравнений (в) найдем
Повторяя приведенные выше выкладки, при исключении из выражения (б) сначала косинуса т, а затем косинуса I в конечном итоге получаем следующую таблицу шести значений косинусов углов, при которых напряжение т получает максимальное или минимальное значение (см. табл. 3).
В первых трех столбцах даны площадки, совпадающие с плоскостями координат, которые являются главными площадками. По этим площадкам касательные напряжения равняются нулю, т. е. выражение (б) для квадрата т получает минимальное значение.
Таблица 3
/
0
0
±1
0
±v±
±V-Y
пг
0
±1
0
0
п
±i
0
0
±V~T
±Vt
0
В трех последних столбцах даны площадки, проходящие через одну из трех главных осей и делящие угол между двумя другими главными осями пополам (рис. 2.08). Подставив направляющие косинусы, определяющие положения этих трех площадок, в выражение (б), найдем следующие значения касательных напряжений (иногда называемых главными касательными) по этим трем плоскостям*:
*12 == i — (а1 а2)>
Т23 “
(сг2 — СГз)>
(2.17)
*31 “~2~^СГз
* Здесь и ниже индексы в обозначениях главных касательных напряжений являются условными, не связанными с направлениями этих напряжений и нормалями к площадкам, на которых они действуют (как это предусматривается для компонентов тензора напряжений). В других книгах [102] введены иные обозначения, освобожденные от этой условности, как-то: Тз, Тг, ti.
52
Это показывает, что наибольшее касательное напряжение действует по площадке, делящей пополам угол между наибольшим и наименьшим главными напряжениями, и что оно равно половине разности между этими двум*! главными напряжениями.
На площадках, на которых касательные напряжения принимают значения (2.17), действуют также нормальные напряже-
Рис. 2.08. Три пары площадок с относительными максимумами касательных напряжений
ния, которые согласно (а) равны полусуммам соответствующих главных напряжений
\ fa + а2), Y^2 + a3)> -5"(<r* + <Ti)- (2.18)
Из (2.18) следует, что если величины главных напряжений подчинены неравенствам 0\>02>0з, то наибольшее касательное напряжение равно^У\—оЦг. е. полу разности наибольшего и наименьшего главныг напряжений.
§ 2.09. Октаэдрические напряжения
Рассмотрим в некотором отношении замечательную площадку, которая равно наклонена к главным плоскостям (рис. 2.09). Вычислим нормальное и касательное напряжения по площадке, называемой октаэдрической, или площадкой результирующих напряжений в данной точке.
53
Оси координат направим по нормалям главных площадок, т. е. вдоль главных напряжений. Направляющие косинусы для октаэдрической площадки относительно осей координат, очевидно, равны между собой и составляют
/ = т = п = —1— .
/ 3
Согласно формуле (2.05) находим
PlV = P2V = P3V = ОГзЛ.
„ а
Для полного напряжения на ' /
октаэдрической площадке имеем уравнение
Т. е. Квадрат полного напряже- Рис. 2.09. Октаэдрическая площадка ния на октаэдрической площадке равняется среднему из квадратов главных напряжений.
По формуле (2.06) для нормального напряжения на той же площадке получаем
т. е. нормальное напряжение на октаэдрической площадке равняется среднему нормальному напряжению для данной точки.
Для касательного напряжения на октаэдрической площадке имеем выражение (2.07),
2
или
(2.19)
которое в данном случае примет вид
По раскрытии скобок имеем
Токт == \ (а1 + °2 а3 — °1аа — а2а3 — a3<7l)>
окт
Токт = 4-/К- Ст2)2 + (сг2 — Оз)2 + (о3 — Oi)2. (2.20)
3
откуда
54
Учитывая, что полуразности (см. § 2.06)
а1 О2 ^ (У2 Оз ^ а3 °1 ^
“ — т12> 2 — т23’ 2 ~ Тз1
являются главными касательными напряжениями, выражение
(2.20) можем представить и так:
Токт = y Vг212 + т|3 + т|,, (2.20а)
т. е. квадрат касательного напряжения на октаэдрической площадке равняется 4/э (т. е. немного меньше половины) суммы квадратов главных касательных напряжений.
Приведенные выше нормальное и касательное напряжения на октаэдрических площадках, или так называемые октаэдрические напряжения, одинаковы для всех восьми площадок, которые можно провести во всех октантах. Если отрезки, отсекаемые площадками на главных осях 1, 2, 3, одинаковы во всех октантах, то совокупность таких равнонаклоненных площадок образует замкнутую восьмигранную фигуру—октаэдр (рис. 2Л0).
В теории пластичности показывается, что в ряде случаев наступление именно пластического состояния в точке тела зависит от достижения октаэдрическим касательным напряжением некоторого определенного для данного тела предельного значения.
Октаэдрическое касательное напряжение можно представить в другом виде. Так, из (2.19) на основании инвариантов тензора напряжений (2.10), выраженных через главные напряжения, следует
TL = ^-Ko,)2-3a»]. (2.21)
Принимая для инвариантов выражения через компоненты напряжений, действующих по случайным (не главным) ортогональным площадкам, на основании (2.10) имеем
Vt = Y V(<УХ — О/ + (а, - огУ + (с2 - о,)2 + 6 (Т^ + х\г + тЪ).
(2.22)
3
Рис. 2.10. Октаэдрические площадки
55
Из курса сопротивления материалов для суждения о прочности, т. е. для выяснения вопроса о том, насколько состояние материала в окрестности данной точки близко к предельному упругому или к начальному состоянию пластичности, известна так называемая энергетическая теория прочности, или теория энергии формоизменения. Расчетное (приведенное, фиктивное) напряжение по этой теории определяется по формуле
оПр = V(о, — otf + (а, — о8)2 + (а3 — а,)2. (2.23)
При сопоставлении (2.20) и (2.23) видно, что октаэдрическое касательное напряжение прямо пропорционально расчетному напряжению по энергетической теории прочности, т. е.
т<жт=->у-апр. (2.24)
В теории пластичности величину апр, устанавливаемую независимо от тех соображений, которые были в сопротивлении материалов, называют интенсивностью напряжения (или обобщенным напряжением) и обозначают а;. Таким образом *,
о, = у=г <кт. (2.25)
§ 2.10. Понятие о шаровом тензоре напряжений и о тензоре-девиаторе напряжений
Выделение среднего нормального напряжения из тензора напряжений
Наблюдения показывают, что прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, но и от характера напряженного состояния. Так, большинство твердых тел противостоит без разрушения действию одинакового всестороннего очень высокого давления. Только в некоторых менее плотных телах наблюдаются случаи разрушения, причиной чего могут быть мелкие шели и трещины внутри тела, куда проникает жидкость, в которую погружаются испытуемые тела.
И, наоборот, те же тела иногда разрушаются при сравнительно невысоких напряжениях, если они в основном изменяют форму тела (например, в случае сдвига или наличия разных по знаку нормальных давлений, действующих на грани параллелепипеда).
* Удобство введения в теорию пластичности оi вместо Т0кт объясняется тем, что в случае одноосного растяжения (или сжатия), когда существует отличное от нуля только одно главное напряжение, например <Ть а два других отсутствуют, интенсивность напряжений согласно (2,21) становится равной этому единственному напряжению а».
56
В связи с этим для суждения о прочности необходимо из общей деформации тела выделить те компоненты, которые зависят от изменения объема, и отдельно рассмотреть компоненты деформации, влияющие на изменение формы. Таким же образом нужно разделить и компоненты напряжений.
Хотя в случае всестороннего равномерного растяжения (случай чисто объемной деформации) материал не обладает способностью противостоять высоким напряжениям, однако и в этом случае разделение на чисто объемную деформацию и на деформацию формы (иначе называемую скашивающей, или де- виаторной) оказывается целесообразным.
Кроме того, что это удобно для решения в дальнейшем вопросов прочности, то же самое разделение оказывается необходимым и для наглядного описания законов деформации сложнонапряженного тела.
Введем обозначение [см. также (2.19)], называемое средним напряжением
или на основании (2.12)
где а1 — первый инвариант тензора напряжении.
Произведем выделение этого среднего напряжения из напряженного состояния точки следующим образом. Представим тензор напряжений в виде двух составляющих;
где Т^—шаровой тензор напряжений, характеризует напряженное состояние элементарного объема, изображенное на рис, 2,11, т, е,
a DH — тензор-девиатор, или девиатор напряокений, характеризует напряженное состояние элементарного объема, изображенное на рис. 2.12, т. е.
(2.26)
rB = 7t + DH>
(2.27)
(2.28)
(2.29)
57
В первом случае (рис. 2.11), очевидно, происходит только изменение объема и таким образом шаровой тензор напряжений характеризует объемную деформацию в точке. Девиаторы напряжений, как доказано ниже (§ 4.03), характеризуют формоизменение вокруг той же точки.
Девиатор напряжений показывает, насколько заданное напряженное состояние уклоняется от всестороннего растяжения
Рис. 2 11 Состав ляющие компо- Рис. 2.12. Составляющие компонентов тензора напряжений, за- нентов тензора напряжений, обу- висящие от изменения ебъеиа словливающие изменение формы
(или сжатия), у которого главные напряжения равны среднему алгебраическому нормальных напряжений исходного напряженного состояния.
Отделение компонентов напряжений, зависящих только от объемной деформации (к которой большинство материалов чувствительно в меньшей степени), от компонентов, зависящих от формоизменения (к которому все материалы особенно чувствительны), имеет важное значение как для суждения о прочности в рассматриваемой точке, так и для описания законов деформации в окрестности той же точки тела (см. § 4.07).
Заметим, что первый инвариант шарового тензора напряжений совпадает с первым инвариантом тензора напряжений, г. е.
Oq = оср -f- оСр Ч- оср = Зоср = а1.
Первый же инвариант девиатора напряжений, очевидно, равен нулю. Действительно,
(о')а = (о, — Оср) + (Оу — оср) + (0г — оср) = 0.
Второй инвариант девиатора напряжений равен
(о"),в-Тт?т,
58
и, наоборот,
т. е. квадрат октаэдрического касательного напряжения с точностью до числового множителя равен второму инварианту де- виатора напряжений.
Ниже (§ 4.07) дана еще одна интерпретация этого же напряжения.
Исследования показывают*, что октаэдрическое напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению для той же точки и находится в пределах
0,941 > J[okt_> о,816.
‘tmax
Б. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ В ТОЧКЕ
§ 2.11. Обозначение компонентов деформации. Тензор
малой деформации
Деформация любого элементарного объема тела, имевшего, например, до деформации вид бесконечно малого параллелепипеда, может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т. е. разложена на составляющие. Так, в случае элементарного параллелепипеда имеется шесть составляющих деформации: три ее линейных составляющих (удлинения ребер) и три угловых (сдвиги)**.
На рис. 2.13 изображены эти составляющие деформации и указаны их обозначения, в основном известные из курсов сопротивления материалов.
Относительные удлинения ребер (деформации первого рода) обозначим е с индексом, указывающим направление удлинения, или ту ось, параллельно которой получено удлинение ребра. Положительными линейными деформациями считаем удлинения, отрицательными — укорочения.
При указанных на рис. 2.13 элементарных деформациях первого рода изменяются объем параллелепипеда и его форма. Так, если первоначальная форма была кубом, то после деформации она будет параллелепипедом.
Считается, что положительному сдвигу (деформации второго рода) соответствует уменьшение угла между положительны¬
* Ильюшин А. А. Пластичность. Гостехиздат, 1948, стр. 29.
** Шесть простейших составляющих деформации элементарного параллелепипеда, описанных ниже, характеризуют одновременно и полную деформацию, в точке, в которую стягивается рассматриваемый параллелепипед, если полагать длины его ребер устремляющимися к нулю.
59
ми направлениями осей; отрицательному — увеличение тех же углов. Углы сдвига (относительные сдвиги), проектирующиеся на плоскость ху, обозначаем уху (или w),. Соответственно для остальных плоскостей (yz, zx) углы сдвига ууг (или угу) и yZx (или уХ2).
При углах сдвига, пренебрежимо малых по сравнению с единицей (а такие именно углы сдвига и предполагаются в классической теории упругости), можно считать, что объем па-
z гг
Рис. 2.13. Обозначения компонентов деформаций
раллелепипеда, получившего деформации сдвига, не изменяется, а ребра не получают удлинений*.
Таким образом, при деформациях сдвига объем вокруг рассматриваемой точки остается неизменным, изменяется лишь форма.
Объемная же деформация приобретается лишь в результате удлинения ребер.
При более строгом описании деформации элементарного параллелепипеда возможно искривление его граней, т. е. превращение их в поверхности, каждая из которых имеет свою характеристику. Следует заметить, что дополнительные параметры, учитываемые в моментной теории упругости и характеризующие такие искривления (радиусы кривизны поверхностей и т. п.), представляются в целом малыми высших порядков мало¬
* Если предположить (рис. 2.13), что при сдвиге высота элемента остается неизменной, то получающиеся при этом удлинения наклоненных ребер составят величины более высокого порядка малости, чем углы сдвига.
60
сти относительно влияния указанных выше шести компонентов деформации. По этой причине в классической теории упругости и в современной теории пластичности деформация элементарного параллелепипеда предполагается вполне определяемой только шестью составляющими.
Если первоначальный размер каждой грани параллелепипеда принять равным единице (значит, объем такого кубика равен единице) и предположить одновременное наличие всех трех линейных составляющих деформаций (рис. 2.14), то приращение объема куба вследствие такой деформации (относительное изменение объема вокруг рассматриваемой точки), составит
е = (1+е,)(1 +
+ еу)(1 + вг) — 1.
Если считать удлинения пренебрежимо малыми по сравнению с единицей (а это и предполагается в классической теории упругости), то, развертывая указанное выше произведение и отбрасывая малые второго и третьего порядков, имеем
0 = + ву + в2, (2.30)
т. е. относительная объемная деформация в точке равна сумме относительных удлинений по трем ортогональным направлениям, проведенным через заданную точку *.
Вводя обозначение еСр= — (ex + e^-f е2) (называемое ниже средней деформацией), выражение (2.30) примет вид
0 = Зеср. (2.30а)
Следует отметить относительность расположения очередности индексов при обозначении углов сдвига’. Так, если ребро, первоначально параллельное оси ху повернуто в направлении к ребру, первоначально параллельному оси уЛ то происходящее при этом уменьшение угла можно обозначить уху (рис. 2.15). Если на тот же угол повернется второе ребро (параллельное
* Полученный результат не зависит от того, какой формы элемент выделяется из тела вокруг рассматриваемой точки (прямоугольный параллелепипед, превращающийся при деформации в косоугольный, или сфера, превращающаяся при деформации в эллипсоид, или какая-либо иная геометрическая фигура).
Рис. 2.14. Вычисление объемной деформации
61
оси у) по направлению к первому (параллельному оси л:), то угол сдвига можно обозначить уух*
Однако в обоих рассмотренных случаях деформация (уху или у ух) и зависящее от нее напряженное состояние по существу совершенно одинаковы, так как из случая (рис. 2.15,а) легко получить случай (рис. 2.15,6) путем жесткого поворота (следо-
а) о у 6)
У У ’ У
Рис. 2.15. Эквивалентные сдвиги (взаимность сдвигов)
вательно, без всякого усилия и деформации элементарного параллелепипеда) на угол уХу
Случаям (рис. 2.15,а и б) совершенно эквивалентен случай (рис. 2.15, в). Впрочем, случаев, подобных и равноценных по деформации сдвига, можно предложить неограниченное число, лишь бы во всех таких случаях уменьшения (или увеличения) первоначально прямого угла были одинаковы.
Таким образом, условливаясь в тождественности обозначений
Уху = Yух* Ууг Угу> Угх Ухг* (2.31)
(взаимность сдвигов), допускаем, что тот или иной способ изображения деформации сдвига геряет значение. Деформацию сдвига удобно изображать именно по схеме (рис. 2.15,в).
Итак, вследствие деформации сдвига фактические углы поворота ребер параллелепипеда, составляющих между собой до деформации прямой угол, различны. Например, при обозначениях, принятых на рис. 2.16, для ребра Ml поворот составит
+ (2.32)
а. для ребра М2
62
Все приведенные выше компоненты деформации вполне определяют деформацию элементарного параллелепипеда, так как путем наложения всех описанных составляющих можно построить модель деформированного элемента. Более того, как
показано в § 2.12, через эти компоненты деформации можно вычислить удлинение внутри параллелепипеда по любому направлению, не совпадающему с направлениями координатных осей.
Расположим все компоненты, определяющие собой деформированное состояние в рассматриваемой точке, в виде следующей матрицы, которую построим подобно тензору напряжений. Для этого поделим углы сдвигов пополам и полученное значение углов приведем в матрице дважды с перестановкой индексов
Рис. 2.16. Углы поворота ребер параллелепипеда, выраженные через жесткий поворот и относительный сдвиг
1
1
8*.
2
2 ^хг1
1
1
2 Уух’
•V
2
1
1
2
2 Угу’
ег-
(2.33)
Эту матрицу назовем тензором деформации. Так же, как и для тензора напряжений, здесь не требуется каких-либо сведений из тензорного анализа. Эту матрицу, свойства которой разбираются ниже (§ 2.13)*, не следует смешивать с определителем.
Отметим здесь одно из этих свойств. Так, если сложить все члены по главной диагонали, то получим ех + е?у + е2 = 0, т. е. относительную объемную деформацию. А так как'относительная объемная деформация вокруг данной точки не зависит от ориентации элементарного параллелепипеда относительно координатных осей и даже не зависит от формы элементарного объема (будь то параллелепипед, сфера и др.), то, следовательно, сум¬
• При изложении теории немалых, т. е. конечных, деформаций применение тензорного анализа вследствие его общности, ясности и краткости совершенно необходимо. Отказ от него приводит к очень громоздким и длинным формулам (см. Кутилин Д. И. Теория конечных деформаций, 1947).
63
ма диагональных членов (назовем ее первым инвариантом тензора деформации) инвариантна к ортогональному преобразованию координатной системы.
Так как тензор деформации симметричен (что сделано преднамеренно), то для простоты его можно представить в виде
1
1
е*.
TY,y,
~2
• »
еу*
• »
« »
®аг*
(2.33а)
Ниже (§ 4.01) показано, что при некоторых частных значениях упругих характеристик материала (когда коэффициент Пуассона для рассматриваемого материала равен нулю) любой компонент напряжений, взятый из матрицы тензора напряжений, прямо пропорционален* соответствующему компоненту деформации из матрицы тензора деформации, который располагается аналогично первому (в той же строке, в том же столбце). Коэффициент пропорциональности в этом случае для всех компонентов одинаков. Во всяком случае слагающие деформации и компоненты напряжений, наиболее зависимые друг от друга, занимают одинаковые позиции в тензоре деформации и в тензоре напряжений.
Итак, деформированное состояние в точке вполне определенно, если для этой точки задан тензор деформации.
В некоторых монографиях по теории упругости применяют и другие обозначения для компонентов деформации, которые в соответствии с вышеуказанными приведены в табл. 4.
Таблица 4
I
II
III
IV
е*
ехх
eu
ЕУ
еУУ
гУУ
e22
?zz
ezz
езз
Уху
е*У
оЕху
2^12
Ууг
Угх
еУг
ezx
2&yz
2eix
2е2з
2e33
Если, например, принять обозначения,- указанные в колон' ке hi, то тензор деформации примет вид
64
т. е. он будет сходен по начертанию с тензором напряжений, если для последнего принять обозначения, указанные в § 2.03 в колонке III.
§ 2.12. Исследование деформаций в окрестности заданной точки при известном тензоре деформаций для той же точки (аналогия теории деформации и теории напряжений)
Исследуем удлинение по произвольному направлению, проходящему через заданную точку твердого тела.
Пусть прямая MN (рис. 2.17) соединяет две точки, находящиеся в бесконечной близости друг к другу до деформации за-
Рис. 2.17. Схема исследования деформации по произвольному направлению
данного тела. Прямая MXN\ соединяет те же точки в деформированном состоянии. Обозначим L первоначальную длину отрезка АШ, причем очевидно, что
L2 = dx2 + dy2 + dz2. (а)
Направляющие косинусы отрезка MN в недеформированной конфигурации равны:
/ =
dx
L
(б)
Обозначим Lx длину MXNU причем согласно рис. 2.17, очевидно, имеем
L2\ = (dx + w* — и)2 + (dy + v* — v)2 + (dz + w* — w)2, (в)
где и, v, w — проекции смещения точки М, а и*, v*y w* — то же для точки N.
65
Эту длину можно выразить через первоначальную длину и относительное ее удлинение:
L, = L (1 + 8)«
Раскрывая скобки в (в), имеем
L2\ = dx2 + dy2 + dz2 -f- 2dx (u*—u) + 2dy (t>*— v) + 2dz (до* — до) -f -f (u* — w)2 + (fl* — y)2 -f (ДО* — ДО)2, (r)
с другой стороны
L2 = L2 (1 + 2e -f в2). (Д)
Вычитая (а) из (г) и пренебрегая квадратами приращений, имеем
L2 — L2 = 2dx («* — и) + (у* — v) + 2dz (до* — до).
Пренебрегая также членом е2 по сравнению с е, из (д) имеем
L2 — L2 = 2L2e.
Сопоставляя последних два выражения, получаем r L2e =* dx (и* — и) + dy (и* — и) + dz (до* — до)
или
d* и* — и ~L I
v* — v
L
dz w* — w
Т I
(е)
После дальнейшего преобразования (е) с применением некоторых вспомогательных соотношений из § 3.07 окончательно получаем следующее выражение для удлинения е по произвольному направлению [3]:
е = е/ + гутг + егп2 + у xylm + yyzmn + угхп1. (2.34)
Таким образом, удлинение какого-либо отрезка, проходящего через данную точку, можно выразить через шесть компонентов деформации той же точки.
Заметим, что выражение для удлинения в произвольном направлении в окрестности данной точки подобно относительно множителей при компонентах деформации выражению (2.06) для нормального напряжения по произвольной площадке, проходящей через ту же точку. Множители (двойки), имеющиеся в (2.06), при касательных напряжениях в (2.34) отсутствуют, но надо также отметить, что в тензоре деформации углы сдвигов преднамеренно приведены с коэффициентом 0,5.
66
Можно доказать, что между теориями напряжений и деформаций имеется полная аналогия. Все необходимые формулы в теории деформаций можно выражать аналогично соответствующим формулам в теории напряжений. Так, можно утверждать, что в каждой точке тела существует три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями деформации, которые обладают тем свойством, что волокна, направленные по ним, испытывают только изменения длин, т. е. сдвиги в главных осях деформации равны нулю.
Кубическое уравнение для определения главных удлинений аналогично (2.09) выразится с заменой компонентов тензора напряжений на компоненты тензора деформации, т.. е. ох на е*,
тХу на — уху и т. д. В результате получим уравнение
е3 — е2г1 + ее11 — еш = 0, (2.35)
где инварианты тензора деформации имеют вид
е1 = ех + гу 4- е2 = const,
е“ = «А + V* + »А— -J- + V») = const,
е111 = ехеуе2 + Д- ухууУ2у2Х — Д- (еху2уг+ еуу2гх+ ezy2y) = const.
(2.36)*
Значения главных удлинений обозначим и расположим в таком порядке:
Очевидно, в материале, свойства которого не зависят от направления (в изотропном теле), направления главных напряжений и главных деформаций должны совпадать. В самом деле, нет ведь никаких причин для того, чтобы симметричная система только нормальных напряжений вызвала несимметричную деформацию.
Итак, каково бы ни было в данной точке деформированное состояние, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через эту точку, которые были взаимно перпендикулярными также и до деформации. Эти прямые являются направлениями, для которых удлинения имеют характер¬
* Если применить обозначения компонентов деформации (табл. 4, колонка III), то инварианты тензора деформации аналогично инвариантам тензора напряжений, примут вид
е“ = еххеуу + еууе„ + е,геХх - (е2у + г2у2 + е2гх);
® ~ ^xx^-yy^zz 2еЛ£,е^г£г (б*4* -f-e22eXJ().
67
ные (стационарные) значения (максимум, минимум или мини- макс) .
Продолжая аналогию, удлинения в направлении, нормальном к октаэдрическим площадкам, выразим так:
еокт = -^ (ei + е2 + е3).
Для сдвига в октаэдрических плоскостях по аналогии с
(2.20) имеем
Yokt = -f - /(в, - ej* + (8,-ва)*+ («.-«!)* (2.37)
или в виде
Yokt = ll/^6* ~ ^ + К ~ **)*+ («, — »,)* + f (Y^ + + YL) •
(2.37a)
Для наибольшего сдвига по аналогии с (2.17) имеем
Ymax = — е8. (2.38)
В теории пластичности имеет большое применение величина, пропорциональная октаэдрическому сдвигу, а именно
_ 3
8< “ 2 /2(1 + ц) YoKT’
называемая интенсивностью деформации (или обобщенной деформацией). Итак, под интенсивностью деформации понимаем выражение *
ег = —/(в, - е2)2 + (в, - е3)2 + (в, - е,)2, (2.39)
2(1 +р)
где р — коэффициент Пуассона.
В пределах упругих деформаций, как это доказано в §4.02, между обобщенными напряжением и деформацией существует исключительно простая зависимость, а именно
а, = Ег1У (2.40)
где £ — обычный модуль упругости рассматриваемого материала.
* Удобство введения понятия об интенсивности деформации е* выгодно также и тем, что для случая одноосного растяжения или сжатия величина
равняется главному удлинению ej.
68
§ 2.13. Понятие о шаровом тензоре деформации и о тензоре-девиаторе деформации
Выделение средней деформации из тензора деформаций
Введем обозначение (ех + еу + е2) =еСр’ и назовем, его
средней деформацией. Очевидно, что
где е1 — первый инвариант тензора деформации.
В соответствии с гем, как показано в § 2.10, разложим тензор деформаций на два составляющих тензора, а именно
Т'деф — Т де'Ф + £*деф»
где 7^еф — шаровой тензор деформации матрицы
есР, 0, 0,
(2.41)
выражаемый в виде
/Цеф = I еср, 0, ^ (2.42)
0, 0, еср.
Тогда, очевидно, матрица, дополняющая (2.42) до полного тен-
^деф
вид
1 1
еср>
2 \ху% 2
1
1
TY"’
еу еср» 2 Ууг
1
2 ^гх*
8СР-
(2.43)
Матрицу (2.43) называют тензором-девиатором, или, короче, девиатором деформации.
Очевидно, что первый инвариант девиатора деформации, который характеризует изменение объема вокруг рассматриваемой точки, примет вид
\Ъ1)Д = (0)д = (е* - еср) + (е„ ~ 6СР) + (еа - еср) =
= ех + гу + гг — Зеср = 0.
Сумма компонентов шарового тензора и девиатора деформации, очевидно, представляет собой полные компоненты деформации, т. е. составляющие тензора деформации. Поэтому сделанное выше выделение объемной деформации и отделение
69
компонентов формоизменения можно рассматривать как разложение тензора деформации на шаровой тензор и на девиатор деформации.
Итак, шаровые тензоры напряжений и деформаций характеризуют объемную деформацию в точке. Девиаторы напряжений и деформации характеризуют формоизменение в окрестности той же точки.
Ниже (§ 4.03) показано, что все составляющие девиатора напряжений всегда прямо пропорциональны соответствующим по положению, т. е. находящимся в той же строке и в том же столбце, составляющим девиатора деформации; это характерно и для шарового тензора.
Как и тензоры напряжений и деформации, девиаторы не в меньшей, а еще в большей степени обладают свойствами, раскрывающими характер деформации (упругая или пластическая, момент наступления разрушения й др. см. гл. XVII).
Кроме приведенного здесь разложения тензора напряжений на шаровой и девиатор, иногда применяют и другие способы разложения (см. § 14.02).
§ 2.14. Краткие выводы по главе
1. Напряженное состояние вокруг заданной точки в данный момент определено, если известен тензор напряжений для этой точки и для того же момента времени. Напряжения на любой площадке, проведенной через данную точку, определяют через компоненты тензора напряжений линейными соотношениями.
Через каждую пространственно напряженную точку можно провести несколько особенных плоскостей. Действующие на этих плоскостях (площадках) напряжения являются в том или ином смысле характерными. Так, существуют три взаимно перпендикулярные площадки, которые не имеют касательных напряжений, а действующие на них нормальные напряжения имеют стационарные для данной точки значения (максимум, минимум, минимакс). Эти площадки называют главными площадками для нормальных напряжений.
Три пары площадок, которые делят пополам двугранные углы между главными площадками, испытывают стационарные значения касательных напряжений. Эти площадки называют главными площадками для касательных напряжений.
Значения касательных напряжений на этих площадках равны полуразности нормальных напряжений с тех главных площадок, по отношению к которым рассматриваемые две (из них одна биссекторная) главные для касательных напряжений площадки являются равнонаклоненными. Нормальные напряжения на этих площадках равняются соответственно полусуммам тех же главных напряжений.
70
Через ту же напряженную точку можно провести еще четыре плоскости, равнонаклоненные к главным площадкам и назы* ваемые октаэдрическими площадками.
Нормальные напряжения, действующие на каждой из таких площадок, одинаковы между собой и равняются среднему значению нормальных напряжений для той же точки. Касательные напряжения на таких площадках также одинаковы между собой по величине и принимают
Итак, через всякую пространственно напряженную точку можно провести тринадцать особенных плоскостей.
Возле рассматриваемой точки можно построить замкнутые геометрические фигуры, грани которых состоят лишь из плоскостей первой, второй или третьей группу. Так можно построить куб, грани которого совпадают с плоскостями главных нормальных напряжений (рис. 2.18). Назовем его главным кубом у данной точки.
Сечения с главными касательными напряжениями (при ai>a2>a3) образуют ромбический додекаэдр, окружающий куб или вписанный в него (рис. 2.19). Назовем его главным додекаэдром у данной точки.
Сечения с октаэдрическими напряжениями, как указано в § 2.09, образуют октаэдр (рис. 2.20). Назовем его главным октаэдром данной точки.
71
Можно построить геометрическую фигуру, включающую все описанные плоскости. Такую фигуру (26-гранник) можно назвать главным гексаикосаэдром у данной точки (рис. 2.21).
Если вокруг заданной точки построить сферу, то все точки на этой сфере, испытывающие те или иные характерные напряг жения (рис. 2.22), представляются точками касания сферы с
Рис. 2.20. Главный октаэдр, построен- Рис. 2.21. Главный гексаикосаэдр, по-
ный возле заданной точки строенный возле заданной точки
Рис. 2.22. Сфера бесконечно малого радиуса, на поверхности которой имеется 26 особых точек
приведенными выше геометрическими фигурами, если для последних эта сфера вписана в них.
2. Деформированное состояние в окрестности заданной точки в данный момент определено, если известен тензор деформации для этой точки и для того же момента времени.
Деформации по любому направлению (относительные удлинения) и в любых плоскостях (углы сдвига) определяются че¬
72
рез компоненты тензора деформации линейными соотношениями.
Существует полная аналогия между теорией напряжений и теорией деформации, и поэтому все характерное относительно особенностей напряженного состояния в точке сохраняется и в отношении особенностей деформации4. Так, через каждую
точку деформируемого тела можно всегда провести также три взаимно перпендикулярных направления, сдвиги между которыми равны нулю, т. е. эти направления взаимно перпендикулярны и до деформации (главные оси деформации). Через ту же точку можно провести четыре направления (октаэдрические) , удлинения по которым одинаковы (рис. 2.23).
Главный куб по деформациям (в изотропном теле он совпадает с главным кубом по напряжениям) остается прямоугольным параллелепипедом и после деформации.
Существует главный октаэдр по деформациям (в изотропном теле он совпадает с главным октаэдром по напряжениям), который будучи октаэдром до деформации, остается октаэдром (с другими размерами граней) и после деформации.
3. Тензоры напряжений и деформаций имеют по три основных инварианта, которые не зависят от выбора координатной системы и могут объективно характеризовать состояние материала в окрестности рассматриваемой точки.
Компоненты тензора напряжений в случае упругого процесса и малых деформаций находятся, как показано в главе 4, в однозначных линейных соотношениях друг с другом независимо от истории (последовательности) нагружения тела.
ЛИТЕРАТУРА [51]. 169], [79].
Рис. 2.23 - Главные оси деформации 1, 2, 3 и октаэдрические направления 4, 3, 6, 7 для точки М
3
ГЛАВА
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОЛЯ ДЕФОРМАЦИИ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
А. СТАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 3.01. Обозначения компонентов смещения и вращения
Представим себе сплошное твердое тело, прикрепленное к земле, к опорам и т. п., причем таким образом, что оно не может перемещаться как тело, абсолютно твердое. Тогда перемещения любой точки этого тела могут произойти только при деформации (упругой или пластической) самого тела.
Рассмотрим некоторую точку М (рис. 3.01, а) с первоначальными координатами х, у, г (т. е. до деформации тела), и пусть Mi — новое положение этой точки. Обозначим и, v, w проекции полного перемещения ММ\ на оси координат х, у, z и назовем их компонентами смещения, или проекциями вектора смещения.
Совокупность трех величин
и
V
W
(3.01)
кратко называется матрица-столбец смещения.
Компоненты смещения различных точек различны и являются функциями координат точки, т. е.
u-L(x,y>z), v = f,(x,y,z), w = fa(x,y,z) (3.01а)
74
Полное смещение точки М определится выражением
б = |/ы2 + v2 + w2 = ф (л:, у, г) (3.02)
и представляет собой также некоторую функцию координат.
* *
*
Около рассматриваемой точки М можно до деформации тела представить бесконечно малый параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3.01,6). Если предположить, что этот элементарный параллелепипед не претерпевает деформации (т. е. его объем и форма остаются неиз-
а) 6)
Рис. 3.01. Обозначение компонентов смещения (а). Параллелепипед до смещения и деформации и после нее (б):
■ - до деформации; после деформации и смещения
менными), то, для того чтобы определить его новое положение в связи с общей деформацией всего тела, очевидно, недостаточно трех компонентов смещения точки М, так как параллелепипед на пути ММ\ может также еще и повернуться относительно ребра Ml (параллельного оси х) или относительно ребра М2 (параллельного оси у)> или относительно ребра М3 (параллельного оси z), или относительно произвольной оси, не параллельной ни одной из координатных осей. В последнем случае надо говорить о трех составляющих угла вращения. Эти составляющие, называемые компонентами жесткого вращения, обозначим сох (поворот относительно оси х)у щ и (ог (то же относительно осей у и z)*.
* Частный случай, когда со х — (йу = со2 =0, т. е. при отсутствии поворота вокруг рассматриваемой точки, принято иногда называть чистой деформацией.
75
Зная смещения точки М и повороты, можно составить выражения для перемещения любой другой точки, например для вершины N того же параллелепипеда. Однако действительные координаты вершины N в смещенном положении являются иными, так как на пути ММ\ рассматриваемый элемент может претерпеть деформации, т. е. могут произойти изменения длин ребер, исказиться его первоначально прямые углы.
На рис. 3.02 показана одна из проекций элементарного параллелепипеда и в первоначальном его положении (Af—1—2),
Рис. 3.02. Проекция параллелепипеда до деформации и после нее
и в смещенном, но без учета собственных деформаций (Л^— /' 2')у и в действительной позиции (Mi—Г'—2").
Заметим, что приведенные выше компоненты жесткого вращения также являются функциями координат (т. е. изменяются при переходе от одной точки к другой), находятся в зависимости от компонентов перемещения (см. § 3.09). Они не вызывают напряжений и деформаций элементарного параллелепипеда * и потому здесь их не рассматриваем.
В курсе сопротивления материалов прогибы балок, углы закручивания валов и т. д. часто называют деформациями рассматриваемой конструкции. В теории упругости дается четкое их разграничение. Под компонентами деформации здесь понимают относительные удлинения и сдвиги в окрестности рассматриваемой точки, зависящие от напряженного состояния в окрестности этой точки. Компоненты смещения понимают как инте-
* Очевидно, также не вызывают напряжений в элементарном параллелепипеде и компоненты жесткого перемещения (случай поступательного смещения элемента без его деформации).
76
тральные характеристики, зависящие от деформации, тела в целом, например прогибы оси балки и т. п. Но возможны такие частные случаи, когда, например, смещения точки нет, но деформация в ней есть (точка остается на месте, но она имеет относительные удлинения и т. п.). Или может возникнуть следующий случай — смещение точки есть, но деформации нет, т. е. рассматриваемая точка, а возможно и некоторый объем вокруг этой точки переместятся в новое положение без деформации как одно целое твердое недеформированное тело.
§ 3.02. Обозначения компонентов напряжений в ближайших друг к другу точках (в декартовых координатах)
Представим себе сплошное тело (упругое или неупругое, находящееся в равновесии или в движении) и внутри этого тела через точку М с координатами х, у, z проведем какую-либо плоскость, например, нормальйую к оси х (рис. 3.03). Тогда
Рис. 3.03. Обозначения напряжений в двух бесконечно близких друг к другу точках, принадлежащих сплошному телу
компоненты напряжений для точки указанной плоскости обозначим G.X, Тух, Tzx-
Если в бесконечной близости от заданной точки М рассмотреть другую точку N с координатами x + dx, y + dyy z + dz и через эту точку также провести плоскость, нормальную к оси х, то компоненты напряжений для второй точки будут отличаться от одноименных напряжений у точки М на бесконечно малые величины. Эта разница тем меньше, чем блин^точка N к точке М, так как напряжения являются непрерывными функциями координат
Ох = F1 (х> У> г);
ТУХ = F* (Х> У• г)
и т. д.
77
Компоненты напряжений для точки Л/ с достаточной точностью можно выразить через компоненты напряжений в точке М в виде
т* = т +
ух ух 1
= %2Х +
да у , , до* , . да
—— dx 4—dy +
дх
ду
дг
dz,
6>Т.(/Л.
- dx -f-
foyx
dy 4- •
dry,
• dz,
дх
ду
дг
дТгх
dx 4“
дтгх
dy 4- ■
дтгх
■ dz.
дх
ду
дг
(3.03)
Смысл последних записей таков: мы допускаем функции напряжений разложимыми в ряд Тейлора, но отбрасываем члены второго и высших порядков малости
В случае если обе рассматриваемые точки находятся на прямой, параллельной одной из координатных осей, выражения (3.03) упрощаются. Так, если прямая MN параллельна оси х и, следовательно, dy = dz = 0, то
Т = Т 4-
ух ух г
= ^гх -J-
дах
дх
дГцх
дх
дгг*
дх
dx,
■dx,
dx.
Так как производная функция по какому-либо аргументу представляет собой интенсивность изменения функции с приростом этого аргумента, точнее — величину прироста значения
функции на «единицу» длины аргумента, то отношение умно¬
женное на dx, составляет прирост функции ах на длине dx. Ана- дх
логично -^dx — прирост Тух на длине dx и т. д. дх
На рис. 3.04 показаны обозначения нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным граням, видимым через компоненты напряжений по соответствующим остальным параллельным граням того же бесконечно малого параллелепипеда. Эти плоскости (закрытые первыми тремя гранями), примыкающие к точке М, приняты за основные, и потому напряжения,
* Эта же идея лежит в основе всех применений дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно малом линейными, неравномерные процессы — равномерными и т. д., если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Но не только эти применения, но и само создание анализа бесконечно малых возможно только потому, что материальные процессы имеют тенденцию в малых размерах приобретать равномерный характер (пока, разумеется, не влияет атомное строение вещества).
78
Рис. 3.04. Обозначения нормальных напряжений по всем граням элементарного параллелепипеда
Рис. 3.05. Обозначения компонентов касательных напряжений по всем граням элементарного параллелепипеда
79
действующие по плоскостям, отстоящим от основных в положительном направлении соответствующих осей, имеют дифференциальные приращения, (с положительным знаком).
Обозначения касательных напряжений даны отдельно на рис. 3.05. Заметим, что как бы ни были малы размеры граней элементарного параллелепипеда, однако и в пределах каждой грани напряжения, конечно, могут распределяться неравномерно. Поэтому следует считать, что указанные на рис. 3.04 и 3.05 обозначения компонентов напряжений имеют осредненные значения напряжений для каждой грани отдельно.
§ 3.03. Дифференциальные уравнения равновесия и движения
(статическое обследование)
Предположим, что тело находится в равновесии. Из этого тела около некоторой точки М мысленно вырежем бесконечно малый параллелепипед. Для него должны удовлетворяться шесть условий равновесия:
2Х = 0, 2Мх = 0, 2Н = 0, 2МУ = 0, .
22 = о, 2Л4г = о.
(а)
Если тело находится в движении, то правые части уравнений проекций (2Х, 2У, 2Z) не равняются нулю, а согласно второму закону Ньютона равны произведениям массы элемента на соответствующую проекцию его ускорения* (проекция инерционных сил).
Пусть для рассматриваемой точки М (ее можно считать, например, центром тяжести элементарного параллелепипеда) проекции пути (перемещения) на оси координат соответственно равны и (на ось л;), v (на ось у) и w (на ось г). Смещения w, v, w полагаем очень малыми; проекции ускорения примут вид
д2и (Pv d*w дР ’ дР 9 дР ‘
Аналогично изменяются и правые части уравнений моментов, где вместо нулей должны быть проекции моментов от тех же инерционных сил.
Подробно раскроем первое уравнение динамического равновесия (уравнение движения), т, е.
(б)
* Можно правые части равенств оставить равными нулю, если произведение массы на ускорение, но с обратным знаком (даламберовы силы инерции) подразумевать в составе объемной силы (X, У, Z),
80
Проекцию на ось Ох образуют нормальные и касательные напряжения, параллельные оси Ох. Раскрывая условие равновесия (б), имеем (рис. 3.04 и 3.05)
[ а, + dxj dydz — oxdydz + rxy + dy^-dxdz —
— TXydxdz + + ~x2~ dzj dydx — ххгdydx +
* d^u
+ Xp dx dy dz = p dxdydz —, (в)
где p — плотность вещества;
X — проекция на ось х объемной силы (например, силы тяжести), отнесенной к единице массы.
Таким же путем раскроем и два следующих уравнения динамического равновесия. После раскрытия скобок и выполнения сокращений уравнения проекций примут вид
дах
1
дгху
1
дххг
+ ^Р — Р
д2и
дх
1
ду
дг
dt2 ’
+
доу
+
дхуг
+ Ур = р
дЧ
дх
ду
дг
dt2 *
дтгх
+
дхгу
+
да2
+ zp = р
d*w
дх
ду
дг
dt*
Уравнения (3.04) для удобства можно представить в виде габл. 5 (после переноса членов с объемными силами в правые части).
Таблица 5
Уравнения
Левая часть уравнения с операциями
Правая часть уравнения
д
дх
д
ду
д
дг
без операций
с операцией
ч аг
dt2
о
II
><
(Ух
Хху
У'хг
X
и
о
II
'У ух
ау
Туг
Y
V
= 0
*гх
Т*У
(Уг
Z
W
Множители
—Р
р
81
Квадратная матрица компонентов левой части уравнений, над которыми производят соответствующие операции по указанной в таблице схеме, составляет тензор напряжений: Правая часть уравнений представляет собой матрицу-столбец из объемных сил и вторые производные от матрицы-столбца смещений.
Примечания: 1. В ряде задач теории упругости и теории пластич¬
ности массовые силы оказывают очень небольшое влияние, и поэтому при расчетах ими иногда пренебрегают. В таком случае в уравнениях (3.04) исключаются члены, содержащие X, У, Z. Если к тому же рассмотреть случай покоя (статическая теория упругости), то уравнения равновесия (3.04) окажутся однородными дифференциальными уравнениями. Если в этих уравнениях применить нумерованные обозначения напряжений и координатных осей (см. табл. 1), то такие однородные статические уравнения имеют следующий исключительно краткий вид:
В случае использования другой (не декартовой) координатной системы уравнения равновесия имеют вид, отличный от (3.04) (см. § 9.01).
2. При выводе (3.04) не сделано различия между величиной и положением до и после деформации тех площадок, на которых действуют напряжения. В случае больших деформаций (круг задач геометрически нелинейной теории упругости) необходимо учитывать различие между первоначальной и деформированной формами параллелепипеда, однако заметим (см. [69]), что по внешнему виду уравнения (3.04) сохраняются и в таком случае, если под координатами х, у, z, по которым выполняется дифференцирование в (3.04), понимать не координаты точек до деформации, а координаты окончательного положения точек.
Рассмотрим вторую группу уравнений — сумму моментов. Начнем, например, с условия ЪМУ = 0, причем для простоты выкладок начало координат примем в центре параллелепипеда. Моменты относительно этой оси t/оуо (рис. 3.06) создают только касательные силы, нормальные к ней, которые и указаны на рис. 3.06. Нормальные силы, не имеющие плеча относительно выбранной оси уоуо, не создают моментов. Поэтому на рис. 3.06 они не показаны. По этой причине не создают момента компоненты силы тяжести.
Предполагая общий случай движения, когда в данный момент времени рассматриваемый элемент имеет проекции угловых перемещений на оси координат со*, со^, coz, в правой части уравнений моментов (а) вместо нулей будут произведения момента инерции массы элемента на соответствующую проекцию углового ускорения, например
§ 3.04. Закон взаимности касательных напряжений
(г)
82
Раскрываем условие (г):
(т,г+ -^-dz'Jdx-dy-y + rx2dx-dy-^- — Tzxdydz-^
В последнем уравнении не все члены одинакового порядка малости. Так, члены тXzdx-dy-dz, %zxdxdydz — бесконечно малые третьего порядка, а члены
JlM.dx.dyAJ^dy.dzJ?-tj*4L
дг * 2 Эх 2. Я»
являются бесконечно малыми четвертого и пятого порядков, которые исключают из уравнения ввиду соседства их с малыми Низших порядков.
У
Рис. 3.06. Доказательство закона о сопряженности касательных напряжений
Из выражения (г) определяем
(Д)
Выражение (д)—известный из сопротивления материалов закон взаимности касательных напряжений *. Соответственно ему два других уравнения моментов имеют вид
Хху = Хух> Х2У = Ху2» (е)
* Для моментной теории упругости имеются, хотя в большинстве случаев и незначительные, отступления от указанного закона.
83
Выражения (д) и (е) объединенно можно выразить так: в каждых двух взаимно перпендикулярных плоскостях компоненты касательных напряжений, направленные перпендикулярно к линии пересечения этих плоскостей, равны между собой и при этом оба направлены либо к линии пересечения, либо от нее*.
Итак, к трем дифференциальным уравнениям (3.04), содержащим девять функций от координат рассматриваемой точки (ох, оу, az, тху> ТуХ, Туг, тгу, т2Х, тхг), по условию взаимности прибавляются еще три условия:
т = т .
а:у ух'
Таким образом, используя (3.05) в (3.04), число неизвестных функций уменьшаем до шести.
Так как число неизвестных функций (шесть) превышает число уравнений (три), то, следовательно, одного статического рассмотрения задачи недостаточно для решения поставленной задачи о нахождении шести функций. Иными словами, всякая задача теории упругости статически неопределима. Недостающие уравнения получаем, изучая происходящие в теле деформации и их зависимость от напряжений (т. е. физические свойства данного тела).
Эти геометрические и физические соотношения установлены ниже (§ 3.07 и глава 4). Число уравнений соответствует числу неизвестных функций. Интегрирование дифференциальных уравнений в конечном счете раскрывает вид искомых функций, но, как и всякое интегрирование уравнений, вызывает появление произвольных постоянных и неопределенных функций интегрирования, для нахождения которых необходимо использовать граничные, или поверхностные, условия (условия на контуре). Эти условия устанавливают зависимость внутренних сил (напряжений) у границы тела от внешних сил, приложенных к наружной поверхности исследуемого тела (§ 3.05).
§ 3.05. Условия на контуре тела
Дифференциальные уравнения (3.04) справедливы для любой точки тела внутри него, но для точек тела на его внешней
* Заметим, что закон взаимности (сопряженности) касательных напряжений является частным случаем общего закона взаимности напряжений: если при одной и той же точке напряженного тела построены две площадки, то проекция полного напряжения, соответствующего одной из этих проекций, ыа нормаль ко второй равна проекции напряжения, соответствующего второй площадке, на нормаль к первой. Например,
РХ\ ~ Р\Х» Pyv Pvr
84
границе (а для многосвязного контура и на его внутренних границах), очевидно, можно взять известные из главы 2 соотношения между компонентами непосредственно приложенной на границе тела внешней . нагрузки и компонентами напряжений внутри тела возле указанной границы. Эти уравнения (2.05) для краткости можно представить в форме
k=3
Р» = £ V* (t= 1,2,3). (3.06а)
k=\
Уравнения (3.06, а) назовем статическими граничными уело- виями.
Но, кроме статических условий на контуре, в задачах могут быть известные и кинематические граничные условия. Так, если
Рис. 3.07. К определению кинематических граничных условий
на какой-либо части поверхности тела осуществляется жесткая связь с каким-либо абсолютно неподвижным и абсолютно жестким (недеформируемым) другим телом, то для всех точек контакта первого и второго тел, очевидно, соблюдаются условия
и = v = w = 0, (а)
т. е. все компоненты для точек, контактной поверхности смещения отсутствуют.
Если же связь двух тел является неполной,'например, исследуемое тело соприкасается с жестким таким образом, что совершенно исключаются перемещения граничных точек в направлении, нормальном к поверхности контакта, но могут быть перемещения в направлении касательных к указанной поверхности (рис. 3.07,а), то для всех точек этой поверхности, очевидно, соблюдаются условия
и cos (rv) + vcos (yv) + wcos(zv) = 0
86
или в виде
ul + vm + wm = 0. (б)
Если оба контактируемых тела являются деформируемыми, то при наличии связей, показанных на рис. 3.07, а (т. е. допускающих проскальзывание одного тела по другому, но обеспечивающих общность смещений по нормали к контактной поверхности), кинематические граничные условия примут вид
ul + vm + wn = иЧ + vm + w*ny (З.Обв)
где и*у у*, w* — проекции смещения граничных точек второго тела.
Наряду с непрерывным (континуальным) контактом по определенной поверхности одного тела с другим могут быть закрепления или контакт лишь в отдельных точках (дискретные связи) , как это показано на рис. 3.07,6.
Очевидно, приведенные выше связи (континуальные и дискретные) могут быть односторонними (осуществляются лишь при нажатии одного тела на другое и отсутствуют при отделении тел друг от друга) и двусторонними.
В более общей постановке задачи (в некоторых динамических задачах) для определенных моментов времени на границе тела могут задаваться скорости, ускорения и т. д. для граничных точек. В таком случае имеются динамические граничные условия.
§ 3.05а. О статических уравнениях в других координатах
Приведенные выше дифференциальные уравнения равновесия (3.04) и граничные условия (2.05) выражены в декартовых прямоугольных прямолинейных координатах. Такая форма статических уравнений является широко распространенной. Вывод этих уравнений прост. В случае когда исследуемое деформируемое тело ограничено наружными гранями, параллельными той или иной координатной плоскости, то вид уравнений равновесия именно в декартовых координатах оказывается и самый удобный.
Однако при решении задач на равновесие или движение упругого тела, ограниченного криволинейными поверхностями, применяют криволинейные координаты, которые подбирают так, чтобы наиболее просто выразить граничные условия задачи.
Таким образом, вместо прежних обозначений х, у> 2, которые определяют положение рассматриваемой точки, в новой системе координат используем обозначения а, р, у.
Наиболее распространенными системами криволинейных координат являются полярные координаты на плоскости, цилиндрические и сферические в пространстве*
86
От уравнений, выраженных в одной системе координат, принципиально можно перейти к форме уравнений в других координатах, так как всегда можно установить зависимость между координатами точки в одной и другой системах.
Так, в сферических координатах (рис. 3.08) положение точки определяется координатами
а = г, Р = 0, у = ф,
где г—расстояние от центра сферы, ф — угол дальности и 0 — угол широты.
Рис. 3.08. Сферические координаты Рис. 3.09. Триортогональная систе-
ма криволинейных координат
Формулы преобразования криволинейных (в данном случае сферических) координат в декартовые имеют вид
х = r-sin0-cos ф,
у — г-зтО-эшф, г = г*cos 0.
(3.06)
Использование (3.06) в уравнениях (3.04) и (2.05) позволит выразить уравнения равновесия в сферических координатах. Аналогичным путем можно произвести переход от декартовых координат к любым другим криволинейным координатам.
Однако вместо чисто математического преобразования обычно оказывается более целесообразным вывод уравнений равновесия в новых координатах путем непосредственного составления статических уравнений (см. гл. 9 и 10).
В соответствии с той или другой выбранной криволинейной координатной системой принимается и соответствующая форма
87
элементарного объема (вместо прямоугольного прямолинейного параллелепипеда). Так для триортогональной системы криволинейных координат элементарный объем выбирается ортогональным криволинейным параллелепипедом, заключенным между поверхностями а и a + da, р и P + dp, у и y + ^Y (рис. 3.09).
Б. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ч
§ 3.06. Обозначения компонентов смещения вблизи
заданной точки
Для компонентов смещения точки М(х, у, z), находящейся внутри заданного сплошного тела, приняты (§ 3.01) обозначения и, v, w (рис. 3.10). Если в бесконечной близости от задан-
Рис. ЗЛО. Компоненты смещений двух бесконечно близких точек, принадлежащих непрерывному телу
ной точки М рассмотреть другую точку JV, координаты которой до деформации были x+dx, y + dy, z + dz, то компоненты смещения соседней точки, обозначенные на рис. 3.10 и*, v*, w*% можно с достаточной точностью представить в виде
а = и + dx + dy + -т^- dz, дх ду dz
• . dv 1 . dv * | dv ,
v = v H dx H—-— dy -| - dzt
dx dy dz
ш . dw j , dw j . ддо ,
w = w H dx H—— dy H—— dz.
dx dy dz
(3.07)
Аналитическая интерпретация, выраженная (3.07), такова, что полагаем функцию смещения, а следовательно, и компонентов смещения непрерывной, раскладываемой в ряд Тейлора, но отбрасываем члены второго и высших порядков малости. Это допущение находится в соответствии с предпосылками класси-
88
Л.
ческой теории упругости, но, очевидно, не может быть принято в тех случаях, когда ожидаемые смещения точек тела не являются малыми.
Если обе рассматриваемые точки находятся в плоскости, параллельной одной из координатных, и тем более лежат на прямой, параллельной какой-либо оси, то формула компонентов
У
v+dy Ф - ■<
1
f
/
/
9*
1 . ^
\
\ \
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
к „
1
ър
м
Ф1§!
j
ди , и+дх«л
dx
Рис. 3.11. Обозначение компонентов смещений концов отрезка прямой в частном случае расположения в пространстве со~ седних точек
смещения соседней точки упрощается. Так, если точки М и N находятся в плоскости, параллельной координатной плоскости х—z, и прямая MN параллельна оси х, то dy = dz = 0 и потому
и = и-\ dx, v = v -4 dx,
дх гдх
* . dw z
w = w H ox.
dx
Отношение — можно истолковать как интенсивность разок
вития (градиент по длине в отличие от градиента во времени и т. д.) в горизонтальном направлении горизонтальной компоненты и. Если его умножить на dx, оно представит приращение горизонтального перемещения на длине dx. Аналогично можно истолковать вторые слагаемые в выражениях остальных компонентов (3.07)
На рис. 3.11 показаны приращения компонентов смешения для двух точек А и В, находящихся в бесконечной близости с точкой М, для которой компоненты смещения и, v заданы; все эти три точки лежат в плоскости ху, а отрезки МВ и МА параллельны осям х и у.
89
§ 3.07. Дифференциальные зависимости компонентов малой деформации от компонентов смещения (в декартовых координатах)
Около заданной точки М внутри сплошного тела мысленно плоскостями, параллельными координатным, выделим бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 3.12).
Статическое обследование такого элементарного объема проведено в § 3.03. При деформации тела он переместится и прои-
ции
зойдет его деформация — изменятся длины его ребер и исказятся первоначально прямые углы между гранями.
Для дальнейшего достаточно изучить удлинения ребер М—/, М—2, М—3 (линейные деформации) и изменения углов 1—М—2, 1—М—3, 2—М—3 (сдвиги, т. е. угловые деформации).
Пусть на рис. 3.13 изображена проекция рассматриваемого параллелепипеда на плоскость ху (abed — проекция до перемещения и деформации, axb\C\dx—проекция после перемещения и деформации).
Компоненты смешения для точки а обозначим, как и прежде, и и V. Компоненты смешения точек b и с на рис. 3.13 выражены согласно § 3.06 для случая весьма малых деформаций.
Из рассмотрения рис. 3.13 следует, что относительное удлинение ребра ас (Ml по рис. 3.12), первоначальная длина которого dx выражается (с точностью до бесконечно малых первого порядка) так:
/ ди \
и + d.\ 4- Их — и ) — dx
__ ахс2 — ас __ \ ох / ди
х ас ах бх
90
Аналогично для относительного удлинения вдоль оси Оу имеем
(» + ■— dy + dy — v^ — dy
ab ду
Для угла поворота ребра аЪ в плоскости Оху имеем
_ axb2 — ab _ гу “
до
ду
tga =
ди
и + —— dy — u ду
dv
v+ — dy+ dy — v ду
ди
ду
dv
1 + ^7
по сравнению с единицей (случай конечных перемещений исключаем из рассмотрения), получаем
tg azza =
8у
Аналогично для угла поворота ребра ас в той же плоскости Оху имеем
dv
clx
91
Итак, относительный сдвиг, т. е. искажение прямого угла Ъас (его уменьшение), равен
, п ди . ди
При помощи круговой подстановки, не делая специальных выкладок, можно дать выражения сдвигов и в других координатных плоскостях. Таким образом, имеем следующие дифференциальные зависимости для относительных удлинений е и относительных сдвигов
е* =
е,=
в*в
Уху =
Y*-
Угх =
ди
дх
ди
ду
dw
~дГ
ди dv + ~дхч dv , dw t
~дГ
dw , ди дх дг
(3.08)
Уравнения (3.08) называют уравнениями Коши*.
Если применить необычные обозначения компонентов деформации (см. табл. 4), а также принять обозначения координатных осей *i, лг2, Хз и составляющих смещения ии и2, иг, то уравнения (3.08) примут вид
еи —
е22
езз —
-и
т(
и
ди1
дх{
, ди, У дх, )
1 » 812 ~
i(
дих
дх.
+ -
ди, > дх, у
ди2
дх.
• ди2 ^
+ дх , у
| » е23 =
т(
f ди, ч дх3
■ +
ди3 дх2
ди3
, ди, > дх, у
\ р —
_!_/
' ди3
- +
ди.
дх3
) * Ь31 —
2 '
к дх.
дх.
У
Отмечая полную аналогию шести зависимостей, любой компонент, деформации кратко можно выразить так:
8
( дЩ \ **k
+
\
дх, )'
* Соотношение (3.08) и получаемые из него уравнения (3.09) составлены применительно к декартовым координатам. В случае использования других координат (см. гл. 9 и 10) эти соотношения имеют другой вид.
92
Дифференциальные уравнения равновесия и геометрические уравнения, составляя девять уравнений, содержат в общей СЛОЖНОСТИ 15 НеИЗВеСТНЫХ (сГх, Фг Туг» tzxi 6у> 8Z, У*У» Yyz, Yzx, и, и, w). Следовательно, для полного решения поставленной задачи к полученным двум группам уравнений необходимо добавить еще шесть уравнений, но при условии, что эти новые уравнения не содержат новых неизвестных. Такими уравнениями являются условия упругости для упругого тела, условия пластичности для тела, пребывающего в пластическом состоянии, особые уравнения для упруго-ползучего тела, т. е. это физические уравнения, вид которых в каждом отдельном случае зависит от свойств тела и его состояния (см. главы 4—6).
Уравнениями (3.04) и (3.08) определяются уравнения механики сплошной среды, одинаковые для теории упругости, теории пластичности и теории ползучести, как для твердых тел (строительных конструкций), так и для тел, находящихся в других состояниях (жидкостей, рассматриваемых в гидравлике и др.).
Прежде чем закончить изложение общих уравнений механики сплошной среды, установим весьма важное свойство деформации сплошного непрерывного тела, известное под названием «условия неразрывности деформаций» (§ 3.08).
§ 3.08. Уравнения неразрывности деформаций
Перемещение любой точки сплошного тела определяется тремя функциями
и, v, w\ (а)
деформация данной точки определяется шестью функциями
8,. V 8а> ухв, Yyz> Y„- (б)
Уравнения (3.08) показывают, что если заданы три функции и, v, w, то этим определятся все шесть составляющих деформации (б), так как они выражаются через первые производные от составляющих перемещения *.
Таким образом, очевидно, все шесть функций для компонентов деформации (б) произвольно задать нельзя, между ними должны существовать какие-то зависимости, которые установлены ниже.
Число таких зависимостей равно шести, и они делятся на две группы: I группа — зависимости между составляющими деформации в одной плоскости и II группа — зависимости между составляющими деформации в разных плоскостях.
* В уравнение (3.08) входят девять неизвестных, и потому для их решения необходимо задаться любыми тремя неизвестными. Так, задавшись тремя компонентами перемещения из (3.08), найдем шесть составляющих деформации; задавшись тремя линейными деформациями, найдем три перемещения и три угловые деформации; возможны и другие комбинации.
93
. Для группы I из системы (3.08) продифференцируем два первых уравнения:
д2гх д3и ' д2&у d*v
ду2 дх • ду2 ' дх2 ду • дх2
Складываем эти уравнения почленно
ду2
+
д2е
дх2
у .
д*и
+
d*v
д2
дх • ду2 ду • дх2
дх • ду
ди , dv 1
ду ^~д7 J
и замечаем, что выражение в скобках — деформация сдвига уху- Таким образом, для каждой точки существует зависимость между удлинениями и углом сдвига в каждой плоскости вида
д*гх + дЧу = д2ухи ' ^
ду2
дх2
дх • ду
Итак, если заданы уравнения двух линейных деформаций, то это предопределяет и угол сдвига:
VA
\ху
Аналогично зависимости (в), установленной для плоскости хуу можно установить зависимость для деформации в других плоскостях, как это представлено ниже в виде (3.09).
Для вывода зависимостей группы II дифференцируем
(3.08) следующим образом:
дуУг d2w , d2v в
дх дх • ду dz • дх *
ду2Х __ д2и d2w
ду ду • dz дх • ду
духу — д2р дРи
дг dz * дх ду • dz
Сложим первых два уравнения и вычтем из этой суммы третье:
д Yj/z , дугх духУ о д*и> дх ду dz дх * ду'
Полученное уравнение еще раз дифференцируем по г и, замечая, что
d3w
дх * ду * дг
д2 dw
дх • ду дг
дЧг
дх ♦ ду 9
получаем
д Г дууг дугх дух9 1 _ 2 дгег дг [ дх ду dz J дх • ду
(Г)
94
Уравнение (г)—одна из зависимостей группы II. Из (г) следует, что если заданы три деформации сдвига (Уху, Ууи Угх)* т. е. известны для них уравнения, то этим определяется (и не может быть задано произвольно) удлинение ez, т. е.
Делая в уравнении (г) круговую подстановку, получаем еще два уравнения такого же вида, как (г). Итак, имеем следующую систему уравнений:
д*Ех
_4_
&Ч _
&Уху .
ду2
дх2
дх • ду
дЧу
+ ■
d2ez _
д*Хуг .
дг2
ду2
ду • дг
д2г2
+ -
д*вх __
<?Угх .
дх2
дг2 “
дг • дх *
""
J_(
' д\'уг
дУгх
дУху \ о
дгег .
дг \
. дх
ду
дг }
дх • ду *
— (
’ d\zx
+
духу _
дУуг \ о
дЬх .
дх \
. ду
дг
дх J
ду • дг
— <
' духу
• +
дУуг
дУгх \ о
д*еу
ду \
v дг
дх
ду )
дг . дх
Уравнения (3.09), выведенные Сен-Венаном, называют уравнениями (условиями) совместности или неразрывности деформаций.
Физический смысл этих уравнений таков. Если, задаваясь деформацией, их не учитывать и для каждого из параллелепипедов, на которые мысленно разбито тело, назначить шесть независимых составляющих деформаций, то из отдельных таких деформированных параллелепипедов нельзя сложить непрерывного деформированного тела. Иными словами, заданное тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и непрерывным после деформации *.
Если по заданным нагрузкам можно точно найти перемещения точек тела (w, vt w), то после этого деформации вычислим
* Весьма наглядно условие совместности деформации* представляется на примере фермы (стержневой системы с жесткими или шарнирными узлами), стержни которой после удлинения (или укорочения), вызванного нагрузкой, образуют замкнутую фигуру вида, сходного с первоначальным видом фермы.
95
по формулам (3.08). В этом случае условия неразрывности будут удовлетворены, так как они выведены из уравнений (3.08) и являются их следствием.
Если по заданным нагрузкам определить напряжения и затем деформации, то при этом необходимо одновременно удовлетворить и уравнениям неразрывности (3.09). В противном случае деформации несовместны и невозможно определить перемещения из уравнений (3.09), так как в них будут взаимные противоречия.
Энергетический смысл уравнений (3.09) заключается в том, что осуществлению указанного принципа неразрывности деформаций соответствует в упругом теле минимальное значение накапливаемой телом потенциальной энергии деформации *.
Таким образом, для упругого тела принцип наименьшей работы деформации и уравнения совместности деформаций тождественны между собой (хотя в теории и расчетах они не могут полностью заменять друг друга).
В несколько иной форме указанный минималистский принцип и его тождественность уравнениям неразрывности деформаций, между прочим, сохраняются и в случае пластических деформаций.
Уравнения (3.09) установлены для трехмерной задачи, в других случаях число независимых уравнений неразрывности другое **.
§ 3.09. Оценка точности уравнений (3.08) с позиций нелинейной теории упругости
При выводе геометрических уравнений механики сплошной среды (3.09), принимались, как известно, соответствующие допущения, без которых окончательные выражения для компонен¬
* Предположение о том, что нарушение условий неразрывности (например, образование трещин в сплошном теле, разрыв стержня в ферме и др.) должно именно увеличить работу внешних сил (сумма, составленная из произведений внешних сил на соответствующие им перемещения), очевидно, так как это явление зависит от увеличения перемещений тела (прогибы ферм и т. п.) против того случая, когда соблюдаются условия неразрывности.
** В. 3. Власов (Общая теория оболочек, 1949) установил, что в общем случае евклидова пространства, имеющего п измерений, число независимых уравнений неразрывности определяется формулой
12
При л=2 (плоское напряженное состояние) 1 = 1; при п— 1 (одноосное напряженное состояние) t=0; при я = 4 (например, четвертое измерение — время) t = 2Q.
96
тов деформации значительно осложняются. Приведем без вывода из книги В. В. Новожилова «Основы нелинейной теории упругости» выражения для относительного удлинения и сдви-. га [69] (если не делать вышеупомянутых допущений):
К = е* + Y [ el + (Y Уху + ) + (■\Ухг — ;
Уху Уху “Ь 8дг(~ Уху а.г) 8 г/ (“Уху "Ь "Ь
(3.10)
где е* и у*ху — точные значения компонентов деформаций; гх и другие (без звездочек) — приближенные значения, согласно (3.08).
Рассматривая случай, когда малы по сравнению с единицей не только компоненты деформации, но и углы поворота, получаем [69]
г* « е + —(со2 + со2) •
X X 1 2 ' ^ г' 9
Ух„™Уху-~<»Х<»У
(3.11)
Если, наконец, предположить, что квадратами и произведениями углов поворота в формулах (3.10) можно пренебречь, то получим формулы классической линейной теории упругости, т, е.
ди
~д7 ’
*ху
'ху
ди ди
ду дх
И Т. Д.
Таким образом, использование линейных выражений для компонентов деформаций (3.08) возможно лишь при соблюдении следующих условий:
а) удлинения, сдвиги и углы поворота малы по сравнению с единицей;
б) квадратичные комбинации углов поворота, входящие в формулы (3.11), малы по сравнению с соответствующими компонентами деформации.
Последнее условие приблизительно можно сформулировать как требование, чтобы квадраты углов поворота были пренебрежимо малы по сравнению с удлинениями и сдвигами.
97
Если тело массивно, т. е. имеет одинакового порядка протяженность во всех трех измерениях, то соблюдение условия а) влечет за собой и соблюдение условия б).
Иначе будет, если тело гибкое. В этом случае углы поворота могут значительно превышать удлинения и сдвиги.
Итак, очевидно, что областью применения линейных формул
(3.08) являются деформации массивных тел, а областью применения нелинейных формул (3.10) и (3.11) —деформации гибких тел.
Нелинейная и классическая теории упругости занимаются фактически конечными деформациями и притом одного порядка малости [69].
Разница по этим теориям в определении деформаций заключается в том, что линейная теория пренебрегает влиянием поворотов на удлинения и сдвиги, а нелинейная его учитывает.
В соответствии с этим повышается не только точность решения задачи, но оказывается возможным применить нелинейную теорию для более широкого класса задач (например, для проблем упругой устойчивости оболочек и т. д.).
§ 3.10. Краткие выводы по главе
1. В этой главе установлены важнейшие статические (3.04) и геометрические (3.08) уравнения механики сплошной среды в случае малых деформаций. Эти уравнения широко используют в теории упругости, в теории пластичности и в теории ползучести, так как сущность этих уравнений не связана с конкретной физической природой исследуемого тела (твердого, жидкого, газообразного, упругого, пластического и др.).
2. Основным и непременным условием для применения уравнений (3.04) и (3.08) является предположение (гарантия) о том, что рассматриваемая среда, будучи сплошной, т. е. непрерывной до деформации, остается сплошной, г. е. непрерывной и в процессе деформации. Аналитически эту мысль выражают так называемые уравнения неразрывности деформации (3.09).
3. Статические уравнения при отсутствии объемных сил кратко можно представить в виде
i=з
(6 = 1, 2, 3),
при этом согласно закону взаимности напряжений
Xik —
98
4. Геометрические уравнения кратко можно представить в виде
где и\, Ы2, иг — компоненты смещений рассматриваемой точки по направлению осей координат Х\, х2, Хг.
5. Отсутствие в приведенных уравнениях конкретных физических особенностей рассматриваемой среды (упругой или пластической и др.) не позволяет (как правило) при помощи этих уравнений полностью решить задачу о напряженном и деформированном состояниях любого тела. Для этого необходимо изучение деформаций и с физической точки зрения.
ЛИТЕРАТУРА
[51], [69], [75],
«Мысль человека бесконечно углубляется от явления к сущности, от сущнос7И первого, так сказать, порядка к сущности В7орого порядка и 1. д беэ конца»
Ленин В, И. Философские тетради, Г ос Политиздат 1947, стр, 237*
2
РАЗДЕЛ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ТОЧКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
4
ГЛАВА
ЛИНЕЙНОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО
§ 4.01. Связь компонентов напряжений с компонентами деформации для случая линейного упругого тела —
обобщенный закон упругости
Для случая самого простейшего в реологии тела, а именно для линейного упругого тела, связь между компонентами тензоров (и девиаторов) напряжений и деформаций легко установить путем распространения на общий случай пространственного напряженного состояния в точке известных из курса сопротивления материалов законов Гука для одноосного растяжения- сжатия и чистого сдвига в идеально упругом теле. Практическая возможность такой экстраполяции оправдывается опытом для большинства материалов, применяемых в технике, при соблюдении следующих условий:
а) одновременное наличие всех компонентов напряжений, а также их действие порознь не переводят материал в пластическое состояние, т. е. материал испытывает упругие деформации;
б) материал практически можно считать изотропным *;
в) деформации ничтожно малы по сравнению с размерами изучаемого тела;
г) процесс деформации предполагается вначале изотермич- ным **.
* Случай анизотропных материалов входит в область теории упругости, но обычно составляет специальный раздел (см., например, [55]). В настоящей книге эти случаи не рассматриваются, а сделаны лишь краткие замечания (см. § 4.06).
** В круг ведения классической теории упругости входят не только изотермические, но и адиабатические процессы, а также и другие возможные обратимые процессы деформации, зависящие от изменения температуры. Однако последние задачи составляют специальный раздел теории упругости.
102
Приведенные условия позволяют применять принцип независимости действия сил и элементарные законы (при одноосном растяжении и сдвиге) для вычисления деформаций по любому направлению внутри рассматриваемого параллелепипеда.
Пусть вначале имеется действие одних только напряжений о*, т. е. одноосное напряженное состояние. Тогда элементарный параллелепипед получит следующие относительные удлинения: в направлении оси к согласно первому закону Гука
в
X
(Т
х
Е '
а в направлении осей у иг, являющихся поперечными по отношению к направлению действующего усилия, согласно закону Пуассона
где Е — модуль упругости, постоянный для изотропного материала (в пределах упругости), и ц — коэффициент Пуассона*.
Полагая затем действие одних только напряжений а„, путем аналогичных рассуждений получаем
Наконец, рассматривая действие напряжений ог, имеем
Во всех трех отдельно рассмотренных случаях действия нормальных напряжений отсутствует перекашивание прямых углов (углы сдвига) на гранях элементарного параллелепипеда. Касательные напряжения, наоборот, как известно, искажают форму параллелепипеда: удлинения ребер отсутствуют: точнее, эти удлинения пренебрежимо малы по сравнению с деформациями сдвига **.
* Этот коэффициент в случае конечных деформаций не будет величиной постоянной, а будет функцией величины самой деформации (хотя рассматривается упругий процесс); при малых же деформациях, изучаемых в линейной теории упругости, он может приниматься постоянным.
** Независимость касательных деформаций или напряжений от нормальных напряжений или удлинений можно мотивировать также известным в строительной механике законом прямой и обратной симметрии. При прямо симметричном воздействии (наличие только нормальных напряжений, равномерно распределенных по параллельным граням параллелепипеда) нет антисимметричных компонентов деформаций, т. е. сдвигов. При обратно симметричном воздействии (наличие касательных напряжений) отсутствуют прямо симметричные компоненты деформации, т, е. удлинения ребер.
103
Совокупность касательных напряжений хху=тух вызывает перекашивание граней, параллельных плоскости хОу, и оставляет без искажения другие грани параллелепипеда. Согласно второму закону Гука имеем
1ху
ххУ
G '
У'уг = VL = °.
где, как известно,
0 = — .
2(1 +ц)
Аналогично от действия системы xyz=xzy имеем
±у*-- v" = v' =0 G * vху
а от касательных напряжений тгх=тЖг получаем
У"' = у'" - - у'" = 0.
п 9 *ху т yz
Таким образом, наличие всех компонентов напряжений, показанных на рис. 2.03, определяет следующие составляющие деформации:
е, = [ст*_ I* К + а*)]> v*v=
К “ И К + °,)1. Ууг = “I5-; 8г = -J- [ог - р. (ох + аД угх = -Jk
(4.01)
В этом виде закон упругости обычно и выражается для изотропного тела. Выражения (4.01) можно сформулировать так: компоненты тензора деформации; в данной точке тела находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений той же точки.
При р, = 0 любой компонент тензора напряжений прямо пропорционален соответствующему компоненту тензора деформации.
§ 4.02. Различные выражения обобщенного закона
упругости
В формулах (4.01) составляющие деформации выражены через составляющие напряжения. Часто бывает необходимо иметь обратные зависимости, т. е. напряжения, выраженные
104
через деформации. Для этой цели решим уравнения (4.01) относительно ох, оу и т. д. и получим
0, = 2G
+
3|ы
8 1
г
^Уху’
1 —2jli
ЬСр
> 1ху
0, = 2G|
у
3(ы
8 1
т
=
1 — 2ц
Ьср
» 1Уг
ог = 2G
4 +
Зц
8 1
х
=
1 — 2jli
fccp 1
► Т2Х
где еср —средняя деформация, т. е.
, еср = (ех “Ь еу "Ь ег)*
(4.02)
Уравнения (4.02) для нормальных напряжений можно представить и в таком виде:
ох = 2.Gsx 1
Gy = 2Gey + ^0; l
о2 = 2Ge2 А-0, j
0 = Зеср,
2|и G 1 — 2jli
(постоянная Ляме).
Отметим, что из (4.02) вытекают следующие зависимости: ox-ay=2G(ex-eyy, j ог = 2G(ey — е2); [ ог — ах = 2G (ег — ej J
И
(4.02а)
(а)
‘ Gg _ Gy __ &у; 6/
Gy ^2 ®1у е2 ^2 CJ* е2
Эти пропорции определяют собой геометрическое подобие известных из курсов сопротивления материалов кругов Мора — для напряжений (в координатах о, т) и для деформации (в координатах е, у).
Применительно к «главному кубу», построенному около данной точки, выражения (а) примут вид
Oj — сг2 == 2G (е, — е,), аг — а3 = 2G (е2 — е8), (б)
о3 — а, = 2 G (е8 — е,).
Замечая, что на основании (2.16)
Oj о2 — 2т j2, о2 о3 ^т23 и о3 О] — 2т31,
105
а согласно (2.38)
е1 е2 — Yl2> е2 ®3 — Yi3 И е3 — Y3lt соотношения (б) выразим так:
Т,2 = GYi2» ^23 = ^Y 23 И = @Уз1* (в)
Последние выражения, очевидно, можно получить и непосредственно, рассмотрев около заданной точки параллелепипед, для которого по двум его парам параллельных граней действуют касательные напряжения Ti2=T2i, или тгз = тз2, или Т31=Т13 (т. е. две пары граней такого параллелепипеда принадлежат граням «главного додекаэдра»).
Применяя к такой схеме напряженного состояния непосредственно второй закон Гука, получаем соотношение (в).
Построим у той же рассматриваемой точки куб, ориентированный относительно главных площадок так, что по двум парам параллельных граней такого куба действуют касательные напряжения, по величине равные октаэдрическому касательному напряжению т0кТ (т. е. пара граней куба принадлежит граням «главного октаэдра»)вЕсли т0Кт имеет направление действия, параллельное какой-либо стороне этой грани, то применительно к такой схеме напряженного состояния по второму закону Гука
Vt = GYokt- (4.03)
Через главные нормальные напряжения выражение (4.03) на основании (2.19) и (2.37) примет вид
Т0„т =- -J V(<?! — 02)2 + (о, — Оа)2 + (Ста — ОТ,)2 =
= G • 4- VW- ег)2 + (е, - ез)2 + (ез - е,)а . (4.03а)
О
■ Введем обозначения
з _
7Гт°к,-°<-
з
2 /2 (1 + м)
YoKT
(4.036)
Величина о<, как указывалось выше, является обобщенным напряжением (интенсивностью напряжения), а величина е4 — обобщенной деформацией (или интенсивностью деформации).
Учитывая зависимость 0= , равенство (4.03) можно
представить в наиболее простой форме:
о, = £е(. (4.04)
В справедливости (4.04) также можно убедиться, проделав с выражением обобщенного напряжения (4,036) следующие
106
преобразования. Сначала выразим (4.036) через составляющие напряжений (при помощи инвариантов тензора напряжений) в виде
а, = Kf-У(ох — оу)2 + (ау — azf + (аг — ах)2 + 6 (т^+ т%+ tL) ,
(4.05)
Заменим теперь разности компонентов нормальных напряжений через разности относительных удлинений согласно (а) и составляющие касательных напряжений — через углы сдвига согласно (4.02). Тогда после вынесения за знак радикала 20 правая часть (4.05) представится аналогично правой части
(4.04), где очевидно:
8‘ - 2(1 +ц) Х
х — е(/)2 + (ву — е*)2 + (е* — е*)2 +4- (Ухе + У% + Y«) *
(4.06)
Выражение (4.06) по существу является уравнением (4.036), но оно выражено через иные компоненты деформации [см. также (2.39)].
При наличии шести условий (4.02) выражение (4.04) в теории упругости можно рассматривать как контрольное. В теории пластичности, где неизвестным является также и коэффициент Е (это уже не модуль упругости), уравнение (4.04) или его варианты, например (4.03), входит в систему (4.02) как одно из важнейших условий.
Примечание. Если в процессе простого или сложного нагружения для каждого последующего момента времени интенсивность напряжения о* и интенсивность деформации е, превышают их значения для предыдущего момента времени, то такой процесс деформации называют активной деформацией. В противном случае деформацию считают пассивной. •
Такая классификация деформации не имеет значения для теории упругости, но приобретает важные значения в теории пластичности, где отмечается различие законов нагрузки и законов разгрузки.
§ 4.03. Закон упругого изменения объема и закон упругого
изменения формы
Сложим левые части первых трех уравнений в выражениях
(4.01) и приравняем их сумме правых частей тех же уравнений. Тогда
1 — 2ц
(°* + 0 у + °z)'
ех + гу + е2 =
Е
(а)
107
Так как
+ + =6ср и Y^o* + 0l, + 0^ = °ср
составляют средние деформацию и напряжение, то из (а) следует
-'ср
Е
1 — 2jn 8ср‘
(4.07)
Таким образом, среднее напряжение пропорционально средней деформации. Так как сумма относительных удлинений по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляет объемную деформацию, т. е. 3еср = 0, то (4.07) можно представить также в виде:
о
ср
Б Q
3(1 -2ц) ’
(4.07а)
т. е. среднее напряжение в точке пропорционально объемной деформации в окрестности той же точки.
Выражения (4.07), а также (4.07а) называют законом упругого изменения объема. Этот закон справедлив и при высоких значениях среднего напряжения, значительно превышающих обычный предел упругости материала (т. е. установленный в лабораторных условиях при испытании на одноосное растяжение или сжатие).
В связи с этим объемная деформация, вычисляемая по выражению
6= 3(1 ~^ <7ср, (4.076)
практически всегда исчезает после удаления вызвавших ее причин.
Из уравнения (4.02) от левых и правых частей первого уравнения отнимем величину оср, причем для правой части выразим ее через еср на основании (4.07). Тогда получим
“ °сР = 20 [8* + ееР] _ “
Заменяя £ = 2(1 + ц) G, имеем
ох — оер = 2 G (вх — вср).
108
Аналогичное произведем со второй и третьей строками, и система (4.02) примет вид:
ох оср = 2G (гх 8ср),
Gy °СР = ^ (еу еср)»
G2 °ср аср)»
Хху ~ ^ У ХУ'
Хуг = 2G\ Ууг’’ Хгх =2G Y Угх-
(4.08)
Выражения (4.08) широко применяют в теории пластических деформаций.
Если систему напряжений (а, — аср), (с^ —аср), (аг — аср), тхуу ху2' Хгх назвать компонентами напряжений, соответствующими изменению формы, а систему деформаций (е2 —еср), (е^ —еср), (ег — еср),
-у- Уху* Ууг* -у- Угх — компонентами деформации, отвечающими
изменению формы, то обобщенный закон упругости (4.08) (являющийся законом изменения формы) можно сформулировать так: компоненты напряжений и деформации, соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу\ первые равняются вторым, умноженным на двойной модуль сдвига.
* *
*
Систему зависимостей (4.08) можно представить в следующем виде:
1
1
Ох GCpt Х ху' Хх2
ех еср> 2 Уху*
Y У-2
= 2 G
1
• > Gy аср, Ту2
• » еу 8ср>
TY*
• 9 • » G2 (7Ср
• » • *
ег еср ,
(4.08а)
Здесь левые и правые части уравнений (4.08), пропорциональные друг другу, располагаются соответственно одинаково.
Так, например, выражению (оу—аср) из второй строки второго столбца левой матрицы соответствует в правой матрице
109
и также во второй строке и во втором столбце выражение (еу—вСр), которое, как известно, пропорционально первому.
Как установлено в § 2.10, левую матрицу, составленную из компонентов напряжений, влияющих на изменение формы, называют девиатором напряжений DH, а правую матрицу — соответственно девиатором деформации Одеф (см. § 2.14).
В связи с этим обобщенный закон упругости можно представить в виде
DH = 2 СОдеф (4.09)
и сформулировать так: девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформации:
Выражения (4.08а) и (4.09) называют законом изменения формы.
Используя закон изменения объема и понятия о шаровых тензорах (§ 2.10), (4.07) выразим в виде
Т°И = Е0Т%Ф, (4.10)
т. е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформации *. Коэффициент пропорциональности (объемный модуль упругости) выражаем в виде
£«,=
Е
1 — 2р
(4Л1)
При р = 0,5 коэффициент пропорциональности обращается в бесконечность.
Из четырех упругих постоянных £, р, G, £0, очевидно, независимы только два. В связи с наличием указанных двух характерных законов деформации упругого тела и входящих в эти законы модулей £0 и G логично в качестве двух основных, т. е. независимых физических характеристик упругого тела, считать именно £о и G.
Объемный модуль Е0 определяет сопротивление материала при изменении объема, которое не сопровождается изменением формы (случай гидростатического давления). Модуль сдвига G (иначе модуль упругого формоизменения), наоборот, определяет сопротивление материала при изменении его формы, которое не сопровождается изменением объема.
Выражение (4.09) на основании (4.04) представим в следующем виде:
DH 2б/Эдеф а/ "7"
* Очевидно, возможна и такая формулировка: первые инварианты тензоров напряжений и деформации пропорциональны друг другу, т. е.
а1 = Е0е1.
по
Тензор — девиатор напряжений, в котором все компоненты поделены на а,, назовем направляющим тензором напряжений и обозначим Da, т. е.
А = — А-
<*<
Тензор — девиатор деформаций, в котором все компоненты поделены на (1+ц)е<, назовем направляющим тензором деформации и обозначим Аеф. т. е.
= <1+^8, D**-
Тогда вместо (4.08) получим
А = 5деф. (4.12)
Выражение (4.12) показывает, что направляющие тензоры напряжений и деформации совпадают.
(Это положение, как показано в следующей главе, сохраняется и в теории пластичности.)
§ 4.04. Удельная потенциальная энергия
Под действием внешних сил упругое тело испытывает деформацию, при которой силы совершают некоторое количество работы. Эта работа превращается в потенциальную энергию и в последующем при удалении внешних сил расходуется на восстановление первоначальной (т. е. недеформированной) формы тела.
Энергию, накапливаемую при деформации в единичном объеме материала, выделенном около данной точки, называют удельной потенциальной энергией или упругим потенциалом в окрестности рассматриваемой точки *.
Для подсчета упругого потенциала необходимо составить сумму произведений из компонентов напряжений (компонентов тензора напряжений) на соответствующие им компоненты деформации (компоненты тензора деформации). Половинное значение такой суммы и составит искомую удельную энергию, обозначаемую Э.
Половинное, а не полное значение берется потому, что напряжения, а также и деформации не могут возникнуть внезапно, а увеличиваются в связи с увеличением деформации как зависящие от последних (характерно для статического процесса).
* Выражение для потенциальной энергии деформации упругого тела
широко используют в различных методах решения сложных задач, в частности, в ваоиационных методах теории упругости (см. § 14.02—14.03).
Ill
Представим себе около заданной точки кубик с единичным объемом и единичной площадью каждой его грани. Приходящаяся на каждую грань упругая сила количественно равна напряжению, действующему на эту грань. Так, в случае одноосного растяжения вдоль оси х эта сила равна ох на одной грани; такая же сила (если пренебречь возможным приращением в величине ах), но противоположно направленная, имеется на другой грани, параллельной первой.
Система двух противоположно направленных сил (обобщенная сила) совершает работу, зависящую, как известно, от изменения расстояния между точками приложения этих сил, т. е. от деформации удлинения кубика (на обобщенном перемещении). Так как в упругом теле зависимость между напряжением и деформацией линейна, то работа внутренних сил выразится как половина произведения из '' обобщенной силы на обобщенное перемещение.
Деформация удлинения ребра с первоначальной длиной в единицу количественно равна относительному удлинению того же ребра. Таким образом, при одноосном растяжении—сжатии удельная энергия равна
Аналогичное выражение имеет работа и для других составляющих напряжений, в том числе и в случае сдвига.
Таким образом, в общем случае пространственно напряженного состояния для подсчета упругого потенциала имеем
На основании (4.01) выражение (4.12а) можно представить в виде
Если напряжения выразить через деформации, т. е. использовать (4.02), то (4.12а) приобретает вид
Как известно из курса сопротивления материалов, количество потенциальной энергии деформации, накопленной в единице объема материала, иногда принимают за основу для определения того приведенного напряжения, при котором наступает предельное упругое состояние (энергетическая теория прочности). Но так как изотропные материалы могут выдержать очень большие гидростатические давления без появления текучести,
Gy&y “Ь ^2®2 ^ХуУху ^yz4tJZ ^Zx4ZX* (4.12з)
E (23) = al + al + — 2ji (axay + ayo2 + azax) +
+ 2 (1 + Ц.) (x\y + T2yz + Тгх).
(4.126)
(4.12b)
112
то для лучшего согласования теории с опытом подсчитанную выше энергию (4.12а) делят на две части: одну, происходящую от изменения объема тела, и другую — ог искажения формы тела. Для определения прочного сопротивления рассматривают только вторую часть. Таким образом, получают
Э = Э0 + ЭФ, (4.13)
где Э0 — энергия, расходуемая на изменение объема у данной точки, и Эф — энергия, расходуемая на формоизменение (удельная энергия формоизменения).
Для подсчета Э0 исходим из рассмотрения рис/2.11, где прejx-
ставлены те компоненты напряжений, которые
зависят от
объемной деформации в точке.
Таким образом,
Зо = ^ср 6ср^ ' ^
(4.14)
или на основании (4.07)
_ 3 (1 — 2|х) 2 . а°~ 2 Е ср-
(4.14а)
Удельную энергию формоизменения определяем путем вычитания из полной энергии (4.126) той части энергии, которая затрачивается на совершение объемной деформации (4.14), т. е.
Эф = Э — Э0,
или после преобразований имеем
Эф = [(ох — ос р)2 + (о у — (тср)2 + (а2 — аср)2 +
40
+ 2 (х% + т + т+)].
(4.15)
При выводе (4.15) использованы зависимости (4.08). Выражение (4.15) после замены аср через компоненты можно представить в виде
Зф =
1
12 G
1(<Д — + (ау — °гУ + (<** ~ °х)2 +
+ 6 (ТXI/ + Tyz +- T2ZX)\.
(4.15а)
Для удельной энергии изменения объема Э0 и удельной энергии формоизменения Эф можно принять и такие выражения:
50 =
3(1-2ц) 2 .
2Е °“т’
р _ 3(1 +ц) 2
«^ф — — Токт.
(4.16)
(4.17)
113
Отметим важное значение в теории деформации именно октаэдрических напряжений — нормального и касательного. Первое вызывает объемную деформацию, а второе — деформацию (и энергию) изменения формы в окрестности рассматриваемой точки.
Все приведенные выше формулы можно получить наглядно путем использования понятия о тензорах напряжений и деформаций.
Так, из самого определения удельной потенциальной энергии следует, что ее можно выразить в виде
2 Э = 7нГдеф. (4.18)
Подставляя в (4.18) известные обозначения для тензоров (2.03) и (2.32), имеем
^Х' ^ХУ' ^ XZ
1
е*> 2 ^xyi
1
2 Ухг
2 Э =
• * ® У' tyz
со
1
. • > . . .
• » • »
(4.19)
Произведение, стоящее в правой части (4.19), следует рассматривать как сумму произведений одноименных компонентов напряжений и деформации. Развернув (4.19), получаем (4.12а).
Для указанных выше слагающих энергии Э0 и Эф можно составить следующие выражения:
2Э0 = г2ГдеФ; (4.20)
2ЭФ = ц,£>деф.
(4.21)
В выражениях (4.20) и (4.21) учтено, что составляющие чисто объемной деформации (составляющие шаровых тензоров) зависят лишь от изменения объема и не зависят от составляющих, оценивающих только изменение формы (компонентов де- виаторов).
Эти выражения можно получить также путем следующих формальных преобразований (4.18):
2Э = (7'н + D„) (Тдеф + Одеф) = Tl Т%ф +
+ Д, £>деф + Д Д,еф + D„ Т°аеф.
Если произвести соответствующее перемножение, то получим, что работа составляющих шарового тензора напряжений
114
на компонентах девиатора деформаций T°HDae$t а также работа составляющих девиатора напряжений на компонентах шарового тензора деформации ВнТдеф равны нулю*.
Таким образом, получается, что работа составляющих шарового тензора напряжений на компонентах шарового тензора деформации представляет собой удвоенную упругую работу внутренних сил, идущую на изменение объема. Работа составляющих девиатора напряжений на компонентах девиатора деформации составляет удвоенную работу внутренних сил, затрачиваемую на изменение формы (без изменения объема).
Можно доказать (см. § 14.02), что действительному распределению напряжений внутри упругого тела всегда соответствует минимум потенциальной энергии деформируемого тела. Этот минималистский принцип широко применяют при решении сложных задач (см. гл. 14).
Так как количество потенциальной энергии деформации, так же как и приведенных выше ее слагающих, не должно зависеть от способа вычисления (от направления координатных осей и др.), т. е. энергия инвариантна к ортогональному преоб- разованию координатной системы, то следующие выражения, входящие в (4.15а), (4.156), (4.12в) и (4.15), очевидно, составляют также инварианты:
Ох + ol + 02г — 2\1 (охОу + ОуОг+ ОгОх) +
+ 2(1 + р) (тху + Туг + Тгх) = COIlSt;
2 ^б* + гу + гг + ^ ^ “Ь Уху + У% + yL = const;
— СТср)2 + (°у — °ср)2 + (°г — Оср)2 + ^4'22^
+ 2 (т\у + т 2уг + %\х) — const;
iPx — °У)2 + (°у — °г)2 + (О, — Ojf +
+ 6 (Тху + T2yz + Тlx) = COnst.
.Сопоставляя (4.15а) с (4.22) и (2.22), для второго инварианта девиатора напряжений замечаем, что квадрат касательного октаэдрического напряжения, второй инвариант девиатора напряжений и удельная энергия формоизменения пропорциональны друг другу.
* Аналогично тому, как в строительной механике, работа прямосимметричного нагружения на перемещениях от обратносимметричного нагружения (и наоборот) равняется нулю.
115
Таким образом, октаэдрическое напряжение, а также обобщенное напряжение (4.05) с точностью до постоянных множителей равны квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжения или квадратному корню из удельной энергии формоизменения.
Составим теперь полупроизведение из обобщенного напряжения на обобщенную деформацию, т. е. а^е*. Используя
(4.05) и (4.06), получаем
Y °Л = YY К0* — + (°У — аг? + — °J2 +
+ 6 (х% + Х2уг -f- tL)], (4.23)
т. е. упругая работа обобщенного напряжения в данной точке на обобщенной деформации равна количеству удельной энергии формоизменения у той же точки.
Таким образом, применение понятий обобщенных напряжений и деформации позволяет при рассмотрении любого сложного объемного напряженного состояния как бы отвлечься от всей сложной совокупности компонентов, заменив ее случаем одноосного растяжения или сжатия с единственным действующим напряжением, равным по величине сгг. В частности, каким бы сложным ни было задано пространственное на- ^ пряженное состояние для рассматриваемой точки, зависимость4 между обобщенным напряжением и соответствующей ему деформацией будет такой же, как в случае одноосного напряженного состояния того же упругого материала, т. е. наипростейшей линейной зависимостью.
§ 4.05. Случай температурного поля
Если элементарный параллелепипед, рассмотренный в §4.01, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформацию можно охарактеризовать следующими компонентами:
6* — Ъу — &z — * Уху — Ууг — Угх — 0,
где а — коэффициент линейного теплового расширения;
Т — температура.
Предположим, что рассматриваемое температурное поле не слишком высокое, чтобы могли измениться упругие характеристики материала (в частности — модуль упругости).
116
При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации на основании
(4.01) примут вид
<?, = ~^г К — И К + °г)1 + аТ>
ev = -J I °У — V (ог + ож)1 + аТ\
= -Jr [а, — р (ох + ау)] + аТ\
Уху=~Т~< Уу2=-^> Y„ =
1уг
(4.24)
Если в первых трех выражениях (4.24) член аТ перевести в левую часть равенств и обозначить
е* — аТ = ех, гу — аТ = г*У9 г2 — аТ = е2,
то уравнения (4.24) примут вид, аналогичный (4.01) с заменой е* на е*, гу на е* и е2 на е*. В таком случае можно использовать различные варианты обобщенного закона Гука: (4.02), (4.02а), (4.04), (4.08) и т. д. Тогда получим
ох = 2(/б* Т" *»
°х — °У = 20 К — в„);
®х °ср 2G (бд. еср),
(4.25)
о, = £е()
где 0’= Зе^р = бд. + е + ег — ЗаГ, а,, е,— прежние значения, со- гласно (4.05), (4.06).
Если температурное поле будет высокое, го модуль упругости материала изменится (понизится). Но если принять, что это поле лишь относительно высокое, т. е. снятию напряжений и температурного поля соответствует полное исчезновение деформации, полученной от нагрузок и температуры (т. е. процесс термоупругий), то в формулах (4.24) и (4.25) следует считать Е и G отличными от их значений для «холодного» материала и зависящими от конкретной температуры. Обозначая модули Е(Т) и G(T)t зависимости (4.24) и другие примут вид
ъх = К - И (°в + °*)1 + аТ
Уху = -^тхУ..., = Е(Т)-в(.
117
Коэффициент Пуассона также зависит от температуры, и потому правильнее в приведенных выражениях употребить не р, а р(Г). Изменение этого коэффициента незначительно, поэтому его величину оставляют прежней.
§ 4.06. О законе упругости для анизотропного упругого тела
Как известно, в изотропном теле в каждой его точке упругие и механические свойства одинаковы для всех направлений. Однако в отдельных случаях (для тел преимущественно волокнистой структуры — дерева, пластмассы и др.) эти свойства могут быть иными. Например, для фанеры, текстолита и некоторых других авиационных материалов для основных направлений — вдоль волокон и поперек волокон — модули относятся как 2 : 1.
Если предположить самый общий случай анизотропии, когда какие-либо элементы упругой симметрии отсутствуют, то зависимость деформаций от напряжений имеет вид
е, = аиах + ахгоу +а13ог + а14хху + а16 хуг + а1в хгх. (4.26)
Здесь #ц, #12..., — упругие постоянные (коэффициенты деформации). Выражение (4.26) и ему подобные можно представить в виде табл. 6.
Таблица 6
К закону деформации анизотропного тела
Деформации
Напряжения
°У
тху
All
012
013
014
015
016
£у
°21
022
023
024
025
02в
е2
а31
032
033
034
035
036
Уху
аА 1
042
043
044
045
046
Ууг
051
052
053
054
055
056
Угх
fl61
062
063
064
065
066
Аналогично преобразованиям, проведенным в § 2.07 и (4.04), но применительно к общему случаю напряженного состояния можно доказать, что из условия инвариантности упругой энергии (ее значение в окрестности данной точки не зависит от способа вычисления) получаем взаимность коэффициентов:
#12 = #21*» #l3=#3l> #L4=#4il #15 = ^51» #16 = #61»
р
#23 = #32» #24 = #42» #25 = #52» #26 =Ь^62» #34 = #43»
#35 = #53» #36 = ЯбЗ*» #45 = #54» ^46 = #64» #56 = ^65»
118
Таким образом, для анизотропного упругого тела остается 21 коэффициент деформации.
Можно доказать [55], что если в каждой точке тела имеется так называемая плоскость упругой симметрии, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, являются эквивалентными относительно упругих свойств (в однородном теле все эти плоскости, проведенные через любые точки, параллельны), то число независимых упругих постоянных сокращается до 13.
Если через точку однородного тела проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то число независимых упругих постоянных сокращается до девяти (ортогонально-изотропное тело, или ортотропное).
Если через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления являются упруго-эквивалентными (плоскость изотропии), то число различных упругих постоянных сводится к пяти (трансверсально-изотропное тело).
В случае полной симметрии, т. е. в случае изотропного тела, когда любая плоскость есть плоскость упругой симметрии и любое направление — главное, число независимых упругих постоянных сокращается до двух.
Такими, например, могут быть коэффициенты а\\ и <212:
§ 4.07. О различных гипотезах наступления предельного упругого или пластического состояния в точке сплошной
среды
В курсе сопротивления материалов достаточно подробно рассмотрены различные так называемые теории прочности. Задача последних, как известно, заключается в том, чтобы на основании стандартных экспериментальных данных о разрушении конкретного материала при какой-либо простейшей деформации (обычно за эталон для сравнения берут данные, полученные при испытании на одноосное растяжение) установить условия, при которых возможно разрушение того же материала при заданной сложной деформации, т. е. какие необходимы для этого соотношения и значения компонентов тензора напряжений по сравнению с известным и единственным, главным и отличным от нуля компонентом напряжения при разрушении в случае простого растяжения.
Приведем сведения из теорий прочности, которые характеризуют наступление предельного упругого состояния в точке линейно упругого тела и, как правило, широко используются в современной теории упругости и пластичности.
119
Сформулируем так называемую третью (Кулон, Гест, Сен- Венан) и пятую (Губер, Мизес, Рош, Эйхингер) теории прочности применительно не к моменту разрушения, а к моменту наступления предельного упругого состояния в точке тела.
Так, по формулировке Кулона и Геста, можно предположить, что предельное упругое состояние в данной точке сплошной среды в общем случае напряженного состояния в этой точке наступит тогда, когда в этом случае наибольшие касательные напряжения достигнут значения, соответствующего предельному упругому состоянию для того же материала при простом растяжении.
Обозначая аупр предел * упругости материала при простом растяжении и имея в виду, что когда главное напряжение при простом растяжении достигнет значения аупр, то в это мгновение наибольшее касательное напряжение приобретает значение
т
max
°упр
2
(а)
В случае сложного напряженного состояния в точке наибольшее касательное напряжение в ней выражается через главные напряжения согласно (2.16):
^тах
(б)
Поэтому сформулированную выше гипотезу о наступлении предельного упругого состояния в точке при сложном напряженном состоянии [приравнивая правые части (а) и (б)] представляем в виде
0\ — р3 аупр
2 — 2
или
°1 — <*з = <w (4.26a)
По формулировке Роша и других, можно предположить, что предельное упругое состояние в данной точке сплошной среды в общем случае напряженного состояния в этой точке наступит тогда, когда в этом случае касательное октаэдрическое напряжение достигнет значения касательного октаэдрического напряжения, соответствующего предельному упругому состоянию для того же материала при простом растяжении.
Согласно (2.19) касательное октаэдрическое напряжение в общем случае напряженного состояния в точке, выражаемое через главные напряжения,
т0кх = — V(Oi — o2f + (су, — ст3)2 + (а, — at)a (в)
120
в случае предельного упругого состояния при простом одноосном растяжении или сжатии составляет [полагая в формуле (в) 02 == Оз = 0, a O’ 1 = CFyupJ
т
аупр*
(г)
Сформулированная выше вторая гипотеза после приравнивания правых частей (в) и (г) имеет вид
yj=- V (tfi — о2)2 + (ст2 — о3)2 + (ст3 — Oi)2 = оу пр. (4.266)
Наиболее широко, особенно в теории пластичности, применяют условие (4.266), т. е. теорию Губера — Мизеса *.
Отметим, что условию (4.266) соответствует и другая формулировка, предложенная Губером и Мизесом (ранее Роша), а
именно, что предельное состояние в точке сплошной среды в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда так называемая удельная энергия формоизменения ** достигает значения, соответствующего удельной энергии формоизменения п]эи простом растяжении.
Согласно [69], по теории Новожилова, переход материала в новое состояние (имеется в виду пластическое состояние, но можно предполагать и предельное упругое состояние, тем более, что в ряде случаев они тождественны) происходит от касательных напряже- может иметь произвольное
Рис. 4.01. Вычисление среднего квадратичного значения касательных напряжений
ний. Однако площадка скольжения положение в зависимости от группировки отдельных кристаллитов металла, случайных пороков материала и других причин.
* Заметим, что приведенные две различные точки зрения на момент наступления предельного упругого состояния разнятся между собой в количественном отношении не так уже значительно (наибольшее расхождение в левых частях равенства (4.26а) и (4.266) не превышает 8%).
** Так называется потенциальная энергия, зависящая только от изменения формы (т. е. из полной удельной энергии вычисляется та ее часть, которая расходуется на изменение объема).
121
Поэтому причины разрушения материала следует рассматривать статистически, оценивая наибольшую вероятность того или иного случая разрушения. Считая причиной перехода в пластическое состояние касательные напряжения, в качестве критерия прочности следует принимать среднюю квадратичную величину касательных напряжений, возникающих в данной точке.
Представляя напряженную точку в виде шаровой модели (рис. 4.01), среднее квадратичное значение касательных напряжений, действующих в этой точке, можно вычислить по формуле
(I)
где v — обозначение нормали в рассматриваемой промежуточной точке шаровой модели; о = 4яг2—поверхность шаровой модели.
Вычисление тср по формуле (д) после ряда преобразований окончательно имеет вид
Тср = -jj К°1 — °2)а + (<** — °з)2 + (°3 — ai)*l- (е)
6
Рис. 4.02. Частный случай индикатор• ной диаграммы
Величина радиуса г здесь сокращается, потому переход г к пределу (г-»0) оказывается излишним.
В случае простого растяжения при предельном упругом состоянии для квадрата среднего напряжения, очевидно, имеем
It,2
срЛпред
2 «
15 ‘W
(Ж)
Приравнивая правьте части равенств (е) и (ж), получаем условие (4.266).
122
В случае если материал является идеально пластическим или близким к нему, т. е. для того материала индикаторная диаграмма при простом растяжении имеет вид, показанный на рис. 4.02 (пределы упругости аупр и текучести ат совпадают), то условие (4.26а) и (4.266) можно одновременно толковать и как условие наступления предельного упругого состояния и как условие наступления пластического состояния.
Итак, в зависимости от того, какая из двух приведенных выше теорий ближе соответствует каждому конкретному случаю (материал, режим работы и др.), применяют физические уравнения (4.26а) или (4.266).
Выше изложены некоторые сведения из общего курса сопротивления материалов, относящиеся к механическим теориям прочности изотропного тела и широко используемые в задачах теории упругости и пластичности.
Конечно, в случае анизотропного тела и в общем случае материала с неодинаковыми пределами прочности на растяжение и сжатие и самостоятельным пределом прочности на сдвиг (который для новых композитивных материалов, таких, как стеклопластики и другие, оказывается зависящим от знака касательных напряжений), условия наступления предельного упругого состояния или начала пластических деформаций должны быть иные — более сложные. По этому вопросу в настоящее время имеется обширная литература (в критерии прочности вводятся так называемые тензоры прочности и притом различных валентностей и т. п.), в частности по механике полимеров [24а] и [61а].
ЛИТЕРАТУРА
[18], [19,] [21], [55], [79], [101], [115].
5
глявя
НЕЛИНЕЙНОЕ УПРУГОЕ И УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛА
§ 5.01. Основная предпосылка нелинейной теории упругости —
основная гипотеза в теории пластичности
Пусть для заданного нелинейного упругого тела известна индикаторная диаграмма растяжения — сжатия (рис. 5.01). Коэффициент поперечного сужения примем равным V2, т. е.,
о а;
Рис. 5.01. Зависимости нормального напряжения от относительного удлинения (а) и октаэдрического напряжения от октаэдрического сдвига (б) в случае центрального растяжения
будем полагать, что материал в процессе деформирования не изменяет объема, но конечно меняет форму.
Так как при одноосном растяжении стержня нормальное напряжение в поперечном сечении а, относительное удлинение
124
стержня е, октаэдрическое напряжение т0кт и октаэдрический сдвиг Yokt находятся в зависимости
Vt = «Л Yokt = (5.01)
то диаграмму растяжения (рис. 5.01, а) легко перестроить в диаграмму октаэдрических сдвигов, показанную на рис. 5.01,6.
Если по рис. 5.01, a
о = Е'е, (5.02)
где £' = tga— секущий модуль деформации первого рода и зависящий от степени деформации, т. е. £=/(е), то аналогично по рис. 5.01,6
Токт = G'Yokt. (5-03)
где G' = tgp— секущий модуль деформации второго рода, за- висящий от величины октаэдрического сдвига, приобретенного телом к рассматриваемому моменту напряженного состояния, т. е.
О'-ФСУокт). (5.04)
Используя для контроля соотношения (5.01) — (5.03) (для несжимаемого материала), получаем
G' = 4-£'* (5.04а)
О
Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями вокруг заданной точки для нелинейного упругого тела в общем случае напряженного состояния в точке.
Примем следующее предположение (гипотезу): при сложном напряженном состоянии в точке заданного нелинейного упругого тела зависимость октаэдрического касательного напряжения для этой точки от октаэдрического сдвига выражается так же, как зависимость аналогичных напряжений и деформаций при простом растяжении того же тела.
Таким образом, закон в форме (5.03) и зависимость секущего модуля сдвига от октаэдрического сдвига по выражению (5.04) являются общими как при простом растяжении материал^, так и при сложном напряженном состоянии того же материала.
Используя понятия интенсивности (обобщенного) напряжения и интенсивности (обобщенной) деформации (2.21), (2.39), выражение (5.03) можно представить в виде
at — G' V2e,
125
или на основании выражения (5.04а)
а, = Е'е„
(5.05)
что по форме аналогично выражению (5.02).
На рис. 5.02 показана характерная диаграмма растяжения для мягкой стали (зависимости а и е). Та же диаграмма при- нимается и при сложном напряженном состоянии элемента той же стали, но в качестве связи берутся интенсивность напряжения Oi от интенсивности деформации е*. 6
Таким образом, основную предпосылку нелинейной теории упругости, а также и основную гипотезу теории пластичности, но только при простом нагруже¬
нии* можно сформулировать так: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформации для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела.
Итак, принимаем для Е' = Ф(с*) как функции интенсивности деформации такое же выражение, как и для Я'=/(е), т. е. для секущего модуля деформации первого рода (функция обычного удлинения при простом растяжении).
Таким образом, если, например, для какого-либо материала при испытании его на простое растяжение — сжатие экспериментально установлена степенная зависимость
Рис. 5.02. Зависимости ot от et
-Чт)"
где Лив — постоянные величины, то принимается, что в случае сложного напряженного состояния того же тела для каждой его точки закон деформации можно представить в виде
Или, если при испытании на простое растяжение — сжатие экспериментально установлен закон
о = (Л — Ввп) е,
* Полное определение простого нагружения см, ь § 17.02.
126
то в случае сложного напряженного состояния того же тела существует зависимость
а, = (А — Вг*) гк
или, что все равно, при использовании выражения (5.05) для секущего модуля принимается
Е' = А — Be? .
Если результаты испытания на простое растяжение за пределом упругости для какого-либо материала обработаны в виде
а = £(1 — со)е,
где Е — обычный модуль упругости материала, а со— некоторая аналитическая функция относительного удлинения (отличная от нуля только за пределом упругости), т. е. со = ф(е), то в случае сложного напряженного состояния для того же материала принимается закон деформации в виде
=Е( 1 — со) е,, (5.06)
где со = ф-(бг)—функция интенсивности деформации, подобная такой же функции при простом растяжении и отличная от нуля только в области пластических деформаций.
Выражение закона деформации в форме (5.06) находит широкое применение при решении упруго-пластических задач. В частности, если диаграмму растяжения — сжатия материала можно с достаточной точностью аппроксимировать двумя наклонными прямыми, показанными на рис. 5.03, то
ст; = ad — ас + Ьс = в,- tg а — (е; — ет) tg а + (е, — ет) tg р.
Обозначая тангенс угла наклона первого участка диаграммы tga = £ (обычный модуль упругости) и второго участка tg|3 = £,//, получаем
Сопоставляя приведенное выражение с уравнением (5.06), имеем
•-O-ifX'-f)-
Это выражение иногда имеет вид со
=Ч‘--7>
Е"
где X = 1 параметр разупрочнения.
Е
127
Характер изменения функции со показан на рис. 5.03,6.
Исключительная важность закона (5.05) для механики упругих и пластических деформаций, а следовательно, и важность понятий интенсивности напряжений и интенсивности деформации заключаются прежде всего в том, что при помощи этою
О)
Рис. 5.03. Диаграмма (а) растяжения — сжатия, аппроксимированная двумя наклонными прямыми; (б) — вид функции со
закона любое сложное объемное напряженное состояние независимо от того, имеет ли рассматриваемая область упругие или неупругие деформации, как бы сводится к простому растяжению или сжатию стержня. Действительно, так как вид Ф(е*) зависит только от материала тела, то не требуется проводить специальные опыты со сложным напряженным состоянием, если имеется диаграмма Ф(е) для одноосного растяжения.
§ 5.02. Следствия из основной предпосылки — физические уравнения нелинейной теории упругости и теории
пластичности
Как известно, в результате преобразований формул обобщенного закона Гука (4.03) получены линейные зависимости между октаэдрическими напряжением и сдвигом в окрестности той же точки. Можно также, приняв за исходное положение зависимость Токт и Yoict, в результате формальных преобразований
128
вывести известные шесть зависимостей обобщенного закона Гука.
Для нелинейного упругого тела принята зависимость между октаэдрическими напряжениями и деформациями, по форме аналогичная зависимости для линейно упругого тела. Эти зависимости отличаются переменным модулем в выражении (5.03) или (5.05). .Поэтому для нелинейного упругого тела (при нагрузке и разгрузке) и для теории пластичности (но при простом нагружении) можно установить зависимости между отдельными компонентами напряжений и компонентами деформации, по форме аналогичные известным в теории упругости выражениям
(4.08) и (4.09) и другим, но с заменой постоянного модуля сдвига G на переменный G' (или аналогично с заменой модуля упругости Е на переменный модуль Е-).
Используя выражение (5.05) и зависимость между модулями
получаем аналогично выражению (4.08) уравнения для нелинейного упругого тела (справедливые при нагрузке и разгрузке) и уравнения для пластического тела, но только при активном процессе деформации и при так называемом простом нагружении:
1
■о
II
СО ю
(е* еср)> г
ГГ
2at
о.
0 со
1
со
°У
аср
Зе,
2а,
• (в* вер),
Оср
3 8/
т
<*/
Ух1П
1ху —
3&i
%
II
<*1
Ууг>
3 &[
II
b*N
<*t
Зб/
Y„. 1
где согласно выражениям (4.05) и (4.06) соответственно
(5.07)
°i = V(ох — Oyf + (ау — а/ + (а, — о,)2 + 6 (х\у + т2г + т^);
(а)
е, = (е,- е;/)2+ (гу~ ег)2+ (®z е*)2+ | (Y2,, + У2уг + Y«)-
(б)
129
Физический смысл законов (5.07), (5.05) можно истолковать так: для каждой тонки деформируемого тела напряжения по различным направлениям (площадкам) являются линейны- ми функциями соответствующих компонентов деформации. В частности, площадкам с наибольшими сдвигами соответствуют наибольшие касательные напряжения, пропорциональные этим сдвигам. Направления главных удлинений совпадают с направлениями главных нормальных напряжений * (что легко подтвердить экспериментально).
При упругой деформации коэффициент пропорциональности (модуль упругости) постоянен для всех точек упругой области тела, тогда как при пластической деформации этот коэффициент (модуль деформации) изменяется от точки к точке и уменьшается тем сильнее, чем больше деформация в новой рассматриваемой точке по сравнению с ранее обследованной.
Так как объемная деформация при пластической деформации практически равна нулю, то в первых трех уравнениях
(5.07) слагаемое еср часто исключают и уравнения принимают вид
2 а,
°х °ср ~ 8* И Т- Д*
Однако это не исключает в дальнейшем при необходимости вычислить и еср при помощи закона изменения объема.
При плоском напряженном упруго-пластическом состоянии уравнения теории пластичности иногда удобно выразить в форме, аналогичной выражению (4.01) из теории упругости, т. е.
е* = к—
где для области пластических деформаций допустимо принять р' = —. Из последних уравнений получаем формулы для на¬
пряжений, выраженные через деформации:
<,' = Т£'(‘-+Тг»); 0« = T£'(8» + TS«)’
(5.07а)
где
Е' =
* В более общем виде это положение можно сформулировать так: направляющие тензоров напряжений и деформации совпадают. Заметим, что в работах [24] и [40] это положение, так же как и уравнение (5.07), считают вытекающим прямым следствием из допущения об изотропности среды,
130
§ 5.03. Обобщение законов упругих и пластических
деформаций
Как это следует из сопоставления, уравнения (5.07а) для определения пластических деформаций ц для нелинейно-упругого тела и уравнения (4.08), справедливые для линейно-упругого тела, можно обобщить. Если использовать понятия о де- виаторах напряжений и деформации, то законы упругих и пластических деформаций можно сформулировать следующим образом:
Первый основной закон — закон изменения объема. При упругих и пластических, при активных и пассивных деформациях твердого тела относительное изменение объема элемента этого тела (или шаровой тензор деформации) прямо пропорционально среднему напряжению (или шаровому тензору напряжений), причем модуль объемной деформации остается постоянной величиной как в пределах, так и за пределами упругости (4.07):
СТср = 1 — 2|Л Бср’ (5'08)
где Е — модуль упругости и р — коэффициент Пуассона, принимаемые постоянными независимо от масштаба деформации.
Второй основной закон — закон изменения формы при активной деформации. При упругих а пластических деформациях, соответствующих случаю простого нагружения для каждой точки тела, девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформации, т. е.
DH = 2 G'D^y (5.09)
где G'—модуль деформации второго рода, имеющий для каждой точки изотропного тела в общем случае напряженного состояния определенное значение, зависящее от величины обобщенного напряжения для этой точки. В скалярной форме закон (5.09) записывают согласно (5.07).
Третий основной закон—закон связи обобщенного напряжения с обобщенной деформацией при активном нагружении. Обобщенное напряжение, возникающее в теле при любой активной деформации (упругой или пластической), для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации:
0;=Ф(е,). (5.10)
Вид функции Ф зависит только от материала тела и не зави- сит от того, при каких составляющих (при простом — одноосном или сложном — объемном напряженных состояниях) интенсивность деформации достигает данного значения. Величина
131
интенсивности напряжения зависит только от величины достигнутой интенсивности деформации и, конечно, от физических свойств данного материала.
Зависимость а* от ег- определяют опытным путем и наиболее просто из опытов с чистым растяжением.
Итак, третий закон устанавливает единство природы деформации изотропных тел в сложных и простых случаях напряженных состояний в пределах и за пределами упругости.
Четвертый основной закон — закон пассивной деформации. При простой (полной или частичной) разгрузке тела, находившегося в момент начала пассивной деформации в пластическом состоянии, во все последующие моменты девиатор напряжений зависит от девиатора деформации, соответствующего моменту начала разгрузки, и от девиатора деформации, подсчитанного в предположении нагружения ненапряженного и линейно деформируемого тела фиктивными силами. Значения фиктивных сил равны превышению первоначальных значений сил (отвечающих моменту начала разгрузки) над фактическим их значением в рассматриваемый момент.
Этот закон можно представить так:
А, = 2С'Одеф-20Я*деф, (5.11)
где £>Деф — девиатор деформации, соответствующий моменту начала разгрузки:
£>*Деф — упругий девиатор деформации, подсчитанный в предположении идеально упругого тела от указанных выше фиктивных сил;
DH — девиатор напряжений (остаточных), соответствующий рассматриваемому моменту нагружения;
G'— модуль деформации второго рода для рассматриваемой точки, соответствующий моменту начала разгрузки, в общем случае различный для различных точек изотропного тела;
G — общий модуль сдвига, постоянный для всех точек изотропного материала.
Приведенные здесь основные законы не являются независимыми друг от друга, и число независимых законов связано с тем, какие предпосылки и допущения явно или неявно приняты (см. § 5.05).
§ 5.04. Частный случай — идеально-пластическое тело
Если диаграмма растяжения — сжатия материала имеет ясно выраженную и притом большого протяжения площадку текучести (рис. 5.04), то обобщенный закон деформации (5.06), соответствующий явлениям текучести, примет вид
а,=ат. (5.12)
132
что представляет известное из главы 4 условие пластичности по Губеру — Мизесу. Левую часть выражения (5.12) называют приведенным напряжением по энергетической теории прочности (теории формоизменения).
Наиболее простые теории пластичности основаны на представлении об условии пластичности, утверждающем, что при
пластическом состоянии вещества приведенное напряжение в любой точке остается постоянным. Так как приведенное напряжение, определяемое формулой (5.12), будучи возведенным в квадрат и поделенным на удвоенный модуль упругости, представляет собой удельную энергию формоизменения (ту часть потенциальной энергии элементарного единичного объема, которая расходуется только на изменение формы), условие (5.12) можно сформулировать и так: при пластическом состоянии вещества удельная энергия формоизменения для любой точки остается постоянной.
Наиболее простые уравнения в теории пластичности можно получить, если исходить из теории наибольших касательных напряжений (третьей теории прочности), базирующейся на тех опытах, в которых установлено, что при пластическом состоянии вещества максимальное скалывающее напряжение в любой точке остается постоянным. Это условие, выраженное через главные напряжения, можно представить в виде
<*1 — <*3 = (5.13)
Для плоского напряженного состояния, пользуясь компонентами напряжений, имеем
У(ох — оу)2 + 4т2ху = сгг. (5.14)
Условие постоянства касательного напряжения (условие Сен-Венана) в общем удовлетворительно характеризует состояние текучести материала и согласуется с так называемыми линиями Людерса — Чернова. Но тщательные экспериментальные исследования показывают систематические отклонения в поведении ковких металлов в состоянии текучести от условия (5.13).
Условия (5.12) можно выразить через главные напряжения, если примять в выражении (4.05) тху:=Туг = тгх = 0} а ах, оУу о2 — соответственно равными главным напряжениям 02, аз.
б, г
°ис. 5.04. Индикаторные диаграммы растяжения и сдвига для идеально пластического тела
183
Таким образом,
-*Y~ V (а, — а2)2 + (<т2 — <т3)2 + (<т3 — о,)2 = «V (5.15)
Для случая когда 02 = 01 или <Т2 = сгз, условие (5.15) получается, как и (5.13), т. е.
V (<*! — а2)2 4- (аг — а3)2 + (о3 — ст1)г= а, — а3 = ог. (5.16)
Для плоской деформации, когда ст2 = — (а, + сг3), условия (5.15) принимает следующий вид:
левая часть Уз / v
V-К-Оз).
(5.17)
Следовательно, для такого случая условие пластичности
(5.12) выражают аналогично теории наибольших касательных напряжений (5.13) с заменой лишь коэффициента в правой части перед пределом текучести, а именно
Oi-oa = -y=-aT. (5.18)
Для плоского напряженного состояния, когда <7з = 0, условие (5.15) имеет вид
ai + °2 “ (Ji(T2 = а?.
(5.19)
Условие (5.17) справедливо, например, для толстостенной трубы, подверженной равномерному внутреннему и внешнему давлениям, и для случая, когда осевое напряжение можно приблизительно полагать равным полусумме двух других главных напряжений, так как труба в осевом направлении не удлиняется. В таком случае действительно
о2 = У (<*х + °у) = V' (<*1 + <х2) = -у (а-1 + а2),
так как при пластической деформации коэффициент р' следует принять равным 7г.
§ 5.05. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости и в теории пластичности
В § 5.03 сформулированы четыре основных закона в теории малых упруго-пластических деформаций. Заметим, что не все эти законы являются совершенно независимыми друг от друга
134
и, более того, количество независимых законов упруго-пластической деформации зависит от того, в какой степени, в явной или завуалированной, оговорены предпосылки и допущения. Так, в процессе выкладок в § 5.03—5.04 всюду предполагается равновесный процесс, т. е. состояние материала, характеризуемое напряжением аг- и деформацией е?-, не изменяется во времени. Для изотропного тела направления главных нормальных напряжений и направления главных удлинений совпадают.
Можно доказать, что если первой и основной предпосылкой теории принять идеальную изотропность материала (как при упругой, так и при пластической деформации), а второй предпосылкой равновесный процесс, то в качестве следствия получаем закон изменения формы (закон подобия девиаторов). Приняв закон упругого изменения объема в качестве следствия, получаем зависимость между обобщенным напряжением и обобщенной деформацией.
В случае малых деформаций [24] зависимость между компонентами напряжений и деформациями полностью определяется при задании первого и второго инвариантов тензора напряжений как функций первого и второго инвариантов тензора деформаций.
В случае немалых, т. е. конечных, деформаций зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора конечной деформации полностью определяются заданием трех уравнений состояния, выражающих три инварианта тензора напряжений с тремя инвариантами тензора деформации.
Для хрупких сталей и специальных сплавов, как показывают опыты, даже при простом нагружении на момент наступления пластичности может оказать влияние среднее нормальное напряжение. В частности, закон деформации при простом нагружении должен для хрупких сталей иметь более сложный вид:
<т( = Ф (е£, еср).
Но для основной массы металлов, как отмечает А. А. Ильюшин [39], при вср порядка не более ат влиянием аср можно пренебречь, а в тех случаях, когда это влияние становится существенным, требуются специальные опыты.
Имеются также и такие зависимости между напряжениями и деформациями, введение которых в основные уравнения теории упруго-пластических деформаций облегчает решение уравнений. К таким зависимостям относятся искусственные связи, которые с качественной стороны более или менее Правдоподобны, и расхождение их с действительностью оказывается в пределах допустимой точности расчетов.
Приведем степенный закон связи обобщенного напряжения с обобщенной деформацией, предложенный В. В. Соколовским,
в форме
сh
где k и т — значения связанных между собой постоянных для данного материала.
Благодаря применению в теории пластичности функций комплексного переменного этот закон позволил получить решение ряда новых задач в теории пластичности и, в частности, тех задач, для которых имеется решение в теории упругости (при тех же граничных условиях).
Основные положения теории пластичности являются в некоторой степени приближенными, и потому логично допустить приближенное решение задачи.
Поэтому не следует теорию формулировать в виде замкнутой системы дифференциальных уравнений со строгими граничными условиями, а, напротив, в виде системы, имеющей класс решений, лежащих в более или менее (соответственно точности экспериментальных законов) узкой полосе. Это позволит, не уменьшая точности решения, находить его гораздо более простыми средствами [38].
Выше принято, что среда является изотропной. Опыты, однако, свидетельствуют о том, что с развитием пластической деформации материал приобретает известную анизотропию и, следовательно, только в первом приближении его можно рассматривать как изотропный. Иными словами, опыты свидетельствуют о некотором отклонении от условия подобия девиаторов.
В связи с этим предлагались более сложные зависимости между девиаторами, например, вида
Т°н — единичный тензор (шаровой, при единичном среднем напряжении);
A, В и С—функции второго и третьего инвариантов девиаторов
напряжений.
Практического применения зависимости (а) не получили из-за их сложности, а данные других, более точных экспериментов не подтвердили их соответствия действительности.
B. В. Новожилов [69] предложил иную форму соотношения между напряжениями и деформациями для произвольного нелинейно-упругого изотропного тела. В эти соотношения входят три подлежащие определению из опыта функции инвариантов деформации: обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов. Если фаза
где
(а)
136
подобия девиаторов равна нулю, то эти соотношения превращаются в формулы современной теории малых упруго-пластических деформаций.
В исследованиях Г. Л. Смирнова-Аляева для описания законов пластического деформирования введено понятие об углах вида деформации и вида напряженного состояния [99].
Исследования В. В. Новожилова показали, что даже значительные отклонения от фазы подобия девиаторов от нуля относительно мало влияют на закон, характеризующий обобщенные напряжения и деформации. Таким образом, доказано, что:
а) современная теория малых пластических деформаций не требует уточнения учета фазы подобия девиаторов;
б) зависимости между напряжениями и деформациями для произвольного нелинейно-упругого тела следует искать в форме, аналогичной соответствующим соотношениям теории пластичности.
ЛИТЕРАТУРА
[24], [39], [41], [69], [102]
6
ГЛАВА
ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКО-УПРУГАЯ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДЫ
§ 6.01. Дополнительные определения, понятия и обозначения
в теории поя зучести
Как известно, при определении упругих, а также малых упруго-пластических деформаций (главы IV и V) время как независимая переменная исключается из законов деформирования. Так, в теории упругости деформация однозначно определяется действующими в данный момент силами независимо от истории всех предыдущих нагружений.
В теории пластичности необходимо знать напряженное и деформированное состояния, приобретенные телом от предыдущего нагружения. Но и в этом случае найденная новая деформация принимается в будущем сохраняющейся без изменения, если не произойдет изменения в самой нагрузке.
Однако пластическая деформация твердого тела по своей природе, вообще говоря, является состоянием движения, и потому явление текучести должно было бы исследоваться как некоторое движение непрерывной среды. Изменения во времени деформаций, а следовательно, и напряжений в одних случаях проявляются на протяжении сравнительно небольшого отрезка времени, например в течение нескольких месяцев или лет (случай падения напряжений в натянутом болте или струне, сохраняющих постоянную деформацию, т. е. так называемое явление релаксации, или случай возрастающих во времени прогибов сильно напряженного перекрытия под действием постоянной неизменной во времени нагрузки, т. е. явление ползучести),
138
В других случаях, наоборот, существенные изменения могут произойти лишь в течение нескольких веков. Примером этого является случай изгиба пластов горных пород (рис. 6.01). Своеобразное течение горных пород происходит в результате исключительно большой продолжительности действия сил.
Природу таких явлений, как релаксация (падение напряжений при неизменной деформации), ползучесть (рост деформаций при постоянных нагрузках), нельзя объяснить с точки зре-
Рис. 6.0L Течение пластов горных пород в результате многовекового действия сил
ния идеально упругого тела или идеально пластического. Частично эти явления можно объяснить, если исходить из представления об упруго-вязком или вязко-пластическом телах, понимая под последними такие тела, в которых при деформации возникают напряжения, зависящие не только от деформаций, но также и от скоростей развития этих деформаций. В этом случае всякое реальное тело уподобляется конгломерату, состоящему из твердых (упругого или пластического) элементов и полужидкого, жидкого или газообразного веществ, которым заполнены промежутки между твердыми элементами. Ярким примером последнего является груНт, в котором влага заполняет пространство между твердыми частицами песка и глины.
Аналогичный процесс наблюдается в бетонах и растворах, где даже чисго упругие деформации обусловливаются не только деформацией твердых зерен, но и растяжимостью поверхностных пленок жидкости в капиллярных порах между зернами.
В древесине, например, можно найти упругие волокна — фибриллы — и в промежутках между ними — влагу, пары и
139
воздух. Будучи деформированы, волокна давят на окружающую их жидкость, и она перетекает в менее напряженные зоны, а также во внутренние полости. Вполне очевидно, что сопротивление, которое оказывает жидкость при ее перемещениях выдавливанию, зависит от скорости этого смещения (известное положение из гидродинамики).
Для дальнейшего изложения примем некоторые дополнительные определения, понятия и обозначения.
В зависимости от длительности наблюдения процесса деформации большинства реальных тел сначала проявляются либо их свойство упругости (обратимость процесса), либо их свойство текучести (необратимость процесса). Иными словами, степень проявления тех или других свойств зависит от длительности наблюдения, или, точнее, от отношения времени наблюдения к так называемому времени релаксации.
Условимся называть временем релаксации для данного материала такое время, в течение которого напряжения (или внешние силы) в материале, возникшие от заранее созданной и в дальнейшем неизменяемой во времени деформации, ослабевают в е = 2,718 раза.
Для материала земной коры время релаксации измеряется тысячелетиями, для стекла (при обычных температурах)—столетиями, для воды— 10-11 сек.
Вот почему силы, действующие на внешнюю оболочку Земли в течение секунды, часа, а может быть и целого года, возможно вызовут только упругую деформацию. Силы же, действующие в течение геологических периодов времени (десятки или сотни тысяч лет), несомненно вызовут течение, показанное на рис. 6.01. Материковые массы, составляющие оболочку Земли, находятся в состоянии медленного вязкого течения.
Для воды такой отрезок времени, как 1 сек, считается столь большим, что при наблюдении течения воды в этот промежуток времени практически не обнаруживается ее способности оказывать упругое сопротивление сдвигу, так как за этот промежуток времени прежде всего проявляется ее свойство текучести, которое маскирует ее упругие свойства. Наоборот, в течение промежутков времени, меньших по сравнению с \0~и сек, вода ведет себя как упругое тело, обладающее сопротивлением сдвигу.
В дополнение к понятиям о тензорах и девиаторах напряже¬
ний и деформаций (§ 2.01, 2.10, 2.11, 2.14) введем понятия о тензорах и девиаторах скоростей напряжений и скоростей деформаций. Если точкой обозначим операцию дифференцирования по времени и, следовательно, скорости напряжений и деформаций будем обозначать как
дох _ Л дтху = 'х де>
dt
= а,
dt
'ХУ>
е* _
dt
= е, и т. д.,
140
то запись тензоров и девиаторов скоростей напряжений и деформаций примет вид, аналогичный обычным тензорам и девиа- торам, но каждый компонент будет иметь точку, указывающую на дифференцирование во времени.
Так,девиатор скоростей напряжений имеет вид
D
н
ад,
dt
(6.01а)
и девиатор скоростей деформаций
^Ср»
D
деф
д£*деф
dt
1
1 •
~2~ Уху'
2 Ухг'
1 •
'у еср>
2 Уи”
• >
ег еср
(6.016)
По аналогии с (4.05) и (4.06) оказывается целесообразным оперировать понятиями интенсивность скорости напряжения, а также интенсивность скорости деформации, которые имеют следующие условные выражения:
= ~yf V(с, — + (а, — а3)2 + (сг3 — а,)2, (6.02а)
— е2)2 + (е2 — е3)2 + (е3 — е',)2
(6.026)
Для изучения ползучести металлов обычно проводят опыты по растяжению стержней при постоянной температуре и фикси-
Рис. 6.02. Типичная диаграмма ползучести:
Еупр “ УпРУг°я деформация; епл — деформация ползучести
рованных нагрузке или напряжении. Типичные результаты длительных испытаний стержня под постоянной нагрузкой показаны на рис. 6,02 (так называемая кривая ползучести) .При нагружении стержень получает начальную деформацию е0, которая в зависимости от нагрузки может быть упругой или упруго-пластической. Затем следует участок АВ, характеризующий рост деформации во времени, но с постепенно
141
убывающей скоростью ползучести (касательная к различным точкам кривой АВ по мере приближения к точке В занимает более пологое направление). Отрезок времени ОВ называют периодом неустановившейся ползучести, и обычно этот период относительно невелик. На участке ВС скорость деформации практически постоянна. Это так называемый период установившейся ползучести, обычно весьма большой и заканчивается либо хрупким изломом в момент времени, отвечающий точке С, либо вязким разрушением вследствие образования шейки.
В соответствии с двумя характерными участками кривой ползучести в дальнейшем будем различать две теории, а именно
£
—х
Рис. 6.03. Диаграмма ползучести при разгрузке
теорию неустановившейся ползучести и теорию установившейся ползучести.
В случае если время выдерживания испытуемого образца под постоянной нагрузкой ограничить и в какой-то момент времени его разгрузить, то диаграмма ползучести металла будет иметь вид, показанный на рис. 6.03.
Примечание. Явление постепенного возрастания деформаций после приложения нагрузки и убывания после снятия ее в курсе сопротивления материалов обычно называют последействием и в зависимости от того, до каких напряжений доведено испытуемое тело (ниже или выше предела упругости) и затем продолжает оставаться под этим напряжением или разрушаться, различают упругое или неупругое последействие. Эти термины независимо от знака исследуемой деформации (ее роста или убывания) назовем ползучестью.
Способность материала изменять свое напряженно-деформированное состояние во времени иногда называют вязкостью, которая в частном случае обращается или в релаксацию напряжений (при неизменной во времени деформации), или в ползучесть деформации (при неизменном во времени напряженном состоянии). Это явление также назовем ползучестью (без прибавления к этому термину указания на напряжения или деформации).
Заметим, что в теории упруго-пластически-ползучей среды, являющейся частной ветвью реологии в широком смысле этого слова, терминология не является окончательно установившейся.
Так, А. А. Ильюшин [43] считает удобным называть релаксацией в широком смысле слова ослабление материала (имеется в виду главным образом металл), длительное время находящегося в постоянном или изменяющемся во времени напряженном и деформированном состояниях и переменном тепловом режиме. Таким образом, к релаксации А. А. Ильюшин относит
142
явления ползучести (которое в технике именуют также крипом), последействия и релаксации в узком смысле, вязкости (являющейся причиной затухания собственных колебаний упругих систем) и нарастания усталости. Обозначение, одним словом, различных на первый взгляд явлений удобно потому, что они имеют общие законы, дальнейшее установление которых является важной задачей для теоретиков и экспериментаторов.
Таким образом, не без оснований все упомянутые выше понятия отдельные ученые считают входящими вообще в понятие пластичность, так как пластическая деформация по своей природе динамическая.
§ 6.02. Условная классификация физических сред и уравнений,
описывающих законы их деформации
Точное описание законов деформации большинства конкретных тел природы весьма сложно. Поэтому в инженерной практике, как уже указывалось выше, принимают различные упрощения, допущения, пренебрегают второстепенными факторами. Так возникает понятие об идеально упругом теле в двух его разновидностях — линейно-упругом и нелинейно-упругом, понятие об упруго-пластическом теле, об идеально пластическом теле (без упрочнения).
Рассмотрим еще те случаи, когда влияние времени на напряженно-деформированное состояние существенно. Простейшим примером такого тела является вязкая жидкость, расчетная модель которой была предложена Ньютоном, называемая поэтому ньютоновой вязкой жидкостью. Для такой жидкости сопротивление ее течению зависит от относительных скоростей движения ее частиц. Так, касательное напряжение в точках вязкой жидкости следует сопоставлять не с величиной относительных сдвигов у, а со скоростью изменения этих сдвигов у. Ньютон предложил принимать зависимость между т и у самую простейшую— линейную, т. е.
т = т)у,
(6.03)
г) — коэффициент вязкости, аналогичный модулю сдвига для угругого тела.
Тело (среда), для которого применимы условия (6.03) и аналогичные ему линейные соотношения, назовем линейно-вязкой средой или идеально вязким телом.
143
В реологии широко применяют*изображения на моделях тех или иных абстрактных тел. Так, в частности, идеально вязкое тело можно представить в виде амортизатора, например в виде пробирки, наполненной очень вязким маслом, в которой свободно перемещается поршень (рис. 6.04).
Если природа исследуемой вязкой жидкости такова, что касательное напряжение в ней не может беспредельно увеличиваться при беспредельном увеличении скорости относительных сдвигов, т- е. существует «потолок» для напряжения, то такое тело по аналогии с идеально-пластическим телом назовем идеаль- но-пластически-вязким.
Если тело при его деформации создает сопротивления (напряжения), зависящие от величины и скоростей этих же деформаций и способные исчезнуть при исчезновении деформаций, то такое тело назовем упруго-вязким. В зависимости от того, какие уравнения характеризуют компоненты тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций (линейные или нелинейные), различаем линейное упруго-вязкое тело и нелинейное упруго-вязкое тело.
Иногда вводят в употребление такие понятия, как упруго-вязкое тело, обладающее последействием; упруговязкое релаксирующее тело. Эти тела являются частными случаями нелинейного или линейного упруго-вязкого тела, которое в общем виде рассмотрено в § 6.06.
В соответствии с названием того или другого из указанных выше тел аналогично называют и уравнения, описывающие деформации этих тел. Уравнения, или условия, описывающие деформации тел, разделим на три группы:
а) линейные уравнения, в которых зависимость между напряжениями, деформациями, их скоростями наипростейшая — линейная;
б) нелинейные уравнения, которые имеют нелинейную зависимость;
в) условия текучести, которые используют вместо уравнений
(6.03) в тех случаях, когда вещество в рассматриваемой точке находится в предельном состоянии по ответственному напряжению в этой точке.
Условимся вместо термина «тело» применять термин «среда», так как одновременное наличие такого комплекса свойств, как релаксация напряжений, ползучесть деформаций и другие, естественно отнести к сложному по конституции телу, которым является среда.
Рис. 6.04 Модель идеально вязкого тела
144
§ 6.03. Связь компонентов напряжений с компонентами скоростей деформаций для идеально-вязкой среды
Как уже известно, для идеально вязкой жидкости, для наипростейшего, т. е. ламинарного движения, Ньютон предложил зависимость для касательного напряжения (закон сопротивления) в виде (6.03).
Очевидно, что для одноосного напряженного состояния в такой же идеально вязкой среде можно принять зависимость в виде
а = хе, (6.04)
где х—коэффициент, аналогичный модулю £ для идеально упругой среды. Этот коэффициент иногда называют линейной вязкостью жидкости. Очевидно, что этот коэффициент находится в зависимости с коэффициентом вязкости л» аналогичной зависимости между Е и G, т. е.
Л =
X
2(1+ р*) ’
(6.05)
где р*— коэффициент поперечной деформации, зависящий от скорости деформации.
Так как объемная деформация ньютоновой вязкой жидкости не зависит от скоростей деформации (зависит только от гидростатического давления), т. е. не обладает объемной вязкостью, то коэффициент р* принимаем равным половине и потому
х = Зт). (6.06)
Так как для линейно-напряженного состояния в идеально вязкой жидкости исходный закон (6.04) идентичен по форме обычному закону Гука в случае идеально упругого тела при простом растяжении, то, очевидно, в общем случае зависимость между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора скоростей деформации выражается в форме, аналогичной
(4.08), но с заменой деформации на скорость деформации и модуля сдвига на вязкость.
Таким образом, получаем следующие соотношения:
°х-
^ср
2П(е,
еср,
°у-
1
«р
■о
II
2n(6j,
®ср,
Ог~
1
Q
о
*о
II
2ц (е'г
еср,
II
Хху =
tiv;
=
ЛУг*-
(6.07)
145
Можно ввести условное понятие об интенсивности скорости деформации, которую по аналогии с (2.39) приведем в виде
е< = JY~j/rК - О* + (*у ~ е<)2 + ~ е*)3+-у (ty + у%+у1 )
(6.08)
и аналогично (4.04) имеем
at = xe(f
где
к = 2т](1 -f |ы*) » Зг| или
а( = Зт]ё,.
(6.09)
Если ввести обозначения
— dh = dh]
(6.10)
Gi
2 п —Г}
3 g деФ ^дсф>
(6.11)
где DH — направляющий тензор напряжений; Одеф — направляющий тензор скоростей деформации, то все шесть уравнений
(6.07) кратко можно представить в таком виде:
Ьн = Здеф. (6.12)
Уравнение (6.12) показывает, что в идеально вязком теле направляющие тензоры напряжений и скоростей деформации совпадают.
§ 6.04. Связь компонентов напряжений с компонентами деформаций и их скоростей для линейной упруго-вязкой
среды
Большой интерес для инженера представляют тела, соединяющие в себе свойства упругих тел и вязких жидкостей. Для такого тела при линейном напряженном состоянии и линейном законе деформации следует, возможно, принять зависимость между напряжением, деформацией и скоростью деформации в виде
а = Ее + ке.
(6.13)
146
Для уравнения (6.13) можно изобразить модель, показанную на рис. 6.05.
Действительно, для определения движения перекладин, к которым прикладываются силы, нужно преодолеть сопротивление пружины, зависящее от ее деформации, и сопротивление амортизатора, зависящее от скорости расхождения перекладин.
Конечно, вязко-упругие свойства тел можно рассматривать и не прибегая к механическим моделям, которые вводятся лишь для более наглядного представления комбинации гуковской и ньютоновской составляющих.
Модель отражает только макроскопическое поведение и не всегда раскрывает молекулярную основу вязко-упругих свойств, т. е. не следует полагать, что ее элементы непосредственно отражают какие-то молекулярные процессы.
Следует также иметь в виду *, что если физическое явление можно представить какой-либо одной механической моделью, то его также можно представить бесконечным числом других моделей.
Исследование этого уравнения (что подробно выполнено в разделе VI, главе 20) показывает, что деформация е в любой момент времени определяется процессом изменения напряжения за время от t — —оо до рассматриваемого момента. Это свойство тел называют наследственностью, и потому рассматриваемое здесь тело можно считать средой, обладающей свойством наследственности, но не способной к релаксации, так как при e = const согласно (6.13) и a = const.
Переходя от одноосного напряженного состояния к общему случаю объемного напряженного состояния и применяя закон сложения отдельных действий (§ 4.01—4.03), можно, очевидно, следующим образом выразить зависимость между напряжениями и деформациями в таком теле:
Da = 2GD^ + ^.4DA^. (6.14)
Условие (6.14) в проекции на оси представляется шестью уравнениями. Так, первое из шести уравнений деформации имеет вид
°Х — °ср = 2G (ех — еср) + Y ц (е* — еСр)
и последнее
Х*х = °Угх + Y ЧУг*.
Если принять более общий случай упруго-вязкого тела, т. е. тела, способного к релаксации (способность изменения напря¬
* Д ж. Ферри. Вязко-упругие свойства полимеров. М., Изд-во иностранной литературы. М., 1963, стр. 14—15. См. также [104а].
147
жений даже при постоянной деформации), то вместо (6.13) следует при линейном напряженном состоянии принять
а + по = Ее + хе или, приняв для удобства вспомогательные обозначения
х = Нп,
(6.15) представим в виде
а + по = Ее + Нпг.
(6.15)
(6.16)
(6.17)
Рис. 6.05. Модель линейной упруго-вязкой среды, обладающей наследственностью, но не способной к релаксации
Рис. 6.06. Модель уп- Рис. 6.07. Мо-
руго-вязкого тела, дель тела
способного к релакса- Максвелла
ции
Уравнению (6.17) соответствует модель, показанная на рис. 6.06. Частным случаем этой модели является модель так называемого тела Максвелла (рис. 6.07), применительно к которой закон деформации можно выразить в виде
а Н- по = хе.
148
Обобщение этого линейного закона (6.17) на случай объемного напряженного состояния в точке рассматриваемой упругоползучей среды, очевидно, позволит получить новые шесть уравнений связи компонентов напряжений и их скоростей с компонентами деформации и их скоростями. Так, первое из. шести уравнений имеет вид
(о, — <хср) + п (ох — 6Ср) = 2G (ех — еср) + -|- Нп (гх — ёср). (6.18)
Аналогично выражаются и другие уравнения.
К уравнениям (6.18) следует также присоединить обычный объемный закон
аср = £0еср (6.19)
(слагаемое с объемной вязкостью в (6.19) отсутствует, так как вязкая жидкость не обладает объемной вязкостью [21]).
Закон изменения формы упруго-релаксирующе-ползучего тела (6.19) кратко можно выразить в таком виде:
Ц, + nD„ = 2СОдеф + ± НпЬдеф, (6.20)
т. е. девиаторы напряжений, деформации и девиаторы скоростей напряжений и деформаций находятся в определенной зависимости друг от друга.
Представим (6.17) в следующем виде:
"-г(|+ 7Г'-1Г'’)в- (6-21)
Обозначая
■ + '
выражение (6.17) представим в виде
о = Е (t)&, (6.21а)
по внешней форме аналогичном закону Гука при одноосном растяжении.
Однако очевидно, что E(t)—функция времени (зависящая от скорости напряжения и скорости деформации) и причем она зависит не только от материала, но и от характера (истории) нагружения. Так, в релаксационных задачах (см. §20.02—20.04)
имеем е = 0 и, наоборот, в случае неизменных во времени приложенных усилий на границе тела имеем а = 0.
В какой-то степени выражение (6.21а) аналогично закону деформации упруго-пластического тела (в котором секущий модуль деформации переменный), но и это сходство формальное, так как в теории пластичности уравнения деформации носят
149
нелинейный характер, тогда как в основе (6.17) лежат линейные соотношения.
Очевидно, в такой же форме молено выразить уравнение
(6.20), придав ему вид
DH = 2G(/) Ддеф. (6.216)
Заметим, что в теории ползучести материалов выражение (6.216), полученное иначе, широко применяют в расчетах.
§ 6.05. Условия текучести (течения, пластичности) для идеальной
пластически-вязкой среды
Особенности идеальной пластически-вязкой среды изложены в § 6.02. Условие предельного состояния для такой среды, очевидно, можно получить путем комбинирования условий текучести для идеально пластического материала с законом деформа-
-АЛЛА
Сила сухого трения
Рис. 6.08. Модель идеально пластического тела
ции для линейной упруго-вязкой среды (в том или ином варианте).
В случае пластической деформации без упрочнения, как известно (см. 5.05), имеется условие (для краткости здесь и ниже выразим его в главных осях)
о, = /(Oi — сг2)2 + (о, — ст3)2 + (а3 — аг)2 = <гт.
Заметим, что модель идеально пластического тела можно представить в виде, показанном на рис. 6.08 (шероховатый груз, находящийся на крышке стола, причем между грузом и столом действует сухое трение).
Если модель пластически-вязкого тела представить в виде, показанном на рис. 6.09, то очевидно, что
= ат + хе,. (6.22)
В развернутом виде (но в главных осях), используя (4.05), а для ег принимая (6.08), получаем
-у=- У(0, — аг)2 + (сг2 — <т3)2 + (<т, — 0t)2 =
= от + х V(в, — ег)2 + (в2 - е,)2 + (е3 — е,)2. (6.22а)
150
Можно составить закон деформации, исходя из модели, показанной на рис. 6.10. Этот закон аналогичен закону (6.22).
Условие (6.22) и можно рассматривать как характеристику вязко-пластического состояния в точке тела. Условие (6.22а) можно выразить через компоненты напряжений и скоростей деформаций, отнесенные к произвольным осям х, у, г.
Рис. 6.10. Модель упруго-пластически-вязкого тела
§ 6.06. О связях напряжений и деформаций для нелинейной упруго-вязкой среды. Гипотезы ползучести
Соотношения, приведенные в § 6.04, т. е. линейные зависимости, можно использовать, как показывает опыт, лишь в ограниченном диапазоне деформаций.
Действительные же зависимости между напряжениями и их скоростями носят нелинейный характер. Заметим, что входящие
151
в уравнения (6.17) — (6.20) физические модули я, G, Н не являются постоянными, а являются функциями разыскиваемых по этим уравнениям компонентов тензоров напряжений и деформаций и их скоростей и, следовательно, зависят от времени, т. е. n = n(t), G = G(t)f H = H(t).
Таким образом, по-видимому, в первом приближении необходимо на основании серии опытов в условиях относительно простых деформаций (чистый изгиб, чистое кручение) установить зависимость п, G, Н как между собой, так и от таких обобщенных характеристик, как интенсивность напряжений, интенсивность скорости напряжений, интенсивность деформации, интенсивность скорости деформации (подобно тому, как в теории пластичности модуль G' устанавливается в зависимости от с*- или ег). Интенсивные экспериментальные изыскания в этой области продолжаются. Поэтому на данном этапе состояния теории ползучести для упрощения экспериментальных исследований широко используют полуэмпирические зависимости между напряжениями и деформациями упруго-пластически-вязких тел. Полуэмпирическими их называют потому, что при использовании их недостающие параметры определяются уже теоретически.
Эта зависимость, естественно, устанавливается для каждого характерного материала, так как указанные выше параметры п, G, Н для различных материалов отличаются не только количественно, но и качественно.
Имеется несколько гипотез для описания процесса деформации во времени. Так как в настоящее время по этому вопросу имеются не только положительные, но и отрицательные стороны в каждой из предлагаемых гипотез, то кратко рассмотрим различные точки зрения.
Явление ползучести характеризуется многими параметрами: температурой, напряжениями, деформациями, их производными по времени, временем, постоянными материала.
Естественно предположить, что между ними существует, например, зависимость
Ф(е, е, а, а, Г, t) = 0. (6.23)
Но, по-видимому, не все параметры здесь одинаково существенны. Принимая разные группы параметров за основные, получим различные теории (гипотезы) ползучести.
Если (6.23) представить в следующем сокращенном виде:
Ф7 (е, е, ст) = 0, (6.24)
где индекс Т означает, что постоянная температура косвенно входит в параметры е, е, а, то получим так называемую теорию упрочнения.
152
Если в сокращенном виде (6.23) сохранить время, то можно получить различные варианты так называемой теории старения, например:
или
Ф (ер, о, 0 = О Ф (о, ер, /) = 0.
(6.25)
Для выяснения зависимости ползучести от напряжения опыты проводятся при различных фиксированных нагрузках. На рис. 6.11 показаны результаты опытов над сталыо при темпера-
Рис. 6.11. Результаты опытов над сталью при температуре 450° С
туре 450° С [47]. Здесь на оси ординат отложена лишь деформация ползучести е?*, так как начальная деформация е* при обсуждении не рассматривается.
На рис. 6.12 показаны результаты испытаний над красной медью.
Как видно из приведенных рисунков (это же наблюдается и
в других испытаниях с другими
4Й
медь
T-/SS’
s6joijg£
й720м/СЩ1
)
о Ш 600 1200 1600 [час)
Рис. 6.12. Результаты испытаний над красной медью
материалами;, кривые ползучести оказываются почти (а для первого приближения это можно принять как исходное положение) геометрически подобными. Это позволяет выразить для скорости деформации ползучести такую зависимость:
ё‘п) = В(/)о?, (6.26)
где В (t) — положительная убывающая функция времени (рис. 6.13), отсчитываемая от момента начала ползучести, асимптотически стремящаяся
153
к предельному значению В(оо). Показатель степени т определяется опытным путем- В качестве примера в табл. 7 приведены некоторые значения т и В(оо) из [47].
Таблица 7
Материал
Темпера¬
тура
т
В( ОО )
Сталь 0,30 С
Сталь 12% С
400 °С 454 ЭС
6,9
4,4
1,8-10-29 н/см2 \/час 5,0-10-22 н/см'1 \/час
В зависимостях типа (6.26) напряжение является фиксированной величиной, а скорость деформации исследуется. Интегрируя (6.26) по времени от 0 до t, имеем f я.я
е(" >=Q(*)o™ (6.27)
или
<
Q(/) = Jfi(/)<# (6.28)
О
есть положительная мо* нотонно возрастающая функция (рис. 6.13). При больших t указанная функция Q(/) является линейной функцией времени *.
Широко популярной жающаяся в виде
была гипотеза Н. М. Беляева, выра-
ep = i|>(0<7, (6*29)
где функционал
ф (0 = k j* o'1"1 dt.
\ Теорию Н. М. Беляева развил Н. Н. Малинин, предложивший ее в виде
е = о f on~1B(t)dt, (6.30)
о
где также предполагается, что B(t)—функция времени.
* За Q(0 можно взять одну из кривых ползучести (рис. 6.13), умножив ее ординаты на о-*, где ах— напряжение, соответствующее выбранной кривой.
154
Одной из теорий, описывающих зависимость деформации в данный момент времени от предыдущего деформирования материала (теория наследственности), является теория Ю. Н. Ра- ботнова [86], [90], согласно которой
ф(«)=о(0 +J *(/-£) о (g)dg. (6.31)
Здесь |—переменная интегрирования, изменяющаяся от 0 до/;
а(/) —напряжение в общем случае; ф(е) —функция только деформации, описывающая диаграмму растяжения материала;
K(t—£)—ядро интегрального уравнения (функция разности двух переменных /—£).
Основным недостатком всех вариантов теории старения является то, что в них время входит явным образом, и потому уравнения, получаемые из этих теорий, не инвариантны по отношению к системе отсчета времени.
В работах [86], [24а] сделана попытка создать объединенную теорию пластичности и ползучести.
Если допустить, что скорость деформации ползучести при медленных и достаточно плавных изменениях напряжения описывается тем же уравнением (6.27), а напряжения не превышают предела упругости при данной температуре, то для полной скорости деформации гх можно представить в виде
в, = е<п) + г(/\ (6.32)
где, очевидно, из закона Гука, по которому
следует, что
1 da
е*~ Ет ' си '
где Ет — обычный модуль упругости материала при рассматриваемой температуре Т.
При подстановке в (6.32) выражений (6.26) получаем
гх = В(()о’” + ~щт (6.33)
Большие упрощения в расчет приносит введение понятия о начальном скачке деформации [37] с заменой истинной кривой ползучести ломаной, получающейся при продолжении до оси е участка установившейся ползучести (рис. 6.14). Если ед обо¬
155
значить-отрезок, который отсекает наклонная прямая на оси ординат, то деформацию в любой момент времени установившейся ползучести можно подсчитать по формуле
е(п) = ед + t tg р.
Очевидно, что величина начального скачка для каждой кривой ползучести (соответствующей напряжению а) является определенной, равно как и для каждого напряжения а на кривой ползучести имеется определенный наклон участка прямой, соответствующий установившейся ползучести. ^
Обозначая ед =ф(а) и tgр = (а), получаем полное выражение для относительной деформации в момент времени t:
е = -р— + ф (а) + t ф (а), (6.34)
СТ
где первый член соответствует деформации (примем ее упругой) вслед за приложением силы (Ет—модуль упругости материала, соответствующий температуре испытания материала).
Иногда уравнения семейства кривых ползучести представляют в виде
/г (а, е, 0 = 0, (6.35)
где индекс Т означает, что температура входит в это соотношение через параметры (коэффициенты).
Так, в частности, иногда выражают
где во, ^о, я, со — характеризующие свойства материала, зависящие от температуры.
Иногда (что, между прочим, лучше согласуется в опытах на одномерную ползучесть) уравнение семейства кривых ползучести представляют в виде
F? (о, е, е) = 0. (6.36)
Так, в частности, используют соотношения
8Р6 р = Аап,
где пластическая деформация
Рис. 6.14. Аппроксимирование кривой ползучести ломаной
156
Соответствующим выбором постоянных &, Л, а0, п можно удовлетворительно описать кривые ползучести в ограниченном диапазоне напряжений.
Соотношения типа (6.35), как и (6.25), относят обычно к так называемым теориям старения, так как в них зависимость между напряжением и деформациями явно содержит время.
Соотношения типа (6.26), как и (6.24), относят к выше приведенным теориям упрочнения. Заметим, что в теории ползучести установившейся терминологии пока нет и, в частности, приведенная здесь теория старения не имеет ничего общего с теорией старения в физике металлов.
§ 6.07. Обобщение на сложное напряженное состояние
Рассмотренные гипотезы ползучести получены в результате обсуждения тех или иных опытов. В них рассматривалась самая простая деформация — одноосное растяжение. Так как все варианты гипотез ползучести являются нелинейными соотношениями, то принцип независимости действия сил неприменим. Это осложняет уравнение реологического уравнения для неодноосного напряженного состояния (если даже для данного конкретного материала и найдено удовлетворительно совпадающее с опытом соответствующее уравнение для одноосного растяжения).
Применительно к таким относительно однородным материалам, как сталь, во всех расчетах на ползучесть при неодноосном напряженном состоянии постулируется применимость к задачам ползучести теории малых упруго-пластических деформаций, т. е. полностью сохраняются все выводы главы 5 и, в частности, закон деформации (5.09):
И так же, как в теории пластичности для несжимаемого материала, интенсивность напряжений и деформации имеют такие же соотношения, как напряжение и деформация при одноосном растяжении, то и здесь*— в теории ползучести — принимается зависимость между интенсивностью напряжений, интенсивностью деформации и временем (при сложном напряженном состоянии) такой же, как для того же материала, но в случае одноосного растяжения. Последнее зависит от принятой гипотезы ползучести. Так, в случае, если отдается предпочтение гипотезе Н. Н. Малинина, то принимается
(6.37)
о
(6.38)
157
Аналогично поступают в случае использования других теорий ползучести.
В случае установившейся ползучести, как показал Н. Н. Малинин [79], можно с ббльшим основанием (нежели при неуста- новившейся ползучести) аппарат теории ползучести представить повторением аппарата теории пластичности, но только компоненты деформации, подразумеваемые в теории пластичности (полные), считать пластическими (исключить упругие составляющие). Приняв степенную зависимость интенсивности пластических деформаций от интенсивности напряжений, т. е.
е|п) = а?£2(0* (6.39)
получаем эквивалентность между задачей установившейся ползучести и задачей пластического состояния детали (при степенной зависимости интенсивности деформации от интенсивности напряжений).
Сближение теории неустановившейся ползучести и деформационной теории пластичности, соответствующее опытным данным, рассмотрено ниже, в § 20.10.
§ 6.08. Краткие выводы по главам 4, 5 и 6
1. Происходящие под влиянием тех или иных внешних причин (нагружения тела, теплового воздействия и др.) деформации тела (упругого, пластичного, вязкого и др.) вызывают внутри этого тела противодействие, т. е. возникает напряженное состояние тела.
2. Как для тела в целом, так и для любого его малого объема и даже в окрестности его любой точки процессы деформации и развития напряженного состояния являются динамическими процессами. Иногда кажется, что скорости деформации, а следовательно, и скорости напряжений отсутствуют или представляются исчезающе малыми, но в действительности они существуют и могут оказать в будущем существенное влияние на поведение материала в окрестности рассматриваемой точки. Поэтому для полной характеристики напряженного и деформированного состояния в окрестности любой точки тела необходимо знать не только тензоры напряжений и деформаций, но также и производные от них по времени, в крайнем случае первые производные, т. е. тензоры скоростей напряжений и деформаций для той же точки.
3. Напряжения в окрестности данной точки зависят от деформаций по различным направлениям для той же точки. Эта зависимость обусловлена природой тела (изотропное или анизотропное, однородное или неоднородное) и может быть линейной или нелинейной, простой или сложной, практически неизменной или непрерывно изменяющейся во времени.
158
4. В общем случае изотропного деформируемого тела, т. е. тела, способного к ползучести деформации и к релаксации напряжений, тела, способного к остаточным деформациям и т. д., для каждой его точки существует определенная взаимная зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций, скоростей напряжений и деформаций.
Эту зависимость обычно выражают в форме соподчиненно- сти между собой так называемых девиаторов напряжений, деформаций и их производных по времени (6.19).
Эта зависимость выражается по-разному и обусловливается тем, имеется ли активный процесс деформации (нагружение) или пассивный (разгрузка).
5. Для тела, не способного к ползучести (точнее для тела, в котором явления ползучести почти не наблюдаются за время эксплуатации конструкции из этого материала), зависимость между напряжениями и деформациями можно выразить в простой форме:
D* = ^деф»
т. е. направляющие тензоры напряжений и деформации совпадают.
Для упруго-пластического тела эта зависимость справедлива только при активном процессе и при простом нагружении.
Для идеально упругого тела эта зависимость справедлива всегда как при активном, так и при пассивном, при простом и сложном нагружении, т. е. не зависит от характера нагружения тела.
6. Наиболее широко применяемым выражением закона деформации для идеально упругого тела является закон упругого изменения объема (прямая пропорциональность первых инвариантов тензора напряжений и тензора деформаций) и закон упругого изменения формы (прямая пропорциональность между девиатором напряжений и девиатором деформации).
ЛИТЕРАТУРА
[191; [21]; [24]; [37]; [78]; [79]; [86]; [90]; [105].
«Упругость есть основное свойство всех тел природы. Это свойство приходится приписывать даже тому воображаемому эфиру, самое существование которого то признается, то отрицается физикой, и вместе с тем столь широко используется
практикой»
Акад. А. Я. Крылов
РАЗДЕЛ
ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ
7
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 7.01. Постановка задач в теории упругости, пластичности
и ползучести
Принципиальная постановка задач в теории упругости, в теории пластичности и в теории ползучести отличается от их постановки в курсе сопротивления материалов исключительной общностью (см. § 1.01).
Если объектом изучения в курсе сопротивления материалов является преимущественно стержень или система стержней, то теория упругости и пластичности рассматривает тело любой конфигурации и в общем случае — тело трех измерений.
Обычно тело задается уравнением своей первоначальной (до деформации) наружной и внутренней поверхностями (граничными поверхностями)
Ф (х, ~у,г) = 0
и законом распределения по поверхностям тела внешней нагрузки, чаще уравнением ее компонентов, т. е. матрицей-столбцом:
PxV = $i (х, у, г),
Pyv = Ф2 (х, у, г), ■
Pzv = Ф8(& 2)«
где Ху у у z—координаты точек, лежащих на поверхностях заданного тела;
v — нормаль к поверхности, проведенная в рассматриваемой точке.
162
Направляющие косинусы этой нормали по отношению к координатным осям являются известными функциями координат тех же точек (х, у, z), т. е.
cos (jcv) = ф, (х, у, z);
cos (yv) = ф2 {х, у, г);
COS (2V) = Фз (X, У, 2),
причем для каждой точки поверхности очевидно соотношение COS2(jfV) + cos2(t/v) cos2(zv) = 1.
Впрочем, нагрузки могут быть заданы также переменными во времени (динамические силы), т. е.
Рхч = Ф1 (х, у, 2, t).
Силы можно задать также приложенными и внутри тела; таковы объемные силы, например — силы тяжести, инерционные нагрузки и др. Проекции объемных сил на координатные оси, отнесенные к единице массы около рассматриваемой точки (х, у, г), в состоянии равновесия тела задают и обозначают так: *
X = ф, (*, у, г);
у = ь (х> у, *);
Z = “фз (*, уу г).
Во всех приведенных выражениях имеется в виду ортогональная прямолинейная система координат. Изучение теории упругости проще начинать, используя именно декартову систему координат. Заметим, однако, что в некоторых задачах уместнее применять другие системы отсчета (полярные, цилиндрические, сферические, биполярные и т. д.).
Физические свойства тела в классической теории упругости задаются известными из курса сопротивления материалов двумя упругими характеристиками: модулями продольной или
поперечной упругости и коэффициентом поперечного расширения, постоянными для всех точек изотропного тела. Впрочем, в случае неоднородного или анизотропного тела упругие характеристики, изменяющиеся при переходе от одной точки и оси к другой, могут быть функциями координат точки или зависеть от направления, в котором рассматриваются деформации.
163
В теории пластичности также полагаются известными некоторые величины, характеризующие пластические свойства рассматриваемого тела (предел текучести и др.).
В теории ползучести полагаются известными из опыта с данным конкретным материалом дополнительные характеристики, отражающие способность материала к длительным его «переживаниям» под нагрузкой.
Искомыми во всех приведенных ветвях механики деформируемого тела являются преимущественно компоненты смещения •и компоненты напряжений для любой точки заданного тела, т. е.
и = /, (X, у, г)
ox = f*(x, У, z)
*ху = f-(X, у, Z).
Иногда искомыми могут быть компоненты деформации:
е* — /ю (х, у, Z)
Vzx = /» (х, У. г).
Таким образом, в каждой точке имеется 15 компонентов: три компонента смещения, шесть компонентов напряжения, шесть компонентов деформации.
Для решения такой общей задачи, очевидно, нужно иметь 15 уравнений, которые можно применить к каждой точке внутри тела, и особые уравнения (граничные условия) — для любой точки, расположенной у наружной и внутренней поверхности тела (граничные точки). Именно этот комплекс уравнений имеет теория упругости, как это и показано ниже (§ 7.02).
В некоторых специальных (динамических) задачах теории упругости и особенно в теории пластичности и ползучести определяют также и составляющие скоростей напряжений, деформации и смещения. В таком случае количество исходных уравнений должно быть больше 15.
В отдельных случаях исходными данными в задаче могут быть не статические, а кинематические граничные условия, т. е. задается смещение наружной поверхности тела (известны составляющие и, v и w на контуре тела). В таком случае составляющие поверхностных сил (pxV, pyV> Pzv), осуществляющие заданное смещение граничной поверхности, являются неизвестными.
164
Возможны случаи, когда задаются смешанные граничные условия (т. е. заданы часть поверхностных нагрузок и часть перемещения граничной поверхности).
Во всех трех приведенных случаях имеется так называемая прямая (основная) задача теории упругости, но в «-разных вариантах задания граничных условий.
Обратной постановкой задачи в теории упругости (обратной задачей) называют такую, когда по некоторым известным функциям (функциям напряжений или деформаций, или смещений), справедливым для всей области тела, находят ту нагрузку на поверхности тела и вообще условия на поверхности, которым соответствуют заданные или известные функции.
Эта обратная задача оказывается относительно простой, но так же, как и прямая задача, она может иметь несколько вариантов (исходными могут быть функции для напряжений внутри тела или функции для смещения тех же точек или смешанные условия).
Общность постановки задачи в теории упругости и пластичности позволяет широко использовать эту науку в самых разнообразных областях инженерной практики.
Применяя понятия о тензорах напряжений и деформации, прямую задачу теории упругости (а это относится и к теории пластичности и ползучести) можно сформулировать так: по заданным условиям на поверхности тела (заданы поверхностные силы или смещения граничной поверхности тела) определить тензоры напряжений и деформаций в любой точке тела (тензорное поле напряжений и деформаций) и поле перемещений граничных и внутренних точек.
Соответственно обратную задачу можно сформулировать так: по заданному тензорному полю напряжений или деформаций или по заданному полю смещений выяснить условия на поверхности тела (статические и кинематические).
§ 7.02. Основные уравнения линейной теории упругости (в декартовых координатах) и возможные методы
их решения
В предыдущих главах получены все уравнения, являющиеся исходными для линейной теории упругости. Так, в главе 3 установлены статические и геометрические уравнения, справедливые для любой сплошной среды (в том числе и для упругой) в случае малых деформаций (3.04), (3.06а), (3.08); в главе 4 установлена зависимость между напряжениями и деформацией для линейно-упругой среды.
Приведем еще раз все три группы уравнений, применяющихся в линейной теории упругости.
165
Статические (или динамические) * уравнения:
двх
дх
дх
Ух
дх
дх„
'ху -f- —7— + рХ = 0 ^или р
ду ' дг ' r" " V г дР ) ’
даи дти2 / d2v \
+ ~di + ~1Г + рк = 0 (или Р-*г)*
dz
dxL
dz
д2и
~dF
d2v
dx2U daz / d2w \
+ ~Hf + ~dT + pz = 0 (или p )
:кие
УРс
юнен
и я:
ди
ди
+ :
dv
е,=
~дх У
УхУ
ду
дх
ди
_ dv
4- -
dw
еу —
ду
У yz
dz
г
ду
dw
dw
+ -
ди
~dz ’
Угх =
~ ~дх
~dz
ура
вне)
д и я:
2 Gex
+ М,
^ ху =
-Gy
ху*
ау =
24
+ ^9,
Xyz “
■Gy:
Vz*
°z =
2Ge2
+
>>
CD
= Gy
ZX•
(A)
(Б)
(B)
В приведенных 15 уравнениях неизвестными являются: шесть компонентов напряжений (ож, ау, oz, txy, xyz, тг*), шесть компонентов деформации (е*, еу, е2, уху, yyz, yZx) и три компонента перемещений (и, V, ш), т. е. всего 15 неизвестных. Таким образом, с математической точки зрения эту задачу можно решить, и ее решение сводится к нахождению 15 функций, удовлетворяющих 15 уравнениям (А), (Б), (В), а также условиям на контуре (ограничимся случаем заданных статических граничных условий):
Рх4 = ах cos (*v) + XxyCOS (Уу) + T*icos (2V)«
Pyj = Xyx C0S (XV) + °y C0S (i/V) + xyzt0S (ZV)’ Pzj = Xzx C0S (*V) + xzy COS (yv) + <X2C0S (ZV). i
(Г)
При прямом решении задачи, когда используют все 15 уравнений (А), (Б), (В), ненужны уравнения неразрывности де- формаций:
* В случае динамической задачи в правой части уравнений вместо нулей имеются выражения, указанные в скобках.
166
д1ги _ а2у<7
ду2 дх2 дх-ду ’
&£у д'% _ °*Ууг .
дг2 ду2 ду-дг
дх2
'+ аг*
—
дг-дх
•
— 1
( дУуг
■ +
дУгх
дУх„
\ _ о
а®ег
дг '
^ дх
ду
дг
)~2
дх-ду
— (
' дУгл
■ +
дУху
ду ух
&*х
дх \
ч ду
дг
дх
)~2
ду • dz
5 (
' дУху
+
дУцг
дУгх
и
<32ev
ду V
ч дг
дх
ду
дг-дх
(Д)
Уравнения (Д) вытекают из (Б) и поэтому их использ/ют в качестве контрольных уравнений.
Решение приведенных выше трех групп уравнений (А), (Б), (В) можно вести разными путями в зависимости от того, что прежде всего необходимо определить. В связи с этим можно отметить три основных направления.
1. Принять за основные неизвестные перемещения точек упругого тела; тогда получим три неизвестные функции:
и = Д (X, у, г), v = /4 (х, у, г), w = /3 (х, у, г). (а)
Для того чтобы произвести решения (а), очевидно, необходимо в физические уравнения (В) подставить геометрические соотношения (Б), т. е. выразить напряжения через перемещения и затем полученные для них выражения подставить в три уравнения равновесия, в результате чего будем иметь три уравнения:
ф! (и, v, w) = 0, ф2 (м, v, w) = 0, ф3 (и, v, w) = 0. (Е)
Назовем решение (а) методом перемещений. Эти операции описаны в § 7.03.
2. Принять за неизвестные напряжения; тогда получим шесть неизвестных функций:
ах = Ф, (*, у, г), ау = Ф, (*, у, г), аг = Ф3 (х, у, z ; 1 = ф4 (х, у, г), хуг = Ф8 (*, г), TZje = Фв (х, у, г). 1 (б)
Так как напряжения из уравнений равновесия непосредственно не определяются, надо применить уравнения деформаций.
167
Используя, например, уравнения неразрывности деформаций (Д), при помощи (В) и (А) можно получить уравнения в форме
Fl(ax, хгх) = 0, ... Fe (ох хгх) = О, (Ж)
дальнейшее решение которых приводит к выражениям типа (б).
Назовем этот метод методом сил. Он изложен в § 7.04.
3. Очевидно, возможен смешанный метод, когда за основные неизвестные приняты некоторые из перемещений и некоторые из напряжений.
Вообще в выборе основных неизвестных и метода получения уравнений для них можно провести аналогию с теорией расчета статически неопределимых систем, излагаемой в курсе строительной механики стержневых систем. Там, как известно, есть три основных метода: метод сил, метод деформаций и смешанный метод. Неизвестные силы определяются из уравнений деформаций (канонические уравнения в методе сил), неизвестные перемещения (углы поворота и смещения узлов рам) из уравнений равновесия.
Итак, для выбора основных неизвестных в теории упругости имеется три указанных метода^ Для их математического решения можно указать также несколько направлений.
1. Точное решение прямой задачи, т. е. непосредственное интегрирование уравнений (Е) или (Ж).
Основные затруднения при решении прямой задачи теории упругости заключаются обычно в точном удовлетворении решения (а) или (б) граничным условиям. Эти трудности снимаются при решении обратной задачи.
2. Решение обратной задачи является, как уже отмечалось выше, сравнительно простым (так как связано лишь с дифференцированием функций). Например, задаются перемещениями как функциями координат точки (х, у, z) и разыскивают на основании условий (Б) деформации, а по ним при помощи (В) напряжения; знание же последних дает возможность при помощи (Г) установить поверхностные условия, т. е. те внешние нагрузки, которым соответствуют заданные перемещения.
Имея несколько решений обратных задач, каждая из которых соответствует определенным граничным условиям, можно путем комбинирования таких решений получить решение и для некоторых прямых задач.
3. Полуобратный способ Сен-Венана, согласно которому задают часть внешних сил и часть перемещений и разыскивают остальные факторы из условия удовлетворения соответствующим уравнениям приведенных выше групп.
Для облегчения решения некоторых уравнений теории упругости целесообразен способ последовательных приближений.
168
Одной из эффективных разновидностей такого способа оказывается использование в некоторых задачах вначале тех решений, которые доставляются каким-либо элементарным решением, например, найденным в курсе сопротивления материалов. Подстановка этих решений в уравнения теории упругости приводит к некоторым несоответствиям (противоречиям), анализ которых позволяет корректировать предварительное решение и найти удовлетворительное для практики приближенное решение (более строгое, чем исходное элементарное решение).
Способ последовательных приближений можно использовать и в методе сил, и в методе перемещений. Этот приближенный способ имеет некоторые общие черты с приведенным выше полуобратным способом Сен-Венана.
§ 7.03. Решение задач теории упругости в перемещениях *
Перейдем к преобразованию основных уравнений (А) — (В), выражая все неизвестные через три перемещения: и, v, w, которые примем за основные.
Из уравнения (В) при помощи (Б) имеем
где
0 = Зеср.
Дифференцируя (а), получаем
дох _ q I q ^ д0
~х ° дх2 + дх2 + ~~дх
дтхи ^ &v д2и
—2-шш G + G ;
ду дх*ду ду2
дтхг q d*w , q д2и
~г U дх-дг + дг2 '
Внося это в первое уравнение группы (А), имеем
д2и
+ ■
&V
. &W '
)+
дх2
дх*ду
дх • дг л
+ЙС“. +
ду2
■ +
д2и \ дг2 )
+ Ар = Р
д2и
dl2 *
(б)
* При первом ознакомлении в курсом теории упругости можно рекомендовать § 7.03 и 7.04 изучать после изучения главы 8.
169
Выражение, заключенное в первой скобке, кратко можно выразить так:
д*и , d*v , d2w дх2 дх»ду дх-дг
ди , dv .
S7 + ~^ +
дх
(гх + + ег) =
дв
дх
Введем для краткости обозначение гармонической операции:
дчи д*и д*и
ЛГ + ~dif + ~дР
v2«.
(7.01)
Выражение (7.01) называют также лапласовым оператором второго порядка над функцией ы=/(х, у, г). Тогда уравнение (б) примет вид
(* + G)-45- + Gv*«+Xp = p (в)
дх дР
Аналогично можно преобразовать и два других уравнения группы (А), но можно и сразу представить результат, сделав в (в) круговую подстановку (х, у, г) и (и, о, w).
Итак, получаем следующую систему основных уравнений метода перемещений в теории упругости:
(А + G) + Gy2u -f .Хр *= р ; (, + С)^ + 0у2о+кр = р^.; (A + G)-^-+0V2a'-f Zp = p-^-.
(7.02)
Уравнения (7.02) называют уравнениями Ляме. Они являются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи, каждое из которых выше выполнено отдельно.
Поверхностные условия (Г) также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения. Подставив в первое уравнение группы (Г) на место напряжений выражения для них в форме (а), имеем
Рху — £ At -f- 2G j cos (xx) -f G £ -jj- + J cos (yx) -f-
-K,rii + i]CoSW.
I O' <» J
170
Аналогично преобразуем и два других уравнения группы (Г). В итоге условия на контуре примут вид
Рх\
=
^0cos (vx) +
du
dx
cos
(vx) +
du
dy
cos
(vy)
+
+
да
~дг
- cos (vz)
1+
du
~d7
cos
(vx) +
dv
dx
COS
(vy)
+
+
dw
dx
COS
(vz)
Pyv
=
A.0 cos (vy) +
dv
dx
cos
(vx) +
dv
dy
COS
(vy)
+
+
dv
~dz
-cos (vz)^
1+
°[
du
cos
(vx) +
dv
dy
COS
(vy)
+
+ cos (vz) J ;
(7.03)
pzv = Я0 cos (vz) -f G — cos (vx) + — cos (vy) -f L dx dy
+ cos (vz) J + G j^-^- cos(vx) + cos (vy) + + cos (vz) j .
Уравнения (7.02) совместно с условиями на поверхности
(7.03) позволяют непосредственно решить задачи теории упругости в перемещениях.
§ 7.04. Решение задач теории упругости в напряжениях
В противоположность приему, когда во всех преобразованиях выражают неизвестные через перемещения, можно применить другой: все неизвестные выражать через напряжения.
Не производя выкладок, приведем окончательные результаты и ограничимся лишь случаем статического равновесия тела при условии отсутствия объемных сил или их постоянства.
Трех условий равновесия (А) оказывается недостаточно, и надо использовать условия неразрывности деформаций (Д). Так как в последние входят деформации ех, еу, ez, уху, уу2у у2Х1 то их необходимо выразить через напряжения при помощи закона упругости (В). Выполнив эту подстановку, не производя промежуточные выкладки и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (А), уравнения неразрывности преобразуем к следующему виду (уравнения Белътрами):
171
(1 + l*)v:
ч
, d2al дх2
= 0
(1 4- (х) у'
ч
, o2(jl ду2
= 0
(1 +11) v!
Ч
dW + dz2
= 0;
(1 +n)v*v+
d2al
дх-ду
= 0;
(1 +ц) v2Tw
+
d2ai
ду-дг
= 0;
(1 +I*)V*T«
+
дг-дх
= 0,
где
о1 = Заср = ах + о у -f- аг,
V4
дх*
ду2
^ <?гг
И т.
п.
Таким образом, для решения задачи необходимо проинтегрировать девять уравнений (А), (7.04), а входящие в общие решения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности:
pxv = ах cos(vx) + хху cos (vy) + x„ cos (vz),
Pyv = Xyx cos (vx) + ay cos (vi/) + V cos (v2+
Pzv = cos (vx) + хгу cos (Vi/) + ог cos (vz).
При решении задач теории упругости в напряжениях или в перемещениях может возникнуть вопрос о том, является ли полученное в итоге решение однозначным? Не могут ли заданным на поверхности упругого тела силам соответствовать внутри тела не одна, а несколько систем напряжений? Или: заданным смешениям или напряжениям внутри тела не могут ли соответствовать различные контурные условия?
Если исключить случай начальных напряжений в теле, то получаем, что ответ на указанные выше вопросы с позиций классической теории упругости должен быть дан только отрицательным. Для естественно ненапряженного тела (т. е. когда при отсутствии внешних сил в теле нет напряжений) решения теории упругости однозначны*.
* Филоненко-Бородич М. М. Теория упругоеги. Гостехиздат, 1947, стр. 105—108,
Однако такое заключение справедливо только для линейной теории упругости и, следовательно, только для задач, входящих в сферу ее ведения. С позиций нелинейной теории упругости такой вывод считается неправильным и объясняется недостаточной точностью формул классической теории упругости.
При рассмотрении теории устойчивости упругого равновесия в нелинейной теории упругости показывается, что при увеличении до известного предела действующей на тело нагрузки [критическое значение] решение классической теории упругости действительно является единственным решением, однако по достижении такого критического значения оказывается возможным раздвоение решения задачи *.
§ 7.05. О некоторых свойствах функций для напряжений, перемещений и объемной деформации
Если предположить, что массовые силы отсутствуют или их значения не зависят от координат х, у, z, а также ограничиться состоянием покоя и продифференцировать первое уравнение равновесия Ляме (1.02) по х, второе по у, третье по г, а затем результаты сложить, то получим
Vae! = 0, (7.05)
т. е. объемное расширение е1 есть гармоническая функция.
Если затем произвести операцию V2 ( ) над каждым из
уравнений Ляме и V2 V2(’h т. е.
обозначить V4 ( ), то получим
у4а = 0, у4у = °> y4w = b, (7.06)
т. е. компоненты упругого перемещения суть бигармонические функции.
Если проделать бигармоническую операцию над обеими частями шести формул обобщенного закона упругости (4.08), то получим
v4 = v4 = v4 = V4V = = V4* = 0, (7.07)
* Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М —Л 1948, стр. 147—169. •
173
т. е. компоненты напряженного состояния суть бигармонические функции.
Отмеченные свойства приведенных функций, как указано ниже, облегчают задачу их нахождения.
§ 7.06. Температурное поле
Если рассматриваемое упругое тело, кроме действия внешней нагрузки (или независимо от нее), подвергается тепловому воздействию и притом неравномерному по объему тела, то напряжения и деформации в теле отличаются от напряжений и деформаций, когда тело подвержено только нагрузке, так как наличие температурного'поля вызывает появление в теле дополнительных термических напряжений.
Комплект уравнений теории упругости для решения такой задачи складываются из дифференциальных уравнений равновесия (А), геометрических уравнений (Б), условий на границе (Г) и новых физических уравнений (4.27) или (4.28), составленных для случая теплового эффекта (см. гл. 4).
Эти уравнения можно представить в виде
°х = 20 |
4+
Зр
р
1 +ц
а Т ) ;
1 — 2р
сср
1—2 р
а, = 2G
Г
Эр
с
1 + Р
аТ 1 ;
ьср
L *
1 —2|ы
1 — 2ц
J
а, = 2G
[в* +
За
р
1 + ц
а7' J ;
1 — 2ja
кср
1 — 2ц
^ХУ У ху>
= °Ууг> = °Угх-
(7.08)
Если теперь произвести выкладки, аналогичные в § 7.03, то вместо (7.02) получим уравнения:
(X + G)
~Хр-
2(1 +Р) 1 —2ц
о
II
1 “I
Р
■2- + (3v’» + |
>Р-
2(1 +Ц)
1 — 2ц
О
II
1 1
Р
1 Г' 2 1
— +Gv‘w +
дг
[Zp~
2(1 + Р) 1 —2ц
1
II
о
(7.09)
174
Сравнивая (7.09) с (7.04), можно сделать вывод, что при вычислении перемещений неравномерность нагрева тела как бы равна добавлению к реальным объемным силам Хр, Ур, Zр некоторых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных — (аТ), — (а 7),
■—(аГ), а при вычислении напряжений (7.08) —появлению до- дг
лолнительных членов, пропорциональных температуре *.
Не представляет затруднений доказать, что если нагревание гела равномерно, т. е. градиенты температур отсутствуют, а связи тела не препятствуют его свободному расширению, то напряжения в теле не изменяются против тех значений, которые они имеют только от одной нагрузки.
§ 7.07. Краткие выводы по главе
1. Цель математической теории упругости — определить напряжения и деформации при любых нагрузках (на границе тела и внутри тела) упругого тела любой формы и, в частности, в телах продолговатой формы, которые только и рассматриваются в теории сопротивления материалов (хотя в этом случае могут быть некоторые различия в окончательных результатах по формулам теории упругости и по формулам сопротивления материалов).
В отличие от сопротивления материалов, базирующегося на гипотезе плоских сечений и других упрощенных предположениях, теория упругости ставит целью относительно строгое решение задачи при минимальном количестве исходных гипотез и предпосылок.
Задачей точного решения в теории упругости является получение такой системы функций напряжений, смещений и деформаций, чтобы в каждой точке внутри тела были обеспечены условия равновесия и условия непрерывности (сплошности) тела, а у границы тела внутренние силы находились бы в равновесии с внешними силами, действующими на поверхностях (на границе) тела.
2. Для точного решения задач теория упругости имеет следующие группы уравнений:
* В настоящей книге изложение температурной проблемы в теории упругости ограничим приведением уравнений (7.06). Заметим, что эта проблема при наличии высокого температурного поля является уже задачей не только теории упругости, но и теории пластичности и ползучести (см. сноску на стр. 454). В настоящее время (в связи со строительством атомных реакторов) эта задача привлекает большое внимание ученых ряда стран. Отметим в этой области исследования, проведенные А. А. Ильюшиным, П. М. Огиба- ловым, В. В. Болотиным, А. Д. Коваленко (СССР), Новацким (Польша), Прагером, Хиллом, Надаи (США).
175
а) три статических уравнения, справедливых для каждой точки внутри тела, из которых следует, что интенсивности изменения (градиенты) нормальных и касательных напряжений вдоль координатных осей и напряжения между собой не являются независимыми и имеют определенные дифференциальные соотношения (А).
Для обеспечения равновесия всех точек внутри тела функции компонентов напряжений должны представлять собой непрерывные функции координат точки, находящихся в определенной зависимости друг от друга;
б) шесть геометрических уравнений, справедливых для каждой точки внутри тела (Б), из которых, с одной стороны, следует, что компоненты деформации (удлинения и сдвиги) связаны дифференциальными соотношениями с функциями смещений, а с другой стороны (как следствие), интенсивности изменения деформации вдоль координатных осей и деформации между собой не являются независимыми и удовлетворяют определенным дифференциальным соотношениям, выражаемым уравнениями неразрывности деформации (Д).
Для обеспечения непрерывности тела в процессе его деформации функции компонентов деформаций и компонентов смещений должны представлять непрерывные функции координат точки, находящиеся в определенной зависимости друг от друга;
в) шесть физических уравнений (В), справедливых для каждой точки внутри тела и определяющих зависимость между компонентами напряжений в каждой точке и компонентами деформации для той же точки.
Таким образом, в каждом конкретном теле (со своими упругими характеристиками) указанные непрерывные функции для компонентов напряжений, для компонентов деформации, а следовательно, и для компонентов смещений оказываются взаимосвязанными, т. е. существует связь не только между функциями, входящими в каждую отдельную группу, но и между одной группой уравнений с уравнениями другой группы. Эта взаимосвязь предопределяется физической природой исследуемого тела.
3. В приведенные три группы уравнений, составляющие в итоге 15 уравнений, входят 15 неизвестных функций. Принципиально можно найти бесчисленное множество решений (подобрать функции для компонентов напряжений и т. д.), каждое из которых обратит в тождество все перечисленные уравнения, т. е. обеспечит равновесие и непрерывность тела в окрестности любой точки внутри тела. Однако каждое из таких решений соответствует особым статическим условиям на поверхности тела (внешним нагрузкам) и особым кинематическим условиям на поверхности тела (наличие или отсутствие тех или иных связей). Поэтому истинным решением задачи является то, кото¬
176
рое соответствует конкретным заданным граничным условиям (относительно нагрузки или смещения), и потому конкретное решение задачи должно удовлетворять действительным граничным условиям. Часто эти условия задаются в статическом виде и для каждой точки на границе тела представляются тремя граничными условиями (Г).
4. Для случая равновесия и отсутствия массовых сил компоненты упругого перемещения и компоненты напряженного состояния оказываются бигармоническими функциями.
ЛИТЕРАТУРА
[18], [19], [52], [64], [75], [115].
8
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
§ 8.01. Частный случай — плоское.напряженное состояние
Уравнения теории упругости значительно упрощаются, если все напряжения, входящие в уравнения, оказываются параллельными одной плоскости, например, в случае тонкой пластинки (брус, стержень), подверженной действию сил, приложенных
к ее контуру, параллельных плоскости пластинки и равномерно распределенных по ее толщине (рис. 8.01).
В этом случае составляющие напряжений а2, txz и tvz равны нулю на обеих плоских поверхностях пластинки, и можно полагать, что они отсутствуют и по всей толщине пластинки, т. е. распределение напряжений является плоским.
У
У
z
Рис. 8.01. Плоское напряженное состояние
178
Естественно предположить, что другие три компонента напряжений ах, оу и тху не зависят от координаты г, т. е. остаются постоянными по всей толщине пластинки.
Тензор напряжений для плоского напряженного состояния представится в сокращенном виде
^ ух* ®у /
Соответственно тензор деформации можно выразить в виде
Т
деф
—
1
2 ^ух'
Однако полное его выражение должно быть следующим:
со
2 ^ху’
0
1
2 ^ух9
20
СО
0
0
0,
ег
так как в направлении координаты z имеются деформация удлинения е2, а следовательно, и смещение w. Эти компоненты можно легко определить. Так, из третьей строки обобщенного закона Гука (4.10)
e*= -J^z — + М
следует, что
ez = -j(°x + Оу)-
Для смещения w можно представить, что
w = ezz.
Примем, что объемной силой, как обычно, является только сила тяжести, т. е.
Z = X = 0; Кр = -?, где q—объемный вес.
179
Уравнения равновесия принимают вид
&*х I дх*у _ q дх ду
дх
•ух
до L
дх
ду
■9 = 0.
Условия на контуре имеют вид
рхч = ах cos (vx) + хху cos (vy), Руч = txy cos (vx) + Oy cos (vy).
Геометрические уравнения:
ди
8, =
дх
п dv ди . dv
V-V *Г +
djf
Физические уравнения:
ex = Y (а* — Vay)' еу = -)Г — 1*°*)»
Уху Q ^ху
Е
2(1+^
^ = — - J К + О у).
(8.01)
(8.02)
(8.03)
(8.04)
Из уравнений неразрывности деформаций остается одно:
(8.05)
&ех &*еу = д*уху
ду* дх2 дхду
Выражения (8.01), (8.03), (8.04), содержащие восемь уравнений, имеют восемь неизвестных и потому их можно решить по методу сил, по методу перемещений или, наконец, по смешанному методу. Для метода сил (три неизвестных) необходимо из (8.03) исключить перемещения и и £\ и тогда получим (8.05), затем, заменяя в (8.05) деформации через силы по (8.04), получаем дополнительное уравнение к прежним двум статическим уравнениям (8.01). В итоге имеем три уравнения с неизвестными ох, оу, хХу. Эти уравнения устанавливаются в § 8.02.
Для метода перемещений (два неизвестных) необходимо в двух статических уравнениях (8.01) произвести замены, как в § 7.03, т. е. исключить силы. В итоге получим два уравнения с неизвестными и и v.
180
§ 8.02. Метод сил
Уравнение неразрывности (8.05), выраженное при помощи (8.04) через напряжения, представляется в следующем виде:
+И>^. <8.05а)
Уравнение (8.05а) совместно с уравнениями равновесия (8.01) составляет систему трех уравнений с тремя неизвестными.
Если объемной силой является только вес тела (^ = 0, Ур =—q), то при помощи уравнений равновесия (8.01) выражение (8.05а) принимает более простой вид. Так, дифференцируя первое из уравнений (8.01) по х и второе по у и затем складывая их, найдем
2 д2хху __ д2сгх д2ву /д\
дхду дх2 ду* К
При подстановке (а) в (8.05) получаем уравнение совместности вида, выраженного только через нормальные напряжения (уравнение Леви):
(°х + V + (°* + °у) - °- (8.06)*
Итак, для плоского напряженного состояния, когда объемной силой является сила тяжести, совокупность основных уравнений теории упругости можно привести к следующим трем уравнениям:
до.
+
дх
ху _
= 0,
дх,
Ух
+
дои
<7 = 0, у2 (стх + ау) = 0, (8.07)
дх ду дх ду
где для краткости обозначена (§ 7.03) операция **
а2
дх2
а2
%2
называемая также гармонической.
§ 8.03. Частный случай — плоская деформация
Если при каком-либо напряженном состоянии тела перемещения всех точек могут происходить только в двух направлениях, т. е. только в одной плоскости, то такую деформацию называют плоской. Примером может служить тело, помещенное между двумя абсолютно твердыми плитами (рис. 8.02), расстояние между которыми остается неизменным, и сжимаемое силами, параллельными плоскостям плит.
* Для общего случая объемных сил уравнение (8.06) принимает вид / а2 а2 \ / дХ dY \
(аг* + + 1+^( дх + ду }
** у2 читается «набла два».
181
В таких же условиях фактически оказывается и тело, размеры которого в одном направлении, например в направлении оси 2, очень велики. Если такое длинное призматическое тело нагружено силами, не изменяющимися по длине тела и перпендикулярными к этому направлению (или слабо изменяющиеся), то часть его, находящаяся на значительном расстоянии от концов, подвергается плоской деформации. Перемещение всех точек деформированного тела в таком случае происходит в плоскостях, перпендикулярных к длине тела (рис. 8.03), т. е.
= 0, у„ = 0, ууг = 0; тлг = хуг = 0.
Тогда тензор деформации точно представим в виде сокращенной матрицы:
Т — 1 деф
1
2 ^ху
г ух у
Соответственно тензор напряжений можно выразить в виде
°ху Хху туху ау
т =
л н
®ХУ Хху* ®
V’ <V 0
0, 0, аг
Однако принципиально полное его выражение должно быть следующим:
Если при плоском напряженном состоянии имеется компонент'^, но отсутствует компонент сг2,
то при плоской деформации, наоборот, присутствует а2 и отсутствует е2. Применяя к данному случаю обобщенный закон Гука
е2 = ~~ [<у2 — ll(ax + °у) 1
L
и полагая ez = 0, получаем
°z = ^ (<** + ау)-
(8.08)
182
Уравнения равновесия имеют вид (8.01). Также остаются без изменения и геометрические уравнения (8.03).
Физические уравнения (4.01) благодаря <тг, определяемому по выражению (8.08), принимают для относительных удлинений другой вид:
в, = -j- [(1 — Ц2) ох — р (1 + p)Oj,];
е„ = -j- [(1 — Ц2) °у — И (1 + l*)aj.
(8.09)
причем для сдвига сохраняется выражение
Y *,=
2(1+Ю
Уравнение (8.06), если произвести выкладки, аналогичные выкладкам, приведенным в § 8.02, принимает вид
При постоянных объемных силах выражение (8.10) принимает вид (8.06), т. е. оно ничем не отличается от уравнения, выведенного для случая плоского напряженного состояния.
Отметим следующий факт.
При постоянных объемных силах уравнения, устанавливающие распределение напряжений в плоской задаче (8.07), не содержат упругих постоянных материала. По этой причине и представляется возможным широко использовать в практике моделирование и, в частности, переносить результаты исследования напряжений, выполненные оптическим способом с прозрачным материалом (целлулоид и др.), при помощи поляризованного света на другие материалы (сталь и др.).
§ 8.04. Функция напряжений для плоской задачи
Итак, решение плоской задачи в напряжениях, т. е. задачи в двух измерениях, сводится к интегрированию трех уравнений, которые для случая, когда объемной силой является вес тела, имеют вид (8.07). К этим уравнениям присоединяют условия на контуре (8.02). Но для дальнейшего облегчения задачи вместо определения трех функций (а*, оУу тху) достаточно определить одну так называемую функцию напряжений, посредством, которой дальше уже не путем интегрирования, а дифференцирования определяют все искомые функции.
183
Действительно, представим себе, что имеется такая функция ф от координат х и у, при помощи которой напряжения определяются следующим образом:
д2ф ^
ду2 ’ °у ~ дх2 ’
а2 ф
дхду
+ qx.
(8.11)
Легко проверить, что такая функция существует, так как, если подставить (8.11) в уравнения равновесия (8.01), то получим тождества. Действительно,
дох , foxy = д3ф д3ф
дх ду дхду2 дхду2
доу , дххУ _ _ д3у
ду дх дх2ду
д3Ф
дх2ду
+ q — q =0,
т. е. уравнения удовлетворяются тождественно.
Для определения • вида самой функции ф подставим (8.11) в уравнение (8.06), откуда получим, что функция напряжений (иначе разрешающая функция) должна удовлетворять уравнению
д4Ф , 2 д4Ф д*ф = g
дхх дх2ду2 ду4
(8.12)
Уравнение (8.12) можно кратко представить в виде у2у2ф = 0( или, еще короче, в виде у4Ф. где под операцией V4- называемой бигармонической, понимается следующая: у4( ) =
= v2iv2( )1-
В случае плоской задачи
V4 Ф = V2У2Ф = (~£т +
Таким образом, решение плоской задачи в случае, когда объемной силой является вес тела, сводится к нахождению решения бигармонического уравнения (8.12), которое удовлетворяет и условиям на контуре.
Применять функцию напряжений, иначе силовую функцию, называемую также функцией Эри, весьма полезно при решении задач обратным или полуобратным способом. Действительно, если задаться какой-либо системой напряжений (оу, ау, тху) и найти им соответствующие внешние нагрузки (поверхностные условия), то сначала надо проверить, может ли вообще существовать задаваемая система напряжений (удовлетворяются ли при этом уравнения равновесия и неразрывности). Задаваясь же функцией напряжений, удовлетворяющей только
184
одному уравнению (8.12) *, заранее известно, что все уравнения равновесия и неразрывности удовлетворятся автоматически.
Примечание. Функция напряжений не обязательно должна толковаться как некоторая отвлеченная аналитическая функция (абстракция), при помощи которой (производя над ней элементарные операции дифференцирования) просто получаются выражения функций для самих конкретных напряжений. Каждой разрешающей функции всегда можно подобрать некоторый геометрический образ, иначе конкретную модель. Так, в § 15.05 показано, что функцию напряжений (8.12) для заданной плоско-напряженной пластинки можно истолковать и как уравнение искривленной срединной поверхности той же пластинки, если ее изгибать специально подобранными силами. Такая аналогия открывает возможность экспериментально проверять или, наоборот, находить разрешающие функции в плоской задаче теории упругости.
§ 8.05. Частные случаи функции напряжений и примеры их использования
Рассмотрим прямоугольную полосу длиной / и высотой А. Эта пластинка предполагается в плоском напряженном состоянии (нагружение в плоскости ху).
Зададимся в качестве примера функцией напряжений в виде полинома пятой степени, например,
ахь . Ьх*у сх*у* dx2y3 . ехф . fyb
Т 5*4' 4*3 ‘ 3-2 ' 2*3 3 • 4 ' 4-5 ’
Подставив (а) в уравнение неразрывности (8.12), получаем, что это уравнение удовлетворяется, если
е = — (2с + За);
/ '-(b + 2d).
Соответствующие компоненты напряжений (собственный вес исключается) имеют вид
О, = -уу- = -у-*8 + x2yd— (2с + За) ху2 — -у (Ь + 2d)i?\ (б)
оу = -уу- = ах3 +Ьх2 у + сху2 + -у у3-, (в)
= — уу- = — -у Ьх3 — сх2у— хуЧ +(2с + За)#1. (г)
* Если для ф задаться любым полиномом не выше третьей степени относительно х и у, то уравнение (8.12) удовлетворится и при любых коэффициентах полинома. Однако во всяком случае коэффициенты полинома удовлетворяют граничным условиям, если только решение оказывается пригодным (см. § 8.05). Функцию ф ниже второй степени нет смысла рассматривать, так как при этой функции компоненты напряжений получаются нулями.
185
Здесь коэффициенты a, b, с, d произвольны, и, подбирая их, получим решения для различных условий нагружения пластинки. Так, если все коэффициенты, за исключением d, принять равными нулю, то найдем
Ох = — \ 0*) d' °У = -у У3*’ Хху = —хуЧ. (д)
Такой закон распределения напряжений соответствует внешним воздействиям, приложенным к пластинке и показанным на рис. 8.04, т. е. нормальные усилия равномерно распределены по продольным сторонам пластинки (рис. 8.04,а). По стороне
а) б)
-d
,2\
mm
2
2 Л . Л , th3,
^6J2d jJd N
\
j-Н н И
h
1
f
/
'
h
2
♦
s
tid
(2
Г1 1 1 1 1 1 1
1
11111111 й* <
Рис. 8.04. Случай плоского напряженного состояния
х = 1 нормальные усилия состоят из двух частей: одной — следующей линейному закону, другой — изменяющейся по закону кубической параболы.
Касательные усилия пропорциональны абсциссе х на продольных сторонах пластинки и следуют параболическому закону на стороне х=1. Распределение этих напряжений показано на рис. 8.04,6.
Если в выражениях (б), (в) и (г), отличных от нуля, принять коэффициент а, то соответственно напряжения примут вид
ох = — 3 аху2; о у = ах3; txff = ау3.
(е)
Такой закон распределения напряжений, очевидно, соответствует контурным условиям, показанным на рис. 8.05.
Решение при помощи полиномов для функций напряжений применяют потому, что оно позволяет получать точные решения для многих, хотя и искусственно поставленных задач. Однако комбинация из таких решений (путем сложений ндн
186
вычитаний) и подобных им отдельных известных результатов позволяет получить непосредственно решения и для реальных поверхностных условий.
§ 8.06. Обобщенное плоское напряженное состояние,
Погонные усилия
Выше предполагалось (§ 8.01), силы, приложенные на контуре пластинки, равномерно распределены по ее толщине, кото рая предполагается тонкой. Отсюда следовало предположение что компоненты напряжений аХу оУу хху не зависят от координаты z, т. е. они распределяются по толщине пластинки равномерно. Компоненты az, xXZf ryz принимались отсутствующими.
Практически обычно встречается пластинка конечной толщины, хотя и малой, но не исчезающе малой, как это следовало бы иметь в виду для строгости выкладок в § 8.01 и в последующих выводах.
При конечной толщине пластинки, даже при условии равномерного распределения внешних сил по ее наружному контуру компоненты ах, оу и тху могут по толщине пластинки изменяться, хотя и незначительно, но симметрично относительно срединной плоскости пластинки. Другие составляющие oZt ххг и хуг могут появиться, хотя и будут исчезающе малы (рис. 8.06).
Введем в понятие погонные усилия, под которыми понимаем следующие интегралы от напряжений, взятые по всей толщине пластинки:
н
2
Nx =^oxdz\ Nv
л
2
= (Vz; Nxy
” t
(8.13)
.2
8
187
От этих погонных усилий перейдем к средним по толщине пластинки напряжениям, а именно
(<Оср =
N*_
h
h_
2
h_
2
(8.14)
Ю
_ Ny
cp~~
(X ) =
\lxylcp •
Если при составлении дифференциальных уравнений равновесия (8.01) мысленно вырезать из пластинки бесконечно малый элемент с размерами граней dx, dy и h (т. е. один из разме-
X X
Рис. 8.06. К определению обобщенного плоского напряженного состояния
ров принимать конечным и равным толщине пластинки), то, очевидно, вместо (8.01) получим уравнения
dNх | dNху __ q
дх дУ (8.15)
+^.-^ = 0. дх ду
Если же в уравнениях (8.01) под ах, 0у и хху понимать именно средние значения напряжений по толщине пластинки, т. е. согласно (8.14), то уравнения (8.03) и все следующие из него
(8.06) и другие уравнения сохраняют свою силу.
188
Так, уравнение Леви имеет вид
V*(tf, + tf,) = 0. (8.16)
Рассматриваемый случай с введенными допущениями принято называть обобщенным плоским напряженным состоянием.
§ 8.07. Граничные условия для функций напряжений.
Стержневая аналогия
Как уже указывалось (§ 8.04), решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения (8.12). Из всех возможных интегралов этого уравнения
действительным решением является то, которое удовлетворяет условиям на контуре.
Выразим эти условия через ту же функцию напряжений. Используя (2.05) и (8.11), имеем
р. *2.1_(Л2
х дф V дхду 4 J
Г <?’<р <32ф (8-17)
Если объемных сил нет (т. е. q =0), то условия на поверхности (8.17) можно представить короче, вводя понятие о производной функции по дуге контура поперечного сечения. Действи* Тельн<? (рис. 8.07),
{** gas (х, v) = cos а = ——,
189
tn = cos (у, v) = sin a = .
ds
Внося эти равенства в (8.17), имеем
_ dig д2ср dx d__ f дер \
xV ду2 ds дхду ds ds \ ду /
_ д2^ dy , с^ф dx _ d / ду \
yV дхду ds дх2 ds ds \ дх )'
(8.18)
Равенства (8.18) позволяют выразить условия на контуре в другой форме, отличающейся большой наглядностью и удобством (так называемая стержневая аналогия). Так, умножая
(8.18) на ds и интегрируя по s вдоль контура (рис. 8.08), начиная от произвольной точки s0, принятой за начало дуг, имеем
190
-^ = Л-|р^5 = Х<’>;
-J- = £+ [р ds = YV. дх J
о
(8.19)
Здесь А и В — произвольные постоянные, выражающие значения
д<р дф
производных —■—, —- в точке s0 контура; ду дх
X(s), y(s) — обозначения, статический смысл которых установлен ниже.
Для придания большей наглядности введем следующую аналогию. Заменим контур исследуемого тела стержнем той же формы, разрезанным в точке s0 (рис. 8.08,а), где приложим силы: А — параллельно оси х, В — параллельно оси у.
Имея в виду, что поверхностные нагрузки р^ и руХв стержневой системе рассчитываются на единицу длины контура, заметим, что величины Xи YM в правых частях равенства
(8.19) представляют собой суммы проекций на оси Ох и Оу сил, приложенных к части s0s стержня. Если вместо осей Ох и Оу возьмем оси On и ОТ (рис. 8.08), направленные параллельно нормали и касательной к контуру в точке s, то формулы (8.19) в координатах п и Т примут вид
= JV(S); (8.20)
дп
= Q(s)> (8.21)
где Ms) — продольная сила в той же точке s стержня, считаемая положительной, если она растягивающая;
Q(s)— поперечная сила в точке 5 стержня.
В формуле (8.20) величина представляет собой производную от функции напряжений ф по нормали к контуру. Аналогично в (8.21) производная по касательной к контуру
или по дуге контура
дф дф
~~дГ ~~ ~дГ’
Сопоставляя равенство (8.21) с известной из курса сопротивления материалов теоремой о производной изгибающего момента в стержне
ds
191
можно считать, что
<р = Л1<*>, (8.22)
где — момент сил, приложенных к части s0s стержня относительно точки s.
При вычислении Af(s) путем интегрирования уравнения (8.21) добавляется произвольная постоянная, которую можно задать, приложив в начальной точке s0 пару сил с произвольным моментом С (рис. 8.08,6).
Приведенные рассуждения позволяют по заданным на контуре нагрузкам подсчитать в каждой его точке значение функции напряжений ф(х, у) и ее нормальной производной по
дп
формулам (8.22) и (8.20) как изгибающий момент и продольную силу от заданных на контуре нагрузок, представляя контур тела в виде стержня, разрезанного в одном (произвольном) сечении.
Поскольку три произвольные постоянные Л, В и С (начальные параметры) не влияют на заданные контурные нагрузки pxV и pyv и на напряжения, вызываемые ими, то их можно принять равными нулю.
Если представить стержень, обволакивающий нагруженный контур заданного тела (его поперечное сечение), подверженный нагрузкам р xV и pyVt причем в одном месте (произвольном) он разрезан, то построенные для такого стержня эпюры изгибающих моментов и эпюры продольных сил (что составляет элементарную задачу) определят значение функции и ее производной по нормали на границе действительного тела.
Конкретная реализация указанной стержневой аналогии показана в § 14.06.
ЛИТЕРАТУРА [11], [35], [70], [98].
9
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 9.01. Обозначение компонентов смещения, напряжений и деформаций в полярных координатах
При исследовании напряжений в круглых кольцах, дисках и т. п. удобно пользоваться полярными координатами.
Положение точки на срединной плоскости пластинки определяется расстоянием г от начала координат О (рис. 9.01) и углом 0 между этим направлением г и некоторой осью Оху занимающей определенное положение на плоскости.
Вместо параллелепипеда с прямоугольной формой граней выделим малый элемент abcdy вырезанный из пластинки двумя радиальными сечениями Ос и ОЬу перпендикулярными к ней, и двумя нормальными к пластинке цилиндрическими поверхностями ad и Ьсу радиусы кривизны которых равны г и r+dr. Составляющие нормальных напряжений в радиальном направлении обозначим ог, а в тангенциальном 09. Для касательного напряжения примем обозначения: тге. Прочие обозначения (для напряжений в близлежащих плоскостях) указаны на рис. 9.01.
Проекции объемной силы, отнесенные к единице объема, обозначаем так: R — действующая в радиальном направлении и 0 — действующая в тангенциальном направлении. В большинстве задач обычно тангенциальные составляющие объемной силы отсутствуют. Составляющие перемещения точки в радиальном и тангенциальном направлениях обозначаем и и v.
Относительные удлинения в радиальном и тангенциальном направлениях обозначают ег и ее, а деформацию сдвига (угол перекоса граней параллелепипеда) — угв.
193
Таким образом, тензор напряжений и тензор деформаций для плоской задачи в полярных кординатах могут быть записаны
Рис. 9.01.ч Обозначение напряжений в полярных координатах
§ 9.02. Частный случай — симметричное относительно оси распределение напряжений (решение в перемещениях)
Рассмотрим полый цилиндр или круглый диск, подвергающийся равномерно распределенному давлению ра по внутренней поверхности и давлению ръ по внешнему контуру (рис. 9.02). Объемные силы считаем отсутствующими. В этом случае деформация. и распределение напряжений являются симметричными, так как сечение по любому радиусу можно рассматривать как плоскость симметрии, и потому в этих сечениях не могут возникать касательные напряжения (тгв =0). Для элементарного объема, выделенного в полярных координатах, имеем систему напряжений и характер его смещения, показанные на рис. 9.03. Соответственно этим обозначениям уравнение равновесия в виде суммы проекций всех усилий на направление радиуса принимает вид
(9.01)
■cd -f- ( о, + da' ab — o„addQ = 0,
dr J
194
После замены
cd = rdQ, ab — (г + dr) dO и отбрасывания малых высших порядков имеем
О, — о* + Г
аог
~dT
0.
(9.02)
Рис. 9.02. Осесимметричная деформация толстостенного цилиндра
Рис. 9.03. Схема для составления уравнений равновесия
Для относительных удлинений в радиальном и тангенциальном направлениях согласно рис. 9.03 имеем
е, =
_ Уд — be л
be
е8
d\C\ — dc
dc
или после замены
dc = rdQ\ dicl = (г + и) dQ\ be = dr\ bvct = dr -f du получаем
du
~dr~ *
(9.03)
(9.04)
195
Физические уравнения имеют вид
ъг = — (ог — (ш9);
е9 = — (ст9 ■
Е
• ^г).
ИЛИ
О,
Ств =
1 —ц* Е
1-HS
(ег + ре9); (е6 + (леГ).
(9.05)
(9.06)
Совокупность уравнений (9.02) — (9.06) позволяет полностью решить поставленную задачу (пять уравнений с пятью неизвестными). Выразим неизвестные через одну функцию и (функция смещения), т. е. проведем решение методом перемещений.
Подставляя геометрические уравнения (9.03) и (9.04) в формулы (9.05) и (9.06), имеем
Е
(—+ “т >
1-|Л»
(9.07)
Е
[и . du \
[~ + l4rj-
1 —* |А2
(9.08)
Рис. 9.04. Распределение напряжений в толстостенном диске
При подстановке выражений (9.07) и (9.08) в статическое уравнение (9.02) получаем уравнение
<Ри , \ du и (9.09)
dr2
+ _L. J*f !L =o
r dr г*
Выражение (9.10) есть искомое разрешающее уравнение, имеющее значение уравнения (8.11) , в методе напряжений. Общий интеграл (9.09) выразим в виде
и = Ar -j——. (9.10)
Г
Постоянные интегрирования получим из граничных условий, а именно
(ст,), = а = —Ра, (9.11)
(аД~Ь.= -рь. (9.12)
196
Используем граничные условия, для чего выражение (9.07) представим в виде
Аналогично преобразуем и выражение (9.08):
= Л(1 + 7~(1 — **> ]•
По условиям (9.11) и (9.12) получаем
-^-[-4(1+0—|-(1-И)]— Г.'. -Т^г [-4(1 + с)--f (1-rt ] =-Р.;
(9.13)
(9.14)
откуда
Л _ Ра**2 — РьЬ2 1 — I* . >
62 —а2 " Е '
о (Ра — РЬ) агьг _ 1 + ц
62 — а2 ' £ *
После преобразований и подстановки последних выражений в (9.13) и (9.14) имеем
_ рад? — РьЬ2 , (Ра — рь) а262 62 —а2 ^ (62 — а2) л2
а,. =
pga2 — pfcb2
62 —а2
(Ра — Рб) а262 (62 — а2)/’2
(9.15)
(9.16)
Для частного случая, когда рь = 0, формулы (9.15) и (9.16) принимают следующий вид:
(9.17)
(9.18)
Для наибольших напряжений (для точек на внутренней поверхности) имеем
(Те =
Pad2
Ь2 — а2
гг —
РаР2
Ь2 — а2
г2 У
(^•Xnax Р
Р2+1 Р2-1 ’
(9.19)
Pat
где
197
Эпюры напряжений согласно формулам (9.17) и (9.18) имеют вид, показанный на рис. 9.04, а. В случае когда ра = 0 и имеется только наружное давление ръ, эпюры напряжений представляются графиками, показанными на рис. 9.04,6.
Заметим, что если диск, равномерно обжимаемый снаружи, не имеет внутреннего отверстия, то в нем по всем направлениям возникают напряжения рь. Таким образом, для сплошного диска, подверженного снаружи равномерному давлению, «булавочный прокол увеличивает напряжение у поверхности прокола вдвое» против случая отсутствия такого ослабления.
Разобранное выше решение принадлежит Л я м е. Первое практическое применение этого решения и значительное его развитие осуществлено в России в трудах А. В. Гадолина при расчете на прочность стволов артиллерийских орудий.
§ 9.03. Решение в напряжениях
Рассмотрим решение той же осесимметричной задачи методом напряжений, т. е. проведем совместное решение уравнений
(9.02) — (9.06) таким образом, чтобы все неизвестные функции выражать через напряжения, например через ог>
Так, из (9.02) следует
I dor Оъ = Ог + Г
dr
Затем, используя (9.03) — (9.06), выражая неизвестные и, ее , ег через аг, получаем исходное уравнение следующего вида:
-)- А . JEl. = 0. (9.20)
dr* г dr к '
Общий интеграл (9.20) можно представить в виде
<тг = -£- + Я(1+21пг) + С. (9.21)
В связи с тем, что граничных условий (их два) меньше, чем постоянных интегрирования, примем- постоянную В равной нулю. Тогда
0*
в
(9.22)
198
Постоянные Л* й С найдем из условия на границе (9,11) и
(9.12), откуда
л* _ _ (Pg-Pja2b2 .
6а — а2 #
^ Paa2-Pbb2 Ь2 -р- а2 '
Окончательно для оэ и ар получаем выражения (9.15) и
(9.16).
При решении этой задачи сделано допущение, что постоянная В = 0. Можно доказать, что это допущение соответствует действительности.
Особенность этой задачи заключается в том, что здесь имеется двухсвязный контур, так как сечение трубы ограничено двумя замкнутыми кривыми, не пересекающимися между собой. При наличии двухсвязного или многосвязного контура решение задачи осложняется и возможна многозначность решения.
Условию ВФ0 соответствует случай наличия начальных напряжений в диске, вызванных, например, тем, что небольшая часть кольца между двумя смежными сечениями вырезана, а затем концы диска сведены и спаяны [115]. В данной задаче для упрощения можно выбрать решение задачи не в напряжениях, а в перемещениях, что и сделано в § 9.02.
§ 9.04. Основные уравнения для плоской задачи в полярных
координатах (решение в напряжениях)
Приведем без вывода основные уравнения теории упругости в полярных координатах для общего случая деформации тела, когда присутствуют и касательные напряжения тги.
Итак, применительно к обозначениям (рис. 9.01), если спроектировать все силы на направление радиуса и на перпендикулярное к нему направление, то после отбрасывания бесконечно малых высших порядков получим аналогично дифференциальным уравнениям равновесия в декартовых координатах
(8.01) следующие выражения:
дог , J_ #
дг г
ае
+
аг — а0
г
+ R = 0;
i_ д°в . дх* . ч,
т сЮ дг г
(9.23)
где R — объемная сила, отнесенная к единице объема и предположенная действующей только в радиальном направлении
199
Если составляющие перемещения точки в радиальном и тангенциальном направлениях обозначить и и V, то соответствующие этим направлениям деформации можно представить в следующем виде:
относительное удлинение в радиальном направлении
8 г
ди . дг 1
(9.24)
относительное удлинение в тангенциальном направлении
и , до
~7 + гдв1
(9.25)
деформация сдвига
Y Г9 =
ди
Таё
V
г
(9.26)
Функцию напряжений, удовлетворяющую условию (8.12), можно применять и при таком координатном исчислении.
Так как между декартовыми и полярными координатами имеются зависимости
г2 = х2 + У2 и 0 = arc tg
то, учитывая и подставляя их в вытекающие из них соотношения (8.12), после ряда преобразований получим следующие уравнения неразрывности деформаций в полярных координатах:
д* J д_ , JL в д2 \ ( # # д2ц>
дг2 г дг г2 д0а /\дг2 г дг г2 д0а
(9.27)
Зависимости напряжений от функции напряжений имеют следующий вид (при отсутствии объемной силы):
Or =
. дф 1 дг г2
д3ф
ае2
д2(р
ff0=
*L(-L .
дер \
дг \ г
дв У
(9.28)
В справедливости выражения (9.28) можно легко убедиться, подставив формулы (9.28) в уравнение (9.27), которое удовлетворяется.
Если распределение напряжений симметрично относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости деформации, то компоненты напряжений не зависят от
200
угла 0 и являются функциями одного лишь г. В таком случае уравнение (9.27) и выражения (9.28) существенно упрощаются. Так, функцию напряжений, удовлетворяющую условию
У2У2Ф = 0.
где в рассматриваемом случае
. ( . 1 д \
v=(-5Г + Т--5Г>
можно представить в виде
Ф = A In г + fir2 In г + Сг2 + D.
Для компонентов напряжений соответственно получаем
Ог = — -^=-4- + Б(1+21пг) + 2С; '
г дг га
ое = — — + fi (3 + 2 In г) + 2 С;
аг3 га
тГ0 = 0.
(9.29)
Постоянные интегрирования в каждой конкретной задаче определяются в зависимости от поверхностных условий.
* § 9.05. Некоторые частные случаи выражения функции
напряжений и примеры использования
Представим случай полукруглой пластинки (рис. 9.05,а) и зададимся функцией напряжений в виде
ф = О20. (а)
Такая функция напряжений может существовать, так как подстановка (а) в (9.27) не приводит к противоречиям (условие неразрывности деформации выполняется точно).
Используя (9.28), получаем формулы для напряжений:
а г = 2С0, ere = 2 Св, xrQ = — С. (б)
Контурные нагрузки, отвечающие (б), показаны на рис. 9.05,6 (обратносимметричное нагружение).
В качестве использования решения (б) можно рассмотреть такую важную задачу, когда на полубесконечную пластинку (т. е. пластинку, бесконечного протяжения в длину и бесконечно простирающуюся ниже открытого прямолинейного края) на ограниченном протяжении ее прямолинейного края действует равномерно распределенная нагрузка плотностью <7оГ как это указано на рис, 9.06,а.
201
Заданную нагрузку можно представить разложенной на два частных загружения, показанных на рис. 9.06 б и в.
Действительно, на участке фактического загружения прямолинейного края полу- бесконечной пластинки при сложении нагрузок (рис. 9.06,6 и 9 06, в) получаем только вертикальную нагрузку плотностью qQ (каса-* тельные силы на рис. 9.06, б и рис. 9.06, в взаимно уничтожатся), а на остальном протяжении вне загруженного участка нагрузки не окажется.
Таким образом, для вычисления напряжений в какой-либо точке М полубес- конечной пластинки следует сложить напряжения для частных случаев разложения нагрузки (рис. 9.06,6 и 9.06, б), используя формулы, приведенные для случая (рис. 9.05).
Так, радиальное напряжение в точке М, имеющее направление МВ для случая, показанного на рис. 9.06,6, примет вид
Or = — 2q0 0i. (в)
Аналогично для случая, показанного на рис. 9.06, в. радиальное напряжение в той же точке М, но имеющее направление МА, имеет вид
о** = — 2^о02. (г)
Аналогично составятся выражения и для других компонентов напряжений.
Действительные напряжения получатся путем соот¬
Чо Чо
Рис. 9.05. Случай плоского напряженного состояния (функция напряжений ф=О20)
Рис. 9.06. Частный случай загружения полубесконечной пластинки (а). Разложение заданного нагружения на два составляющих, решения для которых известны (6) и (в)
202
ветствующего объединения приведенных частных решений, учитывая при этом, что выражения (в) и (г) даны применительно к разным системам отсчета [для формулы (в) полюс предполагается в точке В, а для формулы (г) полюс в точке А].
В таких случаях рекомендуется от компонентов напряжений, выраженных в полярных координатах (or,..., и ог 9 ...), перейти к компонентам напряжений в декартовых координатах (Ох,...» вх ...) и затем произвести обычное алгебраическое сложение, т. е.
Рассмотрим еще один частный случай, который использован ниже. Возьмем круговое кольцо с внутренним радиусом а и наружным радиусом Ь (рис. 9.07,а).
Рис. 9.07. Частный случай загружения кругового кольца
Зададимся функцией напряжений в виде
ф — ^ Аг2 + С —-—h D^ cos 20. (д)
Такая функция действительно может быть функцией напряжений, так как подстановка ее в (9.27) приводит к тождеству при соблюдении определенных соотношений между Л, С, D.
п « . а
Возможен случаи, когда отношение — стремится к нулю
(т. е. отверстие бесконечно малого диаметра или наружный диаметр предполагается бесконечно большой).
Если для дальнейшего принять внутренний контур свободным от нагрузки, т. е.
{О г) г—а — (тг0)г=а = 0,
203
то соотношения между постоянными А, С, D оказываются С = Аа4, D = — А2а\
Окончательные выражения для радиальных и касательных сил на наружном контуре оказываются
{ог)г-ь = k cos 20;
(Tre)r=ft = — *sin 20,
где k — амплитудные значения приведенных составляющих. Эскиз такого нагружения изображен на рис. 9.07,6.
ЛИТЕРАТУРА
И. [26], [34], [52], [57], [93], [120].
10
ГЛАВА
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
§ 10.01. Основные уравнения
Рассмотрим тело вращения, к которому приложены силы, распределенные симметрично относительно оси этого тела (рис. 10.01). Примерами могут быть круглы*, цилиндр, усеченный конус и подобные тела, деформирующиеся под действием внутреннего или наружного давления, симметричного относительно оси, или под действием сил, равномерно приложенных по торцовым сечениям и т. п. нагрузкам.
За ось вращения примем ось г. Ось, перпендикулярную к ней, обозначим г. Двух координат г и г вполне достаточно, так как все точки с одинаковыми такими координатами находятся в одинаковых условиях.
Так как каждая меридиональная плоскость.^гОг представляет собой плоскость симметрии как относительно формы, так и относительно нагрузки тела, то в меридиональных плоскостях касательных напряжений быть не может. Поэтому для каждой точки тела, расположенной на меридиональной плоскости, площадка, в ней взятая, является главной площадкой рассматриваемого напряженного состояния. Главное напряжение, действующее по этой площадке, обозначим ае.
Кроме меридионального сечения, через точку с координатами г, г проведем еще второе сечение, перпендикулярное к оси 2, и третье сечение, перпендикулярное к двум первым. Следы этих двух секущих плоскостей на меридиональной плоскости параллельны соответственно осям г и г.
205
Вследствие симметрии в обеих секущих плоскостях в точках 2, г могут действовать лишь такие касательные напряжения, которые параллельны меридиональной плоскости (рис. 10.02). Нормальные напряжения, действующие в секущих плоскостях, обозначим а* и аг, касательные — тГ2 и т2Г. Эти напряжения, очевидно, надо считать функциями от г и г.
Приведенные выше условия задачи характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия, как это пока-
Рис. 10.01. Тело вращения с симметричным относительно оси распределением напряжений
Рис. 10.02. Проекции элемента в цилиндрических координатах
зано ниже, можно представить в такой же простой форме, как и в случае плоской задачи, и потому можем ограничиться рассмотрением соотношений для точек одной и той же плоскости.
Собственный вес и другие массовые силы из рассмотрения исключаем.
Проектируя все усилия, принадлежащие элементарному объему (показанному на рис. 10.02) на оси гиг, имеем уравнения равновесия в виде dat
дг
-г dQ-dz-dr — хirr-dQ-dz + dr^(r + dr)-dQ-dz = 0,
— or г d0 • dz + ^ ar -f- ~~~ dr^j (г -f- dr) dft • dz +
d%rz dz-r-dQ-dr — oedr -dz-dQ = 0.
+
dz
206
После сокращения уравнения на общий множитель drdzdQ имеем
Г-^- + v + r%- = 0;
дг
дг
■ дог I л
Ог + Г — + Г Q0 = 0.
дг
дг
Более компактно статические уравнения представим в виде
гдо2
дг
+ (гхгг) — Ф
-7- (гог) — О0 + Г = 0.
дг дг
(10.01)
Обозначая w упругие перемещения точки (2, г) в направлении оси 2, а и в направлении радиуса (в тангенсиальном направлении перемещение отсутствует), геометрические уравнения для данного случая можно представить в виде
dw ди
е2 = —; 8, =
дг
дг
и dw , ди
ев = : Угг = -7- + —•
г дг дг
Физические уравнения представим согласно (4.02)i
0 2G— + W; 1
г дг
ди
(10.02)
ог = 2G - + А.0;
дг
Об = 2G 1-
г
п f dw . ди \
Xr* = G К~дГ + ~дГ/
(10.03)
где
0 = в2 + ег + ее.
§ 10.02. Решение задачи в перемещениях
Объемное расширение
q dw ди и
207
можно представить в виде
dw
dz
dr
U
ИЛИ
0 = + Du,
дг
(10.04)
где D — следующая операция:
Подставляя (10.04) в физические уравнения (10.03), а затем в уравнения равновесия (10.01), окончательно получаем
d2w
~д&
1 — 2(я dw 2(1 —[1]
1
2 (1 — fi) dz
— Du = 0;
(10.05)
J-Du + - '~2^ ^fL + ! *®-=0.
dr 2(1 — (л) dz2 2(1—jn) dr-dz
(10.06)
Таким образом, задача определения напряжений в теле вращения, загруженном симметрично относительно оси, сводится к нахождению двух функций w и и, которые должны удовлетворять в каждой точке уравнениям (10.05) и (10.06) и одновременно граничным условиям на поверхности тела.
Введем оператор D2, приняв
D2
- — D - —+ —— —V
дг дг \ дг г ) \ дг* г дг г* )
Из уравнений (10.05) и (10.06) исключим величину ш. Дифференцируем (10.05) по 2 и г. Подставляя в это уравнение
.—dlw из (10.06), получаем dr»dz 2020- + 2 D2 + D2D*u = 0. (10.07)
дг4 дг2 v
Уравнение (10.07) можно выразить короче:
+ D2j2u = 0. (10.07а)
Аналогично можно составить дифференциальное уравнение четвертого порядка, которому должно удовлетворять перемещение w9 если к уравнению (10.06) сначала применить операцию
208
D, а затем вставить Du дг дг
простых вычислений получаем
d*w 2 р ддо
а*4 + ага ”аГ"
(из уравнения 10.05).
После
(10.08)
§ 10.03. Решение задачи в напряжениях
Установленные в § 7.02 синтезирующие уравнения теории упругости в напряжениях (уравнения неразрывности деформаций, выраженные через напряжения), представленные в декартовых координатах, можно преобразовать в цилиндрические координаты.
Для этой цели, очевидно, необходимо выразить напряжения Or и 09 через ох и оу по известным формулам перехода
ох = or cos2 0 + 09 sin2 0, оу = or sin2 0 + oq cos2 0, заменив вид суммы на другой:
°х + + °г = °Г + Оо + Ог = а1.
При этом следует учесть, что ог и о& не зависят от угла 0, тогда как ох и оу являются функциями 0.
Не производя преобразований *, приведем окончательные результаты для уравнений совместности, которых вследствие осесимметричного характера деформаций останется четыре:
V2or — (°г — ое) + — 1
' 1
д*Ы
+ Ц дг*
= 0;
v2a9+4-(°/+ffe)+ 1
г*
-L^- = 0;
v4 +
i
1 + И г дг
д*о'
1 + р. дг2
v4 - -+ +
i
= 0;
д2о 1
1 + р, дг • дг
= о,
(10.09)
где введен символ дл’я лапласовой операции, выраженной в цилиндрических координатах
,2 _
д* 1 д д*
дг3 г дг дг2
(10.10)
разования подробно приведены в книге i ория упругости». (М., Стройвоенмориздат,
209
Заметим, что одновременно с уравнениями неразрывности должны быть удовлетворены уравнения равновесия (10.01) и условия на контуре.
§ 10.04. Функции напряжений при осесимметричной деформации
Подобно тому, как в плоской задаче теории упругости удалось все компоненты напряжений выразить через одну функцию напряжений, так и в разбираемом осесимметричном пространственном случае имеется такая же возможность.
Действительно, если задаться
«=-£-0*?ч>
£г}
где, по-прежнему,
2 / д* - 1 д * а» \
V ( дг2 г дг дг2 )’
(10.11)
Ф — произвольная функция, и подставить (10.11) в первое уравнение равновесия (10.01), то оно обратится в тождество.
Второе уравнение равновесия и все уравнения неразрывности будут удовлетворены, если принять ф согласно уравнению
I I д2 \{ д2Ф , 1 дер д2Ф \ = Q
дг2 ’И г дг ^ дг* )\ дг* ^ г дг дг2 )
(10.12)
или короче
V2(v2(P) = 0. (10.12а)
Можно подобрать много решений уравнения (10.12). Приведем некоторые из них:
Ф = Cj In г + C2z In г + C3z2 In г + C4 z3 In r, (10.13)
Ф = Cxz + C2r2 + C3z2 +C4r2z + Cflz3. (10.14)
Так как эти выражения ф удовлетворяют уравнению (10.12) при любых значениях коэффициентов С, следовательно, любой член их также удовлетворяет уравнению (10.12)
Ф = С (г2 + z2)n\
(10.15)
210
где
Здесь
Ф = С (г2 + г2У г.
(10.16)
3 1 1 П~ 2 ’ 2 ’ 1'
5 1 з
(Г2 + г2) 222 --^-(г2+г2) 2J;
(10.17)
Ф = С (Зг4 — 8Z4);
(10.18)
Ф = С (Зг2 — 2г2) г2;
(10.19)
Ф = С (г2 — 4г2) г2;
(10.20)
Ф — СгIn( А2 + га“г \ Ч /г* + г‘ + г /
(10.21)
§ 10.05. Температурные задачи
Если одной из причин, вызывающих напряженное и деформированное состояния тела, является возникновение температурного поля, в общем случае неравномерного вдоль координаты z и вдоль радиуса г, т. е.
Т = Т(г9 г),
то приведенные выше физические уравнения (10.03) по аналогии с (7.05), но в цилиндрических координатах, можно представить в таком виде:
at = 2G ~ + XQ - х\Т; (10.22)
ог = 2G + Я0 — г(10.23) <те = 2G -у + кв — г)Т. (10.24)
Здесь для краткости введено обозначение т) = 2Ga 1
1 — 2р.
и прежнее
0 = е2 + ег + е0.
(10.25)
211
Для примера рассмотрим длинную толстостенную трубу (рис. 10.03) с радиальным перепадом температур, т. е. считается заданным
Т = Т (г). (10.26)
Пренебрегая влиянием торцов, можно считать, что все сечения трубы, перпендикулярные к ее оси, остаются плоскими и все работают в одинаковых условиях.
Таким образом, радиальное перемещение и зависит только от г, перемещение v в направлении 0 отсутствует, относительное удлинение по направлению оси z следует считать постоянным, т. е.
__ = const. (10.2 7)
2 дг ш
Для относительных удлинений в радиальном и тангенциальном направлениях, очевидно, возможно использовать известные из § 9.02 соотношения
(9.03), (9.04), т. е.
ег = ^-,е9 = —. (Ю.28)
dr г
Очевидно, в рассматриваемой задаче сохраняется известное в задаче о толстостенном кольце уравнение равновесия (9.02), т. е.
Ог_а0 + Г^ = о. (10.29)
dr
При использовании (10.27), (10.28) в (10.25) и затем в (10.22), (10.23) и (10.24) с последующей подстановкой в (10.29) получаем разрешающее уравнение следующего вида:
_i_ J_ . — — = J!±jiL а JUL. (10.30)
dr2 г dr г3 1 — (X dr
При постоянной вдоль радиуса г температуре, т. е. при отсутствии перепада температур, уравнение (10.30) обращается в дифференциальное уравнение (9.10) с известным интегралом
(9.11) .
Решением (10 30) является выражение, отличающееся от
(9.11) температурным членом, а именно в данном случае его можно представить в виде
Г
u = Ar + ±+2±£-a{T(p)pdp. г (1— р)г J
Рис. 10.03. К расчету температурных напряжений о цилиндрической толстостенной оболочке
(10.31)
212
Затем, очевидно, (10.31) необходимо подставить в (10.23) и
(10.24), а для определения постоянных А, В и ez=исполь-
dz
зовать граничные условия. Так, если внутренняя и наружная поверхности трубы свободны от нагрузки, то, следовательно,
(°г)г=а =“ 0. (°r)r=b = 0. (10.32)
Если труба не имеет осевой нагрузки, то
ь
Jaz2nrdr = 0. (10.33)
а
Использование (10.32) и (10.33) позволяет полностью решить поставленную задачу.
Приведем без промежуточных выкладок окончательные выражения для напряжений на внутренней и наружной поверхностях трубы в случае, когда на этих поверхностях поддерживаются постоянные температуры Та и Ть. Для такого установившегося потока распределение температур по толщине стенки выражается формулой
(Та — Ть) In
Т = ТЬ + -. (10.34)
О
In — а
Тогда на внутренней и наружной поверхностях
(Од)г=а
— (°z)r=a —
Еа (Ть - Та)
г ь>
1 I
; (10.35)
1-Ц
1'-'
2,„А
a J
(Ов)г=Ь
= (Oz)r=b =
Еа (Ть — Та) |
г .■
1 1
. (10.36)
1-ц
62-а2
2 In — J a J
Для тонкостенной трубы, когда отношение — близко к еди-
а
нице, формулы (10.35) и (10.36) приближенно можно выразить так:
Шг-а = (Ог)г=а = ~Еа(]Ь У , (10.37)
2(1— ц)
/ ч .ч Еа(Ть — Та)
(оъ)г=ъ — (ог)г=ь — -—. (10.38)
2(1—ц)
213
§ 10.06. Краткие выводы по главам 8—10
1. Для плоского напряженного состояния и плоской деформации, т. е. для так называемой плоской задачи теории упругости, количество исходных уравнений (против общего, т. е. пространственного случая) значительно уменьшается (до семи). Если рассматривается только поле напряжений, то задача теории упругости имеет только три уравнения, а именно два уравнения равновесия и одно условие неразрывности деформации (выраженное через напряжения). Эти уравнения при отсутствии объемных сил в декартовых координатах имеют следующий вид:
fo* I дтху _ q.
дх ^ ду
&Xyx I дву __ Q.
дх ‘ ду
V2K + ai/) = 0.
2. Функции для компонентов напряжений в случае плоской задачи можно выразить через функцию напряжений, а именно (при отсутствии объемных сил) при использовании декартовых координат
_ . _ д2ф . _ даф
х ду2 * у дх2 * ху дх-ду
Функция напряжений является бигармонической, т. е. удовлетворяет условию
V2V2(P = о,
где оператор V2 — лапласова операция — имеет выражение, характерное для декартовых координат, т. е.
2 д2 . д2 V ~~ дх2 ду2 ’
3. В случае плоской задачи, но решаемой в полярных координатах, также можно применять функцию напряжений, которая также является бигармонической, но оператор у2 (см. 9.27) и выражение компонентов напряжений через разрешающую функцию (см. 9.28) имеют форму, специфическую при использовании полярных координат.
4. В случае когда исследуемый объект является телом вращения, подверженным осесимметричному воздействию, возможно, как и в плоской задаче, все компоненты напряжений также
214
выразить через разрешающую функцию, удовлетворяющую условию бигармоничности, т. е.
V2V2(P = О,
где оператор V2 имеет вид, характерный для цилиндрических координат, т. е.
v \ dr2 ^ г dr дг2 )
ЛИТЕРАТУРА
[35], [52], [67], [75], [93], [115].
11
ГЛАВА
НЕКОТОРЫЕ ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 11.01. Задача о чистом изгибе. Случаи применимости
элементарных решений
К числу задач сопротивления материалов, оправдываемых точным решением теории упругости, помимо очевидной задачи об одноосном растяжении — сжатии, относятся также задачи q сопротивлении чистому изгибу и чистому кручению, а также
некоторые простейшие случаи поперечного изгиба. Рассмотрим случаи чистого изгиба.
Для случая пластинки, имеющей узкое прямоугольное сечение и изгибаемой двумя парами с моментами М, приложенными к торцовым сечениям (рис. 11.01), как известно, в сопротивлении материалов рекомендуются следующие решения:
У
Рис. 11.01. Случай чистого изгиба
(а)
216
где / — т. е. / =
экваториальный главный момент инерции сечения,
2Ъсъ
—-, если Ь— толщина пластинки, 2с — ее высота.
3
Так как выражения для напряжений — линейные относительно координат, то уравнение неразрывности деформации
(8.06) удовлетворяется независимо от коэффициентов, стоящих при координатах, и потому достаточно проверить только уравнения равновесия и условия на контуре. Подставляя (а) в (8.07) и полагая собственный вес равным нулю (иначе рассматриваемый случай не был бы задачей о чистом изгибе), имеем тож^ дества:
д°х j дхху _ q. дсТу , дхух _ q
дх ду ’ ду дх
Н
На верхней и нижней гранях при у = ± —
°g == °*
на боковых гранях при х = +
1_
2
М ^ п а* = —У> Хху = О-
т. е. по торцам бруса действуют нормальные усилия, распреде^ ленные по линейному закону, равнодействующая которых
N = ^°xdF =
F F
т. е. равна нулю, и потому указанные усилия приводятся к паре §oxydF = -^y^y'dF = -*f-J = М.
F F
Условие неразрывности деформации (8.07) удовлетворяется в данном случае автоматически, так как
д2Рх = д2ох = д2 а у = д2 оу = Q
дх2 ду2 дх2 ду2
Итак, известный из курса сопротивления материалов закон распределения напряжений при чистом изгибе оправдывается полностью при условии, что указанные в задаче концевые моменты представлены силами, распределенными по торцовым сечениям именно по линейному закону. Если приложение этих пар осуществлено как-либо иначе, то распределение напряжений является другим, более сложным и переменным по длине
217
о
0
бруса. Но, как показывает опыт, а также и точное решение задачи для других возможных случаев приложения внешних воздействий по торцам, перераспределение напряжений в отличие от (а) наблюдается только в непосредственной близости от концов балки, а во всем остальном закон распределения напряжений практически согласуется с формулами (а).
Покажем, что при чистом изгибе оказывается справедливым и так называемый в теории сопротивления материалов закон плоских сечений. Для этого необходимо выполнить переход от напряжений к деформациям согласно
(4.01) и от деформаций к смешениям на основании (3.08).
Другой задачей, когда элементарное решение сопротивления
материалов оказывается приемлемым * и с точки зрения математической теории упругости, является случай изгиба консоли сосредоточенной силой Р на конце (рис. 11.02).
Как известно, в сопротивлении материалов для этого случая имеется следующее решение:
Рис. 11.02. Поперечный изгиб консоли
М
J
У =
Рх
У\
О у = 0;
^ QS
ху Jb " 8У
При подстановке этих выражений в уравнения (8.07) получаем тождество.
Для полного соответствия уравнениям теории упругости необходимо, чтобы на левом торцовом сечении сила Р была распределена именно по указанному параболическому закону касательных напряжений.
Если, однако, продолжить решение этой задачи и от напряжений перейти к перемещениям, то окажется, что первоначально (до деформации) плоские поперечные сечения балки в процессе деформации не остаются плоскими, а искривляются — депланируют.
А так как на правом конце депланации поперечного сечения вообще не может быть (если прикрепление этого конца осуществлено путем защемления сечения по всей высоте), то вследствие стеснения деформации опорного сечения закон распреде-
* Но исключая небольшую область в окреаносги прикрепления консоли к стене.
218
ления напряжений в этом сечении и в небольшой области вблизи защемления является иным, чем по приведенным выше эле-» ментарным формулам сопротивления материалов.
§ 11.02. Задача об изгибе консоли при равномерно-
распределенной нагрузке
Пусть балка узкого прямоугольного сечения с шириной, равной единице, закрепленная одним концом в стену, изгибается при равномерно распределенной нагрузке интенсивностью q, как показано на рис. 11.03. Данный случай относится к обобщенному плоскому напряженному состоянию. Выполним решение этой задачи методом последовательных приближений.
ТТЛ 1П11111П
f М <о
п
X
В качестве первой попытки решения такой задачи примем результаты, известные из со-
противления
именно:
материалов,
м
J
У =
qx*
2 J
У\
о у = 0;
х*у=^--1Н-
_ _я_
2 J
Рис. 11.03. Пример поперечного изгиба
(а)
в основе которых лежит так называемая гипотеза плоских сечений.
Группу уравнений (8.07), которым должно удовлетворять точное решение, приведем без собственного веса:
I дТду __ Q
дх ^ ду ~ ’
д*ух I дсГу _ дх ду
V2 (°лг + °у) = 0-
(б)
Приводим частные производные, входящие в (б), используя для этой цели (а):
1
е>
qxy
д^ху
ЯУХ .
дх
j
’ ду
j '
Qj
Н
£
II
я
(с*-у*),-
дву о
дх
2 J
ду
(в)
219
Подставляя (в) в (б), устанавливаем, что первое уравнение удовлетворяется, так как
_до_х__ = _ дтху
дх ду
хотя отсюда не следует непременно, что функции ах и тху из (а) точны. Это лишь указывает, что производные от них, участвующие в (б), удовлетворяют первому уравнению равновесия, но функция ох может иметь, например, такой вид:
О* = У + Л (у)’ (г)
где /1 (у) — неизвестная функция от у.
Ниже показано, что такая функция для данной задачи существует и она является следствием того, что поперечное сечение бруса при изгибе искривляется — выходит из плоскости (депла- пирует).
Второе уравнение, очевидно, не удовлетворяется, так как в элементарном решении пренебрегают давлением продольных волокон друг на друга. Из этого уравнения получаем следующее соотношение:
дву _ дтху ду дх
Если функция для тху выбрана правильно, то
дву
ду
±_
2 J
(с2-у2).
Интегрируя (е), имеем
а»—:ir(c2y—т)+ш>
(д)
(е)
(ж)
где f2(x) — неизвестная функция координаты х.
Определим вид функции Ы*). Для этой цели используем граничные условия по горизонтальным (верхней и нижней) кромкам, а именно при любом значении х и при у=с имеем ov=—q, а при у=—с имеем ау=0. Подставляя эти граничные условия, получаем
<°„)i—* —«-(-«■+ т)+Л w “ *■
5 “ 2J~(^ г) ^ ^1 ^ = ^
(3)
220
Из (з) получаем, что /г(*) не может содержать координаты х и, следовательно,
ft (х) — С.
Из первого и второго выражений (з) следует одно и то же значение постоянной С, что подтверждает правильность приведенных выше суждений о том, что Ы*) есть постоянное число:
С = (и)
Используем третье уравнение (б); принимая для о* более полное выражение (г) и для ау — полученное значение (ж). Тогда
дх2
ЯУ j •
ду2
= /' (У).
д2ау
дх2
= 0;
_ ЯУ_ ду • J *
Итак,
Ча(оя + о„)--&- + /,'(</) + ^-=0. (к)
Из (к) следует
/!(*) = -
2<?У / *
откуда
Ш f- + C,: (л)
/i (у) = —<'tj~ + + С2.
Окончательно для компонента ох получаем
Для определения постоянных С\ и С2, входящих в формулу для ох, заметим следующее. По приведенному выше выражению (м) при х = 0 (т. е. на левом конце) нормальные напряжения не равняются нулю, как обычно (в действительности на левом конце продольных усилий не приложено). Согласно (м), имеем
(ох)х=о = ^ + Сху + С2.
221
Однако, если эти напряжения ох на левом торце сводятся к взаимно уравновешивающейся системе сил, то согласно принципу Сен-Венана (локальности) наличие таких сил практически не изменяет закона распределения напряжений в балке против случая отсутствия таких сил (за исключением области балки в непосредственной близости от левого конца). Итак, условимся, что при х = 0
ох dF = 0 и JoxydF = О,
F F
т. е. равнодействующая продольных усилий на левом торце и их момент равны нулю. Иными словами, смягчим граничные условия на свободном торце бруса и получим
J [~^+с,|/+Са]^ = 0:
—с
J [ J yty ~ О-
Интегрируя, получаем 2 С2с = О,
Таким образом,
+ Сх — - 0.
15У 3
С2 = 0, Сг=-^-
10 с
Окончательно имеем
оУ =
2 J
5г"|(1 + Т7 Ё“);
*Ху = -%]-(с2~Уг)х-
(Н)
(11.01)
В полученном решении касательное напряжение тху соответствует элементарной теории изгиба. Напряжения ох отличаются от напряжений, получаемых по элементарной теории, поправочным выражением
±_ 2 J
>
(11.01а)
222
Значение этого выражения мало по сравнению с величиной ох, если только с мало по сравнению с /. Характер распределения напряжений ох по высоте балки согласно (11.01) указан на рис. 11.04.
Эпюра оу изображена на рис. 11.05, а. Для других горизонтов приложения нагрузки (по нижней кромке балки или на
Рис. 11.04. Характер распределения по высоте сечения нормальных напряжений ох согласно теории упругости:
распределение нормальных напряжений согласно элементарной
теории сопротивления материалов
Рис. 11.05. Эпюры о у (напряжения давления продольных волокон друг на друга)
а— приложение нагрузки по верхней кромке; б — по нижней кромке; в — на уровне срединного слоя
уровне срединного слоя) эпюры оу являются другими, как это показано на рис. 11,05, бив.
В сечении балки, совпадающем с ее свободным концом, касательные напряжения отсутствуют. Нормальные напряжения в сечении л; = 0, как это указано выше, нулю не равны, но нулю равны их главный вектор и момент.
Поэтому точное решение для рассмотренной балки отличается от найденного (11.01). Однако согласно принципу локаль¬
223
ности (т. е. пренебрегая местным напряжением в области нагрузки) можно применить решение (11.01), а в случае невысоких балок и более простое решение (а).
§ 11.03. Определение перемещений (продолжение
задачи)
Проследим определение перемещений разобранной выше консольной балки после того, как найдены напряжения. В частности, найдем уравнение изогнутой оси консоли (или, иначе, по терминологии в курсе сопротивления материалов «упругой кривой»).
Для этой цели сначала на основании уравнении (4.01) от составляющих напряжений перейдем к составляющим деформации. Имеем
ъх = -^-{вх—\му)\
= (°У — ^
Уху
2(1 + М-)
ху
На основании геометрических соотношений (3.08)
dv дх
dv dv ди . dv
GX = “Г"’* гу = —» У ХУ = 1 Г -г—
х дх у ду ду я*
получаем
и = J еж дх + ф, (у); v = J еу ду + <р2 (х);
Уху = 1“§е*дх + ф'{У) + ~t~ J&уду + ф2
где ф, (г/) и ф2(х)—произвольные функции, зависящие соответственно от координат у и х.
Для определения этих функций используют кинематические условия —закрепление правого конца консоли, т. е. при х=1. В этом закреплении ы = 0 и у = 0 для любых значений у.
Найденное выше решение для напряжений не удовлетворяет этому, казалось бы, очевидному условию, так как условий оказывается больше (по числу точек в опорном сечении, т. е. бесконечности), чем число параметров определяемых функций.
Поэтому ограничимся условием, чтобы оставалось неподвижной одна точка поперечного сечения, например, лежащая на оси бруса, т. е
(и)х=1,у=й = 0, {р)х=1,у=0 = 0.
224
Затем примем, чтобы горизонтальный элемент оси, примыкающий к этой точке, был также неподвижен (рис. 11.06,я),т. е.
dv \ _
(о)'
Можно принять (и это более строго), чтобы вертикальный элемент в той же точке тоже был неподвижен (рис. 11.06,6), т. е.
ди \
ду )х=1,у=0
= 0.
(п)
Применение условия (п) вместо (о), конечно, изменит окончательный результат. Таким образом, перемещения на всем протяжении бруса различны в зависимости от того, какое примем условие— (о) или (п).
Однако эти различия в окончательных результатах в зависимости от принимаемого условия закрепления точки на оси
I/
Рис. 11.06. Два варианта закрепления опорного сечения в теории упругости
бруса представляют скорее теоретический интерес. Для обычных (низких) балок разница между решением по условию (о) или (п) оказывается пренебрежимо малой. Для прогиба эти решения мало отличаются от того, что дается в курсах сопротивления материалов. Разница в основном заключается в учете влияния сдвигов (влияние поперечной силы), которым по сравнению с влиянием изгибающих моментов на прогиб обычно пренебрегают в сопротивлении материалов.
Из рассмотрения (рис. 11.06) следует, что для получения полного закрепления опорного сечения (а не только неподвижного закрепления от смещения и поворота одной точки на оси бруса) потребуется приложение к этому сечению особых добавочных усилий. В месте полного защемления балки в стену и в непосредственной близости от этого сечения действительные напряжения.выражаются иными более сложными законами, чем по решению (11.01). Однако согласно принципу Сен-Венана
225
влияние дополнительных усилий сказывается лишь на небольшом участке около защемления балки. Для всего остального протяжения вполне применимы уравнения (11.01).
§ 11.04. Изгиб балки на двух опорах под равномерно
распределенной нагрузкой
Выберем оси координат для обследуемой балки, как это указано на рис. 11.07.
Решение задачи для определения напряжения можно получить путем сложения двух известных решений: нагружения кон-
Т1 II Ж 1 Н 1 11
t
7
L
i
Ш
22
Рис. 11.07. Изгиб балки на двух опорах под равномерно распределенной нагрузкой
lTTTTTT"
/
*
/X
2
TTTTTT
\
Рис. 11.08. Представление каждой половины балки как консольной
соли сосредоточенной силой на свободном конце и нагружения консоли равномерной нагрузкой (§ 11.01 и 11.02). Это решение возможно потому, что среднее сечение заданной балки ввиду симметричности ее загружения остается плоским. Тогда каждую половину заданной балки можно уподобить консоли, показанной на рис. 11.08, от сосредоточенной силы, которой является опорная реакция со значением ql.
Напряжения от сосредоточенной силы ql определяются по элементарным формулам сопротивления материалов (см.§ 11.01) с учетом направления координатных осей:
3 gl{l-x) 2 с8
о; = 0, х:У = -2^ = -Ж-?)
у Jb йсз
От равномерно распределенной нагрузки на консоли напряжения определяются по формулам (см. § 11.02) с заменой в них координаты х на I—х, т. е.
226
<7 =-^-16 {l—xfy— V);
ос3
2 4р R*< *
** 3 Q / г \ 3
Хху ~ ~ х) 7"
4 £ 4
8с3
д(1—х) у2
с3
Таким образом, для рассматриваемой задачи с двухопорной балкой под равномерной нагрузкой имеем
* т*
вх = вх + ох;
= "Ь 5
ху
— Ххд +
Рис. 11.09. Эпюра Од для случая нагружения балки собственным весом
Можно исследовать напряженное состояние балки при изгибе ее собственным весом. Погонный вес балки — q.
Если выбрать решения этой задачи аналогично решению в § 11.02, то для рассматриваемой задачи необходимо учесть наличие проекции объемной силы во втором дифференциальном уравнении равновесия, т. е.
Нр = —Q.
При решении такой задачи получим следующие результаты:
ir{ T-f>
<ида
2-0
Следует отметить, что закон распределения напряжений ау на высоте балки оказывается кубической параболой (рис. 11.09).
§ 11.05. Треугольная подпорная стенка
Рассмотрим тело треугольного профиля, находящееся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или в условиях плоской деформации (рис. 11.10). К такой задаче часто сводится расчет каменных плотин, подпорных стенок, укрепительных сооружений и др.
227
Для того чтобы исключить влияние особенностей связи тела плотины с основанием, будем считать стенку неограниченно простирающейся вниз.
В качестве нагрузок примем две: давление воды (или земли, или сыпучей массы) и собственный вес тела. Первая нагрузка имеет горизонтальное направление и изменяется по закону тре-
Рис. 11.10. Плотина треугольного Рис. 11.11. Схема для определения профиля граничных условий
угольника, т. е. на глубине у давление на единицу площади составляет у У (в случае плотины у— вес единицы объема воды). Вторая нагрузка имеет направление вертикальное, которое считаем постоянным и обозначаем р (вес единицы объема кладки).
Сформулируем сначала граничные условия (рис. 11.11) на грань ОЛ, т. е. при х=0 и любом значении у имеем
ох-—У-У, тжг,= 0. (А)
Грань ОВ, т. е. при х = у tgp, совершенно свободна от нагрузок, следовательно, для этой грани
Pxv = Рим = 0« (Б)
Решение поставленной задачи можно выполнить, подобрав
соответствующую функцию напряжений (достаточно взять поли¬
ном третьей степени) или применить формулы из сопротивления материалов с последующим их уточнением (см. § 11.02). Однако второй путь решения окажется здесь неудачным, так как в отношении касательных напряжений в горизонтальных сечениях рассматриваемой плотины в сопротивлении материалов обнаруживается не только резкое количественное расхождение с точ¬
228
ным решением по законам теории упругости, но и качественное различие. Проверим это на следующих простых примерах.
По формулам сопротивления материалов следует, что в горизонтальных сечениях (если их условно считать поперечным сечением бруса) плотины касательные напряжения распределяются по обычному параболическому закону с максимумом по середине сечения и с нулевыми значениями на периферии. В действительности в точках сечения, выходящих на наружную
Рис. 11.12. Доказательство необходимости существования касательного напряжения тУх возле наклонной грани плотины
наклонную грань, касательные напряжения непременно существуют (и притом одного порядка с нормальными напряжениями в том же сечении). Это можно проверить, если рас-* смотреть условия равновесия элементарной треугольной призмы, мысленно вырезанной возле наружной грани (рис. 11.12,а).
Действительно, очевидное наличие сжимающего напряжения Gy потребует для равновесия призмы существования такого же порядка касательного напряжения тух (рис. 11.12,6); наличие Тух повлечет возникновение тху (рис. И. 12,в), а последнее вызовет появление нормального напряжения ох (рис. И.12,г). Такова схема фактического напряженного состояния в точках тела вблизи наклонной грани тела (рис. 11.12), качественно отличная от той, которая следует из формального использования формул сопротивления материалов *.
Для разнообразия методики решения задачи поступим следующим образом. Примем сначала формулу для нормальных напряжений в горизонтальных сечениях, т. е. для оу в том виде, как в сопротивлении материалов. Достоверность такого пред¬
* Если за ось бруса (что логичнее) принять ОС (рис. 11.13), а за поперечное сечение — нормальное сечение к этой оси, то по формулам из сопротивления материалов получим иные результаты, но несоответствие их уравнениям равновесия для граничных точек останется по-прежнему,
229
положения, а равно и формулы для остальных компонентов напряжений проверим и найдем из уравнений теории упругости.
Для горизонтального сечения на расстоянии у от вершины (рис. 11.13) изгибающий момент относительно середины сечения (точка с) и продольная сила составляют:
М = 0— Ne = уу2 -У- — ру2 tg Р ( -MlSiL _ Л1lJL\ =
^ 3 2*3 2 \ 2 3/
=_ УУ* РУ3 t 2 0. yy = - РУ2 P
6 12 ё 2
0
Puc. 11.13. Подсчет изгибающего момента и продольной силы для промежуточного горизонтального сечения плотины
Нормальное напряжение в рассматриваемом сечении по формуле из сопротивления материалов равно:
Гд0 у*— координата рассматриваемой точки сечения, измеряе- мая от его центра тяжести, т. е. от точки С. В данном случае
У = \хй — х у [g$ — x-
В приведенной выше формуле из сопротивления материалов геометрические характеристики сечения следующие: ширина сечения —
ь- 1;
площадь
F = x0l = t/tgfo
230
момент инерции сечения
_ 1*о _ у3 tg3 р
12 12 '
Итак, по формуле из сопротивления материалов (условно считая поперечное сечение горизонтальным) имеем
( У у' V 6
12
JT'tgsp
(ту[^~х)
РУ2 tg Р 2 • I/ - tg Э
2у tg3 Р
Р
tgP
РУ 2 *
Для дальнейшего последнюю формулу представим в виде
оу = ах + by,
(а)
где
а = _р
tgp tg»(5 ’
b
У
tg2p
р-
При подстановке (а) во второе дифференциальное уравнение равновесия (8.07)
Л1Ш- + + р = о
дх ду
получаем уравнение
дх»х
дх
— р — Ь,
откуда
ХУХ = — ^(,Р + Ь)дх = — (p + b)x + f(y). (б)
При подстановке (б) в первое дифференциальное уравнение равновесия (8.07)
д&х I дтху __ q дх ду
получаем уравнение
дох
дх
-Г (у).
(В)
231
Вторые производные, входящие в уравнение неразрывности деформации, имеют вид
дх3
= 0,
дх2
д2 ог
= -Г (у);
ду*
= , о, = о,
и уравнение неразрывности выражается
у2(°х + оу) = —Г(у) = о,
откуда
f(y) = c + d-y.
Таким образом, следующие выражения для напряжений удовлетворяют всем уравнениям плоской задачи теории упругости:
О* j ? {у) дх =—(с + d.-y)x +Ф (у);
ау = ах + by, (г)
хху = — (р + Ь)х + с d-y.
Неизвестные постоянные с, d и функцию ф(г/) определим из граничных условий.
Начнем с вертикальной наружной грани: используя (А), имеем
i-c — d-y] •х + ф(р)
откуда следует
c + d-y = 0, с = d = 0;
У У,
У(у) = — У У-
Итак, окончательно
ох = — УУ, оу = ах + by,
*хв=* — (Р + Ь)х = -
\
ух
tg*P в
(Д)
(11.03)
Таким образом, все произвольные постоянные и функция определены, но не использованы все известные граничные условия. Такой результат объясняется тем, что задача решена смешанным приемом — одна из формул для напряжений использована из сопротивления материалов и она не противоречит теории упругости.
232
Поэтому использование граничных условий по наклонной (низовой) грани тела является контрольной проверкой выполненного решения. Выполним этот контроль, подставляя в (Б) известные соотношения (2.05). Тогда
Pxv = <УХ cos (xv) + хху cos (yv) = 0; J Pyv = V cos (*v) + o cos (yv) = 0, )
где, очевидно,
cos (xv) = COS p,
cos (yv) = cos (90° + P) = sin p.
В развернутом виде выражения (е) с использованием (г) и (д) имеют вид
— уу cos Р + —ж sin Р = О, tg2p
х cos р — (аде + by) sin р = 0,
В последних выражениях, так как рассматриваем точки на наклонной наружной грани, следует положить
Рис. 11.14. Характер эпюр напряжений в горизонтальном сечении плотины
х= У tgp.
При указанной подстановке и замене а и Ъ принятыми выше обозначениями граничные условия обращаются в тождество, что является дополнительным (но не необходимым) контролем правильности всех проведенных выкладок,
Эпюры напряжений в горизонтальном сечении плотины показаны на рис. 11.14.
Следует отметить, что эпюра распределения касательных напряжений по горизонтальному сечению существенно отличается от известной из курса сопротивления материалов параболической эпюры. Формула для Оу по элементарной теории сопротивления материалов применима в рассматриваемом случае треугольного профиля.
233
§ 11.06. Чистый изгиб кривого бруса
Рассмотрим кривой брус с постоянным сечением в виде узкого прямоугольника и круговой осевой линией, изгибаемый в плоскости кривизны парами сил М9 приложенными по концам (рис. 11.15).
Так как изгибающий момент по всей длине постоянен, то, очевидно, напряжения не зависят от полярного угла 0 и можно использовать (9.29).
Условия, подтверждающие, что выпуклая и вогнутая поверхности бруса свободны от нормальных усилий, имеют вид
(ог)г=а = 0; (ог)г=ь = о. (а)
Условие на контуре (включая и торцовые сечения), где от*
сутствуют касательные усилия, имеет вид
*Г9 = 0. (б)
Граничные условия по торцам, выраженные в интегральной форме, имеют вид
Ь
J о9 dr = 0j | as rdr = — M. (в)
i а
Используя первое уравнение (9.29) и подставляя в него последовательно г=а и г=Ь, имеем
-А + В(1 + 21па) + 2С = 0;
аг
— +В( 1 + 2 In 6) + 2С - 0.
г»2
(г)
Первое из условий (в) после подстановки в него выражения для 09 оказывается тождественным с (г). Последнее условие имеет вид
234
или после интегрирования
А\п— — Вф2\пЬ — а2 In а) — (В + С) ф2 — а2) = М. а
При решении уравнений (г) и (д) получаем А =
(Д)
— а2Ь2\п —; N а
В =
т
N
Ф2-а2);
С = — [Ь2 — а2 + 2 Ф2 \nb — а21па)],
N
где обозначено
N = (Ь2 — а2)2 — 4а2 Ь2
Окончательно формулы для напряжений выразим в форме
4М / а2Ь2 b N \ г2 Т
+ Ь21п + a2 In —
оъ = —
— (_ 1ПА + &2 in — +
N \ '2 а Ь
+ a2 In — + Ь2 — а2у
Т Г0 = 0.
(11.04)
Эти выражения показывают распределение напряжений, удовлетворяющее всем условиям на контуре для чистого изгиба, и представляют собой точное решение задачи, если только распределение нормальных усилий по концам бруса следует выражению для ае.
Однако, как это уже отмечалось выше, если усилия, образующие изгибающую пару, распределены по концам бруса каким-либо иным образом, то на основании принципа локальности можно заключить, что отклонения от решения (11.04) невелики и ими можно пренебречь на расстояниях от концов, больших, чем высота сечения бруса.
В курсах сопротивления материалов также разбирается задача об изгибе кривого бруса, исходя из гипотезы, что поперечные сечения бруса остаются при изгибе плоскими. При этом нормальные напряжения в сечении распределяются по гиперболическому закону. Сравнение точного решения (11.04) с гиперболическим законом показывает относительно малую разницу между этими двумя решениями.
235
Точные решения задач о чистом, а также и о поперечном изгибе кривого бруса впервые даны русским ученым X. С. Головиным в 1881 г.
§ 11.07. Сила, действующая на острие клина
Рассмотрим характерные задачи, для решения которых совершенно исключаются возможности (хотя бы даже в качестве попытки первого приближения) применения к ним каких-либо элементарных решений из теории сопротивления материалов. Поэтому приводимые ниже задачи являются классическими в теории упругости.
Рассмотрим симметричный клин, показанный на рис. 11.16. Толщину клина в направлении, перпендикулярном к плоскости ху, примем равной единице. В направлении оси Ох протяженность клина бесконечна. На острие клина приложена сила Р, равномерно распределенная по толщине острия *. Случай потери упругой устойчивости из рассмотрения исключаем.
В этой задаче представляются абстракциями как «сила на острие», так и бесконечная протяженность клина. Однако, как это показано ниже (§ 11.11), пользуясь формальным решением такой абстрактной задачи, можно перейти к реальным задачам о действии непрерывно распределенных нагрузок и притом на тело с реальными граничными условиями (без острия, с конечной протяженностью и т- д.)
В рассматриваемой задаче, характерной для использования уравнений плоской задачи в полярных координатах, неприменимо также элементарное решение из сопротивления материалов.
Предположим сначала (но это окажется и окончательным), что происходит простое радиальное распределение напряжений, а именно допустим, что элемент С на расстоянии г от точки приложения груза испытывает простое радиальное сжатие в радиальном направлении, но тем меньшее, чем дальше удалена рассматриваемая точка С от острия и чем больше определяю--
* Это так называемая погонная сила; ее размерность — сила на единицу длины.
[пт
^т[ТП
-ху
Рис. 11.16. Случай нагрузки бесконечного клина силой на острие
236
щий ее радиус отклонен от линии действия силы. Иначе говоря, предположим, что
аг kP-^y-, (11.05)
где k — определяемый коэффициент.
Тангенциальное напряжение аз и касательное т,, в этом случае для упомянутого выше элемента С равны нулю. Докажем, что решение (11.05) является точным и что его можно вывести при помощи следующей функции напряжений:
kP a-Li
ф г 0 sin 0.
Y 2
Такая функция может быть функцией напряжений, так как
она удовлетворяет уравнению неразрывности (9.27), т. е.
V2 V2 Ф = 0, (а)
где
V2
д* . 1 д . 1 д2
дг* + г * дг г* ае5» в
Действительно,
дф , 1
кг Л
COS 0,
(б)
и при подстановке (б) в (а) получаем тождество. На основании (9.28) имеем
Эти уравнения совпадают с (11.05), чем доказывается, что уравнения равновесия в неразрывности удовлетворены. Проверим граничные условия: при 0 = ±а, т. е. на внешних наклонных гранях клина, никакие внешние силы не действуют. Действительно,
(Т/'о)в= ±а = (СГе)0=±а = 0-
Остается подобрать постоянную k так, чтобы удовлетворить условиям равновесия между внешней силой Р и внутренними силами по какому-либо сечению клина. Для этой цели сделаем сечение по цилиндрической поверхности радиусом г (рис. 11.16), Равнодействующая усилий, действующих по этой поверхности,
237
уравновешивает силу Р. Эта равнодействующая получается путем суммирования вертикальных составляющих (рис. 11.16):
ог (аЬ • 1) cos 0 = or rdQ cos 0,
действующих на каждый элемент ab по поверхности.
Итак, имеем
откуда
— 2 J ™s*-- rdQ = — /гР + -i- sin 2о^ = — Р,
О
k =
а + — sin 2а
Таким образом, окончательно
Р cos 0
sin 2а^
(11.06)
Для поперечного сечения тп имеем следующие компоненты напряжений, отнесенных к прямоугольным осям:
ау = о, sin2 0; ах = а г tos20;
'*2
Хху ar S'11 20-
Распределение указанных напряжений по сечению тп изображено на рис. 11.16.
§ 11.08. Другие задачи по нагружению клина
а) Если ось клина расположить горизонтально, а груз направить вертикально (рис. 11.17), то в этом случае применимо прежнее решение:
• г, cos 0
or = —kP ;
CTj = Tr9 — о,
(а)
но угол 0 следует отсчитывать от полярной оси х, направленной по силе. Тогда граням клина будут соответствовать углы
0, = —- 1 2
а и 0а = — + а.
Эпюра распределения радиальных напряжений по сечению г=Го=const изображена также на рис. 11.17.
238
Для определения величины к выделим по-прежнему цилиндрической поверхностью ro^const часть клина, прилегающего к вершине. Уравнение равновесия 2У = 0 примет вид
f (Wcos0d0 + Р = 0. (б)
Рис. 11.17. Решение задачи с клином
После подстановки (а) в (б), имеем
J APcos20d0 = Р,
откуда
k =
1
а — — sin 2а
Таким образом, окончательно
Р cos 0
of — j " ~
а — — sin 2а
(11.07)
(11.08)
ав = Тгц = 0.
Можно продолжить рассматриваемую задачу и установить выражения для напряжения в сечении, перпендикулярном к оси симметрии клина, которые окончательно (в декартовых координатах) имеют вид
Р
а — — sin 2а
ху2
(Xя + у2)*
X
tv
р
а — — sin 2а 2
х2у
(х2 + у2)2 '
(11.09)
239
На рис. 11.18 изображены эпюры напряжений оу и тху для сечения пгп (частный случай, когда а =’30°).
б) Для случая изгиба клина моментом (рис. 11.19) решение задачи легко выполняется, если принять функцию напряжений в виде
ф = Л0 + В sin 20.
Рис. и.18. Эпюры Од и \Хд по сече- Рш> ИЖ Эпюры аг и хг% для клина, нию т—п для клина с а=30° нагруженные моментом
Рис. 11.19. Изгиб клина моментом Рис. 11.21. Частный случай загрузки
клина
Использование этой функции напряжений доставляет такие
выражения для напряжении:
ог =
2 М
sin 20
(sin 2а — 2а cos 2а) г2 а, = 0;
М cos 29 — cos 2а г2 sin 2а — 2а cos 2а
(11.10)
Эпюры напряжений показаны на рис. П-20.
в) Для случая загрузки клина по одной грани равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 11.21) напряжения выражаются формулой, где р —угол при вершине клина,
240
Or = „ a a (P “ 6 - tg P Sin2 0 - Sin 0COS 0); tgP— P
o® = 2 (P — 0 — tg P cos2 0 + sin 0 cos 0);
• tg P — P
Гг8 = ■■■■/■ - (sin2 0 — tg p sin 0 cos 0). tgp — p
(11.11)
§ 11.09. Сосредоточенная сила, приложенная к точке прямолинейного края полубесконечной пластинки
Рассмотрим сосредоточенную вертикальную погонную силу интенсивностью Р, действующую на горизонтальный прямолинейный край пластинки (рис. 11.22), бесконечно простираю-
р
щейся вниз, влево, вправо. Такую пластинку называют полубесконечной, или упругой, полуплоскостью.
Распределение груза Р по толщине пластинки предполагается равномерным. Толщину пластинки примем равной единице. Для отыскания закона распределения напряжений можно использовать решение задачи о клине (§ 11.08), полагая угол растворения клина 2а = я. В таком случае
я
и потому
Or =
2 Р cos0 я г
(11.12)
Проведя горизонтальную плоскость тп на расстоянии х от прямолинейного края пластинки, определим нормальные и ка-
241
сательные напряжения для любой точки в этой плоскости по формулам перехода, а именно
ох = о r cos2 0 = —
2Р я
cos3 0 г
2 Р дг3 .
я (дга + #2)2
О р
ои = ar sin2 0 = sin2 0 cos 0;
яг
Ххи = sin 0cos 0 = — sin 0 cos3 0 = — — .
Ha рис. 11.22 показано распределение напряжений ах и хху по горизонтальной плоскости тп.
В точке приложения груза напряжения оказываются бесконечно большие, а потому под силой и в непосредственной бли-
а) V
Рис. 11.23. Линии равных радиальных напряжений
зости от нее неизбежны пластические деформации. Однако на некотором удалении от силы согласно известному принципу локальности приведенные выше формулы «упругого» решения практически пригодны.
Можно доказать, что если провести окружность произвольного диаметра d, касающуюся верхнего края в точке приложения внешней силы (рис. 11.23,а), то для всех точек этой окружности радиальные напряжения будут одинаковы и равны
аг = —Цг. (11.13)
я а
Для этих точек равны также и наибольшие касательные напряжения
(11.14)
242
Если обозначить ц наибольшие касательные напряжения на окружности диаметром d\y то на окружности диаметром d,2= — касательные напряжения будут иметь удвоенную величину, на окружности диаметром с?з = ^d\ — утроенную величину и т. д.
(рис. 11.23,6).
Из курса сопротивления материалов известно, что при оптическом методе исследования плоско-напряженного состояния в
Рис. 11.24. Сравнение экспериментального (а) и теоретического (б) характеров полос, подтверждающее совпадение результатов теории упругости с опытом
моделях из прозрачных материалов все точки модели, для которых наибольшие касательные напряжения равны между собой, ложатся на полосы той или иной окраски (изохромы) в зависимости от величины этого напряжения. В случае просвечивания модели на поляризационной установке при монохроматическом источнике света изохромы представляются чернобелыми полосами.
На рис. 11.24 дано сравнение теоретического и экспериментального характеров полос, из которого видно, что результаты теории упругости совпадают с экспериментальными данными (в данном случае с результатами поляризационно-оптического исследования).
Можно также проверить справедливость показанных на рис. 11.25 для рассматриваемого случая нагружения полуплоскости изоклин а, траекторий главных напряжений б и траекторий наибольших касательных напряжений в.
Как известно, изоклины представляют собой геометрическое место точек, направления главных напряжений в которых па-
243
раллельны. Траекториями главных напряжений (изостатами) называют кривые, касательные к которым совпадают с направлениями соответствующего главного напряжения, действующего в точках касания.
Рис. П.25. Изоклины (а), траектории главных напряжений (б) и траектории наибольших касательных напряжений (в)
§ 11.10. Деформации полубесконечной пластинки
от сосредоточенной силы
Продолжим решение рассмотренной выше задачи и определим перемещения. Используем формулы (9.24) — (9.26) и закон Гука. Подставляя в них (11.12), имеем
ди
2P cos 0 e
гг =
дг
nE r 9
и
1
dv
2P cos 0
г
т
rdd
^ nE r
Yr9= -
ди
гдв
dv + dr
v— = 0*.
r
Правая часть равна нулю, так как
244
Интегрируя первое из этих уравнений, находим
о р
U = COS 01п Г + / (0), (б)
лЕ
где f (0) является функцией только одного угла 0.
Подставляя полученное во второе уравнение (а) и интегрируя его, имеем
v = sin 0 -j—— In г sin 0 — Г / (0) dQ + / (г), (в)
лЕ лЕ J
где f(r)— функция одного только г.
Подставляя (б) и (в) в третье уравнение (а), получим, что
/(0) = -—^-^-0sin0 + Л sin 0 + В COS0;
f(r) = Сг,
(г)
где А, В и С — постоянные интегрирования, которые необходимо определить из уравнений связи.
Пусть связи полуплоскости таковы (рис. 11.22), что точки, лежащие на оси ху не имеют бокового перемещения, т. е. р = 0. Тогда найдем, что А = С = 0, и вертикальное перемещение точек, лежащих на оси х, равно
9 р
(ы)е=о= -—=^-1п г + В. (11.15)
Чтобы найти постоянную В, допустим, что некоторая точка, лежащая на оси х на расстоянии d от начала координат, не имеет вертикального перемещения. Тогда
B = — lnd. л Е
Для вертикальных перемещений по горизонтальному прямолинейному краю имеем выражение
<»>,
9 =
W ln d (1 + [i)P лЕ г лЕ
(иле)
§ 11.11. Прогибы прямолинейного края полубесконечной пластинки при частных видах загружения
Прогибы прямолинейного края пластинки легко найти для любого распределения нагрузки при помощи формул (11.15) —
(11.16), выведенных для случая сосредоточенной силы. Если ^ — интенсивность вертикальной нагрузки (рис. 11.26,а), то про-
245
гиб, возникающий в точке О на расстоянии г от заштрихованного элемента qdr нагрузки, согласно (11.16) примет вид
2q_ ЛЕ
dr In —
Г
1 4~ р л Е
qdr.
Полный прогиб в точке О
l+х 1+х
X х
(11.17)
6)
Рис. 11.26. Загружение граничной плоскости полубесконечной пластинки
а) Действие равномерно распределенной нагрузки,
случае q постоянно, и потому
1 + Р
В этом
ql.
пЕ
нагруженной части
1 + р
я£
ql.
Va = l^[{l + X)lnl+Г"*1" l]
Для точки, находящейся в пределах (рис. 11.26,6), получаем
7 + *1пт]
61 Обратная задача. Если задается уравнение прогиба прямолинейного края пластинки, то из (П-17) можно наити закон распределения нагрузки, вызвавшей такой прогиб.
Р Так в случае когда прогиб v постоянен по длине загруженной части Прямолинейного края (рис. 11.27), по решению Ml 171 1 которое будет уже интегральным уравнением, так как неизвестная функция q входит под знак интеграла) получаем следующий закон, установленный С. А, Чаплыгиным,- а затем М. Садовским:
(11.18)
Я =
71 Y а2 — X2
Наименьшее значение давления получаем при х = 0.
Р
Я min
л а
246
По краям жесткого штампа давление теоретически становится бесконечным.
Фактически бесконечно больших напряжений не происходит, гак как материал пластинки у краев штампа приобретает пластическое состояние или если края штампа закруглены.
в) Задача Штаермана. В контактной задаче граничный край пластинки предполагается идеально прямым. Однако в действительности даже при очень тщательной отделке пластинки последняя всегда имеет мельчайшие неровности, которые могут оказать существенное влияние на последующее распределение напряжений под штампом.
Таким образом, при решении контактной задачи следовало бы учитывать микроструктуру поверхности сминаемых тел. Так как в современной физике пока нет какой-либо законченной теории поверхностной структуры твердого тела, то И. Я. Штаерман *
Рис. 11.27. Задача Чаплыгина — Садовского о жестком штампе
Рис. 11.28. Решение задачи Штаермана
предложил оригинальное решение, основанное на том, что при нормальном давлении на поверхность упругого тела в нем возникают два вида перемещений. Одни получаются вследствие деформации всего упругого тела (в данном случае «упругой полуплоскости»), другие предопределяются поверхностной структурой данного тела.
Первые перемещения определяются дифференциальными уравнениями теории упругости, в частности уравнением (11.17). Для вторых перемещений делается предположение о том, что они в данной точке линейно связаны с местным давлением.
Граница упругой плоскости представляется схемой, указанной на рис. 11.28. Тогда вторые перемещения можно определить
* Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. Гостехиз дат, 1949.
247
по зависимости kq, где k — некоторый коэффициент, зависящий от поверхностной структуры упругого тела (являющийся в данном случае коэффициентом постели, известным из строительной механики в задаче о балке на упругом основании).
Прогиб граничного края для такой модели определяем по формуле
НИИ
Г I 2а О
параметра с =±-—
Для задачи о вдавливании плоского штампа в приведенном уравнении v0 следует считать постоянным, a q необходимо определить.
Исследование этой задачи позволило получить важные в практическом отношении выводы, представленные на рис. 11.29. На этом рисунке показаны графики давления q под штампом для различных значе-
JiL
kE
а именно с=0; 0,1; 1; 10 и с = оо.
Случай с = оо соответствует общепринятой теории штампа, в соответствии с которой при х = а давление q становится бесконечным. При конечных значениях с давление q остается ограниченным, и в предельном случае при с = 0 (случай несвязанного упругого основания по Винклеру) получается равномерно распределенное давление под штампом.
Рис. 11.29. Распределение напряжений под плоским жестким штампом при различных упругих характеристиках тонкого подстилающего слоя
§ 11.12. Влияние круглого отверстия (ослабления) на распределение напряжений в растягиваемой пластинке
Пусть имеем пластинку (рис. 11.30), подвергающуюся действию растягивающего усилия, равномерно распределенного по
торцам пластинки, так что а= -у-. На оси Ох пластинка имеет
небольшое круглое отверстие, которое влияет на распределение напряжений около ослабления, и, в частности, по сечению пг\П\ напряжения распределяются неравномерно с резко выраженной концентрацией около ослабления (точки тип).
Для решения этой задачи мысленно вырежем из заданной пластинки концентрическую окружность радиусом Ь и рассмот-
248
рим ее отдельно от остальной части пластинки. Если размер b значительно превышает размер а, то согласно принципу локальности напряжения по окружности радиусом Ь по существу мало
Щ -
ГпГ\ —~ 2а
Рис. 11.30. Растягиваемая пластинка, ослабленная отверстием
Рис. 11.31. Схема полных усилий, действующих на круговую пластинку (а); разложение полных усилий на компоненты (б); три группы напряжений (в), (г), (д), которые в сумме эквивалентны заданной схеме усилий
отличаются от случая, если бы выреза в пластинке не было совсем.
Таким образом, вместо расчета пластинки задачу сводим к расчету толстостенного кольца, изображенного на рис. 11.31,а,
24Q
где согласно известной формуле из сопротивления материалов (напряжения в косых плоскостях при чистом растяжении) p = acos0.
Воздействие по рис. 11.31,а можно разложить на компоненты, показанные на рис. 11.31,6, где
(or)r=b = Р cos 0 = a cos2 0 = — a (1 + cos 20);
j (*>
(тг8)г=£ = — p sin 0 — a sin 20.
В свою очередь эти компоненты можно перегруппировывать между собой, т. е. считать состоящими из двух частей. Первая часть — от действия постоянной по всему наружному периметру (рис. 11.31,б) составляющей, равной половине нормальных напряжений. Напряжения, возникающие под действием этой составляющей, можно определить при помощи выражений, полученных для задачи, приведенной в § 9.02, т. е. воспользоваться известным решением (9.16) и (9.17).
Вторая часть имеет нормальные составляющие (рис. 11.31,г)з
(ог)г=ь a = -i- о cos 20 (б)
вместе с касательными (рис. 11.31,(9)
(тг0г=ь = о sin 20
и вызывает напряжения, которые необходимо определить. Для этой группы внешних воздействий можно воспользоваться решением задачи, приведенной в § 9.05, а именно принять функ^ цию напряжений в виде
250
Присоединяя к ним напряжения от первой группы (рис. 11.31,в), окончательно получаем
0, = -^-^A--5LV-fi + 3jEi-44W0;| '
' 2 Ь*-а*\ г|Ут 2 \ г* г* )
а» = -|'(1+7')—f'O + ^")cos2G; (П.20)
т,з Т (l-37-+2-J)sln20.
Напряжение а и является наибольшим по концам диамет- ра тп и равно *
(^b)max =
I I
I 1
Рис. 11.32. Изостаты а и изохромы б, построенные по теоретическим исследованиям
Зная компоненты напряжений в каждой точке (11.20), можно составить выражения для главных напряжений и для наи¬
* Приведенный здесь вывод можно считать точным при —, устремляющимся к нулю. В таком случае по отношению к размерам ослабления пластинка является бесконечно большой, т. е, пластинка является упругой плоскостью.
251
больших касательных напряжений в тех же точках и провести их анализ.
На рис. 11.32,а показаны траектории главных напряжений (изостаты); а на рис. 11,32,6 — линии равных тШах. На рис. 11.33 изображены интерференционные полосы (изохромы), сопоставление которых с рис. 11.32,6 показывает совпадение вычислений в теории упругости с действительностью.
Большое количество задач на вычисление местных напряжений решено акад. Г. Н. Савиным [94]. Он рассмотрел случаи отверстий в форме эллипса, прямоугольника, правильного многоугольника; исследовал случаи изгиба плит со всевозможными отверстиями в плане и др.
Заметим, что именно в задачах о концентрации напряжений оказывается особо эффективной не рассматриваемая в настоящем учебнике моментная теория упругости, использование которой доставляет, как правило, меньшие значения для коэффициентов концентрации [94] по сравнению с расчетом по классической теории упругости.
Рис. 11.33. Характер интерференционных полос, полученный экспериментальным пу-
§ 11.13. Использование тригонометрических рядов для функций
напряжений
Рассмотрим решение задач через функции напряжений, сводящиеся к тригонометрическим функциям и рядам [35]. Возьмем, например, функцию
Ф = /(*/) sin а*, (11.21)
где f(y)— функция одной только ординаты у\
I — длина бруса, пг — любое целое число.
Подставляя (11.21) в (8.12), найдем следующее уравнение для определения f (у):
а»/' (у) - 2а2/" (У) +/IV(i/) = 0. (11.22)
252
Общий интеграл этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
/ (у) = Cj ch а у + С2 sh ay + С3у ch ay + С,у sh ay. (11.22a)
Зная функцию напряжений ф, можно определить напряжения ох, оу и тхУу а по ним выяснить поверхностные условия. Задаваясь различными значениями а, получаем решения для различных случаев нагружения балки по верхней и нижней горизонтальным кромкам распределенной нагрузкой, график изменения интенсивности которой изменяется по длине балки по синусоиде (с числом волн в зависимости от задаваемого значения а). Подобный метод можно использовать и для случаев прерывных нагрузок, если применять для этой цели ряды Фурье.
При решении задачи в полярных координатах аналогично указанному выше часто удобно принимать функцию напряжений в виде
Ф = /(r)sin0, (11.23)
где f(r)—функция радиуса г.
Подставляя (11.23) в (9.27), находим для f(r) выражение
f(r) = Ar3 + Br\nr + Cr + Dy. (11.24)
Можно применять также функцию напряжений в виде
Ф = Д0гсоэ0,
(11.25)
удовлетворяющую (9.27).
Зная функцию напряжений, при помощи (9.28) найдем выражения для компонентов напряжений. Так, объединяя (11.23) и (11.25), получаем
ог = (2Аг+ у — -^-)sin0 у- sin 0;
а, = (бАг + у + у-^ sin 0;
Xri = —(2Ar + y — -^-)sin0.
(11.26)
Наряду с (11.21), очевидно, можно принять функцию напряжений в виде
Ф = /(*/) совал:, (11.27)
где для f(y), конечно, остается прежнее выражение (11.22).
Так как т. входящее в формулу (11.21), — произвольное целое число, то, давая ему различные значения, получаем бесчисленное множество функций ф. Общее решение представляется
*
253
таким бесконечным рядом:
ср= U ^Clsh^-y+Cich-^-y + C9ysh-^-y +
п= I
п— оо
+ C4t/ch —pf/j sin лг + 2 [c6sh^L^ +
/2=1
+ Ce ch -2L у + C,£/sh + csych y] cos J2-x. (11.28)
Успешное применение тригонометрических рядов для расчета неразрезных балок-стенок и рандбалок изложено в [35]. Используя (11.28), мож- 9
но успешно решать ука- . . iN гг\ТТП1
занный ниже пример . ' ! » 1 ! ' т т ! ! т 1 т 1 т ! ' 1 (рис. 11.34). Вследствие симметричности деформации (а следовательно, и симметричности напряжений ох) относительно оси у достаточно принять вторую часть ряда (при
пп v
множителе cos — х), но
для удовлетворения всем условиям на контуре необходимо добавить еще полином второй степени в виде
D,x2 + D2xy + D3y2.
Для указанного слу-
чая получены следующие ]Ш Многопролетная балка.стенка выражения для напряжений:
п= оо
сх = — 2q ^ е-ад{\ — а у) cos ах\
' /2=1 /2 = 00
°у = “ 2<? £ е'аи(1 + cosax~q’\ (И.29)
П=1 /2=00
тх1( = — 2? £ e-w (аг/) sin ал:,
1
\ ;
1
1
U4
ь
£ 1
/2=1
где
254
На рис. 11.35 показан один из средних (обследуемых) пролетов балки-стенки, имеющей бесконечное число пролетов. Здесь же изображены эпюры ах и ау.
Рис. 11.35. Эпюры ох и о у в балке-стенке для частного случая h=2l
Ряды в (11.29) оказываются сходящимися быстро, за исключением рядов для определения напряжений в точках, расположенных вблизи нижнего края балки-стенки (при малых у),
ЛИТЕРАТУРА
М. [91. [35], [45], [52], [57], [67], [75],
[79], [95], [115].
12
ГЛАВА
ПРОСТЕЙШИЕ СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 12.01. Полярно-симметричная деформация толстостенного
сферического сосуда
При решении простейших задач, когда многие компоненты напряжений и деформаций отсутствуют, можно не использовать общие уравнения теории упругости (в перемещениях или в напряжениях). Все необходимые стороны исследования (геометрическую, физическую и статическую) можно выполнить непосредственно применительно к рассматриваемому частному случаю и выразить эти уравнения в системе координат, наиболее удобной для данной задачи.
К такому случаю можно отнести задачу об упругом равновесии сферического сосуда.
- Представим себе шаровой сосуд, подвергающийся действию внутреннего и внешнего равномерных давлений. Пусть а и Ь — соответственно внутренний и наружный радиусы шара (рис. 12.01), а ра и рь — внутреннее и наружное давления газов.
Статическое обследование. Вырежем для исследования бесконечно малый элемент двумя парами взаимно перпендикулярных меридиональных сечений и двумя концентрическими сферическими поверхностями (рис. 12.01, в). Действие отброшенных частей сосуда заменим тангенциальными ои ог и радиальными ог напряжениями. Так как в рассматриваемом случае подобно задаче о равновесии толстостенной трубы (§ 9.01) напряжения зависят только от текущего радиуса г, то напряжения по двум бесконечно близким друг к другу концен¬
256
трическим поверхностям отличаются на величину — dr = dar
и не зависят от угла 0 — параметра, определяющего местоположение рассматриваемого элемента. Проектируя все силы на нормаль к элементу, имеем уравнение равновесия в виде
— о, (rd%) (rdcpj + (о, + do') (г + dr)2 d% — о, (rdrdq>2) d<pt —
— ог (rd<p, dr) d(pz = 0.
Имея в виду равенство ot = oz и производя сокращения, полу* чаем уравнение равновесия:
2(о, —<д + г-^ = 0. (12.01)
2
Рис. 12.01. Полярно-симметричная деформация толстостенного сферического сосуда
Геометрическое обследование. Из рассмотрения перемещения и формоизменения элемента (рис. 12.01, б) получаем, что относительное тангенциальное удлинение выражается так:
(r + u)dq>t— rdyt __ и rdcpt
г
(12.02)
257
а относительное радиальное удлинение
„ _ (u + du) — (и) du
Ьг = =
dr dr
(12.03)
Физическое обследование. Зависимость напряжений от деформаций при помощи 'закона упругости в данном случае имеет вид
6/ = + гг — -у [ar — \i(ot + o2)].
Напряжения через деформации (учитывая равенства et = ez и Ot = oz) выражаются так:
°г “
1 — \i — 2р2
Е
1 — р ■— 2(ыа
(е, + цег);
[2це, + (1—ц)ег].
(12.04)
Теперь обобщим полученные результаты. Данные геометрического обследования используем для преобразования полученных физических зависимостей, т. е. подставляем (12.02) и
(12.03) в (12.04) и получаем
Е Г и - du 1
0'“7=7-^?l з +
О, 51
1 — р — 2р2 [_ Г г .dr J
(а)
(б)
Выражения (а) и (б) подставляем в уравнения статики
(12.01) , но для этого используем величину входящую в
(12.01) . Дифференцируя (б), имеем
dar
dr
Е
1 — р — 2р2
2р
+ 0 — и)
(в)
Подставляя (а), (б), (в) в (12.01), получаем
£ /2.2ц— + 2(1— ц) — — 2- 2ц — - +
1 — ц — 2ц2 1 ^ г V dr г * dr ^
+ 2ц -f- - 2ц JL + (1 _ ц) = 0
dr г г dr2 )
258
или после соответствующих сокращений
сРи , 2_ du 2 —
dr2 г dr г2
(12.05)
Выражение (12.05) представляет собой уравнение, характеризующее все три стороны исследования (геометрическую, физическую и статическую).
Общий интеграл дифференциального уравнения (12.05), как известно, имеет вид
ы=-£+Бл
Действительно, дифференцируя (12.06), находим
du 2А . сРи 6А
dr г3 ’ dr3 г4
(12.06)
(г)
Подставляя (12.06) и (г) в (12.05), имеем тождество
Подставляя (12.06) и (г) в (а) и (б), вместо дифференциальной формы выражения для напряжений получаем в алгебраической форме
I-/-V ^-('-ад-МО + ю]; (д)
!-Д». [—+ (е)
Постоянные интегрирования А и В определяем из поверх- . ностных условий, а именно
(°г)г=а = —ра и (Or)r=b = ~ рь.
Подставляя эти выражения в (е), имеем
откуда
.-„I», {--g-a-iw+aa+rt} тг^5-{—^o-^+eo+i*)}
^ _ (Ра — Рь) a3b3 (1 — ц — 2ц2)
2Е (I — 2ц) (Ь3 — а3) g __ (PflQ8 — Phbs) (1 — Ц — 2fx2)
f(l+M)(63-a3)
Pa>
Рь>
(ж)
259
Подставляя (ж) в (д) и (е), окончательно имеем 0 а»(2г*+Ь«) Ь*(2г3 + а3)
1 Иа 2r*(b* — a3) Vb 2г3 (Ь3 —а3) ’
а =р а3 (г8 — Ь3) , Ь3 (а3 — г3)
' Г®(6» —О») а8) *
(12.07)
Для случая одного внутреннего давления ра наибольшее растягивающее тангенциальное напряжение на внутренней поверхности сосуда (при г—а) равно
шах о, = ра
2а* + Ь3 2 (Ь* — а3) '
а минимальное на наружной поверхности (при г—Ь)
min at = ра
За3 22 (Ь* — а*)
Неравномерность распределения напряжений характеризуется отношением
max ot 2 + р3
min ot 3 *
где
При (3 = 3
т) = 9,67.
По существу приведенное здесь решение задачи теории упругости получено путем применения метода перемещений.
§ 12.02. Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограничивающую полубесконечное тело
В § 11.10 рассмотрена задача о распределении напряжений в полубесконечной пластинке от сосредоточенной силы, приложенной на внешнем крае. Аналогично этой плоской задаче решается и трехмерная задача — задача Буссинеска.
Пусть плоскость z = 0 является гранью полубесконечного сплошного тела (т. е. это тело имеет безграничное простирание вниз, в глубину, и бесконечное же простирание в ширину). Пусть на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р на оси z (рис. 12.02).
260
Очевидно, в таком полубесконечном теле, иначе называемом упругим полупространством, напряжения в теле по мере удаления от силы Р убывают быстрее, чем в полубесконечной пластинке.
Для радиального напряжения можно принять в качестве первой попытки такое выражение:
оц = -кР-2у~. (12.08)
Рис. 12.02. Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограничивающую полубесконечное тело
Для цилиндрических координат по формулам перехода полу* чим
Учитывая, что
аг = or cos2 0; х,г = -i- о* sin 20.
(12.09)
cos 0 = sin 0 = -j-\ -у sin 20 = -у и /2 = z2 + r2,
имеем
o, = -kP^- =-kP*-i
(12.10)
cos 0
sin 2 Q = —kP—.
/2
(12.11)
261
Для определения входящего в последние формулы коэффициента к составим уравнение равновесия по какому-либо горизонтальному сечению z = a*.
Для элементарной площадки в виде бесконечно тонкого кольца шириной dr и радиусом г имеем элементарную внутреннюю силу
ozdF = 2 лаг г dr.
Со всех таких элементарных площадок, т. е. со всего сечения 2=а, имеем сумму внутренних усилий
ОО 00
2я Г ог rdr — — 2яkPz3 J г<^ ■. (а)
о о
Так как /2= (z2+r2), то, дифференцируя, имеем
21 dl = 2 rdr.
Таким образом, выражение (а) примет вид
—2яkPz3 = — 2nkPz3 -£^- =
_ _3
= —я kP.z3(z2 + r2) 2
3
со
2- яkP.
3
I)
Из уравнения равновесия по сечению z = a (сумма проекций на ось z) получаем
— — nkP + P = 0,
3
откуда
По выражениям (12.10) и (12.11) получаем точное решение задачи, что можно доказать путем использования функции напряжений. Выполнение этой операции позволит определить также и другие компоненты напряжений (os, Or)-
На основании (10.13), (10.14) и (10.21) для функции напряжений примем следующее выражение:
Ф = C^lnr + С2(г2 + z2)2 + Cszln j, (а')
1 * Можно, конечно, определить коэффициент k аналогично задаче с упру¬
гой полуплоскостью, если собирать давления с полусферы, вырезанной около точки приложения силы.
262
удовлетворяющее условиям неразрывности и равновесия, что доказано выше (§ 10.04). Используя (10.11) и (а'), имеем
*гг = С2 [— (1 — 2р) г (г2 + г2)~ ~ — Згг2 (г2 + г2)- Т1 +
_ _3_ 5_
+ С3[-4рл(л2 + г2) 2 +6 гг2(г2 + г2) *]; (б')
5
ог = С* I— (1 — 2р.) г (г2 + г2) 2_3г3(г2 + г2) 2]+
+ С8 [— 4цг (г2 + г2) 2 + 6г3 (г2 + г2) 2]. (в')
Так как на поверхности, т. е. при г=0 тГг=0, то из (б') следует
с3 L^LCa. (гО
Условие (02)2=0=0 согласно (в') удовлетворяется. Из приведенного выше условия равновесия по сечению z=a получаем
= И —• (д')
Я
На основании (г7) имеем
с.—(а')
4л
При подстановке (д') и (е') в (б') и (в') после сокращений окончательно получаем (12.10) и (12.11).
На основании (10.11) имеем
о, = + С, [(1 - 2ц) г (г2 + г2) 2 - Зг2г (г2 + г2)" т] +
+ С8 [-^-(''2 + г2) 2 +4(1+ц)г(г24-л2)-*2 —
,3 _ JL _5
“ 2 (Г2 + Z2) 2 - 6г3 (/*+ 2аГ 2 ].
Для бесконечно удаленных точек (внизу) при 2=00 имеем ог=0. Из этого уравнения получаем соотношение
Ct = — 2С3 = —~ 2ц Р.
2л
Аналогично можно найти выражение и для ав.
263
Окончательно формулы для напряжений примут вид
= 3 Р Z3
2 2 я Р
I— 2ц
Р Г 1—2ц Згг2 1
' 2я [ /(/ + г) J’
at = (1 — 2ц) Г— 1 ];
2я ' L Р Ц1 + г) J
= —
ЗР гУ 2я Р
(12.12)
Для определения перемещения используем (10.02). Компонент смещения вдоль радиуса г равен
“ = е«Г = Т[<Г® “14 (а'+ а*)]-
(б)
После подстановки в (б) выражений (12.12) и их преобразования получаем
Р
и —
4я G
Г— (1 — 2ц)—т— 1.
L Р v P + lz J
При /=оо, как и следует ожидать, ы=0. На основании (3.08) -^- = ег = -j 1ог — ц (а, 4-00)],
откуда
иу =-i-J [о2 — \i(or + oe)]dz +f(r). (в)
После подстановки в (в) выражений (12.12) и их интегрирования, учитывая также очевидное положение, что шг=0о = 0, из (в) получаем
,и=о""4['
2(1 — Р) I .
(12.13)
Для вертикальных перемещений точек на граничной плоскости 2=0 для так называемой «дневной поверхности» получаем выражение
©г=о
Я(1 —и3) я Ег
(12.14)
У начала координат, как и для плоской задачи, перемещения и напряжения становятся бесконечно большими *, и потому,
* Если, однако, площадку действия силы Р считать не равной нулю (см. § 12.03), то бесконечно больших давлений и перемещений не получим.
264
*
чтобы избежать принципиальных затруднений при применении указанных выше выражений, необходимо представить, что у начала координат в области пластических деформаций материал вырезан полусферической поверхностью малого радиуса, а сосредоточенная сила Р заменена статически эквивалентными
усилиями, распределенными по этой поверхности.
Можно доказать следующие особенности распределения напряжений в упругом полупространстве от сосредоточенной силы.
Полное напряжение в любой точке горизонтальной площадки (т. е. равнодействующая напряжений az и тrz, см. рис. 12.03) направляется к началу координат и равно
Рис. 12.03. Схема для вычисления полного напряжения на горизонтальной площадке
3Р cos2 0
2я” Т2 ‘
Если затем очертить произвольным диаметром d сферу, касающуюся граничной плоскости в той же точке О, то по всем горизонтальным площадкам, размещенным на поверхности этой сферы, полные напряжения одинаковы и равны
Р =
3 Р 2nd2
(12.15)
§ 12.03. Частные случаи загрузки упругого полупространства
Равномерная загрузка по площади круга. Имея решение для сосредоточенной силы, действующей на плоскую грань упругого полупространства, нетрудно найти перемещения и напряжения, возникающие под действием распределенной нагрузки, если применим принцип сложения действия сил.
Пусть нагрузка общим весом Р равномерно распределена на дневной поверхности полубесконечного тела по площади круга радиусом а. Интенсивность нагрузки ;
Р
Составим выражения для перемещения точки С, находящейся на «дневной поверхности», но в пределах загруженного круга (рис. 12.04).
Проведем через точку С секущую MCt а в бесконечной близости другую —MiC и рассмотрим влияние на прогиб точки С
265
нагрузки, расположенной на элементарной площадке, заштрихованной на рис. 12.04. Эта площадка равна dF=sdydst а нагрузка на нее
dP = q dF = qs dcp ds.
От такой нагрузки точка С опускается согласно (12.14) на величину
т. е.
dw =
dP (1 — |ха)
я Es
dw =
-——qdsdy. пЕ
Полное перемещение точки С от всей нагрузки определим интегралом
w = ^ - q Г ds
я Е
Из рис. 12.04 ясно, что взятый по всей длине секущей интеграл составит
ps = s = 2/a2-r2sin2 ф, (б)
тогда окончательно
Л
2
w = 4q -й-ШИ-L Г У а2 — r2sin2(pdcp. (12.16)
я Е J
о
Для «прогиба» в центре круга, т. е. при г—0, имеем
w0
2iL-rJLqa=li}T^LP'
- Е паЕ
(12.16а)
Таким образом, при определенной величине а исчезает бесконечность, получаемая по формуле (12.14).
Для прогиба точек, лежащих на контуре загруженного круга, т. е. при г=а, получаем ** Отношение перемещений двух характерных точек составляет
266
Перемещения точек, лежащих внутри загруженного круга, но не в его центре, можно вычислить на основании (12.16) при помощи таблиц эллиптических интегралов.
Рис. 12.04. Равномерная загрузка Рис. 12.05. Загрузка упругого полу- упругого полупространства по пло- пространства по «полушару» щади круга
Загрузка на площади круга по «полушару». Рассмотрим случай, когда на площади круга радиусом а расположена нагрузка в виде «шапки» (рис. 12.05). В любой точке загруженной территории интенсивность нагрузки пропорциональна ординате полусферы, имеющей радиус а и основание, которым является площадь круга.
Интенсивность нагрузки в любой точке согласно обозначениям (рис. 12.05) равна
q = kyKp* (в)
Здесь г/кр —ордината круга, имеющего радиус а\ k — коэффициент нагрузки, т. е.
k =
За
а
267
где q0 — наибольшая интенсивность нагрузки (т. е. в центре загруженной территории); q0 можно выразить через общий вес
Для вычисления перемещения точки С, поступая аналогично предыдущему примеру, имеем
В данном случае интенсивность q, очевидно, нельзя вынести за знак интеграла.
Выясним геометрический смысл последнего интеграла. Из рассмотрения рис. 12.05 следует, что
где Q — площадь эпюры нагрузки на длине s.
Но, так как, рассекая сферу любой плоскостью, в разрезе всегда получаем круг, то и в данном случае, рассекая нагрузку, в общем изображаемую полушаром, в разрезе получим «полукруг» (этой фигурой в разрезе будет полуэллипс). Таким образом, 1
где k — коэффициент, позволяющий перейти от геометрического полукруга к нагрузке q [см. (в)]. Итак,
^ qds = £2,
или на основании (б)
Теперь для полного перемещения точки С имеем
2
w = 2 Г — (а2 —г2 sin2 ф) dy.
пЕ J а 2 о
После интегрирования получаем
W = w0 РЛ
- 12.17)
268
w0 = -j- k,n2q^i; (12.18)*
P=-T^<?o; (12.19)
^ = -Ц£-. (12.20)
л E
Если радиус изогнутой поверхности граничной плоскости будет велик по сравнению с радиусом загруженного круга (а это так обычно и бывает), то выражение (12.17) можно практически считать уравнением некоторой сферической поверхности.
Обратная задача. Очевидно, можно решать и обратные задачи, когда задано уравнение изогнутой дневной поверхности и требуется найти уравнение нагрузки, вызвавшей такую деформацию.
Возьмем, например, абсолютно жесткий штамп в виде круглого цилиндра, вдавливаемого в плоскую грань упругого полупространства.
В этом случае перемещение w для всех точек является постоянным по круглой подошве штампа; распределение давлений не будет постоянно и определяется в результате решения интегрального уравнения
1 — Ра
пЕ
J j*qdsdy
= w0 = const.
При решении такого уравнения получаем результат (задача Чаплыгин а—С а довского):
Q =
Р
2ла ^а2—г2
(12.21)
где Р — полная нагрузка на штамп; а — радиус штампа;
г — радиус круга, на который действует давление q.
Это распределение неравномерно, и наименьшее его значение в центре (г = 0), где
= - о 2 > (12.22)
Выражению (12.18) можно придать такой вид
3(1 —р2)
4 Еа
Щ = '
- Р.
Сравнивая последнее выражение с (12.16а), получаем, что при замене нагрузки по полушару равномерно распределенной нагрузкой по площади того же круга окончательный результат для прогиба в центре нагружения изменяется незначительно, уменьшаясь >в 3/4 : 2/л«1,19 раза.
269
т. е. наименьшее давление равно половине среднего давления по круговой площади подошвы штампа.
На контуре этой площади (г = а) давление становится бесконечно большим. В действительности на контуре в таком случае штампа всегда происходит текучесть. Однако эта текучесть носит местный характер и не оказывает существенного влияния на распределение напряжений в точках, находящихся на некотором расстоянии от контура круга.
Перемещение штампа определяется формулой
w0
Р( 1-^2)
2 Еа
(12.23)
Заметим, что если подсчитать среднюю величину деформации в случае равномерного распределения давлений, то получим величину, мало отличающуюся от величины перемещения абсолютно жесткого штампа, а именно
^ср =
а
J w2nrdr о
л а2
= 0,54
Р( 1-Ц2) аЕ
Если предположить, и это более вероятно, что края штампа имеют некоторое закругление, как это показано на рис. 12.06, а, то распределение напряжений у краев штампа может сущест-
Рис. 12.06. Распределение напряжений под круглым штампом в зависимости от смягчения профиля закраины (по Штаерману)
венно измениться. Такая сложная контактная задача была впервые поставлена И. Я. Штаерманом, который получил результат, показанный на рис. 12.06, б. В частности, это решение свободно от бесконечно больших напряжений, не имеющих реального значения. На приведенном графике k = a/b. Очевидно, что распределение напряжений (в основном у закраин) зависит также от их кривизны.
270
§ 12.04. Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое
полупространство
Представим себе, что на упругом полупространстве находится жесткий шар радиусом R (рис. 12.07). Если нет давления на этот шар и исключить влияние собственного веса, то касание шара с граничной плоскостью полупространства происходит в точке. На расстоянии г от точки касания, незначительном по сравнению с R, зазор между шаром и граничной плоскостью можно, как известно, с достаточным приближением определить по формуле
Если к шару приложить нагрузку, нормальную к первоначальной граничной плоскости и проходящую через центр шара, то вследствие упругости полупространства граничная плоскость изогнется и шар опустится, как это показано на рис. 12.07, б.
Вследствие симметрии деформации относительно оси, совпадающей с направлением силы, площадка контакта шара с де- формированной граничной поверхностью упругого полупространства, очевидно, представит в плане круг некоторого радиуса а. Закон распределения давления под шаром не известен и его нужно определить.
Очевидно, эпюра этого давления представит фигуру, сим- метричную относительно оси, совпадающей с силой.
271
Для вычисления прогиба какой-либо точки С упругого полупространства, лежащей в пределах площадки контакта, можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям, описанным в предыдущем параграфе (см. рис. 12.04).
Так, проведя через точку С в плане бесконечно близкие секущие СМ и СМ 1, вычислим нагрузку, приходящуюся на бесконечно малую площадку dFy отстоящую на расстоянии s от точки С. Если напряжение смятия у этой площадки обозначим q, то элементарная сила на площадке dF составит
dP = qdF = qs dcp ds. (6)
Влияние этой элементарной силы на опускание точки С определится согласно (12.14) так:
dP( 1 — jhi2) nEs
или после подстановки (б)
q dy ds ^ лЕ
Влияние на прогиб рассматриваемой точки С всех элементарных давлений со всей площади контакта шара и упругого полупространства определим интегралом
w = ki j | q d(f ds, (в)
где, по-прежнему,
В выражении (в) неизвестными являются w и функция распределения давления q. С другой стороны, из чисто геометрических соображений, так как шар не деформируется, следует (рис. 12.07), что
W — W0 — Wit
где Wo — опускание шара (и одновременно прогиб полупространства) в центре касания;
ш, — первоначальный зазор между шаром и граничной плоскостью.
На основании (а) имеем
w — w0 — {^Л (д)
где
Р.=
2 R
Уравнение (д) выражает условие, что упругая поверхность полупространства представляет под шаром часть поверхности этого шара. Объединяя (в) и (д), имеем
(12.24)
ki j ^qd(fds — w0 —
272
В выражении (12.24) неизвестная функция q входит под знак интеграла и, следовательно, (12.24) является интегральным уравнением. Но такое же уравнение имеется в предыдущем параграфе, где, наоборот, известна нагрузка (она задана по «полушару»), а определяется характер изгиба граничной плоскости.
На основании сходства правых частей (12.24) и (12.17) заключаем, что эпюра распределения давления по площади контакта представляет полушар. Таким образом, если давление в центре контакта обозначим qо, то на расстоянии г от этого центра давление составляет
Я = Чо Y (12.25)
а при г=а (на контуре круга касания) равняется нулю.
Все выражения из § 12.04 относятся и к данной задаче, т. е.
1 1 О Q
wo = —MV*, -т— <7o = Pi.
2 4 а
р = ir5laV
(12.26)
Решая (12.26) относительно a, q0 и ш0, имеем
, 1 f Зя kYP #
V 8 р, *
(12.27)
(12.28)
=1Y
(12.29)
§ 12.05. К задаче об упругом смятии шаров
Представим, что абсолютно жесткий шар радиусом Rt находится на упругом теле сферической формы, имеющей очень большой радиус R2, и в дальнейшем подвергается действию силы Р (рис. 12.08). При вычислении глубины вдавливания, радиуса площадки контакта и наибольшего напряжения смятия под этим шаром можно использовать формулы (12.27) — (12.29), введя вместо прежнего значения Pi новое значение р2, определяемое выражением
Р2 =
1 + 1
2/?,
2R.
(12.30)
Последнее выражение следует из зависимости, составляемой для выбираемого первоначального зазора wx в случае касания
273
двух сферических тел (рис. 12.08), а именно в данном случае имеем
до, =
+
= №.
2 Я, 2 R2
Таким образом, при вдавливании жесткого шара в бесконечную» сферу получаем
Чо
щ-]/
Г Зл
р.
4
Я, + Я, ’
6
(Ri + R'i)2 n.
nbk2{
R\R22 ’
R\ + #2 П2
16
RlR2
«ПОЧТИ
(12.31)
(12.32)
(12.33)
Рис. 12.08. Вдавливание абсолют- Рис. 12.09. Упругое
но жесткого шара в упругую почти смятие шаров бесконечную сферу
Формулы (12.31) — (12.33) практически можно употреблять лишь в случае, если радиус площадки смятия а весьма мал по сравнению с радиусом сферы /?2, вследствие чего последнюю можно при небольших размерах вдавливаемого шара считать полубесконечным телом, закон деформации которого был положен в основание вывода формул (12.27) — (12.29).
Если теперь представить случай двух упругих почти бесконечных сфер, взаимно вдавливаемых силами Р (рис. 12.09), т. е.
274
верхнюю сферу считать не абсолютно жесткой, а способной деформироваться, то в этом случае можно воспользоваться выводами предыдущей задачи (12.31) — (12.33). При этом необходимо ввести изменение в коэффициент, зависящий от упругих свойств материалов, т. е. вместо k\ подставить
Здесь Е\ и \i\ — упругие характеристики материала верхней сферы;
Е2 и р2 — упругие характеристики материала нижней сферы.
Возможность такого применения формул (12.31) — (12.33) следует из тех соображений, что в данной задаче ввиду деформаций обеих сфер исходное уравнение деформации (12.24) выражается в виде
Уравнение (12.35) после введения обозначения (12.34) приводится к виду (12.24) с заменой k\ на k.
Так как при сжатии упругих шаров радиус площадки смя: тия оказывается очень малым по сравнению с радиусами самих шаров, то рассмотренную задачу о сжатии двух почти бесконечных сфер можно практически использовать и в задаче об упругом сжатии шаров (задача Герца). Итак, при сжатии шаров имеем
k — ‘-j—
(12.34)
где
kx j*J qd<pds -f k,. JJ qdyds = w0 — pr*. (12.35)
(12.36)
<?o =
6 + ,
Я6 (ft, + ft2)2 r2
(12.37)
(12.38)
Зная закон распределения давления по поверхности контакта, можно перейти к вычислению напряжений внутри шаров, используя для этой цели (12.12) и применяя принцип наложе-
275
Практически важное значение имеет нахождение внутри сжимаемых шаров точек с наибольшими касательными напряжениями.
Исследование этого вопроса * позволяет сделать вывод, что точка, где касательное напряжение является наибольшим, лежит на оси z на глубине, равной примерно половине радиуса поверхности касания. Эту точку и следует рассматривать как самую опасную (в свете третьей теории прочности) для таких пластичных материалов, как сталь. Наибольшее касательное напряжение в этой точке (при р, = 0,3) составляет примерно 0,31 ft.
Из (12.36) — (12.38) следует, что радиус площадки смятия, взаимное вдавливание и напряжения смятия не находятся в линейной зависимости от силы Р. При увеличении силы Р напряжения и деформации шаров возрастают медленнее, чем эта сила.
Таким образом, в контактной задаче принятие в основу исследования линейной зависимости между компонентами напряжений и компонентами деформации в каждой точке упругого тела (обобщенный закон Гука) вызывает нелинейную зависимость между силой и перемещениями.
Более сложные контактные задачи теории упругости (общий случай касания поверхностей второго порядка, учет сил трения по площадке контакта и т. д.) решены в ряде работ советских ученых: Н. И. Мусхелишвили, А. Н. Динника, Н. М. Беляева, А. И. Лурье, Л. А. Галина, Н. А. Кильчевского, Д. В. Вайнбер- га, В. М. Макушина.
Большое количество сложных пространственных задач теории упругости с широким использованием методов тензорного исчисления имеется в книге В. И. Блоха «Теория упругости», Харьков, 1964.
ЛИТЕРАТУРА
[9], [19], [26], [341, [57], [79], [104], [115], [120].
•Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Гостехиздат, 1950, стр. 151,
13
ГЛАВА
ПРОСТЕЙШИЕ ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ * ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ)
§ 13.01. Чистое кручение стержня круглого поперечного
сечения
К числу задач теории сопротивления материалов, оправдываемых точным решением теории упругости, относится, как указано выше (§ 11.01), и задача о чистом кручении стержня, когда его поперечное сечение круглое или кольцевое. Для этого случая (рис. 13.01) в сопротивлении материалов, как известно, имеется выражение для напряжения:
где Jр = | г2 dF — полярный момент инерции сечения:
F
М2 — величина крутящего момента; г — расстояние от оси стержня до рассматриваемой точки.
Касательное напряжение, согласно' (а) действующее в поперечном сечении, имеет направление, нормальное к радиусу. Прочие составляющие напряжений отсутствуют.
Раскладывая напряжения (а) на слагающие, параллельные осям Ох и Оу, находим (рис. 13.01):
хХ2 = — т sin а, хуг = т cos а, (б) *•*• Название «обратносимметричные» отражает то, что в рассматриваемых здесь простых задачах имеются плоскости, проходящие через ось стержня, по отношению к которой распределение напряжений по одну и другую сторону является именно обратносимметричным.
277
где
Таким образом,
где
sin а = —;
cos а = —,
Г
г
£
II
1
1уг = kX,
(в)
k =
мг Jp '
(г)
Так как напряжения (в) являются функциями не выше первой степени от координат точки, то данная задача относится к простейшим, т. е. уравнения неразрывности деформаций
Рис. 13.01. Случай чистого кручения
(3.09) при этом автоматически удовлетворяются; поэтому придется удовлетворить только уравнениям равновесия (3.04) и контурным условиям. Подставляя (в) в (3.04), находим
X = Y = Z = 0,
т. е. напряжения (в) возможны при условии отсутствия объемных сил (например, собственного веса стержня).
Рассмотрим условия на поверхности стержня. На боковой поверхности всюду cos (vz) =0. Затем
cos(vx) = cos а =
278
cos (vy) = sin a = -y-.
Подставляя (в) в (2.05), имеем
т. е. боковая поверхность свободна от нагрузки. На концевом поперечном сечении имеем
cos(va;) = cos (vy) = 0, cos (vz) = 1.
Таким образом,
следовательно, здесь приложены только касательные напряжения.
Равнодействующая концевых усилий равна нулю. Это мож* но проверить, если проинтегрировать выражения
так как начало координат помещено в центре тяжести сечения. Момент крутящей пары вокруг оси Oz равен
что согласуется с (г).
Применяя остальные уравнения теории упругости, решение рассматриваемой задачи можно продолжить и показать, что при кручении круглого бруса любое его поперечное сечение остается при деформации плоским, не выходит из своей первоначальной плоскости, т. е. не искривляется, и все точки поперечного сечения, перемещаясь в этой плоскости, не депланирует, а поворачивается, как одно целое, и контур сечения не деформируется.
Если один из концов стержня, например нижний, тем или иным образом закреплен от поворота (например, приварен к опорной плоскости), то, очевидно, это не изменяет приведенного выше закона распределения напряжения. Реактивный момент в опорном закреплении равен значению того момента, который как внешний (активный) показан на рис. 13.01. И так как поперечные сечения при кручении стержня круглого сече¬
и учесть, что статические моменты равны нулю:
J xdF = j* ydF = 0,
F
F
Мг = J(— тхгy-\-ry2x)dF = k^ (у2 + x2)dF = kJp,
279
ния не депланируют, то происходит свободная деформация опорного сечения и его окрестности (отсюда и название такой задачи как чистое, т. е. свободное кручение).
§ 13.02. Кручение некруглых сечений. Задача Сен-Венана
При рассмотрении кручения стержня круглого сечения (§ 13.01) установлено, что поперечные сечения поворачиваются как одно целое и при этом остаются плоскими. Как показывает опыт, при кручении некруглых сечений поперечные сечения стержня непременно ис- у
кривляются. Нетрудно показать, что предположение о неискривляемо- сти таких сечений находится в противоречии с законом о взаимности касательных напряжений *.
Неприменимость гипотезы плоских сечений в задаче о кручении некруглого сечения в свое время приводила к явно нелепым результатам. Ниже изложено решение Сен- Венана (1855 г.), по которому поперечные сечения при кручении искривляются, но предполагается, что перемещения точек, лежащих в плоскости поперечных сечений, происходят так, что проекция деформированного сечения на плоскость, перпендикулярную к оси, сохраняет первоначальную форму сечения.
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня по- прежнему, как и в теории чистого кручения, примем равными нулю.
Совместим ось z с осью кручения (т. е. осью, которая при кручении остается на месте), а оси х и у расположим совершенно произвольно в плоскости поперечного сечения. Принятым выше предположениям о характере смещений при кручении со¬
Рис. 13.02. Смещение точки М при кручении в случае недеформируемости контура сечения
* Если боковая поверхность стержня свободна от нагрузки (а это соблюдается во всех задачах на кручение, где усилия прикладываются в виде коутящих пар по торцам стержня), то касательные напряжения в поперечном сечении в точках, примыкающих к контуру сечения, не могут пересекать свободную от нагрузки поверхность тела, т. е. они имеют направление по касательной к соответствующим точкам контура. Таким образом, явления, когда касательные напряжения перпендикулярны к вектору, проведенному из центра кручения, как в случае круглого сечения (следствие закона плоских сечений), при кручении некруглых сечений не имеется.
280
ответствует смещение точки М в направлении, перпендикуляр^ ном к радиусу (рис. 13.02):
ММ, = рг,
где р — угол закручивания рассматриваемого сечения.
Если стержень имеет постоянное сечение на всей длине и подвержен действию крутящих моментов, приложенных только по его концам, то считают, что касательные напряжения во всех поперечных сечениях распределяются по одному и тому же закону. Угол закручивания сечения пропорционален расстоянию от этого сечения до того сечения, по отношению к которому исчисляются величины а. Проще всего считать, что один из концов стержня не закручивается. Тогда
р=о4-.
где Г— длина стержня;
z — расстояние от рассматриваемого сечения до закреплений;
Ф—угол закручивания одного (свободного) конца стержня
относительно другого (закрепленного). Очевидно, что О и / в дальнейшем расчете следует принимать как постоянные величины.
Компоненты смещения и и v принимают вид
и = — ММ, sin ф = — д — у\
v *= ММ± cos ф = д — х.
(13.01)
Компоненты смещения той же точки М вдоль оси z, характеризующие выход точки М из первоначальной позиции сечения (вследствие депланации сечения), не известны, и логично предположить, что каждой точке в поперечном сечении соответствует определенная депланация, не зависящая от координаты z, т. е.
w = f(x,y)m (13.02)
Удобно для последующих преобразований выражение (13.02) представить в виде
w= — ф (х9у), (13.03)
где ф — неизвестная функция от х и у, учитывающая искривление (депланацию) поперечного сечения.
281
При помощи геометрических уравнений теории (3.08) при сделанных предположениях получаем
ди
ду
- +
dv
дх
1 v
-i + i) =
dv
+ -
dw О /
+
дер \
V уг
дг
~ду~ ~ Т\
J_ V
ду }
Л)
dw
ди _ Ф
/ ду
-0
Угх
дх
г
dz 1
\ дх
упругости
(13.04)
Соответственно касательные напряжения примут вид
(13.05)
Все компоненты нормальных напряжений в площадках, параллельных координатным, как указано выше, примем равными нулю, т. е.
= °у = аг=0- (13.06)
Подставим (13.05) и (13.06) в статические уравнения (3.04). В первом и втором уравнениях исчезают все члены, а в третьем остаются только два члена, и уравнение принимает вид
fozx , д%ху __ Q {) Г <?+ , ] = Q
дх ду I L дх2 ду'2 ]
ИЛИ
_ о. (13.07)
дх9 ду1
Функцию, удовлетворяющую условию (13.07), как известно, называют гармонической, а в данном случае — функцией кручения Сен-Венана. “Выражение (13.07) кратко представим в виде
у2 ф = 0. (13.08;
Таким образом, статические уравнения и принятые предпо¬
ложения о характере перемещения (13.03), а следовательно, и напряжений накладывают условия на функцию qp.
Для полного определения функции <р необходимо задание ее граничных значений, т. е. значений на контуре поперечного сечения. Так как на контуре поперечного сечения, т. е. на внешней поверхности стержня (исключая торцовые сечения стержня), никаких внешних сил нет, касательные напряжения в по-
282
перечном сечении контура направляются по касательной к контуру (рис. 13.03). Из этого получаем соотношение
или
tg а = в dx
1yz
xyz dx — rX2 dy = 0,
(a)
где dx и dy — проекции элемента дуги контура поперечного сечения на оси х и у. Подставляя выражения касательных напряжений (13.05) в граничное условие (а), получаем для определения значений функции ф на контуре уравнение
— dy + dx + xdx + ydy = 0.
дх * ду и *
(13.09)
Рис. 13.03. К выводу граничных уело- вий при кручении
Дальнейшие вычисления
значительно упрощаются, если вместо гармонической функции ф ввести так называемую сопряженную ей (и также гармоническую) функцию ф, на¬
ходящуюся с функцией ф в такой зависимости:
дф _ дф t дф дф
дх ду ду дх
(13.10)
Причем, очевидно,
у2ф = 0.
При такой замене (13.10) уравнение (13.09) принимает вид dx + ^-dy — xdx — ydy = 0. (13.11)
дх ду
Интеграл этого уравнения * можно представить в виде
У) =
х2 + у2
(13.12)
Таким образом, задачу о кручении стержня с произвольным поперечным сечением можно считать решенной, если для рассматриваемого сечения определена функция ф (или ф), которая внутри сечения удовлетворяет уравнению Лапласа у2ф = 0, а на
х2 + у2
контуре сечения принимает значения ~ •
* В случае многосвязного контура, т. е. контура, имеющего внутренние полости (который здесь не рассматриваем), в (13.12) необходимо включить еще постоянную интегрирования С.
283
Зная ф, можно затем найти функцию ф, определяющую согласно (13.03) форму поверхности, которую принимает после кручения (форму депланации) первоначально (до деформации) плоское сечение.
Вместо функции ф можно ввести и так называемую функцию напряжений Прандтля F(x, у), которая находится с функцией ф в соотношении
f = (13.13)
Удобство введения такой функции заключается в том, что на контуре функция F=0, что с очевидностью следует, если подставить в (13.13) условие (13.12). Внутри контура поперечного сечения функция удовлетворяет тогда дифференциальному уравнению
V2'7 = У2Ф - V* (= - 2. (13.14)
При пользовании функцией F упрощаются также выражения для касательных напряжений. Последние вместо (13.05) принимают вид
п Ъ dF r $ dF
т---аТ17' т“-°ТТГ
(13.15)
Крутящий момент Mz, выраженный через функцию F, имеет
вид
М.
У
хх2 у) dx dy =
<me'
Дважды интегрируя (13.16) по частям и имея в виду граничное условие для F (на контуре F=0), получаем *
М
г
(13.17)
Формула (13.17) принадлежит Прандтлю. Интеграл в ее правой части есть не что иное, как объем, ограниченный поверхностью F и плоскостью ху, причем пересечением поверхности F с плоскостью ху является контур поперечного сечения (гак как согласно граничному условию функция F принимает значение
* Простое доказательство сходства дифференциальных уравнений для функции F и прогиба мембраны приведено в книге М. М. Филоненко-Боро- дича «Теория упругости», стр. 205—211, М., 1947. В этой книге имеется много примеров использования приведенной аналогии для различных случаев поперечных сечений стержня, в том числе и для многосвязных.
284
F = 0 именно на контуре). Следовательно, поверхность F(xf у) возвышается над поперечным сечением стержня в виде бугра и поэтому называется бугром напряжений.
Таким образом, выражение (13.17) показывает, что крутя- щий момент Мг равен объему бугра напряжений, увеличенному
в 2G -у раз. Из выражения (13.15) следует, что касательное
напряжение в каждой точке поперечного сечения пропорционально уклону бугра напряжений.
Выражение (13.17) иногда выражают в форме
Мг = С±, (13.18)
где величину
С =2G ^ Fdxdy (13.19)
называют жесткостью при кручении.
Выражения для напряжений (13.15) и крутящего момента
(13.17) послужили основанием для так называемой мембранной аналогии Прандтля. Суть аналогии заключается в следующем: пусть однородная мембрана постоянной толщины оперта по контуру такого же очертания, как и поперечное сечение скручиваемого стержня, и нагружена равномерной нагрузкой q, а по контуру подвергнута постоянному натяжению Т. Теоретически подсчитанная при указанных условиях нагружения и закрепления поверхность прогиба такой мембраны подобна функции напряжений при кручении.
На контуре мембраны прогиб равен нулю, так же как на контуре поперечного сечения функции напряжений F=0.
Исходные дифференциальные уравнения для прогиба мембраны и для функции напряжений F совпадают полностью, если
JL = 2G —
Т I '
§ 13.03. Кручение стержня эллиптического сечения
Пусть поперечное сечение стержня представляет эллипс с полуосями а и Ь. Так как на контуре эллипса, где
функция напряжений F равна нулю, то, очевидно, ее можно взять в виде
F=A(^+*--i\ VaJ 6» J
(13.20)
285
Коэффициент определим из условия, что внутри контура согласно (13.14)
y2F = — 2.
Подставляя (13.20) в (13.14), получаем
Л = -
а2 -(- Ь2
(13.21)
Применяя теперь формулу для F, при помощи зависимостей
(13.15) и (13.16) получаем
т„ =
Мг =
2 М,
л аЬ3
(бАяа3#1), I (а2 + Ь2)’
У, Гуг =
2Мг
я а3Ь
X.
(13.22)
(13.23)
Полное касательное напряжение равно
Т = V + х% =
Шг 1 f #_
nab |/ а4 64
и достигает наибольшего значения в концах малой оси (т. е. при а>Ь, при у=±Ь)
г
max
2MZ nab2
(13.24)
Так как площадь эллиптического сечения Q = jtab, а полярный момент инерции того же сечения
Jp = Jx + Jy =
nab3
+
na3b
nab
4 4
то (13.22) можно представить в виде
(а2 + Ь2),
MZ = G —
О Q4
/ я 2У0
(13.25)
Эта формула, принципиально применимая только для эллиптического сечения, широко используется в практике при вычислении крутящего момента при заданном угле кручения (или наоборот) для любого плавно очерченного поперечного сечения стержня с учетом соответствующих значений Q и /р.
§ 13.04. Депланация эллиптического сечения при его кручении
Подставляя функцию напряжений F для эллиптического сечения (13.20) в формулу (13.13) и используя (13.21) для функции ф, имеем выражения
ф = ! [2 а2Ь2 - (а2 - Ь2) (х2 — у2)]. (а)
у 2 (а2 + 62)
286
Из выражений (13.10), показывающих зависимость между сопряженными функциями ср и ф, имеем
ф = I lly дХ + ^ ^
ИЛИ
ф = ~ I "Jr ду + ^
Дифференцируя (а) по л: и по у, имеем дф __ а2 — Ь2 дх а2 + Ь2 9
дф а2 — Ь2
—- = у.
ду а2 -f- Ь2
Таким образом,
(б)
или
(в)
Из сопоставления (б) и (в) получаем, что и потому
П(У)Ч*(х)=С,
а2 — Ъ2 , п
Ф = 2, . 2 ХУ + с-
а2 + Ь2
(Г)
По формуле (13.03) имеем
0 / а2 — 62 . ~\
w = — ( ху-\-С\,
1 \ а2 + Ь2 )'
Так как депланацию одной из точек поперечного сечения можно задавать в зависимости от граничных кинематических условий, не влияющих на деформацию кручения стержня, то, полагая, что центр кручения (х = у = 0) не депланирует (до = 0), получаем С = 0.
Таким образом, окончательно для смещения вдоль оси г, т. е. для депланации сечения, имеем выражение
О
/
а2 — Ь2
а2 + b2
ху.
(13.26)
Для круглого поперечного сечения (а = Ь) из (13.26) следует до = 0, т. е. депланации не происходит.
287
При использовании (13.22) выражение для депланации сечения принимает вид
w =
М2 (да — Ь2) Gjta3b3
(13.27)
Из (13.27) следует, что при кручении эллиптическое поперечное сечение искривляется, принимая форму гиперболического параболоида. На рис. 13.04 показан эскиз депланации сечения. Отмечаются следующие особенности искривления сечения: точки, расположенные на осях симметрии сечения, не депланируют
Рис. 13.04. Депланация эллиптического сечения при кручении
(это всегда! — при любом сечении, имеющем оси симметрии), если в первом и третьем квадрантах депланации положительны, то во втором и четвертом квадрантах они отрицательны.
Если алгебраическую сумму объемов фигуры, заключенной между искривленной поверхностью сечения и его первоначальной позицией, назвать объемом депланации сечения, то объем этот равняется нулю. Заметим, что равенство нулю объема депланации оказывается справедливым при закручивании поперечного сечения любой формы. Аналитически это можно вы- раэнть так: ^wdF = 0.
F
§ 13.05. Кручение сечения в виде узкого прямоугольника
Для прямоугольного сечения точное решение в замкнутой форме невозможно, и его решают в форме бесконечных рядов [53] и [115].
Ограничимся рассмотрением кручения узкой прямоугольной полосы. В этом случае можно пренебречь влиянием ее узких сторон на распределение касательных напряжений и принять, что траектории касательных напряжений параллельны длин¬
288
ным сторонам прямоугольника на всем их протяжении (это равносильно принятию бугра напряжений в форме цилиндра с образующей, параллельной длинным сторонам прямоугольника) (рис. 13,05, а).
Функцию напряжений примем в виде
F-A(x + ±')(x-±.y (13.28)
Эта функция на длинных сторонах прямоугольника, уравнения которых х — — и х= — удовлетворяют условию F = 0
(условия на коротких сторонах, конечно, при сделанном допу-
Рис. 13.05. Сечение в виде узкого прямоугольника с изображением траекторий касательных напряжений (б) и бугра напряжений (а)
щении, не удовлетворяются, но это несущественно ввиду малой протяженности коротких сторон в общем периметре сечения).
Постоянную А найдем из условия, что у2/г=—2, поэтому А— — 1. На основании (13.15) получаем
г г ° др п.
= —G— —
уг I ' дх
2 GO
(13.29)
х.
Наибольшее касательное напряжение по периметру длинных сторон (а для недлинного прямоугольника в их середине) равно
Тшах = G
(13.30)
289
Из выражения (13.17) имеем
Мг =
= 2a'T$Fdx-dy = 2G-y J Fhdy
— G — b3h. 3 /
Подставляя (13.31) в (13.29), получаем
т =
тг
b2h
(13.31)
(13.32)
§ 13.06. Депланация при кручении сечения в виде узкого прямоугольника и тонкостенного сечения открытого профиля
Подставляя функцию напряжений (13.28) в (13.13), имеем для функции ф выражение
*а + г/2
f—(*+-г) (*--§-)+
(З)
Выполняя операции, аналогичные операциям, приведенным в § 13.04, и выбирая постоянную интегпипования (принимая ее равной нулю), получаем
* ф = ху. (13.33
Соответственно для депланации согласно (13.03) имеем
О
W = — ху.
(13.34)
Эскиз депланации согласно (13.34) показан на рис. 13.06. Точки, принадлежащие осям симметрии сечения, не деплани-
руют (ш = 0). Для точек, лежащих на контуре сечения (У = ~~)>
функция кручения имеет значение
Ь
Ф = —х.
Y 2
Эту функцию можно считать (рис. 13.07) удвоенной площадью (секториальной площадью) треугольника АМ0М, образованного начальным радиусом АМ0 (совмещенным с осью симметрии сечения), подвижным радиусом AM (соединяющим центр сечения с рассматриваемой точкой на контуре) и наруж-
290
ным контуром сечения. Обозначая такую удвоенную площадь со, имеем
ф = со.
В случае тонкостенного сечения открытого профиля (рис. 13.08) можно получить приближенное выражение для функции кручения, если рассматривать тонкостенный стержень как сово-
Рис. 13.06. Характер депланации при кручении сечения в виде узкого прямоугольника
купность прямолинейных. Такая задача решена Г. Ю. Джанелидзе [30], [31], показавшим, что функция кручения совпадает с секториальной площадью В. 3. Власова, т. е.
(p(sn) = сo(s). (13.35)
В выражении (13.35) стержень отнесен к координатам sn (где 5 — координата, отсчитываемая вдоль срединной линии профиля, а п — по нормали к ней).
Указанное совпадение имеется в .том случае, если пренебрегать при вычислении ф членом — по сравнению с единицей
р
(о — радиус срединной линии!.
291
Как известно из курса сопротивления материалов, сектори- альная площадь, или секториальная координата, — это удвоенная площадь сектора АМ0М (рис. 13.09), образованного начальным и подвижным радиусами, а также срединной линией сечения. Заметим, что направление начального радиуса АМ0 выбирается так, чтобы
= J to dF = 0. (13.36)
F
Положение полюса А (центра изгиба) выбирается так, чтобы
| ycodF = 0;
F
j* xauiF = 0.
F
(13.37)
У
У
Рис. 13.09. Главная секториальная координата со, начальный радиус АМ$, центр изгиба А:
Ах, Ау — оси, параллельные главным центральным осям инерции
§ 13.07. Кручение стержня, имеющего тонкостенное
замкнутое сечение
Пусть поперечное сечение закручиваемого стержня представляет собой замкнутое сечение, толщина стенок которого может быть переменной, изменяющейся плавно, но остающейся всюду достаточно малой (рис. 13.10) *. Строгое решение для такого двухсвязного контура весьма сложно, однако благодаря тонкостенности сечения его можно выполнить чрезвычайно просто и достаточно точно.
Для решения удобно использовать представление функции кручения F как бугра напряжений, а касательные напряжения рассматривать как уклоны такого бугра. Но так как в пределах
* Кроме обратносимметричной задачи здесь рассматривается также сечение. в котором оси симметрии может и не быть.
292
внутренней полости, не заполненной материалом, напряжения отсутствуют, то в бугре напряжений над пространством внутренней полости имеется плоскость, параллельная плоскости
сечения. Именно при этом условии уклоны бугра напряжений
равны нулю (а следовательно, нулю равны и касательные напряжения). Бугор напряжений имеет вид, указанный на рис. 13.11.
Если бугор напряжений рассматривать как мембранную аналогию, то по жесткому контуру, совпадающему по очертанию с наружным контуром заданного сечения, надо прикрепить мембрану, которая по другому контуру, совпадающему по очертанию с внутренним контуром, соединится с абсолютно жесткой пластиной (в плане такая пластина в точности повторяет внутреннюю полость заданного сечения). Затем подвергнем мембрану равномерному давлению. Для того чтобы
Рис. 13.10. Тонкостенное замкнутое сечение
Рис. 13.11. Бугор напряжений при кручении тонкостенного замкнутого сечения (а), траектории касательных напряжений (б)
жесткая пластина могла перемещаться лишь поступательно, к ней следует приложить также специальные моменты (или давление осуществить неравномерно в пределах пластины), чтобы воспрепятствовать повороту.
Так как искривление мембраньр незначительно, то можно считать, что уклон мембраны в пределах каждого размера 6 (т. е. в предеаах толщины стенки заданного сечения) не изменяется.
293
Вследствие того что толщина б мала, пренебрегаем искривлением поверхности бугра напряжений в пределах каждого размера б. Обозначим А в пределах внутренней полости сечения ординату функции напряжений и принимаем постоянным уклон этой функции в направлении п (нормальном к срединной линии профиля сечения):
* А
tga»-T-
Согласно (13.15) приведенное выражение есть одновременно величина касательного напряжения, т. е.
6F А 52 дп 6
(13.38)
Эту величину нужно принять также постоянной в направлении п в пределах рассматриваемой толщины б. Выражение
(13.38) можно представить в виде
rS26 = А = const. (а)
Левую часть равенства (а) можно рассматривать как сумму касательных усилий с площади прямоугольника, один размер которого (в направлении п) равен толщине сечения б, а другой размер (в направлении s) вдоль средней линии контура равен единице. Обозначая эту сумму Т и называя ее потоком касательных напряжений, выражение (а) можно выразить так:
Т = tS26 = const. (13.39)
Уравнение (13.39) показывает, что поток касательных напряжений при кручении тонкостенного плавного замкнутого профиля, отнесенный к средней линии контура, является величиной постоянной для всех точек этого контура.
Если толщина стенок б переменная и изменяется по условию задачи плавно вдоль средней линии контура сечения, то уклон бугра напряжений в направлении s пренебрежимо мал, и потому
Таким образом, при кручении тонкостенного замкнутого профиля в сечении возникают касательные напряжения, которые для всей совокупности точек, лежащих на направлении я, параллельны касательной к средней линии контура в том месте, где проведена нормаль п (см. рис. 13,11, б ив).
Наибольшее касательное напряжение возникает в самом «узком горле» сечения (т. е. там, где толщина стенки сечения наименьшая) и вычисляется по формуле
г
Тшах — «
°uiin
(13.40)
294
Для вычисления потока Т составим уравнение равновесия между внешними и внутренними силами. Для этой цели возьмем произвольную точку О (рис. 13.12) (не обязательно центр
кручения), относительно которой и составим сумму моментов.
На элементарную площадку сечения 8ds действует касательная сила Tsnbds^Tds, которая относительно точки О образует момент Tdsp, где р — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление касательной
Обозначая 2do) произведение pds (очевидно, представляющее удвоенное значение секториальной площа* ди CDO, рис. 13.12), можно уравнение равновесия между крутящим моментом и внутренними силами представить в виде
Рис. 13.12. К выводу формулы (13.43)
Мг = j 7р ds = 2Т J dto.
Очевидно, что интеграл, взятый по всей замкнутой средней линии контура, составляет фигуру, ограниченную той же средней линией, т. е.
jdco = co. (13.41)
Величина площади со показана на рис. 13.12. Таким образом,
т
2(0
(13.42)
На основании (13.40) имеем
м2
Тт“ 2о)6т1п *
(13.43)
§ 13.08. Понятие о стесненном кручении
В § 13.01 — 13.07 рассмотрены задачи о кручении стержня постоянного сечения. Предполагалось, что во всех поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, что закон распределения их во всех сечениях одинаков. Сделано предположение, что все поперечные сечения беспрепятственно и притом одинаково депланируют, так как в выражении (13.03) координата z отсутствует. Этот случай кручения, называемый кручением по Сен-Венану, ниже именуется случаем нестесненного кручения.
295
В практике имеется много случаев, когда свободной депла нации сечений оказывается полное или частичное противодействие. Примером может служить стержень, один из концов которого наглухо закреплен в стене, а к другому свободному концу приложена крутящая пара (рис. 13.13). В этом случае поперечное сечение, совпадающее с опорным закреплением, депланировать не может (абсолютное стеснение искривлению плоскости сечения). Поэтому в таком сечении непременно возникают нормальные напряжения, благодаря которым сечение и может остаться плоским. Сечение, совпадающее со свободным концом, наоборот, находится в условиях нестесненной депланации. В этом сечении нормальных напряжений нет, имеются только касательные напряжения, распределенные согласно
(13.05) или (13.15) и в совокупности составляющие крутящую пару.
Все прочие поперечные сечения находятся в промежуточных условиях относи- тельного стеснения, и в них Рис. 13.13. Пример стесненного кручения также появляются нормальные напряжения, которые по длине стержня убывают от опорного сечения к свободному.
Нормальные напряжения в поперечных сечениях при стесненном кручении имеют такую особенность: они в каждом
сечении составляют систему взаимно уравновешенных сил.
Это очевидное утверждение следует из условий равновесия, так как по одну сторону от любого поперечного сечения из внешних воздействий имеется только крутящая пара, которая вполне уравновешивается касательными напряжениями в рассматриваемом сечении.
Самоуравновешенность нормальных напряжений при стесненном кручении является также следствием развитого в § 13.02 положения, что объем депланации сечения равен нулю. Действительно, нормальные напряжения, возникающие, например, в опорном поперечном сечении, позволяют снять деплана- цию сечения, которая происходит при отсутствии стеснения. Это означает, что тем точкам сечения, которые стремятся выйти из плоскости сечения в ту или другую сторону, нормальные напряжения оказывают сопротивление. Поясним это на примере закручивания эллиптического сечения.
296
Так как вся площадь эллиптического сечения при его депла- нации делится на четыре одинаковые по площади части, из которых две части (рис. 13.04) депланируют в одном направлении, а две остальные — в другом, то отсюда следует, что сумма нормальных усилий, возникающих в сечении и направленных в одну сторону, равняется сумме нормальных усилий, направленных в другую сторону *.
Примерный характер распределения нормальных напряжений, возникающих в прямоугольном сечении при стесненном
Рис. 13.14. Характер распределения нормальных напряжений
а — в поперечном сечении в случае стесне: ного кручения; б — четыре силы, статически эквивалентные нормальным напряжениям, в, г—бипары
кручении, показан на рис. 13.14 и представляет собой четверку сил (Pt —Ру Ру —Р), которую можно рассматривать или как две взаимно уравновешенные бисилы (Р, Р и —Р, —Р), или как две взаимно уравновешенные пары (РсХу —Рсх или Рсуу —Рсу)у составляющие бипару. Ее можно рассматривать как обобщенную продольную силу, статически эквивалентную нулю. Такую обобщенную силу, по терминологии В. 3. Власова, называют бимоментом **.
Случай стесненного кручения не всегда зависит от опорных закреплений, препятствующих свободному искривлению сечений. Рассмотрим случай, когда стержень с двумя свободными кон¬
* Стесненное кручение стержня эллиптического сечения рассмотрено в [3], § 91.
** Для приведенного бимомента можно ввести условную количественную характеристику, а именно перемножить момент пары Рсх (или Рсу) на расстояние между плоскостями действия этих пар (т. е. на г^или сх). Тогда этот бимомент выразим так:В-—Рсхсу. Очевидно, что чем больше бимомент, тем больше и нормальные напряжения в поперечном сечении.
297
цами подвержен на этих концах действию одинаковых по на правлению и величине скручивающих моментов, уравновешен' ных в среднем сечении скручивающим моментом противоположного направления удвоенной величины (рис. 13.15). В этом случае вследствие симметрии, очевидно, среднее поперечное сечение искривляться не может.
Таким образом, каждая половина рассматриваемого стержня находится в условиях, сходных с рассмотренными выше (рис. 13.13). Заметим, что эпюра крутящих моментов для случая, показанного на рис. 13.15, имеет уступ в средней части. Это означает, что депланация левой и правой частей бруса, если они разделены в среднем сечении, происходит в разных
направлениях. Условие же неразрывности деформаций бруса ограничивает (стесняет) депланацию левой и правой частей в среднем сечении бруса.
При неравномерном кручении бруса постоянного сечения, когда крутящие моменты по длине стержня изменяются (исключая простейший случай — круглое поперечное сечение), всегда наблюдается ограничение депланации сечения, в поперечных сечениях всегда возникают нормальные взаимно уравновешенные напряжения.
Нормальные напряжения, статически эквивалентные нулю, возникают и в случае постоянного по всей длине стержня крутящего момента, если стержень имеет по длине переменное (и отличное от круглого) сечение. В последнем случае тенденция каждого сечения к свободной депланации различна, но благодаря требованию совместности деформаций сечения вынуждены иметь согласованные между собой депланации.
Большую практическую важность расчет стесненного кручения имеет главным образом для тонкостенных стержней так называемого открытого профиля (швеллер, двутавр, уголковое сечение и т. п.) и в меньшей степени для замкнутых профилей (коробчатое сечение, трубчатое).
Теория сложного сопротивления (стесненное кручение, изгиб с кручением и т. п.) тонкостенных стержней открытого про¬
298
филя с исчерпывающей полнотой разработана в СССР В. 3. Власовым, удостоенным Государственной премии СССР.
Применительно к замкнутым профилям теория разработана А. А. Уманским.
§ 13.09. Краткие выводы по главам 11—13
1. Для стержней постоянного по длине сечения, подверженных простому растяжению или чистому изгибу, а для стержней круглого сечения, подверженных и чистому кручению, элементарные решения этих задач по теории сопротивления материалов точно удовлетворяют всем уравнениям теории упругости, т. е. являются и ее решениями.
Если поперечное сечение стержней в этих случаях плавно изменяется по длине, но с незначительным уклоном наружной поверхности не больше 0,1, то практически формулы сопротивления материалов можно оставить и в таких случаях.
2. При плоском поперечном изгибе бруса решение сопротивления материалов уже не является точным с точки зрения теории упругости. Для получения более строгого решения необходимо на систему напряжений, полученную в теории сопротивления материалов, в каждом поперечном сечении стержня наложить систему дополнительных нормальных напряжений, взаимно уравновешенных в каждом таком сечении, а также признать существование нормальных напряжений в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Впрочем, если высота балки составляет меньше 0,1 пролета, то дополнения к решению сопротивления материалов не имеют практического значения.
3. Для балок непрямоугольной формы сильно выраженного переменного сечения, например для треугольной подпорной стенки и др., решения, полученные по сопротивлению материалов для некоторых напряжений, не только количественно, но и качественно отличаются от действительного распределения этих напряжений внутри таких балок, что устанавливается теорией упругости.
4. Классическими задачами теории упругости, в которых методы сопротивления материалов или неприменимы, или существенно искажают действительный характер напряженного состояния, являются: полубесконенная пластинка (упругая полуплоскость) с нагрузкой, приложенной на ее границе и действующей параллельно срединной плоскости пластинки; полубеско- печное тело (упругое полупространство) с нагрузкой, приложенной на «дневной поверхности»; задачи о кручении некруглых сечений; поперечный изгиб пластинок; задачи о напряженном и деформированном состоянии толстых колец, цилиндрических оболочек, контактные и другие задачи.
299
5. Из различных задач, рассмотренных в главах 11 —13, наиболее важными являются формулы прогиба граничной плоскости полубесконечной пластинки (11.16) и прогиба дневной поверхности упругого полупространства от сосредоточенной силы (12.14). Эти формулы легко обобщаются на случай всяких нагрузок, расположенных на граничных плоскостях, широко используются в различных задачах строительной и машиностроительной практики.
ЛИТЕРАТУРА
[3], [4], [15], [30], [31], [43], [52], [59]; [75]; [79], [93], [104], [112], [114], [115].
14
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 14.01. Общие понятия
В предыдущих главах рассмотрены задачи, решение которых методами классической теории упругости доведено до практически удобных формул. Но с точки зрения практики это сравнительно простые задачи.
Для большинства других более сложных задач точное их решение оказывается исключительно трудоемким, а в отдельных случаях и вряд ли возможным даже при использовании современных электронных вычислительных машин. В таких случаях применяют различные приближенные методы решения самих исходных уравнений теории упругости.
Одна из форм приближенного метода рассмотрена в главе 11 (в § 11.02, где описывалась консольная балка). Для этой задачи найдено решение, при котором граничные условия на левом торце балки не совпадают с действительными в каждой точке торца, но в интегральном смысле по всему сечению в целом граничные условия выполнены. Это одна из форм смягчения граничных (статических) условий, весьма популярная в прикладной теории упругости.
Практическая допустимость такого решения определена принципом Сен-Венана (локальный эффект самоуравновешенной системы сил). В отдельных случаях наиболее приемлем метод смягчения граничных кинематических условий.
Иногда находят решение, соответствующее упругому телу, но с несколько другим (но близким к заданному) более глад-
301
kiim поперечным сечением. Такой метод — смягчение геометрии формы — оказывается эффективным в задачах по кручению стержней со сложным поперечным сечением (случай вала с входящими углами и т. п.).
Но чаще всего приближенные решения строятся таким образом, что исходят не из полной системы уравнений теории упругости. При этом остаются неиспользованными, а следовательно, и строго не выполненными условия неразрывности деформации, которые подменяются другими, построенными на энергетических принципах. В таком случае следует иметь в виду некоторое смягчение условий неразрывности.
Приближенные решения возможно также получить, если ввести какие-либо предположения (гипотезы) относительно характера ожидаемой деформации. Такой путь, характерный для прикладной теории упругости, рассмотрен в главах 15—16.
В настоящей главе изложены наиболее популярные приближенные методы, которые одинаково применимы как для плоских, так и для пространственных задач теории упругости.
Так как большинство приближенных методов решения различных задач теории упругости, пластичности и ползучести основывается на классическом вариационном принципе, согласно которому действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что в этом случае полная энергия системы имеет минимальное значение (минималистский принцип), то эти методы называют экстремальными, или вариационными.
В этой главе приведены также основные результаты расчета балок-стенок, в котором использованы такие методы.
§ 14.02. Разложение тензорного поля напряжений на основное
и корректирующее (метод Папковича).
Принцип наименьшей работы в форме метода сил
Подобно тому как общий интеграл неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы двух решений: общего интеграла однородного уравнения (т. е. когда правая часть уравнения, характерная для данной конкретной задачи, отсутствует) и любого частного решения заданного неоднородного уравнения, так и общий интеграл дифференциальных уравнений теории упругости можно представить аналогичной суммой частного и общего решений.
Пусть на поверхности тела заданы компоненты внешних сил Pxv> Ру\ и Pzv Для определения соответствующих этой внешней нагрузке тела напряжений внутри тела найдем сначала какое- либо частное решение уравнений равновесия:
302
дох
дх
дт,
ух
дх
дх7Т
+
+
+
О* ху
ду
даи
дтх
ду
дх
гу
+
4“
dz
dxyz
dz
до2
+ Хр = 0;
+ Кр = 0;
4- Zp — 0;
(а)
дх ду dz
Уравнение (а) удовлетворяет на поверхности тела граничным условиям:
+ ххут + Хх2П = Pxv\
Хух1 + °ут + ХугП = Р^> ' (б)
Х2Х1 + Х2ут + °2П = P*V- ,
Пусть это решение есть
е (в)
Если указанная система напряжений случайно удовлетворяет также и уравнениям неразрывности деформаций, то найденное частное решение уравнений (а) и (б) является искомым точным решением задачи.
Если совокупность функций а(0),о^0),..., tix не удовлетворяет условиям неразрывности деформации, то для нахождения истинного решения задачи необходимо найти ряд особых частных решений однородных уравнений:
дх
+ ■
я +
ду
w VX2
dz
дХух
■ +
дву ,
dxyz
дх
ду +
dz
дх2Х
+
d^zx |
daz
= 0; = 0; = 0.
1
(г)
(Д)
Эти особые уравнения удовлетворяют на- поверхности тела отсутствию внешних нагрузок, т. е.
axl + ххут + tX2 п = 0;
хух1 + оут + ху2п = 0-,
Хгх1 + хгут + а2п =0.
Пусть такими решениями являются *
axl of> • • • * тй> (е)
где i'=l, 2, 3, .... п.
* Очевидно, что каждое такое частное решение соответствует самоурав-
повешенному напряженному состоянию (т. е. возбужденному состоянию без участия внешних поверхностных нагрузок).
303
Тогда истинное решение задачи можно представить в форме
а, = а<0> + 2Ао<‘>;
°у = аГ + 2
^ = т(0) + 2Л(т(О,
(14.01)
где А{ — некоторые неопределенные постоянные.
Варьируя значения величин Аи получаем возможность изменять напряженное состояние тела, не нарушая условий равновесия (а) и (б).
Для определения этих постоянных подставим (14.01) в выражение потенциальной энергии деформации [см. (4.126)]:
Э = ~2Ё + ^ + +оуог +
+аА) + 2(1 + р) (х2ху + x2yz + %2гх)\ dx-dy-dz. (ж)
Так как действительному напряженному состоянию в упругом теле соответствует минимум потенциальной энергии деформации, то искомую комбинацию параметров Aiy при которой удовлетворены условия сплошности, можно найти из системы уравнений
-JJ- = 0 при i = 1, 2, 3, ... , п. (14.02)
Таких уравнений (14.02) можно получить столько, сколько неизвестных Л* сохранено в решении (14.01). Так как точное решение требует составления и решения бесконечного множества уравнений (14.01), что практически невозможно, то ограничимся небольшим количеством членов ряда в (14.01). Степень точности такого укороченного решения зависит от того, насколько удачно выбрано частное решение (в) и насколько также удачно выбраны из всего множества решения (14.01), соответствующие различным Ait те, которые остаются в (14.01). Иногда может оказаться достаточным в (14.01) сохранить только первый член. Компоненты напряжений, составляющие частное решение (в) и входящие первыми слагаемыми в правую часть
(14.01), назовем компонентами основного тензора напряжений в данной точке. Компоненты же напряжений, составляющие общее решение (е) и входящие вторыми слагаемыми в правую часть (14.01), по терминологии М. Ф. Филоненко-Бородича назовем компонентами корректирующего тензора напряжений в той же точке. —
304
Выражения (14.01) кратко можно выразить так:
7’„апр = 7'.(0)пр + ^)пр. (14.03)
Так как совокупность тензоров напряжений для всех точек тела составляет тензорное поле напряжений, последнее, по Попковичу, представляется составленным из основного тензорного поля напряжений и корректирующего тензорного поля напряжений.
Приведенное выше изложение в какой-то степени подобно классическому построению расчета статически неопределимых стержневых систем в строительной механике по так называемому методу сил, энергетическое обоснование которого также сводится к отысканию именно таких значений лишних неизвестных, при которых потенциальная энергия деформации системы оказывается минимальной. Сходство еще более усиливается, если представить себе расчет статически неопределимой системы (например, фермы), где за лишние неизвестные взяты внутренние усилия (например, усилия в стержнях), т. е. если основную (статически определимую) систему получать из заданной не путем отбрасывания элементов, связей и т. п., а путем перерезания их.
В этом случае применяемые в строительной механике так называемые единичные состояния представляют обычно взаимно уравновешенную систему усилий (т. е. для их существования не требуется наличия внешних сил на контуре системы, например, опорных реакций и т. п.).
Не исключается и такая возможность выбора основной системы, при которой ее напряженное состояние от заданной внешней нагрузки даже без участия лишних неизвестных является состоянием действительной (не основной, не преобразованной, а именно заданной) системы.
В последнем случае расчет статически неопределимой системы ограничивается только расчетом статически определимой, т. е. основной, системы, ^тому случаю в теории упругости соответствует, очевидно, назначение такого частного (основного) решения (в), при котором оно случайно оказывается и действительным решением задачи.
Приведенные выше для строительной механики единичные самоуравновешенные состояния соответствуют в методе Папко- вича самоуравновешенному корректирующему тензорному полю.
Учитывая приведенную выше аналогию, все наиболее эффективные современные методы расчета статически неопределимых систем (канонические уравнения деформаций, способ ортогона- лизации взаимно нулевых эпюр и т. п.) можно перенести в теорию упругости, именно в метод Папковича. Горизонты использования этой аналогии чрезвычайно широки и увлекательны.
305
§ 14.03. Другая форма принципа наименьшей работы
(метод перемещений)
В рассмотренном выше случае основными неизвестными являются напряжения, и потому имеются вспомогательные коэффициенты при варьируемых функциях для напряжений. В этом смысле такой приближенный (вариационный) метод можно отнести к разновидности метода сил.
Очевидно, основными неизвестными можно принять и перемещения. Тогда вспомогательными неизвестными будут коэффициенты при варьируемых функциях для компонентов перемещений.
Например, для компонентов упругого перемещения можно принять выражения:
i—n
и = м0 + £ aifi (X, у, г),
1 = 1
i=n
V = vo + Yi bi4>‘ (X’ У' Z 1=1
(14.04)
i=t%
W = ®0 + E cfli (X, y, 2);
/=1
где u0 = u0(xy y, z), v0 = v0(x,y,z), w0 = w0(x, yy z) — назначаемые функции координат, не содержащие произвольных постоянных, точно удовлетворяющие кинематическим граничным условиям. Эти компоненты составляют как бы основное поле смещений. Слагаемые, следующие за этими функциями в (14.04) под знаками сумм, определяют корректирующие поля смещений.
В уравнении (14.04) обозначены:
ах,
аг, .,
• • У ®ГПУ
Ьи
к,..
• У Ьщу
^1>
с2, ..
• У Сщ
■— произвольные постоянные;
/1, fi, ■■■ , fml
фи ф2> • • • » Фпг'у
Фи Фа. • • • , Фт
(14.05)
— известные (назначаемые) функции координат х, у, г.
Вид функций /ь f2, .... Фь Фг, .... фь фг, .... очевидно, надо выбрать так, чтобы согласно (14.04) были удовлетворены геометрические связи (граничные условия в перемещениях).
306
Если система компонентов смещений и0у v0y w0 случайно удовлетворит всем уравнениям теории упругости, в том числе и статическим граничным условиям, то выбранное, назовем его основное поле смещений, будет точным решением задачи. Но так как такой случай мало вероятен, то дальнейший ход рас- суждений должен быть аналогичен изложенному в § 14.02, т. е. необходимо использовать принцип наименьшей работы. В выражении для потенциальной энергии в таком случае следует принять не компоненты напряжения, а компоненты деформации (4.12в), т. е.
3-сШ[в'+е"+‘-+~т^г0’+
+ y (У% + У% + y\x)\dx-dy-dz. (з)
Затем компоненты деформации следует выразить через компоненты смещений согласно известным геометрическим уравнениям (3.08).
Наконец, из условий
дЭ
даi
= о,
дЭ
дЬI
= 0,
дЭ
dci
= 0
(14.06)
при 1=1, 2, 3, ..., т надо определить параметры аи а2, ...» Ьи ...» си с2.
Такой способ приближенного решения можно, очевидно, от^ нести к разновидности метода перемещений.
Совершенно очевидна возможность смешанного метода, когда назначаются приближенные выражения для некоторых компонентов перемещения и напряжений.
§ 14.04. Другие методы приближенного решения уравнений
теории упругости
В различных областях техники (теории упругости, строительной механике, гидро- и аэромеханике) широко применяется приближенный метод Галеркина.
Суть этого метода поясним на одномерной задаче. Пусть в известном интервале (с, d) задача сводится к решению дифференциального уравнения
L (ху wy w\ ы/\ ...) = 0
при некоторых известных граничных условиях.
Для приближенного его решения задаемся функцией wn в виде ряда
wn = ам (х) + а2<р2 (*)+...+ ап<рп (*),
307
где ф*(л:) — линейно-независимые функции, удовлетворяющие всем граничным условиям;
а*—неизвестные параметры. Эти параметры определяем из условий
d
^L(x, wn, w'n, w’n, ...)<pkdx = 0 (k = 1, 2, (14.07)
представляющих линейные относительно щ уравнения. Внося а; в wni получаем приближенное решение задачи.
Формы этого метода могут быть самые разнообразные. Одна из форм этого метода в применении к расчету изгиба пластинок из своей плоскости (так называемый метод Бубнова—Га- леркина) описана ниже в § 15. и
Возможен, очевидно, и другой вариант с использованием уравнений Ляме (7.02). Так, при отсутствии объемных и инерционных сил имеем
Ш!>+0)^-+0Н
HJI<x+<;,lr+Gv’t’]
Ш[(1,+<;)1г+0Н
ft-dx-dy-dz = 0; Ф i-dx-dy-dz = 0; \prdx-dy-dz = 0,
(14.08)
где i= 1, 2, 3, ..., m; /*, ф*, фг-— величины, определяемые согласно (14.04), а интегрирование производится для всего объема упругого тела.
Подставляя в (14.08) поочередно i = 1, 2, 3, ..., m, получаем систему линейных уравнений для определения постоянных коэффициентов (аи а2, ..., b 1, 62, С\9 с2у ...). Число таких уравнений
равно числу постоянных.
Если функции fu /2, ...» фь ф2, ...» фь Ф>2 выбраны так, что удовлетворены не только геометрические связи, но и статические граничные условия (хотя условия неразрывности и не удовлетворяются), то метод Галеркина является самым эффективным вариационным методом, так как при увеличении числа варьируемых функций до бесконечности получаем точное решение задачи.
Справедливость выражения (14.08) можно обосновать просто при помощи принципа возможных перемещений. За последнее время эффективность этого метода показана и в нелинейных задачах теории пластин и оболочек.
Заметим, что выражения в скобках (14.08), как известно, представляют левые части уравнения равновесия (7.02), (14.11) к сами по себе уже равны нулю (если, конечно, выражения для
308
напряжений приняты точными). По этой причине умножение таких скобок на любую функцию, например, на и др. и последующее интегрирование по любому объему не должны изменить результата, т .е. в правой части останутся нули.
Большую популярность за последнее время приобрел вариационный метод Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки, см. § 14.10). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, а другая— искомую функцию от другого переменного. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова—Галеркина (а также в методе Ритца—Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. Эти функции зависят каждая только от одной координаты и определяются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Этим методом двухмерные контактные проблемы теории пластинок и оболочек приводятся к одномерным.
Рассмотрим еще один из вариационных методов. Если функции и, v, w выбраны так, что они являются (случайно или преднамеренно) интегралами уравнений Ляме (1.02), хотя граничные условия и не удовлетворяются, то согласно предложению Трефца для нахождения коэффициентов можно применить следующую систему уравнений:
j j (Oj + Txym + тхгп — pxv) ftds = 0; J j (*i,J + aym + ty/i — Pyv) (fids = 0-,
j J (^zxl + Tzym + °zn — ftv )'lpids = 0,
(14.09)
где также i=l, 2, 3, m.
Интегрирование выполняется по всей поверхности упругого тела (ds—элемент поверхности тела).
Выражения, заключенные в скобки левых частей уравнений
(14.09), представляют собой граничные условия (2.05). Эти выражения равны нулю, если входящие в них компоненты напряжений выбраны точно.
В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный и смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Конторовичем и др. Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем
309
подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия; другая же функция — неизвестная — зависит от меньшего числа переменных и ее следует определить при помощи вариационного уравнения.
Укажем на оригинальный вариационный метод, по которому взятый по всей поверхности упругого тела интеграл от квадратичной ошибки при удовлетворении граничных условий имеет наименьшее значение или взятый по всему объему упругого тела интеграл от квадратичной ошибки при удовлетворении уравнений упругого равновесия (Ляме) тоже имеет наименьшее значение.
Отметим также успешное применение в вариационных методах теории упругости некоторых образов и приемов строительной механики стержневых систем (канонические уравнения деформации и др.), разработанных Я. А. Пратусевичем [82].
Особо следует отметить приближенные решения проблем плоской задачи теории упругости путем замены дифференциальных уравнений метода сил или метода перемещений уравнениями в конечных разностях. В последнем случае рассматриваемое тело заменяется соответствующей пространственной решеткой, и для каждого телесного угла имеются три уравнения в конечных разностях.
Приближенная замена дифференциальных уравнений системами конечно-разностных уравнений метода сеток означает переход от континуальной расчетной модели с непрерывным распределением материала к дискретной модели с концентрацией материала в отдельных точках, стержнях, сечениях (см. § 14.05).
Принципиально методом сеток можно решить любую задачу, но для этого необходимо решать большое количество линейных алгебраических уравнений. Количество таких уравнений зависит от количества узлов сетки (а также и от формы сетки — квадратной, прямоугольной, правильных шестиугольников), которой заменяется исследуемое плоское тело.
Метод сеток широко применяют как для расчета балок-стенок, пластинок, так и для решения пространственных задач теории упругости.
Составленную с учетом симметрии систему уравнений можно эффективно решать на быстродействующих электронных вычислительных машинах или методом последовательных приближений (методом релаксации) в зависимости от числа неизвестных.
Актуальность метода сеток, или численных методов решения задач теории упругости, особенно возросла после широкого привлечения к инженерным расчетам современных электронных быстродействующих машин * (см.'§ 14.05).
* К о г а н Б. М., Те р-М икаэлян Т. М. Решение инженерных задач на цифровых вычислительных машинах. «Энергия», 1964.
310
§ 14.05. Числовые методы решения задач теории упругости
Все дифференциальные соотношения можно приближенно заменить конечно-разностными соотношениями*. Так, например, первая полная производная функция одной переменной f(x) приближенно равна конечному соотношению
df (X) _ А/(лг)
dx 2h ’
(14.10)
где Af(x) = f(x + h) — f(x—h)—разность двух смежных со значением f(x) величин, которым соответствует разность абсцисс 2 А.
Величину Af(x) называют конечной радостью первого порядка. Конечной разностью второго порядка является величина
Л7М = f(x + h) — 2f(x) + f(x — h), (14.11)
где f(x+h), f(x), f(x—h)—значения функции f(x) в трех по- следовательных точках. Если разности абсцисс между двумя смежными точками одинаковы и равны А, то вторую производную можно представить как
*/(*) ^ А2/ (х)
dx2 h2
Соответственно п-ю конечную разность, число, можно представить в виде
(14.12)
когда п — четное
Anf(x)=f(x+
+ n(n~l) ■/(*+f /г —2ft) —
(14.13)
Разность же An+1 f (x), где n — четное число, равна
A^f(x) = ± h) — &n f (x h) (1414)
Полные производные любых порядков можно приближенно определить как
dnf(x) _ Anf(x) dxn ~ hn
(14.15)
Частные производные можно также заменить выражениями в конечных разностях. Причем, если расстояния между смежными рассматриваемыми точками одинаковы и равны А, в случае функции f (x, у) двух переменных имеем
* Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. ФМГ, 1952.
311
~ ~ I/ (•* + Л, y) — f(x — h, у)];
U (х, у + h) — f (х, у — Л)];
Л/ 2 h
77 «-7- [/(•* + Л, У) — У(х. y) + f(x — h, у) 1;
0ЛГ2 /I2
0 + Л) — 2/(ДС, 1/) + /(*, у —ft)];
д(/2 /I2
(/(•« +A, y + h) — f(x + h, у — Л)] х X (/(* — Л, у — Л) — / (х — ft, y + h)]; лг~^Г[^л: + 2Л> y)~V(x + h, y) + 2f(x — h, у) —
— f(x—2h, y)]\
y + 2ft) — 2/(jc, у + Л) + 2/(л:, y — h) —
dy3 2h3
— f(x, y — 2h)]\
-Pr^-TrU(x + 2h, y) — 4f(x + h, y) + 6f(x, y)— dxx h*
(14.16)
— 4/(* —ft, y) +f(x — 2h, у) 1;
-^7- « -77-1/ (x, y+2h) — 4/ (*, у + h) + 6/ (x, y) —
— 4/ (x, у — h) + / (x, у — 2ft)];
■ ^ { — « —7- [/(* + ft, у + A) + / (* — ft, у + Л) +
cbr2 d(/2 h*
+ f(x + h,y — h) + f(x — h,y — h) — 2f(x + h,y) —
— 2f(x — h, y) — 2f(x, y + h) 2/(x, y — h) + 4f(x, y)].
В случае плоской задачи функция напряжений ф (х, у) определяется бигармоническим уравнением (8.12), которую в конечных разностях после использования выражений (14.16) .можно представить в следующем виде:
20ф(х, у) —8[ф(* + А, у) + ф(я ft, у) + ф(•*, у + ft) +
+ <f(x, у — h)] + 2 {у(х + h, у + h) + у(х — h, у + h) +
+ (f(x + h, у — Л) + ф (х — h, у — h)] + ц> (х + 2h, у) +
+ <f(x — 2h, у) + Ц>(х, у + 2Л) + ф(л:, у — 2ft) = 0. (14.17)
312
Для удобства запоминания коэффициенты, приведенные в формуле, можно свести в таблицу (рис. 14.01).
При свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения задача, как известно, сводится к отысканию функции напряжения Прандтля F(х, у), являющейся решением уравнения Пуассона (13.14), которое теперь можно представить в виде
4F (х, у) — F (х + h, y) — F(x — h, у) — F (х, у + К) —
— F(x, y — h) = 2h\ (14.18)
Таким образом, при приближенном решении любого приведенного выше уравнения при помощи конечных разностей необходимо рассматриваемые области разбить на участки двумя системами линий, однозначно определяющими все узлы полу-
У
Рис. 14.01. Таблица расположения коэффициентов в формуле (14.17)
и
3 и
5
2
/
2
4
3
1
0
7
1
2
i ) 4 Т 4
1
1
1
с 1 _ У - У
-//-
-—с
-/7-
г——
Рис. 14.02. К отысканию функции Прандтля для квадратной области
чающейся сетки. Относительно всех внутренних узлов сетки составляют соответствующие уравнения и учитывают краевые условия, так как при рассмотрении точек вблизи контура в расчет принимают точки, находящиеся на контуре, а в отдельных задачах — и за пределом рассматриваемой области.
Кручение бруса квадратного сечения. Учет граничных условий рассмотрим на примере^простой задачи, связанной с определением функции напряжения Прандтля для квадратной области, представленной на рис. 14.02. Разобьем квадрат на 16 равных участков, что приводит к 9 внутренним узлам сетки и в общем случае к 9 уравнениям с 9 неизвестными. Однако, учитывая двоякую симметрию системы и соответствующим ,06- разом нумеруя узлы, получим лишь три неизвестных значения функции Fu(0, 0), Z7!(/г, 0), F2(hy h).
313
Относительно трех точек (0, 1, 2) приведем три уравнения* системы (14.18):
4 F0 — F1 — Fl — Fl — F1 = 2h* =
4 Ft — F8 — F0 — Ft — Ft = 2h? =
4 Ft-F.-F.-F.-F^ 2h* = -f.
Из краевых условий этой задачи получаем
Fs = F* = F i = 0.
Совместное рассмотрение полученных уравнений и граничных условий позволяет найти неизвестные значения функции напряжения Прандтля:
F0 = 0,5625а2, = 0,4375а2, Fй = 0,3438а2.
Касательное напряжение туг в точке 3 определяем из соотношения (13.15), а использование конечных разностей позволяет получить
т
У2Я
A F И
0,8750
Gba I •
В соответствии с формулой (13.17) двойной интеграл можно рассматривать как объем области, ограниченной поверхностью F, так что
j j F dxdy = (F о + 4Fx + 4F,) h2 =
= J_ (0,5625 + 4 x 0,4375 + 4 x 0,3438) a4 = 0,9219a4.
4
Из аналитического решения этой задачи получаем следующие значения:
%уг, = 1,350-^р-, ^Fdxdy = 1,125a4.
Расхождения, как видно, составляют 35,2% и 5,6% соответственно.
314
ф При разбиении квадрата на 64 части получаем 10 неизвестных значений функции F. Касательные напряжения xyZi при
1 1 г\ л л Gfta
этом равны 1,1044 ——, а интеграл
^ F dxdy = 1,1087а4.
Разница по сравнению с точным значением составляет 18,2%' и 1,4% соответственно, причем приближенно найденное значение напряжения во всех случаях менее точного.
Приложение метода сеток к плоской задаче теории упругости. Рассмотрим применение метода сеток к исследованию плоской задачи. Значения функции Эри, т. е. ф на контуре можно определить при помощи граничных условий. Для определения значений Ф в узлах за контуром применим экстраполяционные формулы, которые легко получить по графику (рис. 14.03). где точка К расположена на контуре, S — за пределом рассматриваемой области, а С — в пределах последней.
Если продолжить линию С'К? за пределы контура так, чтобы линия S'K' являлась касательной к линии С'К' в точке К\ то получим
S’
Рис. 14.03. К применению метода сеток к плоской задаче
где дифференцирование по п соответствует направлению, перпендикулярному к контурной линии.
Для определения функции ф на контурной линии, а также для отыскания ее производной по нормали целесообразно использовать стержневую аналогию (см. § 8.07) или применительно к области, ограниченной прямыми линиями, так называемую рамную аналогию, предложенную А. П. Синицыным [98], и получившей широкое развитие в трудах П. М. Варвака [11]*. Кратко напомним эту аналогию.
Если рассмотреть плоскую пластину, изображенную на рис. 14.04,а, к контуру которой приложены нормальные оу и ка¬
* См. также Длугач М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Изд-во АН УССР, ин-т Механики, Киев, 1964.
315
сательные тху напряжения, то для этих контурных напряжений аналитически получим
oy = f(x)\ хху =г|>(*).
Полагая массовые силы равными нулю и используя дифференциальные соотношения (8.11), имеем
д2ф дх2
■=/(*);
д2ф дх ду
= V (х),
откуда элементарное интегрирование позволяет получить следующие соотношения:
х
= J / (х) dx + С;
О
х х
-|- Сх -}- D\
дф
ду
(14.20)
Так как величины произвольных постоянных С, D и Е не влияют на напряженное состояние рассматриваемой области (при двойном дифференцировании, необходимом для определения искомых напряжений, они исключаются из окончательных выражений), то, не теряя общности, можно принять их равными
а) б)
Рис. 14.04. Случай плоской пластины (а); рамная аналогия (б)
нулю. Обход контура рассматриваемой области позволяет найти все значения функции напряжения и ее соответствующих производных. На следующем участке можно вновь определить функцию напряжений и найти ее производные, только лишь произвольные постоянные будут уже отличны от нуля и опре¬
316
делятся соответствующими величинами, найденными в конце предыдущего участка.
Подобный путь нахождения функции ср на контуре вполне возможен, но он становится громоздким при сложном очертании контура. В этом случае и следует применять рамную аналогию.
Для ее установления рассмотрим стержневую систему (рис. 14.04,6), очертание которой совпадает с контуром рассматриваемой плоской пластины, имеющей разрез в точке О. Из
уравнений равновесия и дифференциальной зависимости Q=—,
существующей между поперечной силой Q и изгибающим мо^ ментом Л1, получаем
л
J ^у = Qt
о
X
j dx j Gydx = My
о о
x
J Xxy dx — N.
(14.21)
Сопоставление выражений (14.20) и (14.21) позволяет
утверждать что функция Эри, т. е. <р и ее производные
’ дх ду
в точках на контуре равны соответствующим значениям изгибающего момента М, поперечной Q и нормальной N сил в сечениях рамы, очертание которой совпадает с контуром рассматриваемой области. Место разреза не существенно, и оно определяется исключительно удобством и простотой построения эпюр. В отдельных случаях, как это указано в работе А. П. Синицына *, соответствующие эпюры целесообразно строить и в статически неопределимых системах, что приводит к более равномерному распределению эпюр и существенно повышает точность окончательных результатов.
Производная вдоль нормали к контуру для принятых дп
выше обозначений совпадает с производной -^-,так что орди-
ду
наты эпюры нормальных сил в соответствующей точке рамы с точностью до величины и знака совпадают с нормальной производной.
* С и н и ц ы н А. П. Колебания треугольного клина и вибрация плотин. М., издание ВИА, 1960.
\
317
§ 14.06. Последовательность (план) расчета балки-стенки
по методу сеток
Рассмотрим балку-стенку, представленную на рис. 14.05. Число неизвестных при выборе 25 внутренних точек и учете
Рис. 14.05. К расчету балки-стенки по методу сеток
Рис. 14.06. Вспомогательные эпюры М(а) Рис. 14.07. Пример расчета
и балки-стенки
симметрии равно 15. Для определения функции Эри ф на контуре и ее производных построим эпюры М н N, сделав разрез посередине нижнего ригеля, как это показано на рис. 14.06,а и б соответственно. В табл. 8 приведены значения функций ф и про¬
318
изводной на контуре, а также в соответствии с выражением
(14.19) найдены значения функции ср за контуром.
После определения значений ф на контуре и в точках за контуром относительно каждого внутреннего узла следует составить уравнение типа (14.17) и решить полученную систему. Напряжения а*, оу и тХу затем определяют разностными соотно¬
№ точек на контуре
17
18
19
cp/pL2
—0,1
—0,097
—0,0445
0,02
дер
дп lpL
0
0
0
—0,4
№ точек за контуром
27
28
29
30
Ф/pLz
-0,1
—0,097
—0,0445
—0,0467
шениями, полученными из выражений (8.11) после замены в них производных на приближенные значения (14.16).
§ 14.07. Основные результаты исследований некоторых частных случаев нагружения балок-стенок
(плоская задача)
Из примеров, разобранных в § 11.02 и 11.05, следует, что по элементарной теории изгиба, изучаемой в сопротивлении материалов, получаются результаты, отклоняющиеся от действительности и в тем большей степени, чем высота балки больше. Решение, найденное в § 11.02, 11.05 при помощи уравнений теории упругости, будучи уточнением элементарной теории сопротивления материалов, не является совершенно точным, так как граничные условия на торцовых сечениях балки удовлетворяются лишь в интегральной форме (в смысле Сен- Венана).
Для дальнейшего уточнения задачи (а для очень высоких балок это обязательно) на прежние решения надо наложить спе¬
319
циальное решение для случая, когда на левом торце балки действуют взаимно уравновешенные силы. Эта задача (самоурав- новешенное нагружение) оказывается не простой и не всегда ее можно решить точно. Чаще ее решают приближенными способами, изложенными в § 14.02, 14.03, например при помощи вариационных методов.
Таблица 8
20
21
22
?3
24
25
26
0,02
0,02
0,02
0,02
0
0
0
—0,4
—0,4
—0,4
—0,4
0
0
0
31
32
33
34
35
36
37
—0,0467
—0,0467
—0,0467
—0,0467
0
0
0
Если напряжения, получаемые по элементарной теории изгиба, называть (в терминах вариационного метода теории упругости) приближением нулевого порядка, то решение, полученное в § 11.02 (когда граничные условия удовлетворены лишь в интегральной форме), правильнее следует назвать приближением первого порядка. Дальнейшие уточнения (наложение са- моуравновешенного нагружения бипарой) следует уже считать приближением второго или (если выполняется несколько последовательных нагружений) высших порядков.
Ниже приведены результаты расчетов для некоторых частных случаев загрузки высоких балок. Исследования показали, что вполне можно ограничиться расчетами второго приближения.
Для балки-стенки с отношением — =1, нагруженной (рис.
ъ
14.07) по верхней кромке равномерной нагрузкой интенсивностью^, а по нижней кромке уравновешивающей нагрузкой, изменяющейся
вдоль кромки по закону qt = 5q—^-> на Рис- 14.08, а, б, в изображены эпюры напряжений ох, ау и хху в различных вертикальных
320
Рис. 14.08. Эпюры тху для балки-стенки с нагрузкой (рис. 14.07)
а
при отношении — =/ о
Ьж'г Ьиг'г bwt
321
сечениях: х = О, х = х = х = и горизонтальных сечениях = 0, у = ± использованы данные второго приближе¬
ния.
На рис. 14.08,а по сечению х = 0 пунктиром показана эпюра напряжений для ох согласно элементарной теории. Разница между точным и элементарным решениями для нижней кромки (* = 0, у = —Ь) составляет для указанного примера 232%. Эпюра напряжений для оу (рис. 14.08,в), как известно, элементарной теорией вообще не раскрывалась.
На рис. 14.09 показаны эпюры ох по среднему вертикальному сечению (х = 0) для двух относительно крайних случаев: для
высокой балки-стенки с отношением—=1Д (рис. 14.09,а) и для ь
балки средней высоты,
когда отношение — =4 Ь
(рис. 14.09,6)*
а нагрузка прежняя.
6)
д - ■ ■
— й
8,028q
I*
i mu
iZSi'q
Ътй
Рис. 14.09. Эпюры ох по среднему сечению для балки-стенки:
а а *
а — при отношении —*= 1:4; о — при отношении =* 4
322
В случае (рис. 14.09,6) характер эпюры ох аналогичен тому закону, который характерен для элементарного решения (расхождение в крайней нижней ординате составляет всего лишь 3,17%). В случае (рис. 14.09, а) эпюра ох не имеет общего с элементарным решением и в качественном отношении (три нейтральных слоя). В ординатах по точной теории для нижнего волокна (х = 0, у = —Ь) получается результат, отличный от элементарного решения на 1298%.
Проведенные Я. А. Пратусевичем и другими авторами (А. С. Малиевым, М. В. Николаевой) исследования позволяют
сделать вывод о том, что для балок с отношением — =4 и
Ъ
больше можно применять элементарную теорию сопротивления материалов.
Чтобы определить, в какой степени убывают напряжения от сечения, где приложены самоуравновешенные нагрузки, приведем пример балки-стенки, загруженной по нижней кромке на-
j^4
грузкой q(x) = q(l—5 —), уравновешивающейся в пределах
а4
той же кромки (рис. 14.10). Для такого нагружения на рис. 14.11 показаны эпюры оХу оу и тху в нескольких вертикальных и горизонтальных сечениях для случая, когда балка-стенка имеет отношение -7" = 1. о
На рис. 14.12 и 14.13 в балках-стенках [9] при
4q'
ч
fftTlb
1
Рис. 14.10. Пример расчета балки-стенки на действие нагрузки, взаимно уравновешенной по одной кромке
приведены распределения напряжений помощи метода сеток [И]. На рис. 14.12 показан характер распределения по высоте среднего сечения напряжений ох и по среднему горизонтальному сечению, распределение ау для случая загружения квадратной пластинки сосредоточенной силой, приложенной к середине нижней грани. Пунктиром показана эпюра ах, подсчитанная по элементарной теории сопротивления материалов.
На рис. 14.13 показан характер распределения напряжений в среднем вертикальном сечении и в среднем по высоте горизонтальном сечении для треугольной двухопорной балки-стенки при загружении ее сосредоточенной силой, приложенной к середине нижней грани.
323
Рис. 14.11. Эпюры ох< вуЛху пРи нагрузке балки-стенки (рис. 14.10)
324
Рис. 14.12. Квадратная балка-стенка, опертая в крайних точках нижней грани, под действием сосредоточенной силы, приложенной к середине нижней грани
325
§ 14.08. Краткие выводы по главе
Рассмотренные в этой главе приближенные методы решения задач широко применяют в различных областях механики деформируемого тела, и, в частности, для некоторых оригинальных пространственных задач теории упругости. Так, метод Пап- ковича в 1951 году успешно развил М. М. Филоненко-Бородич, который решил классическую задачу об упругой прямоугольной призме, имеющей нормальные и касательные нагрузки по ее граням [115]. В этой задаче корректирующий тензор для параллелепипеда построен при помощи функций косинус-биномов. Это позволило аналитически решить задачу о практической границе локальности эффекта самоуравновешенных сил (принцип Сен- Венана и пр.).
Т. Т. Хачатурян предложил один из вариантов технической теории изгиба толстых плит и оболочек. По этой теории прогиб (или напряжения) в толстой плите представляется в виде суммы двух слагаемых: основного прогиба (или напряжения), полученного по теории тонких плит, и корректирующего члена, причем основные и корректирующий члены берутся из известных результатов классической теории изгиба тонких плит.
Объективная оценка различных вариационных методов в теории упругости (не утратившая своего значения и для настоящего времени) как для линейных, так и для нелинейных задач дана С. Г. Михлиным [61] и [62].
В последнее время рассмотренные в этой главе приближенные методы, и особенно метод сеток, находят также широкое применение и для решения многих геометрически-нелиней- ных задач теории упругости, как-то: изгиб пластинок и оболочек при конечных перемещениях, пологие висячие покрытия и др. Разработано несколько приближенных способов линеаризации исходных для такого класса сложных задач нелинейных уравнений, рассчитанных на широкое использование ЭЦВМ *, установлены наиболее эффективные заменяющие расчетные стержневые системы и др.
Достоинством метода сеток является, конечно, его очевидная физическая сущность, достаточная простота совершаемых процессов и возможность его использования для областей, ограниченных сложным контуром, когда аналитические приемы расчета оказываются чрезвычайно громоздкими. Однако заметим, что метод сеток имеет и существенные недостатки, которые требуют составления и решения большого числа алгебраических уравнений. В некоторой степени этот недостаток можно частично устранить, если воспользоваться методом релаксации, предложенным
♦Дмитриев Л. Г. и СосиеП. М. Программирование расчета пространственных конструкций. Киев, Изднво КГУ, 1965.
326
Саусвеллом. Существо этого метода заключается в том, что путем рассмотрения экспериментов или решения аналогичных задач, предварительных подсчетов или логических соображений устанавливаются значения функций в узлах сетки. Подстановка этих значений не обращает разностные уравнения в тождества и путем разгонки невязки в каждом узле с помощью некоторого «релаксационного оператора» достигается с заданной точностью окончательный результат. С точки зрения математического аппарата метод релаксации можно рассматривать как приближенный путь решения конечно-разностных уравнений.
Более точное численное решение приведенных выше задач можно достичь путем применения уравнений в конечных разностях высших порядков, которые получаются путем использования формулы Ньютона для аппроксимации кривых.
К числу эффективных числовых методов решения задач плоского напряженного состояния следует отнести метод Синицына, по которому расчет некоторой области сводится к рассмотрению отдельных полосок-балок. Силы взаимодействия между этими балками сосредоточены в определенных точках, и их находят из рассмотрения системы канонических уравнений метода сил.
Эффективный метод численного решения бигармонических задач, получивший название метода суммарных представлений, предложен в работах Г. Н. Положего *. В применении к конечно-разностному бигармоническому уравнению по методу суммарных представлений получают решение для внутренних точек произвольной прямоугольной области или в явном виде через краевые условия задачи, или в виде формулы, содержащей небольшое количество параметров, определяемых из соответствую^ щей системы линейных алгебраических уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
[9], [И], [12], [18], [19], [53], [60], [67], [79], [82], [95], [97], [98], [100], [115].
* Положим Г. Н. Числовое решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. Киев, Изд во КГУ, 1962,
Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. Ленинград, 1966*
«Сколько бы ни было точно математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, на коих оно основано»
Акад, А. Я. Крылов
4
РАЗДЕЛ
МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
15
ГЛАВА ИЗГИБ ПЛАСТИНОК
§ 15.01. О прикладной теории упругости
Как известно (см. § 1.01), для большинства задач теории упругости (преимущественно, конечно, сложных) точное их решение оказывается исключительно трудным, а иногда вряд ли возможным. Поэтому в таких случаях приходится применять или приближенное решение самих исходных уравнений теории упругости, или допускать некоторые огрубления при составлении уравнений, принимать некоторые допущения или упрощения, более или менее справедливые лишь для определенного типа конструкции (пластинок, тонких оболочек и др.). Например, пренебрегают второстепенными факторами по сравнению с основными, если имеются опытные или другие данные для возможности такого разделения. Иногда вводят некоторые гипотезы (например, об особенностях характера деформации, причем имеются в виду, конечно, наиболее простые предположения, основанные на опыте с конструкциями, аналогичными исследуемым), и решение оказывается приемлемым для инженерной практики. Выполняемое в таком плане исследование (§ 1.01) обычно относят к прикладной теории упругости, что отражает прикладной характер полученного решения, практически приемлемый лишь для определенного типа конструкции. Обычно на основании опытов или сопоставлений с результатами точных исследований (где это возможно) устанавливаются и границы исходных данных (например, соотношения высоты балки к пролету и др.), отступление от которых в данной задаче не гарантирует допустимой точности расчетов по предлагаемой теории.
330
В этом смысле прикладная теория упругости имеет сходство с обычной теорией сопротивления материалов, но отличается тем, что рассматривает не только одномерные задачи (стержни, стержневые системы), но и двухмерные и трехмерные задачи теории упругости. Одной из характерных задач прикладной теории упругости является задача изгиба плоской пластинки. Вследствие некоторых упрощений геометрического характера задача об изгибе пластинки, как это показано ниже, сводится к двухмерной задаче.
§ 15.D2. Основные определения и гипотезы в технической
теории изгиба пластинок
Плоской пластинкой средней толщины, или тонкой плитой, принято называть упругое тело призматической или цилиндрической формы с малой по сравнению с размерами основания высотой (рис. 15.01).
При практическом применении теории изгиба плит, которая изложена в настоящей главе, необходимо соблюдать следующие пределы:
2
а) отношение толщины к наименьшему другому размеру плиты составляет меньше Ую (хотя теория остается все же применимой, когда это отношение достигает У5);
б) ожидаемые прогибы плиты малы по* сравнению с толщиной. Иногда верхний предел для указанного прогиба составляет У5 толщины плиты.
Если соотношение в размерах плиты не отвечает приведенному условию, то такая плита считается толстой. Систематически разработанной теории толстых плит в литературе не имеется.
331
Если не выдерживается условие «б», то задача усложняется по причине конечных деформаций (а не весьма малых, как предполагается в технической теории изгиба) и по причине влияния на прогиб пластинки тех составляющих реакций опорного контура, которые действуют в плоскости пластинки (распора, цепных усилий и др.). Последние возникают в том случае, когда смещению точек в плоскости пластинки, принадлежащих опорному контуру, препятствуют опорные связи. Пластинки, не удовлетворяющие условию «б», иногда называют пластинками малой толщины или малой жесткости (типа мембраны).
Плоскость, параллельную основанию пластинки и делящую пополам ее высоту, называют срединной плоскостью, а поверхность, в которую она обращается при изгибе,— упругой поверхностью, или изогнутой срединной поверхностью. Линию пересечения срединной плоскости с боковой поверхностью пластинки называют опорным контуром пластинки.
Считая пластинку горизонтальной, направим ось Oz вертикально вверх *, а оси Ох и Оу расположим в срединной плоскости. При изучении изгиба пластинок внешними нагрузками будем считать сначала только поперечные (перпендикулярные к срединной плоскости) и исключим силы, параллельные или находящиеся в срединной плоскости. Случай нагружения пластинки силами в срединной плоскости (если исключить случаи потери устойчивости) составлял бы известную из главы 8 плоскую задачу теории упругости.
Техническая теория изгиба пластинок построена на следующих двух допущениях, существенно упрощающих исследования.
1. Кинематическая гипотеза: совокупность точек, лежавших до деформации пластинки на какой-либо прямой, перпендикулярной к срединной плоскости, остается на прямой, нормальной к упругой поверхности деформированной пластинки. Это допущение, аналогичное гипотезе плоских сечений в технической теории изгиба балок, носит обычно название гипотезы прямолинейного элемента. Считается, что упомянутый прямолинейный элемент при перемещениях сохраняет свою длину.
2. Статическая гипотеза: как и в элементарной теории изгиба балок, пренебрегаем нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной плоскости, возникающими вслед-, ствие взаимного нажатия горизонтальных слоев пластинки друг на друга. Таким образом,’ каждый бесконечно тонкий слой пластинки, взятый параллельно срединной плоскости, можно рассматривать в условиях плоского напряженного состояния.
* В литературе часто ось Oz направляют вниз; положительной поперечной нагрузкой считают также нагрузку, направленную вниз. Однако для увязки с правилом знаков, принятых во всех предыдущих главах, положительный прогиб пластинки, положительное направление оси Oz, положительную поперечную нагрузку считаем направленными вверх.
332
Кинематическая гипотеза, как это показывается ниже, трехмерную задачу теории упругости позволяет свести к более простой двухмерной задаче, а именно к задаче об определении перемещений, относящихся к точке на срединной плоскости (функции от двух координат).
Статическую гипотезу используем лишь для упрощения формул обобщенного закона упругости, а именно применительно
2
Рис. 15.02. Обозначение компонентов напряжений в сечениях, параллельных координатным плоскостям
к обозначениям компонентов напряжений, рис. 15.02, ограничимся таким выражением:
е, = -J (о, - ЦО,);
ги = тК-1*0.)'
показанным на
(15.01)
Вместе с тем ниже получено выражение и для а2 при помощи дифференциальных уравнений равновесия трехмерной задачи теории упругости. В этом смысле статическую гипотезу можно рассматривать не столько как статическое допущение, сколько как математическое упрощение (пренебрежение членами ра2 в формуле (15.01) для гх и ey). Иначе говоря, напряжение oz признается, но оно относится к числу второстепенных.
§ 15.03. Установление выражений для напряжений в пластинке через уравнение ее упругой поверхности
Пластинку предполагаем постоянной толщины и загруженной поперечной нагрузкой р(х,у), распределенной любым образом по ее верхней поверхности (для краткости обозначим
333
ее р). Объемные силы (собственный вес и др.) не рассматриваем.
Применим уравнения общей трехмерной задачи теории упругости с внесением в них тех упрощений, которые допускаются по приведенным гипотезам.
Начнем с использования кинематической гипотезы. Обозначим w прогиб срединной поверхности, т. е. вертикальное расстояние между точкой, взятой на срединной плоскости до деформации, и положением той же точки на упругой поверхности. В связи с допущением о том, что прямолинейный нормальный элемент сохраняет свою длину, обозначенное перемещение w (с точностью до малых высших порядков) является общим для всех точек прямолинейного элемента. Уравнение перемещений точек пластинки, расположенных на линии, параллельной оси Ozy которое в случае толстой плиты является функцией трех координат, т. е. w(xyyyz)y в данном случае тонкой плиты, принимается функцией двух координат w = w(xyy) и для краткости обозначается w.
Ввиду предположения о малых деформациях пластинки по сравнению с толщиной плиты и исключения из рассмотрения внешних сил, действующих в срединной плоскости пластинки, можно считать, что все точки срединной плоскости получают только вертикальные смещения w. Впрочем учет горизонтальных смещений этих точек (составляющие малые высших порядков по сравнению с величиной w) не изменит окончательных выводов. Пренебрежение ими, конечно, упростит последующие выкладки.
Горизонтальные смещения точек, не принадлежащих срединной плоскости, соответственно параллельно осям х и у обозначим и и V.
Из рассмотрения рис. 15.03,6 следует
dw
дх
V
dw
ду
(15.02)
Так как на основании выражения (3.08)
du __ dv
дх ' у ду
ди . dv
v+лГ’
то при помощи формул (15.02) получаем
d2w дх2
d2w
Еу = ~Z ду2
Уху = - 2г
d2w
дхду
(15.03)
334
Выражения (15.03)—геометрические уравнения данной задачи.
Физическими уравнениями будут (15.01) или в обратной
записи
°х = 1 £„а K + EEv).
1 и
°» = . Е (гу + l16*)-
Рис. 15.03. Гипотеза прямых нормалей
Для касательных напряжений согласно (4.02)
_ Е
Хху~ 2(1+ц) Уху~
Последние уравнения при помощи выражений (15.03) полу-! чают вид
ГГ
Ег
/ d2w
+ 1*
d*w \ ш
1 — р2
V дх2
ду2 ) ’
Ег
/ d2w
+ 1*
дРчю \
°у —
1 — [X2
V dif
дх2 ) 9
Ег
d*w
ХХУ ~
1 + ц дх-ду
(15.04)
Законы изменения ах, оу и тху=тух по толщине пластинки согласно (15.04) оказываются линейными, т. е. такими же, как в теории изгиба балок и в теории кручения узкого прямоугольника (рис. 15.04).
335
Из первых двух уравнений равновесия
д&х | отху | дтхг __ Q.
дх ду дг
d'tyx I day I дтуг _ q.
дх ду дг 9
имеем
дххг
_ Ег
.±(
d2w
I
d2w \
дг
1 — Н2
дх V
дх2
ду* )
дх уг
_ Ег
• д {
f dlw
1
d2w \
дг
1 — ц2
ду \
к дх2
г
ду2 У
Рис. 15.04. Распределение напряжений ох, оу, хху и хух по толщине пластинки
Интегрируя эти уравнения, получаем
Ег2
±(
' &W
+ •
) + ф, (х,
У)\
Тхг 2(1 —(х)2
дх \
w дх2
ду* ,
Ег2
• —1
f dPw
+
dPw
^ + Фг (X,
У).
^
уг 2(1— ц)2
ду \
к дх2
ду2 .
Используя граничные условия на верхней и нижней поверхностях пластинки (при z=± ~ величина TXz = Ty2 = 0), получаем
ч>1 с*,
ф2(^.
у) = - у) = -
Eh2
• Aj
( d2w
+
d2w
00
т
''"ьэ
дх '
\ дх2
ду2
Eh2
— (
' d2w
+ ■
<92а;
00
т
;р
to
ду \
. дх2
ду* ,
336
Таким образом,
Е (И2 — 4г2)
--f (
' d*w
+
d*w \
(15.05)
Т" ~ 8(1— Ц2)
дх \
^ дх2
ду2 )'
Е (К1 — Аг‘)
•А(
' cPw
+
d2w \
(15.06)
Xyz~ 8(1— ц2)
ду \
, дх2
ду2 )’
Законы изменения тх2 = т2х и ту2 = тгх по толщине пластинки оказываются параболическими (как и в теории изгиба балок прямоугольного сечения).
Отметим, что все полученные формулы для напряжений
(15.04) — (15.06) выражены через прогиб срединной поверхности. Уравнение этой упругой поверхности в данном случае является как бы разрешающей функцией, т. е. аналогично функции напряжений в плоской задаче теории упругости. Осталось найти это уравнение.
§ 15.04. Вывод дифференциального уравнения упругой
поверхности пластинки
Для того чтобы получить дифференциальное уравнение упругой поверхности пластинки, используем граничные условия, h h Л
а именно при z — — имеем о2 = р, а при z — — — имеем а2 = 0
(предполагаем случай поперечной нагрузки, приложенной к верхней поверхности пластинки и направленной вверх. Если предположить нагрузку на нижней или на срединной поверхности, то это изменит формулу для а2, но не изменит вида окончательного уравнения упругой поверхности плиты).
Найдем выражение для а2. Из третьего уравнения равновесия
дх2Г . дхгу до2 __ q
дх ду дг
имеем
двг_ = дх2Х дх2у
дг дх ду
На основании выражений (15.05) и (15.06)
дхгх _
E(h2
— 4z2)
• -£-[
f d2w
• +
d^w
дх
8(1
-ц2)
дх2 \
^ dx2
dy2
дхгу _
E(h2
— 4z2)
• — 1
' d2w
+ ■
d^w
ду
8(1
— (i2)
ду2 \
, dx2
dy2
337
Таким образом,
doz __ Е (h2 — 4z2) / d2 d2 \ / д2ш , \
~~dz 8(1 — p2) V"^2" + lh?) [ dx2 + dy2 )'
Интегрируя, получаем
_ Ег(к2~1Гг*) f a2 , a2 \{ &w , a2w \ , . .
°z 8(i— n2) V ал-2 ay2 ) ( 5л-2 di+
(15.07)
Используем граничные условия:
( \ Eh3 f . a2 \ / a% a2^ \
(°z Z=,l ~ 24(1 —p2) V 5л-2 + dy2 ) V 5л-2 + ду2 ) +
2
+1|> (x, y) = p; (15.08a)
/ % Eh8 / a2 , аг \ / a% , 5% \ ,
. j 24(1 — p2) V dx2 ^ dy2 ) \ dx2 dy2 ) ^
+ яр (лг, у) = 0. (15.086)
Произведя сложение последних выражений, получаем
2iJ) (х, у) = р,
откуда*
Ч^^ = “2"Р- (15'09)
Согласно выражению (15.07) напряжения oz по толщине плиты (по длине нормального элемента, для всех точек которого x = const и */ = const) изменяются по закону кубической параболы. Эпюра oz имеет вид, показанный на рис. 15.05, в зависимости от того, к какой поверхности (верхней, срединной или нижней) непосредственно приложена нагрузка.
Подставляя (15.09) в (15.08а) или (15.086), получаем искомое дифференциальное уравнение упругой поверхности (изогнутой срединной поверхности первоначально плоской пластинки):
Eh3 / д2 , д2 \/ d2w , d2w \
12(1 — ц.2)Ч~дх2 + 5л-2 + ду2 ) ~р'
* В случае приложения нагрузки к нижней поверхности плиты
Ч>(*. у)
у)-
338
Вводя обозначение
Eh3
= D
(15.10)
12(1 — |ii2)
(так называемая цилиндрическая жесткость при изги-
/ £2 ^2 \
бе пластинки) и раскрывая операцию над выРа"
жением
d2w . “Г
дх2
ду*
)■
окончательно имеем
Рис. 15.05. Распределение напряжений о2 по толщине пластинки в зависимости от плоскости, в которой находится внешняя нагрузка
Выражение (15.11) есть основное уравнение теории изгиба плоской пластинки средней толщины при отсутствии сил в срединной плоскости или сил, параллельных ей. Уравнение (15.11) называют уравнением Софи Жермен. Его записывают короче так:
V2V2££> = —,
D
ИЛИ
V4w =
§ 15.05. План решения задачи по исследованию изгиба пластинок. Условия на опорном контуре
Если для данной конкретной задачи проинтегрируем уравнение (15.11), то по найденному конечному уравнению упругой поверхности w=f(x, у) из выражений (15.04) —(15.07) получим
339
компоненты напряжений в любой площадке, проходящей через исследуемую точку.
Задача интегрирования уравнения (15.11) заключается, очевидно, не только в том, чтобы найти функцию w=f(x, у), подстановка которой в (15.11) удовлетворяла бы последнее уравнение тождественно, но также и в том, чтобы эта функция удовлетворяла условиям на опорном контуре.
Выясним, как составляются эти условия на контуре пластинки, рассмотрев случай прямоугольной пластинки (рис.
15.06) с различными опорными связями. Для левого защемленного конца имеем следующие уело
Рис. 15.06. Составление граничных условий для пластинки
имеет гечцпс уели-
вия: при х=0 и при любом значении у величина w = 0 (отсутствие прогиба) и ^-=0 (отсутствие угла наклона срединной
плоскости по отношению к оси ох).
Для шарнирно опертого контура, т. е. при у = 0 и при х любом, характерно отсутствие прогиба и нормальных напряжений оу по опорному сечению и касательных напряжений ххуу имеющих направление, параллельное оси ох. Касательные напряжения, параллельные оси oz, возможны и необходимы, так как именно они поддерживают пластинку.
На основании формул (15.04) следует, что эти граничные условия аналитически представляются так: при у = 0
w=0\
d2w
1й?
d2w
дх-ду
d2w
дх2
— J0.
= 0;
Как и для случая балки-стенки, рассмотренной в § 11.02, если трудно подобрать уравнение w=f(x,y), удовлетворяющее всем граничным условиям, граничные условия можно несколько смягчить, например, отказавшись от непременного условия ^ = 0. Необходимо лишь, чтобы сумма этих напряжений по толщине пластинки сводилась к системе взаимноуравновешенных усилий, т. е. граничным условиям удовлетворить только в интегральной форме.
На правом свободном крае все напряжения отсутствуют, т. е.
^ух
х = 0.
vzx •
340
т.
На основании (15.04) —(15.06) получаем, что в этом случае, е. при х = а,
d2w
дх-ду
&*w дх2
+ И-
д
И (
дх \
d*w
ду* d2w дх2
В связи с тем, что удовлетворить граничным условиям в интегральной форме легче, чем в каждой точке опорного контура, формулы (15.04) — (15.07) следует преобразовать для напряжений, выразив последние через интегралы напряжений (через интенсивность поперечных сил, изгибающих, крутящих моментов), что и выполнено в § 15.08.
Выше указано, что уравнение упругой поверхности в теории изгиба плоской пластинки является таким же важным, как в плоской задаче теории упругости функция напряжений. Действительно, как в плоской задаче, зная функцию напряжений, можно просто получить выражения для всех компонентов напряжений, так и в теории изгиба пластинок, зная уравнение изогнутой поверхности, легко получить выражения для всех компонентов напряжений, а также (это показано в § 15.08) для компонентов усилий.
Из сопоставления (15.11) и (8.12) заключаем, что и по внешней форме бигармоническое уравнение для функции напряжений в плоской задаче совпадает с однородным бигармониче- ским уравнением (без правой части) изогнутой поверхности пластинки.
Таким образом, функцию напряжений в плоской задаче можно также рассматривать и как уравнение упругой поверхности той же пластинки, поперечный изгиб которой осуществляется поперечными нагрузками (силами и моментами), приложенными по опорному контуру пластинки.
Существует интересная аналогия и в граничных условиях для упомянутых двух сходственных в математическом отношении задач, а именно чисто статическим граничным условиям плоской задачи соответствуют чисто кинематические граничные условия фиктивного поперечного изгиба пластинки; чисто кинематическим граничным условиям плоской задачи соответствуют чисто статические граничные условия фиктивного поперечного изгиба пластинки [42].
§ 15.06. Пример — эллиптическая пластинка, защемленная
по контуру
Рассмотрим эллиптическую в плане пластинку (рис. 15.07) с защемлением, препятствующим прогибу и девиации опорного контура, но не сопротивляющимся сдвижению (см., например,
341
рис. 15.23). Таким образом, усилия, параллельные срединному слою пластинки («цепные усилия»), исключаются по контуру. Эта пластинка имеет равномерно распределенную нагрузку, т. е.
Р (*» У) = Р = const
по всей ее поверхности. Выбирая оси Ох и Оу проходящими через центр пластинки, имеем уравнение контура
у2 f ,2
—+ 1=0, (15.12)
а* Р v
W ■■
где х и у — координаты точек на опорном контуре.
Решаем задачу обратным методом. Зададимся у
выражением прогиба в фор^ ме
/ *2 , у2 , у .
°\а* Ь* )
(15.13)
Вполне очевидно, что на эллиптическом контуре, т. е. при х = х и у = у, согласно
(15.12) прогиб равняется нулю. Уравнение (15.13) отвечает и другому граничному условию о том, что опорный контур защемлен, т. е. изогнутая срединная поверхность на контуре остается горизонтальной. Действительно, дифференцируя, имеем
Рис. 15.07. Эллиптическая защемленным контуром
пластинка с
и при х = х и у = у приведенные производные равняются нулю,
dw dw
а следовательно, равняются нулю и —, и —, где п нормаль
к эллиптическому контуру в рассматриваемой точке, а 5 — касательная к нему же.
Итак, выбранное уравнение упругой поверхности удовлетворяет граничным условиям. Для того чтобы определить, удовлетворяет ли это уравнение исходному дифференциальному урав¬
842
нению, выполним ряд дифференцирований. Опуская промежуточные, приводим четвертые производные:
д4ш —2iw°- ^^ = 24—- d*w = 8 w° дх4 a4 * ду4 64 * дх2ду2 a262
Подставляя эти производные в (15.11), имеем
(15.14)
Так как левая часть равенства (15.14) представляет постоянную величину, принятая форма изгиба пластинки возможна, если p = const, т. е. если нагрузка сплошная и притом равномерная, что и имеется в данной задаче.
Из (15.14) получаем прогиб при х = у = 0, т. е. в центре пластинки
w0
Р
/ 24 16
V а* + а2Ь2
D
(15.15)
Зная w=f(x,y), можно вычислить напряжения. Так, например, на основании (15.04) и (15.05)
^ху
Ег д2ш Ег Sw0xy
1 + р дх-ду 1 + р а262
Е (№ — 4г2) / d»w d»w \ _
8(1—р2) 1 дх» + дхду» )~
_ Е (/г2 4г2) [ол Щ . о w0 ]
8(1 —р2) [ а* + a262 J '
После преобразований последняя формула принимает вид
Xxz = — P
3 (362 + а2) ь»
(За* + 2а262 + 36*) Н»
-X(fl2 — 4 Z2).
Решение этой задачи можно продолжить — вывести формулы для нормальных напряжений и показать, что в центре пластинки (х = у = 0)
а на концах малой полуоси эллипса (х=0, у = Ь) напряжение изгиба #
SEw0
ЬЦ1—ц2) •
343
Это напряжение оказывается для пластинки наибольшим.
В случае круглой пластинки, полагая Ь = а, получаем упрощение. Так, например,
,т«“ -Т*г*(Л2 -422)-
(15.15а)
где заменено х2 + у2 = г2у а для точек срединной поверхности еще проще, а именно
(Ххг)г=0 —
_3
2
В случае бесконечно вытянутой пластинки (а = оо) имеем так называемый цилиндрический изгиб пластинки:
Щ
qb4
24D ’
что соответствует случаю изгиба обычной балки с теми же граничными условиями и нагружением, но с заменой в формулах для прогиба балок изгибной жесткости балки EJ на цилиндри* ческую жесткость
1— [I2
§ 15.07. Пример — свободно опертая прямоугольная пластинка
Рассмотрим случай, когда прямоугольная в плане пластинка со сторонами а и b свободно подвешена по контуру (статически эквивалентна шарнирному опиранию) и имеет нагрузку по уравнению
лх . ли
р0 sin sin ——
а Ъ
Графически такая нагрузка представляется горкой, показанной на рис. 15.08. В качестве первой попытки примем уравнение упругой поверхности, подобное уравнению нагрузки, т. е.
w = Csin sin . (15.16)
а Ь
344
Нетрудно доказать, что уравнение (15.16) удовлетворяет дифференциальному уравнению (15.11) и граничным условиям в перемещениях. Начнем с последнего. Действительно,
л: = О w = 0; у = 0 w = 0;
х = a w = 0; у = b w = 0.
Приведем последовательные производные от w:
d2w дх2
Я2
~~~ а2
d4w
дх4
II
d2w ду2
и
1
*1*
d4w ду4
Я4
~~b4~W*
d4w
я4
= w.
дх2ду2 а2Ь2
Рис. 15.08. Прямоугольная пластинка с нагрузкой в виде горки
Подставляя эти производные в (15.11), имеем тождество (функции от х и у сокращаются)
д‘ (-? + iT Csi0vsl"f - ■staJr ■
откуда
Q Ро
nlD (— + —У
Vo2 62 )
Величина С согласно (15.16) представляет прогиб в центре
плиты, т. е. при х = — и и— — .
2 v 2
345
Подставляя вторые производные в (15.04), заключаем, что но кромкам пластинки отсутствуют нормальные напряжения (а* = 0 при у = 0 и у = Ь и оу = 0 при х = 0 и х = а).
По кромкам пластинки могут действовать вертикальные касательные напряжения тгх (на сторонах, параллельных оси у) и т2у'(на сторонах, параллельных оси х). На основании (15.05)
Так как
Е {И2 — 4г2) / dHw . d?w \
8(1 — р2) \ длг3 дх-ду2 ) *
д:,ш ^ я3 лх . тсу == С — cos — sm —
дх* а3 а b
ТО
т
xz
d'dw дх ду2
= с
Я3
ab2
COS
лх
а
IWzrJ*151 С (-L + -L Vos sin .
8(1 —\х2)а \ а2 62/ а Ь
По сторонам длиной b касательные напряжения распределяются по закону, изображенному на рис. 15.09 (заштриховано). Аналогично можно получить выражение для т2у. Очевидно,
ГЛОСС L £jr>
г
L
h
-4
н
h
i
1
в
1ЛЛ1Г:
'с
2
гн ttf.f
V' "Е
ч ;
НМН;Г
Ei
\:
а
1
-
1
о
Рис. 15.09. Распределение касательных напряжений т2Кпо стороне длиной b
что система напряжений и т2у, действующая по кромкам пластинки, в своей совокупности уравновесит внешнюю нагрузку, действующую на пластинку (поддержит пластинку).
Для нормальных напряжений на основании (15.04) соответ^ ственно имеем
о
У
Ел2(Ь1 + а2[л) (1 — р2) а2Ь2
wz\
Ел2 (а2 + 62р) (1 —-р/2)а262
(15.17)
Наибольших значений нормальные напряжения по толщине плигы достигают на периферии (при z=± ^ ), и эпюра таких
346
максимальных напряжений согласно (15.17) подобна упругой поверхности пластинки. Из (15.17) следует, что кромки пластинки от нормальных напряжений свободны.
Переходим к вычислению напряжений тху на основании
(15.04):
Ez d2w
Tv,. ■— —■ * " •
у 1+Ц дх-ду
Так как
d2w
дх>ду
^ л2 тех лу
= С cos cos —— ,
a2b2 а Ь
ТО
т =
ху
Ez
1 + р
a2b2
■cos
лх
-cos
ny
b
По кромкам пластинки соответственно имеем
(Xxy)v=0 (Тд:у)у=Ь =*
(Хух)х=0 (Тух)х=а ~
Ez
с
л2
лх
cos
а
1 +ц
а2Ь2
Ег
с
л2
лу
cos—J— b
1 + М-
и
а2Ь2
(15.18)
Характер распределения описанных напряжений показан на рис. 15.10. Очевидно, что в пределах каждой кромки, когда х==0, х = а, у = 0, у = Ь, такие наружные касательные напряжения
имеют главный вектор и главный момент, равные нулю, т. е. они статически эквивалентны нулю.
Является ли уравнение (15.18) решением поставленной задачи? Строго говоря, нет, так как согласно заданию пластинка свободно подвешена по контуру. Это означает, что по контуру могут действовать только вертикальные касательные напряжения, имитирующие вертикальные реакции опорного контура. Никаких других напряжений по опорному контуру не должно быть.
347
Однако уравнению (15.18) соответствует наличие на опорном контуре также горизонтальных касательных напряжений. Вместе с тем, поскольку эти напряжения в пределах каждой кромки статически эквивалентны нулю, можно в практических целях принять решение (15.16) и не искать точного и, конечно, значительно более сложного решения.
Может возникнуть сомнение в последнем утверждении, так как правильное использование принципа Сен-Венана предусма-
Рис. 15.1L
тривает размеры площади, на которой действует взаимно уравновешенная нагрузка, очень малыми по сравнению с наименьшим размером тела.
Само собой очевидно, что это не относится к площадям опорных поверхностей (ah или bh). Однако в данном случае применение принципа Сен-Венана все же возможно и именно потому, что рассматриваемые касательные напряжения в пределах толщины пластинки изменяют направление, т. е. они двузначные.
Действительно, рассмотрим элемент опорной поверхности, например, hdx (или hdy). Приходящиеся на такой элемент горизонтальные касательные напряжения составляют пару, имеющую некоторый элементарный момент mdx (т — момент на единицу длины, т. е. интенсивность момента касательных сил по опорному контуру).
Если толщина пластинки мала, то замена элементарного момента mdx от горизонтально направленных сил таким же по величине моментом, но от вертикально направленных сил (рис. 15.11), не изменит существенно область вне опорной плоскости. Фиктивные силы хху (на кромках у = 0 и у = Ь) или ххх (на кромках х*=0 и х = а) можно присоединить к силам х1у и хzx. Условия равновесия пластинки от такого присоединения, очевидно, не нарушатся, так как присоединяемые силы х1Х и xzy в пределах каждой опорной плоскости статически эквивалентны нулю,
348
Примечание. Если закон синусоидального распределения нагрузки задан уравнением
тпх плу р = Ро sin sin —— ,
(15.19)
где тип— целые числа, то, поступая аналогично предыдущему, получим для изогнутой поверхности следующее выражение:
w = -
( т2 п2 \
тлх sin sin
ппу
(15.20)
§ 15.08. Другая форма выражений для напряжений
и граничных условий
Так как согласно (15.04.) нормальные напряжения ох и оуу а также касательные напряжения хху изменяются по толщине пластинки по линейному закону, то, если суммировать указанные напряжения на элементарных прямоугольниках высотой h
Рис. 15.12. Приведение напряжений, параллельных срединной плоскости, к статически эквивалентным им изгибающим и кру- 'тящим моментам
и с основаниями dx и dy, получим статически эквивалентные им моменты (рис. 15.12).
Нормальные напряжения ох и оу приводятся к изгибающим моментам, действующим на элемент пластинки по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Касательные напряжения тху и тух приводятся к крутящим моментам. Эти крутящие моменты для двух взаимно перпендикулярных сечений вследствие парности касательных напряжений равны между собой и противоположны по знаку.
349
Если обозначить интенсивность изгибающих моментов по сечениям х = const и у = const соответственно Мх и Муу а интенсивность крутящих моментов на тех же сечениях Мху и МуХу то для них получаем выражения
h
2
мх = f oxzdz\
~ 2 h_
2
My = Г OyZdz\
2
h_
2
, = —Myx= f т^Лг.
_h_
2
(15.21)
Подставляя в (15.21) выражения для напряжений (15.04), имеем
Мх = — d(
' d2w
+ и- •
d2w
х \
к дх2
dif
m=—d(
' d2w
+ !*■
cPw ■
у V
. ду1
дх2 ,
Л^ = -Я(1-р)
d*w
дх-ду
(15.22)
Напряжения же через интенсивность моментов представятся в виде
Мх му
°х~ j г' ау J
м
■2, Хху =
ху
■г.
(15.23)
где
Формулы (15.23) можно вывести по аналогии с известными формулами из сопротивления материалов, построенными на гипотезе линейного распределения напряжений.
Заметим, что размерность величин Мх, Му и Мху — это размерность силы, а размерность J (погонного момента инерции)—■ длина в третьей степени.
Так как выражения (15.23) приняты для инженерных расчетов, то все данные таблиц и графиков, составленные для расче¬
350
тов пластинок, обычно содержат именно указанные выше погонные изгибающие и крутящие моменты.
Аналогично можно ввести понятие об интенсивности поперечных сил (рис. 15.13) по тем же двум взаимно перпендикулярным площадкам, а именно
2
Qx = f __ h_ "" 2
h-
2
Qy= f xzydz.
J h
2
(15.24)
Puc. 15.13. Приведение касательных напряжений, нормальных к срединной плоскости, к статически эквивалентным поперечным силам
Подставляя в (15.24) формулы для касательных напряжен ний, соответственно получаем
II
о»
— D — 1
дх \
d2w .
, d2w
, дх»
ду2
Q,-
0 — 1
' <52ш)
. d2w
U ду 1
w дх2
ду2
(15.25)
Размерность Qx к Qy — это размерность силы, поделенной на длину (погонная поперечная сила). Очевидно, для касатель* ных напряжений, входящих в (15.24), согласно (15.05) и (15.06) можно дать также используемую в инженерных расчетах формулу
. __ QXSX . т _ Qysy
j ' т*у~ j '
(15.26)
где / — прежнее значение, a Sx и Зу — статические моменты относительно осей х и у части площади сечения пластинки (прямоугольников с единичным основанием), расположенной выше
351
того горизонта, на уровне которого вычисляются касательные напряжения.
В заключение уместно ввести еще одно понятие о так называемой приведенной погонной поперечной силе. Как указывалось выше, касательные напряжения на опорном контуре пластинки, например, при х = а (или при у = Ь) х2Х (или х2у) можно путем использования принципа Сен-Венана условно объединять с касательными напряжениями от кручения, т. е. с гху (илихух). Тогда, очевидно, получим представление о приведенной (условной) силе
На основании (15.24) и (15.22) по краю x = const можно получить
В связи с введением указанных выше понятий граничные условия для свободного края х = а можно представить в виде Мх = О, Ух = 0 или
Таким образом, оперируя понятием приведенной поперечной силы на свободном крае пластинки вместо прежних (§ 15.07) трех граничных условий, можно решать поставленную задачу при условии удовлетворения лишь двум условиям типа (15.28) и (15.29), что вполне достаточно для полного решения задачи.
Рассмотренные выше примеры (§ 15.06 и 15.07) и осесимметричные случаи изгиба круглых пластинок (§ 15.12) характеризуют те случаи изгиба пластинок, где окончательные формулы можно дать в замкнутой форме. В большинстве случаев это не удается и остается решение исходного уравнения находить в форме бесконечного тригонометрического ряда или использовать для решения теорию функций комплексного переменного или, наконец, применять различные приближенные методы. В качестве примера на использование решения в рядах рас¬
(15.27)
и по краю f/ = const соответственно
+ <'5-29>
§ 15.09. Общее решение для прямоугольной
пластинки
352
смотрим пластинку с шарнирно закрепленными краями, загруженную произвольной нагрузкой
Я = /(*,*/)< (а)
Представим функцию f(x,y) в виде двойного тригонометрического ряда
/(,,»)- V^0„„sin^Sin^, (б)
т—1 п=1
!
где коэффициенты ряда [123]
атп = об IJ ^Х’ y^s'xn'!^~s’’m~^Y~dxdy- (15.30)
о о
Произведя согласно (15.30) интегрирование для заданного распределения нагрузки, т. е. для заданной f(x,y)9 найдем коэффициенты ряда (б) и таким образом представим заданную нагрузку как сумму синусоидальных нагрузок.
Прогиб, производимый каждой такой синусоидальной нагрузкой, обследован в § 15.07. Полный прогиб определяется путем суммирования членов, аналогичных (15.16). Итак,
(15.31)
Для частного случая равномерной сплошной нагрузки f(x, у) = q0 = const вычисление коэффициентов ряда упрощается. Можно показать, что в этом случае прогиб пластинки имеет вид
где /л= 1, 3, 5, ... и /г=1, 3, 5, ...» а прогиб в центре
т+п
^тах =
оо оо
■ЕЕ-
(-1)
16?о
nQD / т2 п? \2
(15.32)
353
Этот ряд быстро сходится, и удовлетворительное приближение достигается уже одним лишь его первым членом. Так, для квадратной пластинки по первому члену получаем
w
max
4?о в4 яв£>
Полученный результат отличается от точного примерно на 2,5%.
Наиболее характерные случаи различных граничных условий и характера загружения пластинок разобраны акад. Б. Г. Га- леркиным [20].
§ 15.10. Решение в напряжениях
Кроме решений в двойных тригонометрических рядах, возможны решения и в одинарных рядах. Так, в случае, если два противоположных края пластинки (х = 0, х = а) свободно оперты, можно взять решение в виде ряда
00
чп 1/ тпх , v
w = ^YnSin—^—, (а)
т=1
где Ут— функция одного лишь у.
Каждый член ряда (а) удовлетворяет граничным условиям, т. е. при х = 0 и х = а имеем w = 0 и Мх = 0. Нужно определить Ут так, чтобы удовлетворялись граничные условия на краях
у=± у, а также уравнение изогнутой поверхности (15.11).
В общем случае, когда граничные условия отличны от случая свободного опирания, вместо (а) необходимо принять
w='£YmXin, (б)
т= 1
где Хт — функция одного х, подбираемая в соответствии с граничными условиями пластинки на сторонах х — 0 и х=*а.
Если направление пластинки, совпадающее с осью Ох, назвать поперечным, а совпадающее с направлением Оу — продольным, то, следуя В. 3. Власову, функции Ут назовем обобщенными прогибами, а функции Хт — функциями поперечного распределения прогибов.
Представление поверхности прогибов в виде разложения (б) при конечном числе т означает сведение пластинки к системе с конечным числом степеней свободы в поперечном направлении при сохранении бесконечного числа степеней свободы в продольном направлении. Это означает также приведение двухмер**
354
ной задачи теории упругости к одномерной, так как после нахождения всех т функций Y (функций одного переменного) значения прогибов w(x, у) определятся с известной степенью точности.
Функции поперечного распределения прогиба Хт, аппроксимирующие деформированное состояние произвольной поперечной полоски, вырезанной из пластинки, можно выбрать различными способами, лишь бы эти функции удовлетворяли геометрическим условиям пластинки на продольных краях и были линейно независимыми.
Можно принять за функции Хт фундаментальные функции поперечных колебаний балки постоянного сечения или функции потери устойчивости стержня, или в случае шарнирного опи- рания пластинки на продольных краях тригонометрические функции.
Все приближенные методы решения задач теории упругости, рассмотренные в главе 14, находят самое широкое применение при расчете изгибаемых пластинок.
Кооперирование методов теории упругости с методами строительной механики за последнее время составило специальное отраслевое направление в механике, а именно строительную механику пластинок [42], [70] и [123].
§ 15.11. О методе Бубнова — Галеркина. Пример
Пусть прямоугольная пластинка, шарнирно опертая по контуру, нагружена распределенной по всей площади нагрузкой постоянной интенсивности, т. е. p = const (рис. 15.14). Общее решение такой задачи для прямоугольной пластинки приведено в § 15.09.
Решим эту задачу иначе — путем применения популярного в инженерной практике приближенного метода Бубнова— Галеркина *.
Зададимся уравнением изогнутой поверхности пластинки так, чтобы были удовлетворены только граничные условия., например, примем
w = Csin-^- sin . (а)
а b
Действительно, при таком уравнении для w прогибы и вторые производные от w для всех четырех краев пластинки равняются нулю.
* Общее представление об этом методе дано в § 14.04, Здесь этот метод реализуется на частной задаче изгиба пластинок.
355
Однако, подставляя производные от (а) в левую часть уравнения (15.11), имеем
d*w . 0 д% , д4ш п х ( 1 . 1 V • я* . лу
длг4 дх2 ду2 ду4 \ a2 b2 ) а b
(б)
Таким образом, при выбранном произвольном уравнении для величины ку, хотя и удовлетворяющей граничным условиям задачи, левая часть выражения (б) получена переменной величиной, тогда как по условию задачи она должна быть величиной
ближенного уравнения (для w) дифференциальное уравнение (15.11) не удовлетворяется для всех точек пластинки. Поэтому попытаемся удовлетворить (15.11) в интегральном смысле или в среднем для всей площади пластинки. Для этой цели обе части уравнения (15.11) умножим на принятое приближенное
уравнение для w, т. е. на Csiny-siOy. Проинтегрируем резуль¬
тат по всей площади пластинки и затем приравняем одну инте¬
гральную величину к другой, что составляет в данном случае сущность метода Бубнова—Галеркина.
Итак, имеем
а Ь
+ 2
д% дх2 ду2
w dx dy = J ^ -у w dx dyt ду у о о
или
О о
а ь
- ГГ— Csin-^- sin-^- dxdy.
J J D a b
(в)
0 0
356
Выполняя интегрирование (в), имеем
\2 а Ь __ р 2а 2b
2 2 D я я
Ся4
Г-+-У-
V а2 ^ 62 / •
откуда получаем выражение для постоянной С, выполняющей роль [см. (а)] максимального прогиба пластинки:
С =
р 16
D пв
/1 1 \2
(* + *)
Для случая квадратной пластинки (а = Ь)
С = — — = 0,0454 .
ра4
лб D
£/г3
По точному решению для квадратной пластинки, как указывалось выше (§ 15.09), при р = 0,3 для прогиба в центре пластинки
С = 0,0443-^.
да
Таким образом, приближенное решение отличается от точного увеличением прогиба на 2,5%.
Этот простой метод дает для напряжений большие (а иногда и значительные) расхождения с точным способом. Так, для квадратной пластинки погрешность составляет 11,5%.
Однако по методу Бубнова—Галеркина можно получить лучшие результаты, если при выборе приближенного уравнения функции прогиба w задаться соответствующим комбинированием решений (см. главу 14), т. е.
i=n
w = aiwi■
i=l
Примечание. Если продолжить решение разобранной задачи для вычисления моментов, поперечных сил, реакций опорного контура (что тождественно поперечным силам при x = Q и х=а и при у = 0 и у = Ь), то окажется следующий любопытный результат: опорные реакции контура сводятся не только к распределенным по опорным линиям реакциям, направленным противоположно нагрузке, но и к сосредоточенным силам обратного направления в углах пластинки. Это обстоятельство не изменяет указанного выше решения (как в этом, так и в других сходных задачах) при наличии шарнирно неподвижного опорного контура, но может оказаться существенным, если опорный контур пластинки будет свободно шарнирным в том смысле, что он способен воспринимать реакции только одного направления (случай пластинки, свободно уложенной на опорный контур без связей с последним). В последнем случае углы пластинки могут приподниматься, нарушится непрерывный контакт пластинки с опорным контуром. При таких явлениях приведенное выше решение окажется непригодным.
357
§ 15.12. КругЛая пластинка
Для случая круглой пластинки, защемленной по контуру и имеющей равномерно распределенную нагрузку, решение просто получается из задачи с эллиптической пластинкой (15.06).
В общем случае нагружения круглой пластинки весьма удобно пользоваться полярными координатами г и 0; поэтому все основные уравнения изгиба пластинки преобразуем к полярным координатам по формулам
х = г cos 0; у = г sin 0.
Впрочем, необходимый результат можно получить сразу. Дело в том, что левая часть уравнения (15.11) подобна левой части уравнения (8.12) для функции напряжений (и то и другое уравнения приведены в декартовых координатах). Поэтому для перевода уравнения (15.11) в полярные координаты необходимо использовать (9.27) с заменой в нем ф на w.
Основное уравнение изогнутой поверхности (15.11) примет вид
/ д2 , 1 д_ , 1_ д2 \ / d2w , 1_ dw , 1_ d2w \
\ дг2 ~дг + 7*" 1ю~А № г ~д7~+ аеа )
■jfP (г. 0). (15.33)
В случае когда нагрузка не зависит от 0, т. е. когда она по всем направлениям от центра пластинки распределена равномерно (симметричное нагружение), уравнение упругой поверхности принимает вид
D
/ d*w
2 d*w г dr3
г2
d2w , 1 dw \ /4 /1 г о /I \
1ЙГ + 71Г )~M- (15'34>
Общий интеграл этого уравнения составится из общего интеграла W\ однородного уравнения без правой части, т. е. если р = 0 [здесь можно по аналогии воспользоваться уравнением ■ (9.29)], и какого-либо частного интеграла w2. Последний зависит от характера нагрузки, и если р постоянно (случай сплошной равномерной нагрузки), для него можно вз^ть выражение
Таким образом, общее решение для круговой пластинки при сплошной равномерной нагрузке имеет вид
w = A\nr + Br2\nr + Cr2 + K+. (15.35)
Для сплошной пластинки, т. е. без выреза в средней части, из условий, что при г=0 прогиб w и производные конечны, по¬
358
лучаем, что А = В = 0. Остальные постоянные найдем из граничных условий. Этими условиями будут:
а) если пластинка защемлена по контуру, то при г —a, w = 0,
^ =0. Используя эти граничные условия, получаем выражение (15.15а);
б) если пластинка оперта по контуру, то при г=а величины ш = 0, аг=0# т. е. при г=а
(Pw I И- dw _ Q
дг2 + "7 дГ ~ ’
Приведенные граничные условия справедливы для такого случая следующего уравнения изогнутой поверхности:
(153e)
/V
Рис. 15.15. Круглая пластинка под действием равномерно распределенных по контуру моментов
в) для случая пластинки с шарнирно опертым краем при отсутствии нагрузки р=0, но под действием равномерно распределенного по контуру момента МГ=М (рис. 15.15) граничные условия при г = а, ш = 0 имеют вид
р( d*w ц =
V дг* г дг )
М:
для такой краевой задачи полу* чаем
w =
м
2D (1 + р)
(й2 — Г2).
(15.37)
Некоторые особенности представляют задачи для случая сосредоточенной силы Я, приложенной в центре пластинки. Приводим без доказательства решения. Если пластинка защемлена по контуру, то
<ls-38>
Если пластинка оперта по контуру, то
ш-тМттй(‘,’-г!)-г'1пт]- П539)
359
Для случая пластинки, опертой по контуру и в центре, а также нагруженной сплошной равномерной нагрузкой, необходимое решение получим путем соответствующего комбинирования указанных выше решений.
§ 15.13. Кольцевая пластинка
Для случая кольцевой пластинки (круглой пластинки с вырезом), очевидно, справедливо исходное дифференциальное уравнение упругой поверхности (15.33), а при симметричном нагружении и более простое (15.34). Изменяются лишь гранич-
777^7,. и 1
I
'~OtSQi0jlC
jLlP'l
I
0
"0,0403 фа 2
ЧЛУ
‘1
,.1ПЕ
0,235qa2
.0,375фа |
W
tdlTf
се\
Рис. 15.16. Расчет коль- Рис. 15.17. Характер эпюр w,Mn
цевой пластинки Мъ и Qr для случая кольцевой
пластинки
ные условия, влияющие на значения постоянных интегрирования. Так, для кольцевой пластинки, свободно опертой по внешнему контуру, подверженной действию равномерно распределенной нагрузки (рис. 15.16), можно использовать выражение
(15.35). Но для определения постоянных интегрирования Л, В, С, К необходимо удовлетворить следующим очевидным условиям: г = 6, ar = 0(Afr = 0), Tzr=0(Qr=0) и при г = а, т. е. на опорном контуре Мг=0, величина
О — <7 (яа2 — яб2)
т 2 па
равна погонной опорной реакции.
360
Использование этих условий в (15.35) после упрощений позволяет окончательно получить уравнение упругой поверхности:
ш = -^-{тТ-К3 + ^(1-2Р2) + й](1 — р*) — (1 — р«) —
—felnp— 8(52р21пр) , (15.40)
1 — Р )
Г Q Ь
где р = — , р = — ;
а а
k = р2|з + н, + 4(1 +(X)_£_lnpj .
Используя уравнение для w, очевидно, можно получить выражения для ф= — (девиация), для Мг (радиальный момент),
Me (тангенциальный момент) и Qr (радиальная поперечная сила). После этого можно переходить к вычислениям наибольших напряжений в различных сечениях, а именно
<*г
тг
и* ’
/г2
(v)n
3 Qr 2 h
Характер эпюр для случая пластины с данными а = 180 см, 6 = 90 см, £=1,9-106 н/см2, (1 = 7б (железобетонная пластинка), <7 = 0,8 н/см2 представлен на рис. 15.17.
§ 15.14. Изгиб пластинки под совместным действием поперечных
нагрузок и сил в ее срединной плоскости
Выше предполагалось, что пластинка изгибается под влиянием одних лишь поперечных нагрузок, т. е. силы в срединной плоскости пластинки (или в параллельной плоскости) отсутствуют и, очевидно, опорные закрепления пластинки не препятствуют смещениям опорного контура в этой срединной плоскости.
Если, кроме поперечных нагрузок (рис. 15.18), имеются силы, действующие в срединной плоскости (продольные силы), то они могут оказать заметное влияние на изгиб пластинки. Для гибких пластинок это влияние может быть значительным. Очевидно, что сами по себе «продольные» силы, т. е. силы при отсутствии поперечных нагрузок, поперечного изгиба пластинки не вызовут. В теории упругости это составит задачу на плоское напряженное состояние. Исключение составит случай, когда продольные силы, приложенные на опорном контуре пластинки, будут сжимающими и по величине превысят так называемые критические значения, при которых теряется устойчивость плоской формы пластин (см. § 15.18).
361
Также очевидно, что при наличии поперечных нагрузок эти продольные силы окажут влияние на прогиб пластинки (уменьшат, если продольные силы — растягивающие, и увеличат, если они — сжимающие).
В некоторых случаях достаточно жестких пластинок влияние сил, расположенных в срединной плоскости, на прогиб пластинки от сил, направленных перпендикулярно к срединной плоскости, может оказаться небольшим, и тогда два раздельных реше-
Рис. 15.18. Изгиб пластинки под совместным действием поперечных на~ грузок и сил в ее срединной плоскости
ния (задача на плоское напряженное состояние и задача на поперечный изгиб пластинки) можно суммировать.
Так, обозначая по-прежнему а и v перемещения точек срединной плоскости в направлении осей х и у (т. е. в плоскости, параллельной срединной), a w перемещения тех же точек в перпендикулярном направлении в случае жестких пластинок, получаем
и = щ + и2; v = vt + vz; ■
W = w2,
где Ui(x, у)у V\(x>y)—решения плоской задачи (см. глава 8); и2 = и2(х, yf 2), v2 = V2(x, у, г)— решения задачи о поперечном изгибе пластинки [см. (15.02)]; W2 = W2(x> у) — решение той же задачи [(см. (15.11)].
862
Аналогичные решения можно применить в случае жесткой пластинки и при вычислении напряжений, т. е. воспользоваться принципом независимости действия сил.
При наличии же взаимовлияния продольной и поперечной нагрузок, очевидно,
ифиг + и2\ ифиг + v2\ 1Юфха)г.
(15.41)
Точно так же для гибких пластинок нельзя использовать закон сложения отдельных действий и для подсчета напряжений.
Если при поперечном изгибе пластинки напряжения ах, <ту, тХу, взятые со всей толщины пластинки, приводятся (§ 15.08) к изгибающим (Afx, Му) и крутящим моментам (Мху = Мух), т. е. к парам, то при наличии сил, параллельных срединной плоскости пластинок, эти напряжения приводятся не только к парам, но и к силам.
Для этой цели вводим следующие обозначения внутренних усилий на единицу длины (погонные силы):
h_
2
Л
О*
dz = Nx,
2
(15.42)
Выражения (15.42) называют интенсивностями сил, действующих в срединной плоскости (их размерность — сила, деленная на длину).
Для опорного контура пластины, очевидно, Nx, Ny> Nxy составляют внешние силы, приходящиеся на единицу длины (рис. 15.18).
§ 15.15. Вывод дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки при наличии сил в срединной плоскости
Если задачу об изгибе пластинок при совместном действии поперечных и продольных сил решать по классической теории упругости и, в частности, при выводе дифференциальных уравнений равновесия исходить из первоначальной, т. е. недеформи- рованной, формы элементарного параллелепипеда, то теряется
363
взаимосвязь во влиянии поперечных нагрузок на деформации от продольных сил, и наоборот. Иначе говоря, решение разобьется на два независимых решения: от продольных сил (это будет обычное плоско-напряженное состояние, см. § 8.01—8.03) и от поперечных сил (решение, изложенное в § 15.03 и 15.04).
Рассматриваемая задача характерна именно для нелинейной теории упругости (нелинейность понимается в геометрическом смысле) и в этом плане только и может быть решена строго.
Не будем приводить всего комплекса исходных уравнений нелинейной теории упругости, так как для получения решения, приемлемого для практических целей (следовательно, не абсолютно точного), достаточно внести поправки только в дифференциальные уравнения равновесия (3.04). Эти уравнения следует вывести, исходя из деформированной формы элементарного параллелепипеда. Последовательность вывода аналогична с изложенной в § 15.03 и 15.04.
На рис. 15.18 (внизу) показаны две проекции элементарного параллелепипеда с учетом того, что компоненты напряжений, первоначально параллельные срединной плоскости пластинки, в связи с ее изгибом оказываются уже не параллельными друг
Выдерживая характер исследования, свойственный прикладной теории, логично допустить, что все параллелепипеды, принадлежащие одной нормали (т. е. имеющие общие координаты х и у), искривляются одинаково. Их срединная плоскость при искривлении оказывается параллельной искривленной срединной поверхности пластинки. Эго позволит ограничиться применением все же линейных уравнений (15.43), хотя и отличных от (15.11).
Если при составлении уравнений равновесия пренебречь малыми величинами выше третьего порядка малости, то первые два дифференциальных уравнения равновесия (2Z = 0; 2У=0) после упрощений ничем не будут отличаться от ^3.04). Существенные изменения претерпит третье уравнение (2Z = 0).
В результате изгиба пластинки между направлениями компонентов а*, оХу тХу, действующих на противоположные грани элемента, образуются малые углы. Так, проекция напряжений ох на ось Oz позволяет получить
После упрощения, если пренебречь малыми величинами выше третьего порядка малости, эта проекция получает такое выражение:
другу.*
— о,
X
ox—-dxdydz-\- dxdydz.
дх2 дх дх
(а)
364
Аналогично выразится проекция напряжений ау на ось Ог:
о д w dx dydz + дву dxdydz. (б)
у дф J ду ду *
Для проекииии касательных напряжений гху на ось Ог уклон изогнутой срединной поверхности элементарного параллелепипеда в направлении Оу на двух противоположных гранях элемента выразится
dw и / dw d2w i \
производными на одной грани и [ 1 ах ) на другой
ду \ ду дх-ду J
грани. В результате для проекции на ось Ог получим
'-’~i^dxdyd!+
дх
dx dy dz.
ду
Аналогично получаем для проекции на ось Oz и напряжений тух. Окончательное выражение для проекции напряжений тХу и туХ на ось Oz представится в виде
2т dxdydz + р- dx dy dz + pS- — dxdydz. (в)
y dx dy dx dy dy dx
Проекции на ось Oz остальных напряжений, а именно — Xzx* Tzy, ог, можно выразить без изменений относительно {3.04). Таким образом, окончательное уравнение равновесия на ось Oz после сокращения у всех членов уравнения множителя dx, dy, dz имеет вид:
d2w
dx2
+
дох
dx
dw , d2w
b Gu
dx y dy2
+
до у dw ,
~dy dy
, 2x d2w -L. dw dxxy dw
xy dx dy dx dy dy dx
| Г dx2X | dxzy | do2 1 g
L dx dy dz J
(Г)
Выражение в скобках является уравнением равновесия (3.04). Если повторить все проведенные выше (§ 15.04) выкладки, то, очевидно, в отличие от (15.07) получим
365
В последнем выражении интегралы можно взять по всей
h h гч
толщине пластинки, т. е. от z = —до z = . Это изменит по-
2 2
стоянную интегрирования, завуалированно присутствующую в я|)(х,у). Далее придем к заключению, что, по-прежнему,
♦ (*. у) = -£-Р-
Учитывая обозначения (15.42), а также то, что следующие интегралы, взятые по всей толщине пластинки, очевидно, равны нулю *:
L А
2 2
£*я-\<1г = О,
ду )
^-\dz = О,
дх )
(е)
вместо (15.11) получим из (д) следующее окончательное дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки:
d*w
~дх*
+ 2
д4ш дх2 ду2
+
d4w
~ду*
—I D
(~P + NX
d2w дх2
+
+ 2 N
d2w
ху
дх ду
■ + N ц
d2w \ ду2 У
(15.43)
Уравнение (15.43) и следует использовать вместо уравнения
(15.11) при определении прогиба пластинки, если, кроме поперечных нагрузок, она подвергается еще и действию сил в ее срединной плоскости.
§ 15.16. Устойчивость прямоугольной пластинки, свободно опертой по четырем сторонам и сжатой в одном направлении
Пусть пластинка свободно оперта по сторонам х = 0, х = а, у = 0 и у = Ь, причем а>Ь. Она подвергается действию продольных сжимающих сил по коротким сторонам (рис. 15.19). Вычислим, при каких значениях сжимающих сил пластинка потеряет устойчивость. Предположим, что выпучивание пластинки происходит по уравнению
w = С sin sin —(15.44)
а b
т. е. в направлении длинных сторон имеем синусоиду с т полуволнами (т — целое и неизвестное число), а в направлении короткой стороны с одной полуволной.
* В этом легко убедиться, если «вырезать во всю толщину пластинки элемент с размерами граней dx, dy и h и к нему применить уравнения равновесия (8.0Ц 2Х = 0, 2У=0.
366
Уравнение (15.44) удовлетворяет граничным условиям, так как при х = 0, х=Ь, у = 0, у = Ь перемещение w равняется нулю.
Выражение (15.44) удовлетворяет и исходному дифференциальному уравнению изогнутой поверхности (15.43). Действительно, дифференцируя (15.44), имеем
d2w т2п2 d4w т4я4
дх2
а2
- W,
дх4
а4
■ W\
d4w
я4
= W,
ь4
d4w
т2я4
W.
dyi
дх2 ду2
~~ а2Ь2
Подставляя (а) в (15.43) и учитывая, что в данном случае Nv = Nxy = 0, a Nx = —iVKp, видим, что уравнение (15.43) удовлетворяется, так как функция w в уравнении сокращается.
Рис. 15. 19. К задаче по упругой устойчивости пластинки
Итак, получаем следующее тождество: т4л4 . о т2я2 , я4 1 д.
а4 a2b2 b4 D
кр
т2я2
откуда
или
где
JVk р =
пЮ
а2
[т‘ + 2^ +
—1
b4m2 J
Л^кр =
Я2Р
а2
k = m2 + 2—+
ь2
а4
Ь4т2
(15.45)
(15.46)
Остается обследовать выражение (15.45) на минимум. Уч. тем, что по смыслу задачи (граничные условия) т может при¬
367
нимать только целые положительные значения. Так, для квадратной пластинки (а = Ь) минимум (15.45) получается при т= 1, и таким образом, в этом случае
Соответственно критическое напряжение в пластинке, переход через которое вызывает ее упругое выпучивание, равно
^кр —
Мф
h
л2Е / h \а 3 (1 —р2) Ч а ) '
§ 15.17. Двустороннее сжатие прямоугольной пластинки
Пусть рассмотренная выше пластинка подвергается сжатию в двух направлениях силами, величина которых на единицу длины опорной кромки соответственно Nx и Ny (рис. 15.20), Пусть между последними сохраняется определенное соотношение Ny=aNx.
Положим а>Ь и а<1.
В качестве попытки примем уравнение выпучившейся пластинки в виде
.о . тлх . илу
W = С Sin Sin —2-,
а Ъ
(15.47)
где тип — целые неизвестные числа.
Уравнение (15.47) удовлетворяет граничным условиям. Так как при * = 0, х = а, у = 0, у = Ь, по (15.47) получаем w = 0.
Выражение (15.47) удовлетворяет и исходному уравнению, так как, дифференцируя его и подставляя производные в (15.43), имеем тождество
1111Ш-ЩЩ
Y
:
г
_ll
тшлтггг^
N3
Рис. 15.20. Двустороннее сжатие прямоугольной пластинки
т4я4 , 2 I n4jt4
а4 ^ а2Ь2
D
т2я2
а2
+ а^Х
п2 л2
Ь2
откуда
Nx = я 2D
тп
ab
(тТ(тУ^Чу)Хт
mb , п
Ь а
па т
а
~Ь
(15.48)
368
Для случая квадратной пластинки и одинаковых в двух направлениях сжимающих усилий последнее выражение упрощается и принимает вид
NKp
= n2D
2ота
а2
Наименьшее значение для NKp имеем, очевидно, при m= 1, т. е. окончательно
NKp = 2я2-^-. (15.49)
§ 15.18. Основные результаты из теории устойчивости
пластинок
Приведем окончательные результаты для некоторых характерных задач теории упругой устойчивости пластинок.
Если рассмотренную выше свободно опертую прямоугольную пластинку подвергнуть по краям касательным усилиям Т9
Рис. 15.21. К задаче на устойчи- Рис. 15.22. К задаче на устойчивость от
вость от касательных сил касательных сил (второй случай)
то при постепенном увеличении этих усилий при некотором их значении 7,кр=тКрЛ может произойти выпучивание (рис. 15.21). Пластинка подразделяется обычно на полуволны, схематически показанные на рис. 15.21 внизу. В этом случае оказывается, что
т
кр —
я2Е
12 (1 — |х2)
(15.50)
где коэффициент kx зависит от отношения длинной стороны к короткой и в частном случае — = 1, kx = 9,34. При — = 3 этот
369
коэффициент достигает значения k1 = 6,04; при у = оо он равен kx = 8,98.
Для пластинки, жестко закрепленной двумя параллельными кромками и свободно опертой двумя другими (рис. (15.22), kx = 14,58
при — = 1 и kx = 8,99 при — = оо.
b ь
Для сжатой эллиптической пластинки с жестко закрепленным от поворота контуром (рис. 15.23)
Л^кр = К (15.51)
где в зависимости от отношения полуосей — коэффициент k изме-
ъ
няется. Так, при — = 1 коэффициент kx = 14,79, а при — = 4
ъ ь
Рис. 15.23. Сжатие эллиптической Рис. 15.24. Сжатие круглой, свободно пластинки опертой пластинки
величина kx = 11,15 (значения коэффициентов подсчитаны для [А = 0,3).
Для свободно опертой круглой пластинки, сжатой равномерным нормальным давлением (рис. 15.24),
где & = 4,191.
(15.52)
370
В случае круглой жестко закрепленной пластинки (рис.
15.25) значение коэффициента k другое, а именно k= 14,68.
В случае кольцевой пластинки со свободным опертым контуром (рис.
15.26)
где в зависимости от отношения — (радиуса отверди
стия к радиусу пластины) коэффициент k изменяет свое
значение. Так, при — = а
= 0,3 коэффициент k = 3,1
и при — = 0,5 величина а
k = 2,5.
В случае жестко закрепленного контура (рис.
15.27) Л = 14,4 при — =
а
= 0,3 и k = 24,9 при — =
а
=0,5.
§ 15.19. Краткие выводы по главе
1. Техническая теория изгиба пластинок имеет в виду жесткую пластинку или, точнее, пластинку средней толщины, когда можно принять гипотезу о прямолинейном нормальном элементе и когда ожидаемые прогибы пластины весьма малы, а нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной плоскости, можно отнести в разряд второстепенных. В этом случае расчет пластины сводится в основном к решению линейного дифференциального уравнения изогнутой упругой поверхности пластинки (15.11), удовлетворяющего также граничным условиям.
2. Зная уравнения упругой поверхности пластинки, вычисление любого компонента тензора напряжений или деформации является элементарной задачей, требующей сложения частных производных от выражения изогнутой поверхности (15.04) —
(15.07). В этом смысле уравнение упругой поверхности является своеобразной разрешающей функцией.
3. Наличие сил, параллельных срединной плоскости пластинки средней толщины, как правило, оказывает влияние на
Рис. 15.25. Сжатие круглой, жестко закрепленной пластинки
Рис. 15.26. Сжатие кольцевой пластинки
Рис. 15.27. Сжатие кольцевой пластинки
371
изгиб. Это отражается в том, что исходным уравнением в данном случае является иное, нежели (15.11), а именно (15.43). Для весьма жестких пластин (толстых плит) указанным влиянием продольных сил на изгиб можно пренебречь, и в таком случае задача распадается на две независимые: плоское напряженное состояние и самостоятельный поперечный изгиб. В первом случае исходным является бигармоническое уравнение для функции напряжений Эри, а во втором — уравнение Софи- Жермен.
4. Для пластинок средней и малой толщины при определенных значениях сжимающих сил, действующих в срединной плоскости этих пластинок, может наступить явление потери устойчивости первоначально плоской формы пластинки. Для определения параметров таких критических сил исходным уравнением является (15.43).
5. В случае если прогиб пластинки, найденный при помощи
(15.11) , оказывается немалым, соизмеримым с толщиной пластинки, то приведенное решение следует считать неточным, так как в этом случае исходное уравнение изогнутой поверхности пластинки (случай гибких пластинок) является иным, нежели
(15.11) , и основываться оно должно на нелинейной теории (теории конечных деформаций). Также неприменима разобранная теория [уравнения (15.11), (15.43) ^последующие] в случае толстых плит, так как здесь оказывается неприменимой гипотеза прямолинейного элемента, и приведенные в п. 1 второстепенные напряжения становятся соразмерными со всеми остальными.
ЛИТЕРАТУРА
[4], [9], [11], [18], [19], [20], [26], [31], [42], [56], [70], [76], [79], [100], [104], [107], [109], [123].
16
ГЛАВА
ИЗГИБ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ТОНКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 16.01. Основные понятия и допущения в технической теории
изгиба тонких оболочек
Под оболочкой в механике деформируемого тела понимают тело, форму которого в ненагруженном состоянии можно охарактеризовать следующим образом. Представим себе ограниченную каким-либо контуром К криволинейную поверхность /\ которую назовем срединной поверхностью (рис. 16.01). Во всех точках такой срединной поверхности проведены нормали к ней и на этих нормалях, называемых прямыми нормалями, по обе
стороны от F отложены отрезки длинойКонцы этих отрезков
образуют поверхности, называемые боковыми поверхностями оболочки (внешней и внутренней).
Оболочку называют тонкой, если ее толщина h значительно меньше (в 20 и более раз), чем прочие размеры. Толщина оболочки может быть постоянной или переменной. Направления нагрузок, приложенных к оболочке, могут быть какими угодно.
В зависимости от формы срединной поверхности оболочки и от контура можно различать оболочки с открытым или замкнутым контуром, куполообразные (оба главных радиуса кривизны срединной поверхности одного знака), сферические (оба главных радиуса кривизны срединной поверхности одинаковы), гиперсферические (главные радиусы кривизны одинаковы, но разного знака), цилиндрические оболочки (один из главных радиусов равен бесконечности) и т. д.
373
При расчетах на прочность тонких оболочек в зависимости от характера очертания срединной поверхности оболочки (плавное или неплавное), от закона распределения нагрузок по поверхностям оболочки (более или менее равномерно распределенная или с явно выраженной концентрацией — сосредоточенные силы и др.) и от опорных закреплений применяют или упрощенную так называемую безмоментную теорию или более строгую — моментную теорию.
Безмоментная теория строится на основе допущения, что оболочка не сопротивляется нормали возникают лишь напряжения, параллельные касательной плоскости (имеющей отношение к рассматриваемой прямой нормали) к срединной поверхности и якобы равномерно распределенные по толщине оболочки.
При таких предположениях задача о нахождении напряжений в оболочке становится статически определимой, а сами напряжения в таком случае обычно называют мембранными.
Известная из общих курсов сопротивления материалов формула для расчета напряжений в тонкостенных сосудах, находящихся под внутренним давлением (так называемая котельная формула), является частным случаем безмоментной теории.
Для оболочек с плавно изменяющимися параметрами (в очертании, в нагрузке и др.) по безмоментной теории получаются удовлетворительные для практики результаты. Она, однако, оказывается неудовлетворительной при расчете напряжений в местах, где нарушается плавность формы оболочки: у краев, в местах сопряжения частей различной кривизны, в окрестности приложения почти сосредоточенных давлений и т. д.
В таких случаях используют моментную теорию. Однако сложность такой постановки требует принимать некоторые допущения, в общем сходные с теми, которые известны из теории изгиба пластинок.
Эти допущения следующие:
а) прямолинейные отрезки, которые до деформирования были нормальны к срединной поверхности, остаются и в процессе деформации оболочки прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности (гипотеза прямых нормалей), а их линейные размеры не изменяются;
изгибу и в каждой точке прямой
Рис. 16.01. К определению оболочки
374
б) часть компонентов тензора напряжений признается основной, а другая часть — второстепенной. Это означает, что при вычислении деформаций влиянием некоторых напряжений пренебрегают, хотя их существование признается и в последующем расчете они определяются.
В настоящей главе рассматриваются преимущественно круговые цилиндрические оболочки при осесимметричном нагружении.
§ 16.02. Дифференциальные уравнения изгиба образующей, симметрично нагруженной замкнутой цилиндрической оболочки
Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, осесимметрично нагруженную радиальной нагрузкой (например, наружное или внутреннее давление р, которое в общем случае вдоль образующей оболочки может и изменяться). На эту оболочку
могут также действовать растягивающие (или сжимающие) силы, равномерно распределенные по торцам оболочки 50, и усилия, также приложенные к торцу, но сводящиеся к радиальным перерезывающим силам интенсивностью Q0 и к изгибающим моментам интенсивностью Af0, равномерно распределенным вдоль окружности трубы (рис. 16.02). Возможно и наличие осевых (объемных) сил qt симметрично распределенных относительно оси оболочки.
Ось z цилиндрической системы координат направим вдоль оси оболочки.
Для решения поставленной задачи можно воспользоваться системой дифференциальных уравнений (10.01) — (10.03) и
Рис, 16.02. Осесимметричное нагружение цилиндрической оболочки
375
(10.05) — (10.09), которые справедливы при любой толщине оболочки и любом очертании меридиана.
Однако, поскольку оболочка тонкая и цилиндрическая, решение поведем иначе, используя указанные в предыдущем параграфе допущения, а именно: а) изменение толщины оболочки в процессе деформации мало по сравнению с ее прогибом в радиальном направлении, так что
ы(г, 2)«Ы(/?, г),
где R — радиус срединной поверхности;
б) осевые аг и тангенциальные а в напряжения считаем основными, а радиальные ог и касательные напряжения тГ2 — второстепенными. Это позволяет в формулах, определяющих зависимость между деформациями и напряжениями
е2 = -^-[а2 — И°