АКАДЕМИЯ НАУК СССР
УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
В.К.Иванов , В.В.Васин , В.П.Танана
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
НЕКОРРЕКТНЫХ
ЗАДАЧ
и ее приложения
В
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1978

УДК 517.94
Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных
некорректных задач и ее приложения. М., «Наука», 1978, 206 с.
В книге дано систематическое изложение теории линейных
некорректных (неустойчивых) задач с позиций функционального
анализа. Исследуются методы регуляризации операторных
уравнений первого рода в нормированных пространствах, условия
разрешимости задач, строение множеств равномерной
регуляризации, вопросы оптимальности и оценки погрешности алгоритмов.
Книга предназначена математикам,
инженерам-исследователям, интересующимся методами решения некорректных задач, а
также студентам старших курсов физико-математических
специальностей.
Ил. 5, библиогр. 193 назв.
Ответственный редактор
кандидат физико-математических наук
Л. А. КАЛЯКИН
20203-026
055(02)-78
© Издательство «Наука», 1978

ПРЕДИСЛОВИЕ
Под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно
понимаются задачи, в которых малые возмущения исходных данных
могут вызвать большие изменения результатов. В течение долгого
времени считалось, что эти задачи не имеют практического
значения и их теория не может привести к содержательным
математическим результатам. Такое мнение было распространено даже
после работы А. Н. Тихонова 1943 г., в которой впервые была
указана практическая важность подобных задач и возможность
устойчивого их решения. В конце пятидесятых и особенно в
начале шестидесятых годов появился ряд новых подходов, которые
стали основополагающими для теории некорректных задач и при
влекли к ней внимание многих математиков.
В настоящее время по теории некорректных задач имеется
большое количество статей, и эта теория приобрела более или
менее законченный характер.
Между тем, несмотря на то что в последнее время появился
ряд книг, посвященных теории некорректных задач, нельзя
утверждать, что они охватывают все стороны этой теории. Можно
указать книги М. М. Лаврентьева [97] и Р. Латтеса и Ж.-Л. Лион-
са [100], посвященные специальным вопросам, написанную
О. А. Лисковцом главу в книге В. И. Крылова, В. В. Бобкова,
П. И. Монастырского [95], предназначенную для вычислителей,
и ряд курсов лекций, прочитанных в Москве и Новосибирске,
но изданных небольшим тиражбм-йли депонированных и поэтому
малодоступных для широкого круга читателей. Наиболее полное
изложение теории и приложений содержится в книге А. Н.
Тихонова и В. Я. Арсенина [150].
Настоящая работа представляет собой попытку дать
систематическое изложение некоторых сторон теории некорректных
задач. В основном она посвящена вопросам, не охваченным
монографией А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина. Здесь излагаются
результаты, полученные преимущественно в Уральском госу-
3

дарственном университете и в Институте математики и механики
Уральского научного центра АН СССР. Кроме основных
положений теории, составляющих ее фундамент, результаты других
математиков привлекаются лишь в той степени, в какой они
связаны с излагаемым материалом. Содержание отдельных частей
книги было предметом ряда лекционных курсов и учебных
семинаров в университете и институте.
Книга ориентирована на читателя, владеющего основами
функционального анализа в объеме университетского курса, но
отдельные места, например § 4 гл. 1 и § 1—3 гл. 6, требуют знания
ряда топологических понятий.
Авторы сознают всю сложность взятой на себя задачи и будут
благодарны за все замечания.
Мы хотели бы выразить свою глубокую благодарность Л. А. Ка-
лякину, взявшему на себя труд прочтения рукописи и сделавшему
большое число ценных замечаний, а также всем принявшим
участие в обсуждении результатов, составляющих содержание
книги.

ВВЕДЕНИЕ
Основным объектом нашего исследования являются
операторные уравнения первого рода
Аи = / (1)
в линейных нормированных пространствах U ЕЭ и и F ЕЭ /.
Широкий класс задач математической физики сводится к
уравнению (1) с вполне непрерывным, в частности -интегральным
оператором А. Уравнения с такими операторами возникают,
например, при исследовании так называемых обратных задач, когда
исходя из некоторых характеристик физического поля
необходимо восстановить характеристики самой среды, которая
порождает это поле [56, 97, 149]. В этом случае по аналогии с
интегральными уравнениями (1) называют абстрактным уравнением Фред-
голъма первого рода.
В отличие от абстрактных уравнений Фредгольма второго рода
и + Ли = /,
для которых создана содержательная теория (см. [107, гл. 6])
и разработаны общие методы приближенного решения [184, гл.
14], уравнения первого рода исследованы в меньшей степени.
Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений,
связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений
оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения
от правой части (неустойчивость или некорректность задачи).
В этих условиях обычные методы, используемые для
приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило,
непригодными.
Для эффективного решения неустойчивых задач к
настоящему времени созданы специальные регулярные методы,
основанные на замене исходной некорректной (неустойчивой)
задачи задачей или последовательностью задач, корректных в
обычном смысле.
Исследование вопросов, связанных с установлением
корректности исходной задачи, построением методов приближенного
решения неустойчивых задач, оценкой погрешности и численной
реализацией этих методов, составляет основное содержавде
настоящей книги.
Перейдем к изложению материала по главам.
5

В главе 1 формулируется основная задача построения
устойчивого приближенного решения операторного уравнения первого
рода по приближенно заданным оператору А и правой части /,
приводятся определения корректных и некорректных (по Ада-
мару) задач (§ 1). Некорректные (неустойчивые) задачи,
возникающие в различных разделах математической физики,
описываются в § 2 этой главы. Наряду с корректностью по Адамару
вводятся более общие условия корректности — по Тихонову
(§ 3, 4) и по Фикера (§ 5) — и изучаются некоторые классы
уравнений, корректных в том или ином смысле. Устанавливается,
что за счет обобщения понятия решения можно восстановить
корректность задачи для некоторых типов операторных
уравнений. Отметим, что результаты, касающиеся свойств нормально
разрешимых операторов (§ 5) и метрических проекций в строго
выпуклых пространствах (§ 6), представляют самостоятельный
интерес.
В главе 2 изучаются основополагающие для теории
некорректных задач понятия регуляризующего семейства операторов
и множества (поточечной и равномерной) регуляризации с точки
зрения их общих свойств (§1). Подробно исследуется строение
множеств равномерной регуляризации для непрерывных и вполне
непрерывных операторов в нормированных (гильбертовых)
пространствах (§ 2—5). Выясняется связь введенных понятий с
основной задачей построения приближенного решения и оценкой
погрешности этого решения.
Глава 3 содержит описание основных методов регуляризации
(т. е. методов построения регуляризующего семейства)
операторных уравнений первого рода. При этом рассмотрение ведется
в предположении, что оператор А линеен, непрерывен (или
замкнут) и обратим, а линейное нормированное пространство
.решений U обладает некоторыми свойствами типа условия
Ефимова — Стечкина [173]. Возможные обобщения на случай
линейного необратимого или даже нелинейного оператора А даны лишь
схематично. Детально исследуется связь вариационных методов
регуляризации (§ 2—4) с точки зрения сводимости одной
вариационной задачи к другой при определенном согласовании
исходных параметров (§5, 6). Обсуждаются результаты,
относящиеся к специальным методам регуляризации (итерационные
методы, метод квазиобращения и др.) интегральных и
дифференциальных уравнений определенного типа (§ 7—10).
С теоретической точки зрения интересен вопрос о регуляри-
зуемости (т. е. существовании, по крайней мере, одного
регуляризующего алгоритма) уравнения (1) для данного оператора А
и пары пространств U и F. Даже в случае линейного непрерыв-.
ного оператора А и линейных нормированных пространств на
этот вопрос следует дать отрицательный ответ [27]: например,
уравнение (1) нерегуляризуемо, если пространство U- несёпара-
бельно, a F сепарабельно.
6

Среди всех методов приближенного решения некорректных
задач наибольший интерес представляют методы, оптимальные
на некотором классе решений или в некотором смысле близкие
к ним. При сравнительном анализе методов возникает
необходимость получения точных (по порядку) оценок оптимальных
методов, позволяющих судить о максимально возможной точности
приближенного решения задачи. Исследованию таких оценок
для неустойчивых задач с точно заданным оператором посвящены,
например, работы [52, 71, 116, 123, 124, 134]. В работах [129,
131] начато исследование аналогичных оценок, учитывающих
погрешность в операторе.
В главе 4 книги дается классификация некорректных задач
по входной информации (§ 1) и устанавливается оптимальность по
порядку на компактных множествах основных методов
приближенного решения в общем случае, учитывающем погрешность
как правой части уравнения (1), так и погрешность оператора А
(§ 2—8). При этом оптимальность методов А. Н. Тихонова (§ 3),
М. М. Лаврентьева (§ 7) и метода проекционной регуляризации
получена при специальном выборе параметра регуляризации а.
Приведены примеры оптимальных и неоптимальных методов
(§ 7). Кроме того, доказана устойчивость вариационных методов
и выяснены их алгоритмические особенности. В § 9 рассмотрен
общий способ вычисления модуля непрерывности обратного
оператора — основной оценочной функции при исследовании
погрешности оптимальных методов.
Для обратимого оператора А задача (1) может быть сведена
к эквивалентной задаче вычисления значений неограниченного
оператора Т = А^1 на элементе /. В главе 5 такое сведение
выполнено в общем случае необратимого оператора А с помощью
введения многозначных операторов. Излагается единая схема
приближенного решения некорректных задач и обосновывается
сходимость вариационных методов построения приближенных
значений замкнутого неограниченного оператора (§ 1—-3). В § 4
и 5 обсуждаются различные постановки экстремальных задач
о наилучшем приближении неограниченных операторов
ограниченными с точными и приближенными входными данными.
Анализируются некоторые регуляризующие алгоритмы с точки
зрения их оптимальности по минимаксному критерию на
множествах равномерной регуляризации.
При численном решении некорректных задач возникает
проблема дискретизации исходной задачи, т. е. замены непрерывной
математической модели некоторым ее конечномерным аналогом.
Наиболее употребительными способами дискретизации задачи (1)
являются конечноразностный [34, 139, 145, 146] и проекционный
[23—25, 53, 115] методы. Конечноразностный метод
применительно к интегральным уравнениям заключается в замене интеграла
конечной суммой. При этом нахождение приближенного решения
обычно сводится к решению системы линейных алгебраических
7

уравнений. В основу проекционного метода положено сужение
исходного оператора на конечномерное подпространство, что
позволяет также свести задачу к системе линейных уравнений.
В последнее время стали разрабатываться проекционные методы
[19, 21, 24, 137], в которых кроме сужения на подпространство
рассматривается дополнительное возмущение оператора,
позволяющее значительно упростить в вычислительном плане
получение системы линейных уравнений. На этом пути при
определенном выборе возмущения оператора можно объединить
упомянутые выше способы в рамках единой теории [40, 135].
В главе 6 излагается общий подход к конечномерной
аппроксимации регуляризованных решений, включающий в качестве
частных случаев проекционные методы и методы конечноразно-
стной аппроксимации (§ 1—4). Изучается сходимость некоторых
схем проекционного метода (§ 5) и оценивается погрешность
полученных конечномерных регуляризующих алгоритмов (§ 6).
В § 7 приведены результаты численных реализаций методов при
решении ряда модельных задач математической физики.
В заключение отметим особенности изложения материала
в книге. Для удобства читателя при использовании понятий и
утверждений функционального анализа и топологии либо даются
пояснения непосредственно в тексте, либо приводятся подробно
ссылки на соответствующую литературу.
Сквозная нумерация теорем, лемм и т. п. принята в пределах
одного параграфа, а нумерация формул — в пределах одной главы.

Глава 1
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ
§ 1. Постановка задачи.
Условия корректности Адамара
1. Широкий класс задач может быть описан в абстрактной
форме операторными уравнениями первого рода
Au = f, (1.1)
где и — искомый, / — данный элементы некоторых
топологических пространств U и F, а А — заданное отображение
(оператор), действующее из U и F.
Естественно исходить из предположения, что точные данные
задачи {А, /} известны нам лишь приближенно, т. е. в
действительности считать известной пару {Ah, /§}, аппроксимирующую
в выбранной топологии пару {^4, /}. Ошибки можно
интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной
математической модели (1.1) и описываемой ею физической
реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет
ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения
приближенной модели для уравнения (1.1) с целью проведения
численных расчетов.
Основная задача, подлежащая исследованию, заключается в
построении по приближенным данным {Ahl /5} такой
последовательности приближенных решений uh$, которая сходится
в пространстве U к точному решению и уравнения (1.1) при
условии сходимости исходных данных {Ah, /5} —> {^4, /}(см. далее
определения § 1 гл. 2).
2. В начале XX века французским математиком Адамаром
были сформулированы три условия, которым должна
удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую
интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [164]
и выражают естественные .требования к математической задаче,
отображающей реальную действительность, которые состоят в том,
что решение должно существовать, быть единственным и
непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного
уравнения (1.1) условия Адамара обычно формулируют в следующем
виде:
1) для любого / ЕЕ F существует элемент и ЕЕ U такой, что
Аи = /, т. е. область значений оператора R (А) = F
(существование);
2) элементом / решение и определяется однозначно, т. е.
существует обратный оператор А'1 (единственность);
9

3) имеет место непрерывная зависимость и от /, т. е. обратный
оператор А'1 непрерывен (устойчивость).
При выполнении этих условий задача (1.1) называется
корректно поставленной (корректной) на паре топологических пространств
£/, F. Задачи, рассматриваемые в классической математической
физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши
для уравнений теплопроводности и волнового уравнения),
удовлетворяют условиям корректности Адамара при естественном
выборе пространств U, F> Поэтому было высказано мнение,
нашедшее широкое распространение в литературе (см., например,
[119, 164]), что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)—3) и
называемые некорректно поставленными задачами, лишены
физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось
это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые
погрешности (неизбежные при численном решении (1.1)) исходных
данных (например, правой части /) могут привести к сколь угодно
большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное
решение, полученное как решение уравнения Au = f6, лишено
разумного смысла и практической ценности. Однако, как
показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают
при описании многих реальных физических явлений (см. [30,
97, 150, 169] и § 2 наст, главы) в геофизике, гидродинамике,
спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи — это далеко
не единственные задачи, правильно отражающие физические
явления» [96].
Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1.1)
зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря,
подходящим выбором топологий (например, наделив F сильнейшей
топологией) мы можем добиться непрерывности оператора А*1. Но
это будет лишь формальным преодолением трудности, так как
обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут
выбираться произвольно. Наиболее часто используемые в
прикладных задачах топологии — это топологии нормированных
пространств L2, С, С(т\ W^\ В случае линейного
взаимно-однозначного оператора А и нормированных пространств устойчивость
будет иметь место, если пространство F наделить нормой [99]
|| / В = || A~*f || = || и ||,
ибо тогда || А'11| = sup " . .; " =1 и, следовательно, оператор
А-1 непрерывен.
3. Некорректно поставленные задачи рассматриваются также
в форме вычисления значений оператора в точке [3, 114, 126]:
Tf =и, uceU, /еЛ (1.2)
Если оператор А'1 существует, то задача (1.1) эквивалентна (1.2)
при Т = Л-1, но, во-первых, оператор А'1 может не существовать
10

во-вторых, с точки зрения приложений этот переход иногда
и' д0бен или вообще невозможен. Теоретическая возможность
исследования задач (1.1), (1.2) в одной схеме излагается в гл. 5;
иной подход, включающий также обе задачи, содержится,
например, в работе [116]
В постановке (1.2) задача тесно смыкается с задачей
аппроксимации неограниченного оператора ограниченными (см. гл. 5).
Отметим, что к вычислению значений линейного
неограниченного оператора приводят как некоторые задачи «чистой математики»
(дифференцирование, суммирование рядов [141, 142]), так и
прикладные задачи [126, 150, 169]. Нетрудно переформулировать
условия корректности Адамара для задачи (1.2):
Iх) область определения оператора D (Т) — F\
2) Т — однозначный оператор (отображение);
3 ) оператор Т непрерывен.
Если нарушено по крайней мере одно из трех условий Iх) —
3') (1) — 3)), задача (1.2) (задача (1.1)) называется некорректно
поставленной (некорректной). Наиболее важный и
содержательный случай, как, впрочем, и для первой постановки (1.1),
возникает при нарушении третьего условия (неустойчивость). Как
уже отмечалось выше, при этом возникает принципиальная
трудность численного нахождения решения.
§ 2. Примеры некорректных задач
1. Система линейных алгебраических уравнений. Пусть в
уравнении (1.1) А — матрица т х п, и и / — векторы размерности
тип соответственно. При т^> п решение уравнения существует,
но, вообще говоря, не единственное. При т <^п решение может не
существовать. Если т = п и det А Ф 0, то система разрешима
единственным образом для любой правой части. Обратный
оператор А'1 (матрица) существует и, следовательно, ограничен, как
линейный оператор в конечномерном пространстве. Таким
образом, выполнены все три условия корректности Адамара.
Выясним подробнее зависимость решения от возмущения
правой части / в случае невырожденной матрицы А [152].
Вычитая из возмущенного уравнения
А (и +Ъи) =/ + б/ (1.3)
исходное уравнение (1.1), получаем А8и = б/, откуда Ьи =
= ^-Ч/, |] Ьи || < II А-* || || б/ ||; кроме того, || А || || и || > || / ||.
Из этих соотношений мы имеем неулучшаемую оценку для
относительной ошибки решения:
^<М«Н-М1^, (1-4)
которая показывает, что погрешность определяется точной
константой (х (А) = || А || || А'1 ||, называемой числом обусловленности
11

системы (матрицы). Системы с относительно большим числом
обусловленности называют плохо обусловленными. Для
нормированных матриц (|| А || =1) это означает наличие в обратной матрице
больших элементов, и, следовательно, малые изменения правой
части могут привести к относительно большим (хотя и конечным)
изменениям в решении. Поэтому системы с плохо обусловленными
матрицами следует считать практически неустойчивыми, хотя
задача корректна и выполнено условие устойчивости || А"1 || <^ оо.
Например, матрица
1 1 а 0 .
01а.
0 0 0.
1 0 0 0 .
. 0 1
• °
. а
. 1 J
при достаточно большом п и | а | ]> 1 плохо обусловлена, так как
обратная матрица содержит элементы вида ап~г.
В случае возмущения матрицы оценка (1.4) принимает вид
[152]
1М<И„1-/(1_И,)1^) (1Л)
(при || А'1 || || 8А || < 1). Для нормы симметричной матрицы,
согласованной с евклидовой, \х(А) = |Ятах| /|Amin|, где Ятах(пШ1)
есть наибольшее (наименьшее) собственное значение матрицы А.
2. Задача Дирихле для волнового уравнения. Пусть D =
= {0^я<;я,0^£^ая} —- замкнутая область плоскости
(#, t), где a — положительная постоянная. Назовем функцию
и (я, t) ЕЕ С2 (D) решением задачи Дирихле волнового
уравнения, если выполнены следующие условия:
4^~ ~~ "Й = ° (в области D)> (16)
и (0, t) = и(я, 0=0 (0 < t < ая), (1.7)
и (х, 0) = ф(х), и(х, an) =г|) (х) (О^х^я), (1.8)
где ф (я), г|) (х) — непрерывные функции на [0, я]. В задаче (1.6) —
(1.8) отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных
данных {ф, г|), а}.
Действительно, для фиксированного иррационального а по-
1
ложим фп = 0, ipn = sinnx. Используя метод разделения пе-
уп.
ременных, имеем
, .ч 1 sin nt sin nx
Un (X, t) = —7= : .
п ч ' ' у^ sm пяа
Так как существует последовательность целых чисел (см.
[155, с. 40]) рп, qn такая, что | a — pjqn | < ilql, то| sing^ | =
= I sin (qna — рп) я | < я/дп, откуда
12

у—
sup | uQn (x, t) | > sup —~-1 sin qnt sin qn x \
x, t&D x, «6D ""
a
1
<Pn = 0, $q =—=smqnxZtO\ n-
Yqn~vrn
oo.
Кроме того, нарушаются и первые два условия корректности:
например, при рациональном а решение неединственно и
существует при выполнении определенных соотношений на функции
Ф (х) и г|) (х) [162].
3. Задача Коши для уравнения Лапласа. Требуется найти
гармоническую функцию и (х, t) в замкнутой области D: 0 <^
<,я<^л;,0<^*<^Г, удовлетворяющую начальным условиям
и(х,0) = <р{х), -^- =/(*).
{=0
Решением уравнения Лапласа Аи = -^-у + -г-%- = 0 при фп (х) = О,
I
fn(x) = —sin nx будет функция
1
ип (х) = — sin ия sh nt.
Имеем max | fn (х) | ={ 0 при и -> оо, в то время как max | un (х, t) | —>
X X,t
—> оо при п —> оо (очевидно, нулевым условиям соответствует
нулевое решение); таким образом, мы находимся в условиях
нарушения устойчивости, т. е. нет непрерывной зависимости
решения от данных Коши.
Рассмотренная задача находит приложение во многих задачах
геофизики [97] и гидромеханики [30, 62].
4. Задача аналитического продолжения. Пусть значения
аналитической фудкции / (z) известны на подмножестве М некоторой
области!). Обозначим сужение / (z) на множестве М через /0 (z).
Если М содержит, по крайней мере, одну предельную точку,
то функция восстанавливается в области единственным образом,
но в этой задаче нет непрерывной зависимости решения / (z) от
/0 (z). Действительно, пусть М = {z: \ z | = &}, 0 < Ъ < 1,
D = {z: | z | < 1}. Последовательность /n (z) == (z/c)n при fe <
<[ с < 1 сходится к нулю в каждой точке множества М и
стремится к оо для 1 ^> | z | ^> с. Добавляя такие функции к /0 (z) как
функции ошибок, видим, что малые ошибки в данных приводят
к произвольно большим ошибкам в решении в некоторых точках
внутри круга [169].
Заметим также, что задача Коши для уравнения Лапласа на
плоскости (см. пример 3) эквивалентна задаче об определении аналити-
;—символ равномерной сходимости последовательности функций.
13

ческой функции по ее значениям на кривой Г, на которой
заданы данные Коши. Итак, пусть на Г известны значения
гармонической функции и (х, у) и ее нормальной производной ди (х, у)/дп,
тогда функция v (х, у), сопряженная с и (я, г/), находится из формулы
v(z) = \-^u(z)ds + C (z = x + iy),
т. е. можно считать, что на Г известны значения аналитической
функции f(z) =и (х, у) + iv (х, у).
К задаче аналитического продолжения приводят
многочисленные задачи физики (см. [97, 169] и библиографию к ним).
5. Прямая и обратная задачи теплопроводности. Задачи
управления. Пусть решается одномерная задача теплопроводности
£ = -0 <<><*<'> (1-9)
с начальным и |f=0 = ф (х) и граничными и | Л=0 =i|>i (0> и \x=i —
= 1^2 (0 условиями. При определенном согласовании единиц
измерения функция и (х, t) обозначает температуру в точке стержня в
момент времени £, когда начальная температура равняется ф (х),
а концы поддерживаются при температуре г^ (х) иг|)2 (#)• Положим
фп (х) = - , гр! = aj;2 = 0. Решение задачи ип (х, t) = — e~ni sin пх,
очевидно, непрерывно зависит от начальных данных (ф (х)) в
равномерной метрике. Это — классическая (прямая) задача
теплопроводности.
В обратной задаче теплопроводности/ < 0, и, следовательно,
устойчивость будет нарушена. Последняя задача описывает
физическую ситуацию, когда по распределению температуры
стержня в некоторый момент времени t* необходимо восстановить
начальное распределение температуры ф (х). В этом случае после
замены т = — £* + t мы приходим к задаче типа (1.9) с
переменной т <^ 0 вместо t ^> 0.
Обратная задача теплопроводности часто рассматривается
в форме задачи об оптимальном управлении. Приведем одну из
постановок. Пусть ф (х) — некоторая функция, характеризующая
распределение температуры стержня при t = t* ^> 0, и (х, £, ф) —
решение задачи теплопроводности (1.9) при начальном условии
и (х, 0) = ф (х) и нулевых граничных условиях. Ставится
задача на экстремум [100]:
71
гшп/[ф] = min\|w(:r, t*, ф) — г|)(х)|2dx (1-9')
<реФ <реФ о
на некотором классе функций Ф. Заметим, что, вообще говоря,
может не существовать такой функции ф (х), для которой и (х,
t, ф) \t=t* = i|> (#)» хотя при некоторых предположениях минимум
функционала / [ф] в (1.9') равен нулю [100]. Поэтому в приближен-
14

ной постановке задача (1.9') формулируется обычно в следующем
виде: для заданного е ^> 0 найти функцию фе (х),
удовлетворяющую условию
/Г<Р.(*)]<в«. (1.9")
Существует другой тип задач оптимального управления, а
именно управления граничными условиями. Рассмотрим
некоторые возможные постановки.
Предположим, что известна температура стержня в начальный
t = 0 и конечный t = Т моменты времени
и (х, 0) = ф (я), и (х, Т) =г|) (х). (1.10)
Требуется найти граничные условия в виде
но, *) =xi(o; и («.о =х.(*) (1.11)
или смешанные граничные условия в виде
их (0, *) = xi W. «4 (*. *) = * lb (0 - и (Z, t)], (1.11')
обеспечивающие переход стержня из начального состояния с
температурой ф (х) в состояние с температурой г|)(я) в момент времени
t =Г.
Если обозначить ы(я, г, %(*)) решение задачи (1.9) — (1.11)
((1.9) — (1.11')), то сформулированная проблема сводится к
отысканию такой функции %(t) = {%i(*)> Хг(0}> Для которой
и (я, Г, х(Л) =г|)(х),
или в приближенной постановке
i
][u(x,T,x(T))-q(z)]2dx^e* (e>0).
о
Эти постановки задач для уравнения типа (1.9) возникают в
разнообразных процессах, связанных с распространением полей
температур и концентрации [12, 100, 106].
Краевые задачи для дифференциальных уравнений в
примерах 2—5, конечно же, можно привести к операторному
уравнению типа (1.1) и исследовать в принятой нами форме, но мы
сознательно сохраняем для них естественную постановку,
принятую в математической -физике и удобную для исследований.
6. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода.
Рассмотрим уравнение вида
ь
[K(x,t)u{t)dt = f(x) (c<s<d), (1.12)
а
где функция К(х, t), называемая ядром этого уравнения,
измерима, замкнута [92, с. 232] и удовлетворяет условию Гильберта —
15

Шмидта
b d
^ \K2(x,t)dxdt<oc, (1.13)
а с
свободный член уравнения f(x) — некоторая заданная функция из
L2 Ic, d], u(t) — искомая функция из L2[a, b]. Поскольку ядро
К(х, t) замкнуто, то соответствующее однородное уравнение
ь
^K{x,t)u(t)dt = 0 (1.14)
a
имеет лишь тривиальное решение; тогда оператор Л, определяе-
ь
мый левой частью уравнения (1.12) А и == ^ К (х, t) и (t) dt, обра-
a
тим, т. е. существует А~г. Так как оператор А вполне непрерывен
[82, с. 450], то А~1 неограничен, поскольку в противном случае
единичный оператор / =А~1А будет вполне непрерывным
оператором, что в бесконечномерном пространстве L2 невозможно, ибо
единичный шар некомпактен [82, с. 236].
При принятых допущениях уравнение (1.12) не может быть
разрешимо для любой функции f(x) ЕЕ L2[c, d], поскольку тогда
R (А) = L2, и по теореме Банаха об обратном операторе || ^4-1 [| <^
<] оо [82, с. 225]. Таким образом, для задачи (1.12) нарушены
первое и третье условия корректности.
К интегральным уравнениям (1.12) сводятся задача
аналитического продолжения, обратная задача теплопроводности, задача
обращения преобразования Лапласа [150], многочисленные
задачи математической физики и геофизики.
Рассмотрим ряд прикладных задач, которые также описываются
интегральными уравнениями Фредгольма первого рода с
конечными или бесконечными пределами интегрирования.
К уравнению типа (1.12) приводит задача определения фонон-
ных спектров по термодинамическим функциям кристалла [105].
Здесь f(x) — известная функция, описывающая теплоемкость
кристалла, а и(х) — искомая функция распределения фононов
бозе-системы (кристалла) по энергиям. Ядро К(х, t) имеет вид
А Р> 1) " [exp (qx/t) - I]2 ' ? - COnSt'
Одна из основных задач скважинной геофизики — задача
у-каротажа скважин [153] — формулируется в форме
уравнения^.^). Здесь правая часть f(x) — интенсивность 7-излучения
на глубине х, ядро
-1П Го
16

искомая функция и(х) обозначает -содержание радиоактивного
элемента в пласте на глубине х, \i — линейный коэффициент
поглощения Y"KBaHT0IJ в веществе, I —- длина детектора, г0 —
радиус скважины, к — пересчетный коэффициент, а = — оо,
Ъ = + оо.
Многие постановки практически важных задач гравиметрии,
спектроскопии и радиоастрономии также описываются линейными
и нелинейными интегральными уравнениями первого рода [142,150].
Приведем примеры некорректных задач во второй постановке
(см. (1.2)).
7. Рассмотрим оператор Т = dmldxm(m ]> 0), действующий из
F в U, где D(T) — множество m раз непрерывно
дифференцируемых функций, F = С[а, Ь] с нормой || / || = max |/(#)|,
U — линейное нормированное пространство, норма которого не
слабее, чем || -||с[а,ь] (например, С[а, Ь], W^ [а, Ь]). Предположим»
что функция / (х), лг-ю производную которой следует определить,
задана с погрешностью б и вместо f(x) известна функция U(x)
такая, что || f(x) — fe(x) ||f <; б. Экспериментальная функция/$ (х)
есть элемент пространства С [а, Ы, и она вообще может быть не
дифференцируемой, но даже если U(x) дифференцируема, раз-
—mf(x) rnh(x)l может быть сколь угодно велика,
| dx dx. \\f
в то время как || f(x) — Д(х) ||с сколь угодно мала. Достаточно
рассмотреть' (при m ^> 0) последовательность fn(x) = sintt#^»0,
уп
но
* /»<*>! >k\\dfn(*)
1 "* II "^ II 7 m
dx \\u || dx
sin nx
\q И COS ПХ \c
Таким образом, оператор Т = dmldxm не ограничен (разрывен)
на выбранной паре пространств. Очевидно, неустойчивость
устраняется, если положить U = С [а, Ь], а в пространстве исходных
данных F ввести более сильную норму || / |L(W) = max \ —-
а<зс^Ь f—' I di
(x)
.= , dx1
Тогда || Г ||< 1.
Случай m = 0 можно интерпретировать как задачу
восстановления функции в пространстве с более сильной нормой. Здесь
Т — оператор, обратный к оператору вложения В из U в F. Если
норма || -1|иг сильнее, чем норма \\-\\F , то || Т || = оо.
Важность исследования задачи численного
дифференцирования определяется ее многочисленными приложениями в
вычислительной математике.
8. К некорректным задачам типа (1.2) относится численное
суммирование рядов, возникающее, например, при использовании
классического проекционного метода в математической физике,
17

когда приближенное решение ищется в виде отрезка ряда ип (х) =
п
= Sa7A(:r) по некоторой системе базисных функций ек (х), где
коэффициенты {ак} известны с погрешностью (подробности см. [И,
150]).
§ 3. Корректность по Тихонову.
Множества корректности
Первой работой, в которой отмечена важность проблемы
решения неустойчивых задач и указан подход к устранению этой
неустойчивости, была работа А. Н. Тихонова 1943 г. [149]. Им
сформулировано новое определение корректности, которое
известно теперь как корректность по Тихонову.
Задача (1.1) называется корректно поставленной по Тихонову,
если выполнены следующие условия:
1") априори известно, что решение задачи (1.1) существует и
принадлежит некоторому заданному множеству М С U, т. е.
f(=N = AM;
2") решение единственно на множестве М, т. е. оператор
обратим на множестве М\
3") существует непрерывная зависимость решения и от правой
части /, когда вариации / не выводят решение за пределы
множества М, т. е. оператор А'1 непрерывен в относительной топологии
множества N.
Соответствующее множество М, на образе N = AM которого
оператор А'1 существует и непрерывен, называется множеством
корректности. Проанализируем сформулированные требования
1") — 3"). В отличие от корректных по Адамару постановок
задач, где первое условие устанавливается теоремой существования,
в рассматриваемой ситуации обычно трудно указать в замкнутом
виде условия [97] того, чтобы множество М было множеством
существования. Вопрос о разрешимости на заданном множестве Л/
конкретных прикладных задач обычно решается на основе
физических соображений [97—99, 149]. Это обстоятельство и
объясняет разумность условия 1"). Что касается условия 2"), то его
отличие от соответствующего условия Адамара в том, что
обратимость оператора требуется лишь на множестве М. Для
нелинейных отображений это свойство может быть существенно более
слабым требованием.
В условии 3") непрерывная зависимость обратного оператора
предполагается только на множестве N = AM, т. е. устойчивость
задачи (1.1) восстанавливается сужением класса возможных
решений до множества М (или, что то же, сужением возможных
правых частей / до множества N). Поэтому задачу (1.1), корректную
по Тихонову, называют также условно-корректной задачей [99],
а устойчивость по Тихонову (т. е. условие 3")) — условной
устойчивостью.
18

Для некоторых задач множество корректности естественным
образом строится, исходя из физического смысла задачи. В
следующем параграфе будет исследован наиболее важный с точки
зрения приложений случай компактного и ограниченно
компактного множества М (см. далее § 4 и 6 наст, главы и § 2 гл. 2).
§ 4. Теоремы устойчивости и их приложения
1. Теорема 1. Пусть U и F — топологические
пространства, причем F — хаусдорфово, М — компактное множество
из U*. Если оператор А отображает множество М на
множество N czF непрерывно и взаимно-однозначно, то обратный
оператор А'1 непрерывен на N в относительной топологии [41, с. 23].
Доказательство. Исходя из хорошо известного
критерия непрерывности, достаточно показать, что образ любого
замкнутого множества Р cz M при отображении А (т. е. прообраз
при отображении ^4-1) относительно замкнут в N. Итак, пусть Р
замкнуто в относительной топологии М и Q = АР — его образ
при отображении А. Замкнутое подмножество компактного
пространства компактно [82, с. 96—98], как и его непрерывный
образ; тогда Q компактно в N и поэтому замкнуто в N. Таким
образом, прообраз при отображении А'1 любого замкнутого
множества Р cz M замкнут в N, что и доказывает непрерывность.
Следствие. Пусть в уравнении (1.1) операторе
взаимнооднозначен, непрерывен и класс возможных решений принадлежит
компактному множеству М, тогда М— множество корректности.
Следующая теорема [66] является обобщением теоремы 1
в смысле ослабления условий на оператор А, а именно вместо
непрерывности предполагается лишь замкнутость [41, с. 70].
Определение 1. Оператор А называется замкнутым,
если его график G (А) = {w: w = {и, Аи}, uzeD {А)} замкнут
в топологическом произведении пространств U X F.
Определение 2. Оператор называется секвенциально
замкнутым, если из условий ип-+и**, unEED (A), Aun^yf
следует и ей (^4), Аи = /.
Замечание 1. Для нормированных пространств U и F
эти свойства эквивалентны. В общем же случае верно лишь, что
. 1 =ф2. ■ ■ ■
Теорема 2. Пусть U, F — топологические хаусдорфовы
пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, А —
замкнутый, взаимно-однозначный* оператор, действующий из V
в F с областью определения D (А), М = D (A) f] К —
пересечение компактного множества К с D (А), N = AM — его образ в F.
* В терминологии относительно понятия компактности мы следуем книге
[82, с. 95-108].
** Здесь и в дальнейшем знак —* обозначает сходимость в исходной
топологии пространства, обычно это будет нормированная топология, так что
ип -* и в этом случае эквивалентно || ип — и || —> 0.
19

Тогда множество N замкнуто в F и оператор А'1 непрерывен на N
в относительной топологии.
Доказательство. Пусть М0 cz M — произвольное
подмножество множества М, замкнутое в относительной
топологии, и N0 = АМ0. Достаточно доказать, что N0 замкнуто в F,
так как из этого будет следовать:
1) замкнутость N при М0 = М;
2) замкнутость прообраза N0 для всякого относительно
замкнутого подмножества М0 cz M при отображении А'1, что
означает непрерывность А~г на N.
Пусть /0 — предельная точка множества N0. Тогда
существует последовательность точек fndN0 такая, что fn->-f [82,
с. 89]. Так как ип = А'1} ЕЕ К — компактному множеству,_то
существует сходящаяся последовательность иПк -у и0 ее К f] M0.
В силу сходимости АиПк -у /0 получаем из замкнутости оператора
А, что u0Efl {А) и Аи0 = /0. Итак, и0 е jjf0 П D (A) П К>
т. е. щ е М0 и /0 е #0.
Замечание 2. Теорема верна без требования первой
аксиомы счетности для U (см. теоремы 2 и 3 в [58]).
Таким образом, компактные множества могут служить
примерами множеств корректности в задаче (1.1) для непрерывных
(замкнутых) операторов.
Для линейных непрерывных операторов множество
корректности можно расширить до алгебраической суммы
М = К + L, (1.15)
где К — компактное подмножество, а I — конечномерное
подпространство 5-пространства * U. Сначала установим
вспомогательное утверждение, на котором будет основано
доказательство основной теоремы [65].
Лемма 1. Пусть L — конечномерное подпространство
банахова пространства U. Тогда существует такое
подпространство Z cz С/, что каждый элемент и ЕЕ U единственным образом
разлагается на сумму двух элементов
и = Ь + z, (1.16)
где b ЕЕ L, z ЕЕ Z, т. е. U разлагается в прямую сумму U = L 0
0Z.
Доказательство. Предположим, что L — и-мерное
подпространство и {ег, е2,. . ., еп} —- его базис. Тогда
сопряженное пространство L* также конечномерно (и-мерно) и в нем
существует базис {/х, /2,. . ., /п}, взаимный с {ег, е2,. . ., еп}9 т. е.
такая система линейно независимых функционалов /х, /2,. . ., /п,
что
h(ej) = sfi»
* Т. е. полное нормированное пространство.
20

где 8tj - символ Кронекера. Пользуясь теоремой Хана —
Банаха [82, с. 133], эти функционалы можно продолжить на все
пространство f/, не увеличивая нормы. Определим
Z = {z: ft (z) = 0, (i = i,2,...,n)}.
Легко видеть, что Z — подпространство, имеющее с L лишь
один общий элемент 6*.
Если и — произвольный элемент из С/, то полагаем
п п
Ь = S U (и) еи z = u— 2 U (и) еи
где, очевидно, b Ez L, a z Ez Z п справедливо (1.16). Такое
представление единственно, так как если и = Ъ' \ z\ то Ъ — Ъ' =
= z — г' и каждая часть этого равенства может быть только
нулем.
Теорема 3. Пусть А — линейный непрерывный
взаимнооднозначный оператор, действующий из U в F, где U и F —
банаховы пространства. Если множество М cz U имеет вид (1.15),
где К — компакт, a L — конечномерное подпространство и N =
= AM cz F, то оператор А'1 непрерывен на N.
Доказательство. Согласно лемме 1 U'= L ф Z. Тогда
образ A (U) С F разложится в прямую сумму A (U) = V 0 W,
где V = AL, W = AZ. Оператор А индуцирует на L и Z
операторы Аг и А2 соответственно, так что для и = b + z, f = Аи =
= V + W.
Axb = Ab = v, A2z = Az = w.
Если / из области значений оператора А и / = и + м>, где
v е= F, и; е W, то
Л"1/ = A?v + Alhv.
В частности, если / е= М, то уё^ (L), w E А2 {К). Оператор
Л^1 конечномерен и поэтому непрерывен. Оператор А2г
непрерывен на А2 (/£) по теореме 1. Поскольку сходимость /п ->- /
влечет сходимость гп -►■ v, wn ->■ w, то из непрерывности А^1 и А2г
следует непрерывность оператора А'1 на множестве TV.
Замечание 3. Утверждение теоремы 3 сохраняет силу
и для линейного замкнутого оператора А с областью определения
D (4) с {/, если представление для множества М в (1.15)
заменить на
M = K[)D(A) + LnD (A).
2. Обозначим М семейство функций, удовлетворяющее
следующим условиям:
* 0 — нулевой элемент соответствующего линейного пространства.
21

а) функции непрерывно дифференцируемы;
i
б) для любой ф (х) е М § [q'(x))*dx^i.
о
Из этих условий и неравенства Гельдера получаем
X 1
|ф(*)-ф(0)| = |$ф('Н<$[ф'(0]2^<1>
О О
xt 1
1фм-фМ=\\ ф,(«)|<(5гф'(«)],а)",к;-*«гл,.
Х\* О
откуда по теореме Арцела — Асколи [82, с. 106] следует
относительная компактность семейства К = {о|) (х): ty (x) = ф (х) —
— Ф (0),фЕМ}. Так как ф (ж) ={ф (ж)_ + ф (0)} — ф (0), то М =
= К + L или М = К -f L, где if — замыкание
множества К по норме С [0, 1] (компакт), a L — одномерное
подпространство.
Укажем один общий способ задания компакта [97].
Пусть V — рефлексивное пространство, В — линейный
вполне непрерывный оператор, действующий из V_b U [82, с. 235],
S (9; г) = {и: и е V, \\и\\ < г}, тогда М = BS — компакт в С/.
Для этого достаточно проверить замкнутость М. Если ип ->■ й
при ип ЕЕ Tkf, то последовательность vn = В~гип слабо
компактна, т. е. vnk -^ v * к v Ez S (9; г), откуда и = Bv = lim un]s ее Л/
П-*оо
[82, с. 244].
3. В качестве приложения доказанных теорем рассмотрим
задачу аналитического продолжения в следующей постановке:
Восстановить аналитическую в D и непрерывную вплоть до
границы функцию ф (z) в некоторой подобласти D' CZD, если
известны ее значения на бесконечном компактном подмножестве Е
подобласти D' при условии, что | ф (z) | ^ К для z ЕЕ D'.
Существование и единственность решения следуют из условия
задачи. Доказательство условной устойчивости можно получить
ссылкой на теорему 1, заметив, что множество М — {ф (z):
sup j ф (z) | ^ К) компактно в чебышевской метрике, а оператор
А: М —г F, ставящий в соответствие любой аналитической
функции на D' ее сужение на Е, является сжимающим и,
следовательно, непрерывным.
4. Установим для задачи аналитического продолжения
обратной задачи теплопроводности и задачи дифференцирования не
только корректность по Тихонову, но и дадим непосредственно
оценку устойчивости [93, 97, 99, 159].
* Всюду знак -* соответствует слабой сходимости элементов [82, с. 192],
в отличие от сильной сходимости, определяемой исходной топологией (см.
сноску на с. 19).
22

Исследуем задачу аналитического продолжения в несколько
иной постановке, чем в п. 3: восстановить аналитическую в D и
непрерывную вплоть до границы функцию ф (z) в некоторой
подобласти D' a D, если известны ее значения на части Г'
границы Г области D.
Предполагается, что D — односвязная область, ограниченная
кусочно гладкой кривой Г, а Г' — конечное множество дуг этой
кривой.
Задача аналитического продолжения в такой форме
корректна по Тихонову, если в пространстве аналитических функций
определить множество корректности
M = {cp(z): supjq>(z)|<*, *>[0}f (1.17)
считая, что U = С (D') и F = С (Г).
Теорема 4. Пусть ф (z) CZ М и на кривой Г"
удовлетворяет неравенству | ф (z) | ^ e (z ЕЕ Г'). Тогда для точек z ЕЕ D
справедливо неравенство
М^К^-^е^), (1.18)
где co(z) — гармоническая мера кривой Г" относительно области
D в точке z [50, с. 292].
Доказательство. Рассмотрим функцию ф (z) = In | <p(z) |,
которая будет гармонической, за исключением нулей функции ф (z).
Из условия теоремы имеем
ф (z) ^ In e для zgT',
i|)(z)<ln& для z E Г - Г,
отсюда следует [50, с. 296], что
о|) (z) <^ со (z) In е + (1 — со (z)) In k
и оценка (1.18) получается потенцированием.
Из оценки (1.18) следует непрерывная зависимость решения
задачи (аналитическая функция в D') от исходных данных
(значения ф (z) на Г'). Единственность решения очевидна.
Исследуем теперь с точки зрения устойчивости обратную
задачу теплопроводности:
*—■£• <"9>
и (х, 0) = / (я), и (0, t) = и (я, t) = 0 (0 < t < Т). (1.20)
Выберем множество
п
М = [и[(х, t): (J и2 (х, Т) dxf2 < с] . (1.21)
о
23

Теорема 5. Если || / (х) ||Ll < е, и (х, t) - решение задачи
(1.19), (1.20), \\и(х, t) \\Lt<cy то {[\и(х, t^dx^^^cY^s^^.
о
Доказательство. Определим функцию
п
ср(t) =\u2(x, t)dx,
о
для которой
ф' (t) = 2 ^ гш* d.z,
о
ф* (£) = 2 j w* d;r + 2 ^ uuu dx.
о о
Преобразуем второе слагаемое в последнем выражении, используя
условия (1.19), (1.20):
^ ииц dx = ^ ш4^ da; = ^ ихх dx = ^ ^* d#.
о о о о
Имеем окончательно
те
ф" (t) = 4 5 wi* Лг.
о
Введем функцию г|) (£) = 1пф(£), тогда, используя предыдущие
соотношения и неравенство Буняковского, получаем
*'(')=7р^[ф'(0ф(0-ф'"(*)] =
п п п
= "^jTfTI 4 \ и2 (*» 0 dx \ и) d:r — 4 (\ и (ж, t) щ (х, t) dxY\ >0,
о о о
и, следовательно, ф (х) —- выпуклая функция, т. е.
*(*)<-^Ф(0) + ^-*(Г).
Потенцируя неравенство и используя условия теоремы,
получаем искомую оценку
II w (а:, 0 ||ь, < с«/ге(Г-о/гв (1.22)
Рассмотрим, наконец, оценку устойчивости в задаче
дифференцирования, относящейся к типу задач (1.2), хотя она может
быть сведена к уравнению (1.1) (интегральному уравнению Фред-
го л ьма).
24

Пусть по функции / (х) (х Ez la, b]) требуется определить
производную /' (х) = и (х) при условии, что U = F = С [а, Ь] и / (х)
принадлежит множеству корректности
М = {/ (ж): Г (ж) ЕЕ С [а, Ь], || /" (х) || < т}. (1.23)
Теорема 6. Если || /х (х) — /2 (д?) || < е и ft(x) £l
(* = 1, 2), mo || /i (ж) - /i (ж) || < 2 ^2/тге.
Доказательство. Предположим, что
max | q/ (х) | = ф' (х0), ф' (х0) > О, х0 < (а + Ь)/2,
осе[а, Ь]
где ф (я) = /х (х) — /2 (я). Имеем
X 'Х
<р (*) = <р (*о) + S ф' (6) ^' Ф' № = Ф' Ы + S Ф* (£) *•
асе x<i
откуда
ф' (ж) > <р' (х0) — 2т(х — х0),
Ф (*) > Ф (*о) + (* ~ *о) ф' («о) -~гп(х — х0)2,
что дает
ф,Ы<<р(11^о) +^(^-^,)<7^ + т(х-Жо).
Проминимизировав правую часть, получаем связь х — х0 = j/^e/m,
и окончательную оценку
| ф' (х) || = | Ф' (*0) | < 2 УШ, (1.24)
из которой следует непрерывность оператора Т = d/dx на
множестве М (условная устойчивость).
Обратим внимание на то, что множества (1.17), (1.21) —
относительно компактные множества и множество (1.23) представимо
в виде (1.15), поэтому устойчивость в этих задачах может быть
доказана на основе общих теорем п. 1 наст, параграфа.
§ 5. Нормальная разрешимость операторных уравнений
Установим теперь связь между замкнутостью области значений
R (А) и устойчивостью задачи (1.1). В случае обратимого
оператора А докажем, что существование ограниченного обратного
оператора А~г (устойчивость) эквивалентно замкнутости R (А).
Если же оператор А необратим (т. е. решение задачи (1.1) не
единственно), то при условии замкнутости R (А) можно обобщить
понятие решения так, что «обобщенное решение» определяется
однозначно, устойчиво по возмущениям правой части / и совпадает
с обычным решением в случае обратимого оператора. Таким обра*
зом, для оператора А с замкнутой областью значений, обобщая
понятие решения, удается восстановить все условия корректности
Адамара.
25

1. Сначала докажем две простые леммы для оператора А,
действующего в Б-пространствах U и F.
Лемма 1. Если линейный оператор А непрерывен и
множество D (А) замкнуто, то А замкнут.
Доказательство. Пусть цпЕЙ (А), ип -> и, Аип ->
-»■/. Из замкнутостиD (А) имеем u e= D (А), а из непрерывности
оператора Аи = /, что означает замкнутость А.
Л е м м а 2. Если линейный оператор А непрерывен и замкнут,
то область определения D (А) — замкнутое множество.
Доказательство. Пусть и — предельная точка
D (А) и ип->- и, где и.п е= D (А); тогда последовательность Аип
фундаментальна, ибо || Аир — Auq Ц <^ || А \\ \\ ир — uq \\. Из
полноты пространства F Аип ->/, а из замкнутости AueeD (A),
Аи =/.
Теорема 1. Пусть А — линейный непрерывный
взаимнооднозначный оператор с D (А) = U и R (A) cz F, где U, F —
банаховы пространства. Для того чтобы \\ А'1 \\ < оо, необходимо
и достаточно, чтобы R (А) = R (А).
Доказательство. Необходимость. Учитывая, что
оператор А непрерывен, а область определения D (А) = U замкнута,
из леммы 1 получаем замкнутость оператора А. Тогда, как
известно, обратный оператор Л-1 также замкнут; кроме того, по условию
теоремы А~г непрерывен. Применяя теперь лемму 2, находим, что
Щ1)=Д(А).
Достаточность. Если R (А) = R (А), то линейный оператор
А отображает непрерывно и взаимно-однозначно банахово
пространство U на банахово пространство R (А). Тогда по теореме
Банаха [82, с. 225] А'1 непрерывен и, следовательно, ограничен
||Л;1||<0°-
Следствие. Если линейный оператор А'1 не ограничен
(разрывен), то R (А) Ф R (А).
Таким образом, для линейного непрерывного
взаимно-однозначного оператора А устойчивость и неустойчивость задачи (1.1)
связана с замкнутостью и незамкнутостью области значений R (А).
Выясним и в общем случае (без предположения обратимости
оператора А) некоторые условия замкнутости области значений в
терминах нуль-множеств (ядер) оператора А и ему сопряженного
Л*. Обозначим
N (А) = {и: Аи = 6}, N (А*) = {g: Ag = 0}.
В этом параграфе оператор А всюду предполагается линейным и
непрерывным. Наряду с основным уравнением
Au = f (1.25)
рассмотрим сопряжеклое ему уравнение
A*g=h, (1.26)
2б

где Л* : F* -> С/*, А* — сопряженный к А оператор, а
пространства F* и U* — сопряженные к F й U [82, с. 181].
Определение 1. Если для некоторых ^f.6 -F* и f Ei F
(g, f) = О, то их называют ортогональными и обозначают g _[_ /.
Здесь (g, /) — значение функционала g на элементе /.
Определение! Говорят, что g ЕЕ F* ортогонален
множествуМ с: F, если V/ 6= Af (g, /) = 0.
Определение 3. Пусть М — множество из F. Аннуля-
тором М1- cz F* называется множество всех функционалов,
ортогональных М.
Лемма 3. Аннулятор — линейное подпространство
(замкнутое линейное многообразие).
Доказательство. (gx + g2l f) '= (&, /) + (g2, /) = 0,
(«ft» /) = « (ft» /) = 0» если glf £2 e Af-Ц f <=M. Замкнутость
М-1 следует из непрерывности функционалов. Действительно,
если g — предельная точка TkfJ-, то существует
последовательность gn е М± такая, что gn -*■ £. Имеем (#, /) = lim (gn, /) = 0,
П-*оо
т. е. g e M-L.
Теперь можно говорить об аннуляторе аннулятора. Если М CZ
d F, тоМ-1 cz F*, а М-1-1- с F** или в случае рефлексивного
пространства Mi-1- cz F (изоморфные и изометричные множества здесь
отождествляются [107, с. 199]). Имеет место включение М с: Л/"-1--1-.
В самом деле, если / G М, то для любого g 6= ЛГ-1- (g, /) = 0, но
/ (ЕЕ ^ ^ F**, поэтому последнее равенство означает, что / ее
£= AfJ-L. Итак, справедлива
Лемма k. Для любого множества М С." F М cz М-1-)-.
Теорема 2. Справедливо равенство R (А)1- = TV (Л*).
Доказательство. Сначала установим, что R (A)1- CZ
С ЛГ (Л*). Пусть ?ей (Л)-Ц что означает V/ е Д <Л) (ft /) = 0;
каждое такое / имеет прообраз и в пространстве U, Ли = /. Если и
пробегает U, то Аи = /исчерпывают все R (А). Имеем 0 = (g, /) =
=■ (g, Аи) = (A*g, и) = (й, и) для любого и ^ U; .
следовательно, h = Л*# = 8, т. е. g ЕЕ iV (Л*).
Убедимся в справедливости обратного включения N (A*) d
С R (Л)-к Если £<=# (Л*), то Л*# =9. Пусть /е Я (А), тогда
(ft /) = (ft Ли)- = (Л*?, и) = 0, т. е. g е Д (Л)-Ч
■Следствие 1. Л (Л) с N (Л*)-к
С учетом теоремы 2 и леммы 4 доказательство следует из
следующих очевидных соотношений:
R (Л) ей11 (4) = ЛГ (Л*)^.
Следствие 2. Для разрешимости уравнения (1.25)
необходимо, чтобь! / EzN (Л*)-1-, что означает ортогональность / всем
решениям однородного сопряженного уравнения Л*£=0, т. е.
уравнения (1.26) при h == 0.
Выясним, в каких случаях включение / ^^(Л*)-1- будет и
достаточным условием разрешимости уравнения (1.25). - -
27

Теорема 3. Справедливо соотношение R (А) = N (Л*)1-.
Доказательство. По следствию 1 Jf? (A) cz N (А*)-*-.
Тогда в силу замкнутости N (Л*)-1- (лемма 1) R (А) с jV (A*)-1.
Предположим, что R (А) Ф N (А*)1-; тогда существует /0 €Е
е ЛГ (il*)-L такой, что р (/0, ЩТ)) = infj /0 - / || > 0. По
теореме об отделимости [107, с. 177] существует линейный
функционал g, для которого (g, /) = 0 для любого / е= Л (А) и (g, /0) =
= 1. Однако у еЛ (А)± = N (Л*), a f0^N (Л*)-Ц т. е. (g, /0) =
= 0, в то время как по построению (g, /0) = 1. Полученное
противоречие показывает, что R (А) = N (А*)1-.
Следствие. R (A) =N (А*)1- тогда и только тогда, когда
R (А) — замкнутое множество (подпространство). В этом случае
необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения
(1.25) будет
f±N(A*). (1.27)
Определение 4. Оператор А, для которого (1.27)
является необходимым и достаточным условием разрешимости
уравнения (1.25), называется нормально разрешимым.
С учетом следствия из теоремы 3 можно дать эквивалентное
определение.
Определение5. Оператор А называется нормально
разрешимым , если R (А) = R (А).
Из теоремы 1 и определения 5 для обратимого оператора
непосредственно следует
Теорема 4. Если А~г существует, то для того, чтобы
оператор А~х был ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы А
был нормально разрешим.
2. Утверждение теоремы 4 означает, что для обратимого
нормально разрешимого оператора А задача (1.25) поставлена
корректно при F = R (А) = R (А).
Пусть теперь оператор А необратим и, вообще говоря,
уравнение (1.25) не разрешимо для любого fEiF. Естественно
поставить вопрос: нельзя ли обобщить понятие решения таким образом,
чтобы для нормально разрешимого оператора А новый объект
(«обобщенное решение») удовлетворял всем условиям
корректности в общем случае.
Решением этого вопроса для гильбертовых пространств U, F
мы и займемся.
Учитывая, что для линейного непрерывного оператора А
нульмножества N (А) и N (А*) — подпространства, имеем следующие
ортогональные разложения:
U =N(A)®N(A)\ (1.28)
F = N(A*)®N(A*)±. (1.29)
28

В предыдущем пункте доказано
ТГ{А) = N (A*), R {А*) = N (Л)-к (1.30)
Обозначим через Р оператор ортогонального проектирования
пространства U на N (А)1- и Q — оператор ортогонального
проектирования Fr&N (A*)-!-. Тогда, очевидно,
Аи = АРи, Yu е #, Л*/ = A*Qf, V/ e F. (1.31)
Поставим в соответствие операторному уравнению (1.25)
проекционное уравнение
Аи= Qf. (1.32)
Из определения Q и равенств (1.30) вытекает разрешимость
уравнения (1.32) для любого /EEi? (A) © R (А)1-. Множество решений
S этого уравнения есть выпуклое замкнутое множество, поэтому
оно содержит единственный элемент с минимальной нормой (см.
теорему 1 и лемму 3 § 6 наст, главы). Получили отображение,
которое ставит в соответствие каждому / ЕЕ R (А) 0 R (А)1-
единственное решение, уравнения (1.32) с минимальной нормой. Мы
формализуем этот факт в следующем определении [110, 165].
Определение 6. Пусть A: U ->- F — линейный
ограниченный оператор. Псевдообратным оператором для А назовем
оператор А+ с областью определения D (А+) = R (А) 0 R (А)1-
и A+f =vEzU,edevEzS={u: и ее U, Аи = Qf} такой, что
|| v || < || и || для Vu e S, и Ф v.
Заметим, что N (А+) = N (Q) = R (Л)-1-. Так как замкнутость
R (А) не предполагается, то А+ может быть неограничен.
Теорема 5. Если для фиксированного f ЕЕ F определить
множества S = {и: и е U, Аи = Qf} uG = {и : и е U, А*Аи =
= Л*/}, то S =G.
Доказательство. Пусть «eS, тогда согласно (1.31)
А*Аи = A*Qf = Л*/. Обратно, если уеб, то A*Av = A*f =
= A*Qf. Это означает, что Av — Qf ЕЕ N (А*). Но, с другой
стороны, Av — Qf<= 1ГЩ, поэтому Av — Qf e N (Л*) П ЩА) =
= {В} по соотношению (1.30).
Л е м м а 5. Нуль-множества операторов А и А*А совпадают.
Доказательство. Пусть и ЕЕ N (А), тогда Аи = 0
и А*Аи =6, т. е. и ЕЕ N (А*А). Обратно, если и ЕЕ N (А*А),
то 0 = (А*Аи, и) = || Аи ||2, откуда Аи = 0.
Определение 7. Элемент и называется решением в
смысле наименьших квадратов уравнения (1.25), если
|| Ай - f f = inf {|| Аи - / ||2 : и ЕЕ С/}.1 (1.33)
Обозначим/) множество решений экстремальной задачи (1.33),
а / (и) * | Ли - / ||2.
Лемма 6. Если Вфф, tno D — G.
29

Доказательство. Пусть й ЕЕ D, т. е. и реализует
минимум функционала / (и); тогда выполнено необходимое условие
экстремума — вариация функционала 8J (й) = 6. Но для любого
h«= U
j (a + h) - J (и) =2(Ай- /, Ah) + || Ah || 2 = 2 (А*Ай -
'-A*f, h) + o(h),
т. е. б У (и) == А*Аи — A*f = 6 и D сб. Обратно,
допустим, что й удовлетворяет уравнению Л*Лй = A*f. Так как Ь
непусто, то найдется v ЕЕ D cz G. Вследствие леммы 5 имеем
G =v@N(A*A) =v@N(A),
из которого непосредственно следует включение G cz D.
По лемме 6 для данного f Ez F множество решений в смысле
наименьших квадратов уравнения (1.25) совпадает с множеством G
всех решений уравнения Эйлера А*Аи — A*f. Тогда, имея в виду
утверждение теоремы 5 и введенное понятие псевдообратного
оператора, дадим следующее определение [110, 165].
Определение 8. Элемент и+, обладающий наименьшей
нормой среди всех решений экстремальной задачи (1.33), называется
псевдорешением уравнения (1.25).
Из теоремы 5, леммы 6 и определения 6 непосредственно
следует
Теорема 6. Пусть А — линейный ограниченный оператор,
действующий из U в F., область значений R (А) которого не
обязательно замкнута. Тогда псевдорешение и+ операторного уравнения
Аи =/, f£ED(A+)
вычисляется по формуле и* = A+f, а множество всех решений в
смысле наименьших квадратов — по формуле A+f © N (А).
Из определения операторов P,Q и А+ находим, что Р = А+А,
А+ [R (А)1-] = {9} и Q есть непрерывное продолжение оператора
ЛЛ + -на F.
Если область значений R (А) оператора А замкнута, то по
теореме о замкнутой области значений [76, с. 284] R (А+) также
замкнута. Тогда соотношения (1.29) и (1.30) принимают вид
F = R (А) 0 R (A)\ R (А) = N (Л*)\
R (А*) =±-ЛГ(Д)-к
В этом случае псевдообратный оператор А+ определен на всем
пространстве F и ограничен, поскольку представим в виде А + = А _1(?,
где А — сужение оператора A hslN (А)^ и, кроме того, Q = АА+.
В итоге получаем утверждение (см., например, [110, 165]):
Теорема 7. Для линейного ограниченного оператора А :
: U ->- F следующие утверждения эквивалентны:
а) А имеет ограниченный псевдообратный оператор А+\
б) область значений R (А) замкнута;
в) оператор А нормально разрешим.
30

В работе [176] приведены 11 эквивалентных условий
нормальной разрешимости линейного ограниченного оператора А.
Псевдорешение совпадает с обычным решением уравнения
(1.25), если / ее R {А) и оператор А обратим; кроме того, из
теоремы 7 вытекает, что псевдорешение существует для любого
/ £Е R (А), единственно и непрерывно зависит от/. Иначе говоря,
задача нахождения псевдорешения для нормально разрешимого
оператора корректна по Адамару и, таким образом, получено
положительное решение вопроса, поставленного в начале п. 2.
3. Существование решения уравнения (1.25) при заданном /
для нормально разрешимого оператора А эквивалентно условию
/J_7V(-4*), тем самым определяется пространство F = R(A) =
= R (А). Требование единственности, фигурирующее в условиях
корректности Адамара, с учетом полученных результатов
представляется неестественным. Фикера [161] пересмотрел эти условия
и дал новое определение корректности.
Определение 9. Задача Аи = / корректна по Фикера,
если оператор А нормально разрешим.
4. Охарактеризуем наиболее важные в приложениях классы
нормально разрешимых операторов, т. е. операторов с замкнутой
областью значений. Сформулируем это в виде следующего
предложения [165]:
Т е о р е м а 8. Множество всех ограниченных линейных
операторов с замкнутой областью значений включпет следующие классы
операторов:
а) операторы, ограниченные снизу, т. е. || Аи || > т || и ||, тт^>0
для любого и ЕЕ U (ср. [41, лемма 1 § 6 гл. 6])\
б) операторы, представимые в форме А = Аг+А2, где область
значений R (Ах) замкнута и R (А2) конечномерна;
в) операторы, представимые в форме А = В — XL, X Ф О,
где В вполне непрерывен, a L имеет ограниченный обратный
оператор;
г) нормальные операторы (т. е. А*А =АА*), удовлетворяю-
щие условию N (Аг) = N (Ar+k) (к = 1, 2, . . .)для некоторого
неотрицательного целого г (здесь А : £/-»■ U).
Доказательство.
а) Пусть /n e R (А) и /п ->■ /, тогда по условию
а) Для прообразов ип = А~^п имеем || ир — uq || <;
< 4~ И Aup ~" Аи* II = '1ZII /р — /«II -* ° ПРИ Р4~* °°- Из полноты
пространства U ип->~ и е U, следовательно, Аи = / е R (А)
и а) доказано.
б) следует из известного факта, что алгебраическая сумма
замкнутого и конечномерного подпространства замкнута [82,
с 141].
Чтобы доказать в), отметим, что для любого е ^> 0 вполне
непрерывный оператор В представим в виде В =Аг + А2, где || -4Х ||<С
< е, a R (А2) конечномерна [107, с. 267]. Полагая г = X/ \\ L~l ||,
имеем А = (Аг — XL) + А2 и ||L-MA|| < 1. Это влечет обра-
31

тимость оператора (Аг —Я£)на всем пространстве F, т. е. его
область значений R (Аг — XL) замкнута. Применение свойства б)
завершает доказательство.
г) Так как А — нормальный оператор, тогда наименьшее г,
для которого N(Ar) = N (Аг+к), будет либо 0, либо 1 [174]. Пусть
г = О, тогда R (А) = U. Предположим, что г = 1, тогда U =
= R (А) 0 N (А) [174], а из (1.28) U = N (А) 0 N (А)±
(поскольку А ограничен). Достаточно убедиться теперь,что R (^4) =
= N (А)1-. Если х е N (Л)-1-, то х = А и + z, где и е #, z e #(А)
и (#, у) = 0 для Bcex^e^V (Л). Но (Аи, и) = (и, A*v) = 0,
поскольку N (А) = iV (Л*) для нормальных операторов. Тогда
(z, у) = 0 для любого v EzN (А), что при z = у влечет z = 8.
Итак, х = Ли, т, елей (A)nN(A)-Ld R (А). Обратное
включение доказано в следствии 1 теоремы 2.
5. Рассмотрим некоторые примеры. Сначала исследуем
подробнее условия разрешимости (см. соотношение (1.27))
уравнения (1.25) для случая конечномерных пространств U = С/п,
F = Fm, когда оператор А — матрица {а^} размерности п х т.
Если тг — ранг матрицы i, то г^ min (тга, тг), размерность
N (А) есть п — г, а размерность iV (Л*) будет /га — г (Л* —
транспонированная к А матрица). Тогда размерность R (А) равна
г. Действительно, элементы базиса ег = (1, 0, . . ., 0), . . ., еп =
= (0, 0, . . ., 1) при отображении А перейдут в столбцы матрицы,
среди которых только г линейно независимых. Ясно, что R (А*)
также имеет размерность г.
Согласно теореме 8 (часть б) ) оператор А нормально разрешим
и необходимое и достаточное условие разрешимости матричного
уравнения может быть записано в форме
(ft, Л =0, ..., (gw_r, /) =0, (1.34)
где Ш?~г - базис N (А*).
Важно подчеркнуть, что даже в рассматриваемой нами
простейшей ситуации условие ортогональности (1.34) практически трудно
проверяется. Поясним это следующим рассуждением. Пусть мы
проводим вычисления с фиксированной точностью е. Тогда если
в результате вычислений мы получим | (gfc, /) | ^> е, то естественно
считать, что элементы неортогональны. Если же | (g^ /) | = у ^
^ е, то вопрос остается открытым, так как, с одной стороны, можно
полагать, что в пределах точности (gk, f) » 0, с другой —
соотношение | (gk, /) j = у ]> 0 может отражать фактическую
неортогональность элементов. Это обстоятельство является следствием
того, что численно доказать равенство нулю невозможно. Ясно,
что для бесконечномерного N (А*) вопрос существенно
усложняется.
6. Рассмотрим теперь интегральные уравнения Фредгольма
первого рода
ь
Аи = J К (х, t) и (t) dt = f (х) (1.35)
а
32

и второго рода
b
Аи = и(х) — 'к^ К {х, t) и (t) dt = f (x). (1.36)
а
Интегральный оператор А, определяемый левой частью
уравнения (1.35), при естественных предположениях на ядро (напри-
b b
мер, ^ К2(х, t)dxdt<^ оо ) вполне непрерывен из L2 [a, b] в L2
а а
[а, Ь] и поэтому может не иметь замкнутой области значений, что
вытекает из следующего утверждения [165]:
Теорема 9. Вполне непрерывный оператор А : U —►- F
имеет замкнутую область значений тогда и только тогда, когда
R (А) конечномерно.
Доказательство. Предположим, что А — вполне
непрерывный оператор, R (А) замкнута и бесконечномерна. Тогда
в силу теоремы 7 А имеет ограниченный псевдообратный оператор
А+, определенный на всем F, и поэтому произведение АА+ будет
также вполне непрерывным оператором. С другой стороны, из
определения операторов следует равенство АА+ = Q. Так как
сужение Q на R (А) есть единичный оператор, то это противоречит
теореме Рисса о некомпактности единичного шара в
бесконечномерном пространстве [82, с. 235].
Обратное утверждение очевидно.
Оператор А, определяемый левой частью уравнения (1.36),
нормально разрешим, что следует нз известных теорем Фредголь-
ма [82, с 457], а также из теоремы 8 (часть в) ).
Замечание 1. Эффективным методам приближенного
нахождения псевдорешений посвящена многочисленная литература
(см., например, [НО, 165]).
§ 6. Квазирешения на компактных
и ограниченно компактных множествах
Результаты § 5 показывают, что для линейного оператора при
нарушении устойчивости (А~г не ограничен) область значений
R (А) оператора А не замкнута и может иметь сложную структуру,
поэтому установление принадлежности правой части / уравнения
(1.1) множеству R [А), что эквивалентно существованию решения,
является весьма трудной задачей. Даже в случае R (А) = F и
/ ЕЕ R (А) в сколь угодно малой окрестности точки / могут
существовать такие элементы/х, для которых уравнение (1.1) не
разрешимо.
Естественно попытаться расширить понятие решения таким
образом, чтобы в общем случае R (А) Ф R (А) были выполнены все
требования корректности. При определенных условиях этого
можно добиться, если перейти от обычного решения к наилучшему при-
2 Заказ № 2865
33

блпжению на некотором множестве. Исследованию этого вопроса
и посвящен данный параграф.
1. В. К. Иванов [61] обобщил понятие решения следующим
образом:
Пусть в уравнении (1.1) А — непрерывный оператор,
действующий из нормированного пространства U в нормированное F, К —
заданный компакт в U.
Определение 1. Квазирешением [61] уравнения (1.1)
называется элемент й ЕЕ К, минимизирующий невязку
|| Ай - / || = inf {|| Аи - / || : и е К) (1.37)
на множестве К.
Ввиду непрерывности А функционал / (и) = \\ Аи — / ||
непрерывен и, следовательно, достигает нижней грани на компакте
К, т. е. квазирешение существует для любого / Е= F. При / Ez AM
квазирешение совпадает с обычным решением, так как / (й) = О,
что эквивалентно Ай = /. Ниже будет показано, что при
дополнительных предположениях квазирешение единственно и
непрерывно зависит от правой части /, т. е. выполняются все условия
корректности по Тихонову; или, иначе говоря, задача определения
квазирешения является условно-корректной. При этом нам
потребуются некоторые свойства нормированных пространств.
2. Рассмотрим свойства строго выпуклых пространств и
метрических проекций.
Определение 2. Множество М линейного пространства
U называется выпуклым, если Vut, и2 ЕЕ М, отрезок [иг, и2] =
— {иЛ : Ux= aux + (1— ос)и2,0 ^а<^ 1} принадлежит множеству
М.
Определение 3. Точка и0 ЕЕМ называется С-внутрен-
ней точкой, если Vu E= U существует б ^> 0 такое, что Yt : | t \ <^
< б следует и0 -\- tu £Е М.
Определение 4. Множество всех С-внутренних точек
называется ядром множества М (ker M).
Определение 5. Множество М называется строго
выпуклым, если Уиг, и2 : игф и2 внутренность отрезка
int [их, и2] == {иа : ил =аих + (1 — а)и2, 0<а < 1} cz Ker M.
Определение 6. Линейное нормированное пространство
называется строго выпуклым, если его замкнутый единичный шар
есть строго выпуклое множество.
Определение?. Пусть дано некоторое множество М ее
ЕЕ U линейного нормированного пространства и элемент и Е= U.
Элемент q eM, удовлетворяющий условию || и — q \\ = inf {\\и. —
— q' || : q' ЕЕ М}, называется (метрической) проекцией элемента
и на множество М, а отображение q = Ри — оператором
метрического проектирования.
Теорема 1. В банаховом пространстве U следующие
условия эквивалентны:
34

(а) пространство U строго выпукло;
(б) из условия \\u + v\\ = || и|| + || v|| следует и = Xv для
некоторого действительного скаляра X;
(в) из условия || и || = || v || = || (u-\-v)l2 || следует и = v;
(г) оператор метрического проектирования Р на любое выпуклое
подмножество М cz U однозначен.
Доказательство. (а) =Ф (б). Пусть || и + и || ■ = || и || +
+ || v\\, иф&, v Ф 9. Рассмотрим ux = ul\ w||, гх = у/|| у|| и
допустим, что wx =^ V\- Из определения 6 и (а) следует, что
w = "1 n-^xni + ^гЩЦс: Кег 5 (9; 1)
II " + w II II и + -о II v '
и || w || = 1, а это противоречит тому, что
Кег 5(9; 1) = {и : ||и||<1}.
(б) =Ф (в). Пусть || и || = || v || = || (и + и)/2 || Ф О, тогда || и +
+ у || = || м || + || у||. Так как (б) выполнено, то и =Хи и || и \\ =
= |Я| || г||, т. е. X =±1, но % =—1 невозможно, поскольку тогда
|| и + v || = 0.
(в) => (г). Допустим, что для некоторого элемента и и
выпуклого множества М существуют две проекции qx Ф q2 такие, что
II » - ?i II =||й ~ д2 II = inf {||й - q || : q ЕЕ М) = d.
Отсюда имеем
d<Ii7— ^ + ^||<- 1
и —?i| + -o-|tt —92 =d,
что, конечно же, противоречит (в).
(г) =ф (а). Предположим, что f/не строго выпукло, т. е.
существует элемент ма* =а*и + (1 --_а*) v с единичной нормой || иа* || =
= 1 для некоторых и Ф и из S (9; 1) и а* ^> 0. Необходимо тогда
|| и || = || у || =1 (в противном случае || иа* || < 1). В силу тех же
соображений при любом 0 <^ а <^ 1 || иа || = 1, т. е. проекция нуля
на отрезок [и, v] неединственна (каждая точка отрезка является
проекцией).
Следствие. Гильбертово пространство строго выпукло.
Доказательство. Пусть условиям (в) выполнены, т. е.
|| и || = || v || = || (и + v)/2\\. Тогда из равенства
параллелограмма [82, с. 160] находим
\\(u-v)/2\\* =2(||u/2||2 + || v/2 || 2) - || (и + v)/2 || 2 =0,
что влечет и = v.
Замечание!. Пространства lp, Lp [а, Ъ] при р > 1
строго выпуклы, в то время как 1г, Lx [а, Ь], С [а, Ъ] не являются
таковыми. В этих пространствах проекция обладает свойством
единственности лишь для некоторых (не всех!) выпуклых множеств.
Например, в С [а, Ъ] проекция единственна на подмножестве
полиномов степени не выше п.
2* 35

Л е м м а 1. Расстояние d (f;N) =inf{p (f,g) : g Ez N)
элемента f до произвольного множества N метрического
пространства F есть равномерно непрерывная функция по переменной /.
Доказательство. Для любого элемента g ЕЕ N
d (/i5 N) < р (Л, g) < р (Л, /2) + р (/2, g), откуда следует
оценка d (/x; N) — d (/2; iV) ^ р (/х, /2). Меняя местами /х и /2,
имеем d (/2; N) — d (/x; 7V) <; р (/х, /2), т. е. окончательно
| d (U; N)-d (/2; N) | < р (/lf /2).
Лемма 2. Оператор метрического проектирования Р на
выпуклое компактное множество N строго выпуклого банахова
пространства F непрерывен.
Доказательство. Пусть || /п — / || -+ О, в то время
как для их проекций на компакте N \\ qn — q || -/> О, п -+ оо, т. е.
существует подпоследовательность qn, и положительное 8 такие,
что
\\qnk-q\\>B. (1.38)
Из компактности N следует существование сходящейся
подпоследовательности, которую можно полагать, не теряя
общности, совпадающей с qn . Итак, для некоторого q0 ЕЕ N q„ -+ q0,
что вместе с (1.38) дает || q — qQ || ]> 8. Очевидно,
|| / - q | = inf {| / - q' ||: q' e N) < || / - q0 ||. (1.39)
С другой стороны,
II / - ?0 || < || / - /п» II + || /п* - <7nfe II + II ?nk " ^0 ||, (1.40)
где || Uk — qnk || = d (/nft; N)-+d (f; N) = || / — g ||, поскольку no
лемме 1 функционал расстояния непрерывен по /.
Из соотношений (1.39), (1.40) следует равенство || / — q0 || =
= II / — Я II Для ^о Ф Qi что невозможно из-за единственности
проекции (теорема 1).
Теорема 2. Если А — линейный непрерывный и
взаимнооднозначный оператор, множество М cz U выпукло и компактно,
a F строго выпукло, то для любого f ЕЕ F квазирешение и уравнения
(1.1) существует, единственно и непрерывно зависит от /.
Доказательство следует из представления
квазирешения
и =A-xPf, (1.41)
леммы 2 и теорем 1 наст, параграфа и § 4; здесь Р — оператор
метрического проектирования на множество N = AM.
3. Для определения квазирещения достаточно считать F лишь
метрическим пространством (с некоторой метрикой р (•) ), а
оператор А непрерывным, не обязательно линейным. Квазирешение
й как решение задачи на экстремум inf {р (Аи, /) : и ЕЕ М} для
непрерывного функционала / (и) = р (Аи, /) на компактном
множестве М существует. Но в случае нелинейных операторов А
36

квазирешения не обладают свойством единственности и,
следовательно, непрерывности в обычном смысле. В этой ситуации
корректность задачи может быть охарактеризована в терминах
многозначных отображений [62, 103]. Именно для квазирешений
имеет место |3-устойчивость, или, иначе говоря, многозначное
отображение В = А~1Р — р-непрерывно, т. е. из условия /Л-*/
следует р (Bfn, Bf) -> 0*.
Учитывая, что квазирешение представимо в форме (1.41),
сформулируем общие достаточные условия корректности задачи
нахождения квазирешений:
а) существование, единственность и устойчивость проекции
на множество N = AM для любого элемента / Ez F, т. е. D (P) =F
и оператор Р непрерывен;
б) непрерывность оператора А'1 на N.
Исходя из этих требований мы обобщим результаты п. 1 и
установим существование, единственность и устойчивость
квазирешений для линейных операторов А в более общей ситуации.
4. Определим пространства, в которых проекция на любое
замкнутое выпуклое множество К удовлетворяет условию а).
Определение 8. Следуя [173], будем говорить, что В-
пространство U обладает свойством Ефимова — Стечкина, если
каждое секвенциально слабо замкнутое множество М cz U
аппроксимативно компактно, т. е. для любого и ЕЕ U любая
минимизирующая последовательность {vn} cz M : || и — ип \\ -у inf {|| и—
— у ||: у ЕЕ М} является относительно компактной.
Можно дать несколько эквивалентных определений пространств
со свойством Ефимова — Стечкина, из них предпочтем следующее.
Определение 9. U есть пространство Ефимова —
Стечкина, если оно рефлексивно и из условий ип -^ и, \\ ип \\ -у || и ||
вытекает сильная сходимость ип^и при я —>- оо.
Определим теперь пространства [188], которые назовем Е~
пространствами [70].
Определение 10. Банахово пространство U называется
Е-пространством, если для каждого выпуклого множества К cz U
последовательность точек {vn} cz К, удовлетворяющая условию
lim || vn || = inf {|| у || : у ЕЕ К}, сходится.
п-*оо
Связь .Е-пространств с пространствами Ефимова — Стечкина
устанавливает (см., например, [70, 167, 173]) следующая теорема.
Теорема 3. U есть Е - пространство тогда и только
тогда, когда оно строго выпукло и обладает свойством Ефимова —
Стечкина.
Замечание 2. Из теоремы 3 и определения 9 следует, что
S-пространства рефлексивны, строго выпуклы и наделены тем
свойством, что условия ип -*■ и, || ип || -> || и || влекут сходимость по
* Полуотклонением ((^-расстоянием) множества М от множества N
называется Р (М, N) = sup inf p (и, v) [10].
87

норме ип -> и. Огметдм также, что ^-пространства включают в
себя классы гильбертовых (L2) и равномерно выпуклых [41] (Ьрт
р > 1) пространств.
Лемма 3. Если М — выпуклое замкнутое множество
рефлексивного пространства U, то для любого элемента и ЕЕ U
существует его проекция на М.
Доказательство. Пусть vn — минимизирующая
последовательность в экстремальной задаче
inf {\\u — v\\:v^M}=d, (1.42)
т. е. || vn — и || —►- d. Пользуясь слабой компактностью
ограниченного множества рефлексивного пространства (теорема Эбер-
лейна — Шмульяна [41, с. 466]), для некоторой
последовательности ип. имеем ип. -^ г;* ЕЕ М', что влечет неравенства d <; II и —
к к
•— у* || < lim || ип — и || = d, т. е. у* — решение задачи
/Г->00
(1.42).
Теорема 4. Пусть К — непустое замкнутое выпуклое
множество Е-пространствa U. Тогда оператор метрического
проектирования Р(и) на множество К определен на U,
однозначен и непрерывен.
Доказательство. Поскольку U строго выпукло и
рефлексивно, то проекция существует (лемма 3) и единственна
(теорема 1) для любого и ЕЕ U. Убедимся в непрерывности Р (и).
Обозначим d(u0,K) = inf {|| и0 — и || : veeK} и, кроме того,
пусть lim || ип — и || =0. Тогда справедлива цепочка неравенств
п-*оо
d (и0, К) — || ип — щ || < d (ип, К) < || ип—и01| + d (и0, К),
отсюда имеем
|| и0 - Р (щ) || - 2 || ип - и0 || ||< ип - Р (ип) || - || ип - и ||<
< || щ - Р (ип) || < || и0 - ип\\ + \\ип-Р (ип) ||< 2 И ип -
-и0\\ + \\щ + Р(и0)1
а следовательно, Ищ \\ и0 — Р (ип) \\ = \\ и0 — Р (и0) ||.
п-*оо
Так как элемент и0 — Р (и0) ЕЕ и0 — К (выпуклое замкнутое
множество) и имеет минимальную норму, то согласно определению
7 последовательность и0 — Р (ип) — сходящаяся, Р (un)^~v0EEK
и II ио ~ *>о II = lim \\ио — Р К) II = \\Щ — Р (и0) ||. Ввиду того,
71->оо
что Р (и0) — единственный элемент из К, ближайший к и0, и0=
= Р (щ) и lim || Р (ип) - Р (»0) || = 0.
п->оо
Для гильбертова пространства последняя теорема может быть
усилена следующим образом [70, 192]:
Т е о р е м а 4/ Если U — гильбертово пространство, то для
всякого непустого выпуклого замкнутого множества К оператор
метрического проектирования Р удовлетворяет условию Липшица
3»,

с константой 1, т. е. для л1 бых и0, и ее U
|| q{) - q || ^ || Р К) - Р (и) || < || н0 - и ||.
Доказательство. Через точки g0, q, u0, и проведем
трехмерную плоскость Е3 и вместо К рассмотрим пересечение К0=
^ К П ^з- Тогда все сводится к случаю, когда точки и множество
лежат в трехмерном евклидовом пространстве Es. Введем в этом
пространстве систему прямоугольных декартовых координат (£,
r|, Q так, чтобы точки q0, и0, q, и имели соответственно координаты
(О, 0, 0), (0, 0, ft), (а, 0, — с), (£0, щ, £0), где ft, а, с
—неотрицательные параметры, и плоскость £ = 0 была бы опорной к # 0. Тогда
множество К0 лежит в полупространстве £ <; 0.
Если положить £0 — а = Л, т]0 = 5, £0 + с = С, то
плоскость L (I, т), £) == Л (£ — а) + Вч\ + С (£ + с) = 0 будет
опорной к #0 и L (£0, т]0, £0) > 0, L (0, 0, 0) ^ 0. Отсюда имеем
- Аа + Сс < 0. Кроме того, \\ и — и0 ||2 = (Л + а)2 + В2 +
+ (с -с - ft)2 > а2 + 2аЛ + с2 - 2с (С - ft) = а2 + с2 +
+ 2 (Ла — Сс) + 2cft.
Из последнего соотношения с учетом того, что А а — С с ;> 0,
с > 0, ft > 0 и || q0 — q \\2 = a2 + с2, получаем нужное неравенство
II "о - и II2 > II ?о - Я II*.
Теорема доказана.
Определение 11. Множество М ЕЕ U называется
ограниченно компактным, если каждое его ограниченное подмножество
относительно компактно.
Определение 12. Множество, выпуклое и симметричное
относительно элемента 9, т. е. содержащее наряду сии —и,
называется абсолютно выпуклым.
3 а м е ч а н и е 3. В главе 2 будет доказано, что множество М,
представимое в виде алгебраической суммы
М =К + L (1.43)
выпуклого компакта К и некоторого конечномерного
подпространства L, является ограниченно компактным (см. далее теорему
4 § 2 гл. 2), и все абсолютно выпуклые замкнутые ограниченно
компактные множества М имеют представление (1.43) (см. далее
теорему 3 § 2 гл. 2).
5. Теорема 5. Если множество М представимо в форме
(1.43), F является Е-пространством, А : U —> F — линейный
взаимно-однозначный непрерывный оператор, то задача
определения квазирешения уравнения Аи = f корректна (по Тихонову).
Доказательство. Имеем N = AM = АК + AL.
Здесь множество АК, как образ выпуклого компакта при
непрерывном отображении, выпукло и компактно, a AL — замкнутое
конечномерное подпространство. Тогда N, очевидно, выпукло и
замкнуто. По теореме 4 оператор метрического проектирования
39

определен на всем пространстве F и непрерывен. Поскольку
оператор А'1 также непрерывен (теорема 3 § 4 наст, главы), то
существование, единственность и устойчивость квазирешений следует
из представления (1.41).
Замечание 4. Если для линейного замкнутого оператора
А образ N = AM множества М, имеющего вид (1.34), замкнут,
то утверждение теоремы 5 сохраняет силу и в этом случае (см.
замечание 3 § 4 наст, главы).
Из теоремы 5 (и замечаний 3 и 4) следует, что ограниченная
компактность множества М есть достаточное условие для
корректности квазирешений в случае непрерывного (замкнутого) оператора
А. Требования к множеству М нельзя, вообще говоря, ослабить,
именно для линейных вполне непрерывных операторов
ограниченная компактность множества М является необходимым условием
устойчивости квазирешений.
Теорема 6. Пусть М — выпуклое замкнутое
подмножество рефлексивного пространства U, А — линейный
взаимно-однозначный вполне непрерывный оператор, действующий из U в F.
Для того чтобы имела место устойчивость квазирешений на
множестве М, необходимо, чтобы М было ограниченно компактно.
Доказательство. Предположим противное, т. е.
существует ограниченная последовательность {ип} cz M, которая
некомпактна. Ввиду рефлексивности пространства U
последовательность {ип} слабо компактна. Тогда найдется такая
подпоследовательность {ипк}, что
ипк —*• и при к ->■ оо. (1.44)
Так как множество М выпукло и замкнуто, то оно слабо
замкнуто [41, с. 457], т. е. й ЕЕ М. Из некомпактности
последовательности следует существование такого d ^> 0, что
К-и || >d>0. (1.45)
Ввиду полной непрерывности оператора А имеем из (1.44)
АиПк = Ък-*и = Ай.
Построим по последовательности fn соответствующие им
квазирешения йп (см. (1.41)), йп = А'1 Р/п, где Р — оператор
метрического проектирования на АМ. Поскольку /п ЕЕ AM, то Pfn = fn и,
следовательно, йп = ип.
По предположению теоремы квазирешения устойчивы на М,
т. е. ип-*й, что противоречит (1.45).

Глава 2
РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ
И МНОЖЕСТВА РАВНОМЕРНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
§ 1. Точечная и равномерная регуляризация
операторных уравнений
Трудности, возникающие при приближенном решении
некорректных задач, описываемых операторным уравнением
Аи =/ (2.1)
в условиях нарушения третьего требования Адамара (А'1
существует, но не является непрерывным), были отмечены в § 1 гл. 1.
Именно за приближенное решение нельзя принимать решение
и/1,s уравнения
А]хи =U
с приближенными исходными данными {Ah; /5}, поскольку оно
может быть не разрешимо, а в случае существования решения
и!иь нельзя гарантировать его близости к решению и уравнения
(2.1), когда пара {Ah; /5} близка к {А; /}. Таким образом,
традиционный способ понимания «приближенного решения» не
применим при исследовании неустойчивых (некорректно
поставленных) задач.
В начале шестидесятых годов А. Н. Тихоновым было дано
принципиально новое определение приближенного решения задачи
(2.1) с помощью параметрического семейства операторов, так
называемого регуляризующрго семейства операторов.
Подробному изложению круга вопросов, связанного с этим
основополагающим понятием, и посвящен* настоящий параграф.
Соответствующие определения формулируются в несколько более
общей форме [16], чем это принято в известных работах [112, 145,
147, 150]. Это позволяет рассмотреть также случай неоднозначной
разрешимости уравнения (2.1).
1. Определение 1. Семейство операторов S = {Ah: 0<^
<С^<^о} точечно аппроксимирует оператор А на множестве М,
если:
а) D (A) =D (Ah) =D при 0 < h < h0;
б) для любого и е= М cz D || АьЦ — Аи || -> 0 при h -> 0.
Определение 2. Семейство операторов S = {Ah: 0<[
<Ch^h0} равномерно аппроксимирует оператор А на множестве
М, если выполнены условия а) и б) в определении 1 и сходимость в
б) равномерная относительно и ЕЕ М.
41

Для линейных операторов А, Ли в случае, когда множество М
совпадает с областью определения оператора А и D (А) ■— U,
равномерную аппроксимацию операторов определим иначе:
Определение 3. Семейство линейных операторов S —
— {Ah : 0 <^ h <. h0} равномерно аппроксимирует оператор А,
если
а) D (A) =D (Ah) = D при 0 < h <. h{);
б) || Ah — А || = v (h) —>■ 0 при h —>- О, что эквивалентно
равномерной сходимости \\ Ahu — Аи- || ->■ 0 относительно и на
каждом ограниченном подмножестве из D.
В дальнейшем при исследовании основных способов
построения приближенных решений будут использоваться условия
аппроксимации операторов главным образом в смысле определения 3.
Для простоты будем считать также v (h) «^ h.
Определение 4. Всякую пару {/5; A h), где || / — /8 || < б
(0<6<60), 4ES (m. е. ||Л/-Л||< /г, 0</г</г0),
назовем приближенными данными задачи (2.1) в отличие от пары
{/; Л}, называемой точными данными этой задачи.
Введем следующие обозначения: [U ->■ Л — множество всех
линейных замкнутых операторов, отображающих U в F, Д =
= (б, А).
3
Напомним, что |3-сходимость (см. сноску на с. 37) Мп —> М
(п -> оо) в нормированном пространстве С/ означает, что
Р (Мп, Л/) = sup inf || un — и || -> 0, п -» оо.
Определение 5. Оператор Я (не обязательно линейный и
однозначный), заданный на прямом произведении F x [U-+F]
с областью значений в U, называется регуляризующим алгоритмом
для задачи (2.1) в точке {/0; А} или, что то же, в точке и0 (Ащ =
--= /0), если выполнены следующие условия:
1) оператор R определен для любых /5 ЕЕ F; || /0 — Д || < 8,
Л ЕЕ S;
2) р (R [/5; ЛЛ], и0) -*0 при A-+Q (т. е. б ->■ 0, h -> 0), где
гг0 решение (или множество решений) уравнения (2.1) с правой
частью f = /0.
Поэтому, если уравнение (2.1) имеет единственное решение
(т. е. ^4 обратим) и R — однозначный оператор, то условие 2) в
проеделении 5 сведется к обычной сходимости по норме
lim || Я [/5; Ah] -щ || =0.
А-Ю
Определеннее. Если для каждой пары {/0; ^4} из
некоторого подмножества Ж cz F x [£/->/П выполнены условия
1), 2) в определении 5, то говорят о регуляризующем алгоритме
на множестве 3R, шш, что то же, на множестве
М = {и0: А'и0 = /0, {/0; 4'} Q Ж}.
42

Определение 7. Пусть а — числовой или векторный
параметр, пробегающий некоторое множество а.
Параметрическое семейство операторов {Ra} называется регуляризующим для
задачи (2.1) в точке {/0; А}, если:
1) для любого а ЕЕ а оператор Ra : F x [U ->- F] -+- U
определен для любых fb ЕЕ F и || /0 — /5 || ^ 8, Ah ЕЕ S и образ
R* [/в; Ah] с f/;
2) существует зависимость а == а (Д) е я такая, что
#а(Д) [/о; -4 J -> ^о яри Д->0.
Ясно, что если {/?а} — регуляризующее семейство, то
оператор R, определенный по формуле
R [/s; Ah] = Ra(A) t/s; ^4 J,
будет регуляризующим алгоритмом в задаче (2.1).
Параметр а (обычно числовой и положительный) носит
название параметра регуляризации, а оператор 7?а (Va ЕЕ а) — регу-
ляризатора задачи (2.1).
Определение 8. Если R - регуляризующий алгоритм в
задаче (2.1), то совокупность {и&: и& = R [/s; Ah], 0 <^ б ^ б0,
0<^h^h^} называется регуляризованным семейством
приближенных решений.
Такой способ построения приближенных решений называется
методом регуляризации [147]. На этом пути решается основная
задача, поставленная в § 1 гл. 1, если в качестве приближенных
решений брать элементы из регуляризованного семейства. Очевидно,
что такой способ приближенного решения устойчив к
возмущениям правой части / и оператора А и приближенные решения
сходятся к точному при Д ->■ 0.
Вопрос о построении конкретных регуляризующих алгоритмов
будет рассмотрен в гл. 3, а в данной главе мы займемся
исследованием их общих свойств, вытекающих из определений 1—10.
Укажем одно достаточное условие для того, чтобы семейство
операторов было регуляризующим в случае их однозначности.
Теорема 1. Если каждый оператор Ra семейства {Ra :
: 0 < а < а0}
1) определен для всякого fEEFuAhEESu непрерывен по
каждой из своих переменных f и А в соответствующих нормированных
топологиях',
2) Ra[Au; А] ->- и при а ->- 0 при заданном и (для каждого
и ЕЕ М), то {Ra} будет регуляризующим семейством для задачи
(2.1) в точке и (на множестве М).
Доказательство. На основании очевидного
неравенства || и - ДЛ/в; Ah] ||< || и - Ла [/ ; А) || + || Ra [/; А] -
— Ra [/5; А] |1 + || Ra [/б; А] - Ra [/5; A J ||, где / = А и, для
заданного е > 0 достаточно по условию 2) теоремы выбрать сначала
такое а*, чтобы при каждом а : а < а* первое слагаемое правой
части неравенства было меньше е/3, затем при фиксированном а,
43

используя непрерывность Ra по каждой переменной, можно
добиться, чтобы каждое из оставшихся двух слагаемых было меньше
е/3 при б <^б* и h <[ h*. Это означает, что найдется зависимость
а (Д), для которой || и -R0.{A)lfb', Ah] || ->- О при Д ->■ 0.
Доказанная теорема позволяет определить регуляризующее
семейство операторов в иной форме, более удобной при
исследовании некоторых вопросов, в частности при описании множеств
равномерной регуляризации. Приведем соответствующие
определения для частного случая, когда не учитывается ошибка в
операторе, т. е. Ah = А [65]. Тогда можно считать, что операторы 7?а
определены на пространстве F.
Определение 9. Семейство линейных операторов
{Ra : 0 <^ а <^ а0}, действующих из F в U, называется
регуляризующим уравнением (2.1) на множестве М, если выполняются
следующие условия:
1) для каждого а)-0 йа определен на всем F;
2) 7?а непрерывен на F;
3) для любого и ЕЕ М RaAu -> и при а ->■ 0.
В более общем случае необратимого оператора А условие
3) в определении 9 следует заменить на
3') для любого ueeM RaAu -»- щ при а ->■ 0, где А (и — иг) =
= е [5].
Множество М тогда будем называть множеством или классом
регуляризации уравнения (2.1) для семейства {Яа}.
Определение 10. Если в определении 9 сходимость в
условии 3) равномерная относительно и на множестве М, то
семейство {Rol} называется равномерно регуляризующим уравнение (2.1)
на множестве М.
Соответствующее множество М называется множеством или
классом равномерной регуляризации уравнения (2.1) для
семейства {Да}.
Замечание 1. Чтобы определить множество равномерной
регуляризации в общем виде с учетом ошибки в операторе,
достаточно потребовать выполнения свойств 1), 2) в формулировке
теоремы 1 и считать непрерывность в свойстве 1) равномерной на
соответствующих множествах.
2. Допустим, что А — линейный обратимый оператор. Пусть
в пространстве U задано некоторое множество М и некоторый
фиксированный элемент/0, принадлежащий образу N = AM
множества М, так что при / = /о уравнение (2.1) имеет единственное
решение и0, принадлежащее М. Элемент /0 нам неизвестен, а вместо
него для каждого значения б (0 < б <; б0) известен элемент /§
(приближенные данные задачи), уклоняющийся от /0 не более чем на
&: || /о — /б || <^ б. Элемент /§ может не принадлежать
множеству N = AM или даже множеству значений R (А) оператора А.
Задача I. Найти способ, позволяющий для каждого Д
(0 <" б ^ б0) строить такой элемент щ EL U, чтобы щ —►- и0
при б ->- 0.
44

Задача П. Получить равномерную относительно щ ЕЕ М
оценку уклонения || щ - и0 ||, т. е. оценку вида Д (б; М) =
= sup {|| иъ -и0\\: и0 е М, \\Ащ- /5 || < б, /5 е ^} < у (б; М),
где у (б; М) -> 0 при б -> 0.
Ясно, что величина Д (б; Л/), а следовательно, и ее оценка
у (б; М), зависит как от способа построения приближенных
решений щ, так и от множества М, на котором погрешность
оценивается.
Пусть семейство операторов {Rex.} регуляризует уравнение (2.1)
на множестве М в смысле определения 9. Тогда приближенное
(регуляризованное) решение уравнения можно взять щ = Raf§
(0<а<а0, 0<б<б0).
Оценивая уклонение щ от точного решения по схеме М. М.
Лаврентьева [97], приходим к соотношению
II ^о - Яа/5 || < \\Щ - RaAu0 || + (2.2)
+ || Raf0 - RM || = Ai (а) + Д2 (а, б).
Покажем, что виды регуляризации, соответствующие
определениям 9 и 10, связаны с решением задач I и П. Из теоремы 1
вытекает, что регуляризация в смысле определения 9 (назовем ее
регуляризацией в каждой точке множества М или просто
поточечной регуляризацией) дает возможность решать задачу I.
Сформулируем этот результат в виде следующего утверждения.
Теорема! Для разрешимости задачи I достаточно
существование семейства {#<*}, регуляризующего уравнение (2.1) на
множестве М.
Доказательство вытекает из того, что lim Ai(oc) = 0,
сс-Ю
а погрешность Д2 (а, б) может быть оценена через норму
операторов Ла:
А2 (а, б) = || Да (/0 - /8) || < || Да || ||/0 - h || < || Да || б. (2.3)
Вследствие неустойчивости задачи lim || Ra || = оо, но всегда
можно а и б связать такой зависимостью а = а (б), что будет
|| Ra(b) || б ->- 0 при 6-^0. Тогда, как это видно из (2.3),
lim Да (а (6), 6) = 0.
Теорема 3. Если семейство операторов {R<x} регуляризует
уравнение (2.1), то для решения задачи II необходимо, чтобы
регуляризация была равномерной (определение 10). Для разрешимости
задачи II # этом случае достаточно знать количественные оценки
для || и — Rv.Au || при всех и ЕЕ М одновременно и оценку для
II яа ц.
Доказательство. Если регуляризация неравномерна,
то существует такое е ^> 0, что для любого а ^> 0 найдется такой
и0 ЕЕ М, что || и0 — Ra AuQ \\^> е. Если положить теперь /5 =
= /о, то согласно (2.2) || и0 — i?a/51| ^>е, т.е. ни для какого а>0
45

нельзя гарантировать, что уклонение /?а/5 от и0 будет не больше
е для всех и0 ЕЕ М.
Если регуляризация равномерна и нужно найти такие а и б,
чтобы || и0 — 7?а/§ || < е, достаточно выбрать сначала а так,
чтобы для всех и ЕЕ М было || и — Ra.Au || <^ е/2, а потом б так, чтобы
|| R* || б < е/2.
3. Введем в рассмотрение операторы
£а = R*A. (2.4)
Если семейство {Ra.} регуляризует задачу на множестве М
(равномерно на М), то последовательность операторов Е^ сходится к
единичному оператору на множестве М поточечно
(соответственно равномерно): для каждого uEzM
Ели^и. (2.5)
Обратное не всегда верно, поскольку оператор, определенный
равенством
Ra = EA~\ (2.6)
может быть неограниченным вследствие неограниченности А~х.
Однако если определенные на всем пространстве U линейные
ограниченные операторы £а сходятся к единичному оператору на
множестве М поточечно (равномерно) и операторы ЕаА'1 при а ^> О
ограничены, то семейство операторов 7?а, определяемое (2.6),
регуляризует уравнение (2.1) на множестве М поточечно
(равномерно). При этом рассмотрение операторов Еа без учета
ограниченности операторов (2.6) может дать необходимые условия для
построения регуляризующих операторов Ra. Учитывая это, мы
будем заниматься следующей задачей.
Задача о приближении. В банаховом
пространстве U дано множество М. Последовательность операторов Еа при
а ->■ 0 равномерно сходится на этом множестве к единичному
оператору, т. е. равномерно на всем множестве М имеет место
предельное соотношение (2.5). Выясним, какими свойствами обладает
такое множество М.
Если Еа сходится к единичному оператору в каждой точке
множества М, то сходимость будет иметь место и на линейной
оболочке L (М) множества М. Однако замыкать линейную оболочку
здесь нельзя, как показывает следующий
Пример. Пусть U = С2- — пространство непрерывных
периодических функций периода 2л, Ел (а = 1/гс, п = 1,2, ...) —
оператор, ставящий в соответствие каждой функции и (t) ее С2-
ее п-ю частную с^мму ряда Фурье. Тогда за М можно взять
множество всех функций из С2-» разлагающихся в равномерно
сходящиеся ряды Фурье. М плотно в С2Гк, так как оно содержит
множество всех тригонометрических многочленов, но на замыкание М
распространить Еа нельзя. Несколько иначе обстоит дело в
случае равномерной сходимости Еа на М.
46

Напомним (определение 12 § 6 гл. 1), что множество, выпуклое
и симметричное относительно элемента G, т. е. содержащее наряду
с и и — и, называется абсолютно выпуклым.
Определение 11. Пересечение всех абсолютно выпуклых
множеств, содержащих множество М, будем называть абсолютно
выпуклой оболочкой множества М.
Возможность расширения множества М при сохранении
свойства равномерной сходимости Еа к единичному оператору
определяется следующей теоремой:
Теорема 4. Если Еа равномерно сходится к единичному
оператору на множестве М, то такая же сходимость с теми же
оценками имеет место на замкнутой абсолютно выпуклой оболочке
множества М.
Доказательство. По условию теоремы для всякого
8 ^> 0 найдется такое ах ^> 0, что для всех а из интервала 0 <
<a<^ai и и Е= М выполняется неравенство
|| и - Еаи || < е. (2.7)
Утверждение теоремы следует из того, что это неравенство не
нарушается, если произвести следующие операции:
1) заменить и на — и;
2) подставить точку и, принадлежащую отрезку, концы
которого удовлетворяют этому неравенству.
Действительно, если щ и и2 удовлетворяют (2.7) и и = Хщ+
+ (1 - X) и2 (0 < X < 1), то || и - Еаи || < X || щ - ЕЛщ || +
+ (1-Х) || и2 - Еа и2 || < е;
3) перейти в (2.7) к пределу, что позволяет замкнуть множество.
Теорема 5. Пусть ЕЛ равномерно сходится к единичному
оператору на множестве М. Если М содержит подпространство
В, то существует такое ах ^> 0, что при всех а: 0 <^ а <^ ах
и всех и ЕЕ М будет Еаи = и, т. е. при 0 <^ а < ах операторы
Еа. индуцируют на В единичный оператор.
Доказательство. Взяв е > О, найдем такое аг ^> О,
что при 0 < а < ах и всех и ее М выполняется (2.7). Если и ЕЕ
ЕЕ В, то для любого X также Хи ЕЕ В и, следовательно, Хи ЕЕ М.
Но тогда (2.7) должно выполняться для любого Хи, т. е. для
любого X должно быть
| X | || и —Еаи || < 8,
что возможно лишь при и = Еаи.
§ 2. Геометрические теоремы
о строении ограниченно компактных множеств
Теорема 1. Если множество М банахова пространства U
абсолютно выпукло, замкнуто, ограниченно компактно
(определение 11 § 6 гл. 1) и не ограничено, то оно содержит непустое
конечномерное подпространство, L обладающее следующим свойством
47

максимальности: каждое подпространство Lx, принадлежащее М,
содержится в L.
Доказательство. Пусть Sn = {и: \\ и || = п) (п =
= 1,2,...) — сфера радиуса п. Введем состоящие из единичных
векторов множества Fn= {и: пи ее М f| Sn} Ь1 = 1> 2, . . .).
Из свойств М следует, что каждое Fn есть непустое компактное
множество, поскольку оно относительно компактно (см.
определение И § 6 гл. 1) и замкнуто.
Если и ЕЕ Fn, то для любого натурального т < п элемент
ти лежит на отрезке, содержащем и и пи, и вследствие
выпуклости М принадлежит М f] Sm. Отсюда следует, что при т < п
всегда Fn СЕ Fm и мы имеем убывающую последовательность
F.ZDF.Z). . . Z)FnZ) . . .
непустых компактных множеств. Как известно, в этом случае
оо
[107, с. 223] пересечениеF = f| ^n непусто.
?г=1
Обозначим через L множество всех векторов вида Хи, где и ЕЕ
ЕЕ F, а X — любой скаляр, и докажем, что L есть искомое
подпространство. Доказательство разобьем на несколько этапов:
1) L (Z М. Если и ЕЕ F, то и ЕЕ Fn для любого натурального
я: тш ЕЕ М. Но вследствие выпуклости М для любого
вещественного X имеем Хи ЕЕ М, поскольку Хи принадлежит отрезку,
соединяющему 8 с точками ±тш, где п > | X |.
2) L содержит все векторы ц, обладающие тем свойством, что
для любого к имеем Хи ЕЕ М. Так как 8 ЕЕ £, то можно считать
и Ф Q. Для любого натурального и будет ии/|| гг || ЕЕ Л/ П ^п»
поэтому и0 = и/\\ и || принадлежит всем Fn, т. е. и0 ЕЕ F и,
следовательно, для любого X вектор Хи = (к \\ и ||) и0 принадлежит L.
3) L выпукло. Пусть щ ЕЕ L, и2 ЕЕ L, 0 < |ы < 1 и гг =
= jui/i + (1 — \i) и2. Пусть X ~ произвольный скаляр. Согласно
определению L и свойству 1) Хщ ее М, Хи2 ЕЕ М. Но тогда в силу
выпуклости М элемент ки = |ы (А,^) + (1 — |ы) Хгг2 принадлежит
М и по свойству 2) гг ^ L.
4) L есть линейное многообразие. Пусть щ ЕЕ L и и2 ЕЕ L,
тогда также 2ггх Ei и 2w2 £E £. Отсюда и = щ + и2 = (2^ +
+ 2гг2)/2 согласно 3) принадлежит L. Из определения L следует,
что если и ЕЕ L, то для любого X имеем Хи ЕЕ Ь.
5) L есть конечномерное подпространство. Так как L СЕ М
и Л! замкнуто, замыкание L также содержится в_М. Будучи
подпространством банахова пространства J7, само L является
банаховым пространством. Каждое ограниченное подмножество
пространства L принадлежит М_и поэтому относительно компактно.
Тогда по теореме Ф. Рисса L конечномерно. Но в этом случае и
L конечномерно и, будучи конечномерным линейным
многообразием, замкнуто, а следовательно, само является
конечномерным подпространством.
48

6) L — максимальное подпространство, содержащееся в М.
Это следует из свойства 2).
Замечание. Теорема неверна, если отбросить условие
ограниченной компактности. Это показывает следующий
Пример. Возьмем в пространстве последовательностей т,
где и = (!-!, |2, . . .), || и || = sup | It |, множество М, определив
г
его условиями | £fe | <; к (к = 1, 2, . . .). Оно абсолютно выпукло,
замкнуто и не ограничено. Но оно не содержит никакой прямой,
проходящей через начало координат (не содержит одномерного
подпространства). Пусть и = Хи0 - прямая, порождаемая
вектором и0 = {t\0)}. Таккакгг0 не может быть нулевым вектором, то
для некоторого i = п |^0) Ф 0. Тогда при | X | ^> nl\ $j)\ вектор
Хи0 не принадлежит М.
Теорема 2. Пусть множество М удовлетворяет условиям
теоремы 1 и L — максимальное подпространство,
принадлежащее М. Если и ее М, Ъ е= L, то и + b ^ М.
Доказательство. Для любого X (0 < X < 1) вектор
fcx = ЬА принадлежит L, а следовательно, и М. Ввиду
выпуклости М вектор fkb1 + (1 — X) и■ = Ь + (1 — X) и принадлежит М.
Переходя к пределу при X ->■ 0 и учитывая замкнутость М, найдем,
что предельный вектор b -{- и принадлежит М.
Определение. Будем называть алгебраической суммой
двух множеств Мх и М2 банахова пространства U множество
М — М1 + М2 всех векторов вида и = щ + и2, где щ е iW"i,
и2 е м2.
Теорема 3. Абсолютно выпуклое, замкнутое, ограниченно
компактное множество М банахова пространства U является
алгебраической суммой
М = К + L (2.8)
абсолютно выпуклого компакта К и (непустого в случае
неограниченности М) конечномерного подпространства L.
Доказательство. Теорема тривиальна, если М
ограничено, так как в этом случае можно считать L пустым. Пусть
М не ограничено. Тогда по теореме 1 оно содержит непустое
максимальное конечномерное подпространство L. По лемме 1 § 4
гл. 1 пространство U разлагается в прямую сумму L и некоторого
подпространства Z. Положим К = М (~) Z. Согласно построению
Z, по лемме 1 § 4 гл. 1
Lf)K = {9}, (2.9)
К — абсолютно выпуклое, замкнутое, ограниченное множество.
Если бы оно было неограниченным, то по теореме 1 оно содержало
бы непустое конечномерное подпространство Ьх, так что
LtCzKciM, (2.10)
49

но это противоречит максимальности L, так как в силу
соотношений (2.9) и (2.10) L П Lx = {9}. Поскольку К, кроме того, есть
подмножество М, то К — компакт.
Если q ЕЕ К и, следовательно, g G М и ft G i, то по теореме 2
? + ft E Л/ и поэтому
К + LaM. (2.11)
С другой стороны, каждый вектор и ее Л/", согласно лемме
1 § 4 гл. 1, представим в виде и = Ь + z, fe e L, z ЕЕ Z. Отсюда
z = и + ( —fe) и по теореме 2 zE^, а следовательно, z ЕЕ К,
т. е. z можно принять за q ЕЕ К. Таким образом,
MCZK + L. (2.12)
Из (2.11), (2.12) и вытекает (2.8).
Нам понадобится также обращение теоремы 3.
Теорема 4. Множество М банахова пространства U,
являющееся алгебраической суммой М = К + L компакта К и
конечномерного подпространства L, ограниченно компактно.
Доказательство. Пусть М0 — ограниченное
подмножество множества М. Каждый вектор и из М имеет вид
и = q + Ь, q^K, Ъ ei. (2.13)
Обозначим через ikfx и М2 соответственно множества векторов
q и Ь в разложении (2.13), когда гг пробегает множество М0.
Множество М1, как подмножество компакта К, ограничено и
относительно компактно. Множество М2 также ограничено, так как
согласно (2.13) || Ь || < || и || + || q ||, и е М0, q E^i, и,
являясь ограниченным подмножеством конечномерного пространства L,
относительно компактно.
Пусть {ип} — произвольная последовательность элементов из
М0 и
ип = Яп + Ъп, qn(=Mx, bn(= M2.
Пользуясь относительной компактностью Мх и М2, выделим из
последовательности {qn} сходящуюся подпоследовательность
Чпк -> Яо Е= К, а из {Ьп} сходящуюся подпоследовательность
ЬПк -+bQ<=L. Тогда иПк -> q0 + b0.
Следствие. Если М есть множество, удовлетворяющее
условиям теоремы 4, а щ — любая точка пространства £/, то на М
существует точка м*, ближайшая к и0, т. е. такая, что
II и* — щ || = р (и0, М).
50

§ 3. Равномерная регуляризация уравнений
с вполне непрерывным оператором
В этом параграфе решается вопрос о строении множества М,
на котором возможна равномерная регуляризация в том случае,
когда оператор Еа = RaA вполне непрерывен. Это
предположение, в частности, реализуется в тех случах, когда оператор А
вполне непрерывен, например для интегральных уравнений Фред-
гольма первого рода.
1. Теорема 1. Если на множестве М последовательность
вполне непрерывных операторов Еа равномерно сходится к
единичному оператору, то множество М ограниченно компактно.
Доказательство. Пусть М0 — ограниченное
подмножество из М d U. Вследствие равномерной сходимости для
каждого е > 0 найдется такое ах > 0, что при 0 < а < ах и любых
и ее М0 будет || и — Еаи \\ ^ е, т. е. множество Еа (М0) есть
е-сеть для М0. Но из-за ограниченности М0 и полной
непрерывности Еа это есть относительно компактная е-сеть,
следовательно, MQ — относительно компактно.
Теорема 2. Если последовательность вполне непрерывных
операторов Еа сходится равномерно иа множестве М0 d U к
единичному оператору, то М0 можно расширить с сохранением
равномерной сходимости до множества
М = К + L, (2.14)
где К — абсолютно выпуклый компакт, a L — конечномерное
подпространство из U, обладающее тем свойством, что при 0 <
<а<^ (ах определяется подпространством L) для каждого
Ъ ЕЕ L будет ЕаЪ = Ъ.
Доказательство. Пусть М — абсолютно выпуклая,
замкнутая оболочка множества М0. По теореме 4 § 1 наст, главы
равномерная сходимость сохранится и на множестве М. Согласно
теореме 1 множество М ограниченно компактно, и тогда по
теореме 3 § 2 наст, главы оно представимо в виде (2.14). Свойство
ЕаЬ= Ъ следует из теоремы 5 § 1 наст, главы.
Теорема 3. Пусть семейство {Ra} регуляризует уравнение
Аи = f на множестве М0 в смысле определения 9 § 1 наст, главы,
а операторы Еа = RaA вполне непрерывны. Для того чтобы
регуляризация была равномерной, необходимо, чтобы М0 было
подмножеством множества М, имеющего вид (2.14), где К и L
удовлетворяют условиям теоремы 2.
Доказательство. Из условий теоремы вытекает
равномерная сходимость последовательности {Еа} к единичному
оператору (см. определение 10 § 1 наст, главы). Это показывает,
что теорема 3 является непосредственным следствием теорем 1 и 2.
Следствие. Для разрешимости задачи II § 1 наст, главы
необходимо, чтобы множество М было подмножеством множества,
имеющего вид (2.14).
51

2. Условие на множество М, содержащееся в следствии к
теореме 3, является и достаточным условием для разрешимости
задачи II § 1 при некотором нелинейном способе построения
приближенных решений щ, т. е. при нелинейном методе регуляризации
уравнения (2.1).
Определим функцию Q (т) — модуль непрерывности обратного
оператора на множестве N = А (М):
Q (т) = sup {|| щ - и2 ||: щ, и2 е М, \\ Ащ - Аи2 || < т}, (2.15)
О ^ т <С оо.
Лемма 1. Пусть А — линейный непрерывный
взаимно-однозначный оператор, действующий из U в F. Если множество М
имеет вид (2.14), ъде К — компакт, a L — конечномерное
подпространство, и N = А (М), то Q (т), определяемая (2.15), есть
неубывающая, конечная, непрерывная в нуле справа функция,
удовлетворяющая соотношению Q (0) — 0.
Доказательство. Достаточно убедиться в
равномерной непрерывности оператора А'1 на множестве N. Ввиду
линейности оператора А это эквивалентно непрерывности в нуле
оператора А'1 на множестве
N - N = А (К - К + L).
Поскольку алгебраическая разность К — К компактов есть
компакт, то требуемое свойство следует из теоремы 3 § 4 гл. 1.
Теорема 4. Если множество М0 CZ U является
подмножеством множества М, имеющего вид (2.14), где К — компакт, а
L — конечномерное подпространство, то на М разрешима задача
II § 1, если принять за приближенное решение и6 квазирешение на
множестве М.
Доказательство. Пусть f0£E N = А (М), и0 = Л_1/о»
/6 — приближение к /0 такое, что || /0 — /б || ^ б. Расширим
множества М0 до М и примем за приближение иь к и0 квазирешение
уравнения (2.1) с правой частью / = /б на множестве М. Оно
определяется равенством (см. (1.41))
и6 = A~lqb, (2.16)
где дб — точка множества N = А (М), ближайшая к /б. Согласно
следствию к теореме 4 § 2 наст, главы она существует. Имеем
простую оценку
II /о - <7б |< II /о - А || + || /6 - <7б II < 26. (2.17)
На основании (2.16), (2.17) и определения Q (т) получаем
П "о - ив IK a (26),
3. В качестве примера рассмотрим задачу о продолжении
гармонической функции. Пусть функция у = у (р, 9), где р и 9 —
полярные координаты, является гармонической при р < 1 и
непрерывной в замкнутом круге р ^ 1. Допустим, что при неко-
52

тором р = г, где г < 1, нам известно / (9) = у (г, 9) и требуется
найти и (в) = у (1, 6).
Возьмем в качестве Fпространство!^ Ю, 2я], а в качестве U —
пространство С2- непрерывных периодических функций с
периодом 2я. Пусть
п
/(8) = -J-+ VakcosA9 + bfcsinAe. (2.18)
Тогда разложение гг (9) в ряд Фурье имеет вид
оо
(I \Г\ 1
и (9) = -у- + У — (я& cos &9 + ftfc sin &9).
Будем считать a = l/и (n = 1, 2, . . .). Полагая для простоты
Ra = Rn, возьмем за Rnf п-ю частную сумму ряда Фурье (2.19):
п
RJ = -|L _f_ V 4-(afccos&9 + bksiiikQ). (2.20)
Из (2.18) и (2.19) следует, что регуляризатор Rn (2.20)
представим в виде Rn = РПЛ-1, где Рп — оператор ортогонального
проектирования на подпространство, образованное первыми 2п +
+ 1 элементами тригонометрической системы.
Вычисляя норму, находим
|| Д„ || = 1/^я г».
При решении задачи I § 1 наст, главы множество М должно
состоять из непрерывных функций, разлагающихся в равномерно
сходящиеся ряды Фурье: например, множество всех функций
из С2л, модуль непрерывности со (т|) которых удовлетворяет
условию Дини — Липшица:
lim со (т|) log 11 = 0.
Знание нормы || Rn || позволяет согласно теореме 2 § 1 наст,
главы найти такую зависимое п '= п (б), что 7?п/§ ->■ щ. В
рассматриваемом случае достаточно, например, взять
Оператор Еп = RnA есть оператор перехода от функции
и (9) ЕЕ С2тх к п-й частной сумме ее ряда Фурье ип (9): Епи = ип.
Такой оператор вполне непрерывен, поэтому при решении задачи II
§ 1 наст, главы применима теория этой главы.
Возьмем в качестве М множество функций из С2п,
удовлетворяющих условию Липшица с заданной константой С:
II и (Qt) - и (е2) || < с || ех - е2 ц. (2.21)
(2.19)
53

Тогда по теореме Джексона уклонение dn тригонометрического
многочлена наилучшего приближения степени п от и (9)
удовлетворяет неравенству dn ^ \2Cln [118, с. 119].
По теореме Лебега [118, с. 113]
| и (9) - ип (9) | < (3 + log n) dn < (3 + log n) \2Cln.
Определяя регуляризацию при помощи (2.20) и применяя теорему
3 § 1 наст, главы, имеем
II ^о — ип || < (3 + log л) 12С/л, || ип - ипЪ || < 8/]/"пгп.
Для того чтобы уклонение || и0 — ипЪ || не превосходило е,
надо сначала выбрать п так, чтобы
тг>24С(3 + log7i)/e,
а потом б так, чтобы
б < |/"яг"е/2.
Условие (2.21), определяющее М, не зависит от аддитивной
постоянной, прибавляемой к и (9). Множество М по теореме 3
имеет вид (2.14), где L — одномерное подпространство, а К —
подмножество компакта, состоящего из функций,
удовлетворяющих условию (2.21) и нормированных, например, при помощи
соотношения и (0) = 0.
§ 4. Строение множеств равномерной регуляризации
в гильбертовых пространствах
В настоящем параграфе мы более полно исследуем строение
классов равномерной регуляризации для уравнений с вполне
непрерывными операторами в гильбертовом пространстве Н = U =
= F [85, 130].
Введем дополнительное определение.
Определение. Множество М d U называется классом
равномерной регуляризации для операторного уравнения Аи = /,
если найдется семейство линейных ограниченных операторов
{Ra}, равномерно регуляризующсе это уравнение на множестве М
(см. определения 9 и 10 § 1 наст, главы).
В предыдущем параграфе было доказано, что для операторных
уравнений с вполне непрерывным оператором классы
равномерной регуляризации являются ограниченно компактными
множествами. Покажем, что при некоторых ограничениях на оператор А
это свойство справедливо только для вполне непрерывных
операторов.
Теорема 1. Пусть А — линейный взаимно-однозначный
самосопряженный оператор с областью определения D (A) CZ Н
и областью значений R (A) d H. Тогда для того, чтобы любой
класс равномерной регуляризации М а Н для уравнения Аи = /
54

являлся ограниченно компактным множеством, необходимо и
достаточно, чтобы оператор А был вполне непрерывным.
Достаточность следует из теоремы 3 § 3 наст, главы.
Необходимость будем доказывать от противного. Для этого
рассмотрим два возможных случая.
1. Оператор А не ограничен. Пусть Еа — разложение
единицы, порожденное оператором А. Очевидно, его спектр Sp (A)
является неограниченным множеством. Для определенности
предположим, что множество Sp (А) не ограничено сверху. Тогда
подпространство Яа, На = Е ([а, оо)) Я, где а ]> 0, будет
бесконечномерным инвариантным подпространством оператора А [107,
с. 377—381] и для любого и ЕЕ На || Аи || > а | и ||. Следовательно,
оператор А'1 на подпространстве На будет ограничен, а семейство
операторов {Ra}
/Л-/, /ЕЯ„
«*т-\ о, /еяея.
(где Н Q На ортогональное дополнение подпространства На)
будет являться семейством линейных ограниченных операторов,
определенных на всем пространстве Н, и равномерно регуляризу-
ющим уравнение Аи = / на подпространстве Яа.
Таким образом, На — класс равномерной регуляризации для
уравнения Аи = /, но он не является ограниченно компактным
множеством ввиду бесконечномерности На- Это противоречит
условию теоремы.
2. Пусть оператор А ограничен, но не является вполне
непрерывным. Рассмотрим семейство подпространств {Яп}, п = ±1,
±2 гдвЯ»^, Ш|)Я, Я_п^-М„ -м,
Я.
п ' л + 1
Среди подпространств Яп найдется, по крайней мере, одно
бесконечномерное подпространство, так как в противном случае
оператор А являлся бы равномерным пределом конечномерных
операторов, т. е. вполне непрерывным оператором [107, с. 263]. Пусть
НПо= Е(\ " , \ , -—-\) Н является бесконечномерным инвариант-
ным подпространством оператора А. Тогда для любого и ЕЕ Нщ
\
справедливо неравенство || Аи || >—т-тЦ^Ц-
Следовательно, операторе-1 на подпространстве Нщ
ограничен, а семейство операторов {Ra}
Иа> I 0, /ЕЙ0Ял,
равномерно регуляризует уравнение Аи = f на
подпространстве ЯЛо.
Таким образом, бесконечномерное подпространство Нщ
является классом равномерной регуляризации для уравнения Аи =
= /, что противоречит условию теоремы.
55

Теперь перейдем к исследованию строения классов
равномерной регуляризации М для уравнения Аи = f с вполне
непрерывным оператором.
Теорема 2. Пусть R (А) = Н. Для того чтобы
абсолютно выпуклое множество М d H было классом равномерной
регуляризации для уравнения Аи = / с линейным вполне непрерывным
оператором, необходимо и достаточно, чтобы М было ограниченно
компактно.
Необходимость следует из теоремы ^_§ 3 наст, главы.
Достаточность. Замыкание М множества М также
будет абсолютно выпуклым и ограниченно компактным
множеством. __
По теореме 3 § 2 наст, главы множество М можно
представить в виде алгебраической суммы М = К + L максимального
конечномерного подпространства L, содержащегося в М, и
абсолютно выпуклого компакта К, К = И f) (H Q L).
Рассмотрим регуляризующее семейство операторов
Ra = (А*А + aEytA*.
Это семейство операторов будет [85] регуляризующим уравнением
Аи = / на всем пространстве Я, т. е. для любого и Ez H RaAu ->-
->- и при а -> 0. Покажем, что последовательность операторов
RaA сходится к единичному оператору Е равномерно на
множестве К. Для этого предположим противное, т. е. что найдется
последовательность {ип} d К такая, что
\\RanAun-unl>dyO, (2.22)
ап ->■ 0 при п —►- оо .
Так как множество К компактно, то из {ип} можно выделить
сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности
можно считать, что ип ->- й при п ->- оо, где й ЕЕ К. По теореме
Банаха—Штейнгауза нормы операторов || Ra А || равномерно
ограничены. Если выбрать N таким образом, что для любого п !> N
||мп-й||<й/4(8ир{||Двп4||} + 1),
71
то, учитывая (2.22), можно получить оценку снизу
|| ДапАй - й || > d/2.
Последнее противоречит равномерной сходимости
последовательности операторов RaA к единичному Е на множестве К.
Рассмотрим семейство операторов {Ra), определенных на
области значений R (А) оператора А следующим образом:
_ , 4-V, f(=AL,
R
4i-\Att п
A(HQL).
56

Через Ra обозначим продолжение по непрерывности оператора
Па с многообразия R (А) на все пространство Я. Как видно из
построения,^семейство операторов {Ra} будет равномерно регуля-
ризовать уравнение Ли = / на множестве К -\- L.
Замечание. В теореме 2 условие абсолютной
выпуклости можно заменить условием ограниченности множества М.
§ 5. Множества равномерной регуляризации
для непрерывного оператора
Приведем некоторые условия, характеризующие строение
классов равномерной регуляризации для уравнения Аи = f
с линейным непрерывным оператором А в гильбертовом
пространстве Н = U = F.
Прежде всего отметим, что в случае непрерывного оператора А
теорема 1 § 3 наст, главы неприменима. Чтобы в этом убедиться,
приведем простой пример.
Рассмотрим пространства Я в виде прямой суммы Н = Н1 0
0 #2 Двух бесконечномерных подпространств Н1 и Я2. Оператор
А определим следующим образом:
f и, ие#ь
( А2и, и ЕЕ #2>
где А2 — линейный вполне непрерывный оператор,
отображающий пространство Н2 в себя. Регуляризующее семейство
операторов {Ra} определим следующим образом:
Naf-\o, /ея2,
а множеством = Нг. Тогда семейство операторов {Яа}
равномерно регуляризует уравнение Аи = / на множестве М, которое
не будет ограниченно компактным.
Теперь перейдем к более детальному исследованию классов
равномерной регуляризации.
Теорема 1. Пусть А — линейный ограниченный оператор
и U — рефлексивное пространство. Если множество М является
классом равномерной регуляризации для уравнения Аи = /, то
замыкание образа множества М содержится в области значений
оператора А:
1М ей (А). (2.23)
Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, если
область значений R (А) замкнута, поэтому достаточно рассмотреть
случай R (А) Ф R {А). Предположим, что свойство (2.23) не
выполняется, т.е. найдется точка /0 такая, что /0 ЕЕ АМ\ R (А).
Тогда существует последовательность {/„} (Z AM такая, что
57

/n —> /о- Покажем, что последовательность {ип}, где Аип = fM
не ограничена. В самом деле, если предположить противное, то
ввиду рефлексивности гильбертова пространства Я эта
последовательность слабо компактна. Без ограничения общности можно
считать, что ип —* й. Поскольку линейный ограниченный
оператор А слабо непрерывен [107, с. 217], то Ай = /0, что
противоречит условию /0 G= R {А).
Пусть R — произвольный линейный ограниченный оператор,
отображающий пространство Я в себя. Для R имеет место
следующее соотношение:
sup || и — RAu || > sup 11| ип || — || RAun || | = оо. (2.24)
Из (2.24) следует, что множество М не является классом
равномерной регуляризации для исходного уравнения.
Сформулированные в теореме условия не являются
достаточными. Действительно, если А — линейный, вполне
непрерывный оператор, и М — £ (9; 1) — единичный шар с центром в нуле,
то множество AM компактно, а следовательно, AM d R (А).
Однако множество М не является классом равномерной
регуляризации (см. теорему 2 § 4 наст, главы) ввиду своей
некомпактности.
Пусть #! и Я2 — два подпространства гильбертова
пространства Н; обозначим величину sup {(.т, у): х ее Я1? у ЕЕ Я2;
II ж || = || у || = 1} через ф (Ях, Я2).
Теорема 2. Пусть Ях, Я2, . . . , Яп, ... — некоторая
последовательность попарно ортогональных подпространств
пространства Я. Тогда любое множество М такое, что
AM С #, © S% ф .. . 0 S?n 0 ..., где S?n = {/ ЕЕ #„: ||/|| <;*„},
является классом равномерной регуляризации для уравнения
Аи = /, ес/ш ряд
* °° Л^;1 \1/2
2 ^п < °°, где ап - sup || Л"1/ ||2 + sup || А~Ч || ( 2 а4) X
'n n
x cP(^(If tfj,^-1 (#„))•
xj=l
Доказательство. Пусть множество М удовлетворяет
условиям теоремы. Тогда построим регуляризующее семейство
операторов {Ra} следующим образом:
| А~Ч, /sSffj,
1 j=i
58

где il(n + 1) < а < \1п. Очевидно, что для любого а оператор
Ва является линейным ограниченным оператором,
отображающим все пространство Н в себя.
Покажем, что семейство операторов {Ra} является семейством
равномерной регуляризации на множестве М. Пусть е —
произвольное положительное число. Так как ряд 2ап сходится, то
<ё. Тог-
найдется номер N такой, что для всех т ^ N
да для любого а <[ IIN и для любого и ЕЕ М
|| и — RaAu || < е.
Приведем примеры, иллюстрирующие применение теоремы 2.
Пусть А линейный непрерывный самосопряженный оператор
со спектром Sp (А) = [0, || А || ], М = AS (9; г). Множество М
не является ограниченно компактным, так как в противном
случае оно было бы компактом, а оператор А — вполне
непрерывным оператором, имеющим чисто дискретный спектр. Обозначим
через Еа разложение единицы, порожденное оператором А.
Пусть #х, Н2, . . . , Яп, ... — последовательность
инвариантных подпространств оператора А, определенных следующим
образом:
^п = я„П5(е;-^).
Тогда AM с «Я, 0 Sn © • •. 0 S?n 0 .... а ап = 1/(в - I)2. Так как
00
РЯД / — 1 \2 <С°о, то М является классом равномерной регу-
п=2
ляризации для уравнения Аи = /.
В качестве другого примера можно рассмотреть обратную
задачу Коши для уравнения теплопроводности:
ди 0 д2и
= а2-
dt a дх* '
т.е. известно распределение температуры в момент времени
t0^> 0 и и (х, t0) = % (ж), требуется найти начальное
распределение ф (х) —и (х, 0), считая, что ф, % ев Ь2 (— °о, °°).
В качестве класса регуляризации возьмем множество
М
I I J
где я > 1, а С — некоторое число.
Используя теорему 2, можно показать, что М является
классом равномерной регуляризации для поставленной задачи [130].

Глава 3
ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ
РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ
§ 1. Сведение к операторным уравнениям
второго рода
1. Изучение общих методов регуляризации операторных
уравнений первого рода
Аи = /, и ЕЕ С/, feF (3.1)
начнем с наиболее простой схемы метода Лаврентьева [98, 99].
Для этого введем дополнительные ограничения на пространства
U, F, которые будем предполагать гильбертовыми и
совпадающими: U = F = Я. Пусть линейный, в общем случае
неограниченный оператор А: Я -> Я имеет всюду плотную область
определения D (А) = Я. Прежде чем излагать метод, напомним
необходимые определения и докажем некоторые
вспомогательные утверждения для линейных (неограниченных) операторов.
Определение 1. Линейный оператор А называется
положительным, если для каждого и ЕЕ D (А) {Аи, и) ;> 0.
Определение 2. Линейный оператор А называется
симметрическим, если для любых u,v EED (А) выполняется
равенство (Аи, v) = (и, Av).
Определение 3. Если скалярное произведение (Аи, v)
для данного фиксированного v ЕЕ Н и любого и ЕЕ D (А) предста-
вимо в виде (Аи, v) = (и, у*), то говорят, что v ЕЕ D (А*) и
оператор Л*, определяемый равенством A*v = у*, называется
(эрмитово) сопряженным к А.
Определение 4. Линейный (не обязательно
ограниченный) оператор А называется самосопряженным, если А = Л*.
Из этого определения следует, что всякий самосопряженный
оператор является симметрическим. Обратное утверждение,
вообще говоря, неверно, хотя и справедливо для случая
ограниченных операторов [107, с. 350].
Лемма 1. Если линейный оператор А определен на всем
пространстве Я и для любых и, v ЕЕ Н справедливо равенство
(Аи, v) = (и, Av) J (т. е. А — симметрический оператор), то
А ограничен и, следовательно, непрерывен.
Доказательство. Предположим противное. Тогда
существует последовательность {ип} ЕЕ Я такая, что
|| ип || = 1 и || Аип || -> оо. (3.2)
60

Рассмотрим функционалы
fn(u) ={Аи, ип) =(и, Аип).
Они аддитивны, однородны и, кроме того,
| /п (и) | = | (Аи,ип) \<\\Аи || || ип || = || Аи || = С».
В силу теоремы Банаха—Штейнгауза нормы этих функционалов
ограничены в совокупности || /п || ^ К, но || /п || = || Аип ||,
следовательно, || Аип || <^ К, что в силу (3.2) невозможно.
Следствие. Если А = А* и D (А) = Н, то А ограничен:
|| Л || = || Л* || <оо.
Лемма! Оператор Л*, сопряженный с произвольным
линейным оператором А, замкнут.
Действительно, пусть ип е D (Л*) и ггп —> и0, А*ип -»/0.
Для любого и ЕЕ D (А) имеем (и, А*ип) = (Ли,ггп) —> (Ли, гг0).
С другой стороны, (и, А*ип) —> (и, /0), следовательно, (Ли, и0) =
= (и, /о) для любого и EH D (Л). Отсюда вытекает, что
/0 е= л (Л*) и л*и0 = /0.
Следствие. Самосопряженный оператор замкнут.
В дальнейшем при обосновании сходимости основных
приближенных методов нам понадобится свойство замкнутости
операторов в несколько иной форме, чем в определении 1 § 4 гл. 1.
Поэтому в следующем определении мы приведем формулировку
этого свойства, а в лемме 3 установим его связь с обычной
замкнутостью операторов в случае произвольных нормированных
пространств.
Определение 5. Оператор А с областью определения
D (Л) с{/ и областью значений R (Л) в F называется
секвенциально слабо замкнутым, если из условий ип-^и, ип ЕЕ D (Л), Аип —*
—^ / следует, что и ЕЕ D (Л), Аи = /.
Лемма 3. Пусть U, F — банаховы пространства и А —
линейный оператор. Оператор А замкнут тогда и только тогда,
когда он секвенциально слабо замкнут.
Доказательство. Так как из сильной сходимости
последовательностей вытекает слабая сходимость, то с учетом
замечания 1 § 4 гл. 1 секвенциально слабо замкнутый оператор
является замкнутым (без предположения его линейности).
Обратно, поскольку Л замкнут и линеен, то его график G (Л) =
= {w: w = [и, Аи], и Ей (Л)} — выпуклое и замкнутое
(определение 1 § 4 гл. 1) множество, поэтому оно будет слабо
замкнуто [41, с. 457]. Если ип-^и, ип ЕЕ D (A), Лип—*/, то
[ип, Аип] -^ [и, /IeG (Л), т.е. и <= D (Л), Аи = /.
Утверждение теоремы не переносится на произвольные
(нелинейные) операторы.
Лемма 4. Для того чтобы X было регулярным значением
самосопряженного (не обязательно ограниченного) оператора А
необходимо и достаточно, чтобы существовало число С такое,
61

что для любого и ЕЕ D (А)
\\(А-1Е)и\\>С\\и\\. (3.3)
Доказательство. Необходимость. Если X —
регулярная точка, то существует ограниченный оператор Ях = (А —
- ХЕ)~\ D (#х) = Я. Поэтому \\ и \\ = || Ях (А - ХЕ) и || <
< || Ях || || {А - ХЕ)и ||, и мы получим (3.3) с С = 1/|| i?x ||.
Достаточность. Пусть теперь (3.3) выполнено.
Рассмотрим линейное многообразие L = {/: / = (Л — W?)w, w e
е # (^4)}- Ввиду (3.3) соответствие между D (А) и L
взаимнооднозначно.
Покажем, что L всюду плотно в Я. Допустим, что это не так.
Тогда существует в Я элемент и0 ф 8 такой, что для любого
и е D (А)
(и0, Аи — Хи) = 0. (3.4)
Из (3.4) получаем (Аи, и0) = (и, Хи0), а это означает, что и0 ее
ЕЕ D (A*) =D(A), A*u0 = Аи0 = Хи0. Но это равенство при
и0 Ф 9 невозможно ни при комплексном X (тогда у
самосопряженного оператора были бы комплексные собственные значения),
ни при вещественном (тогда X = X, || и0 || ^ || Ли0 — Яи0 ||/С =
= 0). Кроме того, L замкнуто. Действительно, пусть {/n} d
CZ £ и /п —> /0. Если /п = (Л — Я£) ип, то согласно (3.3) || ип —
— ит || <; || /п ~ 1т II /С -*"0. Из полноты гильбертова
пространства Я следует существование предельного элемента и0 для
{ип}. В силу замкнутости оператора А (лемма 2) ип-+ и0 ЕЕ
е £ (Л), /о = (А - ья)и0 ее L.
Итак, L — замкнуто и всюду плотно в Я, следовательно,
L = Я. Так как, кроме того, соответствие / —(А—%Е)и
взаимнооднозначно, то существует обратный оператор
и ={А- КЕ)~Ч = Дх/,
определенный на всем Я. Условие (3.3) дает
\\Rxf\\ = \\u\\^^r\\(A-%E)u\\<^\\f\\,
т. е. Ях является ограниченным оператором и || Ях || ^ 1/С
Из доказанной леммы непосредственно получаем условия
корректности задачи (3.1).
Теорема 1. Если А = А* и D (А) = D (А*) =Я, то
для того, чтобы уравнение (3.1) имело единственное решение
при любом f £Е Я и это решение непрерывно зависело быот],
необходимо и достаточно существование такого £Г>0, что для
любого u<=D (А) \\ Аи ||1> С \\ и ||.
2. В основу метода положена идея замены уравнения первого
рода (3.1) с точными данными {/0; А} (для фиксированной правой
62

части / = /0) уравнением второго рода
Ahu + au =/б (3.5)
с приближенными данными {/б; Ah} и малым положительным
параметром а. Тем самым неустойчивая задача (3.1)
(непрерывность А'1 не предполагается) заменяется задачей (3.5), которая,
как будет установлено в следующей теореме, удовлетворяет
всем условиям корректности Адамара, а решения уравнения (3.5)
близки к решению уравнения (3.1) при достаточно малых
параметрах а, /г, б.
Для исходных приближенных данных {/б; Ah} потребуем
выполнение условий аппроксимации в виде
|| А - А || < h, (D (А) = D (Ah) = D), || / - /в || < б. (3.6)
Как и прежде, пару (б, h) обозначим через Д.
Теорема 2. Пусть A, Ah — линейные, самосопряженные
и положительные операторы, для которых выполнены условия
аппроксимации (3.6); обратный (не обязательно ограниченный)
оператор А~х существует. Тогда уравнение (3.5) разрешимо для
любых Ah, fbEEH,a^0u решения и& сходятся к решению
уравнения (3.1) с правой частью f = /0:
Ид-> и0 =4-1/о»
когда А ->- 0 и а ->■ 0 при связи (h + б)/а (б, К) -у О, т. е. {идЛ)} —
регуляризованное семейство приближенных решений, а /?а {Л/г, /6} =
= (Ah +а£')~1/б — регуляризующее семейство операторов
задачи (3.1) в точке {A,f0}.
Доказательство. Получим сначала некоторые оценки
для норм операторов. Оператор (Ah + aE) положителен и
самосопряжен, поэтому для любого v ее D (А) = D (Ah) =D
|| {Ah + aE) v || 2 = ((Ak + aE) v, (Ah + aE) v) = || Ahv ||2 +
+ 2a (Ahv, v) + a* (v, v)>\\Ahv\\a + a* || у || 2.
Из последнего неравенства получаем оценки:
|| (Ah + atf) v || > || i4hi> ||, (3.7)
|| (4h + aE) v || > a || v ||. (3.8)
Из оценки (3.8) согласно лемме 4 следует разрешимость
уравнения (3.5) для любых /б G Я и a )> 0, существование и
ограниченность оператора (Ah + aE)-1, причем
D (Ah + aE)-1 = Я.
Полагая v = (Ah + ai?)-1 и, из (3.7) и (3.8) имеем оценки
для норм операторов:
\\Ah(Ah + aE)-i\\^l, || (Ah + aE)-1 ||< 1/a. (3.9)
63

Обозначим щх = (Ah H-ai?)-1 /0, i/.д = (Лл + аЯ)-1/^ тогда
II ^o — ^Д II ^ II ^о — ип || + || Uh — ид || = Ах (а, Л) +
+ А2 (а, Д). (3.10)
Для Д2 (а, Д) из (3.6) и (3.9) находим
Д2 (а, Д) = || иЛ - ^д || = ||,(Л + «Я)"1 (/о - Л) II < б/а. (3.11)
Убедимся в том, что Дх (а, /г) —►- 0. Так как операторы Ah
и (Ah + аЕ)'1 перестановочны [107, с. 353], то из соотношений
(3.6), (3.9) находим
|| ul || = || (Ah + аЕ)-Ч0 || = || (Ah + аЕ)-1 Ащ || < || Ah (Ah +
+ аЕ)~Ы0 || + || (Ah + aE)~\Ah - А) и0 || < || и0 || (1 + /г/а),
(3.12)
т. е. последовательность ограничена и поэтому слабо компактна.
Пусть для подпоследовательности {ак, hk}
ulkk-u*. (3.13)
С учетом условий аппроксимации (3.6) и неравенств (3.9)
получаем
|| Аи0 - Aul || = || {A(Ah + аЕ)-*А - А} щ \\ = \\ {A(Ah +
+ аЕ)^ [(А - Ah) - аЕ]} и0 || < {|| (А - Ah) (Ah +aE)~l \\ +
+ || Ah (Ah + aE)-1 \\}(h + a) \\ u0 || < (h/a + 1) (h + a) || щ \\
Из предыдущей оценки при а —►- 0, h/a ->■ 0 имеет место
сходимость Аи*ь —►- Аи0.
Так как оператор А замкнут (следствие из леммы 2) и линеен,
то он секвенциально слабо замкнут (лемма 3), тогда в силу (3.13)
и* ее D (А), Аи* = /0, т. е. и* = и0. Объединяя это с
соотношениями (3.12), (3.13), находим при hK ->■ 0, hk/ak ->■ 0
|| щ || < lim || ul\ || <IIS || uh\ || < || ио II •
Полученная сходимость норм вместе со слабой сходимостью
(3.13) в гильбертовом пространстве влекут сильную сходимость
lim || и0 — и** || = 0. Поскольку это справедливо для любой
fc->oo lk
подпоследовательности из {ufc}, то это означает, что А1 (а, К) =
= || и0 — и% || -►■ 0 при а, h ->■ 0 и hi a -> 0. Учитывая оценку
(3.11), окончательно находим, что при связи а (Д) —►- 0,
гарантирующей стремление к нулю (б + h) la (Д) -►■ 0,
lim || щ-иТЧ =0.
3. Определение 6. Пусть оператор А не обратим и
U0 — непустое множество решений уравнения (3.1) при / — /0.
64

Назовем нормальным решением [143] уравнения решение й0 с
минимальной нормой, т. е. || й0 || = inf {|| и \\ : и ЕЕ U0}.
Лемм а. 5. Пусть А — линейный замкнутый оператор,
а пространство U строго выпукло и рефлексивно. Если уравнение
Аи = /0 разрешимо (множество решений непусто), то нормальное
решение существует и единственно.
Доказательство. Из линейности и замкнутости
оператора А следует, что множество U0 = {и0 : Аи0 =/0} выпукло
и замкнуто, тогда доказательство завершается ссылкой на лемму
3 и теорему 1 § 6 гл. 1.
В частности, утверждение леммы верно для самосопряженных
операторов А в гильбертовом пространстве.
Замечание 1. Если оператор А не обратим и уравнение
(3.1) имеет неединственное решение, то в условиях теоремы 2
последовательность Ид * сходится к нормальному решению й0
уравнения (3.1), существование и единственность которого
гарантируется леммой 5. При доказательстве достаточно в соотношении
(3.12) заменить и0 на нормальное решение й0.
Замечание 2. В том случае, если А не является
самосопряженным оператором, изложенный метод регуляризации
можно использовать, если от уравнения (3.1) предварительно перейти
к уравнению с самосопряженным оператором
А*Аи =Л*/. (3.14)
Для линейного ограниченного и обратимого оператора А
решения уравнений (3.1) и (3.14) совпадают; при отсутствии
единственности решения (А необратим) совпадают их нормальные
решения (см. леммы 5 и 6 § 5 гл. 1).
Иначе говоря, в качестве регуляризующего семейства
операторов в задаче (3.1) можно взять семейство, определяемое
формулой
R* {А; /б} = (*е + AUnY^tfb,
а при отсутствии погрешности в операторе (Ah = А)
R«{A; /б} =(а£+ЛМ)-и*/в.
Изложенная схема построения регуляризованного семейства
приближенных решений при определенных условиях может быть
перенесена на случай банаховых пространств [68, 84].
§ 2. Метод квазирешений
1. Как и в предыдущем параграфе, мы исследуем операторное
уравнение (3.1) при фиксированной правой части / =f0EEF.
Предполагаем, что линейный непрерывный оператор А обратим
и решение и0 = -4_1/о принадлежит компактному множеству
М cz U, где U, F — банаховы пространства; выполнены усло-
3 Заказ Л» 28G5
65

вия аппроксимации (3.6), причем Ah — линейные непрерывные
операторы. Обозначим S = {Ah : \\ А — Ah \\ *^ h, O^h <, h0}.
За приближенные решения уравнения (3.1) примем
квазирешения [61] для приближенных данных {/б; Ah} на компакте
М, т. е. решения иА экстремальной задачи
inf { || Ahu - /б || : и ЕЕ М). (3.15)
Теорема 1. Если линейные операторы A, Ah непрерывны
и М — компакт, то задача (3.15) разрешима для любых Ah ее S
и /б ЕЕ F и последовательность экстремальных элементов иА-+- и0,
т. е. {иА}— регуляризованное семейство приближенных решений.
Доказательство. Существование элемента иА,
реализующего нижнюю грань в задаче (3.15), вытекает из
непрерывности функционала Ф (и) = || Ahu — /б || и компактности
множества М.
Для доказательства сходимости оценим
\\АиА — Аи01| < || АиА — AhuA || + || AhuA — /§1| +
+ ||/в-/оКЛ||1*А|| + ||^А«-/в||+*-
Поскольку
|| AhuA - /51| = inf {|| Ahu - Н ||: и е М) < || Ahu0 - /51| <
<||| 4ли0 — Аи0 || + || /о — /51|< h || щ || + б,
а множество {иА} ограничено (ибо М — компакт), то
|| АиА — Аи0 || -*■ О при А = (h, б) -> О,
по теореме 1 § 4 гл. 1 lim || ид — и0 || = 0.
Д-*оо
Таким образом, оператор R, ставящий в соответствие паре
{/б; Ah} решение иА экстремальной задачи (3.15), есть регуля-
ризующий алгоритм для (3.1).
Замечание 1. Если оператор Ah обратим (т. е.
существует AT*), множество М выпукло и компактно, а пространство
F строго выпукло, то элемент иА, реализующий нижнюю грань
в задаче (3.15), единствен, и в этом случае отображение R
однозначно.
2. Рассмотрим некоторые обобщения полученных результатов.
Замечание 2. Утверждение теоремы 1 сохраняет силу,
если ослабить условие аппроксимации || А — Ah || ^ /г,
потребовав лишь поточечную сходимость Ahu-+Au при h ->■ 0 для
каждого и ЕЕ U. Для этого достаточно убедиться в том, что
sup {|| А и — Ahu || : и е М) ->- 0, h ->■ 0.
В самом деле, из сходимости Ahu ->■ Аи при h ->■ 0 по теореме
Банаха—Штейнгауза [107, с. 149] получаем ограниченность
норм операторов:
sup {|| ЛII, И ||} < С. (3.16)
66

Зададимся некоторым е > 0. Пусть {и1} — конечная е/ЗС-
сеть для компакта М. Тогда для любого и ЕЕ М существует и*
такое, что || и — и* || ^ е/ЗС.
Используя последнее неравенство и оценку (3.16), находим
|| Аи — Ahu || < || Аи - Аи* || +1| Аи* - Ahu* || + \\Ahu* -
- Ahu ||< || и - и* || (\\А || + || Ah ||) + || Аи* - Ahu* || <
< 2е/3 + || Аи* - Ahu* ||.
Здесь для конечного набора элементов {и*} при достаточно малом
h <^h* можно добиться || ^4r^te — Ahu* || <; е/З. Тем самым
|| Аи — Ahu || ^ s при всех и ЕЕ М.
Ослабим условия, предъявляемые к операторам Л, Ah1 и
вместо непрерывности будем предполагать лишь их замкнутость.
Т е о р е м а. 2. Пусть А, Ah — линейные замкнутые
операторы с областью определения D, множество К выпукло и компактно
в U, пространство F рефлексивно. Тогда задача (3.15) на множестве
М = К f] D имеет решение иА и &д —►- и0 при А ->- 0.
Доказательство. Обозначим Nh = AhM, тогда
исходная задача (3.15) сводится к следующей задаче:
inf {|| / -/6 || : / 6Е #„}, (3.17)
где множество, очевидно, выпукло и согласно теореме 2 § 4 гл. 1
замкнуто. На основании леммы 3 § 6 гл. 1 в рефлексивном
пространстве F экстремальный элемент /д $ задаче (3.17), т. е.
(метрическая) проекция Pfb элемента /б на множество Nh, существует.
Тогда каждый из прообразов и& элементов Р/б при
отображении Ah (AhuA = Pfb) будет решением задачи (3.15).
Доказательство сходимости &д -►■ и0 проводится аналогично теореме 1 со
ссылкой на теорему 2 § 6 гл. 1.
Наконец, предположим, что при/=/0 уравнение (3.1) не имеет
решения в обычном смысле, т. е. /0 ее R (А). Тогда для
компактного множества М существует лишь квазирешение й0 уравнения
(3.1). Убедимся в том, что квазирешение устойчиво к
возмущениям исходных данных {/0; А}.
Теорема 3. Если й0 — единственное (см. замечание 1
наст, параграфа) квазирешение уравнения (3.1), то в
предположениях теоремы 1 или теоремы 2 lim || иА — й0 || = 0, где иА —
А-Ю
некоторое решение задачи (3.15).
Доказательство. Пусть сначала выполнены
условия теоремы 1. Определив
d = inf {|| Аи - /0 || : и ЕЕ М) = || Ащ - /0 ||,
dA = inf {|| Ahu - /б || : и ЕЕ М) = || АиА - /б ||,
докажем, что lim dA = d. Учитывая (относительную) компакт-
А-*0
ность множества М, выделим сходящуюся подпоследовательность
ид^-> и* е М.
3* 67

Вполне очевидны следующие неравенства:
d < | Аи* - /о КIIАи* - Л«* II + II Ahu* - AhuAk || +
+ || Ahu4- h || + || /о - /»|| <h || u* || + С || и* - uAJ +
+ 8 + dA]c=d4 + y(Ak), т(Д*)-*0, (3.18)
из которых получаем соотношения
d ^ lim йд, С lim dAu. (3.19)
С другой стороны,
lim dA = lim || 4Лид — /§ || < lim || Акщ — /s ||<
< ПБ7{|| Ahn0 - 4й01| +1| Ай0 - /о || + II /о - h 11} <
ft-* 00
<ilim {/г || zi01| + 8 + d} = d. (3.20)
fc-*oo
Оценки (3.19) и (3.20) влекут сходимость dA ->- d, а
следовательно, и йд ->- d, что устанавливается с учетом проведенных
рассуждений доказательством от противного.
Займемся теперь доказательством сходимости иА ->- й0. Если
бы ид у> й0, то для некоторого е ^> 0 и подпоследовательности uA]i
||«дк-в0||>8>0. (3.21)
Не теряя в общности, можно считать последовательность
{иА } сходящейся: иАк -►■ и*.
Подобно (3.18), имеем неравенства
<*<||Ли* - /0 ||< dA + у (А),
где 7 (А) ~^ О ПРИ А ->- 0; кроме того, dA ->■ d, следовательно,
d = || Аи* — /0 || = d. Поскольку квазирешение уравнения (3.1)
единственно по предположению теоремы, то и* = й0. Тогда
иА -►■ й0 = и*, и мы приходим к противоречию сословием (3.21).
Если же выполняются условия теоремы 2, то в дополнение
к проведенным рассуждениям необходимо установить, что элемент
и* ЕЕ М = К П D (А). В самом деле, легко видеть, что
множество {Лид} cz F ограничено. Поскольку F рефлексивно, можно
выделить подпоследовательность АиА -*-/*е^, tz-*- оо. Вместе
с условием иА -> и* ввиду замкнутости оператора А это дает
и* ЕЕ D (А), Аи* = /*. Но, с другой стороны, и* €Е М CZ К, &ак
что и* (=D (A) ft К = М.
Замечание 3. При построении приближенных решений
в рассмотренном методе (см. задачу (3.15)) нет необходимости
знать сами^параметры h и б в условиях (3.6), так как при
доказательстве сходимости ид* к точному решению и0 (квазирешению
68

й0) уравнения (3.1) использовался лишь сам факт аппроксимации,
что
lim sup {|| Ahu — Аи\\: и^М} = 0,
lim ||/о-/»|| = 0.
5-»0
3. Если несколько расширить определение приближенного
решения (квазирешения), то можно построить абстрактный
аналог метода квазирешений в топологических пространствах [55].
Поясним суть этого обобщения, ограничившись ради простоты
случаем нормированных пространств U, F и точно заданного
оператора А = Ah.
Пусть А — непрерывный (или замкнутый) оператор,
действующий из U в F, М — компактное множество пространства U',
/б — б-приближения правой части уравнения
Аи =/0, (3.22)
т. е. || /б — /о || < б. Рассмотрим шары Sb = {/ : || / — /б || < 6}
радиуса б с центрами в точках /$.
Под приближенным решением уравнения (3.22) будем
понимать любой^элемент, обеспечивающий выполнение соотношений
йд еМ, АйА е^б. m (3.23)
Введенное ранее приближенное решение иА, минимизирующее
функционал в задаче (3.15) (при А = Ah), очевидно,
удовлетворяет условиям (3.23), но они дают больше возможностей для
выбора.
Принимая во внимание, что
.|Лиа-Лнд ||<||Ли0-/б|| +||/в-Лйд:||<26-^0, 6 + 0,
по теореме 1 § 6 гл. 1 (или теореме 2 § 6 гл. 1) получаем йд —►- и0
при А = б ->- 0.
Переход к приближенному решению йд может быть также
оправдан тем, что погрешность метода при замене иА на йА не
ухудшается (см. далее § 5 гл.4), а с вычислительной точки
зрения нахождение йА из соотношений (3.23) является в
некоторых случаях более простой задачей.
§ 3. Метод регуляризации Тихонова
Метод регуляризации Тихонова [147], как и метод
квазирешений, рассмотренный в предыдущем параграфе, относится к числу
вариационных, т. е. построение приближенного решения связано
е решением некоторой экстремальной задачи. Но исходная
информация и минимизируемые функционалы в этих методах различны.
Если в методе квазирешений основной предпосылкой является
принадлежность точного решения (квазирешения) компактному
69

множеству М, то в методе Тихонова, как и в методе Лаврентьева
(см. § 1 наст, главы), необходимо знать уровень погрешности
приближенных данных, т. е. значения параметров h и б в условиях
аппроксимации (3.6).
1. Пусть наряду с операторами A, Ah задан некоторый
линейный оператор L, действующий из D (X)cz U в Б-пространство V,
и для некоторого К ]> 0 и всех и ее D (A) f] D (L) = D
выполнено
Я||и|| < WLuW- (3'24)
В качестве приближенных решений уравнения (3.1) в методе
регуляризации Тихонова принимаются экстремальные элементы
следующей вариационной задачи:
М{\\Ани-}ь\\р + а\\1и\\«: и ЕЕ D}, (3.25)
где р, q ^> 1 — целые и положительные числа, параметр а]>0.
В случае гильбертовых пространств будем полагать р = q = 2.
В отличие от § 2 наст, главы, где устойчивость (сходимость)
приближенных решений достигалась за счет сужения класса
возможных решений до компактного, в исследуемом методе это свойство
приближенных решений восстанавливается за счет добавления к
основному функционалу в неустойчивой вариационной задаче
inf {|| Ahu — /5 ||р: и ЕЕ D) стабилизирующего функционала Q (и) =
= ||i/^||g [147] с малым параметром а и согласования этого
параметра с уровнями погрешностей А, б. Образованный функционал
Ф(и)=\\Ани -/в|Г + оЦ^и||«
называют сглаживающим [145, 147].
Определение!. Функционал g(u), определенный на
выпуклом, множестве М, называется выпуклым, если
g [Хщ + (1 - X) и2] < %g (щ) + (1 - k)g(u2)
для всех иг, U2€EMuO^X^l.
Определение 2. Функционал g (и) называется строго
выпуклым, если для всех щ Ф и2 из М
g {УгЩ + V2u2) < V2g (щ) + V2g (и2). (3.26)
Л е м м а 1. Строго выпуклый функционал g (и) достигает
своего минимуму на выпуклом множестве М не более чем в одной
точке.
Доказательство. Пусть щ, и2 — две различные
точки минимума g (и) на М. Тогда
g (VaMx + Va^z) < 42g К) + xUg (u2) = g (щ),
1/2г/1 + V2u2 e M,
а это противоречит тому, что иг — точка минимума g (и) на
множестве М.
70

Л е м м а 2. Пусть линейный оператор L : D EEU-+V обратим *
и пространство V строго выпукло. Тогда функционал g (и) = || Lu \\q
для целого положительного q ^> 1 является строго выпуклым.
Доказательство. Применим индукцию по д. При q = 2
строгая выпуклость проверяется непосредственно. В самом деле,
пусть и±фи2,
II L (V.M! + Ч2и2) ||2 < V, || Ьщ ||2 + V. J Lu21|2- (V21 Ьиг | -
-V2||Lu2||)2. (3.27)
Если || Ltti И Lw21|, то (3.26) для g (u) = \\ Lu ||2 следует из (3.27).
Пусть теперь ЦЬщ || = \\Lu21|. Тогда либо для некоторого
кфО Ьиг = kLu2, либо такого К не найдется.
Исследуем первую возможность. Из равенства норм имеем
к = +1. Но к = 1 невозможно, поскольку тогда из обратимости
оператора L следовало бы равенство щ = и2. Поэтому к = —1 и
условие (3.26) выполнено, ибо левая часть равна нулю.
Во втором случае Lux Ф- kLu2. Из строгой выпуклости
пространства V (см. теорему 1 § 6 гл. 1) имеем неравенства
| L (V,Ul + V2u2) ||» < (|| 42LUl || + || V2Lh2||)2 = V2||Z,Uip +
+ V2||L«2||2.
В предположении, что утверждение верно для q = т, докажем
его для q = т + 1. Действительно,
\\L(42Ul + V2u2) \\m+i < (V.I/^Г + V2||Lu2|r)V2(||LMl|| +
+ II ^2 || )=V, || Ьщ || m+1+1/2|| Lu21| m+1+V4 (|| Lu,| -
- | Lu! ||) (| Li»! Г-| Lu,]")
и последнее слагаемое <Д что завершает доказательство леммы.
2. Предположим, что решение уравнения (3.1) при / = /0
принадлежит множеству D =D (Ah) f] D (L). Сформулируем основное
утверждение [14, 117].
Теорема! Пусть A, Ah, L — линейные замкнутые
операторы, С/, F — рефлексивные пространства, V является Е-простран-
ством и выполнены условия (3.24) и (3.6). Тогда задача (3.25)разреши-
ма единственным образом и последовательность экстремальных
элементов &д сходится к и0 = А~г/0 ЕЙпо норме || и ||х = || и || +
+ || Lu || + || Аи || при Д->0 w связи а (А) такой, что а (А) ->- 0,
(А + б)д/а (А) —►- 0, т. е. {&д *} —регуляризованное семейство
приближенных решений.
Доказательство. Обозначим inf (Ф (и): и ЕЕ D} = d.
Пусть {ип} — некоторая минимизирующая последовательность
в задаче (3.25), т. е. dn = Ф (ип) ->- d. Тогда последовательности
{Ahun}, {Lun} ограничены по норме соответствующих пространств,
причем ввиду (3.24) последовательность {ип} также ограничена.
* Например, условие (3.24) влечет обратимость оператора L.
71

По условию теоремы пространства С/, F, V рефлексивны,
поэтому существуют слабо сходящиеся подпоследовательности
иПн — й, Ahunk — /, ЬиПк — v,
что влечет для замкнутых операторов Ah, L соотношения
u<=D = D (Ah) П D (L), Ahu = f, Lu = v.
Используя предыдущие соотношения и тот факт, что ип -
минимизирующая последовательность, приходим к неравенствам
d < Ф (й)< Пт Ф {ип) = lim dn = d,
т. е. й — решение задачи (3.25). Чтобы подчеркнуть зависимость
этого решения от параметров Д = (/&, б) и а, обозначим его
через ид.
Перейдем к доказательству сходимости. Предположим
противное, что || &д — щ ||х -/> О при Д ->- 0, а ->■ О, что означает
существование 8>0и подпоследовательности и*к такой, что
|| и\ - ы0 ||i = || и?к — ио I + I LuAkk ~ Lu° II + II Au\- АиЛ >е-
(3.28)
Поскольку решение u0 уравнения (3.1) при / = /0
принадлежит множеству D, то
Ф (иаА) < Ф (Мо) = || AhuQ - /s ||p + a || Lu0 \\* < (h \\ щ \\ + 6)* +
+ a\\Lu0\\q.
Используя последнюю оценку, условия аппроксимации (3.6)
и неравенство (3.24), имеем
|| Аи\ - Ащ || < || Аи% — Ahu\ || + || Aul - /51| + || /8 - /о ||<
< h || Lu\ \\/К + [(A || щ || + ЬУ + а || Ьщ ГГ'г> + б, (3.29)
| ^ид ||* < (Л И и» || + *)"/a + || Z-ив В*. (3.30)
Не ограничивая общность рассуждений, можно считать, что
и\-^й, LuAkk-^v, (3.31)
кроме тоуо, из (3.29) Аи£ ->■ Аи0 при с^-^О, Д^ -►■ 0. Объ-
единяя последнее выражение с соотношениями (3.31), находим
й = и0, v = Lu0, ||Li/o||<lim||L^||. (3.32)
k-*<x>
Переходя к пределу в (3.30) при (h + 6)p/a ->- 0, получаем
lim || Lu* || <^ || Lu0 ||, что вместе с (3.31) и (3.32) с учетом свойства
72

^-пространства V влечет сходимость
lim || Lut - Lu01| = 0. (3.33)
fc-*oo
Из соотношений (3.24), (3.29)—(3.33) тогда следует сходимость
|| и\ — и0'||i-> 0
при Дк -> 0, ак ->- 0 и связи (hk + 8k)p/a (Afc) ->■ 0, что
противоречит исходному предположению (3.28).
Так как функционал ф (гг)= || Ahu — fb ||р — выпуклый, &g (и) =
= ||Lw ||a — строго выпуклый (лемма 2), то Ф (и) будет также
строго выпуклым. Тогда на основании леммы 1 экстремальный
элемент и\ в задаче (3.25) единственный. Тем самым доказательство
теоремы полностью завершено.
Следствие 1. Если U = F = L2[a, b], F = W2(n) [a, 6],
а оператор L = В'1, где 5: W^ ->■ L2 — оператор вложения
Соболева [121], т. е. \\ Lu\\ = || и\\ (П) , то по доказанной теореме
имеет место сходимость приближенных решений и& -> и0 по норме
пространства W^la, b] и, следовательно [121], по норме
пространства Ст[а, Ъ] (т = 0, 1, ... , п — 1), что означает
равномерную сходимость функций и их производных до п — 1-го порядка.
Следствие 2. Если в теореме условие (б + h)q/a (А) -> 0
заменить на более слабое (б + h)qla (А) <^ С {С — const) и считать
пространство F рефлексивным (вместо ^-свойства), то имеет место
слабая сходимость приближенных решений и£А) -у и0.
Замечание!. Если оператор А точно задан, т. е. Ah = А
и пространство F строго выпукло, то функционал || Аи — /б ||р
(при целом р > 1) будет строго выпуклым. Тогда заключение
теоремы 1 остается справедливым, если в формулировке теоремы
заменить неравенство (3.24) более слабым (по отношению к L)
условием
K\\u\\«^\\Lu\\" + \\Ли ||* (3.34)
(для гильбертовых пространств р = q = и = 2) и опустить
требование строгой выпуклости пространства V.
3. Возможна другая схема метода Тихонова, основанная на
идее компактного вложения [146—150]. Докажем соответствующее
утверждение.
Теорема2. Пусть выполнены следующие условия:
а) С/ — банахово, F uV — рефлексивные пространства,
б) A, Ah — линейные замкнутые операторы,
в) для любого С > 0 множество Мс = {и: \\ Lu || <; С) компактно.
Тогда задача (3.25) разрешима и экстремальные элементы
и а ->■ и0 — Л_1/0 ЕЕ D по норме пространства U при А ->0 и с#я-
зиа (А) ->0, (Л + 6)«/а (А) < Сг (Сг > 0).
73

Доказательство. Разрешимость задачи (3.25)
доказывается аналогично теореме 1 с той лишь разницей, что
существование (слабо) сходящейся подпоследовательности ип -> й следует
из компактности множеств Мс-
Установим теперь сходимость и^ -+и0. Пусть это не
выполнено, тогда для некоторого е)>0и {и*1)
II ^о - и\ || > 8, а, -> 0, Ак -> 0. (3.35)
Так как и0 ЕЕ D, то
Ф (ul) < Ф (и0) < (h || щ || +&)р + а || Ьщ \\q,
откуда получаем неравенство
II Lul \\q < (h || щ || + 6)*/а + || Ьщ ||* < С2, • (3.36)
которое влечет компактность и, следовательно, ограниченность
множества {и\}, || г/д || <; С3.
Подобно соотношению (3.29) находим
|| Аи% - Ащ || < hC3 + \{h || и01| + б)р + а | Ьи0 ||ТР + б. (3.37)
Ввиду компактности {и\} найдется сходящаяся
подпоследовательность {и^ } cz {uAkk}, Для которой на основании соотношений
(3.37) и замкнутости А справедливо
lim || u^l - щ || = 0
fc-*oo ft
вопреки предположению (3.35).
Замечание 2. Условие компактности множеств Мс
означает, что обратный оператор L"1 = В вполне непрерывен, причем
точное решение щ принадлежит области значений R(B), что
предполагает определенную гладкость этого решения. В то время
как в теореме 1 L — произвольный линейный замкнутый
оператор (в частности, в качестве L можно взять тождественный
оператор L/=E, так что и0 может быть произвольным элементом
пространства U); более жесткие условия на решение и0 в теореме
2 позволяют ослабить условия на пространства и получить более
широкий выбор связи а(А). Анализ доказательства теоремы 2
показывает, что для непрерывных операторов A, Ah требование
рефлексивности пространства F излишне.
Замечание 3. Пусть А = Ahn L — линейные операторы.
Если пространства С/, F не являются одновременно
гильбертовыми, то зависимость и\ (при фиксированном а > 0) не будет,
вообще говоря, линейной.
74

В работе [77] предложена модификация вариационного
принципа (3.25), для которой соответствующий регуляризующий
алгоритм будет линейным при отказе от гильбертовости пространства F,
что позволяет получить оценку погрешности подобно гильбер-
товому случаю.
§ 4. Метод невязки
Идея метода невязки, по-видимому, была высказана Филлипсом
в работе [171], где частный случай метода применялся для
численного решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
Обоснование метода (строгая постановка и доказательство
сходимости) было дано в работе [63], затем при других условиях
на пространства и операторы — в работах [25, 112].
Допустим, что для некоторой положительной функции or (А) —> О
при А —> О множество
Яд = {и: ueeD(A) = D (Ah), \\ Ahu - /б f < в* (А)} (3.38)
непустое для любого А > О (т. е. для любых h > О, б > 0).
Приближенные решения по методу невязки определяются из
решения задачи на условный экстремум:
inf {|| Lu f: и е &а П D (L)} = d. (3.39)
Теорема 1. Пусть операторы A, Ah, L и пространства
U, F, V удовлетворяют условиям теоремы 1 § 3 наст, главы и
точное решение и0 ЕЕ &а П D (L) для любого А ;> 0. Тогда задача
(3.39) разрешима единственным образом и последовательность
экстремальных элементов иА задачи (3.39) сходится к и0 = А~г{0
по норме || и Id = || и || + || Lu || + || Аи ||.
Доказательство. По условию множество С1А непусто,
поскольку и0 Ez £}д. Кроме того, оно выпукло и замкнуто.
Действительно, функционал ц>(и) = \\ Ahu — /5 || для линейного
оператора А является выпуклым, тогда функционал о|) (и) = фр (и)
для целого р ^> 1 будет также выпуклым*. Исследуем
замкнутость.
Если ип -> й, ип ее £}д, то вследствие рефлексивности F
существует слабо сходящаяся подпоследовательность
Ahunk — h -* / — /s, k -► 00.
Так как замкнутый^ оператор секвенциально слабо замкнут, то
и &D(Ah), Ahu = j и 4
II Ahu - h ||Р < Ит || Ahunk - h ||р < Ж|| Ahunk - /5 ||Р < °Р (А),
fc-юо *^*>
т. е. й ЕЕ &А-
* Это легко устанавливается индукцией по р.
75

Пусть {ип} — минимизирующая последовательность в (3.39),
тогда dn = || Lun || -> d. Пользуясь рефлексивностью пространств
и ограниченностью соответствующих множеств, имеем для
некоторой последовательности {ип }
utk-^u*, Ahutk-~f*, Lutk-^v*,
откуда
и* ЕЕ Од П D (Ц, d < || Lu* \\Q < lim || Lu* \\q = d,
fc-юо - Л
т. е. гг* — решение задачи (3.39). Обозначим это решение и&.
Допустим, что || ид — и0 || А 0, т. е. для некоторых е ^> О
и последовательности ид будет выполнено неравенство
||идк-ио||>в (А =1,2, ...)• (3.40)
Исходя из соотношения щ ЕЕ Од f] D(L), получаем || LuA \\q ^
<^ || Lu0 ||g, что вместе с неравенством (3.24) дает
ограниченность экстремальных элементов || иА || <^ || Lu0 \\/K. Тогда для
некоторой подпоследовательности индексов {Am} (Z {А^}
Lua -—г?, и а -—б. (3.41)
Выпишем цепочку очевидных неравенств:
|| АиАт - Ащ || < || АиАт - AhmUAm || + || AhmUAm - hm || +
+ II hm - /о || < Лт II "лт II + ct (Am) + 6m < (3.42)
<hm || Li/0 ||/# + tf (Am) + S^-^0, w-> oo.
Объединяя (3.42) с предыдущими соотношениями, получаем и Ez
Из полученных формул следует неравенство
|| Lu01| < Jim || Лидw |j <lim £ггдт || < || Lu0 ||. (3.43)
m->oo
В ^-пространстве V из слабой сходимости (формулы (3.41)) и
сходимости норм (неравенства (3.43)) вытекает сильная сходимость
lim || Lua — LuQ II = 0.
m-»oo m
Отсюда вместе с соотношениями (3.42) и (3.24) находим
|| ua — й0 \\г -> 0, где {Ат} cz {Afe}, что, конечно же,
противоречит неравенству (3.40).
Строгая выпуклость функционала || Lu \\q (лемма 1 § 3 наст,
главы) гарантирует единственность экстремального элемента.
Замечание 1. Если известна оценка нормы точного
решения || и0 || <; С, то для невязки имеем оценку
II Ahu0 - /6 f < {|| Ahu0 - Аи0 || + || /о - /в 1|}р < {hC + 8}*\
76

Тогда в качестве а(А) можно выбрать функцию,
удовлетворяющую неравенству а(Д) > Ch + б> а при Ah==A а(Д) > б*. При
дополнительном условии и0 EED(L) это гарантирует выполнение
соотношения щ Е Ол Г) ^ Ш-
Таким образом, при наличии погрешности в операторе (h Ф 0)
для использования метода невязки в принятой форме достаточно
знать мажоранту для нормы точного решения.
Замечание 2. Для точно заданного оператора (h = 0)
в теореме 1 (так же как и в теореме 1 § 3 наст, главы) условие
(3.24) можно заменить более слабым требованием
К || и ||х < || Lu ||х + || Аи ||*.
Причем утверждения теорем 1 данного параграфа и § 3 наст,
главы (за исключением единственности) обобщаются на
нелинейные уравнения (3.1) для секвенциально слабо замкнутых
необратимых операторов А [14, 16, 113]. Тогда последовательность
множеств иА р-сходится к множеству решений в метрике p(w, v) =
= || и — v || + || Аи — Av || + || Lu — Lv ||, т. е.
sup inf p(u, v)—->0, Д—>0.
V&J д UEUo
Замечание 3. При использовании идеи компактного
вложения, т. е., когда множества Мс = {и: || Lu \\ <^С} компактны,
имеет место р-сходимость приближенных решений по норме
пространства U для непрерывного оператора А с D(A) = U и
замкнутого оператора L (в общем случае нелинейных), если U, F —
банаховы, а V — рефлексивное пространства. Этот результат
справедлив как для метода невязки [113], так и для вариационного
метода Тихонова [14]. (Так, в теореме 2 § 3 наст, главы можно
полагать операторы A, Ah нелинейными и непрерывными, а
пространство V — банаховым, причем аппроксимация \\ Ahu — А и \\ —»
—> 0 (h —> 0) равномерна на каждом ограниченном множестве.)
§ 5. О связи вариационных методов
1. Исследуем взаимосвязь вариационных методов,
изложенных в § 2 — 4, с точки зрения сводимости одной экстремальной
задачи к другой. Изложение будем вести на основе работ [16, 18].
Для единообразия записи условимся считать множество М
в экстремальной задаче (3.15) заданным в форме
М = {и: и е D(L), || Lu \\q < г9}.
Кроме того, так как вариационные задачи (3.15), (3.25), (3.39)
будут изучаться сами по себе, без связи с исходным уравнением,
то мы будем опускать индексы у оператора А и элемента /.
* Требование а(Д) —>0 при Д->0, естественно, остается в силе.
77

Таким образом, экстремальные задачи в методах
квазирешений, невязки и регуляризации Тихонова принимают вид
inf {|| Аи - f \\р: и (ЕЕ D, \\ Lu f < r*}, (3.44)
inf {|| Lu f: и gD, Ни-/||р <<rp}, (3.45)
inf {|| Au - f \\p + a || Lu \\q: и е D}, (3.46)
где A (L) — оператор, действующий из U в F (из U в V), D =
= D(A) f] D(L) — линейное многообразие, г, cr, a —
положительные параметры, p, q — натуральные числа.
Заметим, что (3.46) при D = U есть задача на безусловный
экстремум, в то время как (3.44) и (3.45) — задачи на условный
экстремум с ограничениями типа неравенства.
2. Приведем формулировку и доказательство одной
фундаментальной теоремы выпуклого программирования [79], на которой
будут основаны дальнейшие результаты о связи решений задач
(3.44) - (3.46).
Теорема 1 (Куна — Таккера). Пусть g(u)и ц)(и) = {фг(^)}Г —
вогнутые функционалы *, определенные на выпуклом множестве
М линейного пространства U, и для любого неотрицательного
n-мерного вектора X = (А,ь Х2,..., Хп) Ф 0 существует элемент
й ее М такой, что (А,, ф(й)) ^> 0 (условие Слейтера). Тогда
элемент и0 есть решение задачи
шах {g(u): u^M, <р(и) > 0} (3.47)
тогда и только тогда, когда существует такой вектор А,0, что
для обобщенной функции Лагранжа Ф(и, X) = g(u) -f- (А,, ср,(гг))
будут справедливы для любых и ЕЕ D и X > 0 неравенства
Ф(и, Х°) < Ф(гг°, Х°) < Ф(и°, X). (3.48)
Доказательство. Достаточность, Пусть (3.48)
выполнено. Тогда (р(и°) > 0, ибо если для некоторого i % (и0) <^ 0,
то для достаточно большого X ]> 0 можно удовлетворить
неравенство (А,0, у(и0)) > (Я, ф(и0)). Это противоречит первому
неравенству в (3.48). Вследствие (3.48) имеем
(Х°, <р(и0)) = 0. (3.49)
Действительно, если (А,0, Ц)(и0)) ^> 0, то при X = 0 нарушалось бы
первое неравенство в (3.48). Из левого неравенства (3.48) с
учетом (3.49) получаем
/ g(u) + (X«, <р(и))<*(и°), UEED.
Следовательно, для любого uEED, удовлетворяющего условию
(р(и) > 0, g(u) <; g(u) + (Х°, ц(и)) <; g(u°), т. е. элемент и0
решает задачу (3.47).
* Функционал ф (и) называется вогнутым, если — ф (и) — выпуклый
функционал.
78

Необходимость. Определим два подмножества А и В п -\- 1-
мерного пространства следующим образом:
2/о \ (g(u)\
1^1 / \ ) Для некоторого u€ED
У I \ Ф (") /
В
{(П(
{(7МГ)>('П-
где i/0 — скаляр, г/ — n-мерный вектор.
Поскольку g(u) и ср(гг) — вогнутые функционалы, то
множества А и В, очевидно, выпуклы. В силу оптимальности *
элемента и0 множества А и В не имеют общих векторов. По теореме
об отделимости выпуклых множеств [82, с. 137] существует ве-
[ Щ\
ктор ( 1^0 такой, что
"оУо + (у, У) < v0z0 + (у, z) (3.50
для всех ( ) ЕЕ А, ( ) ЕЕ 5. Из определения множеств и неравен-
ства (3.50) вытекает неравенство I I i> 0.
Ввиду того, что I ~ I является граничной точкой множества
5, имеем из определения множества А
v0g(u) + (у, ф(и)) < v0g(u°). (3.51)
Отсюда у0 ^> 0, поскольку в противном случае из (3.51)
следовало бы у > 0 и (у, ф (гг)) <; 0 для любого и ЕЕ Л/", а это
противоречит условию Слейтера. Полагая v/vQ = А,0, находим
g(u) + (V\ ф)) < g(u*). (3.52)
При и = и0 из (3.52) имеем (Х°, ф(гг°))< 0.
Так как
Ф(м°) > 0, (3.53)
то
(Х°, ф(и0)) = 0. (3.54)
Теперь выполнение условий седловой точки (3.48) функции Лаг-
ранжа Ф(и, Х). следует из соотношений (3.52)—(3.54).
Замечание 1. При доказательстве достаточности свойство
вогнутости функционалов g(u) и {^(и)}, а также условие
Слейтера не использовались. ~
Согласно терминологии теории выпуклого программирования [79, гл. 7]
элемент, реализующий максимум в задаче (3.47), называется
оптимальным или экстремальным,
79

условие (Х°, Ц)(и0)) = О следуют из условий седловой точки (3.48)
для произвольных функционалов.
Замечание 2. Теорема Куна — Таккера носит
алгебраический характер и не зависит от топологии пространства U.
3. Перейдем к исследованию взаимосвязи вариационных
задач (3.44)—(3.46) при определенном согласовании параметров
г, з, а. В данном случае операторы A, L не стеснены какими-либо
условиями (типа линейности или непрерывности) и утверждения
формулируются для произвольных операторов.
Теорема 2. Пусть A, L — произвольные {в общем случае
нелинейные) операторы с D(A)cz U, D(L) CZ U и D(A) f| D(L) =
= D Ф 0. Если и0 реализует минимум в задаче (3.46) при
некотором а0 ^> 0, то и0 будет решением задачи (3.45) при а =
= II Ли» - / ||.
Доказательство. Допустим, что и0 — оптимальный
(экстремальный) элемент на множестве/) для функционала ty(u) —
= || Аи - / f + а0 || Ьи ||*, т. е. ур(и°) = min {^(u): u^D) =
= max {—я|э(и): к ЕЙ}, тогда при Х° = 1/а° для любого и ^ D
верно неравенство
- [| Lu ||* + V(- ||4« -/ f + <Ур)<
< - ||L«° Г + Х° (- || Аи* -f\\p + <Jp).
Если теперь положить сг = || Аи° — / ||, то при X > О
- || Lu» f + X° (- || Ли» - / f + <тр) < - II Lu* f +
+ М-М»0 -/||р + а).
Объединяя последнее неравенство с предыдущим, получаем,
что пара {и0, X0} удовлетворяет условиям седловой точки (3.48)
для функции Лагранжа
Ф(и, А,) = - || ^ 1Г + М- Ми - / f + or).
С учетом замечания 1 из теоремы 1 следует, что и0 — решение
задачи max {— || Lu \\q : и Gfl, а — || Ли — / ||р > 0} и,
следовательно, и0 есть решение задачи (3.45).
Важно отметить то обстоятельство, что теорема 2 необратима
в том смысле, что если и0 — решение задачи (3.45), то, вообще
говоря, может не существовать конечного а > 0, при котором
и0 реализует минимум функционала в задаче (3.46). Поясним это
примером.
Пример 1. Пусть U = F = / - числовая прямая ( -оо,оо),
и Аи = — (и — I)3 — обычная функция одной переменной.
Выберем L ~ Е — тождественный оператор, / = —1, о = 1;
параметры р = q = 2.
Тогда задача (3.45) запишется в виде
inf {|гг|2: гг ЕЕ/, | - (и- I)3 + 1|2<1}. (3.55)
Решение задачи (3.55), как легко видеть, есть и0 = 1.
80

Запишем теперь функционал более общего вида
inf {р | - (и - I)3 + 1 | 2 + а || и ||2: и е= /}, (3.56)
который совпадает при р = 1 с функционалом из (3.46).
При а = 0, р >0 (р < 0) решение задачи (3.56) и* = 2 (и* =
= ± <*>).
При а ^> 0 (а <С 0), р = 0 решение задачи (3.56) и* = 0
(и* = ± оо).
При а Ф 0, Р =7^ 0 решение задачи (3.56) и* =^= 1-
Таким образом, ни при каких конечных а, Р и°= 1 не
является экстремальным элементом в задаче (3.56).
Обратим внимание также на тот факт, что, хотя при и = и0
ограничение типа неравенства в задаче (3.55) обращается в
равенство | — (и — I)3 — 1 | 2 = 1, тем не менее нельзя
использовать «метод множителей Лагранжа»!
Теорема 3. Если и0 реализует минимум функционала при
некотором а)>0 в задаче (3.46), то этот элемент будет
решением задачи (3.44) при г = \\ Lu° ||.
Доказательство осуществляется подобно предыдущей
теореме, с использованием теоремы Куна — Таккера (в части
достаточности). Иной способ доказательства теорем 2 и 3 приведен
в![104, 172] (см. также [48, 60]).
П р и м е р 2. Пусть операторы А, L такие же, как в примере 1.
Если выбрать г = 1, то задача (3.44) запишется в виде
min {|_(„_1)3 + 1|2. UE;J9 |Ы|<1},
а (единственный) экстремальный элемент и0 = 1. Однако не
существует таких конечных а, (3, что и0 = 1 реализует минимум
в задаче (3.56). Таким образом, при изменении параметров 0 <;
^г<оо; 0<а<оо множество квазирешений {иг} содержит
множество приближенных решений {иа} в методе Тихонова как
собственную часть.
Установим связь между решениями вариационных задач (3.44)
и (3.45).
Теорема 4. Если задача (3.44) разрешима (т. е. существует
экстремальный элемент) для любого г ;> 0, а задача (3.45)
разрешима единственным образом при любом а>0, то из того, что
и0 — решение задачи (3.45) для некоторого а = а0, следует, что
и0 будет решением задачи (3.44) при г=\\Ьи°\\. Обратно, если
единственность имеет место для (3.44), то экстремальный
элемент и0 в (3.44) будет экстремальным элементом в (ЗЛ5)^при
a =||4ue-/||.
Доказательство. Пусть и0 реализует минимум в (3.45).
Допустим противное, что найдется элемент й ее D,
удовлетворяющий условиям
|| Ай - /1|* < || Аи° - / f, || Ьй \\q < г* = || Lu° f.
81

Тогда отсюда следует, что й является решением задачи (3.45),
а это противоречит единственности. Вторая часть теоремы
доказывается совершенно аналогично.
Итак, в случае однозначной разрешимости задач (3.44), (3.45)
при отмеченной связи параметров г и а эти вариационные задачи
эквивалентны в смысле совпадения решений. Но необходимо
отметить, что методы построения приближенных решений,
основанные на вариационных задачах (3.44), (3.45), принципиально
различны по использованию исходной информации (см. § 1 гл. 4).
4. В предположении линейности операторов A, L можно
усилить результаты предыдущего пункта и доказать обратные
утверждения для теорем 2 и 3. Будем предполагать, что D =D (A) f]
f) D (L) — линейное многообразие.
Теорема 5. Пусть А — линейный оператор со всюду
плотной областью значений A (D) =F, ||/|| ^> а ^> 0, равенство Lu =
= 8 возможно только при и = 6. Тогда если и0 — решение задачи
(3.45), то существует положительное значение а0 такое, что и0
реализует минимум функционала в (3.46) при а =а0, причем
||Лм« — /|| =а.
Доказательство. Пусть и0 — решение задачи (3.45).
Тогда в обозначениях
g(u) =- || Lu f, Ф (и) = - || А и - / f + a (3.57)
задача записывается в форме
max {g (и): ер (и) > 0, и е= D}.
Поскольку A, L — линейные операторы, то g и ср —
вогнутые функционалы, определенные на выпуклом множестве D. В
силу того, что A (D) = F, найдется элемент J E=.A (D), для которого
|| J — /1| < а. Тогда для прообраза й элемента / выполнено ер (и) ^>0
(условие Слейтера).
Таким образом, выполнены условия теоремы 1, а
следовательно, существует скаляр Х0 ;> 0 такой, что пара {и0, Я0} есть сед-
ловая точка для функционала
Ф (и, X) = g (и) + ЯФ (и), Х0 (|| Аи» - / || - а) = 0.
Подставляя (3.57) в соотношение (3.48), получаем для любого
|| Lu f + Я0 || Ли - / Г > || Lu" f + К || Аи" - f f,
т. е. uQ минимизирует функционал
G (и) = || Lu ||* + Х0 \\Аи - f |p\
Убедимся, что Х0 Ф 0. Допустим противное, что Х0 = 0, тогда
inf G (и) = inf || Lu f = || L9 f = 0, т. е. и° = 0. Так как и0 -
решение задачи (3.45), то, с одной стороны, || AQ — f \\ = ||/|| ^ а,
а с другой — по условию теоремы || / || ^> а, что невозможно.
8Й

Обозначив а0 = 1Д0, находим, что элемент и0 минимизирует
функционал в задаче (3.46) при а = а0 ^> 0.
Теорема 6. Пусть A, L — линейные операторы, D Ф 0.
Если и0 — решение задачи (ЗЛА), то существует значение
параметра а = а0 ^ 0 такое, что и0 реализует минимум функционала
в (3.46) при а = а0, причем а0 (|| Lu° \\q — rq) = 0.
Доказательство аналогично проведенному выше.
Таким образом, в условиях теорем 4—6 задачи (3.44) — (3.46)
при указанном согласовании параметров эквивалентны. Но, как
уже отмечалось, основанные на этих вариационных принципах
методы различны с точки зрения использования исходной
информации.
§ 6. Обобщенный метод невязки
Обобщенный метод невязки предложен в работе [36] и
обоснован с учетом компактного вложения.
В настоящем параграфе мы дадим обоснование обобщенного
метода невязки без компактного вложения [132], что позволяет
найти приближенное решение уравнения, не имея априорной
информации о гладкости точного решения. Это обстоятельство является
важным в приложениях: например, в задаче у-каротажа скважин
(см. § 2 гл. 1) точное решение (содержание радиоактивного
элемента) часто является разрывной функцией. —
1. Пусть U — ^-пространство, F — банахово пространство,
А — линейный взаимно-однозначный непрерывный оператор,
отображающий пространство U в F.
Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Аи =/, (3.58)
где и ЕЕ U, f ЕЕ F. Предположим, что при / = /0 существует
точное решение и0 уравнения (3.58), но /0 и оператор А нам
неизвестны, а известны лишь /8 и Ah такие, что || /5 — /0 || < 6> Аь. ■—
линейный непрерывный оператор, отображающий U в F и
удовлетворяющий условию || Ah — А || <; h, где /гиб —
положительные параметры и || /5 || ^> б -f- || u0 \\h, h < || Ah || при / = /0.
Требуется по Ah и Д построить регуляризованное семейство
приближенных решений {иА} уравнения (3.58).
2. Приближенные решения в обобщенном методе невязки
определяются из решения вариационной задачи,
inf {|| uf: || Ahu - h\\< б + || и ||А). (3.59)
Теорема 1. Пусть выполнены предположения п. 1 и
область значений оператора Ah всюду плотна в F. Тогда
вариационная задача (3.59) эквивалентна задаче
inf {|| и f: || Ahu - h ||< б + xh), (3.60)
83

где х определяется из уравнения связи
\\и\\\ = т, (3.61)
я Ид —- решение задачи (3.60) при заданных параметрах А =
= (^t б)_и х-
Доказательство. Пусть 0 ^ т ^ (||/§ || — 6)Jh.
Рассмотрим функцию ф (т) = т — || Ид ||, в которой Ид — решение
задачи (3.60) при фиксированном А, а т — переменный параметр.
Очевидно, что функция ф (т) монотонно возрастает и
удовлетворяет граничным условиям ф (0) < 0 и ф ((ЦДЦ — б)//г)J> 0.
Покажем, что функция ф (х) непрерывна. Сначала проверим
непрерывность справа.
Предположим, что непрерывность справа не имеет места.
Тогда найдется последовательность тп->титп>т такая, что
||идп - и1 II > d > 0. (3.62)
Так как Ид" является решением вариационной задачи (3.60) и
хп > т» то для любого п || Ah ид — /s || ^ б 4- tw/i и,
следовательно,
Кя 1KB «I II- (3.63)
Из неравенства (3.63) следует, что последовательность {и\п}
ограничена по норме. Без ограничения общности можно считать,
что
и> —и. (3.64)
Так как для, любого п± имеем** || Ahul*> — /§ || ^ б + xnh и хп ->-
-> т, то ввиду слабой непрерывности оператора Ah из
неравенства (3.63), учитывая свойства нормы слабого предела, находим
1|Лй~МКб + т/г. (3.65)
Таким образом,
II »I > II ид В- (3.66)
С другой стороны, учитывая свойство нормы слабого предела
и соотношения (3.63) и (3.64), имеем
Цй|К1|ид||. (3-67)
Из (3.66) и (3.67) следует, что
И | = || ид II- (3-68)
Так как пространство U строго выпукло, то из (3.65) и (3.68)
следует, что и = Ид.
84

Учитывая этот факт, соотношения (3.63) и (3.64), получим
II "1" II -II «III- (3-69)
Из (3.64) и (3.69) следует в ^-пространстве сильная сходимость
а это противоречит (3.62).
Докажем непрерывность слева. Предположим, что
непрерывность слева не имеет места. Тогда найдется последовательность
хп -> т и тп <; т такая, что для нее выполняется неравенство (3.62).
Пусть ? = inf tn. Тогда для любого п
п
К»1КК|- (ЗЛО)
Из (3.70) следует, что последовательность {идп} ограничена по
норме. Без ограничения общности
и1*^й. (3.71)
Из (3.71) по свойству нормы слабого предела следуют
неравенства
||ц|КИт||^«||, (3.72)
п-к»
||Ай-М|<8 + тй. (3.73)
Ввиду неравенства (3.73) имеем
И Ц > || «4 II- (3.74)
Так как область значения оператора Ah всюду плотна в F,
то найдется такой элемент й ЕЕ U, что \\Ah й — /$|| < б + rh.
Рассмотрим последовательность {йп}, йп = апй + (1 — ctn)u*Ai
у которой ап удовлетворяет условию
\\Ahun-H\\ = b + xnh. (3.75)
Из (3.75) следует, что
ИМ >КЯ II- (З'76)
Так как тп —►- т, то ап -»■ 0 и, следовательно,
йп->и\. (3.77)
Учитывая (3.76) и (3.77), можно сделать вывод, что
Ит || «2* ||< || 1*11|,
п-*<х>
но тогда из (3.72) и (3.74) следует, что
|A|| = IJi*H (3.78)
85

Ввиду строгой выпуклости пространства U, соотношений (3.73)
и (3.78)
й = иА. (3.79)
Так как \\и£\\ -» || и& ||, то из (3.71) и (3.79) следует, что
UAn —> 1/д
вопреки предположению (3.62).
Так как функция ф (т) монотонно возрастает, непрерывна
и на концах принимает значения разных знаков, то найдется
единственное значение т0, для которого ф (т0) = 0.
Таким образом, задача (3.60), (3.61) разрешима единственным
образом. Обозначим решение этой задачи через Ид и покажем,
что элемент г/д является единственным решением задачи (3.59).
Для этого заметим, что ид удовлетворяет ограничениям задачи
(3.59), т. е. || Ahu2 - U \\ = б + || и? || h.
Предположим, что ид не является решением задачи (3.59).
Следовательно, найдется элемент ueeU такой, что \\Ah it — /5 ||<^
< б + || й || h и || й ||< || ид° || - d, где d > 0.
Тогда элемент й будет удовлетворять неравенству
II Ahu-h\\^6 + \\u2\\h.
Учитывая, что
II ul \\ч = inf {|| и ||« : || Ahu - Н К б + II «д II *>.
получим || й || ;> || Ид ||, что противоречит неравенству || й || <;
< II и21| - d.
Для того чтобы доказать единственность, рассмотрим еще одно
решение йд задачи (3.59). Элемент й\ будет удовлетворять
следующим условиям:
I иА || = || и\ \\, || A,fil - U |К « + II "Д II Л.
\\Ahul-U\\^8 + \\ul\\h,
но так как f/ строго выпукло, то йд = и\.
Тем самым теорема доказана.
Из теоремы 1 следует, что при сделанных предположениях
задача (3.59) разрешима единственным образом. Из теорем 1
наст, параграфа и 5 § 5 можно сделать вывод, что вариационная
задача (3.59) эквивалентна задаче
inf { || Ahu - /5 р + а || и ||* : и ЕЕ U), (3.80)
где а определяется уравнением связи
И Аид-/»|| =6 + 1 «д И й- (3.81)
86

Таким образом, обобщенный метод невязки в данном случае можно
свести к методу регуляризации Тихонова (3.80) с параметром а,
удовлетворяющим обобщенному принципу невязки (3.81),
который был предложен в работах [35, 37J.
В дальнейшем приближенное решение уравнения (3.58)
(решение вариационной задачи (3.59)) будем обозначать через иА.
Теорема 2. Имеет место сходимость иА к и0 при Д —►- 0,
т. е. {иА} — регуляризованное семейство приближенных решений.
Доказательство. Предположим противное, т. е.
найдется последовательность иА такая, что Ак —►- 0 при к ->■ оо
и
II иА]г - Щ || > d > 0. (3.82)
Так как для любого к || иА || ^ || и01|, а пространство рефлексивно,
то последовательность {иА } слабо компактна.
Следовательно, без ограничения общности можно считать, что
иАк —^ й при к —►- оо.
С другой стороны,
II АиАу - /„ ||< 2 (б, + || щ |! К).
Поэтому АиА -> /0 при к ->■ оо. Учитывая линейность и непрерыв-
ность оператора А, получим й = и0. Ввиду того, что для любого
& || иАк || ^ || и0||, a U является .Е-пространством, иА -у и0 при
к-+ оо, что противоречит (3.82). Тем самым теорема доказана.
§ 7. Метод, основанный на теореме Пикара
1. Пусть U =Н — гильбертово пространство и А
—самосопряженный вполне непрерывный оператор, действующий в Н
(D (А) = Я). Тогда оператор А имеет чисто точечный спектр [107,
с. 333], составленный из собственных чисел {sk}, которые будем
предполагать упорядоченными по убыванию абсолютных
величин | ^ | ^> | s21 ]> . . . > | sk I > . . .. Если эта система бесконечна,
то lim sk = 0 [82, с. 245], а следовательно, для
характеристике -*оо
ческих чисел %к = l/sk будет выполнено
lim A,te = оо.
7с-*оо
Теорема 1 (Пикара). Операторное уравнение Аи = /
с самосопряженным вполне непрерывным оператором А разрешимо
единственным образом в пространстве Н тогда и только тогда,
когда ряд
|ь*/!<°°, (3.83)
где {kk} — характеристические числа оператора A, {fk} —
коэффициенты Фурье fk = (/, ерк) правой части f no полной ортонор-
87

жированной системе {ук} собственных элементов оператора А
[82, с. 245]: ф* = Мф*-
^Доказательство. Необходимость. Пусть и —
единственное решение уравнения Аи = / в пространстве Нг тогда
ск = (/» Ф*) = (-4", фк) = (и, Ащ) = (u, cpfe)Afe, откуда
видно, что %кск являются коэффициентами Фурье элемента и^Н.
Поэтому ряд (3.83) из квадратов коэффициентов будет
сходящимся. ^""
Достаточность. Если ряд (3.83) сходится, то по теореме
Фишера — Рисса [82, с. 151] существует единственный элемент
и ЕЕ Н, для которого %kfk будут коэффициентами Фурье по систе-
оо
ме <рк: (и, щ) =Xkfk. Элемент и= 2 ^к/кФк удовлетворяет уравне-
нию, ибо
||/ -Аи Ц2 = lim I/ - S К^АщТ = lim I/ - 2 /t<pJ* = 0.
п-+оо II R=l II П-+00II fc=l «
Таким образом, в случае разрешимости операторного
уравнения первого рода
Аи =/ (3.84)
решение представимо в форме сходящегося в Н ряда
оо
и= S V/сФк. (3.85)
Но эта формула имеет лишь теоретический интерес, так как
она не может быть использована, вообще говоря, в том случае,
когда элемент / и, следовательно, его коэффициенты Фурье
заданы приближенно.
Действительно, предположим, что элемент/ задан
приближенно элементом /а таким, что ||/ —- /§|| <; б, б ^> 0. Тогда вместо
коэффициентов ск = (/, <pfc) будем иметь некоторые с\ такие, что
S(^~^)a<S2, (3.86)
k=i
и вместо ряда (3.85) мы сможем построить лишь ряд
й = S Ч^Ф/с- (3.87)
Вследствие неограниченно растущих множителей Хк сумма
ряда (3.87) может сколь угодно сильно отличаться от суммы
(3.85). Поэтому непосредственное использование (3.87) не дает
возможность получить устойчивое приближение к решению^
уравнения (3.84). Но тем не менее регуляризованное семейство
приближенных решений можно получить [64], рассматривая

частичные суммы рядат(3.87)
Щ = 2 h&V*, (3.88)
связывая число членов п с уровнем погрешности б некоторой
зависимостью п (б).
Оценим уклонение суммы (3.88) от точного решения
Д(п, 6) =||»-и?||.
Для того чтобы элемент и& можно было принять за приближенное
решение, необходимо добиться, чтобы
НтД(гс(б),б) = 0. (3.89)
5-Ю
п
Введем частную сумму ряда (3.85) ип = 2 ^/АФк и определим
AxW-l^-^l-l^***^ (3.90)
Д2 (л, б) = IK ~ и? || = ( S М (ck - 4)2Г,
тогда, очевидно,
Д (л, б) < Дх (и) + Д2 (тг, б). (3.91)
Если существует единственное решение и уравнения (3.84),
то по теореме Пикара lim А1 (п) = 0. Таким образом, для
справедливости (3.29) достаточно, чтобы
lim Д2 (тг (б), б) = 0.
5-Ю
Лемма 1. Справедлива точная оценка
А2 (л, б)< | К | б. (3.92)
Доказательство. Учитывая, что последовательность
{| Хк |} не убывает, находим, что при переменных с^
удовлетворяющих (3.86), правая часть в (3.90) достигает наибольшего значения
при с\ = ск (к = 1, 2,. . ., п — 1) и | сп — 4 | = б. Отсюда
и следует (3.92). Оценка (3.92) является точной, так как для Д =
= / + бфп в (3.92) достигается равенство.
Из предыдущих результатов вытекает
Теорема 2. Если выбрать зависимость п (б) так, чтобы
lim | Яп(6) | б = 0, то lim || w£(5) - и || =0.
5-ю 5-Ю
b
Замечание 1. Интегральный оператор Аи = \К (х, t) и (t) dt
а
с симметричным суммируемым с квадратом ядром К (х, t)
удовлетворяет в L2 условиям этого параграфа.

Замечание 2. В несколько ином виде на возможность
регуляризации задачи (3.84) путем отсечения остатка ряда
указывалось в [8]. Там же рассмотрен один общий прием построения
регуляризующих алгоритмов, позволяющий рассмотреть с
единых позиций основные линейные методы в гильбертовом
пространстве (т. е. методы, описанные в § 1, 3, 7, 8).
2. В некоторых случаях можно дать асимптотическую оценку
метода Пикара.
Пусть L (х, t) — симметричное ядро с суммируемым
квадратом, имеющее те же собственные функции, что и ядро К (х, t)f
но, вообще говоря, другие характеристические числа {\in}t
I 1*1 I *ч | 1*2 | ^ •••• Предположим, что решение и (х) предста-
вимо в виде
b
и (х) = jj L (x} t) v (t) dt, (3.93)
а
где и (t) ее L2 [а, Ъ]. Если известны порядки роста Хп и |in, то
можно найти порядок убывания уклонения А (п, б) в зависимости
от убывания б.
Пусть коэффициенты Фурье функций и (х) и v (x) равны
соответственно ап и Ъп (ап = Япсп). Тогда ап = Ьп/|хп и
,2
Рассмотрим два варианта роста %п и |хп.
а) Верхние пределы
_log|bn| logl^l
p = hm —:——, a=hm-
n->oo l0g« ' n-oo ^n
назовем порядками степенного роста последовательностей {Хп} и
{|in}. Если они конечны, то для любого е ]> О
\К | < Сг (г) тг»«, | [гп | < С2 (г) /i'+«.
Мы будем обозначать этот факт в виде асимптотических соотно-
оо оо
шений Хп со тгр, |in со п°. Из сходимости рядов 2 1Ап и 2 1/(1*
n=i п=1
следует, что р > V2 и a > V2.
Теорема 2. £Ъш и (х) имеет представление (3.93), а
последовательности {кп} и {\in} имеют конечные степенные порядки
роста р и а, то наилучший порядок убывания уклонения А (я, б)
при б -> 0 достигается при п сг> б-1^*0) и равен
А (п (б), б) со б"(е+°>.
Доказательство. Учитывая (3.91) — (3.94), получим
А (тг, б) < С3 (е) и-°+е + С4 (е) пр+еб.
90

Зависимость б = б (тг), дающая наилучшую в смысле порядка
оценку величины Д (п, б), получается, если порядки каждого
слагаемого в правой части равны, т. е. n~a+t = тгр+е б (п). Отсюда
Ь(п)^п-?-°, исоб1/^0), Д(л, Ь{п))ыгГа, А(п(б), б)соб°^+°\
Пример 1. Рассмотрим ядро
(я (я — £)/я при х <С t,
К(х, t) = , ,
(^ (я — я)/я при я ;> £.
Это функция Грина краевой задачи
у" + %у = 0, и (0) = и (я) = 0.
Здесь Яп = ?г2, фп (я) = ]/~2/п sin тг£. Предположим, что L (x, t) =
= # (я, £). Тогда |хп= п2, р = а =2 (степенной рост). При тг =
= [б-1'4] имеем
Л (/г (б), б) со^б.
Это означает, что если правая часть уравнения задана
приближенно с погрешностью б, то беря йп (х) с числом членов порядка п =
= [6_1Ч, мы получим приближение к и (я) с точностью
порядка у&.
б) Верхние пределы
о = lim — , g = hm —
п-*оо п-+<х>
назовем порядками показательного роста последовательностей
{кп} и {|in}. Если эти порядки конечны, то асимптотически Кп со
со epn, |in со £ап.
Теорема 3. Если и (х) имеет представление (3.93), а
последовательности характеристических чисел {кп} и {|in} имеют
конечные порядки показательного роста р и а, то при
асимптотической зависимости
дгсх)—:—log б
имеет место асимптотическое соотношение
А (п (б), б) со 6в'<р+в\
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Пример 2. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
Лапласа: в области 0 <; х <; я, 0 <; £ <; # найти гармоническую
функцию w (я, t), удовлетворяющую условиям
w (0, t) = w (я, t) = 0, и? (ж, 0) = / (я), и>'< (л:, 0) = 0.
Эту задачу можно было бы свести к интегральному уравнению
первого рода, однако здесь проще сразу пользоваться рядами
Фурье. Положим
*=4
91

Тогда решение поставленной задачи
оо
w (х, t) = S ск °Ь kt sin kx.
Возьмем
оо
и (х) = w (х, К) = 2 ск °Ь &ft sin кх,
Jt=i
оо
1;(ж)=-м;(я;,Я)= S ^ ch АЯ sin fee (0<Л<#).
В этом случае Хп = ch raft, |in = ch nH/ch nh. Асимптотически
%n оо enhy [in oo en^H~h\ p = ft, a = H — h.
§ 8. Итерационные методы
В этом параграфе излагаются некоторые способы построения
регуляризованного семейства приближенных решений
линейного уравнения
Au = f, (3.95)
основанные на тех или иных итерационных схемах. Изучение этих
методов начнем с итерационного алгоритма, предложенного
в работе [154] для^интегральных уравнений Фредгольма первого
рода.
1.Теорема 1. Пусть А — самосопряженный,
положительный1г и* вполне непрерывный оператор, действующий в
гильбертовом пространстве Я, причем обратный оператор А~х
существует. Тогда последовательность ип1 определяемая рекуррентным
соотношением
ип = и"-1 + K[f — Аип-Ч (п = 1, 2,...), (3.96)
при любом начальном приближении и0 ЕЕ Я и параметре
0<Х< 2Хг,] (3.97)
где Ях — наименьшее характеристическое число, сходится к
решению уравнения (3.95) ип -> и = Л"1/-
Доказательство. Полагая в соотношении (3.96)
и11 = и + vn, получаем
vn = vn-i _ XAv71-1. (3.98)
Обозначим {cpj ортонормированную систему собственных
элементов оператора А. В силу условий теоремы эта система
полна в пространстве Я.
Образуем скалярное произведение от обеих частей равенства
(3.98) с собственным элементом ф,- оператора А
а? - а?"1 - ЦЛо"-!, (ft).
02

Это выражение с учетом самосопряженности А и соотношения
(pt = XtA(pi можно переписать в виде
«Г - аГ1 (1 - Щг) = (1 - Wi)n a" . (3.99)
где аГ = К, (pt).
Ha основании полноты системы {срг-} и выражения (3.99)
выпишем равенство Парсеваля — Стеклова
оо оо
и иг=£ юа = £,(*- хГ(а?)а-
Поскольку из неравенств (3.97) следует оценка (1 — Шг)2 < 1,
оо
то последний ряд мажорируется рядом 53 (а?)2 <С °° • Поэтому
i=l
для любого е ^> О существует к0 (е), не зависящее от пш такое, что
оо оо
а выбором п^> п0 (г) можно добиться оценки
1=1 1=1
<ma*(l--M"V|«<-f,
ибо (1 — ЯД$) <l(i=l, 2,..., А: 0). Приходим к
окончательному неравенству
||««-u'f = ||^||а = |(аГ)а<е,
i=l
которое и завершает доказательство.
Пусть теперь правая часть уравнения (3.95) задана с
погрешностью ||/ — /s || <^ б; операторе считаем заданным точно. На
основе схемы (3.96) определим последовательность
гЯ^ф-Щ^ + Цъ.
Тогда для любого начального приближения и0
\\и1-и2\\^Х8\\Е-Ы\\ + Х8 = Х8(1 + \\Е-Ы\\),
\\иъ-и"\\^%&П;%\\Е:--%А\\К
*—о
03

n—l
Обозначив cn = Я 23 || 2? — ta4 p, имеем
fe=0
\\и-и%\\^\\и-и"\\ + \\и"--и%\\'^\\и-и"\\+с(п)8.
Выше нами установлено (теорема 1), что lim || и — ип || = 0, по-
71-*оо
этому для сходимости lim \\и — иь || достаточно установить за-
П->оо
висимость п (б) так, чтобы с (п (б)) б -►■ 0 при б -►■ 0.
Обозначим через Rn оператор, ставящий в соответствие
каждому / элемент ип, определяемый формулой (3.96). Итогом
полученных результатов служит следующая
Теорема 2. Семейство операторов {Rn} является регу-
ляризующим для задачи (3.95), а {и^}—регуляризованным
семейством приближенных решений.
В общем случае (несамосопряженного оператора А) в
формуле (3.95) нужно заменить А на А*А и / на A*f.
2. Рассмотрим несколько иную схему [9] итерационного
процесса. Эта схема основана на усреднении обычного метода
последовательных приближений.
Пусть линейный оператор А, действующий в рефлексивном
пространстве С/, удовлетворяет условиям
|| Л || = 1, \\A—E\\=i. (3.100)
Оператор А, вообще говоря, не обратим, а если обратим, то А'1
не ограничен. На основе метода последовательных
приближений, исходя из начального приближения и01 определим элементы
ип = (Е - А) ип_г + /, (3.101)
по которым составим последовательность
п
*п = тттЕи*" (ЗЛ02)
fc=0
Пусть и — некоторое решение уравнения Аи = /. Образуем
последовательность
п п
vn = йп - и = ~j ^К — и) = -~- ^(Е- Af (щ - и).
к=о fr=o
Последнее соотношение легко устанавливается по индукции.
В самом деле, при п = 0 оно выполнено. Если при п оно также
94

верно, то, учитывая, что ип — и = (Е — А)п (и0 — и), имеем
2 (Щ — и)= S' (Щ ~ и) + (un+i — и) =
fc=o fc—о
?г
= S (Я - Л)*(и0 - и) + (Е - А)ип + / - и =
= 2 (я-4)*(и0-и).
В силу допущений (3.100) и рефлексивности U для полугруппы
операторов {(Е — А)к} выполнены условия эргодической
теоремы Иосида — Какутани [76, с. 297]. Согласно этой теореме ип
сильно сходится к одной из неподвижных точек преобразования
Е — А, т. е. к одному из решений однородного уравнения Аи =
= 9, и, следовательно, последовательность йп сходится к
одному из решений уравнения Аи = f (обратимость А не
предполагается).
Пусть правая часть / уравнения известна с ошибкой б,
II /—"/s || <^ 6 и оператор А точно задан (для простоты изложения).
Подставляя в (3.101) и (3.102) вместо / элемент /в, образуем
последовательности Un И Л*.
Рассмотрим очевидное неравенство
II И — Un || < || И — йп || + || Йп — йЪп ||.
Выше было установлено, что || и — йп \\ ->■ 0 при п ->- оо. Оценим
второе слагаемое
п
II ип — йп и = -jq-j-1 ^ (щ - иЩ <
fc=o
п п
fe=o fc=o
Таким образом, при связи п (б) ->- 0, w (6)6/2 -> 0 (б -►■ 0)
lim || и — йП(5)|| = 0, т. е. йп —- регуляризованное семейство при-
П-*оо
ближенных решений.
Вместо (3.101) можно рассматривать более общие
последовательности (см. п. 1).
ип =(Е - рА) ип_г + /|i (0 < |л < 1).
Чтобы свести к предыдущему случаю, достаточно доказать, что
при любом и. из указанного промежутка || Е — \хА || = 1.
Действительно, ф (|х) = || Е — \хА || — выпуклая функция на
отрезке 0 < \i < 1, принимающая при \i = 0 и \i = 1 значение 1.
Поэтому || Я — |гЛ ||< 1 при 0 < |х < 1. Но знак неравепства
95

невозможен ввиду неограниченности (необратимости)
оператора А.
Мы рассмотрели лишь простейшие схемы типа метода
последовательных приближений. Итерационным методам посвящена
обширная литература (см. библиографию в [150, 165]).
§ 9. Регуляризация интегральных уравнений
Фредгольма первого рода
Мы рассматриваем уравнение
ь
Ки = \к (х, t) и (t) di = / (х) (с < х < d), (3.103)
а
где правая часть / (х) ЕЕ L2 [с, d]. Ядро будем считать
суммируемым с квадратом и замкнутым. Функциональное пространство,
в котором ищется решение и (£), обозначим через С/. Положим
B(t) = (\K*(x,t)dx) . (3.104)
Будем исследовать параллельно два случая:
1) Lj-случай: В (t) e L2, U = L2 [а, Ъ]\
2) С-случай: В (t) eC, U =С [а, Ы
В случае 2) считаем дополнительно, что сопряженный
оператор i£*, отвечающий транспонированному ядру К* (х, i) =
= К (t, x), переводит каждую функцию из L2 [с, d] в непрерывную
функцию. Предполагаем, что при / (х) = f0(x) уравнение (3.103)
имеет решение и0 (t) (единственное вследствие замкнутости ядра)
в некотором классе М пространства U, но вместо /0 (х) нам
известна функция Д (х) такая, что
II /о - /в || < б. (3-Ю5)
где б ]> 0 —- заданный параметр (оператор /£ задан точно). По
заданной /§ (#) будем искать такую последовательность
функций щ (t) (приближенных решений уравнения (3.103)), что в
метрике U
щ -> и0 при б -> 0. (3.106)
За приближение к и0 (t) примем решение и (t; а, /5) уравнения
аи + К* Ки = К* /5, а > 0 (3.107)
при связи между а и б, обеспечивающей (3.106). Это простейшее
уравнение с симметричным ядром, к которому можно прийти,
применяя методы, изложенные в § 1 наст, главы (см. замечание 2)
и § 3 ((3.107) есть уравнение Эйлера для вариационной задачи
(3.25) при U = F = V = Z/2, ^ь= ^4 = К, тождественном
операторе L = Е и р = g = 2).
96

Обозначим
А (а, б; и0) = sup {|| u0 (t) - и (<; а, /6) || : || /0 - /в II < 6,
Л ЕЕ £2}. (3.108)
Сформулируем следующую задачу.
Пусть б = б (а) (0 <^ а <; а0, б ]> 0)— непрерывная,
монотонно возрастающая функция. Какова должна быть асимптотика
этой функции при а->-0и каков должен быть класс
регуляризации М, которому принадлежит точное решение uQ (t), чтобы
НтД(а,6(а);и0) = 0? (3.109)
а-ю
В этом направлении получены следующие результаты. Если
за приближенное решение уравнения (3.103) принять
иъ (t) = и (t; а (б), /в),
то для слабой (сильной) /^-сходимости в (3.106) необходимо и
достаточно, чтобы 6 = 0 (Уа) (б=о (Ya))- Из этого утверждения
(см. далее теорему 10) следует, что при слабой регуляризации в
соотношении Тихонова а (б) <; Сб2 [145] (см. также следствие 2 § 3
наст, главы) показатель 2 нельзя повысить. Кроме того, этот
результат уточняет теорему 1 § 3 наст, главы (при U = F = L2,
L = Е, Ah = А = К и р = q = 2), где доказана достаточность
условия б=о (^Са) для сходимости приближенных решений.
Обозначим через ¥ в С-случае замкнутую линейную
оболочку в пространстве С полной ортонормированной системы
собственных функций ядра
d
Ki (t, s) = ^ К (x, t) К (ж, s) dx, a <; t£s <^ b,
с
отвечающего оператору К*К.
Всегда множество регуляризации М С ХР. Далее в теореме 5
при непрерывности ядра К1 (t, s) формулируется достаточное
условие для совпадения М = Ч/\ а в теореме 11 даны необходимые
и достаточные условия для функции а (6),< обеспечивающие
(3.109) при условии, что и0 ее М.
1. При 6=0 функция и (t; а, /0) = и (t; а)] является
решением уравнения
^ аи + К*Ки = Я*/0, а > 0. (3.110)
Положим
М«; "о) =11 u0(t)-u(t; a) ||, (3.111)
А2 (а, б) = sup {|| и (t; а) — и (t; а, /8 )|| : || /0 — /« || < б, /в е Ь2}.
Норму для функций и (t) всегда берем в метрике пространства
U (т. е. Ь2 [а, Ъ] либо С [а, &]).
4 Заказ Kt 2865 97

Теорема 1. Для справедливости (3.109) необходимо и
достаточно, чтобы
lim Дх (а; щ) = 0, lim Д2 (а, б (а)) = 0. (3.112)
а-Ю а-*0
Доказательство. Величина А (а, б; и0) не убывает
с ростом б, поэтому
д1 (б; и0) = Д («I 0; щ) < А (а, б; и0), б > 0.
Отсюда следует необходимость первого из условий (3.112).
Применяя к тождествам
и0 (t) — и (*;а, /s) = [и0 (0 — и (*; а)] + [и (t; а) —
—и (t; а, /5)],
и (t; а) — и (t; а, /5) = [и0 (t) — и (t; а, /§)] — [и0 (г) — и (t\ а)]
неравенство треугольника для норм и переходя к точным
верхним границам по /& при ||/0 — /б || <^ б, получим
А (а, б; и0) < Ах (а; и0) + А2 (а, б), А2 (а, б) < А (а, б; щ) +
+ Ах (а; и0).
Из первого из этих неравенств следует достаточность
соотношений (3.112). Второе неравенство при выполнении первого из
соотношений (3.112) приводит к необходимости второго условия из
(3.112).
2. Для явного представления решения используем
фундаментальные функции Э. Шмидта [39, с. 136]. Обозначим систему
характеристических чисел положительных симметричных ядер,
определяемых операторами КК* и К*К, через 0 < %\ < Kl<....,
а соответствующие ортонормированные системы собственных
функций через {срг- (х)} и {фг (£)}. Эти собственные функции
связаны соотношениями
ь
(Pi (x) = %i ^ К (х, t) tyi (t) dt,
a
b
% (t) = Xi^K (x, t) op* (x) dx (i = 1, 2,...) (3.113)
a
и всегда принадлежат L2. Кроме того, в С-случаеo|)j (t) непрерывны,
так как К* действует из L2 \c, d] в С la, b].
Рассматривая в соответствии с (3.113) а|^ {t)l%i как
коэффициенты Фурье функции К (х, t) при фиксированных t по системе {ер* (х)}
и применяя равенство Парсеваля, найдем
V^-^(t), (3.114)
где В2 (t) определяется (3.104). В С-случае ряд в левой части (3.114)
по теореме Дини сходится равномерно.
98

Введем в рассмотрение ряды Фурье
оо
/о И '=2 с^(4 (3.115)
г=1
u0(t) = s <vM0- (з.иб)
г=1
При принятых нами условиях, когда /0 ^ L2 [с, d], u0 Ег
ErL2[a, W» эти ряды сходятся всреднемиа^=Х^^. Отсюда для м0 (£)
получается разложение Пикара (см. § 7 наст, главы)
оо
М*)=2 VtfiW- (3.117)
г=1
Решая уравнение (3.110) по методу Э. Шмидта [39], получим
"";а)=Ём^г'*<'>=Ётткг*» ■ <зл,8>
г=1 ' г г=1 ' г
Отсюда имеем в метрике U
Иг (а; и.) = || и0 (t) - и (*;» || = || £ ^j-^- a* (t) |. (3.119)
Предельное соотношение lim А1 (а; и0) = 0 равносильно в мет-
а-»0
рике пространства U соотношению
Ij i+*ritg ^^"^ц°^ при а~>0'
г=1 *
которое можно рассматривать как результат суммирования ряда
Фурье (3.116) для и0 (t) при помощи множителей сходимости
1/ (1 + а%\). Мы будем называть этот метод а-суммированием.
Ниже в теоремах 2 и 4 мы доказываем регулярность этого метода.
3. Ряд (3.115) сходится в среднем, отсюда следует, что ряд (3.118)
для и (t\ а) при a ^> 0 также сходится в среднем.
Теорема 2. Если точное решение и0 (t) принадлежит L2,
то имеет место сходимость в среднем:
lim и (t; a) = u0 (t).
СС-+0
Доказательство. Применяя к (3.119) равенство Пар-
севаля, получим
\ |«, (*) - и (*; a) I» dt = £ (-^jj «Ч'. (3-12°)
{=г-- + <
90

Если щ (t) e L2 [а, Ы, то числовой ряд 2 °%сходится. Но
а?ц/(1 + аХ\) ^ 1 при О^а ^ а0. Поэтому ряд в правой части
(3,120) сходится равномерно относительно а при 0 <^ а ^ а0
и, следовательно, в (3.120) возможен переход к пределу при а -> 0.
Следствие. Метод а-суммирования регулярен относительно
сходимости в среднем.
Обозначим через М класс функций пространства С/, ряды
которых по системе {о|)г- (t)} а-суммируются к этим функциям в
метрике пространства U.
Учитывая, что если уравнение (3.103) имеет в L2 решение
и0 (t), то его ряд Фурье (3.116) сходится к нему в среднем, и
используя следствие из теоремы 2, приходим к следующему
утверждению.
Теорема 3. В Ь2-случае имеет место М = L2.
4. В С-случае, к которому мы переходим, положение сложнее.
Лемма 1. В С-случае функция и (t; а) (а ^> 0), являющаяся
решением уравнения (3.110), непрерывна и ее ряд Фурье (3.118)
сходится к ней равномерно.
Доказательство. Функция /0 (х) ее L2 [с, d], и ее ряд
Фурье имеет вид (3.115). Функция g0 = К* /0 представима при
помощи ядра, соответствующего оператору К*, который действует
из L2[c,d] в С [а, Ь]. Тогда по теореме Гильберта —Шмидта
[39, с. 318] ее ряд Фурье
оо
сходится к ней равномерно. Но при а ^> 0 ряд (3.118) — равно-
сходящийся с этим рядом. Отсюда и следует утверждение леммы.
Теорема 4. Если в С-случае ряд Фурье (3.116) решения
и0 (t) сходится равномерно, то имеет место равенство
Нти(*;а) = ио(0 (3.121)
СС-+0
равномерно на [а, Ь].
Доказательство. Будем рассматривать и (t; а) и
члены ряда (3.118) как функции двух переменных, определенные в
прямоугольнике П (а <^ t <^ Ь, 0 <; а <; а0). Члены ряда
непрерывны в П, и ряд (3.118) в условиях теоремы по принципу Абеля
сходится в П равномерно по совокупности t и а. Отсюда следует,
что функция и (t; а) непрерывна в П по совокупности переменных и
по теореме Кантора равномерно непрерывна. Тогда (3.1.21) имеет
место равномерно на [а, Ь].
Следствие. Метод а-суммирования регулярен
относительно равномерной сходимости.
5. Обозначим в С-случае" замкнутую линейную оболочку
системы {tyt (t)} в метрике С через Т. Из определения класса М
100

следует, что М cz Y. Если ядро
d
Кг (*, s)=\K (х, t) К (х, s) dx, (3.122)
с
отвечающее оператору К*К, непрерывно, то можно дать
достаточное условие совпадения М=у¥. Прежде всего, заметим, что ядро
К± (t, s) положительно, поэтому в случае непрерывности по
теореме Мерсера для него справедлива билинейная формула
оо
#i(M) = S Ы*)Ы*№ (3-123)
причем ряд в правой части (3.123) сходится равномерно по
совокупности переменных.
Определим функции
^ С) % W
H(t,s;a)^Yj 1+^ , а>°> (3-124)
ь
L(t;a) = \\H(t,s;a)\ds. (3.125)
При а ]> О ряды (3.123) и (3.124) равносходящиеся, поэтому при
непрерывности Кг (£, s) ряд (3.124) сходится равномерно по
совокупности переменных к # (£, s; а) непрерывно по t и s. Функция
L (t, а) является аналогом функции Лебега для ос-суммирования.
Теорема 5. Если в С-случае ядро Кх (£, s) (3.122)
непрерывно, то для совпадения М = *¥ достаточно существование такой
константы Л, чтобы для всех а^> О было L (t; a) ^ A, a ^ t ^b.
Доказательство проводится по той же схеме, чт,о и
доказательство теоремы из [80, с. 183].
6. Обозначим Rol = (а Е + К*К)'1 #*, где Е — единичный
оператор в пространстве U. При а ^> 0 оператор Ra ограничен
и действует из U в L2, причем lim || Ra || = + оо.
а-*0
Из (3.107) и (3.110) имеем
и (t; а) — и (Р, а, /8) = Ra (/„ — /в),
откуда на основании (3.111)
Д2 (а, б) = || Ra || б. (3.126)
Из этого равенства видно, что для справедливости
lim А2 (а, б (а)) = 0 (3.127)
необходимо и достаточно, чтобы при а -> 0 было
б (а) = о (1/|| Ra ||). (3.128)
101

Таким образом, для нахождения условий для б (а),
обеспечивающих (3.127), важно знать асимптотику || /?а || при а -> 0.
Норму оператора Ra в L2- и С-случаях будем обозначать \\Ra \\Lt и
соответственно || Ra ||с-
7. Теорема 6. R Ь^-случае
|Д«Ць,<1/2]/'а, (3.129)
причем для а = ИХ\ (п = 1, 2, ...) в э/шш соотношении достигается
равенство
||Д«|ь = 1/2У1Г, а-1/С (3.129')
Доказательство. Пусть
оо
л (ж) = 2 Мч(*) (3.130)
г=1
есть функция из L2 [с, d]. Применяя к h (x) оператор 7?а, найдем
Л«АвЁтткгл'*'(')- (ЗЛ31)
Используя определение нормы оператора и применяя к (3.130)
и (3.131) равенство Парсеваля, получим
I Я. IL = sup {£ (j^ j h\: £ hi < 1}. (3.132)
г=1 *Г г г=1
Функция g (X) = Х/(1 + od2) достигает максимума при X =
= 1/}/"а, и этот максимум равен 1/2 |/"а. Отсюда и из (3.132)
следует (3.129).
Г 1 при i = и,
Если взять а = l/Xi и /^ = \ л . то из (3.132) по-
1 [ 0 при * ^=»,
лучится (3.129').
Следствие. Для того чтобы в 1/2-случае выполнялось
(3.127), необходимо и достаточно, чтобы
б (а) = о (|/"а) при а -> 0.
Это предложение следует из соотношения (3.128) и теоремы 6.
8. Теорема 7. Для того чтобы в Ь2-случае при любой функции
Д, удовлетворяющей неравенству
II /,-/в|<6, (3.133)
имела место слабая Ь2-сходимостъ и (t; а, /§) -^ и (t\ а) при а -> 0,
необходимо и достаточно, чтобы
Ь (а) = О (Уа). (3.134)
102

Доказательство. Обозначим и (t\ a) — и (t; а,/б(а)) =
= v (t; а, /5(a)). По теореме Банаха — Штейнгауза для слабой
сходимости к нулю необходимо и достаточно, чтобы:
1) норма || и (t; a, /§(а)) || была равномерно ограничена;
2) для каждой функции h (t) множества Н CL L2 [a, fe],
замкнутая линейная оболочка которого совпадает с L2 [а, Ъ), имело место
соотношение
ь
lim \v(t; a, /5(a))h(t) dt = 0. (3.135)
a-*0 a
Рассмотрим сначала условие 2). Возьмем в качестве Н
систему {tyi (t)} собственных функций оператора К*К.
Вследствие замкнутости ядра Kl (t, s) (см. (3.122)), соответствующего
этому оператору, система {tyt (t)} полна в L2 и ее замкнутая
линейная оболочка совпадаете L2 [a, b]. В этом случае интегралы (3.135)
равны коэффициентам Фурье функции v (t; a, /s(a)).
Если обозначить через ct и cib коэффициенты Фурье функций
/0 (х) и /s (x) по системе {ср; (я)}, то на основании (3.118) можно
написать
? h
\ v (*; а, /,) % (t) dt = ^ (с{ - с«).
a ' i
Имеем, пользуясь неравенством Буняковского—Шварца,
d
ki — Ci5 | = J ^ [/о (X) — /б И] фг (X) dx < || /о ~ /5 ||Ll < S.
с
Таким образом,
\\v(t; a,/5)% (0 dt| < —i^6 (3.136)
a г
и для любого фиксированного i и любой зависимости 6 = 6 (а),
при которой lim б (а) = 0, левая часть (3.136) стремится к нулю.
CL-+Q
Отсюда следует, что для справедливости доказываемой теоремы
необходимой достаточно, чтобы выполнялось условие 1). Но, как
следует из (3.111), (3.126) и теоремы 6, условие 1) равносильно
(3.134). Этим завершается доказательство.
9. Теорема 8. В С-случае имеет место следующая оценка
для нормы оператора:
|| Вл || < В/а, В = max В (t), (3.137)
где В (t) определяется соотношением (3.104).
Доказательство. Пусть h (x) e= L2 [с, d], || h \\ < 1,
и = RJi. Для h (x) иг; (х) имеют место разложения (3.130) и (3.131)*
103

Применяя к (3.131) неравенство Вуняковского—Шварца,
получим
X
°° сю . о
+ <
г=1 ' '* г=1
i=i г
Отсюда и следует (3.137).
Следствие. Для того чтобы в С-случае выполнялось
(3.127), достаточно, чтобы
6(a) = o(a) при a->0. (3.138)
Соотношение (3.138) следует из (3.126) и. (3.137). В (3.137)
Я R<x ||с оценивается сверху. Можно дать точное выражение для
нормы /?а, когда он действует из L2 в С.
Теорема 9. В С-случае
II Да ||с = © (a)/a, (3.139)
где
а Х>*/Уа г
Доказательство. Возьмем h (х) Е= L2 [с, d] и положим
v (t; h) = Rah. Тогда
ll^llc-supdl^^^llcrllAKl}.
h
Если ряд Фурье по системе {ср^ (х)} для h (x) есть (3.130), то
разложение и (t; h) имеет вид (3.131). Будем рассматривать значение
v (t; h) в точке t как значение зависящего от t функционала
v{t;h) = Fth9 (3.141)
определенного на L2 Ic, d]\
II ^t II =" sup {117(*; А) |: И А К 1>,
к
II Ra ||c = sup || v (t; h) ||c == sup sup \v(t;h)\ =
h h t
= supsup|i7(<;*)| = sup||Ft|, a<*<b, ||й||<1. (3.142)
t h t
Принимая во внимание (3.131) и (3.141), можем написать
Fth-hTT^ K
г=1
104

Отсюда следует, что
ГП I ^ЛЬ. (t) |2
Введем функцию от X и параметра t
g{i,t)= Щ T|)|(i)A?.
Тогда (3.143) можно представить в виде интеграла Стилтьеса
о
Интегрируя по частям и замечая, что
(см. (3.104)), находим
О
Сделав замену У а X = z, получим
о
_ 1 f ** ( у -Ф|(0 \ ,
0
х,>г/Уа *
Подставляя это в (3.142) и используя обозначение
(3.140),.приходим к (3.139).
Следствие. В С-случае для справедливости (3.127)
необходимо и достаточно, чтобы
б (а) = о (а/со (а)).
10. В теореме 1 показано, что для стремления к нулю верхней
грани уклонений А (а, б; щ) необходимо и достаточно, чтобы
limAxfaj^-O, (3.144)
a-*0
lim Д2 (а, б (a)) = 0, (3.145)
105

Объединяя результаты предыдущих пунктов, мы получим
условия, обеспечивающие сходимость приближенного решения
и (t; а, /5) к точному и0 (t).
Далее в теоремах 10 и 11 предполагается, что сильная (слабая)
сходимость
и (t; а, /8(а)) -+ Щ (t) (и (t; а, /5(а)) -*■ и0 (t)) при а -+ 0 (3.146)
имеет место при любой зависимости функции U(x) от параметра б,
при которой || /0 — fb || <^ б.
Т е о р е м а 10. Если в Ь2-случае уравнение (3.103) при f (х) =
= /о (#) имеет решение и0 (t) ЕЕ Ь2 [а, Ь], то для (3.146) необходимы
и достаточны следующие порядки функции б (а) при а ->■ 0:
1) б = о (Уа) для сильной Ь2-сходимости;
2) б = О (\fa) для слабой Ь2-сходимости.
Доказательство следует из теорем 1, 2 и одной из
теорем 6 или 7.
Теорема 11. Если в С-случае уравнение (3.103) при / (х) =
= /0 (х) имеет решение и0 (t) ЕЕ М, то для равномерной
сходимости (3.146):
1) достаточно, чтобы б = о (а);
2) необходимо и достаточно, чтобы б = о (а/со (а)), где са (а)
определяется (3.140).
Доказательство следует из теоремы 1 и одной из
теорем 8 или 9 наст, параграфа.
11. Из полученных результатов следует, что выполнение
соотношений (3.144) и (3.145), которыми определяется (3.146), зависит от
совершенно различных причин.
С некорректностью задачи связана величина А2 (ос, б), оценка
которой согласно (3.126) определяется величиной нормы
оператора i?a, и для ее оценки не требуется никакой априорной
информации о свойствах точного решения и0 (t). Величина Аг (а; и0)
зависит от скорости сходимости a-суммирования ряда Фурье
функции и0 (t) к этой функции. Для выполнения соотношения
(3.144) необходимой достаточно, чтобы и0 (t) принадлежало
классу М (см. п. 3), который в некоторых случаях (теоремы 3 и 5)
определяется очень просто.
Отметим, что для того, чтобы соотношение (3.146) было
справедливым, не требуется компактности класса М\ компактность здесь
не участвует даже в косвенной форме компактного вложения
[146, 148]. В частном случае задачи Коши для уравнения Лапласа
этот факт отмечен далее, в § 10.
Если ставим задачу найти количественную оценку А (а, б; щ)'
то сделать это для всего класса М вследствие его
некомпактности невозможно, так как сходимость (3.144) неравномерна
относительно и0 на М. В этом случае необходимо иметь информацию о
принадлежности щ (t) к некоторому подклассу Q класса М, на
котором сходимость (3.144) была бы разномерной относительно
106

u0 (t) так, 4-?д
lim sup {Д1 (a; u0): u0 £E <?} = ^*
a—K)
Высказанное соображение, естественно, справедливо и для общих
операторных уравнений Аи = / (см. далее гл. 4).
В основу настоящего параграфа положена работа В. К. Иванова
[68]. Условие б = о (Va)> касающееся сильной сходимости в
теореме 10, а также утверждения теорем 2 и 6 были получены в [7].
Частный случай теоремы 11 доказан в [158]. Отметим также, что
некоторые результаты этого параграфа обобщаются на случай
линейных операторных уравнений в банаховых пространствах (см.,
например, [66]). Для интегральных уравнений (3.103) со
специальными ядрами К (х, t) (ядрами Грина) более полные исследования,
касающиеся описания максимального класса регуляризации и
изучения асимптотики функций б = б (а) в С-случае, проведены
в работах [83, 157].
§ 10. Методы регуляризации
для дифференциальных уравнений
Рассмотренные выше методы основываются на устойчивом
решении интегральных уравнений первого рода и его абстрактных
аналогов. Некорректные краевые задачи для дифференциальных
уравнений большей частью сводят к интегральным уравнениям
первого рода. Но имеется ряд методов регуляризации, которые
применяются непосредственно к дифференциальным уравнениям. Не
ставя перед собой задачу сколько-нибудь подробно изложить эти
методы, ограничимся кратким описанием двух примеров, в которых
построение регуляризованного семейства приближенных решений
основано на использовании преобразования Фурье по
пространственной переменной х.
Для ряда неустойчивых задач математической физики Р. Лат-
тесом и Ж.-Л. Лионсом [100] разработан метод квазиобращения.
Основная его идея заключается в добавлении к
дифференциальному уравнению слагаемого, равного произведению производной
высокого порядка на малый параметр («вязкость»), так что для
измененного таким образом уравнения задача становится
устойчивой. Проиллюстрируем этот метод на примере задачи
управления для уравнения теплопроводности.
Эта задача состоит в нахождении такой функции ер (х) ЕЕ
€Е L2 (— 00, 00), что решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности
4f = S", «e(-oo,oc), <€=[0,Л (3.147)
при и (х, 0) = ф (х) удовлетворяет условию и (х, Т) = % (х),
где % (х) ее L2 (—00, 00) — заданная функция. Как известно, та-
107

Кая задача, вообще говоря, не имеет решения, но, как покаЗайб
в [100, 101], к % (х) можно приблизиться в среднем с любой степенью
точности.
Формально функцию ср (х) = и (х, 0) можно найти, решая
задачу Коши для уравнения (3.147) для прошедшего времени (t < Т)
с начальным условием и (х, Т) = % (х)> Но такая задача
неустойчива (см. п. 5 §2 гл. 1). В методе квазиобращения эту задачу
решают для уравнения
dt дх* +а дх* '
Va{x,T) = %(x), *ЕЕ(-ОС,Оо), t(=[0,T].
При а ]> 0 эта задача корректна, и мы можем найти устойчивым
образом функцию va (x, 0) = фа (х). Далее, решая корректную
задачу Коши для уравнения (3.147) при начальном условии
Uql (х, 0) = фа (х) и t ^> 0, находим иа (х, t) и иа (я, Т) = %а(х).
Как показано в [100], имеет место сходимость в среднем %а (х) ->
-> х 0*0 ПРИ а ~^ 0.
Этот результат может быть усилен [54]. Пусть % (х) —
непрерывная функция, имеющая на бесконечности порядок
О (ехр Ъ | х |4'3), где Ъ ^> 0 - некоторая константа. В [54]
доказано, что для функции % (я), полученной методом квазиобращения,
имеет место равномерная на каждом компакте сходимость:
lim %<x(x) = %(х). (По поводу некорректных задач управления
ос-*0
для уравнений с частными производными см. [101], где указана
дополнительная литература.)
Имеется ряд способов непосредственного решения задачи Коши
для уравнения Лапласа (см. [97] и указанную там литературу).
Обычно задача решается в классе ограниченных функций:
ограниченность и дает возможность получить устойчивое решение. В
качестве примера рассмотрим следующую задачу, где на функции
налагаются минимальные требования и решение ищется в
замкнутой полосе [55].
Требуется найти в полосе { -оо < # < оо, 0 <; г/ <^ Ь}
решение уравнения
ограниченное и непрерывное на границе полосы при условиях
и (х, 0) = / (х), иу (х, 0) = g (х), где / (х) и g (x) — равномерно
ограниченные вещественные аналитические функции
вещественной переменной х. Предполагается, что функции / (х) и g (x) можно
продолжить в комплексную плоскость как функции комплексного
аргумента z = х + iy так, что продолженные функции / (х + iy)
и g (x + iy) будут аналитическими в полосе {—оо <С#<сх>,
0 < у < Ъ) и непрерывными в ее замыкании. При таких условиях
108

Задача имеет единственное решение, но оно неустойчиво при малых
изменениях начальных данных.
Регуляризация задачи производится следующим образом.
Рассматривая функции и (х, у), f (x) и g (x) как функционалы над
пространством финитных бесконечно дифференцируемых функций,
применяем к ним преобразование Фурье. Для U (s, у) = F [и (я, у)]
получим обыкновенное дифференциальное уравнение, решая
которое при заданных начальных условиях найдем*
U(s,y) = F{s)ch(sy) + G(S) £lL.
При каждом у ЕЕ [О, Ъ] это — обобщенная функция из
пространства Z' [32, 33]. В качестве регуляризованного решения возьмем
обобщенную функцию
Ua(s,y) = e-""U(s,y), а>0.
Применяя обратное преобразование Фурье, найдем регуляризо-
ванное решение иа (я, у). Доказано, что для каждого у е (О, Ь]
имеет место равномерно на всей числовой прямой предельное
соотношение
hmu0i(x,y) = u(x1y).
сс-Ю
Замечание. Результаты, касающиеся метода
квазиобращения в задаче управления для уравнения теплопроводности,
обобщаются на гс-мерный случай [54]. Кроме того, путем четного
и нечетного продолжения аналогичным образом может быть
рассмотрен случай ограниченной области, когда i£fi-
параллелепипед со сторонами, параллельными осям координат [1]. По-
видимому, гс-мерный аналог описанного метода регуляризации
может быть получен и в задаче Коши для уравнения Лапласа.
Цель настоящего параграфа — дать предварительное
представление о некоторых способах регуляризации некорректных
краевых задач. Для подробного ознакомления следует обратиться
к соответствующим литературным источникам.
* Через l(S) и G(S) обозначены Фурье-образы функций f(x) и g(x)
соответственно.

Глава 4
ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
§ 1. Классификация некорректных задач
и понятие оптимального метода
Пусть U — линейное нормированное пространство, F —
рефлексивное банахово пространство, А — линейный ограниченный
оператор, отображающий U в F.
Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Au = f, uzeU, f&F. (4.1)
Предположим, что при / = /0 существует множество точных
решений U0 уравнения (4.1) такое, что U0 (~) R (В) Ф 0. Здесь
R (В) — область значений линейного вполне непрерывного
взаимно-однозначного оператора В, отображающего рефлексивное
банахово пространство V в U. Однако точные значения правой
части /0 и оператора А неизвестны. Вместо них даны некоторые
приближения J и А, где А — линейный взаимно-однозначный
ограниченный оператор, отображающий U в F. Требуется по
заданным / и А найти приближенное решение уравнения (4.1), в
некотором смысле наилучшее.
Для того чтобы но / и А можно было получить устойчивое
приближенное решение и уравнения (4.1), необходима
дополнительная информация о точном решении. Эта информация может
быть различной, и встречающиеся в теории и практике
неустойчивые задачи можно разделить на три типа [134]. Отнесем к первому
типу те задачи, у которых в качестве дополнительной информации
известны уровни погрешности б и h приближенных данных / и А:
II / ~/о II ^ 6, II А — А || <; h [37, 147]; к задачам второго
типа — те, у которых в качестве дополнительной информации
известна константа г такая, что С/0 П BS (8; г) Ф0, где 5 (9; г)—
шар радиуса г с центром в точке 9 [61]; к задачам третьего типа —
те, у которых в качестве дополнительной информации известны
все три величины б, /г, г [124], рассмотренные выше.
Определение 1. Методом решения некорректно
поставленной задачи (4.1) произвольного типа будем называть любое
отображение Р, вообще говоря, многозначное с областью
определения D (Р) = F х [С/-*- F] и областью значений R (P) (Z С/,
которое приближенным данным задачи (/; А) ставит в соответствие
множество приближенных решений U = Р (/; А) [131, 133].
НО

Введем количественную характеристику точности метода Р
для задачи (4.1) на классе регуляризации Mr = BS(Q\r) при
соответствующем ограничении на уровни погрешности правой
части и оператора следующим образом:
А(Р)= sup {$[Р(};Ж),и]:и{ЕМг,
и J, A
||7-4и||<в. || Л — Л ||< Л}, (4.2)
где р [Р (/; А), и] — р-расстояние от множества Р (/; Ж) (оператор
А здесь фиксирован) до точки и (см. § 1 гл. 2).
Определение 2. Метод P0pt будем называть
оптимальным на классе Мг, если
A (i>opt) - inf {Д (/>): i> e= ф},
где ф — множество всех отображений Р с областью определения
D (Р) = F х W -> F] и областью значений R (Р) С U.
Определение 3. Метод Р будем называть оптимальным
по порядку на классе 'Мг, если найдется величина к такая, что
А (Р)< k A (P0Pt).
§ 2. Оценка снизу погрешности оптимального метода
Перейдем к оценке погрешности A (P0pt) оптимального метода
P0pt- Для этого введем в рассмотрение следующую функцию:
Q- (б, А, г) = sup { || и' - и" ||: и', и" е Мг, || 4V -
it' it* .A' .А"
-4V|<V|i'-IKA, М'-Я||<Л>, (4-3)
где Л' и Л" — линейные ограниченные операторы,
отображающие пространство U в F. Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть Qj (б, /г, г) — функция, определенная
в (4.3). ГогЗа имеет место неравенство
b(Povt)>^h(2b,h,r). (4.4)
Доказательство. Так как Мг компактно, то Qj (б, /г, г) <^
<оо, и, следовательно, найдутся линейные ограниченные
операторы Аг и А2 и точки Wj, гг2 £= Mr такие, что || А1 —
— Ж || < А, || Л2 — Л || < /г, || Л^х — А2и2 ||< 26 и || их —
— гг2 || > Qj(26, /г, г) — е. Тогда для любого оператора Pg?
имеем
8ир{р[р(-4'Ц1 + ^;л),Ц]:^Мг,||Ли-Л1Ц1 + ^||<б,
M-^|<ft}>sup{p[p(yl",1 + i4"";^),u1]t
р[р(Л1Ц1 + Лк2;л),Ц>)^^|,
111

откуда
sup{p[p(^ + ^j),H]:»gMr, \Au- Л1»' + ^|<б,
Из неравенства (4.5) следует, что
sup {р[^(/;^)^]^емг,ц^-/||<б,||л~л||<й}>
и,7,А
>-i-^j(2S,fe,r)-e. (4.6)
Так как Р — произвольное отображение, ае — произвольное
положительное число, то (4.6) влечет (4.4).
Доказанная теорема позволяет получить некоторую оценку
снизу для A (Popt), но эта оценка не является эффективной, потому
что использует функцию Qj(26, /г, г) (см. (4.3)), которая является
трудновычислимой. Поэтому необходимо найти более
эффективные оценочные функции для A (P0pt)- Такой характеристикой
может служить хорошо известная в теории некорректных задач
функция со (т, г) [74, 97], называемая модулем непрерывности
обратного оператора в точке 0 (т. е. в нуле) и определяемая как
© (т, г) == sup { || и ||: и е Mr, || Ли || < т}. . (4.7)
Используя функцию со (т, г), можно получить эффективную
оценку снизу для A (P0pt). Этому посвящена следующая
Теорема 2. Пусть г \\ В \\ h + б < sup || Аи ||. Тогда
имеет место оценка
Qx(6,*,r)>V.o5(r||fl|a + 6,r). (4.8)
Доказательство. Так как МТ — компакт, то найдутся
точки щ, и2 €= Мт такие, что || щ || == г || В || , а || и2 \\ =
= со (г || 5 || /г + S, г), || Аи2 || < г || В || /г + б. Обозначим через
и' и и" элементы следующего вида: и' = ш/2, а и" =
= (щ + и2)/2, которые ввиду абсолютной выпуклости множества
Мт принадлежат ему. Так как подпространствоX (щ), натянутое
на элемент щ, конечномерно, то пространство U можно разложить
в прямую сумму U = X (uL) 07V подпространств X (щ) и N
(лемма 1 § 4 гл. 1).
Определим оператор А' так, что имеет место соотношение
■Ащ, и— —
(А'-Л)и = { 1Лм*1 l|Ul11 ' (4.9)
le, u<=n,
где X — произвольное действительное _число. Из свойства (4.9)
оператора А' — А следует, что если |-4и?||>г|/?ЦЛ, то
М' - А || = Л, (4.10)
№

|| Л V - ^V'|| <6, (4.11)
(аналогично исследуется случай |Au2\\<C.r\\B\\h).
Тогда из определения функции Q^- (S, /г, г) (4.3) и соотношений
(4.10) и (4.11) следует, что
Qj (S, /г, г) > || и" - и'\\ ,
\Ч% со (г || 5 || h + б, г)<Ох(6,Л,г).
Из теорем 1 и 2 следует оценка снизу для Д (P0pt)-
A (Povt) > V4 5 (г || Д || Л + 26, г). (4.12)
Теперь исследуем поведение функции со при б, Л->-0. Для этого
установим связь со с модулем непрерывности со (т, г) б нг/де
обратного оператора А'1: со (т, г)= sup { || и || : WG ЛГГ, || ^4и || < т},
где Л — точный оператор в уравнении (4.1). Необходимость этого
вызвана тем, что оператор Л зависит от /г, а поэтому при
различных значениях h величдна со (т, г) является модулем
непрерывности, вообще говоря, различных операторов, что затрудняет
исследование этой функции.
Лемма 1. Имеет место неравенство
со (кх, кг) <; /ссо (т, г) (4.13)
при к !> 1.
Доказательство. Пусть и £= М^г и || А и || -^ кх.
Тогда и .£= 5/5^, а следовательно, и/& ЕЕ Л/г и || Л (и/к) || ^ т.
Таким образом,
||ы||<А;со(т, г), (4.14)
а из (4.14) следует утверждение леммы.
Л е м м а 2. Пусть \\ А — А || <; h. Тогда
■©(г, г)<5(г||Д ||й + т, г).
Доказательство. Рассмотрим некоторый элемент
и ЕЕ Мг такой, что J Аи || ^ т. Тогда, учитывая, что || w || ^
^ х || S || и || А — А || ^ к, получим неравенство
|Яи||<г|Я||Л + т.
Следовательно,
. |иЦ.<3(г||Д||А + т, г). (4.15)
Из (4.15) следует утверждение леммы.
Аналогично доказывается оценка
со (т, г)< со (г || В || h + х, г).
На основании доказанных лемм
со (г \\B\\h + б, г) = О (со (г || Я || fe + б, г)) при Л, в-> 0,(4.16)
Ш

т. е. функции со (г || В || h + б, г) и со (г \\ В \\ h + б, г) ведут себя
одинаково при стремлении б и h к нулю.
Теорема 3. Если точный оператор А в уравнении (4.1)
является взаимно-однозначным, то со (г || В \\h + б, г) ->- 0 при б +
+ А-*0.
Доказательство. Предположим, что утверждение
теоремы не имеет места. Тогда найдутся последовательности (бп) и
(hn) такие, что бп, hn -> 0 при п ->■ оо, но
со (г || 5 || К + бп, r)>d>0. (4.17)
Из (4.16) и (4.17) следует, что
со (г || В || Ля + 6Я1 r)>dx>0. (4.18)
Из (4.18) следует существование последовательности {ип}аМг
такой, что для любого п
II ип || > ^ (4.19)
||Лип ||< г || 5 || йп + 6„. (4.20)
Так как множество МТ компактно, то из последовательности {ип}
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Допустим
ипН -*- и ПРИ пк ~~*" °° • Тогда на основании (4.19) || й || > с?х ^> 0, а
следовательно, й =^= 8.
С другой стороны, ввиду (4.20) АиПк ->■ 0. Учитывая
ограниченность оператора А, получим Ай = 6, что противоречит условию
теоремы. Теорема доказана.
Среди всех оценок снизу для величины A (P0pt) наибольший
интерес представляют точные оценки, т. е. такие, которые
одновременно являются и оценками сверху, или точные по порядку
оценки.
Далее мы докажем, что полученная оценка (4.12) является
точной по порядку. Одновременно укажем оптимальные по порядку
методы для решения поставленных задач.
Теперь для случая точно заданного оператора получим более
точную оценку. Пусть А — непрерывный оператор (линейность
оператора А не предполагается), отображающий U в F.
В этом случае методом решения будем называть любое
отображение Р с областью определения D (Р) = F и областью значений
R (P) d U, sl количественная характеристика точности А (Р)
метода Р будет иметь вид [137]
А (Р) = sup {Р (Pf, щ): и0 ЕЕ Мг, || / - Ащ || < б}.
ш, /
Введем в рассмотрение модуль непрерывности обратного
оператора
со! (т, г) = sup { || Mi — щ ||: иг, и% е МГ1 \\ Аих — Ащ || < т}. (4.21)
Ш

Лемма 3. Пусть
«1 (S, г) = sup { || и — и' ||: и, и'ЕЕ Л/,, || 4и — Аи' || < б}.
w, и'
Тогда
inf Д(Р)>4-©1(26,г).
Доказательство. Так как Мг — компакт, а оператор
Л непрерывен, то существуют элементы и, йе Л^г такие, что
|| Ли — Ай || = 26 и || и — й || = сох (26, г). Тогда для любого
отображения Ре? имеем
sup р Pf -^ j,w :меЛ/г, Ли ^ К,б >
v^ fо Г n / А й + Л5 \ _Л 0 Г „ / Ай + Ли =1 ] ^ || и — и ||
>sup{p[p(—i—J'uJ'Plp(—^— •"Л-*1!—2—|*
откуда
sup jp [p (Ж + Лб), uj : и e M„ J Ли
^fc^lob
>-|-% (26, r).
Из последнего неравенства следует
sup{P(P/, и) :и^МГ1 || / - Аи || < 6} >-|~ °>i (2б> г),
причем для линейного оператора Л V2CD]. (26, г) = со (б, г)
(см. лемму 1 § 3 наст, главы).
§ 3. Погрешность метода регуляризации
1. Устойчивость метода регуляризации. Метод регуляризации
Тихонова, как уже отмечалось в гл. 3, заключается в сведении
задачи первого типа приближенного решения уравнения (4.1) к
вариационной задаче
inf{||Ci;-7||P + a|M|*}, (4.22)
где a — положительный числовой параметр; /?, q > 1, а С = АВ.
Для удобства в дальнейшем мы будем предполагать р = q.
В теореме 1 § 3 гл. 3 было доказано, что при любых значениях
а ^> 0 и J ЕЕ F вариационная задача (4.22) разрешима, притом
она разрешима единственным образом, если функционал || Си —
— f || р + а || v || q является строго выпуклым.
Множество Ua = BVa, где Va — множество решений
вариационной задачи (4.22), есть множество приближенных решений
уравнения (4.1), полученных методом регуляризации.
115

Определение 1. Многозначное отображение ф,
действующее из метрического пространства X в множество К (U) всех
замкнутых подмножеств пространства U, будем называть
Н-полунепрерывным сверху {или полунепрерывным сверху в смысле Ха-
усдорфа), если для любого х Ez X множество ф (х) не пусто и
условие хп ->■ х влечет за собой условие ц> (хп) Д ф (х) [28J.
Это определение совпадает с обычным определением
непрерывности, если ф однозначно. Перейдем к исследованию устойчивости
метода регуляризации Тихонова. Для этого введем многозначное
отображение Р из F X R+ в С/, определенное следующим образом:
Ра (/, а) = и*, f <= F, а > 0, (4.23)
где иа—приближенное решение уравнения (4.1), полученное
методом регуляризации Тихонова по исходным данным / и а (А —
фиксировано).
Теорема 1. Многозначное отображение Ра (/, ос) является
Н-полунепрерывным сверху.
Доказательство. Из теоремы 1 § 3 гл. 3 следует, что
для любых f Ez F п а ]> 0 множество Pa (f, ос) не пусто. Пусть
б — предельная точка множества t/a, тогда найдется
последовательность {ип} d U* такая, что
ип —►- й при п ->■ оо. (4.24)
Так как для любого п ип ЕЕ U*, то ип = Bvn, где ипЕЕ V и
удовлетворяет условию
|| Cvn - / ||p + а || vn ||р = inf || Си - / \\р + a\\v р. (4.25)
rev
Из условия (4.25) следует, что
II »п || < || vo \\p + II Си0 - J р/а, где Bv0 = щ.
Таким образом, последовательность {vn} ограничена по норме.
Поэтому она слабо компактна. Без ограничения общности можно
считать, что
vn-^v при п-*оо, (4.26)
где V — некоторый элемент пространства V. Учитывая полную
непрерывность оператора В, соотношения (4.24) и (4.26), получим
Bv = u, (4.27)
\lm\\Cvn-f\\v=.\\ev-f\\r> (4-28)
и .
||0||p<lim||i;np. (4.29)
П-*оо
Из (4.27)—(4.29) следует, что
\\Cv-f\\P + a\\v\\v = mi \\ Cv - f \\р + a\\v\\^
116

т. е. Ъ ее ^а, а на основании (4.27) й ЕЕ Ua, что и доказывает
замкнутость множества Ua = Pj (/, а).
Предположим, что отображение Р~х (/, а) не является Я-полу-
непрерывным сверху. Тогда найдется_ последовательность {(/п,
ап)} a F X R+ такая, что (/п, осп) ->- (/, а), где (/, а) (= F X Я + ,
а Я+ —множество положительных чисел, но Р^ (/п, ап) у> Pj (/, а).
Другими словами, для любого п найдется элемент йп ЕЕ P-g (/п,
ап) такой, что
Р (йп,РХ (/><*))> О 0. (4-3°)
Так как йпЕЕ Pj (/n, ап), то йп = 5г;п, где элемент vn
удовлетворяет условию
II Cvn - U ||р + а„ || »п р = inf || Cv - U || + а„ || у ||р. (4.31)
Из (4.31) следует, что для любого п
|| С»» - /я ||р + ап || vn \\p < || Cv, - fn \\v + an || v± \\v. (4.32)
Из соотношения (4.32) следует, что
I Мр < (^ 8Щ> || ^ - /^р) + || г^ ||Р,
где а0 = inf ап, а0 ^> 0. Таким образом, последовательность
п
{vn} ограничена по норме, а значит, слабо компактна. Без
ограничения общности можно считать, что
vn-^v при п~»оо. (4.33)
Из (4.33) следует, что
||C^/n^ + a||D||P<l^{||^n-/np + an||z;np}. (4.34)
n—*oo
С другой стороны, ввиду того, что (/п, ап) -> (/, а), по любому
е ^> 0 можно найти номер N такой, что для всех п > Лг будет
выполнено неравенство
inf || Си - f ||р + в || i; р > || Cvn- U V + an II »» ||p - e. (4.35)
rev
Так как е — произвольное положительное число, то на
основании (4.35)
in{ || Си - / ||р + а \\и |р > lim { || СгУп - /я ||р + an || vn \v). (4.36)
Из (4.34) и (4.36) следует, что
\\Cv-f\\v + d\\v\\v= inf ||СУ-/||Р + аН|Р.
Таким образом, учитывая (4.33), получим йп-+-ВЪ, где Bv ЕЕ
ЕЕ Р-д (/, а), что противоречит (4.30).
117

Теорема 1 доказывает свойство устойчивости метода
регуляризации Тихонова. Это свойство заключается в том, что
метод регуляризации редуцирует некорректную (неустойчивую)
задачу (4.1) к устойчивой вариационной задаче. Свойство
устойчивости играет важную роль в вычислительном плане. Важность его
заключается в том, что при использовании ЭВМ неизбежны
некоторые возмущения исходных данных / и параметра а. А для
устойчивости вычислительных процедур необходимо, чтобы эти
незначительные искажения в исходных данных не приводили бы к
существенным изменениям регуляризованного решения f/a.
2. Оценка погрешности метода регуляризации. Для оценки
погрешности исследуем связь модуля непрерывности сох (т, г)
обратного оператора Л-1 (4.21) с ранее введенной функцией со (т,
г) (см. (4.7)). Эта связь подробно исследована в работе [74].
Лемма. 1. Имеет место соотношение
щ (т, г) = w (т, 2г). (4.37)
Доказательство. Соотношения щ ЕЕ МТ и и2 ЕЕ Мг
равносильны || иг || ^ г и || и2 || <^ г, где щ = Bvx, и2 = Bv2. Тогда
II ^i — v2 || <2г и щ — и2 е М2г. Отсюда
Щ (т, г)<5 (т, 2г). (4.38)
Tajc как М2т — компакт, то найдется элемент й ЕЕ М2т такой, что
|| Яй || ^ т и || й || = со (т, 2г). Элемент и = Bv, где || v || <^ 2г.
Рассмотрим элементы vx = v/2 nv2 = — v/2, для которых
выполняются неравенства || vx || <^ г и || v21| <^ г. Таким образом, ггх, й2 ЕЕ
е Afr, где йх = Bvx, й2 = 5г;2 и || Лй-i — Лй2 || ^ т. Учитывая,
что || йг — й2 || == || й ||, а || й || = со (т, 2г), получим
wx (т, г) > со (т, 2г). (4.39)
Из (4.38) и (4.39) следует утверждение леммы*.
Теперь перейдем к выводу оценки сверху для метода
регуляризации Тихонова.
Теорема 2. Если а — (б -f- h)p, то оценка метода на
множестве МГ имеет вид
А (Ра) < ю (21/р max (г, 1) max (|| В ||, 1) (б + h) + б,
2 у^тах(гР||Др,1) + гР). (4.40)
Доказательство. Пусть й ЕЕ f/a, тогда по
определению множества f/a имеем й = Bv, где г; удовлетворяет условию
\\Cv-f\\P + a\\v\\P= mi{\\Cv-f\\P + a\\v\\v}.
Следовательно,
II Sv - J \\v + a || v V < II u>o - / |* + a || v0 ||*>, (4.41)
* Утверждение леммы 1 справедливо без предположения полной
непрерывности оператора В.
118

где || v0 || <^ г, ABv0 = /0. На основании (4.41) и того, что а —
= (б + /г)*,
|| £ р < max (гр || Z? ||р, 1) + г*, (4.42)
а
II ^ - / ||*< 2 max*>(r, 1) max? (|| В ||, 1) (б + Л)р. (4.43)
Используя определение модуля непрерывности с^ (т, г) обратного
оператора и неравенства (4.42) и (4.43), получим
|| й - щ || < ©х (2ур шах (г, 1) max (|| В ||, 1) [б + Щ + г [ 51| Л +
+ б, у"тах(гР||Д||р,1) + гР). (4.44)
Из (4.44) на основании леммы 1 (см. (4.37)) следует утверждение
теоремы.
Из теоремы 1, учитывая неравенство (4.12) и лемму 1 § 2,
можно получить следующие следствия.
Следствие 1. Оценка сверху (4.40), полученная для
метода регуляризации Тихонова Р^ с параметром а = (б + h)p,
является точной по порядку.
Следствие 2. Оценка снизу (4.12), полученная для
оптимального метода P0pt, является точной по порядку.
Следствие 3. Метод регуляризации Тихонова Р^ с
параметром а = (б + h)p является оптимальным по порядку.
Следствие 4. Если б <; /г, || В || <^ 1, г > 1, то для
метода регуляризации Р^ с параметром а = (б -f- h)p справедлива
оценка
А (Р±) < 2(2P+D'PS (г || В || h + б, г).
Заметим, что в теореме 2 параметр а связан с погрешностями
б и h следующим образом: а = (б + Л)р, поэтому на основании
теоремы 1 полученный алгоритм непрерывно зависит от /г, б и /.
3. Обобщенный принцип невязки. Изложим другой способ
выбора параметра а в методе регуляризации Тихонова,
названный обобщенным принципом невязки [37].
Введем дополнительные ограничения на пространства f/, F, V
и на операторы Л, В. Будем предполагать, что U = F = V = Н,
где Н — сепарабельное гильбертово пространство. Оператор А
является положительным самосопряженным со спектром,
целиком заполняющим отрезок [0, || А ||].
Оператор В = g (А), где функция g (а) удовлетворяет
следующим условиям:
1) g (0) = 0,
2) g (ст) — строго возрастающая непрерывная функция. В этих
условиях функционал Тихонова || Си — / ||2 + а \\ и ||2 при р =
== q = 2 является строго выпуклым. Поэтому регуляризованное
119

решение иа единственно и может быть найдено из уравнения
Эйлера следующим образом:
йа = В {С*С + аЕу1 С*/, (4.45)
где Е —единичный оператор, а С* — оператор, сопряженный
оператору С.
Обобщенный принцип невязки [37] заключается в том, что
параметр регуляризации а выбирается из соотношения
|| Айа - / || = б + || й* || h. (4.46)
Теорема 3. Пусть ЦВ^щЦ^г и || / || >r \\B \\h + 8.
Тогда существует единственное значение параметра а, а = а (/, б, й),
удовлетворяющее обобщенному принципу невязки.
Доказательство. Рассмотрим невязку || Айа — / || и
покажем, что она является монотонно возрастающей непрерывной
функцией параметра а.
Для этого представим невязку || Айа — / (|2 в следующем виде:
II А ||
II Ай« - / ||» = 5 qV(;) + 0 d IIEJ ||2, (4.47)
о
где Еа — разложение единицы, порожденное оператором X
Производная функции а 2/ ч ■—по а больше нуля, следовательно,
если а < а', то для любого а : 0< а <; || А || справедливо
неравенство
oVW + a xoV(a) + a' '
Так как мера, порожденная функцией || Eaf ||2, является
положительной, то на основании (4.47) и (4.48)
1|лй«-/||2<||^'-Л12.
Таким образом, невязка || Ай* — / || — монотонно возрастающая
функция.
Теперь покажем, что невязка || Ай* — f || является
непрерывной функцией параметра а. Для этого рассмотрим числовую
последовательность {an}, ап -у а0 при п ->■ оо, где а0 ]> 0 и ап ]> 0.
Тогда
pn= sup_
0<e<||A||
«о
eVW + aft sV(e) + a0
<
Так как inf {an} ^> 0? то рп -> 0 при дг ->■ оо,
120

Следовательно, посйедоЬатёльность непрерывных функций
| 2 2, ? ,—1 равномерно сходится на отрезке [О, Ц А ||] к функции
[в g (б) -г anj
а0
e*g2(e) + a0
Учитывая, что по теореме Рисса [107] интеграл Лебега—Стил-
тьеса (4.47) порождает линейный непрерывный функционал на
пространстве непрерывных функций С [0, || А ||], получим
непрерывность невязки. Покажем, что |] йа || является непрерывной
монотонно убывающей функцией параметра а. Для этого
воспользуемся спектральным представлением функции || W- ||2:
11?Н
-У-® — £*||Яв/||». (4.49)
ИТ- $
е282 (б) + а
Производная функции а 2 /_г—отрицательна, а значит функция
|| йа || является монотонно убывающей.
Для доказательства непрерывности функции || йа ||
рассмотрим последовательность {ап}, ап -> а0 и ап ]> 0. Тогда
<
IGg2(G) Gg2(G)
eV(e) + on""eV(e) + a0
<4'?ffl- |an-a0|.
Таким образом, pn -> 0 при и -> oo, т. е. функция || йа ||
является непрерывной. Из непрерывности || ыа || и представления (4.49)
следует, что || йа || -> 0 при а -> оо. Так как непрерывная
монотонно возрастающая функция || Айа — / || — || йа || й — б
отрицательна при а = 0 ийтремится к положительному значению || / || —
— 6 при a -> оо, то найдется единственное значение а,
удовлетворяющее обобщенному принципу невязки (4.46);Теорема доказана.
Перейдем к оценке погрешности метода регуляризации Р*~ с
параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу невязки.
Теорема 4. Метод регуляризации Тихонова с параметром
а, выбранным по обобщенному принципу невязки (4.46),
оптимален по порядку на классе МГ, и для него справедлива оценка
А (/£) < 8А (P0pt).
Доказательство. Для элемента^д*'^, где А = (б, fe),
являющегося решением вариационной задачи (4.1), с
параметром a (A, /), удовлетворяющим соотношению (4.46), на
основании результатов § 5 гл. 3 справедливо условие:
|| va^' V |» = inf (Ц v |»: || Cv - f «< б + || BvT'V || Щ. (4.50)
121

Таким образом, из того, Что «0ё1/„ и кз (4.50) будет следовать
где мдД,/) = Bv^A'n. С другой стороны, (4.50) влечет
\\Iul(Aj)-f\\^b + rg(\\A\\)h.
Следовательно,
|| Ли0-Ли$АГ,) || < 26 + 2rg (|| А ||) h. (4.51)
Учитывая определение модуля непрерывности о^ (т, г) обратного
оператора (4.21), из неравенства (4.51) можно заключить, что
II Щ - и$А>7> || < ©1 (26 + 2rg (|| А ||) h, r). (4.52)
Из (4.44) на основании леммы 1 следует, что
II Щ - и*А{А>7> || < То (26 + 2rg (|| А ||) /г, 2г). (4.53)
Отсюда и из леммы 1 § 2 вытекает
К - *4(Л'?> || < 2о> (6 + rg (|| 11|) А, г).
Ввиду произвольности и0, / и 4
sup {|| i£(A J)- uo ||: щ е Мг, || / - 4и01|< 6, || Л - А ||< Л} <
< 25(6 +г* (|| Я ||) А, г). (4.54)
Учитывая (4.12) и последнее неравенство, получим утверждение
теоремы.
§ 4. Алгоритмические особенности
обобщенного метода невязки
1. Обобщенный метод невязки сводит задачу первого типа
приближенного решения уравнения (4.1) к параметрической
вариационной задаче
inf {|| v ||: || Си - / || < || Bv || h + 6}. (4.55)
Заметим, что вариационная задача (4.55) является достаточно
сложной и к ней неприменима разработанная теория
математического программирования ввиду невыпуклости функции
ограничений. Поэтому эта задача требует специального исследования. Так
как она представляет интерес в первую очередь как метод решения
некорректно поставленных задач, то необходимо исследовать
следующие вопросы, связанные с алгоритмическими особенностями
метода:
122

1) существование решения вариационной задачи (4.55);
2) единственность решения этой задачи;
3) устойчивость решения;
4) оценка погрешности метода;
5) связь обобщенного метода невязки с методом регуляризации
Тихонова.
Перейдем к исследованию существования решения.
Теорема 1. Пусть область значений R (С) оператора С
всюду плотна в F: Я (С) = F. Тогда вариационная задача (4.55)
разрешима.
Доказательство. Рассмотрим минимизирующую
последовательность {vk}, т. е. такую, что || Cvk — J || ^ || Bvk \\ h + б
и
||i;k||->inf {||у||: || Си - / ||< \\Bv\\h + 6) при Л-> со. (4.56)
Из (4.56) следует, что последовательность {ик} ограничена, а
следовательно, слабо компактна. Без ограничения общности можно
считать, что ик-^~ 0 при к -> со. Так как операторы С и В вполне
непрерывны, то из условия || Cvk — / || <J |l Bvk \\ h + б следует
|| СО - / ||< || Bv \\h + б. (4.57)
Учитывая свойство нормы слабого предела, получим
MKHmJKII- (4.58)
—>оо
Из (4.56) и (4.58) следует, что
|| £ ||< inf {|М1 = \\Cv-f\\<:\\Bv\\h + 8}. (4.59)
На основании (4.57) и (4.59) можно заключить, что элемент v
является решением вариационной задачи (4.55). Тем самым теорема
доказана.
Наряду с задачей (4.55) рассмотрим вариационную задачу
inf{|M|: \\Cv-J\\ = lBv\\h + 6}. (4.60)
Теорема 2. Пусть || / || > б + ;• || В \\ h и точное решение
и0 уравнения (4.1) принадлежит BSr. Тогда вариационные задачи
(4.55) и (4.60) эквивалентны.
Доказательство. Для доказательства достаточно
показать, что любое решение вариационной задачи (4.55) является
решением задачи (4.60). Предположим противное. Тогда найдется
элемент *>, удовлетворяющий условиям'
|| v || = inf {|| v ||: || Си - / || < || Bv || h + б}, (4.61)
|| Си -Т\\< II Bv || h + б. (4.62)
По условию теоремы || v || < || v0 || < г и || Си — f || <||/ ||.
Следовательно, v Ф 0.
Пусть г)х = (1 — ^)&» ^ > 0. Из того, что функции || <7&х —
— / || и || Вд\ || непрерывно зависят от Я, следует существование
123

k0 ^> 0 такого, что
\\Ch,-f\\<\\Bvu\\h+b.
Поскольку || v^ || < || v ||, то элемент & не является решением
задачи (4.55), что противоречит предположению. Теорема доказана.
Обозначим через Р многозначное отображение, определенное
на F X R + X R+ следующим образом:
Р(/,Д) = #а /ЕР, (4.63)
где UA — множество приближенных решений уравнения (4.1),
полученное обобщенным методом невязки по исходным данным Л",
/ и А = (б, h) (оператор Ж фиксирован).
2. Обращаясь к вопросу о единственности, покажем, что
даже при условии строгой выпуклости пространств U, F, V
приближенное решение, полученное обобщенным методом невязки,
может быть неединственным. Для этого рассмотрим следующий
пример.
Пусть U = F = V = R3, где R3 — трехмерное
действительное пространство с нормой || й \\ = У и\ + и\ + и\. Операторы
А и В определим следующим образом:
Aet = et/2, i = 1, 2; Ie3 = es;
Bet = 2et, i = 1, 2; Be3 = e3,
где e11 e2, e3 — ортонормированный базис в пространстве R3.
Пусть f = е3, h = 1, а б = 0. Сначала рассмотрим
вариационную задачу (4.55) на двухмерном пространстве, порожденном
элементами ег и е3. По теореме 2 она эквивалентна следующей
вариационной задаче:
inf {v\ + v\: v\ + (v3 - 1)* = Avl + v\). (4.64)
Решив задачу (4.64), получим v± = V3 и v3 = V8. Обозначим
норму решения вариационной задачи (4.55) в двухмерном
пространстве, порожденном элементами ег и е3, через d, т. е. d = |/"2/3, и
покажем, что
d < inf {|| v\\: v^ Rs, \\ Cv - / ||< || Bv\\h + 6}. (4.65)
По теореме 1 решение задачи (4.55) в пространстве R3 существует»
Обозначим его через v^ex + v^e2 + v3e3.
Рассмотрим в двухмерном пространстве X {еъ е3) точку с
координатами vi = V {vt)2 + (v£)2 и v3 = v3. Для нормы этой точки
справедливо соотношение
: Vv\+vl = inf (|| v ||: || Си - / || < || Bv || h + б}.
124

Так как точка (vf, v£, v%) является решением задачи (4.55), то
ее координаты удовлетворяют следующему соотношению:
(#)2 + &)* + (4 ~ I)2 < 4[(#)2 + (#)2] + ЯА)2. (4.66)
Но тогда на основании (4.66) и определения операторов А я В
координаты точки (vu v3) будут удовлетворять соотношению:
К)2 + (v, - I)2 < 4 (гтх)2 + (v3)*. (4.67)
Из соотношения (4.67) следует требуемое неравенство (4.65). Из
доказанного следует, что точка с координатами vx = V3, v2 = 0,
vs = х/3 является решением вариационной задачи (4.55) в
пространстве R3, но тогда, очевидно, и точка с координатами v[ = 0,
v2 = V3 и v3 = V3 также будет решением этой задачи, что и
доказывает неединственность ее решения.
3. Перейдем к исследованию устойчивости приближенного
решения UA уравнения (4.1), полученного обобщенным методом
невязки.
Теорема 3. Пусть F —_сепарабелъное^гильбертово
пространство, область значений R (С) оператора С всюду плотна в F,
г !> || щ || и существует й ЕИ Р (/, А), удовлетворяющий условию
1(Ащ /) + || й || Лб]2 ф (|| Ли ||2 - || й ||2 fe2) (|| / || ■ - б2). (4.68)
Тогда многозначное отображение Р является Н-полунепрерывным
сверху в точке (/, А).
Доказательство. Прежде всего покажем
замкнутость UA. Из теоремы 1 следует, что для любых f EzF, А множество
UA = Р (f, А) не пусто. Пусть и — предельная точка_этого
множества. Тогда найдется последовательность {ип} С Р (/, А)
такая, что
ип -> й при п -> оо. (4.69)
Так как любой элемент ип Ez UA, то ип = Bvn, при этом уп е V
и удовлетворяет соотношениям:
|| Cvn - / || < || S^n || h + б, (4.70)
|| vn || = inf {|| v ||: || О; - J || < || £*; || h + б}. (4.71)
Отсюда получаем || vn || <; || v0 ||, где Bv0 = и0.
Таким образом, последовательность {vn} ограничена по норме.
Поэтому без ограничения общности можно считать, что
ип -+ v при тг->оо. (4.72)
Учитывая полную непрерывность оператора В и соотношения
(4.69) и (4.72), получаем
ВЬ = й (4.73)
и
lim||-Ci;n-f || = ||СУ-/||. (4.74)
П-*оо
If 125

Принимая во внимание соотношения (4.70), (4.71) и (4.74), имеем
|| Си - f || < || Bv\\h + б; (4.75)
учитывая, что ип -*- г;, получаем
|| v || = inf {|| v ||: И^-ЛКИ^Р + в).
т. е. элемент й ее С/А, что и доказывает замкнутость множества
U* = Р (/, А).
Предположим, что отображение Р (/, Д) не является Я-полу-
непрерывнымсверху в точке (/, А). Тогда найдется
последовательность {(/„, А„)} С F X R+ X R+ такая, что (/„, Дп) -* (/, А),
II /п -/о||<вп, II Я -Л ||<А„||. Н0
Р(/Я,ДП)>Р(/,Д).
Тогда без ограничения общности можно считать, что для любого
п найдется элемент iinGP (/, А) такой, что
р (йя, Р (/, А)) > d > 0. (4.76)
Так как йп = Bvn, где £п удовлетворяет соотношениям (4.70) и
(4.71), то последовательность {vn} ограничена по норме и,
следовательно, слабо компактна. Без ограничения общности можно
считать, что
vn-±v при тг-^оо. (4.77)
Кроме того,
|Й|<ИтИп||. (4-78)
П-*оо
Учитывая, что йп ее Р (fn, An), получаем
II Cvn - /„ || < || Bvn || hn]+ 8n. (4.79)
Но тогда на основании полной непрерывности оператора В и (4.77)
из неравенства (4.79) следует, что
\\Cv-f\\^\\Bv\\h + 6. (4.80)
Таким образом,
inf {|| v ||: || Cv -7 II < II Bv || h + 6} < || и ||, (4.81)
а ввиду неравенств (4.78), (4.80) и (4.81)
inf {|| v ||: || Cv - / || < II Bv || h + fi} < Urn || «я ||. ' ' (4.82)
П-*О0
Покажем, что в соотношении (4.82) имеет место равенство.
Допустим противное, что в (4.82) имеет место строгое
неравенство, т. е.
~ inf {|| v ||: || Cv- J || < || Bv \\h + 6}<Иш || vn ||. (4.83)
Тогда можно рассмотреть следующие два случая.
126

1. Элемент v = В~^и удовлетворяет условию
{ХШ: X > 1} П {/= II/ - J IK т} Ф 0, (4.84)
где ? = || €v — / ||. Ввиду того, что элемент г; удовлетворяет
условию (4.84), найдется Х0 ^> 1 такое, что
II К& - f II < т, (4.85)
11^||<(||^||+Ит_||^||)/2. (4.86)
?l—wo
Из условия (4.85) следует, что
II £ (V) _ Л|< Х0II ^||Л+«. (4.87)
Так как /гп -> /г и бп -^ б, то из (4.87) следует, что при достаточно
больших п
II С (V) - / II < \\В (V) II К + бш (4.88)
а учитывая, что элемент vn является решением вариационной
задачи (4.55) при начальных данных {/п, Ап}, и условие (4.88),
будем иметь при достаточно больших п
II »„ || < Х0 || v ||. (4.89)
Из (4.86) и (4.89) следует, что
lim|*n|<lim||»w||.
П-хх П—»оо
Таким образом, при выполнении соотношения (4.84) строгое
неравенство в (4.83) невозможно.
2. Элемент v не удовлетворяет условию (4.84). Рассмотрим
следующую разность:
II С (Xv) - J ||2 - (|| В (Xv) || h + б)2,
ИЛИ
|| xcv - / || 2 - X2 || Bv \\2h2 — 2Х || Bv \\ hb - б2. (4.90)
Из (4.90) следует, что
|| С (Xv) - J ||2 - (|| В (Xv) || h + б)2 = (|| Cv f - || Bv || W)X* -
- 2 [(£p, f) + || Bv || А61Я, + (||/ ||2 - б2). (4.91)
Обозначим коэффициент при X2 через а, при X через Ъ и свободный
член через с и рассмотрим квадратный трехчлен Q (X) = аХ2 +
+ ЪХ + с» Легко проверить, что () (Я) имеет два различных
действительных корня Хг = 1 и Х2. Так как ||/ || ]> г||2? ||й + б, то
Ь<0.
Допустим, что а > 0 и Х2 < 1. Тогда при Я2 < Я < 1 ^ (Я) <
< 0. Следовательно, элемент v не является решением
вариационной задачи (4.55), и поэтому данный случай исключается.
Пусть а > 0 и Хг > 1. Тогда при 1 < Х< Х2 Q (X) < 0.
Выберем ^0 ^> 1 так, чтобы Х0 < Я2 и
|MK(I*»+ljm|»»|)/2.
П-*оо
127

Затем, рассуждая, как и в первом случае, придем к тому, что
предположение о том, что имеет место строгое неравенство (4.83),
неверно.
Допустим, что а < 0 и Х2 < 1. Тогда при X ^> 1 Q (к) < 0.
Этот случай аналогичен только что рассмотренному.
Пусть а < 0 и Х2 ^> 1. Тогда при X <С 1 (? (Я) < 0, что
невозможно ввиду того, что элемент й является решением вариационной
задачи (4.55).
Пусть а = 0. Тогда, учитывая, что Ъ < 0, получим при
некоторых значениях Я <С 1 ^> (Л,) <С 0. Отсюда следует, что в данном
случае неравенство (4.83) не имеет места.
Из всего сказанного следует, что || v || = Нш || vn\\. Но тогда
п-*оо
на основании неравенства (4.80) ||&|| = || v ||. Следовательно, Bv ЕЕ
€Е Р (/, А), что противоречит (4.76). Тем самым теорема доказана.
4. Перейдем к выводу оценки погрешности для обобщенного
метода невязки.
Теорема 4. Обобщенный метод невязки Р^ является
оптимальным по порядку на классе решений Мг и
А (Р)< 8 inf {A (P): PG?)}.
Доказательство. Пусть й Ez UA, тогда по
определению множества UA имеем й = Bv, где v удовлетворяет условиям
|| Cv - /||< || Bv || h + б (4.92)
|| v || = inf {|| v ||: || Cv - /|| < || Я* || Л + 6}. . (4.93)
Так как точное решение и0 уравнения (4.1) удовлетворяет условию
II Аи0 - / ||< || Щ || h + б, (4.94)
то на основании (4.92) и (4.93) получаем || В~ги0 || > || v || и,
следовательно,
||»||<г. (4.95)
Из (4.82) и (4.95) следует, что
|| Cv - J ||< г || В || А + б. (4.96)
Используя определение модуля непрерывности сох (т, г) обратного
оператора и неравенства (4.95) и (4.96), получаем
II Щ •- U || < ^ (26 + 2г\\В || /г, г). (4.97)
На основании последнего неравенства и леммы 1 § 3 находим
|| и0 - й || < 5 (26 + 2г\\В || /г, 2г), (4.98)
откуда в силу леммы 1 § 2 имеем
|| и0 - й || < 25 (б + г || Д || К г).
Ввиду произвольности и0, f и А
А (Р) < 25 (б + г || В || Л, г).
128

Учитывая (4.12) и последнее неравенство, получим утверждение
теоремы.
5. Обобщенный метод невязки является трудно реализуемым
из-за того, что при его использовании приходится решать
вариационную задачу с невыпуклыми ограничениями. Поэтому важно
исследовать вопрос о том, в каких случаях можно упростить этот
метод, например свести его к методу регуляризации с
параметром а, выбранным специальным образом.
В § 5 гл. 3 показано, что при решении некорректных задач с
точно заданным оператором метод невязки сводится к методу
регуляризации Тихонова с параметром а, выбранным по принципу
невязки. Кроме того, в § 6 гл. 3 показано, что в некоторых случаях
обобщенный метод невязки сводится к методу регуляризации с
параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу
невязки (4.46). Дадим теперь полный ответ на поставленный вопрос.
Для удобства пространства V и F в дальнейшем будем считать
гильбертовыми, а в методе регуляризации параметр р будем
предполагать равным 2. В этом случае регуляризующий
функционал будет строго выпуклым, а следовательно, приближенное
решение и*, полученное методом регуляризации, будет единственным.
Будем говорить, что обобщенный метод невязки сводится к
методу регуляризации Тихонова с параметром а, удовлетворяющим
обобщенному принципу невязки (4.46), если каждое решение иА
вариационной задачи (4.55) одновременно является решением'
вариационной задачи (4.22) при связи (4.46).
Теорема 5. Пусть ||/||]>б + г||Д||Л. Для того\чтобы
обобщенный метод невязки можно было свести к методу регуляризации
Тихонова с параметром, удовлетворяющим обобщенному принципу
невязки (4.44), необходимо и достаточно, чтобы каждое
приближенное решение uazeUa уравнения (4.1), полученное обобщенным
методом невязки, удовлетворяло условию
|| В'ЧА || = inf {|| v || : || Cv - f ||< б + || и* \\ h}. (4.99)
Доказательство. Необходимость. Так как обобщенный
метод невязки можно свести к методу регуляризации Тихонова
с параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу
невязки (4.46), то каждое решение vA вариационной задачи (4.55)
является решением вариационной задачи (4.22) при связи (4.46),
т. е.
inf || Си — / ||2 + а || v ||2 = || CvA - / ||2 + а || иА ||2 (4.100)
|| CvA-f\\ =6 + || BvA \\h. (4.101)
Ha основании теоремы 2 § 5 гл. 3 из (4.100) и (4.101) следует, что
элемент vA удовлетворяет условию
|| „Д || = inf {\\v\\:\\Cv -ЛК8 + II Bv* || h).
5 Заказ Н 2865
129

Достаточность, Пусть иА — одно из приближенных решений
уравнения (4.1), полученное обобщенным методом невязки. По
условию теоремы элемент иА удовлетворяет условию (4.99).
Следовательно, по теореме 5 § 5 гл. 3 элемент В~хиА = иА является
решением вариационной задачи (4.22) при связи (4.46). Тем
самым достаточность доказана.
Теперь сформулируем одно необходимое условие, при котором
обобщенный метод невязки может быть сведен к методу
регуляризации. Это условие практически более удобно, чем условие,
сформулированное в теореме 5.
Теорема 6. Если обобщенный метод невязки сводится к
методу регуляризации Тихонова с параметром а, удовлетворяющим
обобщенному принципу невязки (4.46), то вариационная задача
(4.55) имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть vf и vf — два решения
вариационной задачи (4.55), а значит, || ух || = || vf ||. По теореме 5
эти элементы удовлетворяют следующим условиям:
|| ^д || = inf {|| v\\ : || Cv - f || < б + || But || h) (4.102)
И
|| vf || - inf {|| v || : || Cv - / ||< б + || Bvf || h]. (4.103)
Покажем, что || Bvf || = || Bvf ||. Предположим, что || Bvf || <
< || Bvf ||. Тогда || Cvf — / || < б + || Bvf \\ h, т. е. найдется
положительное число Х0 <С 1 такое, что
II CX0vf - f || < б + ||. Bvf || h. . (4.104)
Из соотношений (4.102) — (4.104) следует, что || vft\\ ^ Я0 || vf ||.
Таким образом, || vf || < || vf\\, что невозможно. Учитывая, что
|| Bvf || = || Bvf ||, условия (4.102), (4.103) и строгую выпуклость
гильбертова пространства V, получим^ = vf. Теорема доказана.
Примером задачи, при решении которой обобщенный метод
невязки не может быть сведен к методу регуляризации Тихонова
с параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу
невязки, может служить пример, приведенный в п. 1 наст, параграфа.
Это следует из теоремы 6 и того факта, что для приведенного
примера вариационная задача (4.55) имеет неединственное решение.
§ 5. Погрешность метода квазирешений
1. Устойчивость метода квазирешений. Метод квазирешений
заключается в сведении задачи второго типа приближенного
решения уравнения (4.1) к вариационной задаче
inf {|| Жиг-J \\: и^ МТ). (4.105)
Пусть выполнены предположения, принятые в § 1. Так как
оператор вложения В вполне непрерывен, то множество Мт =
130

= BSr является компактом. Следовательно, задача (4.105)
разрешима (см. § 6 гл. 1).
Множество решений Ur вариационной задачи (4.105) будем
называть квазирешением уравнения (4.1).
Обозначим через Р многозначное отображение, определенное
на F X R+ следующим образом:
Р (/, г) = Ur,
где Ur — квазирешение уравнения (4.1).
Теорема 1. Многозначное отображение Р является Н-
полунепрерывным сверху.
Доказательство. Из § 6 гл. 1 следует, что для любых
/ ЕЕ F и г ее R+ множество Р (f, г) непусто.
Пусть й — предельная точка множества Ur, тогда найдется
последовательность {ип} d Ur такая, что
ип -> й при п -> оо. (4.106)
Так как для любого п ип е Ur, то ип ЕЕ Мг и
|| Аип - / || = inf {|| Ли - / ||: и ЕЕ Мг}.
Отсюда с учетом непрерывности оператора А и соотношения
(4.106) получаем й ЕЕ Мг и
|| Ли -f\\= inf {|| Яи - / ||: и е МТ).
Следовательно, й ЕЕ С^г.
Предположим, что отображение Р (/, г) не является
^-полунепрерывным сверху. Тогда найдется последовательность {(/п,
rn)} (Z F X R+ такая, что (/„, гп) -> (/, г), но
P(fn,rn)Xp(L ?).
Тргда без ограничения общности можно считать, что для любого п
найдется элемент йп ЕЕ Р (/п, гп) такой, что
р (йп, Р (/, г)) > d > 0. (4.107)
Так как последовательность {йп} принадлежит компакту BS~4
где г = sup rn, то из нее можно выделить сходящуюся последова-
п
тельность. Без ограничения общности можно считать, что
йп-+й при тг->оо. (4.108)
Докажем, что и ЕЕ Ur, или, другими словами, что
|| Ли - f || = inf {|| Ли - / || : и ЕЕ М-}.
Допустим, что || Ли — / || < inf {|| Ли — f || : u ЕЕ М-}, и
рассмотрим последовательность {г/гп, йп), которая, очевидно,
принадлежит множеству BS- = М- и сходится к элементу и, но тогда
5* ги

ввиду замкнутости множества М- й£ЕМ-, а следовательно,
|| Ли - / || > inf {|| Ли - / || : u e MF}.
Предположим, что имеет место строгое неравенство
|| Ли - / || > inf {|| Ли - f || : и е= М?} + ^, ^>0. (4.109)
Во-первых, покажем, что
lim inf {|| Ям - / ||: м е M-J = inf {|| Ям - / ||: м <= M7}.
Поскольку Af- CZ Л/f, то
inf {|| Ли - f ||: м ЕЕ Af7_J > inf {|| Ли - / ||: и <= Mf}.
Отсюда, учитывая, что элемент wr(r — e)/f принадлежит
множеству Му_с и сходится при 8-> 0 к элементу ur €E Ur, получаем
требуемое равенство.
Ввиду того, что ип-**й при п -> оо, а оператор Л является
непрерывным, найдется Nx такое, что при п > Nx
III Ли - / || - || Аип - / || |< й/4, (4.110)
и, учитывая, что
inf {|| Ли — f ||: и е МГп) -> inf {|| Ли — / ||: и е AT?} при га -> оо,
можно указать номер 7V2 такой, что при я > 7V2
|inf{||Ям-/ ц:меМг}-
-inf{||^-/||:^eMrJ|<di/4. (4.111)
Так как || Лйп — / || = inf {|| Ли — / || : и ее ^Vnb то» учитывая
неравенства (4.110) и (4.111), получим
|| Ли - / ||< inf {|| Ли - / ||: и е MF} + d,
что противоречит (4.109).
2. Оценка погрешности метода квазирешений. Следуя
результатам, приведенным в [131], сформулируем следующую теорему:
Теорема 2. Пусть область значений R (Ж) оператора Л
всюду плотна в пространстве F. Тогда метод квазирешений Р (/, г)
является оптимальным по порядку на классе Мг и
Д (Р (/,'*))< 8 inf {Д (Р): Реф}. (4.112)
Доказательство. Так как область значений R (Л)
оператора Л всюду плотна в пространстве F, то оператор Р(/, г)
определен на всем пространстве F, а следовательно, принадлежит
набору методов ф.
Пусть й ЕЕ Ur, тогда по определению множества Ur й€ЕМг и
|| Ли — П = inf (II Аи - / || : и е Мг}. (4.113)
132

На основании равенства (4.113) имеем
|| Ай - / ||< || Ли0 - f ||, (4.114)
где и0 — точное решение уравнения (4.1). Тогда из (4.114) следует,
что
II Ли - / ||< г || В \\h + б. (4.115)
Используя определение модуля непрерывности щ (т, г)
обратного оператора (4.37) и неравенство (4.115), получим
|| и0 - й ||< Si (26 + 2г\\В || К г). (4.116)
Из (4.116) на основании леммы 1 § 3 следует, что
|| и0 - а ||< со (26 + 2г || В || К 2г). (4.117)
Из (4.117) и леммы 1 § 2 имеем неравенство
|| щ - и ||< 2со (б + г || В || К г),
из которого следует оценка сверху для искомой погрешности
Д (Р (/, г)) < 2со (б + г || В || К г). (4.118)
Объединяя (4.12) и неравенство (4.118), получим утверждение
теоремы.
Следствие. Учитывая (4.12), можно утверждать, что
оценка сверху (4.118) для метода квазирешений Р (f, r) является
точной по порядку.
Замечание 1. Если при заданном уровне погрешности
Д = (б, h) за приближенное решение принять обобщенное
квазирешение, т. е. элемент йд, удовлетворяющий условию Аид ЕЕ
^S (/; Я), где R =h\\B\\r + 6 (при h = О R = б, см. п. 3
§ 2 гл. 3), то и для этого метода оценка погрешности на множестве
Мг имеет вид (4.118). Это следует из очевидного соотношения
|| АиА — Аи01| < || АйА — АйА || +
. +||^аА-7|| + ||7-/о||<2(в + Л||Д||г).
§ 6. Метод регуляризации с параметром а,
выбранным по невязке
Цель настоящего параграфа — дать при некоторых условиях
простой способ [59] нахождения параметра а в методе
регуляризации Тихонова (§ 3 гл. 3) при приближенном решении
неустойчивых задач третьего типа (см. § 1 наст, главы). Поясним сперва суть
проблемы и предлагаемого метода, приняв следующие
предположения, которые будем считать выполненными в пределах этого
параграфа.
Пусть F и V — гильбертовы, a U — банахово пространства.
Операторы А и В с областями определения D (А) = U и D (В) =
= V линейны и ограничены, причем В вполне непрерывен; R (А) С
133

CZ F, Ft (B) CL U — их области значений, на которых существуют
обратные неограниченные операторы Л"1 и В'1. Предполагается
также, что при некотором /0 ЕЕ R (А) уравнение (4.1) имеет
решение и0 Ez R (В), причем вместо /0 известно лишь его приближение
J ЕЕ F такое, что || /0 — / || <^ б (ради простоты считаем пока, что?
оператор А задан точно).
При решении задачи методом регуляризации Тихонова в
качестве приближенного решения принимается элемент их,
реализующий нижнюю грань в экстремальной задаче
inf {|| Аи - / || 2 + а || В-ги || 2: и е R (В)} (а > 0) (4.119)
(для гильбертовых пространств целесообразно выбирать р = q =■
= 2). При этом возникает важная задача нахождения такой
зависимости а = а (б), чтобы
иа<*>->и0 при б->0. (4.120)
А. Н. Тихоновым [147] доказано (см. теорему 2 §3 гл. 3), что
эту зависимость можно обеспечить, если положить а (6) = сб2,
где с > 0 — произвольная константа. Чтобы избежать
неопределенности, связанной с выбором постоянной, В. А. Морозов [111]
предложил выбирать ее из принципа невязки: иа должно
удовлетворять соотношению
\\Аи* -/|| 2 =б2. (4.121)
Отметим также, что построение приближенных решений по
методу невязки
inf {|| В-Ы ||2: \\Au-] || 2 < б2} (4.122)
сводится к минимизации функционала (4.119) при выборе
параметра регуляризации а из условия (4.121) (теорема 5 § 5 гл. 3).
Произведя подстановку^ =и, перепишем выражения (4.119)
и (4.121):
inf {|| Си - / || 2 + а || v || 2: v ЕЕ V) (а > 0), (4.123)
|| Си - J || 2 = б2. (4.124)
Оператор С действует между двумя гильбертовыми
пространствами V и F, поэтому сопряженный оператор С* действует из F
в V. Уравнение Эйлера для функционала (4.123) запишется
следующим образом:
C*Cv + av = C*J.
Его решение имеет вид
v* = (С*С + аЕ)-гС*1 (а > 0). (4.125)
Тогда после подстановки (4.125) и (4.124) получаем соотношение
|| [С (С*С + а£)-хС* - Е] f || 2 = б2. (4.126)
134

Последнее уравнение при 0<б <; || / [| имеет единственное
положительное решение (поскольку левая часть в (4.126) строго
монотонно возрастающая функция от а [116]), но в численном
отношении нахождение из него а достаточно сложно.
Если предположить, что V = F и оператор С нормален, т. е.
С*С = СС*, то уравнение (4.126) можно записать следующим
образом:
где Xt — собственные значения оператора С*С, а у, —
коэффициенты Фурье элемента /. Таким образом, отыскание а из
уравнения (4.125) предполагает знание Л;, ytl что само по себе
является сложной задачей.
Оказывается, что если известна оценка нормы vQ = 5_1и0
сверху || и0 || ^ г, то положив a = 4б2/г2, т. е. взяв в
соотношении Тихонова с = 4/г2, можно гарантировать выполнение
неравенства
II Аи* - f ||< 36. (4.128)
Обоснование этого факта, его обобщение на случай уравнений
с приближенно заданным оператором и оценка погрешности
приближенного решения даны ниже. При этом при
доказательстве теоремы 1 использован прием, развитый в работе [60].
1. Прежде чем перейти к изложению основного результата,
сформулируем и докажем две вспомогательные леммы. Заметим
сначала, что операторы Сг = С*С и Ф (Сг, а) = (Сг + а£)-1 —
ограниченные самосопряженные положительные операторы,
действующие в гильбертовом пространстве V [107]. Спектр S = S (Сг)
оператора Сг расположен на отрезке [0, || Сг ||].
Пусть Еа — разложение единицы, порожденное оператором Сг.
Тогда можно рассматривать непрерывные функции от
оператора Сг, соответствующие непрерывным числовым функциям
определенным на [0, || Сг ||] [107]:
IICill
Y(d)= j ^(a)dEai
о
при этом !Р = !Р (Ci) — ограниченный самосопряженный
оператор, перестановочный с Сх, и
\\ЧГ(Сг)\\= шах 1я|) (а)|< max | -ф (су) |. (4.129)
o<=S ае[0, IIO.IIJ
Лемма 1. Пусть !Р — ограниченный положительный
самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом
пространстве V, перестановочный с Сг. Тогда
|| С¥ ||у_„ = || Vcjy ||v-*v (4-130)
|| CVC* ||P_P = || СгЧГ ||v-v (4-131)
135

Доказательство. Имеем очевидные равенства
|| CY ||2у_Р = sup || СТ \\v = sup (C¥v, CTv) = sup(YdYv, v)=
IMKi ll»li<i IIbIKi
кроме того, для положительного самосопряженного оператора Т
II Т2 II = II Т ||2. (4.132)
Вследствие самосопряженности и положительности операторов
С±¥ и Ci¥2 из последнего оператора можно извлечь квадратный
корень. Таким образом, на основании свойства (4.132)
II су || = || усу f.
Последнее приводит к равенству (4.130). Далее имеем
C¥C* = CVWV4rC*,
|| CYC* ||F_*F = sup (CYC*/,/),
ll/IKi __ _
sup (CYC*/,/) = sup (]/"YC*/, 1/YC*/),
ll/IKi- ll/IKi
так что окончательно получаем
sup (/YC*/, / YC*/) = || J/YC* ||2F^y = || C]/Y ||V-*.
ll/IKi
Подставляя в равенство (4.130) ]/"!Р вместо Y и учитывая свойство
(4.132), получаем
|| СЧГС* \\f-+f = || С |/~Y||V>f = || dY||^v.
Лемма 2. /Три а ]> 0 справедливы оценки
|| С1 (С, + off Г || v^f < || С ||/ (|| С р + а) при а > || С f,
|| С (d + «Я)"1 ||V_F < 1/2 /а при а < || С f, (4ЛЛ5)
||С'(С1 + а£:)-1С*||Р^р<1. (4.134)
Доказательство. Возьмем ¥ = (Сх + аЕ)-1. Тогда
на основании соотношений (4.129), (4.130) имеем
|| С (& + аЕ)~11| V_F = || /Ci (d + аЯ)"11| v^v < max -g- .
Функция ф (a) = 1/^0/(0 + a) возрастает при 0 ^ a <^ a и
убывает при а > a, достигая максимума в точке ст = а, причем
Ф (а) = 1/2/а. Это приводит к оценкам (4.133). Соотношения
(4.129), (4.131), в свою очередь, дают
|| С (d + аЕ)~Ю* \\f-f < шах —J— < 1.
136

2. Как уже отмечалось в § 3 наст, главы, приближенные
решения в методе регуляризации Тихонова находятся из решения
вариационной задачи J.nf {|| Си — f \\р + а || v \\q: v ее V), где
оператор С = АВ и || А — А || ^ к; кроме того, || / — /0 || ^ б.
Так как пространства V и F — гильбертовы, то параметры р
и g будем считать равными 2. Тогда регуляризующий функционал
\\ Си — f ||2 + а || v ||? будет строго выпуклым (лемма 2 § 3 гл. 3),
а следовательно, задача (4.22) будет иметь единственное решение
уа, которое можно найти из уравнения Эйлера
v« = (С*£ + аЕ)-1 С*/.! (4.135)
Перейдем к оценке уклонения невязки \\ Си — f ||.
Теорема 1. Пусть \\ u0f\\ <; г, где Bv0 = u0. Тогда
справедлива оценка
II Cv* - / ||< 26 + 2г || В || h + Var/2.
Доказательство. Так как
II Cv«-J\K\\Cv«-Cv*0 Ц + \\Cvl - Cv0\\ + \\Cv0- Cv0\\ + || Cvo-T ||,
(4.136)
где Уо = (С*С + aE)-xC*f0 и С = -45, то достаточно оценить
каждое слагаемое. На основании (4.134) и неравенства || /0 —
— I |К б имеем || Cif; — Cvl || < б. Далее, i# = (Сх + аЕ)~гх
хС*/0= (€1 + a£,)"1C,*C,i?o, поэтому на основании оценок (4.133)
и (4.134) при 0 < а < || С ||2 получаем
|| Cvl - Cv0 || = || С (С, + аЕ)-^^ - Cv0 \\ + (4.137)
+ \\С[(С1+ аЕ)-1?^ - С(Сг + аЕ)'1 C*Cv0 ||.
Из^ (4.137) следует, что || €v% — Cv0 \\ < /ar/2 + r\\B \\h. Наконец,
|| Cv0 — Cv0 || <; г || В || h и || Cv0 — / || < б. Подставляя
найденные оценки в (4.136), приходим к требуемой оценке.
Из теоремы 1 следует, что если а положить равным
4 (|| В || h + б/г)2, то для невязки || Cv* — /[|| будет справедлива
оценка
|| cv* - f ,|| < 36 + Зг || В || h. (4.138)
(ср. с неравенством (4.128)).
Так как v°- является решением вариационной задачи (4.22),
то
|| Cv* - f ||» + а || v- ||2 < || Си0 - f f + a || i;0||*. (4.139)
Отсюда вытекает неравенство
|| v- ||а < (г || 5 ||А + 8)2/а + || v0 ||3.
Если || v0 ||< г, а а = 4 (|| Я || Л + 6/г)2, то
||>а||</г2+ г2/4',
137

или
II v* II < V5r/2. (4.140)
Из (4.138) и (4.140) получаем
|| и* - щ || < щ (46 + 4г || В || Л, /5г/2)',
где м0 — точное решение уравнения (4.119), awa = Bv*. Исиоль-
зуя лемму 1 § 3, находим
II и* - и0 || < 5 (46 + 4г || В || A, Ybr). (4.141)
Из неравенства (4.12) и (4.141) следует теорема 2.
Теорема 2. Метод регуляризации с выбором параметра
а = 4 (|| В || А + 6/г)2 является оптимальным по порядку на
множестве Мг = {и: и = Bv, || у || ^ г}.
§ 7. Исследование простейшей схемы
метода Лаврентьева
1. Оценим погрешность метода Лаврентьева (см. § 1 гл. 3)
на множестве М, представимом в виде
М = {и: и =Bv, v^ У, || v || < г}, (4.142)
где В — некоторый линейный ограниченный оператор,
коммутирующий с операторами A, Ah, которые считаем линейными
ограниченными самосопряженными и положительными, V —
банахово пространство. Согласно уравнению (3.5) регуляризованное
семейство приближенных решений может быть получено по
формуле
4 h = Да {/6; Ah) ^ (Ah + aE)-*h. (4.143)
Считая, что и0 ЕЕ М, т. е. и0 = Bv0 и || v0 \\ ^ г, оценим
сверху величину погрешности *
Л (Ra) = sup {|| и - Д« {/б; 4h} ||: и е= М, \\ Ли - /в || <
< б, || 4 - 4h || < h). (4.144)
С учетом соотношений (3.10) и (3.11) для этого достаточно найти
оценку сверху величины
Дх (а, А) = sup {|| и — (Ah + аЕ)-1 Аи ||: и е ЛГ, || Л1—
- Л || < h). (4.145)
Учитывая представление (4.142), коммутируемость операторов,
находим
Ц Bv - (Ah + аЕ)-1 ABv || = || (Ah + aE)~\Ah - А +
+ аЕ) Bv || < ||Д [a (Ah + а#)-Ч;] || + || (Ah + аЕ)-гх
x(Ah-A)Bv\\. (4.146)
* В отличие от предыдущих параграфов настоящей главы, считаем, что
оператор А фиксирован, а верхняя грань берется по и, /s, A^ (ср. (4.2)).
138

Принимая во внимание неравенства (3.9), имеем для
элемента v' = a (Ah + olE)'1 v оценку || v' || <; г, т. е. Bv' e? M.
Кроме того, || аА (Ah + аЕ)-1 и\\ =a\\Ah (Ah + аЕ)-1 и + (А —
-Ah)(Ah + аЕ)-1 и || = а || Я || г + А || Д || г.
В соответствии с определением функции со (•) (см. § 2 наст,
главы) и неравенствами (4.146) получаем окончательную оценку
величины Дх (а, А), определяемой формулой (4.145)
Дх (а, А) < со [(а + А) || В || г, г] -|- А || 5 || г/а.
Объединяя теперь последнее выражение с оценками (3.11)
и (4.12), имеем двухстороннюю оценку для искомой погрешности:
о)! (2б,г)/2 < A (RJ < б/а + А || £ || г/а +
+ со [(а + А) || 5 || г, г]. (4.147)
Следствие. При точно заданном операторе Ah = Л
(т. е. А = 0) неравенства (4.147) принимают вид [97]
со (б, г) < А (Ропт) < A (Ra) < б/а + со (а || В || г, г). (4.148)
Действительно, правое неравенство (4.148) получается
непосредственно из (4.147) при А = 0. Левое неравенство (4.148)
вытекает из леммы 3 § 2 наст, главы. Для этого следует лишь
заметить, что
о)! (26, г)/2 = со (26, 2г)/2 = со (б, г)
(см. леммы 1 § 2 и 3).
Замечание 1. Для вполне непрерывного оператора В
множество М является компактом, поэтому ввиду равномерной
непрерывности отображения А'1 на множестве AM со (т, г) -> 0
при т -> 0. Таким образом, если известна функция со (т, г) (или
известны ее двухсторонние оценки), то полученные оценки (4.147)
и (4.148) эффективны в том смысле, что позволяют находить
приближенные решения с гарантированной точностью при
соответствующем выборе параметров а, б, А.
Как будет показано в п. 2, оценки сверху в (4.147) и (4.148)
являются грубыми. Можно получить наилучшие по порядку
оценки погрешности А (/?а), исходя из других оценочных
функций [125].
2. Пусть {Ra} — некоторое регуляризующее семейство
операторов для уравнения Аи = / и для этого семейства справедливо
представление
Ra{f,I) = Ra(I)f, (4.149)
где для любых а>0 и lG«Sc[f/->fl Да (Л) —
линейный ограниченный оператор.
139

Заметим, что семейство {/?а}, определяемое Соотношением
(4.143), в предположениях п. 1 удовлетворяет условию (4.149)
при Яа (А) = (А + аЯ)-1.
Теорема 1. Если для регуляризующего семейства {Ra}
выполнено условие (4.149), то для погрешности Д(/?а),
определяемой формулой (4.144), справедливы соотношения
-f {sup || (Е - Ra(Ah) A)B\\r + sup || Ra(Ah) || 6} < Д (Ra)<
1 Ah An
< sup || (E - Ra (Ah) А) В || r + sup || Ra (Ah) || 6. (4.150)
Доказательство. Пользуясь представлением
множества М в форме (4.142) и линейностью Ra (Atl), имеем
очевидный ряд неравенств (б/ =/ — /«):
Д(ДаК8ир{Ци-йа(АМи||:»еМ,и-Л||<л} +
+ sup {||Д« (Ah) (/ - /,): || / - /81| < б, || А - Ah || < h) <
5/,Aft
<sup|| (Я- Ra(Ah) A)B\\r + sup ||Ra(Аь) || б.
АЛ Ah
С другой стороны, полагая /6 = Ли, находим
Д (Ra) > sup {|| и - Ra {Au; Ah) \\:u^M,\\A-A h\\ < h) =
= suv\\(E-Ra{Ah)A)B\\r,
\
а при w = 8
Д (i?«) > sup {|| Ra {h; Ah) ||: || /51|< Щ = sup« R* (Ah) || 6.
fb'Ah Ah
Следствие 1. Если Ah = А (оператор задан точно)
и {Ra} — регуляризующее семейство в смысле определения 9 § 1
гл. 2, то
^ {II {Е - RaA) В || Г + || Ra || б}< Д (Ла)<
< Ц (Я-Д«Л) 2? || г+ || Д« Ц 6. (4.150')
Следствие 2. Если выбирать параметр а из условия
минимума величины
sup || (Е - Да (Ah) A)B\\r + sup || Да (Л) || б
(и, в частности, || (Е — 7?аЛ)5||г + || 7?а || 6), то приближенные
решения имеют максимальный по 8 и ft (для данного семейства)
порядок убывания погрешности.
140

Применим найденные оценки для вычисления погрешности
в методе Лаврентьева, для простоты ограничившись случаем
Ah==A (отсутствует погрешность в операторе) и В =А^(р^ 1),
т. е. множество М задается в виде
М = {и:и = Apv, || у ||<г}.
Будем предполагать, что для оператора А выполнены требования
п. 1 и, кроме того, отрезок [0, а] (а ^> 0) принадлежит спектру
оператора А. Тогда, если о (А) — спектр оператора Л, то [107,
с 325]
|| (£ __ (Л + а#)-1 А) Ар || - || (Л + аЕ)~1 ((А + аЕ) - А) Лр || -
— № + •****'*—£&,&;—(Щ-
|я.1 = 1М + «Е)-Ч=д;)Т^: = -^.
Подставляя найденные значения в (4.150') и минимизируя по а,
имеем
Д(Л«(в))<с(г,лН||)в1/-, (4.151)
причем при р = 1 константа с (г, р, \\ А ||) <^ 2г1/г.
Поскольку для рассматриваемого случая модуль
непрерывности обратного оператора Л-1 со (т, г) = tp/(p+1V1(p+1) (см.
далее пример 4) в § 9), то на основании (4.148) получаем
оценку—снизу
6P/(P+l>rll(P+l> < Д (Ропт) < А (Да). (4.152)
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1) при р = 1 метод Лаврентьева оптимален по порядку,
причем A (Ra)/A (РоптХ 2;
2) при р ]> 1 метод Лаврентьева не является, вообще говоря,
оптимальным по порядку;
3) оценка сверху в (4.148) (и, следовательно, в (4.147)) не
является точной по порядку б при выборе параметра а из условия
минимума величины б/а + со (а || В \\ г, г), например, при р = 1
б/а + со (а || В || г, г) = 0 (б1'*).
В пояснении нуждается лишь заключение 2). Действительно,
при принятых условиях множество N6 (/6) — А~г (5 (/$; б)) f] M
является выпуклым замкнутым ограниченным подмножеством
гильбертова пространства. Тогда метод чебышевских центров [51,
52], в котором за приближенное решение принимается чебышев-
ский центр [31] множества N6 (/6), оптимален на множестве М и
A (Rout) = О [(0 (б, г)]
(см. далее теорему 7 и замечание 2 § 4 гл. 5). Поскольку со (б, г) ~
~ 6р/(р+1>и в силу соотношения (4.151) для любого р > 1 Д(#а(5)) =
= О (б1'2), то при р ^> 1 величины погрешностей А (/?0пт)
и Д (i?a(5)) имеют различный порядок по б.
141

§ 8. Метод проекционной регуляризации
Рассмотрим задачу приближенного решения операторного
уравнения (4.1) третьего типа, поставленную в § 1 наст, главы,
предполагая, что U = F = V = Я, где Н — сепарабельное
гильбертово пространство, оператор Ah является линейным
взаимнооднозначным самосопряженным положительным оператором со
спектром, целиком заполняющим отрезок [0, || Ah ||], а В =
= g (Ah), где функция g(o) удовлетворяет следующим условиям:
1) g (0) = 0;
2) g (о) — строго возрастающая непрерывная функция.
Введем регуляризующее семейство операторов [64]:
ИЛ,,!!
№f= (J ±-dEef, 0<а<||Л||, (4.153)
а
где Еа — разложение единицы, порожденное оператором Ah.
Рассмотрим оценку уклонения А (а, б, К) приближенного
решения uth = Pi 7 б уравнения (4.1) от точного решения и0 на
классе Мг:
Д (а, б, К) = sup {|| u%h — и0 ||: w0 е Мг, || Ли0 — /б || < б,
. ||Л-ЛЛ||<Л> (4.154)
Введем обозначения:
Ах (а) = sup {|| P(ah) Ahu0 - и0 ||: и0 е Мг},
Д2 (а, Л) = sup {|| ^илы0 - Pih)Au0 ||: u0 ЕЕ M„
\\A-Ah\\^h},
А3 (а, б) = sup {|| Pih)Au0 - P^h ||: щ е= Jlfr,
|| /в - Лм0 || <б},
тогда имеем очевидное неравенство:
Д (а, б, К) < Аг (а) + Д2 (a, h) + Д3 (а, б).
Лемма 1. Имеет место равенство Д3 (а, б) = б/а.
Доказательство. Очевидно, что
Д3 (а, б) = || Р(а'° || б. (4.155)
Используя вид Р(а° (см. (4.153)), оценим ||-Р(аМ|| ^ 1/а, но так как
1/а является точкой спектра оператора Р^1\ то
|| P[h) || = 1/a. (4.156)
Из (4.155) и (4.156) следует утверждение леммы.
Лемма 2. Пусть Мг = {и: и = Bv, || v || <^ г}.
Тогда Дх (а) = rg (a).
142

Доказательство. Так как и = Bv и || и || <; г, то,
учитывая вид операторов Ah, В и Р^\ будем Ихметь
\\pVl)Ahu0-u0\\^rg(a), (4.157)
а учитывая, что g (а) является точкой спектра оператора 5, из
(4.157) будет следовать утверждение леммы.
Для А2 (a, h) имеет место следующая оценка:
Л, (а, Л)< rg (\\Ak ||) А/а. (4.158)
Рассмотрим соотношение
г* («) =(г*(||А||)Л + 6)/а, (4.159)
связывающее параметры а, б и h. Заметим, что если параметры
б и А удовлетворяют неравенству
гвг(||Л||)Л + в<^(||Л||)НЛ||. (4-160)
то соотношение (4.159) определяет однозначную неявную
функцию а = а (б, /г, г).
В качестве линейного алгоритма для решения поставленной
задачи рассмотрим линейный оператор P*\b,h,r) вида (4.153),
у которого параметр а удовлетворяет соотношению (4.159).
Теорема 1. Если параметры б и h удовлетворяют
неравенству (4.160), то для метода P^lthjj), определенного в (4.153),
(4.159), справедлива оценка
Л (а (б, К г), б, К) < 25 (rg ( || Ah ||) h + б, г).
Доказательство. Так как а (б, h, г) удовлетворяет
соотношению (4.159), то из (4.154), (4.158) и лемм 1 и 2 будет
следовать
А (а (б, К г), б, К) < 2rg (а (б, А, г)). (4.161)
Ввиду того, что В = g (Ah), найдется элемент ht такой, что || ht || =
= г, || Bh£ || > rg (а (б, А, г)) — е, a || AhBht || < rg (а (б, А, г)) х
X а (б, h, г). Учитывая что а (б, h, г) удовлетворяет соотношению
(4.159), получим
|| AhBht || < rg (|| Ah ||) + б. (4.162)
Из (4.162), определения модуля непрерывности обратного
оператора со (т, г) (см. (4.7)) и произвольности е следует, что
со (rg (|| Ah ||) h + б, г) > rg (а (б, К г)). (4.163)
Из (4.161) и (4.163) следует утверждение теоремы.
Из соотношения (4.12) и неравенств (4.161), (4.163) следует,
что метод проекционной регуляризации Ра(ъч п, г) является
оптимальным по порядку, а оценка, полученная в теореме 1, является
точной.
143

§ 9. Вычисление модуля непрерывности
При оценке погрешности методов приближенного решения
некорректно поставленных (неустойчивых) задач в качестве основной
оценочной функции использовалась функция со (т, г) — модуль
непрерывности (в нуле) обратного оператора Л"1 на множестве
AMГУ где
Мг - {и: и = Bv, v e D (В), \\ и || < г}. (4.164)
При этом вспомогательные оценочные функции, например
(д1 (т, г), щ (т, г), вычисляются или оцениваются через функцию
со (т, г) (см. § 2,3 наст, главы). Поэтому, чтобы получить
эффективные оценки погрешности исследуемых методов, необходимо
указать способы вычисления самой функции со (т, г).
Общие методы нахождения со (т, г) на компактных множествах
(эллипсоидах) Мт были развиты в работах [43, 71—74]. В работах
[86, 87] на основе развития метода К. Миллер [168, 170] получены
двухсторонние (точные по порядку) оценки величины со (т, г)
на некоторых (некомпактных) множествах. Различными
способами модуль непрерывности вычислен для многих конкретных
операторов, возникающих в задачах математической физики [93,
94, 97, 99, 159, 163], в частности, для операторов
дифференцирования [29, 81, 122, 127].
Дадим явные формулы для вычисления со (т, г) на
некомпактных множествах Мг вида (4.164) через функцию, связывающую
операторы А и В [72].
1. Пусть линейный оператор А, действующий в гильбертовых
пространствах U и F, имеет плотные области определения D (А) cz
с!7и значений R (A) cz F. Полагаем, что существует
неограниченный оператор А'1, обратный к А. Пусть, кроме U и F, задано
еще гильбертово пространство V (возможен случай V cz U) и
линейный оператор В со всюду плотными областями определения
D (В) с V и значений R (В) cz V. Считаем, что R (В) (Z D (А),
так что можно определить оператор АВ, действующий из V в F
WJAB) = F).
Заметим, что в этих условиях связь между модулем
непрерывности обратного оператора А~1
сох (т, г) = sup {|| иг — щ ||: щ = Bvh \\ vt \\ < г (i = 1, 2),
II Л К - и2) || < т} (4.165)
и функцией (модулем непрерывности в нуле)
со (т, г) = sup {|| и \\: и = Bv, || и || < г, || Аи \\ <т}, (4.166)
как и в случае вполне непрерывного оператора В (см. лемму 1
§ 3 наст, главы), выражается формулой сох (т, г) = со (т, 2г).
Положим АВ = С. Тогда Сг = С*С и Вг = В*В —
положительные самосопряженные операторы, действующие в гильберто-
144

ном пространстве V. Будем предполагать, что операторы Сг и
Вх коммутируют. Тогда они являются функциями от некоторого
самосопряженного оператора D [107]. Мы будем рассматривать
наиболее важный для приложений случай, когда Вг является
функцией от оператора С±:
Bi=g (Сг),
где g (у) — вогнутая возрастающая функция, определенная на
спектре оператора Cv Продолжим ее на весь отрезок [0, || Сг ||]
(при неограниченном Сг: \\ Сг\\ = + °°)> доопределив ее на
интервалах, дополнительных к спектру, как линейную функцию.
Если || Сг || < + оо, то при у > || Сг || полагаем g (у) = g (|| Сх ||).
Продолженная таким образом g (у) будет вогнутой возрастающей
функцией.
С помощью операторов С и В функцию со (т, г), определяемую
соотношением (4.166), можно записать следующим образом:
со (т, г) = sup {|| Bv ||: || v || < г, || Си || < т}
или
со2 (т, г) = sup {(Вги, v): (и, и) < г2, (Сги, и) < т2}.
Наконец, с помощью спектральной функции Еу оператора Сг
это записывается так:
оо со
to2 (r, r) = sup {J g (у) d (Eyv, v): J d (£>, v) < r2,
о о
CO
§yd(Eyv,v)^x*\. (4.167)
Теорема 1. Функция со (т, г), определяемая соотношением
(4.167), выражается формулой
( rVg(x*/r*) при х < г V\\ Сх ||,
со(т, г) = | Л . (4.168)
\rVg(\\Ci\\) при т>г]/||С1||,
где g (у) — функция, обладающая указанными выше свойствами.
Доказательство. Каждому вектору и ЕЕ D (В)
поставим в соответствие неубывающую функцию от у:
И- (У) = Но + (Е& ^2,
где |i0 ^ 1 — (EooV, v)lr2.
со
Так как (EocV,v) = J d(Eyv,v)^r2, то |i0 >> 0 и, кроме того,
М+ оо) =1.
с»
Наша задача свелась к такой: найти со2 (т, г) = г2 sup J g (у) d\i (у)
о
на множестве неубывающих неотрицательных функций и. (у),
145

определенных на [0, -| °°), имеющих точки роста только на
спектре оператора Сг и удовлетворяющих условиям: |х (+ оо) -- 1,
оо
О
Рассмотрим плоскость (у, Р) и обозначим через Г график
функции р =g(y). Это вогнутая кривая, расположенная в первом
квадранте. Пусть Р (у, Р), Р0 (0, р0), р = g (у) — точки на
кривой Г. Будем интерпретировать значение |i (у) (0 < у <; + оо)
как значение массы, распределенной на участке Р0Р кривой Г.
Величина массы, распределенной на всей кривой Г, равна единице.
Тогда числа ус = J yd\i (у) и Р„ == ^ g (у) d\x (у) будут координата-
о о
ми центра тяжести этого распределения.
Из сказанного видно, что наша экстремальная задача
допускает следующую механическую интерпретацию: на кривой Г
в точках, абсциссы которых принадлежат спектру оператора Cv
распределить единичную массу так, чтобы абсцисса центра
тяжести удовлетворяла соотношению ус <, т2/г2, а ордината рс
имела бы наибольшее значение. Геометрически ясно, что это будет
иметь место, если взять ус = т2/г2, а рс --= g (т2/г2). Здесь
возможны три случая: 1) ус —- т2/г2 — собственное значение, 2) ус =
= т2/г2 — точка непрерывного спектра, 3) у0 = т2/г2 — не
принадлежит спектру.
В случае 1) мы размещаем единичную массу в точке Р (ус, рс),
в случае 2) размазываем ее в окрестности этой точки. Случай 3)
можно подразделить на два подслучая: За) т2/г2 < || Сг ||,
36) т2/г2 ]> || Сх || (точка || Сг || принадлежит спектру).
Пусть в случае За) ух и у2 — ближайшие к ус точки спектра
(Vi < Ус < Тг)- Разместим в каждой точке (уи g (yt)) (i = 1, 2)
точечную массу, если yt — собственное значение, или размажем
эту массу по окрестности точки, если yt — точка непрерывного
спектра, так, чтобы центр тяжести попал в точку (ус, рс), где
ус = т2/г2, а рс = g (t2/r2) или близко к g (т2/г2) (в случае точек
непрерывного спектра).
В случае 36), который может встретиться лишь при
ограниченном Cv размещаем единичную массу в точке (|| Сг ||, g (|| С1 ||))
или, соответственно, размазываем ее по окрестности этой точки.
Таким образом, имеем
sup pc = g (т2/г2) при т2 < г2 || Сг ||,
SUPPC =^(11^11) При Т*>Г*\\Сг\\.
Следствие 1. Для того чтобы lim со (т, г) = 0, необхо-
т->0
димо и достаточно, чтобы g (0) = 0. Это утверждение можно
сформулировать и в такой эквивалентной форме:
Следствие 2. Для того чтобы lim со (т, г) = 0, необхо-
димо и достаточно, чтобы inf {|| Bv \\ : \\ и || =1} = 0.
146

Теорему 1 можно несколько обобщить. Предположим, что
операторы Вг и С1 являются функциями самосопряженного
оператора D: Вг == р (Z)), Сх = у (D). Мы будем предполагать, что
функции y =у(Я), р = р (X) определены на отрезке (Х1ч Х2),
конечном или бесконечном, содержащем спектр оператора D,
дважды непрерывно дифференцируемы на нем и удовлетворяют
условиям:
у (X) > 0, р (X) > О, Т' (X) > 0, р' (X) > О,
Y' (Л) Р" W - У* М Р' М < 0. (4.169)
Геометрический смысл условий (4.169) следующий: у = у (X)
и р = р (X) являются параметрическими уравнениями вогнутой
кривой Г, расположенной в первом квадранте плоскости (у, Р).
Исключая Я, мы представим уравнение кривой Г в виде р =
= Ё (у)- Функция g (X) на спектре оператора Сг совпадает с
функцией g (у) теоремы 1, а на интервалах, дополнительных к спектру,
вследствие линейности g(y) и вогнутости g (у) будет g (у) <^ g (у).
Мы приходим к следующему обобщению теоремы 1.
Теорема 1а. Пусть Сг и Вх являются функциями Сг =
= у (D), Вг = р (D) самосопряженного оператора Z),
удовлетворяющими условиям (4.169). Пусть Х0 — корень уравнения у (X) =
= т2/г2. Тогда со (т, г) ^ г ]/"р (Л0) при х ^ г || Сг ||, причем, если
Х0 принадлежит спектру оператора С1? имеет место равенство.
Замечание. Обобщение формулы (4.168) (см. теоремы 1
и 1а) для модуля непрерывности со (т, г) на случай невогнутой
функции g (у) содержится в работах [177, 178]. Там же предложен
способ оценки модуля непрерывности для некоторых классов не-
коммутирующих операторов.
2. Примеры. 1) В качестве первого примера рассмотрим
линейное дифференциальное уравнение в гильбертовом
пространстве Н:
duldt=Qu, ы(0)=/, 0<*<7\ и(|), /еЯ,
где Q — положительный самосопряженный оператор с плотной
областью определения. Если решение существует, то оно имеет
вид
и (t) = е<* /.
Оценим u(t) при 0 <; t < Г. Положим А = е-&, С == е~®Т,
В = ^-Q(r-o# Так как Q положителен, то все эти операторы
ограниченные, самосопряженные и положительные. Обратные к ним
существуют, но не ограничены. Мы приходим к задаче
А и = f\ и = Bv, и = и (t), v = и (Г).
Здесь t — фиксированное число. Связь между операторами
дается формулами В = СЪ-"Т\ Вг = C^'i,T\ g (y) = Y(1"'/r)-
147

Функция g (y) — вогнутая, возрастающая, g (0) = 0. На
основании теоремы 1 и сказанного по поводу теоремы 1а имеем
ю (т> г) К r (f/r)1~t,T = г'/гт1-'/г, т <; г, причем если т /г
принадлежит спектру оператора Съ то имеет место равенство. Если
же т/г не принадлежит спектру оператора Сг, то для нахождения
со (т, г) следует воспользоваться теоремой 1, взяв вместо g (у)
функцию g(y).
2) Рассмотрим обратную задачу Коши для уравнения
теплопроводности
1Г = -д*'-00<х< + 00> 0 ^ / ч Г.
Предположим, что заданная функция % (х) = и (х, Т) и искомая
ф (х) —и (х, 0) принадлежат пространству L2 (—оо, оо); кроме
того, || ф' (х) \\ь2 ^ г. Тогда поставленную задачу можно записать
в виде операторного уравнения Ац = %, ф, % ЕЕ L2 (—оо, оо),
а В — оператор, обратный к оператору дифференцирования.
В этом случае функция а = g (Я) будет обратной к функции X —
= oe~2Tfa. Поэтому
О) (Т, г) = О [Г (In Г/Т)"1'»].
3) Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа, т. е.
1JT + ^ = °> и (ж, 0) = / (ж), и' (ж, 0) = 0, 0 < у < у0.
Предположим, что / (х) и и (х, у0) принадлежат пространству
L2 (—оо, оо) и || и' (я, г/о) I|l2 < /". Тогда^функция о = g (к) будет
обратной к функции X = a [ch (Уо/^о)]'1, следовательно,
4) Рассмотрим задачу численного дифференцирования dfjdt — u
в предположении, что /, ueeL2(—оо, оо) и ||^n)||L2 <^ г (см. [107,
с. 405]). В этом случае оператор А будет обратным к оператору
дифференцирования d/dt, В = Ап и g(X) = Kn^n+1\ следовательно,
со (т, г) = r^+D Tn'^+D.

Глава 5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Единый подход к решению неустойчивых задач
1. После основополагающей работы Тихонова [149]
некорректно поставленные (неустойчивые) задачи рассматривались в форме
обратных задач (см. п. 1 § 1 гл. 1). В простейшем виде задача
формулируется следующим образом. Пусть £/, F — банаховы
пространства, A: U -> F — линейный ограниченный оператор, для
которого обратный оператор Л-1 существует, но не ограничен.
Относительно уравнения
А и ^/ (5.1)
известно, что при / = /0 оно имеет решение и0 (единственное в силу
обратимости Л), принадлежащее некоторому множеству
регуляризации М d U, однако вместо /0 дано такое /6 (для простоты
считаем А = Ah), что || /0 — /6 || <^6. Требуется построить такую
последовательность приближенных решений {и6}, чтобы и6-+и0
при 6 -> 0. Некоторые общие способы построения такой
последовательности при различных условиях на оператор А и
пространства U и F изложены в. гл. 3.
Однако возможен другой подход к формулировке
некорректных задач: вместо того, чтобы решать уравнение (5.1), ищется
значение неограниченного оператора Т = А~г на элементе /.
Классическим примером такой постановки является задача
дифференцирования функции (п. 7 § 2 гл. 1). В общей форме задача
формулируется в следующем виде.
Пусть Т: F -> U — линейный неограниченный оператор с
областью определения D (T) a F, ищется значение
Г/о = и0 (5.2)
в точке /0 ЕЕ D (Т), но вместо /0 нам дано лишь такое /6, что
II /о — /б || ^ б- Как и выше, требуется построить такой элемент
и6, чтобы и6 -»- Tf0 = и0 при б ->■ 0.
Если каждый из операторов А и Т обратим, то каждая из этих
задач формально сводится к другой, так как в этом случае
соответственно Т = А~х, А — Т~г. Однако если хотя бы один из
операторов не имеет обратного, то заменить одну задачу другой уже
нельзя.
149

Естественно объединить обе задачи путем обобщения понятия"
обратного оператора, но это приводит к необходимости
рассматривать многозначные операторы. Так, пусть U0 —
нуль-множество оператора А, т. е. множество всех решений однородного
уравнения Аи = 6. Тогда каждый элемент fx из области значений
оператора А имеет плоскость прообразов иг -j- £/0, где иг — какой-
нибудь прообраз.
Таким образом, определенное многозначное соответствие
можно рассматривать как оператор Г, ставящий в соответствие
элементу Д плоскость иг + U0. Такой многозначный оператор можно
принять за обратный по отношению к А (см. далее — определения
1,2 § 2).
2. Другим поводом для введения многозначных операторов
является операция их замыкания. Как следует из результатов
гл. 3, для получения устойчивого решения уравнения (5.1)
(например, вариационными методами) нет необходимости требовать
ограниченности оператора Л, существенна лишь замкнутость
этого оператора. Если оператор А не замкнут, но допускает
замкнутое расширение, то можно перейти к этому расширению. Но
в области однозначных операторов замкнутое расширение не
всегда возможно.
Пусть G (А) — график оператора Л, т. е. множество точек
{(и, Аи), и ее D (А)} в топологическом произведении U X F.
Оператор замкнут (определение 1 § 4 гл. 1) тогда и только тогда,
когда G (А) — замкнутое линейное подпространство в U X F.
Если оператор А не замкнут, то его график можно замкнуть,
но среди предельных точек графика могут оказаться точки вида
(6» /)> с / =5*= 6. После их присоединения к графику нулю
пространства U будут отвечать, кроме нуля пространства F, еще точки
у из пар (6, у), т. е. замкнутое расширение А будет ставить в
соответствие точкам пространства U множества точек
пространства F. С другой стороны, введя в рассмотрение многозначные
операторы, мы сможем замкнуть любой линейный оператор.
Таким образом, в совокупности многозначных операторов
всегда существует обратный оператор, поэтому решение уравнения
(5.1) и вычисление значения неограниченного оператора Т в точке
/0 эквивалентны. Это позволяет ограничиться рассмотрением
задачи (5.2). Причем оператор Т будем считать замкнутым, так как,
если он не замкнут, то можно перейти к его замкнутому расширению.
Итак, задача, которую мы будем исследовать, может быть
сформулирована следующим образом.
Задача 1. Пусть U и F — банаховы пространства, причем
U — ^-пространство (определение 10 § 6 гл. 1), a F —
рефлексивное пространство; Т — линейный замкнутый (многозначный)
оператор, действующий из F в U с плотной областью определения
D (Т). Пусть/0 6Е D (Г), и0 — элемент с минимальной нормой
из множества Г/0, /6 е F, || /0 — /6 || ^ б, б ^> 0. По /5 требуется
построить такой элемент и6, что иь -> и0 при б -> 0 [57].
150

§ 2. Многозначные линейные операторы и их свойства
Приведем строгие определения и исследуем некоторые свойства
линейных замкнутых многозначных операторов, которые
используются для обоснования сходимости вариационного метода в § 3.
Определение 1. Пусть U и F — линейные
нормированные пространства, UQd U и D (Г) d F — линейные
многообразия. Будем говорить, что на D (Г) определен многозначный
линейный оператор Г со значениями в U, если каждому элементу
/ ЕЕ D (Г) поставлено в соответствие множество (плоскость)
и + U0: Tf = и + U0, причем выполняются обычные условия:
1) Г (Я/) = ЯГ/, Я - скаляр, / ЕЕ D (Г); 2) Г (Д + /2) = Tf, -f
+ Г/2, fv /2 ЕЕ D (Г). Входящие сюда операции понимаются
следующим образом: а) и + U0 — множество всех элементов вида
и + и0, где и0 пробегает U0; б) если Tf = и + С/0, то ЯГ/ = Хи +
+ f/0; в) если Tfx = иг + U0, Tf2 = щ + U0, to Tfx + Tf2 =
= щ + и2 + £/0-
Определение 2. Пусть Г: F -+ U — многозначный
линейный оператор с областью определения D (Г) (Z F и областью
значений R (Г) (Z С/. Линейный многозначный оператор A: U -> F
называется обобщенным обратным к Т оператором, если его
график совпадает с графиком Г.
Из определения следует, что область значений А совпадает
с D (Г), а область определения — с R (Г). Очевидно также, что
Г — обобщенный обратный к А оператор. Для обобщенных
обратных операторов будем использовать обычные обозначения,
принятые для однозначных операторов: А = Г-1 и Г = А'1.
Пусть* F0 = {/: Г/CZ U0}. Очевидно, что F0 — линейное
многообразие. Если А = Г-1, то для и ее D (А) будет Аи = f + F0,
в частности: AU0 = F0 и TF0 = U0.
Обобщенный обратный оператор существует для каждого
линейного оператора Г, и выполняются соотношения:
1) T-'Tf =f + F0 для /еВ(Г);
2) ТТ~ги = и + U0 для цей (Г).
Введение обобщенного обратного оператора позволяет свести
задачу решения уравнения Аи =/ к вычислению значений и e
СЕ Г/ оператора Г = Л-1 и наоборот.
Определение 3. Многозначный оператор Г называется
замкнутым, если его график G (Г) = {(/, и): f ЕЕ D (Т), и ЕЕ Tf} —-
замкнутое множество.
Если оператор Г не замкнут, то его можно расширить до
замкнутого оператора Г, замкнув его график._Расширение
обладает следующими свойствами: a) D (Г) CZ D (Г); б) если / ЕЕ
ел (Г), то г/с г/.
В области многозначных операторов каждый оператор обладает
замкнутым расширением, полученным указанным путем. Так же
как и для однозначных операторов, определение замкнутости
можно дать в эквивалентной форме.
151

Определение За. Многозначный оператор Т
называется замкнутым, если из того, что fn ЕЕ D (Т), fn -> /, ип ЕЕ Tfn,
ип ->■ и, следует f ЕЕ D (Т), й ЕЕ TJ.
Ясно, что операторы Т и Г-1 одновременно либо замкнуты,
либо нет.
Определение 4. Оператор Т {вообще говоря
многозначный) называется слабо замкнутым, если график оператора G (Т) —
слабо замкнутое множество пространства U X F.
Замечание. Вследствие линейности для линейного
(многозначного) оператора понятия сильной, слабой и секвенциально
слабой замкнутости (см. лемму 3 § 1 гл. 3) совпадают.
Теорема 1. Пусть Т : F -> U — многозначный линейный
оператор, U0, F0 — связанные с ним линейные пространства,
так что для f ^D (Т) будет Tf = и + U0 и Т~Ч = / + F0,
TF0 — U0. Если Т замкнут, то оба подпространства U0 и F0
замкнуты.
Доказательство. Докажем замкнутость F0
(замкнутость U0 доказывается аналогично — заменой оператора Т на
Т-1). Пусть / — предельная точка F0, fn -> /, fn ^ F0(n = 1,
2, . . .). Так как TF0 = U0, то Tfn = U0 и Qu <= R (Г), где
0U — нуль пространства U0. Возьмем в U0 последовательность
un =K (и =1, 2, . . .). Тогда ип->0ш /п -> /, unZE Tfn и
вследствие замкнутости Т (определение За) Qu ЕЕ Tf. Тогда
/ ЕИ Т-^и. Но Т~Щи = F0, а следовательно, J ЕЕ F0 n F0
замкнуто. Аналогично U0 замкнуто.
Если оператор Т замкнут, то, пользуясь замкнутостью U0 и
F0, можно рассмотреть фактор-пространства U1 = U/Uj и Рг ■-.
= F/F0. Элементы этих пространств — классы эквивалентности —
будем обозначать [и] и [/], где и и / — элементы, порождающие
эти классы. Если и ЕЕ R (Т) — области значений оператора Т
и / ЕЙ (Т), то также [и] CZ R (Т), If] С D (Т), причем классы,
входящие в D (Т), отображаются оператором Т
взаимно-однозначно на классы [и], входящие в R(T). Таким образом, оператор
Т индуцирует однозначный обратимый оператор Тх, действующий
из Рг в Uv
Теорема 2. Если оператор Т замкнут, то и оператор
Тг замкнут.
Доказательство. Пусть W = U X F, Wx = Ux X Fv
Поставим в соответствие точке w ^= (и, /) пространства W точку
юг — ([и], [/]) пространства Wx. Соответствие wx = ф (w) есть
линейное непрерывное отображение банахова пространства W па
банахово пространство Wv Обозначим через G (Т) и Gx (Т)
графики операторов Т и 7\, а через CG (Г) и CG (7\) — их
дополнения в этих пространствах. По построению ф (G (Г)) = G (Гх) и
Ф (CG (Т)) = С6?(7\). По условию G (Т) замкнуто и,
следовательно, CG (T) открыто. По теореме об открытости отображения
[41, с. 68] CG (7\) открыто и поэтому G (7\) замкнуто.
152

Пусть U{) и F0 — замкнутые линейные подпространства
пространств U и F\ Тг — линейный однозначный оператор,
действующий из фактор-пространства F1 = F/F0 в фактор-пространство
Ux = U/U0. По Тг можно построить многозначный оператор Т:
F-*~U, индуцирующий в выше определенном смысле оператор Тг.
Именно, если f ее F таков, что порожденный им класс
эквивалентности [/] принадлежит области определения оператора 7\,
то полагаем Tf ■-■- и -|- £/(), где и ЕЕ Тг [/]. Такое определение не
зависит от выбора элемента и в классе У.\ [/].
Теорема 3. Если оператор Тг замкнут, то построенный
по нему оператор Т также замкнут.
Доказательство. Пусть (и, /) — точка
топологического произведения U X F, являющаяся предельной точкой
графика G (Т) оператора Т. Тогда существует последовательность
(ит /п) £= £ (Т), сходящаяся к (и, /). Принадлежность G (Т)
означает, что ип ее Tfn, откуда следует, что [ип] == Тг [/J.
Отсюда видно, что точка ([ип], [fn]) топологического произведения
U1 X F± принадлежит графику G (Тг) оператора Тг. Кроме того,
имеет место сходимость ([ип], [fn]) ->■ ([и], [/]) и, так как график
G (Тг) оператора Тг замкнут, ([и], [/]) eG(7,1). Это'означает, что
«£Г/ и (и, /) Еб(Г).
§ 3. Нахождение нормальных значений
линейных операторов вариационными методами
Определим понятие нормального значения многозначного
оператора и построим сходящуюся к нему последовательность
приближенных значений, исходя из вариационных методов,
являющихся аналогами алгоритмов §2—4 гл. 3. Тем самым решается
задача 1 § 1.
1. Л е м м а 1. Пусть U — рефлексивное строго выпуклое
пространство, U0 — его замкнутое подпространство. В каждом
классе эквивалентности [и] из фактор-пространства иг = U/UQ
содержится единственный элемент й с минимальной нормой.
Доказательство. Множество точек пространства U,
принадлежащих классу эквивалентности, есть замкнутая
плоскость, т. е. замкнутое выпуклое множество. Ссылка на лемму 3
и теорему 1 § 6 гл. 1 завершает доказательство.
Если f €E F лежит в области определения многозначного
оператора Т, то множество Tf0 есть класс эквивалентности из фактор-
пространства U/U0. Поэтому если U рефлексивно и строго
выпукло, то множество Tf0 содержит единственный элемент и0 с
минимальной нормой. По аналогии с нормальным решением
(определение 6 § 1 гл. 3) уравнения (5.1) мы будем называть этот
элемент нормальным значением оператора Т в точке /0.
Лемма 2. Пусть U — линейное нормированное
пространство, UQ — его замкнутое подпространство, U1 = U/U0 — фактор-
153

пространство, К\ — замкнутое выпуклое множество в U1. Тогда
множество К = {и : и ее U, [и] ^ Кг} замкнуто и выпукло.
Доказательство. Пусть щ, и2 ЕЕ К; это означает,
что [щ], [и2] а Кг. Так как Кг выпукло, то MwJ + (1 - X)lu2] =
= Хиг + (1 — Х)и2 + U0 cz Кг при 0 <; X ^ 1, что влечет
Хиг + (1 — X)w2 e к.
Если й — предельная точка множества К и К ЕЭ ип ~> й,
то |] [иJ — [и] || = inf {|| w\\:w = un — й +_и0, и0 е U0) <J| ип —
— и || -»- 0. Поскольку i^j замкнуто, то [и] ЕЕ ЛГц т. е. и е #.
2. Метод построения приближенного решения задачи состоит
в следующем. Пусть S6 = {/ : || / — /6 || < 6} — замкнутый шар
в пространстве F, Q6 = T (Sb f] D (T)) — его полный
образ в пространстве С/. Из того, что область определения
оператора Т плотна в F, следует, что Q6 не пусто.
За приближение к нормальному значению оператора Т на
элементе /0 примем элемент и6 из множества £26, имеющий
минимальную норму (он может не принадлежать множеству Г/6). Докажем
существование и единственность иь и сходимость и6 -+ и0 = Tf0.
Теорема 1. Если U рефлексивно и строго выпукло, а
пространство F рефлексивно, то множество Q6 = {и: и ее Tf, \\ f —
— h || ^ 6} при б ]> 0 содержит единственный элемент с
минимальной нормой.
Доказательство. Исходя из теоремы 1 и леммы 3
§6 гл. 1 достаточно установить, что множество Q6 замкнуто и
выпукло. Обозначим через Q&1) и S^ гомоморфные образы множеств
£26 и S & в фактор-пространствах U1 = U/U0 и Fx = F/F0.
Очевидно, й§1} = TSil\ где Tl — оператор, индуцированный оператором Т
при переходе к фактор-пространствам. Оператор Т1
однозначен, линеен и по теореме 2 § 2 наст, главы замкнут и,
следовательно, слабо замкнут (замечание 1 § 2). Из линейности Тг и
выпуклости S^ следует выпуклость 0£\
Шар 5(51} вследствие рефлексивности Рг, как
фактор-пространства рефлексивного пространства F, слабо компактен. Но
замкнутый оператор переводит слабо компактные множества в слабо
замкнутые (теорема 2 § 4 гл. 1). Отсюда следует, что Q^ слабо
замкнуто и, так как оно выпукло, сильно замкнуто. По лемме 2
Qb — замкнутое выпуклое множество рефлексивного строго
выпуклого пространства.
Теорема 2. Пусть иь - элемент с минимальной нормой
множества Q6, {ип} — такая последовательность, что: 1) ип Ez
€= Tfn, || U - U II < б; 2) lim || ип || = || иь ||. Если U - Е-про-
странство, то ип-+иь.
Доказательство следует из определения 10 § 6 гл. 1.
Теорема 3. Если U — Е-пространство, F рефлексивно,
и0 — нормальное значение оператора Т в точке /0, и6 — элемент
с минимальной нормой множества Q6, то г/6-> и0 при б ->- 0.
154

Доказательство. Элемент и0 для каждого б ^> 0
принадлежит £26, поэтому
|| ив II < II Щ II (5.3)
вследствие минимальности и6 в Q6; значит, множество {и6}
ограничено и поэтому слабо компактно. Покажем, что и6 —^ и0 при
б->0.
Пусть бп -> 0 и бн выбраны так, что ип-^ и при п -> оо
(индексом п мы отмечаем элементы, соответствующие бн). Обозначим
через /п прообраз ип, удовлетворяющий условию || fn — /0 || <^ б.
По построению ип такой прообраз всегда существует. Тогда /п ->•
->/0 при тг->оо, и вследствие (слабой) замкнутости оператора
Т заключаем отсюда, что й Ez Tf0.
Учитывая (5.3) и свойства слабого предела: || й || <; lim || ип ||,
находим, что
II в || < || и0 ||. (5.4)
Поскольку и0 — элемент с минимальной нормой на множестве
г/о и а е у/о, то
II "о II < II й ||. (5.5)
Из (5.4), (5.5) и единственности элемента с минимальной нормой
на Tf0 имеем, что и0 = й, поэтому ип —^ и0.
Таким образом, мы показали, что каждая последовательность,
составленная из элементов множества {и6}, сходится к и0 слабо
при б -> 0. Отсюда следует, что
^б —^ ио ПРИ б -> 0. (5.6)
Используя соотношение (5.3) и свойство нормы слабого
предела, находим
|| щ || < lim || иъ1| < lim || щ || < || щ ||,
откуда следует, что
Ит||и5|| = ||и0||. (5.7)
5->0
Из соотношений (5.6), (5.7) и теоремы 3 § 6 гл. 1 (см. также
замечание 2 § 6 гл. 1) заключаем, что имеет место сильная
сходимость иь -> и0 при б -> 0.
Замечание 1. Условие, что U — ^-пространство, мы
использовали лишь в теореме 2 для возможности приближения
к и6 и в теореме 3 для доказательства сильной сходимости иь ->
-*• и0. Для существования, единственности и слабой сходимости
и6 к и0 достаточно, чтобы U было рефлексивно и строго выпукло.
Отметим также, что, несмотря на многозначность оператора Г, в
предложенном методе как точное значение и0, так и
приближенные значения иь определяются однозначно.
155

Замечание 2. Все полученные результаты, естественно,
справедливы и для однозначного оператора Т. Здесь условие на
U можно ослабить: достаточно, чтобы U было пространством
Ефимова — Стечкина (определение 9 § 6 гл. 1).
Замечание. 3 Как было отмечено в § 1, полученные
результаты могут быть применены к решению уравнения (5.1).
Уравнение (5.1) можно рассматривать в любом линейном
нормированном пространстве £/, если точное решение и0 принадлежит
некоторому классу регуляризации М. Этот класс М можно
получить в виде образа некоторого пространства W при линейном
отображении В: W ->■ U, М = BW. Возможны следующие случаи:
1) W — ^-пространство, В — непрерывное линейное отображение
[25]; 2) W рефлексивно и строго выпукло, В вполне непрерывно
[63]. При таком подходе решаем уравнение ABw = /0 (или ищем
значение оператора В~гТ в пространстве W) и находим w0. Тогда
искомое решение и0 = Bw0.
3. Изложим другой вариационный способ [13] построения
приближенных значений и6-+- и0 = Г/0, являющийся аналогом
метода квазирешений (§ 2 гл. 3).
Выпишем необходимые условия на пространство и операторы,
а именно будем считать Т: U -> F '— замкнутым, В: W -> U —
вполне непрерывным, а В~гТ — замкнутым линейными
однозначными операторами; W — рефлексивным, a U —
произвольным банаховыми пространствами, F — ^-пространством.
Предполагается также, что f0 EED (В~гТ). Исследуем экстремальную
задачу:
inf {|| / - g ||: / е= D (В-*Т), || B-*Tf || < Я}. (5.8)
Лемма 3. Для любого g Ez F и скаляра К !> О существует
единственный экстремальный элемент в задаче (5.8).
Доказательство. Множество Qx = {/: / ЕЕ D (B~lT),
|| B~xTf || ^ X}, очевидно, непусто (0 ЕЕ Qx) и выпукло.
Убедимся в его замкнутости. Если /n Ez Q\ и /п -> /, то в силу
рефлексивности W для некоторой подпоследовательности 5_1Г/П —*■
•-^w. Учитывая, что В~гТ секвенциально слабо замкнут
(замечание 1§2), имеем w ^ D (5_1Г), Я"1 Г/ = w. Так как ЦБ-1?/1|<
<lim || ^^r/nJKUm || fl^r/nJK Я, то/ЕЙх. Задача све-
лась к нахождению элемента с минимальной нормой на выпуклом
замкнутом множестве Qx — g. Ссылка на теорему 4 § 6 гл. 1
завершает доказательство.
Обозначим решение задачи (5.8) при g = ft через / (б, X),
а при g = /о через / (О, X), где || /6 — /0 || < б.
Лемма 4. Для любого фиксированного К !> О / (б, X) ->
-> / (О, X) при б -> 0, m. e. f (б, %) есть непрерывная справа в нуле
функция параметра б.
Доказательство. При б -> О /6 -> /0. Поскольку
/ (б, X), / (О, X) — метрические проекции элементов /6 и /0 на замк-
156

путое выпуклое множество Q\ (лемма 3), то достаточно
воспользоваться теоремой 4 § 6 гл. 1 о непрерывности метрической
проекции в ^-пространствах.
Следствие. При X > Я0, где Х0 = \\ 5_1Г/0 ||,
lim || / (б, X) - /0 || = 0. (5.9)
5->0
Доказательство. Действительно, при X ;> Х0 /0 Ez £>х
н поэтому / (0, X) = /0. Применяя лемму 3, получаем требуемый
результат.
Теорема 4. Пусть X > Х0 (т. е. /0 ЕЕ £!х). Тогда при 6 -> 0
и6 = Г/(б, Ь)->Г/0 = и0.
Доказательство. Учитывая, что оператор В —
вполне непрерывен, множество {и: / eeD {B~xT), и = Г/, || 5_1и || <;
<; X} — относительно компактно. Тогда подмножество {77(6, X):
0 < 6 ^ б0} имеет предельную точку й. Из замкнутости
оператора Т и соотношения (5.9) следует, что такая точка
единственна и совпадает с и0 = Г/0. Тем самым теорема доказана.
Следствие. Если В — линейный непрерывный (в
частности, тождественный) оператор, то и6 = Tf (6, X) —^ Tf0 = и0.
4. Устойчивое вычисление значений замкнутого (однозначного)
оператора можно также осуществить на основе метода
регуляризации Тихонова. Поскольку при доказательстве
соответствующих утверждений используется, по сути дела, та же методика, что
и для операторных уравнений (см. § 3 гл. 3), то мы ограничимся
только постановкой вариационной задачи и формулировкой
основной теоремы.
Задача на минимум сглаживающего функционала
записывается в следующем виде:
inf {|| / - /6 ||» + а || Tf f: / S D (Т)). (5.10)
Теорема 5. Пусть Т — секвенциально слабо замкнутый
{вообще нелинейный) оператор, F рефлексивно и U —
пространство Ефимова — Стечкина. Тогда задача (5.10) разрешима при любых
f6EzFua^>0u для экстремальных элементов f% справедливо
предельное соотношение
lim || r/S^-Г/о || = 0,
5-*0
если параметры а и 6 связаны такой зависимостью, что а (б) -»■
-> 0, 6*7а (б) -> 0 при б -> 0.
Замечание 4. Оценка погрешности вариационных
методов на множестве равномерной регуляризации М для
однозначного оператора Т получается точно так же, как в случае
операторных уравнений (см. гл. 4) с той лишь разницей, что теперь
в качестве оценочной функции выступает модуль непрерывности
оператора Т. Все эти методы оптимальны по порядку, т. е. ве-
157

личина их погрешности
А6(Г; М) = sup {|| Tf - и6 ||: / е Л/, || / - /6 ||< 6}
имеет одинаковый по б порядок с наименьшей возможной
погрешностью (оптимального регуляризатора)
Пъ(Т\М)= inf sup || J/8-771|,
Se{F->L/} /eM||8/i|<6
где {F-+ U} — множество всех отображений из/^ в С/и б/ — / — /6
(подробности см. далее, § 4).
§ 4. Наилучшее приближение неограниченных операторов
Исследуем различные постановки задач о наилучшем
приближении (однозначных) неограниченных операторов, вопросы
оптимальности некоторых методов регуляризации и оценки их
погрешности [180].
1. Постановки задач. Пусть Т — линейный, вообще говоря,
неограниченный оператор с областью определения D (Т) cz F и
областью значений R (Т) CZ U, где F и U — некоторые
линейные нормированные пространства. Пусть для элемента f Ez D (Г),
Tf = и, (5.11)
задана последовательность б-приближений /6 таких, что || / —
"-/ell^S. Требуется построить по элементам /6
последовательность м6 -> и = Tf при б -> 0 и оценить погрешность при
условии, что / пробегает множество равномерной регуляризации М.
В дальнейшем будем считать, если не оговорено особо, что
множество М представимо в виде
М = МГ = {/: || Ц || < г}, (5.12)
где L — некоторый линейный оператор, действующий из F в U,
г^>0. Сформулируем задачу о нахождении наилучшего
(оптимального) регуляризатора [124] на множестве М при данном уровне
погрешности б.
Задача А. Найти величину
inf sup || Г/-i7e ||= Об (Г; г) (5.13)
Se(F-*t7)/eM,/5eF
и оператор S§, на котором реализуется нижняя грань в (5.13).
Здесь (F -> U) — множество всех линейных ограниченных
операторов, действующих из F в U, а б/ = / — /6.
Таким образом, это — задача отыскания оптимального
линейного метода и вычисления максимальной погрешности,
допускаемой этим методом на множестве М при заданном уровне
погрешности б элемента /.
158

Задача А тесно связана с задачей В — экстремальной задачей
С. Б. Стечкина [122] о наилучшем приближении неограниченного
оператора ограниченными *.
Задача В. Найти величину
inf sup || Tf -Sf\\ = EN (Г; г) (5.14)
||S|]</v /<=м
и определить оператор 5V, для которого достигается нижняя
грань в (5.14).
2. Оценка погрешности снизу. Введем в рассмотрение функцию
Ф (т; г) --= sup {|| Tf ||: / <= И, || / || < т}, (5.15)
которая является модулем непрерывности оператора Т в точке 0
на множестве М, и оценим величины Q^(T; г) и EN (Г; г) снизу
через Ф (т; г) [122, 124].
Лемма 1. Справедливо неравенство
Й6(Г; г)>Ф(б; г).
Доказательство. Учитывая, что нулевой элемент 0
принадлежит М, а операторы S линейны, при /6 = 9 получаем
Й5 (Г; г) - inf sup || Tf - Sfh || > sup || Tf || = Ф (6; r).
sg(F->cj) /ем, /8sm /gm
115/1^5 INKS
Можно получить оценку типа (5.16) в существенно более
общей ситуации. [134].
Лемма 1'. Пусть Т — произвольный (нелинейный) оператор,
М — произвольное непустое множество из D (T) (Z F, [F -> U) —
множество всех отображений из F в С/, тогда
Оъ(Т\М)= inf sup ||77-ед>4-ф1(2б;^0, (5.16)
S€E{F-»l/} /SM,/5£F Z
IIS/IK5
aft? Фх (т, A/) = sup {|| Tfx - Г/2 ||: /lf /2 ЕЕ M, || h - /2 ||< т}.
Доказательство. Для любого Se{^->C/}
x(S) = sup{||r/-5/e||: /eM, ||/_/б||<6}>
> sup {|| Г/ - Tf* || : /* е=М, ||/* _/в || < б,
II / -/б II < 6} - sup {|| Tf* - ЗД: /* ЕЕ М, || /* - /б|| < б},
откуда находим, что
х (5) > V2 sup {|| Tf - Tf* ||: /, /* e= M, || / - /6 || < 6,
II/* -/б ||< 6}.
* Впервые обратил внимание на связь задач А и В (см. теоремы 2 наст,
параграфа и 1 § 5) С. Б. Стечкин [175, 187, 191, гл. 6].
159

Для завершения доказательства леммы достаточно показать,
что правая часть последнего неравенства равна 1/2 Фх (26; М).
В самом деле, из пары неравенств || /— /6 || ^ 6, || /* — /6 || ^ 6
следует || / — /* || <; 26. Если теперь ||/— /* || <; 26, то, полагая
/б = (/ + /*)/2, имеем. || / - /б ||< 6, || /* - /6 ||< 6.
Следствие. Для линейного оператора Т и множества Л/,.,
представимого в форме (5.12), оценки снизу для Q6(T;r) и
Q5 (T; М,) совпадают.
Лемма 2 [1221. Справедливы неравенства
£ v {Т\ г) > sup {Ф (т; г) - iVr},
Ф(т;г)<тг^у(Г;г) + АГт}.
лг>о
(5.17)
Доказательство непосредственно следует из цепочки
неравенств
EN(T;r)= inf sup | Г/-J/1| > inf sup {|| Tf || - || Sf\\}>
||SKW /ем jSK.v /ем
> sup {|| Г/ I - N || /1|} > sup {||771| -tf || /1|} > Ф (T; r)~Nx.
/GM /<=M
3. Связь задач А и В. Установим некоторые соотношения
между экстремальными операторами в задачах (5.13) и (5.14)
при определенном согласовании параметров 6 и N.
Теорема 1. Пусть S§ —экстремальный оператор в задаче
А и задача В разрешима при N6 = \\ 5g || • Тогда если выполнено
соотношение
fl8 (Г; г) = sup || Г/-5?/||+ || 5? || 6,
/ем
то 5У — экстремальный оператор в задаче В при N = N$.
Доказательство. Обозначим SN экстремальный
оператор в задаче В при N = || S§ ||. Тогда имеем следующие
неравенства:
Qb(T;r)= sup ||27-5?/8||= inf sup \\Tf-Sfb\\^
/ем, /5eF Se(F->t/) /ем, /5eF
\\ЩФ ||5/|1<5
< sup || Tf - ££/51| < sup || Tf - S%f || + || S*N || 6 <
f&M,fb<=EF /eM
l!5/|!<5
< sup || Tf -J?/||+ || J* || 6.
/ем
Поскольку || 55 || > || ^дг ||, то на основании условий теоремы
sup || Tf - Stf || < sup || Tf - S*Nf || < inf sup || Tf - S*Nf ||,
160
'eM >eM PiKiis8YeM

т. е. S£ — экстремальный оператор в задаче В при N = || St ||.
Теорема 2. Если SN - решение задачи В и параметр
§ = б (N) удовлетворяет соотношению
<D(6;r) = EN(T;r) + Nb, (5.18)
то S% будет экстремальным оператором в задаче А при б = б (N)
и Qb{N)(T; r) = EN(T; б) + Nb.
Доказательство. Принимая во внимание
соотношение (5.16), имеем очевидные неравенства:
Ф(б;г)<Й5(Г;г)- inf sup [|Г/-ЗД<
S<=(F-+l/)/<=M,/5<=F
Ц5/К5
< sup || Tf - ££/51| < sup || Tf - S%f || +
/eM./seF /ем
H&/IKB
+ sup || ^ (/ - /5) || < EN (T; r) + ЛГ6,
l|5/||<5
из которых вытекает утверждение теоремы.
Замечание 1. Если задача В разрешима для любого
N > 0, то условие (5.18) можно заменить на
Ф (б, г) = inf {EN (Г; г) + N8). (5.18')
N
Связь, установленная в теоремах 1 и 2, позволяет находить
экстремальные операторы одной задачи, зная решения другой
(см. далее п. 2 § 5).
4. Методы, оптимальные по порядку. Под методом
приближенного решения задачи (5.11) будем понимать любой оператор
R, отображающий пространство F в пространство U. Тогда
иь = Rf 6 — приближенное решение и Д6(Л; М) = sup {|| Tf —
— Rfb ||: / S Л/, /о е= jF, || / — /в Ц < 6} — величина
максимальной погрешности этого метода на множестве М.
Определение 1. Метод, порождаемый оператором R,
называется оптимальным по порядку для задачи (5.11) на
множестве М, если для 0 ^ б ^ б0 справедливо
<?а (R; М) = Дб (Д; М)1&ъ (Т\ M)^k — const. £(5.19)
Проанализируем с точки зрения введенного критерия
оптимальности некоторые методы регуляризации задачи (5.11).
Поскольку этот вопрос исследуется, как и в случае операторных
уравнений, то мы ограничимся лишь формулировкой
соответствующих утверждений.
а) В методе регуляризации Тихонова [114, 147]
приближенные решения находятся по формуле иь = Rfb = Г5а^)/6, где
Sa — оператор, ставящий в соответствие каждому элементу /6
решение экстремальной задачи (5.10).
6 Заказ К» 2865
161

Теорема 3. Метод Тихонова оптимален по порядку при
связи а (б), удовлетворяющей условию aCq^ бр, где С = sup {|| Tf ||:
/ ЕЕ М}\ причем для величины Qь (R; М), определяемой соотноше-
р —
нием (5.19), справедливо неравенство (?$ (R; М) <; (1 -f- у 2)6.
б) В методе невязки приближенные решения определяются
соотношением и6 = Rf6 == TS6/6, где S& - оператор,
ставящий в соответствие элементу f^ZEF решение экстремальной
задачи [116]
hrf {||Г/ ||: /е=М, ||/-/6||<б}.
Теорема 4. Метод невязки оптимален по порядку и Q6 (R;
М)<2.
в) Если Т — положительный самосопряженный операторг
действующий в гильбертовом пространстве U = F, то задачу
(5.11) можно регуляризовать, исходя из схемы Лаврентьева,
т. е. в качестве регулирующего семейства взять {Ra = Т (Е +
+ «7Г1}.
Теорема 5. Если L = Т2 (см. (5.12)), то метод
Лаврентьева оптимален по порядку с величиной Q§ (/?; М) <^ 2 при связи
а (б), удовлетворяющей условию аС <^ б.
В работе [17] указаны другие условия оптимальности и
неоптимальности, а также приведены некоторые нелинейные
модификации метода, которые являются оптимальными по порядку для
любого замкнутого множества М.
5. Оптимальные методы. Опишем два оптимальных метода
(линейный и нелинейный) при определенных условиях на
операторы Т и L (множество М).
Рассмотрим семейство линейных операторов
Ra = Т(Е + аЬ)~\ (5.20)
где L = g (Т*Т) и все операторы действуют в гильбертовом
пространстве Н = U = F.
Теорема 6. Пусть спектр оператора Т*Т есть
полупрямая 0<c0<Jcr<oo и функция g (а) удовлетворяет на этой
полупрямой следующим условиям: 1) g (а) !> 0; 2) g (о) —
монотонно возрастающая дифференцируемая функция; 3) g2 (о) —
выпуклая вниз функция. Тогда при выборе параметра
регуляризации
«опт = {2Г1 (г/6) g' [g-1 (г/б)] - г/б}"1
метод, определяемый оператором Raov>t из\семейства (5.20),
оптимален на множестве М = {/: ||L/|| <J г}, т. е. реализует нижнюю
грань в задаче (5.13) (или (5.16)).
Доказательство этого утверждения содержится в работе [124].
Теперь обратимся к построению нелинейного оптимального
метода. Предположим, что F и U — гильбертовы пространства,
а оператор Т и множество М CZ D (Т) таковы, что sup {|| Tf ||:
162

/ e M) < oo. Обозначим S (/; б)_ замкнутый шар с центром в
точке / радиуса б и N6 (/) = Т (S (/; б) [) М).
Тогда, если множество N & (/) не пусто, существует
единственный чебышевский центр и* [31] множества N6 (/), т. е. такой
элемент и* Ez U, для которого выполнено соотношение
sup || и — Uf || = inf sup ||и —й||.
Пусть й — произвольный фиксированный элемент
пространства U. Определим оператор flEJ^P}
1й, если Л^(/) = 0.
Теорема 7. Метод чебышевских центров, определяемый
оператором R, оптимален на множестве М.
Доказательство. Обозначим /6 — произвольный
фиксированный элемент из б-окрестности О § (М) множества М.
Тогда, учитывая, что {F ->■ 17}—множество всех отображений
(операторов), действующих из F в С/, получаем
Q'(T;M)= inf sup || 77-5/81| >
S<={F->£/}/<=M,/5€=P
> in/ sup ||.77-,S75|| =
S<={F->t/> /EAf
I1/-/5IK5
= inf sup || и — 2 || == sup || w — u* || =
wet/ tieiv5(75) u<=Nb(fb)
= sup ||77-Д/5||.
/EAf
ll/-/5ll<5
Так как доказанное неравенство справедливо для любого
/s ЕЕ Об (Л/), то оно сохранится при переходе к верхней грани
по /6, так что
Пь(Т;М)> sup || 77-Я/51|.
/E=M,/seF
I1/-/8IK5
Тем самым теорема доказана.
Замечание 2. Если дополнительно предположить, что
М — выпуклое множество, представимое в виде М = К f] D (Г),
где К — компакт из F, то для замкнутого оператора Т7 множество
Л^б (/) = Т (М f] S (/; б)) будет замкнутым (теорема 2 § 4 гл. 1),
выпуклым и ограниченным. Согласно результату Кли [166], тогда
чебышевский центр щ принадлежит множеству N'б (/) (в случав
непустоты этого множества), и, следовательно, справедлива
6* 163

очевидная оценка
Q; (Т; М) = sup || Tf - Rh || < Ф1 (26; M).
/ем, /5eF
II5/IKS
dk
Замечание 3. Далее (в § 5) для частного случая Т = —г-
dn
и [L = —- в некоторых функциональных пространствах U, F
dx
и V будут указаны линейные оптимальные методы другого типа.
Различные постановки задач о наилучшем приближении и их
исследование можно найти также в [175, 176, 179—183, 185—187].
§ 5. Оптимальная регуляризация
задачи вычисления производной в пространстве
С(— оо, оо)
1. Пусть С (—оо, оо) — множество непрерывных на
действительной прямой функций с нормой || / (х) || = sup | / (х) |. Предпо-
— ОО <Х<00
ложим, что функция / (х) ЕЕ С1 (— оо, оо), производная которой
df(x)fdx подлежит определению, задана с погрешностью, т. е.
фактически вместо / (х) известна некоторая функция /б (х) ЕЕ
е С (—оо, оо), для которой || /б (х) — / (х) || < 6.
Требуется построить последовательность иь (х) ЕЕ С (— оо, оо)
(регуляризованное семейство приближенных решений),
сходящуюся к df(x)fdx по норме пространства С (— оо, оо), и оценить
погрешность
Аб(Г; М) = sup {\\df(x)/dx-u6(x)\\i f (х) е= М, || / (я)-
-Ы*)||<в> (5.21)
на множестве
Jlf ={/(*): d2f(x)/dx2 еС(—оо, оо), || <Pf(x)/dx2 ||< /л}.
(5.22)
Таким образом, мы имеем дело с неустойчивой задачей вычис-*
ления значений неограниченного оператора Т = dldx (см. п. 7
§ 2 гл. 1) в пространствах F = £7 = С (— оо, оо), и,
следовательно, для ее решения необходимо применение методов
регуляризации некорректно поставленных задач.
Этот принципиальный факт неустойчивости задачи необходимо
учитывать при выборе алгоритмов численного
дифференцирования. Так, например, в работах [42, 160] на обширном числовом
материале демонстрируется существенное преимущество (по
точности) метода регуляризации Тихонова перед обычным методом
центральных разностей. В последнее время получили широкое
распространение алгоритмы численного дифференцирования,
основанные на интерполяции сеточных функций (кубическими)
164

сплайнами [2] и, в частности, регуляризованными сплайнами
[109, 193].
Построим оптимальный регуляризатор для задачи
дифференцирования в пространстве С (—оо, оо), т. е. решим задачи А
и В из § 3 для оператора T = d/dx, а затем рассмотрим
оптимальный по порядку метод регуляризации с гладким семейством
приближенных решений.
2. Итак, пусть Т = d/dx, множество М задано соотношением
(5.22) и F = U = С (-оо, оо).
Теорема!. Оператор S*bf(x) = f{x + 1,N %//*" W (б))
при связи N (6) = }/W26 есть оптимальный регуляризатор задачи
дифференцирования на множестве М.
Доказательство. В работе [122] доказано, что для
рассматриваемого случая задача В разрешима и
*-(^1&1<-)-«»(^|а-|—)-*-.
причем существует экстремальный оператор
S%f (*) = [/ (* + 1/АО - / (х - 1/N)]/2N
с нормой || S% || = N. Тогда
= min T(t; m) = min {^ + 6т}=У2т6 (5.23)
и минимум достигается в точке т* = Ут/2Ь (V' (т*, т) = 0).
Для вычисления Ф (б, т) воспользуемся результатом Ландау —
Адамара — Колмогорова [81]:
ИИ<т^*Н£Р {5-24)
и для любой тройки положительных чисел m0, mlf т2,
удовлетворяющих условию ^ = У^2т0Щ2, найдется такая функция
Ф (х) GC(-oo, оо), что || d{ y/dx* \\ =mt (i = 0, 1, 2), и,
следовательно, в (5.24) достигается равенство. Тогда И8 (5.24)
непосредственно вытекает, что
Ф(б)т) = 8ир{1^|:||!/|К|8,1^1<т} = 1^Гб. (5.25)
Объединяя этот результат с (5.23), убеждаемся, что выполнены
условия теоремы 2 § 4, что и завершает доказательство.
Следствие. При любом способе получения
приближенных решений иь(х)
^■•Щ<т>а'(^-Ш<т)^ш' (5-2в>
а при и6 (х) = Stfb (*) в (5.26) имеет место равенство.
165

Замечание 1. Экстремальные операторы и величины
Ен (Т; М) в задаче В § 4 найдены также [4, 122] для оператора
дифференцирования более высокого порядка Т = d!4dxk на
множествах
М = {/: || dnf/dxn ||< m) (к < и, 2 < п < 5)
в пространствах U = F = С ( — оо, оо) (= L (—- оо, оо)).
Значения величины Ем (Г; TV) и операторы 5^ известны и для
других пространств [29, 127].
3. В приложениях при восстановлении производных в
некоторых случаях важно получить гладкие приближенные решения.
Поэтому представляет интерес
Задача С. Найти такое регуляризующее семейство
операторов Ra с заданными свойствами гладкости семейства
приближенных решений Rafb (x), что
Ч^м) = й£ {|| Д«<6)/6 (-) - i / (-) ||с} соа5 (^; м),
где знак со означает, что величины имеют одинаковый порядок.
по 6.
Ниже строится регуляризатор На(ьь Для которого
ь&
dx*
«С та
)1°>а->
d*f
dx*
<m <A (1,8<&<1,9),
т. е. регуляризатор, оптимальный по порядку, а Да(б)/б (х)
бесконечно дифференцируемые функции.
Определим функцию двух переменных:
Оа (х, У)
а
({ JexplTje/^-a»)]^}"1
X
X ехр {(х — у)2/[(х — у)2 —а2]} при | х — у |< а,
О при | х — у | > а.
Для нее справедливы следующие свойства:
1) функция G)a (#, у) непрерывна вместе со всеми
производными на плоскости (х, у);
2) при | х —- у | = а функция wa (я, г/) и все ее
производные равны нулю;
3) § ®а (*» У) dV = J ^ (я, У) Лг = 1;
4) средняя функция
/а (а:) = § о)а (ж, г/) / (у) dy
166

от функции / (xYjee С (—оо, оо) бесконечно дифференцируема,
причем
\х—у\<а
Свойства 1) —3) вполне очевидны. Доказательство свойства 4) с
несущественными изменениями проводится подробно в [121, с. 18].
Определим теперь искомое регуляризующее семейство {Ra}:
*«/(*) = \ ^«>a(x,y)f(y)dy. (5.27)
|х—г/«а
Лемма 1. Пусть f (x) принадлежит множеству М,
определяемому (5.22), тогда справедлива оценка
sup {|i?a/(.r) —^-/(.r) l<am.
/(x)GM HI aX llJ
Доказательство. Принимая во внимание свойства
1), 2) и интегрируя по частям, получаем представление
R«f(X)= ) ~ljj(*a(x,y)f(y)dy =
= — ) -jljj-<ua(x,y)f(y)dy= jj ®afay)1g-f(y)dy,
|ж—j/|<a |x—г/|<а
(5.28)
т. е. /?а / (у) является средней функцией от /' (х). Далее, из
условий леммы, свойства 3) и формулы (5.28) имеем
sup {| Baf (х) - ±. f (Ж) |: / (Ж) <= Л//} =
= sup sup \ <ua{x,y)-£-f(y)dy —
- J »a(^, г/)-^/(а;)^|<
< sup sup | /' (у) — f (x) | \ о)а (ж, у) dy < ma.
/ем 1х-гу|<а |*-i/|<a
Следствие 1. Если /' (i)gC(-oo, оо), то || Ra f (х) —
df (x)/dx || <; Р [a, df [x)ldx], где |3 [a, df (x)ldx\ — модуль
непрерывности функции df (x)/dx; кроме того, справедливо
Следствие 2.
lim sup || Raf (x) — df (x)/dx || = 0.
a->o /ем
Оба этих соотношения очевидным образом следуют из
последней оценки в лемме 1.
167

Лемма 2. Пусть /6 (х) е С (— оо, оо), / (х) е Af u
/б (#) — / (#) II ^ S, тогда справедлива оценка
sup || Яа/5 (л:) - /?а/ (я) || < вЛ/а,
/<=М||5/||<5
(5.29)
г^А={5ехр[л2/(Л2-1)1^} «1,65, б/=/5- /.
о
Доказательство. Имеем
Иа/бИ-Да/ИК
^ sup
-<х<х<оо
S
1 lh(y)-f№dy
\х—у|<а
<
< sup \h(y)-f(y)\ sup \ g-—
—oo<j/<oo
—оо<х<оо igg^!
|«-y|<a
<fy<
<; б sup \
<ЭС<оо |зс_у|^а '
d(Oa (z, у)
dx
dy.
(5.30)
Делая последовательно замену переменных в интеграле у — х =
= £, £2/(£2 — а2) = и, находим
$
dx
\х—iy|<a
а
dy = с« J | ехр [|V(I2 - а»)] щ^|^ | Я =
где
= 2са J ехр [|2/(|2 - а2)] (у^, <*6 = - 2с„ § ехр u dw = 2с„,
0 —оо
(5.31)
а 1
с* = { J ехр К«/(р - a2)] rig}"1 = ^ { j ехр [л2/(г)2 - 1)] dtj}"1.
Подставляя (5.31) в (5.30), получаем нужную оценку (5.29).
Следствие.
I *° II < "Г = 4" йехР ГЧ"/(Л* - 1)] <Ц~* «1,65/о.
э
Теорема 2. /Три выполнении условий лемм 1, 2 и связи
а (б) = \fh8/m верна оценка
Qb(i; М) < As(^; М) < }т /2^5<l,83fl» (£; М). (5.32)
168

Доказательство. Из очевидного неравенства"
sup Hir--*«M*)k
ЕМП5/1К8II ах II
/<=МЦ5/||<8 II
< SUp I *У& - Raf (х) I + SUp || Raf (X) - Rah (x) \\
/ем II ax II /ем||5/|К5
п результатов, полученных в леммах 1 и 2, следует оценка
sup \^Р- - Rah (х) I < та + hb/а = ф (а, б). (5.33)
/еМ||5/||<5 II dx II
Необходимое условие экстремума фа (а, 6) = 0 дает связь а с б,
при которой достигается минимум правой части в (5.33), т. е.
а = УУьЫт. Подстановка этого выражения в (5.33) дает оценку
сверху в (5.32).
Замечание 2. Регуляризатор i?a, определяемый
формулой (5.27), можно представить в виде произведения Ra = TSa, где
Saf (X)= J Oa (х, У) f (у) dy, Tf (x) = df (x)/dx.
\x-vKa
Пользуясь рассуждениями, приведенными при доказательстве
лемм 1 и 2, легко показать, что для оператора Sa: С (— оо, оо) ->
-> С1 (— оо, оо) = D (Т) справедливы следующие свойства:
1) II«?«118 <1;
2) || (Sa — E)f (х) ||с -> 0 при a -> О для любой равномерно
непрерывной функции.
Семейство {Sa} со свойствами 1), 2) называется
фильтрующим в Д (Г), а регуляризующее семейство {jRa}> представимое в
виде Ra = TSa, называется нормальным регулирующим
семейством операторов [126].
Замечание 3. Задача восстановления производной
dnf/dxn при п ]> 1 решается заменой оператора (5.27) оператором
I*—i/|<a
Кроме того, этот оператор будет регуляризатором в случае, когда
оператор дифференцирования действует в пространствах F =
= Lp (а, Ъ) (р > 1), U = С (а, Ъ) [22]. Для р = 2 известны ре-
гуляризаторы другого типа [44, 45, 156].
Замечание. 4. Для численного нахождения
приближенного значения производной df (%)ldx в точке X достаточно
применить к интегралу (5.27) какую-либо квадратурную формулу:
L d(oa (x, ук) n-н» б-о df (X)
Результаты численных экспериментов для некоторых
вычислительных алгоритмов восстановления производной приведены в.
Приложении (см. далее — п.5 § 7 гл. 6).

Глава 6
КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ
§ 1. Понятие т-равномерной сходимости
линейных операторов
Практическая реализация наиболее употребительных в
настоящее время методов решения линейных некорректных задач —
таких, как метод регуляризации Тихонова, метод квазирешений
и метод невязки, невозможна без использования ЭВМ. Это
естественным образом приводит к «возмущению» оператора задачи,
т. е. замене (конечномерной аппроксимации) его другим, в
некотором смысле близким оператором. Исследование сходимости
методов конечномерной аппроксимации, укладывающихся в рамки
равномерных возмущений операторов, проведено в работах [19,
21]. Но, как показано в [23, 24], при обосновании некоторых
проекционных и конечноразностных схем возникает необходимость
рассмотрения возмущений исходных операторов, которые не
являются равномерными в операторной топологии. В то же время
требование сильной сходимости возмущенных операторов к
исходному недостаточно для сходимости конечномерных аппроксимаций.
Рассмотрим теперь другое понятие (т-равномерной) сходимости
операторов, которое является обобщением равномерной
сходимости и играет важную роль при исследовании проекционных методов
решения некорректных задач [40, 135]. Использование
т-равномерной сходимости операторов позволяет дать общий подход к
обоснованию сходимости конечномерных приближений.
Перейдем к определению т-равномерной сходимости
операторов *.
1. Пусть Е и F — линейные нормированные пространства,
(Е -> F) — пространство линейных ограниченных операторов,
отображающих Е в F. Рассмотрим в F отделимую локально
выпуклую топологию т, которая не сильнее, чем топология пространства
F, порожденная нормой. Пусть 0 — базис абсолютно выпуклых
окрестностей в (F, т>, где <F, т> — пространство F, наделенное
топологией т. Для каждой окрестности 6 ЕЕ 0 положим
'№\={{А "ЕЕ (E'^F)l:[A[(Sl(0, 1)) CZ 6}, (6.1)
* Относительно всех топологических понятий в § 1 и 2 см. [120].
170

где S (О, 1) — замкнутый единичный шар в пространстве Е.
Лемма 1. Множество Wq является абсолютно выпуклым и
поглощающим.
Доказательство. Пусть Л, В ЕЕ Wq, а а и р —
положительные числа такие, что а + |3 = 1. Тогда ввиду линейности
операторов Л и 5 для любого w. ЕЕ 5 (0, 1)
аАи + $Ви ЕЕ аб + 08. (6.2)
Ввиду выпуклости окрестности 6 имеем аб + |30 CZ 6 и,
следовательно, (аА + $В)и ее 6. Аналогично доказывается, что для
любого Я, удовлетворяющего неравенству | Я | <; 1, ХА ЕЕ И^.
Теперь докажем, что W0 является поглощающим множеством.
Пусть С Ez (E-+F). Тогда ввиду ограниченности CC(S(0, 1))
является ограниченным множеством в F. Так как топология т
слабее топологии, порожденной нормой пространства F, то
множество С (S (0,1)) ограничено и в <F, т>._Следовательно, найдется
положительное число X такое, что ХС (S (0, 1)) CZ 6- Тогда ХС ЕЕ
ЕЕ И^» что и доказывает лемму.
Л е м м а 2. Семейство множеств {Wq, 0 е в} удовлетворяет
следующему условию:
П^о = {0},
в<=0
где 0 - нулевой оператор.
Доказательство. Пусть Ае= f] Wq. Тогда для любой
_8<=0
окрестности 0g6h для любого м Е S (0, 1) Лм е 6.
Следовательно, Аи ЕЕ П в- Так как топология т отделима, то f| 6 = {0}.
8^0 8S0
Из лемм 1 и 2 следует, что семейство множеств {Wq : 6 ЕЕ6}
образует отделимую локально выпуклую топологию в [Е-+F].
Множества Wq образуют в этой топологии базис окрестностей
нуля [120]. Определенную таким образом топологию назовем
топологией х-равномерной сходимости.
Если топологию т определить с помощью семейства преднорм
{полунорм) {ру, уЕГ}, то топологию т-равномерной сходимости
операторов можно определить с помощью семейства преднорм
{$>„ у ЕЕ Г}:
SPy (А) - sup {Ру (Аи): || м || < 1}, А е (Е ~> F).
Если топология т метризуема, то метризуема и топология т-
равномерной сходимости.
Приведем примеры т-равномерных топологий.
1) Если т — топология, порожденная нормой пространства F,
то топология т-равномерной сходимости совпадает с равномерной
операторной топологией.
2) Если т — слабая топология пространства F, тогда
топологию т-равномерной сходимости назовем слабо равномерной
топологией. Эту топологию можно определить с помощью следующего
171

семейства преднорм {3й/*, /* ^ F*}, где F* — пространство,
сопряженное F:
9f. (A) = sup { | /* (Аи) |: || и || < 1}, iE(^ F).
3) Пусть F - сепарабельное гильбертово пространство, Fu
F2, • • -, Fn, ... - возрастающая цепочка конечномерных под-
оо
пространств пространства F, удовлетворяющая условию |J Fn = F.
Определим топологию т с помощью следующего семейства
преднорм {рп}:
Рп (/) = || рг (/, Fn) ||,
где рг (/, Fn) - метрическая проекция элемента / на подмножество
Fn. Определенная таким образом локально выпуклая топология
будет метризуемой.
В этом случае топологию т-равномерной сходимости можно
определить с помощью семейства преднорм {3*п}:
$>п(А) = suj> {\\]>т (Ащ Fn) \\ : \\и\\<^ I}.
4) Пусть F —пространство Соболева W\ [О, 1], I > 1. {гп} —
множество всех рациональных чисел, содержащихся в отрезке
[О, 1]. Топологию т определим с помощью семейства преднорм
{Pn}i Pn(f) = |/ (гп) |- Тогда топологию т-равномерной сходимости
можно определить с помощью семейства преднорм
$>п (А) = sup <| 1Аи](гп) |: || и || < 1}.
Докажем некоторые свойства топологий т.
2. Теорема 1. Пусть F — сепарабельное рефлексивное
банахово пространство и отделимая локально выпуклая топология
т является более слабой, чем топология, порожденная нормой
пространства F.
Тогда сумма М + 0 ограниченного выпуклого замкнутого
множества М и выпуклой замкнутой окрестности нуля пространства
(F, т> является замкнутой в F.
Доказательство. Пусть / — предельная точка
множества М + 0- Тогда найдется последовательность {/n}, {/n} CZ
CI+ 0 такая, что /п —>- /. Так как /п Е М + 6, то /n = fn +
+ /;\ где /; е м, a fn e 0.
Из рефлексивности пространства F следует слабая
компактность М [41]. Поэтому последовательность {fn} слабо компактна.
Без^ ограничения общности fn-^f, тогда и /^ = /n — /i-*-
—*/ —/'. Так как М — выпуклое замкнутое множество, то оно
слабо замкнуто, а следовательно, /' ее М. Ввиду того, что
топология т слабее топологии, порожденной нормой пространства F,
а 0 замкнуто в (F, т>, 0 замкнуто ив F.
Таким образом, учитывая выпуклость окрестности 0, можно
сделать вывод, что она является слабо замкнутой. Следовательно,
J — /' е 0, но тогда и / е М + 0.
172

Теорема2. Пусть F — сепарабельное рефлексивное
банахово пространство] метризуемая локально выпуклая топология т
является более слабой, чем топология, порожденная нормой
пространства F; {Мп} — монотонно убывающая последовательность
ограниченных выпуклых замкнутых множеств такая, что
П Мп = {/о}-
71=1
оо
Тогда f] [Мп + 6П] = {/0}, где {6П} — монотонно убывающий
71=1
базис фильтра окрестностей нуля, порождающий в F топологию т.
Доказательство. Пусть / - произвольный элемент
оо
из П [Мп + 0П]. Для любого п точку/можно представить в виде
п=1
суммы f = fn + U элементов /; е Мп и fn e Эп-
Так как пространство F рефлексивно, а множества Мп
ограничены, то последовательность {fn} слабо компактна. Без
ограничения общности можно считать, что /п—*-./'. Учитывая
монотонность последовательности множеств {Мп} и выпуклость и замкну-
оо
тость Мп, /'е П Мп. Следовательно, /' = /0.
п=1
Элемент fn можно представить в виде разности /п = / — /о-
Поэтому fn -*- / — /о, а учитывая свойства базиса окрестностей
{9П}> fn-^О. Следовательно, / = /0. Теорема доказана.
§ 2. Общая схема конечномерной аппроксимации
в методе регуляризации
Рассмотрим конечномерные аппроксимации вариационной
задачи
inf {|| Аи - J f + а || и f : и е= С/} (6.3)
в предположении, что U ъ F — пространства Ефимова — Стеч-
Кина, причем F сепарабельно, А — линейный ограниченный
оператор, отображающий U в F, p, q > 1 и на F определена
метризуемая локально выпуклая топология т, более слабая, чем
топология, порожденная нормой пространства F.
Как известно (см. далее § 3), вариационная задача (6.3)
разрешима. Обозначим решение этой задачи через С/а.
Пусть возрастающая цепочка конечномерных подпространств
удовлетворяет условию |J Un = U, а последовательность линей-
71=1
ных ограниченных операторов {Ау : 0 ^ у ^ у0}, действующих
из U ai7, сходится к оператору А в сильной операторной
топологии и топологии т-равномерной сходимости.
173

Рассмотрим аппроксимирующую вариационную задачу
inf {|| Ауи - h f + a || м ||*: м <= Un), (6.4>
в которой /jjl -> / при \i -> 0.
Решение этой задачи (6.4) обозначим через U^. Справедлива
следующая
Теорема 1. Имеет место ^-сходимость конечномерных
аппроксимаций C/nv к решению вариационной задачи Ua при
независимом стремлении тг -> оо и у, |ы->0.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
найдется последовательность {иК\ точекщEz Un.*., где пк -> оо ,
а H'ft» Yfe -* 0 при к -> оо такая, что
р (ик, t/a) > d > 0. (6.5)
Рассмотрим посдедовательность функционалов ||| -4^ — /^ (|р +
+ а||«П.
Пусть и £Е. Ua тогда, учитывая сходимость последовательности
операторов А^к в сильной операторной топологии к оператору Л,
имеем
liS [inf {|| Лкц - />, 1Г + « || и \\9: ue(/}]< Hm {|| А, й - U f +
к-*х> К К k-*x K (ft 6>
+ а || а И = \\Ай - f \\р + а Ц й ||« = inf (|| Аи- /||р + а |И*: и е Щ.
Допустим, что в соотношении (6.6) имеет место строгое
неравенство. Тогда для последовательности {йп} такой, что || АУп йк — /y,fc ||p +
+ а || щ \\q = inf {|| Ауки — f^K \\р + а \\ и \\q : и ее U), справедливо
неравенство
llm[||^S*-frJp + aKlle]<
<inf{||^-/||3' + a||w||«: wet/}. (6.7)
Из (6.7) следует, что при достаточно больших А;
||Skf <{Ий-Л1р+а||йП/«
|| А^щ - hk f < || Ли - / Г + а || в \\\
где й ЕЕ ?/*, т. е. последовательности {^} и {Лу/С ufo} ограничены,
а следовательно, слабо компактны.
Без ограничения общности можно считать, что:
щ-^и, (6.8)
АЧЩ-* /, Ащ-^ Аи. (6.9)
Обозначим через г0 число, удовлетворяющее условию
II Ащ || < г0
174

для любого /с, а через аГо — топологию на шаре S (О, г0),
индуцированную слабой топологией пространства F. Ввиду
сепарабельности пространства F топологическое пространство <£(0, г0),сгГо>
метризуемо. Следовательно, найдется последовательность
{@гЫй]} выпуклых замкнутых окрестностей точки Аи в
пространстве F, наделенном слабой топологией, таких, что
последовательность множеств {S (0, г0) f] Qt [Аи]} образует монотонно
убывающий базис фильтра окрестностей точки Аи в пространстве
<5 (0, г0), бГв>.
Пусть {6?} — счетный базис фильтра окрестностей нуля в
пространстве <F, т> такой, что каждая окрестность 6? является
абсолютно выпуклой и замкнутой в (F, т> и для любого I
Так как последовательность {Айк} сходится слабо к элементу
Ли, а последовательность операторов {АУк} сходится к Л в
топологии т-равномерной сходимости, то из {АУкйК} можно выделить
подпоследовательность {А{ щ) такую, что
А%щг ЕЕ (S (0, г0) П Qi [Ай]) + 9J. (6.10)
По теоремам 1 и 2 § 1 наст. гл. П [(^(0, г0) П QilAu]) + 6?] =
z=1_
= {Аи} и при любом I множество {S (0, r0)f]()z [Аи]} + 6*
является выпуклым и замкнутым. Тогда, учитывая (6.9) и (6.10),
получим
А^щ^Ай. (6.11)
Из (6.8) и (6.11) по свойству нормы слабого предела получим
JlE П1 Ауй^ - h V + а || щ ||«] > || Аи - f f + а || и \\«,
что противоречит (6.7).
Таким образом,
Ш[Ы{\\А, u-hKj\\p + a\\u\\«:u£EU}] =
= inf{|| Аи - / ||р + а || и ||9: и €Е Щ. (6.12)
Из (6.6) и (6.12) следует, что
и е Ua, (6.13)
а из (6.12) и (6.13)
lim || АУ uh - h Г + а || вк \\* = \\ Ай-f f+ а\\й ||«. (6.14)
fc.-к»
175

Условия (6.8) и (6.11) влекут
||«||<dim ||uftJ (6.15)
И
Jfj-K»
|| Ай - f « < lim || А, щ - ft ||. (6.16)
Таким образом, учитывая (6.14) -(6.16), получим
lim || йк || = || и ||
И
lim || Л^в», - 7iit| || = М»-f|.
fc,~»O0
Тогда из условия Ефимова — Стечкина, которому удовлетворяют
пространства U и F, будет следовать
щ^й (6.17)
и
Так как последовательность конечномерных подпространств {Un}
всюду плотна в £7, то найдется последовательность {щ}, щ ее
(Ez Ulil такая, что щ[->й. Но тогда, учитывая (6.17), (6.18) и
равномерную ограниченность норм {|| А^ ||} последовательности
операторов {Ау }, сходящейся в сильной операторной топологии,
получим
lim {| А, щ - ft V + а || щ f) = \\Au-ff+a\\u f, (6.19)
ТС,—КЭО I I
из (6.19) следует, что
fim (|| Ач uh - h4 V + a || uh ||*} < \\Ай - f p + а || a f. (6.20)
7c»-* x>
Из (6.20) следует, что последовательности {щ^ и {^Y/f щ^
ограничены. Таким образом,
щ1 -* и.
^Чм*1 ■
Лик|-^
Обозначим
176
>
--?,
Аи.
через
ri
число,
удовлетворяющее условию
1Mb»,
(6.21)
(6.22)
(6.23)
IK'-i

для любого kt, а через оГ1 — топологию на шаре S (О, гх),
индуцированную слабой топологией пространства F.
Пусть {Qm[Au]} -- последовательность выпуклых замкнутых
окрестностей точки Аи в пространстве F, наделенном слабой
топологией, ^таких, что последовательность множеств {5(0, rx) f]
f]Qm\[Au]}образует монотонно убывающий базис фильтра
окрестностей точки Аи.
Так как последовательность {Ащ } сходится слабо к
элементу Аи (см. (6.23)), а последовательность операторов {А^к}
сходится к Л в топологии т-равномерной сходимости, то
Д^е(£(0, Г1)П Qmt [Аи]) + в?. (6.24)
По теоремам 1, 2 § 1 f\[(S(0, rx) f] Qn [АЩ) + 8J] = {А5},
z=i
и при любом I множество [S (0, r±) f] Qm{ [Au]] + 6? является
выпуклым и замкнутым.
Тогда, учитывая (6.22) и (6.24), получим
A%u*i ~* Afl* ^6*25^
Из (6.21) и (6.25) следует, что
lim [Ц A, uh - h \\p + а || uh f] >\Au-J\* + *\U ||*. (6.26)
Из (6.20) и (6.26) следует, что
Ит[||Лу kuh-h *Т + «К,П =
к*-*00 1 1
= \\Au-f\\p + a\\u\\«, wet/0. (6.27)
Условия (6.21) и (6.25) влекут
||iZ|Klim_|KJ (6.28)
И
lim | A4uh - hki || > || ЛЯ - / I. (6.29)
»«-
Из (6.27)—(6.29) следует, что
limKJ = ||u||
и
ПтЦАч ищ-fr \\ = \\AU-f\\.
Тогда, учитывая условие Ефимова —- Стечкина, получим щ1-*и,
где и ЕЕ £/а, что противоречит (6.5).
7 Заказ Ка 2865 177

Условие т-равномерной сходимости последовательности
операторов {Лу} к оператору А в теореме 1 является существенным.
Для доказательства этого факта приведем следующий пример.
Пусть U — сепарабельное гильбертово пространство, F —
действительная прямая, Ак — последовательность линейных
функционалов, определенных на С/, сходящаяся поточечно, но не
равномерно к функционалу А, и для любого к \\ Ак \\ <,d<^ 1. Кроме
того, считаем р = q == 2, а = 1, /ц = / = 1. Тогда
и 1И1М-1 г
где || й || = 1 и | An | = sup {| Аи |: || м || < 1}.
Рассмотрим последовательность {йк} такую, что для любого к
|| йк || = 1 и | Акйк | = sup {| Аки |: || м || < 1}. Пусть {йж} -
некоторая полная система элементов, удовлетворяющая условию
{йк} (Z {йт}' В качестве конечномерного подпространства Un
возьмем линейную оболочку X {йъ й2, • . ., wn), натянутую на
оо
п первых элементов й1? й2, . . ., йп, тогда (J £7П = С/, C/n+1 Z) U и
71=1
Ыси 17я.
Выберем последовательность индексов пк таким образом, чтобы
Щ CZ Un . В этом случае вариационная задача
inf {\Aku-i\*+\\u\\*:ueEUnk}
будет иметь своим решением элемент * . afo.
Так как последовательность функционалов {^4/J не сходится
равномерно к Л, то lim || Ак || ^> || А ||. Следовательно,
fc-»oo
lim||ak|-||u||>(l-d)»[limHl||-M|J>0,
т. е. сходимость wfc к й не имеет места.
§ 3. Приложение общей схемы к проекционным
и конечноразностным методам
Рассмотрим проекционный и конечноразностный способы
решения вариационной задачи (6.4).
1. Проекционные методы. Пусть С/—пространство Ефимова—
Стечкина, а F — сепарабельное гильбертово пространство.
Рассмотрим возрастающие цепочки конечномерных
подпространств U и F PiC^C . С Un С • • ■ С У, Fx CZ F2 С . . .
оо оо
... d Fm CZ ... CZ F такие, что (J Un = U, (J Fm = F, и семейство
n=i m=i
178

линейных ограниченных операторов {Рп} таких, что при любом т.
Рт является оператором метрического проектирования рг (/, Fm)
пространства F на подпространство Fm. Учитывая свойства
оператора метрического проектирования [107], можем заключить, что
РщР = Fm, || Рт || =1» РщРп = Рт ДЛЯ 171 < П И ДЛЯ любого
/Ef Pmf ->■ / ПРИ т -+ °° •
Проекционный метод решения вариационной задачи (6.3) [19]
заключается в сведении последней к конечномерной задаче:
inf {|| РтАи - Pmf f + a || и ||*: и ЕЕ Un). (6.30)
На операторы РтА будем смотреть, как на некоторые
возмущения оператора А. При этом если на F ввести метризуемую
локально выпуклую топологию т, порожденную семейством пред-
норм {рт} (рт (/) = || Pmf ||), то, учитывая свойства операторов Рт,
получим для т ;> п
sup{pn (РтАи — Аи): || и || < 1} = 0.
Таким образом, последовательность операторов {РтА} будет
сходиться к оператору А в топологии т-равномерной сходимости.
Так как для любого f Ez F Pmf-^f при т -> оо, то Pmf -> / и
последовательность операторов {РтА} будет сходиться к А в
сильной операторной топологии. Обозначим решение вариационной
задачи (6.30) через Ц^т.
Из всего сказанного и теоремы 1 § 2 наст, главы будет
следовать |3-сходимость Unm к решению Ua вариационной задачи (6.3)
при п, т -> оо.
Заметим, что если оператор А не является вполне непрерывным,
то последовательность операторов {РтА} не будет сходиться к А
равномерно. Это подчеркивает важность рассмотрения такого
рода операторных топологий.
2. Конечномерная аппроксимация интегральных уравнений.
Рассмотрим интегральное уравнение первого рода
1
$R(s,t)u(s)ds=*f(t) (0<*<1), (6.31)
о
или Ки = /, где правая часть / (t) и решение и (s) уравнения (6.31)
принадлежат пространству L2 [0, 1]. Ядро К (s, t) интегрального
оператора К будем считать непрерывным и замкнутым.
Предположим, что при/ (t) = /0 (t) уравнение (6.31) имеет
решение щ (s) (единственное ввиду замкнутости ядра). Вместо /0 (t)
нам известна функция /§ (t) такая, что /& е С [0,1] и ||/а —
— /о||г,2<б, где б >> 0 — заданный параметр. По заданным fe{t)
и б требуется найти приближенное решение щ (s) уравнения
(6,31) такое, что иъ -> и0 при б -> 0 в метрике L% [0,1].
7* 179

Используя метод регуляризации Тихонова, поставленную зада"
чу можно свести к вариационной:
11 1 ■
inf {^ [§ К (s, t) и (s) ds — fb (*)] dt + a^u2 (s)ds: и (s) e L2) .
0 0 0
В § 3 гл. З доказывалось существование и единственность
решения вариационной задачи такого типа и сходимосхь регуляризо-
ванных решений.
Метод конечноразностной аппроксимации заключается в том,
что интегральное уравнение (6.31) заменяется конечноразностным,
т. е. системой линейных алгебраических уравнений следующего
вида:
г
-L^KijUi-f), i=l,2,...,n, (6.32)
где Ki} = К (i/n, j!m), щ = и (i/n), f} = /5 (j/m).
К системе (6.32) применяется метод регуляризации,
позволяющий свести ее к вариационной задаче
т п п
ы {4- Z [4- £ *<* - >'Т+-г Е *• с«) ^ *"} • (б.зз)
3 = 1 1=1 2 = 1
При этом возникает вопрос о сходимости решений задачи (6.33)
к регуляризованному решению уравнения (6.31). Ответ на этот
вопрос можно дать, используя общую схему и теорему 1 § 2. Для
этого нужно выполнить следующие построения.
Пусть п = 2к, а т = 21, где к и I - некоторые натуральные
числа, Un = L (ег (s), . . ., еп (s) ) — линейная оболочка,
натянутая на элементы вида
( 0, 0<s<(i-l)/n,
ег (s) = 1, (i— l)/ra<s<i/n,
[ 0, i/w<s<l;
/^ = L (gx (£), . . ., gm (t)) — линейная оболочка, натянутая на
элементы вида
Г 0, 0<*<(/-1)/т,
gj(t)= 1, (у —l)/m<*<//m,
I 0, /7^<*<1;
Рг — оператор метрического проектирования пространства
L2[0, 1] на конечномерное подпространство Ft. Оператор Кпт
определим следующим образом:
1
Кпти = ^ Кпт (5, 0 а (5) ds,
о
180

где и (s) e L2 [О, 1], Кпти е £2Ю, 1], а Кпт (s, t) = K(i/n, /7m)
при (i — \)ln < s < i/тг, (/ — 1)/лг < г <. jlm. Из определения
оператора Кпт видно, что он является линейным ограниченным
оператором, отображающим пространство L2 [0,1] в себя, и
|| К — Кпт || -*■ 0 при п, т -> оо.
Тогда последовательность операторов PiKnm будет сходиться к
К в топологии т-равномерной сходимости, где топология т
определяется на L2[0,1] с помощью семейства преднорм {/?/}, Pi (/) =
= II Pif ||.
Пусть /™ (^ = /5 (//т) при (/ — l)/m<£<//m,/=l,2, . . . ,m.
Ввиду того, что Н^С [0,1], имеем ||/Г — /s||->0 при т-+оо.
Воспользовавшись общей схемой (6.4), мы приходим к следующей
задаче:
inf {|| РгКппи - PtfT || 2 + ее || ц || 2: u e f/J, (6.34)
которая с учетом конкретных Uk, Fb Рь Кпт и /™ переходит в
вариационную задачу (6.33). Из теоремы 1 § 2 следует сходимость
решений задачи (6.33) к регуляризованному решению уравнения
(6.31), что и доказывает устойчивость метода конечноразностных
аппроксимаций.
Записывая для задачи (6.33) условие минимальности, мы
придем к следующей системе линейных алгебраических уравнений:
-^ (К„)' (K{j) (щ) + а (щ) = 4" W fo). * =1.2 л,
/'= 1,2, .. .,7И,
где (KtjY — матрица, транспонированная к (Кц).
§ 4. Проекционный метод нахождения квазирешений
и его приложение
1. Постановка задачи. Пусть Я — сепарабельное гильбертово
пространство; А — взаимно-однозначный линейный
непрерывный оператор, отображающий пространство Я в Я; В —
взаимнооднозначный линейный вполне непрерывный оператор,
отображающий Я в Я; Мг = В5Г, где Sr — {v е Я : || г; || < г}.
Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Au = f, u,f<EH. (6.35)
Множество МТ будем называть множеством допустимых решений
уравнения (6.35) и будем предполагать его заданным.
Напомним, что элемент й ЕЕ Мг называется квазирешением
уравнения (6.35) при / = /, если
|| Ай - f || 2 = inf {|| Аи - J || 2: u e Мг}.
Существование, единственность и устойчивость квазирешений при
сформулированных условиях рассмотрены в § 6 гл. 1.
181

2. Конечномерные аппроксинации квазирешений. Рассмотрим
цепочки конечномерных подпространств пространства Н: Vx CZ
с v2 с ... с У.с • с я, Л с^с.с^с...
оо . оо
.. .аН такие, что IJ Vn = Я, [J Fm — Я, и последовательность
П=1 7П=1
линейных ограниченных операторов {Рт} таких, что для любого
/EF Рт/->/прит->оо и ||Рт||<1.
Рассмотрим метод конечномерных аппроксимаций в следующей
форме:
inf{||Pm Ли - Л»/|| а : и = Яу, v€EVnf) Sr}. (6.36)
Вариационная задача (6.36) разрешима для любых пит, но,
вообще говоря, неединственным образом. В дальнейшем
множество решений этой задачи будем обозначать через Unm.
Теорема 1. Имеет место ^-сходимость конечномерных
аппроксимаций Unm к квазирешению " при п, т -> оо.
Доказательство. Предположим противное, т. е.
(3-сходимость множеств Unm к й не имеет места. Тогда найдётся
последовательность элементов {щ} такая, что щ d Un m и
|| щ - й || > d > 0. (6.37)
Так как {щ} CZ Мг, то без ограничения общности щ -> и при
& -> оо ийе Мг.
Рассмотрим последовательность {щ} такую, что щ ->■ й и
*4 ЕЕ BVnr Последовательность {*4} будет удовлетворять
условию
|| РШкАщ - PmJ ||« > || PmkAuk - Pmft/ ||2. (6.38)
Так как || Pm]t || < 1, то || РткАщ - PmJ || < || Ащ - / ||.
Следовательно, на основании (6.38)
iipmfcAMfc-i>mk/ii*<Mu;-/p.
Теперь покажем, что последовательность операторов {Рт](А}
сходится к А равномерно на множестве Мг. Для этого
предположим противное, т. е. найдется последовательность {щ} такая, что
WcMn
|| Л»» — Pm]t Л»* || > di > 0. (6.39)
Тогда без ограничения общности можно считать, что щ -> й0
при &->оо. Учитывая, что последовательность операторов {Рт\
сходится поточечно к единичному оператору из (6.39), можно
заключить, что
lim || Ащ — РткАй01| > dx/2,
18?

Таким образом,
lim 11| РтьАщ - PmJ ||2 - I Аи, - / Р | = 0. (6.40)
fc-»oo
Из (6.38) и (6.40) следует
II Ащ - j || < || Ай - / || + е, е > 0, (6.41)
что противоречит (6.37).
3. Задача наиточнейшего нагрева линейного стержня. Задача,
которую будем рассматривать, состоит в нахождении функции
ф (*)., удовлетворяющей условию Ф (0) = 0 и || ф' (t) ||ь2[о,Г] < г,
где ф'(£) — обобщенная производная в смысле Соболева, и
такой, что решение первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности
-^- = а^, 0<*<г, tZE[0,T\,T>0, (6.42)
и (х, 0) = 0, и (0, t) = u (I, t) = ф (0
удовлетворяет условию
|| и (х, Т)-% (х) |||,[0, п = inf {|| и (х, Т) -
-Х(^||2:ф(0) = 0,||ф'(011мо,т]<г},
где и (х, t) — решение первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности (6.42) страничными условиями ф (t), а % (х) —
заданная функция из L2 [0, Л.
Если через А обозначить оператор, ставящий в соответствие
функции граничных условий ф^Е^Ю, Г] решение первой
краевой задачи и (х, Т) ЕЕ L2[0,l], то поставленная задача сводится
к нахождению квазирешения Ф (t) G Mr для уравнения Ац)=%,
t
Ф S Ьг [0, 71, % е L2 [0, I], где Мт = {<р(*): Ф (*) = ^ z(t) dt,
о
z e Z, || 2 || <; г}, a Z — подпространство L2 [0, Г], натянутое на
систему функций {cos (mtIT), i = 1, 2, . . .}.
Иепользуя метод конечномерных аппроксимаций и выбирая в
качестве V подпространство, натянутое на функции cos -^г
cos ~ ,..., cos-^- , а в качестве Fn — подпространство, по-
- Y лх 2лх . плх
рожденное оазисными функциями sin -у- , sin—— ,..., sin —-j— ,
задачу, поставленную выше, можно свести к следующей:
{п / п п \2 n "j
2 2 2«iA-A-Zi -. 2*!<н.
i=i \j=i s=i / s=l )
где ^=4-K- 1у- Mr S exp [- (-i1)2"2^ - t>]cos 4- dx>
183

bjs = О при j Ф s и bjs = T/sit при / = s,
i
Zi = — \ z (я) sin —r- ax.
о
§ 5. Необходимые и достаточные условия
сходимости проекционного метода
Выясним далее условия сходимости одной схемы
проекционного метода [14, 24], оценим погрешность на множествах
равномерной регуляризации и при определенной связи параметров докажем
оптимальность по порядку [179].
1. Пусть операторное уравнение первого рода
Au = f (6.43)
для линейного замкнутого обратимого оператора А регуляризует-
ся методом Тихонова (§ 3 гл. 3), т. е. регуляризованное семейство
приближенных решений находится из решения параметрической
экстремальной задачи (3.25), в которой для простоты
изложения считаем 4=4ли/? = д = 2;
inf {|| Аи - U 1Г + a\\Lu ||2: и ^ D} = d. (6.44)
Здесь D = D (A) f] D (L) — пересечение областей определения
линейных замкнутых операторов А и L, действующих из
пространства U в пространства F и V соответственно, || / — /s || ^ б»
в предположении, что:
1) U и F — рефлексивные пространства, F строго выпукло,
V — пространство Ефимова — Стечкина;
2) для любых и EzD и некоторого к ^> О
||и||«<Л{|ИИ||*+||£и||»>. (6.45)
Задача (6.43) разрешима единственным образом и имеет место
сходимость экстремальных элементов щ -+и = А'1 /понорме || и \\г =
= || и|| + || Ли || + || Lu|| при б -> 0 и связи а (б) -> 0, б2/а(б)->
->■ 0 (см. теорему 1 § 3 гл. 3 и замечание к ней).
Предположим дополнительно, что в пространствах U и F
существуют последовательности конечномерных подпространств
{6ТП}, {^п} и проекционные операторы Рп\ U -> Un и Qm : F->■
-> Fm со свойствами: а) QmF = Fm (PnU = Un), б) для любого
fEzF(ueEU) QnJ-+f(Pnu-+u).
Заменим бесконечномерную задачу (6.44) последовательностью
экстремальных задач на цепочке подмножеств Df]Un
inf {\\Au- QmU || 2+ а || Lu f: u^D f\Un} = <m, (6.46)
решение которой при заданных п, т, а, б обозначим и%^.
184

Теорема. Для того чтобы при любых Д ЕЕ F, f Ez A (D) х
X (|| / — /s || ^ б), целых {п, m}wa>0 задача (6.46) имела решение и
lim || Lu% - Lul:l || = 0, lim || Aul\l - Qmh II == II Аи% - Н I
п,тп—>оо n,m->co
необходимо и достаточно, чтобы
{J(Df}Un)^D, (6.47)
71=1
где замыкание понимается по норме \\ и \\г = || и \\ + || L и || +
+ || Л« ||.
Доказательство. Достаточность. Разрешимость
задачи (6.46) и единственность экстремального элемента
доказывается подобно теореме 1 § 3 гл. 3. Покажем, что lim\dn, m == d.
П-»-эо'
m-*oo
В силу соотношения (6.47) найдется последовательность
оо
{ип} cz (J (D П &п)> сходящаяся к щ по норме || • ||и т. е.
п=1
lim (|| ut — мп || + II bu5a - L"" || + || Au% - Aun ||) = 0. (6.48)
Л—>-оо
Обозначим минимизируемый функционал в (6.44) через Ф&М,
а в (6.46) — через Ф%% [и]. Тогда из соотношения (6.46) и условия
QmU^^Uh имеем
чес, п г а,п , ^ 1. ^5, п
lim d„,m= lim aftmK'mK lim Q>t\m[Un] = d. (6.49)
n, m-+oo n, m->oo n, m-»oo
Для получения противоположного неравенства
воспользуемся слабой компактностью ограниченного множества в
рефлексивном пространстве. Тогда ввиду (6.49) для некоторых подпос-
~ € \ € \ 0-'nk * г а>пк ал а>пк
ледовательностеи {пк} и \тк} щ^т -^ и*, Ьиъ,тк-^ v, Аиъ,т^-^
^/* при А—>оо, откуда с учетом замкнутости операторов
получаем и* £Е £, Аи* = /*, Z,u* = у* и
d < Ф? [и*J < Hm Фъ, m* [4'mk] <TISdnfcf™fc. (6.50)
Объединяя соотношения (6.49) и (6.50), находим lim dn. m = d\
поскольку для произвольной последовательности {щ, fnk}
найдется подпоследовательность {пк, тК} cz {щ, Шк} с указанным
свойством, то и lim dn> m = d. He ограничивая общности, можно
m->oo
считать, что
Ц;£-и, LmS;£-*i;, iluS;m^/. (6.51)
185

Следовательно, как и выше, имеем
u^D1Au = fJLu=^ v,
<*<Фв[и]< Km Фь1п[и1:1] = lim dn,m = d, (6.52)
n, m->x>
т. е. и = wg.
Выберем теперь подпоследовательность {пк, тк) CZ {га, т},
для которой существуют пределы:
lim || LulX ||2=^, Hm || Аиь\\ - QmJb II2 = *• (6.53)
Покажем, что
\\Luf = K Mw-/8||2-x. (6.54)
В самом деле, если || Lu ||2 <^ А, (ясно, что || Lu ||2 <; Я) или || Ай —
— /б II2 < х> то это приводит к невозможному неравенству
lim Ф?'**[««;mL] = Ниг dnfc,ms = d = Ф» fa] <Л, + ax == d.
Ввиду выполнения свойств Ефимова—Стечкина для
пространства V из предыдущих соотношений следует
lim || Lul- ЬиьХ И=0> lim И Аи^Л ~ <W* II = || Аи% - /51|.
Рассуждая от противного, теперь легко убедиться, что последние
соотношения выполняются для всей последовательности щ^.
Необходимость. Пусть и Ez D — решение уравнения (6.45)
при некоторой правой части / и а (б) — такая зависимость, при
которой || щ}Ъ) — и \\г -> 0 при б -> 0 (теорема 1 § 3 гл. 3). Из
условий теоремы для любых а, б выполнены предельные
равенства
lim || Lul;£ - Lul || = 0, lim \AuVm-QM =
= \\Aut — fc\\.
Принимая во внимание неравенства
|| Lu — Lu^lm II < \\Lu — Lul || + || Lul — Lul\£ ||,
\\Au^Aul;Z\\<\\Au^Aul\\ + \\Aul-fb\\ + \\fb^Qmfb\\ +
+ \\Qmh—[Aul't£\\,
свойство проекторов Qm и предыдущие соотношения для
произвольного е > О, выбором б при отмеченной зависимости а (б)
можно удовлетворить неравенство
|| Lu - Lul || + || Аи - Aul || + || Au\ - /61|< e/2,
186

а затем при фиксированном б и достаточно больших {гс, т)
неравенство
|| Lul - ЬиЦ || + || /6 - QJb || + || Qmfb - Aut || < e/2.
Из последних двух неравенств и соотношения (6.45) вытекает
существование зависимостей {п (б), т (б)} и а (б), для которых
|| и — щ;1 \\г -> 0 при /г, т -> оо (б -> 0)
для любого uEzD, т.е. выполнено соотношение (6.47).
Замечание 1. Если условие (6.45) заменить на
|| и ||2 < кг || Lu ||2 (к, > 0),
то сходимость конечномерных приближений lim \\Ьщ — Lul]m || = 0
n, m->oo
влечет их сходимость по норме пространства U: lim || ut — z4,'m || = 0.
n,m—кх>
Замечание 2. Если U, F — действительные
гильбертовы пространства и подпространство Un (Fm) образовано первыми
п элементами (т элементами) ортонормированного базиса {et}
п
({gi}), то решение задачи (6.46) имеет вид щ]т = 2 cieu гДе {c%}i —
решение системы линейных алгебраических уравнений
п m
23с{ [(Аек, Аег) + a (Lek, Le{)] = 2 /j (Аеъ gj) (* = 1,2,. .., и).
i=l j=l
Замечание З. Аналогичные результаты о сходимости
проекционных методов, доказанные в этой главе, получены при
использовании других вариационных способов регуляризации,
например (обобщенного) метода невязки [15, 21, 24, 25]. Причем
схема проекционного метода, рассмотренная в этом параграфе,
применима также к задаче вычисления значений неограниченного
оператора [17, 23].
§ 6. Оценка погрешности метода
Пусть множество равномерной регуляризации уравнения (6.43)
для регуляризующего. семейства операторов, полученного по
методу Тихонова, имеет вид
МТ ={и:и= Bv, v<=V, || v || < г},
где В — некоторый линейный замкнутый оператор, действующий
из V в U, а V — рефлексивное пространство. Величину
погрешности алгоритма, включающего регуляризацию и конечномерную
аппроксимацию, при заданном уровне погрешности б правой
части / обозначим
Д£ (б, г) = sup {|| и - ul:£ ||: и GE Мг, || Аи - /5 || < б},
и
187

а величину погрешности оптимального конечномерного алгоритма
Ql (б, г) = inf sup {| и - SQmH ||: и <= МР,
14«-/8||<в}.
Здесь wg'^ — решение экстремальной задачи
inf {|| Аи - QJb f + a\\Lu ||2: use D [\ Mr {\ Un) - dn,mi
(6.55)
{Fm -> Un) — множество всех отображений подпространства
Fm в Un. Введем также следующие обозначения:
R = sup {|| Lu\\: и е Мг},
Я (тга) > sup {|| ^4и — QmAu ||: и е МГ},
7 (л) > sup {|| Аи — Аип ||: и е -Mr},
где ип — метрическая г проекция элемента и на множество
мт п ff„.
Пусть выполнены условия п. 1 § 5.
Теорема. Если || Qn || <; с0 и параметры т, п, а
выбираются из условий а ^ схб2, Х(т) ^ с26, у(п) ^ с3б (q — const),
то справедливы следующие неравенства:
V,©! (26, г) < Q£ (6, г) < Д^ (б, г) < о)! (Л6, г), (6.56)
где & = с0 + с2 + [(с0 + с2 + с3)2 + c±R2]tf:
Доказательство. Поскольку S ее {Fm -> f/n}, то
суперпозиция отображений SQm, где ()m: F-+Fm, является
некоторым отображением из F в U. Поэтому левая часть
соотношения (6.56) следует из леммы 3 § 2 гл. 4. Справедливость
неравенства Qm (б, г) ^ А™ (б, г) очевидна из определения этих
величин.
Согласно введенным обозначениям имеем
|| Аи - АиЦ || < || Aul:l - Qmfb || + || QrrJb-QJ ||+ (6.57)
+ || <?m/ - / || < || M,'£ - <?m/6 || + || Qm \\ \\ f - h II.+*> И-
Так как элемент и£'т реализует нижнюю грань в задаче (6.55),
то
II Aul:l - Qmf6 || < {|| Aul:l - Qmfb f + a \\ ЬиЦ f)^ <
< {(\\Aun-Au\\ + ||Au - Qmf || + || Qnf - Qmfb ||)2 + (6.58)
+ a || Lun Ц2}1^ < {(y (n) + X (m) + c06)2 + аД»}'\
где wn — экстремальный элемент в задаче inf {|| и — v ||: yGzAfrp]
р) С/п}. Существование такого элемента следует из слабой
замкнутости множества МТ f] Un и рефлексивности пространства £/
(лемма 3 § 6 гл. 1).
188

Подставляя оценку (6.58) в (6.57) и используя условия
теоремы, получаем правое неравенство (6.56).
Следствие. В условиях теоремы 1 метод оптимален по
порядку на множестве Мг, причем
1 < М (б, r)/Q£ (б, г) < шах {А, 2}.
Действительно, учитывая, что ы1 (б, г) = со (б, 2г) (лемма 1
§ 3 гл. 4), имеем 1/2со1 (26, г) = со (б, г) и о^ (Аб, г) = со (Аб, 2г) <;
^ max {А, 2} со (б, г) (лемма 1 § 2 гл. 4). Вместе с оценкой
(6.56) это дает требуемые неравенства.
П р и м е р. Рассмотрим простейшее интегральное уравнение
X
Au = ^u(t)dt = f (x).
о
Считая, что U = F = V = L2 [0, я], a L — тождественный
оператор, возьмем множество равномерной регуляризации
О
В качестве ортонормированных базисов {е{} и {gt} выберем
тригонометрическую систему.
Тогда со (б, г) ^ ]/гб (см. § 9 гл. 4), функции Я (т) и у (п)
оцениваются сверху:
Я (т) < rV(m + I)2, у (п) < г2/(гс + I)2
и Л <; г. Если положить 2с2 = 2с3 = 2схг2 = 1 (очевидно, что
с0 = 1), то имеем т = п zz ]/"2г/б — 1 и
. Д£(6, г)<4/Рб.
Замечание. Оценки типа (6.56) являются равномерными
относительно множества точных решений, т. е. правое
неравенство в (6.56) справедливо для любого и, принадлежащего множеству
равномерной регуляризации Мг. Для уклонения приближенного
решения от точного могут быть получены мажорантные оценки
другого типа (оценки в точке) [53, 78]. Хотя такие оценки
являются более грубыми, но они не связаны ни с каким заранее
выбранным множеством регуляризации.
§ 7. Численные приложения
1. Задача наиточнейшего нагрева линейного стержня.
Постановка задачи и численный метод ее решения подробно изложены
в § 4 наст, главы. Поэтому укажем лишь, что в проекционном
методе порядок аппроксимации п принимался равным 10, а
относительная погрешность исходных данных составляла 0,1% [131].
189

Результаты расчетов иллюстрируются рис. 1, где кривые 2,2 —
соответственно точное модельное и численное решения.
2. Задача определения энергетического спектра бозе-системы
по термодинамическим функциям.
Важнейшей задачей физики конденсированного состояния
является изучение энергетических спектров твердых тел, в
частности фононных спектров кристаллов. Основной
функциональной зависимостью, характеризующей фононы в кристалле,
служит фононная плотность состояния g (v), от вида которой
(например, положение пиков) зависят многие физические свойства
твердых тел. Задача определения энергетического спектра х (s)
бозе-системы по температурной зависимости термодинамических
функций у (t) сводится к решению интегрального уравнения
Фредгольма первого рода
Кх=\к (t, s)х(s)ds = y (t), с< t <d,
(6.59)
где у (t) — теплоемкость кристаллической решетки в
гармоническом приближении, х (s) — фононная плотность состояний,
Физиков интересует в первую очередь получение «тонкой
структуры» решения, т. е. определение количества и местополо-
190

жения пиков. В связи с этим
возникает задача построения
численных алгоритмов, дающих
необходимую точность. С этой
целью оператор вложения В был
выбран специальным образом
В = /Г*, где К* — оператор,
сопряженный К. В соответствии
с методом регуляризации
Тихонова уравнение (6.59)
заменялось интегральным уравнением
второго рода
(KK*)h + az = KK*y (6.60)
и
х = K*z.
./y.V !
Рис. 3
С помощью метода конечно-
разностной аппроксимации
уравнение (6.60) затем было сведено к системе линейных
алгебраических уравнений
2 KjlZjh1 + azl = 2 OiKuVihu
3=1
г=1
где
К я = 2j aiKjiKiihi, К и = 2j orKirKlrh,
r=l
Kir = К (ti, sr), zx =z fa), yi = у (ti); au or —
коэффициенты формулы Симпсона, sr = (г — 0,5) h, h = b/m (a = 0),
r = 1, 2, ..., ттг;
^ == с + ifei, /^ = (d — c)ln\ г\ /, Z = 1, 2, ..., ra.
При решении конкретных примеров [75, 89—91] считали п = га =
= 20, относительная погрешность правой части ?/(£) составляла
примерно 1 %.
На рис. 2 даны результаты расчета одного модельного примера
при выборе параметра регуляризации а = 10~19 (кривые 1,2 —
приближенное и точное (модельное) решения соответственно).
На рис. 3 приведены результаты расчета фононной плотности
состояний,, платины. Кривая 1 — приближенное решение,
полученное при а = 10"20, 2 — экспериментальные данные.
Рис. 4 иллюстрирует результаты расчетов фононной
плотности состояний меди (рис. 4, а) и германия (рис. 4, б) (q (s) =
= х (я)). Кривые 1 характеризуют численное решение при а ж
ж 10~17 (рис. 4, а) и 10~15 (рис. 4, б), а кривые 2 —
эксперимента л ьные^ данные.
191

Рис. 4
_Il___ . ■■ ■ , „ , ; , ; ., .
3. Задача гравиметрии. Методы проекционного типа могут
быть с успехом использованы для численного решения
нелинейных операторных и, в частности, интегральных уравнений
первого рода [14, 19]. Рассмотрим одну из схем проекционного метода.
Пусть регуляризация исходного уравнения осуществляется на
основе метода Тихонова. Тогда (конечномерное) приближенное
п
решение, отыскиваемое в видеип = З^Л может быть найдено
г=1
из условия минимума функции п переменных
(6.61)
inf { \а ( 2 с&) - hb + «II Ь[ 2 сл)Г
\с{) UI \г=1 / И 4=1 / И
где {е{} — (ортонормированный) базис пространства U*.
Приведем результаты одного численного эксперимента [14].
В качестве исходного уравнения рассматривалось нелинейное
интегральное уравнение Фредгольма первого рода
1
А\и(х)] =-££- ^ 1п-
—1
#2+ (S — tf
(Я-ii (О)1+ (*-*)*
dt = /о (х),
(6.62)
описывающее простейшую задачу гравиметрии [151]. При заданном
точном решении и0 (х) = (1 — х2)2 правая часть /0 (х) (х^ [—2, 2])
вычислялась по формуле (6.62). Для выбранного базиса {е{ (х)}" =
= {1/^2, sin их, cos их, ...}i последовательно при п = 3, 5, 7
коэффициенты Фурье {£j}i приближенного решения йп
находились из условия глобальной минимизации функции в (6.61)
при L = Е по алгоритму, описанному в [88], при нулевом
начальном приближении. При этом предполагалось, что б = 10"3 и а
выбиралось по принципу невязки.
* Отметим, что элемент /§ в минимизируемой функции можно земенить
некоторым его конечномерным приближением (см. § 5 наст. гл.).
192

На рис. 5 приведены точное решение (кривая 1) и
приближенные решения йп (х), полученные в результате счета при п = 3
(кривая 2) и п = 5 (кривая 3). Графики точного и0 (х) и
приближенного й7 (х) решений фактически совпадают. Относительная
среднеквадратичная погрешность
А = ( Ц [«о (*0 - Щ (si)]*)"' / ( S "о (*,))"'
u=o ' / \г=о
(^i = — 1 + одг, г = о, 1 20)
составляет 2,6%.
4. Метод регуляризации в совокупности с проекционным
методом, описанным в § 3 наст, главы (при р = q = 2 и тг == т),
Рис. 5
/7J j:
в случае гильбертовых пространств сводит отыскание
приближенного решения линейного операторного уравнения к решению
системы линейных алгебраических уравнений [19]
п т п
' S Г 2 (Aeh Si) (Aet, ft) 1Щ + о.щ = 2 (4ek, ft) /i
(A = 1,2,..., тг), (6.63)
где {ej, {&} — ортонормированные базисы в пространствах U
и F соответственно. Система (6.63) позволяет вычислять коэф-
п
фициенты Фурье приближенного решения и = 2 ще% по коэффи-
2=1
циентам {Д} правой части и матрице (Aeh gj).
Этим методом решалось интегральное уравнение
1
Аи =^{~(х + t) + xt}u(t)dt = ^ + x = f (х),
о
имеющее точное решение и (х) = 1. Система]функций {1, |/"2 cos их,
|^2 cos 2ях, ...} принималась за ортонормированный базис.
193

Относительная ошибка приближенного решения, полученного
при п =10 и «наилучшем» а = 10~19, составляет Дж8»10~5 [19].
£. Конечноразностный метод (замена интеграла суммой по
формуле прямоугольников в десяти точках), примененный к регул я-
ризованному уравнению
Аи + аи = /,
дает при «наилучшем» а = 1/1024 погрешность А ж 0,06 [7].
5. Задача численного дифференцирования. Вычислительный
алгоритм для приближенного восстановления производной /' (х)
по функции /(#), заданной с ошибкой /6 (х) (|| / — /6 || <; б),
построим исходя из регуляризации по Тихонову (см. п. 4 § 3 гл. 5)
и проекционного метода в следующей форме.
Пусть {вх} — ортонормированный базис гильбертова
пространства F (U — также гильбертово). Тогда, решая вариационную
задачу (5.10) на конечномерном подпространстве, образованном
первыми п элементами, приходим к системе линейных
алгебраических уравнений (при p=q = 2)
п
^ + aS«i(^.4 = (/8.«i) (A = 1,2,..., га). (6.64)
п
Элемент w§ = 23 сцТеъ, где {сн} — решение системы (6.64) прини-
мается за приближенное значение оператора Т на элементе /.
При Т == dldx получаем конечномерное приближение к
производной.
Опишем результаты некоторых численных экспериментов.
Считая, что U = F = L2 [—1, 1], возьмем в качестве ортонорми-
рованного базиса полиномы Лежандра. Для функций fx (x) =
= sin х, /2 (х) = х2 вычисление производных осуществлялось
в соответствии с изложенной процедурой при п = 10. Причем
все скалярные произведения в (6.64) вычислялись по стандартным
программам с машинной точностью (на ЭВМ БЭСМ-6), а система
уравнений обращалась методом Гаусса.
Ниже представлена зависимость относительной погрешности
At (в чебышевской метрике) вычисления производной для
функций fi (x) (i = 1, 2) от параметра а:
а Ю"3 Ю"5 10"7 10"* Ю-11 Ю"13
X 0,349 0,792-Ю"2 0,802-Ю'3 0,803-Ю"6 0,904-Ю"8 0,583-Ю"8
А2 0,743 0,211-Ю"1 0,214-Ю"3 0,215-10"6 0,238-Ю"7 0,256-10~8
Метод средних функций (см. п. 3 § 5 гл. 5) при счете интеграла
по обобщенной формуле Симпсона (ш = 100), а = 10~5 и
погрешности задания функции б ж 10"5 дает при вычислении
производной функции Д (х) == sin х погрешность примерно 10~5
(подробности см. в [22]).
194

Метод регуляризованных кубических сплайнов [109, 193]
при счете функции по 100 точкам с четырьмя верными знаками
имеет среднеквадратичную погрешность около 10~4.
Таким образом, для «гладких» функций все рассмотренные
методы восстанавливают производную с достаточно высокой
точностью.
Иначе обстоит дело для «негладких» (или сильно
осциллирующих) функций.
Пусть б-приближеиие исходной функции f(x) имеет вид /6 (х) =
= 1 — |#|(—1 <^ х <; 1). Считаем, что дифференцируемая в
каждой точке отрезка [—1, 1] функция f(x) совпадает с /6 (х) всюду,
за исключением малой окрестности нуля. Для определенности
будем считать, что /' (0) = 0.
В этом случае метод регуляризованных кубических сплайнов
при числе узлов, равном 100, имеет относительную погрешность
А ж 0,268, проекционный метод при п = 10 и а = 10~4 имеет
погрешность Д ж 0,232, а метод средних функций - Д^ 10~5.

ЛИТЕРАТУРА
1. Агеева 3. Г., Иванов В. К. О
некоторых случаях
равномерной сходимости метода
квазиобращения.— Труды Ин-та мат. и
мех. УНЦ АН СССР, 1976,
вып. 23. Методы регуляризации
неустойчивых задач, с. 3—8.
2. Алберг Дж., Нилъсон «9., Уолш
Дж, Теория сплайнов и ее
приложения. М., «Мир», 1972.
3. Антохин Ю. Т. Некорректные
задачи в гильбертовом
пространстве и устойчивые методы
их решения.— Дифференц.
уравн., 1967, 3, № 7, с. 1135—
1156.
4. Арестов В, В. О наилучшем
приближении операторов
дифференцирования.— Мат.
заметки, 1967, 1, вып. 2, с. 149-154.
5. Бакушинский А. Б. Линейные
регуляризирующие алгоритмы
в банаховом пространстве и
некоторые их приложения. —
В кн.: Методы решения
некорректных задач и их применение.
Труды Всесоюз. школы
молодых ученых (Ростов-Великий,
9—18 октября 1973 г.). М., Изд-
во МГУ, 1974, с. 77-81.
6. Бакушинский А. Б, Новый ре-
гуляризирующий алгоритм для
решения линейного
некорректного уравнения в гильбертовом
пространстве.— В кн.:
Вычислительные методы и
программирование, вып. 12. М., Изд-во
МГУ, 1969, с. 53-55.
7. Бакушинский А. Б. Об одном
численном методе решения
интегральных уравнений Фред-
гольма I рода.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1965, 5,
№ 4, с. 744—749.
8. Бакушинский А. Б, Один
общий прием построения регуля-
ризирующих алгоритмов для
линейного некорректного
уравнения в гильбертовом
пространстве.— Журн. вычислит, мат. и
мат. физ., 1967, 7, № 3, с. 672—
677.
9. Бакушинский А, Б,, Страхов
В. Н. О решении некоторых
интегральных уравнений I рода
методом последовательных
приближений.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1968, 8, № 1,
с. 181-185.
10. Барбашин Е. АЛ\ теории
обобщенных динамических систем. —
Учен. зап. МГУ. Математика,
1949, 2, вып. 135, с. 110-134.
И. Бахвалов Я. С, Штрехо М.
Исследование возможности
регуляризации метода Ритца на
примере полиномиальных
приближений.— Мат. заметки, 1970,
7, № 4, с. 483-493.
12. Бутковский А. Г. Теория
оптимального управления
системами с распределенными
параметрами. М., «Наука», 1965.
13. Васин В. В. К задаче
вычисления значений неограниченного
оператора в ^-пространствах.—
Изв. вузов. Математика, 1972,
№ 5, с. 22—28. ,
14. Васин В. В. Конечномерная
аппроксимация семейства
приближенных решений в методе
регуляризации.— Мат. зап.
Уральск, ун-та, 1975, 9, тетр.
2, с. 10-17.
15. Васин В. В. Метод невязки и
конечномерная аппроксимация
приближенных решений
операторных уравнений.— Труды
196

Ин-та мат. и мех. УНЦ АН
СССР, 1975, вып. 17. Методы
решения условно-корректных
задач, с. 39—52.
16. Васин В. В. Некорректные
задачи в ^-пространствах и их
приближенное решение
вариационными методами. Канд. дис.
Свердловск. Уральск, ун-т, 1970.
17. Васин В. В. О регуляризации
задачи вычисления значений
неограниченного положительного
оператора.— Труды Ин-та мат.
и мех. УНЦ АН СССР, 1976,
вып. 23. Методы регуляризации
неустойчивых задач, с. 9—19.
18. Васин В. В. О связи некоторых
вариационных методов
приближенного решения некорректных
задач,— Мат. заметки, 1970, 7,
№ 3, с. 265-272.
19. ВасинВ. В. О р-сходимости
проекционного метода для
нелинейных операторных уравнений.—
Журн. вычислит, мат. и мат.
физ., 1972, 12, № 2, с. 492-
497.
20. Васин В. В, О сходимости
проекционных методов и
равномерной регуляризации
некорректных задач.— В кн.: Методы
решения некорректных задач и
их применение. Труды Всесо-
юз. школы молодых ученых
(Ростов-Великий, 9—18
октября 1973). М., Изд-во МГУ, 1974,
с. 117—119.
21. Васин В. В. Об одном
проекционном методе решения
некорректных задач.— Изв. вузов.
Математика, 1971, №11,
с. 28—32.
22. Васин В. В. Об устойчивом
вычислении производной в
пространстве С (— оо, оо).— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ.,
1973, 13, № 6, с. 1383-1389.
23. Васин В. В., Танана В. Я.
Необходимые и достаточные
условия сходимости проекционных
методов для линейных
неустойчивых задач.—Докл. АН СССР,
1974, 215, № 5, с. 1032-1034.
24. Васин В. В., Танана В, П. Об
устойчивости проекционных
методов при решении
некорректных задач.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1975, 15, № 1,
с. 19—29. '
25. ВасинВ. 2?., Танана В. Я.
Приближенное решение
операторных уравнений первого рода.—
Мат. зап. Уральск, ун-та, 1968,
6, тетр. 2, с. 27—37.
26. Винокуров В. А. О погрешности
решения линейных
операторных уравнений.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1970,
10, № 4, с. 830—839.
27. Винокуров В. А. Об одном
необходимом условии регуляризу-
емости по Тихонову.— Докл.
АН СССР, 1970, 195, № 3,
с. 530-531.
28. Власов JL П. Аппроксимативные
свойства множеств в линейных
нормированных
пространствах.— Успехи мат. наук, 1973,
28, вып. 6, с. 3-66.
29. Габушин В. Н. О наилучшем
приближении операторов
дифференцирования в метрике Lp.—
Мат. заметки, 1972, 12, вып. 5,
с. 531-538.
30. Гарабедлн Я. Р. Численное
построение отошедших ударных
волн.— Механика. Период, сб.
пер. иностр. статей, 1958, № 6,
с. 23—35.
31. Гаркави А. Л. О чебышевском
центре множества в
нормированном пространстве.— В кн.:
Исследования по современным
проблемам конструктивной
теории функций. М., Физматгиз,
1961, с. 328-331.
32. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.
Некоторые вопросы теории
дифференциальных уравнений,
вып. 3. Обобщенные функции.
М., Физматгиз, 1958.
33. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.
Обобщенные функции и
действия над ними. М., Физматгиз,
1958.
34. Гончарский А. В., Леонов А. С,
Я гола А. Г. Конечноразностная
аппроксимация линейных
некорректных задач.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1974,
14, № 1, с. 15-24.
35. Гончарский А. В., Леонов А. С,
Я гола А. Г. О регуляризации
некорректных задач с
приближенно заданным оператором.—
Журн. вычислит, мат. и мат.
физ., 1974, 14, №4, с. 1022-
1027.
36. Гончарский А. В., Леонов А. С,
Я гола А. Г. Об одном регуляри-
197

зующем алгоритме для
некорректно поставленных задач с
приближенно заданным
оператором.— Журн. вычислит, мат.
и мат. физ., 1972, 12, № 6,
с. 1592-1594.
37. Гончарский А. В., Леонов А. С,
Я гола А. Г. Обобщенный
принцип невязки.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1973,
13, № 2, с. 294-302.
38. Грабарь Л. Я. Применение
полиномов Чебышева, ортонорми-
р о ванных на системе
равноотстоящих точек, для численного
дифференцирования.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1967,
7, № 6, с. 1375-1379.
39. Гурса Э. Курс математического
анализа, т. 3, ч. 2. М.— Л.,
Гостехиздат, 1934.
40. Данилин А. Р., Танана В, Л.
О сходимости проекционных
методов.— Мат. зап. Уральск,
унта, 1975, 9, тетр. 4, с. 3—13.
41. Данфорд Я., Шварц Дж. Т.
Линейные операторы. Общая
теория. М., ИЛ, 1962.
42. Демидович В. Б.
Восстановление функции и ее производных
по экспериментальной
информации.— В кн.: Вычисл.
методы и программирование, вып. 8.
М., Изд-во МГУ, 1967,
с. 96-102.
43. Денчев Р. Об устойчивости
линейных уравнений на
компакте.— Журн. вычислит, мат. и
мат. физ., 1967, 7, № 6,
с. 1367-1370.
44. Долгополова Т. Ф.
Конечномерная регуляризация при
численном дифференцировании
периодических функций.— Мат. зап.
Уральск, ун-та, 1970, 7, тетр. 4,
с. 27-33.
45. Долгополова Г. Ф., Иванов В. К.
О численном
дифференцировании.— Журн. вычислит, мат. и
мат. физ., 1966, 6, № 3, с. 570—
576.
46. Домбровская И. Я. О решении
некорректных линейных
уравнений в гильбертовом
пространстве.— Мат. зап. Уральск,
унта, 1964, 4, тетр. 4, с. 36—40.
47. Домбровская И. Я. Об
уравнениях первого рода с замкнутым
оператором.— Изв. вузов.
Математика, 1967, № 6, с. 39—42.
48. Домбровская И. Л., Иванов В. К.
К теории некоторых линейных
уравнений в абстрактных
пространствах.— Сиб. мат. журн.,
1965, 6, № 3, с. 499-508.
49. Домбровская И, Я., Иванов
В. К. Некорректные линейные
уравнения и исключительные
случаи уравнений типа
свертки.— Изв. вузов. Математика,
1964, № 4, с* 69-74.
50. Ефграфов М. А. Аналитические
функции. М., «Наука», 1965.
51. Иванов В. В. Об оптимальных
по точности алгоритмах
приближенного решения
операторных уравнений I рода.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ.,
1975, 15, № 1, с. 3—11.
52. Иванов В. В. Об оптимальных
по точности алгоритмах
численного решения некорректно
поставленных задач на ЭВМ.—
В кн.: Методы решения
некорректных задач и их
применение. Труды Всесоюз. школы
молодых ученых
(Ростов-Великий, 9 — 18 октября 1973 г.).
М., Изд-во МГУ, 1974, с. 16—
20.
53. Иванов В. #., Кудринский В. Ю.
Приближенное решение
линейных операторных уравнений в
гильбертовом пространстве
методом наименьших квадратов.
I, И.— Журн. вычислит, мат.
и мат. физ., 1966, 6, № 5,
с. 831-841; 1967, 7, № 3, с.
475-496.
54. Иванов В. К. Задача
квазиобращения для уравнения
теплопроводности в равномерной
метрике.— Дифференц. уравн.,
1972, 8, № 4, с. 652-658.
55. Иванов В. К. Задача Копти для
уравнения Лапласа в
бесконечной полосе.— Дифференц.
уравн., 1965, 1, № 1, с. 131—
136.
56. Иванов В. К. Интегральные
уравнения первого рода и
приближенное решение обратной
задачи потенциала.— Докл. АН
СССР, 1962, 142, № 5, с. 998—
1000.
57. Иванов В. К. Линейные
неустойчивые задачи с
многозначными операторами.— Сиб. мат.
журн., 1970, 11, № 5, с. 1009—
1016.
198

58. Иванов В. К. Некорректные
задачи в топологических
пространствах.— Сиб. мат. журн.,
1969, 10, № 5, с. 1065—1074.
59. Иванов В. К. О величине
параметра а при решении условно-
корректных задач методом
регуляризации.— Труды Ин-та
мат. и мех. УНЦАНСССР, 1976,
вып. 17. Методы решения
условно-корректных задач, с. 3—13.
60. Иванов В. К. О величине
параметра регуляризации в
некорректно поставленных задачах
управления. — Дифференц.
уравн., 1974, 10, № 12, с. 2279—
2285.
61. Иванов В. К. О линейных
некорректных задачах.— Докл.
АН СССР, 1962, 145, № 2,
с. 270—272.
62. Иванов В, К. О некорректно
поставленных задачах.— Мат.
сб., 1963, 61, №2, с. 211-223.
63. Иванов В. К. О приближенном
решении операторных
уравнений первого рода<— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1966,
6, №;б, с. 1089-1094.
64. Иванов В. К. О применении
метода Пикара к решению
интегральных уравнений первого
рода.— Bui. Inst, politenn. Iasi,
1968, 14, Fasc. 3-4, p. 71-77.
65. Иванов В, К. О равномерной
регуляризации неустойчивых
задач.— Сиб. мат. журн., 1966,
7, № з, с. 546-558.
66. Иванов В. К. О регуляризации
линейных операторных
уравнений первого рода.— Изв.
вузов. Математика, 1967, № 10,
с. 50-55.
67. Иванов В. К. О решении
операторных уравнений, не
удовлетворяющих условиям
корректности.— Труды Мат. ин-та АН
СССР, 1971, 112, с. 232—240.
68. Иванов В. К. Об интегральных
уравнениях Фредгольма
первого рода.— Дифференц. уравн.,
1967, 3, №3, с. 410-421.
69. Иванов В. Я. Об одном способе
трактовки некорректных задач
математической физики.—
Материалы к совместному
советско-американскому
симпозиуму по уравнениям с частными
производными. Новосибирск,
Изд-во СО АН СССР, 1963,
с. 3—9.
70. Иванов В. К. Об одном типе
некорректных линейных
уравнений в векторных
топологических пространствах.— Сиб. мат.
журн., 1965, 6, №4, с. 832—
839.
71. Иванов В. К. Об оценке
погрешностей при решении
операторных уравнений первого рода.—
В кн.: Вопросы точности и
эффективности вычислительных
алгоритмов. Труды
симпозиума, кн. 2. Киев, Ин-т
кибернетики АН УССР, 1969, с. 102—
116.
72. Иванов В. К. Об оценке
устойчивости квазирешений на
некомпактных множествах.— Изв.
вузов. Математика, 1974, № 5.
с. 97-103.
73. Иванов В. К. Об оценке
устойчивости при решении
некорректных задач.— В кн.:
Методы решения некорректных
задач и их применение. Труды
Всесоюз. школы молодых
ученых (Ростов-Великий, 9—18
октября 1973 г.). М., Изд-во МГУ,
1974, с. 16—20.
74. Иванов В. К., Королюк Т. И.
Об оценке погрешности при
решении линейных некорректных
задач.— Журн. вычислит, мат.
и мат. физ., 1969, 9, № 1,
с. 30-41.
75. Иванов В. К., Коршунов В. А.,
Решет.ова Т. Н.; Танана В. Л.
О возможности определения
энергетического спектра бозе-
системы по термодинамическим
функциям.— Докл. АН СССР,
1976, 228, № 1, с. 19—22.
76. Иосида К. Функциональный
анализ. М., «Мир», 1967.
77. Калякин Л. А. О
приближенном решении некорректных
задач в нормированных
пространствах.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1972, 12, № 5,
с. 1168—1181.
78. Калякин Л. А. О числе
координатных функций в
проекционных методах решения
неустойчивых задач.— Труды Ин-та
мат. и мех. УНЦ АН СССР,
1975, вып. 17. Методы
решения условно-корректных задач,
с. 53—66.
199

79. Карлин С. Математические
методы в теории игр,
программировании и экономике. М.,
«Мир», 1964.
80. Качмаж С, Штейнгауз Г.
Теория ортогональных рядов. М.,
Физматгиз, 1958.
81. Колмогоров А. Я. О
неравенствах между верхними гранями
последовательных производных
произвольной функции на
бесконечном интервале.— Учен,
зап. МГУ. Математика, 1939,
30, кн. 3, с. 3—16.
82. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
Элементы теории функций и
функционального анализа. М.,
«Наука», 1968.
83. Коркина Л. Ф. О
регуляризации интегральных уравнений
первого рода с ядром Грина.—
Изв. вузов. Математика, 1968,
№ 5, с. 44-49.
84. Коркина Л. Ф. О
регуляризации операторных уравнений
первого рода,— Изв. вузов.
Математика, 1969, № 8, с. 26—
29.
85. Коркина Л, Ф. О решении
операторных уравнений первого
рода в гильбертовых
пространствах.— Изв. вузов. Математика,
1967, № 7, с. 65-69.
86. Коркина Л. Ф. Об оценке
погрешности при решении
некорректно поставленных задач.—
Журн. вычислит, мат. и мат.
физ., 1974, 14, № 3, с. 584-597.
87. Коркина Л. Ф. Оценка модуля
непрерывности обратного
оператора.— Мат. зап. Уральск,
ун-та, 1969, 7, тетр. 2, с. 76—87.
88. КоротаеваЛ. Я., Ланишев А. В.
Программа нахождения
глобального экстремума функции
многих переменных.— В кн.:
Алгоритмы и программы
случайного поиска. Рига, «Зинат-
не», 1969, с. 179—189.
89. Коршунов В. А., Танана В. Я.
Определение фононной
плотности состояний по
теплоемкости кристалла (германий).—
ФТТ, 1976, 18, № з, с. 654—
657.
90. Коршунов В. А., Танана В. Я.
Определение фононной
плотности состояний по
термодинамическим функциям
кристалла. Благородные металлы,—
200
Физ. металл, и металловед.,
1976, 42, № 3, с. 455-463.
91. Коршунов В. А., Танана В. Я.
Определение фононной
плотности состояний по
термодинамическим функциям
кристалла.— Докл. АН СССР, 1976,
231, № 4, с. 845-848.
92. Краснов М. А. Интегральные
уравнения. М., «Наука», 1975.
93. Крейн С. Г. О классах
корректности для некоторых граничных
задач.— Докл. АН СССР, 1957,
114, № 6, с. 1162-1165.
94. Крейн С. Г., Прозоровская О. Я.
О приближенных методах
решения некорректных задач.—
Журн. вычислит, мат. и мат.
физ., 1963, 3, № 1, с. 120—130.
95. Крылов В. Я., Бобков В. В.,
Монастырский Я. Я.
Вычислительные методы высшей
математики, т. 2. Минск, «Выгаэй-
шая школа», 1975.
96. Курант Р. Уравнения с
частными производными. М., «Мир»,
1964.
97. Лаврентьев М. М. О некоторых
некорректных задачах
математической физики.
Новосибирск, Изд-во СО АН СССР,
1962.
98. Лаврентьев М. М. О
постановке некоторых некорректных
задач математической физики.—
В кн.: Некоторые вопросы
вычислительной и прикладной
математики. Новосибирск,
«Наука», 1965, с. 258—276,
99. Лаврентьев М. М.
Условно-корректные задачи для
дифференциальных уравнений.
Новосибирск, НГУ, 1973.
100. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод
квазиобращения и его
приложения. М., «Мир», 1970.
101. Лионе Ж.-Л. Оптимальное
управление системами,
описываемыми уравнениями с частными
производными. М., «Мир», 1972.
102. Лисковец О. А. Некорректные
задачи и устойчивость
квазирешений.— Сиб. мат. журн.,
1969, 10, № 2, с. 373-385.
103. Лисковец О. А. Некорректные
задачи с замкнутым
необратимым оператором.— Дифференц.
уравн., 1967, 3, №4, с. 636—
646.

104. Лисковец О. А. Регуляризация
уравнений I рода и связь с
квазирешениями.— Докл. АН
БССР, 1969, 13, № 4, с. 295-
297.
105. Лифшиц Я. М, Об определении
энергетического спектра бозе-
системы по ее теплоемкости.—
ЖЭТФ, 1954, 26, вып. 5,
с. 551-556.
106. Лурье К. А. Оптимальное
управление в задачах
математической физика. М., «Наука», 1975.
107. Люстерник Л. А., Соболев В. И.
Элементы функционального
анализа. М., «Наука», 1965.
108. Морозов В. А. Линейные и
нелинейные некорректные
задачи.— В кн.: Итоги науки и
техники. Математический анализ,
т. П. М., ВИНИТИ, 1973,
с. 129—178.
109. Морозов В. А. О задаче
дифференцирования и некоторых
алгоритмах приближения
экспериментальной информации.—
В кн.: Вычислительные методы
и программирование, вып. 14.
М., Изд-во МГУ, 1970,с. 46-62.
110. Морозов В. А. О исевдореше-
ниях.— Журн. вычислит, мат.
и мат. физ., 1969, 9, № 6,
с. 1387-1391.
111. Морозов В. А. О
регуляризации некорректно поставленных
задач и выборе параметра
регуляризации.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1966, 6, № 1,
с. 170-175.
112. Морозов В. А. О регуляризиру-
ющих семействах операторов.—
В кн.: Вычислительные методы
и программирование, вып. 8.
М., Изд-во МГУ, 1967, с. 63-
93.
ИЗ. Морозов В. А. О решении
методом регуляризации
некорректно поставленных задач с
нелинейным неограниченным
оператором.— Дифференц. уравн.,
1970, 6, № 8, с. 1453-1458.
114. Морозов В. А. Об одном
устойчивом методе вычисления
значений неограниченных
операторов.— Докл. АН СССР, 1969,
185, № 2, с. 267—270.
115. Морозов В. А. Применение
метода регуляризации к решению
одной некорректной задачи.—
Вестн. МГУ. Мат., мех., 1965,
№ 4, с. 13-21.
116. Морозов В, А. Регулярные
методы решения некорректных
задач. М., Изд-во МГУ, 1974.
117. Морозов В. А., Кирсанова Я. Я.
Об одном обобщении метода
регуляризации.— В кн.:
Вычислительные методы и
программирование, вып. 19. М., Изд-во
МГУ, 1970, с. 40-45.
118. Натансон Я. Я.
Конструктивная теория функций. М.— Л.,
Гостехиздат, 1949.
119. Петровский Я. Г. Лекции об
уравнениях с частными
производными. М., Физматгиз, 1953.
120. Робертсон А., Робертсон В.
Топологические векторные
пространства. М., «Мир», 1967.
121. Соболев С. Л. Некоторые
применения функционального
анализа в математической физике.
Новосибирск, Изд-во СО АН
СССР, 1962.
122. Стечкин С. Б, Наилучшее
приближение линейных
операторов.— Мат. заметки, 1967, 1,
№ 2, с. 137-148.
123. Страхов В. Я. О построении
оптимальных по порядку
приближенных решений линейных
условно-корректных задач.—
Дифференц. уравн., 1973, 9,
№ 10, с. 1862—1874.
124. Страхов В. Я. О решении
линейных некорректных задач в
гильбертовом пространстве.—
Дифференц. уравн., 1970, 6,
№8, с. 1490-1495.
125. Страхов В. Я. Об алгоритмах
приближенного решения
линейных условно-корректных
задач.—Докл. АН СССР, 1972,
207, № 5, с. 1057—1059.
126. Страхов В. Я. Теория
приближенного решения линейных
некорректных задач в
гильбертовом пространстве и ее
использование в разведочной
геофизике, I, II.- Изв. АН СССР.
Физика Земли, 1969, № 8, с.
50-53; № 9, с. 64-96.
127. Тайков Л. В. Неравенства типа
Колмогорова и наилучшие
формулы численного
дифференцирования.— Мат. заметки, 1968,
4, вып. 2, с. 233—238.
128. Танана В. Я. Некорректно
поставленные задачи и геометрии
201

банаховых пространств.—Докл.
АН СССР, 1970, 193, № 1,
с. 43—45.
129. Танана В. Я. О методе
квазирешений и решении задачи
оптимального управления
нагревом и построение оптимальных
алгоритмов для некорректных
задач с возмущенным
оператором.— Труды Ин-та мат. и мех.
УНЦ АН СССР, 1975, вып. 17.
Методы решения
условно-корректных задач, с. 39—52.
130. Танана В. IL О строении
классов равномерной
регуляризации в гильбертовом
пространстве.— Мат. зап. Уральск, ун-та,
1975, 9, тетр. 2, с. 125-131.
131. Танана В. П. Об одном
оптимальном алгоритме для
операторных уравнений первого рода
с возмущенным оператором.—
Докл. АН СССР, 1975, 226, № G,
с. 1279-1282.
132. Танана В. Я. Об одном проек-
ционно-итеративном алгоритме
для операторных уравнений
первого рода с возмущенным
оператором.— Докл. АН СССР,
1975, 224, № 15, с. 1028—1029.
133. Танана В. Я. Об оптимальности
методов решения нелинейных
неустойчивых задач.— Докл.
АН СССР, 1975, 220, № 5,
с. 1035—1037.
134. Танана В. Я. Об оптимальности
нелинейных методов при
решении линейных неустойчивых
задач.— В кн.: Оптимизация
вычислительных методов. Труды
Ин-та кибернетики АН УССР.
Киев, Ин-т кибернетики АН
УССР, 1974, с. 52-59.
135. Танана В. Я. Об оптимальных
алгоритмах решения
нелинейных неустойчивых задач.— Сиб.
мат. журн., 1976, 17, № 5,
с. 1108-1120.
136. Танана В. Я. Об устойчивости
метода невязки при решении не■*
корректных задач.— Изв.
вузов. Математика, 1974, № 9,
с. 75—80.
137. Танана В. Я. Оптимальные по
порядку методы решения
нелинейных некорректно
поставленных задач.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1976, 16, № 2,
с. 503-507.
138. Танана В. Я. Приближенное ре-
202
шение операторных уравнений
первого рода и геометрические
свойства банаховых
пространств.— Изв. вузов.
Математика, 1971, № 7, с. 81—93.
139. Танана В. Я. Проекционные
методы и конечноразностная
аппроксимация линейных
некорректных задач.— Сиб. мат.
журн., 1975, 16, № 6, с. 1301—
1307.
140. Танана В. Я., 1 им оное А. А,
О проекционных методах
решения нелинейных
неустойчивых задач.— Докл. АН СССР,
1976, 229, № 3, с. 558-562.
141. Тихонов А. II. О методах
решения некорректно поставленных
задач.— В кн.:
Международный конгресс математиков.
Тезисы докладов. М., «Наука»,
1966, с. 168-171.
142. Тихонов А. Я. О некорректно
поставленных задачах.— В кн.:
Вычислительные методы и
программирование, вып. 8. М.,
Изд-во МГУ, 1967, с. 3—33.
143. Тихонов А. II. О некорректных
задачах линейной алгебры и
устойчивом методе их
решения.—Докл. АН СССР, 1965,
163, № 6, с. 591—595.
144. Тихонов А. II. О нелинейных
уравнениях первого рода.—
Докл. АН СССР, 1965, 161, № 5,
с. 1023-1026.
145. Тихонов А. Н. О
регуляризации некорректно поставленных
задач.— Докл. АН СССР, 1963,
153, № 1, с. 49-52.
146. Тихонов А. Н. О решении
некорректно поставленных задач
и методе регуляризации.—
Материалы к совместному
советско-американскому
симпозиуму по уравнениям с частными
производными. Новосибирск,
Изд-во СО АН СССР, 1963,
с. 3—7.
147. Тихонов А. Н. О решении
некорректно поставленных задач
и методе регуляризации.—
Докл. АН СССР, 1963, 151,
№ 3, с. 501—504.
148. Тихонов А. Н. О решении
нелинейных интегральных
уравнений.- Докл. АН СССР, 1964,
156, № 6, с. 1296-1299.
149. Тихонов А. Я. Об
устойчивости обратных задач,— Докл. АН

СССР, 1943, 39, № 5, с. 195—
198.
150. Тихонов А. 77., Арсении В, Я.
Методы решения некорректных
задач. М., «Наука», 1974.
151. Тихонов А. Н., Гласко В. Б.
Применение метода
регуляризации к нелинейным задачам.—
Журн. вычислит, мат. и мат.
физ., 1965, 5, № 3, с. 93-107.
152. Уилкинсон Дж. X.
Алгебраическая проблема собственных
значений. М., «Наука», 1970.
153. Филиппов Е. М. Прикладная
ядерная геофизика. М., Изд-во
АН СССР, 1962.
154. Фридман В. М. Метод
последовательных приближений для
интегрального уравнения
Фредгольма I рода,— УМН,
1956, 11, вып. 1, с. 233-234.
155. Хинчин А. Я. Цепные дроби.
М., Физматгиз, 1961.
156. Хромова Г. В. О задаче
восстановления производной.— В
кн.: Вопросы точности и
эффективности вычислительных
алгоритмов. Труды симпозиума,
кн. 5. Киев, 1969, с. 146—153.
157. Хромова Г. В. О регуляризации
интегральных уравнений
первого рода с ядром Грина.— Изв.
вузов. Математика, 1972, № 8,
с. 94—104.
158. Худак Ю. И. О регуляризации
решений интегральных
уравнений I рода.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1966, 6, № 4,
с. 766-769.
159. Carleman T. Les fonctions quasi
analytiques. Paris, 1926.
160. Gullum J. Numerical
differentiation and regularization.—
SIAM J. Numer. Anal., 1967,
8, N 2, p. 254-265.
161. Fichera G. Sul concetto di prob-
lema «ben posto» per una equa-
zione differentiale.— Rend. mat.
eappl., 1968, 19, N 1-2, p. 95—
121.
162. Fox D. L., Pucci C. The Dirich-
let problem for the wave
equation.— Ann. Mat. Рига ed Appl.,
1958, 46, N 4, p. 155-182.
163. Franklin J. N. On Tikhonov's
Method for Ill-Posed Problems,—
Math. Comput., 1974, 28, N 128,
p. 889-907.
164. Hadamard J. Le probleme Cau-
chy. Paris, 1932.
165. Kammerer W. /., N ashed M. Z.
Iterative methods for best
approximate solutions of linear
integral equations of the first
and second kinds.— J. Math.
Anal, and Appl., 1972, 40, N 3,
p. 547-573.
166. Klee V. L. Circumspheres and
inner products.— Math. Scand.,
1960, 8, № 2, p. 363-370.
167. Ky Fan, Glicksberg I. Some
geometric properties of the spheres
in a normed linear space.—
Duke Math. J., 1958, 25, N 4,
p. 553-568.
168. Miller K. Eigenfunction
expansion methods for problems with
overspecified data.— Ann. Scu-
ola. Norm. Super. Pisa. Sci. fis.
e mat., 1965, 19, p. 397—405.
169. Miller K. Least squares methods
for ill — posed problems with
a prescribed bound.— SIAM J.
Math. Anal., 1970, 1, N 1,
p. 52-74.
170. Miller K. Three circle theorems
in partial differential equations
and applications to improperly
posed problems.— Arch.
Ration. Mech. Anal., 1964, 16, N 2,
p. 126-154.
171. Phillips D. L. A technique for
the numerical solution of
certain integral equations of the
first kind.— J. Assoc. Comput.
Mach., 1962, 9, N 1, p. 84-97.
172. Schiop A. L, Sur les equations
functionnelles non lineares.—
С. г. Acad. Sci., 1968, 266A,
N 19, p. 988-990.
173. Singer I. Some remarks on
approximative compactness.—
Rev. roum. math, pures. et
appl., 1964, 9, N 2, p. 167-177.
174. Taylor A. E. Introduction to
Functional Analysis. N.— Y.,
1958.
Дополнительная литература
175. Арестов В. В. О равномерной
регуляризации задачи
вычисления значений.— Мат.
заметки, 1977, 22, № 2, с. 231—244.
176. Бахвалов Н. С. Об
оптимальности линейных методов
приближения операторов на
выпуклых классах функций.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ., 1971,
И, №4,. 1014-1016.
Щ

177. Берлинков В, М. О модуле
непрерывности линейных
операторов в теории некорректных
задач. Канд. дис. Свердловск,
Уральск, ун-т, 1977.
178. Берлинков В. М. Об оценках
модуля непрерывности
некоторых дифференциальных
операторов. — Изв. вузов.
Математика, 1976, № 7, с. 96—99.
179. Васин В, В. Оптимальность по
порядку метода регуляризации
для нелинейных операторных
уравнений.— Журн. вычислит,
мат. и мат. физ., 1977, 17, № 4,
с. 847-858.
180. Васин В. В. Оптимальные
методы вычисления значений
неограниченных операторов.
Киев, Ин-т кибернетики АН УССР,
1977, Препринт 77—59.
181. Габугиин В. Я. Оценка
экстремумов функции и ее
производных.— В кн.: Поиск
экстремума. Труды III Всесоюз.
симпозиума по экстремальным
задачам (Томск, 21—25 февраля
1967 г.). Томск, Изд-во
Томского ун-та, 1969.
182. Гаркави А. Л, Теория
наилучшего приближения в линейных
нормированных пространствах.
— В кн.: Итоги науки и
техники. Математический анализ.
М., ВИНИТИ, 1967.
183. Гребенников А. И., Морозов
В. А. Об оптимальном
приближении операторов.— Журн.
вычислит, мат. и мат. физ.,
1977, 17, № 1, с. 3-14.
184. Канторович Л. В., Акилов Г, П.
Функциональный анализ в
нормированных пространствах. М.,
Физматгиз, 1959.
185. Марчук А. Г, Оптимальные по
точности методы решения
задач восстановления.
Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976.
Препринт.
186. Марчук А. Г,, Осипенко К. 10.
Наилучшее приближение
функций, заданных с погрешностью
в конечном числе точек.— Мат.
заметки, 1975, 17, № 3, с. 359—
368.
187. СтечкинС. Б., Субботин Ю. Н.
Сплайны в вычислительной
математике. М., «Наука», 1976.
188. Шмульян В. Л. О дифференци-
руемости нормы в
пространстве Банаха.— Докл. АН СССР,
1940, 27, № 7, с. 643-648.
189. Holmes R. A course on
optimization and best approximation.
Berlin, Springer-Verlag, 1972.
(Lect. Notes Math., № 257).
190. Klee V. L. Convexity of Cheby-
shev sets.— Math. Ann., 1961,
142, № 3, p. 292-304.
191. Peetre /. Approximation of
linear operators.— В кн.:
Конструктивная теория функций. Труды
Междунар. конф. по теории
функций (Варна, 19—25 мая
1970 г.). София, 1972, с. 245-
263.
192. Phelps R. R. Convex sets and
nearest points. I, II.— Proc.
Amer. Math. Soc, 1957, 8, № 4,
p. 790-797; 1958, 9, №6,
p. 867-875.
193. Reinsh С. Н. Smoothing by
spline functions.— Numer. Math,,
1967, 10, p. 177—183.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Корректность постановок задач
§ 1. Постановка задачи. Условия корректности Адамара ... 9
§ 2. Примеры некорректных задач 11
§ 3. Корректность по Тихонову. Множества корректности . . 18
§ 4. Теоремы устойчивости и их приложения 19
§ 5. Нормальная разрешимость операторных уравнений ... 25
§ 6. Квазирешения на компактных и ограниченно компактных
множествах 33
Глава 2. Регуляризующие семейства операторов и множества
равномерной регуляризации
§ 1. Точечная и равномерная регуляризация операторных
уравнений 41
§ 2. Геометрические теоремы о строении ограниченно
компактных множеств 47
§ 3. Равномерная регуляризация уравнений с вполне
непрерывным оператором 51
§ 4. Строение множеств равномерной регуляризации в
гильбертовых пространствах 54
§ 5. Множества равномерной регуляризации для
непрерывного оператора 57
Глава 3. Основные способы построения регуляризующих
алгоритмов
§ 1. Сведение к операторным уравнениям второго рода .... 60
§ 2. Метод квазирешений 65
§ 3. Метод регуляризации Тихонова 69
§ 4. Метод невязки 75
§ 5. О связи вариационных методов 77
§ 6. Обобщенный метод невязки 83
§ 7. Метод, основанный на теореме Пикара 87
§ 8. Итерационные методы 92
§ 9. Регуляризация интегральных уравнений Фредгольма
первого рода 96
§ 10. Методы регуляризации для дифференциальных уравнений 107
205

Глава 4. Вопросы оптимальности и устойчивости методов решения
некорректных задач и оценка погрешности
§ 1. Классификация некорректных задач и понятие
оптимального метода 110
§ 2. Оценка снизу погрешности оптимального метода .... 111
§ 3. Погрешность метода регуляризации 115
§ 4. Алгоритмические особенности обобщенного метода невязки 122
§ 5. Погрешность метода квазирешений 130
§ 6. Метод регуляризации с оператором а, выбранным по
невязке 133
§ 7. Исследование простейшей схемы метода Лаврентьева . . 138
§ 8. Метод проекционной регуляризации 142
§ 9. Вычисление модуля непрерывности 14-'
Глава 5. Вычисление значений неограниченных операторов
§ 1. Единый подход к решению неустойчивых задач 149
§ 2. Многозначные линейные операторы и их свойства .... 15J
§ 3. Нахождение нормальных значений линейных операторов
вариационными методами 15с
§ 4. Наилучшее приближение неограниченных операторов . . 158
§ 5. Оптимальная регуляризация задачи вычисления
производной в пространстве С (—оо, сю) 164
Глава 6. Конечномерная аппроксимация регуляризующих
алгоритмов
§ 1. Понятие т-равномерной сходимости линейных операторов 170
§ 2. Общая схема конечномерной аппроксимации в методе
регуляризации 173
§ 3. Приложение общей схемы к проекционным и конечнораз-
ностным методам 178
§ 4. Проекционный метод нахождения квазирешений и его
приложение 181
§ 5. Необходимые и достаточные условия сходимости
проекционного метода 184
§ 6. Оценка погрешности метода 187
§ 7. Численные приложения 189
Литература 196