/
Автор: Верлань А.Ф. Сизиков В.С.
Теги: электротехника математика интегралы интегральные уравнения вычислительная математика
Год: 1986
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ
А.ФВерлань
B.CCU3UKOB
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
МЕТОДЬ
АЛГОРИТМ
ПРОГРАММЫ
Справочное
пособие
КИЕВ
НАУКОВА ДУМКА
1986
УДК 621.372.06
Изложены методы приближенного и численного решения широкого
класса интегральных уравнений, описаны алгоритмы и программы. Представ-
Представлены в доступной для практического применения форме методы приближен-
приближенного и численного решения основных классов интегральных уравнений: тра-
традиционные (методы квадратур, итераций, резольвенты, вырожденных ядер,
моментов, коллокации, преобразования Фурье, собственных функций и др.),
эффективные, главным образом, при решении уравнений второго рода, а также
новейшие регулярные, или робастные (методы Тихонова, Лаврентьева, Ива-
Иванова, Фридмана, Бакушинского, Калмана, Винера и др.), обеспечивающие
устойчивость решения уравнений первога рода. Приведены три пакета про-
программ (на АЛГОЛе-60, ФОРТРАНе и ПЛ-1), предназначенных для решения
уравнений Вольтерры I и II рода и Фредгольма I, II и III рода.
Для специалистов по прикладной и вычислительной математике, вычис-
вычислительной технике, инженеров и исследователей, аспирантов и студентов,
занимающихся постановкой и решением задач математического моделирова-
моделирования, изучением и применением методов вычислительной математики.
Ответственный редактор
Г. Е. ПУХОВ
Рецензенты
Е. Л. ЮЩЕНКО, В. В. ИВАНОВ, В. А. МОРОЗОВ
Редакция справочной литературы
1702070000-003
М221@4)-86
(с\ Издательство «Наукова думка», 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Основные типы интегральных уравнений (9). Область приложения интегральных урав-
уравнений A1). Общая характеристика приближенных методов A3). Краткие сведения о пу-
публикациях A6).
Глава 1. Методы решения уравнений Вольтерры II рода 19
1.1. Вводные сведения об уравнениях и их приложении 20
Типы уравнений B0). Примеры приложения B2)
1.2. Применение резольвенты и эквивалентных преобразований 24
Резольвента и ее применение B4). Эквивалентные дифференциальные уравнения B9).
Преобразование к уравнению первого рода C5)
1.3. Метод квадратур 35
Особенности применения квадратур C6). Аппроксимирующие системы конечных урав-
уравнений C8). Применение формулы трапеций D1). Случай вырожденного ядра D3).
Применение квадратурных формул открытого типа D9). Системы интегральных урав-
уравнений E2). Применение квадратурных формул высокого порядка точности E3). Решение
двухмерных уравнений E9)
1.4. Применение метода Рунге—Кутты 60
Аналог метода Рунге — Кутты F1). Двусторонний метод типа Рунге— Кутты F7)
1.5. Итерационные методы , 71
Метод простой итерации G1). Метод Ньютона—«Канторовича G5). Метод осреднения
функциональных поправок G9)
1.6. Применение сплайнов и кусочно-гладких полиномов 84
Кубические сплайны (84). Аппроксимация ядра, метод квадратур (85). Нелинейные урав-
уравнения, итерационный метод (88). Применение кусочно-гладких полиномов (90)
1.7. Операционный метод 94
Уравнения типа свертки (94). Преобразование Лапласа, оригиналы и изображения функ-
функций (94). Операторное уравнение (96). Два способа приближения при прямом и обрат-
обратном преобразованиях (97). Системы уравнений A01). Уравнение с пределами (х, -4-°°)
A02). Иитегродифференциальные уравнения A04)
Глава 2. Методы решения уравнений Вольтерры 1 рода 106
2.1. Сведения об уравнениях, их приложении и особенностях "задачи их решения 106
Типы уравнений A06). Характерные примеры прикладных задач A07). Специфика задачи
решения уравнений Вольтерры I рода (НО)
2.2. Приведение к другим типам уравнений 115
Приведение к уравнениям второго рода A15). Приведение к дифференциальным урав-
уравнениям A17)
2.3. Метод квадратур ^ 120
Общий подход A20). Алгоритмы на основе формулы трапеций A21). О других алгорит-
алгоритмах A24)
2.4. Методы регуляризации 126
Метод регуляризации Тихонова A26). Метод регуляризации Тихонова применительно
к уравнению типа свертки A27). Метод регуляризации Денисова A28). Метод (/г, а)«
регуляризации Апарцина A29). Метод регуляризации Сергеева A30). Метод регуляри-
регуляризации Магницкого A32)
2.5. Метод коллокации " 134
Общая схема A34). Применение кусочно-гладких полиномов A35)
2.6. Операционный метод 137
Глава 3. Методы решения уравнений второго рода с постоянными пределами инте-
интегрирования * . . 139
3.1. Основные типы уравнений, их свойства и характерные приложения . • ¦ 139
3
Линейные уравнения A39). Нелинейные уравнения A42). Некоторые приложения A43).
Резольвента A48). Связь с краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных
уравнений A52). Функция Грина A53). Решение краевых задач с помощью функций
Грина A55)
3.2. Метод квадратур 157
Общая схема для линейных уравнений A57). Особенности применения квадратурных
формул A59). Общая схема решения нелинейных уравнений A66). Алгоритмы реше-
решения двухмерных уравнений Фредгольма II и III рода A67)
3.3. Метод вырожденных ядер 169
Неоднородные линейные уравнения A69). Однородные линейные уравнения A72).
Нелинейные уравнения A73). Способы аппроксимации ядер вырожденными A74).
Алгоритм и программа получения приближенного решения A79). Оценка погрешности
A80)
3.4. Итерационные методы 183
Процесс последовательных приближений A83). Метод простой итерации A84). Комби-
Комбинация с методом вырожденных ядер A86). Метод Положего A87). Аналог метода
Зейделя A87). Нелинейные уравнения A89). О численной реализации A89). Метод
осреднения функциональных поправок A90). Метод Ньютона—Канторовича A98).
Метод Эйткена — Стеффенсена B01)
3.5. Проекционные методы 203
Общие принципы B03). Метод наименьших квадратов B04). Метод Галеркина — Пет-
Петрова B06). Метод Бубнова — Галеркина B08). Метод моментов B11). Метод колло-
кации B13)
3.6. Применение интегральных преобразований 214
Применение преобразования Фурье B14). Применение преобразования Меллина B16)
3.7. Специальные методы отыскания характеристических чисел 219
Метод Ритца B19). Метод следов B20). Метод Келлога B21)
Глава 4. Численные методы решения уравнений первого рода с постоянными преде-
пределами интегрирования 223
4.1. Основные типы уравнений и специфика их решения 223
Типы уравнений B23). Понятие корректности и некорректности B24)
4.2. Прикладные задачи 225
Задача восстановления сигнала B25). Восстановление сигнала в теории автоматиче-
автоматического управления B25). Обработка изображений (иконика) B26). Редукция наблюде-
наблюдений микрообъектов за аппаратную функцию системы B26). Редукция измерений за
характеристику направленности антенны B26). Задача спектроскопии B27). Опти-
Оптимальная линейная фильтрация B27). Определение фононного спектра кристаллов по
теплоемкости B28). Амплитудный синтез непрерывной антенны B28). Редукция про-
профилей линии 21 см межзвездного водорода в галактиках за остаточные скорости его
частиц B28). Определение функции распределения истинных конфигураций тройных
звезд B29). Интерпретация кривых блеска затменных звездных систем B29). Метод
граничных интегральных уравнений B30). Обратная задача гравиметрии B31). Опре-
Определение профиля скорости звука в среде по временам его распространения B31).
Другие задачи B32). Историческая справка B33)
4.3. Метод регуляризации Тихонова . 235
Условная корректность B35). Регуляризирующий оператор B35). Точное решение,
псевдорешение и нормальное решение B36). Регуляризованное операторное уравне-
уравнение B37). Оценка ошибки решения B39). Регуляризованное интегральное уравнение
B40). Обобщенный принцип невязки выбора а B42). Другие способы выбора а B45).
Численный алгоритм B49). Программы B51). Нелинейное уравнение B53)
4.4. Метод регуляризации Тихонова для уравнений типа свертки 256
Одномерные уравнения типа свертки B56). Классическое решение B56). Решение
в пространстве Sn/ft B59). Методы а-множителей Ланцоша и Фейера B59). Метод
регуляризации Тихонова B60). Оценка ошибки решения B61). Численная реализа-
реализация алгоритмов B63). Программы B67). Двухмерное уравнение типа свертки B68).
Многомерное уравнение типа свертки B70). Система линейных одномерных уравнений
типа свертки B70). Нелинейное одномерное уравнение типа свертки B71)
4.5. Метод итеративной регуляризации Фридмана 272
Формулировка метода B72). Правило останова процесса итераций по обобщенной
невязке B73). Правило останова процесса итераций по поправке B74). Численный
алгоритм B75). Программы B75)
4.6. Числовые примеры 276
4.7. Методы регуляризации Лаврентьева 289
Метод а-регуляризации Лаврентьева B89). Метод итераций Лаврентьева B92)
4.8. Методы регуляризации и генератор РА Бакушинского 292
Метод а-регуляризации (РА «погружения») Бакушинского B92). Обобщение Бакушин-
Бакушинского итерационной схемы Фридмана B94). Метод итераций с усреднением Бакушин-
Бакушинского— Страхова B95). Комплексный итерационный алгоритм Бакушинского B96).
Метод итераций Морозова — Бакушинского — Крянева B97). Генератор РА Баку-
Бакушинского B99)
4.9. Решение на компакте 301
Существо алгоритма C01)
4.10. Метод квазирешений Иванова 305
Формулировка метода C05). Конечномерная аппроксимация квазирешений C06).
Дискретизация метода квазирешений C06)
4.11. Применение проекционных методов для отыскания квазирешения и регу-
ляризованного решения 306
Постановка задачи C06). Проекционные методы Ритца и Галеркина C07). Проекцион-
Проекционная реализация метода квазирешений Иванова C08). Проекционная реализация мето-
метода регуляризации Тихонова C09)
4.12. Регулярные модификации метода собственных функций 309
Классический метод C09). Реализация методов а-регуляризации с помощью метода
собственных функций C10). Реализация метода квазирешений Иванова с помощью
метода собственных функций C11)
4.13. Робастные методы фильтрации Калмана и Винера 312
Одношаговый метод (фильтр) Калмана C12). Метод оптимальной линейной фильтрации
Винера C15)
4.14. «Промежуточные» методы статистической регуляризации 316
Метод наиболее гладкого допустимого ансамбля C17). Метод наиболее вероятного
ансамбля C19)
4.15. Некоторые частные решения 321
Общая формула C21). Частные случаи C22)
Глава 5. Пакет программ на языке АЛГОЛ-60 324
5.1. Структура пакета . 324
Перечень программ C24). Некоторые особенности процедур пакета C26)
5.2. Программа voltsl для решения одномерного уравнения Вольтерры II
рода 327
5.3. Программа voltfl для решения одномерного уравнения Вольтерры I рода 328
5.4. Программы для решения одномерных и двухмерных уравнений Фред-
гольма II и III рода 329
Программа frest 1 для решения одномерных уравнений Фредгольма II и III рода
C29). Программа frest 2 для решения одномерных уравнений Фредгольма II и III
рода C30). Программа frest 3 для решения двухмерных уравнений Фредгольма II
и III рода C31)
5.5. Программы для решения одномерного уравнения Фредгольма (и Воль-
Вольтерры) I рода 332
Программа tikh 1 C32). Программа tikh 2 C35). Программа tikh 3 C37). Программа
tikh 4 C38). Программа tikh 5 C39). Программа conv 1 C40). Программа conv 2 C42).
Программа conv 3 C44). Программа conv 4 C45). Программа conv 5 C47). Програм-
Программа fried 1 C48). Программа fried 2 C50)
5.6. Модули алгольного пакета , 352
Глава 6. Пакет программ на языке ФОРТРАН 363
6.1. Структура пакета 363
Перечень программ C63). Некоторые особенности подпрограмм пакета C63)
6.2. Подпрограмма VOLTS 1 для решения одномерного уравнения Вольтер-
Вольтерры II рода 365
6.3. Подпрограмма VOLTF 1 для решения одномерного уравнения Вольтер-
Вольтерры I рода 366
6.4. Подпрограммы для решения одномерных и двухмерных уравнений Фред-
Фредгольма II и III рода 367
Подпрограмма FREST1 C67). Подпрограмма FRFST2 C68). Подпрограмма FREST3
C70)
6.5. Подпрограммы для решения одномерного уравнения Фредгольма (и Воль-
Вольтерры) I рода 371
Подпрограмма Т1КШ C71). Подпрограмма Т1КН2C74). Подпрограмма TIKH3 C76).
Подпрограмма Т1КИ4 C77). Подпрограмма TIKH5 C78). Подпрограмма CONV1 C79).
Подпрограмма CONV2 C82). Подпрограмма CONV3 C84). Подпрограмма CONV4 C85).
Подпрограмма CONV5 C87). Подпрограмма FRIED1 C89). Подпрограмма FRIED2 C91)
6.6. Модули фортранного пакета 393
Глава 7. Тестовые программы на АЛГОЛе-60 и ФОРТРАНе 408
7.1. Программы решения тестовых примеров на АЛГОЛе-60 408
Тексты программ D08). Результаты тестирования D25)
7.2. Программы решения тестовых примеров" на ФОРТРАНе 425
Тексты программ D25). Результаты тестирования D31)
Глава 8. Пакет программ на языке ПЛ-1 454
8.1. Структура пакета • • 454
Перечень программ D54). Некоторые особенности модулей пакета D54)
8.2. Процедура-подпрограмма VOLTS1 для решения одномерного уравнения
Вольтерры II рода , 454
8*3. Процедура-подпрограмма VOLTF1 для решения одномерного уравнения
Вольтерры I рода 455
8.4. Процедуры-подпрограммы для решения одномерных и двухмерных урав-
уравнений Фредгольма II и III рода 456
Процедура-подпрограмма FREST1 D56). Процедура-подпрограмма FREST2 D57).
Процедура-подпрограмма .FREST3 D58)
8.5. Процедуры-подпрограммы для решения одномерного уравнения Фредгольма
(и Вольтерры) I рода 459
Процедура-подпрограмма TIK.H1 D59). Процедура-подпрограмма Т1КШ D60). Про-
Процедура-подпрограмма TIK.H3 D62). Процедура-подпрограмма TIK.H4 D62). Процедура-
подпрограмма TIKH5 D63). Процедура-подпрограмма CONV1 D64). Процедура-
подпрограмма CONV2 D66). Процедура-подпрограмма CONV3D67). Процедура-
подпрограмма CONV4 D68). Процедура-подпрограмма CONV5 D69). Процедура-под-
Процедура-подпрограмма FRIED1 D70). Процедура-подпрограмма FRIED2 D72)
8.6. Модули ПЛ-1-пакета 473
8.7. Текст тестовой программы TESTPL1 479
8.8. Результаты решения по программе TESTPL1 484
Тесты ПЛ-1-пакета на ЕС ЭВМ D84)
Приложения 499
Приложение I. Элементы функционального анализа 499
Некоторые обозначения и определения теории множеств D99). Топологические про-»
странства D99). Метрические пространства D99). Линейные пространства E00).
Нормированные пространства E01). Банахово пространство E01). Пространства со
скалярным произведением E02). Операторы в гильбертовом пространстве E03)
Приложение И. Некоторые сведения из линейной алгебры 504
Векторы и матрицы E04). Собственные значения матриц E05). Нормы векторов и матриц
E06). СЛАУ, число обусловленности, МНК и псевдообратная матрица E07)
Список литературы 510
Предметный указатель 537
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из наиболее важных условий прогресса в области решения различных исследова-
исследовательских, инженерных и проектных задач является освоение и внедрение в практику при-
прикладных разделов современной математики. К этим разделам прежде всего относятся при-
приближенные, численные и машинные методы решения интегральных уравнений, применение
которых позволяет получить эффективные математические описания многих задач, как тра-
традиционных, так и новых. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория
волн на поверхности жидкостей, задачи спектроскопии, кристаллографии, акустики, анализа
и диагностики плазмы и т. д.), геофизику (задачи гравиметрии, кинематические задачи сейс-
мики), механику (колебания конструкций), материаловедение (исследование вязкоупругости,
ползучести и т. д.), астрономию (распределение мгсс и светимости в звездных системах,
интерпретация кривых блеска затменных звезд и т д.), теорию управления (определение
импульсной функции линейной системы, задача оптимальной линейной фильтрации и т. д.),
теорию надежности и массового обслуживания (задача восстановления и др.)- Развиваются
новые научные направления, связанные с применением интегральных уравнений, в том числе
некоторые разделы биологии (редукция наблюдений микрообъектов за аппаратную функцию
системы, задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внут-
внутри- и межклеточных взаимодействий [187—189] и т. д.), иконика (восстановление искажен-
искаженного изображения), томография (формирование объемных изображений объектов по наблюда-
наблюдаемым сечениям), экономика производства (динамическиемакроэкономические модели [185, 186,
875], задачи оптимизации распределения рабочих мест между отраслями производства [186]).
Неуклонное расширение области приложения интегральных уравнений стимулировало
интенсивную разработку их теории и особенно приближенных методов решения. Появилось
много работ по исследованию свойств различных типов интегральных уравнений, а также
возможностей методов решения. При этом методы аналитического решения, основанные на
понятии резольвенты, преобразованиях Лапласа, Фурье, Меллина, Бесселя и др., пред-
представляя собой мощный инструмент для исследования ряда практических задач, имеют вполне
естественные ограничения в приложениях, поскольку ориентированы на определенный, далеко
не полный круг линейных задач и трудно реализуемы на ЭВМ. В связи с этим новый тол-
толчок в развитии получили ставшие уже классическими метод механических квадратур, итера-
итерационные методы, проекционные методы (моментов, Галеркина — Петрова, коллокации и др.).
В расчете на применение ЭВМ были предложены методы, основанные на сочетании метода
квадратур с аппроксимацией искомых решений или интегральных операторов в целом, а также
методы типа Рунге—Кутты, блочные, на основе сплайнов и т. д. Эти методы позволили уве-
уверенно решать многие типы линейных и нелинейных уравнений с переменными и постоянными
пределами интегрирования.
Применение регулярных, или робастных, методов, а именно методов регуляризации
Тихонова, Лаврентьева, Фридмана, Бакушинского, квазирешений Иванова, статистической
регуляризации (фильтрации Калмана и Винера, максимальной апостериорной вероятности),
сделало возможным эффективное решение интегральных уравнений первого рода, относя-
относящихся к некорректным задачам.
Применительно к решению современных практических задач полезность приближенных
методов определяется их машинной реализацией, доведением до машинных алгоритмов и
стандартных программ (СП). В таких разделах прикладной математики, как решение систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение систем обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, минимизация функций, вычисление интегралов, спецфункций и т. д.,
многие методы доведены до СП [460, 461, 563, 591, 687, 696, 709, 869]. Кроме того, библио-
библиотеки стандартных программ вычислительных центров содержат достаточное количество СП
для решения СЛАУ, систем дифференциальных уравнений, систем нелинейных уравнений,
минимизации функций, суммирования рядов, генерирования случайных чисел, вычисления
интегралов, спецфункций, БПФ и т. д. Для решения же интегральных уравнений СП, опу-
опубликованных в различных источниках [164, 328, 466, 526, 577, 676, 683, 843, 870], недоста-
недостаточно. Библиотеки стандартных программ вычислительных центров имеют не более двух-трех
СП для решения этих уравнений.
Для специалистов, не имеющих специального математического образования, но приме-
применяющих в работе математические методы, существенное значение имеет возможность озна-
ознакомления с методикой описания задач посредством интегральных уравнений, т. е. с соответ-
соответствующими интегральными методами исследования, анализа, расчета конкретных задач физики,
техники, биологии, механики и т. д.
Таким образом, представляется целесообразным издание книги, в которой бы доступ-
доступно для широкого круга специалистов были изложены методы решения основных видов
интегральных уравнений, приемы их получения и численной реализации на современных вы-
вычислительных машинах. Одной из первых попыток подобного рода является справочное
пособие «Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ», написанное авто-
авторами в 1978 г. [129]. В основу настоящего справочного пособия положены результаты авто-
авторов, относящиеся к развитию методов решения некоторых классов задач и совершенствова-
совершенствованию некоторых приближенных методов решения интегральных уравнений, разработке алго-
алгоритмов и программ для машинной реализации численных методов.
Во введении приведена краткая классификация интегральных уравнений, охарактеризо-
охарактеризованы области их приложения. Дан анализ приближенных методов применительно к опера-
операторным уравнениям.
В первой главе изложены методы решения линейных и нелинейных уравнений типа
Вольтерры II рода: методы эквивалентных преобразований к дифференциальным уравнениям,
аналитический метод решения посредством резольвенты, методы квадратур и Рунге—Кутты;
итерационные методы. Приведены приемы использования преобразований Лапласа для урав-
уравнений типа свертки.
Вторая глава посвящена методам решения уравнений Вольтерры I рода. Анализируются
особенности этого класса уравнений и приводятся характерные приложения. Рассматриваются
способы преобразования к другим видам уравнений. Излагаются методы квадратур, регуля-
регуляризации, коллокашш, а также операционный метод.
В третьей главе изложены приближенные методы решения линейных и нелинейных урав-
уравнений II рода с постоянными пределами интегрирования, как одномерных, так и двухмерных.
Описываются методы квадратур, вырожденных ядер (с численной реализацией), ряд итера-
итерационны* методов (простой итерации, Положего, осреднения функциональных поправок,
Ньютоьа —Канторовича, Эйткена — Стеффенсенаи др.), группа проекционных методов, а также
методы интегральных преобразований и специальные методы отыскания характеристических
чисел.
В четвертой главе приводятся методы решения линейных и нелинейных одно-, двух-
и многомерных уравнений первого рода с постоянными пределами интегрирования (Фредгольма,
Гаммерштейна, Урысона), задача решения которых является некорректной. Изложены методы
регуляризации Тихонова и Лаврентьева, квазирешений Иванова, итеративной регуляризации
Фридмана, генератор регуляризирующих алгоритмов Бакушинского, методы статистической
регуляризации (Калмана, Винера), «промежуточные» методы статистической регуляризации
и др. Во всех четырех главах приведены примеры прикладных задач, а также результаты
численного и машинного расчета примеров некоторыми из изложенных методов.
Справочное пособие содержит новые эффективные методы решения интегральных урав-
уравнений: методы типа Рунге—Кутты для уравнений Вольтерры II рода; усовершенствованные
алгоритмы квадратур для решения уравнений Вольтерры I и II рода; методы h- и а-регуля-
ризации (Апарцина, Бакушинского, Денисова, Сергеева, Магницкого, Тихонова); методы
с использованием сплайнов и аппроксимирующих полиномов для уравнений Вольтерры и Фред-
Фредгольма; методы регуляризации для уравнений Фредгольма I рода — генератор РА Бакушин-
Бакушинского, метод итеративной регуляризации Морозова, методы Калмана, Винера и др. Кроме
того, описаны новые прикладные задачи. Приведены новые, более совершенные, рассчитанные
на ЭВМ 3-го поколения программы на АЛГОЛе-60, ФОРТРАНе и ПЛ-1 в виде пакетов.
В настоящее время наиболее распространенными языками программирования при решении
физико-математических, технических и других прикладных задач являются ФОРТРАН,
АЛГОЛ-60, а также ПЛ-I, и явного предпочтения одному из них (по количеству пользова-
пользователей, по эффективности языка и другим показателям) отдать нельзя. В то же время пуб-
публикация программ на одном языке в расчете на то, что они при необходимости будут пере-
переведены программистами на другие языки, не всегда оправдана, так как для эффективного
перевода программ с одного языка на другой требуется одинаково хорошее знание обоих
языков. Поэтому для данного пособия были разработаны СП на трех наиболее распростра-
распространенных языках — АЛГОЛе-60, ФОРТРАНе и ПЛ-1.
В пятой главе приведен пакет программ на языке АЛГОЛ-60, а в шестой и -восьмой
главах — аналогичные пакеты на языках ФОРТРАН и ПЛ-1 в виде процедур (по 17 основ-
основных процедур-операторов и ряд «строительных» блоков-модулей в виде процедур-операторов
и процедур-функций), предназначенных для решения линейных уравнений Вольтерры I и II
рода, Фредгольма II и III рода одномерных и Фредгольма II и III рода двухмерных с ядром
общего типа методом квадратур на неравномерной сетке узлов, а также уравнения Фредгольма
(и Вольтерры) I рода линейного одномерного с общим ядром и типа свертки методами регу-
регуляризации Тихонова и Фридмана. Программы сопровождены инструкциями и результатами
расчета тестовых примеров.
В приложениях приведены сведения из функционального анализа и линейной алгебры.
Авторы искренне благодарны рецензентам чл.-кор. АН УССР Е. Л. Ющенко, д-ру
физ.-мат. наук В. В. Иванову и д-ру физ.-мат. наук В. А. Морозову, ответственному редак-
редактору акад. АН УССР Г. Е. Пухову за ценные замечания и рекомендации при подготовке
рукописи к изданию. Авторы благодарят А. Б. Бакушинского, А. С. Апарцина, А. С. Венк-
стерна, Ю. Е. Воскобойникова, В. Б. Жукова, Г. И. Подольскую, П. М. Сысоева, В. Б. Ру-
Румянцева-Александрова, Б. П. Юрасова, И. А. Серикову, Б. Б. Абдусатарова, А. П. Голуба,
И. Б. Вайсмана, А. С. Дискина, В, И. Дымченко, А. П. Ковалева, В А. Кривоносова,
П. Д. Карликова, Л. А. Митько, Э. Э. Эсанова за помощь при отборе материала.
Авторы с благодарностью примут все критические замечания и пожелания читателей.
А. Ф. В ер лань, В. С. Сизикоз
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие приближенных методов решения математических задач
предполагает использование огромных возможностей ЭВМ. Однако приме-
применению ЭВМ предшествует большая работа по математическому описанию
решаемой задачи, поиску удачной математической модели, отражающей реаль-
реальное явление и вместе с тем доступной для исследования и получения коли-
количественных результатов. Именно на этом этапе решается вопрос об использова-
использовании тех или иных видов уравнений или других математических зависимостей.
Сложившаяся методология математического моделирования может дать опре-
определенные рекомендации по применению конечных уравнений, обыкновенных
дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных, став-
ставших уже традиционными математическими моделями для многих физических
и ряда других явлений. Так, при описании процессов и состояний в объектах
с распределенными в пространстве параметрами использовались дифференци-
дифференциальные уравнения в частных производных, для описания процессов в объек-
объектах с сосредоточенными параметрами — обыкновенные дифференциальные
уравнения и т. д. Значительно меньше общих рекомендаций для примене-
применения интегральных уравнений, хотя количество их приложений непрерывно
возрастает. Есть задачи, для описания которых принципиально невозможно
применить какие-либо другие виды уравнений. Интегральные уравнения
позволяют понижать размерность некоторых задач исследования сплошных
сред, более компактно, чем дифференциальные уравнения, формулировать
краевые задачи, приводят к устойчивым вычислительным процедурам. Исполь-
Использование интегральных уравнений в качестве аппарата исследования постепен-
постепенно приводит к формированию самостоятельного метода математического моде-
моделирования как совокупности способов определения соотношений между
известными исходными данными и определяемыми характеристиками изучае-
изучаемого явления, а также приемов эквивалентных преобразований полученных
интегральных уравнений и точного или приближенного их решения.
Следует учитывать, что численные алгоритмы решения интегральных
уравнений своеобразны и чаще всего не имеют аналогов среди алгоритмов
решения других, эквивалентных по своей математической постановке, видов
уравнений.
Основные типы интегральных уравнений. Будем называть интегральны-
интегральными уравнениями (ИУ) такие функциональные уравнения, которые содержат
интегральное преобразование над искомой функцией.
В достаточно общем случае линейные интегральные уравнения могут
быть представлены в виде
$(x,s)y(s)ds = f(x), x?Q, @.1)
где К (х, s)— ядро ИУ, / (х) — правая часть уравнения с областью определе-
определения Q, X—параметр уравнения (часто полагаемый равным 1 или —1),
у (s) — искомая функция с областью определения Й — переменной (как, на-
например, в случае уравнения Вольтерры) или постоянной (в этом случае @.1)
есть уравнение Фредгольма*)), одномерной (в этом случае @.1) есть одно-
одномерное уравнение) или многомерной (в этом случае @.1) есть многомерное
уравнение). Функции К (х, s), /(х), g(x), параметр X и области Q и 2 пола-
полагаются заданными, а функция y(s) — искомой. При этом функции К(х, s),
f(x), g(x) и y(s) могут быть как комплексными, так и вещественными, а
переменные х и s — лишь вещественными.
При g(x)~0 уравнение @.1) есть уравнение I рода, записываемое
в виде
J К(х, s) у (s) ds = f(x), x?Q; @.2)
2
в этом случае для уравнения Вольтерры Q = Q, а для уравнения Фредгольма,
вообще говоря, Q=?Q. Если же g(x)=?0, то уравнение @.1) допускает
деление на g(x)9 т. е. в этом случае можно рассматривать уравнение вида
у (х) — X J К (x,s)у (s) ds = f (x), x?Q. @.3)
2
Уравнение @.3) есть уравнение Фредгольма или Вольтерры II рода. Если же
g(x) = 0 для некоторых, но не всех x?Q, то @.1) есть уравнение третьего
рода — весьма слабо исследованный, но все же встречающийся в приложе-
приложениях тип уравнения. Еще более конкретные типы ИУ (с разностным ядром,
типа свертки, с симметричным положительно определенным ядром, с симмет-
симметричным ядром и т. д.) приведены в главах 1—4.
Если помимо интегрального преобразования исходное функциональное
уравнение содержит и операцию дифференцирования искомой функции, то
такое уравнение называется интегродифференциальным.
Уравнение @.1) называется неоднородным. Если же g(x) = 1, / (х) ~ 0,
то уравнение @.1), записываемое в виде
у(х) — X J/t(x, s)y(s)ds = O, x?Q, @.4)
2
называется однородным и используется для постановки и решения задачи
отыскания собственных значений и собственных функций.
Линейные уравнения @.1)—@.4) можно записывать также в операторном
виде и использовать для их исследования общую теорию операторных урав-
уравнений в некоторых функциональных пространствах. Операторная запись урав-
уравнений @.1)—@.4) имеет вид
gy — XAy = f, g?G
A // — r nd \s
**~И — / у И vZ
y — KAy = f, y?
y — XAy = O,
, У?У> /6 Л
. /€^.
^€ Y>
@.5)
@.6)
@.7)
@.8)
где
J, s)y(s)ds9 @.9)
J
2
a G, Y и F — некоторые функциональные пространства, к которым принад-
принадлежат g, у и / соответственно.
Нелинейное интегральное уравнение — это уравнение, в котором инте-
интеграл , содержащий искомую функцию y(s), записывается в виде оператора
Урысона
Ау [у] = J К [xt 5, у (s)] ds
2
или в виде оператора Гаммерштейна
K(x,s)F[y(s)]ds.
2
*) При некоторых дополнительных условиях — см. гл. 3, 4.
10
Наиболее распространенные типы нелинейных ИУ:
y(x)—$K[x,s,y(s)}ds = f(x), x?Q, @.10)
lK[x,s,y(s)]ds = f{x), x?Q, @.11)
2
x?Q, @.12)
, @.13)
— одномерные нелинейные ИУ соответственно Урысона II и I рода и Гаммер-
штейна II и I рода.
Система линейных ИУ типа @.1) записывается в виде
s)yf(s)ds = ft(x)9 @.14)
или в виде @.1), но при этом под y(s), f (x), g(x) подразумеваются вектор-
векторные функции, а под К(х, s) — матрица-функция.
Приведенные типы уравнений могут трактоваться как многомерные урав-
уравнения, если заданные и искомые функции зависят от нескольких переменных,
а интегрирование выполняется по многомерной области.
Область приложения интегральных уравнений. Исследование многих
сложных явлений и объектов путем составления и изучения их математичес-
математических описаний (моделей) получает все большее распространение, охватывая
многие направления в физике, биологии, экономике, социологии и т. д.
Значительное место в таком подходе принадлежит интегральным уравнениям
Прежде всего следует отметить важное значение интегральных уравнений
в решении задач исследования различного рода полей и сред. В большинстве
случаев основанием для составления уравнений служат соответствующие
общие физические законы. Так, известные законы сохранения массы, импульса
и энергии имеют интегральную формулировку и приводят к получению инте-
интегральных уравнений в качестве моделей конкретных процессов и явлений.
Примером могут служить интегральные уравнения газовой динамики в пере-
переменных Эйлера и Лагранжа. Достоинства этих моделей состоят в их общности,
в том, что они не содержат производных от функций, являющихся характе-
характеристиками состояния среды, т. е. не накладывают больших ограничений на
гладкость этих функций. Кроме того, модели этого типа допускают сущест-
существование разрывных решений. Выполняемый в случае необходимости переход
к дифференциальным уравнениям влечет за собой сужение класса допусти-
допустимых решений, исключая, в частности, разрывные решения.
Другим примером успешного приложения интегральных уравнений явля-
являются многие задачи электродинамики, причем этот подход [221, 548—550,
552, 553] в анализе электрических и магнитных полей получил известность
как метод интегральных уравнений. Еще одним примером может служить
достаточно широко распространенный так называемый метод граничных ин-
интегральных уравнений [465, 733], эффективно применяемый для решения про-
пространственных задач.
Приведенные примеры классов прикладных задач объединяются тем, что
им соответствуют многомерные интегральные уравнения. Интересно, что
широкое использование таких уравнений началось раньше, чем применение
более простых по конструкции одномерных уравнений. Это объясняется тем,
что в практику решения многих важных классов одномерных задач, начиная
с задач динамики механических систем и кончая современными задачами
исследования систем автоматического управления, прочно вошел гораздо ранее
сложившийся и хорошо исследованный аппарат обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений.
11
Однако возрастание сложности и расширение круга современных задач
анализа и проектирования динамических систем существенно изменили ситу-
ситуацию. Наряду с классическими задачами анализа в практику исследования
динамических систем вошли многие задачи математической физики, задачи
описания объектов без предварительного знания законов их функционирова-
функционирования (задачи биологии, химии, экологии, экономики и др.), задачи, обратные
задачам анализа,—идентификация, синтез управлений, диагностика систем
и т. д. В этих условиях возможности дифференциальных уравнений оказа-
оказались недостаточными, что прежде всего относится к задачам моделирования
нестационарных систем, управления системами с распределенными парамет-
параметрами, восстановления сигналов и т. д. Трактовка свойств динамических объек-
объектов на основе понятия последействия, развитие структурного метода исследо-
исследований привели к практическому использованию интегральных операторов
в качестве математических моделей для элементов систем и систем в целом.
В итоге к настоящему времени интегральные уравнения стали широко при-
применяться для решения многих задач моделирования динамических объектов
и систем.
Рассмотрение произвольной непрерывной динамической системы как
взаимосвязанной совокупности элементов, выходы и входы которых связаны
причинными отношениями, приводит к описанию их в общем случае системой
интегральных уравнений Вольтерры — Урысона. Таким образом, назначение
аппарата одномерных интегральных уравнений применительно к исследова-
исследованию систем во многом совпадает с назначением обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений. При этом задаче Коши соответствуют интегральные урав-
уравнения типа Вольтерры, а краевой задаче — уравнения типа Фредгольма. Про-
Промежуточное положение занимают интегродифференциальные уравнения, для
которых могут формироваться как начальная, так и краевая задачи.
Объединение объектов, охваченных обратными связями, в систему сви-
свидетельствует о том, что задачи их анализа описываются интегральными урав-
уравнениями второго рода @.3), причем реакции систем на произвольные воздейст-
воздействия представляют собой искомые функции уравнений с переменными преде-
пределами интегрирования, а периодические процессы описываются уравнениями
с постоянными пределами интегрирования, равными периоду. Решение урав-
уравнений второго рода в принципе представляет собой корректную задачу.
Задачи восстановления внешних воздействий, определения весовых функ-
функций, более общие задачи идентификации, интерпретация результатов наблю-
наблюдений и экспериментов и другие задачи приводят к уравнениям первого рода
вида @.2) или @.6), обладающим свойствами некорректности.
Проблема изучения и решения интегральных уравнений первого рода
(в первую очередь, Фредгольма с вполне непрерывным оператором) всегда
занимала особое место. Как известно [796, 797], задача решения таких урав-
уравнений по Адамару A926 г.) является некорректной (нарушается хотя бы одно
из условий корректности: решение существует, оно единственно и устойчиво)
и, строго говоря, не может быть решена классическими методами в их тра-
традиционной форме. Более того, Адамар выдвинул утверждение, что некоррект-
некорректные задачи вообще не имеют физического смысла. А поскольку (как это видно
с современных позиций) большинство прикладных задач, описываемых урав-
уравнениями первого рода, являются некорректными, то это утверждение выда*
ющегося математика, по-видимому, сильно затормозило в 20—50 гг. XX в.
развитие теории, методов и практики решения данного класса задач.
Традиционной областью приложения интегральных уравнений являются
задачи статистической динамики, примерами которых являются определение
корреляционной функции стационарного случайного процесса по эксперимен-
экспериментальным данным и определение оптимальных динамических характеристик
системы.
Таким образом, область приложения интегральных уравнений исключи-
исключительно обширна, она включает в себя как задачи исследования полей и оред,
так и задачи исследования систем, т. е. те области, которые ранее традици-
традиционно распределялись между дифференциальными уравнениями в частных про-
производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Мало того, эта
12
область включает в себя задачи, которые не описываются в естественной
постановке какими-либо другими видами уравнений. Это, конечно, не озна-
означает, что необходимость в других формах математического моделирования
отпадает, и лишь указывает на существование определенного круга задач,
применение к которым интегральных уравнений может оказаться и оказыва-
оказывается эффективным.
Общая характеристика приближенных методов. Кратко рассмотрим со-
современные подходы [163, 192, 363J к построению приближенных методов
решения операторных уравнений, частным случаем которых являются инте-
интегральные уравнения.
Операторные уравнения. Выше в данном разделе уже приводи-
приводилась операторная форма интегральных уравнений. Для того чтобы отметить
некоторые свойства операторных уравнений, будем записывать их в следую-
следующем виде:
операторное уравнение первого рода
Aiy=f @.15)
и операторное уравнение второго рода
y = A2y + f. @.16)
Операторы Аг и Л2 могут быть линейными и нелинейными, что соответст-
соответственно относится и к уравнениям @.15), @.16) (далее полагаем, что Ах и
Л2 — линейные операторы, действующие в банаховом пространстве). Элементы
у и / (для интегральных уравнений это искомая и заданная функции) при-
принадлежат некоторым метрическим пространствам Y и F (см. Приложение I).
Исследование операторных уравнений выполняется методами функционального
анализа, которым посвящено значительное количество фундаментальных работ
{319, 320, 340, 344, 361, 434, 435, 671].
Отметим, что уравнения второго рода @.16) всегда могут быть сведены
к уравнениям первого рода @.15), если принять Ах = / — Л2, где / — тож-
тождественный оператор. Однако такой переход будет чисто формальным, тогда
как различие в свойствах этих уравнений носит более глубокий, принципи-
принципиальный характер.
Уравнение @.15) является уравнением первого рода, если его обратный
оператор А^1 неограничен [361, 659]. В частности, это условие выполняется,
если оператор Аг вполне непрерывный [659 /7]*.
Свойством уравнений первого рода является некорректность относительно
правой части /, состоящая в том, что из неравенства || / — /1| < 6 не следует
неравенство \\у — #|1<е, где у и J—приближения элементов у и /, а б и
ь — положительные малые величины (|| • || — обозначение нормы).
Уравнения второго рода в случае вполне непрерывного оператора Л2 имеют
ограниченный обратный оператор В — (/— А2)~х, т. е. ||5|(<оо, и поэтому
обладают свойством корректности относительно правой части, что выражается
соотношением
\\y-y\\<\\B\\-\\f-}\\.
Отсюда, в частности, вытекает подход к регуляризации уравнений первого
рода путем приближенного приведения их к уравнениям второго рода.
Основные классы приближенных методов. Если предполо-
предположить, что решение у уравнения @.15) или @.16) существует и единственно,
то назначением приближенных методов является отыскание именного этого
элемента [163]. Чтобы осуществить поиск, строится алгоритм, позволяющий
получить последовательность приближенных решений у^ ? F, 6=1,2, ..., оо,
которая сходится к у. На практике осуществляется построение лишь конеч-
конечного числа перзых членов этой последовательности или строится лишь один
приближенный элемент, но, несмотря на это, приближенные методы пред-
*3десь и далее вначале дается порядковый номер источника в списке литературы, затем
курсивом — страницы источника.
13
ставляют собой основной конструктивный путь решения большинства совре-
современных вычислительных задач.
Исследование свойств приближенных методов и получаемых с их по-
помощью результатов состоит в установлении выполнения условия limy^ ="y
при й~>оо и 6 = 0; получении оценки расстояния между элементами у<® и "у,
т. е. величины ошибки гк = гу(у{к\у)', оценке порядка стремления к нулю
последовательности значений е^, k=l, 2, ... Для практического использо-
использования получаемых оценок (в виде неравенств) необходимо, чтобы они не были
грубыми, чего можно достичь не всегда.
По принципу построения различают две основные группы методов реше-
решения операторных уравнений — прямые и итерационные. Прямые методы
состоят в сведении решаемых уравнений к более простым. Это может быть
достигнуто путем аппроксимации операторов или искомых решений либо тем
и другим путем одновременно. Поэтому прямые методы иногда называют
аппроксимационными. Среди аппроксимационных методов может быть выделен
класс проекционных методов, основанных на аппроксимации решений [79, 80,
99? 242, 528]. Цель применения прямых методов состоит обычно в переходе
от бесконечномерного пространства Y к конечномерному, поскольку предполага-
предполагается, что конечномерные задачи решаются проще. В частности, прямые методы
решения интегральных уравнений состоят в получении и решении систем
алгебраических или в общем случае конечных нелинейных уравнений.
Прямые методы. Если А2 — вполне непрерывный оператор, действующий
в банаховом пространстве, то он может быть аппроксимирован вполне непре-
непрерывным конечномерным оператором А2. Тогда вместо уравнения @.16) можно
рассматривать близкое ему уравнение
-Л JO. 17)
В предположении существования и ограниченности оператора (/—~А2)~г9
а также при условии
которое всегда может быть выполнено необходимым выбором оператора A2f
имеет место оценка [192]
и - _ ~ и < IK/-^)-1!)- И /11 • цл2—л2||
свидетельствующая о том, что ошибка решения тем меньше, чем выше сте-
степень аппроксимации оператора А2 оператором А2. Точность аппроксимации
оператора, показателем которой является величина \\А2 — Л2|], может быть
увеличена двумя путями: либо повышением размерности оператора Л2, либо
специальным подбором базисных элементов, из которых он строится.
Целый ряд методов (проекционных) основан на аппроксимации решения
у уравнения @.16) в виде
5=2 С/фь @.18)
где ф/, i= 1, т,—система линейно независимых координатных элементов,
принадлежащих банаховому пространству. Неизвестные коэффициенты опре-
определяются разными способами в зависимости от требований к невязке уравне-
уравнения @.16)
т
гт = S С* (Ф/ - А2 Ф,) — /. @.19)
В качестве примера можно указать, что при рассмотрении решаемого
уравнения в гильбертовом пространстве минимальное значение невязки дости-
достигается посредством метода наименьших квадратов, согласно которому мини-
минимизируется величина
т
14
Путем дифференцирования выражения @.20) получается система линейных
алгебраических уравнений относительно значений Q
2 С, ((Ф/ - Л2 Ф,), (Ф/ - Л2 Ф/)) = (/, Ф/ - Л2 Ф/). @.21)
1=1
Вычитая из точного уравнения @.16) приближенное уравнение в виде
У = A2y + f + &т,
можно получить оценку ошибки метода аппроксимации решения
\\у-~у\\<\Ш-Аа)-1\\-\\ет\\
и тем самым прийти к заключению о том, что при ограниченном операторе
(/ — А2)~г уменьшение ошибки приближенного решения достигается увели-
увеличением количества т координатных элементов в @.18).
Итерационные методы. Если оператор А2 в @.16) такой, что || А2\\ < 1,
то данное уравнение можно решать методом последовательных приближений,
т. е. посредством выражения
yk+l = A2yk + /, k = 0, 1, 2, ... @.22)
Благодаря линейности оператора А2 итерационный процесс приводит к полу-
получению единственного решения уравнения @.16) при произвольном начальном
приближении у0.
Точное решение имеет вид
У=2Л5/«=(/-Л,)/. @.23)
Практически количество итераций ограничивается некоторым числом п,
и приближенное решение записывается как
Уп+i = 2 A\f. @.24)
Из @.22) и @.24) можно получить оценку ошибки приближенного решения
II у - Уп+11| < ? IIА21|* . || / || - Щ^Р- • @.25)
Данная оценка позволяет, в частности, решить и обратную задачу — по задан-
заданной ошибке е оценить количество необходимых итераций для достижения
необходимой точности. В этом случае имеет место формула
п - I > > (°-26)
L In IIA21| J
в которой квадратные скобки означают, что берется целая часть заключен-
заключенной в них величины.
Подобные же оценки могут быть получены, если оператор А2 и правая
часть / заданы с ошибками вх и е2 соответственно, что можно выразить
соотношениями
IIА2 — А2 [| < elt [I / — /|| < е2.
В этом случае итерационный процесс в отличие от @.22) имеет вид
ifo+i = A2yk + f, @.27)
а оценка полной ошибки приближенного решения на n-й итерации определя-
определяется как
15
Отсюда оценка неустранимой погрешности получается при п>->оо, она имеет
вид
W -~Уп+> II < -1-iu.il—, («i г^йл + е*) s ?з (а29)
и означает, что рассматриваемый метод (простой итерации) позволяет получить
приближенное решение с ошибкой, не меньшей чем е3.
Количество итераций пу необходимое для получения результата с ошиб-
ошибкой е4 > в3? оценивается выражением
[In а 1 t v 1 —1| Л21| /Л от
indl^H + eJ' а e <e* — в«> —iTTTl * (°-30)
По аналогии с выражением @.22) организуется итерационный процесс
и для решения нелинейных уравнений. Сходимость процесса в этом случае
исследуется на основе принципа сжатых отображений [361, 363] (теорема
о неподвижной точке оператора). Для обеспечения сходимости применяется
ряд способов предварительного эквивалентного преобразования исходного
уравнения.
Краткие сведения о публикациях. Основополагающие исследования по
теории интегральных уравнений были проведены на рубеже XIX—XX вв.
в трудах В. Вольтерры, И. Фредгольма, Д. Гильберта, Э. Шмидта и др.
[151, 305, 536, 769], где были изложены важнейшие результаты по клас-
классификации уравнений и ядер, исследованию задачи о собственных значени-
значениях и функциях, вопросам существования и единственности решения, были
введены понятия интегрального оператора Фредгольма, резольвенты, изуче-
изучены их свойства и т. д. Эти результаты послужили основой для создания
таких классических приближенных методов решения интегральных уравнений,
как методы квадратур и итераций, вырожденных ядер, собственных функций,
применение интегральных преобразований.
Количество появившихся с тех пор публикаций по теории и методам
решения интегральных уравнений очень велико, хотя работы монографичес-
монографического характера по приближенным методам стали появляться лишь в послед-
последнее время. Остановимся на некоторых из работ, опубликованных в виде
монографий, учебников и др., содержащих систематизированный материал
по основам теории интегральных уравнений, эффективному и наглядному их
приложению, численному решению, а также методически полезных при осво-
освоении рассматриваемой тематики.
Среди первых работ по интегральным уравнениям, появившихся в оте-
отечественной печати в 30-е и 40-е годы, в том числе переводных, следует от-
отметить книги Г. Виарда [132], Н. М. Гюнтера [220], У. В. Ловитта [424],
Г. М. Мюнтца [510], И. И. Привалова [547], в которых изложен классичес-
классический подход в теории линейных интегральных уравнений.
Интегральные уравнения в неразрывной связи с функциональным ана-
анализом представлены в богатых по содержанию трудах Л. В. Канторовича и
Г. П. Акилова [319], А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [344], Л. А. Люс-
терника и В. И. Соболева [434, 435], С. Л. Соболева [613] и В. А. Трено-
гина [671]. Исключительно плодотворными и целенаправленными в области
исследования и приложения интегральных уравнений являются также рабо-
работы С. Г. Михлина [470—473].
Среди работ, которые могут быть отнесены к учебникам, учебным по-
пособиям, курсам лекций и частично или даже полностью посвящены инте-
интегральным уравнениям, прежде всего заслуживают внимания труды В. С. Вла-
Владимирова [142], П. П. Забрейко, А. И. Кошелева, М. А. Красносельского
и др. [305], М. Л. Краснова [361], П. И. Лизоркина [408], А. Д. Мышки-
са [507, 508], И. Г. Петровского [532], В. И. Смирнова [610], Ф. Трико-
ми [672], Л. Я. Цлафа [720] и др. Для специалистов-прикладников среди
книг этого типа следует выделить работу М. Л. Краснова, А. И. Киселева
и Г. И. Макаренко [362], которая, несмотря на небольшой объем, отлича-
отличается достаточной полнотой и доступностью излагаемого материала как по
основным положениям теории интегральных уравнений, так и по некоторым
приближенным методам.
16
Примером монографии с глубоким и содержательным изложением одно-
одного из частных, но важных разделов аппарата интегральных уравнений может
служить книга Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [168], посвященная уравне-
уравнениям типа свертки.
В настоящее время имеется целый ряд интересных публикаций приклад-
прикладного характера, освещающих вопросы применения интегральных уравнений
к различным практическим задачам и прикладным областям. Укажем на не-
некоторые из этих работ.
В книге И. А. Биргера [811 описывается аппарат краевых интегральных
уравнений, эквивалентных по постановке краевым задачам для обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнении if "применяемых для исследования и рас-
расчета механических объектов типа балок, валов и других конструкций, в том
числе для определения частот и форм собственных колебаний.
Работы М. С. Брикмана [86] и Е. Н. Розенвассера [567] содержат ин-
интересные и перспективные постановки и решения ряда задач современной
теории управления на основе интегральных уравнений. Интегральные методы
анализа объектов с распределенными параметрами и решения задач управле-
управления ими изложены в книге А. Г. Бутковского [89]. Применению интеграль-
интегральных методов вероятностного исследования процессов в системах посвящены
работы С. Я. Виленкина [133] и Б. Г. Марченко [443].
Методы решения сложных задач восстановления сигналов посредством
интегральных уравнений изложены в книге Г. И. Василенко [112], в кото-
которой последовательно и с высокой степенью полноты реализуется современ-
современный подход к задачам интерпретации результатов наблюдений в наиболее
общей постановке. Подобный же подход систематически используется в ра-
работе Л. П. Ярославского [745].
Книги одного из основоположников теории интегральных уравнений
В. Вольтерры [150, 151] содержат основы математического моделирования
ряда характерных экологических задач, к которым относится задача борьбы
за существование. Публикация этих книг через десятки лет после первого
выхода в свет свидетельствует об их большом значении и актуальности в
настоящее время.
Примером современного развития интегральных методов математическо-
математического моделирования применительно к новым классам задач является цикл ра-
работ В, М. Глушкова, В. В. Иванова и др. [185—190], посвященных приме-
применению интегральных уравнений к исследованию некоторых экономических
и биологических систем.
Несомненной оригинальностью отличается работа А. Н. Голубенцева |193],
относящаяся к исследованию динамики механических систем с сосредоточен-
сосредоточенными массами. Определению характеристик упруговязких материалов, реше-
решению задач ползучести и релаксации посвящены книги М. А. Колтунова [345],
Ю. Н. Работнова [564], А. Р. Ржаницына [566], М. И. Розовского [568]
В фундаментальной работе Р. Куранта и Д. Гильберта [381] изложены
истоки формулировки задач математической физики в интегральной поста-
постановке.
Применению рядов Вольтерры для описания и исследования нелинейных
динамических систем посвящена книга К- А. Пупкова, В. И. Капалина и
А. С. Ющенко [557], которая может служить основой для постановки и ре-
решения многих весьма трудоемких нелинейных задач.
Основы описания электрических цепей посредством интегральных урав-
уравнений содержатся в книге Г. Е. Пухова [558]. В работе И. А. Орурка [522]
приводятся практические способы анализа и синтеза электрических цепей на
основе описания процессов с помощью интегральных уравнений.
Развиваемые в работе В. В. Солодовникова, В. Ф. Бирюкова и В. И. Ту-
маркина [615] разделы общей теории динамических систем базируются на
интегральных математических моделях.
Эффективное применение интегральных уравнений первого рода для ре-
решения задач гравиметрии прослеживается в книге В. И. Старостенко [621].
Разрабатываемые в ней методы характеризуются широким использованием
идей регуляризации.
2 5-1018 17
Разделы, посвященные приближенным и численным методам решения
интегральных уравнений, содержатся во многих отечественных монографиях,
учебниках по вычислительной математике, узкоспециальных изданиях. Коли-
Количество статей в журналах и сборниках очень велико и требует слишком
объемных обзоров, один из которых содержится в [717] (см. также D19,
488]).
Останавливаясь на учебной литературе, освещающей наряду с другими
вопросами и методы решения интегральных уравнений и являющейся боль-
большим вкладом в развитие и освоение прикладной математики, отметим работы
И. С. Березина и Н. П. Жидкова [77], М. К. Гавурина [163], Б. П. Де-
мидовича и И. А. Марона [229], Н. Н. Калиткина [314], Л. В. Канторо-
Канторовича и В. И. Крылова [320], Л. Коллатца [340], В. И. Крылова, В. В. Боб-
кова, П. И. Монастырного [370, 371], К. С. Кунца [379J, Г. И. Марчука
1444—452], Г. Н. Положего, Н. А. Пахаревой, И. 3. Степаненко и др. [459].
Среди работ, посвященных приложению интегральных уравнений с раз-
разработкой приближенных методов их решения (прежде всего уравнений вто-
второго рода), а также работ, развивающих численные методы, отметим следу-
следующие. В книге В. М. Амербаева [10] развиваемые операционные методы ис-
используются для решения задач, описываемых интегральными уравнениями
со специальным видом разностных ядер. Разработке метода степенных рядов
для решения интегродифференциальных и интегральных уравнений нелиней-
нелинейной наследственной теории вязкоу пру гости посвящены работы Ф. Б. Бада-
лова [37]. Отметим также [852]. Существенно развита теория численных ме-
методов в книгах Г. М. Вайникко [103] и Б. Г. Габдулхаева [162]. Общая
теория приближенных методов решения операторных уравнений излагается
в книгах Г. П. Головача, А. Ф. Калайды [192] и М. А. Красносельского,
Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. [546, 894].
Важнейшие результаты по исследованию и применению методов реше-
решения сингулярных интегральных уравнений изложены в книге В. В. Иванова
[282], а также [872].
Книга Дж. Касти и Р. Калабы [327] посвящена методам погружения
и содержит раздел по их применению к решению некоторых классов инте-
интегральных уравнений.
Достаточно эффективный метод осреднения функциональных поправок
изложен в работах А. Ю. Лучки [430, 431]. Важным развитием численных
методов является книга Ш. Е. Микеладзе [467], в которой получены инте-
интересные интегральные способы численного решения дифференциальных урав-
уравнений. Основы исследования нелинейных интегральных уравнений и методов
их решения содержатся в работах Н. Н. Назарова [511, 512].
Особую область среди публикаций составляют в последнее время тру-
труды по решению интегральных уравнений первого рода, относящихся к не-
некорректным задачам.
Потребности практики стимулировали разработку проблемы решения
уравнений первого рода и привели к созданию, вопреки утверждению Ада-
мара, эффективных регулярных методов, составивших один из важнейших
разделов прикладной и вычислительной математики, интенсивно развиваемый
в последние два десятилетия. При этом тезис о нефизичности некорректных
задач был заменен тезисом о том, что такая задача формулируется матема-
математически обычно неадекватно (точнее, неполно) и требуется внесение апри-
априорной, дополнительной, информации о решении. Фундаментальный вклад
в решение этой проблемы внесли труды отечественных ученых А. Н. Ти-
Тихонова, А. Н. Колмогорова, В. М. Фридмана, М. М. Лаврентьева»
В. К. Иванова, А. Б. Бакушинского, В. Я. Арсенина, В. А. Морозова,
П. Н. Заикина, А. С. Меченова, В. А. Винокурова, В. Н. Страхова,
А. Л. Бухгейма, А. С. Апарцина, А. М. Денисова, М. В. Муравьевой
(Арефьевой), В. В. Васина, В. П. Тананы, А. В. Гончарского, А. С. Леонова,
A. Г. Яголы, В. В. Воеводина, Ю. Е. Воскобойникова, Г. М. Вайникко,
B. Б. Гласко, О. А. Лисковца, Н. А. Магницкого, Г. И. Марчука, Н. Г, Пре-
Преображенского, Т. И. Савеловой, А. И. Седельникова, В. О. Сергеева и др.
Глава 1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ВОЛЬТЕРРЫ II РОДА
Прямым отражением значительного расширения приложений интегральных
уравнений Вольтерры является наблюдаемый в последние два десятилетия
быстрый рост интереса к их теории и методам решения со стороны специ
алистов в области чистой и прикладной математики, а также в многочис-
многочисленных прикладных областях научных исследований и проектных разрабо-
разработок. Специфика задач, описываемых данным классом уравнений, такова,
что в настоящее время не вызывает сомнений необходимость проведения
самостоятельных исследований по теории и численным методам решения
уравнений Вольтерры, несмотря на то что они представляют собой, по су-
существу, частный случай уравнений Фредгольма.
Благодаря достоинствам уравнений Вольтерры при описании многих за-
задач им отдается предпочтение перед дифференциальными уравнениями.
К этим достоинствам прежде всего следует отнести удобство и компакт-
компактность описания динамических систем. При этом зависимость между выход-
выходными величинами и входными воздействиями представлена интегральными
операторами, ядра которых полностью определяют внутренние свойства дан-
данных математических моделей и одновременно трактуются как реакции си-
системы на типовые входные сигналы, т. е. имеют естественное практическое
содержание. Численная реализация интегральных зависимостей принципи-
принципиально обладает высокой устойчивостью, что также заставляет во многих
случаях отдавать им предпочтение [827, 832—835, 837].
Точное аналитическое решение уравнений Вольтерры II рода возмож-
возможно, как и для других классов задач, лишь в некоторых частных случаях*
прежде всего при решении линейных уравнений. Классическим методом ана-
аналитического решения является нахождение резольвенты [151, 362, 424, 672}
(см. п. 1.2).
В качестве методов приближенного аналитического решения может
быть использован метод последовательных приближений Пикара [424, 508,
510, 672] или какой-либо другой итерационный метод с улучшенной сходи-
сходимостью [73, 74, 192, 273, 313]. Кроме того, для этой же цели применяют-
применяются методы, основанные на представлении искомого решения в виде степен-
степенного ряда [36, 276].
Имеется значительное количество численных методов решения уравне-
уравнений Вольтерры II рода. В основе большинства этих методов лежит замена
интеграла квадратурными формулами, прямое применение которых соответ-
соответствует методу квадратур [11, 379, 467] и некоторым его модификациям [67,
68, 71, 83, 244, 255, 403, 675].
По аналогии с решением дифференциальных уравнений к интеграль-
интегральным уравнениям с переменными пределами применяется метод Рунге—Кут~
ты [69, 425—427J, реализация идей которого приводит к различным расчет-
расчетным выражениям [773, 774].
Эффективными при численной реализации оказываются также итераци-
итерационные методы [424, 672], область сходимости которых в случае линейных
уравнений довольно широка. Для решения нелинейных уравнений могут
быть применены специальные модификации метода последовательных прибли-
приближений [73, 273, 707, 735, 736].
2* lf
Для решения многих типов интегральных уравнений Вольтерры II рода
полезным является использование сплайнов [447, 462, 463]. Этот прием мо-
может быть вспомогательным для ряда методов решения [463, 645, 646],
а также применяться в качестве самостоятельного метода [539, 748].
Специализированные методы применяются для различных частных ви-
видов уравнений Вольтерры II рода, в том числе для уравнений с разност-
разностными и вырожденными ядрами [127, 362] и уравнений с особенностями.
К таким методам можно отнести распространенный на практике операцион-
операционный метод [236], основанный на использовании преобразования Лапласа
с последующим обращением. При этом в ряде случаев возможно получение
точного или приближенного аналитического решения, а также применение
численных реализаций обратного преобразования.
Вопросам теории уравнений Вольтерры II рода (существование решения,
единственность, качественные исследования и т. д.) посвящено большое
число публикаций, многие из которых освещены в обзоре 3. Б. Цалюка
[717].
1.1. ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИИ
Типы уравнений. К уравнениям Вольтерры относят интегральные уравне-
уравнения, содержащие оператор Вольтерры [424, 510], включая в этот класс и
различные виды нелинейных уравнений [305, 508]. К наиболее распростра-
распространенным уравнениям этого типа, рассматриваемым в той или иной мере в гл. 1,
относятся приведенные ниже уравнения.
Линейное одномерное (скалярное) уравнение Вольтерры II рода [510,
547] имеет вид
X
у(х)- J К (х, s) у (s) ds = / (х), х? [а,Ь). A.1)
а
С различными ограничениями на ядро уравнения K(xf s) и правую
часть f(x) связаны определенные условия существования и единственности
решения уравнения A.1) [672]. В частности, решение существует и един-
единственно, если ядро непрерывно внутри и на сторонах треугольника, ограни-
ограниченного прямыми s=a, x=b, x=s (при b > а), а функция/ (х) на промежутке
[а, Ь) имеет конечное число точек разрыва, причем она может быть и He-
Heft
ограниченной, если \\f(s)\ds имеет конечное значение.
а,
Уравнение A.1) является частным случаем уравнения Фредгольма II ро-
рода (см. гл. 3), если в последнем принять, что ядро удовлетворяет условию
К(х, s) s 0 при s > х. Заменяя в A.1) интеграл квадратурной формулой,
можно получить аппроксимирующую систему линейных алгебраических урав-
уравнений относительно значений искомой функции в фиксированных узлах с
треугольной матрицей коэффициентов.
Уравнение A.1) содержит интегральный оператор
л
Ав ф (х) s ] К (х, s) ф (s) ds, x<s, A.2)
важное свойство которого состоит в том, что значения функции ty(x) =
= ^яф (х) при любом х определяются значениями функции ф только при s < х.
Интегральные операторы, характеризуемые этим свойством, в том числе и
нелинейные, называются операторами Вольтерры и широко применяются при
описании процессов с последействием [150, 151, 557,558]. Данная особенность
интегрального оператора позволяет применять прием решения уравнения A.1),
состоящий в том, что решение может быть построено только на части про-
20
межутка [a b), например на некотором интервале а < х <. хи и при х^ хг
пользоваться для решения выражением
xt
Важным для практики численного решения является случай вырожден-
вырожденного (разделяющегося) ядра
т
К (X, S) = XI ai (X) Р* (S)> A '3)
которому соответствует уравнение
т х
i=\ a
Уравнение Вольтерры II рода типа свертки (с разностным ядром):
*?[0, Ь), A.5)
о
или
х
у(х)— j K(x — s)y(s)ds = f{x), д:€(—оо,оо). A.6)
__со
Нелинейные уравнения. Уравнение Вольтерры II рода с оператором
Гаммерштейна (уравнение Вольтерры — Гаммерштейна):
у (х) - J К (х, s) F [s, у (s)] ds = / (х), х 6 [а, Ь). A.7)
а
Уравнение Вольтерры —- Гаммерштейна II рода типа свертки:
X
y(x) — lK(x — s)F[s9y(s)]ds^f(x), xG[0,&],
или
х
)— \ К (х — s) F [s, у (s)] ds = f (x), x ? (—00, сю). A.8)
Уравнение Вольтерры II рода с оператором Урысона (уравнение Воль-
Вольтерры — Урысона):
X
$ x?[a,b). A.9;
Уравнение A.9) представляет собой общую форму записи предыдущих
нелинейных уравнений. В практике могут встретиться и другие виды нели-
нелинейных уравнений типа Вольтерры II рода, например уравнение вида
X
Fi [у (х)] — \K\x,s,y {s)] ds = /(лс), xG la, b).
a
Применительно к различным типам нелинейных интегральных уравнений
имеется значительное количество теорем о разрешимости и свойствах реше-
решений [305, 319, 508, 546], которые трудно объединить в единую теорию,
подобную теории линейных уравнений. Соответственно и при численном
решении нелинейных уравнений возникают обычно более значительные труд-
трудности по сравнению с решением линейных уравнений.
Система уравнений Вольтерры II рода. Каждому из скалярных урав-
уравнений A.1), A.5)—A.9) может быть поставлена в соответствие система инте-
21
тральных уравнений относительно п неизвестных функций уг(х), ..., уп(х).
Например, система линейных уравнений Вольтерры II рода имеет вид
п х
2 J
yt(x) — 2d J Kij (x, s) уi (s) ds = ft (л:), i = 1, n. A.10)
Системы уравнений могут включать в себя любые из указанных выше
видов уравнений, как линейных, так и нелинейных.
Уравнение относительно функций от п независимых переменных:
у(М)—\ K(M9N)y(N)dNG = f(M), A.11)
Gm
где М и N — точки некоторой n-мерной области, причем интегрирование
выполняется по точке N. Уравнение A.11) может быть записано в коорди-
координатной форме:
у (х19 х2, ..., хп) — J dsxJ ... j К {х19 х29...9 хп, su s2, ... 9 sn)
X у (slt s2, ...» Sn) ds2 ... dsn = / (xu x29 ..., xn),
где (H) — область в пространстве независимых переменных (х2, . .. 9 хп).
Примеры прилолсения. Обширной областью приложения интегральных
уравнений Вольтерры II рода являются задачи анализа процессов в динами-
динамических системах, представляемых совокупностями взаимосвязанных объектов
с присущими им входными и выходными воздействиями в виде функций вре-
времени [557, 558, 567, 743].
В качестве характеристик элементов системы используются их весовые
(переходные, аппаратные) функции [86, 89, 133]. Если произвольный линей-
линейный объект обладает весовой функцией g(t, т), то зависимость выходного
сигнала у (t) от входного сигнала х (t) имеет вид
= J g(U
или, с учетом условий физической реализуемости {g(t9 %) = 0 при % >t) и по-
покоя до момента t0 (x (t) = 0 при т < /0),
y(t) =§g(t,r)x(T)dx. A.13)
Весовые функции стационарных линейных объектов являются разностными,
т.е. gr(^,^) = gr(^ — т). Более общим случаем является нестационарный
линейный объект, весовая функция которого представляет собой произволь-
произвольную непрерывную зависимость от двух аргументов: t и т.
Таким образом, математическая модель A.13) линейного объекта пред-
представляет собой линейный интегральный оператор Вольтерры. Для описания
нелинейных объектов применяются нелинейные интегральные операторы, при-
примерами которых могут служить операторы, входящие в уравнения A.7)—A.9).
Линейный или нелинейный объект, охваченный обратной связью, описыва-
описывается каким-либо из скалярных уравнений A.1), A.5), A.6) или A.7)—A.9).
Аналогично моделями динамических систем являются соответствующие си-
системы интегральных уравнений [772].
Наглядными и широко распространенными на практике примерами дина-
динамических систем являются механизмы, электрические цепи, системы регули-
регулирования. К анализу динамических систем сводятся многие задачи исследова-
исследования процессов в биологии, биофизике, химии, физической химии, экологии,
экономике и т. д. Приведем некоторые характерные примеры постановок задач
е применением интегральных уравнений.
Задача анализа переходных процессов в электрических цепях [236, 558] —
одна из распространенных задач электротехники. В случае линейных цепей
п
с сосредоточенными параметрами задача
сводится к решению уравнений Вольтер-
ры II рода или их систем с разностны-
разностными степенными или экспоненциальными
ядрами. В качестве примера рассмотрим
задачу анализа переходного процесса в
электрической цепи второго порядка
(с двумя инерционными элементами),
приведенной на рис. 1. Заданы параметры
R L С
р р рр
цепи R, L, С, начальное значение (при п . ~
/ — ftt тп^я r рсят\/тпкр инял/к-тиянпрти Рис* ^Электрическая схема для иллю-
t = U) тока В катушке индуктивности страции составления интегрального урав-
М°) —¦ К и напряжение на конденсато- нения Вольтерры II рода.
ре ис @) = Uo. Для получения модели
цепи в виде интегрального уравнения используются уравнения для ветвей:
iR — GuR (G = i?), iL(t) = /0 + — \uL (t) d%> ic = С-^ , а
o
мость ir + i>l + i#c = 0, представляющая собой второй закоь Кирхгофа. Тогда
естественным образом получаем интегродифференциальное уравнение [100,
770]
t
также зависи-
1 С
о
A.14)
Традиционное дифференциальное уравнение получается путем дифференци-
дифференцирования A.14). Если же A.14) проинтегрировать, то получим интегральное
уравнение
t t t±
Cue(t) + gJ ur(t) d% + ~
0 0 0
Учитывая равенство ис = ur~ ul для анализируемой цепи и выполняя прос-
простые преобразования, получаем окончательно
t
Guc @ + j [С + т (t — т)] ис (x)dx = Uo. A.15)
о
Примером постановки нелинейной задачи является нелинейное интеграль-
интегральное уравнение
t
ф(^)_=г \sm[(d(t — т)] [ф(т)]3dт + ^3, A.16)
о
полученное при описании колебаний тока в электрической цепи, содержа-
содержащей железный сердечник.
Процессы деформирования упруговязких материалов относятся к харак-
характерным задачам исследования объектов с распределенными параметрами.
На основе линейной теории наследственной вязкоупругости Больцмана [345,
567] зависимости между напряжениями а и деформациями в нагружаемых
образцов твердых материалов представляют собой следующие интегральные
уравнения:
t
A.17)
8@ =_ ^ + -^ f к (f — т)а (т) dx9
о
t
@ = ? е @ — ? J 71 (/ — т) е (т) d т,
A.18)
где Е~ модуль упругости; /С (/ — т) — функция влияния напряжения а (т)
в момент % на деформацию в момент /; Т (t) — аналогичная функция влия-
23
ния для деформации. Уравнения A.17), A.18) позволяют решать многочис-
многочисленные задачи исследования ползучести и релаксации материалов [564, 5661.
Нелинейная теория вязкоупругости приводит к получению нелинейных
интегральных уравнений второго рода [3451. Примером является уравнение
кубического приближения
i
] ?8(/ — т)ст3(т)^т, A.19)
где Ь = const, Ki(t) и /Cs @ — функции влияния. В более общем случае
исследования пространственного напряженного состояния [564, 693] связь
между интенсивностью деформаций сдвига D(t) и интенсивностью напряже-
напряжений сдвига N (t) записывается в виде уравнения
—jtf(* —T)<P[D(x)]dT, A20)
о
где ядро R (t) = dtTm представляет собой скорость релаксации интен-
интенсивности напряжений сдвига при единичной интенсивности деформации сдви-
сдвига; функция ф(?>) характеризует нелинейную зависимость между N и D
(закон деформирования). Одним из важных приложений модели A.20) явля-
являются задачи мерзлотоведения [276].
Задачи математической экологии послужили в свое время основой со-
создания наследственной теории Вольтерры [150, 151], которая получила широ-
широкое развитие и применение [187—189]. Примером может служить задача рас-
распространения эпидемий (пандемий), для решения которой используется нели-
нелинейное интегральное уравнение
t t
x(t)=[P(t)— J A (t — s)x (s) ds] J a(t — s)x(s)ds A.21)
__ oo — со
(x(t)— искомая функция) мало изученного типа [794].
1.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Резольвента и ее применение. Общей аналитической формой решения урав-
уравнения Вольтерры II рода A.1) является выражение
s. A.22)
Функция R (x,s) называется резольвентой (резольвентным или разрешающим
ядром) и определяется выражением
R(x, s)= 2 Kn+i(x,s), A.23)
/1=0
где Кп (х, s) — итерированные (повторные) ядра, подчиняющиеся рекуррент-
рекуррентным соотношениям
Кг (х, s) = К (х, s),
X
Кп+1 (х, s) = J К (х, t) Kn (t, s)dt, n = 1, 2, ... A.24)
S
Можно видеть, что резольвента не зависит от свободного члена, а определя-
определяется только «внутренними» свойствами уравнения, его ядром.
Существуют различные способы [361, 362] точного или приближенного
нахождения резольвенты и использования ее для получения решения в ана-
аналитическом виде A.22). Определение и применение резольвенты могут быть
успешными лишь для частных случаев ядра уравнения A.1).
24
Общим приемом получения выражений A.22) и A.23) является представ-
представление решения посредством бесконечного ряда. Записывая исходное уравне-
уравнение в виде
X
у (х) = / (х) + X $ К (х, s) у (s) ds, A.25)
а
искомое решение выразим в виде следующего ряда по степеням параметра X:
у(х)==Уо(х) ±Хух (х) + Х*у2(х) + ... + Х"уп(х) +..., A.26)
после подстановки которого в A.25) получаем
Уо (х) + Ьух(х) + ...+ Х"уп(х) + ...=
х
= / (х) + % J К (х, s) [уи (s) + Xy1(s) + ... + X»yn(s) + ...] ds. (J .27)
а
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях X в левой и правой
частях A.27) приводит к соотношениям
уо(х) =/(*),
X X
у, (х) = J К (х, s) у0 (s) ds = J К (х, s) f (s) ds,
а а
х х &
у2 (х) = J К (ху s) y1 (s) ds=\K(x, s) J К (s, s,) f (s,)ds1 ds,
из которых следует
x
yx(x) = \K(x,s)f(s)ds,
а
X
у2 (х) = j К2 (х, s) f (s) ds, K2 (x, s) = j К (xy st) К (sly s) dsu
a s
или в общем случае
х
yn+l (x) = J Kn+i (x, s)f(s)ds, n = 0, 1, 2, ... , A.28)
a
где /От-ч (х, s) имеет вид A.24).
Ряд A.26) с учетом A.24) и A.28) принимает вид
y(x)r=f (х) + 2 ^vJ^v (x, s) f (s) ds, A.29)
V=l О
откуда следует выражение A.23) для резольвенты при Х= 1. Если К (х, s) —
непрерывная функция а < s < х < Ь и f(x) непрерывна при а < х < &, то
ряд в правой части A.29) сходится по х и X при любых А,, что позволяет
при рассмотрении методов решения уравнений Вольтерры не вводить указан-
указанный параметр (в отличие от уравнений Фредгольма), считая его компонентом
ядра или полагая равным единице.
Пример 1.1. Технику действий с итерированными ядрами проиллюстри-
проиллюстрируем на примере определения резольвенты ядра
К(х, s) = Кг (х, s) = ex-s.
По формуле A.24)
К2 (х, s) = J ех~г ez~s dz = ex-s^dz = ex^s {x — s),
s s
25
i (x, s) = I ex-ze*-s (z — s)dz =
s
или в общем виде
Kn+i(x, s) = e*-*^=p^, n = 0,1,2,...
Теперь по выражению A.23) можно найти
/2=0 M=0
Уравнение относительно резольвенты. Для резольвенты
может быть получено определяющее ее интегральное уравнение. Действи-
Действительно, из A.1) и A.22) следует
а а
X X
, s)f(s)ds = J K(x, s)y(s)ds =
а
X S
, s)f(s)ds+ [K(x, s)ds\R (s, t)f(t)dt =
а а а
X XX
= \K(x,s)f{s)ds-\-\f(t)dt\K{x,s)R(s, t)ds =
a t
a at
X XX
= J*(*,s)/(s)<fe+)/(s)<fc}K(x,/)?(*,s)d*,
a as
откуда получаем уравнение относительно R (x, s):
х
R (x, s) =* К (jc, 5) + J /C (x, 0 /? (/, s) Л. A.30)
Следует обратить внимание на то, что структура полученного двухмерного
уравнения A.30) совпадает со структурой решаемого уравнения A.1), причем
исходной информацией, порождающей резольвенту, является заданное ядро
К (х, s). Решение уравнения A.30) представляет собой более сложную задачу
по сравнению с решением исходного уравнения A.1), однако его использо-
использование оказывается исключительно полезным при качественном анализе задач
и различного рода эквивалентных и упрощающих преобразованиях. Возмож-
Возможны также случаи, когда главной задачей исследования является не решение
исходного уравнения, а нахождение резольвенты. Тогда аналитическое, при-
приближенное или даже численное решение уравнения A.30) приобретает прак-
практический смысл. Большое значение имеет нахождение резольвенты в задачах,
которые приходится решать многократно при различных вариантах правой
части f(x) и при одном и том же ядре.
В табл. 1 приведены формулы для резольвент, полученные для некото-
некоторых видов ядер.
Пример 1.2. Резольвента интегрального уравнения
х
у (х) = ех* + \ exZ~s2y (s) ds
имеет вид
26
Таблица 1
#дро К {х, s)
1
&,(*—S)
^1+s2
. 2 + cos л:
2 + cos s
ch s
Ka*-« (a > 0)
2—(*—s)
—2 + 3 (* — s)
2*
4x — 2 , 8 (л: — s)
sin (x — s)
sh (* — s)
<r<*~s) sin (x — s)
2 cos (x — s)
ch (a: — s)
Резольвента /? (jc« s)
—^rsh/AT^ —s) (Я>0)
1 + s2 e
2 + cos * ex u_s)
2 -f- cos s
chs
ax-se% (x—s)
ex-s (X _ s + 2)
/2 S ^"^S
e ^ ch I-tr (x — s)-\ --=• ch ~тг— (x —s)
L 2 y§ 2 J
Тогда согласно A.22) решением уравнения будэт
у(х) = е*-\
Случай разностного степенного ядра. Для нахождения резольвенты
можно составить и решить определяющее дифференциальное уравнение. Это
возможно в одном из частных, но важных для практики случаев, когда ядро
уравнения A.1) является разностным и имеет вид
K(xts) = а0 (х) + at(x) (x-s)
A.31)
при условии непрерывности коэффициентов ak(x), k = 0, п—1, в [а, Ь).
Резольвента для A.31) определяется выражением
A.32)
где функция g(x,s) является решением уравнения
Й
] = °
при
i U$ -
n
Для ядра
К(х, s) = bo(s) +b1(s)(s-x)
резольвента имеет вид
R(x,s) =
где g (s, x) — решение уравнения
удовлетворяющее условиям A.34).
Пример 1.3. Найдем резольвенту уравнения с ядром K(x,s)~x— s,
которое является частным случаем ядра A.31) при а1(х) = 1 и равных нулю
остальных коэффициентах. Уравнение A.33) принимает вид
?8jg4 _*(,,*)-о,
откуда
g(x, s) =C1(s)ex+C2(
Условия A.34) приводят к системе
решение которой
2 2>
что позволяет записать
g (x, s) = 1 [ex~s — е-(*-*Ч = sh (* — s).
Согласно A.32) окончательно имеем
/? (л:, 5) = [sh (х — s)]'x* = sh (x — s).
Резольвента и приближенное решение уравнений. Не-
Несмотря на ограниченность аналитических способов нахождения резольвенты,
ее применение оказывается целесообразным для построения приближенных
и численных алгоритмов решения интегральных уравнений.
Расчетные выражения для численного получения резольвенты могут быть
получены из выражений A.24) и A.30), если в них положить s = s^ i =
= 0, 1, ... , 5, т. е. разбить промежуток [а, Ь) изменения переменной s
на S отрезков. Тогда согласно A.24) и A.30) получим
Кп+1 (х, st) = §K(x, t) Kn (t, si) dt A.35)
R (x, st) = К (x, st) + ) К (x, f)R(t, si) dt. A.36)
s>
Выражение (L35) сводит задачу получения итерированных ядер к вычисле-
вычислению интегрального оператора Вольтерры, а выражение A.36) представляет
собой уравнение Вольтерры II рода, где ядро является функцией одной
переменной и совпадает с правой частью.
Очевидной является сложность такого пути получения приближенной
резольвенты, не имеющей к тому же явного аналитического выражения.
Несколько иной путь применения резольвенты состоит в такой аппро-
аппроксимации ядра, при которой становится возможным определить приближен-
28
ную резольвенту аналитически. Примером применения такого подхода явля-
является следующий метод [68].
Если для уравнения A.1) разбить промежуток изменения переменной х
точками х = Xi = а + ih, i = 0, п, с шагом h = ~~ на п одинаковых про-
промежутков Х(, где xi—\ < х < Х( и Хп — закрытый промежуток, то прямые
х = хи i = 1, я, s = S/= X/, / = 0, п— 1, разделят основной треугольник
D (а < s < х < Ь) на я треугольников Dt- (х,_) < х < X/, s/ i <: s < х) и
^"" квадратов Dij(xi-\ < х < хь s/-i < s < Sf). После замены /С(х, s) и
/ (х) в уравнении A.1) функциями
к (х s)-
}(х) = f(*д = ft, *?Xi> i=l, n,
где Xi = xt_i + у , 5/ = X/, получается уравнение
X
у (x) — ^k (x, s) у (s) ds = / (x). A.38)
о
Резольвента ядра A.37) имеет вид
s/-s>, х, s ? /Лу, i = z, n, / = 1, i —
где
/# t\_i = /Ct-, f_i, t = 2, я,
/ = 3,/i, /=1, /-2
/(, = 0 дробь —г;— заменяется на
А/
Решение приближенного уравнения A.38) записывается в аналитическом
виде
у (х) = CteKi {x-xi-^ , x g X{, i = ГТ^гГ
где d = /х, С/ = /*+>, /Cz/^-t;—- С/, i = 2, п.
Функция ^r(x) имеет разрывы в точках х = Хи i= I, п— 1, со скачком е,
Оценка погрешности решения может быть получена методами, приведен-
приведенными в [319, 320].
Эквивалентные дифференциальные уравнения. Уравнения Вольтерры
II рода A.1) имеют глубокую связь с задачей Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений [321, 362, 424]. В частности, для уравнения
A.1) можно получить выражение для решения, аналогичное формуле Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого в формуле A.22)
достаточно формально выполнрпъ интегрирование по частям, что и приводит
к искомому представлению
х
у(х) = и (xt a) f (a) + J и (х, s) df (s), A.39)
а
29
л
где а (х, s) == 1 + \ R (x, s) ds является фундаментальным решением (или
S
фундаментальной матрицей при рассмотрении A.1) как векторно-матричного
уравнения) уравнения A.1) или его ядра К(х, s). Выражение A.39) может,
как и соответствующая формула Коши для дифференциальных уравнений,
использоваться при качественных исследованиях и приближенном решении.
Получение эквивалентной интегральной формы. Задача
Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
у @) = Со; у' @) = С19 . .. , ^»-1) @) = С„_ь A.40)
имеет эквивалентное представление в виде интегрального уравнения [362,
424, 720]
K(x,s)u(s)ds = <p(x), A.41)
о
где
х
A.42)
У (*) = ?*-!(,, l,i)i +... + Qjc + C0 +(/zJ1)!j (x — s)n-*u(s)ds, A.43)
о
/ (*) (?Г" S m1 > A.44)
г=1
Ф (х) = / (л:) — Cn-i^i (х) — [Сп-\х + Сп-2) а2 (х) —
*-* (п—\I + • " +Сгх +C0J an (х).
При получении данных выражений выполняются интегрирования выра-
выражений A.42) и используется формула
X Хх хП-1 X
\ dxx \ dx2... \ z (Xn) dxn= -. тгг \ (х — s)n~lz (s) ds.
Можно видеть, что задача A.40) эквивалентна интегральному уравнению»
Вольтерры II рода с частным видом ядра A.44). Выбор одной из двух экви-
эквивалентных форм записи задачи Коши зависит от естественной постановки
решаемой задачи и от ее свойств при численном решении [346, 347].
Пример 1.4. Получим эквивалентное интегральное уравнение для диф-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
УГ + У + у' — 2у = sinx; у" @) = 0, у' @) = 1, у @) - 0.
Поскольку коэффициенты заданного уравнения аг = 3, а2 = \9а3=—2,
то согласно A.42) получим С2 = 0, Сх = 1, Со = 0. Формула A.44) для ядра
дает
К(х, s) = 3 + (х — s) + (x — s)\
Тогда
Ф (*) = sin х + С2аг — (С2х + Сг) а2 —
— [c*y + Сгх + Со) а3 = sin л: + 2(х— 1).
30
Пример 1.5. Задано уравнение
/ + A + *2) у = cos*; у @) = 0, у' @) = 2.
d2t/
Принимая j-f = &(#), путем последовательного интегрирования найдем
выражения
Я X
у' (х) = J u(s) ds + 2, y(x) = J (x — s) «(s)ds + 2x,
о о
подстановка которых в исходное уравнение дает
и(х) + [ A + *2)(* — s)u(s)ds = cos л; — 2л: A + *2)-
о
Получение эквивалентных дифференциальных уравне-
уравнений. Переход от интегральных уравнений к дифференциальным возможен
лишь в частных случаях, что является следствием высокой универсальности
уравнений Вольтерры II рода как формы описания задачи Коши. Одним
из таких частных, но распространенных случаев является случай вырожден-
вырожденного ядра A.3), когда уравнение A.1) принимает вид A.4) и может быть
сведено к дифференциальному уравнению. Такой переход может быть целе-
целесообразным как при математической постановке задач, так и при их реше-
решении, поскольку методы решения дифференциальных уравнений хорошо раз-
разработаны и широко применяются.
Если в линейном уравнении с вырожденным ядром
т х
у (х) = 2 а' № $ Р' (*) У Ф ds + f (x) A.45)
i=\ a
обозначить
f>t(s)y(s)ds, A.46)
то A.45) преобразуется в выражение
у (х) = S «/ (х) vi (х) + f (х). A.47)
После дифференцирования A.46) с использованием A.47) получается система
дифференциальных уравнений
f(x)]9 i=l,m, A.48)
которая при начальных условиях
0,@) = 0, i = l,/zf A.49)
равносильна исходному уравнению A.45). Искомое решение определяется
из выражения A.47) или из равносильного выражения
у (Х) = ^ , i = ТТ^Г, A.50)
получаемого при дифференцировании A.46).
х
Пример 1.6. Для уравнения у {х) = х + J ;ш/ (s) ds получаем v (x) =
Дифференциальное уравнение имеет вид v' (х) == ху (х) = x[x + xv (x)],
Xs Xs
31
= ? sy (s) ds.
о
Дифферс
и его решение v (х) = — 1 + Се~3л откуда у (х) = Схе3.
Для определения С полученное решение подставим в исходное инте-
интегральное уравнение. Получаем С = 1. Подобный прием равносилен исполь-
использованию начального условия v @)= 0.
Пример 1.7. Для уравнения A.45) при т= 1 задано:
P(*)
Это приводит к дифференциальному уравнению
»; (*) = - т yi <*) + *2> yi <°> = °>
решение которого vx (х) = -j без труда позволяет получить решение исход-
исходного интегрального уравнения
, ч 1 дгз .г2 Зх2
^v ' х cos д: 4 cos л: 4 cos x
Получение вырожденного ядра. Если в A.1) ядро не явля-
является вырожденным, то во многих случаях допустимо его приближение вы-
вырожденным ядром
т
К (х, s)^K (x, s) = 2 at (x) р* (s) A.51)
l
и переход к аппроксимирующему уравнению
х
' W J P< (s) ^'(«) ds=f(x), A.52)
реп!ение которого у (а:) при хорошей точности замены A.51) будет близким
к искомому.
Возможности представления функций нескольких переменных функциями
меньшего количества переменных показаны в [342, 739]. Укажем некоторые
аналитические приемы получения вырожденного ядра [77].
1. Ряд Тейлора. Если ядро разложимо в ряд Тейлора по одной из пе-
переменных, то в качестве вырожденного ядра для К (х, s) можно применить
конечный отрезок ряда в виде
i(x — xoyK^(xOfs)f х, seta, 6], A.53)
1=0
или в виде
т
K(x,s) = 1?±.(s-soyК$(х, s0), A.54)
где хп и s0 — точки промежутка [a, b].
Для ядра в операторе Урысона получим
т
К [х, s, у (s)] » 2 1 K{i) [x09 s, у (s)} (х ~ хоу. A.55)
t=i
Невозможность дифференцирования данного ядра по s не позволяет получить
разложение, аналогичное A.54).
2. Двойной ряд Тейлора. Ядро представляется в виде
т т
R(x,s) = )Z E at, (х - х0)' (s - soy, A.56)
i=0 /==0
, x0, so?[a, b].
, So
3. Тригонометрический полином. Полагая период равным 27\ где Т =
= 6 — а, получаем
К (х, s) = 1 ап (s) + Yi * (s) со* ^, A.57)
где a;(s), f = 0, 1, 2, ... ,—коэффициенты Фурье:
ь
Q>i (s) = f J ^C (x, s) cos •—? dx. A.58)
a
Подобные же зависимости получаются, если поменять ролями переменные
х и s.
4. Двойной ряд Фурье. Ядро представляется в виде
m m
т> / \ 1 t 1 V1 *Я* t 1 V /3TS
^ (х, s) = — а00 + у 2j «/о cos -у- + j 2j aoicos "V" +
inx
6 6
где аг/- = iy72 I l К (x, s) cos —^- cos ^-^~
5. Интерполяционный полином Ньютона для функции одной перемен-
переменной. Принимая h = "" ¦ , я* = а + ^Л, i = 0, 1,2, ... , ш, получаем
, s) = /С (*0, s) + V -1- (х — х0) (х — хг)...(х — xf-i) Д//С (Jfo, s), A 60)
где Д/ — разделенные разности соответствующего порядка. Или, полагая
Si = а + ih, i = 0, I, 2, ... , m, получаем
? (х, s) = K (x, s0) + 5j TT^T (s — s°) (? — *i) • • • (s — s/-0 Л7^ (x, s0). A.61)
6. Интерполяционный полином Ньютона для функции двух перемен-
них.
. . . (x — Xi-x) (s — so)...(s — s/_i). A.62)
Приведенные формулы могут быть применены непосредственно либо ис-
использованы для получения исходных данных при численной аппроксимации
ядер на ЭВМ. При этом точность аппроксимации должна быть согласована
с необходимой точностью искомого решения,
Более универсальный метод вычисления вырожденных ядер приведен
в п. 3.3 применительно к решению уравнений Фредгольма.
Нелинейнше уравнения. Если в уравнении A.7) ядро вырожден-
вырожденное, т. е.
п Ь
У(х) - Е«' (х) J fr(s)F[y(s)] ds = /(x), A.63)
t*=l a
3 5-1018 33
то переход к дифференциальным уравнениям
vi (х) = р, (х) F ltx at (x) vt (x) + f (x)] A.64)
с начальными условиями
Vi(a) = О, I = 1, я,
выполняется аналогично линейному случаю с использованием A.47) и выра-
х
жения vt (х) = I pi (s) F [у (s)j ds.
Для нелинейных уравнений более общего вида A.9) соответствующий
переход допустим лишь при условии
К [х, s, y(s)}=^ g^ at (x) p,[s, y (s)J, A.65)
которое позволяет перейти к системе
п
vt (х) = р* [х, S at (x) vt {x) + f (x)] A.66)
i—\
с использованием A.47) и выражения
х
vt (х) = ? pt- [s, у (s)] ds.
Замена A.65) может быть получена одним из методов разложения ядра
в ряд, например, по выражению A.55), в том числе относительно функции
у. Например, разложение К [х, s, у (s)] в ряд Маклорена по степеням х в точке
х = 0 с учетом т первых членов приводит к приближению
К [х, s, у (s)] = 2j К? I* = 0, s, у (s)] jj-. A.67)
Предполагается, что ряд сходится при а < х, s <: Ь и ограниченных у.
Если в результате приближения ядро представляет собой ряд
где
К[х, s, y(s)] = 5] /СК-^э s)t/*(s), A.68)
i=0
^'(^ s) - гт?^и, s, у (s)]|^o, A.69)
причем Kt (x9 s) = щ (x)$i (s), то уравнение A.9) принимает вид
т х
')\§t (s) У1 (s) ds+f(x). A.70)
t=0
Обозначив
x
a
получаем
yt(x) = ?L(l) A.72)
что позволяет записать
Р/ <*)
34
]. A-73)
Данная система может иметь не единственное решение, в связи с чем
целесообразно выполнить проверку путем подстановки получаемых функций
у(х) в исходное интегральное уравнение.
Пример 1.8. Задано нелинейное интегральное уравнение
X
С 11
Обозначив v (х) = \ cos2 sy2 (s) ds, получаем у (х) = ^j v (x) + ^у . Тогда
о
задача сводится к дифференциальному уравнению vf (х) = [v(x) + I]2» реше-
решение которого имеет вид у (х) = yU2 (х) = ± (A._1)c0SJC •
Проверка позволяет остановиться лишь на одном решении: уг =
(д;— 1) cos х '
Преобразование к уравнению первого рода. Часто используется переход
от уравнений Вольтерры I рода к уравнениям Вольтерры II рода путем диф-
дифференцирования (а также интегрирования по частям) уравнения первого рода
(см. гл. 2), поскольку исследование и решение уравнения второго рода
во многих отношениях эффективнее (большая устойчивость, большее коли-
количество методов и т. д.). Однако в некоторых случаях целесообразен и об-
обратный переход. Он может быть выполнен следующим образом. Проинтегри-
Проинтегрируем A.1) по л: и изменим порядок интегрирования. Получим:
а а а а а
XX XXX
+ J у (t) dt J К (s, t)ds=[f (s) ds + ^y(s)dslK (/, s) dt. A.75)
at a a s
В результате приходим к уравнению Вольтерры I рода
X
J M(х, s)у(s)ds = F(х), x?[a,b), A.76)
а
с ядром
х
Af (дс, s) = 1 — j/С (/, s) Л A.77)
S
и правой частью
х
\(s)ds. A.78)
Практической особенностью уравнения A.76) является то, что его пра-
правая часть F (х) есть интеграл от первоначальной правой части fix). Если
/ (х) получена из эксперимента и имеет значительные погрешности, то ее
интегрирование (равнозначное пропусканию через сглаживающий фильтр)
даст возможность получить функцию F (х), в которой нереальные флуктуа-
флуктуации, обусловленные погрешностями эксперимента, в значительной степени
будут сглажены.
1.3. МЕТОД КВАДРАТУР
При численном решении интегральных уравнений любыми методами неиз-
неизбежно приходится заменять входящие в них интегралы конечными суммами.
При этом полученные конечные соотношения могут быть вспомогательными
или носят самостоятельный характер как окончательные расчетные выраже-
выражения [754, 768, 791].
3* 35
Метод квадратур (механических квадратур, конечных сумм, квадратурных
формул) состоит в составлении и непосредственном использовании расчетных
выражений (конечных уравнений, рекуррентных формул), полученных путем
замены интегральных операторов конечными суммами на основе применения
различных квадратурных формул [369—372, 517, 754, 827, 860].
Особенности применения крадратур. Содержащийся в рассматриваемых
уравнениях интеграл с переменным верхним пределом вносит определенные
особенности в применение квадратурных формул. При численных расчетах
переменный предел интегрирования фиксируется и поэтому в этом случае
также применяются формулы для приближенного вычисления определенного
интеграла, имеющие в общем случае вид
л,ф(х,)+#[ф], A.79)
а :=1
где %t — фиксированные абсциссы промежутка [а, Ь] или узлы (узлы интер-
интерполирования), Ai — числовые коэффициенты, R [ф] — остаточный член (ошибка)
п
формулы; обычно Ai > 0 и ]У] А- = Ъ — а. Существует большое количество
квадратурных формул вида A.79), построение которых основано на замене
подынтегрального выражения интерполяционными многочленами [369, 372].
Если концы а и Ъ промежутка интегрирования являются узлами интерполи-
интерполирования, а сам промежуток разбивается на л—1 равных частей, то соот-
соответствующие квадратурные формулы называются формулами замкнутого типа.
Если же промежуток интегрирования разбивается на п + 1 равных частей
и узлы интерполирования не содержат точек а и 6, то полученные при этом
квадратурные формулы являются формулами открытого типа (незамкнутыми).
При равноотстоящих узлах xt = а + U— 1) ft, i = 1, 2, . .. , п, и деле-
делении промежутка интегрирования на п—1 равных частей шаг интегрирования
fo a
равен ft = _¦. . В табл. 2 приведены значения узлов и коэффициентов для
некоторых наиболее распространенных квадратурных формул вида A.79).
При решении интегральных уравнений на ЭВМ достаточно широко применя-
применяются формулы прямоугольников и трапеций, являющиеся формулами замкну-
замкнутого типа.
Ряд квадратурных методов решения уравнений Вольтерры построен на
совместном применении замкнутых формул и формул открытого типа [77,
708]. Незамкнутые формулы применяются обычно для вычисления интегралов
на малых промежутках, что позволяет без существенных вычислительных
затрат продолжить таблицу искомой функции в дополнение к ранее получен-
полученным ее значениям.
Приведем примеры незамкнутых формул 1369]. Для пределов интегриро-
интегрирования 0 и ft:
h
j Ф (х) dx = ± [5Ф @) + 8Ф (h) - ф BА)] + й Ф" («). 0 < в < 2Л,
у (х) dx = ?-4 [9ф @) + 19Ф {К) — 5Ф BЛ) + Ф (ЗЛI +
^(e)> 0<e<3ft;
для пределов 0 и 2h:
^), 0<e<2ft;
36
Таблица 2
Формула
Формула прямоугольников
Общая формула трапеций
Общая формула Симпсона
при п = 2т + 1, т = 1, 2, 3,...
Формула Гаусса при п = 7,
Формула Чебышева при
At
*г-
ч--
А,
А3
Ч
%
ь —
п —
-a + h
-a + h
- A2tn+
= Л5 =
-a + h
= Л7 =
«2 = Х6
Ч = *8
ш
Коэффициенты и узлы
а
Г
(i 1), t — 1.2, ... , /г, Л
Л ^ _А __ ___ .
(t —1). i- 1, 2, ... , л, Л
х~ 3"'
4Л
л2т - 3 ,
3
(t'—l), i — 1,2 /г, Л
= 0.1294849662
= 0.2797053915
= 0.3818300505
= 0.4179591837
= 0.9491079123
= 0.7415311856
= 0.4058451514
= 0
2 1
""-~ п ~ 3
= 0.8662468181
= 0.4225186538
= 0.2666354015
Ь —
п—
Ь~
п •—
Ь —
п —
а
1
а
1
- а
-1
для пределов 0 и ЗА:
j'cp (*)d* - f [Ф @) + 3Ф(А) + 3ФBА) + Ф (ЗА)] -|?ф<4>(е), 0 < е < ЗА.
о
Выбрать квадратурную формулу для решения уравнений Вольтерры не прос-
просто, для этого в литературе нет завершенных, готовых для практики рекомендаций.
.Причина этого состоит в недостаточной изученности вычисления интег-
интеграла с переменными границами. При решении интегральных уравнений не-
обхолимо вычислять интегралы с весом, равным ядру. Кроме того, подын-
подынтегральная функция как искомое решение не считается известной. В обычной
же задаче вычисления интеграла подынтегральная функция известна. Поэтому
выбор квадратурной формулы при решении уравнений должен быть согласо-
согласован как со свойствами ядра, так и с характером искомого решения, что и
порождает множество подходов и способов применения метода квадратур.
Важной особенностью интегралов с переменным пределом является воз-
возможность использования каждого значения • подынтегральной функции для
вычисления не одного, а многих значений функции, являющейся результатом
интегрирования (интегрального преобразования). Это позволяет применять
такие квадратурные формулы [372], которые обеспечивают нужную точность
результата при небольшом количестве вычислений.
При решении уравнений Вольтерры нужно также учитывать возможность
вычислений с большим числом шагов. Такая ситуация имеет место при моде-
моделировании динамических объектов в естественном времени, когда промежуток
интегрирования может быть очень большим или даже заранее неизвестным.
37
Важной особенностью вычислений при этом является накопление погрешно-
погрешностей с ростом числа шагов, которое определяется не столько величиной шага
и точностью вычислений на нем, сколько удачным или неудачным выбором
способа замены интеграла конечной суммой.
Аппроксимирующие системы конечных уравнений. Линейные урав-
уравнения. Чтобы применить к решению линейного уравнения A.1) метод
квадратур, необходимо использовать выражение
У
ч
— ^ К
s) у (s) ds = f (х?), i = Т7я,
A.80)
которое получается из исходного уравнения при фиксированных значениях xi
независимой переменной х. Значения xt могут быть выбраны специальным
образом или заданы заранее, если, например, правая часть f(x) задана таб-
таблицей. Принимая значения xt в качестве узлов квадратурной формулы и за-
заменяя с ее помощью интеграл в A.80) конечной суммой, получим систему
A.81)
где Rt[y]—ошибка аппроксимации. Получение выражений A.81) обычно свя-
связывается с предположением о непрерывности ядра и свободного члена в за-
заданных треугольнике и промежутке. Полагая ошибки R{ [у] малыми и от-
отбрасывая их, получаем систему линейных алгебраических уравнений
У г
A.82)
где" введены следующие обозначения, которых будем придерживаться и далее:
= у и f (Xi) = ft, К (Xi, Xj) = Кц.
Решение A.82) дает приближенные значения искомой функции 7/ (xt) == ус
в узлах Х(. Система A.82) может быть приведена к виду
—s
+ A —
i = ft, * = 1, n9
A.83)
или
1-^1*11
—AxKa
—A.Kni
-A2Ki2
¦
— Л2Кп2
•
•
\-AtKu
-
-AtKni
—
•
1—AnKnn
Уг
Vt
Уп
h
In
, A-84)
откуда видно, что матрица коэффициентов системы — треугольная. Это по-
позволяет последовательно найти у1У у2, ... , уп по рекуррентной формуле
нГ1 (fn
A.85)
при условии
A —AiKu)?-0, A.86)
которое всегда можно выполнить путем выбора узлов и обеспечения достаточ-
достаточной малости коэффициентов Аи
38
В случае применения формулы трапеций формула A.85) принимает вид
t—1
yt
= (l - 4 Кц)'\п + 4 КаУг + Л Ц Kt,y,) .
2
A.87)
/=2
Отметим особенность выражения A.85), состоящую в росте количества
вычислений вместе с номером шага дискретизации из-за увеличения членов
суммы, причем значения коэффициентов AjKi/ при у/ меняются для каждого
t, что в общем случае не позволяет воспользоваться результатами вычислений
на предыдущих шагах. Кроме того, имеются особенности в применении раз-
различных квадратурных формул. Например, применение формулы Симпсона
должно чередоваться для нечетных узлов с каким-либо другим правилом,
например с формулой прямоугольников или формулой трапеций. Возникают
сложности при применении формул Гаусса, Маркова, Чебышева. Достаточно
простым и во многих случаях эффективным является применение формулы
трапеций.
Пример 1.9. Задано уравнение
; О, 1].
Ищем решение в точках * = ** = (), 00; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10.
Воспользуемся обобщенной формулой трапеций для замены интеграла конеч-
конечной суммой. Это приводит к последовательному вычислению приближенных
значений yi, i=l, 2, ..., 6, с помощью выражения A.87), где шаг /i=*
= 0,02. Значения х{, Кц — е~(х*~~х1) и fi = e~~Xi представлены в табл. 3.
При вычислении получаем
У @) = У г = /х = 1,0000;
У @,02) = у2 = 1 (/2 + ±
1 — Tj- ^22
= 1,00001;
у @,04) = у, = i (f
1 — у Кзз ^
у @,06) = у, = 1 Г/4 + А
= 0,999405;
+ h (/C42{/2+ K43y3)] = 1,000002;
у @,08) = уь = 1 Г/, + А Къ1у, + ,
-J- V ii -L. К it Х\ П QQQQQ1»
• " ^53^/3 "Т" ¦*^54c/4/J — y\J\J\j\j\Ji ,
у @,10) = г/6 = 1 [/6 + 4 /Cex^i + h (Яв2г/2 +
= 0,999991.
Таблица 3
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
х=0.00
1.0000
0.980199
0.960789
0.941765
0.923116
0.904837
д;=0.02
1.0000
0.980199
0.960789
0.941765
0.923116
*=0.04
1.0000
0.980199
0.969789
0.941765
лг=0.06
1.0000
0.980199
0.960789
лг=0.08
1.0000
0.980199
*=0.10
1.0000
fi=f(xi)
1.0000
0.980199
0.960789
0.941765
0.923116
0.904837
39
Таблица 4
X
УМ
У(х)
у(х)-у {х)
0.00
1.00000
1.00000
0.0000000
0.02
1.00000
1.000001
0.000001
0.04
1.00000
0.999405
0.000595
0.06
1.000000
1.000002
0.000002
0.08
1.000000
0.999991
0.000009
0.10
1.000000
0.999991
0.000009
В табл. 4 приведены значения точного и приближенного решения, а также
их разности.
Нелинейные уравнения. Для применения квадратурных формул
к нелинейным уравнениям A.9) используется в общем случае выражение
ч
у (xt) — J К {xi9 5, у (s)] ds = / (*,), A.88)
а
преобразуемое в систему нелинейных рекуррентных соотношений
= AW=l,n, A.89)
где введено обозначение Ktj(yj) == К[хи х}-, y(xj)\. В случае линейного ядра
в нелинейном уравнении A.7) соответствующие выражения имеют вид
У (*д —
где
(y,) [y(,))
Соотношения A.89) позволяют находить значения приближенного решения
путем последовательного решения п нелинейных уравнений:
у? - А{Кн (yt) = ft + ^
Пример L10. При решении уравнения
X
у (х) - J *-<*-V E) ds = er*f х ? [0; 0, 1],
где К(х, s) = е—(х—s\ f(x)~e—x, аппроксимируемое выражение имеет вид
J e~(xi~s)y2 (s) ds = er*i-
Используя для замены интеграла формулу трапеций (шаг h = 0,02) и отыс-
отыскивая решение в узлах хг; = 0,00; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10, получаем
согласно A.90) следующую систему расчетных соотношений:
Ух = ft, yt - OfilKu (^) = ft + 2 0fi2Kif (у)), i = 2, 3, ... , 6.
Таким образом, для нахождения приближенного решения необходимо решить
алгебраическое уравнение второго порядка для каждого значения Xi9 что
позволяет записать
у 1 — 4.0,0
0,02
, f = 2, 3, ...
40
Таблица 5
X
У (Х()
У(
yt — у (х{)
0.00
1.000
1.000000
0.0000
0.02
1.000
1.010005
0.010005
^0.04
1.000
10.15890
0.015890
0.06
1.000
1.010650
0.010650
0.08
1.000
1.010865
0.010865
0.10
1.000
1.0110900
0.0110900
Для получения одного из решений оставляем в данной формуле знак «—»
перед корнем и берем значения /С*/, Д из табл. 3. Результаты вычисления
приведены в табл. 5, где указаны также значения точного решения и
ошибка.
Применение формулы трапеций. Выше было приведено общее рекур-
рекуррентное выражение A.87) для случая применения формулы трапеций. Рас-
Рассмотрим этот случай подробнее.
Пусть задана сетка узлов (вообще говоря, неравномерная) по х, совпа-
совпадающая с сеткой узлов по s (т. е. xt¦ = st):
хг = а < х2 < • • • < xt < • • • < хп = Ь, A.91)
где п — число узлов. Тогда применение формулы трапеций с шагом Ы =
= xt — л:/ 1, * = 2, п (в общем случае переменным) приводит к решению
уравнения A.1) в виде следующих рекуррентных формул:
Уг = /i>
Ьf2 =
, / = 3, n.
A.92)
Формулы A.92) справедливы при условии ЫФ jr-. При постоянном
ы
шаге hi¦ == h = const имеет место рекуррентная формула (ср. [129])
#i = /i
i—l
= 2, n,
A.93)
Приведем также формулы, дающие приближенное представление по-
погрешностей решения уравнения A.1) методом квадратур по формулам A.92).
Для этого вычтем A.82) из A.81). Получим:
где Ayi — разность между решением более точной системы A.81) и менее
точной системы A.82), а для ошибок аппроксимации (квадратурных остат-
41
ков) Ri~Ri[y] используем приближенное представление [371 255—261],
приспособив его для обобщенной формулы трапеций с непостоянным шагом:
* ~ - h S h*i {?[К i*<> ^ у <s>i U,•
/=2
в котором полагаем, что у (s) уже найдена (на сетке узлов S/, /=1, п)
по формулам A.92). Для численной аппроксимации второй производной,
входящей в выражение для Rt, воспользуемся интерполяцией по Лагранжу
по трем точкам:
(X, - *;_,) (X, -
f
/ у. у \ /у „ \
где fk = )
Получим:
= l, n.
П*/>«2[^
'/-1
//
• + •
'/+1
A.94)
где А/ = x/ — x/_i, A/H-i = a:/+i — xh A/
В результате имеем:
Ay!« Ay2« 0,
/—1
= x/+i — ^/-ь / = 2, n—l.
A.95)
. / = 3, л,
где
/=2
i .
A.96)
Формулы A.95) включены в программы voltsl и VOLTS 1. Как показывают
примеры, они довольно точно представляют погрешность.
Формулы A.95) учитывают лишь погрешность квадратуры, но не учи-
учитывают погрешность правой части б/ (т. е. полагается, что б/ == 0). Если же
ё/=7^0, то имеют место формулы, близкие к формулам [371 261],
1 lfr2
1-YJ
42
Программы voltsl и
VOLTS1. В гл. 5, 6 и 8 приве-
приведены программы voltsl на
АЛГОЛе и VOLTS 1 на
ФОРТРАНе и ПЛ-1, предназ-
предназначенные для решения линей-
линейного одномерного уравнения
Вольтерры II рода A.1) мето-
методом квадратур на неравномер-
неравномерной сетке узлов согласно фор-
формулам A.92), A.95), A.96).
Пример 1.11. С помощью
программ voltsl и VOLTS1 ре-
решен следующий тестовый при-
пример:
О Q2 ОА 0J6 Q8 W 12 1,4 16 ft 2fl 2,2 2,4 X
К(х, s) = i — (x — s)e2*,
= (l— xe2x) cos 1 — <?2*sin 1,
0@, 1I,2; 1,25@,05I,9;
1,92@,02J,3, 2,31 @,01J,5; i = 1, n, n = 67, a = 0, 6 = 2,5;
Рис. 2. Пример 1.11. Тестовый пример для программ
voltsl и VOLTS1.
точное решение
у (s) = es [cos (es) — essin
В гл. 7 приведены алгольный и фортранный тексты программ реше-
решения данного примера.
На рис. 2 представлены правая часть f (х) и точное решение у(х)
тестового примера 1.11, а в табл. 6 — результаты решения данного примера
по СП voltsl на ГДР-АЛГОЛе (ЭВМ БЭСМ-6) и VOLTS1 на ФОРТРАНе
(ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ).
Из табл. 6 видно, что численные решения совпадают с точным реше-
решением с точностью до первых одной — трех значащих цифр, что следует
считать достаточно удовлетворительным, учитывая быстрый рост функции
у (х). Сравнивая решения, полученные на разных языках и разных ЭВМ,
можно убедиться, что решения, полученные на АЛГОЛе и ФОРТРАНе
на БЭСМ-6, не различаются по крайней мере в первых семи цифрах, а
с решением, полученным на ЕС ЭВМ (на ФОРТРАНе), совпадают лишь
до первых четырех — шести цифр. Первый эффект можно объяснить полной
идентичностью программ на АЛГОЛе и ФОРТРАНе и корректностью задачи
решения уравнения Вольтерры II рода, а второй — различием разрядных
сеток БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ.
Программы voltsl и VOLTS1 сочетают в себе простоту и достаточно
высокую степень общности, поскольку допускают табличное и аналитиче-
аналитическое задание правой части (а также ядра), постоянство шага и его пере-
переменность.
Случай вырожденного ядра. Отмеченное выше свойство нарастания
объема вычислений по мере увеличения номера шага относится прежде всего
к случаю решения уравнений с произвольным ядром. Если же ядро оказы-
оказывается вырожденным вида A.3), то возможно построение алгоритмов с не-
неизменным объемом вычислений на шаге. Действительно, для вырожденного
ядра
т
К(х, s) = ^al(x)fl(s)
решаемое уравнение A.1) можно записать в виде
т х
у (х) = 2 «/ (х) J Р/ (s) у (s) ds + f(x).
1=1 о
43
Таблица б
Номер
узла i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
X •
*1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.92
1.94
1.96
1.98
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
2.16
2.18
2.2
2.22
2.24
2.26
2.28
2.3
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.4
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
2.5
Решение у.
точное
—0.3011687
—0.5951718
—0.9835689
—1.482013
—2.100915
—2.838379
—3.668947
—4.526946
—5.284020
—5.722767
—5.513636
—4.212219
— 1.309882
0.8828198
3.609533
6.854157
10.54214
14.51906
18.52862
22.19361
25.00606
26.33515
25.46416
21.66968
14.35501
3.244539
—11.36790
—17.97331
—24.85126
—31.85384
—38.80280
—45.48990
—51.67850
—57.10706
—61.49441
—64.54742
—65.97114
—65.48143
—62.82045
—57.77443
—50.19370
—40.01421
—27.27965
—12.16292
5.014700
23.76857
43.44233
53.37202
63.20851
72.82367
82.08097
90.83669
98.94141
106.2418
112.5824
117.8086
121.7684
124.3158
125.3142
124.6389
122.1816
117.8532
111.5885
103.3488
93.12670
80.94879
66.87922
на БЭСМ-6
(АЛГОЛ и ФОРТРАН)
—0.3011687
—0.5965100
—0.9868945
— 1.488161
—2.110892
—2.853278
—3.689705
—4.553831
—5.315647
—5.754404
—5.534616
—4.202610
—1.237671
0.9622231
3.695018
6.943612
10.63198
14.60364
18.59940
22.23829
25.00770
26.27155
25.30812
21.39079
13.92430
2.643286
—12.13383
—18.68271
—25.48232
—32.38352
—39.20727
—45.74515
—51.76111
—56.99502
—61.16820
—63.99114
—65.17376
—64.43820
—61.53427
—56.25727
—48.46791
—38.11369
—25.25072
—10.06479
7.109973
25.77686
45.26900
55.01981
64.64967
74.03092
83.02794
91.49834
99.29452
106.2654
112.2585
117.1223
120.7089
122.8766
123.4937
122.4410
119.6157
114.9354
108.3410
99.80092
89.31446
76.91526
62.67433
на ЕС ЭВМ
(ФОРТРАН)
—0.3011687
—0.5965098
—0.9868933
—1.488158
—2.110888
—2.853271
—3.689696
—4.553821
—5.315641
—5.754401
—5.534619
—4.202631
— 1.237740
0.9621818
3.694982
6.943558
10.63195
14.60352
18.59923
22.23816
25.00757
26.27144
25.30809
21.39081
13.92442
2.643485
—12.13350
—18.68219
—25.48187
—32.38283
—39.20676
—45.74440
—51.76048
—56.99432
—61.16760
—63.99054
—65.17334
—64.43790
—61.53404
—56.25751
—48.46841
—38.11499
—25.25215
— 10.06721
7.107849
25.77452
45.26692
55.01744
64.64758
74.02916
83.02675
91.49640
99.29300
106.2637
112.2573
117.1214
120.7086
122.8770
123.4942
122.4416
119.6169
114.9374
108.3416
99.80252
89.31633
76.91791
62.67586
44
Применение какой-либо квадратурной формулы позволяет получить следую-
следующее рекуррентное выражение:
Ух = /i>
У* = т (ft H
где аи = a,i(xi), Р// = Р/(*/), из которого видно, что количество вычисле-
вычислений на каждом шаге остается неизменным. Поэтому целесообразно исполь-
использовать при вычислениях свойство разделяемости ядер. Значительная часть
встречающихся на практике интегральных операторов и уравнений содержит
разностные ядра, представленные в аналитическом виде и обладающие
свойством разделяемости. Например, ядро К(х— s) = ex~s sin (х— s) может
быть представлено в эквивалентном виде К (х — s) = ех (g—s sin x cos s —
— e~s cos л: sins).
В табл. 7 приведены разностные ядра, представленные рядом элемен-
элементарных формул, и соответствующие им квадратурные формулы, аппроксими-
аппроксимирующие оператор свертки. Более сложные ядра, включающие в себя подоб-
подобные функции, также могут быть представлены в виде разделяющихся ядер.
Применение формулы трапеций с постоянным шагом ft = hi = const
позволяет получить расчетные формулы
2@) =/@),
to =
(ft
l=l
где i = 2, 3, .. . , n; xt = (i—l)h; Af ==
0,5 при / = 1,
j при ;- > L
Пример 1.12. Эффективность использования свойства разделяемости ядра
можно проиллюстрировать на примере решения уравнения
х
у (х) = er-x + \ е~{х-^у (s) ds.
Таблица 7
Ядро оператора
X
J К (х — s) #(s)tfs
0
а^-« = axas
sin (д; — s) = sin x cos s —
— cos jc sin s
cos (x — s) = cos x cos s +
+ sin a: sins
sh (x — s) = sh x ch s —
— sh s ch #
ch (# — s) = ch x ch s —
— sh x sh s
Квадратурные формулы
/=1
I*—1 /—1
sin xt ]2 Л ;.yy cos *;- — cos ^t- y^ A jij . sin жг^
i—1 ^—1
cos xi >] 4;.^;. cos ^;. + sin xt ^ Ajt/j sin Xj
i—\ i—\
shxt J] Afyfchx—- chx{ >] Ал.&Ьх*
ch ** 1] Л /У/ ch xj — sh -^t S A ilJi sh */
45
X
00.0
00.2
00.4
у ix,
1.000000
1.000000
1.000000
У (х)
1.000000
0.999999
1.000000
\у(х)—у(х)\
0.000000
0.000001
0.000000
9
9
10
1
И
И
X
0.06
0.08
0.10
У (X)
1.000000
1.000000
1.000000
V (X)
1.000001
1.000002
1.000002
Т а б J]
\у(х)—у(х)\
0.000001
0.000002
0.000002
и цг
мх
12
14
16
i 8
м9
11
11
11
Решение будем искать на интервале от 0 до 0,1 с шагом дискретиза-
дискретизации h = 0,02.
Без представления ядра разделяющимся получаем формулы
J
е~х1 + 0,02 J А р-^Г'Ру (Х/)
У (X,) = '^щ
Используя свойство разделяемости, имеем:
A.97)
/=1
1 — 0,01
A.98)
где Af =
0,5 при / = 1,
1 при / > 1.
Результаты вычисления приведены в табл. 8. Оба результата совпадают,
однако алгоритмы отличаются количеством арифметических действий на
шаге. Количество арифметических действий Мг на каждом шаге по алго-
алгоритму A.97) возрастает, а количество операций М2 на шаге по алгоритму
A.98) остается неизменным.
Пример 1.13. Следующий пример представляет собой задачу определе-
определения функции распределения времени безотказной работы группы приборов
с учетом восстановления их работоспособности [127, 337]. Часто встречаю-
встречающийся вариант задачи сводится к уравнению A.5) при
0@ = МО, /@ = **-*•',
('-s> + ?a°('-s) [и sin (о0 (/ — s) —
t — s)h
т. е. уравнение A.5) принимает вид
t
\*Jп I v I ¦ / v w I " \ | IW» "" [I (/ ¦¦ 1 'm L%? "' I '¦*
0
+ er^oit-s) [U S}n @o(t — s) — d cosco0 (t — s)]} (op (т) dx, A.99)
где (Op (t) — функция распределения времени безотказной работы прибора
с учетом восстановления работоспособности с помощью ремонта; t — время
работы прибора до отказа; s—время восстановления работоспособности при-
прибора; X — интенсивность отказов (число известно из опыта).
Свойство разделяемости ядра позволяет преобразовать решаемое урав-
уравнение к виду
(t) —
(s) ds
t t
j eais (Op (s) ds + [u (sin coo? j ea°s cos (d0s(op (s) ds —
46
— cos (o0t J ea°s sin cooscop (s) ds) — d (cos co0/ I ea°s cos coos<o p (s) rfs -j~
о о
+ sin coo* f ea°s sin coosco^ (s) ds)] ?-<*«'. A.100)
6
Применение формулы трапеций с постоянным шагом к выражению A.100)
позволяет получить расчетные формулы
(орМ@) = f(O)=X,
сорМ (tg) = %e~xti + h(d — l) e~uiCx + к1е~а^С2 +
+ h[u (sinco0^C3 — cosco0//C4) — d (cosco0^C3 +
A.101)
где
/—l
), C2 =
Из выражения A.101) видно, что число операций не зависит от номе-
номера шага.
Свойства алгоритмов A.93) и A.100) можно сравнить на примере ре-
решения A.99) с исходными данными: К = 0,5; аг = 0,5568; а0 = 0,4054;
©о = 0,8523; Е = 0,7244; F = — 0,7242; D = — 0,3283;
1^_ЛЕ . d = Я (Рсоо — F g — а0)) щ ^ = X (D
Результаты вычислений представлены в табл. 9. Время решения по ал-
алгоритму A.93) при шаге h = 0,1 для 100 точек составляет 3 мин 15 с.
Там же приведены результаты вычислений посредством алгоритма A.100).
Время вычисления 1 мин 27 с. Точность последних результатов выше, чем
результатов, полученных по алгоритму A.93), за счет снижения погрешности
округлений.
Если учесть, что обыкновенные дифференциальные уравнения согласно
A.41)—A.44) сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям с вырож-
вырожденными ядрами, то целесообразно рассмотреть возможность решения диф-
дифференциальных уравнений путем применения метода квадратур к их интег-
интегральному эквиваленту A.41). Можно предположить, что в ряде случаев
применение эквивалентных интегральных уравнений приведет либо к сни-
снижению количества выполняемых операций, либо к улучшению точностных
свойств решения. Рассмотрим это на примере.
Пример 1.14. Решается уравнение
0"+*'+0 = Зе-2*, */'@) = -2, у@) = 1.
Решение ищем на интервале от 0 до 1. Эквивалентное интегральное урав-
уравнение имеет вид
Таблица 9
и (х) = Зе~2х + 2х + 1 — J A + х — s) и (s) ds9
о
и
0.000
1.000
2.000
3.000
<ор «.)
0.5000000
0.2967654
0.1707868
0.1203978
0.5000000
0.2967643
0.1707869
0.1203998
4.000
5.000
6.000
7.000
0.1209026
0.1336891
0.1347193
0.1224453
(*рм (V U
0.1209026
0.1336897
0.1347192
0.1224462
8.000
9.000
10.00
(Op (t-)
0.1067103
0.0954250
0.0896096
®рМ <tc)
0.1067129
0.09544261
0.0896122
47
Таблица 10
X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Р(*>
1.0000000
0.8187307
0.6703200
0.5488116
0.4493290
0.3678794
0.3011942
0.2465969
0.2018965
0.1652988
0.1353352
0.1100031
0.0907179
0.0742735
Метод Рунге — Кутты
h= 0.1
'у (х)
1.0000000
0.8187303
0.6703191
0.5488341
0.4493847
0.3679766
0.3013908
0.2468816
0.2022583
0.1657272
0.1358200
0.1113339
0.09128575
0.07486281
\у(х) — #(*)|
0.0000000
0.0000004
0.0000191
0.0000225
0.0000557
0.0000972
0.0001966
0.0002849
0.0003618
0.0004284
0.0004842
0.0005309
0.0005670
0.0005884
Интегральный метод
Л= 0.1
У (х)
1.0000000
0.8200000
0.6727256
0.5522224
0.4536166
0.3729197
0.3068674
0.2527888
0.2084980
0.1722082
0.1424560
0.1180470
0.098100
0.081951
\у(х) — у{х)\
0.0000000
0.0012693
0.0024056
0.0034108
0.0042877
0.0050403
0.0056732
0.0061919
0.0066015
0.0069094
0.0071208
0.0072438
0.0072920
0.00767741
Интегральный метод
h= 0.025
И (х)
1.0000000
0.8188099
0.6704700
0.5490241
0.4495961
0.3682182
0.3015720
0.2470062
0.2023300
0.1657462
0.1357840
0.1112531
0.0911644
0.0747125
Ых)-у(х)\
0.0000000
0.0000792
0.0001499
0.0002125
0.0002671
0.0003388
0.0003778
0.0004093
0.0004335
0.0004474
0.0004488
0.0004498
0.0004460
0.0004384
а решение определяется выражением
X
у (х) = — 2х + 1 + [ (x — s)u (s) ds.
6
Применяя формулу трапеций, получаем:
и @) = Зе-2-° +2-0 + 1=4,
1 - h (? А/и, +
i—l
у (xe) = — 2xt + 1 + h (xc
0,0005
0,0003
0fi002
0,0001
О Q1 Q2 Q3
Рис. З. Поведение ошибки при вычислениях по
методу Рунге—Кутты A) и интегральному ме-
методу B).
Результаты вычисления при двух
значениях шага h = 0,1 и h =
= 0,025 приведены в табл. 10,
где для сравнения указаны также
результаты, полученные методом
Рунге — Кутты четвертого порядка
применительно к исходному диф-
дифференциальному уравнению. Число
выполняемых операций на одном
шаге по методу Рунге — Кутты
равно 59, а по интегральному ме-
методу—17. Сравнивая результаты
метода Рунге — Кутты при h =
= 0,1 и интегрального метода при
h== 0,025, отмечаем, что при при-
примерно одинаковом числе операций
точность интегрального метода
выше.
Поведение ошибки можно
проследить по графикам, показан-
показанным на рис. 3. Метод Рунге —
Кутты обеспечивает хорошую точность на начальном участке, но затем при-
приводит к резкому накоплению ошибок. Погрешность интегрального метода
равномерно возрастает на начальном участке, но затем стабилизируется, что
свидетельствует о сглаживающих свойствах метода.
Применение квадратурных формул открытого типа [71, 255]. Примене-
Применение незамкнутых квадратурных формул позволяет построить простые чис-
численные алгоритмы решения как линейных, так и нелинейных интегральных
уравнений типа Вольтерры II рода за счет улобного продолжения таблицы
значений искомой функции без решения каких-либо уравнений. Следуя [71],
рассмотрим эти возможности применительно к уравнению Вольтерры —
Урысона
X
У (х) ={JK [х, s, у (s)] ds, х € [а, Ь). A.102)
При шаге h значения у{ =zy(Xi) отыскиваются в узлах xt = а + (/ —
i = 1, п. Алгоритмы рассматриваются для трех случаев задания «разгонных»
значений искомой функции.
1. Задано одно (начальное) значение уг = 0. В этом случае последую-
последующие значения определяют с помощью совместного применения простейшей
незамкнутой формулы
п С h2 ,
\ 9(s)ds =-Аф (а)+-^Ф (?)> a <l< a + h, A.103)
и обобщенной формулы трапеций. Для х = xt9 i = 2, m, можно записать
К [xh s, y(s)]d$+ j К[Х{, s, y(s)]ds, i = 3, m.
После замены интегралов с пределами 0, хг и *?__ь д;г- формулой A.103),
а интеграла с пределами a, *;__i — обобщенной формулой трапеций и отбра-
отбрасывания остаточных членов получаем следующий алгоритм:
?—1 I л Ю4)
yt = An K?i} + S Л,у/С,/ (у,)> * = 3, m,
где
/С}? =K(xh sv 0), Kijiyj) —K(xi9 sh уD,
Л If/I tJf/l ' »
Д-/ = A, / = 2, i — 2, Л/, /_i == -g- A, f = 4, m.
Невысокий порядок точности формул A.104), равный O(h2), окупается
простотой расчетов, что позволяет успешно применять их в качестве вспо-
вспомогательного алгоритма при нахождении начального приближения для итера-
итерационных методов или даже самостоятельно при малом шаге h.
2. Заданы два начальных значения уг = 0 и у2. Если значение у2
известно с точностью O(tfi), то последующие значения yit i = 3, m, можно
найти, применяя незамкнутую формулу
j" ф (s) ds = 2/гф (a + h) + j h\" (|), a < |< a + 2ft, A.105)
a
4 5-1018 49
и формулы вида
J cp(s)ds = ^hq)(a) + |~АФ(а + A) — ^h<p(a + 2А)
A.106)
Для x = Xt, i = 3, га, из A.102) получаем
[x3, s,
ос
1
^[^' s» !f(s)]ds9 i = 3Tm.
После замены интегралов с пределами a, xtnxi-2, xt формулой A.105),
интеграла с пределами Xj, Xj+\ формулой A.106) и отбрасывания остаточ-
остаточных членов получаем алгоритм
yt = An K$] + I AtiKti Ш i = 47^ A Л07)
/=2
где
23 и л __ 5 ь л _ 12 и л —. 7 и
23
^# г— 1 =24 ^' ^'/ ^ ^' / = 6, /и, / = 3, / — 3.
3. Заданы значения y1=Ot y2 и у3. Если порядок точности значений
у2 и t/g не ниже О (А4), то последующие значения вычисляются посредством
незамкнутых формул типа
\ ф (s) ds = •?¦ Аф (а) + -j Аф (а + 2А) + -о- А V" (S)»
a<g<a + 3A, A.108)
(I), a<Z<a + 4h, A.109)
в сочетании с обобщенной формулой Симпсона.
Для х = Xi, /= 4, m, при четном ? из A.102) получаем:
*—з
у, = J /с [*,, s, у (s)] ds + J К [xti s, у (s)] rfs, A.110)
при нечетном i:
i
yi= J K[xi9 s, y(s;]ds+ { Klxt, s, y{s)]ds. A.111)
*i-A
Заменим интегралы с пределами лг*_з, ДР/ и ^_4, ^ соответственно фор-
формулами A.108) и A.109), а интегралы с пределами а, Xt-з и а, л:^4 обоб-
50
щенной формулой Симпсона с шагом h. Тогда после отбрасывания остаточ-
остаточных членов получаем расчет ое выражение
у. = АйК$ + ? АиКц (*//), i = **Гт, A.112)
где при четном ft
/=*
== * ' 61 == "З" * 62 === "з" ' 63 == 12 *
4 h k
2
3 h, k
0 *~~6
' 2
1 t —6
1, 2
1 = 8, 10, 12, ...
при нечетном ft
Л51 = О, Л32 =
"з" ^» 5
АЛ
=== "З" > 74 === *3"
J, 2ЙЧ-2 = -п-П, k = 0, —о— ,
з ' 71 === 73 == "о"
t —7
о
W'==9, 11, 13, ...
Порядок точности данного алгоритма равен О (А4). Алгоритм допускает про-
проверку и уточнение с использованием формул замкнутого типа.
Пример 1.15. Используем приведенные алгоритмы для решения урав-
уравнения
У(х) =*^-
л 1 2
для заданных узлов хг == 0, д:2 == — , л:3 = -g-,
1. уг = 0. Согласно A.104) получаем:
= 1, л:5 = -g-
Уз = т (^31^31 + ^32^32) = 0,02777,
Vi = \ (AnKa + Ai2Ki2 + AiaKia) = 0,111367,
Уь = 4 Mei/Cei + Л62*б2 + А68КЪЗ + A6iK6i) = 0,267373.
2. у1 = 0, у2 = 0,004629. Согласно A.107) получаем:
l = 0,037039,
4*
51
04 = Т (Л*1#41 + Л42^42 + ^43^43) = 0,125441,
Уъ = 4 Иы*Б1 + Л52/С52 + АЬ9КЬЗ + АЫКЫ) = 0,195750.
3. #1 = 0, у2 = 0,004629, у8 = 0,037041. Согласно формулам A.112)
получаем:
04 = Т(Л41^41 + ^42^42 + ^43^43) = 0,125516,
Уъ = \ (АЬ1КЬ1 + АЪ2КЪ2 + Л53#53 + Л54/С54) = 0,109235.
О точности результатов можно судить, сравнивая заданные и получен-
полученные значения для всех трех случаев. Кроме того, результаты можно срав-
сравнить со значением, полученным путем разложения решения в ряд
и вычисления частной суммы, что дает yi = 0,126131, уъ = 0,2513352.
Системы интегральных уравнений. Решение систем уравнений Вольтер-
ры II рода методом квадратур принципиально мало чем отличается от ре-
решения скалярных уравнений. Однако на практике отличие может быть зна-
значительным из-за увеличения объема вычислений, больших объемов вводимой
в ЭВМ информации, что ухудшает устойчивость счета, точность получаемых
результатов и т. д.
Рассмотрим один из возможных алгоритмов [577] решения системы
линейных уравнений Вольтерры II рода вида
2I«(*. s)yf(s)ds9 i=*T7m. A.113)
/=1 a
Исходными данными являются m непрерывных функций f{(x), m2 непрерыв-
непрерывных ядер Kij и промежуток интегрирования [а, Ь]. Требования к точности
результатов выражаются в виде
I // (х) + 2 S K'j (*> s> УI (s) ds —
He
где в,- — заданные числа. Алгоритм обеспечивает последовательное вычис-
вычисление значений yt xk) искомых функций в узлах xki начиная с узла х0 == а,
причем значения хи выбираются в процессе решения по заданным требова-
требованиям к точности A.114).
Процедура вычислений состоит в следующем. Если известны значения
искомых функций в узлах х0 = а, хг, х2, ... , Xk, то на участке от хи до
решение представляется в виде полинома второй степени
Уь (х) == у? (Xk) + eta (x — Xk) + 4*2 (х — xkJ- A.115)
Для вычисления yt (xk + Л) и Уь (*h-i)» гДе Л = (Хк+\ — хц)/2, на основании
A.113) и A.115) составляется система уравнений относительно 2пг неизвест-
неизвестных
.2 2 giritaa^hir, i = l, m, r= 1, 2, /=1, m, * = 1, 2, A.116)
где
**r Г7) f 0 при l Ф /,
gap = (ГИ) ^/ — j (s— ^) ^ч (^ + т]г$ s) ds, 6,7 = I j при t = y? AЛ17)
52
ft (xk + rr\) + ? [ J Kij (xk + ni, s) y} (s) ds +
/1
+ Уi (xk) J litf (xk + Щ, s) ds\ — ;
xk
Решение системы A.116) дает коэффициенты а и, по которым опреде-
определяются функции yt(x) на промежутке [xk, Xk+\] согласно A.115). Алгоритм
включает в себя пробные расчеты для выбора очередного шага и провероч-
проверочные вычисления путем подстановки результата в исходные уравнения с умень-
уменьшенным постоянным шагом.
В работе [577] приведена программа V, реализующая рассмотренный
метод. Программа оформлена в виде процедуры-оператора на языке АЛГОЛ
и является более универсальной, чем voltsl и VOLTS1, однако автоматиче-
автоматический выбор шага требует, как правило, более значительных затрат машин»
ного времени, а также аналитического (а не табличного) задания правых
частей ft (x) (в случае табличного задания ft (x) возникает непростая задача
аналитической аппроксимации или интерполяции f. (x)). Поэтому програм-
программы V9 voltsl и VOLTS1 можно рассматривать как дополняющие друг
друга/ и в зависимости от практических условий (характер задания ft (x)9
требуемая точность решения, затраты машинного времени и т. д.) может
быть использована та или другая программа.
Применение квадратурных формул высокого порядка точности. Один
из методов повышения точности решения уравнений Вольтерры II рода со-
состоит в применении квадратурных формул высокого порядка точности. Следуя
[255), рассмотрим эту возможность на примере использования семиточечных
формул Ньютона—Котеса замкнутого типа. Для получаемых таким образом
алгоритмов требуется задание начальных значений таблицы искомого реше-
решения. При этом для нахождения решения в последующих узлах необходимо
решить лишь одно нелинейное уравнение. Изложение методики ведется
применительно к решению нелинейного уравнения вида A.9) на промежутке
[а, Ь] посредством алгоритма порядка точности О (/г8). Предполагается, что
гладкость функций f (х) и К(х, s, у) допускает применение соответствую-
соответствующих квадратурных формул.
Для равномерной сетки узлов xt¦ = а + ih, i = 0, 1, 2, . .. , п\ hn = b—a,
с шагом h получаем выражение
х(
y(xt)=f(Xi) +}JK[x{, s, y(s)]ds, i = 0, 1, 2, ... , /г, A.118)
a
и преобразуем его к виду
Ч xi
y(Xi) = f(xt) + Jtf[x/, s, y(s)}ds + J K[xit s, y(s)]ds, f = 7, 8, ... , n.
'a xk
A.119)
Вычисление значений искомой функции в начале таблицы, т. е. в узлах
х19 х2, . .. , х6, выполняется специальным способом, изложенным ниже.
Интегралы в A.119) заменяются суммами по семиточечной квадратур»
ной формуле Ньютона—Котеса
9
+ 27 Ф (xt+A) + ^ 16 Ф (xt+ь) + 41 ф (*,+б)] - — Л9Ф(8) (I),
xi < К **+б. A.120)
При этом к первому интеграл у в AЛ19) формула A.120) применяется
kh
с шагом /г?=~, fe=l, 2, 3, 4, 5, а ко второму — с шагом h. После
S3
отбрасывания остаточного члена, имеющего порядок О (Л8), рассмотренная
замена приводит к системе нелинейных уравнений
6 *•—1
yt = ft + -g 2j J i> ~ ~^~ JL ^'^ "^ hAiKm i = 7, 8, .. . ft, (
и 6 м
где посредством (/*, f{, К. */, /С// обозначены соответственно значения функ-
ций #(*), /(*)»
» s,
в точках х = xiy s~Xk/ = a + -±h для первой
6
= Xj для второй суммы; А/—-коэффициенты
суммы и в точках х = х
формулы A.120).
Если начало таблицы искомого решения известно, то его значения ущ
б
в промежуточных узлах хщ, k, / = 1, 2, ... , 6, необходимые для вычис-
6
ления значений К. kj на промежутке х0, х*.], вычисляются однократно по
интерполяционным формулам Лагранжа:
873103 1984325
У\ =
в
279936
/4365515
( 24 У° '
1283975
949025 , 150535 124729
¦—-5— У*+—т- Уь —1
8
24
.),
154
/у - !
^-256
231
693
~1
1155
495
77
L = ^ [-fyo + 2912 У1— 1820#2+^
_ t /267995 1339975 _ 957125
^ "" 279936 24 У° + 4 ^ 8
515375
21
?52625
53599 43225
——Уь~ ~Ж~Уб
т
21
189
35
945
525
1ЛС , 189 27 7
1°5г/3 + — г/4—г" г/5 + 4"
175
21
1
19019
21 — 279936
6
25025
95095
"¦
182875
339625
2377375
,-Т»ь
A.122)
54
Таким образом, алгоритм решения исходного уравнения состоит в по-
последовательном решении нелинейных уравнений A.121) относ тельно значе-
значений искомой функции в узлах xt, i = 7, 8, ... , п.
Метод решения системы A.121) может быть выбран произвольно.
В [255] рекомендуется для этой цели метод дифференцирования по параметру,
состоящий в следующем. Вводя в A.121) параметр Х9 получаем
yt = Ь + MiAtKu, i = 7, 8, ... , n, A.123)
где
б /_i
я|>? = ft + f Ц AfK{f k/ + h J AjKti, i = 7, 8, ... , n. A.124)
/=0 ' 6 /=?
При X = 1 система A.123) совпадает с A.121), а при Х=0 имеем
ylk = o = b> * = 7, 8 л. A.125)
Если считать yt дифференцируемыми функциями параметра X и продиффе-
продифференцировать A.123) по X, то для каждого узла будет иметь место диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка
—
Уравнение A.126) при начальных условиях A.125) может быть решено
численно на промежутке [0,1]. Его решение при Х= 1 является приближен-
приближенным решением системы A.121) для каждого i = 7, 8, ... , п, а значит,
и искомым решением исходного уравнения.
Для определения значений yi в начале таблицы, т. е. в узлах xlf
х2, ... , хв, в выражениях A.118) при f = 1, 2, ... , 6 заменим интеграл
суммой по формуле A.120) с соответствующими шагами hk = -gi k=l9
2, ... , 6. Это позволяет получить следующую систему уравнений относи-
относительно неизвестных ylf у2, ... , у6:
. г +27Я. t +272K. i +27К.
f'6" 1>T ''Г ''З"
+ 216К. «+41/С«, /- 1, 2, ... , 6, A.127)
где в правые части уравнений подставляются значения у у , *, / = 1,2, ...,6,
выраженные через значения yi9 i = 0, 1, 2, ... , 6, по формулам A.122).
Для решения системы A.127) вновь можно применить метод дифферен-
дифференцирования по параметру. Тогда рассматривается система
У1 = U + i 4 41 Ki0 + Xi Ш Bl6Ki,L + 27\ 1 + 272К. L + 27К.^ s +
+ 216/С, б/ + 41/Сй\, t=l, 2, ... , 6. A.128)
При X = 1 данная система совпадает с A*127), а при Л, = 0 получаем
Дифференцирование A.127) по X позволяет получить систему дифферен-
дифференциальных уравнений
+ 0*7 If I ОТО If I O1 V I О 1 С #* i/tl?
**6~ г> Г г'2~ г* Г '• б~
тта1216^+27-а5Г + 272-аГ: + 27-1г: + 216-^ +
41 —^Н 1 , I = 1, Z, . . . , О. A.10U)
55
Вычислив и подставив в A.130) частные производные, получаем систему
шести дифференциальных уравнений первого порядка, которая в матричной
форме имеет вид
^=C' A.131)
где Y = (уг, у2, .. . , ув)' — искомый вектор; С = (Сь С2, . . . , С6)' —за-
—заданный вектор с элементами
3
А _ квадратная матрица коэффициентов Aih i9 j = 1, 2, .. . , 6, вычисляе-
вычисляемых по формулам:
dF j dF j dF j
A, A I 1 873103 l'6~ , 2618 из~ , 17 693 U2~ .
+ 216/C. б, + 41/0Л, /= i, 2, ... , 6;
6 140 \6* 4 дух + 81 дуг + 16 Т
^ 2 5F 5
2912 ^з~ , 1 1339975 !»б~ Д1 dF
81 ау3 +6^ 4 ^ +41 ^ /
/ dF 1 aF j
А А1 1984325 *б" 2618 1Т 171155
Л1а ~" 6 140 \ 64 8 dy2 81 d#2 16 4
dF 2 dF
1820 l*J 1 957125 1
81 dy2 64 8 i
dF l
h I I 1283975 1>Ж , 1 6545
6 140 \6* 6 d?3 + 81 3 d^3 ^ 16
dF 2
1 4160 U3~ , J 515375
+ +
2 ^5
^? J_ 515375 П
8~1 ~3 d^7 ' 64 6 d^3
dF j 3F , dF j
1 949025 *' e" 1190 *» §" 17 495 !' 2"
6 140 V 64 8 dy^ + 81 d^4 16 4 d#4
aFt 2 5Ft 5
728 !» 3" 1 352625 x* e
81 dz/4 64 8 d^4
dF j dF j dF
150535 ^e" , 374 bg- , 17 77 l
1 A. I
6 140 \ б4 4 d?/5 +81 ду5 + 16 2
dF 2 ^ , \
224 ^з" 1 53599 !»б"
+ + )
81 dyb + 64 4 dy
dF ,
b
154 b3" 17 21
6 140 \ 64 24 dy6 81 3 d^6 16 4 d#6
^^2 ^5
J_ 91 l»T _ 1 43225 !'6-
81 3 dyfi 64 24 dy6
dF x dF 2
2,5- OQ19 2, r ^r.
"о" Г77\ \ 5T -^ U1 О —4 El 4 4- Z / Z -r H
o 140 \ ol dz/i ol ду-i dy-i
81 3
/
-_A A ?
- 3 140 \ 81
or 4
1232 2*Г , ?
+ si "d^T+si^-d^V*
56
dF г dF 2 dF
h\ 8ociq 2>3 1820 2'3~ , 1540
+
SI ду<ъ r dy2 J '
( dF x dF 2 dF 4
'_ ?L A. 8 6545 2> 3" , * 4160 2>Г_ 1 2464 2» з"
— з40\81 3 d#3 "^ 81 3 d#3 81 3 d*/3
^ 5
8 2275 2»Г
"81 3 dy3 / '
•Г 728 2'з~ , 385 2'Г , 8
81 %4 81 dy4 ^81 ^4 ^81
* ^f8 374 2>1§" 1 224 ''^ 112 2>з1 Si "'I,
3 140V81 dy& ^81 dyb 81 дуь 81 yi c?^6 /»
/ ^F t ^F 2
/i — _LA _i 1Ё! 2>з" Li1 2>з~ ,
Л«6 "" 3 140 V 81 3 . дув 81 3 dye +
, 1 44 2'l , 8 35 2'|
»
^81 3 ^6 "*"81 3 dy
dF 1
aF 3
189 3»Г 27 35
2 140 V32 2 0yx + 7 dyx ^ 16 2 ^ 32 2
/ dF x dF 3
A, /1 27 1155 3T . j7 945 3' Г , 97 ^8a 27 525
j , 97 a
2 140 V 32 4 dy.2 ^6 4 dy2 i"Z/ dy2 ^ 32 4
a/7 j ^3 ^ 5
/ Ot 1 0/< 3 ^ 5
A A 27 495 3>T 17 189 3»T 27175 3'T
(~" 2 140 V 32 4 dy4 + 16 4 dy4 32 4 dz/4
<^F j ^з dF 5 \
27 77 _3>T 17 27 3>y 27 21 3> T 1
'140V32 2 a?/5 16 2 dy6 "^2 T dz/s /»
A ( 27 21 3'4 , 17 7 3'T 27 5 3' T )
2 140 V 32 4 d?/e ^ 16 4 ^e 32 4 d#6 / '
F 2 ^F 4 ^F 8 dF I0
4'T , 1232 4'T 112 4'T , 8 ол 4«1
dF 2 dF 4
Т 4- I540 T . 979df^
f 2 3F 4
4>т ] 2464 4>Т
3 #w 140 \8I 3 dy* 81 :
aF 8 <?F I0
1 5600 4>T 8 5600 4- T
81 3 d#3 '81 3 dy* J %
57
dF 2 dF 4
8 „„„ 4> T . 385 4- T 350
81 '"" dyi ^ 81 dy4 81
dF4 '0
+ ?700-
^™-1ЕГ + 411Г1.
Г 2 °^ 4 ^8 ^ 10 ^
A ( 8 лл„ 4'T , П2 4'T 80 4'T , 8 11O 4> T
/ ш \ 2 ш л 4
__2. ^_ 8 91 4' T 1 44 4'T
46 "^ 3 140 V 81 3 dy6 + 81 3 a#6
^^ 8 ^^ 10 \
1 28 4' T 8 35 4» T
81 3 ar/e + 81 3 dy6 J f
( dF g aF с aF с
5_ _/z_( 1 1339975 5> e" 455 5> T 17 35 5>T
6 140 \64 4 a^3 + 81 дуг 16 2 a^
80 5>T— 1 25025 5>^}
81 dyx б4 4 а^! / с
5 of 5
5
A 5. A _,1 957125 F 2275 5'T 17 525
6Л140\ 6* 8 az/2 + 81 dy2 +16 4
io dF
"з" , J 182875 5* T
5 of 6 aF 5
T 1 2275 5T 17 ^
81 dy2 l б4 8
5* А ( 1 515375 5>Т 1 2275 5'Т 17
6 dy3 81 3 dys ~" 16
^е Ю dF 25
1 5600 5>Т _ 1 339625 5'Т
'81 з а^з б4 б а#з
б ^ 5 aF 5
>T . 325 5'T 17 175 5) T
б4 8 ai/4 + 8i a#4 164 a?/4 +
aFK io dF 25\
700 5> T . 1 2377375 5' T
81 ду4 + 6* 8 a^4 / '
dF 5 aF 5 dF 5
Jt_[ 1 53599 5»T 91 5> T , 1721 5» T
6 л 140 ^4 4 ^5 81 ^5 +62 a«/5
dFK 10 ^, 25 \
112 5»T . 1 95095 5>T . л ^55
81 a^5 "^б4 4 + dyb "t"^1 a057'
/ dF 5 aF 5 aF 5
^.a A 1 43225 5>T . 1 35 5»T 17 5 __^T
6 a H0 ^ 64 24 ^ "т~ 8i з az/6 16 4 a^e
^, 10 ^ 25\
1 35 5>T 1 43225 5'T
+ 81 3 dy6 64 24 dy6 J>
yj i h 07^6
^62- Ai4oz/ a^/2
/I i A ^
58
AR;, = — ^т^
dy5
Лбб- 1— А140*1 дув •
Решение системы A.131) с начальными условиями A.129) на промежутке
[0,1] дает при X = 1 приближенные значения искомого решения уг, у2 ,..., уб1
являющиеся началом таблицы. Значения у и i = 7, 8, .. . , п, как указывалось
выше, находятся путем последовательного решения обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения A.126) при начальном условии A.125).
Рассмотренный алгоритм решения интегрального уравнения A.9) с точ-
точностью порядка О (h%) состоит, таким образом, в решении задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения в каждом узле сетки, а в на-
начале таблицы — в решении системы шести дифференциальных уравнений.
Решение двухмерных уравнений. Метод квадратур применяется также
для решения двухмерных уравнений типа Вольтерры. В этом случае естест-
естественным является применение кубатурных формул [437]. В частности, изложен-
изложенная выше методика может быть использована для решения двухмерных нели-
нелинейных интегральных уравнений вида
t
yk (х, t) = fk (x, t) + J J Kk [x, t, I, ti, y1 (I, n), ..., yn F, т|)] d-qdl, k =ТГл,
а Ь
A.132)
где индекс /?= 1, 2, ... , п и непрерывные функции fk и Kk заданы в об-
области D(a < х <. Хо> Ь < t < Го), причем функции Kk имеют также непре-
непрерывные частные производные по аргументам у1, у2, ... , уп.
Для численного решения область D заменяется прямоугольной сеткой
с шагом h по оси х и с шагом / по оси /, что позволяет обозначить
A//v© === А [Хг, f/, gv> Л©» У (bVi Л<о/> • • • j Уп (ь^> Л©)]»
yij=:yk(Xii tj), fij = fh (Xi, tj).
Применение к интегралам в системе A.132) кубатурной формулы с узлами,
равными узлам принятой прямоугольной сетки, приводит к получению сле-
следующей системы нелинейных уравнений относительно приближенных значений
решения:
= fit + tt
v=0 ©=0
A.133)
где AV@ — коэффициенты кубатурной формулы.
Приближенное решение системы A.133) может быть получено методом
дифференцирования по параметру [437], для чего необходимо ввести систему
уравнений вида
t ? b 4hh k = ^ i = ГГЖ / =Т7М A.134)
v=0 ©=0
(сумма со штрихом не включает слагаемое AtjKHjij). При X = 1 системы
A.133) и A.134) совпадают. Положив в A.134) к = 0, получаем приближен-
приближенные численные значения искомых функций в узлах сетки:
У% = fn+ S S ' А^Кфш k^TT^, i = T7~N, j = ТГМ, A.135)
v=0 co=0
являющиеся взвешенными суммами вычисленных ранее приближений искомых
решений в предшествующих узлах.
Путем дифференцирования A.134) по X получаем систему п обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для определения искомых
59
величин yk (Xi, tj) в каждом узле. Если численно решить эту систему, то
результат решения при X = 1 будет представлять собой решение системы
A.133) в соответствующем узле сетки.
В [437] содержатся данные о результатах решения приведенным методом
уравнения
X t
у(х, t)=Vl+x+t — xt[l+±(x + t)] + §§y2a,
о о
с точным решением у(х, ?)== ]/1 -\-x-\-t и системы двух уравнений
X t
о о
х t
х t
v(x> 0 = ,л. ,'.. , ; — 2xt — xt* — x*t +
О О
х t
0 6
с точным решением y(x, t) — j/l + x + t, v(x, t) = 777*. 'т.
Полученные приближенные численные результаты решения совпадают
с точным решением в пределах пяти-шести значащих цифр. При этом в обоих
случаях применялись кубатурные формулы трапеций с шагом /г = / = 0,1
и метод Рунге—Кутты с шагом >w = 0,l для решения соответствующих
дифференциальных уравнений, реализующих метод дифференцирования по
параметру для получения решения системы A.133).
1.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ —КУТТЫ
Метод Рунге — Кутты в традиционном смысле представляет собой совокуп-
совокупность одношаговых способов определения решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Получаемые на основе этого метода расчетные правила
используют информгцию о решении на промежутке, равном длине одного
шага. Метод допускает получение решений с высоким порядком точности.
Достаточная простота получаемых алгоритмов, их определенная оператив-
оперативность обусловили широкую популярность метода Рунге — Кутты при машин-
машинном решении дифференциальных уравнений. К недостаткам метода следует
отнести трудности оценки точности получаемых результатов, а значит, и за-
затруднения при выборе величины очередного шага. Однако достоинства метода
способствовали исследованиям его применения к решению интегральных
уравнений Вольтерры II рода [69, 310, 311, 425—427], что, естественно,
потребовало внесения ряда изменений и дополнений в традиционную схему
вычислений. Полученные способы основаны, с одной стороны, на исполь-
использовании идей метода Рунге — Кутты о максимальной близости по точности
тейлоровскому приближению решения на шаге без вычисления производной
от искомой функции. Подобный подход привел к получению расчетных пра-
правил, являющихся непосредственными аналогами способов решения дифферен-
дифференциальных уравнений [614]. С другой стороны, с целью получения и исполь-
использования в процессе решения оценки результатов была разработана группа
способов двухсторонних приближений к искомому решению на шаге [310,
311]. Далее рассматриваются варианты реализации этих двух подходов.
60
Аналог метода Рунге — Кутты. Непосредственное применение методов
Рунге — Кутты рассмотрим согласно [69] применительно к уравнению вида
С[#, s, у (s)]ds, x?[a9b]9 A.136)
имея в виду, что приближенные значения yi ss у (х{) решения ищутся в уз-
узлах х{; = а + (I — 1) /г, / = 1, т, при шаге h = -^ , у1==у (а).
ГП
Общее правило. Рассмотрим методику построения способа опреде-
определения значения г/2, что равносильно определению любого значения у^ если
известно yimml.
Идея Рунге состоит в приближенном представлении у2 (h) в виде
К\ (h) = hK (я + otj^/i, a -f-1
K2(h) = hK(a + a2h, a+p
Ks(h) =hK(a+ a3h, a + f
0),
= Л/С (а
A.138)
где Л г = const, а/, р^-, уг/ — параметры, определение которых позволяет вы-
вычислять значения Kt{h), i = 1, г.
Принцип выбора состоит в том, чтобы значение у21 полученное по
формуле A.137), совпадало с возможно более высоким порядком точности
(определяемым степенью К) со значением
У2 (Л) = Ух + Д#1 (h) = Ьуг (Л), A.139)
определяемым разложением Тейлора по степеням h:
y2(h)=hy'(a)+^y"(a)+ ... +-Ут(а)+ ...
Производные у' (а), у"{а), ... могут быть найдены прямо из уравнения
A.136). В каждую из производных у(/Ма)» / = 1, ^, войдет интеграл
который при х = а обращается в нуль.
Учитывая при этом, что функция К = К {х, s, z) и все ее производные
берутся в точке (а, а, 0), получаем
у; =/ (а) = К,Уг= у" (а) = 2/С; +/CS +KKZ,
у; = ут (а) = з/с + з/с;8 + k;s + зккхг + 2кк';г + к*к;г +
3KK'SK"ZZ
ЗК'гК"хх
ккг
Таким образом, принципиально можно вычислить производные до любого
порядка т и, подставив их в A.139), получить значение у2 с погрешностью
0(hm+1). Практически же достичь высокой точности вычисления производных
выше второго порядка не представляется возможным, что и привело к за-
замене производных комбинациями значений самой функции в методе Рунге—
Кутты. Критерий выбора коэффициентов в выражениях A.138) сводится
к тому, что функция
Ф(Л)=уа(Л)-у2 A.140)
61
должна удовлетворять условиям
ф @) = Ф' @) = ... == q><m> @) = 0, 0.141)
где показатель т должен быть как можно больше. Как видно из A.140),
для определения производных ф'@), ... , ср(т) @) необходимо получить вы-
выражения для производных у'2 @), yl@), ... и использовать ранее получен-
полученные выражения для у'19 у[, ... для записи совпадающих с ними производ-
производных yi(°)» f/a (°)» • • •
После подстановки /С/(А) из A.138) в A.137) и применения правил
дифференцирования сложных функций получаем
У 2@)
у'" @)
+
Г
+ зк*Кгг 2 л
М-=2
= 2/с;
= З/С*;
.,
1
+
г
« 2<
М-=1
г
>UV + 6,
6KKz
и
v=l
?С;/С^
i
г
L-=3
2K'S
6/С
г
Ij
Ll=2
М-
v=3
л
2
м-
А
Ц
г
=1
V—1
: p Л -+
r
V" V Q
M-=2
V—2
H Yv-i,
r=l
г
Kz Zj л\
11=2
r
* «5A 7 t
M-=i
Ц-1
Ид S ?i
v=l
jH-
T? • • •
,2
V=l
рм
I
r
=2
Ynv*
H-l
s
v=l
ч-
Для получения расчетных соотношений рассмотрим основные частные
случаи.
1. Случай г= 1. При этом из A.137) и A.138) имеем
У2 = АгКг (А) = AM (а + аЛ а + РА 0).
Необходимо определить А19 а1? рх. По условию A.141) получаем равенство
ф' @) = A — Аг)К = 0, которое для произвольного К выполняется лишь
при 1—Ах = 0, откуда А1=1. Проверка следующего условия из A.141)
для второй производной ср" @) дает
<р* @) = 2A —ъА^К'х + A —2$1А1)К'*+ККгф0. A.142)
Окончательно получаем формулу
уа = А/С (а + «Л а+РЛ 0)' A143)
имеющую ошибку порядка О (/г2) для любых конечных значений параметров
аг и рх. Для удобства вычислений можно принять ах = рх = 0, тогда
y2 = hK(a, a, 0). A.144)
Если же выбрать а± = 1, рг =-^-, то в A.142) пропадают два первых члена
и расчетное правило принимает вид
j/2 = A/c(a+A, а + у, о). A.145)
В данном частном случае рассматриваемого метода можно повысить
точность алгоритма до порядка О (А3), если провести итерационное уточне-
уточнение полученного значения у2 по формуле трапеций
У2,п = ^К(а, а, 0) + у/С(а, а, у%п-\), л = 1, 2, 3, ... A.146)
2. Случай г = 2. При этом из A.137) имеем
Л = Л1/С1(А)+Л1/С1(А), A.147)
62
где Кг (h) и K2(h) определяются из A.138). Для определения параметров
Аи Л2, а19 Рх, а2, Р2 используются условия A.141):
<р" @) = 2 A — a^i — а2А? Кх + A — 2^Аг — 2р2Л2) K's +
Условия выполнения данных равенств имеют вид
At + Л2 = 1, агАг + а2Л2 = 1, 2^гАг + 2р2Л2 = 1, 2721Л2 = 1. A.148)
Третья производная в общем случае:
цГ @) - 3 A — а\А! — а\А%) К"хх + 3A — 2а^гАг — 2а2р2Л2) Кхш +
+ /1 *^ft2 Л OQ2 Л \ Jf" \ Q /1 ____ Оау л* /I \
^2A— Зр2721Л2) KKsz+ A — Зу?И2) ^2^ + 2(l—i
+ A — 6^у21А2) К'уК'г + ККг Ф 0. A.149)
Теперь можно сделать вывод о том, что при выполнении условий A.148)
формула A.147) позволяет получить результат с погрешностью О (Л3). Усло-
Условия A.148) представляют собой нелинейную систему четырех уравнений от-
относительно семи неизвестных, имеющую бесчисленное множество решений.
Если рассмотреть первые три уравнения как линейную систему относительно
Аг и Л2, то применение критерия совместности позволяет получить
1 1 1
аг а2 1
или
Bр2 — 1) (аг — 1) = Bрх — 1) (а2 — 1). A.150)
Из второго и третьего уравнений системы A.148) можно получить условия
Ф0, A.151)
из которых видно, что параметры а19 а2, |31? Р2 можно выбирать в достаточ-
достаточно широких пределах. Исходя из удобстз вычислений, можно остановиться
на следующих вариантах значений параметров:
а) аг = а2 = 1, р2 = р2 = у , Лх = Л2 = -j , Y21 = 1*
тогда расчетные формулы принимают вид
У (^
a+h, a + ~, о), Ka = W((fl + ft, a+4^i);
б) а, = Рх = 0, а2 = 1, |32 = 1 , 72i = ^ « Л1 = 0> Л2 = !*
что приводит к формулам
*/2 = #2, A.153)
Кг=кК(а, а, 0), #2 = /( | l)
в) значения а1=а2=1, рх = 0, |32 == y21 = 2/3, Лх = 1/4, Л2 = 3/4
обращают в нуль первые шесть слагаемых в выражении для производной
A.149) и расчетные формулы принимают вид
У2 = Т^1 + 3^' ) A.154)
Кг = hK(a+ К а, 0), К2 = hK {а + А, а + 2/3^, 2/3^i)« I
3. Случай г = 3. Тогда
#2 = лi^i W + А*К* (Л) + ^з^з (Л), A.155)
63
где по-прежнему Кг(К), K2{h), K3(h) определяются из A.138). Если прирав-
приравнять нулю производные ср' @), ф"@) и ф'"@), то можно получить условия
для выбора коэффициентов аи plf а2, р2, а8, р3э у21, Ysi» V82» A19 Л2, А3:
Аг + А2 + А3 = 1, ахАг + а2Л2 + о^3А3 = 1, 2р2Лх + 2Р2Л2 + 2р3Л3 == 1,
272i^2 + 2 (Tsi + V32) ^з = !' aMi + a2^2 + аз^з = 1» 2a2Y21^2 + 2a3 (y3J +
Приведенные соотношения представляют собой совместную систему трина-
тринадцати уравнений с двенадцатью неизвестными. Можно рассмотреть два ее
решения:
1 2
а) «1 = "з ' а2 = аз = !. Pi = Рз = 0, Р2 = 721 = l"» Тз1 = — 1» Т32 = Ь
о 1
Лх = 0, Л2 == х , /43 = -т-, при этом расчетные формулы имеют вид
! + Я3), A.156)
Кг = Л/< (а + |, а, о) , К, = ЛЯ (а + А, а + |-Л, | ^Гх) ,
K3 = hK(a+h, а, К.-Кг);
1 12 12
б) а, = а3 = 1, а2 = у , & = 0, Р2 = у - Рз = у • Y2i = у . Ysi = -д '
TS2 = |, А = |- 4 = 0, Л, = |,
в этом случае расчетные формулы имеют вид
Ki-hKia + h, a, 0), ^, = /^D |j )
Формулы A.156), A.157) имеют ошибку порядка 0(й4).
Пример 1.16. Пользуясь формулой A.156), определим значение у2 при
решении уравнения
if t
с шагом h = -тг. Подсчитываем:
/Сх = АЯ (а + -|, а, о) - 0,
-/^) = ± ±
, a + jh, J-/^) = ± ± 11 =0,006173,
/С3 = hK (a + h, а, К2 — Кг) = 0
о
и получаем у2 = ~К2 = 0,004630. Это значение совпадает с результатом,
полученным из разложения решения в ряд
tJ /у\ 1 У3 i * «10 I ^^ Г17 I
i/W— -gr^ +§96^ "I" 4816896х ^ •"
Вычисление значений у3» • • • » ^т• #ля вычисления значений
решения, следующих за у2, посредством формул вычисления у2 необходимо
64
воспользоваться квадратурными формулами и приемом сдвига начала инте-
интегрирования.
Записывая уравнение A.136) в виде
у (х) = Ч'м (х) +ус (х), х 6 [xt-u xt], A.158)
где
xi-i
Y*_i(*) = J K[x, s, y(s]ds, A.159)
a
приходим к интегральному уравнению с новым нижним пределом Xi—\:
х
Ус(х) = j Kt[x, s,yi(s)]ds, A.160)
в котором
/С?(х, s,'z) = K[x, s, 4V_i(s) + z]. A.161)
Считая известными значения г/х, ... , у^19 значение yt можно опреде-
определить путем применения одной из полученных выше формул метода Рунге—
Кутты. Используя, например, формулу A.144), получим:*
у. = hK? (х^, х^9 0)
или с учетом A.161)
yj = hK [xt_lt x^v Wimml (x^)].
Согласно A.159) yPl^1 (x^) = yi_1 и тогда
yt = hK (x^ х._ъ y.^) = hKt_l9 M (y^). (\ • 162)
Для получения у. в соответствии с A.158) необходимо иметь значение
интеграла
Vi-i(xi)= ) К1ХР s» y(s)]ds,
для приближенного вычисления которого воспользуемся обобщенной фор-
формулой трапеций. Тогда, исходя из A.158) и 1.162), получаем формулу
с погрешностью O(h2):
yt = */-1. t + hKi-i. t-x (Ус-1)> l = ЗГ^; A.163)
4V_i, t = A?_lt xKn @) + 2 At-\, jKn (у/), i = 2, m,
где Ka @) = К (x?, s19 0), /Ci7 (yj) = /C (xt-, s/, yj), Aa = Лй = 7ft, Aif = Л,
/ = 2, ?— 1, f = 3, m.
Для получения более точных формул необходимо применить и более
точные квадратуры. В частности, к уравнению A.160) с новым началом
можно применить формулу A.153), а необходимые при этом интегралы
^t-i (xi) и W?_x (xt — Л/2) заменить квадратурной формулой
/=1
где A21 = A2i = ±h, A31 = AS3= ~h, A32 = ^h, An = Au = ^Л, Ai2 =
= Aiti_x=j^hi i = 4, m, Ац = к, j = 3, t — 2, i = 5, m, которая является
5 5-1018 **
комбинацией формулы трапеций с несколькими формулами вида
a-\-h
J Ф (s) ds^ ~ ЛФ (а) + ~hq> (a + h)—±hy (a + 2/г).
а
В таком случае имеет место алгоритм с точностью порядка O(hs):
уi = Y<_i. «• + K2c, i = 3, от, A.164)
?,_,., = ,4,_i/C,, @) +12 Л(_и ,Kt, (gj),
i = AK*_i c-i Qtt-i), K2c = hK i /V l + tJ-M ,
^_, !_i - л'--'.i*_ i , (°) + V 4-i./*¦_i ,to/).
2 2 " ^J 2 '7
/=2
где индекс f — у означает подстановку значения переменной х.— 1Цг.
Еще более точный алгоритм может быть получен, если к уравнению
A,160) с новым началом применить формулу A.154), а интегралы W?^i (xt)
и 4?i—i (xi —1/3 h) вычислять по квадратурной формуле
в которой при i четном: Л41 = Аи = —А, Л42 = Л43 = у Л, Лб1 = -g-Л, Л62 =
4 17 9 3 ! 17
9 & и л ^ и i 6 2
* ' О О О 4*3
а при i нечетном: А31 = А33 = -jh, А32 = -^ Л,
и., /|.. JLh '
"¦t, 2k+\ =:= " ^» /с = 1, 2 • }
Последняя квадратурная формула представляет собой комбинацию формулы
Ньютона с обобщенной формулой Симпсона. В результате имеет место ал-
алгоритм с точностью пор ядка О (ft4)
"Т" A3t)i * == ^> ^> A.100)
/—1
@) + S;
/=2
t—1
66
Двусторонний метод типа Рунге — Кутты. Стремление использовать до-
достоинства метода Рунге — Кутты и одновременно избавиться от его недо-
недостатков привело к развитию так называемых двусторонних методов [310,
311], позволяющих одновременно с построением приближенного решения
вычислять оценку накопленной погрешности и учитывать ее для уточнения
получаемых результатов. В достаточно полном объеме подход к построению
двусторонних правил решений рассмотрен в C10]. Сущность подхода состоит
в следующем. Решение нелинейного уравнения A.36) ищется в точках х^
i=l,n—1, разбивающих промежуток интегрирования [а, Ь] на п частей
с шагом h = xi+1 — x?, i = 0, п — 1, т. е. а < хх < х2 < ... < хп_г < хп =
= Ъ. Можно записать, что согласно методу Рунге — Кутты приближенное
решение ylttn^y(a +h) в точке х = а + h имеет вид
m-f-l
Уь т « h S Am+lf Л [а + К а + 6Д г).], A.166)
где
i—1
л/ = 2 РЛ 0.167)
/=о
Соотношения, связывающие искомые параметры Лт+1,*, б;, а/, [3^, полу-
получаются из двух условий.
1. Совпадение разложений величин у1иу (а + h) в ряд Тейлора до члена,
содержащего hm, включительно.
2. Представление разности точного и приближенного решений в виде
y(a + h) — yi,m=*aW(K)ohm+l+Rm(a)9 A.168)
где а Ф 0, Rm (а) =¦¦ О (/гт+2), W (К)о — полностью определенный оператор,
вычисленный при x~s = a. Из A.168) видно, что для двух значений а,
отличающихся лишь знаком, для приближений к у (а + К) получается семей-
семейство пар формул. При этом для W(К)о^0 и достаточно малом h по одной
группе формул определяется верхнее приближение, а по другой — нижнее.
Малость h может быть определена посредством условия двусторонности в точке
|, \Rm{—a)|}. - A.169)
Применение такой пары формул и соответствует двустороннему методу
Рунге—Кутты т-го порядка.
Если получены нижнее уит и верхнее yUm приближения т-го порядка
к искомому решению, т. е. щ.т < у (а + К) < у\,т* то в качестве искомого
приближенного решения принимается значение ух = у (j?Um + у\,т)9 порядок
точности которого O(/im+2).
Двусторонние формулы первого порядка получаются из A.166) и A.167)
при т= 1. Если при этом учесть разложение y(a + h), у\Л в ряд Тейлора
по степеням Л, то получим
y(a + h)-yil = {l-i A2i) (K)oh + {A Ц Аи) (КхH +
t=i f=i
D~Лир21) (Ку)°(К}°\h2 + 0(/г3)> A -170)
где (*)о означает, что функция К и ее частные производные вычисляются
при х = s = а. Для функций К, имеющих (Ку)офО и (КHф0, условия
1 и 2 выполняются, если
S Л2г=1 A.171)
и дополнительно справедливы соотношения
2
Л6 1 Л22р21=-1-а. A.172)
Система A.171), A.172) определяет трехпараметрическое семейство пар фор-
формул двустороннего метода первого порядка, причем
у (а + К) — у1Л = а (КуH (KHh2 + О (Л3). A.173)
Полагая, что 8гФ 62, ЬгФ-^, из системы A.171), A.172) получаем
^! &^^ A.174)
Теперь, если выбрать аг = 6j = 1, б2 = -j , то при а = + -^ будем иметь
Л21 = 0, A22=l, gc1 = 61= I, 6a = -i, P*i = y. P2i = -f. A.175)
Подобным же образом могут быть получены формулы второго и более высо-
высоких порядков точности.
Для построения двусторонних приближений к решению уравнения A.136)
в точке х — Xk + h для k > 1 необходимо воспользоваться приемом подвиж-
подвижного начала. Если известно приближенное решение в узлах xt, i = 1, п, то
для вычислений на промежутке [хп, хп + h] следует применять выражение
у(х)=<Рп(х) +ип(х), A.176)
где
хп
4>п(х) = J K[x, s,y(s)]ds, A.177)
а
х
ип(х) = J К\ху s,y(s)\ds. A.178)
Таким образом, из A.176) видно, что для получения двусторонних при-
приближений к решению исходного уравнения A.136) при x = xn + h необхо-
необходимо вначале получить их для (prcj^+i) и ип(хп+\). Величина ср^л;) представ-
представляет собой определенный интеграл, для построения двусторонних приближе-
приближений которого можно воспользоваться квадратурными формулами двух типов
(например, формулами замкнутого и незамкнутого типов). Для этой же цели
можно воспользоваться рассмотренным выше двусторонним методом Рунге—
Кутты.
Верхнее и нижнее приближения ср„ (х) определяются в виде
где
фп (X) =
A.179)
к
М*)= $ /CU, s, t/(s)]ds. A.180)
Для нахождения двусторонних приближений \ik (x) используются формулы
типа A.166) порядка т, т. е.
\ik(x) ^\ik,m(x) = h 2j Am+\,cK[x, a-}-8ih, r\i]9 A.181)
где параметры Лт+1>г, 6t-, tj^ имеют те же значения, что и в A.166).
68
Для нахождения двусторонних приближений функции ип (х) необходимо
воспользоваться уравнением
х
ип (х) = J К [х, s, q>n (s) + un (s)] ds, (] .182)
*n
полученным из исходного уравнения A.136) заменой у(х) = q>n (х) + ип(х).
Тогда, решая уравнение A.182) при подстановке в него верхнего и нижнего
приближений для q>n(x), можно найти аналогичные приближения для ип (х)
в точке х = хп+х.
Экономичным во многих случаях оказывается третий путь — применение
смешанного способа, состоящего в следующем. В первых нескольких точках
приближенное решение ищется по методу вида Рунге—Кутты (аналогично
предыдущему методу), а в следующих точках используются двусторонние
x
приближения к точному значению интеграла } g(x)dx. С этой целью при-
меняются две квадратурные формулы m-го порядка с остаточными членами
противоположных знаков
р П Mm) (т \ Um-\-\ р /"» Mm) (r \ hm-\~l (\ I R'Vl
Г\ j — U^g 4*1/'* J ^2 — 2о \ 2/ ' V.-*-*-*- ООу
где т_, T2?[*f, *f+r], Сг, С2 — положительны. Условиям A.183) удовлетво-
удовлетворяют, например, различные пары квадратурных формул, каждая из которых
состоит из одной формулы Стеклова (незамкнутого типа) и одной формулы
Ньютона—Котеса (замкнутого типа). Пусть подобная пара квадратурных фор-
формул имеет вид
*i+r г
I (j (уЛ Ну — h 7 D '?f (X'-i-'} J .. R/fc^ ' XX^"*)- (% ^ /1 1 §4Л
x{ /=0
У V
j g (x) dx = h 2j 7/g" (^i+/) — Y/*m~Hg(m> (t2) , A.185)
i '
где P > 0, 7 > 0, Tt, T2g [xc, х^г\. В таком случае можно потребовать, чтобы
производные
•?пК[х, со, i/ (со)], |-/CU, со, у]
были знакопостоянными (в частности, положительными) в области интегри-
интегрирования и представить <рп(х) в виде
хп
4>п (х) = Ф/ (х) + J К [х, s, у (s)\ ds, A.186)
положив
р = — I п <г; 1 = п — /7Г, 0 < / < г. A.187)
Тогда из A.186) при условии A.187) получаем
р—\ г
_ __
п (х) = Ф/* (х) + h US -T/ K/+i>+/ (x), A.188)
/=0 /=0
где ф/*(х) — верхнее приближение для ф_ (х), полученное посредством дву-
двустороннего метода Рунге — Кутты,
г+/, Ут (*Ж>+/)], У! > 0
7/<°
Аналогично строится нижнее приближение.
69
Пример 1.17. Рассмотрим основные этапы решения уравнения
х
у (X) = j [*??s(*-2s) + ^-2S2] [у S) + \ — S]2ds
О
методом Рунге — Кутты 1-го порядка [310] с шагом &=0,025 (точное решение
у (х) = ех* — 1 + х). Основное расчетное выражение A.166) при этом прини-
принимает вид (а = 0)
где согласно A.175 р = 1/3 для нижнего приближения дг, р = 2/3—для
верхнего у1т Более подробно:
Уг = 0,025 [0,025е° + е'0003125] [-0,025 @,025<Г0'000625 +
+ е-о.00125) @,975)* + 1 — 0,0125Г = 0,0253928,
= 0,025 [0,025е° + g-o.ooo3i2S] F|-0,025 @,025е-°-000625
+ е-000125) @,975J + 1 — 0,012б]2 = 0,0258081,
точное значение у @,025) = 0,025625.
Для определения приближенного решения г/2 = у @,05) в следующем
узле получим вначале двусторонние приближения величины по выражениям
A.179) в необходимых для применения метода Рунге — Кутты точках х = хг -\-
+ б2 (*2 — Xi) и х = 0,05.
Вычисляем нижние приближения искомых величин:
Фл @,0375) = 0,025 [0,0375е0-00015625 + е-°-00031251 х
X [4 0,025 @,025е-°'°00625 + е-»-001») @.975J + 1 — 0,0125Г = 0,025702664,
?1 @,05) = 0,025[0,05е00003125 + е.000128] х
X [4 0,025 (О,025е-0-О00в25 — e-°-00™) @.975J + 1 — 0,0125Г = 0,026012668,
у2 = 0,025 [0,025е-°'°0125 + e-o,oo28i25j Q 0>025 (О.Обе-0025 + е-005) х
X @,975 + ф^О.Об)J + 1 —0,0375 + у1 @,0375)]2+ ф2 @,05) = 0,05204619.
Вычисляем верхние приближения согласно A.179), A.180):
ФХ @,0375) = ^@,0375) = 0,025 [0,05е0'0003125 + e-°.°00312S] x
X [-| 0,025 @,025е-°-000625 + е-00126) @,975J + 1 — 0,0125 Г = 0,0261231,
ФХ @,05) = jlj @,05) = 0,025 [О.Обе0-0003125 + е-о.ооозш] х
X [-| 0,05 @,025е-°-000625 + е-0-00125) @.975J + 1 —0,0125]2= 0,02643817,
у2 = 0,025 [0,05e-°-°°i25 + е-о.0028125] ^ 0H25 @,05е-°'°025 + <г0-05) х
X @,975 + Ф1 @,05)J + 1 — 0,0375 + ф2 @,0375) ] + фх @,05) = 0,05293611.
Находим окончательный приближенный результат для узла х = 0,05:
У2=4% + ^> =0,0524912
(точное значение у @,05) = 0,0525031).
70
1.5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Итерационные методы решения интегральных уравнений вольтеррова вида
представляют собой мощный инструмент для теоретических исследований
и практических расчетов. Отличительной особенностью итерационных мето-
методов является простота вычислительных алгоритмов, что имеет существенное
значение при реализации их на ЭВМ. Недостатки данного класса методов
заключаются в проблеме сходимости — итерационный процесс должен быть
сходящимся, а скорость сходимости высокой. Благодаря особенностям урав-
уравнений Вольтерры II рода указанные недостатки для них сказываются в наи-
наименьшей мере.
Итерационные методы могут иметь различное назначение: для теорети-
теоретического исследования задач с целью доказательства существования и единст-
единственности решений; для приближенного аналитического решения уравнений,
когда в качестве решения принимается аналитическое выражение какого-либо
приближения (при этом особенно важна скорость сходимости итерационного
процесса), и, наконец, для получения приближенных численных решений.
В последнем случае итерационный метод может быть как самостоятельным,
дающим окончательный результат, так и вспомогательным, уточняющим ре-
результаты, полученные предварительно каким-либо другим методом.
Итерационные методы достаточно хорошо освещены в литературе [442,
645], но разработка и исследование их продолжаются [403]. Существует много
разновидностей итерационных методов, различающихся областью и скоростью
сходимости, классом решаемых задач и т. д.
Метод простой итерации. Наличие искомой функции вне интеграла
в уравнениях второго рода позволяет естественно, без предварительных преоб-
преобразований, применять итерационные методы.
Линейные уравнения. Метод простой итерации в применении к ли-
линейному уравнению A.1) состоит в получении последовательности функций
(приближений) yk(x), k = 0, 1, 2, •••/посредством рекуррентного соотно-
соотношения
х
Ук(х) = /(х) +$*(*, s)yk_l (s) ds, k = 1, 2, ... A.190)
a
Если обозначить
X
Фо (х) = / (x), <f>k+l (x) = J К (x, s) 9fe (s) ds, A.191)
a
то искомое решение можно представить в виде ряда
оо
#(*) = ? <М*)> AЛ92)
который сходится, если, например, f (х) непрерывна в [а, Ь] и ядро К{х, s) не-
непрерывно при а < х <: Ь (s < х). При известных значениях W = max | / (х) |,
а<х<Ь
М= max \K(x, s)\ можно оценить k-e приближение к искомому решению
b
посредством выражения
\<Pk(x)\<NMk(b — a)k/kl, A.193)
из которого видно, что метод простой итерации для уравнения Вольтерры
И рода обладает факториальной сходимостью.
На практике в качестве приближенного решения принимается некоторое
я-е приближение уп(х), т. е. п-я частичная сумма ряда A.192)
п
Уп (X) = И <Pk (*)•
fc=Q
71
Допускаемая при этом погрешность оценивается следующим образом:
\у(х)-уя(х)\=\
=\?
= N {exp [M (b — a)] — ? [Л* F — a)]*/?l}. A.194)
Таким образом, метод простой итерации при незначительных ограниче-
ограничениях всегда сходится при решении линейных уравнений Вольтерры II рода,
скорость сходимости зависит от свойств ядра уравнения. Кроме того, оче-
очевидно, что количество итерационных шагов до получения необходимого при-
приближения зависит от выбора начального приближения, т. е. от степени его
близости к искомому решению.
Пример 1.18. Воспользуемся методом простой итерации для решения
уравнения
y(x) = x — \{x — s)y (s) ds.
о
Принимая у0 (х) = 0, получаем последовательно
Уг (х) = х,
у2(х) =x —
При /г->оо
т. е. у (х) = lira уп (х) = sin л:. Подстановка этого решения в исходное урав-
нение подтверждает его правильность.
При численной реализации итерационных методов интеграл вычисляется
посредством квадратурных формул. Пользуясь, например, обобщенной фор-
формулой трапеций при разбиении промежутка [а, Ь] на п равных частей и обо-
обозначая h = ~"~ , х{ = а + ih9 К(хр Xj) = Ktj, 4>k(x?) = q>ki, получаем рас-
расчетное выражение
xP s) фл (s) ds « А [/
> + К] = Ф/е+и /? t = 0, 1, ... , п.
По вычисленным значениям ф^ t определяются приближенные значения
решения в узлах х?:
Могут быть применены и другие квадратурные формулы. Например, если
использоезть обобщенную формулу Симпсона и разбить промежуток [а, Ь)
72
Ъ — а
на 2п равных частей точками xt-= а + ih, h = -^ , то при вычислении
интеграла
используется приближенное выражение
= — гд- л-4(К<р+К~-\ 4-
Ч~ К21, 2?—1ф& 2i—l' ~^~ v^2t"» 2Фк2 ~f~ ^2'*» 4Ф&4 • " * ' ~Ь
, rr ~ \ \ if ~i; 10 ^
"Т" *\2?t 2i 2ф^ 2( 2' * ^^* 2*'Ф& 2н' * — ' » • • • > ^»
Для нечетных I значения ср^+1 . находятся интерполяцией.
Для окончания итерационного процесса обычно используется условие
11 У к — %-1 II ^о
где ||у||= тах\у(х)\, г—заданная относительная ошибка. Данное условие
a<cx<b
означает, что в процессе численного решения необходимо сравнить резуль-
результаты, полученные для двух смежных итерационных шагов; близость полу-
полученных при этом приближений свидетельствует о достигнутой точности. Та-
Таким образом, количество итерационных шагов зависит также от требований
к точности результата.
Пример 1.19. Решение уравнения
У(х)
X
j у (s) ds, 0 < х < 7,
требуется получить с погрешностью 8<10~3. Ход итерационного процесса
при постоянном шаге h = 0,07 иллюстрируется табл. 11, показывающей, что
требуемая точность достигается на 17-й итерации. Ряд значений получен-
полученного приближенного решения приведен я табл. 12, где верными являются
четыре цифры после запятой (точное решение у (х) = ех).
Таблица 11
k
1
2
3
4
5
"' У к - *k-i l(
\\yk\\
0.875
0.754
0.638
0.527
0.425
k
6
7
8
9
II Ук ~ Ук^ II
li Ук V
0.331
0.249
0.179
0.122
k
10
11
12
13
\\yk\\
0.791 • 10-1
0.480 • 10-J
0.273 • 10-1
0.145 • 10-1
k
14
15
16
1/
"^ife-^-ill
\\yk\\
0.724 • 10-1
0.339 • 10-2
0.149 • 10-a
0.615 • 10-3
Таблица 12
X
0.0
0.21
0.42
0.7
0.91
1.12
1.4
1.61
1.82
2.1
2.31
г/1? <*)
1
1.2337839
1.5222227
2.0143288
2.4852465
3.0662572
4.0575205
5.0061036
6.1764502
8.1731805
10.083938
X
2.38
2.59
2.8
3.08
3.29
3.5
3.78
3.99
4.2
4.48
Уи (X)
10.815416
13.343886
16.463473
21.785804
26.878975
33.162846
43.883768
54.143080
66.800843
88.396230
X
4.69
4.9
5.11
5.39
5.6
5.81
6.09
6.3
6.51
6.79
7.0
У17(Х)
109.06172
134.55833
166.01535
219.68328
271.03904
334.39860
442.48926
545.91600
673.50701
891.14676
1099.3595
Нелинейные уравнения. Метод простой итерации во многих слу-
случаях может быть успешно применен к решению различных видов интеграль-
интегральных уравнений. Принцип построения итерационного процесса остается таким
же, как и в случае линейных уравнений. Для уравнения Вольтерры—Уры-
сона A.9) соответствующее рекуррентное выражение имеет вид
X
yk+l (х) = / (х) + J К [х, s, yk (s)] ds. A.195)
а
В отличие от случая линейных уравнений метод простой итерации имеет
более ограниченную область сходимости. Приведем условия сходимости ите-
итерационного процесса A.195), одновременно представляющие и условия су-
существования решения уравнения A.9) [508].
Если для любой пары величин z19 z2 имеет место соотношение
\К(х, s, zJ—Kix, s, га)|</и(х, s)\z1 — z2\
и, кроме того,
х
\$ s, f(s)]ds\<n(x),
х b х
где j п2 (s) ds < N2, j dx j m2 (x, s) ds < M2, 0<^s^x<cbfN и M — постоян-
a a a
ные, п(х) и m(x, s) — функции, суммируемые со своим квадратом, то метод
последовательных приближений позволяет решить уравнение A.9), причем
последовательные приближения сходятся к решению почти всюду абсолютно
и равномерно. Получаемое решение — единственное с точностью до функций,
почти всюду равных нулю.
Метод применим к решению и других видов нелинейных уравнений, на-
например уравнений вида
, s)y(s)ds),
объединяемых тем, что они разрешены относительно у(х), а интеграл имеет
х в качестве верхнего предела. Это позволяет при численной реализации по-
получить решение путем движения малыми шагами по х и линеаризации на
каждом шаге [508], что также обычно обеспечивает единственность резуль-
результата итераций при произвольном начальном приближении.
Пример 1.20. Используем метод последовательных приближений для ре-
решения уравнения
у(х)= [l + y2(s> do
о
Если у0 (х) s 0, то
X
, ч Г ds , , ч Г 1 + arctg2 s .
Ух(*) = J т+15 = arct§*> У* (*) = J T+/ ds =
о о
= arctg х + -j arctg3 л:,
X
г» 1
I 1 + arctg s + — arctg3 s
= J
о
Уз (X) = J YJ~si ds = arct§ X +
о
у arctg3 x + 3-^g arctg5 x + ^Л§ arctg7 x.
Продолжая этот процесс, можно убедиться в том, что yk(x)-*
-> tg (arctg x) = х при &->оо, т. е. у (х) = х. Подстановка этого результата
в исходное уравнение подтверждает его правильность.
74
Пример 1.21. Для нелинейного уравнения
о
необходимо получить три первых приближения. Если принять yQ (х) = 0, то
= $(—l)ds = — x,
о
у%(х) = j
о
Системы уравнений. Применение процесса простой итерации к сис-
системам линейных уравнений вида A.10) состоит в использовании соотношений
*/„, Л+1 W = 2 J ^n/ (^* s) yjt k (s) ds+ fn (x).
/=1 a
Данный процесс сходится, если элементы системы Кц(х, s) и ft(x) удов-
удовлетворяют ограничениям, приведенным выше применительно к уравнению
A.1).
Ускорение сходимости последовательных приближений может быть до-
достигнуто применением итерационного процесса, аналогичного процессу Гаус-
Гаусса— Зейделя для систем алгебраических уравнений [77, 230]. Соответствую-
Соответствующие модификации метода последовательных приближений применимы и к ре-
решению систем нелинейных интегральных уравнений.
Метод Ньютона — Канторовича. Как уже упоминалось, достоинством
итерационных методов применительно к линейным уравнениям Вольтерры II
рода является их неизбежная сходимость при слабых ограничениях на ядро
и правую часть. При решении нелинейных уравнений область сходимости ме-
метода простых итераций сужается, а если процесс и сходится, то во многих
случаях скорость сходимости может оказаться очень низкой. Одним из эф-
эффективных методов, позволяющих преодолеть указанные трудности, является
метод Ньютона — Канторовича [320]. Основным назначением данного метода
является решение нелинейных интегральных уравнений второго рода с по-
постоянными пределами интегрирования (см. гл. 3). Тем не менее он оказы-
оказывается полезным и при решении многих задач для уравнений Вольтерры, по-
позволяя значительно ускорить сходимость по сравнению с методом простой
итерации или даже по сравнению с более сложными, в том числе специали-
специализированными, итерационными методами.
Применяя метод Ньютона — Канторовича к решению уравнения
[x, s, у (s)]ds, A.196)
получаем следующий итерационный процесс:
уь (х) = yk-i (х) + <pk_{ (x), k=U 2, 3, ... f A.197)
X
Ф*_! (х) = eft_, (x) + [Ky[x, s, yk_x (s)j Фй_, (s) ds, A.198)
a
75
гк_г (х) =f(x) + )K [x, s, yk_x (s)] ds — yk_x (x). A.199)
a j
В основе алгоритма лежит решение линейного интегрального уравнения
A.198) относительно поправки <pk_x (x) с изменяющимися от шага к шагу
ядром и правой частью. Такой процесс обладает сверхбыстрой сходимостью
второго порядка, однако достаточно сложен из-за необходимости решения
нового уравнения на каждом итерационном шаге. Упрощение может быть
достигнуто путем использования вместо A.198) уравнения
х
Ф*-! (х) = Zk-i (х) + I К у [х, s, y0 (s)) yk_x (s) ds A.200)
а
или уравнения
х
Ф*_, (*) = еА_, (х) + J /С; [*, s, ym (s)] Фй_, (s)ds,m<k — l, A.201)
а
ядра которых неизменны.
Уравнение A.200) целесообразно использовать при удачно выбранном на-
начальном приближении. В противном случае можно остановиться на некото-
некотором m-м приближении и, начиная с него, использовать упрощенное уравне-
уравнение A.201). Получающийся в результате итерационный процесс представляет
собой модифицированный метод Ньютона — Канторовича. В принципе он схо-
сходится медленнее, чем исходный процесс A.197) — A.199), однако менее сло-
сложен при вычислениях. Соответствующие оценки [73, 320] для сходимости
алгоритма, существования, области единственности и погрешности решения
оговаривают определенные требования к начальному приближению. Отыска-
Отыскание последнего следует считать самостоятельной задачей, для решения ко-
которой, по-видимому, пока не существует общего подхода.
Пример 1.22. Применим метод Ньютона — Канторовича к решению урав-
уравнения
X
у(х) = [ [sy2(s)~ l]ds.
о
Производная подынтегрального выражения по у имеет вид
Kyis, уШ =2sy(s).
Принимая в качестве нулевого приближения #0(л:) = 0, получим согласно
A.198) и A.199): Фо (х) = —*, уг (х) - —х. Далее, у2 (х) = уг (х) + ф1 (х).
X
Согласно A.199) ег (х) = 1 [s(—sJ —1] ds + х = ^-. Уравнение относительно
о
х
поправки имеет вид срх (х) =¦ —2 I s2cpx (s) ds + -т и может быть решено лю~
о
бым из методов решения линейных уравнений Вольтерры II рода. В данном
случае воспользуемся простыми итерациями, которые приводят к следующим
результатам (номер шага простых итераций указывается верхним индексом):
X
end) =il 2 Г — ds = — —
Yl 4 J 4 4 14 '
о
х
фB) _^1 2\ s2- —Ads = - — + — .
76
Ограничившись данным, вторым, приближением, получим
и перейдем к третьему итерационному шагу метода Ньютона — Канторовича:
_ /--ч 1 —10 * —13 * Г16 | 1 -19 ' 1 *>*>
-2 v/ - 1б0 ^ 1820 ~ 7840 " ^ 9340 л ^ 107 800 '
х
Ф2 (л:) = 82 (а:) + 2 \ s \—s + -i- s4 — ^ s7 + ^ 6
о
Ограничившись нулевым приближением при решении последнего уравнения,
получим
х^ х^ 23 х^ х^-® х^ х^
Уз (х) = ~х + 7 ~ и + Ш Х ~ Т820 ~ 7840 "*" 9340 "*" 107 800 *
Применение метода простой итерации к исходному уравнению приводит к та-
такому же результату на 4-м итерационном шаге.
При численном решении интеграл, как обычно, заменяется квадратур-
квадратурной формулой. Основная трудность реализации метода в этом случае может
заключаться в определении производной от ядра. Задача упрощается, если
ядро задано в виде аналитического выражения, допускающего дифференци-
дифференцирование в аналитическом виде. Если же ядро задано таблицей (или графи-
графиками, от которых необходимо перейти также к таблицам), то дифференци-
дифференцирование должно выполняться численно и предусматриваться в программе.
Для составления программы может быть рекомендован следующий ва-
вариант алгоритма, реализующего метод и проверенного на ряде численных
экспериментов.
1. Ввод исходных данных о решаемом уравнении и начального прибли-
приближения, вычисление функций г^-\(х) и ук(х) (в виде их значений при фик-
фиксированных значениях хс), управление последующими этапами вычислитель-
вычислительного процесса.
2. Вычисление значений ядра К [х, 5, у (s)] для определения гк_х (х)
посредством квадратичной интерполяции по заданным значениям Кц — К[хо
S-, y(sj)] (ПРИ аналитическом задании ядра эта операция сводится к вычис-
вычислению функций).
3. Применение интерполяционных формул для вычисления производной
от ядра, представляющего собой в общем случае функцию, зависящую от
дискретных аргументов хо s.; для этой цели во многих случаях достаточно
использовать интерполяционную формулу третьего порядка. Отметим, что
именно данный этап является наиболее трудоемким при реализации метода.
Численные эксперименты показывают, что вычисление функции К'у по ее
аналитическому выражению позволяет сократить затраты времени счета одной
итерации в 8—10 раз.
4. Формирование дискретных значений ядра К'у линейного уравнения
A.198). При известном аналитическом выражении функции К'у ее значения
вычисляются по выбранной дискретной сетке значений х?1 s. с разными в об-
общем случае шагами по этим переменным.
5. Решение линейного уравнения A.198) на каждом шаге итерационного
процесса посредством метода квадратур с заменой интеграла по формуле
трапеций.
Пример 1.23. С помощью программы, составленной на основе приведен-
приведенного выше алгоритма, решалось уравнение
точное решение которого у (х) = (х + 1) ]/4— In (x + 1).
77
Результаты решения на отрезке х?[0, 4] при начальном приближении
у0 (х) е= 2 приведены в табл. 13, где также указаны точное решение и ошибка.
Искомое приближение получено на 4-м итерационном шаге. Для сравнения
в табл. 14 приведены результаты решения того же уравнения методом про-
простой итерации. Можно видеть, что в этом случае необходимая точность до-
достигается на 13-й итерации.
Пример 1.24. При решении методом Ньютона—Канторовича на ЭВМ
уравнения
X
у (х) = J {(s + 1) [у (s) - I]3 + [у (s) - 1]*} ds, х б [0; 1,32]
о
было выбрано нулевое начальное приближение у0 (х) s 0. Результаты шести
итераций приведены в табл. 15, причем ^необходимая точность достигнута
именно на 6-й итерации (точное решение у(х) = 1 — 1/(х+ 1)). Для сравне-
сравнения в табл. 16 приведено несколько приближений, полученных методом про-
простой итерации. При этом видно, что заданная точность достигается на 9-й
итерации.
Данный пример подчеркивает одно из важных свойств итерационного
процесса Ньютона — Канторовича: погрешность каждого приближения очень
неравномерно распределена по промежутку, на котором ищется решение;
с уменьшением этого промежутка количество итераций для достижения задан-
заданной точности решения резко уменьшается. Подобный эффект гораздо менее вы-
выражен в методе простых итераций. Из рассматриваемого примера (табл. 15, 16)
видно, что для промежутка #?[0, 1] по методу Ньютона — Канторовича до-
достаточно выполнять три итерации, а по методу простой итерации — семь.
Иначе говоря, важное свойство метода Ньютона—Канторовича состоит
в том, что неудачный выбор начального приближения приводит к уменьше-
Таблица 13
X
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
У1<х)
2.000000
2.55994
3.07865
3.6176?
4.25442
5.10347
6.35350
8.33653
11.66355
17.49905
28.13296
Уъ (X)
2.000000
2.55364
3.02512
3.42496
3.76044
4.03950
4.27452
4.48459
4.69385
4.92492
5.19164
Уь (х)
2.000000
2.55364
3.02510
3.42460
3.75788
4.02806
4.23636
4.38252
4.46500
4.48137
4.42901
У 4 (х) = 'у
2.000000
2.55364
3.02510
3.42460
3.75788
4.02806
4.23635
4.38242
4.46439
4.47861
4.41914
У (х)
2.000000
2.55363
3.02509
3.42458
3.75786
4.02802
4.23631
4.38237
4.46433
4.47854
4.41906
|?- у\
0.000000
0.00001 "
0.00001
0.00002
0.00002
0.00004
0.00004
0.00005
0.00006
0.00007
0.00008
X
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
Ух (X)
2.000000
2.43300
2.61565
2.61700
2.47111
2.19732
1.80765
1.31010
0.7102?
0.01221
—0.78102
Уг(Х)
2.00000
2.53666
2.92285
3.14633
3.19746
3.05441
2.66711
1.91262
0.38691
— 11.62986
—6.77326
Уз (X)
2.00000
2.55184
3.00614
3.35489
3.5859?
3.67951
3.59597
3.23011
1.81607
2.11979
1.57093
Ун (X)
2.00000
2.555364
3.02510
3.42460
3.75788
4.02806
4.23635
4.38242
4.46437
4.47856
4.41901
Та
Ун (х)
2.00000
2.55361
3.02510
3.42460
3.75788
4.02806
4.23635
4.38242
4.46438
4.47860
4.41912
блица 14
У13 (X)
2.00000
2.55364
3.02510
3.42460
3.75788
4.02806
4.23635
4.38242
4.46439
4.46861
4.41914
78
Таблица 15
X
0.00
0.12
0.24
0.36
0.48
0.60
0.72
0.84
0.96
1.08
1.20
1.32
1.36
0.000000
0.107147
0.197944
0.279372
0.359220
0.444375
0.543664
0.667470
0.832165
1.063164
1.402297
1.920976
2.153220
у 2 (х)
0.000000
0.107147
0.193556
0.264725
0.32407
0.375335
0.419626
0.458676
0.491039
0.501020
0.394327
—0.553633
—1.860530
Уз (X)
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.324334
0.375010
0.418614
0.456532
0.489806
0.519248
0.546462
0.757272
3.087034
У 4 (X)
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.424334
0.375010
0.418614
0.456531
0.489805
0.519240
0.545464
0.569113
0.062796
Уъ (X)
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.424334
0.375010
0.418614
0.456531
0.489805
0.519240
0.545464
0.568974
0.580868
У 9 (X) = J
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.424334
0.375010
0.418614
0.456531
0.489805
0.519240
0.545464
0.568974
0.576280
х
0.00
0.12
0.26
0.36
0.48
0.60
0.72
0.84
0.96
1.08
1.20
1.32
1.36
yilx)
0.000000
0.112800
0.211200
0.295200
0.364800
0.420000
0.460800
0.487200
0.499200
0.496800
0.480000
0.448800
0.435200
0.000000
0.106925
0.192168
0.261034
0.317482
0.364578
0.404762
0.440010
0.471904
0.546649
0.530006
0.557108
0.565752
0.000000
0.107154
0.193633
0.265016
0.325070
0.376408
0.420874
0.459791
0.494123
0.524581
0.551706
0.575924
0.583416
Vi (x)
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.324334
0.375010
0.418614
0.456532
0.489806
0.519242
0.545466
0.568977
0.576285
Та
У*(Х)
0.000000
0.107147
0.193555
0.264717
0.324334
0.375010
0.418614
0.456531
0.489805
0.519240
0.545464
0.568974
0.576279
блица 16
У* (х) = J
0.000000
0.107147
0.193555
0.264714
0.324334
0.375010
0.418614
0.456531
0.489805
0.519240
0.545464
0.568974
0.576280
нию области сходимости. Однако переменный предел интегрирования в инте-
интегральных уравнениях позволяет, в отличие от уравнений с постоянными пре-
пределами интегрирования, упростить задачу отыскания начального приближения.
Действительно, уравнения Вольтерры допускают последовательное решение
на промежутках [а, хг]9 [а, х2], ... , [а, X] при а < хг < х2 < • • • «$ X. Это
потребует задания начальных приближений на небольших отрезках [а, хг],
[xlf x2] и т. д., что является более легкой задачей, чем задание начального
приближения на всем промежутке fa, X]. Кроме того, при решении интеграль-
интегральных уравнений типа Вольтерры любым методом можно применить способ под-
подвижного начала (см. п. 1.4).
Метод осреднения функциональных поправок |429—432, 63 6 — 618]
является усовершенствованной разновидностью метода последог ательных при-
приближений и позволяет расширить область применения последнего.
Линейные уравнения. Допустимы следующие ограничения на
ядро уравнения A.1):
1) функция К (х9 s) является непрерывной почти всюду, т. е. она огра-
ограничена в данной области (при a < s <: х < 6) и все ее точки разрыва, если
таковые существуют, расположены на конечном числе линий, пересекающихся
с прямыми, параллельными координатным осям, только в конечном числе
точек (линии разрыва 1-го рода);
2) ядро К {х, s) является функцией вила
К (х, s) =
К (*, s)
0< а<
где К (х, s) — непрерывная функция обоих аргументов при а < s < х < Ъ.
79
Для построения приближенного решения уравнения A.1) строятся по-
последовательные приближения. В первом приближении
^(x,s)dx, A.202)
а
где
a+h
«1 = у J Уг (х) dx, x<h^b. A.203)
а
Подставляя выражение уг(х) в уравнение A.203), получим
a+h a+h x
hax= \ f(x)dx+a1 j dx \ К (x, s)ds=? 0,
a a a
откуда, предполагая, что определитель
a+h x
j d§K(x s)ds^0 A.204)
a a
получим я<1 = Tf) \ f(x)dx. Для п-го приближения
a
x
Уп (x) = / W + I K (x, s) [yn_x (s) + an] ds =
a
x
(x, s)yn_1 (s)ds + an§K(x, s)ds, n = 2, 3, ... , A.205)
где
a+h
ап = у j 8п (х) dx, 8п (х) = #„ (л:) — уп_г (*), 6Х (х) = #х (*). A.206)
а
Так как по формуле A.205)
X X
6„ (х) = J К (х, s) 6n_x (s) ds + (о„ - а,^) J К (х, s) ds, A.207)
а а
то из уравнения A.206) найдем
a+h х a+h x
han = j dx J Я (x, s) 6n-1 (s) ds -f (а„ — an_j) J dx J К (х, s) ds,
a a a a
откуда
a+h x
an = jl f dx f /( (x, s) [6^! (s) — an_J ds. A.208)
a a
Поскольку K(x, s) = 0 при a < л: < s < Ь, an и §п(х) могут быть представ-
представлены в форме
a+h
6* (*) = J [К (^, s) - Кг (х)] [6M (s) - fa^J ds + a^/Cx (x)9 A.209)
.,(«) —/a^xHs, A.210)
a a
80
а
a+h b
1 $
где / — произвольный параметр и
ь х
Кл (х) = -i J К (х9 s) ds = -J- f/Г (х, s) ds. A.211)
а а
В приближенной формуле, принятой за окончательную, можем положить h =
= Ь — а (если не нарушается условие сходимости метода) или принять а + h
равным расчетному значению х.
Пример 1,25. Для уравнения
у{х) =f(x)
решение которого
У(х) =/W +
о
в первом приближении получаем
уг(х) =f(x) +агх,
h h
где ах = — j /(х) dx + -^ , так что at = jZZh \ f (x)dx- Если ПРИ этом / (л:) =
о о
= 1 + у » ^/ (^) = 2ех — л: — 1, то
ft2+ 6 2 ft , 10
"i — з B — ft) 3 3 ' 3B — ft)"
Во втором приближении найдем
= 1 +A +а2)л:+A+а1)у-|,
h
где а2 = 1 j \у2 (х) — r/t (x)] dx = A — аг + а2) А + аг ^ + ^ .
Из последнего уравнения получаем:
__ /t« (ft» — 6/i — 12) _ _?_ A _L ^! i 2A2 — lift)
a2~ 36B — ftJ ~ 2 18+36+ 9B —ftJ •
Полагая в выражениях для аг и a2 /i == х, получим:
7 2 д:2 20
У1(Х)~ з ~ 3 Х~ +3B-*)'
„ fx) 43 4 *» 20 8A1-8х)
Уъ\*) — 9 3 Л"г 36^3 B — л:)"
36^3 B — л:)" 9B —^)а#
Данные для сравнения полученного приближенного решения с точным
приведены в табл. 17.
При численном (машинном) решении операции вычисления интегралов
заменяются суммированием по квадратурным, формулам, а составление и ре-
решение алгебраических уравнений выполняются автоматически.
Нелинейные уравнения. При таких же ограничениях на ядро,
которые указаны для линейных уравнений, рассматриваемый метод применя-
применяется к нелинейным уравнениям вида
х
y(x) = f(x) + <$K (x, s) F [х, s, у (s)) ds, A.212)
о
6 5-1018 81
Таблица 17
X
У(х)
у А*)
У (х) — У а (х)
X
У(х)
У 2 (*)
У (*) — У 2 (*)
0.0
1.0000
0.9999
0.0001
0.6
2.0442
2.0419
0.0023
0.1
1.1104
1.1903
—0.0799
0.7
2.3275
2.3213
0.0062
0.2
1.2428
1.2427
0.0001
0.8
2.6511
2.6360
0.С151
0.3
1.3997
1.4057
—0.00598
0.9
3.0192
2.9846
0.0346
0.4
1.5836
1.5834
0.0002
1.0
3.4366
3.3611
0.0755
0.5
1.7974
1.7967
1.0007
где, кроме того, функция/ (х) непрерывна на отрезке а < х < a +h < by aF (x,
s, у) непрерывна в области задания своих аргументов a<s^x*ca-\-h<br
—М + /min < У < М. —/тах, М > 0, удовлетворяет по переменной у условию
Липшица
\F(x, s, y)—F(x, s, y)\< A\y-*-yl
где А — постоянная, зависящая от h и М; /min и /тах — наименьшее и наи-
наибольшее значения правой части f{x). При этих условиях может быть по-
построен следующий сходящийся процесс последовательных приближений.
В первом приближении полагается
Ух (х) =
К (х, s) F (х, s, аг) ds,
где
а+h
A.213)
A.214)
Подставив выражение ух (х) из A.213) в A.214), получим уравнение для опре-
определения аг\
a-\-h a-\-h x
hat = J / (x) dx+ \ dx^K (x, s) F (x, s, at) ds, A.215)
действительные корни которого пусть будут
a[l\ af», ар, ...
Во втором приближении
х
у2 (х) = / (х) + J /С (х, s) F [х, s, yx (s) + eg ds,
а
где #i(s) соответствует одному из значений A.216), а
a+h
«2 = | j б2 (х) dx, б2 (х) = у2 (х) - У1 (х).
а
На основании формул A.213) и A.217)
A.216)
A.217)
A.218)
х
б2 (х) = J К (х, s) [F (х, s, У1 +a2) — F (x, s, at)] ds, A.219)
и поэтому согласно A.218) для определения а2 будем иметь уравнение
ha2= j dx J К (*, s) [F (x, s, уг + y2) — F (x, s, ax)] ds. A.220)
a a
Действительными корнями уравнения A.220), соответствующими а^,
пусть будут
а<4 «?¦', а<4 ... A.221)
Для Аг-го приближения
уп (х) = / (*) + J К (х, s) F [х, s, уп_г (s) + an] ds, п = 3, 4 A.222)
а
где уПшт1 (s) соответствует некоторой последовательности корней
а<4 а!/»-^, а^'^^з), ... , а<^2> ••• >^-i> A.223)
и
a+h
1
Так как согласно A.222)
X
Ьп (х) = J К (х, s) [F (х, s, уп_х + ап) — F (x, s, уп_2 + ап_х)\ ds, A.225)
а
то ап будут определяться из уравнения
a+h х
han= I dx^ К (x, s) [F (x, s, уп_г + an) —F(x, s, yn_2 + anmml)] ds.
a a
В приближенной формуле можно положить h равным расчетному значению
х—а.
Введение осредненных функциональных поправок ап практически целе-
целесообразно только при первых шагах, пока \ап\ не является пренебрежимо
малой по сравнению с абсолютным значением интегрального среднего функ-
функции уп_2 (х), а затем используется процесс простых итераций.
Пример 1.26. Для уравнения
y(x) = l +2\Vy?)ds, y=x\
находим:
У1 = \ +2Уаг(х—1), a, =h\rax + 1, V^i = k + ^ + 4 = Ф1
и, полагая здесь h — x—1, в первом приближении получаем:
Уг = 1 +(х—\){х—1+У(х—1)* + 4).
Применяя простую итерацию, во втором приближении получаем:
Данные для оценки точности полученного второго приближения приве-
приведены в табл. 18.
X
У
Уг
Уч
1.1
1.21
1.2103
1.2102
1.2
1.44
1.4420
1.4414
1.3
1.69
1.6967
1.6947
1.4
1.96
1.9758
1.9714
1.5
2.25
2.2808
2.2724
1.6
2.56
2.6128
2.5989
1.7
2.89
2.9733
2.9520
1.8
3.24
3.3633
3.3326
Т аб ли
1.9
3.61
3.7839
3.7417
ца 18
2.0
4.00
4.2361
4.1802
1.6. ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ И КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ПОЛИНОМОВ
Ряд постановок задач решения интегральных уравнений, так же как и неко-
некоторые этапы процесса их решения, предусматривает применение методов ап-
аппроксимации (интерполяции) функций. Для этой цели во многих случаях
целесообразно использовать сплайны (сплайн-функции), аппарат которых пред-
представляет собой эффективный метод решения многих задач вычислительной
математики [447, 625].
Достоинства сплайнов заключаются прежде всего в способности обеспе-
обеспечивать высокое качество аппроксимации и в эффективности осуществления
на ЭВМ связанных с их применением алгоритмов. Эти свойства способство-
способствовали в последние годы приложению сплайнов к решению интегральных урав-
уравнений [462, 463].
Под сплайном обычно понимается некоторая кусочно-полиномиальная
функция, область определения которой разбита на подобласти, в каждой из
которых функция является многочленом степени т. При этом сплайн пред-
представляет собой непрерывную функцию во всей области определения с про-
производными до (т— 1)-го порядка.
Среди различных видов сплайнов особое место принадлежит кубическим
сплайнам. С исследования этого вида функций началось развитие теории
сплайнов, а сами кубические сплайны получили наиболее широкое приложе-
приложение в физических и технических задачах.
Кубические сплайны. Рассматривается задача интерполяции функции ц(х),
определенной на [а, Ь] и заданной своими значениями ф;. = ф (xj), j = 0, N,
соответствующими сетке а = х0 < хг < • • • < xN = b.
Кубическим интерполяционным сплайном дефекта 1 (далее — кубический
сплайн и просто сплайн) называется функция s(x), удовлетворяющая сле-
следующим требованиям:
1) s(x) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка
включительно, т. е. принадлежит классу С2 (а, Ь)\
2) на каждом отрезке [*/—i, xj\ она является кубическим многочленом,
т. е.
з
s(x) = s;. (x) = ? a\j) (х. — хI, /= 1, ...,#; A.226)
3) в узлах сетки {xf}f=o выполняются равенства s (х.) = фу., / =0,1,... 9N;
4) для s" (x) выполняются граничные условия
s" (а) = s;/ (b) = 0. A.227)
Выполнение приведенных требований приводит к тому, что выражение
A.226) для сплайна принимает конкретный вид:
s(х) = s.(х) = m/-i -^—г
Ш/
A.228)
где А/ = X* — -*7_i» а величины mk = S* (xk), k = О, 1, . .. , N подлежат опре-
определению. Учет условий A.227) дает mo = mN = O. Для нахождения неиз-
неизвестных тъ т2, ... , tnN_x необходимо решать систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
Ат=Н(р, A.229)
где квадратная матрица А размера (N— 1) х (N—1) имеет вид
^{ о .
* U * U *
~з Т
hi К + А«
А =
3
Н1
6
О
о
о
о
о
о
о
0 0 О
прямоугольная матрица Н размера (N — 1) х
К \h?~h[) К
A.230)
("
о о •••
1 \ 1
hi
о
+ 1) имеет вид
О О
О О
о
о
1 / 1 1 ч 1
nN-i \ nN-\ hNj hN
Г задан, а вектор ад = [mu m2 ... ,
A.231)
вектор ф = [ф0, Фг» Ф2» • • •
является искомым.
Матрица А положительно определена и неособенная, поскольку сим-
симметрична и имеет преобладающие диагональные элементы, значит, система
A.229) всегда однозначно разрешима, а вычисления значений mlf т2, ... , mN_x
принципиально допускают высокую точность результата.
Если отрезок [а, Ь] разбит равномерной сеткой, т. е, шаг /i* постоянен
и равен h* = /i* = Ф — a)IN, то матрицы А и Н принимают вид
1-Л* 1/г* 0
з 6
1/г* |/г* 1/г*
6 3 6
О
О
О
О
О 4"
О
0 0
о к -А
О
о
1. и* ±и*
б п з п
О О
о о
A.232)
О
О О
_2 _1_
Л* К*
A.233)
Аппроксимация ядра, метод квадратур. Примером постановки задачи
ргшения уравнения Вольтерры II рода A.5), при которой целесообразно ис-
85
пользовать сплайны, является случай табличного задания ядра, получаемого
в результате реальных экспериментов. Ориентируясь на подобные задачи, рас-
рассмотрим способ решения уравнения A.5) с разностным ядром путем применения
интерполяционных кубических сплайнов для аппроксимации функции К (х)9
заданной своими значениями /С/ == К (х.), / = О, п, на отрезке [О, Ь]. Для
этой цели воспользуемся аппроксимирующим выражением A.228), которое
представим в виде
К(х) =dlj(xj — x)+ d2.(x — x.^f+dyix. — x) + dij(x — x.^), A.234)
где
mf
6*;' z/~6ft;' ""- л;
"'У
d4f = -p , */-i < x < xr j = 1, ЛЛ A.235)
Подставив A.234) в исходное уравнение A.5), получим систему уравнений
относительно значений у{ ^ у (#,-), t == 1, лг (уо~у (х0) = f (xQ)):
Xj
У (*i) + S J Wij l(xt — xi) + 5]3 + d2j {{xt - x._,) - s]3 +
+ d3/ [(x. - *,) + s] + d4/ [te - *,_,) - 5]) у E) ds = / (^). A.236)
Теперь видно, что применение сплайнов для аппроксимации разностного ядра
позволяет перейти к решению уравнения A.236) с вырожденным ядром. Ис-
Используя свойство разделяемости ядра, систему уравнений A.236) преобразуем
к виду
yW+SR/^/-^)8 I y(s)ds+3(xf-xtJ j sy(s)ds +
4 xi xi
+ 3(xt — xt) J s*y(s)ds+ J s*y(s)ds] +d2j[{x{ — xf^)z J y(s)ds-
xj xj Xj
— 3 (jc/ — x^J J sy (s) ds + 3 (Xi — x}__x) J s2y(s)d5— J s3y(s)ds] +
*/—1 ^/—1 ^/—1
+ d3/[(^/ —*') J i/E)d5+ J sy(s)ds]+dAf[(xc—xf_l) J y(s)ds —
*/ */ */
- j y(s)ds- J y(s)ds- J sy(s)ds]}=f{xt). A.237)
После замены интегралов квадратурной формулой
J у (s) ds
получим расчетные выражения
1
86
i—1
Q / v •v\2/v> A 11 I Л y. j. \ | О / у.
X (Л/_1Г//__1 + Ajyj) — 3 (xi —Xj_xJ (Л/_1л:/_1г//_1 + A/xfyf)
где
Bc = d2f. (ftM/ — 3ft2xf- + 3hxf — 3jcf) ft +
Пример 1.27. Решается уравнение
X
у (х) — \ л (х — s) у (s) ds = х, х? [0,1],
для которого ядро задано значениями
Xj 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
K(xj) 0,00 0,01 0,20 0,29 0,39 0,48 0,56 0,64 0,72 0,78 0,84
(данные значения получены для функции К(х) = sin#, для которой точное
хз\
решение примера у = х + -g-1.
В рассматриваемом случае сетка узлов функции К (х) равномерная, по-
постоянный шаг h = 0, 1. Решаемое уравнение приводим к виду A.237) и,
применяя метод квадратур, получаем расчетное выражение относительно зна-
значений у. ^ у (хс), / = ТГп,
?—1 f—1
у. = x{+h {dif [(x — хсK 2 л<7#<7 + 3 (X/ — ^J 2 Л^^ +
+ 3 {х -xt) S i4^y, + ? iV|jr,] + d2/ [(дс, -л:^,K S
' <7=1 <7=1 <7=1
— з (Xi — * J 2 ^л^ + з (xt — x ) 2 4«*;y, —
t—1 г—1 г—1
— 2
2 Aqfy*] + dz/[(Xf — Xt) X, Л^ + 2
<7=1 y <7=1 <7=
t—1
+ d4.[(xt—x,x) 2
где Ад — коэффициенты квадратурной формулы.
Для каждого /-го промежутка [Xj_v x}] рассчитывается своя совокуп-
совокупность коэффициентов dr, d2ji d3., d4.(тaбл. 19) по формулам A.235). Для
этой цели определяются значения m._v m. из алгебраической системы A.229),
где матрицы Л и Я имеют вид соответственно A.232) и A.233), с учетом
принятого постоянного шага ft* = ft* = 0,1 (согласно заданной таблице зна-
значений ядра).
Результаты вычислений с использованием квадратурной формулы трапе-
ций с постоянным шагом ft = 0,05 приведены в табл. 20; накопление погреш-
погрешности к концу таблицы объясняется использованием данных с небольшим
числом значащих цифр и возрастанием искомого решения.
87
Таблица 19
0—0.1
0.1—0.2
0.2—0.3
0.3—0.4
0.4—0.5
у
1
2
3
4
5
0.000
—0.376
—0.481
—0.653
—0.799
d2j
—0.376
-0.481
—0.653
—0.799
—0.942
0.998
1.990
2.960
3.900
4.802
1.990
2.960
3.900
4.802
5.655
Xj - *ж
0.5—0.6
0.6—0.7
0.7—0.8
0.8—0.9
0.9—1
/
6
7
8
9
10
dij
—0.942 -
— 1.074 -
— 1.196
— 1.306 -
—1.403 -
d2/
-1.074
-1.196
-1.306
-1.403
-1.486
*3/
5.655
6.453
7.185
7.846
8.428
6.452
7.185
7.846
8.428
8.926
Таблица 20
и
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
~У ttfl
0.000
0.050
0.100
0.150
0.201
0.252
0.304
Vi
0.000
0.050
0.099
0.148
0.198
0.247
0.298
У if 0-У i
0.000
0.000
0.001
0.002
0.003
0.005
0.006
ч
0.35
0.40
0.45
0,50
0,55
0.60
0.65
"у V0
0.357
0.411
0.465
0.521
0.577
0.636
0.696
Vi
0.350
0.403
0.459
0.517
0.577
0.641
0.708
"у И0—У1
0.007
0.008
0.006
0.004
0.000
0.005
0.012
Ч
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
~У U0
0.757
0.820
0.885
0.952
1.021
1.092
1.166
0.780
0.856
0.937
1.024
1.116
1.215
1.321
у <4)—yi
0.023
0.036
0.052
0.072
0.095
0.123
0.255
Нелинейные уравнения, итерационный метод. Применение сплайнов ока-
оказывается полезным при решении нелинейных уравнений, так как способст-
способствует повышению точности при формировании функций, представляющих собой
результат нелинейного преобразования. Тем более этот прием может быть
целесообразным в случае многократного выполнения нелинейных преобразо-
преобразований, что свойственно итерационным методам. Подобный подход реализован
в [463], где рассматривается применение метода последовательных прибли-
приближений к решению нелинейного интегрального уравнения с использованием
сплайнов.
Сущность методики рассмотрим на примере решения уравнения
s)F[y(s)]ds,
b].
A.238)
Для обеспечения условий существования решения и сходимости применяемого
далее итерационного метода предполагается: /(лг)?С[а, Ь];
К (х, s)?C [а, Ь\ а, Ь], т. е. | К (х, s) | <К0 = const,
F (у) — непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица
\F(y\) — F{y2) < М\ух — у2\, М = const.
Отрезок разбит равномерной сеткой на N участков с узлами xf = а + jh,
j = 0, 1, . .. , УУ, и постоянным шагом h = (b — a)/N.
В качестве начального приближения искомого решения уравнения при-
принимается у0 (х) = / (х). По множеству значений F[yo(Xj)]9 / = 0, 1, ... , N9
строится сплайн go(x) = s[F(yo)\ и определяется первое приближение в виде
Ух (*) = у о (х) + { К (х, s) g0 (s) ds.
Затем по множеству значений F[y1(xj)], / = 0, 1, ..., N, строится
сплайн gt (x) — s [F (уг)] и определяется второе приближение
88
и т. д. Для п-го приближения получаем выражение
Уп (х) = У о
(х, s) gn-i (s) ds.
A.239)
Пример 1.28. В качестве иллюстрации метода проведем несколько вычи-
вычислений для нахождения начальных точек первого приближения к решению
уравнения
х
у(х) = е-* + J e-<*~V (s) ds, х?[0; 0,08]
(точное решение ^ (л:) = 1).
Разобьем отрезок [0; 0,08] на четыре участка с узлами сетки xf = /Л,
j _. о~4, и равным шагом h = 0,02.
В качестве нулевого приближения выбираем у0 (х) = е~х. Находим зна-
значения yof = y<j(Xf) и F0J = F[yo(x^], где F [у (х)\ = у2 (х):
У оо = 1; У а = 0,980200; у02 - 0,960800; у03 = 0,941765; у04 = 0,923116;
fQo e 1; Fol = 0,923118; F02 = 0,904847; F,s = 0,886920; F04 = 0,852144.
По множеству узлов xf: 0,00; 0,02; 0,04; 0,06; 0,008 и множеству
соответствующих им значений FOh / = 0,4, согласно формуле A.228) строим
сплайн
/Я/
6/1
^/, / = 1,4.
A.240)
Для этого находим значения тг, т29 т3 (ml = m4 = 0) из системы A.229),
которая в данном случае принимает вид
3
h
6
0
h
6
2/i
3
ТГ
o\
h
2/i
3 /
/
mx
Щ
m3
I
II
ИЛИ
2/i
A
A
i о j~ —~ —
1 С 17 i Z7
== X ^00 ^" "^01 ~T "^" '02»
Ь«* I |-ч ^J »ч , 1 r-i
m3 I Q1 .. ¦'ПЙ T r. ^i
00
02
"оз
1
02
03>
Решение системы дает:
m1== 229,5102; m2 = —38,87625; m3 = —53,46843,
что позволяет придать конкретный вид выражению A.240). В частности,
сплайн на отрезке [х0, хг] имеет вид
So W = бТ f6/7oo^x + F/^01 — б^оо — mji*) x + тгх% х? [0; 0,02],
и позволяет вычислить первое приближение в точке хг = 0,02:
г1
Уг (Xi) = ^o (*i) + J ^-(^~s>g (s) ds =
+ m^] ds +
0,02
^ J ?S_L
1,004716.
8»
Погрешность этого приближения:
IУ (*i) — Уг (*i) I = 11 — 1,004716 | = 0,004716.
Для отрезка [х19 х2] сплайн A.240) имеет вид
go (*) = gj [{Wm1 + 6F01x2 — 6F02x2) +
+ {3m2xt + 3mxx\ — 6F01 + 6F02 + mxh2 — m2h2) x
01
— 3m2x1)x2 + (m2 — mx) х% *€ [0,02; 0,04j,
и позволяет вычислить значение первого приближения в точке х2 = 0,04:
xz . xz
Уг (*•) = У0 (х2) + $ e-4>-°>g0 (s) ds = е-*» (J <?•& (s) rfs + l) -
= er** (j e»gr0 E ds + J ^s^0 (s) ds + l).
0
(j J
0 xt
Используя для вычисления интегралов в скобках сплайны, соответствующие
их пределам интегрирования, получаем:
Ух (*s) = ^¦"°'°4 @,025013 + 0,030632 + 1) = 1,01002.
Ошибка первого приближения в точке х2:
\У (xj — Уг (х2) | - 11 — 1,010021 = 0,01002.
Применение кусочно-гладких полиномов. Наряду со сплайнами для ре-
решения уравнений Вольтерры могут быть применены полиномы, аппроксими-
аппроксимирующие решения. При этом сохраняется принцип нахождения решения по
участкам, что приводит к возможности достижения высокой точности резуль-
результатов. Применение коллокационного метода (см. пп. 2.5, 3.5) обеспечивает
«хорошую» устойчивость вычислительного процесса [326].
Как обычно, при поиске решения по участкам необходимо применять
способ подвижного начала. Если промежуток [а, Ь] разбит на N участков
узлами Xk, k = 1, N9 начальный узел х0 = а и решается уравнение
X
У (х) = / (х) + j К [х, s, у (s)] ds, х, s g [a, b], A.241)
а
то оно может быть представлено в виде
х
y(x)=f(x)+ J К [х, s, у (s)] ds + Yk (x), x9 se [xk-u x], A.242)
*k-i
где
Wk(x)= J K[x,s,y(s)]ds, 8?[а,хк-г], x?(xk-uxk). A.243)
a
Для построения приближенного решения уравнения A.241) разобьем
каждый из N участков промежутка [ау Ь] на т чгстей длиной h и, таким
образом, представим весь промежуток интегрирования в виде сетки с шагом
h и длиной каждого участка mh. Решение будем искать в виде кусочно-
гладкой функции Р (х), представляющей собой следующие друг за другом
с шагом mh полиномы степени т, т. е. на каждом k-ы участке Р (х) является
полиномом вида
т
Pk(х) = ? Ck. i[х— (k — 1)mh]1, (k—l)mh<x< kmh,
*o
Pk (kmh) = Pk+i (kmh), k = T777. A.244)
Согласно методу коллокации потребуем, чтобы приближенное решение
удовлетворяло уравнению A.241) в точках х = х}- = /Л, / = 0, (N— \)т (точ-
(точках коллокации). Для этого подставим выражение A.244) в уравнение
90
A.241) и запишем его для значения х == х/, что позволяет для каждого
участка (k— \)mh< х< kmh получать систему уравнений
[(k — \)mh+ ih] = § K[(k—\)tnh+ ih, s, P (s)] ds +
+ f[(k— 1) mh + ih], i=l,m. A.245)
Если систему A.245) представить в виде A.242) и заменить интегралы
квадратурами, то можно перейти к явному виду системы конечных уравне-
уравнений относительно неизвестных коэффициентов С&,«, нахождение которых
позволяет получить конкретное приближенное решение в форме кусочно-
гладкого полинома.
Разделяя в A.245) интеграл на две части согласно A.242), имеем:
(k—\)mh+ih
Pk[(k—l)mh+ih]'= J K[(k— l)mh+ih, s,Pk(s)]ds +
(k—i)mh
(k-l)mh
J к [(ft _ i) mh + ih, s, P (s)] ds + f[(k — 1) mh + ih], A.246)
а
где? = 1,т и функция Р (х) представляет собой решение, полученное
предварительно для предыдущих k — 1 участков на промежутке [0, (k — 1) mh].
Квадратурные формулы, применяемые для замены в A.246) интегралов,
целесообразно выбирать, исходя из наличия (т + 1)-го задействованного
узла на каждом k-м участке, что соответствует точности порядка О (Лт+2).
Следует также учитывать, что из решения системы A.246) на предыдущем
(k—1)-м участке известно значение
С*.о = Pk l(k — 1) mh] = />*_! [(k - 1) mh].
Таким образом, замена в A.246) интегралов квадратурами приводит
к следующей системе относительно приближенных значений С&,;, i = 1, /тг,
коэффициентов полиномов A.244):
mm m
S Щ»Cklп = ? АцК l(k — 1) mh + ih, (k—l)mh+jh, ? (/A)»Ckt n]h +
+ S ? AmijK[(k-l)mh+ih, (i — l)mh + jh, f (/A)" C,. „] h +
+ f[(k— 1) mh + ih], i = TTin, A.247)
где Atj — коэффициенты квадратурных формул, набор которых зависит от
принятого количества узлов т на участке.
Рассмотрим подробнее систему A.247) для т = 3. Полином A.244) при
этом принимает вид Pk (х) = Ck, о + xCk, i + x2Ck, 2 + xsCk, 3, а значения узлов
равны х = Xi¦ = 3 (k — 1) + ih, k = 1, N.
Применительно к подынтегральному выражению решаемого уравнения
введем обозначения Kt = К (xi, s, Pk (s)), Kij = ^C (д:ь xj9 Pk (xj)). Заменив Ri
интерполяционным многочленом в форме Ньютона, получим:
К (xt, s, Pk(s)) = Kt,0 + (s — x0) l'\ c'° + (s — x0) (s — Xl)x
A.248)
Интегрируя 1.248 в соответствующих пределах, получаем для первого
участка:
J К (xt, s, Pk (s)) ds = Kt. oh + (Kt, 1 - Kt. 0) 4 - (&. 2 - 2Kt. 1+К{.о)^ +
91
+ (Kt, з — ZKt. 2 + 3Kit i — Kt. o) Y4 + ° № =
= (9^. о + 19/C,., - 5Kt. 2 + Ki, з) | + О (h%
*'
\ К (xh s, Pk (s)) ds = KtiQ2h + (Ki. i — ku o) 2h + (Ki, 2 — 2Kt. i + Ki, o)
—ki,o)o = (Ko + 4k1
?f 2
7, h_
3
i
(s)) ds == /Сл 03/г + D1 — Kt, о) у + №s 2 — 2/(«,, + Kt. o) j
/f 3 _ 3Kt, 2
,! - /C/f 0) j =
/. 0
f 2
t. 3) 7 +0 (A*).
Полученные весовые коэффициенты не изменяются от участка к участку.
В частности, весовые коэффициенты последней формулы сохраняются для
интегралов от функции К [х(, s, Pi (s)] с пределами 3A —l)h, 3lh, где
1= l.fe —1.
Пренебрегая остаточными членами квадратурных формул, имеющими
порядок O(h&), и подставляя полученные выражения в A.247), получаем:
Cft> ift + С*. 2Л2 + С*,зЛ3 = '"'~ ' ""' ггУ . r~ ,h
2Ck,
, 2/г2 + 8Ск, з/i3 = [
,2h2 + 27Ck,3hs =
K2,2]~+F2,
> A.249)
3/Cs.i
k-l 3
/=1 /=0
где Л0,з == ^з,з = 3/8, Au3 = Л2,з = 9/8, а выражения для ^tf/, /, /=1,3,
зависят от С^, /.
Легко видеть, что при т = 1 имеем Аол = 1/2, Аи\ = 1/2, т. е. при-
приходим к формуле трапеций, а при т = 2 получаем
Лол = 5/12, Лы = 2/3, Л2Л = — 1/2, Л0,2 - 1/3, Аи2 = 4/3, Л2,2 = 1/3.
Для численного решения системы A.249) наиболее подходят итерацион-
итерационные методы, а в качестве начальных приближений для &-го участка можно
принять значения Ck,o = Pk-\ l(k — 1) mh], Ck, 1: = C^i, /, i = 17m, ife > 2
(для первого участка можно положить P1(x) — f(a)).
Система A.249) всегда может быть приведена к виду, необходимому
для применения итерационных методов. В частности, путем составления
линейных комбинаций получаем систему в форме
Ck. 1 = -j (9Ki,o )
> A.250)
k. 2 = p (— 45*i.o — 95*ifl
.з-4/С2,о-
3 p i !
5^,3 + 32^2,0+128^2,,
^3,3)|+3F1-|/=-2+-iF3>
+ 32*2,2 - 9*3,o - 27*зл - 27*з,2 - 9*3,3) ±-*-Fl + 2F2-1
Ck. 3 = ~ (9*lf0
~
,i — 5*,.2 +*i,3— 16*2.o— 64*2.i— 16*2,2+
+ 3*з,о
9*3,2 + 3*з,з) ~
~
—i F2 + -i
удобной для применения метода простой итерации.
92
Пример 1.29. Уравнение
(точное решение у (х) = (х + 1) ]/*4
[0; 6,375] при h = 0,025, т = 3.
В
2 In (x + 1)) решалось на интервале
р
Ввиду того что ядро решаемого уравнения не зависит от х, система
A.250) имеет более простой вид. Для этого случая *i,o = *2,о = *з,о =
= /Со, Алл = *2.1 = *3,1 = Кг, К\,2 = *2,2 = *2,3 == К2, К\,3 = *2,3 = *3,3 =
=/С3. При условии выполнения равенства A.241) в точке л: = 3 (&—1) h
Ft = 0, i = 173.
Таким образом, согласно A.250) для k-ro участка получаем систему
Ck, 1 = 1'C/С0 + З/d - ЗК2 + /Се),
С A1/С + 3*
15*2-7*3),
1
где
У о
kt x
h +
2h +
kt 3h
t x
д:0 + ЗЛ + 1
= 3 (Й —
27C
kt
yo=,Pk^C(k — l)h).
Полученная система уравнений решалась методом простых итераций, а в
качестве начальных приближений выбирались значения Ck, о = г/0 == 2, С^ц==
==: Ck, 2 =: Ck, з = 0 для k = 1 и Ck, t = С^ 1, i, i = 1,3, для А > 2.
Таблица 21
Таблица 22
Номер
итера-
итерации
0
1
2
3
4
5
6
0
1.4999595
1.5000319
1.4999887
1.4999968
1.4999972
1.4999972
0
— 1.2469478
—0.3149309
—0.3116330
—0.3122627
—0.3122876
—0.3122882
С1,з
0
0.5978266
—0.2673441
0.0476275
0.0625618
0.0629694
0.0629775
Номер
итера-
итерации
0
1
2
3
4
5
С2,1
1.4999972
1.4542129
1.4542105
1.4542117
1.4542115
1.4542115
С2,2
—0.3122882
—0.2714302
—0.2980747
—0.2981652
—0.2981493
—0.2981487
С2,3
0.0629775
0.0365664
0.0635452
0.0551428
0.0547663
0.0547567
Таблица 23
Х1
0
0,075
0.15
0.6
1.2
1.8
2.4
У <*/>
2.000000000
2.110769735
2.218181613
2.798853594
3.424577755
3.900713732
4.236308787
"у (*/)
2.000000000
2.110769734
2.218181612
2.798853590
3.424577748
3.900713722
4.236308773
0
0.000000001
0.000000001
0.000000004
0.000000007
0.000000011
0.000000014
Х1
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
у (*/)
4.431543818
4.478537424
4.358961092
4.036250689
3.431044869
2.302347325
Ц (х;)
4.431543799
4.478537399
4.358961061
4.036250650
3.431044831
2.302347800
0.000000019
0.000000024
0.000000031
0.000000039
0.000000038
—0.000000475
Решаемая система в этом виде обеспечивает сходимость процесса, однако
при других формах итерационных выражений процесс последовательных
приближений может оказаться расходящимся.
Результаты итерационного процесса для коэффициентов C\,i и С2,, при-
приведены в табл. 21 и 22 соответственно. В табл. 23 для ряда значений аргу-
аргумента приведены результаты приближенного решения у (х), а также значения
у(х/) точного решения и ошибка.
1.7. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД
Уравнение типа свертки. Уравнение типа свертки
(x — s)y (s) ds = f(x) A.251)
содержит разностное ядро k(x — s), благодаря чему интеграл (интегральный
оператор)
X
— s)y (s) ds ^k(x)*y (x) A.252}
о
является операцией свертки функций k(x) и у(х), широко используемой
в операционном исчислении Лапласа. Эта особенность позволяет восполь-
воспользоваться при решении A.251) операционным методом (операторным методом,
методом преобразования Лапласа), состоящим в получении алгебраических
соотношений для операторных изображений (Лаплас-образов) элементов
исходного уравнения, нахождении из них изображения искомой функции
и определении по нему оригинала [236, 240, 241].
Уравнения типа свертки широко применяются при решении задач физики,
механики, электротехники и др. Например, известное в теории надежности
уравнение восстановления имеет вид A.251). К этому уравнению сводятся
задачи, описываемые самыми разнообразными линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами.
Преобразование Лапласа, оригиналы и изображения функций. Лежащее
в основе операторного метода одностороннее преобразование Лапласа является
интегральным преобразованием вида
dx, A.253)
где р = е + jo— комплексная переменная; ср (х) — функция независимой пере-
переменной (обычно времени), называемая оригиналом; W (р)—изображение
функции ф (х), что может быть записано как ф(д:)~>-? (р) или W (р) ->ср (х).
Двустороннее преобразование Лапласа отличается от A.253) нижним
пределом интегрирования, равным — оо. Для упрощения изложения к выра-
выражению A.253) обычно применяется термин «преобразование Лапласа».
Преобразование Лапласа может быть применено лишь к оригиналам,
для которых выполняются следующие условия:
а) функция ф !х) является однозначной непрерывной или кусочно-непре-
кусочно-непрерывной функцией вместе со своими производными на всей оси х\
б) выполняется условие ф (х) = 0 при х < 0;
в) выполняется неравенство | ф (х) \|< Месх при х > 0, где М и с—не
зависящие от х положительные числа.
По известному изображению W (р) оригинал находится с помощью обрат-
обратного преобразования Лапласа
Ф(*) = яЬ J У(р)е»хс1р. A.254)
С—/во
94
Таблица 24
Свойство, операция
Свойство однородности
Свойство сложения и
линейности
Подобие
Дифференцирование
оригинала
Интегрирование
оригинала
Умножение изображений
(свертка оригиналов)
Г
f(n) (х) ->
V (р) Ф (р) ->
а -
п
Г
(х)->
@) =
X
0
Соответствие
af(x)-+aF(p)9
— комплексное число
п
cifi (x) ~*~ УщЛ Ci^i ^)»
, сп — комплексные числа
а > 0
*pV(rt--p/@)--/'@),
p)~Pn~V@) f<n-l)@),
-- lim/w (x), 1 = 1, n—1
0
(x — s) ф (s) ds = \ ф (jc — s) if (s) ds,
Широко применяемое в операционном исчислении прямое преобразование
Лапласа—Карсона отличается от преобразования Лапласа множителем р и
имеет вид
A.255)
У(Р) = Р) q>(x)e-»*dx.
о
Обратное ему преобразование, называемое интегралом Бромвича, представ-
представляет собой зависимость
>* i /
A.256)
С—/во
Ввиду трудоемкости интегрирования по выражениям A.253) — G.256)
для многих распространенных функций ф (х) и ? (/?) составлены таблицы
соответствия, достаточно полно представленные, например, в работах [240, 2411.
В табл. 24 приведены некоторые свойства преобразования Лапласа,
используемые при решении интегральных уравнений.
К важным свойствам свертки относится ее коммутативность, что выра
жается соотношением
Это свойство иногда используют для нахождения свертки аналитическим
или численным способом.
Пример 1.30. Необходимо найти свертку функций х и ех [362]. Опре-
Определим вначале свертку:
X XX
х * ех = J (х — s)es ds = х] es ds — j ses ds ==
= (ses — ess+es)\o=ex—x—l.
Затем найдем
X X
ех*х=[ e<*-s>s ds = ех J e~ss ds = ex(— se~s — e~s) \x = ex — x—l,
о о
т. е. получим одинаковые результаты.
Операторное уравнение. Если ввести обозначения
Y(p)-+y(x), Ф(/>)-*/(*), K(p)-+k(x), A.257)
70 на основании свойств преобразования Лапласа интеграл A.252) представ-
X
п
ляется в виде произведения изображений: j k (x — s) у (s) ds~*-K (р) Y (р) при
о
оо
условии, что интеграл j e-pxk (x) * у (х) dx абсолютно сходится. Тогда урав-
нение A.251) преобразуется в операторное (изображающее) уравнение
Y(p)—K (p) У(р) = Ф(р), A.258)
решение которого
™=Г?#Ь>- П.259)
Если f (х) и k (х) — достаточно гладкие функции, при х ~> оо удовлетво-
удовлетворяющие условиям
\f(x)\<M1e°**9 \k(x)\<iM^x9
где постоянные Мг, М2, с19 с2 положительны, то у (х) удовлетворяет подоб-
подобному же условию: \у (х)\ < М3ес*х9 т. е. изображения A.257) существуют
и могут быть найдены.
Из выражения A.259) непосредственно не вытекает возможность при-
применения обратного преобразования Лапласа, Однако из эквивалентного выра-
выражения
Y (р) = Ф (р) + ^ Ф (р), A.260)
где
*<•<*> = ПГ2ПД A-261)
всегда имеет оригинал R(x), следует, что решение переводится в простран-
пространство оригиналов, т. е. выполняется соотношение
y(x) = f (x) +R(x)*f (x), A.262)
или
х
l(x — s)f($)ds. A.263)
Отсюда видно, что R(x — s) представляет собой резольвенту ядра исходного
уравнения, аналитическое решение которого есть выражение A.263). Для
нахождения резольвенты может быть использовано соотношение A.261) в
изображениях.
Представление R(x) в виде бесконечного ряда
оо
?(*)=$] **"(*), A.264)
соответствующего равенству
Rl (р) = S ( I* (Р)Г, R (х) -*- Rl (p). A.265)
96
приводит к известному способу нахождения резольвенты посредством ите-
итерированных ядер, поскольку
fe*i (х) = k (х), fe*2 (х) = k (x) * k (x), .. . , k*n (x) =
== k (x) * k (x) * • • • * * (x), /i = 2, 3, ...
4~-' ' " • V " **'
n
Пример 1.31. Задано уравнение
y(x) = sinx + yj (x — s)*y(s)ds.
При переходе к изображениям имеем:
y(x)-+Y(p), si
1 1 2
Составляем операторное уравнение Y (р) = ^2+ 1 + у^ F (/?), решение
которого F(p) = 7 _ х (р* + \) (pz + p+ D после Разложения на элементарные
»('+т)
дроби принимает вид Y(p) => 6(р1_{)+-2{р^{) —3(р%
Соответствующий оригинал, т. е. искомое решение,
-g- f
2 cos 1
е* + 3 cos ^ + 3 sin х — 4е 2 cos —-1
Два способа приближения при прямом и обратном преобразованиях.
Из сказанного выше следует, что при определенных, не слишком жестких
ограничениях принципиальный путь составления и решения операторных
уравнений не является сложным. Трудности возникают на двух главных
этапах реализации метода: при получении изображений для заданных функ
ций k (х) и f (x) (прямое преобразование) и при нахождении оригинала искомого
решения по его изображению.
Точные способы выполнения этих преобразований, состоящие в исполь-
использовании интегралов A.253) и A.254), сводятся, как правило, к применению
таблиц соответствий [240], причем для обратного преобразования применяют
методы теории функций комплексной переменной, в том числе теорему
о вычетах [241]. Кроме того, используется разложение изображения в ряд,
что позволяет во многих случаях получить путем почленного обратного
преобразования оригинал, также представленный в виде ряда. При этом
выполняются разложения в степенные ряды, ряды по показательным и про-
произвольным функциям.
Численные способы прямого и обратного преобразования являются при-
приближенными. Переход от приближенных оригиналов к соответствующим им
приближенным изображениям, как правило, дает более точные результаты,
чем обратный аналогичный переход, при котором первичная погрешность
вносится при аппроксимации изображений.
Приближенные преобразования могут быть основаны на методах аппрок-
аппроксимации функций действительной и комплексной переменной [77, 195).
Примером ядра, допускающего точный переход к изображениям и после-
последующее определение резольвенты, является ядро вида
k(x) = а0 +агх -] +апхп9
изображение которого имеет вид
5-1018 97
Изображение резольвенты такого ядра
является правильной дробно-рациональной функцией, оригинал которой нахо-
находится формально по одной из теорем операционного исчисления (теорема
разложения).
Для представления оригиналов и изображений в виде, удобном для пря-
прямого и обратного преобразования, существуют различные спо:обы, два из
которых рассмотрены ниже. .
Аппроксимация оригиналов. Одной из удобных форм представ-
представления некоторого оригинала у(х) при условии Нтф(л:) = const=^=0 является
аппроксимирующее выражение [77] *¦*-
п
Ф (х) ^ ф (х) = а0 + е~Хх S а***-1, A.266)
где %, а0, at — постоянные коэффициенты (А, — коэффициент затухания),
применение к которому преобразования Лапласа—Карсона позволяет получить
изображение
t=0
где
* j/ i ГL l ——• ilfQ -—— CZq — Cl-iy
'г/ = аи i=2, 3, ... , д.
A.268)
Метод интерполяции для определения коэффициентов в выражения
A.266) состоит в следующем. Задается значение 1>0 и выбираются фик-
фиксированные значения Xj [77], что приводит к системе
ф (Xj) - а0 + e'XxJ 2 сцх*Г\ / = 1, 2, ... , /г, A.269)
решение которой дает искомые коэффициенты аи При этом
ао= lim ср(*). A.270)
Вариационный метод определения аи позволяющий обеспечить опреде-
определенную независимость количества членов в A.266) от количества точек интер-
интерполяции п, состоит в следующем.
Вводится функция
п
~ uxl-\ A.271)
однозначно связанная с ф(#). Задается значение % > 0; определяется а0 из
A.270), после чего выбираются т точек интерполяции и из условия наи-
наименьшего среднеквадратичного уклонения [77] строится аппроксимирующий
полином
$•(*) = 5|» A-272)
98
который представляет собой отношение определителей
О 1 х хп~~х
7о со ci сп—1
1Г\ __ дч р р р
п—\ Сп—\
D,=
С/1-1
Сп-\ Сп
где
Cr = S xrh r = 0, 1, 2 2(л-1),
Гд.\ /=_QJ2 /Z 1
A.273)
A.274)
A.275)
A.276)
/= 1, 2, ... , т—номера точек интерполяции.
После раскрытия определителей Dl9 D2 и построения полинома A.129)
каждое значение aiy i'= 1, 2, .. . , п, получается как коэффициент при
я'—1, т. е. таким образом получается функция ф*(х).
Построив функцию ф(лг), оценивают погрешность приближения и при
необходимости уменьшают ее путем нового расчета с увеличением порядка
полинома A.128). Эффективным способом улучшения полученного прибли-
приближения является уточнение коэффициента затухания, выбранного ранее про-
произвольно. Для этого обычно достаточно решить систему, составленную из
т независимых уравнений
ф (Xj) _
ааГ1 — а0 = 0
A.277)
относительно л,/, / = 1, m, и в качестве расчетного принять среднее значение
^ср= l^]^/. A.278)
Использование этого значения в сочетании с ранее определенными at позво-
позволяет, как правило, резко уменьшить погрешность аппроксимации. Такой про-
процесс уточнения может быть продолжен, если для уточнения значения X
заново вычислить коэффициенты или даже повторить этот цикл несколько
раз.
Пример 1,32. Вариационный способ получения аппроксимирующего
выражения A.266) рассмотрим применительно к оригиналу
ф (х) = erf V~* + Ф1 (К2х) ->?(/?),
где Фг — интеграл вероятности.
Принимаем
Ф (х) = ао + (аг + а2х + а3х2) <r** -* f (p),
где а0 = Нш ф (х) = 1. Выбрав X = 1, получим у*(х) = ф _J~ =
е
аг + а2х
+ а3х2. Вычисляем значения функции ф* (х) = ^ ^ ~ для шестнадцати
е~~х
точек интерполяции согласно табл. 25. Из A.275) и A.276) определяем
значения с0 = 15; сг = 19,245; с2 = 91,6277; с3 = 614,111; с4 = 4524,96;
99
Таблица 2
1
X
0.000
0.020
0.045
0.080
—Ф* (х)
1.0000
0.8585
0.7953
0.7466
X
0.125
0.180
0.245
0.320
—Ф* (х)
0.6960
0.6567
0.6188
0.5935
X
0.405
0.500
0.72
0.980
—ф* (X) X
0.5519
0.5232
0.4727
0.4303
1.125
2.000
4.5
8.000
—ф* (X)
0.4115
0.3329
0.2430
0.1791
Yo = 7,9627; yx = 4,3762; y2 = 9,7457, используя которые, вычисляем опре-
определители A.273) и A.274). После этого получаем:
Ф* (х) = — 0,73 — 0,47л: + 0,08л:2.
Для уточнения коэффициента затухания согласно A.134) получаем
при х = 0,125: 0,3829— 1 — (—0,73 — 0,47 ¦ 0,125 + 0,08 ¦ 0,0156) х
w о—0.125Х, П*
при х = 0,5: 0,6827— 1 — (— 0,73— 0,47 • 0,5 + 0,08 ¦ 0,25) е~°-бХ. = 0;
при х = 2,0: 0,9545 — 1 — (— 0,73 — 0,47 . 2 + 0,08 • 4) е-2Х* = 0,
откуда определяем \г = 1,951; К2 = 2,1826; Х3 = 1,6951 и подсчитываем
Таким образом, можно записать
Ф (х) = 1 + е~2х (— 0,73 — 0,47х + 0,08х2).
Используя формулы П.268), можно вычислить значения: fto = 0,27; hx =
= 0,495; h2 = 0,275; h3 = — 0,04 — и получить приближенное выражение для
изображения исходной функции
W ^ — 0 27 -J- °>495 _ °>275 0,04
Аппроксимация изображений. При аппроксимации изображе-
изображения №(/?) можно воспользоваться переходом от комплексного аргумента р
к вещественной переменной б, т. е. рассматривать некоторую функцию
Ч'F)—так называемую характеристику мнимых частот [522]. Из единствен-
единственности аналитического продолжения функции W F) на всю правую полуплос-
полуплоскость, включая линию р = k +ja, k = const, — оо < a < оо, вытекает свой-
свойство характеристики lFF), заданной во всех точках любого сколь угодно
малого отрезка положительной полуоси б (вне особых точек), однозначно
определять оригинал ф (х) при 0^х< оо. Это свойство позволяет перейти
от аппроксимации W (р) как функции комплексной переменной к аппрокси-
аппроксимации W (б) как функции действительной переменной («мнимой частоты»).
Вводя замену
отображающую полуось 0 < б < оо на отрезок 0 < х < 1, получаем
W(8) = W—— А,) = Т(х). A.280)
Следуя интерполяционной формуле Лагранжа [77], получаем
+ (х — х0) (x — xj ... (х — Xn-i) А?,
где Дх, ... , Д" — разделенные разности первого порядка, xt
узлы. Из A.281) следует
о>
A.281)
A.282)
100
или с учетом A.280)
A.283)
В силу аналитичности данного многочлена на всей плоскости, за исключе-
исключением точки б = — А,, функция ? (б) может быть аналитически продолжена
для комплексных значений аргумента:
A.284)
1=0
Величина X в данном случае играет роль коэффициента затухания, поскольку
изображению A.284) соответствует рассмотренный ранее оригинал A.266).
Значение X может быть найдено также как некоторое среднее значений,
определяемых при решении систем, полученных путем придания дискретных
значений переменным в исходном и аппроксимирующем изображениях.
Пример 1.33. Для изображения ? (/?)==
частот имеет вид ? (б) = у=..
i + 1/б х
Полагая X = 1, получаем х = ^гтт > что приводит к следующим соотно-
соотношениям:
х 1,0 0,5 0,2 0
•у=. характеристика мнимых
1
оо
0.
б 0,0
хр(8) = Т(х) 1,0 0,5 0,333
Находим разделенные разности согласно табл. 26 и определяем слага-
слагаемые выражения A.282):
X Xq = X,
(х — хо)(х — хг) == х2 — 0,2л;,
(х — хо)(х — хг)(х — х2) = х3 — 0,7л:2 — 0,1л:.
Это позволяет получить зависимость
Т (х) = 2,388л:— 4,156л:2 + 2,777л:3.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем
2'388 4Д56 1 2J77
Путем уточнения А, это аппроксимирующее выражение может быть улучшено.
Системы уравнений. Операционный метод применяется также к реше-
решению систем уравнений типа свертки
yt(x) =//(*) + $] ^kij(x~s)yj(s)ds, i= 1, л,
/=1 а
где функции ^у (л:) и /, (дг) име-
имеют изображения. Переход к
изображениям в A.285) позво-
позволяет составить систему оператор-
операторных алгебраических уравнений
A.285)
Таблица 26
A.286)
относительно Yt(p). Решение
данной системы и последующий
xi
t=0, 1, 2, 3
0.0
0.2
0.5
1.0
Т(х{)
0.0
0.333
0.5
i.O
Д1
1.666
0.555
1.000
Д2
—0.222
0.555
д3
2.777
101
переход к оригиналам для Y< (р) дают искомый результат, т. е. систему
функций у{ (х).
Пример 1.34. Задана система уравнений
х х
уг(х) = 1 - 2 J е2<*-« ух (s)ds + J у2 (s) ds,
О U
X X j
У2 (х) = 4х — ^ Ух (s) ds + 4 J (х — s) у2 (s) ds. |
о ¦ ;
После перехода к изображениям получаем систему
Уг(р) -J-J&2 Y^ + 7 Y*(P
У() j YiP) + У(Р)
решая которую, получаем
Y (о)
1 2 \У1 ~~ (п
р+\
Полученным изображениям соответствуют оригиналы
уг (х) = ег* — *е-*, г/2 (х) == -|- е2* + 1 хе~* — ~ е-*,
представляющие собой решение заданной системы интегральных уравнений.
Пример 1.35. Системе интегральных уравнений
ух{х) = sinx + j y2(s)ds,
ёг2 (х) = 1 — cosx — ^t/i (s)
соответствует система операторных уравнений
решение которой дает
Переходя к оригиналам, получаем искомые функции ух (х) == sinx и у2 (х) = 0.
Уравнение с пределами (л:, +оо). Уравнение
A.287)
достаточно широко используется при анализе процессов в физических систе-
системах. Для его решения также применяется операционный метод, однако
в несколько измененном виде, что связано с наличием особых пределов
интегрирования. Особенность заключается в применении специальной теоре-
теоремы о свертке для входящего в A.287) интегрального оператора, которая
выражается соответствием
оо
У k (х — s)у (s) ds-+ К (—р) Y (р),
102
где
оо
К (—р) = J k {—х) &* dx. A.288)
о
Используя A.288) и переходя в исходном уравнении к изображениям, по-
получаем операторное уравнение
?(р)=Ф(р)+К(-р)?(р),
откуда
Y(p) = T^h)> k(-p)*l о-289)
Оригинал, вычисляемый по формуле
Г
С — lo
является частным решением исходного уравнения A.287) и имеет смысл при
пересечении областей аналитичности изображений К(—р) и Ф(р).
Пример 1.36. В уравнении
у(х) =х + \e2^-^y{s)ds A.290)
X
правая часть / (х) = х ->¦ Л » а ЯДР°
оо
к(х)=ё>х-+К(—р) = \e~**ePxdx = ;r±—i Rep<2.
a
Операторное уравнение имеет вид
откуда
Тогда искомое решение выражается через интеграл
/ ч 1
который можно вычислить по интегральной формуле Коши. Функция под
интегралом имеет двукратный полюс р = 0 или простой полюс р = 1, по-
появляющийся при с>1 в зависимости от того, учитывается или нет в ис-
искомом решении уравнения A.290) решение однородного уравнения
у(х) = ) <?2<*-s> y(s)ds.
X
Вычеты в полюсах подынтегральной функции:
res
Решение исходного уравнения:
y(x)=2x + l +Ce*t
где С т~ произвольная постоянная.
103
Пример 1.37. Решается уравнение у (х) = е~х + \ у (s) ds.
X
В данном случае f(x) = е~х9 k(x) = 1. Поэтому Ф(р) = —тгт, К{—/?) =
*dx=*— j, Rep < 0.
Получаем операторное уравнение Y (р) = —-р-г У(р), решение ко-
торого:
Отсюда
Этот интеграл можно вычислить по формуле Коши [236]. Найдем вычеты
подынтегральной функции, учитывая, что она имеет двукратный полюс
/? = —1;
( р спА — lim d \(n ! IJ p
= lim (eP* + рхе?х) = егх-— хе~х.
1
Функция у — е~х—хе~х является решением данного интегрального урав-
уравнения.
Интегродифференциальные уравнения. Операционный метод может
быть успешно применен для решения задач Коши для интегродифференци-
альных уравнений, содержащих интегральные операторы Вольтерры g раз-
разностным ядром. Рассмотрим такую задачу для уравнения
! ds=*f(x),
/=0 0
A.291)
где ah j = 1, n, — постоянные коэффициенты, a f(x) и ?/(x), / == 1, m, —
заданные функции. Аналогично задаче Коши для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений уравнение A.291) дополняется начальными условиями
Обозначим, как обычно, изображения по Лапласу:
y(x)-+Y{p), f(x)-+F(p), kj(x)->Kj(p)9 j = 1 г т.
Согласно теореме об изображении производной имеем:
у(п) (Х) -+рпу(р)—рП-1 у @) — рп - 2у' @) у(п- П@).
Теперь можно к уравнению A.291) применить преобразование Лапласа и пе-
перейти к операторному уравнению относительно изображений
[/^ + а1р"--1+...+ая+Е Kf{p)pf]Y(p)^F(p)+O(p)9 A.293)
/=i
104
где Ф (р) — известная функция от р, включающая в себя начальные значе-
значения искомой функции и ее производных до (п— 1)-го порядка. Из A.293)
легко получить вид изображения Y (р) функции у(х), по которому необхо-
необходимо найти искомый оригинал, пользуясь пригодными для этой цели спо-
способами.
Пример 1.38. Задано уравнение у" (х) + ? ё2 <* - s> у' (s) ds = е2х9 у @) =*
= У' @) = 0.
Обозначив у (x)-+Y (/?), получим:
y'(x)-+pY(p)9 yr{x)-+p*Y{p).
Применяя преобразование Лапласа к решаемому уравнению, получаем
операторное уравнение
откуда Y (р) = 1/р (р — IJ и у{х) =
Глава 2
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ВОЛЬТЕРРЫ I РОДА
В последние полтора-два десятилетия наблюдается значительное расширение
области приложения интегральных уравнений первого рода типа Вольтерры.
В круг многочисленных естественнонаучных приложений этого класса урав-
уравнений входят задачи восстановления сигналов, поступающих на входы изме-
измерительных приборов и систем наблюдения, которые ввиду реальности своих
характеристик вносят искажения в наблюдаемые и регистрируемые данные.
Отличительная особенность данного класса задач [20] заключается в
проведении при их решении исследований на стыке традиционных численных
методов и методов решения некорректных задач. С одной стороны, уравне-
уравнения Вольтерры I рода являются частным случаем уравнений Фредгольма
I рода, решение которых представляет собой явно некорректную задачу
(см. гл. 4), и допускают тем самым возможность применения соответству-
соответствующих классических методов регуляризации. С другой стороны, при опреде-
определенных ограничениях, например при «хорошей» гладкости ядра и правой
части, уравнения Вольтерры I рода относятся к корректно поставленным
задачам и допускают непосредственное применение прямых методов, осно-
основанных на дискретизации исходного уравнения. При этом оба подхода мо-
могут привести к осложнениям — использование методов регуляризации сводит
задачу получения приближенного решения к алгебраическим системам с пол-
полной матрицей, т. е. приводит к более трудоемкому решению уравнений
типа Фредгольма, а применение прямой дискретизации исходного уравнения
вызывает неустойчивость приближенных результатов решения к ошибкам
исходных данных.
В результате исследований и практического опыта был найден третий
путь, состоящий в использовании регуляризирующих свойств приемов дис-
дискретизации и позволяющий благодаря этому совместить достоинства первых
двух подходов — помехоустойчивость методов регуляризации и простоту
алгоритмов прямых методов дискретизации. Следует отметить, что и это
направление в области методов решения уравнений Вольтерры I рода не
лишено недостатков, поскольку при его реализации нецелесообразно и даже
недопустимо применение точных квадратурных формул, а значит, и невоз-
невозможно существенное повышение точности разрабатываемых конкретных ме-
методов.
2.1. СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ, ИХ ПРИЛОЖЕНИИ
И ОСОБЕННОСТЯХ ЗАДАЧИ ИХ РЕШЕНИЯ
Типы уравнений. Линейное одномерное интегральное уравнение Вольтерры
I рода имеет вид
Ау=]к(х, s)y(s)ds = f(x), x?[a,b]. B.1)
а
Важная и широко распространенная в приложениях разновидность уравнения
B.1) — уравнения типа свертки, среди которых чаще всего рассматриваются
106
уравнения вида
X
j K(x — s)y (s) ds = f {x), —oo < x < oo, B.2)
— oo
а также
X
^K(x—s)y(s)ds = f(x), x6[0, b]. B.3)
Уравнение Вольтерры I рода с оператором Гаммерштейна (уравнения
Вольтерры—Гаммерштейна I рода):
X
J К (х, s) F [s, у (s)] ds = / (х), х ? [а, Ь]. B.4)
а
Уравнение Вольтерры — Гаммерштейна I рода типа свертки:
X
§ К (х —s) F[s, y(s\ds = f (x), —oo < х < oo, B.5)
— oo
или
x
*€[0, b]. B.6)
Нелинейное уравнение Вольтерры I рода (уравнение Вольтерры — Уры-
сона I рода):
X
j К [х, s, у (s)] ds = f (x), x g [a, b). ,2.7)
а
Характерные примеры прикладных задач. Первой серьезной задачей,
математическая формулировка которой была сведена к интегральному урав-
уравнению, является задача о таутохроне [471, 672], или задача Абеля. Опи-
Описывающее ее уравнение имеет вид
и называется уравнением Абеля.
Обобщением B.8) является уравнение вида
7
(X —
B.9)
которое называется обобщенным уравнением Абеля [305, 357].
Известно много постановок задач, сводящихся к уравнениям Вольтер-
Вольтерры I рода. Большинство задач является в определенном смысле «обратны-
«обратными» по отношению к задачам анализа физических объектов и явлений.
Примером «прямой» задачи анализа может служить задача Коши для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Если для тех же уравнений
поставить задачу определения правой части по известному решению, то
получим один из примеров «обратной» задачи.
Приведем несколько характерных задач, описываемых рассматриваемым
классом уравнений.
Задача о распределении масс в галактиках при из-
известном законе вращения. Рассмотрим модель галактики в виде
неоднородного сфероида [129, 152, 375—377, 383, 596—603, 732, 761, 766,
840j, в которой поверхности постоянной пространственной плотности массы
всех видов материи (несколько «размазанной», чтобы не учитывать дискрет-
дискретности ее распределения) есть эллипсоиды вращения (сфероиды) с одинако-
107
вым отношением малой оси к большой (сферичностью) с = const. Предпола-
Предполагается, что сфероиды имеют общую ось и плоскость симметрии. В этом
случае справедливо (при с < 1) следующее интегральное уравнение Воль-
терры I рода:
где р(а)— искомая плотность в функции большой полуоси а сфероида,
е = ]/1 —с2 — эксцентриситет, G — постоянная тяготения, v (R) — скорость
кругового вращения в плоскости симметрии в функции расстояния от центра
галактики /?. Функция v(R) (а также с) известна из наблюдений в таблич-
табличном виде, обычно со значительными ошибками [383, 524, 525, 599, 600,
766]. Уравнение B.10) впервые было выведено Г. Г. Кузминым [375].
В конечном аналитическом виде решение уравнения B.10) существует
лишь для случаев с = 0 (плоская модель), с = 1[711] (сферическая модель)
и р == const (однородный сфероид), а для остальных случаев уравнение
B.10) нужно решать численно. Посредством приближенных численных ме-
методов (разложением в ряд, методом резольвенты, сведением к уравнению
II рода и последующими итерациями, методом регуляризации и др.) были
выполнены расчеты моделей большого числа галактик [383, 596, 599 600
602, 603, 766].
Если с = 0 (плоская модель), то вместо плотности обращающейся
в бесконечность) вводится в рассмотрение так называемая функция массы
|л (а) = 4лса2р (а) = dM (a)/da, где М (а) — масса в пределах сфероида
с большой полуосью а. Для |х (а) имеет место уравнение
Иногда [598] при с = 0 вводят в рассмотрение поверхностную плотность
о (а) = 4псар(а) = -—^ , для которой получается уравнение
б
При с = 1 (сферическая модель) имеем:
откуда р(#)
При р = const (однородная модель)
СО2 гт С , . v
р = 2S577 ' Н ^ "Р (arcsin^ — се).
Наконец, при с = с (а) имеет место уравнение [597]
R
с (а) а* , ч . R* rfco
1 ,-* В И da =
о
где © (#) = ?j[*>, p(a) = — Jg(O^. 0<c(a)<oo.
Задача о распределении пространственной светимос-
светимости в звездных системах по наблюдаемой светимости.
108
Рассмотрим, аналогично предыдущей задаче, модель звездной системы (га
лактики, звездного скопления и т. д.) в виде неоднородного сфероида,
в которой поверхности постоянной пространственной плотности светимости
есть подобные и подобно расположенные сфероиды со сферичностью с =
= const < 1. В этом случае имеет место следующее уравнение (уравнение
Холопова [597]):
B.11)
а2 Р2 2у •
где р (а) — искомая пространственная плотность светимости в функции боль-
большой полуоси сфероида a, D(R, Р)—наблюдаемая (измеренная в проекции
на картинную плоскость) плотность в функции R — расстояния от центра
звездной системы и р— позиционного угла, отсчитанного от линии узлов
(линии пересечения картинной плоскости и плоскости симметрии звезцной
системы). Здесь у = с .=, R0 = Ry cos2p + ^~-
У с2 cos2 i + sin2 i r c co'
/—•угол между плоскостью симметрии звездной системы и лучом зрения.
При известных с, i и D (R, Р) и некотором р (например, р = 0 или
C = 90°) уравнение B.11) есть уравнение относительно р(а).
Если с = 1 (модель сферического, или шарового, звездного скопления),
то получим так называемое уравнение Цейпеля [597, 603]
_L=p(r)dr = ??\ B.12)
связывающее пространственную плотность р (г) и поверхностную плотность
D(R), где г — пространственное расстояние от центра системы, а R —
расстояние от ее центра в картинной плоскости.
Определение локальной излучательной способности
плазмы по ее интегральной интенсивности излучения.
При диагностике плазмы в предположении ее осесимметричности может
быть определена локальная излучательная способность плазмы г (г) по из-
известной из эксперимента интегральной интенсивности излучения / (х) путем
решения уравнения Абеля [298]
где г и х—расстояния от оси симметрии (в некоторой фиксированной плос-
плоскости, перпендикулярной оси симметрии), R—граница светимости.
Данная задача близка к задаче о распределении пространственной све-
светимости в сферических звездных системах по наблюдаемой светимости
(см. B.12)).
Определение функции распределения электронов по
энергиям в плазме исходя из интенсивностей спектраль-
спектральных линий [149]. Одной из важнейших задач диагностики плазмы газо-
газового разряда является определение функции распределения электронов по
энергиям (ФРЭЭ). Использование результатов спектроскопических исследо-
исследований (без зондирования плазмы) при условии, что возбужденные уровни
атомов заселяются за счет прямого возбуждения и каскадных переходов,
а расселяются за счет спонтанных переходов, дает возможность определить
ФРЭЭ / (V) путем решения уравнения
оо
J
J e
Vk(x)
109
где х — параметр, характеризующий спектральную линию, No и Ne — кон-
концентрация соответственно нормальных атомов и электронов, h—постоянная
Планка, R (*, V) = Q(x, V)VV, V — энергия электронов, v (л:), Vk(x) и
Q(x, V) — соответственно частота, энергия возбуждения и оптическая функ-
функция возбуждения линии (известные функции).
Задача восстановления сигнала, принятого динами-
динамической системой [112 12—13, 279|. Пусть у (fj—входной сигнал
в систему (фильтр), f (t) —выходной сигнал, или отклик, a h (/, т) — функция,
называемая в теории автоматического управления и радиотехнике импульсной
переходной функцией (или импульсной реакцией, или весовой функцией).
Под t подразумевается время (поэтому система называется динамической).
Тогда, если система линейна, имеет место соотношение
t
tf h (f, т) у (x)dx = / (/), Тг < t < Г2, B.13)
где, в частности, Т1=0 или Т1 = —оо, а Т2 = оо. Соотношение B.13)
можно рассматривать как интегральное уравнение Вольтерры I рода относи-
относительно у(х) при известных h (/, т) и /(/).
Если h (/, х) = h(t— т) (система с такой импульсной функцией в теории
автоматического управления называется стационарной» в теории систем —
однородной, или инвариантной к сдвигу, в оптике — изопланатической и
т. д.), то
t
J h{t-x)y{x)dx = f{t)y T,<it^T2. B.14)
Поскольку переменная t является временем, то условие физической ре-
реализуемости системы (выходной сигнал не может появиться раньше входного)
требует, чтобы
h(t, т) = 0 при t<x B.15)
или для стационарной системы
h(t) = 0 при /<0. B.16)
Поэтому верхние пределы интегралов в B.13) и B.14) переменны и равны t.
Данная задача близка (или равнозначна) к задачам редукции измерений
за аппаратную функцию системы или характеристику (диаграмму) направлен-
направленности измерительного устройства (например, антенны — см. п. 4.2), редукции
к идеальному прибору и т. д.
Специфика задачи решения уравнений Вольтерры I рода. Задача реше-
решения уравнения Вольтерры I рода является в определенном смысле промежу-
промежуточной между задачами решения уравнений Вольтерры II рода (см. гл. 1)
и Фредгольма I рода (см. гл. 4). Если задача решения уравнения Вольтерры
II рода является корректной и эффективно решается классическими методами
(квадратур, итераций и др.)>а задача решения уравнения Фредгольмз I рода
является некорректной в любых «разумных» функциональных пространствах
и решается специальными методами (регуляризации, квазирешений и др.), то
задача решения уравнения Вольтерры I рода может быть корректной или
некорректной в зависимости от того, в каких пространствах она рассматри-
рассматривается и каким методом решается [17—21, 644].
Определение корректности включает: 1) существование решения, 2) его
единственность и 3) его устойчивость (см. п. 4.1). С этих позиций рассмот-
рассмотрим вопрос о корректности (или некорректности) задачи решения уравнения
Вольтерры I рода.
Пусть [211 в уравнении B.1)
y(s)?Cla, Ь], f(x)?CV[a, Ь], К (х, s)?C^([a, Ь] X [а, Ь])9 B.17)
110
причем
|U*i, B.18)
*я> B.19)
min \К(х, х)\ = к3ф0 B.20)
х?[а. Ы
(знакопостоянство ядра на диагонали, в определенном смысле эквивалентное
положительности (отрицательности) оператора),
/(а)-0. B.21)
В этом случае при точном задании исходных данных f (х) и К(х, s) (и при
использовании некоторого «точного» метода решения уравнения B.1))
имеем [21]
\у(х)\ <?<*.**"*, B.22)
т. е. интегральный оператор Вольтерры Ac_^C(d имеет ограниченный обрат-
обратный:
1М11сA)^с<^^(*""а), B.23)
и, следовательно, уравнение B.1) в этом случае имеет непрерывное и един-
единственное решение у(х)?С[а, Ь], т. е. первые два пункта определения кор-
корректности выполнены.
Если же [19) f(x)?C[a, b]t т. е. на производную не наложено ограни-
ограничений, то поскольку в B.22) kx по-прежнему означает оценку сверху нормы
\\f(x)\\c(i)y kl9 а следовательно, и \у(х)\, вообще говоря, неограничены
и первые два пункта определения корректности нарушаются. Другими сло-
словами, задача решения уравнения B.1) в расслоении (тройке, см. [19]) (С,
I/, Cil))f где у ? С, V — оператор Вольтерры, /?СA>, является корректной
при выполнении условий B.18) — B.21). Если же рассматривать тройку
(С, V, С), то задача решения уравнения B.1) в таком расслоении уже не-
некорректна.
Вопрос устойчивости решения рассмотрим применительно к одному из
наиболее употребимых и эффективных методов — методу квадратур, считая
по-прежнему условия B.17) — B.21) выполненными.
Перейдем от B.1) к СЛАУ, используя формулу правых прямоугольни-
прямоугольников, считая при этом, что вместо точной / (х) задана J (х) такая, что
|| б/ (x)\\l2 [а, ы = II1 (х) — / (*)||l, [а, ь] < 6. Погрешность 6/ (х) рассматриваем
в L2, а не в СA), как саму функцию f(x), потому что вариант z/?C, /CgCA),
f?C{l)f 6/gL2 является наиболее «жестким» с точки зрения выполнения ус-
условий корректности. Эти условия в четверке (С, У, СA>, С) и тем более
в (С, V, СA), СA)) выполняются в большей степени. В четверках (С, V9 С,
L2), (С, У, С, С) и (С, V, С, С<!>) задача некорректна. Имеем
h Ъ 1\цУ/ = [?> t = *, п, (^.^4)
Л = ~zrx ~ const, xt- = а + (^— l)h, Sj = а + (/— 1)Л,
Кп = /С (х,, s/)f у/ = у (s/)f // = / ^), 7i = 7 И, 7* = / №).
Решение СЛАУ {#/), / = 2, я, принято [18, 19], следуя М. К. Гавури-
ну [163 9], называть каркасом приближенного решения уравнения B.1).
В этом случае, обозначая через е/ = у;- — у/, /= 1, я, разность (в дискрет-
дискретных точках) между точным решением и решением СЛАУ B.24), получим [21]:
{-еЪ , B.25)
in
где М = const — kv В правой части B.25) первое слагаемое, связанное с
погрешностью правой части, при /г->0 стремится к бесконечности (решение
становится неустойчивым, а задача некорректной), а второе слагаемое, ха-
характеризующее точность квадратурной формулы, при /г-^-О стремится к ну-
нулю. Разумно ввести значение шага h (назовем его квазиоптимальным и обоз-
обозначим через hK0), минимизирующее правую часть B.25). Имеем: hK0 =
a- JJL) б2/ , т. е. Лко = ОF2/5). При таком значении h = hK0
\MI
B.26)
т. е.
|8/|,==,ко = 0(б2/5). B.27)
Отсюда видно, что при h = hKO обеспечивается устойчивость решения,
т. е. выполняется и третий пункт определения корректности. Кроме того,
ПрИ б~+ О |e,U=<7 ->0, т. е. решение переходит в точное, другими слова-
словами, метод квадратур, основанный на формуле правых прямоугольников, мож-
можно трактовать как регуляризирующий алгоритм (РА), в котором роль парамет-
параметра регуляризации играет шаг квадратурной формулы. Назовем данный РА
методом /i-регуляризации Апарцина—Бакушинского. Нужно учитывать, что
обычно правая часть f(x) задана в виде «экспериментальной» таблицы с не-
некоторым (вообще говоря, непостоянным) шагом h. Поэтому для получения
значений / в узлах, следующих с шагом hKO9 потребуется решить нетривиаль-
нетривиальную задачу интерполяции (например, посредством сплайнов) или аппрокси-
аппроксимации }(х) некоторой аналитической формулой. Это несколько снижает эф-
эффективность РА, основанного на методе квадратур при h = hKO.
Если с погрешностью задано ядро, т. е. вместо точного К (х, s) извест-
известно К (х, s) такое, что
\\R(X,S) — К (X, S) ||?2([а, Ь\ X [а, Ь\) < ?,
то, решая СЛАУ
h S КиУ! = fu i = 2, /z,
аналогичную B.24), получим
I e, | < (hNt + ~IV2+ ^ N3 + |) | fr (Ь"а\ B.28)
гДе l|y|k(l) = k4, Nlf N2> N3 — константы. Порядок значения h = hK0, мини-
минимизирующего правую часть B.28):
hKO = 0F1/3) и |8/| = 0(Sl/3),
т. е. и в случае ошибок в ядре метод квадратур является регуляризирую-
щим (при использовании формулы правых прямоугольников).
В работе [17] аналогичным образом исследован метод квадратур, осно-
основанный на иных квадратурных формулах. Результаты таковы.
При отсутствии погрешностей в / (х) и К (х, s): если
— l), xt -a + (/ — l)ftfs/ =*
-l)/i B.29)
(формула левых прямоугольников), то
112
если
i—x
i Zi К . _i_ У. j_ = Л» * — 2, /г, h = (b — а)/(я — 1),
(формула средних прямоугольников), то
К, i |<0(A2), /= 1, /i—1;
если
i
h S аДг/у/ = fi, i = 2, п, h = (b — a)/(n — 1),
** = а + (i — 1) А, | 0,5 при / = 1 или / = /,
s/ = а + (/' — 1) А, I 1 при всех других значениях /
(формула трапеций), то
|8/|<0(А2).
Видим, что формулы левых, правых и средних прямоугольников, а также фор
мула трапеций дают сходящиеся к точному решению (при А->-0) алгоритмы.
Формула Симпсона, т. е. формула Ньютона — Котеса 2-го порядка, а также
формулы более высоких порядков и формулы Грегори 2-го порядка и более
высоких порядков, как показано в работе [17J, порождают расходящиеся ал-
алгоритмы.
Если / (х) задана с погрешностью б: || f{x) — / (х) Цд^ ь\ < ?, то формулы
левых, правых и средних прямоугольников, а также формула трапеций по-
прежнему порождают РА, если шаг квадратурной формулы А трактовать как
параметр регуляризации, связанный с погрешностью б. Имеем [17]:
/м _ /О (б2/5) для формул левых и правых прямоугольников A-й случай),
пко (о) — [о (б2/7) для формул средних прямоугольников и трапеций B-й случай),
\ во 2-м случае.
Если же с погрешностью g задано ядро К (х, s), т. е. ||/С(*, s) —
— К(х, s) ||L,([d,b]x[a,6]) < I» то указанные формулы также порождают РА, если
[17]
(г\ — /^^1/3) в 1"м случае,
^ко (?) = \р (gi/4) в0 2-м случае,
maYlp.L «. ~./°(^1/3) в 1"м случае,
/ ' ко 1С/ (I1/2) во 2-м случае.
Особо следует отметить формулу трапеций (формулу Грегори 1 -го поряд-
порядка). Хотя она и порождает РА с такой же асимптотикой, как и формула
средних прямоугольников, при ее применении имеет место «слабая устойчи-
устойчивость», обусловленная тем, что один из корней характеристического уравне-
уравнения равен единице, и решение несколько «разбалтывается» даже при б = \ —
= 0 (это подтверждают расчеты [17]). Поэтому в случае, если возможно не-
несовпадение узлов / иу (это имеет место при использовании формулы сред-
средних прямоугольников) и А = const (в случае А Ф const использование формулы
средних прямоугольников затруднительно), то следует отдавать предпочте-
предпочтение формуле средних прямоугольников перед формулой трапеций. Если на-
надо получить решение у в тех же узлах, что и /, и, кроме того, А Ф const,
то целесообразнее пользоваться формулой трапеций,
8 5-1018 113
Если ошибка б правой части рассматривается не в L2, а в С, т. е.
II f(x) — f (х) \\c\a, ь) < б, то в случае применения формулы средних прямоуголь-
прямоугольников (см. B.29)) получаем следующие оценки [19J:
АкоF) = 0F1/3), B.з0)
тах|е/|Лвйко< ОF*/3). B.31)
В работе [18] рассмотрен вопрос о корректности (или некорректности)
задачи решения методом квадратур системы интегральных уравнений Воль-
терры I рода
Kit (x, s) уi (s) ds = ft {x)y i = 1, m, a < x < b.
/=1 a
В заключение рассмотрим также более общий случай решения уравнения
B.1). Пусть
К [х, s) ? C<"> ([a, b] x [а, 6]), п> 1;
mini д^ '(л:, -л:> J Ф и;
/ (х) g С<«) [а, 6], / (а) = Г (а) = ... = /с-о (а) = 0. B.33)
В этом случае при точных / (х) и К (х, s) (и их производных) уравнение
B.1) имеет непрерывное и единственное решение y(s)?C[a, b]. В качестве
примера рассмотрим уравнение
X
Чтобы оно имело непрерывное решение, необходимо, чтобы функция f(x)
имела п производных, а также чтобы f(x) и п — 1 ее производных обраща-
обращались в нуль при х = 0. При этих условиях решением будет у (х) = f(n) (x).
Если рассмотреть уравнение
(x~s)y (s) ds = х, xQ [0, b]9 B.35)
то можно видеть, что п = 2, /С {х, s)gC<2>([0, Ь] X [0, Ь]), /С (^, л:) = 0,
min\K'(x, х)\ф09 т. е. условия B.32) выполнены. При этом/ @) = 0, но
/'@) = 1 ^=0, т. е. условие B.33) не выполнено. Другими словами, необходимые
условия существования непрерывного решения нарушены. Это подтверждает
и двукратное дифференцирование B.35), в результате которого получаем
у(х) = 0. B.36)
Однако проверка подстановкой B.36) в B.35) показывает, что B.36) не явля-
является решением B.34).
Задача решения уравнения B.1) при выполнении условий B.32), B.33),
рассматриваемая в расслоении (С, 1/, С<п)), является корректной. Если рассматри-
рассматривать тройку (С, V, С<т)), т<п, то задача становится некорректной.
Указанные особенности уравнения Вольтерры I рода позволяют исполь-
использовать для его решения как классические методы (например, метод квадра-
квадратур, причем сама процедура дискретизации в этом методе обладает регуля-
ризирующим свойством, если связать шаг дискретизации с ошибкой исходных
данных), так и специальные методы регуляризации (Тихонова, Денисова,
Апарцина, Сергеева, Магницкого, Воскобойникова — Томсонса и др.). Ряд чис-
численных методов рассмотрен в работах [719, 753, 762, 792, 795, 801—803,
817, 823 — 826, 851, 855, 858, 895].
114
2.2. ПРИВЕДЕНИЕ К ДРУГИМ ТИПАМ УРАВНЕНИЙ
Одним из путей преодоления трудностей, возникающих при решении
уравнений Вольтерры I рода, является преобразование их к уравнениям
Вольтерры II рода или обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это
допустимо не всегда, но в некоторых случаях возможно и целесообразно.
Приведение к уравнениям второго рода. Способ преобразования
посредством дифференцирования. Если в уравнении первого ро-
рода B.1) ядро и правая часть имеют производные Кх(х, s) и /' (х), то после
дифференцирования обеих частей получим выражение
К (х, х) у (х) + J/C; (*, s) у (s) ds = /' (х), B.37)
или, в несколько ином виде,
х
которое представляет собой интегральное уравнение Вольтерры II рода и
имеет то же решение, что и B.1). Таким образом, если выполнено условие
К (х, х) Ф О, то переход к уравнению B.37) позволяет применить методы ре-
решения уравнений второго рода.
Если К (х> х) = 0, то уравнение B.37) есть опять уравнение первого ро-
рода, с которым можно поступить так же, как с уравнением B.1), если толь-
только ядро допускает вторую непрерывную производную Кх(х, s), а правая
часть имеет вторую непрерывную производную /"(х). При выполнении этих
условий дифференцирование B.37) дает
X
Кх (х, х) у{х) + \ К: (х, s) у (s) ds = /" (х).
а
Зто уравнение второго рода, если Кх (х, х) Ф 0. Если же Кх (х, х) = 0, то
можно вновь применить дифференцирование, и т. д. В общем случае при р-
кратном дифференцировании можно получить уравнение
х
К(р~1) (х, х) у (х) + \ д {х'р '—у (s) ds = fW {x), B.38)
а
которое является уравнением второго рода при Kip~~l) (** х) ФО.
Пример 2.L Задано уравнение Вольтерры I рода
X
\ sin (х — s) у (s) ds = exp (у) — 1,
о
после дифференцирования которого имеем
х
sin (х — х) у (х) + \ cos (х — s) у (s) ds = x exp f ~ 1.
о
Поскольку sin (х — х) = 0, то получено вновь уравнение первого рода
[Х2\
cos(x — s) у (s) ds = хехр l-g-l,
б
дифференцирование которого позволяет получить искомое уравнение второго
рода
х
Г (х2\
У (х) — \ sin (х — s) у (s) ds = A + х2) exp (-^-J,
6
эквивалентное исходному уравнению.
Ь* 115
Интегрирование по частям A-йспособ [129 55]). Положим
(s)ds^Y(x), х?\а, Ь),
и выполним интегрирование по частям в B.1), обозначив и — К(х, s), dv =
~y(s)ds. В результате получим
х
К (х, х) Y (х) — J К', (х, s) Y (s) ds = / (х), х ? [а, Ь].
Поскольку К(х, х)фО, х?[а, 6], то
т. е. получено уравнение Вольтерры II рода. После его решения (см. гл. 1)
относительно Y (s) искомая функция у (s) будет найдена как
у(*)=~^> s?[afb]. B.40)
Интегрирование по частям B-йспособ [600]). Если выполнить
интегрирование по частям в B.1), обозначив (иначе, чем в 1-м способе) и =
= у (s), dv = К (х, s) ds, то получим
v(x, x)y(x)-§v(x, s)^ds = f(x), xQ[a, b],
где
v(x, s) = J/C(jc, 0^. B-41)
v{x, x)= J /С (дс, s) ds Ф 0, B.42)
TO
Итак, получено также уравнение второго рода, на этот раз интегродифферен-
циальное.
Сравним способы преобразования исходного уравнения путем дифферен-
дифференцирования и интегрирования по частям. Способ дифференцирования (см.
уравнение B.37)) требует двух дифференцирований: f (х) и K'x(xfs). 1-й
способ интегрирования по частям требует вычисления K's (x, s) и У (s). И на-
наконец, 2-й способ интегрирования по частям требует вычисления у' (s) и
S
\ К (Ху t)dt. При этом способ дифференцирования и 1-й способ интегрирова-
а
ния по частям требуют выполнения условия К(х, х)ф0, х?[а, Ь], а 2-й
способ интегрирования по частям — выполнения условия v (х, х) Ф 0 (см.
B.42)).
В зависимости от условий конкретной задачи (дифференцируемость или
недифференцируемость / и К и т. д.) можно воспользоваться тем или иным
способом.
Уравнение относительно резольвенты. Непосредственное
использование уравнения B.1) для получения резольвенты на основе после-
последовательных приближений оказывается невозможным. Необходимо предвари-
116
тельно перейти к уравнению Вольтерры II рода и уже для него использовать
известные способы определения резольвенты.
Решение уравнения B.1), допускающего переход к B.37), может быть
записано в виде
X
{х) - J R (х's) ?(s) ds' B-44>
где R(x,s)—резольвента, соответствующая ядру К'х(х, s)/К (х, х), являю-
являющемуся первым итерированным ядром. Аналогично могут быть найдены
первые итерированные ядра при переходе к уравнению второго рода с дву-
двукратным, трехкратным и т. д. дифференцированием.
Исходя из уравнения B.37), можно записать (см. п. 1.2) интегральное
уравнение Вольтерры II рода относительно резольвенты R(xf s). Однако
имеется возможность сохранить однотипность исходного уравнения B.1) и
уравнения относительно резольвенты.
Запишем B.1) в виде
К (х, s) у (s) ds = l У$-(Ь. B.45)
а
Подставим B.44) в B.45); меняя порядок интегрирования, получим
откуда получим уравнение Вольтерры I рода
К (х, О R <t, s) dt = Jgig — 1 B.46)
относительно R(x, s), не зависящее от f(x).
Если теперь продифференцировать B.46) по х, то можно перейти к урав-
уравнению Вольтерры II рода
««*¦
которое может быть получено и обычным способом (см. п. 1.2).
Приведение к дифференциальным уравнениям. Переход от интегральных
уравнений Вольтерры II рода с вырожденными ядрами к обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям был рассмотрен в предыдущей главе (см. п. 1.2).
Описанный там способ получения дифференциальных уравнений при предва-
предварительном переходе к уравнениям второго рода (см. выше) может быть при-
применен и к уравнениям вида B.1). Наличие вырожденного ядра в уравнениях
первого рода позволяет получить соответствующие дифференциальные урав-
уравнения другим путем.
Уравнение Вольтерры I рода с вырожденным ядром A.3) принимает вид
т х
2 а,- (*) J k (s) у (s)ds = /(*). B.48)
117
Если т~ 1, то решение B.48) становится простой задачей, а именно
В случае т > 1 из суммы в B.48) выделяется одно, некоторое q-e слагаемое
т х
e (s) у (s) ds + jj-Lj J]'а< <*) J Р< (s> У (s) ds==^)f (*), B-49)
где 1 < ^ < пг и штрих у знака суммы означает отсутствие #-го слагаемого.
После обозначения
v <*> =
получаем
откуда получается выражение
, v(a)=0,
B>50)
B.51)
подстановка которого в B.50) дает
X
1=1
ИЛИ
t=l a
Отсюда получается интегральное уравнение относительно v(x)
•«I1 +^>
1 V^'r/ /v\ f^(s) fJLELl'z/c
e MF>2j ai W J м?) l^wj ds*
l
(9
B'
Для перехода к дифференциальным уравнениям вводится обозначение
B.54)
118
откуда
№>(s)> Bi55)
и искомая система принимает вид
т
/=0
при / =т& q.
Выбором ^-го слагаемого в вырожденном ядре можно добиться наилуч-
наилучших свойств эквивалентных дифференциальных уравнений. В частности, одним
из условий такого выбора является
X
Пример 2.2. Решается уравнение j Bs — х) у (s) ds = х3 — 1 с вырож-
X X
денным ядром, что позволяет записать 2 j sy(s)ds — *j y(s)ds = x* — 1,
X X
При обозначении х ] у (s) ds = v (л;), v A) = 0 получаем 2 j sy (s) ds —
l l
— v (x) = x3 — 1 или после дифференцирования y(x)=-jX + ~^-i?d.
x
После соответствующей подстановки находим: v (х) = х \ LpS +-к ^-^ fe
откуда следует уравнение Вольтерры II рода
от которого переход к дифференциальным уравнениям выполняется известным
способом:
х
l-jtv(s)ds=w(x), x*w'(x)=v(x), w(l) = 0,
jx2w (x) — YXw(x) = jXs — -?xf
w (^)_-а,(^)=:_.х_т_#
Решение этого уравнения
1т*/ Г ~^
119
Из условия доA)=0 определяем постоянную интегрирования С = О, что
позволяет получить решение дифференциального уравнения
откуда
=44+4-4
w' (х) = 3* — 3 = 3 (х — 1), у (х) = x*w' (х) = Зх2 (х — 1),
у'(л:) = 9л:2— 6х, у (х) = 3 Bх— 1).
Подстановка результата в исходное уравнение подтверждает его правильность.
2.3. МЕТОД КВАДРАТУР
Замена интеграла квадратурными формулами, которая лежит в основе метода
квадратур, представляет собой наиболее прямой, а в значительном числе прак-
практических случаев и наиболее эффективный путь подготовки уравнений Воль-
терры к применению ЭВМ для их решения. Возможности и элементы обо-
обоснования данного метода достаточно подробно были рассмотрены в п. 2Л.
Здесь рассматриваются общий подход к построению алгоритмов метода квадра-
квадратур, а также конкретные алгоритмы для уравнений с произвольными и раз-
разделяющимися ядрами.
Общий подход. Методика замены интеграла суммой в уравнениях Воль-
терры I рода и получения аппроксимирующей алгебраической системы оста-
остается такой же, как и в случае уравнений Вольтерры II рода (см. п. 1.3).
Однако особенность уравнений первого рода, состоящая в отсутствии иско-
искомой функции вне знака интеграла, приводит к некоторым отличиям.
Если отрезок [а, Ь] разбит на п — 1 частей, выбраны узлы дискретиза-
дискретизации х = xt, i = 1, п, причем хх = а и хп == Ь, то линейное уравнение B.1)
преобразуется в выражение
н
B.57)
из которого с помощью квадратурной формулы вида A.79) получается сис-
система
^AjKijy^fu i=T7b B.58)
где Aj — коэффициенты квадратурной формулы, Kij = К(#*, х/), /=l,t;
U = / (Х()\ yt = у (хс) — приближенные значения искомой функции в узлах дс*.
Особенность системы B.58) состоит в невозможности непосредственного
определения значения у19 которое, будучи найденным, позволяет найти
последующие значения у2, у3, ... , уп рекуррентно. Действительно, при х =
=#! = а интеграл в уравнении B.1) равен нулю и / (а) = /2 = 0. Преодолеть
это затруднение можно, если, продифференцировав B.1) по х, получить
Выражение
I Чг ds + к (*• *) у м = г <*>» B-59)
а
откуда при х = а
йь-я?. B-ео)
Теперь система B.58), имеющая треугольную матрицу коэффициентов, поз-
ПО
воляет последовательно определить искомые приближенные значения посред-
посредством формул
1
B.61)
ГС—1
при
АсКифО, i = T7n.
Алгоритмы на основе формулы трапеций. В п. 2.1 указывалось, что
задача решения уравнения Вольтерры I рода при выполнении условий B.17) —
B.21) методом квадратур при использовании формулы трапеций является
корректной, если рассматривать ее в расслоении (С, V,С41)), т. е. у (s)? С[а, Ь),
f (х)?С{1) [a, b], и при этом шаг дискретизации h связать определенным обра-
образом с погрешностями исходных данных б и g (правой части и ядра), т. е.
определить шаг как зависимость, имеющую вид
h = h(8,l). B.62)
Однако если / (х) задана таблично на некоторой (вообще говоря, неравно-
неравномерной) сетке узлов, то для решения задачи с шагом B.62) потребуется
выполнить нетривиальную процедуру интерполяции f (х) или представления ее
какой-нибудь аналитической формулой. Вместо этого можно искать решение
непосредственно на сетке узлов функции f(x), принимая во внимание, что
ошибка решения будет неминимальна, но все же достаточно мала, если б и g
невелики. Для этого случая алгоритм имеет следующий вид.
Пусть хг = а < х2 < х3 < ... < хп = Ъ — сетка узлов (вообще говоря,
неравномерная), на которой заданы дискретные («экспериментальные») значе-
значения f; = f(xi)t i= 1, я, функции f{x). Применяя формулу трапеций (с непо-
непостоянным шагом) для замены интеграла в B.1) конечной суммой и обозна-
обозначая через у] = у (s;), / = 1, п, искомые значения у (s) (или каркас приближен-
приближенного решения уравнения B.1)) в узлах sx = хх = a, s2 = х2, ... , sn = хп = Ь,
получим следующую СЛАУ с треугольной матрицей относительно у/, / = 1, п:
2 \^21У1 *Т" А22У2) — /2»
?1(х у ^ f H2.63)
I,
2 *х*ч71 I ^j 2
/=2 J
где Ы = xi — Xi~u Кц = К (Xi, s;).
СЛАУ B.63) является недоопределенной: число неизвестных уг, у2У ..., уп
на единицу больше числа уравнений, равного п— 1. Можно применить следую-
следующий способ определения уг. Представим f (х) вблизи х = а интерполяционным
многочленом Лагранжа 2-й степени:
_ (Х ХЫ (Х " ^з) ? I (X ^l) \Х Х3) f | \Х ^l) \Х Х2) с /q г* л к
Дифференцируя B.64) по х и полагая х~х1 = а, получим:
Р (а) = xg xi ~\~ хз xi f 1 -^з xi f
1 yU> (х2-х1)(х3-х1)^^-(х2-х1)(х3-х2)^
-*-%-?-*)'•¦ B-65>
Дифференцируя B.1) по л; и полагая х = а, получим:
Г(а). B.66)
121
В результате, используя свойство треугольноети матрицы СЛАУ B.63)
соотношения B.61) и B.66) и свойство
min \К(х,х)\фО,
получим следующее численное решение уравнения B.1) методом квадратур
с использованием формулы трапеций на неравномерной сетке узлов:
?/! = — .
~2К*2 >B.67)
_
, / = 3, л,
где /' (а) выражается формулой B.65). При этом
B.67')
Формулы, дающие приближенное представление погрешностей решения
уравнения B,1) методом квадратур по формулам B.67), выведем аналогично
тому, как это было сделано в п. 1.3 применительно к уравнению Вольтерры
II рода, а именно вычтем B.58) из более точной системы
2
где Ri — квадратурные остатки. Получим:
/—¦'
где Afff — погрешность решения (разность между точным и приближенным
решениями). В результате
А у г« Л У 2 '•
i— 1
B.68)
причем Ri вычисляются по формуле A.96).
Отметим, что при выводе B.68) учтена лишь погрешность квадратуры,
а погрешность правой части б/ положена равной нулю. Если же б/ Ф 0, то
формулы, близкие к формулам [371 258], принимают вид
1 *1*з| ,
"г —ТГп— -г
/—i
U2
При постоянном шаге Ы = А =
: const имеем
i—1
2//?__ Y< v
x{ = a + (i — l)h,
__ Г 0,5 при /= 1,
"' ~~ 1 1 при /> 1,
где
= 2, п,
Q2-
Ы — • *; z J *
Рис. 4. Тестовый пример для программ voltf I
Программы ш///1иУО1ЛТ1. и VOLTF1.
В гл. 5 приведена программа voltf 1
на языке АЛГОЛ, а в гл. 6 и 8 — аналогичная программа VOLTF 1 на языке
ФОРТРАН и ПЛ-1 для решения уравнения Вольтерры I рода методом квадратур
с использованием формулы трапеций на неравномерной сетке узлов в соот-
соответствии с выражениями B.65), B.67), B.68).
Пример 2.3 (тестовый пример для программ voltf I и VOLTF 1). Заданы
следующие данные для решаемого уравнения Вольтерры I рода:
а = 0, Ь = 3,5, h = const = 0,05, /2 = 71
(/Си/ заданы без погрешностей, точное решение y(s) =)
Тексты обращений к программам voltf 1 и VOLTF 1 для решения дан-
данного примера приведены в гл. 7 (TEST 2 и TEST 2. На рис. 4 приведены
точные / (х) и у (s)? а в табл. 27 — результаты решения данного примера по
программам voltf 1 и VOLTF 1 (для выборочных значений х).
Из табл. 27 видно, что при х < 2,5 численные решения совпадают
с точным в первых трех значащих цифрах — достаточно удовлетворительный
результат, учитывая, что кфНК0. При этом решения, полученные на БЭСМ-6
на АЛГОЛе и ФОРТРАНе, не имеют различий по крайней мере в первых
семи цифрах и отличаются от решения, полученного на ЕС ЭВМ, в четвер-
четвертой— седьмой цифре. При больших значениях x(x>2,5) решения на
БЭСМ-6 на АЛГОЛе и ФОРТРАНе отличаются от точного в третьей-четвер-
третьей-четвертой цифре (а между собой в шестой-седьмой цифре; поэтому в последних
трех строках предпоследнего столбца таблицы 27 приведены лишь неотли-
чающиеся на АЛГОЛе и ФОРТРАНе цифры). Решение на ЕС ЭВМ при
Таблица 27
i
1
2
5
9
13
17
21
25
29
33
0
0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Решение у^
точное
0
0.04993754
0.1960397
0.3692465
0.5011621
0.5809192
0.6065306
0.5841027
0.5254355
0.4448597
на БЭСМ-6
(АЛГОЛ и
ФОРТРАН)
0
0.05
0.1962780
0.3696546
0.5016270
0.5813220
0.6067832
0.5841699
0.5253364
0.4446513
' на ЕС ЭВМ
(ФОРТРАН)
0
0.05
0.1962776
0.3696544
0.5016268
0.5813099
0.6067354
0.5841298
0.5253682
0.4446304
37
41
45
49
53
57
61
65
69
71
xi
1.8
2.0'
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.5
Решение у^
точное
0.3562176
0.2706706
0.1956276
0.1347234
0.08852338
0.05555506
0.03332699
0.01912327
0.01050163
0.007656219
на БЭСМ-6
(АЛГОЛ и
ФОРТРАН)
0.3559702
0.2704451
0.1954621
0.1346302
0.08849465
0.05557201
0.03336867
0.0191724
0.0105471
0.0076975
на ЕС ЭВМ
(ФОРТРАН)
0.3559015
0.2702629
0.1951700
0.1341061
0.08749628
0.05385177
0.03109808
0.01586539
0.004021283
—0.001366778
123
х ;> 2,5 отличается от точного значительней, а именно в первой-второй цифре
и даже в знаке числа (при х = 3,5). Таким образом, меньшая разрядная
сетка ЕС ЭВМ (по сравнению с БЭСМ-6) приводит к большим погрешностям
решения неустойчивых задач (если не используются более эффективные методы
регуляризации — см. п. 2.4). Округление в седьмой цифре на ЕС ЭВМ
может в конечном итоге привести к ошибке решения в первой цифре и даже
в знаке, в то время как округление в двенадцатой цифре на БЭСМ-6 ведет
к ошибке лишь в третьей цифре (см. результаты табл. 27 при xt = 3,5).
О других алгоритмах. В зависимости от конкретных условий задачи
могут быть применены и другие разновидности метода квадратур. Несмотря
на то что применение формулы трапеций позволяет достигать компромисса
между точностью результатов и численной устойчивостью, в этом случае
приходится решать достаточно трудоемкую задачу определения начального
значения искомой функции. Более предпочтительным в этом плане является
алгоритм, основанный на использовании формулы средних прямоугольников.
Ему соответствует расчетное выражение
h 2* К (xt, x.+ _l)у (х JJ = / (*,), / = 1, 2, 3 B.69)
/=0 '^2 '^2
позволяющее достаточно просто строить вычислительный процесс для опре-
определения значений искомой функции в узлах
± = (i + \\K Л = const.
х{+±
Эффективным приемом преодоления затруднений при нахождении началь-
начального значения искомой функции является преобразование решаемого уравне-
уравнения первого рода к уравнению второго рода одним из методов, описанных
в п. 2.2. Если такое преобразование возможно, то, естественно, оно означает
переход к решению корректной задачи. Следует помнить, что выполняемое
при этом дифференцирование ядра и правой части должно быть выполнено
без значительных погрешностей, что возможно, например, при задании их
в аналитическом виде.
Общее свойство алгоритмов метода квадратур при решении уравнений
Вольтерры I рода с произвольным ядром состоит в пропорциональной зави-
зависимости количества вычислений на шаге от номера шага (все операции
предыдущего шага повторяются с новыми данными на следующем шаге
и добавляется еще один член суммы).
Если же ядро в уравнении B.69) разделяющееся, т. е. имеет вид
К (*, s) = f а) (х) Р/ (s), 1= 17^7 B.70)
или возможна приближенная замена произвольного ядра разделяющимся,
то можно построить алгоритм, для которого количество операций не зависит
от номера узла дискретизации. С учетом B.70) уравнение B.1) принимает
вид
B.71)
га-'*-"-
Применяя к B.71) квадратурные формулы, получаем рекуррентные выраже-
выражения для решения уравнения
? а( @) р, @)
B.72)
у ьд =
Pi
124
При машинной реализации такого алгоритма не требуется большого объема
памяти, сокращаются затраты машинного времени и уменьшаются ошибки
округлений.
Пример 2А. Проиллюстрируем особенности рассмотренных только что
алгоритмов при численном решении уравнения
J sin (х — s) у (s) ds = exp ^j — 1,
B.73)
уже встречающегося в примере 2.1.
Используя свойство разделяемости ядра и применяя формулу средних
прямоугольников, получим рекуррентное соотношение
(±) * 1
У \2/ ~~* hsin @,5/0
г .„
I х> I —
I y(x i) —
f-,2
— cos xt V sin x i_ у (х 1)) , I = 2
/=0 7i" 2 /+ 2 /J
= 2,3,...
B.74)
Ввиду того что применение формулы трапеций к исходному уравнению
затруднено (при определении у @) = 0 приходится иметь дело с делением
числа на sin 0 = 0), воспользуемся эквивалентным уравнением первого рода
\ cos (х — s) у (s) ds — x exp (yj,
полученным дифференцированием B.73). Тогда алгоритм, использующий
формулу трапеций, принимает вид
А?
^ (COS Xi 2j A i COS Xf у (Xf) +
2 AfsinXjtj(Xj))]9 i= 1, 2, ... 9
B.75)
где W (x) = a: exp ^j.
Применение формулы трапеций к эквивалентному уравнению второго
рода
— ] sin (x — s)y (s) ds =
exp [^
полученному также способом дифференцирования, приводит к следующему
расчетному выражению:
B.76)
г +A(sin^2j cos х/у(х/)
+ cos ^ 2 Aj sin #/ i/ (x/)),
где ф (л:) = A + л:2) ^^2/2.
Решение выполнялось (на ЭВМ М-4030) на промежутке [0; 3, 2] при
постоянном шаге h = 0,02.
125
Таблица 28
xi
0.02
0.32
0.64
0.96
1.28
1.60
* 1
2
0.01
0.31
0.63
0.95
1.27
1.59
у (x i )
*~ 2
1.0013752
1.1802111
1.9377804
3.5644197
7.0716181
14.949104
ju i)
'-т
1.0001984
1.199275
1.9230442
3.5577126
7.0925541
15.027634
1 y(x j )-
-»_¦.«
0.0011768
0.0190639
0.0147362
0.0067071
0.0209360
0.078530
xt
1.92
2.24
2.56
2.88
3.20
2
1.91
2.23
2.55
2.87
3.10
y(x i )
33.903720
82.761292
217.89929
629.89355
1978.7942
2
33.998520
82.796341
218.52908
628.09595
1972.0132
\y(x i )-
-У (x i ,|
2
0.094818
0.035049
0.62979
1.79760
6.78100
Таблица 29
Xi
0.00
0.32
0.64
0.96
1.28
1.60
1.92
2.24
2.56
2.88
3.20
у (xi)
1.0000000
1.2128448
1.9572487
3.6317263
7.2542467
15.400055
34.917145
85.239639
225.56384
650.08203
2046.7598
4?i<*/)
0.9995988
1.2123718
1.9568176
3.6309204
7.2518311
15.394043
34.904785
85.212891
225.45605
649.78125
2045.6172
\y (X{ ) —yt(Xi ) |
0.0004012
0.0004730
0.0004311
0.0008058
0.0024156
0.0060120
0.0123590
0.0267480
0.1077900
0.3007800
1.1426000
У2 (Xi )
1.0000000
1.2128353
1.9572077
3.6316147
7.2539921
15.399511
34.915878
85.236572
225.55595
650.05933
2046.6890
II/(*t) —Ъг (XI) |
0.0000000
0.0000095
0.0000410
0.0001116
0.0002546
0.0005440
0.0001670
0.0030670
0.0078900
0.0227000
0.0708000
Результаты, полученные по алгоритму B.74), приведены в табл. 28,
а результаты, полученные по формулам B.75), B.76), — в табл. 29 (там же
приведены значения точного решения у(х)). Алгоритм B.75) позволил полу-
получить более точные результаты, чем алгоритм B.74). Однако еще более точные
результаты получены посредством формул B.76), что подтверждает более
устойчивый характер алгоритмов решения уравнений второго рода.
Рассмотренный пример, таким образом, еще раз указывает на полезность
предварительных преобразований решаемых уравнений и использования свой-
свойства разделяемости ядер,
2.4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Задача решения уравнения Вольтерры I рода в некоторых пространствах,
например в тройке [19] (С, V, С), некорректна (см. п. 2.1). Даже в тех
пространствах, где она корректна, например в тройке (С, У, СA)), имеет
место определенная неустойчивость решения. В результате для повышения
устойчивости, а значит, и точности решения целесообразно применять при
решении уравнения Вольтерры I рода специальные, устойчивые методы. К их
числу относятся прежде всего регулярные методы, большинство из которых
(методы регуляризации, квазирешений, на компакте и др.) изложено в гл. 4.
Несмотря на то что указанные метод|ы предназначены, главным обра-
образом, для решения уравнений Фредгольма I рода, они в принципе подходят
и для решения уравнения Вольтерры I рада. В данном разделе изложен
ряд методов регуляризации, отражающих специфику уравнения B.1)—воль-
террозость (переменность верхнего предела интегрирования).
Метод регуляризации Тихонова. Рассмотрим уравнение Вольтерры I рода
Ау = j К (х, s) у (s) ds =?/ (х), а < х < Ь,
B.77)
где К(х,
126
Для обеспечения устойчивости решения уравнения B.77) вводится уело
вие минимума сглаживающего функционала [659]
ь
\[Ay — f {x)]*dx + aQ [у] = min, B.78)
а У
где так называемый стабилизирующий функционал обычно записывается
в виде [659]
ь
G1У] = $ {у* (s) + Я W (s)]2} ds, B.79)
а
причем а > 0 — параметр регуляризации, способы определения которого (спо-
(способы невязки, квазиоптимальный, отношения и др.) изложены в п. 4.3,
а ?>0 определяет порядок регуляризации (нулевой при ? = 0 и первый при
<7>0). Раскрытие условия B.78) с использованием выражения B.79) и уче-
учетом вольтерровости уравнения B.77) приводит к следующему уравнению
второго рода:
ь
а [У @ — ЯУ" @1 + $ В (t, s) у (s) ds = F (t), a < t < b, B.80)
а
где
R V> s> при а < s < t, (C) RU
д (s> f) при ^ < s < ь> B.81)
ь
R(t, s) = $K (x, t) К (х, s) dx, B.82)
, t)f(x)dx. B.83)
Выражения B.81) и B.82) можно записать иначе:
B(t,s)= f /С (ж, *) К (х, s) Же. B.84)
max {?, sj
Вместо соотношений B.80) — B.83) можно воспользоваться соотношениями
D.68) — D.70) из гл. 4, справедливыми для уравнения Фредгольма I рода,
положив в последних с = a, d = Ъ и
К (г о \К (*' S) ПрИ *> S) Г2 8W
А (^, s) == { о при х < s. (г'ЬЬ)
Во всех случаях вместо первоначального уравнения Вольтерры I рода
B.77) получается уравнение второго рода (вообще говоря, интегродиффе-
ренциальное) типа Фредгольма. Таким образом, метод регуляризации Тихо-
Тихонова приводит к утрате вольтерровости, вследствие чего при решении уравнения
B.80), например, методом конечных сумм и разностей получится СЛАУ
с заполненной (положительно определенной), а не треугольной матрицей,
в связи с чем потребуется значительно больше затрат машинной памяти при
решении на ЭВМ. Тем не менее если машинная память позволяет, то для
решения уравнения B.77) целесообразно использование метода регуляризации
Тихонова (посредством программ tikh I, tlkh'2, tikh 3, tikh 4, tikh 5, TIKH 1,
ТЩН2, TIKH3, TIKH 4, TIKH5—см. гл. 5, 6 и 8)-одного из наиболее
эффективных методов регуляризации.
Метод регуляризации Тихонова применительно к уравнению типа
свертки. Рассмотрим уравнение Вольтерры I рода типа свертки вида
s = f(x), — oo<*<co. B.86)
127
Для такого уравнения в полной мере справедливы рассуждения о коррект-
корректности (и некорректности), изложенные выше применительно к уравнению
Вольтерры I рода общего вида B.1). Поэтому и для уравнения B.86) эффек-
эффективным является применение метода регуляризации Тихонова. Читателя мы
отсылаем к п. 4.4, где изложен данный метод применительно к уравнению
Фредгольма I рода. Почти все формулы, приведенные там, справедливы
и применительно к уравнению B.86), за исключением формул D.162), D.170)
и D.171) для преобразования Фурье от ядра, в которых нижний предел
нужно заменить на 0.
Для решения уравнения B.86) методом регуляризации Тихонова могут
быть использованы программы conv I, conv 2, conv3, conv 4, conv 5, CONV 1,
CONV2, CONV3, CONV 4, CONV 5 (см. гл. 5, 6 и 8).
Вопрос о применении метода регуляризации Тихонова к уравнению вида
B.86) рассмотрен в большом числе публикаций [579 — 585].
Для уравнения Вольтерры I рода типа свертки вида
K{x—s)y (s) ds = /(х), х > 0, B.87)
л
J
О
сначала используется так называемый прием доопределения [168 164], а имен-
именно вводятся функции
М*)=| О, х<0, ^(s)=i о, s<0,
в результате чего
К(х —s)y+ (s) ds = /+(*)> — °° < х < °°-
Лишь после этого может быть применен метод регуляризации Тихонова.
Метод регуляризации Денисова [19, 234]. Рассмотрим уравнение
X
J К (х, s) у (s) ds = / (х), х е [а, Ь]. B.88)
а
Пусть К{х, х) = 1 и функции Кх1)(х, s), i = 0, 1, 2, непрерывны, а точное
решение y(s)?C(V[a, b], причем известно значение у (а) = у0 Ф 0. Пусть,
далее, вместо точной / (х) известна функция } (х) такая, что
В этом случае вместо B.88) предлагается решать а-регуляризованное урав-
уравнение
X
Щ* (х) + J К (х, s) ya (s) ds = / (х) + аув. B.89)
а
Такой подход близок к методу регуляризации Лаврентьева (см. п. 4.7).
Отметим также, что в работе [758] рассматривалась асимптотика при а-*О
решения уравнения B.89) с точной }(х) (без слагаемого ау0).
В работе [234] показано, что
II уа (х) — у (х) \\с < k (б/а + а), B.90)
где fe = const. При S-vO, выбирая а(8)~>0 так, что 8/а(8)->0, например
а (б) = О (б?), 0 < р < 1, получим: || уа (х) — у (х) \\с -* 0, т. е. алгоритм,
определяемый уравнением B.89), является регуляризирующим.
Введем также значение а (назовем его квазиоптимальным* и обозначим
через ако), минимизирующее правую часть B.90). Получим:
оско== 0F^/2), B.91)
II Уако (х) - у (х) || с¦ = О FV2). B.92)
* Следует отличать его от квазиоптимальиого а, введенного в гл. 4,
128
Характерными особенностями данного метода являются простота урав-
уравнения B.89), а также то, что в данном уравнении сохранено свойство воль-
терровости. Однако метод требует знания значения у (а) = у0, а оно в реаль-
реальных задачах, как правило, неизвестно.
Метод (А, ос)-регуляризации Апарцина |19]. Дальнейшим развитием
метода а-регуляризации Денисова, объединяющим последний с методом
й-регуляризации Апарцина — Бакушинского (см. п. 2.1), является метод
(ft, а)-регуляризации Апарцина. В этом методе изначально полагается, что
мы имеем дело с сеточным аналогом уравнения B.88), полученным в резуль-
результате замены интеграла в B.88) конечной суммой (/ьрегуляризация), к уже
к нему применяется а-регуляризация Денисова (см. B.89)). При этом, как
установлено, за счет определенной согласованности значений параметров ft,
а и ё удается построить РА без использования слагаемого ау0.
Итак, рассмотрим СЛАУ с треугольной матрицей коэффициентов
i—1
+ h S Ki, /4-1/2^/4-1/2 == Iu i = 2, n, B.93)
где yc^.i/2 = у (s/_i/2), Ki, /+i/2 = К (xi, s/+i/2), Ъ = 1 (Xi)9 xt = a + (i — 1) ft,
S/+1/2 = й + (/ — 1/2) /г, (п — I) h = b — а, полученную в результате замены
интеграла в B.88) конечной суммой по формуле средних прямоугольников
с шагом h = const.
Пусть К(х, s)?C(?\ / (х) ? С<3> [a, 6], /(a)=0 и min\K(x, x)\^0.
Тогда для регуляризованного каркаса {y/__i/2}, i = 2, п, удовлетворяющего
B.93), имеет место следующая оценка ошибки решения:
тах|е.
= max|y?_2 —у{_\_\= '
a + hk
B.94)
где min | Ki, /+1/21 ^ & > 0, Сх = const, С2 == const, С3 = const, Lx = max\y'(s)\,
L = max|z/(s)|, ||/(x) — f(x)\\c < 6.
Проанализируем оценку B»94). Первое слагаемое в правой части B.94)
С2 или —J-T7 Со B.95)
——г-, С2 или —J-T7 Со
характеризует влияние на точность регуляризованного каркаса погрешности
правой части. Второе слагаемое
—т-гг С9 или —7-тт Со
а + hk 2 a -j- hk 3
связано с аппроксимацией интеграла квадратурой, а третье
ahLj p aL
+ 1 1 О л ИЛИ | < < (^
/г^ 2 а + hk из
отражает вклад в суммарную погрешность искажения исходного уравнения
B.93) за счет дополнительного а-слагаемого.
Видим, что оценка B.94) объединяет оценки /г-регуляризации, например
B.25), и а-регуляризации Денисова B.90).
Назовем квазиоптимально согласованными (КОС) значения а и ft, мини-
минимизирующие празую часть B.94). Этому соответствуют
/О (б2/3) при у0 = 0, /о псч
= {д(8) ФО B96)
B.97)
max | в,_1/21 = max | у^ц2 — yt-w I < О (б*/3). B.98)
2<i<n 2i
9 5*1018 129
Поскольку на практике неизвестно, какой случай—у0 = 0 или у0ф0
имеет место, то можно для асимптотики аКОс(б) выбрать любую из зависи-
зависимостей B.96) с сохранением зависимости B.97) (правда, тогда может не
иметь место минимум правой части B.94)). Если положить акос = О (б2/3), то
Если положить акос = 0(8), то
]щ
а
Во всех случаях (см. B.98), B.99), B.100)) max |ef-_i/2|->0 при S-»-0,
2<i<n
независимо от того, у0 = 0 или у0ф0, т. е. алгоритм, даваемый путем ре-
решения СЛАУ B.93) вместо B.77) с использованием асимптотики B.96)
и B.97), является регуляризирующим. Кроме того, в отличие от метода
Денисова данный алгоритм слагаемое ау0 непосредственно не использует,
а равенство нулю или отличие от нуля значения у0 приводит к тому, что
изменяется вид квазиоптимальной асимптотической зависимости акос от б
(см. B.96)). Наконец, отметим, что поскольку
(О (ft2) при г/0 = 0,
\О (ft3) при у0 Ф 0,
т. е. при6->0 а убывает быстрее, чем ft, и основную «нагрузку» по стаби-
стабилизации решения несет ft, то параметры регуляризации ft и а не являются
равноправными. Шаг сетки ft нужно считать основным параметром, а а —
вспомогательным. Это подтверждается и тем, что наличие а или его отсут-
отсутствие не изменяет асимптотики ft (б) (ср. B.97) и B.30;), в то время как при
ft=0 а=О(б^2) (см. B.91)), иа-регуляризованное уравнение требует наличия сла-
слагаемого ау0 (см. B.89)), а при ft =^=0 а == О (б2/3) или а = 0F) (см. B.96)),
а асимптотика ft (б) такова (см. B.97)), что она вместе с асимптотикой а (б)
обеспечивает регуляризацию метода без введения слагаемого ау0 в исходное
уравнение (см. B.93)). Тем не менее использование параметра а наряду с ft
делает метод более эффективным, так как при малом ft (тем более при А~>
-^0) заметно снижает ошибку решения см. B.94)).
Метод регуляризации Сергеева [396 159—163, 594].
Рассмотрим уравнение Вольтерры I рода
у
К (х, s) у (s) ds =
B.101)
Пусть
/С(*, s)eC<">([0, ftl; [0, ft]),
д*К (*, s)
дх1 s=x
дп-Ч< (х, s)
= 0,
1,
> 1,
л —2,
= 1.
B.102)
Если же *"-**<*.«> I
Ф 0, то, поделив обе
Ф 1 и min
части B.101) на дп~гК (х, s)/dxn 1|s==^, получим уравнение со свойством
B.102).
Пусть функция дпК (х, s)/dxn непрерывна по х и s. Пусть
5«/С (*, s) _ „
Тогда после п дифференцирований B.101) получим уравнение второго рода:
х
у w+J ^У^ у ф ds=/(n) W'х е i°> fei- BЛ03)
130
Если /WeCiO, b] = {v(x):v?Cwl0, b]9 v(i) (O) = 0, I = 0, 1, ...,
n— 1), то уравнение B.103) имеет единственное решение y(x)?C[0, b] (при
точных исходных данных). Априори предполагается, что у (х) ? С(т) [0, Ь),
т>0.
Однако если fix) известна с погрешностью, то отыскание производной
ЛЛ> (х) является некорректной задачей и требует использования какого-либо
метода регуляризации. В работах [396, 594] предлагается метод регуляриза-
регуляризации, приводящий также к уравнению второго рода, однако не требующий
вычисления производных от / (х) и, кроме того, не теряющий свойства воль-
терровости.
Полагаем, что известны значения
у№ (х) U=o = Ун, k = 0t 1, ... , т — 1.
Введем функцию
Для нее справедливо
Я7</)/о) -d'Wa{х) = (° при °<'< т + Пу 1фт~1>
а dxf х=о """ \l при / = т — 1.
Пусть вместо f (х) известна J (х) такая, что \\f(x) — f (х)\\с < 8* Тогда
вместо уравнения B.101) или формально эквивалентного уравнения B.103)
предлагается решать следующее уравнение Вольтерры II рода:
А
Уа (х) — $Ь (х, s) уа (s) ds = U (х), х ? [0, Ь], B.105)
о
где
ot
s
X
(x) = /о (х) - j W%+m) (x ~ t) f{t) dtt
0
m—I
Имеет место оценка
II Уа - У lie < [атФт + 2п+т 1) А*\ B.106)
где Фт = max | у^ {х) |, А = С%+п+1, В - 2тКпА.
Минимум правой части B.106) достигается при
1
При таком значении а (б)
II Уа - У ||с « 2»Ае** (l + ?) Ф^ (i)^ 6^. B.108)
Видим, что || у а — у \\с ->- 0 при б -> 0, причем
B.109)
т. е. алгоритм, даваемый уравнением B.105), является регуляризирующим.
131
В простейшем случае п = т = 1 нужно решать уравнение
где
Sfa (x) + \P (x, s) ya (s) ds = Q (jc), xe [0, 6],
0
*
B.110)
При этом
Минимум правой части B.111) достигается при
а (б) = 2ФГ1/2б1/2.
При таком а (б)
B.111)
B.112)
B.113)
Здесь y0 = у @), Фх = max | у' (х) |, Кг = max
О, Ь]
дК (х, s)
дх
Метод регуляризации Магницкого [438, 881] близок к методу Сергеева,
но имеет более широкую область применения.
Рассмотрим уравнение
B.114)
Пусть
/С(х, s)
а^-1^ (ж, s)
;0, 1]; [0, 1]), л> 1, /л > 1,
= 0, f = 0, 1, ... , п —2,
= 1
Kn+i(x, s) = —g !^'s , {
dxJ
т, непрерывны по х и 5,
— , / = 0, 1, ... , т — 1 — г, i = О, 1, ... ,
m — 1, непрерывны по x,
\Kn+i (X, t) I < Kn+t, I Kn-hi, j (X) I < Kn+i, h
B.115)
j
Пусть, далее, f{x)?Cf [0, l] = {t;(x): и (x) g C(rt) [0, 1]; t/° @) = 0; t =
= 0, 1, ..., n—1]. Тогда, продифференцировав B.114) n раз, получим
уравнение
, 1],
B.116)
аналогичное B.103) и имеющее единственное решение у(х)?С[0, 1]. Как
и в методе Сергеева, полагается, что у (х) ? От) [0, 1] и что известны зна-
значения yk = y{k) @), k = 0, 1, ... , m — 1.
«32
Тогда вместо B.114) или B.116) предлагается решать уравнение Воль-
терры II рода
X
У" <*> + Jan/L(*'SV (s) ds = Уо + и0 (х) -
О
х
m—1
где щ (х) = J] (т^ со^-^-1) (¦?-) «о @), причем и0 (х) = 0 при т = 1,
х
и (х) = \ " .д s^ у (s) ds, а класс функций со (?) определяется следующими
о
условиями:
О
©o«-i> @) =#= 0, юО@) = 0, t = 0, 1, . .. , т —2, т, ... , п + т—1,
и существует р >п + т такое, что со^> @) =? 0.
Простейшим примером такой функции является
при этом со^-1) @) = (т — 1)!
Имеет место оценка
I Уа — У \\С
а-С0 (Л +Фт)+- Сп+т -j^- , B.118)
причем
Минимум правой части B.118) достигается при
С
j (Л + Фш) "т
При таком а (б)
n4-m
При б->0 || уа —у ||с-^0, т. е. алгоритм, даваемый уравнением B.117), яв-
является регуляризирующим.
При т = /г = 1 и Кг(х, s) = -^К(х, s) и /Сц(д:, s) = —^^~;, непре-
непрерывных ПО X И S,
а/с (х, s)
ds
д2К (х, s)
dxds
1\ц
предложено специальное уравнение (не являющееся прямым следствием B. И7)):
Ща (х) + I G (х, s) уа (s) ds = F (х), х б [0, 1],
где
X X
G <*. s) = doj I k} (^) ^ «. 0 + J «A) (^T) *a (t, 0
0
133
Имеет место оценка (при оптимальном а E)):
Если же при т = п = 1 заданы условия вида B.115), то нужно решать
уравнение, являющееся следствием уравнения B.3 17),
Получены оценки:
г I1/2
Резюмируя изложение методов регуляризации, можно высказать следующую
рекомендацию. Методику Апарцина — Бакушинского — Денисова целесооб-
целесообразно применять при т = п= I. Эта методика, в особенности метод квад-
квадратур с регуляризацией (метод (Л, а)-регуляризации Апарцина), дает эф-
эффективные уравнения. При больших тип целесообразнее методика Сергеева—
Магницкого, не требующая использования /(п) (х).
Отметим также, что в работах [383, 595] предложен регуляризирующий
алгоритм дифференцирования недифференцируемых функций, который может
быть использован при переходе от уравнения Вольтерры I рода к уравнению
Вольтерры II рода путем дифференцирования и в котором роль параметра
регуляризации играет шаг конечношагового дифференцирования А.
Для решения уравнения Вольтерры I рода типа свертки вида B.3) или
B.87) может быть использован метод статистической регуляризации Воско-
бойникова—Томсонса, изложенный в работах [153—159].
В. А. Желудевым [261—263] разработан метод а-регуляризации решения
уравнения D.158), использующий аппарат теории обобщенных функций
и сплайн-функций. См. также работы [90, 93, 94, 300, 828]»
2.5. МЕТОД КОЛЛСЖАЦИИ
Особенности задачи решения уравнений Вольтерры I рода приводят, как уже
указывалось в п.2.1, к существенным ограничениям возможностей непосред-
непосредственного применения метода квадратур. Оказывается, что практически трудно
воспользоваться квадратурными формулами более точными, чем формула
трапеций. В связи с этим в случае необходимости возможен выбор
какого-либо другого метода. Перспективными в этом отношении являются
алгоритмы, основанные на идее метода коллокации [103, 340, 893], полу-
получившего в последнее время существенное развитие применительно к уравне-
уравнениям типа Вольтерры. Хорошо известно применение метода коллокации для
решения интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования
(см. п.3.5). В этом случае эффективность метода может оказаться невысо-
невысокой из-за того, что промежуток интегрирования фиксирован, и если он ока-
оказывается большим, то повышение точности результатов достигается только
за счет увеличения количества координатных функций, совокупность которых
аппроксимирует искомое решение.
Для уравнений типа Вольтерры имеется возможность получать решение
по участкам, выбирая их длину и применяя на каждом из них аппроксими-
аппроксимирующее выражение с небольшим числом координатных функций.
Общая схема. Применительно к решению уравнений типа Вольтерры
общего вида
X
J К[х, s, у (s))ds = /(х), х?[а, Ь], B.119)
а
134
метод коллокации состоит в следующем. Промежуток [а, 6] разбивается на
N участков, на каждом из которых искомое решение представляется в виде
функции определенного вида
у(х)=Ф(х, С19 С2, ..., CJ, B.120)
зависящей от свободных параметров Q, t = 1, /п.
Решаемое уравнение на каждом (k + 1)-м участке xk < х < xk+1, k =
= о, Л/'— 1, записывается в виде
X
$ /С[*. s, И*I^ = /(*)-гМ*). *?[*„ xk+1], B.121)
где
1 К[х, s, ?(s)]ds, s?[a, х/г], х?[хА„ x,+1], B.122)
который всегда может быть вычислен по известному на промежутке а <
< х < xk приближенному решению у(х)у полученному предварительно для
k — l участков. Начальное значение у (а) искомого решения находится ка-
каким-либо вспомогательным способом или считается заданным.
Для решения уравнения B.121) используется представление B.120),
а свободные параметры С,, ?=1,т, определяются из условия обращения
в нуль невязок
xk. f
е (С, **,/)= j K[xk.h s, ФE, Съ С2, ..., Cm)]ds-f(xkt})-Wk, B.123)
xk
где Xk, f, /= li 2, ..., m,— узлы, соответствующие разбиению отрезка
Iхk> xk+il на т частей (подотрезков). Выражение B.123) представляет собой
систему т уравнений относительное!, С2, ... , Ст.
Для удобства вычислений искомое решение на участке целесообразно
представлять в виде какого-либо полинома
у(х) = ?см(х), B.124)
где фг(#)—линейно независимые координатные функции.
Применение кусочно-гладких полиномов. Рассмотрим вариант метода
коллокации, основанный на применении кусочно-гладких полиномов, приме-
применительно к решению уравнения первого рода вида B.119) (ср. [783]).
В промежутке интегрирования [а, Ь] выделены узлы хи, / = (km -f /) h -f
+ a, / = 0, /72, k = 0, N — 1, где индекс k соответствует (k + 1)-му участку
(отрезку Xk < х < ^+0» а индекс / — подотрезку xkt / < х < Xk, /~н внутри
участка; пг > 1 — количество подотрезков; при этом хи, т = ^/e+i, е,# Хог и = а.
Решение будем искать в виде кусочно-гладкого полинома у (х) = Р (х),
составленного по участкам из полиномов вида
т
Pk+\(x) =Pk(xk,o) + У.~г(^ — xk.o)l, k=0, I, ... , Л/ — 1. B.125)
/=i
Полагая Р (х) ? С [a, bj, получим:
?^ (д:а, о) = ЯЛ«1 (xk-i, т).
Будем считать известным значение Ро(хОу 0) = у0 (у0 = у (а)). Тогда на
первом участке приближенное решение уравнения B.119) имеет вид
т
Ро (х) - Ро (х0, o) + }2%i(x~*o, оO- B.126)
135
Подставив B.126) в решаемое уравнение B.119), для фиксированных значений
х0>у, I — \, т, получим систему
V
J К [хо, f,s,P0 (s)] ds = / (*о. /), i = l, m, B.!27)
которая после вычисления интегралов представляет собой систему в общем
случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов COt l9 •., , Со, m,
нахождение которых позволяет получить Ро (х).
Приближенное решение на втором участке ищется в виде
Рг(х)= Рг (хи 0) + J] С-у (х - хи 0)/, B.128)
/=|
где значение Рг (xlf 0) известно из вычислений на предыдущем шаге:
т
*1 v^l, о) == *0 (-^0. т) == ^0 (-^0. 0' ~Г ^/j ~Jf~ (-^o. m X0, 0/ *
После подстановки B.128) в решаемое уравнение, представленное в виде
B.123), получаем систему уравнений
J /([Х1Л, 5, /MS)] <&=*/(*!,!)— J /С^!,!, 5, P0(s)]dst
J iCU1>2) s,
)]&,
B.129)
U
=/(^lfm)— J K[XUm, 5,
которая позволяет найти значения Clt 0, .. ., Clt m.
Далее подобным же образом определяются полиномы P2(s), Pd(s), ...,
Piv-i E). Для нахождения коэффициентов Ck,u С*,2, ••• » с^, т, * = 1, N— Г,
в общем случае используются выражения
J K\xk.h s, Pk(s)]ds = f(xk.,) + yPk(Xb./), B.130)
xk, и
где
2»O
/C[jcft#/, s, P0(s)]ds+ J K\xk,h s, PTE)]& +
**.o
+ ... + J /CUft./. 5, P*-i(s)]ds, ^ --= 1, TV — 1; / = 1,"^; B.131)
xk-i. о
Пример 2.5. Задано уравнение
X
\ (x -\- s)y (s) ds = 2x sin a; + cos x— 1, у @) = 1.
Следуя рассмотренному методу, найдем приближенное решение на 1-м
участке, принимая h = я/60, т — 2. Значения узлов, разделяющих участки;
хОч 0 = 0; хи 0 = я/30; x2f 0 == я/15; ...Первый (как и остальные) участок разби-
разбивается на две части, которые ограничены точками коллокации:
*о. о = °» хо* 1 = я/60» хо. 2 = ^i, о =
136
На 1-м участке искомое решение представляем выражением
у (X) S Ро (X) = Ро (Хо, 0) + COf t (X— XOt 0) + 1 Со, 2 (Х- *0. 0J,
где Ро (х0, о) = у @) и подстановка которого в исходное уравнение при х =*
~ xQtl к х ~ % 2 приводит к системе
Я/6')
I ( ^O^
и
Я/30
I
После вычисления интегралов система принимает вид
0,000120С0,, -f 0,000007С0,2 = —0,0000026, |
0,000958С0,, + 0,000035С0,2 = —0,000036, J
а ее решение Со, г =—0,008318; Со 2 = —0,8008757. Тогда Ро (х) = 1 —
— 0,008318х — 0,8008757x2/2. Вычислив значение у (я/30) = Ро (я/30) =
= 0,990339, можно сравнить его с точным у (л/30) = 0,994517 (точное ре-
решение у (х) = cos х).
2.6. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД
Операционный метод, рассмотренный в гл. 1 (п. 1.7) применительно к урав-
уравнениям Вольтерры II рода типа свертки, являясь специализированным, так-
также пригоден пля частного случая уравнений Вольтерры I рода B.3), содер-
содержащих разностные ядра. Принципиальные основы метода и основные этапы
процедуры решения в данном случае остаются прежними. Отличие заклю-
заключается в том, что решение уравнения свертки B.3) операционным методом
соответствует непосредственному обращению содержащегося в нем интеграль-
интегрального оператора.
Если в B.3) принять функции k(x), f (x) и у (х) в качестве оригиналов,
имеющих изображения К (р)-*-1г(х), Ф (/?)->/(*), Y (р)-~*~у (х), то примене-
применение к обеим частям уравнения преобразования Лапласа и использование тео-
теоремы о свертке позволяют получить операторное уравнение
К(р)'Г(р) = Ф(р), B.132)
откуда
У(Р) = щ?гК(р)Ф0. B.133)
Оригинал, соответствующий изображению B.133), будет решением уравне-
уравнения B.3).
Пример 2.6. Интегральному уравнению [362]
cos (х — s) у (s) ds = §\пх
соответствует уравнение для изображений
откуда получается искомое изображение
по которому находится оригинал у (х) = 1.
Операционный метод позволяет в некоторых случаях находить не не-
непрерывные решения.
137
Пример 2.7. Для интегрального уравнения
I х — s) У (s) ds = х2 + х— 1
о
= х2 4- х + 1, /' @) = 1, т. е. условие /' @) = 0 наличия непрерывного
решения Не выполняется. Применяя преобразование Лапласа формально, по-
получаем
р2 Y \Р) — рЗ + р2 р>
или
откуда находим
где Ь(х) — б-функция Дирака. Таким образом, решение данного уравнения
относится к классу обобщенных функций и найдено операционным методом.
В некоторых случаях для применения операционного метода целесообраз-
целесообразно предварительно перейти от интегрального уравнения типа свертки перво-
первого рода к уравнению второго рода, воспользовавшись одним из способов та-
такого перехода (см. п. 2.2).
Пример 2.8. Необходимо решить уравнение
ex—s у (s) ds = sin x.
о
Сведем данное уравнение к уравнению Вольтерры II рода, продифференци-
продифференцировав обе части по х:
X
у (х) = cos х — \ ex~s у (s) ds.
о
Применяя преобразование Лапласа, получаем операторное уравнение
откуда
Решением данного уравнения является функция
у (х) = cos х —х sin х.
Если в процессе решения необходимо аппроксимировать оригиналы или
изображения более удобными выражениями, то в этих случаях можно вос-
воспользоваться способами, изложенными в п. 1.7.
Глава 3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО РОДА С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Задача решения интегральных уравнений второго рода с постоянными пре-
пределами интегрирования, в том числе уравнений типа Фредгольма, принципи-
принципиально более сложная, чем задача решения уравнений Вольтерры. Интеграль-
Интегральный оператор с произвольным ядром и постоянными пределами интегрирова-
интегрирования связывает подынтегральную функцию и результат преобразования на
конечном промежутке независимой переменной (применительно к одномерным
уравнениям). Поэтому неизбежная при численном решении замена в решаемых
уравнениях интегралов конечными суммами приводит к получению аппрок-
аппроксимирующих систем конечных уравнений с матрицами коэффициентов общего
вида, по которым нельзя построить расчетные рекуррентные выражения,
аналогичные соответствующим выражениям для решения уравнений Вольтерры.
Эта особенность рассматриваемого в данной главе класса интегральных
уравнений прямо или косвенно проявляется в любом приближенном или чис-
численном методе их решения [436, 459, 538, 778].
Отличие уравнений с постоянными пределами интегрирования от уравне-
уравнений Вольтерры состоит также в том, что приобретает смысл задача решения
не только неоднородных, но и однородных уравнений.
Некоторые из рассматриваемых ниже методов уже описывались в преды-
предыдущих главах применительно к уравнениям Вольтерры. Однако особенности
решаемых здесь уравнений, а значит, и предназначенных для них методов
весьма существенны. В частности, в методе квадратур приходится, как уже
отмечалось, иметь дело с заполненными матрицами систем конечных уравне-
уравнений, значительно сложнее решаются вопросы сходимости итерационных ме-
методов, не допускается строить по участкам многочлены, аппроксимирующие
искомое решение при реализации проекционных методов [284 — 286, 753].
ЗХ ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, ИХ СВОЙСТВА
И ХАРАКТЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Классическим примером интегральных уравнений с постоянными пределами
интегрирования являются хорошо изученные линейные уравнения типа Фред-
Фредгольма [471, 672]. Однако в современной практике исследований и проект-
проектных разработок все чаще необходимо изучать и решать линейные уравнения
других типов, а также нелинейные интегральные уравнения. Важное досто-
достоинство многих численных методов, алгоритмов и программ состоит в их вы-
высокой универсальности или, иначе говоря, определенной независимости от раз-
различий в теории типов решаемых уравнений. Это свойство выгодно отличает
численные методы от аналитических, так как позволяет рассматривать на единой
основе приближенные и численные методы решения различных типов линейных
и нелинейных уравнений, отмечая в каждом конкретном случае их особенности.
Линейные уравнения. Методы решения линейных уравнений рассмотрены
ниже на примерах некоторых наиболее распространенных типов уравнений и задач.
Неоднородное уравнение Фредгольма II рода. Линейное
интегральное неоднородное уравнение Фредгольма II рода имеет вид
ь
у{х)--к\к (х, s) у (s) ds = f (х), C.1)
а
139
где независимые переменные изменяются в интервале [а, 6], а ядро К(х, s)
определено в квадрате V {а < х < b, a < s < 6) на плоскости (х, s). Кроме
того, полагается, что ядро, являясь фредгольмовским [361], непрерывно в V
или имеет разрывы при условии, что двойной интеграл
К ь
J J | К (х, s) |2 dxds = В2 < оо, C.2)
а а
т. е. ограничен конечным значением В2 = const.
Параметр уравнения X (числовой множитель) имеет существенное значе-
значение при качественных исследованиях и решении интегральных уравнений Фред-
гольма II рода. Пределы интегрирования в C.1) могут быть конечными или
бесконечными. Линейная замена переменной интегрирования
x = a + (b-a)
позволяет перейти к новой переменной х19 изменяющейся в так называемом
стандартном интервале (—1, 1).
Важным для приложений является уравнение типа свертки
оо
у (х) — ] К (х— s) у (s) ds = / (*), — оо < х < оо,
содержащее разностное ядро и требующее применения специальных приемов
при численном решении [305, 362, 470—472) ввиду бесконечных пределов
интегрирования.
Линейное двухмерное уравнение имеет вид
У (*i> х2) — I J К (*i, sl9 х2, 52) у (sl9 s2) dsx ds2 = f (xl9 x2), xt ? [al9 6J,
x2 € [a2> b2] C.3)
и представляет собой естественное обобщение уравнения C.1) на двухмерную
область.
Уравнение третьего рода. Одномерное линейное уравнение Фред-
гольма III рода есть уравнение вида [220, 354, 672, 841]
о
g(x) у (х) + ] К (х, s) у (s) ds = f (х), а < х < Ь. C.4)
а
Его особенностью является наличие известной функции g(x), обращающейся
в нуль при некоторых (не всех) значениях х из области а < х < Ъ*
Если §•(*)== 0, то C.4) есть уравнение Фредгольма I рода, а если g(x)
не обращается в нуль ни при каких значениях х из области а < х < 6, то,
поделив на g(x) обе части C.4), получим уравнение Фредгольма II рода.
Несмотря на недостаточную изученность уравнений Фредгольма III ро-
рода, можно указать на возможность приложения к ним некоторых методов
решения, относящихся к уравнениям второго рода.
Можно предположить, что если функция g(x) обращается в нуль лишь
при небольшом количестве фиксированных значений аргумента, а при осталь-
остальных х заметно отлична от нуля, то целесообразно воспользоваться некото-
некоторыми из методов решения уравнений второго рода, например методом квадра-
квадратурных формул, внеся в них определенные изменения. Если же область, в
которой g (x) равна нулю или близка к нулю, составляет значительную часть
от [а, 6], то в этом случае нужно воспользоваться некоторыми из методов,
изложенных в гл. 4 (методами регуляризации и др.).
Однородноеуравнение Фредгольма. Уравнение C.1) при / (#)=
s 0 переходит в линейное интегральное однородное уравнение Фредгольма
II рода
ь
ji(x,s)y{s)ds = O, C.5)
а
140
всегда имеющее тривиальное (нулевое) решение у(х)~0. Те значения пара-
параметра Я, при которых уравнение C.5) имеет ненулевые решения (у(х)фОI
называются характеристическими числами этого уравнения или его ядра (об-
(обратные им значения |i = — называются собственными значениями). Ненуле-
Ненулевые решения называются собственными функциями. Задача решения C.5) за-
заключается в нахождении собственных значений и функций [338 — 340].
Если ядро непрерывно в квадрате V или удовлетворяет условию C.2) (т. е.
квадратично суммируемо) при конечных а и Ь> то каждому собственному зна-
значению \i соответствует конечное число линейно независимых собственных функ-
функций (это число называется рангом или кратностью собственного значения;
ранги могут быть различны для разных собственных значений).
При зС = 0 в уравнении C.5) z/(x) = 0, т. е. это значение параметра не
является характеристическим числом.
Если ф(х) представляет собой собственную функцию, то и Сф(х), где
С — произвольная постоянная, также является собственной функцией, соот-
соответствующей одному и тому же собственному значению. Отсюда следует,
что собственные функции определяются с точностью до постоянного множи-
множителя.
Возможны случаи, когда однородное уравнение C.5) не имеет собствен-
собственных значений и собственных функций или же не имеет действительных соб-
собственных значений и функций.
Однородное уравнение с симметричным ядром К(х, s) = /(E, х), а •<
< х, s < b, обладает следующими свойствами:
1) уравнение C.5) имеет по крайней мере одно собственное значение;
2) каждому собственному значению \х соот ветствует конечное число q (ранг
собственного значения) линейно независимых собственных функций уравнения
ь ъ
C.5), причем имеет место оценка supg < К2В2, где В2 = j j К2 (х, s) dxds\
а а
3) каждая пара собственных функций фх(х), Ф2(х), соответствующих
ь
собственным значениям \it Ф fx2, ортогональна, т. е. j Ф1 (х) ф2 (х) dx = 0;
а
4) в каждом конечном интервале оси X находится конечное количество
характеристических чисел, причем верхняя грань для количества характерис-
характеристических чисел, лежащих в интервале — / < К < /, определяется неравенст-
неравенством т < /2В2.
В практике часто встречается уравнение вида
я
K(x — s)y(s)ds
с разностными симметричными ядрами К (х — s) — K(s—х), причем /С(х)—-
периодическая функция с периодом 2я. Собственными функциями таких урав-
уравнений являются
ф^ (х) = COS/ZX,
cp<f (х) = sinnx, п = 1,2,
которым соответствуют характеристические числа
1
где ал = — j К (х) cos nxdx, т. е. ап — коэффициенты Фурье функции К(х).
141
Теоремы Фредгольма. Уравнению C.1) соответствует союзное (соп-
(сопряженное) уравнение
ь
у{х) — %\к(s, х)у(s)ds = /(х), C.6)
а
которое используется в теоремах Фредгольма для уравнений C.1) и C.5) [217,
471, 672].
Первая теорема. Если X не является характеристическим числом ядра,
то неоднородное уравнение C.1) однозначно разрешимо при любой правой
части / (х).
Вторая теорема. Если X' является характеристическим числом однород-
однородного уравнения (ему соответствуют собственные функции <р& = <pk(x), & =
= 1, п), то оно будет также характеристическим числом и для союзного
уравнения
ь
у(х) — X I K{s, x)y(s)ds = 0.
а
Числа собственных функций уравнения C.5) и союзного с ним уравнения,
отвечающих одному и тому же собственному значению, одинаковы.
Третья теорема. Если однородное уравнение имеет ненулевое решение,
то неоднородное уравнение, вообще говоря, неразрешимо. Оно разрешимо
тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности
C.7)
где г|эА = tyk(x), k—\, n, — собственные функции союзного ядра K{s, x),
принадлежащие данному собственному значению.
Четвертая теорема. Множество характеристических чисел уравнения
C.1) не имеет предельных точек на конечном расстоянии. Если множество
характеристических чисел бесконечно, то его предельная точка находится на
бесконечности.
Первая и третья теоремы составляют альтернативу Фредгольма, имею-
имеющую важное значение при доказательстве существования решения интеграль-
интегральных уравнений. При выполнении условия C.7) уравнение C.1) имеет беско-
бесконечное множество решений.
Нелинейные уравнения. К нелинейным интегральным уравнениям с пос-
постоянными пределами интегрирования относятся уравнение Урысона
ь
у(х)— §K[x,s,y{s)]ds = f{x), C.8)
а
которое приводится к канонической форме
ь
у(х)= $Kk[x,s,y(s)]ds, C.9)
а
и уравнение Гаммерштейна
ъ
у(х)= $K(x,s)F[s,y{s)]ds = f(x)9 C.10)
а
канонической формой которого является уравнение
ъ
/C(*, s)Fk[s9y(s)]ds. C.11)
В приведенных уравнениях К, Kk, F, Fk и / — заданные функции своих ар-
аргументов. Наличие канонических форм C.9) и C.11) свидетельствует о том,
142
что различие между неоднородными и однородными нелинейными интеграль-
интегральными уравнениями носит не принципиальный характер и составляет отличи-
отличительную особенность по отношению к линейным уравнениям.
Обобщением уравнений C.9) и C.11) можно считать соответственно
уравнения
ь
ф[х, у(х)] = J K[x, s,y{s)]ds, C.12)
Ф[х,у(х)) = $K(x,s)F[s,y(s)]ds. C.13)
а
В зависимости от свойств функций К(х, s), K[x, s, у (s)]9 f(x), F(s, у),
Ф(х, у) нелинейное уравнение может иметь единственное решение или не
иметь его; может иметь несколько решений, в том числе комплексных.
Если у(х) =0—решение уравнения
\\х, s,y(s)]ds C.14)
а
и К(х, s, 0) = 0, то ненулевые решения у(х)фО, подобно линейному слу-
случаю, называют собственными функциями, а соответствующие значения пара-
параметра X— характеристическими числами этого уравнения. Особенность урав-
уравнений вида C.14) состоит в том, что при малых \Х\ собственные функции
обычно отсутствуют, но с увеличением \Х\ они могут появляться. Появле-
Появление малых по норме собственных функций соответствует точкам бифуркации,
т. е. тем значениям X, при которых нулевое решение уравнения C.14) вет-
ветвится. В задачах анализа устойчивости физических объектов точки бифурка-
бифуркации соответствуют критическим параметрам, определяющим границы устойчи-
устойчивости.
Существует также понятие точек бифуркации ненулевых решений нели-
нелинейных интегральных уравнений.
Нелинейным уравнениям и методам их решения посвящено значительное
количество работ [75, 79, 80, 101, 242, 305, 511, 512, 515, 516, 611].
Некоторые приложения. Одномерные интегральные уравнения с постоян-
постоянными пределами интегрирования применяются для описания различного рода
краевых задач и в этом смысле эквивалентны обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям с краевыми условиями. Однако интегральные уравнения
являются более универсальными математическими моделями, к которым сво-
сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений. Обратный переход
посредством эквивалентных преобразований не всегда возможен, что прежде
всего относится к случаю ядра произвольного вида, полученного, например,
в результате натурных экспериментов.
Одним из характерных приложений интегральных уравнений является
описание преобразующих свойств линейных систем. Результат воздействия,
описываемого функцией ф(л;), а < х < Ь, на линейную систему в достаточно
общем случае может быть представлен в виде функции
ь
= JG(x, s)y(s)ds, C.15)
а
где G(x, s)—функция влияния, определяемая свойствами системы. Примером
воздействия ср (х) может служить плотность нагрузки, распределенной вдоль
балки, а в качестве я|э (я) в этом случае выступает прогиб.
Если по условиям задачи задана реакция (отклик) системы (например,
получена в эксперименте) и требуется определить (восстановить) воздействие
при известной функции G(x, s), то в C.15) функция cp(s) будет искомой,
т. е. задача сводится к решению интегрального уравнения, в данном случае
уравнения Фредгольма I рода.
143
В подобных задачах известной часто оказывается некоторая линейная
комбинация функций, описывающих внешнее воздействие и реакцию системы,
например
где с, а — постоянные. В этом случае для определения внешнего воздействия
необходимо решить уравнение
сер (х) +а ) G(x, s) ep(s) ds = / (x),
a
т. е. интегральное уравнение Фредгольма II рода.
Использование интегральных уравнений Фредгольма при решении краевых
задач имеет естественное обоснование, так как эти уравнения связывают
между собой заданные и искомые функции на конечном интервале, тогда
как дифференциальные уравнения определяют связь на бесконечно малом
интервале и для описания краевых задач требуют подчинения дополнительным
(краевым) условиям [765].
Рассмотрим несколько конкретных задач, являющихся характерными
объектами приложения уравнений рассматриваемого класса.
Оптимальная линейная фильтрация при наличии белого
шума [ПО 235—238, 112 12—13, 109 — 111, 327 179 — 181]. Пусть у (t)—
поступающий на вход линейной системы (фильтра) сигнал — есть сумма
полезного сигнала z (t) и аддитивной помехи n(t):
y(t) = z(t)+n(t)9 Tt<t<T29 C.16)
причем
Е [п @1 = 0, 7\ <: t < Т2,
Е [п @ п (т)] = N • S (t — т), Тг < t < т < Т%9
?[z@1=0, Tx<t<T29
E[z(t)z(x)] = KZz(tt т) = #22(т, t), Tx<t9 т<Г2, * к }
E [г @ У (т)] = Kzy (t9 т) - Kyz (т, t\ Тг < t9 т < Т29
где ?[•! означает математическое ожидание, а соотношения C.17) означают,
что среднее значение помехи равно нулю, помеха некоррелирована и имеет
спектральную плотность /V, среднее значение сигнала положено (без огра-
ограничения общности) равным нулю, коварнация сигнала обозначена через
KZz(t, т), взаимно корреляционная функция процессов z и у—через Kzy(i> x),
сигнал и помеха взаимно некоррелированы.
Заметим, что из C.17) следует:
Kzy(U т) == E{z(l)\z(%) +n(x)]} = E[z(t)z(x)} + E[z(t)n(x)} *=
= E[z (t) z (т)] - Kzz (t, т) - /C2i, (т, 0. C.18)
Пусть, далее, z(t) есть выходной сигнал фильтра:
2@ = J h(t9 x)y(T)dx, Г1<<<712, C.19)
где /?.(/, т)—импульсная функция. Заметим, что в данном случае перемен-
переменная / (и т) не является временем (а является, например, угловой координа-
координатой, расстоянием и т. д.) и, следовательно, равенства B.15) и B.16) непри-
неприменимы.
Ставится задача определения такой h(t, т) (обозначим ее через /гОпт(^> т))>
при которой среднеквадратичная ошибка (ошибка точечной оценки)
%(t) = E{[z(t)-z(t)]*}, Tx<t<T29
минимальна, т. е. выходной сигнал z(t) наилучшим образом воспроизводит
144
полезный входной сигнал z(t). Задача сводится к решению уравнения Фред-
гольма II рода
т?
Nhom (t, т) + f КгУ (т, s) hour (t, s) ds = Kzy (t, %), 7\ < т, t< 7V C.20)
дающему возможность по известным Kzy (t, x) и N найти honT (/, т) (путем
отыскания одномерной функции переменной s (и г) при каждом фиксиро-
фиксированном значении t). В результате при h (t, т) = /гОпт(^, х)
?@=^@==А^опт(/, t). C.2I)
Особенность уравнения C.20) состоит в том, что помеха N в нем играет
роль параметра регуляризации, стабилизирующего решение. ПриЛ/-»-0 §min(t)-+Q,
однако повышается неустойчивость численного решения уравнения C.20)
(при N = 0 оно переходит в уравнение Фредгольма I рода, задача решения
которого некорректна). С увеличением ./V растет ?min@» H0 повышается
устойчивость решения. В результате при некоторых умеренных значениях N
(зависящих от точности задания функции K?.p(t, х) = KzziU T)) значение
Imin @ будет невелико, и решение уравнения C.20) будет устойчиво.
Если система стационарна, т. е.
h(t, т) = h (t — x), C.22)
Kzy(t, *)=Kzy(t—x), C.23)
то
f2
Л^Лопт @ + 3 Kzy (t — x) ftonr(T) dx = /Bi, @, Tt < t < T2, C.24)
где
/СгУ@ = Я[г(тЖт —0]. C.25)
Если переменная t fa также т и s) является временем и, следовательно,
выполняются равенства B. L5) и B.16), то вместо уравнений C.21) и C.24)
получим соответственно уравнения
t
Nhom (t, т) + J К2у (т, s) /гопт (/, s) ds = /Czj, (/, т), Гг < т < t < T12, C.26)
Г2
Nhonr (t) + ) Kzy (t — т) hom (x) dx = Kzy(t), 0 < t < Г2. C.27)
0
Уравнения C.26) (при каждом фиксированном t) и C.27) являются
уравнениями Фредгольма II рода.
Определение функции источника [327 163—164]. Рассмотрим
однородную плоскопараллельную атмосферу конечной толщины х> на которую
сверху под углом ф по отношению к направленной вниз нормали падает
параллельный световой поток. Обозначим через / (t), 0 <: t < x, так называе-
называемую функцию источника на высоте /—интенсивность рождения частиц под
влиянием светового потока в единичном объеме и в единичном телесном
угле. Положим при этом, что среда поглощает и рассеивает излучение изо-
изотропно, а альбедо одноактного рассеяния есть А,^0. Предположим также,
что вероятность столкновения при прохождении частицей оптически тонкого
слоя подчиняется распределению Пуассона. В этом случае функция / (t)
может быть найдена путем решения следующего уравнения Фредгольма II рода
типа свертки:
j (t)-\^P (\t-y\)} (у) dy =\е~^, 0<t^x, C.28)
о
где Р (г) — вероятность прохождения частицей расстояния г > 0 без взаимо-
взаимодействия. При этом в уравнении C.28) положено, что атмосфера снизу огра-
ограничена идеально поглощающей границей,
10 5-4Q18 145
Метод граничных интегральных уравнений [465, 733].
Требуется в трехмерной области 5, ограниченной поверхностью S, найти
функцию ф, удовлетворяющую уравнению
Дф + &2ф = 0 C.29)
при граничном условии (на S): ^— = N (S), где k = const, n — внешняя нормаль
к 5. Решение уравнения C.29) дается формулой Грина:
-r ФE)^(с-) dS,
~s.
где r = r(p, 5), p — точка внутри В, г—расстояние между р и некоторой
точкой поверхности S, a <P(S) — решение двухмерного уравнения Фредгольма
II рода
где р — точка на поверхности S (более подробно этот метод изложен в п. 4.2).
Задача о вынужденных поперечных колебаниях струны
[312, 508]. Пусть струна закреплена в точках х = 0 и х = Х\ внешнее воз-
воздействие представляет собой гармоническую функцию / (х, О = ф(*)соэсо^
а искомой является функция и (х, t), определяющая вынужденные колебания
той же частоты со, т. е. и (х, t) = v (x) cos со/, где t—время, v (х) — неизве-
неизвестная функция. Подстановка приведенных выражений в уравнение вынужден-
вынужденных поперечных колебаний струны [508]
приводит к краевой задаче
pv" = —рсо2у — ф (*), v @) = 0, v (X) = 0, 0 < х < X, C.30)
где р и р — заданные постоянные.
Известно, что решение задачи о стационарном отклонении струны при
со = 0 имеет вид
х
где функция влияния
=-j§G(x, s)<p(s)ds, C.31)
о
G(x, s) =
(X — s) -^ , 0 < х < s < X,
¦ s(X — х) у
В решаемой задаче при со=^=0 в дифференциальное уравнение C.30) кроме
Ф (х) входит также член рсо2у(х), добавление которого с использованием
решения в форме C.31) приводит к выражению
-±$G(x, s)<p(s)ds,
о
которое в качестве неизвестной функции содержит v (х) и поэтому является
интегральным уравнением Фредгольма II рода.
Задача о собственных колебаниях крыла самолета. Метод
интегральных уравнений для решения задачи определения собственных коле-
колебаний крыла самолета [129] позволил получить единый подход к исследованию
колебаний крыльев как постоянного, так и переменного сечения. Данный
метод позволяет также, в отличие от других методов, определять частоты
146
собственных колебаний без предварительного нахождения собственных функ-
функций. Сущность метода применительно к изгибным колебаниям состоит в еле
дующем.
Для крыла с погонной массой q(s), нагруженного сосредоточенными
грузами Q/ в точках с абсциссами st, статический прогиб в точке с абсциссой
г выражается зависимостью
г 1
у (г) =* Yj °(z> s*) Q* + J GC, s)q(s) ds,
1
1=1
где G(z, s) — прогиб в точке с абсциссой z под действием единичной силы,
приложенной в точке s.
Учитывая силы инерции, необходимо вместо Q, и q(s) подставить соот-
л, д2 ц (sh t) t ч д2ц (s, t) Ал Qt t ч a (s)
ветственно Mt —-y } и m (s) hyf2' , где Mt = -J, m (s) = ^-;.
Тогда выражение для прогиба принимает вид
i—\
Согласно методу Фурье необходимо положить у (z, t) = f(z) cos pt, где f (z)—
функция, определяющая закон изменения прогибов по размаху крыла при
колебании в пустоте, р = const.
Окончательно интегральное уравнение изгибных колебаний крыла с сосре-
сосредоточенными массами принимает вид
г 1
/ (г) = 2 ^G & Si) Mif (Si) + ^ J G (z, s) /n (s) / (s) ds,
'•=1 0
где % = р2. Здесь неизвестной является функция f{z).
При отсутствии сосредоточенных масс уравнение имеет вид
f(z) =Л Jg(z, s) m (s) f (s) ds.
Функция G(z, s) является функцией Грина и должна удовлетворять [362, 508]
соответствующим условиям (см. ниже).
Задача об определении критической скорости вращаю-
вращающегося вала [372]. Свойства произвольной упругой балки при произвольных
условиях на концах описываются функцией влияния G, определяющей откло-
отклонение балки в данном направлении г в произвольной точке х, вызванное
единичной нагрузкой, приложенной о некоторой другой точке у и действую-
действующей в том же направлении. Если р (х) есть произвольное непрерывное
распределение нагрузки вдоль балки, то соответствующее отклонение z(x) =
i
G(x, y)p{y)dy, 0<*<:l. Если балка представляет собой вал, вращаю-
вращающийся вокруг оси х и если z(x) — отклонение центра тяжести сечения,
соответствующего координате х, то распределение нагоузки для отклонения
г(х) и угловой скорости со определяется соотношением р(х) = (^2\i(x)z{x)i
где \i{x) — линейная плотность массы вала.
Условие равновесия упругой и центробежной сил, которое имеет место
при некоторой угловой скорости со, заключается в существовании не равного
нулю отклонения z(x), удовлетворяющего уравнению
i
z (х) = оJ J G (*, у) [i(y)z(y)dy, 0 < х < 1. #
о
Таким образом, определение критической скорости сводится к задаче
определения таких значений со2, при которых предыдущее интегральное
10* 147
уравнение допускает ненулевое решение, т. е. к задаче об определении
характеристических чисел для интегральных уравнений.
Задача о вынужденных колебаниях маятника [672]. Ин-
Интегральное уравнение
у (х) + J Т (х, s) [F (s) — ее2 sin у (s)] ds = О,
О
где F (х) — заданная функция и а = const известно, используется при ре-
решении задачи о нахождении вынужденных колебаний конечной амплитуды,
совершаемых маятником. Эта же задача описывается дифференциальным
уравнением
при краевых условиях у @) = у A) = 0.
В приведенном интегральном уравнении ядро имеет вид
1 \X, S) — !„/] rv c^ir^-1
1
После подстановки j T (x, s)F(s) ds = g(x), у {x) + g(x) = \p(x) интегральное
о
уравнение может быть приведено к канонической форме уравнения Гаммер-
штейна
о
где / (s, и) = a2 sin [и — g (s)].
Полученное интегральное уравнение облегчает решение задачи о точках
бифуркации, т. е, о резонансе маятника, а также позволяет применить раз-
различные численные методы решения нелинейных интегральных уравнений.
Резольвента. Решение линейного неоднородного уравнения Фредгольма
II рода может быть представлено в аналитической форме
ь
y(x) = f(x)+k$R (x, s; X) f (s) ds, C.32)
a
где функция R (x, s; X) является резольвентой (резольвентой Фредгольма)
уравнения C.1) (или его ядра K(x,s)).
Итерированные ядра. Резольвента может быть найдена посредст-
посредством итерированных ядер, смысл которых определяетея представлением иско-
искомого решения в виде выражения
которое соответствует методу последовательных приближений при бесконечном
числе итерационных шагов и где функции <рл(*) выражаются формулами
ь
К (Х> S) f (S) ds>
a
b
ф2 (*) = $* (X, S) ф! (S) ds = J Кг (X, S) f (S) ds,
a a
b b
Фз (x) = J К (x, s) <p2 (s) ds=§ Kd (x, s) f (s) ds,
448
Функции
К2(х, «)=$*(*, flKAt, s)dt,
а
b
Ks (x, s) = J К (х, t) K2 (t, s) dt,
Kn(x, s) =*
, t)Kn-i(t, s)dt
C.33)
представляют собой 2-е, 3-е, ... , п-е итерированные ядра, причем Ki(x, s)=
= /((х, s). Произвольное итерированное ядро подчиняется соотношению
ь
Кп (X, S) = ? Km (X, f) Kn-m (t, S) dt, П = 2, 3, ... , C.34)
в котором т<п.
Резольвента определяется в виде ряда Неймана
R {х, s; X) = S %п-хКп (х, s),
п=1
C.35)
который сходится при
1
1/ f (
» s)dxds.
Таким образом, если удается определить резольвенту из C.35), то легко
найти явное выражение для решения исходного интегрального уравнения по
формуле C.32).
Пример 3.1. Для уравнения
1
у(х)—Х
определяем:
Кг(х, s) = е*~*,
(х, s) =
и т. д.,
т. е. все итерированные ядра совпадают с исходным ядром. Тогда согласно
C.35)
R (х, s; %) = e*-s (I + X + X2 + ...) =
— 1
и решение уравнения при X Ф 1 записывается в виде
1
~ ех J
(s) ds.
Уравнение относительно резольвенты. Приравнивая выраже-
выражения для у (х), полученные из C.1) и C.32), получаем уравнение
ь ь.
J R (х, s; k) / (s) ds = j K (x, s) у (s) ds.
a a
После замены у (х) в правой части его выражением через резольвенту получим
b b b b
J R (x, s; X)f (s) ds= j К (x, s)/ (s) ds + X J К {x, s)ds\R (s, *; X) f (t) dt =
a a a a
b b b
= J К (*, s) / (s) ds + X j / (*) # J К (x, s) R (s, t; X) ds.
149
Переписывая результат в виде
ь ъ ь
\ R (х, s; X) f is) ds = \ К (x, s) f (s) ds + X \
J J J
a a a
находим окончательное выражение
К (x, t) R (*, s, Я) dt,
R (x, s; W = /C (x, s) + X J К (*, *) 7? (f, s; Я,) Л,
C.36)
представляющее собой интегральное уравнение Фредгольма II рода относи-
относительно резольвенты.
Способ определителей Фредгольма. Для определения резоль-
резольвенты применяется также выражение
R (х, s; X) =
(Д (X) Ф 0),
C.37)
где А (х, s; К) — минор Фредгольма и А (А,) — определитель Ф редгольма, пред-
представляющие собой следующие степенные ряды по К:
А (х, s;K) = К (х, s) +
V (—
in Bn (x, s),
C.38)
C.39)
п=1
в которых
Ва (х, s) =
B0{x,s)=K(x,s),
K(xys) K(x9st) ... K(x,sn)
К (sl9 s) К (sl9 Si) ... К (sl9 Sn)
К (s2, s) К (s2, st) • • • К (s2, sn)
K(snys) K(sn9Sl) ••• K(sn,sn)
К (sly Sj) К (sl9 s2) • • • К (st> sn)
К (s2, st) К (s2, s2) • • • К {s2i sn)
/C (sn, sx)
sn, sa)
C.40)
dsn. C.41)
Если ядро К (х, s) ограничено или выполнено условие C.2), то ряды C.38)
и C.39) сходятся при всех значениях А,.
Более эффективным способом вычисления коэффициентов Вп(х, s) и Сп
является применение рекуррентных соотношений
Вп (х, s) = СпК (х, s) — п j К (х, t) Bn-i (t, s) dt,
a
n-1(s,s)ds, /i= 1,2, ...,
C.42)
C.43)
при Со = 1 и Во (х, s) = К (х, s).
Таким образом, построение рядов C.38) и C.39} с помощью выражений
C.40), C.41) или C.42), C.43) позволяет определить резольвенту по форму-
формуле C.37).
150
Пример 3.2. Для ядра К (х, s) = x2s—xs2, 0 < л:, s < 1, найдем резоль-
резольвенту способом определителей Фредгольма. Учитывая, что Во (х, s) = x2s — xs2,
по формуле C.40) найдем:
1
Яхъ8 — xs2 х\ — xs2
ф - Sls> s\Sl ~ sA
= xs E
по формуле C.41):
Далее получаем
B2 (х, s) =
1 1
о о
К(х, s) K(x,Sl) K(x, s2)
K(slt s) K(slt Sj) K(slt s2)
К (s2, s) K(s2, sx) К (s2) s2)
что, в частности, определяется тем, что К {sx, s2) = —К (s2,
= К (s2, st) -0;
и К (sx, Sj)
1 1
= J J (sfs, - Sls;)«dSlrfs, = ^.
0 0
Поскольку Bt- (xy s) = 0, / = 2, 3, ..., можно вычислить
A (x, 5; a) = (x2s— s2x) — X Вг (x, s) = (x2s — s2x) -
4- xs— x+s) • А/П 1 ,^V 1 а- Я
В итоге получаем согласно C.37)
R (x, s; A,) == •
Я2
+ 240
Пример 3.3. Найдем резольвенту ядра К (х, s) = 2х—s при 0 < х, s <. I.
Последовательно получаем
Со = 1, В0(х, s) =2x—s;
согласно C.43)
1
согласно C.42)
Вг (х, s) = 1Bх — s) — J Bх — f) Bf — s) dt = 2xs — s — x + -|.
0
Далее находим
— t) Bts
— t + •§¦) Л = 0;
151
Тогда А (х, s; X) = 2х—s — X \2xs — s — х + у )» Д (Я) = 1 — j- + g" и окон-
окончательно
i? (x, s; X) =
Получение решения интегрального уравнения посредством резольвенты не
исключает численную реализацию. Резольвента может быть найдена прибли-
приближенно путем численных расчетов как с помощью итерированных ядер, так и
по способу определителей Фредгольма.
В первом случае ивходные расчетные выражения имеют вид
Кп (хи sj) = \к (хи t) Kn-x (t, s,) dt, C,44)
а
ИЛИ
Ъ
Кп (Хи Sj) = J Km (XU t) Kn-m (t, S/) dt, C.45)
a
которые получены соответственно из C.33) и C.34), где переменные х и s
выступают как параметры, принимающие фиксированные значения xi и s,-.
Интегралы в C.44) и C.45) вычисляются посредством квадратурных формул
по переменной интегрирования t. Приближенное вычисление согласно выра-
выражению C.35) позволяет получить резольвенту.
Аналогичным образом из уравнения C.36) получаются пригодные для
численного решения уравнения Фредгольма II рода. Фиксируя х9 получаем
уравнение
ь
R (х{, s; K) = K {xt, s)+X]K (xt, t) R (t, s; X) dt; C.46)
a
если же s = s/, то получаем:
b
R (x, s/; %) = К (x, Sf) + % \ К (x, t) R (t, s/; X) dt. C.47)
a
Решение уравнений C.46) или C.47) вместо исходного интегрального
уравнения является, как правило, более сложной задачей и имеет смысл лишь
в специальных случаях при необходимости получения именно резольвенты
или необходимости представления искомой функции в форме C.32).
Для численной реализации способа определителей Фредгольма удобнее
всего пользоваться выражениями C.42) и C.43). К C.43) непосредственно
применяются квадратурные формулы, а применительно к C.42) необходимо
воспользоваться выражением
ь
Вп(Xi, s/) = СпК (xt, Sj) — п\к(xt, t) В„_, (t, Si) ds,
a
где xt, Sj—фиксированные значения переменных, выбранные в соответствии
G требуемой точностью вычислений.
Связь с краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. При аналитическом исследовании краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений во многих случаях удобнее рассматривать экви-
эквивалентные им интегральные уравнения [779—782], которые содержат в себе
полную математическую постановку описываемой задачи и находят эффектив-
эффективное применение при определении собственных значений и функций. Развитие
численных методов и применение ЭВМ позволяют использовать интегральные
уравнения и для непосредственного численного решения краевых задач, не
прибегая к дифференциальным уравнениям [75, 511, 559].
152
Эквивалентное преобразование обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений с краевыми условиями к интегральным уравнениям осуществляется обычно
посредством функции Грина. Отметим также, что обратный переход не всегда
возможен: известны многие случаи описания краевых задач в виде интеграль-
интегральных уравнений, не имеющих аналогов среди дифференциальных уравнений и
не допускающих поэтому соответствующих преобразований без применения
каких-либо приемов аппроксимации.
Функция Грина. Будем рассматривать [362] краевую задачу, описываемую
дифференциальным уравнением п-то порядка
L \у\ = рп Ш у{п) + рг (х) у<»-ь +...+Рп(х)у = 0, х?[а, Ь], C.48)
с краевыми условиями
Vk {у) = aky(a) + afy* (а) + ... + а?-ity<*-i> (а) + §ky (b) +
+ Р?У (&)+.-.+ рр V^1* F) =0, й = ТТя, C.49)
где переменные коэффициенты р0 (х) Ф 0, рх{х), ..., рп{х) непрерывны на
[а, 6], а линейные формы Vk, k = 1, я, от значений у (а), у' (а), ..., у<я-ь (а),
У (Ь), у' Ф)9. .., у(п~Х) (Ь) линейно независимы.
Если сформулированная однородная краевая задача C.48)—C.49) имеет
только тривиальное решение у (х) = 0, то оператор L или задача C.48)—C.49)
имеют единственную функцию Грина, называемую также функцией влияния.
Функция Грина зависит от двух переменных, обозначается как G(x, s)
и для любых значений s при а < s < Ь строится на основе следующих свойств:
1) при а < х < Ъ функция G (x, s) и ее производные до (п— 2)-го порядка
непрерывны;
2) при x~s ее (п — 1)-я производная по х терпит разрыв первого рода
со скачком l/po(s), что можно выразить соотношением
дп-Ю (х, s)
дхп~
дп-Ю (*, s)
C.50)
3) если функцию G (x, s) рассматривать как функцию одного аргумента х
в интервалах (а, $) и (s, b]f то она представляет собой решение уравнения
C.48), т. е. L(G) = 0;
4) функция G (x, s) удовлетворяет граничным условиям C.49), т. е.
Vk(G) = 0, k^~n. C.51)
Приведенные свойства позволяют представить функцию Грина в следую-
следующем виде:
г . \аг (s) уг {х) + a2(s) у2(х) + . .. + an(s) уп(х) при a<x<s,
О (х, s) - J6i (s)yi (x) + &2(s)y2 {х)+_л+ bn{s) уп(х) при 8<х<ь9 C.52)
где уг(х), у2 (х), ..., уп(х) — линейно независимые решения уравнения
L [у] == 0. Функции Ъх (s), b2 (s),. . ., bn (s) представляют собой решение системы
bxVk {уг) + b2Vk {у2) + ... + bnVk (yn) =
= СгАк (Ух) + С2Ак (у2) + ...+• CnAk {yn)y k - 1, п, C.53)
где
Ak (У) = <*кУ{а) + ^/г]) у'(а)+... + *%-1> у^1) (а),
Вк (У) = Р* У (Ь) + Р<!> у'{Ь)+...+ Р?-!> ^я-1> F),
причем
Л*(у)+Дк№) = 1Му); C.54)
153
функции Ck = Ck{s), k = 1, я, определяются в свою очередь решением системы
СгУг (S) + С2у2 (s) + • • • + Спуп (s) = О,
+ Спу'п (s) = О,
ny<nn-v (s) = О,
Ро («) '
Функции ak (s) для C.52) определяются как
C.55)
Пример ЗА. Определяется функция Грина для краевой задачи
(р(х)у'(х))' + д(х)у(х)^О,
где р(х)?О1Ча,Ь] и р{х)фО.
Представим искомую функцию в виде
>
Ь,
При S
C.56)
C.57)
C.58)
где Ci и С2 — произвольные постоянные; уг(х)—решение уравнения C.56)
с начальными условиями уг (а) = 0, у{ (а) = аф 0, причем уг (Ь) Ф 0 и функ-
функции Слу% (х) являются решениями уравнения C.56), удовлетворяющими усло-
условию /;(а) = 0; у2{х)—такое ненулевое решение уравнения C.56), которое
удовлетворяет второму граничному условию, т. е. у2 (Ь) = 0 (при этом выпол-
выполняются условия линейной независимости функций уг{х) и у2(х), поскольку
уЛЬ)Ф0).
Для определения Сг и С2 записываем условия, накладываемые свойст-
свойствами 1 и 2 функции Грина: для непрерывности G(x, s) в точке x = s необ-
необходимо, чтобы Сгуг (s) = С2у2 (s); условие скачка функции G'x (x, s) в точке
х = 5, равного I//? (s), имеет вид С2у2 (s) —Сгу\ (s) = ——.
Полученные соотношения представляют собой систему
Уг
у2 (s) C2 =
C.59)
определитель которой W(s)^0 как определитель Вронского для линейно
независимых решений уг(х) и у2(х) уравнения C.56), вычисленный при х =-s.
Поэтому из C.59) можно найти
Уг
1 р (s) W^ (s) ' W2 р (s) у (s) »
а искомая функция Грина задачи C.56)—C.57) принимает вид
Уг(х) У2 (^
G(x,s) =
117 (s) J
( г/2 {х)
а
х< s,
s < х < Ь.
C.60)
Р (s) W (s) '
Пример 3.5. Строится функция Грина для однородной краевой задачи
(х)
~ О
которая имеет лишь тривиальное решение у (х) = 0.
154
C.61)
C.62)
Для представления функции Грина воспользуемся фундаментальной
системой решений уравнения C.61)
У1 (*) = 1 > У2 (х) = *> Уз (*) = *2>
C.63)
C.64)
которая позволяет записать
G (х, s) = ах • 1 + а2х + а3*2 + a*x*> 0 <: * < s,
G (^ s) = Ьг- I +b2x + Ьвх2 + й4л:3, s < х < 1,
где зависящие от s функции alf a2, а3, а4, bl9 &2, fc3> ^4 подлежат определению.
Считая Ck(s) = bk(s) — ak(s), k=* 1,2, 3,4, согласно C.55) составим
систему уравнений для определения функций Ck(s):
С2 + 2sC3 + 3s2C4 = О,
Решение системы есть
±s\
2С3 + 6sC4 = 0,
C3(s)=-~s,
=-1. C.65)
Согласно свойству 4 функции Грина, она подчиняется краевым условиям
C.62) G@, s) = О, G(l, s) = 0, Gi@, s) = 0, G' A, s) = 0, что позволяет,
исходя из C.63)—C.64), записать
fli = 0,
Ь4 = 0,
4 = 0.
C.66)
Из C.65) и C.66), учитывая, что ak = bk — Ck, k= I, 4, находим:
а1==0, ^ = -ls2, a2 = 0, b2 = |s2, fc3 = -is3_s2) &4==^s2_^.s3>
a3=IS-52+IS3, a4==_| + |s2-ls3. C.67)
После подстановки C.67) в C.63) и C.64) получим функцию Грина рассмат-
рассматриваемой краевой задачи:
\х-х* + 1
± - ±х* +
3, s < х < 1.
Решение краевых задач с помощью функций Грина. Применение функ-
функций Грина является одним из эффективных методов решения краевых задач
[362, 465]. Для краевой задачи
1{У\ = Ро(*)У(п) И +Рг(х)у{п-1Нх)+... + Рп(х)у{х) = /(%), C.68)
Уг (у) = 0, V2 (у) = 0, ..., Vn (у) = 0, C.69)
отличающейся от задачи C.48)—C.49) наличием ненулевой правой части
в дифференциальном уравнении, решение представляется в виде компактной
и доступной для вычислений формулы
у (х) = ? G (х, s) f (s) ds,
а
где G(x, s) — функция Грина однородной краевой задачи
155
Пример 3.6. Задана краевая задача [362]
У*(х)-У{х) = х, у@)-уA)=0. C.71)
Функция Грина Для соответствующей однородной краевой задачи
y"(x)~y(x) = Q, y@)-y(l) = 0
имеет вид
Ish xsh (s— 1) А
-7— , и <: x <: s,
oil 1
shSsb(*-l)
Ш ". s<x<l.
Тогда решение задачи C.71) находится в виде
X 1
fsshssh(*—1) , , Г s sh r sh (s—1) « sh л:
Таким образом, основная и наиболее трудоемкая часть изложенной мето-
методики решения краевых задач состоит в определении функции Грина одно-
однородного уравнения. Последующее применение интегрального выражения C.70)
не является трудоемким и допускает получение аналитического решения.
Решение может быть получено также численным путем, если аналитическое
выражение для функции Грина оказывается слишком сложным или Она задана
в виде таблиц либо графиков экспериментальных данных.
Представление краевых задач интегральными урав-
уравнениями. Важным достоинством функций Грина является возможность их
применения с целью представления краевых задач в виде интегральных урав-
уравнений. Переход от дифференциальных уравнений с краевыми условиями
к интегральным уравнениям с постоянными пределами интегрирования возмо-
возможен как для линейных, так и для нелинейных задач.
Линейные задачи с параметром. Пусть имеется краевая задача, содер-
содержащая параметр,
L [у] - Ху (х) + Ф (х), _^е[а, Ь], C.72)
Vk(y) = 0, Л=1, п, C.73)
где L[y] и Vk(y) определяются так же, как в задаче C.48) — C.49), Я,-—
числовой параметр. Если ф (х) s 0, то краевая задача становится однородной
L [у] = Ц (х), Vk {у) =0, k = ТГп, C.74)
в которой те значения параметра % являются собственными, для которых
существуют нетривиальные решения у (х), являющиеся собственными функ-
функциями.
Краевая задача C.72) — C.74) описывается эквивалентным интегральным
уравнением
ь
= X J G (х, s) у (s) ds + f (x), C.75)
а
Ъ
где / (х) = ] G (x9 s) ф (s) ds.
а
Однородная краевая задача C.74) описывается однородным интеграль-
интегральным уравнением
ь
G(x, s)y(s)ds. C.76)
В C.75) и C.76) G(x9 s) представляет собой функцию Грина краевой задачи
156
Пример 3J. Краевая задача [362]
описывается интегральным уравнением
я/2
у (х) = — J G(x, s)y(s) ds + f (x),
о
где ядро представляет собой функцию Грина однородной краевой задачи
у" (х) = О, у @) = у (-|j = 0 и имеет вид
2 \
2
-^^ — 1
Правая часть интегрального уравнения определяется как
Я/2 х Я/2
} ]' ( ) '
} (*. s) sds = ] (^ - l) s*ds + ] (| - 1) xsds = i*»_ ?*.
0 0 ЯГ
Нелинейные задачи. Возможность определения функции Грина для линей-
линейной краевой задачи позволяет получить эквивалентные интегральные урав-
уравнения и в нелинейных случаях. Такой способ преобразования проиллюстри-
проиллюстрируем на примере нелинейной краевой задачи вида
y'(x) = F[x, у(х)]у
Эквивалентное интегральное уравнение записывается как
(x,s)Fls, y(s)}ds,
где ядро представляет собой функцию Грина вида
G(x, s) = [(s~ J^x' 0< х<- s»
ЦХ— 1M, S < X < 1,
построенную для однородной краевой задачи
У"(*)=0, {,@) =уA) = 0.
Полученное интегральное уравнение краевой задачи является нелинейным
уравнением типа Гаммерштейна.
3.2. МЕТОД КВАДРАТУР
Сведение задачи решения интегральных уравнений к решению аппроксими-
аппроксимирующих систем алгебраических уравнений, получаемых заменой интегралов
конечными суммами, является одним из самых действенных методов. Метод
квадратур относится к аппроксимационным методам [192]; он широко рас-
распространен в практике, поскольку достаточно универсален в отношении прин-
принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных
уравнений.
Общая схема для линейных уравнений. Так же как это было в случае
уравнений Вольтерры, в основе метода лежит некоторая квадратурная формула
Ь п
J Ф (х) dx = 2 Л/Ф (Xl) + R (Ф), C.77)
а /=1
15?
где xj9 /= 1, п,— абсциссы, принадлежащие отрезку [а, &]; Л/ —коэффи-
—коэффициенты, не зависящие от функции ф (х); R (ф) — ошибка замены интеграла
суммой (остаточный член квадратурной формулы).
Если в линейном неоднородном интегральном уравнении C.1) принять
х=хр i=l,n, то получим исходное для данного метода соотношение
ь
у (х,) — h^K (xt, s) у (s) ds = / (*,), i = T~n, C.78)
a
из которого после замены интеграла конечной суммой получается система
п
У (xt) — X 2 AjK (xiy xj) у (xf) = f (xt) + KRt9 C.79)
где
Rt = R[K(xi9 s)y(s)}.
После отбрасывания в ней малой величины XR{ для отыскания приближен-
приближенных значений "у(х()=*у{ решения у(х) в узлах xl9 х2, *.. , хп получается
линейная система алгебраических уравнений
п
yt — ЬЛ AjKuyi = U> i = h 2, . .. , п, - C.80)
где введены обозначения
КИ = К(х?, xj), fixd^fi.
Решение системы C.80) дает значения уъ у2, ... , уп, по которым пу-
путем интерполяции находится приближенное решение интегрального уравнения
C.1) на всем отрезке fa, Ь]. При этом в качестве приближенного решения
можно принять функцию, полученную из таблицы {у?} линейной интерполя-
интерполяцией, т. е. совпадающую с yt в точках х{ и линейную в каждом из проме-
промежутков [xt, xi+x]. Кроме того, в качестве аналитического выражения при-
приближенного решения уравнения принимается функция
у(х) = f (х) + X 2 AjK (x, x,)yh C.81)
/=i
также имеющая в узлах xlf х2, ... , хп значения уг, у29 ..., уп>
Пример 3.8. Решается уравнение
1
5 1 Г
у (х) = -g- х + y j xsy (s) ds.
о
Выбираем узлы хг =0, х2 = 1/2, х3 = 1 и вычисляем в них значения
правой части / (х) = -g- x и ядра /С (х, s) == xs:
, 1)=0, /(@, 1)=0; /(A, о)=О,
=4; /C(l, 0) = 0, к(и 1)=у, /С(
Используя квадратурную формулу Симпсона
158
для определения приближенных значений yi9 1=1, 2, 3, решения у(х)
в узлах хо получаем систему
11 ! _ А
J2 Уз — 24 #з — 12 >
2 ,11 5
+ ^
решение которой ух = 0, у2 = — , у8 = 1. Приближенное решение в соответ-
соответствии с выражением C.81) можно представить в виде
Y(х) = 1* + 1 • 1(о + 4 • 1 • 1* + Ь 1 • х) = *,
что совпадает с точным решением.
Данный метод применяется также для решения однородных уравнений
Фредгольма II рода. В этом случае система C.80) становится однородной
f. = 0 и имеет нетривиальное решение лишь в том случае, когда ее опре-
определитель D(X, Л, К) равен нулю. Алгебраическое уравнение D (Я, Л, /С) =
= 0 степени п относительно X позволяет найти корни Хъ Хг, ... , Хп, пред-
представляющие собой приближенные значения первых п характеристических чисел
ядра К(ху s). Подстановка любого из неравных между собой значений Xkj
k = 1, m, в C.80) (при Д = 0) приводит к системе
п
Hi — К 2 Afcijyj = °» А = 1, 2, . . . , m < /г,
ненулевые, линейно независимые решения которой у^л, /= 1, я, й— 1, т,
соответствуют линейно независимым собственным функциям ядра К(х, s).
Последние приближенно определяются формулами
Ф/г (х) = hlL ajK (x, xj) у и k, ft =
Если X не равно ни одному из корней Xk, k= I, m, то система C.80)
имеет единственное решение; а будучи однородной, она имеет только три-
тривиальное решение.
Особенности применения квадратурных формул. Значения компонентов
некоторых квадратурных формул были приведены ранее в табл. 2 (см. п. 1.3).
Есть несколько особенностей их применения, требующих внимания при ис-
использовании метода.
Точность получаемых решений существенно зависит от гладкости ядра
и свободного члена. При выборе квадратурной формулы необходимо учиты-
учитывать, что чем более точную формулу предполагается применить, тем боль-
большие требования должры быть предъявлены к гладкости ядра, решения
и правой части [161, 258, 5061.
Если правая часть или ядро имеют особенности, то целесообразно пред-
предварительно преобразовать исходное уравнение с целью получения более точ-
точного приближенного решения. При этом применяются следующие приемы.
Если особенности имеет правая часть f(x), а ядро гладкое, то можно
вместо у (х) ввести новую неизвестную функцию z (х) = у (х) — /(#), исполь-
использование которой в исходном уравнении позволяет получить уравнение
ь ъ
{x, s)z(s) ds^X^Kix, s)f(s)ds9
a
в котором правая часть сглажена, а следовательно, и решение z(x) будет
более гладким. По найденной функции z(x) легко найти искомое решение у(х).
В тех случаях, когда ядро К(х, s) или его производные по s имеют
разрывы на диагонали х = s, решаемое уравнение целесообразно записать
159
в эквивалентном виде:
ь
у (х) [ 1 - X J К (х, s) ds] — X { К (х, s) {у (s) - у (х)} ds == / (х),
а а
где подынтегральная функция во втором интеграле правильная, поскольку
на диагонали х = s разность y(s)— у (х) обращается в нуль, а вычисление
интеграла \ К (х> s) ds выполняется без искомых функций и возможно в явном
а
виде.
При замене интеграла в исходном уравнении C.1) конечной суммой
важную роль играет форма задания правой части. Наиболее распространен-
распространенными являются случаи табличного и аналитического задания.
Табличное задание правой части. Если функция задана таб-
таблично (что может быть, например, результатом эксперимента) в некоторых
узлах хс, разделенных в частном случае постоянным шагом, то это пред-
предопределяет выбор квадратурной формулы, поскольку нет возможности перейти
к иным узлам. Если при этом шаг ht = xt — х1шт1 непостоянен, то остается
воспользоваться формулой трапеций или менее точной формулой прямоуголь-
прямоугольников (возможен, правда, искусственный случай h1=h2?:=h3—h4^h5=h&i ...,
когда можно применить формулу Симпсона).
Рассмотрим уравнение Фредгольма III рода
ь
g(x)y(x)—<jjK(x, s)y(s)ds = f(x),a<zx<b, C.82)
где g(x) = 0 для некоторых, но не для всех х?[а, Ь]. Если же g"(^)= 1,
то получим уравнение Фредгольма II рода
ь
y{x)—lK(x,s)y(s)ds=f(x), a<x<zb. C.83)
а
Пусть f(x) задана таблично в узлах
хг = а<х2< ... <х< ... <xn = h, i=TT7h9 C.84)
причем сетка узлов C.84), вообще говоря, неравномерна. Заменим интеграл
в C.82) конечной суммой, используя формулу трапеций, причем сетку узлов
по s сделаем совпадающей с сеткой C.84), т. е. s( = xif i= 1,/г, где п —
число узлов. В результате получим следующую СЛАУ:
п—1
gtVi - Ц КаУг- 4 ? <*№ - Ъ-дКаУ, ~ у Кшуп = h i - 17^, C.85)
где
hi = xt — Xi-u gi = g(Xi), Ktj = К (xi> sy), yf = у {sj), ft = / (xi). C.85)
Запись C.85) можно представить в ином виде:
Т S (Pi — qi) KijtJi = f'* l = ^"> C-87)
где
<Х1+1ЩЯ,<П.
rj [ Xn При / = П,
qi = [Xl ПРИ!:!' C-89)
v/ 1 x/^.1 при / > 1. v
160
При постоянном шаге Ы = h = const система C.87) принимает вид
п
giyi — h 2 В^/^/У/ = //, / = Гл, C.90)
где
0,5
Для оценки погрешности решения уравнения C.82) методом квадратур путем
решения СЛАУ C.85) можно воспользоваться соотношениями [77, 371 266]:
где В/ > Т-Д-. 2j I A/f I» Д — определитель, Дд- — алгебраические дополнения
/=2
СЛАУ C.85), /? = тах|#/|, #у — квадратурные остатки, # = (j^ Y!А/)
X max
i, /=2, n—1
Однако применение этих соотношений приводит, как правило, к значи-
значительным (иногда на несколько порядков) завышениям значений |Д#*|. По-
Поэтому можно воспользоваться следующим способом приближенного представ-
представления погрешностей Иу{. Сначала решаем СЛАУ C.85), затем таким же
методом СЛАУ
= ft
где квадратурные остатки оцениваем по формулам (ср. A.96))
п
/=2
**;-1У/-1
C.85')
/ = 1, /г
К(пУп
В результате оценка погрешностей решения такова:
C.9Г)
~y't\> i=U~n, C.9Г)
где у? — решение СЛАУ C.85), а у\ —решение СЛАУ C.85'). Такая оцен-
оценка, как показало решение ряда примеров, часто дает довольно точное значе-
значение | hy. |.
Программы frestl и FREST1. В гл. 5 и 6 приведены программы
frestl на АЛГОЛе и FREST1 на ФОТРАНе, предназначенные для реше-
решения линейного одномерного уравнения Фредгольма II C.83) или III C.82)
рода методом квадратур на неравномерной сетке узлов согласно формулам
C.84)—C.89).
В программе frestl для решения СЛАУ C.87) использована процедура
sistema [612], реализующая метод оптимального исключения [143] и харак-
характеризующаяся тем, что требует построчного ввода матрицы СЛАУ в память
ЭВМ (например, по сравнению с методом Гаусса это дает возможность
И 5-1018
161
-2,5 -2,0 -1,5 -10 -Q5 0 05 1fi 1,5. 2,0 2,5 34O X
Рис. 5. Пример 3.9. Тестовый пример для программ frest\ и FREST1.
увеличить максимальный порядок п решаемой системы примерно вдвое, хотя
при этом в несколько раз увеличивается время решения).
В программе FREST1 для решения СЛАУ C.87) использована подпрограм-
подпрограмма SIMQ [591], реализующая метод исключений Гаусса с использованием наи-
наибольшего делителя.
Пример 33. С помощью программ frestl и FREST1 решен следующий
тестовый пример (см. уравнение C.82), а также гл. 5, 6):
К(*>*) = ш
/(*) = g(*)y(x) + 25- 16sin2x-у (x) =
точное решение
а = — я, b = я, /i = 7^, л =
/ ч 17 , 128 о
У (х) = у + -|у cos 2x.
В гл. 7 приведены алгольный и фортранный тексты программ решения
данного примера (TEST3).
На рис. 5 представлены правая часть f(x) и точное решение у(х) дан-
данного примера, а в табл. 30 — результаты его решения по программам frestl
и FREST1.
Анализ табл. 30 показывает, что численные решения, полученные на
БЭСМ-6 на АЛГОЛе и ФОРТРАМе, не отличаются от точного решения,
по крайней мере, в первых семи цифрах, т. е. решение на БЭСМ-6 получено
с очень высокой точностью. Численное решение, полученное на ЕС ЭВМ (на
ФОРТРАНе), совпадает с точным решением лишь в первых трех—шести
значащих цифрах. Это свидетельствует, что меньшая разрядная сетка ЕС
ЭВМ (по сравнению с БЭСМ-6) может приводить к заметным погрешностям
численного решения не только неустойчивых (см., например, анализ резуль-
результатов решения тестового примера для программ voltfl и VOLTF1 в п. 2.3),
но и устойчивых задач, каковой является задача решения примера 3.9.
Программы frest2 и FREST2. Для случая, когда конечность раз-
разрядной сетки ЭВМ ведет к заметным погрешностям решения СЛАУ C.87)
162
Таблица 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
\8
19
х.
i
— 18 h
—17 h
— 16 h
—15 h
— 14 h
— 13 Л
—12 h
-11 Л
— 10 h
—9 Л
—8 Л
—7 A
—6 Л
—5 h
—4 /г
-3 /г
—2 /i
— /i
0
Решение у.
точное
16.02941
15.57533
14.26786
12.26471
9.807469
7.192531
4.735294
2.732136
1.424667
0.9705882
1.424667
2.732136
4.735294
7.192531
9.807469
12.26471
14.26786
15.57533
16.02941
на БЭСМ-6
(АЛГОЛ
и ФОРТРАН)
16.02941
15.57533
14.26786
12.26471
9.807469
7.192531
4.735294
2.732136
1.424667
0.9705882
1.424667
2.732136
4.735294
7.192531
9.807469
12.26471
14.26786
15.57533
16.02941
на ЕС ЭВМ
(ФОРТРАН)
16.02936
15.57529
14.26782
12.26466
9.807420
7.192495
4.735255
2.732125
1.424736
0.9712076
1.424692
2.732129
4.735323
7.192542
9.807426
12.26453
14.26764
15.57524
16.02930
i
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
xi
h
2 h
3 h
4'ft
5 ft
6 ft
7 ft
8 ft
9 ft
10 ft
11 h
12 h
13 h
14 ft
15 ft
16 /г
17 ft
18 ft
Решение #,
точное
15.57533
14.26786
12.26471
9.807469
7.192531
4.735294
2.732136
1.424667
0.9705882
1.424667
2.732136
4.735294
7 Л 92531
9.807469
12.26471
14.26786
15.57533
16.02941
на БЭСМ-6
(АЛГОЛ
и ФОРТРАН)
15.57533
14.26786
12.26471
9.807469
7.192531
4.735294
2.732136
1.424667
0.9705882
1.424667
2.732136
4^735294
7.192531
9.807469
12.26471
14.26786
15.57533
16.02941
на FC ЭВМ
(ФОРТРАН)
15.57523
14.26776
12.26462
9.807405
7.1924^4
4.735286
2.732088
1.424664
0.9709687
1.424670
2.732126
4.735265
7.192501
9.807437
12.26467
14.26783
15.57531
16.02937
(это имеет место, в первую очередь, при плохой обусловленности СЛАУ)У
разработаны программы frestZ на АЛГОЛе и FREST2 на ФОРТРАНе.
Программа frest2 (и FREST2) требует больших затрат машинного
времени и памяти ЭВМ, чем frest 1 (и FREST 1), но обеспечивает большую
точность.
В программе frest 2 для решения (произвольной действительной) СЛАУ
использованы следующие процедуры F87 43, 95—99]:
unsymdet (предназначенная для разложения матрицы на произведение
двух треугольных с помощью алгоритма Краута),
unsymsol (предназначенная для решения СЛАУ),
unsym асе solve (предназначенная для итерационного уточнения решения),
inner prod (используемая в процедурах unsymdet, unsymsol и unsym асе
solve и предназначенная для выполнения с двойной точностью некоторых
операций, например вычисления скалярного произведения).
Процедура innerprod (которая должна быть написана в кодах) приме-
применительно к АЛГОЛу-ГДР реализована с помощью автокода БЭМШ [440]*
АЛГОЛа и ФОРТРАНа (есть также ее реализация применительно к
БЭСМ-АЛ ГОЛ у с помощью автокода ИПМ [440] и АЛГОЛа).
В программе FREST2 для решения СЛАУ использована подпрограмма
DGELG [591], реализующая метод исключений Гаусса с выбором ведущих
элементов и использующая двойную точность.
Пример 3.10. С помощью программ frest2 и FREST2 решен следующий
тестовый пример (см. уравнение C.82)):
g(x) = 10~6cosx,
0,64 cos2
fix) = g{x)y (x)-K\y (*)—25 + 16 sin**],
a = — я, 6 == л, /г = у|, n = 37, X = 102;
17 , is
точное решение
В данном примере отношение g(x)/K(x, s) в 108 раз меньше аналогич-
аналогичного отношения в примере 3.9. Поэтому матрица СЛАУ C.87), соответст-
163
\\ // \\ //
880
to
9\
6
A
2
0
'2
870
860
850
840
830
820
810
600
-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1ft -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3ft 345
Рис. 6. Пример ЗЛО. Тестовый пример для программ frest2 и FREST2.
вующей данному примеру, является менее обусловленной и для ее решения
целесообразно использовать программы frest2 и FREST2.
В гл. 7. приведены алгольный и фортранный тексты программ решения
примера ЗЛО (TEST4).
На рис. 6 представлены правая часть f(x) и точное решение у (х) дан-
данного примера, а в табл. 31—результаты его решения по программам frest 2
и FREST 2 и для сравнения—по программам frestl и FREST1, причем
значения хь и yt (точные) приведены в табл. 30.
Анализ табл. 31 показывает следующее. Наиболее точные решения дают
три программы на БЭСМ-6: FREST 2 (с точностью до первых двух—шести
значащих цифр), frest2 (до одной—пяти цифр) и FREST1 (до одной—пяти
цифр). Программа frestl дает решение в виде «слабой пилы», лишь отда-
отдаленно напоминающей точное решение. Программа FREST2 на ЕС ЭВМ
дает решение в виде знакопеременной «пилы» с амплитудой, превосходящей
среднее значение у(х) на два порядка. Наконец, наиболее неустойчивое реше-
решение получено по программе FREST 1 на ЕС ЭВМ (амплитуда «пилы» пре-
превосходит среднее значение у(х) на два-три порядка).
Сравнение результатов по frestl с результатами по FREST 1 (БЭСМ-6)
показывает, что алгоритм (метод оптимального исключения), заложенный
в процедуре sistema, используемой в frestl, является недостаточно устойчи-
устойчивым, уступая гауссову алгоритму, заложенному в подпрограмме SIMQ, ис-
используемой в FREST 1.
Сравнение результатов по FREST 1 и FREST2 (БЭСМ-6) показывает,
что одинарная точность A2 десятичных цифр) БЭСМ-6 может быть доста-
достаточной для решения умеренно неустойчивых задач (если функции f(x)
и /С(х, s) заданы точно и неустойчивость вызвана лишь плохой обуслов-
обусловленностью матрицы СЛАУ).
Сравнение результатов на БЭСМ-6 с результатами на ЕС ЭВМ показы-
показывает, что для решения неустойчивых задач важна не только разрядность
сетки ЭВМ, но и организация вычислений в ЭВМ, программирование встро-
встроенных функций и т. д. И по этим показателям предпочтение может быть
отдано БЭСМ-6.
Отметим также, что в случае, когда заданы с погрешностями правая
часть и (или) ядро К (х, s), использование двойной точности для получения
164
Таблица 31
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Решение у^
на БЭСМ-6
frest 2
(АЛГОЛ)
16.03518
15.57181
14.26617
12.27135
9.799266
7.197583
4.736920
2.723185
1.438658
0.9553629
1.437693
2.723133
4.740170
7.190854
9.807130
12.26603
14.26637
15.57634
16.02925
15.57476
14.26856
12.26461
9.806809
7.193026
4.736859
2.726564
1.434926
0.9571613
1.437759
2.723395
4.737204
7.196955
9.800086
12.27052
14.26683
15.57144
16.03530
frest 1
(АЛГОЛ)
22.43792
22.45066
13.98944
4.435560
23.28060
—7.167202
15.47845
—1.977127
0.1329156
6.583492
—6.326750
10.72900
—2.121186
11.89615
7.968307
11.05064
17.85611
11.19777
19.28520
14.62176
13.33328
13.19958
10.97250
3.230289
9.962623
—0.5928764
—0.1939405
8.464053
—9.721672
12.87855
0.2526848
4.201358
17.84157
4.570143
16.58899
20.15386
—7.447502
FRFST 2
(ФОРТРАН)
16.03119
15.57450
14.26737
12.26641
9.805477
7.193565
4.736127
2.729297
1.428897
0.9659432
1.428842
2.728979
4.737247
7.191691
9.807470
12.26518
14.26730
15.57568
16.02943
15.57505
14.26803
12.26513
9.806261
7.194178
4.734050
2.732060
1.426491
0.9674344
1.428016
2.729870
4.735736
7.193744
9.805549
12.26615
14.26768
15.57430
16.03058
FREST1
(ФОРТРАН)
16.03220
15.57416
14.26710
12.26726
9.804420
7.194236
4.736164
2.728343
1.430576
0.9639678
1.430636
2.727708
4.737882
7.191580
9.807307
12.26534
14.26732
15.57540
16.02991
15.57454
14.26840
12.26498
9.806267
7.194084
4.734519
2.731020
1.428070
0.9656155
1.429602
2.728971
4.735733
7.194504
9.804481
12.26698
14.26744
15.57393
16.03077
на ЕС
FREST 2
(ФОРТРАН)
30.97224
71.21907
—218.4674
425.8127
—448.3125
283.0068
89.23344
—435.1436
590.0110
—480.0056
239.9115
—49.48795
24.51248
—66.70174
62.83667
166.5036
—496.4490
865.4226
—972.7766
865.4226
—496.4490
166.5036
62.83667
—66.70174
24.51248
—49.48795
239.9115
—480.0056
590.0110
—435.1436
89.23344
283.0068
—448.3125
425.8127
—218.4674
71.21907
30.97224
. ЭВМ
FREST 1
(ФОРТРАН)
—4992.770
133.6082
167.6072
—537.3044
818.8220
—825.6758
815.1250
—932.8984
1072.762
—804.6711
—116.1172
1448.785
—2510.223
2739.195
—2049.309
1075.798
—412.7742
334.6833
—235.3062
—394.8047
i780.668
—3169.547
3736.324
—2871.398
979.2852
925.1719
—1715.411
1089.102
251.0117
— 1133.742
941.0669
9.879395
—801.0522
970.5769
—610.0122
315.2437
4635.871
устойчивого решения уравнения Фредгольма II или III рода может быть
недостаточным и целесообразно использовать более эффективные алгоритмы,
например алгоритмы [9].
Аналитическое задание правой части. При аналитическом
задании f (х) можно применить любые квадратурные формулы, в том числе
формулу Гаусса, дающую наивысшую точность, и формулу Чебышева с оди-
одинаковыми коэффициентами.
Для применения формулы Гаусса интервал [а, Ь] разбивается на произ-
произвольное число т подынтервалов (не обязательно равных) \ал = a, &J, [а2 ~
= bl9b2], ... , [ат = Ьт_1У bm = b], т. е. интеграл по основному промежутку
[а, Ь] представляется как
Затем на каждом подынтервале применяется формула Гаусса для узлов
(наиболее часто п = 6), и в итоге получается система п • т линейных ал-
алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомой функ-
функции в узлах.
Часто коэффициенты и абсциссы узлов для формулы Гаусса записыва-
записываются применительно к стандартному интервалу [—1, 1]. В таком случае
165
применение формулы с переходом к интервалу [а, Ь] соответствует следую-
следующим соотношениям:
Ь — а\ X
При п = 6 коэффициенты Ак и координаты узлов хк имеют следующие
значения:
Ах = 0,17132 44923 79170 34504 = А6,
Л2 = 0,36076 15730 48138 60757 = А5,
А3 = 0,46791 39345 72691 04739 = Л4,
^ = 0,93246 95142 03152 02781 = — хв9
х2 = 0,66120 93864 66264 51366 = — *5,
л:3= 0,23861 91860 83196 90863 = —д:4,
значения аналогичных величин при других п приводятся в [369, 372].
С учетом разбиения C.92) можно записать
Ф (х) dx~ V ?i^i ^ Л,Ф | B^) ^ + Г-^-Ч |. C.93)
г=1 /г=1
Если в каждом i-м подынтервале обозначить ~yc(xk)=y,:k, /См
г2 а
1,/г, то результат применения формулы Гаусса к уравнению C.1) (при
А, =5 1) можно представить в виде системы
т п
^Sr-') 2 М/*#// = Ль i = Т7^; ft = 17^. C.94)
Общая схема решения нелинейных уравнений. К решению любого не-
нелинейного уравнения можно применить метод квадратурных формул. Мето-
Методика составления аппроксимирующей системы уравнений остается такой же,
как и в линейном случае, в чем можно убедиться, применив ее к уравнению
ъ
у(х)-\К[х, s, y{s)]ds = f(x) C.95)
а
и принимая "функции К(х, s, у) и f(x) непрерывными по совокупности пе-
переменных. С помощью формулы C.77) уравнение C.95) преобразуется к виду
у (х) = ? AjK [х, sh у {Sj)\ + R (x) + / (*), C.96)
b
К [x, s, y(s)]ds —
a /=1
C.95) x = xi9 i=l,n, получим:
У ixt) = E AjK [xi9 xh у (xj)] + R (xt) + f (x{), i = 1, 2, ... , n. C.97)
Отбрасывая малую величину R(x() и обозначая f(xi) = fi, приходим к сис-
системе нелинейных уравнений относительно приближенных значений */(#;) =
165
b n
где R (x) = Г К [x, s, y(s)]ds — ^J A/K[x, s/9 y(s/)]. Полагая в уравнении
/1
=- у.у i= 1, л, искомой функции в узлах квадратурной формулы
п
у. = ? Л/К (х., *,, У/) + Д-. C.98)
Дальнейшая задача состоит в решении системы C.98), для чего можно при-
применить известные методы решения систем конечных уравнений [77, 143, 690].
Полученное численное решение можно проинтерполировать на весь проме-
промежуток [а, Ь] каким-либо способом, в том числе исходя из соотношения
C.96). Отбросив в нем R(x) и заменив в правой части у(х{) найденным
решением у?9 получаем приближенное решение уравнения C.97) в виде
п
у (х) = ? AfK (x, xh У/) + / {х). C.99)
Оценка погрешности метода может быть получена практическим путем
при машинном решении. Если применяется квадратурная формула с шагом
h и равноотстоящими узлами, то полученное решение сравнивается с анало-
аналогичным решением для шага -^ в совпадающих узлах. Такой же способ
проверки применим, естественно, и в линейном случае.
Ошибки решения могут быть проанализированы вычислением оценок,
полученных как для линейного, так и для нелинейного случаев [163, 319,
320J.
Алгоритмы решения двухмерных уравнений Фредгольма II и III рода.
Метод квадратурных формул в применении к уравнению третьего рода C.4)
заключается в том, что интеграл заменяется конечной суммой, например по
формуле трапеций, к диагональным элементам получающейся матрицы добав-
добавляются слагаемые g(Xj)y(x;) и решается СЛАУ относительно значений y(xj)
в узлах квадратурной формулы. Эффективность такого приема зависит от
того, в какой мере значения g{xj), обращающиеся в нуль или близкие к нулю,
оказывают влияние на свойства матрицы СЛАУ. При этом она может быть
вырожденной или близкой к таковой, и тогда применение метода квадратур-
квадратурных формул становится проблематичным. Если же значение определителя
СЛАУ существенно отлично от нуля, то применение метода становится вполне
целесообразным.
Рассмотрим двухмерное уравнение Фредгольма III рода
ьгь%
g(xx, х2)у(хъ х2)— \ \ К(хг, sl9 x2, s2)y(sl9 s2)ds1ds2 = f(xv x2)>
t 2
аг < хг < bl9 a2 < x2 < b2, C.100)
где g{xlt x2) = 0 для некоторых, но не всех (xl9 х2)^[аъ bl9 a2, b2]. Если
же g(xl9 x2) = l, то получим уравнение Фредгольма II рода
y(xlf х2) — \ \к(хг, s19 x2i s2)y(sl9 s2) dsxds2 = f (хг, x2)9
ax a2
ai < Xl <• ^1» a2 < X2 ^ Ь2. C.101)
Расчетные выражения. Пусть правая часть f {xl9 x2) задана таб-
таблично на двухмерной, вообще говоря, неравномерной сетке узлов:
*lt= a, < хи < ... < xl{ < ... < х^ = blt i = \, n1( C.102)
X2, = «2 < X2 < ... < X2 < ... < X2 = *„ / = 1, П2. C.103)
Заменим каждый из интегралов в C.100) конечной суммой, используя
формулу трапеций, причем сетки узлов по sx и s2 сделаем совпадающими
с сетками C.102) и C.103) соответственно, т. е. sx. = Х\р S2f= x2f, i = 1, пг
/=1, п2, где пх—число узлов по хг (или sx), а п2 — число узлов по хг
167
(или s2). В результате метод квадратур (точнее, кубатур) сведется к реше ию
следующей СЛАУ с четырехмерной матрицей и двухмерной правой частью:
/4
= fa), i = 1, ilf / = 1, /га>
C.104)
где gij =
w x2j),
9 s2/), f{I = f(xu, x2f),
( X, — X,
1 2 M
при ft = 1,
( Хсу Х2
^- ! при / = 1,
при
2 По 2
при 1 < / < л2,
при / = п2.
C.105)
Программы frest3 и FREST 3. В гл. 5 и 6 приведены программы
frest 3 на АЛГОЛе и FREST 3 на ФОРТРАНе, предназначенные для решения
линейного двухмерного уравнения Фредгольма II C.101) или III C.100)
рода методом квадратур на неравномерной сетке узлов согласно формулам
C,102) —C.105).
В программе frest 3 для решения СЛАУ C.105) использована процедура
sistema [612], в которой матрица СЛАУ вводится построчно (это экономит
память ЭВМ). Поэтому в программе frest 3 четырехмерная матрица СЛАУ
C.105) преобразуется в двухмерную и вводится в память построчно, двух-
двухмерная правая часть преобразуется в одномерную, а получающееся одномер-
одномерное решение преобразуется в двухмерное.
В программе FREST 3 для решения СЛАУ C.104) использована подпро-
подпрограмма SIMQ E91), требующая формирования матрицы СЛАУ в виде одно-
одномерного массива. Поэтому в программе FREST 3 четырехмерная матрица
преобразуется в одномерную, двухмерная правая часть преобразуется в одно-
одномерную, а получающееся одномерное решение преобразуется в двухмерное.
Пример 3.11. С помощью программ frest 3 и FREST 3 решен следующий
тестовый пример (см. уравнение C.100)):
точное решение
1 j 2' 2/ — \ V/^ d J-V/ IV^l 1 / V I 1 / *i" \ * 2 " ^2 / \ i™" ^2 / J 1 >
, x2) = y(xv x2) + a(x1+7){O,Q44\(8—x1Y + (x1+2K] — O,25x2l +
+ 1,5 хх — 6} + а (*2 + 8) {^5 fE - х2K + (х2 + 1 K] —0,13x1 +
+ 0,72х2— 1,692}— 2140а,
аг = —2, fej = 8, hx = const =1,^=11,
а2 = —1, b2 = 5, й2 = const = 1, п2 = 7;
jca) = 50 — (at2 — ЗJ — 2 (x2 — 2J.
В гл. 7 приведены алгольный и
фортранный тексты программ решения
данного примера (TEST 5).
На рис. 7 представлены изолинии
точного решения, в табл. 32—точное
решение у(хх, х2) данного примера, в
табл. 33 — решение по frest 3 и FREST 3
на БЭСМ-6 и в табл. 34 — решение по
FREST 3 на ЕС ЭВМ.
Анализ табл. 32 — 34 показывает,
что численные решения, полученные на
БЭСМ-6 на АЛГОЛе и ФОРТРАНе, не
Рис. 7. Пример 3.11. Тестовый пример для
программ frest3 и FREST3.
168
Таблица 32
i
1
2
3
4
5
6
7
16
23
28
31
32
Уи
17
26
33
38
41
42
Уь
23
32
39
44
47
'48
Уи
25
34
41
46
49
50
Уи
23
32
39
44
47
48
Уи
17
26
33
38
41
42
у»
7
16
23
28
31
32
i
7
8
9
10
11
у h
31
28
23
16
7
У it
41
38
33
26
17
уи
47
44
39
32
23
Уи
49
46
41
34
25
Уи
47
44
39
32
23
Уи
41
38
33
26
17
уи
31
28
23
16
7
Таблица 33
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Уи
7.687102
16.69385
23.70009
28.70342
31.70144
32.69174
31.67191
28.63955
23.59225
16.52761
7.443220
17.69103
26.69778
33.70402
38.70735
41.70537
42.69567
41.67584
38.64348
33.59618
26.53154
17.44715
23.69129
32.69804
39.70428
44.70761
47.70563
48.69593
47.67610
44.64374
39.59645
32.53180
23.44741
у и
25.68548
34.69223
41.69847
46.70180
49.69982
50.69012
49.67029
46.63793
41.59064
34.52600
25.44160
Уи
23.67120
32.67794
39.68418
44.68752
47.68554
48.67583
47.65601
44.62365
39.57635
32.51171
23.42732
Уи
17.64602
26.65277
33.65901
38.66234
41.66036
42.65066
41.63083
38.59847
33.55118
26.48653
17.40214
уи
7.607562
16.61431
23.62055
28.62388
31.62190
32.61220
31.59237
28.56001
23.51271
16.44807
7.363681
Таблица 34
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Уи
7.692485
16.69951
23.70277
28.70157
31.70128
32.69147
31.67198
28.63956
23.59201
16.52792
7.442745
Уи
17.69635
26.70467
33.70807
38.70581
41.70506
42.69597
41.67653
38.64304
33.59644
26.53143
17.44714
Уи
23.69655
32.70476
39.70720
44.70715
47.70491
48.69518
47.67667
44.64391
39.59723
32.53181
23.44728
У и
25.69072
34.69899
41.69800
46.70139
49.69936
50.69009
49.67052
46.63861
41.59113
34.52577
25.44148
Уи
23.67628
32.68414
39.68242
44.68764
47.68602
48.67604
47.65620
44.62402
39.57712
32.51166
23.42696
уи
17.65089
26.65790
33.65631
38.66202
41.66043
42.65088
41.63104
38.59840
33.55139
26.48634
17.40202
Ус,
7.612240
16.61800
23.61824
28.62337
31.62183
32.61259
31.59213
28.560052
23.51282
16.44801
7.363328
различаются между собой, по крайней мере, в первых семи цифрах, а с реше-
решением на ЕС ЭВМ (на ФОРТРАНе) совпадают в первых трех-четырех цифрах.
При этом все численные решения совпадают с точным лишь в первых
одной-двух цифрах. Таким образом, СЛАУ C.104), соответствующая данному
примеру, устойчива, однако квадратурная формула дает заметную погрешность
3.3. МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР
Наличие вырожденных ядер в интегральных уравнениях Фредгольма позво-
позволяет применить достаточно эффективный и простой метод, приводящий к полу-
получению решения в конечном виде. Для этого бывает целесообразно аппрок-
аппроксимировать произвольное ядро вырожденным, что в совокупности с решаю-
решающими алгоритмами составляет самостоятельный приближенный метод решения.
Неоднородные линейные уравнения. Уравнение второго рода C.1) с вы-
вырожденным ядром
t=l
C.106)
169
где щ{х) и Pi(s), f=l, m,—системы линейно независимых между собой
функций, принимает вид
v m
У № — % $ [ % а< (*) Р' (s) ] У (*) ds = f (x), (ЗЛ07)
b m
И 2
a t=l
ИЛИ
m b
y(x) — X 2j at (x) J P* (s) У (s) ds — f (x). C.108)
t=l a
Если обозначить
J р( (s) t/ (s) ds = Ci, i = T7~m, C.109)
то можно получить следующую форму решения исходного неоднородного
интегрального уравнения Фредгольма II рода:
x)f C.110)
где постоянные Ct- неизвестны, и задача решения исходного уравнения сво-
сводится к их определению путем решения алгебраической системы, получаемой
следующим образом.
После подстановки (ЗЛЮ) в C.107) получаем выражение
2 )С,— J р, (s) [/(s) +% 2 Cya,(s)] ds} a,- (x) = 0, C.111)
которое с учетом независимости функций at (x) принимает вид
Ь т
Ci~ Jp,(s) \f(s) + %Yj c>af(s)] ds = °- (ЗЛ12)
a /=1
Раскрыв скобки, получаем
m b b
Q-^C/j a, (s)p/ (s)ds = J рг (s)/(s) ds. C.113)
/5=1 a a
Если ввести обозначения
ь
an = J ai (s)$? (s) ds, /, i = TTTn^ C.114)
// = J P<- (s) f (s) ds, f =T~in, C.115)
то система уравнений относительно d принимает вид
или, более подробно,
ЯЛздС^ + ( 1 ^#22) ^2 # # # 'ка2тСт = /2,
170
C.117)
Если определитель системы
1 — Хап —Ха12
—Ха9Л 1 — Ха
—Хп
\т
22
—Хат\
•• 1— Хап
удовлетворяет условию
C.118)
C.119)
то она имеет единственное решение, которое можно получить, в частности,
по формулам Крамера,
n Di (X)
где алгебраическое дополнение
i (X) =
— Ха
—Ха
п
21
1т\
—Ха2, г'—1 /2 —Хп2, Н
—Хат, i—\ fm —Хат> i
—Хп\т
1 —Хптт
При машинном решении системы C.116) могут быть применены самые
различные численные методы [77, 143, 690].
Выражение C.112) позволяет организовать итерационный процесс опре-
определения d без привлечения явного решения алгебраической системы (см.п. 3.4).
Таким образом, сущность рассматриваемого метода решения неоднород-
неоднородного линейного уравнения Фредгольма II рода заключается в вычислении
интегралов C.114), C.115) от произведений известных функций, составлении
системы линейных алгебраических уравнений C.116), решении системы
и вычислении (записи) искомой функции по выражению C.110).
Если ядро исходного уравнения не является вырожденным, но может
быть заменено таковым с определенной степенью точности, то появляется
возможность применить описанный метод и получить приближенное решение,
которое в числе прочих будет содержать методическую погрешность, вы-
вызванную аппроксимацией ядра.
Пример 3.12. Уравнение
содержит вырожденное ядро, что позволяет представить решение в виде
1 1
у(х) = Сг+2хСш — \x~y> Ci = §y(s)ds, C2= [sy(s)ds.
о о
Для определения постоянных Сх и С2 составляется система уравнений
1
С* = J х (сг + 2хС2 — 1 х — 1) dx,
о
решение которой Сг = 1, С2 = ^ • Это позволяет найти искомую функцию:
±.
171
Однородные линейные уравнения. Решение однородного уравнения
с вырожденным ядром
у{х)—Х 2* ъ (х) )${s)y (s) ds = 0 C.120)
г=1 а
состоит в нахождении характеристических чисел, представляющих собой
корни алгебраического уравнения
0, C.121)
где определитель D(X) имеет вид C.118). Корни уравнения C.121), коли-
количество которых ру являются характеристическими числами Xk, k = 1, /?, 1 <
</?<m, интегрального уравнения C.120). Каждому &-му характеристиче-
характеристическому числу %k соответствует ненулевое решение
C\k\ ($>, ... , с?, к=Т7У, C.122)
однородной системы линейных уравнений
A — Ыи) Сг — Ы12С2 ХаыСт = 0,
—Ы21С1 + A — Ха22) С2 Xa2mCm = 0,
C.123)
—Хат\С1
Соответствующие Xk ненулевые решения уравнения C.120) являются собст-
собственными функциями и имеют вид
Ун (х) - X f CiV- (*), k =TT, C.124)
причем их количество не превышает т.
Таким образом, для решения однородного уравнения C.120) с вырож-
вырожденным ядром достаточно вычислить интегралы C.114), составить определитель
C.119) и развернуть его в уравнение C.121), решение которого дает искомые
характеристические числа, каждое из которых, будучи поставлено в линей-
линейную систему C.124), позволяет после решения последней найти набор
постоянных C.122), определяющий одну из собственных функций согласно
выражению C.124).
Пример 3.13. Однородное интегральное уравнение с ядром
К (х, s) = cos2 x cos 2s + cos 3x cos3 s
при a = 0 и b = n принимает вид
Л 31
y(x) — X cos2 x j cos 2s у (s) ds — X cos 3x j cos8 sy (s) ds = 0.
о а
В этом случае
^ii = \ cos2 x cos 2x dx = ~ ,
о
эх
a12 = \ cos2 x cos3 xdx == 0,
6
n
a21 = j cos 3x cos 2xdx = 0,
о
л
a22 = 1 cos 3x cos3 xdx = --.
о
172
Тогда
D[X) =
*12
222
Решение этого уравнения
-*4 о
О 1-
Система C.123) имеет вид
4 8
При X = Хг = ~ С2 = О, а С2— произвольная постоянная. При X = Я2 = —
Сг = О, С2 — произвольная постоянная. Отсюда собственные функции уг{х)~
= Сх cos2 х, у2 (х) = С2 cos Зх.
Нелинейные уравнения. Уравнения Гаммерштейна с вырожденным ядром
принимают вид
у (х) =
о
ds
C.125)
й допускают применение методики решения, подобной линейному случаю.
После обозначения
С,= j p, (s) F [s,
C.126)
решение представляется в виде
к), C.127)
где значения С{ должны быть определены. Путем подстановки C.127) в C.126)
получаем выражение
C.128)
которое после интегрирования известных функций в правой части позволяет
получить т конечных (в частном случае, алгебраических) уравнений
«Ф(С1Э С2, ... , Ст), i =
C.129)
используемых для нахождения т постоянных CV и тем самым для решения
уравнения C.125) в форме C.127). Если при этом система C.129) имеет
несколько решений, то столько же решений имеет и исходное нелинейное
интегральное уравнение. Возможны также случаи отсутствия решения.
Пример 3.14. Задано уравнение
1 1
у (х) = К ] х [sy (s)]2 ds=Xx j [sy (s)]2ds.
Если обозначить С = j s2y2 (s) ds, то решение пре ставляется в виде
выражения у (х) = Скх$ после подстановки которого в предыдущий интеграл
173
получаем С = j s2C2X2s2ds9 откуда получается уравнение относительно С:
о
С = --- С2. Тогда Сг = О, С2 = Ya, и исходное уравнение имеет два решения:
Способы аппроксимации ядер вырожденными. На основе метода аппрок-
аппроксимации функций могут быть построены различные способы приближения
произвольного ядра К(х9 s) вырожденным. Часть этих способов, рассчитан-
рассчитанных на последующее аналитическое приведение уравнений Вольтерры к диф-
дифференциальным уравнениям, приведена в п. 1.2. Ниже излагаются два
достаточно общих способа аппроксимации, более приспособленных к таблич-
табличному заданию ядер и ориентированных на численное решение интегральных
уравнений.
Способ Бэтмена [77]. Вырожденное ядро К (#, s), аппроксимирующее
ядро К (х, s), определяется равенством
К(х, s) /C(x, s±) К(х9 s2) ... К(х, sn)
К{х19 s) K(x19Sy) К(х19 s2) ••• K(x19s2)
п, s) К(хпу sx) К(хп, s2)
К(хп, sn)
-О,
C.130)
где xv a:2, ... , хп\ slf s2, ... , sn—некоторые точки отрезка [а, Ь]. Разло-
Разложение определителя C.130) на сумму двух определителей позволяет получить
вырожденное ядро
K(x9 s)=—¦
0 К(х,
К(хг, s) /С(х1э
K{xy s2)
K(xl9s2)
, sn)
K(xlf sn)
K(xn, s) K(xny sx) K(xn, s2)
К(хП9 sn)
K(xlf sx) K(xl9 s2) K(xx> s3) ... K(xusn)
K(x29 Si) K(x2, s2) K(x2, s8) ... K(x29sn)
K(xn,
K(xn, s2) K(xnt s8) ••• K(xn, sn)
C.131)
или
K(x9 s)~
0 K(x9 st) K(x, s2) ... K(x, sn)
K(xl9 s) K(xl9 sx) K(xv s2) ••• K(xlt sn)
K(xny s) K(xn, sx) K(xn, s2)
K(xni sn)
K(x9 s)
K(xu st) K(xlf s2) ••• K(xl9sn)
K(x29 sx) К(х2У s2) ••• K(x2, sn)
K(xn, sx) K(xn9 s2) ... K{xn> sn)
K(xl9 s^ K{xl9 s2) ... K(xly sn)
K(x2, s2)
K(x29 sn)
K(xn, Sj) K(xn9 s2)
xn, Sn)
K(xl9 sx) K(xl9 s2) ... K(x19 sn)
K(x29 sx) K(x29 s2) ... K(x29 sn)
K(xn9 sx) K(xny s2)
К(хП9 sn)
174
К(х, s) K(x, sx)
K(xl9 s) K(xl9 Si)
К(х9 sn)
K(xl9 sn)
n, s) K(xn, sx)
K(xny sn)
K(xi, s,) K(xl9 s2)
K{x2, s±) K{x2, s2)
K{xny st)
т s2)
K(xlf sn)
K(x2i sn)
K(xn, sn)
C.132)
Такая аппроксимация означает, что ^(л:, s) совпадает с К (л:, s) на 2п
прямых х = xi9 s = st, i = 1, п.
Для ядра К (х, s), построенного рассматриваемым способом, резольвента
определяется из уравнения
с, s; X) К(х,
Ci, s) Ал
K(x, s2)
А
К(хп, s)
Ап\
12
АП2
™п
=0, C.133)
где
Ajk = К (xjy sk) — X j /С (л:/, t) К (?, Sfe) rf t, /\ & = 1, /z.
Тогда приближенное решение уравнения C.108) может быть записано в виде
ь
y{x)~f(x)+X$R{x, s; X)f(s)ds. C.134)
Способ Бэтмена позволяет также построить резольвенту ядра К(х, s),
если оно представимо в виде
п
К (х, s) = Кг (х, s) — S at (x) p, (s), C.135)
где Kf(x, s) — ядро с известной резольвентой r(x, s; X). Тогда резольвента
ядра К(х, s) будет иметь вид
г(х, s; X) Ц)г{х) (р2(х) ••• ф„(л:)
C.136)
Ьп\
Хти Хт12
Хт
21
Х%2п
КХп\ А^Т/х2 А/Т^з • • •
ь b
где ф/ (л:) = af (л:) + X f г (л:, s; X) аг- (s) ds, ifr (s) = p/ (s) + X \ г (л:, s; X) X
b
X Pi W dx, %ij = J ф/ (S) % (S) dS.
Комбинированный способ. Недостаточное распространение мето-
метода вырожденных ядер при постановке на вычислительных машинах объяс-
объясняется, по-видимому, отсутствием эффективных способов приближения ядер
вырожденными.
175
Стремление уменьшить количество воспроизводимых функций при замене
ядра вырожденным усложняет применение приближений в виде рядов и ин-
интерполяционных формул. Более целесообразным являетсся способ наименьших
квадратов. Результаты работ [342, 739] дают основание для продолжения
исследований в этом направлении [127].
Сформулируем задачу квадратичных приближений в случае аппроксима-
аппроксимации ядра К {х, s) вырожденным в следующем виде [125, 127]: необходимо
подобрать функции аг(х) и p*(s), i = l, m, таким образом, чтобы обратить
в минимум функционал
Ь Ь ¦ т
I = f J [К (*, s) - 2 а, (х) р, (s)]2 dxds. C.137)
a a i=l
Для практических целей можно вместо C.137) рассматривать системы
функционалов
Ъ т
%t(x,)fLt(s)]*ds, /=Т77Г C.138)
и
b m
I lx = I [К (x, si) - ? at (x) p, (s,)]2 dx, j =T7K. C.139)
a i=\
Построение функций ai(x) и p,(s) выполняется следующим образом. Из
априорных соображений о характере К(х, s) выбирается приближение набо-
набора функций р|0) (s), i = 1, /л, и составляются функционалы
Ь т
/<% « J [ТС (jc/, s) — 2 а«уРГ (s)]2 rfs, / = ТГп, C.140)
обращение которых в минимум (min/(^ — ^) путем подбора коэффициентов
пц позволяет получить таблицу значений af)y [ = ГГ^Г/ = 1, п, столбцы ко-
которой можно принять в качестве ступенчатой аппроксимации нулевого при-
приближения набора функций {a,i(x)\T, т. е. a,(Xf) = af/. Это позволяет, напри-
например, путем интерполирования ланных значений построить нулевое приближе-
приближение {а?](х)}?.
Далее составляются функционалы
Ь m
/(Д= $[/((*, si)— S a?}(x)bt,]*dx, j=~U^ C.141)
a t—1
минимизация которых (min/^ = [х(}^) позволяет получить таблицу значе-
fc V.'
ний b{lj, f = 1, m, /= 1, я, столбцы которой представляют собой ступен-
ступенчатую основу нового (первого) приближения набора функций рг-(б), т. е.
Продолжая процесс аппроксимации, представляющий собой по существу
комбинированный (вариационно-итерационный) метод, составляем и мини-
минимизируем функционалы
пг
s)—%at,til)(s)]*ds, C.142)
i=\
(х, s/) - S <41) (х) Ь«/]2 dx C.143)
и, далее, //?, //?, ••• , //?, /^+/), ••• , что по?воляет на каком-либо fe-мпри-
fe-мприближении а(/° (л:) и p(f (s) достичь возможной при данном m точности аппрок-
аппроксимации.
176
Признаком сходимости рассматриваемого итерационного процесса являет-
является выполнение системы неравенств
Удачным выбором начального приближения, например путем применения ко-
конечного отрезка ряда Тейлора, можно достичь быстрой сходимости итераци-
итерационного процесса.
Преимущество метода состоит в том, что имеется возможность достичь
хорошей точности приближения не путем увеличения количества аппрокси-
аппроксимирующих функций одной переменной, а путем их «подстройки», что соответ-
соответствует машинному конструированию функций, не имеющих, возможно, ана
логического выражения.
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с вычислением функций щ (ху
и р,- (s), / = 1, га.
Первый вариант реализации состоит в следующем. Из условия миниму
ма функционала C.138) имеем
dljs
3^у = 0, t = 1, га, /= 1,л, C.145;
или
J [К (*/, s) — 2 ak{xi)fik{s)]fit(s)ds = O, i = 1, га, / = l,n. C.14b)
Пусть pf (s) = P/ ' (s), t == 1, га, — известные функции и
hs)№{s)ds = Ij?;\
\ \ C.147)
1 I
тогда систему C.146) можно представить как
t = 17?, / = UT, C.148)
или в виде одного матричного уравнения
*7оо «0=^00, (ЗЛ49)
где 17а = {w$} Г—-матрица га-го порядка, элементы которой w?° = 7?°)s; ?/a, =
= {^S°}—прямоугольная (га х п) матрица, элементы которой uff = if)*;
а0 = {а^}— прямоугольная (га х я) матрица, элементы которой а|/} =а&(х/).
Если функции pt-0) (s) линейно независимы, то матрица 0^ неособен-
неособенная (определитель Uao есть определитель Грамма) и, следовательно, решений
C.149) существует и притом единственное.
Если ранг матрицы а0 равен га, то можно построить линейно независи-
независимую систему функцийaf] (х), i = 1, га, такую, что а(;0) (х}) = af}, i = 1, m,
/= 1, д.
Теперь, полагая в функционалах C.139) известными функциями at(x)^
= af\x), а неизвестными — Р;E/)> проделав аналогичные выкладки, получим
и^г=и^ C.150)
12 5-1018 177
где GPi = {и&}Г—неособенная квадратная матрица m-го порядка, элементы
которой
ь
и\\ = lkix = J аГ (х) al0) (х) dx\ C.151)
а
U$t = {«?}•} — прямоугольная (т х п) матрица, элементы которой
ь
41 = Iff* = J /С (*, S/) af) (х) rfx; C.152)
—¦ прямоугольная (т х п) матрица, элементы которой р$ = C^ (s;).
Решив систему C.150) и построив систему функций p|1}(s) такую, что
sy) = pf/, следует определить ошибку АA) аппроксимации К(х, s) функци-
Pi*^ (s)» п°сле чего, если достигнутая точность окажется неудов-
летворительной, провести расчеты для функций а\ (xj), i = I, m\ j= I, n
по известным функциям pf}(s), i= I, m, затем определить |з[-2) (s/),f = I, m,
/= 1, п, и т. д. до тех пор, пока либо не будет выполняться условие Д<л> <
<е (г — заданная погрешность аппроксимации), либо А(г} начиная с некото-
некоторого г0 не перестанет уменьшаться. Последнее означает, что при данном т
заданная точность не может быть достигнута.
Заметим, что условие неособенности матриц ?/а/., U^r не является сущест-
существенным. Если оно не выполняется, то решение систем C.149), C.150) сле-
следует отыскивать по методу наименьших квадратов (например, использовать
псевдообратные матрицы [166]). Кроме того, можно применить способ аппро-
аппроксимации функций двух переменных как частный случай изложенного при
т = п.
Второй вариант реализации способа состоит в следующем. Пусть т =
= 1. Для значений функций а(^(х) и Pi1}(s) получим (системы C.149) и
C.150) в этом случае распадаются на п уравнений первого порядка)
C.153)
и
I
К (х, sj) afV) dx
рГ}(*/)= —ъ , I=L п. C.154)
J lap{x)]*dx
Пусть Airi) — максимальное значение ошибки аппроксимации функции
К(х, s) функцией a[r>-l)(x)$\ri)(s)f а
Кг (х, s) = K (x9 s) - оХ*-1) (х) p{ri) (s). C.155)
Применяя C.153), C.154) для функции Кх{х, s), можно получить а^2"^ {х),
р2Гг) (s) и Д2Гг); если А2(Г2) > е, то образуется функция
К2 (х, s) = Кх (х, s) - о?'-1) (х) рBГ2) (s) C.156)
и определяются аз3~~1) {х), $** (s), Азг3)и т. д., пока не будет достигну-
достигнута заданная точность аппроксимации.
Рассмотренный процесс приближений сходится для широкого круга ядер
[127].
178
Алгоритм и программа получения приближенного решения. Наличие фор-
формализованного способа аппроксимации произвольного ядра вырожденным по-
позволяет построить машинную методику приближенного решения уравнений
Фредгольма II рода с использованием метода вырожденных ядер. Рассмот-
Рассмотрим пример такой методики, основанной на втором варианте комбинирован-
комбинированного способа аппроксимации ядер.
Итерационную схему численного определения функций ai(x) и $i(x)
представим в следующем виде. Полагая в нулевом приближении P*0)(s)=lt
i = 1, m, для r-го, г = 1, 2, 3, • • • , приближения имеем
ь
\ K,_i (*,, s) p<r-!> (s) ds
(r1)T • /= 1>М = i,m, C.157)
b
/(,_, (*, sj) alr~l) (x) dx
> C.158)
1 [alr~l) (*)]***
a
где
(К {x, s) при i = 1,
Далее вычисляется ошибка
КГ)(^ s)|, x,sg[a, fe], C.159)
где
, s) = /Ci.! (x, s) - a|M) (x) рГ (s). C.160)
В [129] приведена стандартная программа FI в виде процедуры-операто-
процедуры-оператора на языке АЛГОЛ-60, предназначенная для решения уравнений вида C.1)
методом вырожденных ядер согласно зависимостям C.111), C.113) — C.115)
и включающая процедуру аппроксимации ядра по выражениям C.157) — C.160).
При этом итерационный процесс C.157), C.158) продолжается до выполне-
выполнения условия
при некотором г == г0, означающем, что величина АG практически перестает
уменьшаться. Далее полагается
Kt(x, s) = Klro) (x, s),
s) = Klro) (x, s), I
=-oLirt^l)(x)t p,- (s) = рГ0) (s) J
и увеличивается i на 1. Условием окончания процесса увеличения служит
неравенство
где 8 — заданная погрешность аппроксимации.
Пример 3.15. С помощью программы F\ решалось уравнение C.1) с
искомой функцией
~у(х) == cos я л; cos 2 пх + A —
при а == 0, 6=1, X == 1, /С (х, s) = e~xs,
1 \
Таблица 35
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0.30
Точное ре-
решение
1,00000
1,08796
1,04754
0,90961
0,72023
0,53033
0,38468
Решение
у (х) по
программе
F1
0,99676
1,08749
1,04443
0,90657
0,71726
0,52742
0,38184
X
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Точное ре-
решение
У(х)
0,31230
0,32063
0,39445
0,50000
0,59324
0,63042
0,57870
Решение
у (х) по
программе
F1
0,30954
0,31793
0,39181
0,49742
0,59072
0,62796
0,57630
х
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Точное ре-
решение
"у (х)
0,42434
0,17678
— 0,13244
— 0,45562
— 0,74852
— 0,93152
— 1.00000
Решение
У {х) по
программе
F\
0,42199
0,17448
— 0,13470
— 0,45783
— 0,74069
— 0,93366
— 1,00210
Было принято: г = 10 3, h = Ах = As = const = 0,05. Процесс аппроксима-
аппроксимации характеризуется быстрой сходимостью, что видно из следующих данных;
при i = 1 А°? = 0,21669, Д(? = 0,21658, A(f = 0,21658, что привело к
выполнению условия перехода к / = 2;
при i = 2 Лф = 0,0117953, Д^ = 0,01141050, Д^ == 0,0114005, что при-
вело к выполнению условия перехода к / = 3;
при i = 3 Д з} = 0,328 • 10~3, что привело к достижению заданной точ-
точности аппроксимации.
Вычисление величин ац и fu /, i = 1, 2, 3, по формулам C.113) и C.114)
привело к системе
0Л9026875С!+ 0,36095357 . 10"8 С2 — 0,69292904 . 101 С3 = 0,071172327,
0,36855304 • 10-4С! + 1,0652307 С2—0,41122660 • 1(И С3 = — 3,7604797,
— 0,26309862 • 10Сг — 0,90702087 . 10С2 +0,99778092 С3 = — 36,573712,
решение которой весьма устойчиво благодаря наличию квазидиагональ-
квазидиагональной матрицы коэффициентов. Полученное решение системы
Сг = 0,37406215, С2 = — 3,5302150, С3 = —36,655053
t a? (x)
таково, что оказались малы (<v 10) отношения
. Это свидетель-
С(^1а{_1 (х)
ствует о быстрой сходимости по i выражения C.110) для приближенного
решения.
В табл. 35 приведены значения полученного приближенного решения
примера и для сравнения значения точного решения. Значение ошибки
max \у(х) — у (х) | = 0,00324, а < х <: 6, указывает на достаточно высокую
точность результата.
Достоинством метода вырожденных ядер, существенным в практических
расчетах, является возможность обходиться решением систем алгебраических
уравнений невысокого порядка, как правило, значительно более низкого, чем
порядок систем, решаемых по методу квадратур. Это может, в частности,
привести к значительной экономии внешней памяти при машинном решении.
Оценка погрешности. Ошибка в линейном неоднородном уравнении Фред-
гольма II рода, возникающая при замене ядра К{х, s) вырожденным ядром
К (х, s), которому соответствует резольвента R (x, s; X), может быть оцене-
оценена посредством неравенства [320]
Щф^Г. ' C-161)
\У(х)-у(х)\< ' "
где у (х) — точное, а у (х) — приближенное решения, N — верхняя граница
f(x)\, a R и h определяются из неравенств
ь ъ
\K(x, s) — K(x, s)\ds<h, l\R(x,s;X)\ds< R
а
при условии 1 — |МАA+|Х|/?)>0. Резольвента вырожденного ядра /С (х, s)t
180
имеющего вид C.106), определяется с точностью до вычисления интег-?
рала посредством выражений
D (х, s; к)
, Ь, А) —
C.162)
D(x,s;\) =
0
яи
— %а
где ац подчиняются выражению C.114), D(X) — определитель C.118).
Если воспользоваться нормами функций и операторов, входящих в инте-
интегральное уравнение, то можно применить другой вариант оценки ошибки
приближенного решения, который относится к случаю представления произ-
произвольного ядра в виде [362]
К(х, s)=K(x, s)+8K(x, s),
т. е. в виде суммы вырожденного ядра К(х, s) и ядра SK(x, s) с малой
нормой. Тогда (при X = 1) имеет место оценка для нормы ошибки
C.163)
гдеЯК и #* —резольвенты ядер K(x,s) и K(x,-s), \\6K\\, \\Rk\\, \\Rk\\ —
нормы операторов с соответствующими ядрами.
Для оценки нормы резольвенты R произвольного ядра К можно вос-
воспользоваться соотношением
ii г/- \\
>0. C.164)
IIЯ И < 1-|Т|ЦХ||' 1
Для норм используются выражения
1
||/С||= max \\K(x9s)\ds,
0< X
= max \f(x)\,
0< х <1
C.165)
справедливые в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1], или
выражения
ь ъ )
C.166)
справедливые в пространстве функций, суммируемых с квадратом по области
V{a < х, s < b).
Пример 3.16. Решается уравнение
1
у (х) = ех ~х— \ х(exs —l)y(s) ds.
Для получения вырожденного ядра воспользуемся разложением К (х, s) =
~x(exs—1) в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами:
/\ у X, <Ь I /^««^ Т\ у X, <Ь I —= X Ь | ¦
Тогда решению подлежит уравнение
1
у (х) — ех х \ \x2s + -пг-
181
откуда следует
у (Х) = ех — х — Схл:2 — С2х* - С3х\
I 1
где Сг = I sy (s) ds, C2 = U-y(s) ds, C3 == \ *jry (s) ds. Подставив в по-
0 ^ О О
следние формулы выражение для 7/(х), получаем систему
C1=ijjs(es—s~C1s2 — C2ss — C3s*) ds,
= ] % (es - s - ClS* - C^ - Css*) ds, ,
С, =И V (es — s — ClS* — C2s* — Css*) ds,
или, при
! -f у Ц f ^-C3 = U,OO,
J
откуда находим Сг^0,50; С2«0,17; С3«0,06.
Приближенное решение принимает вид
Т/(х) = ех — х— 0,5х2—0,17х3 — 0,06%4.
Для оценки нормы ошибки воспользуемся формулой C.163), для чего най-
найдем предварительно следующие нормы:
1 1
о о
11*11 =
- 1 )
0,36,
1 1
0 6
1 1
,22,
I — II К I
II A'II
0,36
0,64
0,36
:0,64
II _ 0.36 n ,fi
W - 0X4 < °'56-
X
: У(х) — у (x)
0,0
1
0
0,2
0,999947
0,000053
0,4
0,999399
0,000601
0,6
0,997623
0,002377
T
0,8
0,993925
0,006077
а б л и ц а 36
1,0
0,988282
0,011718
18*
Тогда получим
\\У-~У\\<ШA +0,56)A + 0,56) 1,22 <з§-8~ 0-013.
Данные для сравнения полученного приближенного решения с точным
?/(#) = 1, а также для получения представлений о близости вычисленной
оценки ошибки к реальным ошибкам приведены в табл. 36.
3.4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Итерационные методы позволяют получить наиболее простые вычислительные
алгоритмы решения интегральных уравнений. Кроме того, они становятся неиз-
неизбежными при решении многих нелинейных задач. Примером может служить
процесс решения нелинейных интегральных уравнений методом квадратур,
который, несмотря на дискретизацию задачи, не освобождает от необходимости
применять итерационные процедуры при решении аппроксимирующих нелиней-
нелинейных конечных уравнений.
Применение итерационных методов к интегральным уравнениям с посто-
постоянными пределами интегрирования представляет собой более трудную задачу
по сравнению с применением их к уравнениям Вольтерры ввиду ограничений
на сходимость процесса. Этим объясняется наличие более широкого круга
итерационных методов для уравнений типа Фредгольма.
Процесс последовательных приближений. Принцип отыскания решения
интегрального уравнения C.1) методом последовательных приближений рас-
рассматривался в п. 3.1 при изложении методики решения посредством резоль-
резольвенты и итерированных ядер. По существу, определение каждого нового ите-
итерированного ядра соответствует новому итерационному шагу, уточняющему
функцию, являющуюся приближением к искомому решению. Таким образом,
если в качестве начального приближения принимается правая часть
Фо (*) = / (*)>
то при некотором числе п итерационных шагов приближенное решение пред-
представляет собой ряд
C.167)
где
ь
Js, ft=l,2, 3, ... C.168)
Если промежуток [а, Ь] конечен и
max | i( (л:, s)\ < M, max | / (х) | < /г, x, s?[a, b\, C.169)
X, S X
то соотношение
1М<щЬз (ЗЛ70)
обеспечивает сходимость ряда C.167). При этом
|<рл(*)| < M*N(b — of. C.171)
Погрешность приближенного решения, полученного в виде ряда C.167),
оценивается следующим сбразом:
\у(х)—уп{х)\< S |А,|*|фл(*)|< S N[M(b — a)|A,|]* =
183
Данная оценка относится к погрешности приближенного решения C.167) при
точном вычислении интегралов, т. е. не учитывает ошибок, возникающих
в случае применения квадратурных формул.
Метод простой итерации. Метод последовательных приближений в общем
случае включает в себя большое число итерационных алгоритмов и процессов,
в том числе тех, которые рассматриваются в последующих разделах. Часто
метод последовательных приближений отождествляется с процессом простой
итерации, хотя последний представляет собой лишь одну из разновидностей
первого. В частности, использование формул (ЗЛ67) и C.168) и есть простая
итерация, которая на практике чаще всего реализуется в несколько иной форме,
а именно с помощью рекуррентной формулы
ъ
yk+i(x)^f(x) + ^K(x,s)yk(s)ds, ?=1,2,..., C.173)
а
для построения последовательности1 функций {tjk{x)}> являющихся приближе-
приближениями к искомому решению уравнения C.1). При этом начальное (нулевое)
приближение уо(х) может быть выбрано произвольно, что и делается, если
нет каких-либо сведений о характере искомой функции. Однако, исходя из
физической постановки задачи, такие априорные (чаще всего качественные)
данные можно определить, что позволяет удачным выбором начального при-
приближения ускорить итерационный процесс (уменьшить количество приближе-
приближений в процессе решения).
Применение поиска решения, отражаемого формулой C.173), означает,
что в качестве приближенного решения принимается yk (х) при достаточно
большом fe, если при этом все интегралы вычисляются точно. Практически при-
признаком близости получаемых приближений к искомой функции является дости-
достижение малой величины разности двух следующих друг за другом приближений.
В дополнение к условию C.170) можно указать, что достаточными усло-
условиями применимости метода простой итерации являются
ь
[\K(x,s)\ds<l C.174)
ИЛИ
b b
q2 = В = ( { J | K(x, s) \*dsdxI/2 < 1. C.175)
a a
При этом оценки погрешностей определяются следующими неравенствами
для норм:
\\у-Ун\\с<ФАУ — уЛс, C.176)
II «, 4, II ^ „к\\Ук — Уо\\с /о 177V
\\У—Ук\\с < Яг 1 ?—> C.177)
где
— yk\\c=max \y(x) — yk{x)\, C.178)
а<х<&Ь
а также неравенствами
\\У — Ун\кш<(&\\у — Уо\\1* (
IIУ - tt Ik <*"?_-Г'Ч C-180)
где
о
\\y-Vt\\L.= {\\y(x)-yt{x)\*dx)ln . C.181)
а
184
Влияние параметра % на процесс итерации состоит в следующем. При выпол-
выполнении условий
ь ь )
= J J|/C(*, s)\2dxds< oo,
а а I
6 >
C.182)
J
последовательность C.173) сходится к решению уравнения C.1), если
IM < l^i|, C.183)
где Хг — наименьшее по модулю (первое) характеристическое число ядра К (х, s).
Условие C.172) трудно проверить практически. Более удобным с этой
точки зрения является условие
\X\KB~1. C.184)
Важным свойством линейных уравнений является независимость сходи-
сходимости последовательных приближений от вида правой части / (х) и началь-
начального приближения уо(х), которые влияют на скорость сходимости. В неко-
некоторых случаях полезно использовать оценку ошибки &-го приближения, пред-
представленную в виде
\у(х) — Ук (*) I < Я!ЯкВ~г Х^^В\ + ЯоЯкВ1 А, В |*, C.185)
где
ь ъ
а СО / Ч 1 W2 ( Г О / ч , \ 1/2
г« I у\ П у \ П I \ /У I V1 /7 У I
/ ^л; uxj , 1/0 — ^ j у0 ул) их) xi
а а
Ъ
(С \1/2
max ^ К2 (х, s) ds\
Пример 3.17. Решается уравнение
у (Х) = 1 + [ xs2y (s) ds.
о
Для определения сходимости последовательных приближений вычисляем по
формуле C.175)
}
е= 1/ i\x4*dxds = ^_.
О О
Проверка условия C.174) дает X = 1 < "J/15, значит, процесс сходится.
Далее, приняв уо(х) =*, вычисляем
0
1
185
Остановившись на третьем приближении, оцениваем ошибку по формуле
C.176), для чего вычисляем
1 1
/2 / Г \1/2
1 Ч
1
/ f
9*== (max]
о
Тогда
l/2
! | < 0,044.
Комбинация с методом вырожденных ядер. Если в уравнении C.1) ядро
вырожденное (этот случай рассмотрен в п. 3.3), то вместо получения и не-
непосредственного решения системы алгебраических уравнений C.116) может
быть применен итерационный способ решения, основанный на рекуррентном
соотношении
b m
Ci9k+\ = jp*(s)[/(s) — h У Cltkaj{s)\dsf C.186)
a /-1
(k = 1, 2, .. . — номер итерационного шага), полученном из выражения C.112).
Такой процесс по существу представляет собой косвенный и притом итера-
итерационный путь решения системы C.116). Данный способ позволяет несколь-
несколько упростить вычисления по сравнению с процессом C.173), поскольку
итерируемыми величинами являются не функции, а постоянные. При этом на
каждом итерационном шаге одновременно с новым приближением постоян-
постоянных Ci,k+i определяется и новое приближение для искомой функции, пред-
представленное в виде
m
уш (х) = /(*) + S С/. k щ(х). C.187)
Выражение C.186) соответствует алгоритму простой итерации, к которому
относятся условия сходимости C.170), C.174), C.175). Однако из выражения
C.112) нетрудно получить и другие итерационные алгоритмы.
Если в уравнении C.1) ядро произвольное, но аппроксимируется вырож-
вырожденным (см. п. 3.3) и применяется итерационный способ решения, например
согласно формуле C.176), то имеет место комбинация двух методов. Разно-
Разновидностью подобной комбинации является следующий алгоритм решения
1126, 283].
При аппроксимации ядра К{х, s) вырожденным, т. е. при
m
К (х, s)&K (х, s) = 2 ос( (х) Р, (s),
выбирают такие функции а?(х), P/(s) и такое т, чтобы остаточный член
r(x, s) = K(x, s) — K(x, s) обладал свойством
ь
q = max ? | г (х9 s) \ ds < 1. C.188)
Тогда решением уравнения C.1) будет функция
т
у(х) = уо(х) + Х^Сщ?(х), C.189)
где cp*(#), i = 0, 1, ..., ту —решения уравнений
ь
ф^ (х) = at (х) + X \ г (х, s) (pt (s) ds,
a0 {x) = / (x),
186
а
C.190)
которые при условии C.188) могут быть найдены методом простой итерации.
Постоянные Q, входящие в C.189), определяются из системы
Ь т Ь
С, = J ф0 (*) % (дс) dx + 2 С, J Ф/ (х) pi (х) dx, i = 1, 2, ..., т.
/1
/=1
Метод Положего. Область сходимости простой итерации при решении
уравнения C.1) ограничена, что следует из условия C.183). Стремление вос-
воспользоваться достоинствами метода, заключающимися главным образом в про-
простоте вычислительного алгоритма, приводит к необходимости предваритель-
предварительного преобразования исходного уравнения к виду, расширяющему область
сходимости. Примером подобного подхода является метод Положего [459],
который состоит в следующем.
В качестве исходного принимается эквивалентное C.1) уравнение
ь
J K(x, s)y(s) ds = liy(x) + F(x), C.191)
a
где ji= 1/X, F(x) = ц[(х).
Определяется второе итерированное ядро
ь
K{x, t)K(t,s)dt,
находится функция
N(x9s) = K2{*> s)-2\xK(x,s)
и вводится функция
± C.192)
y(x) +
относительно которой и строятся все последовательные приближения.
Нулевое приближение выбирается по формуле
*>(*) = 4 **(*). (ЗЛ93)
где
ъ
F* (х) = j [-iff, (дс, s) - ff (x, s) ] F (s) ds C.194)
И а
b b b b
a > jx2 + 2 | jljl I ( J J K2 {x, s) dxds )m + J J K2 (x9 s) dxds. C.195)
a a a a
Все последующие приближения находятся по формуле
ь
%+, (х) - t0 (x) + q % (x) — 4 j A' (*, 5) % E) ds, C.196)
a
1 2jLl2
где 4 = 1 — -?-.
При ограниченных /((*, s) и /(л:) описанный процесс последовательных
приближений сходится при любых А,, не являющихся характеристическими
числами, что свидетельствует о значительно более широкой области сходи-
сходимости метода по сравнению с простой итерацией.
Аналог метода Зейделя. По аналогии с методом Зейделя для алгебра-
алгебраических систем [68, 72, 77] может быть построен обладающий такими же
свойствами алгоритм применительно к интегральному уравнению C.1) в пред-
предположении ограниченности K{x,s) и /(*).
187
Квадрат D (a <: х, s < b) делится прямыми х = xi = а + ih и s = S/ =
= а + /А, 1, / = 0, /г, где А = —^ , на я2 частичных квадратов
Последовательные приближения определяются по формуле
b b
Ук (х) = f(x)+%lK1 (х, s) у, (s) ds + Я J K2 (х, s) yk^ (s) ds, C.197)
а а
где k= 1, 2, 3, ... и
О, х, s ? Dtj при i =
, s), x,sGD,y при1 = 2, л, /=l,t—1.
( ) ^D = 1, /г, / = f, n,
К (у «Л —
f = 2, /I, /=1,1—1.
Итерационный процесс C.197) сходится к решению уравнения при любой
правой части f (х) и произвольном начальном приближении уо(х), если первое
(наименьшее) характеристическое число ядра
К*(х, s, ?w) = /C//U, s), х, s? Д/, i,/= Т7Я C.193)
где
/—1 sv
?у (Л^, S) = 0{j А л\ \Ху S) -J- Л. 2_j \ А \Ху Г) Av (^ S) ui,
v=l s«, 1
1 при / > f,
по модулю больше единицы. Оценка сверху первого собственного значения
ядра C.198) позволяет получить достаточное условие сходимости процес-
процесса C.197):
b Ь
(J J|^(x,sa)|2dxdsI/2<1.
а а
Области сходимости на плоскости % процесса простой итерации и процесса
C.197) пересекаются, однако последний обладает свойством более быстрой
сходимости в круге
где В приведено в соотношении C.175) и
ь ь ь ь
В, = (J J /(*(*, s) dxds)m, B2 = ( { J K\ (x, s) dxds)m .
a a a a
При практическом применении формула C.197) используется в виде
1—1 в/
Ум(х) = f(x) +X^ J /C(x, s)yk.f(s)ds +
m •/
+ 21 K(x,s)yb-i.f(s)ds, x = Xi, f=l, л, ft= 1,2,3,... C.199)
0
(штрих у знака суммы означает, что S' = 0).
188
Нелинейные уравнения. Метод последовательных приближений приме-
применяется также для решения нелинейных интегральных уравнений. В этом случае
как сам факт сходимости, так и скорость сходимости обычно зависят от на-
начального приближения и правой части (если она явно присутствует в урав-
уравнении). Таким образом, выбор начального приближения у0 (х) приобретает
существенное значение. При определенных ограничениях сходимость не зави-
зависит от начального приближения, что также может служить одним из дово-
доводов для применения метода итерации.
Если каким-либо способом функция уо(х) выбрана, то для нелинейного
уравнения вида C.9) итерационный процесс строится по формуле
ъ
yk (х) = J К [х, s, у4_, (s)} ds, k = 1, 2, 3, ... C.200)
а
Аналогичные формулы легко записываются и для других видов нелинейных
уравнений, в том числе приведенных в п. 3.1.
Если последовательные приближения C.200) сходятся к решению урав-
уравнения C.9), то прекращение процесса на конечном шаге позволяет получить
приближенное решение данного уравнения. Примером условий сходимости
процесса C.200), а также оценок погрешностей являются приведенные ниже
соотношения.
Если функция К {х, s, у) непрерывна вместе с производной К'у (х, s, у) по
совокупности переменных а < х, s < й, |#| < р и
ь ь
| X | J sup | К (х, s, у) | ds < р, \7,\\ sup | КУ (х, s, у) \ ds < a, C.201)
а У 'а У
где а< 1, то при любой непрерывной функции уо(х) из области |#|<р,
х? [а, Ь] последовательные приближения C.200) сходятся равномерно к непре-
непрерывному решению у*(х), которое расположено в той же области и единст-
единственно в ней. Скорость сходимости определяется неравенством [76]
I У* (х) — yk (х) | < r^ sup | уг (х) — уо(хI х6 [a, b]. C.202)
При k > 1 неравенство C.202) дает априорную оценку погрешности &-го при-
приближения. Апостериорная, и вообще говоря, более точная оценка имеет вид
! У* (х) — yk (х) | < j2- sup | yk (x) — */,_! (x) |, x e [a, b]. C.203)
О численной реализации. При численной реализации метода для полу-
получения каждого нового приближения используются квадратурные формулы
согласно способам, описанным в п. 3.2. Определенное представление о прак-
практических, в том числе машинных, процедурах решения дает следующая схема,
иллюстрирующая процесс C.168).
Если х = Х{, i = 1, /г, —-абсциссы квадратурной формулы, At — ее коэф-
коэффициенты, то при обозначениях для известных величин Ktj = К (xi, Xf),
f? = f(xi) и приближенных искомых величин yi = 1y(xi)y q> (xt) = <pf процесс
C.168) преобразуется в соотношение
п
Фл-м. / = ? AtKiWk. h '> / = П~л! k = 0, 1, 2, . . . , C.204)
исходя из которого вычисления ведутся согласно табл. 37. Исходные дан-
данные вносятся в виде матрицы коэффициентов в столбцы 1, 2, . . . , п и в
виде значений срОг. = ft в следующий столбец. Последующие столбцы запол-
заполняются в процессе вычислений. Первый элемент столбца (ц>и) получается
как сумма попарных произведений элементов первого столбца на соответст-
соответствующие элементы столбца ср0/ свободных членов; второй элемент получается
как сумма попарных произведений элементов второго столбца на соответст-
соответствующие элементы столбца срОг. и т. д. до последнего л-го элемента. Анало-
Аналогично заполняется следующий столбец <p2t. с тем лишь отличием, что вместо
189
ч
хп
1
л, Л 2К\ 2
2
ХЛ2/С22
...
п
™:
Ф01
Ф02
ФО/2
т
Л2ср22
Я2ф2П
а б л и ц а 37
...
...
*«,
столбца (poi берется предыдущий столбец <ри. Процесс продолжается до по-
получения столбца (на некотором 1-м шаге итераций) с принятой точностью
вычислений. Значения приближенного решения в узлах получаются сумми-
суммированием соответствующих элементов вычисленных столбцов по строкам.
Подобным же образом применяются квадратурные формулы при реали-
реализации других разновидностей метода последовательных приближений, в том
числе при решении нелинейных интегральных уравнений.
Численные процедуры итерационных методов отличаются простотой,
легко реализуемы на ЭВМ. Для вычисления интеграла могут быть использованы
различные квадратурные формулы, требования к которым определяются не-
необходимостью согласования их точности с точностью исходных данных.
Программы, реализующие итерационные методы, целесообразно использовать
также для уточнения решений, полученных другими методами и представ-
представляющих собой «хорошие» начальные приближения. В таком случае можно
ожидать быстрой сходимости итерационного процесса.
Пример 3.18. Для решения определенного круга уравнений методом
простой итерации, а также для исследования других итерационных алгорит-
алгоритмов может быть использована программа F5 из [129]. Ее применение может
быть проиллюстрировано посредством решения уравнения примера C.17).
Программа осуществляет вычисления по формулам
уо{х) = f(x)9
K(x,s)yk_1(s)ds,
=l, 2, 3, ...,
которые в данном конкретном случае имеют вид
1
У о (*)=!. У к (*) = 1 + J х$*Ук-1 (s>ds-
о
Условием окончания итерационного процесса является выполнение со-
соотношения
где || у\\ = тах| у(х)\ и е — заданное значение относительной погрешности»
Машинный расчет позволил на 5-й итерации получить результат, приведенный
в табл. 38 и отличающийся от точного в четвертом-пятом знаке. При этом
был выбран шаг h = 0,01 (искомая функция вычислялась в 100 узлах) и 8==
= 10~3. О ходе итераций можно судить по следующим даннным:
0.250
0.588 . 10-1 0.145 • 10-1 0.361 • 10~2 0.902 . 10
На получение каждого приближения потребовалось 50 с машинного времени
ЭВМ БЭСМ-4.
Метод осреднения функциональных поправок является развитием прин-
принципа последовательных приближений с целью ускорения сходимости и рас-
расширения области приложения итерационных алгоритмов [429—432, 615—617].
190
Таблица 38
X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
У 5 (X)
1
1.0044404
1.0088809
1.0133214
1.0177618
1.0222023
1.0266428
1.0310833
1.0355237
1.0399642
1.0444047
1.0488451
1.0532856
1.0577261
1.0621666
1.0666070
1.0710475
1.0754880
1.0799284
1.0843689
1.0888094
1.0932499
1.0976903
1.1021308
1.1065713
1.1110П8
X
0.26
0:27
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
Уг (х)
1.1154522
1.1198927
1.1243332
1.1287736
1.1332141
1.1376546
1.1420951
1.1465355
1.1509760
1.1554165
1.1598569
1.1642974
1.1687379
1.1731784
1.1776188
1.1820593
1.1864998
1.1909402
1.1953807
1.1998212
1.2042617
1.2087021
1.2131426
1.2175831
1.2220236
X
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
C).57
6.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
Уь (х)
1.2264640
1.2309045
1.2353450
1.2997854
1.2442259
1.2486664
1.2531069
1.2575473
1.2619878
1.2664283
1.2708687
1.2753092
1.2797497
1.2841902
1.2886306
1.2930711
1.2975116
1.3019520
1.3063925
1.3108330
1.3152735
1.3197139
1.3241544
1.3285949
1.3330354
к
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
Уь (х)
1.337475*
1.3419163
1.3463568
1.3507972
1.3552377
1.3596782
1.3641187
1.3685591
1.3729996
1.3774401
1.3818805
1.3863210
1.3907615
1.3952020
1.3996424
1.4040829
1.4085234
1.4129638
1.4174043
1.4218448
1.4262853
1.4307257
1.4351662
1.4396067
1.4440472
Линейные уравнения. Применительно к линейному уравнению
мето1 предполагает, что правая часть f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь]
ядро К(х, s) непрерывно по обоим аргументам а < х, s < Ъ и, кроме того,
b Ь
D = h — j dx J К (x, s) йэф 0, h = b — a > 0. C.205)
Схема метода. В первом приближении принимается
Уг (*) == / (х) + «i J К {х9 s) ds,
где
а
Подставляя выражение ух(х) из C.208) в C.207), получим
b b b
hax = j / (х) dx + al j dx ^ К (х, s) ds,
a a a
откуда
C.206)
C.207).
C.208)
В /i-м приближении
b
Уп(x) = f(x) + $K(x, s)[yn.x (s) + an]ds = /
a
b 0
+ j К (x, s) yn_t (s) ds + an j К (х, s) ds,
C.209)
191
где
и
ап = Т \ 8fl ^ dx> 8n = Уп — Уп-и 6i = Уь п = 2, 3, ... C.210)
а
Так как по C.209)
ь ъ
(*, s) вл-1 («) ds + (ап - ап_г) J ТС (*, s) ds, C.211)
то
b b b b
han = dx \ К (x, s) 8п_г (s) ds + (an — ап_г) \ dx K(x, s) ds,
откуда следует
ап = -1 (j dx J /С (х, s) б„_х (s) ds — «„_! j dx j /C (x, s) ds) . C.212)
Таким образом, начиная со второго приближения решение состоит в выпол-
выполнении процесса C.209) с привлечением выражения C.212).
Сходимость и оценка погрешности. Пусть в промежутке [а, Ь]
\Уг{х) — аг\ <6, §\К{х, s)\ds<;L. C.213)
Используются обозначения
ь ъ
\K(x,s)\ds = N,
Тогда имеют место оценки
ь ь
N+ L§dx J [\K{x, s)\-K(x, s)] ds} = 8.
a a
C.214)
J & j I ^ (. s) 116n-! f-0 — K-2 (s) — an_i + а„_21 ds
C.215)
16„ I < J I К (x, s) 11 б„_, (s) + an - att_x | ds < YLe«-2, C.216)
a
из которых следует, что если е< 1, то уп(х) при п->оо в промежутке
[а, Ь\ стремится к предельному значению, удовлетворяющему уравнению C.1).
Если через Мп обозначить наибольшее значение \у — уп\ в промежутке
[a, b\ и принять
то оценка погрешности записывается в виде выражения
ь
\у-уя\<$\К(х, s)\\y(s)-ya_1(s)~an\ds<L(Mn_1 + \an\), C.217)
a
192
при использовании которого можно применить оценку
C.218)
Пример. 3.19 Пусть дано уравнение
— 2 15
имеющее решение у = 1 + Ух. В данном случае Z, = -g-, iV = -g-, D = -g >
e = y. Применение простых итераций дает следующие приближения:
!/о(х) = Ъх + УГ*~Т> ЙМ^Т + ^ +
лГ~ л 149
V +
2 х) — — 13 + V 135
По методу осреднения функциональных поправок в первом приближении
откуда находим
Во втором приближении
24
__ 3 /2 \ _ 3_ B \\
— Уг ~~ go + а2 \ 3 ~ ^/ > а2 ~ 50 + а2 \ ~ Т/ '
У2
9 2 ,
откуда а,^—^, ^ =-375^ +
, 126
+ Г25 •
24
Простая итерация (а2 = 0) на этом шаге дает у* (*) = "[5 + г * + §§ •
Используя запись уп_г = У~х + ап_хх + Вп_ъ находим рекуррентные соотно-
соотношения an = —-gg(&„_!, Вп = I +^an_lf an = 1 — ^а^х —5П_!, из кото-
которых непосредственно следует сходимость процесса.
В табл. 39 приведены погрешности (в %) полученных приближений,
откуда следует преимущество метода осреднения функциональных поправок
в скорости сходимости.
Обобщающий алгоритм. Усовершенствованный алгоритм метода осред-
осреднения функциональных поправок позволяет ослабить указанные ранее усло-
условия сходимости и распространить метод на случай бесконечных пределов
Таблица 39
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
—116.7
—50.0
— 19.5
+4.5
+25.0
У* (х)
—11Л
—1.9
+3.3
+7.4
+ 11.1
У*Л Ш
+5.9
+3.0
+ 1.8
+0.9
+0.2
Ух (х)
—10.0
—5.6
—3.9
—2.7
— 1.7
У*(Х)
+0.8
[-0.4
1-0.3
[-0.2
1-0.1
-4.0
—1.6
—0.4
+0.5
+1.3
13 5-1018
193
интегрирования [429]. В данном случае используется произвольная ортонор-
мированная система действительных функций {cpt. (#)}, обладающая следую-
следующими свойствами: все функции системы попарно ортогональны, т. е. любая
пара функций ф/ и ср^ подчиняется соотношению
ь
(Ф/, ф,) == J Ф] (х) ф, (х) dx = 0, / ф q, C.219)
норма
1/2
= V(<Pt> Ф,) = (J IФ* (*) I2 ^ ) C.220)
каждой функции системы равна единице, т. е. ||ф,|| = 1.
Следовательно, ортонормированные функции удовлетворяют соотношению
О при /
и, значит, они линейно независимы.
В первом приближении
где
ь ъ
сен = §yt{x) cp* (x) dx, Kf(x) = J K(x, s) Ф/E) fits, i, j = 1, . •. , I, C.222)
a a
I — натуральное число.
При обозначениях
b b b
/С/ (х) ф/ (x) dx == J j /C (*, s) ф; (х) ф/ (s) dsd^, C.223)
a a
b
C.224)
для определения неизвестных alt. имеет место алгебраическая система
аи- — X 2 оыу/О/ = Ви, i = 1, ... i '. C.225)
/=i
Отсюда по формуле Крамера находим
^=1 • 1 1
где определитель
• • • 1 —
C.226)
M^-(Ji)—алгебраическое дополнение элемента, находящегося на пересечении
/-й строки и /-го столбца.
В л-м приближении
ь i
Уп (x) = f{x)+%{K (х, s) уп.г (s) ds + X J] anjKj (x\ C.227)
а /=1
194
где
n(x)^(x)dxf¦ t = 1, ....-,/,- C.228)
»„ (*) = yn (x) - Уп-i (*), n = 2, 3, ... , 61 (*) = ^ (*), C.229)
или
b I
n (*) = ^ $ # (xl s) e^x(s) ds — %2 a^lt ,/C/
l
a»/^/<^>- C-230)
Конечная линейная алгебраическая система относительно неизвестных ani
имеет вид
— X 2j
H
= 5/tf, t = 1, ... * /»
где
= Я J Ф, (x) J /С (x, s) 6rt_! (s) ds^ - Я, j] a^l
a a /=1
C.231)
C.232)
Из системы C.231) определяются
i
Zj ni ij \
f /= 1 /.
C.233)
При/= 1 иф1(х)= l/l/^b — a данный алгоритм превращается в рассмотренный
ранее более простой алгоритм метода осреднения функциональных поправок.
Если пределы интегрирования а, Ь конечны, то иногда полезно в качестве
полной ортонормированной системы функций {ф, (х)} брать ортонормирован-
ную на [а, Ь] систему многочленов Лежандра.
Пример 3.20. Интегральное уравнение
у
(х) = Ух — 0,1 (х2 + Ъх + 6) + §5 j Bх* + 1 Бх* + 37х + 30) s
ds
имеет точное решение у (х) = Ух.
Пусть / == 2, тогда первых два ортогональных и нормированных на
[0,1] полинома Лежандра имгюг вид ф1(л;) = 1; ф2(л:) = У3Bх — 1).
Для решаемого уравнения
Кг (х) = J Bх3 + 15х2 + 37* + 30) sx+1 ds = 2x2 + 1 \х + 15,
о
1
К2 (х) = "КЗ J Bх3 + 15х2 + 37х + 30) s*+1 Bs — 1) ds = |/3 Bх2 + 7х+ 5),
о
Кп =
Clt = УЗ
5) djc = 9 |
= 3
dx = 4~
13*
I9S
В первом приближении имеем
C.234)
откуда с учетом C.222) и C.224) получаем систему уравнений
127 гу _L551/^ 13
13 лг-к ,9/3
120 К °>аХ1-га12 — 40а12 = "зо"»
из которой определяем
аи = 0,62876, а12 = 0,12089 ]/3.
Подставляя в C.334) значения ап и а12 для первого приближения,
находим
Уг (х) = Ух — 0,00082х2 — 0,0271 \х — 0,03765.
Согласно формуле C.227) во втором приближении имеем
у2(х) = 1/5 — 0,1 (*» + Ъх + 6) + 1 JB*3 + 15х2 + 37* +
о
+ 30) s*+1 A/1 — 0,00082s2 — 0,0271 Is — 0,03765) ds + ^ B*2 + 1 lx + 15) +
7x + 5) = Vx — 0,00656x2 — 0,03319* — 0,04216 +
+ 7* + 5). C.235)
Для определения а21 и а22 на основании C.228), C.232) и C.235) по-
получаем систему
<х22 = -0,00940;
a22 - ffi ^22 = -0,002001/3.
Отсюда
а21 = 0,05168, а22 = 0,004641^3.
Подставляя значения а21 и а22 в C.235), во втором приближении по-
получаем
, 0,00025
л:+4
+ 0,00010* + 0,00008.
Табл. 40 показывает, что уже второе приближение дает приемлемые
результаты.
Нелинейные уравнения. При определенных допущениях [429,
430] рассматриваемый метод применяется также для решения нелинейных
уравнений. В качестве примера может служить схема вычислений при ре-
решении уравнения
ь
\K (х, s) F [х, s, у (s)] ds, Ъ — а = h > 0. C.236)
а
Таблица 40
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
У(х)
0.00000
0.50000
0.70710
0.86604
1.00000
Ух (х)
—0.03765
0.45552
0.65569
0.81010
0.93442
У 2 U)
0.00012
0.50016
0.70728
0.86624
1.00023
Ух (х) — у (х)
—0.03765
—0.04448
—0.05141
—0.05594
—0.06558
У г (X) — у (X)
0.00012
0.00016
0.00018
0.00020
0.00023
196
В первом приближении принимается
ь
Уг (х) =/(*) + $* (х, s) F (*, 5, аг) ds, C.237)
а
где
ь
*1 = ъ1уЛх)*х. C.238)
а
Подстановка выражения уг (х) из C.237) в C.238) приводит к уравнению
ь ь ь
Ых = J / (х) d* + J йх^ К (*, 5) F (х, 5, аг) ds C.239)
а а а
для определения ах. Если это уравнение имеет действительные корни
«{», аР, af\ .... C.240)
то во втором приближении принимается
ъ
У2 (х) =f(x) + $K (x, s) F [х, s, уг (s) + a2] ds, C.241)
а
где yx(s) соответствует одному из значений C.240), а
ь
W ^ 62 (х) = t/2 (х) - ух (х). C.242)
По формулам C.237) и C.242) определяем
ъ
62 {х) = \к (х, s) [F (х, s, у± + a2) — F (х, 5, ах)] ds, C.243)
а
так что согласно C.242) для определения а2 имеет место уравнение
ъ ъ
ha2 = \dx^K(x, s) [F(*, 5, у2 + a2) — F(x, 5, ах)] ds, C.244)
а а
действительные корни которого, соответствующие а(х°, равны a2il\ а2*2\ а2*\ ...
Продолжение процесса приводит к п-му приближению
ъ
Уп(х) = /(х) + J К(х, s)F[x, s, yn^(s) + an] ds, n == 3, 4 , C.245)
где yn^t(s) соответствует некоторой последовательности корней
a^ = TIS« W dx' 8n W = Уп (*)- Уп-i W- C.247)
a
Так как согласно формуле C.245)
ь
Sn W = J К (x, s) [F (x, 5, yn_x +an)—F (*, 5, yn_2 + a^^] ds, C.248)
a
то ал будет определяться уравнением
ь ъ
K (xt s) [F (x, s, yn_x + an) — F {x, s, yn_2 + a^x)] ds. C.249)
197
X
0
0,5
1,0
+4,4
+4.0
+3.3
У AX)
—0,2
—0.2
—0,2
y*2w
+ 1,3
—0.4
—3,3
y*z(x)
—0,3
—0,3
—0,3
Таблица 41 В практике вычислений применение опи-
описанного метода к нелинейным интегральным
уравнениям вида C.236) при надлежащем вы-
выборе корней C.246) является во многих слу-
случаях целесообразным, так как уже после
первого или второго шага этот метод приво-
приводит к приемлемым по точности результатам,
т. е. достигается эффект ускорения итераци-
итерационного процесса.
Введение параметров ап практически целесообразно только при первых
шагах, пока |а„| не является пренебрежимо малым по сравнению с абсо-
абсолютным значением интегрального среднего функции уп—[(х). Таким образом,
сходимость процесса определяется условием сходимости простых итераций.
Пример 3.21. Интегральное уравнение
(s — *) у2 (s) ds
О г-
имеет при С < -н-]/ 3 + 2]/3 ж 3,81366 два действительных решения.
Согласно излагаемому методу имеем уг(х) = С + а\ (у —х); аг = С,
т. е. первое приближение уг (*) = С + С2 (-^ — * J совпадает в данном слу-
случае с тем, которое получается посредством простых итераций.
При С = 0,50437 одно из решений имеет вид у (*) « 0,60497 — 0,24000*.
По излагаемому методу в этом случае получаем уг(х) = 0,63157 — 0,25439*,
j/2(*) = 0,60361—0,23951*, а согласно простым итерациям имеем у\ (*) =
== 0,61288 — 0,25979*; у\ (*) = 0,60291 — 0,23850*. Соответствующие погреш-
погрешности приводятся в табл. 41.
При С = 0,20100 одно из решений будет у « 0,21967 — 0,0400*. В этом
случае ух = 0,22120— 0,04040*, у2 = 0,21965 — 0,04000*, у\ (х) = 0,21991 —
— 0,04054*, yl (*) = 0,21965 — 0,00400*.
Метод Ньютона — Канторовича. Решение нелинейных интегральных
уравнений является сложной задачей вычислительной математики, что обу-
обусловлено трудностями как принципиального, так и вычислительного харак-
характера. В связи с этим разрабатываются методы, специально предназначенные
для решения нелинейных уравнений. К таким методам относится метод
Ньютона — Канторовича, который во многих случаях позволяет решать во-
вопросы обеспечения и ускорения сходимости итерационных процессов [67, 73,
76, 273]. Рассмотрим данный метод применительно к уравнению
ь
у (х) = J К [х, s, у (s)] ds, х, s€ [а, Ь]. C.250)
Итерационный процесс строится так:
ук (х) = */,_! (х) + Фл_! (*), k = 1, 2, 3,
где
л_1 (s)] <pa_i (s) ds,
(*) = [ К [*, s, уь-х (s)] ds — yk-i (*).
C.251)
C.252)
C.253)
На каждом шаге алгоритма решается линейное интегральное уравнение
относительно поправки q)?_i(*). Процесс C.251) при определенных условиях
[319 697—701, 320] обладает быстрой сходимостью (сверхбыстрой сходи-
сходимостью второго порядка), однако достаточно сложен, поскольку на каждой
итерации необходимо получать новое ядро К'у [*, s, yk-\ (s)] для уравнения
C.252).
198
Упрощение алгоритма достигается путем использования уравнения
ъ
ср*_, (х) = е&_, (х) + J К'у [х, s, y0 (s)] <р*_, (s) ds C.254)
а
вместо C.252). При удачном выборе начального приближения интегральные
операторы в C.252) и C.254) отличаются мало. При этом ядро в C.254)
в процессе решения остается неизменным.
Метод приближенного решения, состоящий в применении формул C.251),
C.253) и C.254), называется модифицированным методом Ньютона. В прин-
принципе он сходится медленнее, чем исходный (^модифицированный) метод,
однако менее сложен при вычислениях и потому часто оказывается предпоч-
предпочтительным. Принципиальные качества метода определяются следующими
положениями [67, 273, 319, 320], позволяющими сравнить его с другими ите-
итерационными методами. Если функция К (х, s, у) непрерывна вместе с про-
производными Ку(Ху s, у) и Ку*(х> s, у) по совокупности переменных a:, s?[a,b]
и выполнены условия:
1) при начальном приближении уо(х) ядро Ку[х, s, yo(s)] имеет резоль-
резольвенту Г (х, s), подчиняющуюся условию
% s)\ds< G;
2) невязка е0 (х) уравнения C.250) для приближения у0 (х) удовлетво-
удовлетворяет неравенству
ь
I ео (х) | = | J К [х, s, y0 (s)] ds — y0 (х) | < а;
а
3) в области
имеет место соотношение
ь
С sup | Куг (х, у, s) | ds < Q;
а У
4) постоянные G, % Q подчинены условию
то процесс C.251) сходится к решению у* (х) уравнения C.250), расположен-
расположенному в области
l-V*-2h(l—G)r\9 x?[a, 6], C.255)
и единственному в области
\у(х)~уо(х)\< 2A + Gjn, x?[a9 Ь].
Скорость сходимости определяется оценкой
\к-1A-С)г]у х?[а, Ь]. C.256)
Таким образом, приведенные положения устанавливают сходимость алгорит-
алгоритма, существование, область расположения и область единственности решения
нелинейного уравнения C.250).
Приведенные условия оговаривают, в частности, требование к началь-
начальному приближению уо(х), отыскание которого также является важной само-
стсятельной задачей, для решения которой не существует общего подхода.
Выбор у0 (х) определяется либо более детальным априорным анализом решае-
решаемого уравнения, либо физическими соображениями, вытекающими из суще-
199
ства задачи, описываемой этим уравнением. При выбранном начальном
приближении метод обеспечивает высокую скорость сходимости получения
приближенного решения. Априорная оценка погрешности функции Ук(х)
может быть подсчитана по формуле C.256). Более точная, апостериорная
оценка дается неравенством C.255) при у(х) = у*(х), если во всех относя-
относящихся к нему выражениях заменить уо(х) на yk(x) и пересчитать соответст-
соответствующие постоянные.
Пример 3.22. Необходимо решить уравнение
1
С 5
= I xsy2(s)ds — jk.
В качестве начального приближения принимаем г/0(*)=1. Определяем
согласно C.253) невязку:
2 5
8 1 y\ —— \ VCY» / С^ /7 С ««._» __ V ] , 1 У/ / ^Ч ——
Л \Jvt —— ¦ ДОМ л I О f UvO | л ^V j X ' W Л I Jv I ""¦"•
О О
Необходимая в расчетах производная от ядра /С [*, s, у] = *sy2 (s):
#i [^> s> У] = 2*sy (s).
В соответствии с C.252) составляем относительно фо(*) уравнение
Фо W = Х2 + 2х ] s^o ^s^ Фо ^ ds>
о
в котором ядро оказывается вырожденным, что позволяет просто получить
решение ф0 (*) = -j .
Теперь определяется первое приближение искомой функции
Уг (х) = у0 (*) + Фо (*) = 1 + j.
Продолжая итерационный процесс, получаем
О
Уравнение относительно фх (х) имеет вид
(х) = ? + 2х J s A + ~) ds + A - 1 х) - A + -?) ,
о
Ф1 ?
3 х S 1
и его решение фх (х) = 40^. Отсюда у2 (х) = 1 + -j + trX^ I + ух. Если,
далее, определять третье приближение при у2 (х) = 1 -f -^ х, то легко полу-
получить 82 (л:) = 0 и ф2 (х) = 0, что приводит к искомому результату у (х) =
Данное решение не единственное. Второе решение также может быть
получено, если в качестве начального приближения выбрать функцию у0 (х) =
= 1 +0,8х. В этом случае повторение приведенной выше последовательности
приближений приводит к следующим результатам:
во(*) = —§5 • ^о(х) = ^ , Уг(х) = 1+ 0,82х;
8l (*) = —0,02л:, фх (х) = 0,31*, у2 (*) « 1 + 1,13*;
g2 (*) « 0,03*, ф2 (*) « 0,15*, уз (*) « 1 + 0,98*,
и последующие приближения стремятся к точному решению у (х) = 1 + *.
200
Для суждения о скорости сходимости выполненного итерационного про-
процесса можно сравнить полученные результаты с реализацией модифицирован-
модифицированного метода Ньютона, в соответствии с которым для двух других вариантов
начальных приближений получено
Уо(х) = 1,
ух (х) = 1+ 0,25л:,
у,(х) = 1+0,69х,
Уз(х)=\+0,60х,
yt(x) = 1+ 0,51л:,
ул(х)= 1 +0,44л:,
ув (х) = 1 + 0,38л:,
г/7(х) = 1 + 0,36л:,
у8(х) = 1 + 0,345л;,
г/0 (х) = 1 + 0,8х,
&(*) = 1 + 0,19*,
уг (*) = 1 + 0,37л:,
уа (х) = 1 + 0,46л;,
г/, (х) = 1 + 0,72х,
ув(*) = 1 + 1,14*.
г/в (л:) = 1 + 0,74х,
у7(х) = 1 + 1,135х,
уа (х) = 1 + 0,76л:,
г/& (*) -> 1 + 0,333л;, ук (х) -»-1 + ж.
Еще медленнее сходится процесс простых итераций, выполняемых по
формуле
Г 5
Ук W = \ xsyl-i (s)ds — jzx
Ук(х) = Ук-\ (х) + ф*-1 (*), & = 1, 2, 3, ....
ь
щ-i (x) = ek-i
, s, yk-x, yk-i)
(х, s, yk-u
А_1 (s) ds,
и приводящий к следующим результатам при уо(х) — 1:
Ух (х) == 1 + 0,083л;, у8 (*) = 1 + 0,27х, у1в (*) = 1 + 0,318*.
у, (*) = 1 + 0,14л;, у9 (*) = 1 + 0,26л:, у„ (*) = 1 + 0,321*.
Уз (*) = 1 + 0,18л;, уи (*) = 1 + 0,29х, у18 (*) = 1 + 0,323х,
Таким образом, приближения гораздо медленнее, чем в предыдущих слу-
случаях, стремятся к точному решению у (х) = I + -j х.
Метод Эйткена — Стеффенсена. Алгоритм решения уравнения C.250)
строится в виде [70, 688]
C.257)
C.258)
C.259)
C.260)
C.261)
C.262)
C.263)
C.264)
—K[x, s, yk-i(s)]
8&—1 (х) = Ук—\ (х) —У к— 1 (х),
Ь
yk_i (*) = \ К [х, s, уь-i (s)] ds
или в несколько другой форме:
Ук(х) =
щ-1 (х) =
где
Ук(х) = Ук-i (х) + ф*-1 (х), Л=1,2, 3, ... ,
ь
, s, 7/fc_i, yA_i
(s) ds,
(л:) = J /С [л:, s, уй_1 (s)]
Условия [70], представляющие видоизменения соответствующих условий
для метода Ньютона и определяющие равномерную сходимость метода,
201
а значит, и существование решения, область его определения и в ряде слу-
случаев область единственности, сводятся к следующему:
1) при начальном приближении уо(х) ядро
iq(Xj s, у'q, У о) ~— —
#о (s) — У о (s)
имеет резольвенту G0(x, s), удовлетворяющую соотношению
ь
max \ |G0 (л:, s) | ds < G;
2) max |у0 (л:) — yo(x)\<v\;
3) в области max \у(х) — уо(х)\ < 2 A + G) г] имеют место соотношения
х
b Ъ
max \\Ку(х, s, y)\ds<.a<.\, max | /С^ (*, s, у) [ < Q;
х а
4) постоянные G, т], Q, а удовлетворяют соотношению
Тогда последовательные приближения C.257) сходятся к решению у*(х)
уравнения C.250), которое лежит в области
max | у* (х) -Уо(х)\<гк (г^J0 + G) Ч-
В этой же области решение единственно при а < 1. Скорость сходимости
характеризуется оценкой
max| у* (х)-yk(x)\<^ (^f (I + G)т,.
Основной процесс имеет, как и метод Ньютона, сверхбыструю сходи-
сходимость второго порядка, но не требует при этом вычисления на каждом ите-
итерационном шаге производной ядра. Кроме того, во многих случаях он может
сходиться быстрее алгоритма Ньютона — Канторовича.
Применяя приведенный алгоритм метода Эйткена — Стеффенсена для ре-
решения нелинейного интегрального уравнения, приходится на каждом k-м
шаге решать линейное интегральное уравнение с новым ядром "?(#, s, tjk-u
Ук—х), а в численном варианте — решать линейную систему с новой матрицей,
что вызывает определенные затруднения. При практическом отыскании реше-
решения нелинейного интегрального уравнения можно изменить алгоритм, взяв
в формулах основного процесса при любом k вместо ядра W(x, s, Tjk—u Vk—i)
фиксированное ядро 4я (х, s, y0, у0). Такой путь приводит к двум достаточно
удобным модификациям метода Эйткена — Стеффенсена:
1) вместо уравнения C.258) в алгоритме C.257) — C.261) относительно
поправки ф?_1(л:) решается уравнение
ъ
ф?_1 (*) = e*_i (*) + [ Y (a:, s, р0, у0) ф^_1 (s) ds, C.265)
а
где
? (х, в, у0, у0) = ^t*.«.y.WWt*.'.bWl. C.266)
2) вместо уравнения C.263) в алгоритме C.262)— C.264) решается
уравнение
ь
Ф*_1 (х) = Ё4_! (х) + J ? (х, s, у0, Уо) Ф*-1 (s) ds. C.267)
а
Первые приближения в этих двух процессах и в основном процессе
C.257) — C.261) совпадают, а последующие приближения во всех трех слу-
случаях различны,
202
Пример 3.23. Методом Эйткена — Стеффенсена необходимо решить
уравнение
В качестве начального приближения выбираем у0 (х) = х. Тогда соглас-
согласно алгоритму C.257) —C.261)
1
3 25
+ x l х1
Г
Уо(х) =xj s2(s+
о
j
о
25 13
— Уо(х) = Т2х~1~Х:=г2
Линейное уравнение относительно поправки <ро(х) согласно C.258) имеет
вид
1
13 , , 9
Фо (X) = j^ X — 1 + 12 ^
б
а его решение:
22 -
= 27х 1.
Тогда первое приближение искомой функции:
49
У\ \"^/ ==:: ^/о i."^/ i Фо \Х) ^^ 97 " *
Продолжая итерационный процесс, для второго приближения получаем
1
М — Я— —1 — — 4-1— —
Теперь для поправки Фх(л:) составляется линейное уравнение
1
9. Стаё
= 54 Х + Х \ 5 Фх (S
решение которого определяется достаточно просто благодаря наличию вы-
вырожденного ядра и равно <рг(х) жО,2х. Это дает возможность определить
второе приближение
у2 (х) = | х — 1 + 0,2* « 2* — 1,
которое оказывается точным решением.
3.5. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Общие принципы. Ряд методов решения интегральных уравнений основан на
представлении приближенного решения у(х) функцией определенного вида:
у(х) = Ф(х9 С), C = (Clf C2, ... , Сп), C.268)
зависящей от свободных (неопределенных до окончания процесса решения)
параметров С,-, i=l, п. Определение свободных параметров основано на
использовании выражения для невязки
е (х, Ct) = i/Ф (х, С) = 0, C.269)
203
где U — оператор, получаемый в результате переноса всех членов интеграль-
интегрального уравнения в одну сторону. Например, для линейного уравнения Фред-
гол ьма II рода
ъ
г(х) s Uy(x)sy(x) — b$K(x9 s)y(s)ds~ f (x) = 0. C.270)
Подстановка в последнее выражение функции Ф(х, С) вместо у(х) пред-
представляет собой переход к соотношению C.269), откуда уже в процессе ре-
решения определяется такая совокупность свободных параметров C{,i= I, ny
которая делает невязку малой в каком-либо смысле. В сбщем случае мини-
минимизируется некоторый функционал J от невязки, т. е. достигается условие
С)]. C.271)
При этом, очевидно, точное решение обращает невязку в нуль (г(х) = 0).
Чаще всего наиболее удобно приближенное решение представлять в ви-
виде функции, линейно зависящей от параметров d, например в виде выра-
выражения
y(x)=t См(х)у C.272)
i
в котором Ф/(х), i=l, п, — известные линейно независимые функции, на-
называемые координатными функциями (см. также [98, 360]).
Следует учитывать, что близость невязки г(х, Si) к нулю не означает
обязательной близости функций у(х) и у(х); при строгом рассмотрении этот
вопрос требует привлечения соответствующих оценок [313, 319, 473]. Важ-
Важную роль играет также вопрос сходимости приближенного решения ~у(х)~
^Ф(х, С) к точному решению при ?*->оо, т. е. выяснение условий, при
которых выполняется равенство
НшФ(л:, С) = у(х), C.273)
означающее, что при достаточно большом числе параметров С/, i== 1, п\
метод позволяет найти решение у(х) с любой степенью точности.
В зависимости от способов представления приближенного решения и опре-
определения свободных параметров различают те или иные методы решения инте-
интегральных уравнений.
Метод наименьших квадратов. Приближенное решение [229, 473] не-
неоднородного уравнения C.1) ищется в виде C.272). Подстановка C.272)
в выражение C.270) приводит к получению невязки
п Ь п
Uу (х) = 2j С;ф; (х) — k j К (Ху s) 2^ Cityi (s) ds — / (x) ==
= e(x, Ct), i = TTn. C.274)
Постоянные С« находятся из условия минимума интеграла
ь
</= Je2(*, C)dx, C.275)
а
т. е. из условий
dJ
ow = 0, *=1, n. C.276)
Используя явное выражение C.274) для функции &, т. е.
п Ь
е(*, Ct) = 2 Ct {ф4- (х) — X § К {х, s) q>t (s) ds} — / (#), C.277)
i—i a
204
для отыскания Clf С2, • •. , Сп получают систему линейных алгебраических
уравнений
= Ьи C.278)
где
ь ь ь
if С
\Ф/ (#) — ^ J К (х, s) ф/ (s) ds] {q>i (х) — X j К (х, s) q>i (s)
а а
ь ь
a a i
C.279)
Отличительной особенностью алгебраической системы C.278) является
симметричность и положительная определенность матрицы ее коэффициентов
при условии C.2). Это свидетельствует о том, что если X не является соб-
собственным значением ядра К(ху s), то система C.278) разрешима при любом
п и у(х)~+у(х) [282].
Однородные уравнения. Метод наименьших квадратов приме-
применяется также для приближенного нахождения характеристических чисел и
собственных функций. При этом в C.270) /(jc) = O, а следовательно, bt = 0
и приближенные характеристические числа определяются из алгебраического
уравнения, получаемого приравниванием определителя системы C.278) нулю,
т. е. из уравнения 2п-й степени
detlaij(X)] = O. C.280)
Приближенные собственные функции находятся из C.272), где Сс—ре-
Сс—решение однородной системы C.278), в которую вместо X подставляются най-
найденные из C.280) приближенные значения.
Алгоритмы непосредственной минимизации. Изложенный
путь реализации метода наименьших квадратов, который заключается в со-
составлении и решении алгебраической системы, не является единственным.
При машинном решении задач может оказаться целесообразным алгоритм
непосредственной минимизации функционала C.275), имеющего в разверну-
развернутой записи вид
Ь п b n
J == П2 CW (x) — X^ К (х, s) ^] Cwt (s) ds — f (x)fdx. C.281)
a i=l a i=\
Под непосредственной минимизацией понимается процесс, состоящий в зада-
задании системы координатных функций {ф^ с некоторыми произвольными на-
начальными (в частности, нулевыми) значениями коэффициентов {С,}; форми-
формировании подынтегрального выражения функционала C.281), что при машин-
машинном решении выполняется программным путем; вычислении функционала
(интеграла) C.281), т. е. получении определенного значения J. Затем этот
цикл многократно повторяется, что позволяет целенаправленно изменять
коэффициенты С,- (в простых алгоритмах поочередно, в сложных—одновре-
сложных—одновременно), достигая каждый раз уменьшения величины «/, а в итоге — устрем-
устремления ее к минимальному значению. Подобные алгоритмы широко известны
в оптимизационных задачах. Одним из их достоинств является относитель-
относительная независимость вычислительных процедур от вида решаемого уравнения.
Описанный алгоритм поиска решения не изменяется, в частности, при реше-
решении любого из нелинейных уравнений C.8) — (ЗЛЗ). Например, решение
уравнения C.8) состоит в минимизации функционала
205
=I {2 с«р< w - J * [*> s> ? С*Ф' (*)] dsYdx
il *1
При каждом шаге минимизации так же, как в итерационных методах, опре-
определяется новое приближение к искомой функции, однако в данном случае
обеспечивается широкая область сходимости, что составляет существенное
преимущество рассматриваемого метода. Для реализации алгоритмов не-
непосредственной минимизации форма представления приближенного решения
не играет принципиальной роли. Например, в представлении C.272) допу-
допускается произвольный вид координатных функций. При этом их линейная
комбинация необязательна, в связи с чем применение непосредственной ми-
минимизации должно подразумевать представление приближенного решения
в наиболее общей форме C.268).
Пример 3.24. Решается уравнение
1
у (х) = х + j xsy (s) ds.
—i
В качестве приближенного решения полагаем
т. е. принимаем <Pi(*) = 1, ф2 (*) = *• Для определения Cl9 С2 должна быть
составлена система вида C.278), т. е. система
апС1 + а12С2 = blf\
а21С1 + а22С2 = b2, J
где коэффициенты и правые части определяются из C.279). При этом тре-
требуется вычисление интегралов
1 1
I xsds = х, \ xs2ds = у ^
1 1
—1
которые при подстановке в C.279) позволяют найти
_ 8 _ _ 2 2
#11 — "J » а12 — #21 — "9" ' ^22 — 27 *
h-—I h-2
°1 — з ' 2 — 9 *
Система относительно С1? С2 принимает вид
8 г 2 г -. 2
9 °i ~г 27 2 — 9 '
а ее решение — Сг = О, С2 = 3. Отсюда следует, что приближенное реше-
решение имеет вид у (х) = Зх и совпадает с точным решением.
Метод Галеркина — Петрова является одним из наиболее общих в груп-
группе проекционных методов. Он состоит в следующем. Выбираются две систе-
системы линейно-независимых функций <р*(х) и %(х), i == 1, п, из пространства L2
(или другого гильбертова пространства, в котором ищется решение).
Решение уравнения C.1) представляется в виде
= f (х) + S Cm (x)9 C.282)
где Ci — подлежащие определению коэффициенты, которые находятся из
условия ортогональности невязки каждой из функций %(х), 1=1, п,
(иу(х),Ъ(х))ьш = 0, i=~h, C.283)
обеспечивающего малость невязки.
206
Условие C.283) по существу представляет собой систему алгебраиче-
алгебраических уравнений
n b
t*=l a
s) ds>
a
т. е. систему для определения Ct-, имеющую вид
^21^1 "Г #22^*2 » # *
Я/ilCl + #rc2C2 + * #
где
C.284)
аппСп == ЬП9
C.285)
/С (#, s) ф; (s) ds dx,
C.286)
bj = X^ \|5/ (x) J /С (*, s) / (s) ds dx, i, j = lTn.
a a
Пример 3.25. Необходимо решить уравнение
х ) у \S) us {o.Zgij
с помощью метода Галеркина—Петрова (точное решение у (х) = 1 + 6х2).
Приближенное решение ищем в Биде у (х) = 1 + Схфх(х) + С2ф2 (х),
где фх(х)=х, ф2(х)=х2, из з^словия ортогональности невязки функциям
Согласно C.284) получим систему уравнений:
J [Сгх + С2х2 — J (xs + х2) A + ClS + C2s*)ds] dx - О,
i
х [Сгх + С2х2— J (xs + х2) A + Cts + C2s2) ds] dx = 0,
l
или
где
а1гСг + апС2-=ЬгА
а2]Сг + а22С2 = fe2, J
C.288)
fln = 0 —
+ x2)
= 0,
1 1
a21 = |- — j J (xs + x2) xsdsdx = -|,
j J
a22 = 0 — J ? (xs + x2) xs2dsdx = 0,
207
I 1
—1 —1
1 1
Ь2= J I (xs + x2) xdsdx = 0.
В результате система C.288) принимает вид
• 4
4. °
Н-й
и ее решение Сх = 0, С2 = 6.
Таким образом, искомое приближенное решение у (х) = 1 + 6л:2 совпа-
совпадает с точным.
Метод Бубнова—Галеркина, который иногда называют также методом
моментов [77], может трактоваться [546] как частный случай метода Галер-
Галеркина—Петрова, в котором обе системы координатных функций совпадают, т. е.
4>t(x) = ty(x), i= 1, п.
Рассмотрим метод несколько подробнее. Приближенное решение интег-
интегрального уравнения C.1) ищется в виде суммы / (х) и линейной комбинации
заранее выбранных линейно независимых между собой координатных функ-
функций ср* (х), i = 1, пу т. е.
t x)9 C.289)
с неопределенными коэффициентами {С/}, t = l, л, которые отыскиваются
следующим образом.
В оператор C.270) вместо у (х) подставляется функция C.289), что при-
приводит к выражению
п Ь
^л f Г |
Uу (Х) = ^ W 1фг \Х) — A J Л (X, S) фг (S) aSj —
а
s) ds = <!> (x, Ct)9 i = T7n. C.290)
Исходя из требования ортогональности функции Ф (х, С{) ко всем функциям
Фх(#)> Фа(^)» •••> фл(^) на отрезке [a, ft], приходим к условиям
J ?/? (х) ф, (х) dx = 0, f = ТТл, C.291)
а
из которых получают систему п линейных алгебраических уравнений отно-
относительно CV, / = 1, п:
п
2 С/ (а,/ — ХР//} = Xyh C.292)
где
ъ ъ
Ф/ W dA:' Ро' = \ dx I ^ (^»s) Ф' (х) Ф/ E) Л,
а а
^ = J dx J /С (х, s) % (х) f (s) ds. C.293)
208
Решение этой системы дает значения С/, а следовательно, и приближенное
решение г/ (х) интегрального уравнения C.1).
Условием однозначного решения системы C.292) является отличие от
нуля определителя системы
D(k) ==det(a,/ —
Приближенные собственные значения %k, k = 1, п, ядра K(x,s) находятся
как решение уравнения D (X) = О, что позволяет найти ненулевые решения
однородной линейной системы Jj С{ (af/-— ^pi7) = 0, соответствующие по-
полученным ранее значениям %k9 и благодаря этому построить приближенные
собственные функции yk(x).
Применение метода моментов равносильно замене ядра К (х, s) вырож-
вырожденным ядром Кп(х9 s), строящимся следующим образом. Предполагая орто-
нормированность системы {(р1 (х)}, разлагают ядро К {х, s) как функцию х
в ряд Фурье по этой ортонормированной системе функций и в качестве
Kn(x,s) принимают n-ю частичную сумму этого ряда. Получают
п
Кп (х, s) = 2 щ (s) ф, (*), C.294)
Ь
где щ (s) = \ К (х, s) ф, (х) dx.
а
Если к уравнению
ъ
у (х) — Х J Кп(х, s) у (s) ds— f (x) = О
применить метод моментов, то решение будет таким же, как и для уравне-
уравнения C.1), так как получаемая при этом алгебраическая система, аналогичная
системе C.292), может отличаться от нее только коэффициентами |3*/, кото-
которые в данном случае можно обозначать через р$\ Условие ортонормирован-
ности системы позволяет получить
Ь Ь Ь b n
ftlf = J dx ] Kn (x, s) ф, (л:) ф/ (s) ds = j dx\ 2 uk (s) Ф^ (x) 4>i (x) Ф/ (s) ds =
a a a a i=\
n b b b
= 2 J uk (s) Ф/ (s) ds J Ф/fe (*) Ф/ W d^ = J tt/ (s) Ф/ (s) ds- C.295)
/г=1 a a a
С другой стороны,
b b b b
' (x, s) ф; (л:) ф/ (s) ds = \ {ф/ (s) \ К (л:, s) ф4- (л:) с
J Ф,- E) щ (s) ds. C.296)
Таким образом, pf/ = pj^, значит, приближенные решения обоих интеграль-
интегральных уравнений совпадают. Но решение уп {х) уравнения с вырожденным ядром
Кп(х> s), полученное методом моментов, является его точным решением,
откуда следует равносильность метода моментов методу замены ядра вырож-
вырожденным, строящимся специальным способом.
Пример 3.26. Решается уравнение C.287). Приближенное решение ищем
в виде
у (х) = 1 + Сгх + С2х*.
14 5-101S 209
Из условия ортогональности невязки функциям фх (х) = х, ф2 (х) = х*
получаем систему
J х [Сгх + С2х2 — $ (xs + х2) A + ds + C2s2) ds] dx = 0,
J x2 [cxx + C2x2 — $ (xs + x2) A + Cts + C2s2) ds] dx = 0, J
которая после вычисления интегралов принимает вид
- 1^ = 0,
1г - 4
15 U2 - "§¦
и имеет решение Сг = 0, С2 = 6.
Тогда искомое приближенное решение получается в виде 1у (х) = 1 + 6х2
и совпадает с точным.
Пример 3.27, Найти два первых характеристических числа и соответ-
соответствующие им собственные функции однородного интегрального уравнения
i
где Uy (х) = у {х) — К J К (х, s) у (s) ds = 0,
\s(l —x) при 0 < s < х < 1.
Решение ищется в виде
y(x)=C1 + Ctx(l—x) + C9x(l — x A—2*).
Для отыскания коэффициентов С19 С2, С3 имеются три уравнения
1
J <р, (х) Uy (x)dx = 0, i = 1, 2, 3,
фх = 0, ф2 = л:A — л:), ф3 = х(\ — х) A — 2х).
Подстановка у (х) в Uy (x) дает
Щ (х) =Ct+ С2х A - х) + С3х A — х) A —2х) —
+ § [5х2 A — л:L — 5*4 A — д;J + х A — хM — х6 A — *)]}.
Далее,
Uy(x)dx = С» (l -A) +§(i_^) =0,
Приравнивая определитель полученной системы нулю, получаем (X2 —
— 180А/+ 1680) (X — 40) = 0, откуда Кг = 9,8751, Х2 = 40, Хв = 170,1249.
Подставляя в систему Хг и А,2 и решая ее относительно С1э С2, С3, получим
для ^=^x Сх = — 0,01176С2, С3 = 0; или, определив С2 из условия норми-
нормировки j y2(x) dx = 1, для собственной функции, соответствующей значению
210
Я1? получим -дг(х) = — 0,0684 + 5,817* A — х); для X = Х2 Сг = С2 = О,
а С3—произвольное число. Нормируя, получим собственную функцию, соот-
соответствующую второму характеристическому числу:
у2 (х) = 14,49* A — х) A —2*).
Точные значения характеристических чисел этого уравнения Х± = л2 =
= 9,8696 ..., Х2 =_4л2 = 39,4784 .. ., и соответствующие им собственные
функции уг (х) == V2 sin гсх, у2 (х) = 1/2 sin2 их.
Существуют другие разновидности реализации и изложения основной
идеи метода моментов. Согласно [230] приближенное решение интегрального
уравнения C.1) ищется в виде выражения C.272). Система координатных
функций (ф, (х)}, i == 1, п, является полной в L2(a, b) (см. Приложение 1).
Коэффициенты определяются из линейной системы
ь
(У (х)> Ф/ W) = (/ (*). Ф/ W) + ^ (J ^ (х, s) ~y (s) ds, <р, (х)), i = Т7^,
где обозначено (/, у) = j f(x)y(x)dx и у (х) представляется как
Если значение X в C.1) не является характеристическим, то при боль-
больших п система C.297) однозначно разрешима и при п -> оо приближенное
решение у (х) стремится (в метрике L2 (a, fc)) к точному решению у (х) урав-
уравнения C.1).
Пример 3.28. Решается уравнение [230]
В качестве полной системы координатных функций выбираем систему поли-
полиномов Лежандра Рп(х). Приближенное решение ищем в виде
Подстановка у (х) вместо у (х) в исходное уравнение дает
1
^
или
d + С2х + Св 3-^- = 1 + 2хСх + х\ С2.
Последовательно умножая обе части полученного равенства на 1,х, —^—
и интегрируя по х в пределах [—1, 1], получаем систему
4
9
8
откуда находим Сг = 3, С2 = 0, С3 = 4. Это позволяет получить решение
?) = 6х2 + 1, которое совпадает с точным.
Метод моментов [546], по существу, также является методом Бубнова—
Галеркина, в котором система функций ф*(х), t= I, n, выбирается следую-
следующим образом: фиксируется некоторая функция Фх(х) и затем определяются
14* Ж
остальные координатные функции из выражений
ъ
ф2 = J К (s, t) ФХ (s) ds,
Фп == \ К (S, t) ф/г—l (s) ds.
Пример 3.29. Решается уравнение C.287). Выбираем ц>1(х) = 1. Опре-
Определяем
1
ф2 (х) = 1 — J (xs + **)lds = 1 — 2л:2.
Ищем решение в виде
У (х) = С1ф1 (х) + С2ф2 (х) = d + С2 A — 2х2).
Из условия ортогональности невязки функциям Фх(л:), ф2(^) записываем си-
систему
1
J [Со + Gx(l— 2х2) — 1 — J (xs + х2) (Со + Сх A —2s2)) ds] dx = О,
i i
f A _ 2x) [Co + C1(l — 2x2) — 1 — f (xs + x2) (Co + C, A —2s2)) ds] dx=0,
ц) я) W X
—1
1
которая приводится к виду
а11С1 + а12С2 = blr
где
«I
= J id* = 2,
«21= JA-
J
1 1
= J A - 2*2) [A - 2л;2) - J (xs + x*) A - 2s2) ds] dx = |
Система относительно Clf C2 имеет теперь вид
Г2 ^2
3 9
11 46
-15 45.
ее решение Сх = 4, C2 = —3.
212
Искомое приближенное решение имеет вид
у (х) = Сг . 1 + С2 A - 2*2) = 1 + 6*а
и совпадает с точным решением.
Метод коллокации ]230, 338, 340]. Согласно методу коллокации при-
приближенное решение представляется в виде C.268) и требуется, чтобы невязка
е (х, С{) обращалась в нуль в заданной системе точек #/, /== 1, /г, из отрезка
[а, Ь] (точки коллокации), т. е. полагается
8 (*/, С,) = 0, /, I = 17л, C.297)
где а <с хг < х2 < • • • < хп-\ <хп^Ь.
Если приближенное решение представлено в форме C.272), то для опре-
определения коэффициентов Ci9 * = 1, n, получается линейная алгебраическая
система
п ъ
? С, {<р, (*)-*,?/( (*/, s) % (s) ds] = / (х{), j = ~n> C.298)
которая при обозначении
ь
% (х, X) = ф, W — Я, J К (х, s) ф, (s) ds C.299)
а
записывается в виде
S х/э X) = / (x/)f / - ТЩ. C.300)
Если определитель системы
D (X) = det ДО, (х;-, ХI ^ 0, C.301)
то из нее однозначно определяются значения С{9 i =« Т7п, и находится при-
приближенное решение ~у (х) по формуле C.272).
Из уравнения D (X) = 0 можно найти приближенные значения %k<) k = 1, п,
первых характеристических чисел ядра К(х, s). Если затем в системе C.300)
положить / fa) = 0, / =5 1, п, X = Xkf то будет получена однородная система
]2 С,. ,г|) (х/, X,) = 0, У = ТГЯ, C.302)
ненулевые решения Cit ь i = 1, nt которой представляют собой приближенные
собственные функции
C.303)
ядра K(x,s), соответствующие характеристическим числам
Пример 3.30. Решается уравнение
t
Искомая функция приближенно представляется в виде выражения
подстановка которого в уравнение позволяет получить невязку
е (*, Сд = Сг \1 + ^*) + С2х + С3 C3g>2"" 1 + -- xj — 1 — j х.
213
Выбрав точки крллокации хх = —1, х2 = О, х3=1, потребуем обращения
в нуль невязки в этих точках, что приводит к системе
±С +С + -С = -,)
о О О
Lc + С +-С =-
3 3 3
решение которой С1 = 1, С2 = О, С3 = 0. Тогда получаем приближенное реше-
решение ~у (х) = 1, которое совпадает с точным.
3.6, ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Интегральные преобразования [240, 362, 472] представляют собой эффек-
эффективный аппарат решения многих интегральных уравнений специального вида.
Достаточно широкое применение для этой цели нашли, в частности, преобра-
преобразования Фурье и Меллина.
Применение преобразования Фурье. Если к компонентам интегрального
уравнения Фредгольма II рода типа свертки может быть применено преобра-
преобразование Фурье, то такой прием во многих случаях может позволить получить
аналитическое решение.
Преобразование Фурье. Если функция ср(х) удовлетворяет усло-
условиям Дирихле на любом конечном интервале и абсолютно интегрируема на
всей числовой оси [240, 720], то имеют место взаимные преобразования Фурье:
оо
ф (Ш) := * Г ф (S) eimds9 C.304)
-i(»xd<i>. C.305)
Функция Ф(со) называется преобразованием Фурье (спектральной функцией,
Фурье-образом, изображением по Фурье) функции у(х). Равенство C.305)
^называется формулой обращения Фурье.
Для нечетных на интервале (—оо, оо) функций ф(х) имеют место синус-
преобразования Фурье:
оо
ф5 (со) = "j/J- J ф (s) sin (dsds, C.306)
о
<р (*) = ]/ - \ Ф8 (со) sin со xd(o. C.307)
о
Если же ф(х) является на ( —оо, оо) четной функцией, то имеют место коси-
косинус-преобразования Фурье:
оо
фс (со) = ]/" J. J ф (s) cos mds, C.308)
о
оо
Ф (х) = |/ j Фс (о)) cos (oxd(o. C.309)
о
Преобразование Фурье может быть применено к решению некоторых типов
интегральных уравнений. В частности, можно отметить, что равенства C.304),
C.306) и C.308) могут рассматриваться как интегральные уравнения (отно-
(относительно функции ф(х)), решения которых даются соответственно формулами
C.305), C.307) и C.309).
214
Для приведенных преобразований Фурье составлены таблицы [240, 241],
которые охватывают значительное количество функций и облегчают выпол-
выполнение необходимых выкладок при решении уравнений.
Решение уравнения типа свертки. Преобразование Фурье доста-
достаточно эффективно используется для решения уравнений типа свертки
у(х)— \К(х— s)y(s)ds = f(x), — oo<*<oo, C.310)
где f(x)?L2(—oo, оо), /С(л:) GZ.x (—оо, оо), у (х) ?L2 (—оо, оо), причем функ-
функции f(x), K(x) и у(х) являются, вообще говоря, комплексными.
Если к обеим частям уравнения C.310) применить преобразование Фурье
и воспользоваться при этом теоремой о свертке, то можно получить уравнение
У (со) — у 2п Y (со) Кф (со) = F(co), C.311)
в котором F(co), F(co) и Кф (со) — изображения функций у (х), f(x), K(x)
соответственно. Если при этом 1—]/2я Кф (со) ф 0, то из C.311) следует
выражение
* ' 1_|Л2я/Сф(со)'
применив к которому формулу обращения C.305), получим формулу для
решения исходного уравнения C.310):
1 г F (со) .
Используя понятие резольвенты r(x — s), решение можно записать в виде
оо
Ь §r(x — s)f(s) ds, C.313)
Если же функции f(x), K(x) и у (х) являются действительными, то реше-
решение уравнения C.310) выражается формулой C.313), в которой
_ l/" I* {Р («) [1 —Р (»I -I2 (u)}cosxu + {р (и)д(и) + ч(и) [1 —р (я)]} sin леи
- V п) [i-P(u)F+<?M") :
оо оо
р(и) = j /С (х) cos «хйд:, q(u) = j /С (х) si
Пример 3.31. Решению подлежит уравнение
s, где /(х) »
Применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения, получаем;
Y (со) = F (со) + 4 уьг Кф((о) Y (со),
откуда
215
Далее определяются
Это позволяет определить изображение по Фурье искомой функции:
. 1
Y (со) = /2n(l—fo) = 4 A + со2)
Тогда искомое решение:
или окончательно
Y е ~ 2 при х > О,
у б2 при л: < 0.
Применение преобразования Меллина. Для решения некоторых частных
видов линейных уравнений с постоянными пределами интегрирования приме-
применяется преобразование Меллина [240, 362, 472], во многом сходное с пре-
преобразованиями Лапласа и Фурье.
Преобразование Меллина. Если при / > 0 функция ф (л:) опреде*
лена и подчиняется соотношениям
1
JI
IФ (*) I x?x~xdx < оо, \ | ф (х) |xc»-ldx < —оо C.314)
при некоторых сг и с2, то к ней может быть применено интегральное пре-
преобразование Меллина
оо
F (р) = J Ф (х) х'-Чх = М [Ф (х)]9 C.315)
где р == с + id, ct<c< с2.
Обращение преобразования Меллина выполняется по формуле
j F(p)x-"dp, t>0, C.316)
где интеграл понимается в смысле главного значения и берется по прямой
Rep == с, параллельной мнимой оси плоскости р. Границы полосы (с19 с2) выби-
выбираются на основе априорных сведений о функции ф(лг) (поведение при х->0
и #->oo) из условия абсолютной сходимости.
Одно из наиболее важных свойств преобразования Меллина заключено
в теореме о свертке, которая имеет вид
оо
М [ j Ф (х) ф (|) |] = F (р) Ф (/»). C.317)
о
216
Решение некоторых уравнений частного вида. Анализ
формулы C.317) позволяет сделать вывод о том, что преобразование Меллина
наиболее подходит к решению интегральных уравнений вида
у
Если к функциям у (х), k(x),f(x) можно применить преобразование Меллина
и получить соответствующие изображения y(x)*->Y(p), k(x)-> /C(p), f(x)-*
^F(p), то от уравнения C.318) можно перейти к выражению
<*> = 1k [т) у <s> т + f W- <3-318>
о
и получить операторное решение
Y(p) = F(p)/(l-K(p)), К(р)Ф\.
Применив формулу обращения C.316), получим
Преобразование Меллина удобно применять также к уравнениям вида
у (х) - J k(xs)y (s) ds + f(x). C.319)
о
Для этого предварительно необходимо преобразовать его умножением обеих
частей на хр~1 и интегрированием по л: в пределах от 0 до оо, что позволяет
записать выражение
ОО ОО 00 00
J у (х)хр-Чх = [y{s)ds\k(xs)хр-Чх + j/(x)xP~ldxt
от которого нетрудно перейти к уравнению в изображениях
сю
Y (s) = К (р) J у (s) s-t>ds + F (s). C.320)
6
Поскольку
$(/(s)s-"ds=r(l — p),
то вместо C.320) имеем
C.321)
или после замены р на 1 — р
Y(l—p)=*Y(p)K(l—p) + F(l — p). C.322)
Теперь из C.321) и C.322) можно составить окончательное операторное
уравнение
Y(р) = Y(I -р)К(р) +Y(р)К(р)K(l~p) + F(p), C.323)
из которого получаем решение в изображениях
\—К{р)К(\—р) '
Используя формулу обращения C.316), получаем искомое решение
+
- l Г F Q-P)K<P)+F
217
Пример 3.32. Решается уравнение
оо
1 1 С
Ф (*) = \ 4- х2 "^ VT ) У ^ cos xtdt.
о
Получим вначале изображение ядра, пользуясь формулой
/<- (р) = гт= \ х^-1 cos д;йа;. C.324)
о
Для этого целесообразно привлечь выражение
00
j e-*x*~ldx = Г (г) C.325)
о
и использовать поворот луча интегрирования до мнимой оси, что допуска-
допускается при 0< г< 1 в силу леммы Жордана. Тогда получаем
оо iZIZ
Г e-ixxz-ldx = е"^ Г B).
Если разделить действительную и мнимую части, то приходим к выражениям
оо
\ х2-1 cosxdx = cos у Г B),
о
оо
\ xz~{ sir
sin xdx = sin у
C.326)
Теперь согласно C.324) и C.326)
= у^ cos f Г (р).
Затем получаем:
= ^cosf sinf
И, поскольку Г (s) Г A — р) = n/sinnp, K(p)K(l — р) = 1/2.
Считая известным изображение М [f (х)] = F(p), согласно C.323) полу-
получаем
Тогда
J
С—to
= 1- J f(p)x-Pdp + l._L j" r(p)cosf F(l-p)jr^dp. C.327)
J
С—to
с-{-1о
Учитывая зависимости
во C-\-i «>
t->>dt, ± j F(p)x-*dp=f(x),
С—
218
выражение C.327) представляем в виде
1 1 С
унтш* J
С—loo U
Согласно формуле обращения Меллина
гг—: I Г (р) cos -тг (xt)~pdp = cos xt,
что приводит к получению решения исходного уравнения
2 2 Г cos xt 1.
о
3.7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Класс прикладных задач, сводящихся к нахождению характеристических чисел
(собственных значений) интегральных уравнений, весьма широк (см. п. 3.1).
Поэтому, несмотря на возможность применения в этих случаях некоторых из
изложенных выше методов решения неоднородных уравнений, потребовалась
разработка специальных методов решения задач на собственные значения, тем
более что эти задачи часто оказываются более сложными [339, 362, 472].
Ниже рассматриваются ставшие уже классическими методы Ритца, сле-
следов и Келлога применительно к линейному интегральному уравнению
у (х) = % j К (х, s) у (s) ds, x, s?[a, b] C.328)
a
с симметричным ядром К (х, s) = К (s, x).
Метод Ритца [362, 472]. Выбирается последовательность функций
}» в которой каждая из функций %, k= I, n, интегрируема с квад-
ь
ратом на [а, Ь] (^(^)б^2(а» &))» т- е- интеграл ] tyl (x) dx конечен (сущест-
а.
вует). Система {а|)л (х)} принимается полной в классе указанных функций
(в L2 (a, b))9 a все входящие в нее функции являются линейно независимыми
на [а, Ь].
Полагается
Уп (х) - Й ak% (х) C.329)
i
и коэффициенты подчиняются условию
ь
e(*)d*]I/2=l, C.330)
т. е. условию равенства единице нормы || уп || функции уп (х).
При условии C.330) ищутся значения (стационарные) квадратичной
формы
ь ь
(КУп* Фл) s J (J К (х, s) yn (s) ds) yn (х) dx, C.331)
а а
что приводит к получению однородной линейной системы относительно ak:
St UKfy, %) — о (%, %)] ak = 0, / = 17Я
где о —множитель Лагранжа [473].
219
Решение системы C.331) существует, если ее определитель равен нулю:
= 0.
„, t2) - о М>„, Ф,) • • • (К%, %) - о (фя> я|
C.332)
Корни уравнения C.332) являются приближенными значениями собственных
чисел ядра К(х, s), причем наибольший из корней является приближением
собственного значения с недостатком.
Найденные из C.332) значения ok, будучи подставленными в систему
C.331), позволяют найти ее ненулевое решение ak, k=l,n. Последующая
подстановка полученных значений ak в C.329) позволяет найти приближен-
приближенные выражения собственных функций, соответствующих уже найденным при-
приближенным собственным значениям.
Пример 3.33. Необходимо найти приближенное значение наименьшего
характеристического числа ядра
К(х9 s) = x2s2, a = 0, 6=1.
В качестве координатной системы функций уп (х) выбираем систему полино-
полиномов Лежандра уп (х) = Рп Bх — 1) при п = 2. Тогда у2 (х) = агР0 Bх— 1) +
+ а2Р1Bх—1), т. е. %- Р0Bх— 1) = 1, q2z= РгBх—I) = 2х-I.
Находим значения квадратичных форм:
x = 1, (*lf %) = (г|J, г|)х) = J Bх - 1) dx = 0,
о
1 1 1
= J Bх - IJ dx = 4 . (КЪ, 4»i) = J J
0 0 0
11 11
^2s2 Bx- 1) X
0 0 0 0
XBs— l)dxds = ~.
Система для определения значений а19 а2 принимает вид
откуда для определения приближенных собственных значений получаем урав-
уравнение
21 21
решение которого аг = 0 иа2 = -^ . Наибольшее собственное значение а2 = щ
и, значит,наименьшее характеристическое число К =— = 5у.
Метод следов [362, 472]. В данном методе используется понятие /п-го
следа ядра K(xt s), т. е. числа
ь
Am = \Km{x, s)ds, C.333)
а
где функция Кт(х, s) является т-и итерированным ядром (см. п. 3.1).
220
Наименьшее характеристическое число %г при достаточно большом т
приближенно определяется по формуле
"—, C.334)
которая дает значение 1^1 с избытком.
Вычисление следов четного порядка для симметричного ядра выполня-
выполняется по формуле
ь ъ ь х
Л. \ \ Т\ (л* q\ /•/ у We __ О \ \ JC ("и с1 /1с /¦/ v ^Q Q*^^\
а а па
Пример 3.34. Необходимо найти первое характеристическое число ядра
К(х, s) = xs, a = 0, 6=1.
Вычисляем второе итерированное ядро
К2{Ху s) = \ К(х9 z) K(z, s)dz= \ xz • zsa
о о
По формуле C.335) для m = 1 и m = 2 находим
1 * 1 *
12 //с //v — 9 I //v I д;252 ds = —-
~.
Л2 = 2 j J (xsJ
0 0
j J
0 0
0 0
Й
0 0
Тогда Ях = l/ -т-2 = 3.
Метод Келлога [362, 472]. Симметричное ядро К(х, s) считается поло-
положительно определенным, т. е.
Ь b
J J К (х, s) ф (л:) ф (s) dx ds>0, q> (л:) # 0. C.336)
На основе произвольной в L2(a, fc) функции со(х) строится последователь-
последовательность функций
\
(ог (х) = } К (х, s) со (s) ds,
ь
ь
C.337)
со2 (х)= \ К (х, s) сох (s) ds,
C(*f s)(D,l.1(s)ds.
в. )
Если ^х (л:), t/2 (л:), • • • — ортонормированные собственные функции ядра К (л:, s),
%! < Я2 < • • • — соответствующие характеристические числа; функция со (л:)
ортогональна к функциям yi(x), y2W» • ••• » У/г-iW» но не ортогональна
к функции ##(¦*;), то последовательность чисел
fll «>/»-! Ill
III ©я II J
или
C.338)
C.339)
221
имеет своим пределом k-t характеристическое число %k. При этом
ч_1(*н1/2
ЦсОн-ч11___ а
II О/г II
Последовательность функций
сходится в этом случае к функции, представляющей собой линейную комби-
комбинацию собственных функций, отвечающих характеристическому числу %k.
Если
(со, уг) == } со (*) г/х (х) dx ф О,
о
то имеют место формулы
II гл II
C.341)
_ C.342)
©л II
для приближенного определения наименьшего характеристического числа,
причем формула C.341) дает значения Кг с избытком.
Если ядро К (х, s) не является положительно определенным, т. е. не вы-
выполняется условие C.336), то формулы C.341), C.342) дают приближенные
значения наименьшей абсолютной величины характеристического числа.
Метод Келлога достаточно прост для вычислений, но требует удачного
выбора функции со (л:). К недостаткам метода относится то, что заранее не-
неизвестно, какое из характеристических чисел удалось получить.
Пример 3.35. Необходимо вычислить наименьшее характеристическое
число ядра К (х, s) = xs, 0 < х> s < 1.
Возьмем со (#) = 1. Строим последовательность
1
©а(х) = j xsds = ~,
о
1
о
1
со.
1 М ~ j 2 • 3 ds ~~
2 • З2
.v х 1
i(X) "о" %п-1 *
Находим:
Наименьшее характеристическое число
1
2 • З"-1 /3
Глава 4
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
4.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ И СПЕЦИФИКА ИХ РЕШЕНИЯ
Типы уравнений. Одномерные уравнения. Линейные уравнения:
уравнение Фредгольма I рода
ь
J/C(*, s)y(s)ds=*f(x), c<x<d, D.1)
а
где ядро К (a:, s) и правая часть f(x)— известные функции, a y(s) — иско-
искомая функция (типы пространств, к которым принадлежат функции К, f и у,
будут в дальнейшем указываться); уравнение типа свертки
оо
J K(x — s)y(s)ds = f(x), — oo<*<oo, D.2)
— оо
уравнение с разностным ядром
ь
$*(* —s)у(s)ds = /(*), c<x<d. D.3)
а
Нелинейные уравнения: уравнение с оператором Урысона
ъ
$ К [*, s, у (s)] ds = / (х), c<x<d, D.4)
а
уравнение с оператором Гаммерштейна
ъ
J К (х, s) h [s, у (s)] ds = / (х)9 c<x<d, D.5)
а
уравнение типа свертки с оператором Гаммерштейна
оо
J K(x — s)h[s, y(s)]ds = f(x), — оо<х<оо. D.6)
Двухмерные линейные уравнения. Уравнение Фредгольма
I рода
bf
К (*i, sl9 x2, s2) у (slf s2) dst ds2 = / (xlt x2)9 c1<x1< dv
c2 < x2 < d2, D.7)
уравнение типа свертки
оо оо
J J К (хх — ^ х2 — s2) у (sx, s2) dst ds2 = / (xu *a),
ь^.ОО -r—OO
— oo < xx < oo, — oo < x2 < oo. D.8)
223
/г-мерное линейное уравнение типа свертки
оо оо
J ... J K(x1 — s1 xn — sn)y(s1, ... , sjds^ ..., dsn =
= f(xt, ... 9 Xn), — оо < хг < оо, # . . f — оо < Хп < оо. D.9)
Система линейных одномерных уравнений типа свертки
2 $ **/(* — s)yj(s)ds^ft(x)t i = T7n, — oo<x<oo. D.10)
Вместо записей вида D.1)—D.10) будет также использоваться более
сжатая и общая запись в виде операторного уравнения первого рода
Ay = U У?У> /6 F, D.11)
где Y и F—некоторые метрические пространства, а А — непрерывный опе-
оператор, переводящий элементы y?Y в элементы f?F.
Понятие корректности и некорректности. Ж. Адамар [796, 797] ввел
понятие корректности: задача решения уравнения D.11) относительно y?Y
называется корректной или корректно поставленной на паре метрических про-
пространств (Y, F), если: 1) любому элементу f?F соответствует решение y?Y
(условие существования решения), 2) из Ауг = Ау2 следует уг = у2, т. е.
решение определено однозначно (условие единственности решения)*, 3) для
любой погрешности s > 0 можно указать такое 8(е) > 0, что если pF(fl9 /a) <
< 8 (е), то PyiA'1?!, A~xf2) < е, т. е. обратный оператор А непрерывен на F,
другими словами, малым ошибкам исходных данных соответствуют малые
ошибки решения (условие устойчивости решения).
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то задача называется
некорректной (некорректно поставленной).
Уравнения D.1) — D.11) занимают особое положение среди других ин-
интегральных уравнений (см. гл. 1—3). Задача решения уравнений D.1)—D.11)
является некорректной, в первую очередь, по причине нарушения условия 3**:
даже очень малые относительные ошибки (например, 10~8) правой части f(x)
(а также ядра К(х, s) и метода решения) могут приводить к настолько боль-
большим ошибкам, что численное решение не будет иметь практически ничего
общего с точным. Например, если решать уравнение D.1) методом квадра-
квадратур (ср. [787, 842]), заменяя интеграл в D.1) конечной суммой по формуле
трапеций с шагом h = const и решая получающуюся СЛАУ относительно зна-
значений у (a), y(a-\-h), ... , у (Ь), то вместо истинного решения, как правило,
получается так называемая знакопеременная «пила» большой амплитуды (см.,
например, [24, 181, 657]), которая при ее подстановке в интеграл в D.1) тем
не менее дает левую часть D.1), не отличающуюся в первых нескольких
цифрах от правой части f(x). При этом чем меньше шаг Л и чем, казалось бы,
точнее аппроксимируется интегральное уравнение посредством СЛАУ, тем
грубее решение (больше амплитуда «пилы»). Аналогичная неустойчивость имеет
место при решении уравнения D.1) методами собственных функций (см. п. 4.12),
итераций (см. пп. 4.5, 4.8) и проекционными методами (см. п. 4.11), а также
при решении уравнения D.2) методом преобразования Фурье (см. п. 4.4)
и т. д.
Причину сильной неустойчивости решения уравнения D.1) методом квад-
квадратур можно истолковать следующим образом. Как следует из четвертой
теоремы Фредгольма (см. п. 3.1), наименьшее по модулю собственное значе-
значение интегрального оператора А равно нулю. Если интегральное уравнение
аппроксимируется посредством СЛАУ конечного порядка п, то число собст-
* Если выполнены условия 1 и 2, то определен обратный оператор Л.
** Что касается условий 1 и 2, то обычно дополнительно оговаривают, что при точ-
точных исходных данных решение (псевдорешение) существует и из множества решений выби-
выбирается нормальное (единственное) решение, а вместо обратного оператора А вводится псев-
псевдообратный оператор Л4" (см. дальше).
224
венных значений матрицы СЛАУ конечно и происходит «деформация» спектра
собственных значений, вследствие чего при небольшом п (например, 5—10) наи-
наименьшее по модулю собственное значение (а значит, и определитель СЛАУ)
может стать заметно отличным от нуля, а число обусловленности cond —
умеренным (например, 103—105) и решение — относительно устойчивым (но
зато слишком сглаженным из-за малости п). С увеличением же п, т. е. с
уменьшением шага h, когда, казалось бы, точность решения должна повы-
повышаться, спектр матрицы приближается к спектру интегрального оператора, ми-
минимальное по модулю собственное значение матрицы (и определитель СЛАУ)
стремится к нулю (a cond->oo) и неустойчивость решения повышается.
Если решение выполняется методом собственных функций, то неустойчи-
неустойчивость решения обусловлена тем, что собственные значения интегрального опе-
оператора (наименьшее по модулю из которых равно нулю) входят в знамена-
знаменатели в разложении решения по собственным функциям (см. п. 4.12).
При решении уравнения D.1) методом итераций даже самые незначитель-
незначительные погрешности (например, чисто машинные) приводят (из-за их накопления)
к расходимости процесса итераций (см. пп. 4.5 и 4.8).
Если решение уравнения D.1) находить проекционными методами (Ритца,
Галеркина и др.), то при N-^oo (N—число базисных функций) решение те-
теряет устойчивость вследствие плохой обусловленности СЛАУ, служащей для
определения коэффициентов разложения решения по базисным функциям
(см. п. 4.11).
При решении уравнения D.2) (а также D.6), D.8) — D.10)) методом пре-
преобразования Фурье неустойчивость решения обусловлена большой чувствитель-
чувствительностью высоких гармоник Фурье в решении к ошибкам исходных данных (даже
очень малым). Подробнее см. пп. 4.4, 4.13, 4.14.
До последнего времени считалось, что некорректные задачи лишены фи-
физического смысла и их не имеет смысла решать. Однако имеется много важ-
важных прикладных задач физики, техники, геологии, астрономии, механики и
т. д., математически описываемых адекватно и тем не менее являющихся
некорректными, что сделало актуальной проблему разработки эффективных
методов их решения. Ниже сформулированы некоторые из этих задач.
4.2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача восстановления сигнала (другоеназвание:редукция к идеаль-
идеальному прибору) [112 Л—15]. Данная задача уже рассмотрена в п. 2 примени-
применительно к динамической системе — этому соответствует уравнение Вольтерры
I рода B.13). Если же система таковой не является (т. е. независимая пе-
переменная не есть время), то между входным сигналом y(s)f поступившим
в систему, и выходным сигналом f (х) имеет место связь (для линейной сис-
системы) в виде уравнения Фредгольма I рода
c<x<dt D.12)
где, в частности, а = с = 0 или а = с = —оо, b = d = оо. Ядро h(x, s) имеет
общее название функции отклика на единичный импульс или весовой функ-
функции линейной системы. Если h(x, s) = h(x — s) (система в этом случае имеет
общее название однородной или инвариантной к сдвигу), то
и
j /i (х — s)y(s)ds = f (х), с < х < d.
Данная задача имеет довольно общий характер. Ниже приведено пять
ее конкретных реализаций.
Восстановление сигнала в теории автоматического
управления [85, 100, 110 255 — 237, 112 12, 173, 428, 492, 661, 849].
Задача сводится к решению уравнения D.12) относительно y(s) по известным
f(x) и h{x, s), причем h (х, s) называется импульсной переходной функцией
15 5-1016 22S
или импульсной реакцией системы (фильтра). Переменные х и s имеют смысл
координаты, скорости, частоты, энергии и т. д. (но не времени).
Обработка изображений (и коника) [107, 112/4, 396/5, 402,
499, 518, 556, 561, 691, 702-705, 713, 742, 746, 747, 798, 804, 884]. При
обработке (восстановлении) двухмерных искаженных оптических (например,
фотографических) изображений (в частности, полученных из космоса [747])
имеет место следующее двухмерное уравнение:
v
h{xl9 sl9 x2,s2)y(s19 s2)ds1ds2 = f(xl9 x2), (xl9 x2)?Wy D.13)
v
rjxey(sly s2) —искомое исходное неискаженное изображение (функция объекта),
f(xl9 х2) — искаженное (например, дефокусированное) изображение (функция
изображения), h(xly sly x2f s2) — функция рассеяния точки (импульсная реак-
реакция, передаточная функция, аппаратная функция), xl9 sl9 x29 s2— координаты
в плоскости изображения.
Если h(xl9 sl9 x21 s2) = h(x1 — sl9 . х2 — s2) (система в этом случае на-
называется изопланатической [112/5, 702, 798]), то
h(x1 — s19 x2 — s2)y(s11 s2)ds1ds2~-= f(xl9 x2), (xl9 x2)?W. D.13')
V
Редукция наблюдений микрообъектов за аппаратную
функцию системы [281]. Формально эта задача аналогична предыдущей.
Распределение интенсивности в изображении биологических микрообъектов (ви-
(вирусов, белков, аминокислот и т. д.) 1из(х9 у) при их наблюдении с помощью
некоторой системы (оптического или электронного микроскопа и т. д.) отли-
отличается от искомого истинного распределения интенсивности 1Об(х9 у) за счет
отличия функции рассеяния (аппаратной функции) h(x9 у) от двухмерной 6-
функции, т. е. за счет конечной разрешающей способности системы. Имеет
место уравнение типа свертки
оо оо
у-у'Iоб{х', y')dx'dy'= 1яз(х, у). D.14)
Эффективное решение уравнений D.13) — D.14) дает возможность повы-
повысить разрешающую способность прибора. При этом в принципе не ставят пре-
пределов на разрешение ни критерий Рэлея [206/52 —153], ни дифракционные
ограничения [702],
Редукция измерений за характеристику направленности
антенны [601, 602, 605—607, 660, 883, 884] (другое название: задача уг-
углового разрешения [853, 878]). Поскольку характеристика (диаграмма) направ-
направленности антенны (антенны радиотелескопа [423, 534, 712, 759, 760], акус-
акустической антенны [264, 609, 624, 684, 883] и др.) не бесконечно узка, а имеет
некоторую ширину, результаты измерений (в функции направления) с помощью
антенны искажены (сглажены) ее характеристикой направленности (ХН). За-
Задача редукции (исправления) результатов измерений за сглаживающее влия-
влияние ХН антенны сводится к решению уравнения Фредгольма I рода. В случае
его эффективного решения появляется возможность чисто математически (на-
(например, путем стыковки антенны с ЭВМ, в частности со спецпроцессором)
повысить разрешающую способность антенны.
Если измерения производятся по небесному своду в большом диапазоне
углов, то, учитывая кривизну системы координат, получаем уравнение
2я я/2
J j р(А, А', А, ft') cos A7 (Л', ft')A4' dh! = N(A, A),
0 —Я/2
0 < Л < 2я, —я/2 < А < я/2, D.15)
где Л и А — азимут и высота (для акустической антенны) или прямое восхож-
восхождение и склонение (для радиотелескопа), р(Л, Л', А, А') — ХН антенны (мо-
(может быть разностного типа: р(А, А, А, А') = р(А — Л', А — A')), N(A,h)~-
226
результат измерений, Г(А, К) — искомое (истинное) поле — все функции на
тоне или в полосе частот. Если диапазон углов А и h ограничен, то можно
использовать уравнения типа D.13) — DЛ4).
В одномерном случае, например, когда источники поля расположены вдоль
линии горизонта, имеет место одномерное уравнение
A')I(A')dA' = \ p(A, A')I(A')dA' = N(A), 0 < А < 2я, D.16)
о
или уравнение типа D.12).
Задача спектроскопии [657, 682] (другое название: спектральная за-
задача редукции к идеальному прибору [366, 541, 544]). Пусть z (v) — искомое рас-
распределение плотности световой энергии по спектру излучения в функции час-
частоты v. Пусть далее и (v)— экспериментальный спектр, полученный в резуль-
результате пропускания излучения через измерительную аппаратуру, характеризую-
характеризующуюся известной аппаратной функцией (функцией разрешения) /C(v, v'). Тогда
задача определения истинного спектра z(v) (истинного контура спектральной
линии [541]) по измеренному u(v) сводится к решению уравнения
v')z(v')dv' = a(v), c<v<d, D.17)
где а и b — границы истинного спектра, си d — границы экспериментального
спектра.
Оптимальная линейная фильтрация [ПО 235— 237, 112
109—111, 299, 497, 657]. Пусть в задаче «Оптимальная линейная фильтрация
при наличии белого шума», изложенной в п. 3.1, не оговариваются свойства
шума n(t) (белый со спектральной плотностью N)y а вместо этого вводится
в рассмотрение наряду с ковариацией Kzy(t, т) = Kzz (t, т) функция Kyy(t, т) —
ковариация, или автокорреляционная функция, поступающего на вход линей-
линейной системы сигнала (процесса) y(t) = z(t) +n(t), где z(t) — полезный вход-
входной сигнал. В результате задача оптимальной линейной фильтрации—задача
определения такой импульсной функции h(t, т), при которой выходной сиг-
сигнал z(t) (см. C.19)) наилучшим образом воспроизводит сигнал z(t), сведется
к решению уравнения Фредгольма I рода (при каждом фиксированном t)
г2
J = Kzy(t, т), 7\<т, /<Г2, D.18)
где Куу(т, s)=Kyy(s, T) = y(
Если система стационарна, то
J Куу (t - т) hour (т) d% = Кгу @, Тг < / < 72, D.19)
где Kyy{t) = E[yD)y{ )]
Уравнение D.18), а также D.19) при Тг = — оо, Т2 = оо есть уравне-
уравнение Винера — Хопфа.
Если переменная t (а также т и s) есть время и, следовательно, выпол-
выполняются равенства B.3) и B.4), то вместо уравнений D.18) и D.19) получим
соответственно уравнения
vy(x, s)hom(t, s)ds = Kzy(t, т), Г1<т</<Тг> D.20)
J Kvu{t — v)hmn(T;)dx=Kteit),Q<t<Tt. D.21)
U
Уравнения D.20) (при каждом фиксированном /) и D.21) являются урав-
уравнениями Фредгольма I рода относительно оптимальной импульсной функции
Аопт (t, s) и /гОПт (т) соответственно.
15* 227
Определение фононного спектра кристаллов по тепло-
теплоемкости [657] (другие названия: определение энергетического спектра бо-
зе-системы по термодинамическим функциям [294 190—192, 297], определе-
определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристал-
кристаллов [355, 356]). Задача сводится к решению уравнения
v)f(v)dv = c(T), D.22)
где f(v) — искомая функция распределения частот v (или фононный спектр)
тепловых колебаний атомов кристаллической решетки около положения рав-
равновесия (в квазиупругом приближении), с(Т) — удельная теплоемкость кри-
кристаллической решетки, Т—температура, vm — максимальная частота колеба-
колебаний в кристалле,
Д2 eqv/T
fi = 3Nk, q = h/k, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка; кри-
кристалл рассматривается как совокупность независимых атомных осцилляторов,
имеющих разрешенные энергетические уровни hv(i + 1/2), / = 1, 2, ... , 3N.
Амплитудный синтез непрерывной антенны [63, 148, 264,
277, 278, 468, 659, 666]. Задача амплитудного синтеза (наряду с фазовым
синтезом, с синтезом по отношению сигнал/помеха и т. д.) непрерывной
антенны (акустической и др.) на фиксированной частоте (тоне) заключается
в определении поля / в раскрыве D антенны по заданной характеристике на-
направленности (ХН) антенны R.
Если D—одномерная область (синтез одномерной ХН), например пря-
прямолинейный провод длиной 2а с искомым распределением тока /(?), где? —
координата вдоль провода, то задача сводится к решению уравнения
а
к J e"*I (I) dl = R (9), —я/2 < 6 «: я/2, D.23)
—а
где x = xsinO, и = 2яД — волновое число (X — длина волны), 6 — угол, от-
отсчитанный в плоскости, проходящей через провод, от перпендикуляра к про-
проводу, R(Q) — ХН в этой плоскости (в плоскости же, перпендикулярной про-
проводу, R = const).
Если же D — двухмерная (синтез двухмерной ХН), например плоская,
область, то имеет место двухмерное уравнение
'friM-*.^/^, l2)dl1dl2 = R(Qi Ф), -я/2<6<я/2,
—я < Ф < я, D.24)
где gx, ?2 — прямоугольные координаты точки на плоскости D; x1 =
X cos ф, х2 — х sin 0 sin ф; 9, ф — угловые координаты точки наблюдения
в дальней зоне.
Данная задача — частный случай общей задачи расчета излучающих и
приемных (в частности, антенных) систем [666].
Редукция профилей линии 21 см межзвездного водорода
в галактиках за остаточные скорости его частиц [129 141, 601,
602]. При наведении луча зрения в некоторую точку изображения галактики
на него проектируются частицы водорода с различными систематическими
скоростями. В результате этого в соответствии с эффектом Доплера возни-
возникает зависимость интенсивности излучения водорода на даннохМ луче зрения
от лучевой скорости v — профиль I (v) линии 21 см. Но помимо систематиче-
систематических скоростей, обусловленных вращением галактики, частицы водорода имеют
еще остаточные (случайные, тепловые) скорости, которые, накладываясь на
228
систематические скорости, искажают (расширяют) профиль линии. Задача ре-
редукции профиля за остаточные скорости сводится к решению уравнения
J ф (V — v') I (v') dv' = N (v), —оо < v < оо, D.25)
— оо
где / (v) — искомый (истинный) профиль — тот профиль, который был бы по-
получен, если бы частицы водорода не имели остаточных скоростей (I (v) дает
обильную информацию для анализа вращения галактики и, как следствие,
распределения масс в галактике), ф(и)— функция распределения остаточных
скоростей (ее можно найти из измерений), N (v) — измеренный профиль (ре-
(редуцированный за диаграмму направленности антенны радиотелескопа и за
самопоглощение в линии).
Аналогичная задача — восстановление функции распределения по скоро-
скоростям атомов паров металлов из экспериментальных (лабораторных) контуров
линии [366], а также устранение доплеровского [543] или аппаратного [544]
уширения спектральной линии.
Определение функции распределения истинных конфи-
конфигураций тройных звезд [1, 129 141]. В результате случайностей проек-
проектирования на картинную плоскость (плоскость, перпендикулярную лучу зре-
зрения) видимые конфигурации тройных звезд (а именно формы треугольников,
образованных тремя компонентами) отличаются от истинных конфигураций.
Имеет место следующее двухмерное уравнение, связывающее искомую фун-
функцию истинного распределения f(x, у) конфигураций тройных звезд с на-
наблюдаемой функцией ф(|, т|),
оо
J
oo<6<oo,0<ti<oo, D.26)
— оо О
где К(?, "П, у)= -— ===.—1, х?(—оо, оо) и у>0 —коор-
—координаты наиболее слабого компонента С в плоскости тройной звезды, в кото-
которой начало координат системы XOY совмещено с наиболее ярким компонен-
компонентом Л, а ось X направлена на второй по яркости компонент 5, причем рас-
расстояние между А и В принято за единицу; ? и г\ — аналогичные координа-
координаты в проекции на картинную плоскость, причем расстояние между проекциями
А и В в этой плоскости также принято за единицу.
Интерпретация кривых блеска затменных звездных
систем [206, 665, 724—729]. Рассмотрим следующую полуклассическую
модель затменной звездной системы типа V 444 Gyg, состоящей из «обычной»
звезды класса Об и звезды типа Вольфа-Райе (WR): 1) первый компонент
(припишем ему букву О) — «обычная» шаровая звезда с классическим зако-
законом потемнения к краю (х ? [0,1] — коэффициент потемнения к краю), 2) вто-
второй компонент (припишем ему букву W) — звезда с протяженной сферичес-
сферической стационарной атмосферой, 3) орбита системы круговая (ее радиус при-
примем за единицу), 4) эффекты отражения от компонентов не учитываем.
Введем обозначения: р и g — полярные расстояния от центров дисков,
г?а и г^а — радиусы поглощающих дисков, грс и г^с — радиусы светящихся
дисков (полагаем гра = грс = гр) О- и W-звезд соответственно; Д — рас-
расстояние между центрами дисков (все величины в проекции на картинную
плоскость), / — угол между плоскостью орбиты системы и картинной плос-
плоскостью, 8 — угол относительного поворота компонентов (фаза затмения,
отсчитанная от главного минимума), 1С—яркость излучения единичной пло-
площадки поверхности звезды в единичный телесный угол, 1а = 1 — еГх — вели-
величина, характеризующая поглощение единичной площадкой из единичного те-
телесного угла (т—оптическая толща на пути луча зрения).
Для функций /а(р) и /с(р) получаются соотношения
/в(р) = 1, /с(р) = уу^
229
где/р —яркость в центре диска О-звезды. Функции /в(?) и 1С&), а также
параметры гр, r^a> г^, i и /р определяются из следующей системы уравнений
и неравенств
j Кг (I, Д, rp) I>a&)di = 1 - /х(е), cos/ < Д < Ria + гр>
О
J К2 (I, А, гр) /с (I) dl = 1 — /а F), cos / < А <: /?^ + гр,
1- J /c(EJ«6
/SCO) = —°
Щс
-г-
D.27)
0 < /с F) < С2,
Д2 = cos2r+sin2isin20.
Первое уравнение описывает кривую блеска вблизи главного минимума (W-
звезда впереди О-звезды), а второе — кривую блеска вблизи вторичного мини-
минимума (О-звезда впереди W-звезды). Здесь 1г и /2 — относительный блеск
системы, отнесенный к единичному телесному углу (/1(90°) =/2(90°) = 1);
fad) = ll la(l)\ Кы и % — некоторые вспомогательные параметры такие, что
na<Rta> Пс < Ric\ константа С2 подбирается экспериментально (ее значение
слабо влияет на решение); ядра КгA, А, гр) и Кг (|, А, гр) выражаются неко-
некоторыми формулами [726].
Метод граничных интегральных уравнений (ГИ У) [465,
733] разработан применительно к задаче решения дифференциальных урав-
уравнений с частными производными эллиптического типа (Лапласа, Гельмгольца,
Пуассона и др.) [380, 464, 469, 509, 669, 806—811, 820, 844, 845], но мо-
может быть обобщен и на случай иных (неэллиптических) уравнений. Рассмот-
Рассмотрим его на примере уравнения Гельмгольца.
Пусть требуется в некоторой области пространства В (в точках тела В),
ограниченной поверхностью S, найти функцию ф (потенциал поля, например
звукового), удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
Дф + #<р=0 D.28)
при граничных условиях (на S): ф = Ф (задача Дирихле) или -^ = N (задача
Неймана), где k — волновое число, а п — внешняя нормаль к S.
Решение уравнения D.28) дается формулой Грина:
1 С С (
= к j J \
s
S)
D.29)
где p — некоторая точка внутри В, г — расстояние между р и некоторой
точкой поверхности S.
Если в D.29) известны (заданы) обе функции N (S) и ФE), то D.29)
есть решение уравнения D.28). Однако обычно известна лишь одна из них.
В этом случае существует способ определения другой функции, более того,
эти функции оказываются не независимыми и нужно задавать лишь одну из
них, а другая определится через нее — в этом и состоит суть метода ГИУ.
Он заключается в осуществлении предельного перехода в D.29) при устрем-
230
лении точки р в точку Р поверхности S. В результате получается соотно-
соотношение, связывающее функции N (S) и <P(S):
Если задана функция Ф, то получим двухмерное уравнение Фредгольма
I рода относительно N:
npikr(P, S) С С д [pikr(P,S)l
m^s) N МdS = 2яф(р> + J J фE)к[TUrsy]dS- D-30>
Если же задана функция N9 то получим двухмерное уравнение Фред-
Фредгольма II рода относительно Ф (см. п. 3.1).
Метод ГИУ применяется для решения следующих прикладных задач
[66, 82, 465, 5231: а) теория волн на поверхности воды (рассеяние волн
островами и заливами и др.); б) нестационарные явления в твердых телах
(нестационарный перенос тепла, квазистатическая вязкоупругость, распрост-
распространение продольных и поперечных волн), механика разрушения конструкций
(образование трещин и т. д.); в) упругопластическое кручение тел; г) теория
упругости (концентрация напряжений в теле, например при его изгибе, и т. д.);
д) механика внедрения инструмента в горную породу (с образованием оскол-
осколков породы); е) механика сплошных сред (течение несжимаемой вязкой жид-
жидкости в приближении Стокса) и др.
Обратная задача гравиметрии [129, 179, 180, 182, 194, 294,
620—622, 627—633, 657, 659, 663, 700, 704] (другие названия: задача ин-
интерпретации гравитационных данных, задача продолжения стационарных полей
[396]), Это одна из обратных задач геофизики, заключающаяся в определении
формы поверхности, разделяющей некоторый участок земной коры на две
однородные области (одна из которых отождествляется с полезными иско-
ископаемыми— железной рудой, нефтью и т. д.), по аномалии силы тяжести на
поверхности Земли. Имеет место нелинейное уравнение
D.31)
где/(х) =—-—&g(x)\ &g(x) — измеренная на поверхности Земли B = 0)
аномалия силы тяжести; х или | — координата вдоль поверхности Земли
перпендикулярно характерной вытянутости геологических структур (функции
/ и г полагаются не зависящими от направления вдоль этой вытянутости);
среда, находящаяся под поверхностью Земли, считается состоящей из двух
частей с известными плотностями рх и р2, разделенных границей
—Я + 2E), 5€[я, &Ь
причем 2E)—искомая форма границы, разделяющей две части среды (по
виду которой можно судить о составе и масштабе месторождения полезных
ископаемых).
В линейном приближении (г (g) <С Я)
ъ
J (x-i" + H*z F) dl = f (x). D.32)
a
Определение профиля скорости звука в среде по вре-
временам его распространения. Обозначим через L{x1% x2) кусочно-
ломаную кривую, соединяющую некоторые пространственные точки хх и хг
какой-либо среды и по которой распространяется звуковой луч от хг до х%.
231
h-h.
Тогда время распространения звука по
Цх19 х2) [4,5, 394, 396, 576]
где ds — элемент длины кривой L (ло-
(ломаной геодезической римановой метри-
метрики^ с — скорость звука. Соотношение
D.33) можно рассматривать как интег-
интегральное уравнение относительно с(х) по
известным семействам t (хг, х2) и L (хг,
х\— типичная задача интегральной гео-
геометрии [91, 92, 169, 171, 392, 396, 502,
Рис. 8. Схема задачи определения про- 504 505 569, 570, 571, 574—576].
филя скорости звука в воде. 'уравнение D.33) подробно расписа-
расписано и исследовано применительно к за-
задачам определения скорости звука в мантии Земли (обратной кинематической
задаче сейсмики) [4, 5, 11 — 16, 38, 174—178, 394—396, 455—457, 500, 501,
503, 570, 572, 573, 576] и в воде [95—97, 108, 129, 227, 246].
Рассмотрим данную задачу применительно к воде (согласно [593], рас-
рассматриваемый метод называется неконтактным реверберационным). Пусть
[227] с некоторой глубины h = h0 > 0 вертикально вниз излучается источни-
источником И узконаправленный короткий акустический импульс (рис. 8), который, пре-
претерпев на глубине h = Н (ф) > h0 рассеивание на различных неоднородностях
морской среды (пузырьках, взвесях, температурныхфлуктуациях и т . п.) и затем
пройдя по некоторой криволинейной траектории до узконаправленного прием-
приемника Л (расположенного на глубине/г0), фиксируется последним по истечении
времени t(cp), где ф — угол прихода луча в /7, отсчитанный от горизонтали.
В работах [95, 96] рассмотрена аналогичная задача, лишь И и П поменяны
местами. В обоих случаях, обозначив через г = const расстояние между И
и Я, считая скорость звука с не зависящей от горизонтальной координаты
и полагая известной функцию t (ф), получим следующую систему уравнений
1
:(А>у 1-
с2 (h)
COS2 ф
dh
/с1 <А0)
7q7F)-cos2(P
с2 {h
г
COS ф *
Ф
D.34)
для определения с (К) — скорости звука в функции глубины [750, 784] (про-
(профиля скорости звука) и #(ф).
В работе [108] рассмотрена схема, аналогичная [227], лишь #(ф) по-
полагается постоянной: Н (ф) = Н = const, а база г — переменной: г = г(ф).
Имеем
и \
±__L L
k (ft)
c{h)
dh
/¦
Ф2],
4h)
с2 (h0)
с2 (h)
— COS2 ф
ПРИ некотором
Ф2Ь
D.35)
В работе [97] дано обобщение схемы, рассмотренной в [95, 96].
Другие задачи. В заключение перечислим еще некоторые некоррек-
некорректные задачи, формулируемые в виде интегральных уравнений первого рода
с постоянными пределами. Это — задачи атмосферной оптики и космической
232
физики: определение вертикальных профилей температуры, влажности и га-
газового поглощения атмосферы по измерениям (в частности, спутниковым)
собственного излучения Земли [183, 211, 680, 815, 856, 859], определение
функции распределения аэрозольных частиц (облака, тумана и т. д.) по разме-
размерам на основе измерений индикатрисы рассеяния [35, 864] или спектра рас-
рассеянного света [771], определение распределения плотности внутри планет
(например, Земли или Луны) или гравитационных полей вблизи их поверхно-
поверхностей по результатам измерений траекторий искусственных спутников [704];
задачи спектроскопии полидисперсных сред: определение распределения взве-
взвешенных частиц, совершающих броуновское движение, по полуширинам спек-
спектральных кривых компонент на основе экспериментального спектра [215], вес-
становление функции распределения частиц по размерам в установках опти-
оптического смещения на основе измерений спектра излучения [545, 871]; задача
математической биологии — задача кинетики печени [800]; задачи ядерной
физики (конструирование гамма-лазера, анализ сечений ядерных реакций),
химической кинетики и экспериментальной электрохимии, экономики (вопро-
(вопросы планирования и экономической динамики), оптимизации плазмооптических
систем и т. д. [26]; задачи томографии — задачи восстановления трехмерных
структур (микроскопических объектов в биологии: вирусов, белков, амино-
аминокислот и др., минералов в минералогии, внутренней структуры человеческо-
человеческого организма в рентгенографии, плотности плазмы в ее диагностике методом
ЯМР-интроскопии [888] и т. д.) по набору двухмерных изображений, выпол-
выполненных под разными углами [106, 892], задачи теории массового обслужи-
обслуживания [78, 237, 303, 333, 334, 519, 590, 657] и др. [62, 184, 243, 279, 307,
332, 365, 391, 458, 474, 513, 514, 527, 551, 563, 592, 619, 670, 718, 737,
822, 829].
Видим, что интегральные уравнения первого рода с постоянными преде-
пределами (а также уравнения Вольтерры I рода), задача решения которых некор-
некорректна (будем для краткости их называть некорректными уравнениями), встре-
встречаются в широком круге прикладных задач, что сделало актуальной разра-
разработку эффективных методов их решения.
Историческая справка. Устойчивые (регулярные, робастные) методы ре-
решения некорректных задач основываются на использовании априорной информа-
информации о решении, сужающей возможный класс решений. Хронологически история
развития этих методов такова.
1. Методы «интуитивной регуляризации» [659 58].
2. 1941 г. —работа А. Н. Колмогорова [341], 1942 —1950 гг. —работы
Винера [866], в которых они независимо разработали теорию фильтрации (Кол-
(Колмогорова—Винера [857]), посвященную статистическому робастному методу
решения уравнения типа свертки (априорная информация — спектральные плот-
плотности правой части и решения) — см. п. 4. 13.
3. 1943 г. — работа А. Н. Тихонова [648] об устойчивости решения на
компакте (см. п. 4.9).
4. 1956 г. — работа В. М. Фридмана [697] (см. п. 4.5), положившая
начало методам итеративной регуляризации (параметр регуляризации — чис-
число итераций, определяемое, например, способом обобщенной невязки с исполь-
использованием значений погрешностей правой части и оператора).
5. 1960 г. — работа Калмана [812] (см. п. 4.13), в которой сформули-
сформулирован статистический робастный метод решения дискретного аналога интег-
интегрального уравнения с использованием максимально большой априорной (ста-
(статистической) информации (ковариации ошибок и матожидания правой части
и решения).
6. 1962 г. — работа М. М. Лаврентьева [388], в которой введено понятие
условной корректности, или корректности по Тихонову, предложен ряд ре-
регулярных схем решения: метод а-регуляризации и метод итераций (в част-
частности, их реализация на компакте), введено понятие модуля непрерывности
обратного оператора (см. п. 4.7).
7. 1962 г. — работа В. К. Иванова [288], в которой изложен метод квази-
квазирешения (см. п. 4.10). а также его реализация с помощью метода собствен-
собственных функций (см. п. 4.12).
233
8. 1962 г. — работа Филлипса 1841], в которой предложен вариационный
метод условной минимизации функционала (с использованием ограничений
на гладкость решения) и высказана идея способа невязки выбора значения
параметра регуляризации ос.
9. 1963 г. —работы А. Н. Тихонова [649, 650], в которых введено поня-
понятие регуляризирующего оператора, или алгоритма (РА) (см. п. 4.3), и сформули-
сформулирован один из самых эффективных детерминистских методов решения не-
некорректных задач (среди методов, использующих минимум априорной инфор-
информации о решении — лишь гладкость решения) — метод а-регуляризации
Тихонова (см. пп. 4.3, 4.4).
10. Начиная с 1964 г. т- цикл работ А. Б. Бакушинского [40—59],
в которых предложен ряд РА (метод а-регуляризации, или РА «погружения»,
и др.)» а также генератор РА (см. п. 4.8).
11. Начиная с 1964 г. — цикл работ Л. А. Халфина и В. Н. Судакова
[638, 706, 818], М. М. Лаврентьева и В. Г. Васильева [393], В. Я. Арсенина
и В. В. Иванова [30—32], Стрэнда и Уэстуотера [859], Франклина [788]
и других работ [397, 498, 677, 678], посвященных различным вариантам
статистической регуляризации (байесовский подход, аппарат теории статисти-
статистических решающих функций и т. д.) решения некорректных задач, использу-
использующим количество информации, промежуточное между методами типа метода
Тихонова и метода Калмана (см. п. 4Л4).
12. Начиная с 1965 г. — цикл работ В. А. Морозова, В. В. Иванова,
В. Ю. Кудринского, В. В. Васина, В. П. Тананы [118—123, 283,476,641,
642| и других работ [223, 224, 317, 581, 643, 752], посвященных примене-
применению проекционных методов (типа Ритца, Галеркина и др.) к решению не-
некорректных задач, используемых в сочетании с методами регуляризации,
квазирешений или невязки (см п. 4.11).
13. 1С66—1967 гг.— работы В. А. Морозова [477], В. К. Иванова
[291], И. Н. Домбровской [247—249], где нашел строгое обоснование способ
невязки (а также метод невязки) решения некорректных задач, идея которого
до этого была высказана без доказательства Филлипсом [841], также
Л. В. Канторовичем [318] (см. п. 4.3.). В дальнейшем (в 1972—1973 гг.)
А. В. Гончарским, А. С. Леоновым и А. Г. Яголой [197, 199, 200] был
сформулирован обобщенный принцип невязки (ОПН) (см. п. 4.3.), В. П. Та-
наной и др. [875, 882—884] — модификация ОПН, а В. А. Морозовым [483,
491] — принцип оптимальной невязки.
Значительный вклад в разработку различных аспектов решения некор-
некорректных задач внесли также Ю. Е. Аниконов, Ю. Т. Антохин, А. С. Апар-
цин, Архангели, Баболиан и Дэлвес, Бакер, А. Л. Бухгейм, Бьюси, Г. М. Вай-
никко, Ф. П. Васильев, В. А. Винокуров, В. В. Воеводин, Ю. Е. Воско-
бойников и Я. Я. Томсонс, В. Б. Гласко, В. И. Гордонова, А. Р. Данилин,
А. М. Денисов, Джон, В. И. Дмитриев, Дуглас, И. В. Емелин, В. А. Же-
лудев, Е. Л. Жуковский, П. Н. Заикин, Е. В. Захаров, Н. Б. Зябрев,
Л. А. Калякин, Клейн, И. И. Кочетов, М. А. Красносельский, С. Г. Крейн,
A. В. Крянев, Латтес и Лионе, О. А. Лисковец, Н. А. Магницкий,
Г. И. Марчук, А. С. Меченов, Миллер, И. Н. Молчанов, М. В. Муравьева
(Арефьева), Р. Г. Мухометов, А. П. Петров и А. В. Хованский, В. В. Пи-
калов, Н. Г. Преображенский, А. И. Прилепко, Пуччи, В. Г. Романов,
Т. И. Савелова, А. И. Седельников, В. О. Сергеев, В. И. Старостенко,
B. Н. Страхов, Тен Мен Ян, В. Н. Трутников, Тумей, Ю. И. Худак,
Л. Э. Цырлин, А. В. Чечкин, Шмаедеке и др.
Устойчивые методы решения некорректных задач достаточно полно изло-
изложены в монографиях [116, 294, 388, 396, 417, 490, 659, 668, 866, 889],
а также в публикациях [25, 84, 112, 114, 129, 206, 315, 419, 488, 565,
621, 667, 741]. Однако в них недостаточное внимание уделено доведению
методов до практических алгоритмов и особенно до машинных программ.
Ниже (а также в гл. 2) изложение методов ведется с акцентом на доведе-
доведение их до алгоритмов и программ (применительно к интегральным уравне-
уравнениям) и до численных иллюстраций. При этом изложение методов ведется
не в хронологическом порядке, а вначале (пп. 4.3.—4.12) излагаются де-
234
терминистские методы (начиная с наиболее эффективных и общих), затем
(п. 4.13) — статистические, использующие наибольшее количество априорной
информации о решении, и, наконец, методы, промежуточные в смысле
подхода (детерминистский или статистический) и количества априорной инфор-
информации (п. 4.14), а также дается краткий обзор некоторых других результа-
результатов (п. 4Л5).
4.3. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА
Условная корректность. Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Ay = f, y?Y, f?F, D.36)
где Y и F —некоторые метрические пространства, а Л — непрерывный опера-
оператор, отображающий Y на F.
Классическое (по Адамару) определение корректности приведено в п.4.1.
А. Н. Тихонов [648] сформулировал новое определение корректности,
которое М. М. Лаврентьев [388] назвал корректностью по Тихонову. Задача
решения уравнения D.36) называется условно корректной или корректной
по Тихонову, если [388, 396, 659]: 1) априори известно, что решение у су-
существует и принадлежит некоторому заданному множеству, или множеству
корректности М: у?М\ 2) решение единственно в классе функций, принадле-
принадлежащих М; 3) бесконечно малым вариациям /, не выводящим решение у
за пределы М, соответствуют бесконечно малые вариации решения у.
Отличие условной корректности от классической заключается во введе-
введении множества корректности, существенно сужающего класс возможных ре-
решений*.
Наиболее характерный пример множества корректности — компакт (см.
п. 4.9). Однако в большинстве прикладных задач класс возможных решений Y
не является компактом (т. е. на решение нельзя наложить, исходя из физи-
физических соображений, очень жесткие ограничения) и, кроме того, изменения
правой части / уравнения D.36), обусловленные ее погрешностями, могут
выводить / за пределы множества AY. Такие задачи иногда называют [659
55] существенно некорректными. А. Н. Тихонов [649, 650, 659] разработал
принципиально новый подход, дающий устойчивые решения существенно
некорректных задач. В его основе лежит понятие регуляризирующего опера-
оператора (РО), или регуляризирующего алгоритма (РА) [650]. Опишем его, пола-
полагая, что лишь правая часть / имеет погрешность, а оператор А задан точно.
Регуляризирующий оператор [136, 488, 650, 659]. Пусть вместо точной
правой части / известно ее приближенное значение /а такое, что
7)<6, D.37)
где 6 — верхняя оценка значения погрешности правой части.
Определение 1. Оператор R(/, б) называется регуляризирующим
для уравнения D.36) в окрестности f, если: 1) R(f, б) определен для всех
/sGF и 0 < б < б0 (б0—некое предельное значение, при котором /?(/, 6)
остается РО); 2) для любого е > 0 существует 6(е) такое, что если Pf(/s, /)<
< б < 6(8), то ру(уь, у) < е, где уь = #(/s, б), а у —точное решение (т. е.
решение уь = R(fb, б) должно быть устойчивым); при этом при б->0 должно
е~>0 (т. е. приближенное решение уь, даваемое РА, должно переходить
при б -> 0 в точное решение у).
В случае, когда РО использует так называемый параметр регуляризации
а, связанный с б зависимостью а (б), удобнее пользоваться другим опреде-
определением РО.
Определение 2. Оператор R (/, а) называется регуляризирующим для
уравнения D.36) в окрестности /, если: 1) #(/, а) определен для любых }д?Р,
* Существует также понятие корректности по Фикера [294 31].
235
О <: 6 < 60 и 0 <: а < а0 (б0 и а0 — предельные значения); 2) существует такая
зависимость а = аF), что для__любого е>0 найдется 6(р) такое, что если
Pf(/s, /) < б < 6(г), то pyQa, У) < s, где уа = #(/s, aF)); при этом при б~->0
должно а->0 и е~*0 (т. е. */а должно переходить в точное решение #).
Метод, в основе которого лежит регуляризирующий оператор, называет-
называется методом регуляризации.
Если зависимость а (б) выбрана, то получим более конструктивный, чем
/?(/, а), оператор R(f, а(б)). Однако/?(/, а (б)) не всегда можно построить,
хотя имеется широкий класс отображений, для которых это возможно [136].
При этом оператор R(f, а) является техническим средством для построения
/?(/, а (б)) и из существования R(f, а) вытекает существование /?(/, а (б)).
Задача построения R(f> а (б)) сложнее задачи построения /?(/, а).
Отметим, что при а = б определение 2 переходит в определение 1. Отме-
Отметим еще, что в определениях 1 и 2 не предполагается однозначность опера-
операторов /?(/, б) и R(f, ос) (а также R(f, a F)). Другими словами, существует
множество РА, формально равнозначных. Например, для случая положитель-
положительно определенного самосопряженного оператора А методы регуляризации Ти-
Тихонова и Лаврентьева (см. п. 4.7) с выбором а по формуле
а = Сб2, D.38)
где С = const > 0, равнозначны, хотя и приводят, вообще говоря, к различ-
различным решениям уа- К тому же зависимости
а = С1б2 D.39)
и
а = С2б2, D.40)
где С1УС2 > 0 — постоянные, причем С1фС2У также формально равноправны
и окончательный выбор между D.39) и D.40), а также между методами дол-
должен выполняться не на основе определений РО, а с привлечением дополни-
дополнительной информации (оценок ошибок решений, особенностей машинной реали-
реализации методов и т. д.), но, по-видимому, окончательная формальная алго-
алгоритмизация выбора невозможна.
Заметим, что в роли параметра регуляризации (наряду с параметром а,
используемым в методах регуляризации Тихонова — пп. 4.3, 4.4 и 2.5,
Лаврентьева — п. 4.7, Бакушинского — п. 4.8, Денисова — п. 2.6, Апарцина —
п. 2.7, Сергеева — п. 2.8, Магницкого — п. 2.9 и т. п.) могут выступать также
«естественные» параметры (или функции от них, в частности величины, обрат-
обратные им): число итераций (в методе итеративной регуляризации — п. 4.5),
число слагаемых ряда (в проекционных методах — п. 4.11), шаг квадратуры
(в методах Л-регуляризации — пп. 2.1, 2.7, 4.11 и др.) и т. д.
Точное решение, псевдорешение и нормальное решение. Точным (класси-
(классическим) решением уравнения D.36)* (вне зависимости от способа его отыска-
отыскания) называется такое решением/, при котором \\Ау—f\\p = 0. Однако такое
решение может не существовать или быть не единственным (т. е. может
нарушиться соответственно первый или второй пункт определения корректно-
корректности по Адамару). Чтобы обойти эти трудности, вводятся следующие, заимство-
заимствованные из алгебры [166 32—40, 265, 266] и примененные в теории некор-
некорректных задач [484—486, 494, 636, 654, 655, 658, 659 111—112, 751, 757]
понятия.
Псевдорешением уравнения D.36) называется решение у19 минимизирую-
минимизирующее невязку \\Ау — /|[р **.
Уравнение D.36) может иметь не одно псевдорешение. Обозначим через
У\ совокупность всех его псевдорешений. Введем также в рассмотрение неко-
некоторый элемент о]) ? Yx.
* Y и F — нормированные пространства.
** Если ||Л уг — /||f = 0, то псевдорешение у± совпадает с точным решением у,
псевдорешение обобщает понятие точного решения.
236
Нормальным относительно i|) решениехМ или ^-нормальным решением урав-
уравнения D.36) называется псевдорешение у0 с минимальной нормой \\у — Щ,
т. е. такое, что
\\Уо~til = inf \\y— г|?||. D.41)
Если if> = 0, то уо называется просто нормальным решением.
Регуляризованное операторное уравнение [649, 650, 659 58—79, 128—
154, 776, 789, 799, 830]. Рассмотрим некорректное уравнение [304]
Ay = f, y?Y, f?F, D.42)
где Y и F — гильбертовы пространства, а А—линейный вполне непрерыв-
непрерывный оператор из Y в F, причем вместо точных / и А известны их прибли-
приближения * / и Л, такие, что
\\f~f\\F<8,
\\А-А\\<1,,
т. е. решается уравнение
Ау = /, y?Y, }?F. D.44)
Введем в рассмотрение так называемый сглаживающий функционал
(функционал Тихонова)
Фа [у, n=\\Ay-]\fF+aQ[y], D.45)
где неотрицательный функционал Щу], называемый стабилизирующим функ-
функционалом (или стабилизатором), обычно полагается равным
O[y] = lM\V, D.46)
а а > 0 есть параметр регуляризации.
Будем искать элемент уа% на котором функционал D.45) достигает ми-
минимального значения, т. е.
Доказывается [206 ///—112, 659 67—69], что задача D.47) имеет решение
и притом единственное.
Число \\Ау — J\\f называется невязкой.
Задача минимизации функционала D.45) решается, как видно, методом
неопределенных множителей Лагранжа(а—неопределенный множитель) путем
условной минимизации невязки \\Ау — /||f при условии минимальности стаби-
стабилизирующего функционала ?i[y].
Задачу минимизации D.47) можно выполнять численно, используя числен-
численные методы минимизации [114, 116, 206, 213, 228, 324, 421, 422, 535, 560,
637, 685, 692, 709, 756]. Можно также решать следующее уравнение (урав-
(уравнение Эйлера), вытекающее из условия минимума функционала D.45) и полу-
получаемое путем приравнивания нулю первой его вариации
' [уа] + А*Ауа = A*~f, D.48)
где Q' [у] — производная по Фреше.
Если при этом Q [у] выражается формулой D.46) (очень важный частный
случай), то, поскольку [659 96] \\y\\y = (Су, у), где С —некоторый линей-
линейный оператор (см. Приложение I), уравнение Эйлера принимает вид
+ А*~Ауа = А*Ъ D.49)
* В случае, когда под уравнением D.42) подразумевается интегральное уравнение,
будем полагать, что погрешность оператора обусловлена как погрешностью ядра, так и заменой
интегрального оператора на дискретный (как, например, при использовании способа конечных
сумм и разностей).
237
решение которого
Уа = (а С + А* АГ1 A* ~f. D.50)
Если, сверх того, F =L2, то С = Е, где Е— единичный оператор, и уравне-
уравнение Эйлера записывается в виде
= Л*7, D.51)
решение которого
Уа = (а Е + A* A)-1 A* J. D.52)
Если 6->0, |~*0, то, как следует из второго определения РО, дол-
должно <х-»-0, т. е. в качестве решения нужно брать (если й [у] = \\y\\y)
у0 = lim (а С + А* Л) Л* f. D.53)
Можно показать [484, 561], что решение, даваемое соотношением D.53),
есть нормальное решение, т. е. при точных / и А из всех точных решений
уравнения D.42) в методе Тихонова автоматически выбирается нормальное
решение. Формулу D.53) можно записать иначе:
где А+ = lim (а С + Л* Л)" Л* — оператор, псевдообратный к Л (расширение
Л) [399а,~454].
Если же 8фО или/и ?=^=0, то метод дает решение уа, являющееся при-
приближением к нормальному решению у0.
В работе [861] (см. также [533]) рассмотрен случай, когда
Qly]=\\y-M\Y, D.54)
где о|)? Y—некоторый элемент, в который обычно вкладывается смысл началь-
начального приближения (или матожидания с позиций методов фильтрации —
см. п. 4.13) решения. В этом случае уравнение Эйлера имеет вид (при Y =?2)
ауа + Л* А уа = Л* / + а % D,55)
а его решение
у а = (а Е + А* Л Г1 (Л* / + а ф) D.56)
или
Уа = хр + (аЕ + Л* Л) Л* (/ — А -ф). D.57)
При этом при точных / и Л, т. е. при б = | = 0, из множества точных реше-
решений метод выбирает г|>нормальное решение (путем предельного перехода при
а->0), а при 6=?0 или/и g =7^= 0 метод дает приближение к г|>нормальному
решению.
Отметим следующие характерные особенности метода а-регуляризации
Тихонова.
1. Минимизация функционала D.45) есть достижение компромисса меж-
между малостью значений невязки \\Ау — /||f>c одной стороны, и стабилизатора
Q[y]—с другой. С уменьшением значения невязки уменьшается рассогласо-
рассогласование между левой и правой частями исходного уравнения D.44), но увели-
увеличивается значение стабилизатора, т. е. уменьшается гладкость (а значит,
м устойчивость) решения. И наоборот, с уменьшением значения стабилизато-
стабилизатора увеличивается значение невязки. Необходимо компромиссное решение дан-
данной задачи. Этот компромисс (численно выражаемый через относительный вес
слагаемых \\Ау — J\\f n Q[y] в D.45)) регулируется значением а. При этом
чем меньше б и |, тем меньше а (и, следовательно, больше относительный
вес первого слагаемого).
2. Данный метод является обобщением метода наименьших квадратов
(МНК)" если положить а = 0 в D.45), то минимизация значения невязки
\\Ау—/||f и есть МНК, а уравнение Л* А уа = А* } (получающееся из D.49)
при а = 0) есть аналог системы нормальных уравнений в МНК Гаусса реше-
238
ния (переопределенной) СЛАУ. При этом, если D.42) есть СЛАУ, полученная, на-
например, в результате алгебраизации исходного интегрального уравнения, с матри-
матрицей А размератхп, искомым вектором у размера п и вектором правой части f раз-
размера /тг, причем, вообще говоря, тф п, то в уравнении D.51) или D.55) матрица
будет темпе менее квадратной размера пхп, как это и имеет место в МНК.
3. Данный метод применим для произвольного (линейного вполне не-
непрерывного) оператора А (а не только для положительного самосопряженного
Л, как в методе а-регуляризации Лаврентьева — см. п. 4.7). Это связано с
тем, что в уравнение Эйлера (D.48),J4.49), D.51) или D.55)) вместо исход-
исходного оператора А входит оператор А* Л, который является положительным
самосопряженным. Собственные значения А,/(Л* Л), i = 1, 2, .. . , такого опе-
оператора вещественны и неотрицательны, причем при | = 0 ттХ/(Л*Л) = О,
i
вследствие чего обратный оператор (ЛМ) неограничен. Если же ? ф 0, то
min %{(Л* Л) может стать несколько отличным от нуля, но норма
|| (Л* Л)1| тем не менее будет иметь очень большое значение. Вследствие же
наличия слагаемого ауа в D.51) или D.55) либо слагаемого аЕ в D.52),
4.56) или D.57) весь спектр собственных значений оператора Л*Л сдвигает-
сдвигается как целое на величину а > О, при этом minX^af + Л*Л)^ а (а при
I = 0 min %i (аЕ + А^А) = а), обратный оператор (аЕ + А^А) улучшается,
а именно
и задача становится устойчивой.
4. В методе а-регуляризации Лаврентьева (см. п. 4.7) требуется поло-
положительная определенность и самосопряженность оператора Л, а в РА «по-
«погружения» Бакушинского (см. п. 4.8) — самосопряженность Л. Если оператор А
данными свойствами уже не обладает, то применение этих методов становит-
становится, строго говоря, невозможным. В^ методе же а-регуляризации Тихонова ка-
какими бы «недостатками» оператор Л ни обладал (по сравнению с Л), опера-
оператор Л*Л тем не менее будет положительным самосопряженным.
Оценка ошибки решения. Во многих работах ([134, 135, 138—141, 181,
348—350, 437, 484, 529—531, 606, 649, 650, 663, 873] и др.) получены оцен-
оценки ошибки решения уравнения D.51). Приведем одну из них [606].
Пусть куа = уа — У — погрешность решения, где уа — решение уравне-
уравнения D.51), а у — точное решение (в качестве такового берем нормальное ре-
решение у0). Пусть, далее, б = ~А*А, а 6+— псевдообратный оператор. Тогда
\у < 2-у^ + ~7^~ХГ II у \\у> <4-58>
где Д = 6 + Ш1|у-
Полезна также оценка относительной ошибки решения. Она имеет вид:
,4.59,
\\y\W
где
6 |
причем р= ||G*|| = |H*||2, ёотн= jj7]?", 5отн=щ.
Из условия г' (а) == 0 получаем
D.60)
_ Г Ш(«отн + !отн) 12/3
'-[ тР J •
где w =
L ^ J
239
44/3
Уравнение D.ГО) при условии -у pw < 1 имеет один корень а? > 0, удов-
удовлетворяющий условию минимума ф" (а) > 0. Точная формула для а? слож-
сложна, поэтому более целесообразно находить его (сходящимися) итерациями:
aQ = wt a? = w(l + paML/3, i = 1,2, ...
Можно определить а<р также из графика функции г (а) или же восполь-
воспользоваться (при pw<^\) приближенным выражением:
а9 «а/A +4/3 pw), D.60')
дающим оценку
е Ю » }^ 1И112/3 Р1/* FоТн + |отнJ/3- D.59')
Следовательно, при
mjn
ИЛИ
mjn ~^^ <[cond+ (Л) (ботн
где сопс1+(Л) = || А \\ - \\ А+\\ — число, которое уместно назвать псевдочислом
обусловленности оператора А (в частности, интегрального оператора, матрицы
и т. д.).
Используя оценку D.58), при
а(А) = О(Д2) D.61)
получаем
||Дуа||к-^0 при Д->0,
т. е. алгоритм, даваемый методом регуляризации Тихонова, является регу-
ляризирующим.
При | = 0, 6=^0 асимптотическую оценку D.61) записывают также в
виде [181, 294, 637, 649, 650, 663]
а F) = С б2, D.62)
где С>0 — некоторая константа.
Регуляризованное интегральное уравнение [649, 650, 659 128 —154].
Изложим метод регуляризации Тихонова применительно к интегральному
уравнению Фредгольма I рода
ь
Ау=\к{ху s)y(s)ds=f(x), c<x<d. D.63)
а
Будем полагать, что К (х, s) есть вещественная непрерывная в области
{а <: s < Ъ\ с < х < d] функция. Пусть, далее, f(x)?L21 у (s) ? Wl2i a _ вместо
точных f(x) и К(х, s) известны их приближенные значения J (х) и К (х, s)
такие, что
\\](x)-f(x)\\Lt<6,' D.64)
\\K(x,s)-K{x, s)\\<t D.65)
Введем сглаживающий функционал (ср. D.45))
d
Фа [у, /] == j [Ay — J(x)J2 dx + aQ [y], D.66)
с
где стабилизирующий функционал [659 153]
ь
ОДО= [{y*(s)+4W(s)\*)ds, q>0, D.67)
a
240
причем
ь
Ау= )К(х, s)y(s)ds, c*cx<d.
а
Из условия минимума Фа следует уравнение Тихонова (являющееся урав-
уравнением Эйлера для экстремальной задачи D.47)):
ъ
а [г/а @ — ЯУа (*)\ + j Я (*, s)ya (s) ds = F (t), a<t< b, D.68)
a
где
d
R(t, s) = R(s, t)= $#(*, t)K(x, s)dx, D.69)
с
d
F(t)=) K(x, t)f(x)dx, D.70)
С
причем краевые условия [659 150] выбраны в виде [659 /55]
Уа(а) = уа(Ь) = 0. D.71)
В результате вместо некорректного уравнения первого рода D.63) нуж-
нужно решать уравнение второго рода D.68) (интегральное уравнение Фредголь-
ма II рода при q = 0 или интегродифференциальное уравнение при q фО).
При этом значение величины q связывают с порядком регуляризации: если
9 = 0, то говорят о регуляризации 0-го порядка, а если q^0, то говорят
о регуляризации 1-го порядка.
В работе [650] рассмотрен случай, когда (ср. [730, 731])
Ь п
О [у] = $ 2 <7* (s) ly(k) (s)]2ds D.72)
а ?=0
(регуляризация п-то порядка), причем y(s)? W\ , ць (s), & = 0, 1, ... , п,—
неотрицательные непрерывные функции, при этом qn(s) >0. В этом случае
уравнение Тихонова (Эйлера) имеет вид
п Ь
а<^<&, D.73)
с краевыми условиями, например, типа (ср. [659 152])
у'а (а) = ... = у™ (а) = у'а Ф) = ... = уУ (Ь) = 0. D.74)
В работе [841] стабилизирующий функционал выбран в виде
D.75)
причем y(s)?Wl. Это соответствует уравнению
ъ
Щ™ @ + J R V, s) ya (s) ds = F(t), a < t< 6, D.76)
а
с краевыми условиями, например, типа
Уа (а) = Уа (а) = у а (Ь) = у'а F) = 0. D.77)
В уравнениях D.73) и D.76) функции R (t, s) и F (t) выражаются фор-
формулами D.69) и D.70) соответственно. Увеличение порядка регуляризации п
означает введение ограничений на производную от решения y(s) все более
высокого порядка. Поэтому следует ожидать, что, например, с увеличением
16 5-1018 241
значения q в D.67) гладкость решения уравнения D.68) (при некотором фик-
фиксированном значении а) должна в среднем увеличиваться (ср. [397]).
Дополнительно к отмеченным выше характерным особенностям метода
а-регуляризации Тихонова отметим следующую особенность, характерную в
первую очередь для интегрального уравнения. Правая часть f(x) входит в
уравнения D.68), D.73), D.76) не в явном виде, а под интегралом (см. D.70)).
Вследствие этого, во-первых, «шероховатости» в f(x)f обусловленные ошиб-
ошибками измерений, в значительной степени сглаживаются (можно сказать, что
J(x) проходит через своеобразный фильтр Л*—см. D.48), D.49), D.51), D.55),
D.70)); во-вторых, если ]{х) задана дискретно, то интегрирование в D.70)
дает возможность получить новую, непрерывную, правую часть F (t); в-тре-
в-третьих, вид выражений R(t, s) и F(t) (см. D.69), D.70)) позволяет заключить,
что получение уравнения Эйлера можно трактовать следующим образом:
сначала выполняется корреляционная обработка уравнения D.63) (согласно
D.69), D.70)), а затем добавляется стабилизирующее слагаемое типа а [...] —
см. D.68), D.73), D.76). Это говорит о больших возможностях метода а-ре-
а-регуляризации Тихонова.
Обобщенный принцип невязки выбора а. Существует несколько способов
выбора параметра регуляризации а. Они отличаются друг от друга, в част-
частности, количеством и характером дополнительной информации. Одним из
наиболее эффективных и детально исследованных способов является способ
невязки, идея которого была сформулирована Филлипсом [841] и Л. В. Кан-
Канторовичем [318] и нашла развитие в большом числе публикаций [134, 206,
247—250, 291—293, 416, 466, 478—481, 483, 484, 659]. Изложим сначала
обобщенный принцип невязки (ОПН) [197, 199, 200, 203, 206 117—120J, a
затем кратко — способ невязки, являющийся его частным случаем. Отметим,
что в этих способах в качестве дополнительной информации используются
значения погрешностей исходных данных.
Рассмотрим некорректное уравнение D.42), причем будем полагать, что
вместо точных / и А известны/ и Л с оценками D.43), т. е. в действительно-
действительности решается уравнение D.44). Полагаем, что решается задача минимизации
4.47) функционала
Фа [у, }] = \\Ay-}\\*F + a\\y\$9 D.78)
причем уа —его экстремаль (т. е. решение задачи D.47)).
Введем в рассмотрение следующие функции:
-Л|^ D.79)
|а||у, D-80)
а также величину \х, равную
]\fF<lif D.81)
где [х — ее верхняя оценка. Величина \х характеризует вырождение опера-
оператора Л (если замыкание AY совпадает с F, то \i = 0) [206 118] или
меру несовместности уравнения D.44) [744] и связана с псевдорешением (см.
выше).
Наконец, введем в рассмотрение функцию, называемую обобщенной не-
невязкой ,
*(а) = Р(а) —С(а), D.82)
где
С (а) = (« + IVW)J + И- D.82')
Доказано [200], что при а>0 функции х(а) и Р (а) являются моно-
монотонно неубывающими и непрерывными, а у (а)— монотонно невозрастающей
242
и непрерывной. При этом
lim р (а) = \х9 D.83)
lim р (а) = || / \\2f,
lim ?(а) > 62 + м<,
а-*0
lim ? (а) = б2 + М-,
0С->-оо
следовательно,
lim х(а) < —б2,
а-н-0
lim х (а) = || / ||f — (б2 + I*)»
Полагаем, что
fffF>l* + \i. D.84)
В этом случае существует и является единственным в интервале @, со) та
кое значение а = а<* (значок d означает discrepancy — невязка), при котором
х(а) = 0. D.85)
При этом в качестве начального приближения а при решении уравнения
D.85) можно воспользоваться следующим значением [889 35—36]i
Янач = |! А 1
с2— 1
где ||/ (|/б > С > 1, С = const v^€ @, б0]. Если же условие D.84) не выпол-
выполнено, то в качестве решения нужно брать у = 0.
Итак, ОПН заключается в том, что в качестве а выбирается значение
ad — корень уравнения D.85), т. е. такое значение, при котором невязка Р(а)
выходит на уровень суммы всевозможных погрешностей метода (погрешности
б правой части, погрешности I оператора, слагающейся из погрешности ядра
К(х, s) и погрешности численного решения задачи отыскания уа, и погреш-
погрешности \х <з \х, обусловленной несовместностью исходного уравнения).
Не существует (и, по-видимому, не может быть получено) доказатель-
доказательства того, что при а = а^ и конечных б или/и g погрешность решения
минимальна, т. е. \\yad у\\у = тт, где у — точное (нормальное) реше-
а
ние. Однако численные эксперименты указывают на близость значения
\\yad — y\\Y к значению min\\ya — у\\у. Это подтверждают и результаты,
приведенные в п. 4. 6. Что же касается асимптотики, то
lim || уа — у \\у = 0,
т. е. при 6-^0, ?->0 решение yad сходится по норме к точному решению у.
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода ОПН
сводится к решению уравнения
х (а) == р (а) — ? (а) = 0, D.86)
где
</Г Ь 12
Р(а)= И \к{х, s)ya(s)ds— f(x)\ dx% D.87)
с \ а
I (a) = (б + I VvИJ + ^ D.88)
ъ
?(«)= \yl(s)ds. D.89)
a
16* Z43
В работах [879, 885—887] изложена модификация обобщенного принци-
принципа невязки (МОПН)— способ выбора а, не требующий вычисления |х.
В нем
D.82i)
Далее: 1) если выполняется D.84М) и при этом: а) существует корень аа > О
уравнения D.85), т. е. при уменьшении а от оо до 0 происходит смена зна-
знака к (а) с плюса на минус, то решение есть уа^; б) х(а)>0для всех а >0,
то решение есть yad = lim уа\
а-»-0
2) если же D.84М) не выполнено, то решение у = 0.
Отметим, что МОПН требует существования предела lim ya (и разреши-
а-И)
мости уравнения D.42) при г) ^ (б, ?) = 0, т. е. \х = 0 при г\ = 0) и, кроме
того, МОПН не является, вообще говоря, эквивалентной обобщенному ме-
методу невязки.
Если оператор А задан точно, т. е. | = 0, то ОПН переходит в способ
невязки выбора а. В этом случае способ заключается в том, что в качестве
а берется такое а = а</, при котором
\\Aya — J\\F = 6. D.90)
Если ||7|If > S и множество AY всюду плотно HaF [659 75], т. е. |д> = 0,
то решение уравнения D.90) существует и является единственным [483].
Кроме того [483], Нт||#а</ — #||у = 0, т. е. при б->0 решение yad сходится
6-4-0
к точному решению у.
Идея невязки нашла воплощение также в методе невязки, который
в случае | = 0 формулируется следующим образом [122, 249, 291, 294 75—77\
416, 477, 481—484]. Введем непустое множество
Q6={y?Y:\\Ay-f\\<8}. D.91)
Метод невязки заключается в решении следующей задачи на условный
экстремум: найти элемент уь(:&ь такой, что
= inf \\y\\. D.92)
В работах [199, 291] показана эквивалентность способа невязки (мини-
(минимизация функционала D.78) с использованием D.90)) и метода невязки (соот-
(соотношения D.91), D.92)) для линейных задач. Если же и оператор А задан
с погрешностью, то метод невязки (в данном случае обобщенный метод не-
невязки (ОМН)) применительно к уравнению D.63) формулируется следующим
образом [199].
Пусть y(s)?W\, f(x)?L2t A — линейный интегральный оператор, дей-
действующий из W\ в L2, причем вместо Л известен А такой, что \\А —
— A ||l2-*l2 < ?. Введем непустое множество
-J ||Lf < б + 11| у \\ь%). D.93)
Согласно ОМН ищется решение у^бА, такое, что
1Ы1^ = inf || у || I. D.94)
Для обоих методов доказаны теоремы существования и единственности
искомого решения, а также его сходимость к точному решению при 6->0,
|->0 (см. также [294 83—87, 641]). В работе [641] доказана эквивалентность
ОПН (минимизация D.78) с использованием D.85)) и ОМН (соотношения
D.93), D.94)) для линейных задач.
244
В. А. Морозовым [489] также предложен принцип выбора а по невязке,
согласно которому а есть корень уравнения
где г) = (б, ?), а рп — число такое, что
lim рт) = Ша ,
т]-*-0
тА < || Ау0 — f\\F < Р7] < mi = || Л^ — / ||F = || f\\F,
где тА = inf II Лу — /-||F = || Ау0 — f\\F, mA = inf || Ay — f\\P =
Характерные особенности данного принципа: 1) как и ОПН, он требует
вычисления \х, правда, лишь для оценки снизу значения р^; 2) корень а всегда
существует, хотя есть некоторый произвол в выборе зависимости р^ от tj.
В работах [489, 869] дан еще один способ выбора а, примыкающий
к вышеизложенным: а есть корень уравнения
где s?@, 1) — заданный относительный уровень невязки (тем больший f чем
больше б, ? и \х).
Принципы и методы невязки и обобщенной невязки, как показывают
численные эксперименты ([542], см. также п. 4.6), дают (при конечных б
и |) некоторое завышение ad по сравнению с а, обеспечивающим min||t/a —
a
— у ||, и, как следствие, излишнее сглаживание решения уаа. К тому же
на практике значения б и | обычно известны неточно, а аа и yad весьма
чувствительны к ошибкам задания б и ? (особенно, если 6 и ? занижены-—
см. п. 4.6). Поэтому целесообразно использование и других способов выбора а.
Другие способы выбора а. Один из них основан на использовании зави-
зависимости (при малых б и ? = 0) [650]
а = Сб2 D.95)
(см. D.62)). В работе [663] дана экспериментальная оценка величины С.
Как показано в работе [637], в правиле D.95) можно так задавать значение
константы С>0, что при малых б это обеспечит меньшую погрешность
решения уа, чем при выборе а по способу невязки.
Еще один способ — способ квазиоптимального (квазинаилучшего [164,
274]) значения а, предложенный в [662, 663] и подвергнутый как теорети-
теоретическому [291, 404, 407, 662—664], так и «экспериментальному» [129, 181,
274, 663, 683] исследованию. Этот способ не использует дополнительней
информации (например, значения 6). Он заключается в том, что в качестве a
выбирается такое a = ад, при котором (ослабленная форма квазиоптималь-
квазиоптимального a [659 87])
II a ^2II =min. D.96)
II da ||y a>0 v ;
В работах [129, 181] критерий D.96) формулируется в виде
II yai+l — Уа( \\y = min , D.97)
ea/, / = 0,1,2,..., 0<9<1, D.98)
что равносильно D.96) при 8-> 1.
Данный способ теоретически обоснован лишь для некоторых специаль-
специальных классов обратных задач [404, 407, 664].
Следующий способ, также не использующий дополнительной информа-
информации,—способ отношения, предложенный и экспериментально проверенный в [274]
и теоретически обоснованный для СЛАУ в [407], Согласно этому способу
245
[659 91] в качестве а берется наименьшее из значений а > 0, при которых
отношение
а-ЛJ
D.99)
достигает локального минимума.
В работе [359] предложен способ выбора а, который уместно назвать
способом независимых реализаций. Данный способ целесообразно применять
в случае, когда значение ошибки б неизвестно, но имеется несколько (не
менее двух) реализаций правой части (при этом ? == 0).
Рассмотрим уравнение
Ay = f9 y?Y, f?F. D.100)
Пусть вместо точной / заданы две (или более) ее реализации: /х = / + А/х
и /2==/ + Д/2> гДе A/i и Д/а— независимые между собой случайные про-
процессы с нулевым матожиданием и одинаковой (неизвестной) дисперсией.
Решая D.100) методом регуляризации Тихонова при / = flf получим (в функ-
функции а) решение (ya)v Показано [359], что
I! (ЛУа)г - h \\f - II (Ayah - f \\f = || / - U II*
т. е. разность функций
-JtWF D.101)
* DЛ02)
не зависит от а. Следовательно, значение а = ар, соответствующее мини-
минимуму функции Р(а), совпадает с а = ах, соответствующим минимуму %(а).
Минимум же функции х (а) соответствует псевдорешению. В результате (#a«)i
есть наилучшее приближение к псевдорешению.
Поскольку в качестве точного решения уравнения D.100) обычно рас-
рассматривается нормальное решение — псевдорешение с минимальной нормой
|| уа\\у9 которая является монотонно невозрастающей функцией а, то из зна-
значений ар, соответствующих нескольким локальным минимумам функции р(а)
(если их более одного), следует брать максимальное.
Итак, в данном способе в качестве а выбирается значение а = <хГ (г —
от realization), равное
/=1,2, ... D.103)
{ p() }
а?>0 a>0
При этом информацию о /2 можно использовать двумя способами: а) исполь-
используя другую (по сравнению с /г) реализацию случайного процесса; б) из одной
реализации /х часть точек используя для получения (ya)i и (Ауа)и а другую
часть полагая в качестве /2.
Доказана [359] сходимость (Уа)х к у при ||Д/1||-^0, || Д/^ || *->¦ 0.
В заключение рассмотрим способ модельных (эталонных) примеров, или
способ моделирования [128, 129 189—190, 130, 131, 606] (ср. [219]). Он за-
заключается в том, что значение а в некотором исходном примере (уравнении,
задаче) Р выбирается на основе решения вспомогательного (модельного) при-
примера Q (или нескольких модельных примеров) с известным (заданным) точ-
точным решением. Способ наиболее эффективен в случае, когда требуется решить
значительное число (—102-f-104) «близких» исходных примеров (разрешение
источников для нескольких моментов времени в реальном масштабе времени,
редукция (—102-f- 103) профилей линии 21 см [602] и т. д.). В этом случае
усилия по предварительному составлению и решению (—101 -f-102) модель-
модельных примеров окупятся высоким быстродействием и достаточной точностью
способа.
246
Пусть требуется решить методом регуляризации Тихонова (см. D.49)
или D.68)) некоторый исходный пример (оригинал) Р с заданными К(х, s)
и Jp(x), x?[c, d], s?[a,b]. При этом уравнение D.68) решается численно
способом конечных сумм и разностей. Пусть с = хг, х2, ... , xi = d и а =
= Sj, s2, ... , sn s= b — сетки узлов (вообще говоря, неравномерные) конечно-
шаговой аппроксимации уравнения D.68) при его численном решении. Введем
следующие определения.
Режим — набор параметров и функций
Х19 Х2, ... , XI, 51э 52, . . . , Sn, K(X, S), Потн, D.104)
ГДе Потн === V^oth» bOTHJ»
Оценочный пример V — пример, имеющий такой же режим, как и при-
пример Р.
Подобный пример W—оценочный пример, для которого, сверх того,
}w (х) = g}p {x), A fw (х) = gA fP (x), )
A Kw{x, s) = A Kp{x, s), g== const Ф 0, x?[c,d], s?[a,b].j ' '
Модельный пример Q — пример, промежуточный по количеству априорной
информации о искомом решении уР (s) между V и W. Чем больше априор-
априорной информации заложено в примере Q, тем ближе Q к W.
Из D.59) следует равенство оценок || Ауа\\ / \\у || для примеров Р и V
в функции а, а значит, и близость значений а0, соответствующих
min || Ауа || /1| у ||. Оценка D.59) не зависит от / и у. Однако она может быть
<х>0
завышенной и сдвинутой относительно а0. Более точную зависимость
[Ar/a(s)]OTH = Aya(s)/y(s), y(s)^0, s?[a,b], от а дает интегральное урав-
уравнение для погрешности [606] (содержащее f(x) и y(s)), показывающее, что
для равенства [At/a(s)]OTHp и [Aya(s)]OTRQ модельный пример Q должен быть
подобным примером W.
В результате способ моделирования сводится к следующему планиро-
планированию эксперимента.
1. Пусть задан оригинал Р (или несколько, оригиналов) своей правой
частью fp(x) и режимом
хг, х2, . .. , xi, sx, s2, . .. , sn, Kp (x, s), Потнр, D.106)
причем Потн = Потн + А Потн, где Потн — точное значение погрешности, Потн-
Потнее практическое значение, Апотн — погрешность погрешности.
2. Составляется модельный пример Q, в котором точное решение yQ(s
задается с учетом априорной информации о искомом решении ур (s). Напри-
Например, если решается задача о разрешении источников и априори известно,
что число источников равно двум, то yQ(s) следует задавать в виде суммы
двух пиков с использованием априори оцененных значений расстояния между
пиками, отношения их высот, ширин пиков и т. д.
3. Определяется /q(x) из D.63) при К(х, s) = Kq{x, s) таком, что
\\KQ\\
4. Решается (при различных a > 0) численно уравнение D.68) относи-
относительно [уа (s)]Q^ в режиме D.106) с ядром К(х, s) = Kq(x, s) = Kp (x, s) и
правой частью f(x) = }Q(x) такой, что
5. Определяется aonTQ — то a, при котором
247
W
0,8
Ofi
OA
0Л
0
-i \ \ s*r-~~*~~* ^* Поскольку существует неточ-
i | \?fa) y'v ность в априорной информации (неточ-
~\ \ \ /# ность знания г]отн, закона распреде-
*^Область \ \ Ау ления ошибок, числа источников в
х "еио& \ \ /// задаче разрешения и т. д.), то выпол
_ \ i^ffi \ \ //у няется следующая статистика: со-
\ \ j/y ставляется несколько модельных
\ / примеров Qi, i= I, N, с различными
(в пределах априорной неопределен-
неопределенней ности) yQi(s), /Cqz (л:, 5), г\ОТН0 раз-
Рис. 9. Типичный ход кривых е (а) и е, (а) личными законами распределения
в способе моделирования. ошибок A/Q. (x) и AKq?(x, s) и раз-
различными их реализациями. В резуль-
результате получается набор функций s?: (а) = |) yaQ — y^t || /1| t/Q.|| и величин аопт Ql.,
7. Искомое значение параметра регуляризации аР определяется по одной
из формул
N
? а
оптр
или
ар= max_ [а0Птд.}. D.111)
«=1, А/ 1
8. Для повышения эффективности способа целесообразно дополнительно
использовать функцию
D.112)
(см. D.59)). При этом величина р = || G+[| = || Л+||2 может быть определена
по функциям et(a) при значениях а, больших ожидаемого значения ар. Это
можно выполнить по ограниченному числу модельных примеров, поскольку
с увеличением а разброс значений ef(a) уменьшается (рис.9).
Для определения р можно применить также следующий способ. Если
уравнение D.68) алгебраизуется, то вместо исходного интегрального уравне-
уравнения D.63) решается СЛАУ — его дискретный аналог:
Лу = 1
где А — вообще говоря, прямоугольная матрица. В этом случае для опре-
определения р = ||Л+||2 можно использовать псевдообратную матрицу Л+, способ
нахождения которой изложен, например, в [166].
9. После определения a = ap решение уравнения D.49) (или D.68)) для
исходного примера может быть выполнено согласно следующему «быстрому»
алгоритму (способом обратного оператора):
Уа = Ва], DЛ13)
где
?a = (aC + G)"M*f DЛ14)
где С — оператор, соответствующий производной Q' [уа] (или функции
ya{t) — Qy'a(t) в D.68)). При этом оператор Ва (матрица в случае решения
уравнения D.68) способом конечных сумм и разностей) должен быть рас-
рассчитан заранее. Применение алгоритма D.113), D.114) особенно эффективно
в случае, когда через фильтр Ва требуется пропустить большое количество
векторов / (в одинаковом режиме и при одинаковом значении а), причем
это будет выполнено быстро и просто, поскольку потребуется лишь умно-
умножить матрицу Ва на ряд векторов /. Данный алгоритм нашел отражение
248
в программах на АЛГОЛе tikhi, tikhb (гл. 5) и программах на ФОРТРАНе
и ПЛ-1 TIKH4, TIKH5 (гл. 6 и 8).
10. Для модельных и исходного примеров справедлива оценка
\\У\\
из которой видно, что при
имеет место асимптотика
|[у 0 При ботн + ^отн^О,
т. е. алгоритм, порождаемый способом моделирования, является регуляри-
зирующим.
На рис. 9 схематически отражена картина, характерная для способа
моделирования и построенная по результатам решения ряда задач углового
разрешения источников [606], синтеза антенн и др.
Существует также ряд других способов выбора параметра регуляризации а
[129 189 9 137, 209, 210, 268, 275, 278, 289, 290, 294, 490, 559 79—80,
678, 682, 767]. В работах [159, 542] предложены способы уменьшения сме-
смещения регуляризованного решения уа относительно точного решения для
различных способов выбора а.
Численный алгоритм. Рассмотрим вопрос о численном решении уравне-
уравнения D.68) с выбором а по обобщенной невязке согласно D.86)—D.89).
Остановимся на одном из наиболее эффективных способов решения уравне-
уравнения D,68) — способе конечных сумм и разностей (в п. 4.11 кратко изложен
также проекционный способ численной реализации метода регуляризации
Тихонова).
Пусть правая часть f{x) задана таблично на следующей, вообще говоря,
неравномерной я-сетке узлов:
c = xl9 x2, x39 ...,xi = d, D.115)
а решение ya(s) ищется на другой неравномерной s-сетке узлов:
а = sl9 s2, s3, . .. , sn = b, D.116)
причем / ^n, a t-сеткг (см. D.68)—D.70)) совпадает с s-сеткой. Объединим
D.68)—D.70) в одно уравнение
Ъ d d
a Ufa @ -Watt)] + | [ j К (x, t)K(x, s)dx]yoi(s) ds = $ K(x, t)J{x)dx,
а с с
a<* <b. D.117)
Распишем интегралы в D.117) по формуле трапеций с переменным шагом,
а производную y'a{t) аппроксимируем конечной разностью, учитывая при этом,
ИСХОДЯ ИЗ ГранИЧНЫХ УСЛОВИЙ D.71), ЧТО (уаH = (t/a)i, (Уа)п+1 = (Уа)п, Нг^09
hn+\-*0. Получим следующий дискретный аналог D.117) (опуская временно
индекс а у у):
п I I
+ 2j r' 2j PiKikKayj = 2j P'Ktkft, k = 2, n — 1,
/=1 1=1 (=1
n I I
249
где
I = Sj — s7_i = tj — //«i, / = 2, n,
r S2 Sl ^2 r
Г1 — 9~~ — "9" > Г/ —'
/ о „ 1 r sn sn-i ^n
/ — z, /г l, /n — 2 2 *
Xl ~ ^/—1
D.119)
Уравнения D.118) есть СЛАУ относительно у/, /= 1,п. Однако матрица
данной СЛАУ утратила свойства симметричности и положительной опреде-
определенности, хотя исходный интегродифференциальный оператор уравнения
D.117) этими свойствами обладал. Это связано с непостоянством коэффици-
коэффициентов Г/ (обусловленным неравномерностью s-сетки и тем, что даже в слу-
чае ее равномерности для формулы трапеций имеем: гг = гпФ г/, / =
==2,п—1)*. Для устранения этого недостатка в работе [331] k-я строка
СЛАУ умножается на г*.. Воспользуемся этим приемом, умножив k-ю строку
D.118) не на гь а на rk/p, где
п—\
Заметим, что если h2 = ft3 = • • • = hn = h, то р = Аи
0,5 при k=l или k = n,
1 при & = 2, n — 1.
Видим, что в среднем множитель rk/p порядка единицы и его введение
не меняет порядка элементов матрицы СЛАУ.
В результате получим следующую СЛАУ с симметричной положительно
определенной матрицей аС + С:
(aC + G)ya = F, D.121)
/
V=Gft = S^a*zv, k,i=T~H, D.122)
где
= 1, n,
k= 1, /г— 1,
D.123)
D.123')
D.124)
D.125)
D.126)
остальные элементы С^-=0 (С — ленточная трехдиагональная матрица).
Численная аппроксимация функций |3(а) и || уа || = "Кт (а)> входящих в
* В [206, 659] s-сетка равномерна, а для численной аппроксимации интеграла по s исполь-
использована формула средних прямоугольников, вследствие чего матрица полученной СЛАУ не
потеряла свойств симметричности и положительной определенности (см. также [253, 496}).
250
D.86)—D.89), имеет вид:
I п
Р (а) = S Pi [ Б ги(уа), -1] 2. D.127)
Уа1ка= у ]? П(Уа)*.
\}Уа\к2= у 2±П(УаI. D.128)
Приведем также формулы для решения СЛАУ D.121) способом обратной
матрицы (ср. D.50) и D.114)). Они имеют следующий вид:
где
D-129)
Bki - 2 Ak/ pj га' k^TTh, i = ТД D.130)
A = (aC + G)-\ D.131)
Способ конечных сумм и разностей можно реализовать также следую-
следующим образом [201, 889 100]. Распишем интеграл в D.68) по формуле трапе-
трапеций с переменным шагом (или по любой другой квадратурной формуле),
производную y'a{t) аппроксимируем конечной ^разностью и воспользуемся
записью D.49), где Л —матрица с элементами Aif=rIK(It i= 1~7X / = 1, п.
В результате вместо D.118) получим СЛАУ
г, 2 КсьК»У; = гк% Kikfu k=l,n, D.1180
/='
где множитель {•••} такой же, как в D.118).
Достоинствами СЛАУ D.118') являются положительная определенность
и симметричность ее матрицы (для любой квадратурной формулы), поэтому
не нужно пользоваться приемом умножения на г^/р. Однако она обладает
тем недостатком, что при ее получении не выполнялось численное интегри-
интегрирование по х (например, по формуле трапеций с непостоянным шагом, как
это сделано выше) — вместо этого численное интегрирование было заменено
операциями умножения матрицы Л* на векторы Ауа и /, что ведет к пони-
понижению точности аппроксимации интегралов по х (в первую очередь, в слу-
случае неравномерности х-сетки). Поэтому D.118) (и D.121)) есть более точный,
чем D.118'), дискретный аналог D.117). Данные замечания касаются также
выражений D.127) и D.130).
Программы. В п. 5.5 приведены стандартные программы (СП) tikh\,
tikh2, tikh3, tikh4, tikhb на АЛГОЛе-60, а в пп. 6.5 и 8.2 —СП TIKH1,
TIKH2, TIKH3, TIKH4, TIKH5 на ФОРТРАНе и ПЛ-1, предназначенные
для численного решения уравнения Фредгольма I рода D.63) методом регу-
регуляризации 0-го или 1-го порядка Тихонова согласно соотношениям D.68) —
D.71), сводящимся к решению СЛАУ D.121).
Результаты расчета тестовых примеров по данным СП приведены в гл. 7.
Программы tikhl и TIKH1. Данные программы используют соотно-
соотношения D.115), D.116), D.119) — D.126), причем выбор а осуществляется
способом обобщенной невязки (согласно D.64), D.65), D.83), D.84), D.86) —
D.89), D.127) —D.128)).
При этом СЛАУ D.121) с симметричной положительно определенной
матрицей аС + G решается с помощью процедур choldet2 и cholsol2 [687
28—29] ~ в СП tikhl (а также tikh2 и tikhS) и MFSD и MTDS [591 133—
135, 172—173] —в СП TIKH1 (а также TIKH2 и TIKH3). Данные про-
процедуры реализуют метод квадратных корней (по схеме Холецкого). Их исполь-
использование дает возможность сэкономить машинную память и, как следствие,
повысить максимально возможный порядок СЛАУ примерно вдвое по сравне-
сравнению, например, с методом Гаусса, поскольку используется лишь нижний
251
(на АЛГОЛе) или верхний (на ФОРТРАНе и ПЛ-1) треугольник матрицы.
Программы tikhl и TIKH1 выполняются в два этапа.
На 1-м этапе для ряда значений а, изменяющихся по закону
ах>0, а* = еа,-ь / = 2, 3, ... , т, 0<9< 1, D.132)
определяются решения уа{ (путем решения D.121)), а также значения невяз-
невязки р(са) (согласно D.127)) и нормы решения \\уа.\\ (согласно D.128)).
В ходе работы 1-го этапа определяется значение
H = p(aF), D.133)
где
aF = minjat: |3 (a,) < р (a,-,), || уа. ||Lf > || y^JUM Ф 0} D.134)
i—2, т
есть минимальное значение а*, при котором еще имеет место монотонность
функции Р(а) (а также ||г/а||ья при 1Ф0). При этом
aF >ap >am, D.134')
где ар — минимальное значение а*, при котором еще находится решение
СЛАУ D.121). Возможное нарушение монотонности Р(а) и неполучение
решения D.121) при малых а обусловлены ошибками машинных округлений.
На 2-м этапе, снова изменяя а по закону D.132), но не решая СЛАУ,
находим значение ad из условия
|к(а,)|= min, D.I35)
[ ]
где
x(at) = P(a/) — (б + ||| ya, ||J — [x. D.135')
И в заключение находим, решая СЛАУ, z/ad(s).
Программы ИШ1 и TIKH2. В данных программах решается СЛАУ
D.121) (в соответствии с D.115), D.116), D.119)— D.126)) для ряда значе-
значений а (см. D.132)) при известном (заданном) точном решении г/. В програм-
программах находятся решения уа. и относительные погрешности решения:
основная
(sLJt = ^ у Lg D.136)
и вспомогательная
(sc)i = —TT^Ti—"' D.137)
где
\\у\\с= maxj у (s)\, D.137')
а также значение a == aopt (оптимальное значение а), при котором
и решение yaopt.
Данные СП предназначены для решения модельных примеров с извест-
известными (заданными) точными решениями и результаты их работы могут быть
использованы в способе моделирования выбора значения а, изложенном выше.
Заметим, что в программах tikhl, tikh2, TIKH1, TIKH2 предусмотрен
вывод «по ключу» (по условию) на печать промежуточных результатов (а*,
Уа( и др.). Эта печать дает возможность корректировать (уточнять значе-
значение <Xd) работу программ tikhl, TIKH1 (например, используя дополнитель-
дополнительную информацию о решении) в случае, когда значения б и | известны не-
неточно, а также наблюдать динамику работы программ tikhl, tikh2, TIKH1,
TIKH2. Подробности — в инструкциях к СП (см. пп. 5.5 и 6.5).
252
Программы tikh3 и TIKH3. Посредством этих СП осуществляется ре-
решение СЛАУ D.121) (в соответствии с D.115), D.116), D.119) — D.126))
при некотором одном значении а, найденном, например, способом моделиро-
моделирования (при этрм модельные примеры должны быть решены посредством СП
ti№ и TIKH2).
Программы tikM и TIKH4. Эти СП рассчитывают прямоугольную
размера п X / матрицу В (см. D.129), D.130)) согласно D.130), D.131),
а также D.115), D.116), D.119), D.120), D.122) — D.126). При этом обра-
щение симметричной положительно определенной матрицы осС + G осуще-
осуществляется с помощью процедур cholinversion2 [687 29—30] — в СП tikhi
и SINV [591 76—78] — в СП TIKH4. Данные процедуры реализуют разло-
разложение по схеме Холецкого.
В СП tikM и TIKH4 используется некоторое (одно) значение а, най-
найденное, например, способом моделирования (при этом модельные примеры
должны быть решены посредством СП tikh2 и TIKH2).
Программы tikhS и TIKH5. Эти СП предназначены для вычисления
решения согласно «быстрому» алгоритму по формуле D.129), причем матри-
матрица В должна быть заранее рассчитана с помощью СП tikM и TIKH4.
Нелинейное уравнение. Кратко остановимся на некорректной задаче
решения уравнения [651 > 652]
Ay = f% y?Y, f$F9 D.139)
с непрерывным из Y в F, вообще говоря, нелинейным оператором Л, где
Y и F — банаховы пространства. Уравнению D.139) соответствуют интеграль-
интегральные уравнения D.4) и D.5).
Пусть [202] Н — компактно вложенное в Y гильбертово пространство.
Пусть точной f^F (и точному А) соответствует единственное точное реше-
решение у? Н.
Будем далее считать, что вместо / задана J^F такая, что ||/—f\\p <
< б, 0<б<б0, а оператор А задан точно. Введем в рассмотрение функ-
функционал Тихонова [37, 418, 663]
Фа [У, Ъ = \\Ау — 7\\р + *\\у\\н, <*>0. D.140)
Если в случае линейных задач а эффективно выбирается по принципу
невязки:
11%,-/Ik-6, D.141)
где уа — экстремаль функционала D.140), то для нелинейных задач прин-
принцип невязки в форме D.141), вообще говоря, неприменим, поскольку реше-
решение уравнения D.141) может не существовать или быть неединственным.
Это связано с тем, что в случае нелршейных задач \\Ауа — /I|f, вообще го-
говоря, не является непрерывной и строго монотонной функцией а [202, 204,
206, 659]. В работах [202, 204] предложен так называемый альтернативный
способ выбора а (б), дающий РА и применимый для нелинейных (а также
линейных) задач. Он заключается в следующем (см. также [405, 406, 790]).
В качестве а (б) выбирается любой элемент (любое значение) а из не-
непустого множества
{а: а>0, 62<3P(a)<C62}U{a: а > 0, р(а) << б2, <р(а) > Сб2},
где Р (а) = (| Ауа — J\\p9 ср (а) = Фа [уа9 /], а С — фиксированное число та-
такое, что 1 < С < v/б2,, причем v = lim |3 (a) = lim cp (а).
Доказано, что уаф)-+У при б->0.
В работе [204] отмечено также, что есть класс нелинейных операторов,
для которых возможен выбор а по равенству C(а) = б2. Это выпуклые не-
нелинейные операторы, т<, е. такие Л, что для любых у± и y2$Y выполняется
неравенство
]\12
253
В работе [745] рассмотрен случай, когда не только правая часть, на
и оператор (нелинейный) задан с погрешностью.
Применительно к нелинейному интегральному уравнению первого рода
вида (см. D.4)) [689]
ь
Ау==А[х, z/(s)] = §К[х, s, y(s)]ds = f(x), c<zx<d, D.142)
а
метод а-регуляризации Тихонова формулируется следующим образом. Вво-
Вводится [663] сглаживающий функционал вида (f?L2, y^W\)
d • ь
Фа(у)=* \{A[x, y(s)]-f(x))*dx + a$[y'(s)]*ds, a>0,
с а
из условия минимума которого (по у) получается следующее нелинейное
интегродифференциальное уравнение второго рода:
ь
R[s, t, y*(s), ya(t)]ds=F[t, ya (t)], a < t < b,
где
d
R[s, t, y(s), y(t)]=$ K[x, s, y{s)}K«[x, t, y(i)]dx, D.143)
с
d
F[t, y(t)] = ) K'ylx, t, y(t)]f(x)dx, D.144)
с
с краевыми условиями, например, вида D.71).
Сглаживающий функционал можно записать также в виде [129 145]
d Ь
Фа(у) = J {A [x, y(s)]—f(x)}2dx + a§y2(s)ds, f?L2, y?L2, D.145)
с а
из условия минимума которого получается следующее нелинейное интеграль
ное уравнение второго рода:
U y*(s), ya{t)]ds = F[t, ya(i)]9 a<t^b, D.146)
причем R [s, t, у (s), y(t)] и F[t, у (t)] выражаются формулами D.143) и D.144)
соответственно.
Метод квадратур с использованием формулы трапеций применительно
к неравномерным х-, s- и ^-сеткам узлов D.115) — D.116) приводит уравне-
уравнение D.146) к следующей системе нелинейных уравнений (относительно уи
#2> • • • > УпУ-
п I
ть» , п V .. V „v r. ,h yf]Ky [Xt9 tkt yk] e
= — / iPiKy[xi, tk, yk]ft, k=\, n, D.147)
P Smmm
причем yk=(ya)k> k~l, n, а г/, pi и р выражаются формулами D.119) —
D.120). При этом использован прием умножения на rk/p, как и в линейной
задаче, чтобы имел место тождественный переход системы D.147) в систе-
систему D.121) (при # = 0) в случае линейности уравнения D.142), т. е. при
К[х, s, y(s)] = K(x, s)y(s).
Решение системы D.147) можно осуществлять известными методами
решения систем нелинейных уравнений (Ньютона и др.) [77, 88, 102, 259,
254
439, 521, 850]. Можно находить значения уг, у2, ... , уп и путем миними-
минимизации функции
D.148)
используя один из многочисленных методов минимизации без ограничений
(градиента, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов Флетчера —
Ривса, Ньютона, переменной метрики Дэвидона — Флетчера — Пауэлла,
оврагов и др. — с использованием производных; Пауэлла, Хука — Дживса,
Нел дера — Мида, Розенброка, случайного поиска и др. — без использования
производных) [39, 114, 116, 170, 206, 228, 231, 260, 323, 324, 353, 378,
441, 535, 560, 685, 692, 695, 709, 738, 755, 777, 786, 831]. При этом
в случае многоэкстремальности функции D.148) важным является вопрос
о близости начального приближения (ylf ... , упH к искомому решению,
дающему «нужный» локальный экстремум функции D.148). Следует также
учитывать, что изоповерхности функции Фа(уг, у2* ••• > Уп) вследствие не-
некорректности исходного уравнения D.142) имеют значительную вытянутость
(даже несмотря на то, что слагаемое ayk в D.147) уменьшает вытянутость).
Это показывает решение ряда модельных примеров типа D.35).
Эффективность решения задачи определения вектора у = (уг, у2, .. . , уп)
повышается в результате введения ограничений на решение. В цикле работ
[113—117] рассмотрен вопрос о минимизации функционала Тихонова при
наличии ограничений на решение (вообще говоря, не помещающих его в ком-
компакт) для случая нелинейного оператора. Остановимся на этом вопросе.
Рассмотрим некорректное уравнение D.139) для случая Н = Rn (т. е.
у = (yv ... , уп)), где R — множество, на котором ищется минимум функ-
функционала D.140), являющееся подмножеством гильбертова пространства Я,
при наличии ограничений на решение у в виде т неравенств
Ш(У)<О, i==T7"mf D.149)
ир— m равенств
Ы (У) = 0, i = m+1, p. D.150)
В этом случае функционал Тихонова записывается в виде
ф(а Ы = J Ы + A(k)P Ы + «а Ы, D.151)
где
J(y) = \\Ay-~f\]*F D.152)
— невязка, А® — штрафные коэффициенты такие, что Л(^>0, lim Л(д?) = оо
(k=\, 2, ... — номер итерации), функция Р (у) равна сумме барьерной
и штрафной функций. Согласно [206 80—82]
Р(У)=? [max{0, gi(y)}\2+ S h\iy), D.153)
il 4l
а стабилизирующий функционал обычно выбирается в виде
D.154)
В результате задача отыскания уа может быть решена или путем без-
безусловной минимизации (при каждом k) функционала D.151), или путем ми-
минимизации функционала D.140) методом проекции градиента (при этом
проекция выполняется на множество, задаваемое ограничениями D.149),
D.150), если очередная итерация при минимизации функционала D.140) вы-
выводит решение за пределы этого множества).
255
Во всех случаях параметр регуляризации а может быть выбран альтер-
альтернативным способом, причем
Р(«) = S Pt[? r,Klxt, s/, Ы/l-Л}*.
1=1 /=1
Ряд результатов по методу регуляризации получен также в работах [343,
487, 604, 819, 838, 839, 847, 848, 862, 863, 865, 867, 874, 876, 877].
4.4. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ
Одномерные уравнения типа свертки. Особый интерес представляет
частный случай уравнения первого рода—уравнение типа свертки (см. D.2)):
оо
Л#== J К(х — s)y(s)ds= f(x), — oo<*<oo. D.155)
—— оо
Его можно решать в принципе теми же методами и посредством тех же
численных алгоритмов, что и уравнение более общего вида D.63). Однако
целесообразнее осуществлять решение с помощью модификаций методов
и алгоритмов, учитывающих специфику уравнения D,155). Это дает возмож-
возможность во многих случаях получать решение в явном виде, избегая решения
СЛАУ, применять специальные алгоритмы, например алгоритм БПФ, особо
эффективный в случае многомерного уравнения типа свертки.
Рассмотрим также уравнение Вольтерры I рода типа свертки*
X
J K(x — s)y{s)ds= f(x), — oo<x<oo, D.156)
и так называемые односторонние уравнения типа свертки
— s)y(s)d&=f(x), x>0, D.157)
J K(x — s)y(s)ds= f{x), x>0. D.158)
6
X
Классическое решение. Рассмотрим на примере уравнения D.155) клас-
классический метод решения уравнения типа свертки с помощью прямого и
обратного преобразований Фурье [168, 659, 677]. Пусть [322, 659]
f(x)?L2(— оо, оо), /С(^)?^(—оо, оо), y(s)G^i(—оо, оо). Тогда реше-
решение (в виде обратного преобразования Фурье) равно
оо
y(s) = ^ J Y(a>)e-tosd<o, — oo<s<oo, D.159)
где спектр (преобразование Фурье, Фурье-образ) решения:
F(co) = ?g>, D.160)
причем
оо
/7(и))= J f(x)ef**dx D.161)
* Методика его решения почти не отличается от методики решения уравнения D.155),
поэтому оно рассматривается в данной главе, а не в гл. 2.
256
спектр правой части, а
то
К((д)= J K{x)e^xdx D.162)
— спектр ядра*. В результате, если при со->оо спектры F (со) и А, (со) стре-
стремятся к нулю согласованно так, что
и интеграл D.159) сходится, то решение y(s) существует (и является един-
единственным) и дается формулой D.159). Другими словами, первые два пункта
определения корректности по Адамару (существование решения и его един-
единственность) при точных f(x) и К(х) могут быть выполнены.
Однако оперирование с бесконечными пределами в D.159) возможно
лишь в случае, когда F (со) и Я, (со) могут быть вычислены аналитически.
В противном случае вычисление у (s) согласно D.159) затруднительно или
вообще невозможно. В этом случае можно воспользоваться методикой, изло-
изложенной в работе [16].
Пусть известны числа п > О и С>0 такие, что при некотором z(s)?L2
справедливы равенства:
D.163)
— условие истокообразной представимости решения**, и ||г|| = С. В этом
случае, если вместо D.159) записать усеченное решение в виде
где (оа—корень уравнения ?v(coa) = a, причем a — произвольное число из
интервала @, X@))t то оценка погрешности решения ya(s) будет иметь вид
Таким образом, решение D.159) можно найти путем предельного пере-
перехода (а -> О, соа -> оо) в выражении для уа (s). При этом lim || уа — #11 = 0.
а-»-0
Для уравнения D.156) точное решение записывается также в виде
D.159) с использованием выражений D.160), D.161), лишь Я, (со) записывает-
записывается в виде одностороннего преобразования Фурье:
% (со) = j К (х) e?**dx. D.164)
К уравнениям D.157) и D.158) данная методика может быть применена
не непосредственно, а лишь после использования так называемого приема
доопределения (подробности см., например, в [168 164]).
Формулу для решения можно несколько видоизменить. Для этого за-
запишем D.159) в виде
* В различных работах по-разному записывают выражение типа D.159): с множителя-
множителями 1/2я, I/I^jt или 1, со знаком минус или плюс в показателе экспоненты. В зависимости
от этого изменяются и выражения типа D.161), D.162). Однако решение y(s) во всех слу-
случаях одно и то же.
** Приведем пример, поясняющий физический смысл истокообразной представимости
решения [16]: в обратной задаче теплопроводности г (х) — распределение температуры вдоль
бесконечного стержня, которое имело место п + 1 часов тому назад, если в настоящий мо-
момент распределение температуры есть / (х) и ищется распределение у (,v), которое имело
место час назад.
17 5-Ш18 257
и изменим порядок интегрирования. Получим
оо
y(s)= J R(s — x)f(x)dx, D.165)
— оо
где
оо
1 с p—tos
Формула D.165) удобна тем, что функция R(s) может быть вычислена
заранее (до знания f(x)) и лишь один раз, а затем для ряда функций f (х)
могут быть весьма быстро найдены соответствующие решения y(s).
Рассмотрим также важный для приложений случай, когда К (х) nf(x)
(а значит, и y(s)) вещественны. В этом случае, используя формулу Эйлера
gtos _ cos (cos) + i sin (cos) и учитывая, что интегралы по со от нечетных функ-
функций равны нулю, решение D.159) можно привести к виду
оо оо
у (s) = ~ [JG (со) cos (so) dco + J H (со) sin (sco) dcoj , D.167)
о о
где
g^^ReF^+JmX(")Im/r("> D.168)
И ((д) = ^e ^ (C°) IlT1 F W — Im ^ ^Ю) ^e F M /Л 1
оо
= j /С (дг) cos (cox) dx, D.170)
— oo
oo
= \ K(x)sin{(dx)dx, D.171)
— oo
oo
Re F (со) = J / (x) cos (cox) dx, D.172)
— oo
oo
ImF(©)= j f(x)sin(ax)dx, D.173)
— oo
L (со) = Re2 X (со) + Im2^ (со) - X (со) X (—со) = j ^ (со) |2. D.174)
Для уравнения D.156) также справедливы формулы D.167) — D.174),
лишь в D.170) и D.171) нижние пределы интегрирования следует положить
равными нулю.
Аналогично в решении D.165) формулу для R(s) в случае веществен-
вещественности К (х) и / (х) можно преобразовать к виду
^^^^- <4Л75>
Однако решения D.159), D.165), D.167) неустойчивы, т. е. нарушается
третий пункт определения корректности по Адамару, вследствие чего задача
решения уравнения D.155), а также уравнений D.156) — D.158) является
некорректной. Это связано с тем, что при наличии случайных ошибок изме-
измерений в правой части ее следует представить в виде
где v(x) — помеха или целиком являющаяся белым шумом, или содержа-
содержащая компоненту белого шума, вследствие чего при со-^оо F(co) стремит-
стремится не к нулю (как F (со)), а к некоторой константе, зависящей от уровня
белого шума. Поэтому F(co), как видно из D.160), будет стремиться к бес-
258
конечности при со->оо, и, как следует из D.159), решение уравнения
D.155) в этом случае не существует. Другими словами, высокие гармоники
в решении у (s) чрезвычайно сильно реагируют даже на очень малые ошиб-
ошибки в f(x).
Решение в пространстве Snh- Для устранения высокой чувствитель-
чувствительности Y (со) при больших со к ошибкам f (х) может быть использован прием
усечения спектральной функции F (со) (и, как следствие, К (со)), заключаю-
заключающийся в следующем [677].
Пусть правая часть f (х) измерена лишь для дискретных значений х
с шагом Ах = А = const. В этом случае, как утверждает теорема Котель-
никова [358], существует одна и только одна функция f (х), принимающая
в точках Xi значения ft и обладающая тем свойством, что ее спектр F(co) =
= 0 при | со | > сотах = я/А. Поэтому без потери информации, полученной
при измерениях, можно класс решений сузить до
n/h
y(s) = -L у (со) e-'^dco, D.176)
—Я/А
а формулы D.166), D.167) и D.175) записать соответственно в виде
n/h
р (s\ == — I ? rfco, D 177V
v 7 2я J Л (со) \ • /
—я/Л
it/ft я/А
j, (S) = 1Г J G (со) cos (sco) dco + J Я (со) sin (sco) dco], D.178)
J j
о о
n/h n/h
j J
/
D.179)
Решение в соответствии с формулами D.176) — D.179) называется ре-
решением в пространстве Sn/n-
Однако, как показывает анализ [677], в типичных практических слу-
случаях (например, когда шаг А в 2—3 раза меньше эффективной полуширины
ядра) величина ошибки решения в пространстве Sn/н может быть весьма
значительной. Это обусловлено тем, что значение к (я/А) может быть очень
малым (если же А увеличить, то увеличится X(n/h), но ухудшится разре-
разрешение). Это говорит о том, что решение нужно искать в еще более узком
классе, чем Sn/h-
Методы а-множителей Ланцоша и Фейера [398, 583, 708]. Понизить
роль высоких частот или, другими словами, уменьшить нереальные флук-
флуктуации в решении можно также с помощью метода а-множителей Ланцоша
или метода средних арифметических частичных сумм Фейера (развивающего
метод Фробениуса — Чезаро [694 403—405]), применяемых для сглаживания
быстро осциллирующих функций, записываемых в виде ряда Фурье. При-
Применительно к интегралу Фурье метод а-множителей Ланцоша будет выгля-
выглядеть следующим образом. Запишем D.159) в виде
«max
У (s') = 2^ J Y (со) e-^'da, D.180)
—ютах
где не обязательно сотах = я/А, а в качестве решения возьмем среднеариф-
среднеарифметическое от D.180) на интервале шириной я/сотах, т.е. пропустим D.180)
через «окно» шириной я/сотах. Получим
«max 2ю
J
259
откуда
«m
Sin;
JTG)
D.181)
D.182)
Аналогично метод Фейера приводит, как можно показать, к выраже-
выражению (ср. пример 3 в [586])
«max
а, (ю)
где
(X2 (ft)) = 1 —
О)
D.183)
D.184)
Введение множителя ах (со) и особенно а2 (со) дает возможность в опреде-
определенной степени подавить сильную реакцию высоких частот со в решении
на ошибки в /(л:). Множитель ах(со) или а2 (со) можно ввести и в выраже-
выражения D.166), D.167) и D.175), а также в D.176)— D.179), т. е. совме-
совместить метод а-множителей с решением в пространстве Sn/h-
Однако гораздо более эффективный устойчивый алгоритм решения
уравнений типа свертки дает метод регуляризации Тихонова.
Метод регуляризации Тихонова [24, 25, 28, 30—32, 112, 198, 206, 252,
280, 497, 579, 580, 659, 662, 785]. Рассмотрим уравнение D.155). Пусть
f(x)?Lt{—оо, с»),' К(х)€Ьг(—оо, оо), y(s)€^i(— оо, оо). Введем сгла-
сглаживающий функционал
x + aQ[y]. D.185)
[у] обычно записывается
D.186)
<4-187)
оо оо
= J [ J K(x~s)y(s)ds—
Стабилизирующий функционал (стабилизатор)
в виде [30, 659] (ср. D.72))
J {
— оо &=0
где
— регуляризация целого п-го порядка, или [659]
оо
Q[y]= J Af (оо) | К (©) |2d<o,
fc— OO
где
M((d) = |g)|2*, ^7>0,
— регуляризация, вообще говоря, нецелого </-го порядка*
D.188)
D.189)
* Везде далее будем рассматривать лишь четную функцию М (со).
260
В обоих случаях регуляризованное решение — экстремаль функционала
D.185) —записывается в виде (ср. D.159)):
и* <s> = к Iz (w« a> rS е~ш$й<л' <4-190>
где z(co, a) — так называемый стабилизирующий множитель:
ИЛИ
Решение ya(s) можно также представить в виде (ср. D.165) — D 166)):
Уа(s) = I Ra(s — x)f (х)dx, D.193)
—— оо
где
оо
\ С % (__(о)
л\п. (s)==: тт~ \ т тг~/— в t<asu0) Г4 194^
** v ' 2jx J L (со) + aM (со) ' ч ' "
Как отмечено выше, спектр Y (со) классического решения D.159) при
больших о сильно реагирует на ошибки / (х) и решение становится неустой-
неустойчивым. Что же касается регуляризованного решения, то оно устойчиво,
и эта устойчивость обусловлена слагаемым aTW(co) в D.191), D.192),
D.194).
Выбор параметра регуляризации а можно осуществлять способом обоб-
обобщенной невязки согласно соотношениям D.64), D.65), D.83), D.84), D.86)—
D.89), причем значение невязки |3(а) целесообразно вычислять не по форму-
формуле D.87), а согласно выражению, вытекающему из D.87) и D.192) согласно
теореме Планшереля* [659 176]:
Использование такого выражения дает возможность вычислять невязку р (а)
без отыскания решения ya(s) (согласно D.192) или D.193)).
Оценка ошибки решения. В работах [280, 579, 582, 583] выведены
оценки ошибки регуляризованного решения ya(s) (согласно D.192)), обус-
обусловленной регуляризацией, ошибкой правой части и ошибкой ядра.
Пусть fix), K(x), y(x)?L2(—oo, оо) и пусть
D-196)
D.197)
где f(x) и К(х) — точные правая часть и ядро, а Sf(x) и ЬК(х)—погреш-
ЬК(х)—погрешности их задания. Соотношения D.196), D.197) равнозначны следующим:
* Для всякой f(x)?L2(—оо, оо) теорема Планшереля выражается в виде равенства
Парсеваля [168, 344]:
оо оо
J |/(*)|«Лс=1 J
261
где F(co) и L (со) — точные Фурье образы, a 6F(co) и 6L(co) —их погрешности.
Для уклонения регуляризованного решения уа (s) от точного у (s) (т. е. ошибки
решения) получена формула [579]:
Aya (S) S Уа (S) — У (S) == Дх (s) + A2 (s) + Д3 E),
где
оо
' f
со)
Дч (s) = — о- f 6L (ш) z
(со) + a^f (ш)
— оо
погрешности, обусловленные соответственно регуляризацией, ошибкой
правой части и ошибкой ядра.
Однако поскольку функции б/ (х) и 8К (х) и, как следствие, 6F (ш)
и 6L(co) обычно неизвестны, более практична приводимая ниже усредненная
оценка ошибки решения [579, 582, 583]. Пусть б/ (х) и 8К(х) — реализации
случайных процессов, причем
а) б/ (х) = 8К (х) = 0 или 8F (со) = 8L (со) = О*,
б) У W 6f (Х')=ВУ W ЬК &) = 8? М 8К <<х') = ° или
= Z7 (со) 6L (со') = 8F (со) 6L (со') = О,
в) 8F (со) 6F (со7) = S (со) б (со + со'), D.198)
К (со) Y (©') == iV (со) б (со + со'), D.199)
т, е. б/ (х) и у (s) — стационарные случайные процессы со спектральными
плотностями 5 (со) и #()**
г) FL(co)]2 - 6 (со), [6L(co)]4 = х(со),
I < 1
)| ^
В предположениях «а» — «д» для величины среднеквадратичного укло-
уклонения f/a(s) от y{s) получена оценка
Та s [Ai/a E)]3 = 8г + б2 + 63, D.200)
где
оо
j
Л». D.202)
I Г
(а)) ?¦ (ш)+[«М (a)]*N (со)
[L (а
* Черта сверху означает математическое ожидание.
** Заметим, что S (©) и N (со) являются Фурье-образами автокорреляционных функций
Гф (х) = 6/ {**) 6/ (л:й + х) и гу (л:) = у (хг) у (х1' + х) соответственно (согласно теореме Вине-
Винера — Хинчина [168]).
262
Соотношения D.201) — D.203) показывают, что для вычисления оценки
Та необходимо знание спектральных плотностей S(co) и Af(co) (а также
6 (со) и Х(со)), что на практике не всегда возможно. Однако достаточно
знать их весьма приближенно, поскольку они используются не для полу-
получения решения, а лишь для оценки ошибки решения. Если же S(co) и N (со) из-
известны достаточно точно, то они могут быть использованы не только для оцен-
оценки ошибки решения, но и для получения устойчивого решения. Подробнее
этот вопрос изложен в п. 4.13.
В заключение отметим, что в работах [30—32, 198, 280, 579, 582, 583]
выведены асимптотические (при б/, б/С, а-^-0) оценки погрешности регуля*
ризованного решения, опирающиеся на характер поведения функции % (со)
(или L (со)) на бесконечности и в окрестности своих нулей. При этом
в работах [30—32, 659] особо выделены наиболее типичные для прикладных
задач типы ядер.
Численная реализация алгоритмов. Для практической реализации изло-
изложенных выше устойчивых методов решения уравнений типа свертки D.155)
или D.156) для случая вещественных К(х) и f(x) разработано два варианта
алгоритмов. В обоих вариантах уравнение D.155) или D.156) решается ме-
методом регуляризации Тихонова (см. D.192) или D.193)) с дополнительным
(но не обязательным) использованием приема усечения частот (см. D.180)),
а также методов ст-множителей Ланцоша или Фейера (см. D.181)—D.184)).
Прежде чем изложить варианты алгоритмов, остановимся на вопросе
о повышении точности приближенного вычисления следующих интегралов
(косинус- и синус-преобразований Фурье в конечных пределах [с> d])'-
Ic (со) = ? /i (x) cosomk, D.204)
с
d
fs И = J /2 (*) sin nxdx- D.205)
Пусть функции f1(x) и f2(x) заданы дискретно на равномерной х-сетке
узлов
с=х19 х2, ... , x, = d D.206)
с шагом
Ах = А = ^?^ = const. D.207)
В этом случае, используя формулу трапеций и принимая cos сох и
за весовые функции, получим известные приближенные квадратурные фор-
формулы [351, 369, 372, 555]:
/с(©) = A lf1± (?х cos сое—q2 sin со?)+2?! ? f^ cos <oxt + fu (q± cos cod + q2 sin cod)],
D.208)
/—1
Is (©)=A [/2i (<7i sin coc + q2 cosodc) + 2qx ^ ht sin <*xi + /2/(<7i sin cod —q2 cos cod)],
D.209)
где
1 — cos Ьл i 1 , л л
т -1 при \ЬХ\ > 0,1,
при Ifejl >0,l,
D.210)
D.211)
Ь1\<0,1,
bx = ah, b2 = (coftJ = b\. D.212)
263
Вторые строки в выражениях D.210) и D.211) есть усеченные ряды Тей-
Тейлора (записанные по схеме Горнера), дающие значения дг и q2 при |b!|<0,l
с относительной погрешностью ^ 10~12.
Аналогично можно получить квадратурные формулы приближенного
вычисления интегралов
d
/с(со) = J f(x) cosaxdx, D.213)
С
й
Is (со) = J / (x) sin wxdx D.214)
с
для случая, когда f(x) задана на неравномерной х-сетке узлов D.206)
с непостоянным шагом
Ах. =zhi = xi — х^1У i = JTl. D.215)
Они, как можно показать, имеют вид
=1
/—1
Iс И = 2 Кг fai, (ft cos ®xi + ft+icos <mm) — q2{ (ft sin сохг- — fM sin <oxM)],
D.216)
/s (©) = S hM [q1{ (f{ sin cox, + fM sin шм) + q2. (f{ cos ®xt — fi+1 cos ®xi+l)],
D.217)
где q±. и q2, выражаются соответственно формулами D.210) и D.211), в ко-
которых
Ъг = Ь1( = сой,+1, Ь2 = Ъ2{ = (оЛ,+1)« = й^. D.218)
1-й вариант алгоритмов. В данном варианте (на основе кото-
которого разработаны программы convl, conv2, conv3, CONV1, CONV2 и CONV3)
решение уравнения D.155) или D.156) записывается в виде (ср. D.167) —
D.174), D.180), D.181)—D.184), D.189), D.192)):
«max
Уа (s) = 1 [ j Ga (со) cos (sco) dco + J Ha (со) sin (sco) dcoj , D.219)
о о
где
?/ (со) = Re X (со) Re F (со) + Im X (©) Im F ((o), D.222)
V (w) = Re % (со) Im F (<o) — Im Я, (со) Re F (со), D.223)
dk
Re А, (со) = J /C (x) cos «wcte, D.224)
Im А, (со) = J /C (x) sin amta, D.225>
Re F(co) = J f(x) cosaxdx, D.226)
с
a
Im F (со) = j / (x) sin a>xdx, D.227)
D.228)
D.229)
264
Г1 при sup = 1 —подавления высоких частот посред-
посредством а-множителя нет,
ЯО)
а(со) =
sin
2(о,
ох (со) = — при sup = 2 — подавление по Ланцошу,
С72 (со)= 1 — ^— при sup Ф 1 и sup Ф2 — подавление по Фейеру,
D.230)
sup — параметр, определяющий тип подавления высоких частот посредством
а-множителя (от suppresion — подавление).
Как показывают численные эксперименты [24, 561], имеет место неко-
некоторое повышение точности регуляризованного решения ya(s) с увеличением
порядка регуляризации п (см. D.187)) или q (см. D.189)), причем в D.187)
этот эффект зависит практически лишь от последнего слагаемого qn(u2n.
Кроме того, в выражении D.189) для М(со) меньше неопределенных па-
параметров (лишь q), чем в D.187) (п, q0, ... , qn). Этим объясняется то, что
выражение для М (со) выбрано в виде D.229).
При этом параметр регуляризации а выбирается (в программах convl
и CONV1) способом обобщенной невязки согласно соотношениям D.64),
D.65), D.83), D.84), D.86), D.88), D.89), D.195), причем последнее запи-
записывается в виде (для удобства — без учета а-множителя):
®max
В результате значение ad оказывается не зависящим от значения supt
решение же yad(s) зависит от sup, причем гладкость yad(s) повышается
с переходом от sup =1 к sup = 2 и sup Ф 1, sup Ф 2.
Для вычисления ReX(co), Im М°°)> ReF(co), Im F(co), ya (s) (см. D.224)—
D.227), D.219)) по приближенным квадратурным формулам для ускорения
вычислений можно было бы воспользоваться алгоритмом БПФ (как, напри-
например, в работах [24, 159]). Однако как в 1-м, так и во 2-м вариантах алго-
алгоритмов этого не было сделано по следующим причинам. Если иметь в виду
вычисление ReF(co) и ImF(co), то применение алгоритма БПФ достаточно
эффективно лишь в случае, когда [495]: 1) х-сетка узлов равномерна, т. е.
h = const; 2) число узлов / = 2т [191] или хотя бы / = m1m2...mk [793], где
тг, т2, ... , mk — простые числа; 3) / велико (^>103); 4) число узлов в со-
сетке равно числу узлов в лг-сетке; 5) коэффициенты квадратурной формулы
постоянны, т. е. используется лишь формула прямоугольников (левых, пра-
правых или средних) и т. д. Для вычисления Re X (со) и Im X (со) при аналити-
аналитическом задании ядра можно обеспечить равномерность сетки для К(х). Но
трудности, связанные с необходимостью выполнения остальных условий,
как и при вычислении ya(s), остаются.
Таким образом, применение алгоритма БПФ для решения одномерного
уравнения типа свертки следует считать не всегда целесообразным*. Этот
вывод подкрепляется также следующими приемами (ускоряющими вычисле-
вычисления), которые использованы в 1-м (и во 2-м) варианте алгоритмов. Вычис-
Вычисления ReF(co) и Im/^co) (см. D.226) и D.227)) выполняются в соответст-
соответствии с формулами D.216) и D.217), а вычисления Re А (со), 1тЯ(со) и ya(s)—
в соответствии с D.208) и D.209). Использование этих формул позволяет
достичь высокой точности вычисления Re F (со), Im F (со), Re X (со), Im X (со)
и ya(s) при малом числе узлов в интегралах D.226), D.227), D.224), D.225)
и D.219) соответственно.
* Для двухмерного уравнения число узлов обычно велико (^103). В этом случае пер-
первостепенное значение приобретает время выполнения вычислений, и использование БПФ
оказывается необходимым.
265
Второй прием, ускоряющий вычисления, состоит в том, что функции
U (со), V (со), L (со) и | F (со) | вычисляются лишь один раз и затем для ряда
значений а интегралы вычисляются лишь в D.219) или/и в D.231).
Отметим также, что (как видно из соотношений D.219) — D.231)) во
всех программах, реализующих 1-й (а также 2-й) вариант алгоритмов,
не используется комплексная арифметика. Это тоже несколько повышает
быстродействие программ, а также дает возможность использовать АЛГОЛ-60
и некоторые версии ФОРТРАНа, которые не имеют комплексной арифметики.
2-й вариант алгоритмов. В данном варианте (на основе кото-
которого разработаны программы convi, convS, CONV4 и CONV5) решение урав-
уравнения D.155) или D.156) записывается в виде (ср. D.165), D.170), D.171),
D.174), D.175), D.179), D.182), D.184), D.189), D.193), D.194))
ya
d
(s) = J /?« (s —Jt) / (x) dx, D.232)
1 Г Re X (о) а (со) • 1 f Im X (со) а (со) . , ,, OOO4
о
где
Вычисление ya(s) согласно D.219) целесообразно выполнять в случае,
когда задана одна правая часть f(x), а а пробегает ряд значений. Вычис-
Вычисление же ya(s) по формуле D.232) целесообразнее в случае, когда задано
одно значение а и несколько правых частей f(x).
В D.232) оператор Ra(s— х) теплицев, однако при его дискретизации
(т. е. при замене на матрицу) это свойство может быть утеряно, а именно
в случаях, когда: 1) s- и х-сетки узлов различны и неравномерны; 2) s-
и д:-сетки одинаковы, но неравномерны; 3) 5- и лг-сетки равномерны, но их
шаги hs и hx несоизмеримы (т. е. ни hs/hx, ни hx/hs не является целым
числом). Во всех этих случаях потребуется запомнить в памяти ЭВМ все
nxl элементов матрицы /?а, где п — размерность s-сетки, а / — размерность
х-сетки. В результате в значительной степени потеряется преимущество перед
способом обратной матрицы (см. D.129)) решения уравнения общего ви-
вида D.63).
Поэтому во 2-м варианте алгоритмов рассмотрен случай, когда х сетка
узлов функции f (х) D.115) и s-сетка узлов решения ya(s) D.116) равно-
равномерны, т. е.
hx = j^ = const, D.234)
hs = ?=^ = const, D.235)
TV ~~~ 1
причем
Я=тах [hxy hs) делится без остатка на Л, D.236)
где А = пш1{й„ hs]. D.237)
Заметим, что, вообще говоря, а Ф с, Ь Ф d, более того, а — с, а — d,
Ъ — с и/или Ъ — d не делятся без остатка на ft.
В результате нужно запомнить в памяти ЭВМ следующие элементы
матрицы Ra'
Ra (a — d), Ra (a — d + h), . . . , Ra ip — c), D.238)
т. e.
D.239)
независимых элементов. Если а = с, b = d, hx = hs = h и, как следствие»
n = /, то т = 2n + 1.
266
Дискретизированное решение D.232) записывается в виде
(У*)/ = Лд S PtR* (s/ — П.) ft, i = l7n, D.240)
где
0,5, если i = 1 или i = /,
H если !<<</, <4241>
s/ = a + Ae(/—1), D.242)
xi=zC + hx(i—\). D.243)
Сравнение решений D.129) и D.240) показывает, что затраты машин-
машинного времени на их получение (когда матрицы В и Ra уже рассчитаны)
одного порядка. Однако матрица Ra требует для своего хранения сущест-
существенно меньше машинной памяти, чем матрица В.
Программы. В п. 5.5 приведены СП convl, conv2f conv39 conv49 conv5
на АЛГОЛе-60, а в пп. 6.5 и 8.2 —СП CONV1, CONV2, CONV3, CONV4,
CONV5 на ФОРТРАНе и ПЛ-1, предназначенные для численного решения
уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155) или Вольтерры I рода
типа свертки D.156) методом регуляризации q-го порядка Тихонова (с ис-
использованием приема усечения и а-множителей Ланцоша или Фейера) со-
согласно соотношениям D,219) — D.233) с использованием приближенных
формул D.208), D.209), D.216), D.217), D.240).
Эти программы идеологически подобны программам tikhl, tikh2, tikh3,
tikhl, tikhb, TIKH1, TIKH2, TIKH3, TIKH4, TIKH5 соответственно
(см. п. 4.3)^
Результаты расчета тестовых примеров по данным СП приведены
в гл. 7 и 8.
Во всех программах значения Дсо = const и сотаХ задаются с помощью
двух (целочисленных) параметров 1Х > 1 и /2 > 2:
Дю= у, D.244)
Ютах == ;2Дс°» D.245)
где 1г определяет шаг интегрирования Дсо, а /2 — максимальную частоту
<*>тах, т. е. степень усечения спектра частот. В D.244) cok — частота Котель-
никова, равная (для случая, вообще говоря, неравномерной л>сетки узлов)
%=g, D.246)
где
Программы convl и CONV1. Данные программы используют соот-
соотношения D.115), D.116), D.204) —D.230), D.244) — D.247), причем выбор
а осуществляется способом обобщенной невязки согласно соотношениям
D.64), D.65), D.83), D.84), D.86), D.88), D.89), D.231).
Программы convl и CONV1 выполняются в два этапа.
На 1-м этапе для ряда значений а, изменяющихся по закону D.132),
вычисляются значения невязки |3 (а) согласно формуле D.231), которая
расписывается в виде (по формуле трапеций с шагом Дсо = const)
??[!^'™&]' D.248.
где
0,5 при k = 1 или k = L + 1,
l .p. !<*«.+ !.
co? = Д(о(& — 1).
. D-249)
— 1). D.250)
267
Если при этом g Ф 0 (или предусмотрен при а = щ вывод «по ключу» на
печать решения уа.), то определяется решение уа, согласно D.219) и нор-
норма \\Уас II согласно D.128).
В ходе 1-го этапа определяется значение \х — верхняя оценка меры
несовместности уравнения D.155) или D.156) — согласно D.133), D.134).
При этом aF > am. Отличие \х от нуля может быть обусловлено, в част-
частности, ошибками машинных округлений (а также отличием ат от нуля).
На 2-м этапе а снова изменяется по закону DЛ32), в результате чего
находится ad из условия D.135).
И в заключение определяется решение уаа согласно D.219).
Программы conv2 и CONV2. В данных программах рассчитываются
решения ya(s) согласно D.219) с использованием D.115), D.116), D.204)—-
D.218), D.220)—D.230), D.244) —D.247)) для ряда значений а (см. D.132))
при известном (заданном) точном решении у. Рассчитываются также отно-
относительные погрешности решений D.136) и D.137) и определяется значение
(X'opt (см. D.138)) и решение yaopt.
Данные СП (как и СП tikhZ и TIKH2) предназначены для решения
модельных примеров.
В СП convl, conv2, CONV1, CONV2 (как и в СП tikhl, tikh2, TIKH1,
TIKH2) предусмотрен вывод «по ключу» на печать промежуточных резуль-
результатов (аи уа, и др.) Подробности — в инструкциях (см. пп. 5.5 и 6.5).
Программы сопиЗ и CONV3. Данные СП служат для получения
решения согласно D.219) (с использованием D.115), D.116), D.204)—D.218),
D.220)—D.230), D.244)—D.247)) при некотором одном значении а, найден-
найденном, например, способом моделирования (при этом модельные примеры
должны быть решены посредством СП conv2 и CONV2).
Программы convi и CONV4. Эти СП рассчитывают элементы D.238)
матрицы Ra (см. D.233)) (с использованием соотношений D.204)—D.212),
D.224)—D.230), D.234)—D.237)) при некотором одном значении а, найден-
найденном, например, способом моделирования (при этом модельные примеры
должны быть решены посредством СП conv2 и CONV2).
Программы convb и CONV5 предназначены для нахождения реше-
решения согласно «быстрому» алгоритму по формуле D.240) (с учетом D.234)—
D.237)), причем матрица Ra должна быть заранее рассчитана с помощью
СП convA и CONV4.
Двухмерное уравнение типа свертки [206, 208, 683J. Рассмотрим двух-
двухмерное уравнение Фредгольма I рода типа свертки
оо оо
Ау==в j j K(x± — s19 x2 — s2)y(sl9 s2)ds1ds2==f(x1, x2), — оо<дг1<сю,
— оо — оо
—оо<д:2< оо. D.251)
Пусть f?L2, y?Wl, K?L± f] L2. В методе регуляризации Тихонова
сглаживающий функционал имеет вид
оо оо
+ а J J М(ю1э (o2)\Y(colt co2) |2^со1Сгсо2. D.252)
Регуляризованное решение уравнения D.251), являющееся экстремалью
функционала D.252), выражается формулой (ср. D.192))
* s*)=(i И L?xff?(?, :j ^-нм^д»,, D.253)
268
где
ОО ОО
F(<olt со2)= J J f(xx, ^)г«».А+»,«!Ц^) D.254)
— оо — оо
ОО ОО
Я, К, со2)= J J K(xlt xJe'^+o^dx^Xt, D.255)
— оо — оо
L (со1э со2) = К (—colf — со2) /<" (со1э со2) = | /<" (со1э со2) |2.
В работе [208] функция М (<о19 со2) рассмотрена в виде
М К, со2) - 1 + (ш| + со*J. D.256)
Решение D.253) можно записать также в виде (ср. D.193), D.194))
а оо оо
y($i, 52)== j j ^a(Si— х19 s2 — x2)f(xl9 x2)dxxdx29 D.257)
*__oo —oo
где
oo oo
Пусть вместо / (x19 x2) известна / (x19 x2) такая, что
II1 (*i> x2) — f (x19 x2) ||l2 < 6.
В этом случае доказана [208] равномерная сходимость решения ya0>i» s2),
даваемого формулами D.253) или D.257), к точному решению y(s19 s2) при
в0, a = aF)->0, 62/aF)->0.
В способе невязки параметр а выбирается из условия (ср. D.195))
4Я* J J [ ^ (©i, »s) + (ХЛ1 @)!, 0J)
— oo —oo
В работах [206 148, 208] рассмотрен случай круговой симметрии ядра:
В этом случае решение выражается формулой D.257), где (при усло-
условии, что М((о19 со2) задается в виде D.256))
Ka («!• S2) — Ко, [У Sx + S2) — 4д2 J X2 (©) +
причем X (©x, co2) = X (—©t, —©2) = Я, (©), где © = ]/co? + ©2, и, кроме того,
oo
X (со) = 2л J r/С (г) /0 (©r) dr,
где /0 (х) — функция Бесселя I рода 0-го порядка.
А. В. Тыглияном [683] разработан пакет программ на ФОРТРАНе
(применительно к БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ) для решения двухмерного уравнения
типа свертки методом регуляризации Тихонова.
В работе [623] рассмотрен вопрос о решении уравнения D.251) с сим-
симметричным положительно определенным ядром методом регуляризации
Лаврентьева (см. п. 4.7).
269
Многомерное уравнение типа свертки [582, 588]. Применительно к урав-
уравнению (см. D.9))
K(x — s)y(s)ds = f (x)t —оо < х < оо, х= (xlt ... , xj,
гг>1
S == (Slf . . . , Sj,
регуляризованное решение имеет вид
оо оо
J J L(G)) + aM(u>r '
»aW Bл)"
— оо <—оо
где
п
L (со) = X (со) А, (—со), (со, s) = 2 ©А, со = Ц, ... , ооя),
М((о) = М (—со) > О, М (со) > С> 0 при | со | -> оо,
X (со) и F (со) — я-мерные преобразования Фурье функций К (х) и f (х) соот-
соответственно; М (со) — функция (ср. D.187), D.189), D.256)), которая в случае
y{s)?Wl2(—oo, оо) может иметь вид [588]
в частности (ср. D.189)),
ПрИ ЭТОМ f(x)?L2(—oo, оо), /С(х)^^(—оо, оо).
Система линейных одномерных уравнений типа свертки [583, 699]. Рас-
Рассмотрим систему п > 1 уравнений типа свертки (см. D.10))
П оо
2 J /Сл/ (* — s) у, (s) ds = fk (x), k = lTn, —оо < д: < оо. D.258)
/=1—оо
Беря преобразование Фурье от D.258), получим СЛАУ относительно Y/ (со)
(при каждом фиксированном значении со):
п
2. К} И У/ И = ^ И, ? = ГТ^г, —оо < © < оо. D.259)
Решив D.259), найдем точное (классическое) решение
оо
У1 (s) = §? J У/ (©) e-'^da, j =Т77г, —оо < s < оо D.260)
— оо
Регуляризованное решение имеет вид
(У* (s))j =2^j (Va (ю))/ e-'msd(o, / = Т7л, —оо < s < оо, D.261)
ОО
где (Ya(<u))j — решение СЛАУ (при каждом со)
п п
2 [L^(co)+аМл/(со)](Га(со))/= % Xmk(—со) Fm (со), к=Л7п, —оо<(о<оо,
D.262)
270
причем
?*/ (©) = ? ?W (-co) &w/ (со), D.263)
m==l
Мл/ (со) == bkjM (со),
а Л4(со) выражается формулами D.187) или D.189).
В соотношениях D.259), D.262) и D.263)
Ki И *= f # */ (*) еШх dx9 k, j = Т7п,
— оо
оо
^И= J fk(x)eia>xdx, k=T~R.
—— оо
Решение СЛАУ D.262) можно записать и в матричной форме (ср. D.50))«
Ya (со) = [L (со) + аМ (со)] X* (со) F (со), D.264)
где L(co)=a*(co)?i(co), А,* (со) = JJ (—со), >. (со) = Ф [К(х)} — спектр ядра —
матрица-функция (Ф—оператор преобразования Фурье); F (со) = Ф [/ (^)]
и Ка(со)—спектры правой части и решения соответственно — векторные
функции; К (х) = {Kk/(x)}ktJ==l—— матрица-функция; f (x) = {fk(x)I— век-
векторная функция; уа (s) == {(r/a (s))/}j = Ф [Ya (со)] — регуляризованное реше-
решение—векторная функция (Ф — оператор обратного преобразования Фурье).
Нелинейное одномерное уравнение типа свертки [587]. Рассмотрим не-
нелинейное уравнение (с ядром Гаммерштейна) (см. D.6))
K(x — s)h[s, y(s)]ds=j(x), —оо<д:<оо, D.265)
где h [st у (s)] — некоторая нелинейная относительно у (s) функция (ср. [335]).
Выполнив преобразование Фурье от D.265), получим
Я, (со) # (со, Y (со)) = F (со), — оо<со<оо, D.266)
где Х(со) и F(co) выражаются формулами D.162) и D.161) соответственно, а
Я (со, Г(со))= ? h[s, у (s)] ei(dsds.
— оо
Решив трансцендентное уравнение D.266) относительно Y (со) (в пред-
положении единственности решения—в противном случае на основе допол-
дополнительной информации нужно сделать выбор среди решений), получим точное
решение уравнения D.265) по формуле D.159).
Регуляризованное решение имеет вид
Уа
где Ya (со) — решение трансцендентного уравнения
Я(со, Га(со)) =
а (s) = гй J Уа И e-'^da, D.267)
причем стабилизирующий множитель г (со, а) выражается, например, фор-
формулой D.191).
271
4.5. МЕТОД ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ФРИДМАНА
Формулировка метода [43, 48, 58, 104, 105, 129, 256, 294, 363, 364, 370,
447, 482, 520, 537, 659, 697, 714, 715, 723, 814]. Здесь и далее (см. пп. 4.7,
4.8) рассматриваются методы итеративной регуляризации решения некор-
некорректного уравнения первого рода типа D.1)—D.11) и др. Основная идея этих
методов заключается в построении итерационной схемы, сходящейся к точ-
точному решению у в отсутствие ошибок б и § правой части и оператора и
в прерывании расходящегося при у] ^ (б, ?) Ф 0 процесса итераций при неко-
некотором числе итераций т = т(г\) (играющем роль параметра регуляризации)
таком, что \\ут(ю — у\\-*-0 при т]->0.
Одним из простейших (хронологически одним из первых) и достаточно
эффективным является метод итераций Фридмана. Этот метод относится
к методам простой итерации [634, 635] и стационарным методам [447 164].
Он формулируется в двух вариантах.
1-й вариант. Пусть в операторном уравнении
Ay = U У?Н19 /?#2, D.268)
А: #!*->-#2 — линейный самосопряженный положительно определенный
вполне непрерывный оператор, причем Нг и Я2 — гильбертовы пространства.
В этом случае рассматривается итерационная последовательность
У о € #i. 1
Ут = Ут-х + v (/ — Лут_0, т = 1, 2,.. .,} <4'269)
0<v<2Amax, D.270)
где Xmax = || -Д || — максимальное собственное значение оператора Л.
При точных / и А схема D.269), D.270) при любом уо^Нг дает сходи-
сходимость к решению у уравнения D.268), если оно существует и единственно,
т. е. lim \\ут — у|| = 0. Если же D.268) имеет несколько решений, то при
различных у0 последовательности {ут} сходятся, вообще говоря, к различ-
различным решениям. Если при этом из всех решений рассматривать нормальное
решение, то к нему последовательность {ут} будет сходиться при у0 = 0
или у0 = v/. Поскольку для обоснования способа обобщенной невязки требу-
требуется у0 = 0, то будем рассматривать последовательность D.269) в виде
ут = Ут-\ + v (/ — Лут_0, т = 1, 2, ... ] D.271)
Если же / задана с ошибкой: || / — /|| <: б, a g = 0, то
\\Ут-у\\< Мо(т) + с(т) б, D.272)
т—1
где M0(m) = \\ym — y\l c(m) = v ? \\Е — vA\\k <-. -^ Г|.
Из D.272) следует, что при 6^=0
JL< lim II Um— и||= vS
> m liv l
т. е. последовательность {ут} в виде D.271) хотя и сходится к некоторому
решению */«, но даже при очень малом (но конечном), в частности, обу-
обусловленном лишь машинными округлениями, значении б решение уте может
весьма сильно отличаться от точного решения у (проявление некорректности
задачи). Однако, учитывая, что M0(m)->0 при m-*oo, и выбирая т(8)
так, чтобы с(т(б))б->0 при б->0, получим:
Нт || утф) — у || = О,
т. е. получим РА.
272
Если же рассматривать интегральное уравнение Фредгольма I рода
^^К (х, s)y(s) ds = / (*), а <¦ х < &,
а
у (s) g L2 [а, Ь], / (л:) ? L2 [а, Ь],
D.273)
с симметричным положительно определенным ядром К (х, s)?L2 [a, b; at b]t
то схема итераций D.271) будет иметь вид
у0 (х) = 0, а < х < Ь,
и
Ъп (X) = IJm-l (X) + V [/ (X) — J К (X, S) Ут-Х (S) ds], ttl = 1, 2, . . .,
D,274)
где
Я-
, s)dxds.
2-й вариант. Пусть в уравнении D.268) А: Нг->Я2 — произвольный
(линейный вполне непрерывный) оператор. В этом случае вместо D.271)
нужно рассматривать итерационную последовательность
У, = О,
ym = ym_i + v (Л*/ — Л*Лут_!), т = 1, 2, .. ., 1 D 275)
О < v< 2/|| А*А ||. J
Применительно к интегральному уравнению
Ау==^ К (х, s) у (s) ds = f(x), с < х < d,
0(sNLa[a, Ь], /Ма,[с* D.276)
с произвольным ядром К(х, s)?L2[a, Ь\ с, d] схема итераций D.275) прини-
принимает вид
Уо @ = 0» а
t/m @ = Упг-1 @ + V [F (t) — J 7? (t, S) Ут-1 (s) ds], fit = 1, 2, . . .,
0< v< 2/|| A*A ||,
D,277)
где
C(Jt, t)f(x)dx,
d
R {U s) = R (s, t) = J /C(x, <)/C(
с
Ь 6
|| Л*Л ||« = || R (t, s) ||2 < f J 7?2
f, s) dfcfe.
D.278)
D.279)
D.280)
Правило останова процесса итераций по обобщенной невязке. Аналогично
тому как существует несколько способов выбора параметра регуляризации а
в методе Тихонова (см. п. 4.3), разработано несколько способов выбора
числа итераций, или правил останова, в методе Фридмана. Одним из наи-
наиболее эффективных является правило (способ) останова по невязке (или по
обобщенной невязке) [50, 52, 58, 104, 257].
5-1018
273
Рассмотрим некорректное уравнение D.268) с произвольным (линейным
вполне непрерывным) оператором А. Пусть вместо точных / и А известны
приближенные / и д такие, что
iiA—/Ik < в; D.281)
111— А || <g, D.282)
т. е. вместо D.268) решается уравнение
} Н /?#,. D.283)
Согласно правилу останова по обобщенной невязке (формулируемому в виде
модифицированного варианта правила Пх или 1-й половины правила П2
работы [104]) производим останов процесса D.275) при таком номере
т = md = md(8, ?)» для которого впервые (ср. D.85))
хт<0, D.284)
где (ср. D.79)-D.82))
xm=P/n — Cm, D.285)
$т=\\~АУт-]\\н2> D.286)
Ьи = (8 + Шт1к)а + ?. D.287)
? = inf ||Лу —/||а<И. D.288)
</€#,
[л — верхняя оценка величины J!, характеризующей меру несовместности урав-
уравнения D.283).
Доказывается [104], что рт — монотонно невозрастающая, а ||ут Не-
Немонотонно неубывающая функции т при т = 0, 1, 2, . .., причем (посколь-
(поскольку у0 = 0)
?o = 82+il, lim p«=]i, lim
m-*-oo m-»-oo
Поэтому >cm — монотонно невозрастающая функция /п, причем
*o = II7II2 — (б2 + V)* Jim xm < — б2.
В результате при условии (ср. D.84))
|1/||я2>б2 + !1 D.289)
значение та существует и является единственным. Если же условие D.289)
не выполнено, то в качестве решения полагаем у = 0. Отметим также, что,
как показано в [104],
\\ymd—y\\-+Q при б, ?-*0,
т. е. алгоритм, даваемый правилом останова по обобщенной невязке, явля-
является регуляризирующим.
Применительно к интегральному уравнению D.276) правило останова
итераций D.277)по обобщенной невязке сводится к определению md согласно
D.284), причем (ср. D.87)—D.89))
d Ъ
К = j [ J К (*, s) ym (s) ds — f(x) j2 dxy D.290)
' U = (S + 11| ут\\ьш)*+\ь> D.291)
ш=\/ \y*M(s)ds. D-292)
Правило останова процесса итераций по поправке [104, 256, 257]. Данное
правило (весьма напоминающее способ квазиоптимального а, см. D.97)) заклю-
заключается в следующем.
274
Зададим числа а1>0, #2>0. Согласно данному правилу, или способу
(правилу По по терминологии работы [104]), итерации D.275) останавливаем
на таком номере т = тс = тс (б, ?) (от correction — поправка), для которого
впервые
II Ут — Ут-\ II < М + й21.
Показано [104,256], что
\\уте —у W-+O при б, 5->о.
Численный алгоритм. Рассмотрим вопрос о численном решении уравне-
уравнения D.276) методом итераций Фридмана согласно D.277)—D.280) B-й вари-
вариант) с выбором числа итераций по обобщенной невязке (согласно D.284),
D.285), D.288)—D.292)). _
Пусть правая часть ~f(x) задана на, вообще говоря, неравномерной
*-сетке узлов D.115), а решение ут (s) (или ym(t)) ищется на, вообще говоря,
другой неравномерной s-сетке узлов D.116), совпадающей с /-сеткой. Рас-
Распишем интегралы в D.277)—D.280), D.290), D.292) по формуле трапеций
с переменным шагом и введем множитель r*/p, k= 1, л, в D.277) для вос-
восстановления симметричности и положительной определенности дискретизи-
рованного оператора R (аналогично тому как сделан переход от D.118)
к D.121)). Получим:
УК = 0,
/72=1,2,
D.293)
v=?, D.294)
0<а<2, D.295)
If
g P [ 2 ,4y,M
g Pi [ 2 r,K4y,M - If • D.297)
D.298)
a Fky Gkj, pt и г/ выражаются формулами D.123), D.122) и D.119) соответ-
соответственно.
Программы. В п. 5.5 приведены СП friedl, friedfc на АЛГОЛе-60,
а в пп. 6.5 и 8.2 —СП FRIED1, FRIED2 на ФОРТРАНе и ПЛ-1, пред-
предназначенные для численного решения уравнения Фредгольма I рода D.276)
методом итеративной регуляризации Фридмана B-й вариант) согласно соот-
соотношениям D.277)—D.280), сводящимся к приближенным формулам D.293) —
D.296), D.123), D.122), DЛ19).
При этом в памяти ЭВМ запоминается лишь нижний (на АЛГОЛе и
ПЛ-1) или верхний (на ФОРТРАНе) треугольник (квадратной симметрич-
симметричной) матрицы G.
Результаты расчета тестовых примеров по данным СП приведены
в гл. 7 и 8.
Программы friedl и FRIED 1 используют соотношения D.115),
D.116), D.119), D.120), D.122), D.123), D.293)—D.296), причем выбор
числа итераций осуществляется способом обобщенной невязки согласно соот-
соотношениям D.281), D.282), D.284), D.285), D.288), D.289), D.291), D.297),
D.298).
Программы friedl и FRIED 1 выполняются в два этапа.
На 1-м этапе для m = 0, mmax определяются решения ут (согласно
D.293)), а также значения невязки рт (согласно D.297)) и нормы решения
\\Ут\\ь, (согласно 4.298)).
Ш» 275
В ходе 1-го этапа определяется значение
IX = рт/7, D.299)
где tnF= max {m: рт < рт_!} D.300)
т=1, ттах
— максимальное значение т, при котором еще имеет место монотонность
функции рт (ср. D.133), D.134)). При этом mF < ттах. Возможное наруше-
нарушение монотонности функции рт при больших т обусловлено накоплением
ошибок машинных округлений.
На 2-м этапе т снова изменяется в пределах [0, ттах]. При этом,
исходя из условия D.284), определяется md и решение ymd(t).
Для более точного определения величины \л нужно полагать значение
/Птах по возможности большим, например 103—105 (правда, это связано
с увеличением времени решения). Иначе значение \i будет завышено и, как
следствие, решение ymd(t) несколько сглажено.
Программы fried2 и FRIED2. В данных программах рассчитыва-
рассчитываются решения ym(t), /n = 0, ттах,согласноD.293) (с использованием D.115),
D.116), D.119), D.120), D.122), D.123), D.294)—D.296)) при известном
(заданном) точном решении у. Определяются относительные погрешности
решения:
основная
<s^=ljJii^ <4-301>
и вспомогательная
\\Ут — У\\с /л олоч
= ||уЦс ' D-302)
(s )m= m J* L2 = min, m = 0, mmaXi D.303)
2 IIУ \\ь
а также значение m = mopt (оптимальное значение т), при котором
m
IIУ ь2
и решение ymopt{t).
Данные СП (как и СП ША2, TIKH2, conv2, CONV2) предназна-
предназначены для решения модельных примеров.
В программах fried I, FRIED I, fried2, FRIED2 предусмотрен вывод
«по ключу» на печать промежуточных результатов (т, ут и др.). Подроб-
Подробности— в инструкциях (см. пп. 5.5 и 6.5).
4.6. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
С помощью программ tikhl, tikh2, tikh3, tikhi, tikh5, convl,
conv29 conv3, convl, convb, fried I, fried2 (на АЛГОЛе-60) и TIKH 1,
TIKH2, Т1КИЗ, TIKH4, TIKH5, CONV1, CONV2, CONV3, CONV4, CONV5,
FRIED 1, FRIED2 (на ФОРТРАНе) был решен ряд примеров, характерных
для некоторых прикладных задач (результаты расчета тестовых примеров
для программ приведены в гл. 7).
Во всех примерах задавались точные (нормальные) решения у (s) и ядра
К (х, s). Путем аналитического или численного интегрирования (с точностью
до разрядности ЭВМ) найдены правые части / (х) (на дискретной сетке узлов).
С помощью датчика случайных чисел в / (х) внесены ошибки. Точные К (х, s)
заменены приближенными К (х, s) той же гладкости (без внесения случайных
чисел)*. Затем было осуществлено решение примеров с использованием f{x)
и К(х, s).
* Такой способ искажения f (х) я К (дг, s) наиболее типичен для практики.
276
12-Х
-1,2 -1,0 -0,8 ~Ц§ -0,4 -ОХ О 0,2 Ofi Qfi Otd W 1,Z Ц ад
Рис. 10. Пример 4.1. Точные ядро К (х), решение у (s) и правая часть f (х).
Решение выполнялось на ЭВМ БЭСМ-6 (на ГДР-АЛГОЛе и ФОРТРАНе)
и ЕС ЭВМ (ЕС 1033, 1040, 1055 и 1060 на ФОРТРАНе).
Результаты расчета примеров, представленные на приведенных рисунках,
во всех случаях практически одинаковы (в масштабах рисунков) на ГДР-
АЛГОЛе и ФОРТРАНе на БЭСМ-6, но иногда заметно отличаются от
результатов, полученных на ФОРТРАНе на ЕС ЭВМ. В этом случае кривая,
отображающая результаты, полученные на ЕС ЭВМ, снабжена индексом Е.
Пример 4.1 (рис. 10):
s)y(s)ds = f (х), — оо < х
— уравнение типа свертки, которое при использовании программ было заме-
заменено на «усеченное» уравнение
ь
} K(x — s)y (s)ds= f (х), с < х < d.
Точное решение
точное ядро
= \ 0,
К(х)= ]/?!?
D.304)
D.305)
D.306)
Сетки узлов по х и по s полагались равномерными, причем с= —1,4;
d= 1,4; /^ = 0,1 (число узлов х-сетки равно / = 29), а=—1; b= I; ks =
= 0,2 (число узлов s-сетки равно п = И).
К значениям /v, i= I, /, с помощью датчика случайных чисел (закон
распределения ошибок нормальный) были добавлены ошибки с нулевым
277
-/6 -14 4Z -Ю -8 -6 -4 -Z
2 iga
-16 -14 -12 -10 -в -6 -
Рис. J1. Пример 4.1. Программы tikhl, TIKH1; ^ = 0.
— VJ3- " '«if?- 1гС(а): '/«Z
4 -2
2 tgd
Рис. 12. Пример 4.1. Программы tikhl, TIKH1; g « 0,01.
Нумерация кривых та же, что и на рис. П.
4 6 5 810 7 9
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Lgd ~Ю ~Ц Ч2 ~10 ~д ~6 -* ~* О 2 1дй
Рис. 13. Пример 4.1. Программы tikh2, TIKH2; g = 0 (при g « 0,01 кривые идут несколько выше;
например, для
а при I « 0,01 ||
7— 1
<?=0 бо
i: при ?=0 || yaopt - у \\LJ\\ у ||Lf - 0,0219, aopt = 10~2'3'
|Lf = 0,0247, а0р/ = Ю-2-4).
5G=0) 7 о = 01 9 G=01
'о', I 5 »1%; >5 «10%; I
5 <7= l/ 5 9= l/ 0ТН ' Ю q—lf
Рис. 14. Пример 4.1. Программы convl, CONVI; g = 0, lt = l2 = 28, sup = 2.
Нумерация кривых та же, что и на рис. П.
средним и со среднеквадратическим значениями 6 = 0,05- 10~8, 0,5- 10~2,
0,05 и 0,1, что соответствует относительной погрешности 6ОТН~0; 0,1; 1;
10 и 20 %.
Ядро бралось в виде D.306), а также в виде
D.307)
278
6
4
1
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10 -в -6 -4-2 0 2
0,01, 1г = /2 = 28, sup = 2.
-16 -14 -12 -10 -8-6-4-2 0 2 igQL
Рис. 15. Пример 4.1. Программы conv\y CONV1;
Нумерация кривых та же, что и на рис. П.
Рис. 16. Пример 4.1. Программы conv 1, CONVI; g = 0; 0,03, lx = 28, /2 = 5, sup = 2;
«1 %, 9 = 0; 1.
lg 3 (а) — — — ~ — lg С (а).
LgOL
-7 -6 -5 -4 -J -2 -
Olga
Q [goL
0,01
Рис. 17. Пример 4.1. Программы conv2> CONV2; 1г = 12 = 28, sup = 2, | = 0 (при
кривые идут несколько выше).
Нумерация кривых та же, что и на рис. 13.
Рис. 18. Пример 4.1. Программы conv2, CONV2; ? = 0; 0,01, 1г = 28у /2 = 5, sup = 2,
^1о/ 0 1
что соответствует ошибке оператора ^ = 0 и ?^0,01 (|отн « 0 и 1 %). При
этом
=у JWW-
Порядок регуляризации q (см. D.68), D.124) —D.126) и D.229)) полагался
равным 0 и 1.
279
г
1
о
-/
-2
~J
-4
-5
-6
-7
~д
-9
г
1
о
•-/
-2
-J
-4
-5
-6
-7
-в
-9
2ZA*~"
^>^^ 7
\
/
1 II
9
7
5
J
i
/
Рис.
10 100 1000 10000 m
19. Пример 4.1. Программы friedl, FRIED1; % = 0.
Ю
100
1000 10000 т
1J
<7 =
Рис. 20. Пример 4.1. Программы friedl, FRIED1; I ^ 0,01.
Нумерация та же, что и на рис. 19.
Особенность данного примера: искомая функция у (s) и правая часть
/(х) —гладкие функции, имеющие приблизительно одинаковую эффективную
ширину.
На рис. 11—22 приведены результаты расчета примера 4.1 по програм-
программам tikhl, tikfi2, tikhb, convl, conv2, convb, friedl, fried2, TIKH1,
TIKH2, TIKH5, CONV1, CONV2, CONV5, FRIED1, FRIED2.
Пример 4,2 (рис. 23).
b
[ К (х, s) у (s) ds = f (x), с ^x <• d,
0, I s I
1
0,85,
Q (дс-s
a = с = —0,85; 6 = d = 0,85; Л* = const = 0,05 (/ = 35); hs = const = 0,05
(Л=/ = 35)и hs = const = 0,025 (n = 69); Q - 59,9; ?=0и 1; S = 0,5x
X Ю-2(ботн « 1 %); 6 = 0,01 (?0TH « 1 o/o) при Q = 60 и б = 0,5 • Ю-3(ботн «
«O,lo/O); js 10-3(gOTH«0,l o/o) при Q = 59,91.
Особенности примера: искомая функция y(s) имеет значительные
флуктуации G максимумов и 6 минимумов), но ядро К (х, s) ^неузкое
настолько, что флуктуации в f(x) практически отсутствуют. Данный пример
характерен для задачи восстановления сигнала на входе прибора (другие
названия задачи: редукция к идеальному прибору, редукция измерений за
диаграмму или характеристику направленности (ХН) антенны, повышение
разрешающей способности антенны и т. д.) (см. п. 4.2). С позиций этой
задачи у (s) — поле на входе системы (прибора), f(x) — поле на выходе ее,
а К (х, s) — весовая функция системы (ХН антенны, функция отклика на
единичный импульс и т. д.).
280
/
./0
WOO 10000 m * -Q8 -Q6 ~0A ~0tl 0 OtZ Q4 Q6 0,8 1ft S
Рис. 21. Пример 4.1. Программы fried2, FRIED2; ? = 0 (при ? « 0,01 кривые идут несколько
выше).
'/"JKm** 3/ = 3§отн^,1%; * ^eJ}*oiH«l%! 7/ = (!}8отн«10%; J^" ^ »охн«20%.
2 q =1) 4 q =z \) 6 q — \) 8 q= I) 10 q = 1J
Рис. 22. Пример 4.1. Решения yaQ f (по программам «Ш, tikhb, conv2y TIKH2, TIKH5,
CON-V2) и ут (по программам fried2, FRIED2). 6OTH » 1 %, g « 0,01.
«0,0205 (решение на БЭСМ-б совпадает
Ukh2i TIKH2, q= It aopt = 10"~3»9f || yaQ f — у \\ij\\
в среднем до 8 цифр с решением по tikhb, TIKH5); -\~conv2i CONV2, /j =/2 =28, sup ==2, q=\>
0—4»6, || yaQ t^.y\\i2/\\ у l\L2= 0,0295 (решение на БЭСМ-6 и ЕС совпадает в среднем до 1—2
цифр с решением по conu5,- CONV5); П corcu2,CONV2,
X fried2 FRIED2, а = 0,5,
28, /2 = 5, s«p=> 2, # = Ь aopt
05 176 || W
p
= 0,0181.
У IIL,
Рис. 23. Пример 4.2. Точные решение у (s) и
правая часть /(х).
к N
ч
ч
\ ч\
ХЛ
1 1 . I
V
V
\
N
_-
1
1
V // -
/7 /д
._ г . i i i
/
-/
-2
-J
-<?
-7
-16 -14 -12 -10 -д -6 -4 -2.0, 2 Igoc
Рис. 24. Пример 4.2. Программы tikh\9 TIKH1.
= 0,05
1 q == 0,: fts = 0,05
2 G=0, fts= 0,025
1,
0,025
5 q — 0f
5 ^7=0, fos = 0,025 . _ _
7 ?= 1, fts= 0,05 ) отн ~ ^°тн ~ 0Л%-
8 <7= 1, fts = 0,025 .
На рис. 24—29 приведены результаты расчета примера 4.2 по програм-
программам **Ш, tikh2, friedl, fried2, TIKH1, TIKH2, FRIED1, FRIED2.
Пример 4.3 (рис. 30), как и пример 4.2, характерен для задачи
повышения разрешающей способности антенны, с той лишь разницей, что
поле на входе антенны есть сумма двух локальных источников с амплиту-
281
J
Ш
i
1
In \ I
\\
\l\ \ 1
\\ IV v
AV \\\ \\ >--
\\ \\\ \y
в $
i i i i i i i i j
1
M
/it
It
# -
-
1 1 1
1,0
0.9
0.6
0,7
0.6
0.5
OA
аз
0,2
0.1
41 -10 -9 'в -7 -6 -5 -4 -3 -1 -1
Рис. 25. Пример 4.2. Программы tikh2, TIKH2.
\\Va — V \\L%1\\ y\\Lt* ¦
Нумерация кривых та же, что и на рис. 24.
OV
Уа—У\\с1\\
~4
1000 10000 т
Рис. 27. Пример 4.2. Программы fried2,
FRIED2; а = 0,5.
0.051 ^ ^
ТН~ 0ТН^
/ /^ /^ 1000 10000 ГП
Рис. 26. Пример 4.2. Программы /гЫ1, FRIED1; а = 0,5.
lg эт, lg cm;
/ Л5 = 0,05 | _ _ . 3 hs = 0,05 1 _ р ~0
2 Ь5 = 0,025/ S°TH " *°ТН ~ %' ^s = 0,025/ 6°ТН ~ ^°ТН ~ °'
3 hs = 0,05 | _ ~ п 1 «/
Ah П ПОЧТ °ТН " °ТН " * %*
4 hs= 0,025)
дами g-1== 10 и ga= 100 и углами ^ == —2,96° и я|J = 2,12°. Ядро (ХН
антенны)
sin [Y (sin ^-sin Г)] ^ ^) + 6
| Л^ sin L (sin Ч> — sintp')
^ L^ J
==b
D.308)
282
V -0,6-OA -U2 0 0,2 0,4 0,6*Q6S ~1,0 Цв^-0,6-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Q6
Рис. 28. Пример 4.2. Решения ya (по программам tikhl, TIKH1), ya (по программам
Ш2, TIKH2), ymd (по программам fried], FRIED!) и у^ (по программам fried2, FRIED2);
^ora^loxH^10/^ ^ = 0,05. m°pt
+ tikhl, TIKHl, <7 = 0,
d
FRIEDl,
. TIKH2,
a
-yWbjWy 11^=0,-119.
Рис. 29. Пример 4.2. Решения
+ tikhl. TIKHl, <7 = 0,
tikhU TIKHl, f - i,
10-3»4>|
10-6,2)
2 0,204; xtikhl, TIKH1, <7 = I, a^= 10—3.y,
0,5, mrf = 59, l| ifmrf-if ||Lt/|| у ||?f-0,240;
^ "Lj;« 0,127; ^h2, TIKH2, ¦ = !*, aop^=
FRIED2, a-0,6. mo/?/=»9592, || ym -,
; 60TH « g0TH « 0,1 %f Л, « 0,05.
-0.
. TIKH2,
FRIEDi, a =0,5,
08
us
0,2
2945,
/
^10-7-4. 11 у - у \\LJ\| у ||Lf = 0,069;
у Ml, = 0,140; П friedli FRIED2, a =.0,5, mop^ = 10000,
\
\
\
\/
X
/ \
/ \
«,
eo
so
40
30
20
1O
II..Ш
••¦¦¦¦•.
•
•
•
•
•
•
•
/ У
| 1 J I 1 1 | J
•
•
-
-
-
-
-
1 1
560
540
520
500
480
400
440
420
400
380
360
340
320
-5° -4 -3-2-101234 5°%Г
Рис. 30. Пример 4.3.
-5° -4 -J -2 -/ 0 .1 2 3 4 5° <P
Рис. 31. Пример 4.3. Решение уа (г|э) по программам tikh39 tikM, tikhb, TIKH3, TIKH4,
TIKH5 при <7 = 0, а = 10~1'5.
где
2(*• * ) = \ЬВ, у\ sin\ - sinV I > я.
Л^ = 25; у = 37,82, Ъг = 0,895; Ь2 = 0,105/0,895; Ь3 = 0,05. Такая искусственно
подобранная функция K(ty9 'ф') приблизительно соответствует ХН в полосе
частот (коэффициент Ьг — нормирующий множитель, коэффициент Ь2 опре-
определяет средний уровень «ореола», или бокового поля, в ХН, а коэффициент
Ьг — уровень флуктуации в ореоле; гр — угол компенсации, г|/—текущий
233
угол). Правая часть (сканирующая функция, или поле на выходе) равна
Точное решение (поле на входе), представляющее собой сумму двух
обобщенных функций [172], аппроксимируется непрерывной функцией у (г|/),
являющейся решением интегрального уравнения
ь
\ К (ф, i|O У W) dty' = / W)j о < я|) <: d,
где i
1
(Л/sin ^
(sin ^ — sirup')]
j
3, 71 sin i|) — sin г|/ | > я,
N = 25, 7 = 38,2, &! = 0,9, ?2 = 1/9, ?3 = 0.
Положено: a = с = —5°, b = d = 5°, Л<р = Аф* = const = 0,25° (n = / = 41).
Если /С(я|), ij)') рассматривать без нормирующего делителя (b — а), то
В значения/(ф) было внесено два типа помех: постоянная составляющая,
равная 3/ср» и случайная составляющая, равная 0,03т]/ср, где iq g iV @, 1) —
случайное число, распределенное по нормальному закону с нулевым мат-
ожиданием и единичным среднеквадратическим значением (/ср = 63,585).
Итак,
Д- = А- + C +(о,оз ri) /ср, г= 1, /.
Видим, что отношение помеха/сигнал в данном примере довольно велико
и равно приблизительно 3.6 = 3,03 /ср или б = 3,03 || / |L2, т. е. не выпол-
выполняется необходимое условие способа обобщенной невязки D.84), вследствие
чего не могут быть использованы программы tikh I, fried I, TIKH1, FRIED 1.
He могут быть использованы и программы Hkh2, fried2, TIKK2, FRIED2,
так как точное решение не является непрерывной функцией.
Данный пример характерен также для задачи выделения слабого
локального сигнала (с амплитудой gj вблизи более интенсивного также
локального сигнала (с амплитудой g2), находящегося в пределах основного
лепестка ХН и на фоне распределенной помехи [6, 7, 279, 332, 365, 737, 551].
На рис. 31 приведены результаты расчета примера 4.3 по программам
«ААЗ, tikh4y tikh54 TIKH3, TIKH4, TIKH5 при (/ = 0иа= 10-1-5 (резуль-
(результаты совпадают на БЭСМ-6 примерно до девяти цифр).
Пример 4.4, заимствованный из задачи амплитудного синтеза одномерной
непрерывной антенны (см. п. 4.2) и используемый для иллюстрации способа
моделирования, который может быть применен для выбора параметра регу-
регуляризации а (см. п. 4.3).
Рассмотрим уравнение D.23) для случая вещественных функций /(?)
и R(Q):
а
" cos (x? sin 9) / (I) dl = R F), —я/2 < 9 < я/2. D.309)
Остановимся на частном случае, когда а = ^- Я Bа — длина провода, к —
длина волны). Сделав в D.309) замену переменных: х?/я = s, я sin 0 = я,
получим:
j cos (xs) I (s) ds= f (x), —я < x < я,
—я
где f(x) = R(x)/n.
Пусть в практическом примере (оригинале) Р точная правая часть
fP (х) = 2я (Si [я (* + 1)] — Si [я (х— 1)]},
284
точное (нормальное) решение
. , v о sins
Ip (s) = 2я — .
Однако /р (s) неизвестно, а вместо
/>(*) заданы значения
где г] —случайное число с нуле-
нулевым матожиданием и единичным
среднеквадратическим значением,
но неизвестным законом распре-
распределения; б — среднеквадратическая
ошибка, причем приближенно из-
вестно значение 60ТН = г— »равное __«
в среднем бот„ eg 0,01 в возможных
пределах [0,005; 0,02], где
го-
///?\\\
1/ю1
6-
4-
2--
О
\\\
Рис. 32. Пример 4.4. Точные fP(x)t fQ±(x)>
/Q, Со-
Со/ср =
относительно искомого реше-
решения Ip(s) известно следующее:
/(s) = /(—s), /(—я) = /(я) = 0,
/ (s) _ функция, унимодальная с
максимумом при s = 0.
В результате в качестве мо-
модельных примеров (моделей) Q
были выбраны следующие:
Us)
/Qi (s) = cos2 |-
-2 4 0 1 2 J 3
Рис. 33. Пример 4.4. Точные решения в модель-
модельных примерах.
f (x) — sin (пх) \ Li Ji? 'я ^A+ill
х 2 v.
sin
х+1
—1
На рис. 32, 33 представлены /Р(л;), IqAs)* fQi(x)> jqAs)> /q,W- К зна-
значениям /* в примерах Qx и Q2 были добавлены погрешности вида 6г), где
й=ботн/сР, причем ботнб [0,005; 0,02], а для выработки случайных чисел г)
использовались нормальный и равномерный законы распределения. При
этом использовалось по нескольку реализаций ошибок.
Режим (см. DЛ04)) был выбран в виде
hx^hs^ const = я/16 (I = п = 33), К (х, s) = К (xt s) = cos (xs),
ботнб [0,005; 0,02], Ьян =» 0, q=l.
На рис. 34 двумя пунктирными линиями (огибающими) ограничена
область, которую заполнили кривые е (а) = || /а — / ||L>/|| / \\l2 для модельных
примеров в результате их решения по СП tikh2 и TIKH2 при q = I.
Для повышения эффективности способа можно использовать функцию
в (а) (см. D.112)). При этом найдено значение р «0,2 по кривым^ (а) при
а« 10е ч- Ю2, где их различие невелико. На рис. 34 непрерывной линией
285
1 I
7T
•
A-
J--
2--
1
J S
\
-9 -6 -7 ~6 -5
Рис. 34. Пример 4.4.
границы функций || /а — / ||?2/|l / \\i2 для
II/а— I WlJ H/||l2 Для исходного примера,
6ОТН« 0,011, ^отн = °>Р « °>2>-
Рис. 35. Пример 4.4. Программы tikh2t TIKH2.
Решение исходного примера при а=10~2.
модельных
— функция
примеров,
е (а) — см.
800К(х-4ОО)уу
—. _*._-.-*, функция
D.112) (|| а II ~2Л
J^ J^^? J^ 380 400 420 440 460 480 xts -/2 -Ю -8 -6 -4
Рис. 36. Пример 4.5. Точные ядро К (х), решение у (s) и правая часть
Рис. 37. Пример 4.5. Программы tikhl, Т1КШ; ^Отн~5отн^ * %> ^
вые практически совпадают).
lg 3 (а), lg С (а); / а = 357,5в 6 = 442,5; 2 а = 375, 6
-1 О
/ (х).
° (ПРИ
— 425.
Z igOL
= А КРИ"
представлена функция е(а), причем
-У J I
cos2 (#s)
Из рис. 34 видно, что в области значений а « Ю""*3-^ 10"*2 имеется довольно
глубокий минимум у верхней огибающей кривых е(а)у а функция г(а)
имеет минимум при а « 10. Однако, учитывая, что г (а) дает оценку е(а)
с некоторым завышением, следует считать наиболее вероятным значение
а^ 10~2. На рис. 35 приведено решение примера-оригинала Р при а= Ю.
Заметим, что в примере Р r]?Af(O,l), 60TH= 0,009962, 6 = 0,104.
Пример 4.5 (рис. 36).
K(x — s)y(s)ds=f (х), —оо < х < оо,
^-уравнение типа свертки, которое при использовании программ было
заменено на «усеченное» уравнение
ь
j K(x — s)y(s)ds = f(x)9 c<x<d.
186
о,в
oj
пб
Q5
0,4
Q3
0,2
OJ
350360* * •„ 390 400 4/0 420 й . х44О
-<3 -7 -6 -5 -4 -3-2-/0/2 tgd
S
-5
-Ю
-45
Рис. 38. Пример 4.5. Программы tikh2, TIKH2; 60ТН « g0TH « 1 %у q = 0 (при? = 1 кривые
практически совпадают).
1а = 357,5, 6=442,5; 2 а = 375, 6=425.
Рис* 39. Пример 4.5. Решения уаа (по программам tlkhl, TIKH1) и #ао / (по программам
НШ, TIKH2); 60ТН » g0TH » 1 %. °Р
Xtikhli TIKHl# а = 357|5, 6 = 442,5, <7 = 0,1, а^ = 10 2«7^ ц ^ —^^ fj^-^ /II .^ II^ZIi =0,412; ? tikh\,
TIKH1, а» 375, 6 = 425, $ = 0,1, ad = 10~3'0, || t/arf - t, ||Lf/|| ^ |,^ = 0,222; • tikh% TIKH2, a=357,5,
" y<xovt ~~ У "L2 rO,274 при 7=0,
6 = 442,5, aop/ = Ю-4^ —— = j0f272 при qz=z 1; + «ЛЛ2, TIKH2, a=357t5,
„y
Ь= 425, aopt = 10 2
при q = 0,
Рис. 41. Пример 4.5. Программы cora/2, CONV2;
8 1 o/o> ^ = o, /1== 1500.
40 -6 -б -4
2 #tf /а =
а = 357,5, 6 = 442,5, ^ = 50, swp = 1; 2 а = 357,5*
6=442,5, /2 = 1500, sup = 1; 3 а == 357,5, 6= 442,5,
/ 1500 3 4 375 6 425 / 1500 l
2,,
1500,
1, p ; ,,
= 3; 4 а = 375, 6 ~ 425, /2= 1500,
Рис. 40. Пример 4.5. Программы convl, CONV1; 6OTH « g0TH » 1 %, q == 0, /x == 1500.
Ig6(a), ' '— lgC(a); /« = 357,5, 6=442,5, /2 = 50, sup = 1; 2 a = 357,5,
,5, /2 = 1500, sup = 1; 3a = 357,5, 6=442,5, /2 = 1500, sup = 3; 4 a = 375, 6 = 425, /2 == 1500,
6=442
287
350^370 380 390 400 410 420 430 a
/ 10 100 1000 10000 Й
Рис. 42. Пример 4.5. Решения уа (по программам convl, CONVl) и уа (по программам
conv2, CONV2); б0Тн « ?отн « 1 %, (/ = 0.
• com*. CONVl, a, = 10~2,0 К ^ fce 442Л 1600§ /§e 50> 8ад e ь |( _ ^
co/w2, CONV2, a<,p/ = 10—n»7J й
e ^ao^-^L«/H У И^«—0.715; +^; CONV2 1 a e 375'^ * e 425' '* *~ h = Ш°'
sup = l. *d-aopt = Ю-2,6, \\yad-y\\LJ\\y\\L,~\\yaopt-y\\LJ\\y\\L2~WW' О conv2, CONV2
a=-357,5, 6=442,5, /t » jf = 1500, s«p = 1, a0^ « 10~2.5. If ya^- К llLf/ll У Ul, «O.46^-
Рис. 43. Пример 4.5. Программы friedl, FRIED 1; ботн ^ lom « 1 %, a = 0,5.
1? 3m»" *8cm; -^ fl = 357,5,6 = 442,5, 2a = 375t 6=425.
350*360 x/ + 390 400410 420° J
X x +.
5+
q
Л7 W /Ш(? /<?<?Ш /77
Рис. 44. Пример 4.5. Программы fried2, FRIED2; ботн « g0TH « 1 %, a = 0,5.
/a = 357,5f6 = 442,5; 2 a = 375, 6 = 425.
Рис. 45. Пример 4,5. Решения ym (по программам /гЫ1, FRIED1) и г/т^^ (по программам
fried2, FRIED2); б0ТН » g0TH » 1 о/о, a = 0,5.
XfriedU FRIED1, а = 357,5, 6= 442,5, md = 178, И ymrf — if/Ix/H У/lLf e0»42l; D friedlt FRIED1,
a=-375, 6=425, m^ = 499, || ^ - у Ц^/1) у |jLf ==> 0,210; • fried*, FRIED2, a-= 367.5, 6 = 442,5,
0,350; 4-fr^2*FRIED2, a - 375, 6 « 425, m0^ - 398t |^
Точное решение
точное ядро
, 425];
, s€[375> 425],
288
Положено: с == 350, d = 450; h = ft*= Ы = const = 2,5, / = 41; а = 357,5,
{? = 442,5(/г== 35) и а = 375, fe = 425(n = 21); Q = 0,45; q = 0,1; б=5х
X Ю-2(ботн% 1 о/о); ?^0,01 Aотн « 1 /6) при Q = 0,40.
Особенности примера: у (х) и / (х) — гладкие функции, ядро (разностное)
гладкое, но очень широкое (его эффективная ширина на полпорядка больше
эффективной ширины искомой функции), мало отличающееся (после нор-
нормировки и сдвига переменной) от f(x)> поэтому f (х) значительно шире,
чем у(х) (функция у (х) выглядит, как узкий всплеск на фоне f{x)). Указан-
Указанные особенности предъявляют повышенные требования к решению примера.
Данный пример составлен на основе примеров из задачи редукции
профилей линии 21 см межзвездного водорода в галактиках за остаточные
скорости его частиц (см. п 4.2).
На рис. 37—45 приведены результаты расчета примера 4.5 по прог-
программам tikh 1, tikh2, conv\% conv2, fried 1, fried2, TIKH1, TIKH2, CONV1,
CONV2, FRIED1, FRIED2
4.7. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛАВРЕНТЬЕВА
Метод а-регуляризации Лаврентьева. В данном методе [294, 384—390,
396, 488, 659, 821] (другие его названия: замена уравнения Ау = / близким
ему [659], сведение к уравнению второго рода [294, 396], метод сдвига
по параметру) рассматривается уравнение
Ay = U »./€#. D 310)
где Я — гильбертово пространство. Пусть вместо точных А и f известны
Ли/ такие, что \\А — Л||<|, ||/ — /||<б, т. е. вместо D.310) рассмат*
ривается уравнение
Ау=}, yj?H. D 311)
Пусть, далее, операторы А и А являются линейными вполне непрерывными
самосопряженными положительно определенными. В этом случае, согласно
методу а-регуляризации Лаврентьева, вместо некорректного уравнения
D.311) нужно решать уравнение второго рода
ауа + Ауа=}, D.312)
где а>0 — малый параметр. Решение уравнения D.312)
АГ1} D.313)
существует, является единственным и устойчивым. Кроме того, как пока-
показано в [294 63], || г/» — у\\->0 при б, | ->0 и а (б, ?) таком, что
F + ?)/a(8f g)-*0, D.314)
где у — точное (нормальное) решение уравнения D.310), т. е. алгоритм,
даваемый уравнением D.312) при выполнении асимптотики D.314), является
регуляризирующим.
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода
(х, s)y(s)ds= /(*), a<*<&, D.315)
и его практическому варианту
ь
Ау~\ К (х, s) у (s) ds = } (*), а < х < Ьу D.316)
а
с симметричными положительно определенными /.2~ядрами /((х, s) и ^(л:, s)
19 5-101 3 289
метод а-регуляризации Лаврентьева заключается в решении следующего
уравнения Фредгольма II рода:
\ К(х, s)ya(s)ds = J(x)9 а<х<:Ь. D.317)
а
Данное уравнение можно решать методахми, изложенными в гл. 3.
Корректность задачи решения уравнения D.312) или D.317) можно
объяснить следующим образом. Оператор А (а также Л) в силу его сим-
симметричности и положительной определенности имеет лишь вещественные
неотрицательные собственные значения Ki9 /=1, 2, . .. , причем A,mln =*
= min h = 0, в результате чего
i
\\А-Ц\ = ~ = оо,
Amin
т. е. оператор А (и А) является необратимым. Добавление же слагаемого
осуа в D.312) сдвигает весь спектр собственных значений на величину
а > 0, вследствие чего
|| (аЕ + АУ || = 1
и обратный оператор уравнения D.312) (и D.317)) становится ограниченным,
а решение уа — устойчивым.
Замечание 1. При практической реализации метода решения урав-
уравнения D.317) следует обращать внимание на то, чтобы замена интеграль-
интегрального оператора в D.317) на дискретный (как это имеет место, например,
в методе квадратур —см. п. 3.3) не привела к потере свойства симметрич-
симметричности и положительной определенности оператора (ср. D.117) — D.126)).
С этой точки зрения программы frestU frest 2, FREST1, FREST2 (см. пп.
3.3, 5.4, 6.4), предназначенные для решения уравнения Фредгольма II рода
методом квадратур, для решения уравнения D.317) непосредственно не
подходят, так как получающаяся в них матрица данное свойство утрачивает.
Кроме того, эти программы не учитывают специфики ядра уравнения D.317)
(симметричность и положительность), поскольку ориентированы на произ-
произвольные ядра. Поэтому целесообразно разработать специальную программу
для решения уравнения D.317).
Замечание 2. Если А (и А) не является самосопряженным и положи-
положительно определенным оператором, то метод а-регуляризации Лаврентьева
можно применять, если вместо уравнения D.310) рассматривать уравнение
А*Ау = Л*/,
а вместо уравнения D.311) — уравнение
А*Ау = А*]
с самосопряженными положительно определенными операторами Л*Л и А*А
соответственно.
В этом случае метод а-регуляризации Лаврентьева сводится к решению
уравнения D.51) или интегрального уравнения D.68) при # = 0, т. е.
к методу регуляризации 0-го порядка Тихонова.
Рассмотрим далее уравнение Фредгольма I рода типа свертки D.155)
с симметричным положительно определенным ?2-ядром К (х — s) (или
f( (х— s)). Согласно методу а-регуляризации Лаврентьева регуляризованное
решение уравнения D.155) записывается в виде
290
где F(co) и Х(о)) выражаются формулами D.161) и D.162) соответственно,
или (ср. D.165), D.166))
Уа (S) = J Ra{s — X)f (X)
где
Рассмотрим также двухмерное уравнение типа свертки D.251) с сим-
симметричным положительно определенным ядром К(хг—sv х2— s2). Его
решение методом a-регуляризации Лаврентьева имеет вид [623]
Уа (Sl. sj = ifj гёпЙЬг е-<^+^> fib*»* D.318)
— оо —оо
где F(colf со2) и ^(a>lt со2) выражаются формулами D.254) и D.255) соот-
соответственно. В работе [623] приведена численная реализация решения D.318),
использующая многократное применение алгоритма одномерного БПФ.
Решение D.318) можно записать также в виде
У a
00 ОО
a (Sx, 52) = ] j Ra (Sa — Хг, S2 — Х2) f (хг, Х2) dXx
где
1 Г Г
Метод a-регуляризации Лаврентьева изложен применительно к решению
существенно некорректных задач (аналогично методам регуляризации
Тихонова, Денисова, Апарцина и др.). Если же решение ищется на ком-
компакте, то можно применять методы, изложенные в пп.4.9, 4.10. Но можно
воспользоваться и методом a-регуляризации Лаврентьева. При этом приве-
приведенная выше схема метода (см. D.312) — D.317)) сохраняется, но, кроме
того, появляется возможность получения эффективной оценки ошибки
решения и, как следствие, способа выбора а.
Итак, рассмотрим метод a-регуляризации Лаврентьева при условии,
что решение ищется на компактном множестве [294 /55]
MR=^{y: y = Bv, \\v\\<R}9
где В — некоторый линейный вполне непрерывный оператор (в частности,
В = Е)У коммутирующий с А и А (т. е. В А = АВ, ВА = АВ).
В этом случае, как и при решении существенно некорректных задач,
следует решать уравнение D.312) (или D.317)), причем имеет место следую-
следующая оценка погрешности решения снизу и сверху [294 139]:
со(б, #)<||ya— y\\<a>({a + l)\\B\\R, R) + б/а + Ц\ В || R/a. D.319)
Здесь со (т, R) — модуль непрерывности в нуле обратного оператора А
на компакте, равный [294 113]
со (т, R) = sup { || у || : || Ау \\ < т), со (О, R) = 0. D.320)
В частном случае, когда [386, 388, 488]
М = {у: y=Bv9 ||t; ||= 1}, D.321)
причем || В || < 1, | = 0, В А = АВ, имеет место следующая оценка ошибки
решения:
со F) < || уа — У || < со (а) + б/а, D.322)
19* 291
где
<o(T) = sup{||y||: \\Ау\\<т), ю@) = 0, D.323)
у€м '
— непрерывная неубывающая функция, аналогичная со(т, R) при MR = М.
При этом со (т) < щ (т), где
о, (т) = sup {|| уг — у21|: || Ауг — Ау2 || < т}, сох @) = 0, D.324)
со,
— функция корректности, или модуль непрерывности обратного оператора,
в случае MR обозначаемый через сох (т, R) [294 114]. При этом со(т, R) <
< сог (т, R), со (т, R) = % Bт, R)/2 = со, (т, R/2).
Минимизируя правую часть D.319) или D 322) по а, получим способ
выбора параметра а (дающий РА, поскольку при этом \\уа — #||-*0 при
б, ?->0)
В п. 4.9 изложен один из способов определения функции со(т, R).
Дальнейшее развитие подход М. М. Лаврентьева нашел в методах
квазирешений Иванова (п. 4.10) и регуляризации Тихонова (пп. 4.3, 4.4),
Метод итераций Лаврентьева [386, 388, 396, 488]. Рассмотрим урав-
уравнения D.310) и D.3П), причем, как и в предыдущем методе, будем пола-
полагать, что А = Л*, А = А*, А > 0, А > 0. Пусть, кроме того, || А \\ < 1
и ||Л||<:1. В этом случае предлагается следующая итерационная схема
(метод итераций Лаврентьева)
Ут = Ут_х + }- \ут1и /и = 1, 2, . . . ) D*325)
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода D.316)
схема D.325) имеет вид
1 D.326)
, s)ym_l(s)ds, m= 1,2, ... ;
Данная итерационная схема может быть сопоставлена с 1-м вариантом
метода итераций Фридмана (п. 4.5) при v= 1 (см. D.269), D.270)), и все
изложенное применительно к 1-му варианту метода Фридмана справедливо
(при v = 1) для метода итераций Лаврентьева.
Если же при этом решение ищется на компакте D.321), причем ||5||<!
< 1, | = 0, ВА = АВ, то
(^) D.327)
Оценка D.327) дает возможность построить эффективный способ вы-
выбора числа итераций. Число итераций т = М = М (б) (играющее роль
параметра регуляризации) следует положить таким, чтобы
со (—^) + т8 = min. D.328)
Способ D.328) порождает РА, поскольку Цулкб) — */||->0 при 8->0.
4.3. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ И ГЕНЕРАТОР РА БАКУШИНСКОГО
Метод сс-регуляризаоии (РА «погружения») Бакушинского [41, 58]. В этом
методе рассматривается некорректное уравнение
Ay = f> У./еЯ, D.329)
где А — линейный, вполне непрерывный, самосопряженный (не обязательно
положительный) оператор, а гильбертово пространство Н полагается комп-
комплексным. Если же уравнение D.329) действительно, то оно рассматривается
292
в комплексном расширении первоначального (вещественного) пространства.
В данном методе вместо уравнения D.329) предлагается решать уравнение
+ Aya=f, D.330)
где а — вещественное число любого знака. Решение уравнения D.330) суще-
существует, оно единственно и устойчиво. При этом если / задана с погрешно-
погрешностью: \\~f- /|| < 6, то II Уа — у\\-*-0 при б ->0 и а (б) таком, что 6/аF)->0,
где у — точное (нормальное) решение уравнения D.329). Если Л задан с по-
погрешностью |j А — Л||<?, то \\уа— у|!->0 при |->0 и a(Q таком, что
Е/а (?)->¦ 0.
Таким образом, уравнение D.330) порождает РА.
Корректность задачи решения уравнения D.330) можно объяснить следую-
следующим образом. Оператор А (а также Л, который тоже должен быть самосо-
самосопряженным) имеет лишь вещественные собственные значения любого знака
%h 1=1,2, ... , причем |^|min =min| Xi\ = 0, в результате чего
i
т. е. оператор А (и А) является необратимым. Добавление же слагаемого
ш/авD.330) переводит вещественные Х{ в комплексные, поднимая (при а > 0)
или опуская (приа<0), другими словами, «погружая» весь спектр собствен-
собственных значений на величину |а! вдоль мнимой оси. Вследствие этого
||(*а + Л)-Ч|= ~
и обратный оператор уравнения D.330) становится ограниченным, а решение
{/а — УСТОЙЧИВЫМ.
Формально решение уравнения D.330) имеет вид
ya=(ia + A)-1 /. D.331)
Однако получаемое комплексное решение необходимо «вернуть» в вещес-
вещественное пространство. Это может быть выполнено двумя способами.
1-й способ. Берется вещественная часть Re ya решения:
Re уа = Re [(fa + Л) /]. D.332)
Это можно выполнить и иначе, а именно путем записи уравнения D.330)
по аналогии с решением комплексной СЛАУ, например, в виде
А \-аЕ
—а? | —Л
Ret/a
1тг/а
—
/
0
D.333)
После получения решения D.333) относительно (Re ya, Im ya) нужно исполь-
использовать лишь Re ya.
2-й способ. Применяя к обеим частям D.330) оператор (—ia + A) и
оставляя лишь вещественное слагаемое в получающейся правой части, по-
получим
(a*E + A*)ya = Af, D.334)
откуда
Уа - Re ya = (а*Е + Л2) Л/, D.335)
где Л2 = А^А = АА.
В конечном итоге оба способа дают одинаковые вещественные решения
Re Уа-
Применительно к действительному интегральному уравнению Фредголь-
ма I рода
ь
Ау~\К(х, s)y(s)ds=f{x), a<x<b, D.336)
а
293
с симметричным (не обязательно положительно определенным) ядром К (х, s)
(а также К(х, s)) метод а-регуляризации (или РА «погружения») Баку-
шинского заключается в решении следующего комплексного уравнения
Фредгольма II рода:
ь
iaya (х) + J К (х, s) уа (s)ds= f(x), a < х <: Ь, D.337)
с последующим «возвращением» решения уа (х) в вещественное пространство,
В 1-м способе применительно к уравнению D.336) сначала решается ком-
комплексное уравнение D.337), затем берется Reya(s). Если уравнение D.337)
решать методом квадратур (см. п. 3.3), то получающуюся комплексную
СЛАУ можно решать непосредственно или по схеме D.333).
Во 2-м способе применительно к уравнению D.336) решается веществен-
вещественное интегральное уравнение (типа D.334))
b
а2У* (t) + J R (/, s) уa (s) ds^F (/), a < / < 6, D.338)
a
где
b
R (t, s) = R (s, t) = J K(x, t)K(x, s)dx, D.339)
, t)f(x)dx, D.340)
a
b
решение которого у{а = Reya(s).
Параметр а в данном методе может быть выбран способом невязки. Со-
Согласно этому способу [58] значение а выбирается таким, что (при ? = 0)
\\AReya—}\\ = C&-*9 D.341)
где С>0 (например, С=1— ср. D.90)), 0<е<1. Если ||/||> б, то урав-
уравнение D.341) имеет (единственное) решение относительно а = а(б), причем
|| Re г/oj—yli-э-О при 8->0, т. е. способ невязки в виде D.341) порождает
РА.
Обобщение Бакушинского итерационной схемы Фридмана [58]. 1-й вари-
вариант. Рассматривается операторное уравнение D.268) с самосопряженным
положительным оператором А. В этом случае вместо итерационной после-
последовательности Фридмана D.269) при у0 = v/ предлагается более быстро
сходящаяся последовательность
D.342)
г)*], /п=1,2, ... ,
Ут= Bmf, m = 0, I, 2, ... ,
где r^l, a v определяется по D.270).
Особенность схемы D.342) состоит в том, что т-я итерация в ней экви-
эквивалентна ((г + 1)т—1)~й итерации схемы D.269) (при yo = vf).
2-й вариант. Рассматривается уравнение D.268) с произвольным Л.
В этом случае вместо итерационной последовательности D.275) приг/0 =
~ vA*f предлагается более «быстрая» последовательность:
Во = vE,
Вт = Вт-х [E + t(E — А'АВп-г)'], т = 1, 2, ... ,' D'343)
ym = BmA*f, m = 0, 1,2, ...
Как и в 1-м варианте, m-я итерация процесса D.343) эквивалентна ((г + \)т —
— 1)-й итерации процесса D.275) (при yQ = vA*f).
Если рассматривать интегральные уравнения D.273) A-й вариант) или
D.276) B-й вариант), то применение обобщенной итерационной схемы для
их решения сведется к использованию схемы D.342) или D.343), где А и
Вт — матрицы, причем А — матрица, полученная в результате дискретиза-
дискретизации (например, алгебраизации) оператора А. При этом матрица А*А может
быть аппроксимирована матрицей G (см. D.122)).
Способы (правила) выбора числа итераций, или правил останова процес-
процессов D.342) или D.343), аналогичны изложенным в п. 4.5 применительно к
методу итераций Фридмана (остановы по невязке или по поправке).
Метод итераций с усреднением Бакушинского — Страхова [59]. В данном
методе рассматривается некорректное уравнение
Ау = / D.344)
с произвольным линейным оператором Л, действующим в некотором реф-
рефлексивном гильбертовом пространстве Н и удовлетворяющим условиям
Рассматривается последовательность
ЙГТт*. /я = 0, 1,2, ... , D.345)
fe=0
где tjk определяются следующими итерациями:
yk = yk_l + f-Ayk-.u k= 1,2, ...
Как показано в [59] (см. также [294 94 — 95]), последовательность D.345)
сильно сходится к одному из решений у уравнения D.344) (в зависимости
от у0) при 6= Е=0, т. е.
lira || ~ут— y!J§==E==sO = O.
Если же б Ф 0 (а | = 0), то
\\Ут — у§ < \\Ут — У 118=5*0 + ^8.
При т = т (б) таком, что
^6^0 при б^>0, D.347)
имеем
!!^т-у||->о при б-*о,
т. е. схема D.345) — D.346) при выполнении асимптотики D.347) порожда-
порождает РА.
При этом вместо D.346) можно рассматривать более общую последова-
последовательность
Ste = jte-i + v(/ — Ayk-.x)9 0<v<l, &=1,2, ... D.348)
Если же рассматривать интегральное уравнение первого рода
ъ
J К (#, s)y(s)ds= f(x), a < х < b, D.344')
a
295
?=0
то последовательности D.345), D.346), D.348) запишутся в виде
Ук(х), а< х <: Ь, /и = 0, 1, 2, ... , D.345')
ук (х) = #*_, (х) + / (х) — J К (х, s) yk-i (s) ds, k = 1, 2, ... , ^ D'
C
уо(х)?Н, а < х < 6,
УИД0 = Jte~i (*) +v [/(*)— "J/C(^ s)^-i(s)ds], 0<v< 1, ft= 1,2, ...
D.348')
Способ получения решения согласно D.345) (или D.345')) по форме весь-
весьма напоминает регулярные методы средних арифметических частичных сумм
Фробениуса — Чезаро [694] и Фейера [397, 708], применяемые для сумми-
суммирования сходящихся с осцилляциями или расходящихся рядов Фурье.
Пример уравнения, при решении которого по схеме D.346) (или D.346'))
можно использовать последовательность D.345) (или D.345')), — уравнение
Пуассона [59, 388]
задачи об аналитическом продолжении в нижнюю полуплоскость (на уро-
уровень y = —h) [396].
Комплексный итерационный алгоритм Бакушинского [58]. Как и в РА
«погружения», рассматривается уравнение D.329) с самосопряженным (не
обязательно положительным) оператором А в комплексном гильбертовом
пространстве. Предлагается итеративный процесс
у°т = (Е + ivA) (ут-г + ivf), v > 0, т = 1, 2, ... J ^
При этом в качестве решения берется Reym. При отсутствии ошибок схе-
схема D.349) дает сходимость к точному (нормальному) решению. Если же
б Ф 0 (а ? == 0), то процесс D.349) нужно останавливать при таком числе
итераций m==mF), для которого впервые
f D.350)
где С>0, 0<е<1/2 — постоянные (способ невязки). Если j|/|| ^6, то не-
неравенство D.350) имеет решение относительно т== т (б), причем || Re ут(Ь)\\ ~^ О
при 6-^0, т. е. способ невязки в форме D.350) порождает РА.
Применительно к действительному интегральному уравнению D.336) с
симметричным (не обязательно положительно определенным) ядром К (х9 s)
(а также К^> $)) комплексный итерационный алгоритм заключается в оп-
определении Re ym (х), где ут (х) находится путем решения комплексного инте-
интегрального уравнения Фредгольма II рода
Ут(х)
К (X, S) ym (S) dS = ут^х (х) + IV
Ш = 1, 2,
D.351)
причем i/0(x) = 0, v > 0.
Если уравнение D.351) решать методом квадратур (см. п. 3.3), то полу-
получающуюся комплексную СЛАУ можно решать непосредственно (используя
комплексную арифметику на ФОРТРАНе или другом языке, имеющем тако
2%
вую), а можно решать, приведя ее к вещественной форме, например (ср.
D.333)),
vA
хА
lmym-\+ v/
Re ут-\
и используя после решения лишь Reym.
Метод итераций Морозова—Бакушинского—Крянева. Метод формулиру-
формулируется в двух вариантах.
1-й вариант. Рассматривается уравнение D.268) с самосопряженным
положительным оператором А: Я1~>Н2 и итерационная последовательность
(итерационный процесс «б» при L = E(B = A) в работе [482] или 3-й при-
пример РА в работе [48]):
ИЛИ
ИЛИ
где
„_i +v(/— Аут), m = 1, 2, .
Ут + vAym = (/,„_] + V/, m = 1, 2,
J/m = (^ + уЛ) (t/m_i + v/), m = 1, 2,
v>0.
D.352)
D 353)
D.354)
D.355)
В работах [373, 374] рассматривается последовательность A-я итерацион-
итерационная схема), равнозначная D.353) при v= 1/s,
= е>Ут-\ + f>
0, /п = 1, 2, ... ,
или
ЛГ1 (ej^-f/), е>0, т=1,2, ... ,
а также более общая последовательность B-я итерационная схема)
или
= 1,2, ... ,
D 356)
D.357)
D.358)
D.359)
где В: Н1->Н2 — некоторый линейный, самосопряженный, положительный
оператор При В = е? последовательность D.359) переходит в D.357).
Обе последовательности (D.352)— D.357) и D.358), D.359)) при точных
/ и А дают сходимость к решению у уравнения D.268), если оно сущест-
существует и единственно, т. е. limj|ут — у\\ = 0 (независимо от у0). Если D.268)
т-*-оо
имеет несколько решений, то при различных у0 последовательности {ут}
сходятся, вообще говоря, к различным решениям. Если же из всех решений
рассматривать нормальное решение, то к нему последовательность {ут} сой-
сойдется при у0 = 0.
Если же / и А известны с ошибками:
Ц/-/1! <б, \\А — А\\<М69
то для процесса D.358), D.359) имеет место оценка [373, 374]
!! Ут — у || < М0(т) + 6 (^~j I! В-11| [MNoq + MN\\ B^W + 1 + 0F)],
где q= \\(В + А)~гВ\\^ 1, No > 0— постоянная, не зависящая от т, такая,
что \\ym\\^.N0 для всех m, 0<M0(m)->0 прит-voo, 0 <: 0F) <: С0б, где
Со не зависит от б, !l/!|<yV, j| ^~х ДЛ|| < 1, где АЛ = А —А. Чтобы по-
лучить аналогичную оценку \\ут — у\\ для процесса D.352) —D.357), нуж-
нужно В заменить на е = 1/v.
297
Отсюда следует, что при 6^0 итерации расходятся, однако если ограни-
ограничить число итераций, то
при т = т(б) таком, что
6(<т*<»> — 1)->0 при 6-vO, D.360)
т. е. процессы D.352) —D.357) и D.358), D.359) при выполнении асимпто-
асимптотики D.360) порождают РА.
Интересно сравнить последовательность D.269) метода итераций Фридма-
Фридмана и последовательность D.352) данного метода. Они отличаются лишь но-
номером итерации у слагаемого Ау. Однако этого отличия оказалось доста-
достаточно для того, чтобы последовательность D.352) сходилась (в случае 6 = 0)
при менее жестких ограничениях на величину v (см. D.355)), чем в методе
Фридмана (см. D.270)), правда, это привело к усложнению способа нахож-
нахождения ут (ср. D.354) и D.269)).
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода D.273) с
симметричным положительно определенным ?2-ядром К{х, s) схема ите-
итераций, например D.356), заключается в решении (при каждом т) уравнения
Фредгольма II рода
К(х, s)ym(s)ds = eym_l (х) + /(*), а < * < &, т= 1, 2, ...,
D.361)
относительно ут(х), причем yo(s)?L2[a, b], е > 0.
2-й вариант. Если в уравнении D.268) А: Я3~>Я2 — произвольный
оператор, то нужно рассматривать итерационные последовательности
Уо?Н1> ъут + А*Аут = ъут-\Л-А*1, в > 0, /и = 1, 2, ... , D.356')
0o€#i, ут = (гЕ + А*АГ1(гут„1 + А*П, е > 0, т= 1, 2, ... ,D.357')
Уо€#1. (В + А*А)ут = Вут_г + A*f, Я>0, т= 1, 2, ... , D.358')
Уо №. Ут = (В + А*А)-1(Вут_1 + Л*/), 5>0, т=1, 2, ...D.359')
При этом в качестве оператора В (как и в 1-м варианте) можно исполь-
использовать вС, где С — оператор в методе регуляризации Тихонова (см. D.49),
D.68), D.121)).
Применительно к интегральному уравнению D.276) с произвольным
12~ядром К(х, s) схемы итераций D.356') и D.358'), объединенные в одну
путем замены В на еС, заключаются в решении (при каждом т) интегро
дифференциального уравнения второго рода
ь
е \Ут @ — qy~m (*)] + $Я(*, s) ym (s) ds = 8 [ут_г (t) — qy'm_x (t)] +
а
+ F(t), a<t<b, m=\,2, ..., D-361')
где yo(s)?Lt[a, b], e>0, q > 0, ym (a) = ym (b) = 0, a R (t, s) и F(t) вы-
выражаются формулами D.279) и D.278) соответственно.
В работах [673, 674] рассмотрено обобщение схем D.357') и D.359')
в виде
Уо = 0, у„ = (г^Е + А*АГ1(гт_1ут_1 + А*П, т = 1, 2, .. . , D.357")
Em-i= II А*Аут_х - Л*/1|2/|1 Аут_х - /1|», ?„_! > Т (б) > 0,
*/), т = 1, 2, . .. , D.359")
.1-/Н1. ёт.1>?(б)>0,
? (б),
где ^F), Чг@) = 0 — некоторая заданная функция (порог), a L — линей-
линейный самосопряженный положительный оператор.
298
Если L~C, то схемы D.357") и D.359") применительно к интеграль-
интегральному уравнению D.276) заключаются в решении (при каждом т) уравнения
ь
Sm-l 1Ут @ ~ ЯУт @1 + J * С S) Ут (*) ^ = Ът_г [Ут_г (t) - qy"m^ (*)] +
+ F(t), a^t^b. D.361")
В работе [672] схема D.357") представлена в равнозначном виде
D.357'")
Согласно [447] итерационные процессы (схемы, методы) D.352) —
D.354), D.356)—D.359), D.361), D.356') _ D.359'), D.36Г) являются
стационарными, а процессы D.357"), D.359"), D.361"), D.357") — неста-
нестационарными.
Генератор РА Бакушинского. В работе [43] предложен, а в работах
[46, 48, 50, 53, 56, 58] развит общий прием конструирования РА для ре-
решения некорректных задач в гильбертовом пространстве— так называе-
называемый генератор РА Бакушинского, из которого можно получить большин-
большинство существующих (и пока не существующих) РА для линейных уравнений
(методы а-регуляризации Тихонова, Лаврентьева, Бакушинского, итеративной
регуляризации Фридмана и т. д.), а также многие из РА для нелинейных
уравнений.
Рассматривается уравнение
Ay = U y?Hv /g#2, D.362)
где Л— линейный, ограниченный, непрерывно необратимый оператор,
действующий из вещественного или комплексного гильбертова простран-
пространства Нг в аналогичное пространство Я2. Пусть вместо f известна f такая,
что || f— /1| < б. Требуется по / и 6 приближенно восстановить нормаль-
нормальное решение у уравнения D.362). Фундаментальная идея регуляризации
состоит в том (ср. п. 4.3), что для решения этой задачи следует постро-
построить семейство операторов R& таких, что
lim sup \\Rdf — у || = 0.
б° 7
При этом в качестве решения принимается ]
Общий прием конструирования РА (генератор РА) состоит в построе-
построении аппроксимирующего семейства линейных ограниченных операторов Ra,
обладающих свойством
lim RaAy = у, У^Н1У D.363)
где у — часть у, ортогональная кегЛ.
Если выбрать функцию а(8), а(8)->0 при б->-0 такую, что
Нт||#а(в,||6 = 0э
6-0
то операторы Rd = RaF) образуют РА для задачи D.362).
Решение записывается в виде
У у, =
Рассматриваются два случая. 1-й случай. Н1= Н2 и А — самосопря-
самосопряженный положительный оператор. Семейство Ra записывается в виде
Ra = W(A, a),
где *Р(Л, а)—ограниченная операторная функция.
2-й случай. А — произвольный оператор. В этом случае
, а) Л*.
299
Замечание. Если А — самосопряженный, но не обязательно поло-
положительный оператор, то РА можно строить согласно 2-му случаю, а мож-
можно строить и согласно 1-му случаю с возможным комплексным расшире-
расширением первоначального вещественного пространства и последующим «воз-
«возвращением» решения в вещественное пространство (как это сделано, например,
в РА «погружения» и в комплексном итерационном алгоритме Бакушинского;
см. также дальше пример 4.11).
В обоих случаях операторной функции 4х (Л, а) сопоставляется функция
ур(Х, а), получаемая из W(A. а) путем формальной замены А на X, где
i — спектральный параметр.
Рассмотрим свойства функции я|), обеспечивающие выполнение соотно-
соотношения D.363), т. е. порождающие РА [43, 50, 53].
1-й случай. Вводится ограниченная функция ф (Я,, а), а>0, X^S(A)
(спектр А), измеримая относительно спектрального семейства {Е^} опера-
оператора А и обладающая свойствами:
1) sup ^JL^h==Ka<OOy аф0,
Х? S(A)
2) lim ф(Ь, а)= 1, ф@, а) =
«-•-0,
Х
причем сходимость равномерная лля всех к?(с, оо) f) 5 (Л), где
сколь угодно малое число. В результате
Ф
, \К\<Ка, Я =
Если lim /Са6 = 0, то lim \\уа— у\\ = 0.
а 60 6О
а,
Имеют место соотношения
, ОЬ) || = /Са, \\~Уа — У\\<\\Уа—у\\+Ка&. D.364)
2-й случай. Вводится ограниченная функция ф(А,, a), a>0, k?
? S (А*А) со свойствами:
sup
2) lim ф(?с, а)= 1, ф@, а) = 0, а>0.
КфО
Функция яр записывается в виде
Если lim Яаб==0, то lim ||«а — у\\ = 0.
а, 6-0 a, Sh-0
Справедливы соотношения
II W(А*А, а) А* || = Ка% \\~уа — у\\<- \\Уа — у\\ + Ка8. D.365)
Из D.364) и D.365) видно, что число Ка (и Д'а) играет роль «коэффи-
«коэффициента усиления» ошибок в решении уа по отношению к породившим их
ошибкам в /. Поэтому Ка (и Ка) называется показателем, или коэффи-
коэффициентом, корректности РА.
Приведем некоторые примеры РА, получаемые согласно изложенной
общей схеме.
Пример 4.6 [43, 48]. Пусть
300
В 1-м случае такая функция г?> соответствует методу а-регуляризации
Лаврентьева (см. D.313)), при этом Ка— 1/а; во 2-м случае — методу а-
регуляризации 0-го порядка Тихонова (см. D.52)), при этом Ка < 1/21/а.
Пример 4.7 [43, 48, 58]. Пусть
——г~^—» ^ ^°»
= О,
где 0<v<_2/|| Л ||, Ka=v/a = vm в 1-м случае и 0< v < 2/|| ЛМ||,
#а = О {l/Va) = О (Vm) во 2-м случае. Здесь 1/а = т = 1, 2, ... — це-
целое число (номер итерации). В 1-м случае ур(Х, а) соответствует 1-му
варианту метода итеративной регуляризации Фридмана (см. D.271)), а во
2-м случае — 2-му варианту этого метода (см. D.275)).
Пример 4.8 [58].
где г>1, a v, Ка и /Са — такие, как в примере 4.7. Здесь 1/а = (г +
_|_ i)m — целое число (т= 1, 2, . ..). В 1-м случае г|)(^, а) соответствует
1-му варианту обобщения итерационной схемы Фридмана (см. D.342)),
а во 2-м случае—его 2-му варианту (см. D.343)).
Пример 4.9 [48].
г 1 1 а, =?. о
oj) (А,, а) = | ^ А, A + vA,)m ' '
[vm, А, = О,
где v>0, причем Ка = v/а = vm, /Ca = О (l/)/a) = О {Vm). Здесь 1/а ==
= /п= 1, 2, ... —номер итерации. В 1-м случае данная \|э(А,э а) соответ-
соответствует 1-му варианту метода итераций Морозова при у0 = 0 (см. D.354)),
а во 2-м случае —2-му варианту этого метода (см. D.357')) при 8= 1/v.
В следующих двух примерах пространство Нг = #2 = Н полагается
комплексным, а оператор А — самосопряженным (не обязательно положи-
положительным). РА строятся согласно 1-му случаю с «возвращением» получае-
получаемого комплексного решения в вещественное пространство.
Пример 4.10. [58].
D.366^
1, а)/];
2) ty(k, а) = (а2 + Х2)'^, D.3662)
yaE=Reya = Raf = ^(A, a)/.
Функция D.366Х) соответствует 1-му способу РА «погружения» Баку-
шинского(см. D.332)), а функция D.3662)—2-му способу этого РА (см. D.335)).
Пример 4.11 [58].
a = /?J = *(A a)/,
где v>0. Здесь l/a = m=l, 2, ... — номер итерации. Такая i|)(A,, a)
соответствует комплексному итерационному алгоритму Бакушинского
(см. D.349)).
4.9. РЕШЕНИЕ НА КОМПАКТЕ
Существо алгоритма. Как уже отмечалось (см. п. 4.3), возможность
построения устойчивых приближенных решений некорректных задач осно-
основывается на использовании априорной (дополнительной) информации о ре-
301
шении. В пп. 4.3,4.4 и др. был рассмотрен случай решения существенно
некорректных задач, для решения которых были использованы мето-
методы, основывающиеся на использовании качественной информации о решении,
а именно информации о гладкости решения.
В данном (и следующем) пункте рассматривается случай, когда име-
имеется количественная информация о решении, а именно информация, позво-
позволяющая сузить класс возможных решений до компактного множества
(компакта).
Рассмотрим уравнение
Ay = f, y?Y, f?F, D.367)
где Y и F—некоторые метрические пространства, а А — непрерывный (не
обязательно линейный) оператор. Пусть задача решения D.367) является
корректной по Тихонову (см. п. 4.3), для чего в пространстве Y выде-
выделено некоторое подпространство MgF, являющееся множеством кор-
корректности (на котором решение существует, является единственным и ус-
устойчивым). Полагаем, что М является компактом, а / и А заданы точно.
В этом случае справедлива [648] (см. также [206 97, 396 31, 659 39—40])
следующая теорема.
Теорема 1 (Тихонова). Если отображение М-+-АМ множествам^
^Y на множество AM s F (образ множества М) взаимно однозначно
и непрерывно и М является компактом, то обратное отображение AM ->
-*М также непрерывно, т. е. на множестве AM ^ F оператор, обратный
к А, непрерывен.
Пусть, далее, все условия теоремы 1 выполнены и известно, что
точное решение уравнения D.367) у?М% но вместо / известна / такая,
что pF(/» /) < б, причем f?AM. В этом случае рассмотрим (непустое)
множество
Уъ={у* У$М, pF(Ay, /)<6}. D.368)
Тогда непрерывность обратного отображения нужно понимать в сле-
следующем смысле [648], формулируемом в виде следующей теоремы [206 98]t
Теорема 2. Для любого е>0 существует 60(е)>0 такое, что
pY(y, у)<.г для всех у ^Y^1 (где у—точное решение), как только 6<60(б).
Из теорем 1 и 2 следует, что, во-первых, поиск решения на компакте
дает устойчивый алгоритм, а, во-вторых, в качестве приближенного ре-
решения некорректной задачи с приближенной правой частью J$AM сле-
следует принять любой элемент y^Yg1. При этом limpK(#, у) = 0.
S-+-0
В [206 ГО] дано обобщение алгоритма на случай, когда и оператор А
известен с ошибкой. Рассматривается уравнение D.367), где Y и F — не-
некоторые нормированные пространства, а А — линейный оператор. Пусть
известно, что точное решение у принадлежит компакту М ^Y- Пусть
вместо / и А известны соответственно / и А такие, что || / — /||<S,
||^ — А || < ?. В этом случае в качестве приближенного решения уравне-
уравнения D.367) следует принять любой элемент y^Y^b гДе
Yk, = {у:~у?М9 || Ay—J\\F <6 + l\\y0 ||у}, D.369)
гДе II #о Ik = max || г/ ||у< оо. При этом справедлива теорема.
Теорема 3. Для любого г>0 существуют такие б0 (е)>0 и
>0, что\\у — у\\у<г для всех у?У%ь как только 6<60(е), ?<?0(е).
При этом lim \\у — у\\у = 0.
Рассмотрим интегральное уравнение
ь
J К (х, s) у (s) ds = / (*), с < х < А D.370)
где f{x)?L2[c, d].
302
Применительно к нему метод отыскания решения на компакте заклю-
заключается в минимизации функционала невязки (ср. D.87))
й b
§Ш = \[\К(.х, s)y(s)ds—j(x)]2dx D.371)
с а
на функциях г/ЕУбл или y^Y™ (если g = 0), где М—некоторый компакт,
задаваемый (исходя из физических предпосылок задачи) в виде системы
ограничений типа неравенств и равенств (ср. D 149), D.150))»
Рассмотрим это на конкретных примерах некоторых компактов.
1-й пример компакта [196, 206, 207, 400, 659, 727, 857]. Пусть
априори (из физических соображений) известно, что множество искомых
функций у есть множество М монотонных (для определенности невозрас-
тающих) ограниченных снизу и сверху константами Сг и С2 функций. Та-
Такими свойствами обладают, например, функции /?(|) и 1СA) в задаче
интерпретации кривых блеска затменных звездных систем (см. D.27)).
Пусть известно, что точное решение y?M?L2 Произведем дискре-
дискретизацию уравнения D,370), использовав формулу трапеций и неравномер-
неравномерные лг-сетку D.115) и s-сетку узлов D.116). В результате задача условной
минимизации функционала D.371) запишется (при g = 0) в виде (ср. D.127))
Р 1У» • • • . Уп\ s S Pi [S rjKijyj - А]2 < б2 D.372)
1 /1
(/?;, г/ выражаются формулами D.119)) с добавлением ограничений в виде
неравенств
у,+х-у,<0,1=1, .... л—1.
Задача численной минимизации функционала $[у1$ ..., уп) (точнее,
доведения его значения до б2 или меньшего значения) при наличии огра-
ограничений D.373) может быть выполнена различными методами условной
минимизации (методами штрафных функций, проекции градиента, услов-
условного градиента и т. д.) [39, 114, 116, 206, 228, 231, 324, 535, 560, 685,
709]. В [728] приведена программа на ФОРТРАНе, реализующая метод
условного градиента применительно к данной задаче.
2-й пример компакта [294 22, 296, 388]. Вводится некоторый
линейный вполне непрерывный оператор В, коммутирующий с Л, и в ка-
качестве компакта принимается множество
MR = {у: у = Bv9 || v || < #}, D.374)
где заданное число R называется радиусом компакта. Применительно
к интегральному уравнению D.370) с непрерывным симметричным ядром
К(х, s) и а = ct b= d это означает, что решение ищется в виде
ь
В(х, s)v(s)ds> х?[а, 6],
где В(х, s) — заданная непрерывная симметричная функция, v(s) — иско-
искомая функция, причем
ъ
l2{s)ds<R2. D.375)
а
При В = А
ь
у(х) = J К(х, s)v(s)ds, x?\a, b]
а
(истокообразная представимость решения) с учетом условия D.375). В этом
303
случае, как показано в [295], справедлива следующая формула для модуля
непрерывности в нуле обратного оператора на кохмпакте:
со(т, /?)= V7R,
дающая способ определения со(т, R) (в работах [235, 350, 367, 368, 789]
рассмотрены другие способы определения со(т, /?)). Справедлива также
оценка ошибки решения, порожденная ошибкой б правой части /,
\\У —
Численно отыскание решения у = (уг> . .. , уп) на компакте MR (вслу-
чае Л* = Л, В* = В) сводится к минимизации по v=(vl9 ... , vn) функ-
функционала
Р [*i. ....tiJsSp, [? г,/С/,у/ - ft]* < б2,
1=1 /=1
где t/j = S r/Bi/Vf, i= 1, л, при ограничении || у ||2 == 2
/=1 /==1
При В=Е компакт MR записывается в виде
= {y: \\y\\<R}9 D.376)
т. е. минимизируется функционал D.371) (с доведением его значения до
б2 или меньше) при наличии ограничения
Численно это сведется к минимизации по у = (у19 .. . , уп) функционала
D.372) при ограничении
MI2-t O^<:/?2. D.377)
3-й пример компакта [206 109, 396 33, 659 55]. Во многих фи-
физических задачах (например, в задаче интерпретации геофизических данных
[396]) решение y(s) представляется в виде следующей параметрической
модели:
= I Cwcpw(s), D.378)
где cpm(s) — заданные (на основе физических соображений) линейно неза-
независимые функции, Af — конечное число, Ст — неизвестные (искомые) кон-
константы. Задача сводится к отысканию таких С19 ... , CN, при которых
функционал
P(Clf ..., CN) = \\Ay—~f\\\ = min
на множестве функций D.378). Если числа С1э . . . , См ограничены, т. е.
\Ст\<.А, т== 1, ..., Ny то множество функций, представимых в виде
N
D.378), является компактом М, а решение #*(s)= Ц с*Фт(*)> г^е Р(СГ»
..., Cn)= inf P(Cj, ... , С^) — квазирешением на М. При этом ||#* —
у ПРИ S->0.
Данный прием называется методом подбора. Заметим, что идея поня-
понятия корректности по Тихонову была высказана [388] именно с целью
обоснования метода подбора.
Метод подбора тесно примыкает к методу квазирешений (см. п. 4.10).
В работе [167] дано обобщение принципа Тихонова выделения ком-
компакта. Предлагается в пространстве решений выделять не фиксированный
304
компакт 714, а зависящий от б компакт М6, содержащий точное решенж-
и стягивающийся в точку при 6->0.
В работе [886] (а также [205]) рассмотрены примеры следующих ком-
компактов, представляющих собой множество функций: монотонных выпуклых
ограниченных снизу и сверху, выпуклых ограниченных снизу и сверху,
ограниченной вариации, монотонных неотрицательных, монотонных выпук-
выпуклых неотрицательных, выпуклых неотрицательных и т. п.
410, МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ ИВАНОВА
Формулировка метода [289, 294, 409 — 417, 659]. Рассматривается уравне-
уравнение
Ау= f, y?Yy f?F, D.379)
где У и F— нормированные пространства, А — непрерывный оператор. Пусть
М — заданный компакт в Y. В п. 4.9 изложен метод подбора, дающий ус-
устойчивый алгоритм решения уравнения, когда: 1) решение ищется на ком-
компакте М и 2) f? N — AM. Однако на практике ошибки исходных данных
могут выводить / за пределы множества N, в результате чего на множестве
М уравнение может не иметь классического решения, т. е. inf || Ау — /||>0
при б>0. Кроме того, большие трудности представляет задача отыска-
отыскания точного решения (при точных / и А) с использованием обратного опе-
оператора, т. е. по формуле у = Л/.
Для преодоления указанных трудностей В. К, Иванов [289] ввел по-
понятие квазирешения — обобщение понятия классического решения. Квазире-
Квазирешением уравнения D.379) называется элемент уо?М, минимизирующий
невязку на множестве М
\\Ayo-f\\ = mi ||%-/||. D.380)
Если М — компакт (как это обычно полагается), то квазирешение сущест-
существует для любого f?F, и если, кроме того, /?ЛМ, то квазирешение у0 со-
совпадает с точным (классическим) решением уравнения D.379), т. е. || Ау0 —
— /|| = 0. Квазирешение может быть неединственно. Однако [294 36} если
А — линейный, непрерывный и взаимно однозначный оператор, множество
M<^Y выпукло и компактно, a F строго выпукло, то для любого /?F ква-
квазирешение у0 уравнения D.379) существует, единственно и непрерывно
зависит от /, т. е. выполняются все условия корректности по Тихонову.
Характерные особенности понятия квазирешения: 1) оно примыкает
к понятию псевдорешения (см. п. 4.3), отличаясь от последнего введением
множества М, 2) оно не оперирует обратным оператором Л, 3) в опре-
определении D.380) не заложено конструктивного алгоритма нахождения ква-
квазирешения.
Если / и А заданы с погрешностями: ||/ — /||<б, \\А — А || < |, то
в качестве квазирешения полагается элемент у^М, минимизирующий не-
невязку:
\\Ay-J\\=inffAy-f\\.
При этом [294 67], если у0 единственно, то lim \\y — yo\\=O, т. е. 'у
есть регуляризованное приближение к у0. •
В [294 75—83] рассмотрен вопрос о связи вариационных методов ква-
квазирешений Иванова, регуляризации Тихонова и невязки. В работе [493]
дано обобщение понятия квазирешения Иванова в виде понятия 8-квазире-
шения на случай отличия множества М от компактного.
Существует несколько практических способов отыскания квазиреше-
квазирешений: способ конечношаговой аппроксимации (дискретизации) и способ про-
проекционного типа (см. п. 4.11), являющиеся модификациями способа конеч-
20 5-1018 305
номерной аппроксимации квазирешений, способ, использующий метод соб-
собственных функций (см. п. 4.12), и др.
Конечномерная аппроксимация квазирешений [232, 233, 294, 417, 659].
Пусть выполнены условия существования и единственности квазирешения
у0 на М. Пусть, далее, Мг cz M2 cz • • • cz Мп cz • • • — возрастающая цепочка
оо
компактных замкнутых множеств Мп такая, что (J Мп = УИ*. Обозначим
через 7"я совокупность всех квазирешений на Мп (они могут быть неедин-
неединственны).
В качестве приближения к квазирешению уо?М возьмем любой эле-
элемент уп?Тп. При этом [659 ^7] lim ||уп — у0 \\ = 0.
Итак, квазирешение можно искать не в бесконечномерном пространстве,
а рассматривать приближение к нему в конечномерном пространстве Мп.
При этом независимо от способа отыскания уп?Мп (способа дискретизации,
проекционного типа и т. д.) задача сведется к минимизации функции п пе-
переменных: inf \\Ау — / ||.
Дискретизация метода квазирешений (или его кон&чношаговая реализа-
реализация). Рассмотрим интегральное уравнение
{х, s)y(s)ds = f(x\ f(x)?L2[c, dh c^x^d. D.381)
Произведем его дискретизацию методом квадратур, расписав интеграл в D.381)
по формуле трапеций и использовав неравномерные х-сетку D.115) и s-
сетку узлов D.116). В результате метод квазирешений сведется к задаче
численной условной минимизации по у = (у19 . . . , уп) функции (ср. D.127))
Р 1уи • • ¦ . Уп] = 2 A [S г;КцУ1 ~ 7J2
i /i
(p?t г. выражаются формулами DЛ19)) с добавлением ограничений, поме-
помещающих решение у = (уг, . .. , уп) в компакт Мп, например, типа D.373)
или D.377).
4.11. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ
КВАЗИРЕШЕНИЯ И РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО РЕШЕНИЯ
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение D.379). Проекционный метод
решения данного уравнения заключается в сведении его к приближенному
уравнению [123]
PmAyn = PJ, yn?QnY,
где Qn, Pm — проекционные операторы (проекторы) на конечномерные под-
подпространства УпсК, Fm<^F соответственно. При этом [294] цепочки под-
подпространств Уг cz Y2 cz • • • cz Yn cz • • • cz Yf F1aF2cz--ciFmcz---czF
oo oo
обладают свойством (J Yn = F, (J Fm = F, а последовательности линей-
ныхограниченных операторов {Qn}, {Pm} таковы, что для любых у? Yt f?F
справедливо: Qny -+yf PJ-+f и \\Qn\\ < I, \\Pm\\< I.
Для обеспечения устойчивости проекционный метод используется в со-
сочетании с методом квазирешений или регуляризации (а также невязки).
Проекционная реализация метода квазирешений Иванова записывается
в виде [294, 417] (ср. D.380))
inf \\PnAy-PJ\\, D.382)
У??ппМ
где М — компакт.
* Здесь п — число узлов в способе дискретизации или число базисных функций в проек-
проекционном способе,
3G6
Вариационная задача D.382) разрешима при любых пит но, вообще
говоря, имеет неединственное решение. Обозначим через Ynm множество ре-
решений данной задачи. Доказано [294], что имеет место сходимость Y пт
к квазирешению при п, т-*~оо.
Проекционная реализация метода регуляризации Тихонова заключается
в следующем. В методе Тихонова решается вариационная задача (см. D.45)
D.46))
inf{||^/-/||2 + a||#|H. D.383)
Проекционный метод решения задачи D.383) заключается в сведении ее
к конечномерной задаче [119, 123, 294, 316, 317, 417, 775]
{\\PmAy-PJ\\* + a\\y\\*}. D.384)
Доказана f 119, 123] сходимость решения Ynm вариационной задачи
D.384) к решению Ya вариационной задачи D.383) при /г, т-^оо.
Проекционные методы Ритца и Галеркина. Одними из наиболее эффек-
эффективных проекционных методов являются методы Ритца и Галеркина
(Бубнова—Галеркина, Галеркина —Петрова) [212, 320, 448, 473].
В методе Ритца рассматривается уравнение
Ау= /, y?Y, f?F, D.385)
где Y = F = Я, причем Н — гильбертово пространство, А — симметричный,
положительный оператор. Приближенное решение уравнения D.385) ищется
в виде
N
yN= Х^Ф*. D.386)
где {ф;}Г — некоторая полная в Н система линейно независимых функций
(ортонормированный базис, или базисные функции) таких, что
а коэффициенты а{ определяются из решения СЛАУ
N
S МФр Ф*)а/ = (/> Ф*)> k = lf ... , N. D.387)
1=1
Для решения уравнения D.385) можно воспользоваться и методом
Бубнова—Галеркина, в котором А произволен, но, как и в методе Ритца,
У = F = Я*, т. е. базисные функции принадлежат области определения
оператора А. В методе Бубнова—Галеркина решение также ищется в виде
D.386), а коэффициенты а{ находятся путем решения СЛАУ D.387), т. е.
метод Бубнова—Галеркина приводит практически к тем же результатам,
что и метод Ритца.
Более эффективными в случае произвольного А и, вообще говоря, несов-
несовпадающих Y и F представляются следующие: модификация метода Ритца
и варианты метода Галеркина—Петрова.
В модификации метода Ритца в случае произвольного А и неравенства
Y и F исходное уравнение D.385) запишем в виде
A*Ay = A*f, y?Y, f?F, D.388)
а приближенное решение будем искать в виде D.386). Тогда коэффициенты
ас определятся из решения СЛАУ
?(Ф„ ф4)а, •¦= (Л*/, ф4), k = 1, .. . , N. D.389)
* Равенство Y = F применительно к интегральному уравнению D.381) означает, в част-
частности, выполнение равенств а = с, b = d, а также одинаковость физического смысла пере-
переменных х и s (что не имеет места, например, для уравнений D.22) и D.23)).
20* 307
В такой модификации уравнение D.388) имеет симметричный положительный
оператор Л*Л (как это и требуется в методе Ритца), а совпадения прост-
пространств Y и F (как в методе Бубнова—Галеркина) не требуется.
Аналогичного результата можно достичь с помощью следующего вари-
варианта метода Галеркина—Петрова. Рассматривается уравнение D.385) с про-
произвольным А и, вообще говоря, несовпадающими Y и F. Приближенное
решение ищется в виде D.386), а коэффициенты щ определяются из реше-
решения СЛАУ
где {pk}°° — некоторая тотальная система функционалов. В частности, если
положить
то это приведет к СЛАУ D.389) для определения ас.
Можно предложить еще один вариант метода Галеркина—Петрова,
полезный для проекционной реализации метода регуляризации Тихонова.
В этом варианте
что приводит к СЛАУ
N
^ D<Pftf ЛФ.) at = (ЛФл, /), & - i, .. . , #. D.390)
Приведем некоторые примеры ортонормированных базисов в гильберто-
гильбертовых пространствах Н [119, 212, 294, 358, 581]:
(9.(s)} = {1, "J/2cosяв, 1/2cos2ks, ...}, # = L2[0,l],
{(p.(s)} = { 1/1/2, sinjxs, cos.ns, ...], // = Lai0,2],
(9i(s)} = lsin Я5> sin2jrs, . ..), Я=12[0,1],
{Ф,@} = {^=-, cosjtf/7\ cos2nt/T, .. .], Я = L2 [0, Г],
1/2 cos 4я^/Г, ...}, H = L2[0, Г],
..}, Я = L2 [0, oo)f
где Лг(^) — нормированные полиномы Лагерра.
Однако проекционные методы (как и методы квадратур, преобразования
Фурье, итераций, собственных функций и т. д.) в их классической форме
не обеспечивают устойчивости решения интегрального уравнения Фредгольма
I рода, так как решения СЛАУ D.387), D.389), D.390) при ЛА->оо неустой-
неустойчивы. Поэтому они используются в сочетании с методами регуляризации,
квазирешений или невязки, осуществляя конкретную реализацию этих мето-
методов*.
Проекционная реализация метода квазирешений Иванова. В случае
симметричности и положительности А отыскание квазирешения уравнения
D.385) или D.315) проекционным методом Ритца сводится к задаче услов-
условной минимизации относительно аъ ... , aN (в соответствии с D.387)):
inf {И
* Устойчивость проекционных методов обеспечивается также в случае, если их форму-
формулировать в виде методов подбора (см. п. 4.9).
303
Если же Л произволен, то (в соответствии с D.389;)
N N
inf 111 S (A*A(Pi, <pk)a,~(A*f, Ф,)||: yN ~ ? a^g M\
' " l 1
S (Pi k), ,|| y ?
aN ' " t=l 1=1
или (в соответствии с D.390))
inf {|| ? (ЛФ„ ЛФ,) а,. - (ЛФ„ /)||: ^ = ? а.Ф. ? Ml.
at ад/ i=i 1=\
Проекционная реализация метода регуляризации Тихонова. Рассматри-
Рассматривается уравнение D.379) или D.381) в случае гильбертовых пространств.
Приближенное решение ищется в виде D.386). В результате задача мини-
минимизации функционала Тихонова D.383), записываемая в конечномерном
варианте в виде D.384), приводит к решению следующей СЛАУ относи-
относительно аг, . .. , aN (ср. D.390)) [287]:
N
? Лф,К- + аак = (Лф*. /) . fc = 1, 2, ... , W.
Если же при этом и правая часть записывается в виде
т
f = I b/g/,
где {gj}i —ортонормированный базис в F, то СЛАУ принимает вид ([294
187] при L = Е)
N т
„ ЛФ,) at + ocak = ? (Лф^, g ) &., * = 1, 2, . . . , N.
/i y y
В работе [476] рассмотрена проекционная реализация (по Ритцу) метода
регуляризации Тихонова применительно к двухмерному интегральному урав-
уравнению Фредгольма I рода.
В работах [118, 122, 223, 224, 417, 642, 643] рассмотрена проекцион-
проекционная реализация метода невязки.
4.12. РЕГУЛЯРНЫЕ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Классический метод [305 74—76]. Рассмотрим уравнение
ъ
Ау=[К(х, s)y(s)ds= f(x), с < х < d, y?Y, f?Fy D.391)
a
где Y и F — гильбертовы пространства (F = L2), A — вполне непрерывный
оператор.
В случае симметричного ядра* решение уравнения D.391) имеет вид
-uk{s), D.392)
где ek = (/, uk) = \ f (x) uk(x) dx, \лг > |л2 > • • • > \xk > ... — полная система
с
вещественных (неотрицательных, если ядро является положительно опреде-
определенным) собственных значений [882], а и1(х), и2(х), .. . , uk(x), . .. — полная
ортонормированная система собственных функций ядра К(х, s). При этом
х, sg[a, b] = [с, d]- Для того чтобы уравнение D.391) имело решение
* Фредгольмовское ядро К (х, s) называется симметричным, если [305 66] К (х, s) —
= К* (х, s) = К (s, x), где звездочка означает сопряжение и транспонирование, а черта —
сопряжение; если ядро вещественно, то симметричность означает: К (х, s) = К* (s, а:), при
этом а = с, b = d.
309
в виде D.392) (возможно, неединственное), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
V1 ^ < оо и ек = 0 при \xk = 0.
В случае произвольного ядра
оо
?JLMs). D.393)
где А^ > 0— вещественные неотрицательные собственные значения, vk(s) —
ортонормированные собственные функции 1-го ядра Шмидта, или оператора
А*А (ср. D.69)),
й й
Кг (t, s) = j /С* (t, х) К (х, s)dx= J К (х, *) К (х, s) dx,
с с
ck=(f9wk), wk(x) — ортонормированные собственные функции 2-го ядра
Шмидта, или оператора Л Л*,
К2 (х, г) = \ К (х, s) К* (s, z) ds = § К (х, s) К (z, s) ds.
а а
При этом х, г?1с, d]\ U s?[a, b].
В случае произвольного ядра решение можно представить также в виде
У(з)=\?и*®' D.394)
где р,-(Л*Д о,).
Однако, как следует из четвертой теоремы Фредгольма (см. п. 3.1),
min | fi* | = min %k = 0. Поэтому формулы D.392) — D.394) не обеспечивают
k
устойчивости решения и дают лишь «теоретическое» решение, вследствие
чего задача решения уравнения D.391) методом собственных функций в его
классической форме является некорректной.
Устойчивые (регулярные) модификации метода собственных функций
дают методы регуляризации и квазирешений.
Реализация методов «-регуляризации с помощью метода собственных
функций [41]. Рассматриваются три случая.
1. Оператор А в уравнении D.391) самосопряженный и положительный.
Для обеспечения устойчивости вместо D.391) рассматривается уравнение
ay* + Aya = f9 a>0, D.395)
т. е. уравнение D.391) решается методом а-регуляризации Лаврентьева
(см. п. 4.7). Решение уравнения D.395) методом собственных функций запи-
записывается в виде (ср. D.392))
?^bM*<s>- <4-396)
Поскольку \ik > 0, то jli^ + а > 0, что обеспечивает устойчивость решения
D.396).
2. Оператор А в уравнении D.391) самосопряженный, но не обязательно
положительный. Вводится в рассмотрение уравнение
i*ya + Aya = f, D.397)
310
где а — вещественное число любого знака, т. е уравнение D.391) решается
методом cc-регуляризации Бакушииского (см. п. 4.8). Решение уравнения
D.397) методом собственных функций записывается в виде
оо
Re ya (s) = Re [? ^~ uk (s)] D.398)
(ср. D.332), 1-й способ) или
уа (s) == Re ya (s) = ]? j—^ vk (s) D.399)
(ср. D.335), 2-й способ).
3. Оператор А в уравнении D.391) произвольный. Вводится в рассмот-
рассмотрение уравнение
ауа + А*Ауа = Л*/, а > 0, D.400)
т. е. уравнение D.391) решается методом а-регуляризации 0-го порядка
Тихонова (см. п. 4.3). Решение уравнения D.400) методом собственных
функций записывается в виде (ср. D.394))
В решениях D.398), D.399) и D.401), как и в решении D.396), знаме*
натели по модулю строго больше нуля, что и обеспечивает устойчивость
данных решений
Вопросы существования, единственности, устойчивости и сходимости
решений D.396), D.398), D 399), D.401) решаются так же, как они реша-
решались при изложении общих схем методов а-регуляризации Лаврентьева
(см. п. 4.7), Бакушинского (см. п. 4.8) и Тихонова (см. п, 4.3).
Реализация метода квазирешений Иванова с помощью метода собствен-
собственных функций [289]. Пусть в уравнении D.391) Y и F—гильбертовы про-
пространства, А—произвольный (линейный вполне непрерывный) оператор,
а компакт, на котором ищется квазирешение, есть MR D.376). Пусть, далее,
Хг > Я2 > • • • > гк1г > • • • > 0 — полная система (вещественных неотрица-
неотрицательных) собственных значений, a ^(s), v2 (s), . . . , vk(s),. . . — полная
ортонормированная система собственных функций оператора А*А (или 1-го
ядра Шмидта). Тогда квазирешение уравнения D.391) на компакте М
выражается формулой
где % = 0, если
„2
л 2
и % — положительный корень уравнения
если
311
4.13. РОБЛСТНЫЕ МЕТОДЫ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И ВИНЕРА
В пп. 4.3—4.12 рассмотрены детерминистские регулярные методы решения
некорректных задач (методы регуляризации Тихонова и др.), являющиеся
достаточно эффективными, несмотря на то что они, как правило (за исклю-
исключением поиска решения на компакте), используют минимум априорной
информации о решении (например, лишь значение погрешности б правой
части).
Противоположный «полюс» образуют оптимальные методы фильтрации
Калмана (Калмана — Бьюси) и Винера — методы, использующие среди из-
известных устойчивых (регулярных, робастных) методов наибольшее коли-
количество априорной информации о решении (в методе Калмана—ковариации
ошибок и матожидания праиой части и решения, а в методе Винера —
спектральные плотности шума праЕой части и решения). Эти методы отно-
относятся к методам статистической регуляризации.
Одношаговый метод (фильтр) Калмана [84, 112, 124, 741, 763, 764,
812, 813, 857]. Рассматривается уравнение
D.402)
в конечномерных пространствах Y и F, где А — произвольная / х п-матрица,
у— искомый я-вектср, / — измеренный /-вектор (замер), v— /-вектор-
помеха. Применительно к интегральному уравнению D.391) конечномер-
конечномерность означает, что рассматривается его дискретный аналог, например, вида
2 Г!Кцу,= и% 1=1,..., /, D.403)
где г/ выражается формулой D.119).
В методе фильтрации Калмана делаются следующие предположения
1) матожидание случайного вектора v равна нулю:
Е [v] = 0;
2) задана симметричная положительно определенная, / X /-матрица —
ковариация ошибок правой части:
R==E[vvT]; D.404)
3) задан я-вектор
г|>=Е[#] D.405)
(ср. D.54)) — матожидание (начальное приближение, априорная оценка,
прогноз) вектора у;
4) задана симметричная положительно определенная п х я-матрииа —
априорная ковариация ошибок решения:
М = Е [{у — ф) (у — -ф)Г]. D.406)
Далее метод Калмана строится несколькими способами.
1-й способ (оценка по методу наименьших квадратов [84 402—403],
или оценка по минимуму среднеквадратической ошибки — МСК-оценка
/ср. [112 125])). Вводится квадратичная форма*
J = j {(Ay - fY Я (Ay-f) + (y- ЪУМ-i (y-10]. D.407)
Из условия минимизации J no у получается
у = г|) + РА7!?'1 (/ — Лг|>), D.408)
где
Р = (М-1 + Л^-МГ1. D.409)
* Значения ]/"(Ау — f^R'1 (Ay —/¦; и \^(у —ярO^ (у — if) называются нормами,
или расстояниями, Махаланобиса от Ау до / и от у до г|? соответственно [112 127],
312
Здесь у— апостериорная оценка у (свертка замера с прогнозом) — п-вектор,
минимизирующий формулу D.407), Р — апостериорная п х я-матрица
ковариаций ошибок решения у (не большая М*), т. е.
Итак, если известны /?, г|: и М, то уточненное решение уравнения
D.402) выражается формулой D.408), а (также уточненная) матрица кова-
ковариаций ошибок решения — формулой D.409).
2-й способ (оценка по максимуму апостериорной вероятности, или МАВ-
оценка [112 125, 741 547 — 549]). Полагается, что погрешности правой час-
части и решения имеют гауссовское (нормальное) распределение. В этом слу-
случае апостериорная плотность вероятности решения (по Байесу):
p(y\f) = const • ехр { - \ [(Ау - f)T /Г1 (Ау— /) + (у- W М (у—у)]} =
= const . exp{— J). D.410)
Из условия максимизации Р (у'/) по у (что равносильно условию ми-
минимизации J по у) получаются соотношения D.408), D.409), т. е. в случае
гауссовости распределения помех МСК-оценка и МАВ-оценка приводят к оди-
одинаковому результату (отличному от результата, даваемого МФП-оценкой —
оценкой по максимуму функции правдоподобия, или оценкой по методу мак-
максимального правдоподобия, не являющемуся регулярным) [112 130—131].
Выражения D.408), D.409) можно записать иначе [741 548]:
Р=М — YAM, D.412)
где Г — коэффициент усиления — п х /-матрица,
Г = МАТ (АМАТ + R)'1. D.4 13)
Важны следующие соотношения:
при М = 0 (на решение априорно наложены предельно жесткие ограниче-
ограничения) и R=^0 имеем: # = 1|>, Р = М\ при М = 0 (на решение не наложе-
наложено ограничений), гр = 0 и R = 82Е имеем: у = A"xf (классическое решение),
Р= 82(АТА)~1; при R = 0 (т. е. при отсутствии ошибок правой части) име-
имеем [741 549]: у= Л/ (классическое решение), следовательно,
lim \\y — y\\ = 09
где у — точное решение.
Таким образом, фильтр Калмана порождает РА.
Полезно сравнение методов Калмана и Тихонова.
В методе регуляризации 0-го порядка Тихонова минимизируется функ-
функционал (ср. D.45), D.54))
^ = {Ау — Пт(Ау — П + а(у — ч>)т(у~Ц). D.414)
Сравнение D.407) и D.414) показывает, что роль а играет (символиче-
(символически, формально) R/M. Наиболее же отчетливо сравнение методов выполня-
выполняется в случае, когда
D.415)
* Матрица Р не больше матрицы М, если для всех ненулевых векторов у выполня-
выполняется неравенство утРу <: утМу.
313
где е и б — априорные среднеквадратические ошибки решения и правой
части. В этом случае решение методом Калмана имеет вид (см. D.408), D.409))
D.416)
а апостериорная матрица ковариаций ошибок решения (см. D.409)):
D.417)
Решение методом Тихонова в этом случае записывается в виде(см. D.57)):
уа = г|) + (а? + ATA)AT(f — Aty). D.418)
Сравнение D.416) и D.418) показывает, что при
а = 5 D.419)
и справедливости D.415) методы Калмана и Тихонова дают одинаковые
решения. При этом, как следует из D.417) и D.419), апостериорная матрица
ковариаций ошибок решения:
откуда (ср. D.58)) \\Ауа\\ = V\\Pa \\ < -^-(оценка ошибки решения по нор-
норме).
Замечание 1. Для одношаговых процессов (когда уравнение D.402)
решается лишь один раз) требование об априорном знании гр и Л1, содер-
содержащееся в методе Калмана, трудно выполнимо. Поэтому фильтр Калмана
обычно применяется лишь для многошаговых процессов, когда в функции
времени поступают новые реализации правой части и г|) и М рекуррентно
уточняются (см. D.408), D.409) или D.411), D.412)). Методы же детерми-
детерминистской регуляризации (Тихонова и др.) эффективны, в первую очередь,
для одношаговых процессов.
Замечание 2. Качественно устойчивость решения уравнения D.402)
в методе Калмана можно объяснить тем, что в нем задаются матожидание
решения я|э и ковариация ошибок решения Му вследствие чего образуется
вероятностный (статистический) «коридор» ^ + е, где Е [е] = Ц А11|1/2, в ко-
который решение у должно статистически поместиться. Это равносильно поис-
поиску решения на (конечномерном) статистическом компакте (ср. D.376)):
М? = { у : \\у — г|511 < е, Е [г] = |( М !|1/2).
В работе [788] метод Калмана распространен непосредственно на инте-
интегральное уравнение, Например, решение стохастического интегрального урав-
уравнения первого рода типа свертки
j К {х — s) у (s) ds + v (х) = / (х), — оо < х < оо,
—— оо
при г[= 0 и Д*(х)= К(х) получено в виде (ср. D.408))
У(*) =
где w(k) есть решение уравнения
1\х + р2 {х — A,) w (%)<!% = f(x),
314
причем
— заданные априорные автокорреляционные функции (ср. D.406) и D.404)).
В работе [859] изложена проекционная реализация метода Калмана,
использующая разложение искомого решения по системе базисных функций
типа D.378) или D.386).
Метод оптимальной линейной фильтрации Винера*. Рассматривается
интегральное уравнение первого рода типа свертки
= f(x), — oo<x<oo, D.420)
y{), f{)?2(—oo, оо), /((х)€М— оо, оо).
Формальное (классическое) решение уравнения D.420) имеет вид (см.
D.159)-D.162))
оо
где F(co) и Я (со) — Фурье-образы (спектры) правой части f(x) и ядра К(х)
соответственно (см. D.161), D.162)).
Пусть правая часть задана приближенно: f(x) = f(x) + v[x), rj\ef{x) —
точная правая часть, a v(x) — помеха (ср, D.196)). В этом случае, как из-
известно (см. п. 4.3), решение D.421) не обладает устойчивостью.
Устойчивый алгоритм решения D.421) дает метод регуляризации Тихо-
Тихонова (см. п. 4.3), в котором регуляризованное решение имеет вид
оо
*- <«> = & 11(Л~«Д(И)F <»> е~ш *>• <4-422>
— о©
где Z. (со) = | X (со) |2, М(со) выражается формулой D.189) (или D.187)), а
для выбора значения параметра регуляризации а>0 разработано несколь-
несколько способов, например способ невязки (см. пп. 4.2, 4.3).
Однако устойчивости решения уравнения D.420) можно достичь иным
путем (без использования а), а именно опираясь на статистические харак-
характеристики помехи и искомого решения, так, как это сделано в методе
оптимальной линейной фильтрации (в оптимальном фильтре) Винера [866].
В методе Винера полагается [112 106], что функции у(х) и v(x) явля-
являются реализациями стационарных, некоррелированных между собой случай-
случайных процессов. При этом полагаются известными статистические характе-
характеристики этих процессов — спектральные плотности мощности решения
Ry(a>) и помехи Rv(co).
Заметим, что для стационарных случайных процессов спектральные
плотности Ry((u) и Rv((o) связаны с Фурье-образами У(со) и 1/ (со) решения
и помехи соотношениями [112 107] (ср. D.198), D.199))
Е [ Y (со) Y (о)')] = 2л Ry (со) б (со + со'),
E[V((»)V (со')] = 2л Rv (со) б (со + со').
Согласно теореме Винера — Хинчина
= S ry{x)(*"'dx,
— оо
= J го(х)е*»*Aх9
* Данный метод хронологически является первым методом статистической регуляризации.
315
где ry (х) = Е [у (s + х) у (s)], rv (x) = Е [v (x' + *) у (*')] — автокорреляционные
функции искомого решения и помехи.
В методе Винера статистически регуляризованное решение y#(s) ищется
исходя из условия минимума величины E[ya(s)—y(s)]2, где ya(s) выража-
выражается формулой D.190), а у(s)-— точное решение. В результате [22, 23, 32,
112, 584, 585]
оо
у*(*) = кX м«>+??)/*,(»>fие~шsdw> D-423)
^ j {[л(^]. D-424)
где
Формула D.423) дает решение уравнения D.420) методом оптимальной
линейной фильтрации Винера, а формула D.424)—значение среднеквадра-
тического уклонения этого решения от точного (являющееся минимально
возможным — поэтому фильтр называется оптимальным).
Сравнение выражений D.422) и D.423) показывает, что регуляризован-
ные решения, даваемые методом Тихонова и методом Винера, переходят
одно в другое при (см. также [749])
aM(<o)=Ro(<o)/Ry{a>). D.426)
Соотношение D.426) весьма напоминает соотношение D.419), устанавли-
устанавливающее связь между методами Тихонова и Калмана.
Формулу D.424) можно записать в виде
Е [у* (s)
^ (m) + /?o(m)/Vo)) d®.
откуда видно, что Е [yR (s) — #(s)]2->0 при /?0(со)->0, т. е. решение D 420)
порождает РА.
В работах [584, 585] дано обобщение полученных результатов на случай,
когда и оператор А задан с погрешностью.
4.14. «ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ» МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Методы статистической регуляризации — методы Калмана и Винера, изло-
изложенные в гь 4.13, требуют наибольшей априорной информации (метод
Калмана — матожидания и ковариации ошибок правой части и решения,
а метод Винера — спектральных плотностей мощности помех правой части
и решения). В детерминистских же методах регуляризации (Тихонова и др.)
используется минимум априорной информации (например, значение погреш-
погрешности б правой части).
Группа методов Калмана—Винера может обеспечить высокую эффек-
эффективность решения (меньшую неопределенность, большую точность по сравне-
сравнению с группой детерминистских методов), однако требуемая для реализации
этих методов исходная информация (например, ковариация ошибок решения
М — см. D.406)) часто неизвестна. Вместе с тем входящий в метод Тихо-
Тихонова параметр регуляризации а однозначно определяется по значению
погрешности правой части б (способом невязки).
Достаточно эффективными должны быть и методы, промежуточные
между методами приведенных двух групп по количеству используемой
априорной информации, например методы, в которых полагается известной
ковариация ошибок правой части R (см. D.404)), а не одно лишь число б,
316
а также матожидание решения \р (см D.405)), но неизвестна ковариация
Af. Ниже изложено два таких метода*.
Метод наиболее гладкого допустимого ансамбля [677, 678]. Рассматри
вается одномерное уравнение типа свертки D.420). Функции f (х) и у(х)
рассматриваются (временно) на дискретной сетке узлов в точках х{ = ih,
i= — пп, —п0 +1, nOf h = Ах = As = const, и периодически продолжаются
за пределы отрезка [—noh, noh] с периодом п/гу где п = 2п0 + 1. Пусть 6^
среднеквадратическая погрешность / в каждой точке, или поточечная сред-
неквадратическая погрешность / (b^=bfYd— с).
Класс гладких функций, в котором ищется решение у(х), определяется
путем задания плотности вероятности Р (у) такой» что выбранный наугад
представитель этого класса с вероятностью Р (у) dy есть функция у.
Вероятностным образом формулируются следующие два, в значитель-
значительной степени противоречивые, условия, которым должна удовлетворять
искомая функция у{х): 1)у(х) должна быть гладкой, а именно с повыше-
повышением степени ее гладкости плотность вероятности Р(у) должна увеличи-
увеличиваться, 2) у(х) должна удовлетворять исходному уравнению, точнее, с умень-
уменьшением значения невязки \\ Ау—/||2 плотность вероятности Р (у) должна
возрастать.
1-е условие. Задаются распределения вероятности для каждой гар-
гармонической ^мплитуды ljq решения, точнее, для ее действительной и мни-
мнимой частей "у* и jr?. Полагается, что эти распределения являются нормаль-
нормальными с матожиданием, равным нулю, и с дисперсией
разделенной поровну между действительной и мнимой частями уц Vq ф 0.
Здесь у(со) — некоторая невозрастающая функция, малая при больших со.
Вероятность того, что в результате случайной выборки будет получен
вектор у, задается выражением
X dyQ d~y? dy[ . .. dy^ dy!no. D.427)
Здесь Р (у) — априорная плотность вероятности вектора у, тем большая,
чем меньше квадрат амплитуды гармоники ]/2 = (yRJ + (у1J-
2-е условие заключается в том, что должно приближенно удовле-
удовлетворяться исходное уравнение D.420). В предположении нормального рас-
распределения ошибок правой части получим:
ехр {- '^щЩ'J' **
D.428)
где /—якобиан перехода от {Ay)t к уг не зависящий от у. вследствие
линейности преобразования. Здесь P(f\y) — условная плотность вероят-
вероятности вектора / при заданном у.
В соответствии с формулой Байеса апостериорная плотность вероят-
вероятности вектора у при заданном /:
Р{у)Р{Пу)
\Р(У)РA\ У) dy
* Другие статистические методы решения некорректных задач изложены в работах
[268—272, 393, 397. 701, 702, 704, 706) и др.
317
Получено следующее выражение:
Р (y\f)dy = const • ехр | — V -~
n0
Xd'idy} ... dy* D.429)
где %р=Х(щ), FQ=F((ug) (см. D.162), D.161)).
В качестве искомой функции у (s) берется матожидание точного реше-
решения (см. 4.159)) по ансамблю Р (у |/), а среднеквадратическое отклонение от
матожидания дает дисперсию решения. В результате решение уравнения D.420)
методом наиболее гладкого допустимого ансамбля (иначе: решение в ста-
статистическом ансамбле гладких функций) при /г->-0, п-+оо (ср. D.159),
D.190)) имеет вид
м>a b<>rS -*"** D-430)
— оо
где (ср. D.191))
t D-43I)
a L (со) выражается формулой D.174), или (ср. D.192))
„ лл = ± Г
yi (S) 2я J
е^ (
/?2 (со) '
или (ср. D.165), D.166), D.193), D.194))
y7(s)= J R,(s — x)f(x)dx, D.433)
где
оо
^ I й> «-<-dffl* D-434)
Среднеквадратическая ошибка решения:
+ 62/V2 (©) '
Полученное решение D.430) отличается от точного (см. D.159)) нали-
наличием множителя 2т(со), подавляющего высокие гармоники, вследствие чего
t/T(s) сглаживается и становится устойчивым.
Если 6/у(со)->0 при 6->0, то гт(со)->1 и решение ул (s) переходит
в точное, т. е. соотношения D.430) — D.434) метода наиболее гладкого
допустимого ансамбля порождают РА.
Если7(со)=| °° wl J °* то получается решение в пространстве 5©,
1 0 V|co|>co0,
(см. D.176) —D.179) при я/А = ю0).
Если, далее,
L((o)y2(co)«62, D.435)
то гт(со)<^1. Неравенство D.435) означает, что величина \к((д)\у((о), соот-
соответствующая гармонике с частотой со, много меньше погрешности 6, иначе
говоря, полезный сигнал много меньше шума. В этом случае неравенство
zT(co)<l означает, что в решении (см. D.430)) данная ложная, неинфор-
мативная, гармоника, почти целиком возникшая за счет ошибок измерений,
318
будет подавлена, чего не было в формулах для точного решения D.159),
D.166).
Если же, напротив,
L(o)O2(co)»62,
т. е. на гармонике с частотой со полезный сигнал много больше шума,
то zT(co)^l и данная гармоника будет входить в решение практически
без искажений (как в точное решение).
В случае, когда К(х) и f(x) (а значит, и y(s)) вещественны, имеем
(ср. D.167)—D.174)):
ул (s) = — | G7 (со) cos (sco) rfco + \ //7 (со) sin (sco) dco ,
0 6
где
Г ( — Re ^ (a)) Re F ^ H- lm Я (со) Im F (со)
°ч W ~ L (со) + 62/Y2 (со) '
и ( \ — Re А, (со) Im F (со) — Im X (со) Re F (со)
ЛУ(Щ — L (со)-М2/т2 (со)
a Re % (со), Im % (со), Re F (со), Im F (со) выражаются формулами D.170)—D.173).
В случае вещественности К (х) и / (х) можно использовать также фор-
формулу D.433), где (ср. D.175))
R {s) = 1 f .R°X,ff>. t cos (sco) dB-if .. li^,, , sin (sco) dco.
v v v ; я J L (со) + б2/^2 (со) v ; JiJ L (ш) + 62/v2 (со) v ;
о о
J () + /^ () J
о о
Невязка выражается формулой
оо
]| Ayv — / И» = -i J {6% (со) + [ 1 - zy (со)]2 [Re2 F (со) + Im2 F (со)]} dw. D.436)
0
Остановимся на вопросе выбора функции у2((о). Последняя характери-
Последняя характеризует степень гладкости решения и ее роль аналогична роли параметра
регуляризации а в методе регуляризации Тихонова (см. п. 4.4). Для у2(со)
могут быть использованы следующие выражения [678]:
оо V|co|<co0,
0 V|co|>co0
(решение в пространстве Sn/h ПРИ п/^ = ©о)»
б) V2(u)) = -
В) у (СО) = —~ f /7Z = 1, Z, О, . . •
Между ах (параметром регуляризации данного метода) и а (параметром
регуляризации метода Тихонова) нет простой аналитической зависимости.
Можно лишь отметить, что между ах и а существует обратная зависимость:
чем меньше а, тем более неустойчиво решение уа (s) и, наоборот, чем меньше
alt тем более гладким является решение yy(s).
Для выбора значения аг можно воспользоваться способом (типа способа
невязки) [678], согласно которому значение ах выбирается исходя из условия
\\Ayy — f\\ = b. D.437)
Анализ формулы D.436) показывает, что уравнение D.437) имеет един-
единственное решение ах?@, оо) (не считая ах = оо).
Метод наиболее вероятного ансамбля [159, 533, 679, 681, 682]. Рас-
Рассматривается уравнение
ь
Ay == } К (х, s) у (s) ds= f (х), с < х < d- D.438)
а
319
Априорная плотность вероятности искомой функции у равна (ср. D.427))
где а>0 — параметр регуляризации, п — число дискретных отсчетов функ-
функции у, Q — положительно определенная симметричная матрица такая, что
с помощью ее образуется стабилизирующий функционал (см. п. 4.3)
Й [у] = (у, Qy) = ? .УРиУ1 = J[~P\ ds, k = 0, 1, 2.
г, /=1 а *- -*
Например, при fe = 0 Й = ?.
Условная плотность вероятности функции (вектора) f при заданном
равна (ср. D.428))
где / — число дискретных отсчетов функции /, 8f. — среднеквадратическая
ошибка измерений в i-ы отсчете, h = Ax ~ As = const — шаг дискретиза-
дискретизации, или
P(f\y) = const . exp {-1 (у, КтЯ'гКу) + (KTR'4, у)} *
где R—ковариационная матрица шума правой части (см. D.404)).
Апостериорная плотность вероятности функции у при заданной / в соот-
соответствии с формулой Байеса равна (ср. D.429))
Р(У\П= с Р{у)Р(Пу) =const-expl-4-(y, (KTR-1K + aQ)y) +
]P(y)P(f\y)du 2
+ (KTR~4, У)}- D.439)
В результате искомая функция, определяемая как матожидание по
распределению D.439), равна
уа - (aQ + К^^КГгКтп'Ч D.440)
или (если используется я|? — матожидание вектора у — см. D.405))
Уа = * + ^^Г^(/ —/Сф), D.441)
где
Dy = (<zQ + KTR^K)'1 D.442)
— апостериорная ковариационная матрица ошибок решения (ср. D.409))
или (ср. D.411), D.413))
Уа = г|) + а-Ч2-1/(Г (Ka'lSi'lKT + R)'1 (f — /С*). D.443)
При k = 0
а f D.440')
или
*/а = ^ + D^/C7/?-1 (/ - КЦ), D.44Г)
где
Dy = (а? + KTR^K)-\ D.442')
или
г/а = ф + а^7 (а-^/^г + /?)-i (/ — /Сф). D.443')
320
Сравнение решений D.440), D.440') с решениями по методу Тихонова
D.50), D.52), а также решения D.441') с решением по методу Тихонова
D.57) и соотношений D.441), D.442) с соотношениями D.408), D.409) ме-
метода Калмана показывает, что решение по методу наиболее вероятного
ансамбля занимает промежуточное положение между решениями по мето-
методам Тихонова и Калмана. В нем, как и в методе Калмана, присутствует
ковариация R, однако, как и в методе Тихонова, отсутствует ковариация
М — ее роль играет (aQ). Но поскольку значение а эффективно выбира-
выбирается по способу невязки с использованием значения
то видно, что достаточно эффективным является «промежуточный» метод
регуляризации — метод наиболее вероятного ансамбля. При этом наличие R
в D.440)—D.443') повышает эффективность этого метода по сравнению
с методом Тихонова, в котором матрица R отсутствует (а используется
лишь одно число б в способе невязки). Если же известна и априорная
ковариация М (см. D.406)) или корреляционная матрица С [211, 680, 681],
то метод наиболее вероятного ансамбля переходит в метод Калмана (см.
D.408), D.409), D.411)— D.413))— еще более эффективный метод.
При R = 0 (т. е. в отсутствие ошибок правой части) имеем (см. D.443)):
а (/ — /Сф) = /Г1/
— классическое решение (если К существует), другими словами,
\ш\\уа-у\\ = Ь,
где у — точное решение. Следовательно, метод наиболее вероятного ансамбля
порождает РА.
В обширном цикле работ [153—159] решение уравнения (aO + /С7/? "Ч/Ох
X ya = KTR~1f (см. D.440)) доведено до эффективного практического алго
ритма, в частности, в случае разностного ядра К (х, s) = K(x — s) исполь-
использовано БПФ, а для выбора а построен алгоритм, минимизирующий средне-
квадратическую ошибку решения и использующий методы проверки стати-
статистических гипотез.
В работе [533] рассмотрен применительно к методу наиболее вероятного
ансамбля случай переменности a: a= {а}/, /= 1, ... , k9 k < /г— 1. В [679],
а также в [129, 533] рассмотрен способ усреднения решения по а, являю-
являющийся развитием метода наиболее вероятного ансамбля, в котором в ка-
качестве искомой функции принимается решение D.440), усредненное по рас-
распределению
Р (а) Р (/ | a) da
где Р(а) — априорная плотность вероятности а.
4.15. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Общая формула. Рассмотрим один формальный, не вполне строгий, но тем
не менее полезный подход [129] к решению интегрального уравнения пер-
первого рода типа свертки
оо
J K{x — s)у{s)ds = f{х), — оо<л;<оо. D.444)
— оо
21 5-Ю13 321
Сделав замену переменной х— s = A, запишем D.444) в виде
со
§ K(A)y(x—A)dA = f(x), —oo<x<oo. D.445)
—-оо
Разложим у (х— А) в ряд Тейлора
Полагая ряд D.446) равномерно непрерывным и подставив D.446)
в D.445), получим:
и (г) — Uz! A- > {~ } ** * y~' i±- (A 447\
УК*)— R ~f-Zj k\ dxk R ' ( '
где
№ = \ /C(A)A^dA, R = I /C (A) rfA = A0 9^ 0.
00 00
В результате итерациями, полагая в нулевом приближении y(x) = f(x)/R,
найдем из D.447):
хГ(х) [д* (дJ]Пж),_, Г^_Д!Д., (AKlrw
D.448)
24 3/? 4/? + 2 Я* /Н Д2 +
Выражение D.448) с ограниченным числом членов (когда неустойчи-
неустойчивость еще проявляется слабо) можно использовать для отыскания грубого
решения или более точного нулевого приближения в изложенных выше
методах итераций (см. пп. 4.5, 4.7, 4.8).
Частные случаи.
L Если К(х — s) = K(\x — s|), то выражение D.448) принимает более
простую форму:
, _IAL , /"да
2. Если К (А) = ^ е ч , где г\ = | Д | = |/ т ,
ТО
= /(*)-Л1
Л2^~-; D.450)
является точным решением (решением Эддингтона), неоднократно исполь-
использовавшимся в исследованиях по астрономии [601, 804].
3. Если K{A)=—f=e~w, где ог = д« = «.(]Т|J, то
— решение Эддингтона [601].
4. Если
Ц V А €(-24.21,).
0 ?Д<Н—2*|. 2*1)
(прямоугольное распределение, также рассмотренное Эддингтоном [601]), то
322
Если же в данном случае записать D.445) в виде
! J y(x~A)dA = ^ J y(s)ds D.451)
— 2tj л:—2т]
и продифференцировать D.451) по х, то получим соотношение
<*/ (*) ___ У (* + 2т» — У (х —2Л)
d* 4т)
откуда
у (х + 2л) = 4т, ^ + у (х - 2 г,). D.452)
Рекуррентное (точное) соотношение D.452) можно использовать, если
из априорных соображений при некотором х0 известно значение у(х0). Тогда
с помощью D.452) можно найти y(xQ ± 4т]), у(х0 ± 8г\), . ..
В приведенных формулах для решения у (х), из которых наиболее эффек-
эффективны D.450) и D.452), производные от f (х) нужно определять с помощью
устойчивых методов дифференцирования функций [659 189 158].
Глава 5
ПАКЕТ ПРОГРАММ НА ЯЗЫКЕ
АЛГОЛ-60
5.1. СТРУКТУРА ПАКЕТА
Перечень программ. В этой главе приведены программы на языке АЛГОЛ-60,
предназначенные для решения различных интегральных уравнений некото-
некоторыми из методов, изложенных в гл. 1—4.
Программы оформлены в виде пакета [330, 336, 640]. На рис. 46 при-
приведена структурная схема этого пакета. Он состоит из 17 основных про-
программ (или модулей 1-го уровня [216 20]) в виде процедур-операторов:
volts I, voltf I, [rest 1, [rest 2, [rest 3, tikh 1, tikh 2, tikh 3, tikh 4, tikh5,
convl, conv 2, conv3, conv\, conv5, fried I, fried2, к которым непосред-
непосредственно должен обращаться пользователь пакета, и 34 модулей (модулей
уровня ^ 2)* в виде 21 процедуры-оператора: unsymdet, unsymaccsolve, un-
symsol, innerprod, choldet2, cholsol2, cholinversion 2, sistema, xni, ydy>
coef, rent, zgf, ckk, soil, gdisc, uvlf, inf, q\2, sol2, sol 3 и ^процедур-функ-
^процедур-функций: /2, qat, chd, rho, disc, norml2, nortnc, ratel2, ratec, domega, sigma,
lambda, cdisc, из которых как из блоков в значительной степени форми-
формируются основные программы. Согласно [216 Л, 267/2], данный пакет — это
пакет простой структуры (не являющийся пакетом с генерацией программ
и входным языком, тем более пакетом, использующим ражим диалога [639]).
Модули unsymdet, unsymaccsolve, unsymsol, innerprod, choldet 2,cholsol 2,
cholinversion 2 заимствованы из работы [687], а модуль sistema — из работы
[612], поэтому в данном пособии не приводятся.
Назначение основных программ следующее:
volts I—для решения уравнения Вольтерры II рода A- 1) методом
квадратур согласно формулам A.92), (L95), A.96);
voltf 1—для решения уравнения Вольтерры I рода B.1) методом
квадратур согласно формулам B.65), B.67), B.68);
frestl —- для решения уравнения Фредгольма II рода или III рода
C.83) или C.82) методом квадратур согласно формулам C.84) — C.89) в
случае хорошей обусловленности СЛАУ C.87);
/rest2—аналогично frestl, но в случае плохой обусловленности
СЛАУ C.87);
frest3 — для решения двухмерного уравнения Фредгольма II или III ро-
рода C.101) или C.100) методом квадратур согласно формулам C.102) —
C.105);
tikh 1 — для решения уравнения Фредгольма I рода D.63) методом ре-
регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации а способом
обобщенной невязки согласно формулам D.64), D.65), D.68) — D.71), D.83),
D.84), D.86)— D.89), D.115), D.116), D.119)— D.128), D.132)— D.135');
tikh 2 —- для решения уравнения Фредгольма I рода D.63) методом ре-
регуляризации Тихонова при известном (заданном) точном решении (в модель-
модельном примере) согласно формулам D.68)— D.71), D.115), D.116), D.119) —
D.126), D.132), D.136) —D.138);
tikh 3 — для решения уравнения Фредгольма I рода D.63) методом регу-
регуляризации Тихонова при некотором одном значении а (определенном, напри-
* О модулях см,, например, [65 86], а также [330,352].
324
domega uuif cdlsc \cf?d sol 2
lambda,
SOU
Рис. 46. Структурная схема алгольного пакета.
мер, способом моделирования) согласно формулам D.68) — D.71), D.115),
D.116), D.119) —D.126);
tikh 4 — для расчета обратного оператора (матрицы) в методе регуля-
регуляризации Тихонова решения уравнения Фредгольма I рода при некотором
значении а согласно формулам D.115), D.116), D.119), D.120), D.122) —
D.126), D.130), D.131);
tikh5 — для решения уравнения Фредгольма I рода D.63) методом
регуляризации Тихонова при некотором значении а с помощью обратного
оператора (матрицы), рассчитанного посредством tikh 4, согласно формуле
D.129) («быстрый» алгоритм);
conv I, conv2, conv3, convi, convb — идеологически подобны програм-
программам tikh I, tikh21 tikhS, tikhi, tikhb, но применительно к уравнению
325
Фредгольма I рода типа свертки D.155) или Вольтерры I рода типа сверт-
свертки D.156);
fried I—для решения уравнения Фредгольма 1 рода D.276) методом
итеративной регуляризации Фридмана с выбором числа итераций способом
обобщенной невязки согласно формулам D.115), D.116), D.119), D.120),
D.122), D.123), D.277) —D.282), D.284), D.285), D.288), D.289), D.291),
D.293)— D.300);
friedU— для решения уравнения Фредгольма I рода D.276) методом
итеративной регуляризации Фридмана при известном (заданном) точном ре-
решении согласно формулам D.115), DЛ 16), D.119), D.120), D.122), D.123),
D.277)—D.280), D.293) —D.296), D.301) — D.303).
Программы ориентированы на решение уравнений линейных одномер-
одномерных (за исключением frest 2) на неравномерных сетках узлов (за исключе-
исключением convi, convd).
Некоторые особенности процедур пакета. Пакет отлажен на ЭВМ
БЭСМ-6 на ГДР-АЛГОЛе [440, 578, 710] (часть программ отлажена также
на БЭСМ-АЛГОЛе [34, 382]). Результаты расчета тестовых примеров при-
приведены в пп. 1.3, 2.3, 3.2, 7,1. Тексты процедур (с инструкциями)
приведены (в пп. 5.2 — 5.6) на языке публикаций (типа [687] и др.),
причем для вывода результатов использован оператор print (...) из ГДР-
АЛГОЛа. При формировании пакета учтены многие положения структур-
структурного программирования [65, 222, 251, 716].
Хотя в официальных сообщениях о языке АЛГОЛ-60 (см., например,
[3, 433, 540, 562, 836]) отсутствует понятие модульности (что ограничи-
ограничивает возможности автономной трансляции процедур и, как следствие, фор-
формирования пакетов), во многих современных алгольных трансляторах (напри-
(например, ГДР-АЛГОЛе и БЭСМ-АЛГОЛе) модульность присутствует, что
позволяет автономно оттранслировать данный алгольный пакет и записать
его на внешние носители информации (магнитные ленты, диски и т. д.).
Важным является вопрос о виде обращения к ядрам /С(х, s), K(x),
К(хх, slf x2,s2) интегральных уравнений. Возможно оформление К в виде
процедур-функций—1-й вариант или в виде массивов (соответственно
двух-, одно-или четырехмерных) — 2-й вариант. Оба варианта имеют свои
плюсы и минусы. 1-й вариант экономит память ЭВМ и упрощает обраще-
обращение к К (если К задано в виде аналитической формулы, что часто имеет
место), но может вести к увеличению времени решения в случае частных
обращений к К (в первую очередь, в итерационных методах). 2-й вариант
уменьшает время решения, но требует большей памяти ЭВМ и вынуждает
программиста самого оформлять массив /С,
В данном пакете использован «компромиссный» вариант (использующий
достоинства 1-го и 2-го вариантов): оформление К в виде процедуры-функции,
причем для экономии машинного времени обращение к К в программах
пакета производится лишь до выполнения циклов по а (параметру регуляри-
регуляризации) или т (номеру итерации) с расчетом необходимых заготовок»
в виде массивов, что несколько увеличило требуемую память, но существен-
существенно понизило машинное время.
Если же ядро К задано в виде таблицы (двух-, одно- или четырех-
четырехмерной), то, например, в случае К = К(х, s) обращение к К в виде про-
процедуры-функции следует выполнить в виде:
array fe[l:l, 1:/г], я#[1:1], ss[l:/i];
real procedure kern (x, s); value x, s; real x, s;
begin integer i, Ю, /, /0; Ю: = /0: = 1;
for i: = 1 step 1 until I do
begin if xx [i] > x then go to L 1; Ю: = / end i;
L 1: for /: = 1 step 1 until n do
begin if ss [/] > s then go to L 2; /0: = / end /;
L2: kern: = k [Ю, /0] end kern;
326
comment Ввод массива /С-ядра и формирование массивов л;л;-сетки узлов по
координате х D.115) и ss-сетки узлов по s D.116).
Отметим еще, что правые части f(x) или f(xTi x%) интегральных урав-
уравнений могут быть либо взяты непосредственно из эксперимента, либо по-
получены в результате аппроксимации экспериментальной/, например, сплай-
сплайнами [2,302, 539, 846, 877, 893]. Это относится также к пакетам про-
программ на ФОРТРАНе (гл. 6) и ШЫ (гл. 8).
$2. ПРОГРАММА volts 1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗОЛЬТЕРРЫ II РОДА
Входные параметры:
f[l:n] — правая часть/(#,), i= l,n,
х [ 1:п] — узлы Xi = s^ i = 1, п%
п — число узлов п^ 1—размерность массивов /, х и у,
kern— ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x,$)\
value x, s; real x, s;
eps — число s^O, используехмое при проверке выполнения условия
A.92'), которое практически записывается в виде
например, 8 = 10~5.
Выходные параметры:
у[1:п] — решение y(Xi), i= l,n,
dy\l:n] — погрешности решения Ау^ 1= 1,/г (см. A.95)),
ier — индикатор ошибки:
=0 —условие E.1), а также условия
E.2)
(при nmin = 1),
Xi< xi+lt i = 1, n— 1 E.3)
(монотонность сетки узлов) и
s>0 E.4)
выполнены,
ier = 1 —- нарушено хотя бы одно из условий E.2) —E.4),
ier = 2 — нарушено условие E.1).
Программа uoZ/s 1 обращается к модулям (процедурам-операторам) xni9
ydy.
procedure volts 1 (/, x, n, kern, eps, y, dy, ier);
value n, eps; array /, x, y, dy; integer n, ier;
real procedure kern; real eps;
begin
comment Проверка условий E.2)—E.4);
xni (x, я, 1, ier);
if ier = 1 then go to finish;
if <?/?s < 0 then begin t?r: = 1; go to finish end;
comment Вычисление yx, y2, AylyAy2, d/== 1—-j#«* t = 2,n, и провер-
проверка условия E.1);
if n = 1 then go to finish;
begin integer t; real xi, a, x2; array d [2:n]\
for f': = 2 step 1 until n do
begin ли : = x[i]; d[i]:= 1 — (xi — x[i — l])/2 x kern (xi, xi);
if abs (d [i]) < eps then begin ier: = 2; go to finish end end t;
327
а: = *[1]; х2\ = х[2];
у [2]: = (/ [2] + (х2 — а)/2 X kern (*2, я) X у [l])/d[2];
dy [2]: = 0;
if n = 2 then go to finish;
comment Вычисление z/j, Ay«, f = 3, я;
i/ф (/, x, d, /г, /ге/тг, 1, #> d(/)
end;
finish:
end ш/Zs I;
5.3. ПРОГРАММА voltf 1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ I РОДА
Входные параметры:
f[l:n]—правая часть f(Xi), i = 1, п,
х [ 1 : п] — узлы Xi = Si, i = 1, /г,
п — число узлов п^З — размерность массивов /, х и у,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern {x, s);
value x, s; real x, s;
eps — число s^O, используемое при проверке выполнения условия
B.67'), которое практически записывается в виде
например, & = 10~15.
Выходные параметры:
у \ 1 :п\ — решение у (хг), / = 1, /г,
dy \\:п) — погрешности решения Дг/,, i = \> п (см. B.68)),
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — все условия E.2) — E.5) выполнены (nmin — 3),
ier = 1 — нарушено хотя бы одно из условий E.2) — E.4),
ier = 2 — нарушено условие E.5).
Программа voltf 1 обращается к модулям (процедурам-операторам)
xnif ydy.
procedure voltf 1 (/, x, n, kern, eps, y, dy, ier);
value n, eps\ array /, x, y9 dy; integer n, ier;
real procedure kern; real eps;
begin
comment Проверка условий E.2) — E.5) и вычисление d^-~Ka, i =
= 27n\
xni(x, n, 3, ier);
if ier = 1 then go to finish;
if eps < 0 then begin ier: = 1; go to finish end;
begin integer i; real xi, a, x2, x3, h2, /i23, A3, aU a2y a3, /2;
array с [2:п\;
for /: = 2 step 1 until n do
begin xi: = x[i]; с [i]: = (xi — x [i — l])/2 x kern(xi, xi);
if afcs(c [/]) < ^/?s then begin ier : == 2; go to finish end
end i;
comment Вычисление уг, уг, Ayv Ay2;
a: = x[l];x2: = x[2]; *3: = a;[3];
A2 : = x2 — a; A23 : = x3 — a; A3 : = x3 — x2;
al : = B Xa — x2 — x3)/h2/h23; a2 : = A23/A2/A3;
^3 : = — A2/A23/A3; /2: = / [2];
y[l]: = (al Х/[1] + я2 Х/2 +a3 x/[3])/feem(a, a);
328
у [2]: - (/2 — Л2/2 X fe?r/i (*2, а) X у [ 1 ])/с [2];
ф20
comment Вычисление г/,-, Лг/г, i = 3,/г;
#dy(/, x, с, n, kern, — l, у, dy)
end;
finish:
end poW/ 1;
5.4. ПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ
И ДВУХМЕРНЫХ УРАВНЕНИИ ФРЕДГОЛЬМА И И III РОДА
Программа /rest 1 для решения одномерных уравнений Фредгольма II
и III рода. Программа ориентирована на случай хорошей обусловленности
СЛАУ, получающейся в методе квадратур. Для решения СЛАУ использу-
используется программа sistema [612], реализующая метод оптимального исключения
[143j, требующий построчного формирования матрицы, вследствие чего макси-
максимально возможный на данной ЭВМ (при использовании лишь оперативной
памяти) порядок СЛАУ повышается приблизительно вдвое (однако при этом
увеличиваются время решения и его неустойчивость).
Входные параметры:
f[l:n]—правая часть f(xi), i= 1, /г,
х[1:п] — узлы xt = Si, i= 1, я,
п — число узлов, п > 3 — размерность массивов /, х и у,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (х, s);
value x, s\ real x> s;
g" — функция g(x) (cm. C.82)), которую нужно оформить в виде real
procedure g(x); value x; real x\
Выходные параметры',
у [I : n] — решение у (xi), i = 1, nt
dy[l:n]—погрешности решения |Az/t|, i=lfn (см. C.91")),
ier—индикатор ошибки:
ier = O — оба условия E.2) и E.3) выполнены (птт = 3),
ier = 1 — нарушено условие E.2) или/и E.3).
Программа frest 1 обращается к модулям (процедурам-операторам) xnif
coef, sistema, rem.
procedure frest 1 (/, x, n, kern, g, yy dy, ier);
value n; array /, x, y, dy\ integer /z, ier\ real procedure kern, g\
begin integer n 1;
comment Проверка условий E.2) и E.3);
xni (x, /i, 3, ier);
if ier = 1 then go to finish; n 1 : = n + 1;
begin array k[l:nl]9 a, /1, r[l:n\; integer /;
procedure fact (n, i, k)\
value n, i; integer n, i; array k\
comment Процедура построчного формирования матрицы СЛАУ;
begin real xi; integer /; xi: = x[i];
for /: = 1 step 1 until n do
k [/]:== (if i = / then g(xi) else 0) — a [j] x kern(xi, x [/]);
k\nl]: = fl[i]
end fact;
comment Вычисление коэффициентов а/, /= 1, . .. , n (см. C.87));
coef (x, /z, a);
comment Решение СЛАУ C.85);
for i: = 1 step 1 until n do /1 [i]: = /[/];
sistema (nl, k, fact);
for i:= 1 step 1 until n do y[i]: = k[i];
comment Вычисление квадратурных остатков fa,
i= 1, я, согласно C.9Г);
329
rent (у, х, п, kern, г);
comment Решение СЛАУ C.85');
for i: = 1 step 1 until n do /1 [i\: = f[i] + r [i];
sistema (nl, k, fact);
comment Вычисление погрешностей решения \Ay(\, i = lf n,
согласно C.9Г);
for i: = 1 step 1 until n do dy [i]'- = abs(y[i\— k[i])
end;
finish:
end frest1;
Программа frest 2 для решения одномерных уравнений Фредгольма II
и III рода. Программа ориентирована на случай плохой обусловленности
СЛАУ, получающейся в методе квадратур. Для решения СЛАУ исполь-
используются программы unsymdet, unsymaccsolve, unsyrnsol, innerprod [687],
реализующие алгоритм Краута с итерационным уточнением решения и с
использованием двойной точности при вычислении скалярных произведений.
При этом программа innerprod вычисления скалярных произведений с двой-
двойной точностью реализована на ГДР-АЛГОЛе с помощью автокода БЭМШ
и ФОРТРАНа (а на БЭСМ-АЛГОЛе — с помощью автокода ИПМ)*.
Входные параметры:
f[l:n] — правая часть f(x{), /= 1,/г,
х [ 1 : п] — узлы xt = S;, i = 1, /г,
п — число узлов п^З — размерность массивов /, х и у,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (х, s);
value x, s; real x, s;
g — функция g(x) (cm. C.82)), которую нужно оформить в виде real
procedure g(x); value x\ real x\
eps — наименьшее число >0 в используемой ЭВМ, для которого еще
выполняется неравенство 1 + eps> 1 (для БЭСМ-6 eps^lO~12, для ЭВМ
типа М-20 eps ж 1(Г9, для ЕС ЭВМ eps= К)).
Выходные параметры:
у [1 :п] — решение y(xt), i = 1, п (если оно найдено),
dy [1 :п] — погрешности решения \AycU i=l, n (см. C.9Г')),
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — оба условия E.2) и E.3) выполнены (пт\п = 3) и, кроме того,
решение у (по программам unsymdet и unsymaccsolve) найдено,
ier = 1—нарушено условие E.2) или/и E.3),
ier = 2 — решение у (по программам unsymdet и unsymaccsolve) не найдено.
Программа frest 2 обращается к модулям (процедурам-операторам) xnif
unsymdet, unsymaccsolve, rem.
procedure frest 2 (/, x, n, kern, g, eps, y, dy* ier)\
value n, eps; array /, x, y, dy; integer n, ier;
real procedure kern, g; real eps;
begin
comment Проверка условий E.2), E.3) и условия eps>0;
xni (x, n7 3, ier);
if ier = 1 then go to finish;
if e/?s<0 then begin ier:~ 1; go to fmis/i end;
begin integer f, /, /, d2; real 5, aj\ dU
array &, kk[\:n, 1 :n], fc, so/, dis[\ :n, 1:1], r[l :/i];
integer array m/ [ 1 : n];
comment Формирование матрицы и правой части СЛАУ;
for /: = 1 step I until n do
begin s: = x[j];
* Текст innerprod не приводится.
330
e/: = ((*f i<n then x[j+l] else x\n])~
(if /= l then x[l] else *[/—1])) x .5;
for i: = 1 step 1 until n do k [i, j]: = && [/, /]: =
(if t = / then g(x [i]) else 0) — aj x kern (x [i], s)
end /;
comment Разложение матрицы kk с помощью алгоритма Краута
на произведение нижней треугольной матрицы и верхней треуголь-
треугольной матрицы с единичной диагональю;
unsymdet (п, eps, kk, d\, d2, int, fail);
go to fail U fail: ier: = 2; go to finish; faill:
for t:= 1 step 1 until n do b [i, l]:=f[i];
comment Решение СЛАУ C.85) (с итерационным уточнением);
unsymaccsolve (п, 1, k, kk, int, b, eps, sol, dis7 /, illl);
illl:
for i: = 1 step 1 until n do у [i]: = sol[i, 1];
comment Вычисление квадратурных остатков Rh i = 1, n, соглас-
согласно C.9Г);
r^m (y, x, n, fem, r);
comment Решение СЛАУ C.85') (с итерационным уточнением);
for i: = 1 step 1 until n do b [i, 1]: = / [t] + r [/];
unsymaccsolve (n, 1, fe, ЙЛ, int, b, eps, sol, dis, I, ill);
ill:
comment Вычисление погрешностей решения \Ayt\, i=l,n, со-
согласно C.91");
for i:=l step 1 until n do dy [i]: = abs(y [i] — sol[i, 1])
end;
finish:
end frest 2;
Программа frest 3 для решения двухмерных уравнений Фредгольма II
и III рода. Для решения СЛАУ (получающейся в методе квадратур) исполь-
используется программа sistema, что дает возможность увеличить максимально
возможное число узлов (хотя это связано с увеличением времени решения
и его неустойчивости).
Входные параметры:
f[l:nU 1 : л2] — правая часть f(xlp x2f), i = 1, nl9 j =й~п2У
xl[l: nl] —узлы хг. = slv i=l, nl9 по координате хг,
п\ —число узлов пх > 2 по xlf
х2 [1 : п2] — узлы х2. = s2., / = 1, п2, по координате х2,
п2 — число узлов п2 > 2 по яа,
^гя — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (xl9
si, x2, s2); value xl9 si, x2, s2; real xl, si, x2, s2;
g- — функция g(xu x2) (cm. C.100)), которую нужно оформить в виде
real procedure g(xl, x2); value xl, x2; real xl, x2;
Выходные параметры:
y[l:nl, I:n2] — решение y(x1{, x2/), i= 1, nlt j= 1, n2,
ier — индикатор ошибки:
ier ==0 — оба условия E.2) и E.3) (по обеим координатам) выполнены (л1ш1п=
ier = 1—нарушено условие E.2) или/и E.3).
Программа frestS обращается к модулям (процедурам-операторам) xniy
coef, sistema.
procedure fresfi (/, xl, nl, x2, n2, kern, gt y, ier);
value nl, n2; array /, xl, x2, y;
integer nl, n29 ier; real procedure kern, g;
331
begin integer ft, m;
comment Проверка условий E.2) и E.3) по обеим координатам;
xni(xly nl, 2, ier)\
if ier = 1 then go to finish;
xni (x2, я2, 2, Jer);
if ier = 1 then go to finish;
n: = я 1 x ft2; m : = ft -f- 1;
begin array Hne[l:m], a[l:nl], h[l:n2]; integer t, /, до;
procedure fact (ft, г, /me);
value n, г; integer ft, z; array /me;
comment Процедура построчного формирования матрицы СЛАУ;
begin real x\U Щ\ integer k, l\ i: = entier ((z—l)/ft2) + 1;
j: = z— (/ — 1) x ft2; xli: = xl [i]; x2j: = x2[j\;
for w:= 1 step 1 until n do
begin k: rentier ((w—l)/ft2) + l; t: = w—(k—1) x n2;
line [w] : = (\f i = k/\j = l then g(xli, x2j) elseO) —
a[k] x b[l] X kern (xli, xl [k], x2]\ x2[l])
end w\
line [m] : — / [i, j]
end fact;
comment Вычисление коэффициентов ak, k= 1, . . . , n19 и bi, I =*
= 1, .. .,n2 (см. C.105));
coef(xlynly a); coef (x2, ft2, b);
comment Решение СЛАУ;
sistema (my line, fact);
for w: = 1 step 1 until n do
begin i: = entier ((w— l)/ft2) + 1; j : = w — (i— 1) x ft2;
y[i,j]:= line[w]
end w
end; finish:
end frest 3;
S.S. ПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ФРЕДГОЛЬМА (И ВОЛЬТЕРРЫ) I РОДА
Программа tikh\
Входные параметры:
/ [ 1 : /] — правая часть / (хг), i = Г7Т,
х[1 :/] — узлы хи i= 1, Л по координате х,
/—число узлов / > 2 по х,
s[l :п]—узлы s/, j= 1,п, по координате s,
ft—число узлов ft > 2 по s,
йвт — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x, s);
value x, s; real x, s;
deltaf—поточечная среднеквадратическая погрешность S/>0 правой
Ъ
части (б = bf УЪ — о — см. D.64)),
ksi — погрешность g>0 оператора (см. D.43)),
q — порядок регуляризации д>0 (см. D.68), D.124)—D.126)),
alpha U thetay alpham—значения ах, 9, ат в законе D.132) изменения
параметра регуляризации a (ax>am>0, 0<;9<1).
Выходные параметры:
outl—процедура-функция вида: boolean procedure outl (alpha); value
alpha: real alpha; если outl = true при a = at (см. D.132)), то будет печать
«ь 1^аь уар
out2 — процедура-функция вида: boolean procedure out2 (alpha); value
alpha; real alpha; если out2 = true при а = а/, то будет печать аг-, lgat-, p
(см. D.79), DЛ27)), lgfr, & (см. D.82')), lgb. ^ (см. D.82), D.135')),
332
res [I :7] —массив, содержащий 7 характеристик решения уа (если оно
l
найдено): res[l] = ad — значение arf?[am, аг], найденное способом обобщен-
обобщенной невязки согласно D.85) или D.135), res [2] = ]/p(arf)_ см. D.79), DЛ27),
res[3] = res [2]/ ||/||Le, res [4] = x(arf) — см. D.82), res [5] = ц> — см. D.81),
D.133), D.134), res [6] = || z/aHlL2- см. D.128), res[7] =Фаа1уаа> /]-
см. D.78),
y[\:n]— решение yad (s/), / = lTfiT (если оно найдено),
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — условие E.2) (nmin = 2), а также условия:
I > Anin E.6)
(при /min = 2),
*, < *,+,, i = 1, / — 1, E.7)
Sj<sf+U /= 1, /г—1, E.8)
6/>0, g>0, E.9)
<7>0, E.10)
осх>ат>0, 0<8<1 E.11)
выполнены и, кроме того, ad и yad найдены,
ier = 1—нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6)—E.8),
ier — 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.9)—E.11),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ш* = 2,
?вг = 4 — решение #arf (и значение ад) не найдено из-за машинной вырожден-
вырожденности СЛАУ D 121) даже при а = а± (в этом случае попытки получения
решений уа при a = a2, cc3, . . ., am не делаются)—-рекомаядация: увеличить
значение ar
Программа tikhl обращается к модулям: процедурам-операторам xniy
coef, zgf, ckk, soil, gdisc и процедурам-функциям qat, disc, nortnl2.
procedure tikhl (/, x, /, s, n, kern, deltaf, ksi, q,
alpha!, theta, alpham, outl, out2, res, y, ier)\
value /, я, deltaf, ksi, q, alpha!, ^/a, alpham:
array /, д:, s, res, #; integer /, n, ier; real procedure Аег/г;
real deltaf, ksi, q, alphal, theta, alpham;
boolean procedure out I, out2;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6)—E.11);
xni (x, /, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ter);
\^~\(deltaf>Q/\ksi>'O/\qat(q, alphal, theta, alpham))
then ier : = ier + 2;
if ier>0 then go to finish;
begin real /ge, de#a, alpha, alphap, dl, mu, d2, d3, alphaf,
nf, nf2, alphad, beta, ny;
integer m, ia, j; boolean e, el, e2;
array p[l:l]y r, //, ck[l:n\, z[l:l, l:n],g, a [1 :n X (n + l)/2],
cfel [2:n];
/ge:= l//nA0); delta: = deltaf X sqrt(x[l] — x[l]);
comment Вычисление piy r}; Zij = rjKij, GkJ-t Fk, Ckk$
i=LT i, k= lTn, Cktk^=Ck^Ukt k = 2^Г(см. D.119), D.122) -
D 126));
coef (x, I, p); coef (s, n, r);
zgf (A x, p, /, s, г, п, &егя, г, g, //);
ckk (s, г, я, ^, ck, ckl);
m: = ln{alphamlalphal)jln (theta) + 1; e: = ksi=? 0;
begin array 6ft [1 : if ? then 2 x m else ml;
333
comment 1-й этап — определение \л (см. D.133), D.134)) и|3(а/)
(см. D.127), D.132)), а также \\уа1\\ь2 (см. D.128)) при g ф 0;
el : = true; ia: = 0; d2 : = d3 : = 0;
for alpha: = alphal, alpha X theta while
alpha > alpham x sg/^ (theta) do
begin m:= ш + 1;
comment Отыскание решения г/аг Если решение найдено,
то управление передается на метку fail2. Если решение
не найдено и alpha = alphol, то программа tikhl заканчи-
заканчивает работу (при неопределенных res, у и ier = 4). Если
же решение не найдено, но alpha<alphal, то фиксируется
ар — минимальное at, при котором еще находится решение
СЛАУ D.121), и управление передается на метку stage2;
soil (g\ /У, с/г, c&l, n, alpha, у, faill, a);
go to faП2;
faill: if ш = 1 then begin t>r: == 4; go to finish end;
alphap: = alpha/theta; go to stage2;
fail2:
comment Условная печать a,-, lga^, ya.;
if О&П (alpha) then
/?rm? (new line/'alpha = ", alpha,
"Ig (alpha) =", In (alpha) x /g'e, newline,
"solution yalpha(s):f\ newline, y, newline);
comment Вычисление невязки ^1 = Р(аг) (см. D.127)) и
(при g^=0) нормы d2 = \\yai\\L2 (см. D.128));
bn[ia]: = dl:==disc(f, p, /, f/, /г, г);
if e then bn[ia + т]: = d2: = norml2 (у, г, /г);
if ш = 1 then go to /ш/3;
if dl>mu\/ (ef\d2<d3) then el: = false;
comment Присвоения (при а = аг или при a < ax и моно-
монотонности невязки C(a) и нормы ||^/а|к2 (при ?=^=0)):
|х = dl, d3 == d2 (при g ^= 0), aF = а.
Если хотя бы одно нарушение монотонности имело место,
то фиксируется а,* (см D.134)) — минимальное а, при кото-
котором еще нет нарушений монотонности. При этом цикл
по а будет продолжен, но уже без уточнения значения fi;
fail3: if el then
begin mu: = dl\ if ? then d3 : = d2; alphaf: = alpha
end
end a/p/za;
alphap: = alpham\
comment 2-й этап — определение ad (из условия D.135)) и услов-
условная печать a,, lga,, |Зг-, lgpf, ?,, lgg,, x,;
/г/: = norm/2 (/, р, /); nf2: = nf \ 2;
е2 : = /г/2 < delta \ 2 + /им; if e2 then
begin alphad: = alpha 1;
for /:= 1 step 1 until n do y[j]: = O;
go to faili end;
gdtsc (alphal, theta, alphaf, alphap, alpham,
bn, mu, delta, ksi, out2, alphad);
comment Отыскание решения yad;
soil (g, //, ck, ckl, n, alphad, y, finish, a);
faitA:
comment Вычисление элементов массива res\
res [1]: = alphad',
beta:= if e2 then /г/2 else disc(f, /?, /, yt n, z);
res [2]: = sqrt (beta);
334
res [3]: = if e2 then 1 else res [2]/nf;
ny: = norml2 (y, r, n);
res [4]: = beta — ((delta + ksi x ny) \ 2 + mu)\
res [5]: = m«; res [6]: = ny;
res [7]: = beta + alphad x ny \2
end end;
finish:
end
Программа
Входные параметры:
f[\ :l]—правая часть f(xi), i= 1, /,
л:[1 :/] — узлы xt, i= 1, /, по координате д:,
/ — число узлов />2 по х,
г/П 1 : /г] — точное решение ~y(sj)y j = 1, /г,
s 11: п] — узлы S/, / = 1, п, по координате s,
/г — число узлов п > 2 по s,
&6?m — ядро, которое нужно оформить в виде real
procedure kern(x, s); value x, s; real x, s;
g— порядок регуляризации, g > 0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
alphal, theta, alpham — значения а3, 0, am в законе D.132) изменения
параметра регуляризации a(a1>am>0, O<0<1).
Выходные параметры:
outl — процедура-функция вида: boolean
procedure outl (alpha); value alpha; real alpha;
если outl = true при a = a/ (см. D.132)), то будет печать cty, lga*, yap
out2 — процедура-функция вида: boolean
procedure out2 (alpha); value alpha; real alpha;
если out2 = true при a = af, то будет печать a/, lga/, ||ya{-—t/*|lL1/l|#*lk
(cm. D 136)),
out3 — процедура-функция вида: boolean
procedure out3 (alpha); value alpha; real alpha;
если O?^3 = true при а = а,, то будет печать o^, lga^, \\ya{ — yt\\c/\\yt\\c
(см. D.137)),
res [I :7] — массив, содержащий 7 характеристик решения yaopt (если оно
найдено): res[l] = aopt — значение aopt€ [am, аг] — см. D.138), r^s[2] =
= УгР(«ор/)-см. D.79), D.127), res[3] = res[2]/ II /|U2, ^s[4] = \\уаор<\\ьш -
см. D.128), res [5] = Фаор/ [уа<3^, /] - см. D.78)), res [6] = || yaopt — yt |Ut,
у [1 :n] —решение yaopt(sj)> /= 1» ^ (если оно найдено),
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — условия E.2), E.6) —E.8), E.10), E.11) (пт?п == U = 2) выпол-
нены и, кроме того, аор^ и #а , найдены,
/бг= 1 — нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.11),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и /ег = 2,
f^r = 4 — решение уаор/ (и значение aopt) не найдено из-за машинной вырож-
вырожденности СЛАУ D.121) даже при а = ах (в этом случае попытки получе-
получения решений уа при a = a2, a3, . . . , am не делаются) — рекомендация: уве-
увеличить значение а1#
Программа tikh2 обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coef, zgfy ckky soil и процедурам-функциям qat, norml2, nor mo, ratel2,
rateCy disc.
procedure tikh2 (/, x9 I, yt, s, n, kern, q,
alphal, theta, alpham, outl, out2, out3, res, yt ier);
value U n> q> alphal, theta, alpham;
335
array f, x, yt, s, res, y; integer /, n, ier; real procedure kern*
real q, alphal, theta, alpham;
boolean procedure outl, out29 out3;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10), E.11);
xni(x9 l9 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if iqat(q, alphal, theta, alpham) then ier : = ier + 2;
if ier>0 then go to finish;
begin real Ige, rl2, re, normm, alpha, s/2, alphaO, sc, beta;
array p[\:/], r, //, cfe[l:n], 2[1:/, l:/i], g, a[l:/ix(n + l)/2],
del [2:/i];
l
comment Вычисление /?,-, r7, ^/ = гД//, Gk/, Fk, Ckk, i= 1, l9 /, fe =
= l,n, СЛ.Л-1 = СЛ.1,Л, k = 2,n (cm. D.119), D.122) —D.126));
coef(x9 U p)\ coef{s, n, r);
2ff/(/, ^, P. ^ s, r, n, *ern, г, g, //);
ckk(s, r, n, ^/, ей, ck\)\
rl2: = norml2 (yt9 r, n); re: = normc (yt> n); normm: = 0;
comment Цикл по a D.132);
for alpha: = alpha\9 alpha x theta while
a/p/ia > alpham X s^/r^ (theta) do
begin
comment Отыскание решения yar Если решение найдено, то
управление передается на метку fail2. Если решение не най-
найдено, то при alpha = alpha\ программа tikh2 заканчивает работу
(при неопределенных res, у и ier = 4), а при alpha <z. alphal
управление передается на метку /ш/3;
soll(g, //, ей, с&1, n, alpha, у, /at/1, a);
go to fai/2;
faill: if alpha = alphal then begin ier: = 4; go to finish end;
go to /ш'/З;
7
comment Условная печать at-, lga*, j/a.;
if o^l (alpha) then
prm? (newline, "alpha = ", alpha,
"Ig (alpha) =", In (alpha) x /^, newline,
"solution yalpha(s):\ newline, y, newline);
comment Вычисление относительной погрешности решения
(sl2)i (см. D.136)) и условная печать a/, lga/, (sl,)*-;
s/2 : = ratel2 (y, yt9 r, n)/rl2;
if оаЙ (alpha) then
/jrw/ (newline, "alpha = ", alpha,
" Ig (alpha) =f\ In (alpha) x /g"?,
"norml2 =", s/2);
comment Присвоения (при а = ax или при a^cxj и
s/2 < normm): normm = s/2, alphaO = alpha;
if a//?/ia = alphal Vs/2 < normm then
begin normm : = s/2; alpha 0: = а//?/ш end;
comment Условная печать a*, lg"ccj, (sc)i (см. D.137));
if сш/3 (alpha) then
begin sc: = ratec (y, yt, n)jrc\
print (newline, "alpha =", a/p/ia,
"/gr (aZpAa) =", /n (a/p/ia) x /ge,
"normc=^\ sc, newline) end
end
comment Отыскание решения yaopV
soil (g, ff, ck, ckl, я, alphaO, y, finish, a);
136
comment Вычисление элементов массива res;
res [I]: = alphaO; beta: = disc (/, p, /, y, n, z);
res [2] : --= sqrt (beta); res [3]: = res [2]/norm/2 (/, p, /);
res [4]: = norml2 (y, r, я); res [5] : = beta + alphaO x res [4] f 2;
res [6]: = ratel2 (y, yt, r, n); res [7] : = normtn
end;
end tikh2;
Программа tikh 3
Входные параметры:
/[1:/] — правая часть f{xt), ?=1,/,
x[l'J]— узлы xi% i = 1, /, по координате xf
I — число узлов />2 по х,
s[l : я] узлы S/, / = 1, лг, по координате s,
п — число узлов п > 2 по s,
feera— ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (x, s);
value x, s; real x, s;
q — порядок регуляризации, g>0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
alpha — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
res[\ :4] —массив, содержащий 4 характеристики решения уа (если оно
найдено): res[ 1] = V$W) — см. D.79), D.127), res[2] = res [1]/|| /||l2,
^[3]=||ya||Lf —см. D.128), г^[42^_Фа[уа, ?]-см. D.78),
у[ 1:л] — решение ya(sf), /= 1, п,
i>r — индикатор ошибки:
fer = 0 —условия E.2), E.6) —E.8), E.10) (nmin = /min == 2), а также условие
а>0 E.12)
выполнены и, кроме того, решение уа найдено,
ier= 1 — нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.12),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
ier=4 — решение уа не найдено из-за машинной вырожденности СЛАУ
D.121) (рекомендация: увеличить значение а).
Программа tikh3 обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coefi zgfy ckky soil и процедурам-функциям disc, norml2.
procedure tlkh3 (/, x, I, s, n, kern, q, alpha, res, y, ier);
value /, n, q, alpha; array /, x, s, res, y; integer /, n, ier;
real procedure kern; real q, alpha;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6)—E.8), E.10), E.12);
xni (x, /, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if n (q > 0 Л alpha > 0) then ier: = ier + 2;
if ier>0 then go to finish;
begin array p[l:l], r, //, ck [1 :/i], z[l:/, 1 :/i], g[l :я Х (п+ l)/2],
c*l [2:л];
real beta;
comment Вычисление /?,;, r/, ztj ==_rjKij, Gkf9 Fk, Ckk, i= 1,/,
/, Л=О, С,, ,_! = ?:,__!,„ & = 2Г^ (см. D.119), D.122)—D.126));
coef (x, /, yt?); co^/ (s, n, r);
zef (/» х, р, I, s, r, n, kern, zt g, ff);
ckk (s, r, m, ^, ck, ckl);
comment Отыскание решения уа. Если решение не найдено, то
управление передается на метку fail (при неопределенных res, у
и ier = 4);
22 5-1018 337
soil (g, //, ck, ckl, nt alpha, y, fail, g);
comment Вычисление элементов массива res;
beta: = disc (f, p, I, y, n, z); res [l]: = sqrt (beta);
res[2]: = res[l]/norml2 (f, p, /); res [3]: = norml2 (y, r, n);
res [4]: = beta + alpha x res[3] f 2; go to finish;
fail: ier: = 4 end;
finish:
end «Ш;
Программа tikh\
Входные параметры:
x\\\l\ — узлы xt= 1,1, по координате x,
I — число узлов />2 no x,
s[lin] — узлы s/, / = l,n, по координате s,
n — число узлов n ¦> 2 no s,
&era — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x, s);
value x, s; real #, s;
9 — порядок регуляризации, ?>0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
alpha — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
b[l:n, 1:/] —матрица В (см. D.130)),
ier — индикатор ошибки:
fer = 0 —условия E.2), E.6) —E.8), E.10), E.12) (nmin = 1тщ = 2) выпол-
выполнены и, кроме того, матрица В найдена,
ier= 1—нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.12),
ier = 3— объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
ier = 4 — матрица В не найдена (рекомендация: увеличить значение ос).
Программа tikh\ обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coef, ckk, cholinversion2 [687] и процедуре-функции rho.
procedure tikhi (x, /, s, n, kern, q, alpha, b, ier);
value /, n, q, alpha', array x, s, b; integer /, n, ier;
real procedure kern; real q, alpha;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6)—E.8), E.10), E.12);
xni(x, 1, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if (q > 0 Д alpha->0) then ier : = /ег + 2;
if ier^>0 then go to finish;
begin real rO, r&, s&, r/, s/, g, xi, d, pi; integer k, kl, /, i;
array p[liI], r, c?*[l:/i]f ekl[2:n], a[l:nx (n+ l)/2];
comment Вычисление рь r/, Ckkb i = 1, /, /, k = 1, n, C^f ^_i = Ck—\,k>
k=27n{cu. D.119), DЛ24) —D.126)) и р (см. D.120));
сое/ (%, /, p); coef (s, ny r);
ckk(s, r, n, q, ck, ckl);
r0: = rho (r, n);
comment Вычисление элементов нижнего треугольника положительно
определенной симметричной матрицы аС + G (см. D.131)) в виде
одномерного массива а с расположением элементов по строкам;
for k:= I step 1 until n do
begin rk: = r[k); sk: = s[k]; kl: = k X (k- l)/2;
for /:= 1 step 1 until k do
begin rj: = г [/]; sj: = 5 [/]; g : = 0;
for i: = I step 1 until / do
begin xi: = * [/];
g: = g + p[i]/r0x (rk x fern (xi, sk)) x (rjxkern (xi, sj))
end /;
a [Al + /]: = a//?/ia x (if / = k then ck [k]
338
else
if / = k— 1 then ck\ [k] else 0) +g
end /
end k;
comment Нахождение обратной матрицы А = (aC + G)
(cm. D.131)) по схеме (методу квадратных корней) Холецкого*
Если обращение выполнилось, то программа идет дальше, в про-
противном случае процедура tikM заканчивает работу при неопреде-
неопределенной Ь и ier = 4;
cholinversion2 (n> a, fail); go to fail I;
fail: ier : = 4; go to finish;
faill\
comment Вычисление матрицы В (см. D.130));
for k: = 1 step 1 until n do
begin kl:= kx (k— l)/2;
for /: = 1 step 1 until / do
begin pi: = p [/]; xi: = * [/]; d : = 0;
for /: = 1 step 1 until n do
d : = d + я [И fe > / then ?1 + / else k + j X (/ — l)/2] x
(piIЛ x И/] x ^т(л:/, s [/])));
6 [й, f]: = d
end i
end k end;
finish:
end tikh\\
Программа tikhb
Входные параметры:
/[1:/] — правая часть ?(х{), ?=1,/, заданная на сетке узлов х[1:1]
программы tikh4,
x[l:l] — узлы х{> i= 1, /, по координате х9
I — число узлов / > 2 по х (число столбцов в матрице 5),
s[l:n] — узлы S/, /= 1,п, по координате s,
п — число узлов п > 2 по s (число строк в матрице 5),
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (я, s);
value x9 s; real x, s;
а/рЛа — значение (одно) параметра регуляризации а>0,
Ь[\ :п, 1 :/] — матрица В (см. D.130)), рассчитанная по программе НЫЛ.
Выходные параметры:
res [1:4] — массив, содержащий 4 характеристики решения уа:
res[l]^VW) — см. D.79), res [2] = res [l]/||7||Le, r^s [3] = || ya ||Lff
res [4] = Фа [уа, Ъ — см- D-78)'
у [ 1 : п] — решение уа (sy), / = 1, п,
/ег — индикатор ошибки:
^г = 0—условия E.2), E.6) (nmin = /min = 2) выполнены,
/ег = l—нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6),
ier = 2 — нарушено условие E.12),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
Программа //&Л5 обращается к модулям: процедурам-операторам xnit
coef и процедурам-функциям disc, norml2.
procedure tikhb (/, x% /, s, n, &е/тг, alpha, 6, res, y, ter);
value /, n, alpha; array /, л:, s, 6, res, y;
integer /, n, ter; real procedure feem; real alpha;
begin
comment Проверка условий E,2), E.6), E.12);
xni (xy I, 2, ier);
if ier = 0 then л;ш (s, n, 2, /е
22* 535
if alpha <: 0 then ier: = ier + 2;
if ier = 0 then
begin array p[\:/], r[\ :n], z[l :/, 1 :/i];
integer /, t; real a, r/, s/, beta;
comment Вычисление pu rh Zij=rjKij, tjj, i = 1, /, / = 1, л (см. D.119),
D.129));
сое/ (#, /, /?); сое/ (s, n, r);
for /: = 1 step 1 until n do
begin a : = 0; r/: = r [/]; s/: = s [/];
for i: = 1 step 1 until / do
begin a: = a + b[/, i] x /[/];
^ [U }]: = r/ x bn(a; [t], s/)
end f;
У [Л : = a
end /;
comment Вычисление элементов массива res;
beta : = disc(f, p, /, y, ft, z); res [1]: = s^r/ (beta);
res [2]: = res[l]/norml2 (/, p, /); res [3]: = norml2 (y, r, ft);
res [4J : = beta + alpha x res [3] f 2
end
end tikhb;
Программа convl
Входные параметры:
/ [1 : /] — правая часть f(x{)9 i = 1, /,
x [1 : /] — узлы xv i= 1, /, по координате х,
I — число узлов / > 2 no x,
s[l:ft] — узлы s/, /== 1, ft, по координате s,
/г — число узлов ft > 2 no s,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x);
value x; real x\
cky hk, dk — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то ck = 0), шаг (постоянный) и верхний предел численного инте-
интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204)— D.212)),
Л и /2 — параметры ^ > 1 и h > 2, входящие в D.244) и D.245),
s«p — параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
deltaf — поточечная среднеквадратическая погрешность правой части
F = bf У а —с — см. D.64),
ksi — погрешность |>0 оператора (см. D.43)),
q — порядок регуляризации, q > 0 (см. D.189)),
alphal, theta, alpham — значения а1э 6, ат в законе D.132) изменения
параметра регуляризации а(аг > ат>0, 0<В< 1).
Выходные параметры:
out\—процедура-функция вида: boolean
procedure out\ (alpha); value alpha; real alpha;
если outl = true при a = af (см. D.132)), то будет печать a,-, lgat-, #а„
out2 — процедура-функция вида: boolean
procedure out2 (alpha); value alpha; real alpha;
если оий = true при a = at., то будет печать a,, lgat«, Pt- (см. D.79), D.231),
D.248)), lgp., lt (cm. D.82')), lg^, x, (см. 4.82), D.135')),
res [I :7] — массив, содержащий 7 характеристик решения уа :
res [1] = arf — значение a^G [am, aj, найденное способом обобщенной невязки
согласно D.85) и D.135), res [2] == V?Wd> — CM- D-79)» D.231), D.248), res [3] =
= res [2]/n7l|Lf, res[4]=x(arf) — см. D.82), res[5] = ^ — см. D.81), D.133),
D.134), res [6] = \\yad\\L2-см. DЛ28), r^ [7] = Ф^ \y^ J] — см. D.78),
у [ 1: n] — решение #a</ (s/)t / = 17^»
340
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — условия E.2), E.6) —E.11) (птт = 1тщ = 2), а также условия
^?*+1>2, E.13)
Zx> 1, /2 >2 E.14)
выполнены,
ier=l — нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier =2 — нарушено хотя бы одно из условий E.9) — E.11),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
ier = 4: — нарушено хотя бы одно из условий E.13), E.14),
ier =5 — объединение случаев ier = 1 и ter==4,
ier = 6 — объединение случаев ier = 2 и /ег = 4,
ier =7 — объединение случаев ier = 1, ier = 2 и fer = 4.
Программа conal обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coef, uvlf, sol2, gdisc и процедурам-функциям qat, chd, domega, cdisc, norml2.
procedure convl (f, x, I, s, n, &era, c&, ftfe, dk, /1, Z2, sap,
deltaf, ksi, q, alphal, theta, alpham, outl, out2, res, y, ier)\
value Z, /г, c&, ft/г, dk, /1, Z2, sap, deltaf, ksi, q, alphal, theta, alpham;
array /, #, s, res, y; integer /, n, II, 12, sup, ten real procedure kern;
real ck, hk, dk, deltaf, ksi, q, alphal, theta, alpham;
boolean procedure outl, out2;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6) — E.11), E.13), E.14);
xni (x, Z, 2, ier);
if ier — 0 then xni (s, n, 2, ier);
if ~i {deltaf>Q /\ Ы > О Д qat (q, alphal, theta, alpham))
then (?r : = ier -{- 2;
if ~i (cud(dfe, hk,dk) j\ll^l /\ 12 > 2) then rer: = /er + 4;
if ier = 0 then
begin real Ige, delta, hw, d2, d3, alpha, dl, mu, alphaf, nf, /г/2, alphad,
beta, ny;
integer nw, m, ia, f; boolean e, el, e2; array p [1: /], r [1 :/z];
/g-e:= 1///гA0); delta: == delta[2isqrt(xll]—x[l});
comment Вычисление pt-, f= 1,/, /7, /= 1, n (см. D.119)),
hw==A(» (cm. D.244));
сое/ (*, I, p); coef (s, n, r);
hw: = domega (x, Z, Zl); пш : = Z2 + 1;
m: = In {alpham I alphal)! In (theta) + 1;
e: = /sst 9^ 0;
begin array uw, vw, Iw, fw [1 : nw], bn[l : if e then 2 x /n else m];
comment Вычисление t/(oo), F(w), L(co), | T7 (со) | (см. D.222) —
D.228));
uvlf (/, x, I, kern, ck, hk, dk, hw, nw, uw, vw, Iw, fw);
comment 1-й этап — определение \i (см. D.133), D.134))
и р(а,) (см. D.132), D.248)), а также \\ущ\\ь2
(см. D.128)) при 1Ф0 или outl (ax) = true;
stagel: el: == true; ia: = 0; d2 : = d3 : = 0;
for alpha: = alphal, alpha x #zeta while
alphaf alpham x sqrt (theta) do
begin ш : = ш + 1;
comment Вычисление решения yai при outl (at) = true или
g^O. Условная печать ah \gat, yar Вычисление невязки
dl=-p(ax) (см. D.248)) и (при 1ф6) нормы d2 = ||i/ai|Lt
(см. D.128));
if outl (alpha) V в then
soZ2 (uw, vw, lw} hw} nw} supf q, alpha3 s, n, y);
341
if oui\ [alpha) then
print (newline, "alpha—", alpha*
"lg {alpha) = ", In (alpha) x Zg"e, newline,
"solution yalpha(s):", newline, y, newline);
bn [ia]: — d\ : = aWsc (9, alpha, hw, nw, lw, fw);
if e then Ьп [ш + т]: = d2 : = normVl (у, г, /г);
if fa = 1 then go to fail\\
\\d\>mu \l (e f\ d2<d3) then e\ : = false;
comment Присвоения (при ос = аг или при а<^ и
монотонности невязки |3 (а) и нормы || уа \\ь2 (при ? Ф 0)):
[х = dl, d3 =^ d2 (при g gt 0), ccf = а. Если хотя бы одно
нарушение монотонности имело место, то фиксируется а?
(см. D.134)) — минимальное а, при котором еще нет на-
нарушений монотонности. При этом цикл по а будет про-
продолжен, но уже без уточнения значения [х;
faith if el then
begin mu: = dl; if e then d3: = d2\ alphaf 1 = alpha
end
end alpha;
nf: = norm/2 (/, p, l)\ nf2 : = nf \ 2;
e2: = n/2 <: de/fa f 2 + ma;
if e2 then begin alphad: = alpha\\
for /:=1 step 1 until n do у [j]: = 0;
go to /ш/2 end;
comment 2-й этап — определение ad (из условия D.135))
и условная печать о^., lgat., p,f lgpf, ^., lgg,, xf;
stage2:
gdisc(alphal, theta, alphaf, alpham, alpham,
bn, mu, delta, ksi, out2, alphad)',
comment Вычисление решения yad;
sol2 (uw, vw, Iw, hw, nw, sup, q, alphad, s, n, y);
failTx
comment Вычисление элементов массива res',
res [ 1 ]: = alphad;
beta: = if e2 then n/2 else cdisc(q, alphad, hw, nw, Iw, jw);
res [2]: == sqrt (beta);
res[3]:== if e2 then 1 else res[2]/nf;
ny: = norrnl2 (y, r, n);
res [4]: = beta — ((delta + ksi x ny) f 2 + mu);
res [5]: = mu; res [6]: = ny;
res [7]: = beta + alphad x ny f 2
end
end
end
Программа conv2
Входные параметры:
/ [1! /] — правая часть f(x.), i = 1, /,
л:[ 1:/] — узлы xt, i=l,l, по координате х$
I — число узлов / > 2 по л;,
yt [lin] —точное решение у (sj), j = 1, n,
s[lm]—узлы S/, / = 1, n, по координате s,
n — число узлов n > no s,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (x);
value x; real x;
ck, hk, dk — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то ck = 0), шаг (постоянный) и верхний предел численного интегри-
интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204) —D.212)),
И и /2 — параметры 1г^ 1 и /2^2, входящие в D.244) и D.245),
342
sup —параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
q — порядок регуляризации, q^O (см. D.189)),
alpha I, theta, alpham — значения al9 0, ат в законе D.132) измене-
изменения параметра регуляризации a(a1^aw>0, 0<8< 1).
Выходные параметры:
out I—процедура-функция вида: boolean procedure out 1 (alpha); value
alpha; real alpha; если out 1 = true при a = at (см. D.132)), то будет пе-
печать аи lg ai> y^t,
out2 — процедура-функция вида: boolean procedure out2 (alpha); value
alpha; real alpha; если ow/2 = true при а = аи то будет печать a,, lga/,
\lyat-yt\\JM\L, (CM. D.136)),
out3 — процедура-функция вида: boolean procedure out 3 (alpha); value
alpha; real alpha; если out 3 = true при a = а*, то будет печать a*, lga*,
||У«,-Н|с/|И|с (см. D.137)),
res ji:7] — массив, содержащий 7 характеристик решения г/а :res[l] —
= aopt — значение aopt 6 [am, aj — см. D.138), res [2] = Y$(aopt) — см. D.79),
D.231), D.248), res [3] = ш [2]/||/|fLi, res [4] = \\yaJ\Ls - см. D.128), res [5] -
= Фаор,[Уаор,. Л —см. D.78), res[6]^_\\yaopt—yt\\Lzy res[7] = res[6]/\[yt\\Lz,
у [ 1 :n) — решение ?/aop, (sf)t j = 1, n,
ier — индикатор ошибки:
ier = 0 — условия E.2), E.6)— E,8), EЛ0), E.11), E.13), E.14) (nmin =
= lmin = 2) выполнены,
ier = 1—нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E,8),
ier = 2—нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.11),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
ier = 4 — нарушено хотя бы одно из условий E.13), E.14),
ier = 5 = объединение случаев ier =1 и ter =^ 4,
ier ==6— объединение случаев ier = 2 и ier = 4,
/е/- = 7 — объединение случаев ier — I, ier ~ 2 и ier = 4.
Программа сояу2 обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coef, uvlf, sol 2 и процедурам-функциям qat, chd, domega, norml2, nor me,
ratel2, rateCj cdisc.
procedure conv2(f, x, I, yt, s, n, kern, cky hk, dk, Л, /2, sup, q,
alpha I, theta, alpham, out\, out 2, out3, res, y, ier);
value I, n, ck, hk, dk, /1, /2, smp, 9, alpha I, theta, alpham;
array f, a:, yt, s, r^s, y; integer /, n, Л, /2, swp, ier; real procedure
real ck, hky dk, q, alpha I, theta, alpham, alphaO, nor mm;
boolean procedure out I, out2, out3;
begin
comment
Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10), E.11), E.13), E.14);
xni (x, I, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
\\~\qat(q, alpha I, theta, alpham) then ier : = ier + 2;
if —1 (chd (ck, hk, dk) AH>1 A 12 > 2) then ier: = fer + 4;
if ier = 0 then
begin real /ge, to, rl2, re, normm, alpha, s/2, alphad, sc, beta;
integer nw; array p [1:/], r[l:n];
felZ10
comment Вычисление pu i= 1,/, r/, /= l,n (см. D.119)), to = Да>
(см. D.244));
coef (xy I, p,); coef (s, л, г); to: = domega (x, /, /1);
аш: = /2+ 1;
begin array woy, vwy Iw, fw[l:nw];
comment Вычисление (/(со), V(co), L(со), |F(co)| (см D.222) —
— D.228));
uvlf(f, x, /, kern, ckt hk, dk} hw, nw, uw, vw, lw} fw)\
343
rl 2: = norml 2 (yt, r, n)\ re: = nor me (yt, n); normm: = 0;
comment Цикл по а D.132);
for alpha : = alpha 1, alpha x theta while
alpha^ alpham X sqrt (theta) do
begin
comment Вычисление решения yai и условная печать
g #ф
sol2(uw, vw, lw, hw, nw, sup, q, alpha, s, л, #);
if oaH (alpha) then
prmtf (newline," alpha = ", alpha,
"Ig (alpha) = ", /n (alpha) x /ge, newline,
"solution yalpha(s):", newline, y, newline);
comment Вычисление относительной погрешности реше-
решения (см. DЛ36)) и условная печать a/, lga,-, (sL2)t;
si 2: = rate/ 2 (у, у/, г, n)/rl 2;
if out 2 (alpha) then
prm/ (newline," a/p/ia == ", alpha,
" Ig (alpha) = ", In (alpha) x /^,
"norml2 = ", s/2);
comment Присвоения (при а = ax или при а < иг и
s/ 2 < normm): normm = s/ 2, a/p/ia 0 == alpha;
if alpha = a/p/ia 1 V s/ 2 < norm then
begin normm x = s/ 2; a/p/ia 0 : = a/p/ia end;
comment Условная печать a*, lga^, (sc)/ (см. D.137));
if out3 (alpha) then
begin sc : = ratec (y, yt, n)\rc\
print (newline, " alpha = ", alpha,
" Ig (alpha) = ", In (alpha) x Ige,
"normc = ", sc, newline) end
end alpha\
comment Вычисление решения yaopt\
sol2(uw, vw, lw, hw, nw, sup, q, alphaO, s, n, y);
comment Вычисление элементов массива res\
res[l]t = alpha0\ beta : = cdisc(q, alpha0, hw, nw, lw, fw\
res [2] : = sqrt (beta)', res [3]: = res [2]/norml2 (f, p, l)\
res [4]: = norml 2 (y, r, n)\
res [5]: = beta + alpha 0 x res [4] f 2;
res [6]: == ratel 2 (y, yt, r, n); res [7]: = normm
end
end
end conv2\
Программа conv 3
Входные параметры:
/ [1 : /] — правая часть f(Xj), i = 1, /,
x[l:/] — узлы xt, i= 1,1, по координате х,
/ — число узлов />2 no x,
s[l :n] —узлы Sj, /= \,n, по координате s,
n~число узлов n>2 no s,
Aern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x)\
value x; real x\
ck, hk, dk — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то ck = 0), шаг (постоянный) и верхний предел численного интегри-
интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204) —D.212)),
Л и /2 —параметры /х>1 и /2>2, фигурирующие в D.244) и D.245),
sup — параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
q— порядок регуляризации, #>0 (см. D.189)),
alpha — значение (одно) параметра регуляризации а > 0.
344
Выходные параметры:
res[\ :4] —массив, содержащий 4 характеристики решения уа:
гез[1] = УЩ^) — см, D.79), D.231), D.248), res [2] = res [l]/|j/ jjL,t
г«[3] = |Ык —см. D.128), resl4] = Oalya9J] — c*L. D.78),
у [ 1: n] — решение ya (sj), j = 1, n,
ter — индикатор ошибки:
ter = 0 — условия E.2), E.6) —E.8), E.10), E.12) —E.14)
(flmin = 'min = 2) ВЫПОЛНеНЫ,
fer== 1 — нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.12),
let = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
ier — 4 — нарушено хотя бы одно из условий E.13), E.14),
ier =5 — объединение случаев ier =1 и ier = 4,
ier = 6 — объединение случаев ier = 2 и ier = 4,
ier ~1 — объединение случаев ier =1, ier = 2 и ier = 4.
Программа сопоЪ обращается к модулям: процедурам-операторам xni%
uvlf, sol 2, сое/ и процедурам-функциям chd, domega, cdisc, norml2.
procedure conv3(f, x, I, s, n, kern, ck, hk, dk,
/1, /2, sup, q, alpha, res, y, ier)\
value /, n, ck, hk, dk, /1, 12, sup, q, alpha;
array f, x, s, res, y; integer /, n, /1, /2, sup, ier\
real procedure ^em; real ck, hk, dk, q, alpha;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10), E.12) —E.14);
xni (x, I, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if ~ (q > 0 Л a/pAa > 0) then ier : = ier + 2;
if —i (chd (ck, hk, dk) А П > 1 Л /2 > 2) then fer: == ter + 4;
if ier = 0 then
begin integer nw; nw: = /2 + 1;
begin real hw> beta; array uw, vw, lw% fw[l:nw],
p[l:/], r[l:n];
comment Вычисление hw = Дсо (см D.244));
йог. = domega(x, /, /1);
comment Вычисление {/(со), У (со), L (co),|F(co)| (см. D.222) —
D,228));
uvlf (/, л:, /, kern, ck, hk, dk, hw, nw, uw, vw% lw, fw);
comment Вычисление решения уа;
sol2(uw, vw, lw, hw, nw, sup, q, alpha, s, n, y);
comment Вычисление pit i=l,/, г/, / = 1,п (см. D.119)) и
элементов массива res;
coef (x, I, p); coef (s, n, r);
beta : = cdisc (q, alpha, hw, nw, lw, fw);
res 11 ] : s= sqrt {beta); res [2j : = res[\]jnorml 2 (/, p, /);
res [3]: = norml2 (y, r, n);
res [4]: = beta -f alpha x res [3] \ 2
end
end
end conv3;
Программа conv 4
Входные параметры:
с, hx, d — соответственно нижний предел ct шаг hx (постоянный)
D.234) и верхний предел d сетки узлов по координате х,
a, hs, b — аналогичные величины a, hs, b для сетки узлов по коорди-
координате 5; необходимое условие: mzx{hx, hs) должен делиться без остатка
на miniй*, hs},
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x)\
value x; real x;
345
ck, hk, dk— соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то ck=0), шаг (постоянный) и верхний предел численного интег*
рирования D.224), D.225) (согласно D.204) —D.212)).
/1 и /2 — параметры 1г > 1 и /2 > 2, входящие в D.244) и D.245),
sup— параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
q — порядок регуляризации, q > 0 (см. D.189)),
alpha — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
га [1: (Ь— а + d — c)/h +1] — строка теплицевой матрицы Ra (см.D.233),
D.238), D.239)), где h=rnin{hx, As},
ier—индикатор ошибки:
fer = 0 —условия D.236), D.237), E.10), E.12) —E.14), а также условия
hx>0, ^ + 1 >2, E.15)
As>0, ^ + 1 >2 E.16)
выполнены,
ier = 1 — нарушено условие D.236) — D,237),
ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.10), E.12),
ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2,
/ег = 4 — нарушено хотя бы одно из условий E.13) — E.16),
ier = 5—объединение случаев ier = 1 и ier = 4,
ier = 6 — объединение случаев /гг = 2 и t?f = 4,
[?г = 7 — объединение случаев ier =1, ier = 2 и /гг = 4.
Программа сопи 4 обращается к модулям: процедуре-оператору inf
и процедурам-функциям chd, sigma;
procedure conv\ (с, hx, d, a, hs, b, kern, ck, hk, dk, /1, /2, sup, q, alpha,
ra, ier);
value ?, /w:, d» #> As, Ь, с?, Л/г, dk, II, 12, sup, q, alpha;
real c, hx, d, #, hs, b, ckt hk, dk, q, alpha;
real procedure kern; integer II, 12, sup, ier; array ra;
begin real hh, h, r\, r2; integer k;
comment Вычисление Н =max{hx, hs}, h = min{hx, hs} и проверка
условий D.236), D.237), E.10), E.12) —E.16);
if hx < hs then begin hh : = hs; h: = hx end
else
begin hh: = hx; h: = hs end;
t?/-: = 1;
if A>0 then begin r\ :=^hh/h; k: = rl; r2: = k;
if abs{r\ — r2) <10 — 3 then /er:=0 end;
if ~1 (q > 0 Д a/pAfl > 0) then ier: = fer + 2;
if (chd (c, hx, d) f\ chd {a, hs, b) f\
chd(ck, hk, dk) Д 11 > 1 Л 12 > 2) then ^: = ^r + 4»
if ter = 0 then
begin real q2, pi, hw, wm, w, rel, iml, p, g, sx, re, rs;
integer nk, nw, m, i;
q2:=2xq; pi: = 3.14159265359; nk: = (dk — ck)jhk + 1;
toijhll 1; wm : = /2x to; na;: = / 2 + 1;
( + d )/+ ;
begin array kx[l:nk], /1, /2[1:/гш];
comment Вычисление значений K(ck), K(ck + hk), ... , K(dk);
for i: = 1 step 1 until nk do &л: [t]: = kern(ck + hk x (f — 1));
comment Вычисление Re X (со) a (co)/[L (со) -f aM (со)] и Im Я (со) х
X ct(co)/[L (со) + aM (со)], со = 0, Дсо, ... , сотах (см. D.233),
D.244) —D.247));
for k : = 1 step 1 until nw do
begin w: = hw x {k— 1);
346
comment Вычисление ReX,(co) и ImX,(co);
inf (kx, kx, ck, hk, dk, &>> rel, iml)\
p: = rel\ 2 + iml f 2 + alphax(if q = 0 then 1 else w\q2
g: = sterna (w/wm, sup)/p;
fl[k]: = rel x g; /2 [&]: = iml x fi-
fiend k;
comment Вычисление строки теплицевой матрицы Ra (см. D.233),
D.238));
sx: =5 a — d — A;
for t: = 1 step 1 until m do
begin sx i = sx + h; inf{f\, f2, 0, to, ош, sx, re, rs);
ra[i]: = hx x (rc — rs)/pi
end i
end end
end conv 4;
Программа
Входные параметры:
/[1 *(d — c)/hx+ 1] — правая часть, заданная на равномерной сетке узлов
с, /u;, d—соответственно нижний предел, шаг (постоянный) и верхний
предел сетки узлов по координате^ х,
a, hs, Ъ — аналогичные величины для сетки узлов по координате s;
необходимое условие: max{hx, hs) должен делиться без остатка на min{hx,
hs),
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern (x)\
value x\ real x\
ck, hk, dk — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то ?& = 0), шаг (постоянный) и верхний предел численного инте-
интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204)— D.212)),
Л и /2 — параметры 1г > 1 и /2 > 2, входящие в D.244) и D.245),
q — порядок регуляризации, # > 0 (см. D.189)),
alpha — значение (одно) параметра регуляризации а>0,
га [ 1: (Ь — а + d— c)/h + 1 ] — строка теплицевой матрицы Ra (см. D.233),
D.238), D.239)), рассчитанной по программе conv 4, где h = min{hxt hs}.
Выходные параметры:
res [1 : 4] — массив, содержащий 4 характеристики решения уа: res[l]=*
= Т/рГ(а) — см. D.79), D.231), D.248), res [2] = res [ll/||/||Lt, ">s[3] =
= II Уа Ik -см. D.128), ш[4] = Фа[уа9}} — см. D.78),
у [ 1 : (b — a)/hs-{- 1 ] — решение на равномерной сетке узлов а, а + hsy .. .,&
(см. D.240) —D.243)),
ier — индикатор ошибки (как в conv А).
Программа conv5 обращается к модулям: процедурам-операторам coeff
wolf и процедурам-функциям chd, domega, cdisc, normh.
procedure convb (/, c> hx, d, a, hs, b, kern, ck, hk, dk,
/1, 12, q, alpha, ra, res, y, ier);
value c, hx, d, a, hs, b, ck, hk, dk, /1, 12, q, alpha;
array /, ra, res, y\
real c, hx, d, a, hs, b, ck, hk, dk, q, alpha;
real procedure kern; integer II, 12, ier;
begin boolean e; real hh, h, r\, r2; integer k;
comment Вычисление H = max{hx, hs}, h = min{hx, hs} и проверка условий
D.236), D.237), E.10), E.12)— E.16); e\ = hx<hs\
if e then begin hh: = hs; h: = hx end
else
begin hh г = hx; /i: == hs end;
ier: = 1;
if h > 0 then begin r 1 : = hh/h; k: = rl; r2: = k;
if abs (r\ — Л) < 10— 3 then ier: = 0 end;
347
if 1 (q > О Л alpha > 0) then ier: = ier + 2;
if 1 (cftd(c, A*, d) Achd(a, hs, b) Achd(ck, hk, dk)
A /1 > 1 Л /2 > 2) then fez-: = /er + 4;
if ter = 0 then
begin integer /, n, nw;
l: = (d — c)/hx+ 1; n: = (b—a)/hs+ 1; nw: = /2 + 1;
begin array x, p[\ :l], s, г[1 :/г], uw, vw, Iw, fw[l:nw];
integer nl, /, /1, /2, /; real g, hw, beta;
)/h
/[] /] /[]/
comment Вычисление ya путем умножения теплицевой матрицы
Ra на вектор / (см. D.240));
for /:= 1 step I until n do
begin g: = 0; / 1 : = (/— 1) x k + nl; j2: = j—l+nl;
s[j]: = a+hsx(j-l);
for f:= 1 step 1 until / do
g: = g + ra [U e then /1 — (i — 1) else /2 — (i — 1) X k]
X
end /;
/
/ /] / /
comment Вычисление элементов массива res;
for i: = 1 step 1 until / do л: [i]: == с + hx x (i — 1);
coef (л:, /, p); сое/ (s, м, r);
to: = domega (x> I, II);
uvlf (fy x, /, kern, ok, hk, dk, hwy nw, uw, vwy Iw, fw);
beta: = cdisc (q, alpha, hw, nw, Iw, fw);
res[l]:=sqrt (beta); res [2] : = res [l]/norml2 (/, /?, /):
res[3]: = norml2 (y, r, n);
res [4]: = beta + alpha x res [3] f 2
end end
end convb;
Программа fried\
Входные параметры:
/ [ 1 : /] — правая часть / (Х{), i = 1, /,
x[l:l] — узлы xt, i=\, I, no координате х,
I — число узлов / > 2 по л:,
s[l:/i] — узлы s/, /= 1, п, по координате s,
п — число узлов п > 2 по s,
&ега — ядро, которое нужно оформить в виде real
procedure kern(x, s); value x, s; real x, s;
deltaf — поточечная среднеквадратическая погрешность 6/>0 правой
части F = 8fVd — с — см. D.64)),
ksi — погрешность ?>0 оператора (см. D.43)),
sigma — параметр а метода, 0 < а< 2 (см. D.295)),
ттах — максимальное число итераций (ттах > 1).
Выходные параметры:
out 1 — процедура-функция вида: boolean
procedure out I (m); value m; integer m;
если out I = true, то будет печать т, ут,
out2 — процедура-функция вида: boolean
procedure out 2 (m); value m; integer m;
если out2 = true, то будет печать m, \gm, pm (см. D.297)), lgPm, &n (см.
D.291)), lgU xm (см. D 285)),
res [I :7]—массив, содержащий 7 характеристик решения ymd:
res ] 1 ] = та — значение md ? [0, mmax], найденное способом обобщенной
невязки согласно D.284), res [2] = V$^d — см. D.286). D.297), res[3]=»
348
er*s[2]/||7||L,, res[4] = Kmd — CM. D.285), res [5] = \i — см. D.288), D.299),
D.300), res [6] - || ymd ||Lf - см. D.298), res [7] = || ymd - г/^1| Lf,
y[\:n]— решение ymd (s/), j = 1, n,
ier — индикатор ошибки:
fer = 0 —условия E.2), E.6)—E.9) (nmm = tarn = 2), а также условия
0< a<2, mmax > 1 E.17)
выполнены,
^r== i — нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
Ier = 2 — нарушено хотя бы одно из условий E.9), E.17),
Ier = 3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2.
Программа friedl обращается к модулям: процедурам-операторам хпи
coef, zgf, so/3 и процедурам-функциям lambda, disc, nortnl2, ratel2.
procedure friedl (f, x, I, s, n, kern, deltaf, ksi,
sigma, mmax, out I, out2, res, y, ier);
value I, n, deltaf, ksi, sigma, mmax;
array /, x, s, res, y; integer /, n, mmax, ier? real procedure kern;
real deltaf, ksi, sigma; boolean procedure out\% out2;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6) — E.9), E.17);
xni (x, I, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if ~| (deltaf > 0 Л ksi > 0 Л sigma > О Л stgma < 2
Л mmax > 1) then ier: = /er + 2;
if ?er = 0 then
begin real Ige, delta, nu, mu, <22, d3, d\, d2m, dzeta, nf, nf2, beta,
kappa, ny;
integer k, md> m\ boolean e, el, e2\
array p[\ :/], r, ff, ym, у ml [1 :n], z[l : I, l:n], g[l :nx (n + l)/2];
Ige : = l/lnA0); delta: = deltaf X sqrt(x[l]—x[l]);
comment Вычисление pt, rf, ztf = rfKif, Gkh Fk, i =* 1, /,
/, k^~n (см. D.119), D.122), D.123), D.123'));
coef (x, I, p); coef (s, n, r)\
zgf (/, x4 p, /, s, r, n, kern, z, g, ff);
nu : = sigma/lambda (g, n); e: = ksi Ф 0;
comment 1-й этап. Начальные заготовки;
stagel :el:= true; d2: = d3: = 0;
for k: = 1 step 1 until n do у [k]: = r/m [k]: = yml [k] : = 0;
md: = 0; mu: — disc (/, p, I, ym, n, z)\
if e then d3 i = norml2 (ym, r, n);
comment Цикл по т с целью определения \х (согласно D.299),
D.300));
for m: = 1 step 1 until mmax do
begin
comment Вычисление решения ут (см. D.293)) и условная
печать т, ут;
so/3 (g\ //, у ml, n, пи, ут);
if out I (m) then
prm? (newline, "m=", m, newline,
"solution ym (s):% newline, ym, newline);
comment Вычисление невязки d\ = pm (см. D.297)) и (при
1Ф0) нормы d2 = ||j/m||Li (см. D.298));
d I 2 = disc (/, р, /, ym, n, г);
if e then d 2 : = norm/ 2 (ym, r, n);
if dl > mu V (e Л d 2 < d3) then el: == false;
comment Присвоения: fx=dl, d3 = d2 (при |^=0) при усло-
условии монотонности невязки и нормы (при ?>фО)9 а также
349
ym_i == ym. Если хотя бы одно нарушение монотонности имело
место, то цикл по т будет продолжел, но без уточнения
значения \i;
if el then
begin mu: = dl; if e then d3:= d2
end;
for k : == 1 step 1 until n do ym 1 [&]; = ym [&]
end m\
d2 m: = delta f 2 + /тш; if 1 e then ^fee/a: = d2m\
nf : = norml 2 (/, /?, /); nf2 : = л/ f 2; e2: = л/2 < d2m;
if e2 then begin res[7]: = 0; go to /at/1 end;
comment 2-й этап. Начальные заготовки;
$tage2: el : = false;
for k: = 1 step 1 until /г do ym [k]: = yml [k]: = 0;
comment Цикл по т с целью определения md и
for m:= 1 step 1 until m/пал: do
begin
comment Вычисление ym, pm, tm (при ? ^= 0), xm и условная
печать m, lg/n, |3m, lgpm, &m Igbn. ^m*,
so/3 (g, //, yml, n, n^, ym);
b^a: = disc (/, /?, /, ym, ny z)\
if e then dze/a: == (delta + ksi X norml2 (ym, r, n)) f 2 + ma;
kappa: = 6e/a — dzeta\
if om/2 (m) then
prm^ (newline, "m =", m, " betam=\
beta,
" dzetam="9 dzeta, "kappam=", kappa,
newline, "lg(m) = ", /n(m) x /g*e, "lg(betam) = ",
/д (te/a) x /g, nlg(dzetam) = ", In(dzeta) x /^);
comment Присвоение (однократное): у = ym, md = m при пер-
первом выполнении условия: kappa <: 0 (см. D.289)), после чего
цикл по m будет продолжен, но без данного присвоения;
if kappa>0 V el then go to fail;
for k:= 1 step 1 until n do y[k]i = ym[k]',
md: = m\ e 1 : = true;
ш[7): = гаШ (у, yml, r, n);
/atf:
for k : = 1 step 1 until n do yml [k]: = ym[&]
end m
/atfl:
comment Вычисление элементов массива res;
res [I]: = md)
beta : = if ?2 then n/2 else d/sc (/, /?, /, у, п, г);
res [2]: = s^r/ (beta);
res [3]: = if e2 then 1 else res[2]/nf;
ny: = norml2 (y, r, n);
res [4]: = beta — ((delta + ksi x ny) f 2 + тм);
res [5]: == mu; res [6]: = ny;
end
end fried 1;
Программа fried 2
Входные параметры:
/[1 :/] —правая часть f(x?), i == 1, /,
x[l:/] — узлы x/, i— 1, /, по координате х,
I — число узлов / > 2 по л:,
yt[l:n] — точное решение y(Sj), /= 1, /i,
s[l:n] — узлы Sj, j == 1, /г, по координате s,
350
п — число узлов п >> 2 по s,
kern— ядро, которое нужно оформить в виде real
procedure kern (х, s); value x, s; real x, s;
sigma — параметр а метода, 0<a<2 (см. D.295)),
mmax — максимальное число итераций (mmax > 1).
Выходные параметры:
outl —процедура-функция вида: boolean
procedure outl (m); value m\ integer m\
если outl = true, то будет печать m, ym,
out2 — процедура-функция вида: boolean
procedure out2(m)\ value m; integer m\
если or^2 = true, то будет печать m, lgm, [|#m — */*I|l2/||#?||l2 (cm. D.301)),
ои/3— процедура-функция вида: boolean
procedure out3(m)\ value m\ integer m\
если out3 = true, то будет печать m, lgm, ||Ут—У*||с/|| #/||с (см. D.302)),
res[ 116] — массив, содержащий 6 характеристик решения t/mopt' res[l] =
= mopt— значение mopt?[0, /nmax] (см. D.303), res[2] ^V^mopt — см. D.286),
D.297), res[3]==res[2]/||/||L,, res[4] = |1*Ч«*1к- см. D.298),
y[l in] —решение ymopt(sf), / = 1, n,
?e/* — индикатор ошибки:
fer=O — условия E.2), E.6) — E.8), E.17) (nmin == Zmin = 2) выполнены,
t>r= 1—нарушено хотя бы одно из условий E.2), E.6) — E.8),
ier = 2 — нарушено условие E,17),
ier=3 — объединение случаев ier = 1 и ier = 2.
Программа fried2 обращается к модулям: процедурам-операторам xni,
coef, zgff so/3 и процедурам-функциям norml 2, normc, lambda, ratel2, ratec%
disc.
procedure fried2 (/, x9 I, yt, s, n, fern, sigma, mmaxr
outl, out2f out3, res, y, ier);
value /, n, sigma, mmax;
array Д x, yt, s, res, y; integer /, n, mmax, ier;
real procedure kern; real sigma, normm;
boolean procedure outl, out2, out3;
begin
comment Проверка условий E.2), E.6) — E.8), E.17);
xni (x, /, 2, ier);
if ier = 0 then xni (s, n, 2, ier);
if (sigma > 0 Д sigma < 2 Д /n/nojc s> 1) then i'er: = ier + 2;
if ier = 0 then
begin real Ige, rl2, re, nu, normm, sl2, sc, beta; integer k, mO, m;
array pllil], r, //, ym, yml[l:n], z[l:l, l:n],
g[lmx(n l/2
lge:= l//A0
comment Вычисление /?t-, r/, G^/, F^, f = 1, /, /, ^=1, я
(см. D.119), D.122), D.123));
coef (x, /, /?); co^/ (s, n, r);
zgf (/> ^> P> l> s, r, n, tern, 2, g, //);
r/2 : = norml2 (yt, r, n)\ re : == normc (yt, n);
nu: = sigma/lambda (g, n);
comment Начальные заготовки;
for k: = 1 step 1 until n do у [k] : =ym \k]: = yml [^]: = 0;
normm : = rate 12 (y, yt, r, n)\rl2; mO : = 0;
comment Цикл по m;
for m : = 1 step 1 until mmax do
begin
351
comment Вычисление решения ут (см. D.293)) и условная
печать ту ут;
sol3 (g, ff, у ml, п, пи, ут);
if out\ (т) then
print (newline, "m =", m, newline,
"solution ym (s):", newline, ym, newline);
comment Вычисление относительной погрешности решения
(sL2)m (см. D.301)) и условная печать т, lg т, (sLz)m;
s/2 : = ratel2 (ym, yt, r, n)/rl2;
if out2 (m) then
print (newline, "m=", m, "lg(m)=", ln(m) x Ige,
nnorml2 =", s/2);
comment Присвоения (при sl2<C normm): normm = s/2, mO = mf
У = Ут'>
if si 2 <C normm then
begin normm : = s/2; m 0 : = m;
for &:= 1 step 1 until n do y[&]: = #m[&]
end;
comment Условная печать m, lgm, (sc)m (см. D.302));
if out3 (m) then
begin sc: = ratec (ym, yt, n)jrc\
print (newline, "m=", mt "lg(m)=", ln(m) x Ige,
"normc=", sc, newline)
end;
for k:= 1 step 1 until n do ym\ [k]: = ym[k]
end m;
comment Вычисление элементов массива res;
res[l\: = mO; beta: = disc (f, p, I, y, n, z);
res[2]: = sqrt (beta); res[3] : = res[2]/norml2 (/, /?, /);
r^s[4]: = norml2 (y, r, n); res [5]: = ratel2 (y, yt,r, n);
res [6]: = normm
end
end fried2;
5.6. МОДУЛИ АЛГОЛЬНОГО ПАКЕТА
Здесь приведены (с краткими комментариями) модули уровня > 2 алгольного
пакета (за исключением unsymdet, unsymaccsolve, unsymsol, innerprod,
choldet2, cholsol2, cholinversion2, sistema).
procedure xni (x, n, nmin, ier)\
value n, nmin; array x; integer n, nmin, ier;
comment Проверка выполнения условий E.2), E.3) при задании узлов xt,
i'=l, п, неравномерной сетки.
Вход: х [ 1 : п] — узлы сетки, п — число узлов, nmin — минимальное
число узлов.
Выход: ier = 0, если условия E.2), E.3) выполнены, иначе ier = 1;
begin integer г,
ier: = 0;
if n < nmin then ier: = 1
else
if /i>l then
for i:= 1 step 1 until n—1 do begin
if x[i] >.x[i~\- 1] then begin ier: = 1; go to finish end
end i;
finish:
end xni;
procedure ydy (/, x, d, n, kern, k, y, dy)\
352
value n, k; array /, x, d, у, d#;
integer n, ft; real procedure ftera;
comment Решение уравнения Вольтерры II или I рода методом квадратур
на неравномерной сетке узлов с отысканием оценок погрешностей решения
в соответствии с формулами A.92), A.95).
Вход: f[l:n]—правая часть» х[1:п]—узлы, d[2:n]= 1 — ~ К а для
уравнений второго рода и-^Кц для уравнений первого рода, п — число
узлов, kern— ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x,
s)., value x, s., real x, s., ft = 1 для уравнения II рода и ft = — 1 для урав-
уравнения I рода.
Выход: у[1:п]—решение, dy[l:n]— его погрешность. Модуль ydy об-
обращается к модулю (процедуре-функции) /2;
begin real a, х2, А22, &21, hy, d2, xi, kil, g", s, ri,
hj, kyh kij, ky, di, xjl, xj\ xjll, xk% A/11, kijll,
kyll, kyh; integer ijl, /,/H;
a: = x[l]; x2: = x[2]\ h22 : = (x2 — a)/2;
fe21 : = kern(x2, a); hy:=^h22 x у [I]; d2: = d[2];
for i: = 3 step 1 until n do
begin xl: = x[i}\ П : = /— 1; kil : = kern(xi> a);
g:=* f [i] + k x hy x kil; s: = n: = 0;
A/: = x2 — a; feyl : = kil x у [1]; kij: = fe^rn (xf, x2)\
ky : = fe// x у [2]; di: = d [i];
for /: = 2 step 1 until П do
begin x/1 : =д:[/— 1]; ^/: = -^[/]; /11: = /+ 1;
x/11 : = д: [/11 ]; xfe : = (xjl 1 —xjl)/2 x W/;
g: = g + k x xkx у [/]; s: = s + ^xdy [/];
A/11 : = xjl 1 — x/; if / = il then у [/] : = g/di;
kijll: = kern(xi, xjll); kyll: = kijll x г/ [/11];
kyh: = f2(hj, A/11, kyly ky, kyll)]
ri: = ri — A/ f 3x ?yA;
if / < П then begin A/: = A/11; &yl : = ky;
kij : = йг/11; ky : = kyll end
end /;
ri: = (n — (x/ — x[il]) f 3x kyh)/12;
dy [i]: = kx (ri + s)/di
end i
end ydy;
procedure coef(s, n> r);
value n; array s, r; integer n;
comment Вычисление коэффициентов rh j = 1, n, квадратурной фор-
формулы трапеций по значениям узлов S/, /== 1, /г, в случае неравномерной
сетки узлов (см. D.119)).
Вход: s[l:n] — узлы, п — число узлов.
Выход: г[1:п] — коэффициенты /*;-;
begin integer /zl, /;
п\ : = n— 1; r[l] : = .5 х (s[2] —s[l]); if n > 2 then
for /: =2 step 1 until n\ do г [/] : = .5 x (s[) + 1] — s[/— 1]);
r[n): = .5x (s\n]—s[nl])
end coef;
procedure rem(y, x, n, kern, r);
value n; array t/, x, r; integer n;
real procedure й^гп;
comment Оценка квадратурных остатков формулы трапеций в случае нерав-
неравномерной сетки узлов — см. C.91).
23 5-1018 353
Вход: у [1 :п] — функция y(sf), /= 1, пу х[\ :п] — узлы*/ = shj = l,/i,
л — число узлов, &ега — ядро, которое нужно оформить в виде real proce-
procedure kern(x, s)., value x9 s., real x, s.,
Выход: r[\ :n] —квадратурные остатки Riy i= 1, я.
Модуль rem обращается к модулю (процедуре-функции) /2;
begin real a, х2, hn3, xi, ri, hj, kyl, kyy x/11, A/11, %11, %A;
integer /il, i, П, /, /11;
a\ = x\\\\ x2: = x[2); nl:=n — l; hn3 : = (x[n]—x[nl]) f 3;
for i: = 1 step 1 until n do
begin xi : = x [?]; i\: = i — 1; n : = 0; hj : = x2 — a;
kyl: = kern (xi, a) x у [1]; %: = Агга (ли, х2) х у [2];
for /:=2 step 1 until n\ do
begin /11 : = /+ 1; xjU i = x [/11]; A/11 x = jc/ 11 — x[/];
%11 : = kern (xi, xj\ I) X у [/11];
kyh: = f2(hj, hj 11, fo/1, %, feyll);
rf: = ri — hj f 3 x %A;
if /< /zl then begin hj i = A/11; fo/1: = %
ky : = kyll end
end /;
n : == (ri — hnZ x kyh)\\2\ r[i) : = n
end f
end rem;
procedure 2g-/ (/, x, pt /, s, r, n, kern, z9 g, //);
value Z, /z; array /, x, p, s, r, 2, g9 //;
integer /, n; real procedure kern;
comment Вычисление коэффициентов Ztf — rjKtj, Gkj, Fk, i= 1, l>j,k =
= 1, n, используемых в методах регуляризации Тихонова и Фридмана (см.
D.122), D.123), D.123')).
Вход: / [ 1 :1] — правая часть, х[\ :1] — узлы по х, р [ 1 : /] — коэффици-
коэффициенты ри I — число узлов по х, s [ 1 : п] — узлы по 5, г [1: п] — коэффициенты
Г/, п — число узлов по s, kern — ядро, которое нужно оформить в виде re-
real procedure kern (x, s)., value x> s., real x, s.,
Выход: z[1 : /, I :n] — коэффициенты zih g\\ :n x (n + i)/2] — элементы
нижнего треугольника положительно определенной симметричной матри-
матрицы G, расположенные по строкам, //[1 :п) — коэффициенты Fk-
Модуль zgf обращается к модулю (процедуре-функции) rho;
begin real rO, rj, s/, /1, gl9 r\\ integer /, i, k, k\\
rO: = rho(r, n)\
comment Вычисление гц\
for /: = 1 step 1 until n do
begin rj : = г[/]; sj: = s[j];
for i: = 1 step 1 until I do
z[i9 j] 1 = rj x kern(x[i}, sj)
end /;
end
comment Вычисление Gkj, Fki k= 1, ny j= 1, k;
for k: = 1 step 1 until n do
begin /1 : = 0; kli^kx (k— l)/2;
for /: = 1 step 1 until k do
begin g\ : = 0;
for /: = 1 step 1 until I do
begin rl: = p[i]/rO x z[iy k\\ g\ : = g\ + /i X2[i, fl;
if /== 1 then /1: = /1 + r\ x / [i]
end i;
g
end /;
end k
procedure ckk (s, r, n, q, ck9 ckl);
value n, q; array s, г, ?A, ckl; integer n; real G;
comment Вычисление элементов положительно определенной симметричной
трехдиагональной матрицы С в методе регуляризации Тихонова (см. D.124) —
D.126)).
Вход: s[l:n] — узлы по s, г[1 :п\— коэффициенты г;- (см. D.119)), п —
число узлов по s, q — порядок регуляризации, q^O (см. D.68)).
Выход: ck\l:n]—элементы С^, ft = 1, п (см. D.124)), ckl[2:n] — эле-
элементы С*,*_1 = С*_1,*, k = 2Tn (см. D.126), D.125)).
Модуль cftft обращается к модулю (процедуре-функции) rho;
begin real Ю; integer /, ft; array h[2:n];
comment Вычисление р (см. D.120)) и /i/, / = 2, n (см. D.119));
Ю: = rho (r, я);
for / : = 2 step 1 until n do h [/]: = s [/] — s [j — 1];
comment Временно на место ck[\] записывается значение 1/Л2> намес-
наместо ck[k]t ft = 2, n—1, — значения (l/hk + l/hk+i), а на место ck [n] —
значение \\hn\
ck[\] := l//i[2]; if n >2 then
for ki = 2 step 1 until n—\ do ck[k] s = l/7i[?] + 1/й[А+ 1];
?[]/Л[];
comment Окончательное вычисление элементов массива ck (а также
ckl);
for k: = 1 step 1 until n do
** Ш : = A + q/r [k] X cA [A]) X (r [A]/rO);
for A : = 2 step 1 until n do ckl [k]: = — ?//i [A]/rO
end AA
procedure soil (g, //, с/г, cAl, n, alpha, y, fail, a);
value n, alpha; array ^, //, cA, cfel, y, a;
integer n\ real alpha; label /az7;
comment Решение СЛАУ (aC + G)y« = /7 (см. D.121)) с положительно оп-
определенной симметричной матрицей аС + G в методе регуляризации Тихо-
Тихонова.
Вход: g[l :п х (п+1)/2] — элементы нижнего треугольника матрицы
G, расположенные по строкам (см. D.122)), ff[l:n] — коэффициенты F^
(см. D.123)), ck [1 : я] — элементы_С^ь А = ТГп (см. D.124)), ckl[2:n] —
элементы Ck,k—\ = Ck—\,k, А=2, д (см. DЛ26), D.125)), д — число узлов
по s, alpha—параметр регуляризации a > 0.
Выход: у[1 :п] — решение уа СЛАУ D.121), fail—метка, на которую
должно быть передано управление в случае, если решение не найдено.
Рабочий массив: а [1 : п X (п + 1)/2].
Модуль so/1 обращается к модулям (процедурам-операторам) choldet2t
cholsol2;
begin integer ft, Al, /, i, d2; real dl; array b[l\n, 1:1];
comment Формирование нижнего треугольника матрицы аС + G (с рас-
расположением их по строкам и занесением в массив а) и занесение пра-
правой части F в массив Ь;
for k: = 1 step 1 until м do
begin Al : = A x(A—l)/2;
for /: = 1 step 1 until k do
begin i: = kl + j;
a [i] :=alpha x (if / = k then ck [ft]
else if / = k — 1 then cftl [A] else 0) + g [i]
end /;
ИА 1
И ]
end ft;
comment Представление матрицы аС + G в виде LZ/ (разложение по
схеме Холецкого), где Z,—- нижняя треугольная матрица;
choldet2 (n, a, dl, d2, fail);
23* 355
comment Решение СЛАУ (аС + G) уа = F;
cholsol 2 (/г, 1, а, Ь);
for /:= 1 step I until n do yljli = b[], 1]
end so Л;
procedure gdisc (alphal, theta, alphaf, alphap, alpham,
bn, mu, delta, ksi, out, alphad);
value alphal, theta, alphaf, alphap, alpham, mu, delta, ksi;
real alphal, theta, alphaf, alphap, alpham,
muy delta, ksi, alphad;
array bn; boolean procedure out;
comment Определение параметра регуляризации а способом обобщенной не-
невязки в методе регуляризации Тихонова при рассчитанных 6 (а), || иа Ik , и,
аР, аР (см. DЛ27), D.128), D.133), D.134), D.134')). 2
Вход: alphal, theta, alpham — значения аг, 8, ат в законе D.132) из-
изменения a, alphaf — aF— минимальное а, при котором монотонна функция
|3(а) (а также ||#aik2 при 1фО) — см. D.134), alphap —аР — минимальное
а, при котором еще находится решение СЛАУ D.121) с помощью модуля
sol 1 (ах > aF > аР > ат > 0, 0 < 9 < 1), Ьп [1 : if g ф 0 then 2 х т else m] —
первые т значений —13(а*), следующие m значений (при 1фО) — \\уа.\\1%9
где m= ln(am/a1)/ln0 + I, ma —значение \i (см. D.81), D.133)Д4Л34)),
delta — погрешность б правой части (см. D.64)), ksi — погрешность | опера-
оператора (см. D.43)).
Выход: out — процедура-функция вида: boolean procedure out (alpha).,
если ou? = true при a = a,: > aP (см D.132)), то будет печать at, lgat-,
P(a,)f lgf>(ct;), 1Ы (cm. D.82')), lgC(a<). *(а,)(см. D.82), D.135')), alphad-
значение ad?[aF, ail, найденное способом обобщенной невязки согласно
D.85) или D.135);
begin real Ige, alpha, bi, dzeta, ki, dl, d2;
integer m, ia; boolean e;
lge:=l I In A0); m: = In (alpham/alpha 1 )///i (<Aete) + 1;
e: = /js/ ^=0; if "| e then d^/a: = delta f 2 + яш;
d2:==0; ш: = 0;
for alpha: — alphal, alphaxtheta while
alpha > alphap x sgr* (#ieta) do
begin ш: == la + 1;
W: = bn[ia);
if б then d2^/a : = (delta + ksi X bn [ia + m\ f 2 + ma;
fef: = 6t — dzeta;
if ott? (alpha) then
prm? (newline" alpha—", alpha,
beta = ", bi, " dzeta = ",
"kappa—"', ki, newline,
"Ig (alpha) = ", In (alpha) x Ige, "Ig (beta) = ",
In (bi) x Ige, "Ig (dzeta) = ", In (dzeta) x Ige);
d 1: == afes (йг);
if ш == 1 V (alpha > a//7/ia/ Л d\ < d2) then
begin d2 : = rfl; alphad: = a//?/ia end
end //
end g^dfs
procedure uvlf(f, x, /, fe^m, сйэ ft^, dfe, to, no;, «ш, ш;, Iw, fw);
value /, c^, hk, dk, hw, nw; array /, x, uw, vwt Iw, fw;
integer /, nw; real procedure kern;
real ck, hk, dk, hw;
comment Вычисление функций f/(co), V (со), L(co), |F(co)| (см. D.222) —
D.228), D.204) —D.212)), используемых в методе регуляризации Тихонова
решения уравнения типа свертки D.155) или D.156).
Вход: /[1 :/] — правая часть, х[1 :/] — узлы по х, I — число узлов пол:,
kern — ядро, которое нужно оформить в виде real procedure kern(x)., value
356
#., real x., ck, hk, dk — соответственно нижний предел (если решается урав-
уравнение D.156), то ck = 0), шаг (постоянный) и верхний предел численного
интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204) —D.212)), to==Aco (см.
D.244)), nw = /2 + 1 (см. D.244)).
Выход: uw [ 1 : nw], vw [ 1 : nw], lw [ 1 : ли;] , /оу [ 1 : nw] — функции U (со),
F(a>), L(co), |F(co)| при со = 0, Aco, 2Aco, ... , comax = /2Aco.
Модуль uvlf обращается к модулям (процедурам-операторам) inf, q 12;
begin integer nk, f, A;
real w, rel, iml, ref, itnf, 63, 64, 65, 66, 67, хП, АЛ, ?1, ?2, /Л;
(k k)lhk+l
nk: (d )l
begin array &л;[1 :nk];
comment Вычисление значений K(ck), K(ck + hk), ..., K(dk);
for i: — 1 step 1 until nk do kx [i]: = kern (ck + hkx (i — 1));
comment Цикл по k — вычисление f/(co), V (со), L(co), а также
| F (со) | при 6 = true;
for k: = 1 step 1 until nw do
begin w: = hwx(k— 1);
comment Вычисление ReX(co), ImX(co) (см. D.224), D.225));
inf (kx, kx, ck, hky dk, w, rel, iml);
f / 0
[]; 64: =/[l]xsmF 3); 66: = f[l]xcos(b3);
for i: = 1 step 1 until / — 1 do
begin xil : = x [i + 1]; Afl : = xi\ — x [i\\
ql2(wxhil, ql, q2);
b3: = wxxiV, ftl: = f[i+l]; 65 : = fi\ x sin F3);
b7: = fax cos F3);
re/: = re/ + ЛП X (ql X F6 + 67) — q2 X F4 — 65));
f/n/ : = fm/ + hi\ x (?1 X F4 + &5) + ?2 x F6 — 67));
64 : = 65; 66 : = 67
end i;
uw [k]: == rel x ref + iml x itnf; vw [k]: = re/ x fm/ — /m/ x ref;
lw [k]: = re/ f 2 + fm/ f 2; /a; [^]: == sqrt (ref f 2 + mz/ f 2)
end &
end
end да//;
procedure inf (/1, /2, c, A, d, a;, tc, ts);
value c, h, d, w; array /1, /2; real c, /i, d, w, ic, is;
comment Вычисление косинус- и синус-преобразований (интегралов) Фурье
D.204) и D.205) по обобщенной формуле трапеций с постоянным шагом
интегрирования в соответствии с формулами D.206) — D.212);
Вход: /1 [1 : (d — c)/h + 11 и /2 [1: (d — c)/h +1] — дискретно заданные
функции fx(x) и f2(x) (см. D.204) — D.207)), с, /i, d — соответственно ниж-
нижний предел интегрирования, шаг интегрирования (постоянный) и верхний
предел интегрирования (см. D.206), D.207)), йУ==со (см. D.204), D.205)).
Выход: ic, is—соответственно значения /с((о) и /s(co) (см. D.204)f
D.205)), вычисленные по приближенным формулам D.208), D.209).
Модуль inf обращается к модулю (процедуре-оператору) ql2;
begin integer /, /; real q\, q2, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, si, s2;
l ( )/hl
(d )/+;
ql2(wxh, ql, q2);
b3: = wxc; 64 : = sinF3); 65 : = cosF3);
66: = wxd; 67 : = sin F6); 68: = cos F6);
si : = s2 : = 0; if I > 2 then
for i: = 2 step 1 until /— 1 do
begin b9: = wx(c + hx(i— 1));
si : = si + /1 [i] xoos F9); s2 : = s2 + /2 [i] x sin F9)
end i;
ic: = h x (/1 [I]x(<7lx65 — <?2x64) +2 x ^
?2x67));
357
= hx (f2[\]X(q\Xbi } q2xb5) + 2xql Xs2 + /2 [/] x(ql X&7-
end inf\
procedure q 12F1, q\, q2)\
value b\\ real b\, q\, q2\
comment Вычисление коэффициентов qx и q2 (см. D.210), D.211)), исполь-
используемых при вычислении косинус- и синус-пресбразований Фурье D.204) и
D.205) по приближенным формулам D.208), D.209).
Вход: Ы —значение b1 = (dh (см. D.212)).
Выход! ql, q2 — коэффициенты qx, q2 (см. D.210), D.211));
begin real 62; Ь2г = Ы f 2;
if abs(b\)<..\ then
begin q\ : = .5 — 62/24 x A — 62)/30 X A — 62/56));
q2 : = 61/6 x A —62/20 x A—62/42 X A —62/72)))
end
else
begin q: = A — cos(bl))/b2; q2 : = A — smF1)/A)/1 end
end q12;
procedure sol2 (uw, vw, Iw, hw, nw, sup, q, alpha, s, n, y)\
value hw, nw, sup, q, alpha, n; array uw, vw, Iw, s, y\
real hw, q, alpha; integer nw, sup, n\
comment Вычисление решения ya (s) (см. D.219)) уравнения типа свертки
D.155) или D.156) методом регуляризации Тихонова при некотором значении
параметра регуляризации а и при заранее рассчитанных f/ (со), V (со), L (со)
(см. D.222)—D.228)).
Вход: uw [ 1 : nw], vw[\ :nw], Iw [ 1:nw] — функции U (со), V (со), L (со) при
со = 0, Дсо, 2Дсо, . . ., сотах = /2 Дсо, hw == Дсо (см. D.244)), nw = /2 + 1 (см«
D.245)), sup — параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)), q — порядок регуляризации, ^>0 (см. D.189)),
alpha — параметр регуляризации а (а >> 0), s [ 1 : п] — узлы по координате s
(узлы решения), п — число узлов по s.
Выход: у [1: п] — решение уа.
Модуль sol2 обращается к модулям: процедуре-функции sigma и про-
процедуре-оператору inf\
begin integer k, у, real q2, pi, wm, w, e, g, yc, ys\
array gaw, haw[l:nw];
q2: = 2xq; pi : = 3.14159265359; wm\ = hw x (nw— 1);
comment Вычисление Ga(co), Яа(со), со = 0, Дсо, 2Дсо, . . . , comax
(см. D.220), D.221));
for k: = 1 step 1 until nw do
begin w: = hw x (k — 1);
e: = Iw [k] + alpha x (if q = 0 then 1 else w f <ft)\
g i s= sigma (w/wm, sup)/e;
gaw [k] : = «/a; [fe] X g\ haw [k] : = vw[k] X g
end fe;
comment Отыскание решения ya(s) (см. D.219)) путем вычисления коси-
косинус- и синус-преобразований Фурье в соответствии с D.204) — D.212);
for /: = 1 step I until n do
begin inf (gaw, haw, 0, hw, wm, s[j], yc, ys);
У [Л : = (ус + ys)/pi
end /
end so/2;
procedure so/3 (g, //, г/1, п, пи, у);
value n, nu; array g, ff, y\, y\
integer n\ real nu\
comment Вычисление решения ут по известному ут—\ (а также рассчитан-
рассчитанным F и G — см. D.123), D.122)) в методе итераций Фридмана в соответ-
соответствии с формулой D.293).
358
Вход: g[l in x (n + l)/2] — элементы нижнего треугольника положи-
положительно определенной симметричной матрицы G, расположенные по строкам
(см. DЛ22)), //[1 :п\ —коэффициенты Fk (см. D.123)), у\ [1 :п] — решение
Ут-i в (т— 1)-й итерации, п — число узлов в решении, nu = v (см. D.294)).
Выход: у[1:п]—решение ут в т-и итерации (см. D.277), D.293));
begin integer fe, kl, /; real a;
for k : = 1 step 1 until n do
begin a : = // [k]; kl : = k X (k— l)/2;
for / s = 1 step 1 until n do
a: = a — g[ii *>/ then fel + / else & + /x (/ — 1)/2J X y\ [/];
y[&] 2 = yl [k] +nux a
end й
end so/3;
real procedure /2 (ft/, ft/11, //1, //, //11);
value ft/, ft/11, //1, //, //11;
real ft/, ft/11, //1, //, //11;
comment Оценка f" (x) путем использования интерполяции по Лагранжу
(по трем точкам) в соответствии с формулой A.94).
Вход: hj — шаг ft/, ft/11—шаг ft/+i, //I — значение //-ь //—значение
/;, //11 — значение //+1.
Выход: /2 — оценка /"(я);
begin real ftft; ftft: = ft/ + ft/11;
/2 i - 2 x (fjl/hj/hh-fj/hj/hjll + //11/ftft/ft/ll)
end /2;
boolean procedure qat (q9alphal, theta, alpham);
value <7, alphal, theta, alpham;
real </, alphal, theta, alpham;
comment Проверка выполнения условий E.10), E.11).
Вход: q — порядок регуляризации q > 0, alphal, theta, alpham — значе-
значения а1У 6, am в законе D Л 32).
Выход: qat = true, если условия E.10), E.11) выполнены, иначе qat =
= false;
qat: — q ^> 0 /\ alpha I > alpham Д alpham > 0 Д
theta > 0/\ theta <. 1;
boolean procedure chd(c, ft, d);
value ?, ft, d; real c, ft, d;
comment Проверка выполнения условий E.15).
Sxo5: с — значение с, ft — значение ftx, d—значение d в E.15).
Выход: chd = true, если условия E.15) выполнены, иначе chd = false;
begin integer /г;
if ft < 0 then cftd: = false
else
begin n: = (d — c)/h + 1; chd: = n > 2 end
end cftd;
real procedure rho(r, n);
value я; array r; integer n;
comment Вычисление нормирующего делителя р, используемого в чис-
численной реализации методов регуляризации Тихонова и Фридмана (см. D.120)).
Вход: г [1: п] — коэффициенты г7 (см. D.119)), п — размерность массива г.
Выход: rho — значение делителя р;
begin real a; integer /;
а! = 2х(г[1] +r[n])\ if я>2 then
for /: = 2 step 1 until n — 1 do a: = a-\- r[/];
rho: = ajn
end rho\
359
real procedure disc(f, p, /, у, п, z);
value Z, n, array /, /?, y, z\ integer /, n;
comment Вычисление невязки р = || Ay — /|||2 (см. D.79), D.87), D.127),
D.286), D.290) или D.297)), используемой в способах (обобщенной) невязки
выбора параметра регуляризации а в методе регуляризации Тихонова
(в этом случае C = р (а), у == #а) или выбора числа итераций т в методе
итеративной регуляризации Фридмана (в этом случае р = рт, у = ут).
Яход; /[1:/] — правая часть, р[1:1] — коэффициенты pi (см. D.119)),
/ — размерность массивов / и /?, у[\:п]—решение уа или ут, п — размер-
размерность массива у, z[\:/, 1 in]— коэффициенты zq = riKtj (см. D.119), D.123')).
Выход: disc— значение невязки р (Р(а) или (Зт);
begin real dU d% integer i9 /;
dl: = 0;
for i:= 1 step 1 until / do
begin d2 I == 0;
for /i=l step 1 until n do d2: = d2 + z[i, j] x у [/];
d\:=*dl + p[i] x (d2 —/[i])f 2
end ?;
end disc;
real procedure norml2 (yy r, ri)\
value /z; array y, r\ integer n;
comment Вычисление нормы вектора у(уа или ут) в пространстве L2:
U, (llifalk-см. D.128) или ||ym||Lf —см. D.298)).
Вход: у [I in] — вектор у (уа или ут), г[1:п]—коэффициенты /-/ (см.
D.119)), п — размерность векторов у и г.
Выход: погт12 — значение нормы \\у\\ь2 {\\Уа\\ь, или ||ym||L2);
begin real d\ integer /;
d: = 0;
for / : = 1 step 1 until n do di = d + r[j]x у [j] t 2;
norml2 : = sqrt (d)
end norml2;
real procedure nor тс (у, n)\
value /2; array y; integer n\
comment Вычисление нормы вектора у в пространстве С:\\у\\с =
= тах|у/| (см. также D.137')).
f
Вход: у [I in]—вектор у, п — размерность вектора у.
Выход: погте — значение нормы ||#||с2
begin real а, Ъ\ integer /;
а: = 0;
for /: = 1 step I until n do
begin bi = abs(y [/]); if 6>a then a:==b end /;
normc: = a
end normc;
real procedure ratel2(yl, y29 r, n)\
value /r, array r/1, ^/2, r, integer n\
comment Вычисление нормы разности двух векторов yl9 y2 Q/la, у2а
или у\т9 у2т) в пространстве L2: ||i/l— ^2||l, (j|y\a — у2*\\ь9 — см. D.128)
или !|ylm — t/2m||L2 — см. D.298)).
Вход: yl[l:n]9 y2 [ 1:п] — векторы yl9 у2 (у\а, у2а или у\т, у2т),
r[\ in] — коэффициенты г/ (см. D.119)), п — размерность векторов у\9 у2 иг.
Выход: ratel2 — значение нормы \\yl — y2 ||Li (j| у 1а — у2а ||ла или
2Ю
||j уЮ
begin real d; integer /;
360
for /: = 1 step 1 until n do di=*d+r[j] X (yl[j]— #2[/])f 2;
ratel2 : = sqrt (d)
end rate 12;
real procedure ratec (y I, y2, n);
value n; array yl, z/2; integer n;
comment Вычисление нормы разности двух векторов yl, у2 в про-
пространстве С: \\у\ —у2\\с = max \ylj — z/2/|.
Вход: #1 [1 :п], г/2 [1 :п] — векторы yl9 у2, п — их размерность.
Выход: ratec — значение нормы \\yl—у2\\с\
begin real а, b; integer /;
а: = 0;
for / г = 1 step I until n do
begin b: = abs{y\ [/] — y2 [/]); if Ь>а then a: = 6
end /;
ratec : = a
end ratec,
real procedure domega(x, /, /1);
value /, /1; array x\ integer /, /1;
comment Вычисление шага дискретизации по частоте Асо в методе
регуляризации Тихонова решения уравнения типа свертки в соответствии
с формулами D.244), D.246), D.247).
Вход: х[\ : /] — узлы по координате л:, / — число узлов по х9 Л — пара-
параметр, входящий в D.244).
Выход: domega — значение Асо (см. D.244));
begin real dxm, wk\
dxm : = (*[/] — x[l ])/(/ — 1);
wk: = 3.14159265359/dxm; domega : = wk/ll
end domega;
real procedure sigma(wrel, sup);
value wrel, sup; real wrel; integer sup;
comment Вычисление а-множителя (см. D.230)), определяющего подав-
подавление высоких частот Фурье в решении уравнения типа свертки (см.
D.219)—D.221) или D.232), D.233)).
Вход: wrel = со/сотах — см. D.230), D.245), sup — параметр, определяю-
определяющий тип подавления высоких частот (при sup = 1 подавления посредством
сг-множителя нет, при sup = 2 — подавление по Ланцошу, иначе — подав-
подавление по Фейеру).
Выход: sigma—значение а (со) согласно D.230);
begin real g;
if sup = 1 then sigma: = 1
else
if sup = 2 then
begin g: = 3.14159265359/2 x wrel;
sigma: = if abs (g) <10 — 5 then 1 else sin (g)/g
end
else sigma: = 1 — wrel
end sigma;
real procedure lambda (g, n);
value n; array g; integer n;
comment Вычисление максимального собственного значения % положи-
положительно определенной симметричной матрицы G (используемого в методе
итераций Фридмана) в соответствии с формулой D.296).
Вход: g [1 : п х (п + 1)/2] — элементы нижнего треугольника матрицы G,
расположенные по строкам (см. D.122)), п — порядок матрицы G.
361
Выход: lambda — оценка сверху значения X (см. D.296));
feegin real a: integer k, kl, /;
a: = 0;
for k: = 1 step 1 until n do
begin fel: = /2 x(k — l)/2;
tor /: = 1 step 1 until n do
a : = a + g [if й > / then /el + / else k + j x (/ — l)/2] f 2
end fe;
lambda: =
end lambda;
real procedure cdisc (^7, alpha, hw, nw, Iw, fw);
value G, alpha, hw, nw\ real G, alpha, hw\
integer щ array Iw, fw;
comment Вычисление невязки Р(а) применительно к уравнению типа
свертки в соответствии с формулой D.248).
Вход: q — порядок регуляризации q > 0, alpha—параметр регуляриза-
регуляризации a > 0, hw — значение Аш > 0, nw == 12 + 1, lw [ 1 : nw] — функция L {щ),
fw[l : nw] —функция | F (со^) | — см. D.248).
Выход: cdisc — невязка Р(а);
begin real q2, dy w, am; integer k\
q2: = 2xq\ d: = 0;
for k: = 1 step 1 until nw do
begin w: — hw x (k— 1);
am: = alpha + (H q — 0 then 1 else ш f ^2);
d: = d + (if k = l\/k = nw then .5 else 1) x
(amj{lw [k] + am) x fw [k]) f 2
end fe;
cdisc: - to/3.14159265359 x d
cdisc;
Глава 6
ПАКЕТ ПРОГРАММ НА ЯЗЫКЕ
ФОРТРАН
6.1. СТРУКТУРА ПАКЕТА
Перечень программ. В этой главе приведены программы на языке
ФОРТРАН (в виде, удовлетворяющем требованиям ФОРТРАНа IV [214,
238, 254, 540, 831], ФОРТРАНа БЭСМ-6 [589] и ФОРТРАНа ЕС ЭВМ [87,
433, 562]), предназначенные для решения различных интегральных уравнений
некоторыми из методов, изложенных в гл. 1—4.
Программы оформлены в виде пакета. На рис. 47 приведена структурная
схема этого пакета. Он состоит из 17 основных программ (или модулей 1-го
уровня [216 20]) в виде подпрограмм: VOLTS1, VOLTF1, FREST1, FREST2,
FREST3, TIKH1, TIKH2, TIKH3, TIKH4, TIKH5, CONV1, CONV2, CONV3,
CONV4, CONV5, FRIED I, FRIED2, к которым непосредственно должен
обращаться пользователь пакета, и 40 модулей (модулей уровня ^2)* в ви-
виде 26 подпрограмм: DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS, SINV, XNI, YDY, COEF,
REM, ZGF, СКК, SOLI, GDISC, UVLF, INF, Q12, SOL2, SOL3, TYPE1,
TYPE2, TYPE3, TYPE4, TYPE5, TYPE6, TYPE7, TYPE8 и 14 подпрограмм-
функций: F2, QAT, CHD, RHO, INNUM, DISC, NORML2, NORMC, RATEL2,
RATEC, DOMEGA, SIGMA, LAMBDA, CDISC, из которых, как из блоков,
в значительной степени формируются основные программы. Согласно [216
11, 267 12], данный пакет—это пакет простой структуры (не являющийся
пакетом с генерацией программ и входным языком или пакетом, работаю-
работающим в режиме диалога [639]).
Модули DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS, SINV приводятся в работе [591].
Назначение программ указано в их описаниях (см. пп. 6.2 — 6.6). Про-
Программы ориентированы на решение уравнений линейных одномерных (за ис-
исключением FREST3) на неравномерных сетках узлов (за исключением CONV4,
CONV5).
Некоторые особенности подпрограмм пакета. Пакет отлажен на ЭВМ
БЭСМ-6 и ЕС-1040 (а также ЕС-1033,-1055 и-1060). Результаты расчета
тестовых примеров приведены в пп. 1.3, 2.3, 3.2, 7.2.
Для ФОРТРАНа характерно отсутствие динамического распределения
памяти. Вследствие этого возникает вопрос об эффективном описании и ис-
использовании рабочих массивов, длины которых зависят от параметров под-
подпрограмм. Для решения этого вопроса применяют следующие операции:
описание рабочих массивов по характерному максимуму длины, использова-
использование COMMON-блока и т. п. В этих случаях рабочие массивы не включаются
в список параметров подпрограммы и список не «разбухает» — достоинство
данных приемов. Однако их использование часто связано с неэкономной
загрузкой памяти (например, в случае, когда максимум длины массива значи-
значительно завышен по сравнению с истинной длиной)**. В данном пакете исполь-
использован иной прием описания и использования рабочих массивов, длины кото-
которых зависят от параметров подпрограмм: включение таких рабочих массивов
в список параметров с указанием того, как пользователь должен описать
эти массивы. Такой прием ведет к «разбуханию» списка параметров подпро-
* О модулях см., например, [65 86].
** Отметим также систему SYDAK [325 440, 440 220 — 225], реализующую некое по-
подобие динамического распределения памяти в ФОРТРАНе.
363
( VOLTS 1 } ( VQLTF1
DOMEGA UVLF \CDISC CHD | SOLI
Рис. 47. Структурная схема фортранного пакета.
грамм, но экономит память (поскольку рабочие массивы резервируют лишь
требуемое количество ячеек).
Важен также характер обращения к ядрам К(х, s), К(х), K(xl9 sv x2,
s2) интегральных уравнений. В принципе возможно оформление К в виде
подпрограмм-функций—1-й вариант или в виде массивов — 2-й вариант»
В 1-м варианте экономится память ЭВМ и обращение к К является отно-
относительно простым (в случае, если К задано в виде аналитической формулы,
что часто имеет место), но могут потребоваться относительно большие затра-
затраты машинного времени в случае частых обращений к К (в первую очередь,
в итерационных методах). Во 2-м варианте затраты машинного времени
меньше, но требуется большая память ЭВМ и самому программисту нуж-
нужно организовать массив К (если ядро К задано в виде формулы).
364
В данном пакете использован «компромиссный» вариант — организация
К в виде подпрограммы-функции, причем для экономии машинного време-
времени обращение к К в подпрограммах пакета производится лишь до выполне-
выполнения циклов, содержащих такие обращения, с расчетом необходимых «заго-
«заготовок» в виде массивов, что несколько увеличивает требуемую память, но
заметно понижает требуемое машинное время.
Если же ядро К задано в виде таблицы, а значит, массива (двух-,
одно- или четырехмерного), то, например, в случае К=К(х, s) обращение
к К (т. е. переход от задания К в виде двухмерного массива к заданию К
в виде подпрограммы-функции) следует выполнить в виде:
REAL К<29#11),ХХB9)#SSA1)
COMMON K,XX,$S
REAL FUNCTION KERN(X,S>
REAL X,S
INTEGER I,I0.J»J0
«HAL KB9«11>»XXB9)f$$Ul)
COMMON K,XX,SS
10 = 1
J0 = 1
00 1 1=1,29
1F(XX<3)-X>1,1,2
1 10=1
2 DO 3 J=1,11
IF<SS(J>-S>3f?rt
3 J0 = J
RETURN
END
Обращение из программ, написанных на языке ПЛ-1, к большинству
из программ данного фортранного пакета [165, 301, 308, 309] невозможно
(причины: использование в фортранном пакете подпрограмм-функций в ка-
качестве параметров некоторых подпрограмм и в качестве модулей, наличие
операторов вывода и др.). Поэтому более рациональной признана разработ-
разработка самостоятельного пакета на ПЛ-1 (см. гл. 8).
К особенностям фортранного пакета следует отнести также то, что в нем
не использован принцип описания по умолчанию, а все идентификаторы
описаны явно (ср. [147]). Это позволяет свободнее пользоваться обозначе-
обозначениями, выявлять многие ошибки при компиляции (ср. [61 17])у а также де-
делает более четкой работу пользователей с пакетом.
При разработке фортранного пакета были учтены многие положения
структурного программирования [65, 222, 716].
U. ПОДПРОГРАММА VOLTS 1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ II РОДА
Назначение. Решение уравнения Вольтерры II рода A.1).
Обращение
CALL VOLTS1 (F, X, N, KERN, EPS, Y, DY, IER, D)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной N — правая часть,
X — массив длиной N— узлы,
N — число узлов,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S) —
ядро, где X, S—простые переменные вещественного типа,
EPS — число, используемое при проверке условия E.1).
Выходные параметры:
Y — массив длиной N — решение,
DY — массив длиной N—погрешности решения,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в voltsl—см. п. 5.2).
365
Рабочий массив:
D — массив длиной N.
Требуемые подпрограммы
XNI, YDY.
Метод. Метод квадратур согласно формулам A.92), A.95), A.96),
SUBROUTINE VOLTSKF,X,N, KERN, EPS, Y,DY,IER,D>
EXTERNAL KERN,XNI,VDY
INTEGER N,IER,I
HEAL F<N),X<N),KERN,EPS.Y<N),OY<N),0<N>
REAL XI,A,X2
1
CALL XNKX,N,1, IER)
XF<!ER.EQ,1)RETURN
IF<EPS,LT.0.)IER=1
IFCIER.EQ.1)RETURN
2
1
OY<1)s0.
IF<NVEO.1>RETURN
00 1 I=2,N
0<I)a1,-<XI-XCI*1))/2.*KERN(XI,XI)
IF<ABS<D<I>>.GT.EPS)GO TO 1
IER»2
RETURN
1 CONTINUE
AsXA)
X2=XB)
Y<2>=<F<2)*<X2-A)/2.*KERN<X2fA)*Y<1))/0B>
DYB)=0.
IF(N,EQ.2)RETURN
С 3
CALL YDY<F,X,D,N,KERN,1,Y,DY>
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2) —E.4).
2. Вычисление у1% у2, Ау1У Д#2, dt~ 1 <fKu, i = 2, п.
3. Вычисление уи tyu i = 3, п.
6.3. ПОДПРОГРАММА VOLTF 1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ I РОДА
Назначение. Решение уравнения Вольтерры I рода B.1).
Обращение
CALL VOLTF1 (F, X, N, KERN, EPS, Y, DY, IER, C)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной N — правая часть,
X — массив длиной N — узлы,
N — число узлов,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S)
ядро, где X, S—простые переменные вещественного типа,
EPS — число, используемое при проверке условия E.5).
Выходные параметры:
Y — массив длиной N — решение,
DY — массив длиной N — погрешности решения,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в voltf 1—см. п. 5.3).
Рабочий массив:
С — массив длиной N.
Требуемые подпрограммы
XNI, YDY.
Метод. Метод квадратур согласно формулам B.65), B.67), B.68).
366
SUBROUTINE VOLTF1<F,X,N#KCRNtEPS#Y,Dy,IER,C>'
EXTERNAL KERN,XNI,YDY
INTEGER N,IER,I
«EAU MN>,X<NbKERN,EP$,Y<N),DY<N>,C<N>
REAL XI,A,X2,X3,H2,H23,H3,A1,A2,A3,F2
1
CAU XNI<X,N,3,IER>
IFUER.EQ.DRETURN
IF<EP»,lT.f,)XER«1
IF(IER.EQ,1)RETURN
DO 1 I=2»N
XI=X<I>
C(I>«(XI-X<I-1>>/2.*KERN<XX,XI>
IF(ABS<C<X>>,GT.EPS>60 TO 1
XER = 2
RETURN
CONTINUE
2
A=X<1)
X2«X<2)
X3«XC>
нг»хг-А
мгз=хз-А
нз*хз-хг
А1=B.*А-Х2-Х3)/Н2/Н23
А2=Н23/Н2/НЗ
OY<1>=flf.
Y<2)s<F2-M2/2.*KERN(X2.A)*Y<1>>/CB>
DY2
С 3
CAU
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2) — E.5) и вычисление С/s-~/C#, i= 2, я.
2. Вычисление у19 у2, &ylt Ау2.
3. Вычисление у и &уи i = 3, /г.
6.4. ПОДПРОГРАММЫ ДЛИ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ
И ДВУХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА II И 111 РОДА
Подпрограмма FREST1
Назначение. Решение одномерных уравнений Фредгольма II и III ро-
рода в случае хорошей обусловленности СЛАУ, получающейся в методе
квадратур.
Обращение
CALL FREST1 (F, X, N, KERN, G, Y, DY, IER, A)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной N — правая часть,
X — массив длиной N — узлы,
N — число узлов,
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL
FUNCTION KERN (X, S) — ядро, где X, S —простые переменные
вещественного типа,
G — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION
G(X)— функция g(x) (см. C.82)), где X— простая переменная веществен-
вещественного типа.
Выходные параметры:
Y—массив длиной N — решение (если оно найдено),
DY — массив длиной N — погрешности решения,
IER — индикатор ошибки:
IER == 0 — условия E.2) и E.3) выполнены и решение Y найдено,
367
IER = 1 — нарушено условие E.2) или/и E.3),
IER =2 — решение Y не найдено.
Рабочий массив:
А — массив длиной N (N + 2).
Требуемые подпрограммы
XNI, COEF, SIMQ, REM.
Метод. Метод квадратур согласно формулам C.84) — C.86), C.85'),
C.91).
Примечания. Для решения СЛАУ C.85) или C.85'), получающейся в ме-
методе квадратур, используется подпрограмма SIMQ [591 80 — 82], реализую-
реализующая метод исключения Гаусса с помощью наибольшего ведущего делителя.
SUBROUTINE FREST1<F,X,N,KERN,G,Y#DY,IER,A)
EXTERNAL KERN,G,XNI,COEF,SIMQ,REM
INTEGER N,IER,NN,N2,I,J,I,K»KS
REAL F<N>,X<N>,KERN,G,Y<N>,DY<N>,A<1>,S,AJ,XI,С
С 1
CALL XNKX,N,3, IER>
XF<!ER,EQ,1>RETURN
с г
CALL COEF<X,N,A<NN<H>>
00 6 L=1 ,2
3
DO 1 J=1,N
S=X<J)
AJ=A<NN+J)
00 1 I = 1,N
XFCI.EQ..
K=I*(J-1)*N
1 A<K)=C-AJ*KERN<XI,S)
XF('L.EQ.2)'G0 TO 3
DO 2 1 = 1 ,N
GO TO 5
5
3 CALL REM<A(N2*1>,X,N,KERN,A<NN*1>)
DO <t 1 = 1 , N
4 A<NN+I)bF(I>+A(NN*X)
6
5 CALL SIMQ<A,A<N2*<1-L)*N*1)fN,KS>
IF<KS.EQ.0)GO TO 6
IER = 2
RETURN
6 CONTINUE
7
DO 7 1=1 , N
Y(I>=A(N2+I)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.3).
2. Вычисление коэффициентов гу, /= 1, п (см. D.119)).
3. Формирование матрицы СЛАУ.
4. Правая часть Д СЛАУ C.85).
5. Вычисление квадратурных остатков Ru i" = I, /z, и правой части
СЛАУ C.85').
6. Решение СЛАУ C.85) или C.85').
7. Решение yt и погрешности |Дг/4> i = 1, /г.
Подпрограмма FREST2
Назначение. Решение одномерных уравнений Фредгольма II и III рода
в случае плохой обусловленности СЛАУ, получающейся в методе квадра-
квадратур.
368
Обращение
CALL FREST2 (F, X, N, KERN, G, Y, DY, IER, A)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной N — правая часть,
X — массив длиной N — узлы,
N — число узлов,
KERN—подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S)—
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
G — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION
G(X) —функция g(x) (см. C.82)), где X — простая переменная веществен-
вещественного типа.
Выходные параметры:
Y,—массив длиной N — решение (если оно найдено),
DY — массив длиной N — погрешности решения,
IER — индикатор ошибки (аналогично IER в FREST1).
Рабочий массив:
А — массив длиной N (N + 2).
Требуемые подпрограммы
XNI, COEF, DGELG, REM.
Метод. Метод квадратур согласно формулам C.84) — C.86), C.85'),
C.91).
Примечания. Для решения СЛАУ C.85) или C. 85'), получающейся
в методе квадратур, используется подпрограмма DGELG [591 86— 89],
реализующая метод исключения Гаусса с ведущими элементами с использо-
использованием двойной точности.
SUBROUTINE FREST2<F,X,N,KERW,G»Y,DY,IER,A>
EXTERNAL KERN,G,XNbCOEF/DGELG,REH
INTEGER N,IER.NN,N2.L.J.I.K.IE
REAL F(K>,X(N>,KERN,G,Y<N>,DY(N>,S,AJ,XI,C,EPS
DOUBLE PRECISION A<1>
DATA EPS/1E-1W
Л
CALL XNI<X,N,3,IER)
IFCIER.EQ.DRETURN
2
NN=N*N
CALL COEF<X,N,Y>
DO 7 L»1,2
3
DO 1 J*1,H
AJ=Y<J)
00 1 1*1,N
IFCI.-EQ. J>CsG(X!>
1 /UK)*C-AJ*KERN<XI#S>
IF(L.EQ.2)G0 TO 3
00 2 1*1,N
2 A<N2*!>*F<I>
GO TO 6
5
3 ©О Ц 1=1,N
fy Y<I>sA<N2*I>
CALL REM<Y,X#N,KErRN,DY>
00 5 1=1#N
5 A<NN-H)*F<I>+DY<I>
6
6 CALL DGELG<A(N2+C1-L>*N*1),A*N,1rEPS#I?>
IFCIE .GE.0>GO TO 7
IERs2
RETURN
7 CONTINUE
24 5-1013 369
7
00 А 1=1,N
8 DY(l>sAes<YCT)-SNGL<A(NN+!>>>
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.3).
2. Вычисление коэффициентов г/, / == i, п (см. D.119)).
3. Формирование матрицы СЛАУ.
4. Правая часть ft СЛАУ C.85).
5. Вычисление квадратурных остатков Rt, i = 1, п. и правой части ft+
+ /?, СЛАУ C.85'). '
6. Решение СЛАУ C.85) или C.85').
7. Решение yt и погрешности |Дуг|, i = 1, п.
Подпрограмма FREST3
Назначение. Решение двухмерных уравнений Фредгольма II и III рода
C.101) или C.100).
Обращение
CALL FREST3 (F, XI, N1, Х2, N2, KERN, G, Y, IER, A)
Описание параметров
Входные параметры:
F — двухмерный массив длиной NixN2 — правая часть,
XI—массив длиной N1—узлы по координате xv
N1 —число узлов по хг,
Х2—массив длиной N2 — узлы по координате х2,
N2 — число узлов по х2,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (XI, SI,
X2, S2), где XI, SI, X2, S2 — простые переменные вещественного типа,
G—подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION
G(X1, X2) — функция g(Xi, x2) (см. C.100)), где XI, X2 — простые пере-
переменные вещественного типа.
Выходные параметры:
Y — двухмерный массив длиной Nix N2—решение (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки:
IER = 0 — условия E.2) и E.3) (по обеим координатам хг и х2)
выполнены и решение Y найдено,
IER = 1 — нарушено условие E.2) или/и E.3),
IER = 2 — решение Y не найдено.
Рабочий массив:
А — массив длиной (N1-N2J + N1-N2 + N1 + N2.
Требуемые подпрограммы
XNI, COEF, SIMQ.
Метод. Метод квадратур (кубатур) согласно формулам C.102) — (ЗЛ05).
Примечания, Для решения СЛАУ C.105), получающейся в методе
квадратур, используется подпрограмма SIMQ [591 80 — 82], реализующая
метод исключения Гаусса с помощью наибольшего ведущего делителя-
SUBROUTINE FREST3<F,X1,N1»Х2»N2,KERN,Gr
<* Y» XER, A)
EXTERNAL KERN., G, XNX , CQEF # SIMQ
INTEGER Ni,N2fIER»I,J,N»NN,N3*N4»V,K»L'Z#MfKS
REAL F<N1,N2),X1(N1),X2<N2>,KERN,G,Y(N1,N2>
REAL AA)
REAL X1K»X2L#AB,X1I,X2J,С
С 1
CALL XNI<X1,N1,2»IER/
IFCIER.EQ.1)RETURN
CALL XNI<X2t N2# 2#IER)
IFCIER.EQ.1)RETURN
N=N1*N2
370
2
CALL COEF(XI,N1,A(N3+1)>
CALL COEF<X2,N2,A<N<»*1>)
3
DO 1 W=1 , Ы
K= CW-1)/N2+1
X1Ksx1 (K>
L=U-<K-1)*N2
00 1 Zs1 , N
1=B-1>/N2+1
X1 I = X1 ( I )
lF<I.EQ.K.AN0.J.EQ.L/CsG(X1IfX2J>
MsZ*(W-1)*N
1 A<M)sC-AB*KERN<X1X,X1KfX2j,X2L)
DO 2 1=1,N1
00 2 J=1,N2
K*J+"'(I-1 ) *N2
2 A(NN*K)*F ( I , J >
5
CALL SJMQ<A,A(NNИ>,N,KS>
IF(KS.EQ.0>&O TO 3
IER=2
RgTURN
3 DO 4 K=1,N
1= С K-1
RETURN
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2) и E.3).
2. Вычисление коэффициентов Akt fe=l, n1? и В/, /=1, л2 (см.
C.105)).
3. Формирование четырехмерной матрицы СЛАУ в виде части массива А.
4. Занесение двухмерной правой части в часть массива А.
5. Решение СЛАУ — в виде части массива В (если решение найдено, то
KS = О, IER = 0 и результат работы FREST3 — двухмерный массив Y,
в противном случае KS = 1, IER = 2, а в Y — числа, не имеющие смысла)-
6.5. ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ФРЕДГОЛЬМА (И ВОЛЫЕРРЬВ) 1 РОДА
Подпрограмма TIKH1
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с использо-
использованием значений погрешностей правой части и оператора.
Обращение
CALL TIKH1 (F, X, L, S, N, KERN, DELTAF, KSI, Q, ALPHA1,THETA,
ALPHAM, OUT1, OUT2, RES, Y, IER, P, R, Z, G, FF, CK, A, BN) ?
Описание параметров
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L—узлы по координате х,
L — число узлов по х,
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN — подпрограмма-функция вида:" REAL FUNCTION
KERN (X, S)—ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность б/>0 правой
части (й== 6/ Yd—с—см. D.64)),
KSI — погрешность ? > 0 оператора (см. D.43)),
Q—порядок регуляризации q > 0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA1, THETA, ALPHAM —значения ах, 9, ат в законе D.132) измене-
изменения параметра регуляризации a (a1>am>0, 0<9<l)«
24* 371
Выходные параметры:
OUT 1 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1
(ALPHA); если OUT 1 = TRUE при а = at (см. D.132)), то
будет печать ah lgat-, ya.t
OUT2 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2
(ALPHA); если OUT2 = TRUE при a = af, то будет печать
a,, lga,, P, (см. D.79), D.127)), lgfr, ь (см. D.82')), lgb,
щ (см. D.82), D.135')),
RES — массив длиной 7 — 7 характеристик решения #ad (аналогично
res в tikh 1—см. п. 5.5),
Y —массив длиной N —решение уаа (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в tikhl).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной L x N,
G — массив длиной N(N+ l)/2,
FF — массив длиной N,
СК — массив длиной 2 • N,
А — массив длиной N (N + 1)/2,
BN — массив длиной М при | = 0 и 2-М при 1фО, где М =
= [lnfa^/aj/lne] + 1—число т в законе D.132).
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, QAT, COEF, ZGF, CKK, INNUM, SOLI, TYPE1, DISC, NORML2,
GDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуля-
регуляризации а способом обобщенной невязки согласно формулам D 63) —D 65),
D.68)-D.71), D.83), D.84), D.86)-D.89), D.115), D.116), D.119)-D.128),
D • loZj -— D. loo j.
SUBROUTINE TIKH1(F,X,I,S,N#KERfl*
¦ DELTAF#KSI,Q,ALPHA1,THETA,
¦ OUT1,0UT2#RES#Y#IER#
¦ . P«R»ZfG»FF#CK#A*BN>
EXTERNAL KERN,OUT1,0UT2
EXTERNAL XNI,QAT,COEF,ZGF#CKK,INNUM,
¦ SOL1,TYPE1,0ISC,N0RML2,G0ISC
INTEGER L,N,IER,M,INNUM,IrIA,J
REAL F<L>#X<L)»S(N) , KERN , OELTAF , ICSI, Q ,
¦ ALPHA1#THETA#ALPHAM#RES<7>,Y<N>
REAL PCL>#R<N>»ZCL#N>#GA>#FF<N>f
¦ CK<1)#AC1>,BN<1>
REAL DELTA,ALPNA,ALPHAP,D1»01SC,D2#N0RML2,
¦ D3,MU#ALPHAF'NFtNF2»ALPHAD,8ErArNY
LOGICAL OUT1,0UT2»QAT,E»E1fE2
DATA D2#O3/2*0, /
С 1
CALL XNICX,L,2tIFR)
IF(IER.EQ.0>CALL XNI<S,N#*2#IER>
IF (.NOT. (DELTAF.GT.0, , AND.ICSI.GE.0. .AND.
¦ QAT<Q,ALPHA1,THETA,ALPHAM)))IERsIER+2
XF(XER.GT.e>RETURN
DELTA = DELTAF*SQRT <XjCL>-X<1 > >
С 2
CALL COEF<X#L»P>
CALL COEF<S,N,R>
CALL ZGFCF,X,P,L.S#R,N,KERN,Z/e,FF)
CALL CKK<S,R,N,Q»CK>
M=INNUM<ALOG<ALPHAM/ALPHA1 )/ALOQ<THETA>*K>
E=KSI.NE.0.
1 = 1
ALPHA=ALPHA1/THETA
с з
DO 4 IA = 1 ,M
ALPHA=ALPHA*THETA
С 4
CALL S0L1<6,FF#CK#NfALPHAfY#E1#A>
XFCEDGO TO Z
IF(XA*GT»1>GO TO 1
372
RETURN
1 /aPHAP=ALPHA/THETA
GO TO 5
С 5
2 IF<OUT1(ALPHA)>CALL TYP?1(ALPHA, Y#N>
С 6
D1=DlSC<F#P#L,Y,N,Z> .
9N(IA)=D1
IF<E)D2=NORML2<Y,R,N)
IFCE)BN<IA*M>=D2
IF<IA.EQ.1)GO TO 3
IFCO1.GT.MU.OR.<E.AND.O2.LT.D3>>i*0
IF<I.EQ.0>GO TO 4
С - 7
3 MU=O1
IF<EH3=D2
ALPHAF=ALPHA
4 CONTINUE
ALPHAP=ALPHAM
5 NF=NORML2<F#P,L>
NF2=NF**2
E2=NF2.GT.DELTA**2*MU
IF<E2)GO TO 7
С 8
ALPHAD=ALPHA1
DO 6 J=1.N
6 Y(J>=0.
BETA=NF2
RESC3> = 1 .
GO TO 8
С 9
7 CALL GDISC(ALPHA1»THETA,ALPHAF»ALPHAP,
* ALPHAM,BN,MU,DELTA,KSI,0UT.2,AlPHA0>
С 10
CALL S0L1<G»FF,CK#N»ALPHAD,Y,E1,A>
С 11
8 RE5<1>=ALPHAD
IF(E2)BETA=0ISC<F»P#L,Y,N,Z>
RESB)=SQRT<BETA>
IF<E2>RES<3)=RFSB)/NF
,N)
RESE)=MU
RESF)=NY
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) — E.11).
2. Вычисление ри rh zif^rjKih Gkh Fb Ckki t=l, ...,/,/, fe =
= 1 я, СЛ| л-i = C*_iiA, * = 2, ... f л, —см. D.119), D.122) —D.126).
3. 1-й этап — цикл по а с целью определения jx — см. D.133), D.134)
и P(af) —см. D.127), D.132), а также \\у^\\ь2 при 1Ф0 — см. D.128).
4. Отыскание решения г/а.. Если решение найдено, то E1=TRUE
и управление передается на метку 2; если El = FALSE (т. е. решение не
найдено) и IA = 1 (т. е. 06 = 0^), то подпрограмма TIKH1 заканчивает
работу при IER = 4 и неопределенных Y и RES; если же El= FALSE
и 1А> 1, то фиксируется ар — минимальное а?, при котором еще находится
решение СЛАУ D.121) по подпрограмме SOLI, и управление передается
на метку 5.
5. Условная печать а^, lgat-, ya..
6. Вычисление невязки D1 =р(ос;) — см. D.127) и (при ?=?0) нормы
D2 = ||ifc,lk-CM. D.128).
7. Присвоения (при а = ах или при а<а1 и монотонности невязки
Р(а) и нормы \\уа\\ь2 (при g^O)): MU = Dlf D3 = D2 (при ЪФО),
ALPHAF = ALPHA. Если хотя бы одно нарушение монотонности имело
место, то фиксируется aF (см. D.134)) — минимальное а, при котором еще
нет нарушений монотонности. При этом цикл по а будет продолжен, но
уже без уточнения значения \х.
373
8. Случай невыполнения условия D.84).
9. 2-й этап — определение аа (из условия D.135)) и условная печать
10. Отыскание решения уаа.
11. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма TIKH2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с известным
(заданным) точным решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL TIKH2 (F, X, L, YT, S, N, KERN, Q, ALPHA 1, THETA, ALPHAM,
OUT1, OUT2, OUT3, RES, Y, IER, P, R, Z, G, FF, CK, A)
Описание параметров
Входные параметры:
F—массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате л;,
L — число узлов по х,
YT — массив длиной N—точное решение,
S — массив длиной N—узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X, S) —
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
Q — порядок регуляризации 7>0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA1, THETA, ALPHAM — значения а19 0, ат в законе D.132)
изменения параметра регуляризации а (аг>- ат>0, 0<9<1),
Выходные параметры:
OUT1 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1 (ALPHA);
если OUT1 = TRUE при а = at (см. D.132)), to будет печать ah
OUT2 —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2 (ALPHA);
если OUT2 = TRUE при а = ot/, то будет печать a/, lga*, \\ya.~l
-^IMI^Ik(cM. D.136)),
OUT3 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT3 (ALPHA);
если OUT3 = TRUE при a=a*, то будет печать aif la at
\\y*t-ytllc/\\yt\\c (см. D.137)),
RES — массив длиной 7 — 7. характеристик решения y<x,opt (аналогично
res в tikh2 — см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение yaopt (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в tikh2).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной LxN,
G — массив длиной N(N + l)/2,
FF — массив длиной N,
СК — массив длиной 2 • N,
А — массив длиной N(N+ l)/2-
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, QAT, COEF, ZGF, СКК, NORML2, NORMC, INNUM, SOLI, TYPE1,
RATEL2, TYPE3, TYPE4, RATEC, DISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при известном (заданном)
точном решении (в модельном примере) согласно формулам D.63), D.68)—
D.71), D.115), D.116), D.119) —D.126), D.132), D.136) —D.138).
SUBROUTINE TIKH2<F*X,bYT,$,N,KE&&,
* 'Q»AL'PHA1 VTHETAf AlPHAW,
374
EXTERNAL KERN,OUT1,OUT2»0UT3
EXTERNAL XNX,QAT,COEF>2GF,CKK,NORM 12,NORHCrINNUM/
* SOU rTYPE1#RATEL2»TYPE3»TYPE4»RATEC»DISC
INTEGER L,N,IER,M,XNNUM,XA
REAL F<L>»X<L)#YT(N)»S<N),KERW#Q»
* ALPHA1,THETA, ALPHAMr RESC7) , Y(N>
REAL P(L>#R<N)»Z<L#N>#GA)fFF<N)rCKC1),A<1)
REAL ?U/N0RML2,RC,M0RMC,N0RMM, ALPHA.
* SL2»RATEL2,ALPHA0,RATEG,BETA» DISC
LOGICAL GUT1,0UT2,0UT3,QAT,E
1
CALL XNKXrLf 2* XER>
•XF(IER.EQ,@>CALL XNI<S,N,2#XER>
IF<.NOT.QATCQ,ALPHA1•THETA,ALPHAH)
XF<XER,GT,e>RET.URN
a
CALL COEf<X,L,P>
CALL
CALL
CALL CKK<S,
AtPHA=AiPHA1/THETA
С 3
DO 3 XA=1»M
ALPHA=ALPHA*THETA
С ^
CALL SOL1<G»FF,CK»NrALPHA Л гЕ»A)
IFCE)GO TO 1
XFUA.GT,1)G0 TO ^
XERs^
RETURN
с s
1 XF(OUT1(ALPHA))CALL TYPE1СALPHA»Y,N>
€ 6
IF(OUT2(ALPHA))CALL TYPE3(ALPHA,SL2>
€ 7
XFC.NOT.(XA.EQ.1.0RfSL2.LT,W0RMH>>G0 TO
ALPHA®=ALPHA
€ 8
2 IF(OUT3(ALPHA))CALL TYPE4<ALPHA#RATEC(Y»YT,N>/RC>
3 CONTINUE
€ 9
4 CALL SOU<G,FF,CKrH,А1РНА0,YrE#A>
SQRT(BETA)
R€SC6>«RATEL2<YfYTiRfN)
ra-:s<7>=NC«MM
RETURN
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10), E.11).
^Вычисление pt, rh Gkh Fki Сш i = 1, /, /,/г = l7~n, Сл,л-1 - C*_i. A
fe-2v я —см. D.119), D.122)—D.126).
3 Цикл по а DЛ32).
4. Отыскание решения уа.. Если Е == TRUE (решение найдено), то
управление передается на метку 1; если Е = FALSE и IA = 1 (т. е. a=ax)»
то подпрограмма TIKH2 заканчивает работу при IER = 4 и неопределенных
Y и RES; если же Е = FALSE и 1А>1, то управление передается на
метку 4.
5. Условная печать a*, lgat-, у ..
6. Вычисление относительной погрешности решения (slz)i (cm. D.136))
и условная печать a,-, lga*, (sl2){.
7. Присвоения (при а = а, или при а< а, и SL2 < NORMM): NORMM=
= SL2, ALPHАО = ALPHA.
375
8. Условная печать a*, lgo^, (sc)i (см. D.137)).
9. Отыскание решения y<xopi.
10. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма TIKH3
Назначение, Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с исполь-
использованием информации, полученной от предварительного решения ряда
модельных примеров.
Обращение
CALL TIKH3 (F, X, L, S, N, KERN, Q, ALPHA, RES, Y, IER, P, R, Z,
G, FF, CK)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
L — число узлов по х,
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN —подпрограмма-функция вида: Y<EAL FUNCTION KERN(X, S)-
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
Q — порядок регуляризации q > 0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
RES — массив длиной 4 — 4 характеристики решения уа (аналогично res
в tikh3 — см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение уа (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в tikhS).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной L x N,
G — массив длиной N(N + l)/2,
FF—массив длиной N,
GK — массив длиной 2 • N.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, COEF, ZGF, CKK, SOLI, DISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделиро-
моделирования) согласно формулам D.63), D.68) —D.71), D.115), D.116), D.119) —
D.126).
SUBROUTINE TIKH3<F,X,l,S.N,KERN,Q,ALPHA,
* RES,Y,IER,
* P,R,Z,G.FF,CK>
EXTERNAL KERN, XNI,COEF,ZGF,CKK,SOU,DISC,N0RML2
INTEGER UN,IER
REAL F<l>#X<l>,S<N>,KERN,Q,ALPHA,RESC4>,Y<N>
REAL P(L>'R(N),Z(L,N),GAbFF<N),
* CKA>,BETA,DISC,N0RHL2
LOGICAL E
С 1
CALL XNICX,1,3,IER)
IF<IER.EQ,O>CALL X N I<S,N,2, I ER>
IFCNOT.(Q.GE.0..AND.ALPHA.GT.0.))IER*IER*2
IF(IER.GT.0)RETURN
с г
CALL COEF<X,L,P>
CALL COEF(S,N,R>
CALL ZGFCF,X,p,L,S,R,N,KERN/2,G,ff)
CALL CtCK<$,R,N,Q,CK>
С 3
CALL SOU (G, FF,CK,N, ALPHA,, Y,E,G)
2F(E)G0 TO 1
IER*4 -
RETURN
376
BETA«DX$C<F,P,L,Y,N,Z>
RES<1>sS0RT<BETA>
LE<Y,R,N)
RESC4)*BETA-fALPHA*RESC)**2
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10),_EЛ2).
2. Вычисление р*, г/, г*,- = г}Кц, Gkjy Fky Ckk, i = 1, /, /, k = 1, л, С^_1 =
= С^_1,Ъ fe = 2, /г (см D.119), D.122) —D.126)).
3. Отыскание решения уа. Если решение не найдено, то IER = 4,
a Y и RES не определены, в противном случае IER = 0 и результат реше-
решения— массив Y.
4. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма TSKH4
Назначение. Расчет обратного оператора (матрицы), необходимого
для решения уравнения Фредгольма I рода с помощью подпрограммы
TIKH5.
Обращение
CALL TIKH4 (X, L, S, N, KERN, Q, ALPHA, В, IER, P, R, CK, A)
Описание параметров
Входные параметры:
X — массив длиной L — узлы по координате х9
L — число узлов по х,
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S) —
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
Q — порядок регуляризации # > 0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
В — двухмерный массив длиной N х L — матрица В (см. D.130)), если
она найдена,
IER—индикатор ошибки (аналогично ier в tikhA — см. п. 5.5).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
СК — массив длиной 2 • N,
А — массив длиной N(N + l)/2.
Требуемые подпрограммы и подпрограмма-функция
XNI, COEF, СКК, RHO, SINV.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделиро-
моделирования) согласно формулам D.115), D.116), D.119), D.120), D.122) —D.126),
D.130), D.131).
Примечания. Отыскание обратной положительно определенной симмет-
симметричной матрицы D.131) осуществляется посредством подпрограммы SINV
[591 76 — 78].
SUBROUTINE TIKH4(X,L,S,N,KERN,С,ALPHA,
* В,IER,P,R,CK,A>
EXTERNAL KERN,XNI,COEF,CKK,RHO#SINV
INTEGER L,N,K,J,I#XE#K1#I1
REAL X<L>#S<N>,KERN,Q,ALPHA,В<N,L>
REAL P<L>»R<N>#CK<1),A<1)
REAL R0,RHO,RK#SK*RJ'SJrG,XI,R1,C,EP$,!>bD
DATA EFS/1JE~?/
377
1
CALL XNKX, L,2,
IF<IER.EQ.0)CALL XNI<S,N,2#IER>
IF(.NOT.<Q.GE.0..AND.ALPHA.GT.0.)>XER
IMIER.6Tf0>RETURN
г
CALt COEF<X,l,P>
CALL COEF(S,N,R)
CALL CKK<S,R,N,Q,CK)
3
DO 2 K=1,N
oo
SJ*S(J)
6*0.
DO 1 Ie1 ,t
R1=P(I>/R0*<RK*KERN<XI,SK>>
6 = G*R1*(RJ*K?R
C = 0.-
1F(J.EQ.K>CsCK<K>
2
С 4»
CALL
IF(!e.6E.©>60 TO 3
RETURN
С 5
3 §0 5 К~1,Ы
K1=X*<K-1>/2
DO 5 1=1,1
DO 4 J=1/N
4 0 = D*A<I1 )*<PI/R0<»(R<J)*KERN(Xl
5 B(K,I)=O
RETURN
EMD
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.10), E.12).
2. Вычисление /?*, /у, Ckk> i = 1, /, /, k = 1, /г, C^_i = C^_i,&, * = 2, л
(см. D.119), D.124) —D.126)) и р (см. D.120)).
3. Вычисление элементов верхнего треугольника положительно опреде-
определенной симметричной матрицы аС + G (см. D.131)) в виде одномерного
массива А с расположением элементов по столбцам.
4. Нахождение обратной матрицы (аС + G) (см. D.131)). Если обраще-
обращение выполнилось, то IE >0, IER = 0, на месте А расположится верхний
треугольник обратной матрицы и подпрограмма TIKH4 пойдет дальше,
в противном случае IER = —1 и подпрограмма TIKH4 заканчивает работу
при IER = 4 и неопределенной В.
5. Вычисление матрицы В (см. D.130)).
Подпрограмма ТЩН5
Назначение, Решение уравнения Фредгольма I рода с использованием
обратного оператора (матрицы), рассчитанного подпрограммой TIKH4
(«быстрый алгоритм»).
Обращение
CALL TIKH5 (F, X, L, S, N, KERN, ALPHA, В, RES, Y, IER, P, R, Z)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
378
L—число столбцов в матрице В (число узлов по координате s),
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число строк в матрице В (число узлов по координате х),
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X, S) —
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0,
В — двухмерный массив длиной NxL — матрица В (см. D.130)),
рассчитанная подпрограммой TIKH4.
Выходные параметры:
RES — массив длиной 4 — 4 характеристики решения уа (аналогично
res в tikhb — см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение #а,
IER—индикатор ошибки (аналогично ier в tikhb).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной L X N.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, COEF, DISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а с использованием обратного оператора (матрицы)
согласно D.129) — «быстрый алгоритм».
SUBROUTINE TIKH5CF,X,US,N,KERN, ALPHA, В,
* RES,Y,IER»
* P,R,Z>
EXTERNAL KERN,XNI,COEF»DISC,NORML2
INTEGER UN,IER,J,I
REAL F<L>,X(L),S(N),KERNrALPHA,В<N,L>,RESU>,Y(H%
REAL P(L>> R<N),Z<L,N>,A,RJ»SJ,BETA,DISC,N0RML2
CALL XNI(X,L,2,IER)
IFUER.EQ.0>CALL XNKS,N,2rIER>
IF(ALPHA.LE.O.^lERs
IF(IER.OT.0)RETURN
с г
CALL COEF(X,L,P>
CALL CO?F(S,N,R)
С 3
DO 2 J=1,N
SJ~S(J)
DO 1 I«.1,L
A=A+B(J,I)*F<I>
1 2<I,J>=RJ*KERN<X<I>,SJ>
2 Y(J>=A
U
BETAsDISC(F,P,L,Y,N,Z>
! RESC1>sSQRT(BETA>
RESB>=RES<1>/N0RML2<F,P,L>
RES<3>=W0RML2<Y,R,N>
RES (^) = BETA*ALP.HA*RES C) v^-2
RETURN
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6),
2. Вычисление ри г/, i= 1, /, /= 1, п.
3. Вычисление Zij = rjKtj и #/, /= 1, п, согласно D.129).
4. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма CONVI
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки
D.155) или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием значений
погрешностей правой части и оператора.
379
Обращение
CALL C0NV1 (F, X, L, S, N, KERN, CK, HK, DK. LI, L2, SUP, DELTAF,
KSI, Q, ALPHA1, THETA, ALPHAM, OUT1, OUT2, RES, Y, IER, P, R,
U, GAW, HAW, KX, BN)
Описание параметров
Входные параметры:
F—массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
L — число узлов по х,
S —массив длиной N — узлы по координате s,
N—число узлов по s,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X)-
ядро, где X — простая переменная вещественного типа,
CK, HK, DK — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний предел
численного интегрирования D.224), D.225) (согласно
D.204)—D.212)),
LI, L2 —параметры /х> /2, входящие в D.244), D.245),
SUP—параметр, определяющий тип подавления высоких частот
Фурье в решении — см. D.230),
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность 6/>0 правой
части (б = 8fYd — с — см. D.64)),
KSI — погрешность оператора ? > 0 (см. D.43)),
Q—порядок регуляризации q > 0 (см. D.189)),
ALPHA1, THETA, ALPHAM —значения а1$ 8f am в законе D.132) изме-
изменения параметра регуляризации a (a1>am>0, 0 <С в <1).
Выходные параметры:
OUT 1 —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1
(ALPHA); если OUT 1 = TRUE при a = a, (cm. D.132)), то
будет печать аь lgab у
OUT2 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2
(ALPHA); если OUT2 = TRUE при а = аи то будет печать
a*, lga,, Р, (см. D.79), D.231), D.248)), lgfc, tj (см. D.82')),
lgСм х, (см. D.82), D.135')),
RES—массив длиной 7 — 7 характеристик решения yad (аналогич-
(аналогично res в convl — см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение уа^
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в convl).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
U — массив длиной 4 • (L2 + 1)>
GAW — массив длиной L2 + К
HAW — массив длиной L2+ 1,
КХ —массив длиной (DK —СК)/НК + 1,
BN — массив длиной М при \ = 0 и 2 • М при | Ф 0, где М =
= [lnfam/aJ/lnB] + 1 —число т в законе D.132).
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, QAT, CHD, COEF, DOMEGA, INNUM, UVLF, SOL2, TYPE1, CDISC,
NORML2, GDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуля-
регуляризации а способом обобщенной невязки согласно формулам D.155) (или
D.156)), D.64), D.65), D.83), D.84), D.86), D,88), D.89), D.115), D.116),
D.204) —D.231), D.244)—D.247).
SUBROUTINE C0NV1<F,X,US,N,KERN,Cic;H|C,Di(,l1,l2#
* SUP,DELTAF,KSI,Q,А1РНА1,ТНЕТА,AlPKAM,
6 OUT1,0UT2#RES,Y,XER,
* P,R,U,GAW,HAW,KX,S.N>
EXTERNAL K?RNjQUT1jr0UT2
380
EXTERNAL XNI,QAT,CHD,COEF,D0ME6A»INNUM,
* UVLF.S0L2.TYPE1,COISC,NORML2,GOISC
INTEGER L,N,L1»L2.SUP,IER
INTEGER NW,NW2»NW3,M,INNUM,11,IA#J
REAL F<L>,X(L>,S<N>,KERN,CK,HK,DKrDELTAFr
* KSI,Q,ALPHA1,THETA,AiPHAM#RE$<7),Y<N)
REAL P(L>»R(N>,U<1>. GAWd>,HAW<1>,KX<1>,BN<1>
REAL DELTA,HW,DOMEGA,ALPHA,D1,CDISC,02»NORML2,
* MU,03,ALPHAF,Hf»HF2,ALPHAO,BETA,NY
LOGICAL OUT1,0UT2,QAT,CHD,E#E1
DATA 02,03/2*0./
1
CALL XNI(X.L» 2.IER)
IF(IER.EQ.«)CALL XNI<S,N,2,IER)
IF(.NOT.COELTAF.GT.0..ANO.K$I.GE.*..AND.
* QAT(Q,ALPHA1,THETA,ALPHAM>>>IER»IER*2
IF(.N0T.(CHD(CK,HK,DK),AND,L1.GE.1
* ,AND.L2,GE.2))IER=IER*4
IF<IER.GT.e)RETURN
DELTA=0ELTAF*SORT(X(L)-X<1>)
2
CALL COEP<X#L,P)
CALL COEF(S,N,R>
HW=DOMEGA(X,L,L1)
NW3=NW*3
M=INNUM<AL0G<ALPHAM/ALPHA1>/AL0GCTHETA>*1,>
E=KSI.N?.0.
3
CALL UVLF(F#X,L,KERN,CK,HK,DK,HW,NW,U,KX>
11 = 1
ALPHA=ALPHA1/THETA
4
DO 3 IA=1,M
ALPHA=ALPHA*THETA
5
IFC0UT1(ALPHA).OR.E)
* CALL S0L2<U,HW,NU,SUP,Q,ALPHA,S,N,Y,GAW,HAW)
IF@UT1<ALPHA>)CALL TYPE1<ALPHA,Y,N>
D1=CDISO(Q,ALPHA,HW,N\J,U<NU2 + 1
В N ( I A ) = D1
N0RML2CY,,R,N>
IFOA.EQ.1)G0 TO 2
IF @1 . GT. MU. OR. (E. AN0.02.LT. 03 )ПЬй
• IF(I1 ,EQ.0)GO TO 3
С 6
2 MU=01
IF(EH3=D2
ALPHAF=ALPHA
3 CONTINUE
NF=N0RML2(F,P,L>
E1=NF2.GT.DELTA**2+MU
IF(R1)G0 TO 5
С 7
ALPHAD=ALPHA1
00 4 J=1,N
4 Y<J>s0.
BETA=NF2
RESC) = 1 .
GO TO 6
€ 8
5 CALL GOISC(ALPHA1,THETA,ALPHAF,ALPHAM,
* ALPHA.M,BN#MU, 0ELTA,KSI,0UT2# ALPHAO)
С 9
CALL S0L2(U,HW,NW,SUP,Q,ALPHAD,S#N,Y,GAW,MAW>
С 10
6 RESA)=ALPHAD
IF(E1)BETA=CDISC<Q»ALPHA0,HW,NW,U(NW24.1)'fU(NVl3*1>>
RESB)=SQRT(BETA)
1F(EDRESC)=RESB)/NF
NY»N0RML2<Y,R,N)
RES<4)=BETA-((DELTA*KSI*NY)**2*MU)
RESE)«MU
RESF)=NY
RES<7)=BETA+ALPHAD*NY**2
RETURN
END
381
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) — EЛ1), E.13), E.14).
2. Вычисление ри i= 1, ...,/, /7, / = 1, . ,., п (см. D.119)),
HWeeAco (см. D.244)).
3. Вычисление (/(со), V(o), L(o), | F(со)| (см. D.222) —D.228)).
4. 1-й этап—цикл по а с целью определения [х (см. D.133), D.134))
и р(а*) (см. D.132), D.248)), а также Цг/aHk (см. D.128)) при %фО или
OUT1 (ALPHAI)-TRUE.
5. Вычисление решения уа? при OUT I (ALPHAI) = TRUE или ?^0.
Условная печать аи Igoc/, уа.. Вычисление невязки D1 =р(аг-) (см. D.248))
и (при 1Ф0) нормы D2 = ||ya.|U2 (см. D.128)).
6. Присвоения (при а = аг или при ск;^ и монотонности невязки f5(a)
и (при ggfcO) нормы ||t/a|lLa): MU=D1, D3 = D2 (при . ? Ф 0), ALPHAF =
= ALPHA. Если хотя бы одно нарушение монотонности имело место, то
фиксируется ар (см. D.134)) — минимальное а, при котором еще нет нару-
нарушений монотонности. При этом цикл по а будет продолжен, но уже без
уточнения значения \i.
7. Случай невыполнения условия D.84).
8. 2-й этап — определение ad (из условия D.135)) и условная печать
a*» lga/, Рь lgp/, ?*, lgb, ^-.
9. Вычисление решения yad.
10. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма CONV2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с известным (заданным) точным
решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL CONV2 (F, X, L, YT, S, N, KERN, CK, HK, DK, LI, L2, SUP, Q,
ALPHAI, THETA, ALPHAM, OUT1, OUT2, OUT3, RES, Y, IER, P, R, U,
GAW, HAW, KX)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
L — число узлов по х,
YT — массив длиной N — точное решение,
S—-массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X) —
ядро, где X — простая переменная вещественного типа,
CK, HK, DK — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний предел чис-
численного интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204) —
D.212)).
LI, L2 — параметры 119 /2, входящие в D.244), D.245),
SUP —параметр, определяющий тип подавления высоких частот
Фурье в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации # > 0 (см. D.189)),
ALPHAI, THETA, ALPHAM — значения alf 9, ат в законе D.132) изме-
изменения параметра регуляризации a(a1>am>0, O<0<1).
Выходные параметры:
OUT1 —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1
(ALPHA); если OUT 1 « TRUE при a = a, (cm. D.132)), то
будет печать a*, lga*, ущч
382
OUT2 —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2
(ALPHA); если OUT2 = TRUE при а = щ, то будет печать
a/, lga,, \\y*t — yt\\LJ\\yt\\Lt (см. D.136)),
OUT3 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT3
(ALPHA); если OUT3 = TRUE при a = а*, то будет печать
a*, lga*. ll*/af—Л/НЛ (см. D.137)),
RES — массив длиной 7—7 характеристик решения t)a>opt (аналогично
res в conv2 —см. п.5.5),
Y — массив длиной N — решение yaopt,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в conv2).
Рабочие массивы:
Р— массив длиной L,
R — массив длиной N,
U —массив длиной 3 • (L2 + 1),
GAW — массив длиной L2+1,
HAW — массив длиной L2 + 1,
КХ — массив длиной (DK — СК)/НК + 1.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, QAT, CHD, COEF, DOMEGA, INNUM, UVLF, NORML2, NORMC,
SOL2, TYPE1, RATEL2, TYPE3, TYPE4, RATEC, CDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при известном (заданном) точном
решении (в модельном примере) согласно формулам D.155) (или D.156)),
D.115), D.116), D.136)—D.138), D.204)—D.230), D.244)—D.247).
SUBROUTINE C0NV2<F,X,L,YT,S,N,KERN,CK,ftK,DK#
* И,L2,SUP,Q,AIPHA1,ТНЕТА,АLPHДМ,
* OUT1,0UT2#0UT3,RES,Y,IER,
* Р>R,lb GAW,HAW,KX>
EXTERNAL KERN,OUT1,0UT2,0UT3
EXTERNAL XNI,QAT»СHO,COEFfDOMEQA$
* INNUM,UVLF,NORML2,N0RNC#
. * S0L2,TYPE1,RATEL2,TYPE3f
* TYPEA,RATEC,CDISC
INTEGER L,N,L1 , L2, SUP, l'ER # NW, M, INNUM, IA
REAL F<L),X<L>,YT<N),SCN),KERN#CK,HK,OK,Qr
* ALPHA1#THETA,ALPHAM,RES<7>,Y<N>
REAL P(L>#R(N)/UM),6AWA),HAt«rA),KXA>
REAL HW,DOMEGA,RL2,N0RML2#RCrNORMCfALPHA,SL2r
* RATEL2,NORMM,ALPHA0,RATEC,BETA#CDISC
LOGICAL OUT1,0UT2,0UT3,QATiCHD
С 1
CALL XNICXPL,2,IER»)
IFCIER,EQ.0)CALL XNI<S,N,2,IER)
SF(.NOT.QAT(Q,ALPHA1,THETA,ALPHAM))IER=IER4.2
IF<.NOT,CCHD<CK,HK,DK),AND,L1.6E.1
* .AND,L2.G?.2)>IER*IER-»-4
2
CALL COEFCX,L,P>
CALL COEF<S,N,R)
HW*DOMEGA(X/L,L1)
3
CALL UVIF<F,X,l,KERN,CK,HK/OK,HWrNW,U,KX>
RL2«N0RML2(YT,R,N)
RC*NORMC<YT,N>
ALPHA*ALPHA1/THETA
DO Z 1А*ЬМ*
ALPHA=ALPHA*THETA
5
CALL S0L2(U,HW,NW,SUP,Q,ALPHA#SfN,Y#GAW*HAW>
IF<©UT1CALPHA))CALL TYPE1(ALPHA#YtN>
6
SL2*RATEL2(Y,YT,R,N)/RL2
IF@UT2<AtPHA))CALL TYPE3СALPHA,$L2>
383
С У
IM. NOT*. (XA.EQ.1. OR. $12.IT. NOfcMM>>GO TO 1
NORMM=SL2
ALPHA»«ALPHA
€ в
1 IF@UT3(ALPHA)>
¦ CALt TYPg4<AlPHA,RATEC<Y,YT*N>/RC>
Z CONTINUE
С 9
СAlt SOLa<U,HW*NW,SUP,Q/ALPHA»,S,N,Y,GAU,HAW)
С 1»
RESC1)«AtPHA0
BETA«CDlSC(Q,AlPHA0#HW,NW,U<NW*2«'1bU<NW*3'H>>
RESB)=SQRT(BETA)
«ESC)=RESB)/N0RMt2<F,P,L>
RE$<4>«NORML2<Y,R,N>
RESE)aBETA+ALPHA0*RESC4)**2
RES<6)«RATEL2(Y,YT,.RiN)
RESG)«N0RMK
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6)—E.8), E.10), E.11), E.13), E.14).
2. Вычисление ph rh i = 1, /, / = 1, п (см. D.119)), HW == Асо (см. D.244)).
3. Вычисление (/(со), У (со), L(co), |F(co)| (см. D.222)—D.228)).
4. Цикл по а D.132).
5. Вычисление решения уа. и условная печать a*, lga,, ya..
6. Вычисление относительной погрешности решения (sl2)i (cm. D.136))
и условная печать at-, lgat-, (sl2)i.
7. Присвоения (при a == ах или при a < аг и SL2 < NORMM): NORMM =
-SL2, ALPHA0 - ALPHA.
8. Условная печать at«, lga/, (sc)i (см. D.137)),
9. Вычисление решения tjaopt.
10. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма CONV3
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием информации,
полученной от предварительного решения ряда модельных примеров.
Обращение
CALL CONV3 (F, X, L, S, N, KERN, СК, НК, DK, LI, L2, SUP, Q, ALPHA,
RES, Y, IER, P, R, U, GAW, HAW, KX)
Описание параметров
Входные параметры:
F—массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате xf
L — число узлов по х,
S—массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X)-
ядро, где X — простая переменная вещественного типа,
СК, НК, DK — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний предел
численного интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204)—
D.212)),
LI, L2—параметры /lf /2, входящие в D.244), D.245),
SUP — параметр, определяющий тип подавления высоких частот
Фурье в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации # > 0 (см. D.189)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
RES — массив длиной 4 — 4 характеристики решения уа (аналогично res
в conv3)t
384
Y — массив длиной N — решение уау
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в conv3),
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R—массив длиной N,
U — массив длиной 3- (L2 + 1),
GAW — массив длиной L2 + 1,
HAW —массив длиной L2 + 1»
КХ —массив длиной (DK — СК)/НК+1.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, CHD, DOMEGA, UVLF, SOL2, COEF, CDISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделирова-
моделирования) согласно формулам D.155) (или D.156)), D.115), D.116), D.204)—D.230),
D.244)—D.247).
SUBROUTINE C0NV3(F,X,US,N,KERN,CK,HK,DK»
* 11,12,SUP,Q,ALPHA,
* RES,Y,IER,
* P,R,U,GAW,HAW,KX>
EXTERNAL KERN,XNI,CHD,DOMEGA,UVLF,
* SO12,COEF,CDISC,N0RML2
INTEGER L,N,L1,LE,SUP,IER,NV
REAL F<L>,X<L>,S(N>,KERNrCK,HK,DKt
* Q,ALPHA,RES<4>,Y<N>
REAL P<l>,R<N),U<1>,GAUA>,HAW<1>,KXA>
REAL HW,DOMEGA,BETA,CDISC,N0RML2
LOGICAL CHD
С 1
CALL XNI<X,L,2,IER)
IMIER.EQ.OCALL XNI(S,N,2,IER)
IF(.NOT.(Q.GE.0..AND.ALPHA»GT.e.)>IER*IER4?
IF(.NOT.<CHD(CK,HK,DK).AND.L1.GE.1
* .AND.L2.GE.2))IER*IER*4
CALL UVLF<F,X*L,KERN,CK,HK,OK,HW,NW,U#KX)
3
CALL S0L2<U,HW,NW,SUP#Q#ALPHA,S,N,Y,GAW,HAW>
4
CALL COEF<X#L,P)
CALL COEF<S,N,R>
CDlSC(Q,ALPHA,HW, W
)xSQRT(BETA)
iL>
RgSD)xBETA-*'ALPHA*RESO)**2
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6)—E.8), E.10), E.12)—E.14).
2. Вычисление HWsAco (см. D.244)), ?/(со), У (со), L (со), |F(co)| (см.
D.222)—D.228)).
3. Вычисление решения уа.
4. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма CONV4
Назначение. Расчет обратного оператора (теплицевой матрицы), необ-
необходимого для решения уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
илиВольтерры1 рода типа свертки D.156) с помощью подпрограммы CONV5.
Обращение
CALL CONV4(C, НХ, D, A, HS, В, KERN, СК> НК> DK> LI, L2, SUP,
Q, ALPHA, RA, IER, KX, Fl, F2)
Описание параметров
Входные параметры:
С, НХ, D — соответственно нижний предел с, шаг hx (постоянный) D.234)
и верхний предел d сетки узлов по координате х,
25 5-1018 385
A, HS, В — аналогичные величины a, hs, 6 для сетки узлов по координате s;
необходимое условие: max {Л*, hs} должен делиться без ос-
остатка на min {hx, hs),
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X) —
ядро, где X — простая переменная вещественного типа,
СК, НК, DK — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний предел чис-
численного интегрирования D.224), D.225) (согласно D.204)—
D.212)),
LI, L2 — параметры 119 /2, входящие в D.244), D.245),
SUP — параметр, определяющий тип подавления высоких частот
Фурье в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации q > 0 (см. D.189)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры
RA — массив длиной (В — А + D — С)/Н + 1 — строка теплицевой матрицы
Ra (см. D.233), D.238)), где H = min{HX, HS},
IER—индикатор ошибки (аналогично ier в conv 4).
Рабочие массивы:
КХ —массив длиной (DK —СК)/НК+1,
F1 —массив длиной L2 + 1,
F2 — массив длиной L2 + 1.
Требуемые подпрограмма и подпрограммы-функции
INNUM, CHD, INF, SIGMA.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделирова-
моделирования) согласно формулам D.155) (или D.156)), D.204)—D.212), D.224)—D.230),
D.233)—D.238).
SUBROUTINE C0NV4<C,HX,D,A,HS,B,KERN,CIOHK,DK,
* 11,12,SUP,Q,ALPHA,
* RA,IER,
* KX,F1,F2>
EXTERNAL KERN,INNUM,CHD,INF,SIGMA
INTEGER If,L2,SUP,IER,INNUM,NK,NW,M,I,K
REAL C,HX,D,A,HS,B,KERN,CK,HK,DK,Q,ALPHAfRAA)
REAL KXA),>1<1),F2A),PI,HH,H,Q2,HW,WM,
* W,REL,IML,MW,P,GfSIGMA,SX,RC,RS
LOGICAL E,E1,CH0
DATA PX/3,14159265359/
С 1
E*HX,LE.HS
E1».NOT.E
IF(E)HH=HS
IF(E1)HH=HX
IF(E)HsHX
IF < E1>N = HS
iERai
IF<H.LE.e.)GO TO 1
lF(ABS(HH/H-FLOAT(INNUM<HH/H))).LE.1E-3)IERae
1 IF(.NOT.<Q.GE.0..AND,ALPHA.GT.0.))IERaIER^2
IF< ,NOT.<CHD<C,HX,O).AND.CHD<A,HS,B).AND.
* CHD(CK,HK,OK),AND,L1.GE.1
* .AND.L2.GE.2))IER«IER*4
XF<IER,GT.O)RETURN
02=2.»Q
NK*XNNUM<(DK-CK)/HK*1 . )
HW*PI/HX/FL0AT<L1>
WM=MW*FL0AT<L2>
NW=L2*1
M=INNUM( <B-A-«-0-C)/H*1.>
С 2
00 2 1=1,NK
2 KX<I)sKERN(CK+HK*FL0AtCl-1>>
- 3
00 3 K=1,NW
W=HW*FL0AT(K-1)
С 4
CALL XNF(KX,KX,CK,HK,OK>W,REL»XML)
IFCQ.EQ.O.)MW=1.
386
fi=SX6MA(W/WM,SUP>/P
F1 <K>=REL*G
3 F2<K)=IMl*G
С 5
SXsA-D-H
00 4 1=1,M
SX=SX*H
CALL INF<F1,F?,e.fHW»WH#SX«RCrRS)
Л RA<I)=HX*<RORS>/PI
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий D.236), D.237), E.10), E.12)—E.14).
2. Вычисление значений /С(СК), К (СК + НК), . - ., JC(DK).
3. Вычисление Re Х(ш) a(co)/[L (со) + сьЛ4 (со)] и Im Я (со) a(co)/[L (со) +
+ аЛГ(ю)], со=0, Да>, .. ., сотах (см. D.233), D.244)—D.247)).
4. Вычисление ReA,(oo) и 1т К (со).
5. Вычисление строки теплицевой матрицы Ra (см. D.233), D.238)).
Подпрограмма CONV5
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием обратного
оператора (теплицевой матрицы), рассчитанного подпрограммой CONV4
(«быстрый алгоритм»).
Обращение
CALL CONV5 (F, С, НХ, D, A, HS, В, KERN, СК, НК, DK, LI, L2, Q,
ALPHA, RA, RES, Y, IER, X, S, P, R, U, KX)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной (D — С)/НХ + 1 — правая часть, заданная на
равномерной сетке узлов с, с + hX9 ..., d>
С, НХ, D — соответственно нижний предел с, шаг hx (постоянный)
D.234) и верхний предел d сетки узлов по координате х,
A, HS, В — аналогичные величины a, /is, Ь для сетки узлов по коорди-
координате s; необходимое условие: max \hx> hs) должен делиться
без остатка на rnin {&*, /is},
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X) —
ядро, где X — простая переменная вещественного типа,
СК, НК, DK — соответственно нижний предел (если решается уравнение
D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний предел
численного интегрирования D.224), D.225) (согласно
D.204)—D.212)),
LI, L2 — параметры /х> /2, входящие в D.244), D.245),
Q — порядок регуляризации # > 0 (см. D.189)),
ALPHA—значение (одно) параметра регуляризации а>0,
RA — массив длиной (В— А + D — Q/H + 1 — строка теплицевой
матрицы Ra (см. D.233), D.238)), где H = min{HX, HS}.
Выходные параметры:
RES — массив длиной 4 — 4 характеристики решения уа (аналогично
res в convb—см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение уа,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в convb).
Рабочие массивы:
X — массив длиной (D — С)/НХ + 1»
S — массив длиной (В — A)/HS+1,
Р — массив длиной (D — С)/НХ + 1»
R —массив длиной (В — A)/HS + 1,
U — массив длиной 3 • (L2+ 1),
КХ —массив длиной (DK — СК)/НК + К
25* ж
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
INNUM, CHD, COEF, DOMEGA, UVLF, CDISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а с использованием обратного оператора (тепли-
цевой матрицы) согласно D.240) — «быстрый алгоритм»»
SUBROUTINE C0NV5<F,C,HX,D,A,HS,B,KERN,
* СК,НК,DK,L1,L2,Q,ALPHA,RA,
* RES,Y,IER,
* X,S,P,R,U,KX>
EXTERNAL KERN,1NNUM,CHD,COEF,
* DOMEGA , UVIF/CDISC, NORML?
INTEGER L1,L2,IER,K,INNUM,L,N,N1,J,J1,J2,I,M,NW
REAL FA>,СHX,D, A,HS, B,KERN,CK,HK,DK,Q,ALPHA,RA(if
REAL RES<4),Y<1),X<1>,S<1),P<1)#RA),U<1),KX<1)
REAL HH,H, EPS, G,HW, DOMEGA, BETA, C0ISCN0RML2
LOGICAL E,E1,CHD
DATA EPS/1E-3/
С 1
E = HX.L'E.HS
E1=.NQT.€
IF(E>HH=HS
IF<E1)HH=HX
IF(E)H=HX
I F < E1)HsNS
IER = 1
IF<H, LE.0.)GO TO 1
K=INNUM(HH/H)
IF<ABS<HH/H-FLOAT(K>).LE.EPS)IER»0
1 IF(.NOT.(Q,GE.0..AND.ALPHA,GT.0.))IER3lER+2
IF(.NOT.(CHD(C,HX,D>.AND.CHD<A,HS,В).AND.
* CHDCCK,HK,DK).AND,L1.GE.1
* .AND.L2.GE.2))IER»IER*4
IF<IER,GT.e)RETURN
L=INNUM<<D-C>/HX-M .)
N=INNUM((B-A)/HS*1.>
N1=INNUM(<D-C)/H+1.)
F<1)=.5*F<1>
F<L)=.5*F(L)
С 2
DO 3 J=1,H
IF<E1)J2=J-1+N1
S(J)=A>HS*FL0AT<J-1>
DO 2 1=1#L
2
3 Y < J > = G
F<1)=2.*F<1)
3
DO 4 1=1,L
4 X<I) = C-»-HX*FL0AT<I-1>
CALL COEF<X,L,P)
CALL COEF(S,N,R)
Hy=DOMEGA(X,L>L1 )
WW=L2*1
CALL UVLF<F,X,L,KERN,CK,HK,DK,HWrNW,U,KX)
BETA=CDISC(Q,ALPHA,HW>NW,U(NW*2*1),U(NW*3+1))
R?S<1,)=SQRT<BETA)
RESB)=RESA)/NORML2<F,P,D
RES<3)=N0RML2<Y,R,N)
RESD)=8ETA+ALPHA*RESC)**2
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий D.236), D.237), E.15), E.16),
2. Вычисление массива Y путем умножения теплицевой матрицы Ra на
вектор / (см. D.240)).
3. Вычисление элементов массива RES.
388
Подпрограмма FRIED1
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.276) с использо-
использованием значений погрешностей правой части и оператора.
Обращение
CALL FRIED1(F, X, L, S, N, KERN, DELTAF, KSI, SIGMA, MMAX, OUT1
0UT2, RES, Y, IER, P, R, Z, G, FF, YM, YM1)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
L — число узлов по х,
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X, S)~-
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность 6/>0 правой
части F==6/j^d — с — см. D.64)),
KSI — погрешность ? > О оператора (см. D.43)),
SIGMA — параметр а метода, 0<а<2 (см. D.295)),
ММАХ — максимальное число итераций ттах > 1.
Выходные параметры:
0UT1 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1 (М), где
М — простая переменная целого типа; если OUT1 = TRUE, то будет
печать т9 ут,
0UT2 — подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2(M), где
М — простая переменная целого типа; если OUT2 = TRUE, то будет
печать m, lgm, pw (см. D.297)), lgpm, Хт (см. D.291)), lg?m, *m
(см. D.285)),
RES — массив длиной 7 — 7 характеристик решения ymd (аналогично res
в friedl —см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение ymd>
IER—индикатор ошибки (аналогично ier в friedl).
Рабочие массивы:
Р—массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной L x N,
G — массив длиной N(N + l)/2,
FF — массив длиной N,
YM—массив длиной N,
YM1 —массив длиной N.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, COEF, ZGF, LAMBDA, DISC, NORML2, SOL3, TYPE5, TYPE6,
RATEL2.
Метод. Метод итеративной регуляризации Фридмана B-й вариант)
с выбором числа итераций способом обобщенной невязки согласно формулам
D.276), D.115), D.116), D.119), D.120), D.122), D.123), D.277)—D.282),
D.284), D.285), D.288), D.289), D.291), D.293)—D.300).
Примечание. В памяти ЭВМ запоминается лишь верхний треугольник
квадратной симметричной матрицы G (см. D.122)).
SUBROUTINE FRIEDi<F,X,L,S,N,KERNr
« DELTAF,KSI,SIGMA,MMAX,
* 0UT1,0UT2,RES,Y#IER,
* P,R,Z,G,FF,YM,YM1>
EXTERNAL KERN • OUT1,0UT2
EXTERNAL XNI,COEF,ZGF,LAMBDA,DISC,
* NORML2,SOL3,TYPE5.TYPE6#RATEL2
INTEGER L,N,MMAX,IER,I,K,MD,M
REAL F<L>,X(l>,SCN),KERN,DELTAF,KSI,SIGMA
REAL RES<7>,Y(N)
REAL P<L>'R<N>,Z<L,N>,GA>*FF<N>,YM(N>,YM1<N>
REAL DELTA,NU,IAMBOA,MU,DISC,05,NORM12iP1•02r
389
* D2M,DZETA,NF,NF2,BETA,KAPPA#RATEL2,NY
LOGICAL OUT1,0UT2,E,E1,E2
DATA D2,D3/2*0./
1
CALL XNI(X» L,2,l?R>
IF<IER.EQ.0)CALL X NI(S,N,2,1ER>
IF(.NOT.(D€LTAF.GT.O..AND.KSI.GE.G..AND#
* SIGMA.GT.0..AND.SIGMA.LT.2.
* . AND.MMAX ,GE.1 ) ) IER*IER«
DELTA=DELTAF*SQRT(X(L>-XA>>
2
CALL COEF(X,L,P)
CALL COEF<S,N,R>
CALL ZGF<F,X,P,L»S,R,H,KERN,1,0,FF)
NU=SIGMA/LAMBDA(G,N>
E=KSI.NF,«.
3
1 = 1
DO 1 K=1,N
IF(E>D3=N0RML2<YM,R,N>
4
DO 3 M=1#MMAX
5
CALL S0L3<G,FF,YM1,N,NU,Y4>
XF@UT1(M))CALL TYPE5(M,YM,N>
6
D1=DISCCF,P,L,YM,N,Z>
IF<E>D2=N0RML2(YM,R,N>
IF(D1.GT.MU.OR.(E.AND.D2.LT.D3)>1*0
1F<I.EO.0>GO TO 2
7
MU=D1
1F<E)D3=D2
2 DO 3 K*1 , N
3 YMKK)cYM(K)
8
D2M=DELTA**2«-MU
XFC.NOT.E)DZETAeO2M
NFsNORML2(F,P,L)
NF2=NF**2
E2*NF2.GT.D2M
IF(E2)G0 TO 4
9
RES<3) = 1 .
RESG)=e.
60 TO 9
A ElB.FAtSE.
DO S K=1,N
С 10
DO 8 M=1,MMAX
С 11
CALL S0L3CG,FF,YM1,N,NU,YM>
XF(E)DZETA-(DELTA*KSI*N0RML2<YM,R,N)>**2+MU
KAPPA=BETA-DZETA
IF@UT2<M>)CALL TYPE6(M,BETA,DZETA>
1 12
IF<KAPPA.GT,0..OR.E1)GO TO 7
DO 6 K«1',N
Eir.TRUE.
RESG>*RATEL2<Y,YM1,R,N)
7 DO $ KHJ
8 YM1CK)=YM(K)
13
9 RESA)=FL0AT(MD)
IF<E?>B?TA=DISC(F,P#I*YiN#Z>
RES<2)=SQRT<BETA>
IF<E2>RESC)=RES<2)/NF
390
RESE>*MU
RESF)=NY
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) —E.9), E.17).
2. Вычисление piy rh Zij~rjKij> Gkh Fky i=l, /, /, &=1, n (см.
D.119), D.122), D.123)).
3. 1-й этап. Начальные заготовки.
4. Цикл по т с целью определения \л (согласно D.299), D.300)).
5. Вычисление решения ут (см. D.293)) и условная печать т, ут.
6. Вычисление невязки D1 = (Зт (см. D.297)) и (при ? ^ 0) нормы
D2=||y«lk (см. D.298)).
7. Присвоения: MU = D1, D3 = D2 (при | Ф 0) при условии монотон-
монотонности невязки и нормы (при \ Ф 0), а также YM1 = YM (т. е. ym_i = #m).
Если хотя бы одно нарушение монотонности имело место, то цикл по т
будет продолжен, но без уточнения значения \i.
8. Проверка условия D.84).
9. 2-й этап. Начальные заготовки.
10. Цикл по т с целью определения та и ymd.
11. Вычисление уту pm, tm (при %ф0), хт и условная печать m, lgm,
$, g^ ? g t
12. Присвоенье (однократное): Y = YM, MD = M при первом выпол-
выполнении условия: х<0 (см. D.289)), после чего цикл по т будет продолжен,
но без данных присвоений.
13. Вычисление элементов массива RES.
Подпрограмма FRIED2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.276) с извест-
известным (заданным) точным решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL FRIED2 (F, X, L, YT, S, N, KERN, SIGMA, MMAX, OUT1, OUT2,
OUT3, RES, Y, IER, P, R, Z, G, FF, YM, YM1)
Описание параметров
Входные параметры:
F — массив длиной L — правая часть,
X — массив длиной L — узлы по координате х,
L — число узлов по х,
YT — массив длиной N — точное решение,
S — массив длиной N — узлы по координате s,
N — число узлов по s,
KERN —подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X, S) —
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа,
SIGMA — параметр а метода, 0<а<2 (см. D.295)),
ММАХ—максимальное число итераций mmax.
Выходные параметры:
OUT 1—подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT1 (М),
где М—простая переменная целого типа; если OUT I = TRUE,
то будет печать /п, у ту
OUT2 —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT2(M),
где М — простая переменная целого типа; если OUT2 = TRUE,
то будет печать m, lgm, \\Ут — у^\ьДуг\\ь9 (см. D.301)),
OUT3-- подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION OUT3(M),
где М — простая переменная целого типа; если OUT3 = TRUE,
то будет печать m, lgm, ||ут — yt\\cj\\yt\\c (см. D.302)),
RES — массив длиной 6 — б характеристик решения ymopt (аналогично
res в fried2 —см. п. 5.5),
Y — массив длиной N — решение уторР
391
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в fried2).
Рабочие массивы:
Р — массив длиной L,
R — массив длиной N,
Z — двухмерный массив длиной L x N,
G —массив длиной N(N+ l)/2>
FF — массив длиной N,
YM — массив длиной N,
YM1—массив длиной N.
Требуемые подпрограммы и подпрограммы-функции
XNI, COEF, ZGF, NORML2, NORMC, LAMBDA, RATEL2, SOL3, TYPE5,
TYPE7, TYPE8, RATEC, DISC.
Метод. Метод итеративной регуляризации Фридмана B-й вариант)
при известном (заданном) точном решении (в модельном примере) согласно
формулам D.276), D.115), D.116), D.119), D.120), D.122), D.123),
D.277) —D.280), D.293)— D.296), D.301) —D.303).
Примечание. В памяти ЭВМ запоминается лишь верхний треугольник
квадратной симметричной матрицы G (см. D.122)).
SUBROUTINE FRIED2<F,X,L,YT,S,N,КЕRN,SIGMA,ММАУг
¦ OUT1,0UT2»0UT3,RES,Y,IER,
¦ P,R,Z,G,fF,YM,YM1)
EXTERNAL KERN,OUT1,OUT2#0UT3
EXTERNAL.XNI, COEF,ZGF.N0RML2.NORMC,LAMBDA,RATE 12t
¦ SOL3,TYPE5,TYPE7,TYPE8,RATEC,DISC
INTEGER L/N,MMAX,IER,K,M0,M
REAL F <L> »X<L>»YT<NbS<N>, KERN» SIGMA * RES <6bY<N>
REAL P<L>,B<N>,Z<L«N>,GA>,FF<N>,YM<N>,YM1<N>
REAL RL2,NORML2,RC,NORMC,NU,LAMBDA,NORMM,
¦ RATEL2.SL2,RATEC,BETA»DISC
LOGICAL OUT1,0UT2,0UT3
С 1
CALL XNI<X,L,2,IER>
IF(IER.EQ.0)CALL XNI<S,N,2»IER>
IF(.NOT.<SIGMA.GT.0..AND.$IGMA,LT.2.
¦ .AND.MMAX.GE.1>>IER=IER+2
XFCIER.&T.ORETURM
С 2
CALl COEF<X,L,P>
CALL COEF($,N,R)
CALL ZGF<F,X,P,L#S,R,N»KERN,Z,G,FF>
RL2=NORML2(YT,R,N>
RC=NORMC<YT,N)
NU=SIGMA/LAMBDA(&#N)
С 3
DO 1 K*1,N
YM(K)=0.
1 YM1<K>*«.
N0RMM*RATEL2<Y,YT,R,N)/RL2
С 4
DO 4 Mri,MMAX
С 5
CALL SOL3<G,FF,YM1 ,N,N\J,YM>
IFCOUT1<M))CALL TYPE5(M,YM,N)
С 6
SL2srATEL2(YM,YT,R»N)/RL2
IF@UT2<M))CALL TYPE7<M#SL2>
С 7
XF<SL2.GE.NORMM>GQ TO 3
N0RMM=SL2
DO 2 K=1,N
2 Y<K)rYM<K>
С 8
3 IF<0UT3(M))CAUL TYPE»<M/RATEC<YMЛT#H>/RC>
DO A K=1 ,N
4 YMKK)=YM(K>
С 9
RESd ) = FLOAT<M0)
BETA = DISC<F,P,L,Y#N#Z)*
RESB)*SQRT<BETA>
392
RE$C>=RES<2>/N0RML2<F,P,l)
RESF)=N0RMM
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка условий E.2), E.6) —E.8), E.17).
2. Вычисление ри г/, гц = г/Кц9 G#f Fk> / = 1, /,/,& = 1, n (см.
D.119), D.122), D.123)).
3. Начальные заготовки.
4. Цикл по т.
5. Вычисление решения ут (см. D.293)) и условная печать т, ут.
6. Вычисление относительной погрешности решения (Sb2)m (см. D.301))
и условная печать m, Igm, (sL2)m.
7. Присвоения (при SL2 < NORMM): NORMM = SL2, МО == М, Y = YM.
8. Условная печать m, Igm, (sc)m (см. D.302)).
9. Вычисление элементов массива RES.
6.6. МОДУЛИ ФОРТРАННОГО ПАКЕТА
Здесь приведены (с краткими инструкциями и комментариями) модули уровня
>2 фортранного пакета (за исключением DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS,
SINV).
SUBROUTINE XNMX,N,NMIN, IER)
INTEGER N,NMIN»IER,N1,1
REAL X(N>
С 1
IERs0
IFCIER.EQ.1.OR.N.LE,1>RETURN
N1*N-1
DO 1 1=1,N1
XF(XCX),LT.XCI*1>?GO TO 1
IER = 1
RETURN
1 CONTINUE
RETURN
ENO
Комментарии в тексте
1. Проверка выполнения условий E.2), E.3) при задании узлов нерав-
неравномерной сетки.
Вход: X — массив длиной N — узлы сетки; N—число узлов; NMIN-—
ограничение птт-
Выход: IER = 0, если все условия выполнены, иначе IER = 1.
SUBROUTINE YDY<F,X,O,N,KERN,K,Y,DY>
EXTERNAL KERN,F2
INTEGER N,K.I»11 . J,J11
REAL F<N>,X(N>,D<N>,KERNrY<N>,0Y<N>
REAL A#X2,H22,K2bHY,D2,XIrKIb<bS,RI,HJ.KYbKIJ»
¦ KY,DI,XJ1 rXJrXJ1bXKiHJ11#KUi1/KY11 ,KYH,F2
С 1
A = X<1 )
X2=X<2)
И22=(Х2-А)/2.
K21=KERN(X2,A)
HY=H22*Y<1>
D2=DB)
PO 2 1=3,N
XI=X(I)
11=1-1
KI1=KERN<XbA>
G=F(I)*FLOAT(K)*HY*KI
S = 0.
RI = 0.
HJ=X2-A
KY1=KI1*Y<1)
393
KY*KIJ*YC2>
01=0A)
DO 1 J=2,X1
XJ1=X(J-1>
XJ=X(J>
J11=J*1
XJ11=X(J11>
XK=(XJ11-ХЛ
Ss$+XK*DY(J>
HJ11=XJ11-XJ
XFCJ.EQ.11>Y(I)=6/DI
KlJ11*KERN<XI,XJ11)
KY11=KIJ11*Y(J11 )
KYH=F2(HJ,HJ11,KY1,KY,KY11>
RI=RI-HJ**3*KYH
IFCJ.EQ.IDGO TO 1
HJ = HJ1 1
KY1=KY
KY=KY11
CONTINUE
RI=<Rl-(XI-X<I1>>**3*KYH>/12,
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Решение уравнения Вольтерры II или I рода методом квадратур на
неравномерной сетке узлов с отысканием оценок погрешностей решения в со-
соответствии с формулами A.92), A.95).
Вход: F — массив длиной N — правая часть; X — массив длиной N —
узлы; D — массив длиной N — 1 — -? К а для уравнения второго рода и -^ Кц
для уравнения первого рода; N — число узлов; KERN — подпрограмма-функ-
подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S) — ядро, где X, S —простые пе-
ременные вещественного типа; К = 1 для уравнения второго рода и К = —1
для уравнения первого рода.
Выход: Y — массив длиной N — решение; DY — массив длиной N —
погрешности решения.
Требуемая подпрограмма-функция: F2.
SUBROUTINE COEF<S,N,R>
INTEGER N,N1,J
REAL S(N),R<N>
С 1
M1=N-1
RA> = .5*(S<2>-S<1) >
1F<N.EQ.2)&O TO 2
DO 1 J=2*N1
1 R(J) = .5*CS<J + 1>-S(J-1>>
2 R(N) = .5*(S(N)-S(ND)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление коэффициентов гр /= 1, ... , л, квадратурной формулы
трапеций по значениям узлов sp /==1, ... , п, в случае неравномерной
сетки узлов (см. D.119)).
Вход: S —массив длиной N —узлы по координате s; N —число узлош
по s.
Выход: R—массив длиной N — коэффициенты г..
SUBROUTINE REM<Y,X.N,KERNiR>
EXTERNAL KERN,F2
INTEGER N,N1,X,11»JiЛ 1
REAL Y(N>,X(N>,KERN,R<N>
REAL ArX2,HM3.XbRX,HJ,KY1.KY,XJ1bHJ1bKY11.KYH,F2
С 1
394
хг*х<г>
N1=N-1
HN3s(X(N>-X(N1))**3
PO 2 1=1,N
11=1-1
RI = 0.
HJ=X2-A
KY1=KERN<XI,A)*Y<1)
DO 1 J=2,N1
НЛ 1=XJ11-XU>
KY11=KERN<XI,XJ11>*Y<J11>
KYH«F2(HJ,HJ11,KY1#KY#KY11)
RI=RX-HJ**3*KYH
IF<J.EQ . N1 )GO TO 1
HJ = HJ1 1
KY1*KY
KY=KY11
CONTINUE
RI=<RI-HN3*KYH>/12,
R<Z)=Rl
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Оценка квадратурных остатков формулы трапеций в случае нерав-
неравномерной сетки узлов в соответствии с формулой C 91).
Вход: Y — массив длиной N — функция y(sf), j = 1, n; X — массив дли-
длиной N узлы х. = s., / = 1, п\ N — число узлов; KERN —подпрограмма-
функция вида REAL FUNCTION KERN(X, S) — ядро, где X, S —простые
переменные вещественного типа.
Выход: R —массив длиной N —квадратурные остатки R(, i= I, n.
Требуемая подпрограмма-функция: F2.
SUBROUTINE ZGH'F,X,p,L,$,R,N,KE*N«Z,e»H)
EXTERNAL KERN,RHO
INTEGER L,N,J,I,K,K1
REAL F<l>,X<O#P<L>,S<N>,R<N>,KeRN.
* Z<L,N>,G<1),FF<N>
REAL R0#RHO,Rj,$,|_f M,<|1f&t
1
R0*RHQ<R,N>
г
DO 1 J«1,H
RJ = R<J )
SJ«S<J> .
DO 1 1 = 1,L
ZCI#J>=RJ*KERN(X<1>f$JJ
3
DO 4 K=1,N
F1=0.
DO 3 J=K#N
G1=0.
DO 2 1*1#L
1
3
4
RETURN
END
*Z(ltJ)
IF(J.EQ.N)Fi
CONTINUE
Комментарии в тексте
1. Вычисление коэффициентов г1/ = г1Кф Gkj> Fk, i= 1, ... , /, /, k=*
= 1, ..., /г, используемых в методах регуляризации Тихонова и Фрид-
Фридмана (см. D.122), D.123)).
Вход: F — массив длиной L — правая часть; X — массив длиной L —
узлы по координате х\ Р — массив длиной L — коэффициенты pt> ь = 1, ...
395
... , /(см. 4.119)); L — число узлов по х\ S — массив длиной N — узлы по
координате s; R — массив длиной N — коэффициенты r.\ N — число узлов
по s; KERN — подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN (X, S) —
ядро, где X, S — простые переменные вещественного типа.
Выход: Z — двухмерный массив длиной L х N — коэффициенты г%\\ G —
массив длиной N(N + l)/2 — элементы верхнего треугольника положительно
определенной симметричной матрицы G, расположенные по столбцам; FF —
массив длиной N —коэффициенты Fk.
Требуемая подпрограмма-функция: RHO.
2. Вычисление ztj.
3. Вычисление Gkh Fk, k= 1, ... , п, j = 1, ... , k.
SUBROUTINE CKK<S*RfN»Q»CK>
EXTERNAL RHO
INTEGER N,J,N1,K'KN
REAL S<NbR<N>,Q,CKO>/R«iRHO
С 1
С 2
DO 1 J=
С 3
CK<1 ) = 1 ,/CKB*N) .
IF<N.EQ.2>G0 TO 3
N1=N-1
00 2 K=2'N1
2 CK<K)s1./CK(KN)i>1 ./CKCKN + 1)
3 CK(N>=1,/CK<N+N)
С 4
DO A K=1,H
4 CK<K>=<1.
DO 5 K=2/N
KN=K+N
5 CK(KN)(K
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление элементов положительно определенной симметричной
трехдиагональной матрицы С, используемой в методе регуляризации Тихо-
Тихонова (см. D.124) —D.126)).
Вход: S—массив длиной N — узлы по координате s; R—массив дли-
длиной N — коэффициенты г/э / = 1, ..., п (см. D.119)); N — число узлов
по s; Q—порядок регуляризации <7^0(см. D.124) — D.126)).
Выход: СК — массив длиной 2 • N, при этом СКA), ... , CK(N) — эле-
элементы Сш й=1, ..., л (см. D.124)), а CK(N + 2), ..., СК B X N) —эле-
—элементы Ck, k-\ = Ck-i, ь k = 2, .. ., n (cm. D.126), D.125)).
Требуемая подпрограмма-функция: RHO.
2. Временно на место CKB + N), ... , CK(N + N) помещаются значе-
значения hr / = 2, ..., п (см. D.119)).
3. Временно на место СКA) засылается значение 1/Л2, на место СК (К),
К = 2, ... , N— 1 —значения (l/hk+ 1/Л^+О, а на место CK(N) — значе-
значение 1/Ля(см. D.124)).
4. Окончательное вычисление элементов массива СК.
SUBROUTINE SOLK6#FF#CK»N,ALPHA.Y#E,A>
EXTERNAL MF$D,MTDS
INTEGER N,K,J,I, IERblERZ
REAL GA>.FF(N),CKA),ALPHA4Y(N)iAA),CiEPS
LOGICAL E
DATA EPS/1E-6/
С 1
с г
396
оо г к=и,м
DO 1 J=K,M
I = K«-J*(J-1)/Z
I P <J .EQ.K)C =
IF(J ,EQ.K + 1)
1 A<I)aALPHA*C+G<I>
2 Y<K>»FF<K>
С 3
CALL MFSD<A»W,EP5>I6R1>
IF<IER1 )Ъ,Ь,Ь
3 E=.FALSE.
RETURN
С 4
4- CALL MTDS<Y,N,1,A#3*lER?>
E=lER2.Ea.0
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Решение СЛАУ (aC + G)#a =F(cm. D.121)) с положительно опре-
определенной симметричной матрицей aC+G в методе регуляризации Тихонова.
Вход: G — массив длиной N(N+l)/2 — элементы верхнего треуголь-
треугольника матрицы G, расположенные по столбцам (см. 4.122)); FF — массив дли-
длиной N —коэффициенты Fk (см. D.123)); СК — массив длиной 2 • N, где
СКA), ..., CK(N) —элементы Сш /г=1, ..., п (см. D.124)), CK(N +
+ 2), ... , СК B Ж N) — элементы Ckf k-\ = Ck-u k> k = 2, . .. , n (см. D.126),
D.125)); N — число узлов по s; ALPHA — параметр регуляризации a>0.
Выход: Y — массив длиной N — решение СЛАУ уа\ Е — переменная ло-
логического типа (если решение СЛАУ найдено, то Е = TRUE, иначе Е =
= FALSE).
Рабочий массив: А—массив длиной N(N + l)/2.
Требуемые подпрограммы: MFSD, MTDS.
2. Формирование верхнего треугольника матрицы аС + G в виде одно-
одномерного массива А с расположением элементов по столбцам и занесение
элементов массива FF в Y.
3. Треугольная факторизация матрицы Л — представление ее в виде А =
= RTR с помощью подпрограммы MFSD, где i? — верхняя треугольная мат-
матрица. Если факторизация не выполнена, то IER1 =—1, Е = FALSE, под-
подпрограмма SOLI заканчивает работу (в Y*—значения FF), в противном слу-
случае работа SOLI продолжается.
4. Отыскание решения уа = (aC + G) F = (RTR)~1F с помощью под-
подпрограммы MTDS. Если решение уа найдено, то IER2 = 0, Е = TRUE, иначе
IER2 = —1 или 1, Е = FALSE. Подпрограммы MFSD и MTDS реализуют
метод квадратных корней Холецкого.
SUBROUTINE GDISC<ALPHA1,THETA,ALPHASAl?HAPг
* ALPHAM»BNrMU,DELTA,KSIrOUT,ALPHAD>
EXTERNAL OUT»INNUM,TYPE2
REAL ALPKA1,THETA»ALPHAp,ALPHAP,ALPHAM#
¦ BN<1>,MU,DELTA,KSI,ALPHAD
INTEGER HP,INNUM,M,IA
REAL DZETA,ALPHA,BI,KI,D1#D2
LOGICAL OUT,E
С 1
MP=INNUMCAL0G(AlPHAP/ALPHA1>/AL0G4THe?A)+1.>
M=INNUM<AL0G<ALPHAM/ALPHA1>/AL0G<THfcTA>*1.>
E=KSI.NE.0-
IF(.NOT#E)OZETA«DELTA**?+MM
D2 = 0.
ALPHA=ALPHA1/THETA
00 1 IA=bMP
ALPHA=ALPHA*THETA
BI=BNCIA>
F KI=BI-D2ETA
IF(OUT<ALPHA>>CALL TYPE2<ALPHA#BXtOZETA)
D1=ABS(KI)
!F(,N0T,(XA-.EQ.1 .OR . (D1 . LT. D2
* «AND.ALPHA.QE.ALPHAF>)>GO TO f
397
1 CONTINUE
RETURN
END
Комментарии в тексте
l. Определение параметра регуляризации а способом обобщенной не-
невязки в методе регуляризации Тихонова по рассчитанным Р(а), ||уа|к, И-»
aF, ар (см. D.127), D.128), D.133), D.134), D.134')).
Вход: ALPHAl, THETA, ALPHAM — параметры al9 0, am? входящие
в закон D.132) изменения a; ALPHAF — aF — минимальное а, при кото-
котором монотонна функция f5(a) (а также l|#allL при %фО) (см. D.134));
ALPHAP — ар — минимальное а, при котором еще находится решение СЛАУ
D.121) посредством модуля SOLI (ax > aF > ap > am > 0, 0 < 0 < 1);
BN — массив длиной М при g = 0 и 2-М при | ^= 0, где М = [In (aim/ajfln 0] +
+ 1—число т в законе D.132), при этом первые М элементов BN—зна-
BN—значения невязки Р(а/), следующие М элементов (при g ф 0) — значения нормы
Н#«Л1х2> ^=1» ••• » m; MU —величина ^ (см. D.81), D.133), D.134));
DELTA — погрешность б правой части (см. D.64)); KSI — погрешность ?
оператора (см. D.43)).
Выход: OUT —подпрограмма-функция вида: LOGICAL FUNCTION
OUT (ALPHA), где ALPHA — простая переменная вещественного типа;
если OUT = TRUE при а = ас > ар (см. D.132)), то будет печать a*, lga;,
р(а,), igPK), tK) (см. D.82')), lgC(a/), к(а?)(см. D.82), D.135')); ALPHAD-
значение a</? [aF, aj, найденное способом обобщенной невязки согласно
D.85) или D.135).
Требуемая подпрограмма: TYPE2 и подпрограмма-функция: INNUM.
SUBROUTINE UVIF(F,X,UKERN,CK,HK'DK'HW'NW,U,KX>
EXTERNAL KERN,XNNUM,INF,Q12
INTEGER L,NW,NK,INNUM,11,NW2»NW3#I,K
REAL F<L>,X(l>,KERN,CK,HK,DK,HW,U<1>,KX<1>
С 1
REAL W,REL,XML.REF,IMF,B3,B^#05fB6,B7,
¦ XI1fHI1fQ1»Q2r FI1
NK=INNUM<(DK-CK)/HK+1.)
L1=L-1
NW2=NW*2
NW3=NW*3
С 2
00 1 1=1.NK
с з
DO 3 K=1,NW
С <*
CALL INF<KX*KX,CK,HK,DKrW,REL,IMU
REF=0.
Bd=F<1)*SIM(B3)
B6sFA)*C0S<33)
DO 2 1=1,L1
XX1sX(I+1>
CALL Q12<W*HI1,
B3=W*XX1
FXIsFCI-H)
B5=F11*SIN(B3)
B7=FI1*C0S<B3)
B6=B7
U(K)=REL*REF+IHL*XMF
U<K+NW)=REL*IMF-IML*REF
3 U<K*NW3)=SQRT(REF**2+IMF**2)
RETURN
END
398
Комментарии в тексте
1. Вычисление функций V(со), F(co), L(co), |F(co)| (см. D.222)—D.228),
D.204)—D,212)), используемых в методе регуляризации Тихонова решения
уравнения типа свертки D.155) или D.156).
Вход: F — массив длиной L — правая часть; X — массив длиной L—
узлы по координате х\ L — число узлов по х\ KERN — подпрограмма-функ-
подпрограмма-функция вида: REAL FUNCTION KERN(X)—ядро, где X — простая переменная
вещественного типа; СК, НК, DK — соответственно нижний предел (если
решается уравнение D.156), то СК = 0), шаг (постоянный) и верхний пре-
предел численного интегрирования D.224), D.225) согласно D.204)—D.212);
HWeeeAcd (см. D.244)); NW = /2 + 1 (см. D.245)).
Выход: U — массив длиной 4 • NW — функции ?/(со), F(co), L(co), |F(co)|
(расположенные друг за другом).
Рабочий массив: КХ — массив длиной (DK — СК)/НК + 1.
Требуемые подпрограммы: INF, Q12 и подпрограмма-функция: INNUM.
2. Вычисление значений /((СК), К(СК + НК), ... , ^K(DK).
3. Цикл по К — вычисление (/(со), V(co), L (о)), а также |F(co)| при
В = TRUE.
4. Вычисление Re А, (со), Im М<о) (см. D.224), D.225)).
SUBROUTINE rNF<n»F2,C,H,D,W,IC,!S>
EXTERNAL IWNUM,Q12
INTEGER L#IMNUM#L1#t
REAL FKD »F2<1> .C.NtD,W,IC»XS
С 1
REAL. Q1 ,Q2,B3,B<m&5,B6,B7,B8,B9,S1 ,$2
L«XNNUM( CD-O/K + 1 . )
CALL «12<W*H,Q1rQ2>
B3=W*C
B4sSXN(B3>
B5=C0S(B3)
B6=W*0
B7sSIN<B6)
B8=C0S(B6)
S1=f,
S2 = e.
IF<L.EQ.2N0 TO г
I1=L-1
DO 1 S=2»L1
B9 = W*<OH*FIOAT<I-1>)
S1=S1*F1<1)*COS(B9>
F1
¦ F2<L)*(Q1*B7»Q2*B8>)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление косинус- и синус-преобразований (интегралов) Фурье
D.204) и D.205) по обобщенной формуле трапеций с постоянным шагом
интегрирования в соответствии с формулами D.206)—D.212).
Вход: F1 и F2 — массивы длиной (D — С)/Н + 1 — дискретно заданные
функции fx(x) и f2(x) (см. D.204)—D.207)); С, Н, D — соответственно
нижний предел интегрирования с, шаг интегрирования (постоянный) h и
верхний предел интегрирования d (см. D.206), D.207)); W = со (см. D.204),
D.205)).
Выход: 1С, IS — соответственно значения /с(со) и /s(co) (см. D.204),
D.205)), вычисленные по приближенным формулам D.208), D.209),
Требуемые подпрограмма: Q12 и подпрограмма-функция: INNUM.
SUBROUTINE Q12<B1,Q1,Q2>
REAL B1,Q1#Q2/EPS'B?
С 1
DATA EPS/ ,1/
B2*B1**2
1F<ABS<B1)«EPSItZtZ
399
RETURN
г Q1~<1.-C0S<B1)>/B2
Q2=<1.-S1N(B1)/B1)/В1
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление коэффициентов qt и q2 (см. D.210), D.211)), используемых
при вычислении косинус- и синус-преобразований Фурье D.204) и D.205)
по приближенным формулам D.208), D.209).
Вход: В1—значение Ьг = со/г (см. D.212)).
Выход: Ql, Q2 — коэффициенты ?i> ^2 (см. D.210), D.211)).
SUBROUTINE S0t2(U,HW,MW'SUP,Q/AlPHA,S,N,Y'GAV*,HAW>
EXTERNAL SIGMA,INF
INTEGER NU.SUP.N'NW2»K<J .
REAL UA),HW,QiALPHA'S<N>#Y<NV»GAW<NW>,HA'W<NW>
С 1
REAL SIGMA,PI,Q2,WM,W,MW,e,G,YC,YS
DATA PX/3.141392653.?»/
MVial .
г
DO 1 KabNW
W=HW*FL0AT(K-1>
, SUP) /E
GAW<K)=U<K)*G-
С 3
oo г а*1,n
CALL INF(GAW, HAU,0.,HW,WM,SU),YC,YS)
2 Y(J)s<YC*YS.)/PI
RETURN
ENO
Комментарии в тексте
1. Вычисление решения ya(s) (см. D.219)) уравнения типа свертки
D.155) или D.156) методом регуляризации Тихонова при некотором значе-
значении параметра регуляризации а и при заранее рассчитанных [/(со), F(co),
L(o) (см. D.222)—D.228)).
Вход: U — массив длиной 3 • NW — функции /7 (со), F(co), L (со) (рас-
(расположенные последовательно друг за другом) при со = О, Дсо, 2Асо, ...,
согаах = /2Дсо; HW = Дсо (см. D.244)); NW = /2 + 1 (см. D.245)); SUP —пара-
—параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье в решении
(см. D.230)); Q — порядок регуляризации ? > 0 (см. D.189)); ALPHA —
параметр регуляризации a>0; S — массив длиной N — узлы по координате
s; N—число узлов по s.
Выход: Y — массив длиной N — решение уа.
Рабочие массивы: GAW — массив длиной NW, HAW — массив длиной
NW.
Требуемые подпрограмма: INF и подпрограмма-функция: SIGMA.
2. Вычисление Ga(co), #a(co), со = 0, Дсо, 2Дсо, ... , сотад; (см. D.220),
D.221)).
3. Отыскание решения ya(s) (см. D.219)) путем вычисления косинус-
и синус-преобразований Фурье в соответствии с D.204)—D.212).
SUBROUTINE S0L3(G/FF/Y1/W/NUiY)
INTEGER N,K,K1,J.I
REAL G<1>¦FF(N>*Y1<N)/NU,Y<N>'A
С 1
00 2 K=1,N
00 1 J=1/N
400
IF<K.LT.J)I=K+J*CJ-1)/2
1 A=A-G(I)*Y1(J)
t YCK)=Y1(K)+NU*A '
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление решения ут по известному ут—\ (а также рассчитанным
F и G — см. D.123), D.122)) в методе итераций Фридмана в соответствии
с формулой D.293).
Вход: G — массив длиной N (N + 1)/2 — элементы верхнего треугольни-
треугольника положительно определенной симметричной матрицы G, расположенные
по столбцам (см. D.122)); FF — массив длиной N — коэффициенты Fk
(см. D.123)); Y1—массив длиной N—решение ym_i в (т—1)-й итерации;
N — число узлов в решении; NU = v(cm. D.294)).
Выход: Y — массив длиной N — решение ут в m-й итерации (см. D.277),
D.293)).
REAL FUNCTION F2<НJ,НЛ 1»FЛ.F4,fJ11>
REAL HJ,HJ11,FJ1,FJfFJ11,HH
С 1
HH«HJ+HJ11
F2*2.*<FJ1/HJ/HH-FJ/HJ/HJ11*FJ11/HH/HJ11>
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Оценка /" (х) путем использования интерполяции по Лагранжу по
трем точкам в соответствии с формулой A.94).
Вход: HJ — шаг A/; HJ11—шаг A/+i; FJ1—значение //__i; FJ—значе»
ние /,-; FJ11 — значение /у+ь
Выход: F2 — оценка /" (х).
LOGICAL FUNCTION QATCQ,ALPHA1ЛИЕТА,ALPHAM)
REAL Q,ALRHA1,THETA,ALPHAM
С 1
QAT=Q.GE.0 .ANO.ALPHA1.GE.ALPHAM.AND.ALPHA*
* ,GT.e..AND.THETA.GT.0..ANO.THETA.LT,U
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка выполнения условий E.10), EЛ1).
Вход: Q — порядок регуляризации q > 0; ALPHA!, THETA, ALPHAM —
значения alf 9, am в законе D.132).
Выход: QAT=.TRUE., если все условия выполнены, иначе QAT =
= .FALSE.
LOGICAL FUNCTION CHO<C,HiD>
EXTERNAL INNUH
REAL C»HfD
INTEGER N,INNUK
С 1
CHD=,FALSE.
IF(H.LE.0.)RETURN
CHD=N.GE,2
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Проверка выполнения условий E.15).
Вход: С — значение с, Н — значение Ал:, D — значение d в E.15).
Выход: CHD = .TRUE., если все условия выполнены, иначе CHD ==
= .FALSE.
Требуемая подпрограмма-функция: INNUM.
26 5-1018 401
REAL FUNCTION RHO<R,N>
INTEGER N,N1,J
REAL R<N>,A
С 1
IF<N,EQ.2>GO TO 2.
N1=N-1
DO 1 J*2»N1
2 RMO=A/FLOAT<N>
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление нормирующего делителя р, используемого в численной
реализации методов регуляризации Тихонова и Фридмана (см. D.120)).
Вход: R — массив длиной N — коэффициенты г/ (см. D.119)); N —
размерность массива R.
Выход: RHO — значение делителя р.
INTEGER FUNCTION INNUM<X>
REAL X
С 1
INNUM=X+S1GN<,5,X>
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление ближайшего целого числа от вещественного аргумента.
Вход: X — переменная вещественного типа.
Выход: INNUM — ближайшее целое к X.
Примеры: INNUMD.9) = 5, INNUM E.) = 5, INNUM (—4.9) = -5,
INNUM (—5.) = — 5. Заметим, что [87, 214,238,589] INT D.9)= IFIX D.9)=?
= 4, INT E.) = IFIX E.) = 5, INT (—4.9) = IFIX (—4.9) = — 4, INT (— 5.) =*
= IFIX(—5.) = — 5, т. е. внутренние (встроенные) стандартные функции INT и
IFIX (равносильная выполнению оператора: I = X, где X и I — переменные со-
соответственно вещественного и целого типа) не дают возможности непосред-
непосредственного вычисления ближайшего целого от вещественного аргумента
(вследствие использования операции усечения, или отбрасывания дробной
части, при конструировании функций INT и IFIX, а также оператора I =*
= X). Вследствие этого предлагается включить функцию INNUM в число
внутренних или внешних стандартных функций ФОРТРАНа).
REAL FUNCTION DISC<f.P,l,У,N,г>
INTEGER L,N,I,J
REAL *CL>,P<L),Y<N),Z<L,N>,D1,D2
DO 2 I«1,L
02 = 9.
00 1 J«1,N
2 D1 = 0
DISC=01
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление невязки р = ||Лу — f\\l (см. D.79), D.87), D Л 27), D.286),
D.290) или D.297)), используемой в способе обобщенной невязки выбора
параметра регуляризации а в методе регуляризации Тихонова (в этом слу-
случае р s р (а), у = t/a) или выбора числа итераций т в методе итеративной
регуляризации Фридмана (в этом случае р = ($т> У s ym).
Вход: F — массив длиной L—правая часть; Р — массив длиной L —
коэффициенты pi (см. D.119)); L—размерность массивов F и Р; Y — мас-
массив длиной N — решение уа или ут; N — размерность массива Y; Z — двух-
двухмерный массив длиной LxN—коэффициенты гц = Т\Кц{г/ — согласно
D.119)).
402
Выход: DISC — значение невязки Р(Р(°О или рт)*
REAL FUNCTION N0RML2(YfRfN>
INTEGER N,J
REAL Y(N),R<N),0
DO 1 J=*1,N
1 D*D*R<J)*y(j)*#2
NORML2sSQRT<0>
RETURN
END
Комментарии в тексте
l. Вычисление нормы вектора у(уа или ут) в пространстве L2
(Ilifalli, —см. D.128) или ||ym|k-см. D.298)).
Вход: Y — массив длиной N — вектор у (уа или ут); R — массив длиной
N — коэффициенты г;-(см. D.119)); N — размерность векторов Y и R.
Выход: NORML2 — значение нормы \\у\\ь, (\\Уа\\ц или ll^mlU,).
REAL FUNCTION NORMC<Y#N)
INTEGER N/J
REAL Y<N),A/B
С 1
00 1 J=1.N
B=ABS(Y(J))
IF(B.6T.A)A=B
1 CONTINUE
NORMC=A
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление нормы вектора у в пространстве С:||у||с = тах|у/| (см.
также D.137')).
Вход: Y — массив длиной N — вектор у\ N — размерность вектора Y.
Выход: NORMC — значение нормы \\у\\с>
REAL FUNCTION RATEL2<Y1#Y2,R,N)
INTEGER N,J
REAL Y1(N>,Ya<N>,R<N> #0
С 1
00 1 J=1»N
RATEL2»S0RT<D)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление нормы разности двух векторов yl9 y2 (yla, y2a или у\ту
у2т)в пространстве^:ll^/l— y2\\LM(\\yla— y2a\\Lz — см. D.128) или \\ylm —
— У2т\\ь2 — ш. D.298)).
Вход: Yl, Y2—массивы длиной N—векторы у\, у2 (у\а, у2аилиylmf
у2т)\ R —массив длиной N— коэффициенты Г/ (см. D.119)); N —размер-
—размерность векторов Yl, Y2 и R.
Выход: RATEL2 — значение нормы \\у\—у2\\ь9 (II yla — у2а \\ь2 или
у\т — у2т ||L?).
REAL FUNCTION RATEC<Yt»Y2»H)
\1NTEGER N,J
REAL YKNbY2<N>,A,p
С 1 "'
A«0.
00 1 J=1,N
)Aa
1 CONTINUE
¦s RATEC = A
RETURN
END
26* 403
Комментарии в тексте
1. Вычисление нормы разности двух векторов yl, у2 в пространстве
C:\\yl—y2\\c=max \ylf — у2,\.
Вход: Yl, Y2 — массивы длиной N —векторы yl,' у2\ N — их размер-
размерность.
Выход: RATEC — значение нормы || yl—у%\\с-
REAL FUNCTION DOMEGA(X,I,L1>
INTEGER L,L1
REAL X(L),PI,DXM#Wfc
С 1
DATA4 PI/3.14159265359/
OXM=(X<L)-XA))/FLOAT<L-1)
WK=PI/DXM
•RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление шага дискретизации по частоте Асо в методе регуляри-
регуляризации Тихонова решения уравнения типа свертки в соответствии с форму-
формулами D.244), D.246), D.247).
Вход: X — массив длиной L — узлы по координате xi'L — число узлов
по х\ L1 — параметр, входящий в D.244).
Выход: DOMEGA — значение Лео (см. D.244)).
REAL FUNCTION SIGMA(WREL#SUP)
REAL WREL,PI,EPS»G
INTEGER SUP
1
DATA PI/3.14159265359/#EPS/1E-5/
G=PI/2.*WREL
SIGMAci .
IF(SUP.EQ.2.AN0.ABS(G>•GE.EPS)SIGMArSINCQ)/C
IF<SUPNE1ANDSUPNEmiGHA1W
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление а множителя (см. D.230)), определяющего подавление
высоких частот Фурье в решении уравнения типа свертки (см. D.219) —
D.221) или D.232), D.233)).
Вход: WREL == со/сотах (см. D.230), D.245)); SUP — параметр, опреде-
определяющий тип подавления высоких частот (при SUP = 1 подавления посред-
посредством сг-множителя нет, при SUP=2 — подавление по Ланцошу, иначе —по-
—подавление по Фейеру).
Выход: SIGMA — значение а (со) согласно D.230).
REAL FUNCTION LAMBDA(G.N)
INTEGER N,K,K1,J,I
PEAL G<1),A
С 1
A»0.
00 1 K=1,N
K1*K*(K-1)/2
00 1 J=1»N
XFCK.LT.J)l=K*J*<J-1)/2
1 A=A*G<X)**2
LAMBOA=SQBT<A>
. RETURN
?N0
Комментарии в тексте
1. Вычисление максимального собственного значения X положительно
определенной симметричной матрицы G в методе итераций Фридмана в со-
соответствии с формулой D.296).
404
Вход: G — массив длиной N (N + 1)/2 — элементы верхнего треугольни-
треугольника матрицы G, расположенные по столбцам (см. D.122)); N—порядок мат-
матрицы G.
Выход: LAMBDA — оценка сверху значения X (см. D.296)).
REAL FUNCTION CDISC<Q,ALPHA,HW,NW#IW,FW>
INTEGER NW,K
REAL Q,ALPHA,HW,LU(NU>,FW<NW>
REAL Q2,MU,D,U,AM,AK,PI
DATA PI/3.14159265359/
С 1
Q2=2.*Q
MW = 1 ,
D»0.
DO 1 K=1,NW
W = HU*FLOAT <K-1>
IF<Q.NE.0.>MW=W**Q2
AMsALPHA*MW
AK«1 ?
IFCK.EQ.1.OR.K.EQ.NW)AK».5
1 D=D*AK*<AM/<LW<K)*AM)*FW(K))»*2
CDISC=HW/PI*D
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Вычисление невязки р (а) применительно к уравнению типа свертки
в соответствии с формулой D.248).
Вход: Q — порядок регуляризации q > 0; ALPHA — параметр регуляри-
регуляризации а > 0; HW — значение Асо > 0; NW = /2 + 1; LW — массив длиной
NW — функция L(co^); FW — массив длиной NW — функция [^(со^)) (см.
D.248)).
Выход: CDISC — невязка p(os).
Следующие восемь модулей являются оформительными (сервисными)
программами, предназначенными для условного вывода на устройство пе-
печати промежуточных результатов.
SUBROUTINE TYPE1<ALPHA,Y»N)
INTEGER N
REAL ALPHA,Y<N),A
С 1
A=ALOG10<ALPHA>
PRINT 1,ALPHA#A
1 F0RMATW7H ALPMA=#E14.7#
* 11H LG<ALPHA)=#F7.3)
PRINT 2
2 F0RMATC19H SOLUTION YALPHA<S>>
PRINT 3,Y
3 FORHATC8E15.7)
RETURN
ENO
Комментарии в тексте
1. Печать a, lga и решения уа (s) в методе регуляризации Тихонова.
Вход: ALPHA — параметр регуляризации а > 0; Y — массив длиной N —
решение уа\ N — размерность массива Y.
Выход: печать a, Iga, ya(s).
SUBROUTINE TYPE2(ALPHA,BETA,02ETA>
PEAL ALPHA,BETA,DZETA#KAPPA,A1rAH#A3
KAPPA*BETA-DZETA
A1*ALOG10<ALPHA>
A2-AL0G10CBETA)
A3=ALOGT0<DZETAi
PRINT 1,ALPHA,BETA,DIETA,KAPPArA1»A*.AS
1 FORMAT< AX,7H ALPHA=,E14.7,
¦ 6X,6H BETA=,E14,7,
¦ 4X#7H DZETA=,E14.7#
¦ 7H KAPPA=,EU,7/
¦ 11H LG(ALPHA)SfF7.3#
9X#10H LG<BETA>»,EU.7/
t1H L6(DZETA)BfE14.7)
RETURN
END
405
Комментарии в тексте
1. Печать значений a, lga, р s р (a), lgp, ? == ? (a), lg?, x == и (а) в
методе регуляризации Тихонова (в способе обобщенной невязки).
Вход: ALPHA —параметр регуляризации a>0; BETA —невязка р ===
==р(а)>0 (см. D.79), D.87), D.127)); DZETA— значение ?==?(а)>0,
определяемое D.82'), D.88).
Выход: печать значений a, lga, p, lgp, ?, lg?, x = p — ? (см. D.82)).
SUBROUTINE TYPE3<ALPHA,SL2)
REAL ALPHA#SL2»A
С 1
A=ALOG10(ALPHA)
PRINT 1»ALPHA#A#SL2
1 F0RMATC/7H ALPHA=#?14.7»
* 11H LG<ALPHA)=#F7.3#
* 2%,QH N0RML2=» EU.7)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Печать значений a, lga и относительной погрешности решения уа
в пространстве L2 в методе регуляризации Тихонова.
Вход: ALPHA — параметр регуляризации a > 0; SL2 — относительная
погрешность sl2 регуляризова иного решения уа в пространстве L% (см.
D.136)).
Выход: печать значений a, lga, sl2.
SUBROUTINE TYPE4(ALPHA,SC>
'REAL ALPHA#SC#A
С 1
A=AL0G10(ALPHA)
PRINT 1,ALPHA#A,SC'
1 FORMATS 7H ALPHA=#E14.7#
¦ 11H LG<ALPHA)=#F7.3^
* 2Xf8H NORHC =fE!4t7^
RETURN
ENP
Комментарии в тексте
1. Печать значений a, lga и относительной погрешности решения уа
в пространстве С в методе регуляризации Тихонова.
Вход: ALPHA — параметр регуляризации a > 0; SC — относительная
погрешность sc регуляризованного решения уа в пространстве С (см. D.137)).
Выход: печать значений a, lga, sc.
SUBROUTINE TYPE5<M,Y#N>
INTEGER M,N
REAL Y(N)
С 1
PRINT 1,M
1 F0RMAT(/3H M=,I7>
PRINT 2
2 F0RMAT<15H SOLUTION YM<S>>
PRINT 3,Y
3 FORMAT(8E15.7)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Печать т и решения ym(s)E методе итераций Фридмана.
Вход: М — номер итерации т > 0; Y—массив длиной N — решение
Ут\ N — размерность массива Y.
Выход: печать т9 ym(s).
406
SUBROUTINE TYPE6<MvBETA,DZETA>
INTEGER M
REAL BETA,D2ETA,KAPPA,A1,A2,A3
1
KAPPA-BETA-02ETA
A1=AIOG10<I4OAT<M>>
A2=ALOG1O(BETA)
A3=ALOG10<O2ETA)
PRINT 1#M,BETA#OZETA# KAPPA, А1#Аг»АЗГ
1 FORMATC 4X#3H Ms,I?,
8H .
7H LG<M>=,F7.3,
RETURN
ENO
Комментарии в тексте
1. Печать значений т, Igm, |3m, lgpw, ?m, lg?w, *m в методе итераций
Фридмана (в способе обобщенной невязки).
Вход: М—номер итерации m>0; BETA —невязка рт > 0 (см. D.286),
D.290), D.297)); DZETA —значение ?т > 0, определяемое D.287), D.291).
Выход: печать значений т, Igm, pw, lgfim, ?m. igSm, Km = Pm— U (см.
D.285)).
SUBROUTINE TYPE7<W#SL2>
INTEGER h
PEAL SL2#A
С 1
A=ALO610(FLOAT(W)>
PRINT 1,M<A<SI2
1 F0RMATC/3H Мз,17,
* 7H LG(M)s#F7.3#
* 2X,8H N0RML2-#E1<»,?)
RETURN
END
Комментарии в тексте
1. Печать значений га, lg/n и относительной погрешности решения ут
в пространстве L2 в методе итераций Фридмана (т—номер итераций).
Вход: М — номер итерации m>0; SL2—относительная погрешность
(sL2)m решения ут в пространстве^ (см. D,301)).
Выход: печать значений m, Igm, (sxjm.
SUBROUTINE TYPE8<M.SC>
INTEGER M
REAL SCA
С 1
A=AU0G10(FLOAT(M))
PRINT 1fM,A«SC
1 FORMAT( 3H M=,I7#
¦ 7H LG(M)=,F7.3t
* 2X,8H NORMC SrE14.7>
RETURN
ENO
Комментарии в тексте
Ь Печать значений m, Igm и относительной погрешности решения ут
в пространстве. С в методе итераций Фридмана (где т — номер итерации).
Вход: М—номер итерации т > 0; SC — относительная погрешность
(sc)m решения ут в пространстве С (см. D.302)).
Выход: печать значений m, Igm, (sc)m.
Глава 7
ТЕСТОВЫЕ ПРОГРАММЫ
НА АЛГОЛе-60 и ФОРТРАНе
7.1. ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ПРИМЕРОВ НА АЛГОЛе-60
Тексты программ. Ниже приведены тексты программ (объединенных в одну
программу) решения тестовых примеров с помощью программ алгольного
пакета, приведенного в гл. 5. Оттестированы основные программы и мо-
модули пакета (кроме unsymdet, unsymaccsolve, unsymsoU inner prod, choldet2,
cholsol2, cholinversion29 sisiema, gdisc). Для печати результатов использо-
использован, как и в гл. 5, оператор print (...) из ГДР-АЛГОЛа [710].
begin
TESTh
comment Пример 1.11;
begin
real procedure k (x, s); value x, s; real x, s;
k: = 1 — (x— s) x exp B x x);
array/, x, y9 dy [12 67], d[2:67]; real al, a2% xi, a3; integer*', ier;
ali = cos(l); a2i — sin(l);
for i: = 1 step 1 until 67 do
begin x[i] : = xi: = if t<13 then.lx(t—1) else
if t<i27 then 1.2 + .05x(i—13) else
if /<:47 then 1.9 + .02x(i — 27) else 2.3 + . 01 x(i— 47);
a3: = expBxxi)\ f[i]: = A — xixa3)xal —a3xa2\
if />1 then d[i] := 1 — (xi — x [i— l])/2xk(xi, xi)
end i;
print (newline, "test\ i /2 (x) = \ /2 A.6, 2.2, .8, 1.3, 1.2));
voltsl (/, x, 67, k, 10 — 5, y, dy, /er);
prm^(newline, "voltsli ier = ", ter);
if ier = 0 then begin
print (newline, "solution y(x)~"9 newline, y, newlinef
"errors of solution deltay (x) = "\ newline, dy);
ydy(f, x9 d, 67, k, 1, y, dy)\
print (newline, "ydyf, newline, "y = ", newline, y,
newline, "dy =", newline, dy),
comment Результаты решения—в табл. 6 и на с. 413—414;
end
end TESTl;
TEST2:
comment Пример 2.3;
begin
real procedure k(x, s)\ value x, s; real x, s;
ki = 2+x\2 — s\2\
real a, h, b\ integer n, i, ier;
a: = 0; /i: = .05; fe: = 3.5; ni= (b — a)/h+ 1;
begin array /, x, y, dy [1: n];
for i: = 1 step 1 until n do
begin x[i]: = a + hx(i— 1); f[i]: =x[i] f2 end r,
Ш///1 (/, x, n, k, 10— 15, y, dy, ier);
print (newline, newline, "test2 (voltf I): ier = ", ier);
if ier = 0 then
408
print (newline, "solution y(s) = ", newline, y, newline,
"errors of solution deltay (s) = ", newline, dy);
comment Результаты решения — в табл. 27 и на с. 414;
end
end TEST2;
TEST3:
comment Пример 3.9;
begin
real procedure k(x, s); value*, s; real xt s;
k: = p/(Mxcos((x + s)/2>f 2— 1);
real procedure g3 (x); value x\ real x\
g3: = cos(x);
real /и, /?, h, al; integer n, i, ier;
pi: = 3.14159265359; p:=.3/pi; nr = 37; h: = 2xpi/{n — 1);
begin array /, x, f/, rfz/, r [1 :/i]; real jw";
for f: = 1 step 1 until n do
begin л: [i]: = xi: = — /?i + hx(i — 1); al : =128/17xcosBxxt);
/ [fl : = ^3 (xi)x A7/2 + al) + 33/2 - 16xsm (xt) f 2 — al
end i\
frestl (/, x, n, k, g-3, y, dy, ier)\
print {newline\ newline, "test3\'\ newline,
"frestl: ier = ",ier);
if ier = 0 then begin
print (newline, "solution y(x) =", newline, y, newline,
"errorrs of solution abs(deltay (x)) ~", newline, dy);
rem(y, x, n, k, r);
print (newline, "rem: remainders of quadrature = ",
newline, r) end;
comment Результаты решения — в табл. 30 и на с. 414—415;
end
end TEST3;
TESTA:
comment Пример 3.10;
begin
real procedure kernel (x, s); value x, s; real x, s;
kernel: = p/(.64 X cos ((x + s)/2) f 2 — 1);
real procedure g3(x); value x; real x;
g*3: = 10 — 6xcos(x);
array /, x, y, dy [1:37]; real pi, h, lambda, p, xi, yt; integer i, ier,
pi: = 3.14159265359; h : = pt/18; lambda: = l02; p : = lambdaX .3/pi;
for i: = 1 step 1 until 37 do
begin x[i]: = xi: = —pi + hx(i— 1);
yt:=* 17/2+ 128/17 x cos B xxi);
f[i]: = g3 (xi) xyt — lambda x (yt — 25 + 16 x sin (xi) f 2)
end /;
frest2(f, x, 37, kernel, g3, 10— 12, y, dy, ier);
print (newline, newline, "tesH:", newline,
"frest2: ier ="', fer);
if ier > 0 then go to /ina/;
print (newline, "solution y(x) =", newline, y, newline,
"errors of solution abs (deltay (x)) =", newline, dy);
frestl (f, x, 37, kernel, g3, y, dy, ier);
print (newline, "frestl :", newline,
"solution y(x) =", newline, y, newline,
"errors of solution abs (deltay (x)) =", newline, dy);
final:
comment Результаты решения — в табл. 31 и на с. 415—416;
end TESTA;
4Q9
TEST5:
comment Пример 3.11;
begin
real procedure kern(xl9 si, x2, s2);
value xl, si, x2, s2; real xl, si, x2, s2;
kern:^alphax(l~ .510 — 3x((*l — si) f
2 2]2(8 2)))
( )]( )))
real procedure g2 (xl, x2)\ value #1, x2\ real xl, x2;
g2:~ 1;
real alpha, xli, x2j, al, a2\ integer /, /, ier;
array/, #[1:11, 1:7], xl [1 :11], *2[1:7];
alpha : = . 1;
for*: = 1 step 1 until 11 doxl [*]: = — 2+ lx(i-l);
for/i = 1 step 1 until 7 do *2 [/]: = — 1 + lx(/ —1);
for i: = 1 step 1 until 11 do
begin xli : = xl [i]; al : = 50 — (xli — 3) f 2;
a2: = а//?/гаx(xli + 7)x(.044x((8 — xli) f 3 +
(*h' + 2)f3) — .25x*Hf 2+ l.5xxlt — 6);
for /: = 1 step 1 until 7 do
begin x2\ : = x2 [j]; у [i, jj: = al — 2 x (x2/ — 2) f 2;
/['*, /1: == У [i, /] + 0,2 + alphax(x2j + 8)x(.625/9x
(E — x2j) f 3 + (x2j + 1) f 3 — .18x*2/ f 2
.72 x x2j — 1.692) — 2140 x alpha
end /
end i\
frest3(f, xl, 11, x2, 7, fern, ^2, y, ier);
print (newline, newline, rrtest5(frest3): ier = ", /er);
if ier = 0 then
prt/г/ (newline, "solution у (xl, x2) —", newline, y);
comment Результат решения—у — в табл. 33 и на с. 416*
end TEST5;
TEST6:
comment Пример 4.1 (см. п. 4.6) при 6 = 0.5- 10", ^^^0.01;
begin
real procedure nucl(x,s); value x, s; real x, s;
nucl: =vxexp(—4x (x — s) f 2);
real procedure kernel (x)\ value x\ real x;
kernel: = vxexp(—Axx j 2);
boolean procedure outl (a)\ value a; real a;
begin real b\ b: = a/103;
outl : = abs(a—10—3)<cb\/abs(a—10— 7)^b\/abs(a—10
end o^/l;
boolean procedure out2 (a)\ value a; real a;
begin integer &; k: = ln(a/alphal)/t\
out2 : = e/rf^r (Л/2) = ife/2
end o^/2;
boolean procedure out(m)\ value m; integer m;
out: = m=l V m = 10 V m = Ю0 V ^ = Ю00;
real y, alphal, theta, alpham, t, alpha, hw, ql, q2, ic, is, lam;
integer i, j, ier I, ier2, ier3, ier;
array/, x,p[l :29], s, yt, yl, r, ff, ck, y, yd,yO[l :11],
z[l:29, 1 :11], g, a[l:66], cAl[2:ll], res! [1:7], [
res6[l:6], 6 [1:11, 1:29], m[l:49], &x[l:33],
wt^, yoy, to, fw [1 :29]; boolean el, e2, еЗ, е\\
v: = s^D/3.14159265359);
alphal: =10—2; theta: —10—1; alpham: =10—16;
t: == /n (theta)', alpha: = 10—4;
/[1]: = .0138; /[2]: = .0317; /[3]: = .O539; /[4]: = .0863;
/[5]: = .1338; /[6]: = .1873; /[7]: = .2641; /[8]: = .349O;
/[9]: = .4367; /[10] := .5220; / [11]: = .6180; / [12]: = .6874;
410
/[13]: ==.7417; /[14]: = .7805; /[15] : = .7993; /[16]: = .7835;
jF [17]: =.7445; / [18}: = .6814; /[19] : = .6208; /[20] := .5331;
/[21]:= .4312; /[22] : = .3446; / [23]: = .2708; /[24] : = .1868;
/ [25]: = .1327; / [26]: = .0986; / [27]: = .0632; / [28]: = .0317;
/[29]: = .0242;
for /:=1 step 1 until 29 do л: [i] : = — 1.4 + .lx(/ — 1);
for /: = 1 step 1 until 11 do
begin s [/]: = —1 + .2x(/— 1);
yt[j]: = (l-s[j] f2)f2; ^ 1 [/]: = 0
end /;
print (newline, newline, "iestG:");
xni(x, 29, 2, ierl); xni(x, 1, 2, ier2)\ xni(yt, 11,2, ier3);
print (newline, "xni\ ierl = ", ierl, "ier2 =",
ier2, Чего =", ier3);
el : = qat A, alphal, theta, alpham);
e2: = qat@, alphal, theta, alpham);
e3: = qat(— 1, alphal, thetay alpham);
ei: = qatA, alphal, theta, 10—1);
print(newline, "qat: el =", el, "e2 =", e2,
йеЪ = \ ^3,^4=", e4);
print(newlinef "chd: el =", chd(—1.4, .1, 1, .4),
"e2=", chd(—1.4, 0, 1.4), "e3=",
chd(—lA, .1, 1.39), "e4 =", chdB, —.1, 1.4));
coef(x, 29, p); coef(s, 11, r);
print (newline, "coef:", newline, "p ==", newline,
p, newline, "r =", newline, r);
zgf(f, x, p, 29, s, r, 11, ш/с/, г, g, //);
print {newline, "zgfi", newline, "z =", newline)',
for /2=1, 15, 29 do
for /: = 1,6, 11 do print (z[i, /]);
print (newline9 "g =", newline, g,
newline, "ff ==", newline, //);
ckk(s, r, 11, 1, c& 1, c&l);
print (newline, "ckk\", newline, "ck =", newline, ckr
newline, "ckl =", newline, ckl)\
S(*ll (g, ff, ck, ckl, 11, alpha, у, /1, a);
print (newline, "soil: у =", newline, y);
print (newline, "rho-=", rho(r, 11), "disc=", disc(f, pt 29, #,
11, г), newline, "norml2 =", normVl (y,r, 11),
"norme = ", normc(y, 11), newline,
"ratel2=", ratel2(y, yt, r, 11),
"ratec=", ratec(y, yt, 11), newline)',
print (newline, "tikhl:");
tikhl(f,x,29,s, II, nucl, .510 —2, l0 —2, 1,
alphal, theta, alpham, outl, out2, res7, yd, ier);
print (newline, "ier=", ier);
if ier>0 then go to /1;
print (newline, "result =", newline, res7);
print (newline, "solution yalphad(s) =",
newline, yd, newline);
print (newline, "tikh2:");
tikh2 (/, х, 29, #?, s, 11, ш/с/, 1, alphal, theta, alpham,
outl, out2, out2, reslr yo, ier);
print (newline, "result =", newline, resl);
print (newline, "solution yalphaO(s) =",
newline, yo, newline);
tikh3(f, x, 29, 5, 11, nucl, 1, alpha, res\, y, ier);
print (newline, "tikh3:tr, newline, "result =", newline, res4,
newline, "solution y(s)=",
newline, y, newline);
41!
Ill
tikhi(x, 29, s, 11, nucl, 1, alpha, b, ier);
print (newline, "tikhi: ier =", ier)\
if ier>0 then go to 12;
print (newline, "matrix b =", newline);
for /:== 1,6, 11 do
for i:= 1, 15, 29 do print(b[j, /]);
tikh5(f, x, 29, s, 11, ш/с/, alpha, b, resi, y, ier);
print (newline, "tikhb:", newline, "result—", newline, res4f
newline, "solution у (s) =",
newline, y, newline);
/2:
hw: = domega (x, 29, 28);
<7l2(.O5,<7l,<72);
print (newline, "sigma=", sigma(.5,2), "domega=", hw,
newline, "ql2: q\ = ", q\, ^2=", q2);
for i: = 1 step 1 until 33 do
kx [i]: = ueme/ (—1.6 + .1 x (i — 1));
inf(kx, kx, —1.6, .1, 1.6, hw, ic, is);
print (newline, "inf: ic =", ic, "is =", is);
uvlf(ff x, 29, kernel, —1.6, .1, 1.6, hw, 29, uw, vwf Iw, fw);
print (newline, "uvlf:",
newline, "uw=", newline, uw,
newline, "vw =", newline, vw,
newline, "lw~", newline, Iw,
newline, "fw =", newline, fw);
print (newline, "cdisc=", cdisc(\, alpha, hw, 29, Iw, fw));
sol2(uw, vw, Iw, hw, 29, 2, 1, alpha, s, 11, y);
print (newline, "sol2\ у =", newline, y, newline);
print (newline, "conv 1:");
convl (/, x, 29, s, 11, kernel, —1.6, .1, 1.6, 28, 28, 2,
•5ю—2» ю-2» *» alphal, theta, alpham, outl, out2, res!
yd, ier);
print (newline, "ier =", ier, newline, "result =", newline, resl);
print (newline, "solution yalphad(s) =",
newline, yd, newline);
print (newline, "conv2:");
conv2(f, #,29, yt, s, 11, tod, —1.6, .1, 1.6, 28, 28, 2, 1,
alphal, theta, alpham, outl, out2, out2, resl, #0, fer);
print (newline, "ier=", ier, newline, "result=", newline, res7);
print (newline, "solution yalphaO(s) = ",
newline, yo, newline);
conv3(f, x, 29, 5, 11, kernel, —1.6, .1, 1.6, 28, 28, 2, 1, alpha, rest,
У, ier);
print (newline, "conv3: ier =", ier, newline,
"result =", newline, res4);
print (newline, "solution у (s) =", newline, y, newline);
convi(—1.4, .1, 1.4,-1, .2, 1, kernel,—1.6, .1, 1.6,
28, 28, 2, 1, alpha, ra, ier);
print (newline, "convi: ier =", ier);
print (newline, "toeplitz matrix ralpha=",
newline, ra, newline);
convbf, —1.4, .1, 1.4,-1, .2, 1, kernel, —1.6, .1, 1.6,
28, 28, 1, alpha, ra, resi, y, ier);
print (newline, "conv5: ier=", ier, newline,
"result—", newline, resi);
print (newline, "solution y(s)~",
newline, y, newline);
lam: = lambda (g, 11);
412
Тест алгольного пакета на БЭСМ-6
0
1ПвФФ»АК\ NCOON ^NNOlMiAO <O Os в Н1Л 00 > № О il\ К\ N 00 «М
ИС\вОП»<> <(Л^ «N-(MN<MN4H N »ft »H|^CO ОП» О •* (ft <Г «
(ЛНООШОМ NhDU\4h{V4№«O NOOMAH^QlAON CM «4 (М ИЛ
|ЛИК\0<041Л <0<0(DirtOtNCON(NNCD NOI^OK\HK\0« ^в> Ч) О 00 tf\
ФФИИГМ^И iTiKON&Nl^iniCin^ I^NOOCDOHHN^^ 1П К О\ CM
Ю» НО«МЛ ri <?• К NN <> (О N ^ О» N ШО«;ОП»ИО«(МФ СМ № Г>» N
ГМК\еО«П©СМ« 4J O'N СМ Л КМЛ t*\«0 Ч) N «N^MM^emoN^ >О О ГМ СМ
I I
oOX ON С0К\ГЛ<4-(ОСОиГд(М КО1Л1
о(м «мпсо «on оос о гч чэ n
О 0 О
NO(*\K<f\ KNN0ON 1ЛСО4 OH(^SOtf\0*«t NOK\^K\(ONNSON 1П в 4
N«(ONN»OOHN« Г*МП1Г\П«НКеОЮКв (М « 00 Oi (M » О OHN « ЩЛ Ш
0«нО**1*».-»0 0»ПК\«Г Ю(Л44ЮИ01ИОП<1 ^н(> н)Пи* ОШ«4 Ю |О 4
O4O4 П
¦ РЧ IAN
Ч> О СМ
МЛ И N N «
• I II
¦ 1111+1+ + + + +
i О К» Ч> CM Ч>« О О CM 4 О Г;
I I I I I
1ЛМ HNOHOOOOO •¦»
4№O
(М N <t 6 «»ИИ V К О
II III I III II III
HOHHOHHHHNN ON HNHHOOOH
• ¦•¦¦¦¦¦¦¦¦ ¦ • I II I + ¦ ¦ •
O СЭ
О 4 eO(Nl8)>ONHOK>N»-« OH 4 4>4H©i ftN « ft 4 в N (O 4)N H О CM\I H О «н ^ <}
i аонф minoo»Ni04 и oio^ooco^nno^ о о н со v\ mo » NK\ 4 о oo 4 о
N OKM^NcOHNNaNift ^ОШСМтв О>К\вС0 4C\ Omn NO HN N C4N M\ О ^ C\» *>.
(МС0ГМПС04ОМЛ X^NIAN
Ot II III LU II III
«til
>>lll III О II
413
•Н <-4 О О Н О О HHHHHHHHiMNN 44 4У\<#^<1ПААГ< О О й О Ьй
• •¦¦•¦¦ • I « I t I • • I « • « t I I I I I I I « • ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 4>
m н m со о о v\ ONoNcotootONno (мпш^^моф^фо n о о о n о
n *- оо о «о н о » «к rt no N N л с* кЛ oN«N««>coK\NNK\e© и n .* и 4 4*
>О NC ^ QN 41 ОИЮ 4 NK\ N «4> 4 Ч> О N400CHOl*>«-4l*>N«0 00 NN «О N N*
N О О СО П «Г N ПИСО|Л»0«»000« »NH(MH»n «Ш41П О Л О О (Л О
4-(Ч N О <МЛ О ce>00\«f\«#O.ONONN Щ» 4)OCOOn»N^H Ю О^ СМ |Л О (М
-» HOJ ^^45 О КО1Г\ОГЛО0>С01ЛС0|^ OkCO0DNir\«»4Ninl*\.-4N f
N N 00 N NN СО »«Ш1Л4НО MN 400 Ю N9> ^t H tfMfl M « 1Л О m.-4intn<-4
а NW ЛОЛ 4 tfNNM3N<ONtf%«4--«<ON D0N(ONeN@»Oir« NNK W N
-4 N
• I 4> 4> I 4> 4> ••• •••••• •#• •••••••••••• ¦ 4> 4> 4> ¦
CD flD ч© ^^1 CD N- ©X O* Ю Ю ^^ Ift ^^ <СЛ *¦ *G O* CM ^^ CD O* flft *© CO ^^ Ю N N- 00 4" 00 **4 lf\ «^ 1СЧ O^
N O(M Ч) О О № 4>(hN4)N4O4)H0h00<M N4>K\434H«HSN(>n CD ON N Kt
HNN OCDONN О OH ot4|WHHNlA<M^^NOJ Ю (ЧО1Л N
«oNrtma»to<tK\N соо«к\«>м kn^ h 4 ою ^ «^
H> H О|Л 4 (DO(MNOrtV\(\« O^H ^NO HNMlOlOM'T^fk ОЧЗ CO 43 Ч) в
О И NN И О NN П«О КМП4 И» О N К Л^аЧ)Л(МН0>.ИО1ПЮ N«# О N -4" Ч>
Ф (М О <О Ф Ш Ф НН О У\ОО 1Л4 К\ ИФ 4HONa4K\aNN ^H ONNONN
Оч К\ N (VI N (М
III!
4> • ¦ ¦ 4> 4> 4> ••••••••Ill* III II ••••III 4 I 4> 4> • 4>
Л N H ift 4 О N 0>40n(bNl)№0 N<ON OXOONOOO*>4MrtOON *O NN fM Ox »
•СЛ tO CN **4 1СЛ 00 ^4 CK |^ СЭ Ю ^4 CM ^^ *O CO CO ^^ OX CO fO- ^4 ^4 OX OX %O ^*» СЭ 4 4* СЭ ^1 fO CM ^1 «4 CM
Ф l> О N 4 О П -4 О »н Ч> •-« Ю N N О Л N О> О N- N 4" О «•* N О 4* О СО Л ОС N СО ОС 4 00
О 4)N ON V OO
О (Ь Н И (МЛ 1Л
*О СЭ *Н) СМ ^4 О ^" 00 ^^ ^О 1Л ^^ ^^ * со ^^ ^ «Н) CM OX *O ^O VO СО СЭ 00 ^4) ^^ ^^ ^4 9Ъ ^1 СЭ СЧ ^^ СЭ СМ
• • I • : I • I I
О «-• О О О О О N*H*-l«-««HI«-««-««-**-lNNN 444«»444>ar»*\»*\NN *НОСЭ<«4ОО
¦ I ¦ ¦ ¦ 4> 4> I I I I t I I I I I I I I I t I • • I I I I I I 4>4>4>4>4>4>
Ш QO r4O> 41 Н О0>1Л(МЛЛ0ОО1Л(С(> 4ОО4(\!Нф «О № >N NNOCMlftN
Ф NHOOO 4 i О Н N Л COO <ОЛ О О (МП 0*04 4NNK>ONK>NN О(\|Я О NK)
^О ОХ ^К О tO Ot .00- 'СЭ СО СО 4 ^0^ ^^ Ю ^О О ^^ СЭ 00 ОХ *^ О СЭ *4 <4^ 9О ОА N О СЭ 4* 4* |О ^О 4* |О О
OX p ^O IV4 СО ^О *НУ СЭ 1СЛ МЭ CM 9O «М ^О СЭ С^ СЭ ОХ 00 ОХ ^4 ^» ^4 ^О ^^ СО ^О 00 4 4 ^4 ^О^» СО ^О ^^ 00
СЭ 4 О О^ 4 ^4 9^ ОХ Ч) 4* СЭ МГЛ 4 *4 Ох ^Э 1Г\ 1СЛ ^Э ' 4 9О ^О 00 ^^ *^ СМ ОХ О ^^ *^ ОХ 4 4 СО ^Г 4 СО
Н Н О О ОНО N*4v4v4v4^4v4v4v>4NNN O^^^^^^f>H\H\H\N] w4OO^4OO
« » •¦ ¦ ¦ I •«- «Illlllllltt 4- I I t I I I I I I I I ++•*- + ¦ +
1П K\ <O ^ О Н О О OrVNONCM«#ON«0.-4eO OCONCO^NOHOOO^ »»COO O<»
»MMnO44N И(^МФ o00O-4>O«-INr^K>OOfM О Л О «
О (ON H O4*4t) (N ШАО ONCOO^NOXNNHNOI CV(M«\ N
N
»*¦
N
-4
N
<О
N
СО
СО
N
СО
СМ
СЭ
о
¦* Л
ол
смл
Ю (ГЛ
со
«о
СО
(О 0О СО Н СО П Ю 1Г| Н Н 4) I/) O4HNMONi(\OC04A О Л ^4 «Л МЛ *~* КЧ
NCK^OOinOtOtOfO 4»K\N-*"O. NNNNCMM
«NO\N«HN>OC04eOD^nN
О СМ СМ О NO |0HMlM0>N<O(h<J'NOHOH»O«n
s^fOtf^Otn^lfkNr^ Ю N н —' о М C\ H CM inN н И ^" О» N
Ш Ml
НННООНОО !-• OHHHHHHHH(\|(\|(\|0 044 44 44 4IOnnN —¦ О О -4 О О -*
езоосэоезоо оооооооооооо>->оооооооаоооа о о о о о о о
^oO
« О (МОЮ 4" »» О H^ON4O»O№ir\4>»f\k\0ON0>4'Oe0in@e34'A(X OCX ONNOr-NO;
Cj«)ir>N4N((kW bvOiA40tH«C|L'4V)HH'lAO<VN4'OIM^ NNAAfN щ v NHHN НИ^
~4<0<04>4>NOO h->0000»ONN*4>'0\H<4> O40>»00>^ O»00^N ««7iHr-4H-4^l-«<-<
1^ «HI ^ CO «^ <HI *HI ^^ ««I СЭ (ft О i^ O^ ^O ^*4 lO C^ ^Э i^ 00 i*W О v^ ^O <HI МГ1 <HI O* CO V^ СЭ ^K CO ""^ *^"* <4«f* •** ^ **^ *^
OOONOO^NNO OZO^N^OkOONO^-OiHOOa-CO^^lOOONMlCOCO 2 ^O» Оч 4* О О"*1
*H NCMOvCNHOO^ >OOKkNHOHNCMK\^eON О Ф N ФОЛОСМ^^ФО ••ООчСМСМОГМГЧО
4eo^\ONOi4 vMOHOOH«)oii40N«(Mn ooNe4'4c\Qionoo **hm NmmN mm^
-4 4 0@ H4 ФП CM№-»ON<-4O4O^H4^lANaeOON004-0k4O00NO4> |«\Kh ОЮПО 1ЛПО
fONNNHNHin H3 0(OOOI}«onnnoi<\40 0«(OtfM«)ONIArMA4H И> (Л Э ONNONNM>
«OOO^NNfHllOIA «UOONinom4'iON<HN|OHa:o>4-tn4rM-4NOHrOCON *JQC О ~4****-« •*"•*•«»¦
• I I »> v> uj I I I I I ( i I I I I H
414
•t sr 1Л sr sf I
«4 О N 4> CM 00
4> CM 4- tf\ Ю fO "
О сэ о о о о
О> N со н н sr
«О N О Г*- |О И
*»> ю см ао со n
О «О fO OsCD ST
емко
AI О
Г(СО N N О
N N" ю •-• N «н
Ч> О СМ Ю ST О
О Os fO CM ••« tf>
Н CD О •-« Os fO Г- »Г\
и N N 00 н fO *> JO
to *\ o>
ю jo см r« r«- о
О О «И О О«-«
« О О К» «П Г*-
Г»> О\ Г*- -sT О О
О .N»O ГО Г*- 1Г\
—I os со о см *\
то <мю *г\*% sr
СО Ю Ю <М Os -4-
Os N ?% О» N Ш
N NH NN и
н о c\t N о о
N jo к а и «л
О Ю CM И"» О О
и ^ лч> л •»
iA С «ПИ О^
О) н Н Н ITV «-«
m ао sr to о ю
¦4- ГО О О fO 1Г>
sT fsi Ю N О^ СО
МО (ОФШ Ok
|О СО «Г» !-• ~* -4-
о оо о
4 4 4 4
О 4(О N
О О
о о
4 4-
tf\ to sr и *> и ОО
нto н sheo о юо
«чгооосэю ю»л
HON«m« ело
OONCO^OO N*
<М О» NN СО |О ШЭ
NN (> ON ^ »О СМ
Ч> N «4 tO CO H О Sf
НО «4 NN О N 4>
N
«ч ю •-• см
Н CV
sT v» «Л ST ST Ю
оо мно о
ИОН *-4 О -«
«о «*- к\ ео ч>
о со Os оо m ч>
к <t омп о о
СО
oi о *\ п о о
О |О О N Ю N
N «О Г» нон
ч> о ео N sr oj
со
О
Ч>
CM
Os
Os
CO 4>
OV CO
to n
O\|O
4> о
N 45
Ю N
ST 4"
OfSl O\
n!2 H
CO О ST
CO CO Ю
orv со
CON О
о n 4>
О Ю-CNJ.
во sr sf
4 4
CO CO
Os Ю
ИЛ
О» О
• I 4-
sr tO OV
н ч> oi
О Os fO
m r- sr
N fO КЧ
Os CM N О О
N «Ч
•4- N
N N
Ox m о
to о о
N CD О
4-
CO
CO
ОЧ
o»
<n
N
О
N
О О О
•4- N О»
OI N N
СКРЛ 00
от см
Os о н
«Ч «Ч -4
О N Ч>
во о rv
см см со
Л Ю N
о о о
со sr н
to m со
IA ST О
со о ео
О\ N si-
(ММ »
«NO
N О 00
N н со
Os N «Л
ON Ч*
о
4
сэ
ох
ю
н
со
о
N
in
N
о
1
ч>
О\
N
СО
CD
N
N
СО
о
(О
N
см ч> н •-« о н
•4 N *\
О О О
«4 tO
И О
??
о sr
to оо
«4 СМ
о
tf\
о
692;
•л
о
сэ
со
о
726<
.32
to
о
о
N
to
о
952<
.70
ю
о
И
ю
н
н
617J
to
о
*-»
о
s
О
.47
о
о
о
N
см
Os
.87
«л
о
о
о
126'
.22
sr
о
см
о
о сэ
1 •
со»-*
sr sT-
NtO CO
to н sr
tf\ Ov
sr N
¦
Oi
<M
•o
to
1.22
6-01
о
v\
н
Os
or
9.55
¦
Os
N
o>
Ю
to
о
¦ •
oo
И N
И «%
OOs
oto
OH
о •-•
OI OI N
to
ю
OI
о
OI
«\
OI
OI
о
fw
ЧГ
во
•-4
о
«4
О
н
CM
43
о
*ч
Of
992
43
о
9-01
1-01
о в
о о
of rv
см to
OI Н
oi n
OI CO
tf\ Of
to oi
Ossf>
о во
Os ОС
Os о
о о
CM H lf% Os
CM CV sf CM
о о
sr 00
Os N
¦St N
г» to
о о
4.43
6.58
н
N
sr
о*
сэ
т
1.10
9-4 О
н О"
N *¦¦
N tO
Ю н
о to
Os О
Os sT
1.31
8,46
сэ
N
N
N
ч>
OI
о
о
о
to
ST
v\
796
о
см
о
о
о»
о
IA
938
см
Ov
** *• sr «л >¦ л
till It
Щ «4 tf\ fM Os «#\
«о со ч> in о со
Ю И СМ «4 О» СМ
<М IA OV Ох 00 СМ
1^. О К. Ю ^ Ч>
О -4 О» 1ГЧ tf\ Os
ю ш о no •*
ню «Л N Ч> ST
<1«О«ФО
О Ч) Os CO Os -4-
СМ О Н Os О> N
Ok Ч> Os Ю Os tf\
Os CO О «и) 00 Ч>
V> -4- <V «О tO г4
О» »О N H О» О
m см to to см to
и со н •» n »*•
Ю со о о г» н
4- 4> 4 4 4 4>
«Ч СО СО ИЛ N -4-
О О СМ -* N N-
•4 О О STH О
~+ OJ.N Ю N ST
О «Л ITV HNO «В
»О fO «4 СО Os N
ГЬ П N О О Н
Ч) 00 N О ST О N О СО tO СЭ Ш
«MtOONfOO tOHmOtOO
•4sro0srsrcj0 OCON1TIK4N
4 ¦ I • 4 4-
О О* «
N
>4 О И CM 45 Ч>
^ «4 СМ 00 Ч> 0О
и г* ю m n со
«А О О г4 О О> ИО
N Os СО Ю ОЧ N CMST
ОН N N ^ «Ч OsN
OOlsfHtOO» ON
«Ш 4 ««V Ok О4-
ГО О N N V4 Ч> ««^ О
•4 т о N о «г\ to о
OsHtOtOSTH. ООХ
Os N О tO tO CO
tO Ю О^ fO Ov N
О О
еч «п н^ »» to «ч
•-t •-* Os И Н О»
И <Г CM tf\ tO CM
Ю
sr «Л sT ST
, н Hocototnsrto
I4-II4I
CMOsCOHsTsr ^
w ITV О <Г Ov О <f Ш OH>t М(
>Nocorooco а: и о ч> ю
< О 't N IT, N чГ Э 1П Nlf\O
H-COsTHHr-N H Kt О N %t
«J О Sf CO Ч) Н <Г < Ю4 NN <
Ш N H CO О ON Ov UC H WTv О <T C
(Л (М« И N К) И '=> Ч) \
<O С*
—«0ОООО0О4Л СЭ О О СЭ СЭ О О
ь- I I I I I I t a: I I i t t I t
Э ТО N О МЧ ST Н1П Ш СО СО Ч)' (NfNO Ч>
jNTOHNstNMO <ONN (MNO^H
OH^st^^CXOsZ^^N СООН1ГЛ
со со о н
о со н ч>
WHONNN X О О О -4- Н СМ
н к% sr т to ил :*Hcosrsru>tf\
СО 00 Ш N О V4 < О N О О **"•-<
Н Н СО sT «А О Ь- О СМ «П vn V\ СО
N Ю О N ЧЭ 43 -J О ST О N СО К\
taocoirvoiov uioiir\ootoeo>
Ш N ^4 rf\ N »^ Q sT Os <f CO CO tn
¦^CVJNH<M"r*- 1Л <Г K\ sT ЧЭ •-• C\l
CC
4 14. I 4-
¦ н m n II to со
V? О СЗ N н о ^.нЧ>
irv ч» ал in <r n- ¦> <r r-
«NnNom < ok»
0*-»Ч>иГ«-«0 J^OH,
IfV Г*. О CM <O H J o«
«IN GO «N о UiKXsr
*M M
Oi »ч v4 «ч irv sr сЛ
• I CO
<
о о о о оо о>-.оаооооо саоооооо»~*оо
4>444444>~4 4 • • 144 4-44-44 1+Ь-+1
ft CMOsHHHCO»f\\r>-4O\COlOC0<\JOs П МЧ>ОоЮ1Пн-4-Г} trvOt
oNOMANO>l^ ** tO •-« 0v Ч> н иО J »А <Г
QCNOOHSfHN
(М в N 4 4- 4* Ov H >0NH9>K\CMS fOO
О Ъ^ 4^> ^К *^* ^\ ИЛ 1^ ^^ v^ \t\ *О ^К НЧ ^*> <*4 са» 4^*- «О
t0OO00HHt0c0Y0 Z0xsfa0HDsroO44
-in \r\K\HNHOsr«»ONcOHirv«OcO(n iA О
kNH ЫЛЭ
415
•О. N. " О
N- СЛ •-« О
<м •¦* см о
О AЛ «Н) <Ч
О> О Н
.00 К» СМ Н
сэ н о о
о о о о
¦ I ¦ ¦
wi 43 К\ *ч
V\ СО >» **
ON N №.
Ч) К\ н О
|Л f^ -*• ^
О И <*- (О
н о 43 о
Г>(М КМП
П И О N
СМ 45 О 43
4} СМ СМ О
4249
7390
кл к>
—« и
О О
СО N.
О VO
<ггч
.170
.443
ТО*
43
ЧГ
(А
О
>826
45
43
ГМ
то*
КЛ
да
°
>488
см
то*
(Л
о
K80
45 45
КЧ N-
2889
N.
ео
о
1962
см
45
ТО*
9677
к>
о
о
то*
о
н
О
43 СМ
Чг- Г»
О
43
t-4
45
О
О
О
-4
О
¦ 895
кч
.957
ТО*
90X0
43
о
о
о
6272
чг
гм
о
5497
кч «п
4:
со
i 4>
то*
7095
о
см
СТ0(
о
,162
о
45
OD
СО
О
см <м см и *-«
till
О ar\ iTV —•
О^ О О о
О О О О
о о о о
О Qt О О
о о о о
О О О О
О О О О
о» о о о
о а оо
О ОЧ О О
о
о
о
I I I I I I
со fv *\ ео 1«> kv
Ю N «СМЛ N-
f*% ^i <v<fw «с V4
Л •* О СО CM IN-
-4 00 00 СМ О О
V> О (ЛФ ОО tw
•»t &\ N- 45 N- *\
О « 45 КЧ «> О
V\ N N^ (МЛ
О О О
«-I СМ СМ »-4 СМ
с о о о о
о о
о о о о о о
ОО
•-» *> «Г\ -« -4
0000-4
о ел Оо о оо
сэ о о о о оо
о о о о сэ о сэ
о о о о о о о
О О Оч О О ОО
"О О О СЭ О О О
СЭ О О О О ОО
о о о о о оо
О О О О О О О
ir\ ео см »н со оч
»ЛК NO О f*V
гл о •-« см со см
>О О 45 ** СМ СЧ
45 О СМ КЧ О О
СО Ь- 45 CM t^ >-
CO 45 45 45 О С*
СО 45 43 ОХ КЧ ?\
о нк\ ш со ^
^- N * м >Г\ ^Г
И О О И1П
(М ^-1 «М
•-4 (М «4- (М «-4
•<4 О О «Ч
0 о о сэ
1 ¦ ¦ •
W О <4- О
Ч) -Н СМ СО
во «н
Х> 0О t^ СМ
г\ •* в о»
«м »л »»-о
<# О О »-4
00 О 45 О
О О Ч> *\
4> О 45 К\
О «D О СМ
ООООООООО ОООО
+ + + +++ ¦ ¦ ¦ ++ + +
о о to n км о<пао —• ^ о*\
О
со
о
45
СМ
43
О
«Н)
чг
О
О
КЛ
чг-
со
7
см
43
О
43
43
СМ
com
о и
СМ СЧ
СО N»
00 О
СМ ^
О О О О О О О
• •181 II
и он «н о О
гэ о сэ со о о о
сэ о о о о сэ о
о о о о о о о
сэ о о о о о
О 4) О О! ЧГ V4
Ю N О (*Ч СМ 4>
КПИО «Н 141
чО^. ri>HN H
«Г О
Г»- 45 Н>
о о о о о
•1 О Н О н
¦ ¦ ¦ ¦
<¦ л о о
«М 45 ЧГ «5
43 ЧГ fv.fw
см «о «г со
45 «ГЧ СМ 4)
О 45 «Н О
СМ «И* СЧ *>
> О О О ОООО
^1 43 ЧГвООШ 45 CD 1Г\. 45 О СМ О
О К *> 43СМ1П.Н ^О 450С04>
N. Ч^ СО ^- «0tf4 О. KV К\ Н НО К
ON I^IO«4Hi-iQN4«>K IU
ONNHinNOH«NCO OIM *•+
O0OK\O4f О N- Ю M> О CM »H
NlhNinrw4««« «ШЧХГУ *-t
K\ 1РЛ CD 45N K\ О КЧ N> 450ОКЧКЧ
« см
i О
I N>
о о о о о о о
о о о о о о о
43 N. (vj Ч* NO О И
ГМГУ \П О <О <О С<С
и О -* О О СЧ <ч1
ООООООООО ОООО
И II
см н н
о о о
I I I
45 О О СМ
н <»ON
О UT\ СМ 43
•»•>-« <м о
«Г\ О f^N.
ИМОО
• • • •
kv N ю гм
Ч5«Н N- ГУ Kk ЧГ 1*4
I СЧ ШШ
Г «4- II 1Л in
5-4 CM -J -1
С01Г\ОН45СОС043СО ОСОКЧО
MO'* 4>N-»-«O^I»n ЧЗОЧГО
ОК\0»0№ (N<N 4^ н О
Ч) 4» N- «О N> V\ 43 <f'45 4> 4) 43 И\
4K*4
II
се
UJ II
<М <
ооооо
* мхо(ч«со«.щоип «nho
^4S
43 45 43 CM 43 (П>ОкОПОО««ГП«\ «ИНН
4 И |U HHNCOQ«|-OOK\H«NN
Ш UlU.
•-* It II
U1SO
=3 _J
а: <
it it
CM «M
Э ГЗ
N КОС
О о о о о о о
о а о о о о о
О О О О О СЭ СЭ
<3v О О О> О О О
о о о о о .о о
«О СО СО 4) СМ 45 N- ИЛ
СО «О N>K\IT\K4*-4CM
СО СО К\ •* О О 4) К\
rvlf\ Ч)Ш^СО4)'1Л
Н »Ч СМ СО О О N> СО
» о о о сз сэ
> о о о сэ о
СО СО
«о со
. t*- tt\ П
, »., ^ ^ ^, «чем coco г- <
о оо оо
о •-* оооооо
Г\ О> н ии о о
О* о о о о о о
о о а о о оо
1ГЛ СЭ О N- -Ч 43 45 N>
см о гм N. со eg rv 4J
4349 N Л ИИ «Г'О
ОО. h- COCO U. О »4 И N> КЛ.ЧГ «HtfMTVNO^N «
С* 43 КЛ О Kt «>l*C04L>4>N>ir\N>^4L^43 0.l(> Ч>
<РО OkttO h- Э OH4)<0OtOi4) ^NKtNOH H**
о о. о о о о
о о о о сэ о
«Л К\ 43 N- N- -4" 4>
О СМ Н(М (Ов NO
КЛ М 4} 43 N.
M0 ttJZXIO II 4 О Н Н и и О (V О
416
кл -ч Ч)
с оо о о
г»
«л
СО
о
г^.
со
см
ю
43
\г\ со
О -ч
гЧ О
ш к\
см >*
щеп
гл со
43 Р-
к\ m
о см
о <м
СО -4
ГМ СО
ор*\
Г4- О
О ГМ
К\ Р^
со ее
43 »-<
о см
О 43
р^ t*\
О И
CM f\
о о
»-Ч О
со -*
о о
сэ о
о о
о о
о о
сэ о
см о
ITV О
см см
43 КЧ
1Г\ ИЛ
РЛ СМ
43 СМ
сэ
1
р*-
43
О
СМ
,J-
,_,
см
со
о
1
>3-
ил
43
о
сэ
о
о
о см
о rv
со см
оооооооо
осэоосэ
I I I I I
- 1Г\
СО «*• *TV
оо о о
¦ + II
О О О •-«¦
о о
о о
iC\ с
F*\O«0f«w»-«
4>COO—*fM
ОО
О О
О О
со
О О
ОО
О О «~«>О
оо «>.-«
ОО
о
-ч
о
1
со
см
«п
ГМ
чО
«0
р-
_
сэ
1
о
о
о*
см
сэ
43
о
о
сэ
1
о
со
сэ
СО
-4"
Сч»
сэ
1
СО
см
см
СО
Ч)
к\
сэ
см
1
и
о
чэ
сэ
-ч
см
о
1
сэ
о
СО
%
ч>
о
^э-
о
S
со
см
43
см
со
<1
и
»-
|>|
и
^J-
о
о
о
со
СО
СО
о
1
и
«X
ш
о
«л
«А
см
см
¦*
II
ь-
KI
ото
т г^ и
N®s
tno и
И Ч> СМ
гл pw »-»
*!» ?
1 1
II И II
<•- <t
UJNUi
N. СО
см и
СО "^
о см
СО ГМ
|Л1*Ч
1
II И
н- <
К| Ш
00
-•
^¦
о
II
к
СМ ^«К ^^ Гк»Л
о
СС
О0
ч*
СО
r-t
•-I
СО
о ал
Р-СМ
СО т-*
СО 4>
#\ гч;
Ю ГМ
•-Ч \О
1Г. 43
4 ГМ
Р~- ее
К4 Р*
О СО
!*\ -*
О 43
СО Ч>
см
«а-
Pw
чЧ
4Г
о
о
аз
г»-
к\
*о
^ч
«0
К4.
1 1
-Г со
О и
кл и
с
-»¦
сэ
1
СМ
1924
43
1
IS
*213
о
о
ч>
со
^209
чэ
¦
*м
о
1
H04
о
о
969*
о
о
¦ 327
«п
ООО
¦4" •-«?•>
СО СМ К\
-9-Ю ^
сэ
J164
43
о о
*» ГЧ
43 СО
43 О
II И II II II И II II II
сэ оо сэ о
^ N^ vj (О
СМ О ГМ Г4- СЭ
О ST >» гН О
СЭ СЭ О О СМ И II
СЭ CD И Ч) • О О
II
*—
X
0_
о о
* 1
о о
О Ч>
о со
II
~*
«с
X
а.
сэ
1
«г\
гл
т
о
1
|ч^
II
*^
«а.
X
п.
О -У К\ СМ СЭ
СО O(\J О N
•-¦I С© Ч? f\ Ч?
Ю CNJO СО Ч)
И СМ II О <
Ч) w РЛ Ч>
• и О СМ СМ
со *г\
РЛ СМ ¦ Ч> I
о со о *-* t*-
ооо ооооои
о о О» оОсэо
ОО Ф ОООО
ООО ООСЭО
ООО- СЭООО.
сэО
ОО
сэ о о сэ i
i i о >н
О •-
О'-'ОО OOOOOOONC
О«ЧГ*4- СЭСЭООО.СЭОС
оа.
4 CM (Ml О И
•о о << р— —•
II И II II II II И
со О
I
II И
i^ гмо »ли
•Н Р* СО «Г\ 43
СО «О Is- »-1 О
4> Ш Ш «О Г~
Г"^ •-» 0\ 1ЛО
во со
со *-t
• о *%
кч. о2«о -*¦ I < t <1 4 i <
р- о i^ ftf o-xa.xa.xa.
ин in irv и оо см it?oi
• —« • • -j • • о ас >-
о: г а: и < <*
> •-« з: z> ю <
i О _J О «¦" <
4И |
27 5-1018
417
—• «м
о о
V\ (TV
¦4- к\
О СМ О СМ О ГМ СЭ
сэ сэ сэ о о о о
¦ I ¦ I ¦ 14-
N |П N |Л (О (Л Ф
N О О ITS О N О
О 1Л Ю Н S Ч) Ю
со с .-« оч «-¦ tn чз
н ф о nmNo
го ю «^ ч) см м% со
•4 Н N О Н К\ О
ЧЭ N. N О N -А N
II II II tl It tt It
— <I -» < ~» «t <-»
Ui Ы Ui N Ш Ы UJ
NONONQN
00 —¦
Ю CM
ч> см
ю о
ГО C4J
—4 О
о о
ЧЭ -4-
«-4tr\
N Ю
см о
о *>
СМ СО
Ч> СО
со см
о о
Z 2
сэ
1
N
СО
см
»-4
О
1
сэ
сэ
Оч
го см
tr\
см
»о
о
чэ
СО
•
47
«-4
tf\
N.
го
о
СК
45
I ^4
см. см
сэ
•
со
N>
сэ
1
О
о
смсм
о
сэ
ч>
о
о
ю
сэ
•
ff\
»-4
см
см
со
•
СМ*\
II
<м
_|
QC
о
Z
tt
о
X
ОС
о
СМ
сэ
1
«гч
^
чэ
о
ч>
Оч
чэ
ягч
*-»
•-4
Оч
•
N>
tl
CM
~»
ОС
о
Z
«-4
сэ
1
то
ч>
со
N
rf
еэ
см
со
ч>
ч>
•
' «-4
II
О
ОС
о
Z
сэ
1
-А
О
,_4
СО
»_«
О
со
^*
ч>
см
о
1
СО
N.
СМ
см
9-%
СО
чэ
ю
to
со
Оч
см
СО
со
45
ю
ю
о
«4"
It
см
_J
ас
о
Z
Оч
N
N
О
>*•
Оч
СМ
„у
о
о
чэ
и
о
ОС
о
Z
см
со
,4-
ю
44
ОЧ СМ
чэ
чэ
О
N.
Г- m
чэ
о
«-4
tl
ГМ
р
3[
ОС
о
Z
ю
N
О
—4
Н
U)
2-
ОС
о
Z
О
еэ
ЧЭ
СО
СМ
к\
о
ч>
со
!о
со
со
о
СО
чэ
со
-4-
чэ
.-4
•4
см см
II
см
_J
ж
ОС
о
Z
II
о
X
ас
о
•z
^ со
•ЧС\ СЭ |О 00 N SO N
rv <>
N О
ao со
•-« tH) гЧ tTV Оч
О СЭ СЭ К\ -4
О О
о о
см см см см
К\ -4 О О О О
N СЭ О О О О
со со о о о о
ч> -^
о о
¦ ¦
к» m
сэ о
о о
о о
о о о о
о о о о •
о о о о
1Л ОС О СО
к\ сч: к\ см I
«я — < -« «t -*
о ос
О О»
•-4 •* KV
сэ о
о о
о о
о о
сэ о
СМ СЧ1
I I
II II
сэ со сэ о
о оч о о
• • сэ сэ
о о
со «г\
О 4Э
сэ сэ
. о о
о о '
сэ сэ
о о
'о о
сэ сэ сэ сэ,
о о о о
о еэ о сэ
о о о о
сэ сэ сэ о
о о см см '
со со
it it
И II И II
со
о
-.1
«н
сэ
•4>
<*-(
'О
•сэ
«о
о
«э
¦УО
«=>
«э
< ж
tt
«ее
•^
**>
со
см
»-»
1
о
о
ОЧ
о
оч
О"
о
Оч
ох
N
X
а.
_»
ш
(О
>-4
о
¦
о
сэ
о
о
о
о
сэ
о
о
со
<f
«_«
1
Оч
Оч
О
Оч
Оч
Оч
О
Оч
О
ft
W
•<
X
CL
<t
t»>
н
X
о.
ш
х>
о
о
¦
о
о
о
о
о
сэ
о
о
' •
г
tl
<
X
а
«о
со
чэ
1
о
Оч
О
о
О
Оч
Оч
Оч
tl
X
0L
-J
l!>
^1
сэ
¦
сэ
о
сэ
о
сэ
сэ
о о
сэ
о
?
II
«с
X
а.
_J
<С II
w ее
©ч
«0
N.
Оч
о
У*\
л
о
1
Оч
СК
Оч
оч
II Оч
t- Оч
«1 Оч
Z» О
о
1
>t
сэ
<гм
О
о
tn
чэ
•
II
со
о
«t
X
0L
<с
о
н-
3909-
•Н)
v-4
si"
чэ
сэ
4Э
со
987
чэ
сэ
^4"
|Л со
«
сэ
1
СМ
о
о
го
•
•
4>
сэ
1
Оч
о
со
к\
|ч.
о
г-А
•
X X
о о
C4i csj
• сэ о
• 1
сэ о
сэ сэ
сэ сэ
с? сэ
сэ сэ
о о
сз о
сэ сэ
• • 11 II
см «? <С
I IX'
>с о- а.
X
о
-J
>*¦
сэ
1.
со
О •.•
О **
о» —
ск<
оа.
Ск <
ОЧ >
. о
II —1
•< ь-
•а: гэ
О. -J
о
271
4Э
•
«ч
о
»
CV
а
Оч
—*
О
к\
• (TV
•
чэ
СО
О
чэ
сэ
^>
со
•
4Э
сэ
1
Оч
Оч
«о
>г
N-
о
•
X X
о о
о сэ
1 t
N- N
Оч О
Оч О
Оч О.
О О
ООЧ
О О
и и
<х «с
X X
X X
о о
N N
сэ сэ
1 1
«г» tc\
Оч О
О ©ч
©ч О
ОЧ ОЧ'
Оч Оч.
Оч Оч
II II
«С 4
.X X
O.CL
LPHA)
,00
о
t
о ••
ОЧ IS)
Оч <t
о а.
•¦?
сэ
II •-•
«t »—
X Э
а. _i
141
со
-4
ч>
•
см
о
•
го
¦»4"
о
ю
•'
166
г-4
о
ч>
•
«О
сэ
•
гЧ
о
N-
чэ
ы
1. •
X X
о о „
Ьч СК.
СЭ СЭ
1 1
irvV\
Оч Оч
©ч О
<>> о
О Оч
О ОЧ
О< оч
II I!
< ««•
ЭС X
а- о-
X
СЭ
—»
о
*н
1
оч
©V
Оч
Оч
Оч
ОЧ
О
II
«^
•X
CL.
X
о
о
'1.
о
Оч'
Оч'
о.
о»
о>
О.
и
«1.
X
а.
X
fM
«-Ч
1
о
Оч
Оч
о
Оч
¦О
°\
ск
и
«с
X
X*
р,
см
•-*
:•
оч
о
О.
О
Р4
It
- <;
X
X
ь
-4-
«-•
1.
ОЧ
Оч ••
Оч -".'
.О «О
оч ~
О <t
Оч С
Ov0l;
Оч'^С
о
II »~*
«* 1-
X ГЭ
а. -j
сэ
ы
ил
СО.
К\
О
о
¦!?
со
о
ю
«4
418
.*-* см
гч О
•*
сэ
s?
«а-
со
fs.
V4
fs.
ЯП
fs
О
rv
-4-
«ГЧ
CM
r-4
о
о»
—4
CM 45
О
4J
,_«
СЭ
Ок
о
см
КЧ
о
«4"
f^
•4-
»ГЧ
fs,
КЧ
4)
irv
^
¦-4
»Г\
ео
ю
о
о
—4
IS.
«TV
<т ео
о сэ
*г\ 4д
О КЧ
см оч
43 СМ
СО КЧ
<Э0 Ок
Оч 45
КЧ КЧ
.4- <г
сэ
Оч
IS.
^
КЧ
43
>$"
КЧ
КЧ
I*.
«п
СМ О
m о
см гм
Оч -4"
см -*
CM О
\r\ о
CM CM
•н см
о о
I I
КЧ 43
•-4 fs.
СО Оч
со ~*
irv —»
-4- СМ
-4 СМ
С5 СО
ОМ 43 О О\ О 4 « О
О О «Н О •-) О О О
I I I I I III
СМ 43 f- .н .-4 ООО
OCO-4-IS..-4 КЧ fs СО
С Н 4 N )<Ч «** .ч «-4
fs. О «-4 СО чО N ID Ф
СМ СО «У* -4 Ts 0<0 И
СМ<-4ОКЧ«-4 «О СМ 43
<О N О Ш Н ООкСМ
КЧ СО С N Н И «S 4
CMO>»fs.oO is. 43 0О
СМ" СМ 1П О К. СЭ О СО
сэ
V4
<-4
см
КЧ
со
45
о-
о
|Ч.
43
Г»
о
см
КЧ
^
СО
О
СО
см
._«
«ГЧ
СМ СМ
и
II
о
«л
см
.-4
,-«
во
._
f^\
КЧ
IS.
45
СМ
II
о
45
СМ
ОЭ
СЭ
о
о
см
45
.—1
ш
см
II
-4 45 О О» О
43
СЭ
tr\
СЭ
со
«л
со
КЧ
О <О (Л 4~ (С «-4O>iTV
»Л СО I»- fkw ГЧ Г\ Ok Ч\
-4 45
ео •-•
СМ 45
О KV
-4 СО ~4
t^ CM 45
КЧ О КЧ
КЧСМО-ОГМ «О
*М СО >» ГМ Ч> »Л
0-40045 irs
^-1 43 4Э CM 45
О О
</Ч «-!«-«
КЧ О О
к-4- ¦ ¦
43 «-4 *-4
СМ О О
•/ч о о
fs О О
СС О СЭ
о о
X. Z
сэ о
¦ ¦
а о
о о
о о
О О
о сэ
СО 00
О 43
00 ОЧ
оч
«~»
СМ
.-4 43 43
со со
см со
fM О.
t^K 43 О
43 45 45
-4 45 45
О КЧ КЧ
со I I
сэ о сэ о о
ON 4 N 4" СМ КЧ fs.
со m «н 43
rg 4 н t>
i О» о о г-» is. is. <х>
о
1
¦»4
О
|П
DO
m
см
сэ
4J
СМ
«п
1П
см
СО
о
«чО
СО
45
сэ
см
см
см
CV
1
о
сэ
о
сэ
о
—
II
<t
X
о.
^
1Э
-J
«*•
1
о
ON
О
О
Оч
ON
Оч
Ok
•
в
II
X
О—
о
о
о
о
о
<•
-4
1
II
«с
X
о_
_|
сэ
-1
>i-
1
ON
о
о
о
О4
о>
о»
Ок
Ov
•
°
II
X
о.
о
о
сэ
о
о
43
-ч
1
II
«с
X
о.
_J
•а:
^,
о
-J
43
1
о
о
Ок
о
о
Оч
о
Ок
О
о*
•
°
II
X
о
о
о
сэ
43
—>
1
II
сС
X
а.
_|
«а:
а
-»
43
1
о
Оч
Оч
о»
Ок
Оч
о
о
о
Ок
•
II
X
О-
II
ь
«л
СС
см
О
КЧ
о
1
^¦
см
см
о
t^i
о
45
см
см
•
«л
о
о
Оч
t>
Ок
%>
о
Ок
гм
сэ
¦ОС
см
сэ
45
а
КЧ
г-С
см >*\
-4 О
* •
•4" t^\
о сэ
1 1
Ок 43
О о
-4 45
¦4- 43
m со
r-4 CM
t*\ m
о m
О 43
¦4- О"
II
1Л
•~* ~t «-4
ООО
X. Ш ^
О. СО «TV
-J -3-КЧ
;> о «п
45 О*
2 "^ о
О •л- Is"
м см о
гэ см ot
о
о
•
со
сэ
1
45
г*-
кч
fM
IV.
см
КЧ
о
КЧ
CNl
•
Ov
а
-4*
СМ
021
кч
II 45
X 3 IV
»- СС
СМ КЧ
^4 О •
• •
**- кч
о сэ
1 1
Оч »О
О сэ
•Н 45
>» 45
Ш СО
«-4 ГМ
н\ ш
S S
КЧ О
• •
«-» fs
¦»$• »-4
сэ сэ
II «П •-•
-» со ш
СО ^» КЧ
> сэ «#л
43 О
О irtN
— CNJ Оч
К О* со
Э см см
«л
45
СО
»
<м
1
сэ
1
«4-
«-«
СМГ
45
m
ON
fs
со
СО
•
см
^-»
о
о
ОЧ
II fs
«TV
КЧ
Оч
о
1
о
t*\
см
45
«п
о
fs.
со
оо
•
CNI
гч!
о
4>
ш
со
UJ О> СМ
•~* II «4-
о
••КО
X ОС КЧ
'*¦
fs.
см ••
СОХ
1 н
Ok
•
со
о
t
m
СО
fs
CM
КЧ
*°
см
•
Оч
КЧ
сэ
IV.
ш
о
о
КЧ
II 45
f- f^
=5 CM
ОС
CM
•
•4
сэ
1
КЧ
о
»
КЧ
о
1
КЧ СМ
СО
о
m
—1
Ok
к\
•
о
II t^\
л см
«Л 1*\
> ео
О «А
»-• см
3 СМ
О vO
«о
•-4
^4
45
ео
см
«п
«п
о
•
«-4
о
45
587
Ok
fs.
оч
гм
о*
45
ft.
ГУ
fw
о
о
см
^4
II
«1
to
ш
о
о
«-4
о
1
4>
ш
«4
МЭ
кх
45
*н
KN
о
•
II
«/1
45
СО
со см
см
fs
—4 1
о
см
гм
КЧ
•
СО
II
о
rs.
»-|
«п
fs.
Оч
•
ео
I
II
см «л
а»
1
КЧ
о
—•
1
«г\
45
is-
СМ Оч
ч»
СО
«п
о
о
о
•
и
at
-с*
о
tn
V4
со
45
КЧ
см
•
II
т. >
О»
СО
•
КЧ
сэ
1
со
¦>у
t^\
«п
43
ш
х\
КЧ
КЧ
•
со
о
сэ
<f
а
о
45
см
*\
о
СО
45
•
1
С5
,1
«п
ГГ\
о
0О
4t
•н
43
«п
о
•
1
m
о
со
КЧ
о
43
см
45
1
о
•
1
о
1
о
«п
см
СЧ1
43
•
1
со
о
о
*-*
IS.
CM
> О
о
«ГЧ
•и
!
сэ
00
•
г4
сэ
1
со
IS.
о»
43
«_t
fs
43
•
CO
1
о
о
m
GO
•-4
CM
CO
45
fs-
V4
1
о
о
сэ
1
КЧ
CM
о
IS.
r-4
9-t
is.
43
•
•H
о
о
КЧ
вЭ
¦4"
о
«о
•-*
гм
О (ГЧ
СМ 43
• »
»Ч О
1
о о
1 1
45 О
vn «п
со о
«it *¦
«¦ «»
о -^
CM fs
fs. «П
45 45
• •
CM 43
сэ *y
о о
о кч
о «п
О st
о rv
О 45
о m
о о
о см
С О т»
о
см
»
КЧ
1
^
1
см
fv.
о
о
см
о
irv
4)
о
*
КЧ
1
0v
сэ
СО
см
-*
•S.
о
СО
сэ
ш
сы
27*
419
Н М 0\ и W
и о они о а о о сэ о о с»
* lilt lltl •» t ¦ ¦
43 N vo ^4) н fv. Г»- О» <M t*\ ОЧ ч|-
ГЧ ГЛ К> ** И Н ГЛ 00 О f\ -И ОО. »J-
rv. ЧЭ ЧЭ О О K»V\ N.K\ Ш fv» rv. 4» K\ •¦ ^ »» f\ »-ч.
•vt m «*• и г»» со 43 О со ^» ^- о о о о о о о о
Ч> -«»-|v»>n>r\ -*• СО >Г Ш J*»- «-« Щ> КЧ I I I I I t
СО СМ СМ Г*- ЧГ И О Г*. 43 V4 1*\ О И СМ ** О СО О (MJ
•*• rv- ,* О •** К» «Г Ч> СО <О И 0\ О O»v.HH|*\CX
«О -ч* 1П СМ-Н fA Г*. Г4* н Ы> Ш fv. СО ГЛ -^ СО «* СМ /*»
СО 43 Г«- н СО ОСМ СО >Л «О fv. )f\ |ч. 1П Ш Н О -»* СО
СО NITt N
см н
нн
СО m
со оо
к\ о
СО СМ
ОО 43
m а
о
rv-
сэ
см
7250<
.79
О И
О ГЛ
IV- Оч
н
сМ
ГЛ
>*¦ о о
43 /Л СО
•«Г fv- Г*Ч
нчз
о
н
к>
43
см
019К
.75
о
о
о
О
см
оо
43 (Л
fv. СО
is
о
н
со
4511с
Ov
о
н
оо
со
о
со
и
«о
6786!
о
о
43
ы
43
со
и
о
о
43
н
о
сэ
со
Н СМ И Г\| СЧНСМГЧСМГЛН
О О О О О О I I I I
• I II + + М II М П II
SfCs* ОО 43 СМ <. < «С < «С
чэ о осм tn о а. а. а. а. а.
Оч СО* »^ 1П «?• f*4 CL. ft. QL &- CL.
СМО СМСМ № (Л < < < < <
н СО М CN 47 Г\ W Ж У ^ 1С
Ч) -*• СМ ГЛ -« <О
^*- rv. см гл см сэ
СО ОЧ 1TVH О >3" <*О4О4О^ОЮОН(
о**- mm оо oooooooooooi
ОН 1П. СМ «ГЮ I + I + I + I + I + I
СЭ О СЭ СЭ СЭ СЭ СЭ СЭ О СЭ СЭ СЭ СЭ Оч СО О О\ Ш Г*»- vH] <fr Ш 43 <
II III 91 II It ¦ ¦ (\Otf><*>?OCON(MCOI
N иКчГО f\ О СО |Л Vn H>v. O4»v- 1П <M HH
tn н со. 43 m r«» со н г»-. c\# ил чз 43 «a- •»*• ч> in «П
(^ ел} *н in *ч^ со со гл см tv. «^ *^ гн <^ ю сэ no * m сэ t t i t t t
О CO rt MCO4 О»Л f\ H 4> ¦<» О 43 ГЛ «О 43 О СО И ft II И II И It И II И И II
СЧ1 ^ ^* у^ СО СО МГ\ ^" МЧ СМ ^5 v^ ч^ С^ СО f\ СЭ СЭ rf4 О^ *С <*"* ^Х *"^ *41 ^^ *^ "^ *^ ^^ ^С ^^*
Q <f N ^t О 45 О ^ »П СО К н О 1Л »ЧО О со О^СО h-4k <h<H<ru<ru<
чз?) t*^\ С51 ^^1 ^Ф' О^ f^ СГЭ ^в^ C\t (^% ^9" №*Н f^— СО СЭ1 V^^ Р^^ ""«У* QO 1ULJ ^"* b^J ^*** &JJ Ы>* ^ilP t1"' ULJ ^*n* ^A? V*"*
O43 CO 43 00 О rv. Г*»гЛГЛ1ПОЧ. «4-О K\ 43 ON f*4 О evfUJrvlUJrNjUUlvJuJrvJUjrvlUi
Cm?1 ^O ^^ ^lJ* ^0\ ^^* *^^ CD f1^ 0^ ^tf^ t^\ ^^* ^^* ^*_ t^^ ^*" CO ^^ ^\J СЭ '^4 О 9^4 С) f^l CD f^J Cm fvj О ^^
• • ••••• •«•»••• •• •* .. oooooo
m»t M(MH(vm n4nhm •<)*** мэн « н »лн ««ww^"^
о о и tn см f\j r\j •-« k\ гл k\ -^ •-»•-€ ^ц «_i ^^ r_i см oj
О H OO«H»~4*^ OOOOO ОО ОО ОО ОО K»DU\O»nOlf\Olf>D!
II I I I I I I I I I I II II II •*¦ ОООСЭОООСЭОСЭ<
•^Г^- |Л O<8 О» Л1 OOOOO fv. 43 t-« Ov- <г«ГЛ -«-4 v~l ll'll-tl-l^t»
C0 **4 О fv>- f^ «^ in C^ CO О ^4 f\ Оч 1П СЭ Os. r^ О v^t С? СД CM v"^ 1П «°*i 43 ^sl Оч Ш O\ 1П ОЧ ^ О CO
* г*# чО CO CM vO 43 чн1 1П Г^. CM ГЛ 1П ГЛ * «*4 CM C4J cW CO rHk fv- Ov |Л CM Оч ^| On ГЛ ir4 On H (nj N* CM
* И N A H О П >O ЧЭ О l*% CM ^*- ГЛ О COO C3 |Л О о (ПО CONOO^ ^-0Nlf\O<0N
\ 4Q ГЛ 1Л Оч СМ ГЛ Os 43 1П 1П 43 Оч О О СО О СЭ Н СО СЭ 43 ТЛ ^* СО ГЛ О\ **4 fv. |О О* О f^ CM fv.
ш f^\ *w C3N t*4 v CM lf% ^^* CM ^Л CO ^*^ ^v. <?^ ^*4 43 ^' ^ ^4 CO СЭ ^^ CNJ ^Ф* ^M в . 43 ^Зч t^^ ф ¦ t ^^ CM* Г^. CO ^sj
G^ СЭ C^J 43 CM ^*^ МЛ ГЛ j~ t ^M 43 CM 00 rv. ^^ O\ v^s* д > ^^* ^^ ^ > д [ i ^^ ^^* —^* CO s?) ¦^^ CO СЭ CO ^M ^^ ^M 00
*^ * ш ф ш ш 9 ф ш ш ф ф ф « ^д • • f^% • • . c*^ # « CO lifN, ГЛ CM * I t^\ t^\ *& CO t^^ 43 lf\
О О sT I I I I I I
II II II H II II И II И И It «(
II I I I I I I I I I I II *¦* II -^ II <^> ¦¦ -f oQUiCOU-ICQUJcQUJcnuJCDUl
v^ |П ^* О СО *~4 Г4^ V^ 43 43 СЭ CM •-( ON <C *~* f\( <C CM 1П <C 43 43 ff\ 00 CO flD CD CO
,jOO "n!" 43 «»f ОСМЧЗ гЛСОСМГч-т СОСМ X Осо X fv-f4- X »-*C0 "»-• w »^ *~< w w
•hi гл ^н *hi ^# in m /* os m (^ oo ^^ i4* к\ о«- со in ol сэ ©v (x. о* со tD о со о сэ ^
чО C\J fv- f^ rv. •-¦ 44Э CO СО in *Н ГЛ СЗЧ *-Ч „J nJ* СО —J f4* 0O _J »-^ «—4 , * * - * * ,i «_4
•Л <н О 00 О »it* СО ИК>|1П1ЛС\| ОСО «ЯС rv. •sj- < О Г4- «а СО cr
о со **• о чз -со ч> г^.глс\1»лт чэо ^— оо v-. t*\ «л -^» сот
•нчз осмо-чгт соооемглчз осо сз т со to тех to гдгл
4^Л ^U СЭ *^^ ^^» •*^ C^J Ц^ О^ ^^ CJ^ tf% ^^ ^^ ¦ ^ GO СО ¦«J ^i? bf\ ^«^ C^J ^G С^ СЭ l/\ f*^ ^^» с**^ С^ *^|~? СЭ *™^ ^^ *^
tv.»^ 43 СО СО СО О ЧЗСМГ«-О<4* СОО (ПО ОГМ fv-»r\ OOOOOQOOHOHO
глсо О4гл«*от о n N см ov оо тк\ rv-r- а»ч i"*.i>*i4-i*i-»-i*-
^^* ^^** ^Q т^ фщА 0^ ^^Ц 0^ ъ?\ f^\ f^\ ^"^ f~\ уц ^О СЭ ¦> t у^ СЭ *^* СО *^ ^** ^.^ СЭ Ci €3^ Ci ^^ f*^ ^^^ CZ? ^3* С5 ^^ СЭ
I I I I IIIOOOOOOOOOOOO
ГМ СО I4- Ov ОООООООООООО
43 !>>•• О»» Оч»» СЭСЭОСЭ О' СЭ О СЭ О о О О
СО О"~ Оч«-« О*-» ОООСЭОООООООО
<^ ОЧ ^"# КЛ СЭ C4J ^1 О fO ГЛ f^ ^ Os СМ «^ О t/) СМ »-^ Оч t/) Е*Л г-4 ОЧ ч/) СМ СМ О СЭ \^ СЭ C3N О Ov СЭ Оч О Os О
оо сэо»~1»н»-* о о а о о о оо о^-^оо o>-*oo О^сэо ооо»сэооОсэо.оосл
II IIIII 4-1111ГЛ II О < • I O«tll О < -f 4- О О ОООООО СТчООО
1^^ СО "J^* 1^** e^l ^^» СО СО СЭ ^\/ 4^^ СЭ 1^* у*4 *т4 С7^ I» ^^^ ^^ С^ ЗС ^Vi Т^Ч С^^ I, Q^ С^ it"? СЭ С^4 * г С^ CIj С^^ '' * О^ С^ CN *^i
¦тчз нглемсот оглсосмемн он оа ^ n оа 1л м ocloh ••••......•-
*С0 ff\ C4i ^* 00 ^^ С^ О^ tf4 it\ СО СО ^* вО СЭ С^ -J СЭ СО CN -J f^ СЗ О4- —1 *Г\ О г-* CM C^ -^" Ov ^O О4 СО о •*•< О «^
СО С^ СО f*1 *^ *" О (^ f#% #-<4 С\( ^4 СО СЭ С^ С^ ^? О^ Г4^ О^. <4 СЗ О (^ 4t U*\ CO 1 ^ ff I I (-
О* Г*- Ю st Ш СО Qv СМЛ КЛ Г4- I4* Г^ *-< \О CN ^ Г^- СО О ^n <t О С* 2* О <>¦ И II II If It II II I! fl't! II И
I4* СХ W О <М N N О* Г\& \С\ •# *С\ • И СО CQ • О Ю • г*>«-* • «^^. ^^*<с*^^.«^»<С'-*>«С^*'<С*^
^» Оч С© •"¦! ^* <^< ЧЭ t*\ ^*- О |Л ^К ^N О С5 *^ •—! СЭ ^^ *^ CD *¦* ^Л Л- ИГ О» 2СГ 0L ЗГ CL. ЗГ CL. IT (Х- И
I э (М т id смл «с <с *с < <с <
420
»^-
о
Ох
СМ
«ч
«а*
СМ
СС
СМ
о
со
о
ОО
fVw
о
о о о о
ОХ со
СМ Ох
СО ОХ
о •*•
I •
«3 О
о см
^* «TV
ГМ СМ
см о»
ГМ КЧ
«А «Л
«TV «-4
-4 «О—
см о
ОО(М ^
Ш Ш О Н
<О «-4 Г*. Ь-
*. -4К> см
И NN И
NUiNUI
«О Ь- О
00 о о
1 ¦ I ¦
• » II
I •>« со СО О ОО
I СЭ -4 CM »-4 4S»
см
«л
4>
СО
•-4
СО
О
о
г<л
1Л
о
о
art
«м
•~9
гл
см
см
о
со
о
СМ .-4 -«
СМ
JU
ТЕ. ЗЕ
ОС Ot
о о
2 ЗГ
о
!*»
о
о
«о
•-4
•4
О
*Л
^\
II
«М
о
г*\
во
см
кл
II
-J О
СС
о
Z
2Е
СП
о
о
«-в
II
см
_J
ЗЕ
ОС
о
CN
II
О
г
ос
оо
а:
оо ч>
о о
О СО
«^ fO
см m
о см
о< «
кч оо
о во
1*4 •-•
гм во
ю см
со во
II И
_» о
00
И>
см
о
о
о
о
ил
ГМ
о
см
II
см
—1
N.
к-
•-«
•-•
о
«гл
во
со
|Ч.
<*
m
1Л
и
о
О «О
О ИЛ
«о >*¦
f^ во
МЛ (Г*
О —1
fw (M
rv. «о
fA «*
<о во
•л m
II И
см
_» о
см
о
*\
О
о
см см
О вх.
О ГМ
мл о-
о *»
СО N~
00 rf>
со •
О ОХ
ос ос ас <
О О О <
см <м
о о
со о
«-» см
мл ю «
• I
II II II II
ш ь- ш ь-
ш ш со ш
to со
¦ ¦ ¦ О* 1^- ¦ *¦
<М СМ <М" СМ ОО Ю К\
О О О 1ЛО О О
О О О wt CO О О
о о о см о о о
О О О *-» СС О О
О О О «-4 «Л О О
О О О ч» -* О О
о о о • • о о
СЭ О СЭ «* «Л О СЭ
СЭ О О О О
о о о о о
о « г»
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
с о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
СЭ СЭ
о о
о о
о о
о о
о о
см см*
а ¦ ш о о»
о о г\ о
СО СО »-1 «-« -4
CM CM
О СЭ
о ос
со *\
со со
ИЛ О
X
а.
СК СО XX
«о ш о- а.
XX
а. а.
X X
а. а.
«с
х:
О «Л СО
_» СО 00
m о
«П О U О 19 О
Ох о О о
Ov О О СЭ
о о о о
о о о о
О о О о
О о О о О
ооо«о
О о О о
см см
о о
о о
о о
СЭ О О СЭ О
I I I I I II
N N Ш try N ил ИЛ
Ох Оч Оч Ov Qx * * О^ Ох
оо оо о *-» оо
ОО ОО (>V> ГЛН ОО
оо оо о»-*оо о^ <х^
ОО ОО О < I I ОО
оо ооохемнл оо
о о
О Ох
О ОХ
СК О
о о
о о
ОХ </> CM
О\ w О
О <С 4
о X: ov
II II И II
.< ~ < ~
х «с х <
о. х а. х
_i с -j а.
<< -I <t -J
«< "««II
О О Ui
О О J о СО
о ^ <с о г^
О> О ? N (О
О О D 45
О ** 2 СО со
It ОХ 43 О ^ -4
h- О 4Э •-• ГЛ СМ
111 On О О СМ ОЧ
а; <л
о о
о о
О Оч
о о
см < <
> X X
О -J -»
О Z <О ОО
II ~ К\ СМ
О Ох
II II
о 2? •«*¦ см о о
О «П 45
и -* см оо ни
X X
О. С
XX X Э
а. а. о- -4
-j-i JO
а. а.
о о
о о
II II
«с -t
х х
а. о.
О СЭ
II II
X х:
о. си
О > 4> >
• «Н «
О 2 #-4
о «ч
II I-* 4Э
< к m
X Э О
a. -j •
_» О «О
421
» * .
ч> о^
° ч>
см ¦-«
•* |П
СО ОЧ
nD N*
со с»
-4" KV
«н N>
^ СО
1 1
«О О»
N- Ч>
СМ *-*
<t Л
со оч
О N-
ОО СЭ
•a- kv
«-4 N-
«-« со
«г* Оч СМ
ем »л к»
сэ о о
О ON-
ч>
m
оч
со
if
о
ос
о
Ш -4"
о со
-1 >*
fM ем
и it
IM
-J О
2Е ?
ОС ОТ
о о
зе г
о о
о о>
о о
о о
о о
о о
О О/
о о>
45 Ч>
о оч
со ч>
ч> ч>
с© N-
-а- ^ см
~* Оч ИЛ
«-« Оч О
•Ч СО С
О И N-
о оо о о' о о о
»-# О Ю Щ «П CM N- К»
ш о со оо о <* со
СО ON> 4} sf О N- СО
-43-*rfMO4>N.C0fMt
N* 1П О Ш К\ О 4) t*X
4> COON9 ^ Н СО
тЧ (Л МЛ <П «* О iH^*
4> ОО МО |Л 1П Ш
смсмсмтслсм'чоч»
I » « II
<М <~1 СМ ~Ч *ч -t CM KV
о оо оо о о сэ>
I I I I I I I С
MH«tir\coouMrt
N ММ NN Н KV ¦*
О COCO СМ >1* СО ОЧ О*
•-«^N О4Э <Г N- 4>
О *Ч f4 СО 1П Г*Л «-4ЧХ
¦«* Ч> N N N СЭ O.N-.
\г\ СОН ^ Ov (\| Ю Ч>
СМ СМ О Ч> f\ »* О О%
4Э Н О N N К\ sf О
/Л HN Ю-Т N 1П СО)
I III
ем hhimm н им
о оо ооооо
Н N Ю N СО СЧ ^" ?*Ч
Н«НК\К\ОЧ> «НГ
4>4>СО^-<4-С004>
Ш О СО Ш «П СО О Ш
•-« CON-CMCMN-CO*-».
^4" «* •-« ОО «-I -^ <»¦
смем'»''*^ «*емем
КЧ OK» H И »Л OKI
и им сое см и н
• • I t
О ОО ОО О О О
I I » I tit f
ОСМ О «-<>*¦
ч) »ч к% щ со о *4о
Р- OONNN «<dT
ЧЭРЛСМОч-^ И СО Kt
CXMHHOIftO
О О»» KN 4J ОЧ СМ СМ
со тем <
О
1
•О
Оч
О
Qs
СМ
О
|
О
N.
со
к\
сэ
I
«Л
о
т
т
см
сз
t
4>
4>
О
О
кил
оч ечх
О О/
t I
О -I
о см
О 4> Ч>
N- И —г
N. О N-
«< ГМ СО
N. от
со sr ч>
О N- N.
ем
о о
ч> 43 т
in <* т
*н о оч
О -3 t*\
со со
О т*
N. ем
оч>
о со
со см
ON-
N. СО
4S Ч>
<Г ОЧ
см оч
»*• •-»
—I «Н
сз о
CM»*-«-l»-«»-4»-|CMC4J
сэоо оо о сз о
X XX
о- а. а.
о со
43 О
О СО
CM N-
СО Оч
О Оч
•* N-
t
гм
f\
in
со
N.
N-
4)
СМ
СО
о
f
СО
о
Ч)
о
<м
со
оч
см.
СО
О
СО
N.
О
ОЧ ОЧ
¦«а- N.
•-<
ч>
>П
со
•н
in
СЭ ОЧ
4>
II *
X 1
CM Os.
¦* О
•н о
гПГЛ
^Н СМ
1
¦*¦
4}
кч
о
<•
о
1*4
Ч)
т
1
f4
о
т
см
ил
см
т
т
N
N.
СМ
о
сэ
ff\
о
гМ
см
•-I
1
СМ
in
со
Оч
СМ
т
4>
1
т
со
ч>
4>
см
со
со
ил
со
N.
|ч.
45
СМ
СО
t<\
О
т
см
о
т
<^
см
Ч)
V»
«-«
ил
N-
СЭ
О
т
Оч
N.
•4"
О
N-
•Н
1
>о оч
43 СМ
СМ О
ч> -г
к> т
О N.
CON*
сэ о
4) ОЧ
•ч СМ*
о
О
Оч
о
о
О4
ОЧ
Оч
Оч
Оч
Оч
ОЧ
ОЧ
ск
о
ил
о
1
N-
О*
О
СМ
О
1
со
см
W
о
<:
X
СМ
о
1
W
со
о
.-1
о
1
«-*
с»
ОЧ
ft
1Л
о
1
о
<м
N-
и
«л
ем «-<
о о
t i
«ч *-»
со сэ
о оо оо сэ о о сэ
|Л CM -f
о сэ о
I I I
о И о <J*
СМ -» Ч> СМ
П N- Ю СО СМ
ОЧ К\ СО СО
Оч -*- Z N- ITV
It о о q о о
tt N-O Оч
»-# оч тем со n> со см т оч
NJ (М «СЛИЛ NH N 1ЛЩ (VI
К- @ 4>4)NO N4» Ч»<О
(/>
СО
СО > КЛ N.
II N О <О Ч)
ил ч> со ?
• Ч> ОЧ Л
о н т см
р» N- >*# а:
И <Г Ы •• О
X X
о. а.
И Э ОЧ |*Л Э О СМ
Ш UJ ОЛ »^ О «М О
та -J к> ь- о 1*л
> О Г^=) О) <М
2Г «О • -J • •
О UJ N» О|М ОЧ
ОО И
О Ш N. О
и о: </>
о •• <от о н
со п о 1Л. . iu э
аё -j • • —> -*
< О КГ\ Ю К II О
422
ч>
к»
о
00
в
о
см
•ч
I
со
о
о
«4
4Г
°
ч>
•4
см
о
ч>
Оч
н>
t
•А
6О
о
см
ч>
•4
Hf
о
1
г*ч
о
43
•п
см
•4
N-
<«-
см
СО
СО
со
I I
ал чз
О чЭ
ш о
•-4 N.
€\ О
о -й-
IN- 0V
МЛ гЧ
ю о
*ч ч>
к» »н
1 1
Of О
«-« г»\
4> ГЛ
«о о
n- о
N. СМ .
%* CM
о см
г» «ч
О «Ч
1
•4
X)
•*¦
n-
•ч
о
о
Kt
кч
•ч
IM
1
о
о
•аГ
•4
N-
со
нг
о
ч>
•-4
«О (О
•О «4
N. €4
4D О
«м нг
4М О
«о «ч
НГ N.
»п о
«о ч>
• ¦
о см
• I
Ч> {*
СМ НГ
ч> ч>
43 N-
о со
4J Ч>
«п нг
о «л
О «О
СО СМ
О N.
N. СО
ЫО 4>
НГ О
*М О
н> .ч
N- СО
СМ ГМ
«мсм
N- KV
О Н*
Оч О
**Ч О
jft 4>
1*Л О
чф> »Ч
N. КЧ
*м ч>
см н>
43 Ч>
«4 НГ
«4 О
о о
НГ О
ч> см
Ч> dD
Н> N.
N. СМ
CM N-
•л «ч
N- СМ
О О
О Оч
43 СМ
<м о
о <
К\ игч
О N»
СО N-
о о
•о о
N- Ч>
СО О
43 О
СМ 4?
N- N-
НГ Кк
ич см
|Г\ СО
m о n. »4
О N. О О
•чем* • • • ш «чем
О О ГМ «Ч ГМ ГО О О О
• I II III
43 СМ" II И II II Ю НГ |*Л
-4N-2Zxae n- n-cm
N- 43 «I «Г < <t #4 НГ СМ
Оч |/\ Qu QL CL А» О1 О* ^И
<О «4- A. 0L О. О. ОЧ 4>О
43 ?4 ' 4 •« .•* < СМ 43 .4
•$• N- x ^ *J <»< >п о N-
«4* О О О tf\
•Л СО «4! О СЭ
Н> НГ 4> 43 Оч
ON» НГОНТОН>ОН>О Оч О> И
• • сэооооооо • • •
ОНГ 1+1<>|4>|4> НТ" СО СМ
4 К\<О ОК\ Н НИ
oomocooN.co
•ЧЧЗСМ^СООч О К4
«Ч «4 N»H><noN.f\COm Ч> «4 »Ч
СЭ СЭ СЭ 00 Ш «4* N. *4 N. t^ СЭ СЭ СЭ
II ON.43Of40V40 I II
43 К» C043CMV4^KtO«4 О О Р>
СМ «ч НГ«4О4>*4Ш«41П СМ 434»
оо ос^нгнгкч-вттнг to »*>»*\
*Н «\ «••••»•• CM *Ч N-
О N Hnnnnnnm «-« О «4r
KIN III! О ОЧ>
N> О II It II И И И И М НГ N. СМ
сэчэ <3E<X*?3E*iaE о О 4»
• а. Щ>-Ш+-ИА>-Ш*~ • • •>
t*~ *4 ЫШЫШЫШЫШ НГ 4> гЧ
о о о о
е» сэ о о
•Ч«4> _i _J _* _» СМ «Ч«Ч1
о о о о о
• • • I «
о со -boo
^Г«Ч «Ч«ЧГЛО«АОШО НГ N- 4>
СС«П I I • ••• I ¦ I ¦ N. Ht Оч
4>ч4 r*4tnCMK>CDN»CDO О 43 4>
»П OON.N.N.CON.CO «О 43 СМ
•НО Q4^-«0N-rM<4 «Ч.Ч НГ N.N-
45 О ON.N.OOOOH> О 43 N-
СМСО 00НЧСМО«Ч«0ШСМ *\ СМСМ
• • КЧ43ШН>СМЧ>ОН^ • ••
НГКЧ OC4JHTON-CM»4H>- Ы HTsT
OC0O43f4CM-O*rV
CM43C\lC4ilAH> НГчф-
•4*4 I III CM «Ч*Ч
О О И II II II II II It It О О О
• I X^aL~2E«— х ~ • ••
v\ v\ «tX«*X<c?«cS -ч юш
00«ч *-<»-<н-<Н<? N. «ч^>
НГ -J- UJ»-UJH-UJ»~UJ>~ 00 4Э N-
КЧ«Ч оЭШаЭШсОШоОШ СЭ НТ'О
о м coceaoo см ок\
тем wwww сэ см4>
рчо о е> о о нг о«ч
П N -J _J -J -J Sf 43K\
см кч см т о
•ч*ч т со о
¦^- »-» со* со со
о\ о
*\ О.
*п «ч>
«П 4>
к\ «-г
н> см.
о см]
N. HV
т о.
см н>
т kv
ч> **\
fM О
о «ч
Оч 4»
IM •-•
•4 -4
О О
t I
о со
со см
О N.
N- СО
43 43
нг о
см о
НГ .4
¦л «л
N. СО
СМ СМ
«м <ч
«ч «ч
сз сэ
1 1
т оч
43 Н*
4> Оч
ч> см
СЧ' О
4? «4-
|Л irv
СЭ N>
СО N-
С О
43 О*
•> .
•Ч СМ
о о
1 1
IV нг
«0 N.
см «ч>
•4 ГМ
•4 СО
- см см
N- СМ
О «Ч1
см со
«4 <4*
• *
43 43
»1 И
гм
-J О
ОС ОС
о о
Z Z
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о сэ
о о
• •
а о
II и
-1? »4»
ал о*
««3 «Г
О w€
U4 «н»
•Ч «4-
СО Ч>
ч> сч
•Ч •-!
О С»
1 «
N. К%
О Н>
Оч О"
к> о>
1Л Ч»
1Л О.
•4 *4)
N. К%
СМ Ч>
см нг
43 4»
-4- Н>
«Ч г-Щ
О О
1 «
•4" 4>
СО KV
Н- >ч
N- О
СО О
4> Оч
СМ 4»
sr кч
«л см
«ГЧ СО
• •
СМ 4>
ГМ
о
1
43
СО
43
43
*л
-41
.СО
«о
•
до
•ч
о
1
-*
43
СО
О
СМ
СМ
1ГЧ
•
о
•н ••
о
1-
О
II О
<31 *л
см «ч
о о
I i
СМ \О
43 О
«4* О
СМ 43
•л о
О N-
•Ч 43
СМ «Ч
гм гл
• •
»CV 60
СМ .4
о о о
О •• 1 1
«Ч "¦» 4> 43
^ со ил
pi Г\ О\
•4* ГА
Z МЮ
О ^о СМ
Ь- .* (N1
Р Ш N
-1 • •
II О «Ч О\
2[ с/1 |
о
о
о
#ч
II
ГМ
о
• • 1
** О
«^ Оч
С О
^ N-
зг о
о к>
Ь- гм
о см
_| •
о «*ч
(О 1
•ч
сэ
1
43
СО
т.
г*ч
ГМ
оо
**¦
р\
•>
о
о
сэ
о
о
•ч о о
О .4
сз
о
сэ
сэ
•
о
X
2
«^
II о It
2.-4 JE
о
¦о
Оч
О
о
о
Оч
О
Оч
Оч
»
Оч
II
?
w
О
•J
О
о
о
сэ
о о
о о
•4 О
о
о
о
•
см
II О
сэ
сэ
сэ
о
о о
о о
сэ о
сэ
сэ
о
»
ж:
II <Л>
о
И
ОС
ш
>-«
«Н ГЛ
о о
II С
-1 С
Г> С
(Л
ш с
pi
^ 1
э о
э о
Э ОЧ
э о
> о
э о>
Э 4>
Э N.
э о
a «
4 К»
It
о
>
Z
о
=)
о
%л
ГМ
о
1
N.
о
«а-
ГМ
т
N.
о
нг
•
•ч
гЧ
о
1
-Г
о
„4
гм
сэ
-*•
Ю
••
о
ш
ее
и.
ГМ
гЧ О
• • I
-» 43
(/) ИЛ
w СО
? Ч>
D» 4>
к>
Z N-
О нг
•>« 43
Ь> со
Э О
_4 •
ti о т
о о
О «Ч гЧ
1
4>
4>
<а
о
см
^»
с\|
4}
|*\
fV II Н
о
•ч ••
>
Z
о
И О
X (Л
см
о
1
см
о
43
,^-
см
кч
о
см
•ч
о
t
о
ч>
Оч
4>
оч
N-
431
о
•4}
СМ 1Г»
со
423
-I 41
CM -«
о
1
43
,_!
fs.
О
СО
43
М
О
1
см
fs»
о
ич
¦4*
ил
K\ «a
**• ¦*¦
о
Ov
<М »-Ч СМ
Q О СЭ)
•HJ СО
см ил
43
1Л
а ее
о о
Z 2
43
О
О
4>
ил
О4
•
о
1
43
»j-
|s>
CM
Y\
fS»
О
4>
is.
CO
4>
•4-
•
СЭ
1
о
о
о
см
43
is.
CM
fs.
CM
о
CM
о
1
is.
•*•
О
CO
«0
•H)
tl
CM
_J
ДГ
QC
О
2
<vl
О
1
f-f
00
oo
<o
со
о
КЧ
CM
11
о
дГ
ее
о
z
о
г-»
о
fv.
о
о
о
«
о
«TV
is»
о
гл
4»
<М
а
I
го
о
*л
см
о
1
см
fs.
43
О
I
О
43
<О
4>
О»
•-4
43
fs.
К»
о
1
«о
*Н)
«л
v-Ч
к>
о
о
см
СМ ОО
СМ СО
о
со
СМ
II
СМ
ас
о
2
II
о
3?
or
о
2
в »
Cvf 4У
43 СМ.
О STY
a m
43 *HJ
•ч «г\ иг\
«> о со
IS. О ОЧ
«м -* о
6666
о
I)
о
9999
о
II
о
ГЧ
О
I
о
1Г\
—*
о
см
см
43
О
,?¦
«4
•
*ч
<м
сэ сэ
о •• (
to —«
*~ со
3? ***
о
i
о
СО
43
—»
4)
^-»
СМ
О
¦
43
«~»
ез
1
f\
ил
OS
СЭ СЭ
о о
о сэ
сэ сэ
сэ о
о о
о а
сэ о
сэ о
о о
о о
« •
см см
II II.
S ?
о о
-J -1
о а
о сэ
wi
о
1
*л
00
'«*
-к\
о
m
кл
._!
см
о о
О •• 1
^Ч «/) СМ
^— о»
? О
*Н)
о
t
irv
*-ч
—¦
к»
см
сэ
fs-
г\
•HI
^ч
•
о
1
г-
ОО
вел
сэ
сэ
сэ
о
сэ
о
сэ
о
о
о
о
•
И
о
_j
о
о
•-Ч
сэ
сэ
СЭ)
о
сэ
а
сэ
сэ
о
сэ
сэ
р"\
II
о
о
а
•HJ
at cM W
О 43 C\J
•»- СО ГМ
<М СМ «-<
сэ И сэ о
¦¦• <-> I I
О </) СЭ 4>
О w nJ- .-#
О О »^ «-Ч
о ^ сМ «f
сэ ^» —» >т
о »-¦ ю.
а 2 О о
II а о «л с*
»-4 ГМ
О см
со 1
сэ
о.
га
о
И
II
и z>
ОС «/)
и> ш
1-ВС
о
43
1^
«-Ч
h-
^>
О
fs.
00
<О
-ч
t
см:
424
print (newline, "lambda^" Jam):
so/3 (g, //,i/l, 11, .5/lam, y)\
print (newline, "sol3: # =", newline, y, newline);
print (newline, "fried\:")\
fried\(f,x, 29,5, 11, nucl, Ao —2> ,0 — 2, .5, 1000,
out, out у res7, y, ier);
print (newline, "ier=", ier, newline, "result =", newline, res7)\
print (newline, "solution ymd(s)=",
newline, yd, newline);
print (newline, "fried2\"y,
fried2(f, x, 29, yt, 5, 11, nucl, .5, 1000,
out, out, out, res6, yO, ier)\
print (newline, "ier=.", ier, newline, "result =" ,newline, res6);
print (newline, "solution ymO(s) =",
newline, r/0);
end TEST6;
end
Результаты тестирования. Результаты решения тестовых примеров, поме-
помещенных выше подметками TESTl, TEST2, TEST3, TEST4, TEST5, приве-
приведены частично в табл. 6, 27, 30, 31, 33 соответственно, а полностью —
на с. 413—424, где приведены также результаты решения тестового примера,
помещенного под меткой TEST'6. Вычисления выполнены на ЭВМ БЭСМ-6,
имеющей 12 десятичных разрядов (при простой точности), на ГДР-АЛГОЛе.
При этом счетное время решения от оператора (включая): v: =
= sqrt D/3.14159265359); до оператора (исключая): hw: = domega (x, 29, 28);
равно
А/г-6с, G.1)
а от оператора (включая): hw: = domega (x, 29, 28); до оператора (исклю-
(исключая): zndTESTS; равно
Дг2 = 66с. G.2)
7.2. ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ПРИМЕРОВ НА ФОРТРАНе
Тексты программ. Ниже приведены тексты программ решения тестовых
примеров с помощью подпрограмм фортранного пакета, приведенного в гл. 6.
Оттестированы основные программы и модули пакета (кроме DGELG, SIMQ>
MFSD, MTDS, SINV и GDISC).
PROGRAM TEST1
EXTERNAL К
REAL M67) ,Х<67> ,Y<67> r DY F7> , 9 F7>
REAL A1,A2,XI,A3»F2X#fZ
INTEGER LIER
A1sCOSC1 .)
о 00 1 1*1,67
IF(I.LE.13>XI=.1*FL0AT(I-1)
IF(I.GT.13.AND.I.LE.27)XI=1,2*.05*FlO«TiI-13>
IF<I.GT.27.AND.I.LE.A7>XI=1.9*.02*FLOAT(I-27)
A3=EXP<2.*XI)
1 F<I> = A .-XI*A3>*A1-A3*A2
F2X=F2<1 .6.2.2, .8,1 .3,1 .2)
PRXNT2,F2X
2 F0RMATC15H TEST1 fZiX)=,E1Ь.7)
CALL V0LfS1(F,X,67,Kf1E-5,Y,DY,lER,D>
PRIHT 3,IER
3 FORHAT<1<»H V0LTS1 I?R=,H>
IF<IER.6T.0>G0 TO 9
PRINT <i,Y
4 F0RMATC15H SOLUTION Y(X)=/(8E15.7>)
PRINT 5,0Y
425
5 FORMATOOH ERRORS OF SOLUTION O?LTAY<X> */ <9б1 5 ,7> J
CALL YDY<FrX,D,67,K,1,Y»DY>
PRINT 6
4> FORMAT<4H YDY)
PRINT 7,Y
7 F0RMATCH Y=/<8E15.7>)
PRINT 8,DY
8 FQRMATC4.H DYs/<8E15.7)>
9 STOP
END
REAL FUNCTION K(X,S>
REAL X,$
K = 1,-(X-S)*EXP<2.*/>
RETURN
END
PROGRAM TEST2
EXTERNAL К
REAL F<71),X<71>,Y<71>,DY<71>,C<71*
INTEGER I,IER
DO 1 1 = 1 r71
X<I>r.e5*FLOAT<I-1)
CALL VOLTF1<F,X,71r Kr1Ё-15*Y,DY,IER,C)
PRINT 2,IER
Z FORMAT<21H TEST2CVOLTF1) IER=fHr
IF<IER,GT,0)GO TO 5
PRINT 3,Y
3 FORMAT<15H SOLUTION Y(X)=/(8E15,7)?
PRINT 4,DY
4 FORMATO0H ERRORS OF SOLUTION P?LTAY (X> */ <6?1 5 . 7) I
5 STOP f
END
REAL FUNCTION K<X,S)
REAL X,S
K=2.*X**2-S**2
RETURN
END
PROGRAM TESTS
EXTERNAL K,COS
REAL F<37),X<37)#Y<37>#0YC7)^<1443>,R<37>
REAL РгРЬН,ХЬА1
INTEGER N,I,IER
COMMON /MULT/ P
Pl = 3,14159265.359
N=37
M = 2,*
DO 1 1=1.N
XI=-PI*H*FLOAT<I-1>
X<I)rXI
A1=128;/17.*COSB.*XI>
CALL FREST1(F,X,N,К,COS,Y#DY«ZER*A>
PRINT 2,IER
Z F0RMAT<6H TEST3/14H FREST1 IER=fI1>
IF<IER.GT.O)GO TO 6
PRINT 3/<Y(IH1=1#N>
3 FORMATC15H SOLUTION Y<X>*/<8E15.7))
PRINT 4# <OY(I)rI = 1#N>
4 FORMAT<35H ERRORS OF SOLUTION AflSCOeLTAY<X>)*/
* <8E15,7>>
CALL REM(Y^X#N,KrR)
PRINT S,<R<I)»Zs1,N>
5 FORMAT<32H REM REMAINDERS OF QUA0RATURE*/<8E15 .7) >.
6 STOP
END
REAL FUNCTION K<X,S>
REAL XtS,P
COMMON /MULT/ P.
1*
RETURN
ENO
426
PROGRAM TEST4
EXTERNAL KERNEL,G3
REAL F<37>,X<37).Y<37),DYC37),PX,H, LAMBDA , P ,, XI, YT
INTEGER I,IER
DOUBLE PRECISION A<1443>
REAL A1 П50&)
COMMON /MULT/ P
PI=3 .141 59265359
HsPI/18.
LAMBOAsiE2
P=LAMBDA*.3/PI
DO 1 1*1,37
XI = -PH-H*FLOAT< 1-1 >
X(X>sXI
YTaS.5*128./17.*COSB.*XI>
1 F(I)=G3<XI)*YT-LAMBDA*CYT-25.*16,*SIN(XI)**2>>
CALL FRE$T2<F,X,37,KERNEL,G3,Y,DY/IERrA)
PRINT 2,IER
2 F0RMAT<6H TEST4/14H FREST2 IERar|1>
IF<1ER.GT.0)STOP
PRINT 3,<YA),1=1,37)
3 FORHAT<15H SOLUTION Y<X)=/(8E15.7))
PRINT Ц, <DY<I),1=1,37)
4 FORMATC35H ERRORS OF SOLUTION ABS(DELTAY(X)>=/
* <8E15.7))
CALL FRESTi<F,X,37,KERNEL,63fY,DY,IERfA1>
PRINT 5
5 F0RMAT<7H FREST1)
PRINT 3, <Y(I) ,1 = 1 ,37)
PRINT Ц, <DY<I),1=1,37)
STOP
END
REAL FUNCTION KERNEL<X,S)
REAL X,S#P "
COMMON /MULT/ P
RETURN
END
REAL FUNCTION G3<X)
REAL X
G3 = 1E-6*C0S <X)
RETURN
ENO
PROGRAM TESTS
EXTERNAL KERN,G2
REAL FC11 ,7) ,X1 A1 > ,X2<7) #Y<11/ 7>
REAL ALPHA,X1I«X2J,A1,A2
INTEGER I,J,IER
COMMON /MULT/ ALPHA
ALPHA=.1
DO 1 1 = 1 ,11
1 X1<I>s-2.*1,*FLOAT<I-1)
DO 2 J=1,7
2 X2<J)=-1.*1.*FLOAT(J-1>
00 3 1 = 1 , 1 1
X1I=X1<I>
A1=50.-(X11-3 . >**2
<X1I+2.)**3)-.25*X1I**2*1.5*X1I-6.)
DO 3 J=1,?
Y(I,J)=A1-2.*(X2J-2.)**2
* <.625/9.*(<5,-X2J)**3*<X2j*1.)**3>-
.18*X2J**24>.72*X2J-1.692>-214O.«ALPHA
3 "CONTINUE
CALL FREST3<F,X1,11,X2,7,KERN,G2#
* Y,IER, A)
PRINT <»,IER
4 FORMAT<21H TEST5 (FREST3) IER=,I1)
XF(IER.EQ,C)PRINT 5,Y
5 FORMAT<19H SOLUTION Y<X1,X2)*/<11F9.3))
STOP
427
REAL FUNCTION KERN<X1,S1,X2,S2)
REAL X1,S1,X2,S2,ALPHA
COMMON /MULT/ ALPHA
KERN--ALPHA*<1 .-.5E~3*<<X1-S1>**2
**<7.+X1)+<X2-S2)«*2*<8.+X2>)>
RETURN
END
REAL FUNCTION G2(X1,X2)
REAL X1,X2
G2=1 ,
RETURN
END
DATA F /
0138, .0317,
2641, .34 90,
PROGRAM TEST6
EXTERNAL NUCL,OUT1, OUT2»KERNEL,OUT
REAL NUCL,KERNEL,RHO,DISC,NORML2,NORMC^
RATEL2,RATEC,SIGMA,DOMEGA,CDISC,LAMBDA
REAL F<29>,X<29),S<11>,YT<11>,YK11>,P<29>,
R<11>,Z<29,11>,G<66),FF<11>,CKB2>,Y<11>r
A<66),YD<1.1>,BN<30),Y0<11>,8<11,2?>,
KXC33)#U<116),GAW<29>. HAW<29>,RAD9),
RES7G),RES4<4),RES6<6),F1<29>,F2<29>
0 539, .0863, .1338, ,1873,
4367,.5220,,
.7417, ,7805, .7993,
.6208,.5331,.4312,
.1327,.0986,.0632,
REAL V,ALPHA1,THETA,ALPHAM,T,ALPHA»R0,D,NL2,NC?
RLa#RC,SIG,HW,Q1,Q2,IC,IS,CD# LAM
INTEGFR I,J,IER1,IER2,IER3,IER,I1#I2,I3,I4
LOGICAL OUT1,OUT2,OUT,E1,E2,E3,E4tQAT,CHD,?
COMMON /MULT/ V /DIV/ ALPHAItT
V=SQRT<4./3.14159265359)
ALPHA1=1E-2
THETA=1E-1
ALPHAMsiE-16
T=ALOG<THETA)
.6180, .6874#
.7835,.7445,.6814,
.3446, .2708, .1868,
.0317, .0242/
DO 1 1=1,29
,2*FLOAT<J-1>
-S<J)**2)**2
DO 2 J=1,11
S(J)=-1.
YT<J)=A
Y1<J)=0 .
PRINT 13
CALL XNI(X,29,2,IER1 )
CALL XNI(X,1,2,IER2)
CALL XNI<YT,11,?,IER3)
PRINT 14-» IE"R1 , IER2, IER3
E1=qATA.,ALPHAi,THETA,ALPHAM>
E2 = QAT@,,ALPHA 1,THETA.ALPHAM>
E3=QAT<-1.,ALPHA1,THETA,ALPHAM>
E4=QAT<1.,ALPHA1.THETA,!E-1)
PRINT 15» E1 ,E2,E.3,E4
<-1.4#0. ,1 .4)
E3=CHD<-1.4».1.-Л .39>
E4sCHD<2.#-.1,1.4)
PRINT 16,E1,E2,ЕЗ,Е4
CALL C0EF<X,29,P)
PRINT 17,P
tALL COEF(S,11,R)
PRINT 46,R
CALL ZGF<F,X.P,29,S,R,11,NUCL#Z,G,FO
^PRINT 18
PRINT 3,<<Z<X,J),J = 1#11 с5>#1 = 1#29#14)
3 F0RMATC8E15.7)
PRINT 19,G
PRINT 20,FF
CALL CKK(S,R,11,1.,CK)
CK<12>=0.
PRINT 21
PRINT 22,CK
423
4» FORMAT<10H SOU €s,l!>
PRINT 23,Y
R0SRHOCR,11 )
I1=INNUM<4.9>
I2=INNUM<5. >
I3=INNUM<-4,9)
I4=INNUM<-5. >
D=DISC<F,P,29,Y, 11 , Z>
NL2=NORML2<Y,R,11>
NC=NORMC<Y, 11 >
RL2=RATEL2<Y,YT,R,11>
RC=RATEC<Y,YT,11>
PRINT 5,R0,I1,I2.I3,I4,D,NL2,NC,RI2,RC
5 F0RMAT<4H R0=,F7.4,4H I1=,I1,4H I2=,I1*
* 4H I3=,I2,4H I4=,I2,3H D=,E13.7/
* 5H NL2*,F7,4,4H NC=,F7.4,
* 5H RL2=,F7.4,4H RC=,F7.4>
PRINT 24
CALL TIKH1<F,X,29,S,11,NUCL,
* .5E-2,1E-2»1.#AlPHA1.THETA#ALPHAM»
* OUT1,0UT2,RES7,Y0,IER,
* PfRfZ,Q,FF(CK.A» EN)
PRINT 25,IER
IF(IER.GT.0)GO TO 8
PRINT 6,RES7
6 F0RMATC8H RESULT=/(8E15.7)>
PRINT 26,YD
PRINT 27
CALL TIKK2<F,X,29,YT,S,11,NU€l,
* 1.,ALPHA1,THETA,ALPHAM.
* OUT1,OUT2,OUT2,RES7,Y0,I?R,
* P,R#Z,G,FF,CK»A>
PRINT 6,RES7
PRINT 28rY0
CALL TIKH3<F,X,E9,S,11,NUCL#1.,ALPHAr
* RES4,Y,IER»
* P,R,Z,G,FF,CK>
PRINT 29
PRINT 7,RES4,Y
7 F0RMATC8H RESULT=/<4E15.7)/15H.SOLUTION Y<S>=/<$E1S.7>>
Ь CALL TIKH4<X,29,S,11,NUCL»1.#ALPHA»
* B,IER,P,R,CK,A)
PRINT 30, IER
IF(IER.&T,0)GO TO 9
PRINT 31
PRINT 3, <(B(J,I).I = 1,29,1O,J^,H,5>
CALL TIKH5<F,X,29,S,11,NUCL,AL?H«tBt
* RES4,Y,IER,
* P,R,2 1
PRINT 32
PRINT ? , RES4. , Y
9 CONTINUE
SIGsSIGMAC.5,2>
HW=OOMEGA(X,29,28)
CALL Q12C05,Q1,Q2>
DO 10 1=1,33
10 KX<I> = KERNEL(-1.6*.1*FLOAT<I-1 ) )
CALL INF<KX,KX/-1.6,.1,1,6,HW,IC,IS)
PRINT 11,SIG,HW,Q1,Q2,1С,IS
11 F0RMAT<7H SIGMA=.E13.7,8H OOMEGA=,E13.7/
* 10H Q12 Q1=,E13.7,4H Q2=,E13.7/
* 10H INF ICr,E13.7,4H IS=,E13.7>
CALL UVLFCF,X,29,KERNEL.-1.6,.1,1.6,HW,29,U,KX)
PRINT 33.U
CD=CD!SCA.,ALPNA,HW,29,U<59>,U<88>>
PRINT 34,CO
CALL S0L2(U,HW,29,2,1 ., ALPHA,S,11,Y,GAW,HAW)
PRINT 35,Y
PRINT 36
CALL CONV1(F,X,29,S,11,KERNEL,-1.6,.1,1.6,2 8,28,
* 2,.5E-2,1E-2,1.,ALPHA1,THETA,ALPHAM,
* OUT1,OUT2,RES7,YD,IER,
* P,R,U,6AW,HAW,KX,BNJ
PRINT 25,IER
PRINT 6,RES7
PRINT 26,Yp
PRINT 37
CALL CONV2<F,X,29,YT,S., 11,KERNEL#-1.6,.1r1.6r
429
« 28,28,2,1 ,,ALPHA1,THETA,AL.PHAM#
* 0UT1,OUT2,OUT2,RES7,Y0,IER,
* P, R, U»GAW,HAW,KX>
PRINT 25»IER
PRINT 6,RFS7
PRINT 28,Y0
CALL CONV3(F,X,29,S,11,KERNEL,-1,6,,1.1.6,
* 28,28,2,1.,ALPHA,
* RE$4,Y,IER,
* P,R,U#GAW,HAW,KX>
PRINT 38,IER
PRINT 7,RES4,Y
CALL C0NV4(-1 .4, .1 ,1..4,-1 . f .2,1 . ,KERNEL,-1 ,6, ,1#1 .6^
* 28,28,2,1.,ALPHA,
* RA,IER, . '•*
* KX,F1,F2>
PRINT 39,IER,RA
CALL CONV5<F,-1 .4., .Ы .4»-1 .» .2И.rKERNEL*
* -1.6,.1,1.6,28,28,1.,ALPHA,RA»
* RES4,Y,IER,
* X#S,P,R,U,KX)
PRINT 40,I?R
PRINT 7,RESA,Y
CALL ZGF<F,X,P,29,S,R,11,NUCL,Z,G,FF>
LAM=LAMB0AF, 11 )
PRINT 12>LAM
12 F0RMATC8H LAMBDA=,F7.41
CALL S0L3<G,FF,Y1,11,.5/LAM,Y)
PRINT 41,V
PRINT 42
CALL FRIED1<F,X,29,S,11,NUCL/
* .5E-2,1E-2,.5,1000,
* OUT,OUT,RES7,YD,IER
* P,R,*,G,FF,Y.Y1>
PRINT 25,IER
PRINT 6,RES7
PRINT 43,YD
PRINT 44
CALL FRIED2(F,X,29'YT,S,11.riUCL;,5«^000#
)* 0UT,0UT.0UT,RES6,Y0.IER,
* P,R,Z,G,FF,Y,Y1>
PRINT 25,IER
PRINT 6,RES6
PRINT 45,Y0
13 F0RMATFH TEST6>
14 FORMATA2H XNI IER1=,I1,6H IER2s,I1,6H IER3s,I1)
1.5 FORMAT<10H QAT E1*,L5,4H E2r,L5.4H E3s,L5,/»H E4=
,16 FORMATM0H CHD E1 = #L5,4H E2=,L5,4H E3=#L5,4M E4=
17 FORMATC5H COEF/3H P=/A1F9.3>)
18 FORMAT(^H 2&F/3H Z«)
19 F0RMATCH G»/(8E15.7>)
20 F0RMATDH FF = / ( 8E15.7>t
^1 FORMATC4H CKK>
22 FORMATDH CK = / A1F9.3)>
2Ъ FORMATCH Y=/(8E157>>
Zk F0RMATFM TIKH1>
25 F0RMATEH IER=,I1)
26 F0RMAT<21H SOLUTION- YALPHAO(S>s/^BE1$.7)S
27 F0RMATFH TIKH2)
.28 FORMATC21H SOLUTION YALPHA0(S)s/^8?\[5,7^)
29 F0RMATFH TIKH3)
30 FORMATA3H TIKH4 IER=,I1>
31 FORMATA0H MATRIX 8=)
32 FORMATFH TIKH5)
33 FORMATA0H UVLF U=/(8E15,7M
34 FORMATGH СDISC=,E13.7>i
•35 FORMAT<10H S0L2 Y = /(8E15.7>>
36 F0RMATFH.COWV1)
37 F0RMATFH CONV2)
38 FORMATC13H C0NV3 IERs,I1>
39 F0RMATC13H C0NV4 IER*,I1/
* " 24H TOEPLITZ MATRIX RALPHAs/<8E1$,7)>
40 F0RMATC13H CONV5 IER=,I1)
41 FORMATC10H S0L3 Ys/(8E15.7)>
42 F0RMATGH FRIED1)
^3 F0RMATC17H SOLUTION YMD(S>s/(8E15.7>>
44 F0RMATC7H FRIED2)
430
А5 F0RMAT<17H SOLUTION YM0<$>*/СйП5.7>>
46 FQRMATOH R = /O1F9.3>>
47 FORMAT
END
REAL FUNCTION NUCKX,S>
REAL X,$,V
COMMON /MULT/ V
PETURN
END
REAL FUNCTION
REAL-X,V
COMMON /MULT/ V
RETURN
END
LOGICAL FUNCTION OUT1CA)
REAL А,В
BsA/1E3
0UT1sABS<A-1E-3).LE.B
¦ .0R.ABS<A-iE-7).LE.B
* ,OR,ABS<A-1E-14>.LE.B
RETURN
END
LOGICAL FUNCTION OUT2CA)
REAL A,ALPHA1,1
INTEGER К
COMMON /DIV/ ALPHA1,T
K=ALOG<A/ALPHA1> / T*.5
OUT2=ABS(FL0AT(K/a)-FL0AT(K>/2.).LE.1E-3
RETURN
END
LOGICAL FUNCTION OUT(M)
INTEGER M
OUT=M.EQ.1.OR.M,Eq,10.OR.M.EQ.10e.OR,M.E
«RETURN
END
Результаты тестирования. Результаты решения тестовых примеров,
оформленных в виде PROGRAM TEST1, PROGRAM TEST2, PROGRAM
TEST3, PROGRAM TEST4 и PROGRAM TEST5 и содержащих обращения
к подпрограммам VOLTS1, VOLTF1, FREST1, FREST2 и FREST3, приведе-
приведены частично в табл. 6, 27, 30, 31, 33—34 соответственно, а полностью —
ниже, где приведены также результаты решения тестового примера, оформ-
оформленного в виде PROGRAM TEST6. Вычисления выполнены на ЭВМ БЭСМ-6
и на ЕС-1040 (а также ЕС-1033, -1055 и -1060, дающих, как известно, оди-
одинаковые результаты с ЕС-1040).
При этом счетное время решения на БЭСМ-6 от оператора (включая):
V = SQRT D./3.14159265359) до оператора (исключая): SIG = SIGMA (.5,2)
равно
А^х = 14 с, G.3)
а аналогичное время от оператора (включая): SIG = SIGMA (.5,2) до опера-
оператора (исключая): STOP равно
М2 = 100 с. G.4)
431
Тесты фортранного пакета на БЭСМ-6
1О«-4~-««-4*-4ГЧ«-4 <М*-4~4^4ОО*-4О ОО»«4«^4«еМ^4 МННИООНО
• ооооооо оооооооо оооооооо оооооооо
4- ¦ ¦ 4- ¦ ¦ 4- I I • I ¦ ¦ • ¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦ I t I I 4» ¦ I 4»
О И (М N № <М О Н N IM N К\ Н Ч)№ (О OHNNOk(\t (8 HNIMIV^H^O1
\ ^^ С^ tf\ МЭ ^^ V4 v*4 СО С?^ ^0 СО **4 ^^J ^0 ^^ СЭ ^^Л С^ У^\ ^© ^ш9 f^\ «^"^ CO ^J^ ^D ^O •"$ P^i ^D t^^
\ 1^* ^9^ ^^ с^э О^ ^О i^^ ^Н1 ^О ^^* ^^\ "^ СО ^45 СЭ 1^\ 1^^ 0^ ^М СЭ С^^ СО ^f\ t**4 ^0 ^** ^^ *
(М ON CO N^NOHMr\N @4K\NMON СО Гд П N О И К Ш I
<7«М4(ГМПН» |Л<-4^<4-<МСМчО<« 4-ЮСа*1Г»>Пн О- СЛ^-гГ^СМСМЮ-Г
III III III III
OOHHHHN^ СЧ«-4»-4<~4ОСЭ*'4О OO^4»-««>4*4CVW Л1»-«»-4г4ОО«-»О
сзосэооооо сэооооооо оооооооо сэооосэооо
¦ ¦¦¦¦¦4>^ I I I I ¦ ¦ I ¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦ I I I I ¦ ¦ I ¦
CO О KV C\i «f% <M CM CO CD ON <f N ^. ^ •**
i i e
OOOOOO'OO ООСЭООООО ОСЭОООООО OOOOOOOi
¦ !¦¦¦¦¦¦ g i i i ¦ ¦ I 4 ¦•¦¦¦¦¦¦ i I I i ¦ ¦ I
N Ю 1Г.Л N » tn (Г. <МСМ^^К\«4-<>|Л
ГМСМ«-4^>СО<ОЧ>ГЛ >ОСМ>*-СМС01П(МвО
fO CM ^ CO f*t Г^ CM C^ УЛ О CD O^ CO K\ *G ^O
C0<C«0fM<rar\O>4 ЧЗСМ-4(ЛС^СОСО«
I II I III
ОООООООО СЭООООООО ОООООООО ООООООО
¦ ¦¦¦¦¦4-4- I I I I » ¦ I 4 ¦¦¦¦¦¦¦¦ I I I » « ¦ I
со •
СЭ fi^- СЭ СО f^^ О^ О^ Мд ^ f^ 40 tft Ci v4 Г^ С^ О ^^ СЭ С0^^ ^^ ^К ^О »^ ^* ^О Я?^ СЭ «^4 Р** ^Х
^4 f*^\ сэ ^^ v4 сэ 4м cv^ t^^ га ^э t^^ ^у^ га ^с) ^^ ^^ 9^ч сэ »^ 4^4 сэ ^а ^^ ^С7 см чо ^сэ с^к га ^с) с^
И О4Л (|\«rt ио и О О} •** Ч> *- О • 4 «-4 »-«СМ«Л«Л«Л«-«О»-| О (М ^ <О N »ИН
ооооооо ооооооосэ осэосэоооо оооосэооо
¦ ¦¦¦¦¦¦ • I е 4- I ¦ ¦ ¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦ lit. ¦ I ¦ ¦ ¦
СО С^ 9*\ СО С^ ^О О^ ^ f*"\ f^> tt*\ ^4 С^ С^ СО IO вО ^| 1^4 СО^ ^О ^К 4Jt Ю F** tf4 ^< С^ CV СО Ю
CD СЭ €^ *О О^ СЭ *& С%| чф QK ^** ^Э О^ СЭ +*$ О^ ^^ CD €\i ^О (^ СЭ <^ (^ sf О^ ^- 4D ^К СЭ «^ С^
"^ГЧ1С^С01^0»-ц^ (Л О\ ЦЛ О К^ <Х »^ *© ^* СМ ^| СОГЛ О #-¦ CN/ f^ О* V> О 1^ С^ «-* ^С
§••11 I I ' I I I I I I I I I I I I I
«HI СЭ *^ w4 ^Ч ^Ч ^Н1 ^^ ^4 К% ^^ **Л СЭ *Н СЭ СЭ СУ СЭ *~* СЭ +4 ^4 V4 ^4 ^Ц {^ гЧ |^ ^J #<4 ^Э <^Ц СЭ СЭ СЭ СЭ
ооооооооо ооооооооо ооооооооо ооооооооо
!¦¦¦¦¦¦+¦ I I I ¦ I ¦ ¦ ¦ ¦ !¦¦¦¦¦¦¦¦ II !¦!¦¦¦¦
\ р*. f\ СК tf\ f^ О^ ^4 СО COCO ^ V\ ^О О^ ^^ ^N СМ КЧ ^> f\ O^ tf"\ КЧ О4- ^-4 СО СО СО ^*-
> СО СО СО (О Р*Ч ^О Т*\ УГ\ »-4 *Н СМ СЭ t* ^О <^4 чО *"*4 ^О GD CO GO CO 1
> «-Ц Г*». +& «м| tf*\ СО ЪГЛ СО ^^ <^4 tT\ K\ CM fM CM if\ О СЭ «-4 ^«- -^ * 1
I III II III
О S4>4>4>4>4>4>4>4>X4> |tlf4V4>4>4> !¦¦¦¦¦¦¦¦ ¦ I I I I ¦ ¦
I ^ V\ O4 ^- fO C^ К"\ ^> «^ *-* CD ^4 ^ IT\ ^*- CO CO CO CD ^* f^ ^b ^ f^\ C^ f^ *O "^ СЭ r f^ IT\ ^- CO CO C
1Л O<tK\ №N,OON««>OK\<tO»,NNinH О «» K\ Ift N ОЭ N O« OK\^oaf-<Mi
•-• OO4DC0O«0O4)(M«tC3r*-(MC0*t«M CO»» <C а О О COO <O О ОГЧ О N (M (О <Г rg CO v
II II О I I I I II II I I I I
Ю гм р (> о <О ^ <ОК\
« N OB О> Ц ОО (СО
OOII
432
_,_, ^ ^ -* ~» СМ Ы
00 О О О О О СЭ
1 I I I I I I I
СО О «ГЧ " И ф О Ш
oi*. о о «com n
«МЧ> О О О ^ IM N
оооооооо
f4- -J" >О СЭ О СМ СМ •""¦
ЧЭ К* ?> N О О ** •-¦
CD «ON «* СО NN Н
О -Н) О О
о о о о
о о о о
О Ч> «* ^ Ч> О СМ КЧ' (^ н tt tf\
Ч) О НИ о N 0 00 О «* ЧЭ Ч>
¦-4 <4" ИЛ 1Г\ 4 О> NN О СМ ?*Ч О>
СМ <О СМ СМ -*¦ Ч> О ¦*• 4 НГ^ «
N NHH О «Л N О О СМ Н О
<М И N N Ч> СО ~4 н Ч> МЛ СМ О
I I
00 О О О О О О О
1 I I I I I I I I
IOOOOOOOO
«*• ЮСК СОГу) N ^
H «(DHNNN
Н1Л СО СО СМ И CM Л N О О«
оо о о о о о о о
N^J « И СССМ —« —t СО
о о сэ о сэ сэ о
II I I II I
о
¦
см
о
<4"
О О
со со
* -ф
Is- N
о о
00 СО
оо
о о
о
*
см
мл
к»
*
о
583-
кч
о
со
о
о
1
см
о
m
сэ
о
~*
о
О Н
О СО
О
см
*^
о
1
о
сэ
t
со
СО
О
СМ
о
1
см
• см
о
СО
1
о
• t
см •¦•
со со
О «¦*
•-4 |*\
CM Kk
N СМ
«4 СО
о о
f I
«-4«-4ОЧЗ И О (Л <О Ч>Ч>О*?
tf\W^T»H) ИЛ •-« <М *-* 4JNNN-
СМСММЭСМ МЮ NH NN (О Л
О О СМ КЧ ^СОСМ«» К\ О Ю -•
NNHCM NHCON-
СОН НЧ
зо ооооооо ооооооооо
»о сэ о сэ о о о о о о о
•* tiiti I I I I I
О О СО Ч> nJ- О N СМ О О Ч> —4 О О «П
сзкчсмсмо см о со см см i*4co<r«ot*v
СЭ О О О СЭ OOOOOOI
О Ч) <> чзаОЮ^
(Л 00 М О CD (ОО> <
ШСМСМЮСМОООО ЙООК\О«К\нК\
о о к\ см кч кхосмсо^ irvotosro
Nhnenv от толо vn о о in ил
СЭО ООООООО
I I I I I I I I I
ОО ^" РЛ »Н N РЛ О О
II II I
I •
-4" О
N4>OON ННОЧ1Ф СО СМ 00 «Ю МЛ
>о -* см -а- о -* «о «л» о mmocMO
осэ ооооооопооооооаоо
I I I I I I I I I X + I I I I I I I I
ооооо«х о о о о о ГЭ ооооо
^ I ^ 4. ^ »- | I || , н | , | , |
ОО 1
СЗГ4-
1ЛС0 1Л rt«t- Ю 00
i ii til
~ ooaoo-JoooooO ooooo
О 2 КМЛГ
> о шчл
w ^-. OO
О «О О ЧЭ U. О»Г\Г«-О ^-^ Г»ОСМК\Ч>
ш ОС О
»- U- <•>
28 5-1018
433
О ~4 О О
О О О СЭ
4 4 4 4
f». is. f^ КЧ
О .-4 |>» >*"
оо о о
4 111
m и о о
\л и<п оо
-400 о о
|Л(М«\ О
Л но «О
СК СМ СМ \П
О —• ОО
кл
со
см
кч
1Л
43
см
«3 О
О|Щ
fw 43 СОСЭ
о ео «нем
о см нкп
КЧ СМ 43 <М"
о
сэ
4
¦4"
СМ
•-4
43
к>
г^-
•4-
о
о
4
Г*-
<4"
43
Ш
1*\
О
О
о
4
43
о>
43
Г*
о
О
СЭ
4
«-4
,_|
43
СМ
43
О
СО СО
о
о
о
4"
СО
о
о
4>
О
1 «Н
О
и
о
4
О
КЧ
Н
»л
43
СМ
1 СМ
о
сэ
4
43
m
*^\
г*.
m
кч
»¦».
>*•
о
о
4
Н
О
г*.
со
On
СМ
fs.
см
О -4 -4
о о еэ
4 1 t
00 КЧ СО
о- «-* «^
СМ Г»- 43
ct- о m
43 Г^ СО
43 «Л СЭ
or»- со
см см см
«-4 СМ «-4
о о сэ
1 1 1
43 «4-СО
кч со см
СМ <4-сО
ион
1Л 4Н
г-4 «4 СМ
о
о
4
m
о\ '
см
о
о
со
И
см
о
о
4
(^
о
о
о
о
m
н
о
о
4
«Hi
<г
43
•-4
43
кч
«*
о
о
+
»п
о
см
<г
о
•и
о
о
+
СО
о
о
t^\
о
со
о
о
о
+
о
о
1*.
in
«-«
о
ОО
О О
4 ¦
О<-4
г^ кч
43 КЧ
смр*.
43 (П
OKI
eoi»»
о>«-
•HI СЭ
ОО
4 4-
•чса
СО Н
О rw
4ЭЮ
«мгм
СМ!»-
Н»М
о н
сэ о
4 1
со •-«
is. «Л
о г^-
\П О
Гч. 43
43 1П
СЭ I4-
см см
Н СМ
сэ о
1 I
•-« 1*-
о -.t
Ы о
О fs-
m «н
r^ in
КЧ <Г
но
оо
1 4
Ov«3
СО'4-
КЧ 43
—«сэ
о со
CD и
лаем
но
оо
1 4
<г о
СО 43
то
4> —
то
кчигч
И-
см»*-
<M rv КЧ CM -4 CO
«ri «r» «n it\ \e\ •&
<<J 43 CM -** CM 43 M3
И (МЛЛ КЧ CM •-•
О О* O^ О I»- ХГ\ -•
V4 If4 W4 V4 V\ W4 V4
ОО«Н)О<-4 О г-4 ГМ О О
сэ о о о сэ о о о о о
НОН О «-• СМО О
О О О О СЭ ОО СЭ
N «1 О Н Л
СО 1^ -Г -4- 43
см со т
г^ «*«л
см
о
tf4
СМ
кч
см
о
СО
со
.737
КЧ О
«мгм
«3
о
43
13594
5617-
оо
** н
-4Г*-
КЧО
4ЭО
О
о
о
сэ о о ооооо
«Н1П •*¦ СЭ О
Г»-СМ1ЛСМ-«
ЧООШО
О О Оо О
44414
о <г см*- о
«TV 00 -ЛГ\ »Л
*М О tf\ (f4 О*
Г*-»*» •*¦ 0-41*%
ООООО
44144
о оо очл г*.
см
сэ
см
о
т
о
^-
о
т
о
о
сэ
»л о
сэ о
со
о
о
о
ГМ
сэ
ГМ
о
vn»n m
Оо СЭ
о
сэ
^\
еэ
t*\O О
оо о
г- ео кч кч 43 но кч см «»
^Э ^ КЧ Н П» N «*М 41 Ч>
КЧ «4 чГ О 43 СО -4-00 <»• «9~
к « ск ^ ^ >»к\ткч«»
43 СО СМ 43 43 Г»- -4-Г<- О f»
<М N О N N K>N N СМ О
^ ^ <О «Г 4 4ЭСМО КЧ СМ
кч
О
о
»п
о
и
<4-
«п
о
со
т
т
о
о
о
f\
X
о«х
43w
СМ СО
о
сэ
кч
см
о
00
43
о о
кч **
т т
<э кч
сэ
см
со
О
т
-4-
т
о
СО
ОО
О О
О \Г\ О
кч
1ПКЧ
о
со
<3
ГМ
X
<е
ш
о
»—
о
о
т
кч
сэ
СО
о
сэ
43
икч
оо
оса
о*
CMfi
о
о
кч
ил
о
ы
о
О И
II л о о о о сэ-J о о о о сэ ^»
ОГХ4444 4О++ II 4 Х
см кч к\ -» кч кч см
о кч -» оо ^ «о о
»$• -^ «Л" К"» СМ О 4Э
о чэ о ч> >о tn и%
ео во •* « 4 «<О
см кч ч» -*• ¦* кч см
Н И Г» О\ ^ -» Н
1Л -» ^ -4- >f ^ КЧ
СМ Ч> О О 43 «-• CN»
о о с* о г^ ш н
см см со сэ со см см
И)П « О« О СМ
о сэ о сэ со 43 *М"
Г*, fw |^ ^ 43 43 4>
КЧ I4- ОО СМ СО СМ »*
О О О О 00 43 ГМ
N N N N \О 4L)
СО 00 •* 43 -4- 00 СО
см кч •* ¦>¦ -* кч см
Ю КЧ ОЧ «-Н О КЧ КЧ
CNJ КЧ КЧ >t КЧ КЧ СМ
О О О .J О О ОО О *->Н434ЭСМ-4СМ4343
4++О 44 114 КЧХНСМКЧКЧКЧСМ-»
о о «-«оч <г со m кчо *»
•-4 t<\ O4> «* 43 %ГЧ <>1*У О
r^ «Oon оео мот
43 СЭ СМвО 43 Is- "Л НО Is-
43 ГМ
v* ;>
Ч> СО
3 43 4>
со ек кч во
.о • •
Оч ОС КЧ >*
ас
434
-i «м <v ri rv «л х\Ы
о oq о а о о о
•* О© |Л ^ N NOv
•* Ч)СО Л <О О N4"
Л И(МЛ Ю СО ОН
n- о ч>о о чэ т ы
О ОО О О ООО
I I I I » I It
СО КЛ О >* °О «Л N- СО
«4-N-tOCO «-• N (М ^
оосмк*»-* «n m о
<О N \0О (О )Л Ш«
СМ (П С\ О N-O —«СМ
со ш н н о m moo
о о о о о о о о
»-» Г* К> О (О С (О N
1ГЛ ОГ- 00 -¦ «О СО О
•4* К\ СО N. "О /Л СО О
о оо о о о
о о
о о
на О н
a> sn о «н «л ао о
ео 00 m К* со •* N- о
о о
о о
о о
см о! —4 *-*
о о о о
О О О О
НОФ « О О 00 |Л
CVOON- N СО ON
о4 «л »«л m ил см ил оо
¦4-sOr-OON-Or-
N f» 4" 1Л tf> ¦* N- ЯГ
II II
w-i •-» •-« СМ
ооо
ооо
I I I I
I
О О -
N н ш о о «-» oJo
ил On ocsN-oca
•-«ОеОГЛЮ ООЧ>КЛ
00 •-•irvN' N- «ГЛ»*\сО
inCNl—»^--4 -4^иЛ
гч m
in гм
со см
О СМ
чэ оо
аз 4-
ооооооосо оо
I I I I I I I I I | |
1
I I
,-«.-«« Г\»
ОСО О <О Ф N\ Ш О00
ГО О И Of
« #»n гн r^ N HN N Осэ
ИНН
CsJfMCM
н НИ ГМ
ооооооооо
I I I I I I I I I
сэ
I
о
1
о
еэ
CD
«~*
сэ
о
о
v\
оо
I t
м\
II
1—
II
о
о
CD
о
сэ
о
<
х
о_
J
СМ
о
1
»-t
о
1
сэ
сэ
о
сэ
<.
X
о.
илоч>-^>*смосэосо<»
K\oo4>-4-4toocococM оо>>
и *-i сэ сэ о
о oiu mo о «
и- ооо
и. ил ЧЛ
Z <1 О
X <3 О О
ИОН
О j
(С 2
2Ь*
435
w
1П r-i »s. «н
r-Ч СО «-«
о
г»
СО
II
ш
ы
сэ
о
¦00
00
00
00
1
II
н-
OJ
о
сэ
сэ
сэ
>2566
и
»ч
о
¦00
Я568
i
и
ш
о
о
о
о
'6918
и
314-0!
¦00
2137
•4"
о
16299
i
и и
UJ
О
е>
сэ
rsl
086-0!
сэ
о
OJ
1
•1
UJ
о
1Э
о
см
сэ
к>
II
гч|
О
¦00
&¦
II
ш
о
о
о
см
о
1577
и
rsl
о
о
с
о
t
II
UJ
о
1Э
о
см
о
43
II
г>1
о
сэ
о
1
II
ш
о
о
сэ сэ
00 1*-
см
о
сэ
сэ
+
<М (М
>Г 00
II
398-0!
1
II
UJ
о
о
о
¦
г-
t I
о m
<м go
ч> ю
iv. <>
Ov V\
00 CM
II II
СМ
-J О
4- ¦ N О N © N СМГ^ Ю» Ш
«О <XJ 45 СО О
О О
Z 2
J096
о
•-«
см
II
см
-J
ас
о
Z
СМ
см
со
~4
m
ii
о
ас
о
о
49
ш
-4
О
!»«.
II
СМ
or
о
Z
о
см
00
о
**¦
и
о
N0R^
Ч) «О II II II II II II И П « И Н Н И И II II
ГО СО СМ О О
sr о см о о
ь- о »* сэ о
са со
о о
(О
14» «H ^»
СО
-<г
<F\
сч
45
Р\
-J
45
lf\
СО
гл
СК
со
¦sf
OS
о^
CM
с
1
а
о
сэосзсэоооооеэсэосзсэоо
сооо oaooooo a oooo
1
о
СО
Os
О
•-41/)
1
9-1
I4»
СМ
•-I
•3-
41
ITV
•ч
1
«А
сэ
ол
44
г-4
a: x
a. a.
х х
о. о.
О О
о о
а о
О О
I I
II II
X Г
a. tx.
CM" f\ *-
•-« сэ *tD
О О
I
ОС Н-
х ;э
р> (N |Л И II U И И || И || Н «I U И И II II И
2ГЛООХ <Х«Г 1<1<1<1<1<1<
OOCOCL ХО-ХО. XQ-XQ. XQ- XO.XQ.X
н- и >о < _1<с «j< j<x_j<t ^j <i_j < j < jt
ОС О О
I -I I 1
OZ н<О
II ОО (М4-
K\ un<o -a- -«h
сэ • • сэ о
i ^ ^i ^i ||
О «Л СЭ СЭ
СЭ w СЭ СЭ
о <С о о
о Г (\J н о о
Q J t I СЭ СЭ
О «<, О OS СЭ О
* > vf ^ • .
•-С О О •-* »-i
2 w 00
О OvN
П >-* 1Л CO II It
чэ о
сэ о
• I
о о
сэ о
о сэ
о сэ
о
о
сэ о
о
о
»- <C «Л
х :
а. i
-1 .
о <
о х.
о а.
а _|
о <
• >
«ч
Z.
о
и •-•
<»-
X Э
436
оч
«о
II 4 4 ¦ *
CM •-• f^. КЛ СЭ СЭ
00 >-4 «Н СМ Г*- К\
КЧ |Л <Х) 45 —« О
К\ s? Ш К\ ЧЭ ЧЭ
45 >О \О О *Л,<М
Ч> о о о гл >»
•^ 4Э ^-t «~* CV СМ
¦ *
Оч «*
~4 ЧЭ
45 -4 «Ч
гл см
КЛ 45
II II
см
II II
сэ
1
*-<
ЧЭ
о
,_«
СО
СО
о
•
гл
^,
о
1
CD
СМ
сэ
1
—1
m
сэ
«
1
r-i
сэ
1
о
сэ
сэ
о
О
кл
14.
•
см
о
1
сМ
4J
гл
.-4
о
1
ЧЭ
in
«л
гг
о
2
о
сэ
о
СО
1
II
X
о.
о
о
1
о
о
с
сэ
о
сэ
11
X
<
о
2Е
от
о
2
сэ
сэ
сэ
СО
1
II
X
о
сэ
1
сэ
сэ
сэ
о
о
сэ
II
X
<
_|'
ее
о
2
сэ
сэ
сэ
•
о
II
X
О
1
сэ
сэ
сэ
сэ
о
сз
II
X
<х
о
s.
or
О
2
сэ
сэ
сэ
•
о
,
II
«4
X
о
1
сэ
о
сэ
сэ
сэ
сэ
м
X
: <?
_J
2?
ОС
о
2
сэ
о
сэ
ГМ"
t
II
«с
X
1
сэ
о
сэ
о
сэ
о
II
X
«X
о
х.
ОТ
о
2
О
о
сэ
CV
1
и
<4
X
СЭ
—I
1
СЭ
сэ
о
сэ
о
о
II
X
<
сэ
сэ
еэ
I
и
X
сэ
1
сэ
о
о
сэ
сэ
сэ
и
<
о сэ
о о
4 4
чэ о
»* 4)
«-« ЧГ
f4- ^
in чэ
4) 00
* *
1 1
СЭ СЭ
о о
чэ со
гл о
<~ ы ъ
X О О
а. сэ сэ
-J 4 4
2.1Л СО
- 1ЛО
э . •
ЗЕ
сх:
о
2
О
сэ
сэ
•
1
II
ее
X
О
1
сэ
сэ
о
о
сэ
сэ
II
X
О
(Г
о
2
сз
сз
сэ
1
1!
X
1
сэ
о
сэ
сэ
а
о
II
X
•х
ОС
о
Z
еэ
сэ
сэ
ЧЭ
1
tl
<
X
о
_,
1
сэ
сэ
сз
сэ
о
ЗЕ
а:
о
2.
о
сэ
сэ
45
1
II
X
Q.
СЭ
1
О
сэ
сэ
1 О
сэ о
о
tl
X
сэ
II
X
«с <
к\
сз
1
ы
о
<м
•
сэ
1
сэ
о
см
. ^.
мл
о
<с
<t X
о о.
1 -1
сэ Z-
ОС VO
•-I
о
1
со
сэ
4Э
со
см
•
_,
сэ
1
ю
оч
•л-
о
1
•
см
о
1
сМ
см
во
^_,
•
»п
,_,
сэ
1
см*
с»
45
ЧЭ
^_»
"СЭ
1
сэ
ЧЭ
ГЛ
•X
m-i
СЭ
1
О
сэ
.-1
^н
^•
О
о
со
сэ
см
ГЛ
о
KV
сз
с
о
h- сч|
=э .
UJ
ас
.-< см
сэ сэ
1 1
—% «ч
во см
а см
ЧЭ <D
СО >»
СМ —*
*-* *-|
»*• ил
~4 ^
СЭ О
1 1
•-< см
О ЧЭ
чГ Ч>
. .
II "J" 1-«
« о о
«/) 1 1
«-< сэ
2 »П 45
<-» О> ГЛ
D • •
О
00
о
И
сс
X
г*
СМ
о
1
см
<г
см
1»-
см
45
СО
СМ
1
—4
О
1
4>
Оч
1*-
СО
к>
СО
»п
см
r-i •-«
о о
1 1
о о
II «-»•-•
to сэ о
к m »п
ее • • I
«-4
СЭ
1
О
сэ
,-t
ОЧ
ОЧ
со
ГЛ
о
1
(Ч.
см
ГЛ
ГЛ
»л
Оч
гл
о
о
сэ
*- см
=> •
си
ОС
о
1
—4
(О
о
45
со
см
,-t
^
о
1
гл
о\
И •4-
—• о
^ iL
2 «П
•- оч
э •
о
см
о
1
«-I
СМ
см
ев
>t
<н
,-t
•
о
1
СМ
о
45
г-1
сэ
а
гл
•
о
о
4
о.
О
см
*ч
,ц
II
сэ
UJ
о
•-I
о
1
см
1Л
ЧЭ
•-4
о
о
II
гл
о
1
о
см
1
Оч
—«
оч
см ш
гл
со
II
о
00
ил
Оч
00
о
ОЧ
II
1"
о
4Э
m
<о
4J
1Л
1Л
II II
о э
и.
437
С\|
,еоно ое^онн
I I I D • I I I « •
ОООО С€5-«О
II I I I I I I
«Л ГЛ Оч
-« ~« ~» О О О
I I I I I
t I I
о
I I I I I I t I I I I I I I I
DO
1
CM
о
¦
< <r
«X <t
«о о m
tf\ О -4
a.
«t
<M -4
«X
<c
о m
кч о
о
со
«X
-69
***
<\» >» CM
HN О СО N
II II II II И Н II «I II II II II
«С #>* « —^ «1 ^ <; -* «х ^> < ^
о ш К ш нш h ш h ш »- ш Ь-
¦ N Ш N ШЫШЫ UI Ы ШЫШ
ON
»л
¦*•
о
о
сэ о
о
о
о о
о
о
-05
о
о
о
о
о
о
о
э
о
о
о
NN ОШ4- « СО V\ O»N
в Л »НК Л О» О N N N
I I I I I I I I I I I I
о о
II
а о
II
еэо
II
«к\(мо«ч<о
ф О
О Г4-
0О0О
оооссоо»-«о»н»-чс:ссс:
i i i i i i i i i i i ч i t i
оо X оо X оо
is a. ii Q- ¦¦
ti
H ГСКЧ О (О О* О Ю СО О СМО
о </) сэ to |
о< сэ <
оа а о о а о о оа
«D СО 00 CD 00 <D
О С!> О О О О
0 CD СЭ «Н »Н
1 I I I I
О СЭ О О О
^™^ ^-* С-^ С* ^^
о о о о о
Сэ(/)||сэооосэсэсэсэсэос?а
Ow ОООООСЭОООООО
о «з: ооосэсэосэосэооо
н^н^нфн онл/
|
•!>» »г» о и и и ii ii и и н и и и и
2 н л <i <tx <с х «с х «г х <
O4)(MQ.IQ.ia.ia.lQ.IQ.Z
438
•-4 О ГМ О
О О ОО
О О «ч .*•
СО 1ГЧ О—•
«о о о о со
•-«••« |ч)см«-<«-« «-< «н о о *-t •* rg
М И И () ОО О О О О ОООООО О
*t«-<t*^ •» III! II+4 + + *
I- «» »~ «« «»•-» О Ч> -I •* СО OJ *% .-* <О СЧ <* СО ft *Ч OJ «О
UJ »- UJh ОО О»»- О К» "«О <Ч « О О> *¦ О <* f\ f\ О СМ
Г>1 Ш |Ч?Ш || ТГ»»Л I <* Ч> ЧГ* СМ | KV (О О 00 О _* + О*
О NQN н Ш «М СЧ УЛ О О Ч) О «О \Л СО О ОС Г- -« U4 <*
оеэ *» «) .-«с* *> л к> * о» оо к\ «н *л г» **- «о ~* ь»
«-»-»" О<© К\«О GQ О СО ->-N О ЫОО^^ЛчГ О tf>
оо <s»^ «vo -ч югхогм о v% cv о ю о со о^ г\
-J _i кч со •• со •••• ^ ••••«• ^ •
Г*^К> «-«.-» KV МЛ И н О^ <Oco'fVf1KlK» К\ О^
ч> о i^ о ч> **~ I*» г»- ^i-
О О ОО ...
1*1+ гЧ чО II И Ч> II II И II ,о II II II И II II КЛ II
гм<оако*| <>» см<м смгмса 1см
€* <€> **\*О -JO J О JO -JO-JO-JO «J
m-t^co »m-«cnj весе him а а « е имко: аас о; «м »ч ас
<оосо<» сэ о о оо оооооо оо.оооооо ооо
f^iriine. III 2 Z IIZ2ZZ llZZZ^^Z ¦¦Z
О -4 ОО О C\i О МО к\ О -* КЛ
••..»-. СО ЧГ вО'* К1КЧ |<-^
^«лвооемш»^ oof4- ^^^ о до
I } О» Ю»4- О О 0>0f*- О О ООО CNiV\ О о О О О ОО N 4 О
О и № оо о и о^ о о сэ а сэ <-1»-4 оо о о сэ сэ сэ ir\ -j- о
• I II II II -J" 0О«* О О О СО *& О О СЭСЭСЭ »-1Ю О О ОО О ОО *-«О О
<<^»«s*- sj o^«-« •• » с* —* ••• .. . >*см •• •• • • • о с\
|~~ «С »— е? • •• N N О ••>^'i-<J4jr*- . . СО СО OOIM СМ*» ..,$¦
Ш»-Ш>- »Ч?ЛЮ II I KNI^k II II I >*<М II гН^-4^ ^|^| ,Г t<> H
СШфШ | | | | | | |
во ю и и и и и и и и и и и и и и и и
-J-I о оо XX X оо XX XX X ооХХ XX X XX оо X
I II а. а. а. || о. а. а. а. о. ii.q.cl cl q_ а. а. о. 4-4 а.
•* Ч) ГМ Ш К\ *- w — 1Л l«\ w ^ ww»^ »\ о •* « «^^^w »^^ Г^СЭ ^
•-»•-< Ы СОСЬ ОО СЭ coOvOO CDOO чО СО О О ООО ОО ГМОО
I I ^1Г>^ _J _J -J 1Л О —i—1 -J_J _J O«KV —' -J —J _i -J _/ _» f*-CD _J
о сэ к\ 1Л « tr\ о r»iv. о о
О О «~4lkO<C «MC4J К< С 4) -J- •«*• >О\О Is- r-t СО СООО ОО f>/ <Ч/ J- Г"-Г\1 >¦¦
О СЭ ,*ч.» О О СЭ .«ОООгаО . . О О _4_4.~« ^«^_, ..^^
О О Н W ^ И II |^-ч^—( II || | ^ <J- ^ || || | | |^|V.^ |
сэ сэ оо w о о am сэсэсэсэсэьо I о о о сэ сэ сэсэ</>11 сэ
^ СЭ ОСЭ С} СЭ "О Ow СЭОСЭСЭСЭ^- О О СЭСЭСЭ О О ¦•-•• СЭ
СЭ О СЭО *Л СЭОСЭ<? ООООО^ ОСЭ СЭ СЭ СЭ ОО<С СЭ
• •.. И\ X. Ы г-4 О О СЭХ.СЧХ'-» О О ОО СЭХГЛ.-! О С О О О СЭ ОХ<М<М СЭ
И «* НО О а О О О О OCLOO О О О О 00.00 ОСЭ СЭО О СЭ 00.00 О
*"¦* «-4 | _1 | | ОО О J | I О О ОО О _J | | ОО ОСЭ О О О _1 ¦ ¦¦ О
I I сэ < со OJ оо о <?«о (V оо оо о 4 (М о осэ сэо а о о ее. о <о сэ
и и ии еэ>»ось •• »>оо •• •• • > (о о •• •• • • • > щ о« •
<С*^«ЯС^^ О COCA *4 0*л 0-t (О О» wi r-t f-i ^4 ,-4 ^С© ¦-»»-« я~4 0-* »-l *-4 t~4 И О «-<
X^X^OZ'J-'* Z ** -f Zmo 2.*н^Г
ОиХО-Х1|00»Л«0 OK\>0 OfVjeO 0>0o|
JQ. ja ь- о — ск >о ии н —• с^ *о пи ни и ~ гм \е\ пи ни и и и —. \с\ к» и
^С и шЬ щ^С _||дД СЭ ^J СЭ f"^ 1^\ ^У^ ^W ^в?» ^3L ^4> ^™* К^% (^^ ^С ^^ ^i 4^^ ^*f ^и» ^^ «^^ *ct ^*У ^t ^? ^С* *^С ^Х. w* O^ f*^ ^^C
•в 4 И Э «13 • •> XX X 3 • • XX XI ХЭ«* XX XX X X X Г> • • X
*т^ *** Q^ (^ *тЩ .J {^ |*Х ^ Л" ^L ^- —^ ^^ ^^ ^" ' ^* ^ Q- ft" —J ^" 1Л Л- О» О- О» f\ ^ ^|_ _J QQ ГЦ Щ^
О О UJ Ш О О -» -» -JO _J_l -J_J_JO| -J_J _l _J -J _I_JO" -J
439
О О ОООООО
• • •••••«
«О 00 «4- СО О О К (*Ч
О О Н«(Ч О» <О
«О ОЭ «-* С*» |П рЧ. «0 *4
|W fW Ш *4N О^Ш
о о н о ш м п (к
О О 4" 4 tf\(\|<V «
1^ К 1П КЧ О К О О
• • •••••»
• III
СМ « «-» М Н «4 И Н |f\
ОО О ОООООО
• • t I I I I I I
*» и- и- 4 m ontni<w
кч «о «о vn Ki а ез и «
нг m m in o(vn«n
ОО О « N <« К 3D ЧЭ
mm in **¦ к\ «~i о vn о
Ч)Ш К> О «¦ OONO
> «М Ш ,» «4 «О
О| О О СМ«-*0|о4СМ01 о
ОО О ОООООО О
• ¦ ¦ • I I I I I .
(ПСО CD К О Ш 4- U> « ^-
О «Л «П >О Ш 1Л О ее V. Л.
о. о о н о М4-ЛИ _Г
m со оо (чмел.рлг* — w
СМ
> О •* ч* Ш СМ
ОО О СО Ч» «-4 Г\ (*Ч (П
• • • ••••'»•
1Л*-< «4 ^ И О 1ЛЮ И
I I I
«#*^4 ¦»-• СМСМ«-4г4СМ1М
о» о о 'ооосэао
I I I I I I I I I
CV ^*- -* «4К Ч) «NH
о. ю <о о см m v\ см о
ШЧ> МЗ 4ift NNtft*
€>в^ *4 СМ -* ГЛ КЧ ^«М
»^-4 «4 Ч> СМ СМ (М СМ Ч)
^4О О »Л ^ <Г ^ ч^-^
м п кл ii
СЭ о О
¦ ¦ ¦
Ч> КО ^ »4 -» *4 fMCM«1fV«4CM,
О %* 1Л СО О 1Л 1Л 45
«ч ^ w л *w о»<
о о «?»оокччэ
О «-н О О» »П г*% СМ СМ
Мин «о ч> ^i о -i^otncs
CM III
о -«о
4 im n hhn
ООО ОООООО
iii ititii
1Л
(МЛ &Hin<t
0»CM04>«tO
O«-*C4jf4.ir\f4.
WOO
«п
к
см
о
ю
см
см
ч>
ш
к
о
•
со
43
кч
к
о
кч и
к «л
о
1
•>4
чэ
о
см
со
о
о
1
m
о
о
|*\
к
о
:-*¦
о
1
о
к
к
ч>
см
со
н\
о
«-4
Ч)
о
см
«0
о
о
1Л
о
о
к\
К-
о
о
I^i
со
гН
и m
«с о
X 43
-J •
о
к
о
СО
<г
»л
О1
о
о
о
кч
о
см
см
о
чэ
см
m
см
мл
чэ
о о
со К
СО о4
К ^4
•4 Ш
О -4
>» «4
^ ч\
о
I
о
к
ч>
см
«о
•
о
о
•«У
о
см
чэ
«п
•
о
ш
о
ч>
к
•
о
1
кч
о
о
•
о
о
m
t*\
vt
45
•
кч
о
кч
о
со
о
Ч)
«-4
о
ш
кч
t*\
о
•-4
о
о
43
tM
к
«А
СМ
к
о
«*•
<-(
*н
«о
сч
1-СОвО
•^ <ч»-ос л oecv> он оос(л -iv) ь. ил 2vi
440
4О 4O4 О ч* О
о о о о о о о о
»¦!•¦• I ¦ I ¦
N Ш « ON ЧГ О 43
© ео *ч "» *- «»ч N ил
ор^ч:о»лоу\о
ао ч> <v «Л чг •** а —*
о о NN см ч* >» чг
ч* <~4 о « «-« m и г\
»N <f 4«n -ИЛ <
II II II II И II
ЗЕ - X - 21 ^ :
htf b^t- «I >
uj V- u» I- iU »— I
N UiN Ш N Ы I
-lfw. ОСЭ ОО О OOO
О I I I ¦ I ¦ I ¦
4ОК>К\КЛ1Л(Ч«
NOOfOMOHCO 1ПСМ
vt
•H
О
1
о
CM
CM
ЧЭ
о
чэ
_
о
1
IA
чэ
N
со
45
чГ
«-«
о
1
о
нл
1*Л
см
ч»
о
1
43
IV.
N
ю
О
«Г\
О
см
и
s:
<t
см
чэ
СО
чэ
1
II
ь-
<г
о
см
II
2
•а
н-
UJ
О^ N
СО К\
см m
t
и и
~ S
Z <t
l_ ш
см
N
<»
1
II
<
ЧЭ
ЧГ
и
<
ш
чГ
СЭ
vt
1
II
<
OC UiCOUJCOLUOQ
CO «O >H
со о
I I
О N
СМ —•
О 4)
ч> см:
ил о
00 Ч>
•-»
о
1
N
sr
СМ
«о
N
см
гм
см
СЭ
1
СЭ
1ГЛ
о
о
чэ
*¦*
ил
о о
1 •
-4 СМ
«Н СО
см <м
N СМ
О «-1
СМ 00
чэ чэ
II II
О N
СО О
см
-J О
а: а:
О О
СО
СЭ
ч>
гл
ОЧ
—1
43
о
СЭ
о
о
о
о
^1 К\ О
О О 4}
СМ N
кх о
N ЧЭ
о о
I I
ЧЭ СО
О 4)
О »-* -ч .
—« см »-i
4Л О О
— I I
"S. irv со
:> >* r»
o гм см
«=» z« cv-
•н о ао -Ч
*- <r см
-* СМ —t
(Л СЭОгЧО СЭ СЭ CD OOQ
•w ) | О Н О О О О О
S со см о о»чоеэо
о о ^ о
см
О О v4 CM
Н « ГМ 1Л II || II И II II || II
ь м со S ^ 2 л.г -* S ^ о
II О I О cD
О v- сэ сэ
+ О I I
о S ил n
о > см гм
О ил N
х=> ¦& г- Ь-
и о о см к\
*— О •-• О СО СМ
-J о »- >г см о
t/1
"У
>
ZL
О
¦-»
»—
СМ
о
1
»л
fv.
^9¦
ЧЭ
сО
о
о
1
о
о
•н
1Л
со
гм
^.
;
c\f
с»
1
о
1
14
CD
II
X.
—» о о
.-« z г-* рл
О N Ч>
»-• CM vt
|~ СМ ЧЭ
э • •
-J *<Л vt
п о
Хил со
У\ >t- tv.
о см см
О 2Ч> tv-
^НО со гЧ
—> <? гм
h-ил о
э • •
_J.~I «*-
II О I
441
о
•-»
о
1
1*»
О\
•~t
г-
го
см
**
о
1
о
гл
•л
к\
с\|
(М
о
1
«4-
ш
1^
о
со
IS»
ЧГ
о
1
чэ
г^-
г^
о
к\
>о
IV
о
1
со
<м
»л
•>ч
см
ск
«о
•
СМ
II
см
се
о
г
о
о
о
(М
о
•
«*•
VTV
IS.
о
со
>»•
>г
II
о
г:
ос
о
Z.
о
о
о
к\
еэ
I
о
о
г-
*о
см
1Л
о
^1
см
ч>
о
•н
о
1
о»
о
о
43
о
о
•-»
"«*¦
•н
о
1
00
»п
«-4
IS.
ICN
KV
см
о
1
ил
со
см
о
о
r-t
•н
о
1
сх
о
•-«
«*
оо
см
11
?
Ч II
¦2 х
о о
о о
СМ ГА
СМ СО
II
ос ел
гм v» tS/ -f
о ** о а
* о I I
о S -< «0
о э» -| «\
о о г»
ого*
о о Is- «о
О м СО СК
Г^ »- СО О.
• Э • •
-< -i •-* г^
О I
442
1
01 01 CM М 01
© © © © ©
| © Н Н © Н
© ® © © ©
NN О N Ю
i Ю Ф 10 d 01
I *• ID U") Н 0>
© © ©
I
© © © © ©
I I
©* © © ©* © © © ©
I I I
H И OJ Ol Ol
© © © © ©
© © ©
© © ©
ШШШШШШШШ
VD CJ ai VD ГГ CJ M VD
¦ ~ " • © г ¦
I
V0 01 ai VD
to 00 © N
vo <л со vo *
CTi rf © © M
05 ai м oj io
ШШ Ш
n oj ai
V0 I
VD Ol M
OJ (VI GO
юно
IO Пг
Ol f"
Ol «
H <_
CJ M VD Tf H H
Ш Ш
н ai м © ti ® cj cj
©CJVDIOOlMHH
ТГ CO N CO N CJ CJ N
© 05 Ol "t N ai *t •*
MMIDNVOIDNH
CJ H CJ VD H 01 H "*
© © © ® ®
i I I
H © CM OJ OJ OJ M I
© © © © © © Ю (
ШШШЫ1
H 05 -f M <
N H •* «55 1
CM 05 H CJ N V VD M
M rl N CO M N CM 0*1
IO CJ CJ M *N4)^
05 VD VD CJ ^f 10 © H
cj ai cj м vo cj н н
© © ©
I Ш Ш Ш Ш
I © CJ N *
i ai ю м n
© © © © © © © ©
I II
H © © ® H H ® H
© © © © © © © ©
I
Ш Ш t
n ai <
н ai vd со -а- н с.
VD H *t H 05 ID H 0:«
IO Q 05 ai CO (Л VO VD
см ai ю n cj см rt со
VD CJ H lvi M 00 CO VD
H H H CO H CJ CJ M
© © © © © © © ®
I I I
H «
© <
Ш Ш Ш Ш Ш Ш I
00 О N N 11 Л(
CO ^ Ю 00 »vl ^ (_
CO NN H M 05 M \ .
© N © 05 N N ai VD
н м © rj- н © cj a-i
н cj ю ю Ю н ai н
© ©®'©©©'©*©
I 111
н н и <
© © © >:
!• © © © ©
Ш Ш Ш Ш Ш I
H Oi © ID VO '
м fvi ai vo r ¦
05 ID VD CJ I
rt N VD Ю © <
vd cj vo vo ai i
CJ H <
I 4) N <
Щ W t У) N
H 00 H 'Ji 0*1
Ш Ш Ш
tf CJ «-D
H 0*1 ©
Ol 0*1 ©
H U) ©
U> ©
н cj
N M
i H *
i CJ <
ai i
CJI
CSD CD © ^^ ® О С5 (Sf
II II
©©©©©©©©
© © ® © © © © ©
I III
C4 C4 vi -ri <D -ri -ri -ri
© © © © © © © ©
05 © CJ VD ai © ^ CJ
%f CJ CJ CO M © H 01
н ^ oi н vd н ai н
^ Ol M Ю M 05 0i
N IO CJ M H У) ©
«4> N Ю М М 0Э U"J CJ
М-У) Ю H CJ CJ 05 Ю
^1* 0*1 N У) 0*1 © H Cfl
M 0* IO © M 0* H ^
01 N У) 01
M 0*1 IO © M
VD «DO Ю H ^0
H Cl
H ^
H CJ
® ®'®©©*®*©©
if III
© H CJ CM CJ CJ CJ i-1 CM
© © © © © © © © ©
ШШШШШШШШШ
^OiM©©IOlpCJVD
fiHCJlDVOHN^OO
a» vd ai м n см vd ai y>
со rf ai м vo ю cj ^ n
VO П ID H H CJ © M ',0
00 ID CO CJ H IO M OJ CJ
ai id н н vd cj oo н vd
© © ® © © © © ©
(I III
> H © H H H H
I © ©
CJ H (_ .. _ ....
© CD © © © © © (
I I
ШШШШШШШШШ
N © СГ1 H H 0*i CJ VD N
IO VD 05 CO CO Ю CJ VD H
M H CO CO IO 0*1 H © ©
> v о © M f H у")
M »> ,, о © M f H у)
• H VD H ••?> CO CO 05 05 M
CJ Ю © © H N •* H IO
M CJ H H M CJ H CJ U")
© © © © © © © © ©
II III
©©©©©©©©©
I III
} H H H H H
[I © © © © ©
© oo cj
vd ai ¦* © м <
0*1 N N H 05 (
ID OJ IO CJ 10
01 N N H 05 (.
ID OJ IO CJ 10 00 VD CJ
© M H CO CJ CJ H H 10
©©©©©©©©
^" © © м ¦* oi ю ai
a! © cj n м io и*) н
CJ M N VO H N IO N
© ^ CJ N © M IO IO
M d * П- OJ CJ VO ^
© © © © © © © ©
I I I
H H OJ CJ Ol OJ M M
© © © © © © © ©
ШШШШШШШШ
VD OJ ai VO th 01 M VO
ai 00 © N © Л N H
vd ai оэ vo ^ vd ю ^
ditSO M V0 CJ M
o:« cti м cj ю cj cj o:«
vd vo ю 0*1 н id н ©
м м cj м vo ¦*• н н
© © © © ® © © ®
I I I
•H H i
I © © <
H © © <
© © © *:
I
N CJ Cft VD С .
H ai М © VO © CJ ( .
© CJ VO 10 0*1 M H H
* CO МЙ N CJ 01 N
© 00 CJ vt N 0*1 "t 4f
M M lOrv.VDIOfv.-H
CJ H CJ VO H CJ H ЧГ
4} © CJ CJ
© © © ® © © © ©
I I I
H © CJ CJ CJ CJ M M
© © © Ю © © © ©
ШШШШШШШШ
H 00 "Я* M © CJ N ^
N H ^ 05 ai IO M N
^ ^ M5MN CJ 8
ГЛ H I
IO CJ CJ M f r i) j
CO \D *a) CJ ^ IO © H
Ol 0*1 Ol M U) C'J d ri
© © © © © © © ©
I I I
H © © © i
© © © © с
Ш Ш Ш I
К. Г '"
<?> H ^ H CO IO H
Ш Ш Ш Ш Ш Ш I
0*1 Ш CO 00 U> 00 I
0*1 M? 00 -^ H CJ (
© © © © © © © ©
I I I
H H CJ CJ CJ H CJ M
© © © © © © © ©
Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш LlU
CO © N N ^ Cfl © 0"i
00 *r 10 00 M *вЧ)
OD N N H П CO M H
© N © CO NN 0*1 kO
H M © t H © CJ Ol
H CJ IO IO Ю H 0*1 H
CJ H 01 CJ l? N 0*1 H
© © ©*©©'©' ® ®
I III
I t-I Q d
> © © ©
H H H <
© © © I
I I I
ШШШШШШШШ
H 0*1 © 10 VD tf OJ КО
cc« ю vo cj n ai ai ©
VD CJ VD VD OV CJ VO ©
© cj * vo n ai н cj
н oo н ai ai cj n м
© © © © © © © ©
H H CJ CJ CJ CJ CJ M
©©©©©©©©
© €*) ® © © © © ®
I III
H H © H H H
© © © ® © ©
H ©
© ©
Ш Ш
ai vo
© © © ©' ©'©©'©
II III
© H CJ CJ CJ CM OJ M CJ
© © © © © © © © ©
ШШШШШШШШШ
M Ol M © © IO 10 CJ VD
M H CJ 10 VO H N ^Г 00
0*1 VD 01 M N CJ VD 0*1 IO
со *¦ ai м чо ui cj ^ n
VD M Ю H H CJ © M VD
00 If) GO CJ H U") M CJ CJ
0*1 IO H H VD CJ ОС» Н VD
© © © © © © © © ©
ШШШШШШШШШ
N © ai H H Oi CJ VO N
IO VD 05 00 00 Ю CJ VD H
м Н со oo io ai н © ©
H VO H VD 05 CO 05 CO f v>
CJ ID © © H N rt H ID
MNHdM CJ H CJ 10
© СЭ CSl © © © © © CO
II III
©HOJHOJCJOIMCJ
© © © © © © © © ©
ШШШШШШШ
CJ U"J -OJ 0*1 VD © H
io 05 м ai н n ai
M I1 t ^t (Й N N
> rt © м ai н oi со н
» id vd n- ai н © oi ai
> N ^t VD VO 05 tf CJ VD
> IO H CJ Ю M N H N
© © © © QJ © © © ©
I III
> H H H H H
)©©©©©
>©o©
I I
ШШШШШШШШ
VD *- H © CJ VO N CO
n н oo ai cj ю м со
со со cj n со ^ © ai
vd ai n- © м © to ifr
Oi N N H CC« CJ VD N
VD CJ Ю CJ IT» 05 VD CM
© M H 00 CM CM H H IO
© © © © © ©
I II
X 0? X
у; Ш v' Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш t
© © © © © © © ©
CM »ч > N H ID
oo -^ ai
Z VD VO H <_ .
О H Ю M CJ VO VD Tf I
©
i ф i
. • H
¦ vo ® м i
_ _ J ^J* OJ Oi I
Ь h D M in d d 1П ^ У) rl 00 (
Ю © © © © © © © ©
I III
• © © KiTi viri
1 © CSf © © © ©
00 rt .
ID M M
( © CJ H . .
din^co
I CJ © rf M
: vd -t м •* . .
i © M H VO CJ CJ
ШШШШШШШШ
00 rt N rt CO CJ H H
ю м n © a> со © ai
© CJ H ivl © 0*1 ЧГ IO
HIOTlCOHVDTf©
01 © Tf M CJ H ID ID
© M H VD CJ CJ OJ H ч»
© ©©©©©©
I II
о и ©©©©©©©©©:
>> II II
©©©© Ю © © ©
i it
443
©
II
IS '35 C3 CO
© CD © ©
ШШШЫ
CO N 05 4)
•H 0*1 © 05
CO ^f К -fr-
-frill Ю N -И
Ch VO M VD
CM VO Of» VO
M 1П Ю J
© CD rl rl
© © © ©
I I
hi Ш Ш Ш
*H -t Г - 05
0*7 CO 0*i VD
© OJ VD (Л
© •О 0Г-, -.f
тЧ CO CO <S>
0*1 1- OJ M
CM H VO OJ
M M M tf OJ W r* rl
© © CD О CD © & ©
I I I I I I I I
N. ID rl © CM ivi rl
© r* * Г-I M VD VD fi
Ch N Ch 05 M N t тЧ
© © VO OJ гЧ VO © If)
Ch © H «71 CO Ch If) (M
CM * M M rl ivl И VO
© © ©
© ©
© ©
Ш Ш
N- 0*1
M If)
N CO
й in
©
©
Ш
«7*.
©
©
©
© © © ©
© © rf rl OJ
© © © О ©
! » 1
VD VD N. OJ in in
ID ID
CO
©
VO
VD
Г - -чЧ © тЧ 0*1
VO © 0*1 Ю I4'!
OJ © К VO *D
OJ M M N to
CO гЧ VO © * N
M -H N. CM ТГ
© © © ©
II 1 I
M M *• IYI
© © © ©
1 1 1 1
Ш Ш Ш Ш
ID ID T M
OJ ^f 1П 0*1
©
OJ
©
Ш
к
CO OJ VO тЧ CO
OJ CO N- VO
-4- 0*1 VO t
VO CO Ch rl
*¦ tfr rj- in
id
© © ©
OJ rl rl CO
© © © ©
1 1 I
ШШШШ
N- M CD OJ
VD VD VD «.0
VO N CM N-
N. Щ VO -&
OJ CO OJ rl
rJ © 01 OJ -V
ri
M rl in CM
©©©©©©©©©
*7i VO rl ' ' " *
0*1 VO © I
Ш VD OJ «
OJ VD ID '
*t OJ © i
OJ 1П VO I
. .j in -3- N- OJ
i Ch CO rl ^fr OJ
> Ch Ch ivi © OJ
" M CO OJ N in
i м ^ fy.1 oj н
© © © © © © © © ©
it i i i i i
CM OJ тЧ Н
~) ©
© © © © © © © L.
I I I I I I I i
ШШШШШШШШШ
OJ 0*1 CO CM © 0*1 © *3" ©
N- in OJ rf OJ N M№t
4f N. © r* VO M OJ VC» ©
VD M CO VD CM N 0*1 © r*
ai со со -и n со 0*1 vo со
тЧ СО © Ch M N © M Ch
OJ M M rl rl OJ rl "^ rl
©©©©©©©©©
©©©©©©©©©
I I I I
©©©©©©©©© ©©©©©©©©©
ШШШШШШШ ШШШ
0*1 M 05 © N. 05 CO ^ CM rj-
VO © Ch 1П CM © CM rj OJ ^f
Ш Ш Ш Ш Ш UJ
f*- © _
14. -f 0*1 kO У) in
OJ •?» 1^- M 05 rf U) M
«) тЧ ф 1П ID 1П M CO
O © © CM Г" ~
r" rl rl OJ © CM
rl M i55 lvi N 05
H OJ ^ vl M 00 li N
У") N rt Ю OJ M И KD
© M CM N тЧ У Ч Т
Ul ^ ID © OJ
in Oh 05 CM M
M -H 05 M 05
тЧ
OJ
гЧ Т%-
4) *
©
Ш U> * © h t< M VU VO
I-•» 1П v* ¦* 1П OJ CTi M хЧ
<Ti
OJ
©©©©©©©©©
© © © © © © © © ©
III I I I I I
©©©©©©гЧИгЧ
© © © © © © © © ©
I I I
ШШШШШШШШШ
© N СП © ivi Ю © »X» ID
Ii"ji 05 Ф © Ш N H 01 Ф
Of NMM M \l" CM Ш
1П OJ OJ \& (*l Ci M ^ CD
CO M 1П OJ CO OJ CO U) OJ
Tf N © Tf N r4 05 «X» 43"
тЧ * VD 1П f'V CM Ch M тЧ
M iv» M M M OJ CJ *H .©
©©©©©©©©©
I I I I I I I I
шшшшшшшшш
И 05 ЧГ 05 U> ID N гЧ »4J
H^CMNlONOJCM
rlONOJ
t ai NMt см со cr«<^
© ^4 © тЧ Ф C?v ffi VD CO
ff1 гЧ VD CO VO © M OJ ^
•rl 10 M гЧ N M © © I4'l
тЧ M ivl d fv W 03 M d
© © © © © © © © ©
© © © © © © © © ©
till
тЧ©©©©©©НтЧ
© © © ©CD © © © ©
I II
ШШШШШШШШШ
Cf»*\0l4)MN© 1П
M M Г-1
©©©
• OJ OJ -H ©
©©о©
0*1 ^" VO
© M © OJ OJ
-fr OJ И. * vi
©©©©©©о
I I I I I I I I
шшшшшшшшш
tMO^H © 0*1 N M OJ
OJ >H CC« гЧ CTi OJ N CO Ю
© Tf CM OJ VO M © 05 OJ
© N © th ЧГ тЧ ll"!' M M
© v< Ch 0*1 CM VO N OJ ©
1Л CO N © CD N N Ю -H
OJ 1П OJ OJ OJ И VO OJ тЧ
©©©©'©©©©'©
тЧ©©©©©©тЧчЧ
©©©©©©©©©
© ® © © © © ©• © ©
III I I I I I
© n см см oj © н in a* _
© © <Ji Tn. OJ If!» OJ 0"i N &
in "t Ы Ю "* OJ *4 •* <rl
2J
© lvi M <
..
J 10 OJ
4»
II
•чЧ X
Ii. n.'
t->
J
© © © © © © © © © О © © © © ©* © © ©' ©
M M M Г» OJ OJ rl H
© © © © © © © ©
I I I I I I I I
©©©©©©чЧчЧЭ
©©©©© © © © -J
I I О
ШШШШШШШШ01
^ ^- V0 x4 40 * H **•
"©inOJVO
ШШШШЩШШШ
XI ^ И тЧ С. _.
VO ID W © N И
Ч^^С0Н©
-H OJ тЧ
© © ©
©©'©'©'
т4тЧ -в гЧ
© © © ©
Ш Ш Ш Ш
in vo in in
© © © ©
M ^r M M
© © © ©
I I I I
ШШШШ
i VO VO ID
© © © ©
© © © ©
© © © ©
ШШШШ
fvj o*i Ch \D
OJ N VO OJ
•H CO © CM
Ch 1П M 1П
CM CJ CO r<
? © © ©
,, p, M м
© © © ©
I'll
Ш Ш Ш Ш
CO © CC< CO
M CO VO N
05 M CO N
^H C N OJ
*• © VO Ч
M M f'
© © © ©
rj rj OJ rj OJ
CD "qJ QJ t^]| ~^j
© © © ©
I
I I I
1 ШШШШ
*• VO 4fr f-- M
N trl N CO *¦
05 N "* N- ©
^f OJ ^ fv» CFi
© © m © vi
тЧ © © tA ©
N CM in VO h-
© © © ©
I 3
M M M M M
© © © © ©
I I I I I
Ц1Ш Ш ШШ
^Г Ch CO N N
*4 N OJ VD CM
M ID -H N Ch
гЧ © OJ И ©
^ СГ1 Tl- CO M
VO N © *¦ ri
CO -H *4 ID VO
© © © © © © © © © ©
C.J ^4 OJ © OJ
ts* © © © ©
111 Ш Ш Ш Ш
\O Ch IV1 Гч- тЧ
OJ CM CO M
-4- И ID VO IT»
VO OJ N- Ch N.
OJ M Ю © If)
OJ N 1П N. U">
тЧ OJ гЧ 0*1 чЧ
111
\O
VO
4
M M ^ OJ C4
© © © © ©
I I I I I
ш ш ш ш ш
N М СМ хЧ СО
т4 U> Ch Ch СМ
© Н OJ VO М
Ю СО М CM ^h
in © *t с/ч со
1П СМ N V0 И
© © © © CO
8 I
MM + MN
© © © © CO
till
. J r* CO ID Ch
ID VO ID If) ivi
GO ID © 05 OJ
M © VO rl M
CO VO M © b")
4fr M M 1П ©
N OJ N. it rl
K!
© © © © © © © © © ©
CM чЧ OJ тЧ OJ
© © © © ©
шшшш ы
OJ OJ © <3- M
CO CFi M VO CO
|4- Ю Ch VO N-
VO si" CM УГ VO
OJ OJ © CM CM
^ •* VO rf rl-
«H тЧ тЧ гЧ v4
. .. i <fr м OJ
© © © © ©
I I I I I
Ш Ш lil lit Ш
ID OJ Ch VD Ch
M 0*1 N -H 01
тЧ H 05 r< in
тЧ Ш И Г
^" N OJI
OJ N Ш <
OJ OJ i
© © © © О
I I
© © © C"> CD
I I I I I
Ш til Ш Ы LU
ri Ю 0*1 1П fv>
VO © VO * тЧ
t
© © © © © •¦p^ © © © © ©
X
© © © CD О
II I I
© © © CD © <
h- I I I I
© © © CO ©
t I— t I I I 1
ШШССШШШЫШ
r-ilfMj: ©in'VOM©
1П N Ю N OJ
•H Ch r< OJ rl _
© © ©" CD ©' О © © © © © © © ©' © ©
rl
M I-
m ш
Ш i>-
II CM rl OJ rl rl
/ч © © © CD ©
X
v Ш Ш Ш Ш Ш
> VO VO ч?Г VO N-
mi м vo a м
z ai iv. iv. oj n-
O CM •* VO Ю N
»-. © OJ OJ M ©•
I- VO *• *• N CO
Z) r* rl rl "* CJi
о © © © © ©
• © © ©
I i I I
J CO VO rl ©
..._,,.. . i a* oj м vo
> © VO N CD Oi Ш OJ VO г* Ю N
CJi Ю VO VO ID К © *• © гЧ М
Vi тЧ M Ch ^f lvi M CC' N VC« N
Се.©СМ©1^СМ rlCOCOlDrl
OMOdWd^yj^dWd
D^ © ©CD © © Ш © © © ©CD
Ш Kit
444
р* м см м
Q S Q Q
Pi PI N У)
чГ © тЧ ©
IO У> N М
М У> У> 05
•* rl У) CJ
CD © © «3D
•М СМ СМ СМ
'О 05? О СЭ
шшшш
* N N Tf
^ U> 'й Ъ
Pi У) У> Г »
Pi М М Р1
CJ СО СО CJ
Cft СМ СМ Cft
00 У) У) 00
,) (^ (^ f)
© о © ©
шшшш
IO М 05 10
rl CJ И PI
ел со со н
Ю Ю «71 IO
С» 05 СЗО У)
N Cft *" Pi
м * * м
О © © ©
шшшш
со м ел <ft
© СО *• rl
Ю № Cft *•
U"> f J СМ СЛ
М N f>- xt
rl *H Ю Pi
© © © ©
CM f \Г
© © © <
* У) I
У) N У) У)
© pi со cj
'•?« * У) CJ
© © © ©
© © © ©
© ©
05 CM Pi
© © © ©
Pi * * *
© © © ©
N Cft У) *
Pi CJ CJ СМ
N W If) CM
Pi CJ Pi M CJ
о © © © ©
ШШШШШ
Ю CO © © Tf
CM * Cft тЧ CM
dOJ^d CM
PI H "tf © N
CD ID У> © Cft
'tf" * Cft Cft ©
* CM * IO M
CM CJ M M Pi
© © © © ©
Ш
© © © ©
I I I
PI Tf * Pi *
© © © © ©
Ш Ш Ш Ш Ш
© Pi CO N тЧ
CJ CJ У) И N
f J CJ »•?» тЧ CO
CO © © © IO
05 rl CO rl Pi
НЮМОЧ)
CO CJ тЧ CJ *
* * * Pi IO
© © © © ©
У) CJ Cft CM N
Cft tf) CJ N CJ
Ю У) У) rl r4
СГ» IT» -H Ф У)
*Г СО ^ Tf H
VD © IO M CJ
4 IO CM CJ H
© © © © ©
I I
Pi CJ pi pi CM
© © © G5 ©
ШШШШШ
N in У) УЭ N
CJ Cft CM tf) ©
rl N CJ © Cft
IO * IO © CM
CJ Cft \D 00 rl
*d" Tf 05 * N
© © © © ©
Pi Pi M Pi CJ
© © © © ©
©©©©© © © © © ©
© © © © ©
M ^ M t M
© © © © ©
Ш Ш Ш Ш Ш
^ Ш N CJ N
"fr 05 Tf © M
jv, CO CO СЛ CJ
N t ^ Щ Ю
M rf Cft © H
u"> ими м
* * Pi * Pi
© © © © ©
Ш Ш Ш Ш
rf M 0*» CO
CO CJ 0*1 N
d ь: н ^
Ш Ш
ГГ rf M
* CO CJ
со d ь:> н ^
NMHfl) CM
M И М N CJ
N ivi \D ^ <П
H CJ И CJ Cft
© © © © ©
I I
f-'i M ivi Г
© © © 1
I M
I ©
Ш Ш Ш Ш Ш
rt \D V0 ID "*
N -H У) И N
У> H N H У>
ТГ 0*1 N Cft rf
00 O"*i CJ Cft CO
H M N M И
см см ai cj см и
Pi Pi Pi CJ cj
© © © © ©
ШШШШШ
© cj r? pi y>
ri У) * 00 PI
oo Pi y> oo cj
- Cft Pi со
© © © Q ©.
© © © © © © © © © ©
o: oetd
CJ Ю И IO ©
И .CJ CJ M CJ
Ш Ш Ш Ш Ш
CJ CJ CJ -ri CJ
N N VD H CJ
© H © -t И
y> н м u":« ©
Г - У) Ш -Н ©
У) Н М N И
Н г* СЧ И У)
ШШШШШ
00 У) © © ©
(ft © У) CT'i ©
У5 0*1 PI Pi ©
* CO * * rl
Pi * © IO У"»
© © rf r? Cft
It rl IO -H Pi rl
© © © © © ••"'* © © © © ©
I I IX
СМ М М CM lvl >
© © © © © ос
см м м м и
© © © © ©
Ш Ш Ш Ш Ш _l Ш
Г-. У) У) Ю N Ш U1
© Ю CJ Q\ CJ Ct N
Cft © CJ f••- И n.' N
ri © ч*- СО СО 1Л CO
cj © io *t ю m *
•H 05 У? Cft CJ CC -H
N ^ 05 Tf Tf <J^
© © © © © «^ч © © © © ©
I I I I X
Pi Pi Pi Pi Pi > Pi * i
© © © © © «X © Г"
ШШШШ—1ШШ1
-и м o*-» cft ш у:» cr> <
I ШШ
V i
. . _> CJ ©
) N 00 NN ^ CO CO 05 © Cft
> У> У> rl IO t«"i rl Pi Cft rj Cft
i 4l" * Ift © ш Cft ¦*
Pi CJ N CE Cft N * IO ^T
• rl rl Pi ri cj
© © © © © О © I
И CJ M Pi CJ PJ b Pi CJ CJ Pi CJ
© -J © © © © ©
О
0"i ШШШШШ
© 00 1П 00 N 05 1П Pi
~ * CJ U. © N Qi Cft Pi
© © © © © О © © © © ©
I »н
tf rf p> м -M э tf5 xr Pi rf Л1"
'©©©©©-J©©©©©
: о
ШШШШ 01 ШШШШШ
CJ CJ CJ CJ У) 05 "H © У)
y>*inCMbHy>CMCMU>
У? © © rl '.
in Cft © CO CO
N N N 05 Ю О 00 rl CJ 00 CM
_. _. _ CJ CJ N CJ © rl rl * rl Pi
Ф 1П CO W NN 1П Cft У) rl ^ Cft N CJ Cft rl 1Л Pi N rl 1П N
"" © тЧ N © Ct! CJ r4 * CJ У5
r4 * Cfi CO О rl rl rl CJ rl
a n ri * ¦* Pi н ь- <
~ 05 CM CO «Л 15 <
©¦©©'©' ё о i
u. wi
© © © © Си' © © © ©
I |Щ
PI |4. N H N CJ Pi
Tf ^- *t + CM © У)
N M IO Pi N N
rl CJ CM CJ rl
CO И CJ У) CJ У) CO
cj pi pi см rl 05 *•
IO IO IO Ю IO ** Ф
У5 <
rl <
I CJ + CJ У) У)
I Pi Pi Pi N rl
CJ У) N rl N rl Pi
Cft (ft Cft Cft N IO rl
ю in in ю io in in
Pi Pi Cft н oS pi pi
cj Pi pi * м Pi см
© Pi <*• (J4 rf CO 4
** *• -^ Pi CM 0*1 У)
У> У> У) VD У) IO IO
00 CO rJ"' У) nH 00 05
см Pi tj- -^ Tf pi см
CJ NN rl У) И CM
N N N N IO Pi Cft
У) У) У) У) У) «J5 1П
ri ri N 0"-! N rl H
M *t ^ "* *• * Pi
rl У) 1П © У) rl Pi
Cft Cft Cft 0*1 N 1П rl
У> У) У) У) У) У) У)
c-i cj со © oc* ci ci
П * <* in -* 4t Pi
rl IO Ю О) У) © CJ
© © © (ft 05 У) CJ
N N N У) У) У) У)
vi r4 N Cft N rl ri
м •*• it rj- ^ -4t pi
CM W N rlOO CM PI
© © © © CO У) CJ
N N N N КО У) У)
05 00 *t У) *' 05 00*
CM Pi ¦*•*•* Pi CJ
M 05 N CO CJ У> 03
© © © a-» co io тЧ
|Ч. N N У) У) У) У)
pi И cft ri cft pi pi
© CJ Mi Pi * P« Pi CJ
Q*
Ш II
* л onto a» * со со
' I © © © СУ-» СО 1П тЧ
: n n n y> У) У) y>
k и yj У) сj * ci у> у)
I X rl CJ PI Pi M CJ rl
CJ (
X Г
1л >
Ш .
u. о cft cft o*i ai n in ri
у »-• У) У) У5 У) У) У) У>
: CJ У) N rl У) rl CJ
I Cft Cft Cft Г " "~ "
«л -J
ш о
Э N N Pi in Pi N N
J i :j cj см i
-J
о
Pi
j см
445
©
1
LJ
Mi
CO
OJ
CO
CO
CO
О rl rl d H CJ rr d
® CD ® © ® © © ©
t I 1 1 1 I 1
шшшшшшшш
© rt Ml © CM Ml Mi Ю
CO У) CO CO УЗ rl Ml CJ
N CM У> У) CM У) CO CJ
IO К Ml Ml Ю У> Ml *?
rl © ^1" nt" rl rl Mi N
rl rl "tf" ^ CJ Ml rl Ю
s
1
CJ
©
Ml
IO
IO
© © © ©
©
©
© ©
© © © ©
© © to ©
НИ © CJ
© © © ©
© ©
© ©
© © ©
u. u.
It It
ш ш
u. u.
II II
II Ы Ш
Ml
LXJ
© © © ©
© © © ©
ridri OJ
© © © ©
© © © ©
© © © ©
тЧ rl тЧ OJ
© © E) ©
©
Б
r$ © rl rl CJ Ml © rl
© © © © © © © ©
I till I
rJ CJ rl N rl ЧГ N rl
У> У> CJ Ml rl CM Tf У)
:j5 N У) У) CO Ml IO У)
OJ ID CM CM N У5 rl CJ
N CM IO ID 10 Ml CO N
COlOHrlCMlOIOCO
Ml rl С J С J CO CM rl Ml
©
к
rl
8
3
©©©©©©©©
rl ?4 © © © © rl CJ
® ©©©©©©©
II II
шшшшшшшш
CO 0"*» Ml © CD CM rl CO
© rf |\. *.jC» © CM У) Ml
CJ CM © b- N f4. CTi N
CM IO Ml 10 IT' CJ til 05
¦* У) N (Л CM N УЗ N
N N ^t ID If) ^f N Tf
y:« r- - ri ri ri ri n ^
© © © © © © © ©
© tH <
О © <
I
> © © r4 CJ
!> © © © CD
I I
4f У) У5 Г%- У) rl *¦& 05
ID У) N © © N VD ©
rl У) 05 Ml M CO Ф Ml
05 rl Ю NN ID Ml CO
ID CJ rl *t ft rl tJ" IT»
rl CJ rl rl rl rl ЧГ rl
© © © © © © © ©
т4
©
I
Ш
тЧ©©тЧтЧМ|Н
©©©©©©©
I I I I I
ШШШШШШ
Ш ШШШШШШШШШ
м a> cj ю © см id yj cj ю
CO CJ © ID У) 10 U"> CJ 0*1 TJ-
к
CO
CJ
Tf
0Э
CO
©
© ©
I I
LJ Ш
CJ <Л
«¦?< Ю
CD CO
CJ N i-1 N К. Г I У) тЧ Ml
N IO N 05 CO N (T^ 05 H
со a> y) yj ю y> u:> >>o У5
H IO N H H N И N N
ю ю
CD li © © tl
N N О
dOddddCJMd
© © © © © © © © C&i
I I I I I I I I
шшшшшшшыш
У) CO CO Ml
t (Ji (O © © l^ © тЧ 1
Ml N У) -<t rf CO 05 CO CJ
тЧ CJ У) N N У) Гч. г) N
У) N Mi У> У) Ml IO CJ CO
N *" rf N h- П- Gi CJ тЧ
M d М- N N М- Ю d N
I I I I
шшыш
© N Ml тЧ
lv^ © тЧ ^1-
CO 05 CO CJ
У)
© ©
© ©
rl rl
© ©
© О
© ©
Cvi ©"
© Q
© ©
© ©
©
©
CJ
©
©
©
OJ
©
©
©
OJ
©¦
©
OJ
©
1
Ш
vo
У)
У)
Q
©
¦©
©
Ш
У5
io
CJ
©©©©©©©©
© © CJ 01 CJ Ml © rl
© © © © © © © ®
шшшшшшшш
CM rt CJ CO © ri CJ rl
© У) rl CO CT> rl 05 N
tf> © NN rl CO CO У)
ТГ Mi CC« N У) Г^ СО У>
CM NN Ю У) CJ У) rl
rl rl ? 05 Й H S CJ
© ® ® © © © © ©
© © © CJ Ml © © rl
©©©©©©©©
ШШШШШШШШ
OJ N Ml rl 45 У> CTi N
05 rl У) 05 N © «t rl
05 N N © rl Ю СО УЗ
CO 05 ll") Ml CO tl" N 0*1
У> 10 Oi 05 У) CM U") N
rlrlrlrl^frlrlrl
©
©
©
Ш
CO
CO
CJ
0*1
©
©
©
Ш
©
CO
mI
У5
©
446
ш
•HI
CJ
©
©
Ш
»*?>
CJ
©
-r
CO
©
©
со
ад
©
ш
0*1
ад
ад
©
C*iN
© ©
Pi
3
8
©
i
CJ
Ш
?
g
ад
514
S
ш
ад
fe.
01
294
?
ад
H
to
©
s
ш
-*¦
r>-
0*1
fc
PI
R
Р.
8
ш
N
N
ад
to
©
©
I
I!
ОС
8:
<Е
PI H PI чН PI tH PI -ri © ©
© © © ©©©©(?)©©
till
ышшшилшшш
?Г:*ЙК:*Й
. . . . • -<h 01 CO
j o*i i4- r%- ад "tf
. ... - to oo to ^ и
CJ "fr -tf" t rf -tf- 05 ^t
M Pi PI Pi Pi Pi Pi PI
Ш СО ivi
** ГГ СО
Гч. 00 N
CJ fr ^
© © © © © © © © © © © © © © © ©
« и " u и " ¦ ¦ " и н в и и и п
ОС /"N ОС <"ч ОС ^ ОС л« ОС '"N ОС '*"* ОС л ОС л
N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш N LJ N Ш
d ISI О N О f\J О W uii N О Гч1 С) f\l О Г4)
/^ q д q ^*1 ^ q ^
CDCDCDCDCDCDCDCD
CM ri ^t тН
© © © ©
S3?....
n ад cj
01 ад ю см to
ivi \п 141 гчд txi i^Q щ\л ijj fg lyi
CO Г'» I I I I
t тЧ 4J- тЧ Pi ^
S© © © ©©©©©© © ©
I I I I I I
шшшшшшшшшшш
- - - 0*1 гЧ 0*1
NODN
Pi to Pi
ШШШШ
см © ю к oi o"i ад ад н o*i тч oi
"DWe-tOWdmCCiNfflN
- - - - rf rj- © rf ю Pi to Pi _..._...
ад to cj © 1Л o*i ы o*i to o*i id oi
? ^ N Й « N Й N W N « N
CJ CJ CJ CJ i
- pi to pi i
CJ CJ CJ
PI to PI
I
i ад и н и и н u i! и к it
- - v CC л CC .
I
II
I I
_ „ I! il II II „ ..
(МСлОСлССла: л СлСлСлСл
rih-OCh-CCh-CCh-CCK-OCI-CCh-arh-CC
• ш ь- i '
хЧ . .ШНШНШЬ-ШНШНШН-ШЬ-ШН
I ООШШШШСОШШШШШШШШЫШШ
II I Ш CQ Ш Ш 03 Си
I л . . .
Ш 01 © © 01 © 0*1 © 01 ©
CM v I 01 © 01 (В 0*1 ©
СМ ОС 0*1 © 0*1 © 01 ©
0*1 X И CJ 01 .01 .0*1 .
oi d. © © . cj . *t .ад
О*) J © I © I © I
01 CC Ш Ш
01 > rt 00 II И II II II II
CTi
O"
-JO©©"
СПО"! |
0> 01 01 ^>
_. © CTi © 0*i © (ft <3 CTi ©
СЛ © 0*^ © Ch © 0*i © O» ©
Ch © 0"i © 0*i © 0*1 © 0s» ©
0*1 .0*1 .0**1 .0*1 .0*1 .
. CO . © . CJ . *• . У>
© I ©•H©*-i©T-'©'r*
I I I I
II II H li II II ti И II II
ОС •'"¦¦• ОС f<> ОС /"*- ОС f*- ОС <"*
xccxocxccxccxoc
Q. X
о
I
Ш
ад
•н
ю
ад
0*1
©
©
©
ш
©
01
© ©
©
©
ш
© ©
© (
© (
f
to © Pi
ад н cd
et 0*1
ад ^f
pi н to ад
© ©
© О. © ©
I -J I
ш ос ш ш
to > У) 0*1
Ш to ©
0=1 Z гЧ 00
И ffi О 00 N
I- «71 ы М СО
© ©
ш
0*1
01
ш
to
ад
0*1
0*1
©
ш
cri
©
ад
-г»
0*1
©
©
©
со
й
ад
ад
© -и
© ©
i
ш ы
to Pi
со to
© ©
П
pi
©
i ^ . .
Ш (Л © ©
тЧ гЧ
IS
QLlU.Ifl.IQ.Il.
JQ.JU.Ju.Ju.Jfl. „
CC J ОС J ОС J ОС J ОС J © J (Л Ь- to СГ1 CJ
ОС ОС ОС ОС CCII30**i3tofv4X
»„•• v/ ч/ *-¦• v/ ft* 01 . J . . ii
CD О CD a CD Ш Ш © О © © i-i
J J J J jMfli in h-
© ©
.. ОС
01 X Н ©
01 й. © CD
01 J I
0*1 ОС Ш Ш
ai > ад oi
ю ©
II *н Pi СО
ос к- to oi
X D to PI
fl. J . .
© ©
Ш Ixl
vi ад
С J Pi
4J- 00
CJ CJ
© тЧ
© ©
Л"
IX ОС
о о
© ©
ее ее
447
©
Ш
3
ft
©
©
©
Ш
Cft
Ф
8
©
Ml
0Э
CD
1
ш
*м
*э
*ч
«М
©
©
ф
S
N
©'
§
ш
со
Г"
01
см
Oi
© ©
©
©
Ш
CM
Ю
0*1
I
txJ
N
Ml
IO
Oi
OD
Ш
«-JJ
Oi
N
Oi
01
Ш
ul.
i
rri
©
©
ш
00
©
N
©
© ©
ID Ф
© <Н
*• ©
Ю Ml
01 N
Ml тЧ
© ©
х;
О
СМ СМ
© ©
ш ш
Г4 СО
© о:
Ф ID
© со
Ml тЧ
00 Oi
© ©
©
II U
см
-I О
z: s:
О О
Z Z
© ©
© ©
© ©
II II
СМ
?? ??
ОО
Z Z
© ©
© ©
© ©
S
©*
I
©
81
N
Ю
©*
-rl CM
© ©
N СМ
© ©
см со
© 00
Ф Ю
СЭ СО
^ ф
00 СЛ
© ©
II II
О (S
© ©
© ©
ш ш
см со
Ф (О
© 00
^ ф
00 01
© ©
©
©
ш
©
тЧ
ГГ
Oi
Oi
0j
© и
© ©
© ©
ш ш
см *ч
© Чи' © ©
oi о! © i
т
О) ¦*
см см
и оо
м см
© ©
© ©
© ©
ш ш
Ml 01
CM Ml
© ф
*t ф
Ml Ml
ill
м
см
01
© © ©
© ^ © © © © ©
I Ш I II
UJ - Ш ш Ос ШШ
01 > М Ф Ш И С/1
N N 0*1 «-4 II М СМ
OJ Z О!» 4D СО 01 01
II N О ID H С» СО
Ь СМ >ч Oi Mi X 10 Ю
» -J W Н Oi Oi ^- »-< Ml Ml
: з N "э ю mi x oi oi oi
: "Л ~J . . ^ I
Ш©О©©
СС СС
н а:
СС
448
см
©
t
Ч>
m
Ч>
ча-
часа
N
ел
оо
см
«л
©
©
If)
ел
СЛ
00
Si
OJ
тЧ
ел
сю
см
©
© /*ч © © 1
N
4)
W
oj
n
М 00 00 61 N СЛ 05 т4 т< СМ -И N СМ М
©©©©©©©©тЧтЧ©©©©
I I I i I I I I I I III
шшшшшшшшшшышшш
gl
I'
ч)«вн«мм с» » m *ч n оэ
Ч) СЧ Н И <Л © t N © М <У1 М ©
-Н 00 *? CM MrlWNIOtt**N
If) N СЛ <Л CM M W СЛ © Ч) 0\ M IS-
f h CM N ^f © CO OJ Ю © чЧ СЛ 4)
ddtHdCJ Ю тЧ ivt CM If)
s
is
6Э С? О G5 СЭ
1 !
© ©
1 1
ш ш
ел и:»
ю ел
N ©
0J ©
8
184
N N тЧ
Ч) © N
•Н тЧ
OJ
©
in
1
1
S
i
1
см
© © © ©
05 СЛ тЧ СЛ
СЗ) © © ©
1 1 1 1
ш ш ш ш
05 © OJ СО
ел n ю ел
8» 1С Я
1П СМ N OJ
СЭ '2? С5? СЭ СэЭ
тЧ тЧ OJ OJ OJ
тЧ тЧ © © ©
1 1 1 1 1
ш ш ш ш ш
М rf СЛ СМ 05
N Ч) OJ CTti 1П
М тЧ У*) OJ тЧ
С55 CS5 С5Э СЭ © CSJ
СЭ О СЭ CO CS) CD
M 00 СЛ
© © ©
I I f
Ш Ш Ш
OD Ч) Ч)
-H OJ VD
N ^ OJ
OJ N *
© © If)
4) 05 If)
•Л г Ю
OJ Ю
1П 00 СЛ © 05 © -rl CM CM M
© © CD © © гЧ т1 © © ©
III I I I I I - I
шшшшшшшш-шш
(ЛММГ ' *" *"
•Н М N '
т* СМ тЧ N М OJ СЭ Pw ГГ Ч)
0> гЧ tj- © лг Гч. N Mi OJ If)
Ш Mi Mj 00 Ml Ml 4) N U) N
Ч) Ю СЛ Ml OJ 1П 0*1 -H OJ 05
> СЛ тЧ Ч) СМ.* тЧ f "" ' '*
© © © ©
II
© © © © © © © © ©
I N © 05 1П CO СЛ © 4> H © OJ <
> © гЧ © Q © <S © © тЧ xi © <
I I I I I I I I I I
] Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш I
~ I 4) <
) Ы l4 Mi гЧ Ml M» Ml < .
» © 4) M IO CM "*• <T^ N «
' - -. .m oj i
© © © © © © © © © © © © © ©
III I
© © -H OJ OJ OJ
¦?????
Ш ill Ш Ш ill
Ч> гЧ * OJ 4)
_ © 05 05 IO N
тЧ Ч) N СЛ Ml N
05 гЧ Ml IO 4)
см ey> n Mi ел
© mi © ч> ©
rH •* тЧ чЧ гЧ
тЧ тЧ СГ^ №
© © OJ 1П
тЧ -Н тЧ М
© © © © © © © © © © © © © © ©
I I I
© If) 05
© © ©
CO Ml ОС» ОС» © * OJ
© * OJ тЧ © OJ
© © т4 r-\ © ©
I I I I I I III III
шшшшшшшшшшшшшшш
* СЛ тЧ IO Ml OJ N * N dt OJ - - - - -
oj * oj 4) mi at mi * 4) см -Н
OJ N 1П Ml rf fv- 4) 00 1П СЛ тЧ
И CO Ч) * N 1П H СЛ 00 OJ ©
ел © ч> м fv> ir« -н cTi oi •* is-
00 OJ Ml СЛ * СЛ © СЛ" Ч) гЧ N
Mi тЧ М в Н гЧ гЧ 01 М СЛ "
© © © © © © © © © © © © © © ©
I I I
© ю со со м со оо ел м © н © oj ем м
©©©©©©©© © Н чЧ © © © ©
I I I I I I I I I I III
шшшшшшшшшшшшшшш
OJ OJ Ч) Ml И Ч> СГ"* Ш Ml гЧ 05 Ю rt at N-
rt * 4) M 05 1П 1П OJ © .-.«.-
01 тЧ 1П ai -H 05 00 IS- OJ -.
4)©fS-60<HIO*CA00IO
I СЛ Ч) И N Ml CO 4> Mj ~
© © _...
т«лт-218
Ш vliiUJQ
CO > M fs- © ©
00 d N № И
N Z N 05 . <чЧ _
OiSdGIGH
мЮММ
.. н гч а-» се
d * W <Л М N 0)
---©©©©
© © ©
I
Ш
05
M
r4
OJ
s
0*>
©
©
©
©
I
00
OJ
M
05
©
©
Ш
N
©
N
M
Ю
©
s
s
©
©
Ш
IO
a-i
OJ
4)
in
to
СЛ
©
©
8
¦•я
© тЧ
© ©
I
ш ш
IO Qi
is- ©
CJ N
© in
W <J5
xf OJ
© ©
и ©
© ©
I
LU Ш
¦H OJ
н и:»
CO 4)
© Tl-
СЛ f4-
¦H CO
Ш UI б О
OJ \-' I
4) CE
a-, x oj ©
ел a. © ©
СЛ ~J I
OJ CO
© 2 rr OJ
О тЧ fS.
II •- Ю Ю
СП h OJ J
X
©*
I
s
СЛ
in
X 3
0. -J . .
-JO©©
CC in i
ш in ©
OJ v I
oj a:
СЛ X Mi
О"*. Q. ©
СЛ -J
'7v СЕ Ш
ел > м
© 2 eo
О fs.
II I-. ©
CE h- "Г
X Г) 03
0- «J .
JOQ
СС1Л
29 5-1018
449
to
«X»
CM
s
CO CS) СЭ CD лс^ i35
t
0*1
00
4)
4)
to
CJ
©
CC
MdMdMdMdWdddWdMd
©©©©©©© © © © © © © © © ©
I I III I
CD
CD
i
©©©©©(
II II II II H II II II II П И II HUH
tr ^\ ft w^w it / ii / Q~ .-"Ч fi /*4 ii / ii /
¦ -¦ - ' се н ее н ее н ее н ее н cc
шншншн
N lli N Ш N Ш
N
О CD CD О CD
a
Nd^d^1
{^ CD CD ^ft Clh*
¦'¦¦i«*
Oi
•н © © © © ©
CO I I
D II II II II II
(\J CC ¦•"* CC ••"^ CC
TMIhll
. ш к- ш н
© Ш Ш Ш Ш
Ш Ш
dtd^dtdlOdNd
© © © © © © © © © © ©
I I I
Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш
0*1 xi CJ 0*1 CM КО 0*1
"~ CJ CJ CJ N N ©
" ~ M IO U>
_ . .. I41 N M
© CO N IO N- 0*4
------ CJ CJ CO
IT' dN
©©
I
II II
CE ••"••
ьсс
10
© © © © © ©©©©
I I I I I
II II I! II U II II II II
/-\ CC ••"'i CC л CC ••"* CC >"*
сснсснсснсснсс
ншншншншь
шшшшшшшшш
Си Ш CD ш Ш
ш»
Ш
© i © i ©
00 II II II II U
x-i CC л СЕ л СЕ
00 X CC X СЕ X
MfLIdli
4) Ju. Jfl. J
10 CE _J СЕ ~
Ю CC
CJi © CTi © Ji ©
^ <P J S «• Й -: ^: -: *¦
© I © <H © "H
veref
II II II II II
r\ СП s*i. CC '""*
CC X CC
X 0- X
U. -J CL «I 0.
Ш
8
I'M
©
0*
©
©
0*1
оэ
J
ш
ю
ю
xi
00
R
©
© ©
© ©
© ©
© © ©
©
©
о
I
CM Cxi
© ©
i
©©
I I
to ©
IO *¦&
тЧ тЧ
ош
швоооо
ill Ш
© ©
0*1 0*t
Qi 0*1
0*1 0*1
0*1 0*1
0*1 0*1
0*1 0*1
© ©
X X
0. u_
-J _J
CC CE
Ш 01 © CD
Ю v
CO CC
0*1 X тЧ ©
di a. © ©
0*1 -J 1
0*1 CC Ш Ш
0*i > 00 M)
ai oo
ccPii
X D CJ M
?j d© ©
CC 01
o*i ai
sis?
sis;
©
©
Ш
N
I4!
Ю
il
©
©
ri
©
CD
H CM
rH 10
CO У)
0*1 0*1
© © © ©
ftLP
II »-« Ю IO
^ "-i ™ Ю
JO© О
CC 01 i
450
LU
(ft
rt
N.
(ft
Cft
N
Й
Ml GD © © © г4
О © О © © О
шшшшшш
V0 Н (Л Ml CD ©
(Л *• 00 -Н СО ОТ
N тЧ Ml (ft * ОТ
М © ОТ -в Ml (ft
N чМО (М CM M)
lOMVNO
*• Ml <H Cft ID (ft
© 41- 40 © CM (ft
N- If) N CM <H ©
M(MM^dO()
ш
Ml
©
©
©
©©©©©©
©
I
ш
Ml
00
Ml
Ml
©
Ml
©
I
Ш
©
©
cr>
w
Ml
©
ai
©
©
©
m
oo
oo
© ©
Ш
©
©
Ml
©
1
Ш
xi
©
(ft
CM
Ml
§
Ш
Ml
©
©
N.
©
K!
«H © xi © -H И
©©©©©©
I I II
Ш Ш Ш Ш Ш Ul
V N N Ч> Ф ОТ
ID CM Cft ОТ ОТ xi
<й *t * (ft © 4h
CM CM (ft CM Ml (ft
© (ft Ml 4) ID CM
00 4) H Ml Ml Ml
rf H 00 ОТ VX) H
CD CO © C55 СЭ С&
i i i
xi "H © © H xi
© © © © © ©
II II
Ш Ш Ш Ш Ш Ш
xi Cft 00 x\ К ©
ОТ Ml CM N. xi ID
+ VD 00 © tT Ml
Odd W О О
CM тГ- Ml Ml "tf CM
t CM CM CM CM «~
Ml
¦ Ml
©©©©©©
I I
ddGdQd
©©©©©©
II I I
"t N- 00 ID CM Cft
00 © N CM N. W
Ю rf © CM CM ID
Cft CM Ml ID CM CM
CM ID KD <fr № ©
Ml Ml Ml xi \?> 00
«H VO U") 00 '
tldQ
© о. © © ©
ш а: ш ша:
СМ > 00 СМ Ш
00 Ch К нч
Ch Z ОЭ VD
И ЛОЧ) N
©
I
s
©
©
8
ID
CM II H © _
© ^s © © О & © © © © © © CD ©
II h- I I I
.._..гш zw .j .
I © О © © О О ©©©©©©©ОШ© О О
45!
(9
§
©
©
Ш
8
8
©
s
Ш
©
3 §
I
ш
•4J-
1
тЧ
©
Ш
10
OJ
1
to
-rl
©'
©
©
'Ш
У)
y>
8
SIS
w&
чГ OJ
ю ©¦
N У>
OJ t4,
OJ Ю
© ©*
©©
© M
© tH
У) КО
©
©
CO
co
8
©
©
Й
©
©
©
Ш
U)
У)
У)
OJ
©
©* ©*
© ©
©
©
I
©
Ш
©
«Э
©
UJ
CM
СЛ
®
•H
07
У)
Ш Ш
CO У)
* OJ
N ©
I U^
J тЧ
J)'N
xf.lO
© ©*
© ©
© ©
IO -H
Г v4
IO -rl
in ч>
CM OJ
©*©
© CM
© ©
Ш Ld
© ^*
CT> M
OJ IO
© н
ЧГ У)
©*©'
© ©
© ©
Ш HI
© VD
rf IO
© ©*
©
©
Ml M
_ © ©
IS! Й S
" Б g
© V0
CS) CS) СЭ C5U CSJ Cj
Ш Ш UJ LJ Ш Ш
fч, fs. CM ^" "^ *Л*
I 'S '?¦ H Ю т-f Ю
j ,V| fvj fv, м м ,чт|
г
© © © © © © © © ©
to I I i I
№ li If II II II II II II
© 2?? 2Е
э cc
n ьсснагьсЕна:
шн-шнил-шн
© N1x1 N Ш N Ш N Ш
UNUNDN Q N
© © a cd о о
I -J -J -J -J
UJ Ш
1П» N © © OJ тЧ ^ гЧ ^Г rA
C^J ^^ CS) CSJ СЭ © CP CSJ CSJ CS
• ю ю ю со ел
• OJ У> гЧ ^-
© © Ю У? Tf* CO Ml f4« У5 ©
~ 1 © У) М OJ СГ) M
CM У? CM OJ Г> "fr XT '4-
© ©
© © © © © © © © © ©
till
Ш Ш II II И SI I! II II II
^¦(МЕлЕлЕ^Ел
N lv» H СП h- СП Н СП »~ СП
тЧФСйШШШШШШШ
"dF Ml Ш Ш CO CO
© ©
ч
-J
ч ч
CD CD CJ
J J J
I
s: ш ш
> -H M
© CO У)
© 7L M CO
© О N> ^
rl н Oi M
© © © © © ©
H © © © © ~~
> © xi © ©
> н oi r*i
. и « " « и н u
¦?*? = ? = ?
гЧ © ©
© © ©
I
Ш ШШ
М © |ч-
м со ^*-
М Ю 01
CI tf) ©.
Ю СО У)
со со а.
чЧ v< И
© © ©
© ч/ © О
II О ©' ©
? V' I
452
© ©
ш ш
© г^
N I4-
¦н ©
оэ ©
© ©
©
©
CD
©
1O
00
О
I! li Ш Ui © О © ©
??н(к: Си i
453
Глава 8
ПАКЕТ ПРОГРАММ НА ЯЗЫКЕ ПЛ-1
8.1. СТРУКТУРА ПАКЕТА
Перечень программ. В этой главе приведены программы на языке ПЛ-1 [64,
540, 554, 608, 831, 880, 888, 891J, предназначенные для решэния различных
интегральных уравнений некоторыми из методов, изложенных в гл. 1—4.
Программы оформлены в виде пакета. Структурная схема этого пакета
не приводится, так как она практически совпадает со структурной схемой
фортранного пакета (см. рис. 47) за исключением того, что в ПЛ-1-пакете
отсутствует модуль INNUM (входящий в фортранный пакет).
ПЛ-1-пакет состоит из 17 основных программ (или модулей 1-го уровня
1216 20]) в виде процедур-программ: VOLTS1, VOLTF1, FRFST1, FREST2,
FREST3, TIKH1, TIKH2, TIKH3, TIKH4, TIKH5, CONV1, CONV2, CONV3,
CONV4, CONV5, FRIED I, FRIED2, к которым непосредственно должен об-
обращаться пользователь пакета, и 39 модулей (модулей уровня > 2)* в виде 26
процедур-подпрограмм: DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS, SINV, XNI, YDY,
COEF, REM, ZGF, CKK, SOLI, GDISC, UVLF, INF, Q12, SOL2, SOL3, TYPE1,
TYPE2, TYPE3, TYPE4, TYPE5, TYPE6, TYPE7, TYPE8 и 13 процедур-
функций: F2, QAT, CHD, RHO, DISC, NORML2, NORMC, RATEL2,
RATEC, DOMEGA, SIGMA, LAMBDA, CDISC, из которых как из блоков
в значительной степени формируются основные программы. Согласно [216 11,
267 12], данный пакет — это пакет простой структуры.
Назначение основных программ указано в их описаниях (см. пп. 8.2 —
8.5). Программы ориентированы на решение линейных одномерных уравне-
уравнений (за исключением программы FREST3) на неравномерных сетках узлов
(за исключением CONV4, CONV5).
Некоторые особенности модулей пакета. Пакет разработан применитель-
применительно к ОС ЕС и отлажен на ЕС-1040, -1055 и -1060 (транслятор уровня F —
неоптимизирующий, ОС ЕС версии 4,0 и выше). Результаты расчета тесто-
тестовых примеров (по программе TESTPL1—главной процедуре) приведены в
п. 8.8. При разработке пакета учтены многие положения структурного про-
программирования [65, 222, 716]. В пакете использованы фортранные подпро-
подпрограммы DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS, SINV [591J (как и в гл. 6), для
чего использован способ обращения из ПЛ-1-программы к ФОРТРАН-програм-
ме, изложенный в [401 125, 129] (см. также [880, 877]). По сравнению
с модулями алгольного и фортранного пакетов в модулях ПЛ-пакета неко-
некоторые параметры объединены в структуры (например, в TIKH1 параметры
ALPHA I, THETA, ALPHAM объединены в структуру ATM), а некоторые
устранены (например, N в COEF). Атрибуты параметров модулей см. в тек-
текстах модулей.
8.2. ПРОЦЕДУРА-ПОДПРОГРАММА VOLTS1
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ II РОДА
Назначение. Решение уравнения Вольтерры II рода A.1).
Обращение
CALL VOLTS1 (F, X, N. KERN, EPS, Y, DY, IER);
* О модулях см., например, [65 86].
454
Описание параметров
Входные параметры:
F(N) —правая часть,
X (N) — узлы,
N —число узлов,
KERN — ядро — процедура-функция вида:
KERN: PROC(X, S) RETURNS (BIN FLOAT);!
DCL (X, S) BIN FLOAT; ) I
EPS —число, используемое при проверке условия E.1).
Выходные параметры:
Y (N) — решение,
DY (N)—погрешности решения,
IER —индикатор ошибки (аналогично ier в volts 1—см. п. 5.2).
Требуемые процедуры-подпрограммы
XNI, YDY.
Метод. Метод квадратур согласно формулам A.92), A.95), A.96).
VOLTS 1: PROC<F,X,N,KERN,EPS,Y,DY,
DCL <<F,X,Y#DYX*>,FPS> BIN FLOAT;
DCL <N*IER) BIN FIXED;
DCL KERN ENTRY RETURNS<BIN FLOAT);
DCL XNI ENTRY( * ,BIN FIXED* >*"
CALL XNKX,N,1 ,1ER);
IF IER=1 THEN GOTO FINISH;
IF EPS<0 THEN OO; IER«1; GOTO FINISH*? END/*
Yd > = fci >; DYd >=e;
IF №1 THEN GOTO FINISH;
begin;
DCL <<ЬК) FIXED, <Xb D<2 : N> , A, X2> FLOAT) BIN;
do х=г то Ni xi«x(i);
IF ABSCDCI>)<«EPS THEN DO; IER«2; GOTO FINISH}
END/*I*/;
AsX<1>; X
IF N=2 THEW GOTO FINISH?
CALL
end;
FINISH:
щнр voltsi;
8.3. ПРОЦЕДУРА-ПОДПРОГРАММА VOLTF1
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ I РОДА
Назначение, Решение уравнения Вольтерры I рода B.1).
Обращение
CALL VOLTF1 (F, X, N, KERN, EPS, Y, DY, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(N) —правая часть,
X (N) — узлы,
N — число узлов,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
EPS —число, используемое при проверке условия E.5).
Выходные параметры:
Y (N) — решение,
DY (N) — погрешности решения,
IER —индикатор ошибки (аналогично ier в voltfl—см. п. 5.3).
Требуемые процедуры-подпрограммы
XNI, YDY.
Метод. Метод квадратур согласно формулам B.65), B.67), B.68).
455
PROC<F,X,N,KERN, EPS , Y , DY, IER > ,'
DCL <<F,X,YrOY><*>,EPS> BIN FLOAT;
RCL <N,IER> BIN FIXED;
DCL KERN ENTRY RETURNSCBIN FLOAT);
DCL XNI ENTRYC . «BIN FIXED» >•'
CALL XNKK,N,3, 1ER>;
IF IER=1 THEN GOTO FINISH;
if €PS<e then do; iersi; goto finish; n
@?GIN; DCL (ЬК) BIN FIXED;
DCL <XXfC<2:N>,A,X2,X3,H2#H23,H3,
A1,A2,A3,F2> BIN FLOAT;
do 1=2 то n; xibxcd;
C(I)s<XI-X<I-1>)/2*KERN(XbXI)?
IF A8S(C<I)X = EPS THEN DO; IER = 2J GOTO FINISH; ENOf
H2=X2-A? H23=X3-A; H3=X3-X2;
A1sC2*A-X2-X3)/H2/H23; А2=Н23/Н2/НЗ;
АЗ--Н2/Н23/ИЗ; F2sFB);
Y<2>«<F2»H2/2*KERN<X2,A>*Y<1>>/C<2>
CALL YDYCffX/CrN,KERN#K#Y|OY>;
ind;
FINISH;
%ЦО VQUTFb*
8.4. ПРОЦЕДУРЫ-ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ
И ДВУХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА II И III РОДА
Процедура-подпрограмма FREST1
Назначение. Решение одномерных уравнений Фредгольма II и III рода
в случае хорошей обусловленности СЛАУ, получающейся в методе квад-
ратур.
Обращение
CALL FREST1 (F, X, N, KERN, G, Y, DY, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(N) —правая часть,
X(N) —узлы,
N — число узлов,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
G —процедура-функция вида:
G: PROC (X) RETURNS (BIN FLOAT); \
DCL X BIN FLOAT; J
(функция g(x) — см. C.82)).
Выходные параметры:
Y(N) —решение (если оно найдено),
DY (N) — погрешности решения,
IER —индикатор ошибки (аналогично IER в FREST1—см. п. 6.4).
Требуемые процедуры-подпрограммы
XNI, COEF, SIMQ, REM.
Метод. Метод квадратур согласно формулам C.84) — C.86), C.85'),
C.91).
Примечание. Для решения СЛАУ C.85) или C.85'), получающейся в
методе квадратур, используется фортранная подпрограмма SIMQ [591 80—
82], реализующая метод исключения Гаусса с помощью наибольшего веду-
ведущего делителя.
FREST1: PROC<F,X,N,*ERN,G,Y#OY,IER>;
DCL <<F,X,Y#DY><*> FLOAT, (N* IER> FIXED)
DCL (KERN..G) ENTRY RETURNS<BIN FLOAT);
OCL XNI ENTRYC , ,BIN FIXED, )',
CALL XNI(X,N,3,IER);
IF IERs1 THEN GOTO FINISH/
begin;
dcl <<l,j,i) fixed, (n1 ,ks> fixedCl)> bin.?
DCL (Sf AJfXbC#A(N*N)»B(N>) BIN FLOAT;
456
DCL Y1 DEC FIXE'D<1,0> BASED(Y2)I
DCL A1 DEC FIXED<1,0) BASE0(A2>;
DCL 81 DEC FXXED<1,0> BASED(B2>)
Y2=ADDR(Y); A2=ADDR<A>; B2*ADDR<B); Н1*мГ
CALL C0EF<X,8);
do L=i,a;
do j=i то n; s=x<j>* ajsb<J);
do 1 = 1 то n; xisxcd;
IF 1=J THEN C=G<XI>; ELSE C = 0,*
a<i+<j-1)*n)=c-aj*kern<x!*s);
end/*i*/; end/*j*/;
if l=i then do; y = f; call simq<ai,Y1,N1,ks>;
else do; call rem<y,x,n,kern,b>;
b=f+b; call simqcai,bi,ni>ks); end;
if ks^=0 then do; ierc2; goto finish; end;
END/*L*/;
DY=ABS<Y-B>;
end;
FINISH:
¦END FREST1;
Процедура-подпрограмма FREST2
Назначение. Решение одномерных уравнений Фредгольма II и III рода
в случае плохой обусловленности СЛАУ, получающейся в методе квадратур.
Обращение
CALL FREST2 (F, X, N, KERN, G, Y, DY, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(N) —правая часть,
X(N) —узлы,
N —число узлов,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
G —функция g(x) — процедура-функция вида (8.2).
Выходные параметры:
Y (N) —решение (если оно найдено),
DY (N) — погрешности решения,
IER —индикатор ошибки (аналогично IER в FREST1—см. п. 6.4).
Требуемые процедуры-подпрограммы
XNI, COEF, DGELG, REM.
Метод. Метод квадратур согласно формулам C.84) — C.86), C.85'),
C.91).
Примечание. Для решения СЛАУ C.85) или C.85'), получающейся
в методе квадратур, используется фортранная подпрограмма DGELG [591
86—89], реализующая метод исключения Гаусса с ведущими элементами
с использованием двойной точности.
^REST2: PR.OC <F#X,N# KERN »G#Y/DY, IER) ;
DCL <<F,X#Y,DY><*) FLOAT,(N.IER) FIXED) BIN;
DCL (KERN,G) ENTRY RETURNS < 81N FLOAT),'
DCL XNI ENTRY< , ,BIN FIXED» );
CALL XNI(X,N,3,IER);
IF IER=1THEN GOTO FINISH,*
BEGIN,' DCL R(N) BIN FLOAT*
PCL <A<N*N),B<N)) BIN FLOATC53)*
DCL (L,J,I) BIN FIXED»
DCL <S,AJ;XI,C,EPS INIT<1E-14>> BIN FLOAT?'
PCL A1 DEC FIXEDA,0> BASED<A2>;
DCL B1 DEC FIXEDd.O) BASEDCB2);
DCL <N1,M,IE) BIN FIXED<31>:
AZ=ADDR<A); B2=APPR(B); N1=N* M=b*
CALL COEF<X,R);
do L=i,a;
do j=i то n; s=x(J>; aj=rcj>;
po 1=1 то n; xi=x<i);
if i=j then c=g(xl); else c=0;
A(i+(j-i)*N)=c-aj*kern<xi#s>;
end/*i*/; end/*j*/;
IF L=1 then do; b=f;
call dgelg(b1,a1,n1.m,eps»ie); y=b; end?
?lse do; call rem(y,x,n,kern»r>; b=f+f;
457
CALL DGELG<B1 ,A1 ,N1 ,М*ЁР&« IE) ? tHD',
iE<e then do; ier=z; goto fiwisn; tup}
/l/;
DY=ABS<Y-B);
'End;
finish:
END FREST2;
Процедура-подпрограмма FREST3
Назначение. Решение двухмерных уравнений Фредгольма II и III рода
C.101) или C.100).
Обращение
CALL FREST3 (F, XI, N1, Х2, N2, KERN, G, Y, IER);
Описание параметров *
Входные параметры:
F(N1, N2) — правая часть,
XI (N1) —узлы по х1$
N1 —число узлов по хг,
X2(N2) —узлы по х2,
N2 —число узлов по х2,
KERN —ядро—процедура-функция вида:
KERN: PROC(X1, SI, X2, S2) RETURNS(BIN FLOAT);!
DCL (XI, SI, X2, S2) BIN FLOAT; } (b'
G — процедура-функция вида:
G: PROC(X1, X2) RFTURNS (BIN FLOAT); ]
DCL (XI, X2) BIN FLOAT; J ( '
(функция g(xx, x2) — см. C.100)).
Выходные параметры:
Y(N1, N2) — решение (если оно найдено),
IER—индикатор ошибки (аналогично IER в FRFST3 — см. п. 6.4).
Требуемые процедуры-подпрограммы
XNI, COEF, SIMQ.
Метод. Метод квадратур (кубатур) согласно формулам C.102) —
C.105).
Примечание. Для решения СЛАУ C.105), получающейся в методе
квадратур, используется фортранная подпрограмма SIMQ [591 80 — 82],
реализующая метод исключения Гаусса с помощью наибольшего ведущего
делителя.
FREST3: PR0C(F,X1 ,N1,Х2,N2,KERN,6,Y,IER);
DCL <<F,YX*,*),X1 <*>,X2<*>> BIN FLOAT;
DCL <N1,N2,IER> BIN FIXED,'
DCL KERN ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
DCL G ENTRY RETURNSCSIN FLOAT);
DCL N BIN FIXED,*
DCL XNI ENTRY( , ,BIN FIXED, >/*
CALL XNKX1 ,N1 ,2,IER);
EF IER=1 THEN GOTO FINISH;
CALL XNI(X2,N2,2,IER>;
IF IERs1 THEN GOTO FINISH;
ft*sN1*N2;
BEGIN; DCL (A<N*N) ,B(N) , AKCN1 ) # BL<N2>> BIN FLOAT**.
DCL (UiKfL,Z,bJ) BIN FIXED,"
DCL (X1K,X2L,AB,X1bX2J,C) BIN FLOAT,*
DCL A1 DEC FIXEDA,0) BASED(A2)?
DCL B1 DEC FIXEDd.O) BASED<B2),'
DCL (NNfKS) BIN FIXEDO1),'
CALL COEF(X1,AK>;
CALL C0EF(X2,BL>*
DO Ws1 TO N,' K=CW-1)/N2*1#*
xiksxkk>; l*w-<k-d*n2;
X2LsX2<L); ABsAK<K>*BL<L),*
do z=i то n; is<z-i>/N2*i;
X1I = X1<I); Jr2-(X-1)*N2; X2JsX2<J>,'
IF I = K 8 J = L THEN C = G(X1 I ,X2J> ; ELSE C'0,*
AB*(W-1)*N)r
458
ENO/*Z*/J
00 1=1 TO N1» DO J=1 TO W2J
A2=ADDR(A>; B2=ADDR(B>; N
CALL SIMQ<A1.B1»NN,KS>;
If: KS"» = O THEN 1ER=2; ELSE
do k«i то n;
Y<IfK-<
indj
FINISH:
END FREST3;
8.5. ПРОЦЕДУРЫ-ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА (И ВОЛЬТЕРРЫ) I РОДА
Процедура-подпрограмма TIKH1
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с использо-
использованием значений погрешностей правой части и оператора.
Обращение
CALL TIKH1 (F, X, L, S, N, KERN, DELTAF, KSI, Q, ATM, OUTl, OUT2,
RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) —правая часть,
X (L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
S (N) — узлы по s,
N — число узлов по s,
KERN—ядро — процедура-функция вида (8.1),
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность 6/> О правой
части (см. D.64)),
KSI —погрешность | > 0 оператора (см. D.43)),
Q —порядок регуляризации q > О (см. D.68), D.124) —D.126)),
ATM —структура, включающая ALPHA I, THETA, ALPHAM — значе-
значения аг, 0, ат(а1 > ат > О, 0< 8< 1) —см. D.132).
Выходные параметры:
OUT1 —процедура-функция вида:
OUTl: PROC (ALPHA) RETURNS (BIT (l));\
DCL ALPHA BIN FLOAT; J <8'5)
если OUTl = 'Г В при а = a, (cm. D.132)), то будет печать
a*-, lga*, yaii
OUT2 —процедура-функция вида (8.5),
если ОиТ2 = 'Г В при a==at-, то будет печать a/, lga,-, &
(см. D.79), D.127)), lgp,, ь (см. D.82')), lgt,, x, (см. D.82),
D.135)),
RES G) — 7 характеристик решения yad (аналогично res в tikhl — см. п. 5.5),
Y(N) —решение yad (если оно найдено),
IER —индикатор ошибки (аналогично ier в tikhl).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, QAT, COEF, ZGF, CKK, SOLI, TYPE1, DISC, NORML2, GDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуля-
регуляризации а по обобщенному принципу невязки согласно формулам D.63) —
D.65), D.68) —D.71), D.83), D.84), D.86)— D.89), D.115), D.116),
D.119) —D.128), D.132) —D.135').
TIKH1: PROC<F,X,L,S,N,KeRN,DElTAF,KSX#QfATM*
0UT1,0UT2rRES#Y,IER>;
VCl <<F,X> (*) , <S, Y) (*) ,DElTAF,KSbQ,RES<7)> BIN FLOAT*
DC*. <1,N,IER> BIN FIXED»' '
DC». KERN ENTRY RETUPNS<BIN FLOAT);
DCU 1 ATM,
459
2 (А1РНА1ЛНЕТА.А1РНАМ) BIN FLOAT?
DCL @UT1,0UT2> E.NTRY RETURNS<8ITC1>>#
DCL XNI ENTRY( , /BIN FIXED, >;
DCL QAT ENTRY RETURNS<В IT<1)>?
CALL XNI<X,L'2*IER>;
IF IER«O THEN CALL XNI <S,N,2,XER>;
IF "(DELTAF>0 & KSI>s0 & QAT<<bAW> THEN IERsIER+2;
if ier>0 then goto finish;
begin;
DCL <DISC#NORML2) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT>#
OCL <DELTA,P(L> * <R<FFfCK> <N)#2<L,N),<G»A)CN*(N*1)/2>f
CK1 B:N> «ALPHA rA'M» D1,MU,<D2,D3> INIT<0> #
NF,NF2,ALPHAD,R.EJA,NY> BIN FLOAT,*
ocl см.мыА) bin fixed;
OCL СЕ,#еЬЕ2) BITA>;
DCL 1 ATFPM,
2 <al1лн,alphaf,alphap,alm> bin float;
ali«alphai; th=theta; alm=alpham;
DELTA=OELTAF*SQRT(X<L>*X<1>);
CALL COEF<X,P>r CALL COEF(S,R);
CALL Z6F<F,X»P,L,S,R,N,KeRN,Z,G,FF);
CALL CKK(S,R,N»Q»CK,CK1);
M»LOG<ALPHAM/ALPHA1)/LOG(THETA)+1,5;
E = KSI"» = »; IF E THEN M1*2*M; ELSE. M1=M»*
BEGIN; DCL 8N(M1) BIN FLOAT;
STAGE1: Е1з'в; IAsO; AM = ALPHAM/SQRT(THE,TA>;
ALPHA = ALPHA1 /THE.TA;
po while(alpha>*am>;
alpha«alpha*theta; ia=ia+i;
call solkg,ff,ck,ck1 / n, alpha» y , fai l1 #a)#*
GOTO FAIL2;
FA1L1: IF IA=1 THEN DO; I?R=4; GOTO FINISH? END;
ALPHAPsALPHA/ТНЕТД; GOTO STAGE2J
FAIL2: IF OUT1(ALPHA) THEN CALL TYPE1<ALPHAiY);
IF E THEN BN<IA+M),D2=NORML2CY#R>;
IF IA*1 THEN GOTO FAIL3;
IF D1>MU ! <E 8 D2<P3) THEN E1*'0'B;
FAIL3: if ei then do; mu=di; if e then D3sD2;
alphaf=alpha; end;
END/*ALPHA*/;
alphap=alpham;
: NF=NORML2<F,P); NF2=NF**2;
IF "»E2 THEN DO; A LPHAD*ALPHA1 ; Y = 0#*
BETA=NF2; RES<3>=1; GOTO FAIL4; END;
CALL GDISC(ATFPM,BN,MU,DELTA»KSI,OUT2,ALPHAD);
CALL SOL1(G,FF,CK,CKbN,ALPHAD,Y# FINISH, A) ;
FAIL*: RESA)sALPHAD;
IF E2 THEN BETA=DISC(F#P#L#Y#2); RES<2>=SQRT(BETA)t
IF E2 THEN R6SC)sREs<2)/NF; NY*NORML2<Y,R>;
resc^)sbeta-(<delta*ksi*ny)**2+hu); r?sE)smu;
resF)sny; res<7)=beta+alphad*ny*#2;
end; end;
FINISH;
END TIKHi;
Процедура-подпрограмма Т1КН2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с известным
(заданным) точным решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL TIKH2 (F, X, L, YT, S, N, KERN, Q, ATM, OUT1, OUT2, OUT3,
RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) —правая часть,
X(L) —узлы по х9
L — число узлов по х,
YT(N) — точное решение yt,
S(N) —узлы по s,
N —число узлов по s,
KERN —ядро — процедура-функция вида (8.1),
Q —порядок регуляризации <? > 0 (см. D.68), D.124)— D.126)),
460
ATM —структура, включающая ALPHA1, THETA, ALPHAM — значения
«i, 9, am (ax>am>0, O< 9 < 1) —см. D.132).
Выходные параметры:
0UT1—процедура-функция вида (8.5),
если OUT1 ='Г В при a = a< (см. D.132)), то будет печать щ%
OUT2 — процедура-функция вида (8.5),
если ОиТ2 = 'Г В при a = ait то будет печать aiy lgat-, \\yac —
— уЦ\^/\\ yt\\L2 (см. D.136)),
OUT3 — процедура-функция вида (8.5),
если OUT3 = 'ГВ при а = а*, то будет печать at> lgc&/, \\ya.—
-yt\\cl\\yt\\c (см. D.137)),
RES G) — 7 характеристик решения yaopt (аналогично res в Hkh2 — см.
п. 5.5),
Y(N) — решение yaopt (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в tikh2).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, QAT, COEF, ZGF, CKK, NORML2, NORMC, SOLI, TYPE1, RATEL2,
TYPES, TYPE4, RATEC, DISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при известном (заданном)
точном решении (в модельном примере) согласно формулам D.63), D.68) —
D.71), D.115), D.116), D.119) —D.126), D.132), D.136)— D.138).
Т1КИ2: PROC<FrX,L,YT,S,N,KERN,Q,ATM,
OUT1,OUT2#OUT3,RES,Y,IER);
OCL <<F,X)<*),CYT,S»Y)<*),Q,RES<7)) BIN FLOAT?
DCL U'NtlER) BIN FIXED,*
DCL KERN ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
OCL 1 ATM,
2 <ALPHA1,THETA.ALPHAM) BIN FLOAT;
DCL <OUT1 ,0UT2,0UT3). ENTRY RETURNS<В ITA>);
DCL XNI ENTRY( , ,BIN FIXED, К
DCL QAT ENTRY RETURNS < В IT < 1 )),'
CALL XNKX, L#2, IER) ;
IF IERs0 THEN CALL XNI < S , N , 2 , I ER) ,'
IF 4QAT<Q,ATM) THEN IER = IER*2,#
IF IER>« THEN GOTO FINISH,'
BEGIN;
DCL (NORML2»NORHC,RATEL2,RATEC,DISC)
ENTRY RETURNS(BIN FLOAT),*
DCL
SL2,ALPHA0,SC»BETA) BIN FLOAT;
DCL IA BIN FIXED;
CALL COEF<X,P); CALL COEF(S,R);
CALL ZGF(f,X,P,L,S,R,N,KERN,Z,G,PF>?
CALL CKK<S,R,N , Q,CK , CK1> ;
RL2=NORML2<YT,R); RC»NORMC(YT);
ALPHA=ALPHAt/THETa;
do while<alpha>=am);
alpha=alpha*theta; ia*ia+i;
call sol1 (g,fffck»ck1/n,alpha/y/fahba>;
GOTO FAIL2;
FAH1: IF IA=1 THEN DO,* IER = 4; GOTO FINISH»* END;»
goto fails;
fau2: if qut1(alpha> thbh с a ll- t ype1 < alph a , y ) ;
SL2«RATEL2<Y# YT,R)/RL2,#
IF OUT2<ALPHA) THEN CALL TYPE3(ALPHA,SL2);
IF IA«1 f SL2<NORMM THEN DO;
NORMMSSL2,* ALPHA» = ALPHA; END;
IF OUT3<ALPHA) THEN DO»' SC»R AT EC < Y i YT ) / RC ,*
CALL TYPE*» (ALPHA, SO i END,*
END/*ALPHA*/;
FAU3: CALL SOL1 <G,FF»CK#CK1 #N, ALPH HQ,i , FINISH, A),*
RESd )sALPHA0; BETAsOI SC < F , P f L , Y , 2) ;
RESB)=SQRT(BETA); RES<3)=RESB)/NORML2<F,P);
RESDJNORML2(Y#R); RESE)aBETA*ALPHA0*RES<4)**2#
RESF)=RATEL2(Y,YT,R); RES<7)
end;
FINISH!
END TIKH2;
461
Процедура-подпрограмма Т1КНЗ
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D.63) с использо-
использованием информации, полученной от предварительного решения ряда мо-
модельных примеров.
Обращение
CALL TIKH3 (F, X, L, S, N, KERN, Q, ALPHA, RES, Y, 1ER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) — правая часть,
X(L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
S(N) — узлы по 5,
N—число узлов по s,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
Q —порядок регуляризации q > О (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а > 0.
Выходные параметры:
RES D) — 4 характеристики решения уа (аналогично res в tikh3 — см. п. 5.5),
Y(N) — решение уа (если оно найдено),
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в tikh3).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, COEF, ZGF, CKK, SOLI, DISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделиро-
моделирования) согласно формулам D.63), D.68) — D.71), D.116), D.119) — D.126).
TIKH3: PROC<F,X,l,S,N,KERN,Q,ALPHA,R?S,Y,IER>Г
OCL <<F,X><¦>,<S,Y)<¦>,Q,ALPHA»RES<4>) BIN FLOAT;
DCL ( L » N , I E R > BIN FIXED,*
DCL KERN ENTRY RETURNS<BIN FLOAT);
DCL XNI ENTRY< , ,BIN FIXED, >;
CALL XNI (X, L, 2, IER) ,*
IF IER=0 THEN CALL XNI<S,N,2,IER);
IF -|<Q> = § & ALPHA>«> THEN IER=IER+2;
IF IER>6 THEN GOTO FINISH;
BEGIN; OCL (DISCNORML2) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT);
OCL <P<L>,<R,FF,CKXN>,Z<L,N>,G<N*<N-H)/2b
CK1<2:N>tBETA) BIN FLOAT;
CALL COEF<X,P)#* CALL COEF(S.«R>;
CALL ?GF(F,X,P,L,S,R,N,KERN,Z,G,FF);
CALL CKK(SfR»N. Q» CK , СИ),'
CALL S0L1<G,FF,CK,CK1,N,ALPHA,Y,FAIL/G>;
BETA=DISC<F,PfL#Y,Z>; RESA)=SQRT(BETA);
RES<2)sRESA)/NORML2(F«P); RESC)sNORML2(Y#R).f
res<4)=beta*a.lpha*res<3)**2;
goto finish;
fail: I6r=^;
end;
FINISH:
END TIKH3;
Процедура-подпрограмма TIKH4
Назначение. Расчет обратного оператора (матрицы), необходимого для
решения уравнения Фредгольма I рода с помощью процедуры-подпрограм-
процедуры-подпрограммы TIKH5.
Обращение
CALL TIKH4 (X, L, S, N, KERN, Q, ALPHA, B, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
X (L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
S(N) — узлы по s,
N — число узлов по s,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
Q — порядок регуляризации # > 0 (см. D.68), D.124) — D.126)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а > 0.
462
Выходные параметры:
B(N, L) —матрица В (см. D.130)), если она найдена,
IER —индикатор ошибки (аналогично ier в Шг4 —см. п. 5.5).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедура-функция
XNI, COEF, СКК, RHO, SINV.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделирова-
моделирования) согласно формулам D.115), D.116), D.119), D.120), D.122)—D.126),
D.130), D.131).
Примечания. Отыскание обратной положительно определенной симмет-
симметричной матрицы D.131) осуществляется посредством фортранной подпро-
подпрограммы SINV [591 76 — 78].
TIKH4: PROCCX,bS,N,KERN,Q,ALPHA,В,IER);
DCL <X<*>,$<¦>,Q,ALPHA,B<*,*>> BIN FLOAT;
DCL <L,N,IER) BIN FIXED?
OCL KERN ENTRY RETURNSCBIN FLOAT),'
DCL XNI FNTRY(. , ,BIN FIXED, > ,'
CALL XNKX,Lf г/lER),'
if ier=0 then call xni<s,n,2,ier>;
if "'<q> = 0 & alpha>0) then ier*ier*2;
if ier>0 then goto finish;
begin;
dcl rho entry return$<bin float);
DCL <P<L>'<R<CK)CN)fCKiB:N),R0,RK.SK,Rj,SJrG'Xtt
C,A<N*<N*1)/2) ,EPS INITAE-6)rPI#D) BIN FLOAT?
dcl <K.JrZrKi«xi> bin fixed;
DCL CNblE) BIN FIXEDC31);
DCL A1 DEC FIXED<1,0> BASED<A2>;
CALL COEF<X,P); CALL COEF<S,R);
CALL CKK($,R,NfQ#CK,CK1);
R0=RHO<R);
do к=1 то n; rk=r(k>; skss<k);
do j=K то n; rjsrcj>; sj«s<j.); g=0;
do 1=1 то l: xi=x(i>;
GsG + P<I)/R0*<RK*KERN(XI'SK))*<RJ*KERNCXbSJ));
END/*I*/;
IF J-K THEN C=CK<K>; ELSE IF J=K+1 THEN C*CK1(J)?
ELSE C=0;
end/*j*/;
end/*k*/;
A2 = ADDR<A); N1=N.?
CALL SINVCA1rNt,EPS,IE>;
IF IE<0 THEN J)O; IER = 4/ GOTO FINISH? END?
do Ksi то n; ki=k*<k-1)/2:
do i^i то. l; Pi5P<i>; xi=x<i>? o=e;
do j=i то n; if k>=j then ii=ki*j; else xi
в<к, d = d;
END/*!*/; END/*K*/?
end;
FINISH:
END TUH4?
Процедура-подпрограмма Т1КН5
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода с использованием
обратного оператора (матрицы), рассчитанного процедурой-подпрограммой
TIKH4 («быстрый алгоритм»).
Обращение
CALL TIKH5 (F, X, L, S, N, KERN, ALPHA, В, RES, Yt IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) — правая часть,
X (L) — узлы по х,
L — число узлов по xf
S (N) — узлы по s,
N — число узлов по s,
463
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.1),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а > О,
B(N, L) —матрица В (см. D.130)), рассчитанная процедурой-подпрограммой
TIKH4.
Выходные параметры:
RES D) —4 характеристики решения уа (аналогично res в tikhb — см.
п. 5.5),
Y (N) — решение уа,
IER— индикатор ошибки (аналогично ier в tikhb).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции XNI, COEF,
DISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а с использованием обратного оператора (матрицы)
согласно D.129) — «быстрый алгоритм».
TJKM5: PROC<fr>X,l,S,N,KERN,ALPHA,В,RESrY,IE R);
DCL <<F,X> <*>, <S,Y> <*), ALPHA, ВС*,*) ,RESU)) BIN F LOAf f
DCL <L,N,IER) BIN FIXED,*
DCL KERN ENTRY RETURNSCBIN FLOAT)?
DCL XNI ENTRYC , ,&IN FIXED, >;
CALL XNI(X,L»2,IER);
IF IERs© THEN CALL XNI <$ , N , 2 , I ER > ,*
IF ALPHA<=0 THEN IER=IER*2;
IF IER = G THEN
BEGIN; DCL (DISCNORMLE) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT),*
DCL (P(L>,R<N),A,RJ,SJ,Z<L,N),BETA> BIN FLOAT;
dcl (j,n bin fixed;
CALL COEF(X,P>; CALL COEF<S,R);.
do j«i то n; а=ф; rj = ro>? sj=s<j>;
do 1*1 то l; a=a*b<j,d*f<d; z<i, j>*rj*kerwcx(i> tsJ>?
eno/*i*/; Y(J)=a; eno/*j*/?
beta=disc(f,p,l,y,2); res<1)=sqrt(8eta);
resB) = res<d/n0rml2(f,p>; res C ) = n0rml2 ( y , r) j •
res<a)=beta*alpha*resC)**2;
end;
end tikhs;
Процедура-подпрограмма CONV1
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки,
D.155) или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием зна-
значений погрешностей правой части и оператора.
Обращение
CALL CONV1 (F, X, L, S, N, KERN, KL, SUP, DELTAF, KSI, Q, ATM,
OUT1, OUT2, RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) — правая часть,
X(L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
S(N) — узлы по 5,
N — число узлов по s,
KERN — ядро — процедура-функция вида:
KERN: PROC (X) RETURNS (BIN FLOAT); \
DCL X BIN FLOAT; 1 ( '
KL — структура, включающая CK, HK, DK — соответственно нижний
предел (если решается уравнение D.156), то СК = 0), шаг (по-
(постоянный) и верхний предел численного интегрирования D.224),
D.225) (согласно D.204) — D.212)), а также LI, L2 —парамет-
—параметры 119 /2, входящие в D.244), D 245),
SUP — параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D 230)),
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность б/>0 правой час-
части (см. D.64)),
KSI — погрешность | > 0 оператора (см. D.43)),
464
Q — порядок регуляризации ? > 0 (см, D.189)),
ATM—структура, включающая ALPHA1, THETA, ALPHAM—значе-
ALPHAM—значения а19 Э, ат (<х1>ат>0, 0<9<1) (см. D.132)).
Выходные параметры:
OUT1—процедура-функция вида (8.5),
если OUT1 = 'Г В при а == а{ (см. D.132)), то будет печать а.,
lg«*. У*?
OUT2 — процедура-функция вида (8.5),
если OUT2 = 'ГВ при а = а„ то будет печать a,, lga., p. (см.
D.79), D.231), D.248)), lgp,, ?, (см. D.82')), lgt,, х, (см. D.82),
D.135')),
RES G) — 7 характеристик решения yad (аналогично res в convl — см. п. 5.5),
Y (N) —решение yad,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в convl).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, QAT, CHD, COEF, DOMEGA, UVLF, SOL2, TYPE1, CDISC.
NORML2, GDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуля-
регуляризации а по обобщенному принципу невязки согласно формулам D.155)
(или D.156)), D.64), D.65), D.83), D.84), D.86) — D.88), D.89), D.115),
D.116), D.204) —D.231), D.244) —D.247).
OUT1 ,OUT»2,RES, Y# IER>;
DCL ((F,XM*), (S, Y) (*),DELTAF,KSbQ,RES(>>) BIN FLOAT,'
OCL <UN,sllP# IER) BIN «FIXED? _.
OCL KERN EMTRY RETURNS(BIN FLOAT);
OCL 1 tCU,
2 <<CK,HK/DK> FLOAT,<L1#L2) FIXED) BIN;
DCL 1 ATM,
2 (A.LP.HA1 ,THEIA# ALPHAM) BIN FLOAT;
DCL (OUT1,OUT2) FNTRY RFTURNS(BIT<1));
DCL XNt ENTRY( , , BIN- FIXED, ),*
DCL (QAT,CHD) ENTRY RETURNS(BITA )W
CALL XNI(XrL»2rIER);
IF IER=0 THEN CALL XNI(S,N,2,1ER>Г
IF "UDELTAF>0 & К$1> = &'8 QAT.<Q,ATM>) THEN IER*IER + 2;
IF -•(CHD(CK,HK»DK> & L1 > = 1 & L2> = 2) THEN IER=lERt^;.
IF IER=« THEN
Begin;
DCL (DOMEGA»CDISC.NORML2) ENTRY RETURNSCfllN FLOAT)?
DCL 1 KHN,
2 ( (CK1 #HK1 ,DK1 ,HW) FLt)AT#NW FIXED) BIN,*
dcl 1 atfpm,
2 (al1,th^alphaf,alphap,alm) bin float;
dcl (oelta,p(l),r(n),am,alpha,d1,<d2,d3) initc0)»
mu,nf,nf2,alphad,beta,ny) bin float,*
dcl (/4,мыа,к) bin fixed?
.dcl (e,e1,e2) bitA);
cki*ck; hki*hk; dki^dk;
ali*alphai; th=theta; almxalphah;
oelta=deltaf*sqrt<xcl)-x<1)>;
call coef(x,p); call cqef(s,r);
hw=dome6A(X,ld; nw=l2+i;
M=LOa(ALPHAM/ALPHAD/LOG(THETAL-1.?;
EsKSI"« = e; IF E THEN M1 = 2*w; ELSE M1=M;
BEGIN; DCL 1 UVLFWr 2 UVLW,
3 (UWrVW/LWXNW) BIN FLOAT#
г fw(nw) bin float;
DCL BN(M1) BIN FLOAT,*
CALL UVLF<F,X,L,KfcRN,KHN,UVLFW);
STAGE1: E1s'1'B; IA=0; AM=ALPHAM/SQRT(TflETA>;
alpha=alphai/theta;
do while(alpha>=am);
alpha=alpha*theta? ia=ia*i;
IF OUT1(ALPHA) ! E THEN
CALL S0L2(UVLW,HW.NU,SUP,Q,ALPHA»S#N»Y);
if outkalpha) then call typekalpha,y);
BN(IA),D1sCDISC(Q,ALPHA,HW,NW#LU#FW);
IF E THEN BN<IA*M),D2=NORML2(Y,R);-
IF IA=1 THEN GOTO FAIL1;
30 5-ioib 465
IF D1>MU ! СЕ & D2<D3> THEN E1='0'B?
PAIL1: IF E1 tHEN Do; MU*D1; IF E THEN
alphafsalpha; end;
END/*ALPHA*/'*
ALPHAPsAtPHAM;
STAGE2: NF=N0RML2(F,P)? NF2=NF**2;
if ^€г then do; alphad=aipn/u ; v=e;
BETA=NF2; RESC)si; GOTO FAI12; END»'
CALL GDISC<ATFPM,BN,MU,DELTA,KSI,OUT2#ALPHAD>;
CALL SOU<UVLW,HW,NW,SUP,Q,ALPHAD,S,N#Y>;
FAIL2: RES<1>«ALPHAD,''
IF E2 THEN BETA=CDISC(Q,AIPHAD,HW,NW,LW,FW>;
RES<2)=SQRT(BETA>;
IF E2 THEN RESC3KRE.SB)/NF; NY=NORML2 ( Y t P > ;
RES<5>-HU;
convi;
Процедура-подпрограмма CONV2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с известным (заданным) точ-
точным решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL CONV2(F, X, L, YT, S, N, KERN, KL, SUP, Q, ATM, OUT1,
OUT2, OUT3, RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) — правая часть,
X(L) — узлы по х,
L — число узлов по ху
YT(N) — точное решение yt,
S(N) — узлы по s,
N — число узлов по 5,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.6),
KL —структура (см. CONV1, п. 8.5),
SUP — параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации q > 0 (см. D.189)),
ATM —структура, включающая ALPHA1, THETA, ALPHAM —значения
а19 9, am (at > am >0, 0<6<1) —см. D.132).
Выходные параметры:
OUT1—процедура-функция вида (8.5),
если OUT1 = 'Г В при а = а{ (см. D.132)), то будет печать aif
OUT2 — процедура-функция вида (8.5),
если OUT1 = 'ГВ при а = а,, то будет печать a,., \gat \\yai —
-yt\\LJ\\yt\\Li (см. D.136)),
OUT3 — процедура-функция вида (8.5),
если OUT3 = 'Г В при а = а/э то будет печать air lgat., ||#a? —
-yt\\c/\\yt\\c(cM. D.137)),
RES G) — 7 характеристик решения уаорДаналогично res в conv2 — см. п. 5.5),
Y(N) —решение yaopV
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в conv2).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, QAT, CHD, COEF, DOMEGA, UVLF, NORML2, NORMC, SOL2,
TYPE1, RATEL2, TYPE3, TYPE4, RATEC, CDISC.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при известном (заданном) точном
решении (в модельном примере) согласно формулам D.155) (или D.156)),
D.115), D.116), D,136) — D.138), D.204) —D.230), D.244)—D.247).
466
C0NV2! PROC<F,X,L»YT,S,M,KERN,KU$UP,Q,ATM,
0UT1,OUT2,OUT3,RES,Y»tER>;
DCL ((F,X>(*>,(YT,$,Y)(*),Q,RES<7>> BIN FLOAT?
BCL (L#N,$UP,IER) BIN FIXED?
DCL KERN ENTRY RETURNS(BIN FLOAT),'
DCL 1 Kb
2 (<CK#HK,DK> FLOAT,(L1, L2) FIXED) BIN;
DCL 1 ATM,
2 <ALPHALTHETA.ALPHAM) BIN FLOAT;
OCL (OUT1 -,0UT2,0UT3) ENTRY RETURNS < В IT С 1 > ) ,"
DCL XNI ENTRYC , ,BIN FIXED, >»*
.DCL (QAT,CHD) ENTRY RETURNS(В I TA) ) ;
CALL XNI(X,L*2,IER>;
IF IER = 0 THEN CALL XNI(S,N,2, I BR> ;
IF "»QAT<Q,ATM) THEN IERsIER+2;
IF -|(CHD<CK,HK#DK) & L1>=1 8, L2> = 2> THEN IER =
IF IERs0 THEN
begin;
dcl @0mega#n0rml2,n0rhc, rautel2.ratec, cdisc)
entry returnscbin float);
OCL 1 KHN,
2 ((CK1»HK1»DK1»HU) FLOAT,NW FIXED) BIN»
DCL (P(L>#R(N>#RL2.RC,NORMM,AM,ALPHA»
SL2,ALPHAe,SC,BETA) BIN FLOAT,*
DCL IA BIN FIXED,'
cк^xcк; hki = hk; dici = dk;
CALL COEFCX,P),* CALL COE'f'<S.R>»
HWsDOMEGA<X, L1),# NW=L2*b#
BEGIN; DCL 1 UVLFW, Z UVLU,
3 <UW, VW, LW> (NW) BIN F.LOAT»
г fwcnw) bin float;
CALL UVLF(F,X,L»KERN»KHN,UVLFW);
RL2 = NORML2<YT, R) ,* RCsNORMC ( YT ) ;
NORMMs;®; iA=e; AM=ALPHAM/SQRT (THETA) Г
alpha=alpha1/theta;
do whilecalpha>=am);
alpha=alpha*theta; ia=ia+i;
call s0l2(uvlw,hw,nw,sup,q#alpha,s,n, y) ;
if out1<alpha> then call type1 (alpha »-y) ;
SL2sRATEL2CY#YT,R)/RL2;
IF 0UT2(ALPHA) THEN CALL TYPE3(ALPHA,SL2>S
if ia=1 ! sl2<normm then do;
normm=sl2; alphac=alpha; end;
if out3calpha) then do,' sc = ratec ( y , yt )/ rc ;
CALL TYPE^<ALPHA,SC); UNO'.
END/*ALPHA*/;
CALL SOL2(UVLW,HWV,NW,SUP»Q, ALPHAO,s;N, Y) ;
RESA)=ALPHA0; BETA~CDlSC(Q,ALPHA0rHU,NW,LW(FWv)«
RES <2>=SQRT< BETA),' RES C ) = RES ( 2 ) / NORM L2 ( F , P) J
RESD)sNORML2<Y,R),# RES<5 ) =BET A->A LPH »\в*^Я^> ***l
*RESF,) = RAT?L2CYf YT#K)J RES G) *^QR_K«le
TEND CONY2;
Процедура-подпрограмма CONV3
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки
D.155) или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием информа-
информации, полученной от предварительного решения ряда модельных примеров.
Обращение
CALL CONV3(F, X, L, S, N, KERN, KL, SUP, Q, ALPHA, RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F(L) — правая часть,
X (L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
S(N) — узлы по s,
N — число узлов по s,
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.6),
KL —структура (см. CONV1, п. 8.5),
SUP—параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фурье
в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации g > 0 (см. D.189)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
30* 467
Выходные параметры:
RES D)— 4 характеристики решения уа (аналогично res в сопиЗ — см.
п. 5.5),
Y(N) — решение уа,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в сопиЗ).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, CHD, DOMEGA, UVLF, SOL2, COEF, CDISC, NORML2.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделиро-
моделирования) согласно формулам D.155) (или D.156)), D.115), D.116), D.204)—
D.230), D.244) —D.247)?
CONV3: PROC<F,X,l,S,N,KERN,KL,SUP,Q,ALPHA,PES,Y,IER>;
DCl <<F,XX*), CS,YX*),Q,ALPHA,RES<4)) BIN FLOAT;,
OCL <L,N,SUP,IER) BIN fIXED;
DCL KERN ENTRY RETURNS(BZN FLOAT);
DCL 1 Kb
2 <<CK,HK,DK) FLOAT,(L1,12) FIXED) BID;
DCL XNI ENTRY* , ,BIN FIXED» >;
DCL CHD ENTRY RETURNS(BIT<1))?
DCL (DOMEGA,CDISC,N0RML2) ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
DCL 1 KMN,
2 <<CK1,HK1,DK1»HW) FLOAT,NU FIXED) BIN;
CALL XNKX,L,2, IER) ;
IF IERsf THEN CALL XNI<S,N,2,IER);
IF -|(Q>«0 * ALPHA>«) THEN IER=IER*2;
IF ^<CHD<CK,HK,DK) & L1>«1 * L2>=2) THEN IERslE.R*4#
IF XERsf THEN DO,"
ckisck» hki=hk; dki=dk;
HW=DOMEGA(X,L1>; NW=L2*1;
BEGIN; DCL 1 UVLFW, 2 UVLW,
3 (UW,VW,LWXNU) BIN FLOAT,
2 FW(NW) BIN FLOAT,*
DCL <P(LbR<N),BETA) BIN FLOAT;
CALL UVLFCF,X,L»KERN,KHN,UVLFU);
CALL S0L2<UVLU,HW,NW,SUP,q,ALPHA,S,N,Y>;
CALL COEF(XfP),* CALL COEF(S,R)#*
BETA=CDISC(Q.ALPHA,HU,NU,LW,FW); RES<1)sSQRT<BETA>9
= RES<1 )/NORML2CF#P); RES C ) = NORM L2 < Y, R.) ;
CND C0NV3;
Процедура-подпрограмма CONV4
Назначение. Расчет обратного оператора (теплицевой матрицы), необ-
необходимого для решения уравнения Фредгольма I рода типа свертки D.155)
или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с помощью процедуры-подпро-
процедуры-подпрограммы CONV5.
Обращение
CALL CONV4(C, HX, D, A, HS, В, KERN, KL, SUP, Q, ALPHA, RA, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
С, HX, D — соответственно нижний предел с, шаг hx (постоянный) D.234)
и верхний предел d сетки узлов по #,
A, HS, В — аналогичные величины a, hs, Ь для сетки узлов по s, необ-
необходимое условие: max {/ix, hs) должен делиться без остатка на
min{hx, hs),
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.6),
KL —структура (см. CONV1, п. 8.5),
SUP—параметр, определяющий тип подавления высоких частот Фу-
Фурье в решении (см. D.230)),
Q — порядок регуляризации q > 0 (см. D.189)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0.
Выходные параметры:
RA((B —A+ D — Q/H+1) —строка теплицевой матрицы Ra — см. D.233),
D.238), где H=min{HX, HS},
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в convi).
468
Требуемые процедура-подпрограмма и процедуры-функции
CHD, INF, SIGMA.
Метод. Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а (определенном, например, способом моделиро-
моделирования) согласно формулам D.155) (или D.156)), D.204) —D.212), D.224)—
D.230), D.233) —D.238).
C0NV4: PROC<C,HX,D,A,HS,B,KERN,KL,SUP,Q,ALPHA,RA,U*>;
OCL <C#HX,D#A,HS,B,Q,ALPHA,RA<*)> BIN FLOAT;
DCL KERN ENTRY<BIN FLOAT) RETURNS(ВIN FLQAT);
OCL 1 KL»
z <<ck,hk,ok) float*(l1*l2> fixed) bin»
dcl <sup,ier> bin fixed;
dcl chd entry returns (bit< 1 >),*
dcl inf entry( , ,bin float» ,,##>;
ocl sigma entry(bin float, ) returnscbin float)?
dcl <hh,h,r1 ,r2,q2,hw,pi ini t c3 . 1<и 593) ,
wk,mw,w,rel,iml,p,g#sx,rc,rs) bin float;
dcl <k,nk,nw,m#x> bin fixed;
hh=max(hx,hs>; h*min<hx,hs);
IF н>9 then do; ri=hh/h; k*rh-.s; r2=k;
IF A8S<R1-R2X = 1E-3 THEN IERaO; END;
IF "»<Q> = e & ALPHA>«) THEN IER«IER+2;
IF CHD<C*HX#D) & CHD<A,HS,B> & С HD ( С К , HK , OK)
8, L1>s1 ft L2>*2) THEN IER«IER*4;
IF IER = C THEN DO,*
CH=2*q; N<=<DK-CK)/HK-fi .5; hw*pi/hx/li;
wm=l2*hw; nw=l2*i; mw=i; m«<b-a-»-d-C)/н + 1,5;
BEGIN; DCL (KXCNK),(F1,F2)(NW)) BIN FLOAT;
do i«.i то nk; kxcdxkerncck^hk^ci-D); end;
do к=1 то nw; w=hw*<k-i);
CALL INF(KX,KX,CK.HK,DK,W,REL,
IF :SIGN(Q2)>0 THEN MW = W*»Q
fSUP)/P;
l*g; f2(K
end/*k*/;
•sx=a-d^h;
00 1=1 то м; sxssx^h;
CALL INFCF1,F2,0,HW,WM,SX,RC,RS);
RA<I)=HX*<RC»RS)/Pi;
END/*!*/;
END CONV^;
Процедура-подпрограмма CONV5
Назначение Решение уравнения Фредгольма I рода типа свертки
D.155) или Вольтерры I рода типа свертки D.156) с использованием об-
обратного оператора (теплицевой матрицы), рассчитанного процедурой-под-
процедурой-подпрограммой CONV4 («быстрый алгоритм»).
Обращение . .
CALL CONV5(F, С, НХ, D, A, HS, В, KERN, KL, Q, ALPHA, RA, RES,
Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F((D — С)/НХ + 1) — правая часть, заданная на равномерной сетке узлов
с, c + hx9 .. . , d,
С, НХ, D — соответственно нижний предел с, шаг hx (постоян-
(постоянный) D.234) и верхний предел d сетки узлов по х9
A, HS, В — аналогичные величины a, hsy Ь для сетки узлов по s;
необходимое условие: max {hx, hs) должен делиться
без остатка на min{hx> hs),
KERN — ядро — процедура-функция вида (8.6),
KL—структура (см. CONV1, п. 8.5),
Q —порядок регуляризации q > 0 (см. D.189)),
ALPHA — значение (одно) параметра регуляризации а>0,
RA((B — A + D —С)/Н+ 1) — строка теплицевой матрицы Ra (см. D.233),
D.238), где Н= minlHX, HS)).
469
Выходные параметры:
RES D) — 4 характеристики решения уа (аналогично ier в corvob — см. п. 5.5),
Y(N) — решение уа,
IER—индикатор ошибки (аналогично ier в convb).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
CHD, COEF, DOMEGA, UVLF, CDISC, NORML2.
Метод, Метод регуляризации Тихонова при некотором одном значении
параметра регуляризации а с использованием обратного оператора (тепли-
цевой матрицы) согласно D.240) — «быстрый алгоритм».
C0NV5: PROC<F,C,HX,D,A,HS,B,KERN,KL,<bALPHA/RA,
RES,Y,IER);
OCL <F<*),CfMX,D,A,ttS,e#Q#AlPHA#RA(*>»
RESD),Y<*)) BIN FLOAT;
DCL KERN ENTRY RETURNSCBIN FLOAT);
DCL 1 KL/
2 <<CK,HK,OK) FL0AT#<L1,L2) FIXED) BIN;
OCL IER BIN FIXED;
DCL CHD ENTRY RETURNS(BITA Ж
DCL (DOMEGA,CDISC,NORML2) ENTRY RETURNS<8IN FLOAT);
OCL <HH,H.R1«R2) BIN FLOAT;
DCL <K,L>N> BIN FIXED;
DCL 1 KHN,
2 <<CK1,HK1,DK1,HW) FLOAT,NV FIXED) BlNr
cki=ck; hm^hk; oki=dk;
if н>0 then do; ri=hh/h; k*ri+.s; R2=k;
IF ABS(R1-R2X = 1E-3 THEN IER«e; END;
IF •'<Q> = e & ALPHA>C) THEN IER=IER*2;
IF "*(СНр(С»НХ#О) & CHDCA,HS,B) & CHD(CKfHK#DK>
& L1> = 1 & L2> = 2> THEN IER»IER«f^;
IF IER=« THEN DO;
Ls(D-C)/HX + 1 ,5; N=<B-A)/HS*1 .5/'
NW=L2+1;
BEGIN; DCL <<X,PXL>r <S,RXN),G#BETA> BIN FLOAT;
DCL (NbJJU2,I) BIN FIXED;
DCL 1 UVLFWf 2 UVLU,
3 (uw,vw,lw><nw) bin float*
2 fw(nw) bin float;
dcl e bitcd;
do j = i то
do 1=1 то l;
IF E THEN I1=J1-<I-1); ELSE I1sJ2-(J-1)*K;
y<j)=g;
FA)s2*F<1>; F(L)=2*F(L>;
do iri то l; x(I)=c+hx*ci-i>; end/*i*/;
CALL COEF(X,P); CALL COEF<S,R>;
HU = DOMEGA(Xf L1);
CALL UVLF(F,Xf LfKERNfKHNfUVLFU);
BETAsCDISCCQrALPHA,HW,NW,LW,FW>; RES<1>«SQRT(BETA);
RESB)=RESA)/N0RML2(F#P); RES<3>*N0RML2<Y#R)i
RESD)=BETA+ALPKA*RES<3)**2;
END C0f*V5#
Процедура-подпрограмма FRIED1
Назначение* Решение уравнения Фредгольма I рода D,276) с исполь-
использованием значений погрешностей правой части и оператора.
Обращение
CALL FRIED 1(F, X, L, S, N, KERN, DELTAF, KSI, SIGMA, MMAX,
OUT1, OUT2, RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F (L) — правая часть,
X (L) — узлы по я,
470
L — число узлов по х,
S(N) — узлы по s,
N — число узлов по s,
KERN — ядро—процедура-функция вида (8.1),
DELTAF — поточечная среднеквадратическая погрешность 6/ > 0 правой час-
части (см. D.64)),
KSI—погрешность | > 0 оператора (см. D.43)),
SIGMA — параметр а метода, 0<сг<2 (см. D.295)),
ММ АХ — максимальное число итераций mmax > 1.
Выходные параметры:
OUT1 — процедура-функция вида:
OUT1: PROC(M) RETURNS (BIT A)Ы
DCL M BIN FIXED; I (8J)
если OUT1 = 'Г В, то будет печать m, ym9
OUT2 — процедура-функция вида (8.7),
если OUT2=TB, то будет печать /и, lgm, pm (см. D.297)),
lgP«. S« (см. D.291)), lgcw, кт (см D.285)),
RES G) — 7 характеристик решения ymd (аналогично res в friedl — см.
п. 5.5),
Y (N) —-решение ута,
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в friedl).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, COEF, ZGF, LAMBDA, DISC, NORML2, SOL3, TYPE5, TYPE6,
RATEL2.
Метод. Метод итеративной регуляризации Фридмана B-й вариант)
с выбором числа итераций способом обобщенной невязки согласно форму-
формулам D.276), D.115), D.116), D.119), D.120), D.122), D.123), D.277) —
D.282), D.284), D.285), D.288), D.289), D.291)— D.293), D.300).
Примечание. В памяти ЭВМ запоминается лишь верхний треугольник
квадратной симметричной матрицы G (см. D.122)).
FRIED1; PROC<F,X,L,S,N,KERN,DELTAF,KSI,SIGMA,MMAX,
OUT1,0UT2,RES,Y,IER);
DCL <<F,X><*> , <S,Y> <*>,OELTAF,KSI, -
SIGMA,RES<7>> BIN FLOAT;
DCL <CL,N,IER> FIXED,MMAX FXXE0C1)> BIN;
DCL KERN ENTRY RETURNSCBIN FLOAT),'
DCL <OUT1,OUT2) ENTRY RETURNS<В IT ( 1>>;
DCL XNI ENTRYC , ,BIN FIXED» >,'
CALL XNI(X,L»2,IER);
IF IER = C THEN CALL X NI < S , N , 2 , I E R > ,*
IF "*<DELTAF>0 ft KSI> = f & SIGMA>0 &
SIGMA<2 * MMAX> = 1> THEN IER=IER*2,*
IF IER30 THEN
BEGIN,* DCL ( LAMBDA, DISC, NORML2, RATEL2)
ENTRY RETURNS<BIN FLOAT);
DCL (DELTA,P<L),<R,FF,YM,YM1><N),Z<L,N),
G(N*(N*1)/2),NU,MU((D2,D3) INIT@>,
D1»D2M,0ZETA,NF,NF2,BETA,KAPPA,NY) BIN FLOAT;
•DCL (E#E1#E2) 8IT A ) ;
DCL (MD,M) BIN FIXEDC1>;
DELTAsDELTAF*SQRT<X<L)-XA));
CALL COEF(X,P>; CALL COEF(S,R>,'
CALL ZGF(FiXrP»L,S,R,N.KERN,Z,G,FF>;
NUsSIGMA/LAMBDA<6,N) ; EsKSI»»;
STA6E1: E1='1'B; Y,YM,YM1=e; M0s«;
MUsDISC<F,P,L#YM,Z);
IF E THEN D3=N0RML2<YM,R);
do Hsi то mmax;
CALL S0L3F,FF,YM1,N#NU,YM>;
IF OUTKM) THEN CALL TYPE5(M,YM>;
D18DISC(F,P,L#YM,Z);
IF E THEN D2 = NORML2<YM, R) ,*
IF D1>MU ! <E & D2<D3) THEN E1x'0'B;
if ei then do; mu»di; if e them D3=D2; eno;
ymi=ym;
471
02M = DELTA**24HU? IF "»E THEN DZETA=D2M;
STAGE2: NF=N0RML2(F,P); NF2=NF**2;
E2=NF2>D2M;
IF "*E2 THEN DO; BETAsNFZ; RES<3)=1;
RES<7>=e; goto faili; end;
ei='«'b; YM,YMi«e;
00 м=1 то mmax;
CALL S0L3<G,FF,YM1,N,NU,YM>;
BETA=DISC<F,P,LrYM,Z>;
IF 6 THEN DZETAs(DELTA*KSI*N0RML2(YM,R))**2+MU?
KAPPA=8ETA-O2ETA;
if 0ut2<m> then call type6cm,beta,ozeta);
if kappa>0 i e1 then goto fail?
y=ym; mo=m; eism»b; resc7) = ratel2<y, ymi ,r>;
FAIL: YH1*Ym;
ENO/*M*/;
FAIL1 : RESd>*M0;
IF E2 THEN BETA*0lSC(F»PrL»Y»2>; RESB)*SQRT<BETA)J
IF E2 THEN RESC)=RESB)/NF; NY=N0RML2<Y#R>7
RESF)=NY;
END FRIE01;
Процедура-подпрограмма FRIED2
Назначение. Решение уравнения Фредгольма I рода D,276) с известным
(заданным) точным решением (решение модельного примера).
Обращение
CALL FRIED2 (F, X, L, YT, S, N, KERN, SIGMA, MMAX, OUT1, OUT2,
OUT3, RES, Y, IER);
Описание параметров
Входные параметры:
F (L) — правая часть,
X (L) — узлы по х,
L — число узлов по х,
YT(N) — точное решение yt,
S(N) — узлы по s,
N—число узлов по s,
KERN —ядро—процедура-функция вида (8.1),
SIGMA —параметр а метода, 0<а<2 (см. D.295)),
ММАХ —максимальное число итераций mmax > 1.
Выходные параметры:
OUT1 —процедура-функция вида (8.7),
если OUT1 = 'Г В, то будет печать т> j/m,
OUT2 — процедура-функция типа (8.7),
если OUT2 = 'ГВ, то будет печать m, lgm,
\\ym-yt\\LJ\\yt\\L2 (CM. D.301)),
OUT3 — процедура-функция типа (8.7),
если OUT3 = T В, то будет печать m, lgm,
\\ym-yt\\cl\\yt\\c (см. D.302)),
RESF) — 6 характеристик решения ymQpt (аналогично res в fnedz—ZM.
п. 5.5),
Y(N)—решение ymopV
IER — индикатор ошибки (аналогично ier в fried2).
Требуемые процедуры-подпрограммы и процедуры-функции
XNI, COEF, ZGF, NORML2, NORMC, LAMBDA, RATEL2, S0L3, TYPE5,
TYPE7, TYPE8, RATEC, DISC.
Метод. Метод итеративной регуляризации Фридмана B-й вариант) при
известном (заданном) точном решении (в модельном примере) согласно
формулам D.276), D.115), D.116), D.119), D.120), D.122), D.123), D.277)-
D.280), D.293) —D.296), D.301)— D.303).
Примечание. В памяти ЭВМ запоминается лишь верхний треугольник
квадратной симметричной матрицы G (см. D.122)).
472
'SKIED2: PROC<F#X,L»YT»S#N,KERN,SIGMA,MMAX,
OUT1,0UT2,0UT3,RES,Y,XER>;
OCL <<F,X><*>,<YT,S,Y><*>,SIGMA,RES<6>> BIN FLOAf?
DCL <<L,N,IER> FIXED,MMAX FIXEDC31)) BIN;
DCL KERN ENTRY RETURNSCBXN FLOAT);
DCL (OUT1,OUT2,OUT3> ENTRY RETURNS<В IT<1>>?
DCL XNI ENTRYC , «BIN FIXED/ ),'
CALL XNI(X,I,?,IER> ;
IF IER&C THEN CALL XNI <S , N , 2 , I ER) ,#
IF >4(SI6MA>e & SIGMA<2 $ MMAX>«1) THEN lER=IER*2;
IF IERs» THEN
BEGIN* OCL (NORM12,NCRMC,LAMBDA,RATEL2,RATEC,DISC)
ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
OCL <P<L>»(R*FF,YM,YM1)<N),Z<L,N),G<N*<N+1)/2>,
RL2,RC,NU,N0RMM,SL2.SC,BETA) BIN FLOAT;
DCL <M«,M) BIN FIXEDC31);
CALL COEF(X,P>; CALL COEF($,R);
CALL ZGF<F,X»P»L,S,R,N,KERN,Z,G,FF);
RL2=NORML2<YT,R); RC=NORMC<YT);
NU = $IGMA/l.AMBDA<G,N> ;. Y,YM,YM1»«;
NORMM=RATEL2(Y,YT,R)/RL2; М0=в;
DO M=1 TO MMAX;
CALL S0L3<G,FF,YM1,NfNU,YM>;
IF OUT1CM) THEN CALL TYPE5(M,YM>;
SL2~RATEL2<YM,YT,R)/RL2;
IF OUT2(M) THEN CALL TYPE7(M,SL2>;
IF SL2<NORMH THEN DO; NORMM=SL2; M9*H; YSTM/ tNDf
IF 0UT3CM) THEN DO,* SC = RATEC < YM , YT W RC ;
CALL TYPES(M,SC>; END;
ymi=ym;
eno/*m*/;
resA)=m0; beta=disc<f»p,l#y,z>;
resB)=sqrt(beta); resC)=resB>/norml2(f,p)?
resc4)=nori4l2cy,r>; resE) = ratel2(y,yt,r);
re$F)=normh;
END FRIED2;
8.6. МОДУЛИ ПЛ-1-ПАКЕТА
Ниже приведены тексты модулей (уровня >2) ПЛ-1 -пакета (за исключе-
исключением DGELG, SIMQ, MFSD, MTDS, SINV [591]). Модули оформлены в виде
процедур-подпрограмм и процедур-функций. Инструкции и комментарии
к ним не приведены, поскольку, во-первых, их тексты весьма близки
к текстам алгольных (см. п. 5.6) и особенно фортранных (см. п. 6.6) мо-
модулей, а, во-вторых, пользователь пакета непосредственно к ним обраща-
обращаться не будет.
XNI: PROC(X,N,NMIN, IE.R) ,'
OCL <X<*> FLOAT,<N,NMIN,IEft,I) FIXED) BIN;
IER30f
IF N<NMIN THEN IER=1; ELSE IF N>1 THEN
00 lei TO N-1;
if xci)>sx(iti> then do; ier=i; goto finish; end;
end/*i*/;
FINISH:
END XNX;
YDY: PROC<F,X»D,N,KERN,K,Y,DY>;
DCL (F,X»D,Y,DY> (*) BIN FLOAT;
DCL <N,K> BIN FIXED;
DCL (KERN,F2) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT);
DCL (A,X2,H22,K21,HY,D2,XI,KI1,G,S,RI,KIJ»
DI,XJ1.XJ.XJ11,XK»KIJ11'KYH> BIN FLOAT;
DCL (I#I1»J»J11) BIN FIXED;
2 (HJ ,HJ1 У , KY1 , KY,KY1 1 > BIN FLOAT,'
AsXA>; X2=XB>; H22a(X2-A)/2; K21=KERN(XE#A>f
HY=H22*YA>; D2=D<2);
do 1 = 3 то n; xi = x<d; 11 = 1-1; kii = kern<xi,a>;
kii*y<i>; kij*kern<xi#хг>;
di = d(d;
do j = 2 то и; xji = x<j-i>; xj*x<j>; jh*'j-»
xjii=xcjii>; xk=<xjii-xji)/2*ku;
G=G*K*xK*Y<j>; ss=s + xk*dy(j>; hjh=xji i-x
IF J=I1 THEN Y<I)=G/Di;
KIJ11sKERNCXI,XJ11>; KY11sKIJ11*Y(J11>;
473
KYH=f2(hio; ri=ri~hj**3*kyh;
if j<11 then oo; hj = hjh; kyi=ky;
kij = kxjii; ky = kyh; end;
end/*j*/;
RI=<RI-<XI-X<I1))**3*KYH)/12?
END/*i*/;
END YOY;
coef: proc(s,r>;
dcl <s,r)<#) bin float?
dcl <n,n1,j) bin fixed;
n=dim<s,i>; ni*n-i;
IF M>2 THEN
OO J = 2 TO N1;
R(N)=.5#(S(N)-S(N1>>;
END COEF;
ENP/*J*/;
REM: PRDC(Y,X»N,KERN,R) ;
DCL ( < Y , X , R > < * > FLOAT,N FIXED) BIN,*
DCL (KERN,F2) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT);
DCL <A,X2,HN3.XI»RI»XJ11.KYH> BIN FLCAT;
DCL (N1,Z,П,J,J11) BIN FIXED;
DCL 1 HK#
2 (HJ,HJ11»KY1/KY,KY11) BIN FLOAT;
A=xci); X2=x<2); ni=n-i; hn3=<xcn)-x<ni
do 1 = 1 то n; xisx<d; 11 = 1-1; Rise;
mj=x2-a; kyi=kern<xi#a)*yci
do j = 2 то ni; jh = j*i; xjii =
KY11=KERN(XI,XJ11)*Y(J11);
<YH=F2(HK); RI=RI-HJ**3ftKYH;
if j<ni then do; hj = hjh; kyi = ky; ky = kyh;
)**з;
edj/;
RI=(RI-HN3*KYH)/12; R<I)sRi;
end/*i*/;
zsf: proccf,x,p,l,s,r,n,kern,z,g,ff);
ocl <<f.x,p)(*),(s,r,ffx*>,z(«,*),6(*)) bin float;
dcl <l,n) bin fixed;
dcl kern entry returns<bin float)
dcl rho entry returns(bin float);
ocl (r0»rj«sj»f1,61,r1) bin floats
OCL (J.bK) BIN
R0=RHO(R);
00 j=i то n;
00 1 = 1 TO L; Z< I, J)=RJ*KERN(X(I> #SJ) ,* END/*I*/?
end/*j*/;
fis©;
rj=r<j); sj=s<j);
z< i, j)=rj*kern(x(i> #sj)
do к=1 то n;
00 j = k то n;
эо 1 = 1 то l;
IF J=N THEN
? n 0 / * i * /;
Risp(D/R#*z<if k) ;
F1sF1*R1*F<I>;
# J);
F F < К ) = F 1 ;
end/*k*/;
end zgf;
CKK: PROCCStR«N#Q,CKtCK1);
DCL C(S,R,CK)<*) ,Q,CK1 <*)) BIN FLOAT,*
DCL RHO ENTRY RETURNS(BIN ' FLOAT);
OCL (R0,HB:N)) BIN FLOAT,'
dcl u,к) bin fixed;
00 j=2 то n; h<j)=s(J)-s<j-i); end;
ck<1)=i/h<2);
IF N>2 THEN
do к=2 то n-i; ck<k) = i/h<k)+i/h<k*d; end;
CK(N)s1/H(N);
DO K = 1 TO N'* CK<K)sA4Q/R(K>*CK(K))*<R<K>/R0>;
do к=г то n; cki<K)=-q/hck)/R0; end;
end ckk;
474
$014 ! pkb't < G , F F # С К , С К 1 , N , AVPHA"* Y , F A ! Г» А) ,*
OCl <<G,A><*>, <FF,CK»YX*>,CK1<*>,ALPHA) В JJ> .(FWAT?
OCL N BIN FIXED,*
dcl fail label;
dcl <k,j#i) bin fixed»'
DCL <C,EPS INIK1E-6)) BIN FLOAT,
DCL A1 DEC FIXEDC1»0> BA$E0<A2>;
DCL Y1 DEC FIXEDA«0) BASED<Y2>;
DCL (N1 »IER1 »N2, ЮР, IER2) BIN FI
do к=1 то n;
do j=k то н; i=k>j*<j-i)/2;
IF J=K THEN C=CK(K>; ELSE
IF 4 = K + 1 THEN C = CKKJ>; ELSE.
CALL MFSD<A1#N1#EPS#IER1)?
IF 1ЕЙК0 THEN GOTO FAIL»'
Y2=ADDR<Y>; N2=1; A2aADDR
CALL MTDSCY1 #N1 #N2# A1 # IOP# ICR2)-;
IF IER2n=0 THEN GOTO FAIL»
Ind soli;
DCL 1 ATFPM,
2 (ALPHA1#THETA»ALPHAF#ALPHAP#ALPHAM> BIN FLOAT?
DCL <BN<O»MUf DElTA'KSbALPHAD) BIN FLOAT»
DCL OUT ENTRY RETURNS<В ITA));
DCL <M,IA) BIN FIXED»'
DCL H BITd );
DCL <O2ETA,D2# AM, ALPHA, ВЬКЬОП BIN FLOAT;
M=IOG<ALPHAM/ALPHA1)/LOG(THETA>*1.5;
E=KS!n=0; IF nE THEN D2ETA«0ELTA**2+tfU;
D2=0# IAs0; AM=ALPHAP/SQRT(THETA)i
ALPHA=ALPHA1/THETA?
DO WHILE<ALPHA>=AM>;
alpha»aipha*theta; i
IF E THEN
kisbi-dzeta;
IF OUT(ALPHA) THEN CAlL TYPE2<ALPHA#В I,DZETA)t
P/i = ABs<Ki);
•IF IA*1 ! <AIPHA>?ALPHAF * t>\<pt) fHEH DO;
O2 = D1? ALPHAO=AIPHA Ы!В
goisc;
UVLF: PROC<F,X,L»KERN,KHN#UVLFW>;
DCL <F#X> <*) BIN FLOAT;
dcl l bin fixed;
DCL KERN ENTRYCBIN FLOAT) RETURNS<BIN FLOAT??
PCL 1 KHN,
2 <<CK,HK,DK,HW> FLOAT,NW FIXED) BIN;
DCL 1 UVLFW» 2 UVLW,
3 <UW,VW,LW)(•) BIN FLOAT,
г fw<*> bin float;
DCL Q12 ENTRYCBIN FLOAT, , );
DCL <NK,bK) BIN FIXED,'
DCL CW,REL,IML,REF,IMF,B3,BVrBS,B6rB7#
XI1 ,HI1 ,Q1 ,Q2, FH > BIN FLOAT,*
NK=<DK-CK)/HK*1.5;
BEGIN; DCL KX(NK) BIN FLOAT;
do 1=1 то nk; kx<I)=kern<ck^hk*<i-i>>;
do к = 1 то nw; w=hw*(k-d;
CALL !NF<KX,KX,CK,HK.DK,W,|)EL*XML);
REF,IMF=«; B3=W*XA>;
b^=fA)*sin(b3>; B6=F<i>*cos<B3>;
DO I»1 TO L-1; XI1=XA*1); HI1*XI1«X(!)f
CALL Q12(W*HI1,Q1,QE);
B3=w*xn; fiicf<i + i>;
B7=FH*cos<B3);
В6=В7;
475
END/*!*/?
LW<K>=REL**2*IML**2;
FW<K>sSQRT<REF**2+IMF**2>?
end/*k*/;
end uvlf;
inf: proccf1,f2,c,h, d,w,icis>;
ocl <<f1,f2><*>»c»h,d,w,ic,is> bin float?
dci <i,i> bin fixed;
DCL <Q1,Q2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,$1,S2,B9> BIN FLOAT;
DCL Q12 ENTRYCBIN FLOAT/ . >;
r Ls<D-O/H*1 .5;
CALL Q12(W*HfQ1.02);
B3«W*C; B4*SIN<B3>; B5«C0$<B3>? B6=W*D? B7*$!N<B6>? B8=C0S(B6)
si,s2=e;
IF L>2 THEN
DO 1=2 TO L-1? B9=W*<C*H*(I-1>>;
S1s$1*M<I)*C0S<89>; S2eS
END/*!*/;
IC=H*(F1<1>*<Q1*B5-Q2*B4)*2*Q1*S1*F1<L>*<Q1*B8*Q2*B7));
IS=H*<F2A)*(Q1*B4+Q2*B5)+2*Qi*Sa*F2CL>*<Q1*B7-Q2*B8));*
END XNF;
012: PROC(B1,Q1,Q2>J
DCL(B1 #Q1 #Q2) BIN FLOAT,*
DCL (EPS INIT(.1)»B2) BIN FLOAT;
B2*B1**2;
IF ABSCB1XEPS THEN DO;
d1=.5-B2/24*<1-B2/30*<1-B2/56)>;
Q2 = B1/6*A-B2/20*<1-B2/<i2*<1-B2/72))); END?
else do;
qia<1*C0S(B1>)/B2t Q2e<1-SIN<BD/Bi>/Bi; END*
END Q12;
: PROC<UVLW,HW,NW,SUP,Q,ALPHA,S#N,Y>;
OCL 1 UVLW,
2 <UW, VWr LW) <¦) BIN FLOAT»'
DCL <HW,Q,ALPHA,<S,Y)<*)) BIN FLOAT;
DCL <NW,SUP,N> BIN FIXED»'
DCL SIGMA ENTRYCBIN FLOAT» ) RETURNSCBlN FLOAT)*
dcl inf entry< , ,bin float, ,,,,)',
dcl <q2»p1 init<3,1^1593),wm,mw,w#
e«g,<6aw,haw><nw),yc#ys) bin float;
dcl ck,j) bin fixed;
Q2=2+q; um=hw*(nw-i); mu=i;
do к«1 то nw; wshw*(k-i>; '
IF SIGN(Q2)># THEN MU=U**Q2;
E3LW(K)+ALPHA*Mw; G=SIGMA<W/WMrSUP)/E;
do j=i то n;
CALL INF<6AU,HAU,#,HU,WMfS(J>fYC#YS>;
Y(J)*<YC4YS)/Pi;
eno/*j*/;
END S0L2;
<$0L3: PR0C<6,FF»Y1,N,NU,Y);
DCL <G<*>#<FF#Y1,Y>(*),NU) BIN FLOAT?
DCL N BIN FIXED;
dcl <k#ki,j,i> bin fixed;
dcl a bin float;
do K=t то n; asff<k>; ki=k*<k-i)/*•
00 j=t то n; if k>=j then i«ki*j; else i*k+j*<J-1>/2#
AsA-G(I)*Y1<J);
END/*J*/'
Y<K)=Y1(KLNU*A;
eWD/*K*/;
END S0L3;
F2: PROC(HF) RETURNSCBIN FLOAT)?
DCL 1 HF,
2 <HJ,HJ11,FJ1,FJ,FJ11) BIN FLOAT;
DCL .НИ BIN FLOAT;
RETURNB*(FJ1/HJ/HH-FJ/HJ/HJ11^FJ11/HH/HJ11>>;
END F2;
476
QAT: PROC<Q,ATM> RETURNS<BXTA)>;
DCL Q BIN FLOAT;
DCL 1 ATM,
2 <ALPHA1,THETA,ALPHAM> BIN FLOAT?
RETURN<Q>s0 ft ALPHA1>=ALPHAM ft ALRHAM>«
ft THETA>0 ft THETA<1>;
END QAT;
CHO: PR0C<C,H,D> RETURNS(BITA>>;
DCL <<C,W,D> FLOAT,N FIXED) BIN;
IF H<»0 THEN RETURNC 0'B> ,"
ELSE 00; N=<0-C)/H*1.5; RETURN(N>=2); END;
END CHD;
RHO: PROC(R) RETURNS(BIN FLOAT)?
DCL R<*) BIN FLOAT;
DCL C(N,J) FIXED,A FLOAT) BIN;
N=DIM<R,1>; A=2*(RA)*R(N>);
IF N>2 THEN
DO J = 2 TO N«1? A = A*R<J); END,*
RETURN<A/N>;
END RHO;
DISC: PROC<F,P,L#Y,Z> RETURNS<BIN FLOAT)?
ocl ((FiP)(OiY{*),z(»,o> bin float;
ocl l bin fixed;
dcl <<d1*d2) float,i fixed) bin;
01=0;
do 1 = 1 то l; d2ssum<zu,*>*y>;
D1=D1¦?<!)*(D2-F(I))**2r
END/* I*/,*
returnco1);
end disc;
PROC<Y,R> RETURWS<BIN
DCL <Y,R><*> BIN FLOAT;
RETURN<SORT<SUM<R*Y**2)))#
END NORML2;
normc: proc(y) returns(bin float),*
dcl y<*> bin float;
o:l <n,j> bin fixed:
ccl <a,b) bin float,'
n=dim<y,i>; A=e;
do j=i то n; b=abs<y<J)); if b>a then a=b; end;
RETURN(A);
end normc;
RATEL2: PROC <Y1 # Y2» R) RETURNS<BIN FLOAT),'
OCL <Y1..Y2.R><*> BIN FLOAT;
RETURN<SQRT(SUM<R*<Y1-Y2)**2)));
END RATEL2;
PR0C(YbY2) RETURNS(BIN FLOAT?/
DCL <Y1#Y2)<*> BIN FLOAT;
ocl <w,j) bin fixed;
DCL <A,B> BIN FLOAT;
n=dim<yi,i); A=e;
00 j=i то n; b»abs<yi(J>&V2<J>i;
IF B>A THEN А=В;
end/*j*/;
RETURN<A>;
E.HD RAT6C,-
477
PRO:<X,L1> RETURNSfBIN FLOAT);
DCL <X(*> FLOAT,L1 FIXED) BIN;
DCL L BIN FIXED;
DCL <PI INIT<3.141593)#DXM#WK) BIN FLOAT;
return(wk/lo;
d domega;
Sigma: proc<wrel,sup) returns<bin float)-
DCL (UREL FLOAT,SUP FIXED) BIN;
DCL <S,PI INITC.141593),G,EPS IN|T<1E-S>> BIN FLOAT,*
IF SUP=1 THEN S»1;
ELSE IF SUP=2 THEN DO;
gpi/2wr
if abs<gxeps then s*i; else s = sin<g)/g; end;
else s=i-wrel;
return(S) ;
end sigma;
LAMBDA: PROC<G»N) RETURMS(BIN FLOAT);
DCL <G(*) FLOAT,N FIXED) BIN,'
DCL <A FLOAT»<K,K1,J,I) FIXED) BIN;
DO K«1 TO N; K1=K*(K*1 )/2? .- „ .,
DO J=1 TO N; IF K>=J THEN I=K1*J? ELSE I=K+J*<J-1)/§r
**г;
return<sqrt<a) ) ;.
end lambda;
COISC: PROC(Q,ALPHA,HW,NW,LW,FW) RETURNS<BlN FLOAT)?
DCL @,ALPHA,HW,(LW,FW)(*)) BIN FLOAT;
DCL NW BIN FIXED;
DCL <Q2,MW,D,W,AM,AK,PI I NITC.1A1593>) BIN FLOAT;
dcl к bin fixed,'
Q2»2*q; mw=i; d=»;
do к=1 то ww; w=hw*(k-i); if Q"*se then mw=w**Q2?
AM=ALPHA*MW; AK=1; IF Ks1 ! K*NW THEN AK=»5;
(nd/*k*/;
return(hw/pi*d);
end cdisc;
TYPE1: PROC<ALPHA,V);
DCL (ALPHA,Y(*)) BIN FLOAT;
PUT SKIP EDIT<'ALPHA=',ALPHA#' LfrULPHA)*'»
LOG10(ALPHA))<A#E<13,6),A,F<7»3));
put skip listcsolution ya lph a ( s ):'),*
put skip list<Y); put skip;
END TYP61;
TYPf2! PROC<ALPHA,BETA#DZETA);
DCL <ALPHA#BETA#DZETA) BIN FLOAT?
PUT SKIP EDITCALPHA*'#ALPHA,'ВЕТА^',BETA#
'OZETAs'#DZETAr' KAPPA**,BETA-DZETA#
'LG<ALPHA)='#L0G1fll<ALPHA),'LG<BETA)='#
LOGIC(BETA),' LG(DZETA)='#L0&10(DZETA))
XE)#2(A#EA3#6)),SKIP»
A»FG»3
TYPE2;
TYPE3: PR0C(ALPHA,SL2);
DCL (ALPHA.SL2) BIN FLOAT;
PUT SKIP 6DIT<'ALPHA=',ALPHA,' LG<ALPHA>*'#
LOG10(ALPHA)»'N0RML2='*SL2)
?ND TYPE3;
478
TYPE4: PROC<AIPHA.SC>."
DCL (ALPHA.SO BIN FLOAT;
PUT SKIP EDIT('ALPHA=', ALPHA,' LGULPHA)*'
L0G1»<ALPHA)*'NORMC ='#SC)
(A,EA3.6)#A#FG,3)#X<3bA#E<13»6>);
put skip;
end typ64;
Types: proc<m#y>;
ocl <m fixe0<31),y<*> float) bin;
put skip edit('m=',m)ca»f<7>>;
put skip listcsolution ym($>:')#"
put skip listcy>; put skip;
emd types;
TYPE6: PROCCM,BETA,DZETA);
OCL <M FIXEDC1),<BETA,DZETA) FLOAT) BIN;
PUT SKIP EDITCMs'fMt'BETAMs',BETA,
'D2ETAM='#0ZETA#' КАРРАМг',BETA-D2ETA*
'LG(M)=',L0610<FLOAT(M)),'LG<BETAM>s»,
LOG1«(BETA),' L©<DZETAM) = ',LOG10<02 ETA))
XE)»2(»
<Af E A.3,6) >>;
TYPE7: PROC(M,SL2);
DCL <M FIXE0<31),SL2 FLOAT) BIN;
'PUT SKIP EDlTCMs' ,M,' LG(M)s'#
L0 610<FLOAT<M)),'N0RML2=',SL2)
<A.
END TYPE7;
TYPE8: PROC<M,so;
DCL (M FIXED<31),SC FLOAT) BIN;
PUT SKIP EOIT<'M=',M,' LG<M)='#
LOG1«(FLOAT<M)),'NORMC =',SC>
types;
8.7. ТЕКСТ ТЕСТОВОЙ ПРОГРАММЫ TESTPL1
Эта программа является тестовой для веек модулей ПЛ-1-пакета (кроме
модуля GDISC).
TESTPL1: PROC OPTIONS (MAIN);
testi: begin;
К: PROC(X»S) RETURNSCBIN FLOAT);
DCL <X,S) BIN FLOAT;
RETURN<1-<X-S)*EXP<2*X>):
eno к;
DCL <(F#X#Y.DY)F7)/DC2:67>#A1#A2#XI#A3) BIN
DCL (I»IER> BIN FIXED;
PCL <KrF2) ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
DCL 1 HK,
2 <HJ#HJ11,KY1,KY»KY11) BIN FLOAT?
DCL V0LTS1 ENTRY< . ,BIN FIXED. ,BIN FLOAT/ # # )?
DCL YDY ENTRY< , , ,8IN FIXED, ,ЫН FIXED, t >#'
hj=i.6; hjii=2.2; KYis.e; ky=i.3; kyi1=1.2;
A1=C0S<1); A2=SIN<1>;
DO 1 = 1 TO 67; IF К=ИЗ THFN XI» - 1 E0* С 1-1 > ;
ELSE IF I< = 27 THEN X 1*1 .2*.»5E0*<1-13>;
ELSE IF I< = 47 THEN X I = 1 . 9+ . 02 Ев * < 1 -27 ) ;.
ELSE XI = 2 .3+.01 E0* A-^7) ; XCDsXi;
IF I>1 THEN D<I)=1-(XI-X(I-1))/2«K.(XbXI>;
A3=EXPB*XI>;
479
PUT SKIP EDITCTEST1: F2(X)s',F2<НЮ><A#E<13,6))#
CALL V0LTS1<F,X,67,K,1E-S,Y,OY,IER);
PUT SKIP EDITC V0LTS1 : I ER= ' , I ER ) ( A , F < 1 ) > '.
IF IER = 0 THEN DO;
PUT SKIP LIST <'SOLUTION Y<XJsO;
PUT SKIP DATA<Y);
PUT SKIP LISTCERRORS OF SOLUTION DELTAY(X> = ' >?
PUT SKIP DATA(OY);
CALL YDY<F,X,D,67,K,1 ,Y*DY) ,* i
PUT SKIP LIST СYOY: ');
PUT SKIP 0ATA(Y>;
PUT SKIP DATA(DY);
END TEST1J
TEST2: BEGIN?
K: PROC(X,S) RETURNS<BIN FLOAT)?
DCL (X,S) BIN FLOAT;
RFTURN<2*X**2-S**2>;
6np к;
DCL <<A#H,B> FLOAT,<м#biER> FIXED) BIN?
a=0; н=.05; Bs3.5; u=<b-a>/h+i.5;
BEGIN; DCL <F,X,Y,DY)<N) BIN FLOAT;
PCL VOLTF1 ENTRY< , , » ,BIN FLOAT, , , ),
DO 1=1 TO N; X(I)sA+H*(!r1>: F<I)=X<X>**2; END/*I*/J
CALL VOLTFICF/X^N/KHE-IS/Y^OY.IER);
PUT SKIP<2) EDIT<'TEST2(V0LTF1): IER='#XER)<A, F<1>W
IF IER=0 THEN DO;
PUT SKIP LIST('SOLUTION Y(S)s');
PUT SKIP DATA(Y);
PUT. SKIP LISTCERRORS OF SOLUTION DE LTAY С S ) = ' ) ;
PUT SKIP
END TEST2;
TEST3: BEGIN;
Kj PROC<X,S) RETURNS(BIN FLOAT);
DCL (X,S) BIN FLOAT;
DCL P BIN FLOAT EXT;
RETURN<P/(.64*C0S(<X+S)/2)**2-1>>;
END K;
G3 : PROC(X) RETURNS<BIN FLOAT);
DCL X BIN FLOAT;
RETURN(COS(X));
END G3; '
DCL <<PI,H,A1> FLOAT,<N,I/IER) FIXED) BlW?
DCL G3 ENTRY RETURNS(BIN FLOAT);
PI«3.141593; N=37; H=2*PI/(N-1);
BEGIN; DCL <<F,X,Y,DY,R)<N),XI) BIN FLOAT?
DCL P BIN FLOAT EXT;
•p= .з/Pi;
do 1=1 то n; x<i)/xi=-pi+h*<i-i);
A1=128E»/17*COS<2*XI);
F<I)=G3(XI)*(8.5+A1)+16.5-16*SIN<XI)**2-A1?
E N 0 / * I * / ;
CALL FREST1<F,X,N»K,&3»Y,DY,IER>;
PUT SKIPC2) EDITCTEST3: ' ,'FREST1 : IER=',IER>
<A,SKIP,A,F<1>>;
IF IER=0 THEN DO;
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y<X)='>;
PUT SKIP DATA(Y);
PUT SKIP LISTCERRORS OF SOLUTION ABS < DE LT A Y < X) ) s ' > ,*
PUT SKIP DATA(DY):
CALL REMCY , X ,N, К , R> ',
: PUT SKIP LISTCREM: REMAINDERS OF QUADRATURES');
PUT SKIP DATA(R);
END TEST3J
TEST4: BEGIN?
KERNEL: PROC<X,S) RETURNS(BIN FLOAT)?
dcl. <x,$) bin float;
RETURN(P/(.64*C0S((X+S)/2)**2-1)>;
END KERNEL?
G3 ! PROC(X) RETURNSCBIN FLOAT);
dcl x bin float;
RETURNAE-6*C0S(X));
€ND G3?
DCL (<(F*XfУ*DY>C7),PX,HfLAMBDA,P#XItYT) FLOAT*
<I,IER> FIXED) BIN?
480
DCL 63 ENTRY RETURNS<BIN FLOAT);
D С L E В I T < 1 ) ;
DCL (FREST2»FREST1) ENTRYC , ,BIN FIXED» $ » , . )#
pi=3.141593; h=pi/is; lambda=ie2; p=lambda*.3/pi;
do iri то 37; x<n ,xi = -pi + h*ci-i);
YTse.'5*128E0/i7«COSB*XI>;
F<I)=G3<XI)*YT-LAMBDA*<YT-25-M6*SIN<XT>**2>;
CALL FREST2<F,X,37,KERNEL,G3,Y,DY,IER>;
PUT SKIPB) EDITCTESTA: ' , 'FREST2: IER*',IER>
<A,SKIP,A,F<1)>;
¦IF IER>0 THEN GOTO FINAL;
PUT SKIP LISTC'SOIUTION Y(X>='>;
PUT SKIP DATA<Y>;
PUT SKIP LISTCERRORS OF SOLUTION ABS (DE LT AY < X> > = 5 '
PUT SKIP DATA(DY);
CALL FREST1<F,X,37,KERNEL,63,Y,DY,IER>;
PUT SKIP LISTCFREST1 : SOLUTION Y<X> = '>;
put skip datacy);
PUT SKIP LISTCERRORS OF SOLUTION ABS <OE LTAY < X )>*')
PUT SKIP OATA(DY);
FIKAL:
tests: begin;
kern: proc<x1,s1.x2,s2> returns<bin float);
dcl cxi#si,жг. S2> bin float;
8ETURN(ALPHA*A-.5E-3*<<X1-S-1)**2*<7*X1)
¦<X2"S2>**2*(8+Xa>)>>;
END KERN;
G2: PROC(X1,X2) RETURNSCBIM FLOAT);
DCL <X1,X2) BIN FLOAT;
RETURNd ) ;
END G2;
DCL <<F,Y)A1,7).X1<11>»X2G) ,
ALPHA»X1I,X2J,A1, A2) BIN FLOAT;
DCL <I»J,IER) BIN FIXED,*
DCL FREST3 ENTRYC , , BI'N FIXED, ,BJN FIXED, ,,,),*
ALPHA=.1;
DO 1=1 TO 11; X1(I)=-2*1E0*(I-1>;-END/*I*/;
DO J=1 TO 7; X2<J)s-1*1E0*<J-1>; END/*J*/;
DO 1 = 1 TO 11; X1 I = X1 <I> J A1 = 50-(X1X-3>**2;
<X1I*2>**3)-.25*X1I**2*1.5*X1I-6>;
DO J = 1 TO 7; X2J = X2< J > ."
Y<I#J)=A1-2*<X2J-2)**2;
FCI,J>sY<I,J)*A
CALL FREST3(F,X1> 11 ,X2,7,KERN,G2,Y,IER);
PUT SKIPB> EDIT('TEST5CFREST3) : IER=',IER)<A#F<1>O
IF IER = O THEN DO,*
PUT SKIP LIST('SOLUTION Y(X1,X2>*'>;
PUT SKIP DATA<Y>; END;
END TESTS,*
7est6: begin;
nucl: proccx»s) returnscbin float);
dcl <x,s) bin float;
return(v*exp<-4*<x-s>**2>);
end nucl;
kernel: proc(x) returnscbin float);
dcl x bin float;
return(v*exp<-4*x**2));
end kernel;
31 5-1018 481
0UT1J PROm> RETURN$CBlT<1*)W
DCL CA,B) BIN FLOAT;
в=а/1ез;
return(abs (a-1 e-3x = b ! abs(a-1e-7)<=b j
abs <a-1 e-1 ax = b) ;
END 0UT1;
0UT2: PROC(A) RETURNS(BIT<1 )>;
DCL (A FLOAT,К FIXED) BIN,'
|OLOG<A/ALPHA1>/T+e.5;
RETURNCMODCK,2)s0);
END OUT2;
OUT: PROC(M) RETURNS(BZTA>>;
DCL M BIN FIXEDC31);
PETURN(M=1 J М=1в ! Md00 ! M=1OOO>;
END OUT;
DCL CV,T,ALPHA,Q,DELTAF#KSI,CX,P>C29>,
CS,YT,Y1,R,FF#CK,Y,YD,Y0)C11>,
CG,A)C66),CK1C2:11)#RES7C7),
RES*4C4),RES6<6),Q1 ,Q2,KXC33) ,
1С, IS, RA<49> , LAM) BIN FLOAT,'
DCL BB9,11 ) ,8A1,29)) BIN FLOAT CTL,'
DCL 1 ATM,
2 (ALPHA1,THETA'ALPHAM) BIN FLOAT;
DCL (l#N,I,J,IER1,IER2,IER3,IER,SUP) BIN FIXED}
DCL CE1,E2,E3) BITA),*
DCL 1 KL,
2 CCKERN,HKERN,DKERN) BIN FLOAT»
2 <LbL2) BIN FIXED»'
DCL 1 KHN,
2 ((CKERN1,HKERN1,OKERN1,HW) FLOAT,NU FIXED) BIN;
DCL FC29) BIN FLOAT I N IT(.Ф138, . G317, .0539,
.•863,.1338,.1873..2641,.3490,.4367,.5220,
.6181*.6874».7417».780 5,,7993#,7835».7445»
.6814,.6208,.5331#.4312,,3446».2708».1868,
.1327,.0986,.0632,.0317,.0242);
DCL 1 UVLFW, 2 UVLW,
3 <UW,VW,LW)B9) BIN FLOAT,
2 FWB9) BIN FLOAT,*
DCL XNI ENTRY( ,BIN FIXED,BIN FIXED* ),'
DCL QAT ENTRYCBIN FLOAT, > RETURNS(ВITA));
DCL СИО ENTRYCBIN FLOAT,BIN FLOAT,BIN FLOAT)
RETUPNS(BITA ) ) ,*
DCL <RHO,DISC,NORML2,NORMC,RATEL2,RATEC,DOME6A#
CDISC, LAMBDA) ENTRY RETURNSCBIN FLOAT)»*
DCL Q12 ENTRY(BIN FLOAT, , К
DCL SIGMA ENTRYCBIN FLOAT,BIN FIXED)
RETURNS(BIN FLOAT);
DCL KERNEL ENTRYCBIN FLOAT) RETURNSCBIN FLOAT)?
DCL CONV4 ENTRYCBIN FLOAT,BIN FLOAT,BIN FtOAT,
BIN FLOAT,BIN FLOAT,BIN FLOAT, , , , • , , ) ,*
DCL CONV5 ENTRYC ,BIN FLOAT,BIN FLOAT,BIN FLOAT,
Г BIN. FLOAT,BIN FLOAT,BIN FLOAT, , f , , , , f >*,
DCL $013 ENTRYC , , 9 ,BIN FLOAT, >;
DCL mED1 ENTRYC , , , , , r • *
BIN FLOAT,BIN FI&EDC31), ,,,#);
DCL FRIED2 ENTRYC ,,,,## #BIN FLOAT,*
BIN FIXEDC31), , , # # r )»*
VsSQRTC4E0/3.141593);
ALPHA1=1E-2,- THETA = 1E1; ALPHAMsi E-16;
TsLOGCTHETA);'
L9;
do i«i то l; x<x>»-i.4*,ie«*ci-i>; end;
do j=i то n; scj)*-i+,2E0*(j-i);
ytcj)=c1-scj>**2)**2? y1cj)=«;
end/*j*/;
PUT SKIPC2) LISTCTEST6:');
CALL XNICX,29#2,IER1);
CALL XNICXH ,2,IER2);
CALL XNICYT,11,2,IER3);
PUT SKIP EDITC'XNI: IER1=',IER1,•IER2='#
MD);
482
ALPHAM*1E-1;
PUT SKXP EOlTCQATt fc1* ' , Eb ' E2*> , 12 , # E3*' #
E3,'E4.«'#QAT<1,ATM>)D (A rB A) , X <2) ) ) ;
ALPHAM*1E-16?
PUT SKIP EDITCCND: E1 = ' «CHDC-1.4» .Ы.4)г
<-1,4#,1f-1.39>*
CKERN,CKERN1=-1 .6; HKERN,HKERN1*.1t
DKERN#J>KERN1=1.6;
u#L2si-i; sup=2; nw=l;
CALL COEF(X,P>; CALL COEF<S,R>,"
PUT SKIP LISTCCOEF: '>;
PUT SKIP DATA(P); PUT SKXP OATA<R>;
ALLOCATE z;
CALL ZGF<F,X'P'L,S,R,N,NUCl,Z,G,FF>;
PUT SKIP LISTC 2GF: ' >#
PUT SKIP EDITCZtbDs'iZdiD/
'Z<1,6)='#2A,6),'2A,11)=',Z<1,11),
PUT SKIP DATA<G>; PUT SKIP DATA(FF>#
CALL CKK<S,R,N,Q,CK,CK1>;
PUT SKIP LISTCCKK:'>;
PUT SKIP DATA(CK>; PUT SKIP DATA(CK1>r
СА1Л SO|,1 <G,FF#CK»CK'1,N, ALPHA» Y,LABEL1 #A>^
put skip LisTesoir:'>; put skip data(Y>;
PUT SKIP EOIT<»RHO=f,
!DI$C*'#DX$C<FfP| Ui
U
'RATE.L2=' ,RATEL2<Y,YT,R), ' RATEC= ' , RATEC < Yf YT> )
FREE 2;
put skip list(»tikhi:'>;
CALL TIKH1(F,X,l,$,N,NUCL,DELTAF,KS2,Q,ATMf
OUT1,OUT2#RES7,YD»IER>;
PUT SKIP EOITCIERs' ,IER>(R<M1>>;
IF IER>0 THEN GOTO LABEL1; .
PUT SKIP LIST<'RE$UUT='>; PUT SKIP DATA(RE$7>;
PUT SKIP LISTCSOLUTION YALPHAO (S> *' > }
PUT SKIP OATA(YD);
put skip IISTCTXKH2: »>;
CALL TIKH2(F»X,L.YT,S,N,NUCL»Q#ATM,
PUT SKIP LIST('RESULTs'); PUT SKIP 0ATA(RES7>;
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y ALPHAS < S )*');
PUT SKIP DATACYG);
CALL TIKH3(F#X,L,S, N,NUCL/Q, ALPHA, RES<i,Y, IER>;
PUT SKIP E0ITCTIKH3:','RESULT*') <A,SKIP#A>;
PUT SKIP DATA<RES4>;
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y($> = '>; PUT SKIP PATA<Y>#
LABEL1:
ALLOCATE В,'
CALL TXKH<i(X*L«S,N,NUCL,Q,ALPHA,B,IER>;
PUT SKIP EOITCTIKHA: I Eft* ' , I ER> (R (M1 ) > t
IF IER>0 THEN GOTO LABEL2,*
PUT SKIP LISTCMATRIX Bx»>;
PUT SKIP Е01Т('В(Ы) = ',ВA.1>»
fB<6,29)=',BF,29),'BA1,1)*',BA1,1>,
ER<M2>,
CALL TXKH5<F'X,L,S,N,NUCL,ALPHA,B,RES4,Y,IER>;
PUT SKIP EDITCTIKH5:','RESULT»') (A»$KIP,A>;
PUT SKIP DATA(RES4);
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y(S)*'); PUT SKIP OATA<Y>;
433
LABEL2:
FREE В?
^W*DOM<EGA<X, LI ) **
CALL Q12(.«5#Q1 , Q2> ,*
PUT SKIP EDIT<'SIGMA*'.Si<$MA<.$,2b
'DOMEGA=', HW,'Q12: Q1*f #Q1#'Q2*',Q2>
<2R<M2>#SKIP,2R<M2)>;
DO 1=1 TO 33; KX<I)=KERNEL<-1. 6* , 1 E«* <I-1 > > •" END;
CALL INF<KX,KX,CKERN,HKERN»DKERN,HW,IC,IS>;
PUT SKIP &DITCINF: IC= ' , 1С , ' I S*' , I S) <2R <M2> > ;
CALL UVLF<F,X,L,KERNEL»KHN,UVLFW>;
PUT SKIP LISTCUVLF:');
PUT SKIP DATACUW); PUT SKIP DATA<VW>;
PUT SKIP DATA<LW>; PUT SKIP OATA(FW);
PUT SKIP EDITCCDXSCs'*CDISC(Q,ALPHA,HW,NU,LW,FW))<*<M2>>;
CALL SOL2CUVLW,НУ,NW,SUP,Q#ALPHA,S,N#Y>;
PUT SKIP LISTCSOL2:'>; PUT SKIP DATA<Y>;
PUT SKIP LISTCCONV1 :'>;
CALL CONV1<F#X,L#SrN,KERNEL#KL#SUP,DELTAF,KSI,Q,ATM,
OUT1,OUT2,RES7,Y0,IER>;
PUT SKIP EDITCIER=',IER,'RESULT='><R(M1>,SKIP,A>;
PUT SKIP 0ATACRES7);
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y ALPHAO < S> s ' ) ;
PUT SKIP DATA(YO);
PUT SKIP LISTCCONV2:'> ;
CALL COHV2<F,X,l,YT,S,N,KERNEL,Kl,SUP,Q,ATM,
OUT1,OUT2,OUT2,RES7,Y0,IER>#
PUT SKIP EDITC'ieRs',iER,'RESULTs'><R(M1>,SKIPfA>;
PUT SKIP DATACRES7);
PUT SKIP LISTCSOLUTXON YALPHAO < S ) = ' ) '.
PUT SKIP OATA<Y0>;
CALL C0NV3<F,X,l,S,N,KERNEl,Kl,SUP,Q,AlPHA,RES4,Y,I?P>;
PUT SKIP E0ITCC0NV3: I ER= * , I ER , ' RESULT* ' )
(R<M1),SKIP,A); PUT SKIP DATACRES4);
PUT SKIP LIST('SOLUTION Y(S>='>; PUT SKIP OATA(Y);
CALL C0NV4<-1.U,.1,1.4,-1,,2,1,KERNEL«КL,$UP,Q*ALPHA»
RA,IER>;
PUT SKIP EOITCCONVA: I ER= ' , I ER > (R <M1 )) ;
PUT SKIP LISTCTOEPLITZ MATRIX RALPHA=')J
PUT SKIP OATA(RA>;
CALL C0NV5<F,-1.4,.1,1.4,-1,.2,1,KERNEL,KL'Q'ALPHA.RA*
RES4,Y,IER>;
PUT SKIP EDITCCONV5: I ER= ' , I ER , ' RESULT= ' >
<R<M1),SKIP,A>; PUT SKIP DATA(RES4);
PUT SKIP LISTCSOLUTION Y(S) = '>; PUT SKIP DATA(Y);
LAMsLAMBDAF,N> ; PUT SKIP E DI T < ' LAMBDA* ' , LAM > ( Я < M3 > > ,'
CALL S0L3(G,FF,Y1,N,.S/LAM,Y>;
PUT SKIP LISTCS0L3:'),' PUT SKIP DATA(Y>;
PUT SKIP LISTCFRIED1 :'>;
CALL FRIED1 СF,X,L,S,N,NUCL#DELTAF,KSI».S,10C0,
0UT,0UT,RES7»YD, IER) ,*
PUT SKIP EDIT('IER=', IER,'RESULTs'XR(M1) ,SKIPr A>;
P15T SKIP 0ATA(RES7>;
put skip listcsolution ymo<s>s'>; put skip data<yo>;
put skip listcfried2:');
CALL FRIED2<F,X,L,YT,S,N,NUCL,.5,1ta«»
OUT,OUTrOUT, RES6, Yt, IER) ,'
PUT SKIP EDIT<'IER=',ieR,'RESULTs')<R<M1),SKIP#A>;
PUT SKIP DATA(RES6>;
PUT SKIP LISTCSOLUTION YMO<SK')?
PUT SKIP OATA(YO);
M1: FORMAT<A,F<1)rX<2) > ;
M^: F0RMAT<A,EA3,6>?
M3: F0RMAT<A,F<8,4),
.END TE$TPL1;
8.8. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ПО ПРОГРАММЕ TESTPU
Тесты ПЛ-1-пакета на ЕС ЭВМ
484
©©гЧхЧхЧхЧ
!(9Q(93)(SCD
СМхЧ
Q(9
+ + + + + + + + + + + +
+шшшшшшшшшшшш
IU хЧ хЧ lf> хЧ СМ О О 'Л ID 01 VD CJ
СО © СО хЧ *" СО VD ID 4t тЧ N г* М
СО ^ СЛ СО *" СМ N N СО 0*1 ID tJ- VO
СО "fr гГ f CM OD VO ID I4- CM CM 'I* хЧ
О Ю СЛ СМ СЛ М хЧ СМ © © CM CM г1
хЧ N V0 СМ М СМ в VO r< ^ хЧ СМ СЛ
^! ID Н СМ x-i H У» 10 N N x-i хЧ Ф
CM I III
А S S © Ю ? Ю
nn У) vo
id
О Ю S 10 S ID
тч -н см см м м
© Ю
©©©©©©©©©© О©
I + + + 1 + +
©©©©©
I I I I I
I + .+ + I Ч- Ч-
" it rt 10 CO У) хЧ
rt хЧ ID CJ СЛ 0*1
VO «71 rt хЧ С J ID
it хЧ © CJ ID ©
CJ CJ -fr 0*1 Ю
СЛ CO N VO СЛ
it хЧ ID VD CO it CM CM хЧ хЧ С j *
II I I I I
II II II II II II II II II II II II
© io © io © id © ir) © id '© ы
хЧ хЧ CM CM ft it "t rt ID ID VO VD
©®хЧхЧхЧг1хН©тЧСМ
©©©©©©©до©©
©+ + + ч + + + + ! +
Ч*ШШШШЫШЩщШЫ
Ш хЧ хЧ 10 хЧ CM © © (Л Ю CM
СО О О I Tt* CO 40 Ю ^*^* v$ Г^**
& CJ Г-** Г^» СО (Pi Ю
У) Ю N СМ СМ
©ЮСЛСМСЛМхЧСМ©СаС1
хЧ N У) CM М CM хЧ У) г" ** Н
. \П it СМ хЧ* Н У> 10 N N т*
CM I III
I II II II И II Н II II II U
^©Ю©Ю©10©10©10
10 хЧ хЧ CJ CM it М "t * 10 Ю
И d d d d rl
© © © © © © ©
©I++++++++++
+шшшшшшшшшшш
Ш CO Cl (S N CVI tj- rl CO N CJ CM
CO M © CM IO M MO
+ +шш
Ш Ш CO C\l (S N CVI j rl CO N CJ CM
CO -H хЧ CM CO CO M © CM IO M *MO
1П t CO С"нЭ d t t N N У) (J^ CM
-H У) хЧ СЛ 0*1 CO 0*) M VO ** CJ "t ©
CO IO CJ ID M ^ СЛ U") © VD V?» M CO
CO H У) CO vi Ю lD H ® t © CM a
СЛ
* M
. . 0> ri CM CM U") У) И У) -Н
тН ID I I I I
I I II II И II II II II II II II II
|| || ~ Ч " % ^ -Ч
Н х-1 тЧ тЧ СМ ©
м см © © © © © ©
© тЧ © ©
_ _ © © © ©
+ + + I + +
© © I I I I I
Ш Ш № СО Oi ID СЛ СО СО г" СО Ю _
М СО СУ^ СО © У) СО У) У) СО СМ У> Cf>
NlOHCOlOCMNCh СО Л Н © *Г
\0 © © М CM U") © N СМ У) У) тЧ тЧ
М тЧ СЛ тЧ N VD Н N © -г! ¦* СО N
^- 0J Сч! © СМ У) СМ У) Ch r* СО хЧ Ю
М У)
. . хЧ тЧ Tf о^ см хЧ см си cj cj -a-
У) M I I I I I I I
II II II II II II II II II II N
.-% .-\ xf <ft xi- 0*^ ^J- CJ) ^T 0**1 ^- 0*^ V
* Cft хЧ хЧ CM CM M M JT ^t IO 10 JO
. . СЛ r* CJ C»J 10 У) хЧ У) хЧ
хЧ ID I I I I
I I II II II II II II II 11 II
I хЧ хЧ хЧ хЧ хЧ хЧ хЧ хЧ CJ CJ
'©©©©©©©©©©
'¦ + + + + + + + +
1ШШШШШШШШ
» CO CO 0*1 ID rt СЛ © IO"
. . _. _J хЧ rt CO хЧ rt СЛ N хЧ
I N ivi CO CJ © N Cj Г*-- CM N rt
i N © © CO VD ft ID хЧ 0*1 Wit
. . I tt VO M VD N 't CJ © CJ CJ CO
У) IO CM rt ID CO хЧ rt Ю IO СЛ CJ ©
Ю *? хЧ хЧ CM хЧ ID У) Ci ID СЛ хЧ хЧ it
СЛ tJ- I I I I I
i i и д д д и и д ii^ ^ ii^ JJ и
л л it CO M 00 I4! CO MfflMffl Й it
it CO хЧ хЧ CM CJ M M tr rt ID IO VD
J
IO C
хЧ©хЧ©©©
© © © © © ©
I + I- + + 4- I + +
ШШШШШШШШШ
СЛ ^ * N 0* CJ CM Г>- CJ
*Л v Г •
©О
© ©
+ +
CM Г
«*Л ivi
СЛ Г
сой
N СМ У) М CJ CO N У> У) *-
СМ Ю © ¦* it N М хЧ 4D хЧ
хЧ Ы1x4 СМ гЧ СМ СМ N хЧ *t
II II II
II II I! II
II II
СО ivl СО it СО it СО it СО М
хЧ CJ CM it it •* rt Ю ID У)
©хЧхЧхЧхЧхЧхЧхЧтЧ
-н©©©©©©©©©©
©©+Ч-Ч-Ч-Ч- + + + Ч-
I+ШШШШШШШШЫ
Ш Ш СЛ СМ СЛ СО СО СЛ 10 + СЛ
СМОГ^ЮОхЧ^СОхЧтГСЛ
М СМ N it СО СМ © N CJ N СМ
СЛСОГ>-©©СОУ>МЮхЧСЛ
СО М М VO it VD N ^ СМ О СМ
ЧОЮСМ^ЮСОхЧ-в-ЮЮСЛ
I I П II И II II II И П U
©x4x4x4x4x4x4x4x4CJCJx4
,. _ _ _ _J>©©©©©©©©©
©©Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч- + Ч-
I+ШШШШШШШШШШШШ
ш ш © ю м © © it ai см ел vo tt id
"I VD it 0*1 "<t ID rt tt СЛ 0*1 M CO N CO
i СЛ VO хЧ хЧ it rt it rt VD VD © it ID
> *O CJ tt N. ivli *d" N хЧ VO 0*1 N 0*1 N
__.._. |Nx4r4CM^J*©"^*VD
I ID 10 CO in -r\ CJ хЧ CJ
© VO CJ ri N it rt
ID СЛ © У) CJ хЧ N
VD CO CM © VD CM ID
II H II II
H II II II II
-и
©
*
ii ©
л и
5 В
л ,-* CM N CJ N CJ N CJ N CJ N CJ N .
CM N хЧ хЧ CJ CJ it it rt rt ID ID У) VD !
it хЧ хЧ © хЧ хЧ © (
© CJ © © © © © © © С
. . ^- хЧ CJ хЧ 'f ф it rt Ol хЧ хЧ VD
ИЭ © © ©
_______>©©©©
©•33 I I l + l 1+Ч-Ч-Ч-Ч- +
+IШШШШШШШШШШШШ
Ш Ш OD rt ID © N ID CJ © 0*1 © rt N
© N ID it VD CO it it CJ © © © CO хЧ
© хЧ N CJ Tf CO хЧ tt CO M У") ^- CO ©
© © VD ID 05 © N © tt CJ CO ^ VD ID
© rt 0*1 СЭ IO VD VD 0*1 CO 0*1 хЧ IO CO it
© © 0*1 rt хЧ © N N ID ID хЧ хЧ VO Ю
© ft
. . CO хЧ хЧ хЧ rt CTi CJ CJ хЧ хЧ tt 10
© CJ I I I I I I
II II II II II II II II II II II II
л л CJ N CJ N CJ N Ci N CJ N CJ N
> CM Nrlrl CM CJ M lv8 rJ- 't U") ID VD У)
хЧ CJ CJ
©©©
©©
Ч-Ч-
-J
Ш
Cx CJ хЧ CJ тЧ чЧ хЧ © © © хЧ © Q
© CJ © CS © © © © © © © © © ©
Z©©! I I I I I + + + I + +
~ ШШШШШШШШШШШШ
Ш Ш Ш Ш Ш Ш и Ш Ш (j^ Cf\ © d Щ (vK0 If) d 1" Ю
хЧ CM rt it CO © I- © VD IO 0% 0*1 CO © хЧ 0*1 хЧ CM \П ©
I © VD IO СЛ СЛ CO
i ID © хЧ хЧ N V?i Ы
. -J © VD it © VD t
© хЧ
ID M
CO CJ
хЧ 01 хЧ CM \П
M © ID хЧ IO
CJ хЧ M N ID
jmOgrjO
t< CSJ *y C3 ® *pf
© © 4- 4- "
I + Ш Ш
ш ш ai n
VD хЧ хЧ Ы
CO N. VCi ID . . _
VD CJ *J- it © M ©
хЧ M lvi ^O^-WCftt.
хЧ ID ID СЛ Ю У) ai MCO tO . . ^. ^-. •« .^.^ . . . . -
©CO U. . .CJx4x4C0V0VDCMCMx4V0mD
. .1DVDCJCJMVD^CJC0x4x4NO©x4 I I I I I
MfM I III H II II II II И
II || /-*. л л. л л л л л л л л л К л л d У) d У) d Щ d У) d 4) d У)
> N CJ хЧ VO хЧ О CD ID VD tt VD N rt 0*1 CJ CJ CO ID © N
• N © N 0"i Oi U"l © CJ ID ^ rt tD N- M it CO ** Ю CM CM
>ЮМхЧхЧУ) ©У).. : :...•......:.: ......
II II
хЧ © © © © © © © © © ©
©©Ч-Ч- + Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-
I 4- ШШШШШШШШШ
шшошмввм ел см ai
со vo it ai ^- ю ¦<*• м o*i ел tt
ai c*»«)dr'M*M-t«)y>
© VD CJ it N M Tf N хЧ VD 0\
ID Oi © VD CJ хЧ N хЧ хЧ CJ ^*
VO CO CM © VD CM Ю Ю ОЭ Ю хЧ
. .*HWH*WM-tcfi
U") M I I I I I
I I И II II II U И U U В
CJ N CM N CM N CM N Ca
x4T4CJCJMM4ri|
СЗ©хЧ©хЧтЧхЧхЧхЧ
T*i C^ C5 CS5 CS^ СЭ CB СЭ CO 6Э СЕЭ
I 4- ШШШШШШШШШ
Ш Ш 0*» N VD IO ID ivi хЧ CJ *•
^D -H хЧ IO ID CO N- ID rt ID Ы
CO N VD Ю F^- 'd" VD © CO rt VO
d Й ?) S Ю 3 Й M CO Ю M
© 00
. . id vd ci ci м vd ^ ci со*
м <V I „ • I. I
хЧ VO хЧ хЧ CM CJ M I41 rt <& IO
485
© © ©111111+ + +!+ +
+ + { iUiUlUJUJUJUJUJUJUiUJUJUl
ШШ Ш У1 H CM N CO -«H M <fr IO CO VO rl
У) CM Q N OV (\l M CO 0) t d Ю Ci «Л (Л
тЧ M M 00 CM Ю xi xi Ю VO СЛ rt xi С4 IO
ri- vo 00 VD 00 10 *t СЛ О M "Н © CJ Ю О
"* тЧ "t СЛ 00 N "fr N CO тЧ CM iM "fr СЛ Ю
MM VO VO M 10 M M H О СЛ Ф N V0 СЛ
(M Л О
. . . M т< IO VO 00 M CM CM тЧ тЧ CU «fr
тЧ 00 тЧ II I I I I
II К II II II II Н И П II Н И
л л л © io о to со io о in © b © io
CD У") У") rj xi CM CM M M *" * IO IO VO VD
>>
лййййййа'
itLuj
> М Ф
N. © 10 N СМ СО CJi © \П \П СЛ CM xi СМ
N xi IA CJ гЧ VD "* © ч* СО N xi © CM
СМ N Ф 10 ^- VD © т4 Ю И М VD © Ю
^0©^-©ф©©СГ>СЛСМ©ООФг1
1 * 10* VD IO 10 ** СМ* тЧ тЧ N М тЧ тЧ
Н II 11 й II II II II II II II II II
"ч©Ю©10©Ю©10©10©@©
IO xi xi CM CM iA M *fr "t 1П 1П VD VD is.
r \^ \,r *_/
IO M
©©
©©©©©
I I I I I I
UJ UJ lil UJ Ш 111
tMWIMJ»
*• CM 4> *• Ф CM
тЧ 00 CM N -H тЧ VD iA
Ю И 00 © U") VD *• M
©.-* ел vo ел -H cm r*
10 M 00 M N СЛ CO CO
VD. ,
. M tMHHNd
Mill II
I II II И jj II III It
^ © io © io © io о
Ю Г1 7* TJ M ^
^н ел
и ii
IO VO
г4Нт-1<НГМ©©©тЧ©©
MCU©©©©©©©©©©©
©©I I I I I + + + I + +
I 1ШШШШЫШШШШШШ
ш ш ел со oj ю ел oo со н oo ю ©
iA CO <3i GO © VD CO VD VD 00 CM VD СЛ
N Ю -H 00 IO CM N СЛ 00 <7i H © -*
VD © © iA C*J Ю © N CM VO VD И гЛ
iA хЛ S5\ хЛ N VO хЛ N © И "tf 00 N
^t CM CM © CM VD CM VD Cfi t4 05 xi Ю
M VD
. . x\ r\ * № CM гЧ Ы CM Ы CM •*
VD M I I I I I I I
A i jl Д Ji Л Л Л А " Л
¦^ч л * Ch "d- СЛ * СЛ *t СЛ ^- С/1 "?
* СЛ rj тЧ CM CM JJ M J J fj 5 4>
xi xi xi xi xi xi xi xi CM CM CM M
xi xi © © © © © © © © © © © ©
© © I I I I I I I I I I I I
I lUJUIUJUJUJUJUJUJUJUJUJUJ
UJ lil Ы tO 05 C«J ""t VD "tf" M ^ © 05 CO
СЛ M VD У5 © © is- |S- |S- * <*¦ H VO CJ
" INVOMVDMNHrl M ©
> N M '55 CvJ СЛ ¦* M VD rt *d"
- - . © *•
M ID, C-i CM CM •* CvJ N L
О""» CM cSl тЧ тЧ М СЛ (МММ
. .
II U II II
t! II И II U II
> -*• ел ^ ел "t ori
^ S ^
U^©©
© © I I
I I Ш Ш
Ш Ш СЛ "
© 'vD 1П«
Ч N IS
lil UJ Ш UJ UJ
CO VO xi СЛ CM
05 xi xi CM f^
xi fs. |S- CM rf Ю 0> 05
"& CM M © СЛ N СЛ ^
© VO 05 СЛ VO © VO 10
ел гЧ ф n xi © ел гЧ
IO VD IO IO Ti- M CM xi N ^t CM CO
. . M CM M ^t CJ r<
г(Ю I I I I
I I II II II II U It
/•* ^ ^ C/l ^* J1» ** СЛ
t a-i тч -и см см м м
,QUClLlU
Ш Ш
© © © © © © © © © © ©
I I I + I + + + I + +
lil lil UJ lil UJ lil UJ I
СЛ M СЛ * <* ' "
M xi M M ©
in ф *o м м
N СЛ N xi CO
CM N CM VD M
CJ СО Ю © -fr
со xi Ы xi Ы xi Ы Ы is! и •*
и к n (i и и и и и ii к
M CO M CO M Ф M CO M CO M
xi xi CJ CJ MM^tlOU) VD
> M IO
I CO N VD VD *r
\ N M тЧ VO -H
СЛМ
xi xi xi xi xi xi xi xi CM CJ CM CM
I © © © © © © © © © © © ©
> I I I I I I I I I I I I
UJUIlilUJUJUJUJUJUJUJUJUJ
I © © Ф © © VD CO M fS- •& rt **•
- © Ф IO © CJ 05 Ф Ф CJ 4ST xi VO
I *• xf rJ- M N СЛ M CM VD Ф © IO
> VD VO 05 VO Ю СЛ M VO VD VO VO ©
> о (Ti q 't * м м t со aW t
10 10 VD 1П * iA CM ri CO -t CM xi
U 11 II II II H II II II II !l II
^МФМФМФМФМФМФ
) xi xi CM CM M iA-t rt Ю IO VD VO
CMNNrlVDM^VD
© © M M N xi xi CM
© СЛ *¦ N VO CO ^* N>
© © VD N CT^ xi CJ M
10 * ri M V н rf ri
>:-.j см 1 1 1
1 1 д д jj jj jj ^
:j см
1 1
M CO M CO M CO
M CO xi xi CM 01 M M
CO СМтЧ© CM ©©©©©©©©©©©©
©©©©©I I l + l I + + + + + +
4. 4. + 4. iiiiiiiiiiujiiiiiiiiiiiiiiiujiiiiij
Ш Ш Ш Ш Ш CO t 1П © N U^ CM © СЛ © -t Г^
VO M 1П © N U") M VO Ф M M CM © © © 05 тЧ
05 N CO © И is- CJ "fr 05 xi M Ф М 1П •*• Ф ©
© M IO © © VO 1П Ф © fs. © M CJ Ф -*• VD ID
N СЛ N 0**СЛСЭ10ЮЧ>СГкФСЛН10 05 M
© rjr VD © Q СЛ "* xi © N N Ш 1П ^ тЧ VO Ю
CM И CO © M ....
Ф H H ^
H гЧ VO © CJ I I
и и |ЛДАЛлллллл
л л л л л СО N СО N СМ N CM Is. CO N
NNHH СМ СМ М М ^ * 10 10
tf' СЛ СМ* СМ т4 ri М 10
II II II II II И П II
Ю VO VD
©
CM гЧ © © © © © ©
© © I I I I I I
I I ШШШШШШ
Ш Ш VD M CO xi IO N
xi N CO © xi xi CO СЛ
OH*- M © M «fr VO
© M CM M CM vt xi CO
© xi M тЧ Ю 05 VD 1П
© fs- N CO © IO VO 10
© CO
•H r4 CM
© © ©
UJ Ш UJ
0"i VO СЛ
© xi ©
© © Ч»"
IO © M
© M CO
IO VD CO
/ч /ч* СМ Г4»
CMIS-Ti-H
10 VD 10 ^ М CJ xi СЛ 10 CM xi
II II II И II II
"
¦¦
MN CM N
CM CM M M
CM N
M M
CM N CM is- CvJ N
* "tf IO IO VD VO
CM xi CJ xi xi xi © © © xi © © II
CMCMH© CO ©©©©©©©©©©©©&
©©©©©I I I I I I + + + I + + Ш
4. 4. 4. 4. | UJUJlxJlilUiUJUJUJUJ
ш ш ш ш ы cr^ № © d Ф м o) in н
|V, CO © © VO 10 fr (Л Ф О гЧ CT» H CM
"ЙЗ""
С4 1
СЛ <
& гЧ-Н-ННгЧтЧгЧтЧгЧ CO CJCJM ©Tf©©©©©©
Ш ©«H©©©©©©©©©©©©©Z©©I I I I I I
»-( ©'Э1111111111111О+1ШШШШШШ
+ I lil 111 UJ til tii UJ 111 UJ lit M Ifl \i\ Ш *-* til ih (А Ю ^t* f' " ~~
UJ Ш jt N 05 Ю 10 CJ 10 CJ VD VD CO CM ^ H © CJ H Ю ^" <
~ Ji © \T 01 xi iA M N Ф IS. VD СЛ IO M -J © ^ IS. N CM N VO VO
Cf» N UT N M N M ТГ СЛ VD d1 M N VD О © VD xi © Ю К *• VO
M xi VO VD CM VO Ф © Ф Cfi 05 Ф СЛ 05 1Л © 0"k Ф © * fv. т-i K
•чrvD©^-Ф^.^-N©cJcм.Nr^- ©тч . . . . . .
i" ~ '' ~ a 2 "". '. ^ ю vo* 10 ^ м см xi xi vo м «ri •* о © см « i i i
и и it n 11 > о © со 1 u 11 11 n н 0
/4 /ч г* /-Ч v »н .. .И И И В П .11 II II D й К Й И W fl И л л /ч л л л
ц ^т\ ^^\ ^т\ Jm\ rf^v ^\ ^^\ ^^\ ^"\ ^^Ч rf^4 У\ j*1^ Bш ^^ ^^^ ^С» ^в? ^* т^? Ч^ ^^J
iAlj^GHHCMCJMM^-'ttntOVOVONf
486
(л (л cj см см т*
© о о о © о
I I f I I I
ш ш ш ш ш ш
О М C-J Q Ю О
00 €0 WO 00 тЧ ^
М 1П N (Л © ©
у) © Ю ко * -
ft СМ 0> СМ
тЧ ОЭ <М © I
CM* ID тЧ М N* т4
II I! 15 II !! И
^fr Ю Ю _• V0 N-
л © io © Ю S Ю
Ю xi тЧ СМ СМ М М
^ © © © © © ©
© I I I I t t
IШШШШШШ
UI 00 W0 <4* ID 00 WO
И N CM ID © M
f ft WO
ft CM CM CM CM N
. rl rl N CM N*
WO
II H И й О П
• ID 1П «• *• M
T??TT
S?T??TT
I ШШШШШШ
^
00 ft nh
тЧ © чЧ CM
N- M rfr WO rl N
00 ft M Ю N CM
.MOON CM* WO* т4
1 А в . . и
Я^Т1. .
. ft xi ft xi
CM
u II U II II
H л s\ /ч ^
M M CM CJ CM тЧ
© © © © © ©
iliAJii1--1--1-
Ю тЧ ft t
© © CM C. _ .
CM CO CJ 00 M ( .
ft © ft fvl тЧ 00
© 00 Cft CM Ю CM
M 'Л © 10 CM VD
CM ^ H CM VO тЧ
I I I
II If II I! II II
xr &, ? ft ? ft
* * in in wo wo
>>>>>>
U U Li Cl Л U
©©+++++
4- + UJ Ш Ш LU Ш
Ш Ш 1П VD © CO 1П
'•D M CM CM CM •<*• У)
Ф У) 1П 0MO tfl ч?Г
^ N OJ CM CM *
У) * 0^ О Л CM
ftj9HUH*
I I ШШШШШ
111 ШЧ) <XK!\ Q\ G\
(hCDMNHl OJ
CDMN
00 4> 09 M * M
0*1 CM 1П © CO -H
IS <Л CJ t © M
> 5Г *• M
> © © ©
I I I
1ШШ
1 CM
_ _> N
тЧ CM © N M VD 1П
ii ii
л л it ft * (Л t
tf ft H ri CM CM M
H CM
© ©
Ш Ш
ft 1П
VD VD
. т
1 1
II II
* ft
©
ч-
ю
CM
тЧ ©
© ©
©CD
oo jr
ИЗ
vi H ft
и
1
II H
ft *•
M M M CM CJ r4
© © © © © ©
I I I f I I
lii Ш UJ iii Ш Ш
01 1П H \0 N V0
CM M M ^t" У) Cd
м u> in in см *•
И N H CM У) CO
•^) У) У) © CJ M
N ft M r4 CM M
м ft oi in -H
f I
И II (I II Ii
S M 00
10 WO Ф
>>>>
с а а а
>_>_»_»_>_»
> 4- 4- 4- I +
4* Ч" Ш Ш Ш Ш Ш
Ш Ш тЧ CJ © iv! U")
. _. . . . <rl N1
_ . J M ID _» тЧ ©
^4 PI N ID CO N 00
. . 4t тЧ ft ft* ft
HCM
II II it II П
I! II
t ID
© ©
I I
> © © ©
) © I I I I I
I I _J Ш Ш Ш Ш
Ш Ш P» © 00 rri ft
N- CO ft ft N- N- WO
N- N- WD PI 00 ^ 00
Pi ft VD VO Ю Ю N.
-fr M CM Ш CJ ID M
N ft "H ft U"Ji N CM
r4 ©
. . CJ CM тЧ VD -H
C-4 VO
il II II (I Л
II II
л ,-.. M 00 M CO M
M Ю d rl M W h
* а а а
r4
. .rH H trl ^ H
•ч- wo i
и и А А А А А
M 00
А А А А
M CO M 00 M
тЧ хЧ CM CM M
2
Ш Ш ft 00 VO
M VO VO *& *t
ft ft VD M ОТ
lit
<A 00 H
ii
5S
U
S
1
II
/4.
CM
м м см см и
© (S © © О
I I I I I
ill UJ lit Ш UJ
м м м см
© © (S ©
I I I I I I
UJ ill UJ lit Ш UJ
CM W3 W0 ft -* r4
© VU N» N ft W
W0 W3 00 тЧ WD CM
f\. N. ft WO © M
M N VD ©
© N tA r4
© N. t
II II
II II
CM N CM N CM F^
4fr •* Ю Ю W0 W3
M M M CM W CJ тЧ
© © © © © © ©
~ ~» W0 И
> N \D
I I
. _. _ f * f
00 N © <? ft r4
N- N 10 VO © -«"
тЧ CM* W3 тЧ М ft* CM*
И II Ii П Ii II H
Л Л Л Л Л Л У\
© тЧ гЧ © © тЧ
©©Q©©©
J M ^rlN
W0 rg- ft M
- ^ VD "t ft
V ^ CJ CJ
rl©©©
©©+Ч- + Ч + +
++ШШШШШШ
ШШМ CJ M ^lN
ft N. тЧ «Л
OJ W5 -H N ^ VD t ft
Ю CM CM VD VO ^ C»J CJ
NinMCMCMCMftQ
1П M N tT CM ^ vS VO II
1П N ^
. .(\l d d rl N И a
И ^ X
II II И II II II ~
>
^ ^ ©
© О I
ID 10 *•
© © ©
I I I
I I Ш Ш Ш Ш
Ш Ш ft ft тЧ О
У") 00 ^ ft © N-
VO тЧ ft 10 N- N-
ft ft тЧ И N M
"" ¦" Tf © CO M
00 CJ *• OO
CM 00 CO M
II II II II
© ©
_KS
M 00
тЧ ©
т4 N-
II II
см к
Ю + О О й О О Q
© _> I I I I I I
I I Ш Ш Ш Ш Ш Ш
Ш Ш tT -H N CJ M -H
ID "d" r4 © ft VD ft CJ
CM VO © ft ID ivl © Ю
© © VO N» VO CM 00 M
ft © M CO M N ft -H
*" . . CJ тЧ* -чЧ Н ft VD
II VO N I I
Щ I IJ II II II II II
Э л л CJ N CJ N CJ N
H CJ N гЧ тЧ CM CJ M M
© и
II л
_: X
Ш v
© rl
тЧ©©©
©&4- +
+ + UJ Ш
Ш Ш 1П M
юоэ^ю
> © v*
) © ©
+
Ш
VD
CJ CJ CM CJ
t4N-'
^ ^ ID 5Г ^ M
© © © © © © U» ^" 10 Tl* "^ Tj* M
_l I I I I 1О*-Ч»"©_!©©©©
_ I ШШШШШШ ©©I I I III
Ш Ш Ш »-< Ш Ш W d _ Q If) M 1Л I I ШШШШШШ
ft тЧ © h- CJ ID 00 M тЧ © Ю © D_ Ш Ш ft ft © CJ Ъ М
i4CJU")_J©r4T4©CJlDxfr4_lU">ft^\i;-VDCiftCJ
VO CJ b? N О ft ID 00 CM M CO 00 ft Z N 00 VD VD (M VD чЧ М
CM « M ID 1Л -H © WO © W0 ft M © »-» © ft !t CJ ^" CO (
. . . .u. . .fMiHftCM0<*'H_rr4f
xi CM * гЧ О N- N " Ш .
II II II U II И (_ VO Co I I
U В II R W H И л /ч л .^ л ^v | || и U H II II
л л хЧ VO rJ VD тЧ VO h- I.
<HV044r4CMCMMM<Al
CJ N. CJ
CJ N тЧ vl CM
_ ¦ f ч. N 00 WO
*-< > N © CM xi
N> ^1"
Z . . xA ri
•ОСМ1П I I
• CM « II ||
II *b ^*
W__O
u: (_ ь u. w > > > >
487
ш
N- Ч>
Ч) СМ
М Ml
Ml V0
I I
II II
.УЧ /"••
© ю
И u) © © © Q Q
© 4- 4- + + 4- +
4* Ы Ш Ш LU Ш UJ
Ы 4fr CO i-'i v4 Ч> Ч>
45 1П 00 1П тЧ 1О Ml
Mi rf JO OJ CO IO 01
cti ai cu ч) м м in
;7i OJ *** Ml OJ O> 4fr
IO N. гЧ 00 4) ai гЧ
. ai H N." N Ml N
II II II II II II
©Ю®П®Ю
Ю тЧ тЧ CM OI М Ml
* О d И W И d
О © © © © © ©
©++++++
Ш гЧ N 5> 01 OJ 00
N. ел ч> rf © со м
М Ч) N. Ю *fr тЧ Ml
S4JHN 01 01 Ч)
Ю Ml гЧ © ТГ гЧ OJ
ai 10 *• Ч) 01 CU Ю
тЧ
. Ml Ю Mi C.J Ш 00
*¦ I
I II II I! II II. II
|| /"ч /"% /--w Л .--Ч *Ч
© U") © If) © IT»
HIW OJ Ml Ml
oj oj ч м см oi
СМ © CD ОЭ 09 G 09
©++++++
+ Ш LU Ш Ш Ш Ol
Ш Г- тЧ Tf ч* N. Ml
00 IO гЧ Ю N. -Н 05
тЧ Ч) 0*1 N #1 гЧ 01
•J0 00 Mi Ч) © 00 Mi
м *• оо г - oi © оо
© тЧ ОМЛ тЧ ^ И
н
. U") CTi Ю тЧ Г^ СО
ю
II II II II I! II
Н .*ч .--¦. s\ s~\ .-ч .-ч
л © ю © 10 © 10
IO drIOJ OJ Ml Mi
>>
Н гЧ гЧ т! t4 гЧ гЧ
© © © «2 © © © © © ©О О
+ + + -f + + + + + + -f"f
Ш 111 Ш lil Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш
00 Ю N r-i СО Ч> OJ -& 45 IO © OJ
CJ N. N Ml Ml © СО © Ч) iiltd
Ч> *" OJ Ч> Н JO Н Ч) Ч) ff 1 00 тЧ
N. <5> <5> Ю © О 'М N N Ml 0"ч 0*1
••?> N. N- Ч) N N- Ч) Ч) Ч> 45 10 10
Mi OJ Mi М Ч) -Н тЧ 00 N. 00 СО тЧ
Ы Н Ы м +¦ * м г»-' ^ oi И *
II II II II II II (I И II II И II
io м V) ч> * oi к \п м н »й :^-
^ OJ f^ f"^ ^ IO IO sD N 00 00 СИ
S3
4- +
К Я
Ч) N
N. CO
© OJ
N. Ч>
45 *"
rt гЧ
A II
0*1 rt
OJ Ml
тЧ гЧ © © © © ©
© © Ч* 4" Ч* 4* 4*
+ ч- ш ш ш ш ш
Ш Ш rt H N. 0Г> '55
И Tj- Ml N Ml 05 rt
© 05 45 45 N. CO Ш
rt CO 00 © 45 45 ©
гЧ M» Ml чЧ © тЧ Ml
v4 СО
. . llii 05 rt -d1 хГ
CM Ml
II !l II II II
rt a! r-\ н oj o) mi
•H -H OJ гЧ ©
© тЧ © © © © ©
+ 4» UJ Ш Ш Ш Ш
ш ш ч) 45 ai гЧ N.
ai ^ © см со ai 45
ai ai n. tj- ai © у*)
OJ ^f Mi OJ 45 rt rt
45 © CO rt N. Ml 00
N 00
. . d d d Ф CO
CO Ml 1 1 1 1
! II II li li II
rt ai гч гЧ oi oi mi
OJ Cu Ml CM OJ
OJ OJ © © © © ©
© © 4- + + 4- 4-
4- 4- Ш Ы Ш Ш Ш
IxJ UJ 45 Oi ai 45 rt
oo to cu or» ai © mi
in г* ai и rt rt ©
© 00 N. N ai © 00
IO "в* 45 ai *4 "fr Ml
in ©
OJ Ц1 И 1П 45
N- 4"
II II ti II If
/-Ч .--4 rj- on ^* ai ^it*
rt ai тЧ -и cu cu mi
гЧ гЧ
© ©
ч- ч-
IjLl Ш
© rl-
Ch ©
Ч) N-
У") Ч>
+ Ч-4- + 4- + Ч-4-4- +
> ai rri in n. mi ai oj m oj oi
ai rt -и см rt © in н © oj
[ч. OJ N- r4 © & 45 Cd rt f*-
тЧ со © © 45 ai n. ai oj a\
4) 45 N N. 45 45 45 Ш 45 1П
45 ai ч!" гЧ т" © тЧ гЧ ^dh ai
OJ CU хЧ
II II II
^ C4 N.
H CM CU
II II
Ш Mi
Ml rt
M» rt
II II
И 45
in in
in
II
rt
45
II II
rt
II
CM N. 1П
N. N
CO
M
II
ai
© ©
ч- ч-
ш ш
45 Ml
00 45
ai in
rt Ю
CM N-
Ml N-
H гЧ -H тЧ v4
гЧ тЧ © © © © ©
© © + Ч- 1 Ч- Ч-
4- Ч- Ш Ш LJ Ш Ш
Ш Ш Ы Н СО -<fr И
Ml f v. М 05 т4 OJ 40
OJ Ч> N. ГГ М 45 Ю
ко 45 a-i u*) и ai ^tj-
оо ai ч> Mi cu ai oo
^ (Jt Г*- rt 45 05 CU
H 4f
¦H гЧ
ddQO
© © 4- 4-
+ + LJ Ш
Ы Ш © N-
01 OI N- N
N. гЧ СО 45
Гч. n. rt Ml
^ ai rt im
OJ М CM OI 01
N 05
. . 4) 4) 00 4f 4>
IO N>
и H Л ЛЛАД
.и-ч л Г4! 00 Ml CO Ml
Ml 00 Н Н OJ OJ Ml
CM тЧ тЧ CU CM © © © © ©
©©© ©©+Ч-Ч-Ч-4-
+ + 4- ++ШШШШШ
ddddddddrldrlTl
© © © © © © © © © © '"**• ©
Ч-Ч-Ч- + + Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-
шшшшшшшшшшшш
^- © 0*1 Oi rJ y)dNC0td M
10 io со ai со mi © и о** © ко *•
уд) ai гч. MOMynoddco 4>
ai ai ю ai © oj со a•• n. m« m ai
4) 4) 4) 4*i N Ч) Ч) Ч) Ч) 'Й 4> li">
Ml 4) 4) <H 00 00 N CO тЧ H 4) M
oi н cu ^-* Mi oi * tr м ^t ^ H
11 II II II II II II II II II II К
Pi Q 4) ^- oi к io mi d io * ci
rH OJ OJ M *>f rf 10 чЗ N jC CO 0*1
OJ И OJ
4D © ©
+ + 4-
© OJ CU
со oi ai
<o*i © oi
o*i ai ^t
IO CU тЧ
r4CU©t4r4OJ
©©Ч-Ч-Ч-Ч-4-+ тЧгЧ©©©©©©
4- Ш Ш Ш Ш Ш Ш ©©4-4-4-4-4-Ч-
Uj"%fC0000"iinOi + + ШШ Ш Ш Ш Ш
CQ 0й CJ flh N. О rt 1x1 LU 05 45 © СО ^J" ©
м ai oj тН гЧ си ai со
И '-D Ml Н N. 05 rt 05
If!» 45 Ч) ai Ml © 05 ai
oj ч:« со тЧ in ю си io
oj ъ •* n. ai io oj тч
W) 1Д тЧ N © ^- <H OJ
тЧ ai io © mi гч © mi
M CO 00 M M If) © CU
I СО 00 Ml Ml in © CU
d t ¦: и м м
. . . л . . 45 Mi Mi 00 N- OJ
-в Mi OJ -- I4- 00
X II II II II II II
Г. II II 4/ |i И /"•. .-ч /-ч /"Ч /¦•• ^4
j-s r>. ,-ч > ,^v л OJ Гч- OJ N СЛ N-
К CU N- CC CU NHd CU CU Ml Ml
OJ Ml OJ CU CU Ml
OJCU ©©©©©©
СЭО+ + + + + +
4- Ч-ШШШШШШ
ijJUJNt Ml N. IO -H
oj in ai oi со © -H ai
IO 45 N © N- ai N. •^>
Ч) И OJ Ь N. CO 05 <
1 45 гЧ 'J5 "
1Л
ш
a:
_._.._ 45 45 N. 05
тЧ CO ivi H in 00 '55 © II СП CU
N. Ю л . . 'J) гЧ 45 CM M CM
. . ai тЧ in N- Ч) 1П л Ml H
ai cu i i x и и и и ii H
I I II t! II II II И Ч/ II il •Ч Л Л .-. ,-s .-ч
|| И л л /-ч ."ч /-ч л > .-.. ,-s OJ N. CM N C4 Г--
л л OJ N. OJ N CM N. СП CM N. гЧ H OJ OJ Ml Ml
CU N. тЧ гЧ OJ C^l MMhv v- чх v чу v -у ^
- тЧ © тЧ гЧ тЧ <Н
CU «Н тЧ С J тЧ © © © © © ©
©©©*г©©ч-ч-ч-ч-ч-ч-
4-4- 1О4-+ШШШШШШ
uiS
гЧгЧНгЧтЧгЧНг*
© © © © © © © ©
+ Ч- + Ч-Ч-Ч-Ч-Ч-
шшшшшшшш
•? ч u: w a © © ч
in © м» on ui cu ai ©
c.j ai in oi 45 м» oi
45 ai ai тЧ in rt ai
8J85?R
со 05 ai cu <
oi м **' rf Ms ^ rj-' cu
(I II II I! II II I! II
oi N. io mi vi
rt in 45 КОi К CO (ft
1Л
Ш
oz
гЧ OJ И CU rH OJ
gg?????©§
©
OJ M OJ OJ OJ CU 11^
+++++¦+ ш
ШШШШШШн
45 n г4 н ai © ai cu 45 ai © ai »^ ш iii © со н ... _*. Г* .\ _ .. _. . . . _
тЧ ai © Э К- © 45 CU 1П 05 45 05 "— М "^ © ai N. N Oi ^1" "Э 45 © 05 Ml N- © N-
C*1 N- CM -J OJ H (ft © 45 CU in 05 H5 rf rt © 45 © 1П 45 4) -J тЧ Ю 05 CU 1П 05 гЧ тЧ '"••
05 45 гН О тЧ "jl* CU rt rt 00 45 Ml -J Ml © Ю 00 N- © гЧ Xl" О 0i 45 Ml Ml IO © 45 45 Ml
© OJ ^1* U"i 0"'i Ml ai N © rt Ml тЧ О тЧ rt N- CO Ml ai rt fч, ^O © f^ OJ in Ml 45 © rt {""-
M 4) (ft © OJ l/l M) ^f 1П Mi тЧ Ч) 05 тЧ Р- КО
. . .Ll . .^x445ai4)OJ N45 U. . .
«H OJ «45 О CM 45 . .10ddd4)dO0Jd „
I I II II II II II II • • тЧ OJ I I I I (I H «I II II II U_
II II II 01 II ИллллллИ | || || || J 0*1 II И л л у-ч у-ч у. у-ч ч.'
Уч «л* уч Qf f\ уч ^| у) x~i 45 тЧ iJ5 Н~ II II /ч у*ч уч у*ч у-ч у-ч Q? уч уч хЧ 45 тЧ 45 тЧ 45 Ю
Ч) И 45 О гЧ 45 тЧ хН CU OJ Ml Ml 0*1 />: f ^ т4 45 тЧ Ч) тЧ V?» О тЧ 45 тЧ тЧ OJ OJ Ml Ml H
© гЧ И *Н т< гЧ гН
© © © © © © ©
н + + + + + +
а Ш Ш Ш 'li! Ш Ш Ш
CU -fr ai 05 Ч? rt Ml <Н
х со оо ai © см ч> a-i
-. ^- © 05 00 05 N- ^*-
•h oj in ai © н oo ©
X ai 45 ч?» N- '-Л Ч) N
v li) N. th Ml M ^ N.
NdH H CM rt th
О I! I! II li Si II II
тЧ тЧ гЧ -d тЧ
© © © © ©
+ + ч- ч- +
ш ш ш ш ш
Ч) N Н Ml гЧ
^- о:« in © ь*)
Н © © Mi О
ai ю n rt ч)
4) V0 4) 4) IO
c-i oi ai oo 05
-J тЧ тЧ OJ M M ¦%? Ю
II II II II II
N IO М тЧ G ? CU N
L)N00O>
>> > > >
483
3§
СЛ
У)
(Л xj- CM
IO -4-
У) У)
oin
И If
CJ N
ci
и
У*)
и и
© ©
•*• +
Ш Ixi
CJ xf
0*1 M
N У)
CJ 00
U") ^
У) У)
HCJ
II II
/4 /4
И 'vD
+
CO
и
xl*
to
CJ
II
/-Ч
и и
© ©
© + •*
+ ш ш
ш ю со
и
©
+
СО И N
CJ И *•
И У") *
Ю C'J М
м .• .
. М Oil
"• и
|| /-% /Ч
л 10 М
N ^ %
. © и
0*1 И И
и и ©
и © © ©
© + + +
ш n *• n
№NHN
PI Ю N
СЛ И И И
>>• ЧУ Ч/ ЧХ
и © © ©
© -f + +
+ ШШШ
Ш И У") CJ
и со -t ©
И И N CJ
NT
Ю -
D
IO(
СЛ . . .
. М N И
М И У)
If) -^ ч ^ VC»
^ © И И I-
0*1 И И И 1Л
V/ Ч/ Ч/ Ч/ Ш
> > > > I-
СМ CM CJ H х ¦ И И И СМ М dNd W И М СМ И © И © © Ч-
CJ © © © © И © И © © © © Q © © © © © © © © i © + 1Ш
©illl ©I ©IIIIIIIIIIII I Ш + Ш Ш rf
| ШШШШ I Ш 1ШШШШШШШШШШШШ Ш CM Ш СЛ И©
Ш У) © © М Ш СО И Ы СМ И М М 'DO M (Л И *•?' У) N И У) СО © © © ©
СО СЛ 0*1 СЛ © С4! 0*1 © И © У) N © 'D0 У) lvi © CM ^ M ч* СЛ N © © © ©
N СЛ СЛ СЛ © 0*1 О*4» I СО NN © *t N © У) Ю У) 10 N СМ © СЛ © © © ©
0*1 СЛ CTi 0*1 © С?1 0*1 Ш СО Ю Ю 1*1 N N М 0*1 ^ 0*1 И 05 N СО N © © © Ю
СЛ '7*1 СЛ СЛ © 0*ч 0*1 У) СО 0*1 СЛ N У) Ю N Ю 0*1 У") 05 N СО N © © И If) .
СЛ СЛ СЛ 0*1 © СЛ СЛ Ю У) Ю Ю *" N 0*1 ** И Ю И if) *¦ И М . И . . CJ
СЛ . . . . 0*1 . N¦ * М .У*) СМ I
. «3*1 0*1 0*1 И .И У) . И И И N 05 И СМ И СМ И "t N У) IO I II
ел и' ю и н и и л
II II И II. И СМ « II JI II II И Д И II JI II If jl л ||^ ,-ч /ч Н
л S ю © ю л © см ^ч © ю © й © io ? u:« © ю © io ir> и ю и v v
Ю И И CM »>J If) И If) И И СМ СМ М М * fin U") «-Л У) v/ v л./ >^ ^н н
» \^ v/ \.<* *" ' ч-' '••/ II '-^ v %-' ^* *•»•* *•-' "•-' v v ч»' *-/ %«/ %-/ Ix. li_ ^ ii !l^ «si
У)
10
и и
CM CM OJ СМ N © тЛ т^ СМ М И ivl И М И М СМ ИИ ИИ © +
СМ СМ © © © © И И I СМ И © © © © © © © © © © © © © © © + UJ
© © I I I I О © Ш©©11111111111 II + + Ш ТГ
I I Ш Ш Ш Ш ! I lvl O'i I I Ш Ш LiJ !л! Ш Ш Ш Ш ШШШ LU Ш Ш Ш г!й
ш ш © © © и ш ш © if) ш ш м ел f•••} © со © со у> и и*) 4f ti- »vi © gi © ©
^ '-О СЛ 0*1 CTi N 0*1 СО I 05 NN ^ У") C*J 0Г« 10 И СЛ © СО СО © © N О © © ©
If) 0*i СЛ 0"i 0"'i 0*1 0*1 0*1 Ш >7i © 0*1 © N 03» © N 0Э N СО СО © CM Ul M © © О CD
0*1 СЛ 0*1 01 0*1 0*1 СЛ 0*1 М ХГ СМ N М ОЭ 'vD М 01" N СМ N 05 lvi OJ © »>J © © © LI
0*1 0*1 СЛ СЛ СЛ 0*1 O'i 0*1 И О"! СМ (М N If) М 05 Ю U N \Г> У) СО th CJ ^3- © © ю .
СЛ СЛ '71 О". СЛ Cfi <У1 01 N . ••* N ^ И t If) И СЛ ^ Oi rf Ю N 10 М ИИ . СМ
0*1 0*1 .... 0*1 СЛ У) Ю N * . . СМ I
. . 0*1 0*1 СЛ rt . . У) . . И И *• И И 05 И СО И И Ю If) ^ Ю If) I II
0*1 СЛ v^ -ri © II 10 И II г*
II II II II . л HU || || || II || II II !1 II U II II II .-- ©
II II '"* л z4» •-"* II И СМ И II II '"ч ^ •*"* ¦'"'к •'"* *"^ ^ ••"* ^^ <"<¦ •'"ч л ••"** <"• •'"ч Ю И
.'ч .'-ч xj- 0*i ^ 0*1 л .-% И л ^ xh 0*1 f 0*1 xt o*i ^f О rf 0*1 rf xj- 0*1 xj- o*i *-^ "^
^j- G, ^ ,H f>j f.j xj- 0*1 II ^ xf 0*1 И И CJ C«J M M t t IO И") У) v v --' v -ri -ri
й-Й-й.й.й.0-й;й? HCMCD<DCDO6c!J(bcDibc3CJC3C7 U.U- OO О О
•% <^'
Ю N
И
INI Ю И И
CM CJ CJ C.J © И CM CJ И CJ M И М И * CM И И т\х^ © ©
СМСМ©©©©ИИ I ИИ© ©©©©©©©©©© ©© ©© + +
©©Illl©© ИШ©©11111111111 II ++ ШШ
11ШШШШ11 нт 1шшшшшшшшшшш шш ши и
Ш Ш © © Ю © Ш Ш I СО Ш Ш У) Ю © 0*1 0*1 0 Ю CJ 0*1 СМ © СО И © СЛ
© У) сл ел ел cri (ji оо ш см со © и ю см ю © со и ел гг ел У) со © —
0*1 0*1 СЛ 0*1 0*1 0*i 0*1 СЛ У) * 4fr U") N М У) N ^f И N И СО И У) U") (М
СЛ 0*1 0*1 0*1 СЛ 0*1 0*1 СЛ У) 05 Ю СО СО N 0*1 ID N У) СО У) N 00 СМ N ©
0*1 СЛ 0*1 0*1 0*1 «71 0*1 0*1 Ю 00 И N 10 У) Ю OkWVDIOWIOVON СМ М © © Ю Ю
0*1 О*! СЛ 0*1 0*1 Ji СЛ 0*1 СМ . 00 Ю И N И 10 N И И И И N ОЭ М« ИИ
0*1 сл .... 0*1 «7i и да ю и » . . . . см cj
. . 0*1 СЛ 0*1 0*1 . . И . . xi\>- CJ И N М HMHtM tlf) Ю Ю II
0*1 0*1 И И - II И И II II
II II II II И -~- Н II II U II И II II II II II II К II II л л
II II у* *"•> ^ л II II У) И II ••*ч ^ '"•• f^> *"•• ''"•' /ч /ч .-^ .•*•• .•"* /ч /ч /^ .--ч xj" СЛ
/n /^ М 05 М СИ -•• л || ^ /ч л М 00 М СО М СО М СО" М ОЭ М М СО М ОС» n-' N-'
MCOddCMW М СО л 0*1 М СО И И СМ СМ М М "* ГГ 10 У*) У) ^ ^ *-' n.' ИИ
V w «/ w *-•' "• •' \S И СМ '^ ч-' ч-' %-' ч-^ *-* ч-*' V V W V V Ц. li. ^* ji ^i JL
0.0.0-0.0.0.0; а: н^осэсэоооезсзсэсэосза u.ii. ии ии
^ F\J
И
N И
(NJ CM CM CJ I CJ CJ M И CM xj- fM xj- C.J xt CM r^ -ri -ri гА © ©
И CJ © © © © И И Ю Ш CJ CJ © © © О © © © © © © © © © © (В + +
©©Illl©© ©N©©l'tllllllll II + f Ш UJ
I | ШШШШ I I 1Ф11ШШШШШШШШШШШ Ш Ш ШШ И^
Ш Ш © © © © Ш Ш Ш 10 Ш Ш 00 N И М © «Х» 10 М © М © CJ M © N
1Ч"| У) У> 01 0*1 «71 СЛ 00 М CJ iTi © xj- у") -Н N М N У"' 0"> У) И N 0*1 N © ©
© СГ1 0*1 «71 0*1 0*1 0*1 СЛ СО И СМ У) СЛ "-Л N © СО И М М 0*1 СО ••!) СМ И © ©
© 0*1 0*1 0*1 СЛ СЛ СЛ Ci C-J И СМ У) У! У) 05 М У) 05 N "•?• У") М У) СО М © ©
© 0*1 СЛ 0*1 0*1 0*1 СЛ СЛ * • N CJ У) М N N М У) У) М У) СМ И 10 СО © ©
© 0*1 СЛ СЛ 0*1 «71 '71 СЛ СО И 05 N ^ Ъ ¦* Ъ г? [^ h- 10 N СМ СМ © М И хЧ
© 0*1 .... 0*1 0*1 00 И 05 . . СМ СМ
.. 0*1 0*1 0*1 0*1 .. . II . . N xt хг гН xj- xt N 0*1 N И CJ М У) Ю Ю II
И 0*1 ИИ 00 л N М * II II
II II И II И II II II II II II II II II II II II II. II II .-• /ч
Н II Л *"* •'*ч '"* II II II •% II Н *** Г-. f\ S\ f\ /4 /~% /*% f\ f\ j^k f\ *~\ /*\ /4 ^ QQ
И © © /\ л CJ N CJ N л л л 0*1 л л CM N CJ N CJ N CJ N CJ N С J CJ N CJ N ^ v-
JI » !l CM N И И CJ CJ CJ N У) CJ CJ N И И CM C"J M lv» t -*t If) У*) У) v v v v rj И
Ь^шш cL<Lc?ctu[oLu:Q: и nScd 06660000000 u.ll uo 06
Ш ^>
уч N
© © fv1
II II ©
и м м -^ см 1 -^ см и и т."
II Ш Ш CJ И CJ CJ CJ © UJ CJ CJ И И CM И CJ <fr CJ IO CJ CJ CJ И © И И © © &
CJ CJ CJ © © © © CJ И © I У) CJ И © © © © © © © © © © © © © © I © © + + -t-
ui ©©III!© (*Z> I Ы0*1©©111111111||||1Ш +4-ШШШ
ШН© i 1ШШШШ1 ! Ш (MID I 1и]ШШШШШШШШШШШШШН Ш Ш t H lv;
»-• II II Ш Ш ^J- M © © LJ Ш © У) У) Ш Ш CO M CJ СЛ N © © © M M N f M NN © И © © Ct
CJ CM СЛ 'А» 05 © 0*1 СЛ У) СЛ О"! СО У) ••? СО У) И У) Ю М © ГЧ И У) И И П- М СО © © © © © ©
Ш Ш И d 0*1 © 0*1 Pi СЛ «7i СЛ 0*i © xf © У) У) N N У) N 05 СО У) М "-Л М СО CJ xj- © О © © ©
© © 0*1 «71 © 0*1 СЛ СЛ СЛ СЛ rt . М 10 У5 CTl Ю СО 0*1 Ю У) М '^) СО 0*1 И М CJ И Q S* Ю © О
II © 0*1 (Л © 0*1 0*1 СЛ СЛ СЛ 0 СМ И rf И N 0*1 У) Ю СЛ Г-1 CJ М М N У) N 0*1 00 Ю © 10 Ю 10
И И И © 0*1 0 © 0*1 0*1 01 0*1 0*1 . У) 0*1 СМ © Ю И И У) Tf CM xt M © N У) У) . Ю И . . .
а: II н <s> сл ..... сл <л . юнмо . . . o*i .. см см см
Ш И И . . 0*1 И 0*1 СЛ . . 0*1 г\ . . CJ И И И СМ И <* И "* И И М 0*1 У) CJ Ю II
мШШ К)№ 0*1 И НИМИ II II II ||
II II II !1 II ^ И II И II II II II II II II II И II II II ¦¦-¦ II II ^ч .--. .-v
• • II II ^ч ^* /ч s\ || || <^ч И ¦% (I II ^*1' /"* ^' <^> ^^ ^"* <*"* ^n ^* <*"* ^"» ^* /"* ^*\ И ^"* ^"* И СМ N
iLAArlWdiflAAt1 • ^ Ю л /ч И У) И У) И У) И У) И У) И У) И У) И • • И У) И v v
м I- С» Ш И У) И И CM CJ И У) И Ц_ И И И У) И И CM CJ (Л М М- Т1- Ю Ю У) У) ч-- v ч/ ^ v v ч/ гН И
^*"У ЛГ" *"у f*| ^/ \^ ^у ^i**| \у \ / уу \ ^ | | \у \f \s v / vy w
489
0"> У)
OJ M
I! л
ЮН
cr> oj
"fr ©
У) (ft
H V?>
Si
1Й
к CO
n
s
ID
n
Ш
© ©
I i
ш ш
ID У)
" Cft
oi id
со н
01 M
© 0%
N И
I ©
OJ II О
•tf Н © О Z
© © I 1Л
I I Шн
Ш Ш У) С) М-
М ^ Н (ft
N Н М 0*1
СО 03 fv"l © 03
10 *• Н © .
Ch N тН © ©
Ю" to *° © !!
II 0J
•• И й г, '
х4 s\ .<•* Н
-J НУ) Н
О ч/ ч/ ч/
Ъ1>>>
H H
Cj ©
I I
Ш Ш
ffl (ft
N ©
H 03
Ch Г
НИ
1 I
ш ш
Tf a-,
со и
00 N
II
S ©
I I
Ю 01
© а>
ID M
<7 У5
??
ш ш
^ ш
со
I
II
/-%
п_
се
ч/
О
Q ©
+ +
ш ш
OI »
+ +
ш ш
00 Гч-
№ (Л
© N
© и
© ©
+ +
ш ш
О №
© OI
а-i *
М У)
Ю OI
10 Ю
ID ••
I 0~l
Ш v
CJ СП
01 X
<Ti а. © -н г<
СГ"! «J © © ©
а> ее + + +
МНУ)
<Ti 2: •* ID OJ
II *-< 0J М М
се ь- oj л У)
X 3 © ivi 0J
cqoi i
© н н н н н
© © © © © ©
+ I I I I I
ш ш ш
10 to
У) ID
. ID fv. |O N |O
H © CO © CO ©
to OJ to OJ to
I
Ш
to
©
OJ
©
ID
II
I
oe
н H^ri
© © ©
I I i
3 f *
N Ul N
00 © CO
OJ «ft OJ
Г» M M M M i • i M M ID OJ ID OJ U^ OJ ID OJ
I I I I I I I I
cc s~-> »x -^ се '*ч се -^ се у* ое ^^ се л' се '-••
ь-сен-сенееноенссксснеенсе
шн-шн-шьшншншншнш»-
N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш N Ш
?> N С Ы d N С Гч1 UNU N С N Ct N
CJ
_J
CJ
-J
CD CJ CJ CD
M © ID © ID © ID © 4fr © "* © -4»- © * ©
© © © © © © © © © © © © © © © ©
I + I + I
ШШШШ
CJ © © N _
ID У> © "tf © У) H to 03 N 03 N 03 N 03 N
'if У) Tf © "fr *t © Tf ID M 10 M U"« M ID M
^ H M OJ У) ID OJ © Ю to Ul to ID to ID to
N У) OJ CO OJ OJ N M Ю N ID N Ю N IO N
*t OJ OJ OJ N fvt <tf I41 OJ OJ OJ OJ OJ OJ OJ OJ
Ю OJ и:» ^t " rt ¦& rt ID M IO M Ю M ID M
I I I I I I I I
cc -^ cc -^ cc ••"* ce /¦* cc /~* cc -^ cc >¦* cc ••¦*••
Н'хнсснсенсекссн-сен-сенсе
шн-шншншн-шн-шк-шкшн
ШШШШШШШШШШШШШШшШ
ШШСйШШШШСй
(Tl
C? CJ CJ CJ
CJ
ID N
H H
I I
Ш Ш
OJ OJ
OJ H
© to © to ©
© to © to ©
© to © to ©
. to . to .
OJ . *- . У)
н to x^ at н
i i i
и и и ji_
'¦4 CC •¦"••
[
LlJ
л
©
Г
Ш
iC
01
©
©
I
111
©
j
LJ
ID
CO
(Tv
И л
J
_ .-. or *-•¦
ее x се х се
Q_ .J CL -J CL
G v S & Vl 1Л
CD CD CD LU Ш til
490
I UJ
Ш CJ
© о
•ЧГ 0"»
11 ^v
S3
<7* M
??
Ш Ш
м ©
rr» W
ill ill
OP» G*
N О
H Oft
I I
Ш LJ
© N
© N.
N 4)
8S
1 + +
Ш Ш
CJ 00
•* м
N CO
N rH
1
о ©
+ +
ш ш
CJ ОЭ
© ОЭ
45 Ю
© со
«а
© ©
+ +
ы ш
CJ ОЭ
© со
«JO Ю
© со
05 (Л
со а»
22
491
©
ui
00
OJ
Й
II
ю
ЧУ
N
01
ш
ri GJ
© 1
1 UJ
lil *-!
Ш Ti
0*1*0
© H
0*1 V0
CM M
гЧ .
. -H
on
и
II л
/% ©
ЮтЧ
© ©
тЧ ©
© I
I Ш
ш a,
o*i м
0*1 Ф
©^
II
II .-••
л ©
??
Ш Ш
OJ 05
© 00
U> Ю
© 05
M тЧ
00 OS
II II
OJ
JO
OS OS
тЧ
©
LJ
©
00
II
01
Ш
© 0*1
N H
li IJ
"* 0*1
© ©
0*1
00
oS
Ixl
m см
© ©
I i
Ш 10
-H ©
II II
MOO
ч/ ч/
© ©
NOR
©
©
©
on
о
2
©
©
©
1 i
Ш Ш
СЛ rH
© OJ
(A Tf
N CM
CM ©
CM v\
¦И гЧ
© ©
1 1
Ш UJ
гЧ Г -
CM is.
© У)
•H 0*1
Tf 05
II II
N N
ui ui
Ш Ш
U"J CM
© © II • CM
I I л ^t -H ©
UJ UJ 01 © © I
d'^v I | Ш
00 "f © Ш Ш IT"
> ivi cc cj ю м
> io x en и со
\ 0*1 CL N <J'. CM
"*) -J OJ ^ тЧ
. . CC 05 N vi
i H > 0*1 CT-i .
Ш Ш
OJ N
OJ
ТГ -H ©
© © I
I I Ш
Ш Ш ku
UJ Uf U*l -J
UJ Ш UJ О © ©
? 0? Oi Ul > >
©
., .,-dM(S
OJ 01 05 05 tvt II
. v ю ^ d u:
N > 0*1 N тЧ Ш
d'i 0*1 . >~*
II 2 . . IO •
!={*5АА„
: oi ui _j -и «л н _
' Ш Ш О w v н
• a a «/i > > > н
Ю
ш ©
1
UJ
OJ 0*1
?Si
Ш 05
N Ю
ID ivi
t\ ..
OJ 0*1
0*1 .
CJ ft
. /"*
OJ 0*1
OJ
II -
л хЧ
хЧ гЧ
л >-'
';5Ш
1X1
хЧ
©
OJ 1
© ш
1 N
Ш CJ
М- ©
© *•
МОО
OJ Ю
»0 .
©
1
ы
хЧ
II
•*
•^t1
01
ш
©
1
и
CJ
ф
OJ
0*1
•55
1 1
UJ UJ
't V0
M CJ
1Л 00
00 И
OJ П
© ai
N И
II II
tf 0*1
> >
© ©
I 1
Ы Ш
© ^0
l?» U*>
00 Ф
OJ U
CM (I
?
UJ
IO
00
M
OJ
0*i
II II
01 M 00
©
I
Ш
OJ
©
N
0*1
- ОЭ
*"M
5 N <J'i СГ^ Cft 05 © СЛ
н-н^-^г©©©©©©^©
©©©©(iillfiS
I I I (ШШШШШШШШ
ш ш uj ш ca © 10 10 ф см 10 00
OJ H CO vi if M CM VO *jD M VD CM
^ M d M d 1П ^ У) Ю N CJ OJ
OJ OJ f4- 10 © Ю N -H N M ^t 00
^D © CJ N CJ\ r4 © Ю Ifl Л 10 N
HHOIO^-OOONr-OJlON
M © У) ©
. . . . VD т« •* N OJ r4 10 CJ
00 tH 4> -ri II I I I I
I II II II II II II II II
И И It (I S"\ / /-Ч /4 /"\ j^4 /"» /%
^.^^^©OJ^^DOOSOJ^
OJ 4fr \D 00 tj tH rj И -H CJ CJ CM
ililiillllii
333333333333
2 222 2 2223222
U. U. U. U. U. Ц. Lu U. U, U. U. U.
. . t)MN
r4 0*1 . M -H VD OD 00 0*1 0*1 тЧ (У>
vi . . © гЧ OJ Ю IO © © © © © -rl ©
li II 00 CJ © © © © © I I I I I I I
¦•"•¦ --^ H 4-1 I I (ШШШШШШШ
OJ IS- CC fl II Ш Ш Ш Ш Ш 0*1 M Ю 0*1 H 10 CO
v v (D OJ Ul V?p ^ |S» CO 4) t Ю Ofl t TJ M ^f
> > ШОн rj- OJ lOWdNWOd 10 0*1 CO
E M OJ 4f N O*i 0Э © © *H Vfl Q r<
О М И Ю OJ neOMOWNH
Cl тЧ гЧ 45 0*1 OJ N CO CM 10 © M M ТГ f%-
© © Q 00 OJ 10 U)
II тЧ гЧ тЧ OJ Г^1 CJi r4
OJ -H Ы Ш rl M d d d II II
rt r4 ® © 00 O] II || II II || II II II
© © I I Ю CJ II II II II II л л л л л ."ч л
I I Ш Ш (Гк <? л л л .-> л гЧ М Ю N 0*1 -Н М
Ш Ш 00 ГГ 05 М г4 И 10 N (Ji d d d d d OJ OJ
•I CM 0*1 -H Ф 0*1 M ^ v v- v ^- 4/ v/ 4/ v- 4/ v- >.'
^ *H ^ N t-I g-» CM 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2
U") N © M M . . DDDDDjZODDDD
w © U"> r4 © 4fr 0*1 . . . . .
lf)Nd® 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2
H CTi . .11 И JJJJJJJJJJJJ
P II II r, CC ••333333333333
Z> ^. .^ тЧ 2: •• ••L.U-U-U-U-tLU-U-U-ti.U.U-U-
J4y34CDOJUJJJJJJUJJJJJJ
492
83
i I
Ш Ш
CJ VD
rH Cft
CD 1П
*D CO Cft Cft Cft
© © © О ©
I I I I I
Ш Ш Ш Ш Ш
N |V| csj © CO
CM M Qn © Cft
SSNH IO
M N Ю ID -ri
rt M IO 05 If)
© If) «71 N. (У»
0*i Cft © © CD
l' f I I I
Ш
VD Cft Ы d тЧ И М CJ
© I I I I I I I I
ILJLJLJLJLJLJUJUJ
LJ © VO -fr © © ivi tA CO
(А Ю N CO VD © 0*) 05 CO
© N. M N Cft d CJ © tA
CJ И *• CJ ID CO N. IO CJ
CO VD tA Cft 0*1 IO M ~
M t CJ CJ ID *-* ID
© . . .
CJ tWdddlO tA
d CJ
drl
I I
ШШ
VD H
© ©
'45 ©
CO JV
CJ VO
© Cft
333333333333
M N M M M M И
SSOSSSe
© © © © I I I I I I I
I I I I ШШШШШШШ
Ш Ш Ш UJ 0*1 rSr 0*1 тЧ © CJ VD
CJ
IO
VD
CfiNOOCMNH*
If) 10 If) N f%- © *
VD CJ N CJ CO © IO
If)
CJ
CTk If) 10 If) N f © *
IO ^ * CJi VD CJ N CJ CO © IO
VD © № CM M Ю CJ M 10 M IO
© N 10 fv
© © № CM
CJi VD CJ N CJ CO © IO
CM M Ю CJ M 10 M IO
© N 10 f M «Д П a^ VD VD U")
© © № CM
. . . . t d M W d M d
Oh CM -G 10
II II II II II II II
,-.. ,-s .--% /ч © CM * V0* CO © CJ
CJ ^ VD CO rH rj H "H "H CJ CM
33333333333
U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.
33333333333333
.U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.U.
I J J J J J J l _J J J J
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
U. U. U. U. L. U. U. Ll U. U. U. U.
© "v'l ^1" '* VD © _
© © © © © I Г Г I
+ I I I I ШШШШ
UJ UJ UJ Ш rH 1П CJ CJ
Tf H VD Cft r" IT» CO tA CJ
•H
Ch Cft © 0*1 © © CTi ©
© Si d 'Э ri d G rl '
M CJ t
CM CTi
Г>- © CJ
H CJ П 10 © H H
© © © © I
I I I I © © © © © I I
J UJ Ш Ш LjJ ! I I I I Ш Ш I
) Cft M M XJ- LU Ш Ш Ш UJ ID Г •- «
N. M СМ М М т* CO N 05 iJi '
H © N ^" 0*1 ID тЧ VD M Cft (
t d^Q M d © У 0*1 IT> i
W H rH
II II II
OtdO^mMNMWCO M (A (A VD 0*1 ^" N- CJ CO Tf rf CJ
© 0*1 N. CM IO N © © 10 TJ- d VD Cft © (A 0*1 CO Cft r4 Qi H CM N
© CJ © CJ VD Cft CJ N. CM VD . . .
"H СЛ
II II Л
i ID гЛ
I
II II
I 0*1 ID I
II
) N» 0*1 л /"ч л /-•. *^ H M 1П N 0*1 <H IV1 Ш N. 0*i ^ -^ *~-. .^ч /--. rH fv1 Ю
I CJ CJ d M Ю N ("Ы d d d d CJ CJ CJ CJ CJ H tA Iff I4- 0*1 -H -H -H
: з з з 3* з з з з 3 з з з ;
3. ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ
з з з; з з з з з з з з
M CJ CM H CJ H CJ
ddririddr)
I I I I I I I
UJ LJ UJ LU UJ UJ UJ
0*1 Cft H VD -H 0*i N-
CM tMIOrlO-11 M M M tA (A M
ai tA н © d cj id © -и см ivi tA © © © © © ©
CM N VO 0*1 © H ID © © © © © I I I I I I
rj- ?> 0*1 Г-i Г- -H VD + I I I I UJ Ш Ы LJ LJ UJ
H CM Ы tA Г4- CJ VD LJ UJ UJ Ш Ш M " *T ID 05 CJ
ID 4fr © CJ VO IO CO ID K. 4D ID
Cft 41" M CJ -H "H -H ID N CO M d N № t tA M I41
M VD IS- N- Cft ID M CJ -ЧГ ID Ю
II II II II II II II tA ID -ri tA "<t VD N VD tA ID M
л л л л л л л in If л Cft N 0*1 ID © CJ Cft VD VD
К Cft тЧ M ID N Cft © M lvi d d
•H d CJ CJ CJ CJ CJ . -. . . . (A -H rf CJ ri H
4/ *-' \-' V V.' ЧУ 4.' xi У "Ф CJ M
3 3 3 3 3 3 3 ' II II II II II II
—I —I —I_J_J_J-^ II I! II II II л r% л /ч л ^ч
: з* з' з з з з з з з з з з з з з з з з з з з з :
.U.Ii.U.U.U.L.Ii.L.LLlxL.L.L.L.L.L.U.L.li.lJLL.L.l
.333333:
I555S55!
[ -H ivl ID Г- Cft rj rj d d rj CJ
!ззззззззззз
)L.L.L.L.L.L.L.L.L.L.L.
:ззззззззззззз3 3333
.U.U.U.U.L.U.L.L.L.L.U.L.L.IJLL.U.L.L.
IJJJJJJJJJJJJJJJJJ
493
9! IS
*• ©
r-
II
юн
за
со ©
•3D 4}
CD VD
IS
CJ С
10
О OS»
Ш Ш
(Л (Л
М 00
М VD
•H гЦ
<s ©
I I
Ш Ш
N О
¦* 00
<Л CJ
CJ N
W 10
PIS
Ю W
S18
83
N 00
CJ CJ
О **
^ 00
DGO
> Ю
I <Ji
M 1П VO tH C_
N II Q
/4 /4 f\ N
1П N ^ 0Э
CJ CJ CJ M
v ч/ ч/ чх
2 2 2 3 ID
U. U. U. U.
2222O
II И
M 1
CJ
ОС I I I
.'¦КИЙ
*• ч* М. (М т4 CJ
©©©©©©
I I I I + +
¦ s а я к *
© 00 NN
I + I + I + I + I + I+ + + + +
шшшшшшшшшшшшшшшш
ч* N CO Qi N N M Ю ai CJ 01 M U) Ol 4J- rf
CJ M WMMM* M tH CJ 01 tH **4* H «H CJ
I I I I I I
П II II U П П II II П II П ft П tl. H tl
ОС ^ ОС ••"•• ОС s~* ОС **"'• ОС ^^ ОС **** ОС л ОС ''"*
нсноснссносн-оснось-ос'-а:
Ш
N
ci ci ini ¦* чу тУ И *¦* ci ^ ci ^t ю so ri n*
I I I I I I I I
ОС л ОС ^•w CC -^ ОС •''¦» ОС «^ ОС /"» ОС j^> ОС л
носноснаснсснссносноснос,
шь-шн-шь-шн-шншншныь*
шшшшшшшшшшшшшшшш
ffl O'l Ш ffl fl'l f'*1 Qf> ft")
шшшшш
ffl O'l Ш
3
3
I.
Ш
©
0*1
N
©
I
Ш
N
»
Ш
CO
in
Й
Ю
I
ш
CJ
Cf't © 0*1 © 0*1 © <
© 0*1 О С
0*1 © 0*1 © 0*1 © О» <_ -
0*i © 0\ © 0*i © 0*'i © CTi © 0*1 © 0*1 © С
0*1 © 0*1 © 0*1 © 0*1 © О*л © Ch © 0"i © <
0*1 . 0*1 .0*1 .0*1 .01 . C*i .0*1 . t .
. CJ . 4fr . VD .CO . © .01 . it . 40
(Л1Л1Л1 Oi I 01 rl Oi хЧ Oi ^ Oi t*
> <•* Tl Ci
k -J
494
е
CJ
tl
to
rv
Ш
© 1
t Ш
UJ CM
T-i ©
CO Ф
© VD
© .
OS
II A
ю н
0*i C'J
•h a>
со ©
© 'JL>
oS ri
Ш
CM
OS I
Ш
CM ri
OS ID
CM VD
+ +
ш ш
CO f
Cft '?
CO N.
КО Ov
I
1
ш
Ch
ID
!l
.•~4
Ш
©©
UJ UJ
ID 0Э
CO JO
f^- CTi
П tl
^?0"i
Ixl Ш
0Э 4)
M 4)
N <7>
...
. CL €>\ CT'i
со > if) со .
u z cj <л
/ч О 11
4> i-« H 11 /"¦ И
© -J v ^ I— •^"•- >"•• x4 C»J CC CC
IIDN N 3 т-i U) -H > X X
ГС 1Л if I U'l »J v ч/ vZlLu.
ШШШ UJOUOflOJJ
»-«ш ct; u: ш > > > о cc cc
u
!1л
J
oS oS
И И
CC CC
X
©
( 0*1
LU v
10 CC
CO X
OS u. Ci И N
0"i -J © © ©
№ CC I I I
0" > Ш Ш Ш
Is- C'J M
cr-> z as as rf
о м г is
ii •-• м
cc i
as a^
© ©
I I
Ш Ш
« ^4"
N CO
C4.W
© ^"
•H N
^ CO
ig
+ +
Ш Ш
© CO
li~« ID
cj a
d
©
©
©
N
5
a.
CO ••
© .'Ч
I UJ
CJ CC
a^ а. м cp w
a-i -j © © ©
a-, cc t + i
Pi > Ш Ш U)
N ^t' CO
as "z. c»j rj" ©
О "б* h- N
|| ¦ t~f ^_| A'j 1Л
CC H ID © УЭ
X Э CM © CJ
J О ^ ri M
CC 1Л I
© ©
© ©
© ю
05 CO
I i
© ©
© ©
© ©
© ©
I I
n и
© ©
© ©
w c-i
И П
$5
a. a.
о сз
I I
UJ Ш
ID Ю
II
a a
a> a> oi a> a^ a>
n и к и ii и
cc cc cc cc cc cc
XX XX XX
a. a. a. a. a. cu
cc cc cc cc cc cc
33
^3
I I
Ш Ш
as u-t
as
о»
© C'J a*
a-» 2 -и «н o:>
о со -и t-»
]| i-i N © CO
cc н © ai cj
I
u. ^J . .
«i о о:« n -
CC01 I
495
Cft
?!
ri
II
IO
%•
N.
СО N.
* ©
oS
и л
^ ©
.н
OJ CD © О S) Si © О ©
•311111I1
I Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш о1
•tf CM N. N. N. Ю С© CO Cft
У)ЮС1©СЛСЛтЧТСМ
-fr И M M (Л СМ М М О
О СО ч* У) N. Ч> *• СМ СМ
СМ © Ю МНМШОЧ)
У)
. Н С1 Ю СЛ 10 СМ тЧ М
М I I I I
II П II II II II II U
JO
SSSSSSSSS
т-1 ©
«9 t
I Ш
00 Н
чГ N.
У) *•
м .
н
II
©
1
Б
©
©
0*1
со
со
If
ЧУ*
к
© ©
1 1
ш ш
т? н
© У)
Н N
ч* У)
NN
у? И
II II
^t 0*1
??
rl H H rl rl d (NJ C<J
CM C\J © © © © © © CD О
© © I I I I 1 I I I
I I ШШШШШШШШ
Ш Ш СЛ IO © У) W <* У) 10
NMWCOlOy)©^ M M
Ю Ю th CTi ^ © OJ ДО If) CO
10 N- CM Ok IO CM О 10 CM 4>
(ft ^-СЛОЮМ^СМ®^"
см № ю см vo см м н га a*»
M rf
. . -H ** N. *• CM тЧ "* -H
•H Ю I I I I
I II II II II II II II II
/ч /-Ч tj- cx> rh a> *t b-i *t <ji
у ел н rj oj см »vi м * •*
arcncccEcccnaiacaia:
со см
riri
©
I
Ш
CM
CO
f
Ш
ct
N. тГ"
СО N.
•Н 0*1
Ж?:
М* У)
II II
Ш Ш
M * © © © © © © © ©
© © I I I I I I I I
I1ШШШШШШШШ
шшсмсоми>^*оню
M '4) -H UO © M CO CO rf CM
CM "H N. CM 0C> C«J CO © У) IO
d If) H W d tf) О М t J^
Cfi 0*1 rJ- CM У) ^ Cft IO © У)
?Tt N CM f - N iH СЛ M N- 'J>
u . ¦* ,-i и o5 rvi yj И r-i
со Ю i i i i
I I II II II II И II II U
л л i>vl CO tA СО 1Ч1 Й М СО
М Ш гЧ гЧ CM CM M fl "* гГ
•Г СС 'X СЕ ОС СС СС СС СЕ СС
©
ш
t
©
т-1
У)
© ©
I I
ШШ
М 10
т1 ШШ
У) М 10
ю см са
М СО
© ©
I I
шш
-а- ю
м у>
ю г С
N О
см ел
со см*
И II
мсо
> >
Cli Qi
(ft СЛ СТ"» 0*1
©
И
M CM
© ©
I I
Ш Ш
N CO
VD CM
(Л IO
M У)
M M
II it
/"'. /Ч
© ©
I I
ш ш
С>1 ©
СЛ ©
-н ©
со ю
СЛ М
¦*• со
«н ел
HIS
CM CM CM H -H CM Tf M
CO CO © © © © © © © ©
© © I I I I I I I I
* f CM CO ClrlHO CM 0>
0*1 ^ Ю CO M У) CM *• *¦ Cft
<j*i © i i (Л d N N CO 10 ©
Cft N
. .y>
-rl M I
I H II
CJN.
\_^ s^r
N N>
U"i 1Л
Ш ш
Oi Qi
li*)CJ
© ©
1 1
ш ш
Й8
0*1 СО
II
П II
УЧ J>"\
CM N-
??
со ©
0*1 © ©
I
1 +
ш ш
У) М
со
©
1
ш
0*1
У)
0*i М й. СО У) М ©
0*1 ©
л у:» о:« n. и
СЕ
<7i M >
3G
ION
© © со ос
© ©
11
. ш
II
со
RE:
©
1
ш
У)
0*1
М
II II
СО Г •-
> ">
СО ©
© ©
1 +
ш ш
Н У^ М
^-ч 0*1 ©
М U1 СО У)
N
п Д
%• У) СО
э~ © ©
о см и
©
ш
©©
М II
II
PHfl
it
CM
Rfl
CO
СЕ ©
1
Ш
X U>
N. fit' СЕ
СО Ш
cjm
II ••
0*1
CO
4)
II
Rfl
CJ N CJ N CO
N. CMN.
rj tj CM CJ 11v) Г1 Tl- ТГ
CE CE "' V' ^ "' ^ V
H H
CM © ©
©
1
1 1
Ш Ш
Ш © Ю
CJ У) M
IO CO ^
У) 10 ©
04
со -a-
???
ddd
© © ©
1 Г 1
Ш Ш Ш
H CM CM
© © ©
1 1 1
Ш Ш Ш
f 1 10 CJ У) 0Э M
CO CJ !vl
CO N У)
И М- CJi
м ю ©
N- CO У)
CJ CJ M
CM *t 0*1 ©
cti ai cm ii
© -H M CO У) СО У) П- M Qi
s: ai со
IT2
1
II II
1
. . .
1 1
. . . Ш
CJ
4^
ШШШШО©©©ОШШО<^'ч/^'
: oi > > > о ос к u-i > > >
496
ID
CD
rl rl
© ©
I i
ш ш
со ъ
Ю ivi
8Г
со oi
О CD
1 1
Ш Ш
CJi (Л
M чО
id со
1*1чО
CM ID
oS ri
rt ri
© CD
1 I
J* M
CD M
oSri
M
rl
Ц) 00
45 ©
«i5 OJ
88
О C\i
oioi
ay
ID <M
ШШ
© 45
88
CD M
© 00
rl M M M M M M f^
II II
I I " Y
II II И II II
i
3
©
CJ
©
HI
oi
хч
•4X
in
??
Ш Ш
M OJ
OJ N
CO K
Oi CO
CO CM
ЧУ <*
II II
rl И
© ©
05 CD
№ ft
CM CO
II II
хч /Ч
M CO
О ©
I I
Ш Ш
^- га
Ю ID
ri M
CD «S
I I
Ш Ш
4 N
О OJ
^ CVJ
и cS
Ы
см
I I
ш ш
М 1
l
O
И h
Ш Э OIDH
шьшьшьшк
" о ° S."o ^ S
•Н rl M © ID © ID ©
© © © © © © © ©
I I I + I + I +
шшшшышшш
^ O\ * ID ID ID CO Cft
<d) U) Tf CM rl CO M rl
M У) ^ Tl- OJ 4) rl "I"
G^ OJ ^Г № N OJ H \T
ID VD ^" CO M Г - VO ©
© CO © U) M OJ Л ivi
oi y> см сj id t* -^ 't
I I I I
2ET ^"* SI •'"¦k SI -^ SI ••'••
aisiocsiaisiais:
н a: h а: н а: н a:
шшшшшшшш
a* ca m ей
(9 о а
а
rl © © © © © © CD
© ri © © © © ©
© © ri © © ©
© ri oj M
21 E 21 E
M Г4.
OJ KU
ID N
05 CTi
II II
OI h-
Ш Ш
ex or
S3
I I
Ш Ш
© ©
CO '..0
Ы N
0?> U")
CO (Л
OJ Г-
4/ 4X
О (О
> >
rl rl
© © Ы
+ I OJ rl ©
Ш Ш © © I
© Ъ I I Ш
© N И Ш Ш ©
© CO л iv( CJ OJ •
© CO *-' OJ "^t* ©
© CO til CJ ID «ft
. . П © rr rH
CM CO > -tf N .
. . CM
II II Z ri (h
II л /n О II • •
hd^Mfl || уч OJ
-J
4/ vx 4.' »-«
32 5-1018
497
тЧ г4
© ©
I I
Ш Ш
О ©
Cf> *
© тЧ
Г>- -Н
О тЧ
ю ч>
оо ем
©
to
м
ч>
ri
и
••*Ч
IO
ч/
•Л
Ш
о:
тЧ
ш га
to ©
N *¦
М СО
§й
<Л
II
Ч/ ЧУ
© ©
СМ СМ
тЧ чЧ
© ©
I I
Ш Ш
м ю
to см
ел ©
О ©
I I
Ш LJ
У) М
У) М
© М5
to со
сэ м
Q 00
© ©
т4 И
т?
«и
М VD
чГ N
Ю N
N О
СМ СЛ
о ©
• I I
ш ш
N ID
«м м
СМ'СМ
У)
© ©
Ш UI
to a>
И гЧ
У) 01
У) 01
© см
Ч' Ч/
© ф
I I
ло ш
ы ш
^t см
И М-
СИ Q
и©
N Гч-
rf ©
to и
Ю Ю
см со'
см
-J О
z: z:
о о
Z Z
© ©
© ©
© ©
z: i i i
О 00. <Ti ©
»-• У) Ю Ю
II О 10 <7i ID*
z: ui
ч/ ч/
33
© ©
п и
z: z:
EW I
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
[60, 225, 306, 319, 344, 434, 435, 647, 671, 734, 740]
Некоторые обозначения и определения теории множеств: а?Аилпа§ А —
элемент а принадлежит или не принадлежит множеству Л; А а В — все
элементы множества А входят в множество Б, другими словами, А есть
подмножество множества В; А^В — то же, но, сверх того, может А = В\
0—символ пустого множества; A (J В — сумма, или объединение, мно-
множеств — множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному
из множеств Л или Б; Л П В — произведение, или пересечение, множеств —
множество, состоящее из элементов, принадлежащих как Л, так и В;
А = {у :у = Bv, v?Vt...} — множество элементов (например, функций) у
таких, что у = Bv, v?V и т.д.; счетным множеством называется мно-
множество, элементы которого можно сопоставить натуральным числам
(т. е. занумеровать).
Топологические пространства. Система подмножеств т множества X
называется топологией в X, если: а) само множество X и пустое мно-
множество 0 принадлежат т, б) сумма (J Ga любого (конечного или беско-
G6
П
нечного) и пересечение f] GK любого конечного числа множеств из % при-
принадлежит т.
Множество X с заданной в нем топологией т называется топологи-
топологическим пространством (X, т) или кратко: Т.
Множества, принадлежащие системе т, называются открытыми. Эле-
Элементы топологического пространства называются точками. Окрестностью
точки х?Т называется всякое открытое множество G<7\ содержащее
точку х\ точка х?Т называется точкой прикосновения множества М с: 7,
если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из М; х
называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность
точки х содержит хотя бы одну точку из М, отличную от х. Совокупность
всех точек прикосновения множества М называется замыканием мно-
множества М и обозначается М или [М].
Множество М топологического пространства Т называется всюду
плотным, если его замыкание есть 7\ т. е. [М] = Т.
Топологическое пространство со счетным всюду плотным множест-
множеством называется сепарабельным.
Метрические пространства. Частный случай топологических прост-
пространств— метрические пространства. Метрическим пространством R = (Х,р),
или кратко X, называется множество X элементов (чисел, функций и т. д.)
такое, что каждой паре элементов х,у?Х ставится в соответствие неотри-
неотрицательное вещественное число р{х,у) — расстояние между х и у, удов-
удовлетворяющее аксиомам:
1) р (jc, r/)^0, причем р(д:, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) р (х, у) = р (у, х) — аксиома симметрии;
3) р (х, г) < р (х, у) + Р (уу z) — аксиома треугольника.
Пусть хп, Аг=1, 2,... — некоторая бесконечная последовательность
элементов. Элемент х0 называется пределом последовательности хП7 если
32* 49^
р{Хп, х0) ~* О ПРИ п —* °°- Обозначают: lim#rt = х0. В этом случае при лю-
бом 8 > 0 существует такое N, что
р(хт, хп)<сг при m, n^N9 (I. 1)
а последовательность #„ называется фундаментальной.
Но из (I. 1), вообще говоря, не следует обратное, т. е. что хп имеет
предел. Если же введено дополнительное условие, что из A.1) следует
существование предела последовательности хп (т. е. всякая фундаменталь-
фундаментальная последовательность сходится), то такое метрическое пространство на-
называется полным.
Некоторое множество U элементов метрического пространства назы-
называется ограниченным, если существует такой элемент х0 и такое число
g > О, что р (х, х0) <: g для всех х ? U.
Открытым шаром В (х0, г) в метрическом пространстве R называется
совокупность точек x?R, удовлетворяющих условию р(х, х0) < г. Точка
х0 называется центром этого шара, а число г — его радиусом. Замкнутым
шаром В [х0, г] называется совокупность точек x?R9 удовлетворяющих
условию р (х, х0) <: г.
Точка х0 ? R называется предельной точкой множества М с R, если
существует такая последовательность хп?М, что lim хп = х0, другими
словами, любая окрестность точки х0 содержит бесконечно много точек из М.
Множество U элементов X называется компактным, если любая бес-
бесконечная последовательность элементов хп из U содержит сходящуюся
последовательность. Замыкание компактного множества называется ком-
компактом.
Пусть даны два метрических пространства X и Y. Отображение у =
= Ах, ставящее в соответствие элементам х?Х определенные элементы
y?Y, называется оператором Л, действующим из X в Y. Обозначается
A:X->Y.
Частный случай операторов — функционалы. Это операторы в случае,
когда Y есть пространство чисел (вещественных или комплексных) с рас-
расстоянием р(у19 У2) = \У1 — У2\> гДе Уг> У2€у-
Линейные пространства. Линейным (или векторным) пространством L
называется непустое множество элементов х, у, 2,..., удовлетворяющее
условиям:
I. Каждым двум элементам х, y?L однозначно поставлен в соответ-
соответствие третий элемент z= x + y^L, называемый их суммой, причем
1) х + у = у+ х (коммутативность),
2) х + {у + z) = {х + у) + z (ассоциативность),
3) существует элемент 0?L такой, что х + 0 = л:(существование нуля),
4) для каждого х ? L существует такой элемент — х, что х + (—х) = О
(существование противоположного элемента).
II. Каждому элементу x?L и каждому числу а поставлен в соот-
соответствие элемент ax?L (произведение элемента х на скаляр а), причем
5) рр
6)
7) (а + $)х = ах + $х,
8) а{х + у) = ах + ау.
Если числовые множители (скаляры) а, р, у,... вещественны, то L
называется вещественным (действительным) линейным пространством. Если
а, р, у,... комплексны, то L называется комплексным линейным про-
пространством.
Элементы х, у,..., w линейного пространства L называются линейно
зависимыми, если существуют такие числа а, р,..., Я, не все равные ну-
нулю, что ах + $у + ... + Хт = 0. В противном случае эти элементы на-
называются линейно независимыми.
Непустое подмножество V czL линейного пространства L называется
подпространством, если из х, y^L1 следует, что ax+$y?L' при лю-
любых аир.
500
Нормированные пространства. Нормированным пространством назы-
называется линейное пространство L, в котором задано понятие нормы. Норма
элемента x?L обозначается символом ||*||. Нормой ||*|| в L называется
вещественное неотрицательное число (функционал) такое, что
1) ||*|| > 0, причем ||*|| = 0 лишь при х = 0 (невырожденность),
2) || ах || = | а | • || * || (однородность),
3) II * + у II < 1|*|1 + IIУII (неравенство треугольника).
Если в нормированном пространстве ввести понятие расстояния р(*,
у) = ||* — у\\у то оно становится метрическим.
Пусть дано множество Л, состоящее из элементов *, у, ... , w ли-
линейного нормированного пространства L. Множество С называется линей-
линейной оболочкой множества Л, если его элементами являются линейные
комбинации ах + pz/ + • •• + ^» где а, р, ..., к — произвольные числа.
Банахово пространство. Полное нормированное пространство назы-
называется банаховым пространством (^-пространством, пространством типа 5,
пространством В).
Примеры линейных нормированных пространств, яв-
являющихся банаховыми, и запись нормы в них:
1. Пространство R1 вещественных чисел:
2. Вещественное я-мерное пространство Rn чисел * = -(*lf *2, . .. , хп)\
3. Пространство /2 суммируемых с квадратом последовательностей
чисел * = (*!, *2, ...,*«, . • .):
\\ — \2j
й1
\l/2
4. Пространство L2 [а, Ь] функций у(х), интегрируемых с квадратом:
ь
<oo, A.3)
а
5. Пространство Lp [а, Ь] (р > 1):
IIУII = {J 1 У (х)\р dx}l/\ J | у (*) |*d* < оо.
а а
6. Пространство Lx [a, 6] функций у (*), интегрируемых с модулем:
ъ
Jo. A.4)
7. Пространство С [а, Ь] непрерывных на [а, Ь] функций:
||у||-max|z/(*)|. A.5)
8. Пространство Соболева Wlp[a, b] функций у{х)у I раз непрерывно
дифференцируемых (в частности, в смысле обобщенной производной):
{
k=0a
9. Пространство Соболева W\ [а, Ь]—частный случай пространст-
пространства 8 — пространство функций у(х), имеющих производную (в частности,
обобщенную), интегрируемую с квадратом:
501
Банахово пространство L(X, E) линейных ограниченных функциона-
функционалов, заданных на банаховом пространстве X со значениями на оси Е,
называется пространством, сопряженным по отношению к X, и обозна-
обозначается X* (т. е. X* = L (X, Е)). Если (X*)* = X, то банахово простран-
пространство X называется рефлексивным.
Пространства со скалярным произведением (евклидовы, унитарные,
гильбертовы и др.).
Евклидовы пространства. Вещественное линейное простран-
пространство Е называется евклидовым, если каждой паре его элементов х и у
поставлено в соответствие вещественное число (х, у)—скалярное произ-
произведение— такое, что выполняются следующие аксиомы:
1) (#, y)z=(y9 x) (симметрия),
2) (хг + х2У у) = (х19 у) + (х2, у) (аддитивность),
3) (кх, у) = X • (х, у) (однородность),
4) (л:, х) > 0, причем (#, х) = 0 только при х = 0.-
Евклидово пространство превращается в нормированное пространство,
если в нем определить норму по формуле
Иногда A.7) записывают в виде
A.6)
где С—некоторый линейный оператор.
Пусть Е — пространство со скалярным произведением. Система нену-
ненулевых элементов xlt х2, ..., хт?Е называется ортогональной, если {xk9
xt) = 0 при k ф /. Если система xl9 х2, ... , хт такова, что
то она называется ортонормированной системой.
Унитарные пространства. Комплексное линейное пространство
V называется унитарным, если каждой паре его элементов х и у постав-
поставлено в соответствие комплексное число (х, у) — скалярное произведение,
так что выполняются аксиомы 2—4 A.6), а аксиома 1 записывается в виде
1) (х, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопряжение).
Гильбертово пространство. Пространство Н со скалярным
произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порож-
порожденной скалярным произведением. Еще одно определение: гильбертово про-
пространство— это банахово пространство, в котором норма определена с по-
мощью скалярного произведения || у || = У (у, у), \\х — у\\ = У(х — у, х—у).
Обычно под гильбертовым пространством подразумевается сепарабель-
ное гильбертово пространство.
Пространства 1—4, 9 являются гильбертовыми пространствами, при
этом скалярное произведение в них определяется следующим образом:
1) (х, у)=х-у,
П
2) (** у) = S хм*
3) (*, у) = ?
ъ
4) (Л
а
5) (/, g) = {J / (x)g~{x)dx + J /'
а
Множество А^Н называется линейно независимым, если любой ко-
конечный набор его элементов является линейно независимым. Множество
502
AczH называется базисом гильбертова пространства Я, если оно линейно
независимо и замыкание линейной оболочки Л совпадает с Я. Базис назы-
называется ортогональным, если система его элементов ортогональна, и орто-
нормированным, если система его элементов ортонормирована.
Операторы в гильбертовом пространстве. Пусть заданы некоторые мно-
множества Y и F и пусть в Y выделено подмножество D czY. Если каждому
элементу y?D ставится в соответствие определенный элемент f?F, то
говорят, что задан оператор / = Ау. При этом множество D называется
областью определения оператора А и обозначается D(A). Множество R ~
s R (А) = {f?F:f = Ay, y?D) называется областью значений оператора Л.
Действие оператора записывается в виде Y =э D (А) —¦ R (А) <=• F или кратко
A: Y-+F.
Оператор Л, действующий из банахова пространства Вг в пространст-
пространство В2, называется линейным, если для yk?D(A) и любых чисел ck> k = l,
... , т, имеет место равенство
1 -\ + Стут) = С1Ау1 -\ + СтАут.
Оператор А называется ограниченным, если || Ау\\ < g\\ y\\ для любого у?
?D(A), где g— конечное число. Пример линейного (ограниченного) опера-
оператора— линейный интегральный оператор A: L2[a> b]*-><L2[ay b]f порож-
порождающий функцию (см. D.63))
\{x% s)y{s)dssf(x)f a<x<b. A.8)
а
Норма оператора
Оператор В, действующий из гильбертова пространства Я в Я, назы-
называется сопряженным (обозначается Л*) по отношению к оператору Л: Я->
->Я, если (Ах, у)н = (х> Ву)н для любых х, у?Н. Например, по отноше-
отношению к интегоальному оператору Л в выражении A.8) сопряженный опера-
оператор есть оператор Л*, порождающий функцию (ср. D.70))
ъ ъ
А*у = J К* (х, s) у (s) ds - $ К (s, х) у (s) ds.
а а
Самосопряженный (эрмитов) оператор — это такой линейный ограни-
ограниченный оператор А:Н->Н, что для любых х, у?Н имеет место равенство
{Ах, у)н = (*, Ау)н-
Единичный оператор — это такой оператор Е (или /), что Еу = у для
любого у ? D (Л). Унитарный оператор — такой оператор U, что (/*(/ = Е.
Самосопряженный оператор Л называется положительно определенным
(положительным), если (Ау, у)>0 для любого элемента y?D(A) (заме-
(заметим, что оператор А*А положителен). Обратный по отношению к Л опе-
оператор (обозначается через Л)—это оператор, определенный на R (Л) и
сопоставляющий каждому элементу f?R(A) определенный элемент у?
?D(A). Это записывается в виде у = Л/. Из линейности Л следует ли-
линейность Л. Но из ограниченности Л, вообще говоря, не следует ограни-
ограниченность Л (это характерно, в первую очередь, для некорректных задач).
Операторы А и В дистрибутивны (перестановочны), если АВ = ВА.
Линейный оператор A:Y->-F называется непрерывным в точке yo?Y,
если Ау-*Ау0 при у-*~у0. Для линейных операторов непрерывность экви-
эквивалентна ограниченности.
Линейный оператор Л называется вполне непрерывным, если он пре-
преобразует всякое ограниченное по норме множество в компактное мно-
множество.
503
Пусть X — линейное пространство и Л—линейный оператор, действую-
действующий из X в X, с областью определения D(A). Число X называется собст-
собственным значением оператора Л, если существует вектор х Ф 0, х??> (А)
такой, что Ах = Хх. При этом х называется собственным вектором (собст-
(собственной функцией) оператора Л, соответствующим данному собственному
значению X. Если А — линейный вполне непрерывный самосопряженный
оператор, то все X вещественны, при этом || А || = | X (Л)|тах, || А'11| =
= 1/| Л, (Л) Imin. Если А положителен, то все X неотрицательны, при этом
]| А || = X (Л)тах, II Л!! = 1/А,(Л)тш. Если же Л — произвольный (линейный)
оператор, то X — вообще говоря, комплексны, при этом || Л || = У~Х (Л*Л)тах»
\\ А'11| = уПГ7Цл*Л]^. Совокупность всех собственных значений операто-
оператора называется его спектром.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
[143, 145, 146, 166, 686, 687, 690, 696, 882, 890]
Векторы и матрицы. Прямоугольной т х я-матрицей называется совокуп-
совокупность чисел (вообще говоря, комплексных), расположенных в виде прямо-
прямоугольной таблицы из т строк и п столбцов:
л =
Если т > 1, п = 1, то А есть вектор-столбец, а если т = 1, п > 1, то Л —
вектор-строка. Если т = п, то матрица Л называется квадратной*. Если
al7 = 0 пр i Ф jr то квадратная матрица А называется диагональной.
Если ац = Ьц = 0 при i gfc / и at] = 6l7 = 1 при / = /, то квадратная матри-
матрица А называется единичной и обозначается Е или /. Если все aif = 0, то
матрица А называется нулевой.
Матрица АТ = (bif), i = 1, n, j = 1, m, у которой Ъц — а^, называет-
называется транспонированной по отношению к тхя-матрице А. В частности,
транспонирование переводит вектор-столбец в вектор-строку и обратно.
Матрица А — (ац)$ i = 1, m, / = 1,3 называется комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженной с А. Матрица Л* = Ат называется сопряженной с Л. При этом
(Л*)* = Л. Если Л вещественна, то Л* = Лг.
Определитель (детерминант) квадратной матрицы Л обозначается \А\
или det(^4). Минор порядка k матрицы Л есть определитель /г-го порядка,
составленный из любой части Л с соблюдением расположения элементов а//.
Ранг матрицы Л — максимальный порядок ^тах отличных от нуля миноров.
Произведение числа а на mxn-матрицу Л = (аг-/) есть ^Хп-матрица
В = (а-ац). Сумма /лхп-матриц Л = (аг7) и 5 = Фи) есть тхя-матрица
С = (аг7 + 6;/). Умножение шх /-матрицы Л = (ац) и /х я-матрицы Б == (bij)
есть mxn-матрица С == (d/)9 где сг7 = L Qtkbkh l" = U m» / = 1, п. Вообще
говоря, Л5 gfc 5Л (более того, сравнивать ЛВ и ВЛ можно лишь в случае,
когда А и В квадратны и одинакового порядка). Если же АВ = ВА, то
такие (квадратные, одинакового порядка) матрицы называются перестано-
перестановочными или коммутативными. Некоторые свойства произведения матриц:
ЕА АЕ А А (ВС) = (АВ) С, а (АВ) = (аЛ) В =_Л (оВ|, (А + В)С =
В)=СА+СВ9 (АВ)Т=ВТАТ, АВ = ЛВ,
¦ Далее прямоугольную матрицу будем называть матрицей, а квадратную — квадратной матрицей*
504
Ленточная mxn-матрица А = (aq) — такая матрица, что а*/ = 0 при
\1— /|>Д» причем A<max(m, я). Квазидиагональная матрица Л— такая
квадратная nxn-матрица, у которой вдоль главной диагонали—квадрат-
диагонали—квадратные клетки порядка <я, а остальные элементы равны нулю. Ленточным
и квазидиагональным (редким) матрицам противостоят плотные матрицы —
матрицы со сравнительно малым числом нулевых элементов.
Квадратная матрица А называется вырожденной (или особенной), если
| А\ = 0, в противном случае А называется невырожденной. Для того чтобы
квадратная матрица А была невырожденной, достаточно выполнение нера-
неравенств | аи | > ? I ац I для всех i = 1, 2, ... , п.
Квадратная /гхя-матрица А называется обратной по отношению
к квадратной /г х я-матрице Л, если А~гА = Е. Необходимое и достаточное
условие существования А~г — невырожденность А (в этом случае имеет
место единственность Л). Некоторые свойства обратной матрицы: | А | =
^\АГ\ (Л)-Л, (АВУ1 = В-М-1, Л-М-ЛЛ-1^.
Квадратная пхя-матрица В называется подобной квадратной пхп-
матрице Л, если существует такая неособенная квадратная я х ft-матрица С,
что В = С'1 АС.
Квадратная nxn-матрица Л = (aij) называется левой, или нижней (со-
(соответственно правой, или верхней) треугольной матрицей, если щ; = 0 при
/>i (соответственно при /<О). Для треугольной дгхп-матрицы Л спра-
п
ведливо: | Л | = П пн-
Величина an + ••• + ^«п называется следом квадратной /гхя-матрицы
Л = (щ^ и обозначается Sp Л.
Квадратная ^хя-матрица Л = (а^) называется симметричной, если
ац = пц9 i9 / = 1 f /г. Вещественная симметричная пхп-матрица Л = (ai7)
называется положительно определенной (положительной), если 2 а^" х
>0 при любых вещественных ^ и J] anXiXj = Q лишь при xt =
= х2 = •• • = Х/г = 0. Примеры положительно определенной матрицы: Я,
АТА, ААТ, А*А, АА* (А прямоугольна).
Квадратная матрица Л называется нормальной, если А* А = А А*.
Квадратная комплексная матрица Л называется эрмитовой (эрмитово-
сопряженной), если Л == Л*. Вещественная эрмитова матрица является сим-
симметричной. Унитарная матрица— такая комплексная матрица Л, что Л*Л =
= Е или АА* = ?. Вещественная унитарная матрица называется ортого-
ортогональной (АТА = Е или ААТ = Е).
Невырожденную квадратную произвольную матрицу Л можно пред-
представить в виде A — LU, где L и U — соответственно нижняя и верхняя
треугольные матрицы. Если при этом Л—ленточная матрица, то L и U —
треугольные ленточные матрицы.
Положительно определенную матрицу Л можно представить в виде
A — LLT, где L — нижняя треугольная матрица, в частности, с положи-
положительными диагональными элементами (схема Холецкого), или в виде Л =
= LDLT, где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю,
a D — диагональная матрица с положительными элементами. Если при этом
положительно определенная матрица Л является ленточной, то ее можно
представить в виде Л = LLT, где L — нижняя треугольная ленточная
матрица.
Собственные значения матриц. Корни Х{9 t= I, n, характеристического
уравнения
ап л, а12 ... п\п
^21 ^22 ^ • ' • а2п
= 0
505
называются собственными значениями или собственными числами квадрат-
квадратной nxn-матрицы A~(aij). Величины l/X{, i = 1, п, называются характе-
характеристическими числами*. Сингулярными числами тхя-матрицы Л назы-
называются (неотрицательные) числа |хг(Л) = )/%(Л*Л), 1=1, я, обычно рас-
положенные в порядке (если А*А вырождена и имеет ранг г < п): \it > fji2 >
> •• • > |V > (Jtr+i = • •• = p,n = 0 или (если Л*Л невырождена): \1г > |л2 >
> ••• > [Х/г>0. Справедливо равенство |с!е1(Л)| = fx1fx2 ... jx^.
Собственные значения А,/ произвольной (квадратной) матрицы Л, в об-
общем, комплексны. Если А симметрична, то все Л/ вещественны (но, в прин-
принципе, любого знака). Если А положительна, то все %t неотрицательны.
Все сингулярные числа щ любой матрицы неотрицательны. При этом во
всех случаях h и \хс могут иметь кратность, доходящую до п.
Множество собственных значений матрицы называется ее спектром.
Согласно теореме Гершгорина, все собственные значения %i9 i=l,
2, ... , п, произвольной (квадратной) матрицы А лежат на комплексной
плоскости в совокупности кругов, называемых кругами Гершгорина:
IА. — аи | = ? I aq |, 1 < i < п9
т. е. любое Kt лежит по крайней мере в одном из кругов с центром аи и
радиусом Sl^t/I (если согласовать нумерацию кругов и собственных зна-
чений). При этом если некий i-й круг Гершгорина изолирован (т, е. не
пересекается с другими кругами), для чего достаточно
1 akk — аи | > Ц I а*/1 + S I аИ \
для всех 1гф1, то данный i-й круг содержит одно собственное значе-
значение %{. Если т*сп кругов Гершгорина образуют область D, не пересе-
пересекающуюся с остальными кругами, то в D находится т собственных зна-
значений.
Нормы векторов и матриц. Обычно первоначально вводится понятие
нормы вектора \\х\\9 а затем порожденное ею (подчиненное ей, согласо-
согласованное с ней) понятие нормы матрицы ||Л||, определяемое как (ср. A.9))
|| Л || = max 11^1 = max || Ax \\. (II.1)
Пусть х = (*!, х2, . .. , хп)Т — вектор-столбец, а хт = (хг, х2, . .., хп)—
вектор-строка в вещественном n-мерном пространстве Rn. В этом случае
евклидова (или шуровская) норма вектора х есть (ср. A.2) и A.3))
IMI = (| 4Г = Кл. (п.2)
Порожденная нормой (П.2) евклидова норма вещественной квадратной
nxn-матрицы А есть
В случае комплексности х и А норма (П.2) записывается в виде
а запись (П.З) сохраняет силу; при этом нормы ||лг|| и ||Л|| называют эр-
эрмитовыми. Если Л — положительно определенная, то [| Л || = у (Л)тах =
* В литературе эти понятия определяются неоднозначно.
506
= Ц/3)гаах; || Л1| = l/n(A)min= 1А(Л)т!п. Если А симметрична, то ||Л|| =
= ji (Л)тах = I Я, (Л)тах, || Л-11| = 1 /ц (Л)тк, = 1 /| X (Л)|тш. Если же Л про-
извольна (в том числе прямоугольна), то || Л || = (х(Л)тах = ]/21(Л*Л)тах,
|| Л1| = 1/ц(Л)т1п= l/Vb(A*AU«.
Используются еще «октаэдрическая» норма вектора (ср. A.4))
11*11 = 2^**1
и порожденная ею «октаэдрическая» норма mxn-матрицы
m
|| Л || = max 2 |а,/|,
1/ 1
а также «кубическая» норма вектора (ср. A.5))
||*|| = max
и порожденная ею «кубическая» норма ягхп-матрицы
п
|| Л ||- max 2 |а*/1>
называемые также максимум-нормами.
Иногда начальным полагают понятие нормы матрицы, а производным —
понятие нормы вектора.
СЛАУ, число обусловленности, МНК и псевдообратная матрица. Систе-
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) записывается в виде
Ay=f (ПА)
или
_ ._fl, l=1,m,
где Л—тхя-матрица, у — /z-вектор-столбец, / — m-вектор-столбец. Если
т>п (точнее, число линейно независимых строк в A1А)>п), то СЛАУ
называется переопределенной. Если т = п (и r = m)t то СЛАУ называется
определенной. Если же т< п, то СЛАУ называется недоопределенной.
Решение определенной СЛАУ символически записывается в виде у =
= Л/, где Л—обратная матрица, а на практике обычно осуществляется
гауссовскими (или другими) методами с использованием разложения Л =
= LU — в этом случае задача сводится к решению двух СЛАУ с треуголь-
треугольными матрицами Lx~f и Uy = x. Если же Л положительна, то наиболее
эффективны методы Холецкого и квадратного корня Краута.
При этом, если вместо / и Л заданы / и Л такие, что ||/ — /|J < б,
|| Л—Л||<? (б и | — погрешности задания правой части и матрицы), то
часто используемой оценкой погрешности решения является следующая [887]:
cond (Л)
где cond (Л) = cond (Л) = || Л || • || А'11| = \i {А)тгх1\ь (Л)т!п > 1 — число обу-
обусловленности матрицы Л (или Я-число, обозначаемое через т)(Л) [686
151—152]). Если cond (Л) относительно мало (обычно ^ 103), то матрица Л
(и СЛАУ) называется хорошо обусловленной. Если же cond (Л) относи-
относительно велико (обычно > 104), то матрица Л (и СЛАУ) называется плохо
обусловленной. Заметим, что малость (по сравнению с единицей) опреде-
определителя |Л|, вообще говоря, не есть критерий плохой обусловленности.
507
Решение переопределенной СЛАУ обычно осуществляется методом
наименьших квадратов (МНК) Гаусса, согласно которому вместо (II.4)
решается так называемая нормальная СЛАУ
A*Ay = A*f (И.5)
с квадратной положительно определенной пX я-матрицей А*А. СЛАУ (П.5)
вытекает из условия \\Ау—f||2 = min.
у
Недоопределенная СЛАУ имеет множество решений. Она может быть
решена методом псевдообратной матрицы:
y = A+f, (II6)
где А+—псевдообратная nxm-матрица Мура — Пенроуза.
Для произвольной /пх я-матрицы А существует одна и только одна
псевдообратная nxm-матрица Л+, определяемая соотношением АА+А = А.
Практически Л+ может быть найдена по формуле
А+ =
где А —ВС — скелетное (неоднозначное) разложение матрицы Л, причем
В — тх г-матрица, С — rxn-матрица, г~га=гв = гс — ранги А, В, С.
При различных скелетных разложениях получается одно и то же решение
для А+.
В случае квадратной неособенной матрицы А имеем А+ = Л", а в слу-
случае переопределенной системы А+ = (Л*Л)~М*, т. е. запись (II.6) является
общей для переопределенной, определенной и недоопределенной СЛАУ.
Кроме того, решение (II.6), которое уместно записать в виде у+ = Л+/,
дает нулевую невязку \\ Ау+ — /||=0, т. е. оно является псевдорешением
(ср. п. 4.3), и среди всех псевдорешений (которых в случае недоопреде-
недоопределенной СЛАУ множество) имеет наименьшую (евклидову) норму, т. е.
является нормальным решением СЛАУ (такое решение существует и являет-
является единственным).
Если рассматривается специфическая СЛАУ, характерная для метода
регуляризации Тихонова (см. D.49), D.121))
(Л*Л + аС)*/а = Л*/, (П.7)
где Л — произвольная mxn-матрица, С — симметричная положительно опре-
определенная трехдиагональная яхп-матрица, то весьма эффективным для ре-
решения СЛАУ (II.7) (если а пробегает ряд значений) является метод Вое-
Воеводина [144]. В этом методе вместо (П.7) решается СЛАУ
(D*D+aE)za=--d, (II.8)
где d = ?>*Q*/ = #Р*/, С = ?*?, Р == АВ'1 = QDR, D — правая двухдиаго-
нальная /яхя-матрица, В — правая треугольная двухдиагональная пхп-
матрица, Q — унитарная /nxm-матрица, R — унитарная пх#-матрица. При
этом
ya==B-iR-iZa, (П.9)
Вычисление D и d требует порядка тп2 операций (умножения), а вы-
вычисление А*А и Л*/ требует около тп2 операций. Для решения СЛАУ
(П.8) (методом прогонки) требуется порядка п операций, восстановление
уа из (П.9) требует порядка п2 операций, решение же СЛАУ (II.7) мето-
методом квадратного корня Краута по схеме Холецкого (методом Краута—
Холецкого) требует около (/г3/6) + п2 операций [687 20, 22] — все оценки
при одном значении а. В результате отношение времен решения методом
Краута—Холецкого и методом Воеводина равно приближенно:
^ п* (-g- + ljma + тп* ^ (-J + 1J та + т ^ -J та
а а т-\-
где та—число значений а.
503
Если та&\, то р—1, поскольку обычно т>я,— методы Краута —
Холецкого и Воеводина равноправны. Если т->оо, то /?->-;г + 1 > 1, и
предпочтительнее метод Воеводина. Ряд типичных значений:
п = 20,
п = 40,
п = 100,
т = 30
/я = 60
m = 150
р «
та
1
1
1
1
10
2
2
2
100
3,5
5
7,5
4
8
18
Видно, что метод Воеводина дает заметный выигрыш во времени (р^
!> 2) при больших гааО10). При умеренных же та(^10) р—1. Поэтому
целесообразно разумное сочетание методов Краута — Холецкого и Воево-
Воеводина.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агекян Т. Л. Распределение истинных конфигураций тройных звезд. — Астрон.
журн., 1954, 31, вып. 6, с. 544—549.
2. Алберг Дж., Нильсон Э., УолшДж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир,
1972. — 316 с.
3. Алгоритмический язык Алгол 60 : Модифицир. сообщ. — М. : Мир, 1982. — 72 с.
4. Алексеев А. С, Лаврентьев М. Af., Мухометов Р. /\, Романов В. Г. Численный метод
решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики. —Мат. пробл. гео-
геофизики, 1969, вып. 1, с. 179—201.
5. Алексеев А. С, Лаврентьев М. М., Мухометов Р. Г. и др. Численный метод опреде-
определения структуры верхней мантии Земли. — Там же, 1971, вып. 2, с. 143—165.
6. Алексеев В. #., Гительсон В. С, Глебова Г. М. и др. Точность определения парамет-
параметров источников случайных акустических сигналов методом прямого разрешения. —
Акуст. журн., 1981, 27, вып. 1, с. 30—35.
7. Алексеев В. #., Глебова Г. М. Потенциальная точность определения параметров исто-
источников случайных сигналов.—Вопр.судостроения. Сер. общетехн., 1980, вып. 47,
с. 17—22.
8. Алексеев Г. В., Тахтеев В. А. О регуляризации и дискретизации методом моментов
некорректных задач синтеза антенн. — В кн.: Акустические антенный преобразова-
преобразователи : Тез. докл. второй дальневосточ. акуст. конф.«Человек и океан». Владивосток,
1978, ч. 2, с. 54—57.
9. Алиев Б. Регуляризирующие алгоритмы для устойчивого нормального решения
уравнения II рода на спектре. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970,
10, № 3, с. 569—574.
10. Амербаев В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра. — Алма-
Ата : Наука, 1974. — 182 с.
И. Аниконов Ю. Е. Об операторных уравнениях 1-го рода. —ДАН СССР, 1972, 207,
№ 2, с. 257—258.
12. Аниконов Ю. Е. О единственности решения интегральных уравнений 1-го рода. —
Мат. заметки, 19,3, 14, № 4, с. 493—498.
13. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для
дифференциальных уравнений. — Новосибирск : Наука, 1978. — 120 с.
14. Аниконов Ю. Я., Пивоварова Н. Б., Славина Л. Б. Трехмерное поле скоростей фокаль-
фокальной зоны Камчатки. — Мат. пробл. геофизики, 1974, вып. 5, ч. 1,с. 92—117.^
15. Антохин Ю. Т. Некорректные задачи в гильбертовом пространстве и устойчивые
методы их решения. — Дифференц. уравнения, 1967, 3, № 7, с. 1135—1156.
16. Антохин Ю. Т. Некорректные задачи для уравнений типа свертки. — Там же, 1968,
4, № 9, с. 1691—1704.
17. Апарцин А. С. О применении различных квадратурных формул для численного ре-
решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм. —
Дифференц. и интегр. уравнения, 1973, вып. 2, с. 107—116.
18. Апарцин А. С. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтерра I ро-
рода методом квадратур. — В кн.: Методы оптимизации и исследование операций :.
(Прикл. математика). Иркутск, 1976, вып. 4, с. 79—ЪЪ.
19. Апарцин А. С. О численном решении интегральных уравнений Вольтерра I рода
регуляризованным методом квадратур. — Методы оптимизации и их прил., 1979,
вып. 9, с. 99—107.
20. Апарцин А. С. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтерра.—
Иркутск, 1981. — 26 с. — (Препринт / СЭИ; № 1).
21. Апарцин А. С, Бакушинский А. Б. Приближенное решение интегральных уравне-
уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм. — Дифференц. и интегр. урав-
уравнения, 1972, вып. 1, с. 248—258.
22. Арефьева М. В. Асимптотические оценки точности оптимальных решений уравнения
типа свертки. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, № 4, с. 838—
851.
23. Арефьева М. В. Некоторые асимптотические оценки оптимальной погрешности для
интегральных уравнений I рода типа свертки.—Там же, 1975, 15, № 5, с. 1310—1317.
24. Арефьева М. В. Быстрый регуляризирующий алгоритм решения интегральных урав-
уравнений Фредгольма I рода типа свертки. Числ. анализ на ФОРТРАНе, 1978, вып.
22, с. 3-24.
510
25. Лрсенин В. Я- О методах решения некорректно поставленных задач. — М., 1973. —
165 с. — (Препринт / МИФИ).
26. Лрсенин В. Я-, Винокуров В. А., Свешников А. Г. Конференция по некорректно
поставленным задачам (Фрунзе, 1979 г.) — Успехи мат. наук, 1980, 35, вып. 6,
с. 184—188.
27. Арсенин В. #., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные за-
задачи математической физики. — Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика
и кибернетика, 1981, № 3, с. 9—17.
28. Арсенин В. Д., Загонов В. Я., Трахонитовская Р. А. О численном решении инте-
интегральных уравнений первого рода типа свертки на неравномерных сетках. —М ,
1978. — 26 с. — (Препринт / АН СССР, ИПМ; № 141).
29. Арсенин В. #., Зябрев Н.Б. О построении приближений к оптимальной фильтрации.
М., 1978. — 17 с. — (Препринт/ АН СССР, ИПТ; № 4).
30. Арсенин В. Д., Иванов В. В. О решении некоторых интегральных уравнений I рода
типа свертки методом регуляризации. — Журн. вычисл. математики и мат. фи-
физики, 1968, 8, № 2, с. 310—321.
31. Арсенин В. #., Иванов В. В. О влиянии регуляризации р-ro порядка. — Там же,
№ 3, с. 661—663.
32. Арсенин В. #., Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации. — ДАН СССР, 1968,
Ш, № 1, с. 9—12.
33. Арсенин В. Я., Савелова Т. И. О применении метода регуляризации к интегральным
уравнениям I рода типа свертки. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969,
9, № 6, с. 1392—1396.
34. Афанасьев С. В., Воробьев В. #., Всесветский И. Г. и др. Система БЭСМ-АЛГОЛ:
Инструкция по программир. — Л. : ЛНИВЦ, 1979. — 73 с.
35. Бадаев В. В., Любовцева Ю. С, Туровцева Л. С. Определение микроструктуры аэро-
аэрозоля по ореольным измерениям методом В. Ф. Турчина.—Изв. АН СССР. Физика
атмосферы и океана, 1973, 9, № 10, с. 1044—1053.
36. Бадалов Ф. Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязко-
упругости. — Ташкент : Фан, 1980. — 221 с.
37. Баев А. В. О построении нормального решения нелинейных некорректных задач
методом регуляризации. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979, 19,
№ 3, с. 594—600.
38. Баев А. В., Гласко В. Б. О решении обратной кинематической задачи сейсмики с по-
помощью регуляризирующего алгоритма. — Там же, 1976, 16, № 4, с. 922—931. ,.
39. Базара М., Ulemmu К. Нелинейное программирование : Теория и алгоритмы. — М.:
Мир, 1982. — 583 с.
40. Бакушинский А. Б. Один метод численного решения интегральных уравнений. —
Вычисл. методы и программир., 1964, вып. 3, с. 536—543.
41. Бакушинский А. Б. Об одном численном методе решения интегральных уравнений
Фредгольма 1-го рода. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1965, 5, № 4,
с. 744—749.
42. Бакушинский А. Б. О некотором численном методе решения интегральных уравнений
Фредгольма первого рода.—Вычисл. методы и программир., 1966, вып. 5, с. 99—
106.
43. Бакушинский А. Б. Один общий прием построения регуляризирующих алгоритмов
для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. — Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1967, 7, № 3, с. 672—677.
44. Бакушинский А. Б. Избранные вопросы приближенного решения некорректных
задач. — М., 1968. — 90 с.
45. Бакушинский А. Б. Алгоритмы регуляризации для линейных уравнений с неогра-
неограниченными операторами. — ДАН СССР, 1968, 183, № 1, с. 12—14.
46. Бакушинский А. Б. Некоторые свойства регуляризирующих алгоритмов.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1968, 8, № 2, с. 426—429.
47. Бакушинский А. Б. Новый регуляризирующий алгоритм для решения линейного
некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. — Вычисл. методы и про-
программир., 1969, вып. 12, с. 53—55.
48. Бакушинский А. Б. Некоторые вопросы теории регуляризирующих алгоритмов (РА).
— Там же, с. 56—79.
49. Бакушинский А. Б. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью «уточ-
«уточняющих» итераций. — Вычисл. методы и программир., 1969, вып. 13, с. 194—208.
50. Бакушинский А. Б. К распространению принципа невязки. — Журн. вычисл. мате-
математики и мат. физики, 1970, 10, № 1, с. 210—213.
51. Бакушинский А. Б. К проблеме построения линейных регуляризирующих алгорит-
алгоритмов в банаховых пространствах. — Там же, 1973, 13, № 1, с. 204—210.
52. Бакушинский А. Б. К обоснованию «принципа невязки». — Дифференц. и интегр.
уравнения, 1973, вып. 2, с. 117—126.
53. Бакушинский А. Б. Замечания об одном классе регуляризирующих алгоритмов. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, 13, №6, с. 1596—1598.
54. Бакушинский А. Б. Регуляризирующий алгоритм на основе метода Ньютона — Кан-
Канторовича для решения вариационных неравенств. — Там же, 1976, 16, № 6, с. 1397-—
1404.
55. Бакушинский А. Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основан-
основанные на принципе итеративной регуляризации. — Там же, 1977, 17, № 6, с. 1350—
1362.
511
56. Бакушинский А. Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных
задач, порожденные регуляризирующими алгоритмами. — Изв. вузов. Математика,
1978, № 11, с. 6—10.
57. Бакушинский А. Б.,Поляк Б. Т. О решении вариационных неравенств.— ДАН СССР,
1974, 219, № 5, с. 1038—1041.
58. Бакушинский А. Б., Сизиков В. С. Некоторые нестандартные регуляризирующие
алгоритмы и их численная реализация. — Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1982, 22, № 3, с. 532—539.
59. Бакушинский А. Б., Страхов В. Н. О решении некоторых интегральных уравнений
I рода методом последовательных приближений. — Там же, 1968, 8, № 1, с. 181 —185.
60. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. —
384 с.
61. Баррон Д. Введение в языки программирования. — М. : Мир, 1980. — 192 с.
62. Басистое Ю. А. Регул -рлзация по Тихонову задачи различения гипотез при неопре-
неопределенности. — Автоматика и телемеханика, 1981, № 9, с. 49—59.
63. Baxpix Л Д., Кременецк ш С. Д. Синтез излучающих систем : (Теория и методы
расчета). — М. : Сов. радио, 1974. — 232 с.
64. Безбородое Ю. М. Сравнительный курс языка PL / 1. — М. : Наука, 1980. — 192 с.
65. Безбородое Ю. М. Индивидуальная отладка программ. —М. : Наука, 1982. — 192 с.
66. Белоцерковский СМ., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких кры-
крыльев идеальной жидкостью. — М. : Наука, 1978. — 351 с.
67. Бельтюков Б. А. Приближенные решения некоторых видов нелинейных интеграль-
интегральных уравнений. — Учен. зап. Благовещ. пед. ин-та, 1956, 7, с. 5—11.
68. Бельтюков Б. А. Один способ приближенного решения интегральных уравнений
Вольтерра. — Сиб. мат. журн., 1961, 11, № 5, с. 789—791.
69. Бельтюков Б. А. Аналог метода Рунге — Кутта для решения нелинейных уравнений
типа Вольтерра. — Дифференц. уравнения, 1965, 1, № 4, с. 716—721.
70. Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравне-
уравнений.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1965, 5, № 5, с. 27—34.
71. Бельтюков Б. А. Применение незамкнутых квадратурных формул к численному ре-
решению нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. — Тр. науч. об-ния
преподавателей физ.-мат. фак. пед. ин-тов Дал. Востока, 1965, 5, с. 10—20.
72. Бельтюков Б. А. Построение вырожденного аппроксимирующего ядра методом частич-
частичного усреднения. — Изв. вузов. Математика, 1966, № 2, с. 20—26.
73. Бельтюков Б. А. К решению нелинейных интегральных уравнений методом Ньюто-
Ньютона.—Дифференц. уравнения, 1966, 11, №6, с. 1072—1084.
74. Бельтюков Б. А. К решению нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра
методом последовательных приближений Пикара. — Тр. Иркут. ун-та, 1968, 26,
с. 335—349.
75. Бельтюков Б. А., Ахметшина Г. Ш. О методе интегральных уравнений для прибли-
приближенного решения нелинейных краевых задач, — Изв. вузов. Математика, 1979,
№ 12, с. 3—13.
76. Бельтюков Б. А., Верлань А. Ф. Интегральных нелинейных уравнений способы
решения. — В кн.: Энцикл. кибернетики, 1975, т. I, с, 380—383.
77. Березин И. С, Жидкое Н. П. Методы вычислений : В 2-х т. — 3-е изд. — Т. 1. М. :
Наука, 1966. — 632 с.
78. Берикашвили В. Ш. Комплекс процедур и программ для определения оптимальных
параметров систем массового обслуживания. — Программирование, 1976, № 4,
с. 101 — 106.
79. Биленко В. И. Приближение полиномами решений одного класса интегральных урав-
уравнений Гаммерштейна. — Киев, 1980. — 23 с. — (Препринт / АН УССР, Ин-т мате-
математики; № 80-17).
80. Биленко В. И. О применении сумматорных операторов к решению на ЭВМ интегро-
дифференциального уравнения переноса излучения. — Атом, энергия, 1982, 53,
вып. 5, с. 335—339.
81. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. — М. :
Оборонгиз, 1956. — 149 с.
82. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. —Изд-во иностр.
лит., 1958. — 799 с.
83. Борщ В. И. Об одном численном способе решения линейных интегральных уравнений
типа Вольтерра. — Тр. Новочеркас. политехи, ин-та, 1969, 189, с. 8—10.
84. Брайсон Л., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления : Оптимизация,
оценка и упр. — М. : Мир, 1972. — 544 с.
85. Брикман М. С. Интегральные модели в современной теории управления. — Рига :
Зинатне, 1979. — 224 с.
86. Брикман М. С, Кристинков Д. С. Аналитическая идентификация управляемых
систем. — Рига : Зинатне, 1974. — 208 с.
87. Брич. 3. С, Капилевич Д. В., Котик С. /О., Цагелъский В. И. Фортран ЕС ЭВМ. —
М. : Статистика, 1978. — 264 с.
88. Бурдаков О. П. Некоторые глобально сходящиеся модификации метода Ньютона для
решения систем нелинейных уравнений.— ДАН СССР, 1980, 254, № 3, с. 521—523.
89. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными
параметрами. — М. : Наука, 1965. — 475 с.
90. Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра первого рода. —
Функцион. анализ и его прил., 1972, 6, вып. 1, с. 1—9.
512
91. Бухгейм А. Л. О некоторых задачах интегральной геометрии. — Сиб. мат. журн.,
1972, вып. 13, № 1, с. 34—42.
92. Бухгейм А. Л. Об одной задаче интегральной геометрии. — Мат. пробл. геофизики,
1973, вып. 4, с. 69—73.
93. Бухгейм А. Л. Об одном классе интегральных уравнений первого рода.— ДАН СССР,
1974,215, № 1,с. 15—16.
94. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых прост-
пространств. — Там же, 1978, 242, вып. 2, с. 272—275.
95. Бухгейм А. Л., Зенкова Н. П. О решении одного интегрального уравнения первого
рода. — В кн.: Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск:
Изд-во ВЦ Сиб. отд-ния АН СССР, 1977, с. 23—31.
96. Бухгейм А. Л., Зенкова Н. П. О дистанционном определении скорости звука.— В кн.:
Распространение акустических волн : Тез. докл. второй дальневосточ. акуст. конф.
«Человек и океан». Владивосток, 1978, ч. 1, с. 55—57.
97. Бухгейм А. Л., Зенкова Н.П. О дистанционном определении характеристик слоистых
сред. — Геология и геофизика, 1981, № 7, с. 81—88.
98. Выков А. А. Об одном численном методе решения многомерных интегральных урав-
уравнений. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1980, 20, № 4, с. 1058—1062.
99. Ваарманн О., Поль В. О решении нелинейных уравнений истории высокого порядка
сходимости и их устойчивость. — Изв. АН ЭССР. Физика. Математика, 1977, 26,
№2, с. 123—127.
100. Вайнберг М М. Интегро-дифференциальные уравнения.— Итоги науки /ВИНИТИ.
Мат. анализ. Теория вероятностей. Регулирование, 1962, с. 3—24.
101. Вайнберг М. УИ., Немыцкий В. В. Нелинейные интегральные уравнения : (Соврем,
состояние и перспективы). — В кн.: Тр. 3-го Всесоюз. мат. съезда. М., 1956, т. 2,
с. 4—22.
102. Вайнберг М. М.у Треногий В.А.Теория ветвления решений нелинейных уравнений.—
М. '• Наука, 1969. — 527 с.
103. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. — Тарту : Изд-во Тарт.
ун-та, 1976. — 162 с.
104. Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для
некорректных задач. — Автоматика и телемеханика, 1980, № 3, с. 84—92.
105. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гиль-
гильбертовых пространствах. — Тарту : Изд-во Тарт. ун-та, 1982. — 111 с.
106. Вайнштейн Б. /С. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромо-
макромолекул. — Успехи физ. наук, 1973, 109, вып. 3, с. 455—497.
107. Вайнштейн Г. Г., Москвина Е. Л., Салимое А. А. Элементы алгоритмов автомати-
автоматического анализа трехмерных сцен. — В кн.: Иконика.Цифровая голография. Об-
Обработка изображений. М. : Наука, 1975, с. 73—88.
108. Вайсман И. Б., Сизиков В. С. О возможности определения зависимости скорости
звука от глубины с помощью зондирующих сигналов. — В кн.: Материалы первой
всесоюз. конф. по исслед. и освоению ресурсов Мирового океана. Владивосток,
1976, с. 41—43.
109. Ван Тассел. Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ. —
М. : Мир, 1981. —320 с.
110. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции : В 3-х т. —
М.: Сов. радио, 1972. — Т. 1. 744 с.
111 ВаракинЛ. Е. Теория систем сигналов. —М. : Сов. радио, 1978. — 304 с.
112. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов.— М. : Сов. радио, 1979. — 272 с,
113. Васильев Ф. П. О регуляризации некорректных экстремальных задач.— ДАН СССР,
1978, 241, № 5, с. 1001 — 1004.
114. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. —М. : Наука,
1980. — 520 с.
115. Васильев Ф. П. О регуляризации некорректных задач минимизации на множествах,
заданных приближенно. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1980, 20,
No 1, с. 38—50.
116. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1981.— 400 с.
117. Васильев Ф. /7., Хромова Л. #., Ячимович М. Д. Итеративная регуляризация одного
метода минимизации третьего порядка. —Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. ма-
математика и кибернетика, 1981, № 1, с. 31—36.
118. Васин В. В. Об одном проекционном методе решения некорректных задач. — Изв.
вузов. Математика, 1971, № 11, с. 28—32.
119. Васин В. В. О р-сходимости проекционного метода для нелинейных операторных
уравнений. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, 12, № 2, с. 492—497.
120. Васин В. В. Конечномерная аппроксимация семейства приближенных решений
в методе регуляризации. — Мат. зап. Урал., ун-та, 1975, 9, тетр. 2, с. 10—17.
121. Васин В. В. Общая схема дискретизации регуляризирующих алгоритмов в банахо-
банаховых пространствах. — ДАН СССР, 1981, 258, № 2, с. 271—275.
122. Васин В. В., Танана В. П. Необходимые и достаточные условия сходимости проек-
проекционных методов для линейных неустойчивых задач. — Там же, 1974, 215, № 5,
с. 1032—1034.
123. Васин В. В., Танана В. П. Об устойчивости проекционных методов при решении не-
некорректных задач. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1975, 15, № 1,
с. 19—29.
33 5.Ю18 513
124. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М. :
Наука, 1980. — 208 с.
125. Верлань А. Ф., Ефимов И. Е. Комбинированный метод аппроксимации ядер инте-
интегральных уравнений.— Точность и надежность кибернет. систем, 1979, вып. 2,
с. 68—74.
126. Верлань А. Ф., Иванов В. В., Чаленко Я. И. Интегральных линейных уравнений
способы решения. — В кн.: Энцикл. кибернетики, 1975, т. 1, с. 376—380.
127. Верлань А. Ф., Серикова И. Л., Абдусатаров Б. Б. Рекомендации по применению
метода вырожденных ядер к решению интегральных уравнений. — Киев : Наук,
думка, 1981. — 52 с.
128. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. О методе эталонных примеров для решения интеграль-
интегрального уравнения Фредгольма первого рода. — Точность и надежность кибернет.
систем, 1974, вып. 2. с. 47—51.
129. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с програм-
программами для ЭВМ. — Киев : Наук, думка, 1978.— 292 с.
130. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Способ эталонных примеров определения параметра
регуляризации в методах Лаврентьева и Тихонова. — ДАН УССР. Сер. А, Физ.-
мат. и техн. науки, 1979, № 6, с. 468—471.
131. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. О способе модельных примеров при реализации ме-
методов решения некорректных задач. — Электрон, моделирование, 1979, вып. 1,
с. 86—89.
132. Виарда Г. Интегральные уравнения. — М.; Л. : Гостеоретиздат, 1933. — 224 с.
133. Виленкин С. Я- Статистическая обработка результатов исследования случайных
функций. — М. : Энергия, 1979. — 320 с.
134. Винокуров В. А. О погрешности решения линейных операторных уравнений. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, 10, № 4, с. 830—839.
135. Винокуров В. А. Общие свойства погрешности приближенного решения линейных
функциональных уравнений. — Там же, 1971, 11, № \. с. 22—28.
136. Винокуров В. А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений.— Там же,
№ 5, с. 1097—1112.
137. Винокуров В. А. Два замечания о выборе параметра регуляризации. — Там же,
1972, 12, № 2, с. 481—483.
138. Винокуров В. А. Свойства функционала погрешности А (/, R, 6, х) при фиксирован-
фиксированном б как функции х. I — Там же, 1975, 15, № 4, с. 815—829.
139. Винокуров В. А. Асимптотические оценки погрешности. II—Там же, № 6, с. 1369 —
1380.
140. Винокуров В. А. Асимптотические оценки погрешности. III — Там же, 1976, 16,
N° 1, с. 3—19.
141. Винокуров В. А. Интегральные оценки погрешности. IV —Там же, № 3, с. 549—566.
142. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1971. — 512 с.
143. Воеводин В. В. Численные методы алгебры : Теория и алгорифмы. — М. : Наука,
1966. — 248 с.
144. Воеводин В. В. О методе регуляризации.— Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1969, 9, № 3, с. 673—675.
145. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. —М. : Наука, 1977.—
303 с.
146е Воеводин В. J3. Линейная алгебра. — М. : Наука, 1980.— 400 с.
147. Воеводин В. В., Арушанян О. Б. Структура и организация библиотеки численного
анализа НИВЦМГУ. — Вычисл. методы и программир., 1980, вып. 33, с. 104—111.
148. Войтович Н. #., Савенко П. А. Синтез антенн по заданной амплитудной диаграмме
и родственные задачи квазиоптики (обзор). — Радиотехника и электрон., 1979, 24,
вып. 8, с. 1485—1500.
149. Волкова Л. М., Девятое А. М., Кралькина Е. А., Меченое А. С. Определение функции
распределения электронов по энергиям и интенсивностям спектральных линий
методом регуляризации. — В кн.: Некорректные обратные задачи атомной физи-
физики. Новосибирск, 1976, с. 73—91.
150. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М. : Наука,
1976. — 286 с.
151. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений. — М. : Наука, 1982. — 304 с.
152. Воронцов-Вельяминов Б. А. Внегалактическая астрономия.— 2-е изд. — М. : Наука,
1978. — 480 с.
153. Воскобойников Ю. Е. О сегментном методе построения численного решения инте-
интегрального уравнения I рода с разностным ядром. — В кн.: Алгоритмы обработки
теплофизического эксперимента. Новосибирск: Ин-т теплофизики Сиб. отд-ния
АН СССР, 1975, с. 84—98.
154. Воскобойников Ю. Е. Критерий оптимальности построения статистически регуляри-
зирующих алгоритмов при решении линейных некорректно поставленных задач. —
В кн. : Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск, 1976,
с. 96—105.
155. Воскобойников Ю. Е., Коли А. Я- Восстановление сигналов на входе линейного из-
измерительного преобразователя методом статистической регуляризации. — Уч. зап.
ЦАГИ, 1976, 7, № 4, с. 77—87.
156. Воскобойников Ю. ?., Томсонс Я- Я- Восстановление реализаций входных сигналов
измерительной системы. — В кн.: Электродиффузионная диагностика турбулент-
514
ных потоков. Новосибирск: Ин-т теплофизики Сиб. отд-ния АН СССР, 1973, с. 66—
96.
157. Воскобойников Ю. Е., Томсонс #. Я- Алгоритм численного решения интегрального
уравнения I рода типа свертки. — В кн.: Алгоритмы обработки теплофизического
эксперимента. Новосибирск : Ин-т теплофизики Сиб. отд-ния АН СССР, 1975,
с. 23—60.
158. Воскобойников Ю. Е. Томсонс Я- Я¦ Регуляризующий алгоритм решения интеграль-
интегрального уравнения I рода с неточно заданным разностным ядром. — Там же, с. 61—83.
159. Воскобойников Ю. ?., Томсонс Я. Я- Выбор параметра регуляризации и ошибки вос-
восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации. — Авто-
Автометрия, 1975, № 4, с. 10—18.
160. Воспгрикова 3. П. Программирование на языке ассемблера ЕС ЭВМ. — М. : Наука,
1981. — 304 с.
161. Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые
методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.—
Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Мат. анализ, 1980, т. 18, с. 251—307.
162. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. — Казань:
Изд-во Каз. ун-та, 1980. — 232 с.
163. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. — М. : Наука, 1971. — 248 с.
164. Галактионов В. В., Лукстина Л. А., Панченко Л. М. и др. Библиотека программ на
ФОРТРАНе и автокоде МАДЛЕН для БЭСМ-6 : В 3-х т.—Дубна, 1977.—Т. 2. 452 с.
165. Гальченко О. Я. О сопряжении программ, написанных на языках ПЛ-1 и ФОРТРАН-
IV. — Упр. системы и машины, 1979, № 6, с. 69—71.
166. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1966. — 576 с.
167. Гапоненко Ю. Л. Принцип стягивающего компакта для решения некорректных
задач. — ДАН СССР, 1982, 263, № 6, с. 1293—1296.
168. Гахов Ф. Д., Черский Ю. Я. Уравнения типа свертки. — М. : Наука, 1978. — 296 с.
169. Гельфанд Я. М. Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений. — Ус-
Успехи мат. наук, 1960, 15, № 2, с. 155—164.
170. Гельфанд И. М., By л Е. Б., Гинзбург С. Л., Федоров Ю. Г. Метод оврагов в задачах
рентгеноструктурного анализа. — М. : Наука, 1966. — 79 с.
171. Гельфанд Я. М., Граев М. Я., Виленкин Н. Я- Интегральная геометрия и связанные
с ней вопросы теории представлений. — М. : Физматгиз, 1962. — 656 с.
172. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними.— М.:
Физматгиз, 1958. — 439 с.
173. Гельфандбейн Я- А. Методы кибернетической диагностики динамических систем.—
Рига : Зинатне, 1967. — 542 с.
174. Гервер М. Л., Маркушевич В. М. Исследование неоднозначности при определении
по годографу скорости распространения сейсмической волны. — ДАН СССР, 1965,
163, № 6, с. 1377—1380.
175. Гервер М. Л., Маркушевич В. М. Определение по годографу скорости распростра-
распространения сейсмической волны. — В кн.: Методы и пробл. для анализа сейсм. наблюде-
наблюдений. М. : Наука, 1967, вып. 3, с. 3—51.
176. Гервер М. Л., Маркушевич В. М. О характеристических свойствах сейсмических
годографов. — ДАН СССР, 1967, 175, № 2, с. 334—337.
177. Г/1аско В. Б. О единственности решения некоторых обратных задач сейсмологии. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, 10, № 6, с. 1465—1480.
176. Гласко В. Б. К вопросу о единственности определения структуры земной коры по
поверхностным волнам Рэлея. — Там же, 1971, 11, № 6, с. 1498—1509.
179. Гласко В. Б., Володин В. А., Мудрецов Е. Л., Нефедова Я. Ю. О решении обратной
задачи гравиразведки для контактной поверхности на основе метода регуляриза-
регуляризации.— Физика Земли, 1973, № 2, с. 30—41.
180. Гласко В. Б., Гущин Г. В., Старостенко В. Я. О применении метода регуляриза-
регуляризации А. Н. Тихонова к решению нелинейных систем уравнений. — Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1976, 16, № 2, с. 283—292. ч
181. Гласко В. Б., Заикин П. Я. О программе регуляризирующего алгоритма для урав-
уравнения Фредгольма первого рода. — Вычисл. методы и программир., 1966, вып.
5, с. 61—73.
182. Гласко В. Б., Кравцов В. В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии.—
Вестн. Моск. ун-та, 1970, № 2, с. 86—97.
183. Гласко В. Б., Тимофеев Ю. М. Использование метода регуляризации для решения
задачи термического зондирования атмосферы. — Физика атмосферы и океана,
1968, 4, № 3, с. 303—310.
184. Гласко В. Б., Тихонов А. Я., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, № 1, с. 135—144.
185. Глушков В. М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей. —
Упр. системы и машины, 1977, № 2, с. 3—6.
186. Глушков В. М., Иванов В. В. Моделирование оптимизации распределения рабочих
мест между отраслями производства групп Аи Б. — Кибернетика, 1977, № 6,
с. 117—131.
187. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование внутри- и межклеточ-
межклеточных взаимодействий на основе одного класса динамических макромоделей. — Киев
1978. — 41 с. — (Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики; № 78-71).
188. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. О новом классе динамических моделей
и его приложении в биологии. I — Кибернетика, 1979, № 4, с. 133 — 141.
33* 515
189. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. и др. — О средствах моделирования
развивающихся систем. — Киев, 1980. — 58 с. — (Препринт/ АН УССР, Ин-т
кибернетики ; № 80-37).
190. Глушков В. М., Иванов В. В., Яценко Ю. П. Аналитическое исследование одного
класса динамических моделей. I — Кибернетика, 1980, № 2, с. 1 —12.
191. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. — М. : Сов. радио, 1973.— 368 с.
192. Головач Г. Я., Калайда А. Ф. Наближеш методи розв'язування операторних piB-
нянь. — К. : Вища школа, 1974. — 248 с.
193. Голубенцев Л. Н. Интегральные методы в динамике. — Киев : Технжа, 1967. —
277 с.
194. Гольцман Ф. М.у Золотухина Л. Л., Латышев К. П. и др. Статистические задачи
в интерпретации сейсмических данных. — Труды МИАН, 1965, 79, с. 160—181.
195. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. — М. : Гос-
техиздат, 1954. — 316 с.
196. Гончарский А. В., Гущина Л. Г., Леонов А. С, Ягола А. Г. О некоторых алгорит-
алгоритмах отыскания приближенного решения некорректных задач на множестве моно-
монотонных функций. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, 12, № 2-,
с. 283—297.
197. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. Некоторое обобщение принципа не-
невязки для случая оператора, заданного с ошибкой. — ДАН СССР, 1972, 203, № 6,
с. 1238—1239.
198. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. Некоторые оценки скорости сходимости
регуляризованных приближений для уравнений типа свертки. — Жури, вычисл.
математики и мат. физики, 1972, 12, № 3, с. 762—770.
199. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. Об одном регуляризующем алгоритме
для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором.—
Там же, № 6, с. 1592—1594.
200. Гончарский А. В., Леонов Л. С, Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки. —
Там же, 1973, 13, № 2, с. 294—302.
201. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. Конечно-разностная аппроксимация
линейных некорректных задач. — Там же, 1974, 14, № 1, с. 15—24.
202. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. О принципе невязки при решении не-
нелинейных некорректных задач. — ДАН СССР, 1974, 214, № 3, с. 499—500.
203. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. О регуляризации некорректных задач
с приближенно заданным оператором. — Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1974, 14, № 4, с. 1022—1027.
204. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. О применимости принципа невязки в слу-
случае нелинейных некорректных задач и о новом регуляризующем алгоритме их
решения. — Там же, 1975, 15, № 2, с. 290—297.
205. Гончарский А. В., Степанов В. В. О равномерном приближении решения с огра-
ограниченной вариацией некорректно поставленных задач. — ДАН СССР, 1979, 248,
№ 1, с. 20—22.
206. Гончарский А. В., Черепащук A.M., Ягола А. Г. Численные методы решения обрат-
обратных задач астрофизики. — М. : Наука, 1978. — 336 с.
207. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О равномерном приближении монотонных решений
некорректных задач. — ДАН СССР, 1969, 184, № 4, с. 771—773.
208. Гончарский А. В., Ягола А. Г., Леонов А. С. О решении двумерных интегральных
уравнений Фредгольма I рода с ядром, зависящим от разности аргументов.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1971, 11, № 5, с. 1296—1301.
209. Гордонова В. И. К вопросу обоснования алгоритмов выбора параметра регуляриза-
регуляризации. — Там же, 1973, 13, № 5, с. 1328—1332.
210. Гордонова В. Я., Морозов В. А. Численные алгоритмы выбора параметра в методе
регуляризации. — Там же, № 3, с. 539—545.
211. Горчатва И. Л., Малкевич М. С, Турчин В. Ф. Определение вертикального профиля
влажности атмосферы по измерениям собственного излучения Земли. — Изв. АН
СССР. Физика атмосферы и океана, 1970, 6, № 6, с. 565—576.
212. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их
решения. — М. : Наука, 1971. — 352 с.
213. Гроссман К., Каплан А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной
минимизации. — Новосибирск : Наука, 1981. — 183 с.
214. Грунд Ф. Программирование на языке ФОРТРАН IV. — М. : Мир, 1976. — 184 с.
215. Гурари Л. М., Рукман Г. Я., Толпина С. П. О решении уравнения Фредгольма I
рода с лоренцевским ядром в задачах допплеровской спектроскопии.— Метрология,
1977, № 7, с. 26—30.
216. Гурова Л. Я., Сахаров С. С. Прикладные программы. — М. : Статистика, 1980. —
280 с.
217. Гурса Э. Курс математического анализа: В 3-х т. — М. : ОНТИ, 1934. — Т. 3.
Ч. 2. 256 с.
218. Гусейнов А. И., Мухтаров X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных ин-
интегральных уравнений. — М. : Наука, 1980. — 416 с.
219. Гутенмахер Л. Я., Тимошенко Ю. Л., Тихончук С. Т. О динамическом методе мо-
моделирования некорректных задач. — ДАН СССР, 1977, 237, № 4, с. 73—74.
220. Гюнтер Н. М. Об интегральных уравнениях третьего рода. — Там же, 1941, 30,
Ко 8, с. 677—680.
516
221. Гюнтер Я. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математи-
математической физики. — М. : Гостехиздат, 1953. — 416 с.
222. Дал У., Дейкстра В., Хоор К. Структурное программирование.— М. : Мир, 1975.—
248 с.
223. Данилин А. Р. Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода не-
невязки. — Изв. вузов. Математика, 1980, № 11, с. 38—40.
224. Данилин А. Р., Танана В. П. О сходимости проекционных методов решения линей-
линейных некорректных задач. — Мат. зап. Урал, ун-та, 1975, 9, тетр. 4, с. 3—13.
225. Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория: В 3-х т. — М. :
Изд-во иностр. лит., 1962. — Т. 1. 895 с.
226. Дворяшин Б. В., Кузнецов Л. И. Радиотехнические измерения.— М.: Сов. радио,
1978. — 360 с.
227. Де Витц. Пат. 3388372 (США). Определение профилей скорости звука в океане.—
Опубл. 11. 06. 68.
228. Дегтярев Ю. И. Методы оптимизации.— М. : Сов. радио, 1980.— 272 с.
229. Демидович Б. Я., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— 2-е изд.—
М. : Наука, 1966. — 659 с.
230. Демидович В. Я., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. — 2-е
изд. — М. : Физматгиз, 1963.— 400 с.
231. Демьянов Ф. Л., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация.— М. : Наука,
1981.— 384 с.
232. Денисов А. М. Об аппроксимации квазирешений уравнения Фредгольма первого
рода с ядром специального вида.— Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1971, И, № 5, с. 1307—1311.
233. Денисов А. М. Об аппроксимации квазирешений некоторых интегральных уравне-
уравнений первого рода.— Там же, 1974, 14, № 1, с. 222—230.
234. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода.—
Там же, 1975, 15, № 4, с. 1053—1056.
235. Денчев Р. Об устойчивости линейных уравнений на компакте.— Там же, 1967,
7, № 6, с. 1367—1370.
236. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-
преобразования.— М. : Наука, 1971.— 288 с.
237. Джейсуол Я. Очереди с приоритетами. — М. : Мир, 1973. — 280 с.
238. Джермейн К. Программирование на IBM / 360.— М. : Мир, 1971.— 872 с.
239. Диденко В. Д. Приближенное решение систем сингулярных интегральных уравне-
уравнений в подпространствах непрерывных функций.— ДАН СССР, 1980, 254, № 6,
с. 1314—1317.
240. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное ис-
исчисление. — М. : Физматгиз, 1961. — 542 с.
241. Диткин В. А., Прудников А. Я. Справочник по операционному исчислению.— М. :
Высш. шк., 1965.— 466 с.
242. Дзядык В. К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений
обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммер-
штейна. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1970, № 34, с. 827—848.
243. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. О численном решении некоторых интегральных
уравнений Фредгольма первого рода.— Вычисл. методы и программир., 1968, вып.
10, с. 49—54.
244. Добкин Л. И. Интегральные методы расчета неустановившихся процессов в нели-
нелинейных электрических системах.— Изв. вузов. Радиоэлектрон., 1972, 15, № 9,
с. 1134—1145.
245. Добкин Л. И.у Сизиков В. С. Программы решения интегрального уравнения типа
свертки.— Мат. моделирование и теория электр. цепей, 1976, вып. 14, с. 20—
31.
246. Добринский В. Я., Лаврентьев М. М. Способ определения профиля скорости звука
по записям акустического поля в одной точке.— В кн.: Распространение акусти-
акустических волн : Тез. докл. второй дальневосточ. акуст. конф. «Человек и океан».
Владивосток, 1978, ч. 1, с. 12—14.
247. Домбровская И. Я. О линейных операторных уравнениях первого рода.— Изв.
вузов. Математика, 1964, 2, № 2, с. 74—78.
248. Домбровская И. Я. О решении некорректных линейных уравнений в гильбертовом
пространстве.— Мат. зап. Урал, ун-та, 1964, 4, тетр. 4, с. 36—40.
249. Домбровская И. Я. Об уравнениях первого рода с замкнутым оператором.— Изв.
вузов. Математика, 1967, № 6, с. 39—72.
250. Домбровская И. Я., Иванов В. К. К теории некоторых линейных уравнений в аб-
абстрактных пространствах.— Сиб. мат. журн., 1965, 6, №3, с. 499—508.
251. Донован Дж. Системное программирование.— М. : Мир, 1975.— 542 с.
252. Дорофеев И. Ф., Дихтяр В. И. О модификациях регуляризующих алгоритмов для
интегральных уравнений первого рода типа свертки.— В кн. : Всесоюз. конф. по
асимптот, методам в теории сингулярно-возмущ. дифференц. и интегро-дифференц.
уравнений и их прил. : Тез. докл. Фрунзе : Илим, 1975, с. 19—23.
253. Дрейзин-Дудченко С. Д., Лихт М. К. Аппроксимация ломаными в квадратичной
метрике при решении интегральных уравнений I рода.— Журн. вычисл. матема-
математики и мат. физики, 1971, II, № 5, с. 1301 — 1306.
254. Дрейфус М., Ганглоф К. Практика программирования на Фортране: Упражнения
с комментариями.— М.: Мир, 1978.— 224 с.
517
255. Дровозюк В. С, Лященко Н. #. О численном решении нелинейных интегральных
уравнений типа Вольтерра с повышенной точностью.— Вычисл. и прикл. математи-
математика, 1973, вып. 21, с. 13—25.
256. Емелин И. В., Красносельский М. А. Правило останова в итерационных процедурах
решения некорректных задач. — Автоматика и телемеханика, 1978, № 12, с. 59—63.
257. Емелин И. В., Красносельский М. А. К теории некорректных задач.— ДАН СССР,
1979, 244, № 4, с. 805—808.
258. Емельянов К. В., Ильин А. М. О числе арифметических операций при решении ин-
интегрального уравнения Фредгольма II рода.— Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1967, 7, № 4, с. 905—910.
259. Ермаков В. В., Калиткин Н. Я. Оптимальный шаг и регуляризация метода Нью-
Ньютона. — Там же, 1981, 21, № 2, с. 491—497.
260. Жадан В. Г. О двух классах методов решения задач нелинейного программирова-
программирования.— ДАН СССР, 1980, 254, ¦№ 3, с. 531—534.
261. Желудев В. А. О корректности одного класса уравнений в свертках.— Журн. вы-
вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, № 3, с. 610—630.
262. Желудев В. А. Приближенное решение одного класса уравнений в свертках при
помощи сплайнов.— Там же, 1975, 15, № 3, с. 573—591.
263. Желудев В. Л. Устойчивое решение одного класса уравнений в свертках.— Изв.
вузов. Математика, 1981, № 3, с. 35—45.
264. Жуков В. Б. Расчет гидроакустических антенн по диаграмме направленности.— Л.:
Судостроение, 1977.— 184 с.
265. Жуков В. Б., Сизиков В. С. О методе регуляризации в теории синтеза антенн. —
В кн.: Точность и надежность электронных систем обработки информации. Киев:
Наук, думка, 1975, с. 30—37.
266. Жуков В. Б.у Сизиков В. С. Метод математического программирования в задаче фа-
фазового синтеза антенной решетки.— Акуст. журн., 1981, 27, вып. 3, с. 367—372.
267. Жуков О. В. Разработка пакетов прикладных программ.— М., 1978.— Ч. 2. 133 с.
268. Жуковский Е. Л. Статистическая регуляризация систем алгебраических уравне-
уравнений.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, 12, № 1, с. 185—191.
269. Жуковский Е. Л. Негэнтропийный принцип и регуляризация линейных систем.—
ДАН СССР, 1979, 246, № 5, с. 1041 — 1045.
270. Жуковский Е. Л., Мелешко В. И. О помехоустойчивых решениях в линейной услов-
условной алгебре.— Там же, 1978, 241, № 5, с. 1009—1012.
271. Жуковский Е. Л., Морозов В. А. О последовательной байесовской регуляризации
алгебраических систем уравнений. — Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1972, 12, № 2, с. 464—465.
272. Жуковский Е. Л., Плискин С. Ю. Принцип неопределенности и регуляризации ли-
линейных систем алгебраических уравнений.— ДАН СССР, 1982, 262, № 6, с. 1301 —
1304.
273. Загадский Д.М. Аналог метода Ньютона для нелинейных интегральных уравнений.
Там же, 1948, 59, с. 1041 — 1044.
274. Заикин П. #., Меченое А. С. Некоторые вопросы численного решения итеграль-
ных уравнений первого рода методом регуляризации.— М., 1971.— 18 с.— (Пре-
(Препринт / ВЦ Моск. ун-та; № 144-ТЗ).
275. Закс Л. Статистическое оценивание. — М. : Статистика, 1976. — 598 с.
276. Зароцкий Ю. К Расчет мощности ледогрунтового ограждения при проходке шахт
методом замораживания.— Мерзлот, исслед., 1963, вып. 3, с. 251—266.
277. Зелкин Е. Т. Построение излучающей системы по заданной диаграмме направлен-
направленности. — М. ; Л: Госэнергоиздат, 1963.— 272 с.
278. Зелкин Е. Г., Соколов В. Г. Методы синтеза антенн: фазированные антенные решет-
решетки и антенные непрерывным раскрывом. — М. : Сов. радио, 1980.— 296с.
279. Зюко А. Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., ФинкЛ. М. Теория передач сигналов.—
М. : Связь, 1980. — 288 с.
280. Зябрев Н. Б., Савелова Т. И. Об оценке скорости сходимости регуляризованных
решений уравнения типа свертки с погрешностями в ядре и правой части.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1976, 16, № 5, с. 1091 —1101.
281. Иваницкий Г. Р., Куниский А. С. Математические методы исследования структур.—
М. : Знание 1975.— 64 с.
282. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению
сингулярных интегральных уравнений.— Киев : Наук, думка, 1968.— 287 с.
283. Иванов В. В. Численные методы решения интегральных уравнений типа Фредгольма
2-го рода: Заоч. семинар «Численные методы решения математических задач и про-
программирование в алгоритмических языках».— Киев : Дом науч.-техн. пропаган-
пропаганды, 1969.— 35 с.
284. Иванов В. В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближенного решения опе-
операторных уравнений I рода.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1975,
15, № 1, с. 3—11.
285. Иванов В. В. Интегральных линейных сингулярных уравнений способы решения.—
В кн. : Энцикл. кибернетики, 1975, т. 1, с. 373—376.
286. Иванов В. В. Интегральные уравнения. — Там же, с. 371—373.
287. Иванов В. В., Кудринский В. Ю. Приближенное решение линейных операторных
уравнений в гильбертовом пространстве методом наименьших квадратов.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, I; 1966, 6, № 5, с. 831—841; II, 1967, 7, № 3,
с. 475—496.
518
288. Иванов В. /С. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение об-
обратной задачи потенциала. — ДАН СССР, 1962, 142, N° 5, с. 998—1000.
289. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах.— Там же, 145, № 2, с. 270—
272.
290 Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах.— Мат. сб., 1963, 61, N<> 2,
с. 211—223.
291. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода.—
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1966, 6, № 6, с. 1089—1094.
292. Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.— Дифференц.
уравнения, 1967, 3, № 3, с. 410—421.
293. Иванов В. К- О величине параметра регуляризации в некорректно поставленных
задачах управления.— Там же, 1974, 10, № 12, с. 2279—2285.
294. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач
и ее приложения.— М.: Наука, 1978.— 208 с.
295. Иванов В. /С., Королюк Т. И. Об одной задаче численного аналитического продолже-
продолжения гармонических функций.— Мат. зап. Урал, ун-та, 1967, 5, тетр. 4, с. 55—61.
296. Иванов В. /О, Королюк Т. И. Об оценке погрешностей при решении линейных некор-
некорректно поставленных задач. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969, 9,
№ 1, с. 30—41.
297. Иванов В. /С., Коршунов В. Л., Решепгова Т. Я., Танана В. П. О возможности оп-
определения энергетического спектра Бозе-системы по термодинамическим функ-
функциям.— ДАН СССР, 1976, 228, № 1, с. 19—22.
298. Иванов В. Н. Определение локальной излучательной способности осесимметрично-
го источника излучения.— В кн. : Некорректные обратные задачи атомной физи-
физики. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1976, с. 118—123.
299. Игамбердыев X. 3., Маннапов Н. Н. К регулярной идентификации однородных рас-
распределенных динамических систем. — Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук, 1981, № 5,
с. 13—19.
300. Иевлев И. И. О приближенном решении уравнений первого рода.— Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1973, 13, № 4, с. 1049—1056.
301. Илейко А. С. Применение алгоритмического языка ПЛ / 1 для обработки наборов
данных Фортрана.— Программир., 1979, № 6, с. 31—33.
302. Ильин И. Л., Лукьянов Л. Т. Сплайны и их применение.— Алма-Ата : Изд-во
Каз. ун-та, 1980.— Ч. 1. — 109 с.
303. Ильин В. Л., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч.— 2-е изд.—
М. : Наука, 1980.— Ч. 2, 448 с.
304. Имомназаров Б. О регуляризации операторных уравнений первого рода в гильбер-
гильбертовом пространстве. — ДАН СССР, 1980, 255, № 1, с. 15—17.
305. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский
и Др, _ м. : Наука, 1968. — 448 с.
306. Иосида К. Функциональный анализ.— М. : Мир, 1967.— 624 с.
307. Исследование операций / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. В 2-х т. Т. 1. Мето-
Методологические основы и математические методы. — М. : Мир, 1981.— 712 с.
308. Иткина О. Г., Кучура Н. А. Комплексирование программ на языках ПЛ / 1 и ФОРТ-
ФОРТРАН.— Вопр. радиоэлектр. Сер. Электр, вычисл. техника, 1977, вып. 2, с. 13—18.
309. Иткина О. Г., Кучура Я. Л. О совместном использовании моделей, написанных на
языках ПЛ/1 и ФОРТРАН.— Минск : Мат. обеспечение ЭВМ. АН БССР, Ин-т ма-
математики, НИИ ЭВМ, 1979, вып. 20, с. 21—31.
310. Ищук В. Л. О двусторонних методах вида Рунге— Кутта решения нелинейного
интегрального уравнения типа Вольтерра.— В кн.: Сборник Института кибернети-
кибернетики, 1974, с. 15—19.
311. 1щук В. А. Двосторонш методи виду Рунге — Кутта для нелшШного штегрального
р1вняння Вольтерра.— ДАН УРСР. Сер. А, 1975, № 1, с. 14—17, 91.
312. Кабулов В. К. Интегральные уравнения продольных колебаний стержней.— ДАН
УзССР, 1956, 3, № 11, с. 7—12.
313. Калайда О. Ф. HoBi керативш методи розв'язування штегральных р1внянь типу
Вольтерра.— ДАН УРСР. Сер. А, № 4, 1969, с. 298—303.
314. Калиткин Н. Н. Численные методы.— М. : Наука, 1978.— 512 с.
315. Калман Р., Фалб Я., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.— М.:
Мир, 1971. — 400 с.
316. Калякин Л. Л. О приближенном решении некорректных задач в нормированных
пространствах.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, 12, № 5, с. 1168—
1181.
317. Калякин Л. А. О числе координатных функций в проекционных методах решения
неустойчивых задач.— Тр. Ин-та математики и механики. Урал. науч. центр АН
СССР, 1975, вып. 17, с. 53—66.
318. Канторович Л. В. О новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюде-
наблюдений.— Сиб. мат. журн., 1962, 3, № 5, с. 701—709.
319. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных про-
пространствах.— М. : Физматгиз, 1959. — 684 с.
320. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.— М. ;
Л. : Физматгиз, 1962.— 708 с.
321. Карамышкин В. В. Об эквивалентных линейных дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнениях с заданными экспоненциально-степенными ядрами.— Тр. Моск. ин-та
электрон, машиностроения, 1975, 3, № 2, с. 273—277,
519
322. Карапетянц Н. К. К вопросу о полной непрерывности операторов типа свертки.—
Изв. вузов, Математика, 1980, № 11, с. 41—49.
323. Карманов В. Г. Оценки сходимости итерационных методов минимизации.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, № 1, с. 3—14.
324. Карманов В. Г. Математическое программирование.—2-еизд.— М.: Наука, 1980.—
256 с.
325. Карначук В. И., Шустов Г. В. Использование динамической памяти в языке Форт-
Фортран : (Инструкция по системе SYDAK).— Новосибирск : ВЦ Сиб. отд-ния АН
СССР, 1974.— 24 с.
326. Каспшицкая М. Ф. Оценка приближенных решений уравнений Вольтерра, полу-
полученных методом коллокации.— В кн. : Тр. семинара по дифференц. и интегр.
уравнениям. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1969, вып. 1, с. 233—238.
327. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике.— М. : Мир»
1976.™ 224 с.
328. Катетов В. Д. ППП для решения интегральных уравнений с помощью 5-сплайнов :
Шк. по технолог, разраб. ППП.— Кибернетика, 1981, № 1, с. 147.
329. Катцан Г. Язык Фортран 77. — М. : Мир, 1982.— 208 с.
330. Квиттнер П. Задачи, программы, вычисления, результаты.— М. : Мир, 1980.—
423 с.
331. Киуру Э. /И., Меченое А. С. Стандартная программа решения линейных интеграль-
интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода методом регуляризации.— М., 1971. —
23 с. — (Препринт / Моск. ун-т; Вып. 45).
332. Клей /С., Медвин Г. Акустическая океанография : Основы применения.— М. :
Мир, 1980.— 582 с.
333. КлейнрокЛ. Теория массового обслуживания.— М. : Машиностроение, 1979.— 431с.
334. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания.— М. : Наука, 1966.— 243 с.
335. Князев Л. В. Условия корректности нелинейных интегральных уравнений с ядром,
зависящим от разности переменных.— Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1970, 10, № 4, с. 981—989.
336. Козлов Н. И. Организация вычислительных работ.— М. : Наука, 1981.— 240 с.
337. Кокс Д. Р., Смит У. Л. Теория очередей.— М. : Мир, 1966.— 218 с.
338. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.— М. :
Изд-во иностр. лит., 1963.— 460 с.
339. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.— М. : Наука, 1968.— 503 с.
340. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.— М. : Мир,
1969 — 447 с.
341. Колмогоров А. Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве.—
Бюл. Моск. ун-та. Сер. А. Математика и механика, 1941, 2, вып. 6, с. 1—40.
342. Колмогоров А. И. О представлении непрерывных функций нескольких переменных
в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной и умножения.—
ДАН СССР, 1957, 114, № 5, с. 953—956.
343. Колмогоров А. //., Тихомиров В. М. 8-энтропия и 8-емкость множеств в функциональ-
функциональных пространствах.— Успехи мат. наук, 1959, 14, вып. 2, с. 3—86.
344. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального ана-
анализа.— 5-е изд.— М. : Наука, 1981.— 544 с.
345. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация.— М. : Высш. шк., 1976.— 277 с.
346. Комленко Ю. В. К вопросу о методе Чаплыгина для задачи Коши.— Дифференц.
уравнения, 1965, 1, № 7, с. 903—907.
347. Комленко Ю В. Одно интегральное представление решения линейного интеграль-
интегрального уравнения Вольтерра.— Тр. Ижев. мат. семинара, 1974, вып. 2, с. 67—
71.
348. Коркина Л. Ф. О решении операторных уравнений первого рода в гильбертовых
пространствах.— Изв. вузов. Математика, 1967, № 7, с. 65—69.
349. Коркина Л. Ф. О регуляризации операторных уравнений первого рода.— Там же,
1969, № 8, с. 26—29.
350. Коркина Л. Ф. Об оценке погрешности при решении некорректно поставленных
задач.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974, 14, № 3, с. 584—597.
351. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.— М. : Наука, 1970.— 720 с.
352. Королев Л. Н. Структуры ЭВМ и их математическое обеспечение.— 2-е изд.— М. :
Наука, 1978. — 352 с.
353. Коротаева Л. #., Панишев А. В. Программа нахождения глобального экстремума
функции многих переменных.— В кн.: Алгоритмы и программы случайного поиска.
Рига : Зинатне, 1969, с. 179—189.
354. Короткое В. Б. Об интегральных уравнениях первого и третьего рода.— В кн. :
Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск : Наука,
1978, с. 61—68. (Тр. Ин-та математики).
355. Коршунов В. А., Танана В. П. Определение фононной плотности состояний по тер-
термодинамическим функциям кристалла. Благородные металлы.— Физика металлов
и металловедение, 1976, 42, № 3, с. 455—463.
356. Коршунов В. А., Танана В. П. Определение фононной плотности состояний по тер-
термодинамическим функциям кристалла.— ДАН СССР, 1976, 231, № 4, с. 845—848.
357. Косарев Е. Л. О численном решении интегрального уравнения Абеля.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1973, 13, № 6, с. 1591 —1596.
358. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Госэнерго-
издат, 1956,— 151 с. . :
520
359. Кочетов Я. Я. О новом способе выбора параметра регуляризации.— Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1976, 16, № 2, с. 499—503.
360. Кравцов В. В. Приближение функций многих переменных антенным потенциалом.—
ДАН СССР, 1977, 233, № 1, с. 23—26.
361. Краснов М. Л. Интегральные уравнения.— М. : Наука, 1975. — 304 с.
362. Краснов М. Л., Киселев А. Я., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения,— 2-е
изд.— М. : Наука, 1976.— 216 с.
363. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений.— М. :
Физматгиз, 1962.— 182 с.
364. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных
уравнений.— М. : Физматгиз, 1962.— 166 с.
365. Красный Л. Г., Скрипниченко С. В. Оптимальное измерение координат источников
шумовых акустических сигналов.— Акуст. журн., 1979, 25, вып. 6, с. 893—901.
366. Краулиня Э. /С., Лиепа С. #., Пикалов В. В., Скудра А. Я- К проблеме исследова-
исследования атомной сенсибилизированной флуоресценции по контурам спектральных ли-
линий.— В кн. : Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск :
Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1976, с. 61—72.
367. Крейн С. Г. О классах корректности для некоторых граничных задач.— ДАН СССР,
1957, 114, № 6, с. 1162—1165.
368. Крейн С. Л, Прозоровская О. Я. О приближенных методах решения некорректных
задач.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1963, 3, № 1, с. 120—130.
369. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.— 2-е изд.— М. : Наука,
1967.— 270 с.
370. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. Я. Вычислительные методы высшей
математики : В 2-х т.— Минск : Вышэйш. шк., 1975.— Т. 2. 671 с.
371. Крылов В. Я., Бобков В. В., Монастырный П. Я. Вычислительные методы. В 2-х
т. — Т. 2. М. : Наука, 1977. — 400 с.
372. Крылов В. Я., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию.—
М. : Наука, 1966.— 372 с.
373. Крянев А. В. Решение некорректных задач методами последовательных приближе-
приближений.— ДАН СССР, 1973, 210, № 1, с. 20—22.
374. Крянев А. В. Итерационный метод решения некорректных задач.— Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1974, 14, № 1, с. 25—35.
375. Кузмин Г.Г. О распределении масс в Галактике.— Публ. Тарт. астрон. обсервато-
обсерватории, 1952, 32, № 4, с. 211—230.
376. Кузмин Г. Г. Интегральное уравнение распределения массы и некоторые модели
галактик.— Публ. Тарт. астрофиз. обсерватории, 1966, 35, № 5, с. 285—315.
377. Кузмин Г. Г., Кутузов С. А. Решение интегрального уравнения распределения
массы для сфероидальной модели.— Там же, с. 316—343.
378. Кузнецов Ю. Я., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программиро-
программирование.—2-е изд.—М.: Высш. шк., 1980.—300 с.
379. Кунц К. С. Численный анализ.— Киев : Техшка, 1964.— 390 с.
380. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964.— 830 с.
381. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики : В 2-х т.— 3-е изд. —
М. ; Л: Физматгиз, 1951.— Т. 1. 476 с.
382. Курочкин В. М., Колотушкина А. В., Подшивалов Д. Б. и др. Система БЭСМ-АЛ-
БЭСМ-АЛГОЛ: Инструкция по программир.—М. : Изд-во ВЦ АН СССР, 1974.—55 с.
383. Кутузов С. А.,Сергеев В. О. Метод регуляризации при построении моделей рас-
распределения масс в галактиках.— Астрофизика, 1978, 14, вып. 3, с. 473—488.
384. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.— ДАН СССР, 1955,
102, № 2, с. 205—206.
385. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.— Изв. АН СССР. Сер.
мат., 1956, 20, № 6, с. 819—842.
386. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных.эллиптических уравнений.— ДАН
СССР, 1957, 112, № 2, с. 195—197.
387. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода.— Там же, 1959,
127, № 1, с. 31—33.
388. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики.—
Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.— 68 с.
389. Лаврентьев М. М. О постановке некоторых некорректных задач математической
физики.— В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики.
Новосибирск • Наука, 1966, с. 258—276.
390. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений.—
Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 1973.— 71 с.
'391. Лаврентьев М. М. О двух направлениях в теории некорректных задач математиче-
математической физики.— В кн. : Вычислительныеметоды в математической физике, геофизике
и оптимальном управлении. Новосибирск : Наука, 1978, с. 58—63.
392. Лаврентьев М. М., Бухгейм А. Л. Об одном классе задач интегральной геометрии.—
ДАН СССР, 1973, 211, № 1, с. 38—39.
393. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г, О постановке некоторых некорректных задач мате-
математической физики.— Сиб. мат. журн., 1966, 7, № 3, с. 559—576.
394. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г., Романов В. Г. Многомерные обратные задачи
для дифференциальных уравнений.— Новосибирск : Наука, 1969. — 68 с,
395. Лаврентьев М. М., Мухометов Р. Г. Исследование на устойчивость обратной кине-
кинематической задачи сейсмики.— Мат. пробл. геофизики, 1969, вып. 1, с. 83—91.
521
396. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи матема-
математической физики и анализа.— М. : Наука, 1980. — 288 с.
397. Лаврентьев М. М., Федотов А. М. О постановке некоторых некорректных задач
математической физики со случайными исходными данными.— Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1982, 22, № 1, с. 133—143.
398. ЛанцошК. Практические методы прикладного анализа.— М. : Физматгиз, 1961.—
524 с.
399. Латтес Р., Лионе Ж. -Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. : Мир,
1970.— 334 с.
400. Лебедев В. И. О решении на компактных множествах некоторых некорректных за-
задач.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1966, 6, № 6, с. 1002—1018.
401. Лебедев В. #., Соколов А. П. Введение в систему программирования ОС ЕС.—
М. : Статистика, 1978.— 144 с.
402. Лебедев Д. С, Милюкова О. П. Линейное восстановление изображений, искажен-
искаженных линейным преобразованием. — Вопр. кибернетики. Иконика. Цифр, обраб.
и фильтрация изображений, 1978, вып. 38, с. 18—31.
403. Левин В. Г., Подгаецкий Э. М., Филиковский В. Ю. Об одном методе последователь-
последовательных приближений решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра
II рода. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, 10, № 3, с. 666—672.
404. Леонов А. С. О выборе параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности
и отношения. — ДАН СССР, 1978, 240, № 1, с. 18—20.
405. Леонов А. С. О выборе параметра регуляризации для нелинейных некорректных
задач с приближенно заданным оператором. — Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1979, 19, № 6, с. 1363—1376.
406. Леонов А. С. О регуляризации некорректных задач с разрывными решениями и при-
применений этой методики для решения некоторых нелинейных уравнений. — ДАН
СССР, 1980, 250, №1, с. 31—35.
407. Леонов Л. С. О выборе параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности
и отношения для некорректных задач линейной алгебры с возмущенным опера-
оператором. — Там же, 1982, 262, № 5, с. 1069—1072.
408. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнитель-
дополнительными главами анализа.— М. : Наука, 1981.— 384 с.
409. Лисковец О. А. Способ численного решения обратных задач теории потенциала. —
ДАН БССР, 1967, 11, № 2, с. 101 — 103.
410. Лисковец О. А. Численное решение некоторых некорректных задач методом квази-
квазирешений. — Дифференц. уравнения, 1968, 4, № 4, с. 735—742.
411. Лисковец О. А. Некорректные задачи и устойчивость квазирешений. —Сиб. мат.
журн., 1969, 10, № 2, с. 373—385.
412. Лисковец О. А. Регуляризация некорректных задач и связь с методом квазиреше-
квазирешений.— Дифференц. уравнения, 1969, 5, № 10, с. 1836—1844.
413. Лисковец О. А. Устойчивость квазирешений для уравнений с замкнутым операто-
оператором. — Там же, 1971, 7, № 9, с. 1707—1709.
414. Лисковец О. А. Метод регуляризации для нелинейных задач с замкнутым операто-
оператором. — Сиб. мат. журн., 1971, 12, № 6, с. 1311 — 1317.
415. Лисковец О. А. О решении некорректных задач с замыкаемым оператором.— ДАН
СССР, 1974, 219, № 5, с. 1069—1071.
416. Лисковец О. А. Способ выбора параметра регуляризации при решении нелинейных
некорректных задач. — Там же, 1976, 229, № 2, с. 292—295.
417. Лисковец О. А Вариационные методы решения неустойчивых задач.— Минск :
Наука и техника, 1981. — 344 с.
418. Лисковец О. А. О свойстве Маслова — Морозова в методе регуляризации для нели-
нелинейных уравнений 1-го рода.—ДАН СССР, 1981, 258, № 3, с. 544—547.
419. Лисковец О. А. Теория и методы решения некорректных задач.— Итоги науки и тех-
техники / ВИНИТИ. Мат. анализ, 1982, т. 20, с. 116—178.
420. Лифанов И. К. О некорректности и регуляризации численного решения сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений первого рода.— ДАН СССР, 1980, 255, № 5, с. 1046—
1050.
421. ЛихтМ. К. О вычислении функционалов на решениях линейных уравнений 1 рода.—
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1967, 7, № 3, с. 667—672.
422. Лихт М. /С., Фельдман Л. Э. О решении задачи минимизации квадратичного функ-
функционала с приближенными исходными данными. — Там же, 1969, 9, № 5, с. 1004—
1014.
423. Ловелл Б., Клегг Дж. Радиоастрономия. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. —
240 с.
424. Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения.— М. :Гостехиздат, 1957.— 226 с.
425. Ломакович А. М. Розв'язування штегральних piвнянь типу Вольтерра методом
Рунге— Кутта — Фельберга.— ДАН УРСР. Сер. А, 1969, № 4, с. 307—310.
426. Ломакович А. М., Василенко А. П. Решение интегральных уравнений типа Вольтер-
Вольтерра методом вида Рунге— Кутта.— Дифференц. уравнения, 1968, 4, № 11, с. 2094—
2102.
427. Ломакович А. М., Ищук В. А. О приближенном решении одного нелинейного ин-
интегрального уравнения типа Вольтерра двухсторонним методом вида Рунге—Кут-
Рунге—Кутта — Фельберга. — Вычисл. и прикл. математика, 1974, вып. 23, с. 29—40.
428. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. —М. :
Наука, 1975. — 478 с.
522
429. Лучка А. Ю. Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма методом
осреднения функциональных поправок.— Укр. мат. журн., 1960, 12, №1, с. 32—45.
430. Лучка А. Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок.—
Киев : Наук, думка, 1969. — 315 с.
431. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные алгоритмы решения дифференциальных
и интегральных уравнений. — Киев : Наук, думка, 1980. — 263 с.
432. Лучка А. Ю., Тукалевская Я. И. Проекционно-итеративный метод решения интегра-
интегральных уравнений, основанных на интерполяционных сплайнах. — Укр. мат. журн.,
1979, 31, № 6, с. 683—691.
433. Любимский Э. 3., Марпгынюк В. ?., Трифонов Н. П. Программирование.— М. :
Наука, 1980.— 608 с.
434. Люстерник Л. А., Соболев В. Я. Элементы функционального анализа. — 2-е изд. —
М. : Наука, 1965. — 520 с.
435. Люстерник Л. Л., Соболев В. Я. Краткий курс функционального анализа. — М. :
Высш. шк., 1982. — 271 с.
436. Ляшко Я. Я., Кудринский В. Ю., Остапчук В. С. О решении плохообусловленнкх
систем уравнений с положительно-определенными матрицами. — ДАН СССР, 197tf,
245, № 3, с. 533—535.
437. Лященко Я. #., Дровозюк В. С. О численном решении системы нелинейных интег-
интегральных уравнений с переменными верхними пределами и задачи Гурса для нелиней-
нелинейного уравнения с частными производными. — Вычисл. и прикл. математика, 1969,
вып. 7, с. 57—63.
438. Магницкий Я. Л. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1975, 15, № 5, с. 1317—1323.
439. Маергойз М. Д. Об одном методе решения систем нелинейных алгебраических и тран-
трансцендентных уравнений. — Там же, 1967, 7, № 4, с. 869—874.
440. Мазный Г. Л. Программирование на БЭСМ-6 в системе «Дубна». — М. : Наука,
1978.— 272 с.
441. Майстровский Г. Д. Метод сопряженных градиентов в задаче условной миними-
минимизации. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1977, 17, № 2, с. 498—501.
442. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе.—
2-е изд.— М. : Мир, V977. — 584 с.
443. Марченко Б. Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложе-
приложения в радиотехнике. — Киев : Наук, думка, 1973.— 191 с.
444. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач.— ДАН СССР, 1964, 156,
№ 3, с. 503—506.
445. Марчук Г. Я. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников
и постановка обратных задач.— Косм, исслед., 1964, 2, № 3, с. 462—472.
446. Марчук Г. Я. Оптимальные по точности методы решения задач восстановления. —
Новосибирск, 1976. —52 с. —(Препринт/ ВЦ Сиб. отд-ния АН СССР; № 10).
447. Марчук Г. Я., Агошков В. Я. Введение в проекционно-сеточные методы. — М. :
Наука, 1981. — 416 с.
448. Марчук Г, Я. Методы вычислительной математики.— М. : Наука, 1980.— 536 с.
449. Марчук Г. Я., Атанбаев С. А. Некоторые вопросы глобальной регуляризации. —
ДАН СССР, 1970, 190, № 3, с. 527 —530.
450. Марчук Г. Я., Васильев В. Г. О приближенном решении операторных уравнений
первого рода. — Там же, 195, № 4, с. 773—775.
451. Марчук Г. Я., Дробышев Ю.П. Некоторые вопросы линейной теории измерений. —
Автометрия, 1967, № 3, с. 24—30.
452. Марчук Г. Я., Орлов В. В. К теории сопряженных функций.— В кн. : Нейтронная
физика. М. : Атомиздат, 1961, с. 30—45.
453. Маслов В. П. Регуляризация некорректных задач для сингулярных интегральных
уравнений.— ДАН СССР, 1967, 176, № 5, с. 1012—1014.
454. Матвеев А. А. Об одном алгоритме псевдообращения матриц.— Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1974, 14, № 2, с. 483—486.
455. Матвеева Н. Н. Машинный алгоритм и методика определения скоростного разреза
по совокупности кинематико-динамических данных. — Вопр. динам, теории рас-
распространения сейсм. волн, 1968, вып. 9, с. 150—165.
456. Матвеева Н. Я., Алексеев А. С. Машинный поиск вариантов скоростного разреза
верхней мантии по совокупности годографов глубокофокусиых землетрясений.—
Там же, 1964, вып. 7, с. 130—143.
457. Матвеева Н. Я., Чепкунас Л. С. Слой сниженной скорости в земной коре. — Там же,
1968, вып. 9, с. 244—256.
458. Макаров В. М. Точность представления электростатического поля длинных прово-
проводов с ненулевыми радиусами полем бесконечнотонких проводов. — Изв. Сиб.
отд-ния АН СССР. Сер. техн. наук, 1974, вып. 2, с. 110—117.
459. Математический практикум"/ Г. Н. Положий, Н. А. Пахарева, И. 3. Степаненко
и др.— М. : Физматгиз, 1960.— 512 с.
460. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ.— Минск : Ин-т математики АН БССР,
1973—1982.— Вып. 1—26.
461. Математическое обеспечение космических экспериментов / Под ред. П. Е. Эльяс-
берга.— М. : Наука, 1978.— 280 с.
462. Мейнарович Е. В., Поляков Р. В., Шлепаков Л. Н. Решение линейных интеграль-
интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра.— Мат. обеспечение ЭВМ МИР, Киев,
Ин-т кибернетики АН УССР, 1974, № 8, с. 61—69.
523
463. Мейнарович Е. J3., Поляков Р. ?., Шлепаков Л. Н. О применении интерполяционных
сплайнов к решению нелинейных интегральных уравнений Вольтерра. — В кн.:
Линейные и нелинейные краевые задачи математической физики. Киев: Ин-т
кибернетики АН УССР, 1974, с. 204—212.
464. Мергелян С. Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи
Коши для уравнения Лапласа. — Успехи мат. наук, 1956, 11, вып. 5, с. 3—26.
465. Метод граничных интегральных уравнений / Под ред. А. Ю. Ишлинского, Г. Г.Чер-
Г.Черного. — М. : Мир, 1978. — 212 с. (Новое в зарубежной науке. Механика.
Сер. 15).
466. Меченое Л. С. Решение линейных интегральных уравнений первого рода методом
регуляризации. — Алгоритмы и программы / ВНТИЦентр, 1975, № 3, с. 42.
467. Микеладзе Ш. Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений.—
М. ; Л. : Гостехиздат, 1951. — 276 с.
468. Минкович Б. М., Яковлев В. П: Теория синтеза антенн. — М. : Сов. радио, 1969.—
328 с.
469. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. — М. :
Изд-во иностр. лит., 1957. — 256 с.
470. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам
механики, математической физики и техники. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. —
304 с.
471. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.— М. : Физматгиз,
1959. — 232 с.
472. Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифференциальных
и интегральных уравнений. — М. : Наука, 1965. — 250 с.
473. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — 2-е изд. — М. :
Наука, 1970. — 512 с.
474. Моделирование в радиолокации / Под ред. А. И. Леонова.— М. : Сов. радио, 1979. —
264 с.
475. Молчанов И. Н. О некоторых требованиях к вычислительным программам линейной
алгебры.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1980, 20, № 3 , с. 550—561.
476. Морозов В. А. Применение метода регуляризации к решению одной некорректной
задачи. — Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 1965, № 4, с. 13—
21.
477. Морозов В. А. О решении функциональных уравнений методом регуляризации. —
ДАН СССР, 1966, 167, с. 510—512.
478. Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач в выборе парамет-
параметра регуляризации. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1966, 6, № 1,
с. 170—175,
479. Морозов В. А. Методы решения неустойчивых задач : Тексты лекций. — М. : Изд-
во Моск. ун-та, 1967. — 150 с.
480. Морозов В. А. О восстановлении функции методом регуляризации. —Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1967, 7, № 4, с. 874—881.
481. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений мето-
методом регуляризации. — ДАН СССР, 1967, 175, № 6, с. 1225—1228.
482. Морозов В. А. О регуляризирующих семействах операторов. — Вычисл. методы
и программир., 1967, вып. 8, с. 63—95.
483. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом
регуляризации. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1968, 8, № 2, с. 295—
309.
484. Морозов В. А. О псевдорешениях. — Там же, 1969, 9, №6, с. 1387—1391.
485. Морозов В. А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений. — Там же,
1970, 10, № 4, с. 818—829.
486. Морозов В. А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач
с нелинейным неограниченным оператором. —Дифференц. уравнения, 1970, 6,
№ 8, с. 1453—1458.
487. Морозов В. А. Теория сплайнов и задачи устойчивого вычисления значений неогра-
неограниченного оператора. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1971, 11, № 3,
с. 545—558.
488. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. — Итоги науки и тех-
техники / ВИНИТИ. Мат. анализ, 1973, т. 2, с. 129—178.
489. Морозов В. А. О принципе невязки при решении несовместных уравнений методом
регуляризации А. Н. Тихонова. —Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973,
13, №5, с. 1099—1111.
490. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. —
М. : Изд-во Моск. ун-та, 1974.— 359 с.
491. Морозов В. А. О принципе оптимальности невязки при приближенном решении урав-
уравнений с нелинейными операторами. — Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1974, 14, № 2, с. 819—827.
492. Морозов В. А. Некорректные задачи в теории автоматического управления.— В кн.:
Трудове на първата национална школа-конференция «Управление на сложни хи-
мико-технологически системи». Варна, 1978, с. 333—364.
493. Морозов В. А. Метод квазирешений на некомпактных множествах. — ДАН СССР,
1982, 263, № 5, с. 1057—1061.
494. Морозов В. А., Кирсанова Н. Н. Об одном обобщении метода регуляризации. — Вы-
Вычисл. методы и программирование, 1970, вып. 14, с. 40—45.
524
495. Морозов В. А., Кирсанова Я. Я., Сысоев А. Ф. Комплекс алгоритмов быстрого преоб-
преобразования Фурье дискретных узлов, — Числен, анализ на ФОРТРАНе, 1976, вып.
15, с, 30—51.
496. Морозов В. А., Сысоев А. Ф. Подпрограмма решения систем линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей методом регуляризации. — Там же,
1974, вып. 7, с. 115—120.
497. Муравьева М. В. Об отыскании импульсной переходной функции методом регуля-
регуляризации А. Н. Тихонова.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, 13, № 1,
с. 194—199.
498. Муравьева М. В. Об оптимальности и предельных свойствах байесовского решения
системы линейных алгебраических уравнений. — Там же, № 4, с. 819—828.
499. Мучник И. Б., Паморозский Е. Я., Эльман Р. Я. Автоматизированная обработка
полутоновых изображений : (Обзор состояния пробл.). — Автоматика и телеме-
телемеханика, 1981, № 2, с. 84—126.
500. Мухометов Р. Г. Об оценке регуляризации обратной кинематической задачи сей-
смики в линеаризованной постановке. — Мат. пробл. геофизики, 1972, вып 3,
с. 124—128.
501. Мухометов Р. Г. Об оценке устойчивости метода линеаризации в обратной кинема-
кинематической задаче сейсмики. — Там же, с. 129—151.
502: Мухометов Р. Г. О задаче интегральной геометрии. — Там же, 1975, вып. 6, ч. 2,
с. 212—242.
503. Мухометов Р. Г. Обратная кинематическая задача сейсмики на плоскости. — Там
же, с. 243—252.
504. Мухометов Р. Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интеграль-
интегральная геометрия. — ДАН СССР, 1977, 232, № 1, с. 32—35.
505. Мухометов Р. Г. Теоремы единственности и устойчивости задачи восстановления
двумерной римановой метрики и некоторого класса плоских задач интегральной
геометрии. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1977. — 12 с.
506. Мысовских И. П. О методе механических квадратур для решения интегральных урав-
уравнений.— Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Математика и астрономия, 1962, 2, № 7,
с. 17—28.
507. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. — М. : Наука, 1969. — 517 с.
508. Мышкис А. Д. Математика для втузов : Спецкурсы. — М. : Наука, 1971. — 632 с.
509. Мэтьюз Дж.у Уокер Р. Математические методы физики. — М. : Атомиздат, 1972.—
399 с.
510. Мюнтц Г. М. Интегральные уравнения: В 3-х т. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1934. —
330 с.
511. Назаров Н. Я. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. — Тр.
Среднеазиат. ун-та, 1941, вып. 33, с. 21—34.
512. Назаров Н. Н. Методы решения нелинейных интегральных уравнений типа Гаммер-
Гаммерштейна. — Там же, Ташкент, 1945, вып. 6, с. 3—14.
513. Немировский М. С. Цифровая передача информации. — М. : Связь, 1980. — 255 с.
514. Немировский М. С, Юдин Д. Б. Сложность задач и эффективность методов опти-
оптимизации. — М. : Наука, 1979. — 384 с.
515. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интег-
интегральных уравнений. — Мат. сб., 1934, 41, вып. 3, с. 438—452.
516. Немыцкий В. В., Вайнберг М. М. Современное состояние теории интегральных
уравнений. — В кн. : Тр. 3-го Всесоюз. мат. съезда : В 5-ти т. М., 1956, т. 3,
с. 3—37.
517. Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М. : Наука, 1979. — 256 с.
518. Обработка изображений и цифровая фильтрация / Под ред. Т. Хуанга. — М. :
Мир, 1979. — 318 с.
519. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. —М.: Маши-
Машиностроение, 1969. — 324 с.
520. Оганесян С. М.у Старостенко В. И. Регуляризующий итерационный процесс, ос-
основанный на параметрическом функционале А. Н. Тихонова. — ДАН СССР, 1978,
238, № 2, с. 277—280.
521. Ортега Дж.у Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем урав-
уравнений со многими неизвестными. — М. : Мир, 1975. — 558 с.
522. Орурк И. А. Новые методы синтеза в линейных и некоторых нелинейных динамичес-
динамических системах. — М. ; Л: Наука, 1965. — 207 с.
523. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около
трещин в пластинах и оболочках. — Киев : Наук, думка, 1976. — 443 с.
524. Паренаго П. П. Строение Галактики. — Успехи астроном, наук, 1948, 4, с. 69—171.
525. Паренаго П. П. Курс звездной астрономии. — 3-е изд. — М. : Гостехиздат, 1954. —
476 с.
526. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. — М. :
Наука, 1977. — 312 с.
527. Патрик Е. А. Основы теории распознавания образов. — М. : Сов. радио, 1980. —
408 с.
528. Педас А. Кусочно-линейная аппроксимация решения интегрального уравнения с
логарифмической особенностью в ядре. Вычислительные методы решения дифферен-
дифференциальных и интегральных уравнений. — Учен. зап. Тарт. ун-та, 1979, с. 33—42.
529. Петров А. П. Оценки линейных функционалов для решения некоторых обратных
задач. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1967, 7, № 3, с. 648—654.
525
530. Петров Л. П., Хованский Л. В. Оценка снизу погрешности, возникающей при ре-
решении операторных уравнений I рода на компактах. — Там же, 1969, 9, № 1,
с. 194—201.
531. Петров А. Я., Хованский А. В. Оценка погрешности решения линейных задач при
наличии ошибок в операторах и в правых частях уравнений. — Там же, 1974, 14,
№ 2, с. 292—298.
532. Петровский Я. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд. — М. :
Наука, 1965. — 128 с.
533. Пикалов В. В.у Преображенский Н. Г., Тамбовцев Б. 3. Статистическая регуляри-
регуляризация и некоторые новые методы решения условно-корректных задач. — В кн. :
Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-
ния АН СССР, 1976, с. 17—33.
534. Пози Дж. Л., Брейсуэлл Р. Н. Радиоастрономия. — М.: Изд-во иностр. лит., 1958.—
350 с.
535. Полак Э. Численные методы оптимизации. — М. : Мир, 1974. — 376 с.
536. Полищук Е. М. Вито Вольтерра. — Л. : Наука, 1977. — 113 с.
537. Положий Г. Н. О5 одном методе решения интегральных уравнений. — Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1959, 23, № 2, с. 295—312.
538. Положий Г. Я., Чаленко П. И. Решение интегральных уравнений методом полос. —
В кн. : Вопросы математической физики и теории функций. Киев : Изд-во Киев,
ун-та, 1964, ч. 1, с. 4—17.
539. Поляков Р.В. О приближенном решении систем линейных интегральных уравнений
при помощи сплайнов. — В кн. : Теория приближения функций. М. : Наука, 1977,
с. 280—282.
540. Пратт Т. Языки программирования: разработка и реазлизация. — М. : Мир,
1973. — 576 с.
541 Преображенский Н. Г., Пикалов В, В. Устойчивые методы решения обратных задач
диагностики плазмы. — Новосибирск : Наука, 1982. — 250 с.
542. Преображенский Н. Г., Седельников А. Я. Метод последовательной компенсации
смещения регуляризованного решения некорректных обратных задач. — Новоси-
Новосибирск, 1981. — 25 с. — (Препринт / АН СССР, Ин-т теорет. и прикл. математики;
№ 5).
543. Преображенский Н. Г., Седельников А. Я. Параметрическое решение задачи об «уст-
«устранении» доплеровского уширения спектральной линии.— Журн. прикл. спектро-
спектроскопии, 1979, 30, вып. 5, с. 777—782.
544. Преображенский И, /\, Тамбовцев Б. 3. Исключение аппаратурных искажений
контура спектральной линии методом статистической регуляризации. — Оптика
и спектроскопия, 1973, 35, № 5, с. 946—953.
545. Преображенский Н. Г., Толпина С. П. Восстановление характеристик полидиспер-
полидисперсных сред методами спектроскопии оптического смешения.— Там же, 198.2, 52,
вып. 4, с. 696—705.
546. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вай-
никко, П. П. Забрейко и др. — М. : Наука, 1969. — 455 с.
547. Привалов И. И. Интегральные уравнения. — М. : ОНТИ, 1935. — 237 с.
548 Прилепко А. И. О единственности определения формы тела по значениям внешнего
потенциала. — ДАН СССР, 1965, 160, № 1, с. 40—43.
549. Прилепко А. И. Контактные обратные задачи обобщенных магнитных потенциалов.—
Там же, 1968, 181, № 5, с. 1065—1068.
550. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала. — Мат. заметки, 1973, вып.
14, № 5, с. 755—765.
551. Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Оппенгейма.— М. : Мир,
1980. — 552 с.
552. Проблемы математического анализа, краевые задачи и интегральные уравнения/
Под ред. В. И. Смирнова. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1966. — 179 с.
553. Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М. : Наука,
1977. — 328 с.
554. Программирование на ПЛ/1ОСЕС/М. И. Аугустон, Р. П. Балодис, Я.М. Барз-
динь и др. — М. : Статистика, 1979. — 269 с.
555. Прудников А. П., Б рынков Ю. Д., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М. : Наука,
1981. — 800 с.
556. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: В 2-х т.—М. : Мир, 1982.—Т. 1—2.
557. Пупков К. А., Капалин В. Я., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нели-
нелинейных систем.— М. : Наука, 1976. — 448 с.
558. Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. —
Киев : Наук, думка, 1967. — 568 с.
559. Пухов Г. ?"., Грездов Г. Я., Верлань А. Ф. Методы решения краевых задач на элект-
электронных моделях. — Киев : Наук, думка, 1965. — 144 с.
560. Пшеничный Б. //., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах.— М.:
Наука, 1975. — 320 с.
561. Пытьев Ю. П. Подавление ложных сигналов в задаче повышения разрешения. —
ДАН СССР, 1980, 255, № 3, с. 540—544.
562. Пярнпуу Л. А. Программирование на АЛГОЛе и ФОРТРАНе.—М. : Наука, 1978.—
336 с.
563. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М. ;
Мир, 1978. — 848 с.
526
564. Работное Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием. — Прикл. математи-
математика и механика, 1948, 12, № 1, с. 53—62.
565. Рахматулина А. X. Некорректно поставленные задачи и методы их решения. —
М., 1972. — 43 с. — (Препринт / АН СССР, ИММ; № 1).
566. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во време-
времени.— М. : ГИТТЛ, 1949. — 252 с.
567. Розенвассер Е. Н. Периодически нестационарные системы управления.— М. : На\ка,
1973. — 511 с.
568. Розовский М. И. Ползучесть и длительное разрушение материалов. — Жури,
техн. физики, 1951, 21, № 11, с. 1311 — 1318.
569. Романов В. Г. О восстановлении функций через интегралы по семейству
кривых.— Сиб. мат. журн., 1967, 8, № 5, с. 1206—1208.
570. Романов В. Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач. — ДАН
СССР, 1972, 204, № 5, с. 1075—1076.
571. Романов В. Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного оператор-
операторного уравнения. — Там же, 207, № 5, с. 1051 — 1053.
572. Романов В. Г. Об однозначности решения обратной кинематической задачи в круге
в классе скоростей, близких к постоянным. — Мат. пробл. геофизики, Новосибирск*
1974, вып. 5, ч. 2, с. 108—142.
573. Романов В. Г. К вопросу корректности обратных задач для некоторых нелиней-
нелинейных уравнений. — Функцион. анализ и его прил., 1974, 8, вып. 3, с. 67—70.
574. Романов В. Г. О некоторых классах единственности решения задач интегральной гео-
геометрии. — Мат. заметки, 1974, 16, № 4, с. 657—668.
575. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой-
метрики. — ДАН СССР, 1978, 241, №2, с. 290—293.
576. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кине-
кинематическая задача сейсмики. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 1978.— 89 с.
577. Румянцев И. А. Программа для решения системы интегральных уравнений типа
Вольтерра (второго рода). — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1965, 5>
№ 5, с. 932—936.
578. Рыбаков И. Р. Методические рекомендации по АЛГОЛу в мониторной системе ДУБ-
ДУБНА (ГДР-АЛГОЛ). — Л. : Изд-во ГОИ, 1975. — 48 с.
579. Савелова Т. И. О решении уравнения типа свертки с неточно заданным ядром ме-
методом регуляризации.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, 12, № 1,
с. 212—218.
580. Савелова Т. И. О применении одного класса регуляризующих алгоритмов к решеник>
интегральных уравнений I рода типа свертки в банаховом пространстве. — Там же,
1974, 14, № 2, с. 479—483.
581. Савелова Т. И. Проекционные методы решения линейных некорректных уравнений.
Там же, № 4, с. 1027—1031.
582. Савелова Т. И. О регуляризации интегральных уравнений I рода типа свертки. —
Там же, 1975, 15, № 2, с. 298—304.
583. Савелова Т. И. О регуляризации систем линейных интегральных уравнений I рода
типа свертки. — Там же, № 6, с. 1381 — 1388.
584. Савелова Т. И. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки с приближен-
приближенными правой частью и ядром. — Там же, 1978, 18, № 1, с. 218—222.
585. Савелова Т. И. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки со случай-
случайными помехами в ядре и правой части. — Там же, № 2, с. 275—283.
586. Савелова Т. И. О регуляризации при помощи операторов типа Фейера.— Там же, № 3.
с. 582—588.
587. Савелова Т. И. О регуляризации нелинейных интегральных уравнений типа сверт-
свертки.-— Там же, 1979, 19, № 1, с. 22—28.
588. Савелова Т. И., Тихомиров В. В. О решении интегральных уравнений I рода типа
свертки в многомерном случае. — Там же, 1973, 13, № 3, с. 555—563.
589. Салтыков А. И., Макаренко Г. И. Программирование на языке ФОРТРАН. —М. :
Наука, 1976. — 255 с.
590. Саульев В. К. Математические модели теории массового обслуживания. — М. г
Статистика, 1979. — 96 с.
591. Сборник научных программ на ФОРТРАНе. Вып. 2. Матричная алгебра и линей-
линейная алгебра. — М. : Статистика, 1974. — 224 с.
592. Свистов В. М. Радиолокационные сигналы и их обработка. —М. : Сов. радио*
1977. — 448 с.
593. Серавин Г. Н. Измерение скорости звука в океане. — Л.: Гидрометеоиздат, 1979.—
136 с.
594. Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода. — ДАН СССР»
1971, 197, № 3, с. 531—534.
595. Сергеев В. О. Метод итераций для решения интегрального уравнения, близкого-
к уравнению Абеля.— Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Математика. Механика. Астро-
Астрономия, 1977, № 1, с. 71—76.
596. Сизиков В. С. Распределение масс в галактиках по данным лучевых скоростей.
I. — Там же, 1967, № 1, с. 137—143.
597. Сизиков В. С. Распределение масс в галактиках по данным лучевых скоростей и фо*
тометрии. — Астрофизика, 1967, 3, вып. 2, с. 267—277.
598. Сизиков В. С. Модель распределения масс в М31. I. — Там же, 1968, 4, вып. 4,
с. 633—642.
527
599. Сизиксв В. С. Модель распределения масс в М31. II.— Там же, 1969, 5, вып. 2,
с. 317—329.
600. Сизиков В. С. Распределение масс в галактиках по данным лучевых скоростей.
II. — Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Математика. Механика. Астрономия, 1969, № 1,
с> 140—147.
601. Сизиков В. С. О построении моделей галактик по профилям линии 21 см нейтраль-
нейтрального водорода. I. Редукции профилей. — Астроном, журн., 1970, 47, вып. 4,
с. 760—768.
602. Сизиков В. С. О построении моделей галактик по профилям линии 21 см нейтраль-
нейтрального водорода. II. Модель NGC 3109. — Там же, вып. 6, с. 1166—1175.
603. Сизиков В. С. Некоторые модели распределения масс в галактиках : Дис. ... канд.
физ.-мат. наук. — Л. , 1969. — 131 с.
604. Сизиков В. С. О методах регуляризации Тихонова и Лаврентьева — Бакушинского
решения интегрального уравнения Фредгольма I рода. — Киев, 1973. — 42 с. —
(Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики; № 73-40).
605. Сизиков В. С. О повышении разрешающей способности акустической антенны путем
математической обработки результатов измерений.— В кн.: Тез. докл. первой
Всесоюз. конф. по исслед. и освоению ресурсов Мирового океана. Акуст. средства
освоения океана. — Владивосток, 1976, с. 11 —15.
606. Сизиков В. С. О моделировании некоторых некорректных задач с использованием
принципов подобия. — Электрон, моделирование, 1981, № 6, с. 3—8.
607. Сизиков В. С. Применение метода интегрального уравнения в задаче углово-
углового разрешения сигналов. — Вопр. судостроения. Сер. общетехн., 1981, вып. 60,
с. 34—38.
608. Скотт Р., Сондак Н. ПЛ/1 для программистов. — М. : Статистика, 1977. — 223 с.
609. Смарышев М. Д. Направленность гидроакустических антенн. — Л. : Судостроение,
1973. — 280 с.
610. Смирнов В. Я. Курс высшей математики: В 5-ти т. — М. : Физматгиз, 1958.
— Т. 4. 470 с.
611. Смирнов В, Я. Курс высшей математики. В 5-ти т. — М. : Физматгиз, 1959. —
Т. 5. 580 с.
612. Смородин А. Я. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом
оптимального исключения. —Алгоритмы и алгоритм, языки, 1971, вып. 5, с. 3-^-5.
613. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике. — Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. — 255 с.
614. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. — М. : Мир, 1979. — 312 с.
615. Соколов Ю. Д. О приближенном решении линейных интегральных уравнений типа
Вольтерра. — Укр. мат. журн., 1958, 10, № 2, с. 26—39.
616. Соколов Ю. Д. Об одном методе приближенного решения систем нелинейных инте-
интегральных уравнений с постоянными пределами.— Там же, 1963, 15, № 1, с. 5—21.
617. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок.— Киев : Наук, дум-
думка, 1967. — 336 с.
618. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. Я. Принцип сложности в теории
управления. — М. : Наука, 1977. — 344 с.
619. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. — М. :
Сов. радио. 1978. — 320 с.
620. Старостенко В. И. Устойчивые алгоритмы квадратичного программирования и реше-
решение обратной задачи гравиметрии относительно плотностей. — Геофиз. сб., 1976,
вып. 64, с. 52—57.
621. Старостенко В. Я. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. — Киев :
Наук, думка, 1978. — 228 с.
622. Старостенко В. Я., Бас Р. Г., Бутаков Г. С, Дядюра В. А. Автоматизирован-
Автоматизированная система оперативной обработки данных гравиметрии и магнитометрии. — Киев :
Наук, думка, 1972. — 164 с.
623. Старостенко В. Я. Састри Р. Г. С. Регуляризирующее решение трехмерных
задач геофизики, представленных интегральными уравнениями первого рода типа
свертки. — ДАН СССР, 1979, 246, № 5, с. 1074—1079.
624. Сташкевич А. П. Акустика моря. — Л. : Судостроение, 1966. — 355 с.
625. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М. :
Наука, 1976. — 248 с.
626. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема.— М. : Сов. радио, 1973. —
142 с.
627. Страхов В. Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представ-
представляемых интегральными уравнениями типа свертки. — Изв. АН СССР. Сер. Физика
Земли, I, 1967, вып. 4, с. 36—54; II, 1967, вып. 5, с. 33—53.
628. Страхов В. Н. О численном решении некорректных задач, представляемых интег-
интегральными уравнениями типа свертки. — ДАН СССР, 1968, 178, № 2, с. 299—302.
629. Страхов В. Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач
в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. — Изв.
АН СССР. Сер. Физика Земли, I, 1969, вып. 8, с. 30—53; II, вып. 9, с. 64—96.
630. Страхов В. Н. Об одном методе приближенного решения линейных некорректных
задач. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, 10, № 1, с. 204—210
631. Страхов В. Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом простран-
пространстве. — Дифференц. уравнения, 1970, 6, № 8, с. 1490—1495.
528
532. Страхов В. Я. О методах приближенного решения линейных некорректных задач.—
ДАН СССР, 1971, 196, № 4, с. 736—788.
633. Страхов В. Я. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно-коррект-
условно-корректных задач. — Там же, 1972, 207, № 5, с. 1057—1058.
634. Страхов В. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений
в гильбертовом пространстве. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973,
13, № 4, с. 1041 — 1044.
635. Страхов В. Я. К вопросу о скорости сходимости и методе простой итерации. — Там
же, № 6, с. 1602—1606.
636. Страхов В. Я, О построении оптимальных по порядку приближенных решений ли-
линейных условно-корректных задач. — Дифференц. уравнения, 1973, 9, № 10,
с. 1862—1874.
637. Страхов В.Н. О выборе константы в правиле А. Н. Тихонова задания параметра
регуляризации при решении линейных условно-корректных задач. — Журн. вычисл.
математики и мат. физики, 1981, 21, № 5, с. 1315—1318.
638. Судаков В. Н. Мера Гаусса, Коши и е-энтропия. — ДАН СССР, 1969, 185, № 1,
с. 51—53.
639. Тамм Б. Г., Тыугу Э. X. Пакеты программ. — Изв. АН СССР. Сер. Техн. киберне-
кибернетика, 1977, № 5, с. 111 — 124.
640. Тамм Б. Г.у Тыугу Э. X. Введение в банки данных. — Там же, 1979, №2,
с. 53—64.
641. Танана В. П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных
уравнений первого рода с возмущенным оператором. — ДАН СССР, 1975, 224, № 15,
с. 1028—1029.
642. Танана В. П. Проекционные методы и конечно-разностная аппроксимация линей-
линейных некорректных задач. — Сиб. мат. журн., 1975, 16, № 6, с. 1301 —1307.
643. Танана В. /7., Тимонов Л. Л. О проекционных методах решения нелинейных не-
неустойчивых задач. — ДАН СССР, 1976, 229, № 3, с. 558—561.
644. Тен Мен Ян. Метод кубатур для решения двумерных интегральных уравнений Воль-
терра I рода. — В кн. : Моделирование и оптимизация в больших системах энерге-
энергетики. Иркутск: Изд-во СЭИ, 1975, с. 107—116.
645. Тивончук В. #., Тукалевская Я. И. Об одном новом методе приближенного решения
интегральных уравнений Вольтерра. — В кн. : Математическое обеспечение ЭЦВМ
и эффективная организация вычислительного процесса: Тр. семинара. Киев : Ин-т
кибернетики АН УССР, 1968, вып. 2, с. 102—109.
646. Тивончук В. И.t Шлепаков Л. Я. Сплайн-итерационный метод решения линейных
интегральных уравнений Вольтерра. — В кн.: Краевые задачи математической
физики. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 159—166.
647. Титчмарш Е. Теория функций. — М. : Наука, 1980. — 463 с.
648. Тихонов Л. Я. Об устойчивости обратных задач. — ДАН СССР, 1943, 39, № 5,
с. 195—198.
649. Тихонов Л. Я. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации.—
Там же, 1963, 151, № 3, с. 501—504.
650. Тихонов А. Я. О регуляризации некорректно поставленных задач. — Там же, 153,
No 1, с. 49—52.
651. Тихонов А. Я. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. —
Там же, 1964, 156, № 6, с. 1296—1299.
652. Тихонов Л. Я. О нелинейных уравнениях первого рода. — Там же, 1965, 161, № 5,
с. 1023—1026.
653. Тихонов Л. Я. О методах регуляризации задач оптимального уравнения. — Там же,
162, № 4, с. 763—765.
654. Тихонов Л. Я. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их
решения. — Там же, 163, № 3, с. 591—594.
655. Тихонов Л. Я. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линей-
линейных алгебраических уравнений.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1965,
5, № 4, с. 718—722.
656. Тихонов А. Я. Об устойчивости задачи минимизации функционалов.— Там же,
1966, 6, № 4, с. 631—634.
657. Тихонов Л. Я. О некорректно поставленных задачах. — Вычисл. методы и програм-
мир., 1967, № 8, с. 3—33.
658. Тихонов Л. Я. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраи-
алгебраических уравнений. — ДАН СССР, 1980, 254, № 3, с. 549—554.
659. Тихонов А. Я., Арсенин В. #. Методы решения некорректных задач. — 2-е изд. —
М. : Наука, 1979. — 288 с.
660. Тихонов А. Я., Виткевич В. В., Артюх В. С. и др. О восстановлении распределения
радиояркости по источнику. — Астроном, журн., 1969, 46, № 3, с. 472—480.
661. Тихонов А. Я., Галкин В. #., Заикин П. Я. О прямых методах решения задач опти-
оптимального управления. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1967, 7, № 2,
с. 416—423.
662. Тихонов А. Я., Гласко В. Б. О приближенном решении интегральных уравнений
Фредгольма первого рода. — Там же, 1964, 4, № 3, с. 564—571.
663. Тихонов А. Н.у Гласко В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных за-
задачах. — Там же, 1965, 5, № 3, с. 463—473.
664. Тихонов А. Н.у Гласко В. Б., Криксин Ю. А. К вопросу о квазиоптимальном выборе
регуляризованного приближения. — ДАН СССР, 1979, 248, № 3, с. 531—535.
34 5-Ш18 529
665. Тихонов А. Я., Гончарский Л. В., Черепащук А. М.9 Я гола А. Г. О природе звезд
Вольфа — Райе. — Там же, 1980, 253, № 3, с. 572—576.
6S6 Тихонов А. Н., Дмитриев В. И. О методах решения обратной задачи теории антенн.—
Вычисл. методы и программир., 1969, № 13, с. 209—214.
657. Тихонов А. Я., Иванов В. К-.Лаврентьев М. М. Некорректно поставленные задачи.—
В кн. : Дифференциальные уравнения с частными производными. М. : Наука 1970
с. 224—238.
668. Тихонов А. Я., Иванов В. /С., Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах
математической физики. — М. : Наука, 1970. — ПО с.
669 Тихонов А. Я., Самарский А. А. Уравнения математической физики, — М. : Наука
1966. — 596 с.
670. Тихонов А. Я., Шевченко В. Г., Галкин В. Я- и др. Система сплошной автоматической
обработки результатов эксперимента по исследованию сечений фотоядерных реак-
реакций. — Вычисл. методы и программир., 1970, № 14, с. 3—26.
671. Треногий В. А. Функциональный анализ.— М. : Наука, 1980.— 496 с.
672. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М. : Изд-во иностр. лит., 1960. — 299 с.
673. Трутников В. Я. Один нелинейный регуляризирующий алгоритм и некоторые его
применения.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979, 9, № 4, с. 822—829.
674. Трутников В. Я. Оценка погрешности приближенного решения, полученного с по-
помощью нелинейного регуляризирующего алгоритма. — Там же, 1982, 22, № i
с. 227—231.
675. Тукалевская Я. И. Об одном методе приближенного решения линейных интегральных
уравнений вольтерровского типа и класса 1р-функций. — ДАН УССР, № 3,
с. 299—302.
676. Тукалевская Я. И. Программы по численным методам решения интегральных урав-
уравнений. — В кн. : Программное обеспечение ЭВМ МИР-1 и МИР-2 : В 3-х т. Киев :
Наук, думка, 1976, т. 2, с. 334—341.
677. Турчин В. Ф. Решение уравнения Фредгольма I рода в статистическом ансамбле
гладких функций. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1967, 7, № 6,
с. 1270—1284.
678. Турчин В. Ф. Выбор ансамбля гладких функций при решении обратной задачи. —
Там же, 1968, 8, № 1, с. 230—238.
679. Турчин В. Ф., Козлов В. Я., Малкевич М. С. Использование методов статистики для
решения некорректных задач. — Успехи физ. наук, 1970, 102, вып. 3, с. 345—386.
680. Турчин В. Ф., Малкевич М. С, Горчакова И. А. Применение статистической регуля-
регуляризации к определению вертикального профиля температуры атмосферы. — Изв.
АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1969, 5, № 5, с. 449—456.
681. Турчин В. Ф., Нозик В. 3. Статистическая регуляризация решения некорректных
задач.—Там же, № 1, с. 29—38.
682. Турчин В. Ф., ТуровцеваЛ. С. Восстановление оптических спектров и других неот-
неотрицательных функций по методу статистической регуляризации. — Оптика и спект-
спектроскопия, 1974, 36, № 2, с. 280—287.
683. Тыглиян А. В. Пакет программ REGUL2 для решения двумерных интегральных
уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации.— М., 1981.— 29 с—
(Препринт / АН СССР, Ин-т прикл. математики; № 94).
684. Тюрин A.M., Сташкевич А. П., Таранов Э. С. Основы гидроакустики.— Л. : Судо-
Судостроение, 1966. — 367 с.
685. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. — М. : Наука, 1967. — 268 с.
686. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. — М. : Наука,
1970. — 564 с.
687. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. —
М> : Машиностроение, 1976. — 389 с.
688. Ульм С. Алгоритмы обобщенного метода Стеффенсена. — Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-
мат. наук, 1965, № 3, с. 115—131.
689. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики : В 3-х т. — М.:
Гостехиздат, 1951. — Т. 1. 216 с.
690. Фаддеев Д. /С., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — 2-е
изд. — М. : Физматгиз, 1963. — 735 с.
691. Федоров Б. Ф., Эльман Р. И. Цифровая голография : Синтез голограмм простейших
объектов и восстановление изображения. — М. : Наука, 1976. — 152 с.
692. Фиакко Л., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы безусловной
последовательной минимизации. — М. : Мир, 1972. — 240 с.
693. Филатов А. Я., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных ко-
колебаний. — М. : Наука, 1976. — 152 с.
694. Фихтенгольц Г. М. Курс дифферециального и интегрального исчисления : В 2-х т.—
М. : Физматгиз, 1959. — Т. 2. 807 с.
695. Фонарев А. А. Об одном методе решения монотонных вариационных неравенств. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1981, 21, № 2, с. 498—499.
696. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычис-
вычислений. — М. : Мир, 1980. — 280 с.
697. Фридман В. М. Метод последовательных приближений для интегрального урав-
уравнения Фредгольма 1-го рода. — Успехи мат. наук, 1956, 11, № 1, с. 233—234.
698. Хайкин М. И. Система интегральных уравнений типа Винера — Хопфа в особом
случае как некорректная задача. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1978,
18, No 3, с. 589—596.
530
699. Халанай А. Асимптотическое поведение решений некоторых нелинейных интеграль-
интегральных уравнений. — Rev. roum. math, pures et appl., 1965, 10, № 6, с 765—777.
700. Халфин Л. А. Информационная теория интерпретации геофизических исследова-
исследований. — ДАН СССР, 1958, 122, № 6, с. 1007—1010.
701. Халфин Л. А. Об увеличении разрешающей способности оптических приборов : Докл.
на сессии отд-ния общ. физики и астрономии АН СССР, 1968.
702. Халфин Л. А. О разрешающей способности оптических приборов. — Оптика и спект-
спектроскопия, 1969, 26, № 6, с. 1065—1067.
703. Халфин Л. А, О разрешающей способности в оптике. — В кн.: Лекции в IV школе
по физике голографии. М. : МФТИ, 1972.
704. Халфин Л. А. Статистический подход к решению некорректных задач геофизики. —
В кн.: Исследования по статистической теории оценивания. II. Л. : Наука, 1978,
с. 67—81.
705. Халфин Л. А., Павличук Т. А., Шульман М. Я- Эксперименты по улучшению каче-
качества изображения. — Оптика и спектроскопия, 1973, 35, № 4, с. 766—768.
706. Халфин Л. А., Судаков В. Н. Статистический подход к корректности задач матема-
математической физики. — ДАН СССР, 1964, 157, № 5, с. 1058—1060.
707. Харкевич Ю. Ф. Графическое решение интегральных уравнений. — Инж. сб.,
1953, 15, с. 207—215.
708. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. — М. :
Наука, 1972. — 400 с.
709. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М. : Мир, 1975. —
536 с.
710. Хирр Р., Штробель Р. АЛГОЛ в мониторной системе «Дубна». — Дубна : ОИЯИ,
1974.— 59 с.
711. Холопов П. Я. Определение пространственной плотности звезд в сфероидальном звезд-
звездном скоплении. — Астроном, журн., 1949, 26, вып. 2, с. ПО—114.
712. Христиансен У., Хегбом И. Радиотелескопы. — М. : Мир, 1972. — 239 с.
713. Хер мен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной
томографии. — М. : Мир, 1983. — 352 с.
714. Худак Ю. И. О регуляризации решений интегральных уравнений 1-го рода. —
Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1966, 6, № 4, с. 766—769.
715. Худак Ю. И. О сходимости одного семейства регуляризирующих операторов.— Там
же, 1972, 12, № 2, с. 497—502.
716. Хьюз Дж., Мичтом Дж. Структурный подход к программированию — М. : Мир,
1980. — 280 с.
717. Цалюк 3. В. Интегральные уравнения Вольтерра.—Итоги науки и техники/ВИНИТИ.
Мат. анализ, 1977, т. 15, с. 131 — 198.
718. Цветков Э. И. Основы теории статистических измерений. — Л. : Энергия, 1979. —
288 с.
719. Церелов Р. А., Лаврелашвили Л. В. Об одном алгоритме для решения интегральных
уравнений Вольтерра 1-го рода на ЭЦВМ. — В кн. : Материалы 1-й Респ. конф
методов кибернетики в информ.-измер. технике, 1973; Тез. и докл. Тбилиси,
1973, ч. 1, с. 99—102.
720. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — М. : Наука,
1966. — 176 с.
721. Цыпкин Я- 3. Адаптация и обучение в автом. системах.— М. : Наука, 1968.—400 с.
722. Цыпкин Я- 3. Основы теории обучающихся систем. — М. : Наука, 1970.— 252 с.
723. Цырлин Л. Э. Об одном методе решения интегральных уравнений 1-го рода в зада-
задачах теории потенциала.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969, 9, № 1,
с. 235—238.
724. Черепащук А. М. Прямой метод решения кривой блеска затменной системы с про-
протяженной атмосферой. Учет весов. Программы для ЭВМ. — Перем. звезды, 1973,
19, № 3, с. 227—252.
725. Черепащук A.M. Новый метод решения кривых блеска затменных систем с протяжен-
протяженными атмосферами. — Астрон. журн., 1974, 51, вып. 3, с. 542—551.
726. Черепащук A.M., Гончарский А. В., Ягола А. Г. Интерпретация затменных систем
как обратная задача фотометрии. — Там же, 1967, 44, вып. 6, с. 1239—1252.
727. Черепащук А. М., Гончарский А. В., Ягола А. Г. Интерпретация кривых блеска
затменных систем при условии монотонности искомых функций. — Там же, 1968,
45, вып. 6, с. 1191 — 1206.
728. Черепащук А. М., Гончарский А. В., Ягола А. Г. Алгоритм и программа для ЭВМ
решения кривой блеска затменной системы, содержащей компоненту с протяженной
атмосферой. — Перем. звезды, 1973, 18, №6, с. 535—569.
729. Черепащук А. М., Халиуллин X. Ф. Природа звезды типа Вольфа-Райе в двойной
системе V 444 Лебедя. — Астрон. журн., 1975, 52, вып. 6, с. 1214—1225.
730. Чечкин А. В. Специальный регуляризатор А. Н. Тихонова для интегральных урав
нений 1-го рода. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, 10, № 2, с. 453—
461.
731. Чечкин А. В. Многометрическая регуляризация некорректных задач. — ДАН СССР,
1980, 252, № 4, с. 807—809.
732. Шаров А. С, Туманность Андромеды,—М.: Наука, 1982.—448 с.
733. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. — Л. : Судостроение, 1972.—
349 с.
734. Шефер X. Топологические векторные пространства. —М. : Мир, 1971.— 359 с.
34* 531
735. Штыкан Л. Б. Графическое решение иитегродифференциальных уравнений. —
Успехи мат. наук, 1955, 10, вып. 4, с. 171 —180.
736. Штыкан А. Б. Графическое решение интегральных уравнений Вольтерра.— Тр.
Иркут. ун-та, 1953, 8, № 1, с. 28—35.
737. Шувалов В. П. Прием сигналов с оценкой их качества.— М. : Связь, 1979. —
240 с.
738 Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ : Практ. руководство. — М. : Мир,
1982. - 238 с.
739. Шура-Бура М. Р. Аппроксимация функций многих переменных функциями, каждая
из которых зависит от одного переменного — Вычисл. математика, 1967, вып. 2,
с. 83—95.
740. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.— М. : Мир, 1969. —
1072 с.
741 Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления : Оценивание параметров
и состояния.— М. : Мир, 1975. — 685 с.
742. Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений. — М. :
Энергия, 1977. — 160 с.
743. Юрьев М. Ю. Устанавливающийся режим в четырехполюсниках. — М. ; Л . :
Гл. ред. энергет. лит., 1936. — 203 с.
744. Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки в рефлексивных пространствах. — ДАН
СССР, 1979, 249, № 1, с. 71—73.
745. Ягола А. Г. О решении нелинейных некорректных задач с помощью обобщеного прин-
принципа невязки. — Там же, 1980, 252, № 4, с. 810—813.
746. Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. — М. : Сов.
радио, 1979. — 312 с.
747. Aboutalib А. О., Silverman L. M. Restoration of motion degraded images. — IEEE
Trans. Circ. and Syst., 1975, 22, N 3, p. 278—286.
748. Aquirre-Ramirez G., Shashani A. 0. A numerical solution for integral equations.— Int. J.
Numer. Math. Eng., 1980, 15, N 10, p. 1575—1579.
749. Andersen R. 5., Prenter P. M. A formal comparison of methods proposed for the nume-
numerical solution of first kind integral equations. —J. Austral. Math. Soc. B, 1981, 22,
N 4, p. 488—500.
750 Anderson V. C. Envelope spectra for signals and noise in vertically directional beams.—
J. Acoust. Soc. Amer., 1979, 65, N. 6, p. 1480—1487.
751. Arcangeli R. Pseudosolution de Г equation Ах—у.— С. г. Acad. sci., 1966, 263, N 8,
p. A282—A285.
752. Babolian E., Delves L. M. An augmented Galerkin method for first kind Fredholm equ-
equations.— J. Inst. Math, and Appl., 1979, 24, N 2, p. 157—174.
753. Baker C. T. H. The numerical treatment of integral equations. — Oxford; Claerdon,
1977. — 1034 p.
754. Baker C. T. #., Keech M. S. Stability regions in the numerical treatment of the Volterra
integral equations — SIAM. — SIAM J. Numer. Anal., 1978, 15, N2, p. 394—417.
755. Bazaraa M.S., Shetty С. M. Nonlinear programming theory and algorithms. — New
York, 1979. — 580 p.
756. Bellman R., Kalaba R., Lochett «/. Dynamic programming and ill-conditioned linear
systems.— J. Math. Anal, and Appl., 1965, 10, N 1, p. 206—215.
757. Bensonssan A., Keneth P. Sur Г analogue entre les methodes de regularisation et de
penalisation. — Rev. franc, inform, et rech. oper., 1968, 2, N 3, p. 13—25.
758. Blondel J. -M. Phenomene de pertubation singuliere pour une equation integrate line-
aire de Volterra. — Ibid., 1971, 5, N 3, p. 67—72.
759. Bracewell R. N. Two-dimensional aerial smoothing in radio astronomy. — Austral. J.
Phys., 1956, 9, N 3, p. 297—314.
760. Bracewell R. N., Roberts J. A. Aerial smoothing in radio astronomy.— Ibid., 1954, 7,
N 6, p. 615.
761. Brandt J. C. On the distribution of mass in galascies. 1. The large-scale structure of
ordinary spirals with applications to M 31. — Astrophys. J., 1960, 131, N 2, p. 293—
303.
762. Brunner H. The solution of Volterra integral equations of the first kind by piecewise
polynomials. — J. Inst. Math, and Appl., 1973, 12, N 3, p. 295—302.
763. Bucy R. S. Nonlinear filtering theory. — IEEE Trans. Automat. Contr., AC-10, 1965,
N 2, p. 198.
764. Bucy R. 5., Joseph P. D. Filtering for stochastic processes with applications to Guidan-
Guidance. — New York : lntersci., 1968. — 195 p.
765 Buckner H. Dierpraktische Behandlung von Integral Gleichungen.— Berlin : Springer,
1952. — 128 S.
766. Burbidge E. M., Burbidge J. R., Prendergast K. H. The rotation and mass of NGC
2146. — Astrophys. J., 1959, 130, N 3, p. 739—748.
767. Butler J. P., Reeds I. A., Dawson S. V. Estimating solution of first kind integral equ-
equations with nonnegative constrains and optimal smoothing. — SIAM J. Numer.
Anal., 1981, 18, N 3, p. 381—397.
768. Cambell G. M., Day J. Т. А Ь1оск by block method for the numerical solution of Vol-
Volterra integral equations. — BIT (Sver.), 1971, 11, N 1, p. 10—19.
769. Carleman T. Les fonction quasi analitiques. — Paris, 1926. — 116 p.
770. Chaudhry M. A. Numerical methods for integro-difference equations.—Mem. Fac.
Sci. Kyushu Univ. A, 1976, 30, N 1, p. 15—23.
532
771. Chu В., Gulari E. Photon correlation measurements of colloidal size distributions. IT.
Details of histogram approach and comparison of methods of data analysis. — Phys.
scr., 1979, 19, N 4, p. 476—485.
772. Corduneanu C. Integral equations and stability of feedbacK systems. — New YorK ;
London : Acad. press, 1973. — 238 p. — (Math. Sci. and Eng., Vol. 104).
773. Coroian I. Asupra metodei Runge—Kutta—Fehlberg pentru ecuatia integrala nelinea-
ra de tip Volterra. — Stud, si cere, mat., 1974, 26, N 4, p. 505—511.
774. Coroian I. Obtinerea unor formule de tip Runge—Kutta—Fehlberg pentru aproximarea
solutiei integrale de tip Volterra. — Bui. sti. Inst. ped. B, 1972 A974), N 4, p. 243—
248.
775. Cruceanu S. Regularization pour les problemes a operateurs monotones et lamethode de
Galerkine. —Comment, math. Univ. Carol., 1971, 12, N 1.
776. Cruceanu S. Sur une methode de regularisation pour le prodleme de la minimisation
des fonctionnelles convexes. — Rev. roum. math, pures et appl., 1972, 17, N 2,
p. 207—277.
777. Daniel J. W. On the approximate minimization of functionals.— Math. Comput.,
1969, 23, N 107, p. 573—581.
778. Dittrich G. Behandlung von Integralgleichungen. I. Art auf dem iterierenden Analog-
rechner. — BECKMAN—EASE 213, Metra, 1969, 8, N 1, p. 95—105.
779. Douglas J. On the relation between stability and convergence in the numerical solution
of linear parabolic and hiperbolic differential equations. —J. Roc. Indust. Appl.
Math., 1956, 4, N 1, p. 20—37.
780. Douglas J. A numerical method for analitic continuation.— Boundery Problems Dif-
Different. Equat. Madison, Univ. Wisconsin press, 1960.
781. Douglas J. Mathematical programming and integral equations. — In: Symp. Nummer.
Treatm. ODE, Integral and Integro-Diff. Equations. Berlin ; Stuttgart, 1960,
p. 269—274.
782. Douglas J., Gallie T. An approximate solution of an improver boundary value prob-
problem.— Dune Math. J., 1959, 26, N 3, p. 339—347.
783. El Tom M. E. A. On spline function approximations to the solution of Volterra integ-
integral equations of the first kind. — BIT (Sver.), 1974, 14, N 3, p. 288 — 297.
784. Estes L. E., Fain G. Numerical technique for computing the wide-angle acoustic field
in an acean with range-dependent velocity profiles. — J. Acoust. Soc. Amer., 1977,
62, N 1, p. 38.
785. Estrom M. P. A spectral characterization of the illconditioning in numerical decon-
volution. — IEEE Trans. Audio Electroacoust, 1973, 21, p. 344—348.
786. Fletcher R., Reeves С. М. Function minimization by conjugate gradients. — Comput.
J., 1964, 7, N 2, p. 149—154.
787. Frank H. A stable approach to solving one-dimensional inverse problems.— SI AM J.
Appl. Math, 1981, 40, N 3, p. 439—453.
788. Franklin J. N. Well-posed stochastic extensions of ilposed linear problems.—J. Math.
Anal, and Appl., 1970, 31, N 3, p. 682—716.
789. Franklin J. N. On Tikhonov's method for ill-posed problems.— Math. Comput., 1974,
28, N 128, p. 889—907.
790. Furi M., Vignolli A. On the regularization of a nonlinear ill-posed problem in Banach
spaces. — J. Optimiz. Theory and Appl., 1969, 4, N 3, p. 206—209.
791. Garey L. BIock methods for nonlinear Volterra integral equations. — BIT (Sver.), 1975,
15, N 4, p. 401—408.
792. Gladwin С G., Jeltsch R. Stability of quadrature rule methods for first kind Volterra
integral equations. — Ibid., 1974, 14, N 2, p. 144—151.
793. Glassman J. A. A generalization of the fast Fourier transform.— IEEE Trans. Corn-
put., 1970, 19, N 2, p. 105—116.
794. Gripenberg G. Periodic solutions of an epidemic model. — J. Math. Biol., 1980, 10,
N 3, p. 271—280.
795. Gullum J. Numerical differentiation and regularization. — SIAM. J. Numer. Anal.,
1967, 8, N 2, p. 254—265.
796. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique.—
Bull. Univ. Princeton, 1902, 13, p. 49—52.
797. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineaires
hiperboliques. — Paris : Hermann, 1932. — 352 p.
798. Helstrom C. W. Image restoration by the method of least squares.— J. Opt. Soc. Amer.,
1967, 57, N 3, p. 297—303.
799. Hilgers J. W. On the equivalence of regularization and certain reproducingkernel Hil-
bert space approaches for solving first kind problems. — SIAM J. Numer. Anal., 1976,
13, N 2, p. 172—184.
800. Holt J. #., Bracken A. J. First kind Fredholm integral equation of liver kinetics: nume-
numerical solutions by constrained least squares. —Math. Biosci., 1980, 51, N 1/2,
p. 11-24.
801. HolyheadP.A. W., Me Kee S., Taylor P. J. Multistep methods for solving linear Vol-
Volterra integral equations of the first kind. — SIAM J. Numer. Anal., 1975, 12, N 5,
p. 698—711.
802. Hoog F. de, Weiss R. On the solution of Volterra integral equations of the first kind.—
Numer. Math., 1973, 21, N 1, p. 22—32.
803. Hoog F. de, Weiss R. High order methods for Volterra integral equations of the first
kind. — SIAM J. Numer. Anal., 1973, 10, N 4, p. 647—664.
533
804. Huang T. S. (ed). Two-dimensional digital signal processing. — In: Topics in applied
physics. Berlin etc. : Springer. — I. Linear filters, 1981, 42, 210 p; II. Transform and
median filters, 1981, 43, 224 p.
805. Iguchi K. A starting method for solving nonlinear Volterra integral equation of the
secondkind. — Communs ACM, 1973, 15, N 6, p. 360—461.
806. John F. Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen uber gewisse Mannigfaltig-
keiten. — Math. Ann., 1943, 109, S. 488—520.
807. Jong F. Numerical solution of the equation of heat conduction for preceeding times. —
Ann. mat. pura et appl. Ser. 4, 1955, 40, p. 129—142.
808. John F. Differential Equations with Approximate and Improper Date. Lectures.— New
YorK, 1955.
809. John F. A note of «improper» problems in partial differential equations. — Communs
Pure and Appl. Math., 1955, 8, N 4, p. 591—594.
810. John F. Numerical solution of problems which are not well posed in the sense of Hada-
mard. — In: Sympos. Numeric. Treatm. Martial Different. Equat. with Real Charac-
Characteristics. Rome, 1959, p. 103—116.
811. John F. Continuons dependence on data for solutions of partial differential equations
with a prescribed bound. — Communs Pure and Appl. Math., 1960, 13, N 4, p. 551—
585.
812. Kalman R. E. New approach to linear filtering and prediction problems. — J. Basic
Eng., 1960, 82D, p. 35—45.
813. Kalman R. ?., Bucy R. S. New results in linear filtering and prediction theory. —
Ibid., 1961, 83D, p. 95—108.
814. Kammerer W. J., N ashed M. Z. Iterative methods for best approximate solutions of
linear integral equations of the first and seconds kinds. — J. Math. Anal, and Appl.,
1972, 40, N 3, p. 547—573.
815. Kaplan L. D. The spectroscope as a tool for atmospheric sounding by satellites.—J.
Quant. Spectrosc. and Radiat. Transfer., 1961, 1, N 2, p. 89—96.
816. Katzan H. Fortran-77. — New YorK, 1978.
817. Keech M, S. A third order, semi-explicit method in the numerical solution of the first
kind Volterra integral equation. — BIT (Sver.), 1977, 17, N 3, p. 312—320.
818. Khalfin L. A. An informational statistical approach to the theory of seismic data
processing. — In: Rept. Int. symp. theory and comput. methods upper mantle prob-
problem, 1965.
819. Klein G. On spline functions and statistical regularization of ill-posed problems.—
J. Comput. and Appl. Math., 1979, 5, N 4, p. 259—264.
820. Lavrentiev M. M. Some improperly posed problems of mathematical physics. — Spr.
Tracts. New YorK, 1967.
821. Lavrentiev M.M. Numerical solution of conditionally properly posed problems.— In:
Numerical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE—1970. New
YorK ; London : Academic, 1971.
822. Levintal C. Molecular model-building by computer. — Sci. Amer., 1966, 214, N 6,
p. 42—52.
823. Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations of the first kind. — Corn-
put. J., 1969, 12, N 4, p. 393—397.
824. Linz P. Product integration methods for Volterra integral equations of the first kind.—
BIT (Sver.), 1971, 11, N 4, p. 413—421.
825. Linz P. A method for solving nonlinear Volterra integral equations of the second kind.—
Math. Comput., 1969, 23, N 107, p. 595—599.
826. Linz P. Product integration methods for Volterra integral equations with singular
kerhels. — SI AM J. Numer. Anal., 1969, 6, N 3, p. 365—374.
827. Malina L. A stable methods of high order for Volterra integral equations. — Appl.
Math., 1975, 20, N 5, p. 336—344.
828. Malinowski #., Smarzewski R. Determination of the solution of Abel integral equati-
equations. — Zastos. mat., 1980, N 4, II: p. 657—670; III: p. 665—670.
829. Marchuk G. I. Formulation of the theory of perturbations for complicated models.—
Appl. Math, and Optim., 1975, 2, N 1, p. 1—33.
830. Marion /<"., Varga L. Regularisation of certain operator equations by filters. — Stud.
Sci. Math. Hung., 1971, 6, N 3, p. 457—465.
831. Meyer В., Baudoin C. Methodes de programmation. — Paris, 1978.
832. Miller A. K. Nonlinear Volterra integral equations.— Menlo Рагк (Calif.): Benjamin,
1971. — X, 468 p.
833. Miller K. Three circle theorems in partial differential equations and applications to
improperly posed problems, — Arch. Ration. Mech. and Anal., 1964, 16, N2, p. 126—
154.
834. Miller K. Eigenfunction expansion methods for problems with overspecified data.—
Ann. Scuola. Norm. Super. Pisa. Sci. fis. e mat., 1965, 19, p. 397—405.
835. Miller K. Least squares methods for ill-posed problems with a prescribed bound. —
SIAMJ.Math. Anal., 1970, 1,N 1, p. 52—74.
836. Modified Report on the Algorithmic Language Algol-60.—New YorK; London, 1980. —
70 p.
837. Morchalo J. О przyblizonym rozwiazymaniu nieliniowych rownan calkowych typu
Volterra w przestrzeni funkcji ciaglych.— Fasc. math., 1972, N 6, p. 31—40.
838. Nattcrer F. The finite element method for ill-posed problems.— RAIRO. Anal.
Numer., 1977, 11, N 3, p. 271—278.
534
839. Nedyalkov I. P. An approach in the theory of incorrect problems.— Докл. Бълг. АН,
1970, 23, N 1, p. 5—8.
840. Perek L. — Contr. Astr. Inst. MasaryK, Univ. Brno, 1948, 1, N 6.
841. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain intergral equations
of the first kind. — J. Assoc. Comput. Mach., 1962, 9, N 1, p. 84—97.
842. Pokorna 0. Bemerkungen zu einer Anwendung singularer Zerlegungen von Matrizen. —
Numer. Behandl. Eidenwertaufg, 1979, 2, p. 134—139.
843. Poutti J. 7\, Sahdberg J. V. General purpose unfolding program LOUHI 78 with linear
and nonlinear regularizations. —Comput. Phys. Communs, 1980, 21, N 1, p. 119 —
144.
844. Pucci C. Sui problemi Cauchy non «ben posti». — Atti Accad. naz. Lincei. Rend. Cl.
sci. fis., mat. e natur., 1955, 18, N 5, p. 473—477.
845. Pucci C. Discussione del problema di Cauchy pur le equazioni di tipo elliptico.— Ann.
mat. pura et appl., 1958, 46, p. 131 — 154.
846. Reinsh С H. Smoothing by spline functions. — Numer. Math., 1967, 10, N 5, p. 177—
183.
847. Replogle «/., Holcomb B. D., Burrus W. R. The use of matematical programming for
solving singular and poorly conditional systems of equations. —J. Math. Anal, and
Appl., 1967, 20, N 2, p. 310—324.
848. Ribiere G. Regularization des operateurs.— Rev. trans, inform, et rech. oper., 1967, 1,
N 5, p. 57—79.
849. Rushforth C. K., Harris R. IF. Restoration, resolution and noise.— J. Opt. Soc. Amer.,
1968, 58, N 4, p. 539—545.
850. Schiop A. I. Sur les equations functionelles nonlineares.— C. r. Acad. Sci. A, 1968, 266,
N 19, p. 988—990.
851. Schmaedeke W. W. Approximate solutions for Volterra integral equations of the first
kind. — J. Math. Anal, and Appl., 1968, 23, N 3, p. 604—613.
852. Schmeidler W. Inregralgleichungen mit Anwendungen in Phisic und Technik.— Bd 1.
Linear Integralgleichungen (Mathematik und ihre Anwendunge in Physik und Tech-
Technik). Leipzig, 1955, — 611 S.
853. Shaw С. В. Jr. Improvement of the resolution of an instrument by numerical solution
of an integral equation. — J. Math. Anal, and Appl., 1972, 37, N 1, p. 83—112.
854. Singer I. Some remarks on approximative compactness. —Rev. roum. math, pures
et appl., 1964, 9, N 2, p. 167—177.
855. Smarsewski R. A method for solving the Volterra integral equation of the first kind.—
Zastos. mat., 1976, 15, N 1, p. 117—123.
856. Smith W. L. Iterative solution of the radiative transfer equation for the temperature
and absorbing gas profile of an atmosphere. — Appl. Opt., 1970, 9, N 9, p. 1993—
1999.
857. Sorenson H. W. Least-squares estimation: from Gauss to Kalman. — IEEE Spectrum,
1970, 7, N 7, p. 63—68.
858. Spohn D. Sur les formules a pas lies dahs l'integration numerique des equations in-
tegrales du type de Volterra. — In: «4 Congr. calcul et traitement inform. AFIRO
Versailles, 1964». Paris, 1965, p. 349—356.
859. Strand O. N., Wasterwater E. R. Statistical estimation of the numerical solution of
a Fredholm integral equations of the first kind. — J. Assoc. Comput. Mach., 1968,
15, N 1, p. 100—114.
860. Suejda J. NumericKe reseni jedne tridy linearnich integralnich rovnic Volterrova typu.
— Sb.pr. VSD a VUD, 1968, N 15, p. 23—55.
86>l.Twomey S. On the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by
the inversion of the linear system produced by quadrature.— J. Assoc. Comput. Mach.
1963, 10, N 1, p. 97—101.
862. Twomey S. The application of numerical filtering to the solution of integral equations
encountered in indirect sensing measurements. — J. Franklin Inst., 1965, 279, N 2,
p. 95—109.
863. Twomey S. Information content in remote sensing. — Appl. Opt., 1974, 13, N 4, p.
942—945.
864. Twomey S., Howell H. B. Some aspects of the optical estimation of microstructure
in fog and cloud. — Ibid., 1967, 6, N 12, p. 2125—2131.
865. Wang J. Y., Goulard R. Information content in remote sensing: comments. — Ibid.,
1974, 13, N 11, p. 2467—2468.
866. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with
engineering applications. — Nem YorK : Wiley, 1949. — 163 p.
867. Wilkinson J. H. The solution of ill-conditioned linear equations. — In: Mathematical
Methods for Digital Computers, 1967, p. 65—93«?
868. Wyse A. B.t Mayall N. U. Distribution of Mass in the spiral nebulae Messier 31 and
Messier 33. — Astrophys. J., 1942, 95, N 1, p. 24—47.
869. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В. И. Вапника. —
М. : Наука, 1984. — 816 с.
870. Библиотека программ на ФОРТРАНе. Численный анализ. БЭСМ-6. — 4-е изд. —
Т. 4. — М. : Изд-во НИВЦ Моск. ун-та, 1982.
535
871. Брагинская Т. Г., Клюбин В. В. Решение обратной задачи спектроскопии оптиче-
оптического смещения методом регуляризации Тихонова.— Л., 60 с.— (Препринт/ ЛИЯФ;
№ 855).
872. Вайникко Г. М., Педес А. Л., УбаП. П. Методы решения слабосингулярных интег-
интегральных уравнений. — Тарту, Изд-во Тарт. ун-та, 1984.— 96 с.
873. Васильев В. Г. Об оценке погрешности приближенного решения интегрального урав-
уравнения Фредгольма I рода.— Ж. вычисл. матем. и мат. физ., 1983, 23, №1, с. 220—
221.
874. Габдулхаев Б. Г. Оптимизация квадратурных методов решения интегральных урав-
уравнений. — ДАН СССР, 1983, 271, № 1, с. 20—25.
875. Г лутков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование развивающихся систем.—
М. : Наука/1983. —352 с.
876. Горбунов В. К Методы редукция неустойчивых вычислительных задач. — Фрунзе :
Изд-во «Илим», 1984. — 134 с.
877. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории прибли-
приближений. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 208 с.
878. Джонсон Д. X. Применение методов спектрального оценивания к задачам опреде-
определения угловых координат источников излучения. — ТИИЭР, 1982, 70, № 9, с, 126—
139.
879. Кочиков И. В., Матвиенко А. Я., Ягола А. Г. Об одной модификации обобщенного
принципа невязки.— Ж. вычисл. матем. и мат. физ., 1983, 23, № 6, с. 1298—1303.
880. Лаврищева A.M., Грищенко В. Н. Связь разноязыковых модулей в ОС ЕС. — М.:
Финансы и статистика, 1982, — 127 с.
881. Магницкий Н. А. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерра Грода,—
ДАН СССР, 1983, 269, № 1, с. 29—32.
882. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.—
М. : Мир, 1983. — 384 с.
883. Сизиков В. С. О методе редукции в полосе частот. — В кн.: Респ. науч.-техн.
конф. «Интегр. уравнения в приклад, моделировании» : Тез. докл., ч. 2, Киев, 1983,
с. 207—208.
884. Сизиков В. С. Об обработке изображения* состоящего из ограниченного числа локаль-
локальных «источников». — В кн.: Всесоюз. симпоз. по вычисл. топографии : Тез докл.
Новосибирск, 1983, с. 178—179.
885. Танана В. П. Об обобщенном принципе невязки.— В кн.: Всесоюз. конф. по асимп-
асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений : Тез. докл.»
ч. 2, Алма-Ата : Наука, 1979, с. 18—20.
886. Танана В. П. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных за-
задач. — В кн. : Всесоюз. конф. по некорректно поставленным задачам : Тез. докл.,
Фрунзе : Илим, 1979, с. 113—114.
887. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений — М. : Наука, 1981. —
156 с.
888. Тихонов А. #., Арсенин В. Я., Рубашов И. В., Тимонов А. А. О решении проблемы
восстановления изображения в ЯМР-топографии. — ДАН СССР, 1982, 263, № 4,
с. 846.
889. Тихонов А. #., Гончарский А. В., Степанов В. В., Я гола А. Г. Регуляризируюшие
алгоритмы и априорная информация. — М. : Наука, 1983. — 200 с.
890. Форсайт Дою,, Молер /С. Численное решение систем линейных алгебраических урав-
уравнений. — М. : Мир, 1969. — 168 с.
891. Фролов Г. Д., Олюнин В. /О. Практический курс программирования на языке PL/1.—
М. : Наука, 1983.— 384 с.
892. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной
томографии. М. : Мир, 1983. — 352 с.
893. Brannigan М.* Eyre ZX Splines and the projection collocation method for solving integ-
integral equations in scattering treory. — J. Math. Phys., 1983, 24, N 1, p. 177—183.
894. Fenyo S., Stolle H. W. Theorie und Praxis der linearen lntegralgleichungen.—- Berlin,
Dtsch. Verl. Wiss.— Bd 1, 1982. 328 S. Bd 2, 1983. 376 S.
895. Gladwin С G. On optimal integration methods for Volterra integral equasions of the
first kind. — Math. Comput., 1982, 39, N 160, p. 511—518.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокод БЭМШ 163
— ИПМ 163
Автономная трансляция программ 326
Алгебраизация оператора 224
— уравнения 248
АЛГОЛ-ГДР 163
Алгол-программы см. Пакет программ на
языке АЛГОЛ-60
Алгоритм Краута 163
«— непосредственной минимизации 205
—- обобщающий 193
Альтернатива Фредгольма 142
«Альтернативный» способ выбора а 253
Аналитическое задание правой части 165
ядра 326, 364
Аналог метода Зейделя 187
Рунге — Кутты 61
Аппаратная функция 226
Апостериорная оценка вектора 313, 320
матрицы 313, 320
— плотность вероятности (по Байесу) 317,
320
Аппроксимация изображений 100
— интегрального уравнения посредством
СЛАУ 224
— оператора матрицей 224
— оригиналов 98
— ядра 85
вырожденным J 76, 186
Аппроксимирующая система конечных урав-
уравнений 38
Априорная информация о решении 247, 301
качественная 247. 305
_ количественная 247, 303
Базис 503
— ортогональный 503
— ортонормированный 307, 308, 503
Базисные функции 307
Байесовский подход 317
Безусловная минимизация 255
Белый шум 258
БПФ 265
«Быстрый» алгоритм 268
БЭСМ-АЛГОЛ 163
Вариация функционала 237
Весовая функция 225
Вольтерровость 127, 129
Вырожденное ядро 169, 172, 173
Гармоники Фурье 225, 259
Генератор РА Бакушинского 299
Гладкость решения 238, 242
Граничные условия 153
Датчик случайных чисел 276
Двойная точность 163
Дефект 84
Динамическое распределение памяти 363
Единственность решения 224
Задача Дирихле 230
~ Коши 29
— корректная 111, 126
— краевая 155
— линейная 156
— Неймана 230
— некорректная 111, 126
Закон распределения ошибок 248, 277
Изображение по Фурье 214
— резольвенты 98
— функции 94, 96
Импульсная переходная функция 225
— реакция системы (фильтра) 226
— функция 227
Интеграл Бромвича 95
Интегральные преобразования 214
Интегрирование по частям 116
Интерполяция по Лагранжу 42
Искомая функция 223
Истокообразная представимость решения
257
Итеративная регуляризация 272
Итерационная последовательность 272
— схема 179, 299
нестационарная 299
стационарная 299
Итерационный процесс 188—190, 198, 299
Каркас приближенного решения 111
Квадратичная форма 312
Квазирешение Иванова 305
Ковариация ошибок правой части 312
решения 312
— апостериорная 312
априорная 312
Компактное множество 235
Комплексный итерационный алгоритм Баку*
шинского 296
Конечномерная аппроксимация квазиреше-
квазирешений 306
Корректная задача 224
Корректность по Адамару 224
Тихонову 235
Косинус-преобразование Фурье 214, 263
Коэффициент корректности РА 300
— усиления ошибок 300
Краевая задача 153, 155—157
Краевые условия 155
Критерий Рэлея 226
Круговая симметрия ядра 269
532
МАВ-оценка 313
Матожидание правой части 312
— решения 312
Матрица 504
— вырожденная 505
— диагональная 504
— единичная 504
— квадратная 504
— квазидиагональная 505
— ковариаций ошибок решения 312
шума правой части 312
— комплексно-сопряженная 504
— ленточная 505
— нормальная 505
— нулевая 504
— обратная 505
— ортогональная 505
— плохо обусловленная 164
— положительно определенная 505
— прямоугольная 504
— псевдообратная 508
— симметричная 505
— сопряженная 504
— теплицева 266
— транспонированная 504
— треугольная 38
— унитарная 505
— хорошо обусловленная 507
— четырехмерная 168
— эрмитова 505
Метод вариационно-итерационный 176
— вариационный 98
— вырожденных ядер 169
— исключений Гаусса 162, 163
— граничных интегральных уравнений 146,
230 1
— двусторонний типа Рунге — Кутты 67
— дифференцирования по параметру 55
— интерполяции 98
— итеративной регуляризации Фридмана
272
численный алгоритм 275
— итераций Лаврентьева 292
Морозова — Бакушинского — Крянева
297
с усреднением Бакушинского — Стра-
Страхова 295
— итерационный 15, 71, 88, 183
— Калмана 312
— квадратного корня Краута 508
— квадратур 35, 85, 120, 157, 166—168, 254
— квазирешений Иванова 305
— Келлога 221
— коллокации 213
— кубатур 168
— моментов 208, 211
— наиболее вероятного ансамбля 319
гладкого допустимого ансамбля 317
— наименьших квадратов 14, 204, 238, 508
— невязки 244
— неопределенных множителей Лагранжа
237
— Ньютона — Канторовича 75, 198
— обобщенной невязки 244
— операционный 94, 137
— оптимального исключения 161
— оптимальной линейной фильтрации Ви-
Винера 315
— осреднения функциональных поправок
79, 190
— подбора 304
— Положего 187
— последовательных приближений 19, 183,
184, 189
— преобразования Фурье 256
проекционный 14, 203
— Бубнова — Галеркина 208, 307
— Галеркина 307
— Галеркина — Петрова 206, 308
— Ритца 219, 307
простой итерации 71, 184
прямой 14
регуляризации 126
— Тихонова 126, 235, 260
численный алгоритм 249
для уравнений типа свертки 127,
256, 260
численная реализация
263
— регулярный 312
— робастный 233, 312
— Рунге — Кутты 48, 60
двусторонний 67
— следов 220
— собственных функций 309
в соединении с методами а-регуля-
ризации Лаврентьева, Бакушинского и
Тихонова 310
методом квазирешений
Иванова 311
классический 309
— Фейера 260
— а-регуляризации Бакушинского 292
Лаврентьева 289
— /i-регуляризации Апарцина — Бакушин-
Бакушинского 112
Денисова 128
Лаврентьева 289
на компакте 291
Магницкого 132
Сергеева 130
— (hy а)-регуляризации Апарцина 129
— а-множителей Ланцоша 259
— Эйткена — Стеффенсена 201
Метода Зейделя аналог 187
Методы итерационные 183
— минимизации функционалов 255
— отыскания характеристических чисел 219
— приближенные 13
— проекционные 203
— регуляризации Лаврентьева 289
— решения некорректных задач 233
детерминистские 235, 312
статистические 235, 312
— численные 223
систем нелинейных уравнений 254
— статистической регуляризации 312
Минимизация функционала 176, 205, 237
без ограничений 255
с ограничениями 255, 303
Минимум функционала безусловный 255
условный 255
Многочлен Лагранжа 121
Множество 499
— всюду плотное 499
— компактное 500
— ограниченнное 500
— открытое 499
Множитель Лагранжа 219
Модификация метода Галеркина — Петрова
308
Модификация обобщенного принципа не-
невязки 244
— метода Ритца 307
Модуль см. Пакет программ
— непрерывности в нуле обратного опера-
оператора на компакте со, (т, R) или се^ (т) 291
обратного оператора на компакте
сох (т, R) или ©1 (т) 292
538
Модульность 326
МСК-оценка 312
МФП-оценка 313
Начальное приближение решения у0 272,
292, 295, 296
Невязка 237
Некорректная задача 12, 224
Некорректное уравнение 224
Некорректность 13, 224
Неопределенный множитель Лагранжа 237
Неустойчивость решения 224
Норма 13, 506
— вектора 506
¦— матрицы 506
— Махаланобиса 312
— оператора 503
— резольвенты 181
Нормальное распределение 277
Область определения 9
— сходимости 188
Обобщающий алгоритм 193
Обобщение Бакушинского итерационной схе-
схемы Фридмана 294
— понятия квазирешения в виде s-квазире-
шения 305
— принципа Тихонова выделения компакта
304
Обобщенная невязка 242
Обобщенный принцип невязки выбора а
(ОПН) 242, 265
Обобщенный метод невязки выбора а
(ОМН) 244
Обратное преобразование Фурье 256
Обращение матрицы 505
Обусловленность матрицы 164
— СЛАУ 163
Ограничение на решение 235, 303
Оператор 509
— вполне непрерывный 13, 14, 237, 239, 503
— Гаммерштейна 10
— единичный 503
— интегральный 20
— линейный 13, 22, 237, 503
— нелинейный 13
— непрерывный 224, 303
— обратный 13, 224, 503
— ограниченный 503
— положительно определенный 503
— регуляризирующий 235
— самосопряженный 503
— сопряженный 503
— Урысона 10
I рода 13, 235
II рода 13
Оригинал 94, 96, 137, 247
Отображение множества на множество 500
Оценка ошибки решения 180, 192, 239, 261,
272
асимптотическая 240, 272, 274, 275
Ошибка оператора 237, 279
правой части 237, 261
решения 14, 15, 41, 161, 180, 182—184,
192, 237, 276
априорная 312
ядра 261
Пакет программ на языке АЛГОЛ-60 для
решения интегральных уравнений 324
модули 352
процедуры-операторы 352
choldet 2 251, 324
cholinversion 2 253, 324
cholsol 2 251, 324
ckk 355
coef 353
gdisc 356
inf 357
inner prod 163, 324
q 12 358
rem 353
sistema 161, 324
sol 1 355
sol 2 358
sol 3 358
unsymaccsolve 163, 324
unsymdet 163, 324
unsymsol 163, 324
uvlf 356
xni 352
ydy 352
zgf 354
процедуры-функции 359
с disc 362
chd 359
disc 360
domepa 361
/2 359
lambda 361
nor me 360
norml2 360
qat 359
ratec 361
ratel2 360
rho 359
sigma 361
основные программы 327
convl 264, 267, 278. 279, 287, 288, 340
conv2 264, 267, 268, 279, 281, 287, 288,
342
conv3 264, 267, 268, 344
convA 266, 267, 268, 345
convS 266, 267, 268, 347
frest\ 161, 329
frest2 162, 330
frest3 168, 331
friedX 275, 280, 282, 283, 288, 348
fried2 276, 281, 283, 288, 350
tikhl 251, 278, 281, 283, 286, 287, 332
tikh2 251, 252, 278, 281—283, 286, 287,
335
tikh3 251, 253, 283, 337
tikhA 249, 251, 253, 283, 338
tikhS 249, 251, 253, 281, 283, 339
voltfI 123, 328
voltsl 43, 327
Пакет программ на языке ПЛ-1 для реше-
решения интегральных уравнений 454
модули 1-го уровня 454
модули уровня >2 473
Пакет программ на языке ФОРТРАН для
решения интегральных уравнений 363
модули 393
подпрограммы 393
СКК 396
COEF 394
DGELG 163
GDISC 397
INF 399
MFSD 251
MTDS 251
Q12 399
REM 395
SIMQ 162, 168
SINV 253
SOLI 397
SOL2 400
SOL3 400
539
TYPE1 405
TYPE2 405
TYPE3 406
TYPE4 406
TYPE5 406
TYPE6 407
TYPE7 407
TYPE8 407
UVLF 398
XNI 393
YDY 393
ZGF 395
— — подпрограммы-функции 401
CDISC 405
CHD 401
DISC 402
DOMEGA 404
INNUM 404
LAMBDA 402
NORMC 403
NORML2 403
QAT 401
RATEC 403
RATEL2 403
RHO 402
SIGMA 404
SIMQ 162
основные программы 365
CONV1 264, 267, 278, 279, 287, 288,
379
CONV2 264, 267, 268, 279, 281 287,
288, 382
CONV3 264, 267, 268, 384
CONV4 266—268, 385
CONV5 266—268, 387
FREST1 161, 367
FREST2 162, 368
FREST3 168, 370
FRIED1 275, 280, 282, 283, 389
FRIED2 276, 281, 283, 391
TIKH1 251, 278, 281, 283, 286, 287,
371
TIKH2 251, 252, 278, 281, 283, 286,
374
TIKH3 251, 253, 283, 376
TIKH4 249, 251, 253, 283, 377
ТЩН5 249, 251, 253, 281, 283, 378
VOLTF1 123, 366
VOLTS1 43, 365
Параметр регуляризации
a 127
ad 243
aF 252
aK0128
aKOC129
aM 252
op,22
ap 248, 252
aq 245
aQ 247
ar 246
аг 252, 319
— уравнения Я 9,140
«Пила» 224
Плотность вероятности 317
апостериорная 317
априорная 317
условная 317
ШЫ-программы 454
Подавление высоких частот в решении 260,318
Показатель корректности РА 300
540
Полином тригонометрический 33
— интерполяционный 33
— кусочно-гладкий 84, 90
Помеха 312, 315
Порядок регуляризации 127, 241, 260
Последовательные приближения (итерации)
183, 272, 292, 295, 297
Правая часть 9, 168, 223
Правила останова процесса итераций Фрид-
Фридмана по обобщенной невязке 273
поправке 274
Преобразование Лапласа 94, 96, 137
двустороннее 94
обратное 94, 96
одностороннее 94
— Лапласа — Карсона 95
— Меллина 216
— Фурье 214
Приближенное вычисление интегралов 263
Приведение к дифференциальным уравне-
уравнениям 117
уравнениям второго рода 115
Прием доопределения 128, 257
— усечения 259
Прикладные задачи:
амплитудный синтез непрерывной антен-
антенны 228
восстановление сигнала в теории автома-
автоматического управления 225
¦— функции распределения по скоростям
атомов паров металлов из эксперимен-
экспериментальных (лабораторных) контуров ли-
линии 229
задача анализа переходных процессов в
электрических цепях 22
— восстановления сигнала НО, 225
— математической экологии 24
— об определении критической скорости
вращающегося вала 147
— о вынужденных колебаниях маятника
148
— — — поперечных колебаниях струны
146
распределении масс в галактиках
при известном законе их вращения 107
— пространственной светимости в
звездных системах по наблюдаемой
светимости 108
*¦ собственных значениях крыла само-
самолета 146
*— — таутохроне 107
— спектроскопии 227
— углового разрешения 226
интерпретация кривых блеска затменных
звездных систем 229
метод граничных интегральных уравне-
уравнений 146
обработка изображений 226
обратная задача гравиметрии 231
определение локальной излучательной
способности плазмы по ее интеграль-
интегральной интенсивности излучения 109
— профиля скорости звука в среде по
временам его распространения 231
•— фононного спектра кристаллов по теп-
теплоемкости 228
•— фононной плотности состояний по тер-
термодинамическим функциям кристал-
кристаллов 228
— функции источника 145
•— энергетического спектра Бозе-систе-
мы по термодинамическим функциям
228
оптимальная линейная фильтрация 144,
227
процессы деформирования упруговязких
материалов 23
редукция измерений за характеристику
направленности антенны 226
—- к идеальному прибору 225
— наблюдений микрообъектов за аппа-
аппаратную функцию системы 226
— профилей линии 21 см межзвездного
водорода в галактиках за остаточные
скорости его частиц 228
устранение доплеровского или аппарат-
аппаратного уширения спектральной линии 229
Пример исходный 247
— модельный 247
— оценочный 247
— подобный 247
Примеры компактов:
1-й пример 303
2-й пример 303
3-й пример 304
ортонормированных базисов 308
тестовые 408
числовые 276
Прогноз 312
Программа F1 179
— F5 190
— V 53
Проекционная реализация метода Калмана
315
квазирешений Иванова 306, 308
. невязки 309
— регуляризации Тихонова 309
Производная по Фреше 237
«Промежуточные» методы статистической
регуляризации 316
Пространство банахово 501
— гильбертово 502
комплексное 500
— евклидово 500
— линейное 500
— метрическое 224, 499
— нормированное 501
— рефлексивное 502
— сепарабельное 499
— сопряженное 502
— со скалярным произведением 502
— топологическое 499
— унитарное 502
— функциональное 10
-— С[а, Ь] непрерывных функций 501
— Ljfa, b] функций, интегрируемых с моду-
модулем 501
— LJ[a, b) функций, интегрируемых с квад-
квадратом 501
— W\ [a, b] Соболева 501
Процесс многошаговый 314
— одношаговый 314
— последовательных приближений 183
Псевдорешение 236
Рабочие массивы 363
Равенство Парсеваля 261
Радиус компакта 303
Разрядная сетка ЭВМ 162
Распределение ошибок нормальное 285
равномерное 285
Расстояние между элементами пространства
р (х, у) 499
Реализация метода квазирешений Иванова
с помощью метода собственных функций
311
•— методов a-регуляризации с помощью ме-
метода собственных функций 310
Реализация ошибок 285
Регуляризация 235
— 0-го порядка 241
— 1-го порядка 241
— я-го порядка 241, 260
— q-то порядка 260
Регуляризирующий алгоритм (РА) 112
— оператор 235
Регуляризованное интегральное уравнение
240
— операторное уравнение 237
Регулярные модификации метода собствен-
собственных функций 309
Режим 247
Резольвента 24, 28, 148, 175, 215
Решение в пространстве S%/h 259
— в статистическом ансамбле гладких функ-
функций 318
— классическое уравнения типа свертки 256,
315
— на компакте 301
— нормальное 236, 238
— — относительно if 237
— приближенное 13, 15, 28, 71
— регуляризованное 268
— СЛАУ 251, 329—331, 355, 368, 369, 370,
397
— статистически регуляризованное 312
— точное 256
— уравнения типа свертки 256
в пространстве S%/h 259
— 5oart 318
Решения частные 321
— Эддингтона 322
Ряд Тейлора 32
двойной 32
— Фурье двойной 33
Свертка 256
— замера с прогнозом 313
Сглаживающий функционал 127
Сетка узлов по s 41, 167, 249
по t 249
х 167, 249
Сингулярное число 506
Синус-преобразование Фурье 214, 263
Система линейно независимых функций 307
— линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) 161, 167, 205, 207, 507
вырожденная 167
недоопределенная 507
нормальная 508
определенная 507
переопределенная 507
плохо обусловленная 163, 507
хорошо обусловленная 507
интегральных уравнений 11, 52, 75, 114
одномерных интегральных уравнений
типа свертки 301, 224, 270
— уравнений Вольтерры II рода 21
Скалярное произведение (х, у) 502
След ядра 220
Случайный процесс 315
Собственная функция 141. 172, 220
Собственное значение матрицы 505
оператора 239, 504
ядра 141, 220
Спектр матрицы 506
— оператора 504
— правой части 256
— решения 256
— ядра 257
Спектральная плотность мощности помехи
315
решения 262, 315
— — шума правой части 262
— функция 2X4.
541
Специфика задачи решения уравнений Воль-
терры I рода ПО
Сплайны 84
— кубические 84
Способ выбора числа итераций в методе
Лаврентьева 292
•— Бэтмена 174
—- квазиоптимального значения ос 245
•— комбинированный 175
— конечных сумм и разностей 249
— моделирования выбора а 246
•— модельных примеров выбора ос 246
— невязки выбора a (ad) 269
— независимых реализаций выбора ос (аг)
246
— обобщенной невязки выбора ос (ad) см.
Обобщенный принцип невязки
— определения со (т, R) 292
•— определителей Фредгольма 150
— отношения выбора а 245
Способы аппроксимации ядер вырожденны-
вырожденными 174
— отыскания квазирешений 306
Сравнение методов Винера и Тихонова 316
Калмана и Тихонова 313
Среднеквадратическая погрешность 314, 318
•— поточечная погрешность 332
Стабилизатор 237
Стабилизирующий множитель 261
Статистическая регуляризация 312
Структура алгольного пакета 324
— фортранного пакета 363
Существенно некорректная задача 291
Существование решения 224
Схема Холецкого 355, 397, 508
Сходимость итераций 177, 185, 192
Табличное задание правой части 160
¦ ядра 326, 365
Теорема Винера — Хинчина 262, 315
— Котельникова 259
— Планшереля 261
Теоремы Тихонова 302
— Фредгольма 142
Теория вязкоупругости нелинейная 24
— фильтрации Колмогорова — Винера 233
Тест алгольного пакета 162, 164, 168, 413
— ПЛ-1 -пакета на ЕС ЭВМ 485
>— фортранного пакета на БЭСМ-6 162, 164,
168, 432
_ на ЕС ЭВМ 162, 164, 168, 443
Тестовые примеры 162—164, 168
Тестовые программы на АЛГОЛе-60 162, 408
на ПЛ-1 479
ФОРТРАНе 162, 425
Типы интегральных уравнений 9
Уравнение Абеля 107
. обобщенное 107
— Винера — Хопфа 227
— Вольтерры 9, 20
I рода 10, 35, 106, 126
. типа свертки 107, 127, 256
II рода 10, 20, 35
,— типа свертки 21
-— Вольтерры — Гаммерштейна 21, 107
типа свертки 107
— Вольтерры — Урысона 21, 107
>— второго рода с постоянными пределами
интегрирования 139
— Гаммерштейна 11, 142, 173, 223
— Гельмгольца 230
— двухмерное 59, 140, 167, 223, 226
— дифференциальное 30
п-то порядка 153
— интегральное 9
регуляризованное 240
— интегродифференциальное 10, 104, 254
— линейное 9, 20, 38, 71, 139, 157, 169, 172,
191, 223
— многомерное 11
типа свертки 270
— некорректное 237
— нелинейное 10, 21, 33, 40, 74, 81, 88, 142,
166, 173, 189, 196, 223, 253
типа свертки 271
— неоднородное 10, 139, 169
— одномерное 223, 256
— однородное 10, 140, 172, 205
— операторное 10, 13, 96, 137
линейное 13
нелинейное 253
регуляризованное 237, 238
I рода 13, 235
II рода 13
— относительно резольвенты 26, 116, 149
— приближенное 15
— регуляризованное 240
— с пределами (#, + оо) 102
разностным ядром 141, 223
— типа свертки 21, 94, 140, 215, 223, 256
— Тихонова 241
— Урысона 142, 223
— Фредгольма I рода 223
двухмерное 223
типа свертки 223, 268
типа свертки 256, 315
одномерное нелинейное
223
одностороннее 256
. /z-мерное 224
— Фредгольма II рода 10, 20, 139, 167
двухмерное 168
неоднородное 139
типа свертки 140
однородное 140
— Фредгольма III рода 140, 167
двухмерное 168
— Эйлера 237, 241
— эквивалентное дифференциальное 29, 31
Условная корректность см. Корректность по
Тихонову
Устойчивость решения 239, 261, 318
Фильтр Калмана 312
— оптимальный Винера 315
Формула квадратурная Гаусса 37, 165
Грегори 113
высокого порядка точности 53
замкнутая 36
незамкнутая 36
Ньютона — Котеса 53, 113
открытого типа 36, 49
прямоугольников 37, 111, 124
Симпсона 37, 113
трапеций 37, 41, 113, 121, 125, 167
Чебышева 37, 165
— Крамера 171, 194
Функционал 500
— сглаживающий 127, 237, 240, 254, 260,
268
— стабилизирующий 127, 237, 240, 241, 260
— Тихонова 237, 253
Функции линейно независимые 170
Функция автокорреляционная 262, 316
— аппаратная 22
— барьерная 255
— весовая 22
— Грина 153, 155
542
— изображения 226
— искомая 9
— отклика на единичный импульс 225
— рассеяния точки 226
— передаточная 226
— переходная 22
•— штрафная 255
Фурье-образ 214, 256, 315
Характеристика направленности антенны
226
Частота Котельникова 267
Численная реализация 189, 263
Численные эксперименты 243
Численный алгоритм 249
Число итераций тс 275
md 274
ттах 348, 351, 389, 391
— обусловленности cond (A) 507
— узлов 167
— характеристическое 141, 172, 213, 221
Шаг правой части 41
— решения 41
Штрафные коэффициенты 255
Шум 318
Экстремаль функционала 253, 261, 268
Элементы функционального анализа 499
Ядро 9, 223
— вырожденное 21, 32, 33, 43, 117, 169, 172-
174
— итерированное 24, 148, 187
— положительно определенное 221, 289
— разделяющееся 21
— разностное 27
— симметричное 221, 289
— фредгольмовское 140
АНАТОЛИИ ФЕДОРОВИЧ ВЕРЛАНЬ
ВАЛЕРИЙ СЕРГЕЕВИЧ СИЗИКОВ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРОГРАММЫ
Справочное пособие
Печатается по постановлению ученого совета
Института проблем моделирования в энергетике АН УССР
и решению редакционной коллегии справочной литературы
АН УССР
Редактор Р. И. Гусячая
Оформление художника В. В. Лисовского
Художественный редактор А. В, Косяк
Технический редактор ?. М Кричевская
Корректоры Т, Я* Чорная, Р, С, Коган
ИБ № 7582
Сдано в набор 03,01.85. Подп. в печ. 03.12.85. БФ 01763
Формат 70x108/16. Бум. тип. № 1. Лит. гарн.
Вые. печ. Усл. печ. л. 47,6. Усл. кр.-отт. 47,6
Уч.-изд. л. 49,52. Тираж 10000. Заказ 5-1018.
Цена 2 р. 90 к.
Издательство «Наукова думка».
252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Книжная фабрику им. М. В. Фрунзе. 310057 Харьков,
ул. Донец-Захаржевского, (»/8.