/
Текст
Ernesto Cesrro
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
И ИСЧИСЛЕН1Я БЕЗКОНЕЧНО МАЛЫ^Ъ
Зрнесто Чездро
ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА ВЪ НЕЯПОЛЬ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
НЛГЕБР^ИЧЕСКНГО Р\НР\ЛИЗР\
И ИСЧИСЛЕН1Я БЕЗКОНЕЧНО
СЪ МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ПРИМЬРЯМИ ДЛЯ УПРВЖНЕН1Я
часть первпя
Переводъ съ н"Ьмецкаго съ прим-Ьчажями и дополнен1ями профессора
К. R. ПОССЕ
СЪ 28 ЧЕРТЕЖАМИ
Одессп 1913
Г
<? </ /
евапо-.
Urokkelig sotn tiden
er tallenes viden.
Deres fletninger er
i evigt morgenskjaer
renere end sneen
finere end luften;
men sterkere end verden
sotn de veier uden skaaler
og belyser uden straaler.
?jorr\stjerne
Предислов1е автора къ нЪмецкому издан1ю.
Важнейшею ветвью математическихъ наукъ, безъ сомнЪшя,
можно считать ту, которая, пользуясь возможностью увеличивать и
уменьшать по произволу числа, и принимая во внимаше существу-
существующая между ними зависимости, устанавливаетъ систему аналити-
ческихъ пр1емовъ, примЪняемыхъ, какъ въ, геометрическихъ изслЪдо-
вашяхъ, такъ и при изученш явлешй природы. Эта вътвь носитъ
назван!е Анализа безконечно-малыхъ. Въ настоящей книгё
(предназначавшейся первоначально исключительно для моихъ уче-
никовъ) она и излагается элементарнымъ способомъ на твердой
основЪ Ллгебраическаго Анализа, начала котораго я сперва и
сообщаю, опираясь на параллельно читаемый курсъ Аналитической
Геометрш.
Что касается принциповъ, которымъ въ моемъ преподаванш я
придаю меньше значешя, чЪмъ приложешямъ ихъ, то читатель мо-
жетъ подробнъе ихъ изучить по превосходнымъ руководствамъ дру-
гихъ ученыхъ: Lipschitz, Dini, Hermite, Weber, Stolz, Ge-
nocchi, Peano, Tannery, Jordan, d'Arcais, Arzela и другихъ.
Я же стараюсь вести читателя быстрымъ и в'Ьрнымъ путемъ къ
обильной жатв'Ь аналитическихъ и геометрическихъ фактовъ.
Я очень благодаренъ издателю, Б. Тейбнеру, за лестное для
меня предложеше разр-Ьшить нъмецюй переводъ моей книги. ВмъстЬ
съ т^мъ считаю долгомъ публично выразить мою живЪйшую при-
признательность моему уважаемому коллегЬ профессору университета
въ Грейфсвальд'Ь *) Герхардту Ковалевскому за превосходное
выполнеше перевода.
*) ВпослЪдствш въ Бонн*.
Ред.
VIII ПРЕДИСЛОВШ КЪ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАН1Ю.
Я над-Ьюсь, что мои и его труды "будутъ вознаграждены
благосклоннымъ отношешемъ къ этой книгЬ со стороны нЪмецкаго
юношества, которому она исключительно предназначается. Мы пред-
лагаемъ ему этотъ учебникъ, какъ собрате задачъ для упражнешй,
на фонЪ изложешя (хотя и не вполн-fe исчерпывающего) глав-
Htflmnxb частей Алгебраическаго Анализа и Анализа безконечно
малыхъ.
Э-. Чезаро.
Отъ редактора русскаго перевода.
Учебникъ Анализа бывшаго профессора Неаполитанскаго Уни-
Университета Э. Чезаро (Е. Cesaro f 1906) появился въ печати въ
1904 году, въ нъмецкомъ перевод* съ рукописи автора, сдълан-
номъ профессоромъ Университета въ ГрейфсвальдЪ, Г. Ковалев-
Ковалевским ъ. Эта книга представляетъ собою соединеше двухъ руко-
водствъ того-же автора, изданныхъ на итальянскомъ языкъ, съ
некоторыми изм*нен1ями и дополнешями, а именно: Corso di analisi
algebrice" A894 г.) и „Elementi di calcolo infinitesimale" A899 г.).
Черезъ годъ по выход* въ св*тъ н*мецкаго издашя вышло второе
издаше „Elementi" на итальянскомъ язык*, представляющее собою
почти буквальное воспроизведете нЪмецкаго, лишь дополненное
несколькими новыми примерами. Публикуемое нами русское изда-
Hie есть обработанный переводъ съ нЪмецкаго, при чемъ приняты
во внимаше и дополнешя изъ второго издашя „Elementi".
По выход* въ свЪтъ перваго ихъ издашя известный матема-
тикъ педагогь Таннери (J. Tannery), вице-директоръ Парижской
Нормальной Школы, въ рецензш, помещенной въ XXIII том* Bulletin
des sciences mathematiques et astronomiques за 1899 г., между про-
чимъ, говоритъ:
„Книга Э. Чезаро окажетъ драгоценныя услуги учащимся.
Принципы изложены въ ней строго, npieMbi вычислешя тщательно
разъяснены. Читатель можетъ ихъ усвоить на многочисленныхъ
примерахъ и упражнешяхъ, помтзщенныхъ въ книг*. Эти упраж-
нен1я, по способу ихъ обработки, представляютъ собою образцы
изящества, и не могутъ не возбудить у читателя научной любо-
X ОТЪ РЕДАКТОРА.
знательности и интереса къ научнымъ работамъ". Отъ читателя
книги Чезаро не требуется иныхъ сведешй, кроме обыкновеннаго
курса Математики нашей средней школы и курса Аналитической
Геометрш, въ томъ объеме, въ какомъ она обыкновенно читается
въ нашихъ Университетахъ. Однако, местами весьма сжатое изло-
жеше могло бы затруднить читателя, обладающаго среднею под-
подготовкою, а потому, издавая руссюй переводъ, мы сочли полезнымъ
снабдить его различными примЪчашями и дополнешями, имеющими
целью сделать книгу по возможности общедоступною.
Особое внимаше читателя мы обращаемъ на упражнешя, ко-
которыми книга весьма щедро наделена. Самъ авторъ, какъ видно
изъ его предислов1я, придаетъ имъ главное значеше. Указывая въ
главныхъ чертахъ ходъ решешя, онъ гЬмъ не менее оставляетъ,
читателю еще довольно места для самостоятельной работы, а со-
сообщая въ этихъ упражнешяхъ весьма интересные и важные резуль-
результаты, онъ быстрымъ путемъ вводитъ читателя въ различныя отрасли
Анализа. Упражнешя въ книге Чезаро составляютъ одно органи-
органическое целое съ теоретическою частью, дополняя и разъясняя по-
последнюю.
Объемъ книги, самъ по себе довольно большой, еще увели-
увеличился отъ присоединешя вышеупомянутыхъ примЪчашй и дополне-
шй; поэтому мы решили издать книгу въ двухъ томахъ. Первый
обнимаетъ собою первыя пять книгъ (главъ) оригинала и пред-
ставляетъ собою какъ бы введете въ Анализъ безконечно ма-
лыхъ; второй будетъ въ себе заключать собственно Дифферешаль-
ное и Интегральное Исчислеьпя съ ихъ приложешями къ Гео-
метрш.
Phmckjh цифры (I, II, и т. д.), встречающаяся въ тексгЬ, отсы-
лаютъ читателя къ т%мъ прим'Ьчан1ямъ, которыя мы нашли бол^е
удобнымъ выделить въ особые отделы после каждой книги ори-
оригинала. Мелк1я редакщонныя примечан1я помещены въ виде выно-
сокъ подъ знаками *); знаки 1), 2) и т. д. относятся къ подстроч-
нымъ примечан1ямъ, принадлежащимъ автору.
Ссылки автора на иностранныя руководства по элементар-
элементарной Математике, заменены везде, где было возможно, ссылками
на руссюя руководства, оригинальныя или переводныя.
ОТЪ РЕДАКТОРА. XI
Въ работе моей, какъ редактора, деятельную и весьма цен-
ценную помощь мне оказывалъ Г. М. Фихтенгольцъ. На немъ лежалъ
ответственный трудъ чтешя последней, ревизюнной корректуры;
кроме того, я ему обязанъ многими, очень ценными замечашями,
которыми я неоднократно пользовался, и за которыя приношу ему
мою глубокую благодарность.
Л. Лоссе.
0ГЛЛВЛЕН1Е.
СТР.
Предислов1е автора VII—VIII
Отъ редактора IX—XI
Книга первая: Teopifl определителей. Линейный и ква-
дратичныя формы.
1. Teopifl определителей 1—42
Подстановки 1— 5
Матриссы и определители 5—10
Миноры 10—13
Вычислеше определителей 14—22
Умножеше матриссъ 22—29
Взаимные определители 29—37
Свойства некоторыхъ определителей особаго вида 37—42
2. Линейны я формы 42— 63
Линейный уравнешя 42— 50
Системы линейныхъ формъ 50— 56
Линейный преобразовашя 56— 63
3. Квадратичны я формы 64— 86
Основныя поняия изъ Teopin квадратичныхъ формъ .... 64— 68
Инвар1антныя свойства 68— 73
Каноничесмя выражешя формъ 73— 86
4. Примечан1якъ первой книге 87—105
Книга вторая: Иррацшнальныя числа. Пределы. Безко-
нечные ряды и произведешя.
1. Иррац1ональныячисла 109—118
Основныя понят1я 109—114
Действ1я надъ иррацюнальными числами 114—118
2. Теор1япределовъ 118—152
Стремлеше къ пределу 118—123
Основныя теоремы 123—135
XIV 0ГЛАВЛЕН1Е.
СТР.
Упражнешя на вычислеше предътювъ 135—145
Границы и пределы числовыхъ ансамблей 145—152
3. Teopifl рядовъ 152—223
Основный опредЪлешя и примеры ... 152—159
Основный теоремы 159—165
Сравнеше рядовъ съ положительными членами 166—169
Специальные признаки сходимости 170—181
Упражнешя и приложешя . . 181—196
Вл1яше перемены порядка членовъ на характеръ ряда . . . 196—204
ДЪйств1я надъ рядами ... 204—208
Двойные ряды 208-218
Безконечныя произведешя 219—223
4. ПримЪчан1я ко второй книг* 224—238
Книга третья: TeopiH функцШ.
1. Функции отъ одной переменной 241—268
Основныя понятая . . . • . . 241—249
Стремлеше къ предълу 249—254
Непрерывность . 255—268
2. Теория производныхъ 269—314
Разыскаше производныхъ 269—281
Свойства производныхъ 282—298
Дополнешя къ теорш предътювъ 298—307
ИзслЪдоваше функщй 307—314
3. Разложен1явъряды 315—373
Ряды функщй 315—323
Разложешя въ степенные ряды ... 324—339
Асимптотичесмя изображешя степенныхъ рядовъ 339—350
Интерполяцюнчыя формулы 351—357
Бернулл1евы и Эйлеровы числа 357—373
4. Функц1иотън'Ьсколькихъ переменных ъ. . . 374—395
Основныя понят1я и разыскашя производныхъ 374—381
Разложешя въ ряды. Maxima и minima 381—395
5. Прим-Ьчан1якътретьейкнигтэ 396—429
Книга четвертая: Комплексный числа и кватершоны.
1. Комплексный числа 433—461
Основныя понят!я • . 433—438
Пределы, ряды и функцш 438—446
Важныя трансцендентныя функщй 446—453
Геометричесмя упражнешя 454—461
2. Кватерной ы 462-472
3. ПримЪчан1якъчетвертойкнигЪ 473—477
0ГЛАВЛЕН1Е. XV
СТР.
Книга пятая: Алгебраическ1я уравнен1я.
1. Существован1е и счетъ корней 481-561
Исключеше (Elimation) 481—488
Существоваше корней 488—496
O6ujie корни двухъ уравненШ и кратные корни . ... 496—501
Упражнеюя и приложешя 502—511
Симметрически функш'и и многозначный функцш 511—522
Вычислеше инвар1антовъ и друпя приложешя 522—538
Счетъ корней 538—551
Теорема Штурма 552—561
2. PtmeHie уравнен1й 561—603
Численное рЪшеше 561—568
Приближенное вычислеше корней 568—578
Алгебраическое р-Ьшеше 579—594
Теорема Руффини 594-603
3. ПримЪчан1якъпятойкниг1э 604—627
Предметный указатель 629—632
книт первая
КНИГИ ПЕРВАЯ.
Теор1я определителей. Линейныя и квадратичныя
формы.
ТЕОР1Я ОПРЕДЪЛИТЕЛЕЙ.
Подстановки.
1. Въ элементарной алгебре разсматриваются такъ называ-
называемый перестановки (Permutation) *) и доказывается, что число
всЬхъ перестановокъ, которыя можно образовать изъ п элементовъ,
равно
п\ = 1.2 ... и,
т. е. произведешю п первыхъ цЪлыхъ чиселъ. Одну изъ переста-
перестановокъ, выбранную по произволу, въ отлич1е отъ всЪхъ другихъ
называютъ главною. Если въ другой перестановка каюе-нибудь
два элемента расположены не въ томъ порядке, въ какомъ они
находились въ главной, а въ обратномъ, то говорятъ, что эти эле-
элементы представляютъ обращен1е (безпорядокъ, нарушеше порядка,
HHBepciro) (Inversion) независимо отъ числа элементовъ, которыми
они разделяются въ сопоставляемыхъ перестановкахъ. Наибольшее
число обращешй встречается въ такъ называемой обратной пере-
перестановке, въ которой всъ элементы главной перестановки написаны
въ обратномъ порядка. Действительно, въ этомъ случай каждая пара
элементовъ представляетъ обращеше; число ихъ равно ^«(и— 1).
Чтобы определить число обращен1й въ любой перестановке, надо
сосчитать, сколько обращешй представляетъ каждый ея элементъ
*) См. Веберъ и Вельштейнъ пЭнциклопед1я Элементарной Мате-
Математики". Переводъ съ нЪм. подъ ред. прив.-доц. В. Кагана. Т. I, (второе
издаше, 1911), стр. 193. Въ дальн-Ьйшихъ ссылкахъ на эту книгу мы будемъ
ее называть просто .Веберъ и Вельштейнъ".
2 I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. §§ 1—3
при сопоставленш съ элементами, следующими за нимъ, и сложить
всъ полученный такимъ образомъ числа. Въ дальнъйшемъ изложенш
мы будемъ обозначать элементы перестановокъ первыми п целыми
числами и примемъ перестановку 12 3... и за главную. Тогда
число обращенШ, которыя можетъ дать какой-нибудь элементъ, —
напримъръ, г — равно числу чиселъ, меньшихъ г и слъдующихъ за
нимъ (т. е. написанныхъ вправо отъ него). Перестановка назы-
называется четною или перваго класса, если въ ней содержится четное
число обращешй, и нечетною или второго класса, если въ ней не-
нечетное число обращетй. Такъ, напримъръ, перестановка 465187293
четная, потому что въ ней имЪется 3 + 4 + 3 + 3 + 2-1-1 =16
обращешй.
2. Когда какая-нибудь перестановка разделена на двъ части,
то, въ виду дальнъйшихъ приложенШ, полезно знать, сколько обра-
щешй представляютъ элементы первой части съ элементами второй.
Положимъ, что г'х, н, н, ..., iv обозначаютъ элементы первой ча-
части, расположенные въ возрастающемъ порядк-fc. Элементъ ir мо-
можетъ представить обращеше только съ элементами 1, 2, 3, ..., гг — 1;
изъ нихъ надо выкинуть тъ, которые не входятъ во вторую часть*
а такими будутъ элементы Д, г2, ... ir-\ (входящде въ первую часть).
Поэтому число обращенШ, происходящих ь отъ одного элемента гг,
равно
а, следовательно, число всъхъ обращешй, образуемыхъ элементами
первой части съ элементами второй, равно
(г, _ 1) + (,'2 _ 2) + ..¦ + (•„- v) = ^ + г2 + ¦ ¦ ¦ + iv - | v (v + 1).
3. Операшя, посредствомъ которой отъ одной перестановки
переходятъ къ другой, составленной изъ тъхъ же элементовъ, назы-
ваютъ подстановкою или субституц1ей (Substitution) (I). Чтобы
выполнить переходъ отъ одной перестановки къ другой, т. е. про-
произвести данную подстановку, можно поступать слЪдующимъ обра-
образомъ. Сперва заменить элементъ а первой перестановки соотвът-
ствующимъ (см. примъчате I) ему элементомъ /? второй; загЬмъ
элементъ /9 первой перестановки — соотвътствующимъ ему элементомъ
у второй и т. д. Поступая такимъ образомъ, мы необходимо дойдемъ
до такого элемента Я, которой надо будетъ заменить элементомъ а,
съ котораго начали. Такую ц-Ьпь замъщешй, въ которой послъднШ
элементъ замещается первымъ, называютъ цикломъ и обозначаютъ
символомъ (а /9 у ... Я) Если однимъ цикломъ еще не исчерпывается
переходъ отъ первоначальной перестановки къ новой, то беремъ
какой-нибудь элементъ а', еще не стояний на требуемомъ мъстЬ,
и съ него начинаемъ новый циклъ (а' /9' у' ... Я'). Продолжая такимъ
образомъ до тЪхъ поръ, пока не остается ни одного элемента, не
3 — 6
ПОДСТАНОВКИ.
поставленнаго на требуемое место, мы и выполнимъ данную под-
подстановку. Следовательно, всякая подстановка распадается на не-
несколько цикловъ (если не приводится къ одному циклу) и можетъ
быть изображена такъ:
(о?у . .. X) (а'
Такъ, напримЪръ,
(и"Р"у" ... Я").
Рис. 1.
4. Подстановка, состоящая изъодного цикла, называется круго-
круговою или циклическою (zirkulare). Въ частности, когда циклъ состо-
итъ изъ двухъ только элементовъ, напримеръ,
A4), онъ называется транспозишей и рав-
носиленъ простому перемещешю его элемен-
элементовъ. Результатъ круговой подстановки, про-
произведенной надъ п элементами, можетъ быть
наглядно изображенъ слътгующимъ образомъ.
РазмЪстимъ элементы данной перестановки
по окружности круга въ данномъ порядке
по определенному направлешю и въ равныхъ
одинъ отъ другого разстояшяхъ. Зат-Ьмъ по-
вернемъ кругъ въ обратномъ направленш на
2 я; ,
уголъ ; тогда на мЪста данныхъ элементовъ
станутъ новые въ требуемомъ порядкъ (рис. 1).
5. Всякая подстановка разлагается на несколько транс-
позиц1й. Действительно, всякая подстановка разлагается, какъ мы
видели, на несколько круговыхъ. Легко видеть, съ другой сто-
стороны, что всякая круговая подстановка распадается на несколько
транспозищй. Въ самомъ деле, круговую подстановку (а/9у ... Я),
очевидно, можно выполнить, переставляя последовательно элементъ
а съ каждымъ изъ остальныхъ, что и выражается формулою
(а0у..Л) = (aft (ay)... (ал).
6. Классъ перестановки изменяется при всякой транс-
позищи. Эта теорема очевидна въ томъ случае, когда транспони-
транспонируются два смежныхъ элемента аи/?, потому что тогда либо
создается одно новое обращеше (при а < /9), либо уничтожается
одно обращеше (при a > /3), и классъ перестановки, очевидно, ме-
меняется въ обоихъ случаяхъ. Остается теперь только показать, что
любая транспозищя двухъ несмежныхъ элементовъ равносильна
нечетному числу транспозищй смежныхъ элементовъ. Положимъ,
что между аи/? находится v промежуточныхъ элементовъ. Транс-
позищю (а /9) можно произвести следующимъ образомъ. Поместимъ
4 I, 1. ТЕ0Р1Я ОПЕД-ЬЛИТЕЛЕЙ. §§ 6-10
последовательно а вправо отъ каждаго изъ v промежуточныхъ эле-
ментовъ, потомъ перем%стимъ а и /3, и, наконецъ, помЪщаемъ посл-fe-
довательно /? влево отъ каждаго изъ v промежуточныхъ элементовъ.
Результатъ, очевидно, получится тотъ же, какъ и отъ простой транс-
позищи (а /?), но при этомъ мы производимъ, какъ видно, 2^+1
транспозищй смежныхъ элементовъ, что и требовалось показать.
7. Легко видеть, что число четныхъ перестановокъ изъ
п элементовъ равно числу нечетныхъ. Действительно, транс-
транспонируя два опред-Ьленныхъ элемента во всехъ п\ перестановкахъ
изъ п элементовъ, мы получимъ опять все п\ перестановокъ, только
въ другомъ порядке; но при этомъ всякая четная перестановка
делается нечетною, и обратно. Следовательно, число первыхъ пере-
перестановокъ необходимо должно быть равно числу вторыхъ.
8. Изъ § б слЪдуетъ, что всякая перестановка, къ, кото-
которой применяется некоторая подстановка, изменитъ свой
классъ, либо сохранитъ прежн1й, смотря по тому, будетъ ли
число транспозиидй, на которыя разлагается данная под-
подстановка, числомъ нечетнымъ или четнымъ. Отсюда следуетъ,
что всякая подстановка равносильна либо только четному, либо только
нечетному числу транспозиций, ибо, въ противномь случае, она, бу-
будучи применена къ перестановке, преобразовала бы последнюю въ
такую, которая принадлежала бы, какъ къ классу четныхъ, такъ и къ
классу нечетныхъ перестановокъ. Это ведетъ къ разделешю самихъ
подстановокъ на четны я и нечетны я.
9. Разложеше подстановокъ на циклы, помимо другихъ выгодъ,
представляетъ еще то преимущество, что позволяетъ непосредственно
видеть, будетъ ли данная подстановка четною или нечетною. Дей-
Действительно, если данная подстановка, разлагаясь на v цикловъ, со-
держитъ всего п элементовъ, и если число элементовъ въ г-омъ
цикле обозначимъ черезъ пг, то, на основанш формулы § 5, нахо-
димъ, что подстановка равносильна
{пх - 1) + («2 - 1) + • • ¦ + (nv - 1) = п -
транспозишямъ *). Отсюда вытекаетъ следующее заключеше: под-
подстановка будетъ четною, если число цикловъ и число эле-
элементовъ во всехъ ея циклахъ оба четны я или оба нечетны я,
она будетъ нечетною — если одно изъ этихъ чиселъ четйое,
а другое нечетное. Напримеръ, подстановка A 4) B67) C589)
четная, потому что число цикловъ 3 и число всехъ элементовъ 9 —
оба нечетныя (II).
10. Всякая четная подстановка разлагается на круго-
выя по три элемента въ каждой. Такъ какъ каждая четная под-
*) Потому что формула § 5 показываетъ, что число транспозищй, на
которыя разлагается циклъ, на единицу меньше числа элементовъ цикла.
§§ 10-11
МАТРИССЫ И ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ.
становка разлагается на несколько паръ транспозицШ, то доста-
достаточно показать, что всякая пара транспозицШ равносильна одной
или нЪсколькимъ круговымъ подстановкамъ по три элемента въ
каждой. Если транспозицш имЪютъ одинъ общШ элементъ, то непо-
непосредственно видно, что
(«,?) («7) = (я,?у);
а на основаши этого зам%чашя можно написать
(аЗ) (уд) = (а/3) (а-/) (уа) (yd) = (а,3у) (уад),
и теорема доказана. ЗамЪтимъ, что, обратно, всякая подстановка,
разлагающаяся на нисколько круговыхъ подстановокъ по три эле-
элемента въ каждой, будетъ четною, потому что каждая изъ соста
вляющихъ подстановокъ четная.
Матриссы и определители.
11. Прямоугольная схема
«И «13 «13
я21 я22 я23
а31 яэ2 я33
состоящая изъ т строкъ по п чиселъ въ каждой (или изъ п столб-
цовъ по т чиселъ въ каждомъ), называется матриссою. Различаютъ
матриссы квадратныя и прямоугольныя; въ первыхъ т = п, во
вторыхъ т Ф it. Опредтзлителемъ (или детерминантомъ) назы-
ваютъ алгебраическое выражен1е, получаемое изъ квадратной ма-
матриссы по закону, который мы сейчасъ укажемъ. Полагая
D =
я,, я,о ... я,
я2) я22 . • ¦ а2п
называютъ число п порядкомъ определителя D. Выражеше этого
определителя получается сл%дующимъ образомъ. Составляемъ все-
возможныя произведен1я по п элементовъ матриссы въ каждомъ
произведенш, при чемъ въ каждое произведете входитъ только одинъ
элементъ изъ каждой строки и только одинъ элементъ изъ каждаго
столбца. Каждому изъ этихъ произведен^ мы приписываемъ знакъ-)-
6 I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. §§ 11 — 12
или —, смотря по тому, принадлежать ли перестановки первыхъ
указателей (указателей строкъ) и вторыхъ указателей (указателей
столбцовъ), въ разсматриваемомъ произведены, къ одному классу
или къ разнымъ классамъ. Зат-Ъмъ беремъ сумму вс-Ъхъ полученныхъ
такимъ образомъ членовъ; эта сумма и будетъ искомымъ выражешемъ
о'предЪлителя D- Иными словами, если i\, z2, ... in и j\, /<>, ...j%
изображаютъ любыя двъ перестановки первыхъ п цЪлыхъ чиселъ,
то будемъ имЪть:
гдЪ г обозначаетъ число обращенШ въ первой перестановка, as—
число обращешй во второй. Чтобы оправдать такое опред-Ълете '-),
необходимо показать, что знакъ каждаго члена останется безъ изм%-
нен1я при измЪненш порядка сомножителей (несмотря на претер-
пъваемыя при этомъ измЪнешн чиселъ г и s). Условимся говорить,
что два числа будутъ одинаковой четности, если оба они чет-
ныя или оба нечетныя, и разной четности въ противномъ случай.
ЗамЪтимъ теперь, что всякая подстановка, примененная къ буквамъ а,
влечетъ за собою таковую же для буквъ г и j, при чемъ, очевидно,
перестановки i\ it ¦ ¦ ¦ г„ и Jij-z ¦ ¦ ¦ jn либо одновременно изменять
свой классъ, либо одновременно сохранятъ прежшй. Если числа
^ одинаковой ,
г и 5 до подстановки были — четности, то и послъ под-
разной '
становки они останутся таковыми-же. Поэтому, если г -\- s до измЪ-
„ . четнымъ
нен1я порядка сомножителей было числомъ , то оно оста-
нсчстнымъ
нется такимъ же и посл'Ь измЪнешя этого порядка, и знакъ (— l)s+r
останется безъ измЪнешя (II).
12. На основан1и вышесказаннаго мы можемъ при вычислен1и
D считать, что вторые, напримъръ, значки расположены въ возра-
стающемъ порядка (.s = 0) и писать
Еще короче иногда пишутъ:
D = ^ ± ап а2
при чемъ подразумевается, что первые или вторые значки должны
быть переставлены всъми возможными способами и каждый члень
долженъ быть взятъ со знакомъ + или — , смотря по тому, будетъ ли
*) Т. е. доказать, что оно даетъ для опред-Ьлителя одно вполн* опре-
д-Ьленное выражеше при данныхъ элементахъ и не содержитъ логическаго
противор'Ьч1я.
12—13
МАТРИССЫ И ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ.
соответствующая этому члену перестановка четной или нечетной.
Въ составь определителя Л входятъ, между прочимъ, члены
11 «22 «33
(-1)"
i« (n—1)
*И1 "и—1, 2 "и—2, 3
Элементы, входящие въ первое изъ этихъ произведен^, называются
главными или элементами главной д1агонали; элементы второго
принадлежатъ второй д1агонали. Число всЬхъ членовъ определи-
определителя и-го порядка равно п\ Половина ихъ войдетъ со знакомь -(-,
другая половина со знакомь —, какъ то слъдуетъ изъ сказаннаго
въ §§ 1 и 7 *).
13. Примеры. Выражеше
1 а Ь
с d
= ad — be
есть определитель второго порядка. Въ приложешяхъ часто встречаются опре-
определители третьяго порядка. При вычисленш ихъ удобно пользоваться сле-
дующимъ правиломъ Саррюса (Sarrus) (фиг. 2 и 3).
я
31,
Рис. 2.
Надо перемножить между собою элементы, стояшде въ вершинахъ обоихъ
треугольниковъ фиг. 2, и прибавить къ сумме этихъ двухъ произведешй
произведете элементовъ главной д1агонали; такимъ образомъ, получатся
положительные члены определителя (т. е. гЬ, которые надо взять со зна-
комъ +); отрицательные члены получаются аналогичнымъ образомъ изъ
фиг. 3:
«2*3%
*) Въ прим*рахъ, вместо того, чтобы обозначать элементы определи-
определителя одною буквою съ двумя значками, мы обозначаемъ ихъ разными буквами
съ однимъ значкомъ или вовсе безъ значковъ
8 I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. §§ 13—15
Верность этого правила вытекаетъ изъ того, что изъ шести перестано-
вокъ 123,231,312,321,213, 132 первыя три — четныя, а вторыя три —
нечетныя.
14. Изъ основного определешя, даннаго въ § 11, непосред-
непосредственно вытекаютъ главныя свойства определителей (III). Положимъ,
что произведено некоторое перемещеше столбцовъ определителя,
вследсше чего определитель D превращается въ определитель
а., ¦ а., ¦ ... а., •
«,,,, "nh ¦ ¦ ¦
На основами сказаннаго въ § 12 мы получимъ значеше определи-
определителя D', если въ сумме
D' = У(- 1)'я. .а ¦ а- ... а. .
j^J V ' '1 Л 'Ч./2 'з^З '„ .)„
распространимъ суммироваше на все возможныя перестановки пер-
выхъ значковъ. Съ другой стороны, мы получимъ значеше опреде-
определителя D, если, расположивъ вторые значки въ данномъ порядке
i\J<z--'Jn (представляющемъ 5 обращенШ), переставимъ затемъ
всеми возможными способами одни только первые значки, такъ что
D = У ( - I)'4" Я; ,¦ а, /•••«//-( 1 )¦" У ( - I)'' а, , я, , . . . а,
т.е. D = (— l)".D'*). Итакъ, подстановка, примененная къ
несколькимъ параллельнымъ рядамъ (перемещение однихъ
на место другихъ) не изменяетъ абсолютной величины
определителя; она меняетъ лишь его знакъ, если она не-
нечетная, и не изменяетъ ничего, если она четная. Въ част-
частности, можно транспонировать два параллельныхъ ряда, изменивъ
въ то же время знакъ определителя (IV).
15. Другое замечательное свойство определителей состоитъ
въ томъ, что при умноженш всехъ элементовъ одного и
того же ряда на одно и то же число определитель умно-
умножается на это же число. Действительно, всякШ членъ раскрытаго
выражешя определителя содержитъ множителемъ одинъ и только
одинъ изъ техъ элементовъ, которые умножаются на данное число k.
Ясно поэтому, что и все выражеше умножится на это число k. Въ
частности, при k = — 1 находимъ, что перемена знака всвхъ
*) Все сказанное о столбцахъ, очевидно, применимо и къ строкамъ.
Въ дальнЪйшимъ столбцы или строки безразлично мы будемь называть
параллельными рядами.
§§ 15—18
МАТРИССЫ И ОПРЕДЪЛИТЕЛИ.
элементовъ одного и того же ряда изменяетъ знакъ опре-
определителя, не изменяя его абсолютной величины.
16. Определитель, въ которомъ два параллельныхъ ряда
тождественны или эквивалентны, равенъ нулю. Два парал-
параллельныхъ ряда называются эквивалентными, если соответственные
элементы ихъ пропорщональны. Умножая все элементы одного изъ
этихъ рядовъ на коэффищентъ пропорциональности /', мы сделаемъ
эти ряды тождественными, при чемъ определитель D обратится въ kD.
Транспозищя двухъ тождественныхъ рядовъ, конечно, не изменяетъ
значешя определителя kD\ а, съ другой стороны, мы знаемъ, что
всякая транспозищя изменяетъ kD въ - kD. Следовательно,
kD = - kD, и D = 0.
17. Разлагая элементы одного и того же ряда на несколько
слагаемыхъ, можно представить определитель въ виде суммы не-
сколькихъ определителей. Такъ, напримеръ,
а2 а.л
сх + у с, с3
;"? 6O 60
Это слЬдуетъ изъ того, что каждый членъ раскрытаго выражен1я
определителя содержитъ одинъ и только одинъ изъ элементовъ,
разложенныхъ на слагаемый (V).
Принимая во внимаше сказанное въ предыдущемъ §, тотчасъ за-
ключаемъ, что значение определителя не изменится, если къ
элементамъ некотораго ряда прибавимъ одинаковый крат-
ныя соответственныхъ элементовъ параллельнаго ему ряда.
Напримеръ,
а, + '«"к а-> а?, I "i я., ал
Ьх + in Ь., Ь., Ь.л ¦ --- Ьл Ь., Ья ,
С, -f 1ПС-Л С, С,
потому что
I та.л а., а-л
тЬл b., Ь.л - О,
ШС-6 С» Сй
какъ имекнщ'й два эквивалентныхъ столбца.
18. Определители, получаемые изъ данной матриссы, когда
всеми возможными способами известное число строкъ комбини-
руемъ съ равнымъ ему числомъ столбцовъ, называются содержащи-
содержащимися въ данной матриссе. Те изъ этихъ определителей, которые
имеютъ наивысш1й порядокъ, называются старшими определи-
определителями, а все друпе — младшими или, короче, минорами. Ран-
10
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
18—20
гомъ матриссы называется наивысшШ порядокъ содержащихся въ
ней определителей, отличныхъ отъ нуля. Такъ, напримеръ, рангъ
матриссы
1 0 с - b Ь - с '
— с 0 а с — а
Ь -а 0 а-Ъ
въ которой не все элементы равны нулю, равенъ двумъ, потому
что, какъ легко убедиться непосредственнымъ вычислешемъ (§ 13),
все ея CTapuiie определители 3-го порядка равны нулю, а опреде-
определители второго порядка не равны нулю.
Миноры.
19. Разсмотримъ одинъ изъ миноровъ, содержащихся въ ма-
триссЪ определителя D, — положимъ, следующей:
0 =
aU.h ahh
Если i\ =j\, /2 =J2, •••, in =jn, то миноръ называется главнымъ,
и главные его элементы принадлежатъ главной д1агонали старшаго
определителя D. Два минора называются сопряженными, если
указатели строкъ одного равны указателямъ столбцовъ другого,
и наоборотъ. Каждый главный миноръ сопряженъ самъ съ собою.
Въ частности каждый элементъ можно разсматривать, какъ миноръ
перваго порядка. Элементы а,ц и ац сопряжены одинъ съ другимъ;
главный элементъ аи сопряженъ самъ съ собою.
20. Миноръ Q можно себе представить полученнымъ изъ опре-
определителя D черезъ опускаше изъ последняго известнаго числа строкъ
и такого же числа столбцовъ. Если опустимъ изъ определителя D
те именно строки и столбцы, которыя входять въ составъ Q, то
получимъ некоторый миноръ Q', порядка п — v; миноры Q и Q'
называются взаимно-дополнительными: Q есть дополнеше ми-
минора Q' и наоборотъ. Далее, алгебраическимъ дополненюмъ
минора Q' называютъ его обыкновенное дополнеше Q, взятое со
знакомъ -+- или —, смотря по тому, будетъ ли сумма указа-
указателей всехъ строкъ и всёхъ столбцовъ въ Q число четное или
нечетное. Иными словами, если Q есть обыкновенное дополнеше
§§ 20—21 миноры. 11
минора Q', то алгебраическое дополнеше того же минора Q' равно
(— 1)°??> гд^ для сокращения положено
о = г\ + г2 + • ¦ • + г'„ +j\ +/2 + ¦ • • +/„•
Заметимъ, что, если о' обозначаетъ число, аналогичное о для ми-
минора Q', то сумма о-\-а', очевидно, равна сумме указателей всЪхъ
строкъ и всЪхь столбцовъ въ определителе D, такъ что
о + о'= 2A +2 + 3+ •¦• + и)
Отсюда видно, что числа о и о' всегда одинаковой четности, а по-
потому, чтобы два взаимно-дополнительныхъ минора были алгебра-
алгебраически дополнительными, надо приписать имъ одинъ и тотъ же
знакъ, т. е. если алгебраическое дополнеше минора Q' есть Q
или — Q, то алгебраическое дополнеше минора Q будетъ соответ-
соответственно Q' или —Q'. Въ частности, алгебраическое дополнеше эле-
элемента Oij есть опред-Ьлитель, получаемый изъ D выкидывашемъ
г'-ой строки и /-аго столбца, и взятый со знакомъ + при / -\-j
четномъ и со знакомъ — при г +_/ нечетномъ.
21. Лемма. Произведен1е минора на его алгебраиче-
алгебраическое дополнен1е есть составная часть раскрытаго выра-
жен1я старшаго определителя.
Въ самомъ дълъ, каждый членъ такого произведешя равенъ
произведен1ю некотораго члена изъ минора Q на некоторый членъ
минора Q', взятому со знакомъ (— 1)°, гд"Ь о им-Ьетъ указанное
въ § 20 значеше. Эго произведен1е, независимо огь знака, совпа-
даеть съ н^которымъ членомъ определителя D, потому что заклю-
чаетъ въ себе v + (к — v) = п элементовъ, взятыхъ изъ различ-
ныхъ между собою рядовъ. Что касается знака, то его можно
определить следующимъ образомъ. Первые указатели въ разсма-
триваемомъ произведены представляютъ собою некоторую переста-
перестановку изъ чиселъ 1, 2, 3, ...,п, разделенную на две части, при-
чемъ въ первой части будетъ v чиселъ, а во второй п — v\ то же
самое относится и ко вторымъ указателямъ. Обозначимъ черезъ г
число обращен1й въ первой части перестановки первыхъ указате-
указателей (г), черезъ г' — число обращешй во второй части той же
перестановки, черезъ s и s' аналогичныя имъ числа для переста-
перестановки вторыхъ указателей (j). Применяя правило определен1я зна-
ковъ, указанное въ § 11, найдемъ, что разсматриваемое произве-
произведете будетъ иметь знакъ
( — 1 )г+г'. ( — 1 )*+*'. (— 1)° = ( — 1 )r+'''+s+s'+0.
Мы покажемъ сейчасъ, что тотъ же знакъ будетъ иметь это про-
произведете, если будемъ его разсматривать, какъ членъ определи-
определителя D. При этомъ предположен^ число всехъ обращенШ въ пере-
12 I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕД-ЬЛИТЕЛЕЙ. §§ 21—23
становкЪ первыхъ указателей, очевидно, равно г -\- г' -\- е, где ?
равно числу обращенШ, образуемыхъ числами первой части этой
перестановки съ числами второй ея части. Точно такъ же число всехъ
обращешй въ перестановки вторыхъ указателей равно s -\- s' -\- щ,
rat г) есть число обращенШ, образуемыхъ числами первой части
этой перестановки съ числами второй ея части. По правилу
§ 11, разсматриваемый членъ определителя D будетъ иметь
знакъ (— 1)Н->-Ч-«+»Ч-Н-'>. Но мы видели въ § 2, что
е = г1+г2+-- +ir-\v(v+ 1), il=j\+J-> + Ьл - 4 >¦(>' + !)•
Отсюда сл^дуетъ, что ? + г, = а — v (v -f- 1). Замечая, что v {v -f- 1)
всегда есть четное число, мы и находимъ:
Лемма, такимъ образомъ, доказана.
22. Теорема. Всяюй опред-Ьлитель равенъ сумм-fe про-
изведен1й всЪхъ миноровъ порядка v, содержащихся въ v
параллельныхъ рядахъй), на соотв%тствующ!я имъ алге-
браическ1я дополнен1я.
Въ самомъ дЪлъ, изъ доказанной леммы вытекаетъ, что ect
полученные при такихъ умножешяхъ члены войдутъ въ составъ
определителя. Дал^е, очевидно, что ect эти члены различны между
собою. Остается показать, что число ихъ равно /г!, гд% п— порядокъ
определителя, чтобы убедиться, что, кроме этихъ членовъ, въ выра-
женш даннаго определителя никакихъ другихъ не заключается.
Число всехъ миноровъ, содержащихся въ v параллельныхъ рядахъ,
очевидно, равно числу сочетанШ изъ п элементовъ по v, т. е.
Каждый изъ нихъ содержитъ v\ членовъ, а алгебраическое дополне-
Hie, ему соответствующее, (п — v)! членовъ. Следовательно, каждый
миноръ, умноженный на свое алгебраическое дополнеше, дастъ
v\ (n — v)\ членовъ, и число всехъ членовъ будетъ равно
23. Сл-Ьдств»е. Всяк1й определитель равенъ сумме про-
изведен1й, получаемыхъ отъ умножен1я каждаго элемента
одного ряда на соответствующее элементу алгебраическое
дополнен1е **).
*) Т. е. въ MaTpncct, состоящей изъ v столбцовъ и и строкъ или изъ v
строкъ и п столбцовъ, гдъ и—порядокъ определителя (см. Веберъ и Вель-
штейнъ, 1. с, стр. 219).
**) Частный случай теоремы § 22, при v = 1.
§§ 23—25 миноры. 13
Поэтому, если a,-j есть алгебраическое дополнеше элемента atj
то
D = ап пп+ ai2 ai2 + at3 ai3-\ \-ain aiH
для всякаго i = 1 2,... п. Сокращенно также пишутъ:
24. Сумма произведен^ элементовъ некотораго ряда
на алгебраичесюя дополнешя соответственныхъ элемен-
элементовъ другого, параллельнаго первому, ряда равна нулю.
Действительно, сумма
представляетъ собою разложен1е опредЪлителя D посл% того, какъ
въ его матриссЬ элементы ап, аи,... заменены элементами a-v a^,,-..;
а такой опредълитель, какъ им-Ьюипй два тождественныхь парал-
лельныхъ ряда, равенъ нулю (§ 16). Следовательно,
2^air ajr = 0при i---j.
25. Въ заключен1е докажемъ еще другую важную формулу,
которой въ дальн-Ьйшемъ мы часто будемъ пользоваться. Совокупность
всЪхъ членовъ въ разложеши определителя D, въ составъ кото-
рыхъ входитъ данный элементъ ars, есть arsars. Это прямо сл-Ьду-
етъ изъ § 23. Всяк1й другой членъ разложешя содержитъ въ себе
непременно одинъ членъ r-той строки и одинъ элементъ s-таго
столбца, оба отличные отъ а,-*. Пусть эти два элемента будутъ
arj и a!s. Они образуютъ съ элементами ars и а,7 миноръ
Этотъ миноръ, умноженный на его алгебраическое дополнеше, ко-
которое обозначимъ черезъ а,/, войдетъ въ составъ определителя
(§ 22). Следовательно, коэффищентъ при aiSarj, где гфг, /ф s, въ
выражен1и определителя D будетъ равенъ —оу, и мы будемъ иметь
гдъ надо дать указателю г все значешя 1, 2, 3, ..., п, за исключе-
шемъ г, а указателю j все те же значешя, за исключешемъ 5. Далее,
важно заметить, что it,y можно разсматривать, какъ алгебраическое
дополнеше элемента я,у, но не въ определителе D, а въ опреде-
определителе ars (въ алгебраическомъ дополненш элемента ars) (VI).
14
I, 1. теорш опред-ьлителей.
26-27
Вычислеше определителей.
26. Изъ доказанныхъ въ предыдущихъ §§ свойствъ опреде-
определителей вытекаютъ правила, позволяются быстро ихъ вычислять.
Умножая элементы рядовъ на надлежаще выбранные множители и вы-
вычитая одинъ рядъ изъ другихъ, можно достигнуть того, что все
элементы некотораго ряда, за исключешемъ одного, обратятся въ
нуль. Тогда (§ 23) определитель сведется къ произведент этого
одного элемента на его алгебраическое дополнеше, которое будетъ
определителемъ низшаго порядка, чемъ данный. Полезно также
заметить, что, если все элементы, лежашде по одну сторону отъ
главной Д1агонали, будутъ равны нулю, то определитель будетъ
равенъ произведена его главныхъ элементовъ, что прямо выте-
каетъ изъ разложешя определителя по элементамъ перваго ряда,
въ которомъ, при нашемъ предположен^, все элементы, кроме
одного, будутъ нули (VII).
27. Упражнешя. а) Значеше определителя
a2 2ab b2 '
ас ad-\-bc bd
, с- 2cd d2
можно вычислить, применяя ко второму столбцу теорему § 23:
D = -2abcd(ad - be) + (ad + be) (a2d2- b'h2) — 2cd-ab (ad - be).
Отсюда
D = (ad - be) [(ad + beJ - 4 abed] = (ad - bcf.
b) Требуется вычислить определитель
abed
d a b с
с d a b
b с d a ;
Z) =
Сложивъ первый столбецъ съ суммою всЪхъ прочихъ, выведя за знакъ опре-
определителя обшдй множитель a-\-b-\-c-\-d\i вычитая затЪмъ первую строку
изъ всъхъ остальныхъ, получимъ:
¦= (а + b
1 b с d \
label
1 d a b
1 с d a
Складывая въ послъднемъ определителе посл-бдшй столбецъ съ первымъ,
\ а — b b — с с — d
с + d)\ d - b a — с Ь — d
\ с — b d — с а — d
§27
ВЫЧИСЛЕНА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
15
выделяя общШ множитель а — b -\- с — d n вычитая, наконецъ, последнюю
строку изъ первой, получимъ:
(я — b + с — d)
1 b — с с — d \
О а - с b - d
= (я — b + с — d)
Ъ — d с — а
а — с b — d
Поэтому
а
Ъ
с
d
Ъ
а
d
с
с
d
а
Ь
d
с
Ъ
а
1 d — с а — d
+ d) {a-b + c-d) [(a — cf + {b - df].
с) Если въ oпpeд•feлитeлt
D =
къ первому столбцу прибавимъ сумму всЪхъ другихъ, то обнаружится
обшдй множитель я + b + с + d. Если сперва перемЪнимъ знаки у элемен-
товъ двухъ послЪднихъ столбцовъ и двухъ посл-вднихъ строкъ (что, оче-
очевидно, значешя D не мт>няетъ) и потомъ произведемъ указанную операщю,
то обнаружится множитель а + b — с — d. Аналогичнымъ путемъ обнару-
обнаруживаются множители а — b + с — d и я — b — с + d. Такъ какъ D, оче-
очевидно, есть полиномъ четвертой степени относительно буквъ а, Ь, с, d, то
онъ можетъ отличаться только численнымъ множителемъ k отъ произведешя
вышеупомянутыхъ четырехъ множителей. Значете множителя k получимъ,
сравнивая коэффищенты, HanpnMtpb, при а4, въ выражеши D и въ этомъ про-
изведенш, что и дастъ /6 = 1. Поэтому
-c-d) (a —
(a~b-c+d).
d) Определителемъ Вандермонда (Vandermonde) называютъ ниже-
следуюшдй определитель
1 п^ я^ ... я^
2 п 1
1 Я2 Я2 • ¦ . Я2
D = 1 я, at ... а-"
i «»<••• «Г1
Прямо видно, что D есть полиномъ степени 1 + 2 + 3 -|- • • • + (и — 1) = ?«(« — 1)
относительно at, а2, ... ап. При я; = а. два параллельныхъ ряда опреде-
определителя делаются тождественными, и определитель обращается въ нуль. Сле-
Следовательно, онъ делится на яг — a,j. Разсматривая всевозможныя пары ука-
указателей г и у, получаемъ i,n(n — 1) множителей вида af — а-, отъ произве-
ден1я которыхъ D можетъ отличаться только численнымъ множителемъ,
такъ что
D = k(al — a2)(al — aa) .. . (а1-ап) (г72 — а3) . .. (а2 — ап) ... (ан_1 — ап).
Чтобы определить k, замечаемъ, что k есть коэффишентъ при
16
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
§ 27
въ развернутомъ произведены, написанномъ въ правой части предыдущего
равенства. Съ другой стороны, написанный выше членъ есть произведете
элементовъ второй д1агонали въ опредълителъ D и входитъ въ его выра-
жеше (§ 12) съ коэффишентомъ (—1р""-1). Поэтому k •= (— 1)^(\
краткости принято писать:
\. Для
r=n -1
D = ( - l)^"-1' II (я,. - ar+l) (ar - a,.+2) ... (a,. - an),
rZZH —1
где символъ U обозначаетъ произведете всехъ множителей, за нимъ на-
писанныхъ, соответствующихъ значен1ямъ
г = 1, 2 , («—1).
Очевидно, что можно также писать
Г—W—I
D = II (аг+1 - я,) (аг+2 - аг) ... (ян - я,.).
е) Мнопе друпе определители легко приводятся къ определителю
Вандермонда. Такъ. напримеръ,
с>1 Ь\ ffj
«1 Vh
а., \а2
j " «3 \«S
и вторая часть равенства тотчасъ заменяется выражен1емъ
а-, я, \а
Такъ же получаемъ равенство
sin2 a cos2 a sin a cos a
sin2,? cos'2.J sin/? cos,? = sin (} — ¦/) sin (¦/ — a) sin (a — ,?).
sin2-/ cos2-/ sin-/ cosy ;
f) При помощи обыкновеннаго делешя и вычиташя рядовъ или
пр!емомъ, который мы применили къ вычислешю определителя Вандер-
Вандермонда, находятъ, что определитель
a,*! axbo а^Ьъ ... albn I
ci\bt> ciob.t п.,bo ... п>>brt
(librr (Хс,Ьо Cl-jb-j . . . Gab
--- «А
§ 27
ВЫЧИСЛЕНШ ОПРЕД-ВЛИТЕЛЕЙ.
17
равенъ
«1 *„ («2 bi ~ ai ьг) («з Ь2 ~ Ч h) ¦ ¦ ¦ К Ь«-\ - a»-i ьп)
g) Положимъ
а1 х х ... х
X по X . , . X
D = х х я3 ... х
x x x ... an\
Изъ всехъ столбцовъ вычтемъ посл^дшй. Получимъ
\ах-х 0 0 ... х
i 0 а2— х О ... х
О 0 ав— х ... х
Выделяя изъ строкъ множители ах — х, а2 — х,...,ап — х, видимъ, что D
есть произведен!е (ах — х) (а2 — х) ... (ап — х) на определитель
1 0 0 ...
О 1 0 ...
а, — х
х
а, — х
О 0 1 ... -?-..
я, — х
- 1 - 1 - 1 ...
Посл'Ьдн1й приводится къ определителю
1
О
0
0.
1...
0...
а,
а,
ап
X
— X
X
««
— X
и—1
если къ последней строке прибавимъ сумму вс-Ьхъ другихъ. Bet элементы,
стояшде влево отъ главной даагонали, равны нулю; поэтому определитель
2
18
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
§ 27
равенъ произведена его главныхъ элементовъ, такъ что
а
D = (а, - х) (а2 - х) ... («„ -
: + ¦
h) Если данъ некоторый определитель D, то, на основанш сказаннаго
въ § 17, легко вычислить определитель D (х), который получится изъ D,
если къ каждому его элементу прибавимъ одно и то же число х, т. е. опре-
определитель
ап + х «12 + х • • • а1п + х |
Z) (*•) =
а„1+х ап2+х ¦¦¦ а„„+х
Определитель, составленный изъ первыхъ слагаемыхъ каждаго элемента
въ D (х), равенъ D. Далее, определитель, который получимъ, взявъ въ
первомъ столбце вторыя слагаемый, а въ другихъ первыя, будетъ
... а
1п
х «22 • • • «2
= дг(а11+а,1Н \-ап1),
где а,-, какъ всегда, обозначаетъ алгебраическое дополнеше элемента а^.
Поступая также съ каждымъ столбцомъ, получимъ, после сложешя, про-
изведен1е числа х на сумму алгебраическихъ дополнен!й всехъ элемен-
элементовъ D. Замечая еще, что определители, которые получатся, если въ двухъ
или более столбцахъ возьмемъ вторыя слагаемый, будутъ равны нулю, какъ
ei тождественнее столбцы, найдемъ окончательно
Если, въ частности, все элементы въ D, кроме главныхъ, равны нулю,
б е е О
то, обозначая эти последше черезъ «1( а2,
р
заметимъ, что
у
= О
при «ФУ, а при i=j aH приводится къ произведешю своихъ главныхъ
элементовъ, т. е. къ D, деленному на аг Поэтому
x -f- ax x ... д.'
x x + д2 .. . x
Заменяя каждое ai черезъ ai — х, получаемъ результатъ предыдущего
упражнешя инымъ лишь путемъ.
i) Аналогичнымъ путемъ вычисляется определитель, получаемый изъ
определителя D прибавлешемъ числа х къ однимъ только главнымъ его
§ 27
ВЫЧИСЛЕН1Е ОПРЕД-БЛИТЕЛЕЙ.
19
элементамъ. Обозначивъ черезъ av сумму всехъ главныхъ миноровъ (§ 19)
определителя D, и написавъ вместо а^, при г'Ц=/, atJ- + 0, тотчасъ уви-
димъ (§ 17), что
«11
я,ю + х ... а,.
'¦1п2
j) Чтобы еычислить опредълитель
D =
«0 +
о
0
0
а1 ах
ах + я.
а2
0
0
0
«2
а2+ а
«3
0
0
0
3 Я3
«3 + «4 •
0 ..
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
• «и-1 + ап
вычитаемъ первый столбецъ изъ второго, измененный этимъ путемъ второй
изъ третьяго и т. д Ту же операщю повторяемъ со строками и затёмъ
измт>нимъ знаки элементовъ всехъ строкъ и столбцовъ съ четными указа-
указателями. Тогда D приметъ видъ определителя, вычисленнаго въ упражне-
нш И), лишь съ заменою х на я0, и мы найдемъ
(+ + + +
к) Къ последнему результату можно придти также, применяя разло-
жен1е определителя по элементамъ последней строки и последняго столбца
{§ 25). Обозначая данный определитель черезъ Dn, тотчасъ найдемъ (VIII), что
'¦L>n = K-i + ««) Dn-i - «Li Dn-i ¦
Эту формулу можно написать такъ:
Dn~ ап Dn_x = ап_х (Dn_x - ап _х Dn_ 2).
Заменяя здесь п на п — 1, п — 2, ..., 4, 3 и замечая, что
D\ = «о + «1. D2 = а1а2 + а2а0 + aoalt D2 — a2DY = айах,
лолучаемъ путемъ умножешя
Dn " ап Dn-i = «о «1 «а • • • «„-1
• ¦ ¦ ап
20
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
§ 27
Заменяя здесь, наконецъ, опять п черезъ п — 1, и —2, ...3, 2 и скла-
складывая, находимъ
D- ± i±i
1) Континуантами (Kontinuante) называются определители, въ кото-
рыхъ все элементы, за исключешемъ главныхъ и лежащихъ на двухъ
лишяхъ, параллельныхъ главной д1агонали и смежныхъ съ нею, равны нулю.
Элементы, лежашде на одной изъ этихъ лиши, равны 1, а на другой (— 1);
главные элементы—произвольный числа. Назваше континуантовъ объясняется
связью ихъ съ непрерывными дробями (fractions continues) *). Мы будемъ
обозначать континуантъ, имеюшдй главные элементы alt а2, ... яи, симво-
ломъ («! а2а3 ... ап)> такъ что
ax 1 0 ... О
О
-1
0
0
0
я2
-1
0
0
1 ...
я3...
0 ...
0 ...-
0
0
ап-\
1
0
0
1
а
.. ап) =
Разлагая этотъ определитель по минорамъ, содержащимся въ первыхъ v
столбцахъ (§ 22), легко убедимся, что
A)
(«1 «а •••«„) = («1 «2 • • • «„) К+1 av+2 ...an)
Въ частности, имеемъ
B) («102 •••«„) = «! («2«3 •••«„) + («3«4 • • • «я).
C) (ajOg ... oj = яи (fljfl2 ... ом_,) + (а,а2 ... а„_2).
Изъ формулы C) получается законъ образовашя любого континуанта. Дело
сводится къ тому, чтобы изъ произведешя я^ я2 ... ап последовательно вы-
выкидывать всеми возможными способами все пары двухъ смежныхъ элемен-
товъ. Напримеръ, чтобы вычислить континуантъ (а1 я2 я3 о4 а5) надо изъ
произведения я1о2я3я4о5 последовательно выкинуть а^аъ, a3ai, а2аъ, а1а2,
потомъ я4я3 и я2а3, о4я5 и Я!Я2, аъа^ и Я!^. Тогда получимъ
(я!Я2я3я4я5) = я1Я2Я3я1Я5 + а^а^а^ -\- аха2а^ -\- а^а^а^ -f-
+ «1 + «3 + «5-
Далее, принимая во внимаше равенство B), легко видеть, что
«1 = («l), «1 + — = -^1. , Й1 + — = ! 2^-
2 ^ «2 + —
*) См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с, стр. 358.
§ 27
и что вообще
ВЫЧИСЛЕН1Е ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
:гая...а)
(a2as ... ап)
21
Изъ
D)
т) Разсмотримъ, въ частности, континуантъ
формулы C) находимъ
1
- 1
0 -
0
и =и
1
1
- 1
0
-
0
1
1
0
1-й
...0
... 0
... 0
... 1
¦>,
откуда видно, что каждый членъ ряда ulf u2, щ, ... равенъ сумме двухъ
предшествующихъ. Значешя чиселъ ип будутъ, следовательно,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
Этотъ рядъ известенъ подъ именемъ ряда Фибоначчи (Fibonacci) (италь-
янсмй математикъ XIII века) J). Онъ обладаетъ интересными свойствами 2),
и некоторый непосредственно вытекаютъ изъ результатовъ предыдущего
упражнешя. Напримеръ, соотношен1е A) даетъ
-«v_i«B_r_i
и, въ частности, u2v — i?v + u^l_l, т.е. сумма квадратовъ двухъ смежныхъ
членовъ ряда есть также членъ ряда. Чтобы найти значеше ип, положимъ
Числа и и /? будутъ корнями уравнен!я х — х — 1 = 0. Тотчасъ видно, что
уравнеше D) удовлетворится тождественно выражешемъ
гд4 a a b отъ я не зависятъ. Эти коэффищенты определятся по началь-
нымъ услов1ямъ ii^i = 0, и0 = 1, который требуютъ, чтобы выполнялись
равенства
!) Liber Abbaci. См. „Recherches" E. Lucas въ Bullettino biblio-
grafico di Boncompagni (Roma, 1877).
2) См. сообщеше Lame Парижской Академш Наукъ (Comptes rendus,
1814 г., стр. 867) (IX).
22
I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕД-БЛИТЕЛЕЙ.
§§ 27—28
откуда
а — р1 а — /3
- .3
Зам^Ьтимь еще, что ип обозначаетъ число членовъ любого континуанта »-го
порядка. Число это, следовательно, равно
1
У5
1
2И
(»+!)«(»- 1) , 9= (» + 1) п {п - 1) (и - 2) (и - 3)
1-2-3 + ""-2-3-4.5
Чтобы доказать, что это число цт>лое. можно его представить въ сл-Ьдующемъ
вщгб (§ 48, с):
1 j_ "-1 , (» - 2) (» - 3) (« - 3) (и - 4) (п -5)
1+ 1 + 1-2 + "' 1-2-3 " + ""
Умножеше матриссъ.
28. Положимъ, что a,-j и Ь,,- обозначаютъ элементы двухъ
подобныхъ матриссъ, т. е. такихъ, который содержатъ одно и
то же число т столбцовъ и одно и то же число п строкъ:
а21 а22 alKi .. . а.,т
bn bl2 bvi... ЪЪп
Ь>,\ Ьп-> Ь,Л ¦ ¦ ¦ Ьпт
Перемножимъ элементы г-той строки первой матриссы на соотв-Ьт-
ствуюшде элементы у-той строки второй и сложимъ всЪ получен-
ныя произведен1я. Тогда мы получимъ общдй членъ
E)
айbj2 + aj3bfi^ \- aim bJm
квадратной матриссы ;г-го порядка
сп с12 ¦ ¦ ¦ сХп
Сп\ Сп4 ¦ • ' Спп I
§§ 28—29 умножЕнш матриссъ. 23
На основанш свойствъ, къ доказательству которыхъ мы сейчасъ пе-
рейдемъ, определитель С называется произведен1емъ обеихъ дан-
ныхъ матриссъ. Въ частности изъ этого опредЪлешя следуетъ, что
выражеше E) есть произведете г-той и у-той строкъ данныхъ
матриссъ, потому что любую строку элементовъ можно разсматри-
вать, какъ матриссу, состоящую изъ одной строки. Замътимъ, что
умножеше матриссъ можно производить и по столбцамъ, а не по
строкамъ, такъ что, собственно говоря, получаются два произве-
дешя, но, въ случав прямоугольныхъ матриссъ, одно изъ нихъ,
какъ мы вскоре увидимъ, всегда равно нулю.
29. Теорема Вине (Binet) »). Разложимъ числа си на одно-
одночлены, которые написаны въ выраженш E), и въ первомъ столбца
определителя С вместо каждаго изъ са напишемъ только одно изъ
его слагаемыхъ аг Ьг., где jx обозначаетъ любое изъ чиселъ
1, 2, 3, ... т. Точно такъ же во второмъ столбце вместо каждаго ci2
напишемъ только одно изъ его слагаемыхъ а. Ь.,., гдеу2 опять любое
изъ чиселъ 1, 2, 3,...т. Подобно этому поступаемъ съ каж-
дымъ изъ столбцовъ въ определителе С. Такимъ путемъ, вместо
этого определителя получимъ слъдуюций:
«j, *1л я«л ^-i • ¦ • а".ы Kin i \ a».h a"h ¦ ¦ ¦ a».in
Сумма всъхъ аналогичныхъ ему выражен1й, соотвътствующихъ всъмъ
возможнымъ способамъ, какими можно выбрать числа jx, J2, .. .jn
изъ ряда 1, 2, 3, ... т, и будетъ равна определителю С, какъ то
слъдуетъ изъ § 17. Замътимъ теперь, что, если кагая-нибудь два
числа изъ ряда/lt/2, ... ,/м будутъ между собою равны, то со-
отвътствуюшдй определитель F) будетъ равенъ нулю, потому что
въ немъ будутъ два тождественныхъ столбца. Поэтому можно
ограничиться только тъми изъ определителей F), въ которыхъ
все jk между собою различны. Но, въ случче т < п, такихъ,
очевидно, не будетъ вовсе, потому что всехъ чиселъ jk имеется п,
а различныхъ значен1й, которыя они могутъ иметь, всего т.
Итакъ, если т < п (число столбцовъ меньше числа строкъ), то С = 0.
Когда т = п, т. е. когда данныя матриссы изображаюсь два опре-
]) Въ той общей форм-fe, въ которой зд^сь эта теорема изложена, она
принадлежитъ Кош и (Cauchy) (Journ. de l'Ecole polytechn., 1815).
24
I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
29-31
делителя А и В, то, на основанш § 14, выражеше F) будетъ
равно следующему:
«и й19 ... а.
(-1)8
A1 2
«21 «22 • • • «2
гд% s обозначаетъ число обращенШ въ перестановке j1 j\ j3 ...jn*).
Следовательно, на основанш § 12, находимъ
т. е. определитель С равенъ произведена данныхъ опредълителей,
въ обыкновенномъ смысла. Наконецъ, если т > п, то, применяя
послъднШ результатъ къ каждой системъ п различныхъ между собою
чиселъ, выбираемыхъ изъ ряда 1, 2, 3, ... т, найдемъ, что С есть
сумма всЪхъ произведен1й, получаемыхъ отъ умножен1я
каждаго старшаго определителя изъ первой матриссы на
соотвътствующ1й определитель изъ второй (X).
30. Если, въ частности, данный матриссы тождественны, то
полученный умножешемъ по строкамъ квадратъ матриссы изъ т
столбцовъ и п строкъ при т<^п равенъ нулю, а въ слу-
случав т^п онъ равенъ суммъ квадратовъ всЪхъ старшихъ
опредълителей матриссы. Напримъръ,
ьгь.гь3... ьп
т. е.
+Ь*
••+
я, я3
я2я3
(я^ -\- а2 + • • • + яи) {Ь.у -|— 62 —J— - - - —{— Ь?) = (а1 Ь^ -\- я3 Ь2 -(- • • • + ап 6ЯJ
+ (flj 62 — я2 6iJ + («i 63 — вз 6-lJ -)- (я2 й3 я3 Ь2У + • • ¦
31. Положимъ, что изъ данныхъ матриссъ А и В мы выде-
выделили две новыя, состояния всего изъ v строкъ (у < п), соответ-
ствующихъ двумъ системамъ значен1й указателей i и j, no v чиселъ,
взятыхъ изъ ряда 1, 2,... п, въ каждой системе. Выдътшмъ затемъ
изъ произведен1я С двухъ подобныхъ матриссъ А и В, полученнаго
умножешемъ по строкамъ, тотъ миноръ у-го порядка, который
определяется упомянутыми системами указателей г и j. Перемножая
по строкамъ выделенныя две матриссы, мы тотчасъ увидимъ, что ихъ
*) Потому что новый определитель получается изъ F) перемЪщешемъ
столбцовъ (подстановкою), переводящимъ перестановку j j ¦.. jn въ главную
перестановку 1 2 3 ... п.
§§ 31 - 33 УМН0ЖЕН1Е МАТРИССЪ. 25
произведете равно этому минору. Итакъ, если произведете
двухъ подобныхъ матриссъ получено умножен1емъ по
строкамъ, то миноръ этого произведешя, определяемый
двумя системами указателей по v въ каждой, равенъ про-
изведент тт>хъ матриссъ, которыя образуются строками,
соответствующими въ А и В т-Ьмъ же системамъ указа-
указателей. Въ частномъ случай, когда обе системы совпадаютъ,
i1=j'1> ?2=У2)--м т' е- когда разсматриваемый миноръ будетъ
главнымъ (§ 19), и когда, кроме того, матриссы А и В тожде-
тождественны, оказывается, что въ квадрате матриссы всяк1й глав-
главный миноръ есть квадратъ некоторой матриссы (XI).
32. Предположимъ далее, что А и В суть квадратныя ма-
матриссы и разсмотримъ въ ихъ произведены миноръ у[., обыкно-
обыкновенное дополнеше элемента с .. Чтобы вычислить у.., надо выкинуть
въ матриссЬ А г-тую строку, а въ В /-тую строку и перемно-
перемножить полученныя при этомъ матриссы по строкамъ. Старпйе опре-
определители первой (новой) матриссы мы получимъ, выкидывая въ
ней последовательно 1-ый, 2-ой, ..., я-ый столбецъ; мы получаемъ
тогда, очевидно, обыкновенныя дополнешя а', а',...,а'. элемен-
товъ аи, а»2, ...,а,и. Аналогично этому cTapmie определители вто-
второй (новой) матриссы будутъ /?'1( {?.„, ..., fj'.n. На основанш теоремы
Бине будемъ имъть
Замечая, что алгебраическое дополнеше элемента а(. равно
находимъ изъ предыдущего равенства
ir V Ч Pjr 1 — X, airPjr<
r = l r=l
т. е.
7ij = «,i j9a + «/2 ej2 + ай '^з Ч h ain djn .
Мы видимъ, следовательно, что алгебраичесюя дополнен1я элемен-
товъ определителей А, В к С связаны между собою такъ же, какъ
и самые элементы.
33. Упражнешя. Предложимъ себт. вычислить определитель Смита
(Smith):
A, 1) A, 2) A, 3)...A, п)
B, 1) B, 2) B, 3) ... B, и)
D = C, 1) C, 2) C, 3) ... C, п)
(и, 1) (и, 2) (и, 3) ... (и, я)
26
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
§ 33
где (г, _/) обозначаетъ общаго наибольшего делителя чиселъ / и J. На-
помнимъ сперва, что если <р («) обозначаетъ число чиселъ, простыхъ
съ п и не превышающихъ п, то сумма значен^ <р (и), въ которыхъ
на место п подставлены по очереди вет> делители числа п, какъ
разъ равно п *). Отсюда слт>дуетъ, что (i, j) = 2ф (т), где суммироваше
распространяется на всб значешя т, дбляцця (*, j), т. е. на все обшде делители
чиселъ * и /. Поэтому можно представить (г, J) въ следующей форм'Б
G) (г,Л = ап ад
аа "уз <Р C)
условившись считать atj = 1, когда i делится на j, и а, = 0, когда г не
дъ-лится на j (такъ что для всъ-хъ значешй i < j a(J = 0). Въ самомъ дт>лт>,
при этихъ услов1яхъ, коэффищентъ
aiv ajv ПРИ <Р (")
будетъ равенъ 1, когда i и j оба делятся на v, и равенъ 0, когда v не общ1й
делитель чиселъ г и j, такъ что въ формулт. G) во второй части будемъ
имъть 2 <р (v), распространенную на всЬхъ общихъ делителей v чиселъ i и j.
Отсюда слёдуетъ, что въ формул^ E) § 28 можно положить bfj- = Яу(р(/),
ctj = (i, j), >и определитель D будетъ равенъ произведена определителей
1 0 0 0 ... i
1 1 0 0 ...
4 = 1 0 1 0 ...
1 1 0 1 ...
В =
ап <р A) я22
.. . я1и <р(п)
B) ... я2и 49 (я)
= A<p(\)<pB)...q>(n).
Определитель .^, въ которомъ (^по услов1ю я^. = 0 при i < j) все элементы
по одну сторону д1агонали равны 0, приводится къ произведена главныхъ
элементовъ, т. е къ 1. Поэтому
Этотъ результатъ можно представить въ виде
[»1 Ш [_"_] \Л] [_"]
n
где [х] обозначаетъ наибольшее целое число, заключающееся въ х. а 2, 3,
5, 7, II, ... представляютъ рядъ простыхъ чиселъ (XII).
Ь) Составимъ квадратъ определителя Вандермонда (§ 27, d). Въ
немъ afj =
i—1
я . = а. , поэтому
"t+j-ъ
*) См., напр., Д. Граве, .Элементарный курсъ Teopin чиселъ". Юевъ.,
1909, стр. 25.
§33
УМН0ЖЕН1Е МАТРИССЪ.
27
если
sp = a{
a{ + я|
Итакъ, определитель
S0 Sl 52 • • • Sn — 1
5 с о с
1 Jll JQ ... L>M
sn-j-l
и—1 ли я + 1 ' ¦ ¦ 2и —2
равенъ (a1 — я2J (а1 — я3J (я2 — я3J ... (яи_1 — яиJ. Это выражеше назы-
называется дискриминантомъ чиселъ а1г я2, ..., ап. Заметимъ, что услов1е,
необходимое и достаточное для того, чтобы не все эти числа были различны
между собою, состоитъ въ томъ, что дискриминантъ ихъ обращается въ нуль.
с) Определители, въ которыхъ различныя строки получаются при по-
помощи круговой подстановки, произведенной надъ элементами первой строки,
называются циркулянтами. Мы увидимъ впоследствш, что уравне-
Hie хп - 1=0 имеетъ п различныхъ между собою корней av a2, ... ап,
въ числе которыхъ всегда находится единица. Чтобы вычислить значеше
циркулянта
D =
а1
"п-
1
«1
«я
Я3
а1
¦¦¦ап
...а„
¦ ¦ ¦ а„
1
2
я., я,, а. ... а.
умножимъ его на определитель
л =
Если положимъ для сокращен1я
f(x) = ях + агх + я3д:2
1
1
1
П1
а2
ап
2
«1
о
«2
• • ¦ а1
... е?-
• • • о" "
1
1
апх"
то произведен1е всякой строки 1, а, а-.... опредълителя Л на первую
строку определителя D равно /(а), а произведете той же строки въ Л
на г'-тую строку въ D равно
а2а'
или, если принять во вниман1е, что а" = 1,
28
Следовательно,
I, 1. ТЕОР1Я ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. § 33
/(a,) aj{ai) a*/(Ol) ... aJ-VK
/(«г) «г/(«г) «г/(«г) • • • «^/(«г
/(«„) «Я/К) «,?/(«„) • ¦ ¦ <~V(an) |
а этотъ определитель, по выделенш множителей /(а^, /(а2), .../(ан),
приводится къ Л. Поэтому, принимая во внимаше, что Л не равенъО,
Если умеемъ найти числа at> a.,, ..., ап (а это будетъ потомъ показано),
то сумЪемъ вычислить всяый циркулянтъ по предыдущей формуле. Для
и = 4 мы уже, напримеръ, знаемъ, что уравнеше л;4 — 1 = О имеетъ
корни 1, — 1, V— 1 и — У — 1, получаемые р-Ьшеюемъ уравнешй а2 — 1 -¦= О
и х2 + 1 = 0. Поэтому для циркулянта, опред-Ьляемаго элементами а, Ь, с, d,
им"Ьемъ
_/"( — l) = a — b -\- с —
а потому (ср. съ § 27, Ь)
abed
d a b с
с d a b
b с d a
~^1) = а - с + (Ь - d) Y - - 1,
- У"^~1) = я - с - (b - d) Y
(a -b + c-d)[{a-cf +
d) Положимъ, что данъ н-Ькоторый симметрическ!й опред-Ьлитель А
порядка п, т. е. такой, въ которомъ сопряженные элементы между собою
равны («, ¦ = а^). Обозначимъ черезъ f(x) тотъ определитель, который
получимъ, прибавивъ къ каждому изъ главныхъ элементовъ определителя А
число х. Мы знаемъ (§ 27, i), что /(х) есть полиномъ степени п относи-
относительно х. Такой полиномъ обращается въ нуль только при п значешяхъ
числа х, какъ будетъ впоследствш доказано (§ 449). Съ помощью умно-
жешя определителей легко доказать, какъ это сделалъ Сильвестеръ (Syl-
(Sylvester, Philosophical Magazine, 1852), что, если все элементы симметри-
ческаго определителя А вещественны, то и все корни полинома f(x), т. е.
корни уравнешя /(х) = 0, также вещественны. Для этого, очевидно, доста-
достаточно доказать, что все корни уравнешя /(х)/( — х) = 0 вещественны.
Обозначимъ черезъ с( ¦ общее выражеше элемента въ определителе С,
равномъ квадрату А. Тогда общШ членъ произведешя определителей
/(•*)/(—•*) будетъ
я.1яд +
при »4-У, и
(«я + ¦*¦) «з>
при i=j. Следовательно, уравнеше /(х)/(—х) = 0 можно представить
§§ 33-34
ВЗАИМНЫЕ ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ.
29
въ виде
сп - х- с12
¦ ¦ ¦ с„„ - х*
= 0
или (§ 27, i) въ виде
(8) С + «„_! ( - **)
и_2 ( - x"-f
о,
где av обозначаетъ сумму всЪхъ главныхъ миноровъ порядка v въ опре-
д^ител^Ь С. Но H3etcTHO (§ 31), что, какъ С, такъ и всЬ о,,—числа суще-
существенно положительный. Поэтому уравнеше (8) не можетъ им-Ьть корней
вида q У — 1, при q вещественномъ, неравномъ нулю, такъ какъ при такихъ
значешяхъ х лЪвая часть уравнен1я (8) есть число положительное. А чтобы
удостовериться, что уравнеше (8) не можетъ иметь корней вида р -\- q У — 1,
стоитъ только включить число р въ главные элементы определителя А
и свести такимъ образомъ этотъ случай къ предыдущему. Следовательно,
всякое значеше х, удовлетворяющее данному уравненш, непременно будетъ
вещественнымъ *).
Взаимные определители.
34. Обозначая черезъ aiy- алгебраическое дополнеше эле-
элемента а-ij, разсмотримъ определитель
«11 «12 • • • «1»
«21 Я22 • ' ' а
«11 «12 • • • «1
'2н |
Л =
Определитель Л называется взаимнымъ (reziproke) опре;гБлителемъ
отъ даннаго D. Мы докажемъ сл-вдующую теорему: Каждый ми-
норъ второго порядка въ Л равенъ алгебраическому до-
полненш соотвт>тствующаго ему минора въ D, умножен-
умноженному на D. Прежде всего зам-втимъ, что ars можно получить
изъ D, если въ немъ на мЪсто аг$ поставимъ 1, а на мЪсто вст>хъ
другихъ элементовъ r-oPi строки 0. Действительно, разлагая полу-
полученный такимъ образомъ определитель по элементамъ r-ой строки
(§ 23), тотчасъ увидимъ, что это разложеше приведется къ одному
члену, равному ars.
*) Эту теорему можно, напримеръ, применить къ доказательству веще-
вещественности корней уравнешя 3-еЙ степени, которое разсматривается въ ана-
аналитической геометрш при определенш направлен1я осей поверхностей 2-го
порядка.
30
Итакъ,
§ 34
I, 1. ТЕОР1Я ОПРеД-ЬЛИТЕЛЕЙ.
«и ••• «I,--- «ls ••• аы
0 ... О ... 1 ... О
п1... anj... аш ... ат
Въ этомъ новомъ определителе умножимъ все элементы у'-аго
столбца на а^, (г'фс, у'ф^) и прибавимъ къ нимъ соответствен-
соответственные элементы всЬхъ другихъ столбцовъ, предварительно умноживъ
ихъ по очереди на а,ц, а^, ...,ain. Тогда на r-омъ месте /-аго
столбца окажется элементъ a;s, а на всякомъ другомъ г>омъ ме-
месте (v Ф г) того же столбца будетъ (§ 24)
avl аП + av2 ai2 + а„3 аа +¦¦¦ +ат «ш =
D при v = *,
0 при v ^ь /.
Съ другой стороны, произведенная операщя даетъ въ результат^
произведете а^-агв (§§ 15 и 17). Следовательно,
яи ... 0 ...аи ... а1п
ап ... D ... ais ... аш
0 ...а.-. ... 1 ... 0
•-¦«„*••• ап
Обозначимъ послт>дн!й определитель буквою D' и замт>тимъ, что
онъ отличается отъ даннаго D только элементами г-ой и г-ой
•строки и _/-го и 5-аго столбца; все остальные элементы въ D'
и D одинаковы. Разложимъ теперь определитель D' по элемен-
тамъ у-аго столбца. Такъ какъ въ этомъ столбце, за исключешемъ
элементовъ ais и D, все остальные равны нулю, то въ разложенш
его останутся только два члена: произведете ais на его алгебраиче-
алгебраическое дополнете въ D' и произведете элемента D на его алге-
алгебраическое дополнете въ D'. Алгебраическое дополнете эле-
элемента ats, какъ легко видеть, равно агу. Чтобы получить алге-
алгебраическое дополнете элемента D, надо въ D' выкинуть /-ую
•строку и у-ый столбецъ, въ пересеченш которыхъ стоить D, и при-
приписать результату знакъ (— 1)'+./. Получаемый при этомъ опреде-
определитель отличается отъ а^ только темъ, что вместо элементовъ
arl, ar2, ..., ars, .... arn
34-35
ВЗАИМНЫЕ ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ.
31
стоятъ элементы
О, 0, ... 1, ... 0.
Поэтому искомое алгебраическое дополнеше элемента D въ D'
получимъ, если выкинемъ въ послЪднемъ еще r-ую строку и 5-ый
столбецъ, и припишемъ знакъ (—1)г+*. Припоминая сказанное
о видт> определителей D и D', а именно, что они отличаются
только элементами, стоящими въ выкидываемыхъ строкахъ я
столбцахъ, находимъ, что найденное выражеше совпадаетъ съ
тбмъ, которое получится, если въ данномъ опредт>лителт> D вы-
выкинемъ г'-ую и r-ую строки, /ый и 5-ый столбцы и припишемъ
результату знакъ (—1)»-ЬН-Н-«. А тогда, какъ известно, получается
алгебраическое дополнеше минора
въ опредълителъ D. Обозначая это дополнеше буквою <\ijrs, будемъ,
следовательно, имъть
т. е.
что и требовалось доказать *).
35. Изъ формулы (9) легко вывести полученную уже раньше
важную формулу (§ 25). Умножая объ части равенства (9) на a,-sarj
и суммируя по г и /, находимъ
> arj«i» "rj + D
и j
Сумма въ лт>вой части (§§ 23 и 24) равна
=n
yajarl ап + аг2 а,.2 -] 1- ат ain) = Durs,
а первую сумму въ правой части можно написать такъ:
А потому (срав. съ § 25)
*) См.
(XIII).
32
I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕД-ЬЛИТЕЛЕЙ.
36-37
36. Если какой-нибудь определитель обращается въ
нуль, то и взаимный его определитель обратится въ нуль.
Кромт> того, обратятся тогда въ нуль и все миноры взаим-
наго определителя до миноровъ второго порядка включи-
включительно. Действительно, изъ § 34 следуетъ, что при D = 0 всЬ
миноры второго порядка въ А будутъ равны нулю. Отсюда дал%е
вытекаетъ, что и все миноры высшаго порядка и сама А будутъ
равны нулю. Чтобы въ этомъ убедиться, стоитъ только представить
себе все эти определители разложенными по минорамъ, содержа-
содержащимся въ какихъ-нибудь двухъ столбцахъ или строкахъ. Замътимъ
еще, что изъ соотношенШ
«11
ай
«J2
«/1
аг3
aj>
= 0,
«й
«/2
«/з
= 0,
слЪдуетъ
«J2
т. е. что при D = 0 въ определителе А все параллельные между
собою ряды эквивалентны (§ 16). Иными словами: Если какой-
нибудь определитель равенъ нулю, то алгебраическ1я до-
полнен1я элементовъ любого ряда пропорциональны алге-
браическимъ дополнен1ямъ элементовъ всякого другого па-
раллельнаго ему ряда *).
37. Если D не равно 0, то и Л не равно 0. действительно, опре-
определитель Л равенъ D"^1, если п есть порядокъ даннаго опреде-
определителя D. Чтобы это доказать, перемножимъ D и Л по строкамъ.
Общее выражеше элемента произведешя будетъ
с — У1
Следовательно,
D
0
0
а ¦ =
}r
0...
D ...
0 ... j
0
0
0
D
' при
при
= Z>
откуда, при D ф 0) получимъ А = D"—1. Это равенство справед-
справедливо и при D = 0, потому что тогда и А = 0.
*) Полезно зам-Ьтить, что то же самое можно сказать и объ обыкно-
венныхъ дополнешяхъ, потому что зам-Ьна алгебраическихъ дополненМ
обыкновенными въ приведенныхъ выше равенствахъ равносильна умноже-
умножение всЬхъ дробей на (—1 )'+¦'.
38
ВЗАИМНЫЕ ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ.
33
ai
аг
0
:A
A
0 .
%*> ¦
ais .
1
^i^n - -v
Hsn--v
0
at ¦
0 .
ai j ¦
ai j •
.. 0
• • ai
¦ ¦ ai
38. Во взаимномъ определителе определителя D всякий
миноръ порядка v равенъ алгебраическому дополненш
соответствующего ему минора въ D, умноженному на Dv~i.
При v = 1 эта теорема есть не что иное, какъ опредёлеше вза-
имнаго определителя; при v = 2 она доказана въ § 34. Пусть
теперь v > 2. Обозначимъ черезъ Av тотъ миноръ въ А, который
определяется указателями гг, t2,...,iv и j\, j\,...,jv. Пусть
Г\, Г2, ¦ ¦ -, гп—v будутъ числа, оставиляся въ ряде 1, 2, ... п, когда
изъ него исключимъ числа н, г'2, ...,?„, a Si, s2. • • •, 5«—»> анало-
аналогично— числа, оставшаяся въ томъ-же ряд-fe, по исключенш изъ него
чиселъ j\, J2, ...Jv*). Определитель Av можно написать въ виде:
1 0... 0 0 0 ... 0 j
0 1 ... 0 0 0 ... 0 ]
4.=
vrf"t v n—a
Въ самомъ деле, если разложимъ написанный здесь определитель
по минорамъ, содержащимся въ последнихъ v столбцахъ, то тот-
часъ увидимъ, что всъ члены разложешя обратятся въ нуль, за
исключешемъ одного
1 0 0 0... О
0 1 0 0 ... О
О 0 0 0... 1
Съ другой стороны, перемещешемъ строкъ, а также и столбцовъ
въ данномъ определителе D, его можно представить въ виде
••• ar a .
¦••«,„ а„ ¦
rn—я 'n- v 2 n—v n- v n—vJi rn—vJi n—wv
¦ ¦ ¦ %iv
aivk aivh ¦ ¦ ¦ aivjv
*) Bcb написанные выше ряды чиселъ предположимъ расположен-
расположенными въ возрастающемъ порядка.
34
I, 1. ТЕОРШ ОПРЕДЪЛИТЕЛЕИ.
§ 38
где q обозначаетъ число всЬхъ обращешй въ перестановкахъ
Г\Гч ¦.. Гп-r hit ¦ ¦ ¦ iv и s\.s-i ¦. ¦ s,,-vj\J4 ¦ • •./',• ¦¦')• Это число д оди-
одинаковой четности съ числомъ
а^г% + г2-\ \-rA v + s1+s2-\ \-sn ^.
Действительно, по сделанному предположение о порядке располо-
жешя чиселъ г, I, s и j, число обращен1й въ указанныхъ переста-
перестановкахъ будеть равно числу обращенШ, образуемыхъ элементами
группы п, r-i .. ¦ Гп—v съ элементами группы i\, i2 ... /,,, плюсъ число
обращен!й, образуемыхъ элементами группы s\, s-i ¦.. sn—v съ элемен-
элементами группы /ii/а .../).• Применяя къ счету этихъ двухъ чиселъ
формулу § 2, мы найдемъ
6 = в — (я - к)(и -i»+ 1),
откуда прямо и вытекаетъ сказанное о числахь дно.
Теперь перемножимъ D и Л по строкамъ, пользуясь фор-
формулою E) § 28; тогда найдемъ:
DA, = ( - 1)"
ar,s, агЛ ¦ • • ar,»n_^,
«rA «,A •••«rI.B_
'n—»•' 'и—v"> гн—i^b—v
a, a, ... a,-
я,- g a(, ... rtf. ч
"> s ai < ' • • • я i »
0
0
0
D
0
0
0
0
0
0
D
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... 0
... D
Отсюда, разлагая по минорамъ, содержащимся вь послЪднихъ v
столбцахъ (при чемъ опять обратятся въ 0 всъ члены разложешя,
кромт> одного съ миноромъ
D 0 ... О
0 D ...0
0 0 ...D
и разделяя на D 4= 0, получимъ:
Яг,8
= DV)
... ar
...a.
-v8'
*) Это сл-Ьдуетъ изъ того, что произведсн1е элементовъ главной д1аго-
нали определителя въ правой части формулы входитъ въ его выражеше со
знакомъ -)-, а въ выражен1е D именно со знакомъ (— 1)-'.
$§ 38-40 ВЗАИМНЫЕ ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ. 35
что и доказываетъ теорему, потому что множитель при D*~* въ
правой части, очевидно, изображаетъ алгебраическое дополнете ми-
минора, который определяется указателями ц, 4, ..., г\, и j\, J2, .. .,jv
въ определителе D и который соответствуем минору Av въ- Л.
Полученный результатъ справедливъ и при D = 0 и v > 1, потому
что даетъ тогда, согласно доказанному въ § 36, Д, = 0.
39. Алгебраическое дополнеше минора Av порядка v въ Л
есть миноръ Л„_^ порядка п — v, взятый съ темъ же знакомъ, съ
какимъ надо взять миноръ Dv въ D, соответствующШ минору Л„,
чтобы получить алгебраическое дополнеше минора Dn-V, соответ-
ствующаго минору А>-у Поэтому, на основаши теоремы § 38,
алгебраическое дополнеше минора Av равно произведешю ?)H~v~l-
на миноръ Dv. Иными словами: алгебраическое дополнен1е
минора порядка v во взаимномъ определителе определи-
определителя D равно соответствующему минору въ D, умножен-
умноженному на D"-v—im Въ частности, при v = 1, мы видимъ, что алге-
алгебраическое дополнен1е элемента во взаимномъ определи-
определителе Л определителя D равно соответствующему элементу
въ D, умноженному на Z?"~2. Отсюда следуетъ, что взаимный
определитель взаимнаго определителя D есть
Его значеше должно быть равно (и— 1)-ой степени отъ />-г
(§ 37), и действительно оно равно
(см. примеч. XIV).
40. Сделаемъ еще одно замечаше. Если перемножимъ
взаимные определители двухъ данныхъ, то полученное
произведете будетъ равно взаимному определителю про-
изведен1я данныхъ определителей. Само собою разумеется,
что умножешя производятся въ обоихъ случаяхъ по строкамъ, или.
въ обоихъ случаяхъ по столбцамъ. Действительно, производя умно-
жен1я по строкамъ, напримеръ, мы найдемъ следующее общее вы-
ражен1е элемента произведешя взаимныхъ определителей
«il^jl + «й^-2 + «Й^'З Н Ь amPjn,
л изъ § 32 известно, что эта сумма есть алгебраическое дополне-
Hie уц элемента ctj въ произведен1и данныхъ определителей.
з*
36 I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕД-ЬЛИТЕЛЕЙ. § 41
41. Теорема, доказанная въ концт> § 36, допускаетъ обобщеше,
которое полезно заметить. Обозначимъ черезъ /л рангъ опреде-
определителя D (§ 18), равнаго нулю, и разсмотримъ некоторый его
миноръ
Этотъ миноръ также равенъ нулю, потому-ли что онъ можетъ
им"Ьть эквивалентные паралельные ряды, или потому, что порядокъ
его во всякомъ случай больше (г *). Если условимся обозначить
черезъ ард обыкновенное дополнеше перваго изъ слъдующихъ
четырехъ элементовъ
въ выше написанномъ опредълителъ, то ясно, что обыкновенные
дополнен1я остальныхъ трехъ будутъ ap>g+i, a^-j-i,j, flj+i,?-v-i- По-
Поэтому (см. § 36 и выноску къ нему), будемъ имъть
переписавъ это въ видъ
и давая числу/» значешя 0, 1, 2,...,fi—1, получимъ
а отсюда выведемъ дал4е
«00_ От в,
00 __ 1 _ 2
*): Порядокъ его равенъ/ + I + ц — (^ + 1) + 1 = /* + 1 -
§§ 41—42 ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ ОСОБАГО ВИДА.
Зам"Бтимъ въ то же время, что
37
«V, %г, :¦ ¦ %,
V. V* • • • "•-..'¦
ц'/г,
-7* I» I
«M
(См. прим. XV.).
Итакъ, если рангъ даннаго определителя, обращающегося
въ нуль, равенъ (л, то все миноры, содержащееся въ неко-
торыхъ ц строкахъ (или столбцахъ), пропорцшнальны со-
ответствующимъ минорамъ*), содержащимся въ какихъ
угодно другихъ ц строкахъ (или столбцахъ) (XV).
Свойства н1>которыхъ определителей
особаго вида.
42. Опредълитель, въ которомь каждый элементъ равенъ
своему сопряженному, агу = о/,-, называется симметрическимъ
(§ 33, d). Определитель называется косымъ симметрическимъ,
если каждые два сопряжённые элементы равны между собою
по абсолютной величине, но противоположны по знаку, a,j = — ay»;
а следовательно, въ частности все главные элементы равны нулю:
Ли = 0. Если вместо нулей на месте главныхъ элементовъ косого
симметрическаго определителя поставимъ числа, не равныя нулю
одновременно,то получимъ псевдосимметрическ1й определитель.
Такъ, напримеръ, изъ двухъ определителей
а г — q
г b p
q —р с
0
q ->
0
= 0,
первый псевдосимметрическШ, второй косой симметрически.
Прим-Ьромъ симметрическаго определителя можетъ служить
определитель
a h g
h b f | = abc + Ifgh — ap - bg* — cW.
g f с I
*) Соотв-Ьтствующими называются миноры, содержащ!еся въ данныхъ
строкахъ (столбцахъ) и составленные изъ равноименныхъ столбцовъ (строкъ).
38 I, 1. ТЕ0Р1Я ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. §§ 42 — 44
Симметрическимъ будетъ всякШ определитель, получаемый возвы-
|иен1емъ въ квадратъ любого определителя *). Все определители
трехъ упомянутыхъ типовъ пользуются темъ общимъ имъ всемъ
свойствомъ, что главные миноры определителя даннаго типа будутъ
определителями того же типа, т. е. главный миноръ симметрическаго
опредълителя есть также симметричесюй и т. д.
43. Симметрическ1е определители. Ясно, что сопряжен-
сопряженные миноры (§ 19) симметрическаго определителя между
собою равны, потому что строки одного совпадаютъ со столбцами
другого и наоборотъ (см. прим. III). Въ частности алгебраичесюя
дополнешя двухъ сопряженныхъ элементовъ равны между собою т. е.
при ciij = ац и o.i$ = а;-,-, а потому взаимный определитель сим-
симметрическаго определителя также симметричесюй. Далее,
если применимъ теорему § 41 (йоо tt№ = Qojufl^o) и сделаемъ указатели
fi, Г2, гз, ... и 5i, 52, 5з, • •. соответственно равными указателямъ
Hi h, *з, .,•- и У1' /2>/з ••-, то найдемъ, замечая, что въ нашемъ
случае по/м = iVd следующее равенство:
nij.---autl
aJ\J\aJJ, ¦•¦",¦ Jp
Итакъ, если рангъ симметрическаго определителя равенъ jit,
то квадратъ всякато минора порядка /л равенъ произве-
ден1ю двухъ главныхъ миноровъ того же порядка. Отсюда,
следуетъ, что главные миноры порядка (л не могутъ все одно-
одновременно обратиться въ нуль, потому что тогда и все вообще
миноры порядка /л были-бы равны нулю, и рангъ определителя
былъ бы ниже (л.
44. Косые симметричесше определители. Если у всЪхъ
элементовъ косого симметрическаго определителя изменимъ знаки
на противоположные, то произойдетъ лишь замена строкъ столб-
столбцами й наоборотъ, такъ что определитель своей величины не
изменитъ. Но, съ другой стороны, при подобномъ преобразованш
(умноженш всёхъ элементовъ на — 1), какъ известно (§ 15), опреде-
определитель пршбретаетъ множитель (— 1)и. (Следовательно, ?) = (— l)nD>
и при п нечетномъ D = 0. Итакъ, всяк1й косой симметриче-
CKift определитель нечетнаго порядка равенъ нулю. При-
Применяя такой же способъ разсуждешя къ двумъ сопряженнымъ ми-
норамъ, тотчасъ увидимъ, что во всякомъ косомъ симметрическомъ
определителе сопряженные миноры либо равны между собою,
либо равны только по абсолютной величине, смотря по тому,
будутъ-ли они четнаго или нечетнаго порядка.
*) См. формулу E) § 28 при e,.y= bif
§§ 44-46
ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ 0СОБАГ0 ВИДА.
Отсюда, въ частности, следуетъ, что алгебраичееюя до-
поянен1я двухъ сопряженныхъ элементовъ косого симме-
симметрическаго определителя порядка п (какъ сопряженные
миноры порядка п — 1) будутъ между собою равны, если п
ч»сло нечетное, или равны только по абсолютной величине,
если п число четное. Наконецъ, изъ этой теоремы вытекаетъ, что
взаимный определитель даннаго косого симметрическаго
определителя будетъ симметрическимъ, когда онъ нечет-
наго порядка, и косымъ симметрическимъ, когда онъ чет-
наго порядка (XVI).
45. Положимъ, что некоторый определитель D, равный нулю,
им1зетъ взаимный симметрически определитель. Въ этомъ послед-
иемъ, какъ известно (§ 36), все миноры второго порядка равны
нулю, такъ что
= аиаи - alj = 0, ai}. = У аиа„,
откуда
A0)
/«
Иными словами: если взаимный определитель даннаго опре-
определителя, равнаго нулю, есть определитель симметри-
симметрически, то элементы любого его, ряда пропорциональны
корнямъ квадратнымъ изъ соответствеиныхъ имъ главныхъ
его элементовъ.
Въ частности эту теорему можно применить ко всякому
симметрическому определителю, равному- нулю (§ 43), и, на осно-
ванш перваго и последняго свойства косыхъ симметрическихъ опре-
определителей, доказанныхъ въ § 44, къ взаимному определителю всякаго
косого симметрическаго определителя нечетнаго порядка. Важно
заметить следующее: чтобы перейти отъ формулы а^- = Y^a(iajj къ
формуламъ A0), надо первую написать въ вид* ац = VauVajjt
одному изъ корней квадратныхъ можно приписать любой знакъ,
а знакъ другого вполне определится по знаку известной левой
части формулы, т. е. по знаку числа ац = а,-,-. Такимъ образомъ,
если мы выберемъ по произволу знакъ, напримеръ, у j/ац, то
знаки всехъ другихъ \^а%ь, ... ]/а„„ определятся изъ формулъ
= «21 = Va
ая1
46. BcHKift косой симметрическ1й определитель-четнаго
иврядка п равенъ квадрату выражения, целаго и рац1ональ-
40 I, 1. ТЕОРШ ОПРЕД-ЬЛИТЕЛЕЙ. §§ 46-47
наго относительно его элементовъ. Теорема очевидна при п — 2,
такъ какъ
! 0 а
| = а-.
\ — а 0
Поэтому достаточно показать, что она будеть справедлива для
косого симметрическаго определителя четнаго порядка п, если до-
пустимъ, что она справедлива для определителей четнаго порядка,
меньшего п. Применяя извЬстную (§ 25) формулу и пользуясь
равенствами air = — ari, arr = 0, получимъ
D = а„а„
где определитель atj есть алгебраическое дополнеше элемента atj,
но не въ D, а въ асг. Определитель агг есть главный миноръ
взаимнаго отъ D определителя, т. е. также косого симметрическаго
определителя (§ 44). Поэтому агг есть (§ 42) косой симметрическШ
определитель нечетнаго порядка п — 1, а потому, на основанш § 45,
имеемъ равенство аг-у = \^<ii,¦¦ V^jj, а, следовательно,
или
(in /5 = rt,,f«: + rt,.1,
где, на основаши замечан1я § 45, въ правой части у одного изъ
квадратныхъ корней можно выбрать любой знакъ, а знаки всехъ
другихъ тогда вполне определятся. Замечаемъ теперь, что все а,-,-
(§ 42) будутъ косые симметричесюе определители порядка (п — 2),
и по предположена будутъ квадратами целыхъ ращональныхъ
выражен!й относительно элементовъ. Подставляя эти выражешя
въ "|/D, мы найдемъ для него целое ращональное выражеше, чТо
и требовалось доказать. Наконецъ, легко видеть, что разложе-
Hie ~У D заключаетъ въ себе 1 • 3 • 5 • 7 ... (п—1) членовъ*) (XVII).
47. Псевдосимметричесше определители. Положимъ, что D
псевдосимметричесий определитель, все главные элементы котораго
равны х. Положивъ х = 0, получимъ косой симметрическШ опре-
определитель Do- Можно считать, что D происходитъ изъ Da отъ при-
бавлен1я числа х къ каждому изъ главныхъ элементовъ последняго,
а потому по формуле § 27, i будемъ иметь
*) Т. е. одночленовъ, ц^лыхъ и рацюнальныхъ относительно элемен-
элементовъ D.
§§ 47 -48
ОПРЕД-ЬЛИТЕЛИ ОСОБАГО ВИДА.
41
гдт> av есть сумма всбхъ главныхъ миноровъ въ Do порядка v.
Каждый изъ этихъ миноровъ есть косой симметрически определи-
определитель (§ 42). и обращается въ 0 при v нечетномъ (§ 44), а при v
четномъ (§ 46) есть квадратъ цт>лаго рацюнальнаго выражетя отно-
относительно элементовъ. Поэтому
Если п число четное, то xn~'2raiv есть сумма квадратовъ, т. е. всяюй
псевдосимметрическ1й определитель четнаго порядка, съ
равными между собой главными элементами, разлагается
на сумму квадратовъ. Если п — нечетное, то D равно произве-
дешю х на сумму квадратовъ. Если х = 1, то, сопоставляя оба
предыдушдя_заключен1я, находимъ, что всякШ псевдосимметри-
ческ1й определитель съ главными элементами, равными 1,
есть сумма квадратовъ.
48. Примеры, а) Зам-Ьтимъ сл-Ьдующде простые результаты
х р | =А-з+ (Р2+ q*+ r*)x,
-Р х I
Ь) Чтобы вычислить определитель
О
1 Г - q
— г 1 р
q p 1
a b с
а 0 г — q
-Ъ -г 0 р
-с q -р О
съ помощью формулы A1), нужно обратить внимаше на опредъ-леше знаковъ
квадратныхъ корней, согласно 3aMt4aHiro, сд-Ьланному въ § 45. Главные ми-
миноры опред-Ьлителя ап у насъ будутъ р2, q2, г3; если возьмемъ Yp1 = Р
(а не—р), то должны будемъ взять Уф = q, У г2 — г и получимъ по
формул^ A1) D = (ар -\- bq -\- с гJ. БолЪе общ1й результать даетъ прим^ръ
х
a
а х г — q
b — г х р
с q -р х
с) Наконецъ, легко доказать, что определитель
х а 0 ... 0 0 1
— а х а ... 00
О — а х. .. О О
{а
0 0 0 ... х а
0 0 0 ... ах
42
равенъ
I, 2. линеиныя формы.
48-49
(см. прим. XVII).
ЛИНЕИНЫЯ ФОРМЫ.
Линеиныя уравнен!я.
49. Разсмотримъ систему п линейныхъ уравненШ, т. е. урав-
ненШ первой степени, съ п неизвестными
«11 х\ ~Г ^12 Х2 ~Ь ' ' ' ~f" «1н хп ^^ "I}
«91 X, + Яоо Х„ + • ¦ ¦ + «¦)„ -^„ = k.,
Р'вшен1емъ системы уравненШ называется система значен№ неиз-
вЪстныхъ, удовлетворяющая всбмъ уравнен1ямъ системы. Опред"Ьли-
тель D, общ1й элементъ котораго есть atj, т. е. определитель,,
составленный изъ коэффищентовъ данныхъ уравненШ, называете»
опредЪлителемъ системы. Обозначая, какъ обыкновенно, че-
резъ a(j алгебраическое дополнеше элемента а,у въ D, умножимъ-
данныя уравнешя по порядку на аи, «гь •••, ani и сложимъ полу-
полученные результаты; тогда найдемъ
B)
(аи аи + a2j a2i + • ¦ ¦ + anj ani) = kx аь + k2 a2
Въ лЪвой части коэффищентъ при Xj равенъ нулю, когда j =(= it
и равенъ D, когда j = i. Правая часть есть результатъ замены
элементовъ г-аго столбца числами ki, k>,...,kn. Поэтому, ввод»
обозначешя
«12 ' • •
«<*> • •
^„ ««
.п.2 =
«п k\ ¦¦¦аы.
\ ап\К---"п
«И «12 • • •
«21 «22 ''-
««
,-k,,
приведемъ уравнеше B) къ виду Dxi = Di. Мы видимъ такимъ
образомъ, что всякое ptiueHie системы A) будетъ и ръше-
системы
C)
.rj = Д1, Dx2 = D, Dxn =
§§ 50—51 ЛИНЕЙНЫЯ УРАВНЕНШ. 43
50. Правило Крамера. Если D Ф 0, то система C), очевидно,
ВМ*етъ одно и только одно рЪшеше, а именно:
_
(*) л1~ D ' л*- /J' v«~ /Г
Это единственное р-вшеше, которое можетъ иметь система A)г
и мы покажемъ сейчасъ, что система значешй D) действительно
удовлетворяетъ вст>мъ уравнешямъ системы A). Выберемъ любое
йзъ нихъ, напримт>ръ, r-тое. Подставляя въ него на место неизв-Ьст-
ныхъ значешя D), получимъ
¦i-ч- D
1=1 i—\ ./=1
Следовательно,
t=» . у=м
• Д Я» * = D 2 kJ "" аЛ = ? 2/ ki (ei ">i + «й o,-2 + ¦ ¦ • -t- «™ '«,-„) •
•=i ', j j—i
Коэффищентъ при ?y равенъ 0, еслиуфг, и равенъ D, ecnvij=r.
Поэтому правая часть равенства приводится къ kr, и r-тое уравне-
Hie удовлетворяется. Резюмируя сказанное, получаемъ следующее
правило Крамера:
Если определитель системы п линейныхъ уравненШ съ п
неизвестными не равенъ нулю, то система имеетъ одно
и только одно peuieHie. Это ptuieHie состоитъ изъ системы
значен1й, получаемыхъ черезъ последовательную замену
каждаго столбца въ определителе системы столбцомъ из-
вестныхъ членовъ уравнен1й, и разделеше получаемыхъ
такимъ образомъ п определителей на определителя си-
системы •*).
51. Если D = 0, а одинъ, по крайней мере, изъ определи-
определителей D\, Di, ... Dn не равенъ нулю, то невозможно удовлетво-
удовлетворить всемъ уравнешямъ системы C), потому что одно изъ нихъ
приметь видъ 0 • я-,- ф 0. Въ этбмъ случае уравнетя системы A)
несрвместны. Примеромъ можетъ служить система:
х +у + г = 1, .г- + у + 2г = 0, .v +у + 3s = 0.
Она несовместна, потому что соответствующая ей система C) бу-
детъ 0 • д; = 1, 0 -jv == — 1, 0 ¦ л = 0 и, очевидно, не имеетъ реше-
шя, такъ что и данная его не имеетъ. Положимъ, далее, что опре-
определитель D и все определители D\, Dz, ..., Dn одновременно равны
нулю. Тогда система C) удовлетворяется совершенно произволь-
*) При этомъ, для получешя значешя неизвестна™ X; надо заме-
заменить г-тый столбецъ въ D столбцомъ извъттныхъ членовъ уравненШ.
44
I, 2. ЛИНЕЙНЫЯ ФОРМЫ.
51—52
ными значешями неизввстныхъ. Отсюда, однако, еще нельзя заклю-
заключить, что тоже самоё имЪетъ Micro и для системы A). Наприм4ръ,
уравнешя
x+y + s=l, х+у + г = 2, х+у + г = 3,
очевидно, несовместны, а уравнешя C) въ данномъ случай приве-
дутся къ 0 -х = О, 0-у = 0, 0 -z = 0, т. е. къ системъ, вполнв
неопределенной. Это показываетъ, что при D = 0 нельзя утвер-
утверждать эквивалентности системъ A) и C), т. е. нельзя сказать,
что всякое ръшеше одной изъ нихъ есть р-вшеше другой и на-
оборотъ. Полное изслЪдоваше системы A) мы будемъ въ состоят»
произвести посл4 того, какъ докажемъ весьма важную теорему
Руше (Rouche), къ изложент которой теперь и приступимъ.
52. Разсмотримъ бол-fee общдй случай, а именно: систему т
уравнешй съ п неизвестными:
E)
12 2 '
Я11 Х1 + а1» •*¦>
«21 *1
«ml xl + am'lx2 Л Ь ОппХп = kn,
Если всЪ коэффищенты при HeH3BtcTHbixb равны нулю, то, очевидно,
уравнешя будутъ либо неопределенными, когда въ то же время
всЪ известные члены равны нулю, либо несовмЪстными, когда
хотя одинъ изъ поогЬднихъ не равенъ нулю. Этотъ совершенно
исключительный случай, не представляющШ никакого интереса, мы
исключимъ изъ разсмотрЬшя и будемъ всегда предполагать, что не
всЬ ко.эффищенты при неизв^стныхъ во всЪхъ уравнен1яхъ равны
нулю. Кромъ того, можно всегда предположить, что число уравне-
нШ больше числа неизвъхтныхъ, т > п, потому что, въ противномъ
случай, ничто не м^вшаетъ присоединить къ систем^ E) несколько
уравненШ, числомъ болъе п — т, въ которыхъ всъ коэффищенты
при неизвЪстныхъ и всЬ известные члены равны нулю. Тогда си-
система E) заменится системою, очевидно, ей эквивалентною и удо-
удовлетворяющею поставленному выше условто. Имъя въ виду все ска-
сказанное, разсмогримъ теперь матриссу нашей системы
ап я12 ... а1п
и положимъ, что ея рангь (§ 18) равенъ /л < п. Въ ней будетъ
содержаться, по крайней мъръ, одинъ определитель ,«-таго порядка,
не равный нулю (по самому опред"Блен1ю ранга). Этотъ определи-
§§ 52—53 линей ныя уравненш. 4&
тель, или одинъ изъ такихъ, если ихъ будетъ несколько, мы назо-
вемъ главнымъ опред-влителемъ системы. Онъ характеризуется
•гёмъ свойствомъ, что онъ самъ не равенъ нулю, между т4мъ
какъ всъ опредълители высшаго порядка, содержаоиеся въ-
матриссъ системы, равны нулю. Элементами его будутъ коэф-
фищенты при н'вкоторыхъ ц, неизв-встныхъ въ н'вкоторыхъ fi
уравнешяхъ данной системы. Но понятно, что, переставляя, если
нужно, уравнешя системы и буквы х\, Х2,--.,хп, обозначаюищ.
неизвестный, мы можемъ всегда достигнуть того, что неизвъхтныя
и уравнешя, коэффищенты которыхъ будутъ элементами главнаго
определителя, займутъ место первыхъ рь строкъ и первыхъ (л столб-
цовъ. Такая операщя, очевидно, не мЪняетъ системы решенШ дан-
ныхъ уравнешй, а главный определитель приметъ форму
д=\ «21 rt22 • • • «2,u
Введемъ еще следующее обозначеше:
rtll «J2 • • • al,u kl
а.л я22 ... а2ц k,2
Vi ar2 ... am kr
Определители di, d*, ..., ёт называются характеристическими
определителями системы. Заметимъ, что первые /л, изъ нихъ
всегда равны нулю, потому что у нихъ последняя строка тожде-
тождественна съ одною изъ предыдущихъ. Мы вскоре увидимъ, что
услов1е, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнешя дан-
данной системы были совместны, состоитъ въ томъ, что и осталь-
остальные т — ц, характеристическихъ определителей равны нулю. Теперь
мы можемъ формулировать самую теорему.
53. Теорема Руше. Если характеристическ1е определи-
определители системы т линейныхъ уравнен^ съ п неизвестными,
гдъ п < т, не все равны нулю, то уравнен1я несовместны.
Въ противномъ случае система имеетъ одно единственное
peiueHie, когда рангъ матриссы ея равенъ п, и безчисленное
множество решешй, когда рангъ матриссы ея меньше п х)..
Comptes rendus de l'Academie des Sciences de Paris, 1875.
46
I, 2. ЛИНЕЙНЫЯ ФОРМЫ.
§ 53
а) Перенесемъ неизвЪстныя x^+i, д.7,+2, ..., х„ въ правый ча-
части уравнешй и дадимъ этимъ неизвестнымъ произвольный значе-
шя см4-ь Си+2, ..., сп- Данная система приведется тогда къ систе-
системе т уравненШ съ /л неизвестными:
F)
где
G)
ап л\ + а12 х2+
а.п л^ + я^ х2+ ¦¦¦ a,a xfl = k,.
lml xl + a,,A X2 + ¦¦¦ amuXa = Kr
при ц, <С п, и k'r = k,- при fi = п. Прежде всего зам^тимт^, что
система F) имЪетъ тотъ же главный опред-Ьлитель и Tt же
характеристическ1е определители, какъ и система E). Въ
самомъ дълъ, матрисса системы F) не можетъ содержать въ себъ
определителей порядка выше /л (потому что въ ней число столб-
цовъ равно ц)\ между теми же, порядокъ которыхъ равенъ /j,, за-
заключается опредълитель 6, который и можно принять за главный,
такъ какъ онъ не равенъ нулю. Что касается характеристических^
юпред"БЛителей
E,=
«21 "¦>¦>
*;
то, на основан1и извъхтнаго свойства определителей (§ 17) и фор-
формулы G), можно, разложивъ послъдшй столбецъ на слагаемыя, на-
.писать
'11 2
д =(),
¦Определитель, на который зд-fecb умножается cs, очевидно, содер-
содержится въ матриссе E) и обращается въ нуль, потому что его
.порядокъ больше ц. Поэтому д'г = д,-, что и требовалось доказать.
•§ 53 линейныя УРАВНЕН1Я. 47
b) Теперь замьтимъ, что по известной формулв § 25 будемъ
«мъть
•'. з
гдъ г и j получаютъ значетя 1, 2, ... ц. Возьмемъ въ системъ (б)
первыя fi уравнешй и еще одно r-тое, умножимъ последнее на д,
я каждое г тое изъ первыхъ /л на число
- (аг1 ап + я,.2 ai2 -\ Ь я,„ «,¦„) = - ^«rj(lij-
./^^
и сложимъ полученные результаты. Тогда въ правой части, на осно-
ванш формулы (8), получится
Въ лъвой части коэффищентъ при xs будетъ
а это есть результатъ замъны въ д'г чиселъ
*,', kl k\o k'r
числами
какъ показываетъ та же формула (8). Если же сдълаемъ эти замъны
въ написанномъ раньше выраженш д'г въ видъ определителя, то
увидимъ, что результатъ всъхъ нашихъ операщй надъ уравне-
шями F) даетъ равенство
j «U «12 • ¦ • «1,,, "п
S = A, «21 "-2-2 ¦ ¦ ¦ п2а «2»
2Н '¦¦
" = Х V V •¦• ««««да
Определитель, на который здъсь умножается х„, равенъ нулю, по-
потому что послъдшй столбецъ совпадаетъ съ s-тымъ, и последнее
равенство приведется къ равенству
О -.г, ---О • д-., + ¦•¦ +0 • л- = д'г,
*) Такъ какъ д есть алгебраическое дополнеше элемента k'r въ Ь'г, а аг
алгебраическое дополнен1е а^ въ E.
48 I, 2. линейный формы. § 53
которому нельзя удовлетворить, когда E,' ф 0. Следовательно, урав-
нешя нашей системы несовместны, если хотя бы одинъ изъ ха-
рактеристическихъ определителей не равенъ нулю, что и доказы-
ваетъ первую часть теоремы.
с) Если вс% характе ристичесюе определители равны нулю, то
формула (8) даетъ
'• j
А это показываеть, что уравнешю
каковъ бы ни былъ значекъ г, можно удовлетворить, положивъ
Далъе, инымъ способомъ уравнешямъ F) удовлетворить нельзя,
потому что первыя tu уравненШ системы F) представляютъ си-
систему /а, уравненШ съ /л неизвестными и опред%лителемъ д ф 0,
допускающую, какъ извЪстно (§ 50), лишь одно ptuieHie.
d) Изъ всего вышеизложен наго вытекаетъ, что въ томъ случай,
когда вс% характеристическ1е определители обращаются въ нуль,
система E) имЪетъ одно и только одно ptuieHie, если [л, = п, или
безчисленное множество р^шетй, если /и<^п, потому что, въ по-
сл-Ьднемъ случа-fe, всякой произвольно выбранной системе зна-
чен1й r,,-j_i, г,,4-->, ..., с„ неизвестныхъ д>+ь л>+2, . •., х„, соотв%т-
ствуетъ определенная система значен1й неизвестныхъ Xi, x->, ¦¦•,xf,
(а въ первомъ случа-fe, когда /л — п, чиселъ с,,4г\, . ¦., с», очевидно,
не существуетъ). Въ случай /л < ;/ мы будемъ говорить, что си-
система E) допускаетъ ос "-'' (безконечность степени п — ft) решешй
{{п — ^)-fach unendliche), выражая этимъ. что каждое изъ безко-
нечнаго множества значен1й любой изъ и — /J, неизвестныхъ .v,,_^i,
л',,-1-2, •. •, х„ можно комбинировать съ каждымъ изъ безконечнаго
множества значен1й всехъ другихъ и определенною системою зна-
iieHifl остальныхъ неизвестныхъ х\, х», ..., хр-. Мы въ праве такъ
говорить, потому что, какъ сейчасъ покажемъ, всякое решеше
системы E) заключается въ числе техъ, которыя даетъ изложенная,
выше метода. Чтобы это показать, заметимъ, что каково бы ни было-
выбранное по произволу решеше системы E)
1иы можемъ положить r,,+i = с(',+\, f,,-f2 = Ср+->, ¦ ¦., с„ = с'п, а тогда
решен1емъ системы, состоящей изъ [л, первыхъ уравнен1й системы F)
непременно будетъ система значешй
.v, =с[, х., = с'2, ....г,(=- с'а,
§§ 53—54 линейныя уравненШ. 49
иначе упомянутая сейчасъ система /j, уравненШ съ /л неизвестными
имела бы более одного решешя, между тЬмъ какъ ея опред%-
литель д ф О, что невозможно (§ 50). Теорема Руше доказана
вполне.
54. ПрилгЬчашя. а) Вышеизложенныя изследовашя показы-
ваютъ, что если система допускаетъ решешя, то /л уравненШ необхо-
необходимы и достаточны для нахождешя всЬхъ этихъ решенШ, такъ
что рангъ матриссы системы даетъ наименьшее число урав-
HeHifl, къ которымъ можно свести данную систему.
b) Въ случае системы п уравненШ съ п неизвестными за
матриссу системы можно взять ту, которая получится, когда къ
матриссе определителя системы D прибавимъ одну строку элемен-
товъ, равныхъ нулю. Если D Ф 0, то {/л = п) главный определитель
есть D, и Bet характеристическ1е определители, очевидно, равны 0.
Следовательно, имЪемъ одно единственное решеше. Если D = 0,
то главный определитель надо искать между его минорами. Его
порядокъ будетъ всегда меньше п, такъ что въ этомъ случае им%-
етъ место либо несовместность, либо неопределенность. Поэтому
yaioBie 1)ф0 есть не только достаточное, но и необходимое
услов1е единственности решеия системы. Этимъ восполняется про-
белъ, на который было указано въ § 51.
c) Услов!я совместности несколькихъ линейныхъ уравненШ
можно, следуя Капелли 1), высказать просто и изящно. Матрисса
(9)
^21 ^22 ' * " ^2и 2
пт\ пт2 ' ' ' птп &т
содержитъ въ себе д ф 0. Ея рангъ, следовательно, не меньше fi.
Но онъ не можетъ быть больше /л + 1, потому что все опреде-
определители порядка, большаго /и-\-\, содержащееся въ ней, равны нулю.
Действительно, либо это будутъ определители, содержащееся въ
матриссе системы (когда буквы k въ нихъ не входятъ), либо опре-
определители, содержание буквы k; первые равны нулю по условш,
вторые, потому что все дополнешя этихъ элементовъ равны 0 и въ
разложенш ихъ по элементэмъ k все члены обратятся въ нуль. Итакъ,
рангъ матриссы (9) равенъ /л или /t-f- 1. Въ первомъ случае все
определители порядка (л, + 1, содержапйеся въ ней, къ числу кото-
рыхъ принадлежатъ и характеристичесюе определители, обратятся
въ нуль, и уравнешя системы, следовательно, совместны. Во вто-
ромъ случае въ (9) содержится, по крайней мере, одинъ определи-
определитель порядка ii -\- 1, не равный нулю, а такъ-какъ такой определитель
не можетъ содержатся въ матриссе системы (рангъ которой /и), то
Capelli. „Rivista di Matematica" 1892, pag. 54.
50 I, 2. линейныя формы. §§ 54—56
онъ долженъ заключать въ себе буквы k. Въ тоже время допол-
нешя этихъ элементовъ въ немъ не могутъ быть все равны нулю,
иначе самъ определитель обратился бы въ нуль. Поэтому, по край-
крайней Mtpt, одно изъ этихъ дополнешй не будетъ нулемъ, и мы
можемъ его выбрать за главный определитель въ матриссе системы.
А тогда разсматриваемый определитель, не равный нулю, будетъ
характеристическимъ опред-Ьлителемъ, и по теореме Руше, уравнемя
системы несовм%стны. Резюмируя, находимъ, что уравнешя системы
совместны или несовместны, смотря но тому, будетъ-ли рангъ
матриссы (9) /л или ^+1. Иными словами, для совместности системы
линейныхъ уравненШ необходимо и достаточно, чтобы матрисса
системы сохранила свой рангъ, когда къ ней добавимъ
столбецъ известныхъ членовъ уравненШ.
Системы линейныхъ формъ.
55. Между целыми рацюнальными выражешями, зависящими
отъ п перемеииыхъ х\, х%, ...,хп, особаго внимашя заслуживаютъ
однородный, т. е. таюя, въ которыхъ все члены имеютъ одну
и туже степень т относительно х\, х^, ...,хп, или иначе говоря,
где сумма показателейстепеней чиселъ xi, Хг, ...,х„ во всехъ чле-
нахъ одна и та-же. Таюя выражешя называются алгебраическими
формами, линейными при т = 1, квадратичными при т = 2,
кубическими при т = 3, биквадратичными при т = 4, фор-
формами 5-ой, 6-ой и т. д. степени при т = 5, 6 и т. д. Форма лю-
любой степени съ двумя переменными (п = 2) называется бинарною,
съ тремя (п = 3) тройничного *). Въ этой главе мы будемъ зани-
заниматься линейными и квадратичными формами. ОбщШ видъ линейной
формы есть
\-ап хп.
а разложеше ит по степенямъ переменныхъ даетъ простейипй при-
примерь формы m-ой степени. Зам4тимъ, что изъ этого разложешя
можно получить любую форму m-ой степени, умножая каждый
членъ разложешя на произвольные коэффициенты, не зависяице
отъ xi, хъ, ..., хп, и что число членовъ въ самой общей форме т-ой
степени съ п переменными равно числу членовъ въ разложенш т-ой
степени п — членнаго полинома, т. е. числу различныхъ сочетаний
изъ т -f- п — 1 буквъ по т (XIX).
56. Когда дана система, состоящая изъ т линейныхъ формъ
съ п переменными, то важно бываетъ знать, могутъ ли все эти
формы обращаться въ нудь при значешяхъ переменныхъ, не рав-
*) Для формъ съ 4-мя и т. д. переменными, на русскомъ язык* осо-
быхъ терминовъ не употребляютъ.
§S 56—57 системы линейныхъ формъ. 51
ныхъ нулю одновременно. Иными словами, спрашивается: имЪетъ-
ли система линейныхъ однородныхъ уравненШ
«11 Х1 + «12 Х2 + ¦¦¦ + «1„ *•„ = О,
A0) , 1 -Vl + «22 А-2 + ••• + "ы Хп = О'
I ««.1 Х1 + атгХ2 Н 1" атп Хп = 0,
решешя, кроме очевиднаго
A1) х± = 0, x2 = 0, .... *и = 0.
Ясно, что характеристичесюе определители для нашей системы все
равны нулю, потому что послътшй столбецъ каждаго такого опре-
определителя образуется известными членами уравненШ, а эти члены
всъ равны нулю. Теорема Руше учитъ, что случай несовместности
не можетъ встретиться, и это подтверждается темъ, что одно решеше,
а именно A1), существуете Та же теорема учитъ, что если рангь
матриссы системы равенъ п, то возможно только одно решеше, и
тогда оно необходимо совпадаетъ съ A1). Следовательно, необхо-
необходимое и достаточное услов1е, для того, чтобы несколько
линейныхъ однородныхъ формъ могли одновременно обра-
обращаться въ нуль, для значен1й переменныхъ, не равныхъ
нулю одновременно, состоитъ въ томъ, чтобы рангъ ма-
матриссы коэффиилентовъ былъ меньше числа неизвест-
неизвестны хъ.
57. Въ случае т>п, число решенШ системы A0), какъ мы
знаемъ, будетъ оои—^, если /л есть рангъ матриссы. Въ случае т < п
надо къ матриссе системы присоединить более чемъ (п — т) строкъ
нулей, а лотому при разысканш главнаго опеделителя мы можемъ
ограничиться теми in строками, которыя состоять не изъ однихъ
нулей, потому что всяюй определитель со строкою однихъ нулей
равенъ нулю. Такимъ образомъ мы видимъ, что порядокъ глав-
главнаго определителя не можетъ быть больше т, т. е. ц, ^ т и
п — /л^ п — т. Отсюда теорема: Всякая система т линейныхъ
однородныхъ уравнешй съ п неизвестными, при п>т
имеетъ по крайней мере оои^т решен1й. Во всехъ случаяхъ,
чтобы решить систему A0) достаточно, после того какъ будетъ
выбранъ определенный главный определитель системы
д =
«21 Я22 " • ' a2f
решить первыя /и уравненШ системы относительно Х\, Х2, ...,*>•
52 I, 2. линейныя Формы. §§ 57—58
Полагая
«И Я12 ••• «1, г-1 «1J «1, i + 1 ¦¦¦ «1д
Я21 Д22 . . . Я2, ,-_1 «о/ «2, , + 1 • • " «2„,
V ац2 • ' • «и, 1- 1 ««j Ям, i+1 • • • ат
по правилу Крамера получимъ
л-; = - - у > Ч-; •*/> O'=1. 2.3,..., и)
при чемъ можемъ по произволу выбрать значешя каждой изъ неиз-
въттныхъ лгд-j-ii ХцЛ-2, . .., хп. При всякомъ другомъ выбор-fe глав-
наго опредтэлителя о' въ гёхъ-же /л столбцахъ, въ которыхъ содер-
содержится д, получается формула, не отличающаяся отъ предыдущей,
и чтобы это провЪрить, достаточно заметить, что въ силу теоремы,
высказанной въ концЪ § 41, мы имъемъ д 6' = djjjdij. (Прим. XX.)
58. Разсмотримъ теперь въ частности случай п линейныхъ
формъ съ п перем-Ьнными. Если опредътштель D этой системы не
равенъ нулю, то эти формы не могутъ обращаться въ нуль одно-
одновременно при значешяхъ перем-Ьнныхъ, не равныхъ нулю одновре-
одновременно *). Если опред-Ьлитель D = 0 и рангъ его = [Л, то суще-
ствуетъ, какъ было доказано, оо"~ f1 системъ значешй пере&гЬнныхъ,
не равныхъ нулю одновременно и обращающихъ Bet данныя формы
въ нуль. Обращая нЪкоторымъ образомъ эту теорему, можно ска-
сказать, что необходимое и достаточное ycaoeie для того, чтобы рангъ
н%котораго определителя и-го порядка былъ равенъ /л, состоитъ
въ томъ, чтобы между элементами каждой изъ его строкъ (или
каждаго изъ столбцовъ) существовало п — /л линейныхъ однород-
ныхъ соотношешй. Этимъ хотятъ сказать, что возможно найти п — 1л
различныхъ системъ значешй Х1у Яг, ...Я„, для которыхъ
Ai я,-1 -I- Яо а-о А- ¦' • -\- Х„ п ¦ =0
при всякомъ значенш г = 1, 2, ... п.
(См. прим. XXI).
Въ частности имteмъ следующую теорему: Для того, чтобы
н-Ькоторый опред"Ьлитель былъ равенъ нулю, необходимо
и достаточно, чтобы между элементами каждой его строки
(каждаго столбца) существовало одно и тоже линейное одно-
однородное соотношеюе.
(См. примЪчаше (V) къ § 17.)
*) Потому что система линейныхъ однородныхъ уравненМ, получа-
емыхъ отъ приравнивали всЪхъ этихъ формъ нулю, им-Ьетъ тогда един-
единственное рЪшеше: х1 = х, = ••¦ = хп = 0.
§§ 58-60 системы линейныхъ формъ. 53
Изъ нашей теоремы слтэдуетъ, кроме того, что всякШ определи-
тель порядка п и ранга /л, при помощи изв%стныхъ операщй (§ 17),
можетъ быть преобразованъ въ такой, въ которомъ все элементы
въ п — (I параллельныхъ рядахъ будутъ равны нулю. Въ частности
всякШ определитель, равный нулю, можетъ быть преобразованъ въ
другой, въ которомъ всЪ элементы одного (по крайней мере) ряда
равны нулю.
59. Для приложешй особенно интересенъ тотъ случай, когда
D — 0, а по крайней Mtpt одинъ изъ элементовъ взаимного опре-
определителя не равенъ нулю. Если, напримъ'ръ, ацфО, то главный
определитель д = ац будетъ порядка п — 1, и система допускаетъ
оо1 p-ЬшенШ. Чтобы ихъ найти, поступаемъ какъ въ § 57, т. е. пере-
носимъ члены съ х\ въ правую часть и опредЪляемъ остальныя
неизвъ-стныя изъ п — 1 уравненШ. Такимъ образомъ найдемъ, что
= anxi, и, изменяя г, будемъ им%ть
«И «12 «13 а1п
Изв%стныя свойства определителя д^лаютъ полученный результатъ
очевиднымъ. Случай п — 1 однородныхъ уравнен1й съ п неизвест-
неизвестными приводится къ разсмотр-Ьнному присоединен1емъ къ данной
системе одного уравнешя съ нулевыми коеффищентами.
60. Примеры, а) Система
а1х 4- Ьху + с1г=0, а2х -\- Ь2у + C2s — 0, пъх -\- Ьъу -\- css = 0
только тогда имеетъ решетя, кроме очевидного x=y=z = Q,
когда
а2 Ь2 с2
= 0.
При выполнен1и этого услов1я система имеетъ безконечное число
решенШ, определяемыхъ формулами
Ь2 С$ — ig C2 Cg Яд — Csj Я2 По Ь% Яд Ь2
въ томъ предположен1и, что не все знаменатели равны нулю. Такъ
напримеръ, система
д-_)_у + « = 0) х +у + Is = 0, х +у + bz = 0
имеетъ безчисленное множество решешй (с»о1), определяемыхъ фор-
формулами х = Я, у = — Я, s = 0, где Я можно изменять отъ — оо
ДО + ОО .
54
I, 2. ЛИНЕЙНЫЯ ФОРМЫ.
60-62
b) Принимая во внимаше последнее зам%чаже § 59, находимъ
для ptmeHifl системы
c\z
a.,x
b2y
bsy
dxt = 0,
d2t = 0,
формулы
у
Со do
с1
a., bo
«3
! «3
rf,
«3
Никакихъ другихъ ptmeHifl система не имЪетъ, если предположимъ,
что по крайней Mtpt одинъ изъ знаменателей не равенъ нулю.
61. Говорятъ, что между формами Ui, u%, ... ит существуетъ
линейная зависимость, если возможно найти таюя числа Х\, Х2, ... Я»,,
которыя не равны нулю одновременно и для которыхъ выражеше
Mih + Х2и2 -\- ¦¦¦ -\- Хтит обращается въ нуль тождественно (т. е.
независимо отъ значешй переменныхъ х\, Хг, ...,х„, отъ которыхъ
зависятъ иь u2,...Um). Если такого соотношешя между формами
не существуетъ, то формы называются линейно независимыми.
Установивъ это определеше, положимъ, что формы и\, щ, ...,ит
изображаютъ левыя части уравнен1й A0). Вслёдсте произвольности
значен1й переменныхъ xi, хг, ¦ ¦., хп, предполагаемыхъ независимыми,
уравнеше
?лщ-\ Кп",и = 0
разбивается на п уравненШ, а именно:
к «11 + к «21 Н Ь >-т «ш1 = 0,
к «12 + к «22 Н Ь '-т ат1 = ° •
Чтобы нельзя было удовлетворить этимъ уравнешямъ значен1ями
Х\, Яг, ... Хт, не равными нулю одновременно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы рангъ матриссы системы былъ равенъ т (§ 56).
Итакъ, им%емъ теорему: Для того, чтобы т линейныхъ формъ
съ п перем%нными были независимы, необходимо и доста-
достаточно, чтобы рангъ ихъ матриссы былъ равенъ т. Какъ
частный случай отсюда вытекаетъ, что ycnoeie, необходимое и до-
достаточное для независимости п линейныхъ формъ съ п переменными,
состоитъ въ томъ, чтобы опред%литель ихъ не былъ равенъ нулю.
62. Если т > и, то рангъ матриссы непременно меньше т,
потому что онъ не можетъ быть больше п. Отсюда следуетъ,
62-63
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХЪ ФОРМЪ.
55
что не можетъ существовать больше, чъмъ п независимыхъ
формъ отъ п перемЪнныхъ. Такъ напримЪръ, формы ах-{-by
и а'х-\-Ь'у независимы при аЬ'фа'Ь, но невозможно найти
еще третью форму а"'х + Ъ"у, независимую отъ первыхъ двухъ.
Действительно, каковы бы ни были а" и Ь" всегда им-Ьетъ место
тождество
(а'Ъ" - Ъ'а") (ах + by) + (ba" - ab") (а'х + b'y)
+ (ab' - ba') (a"x + b"y) = 0.
Во всякомъ случае наименьшее число формъ, къ которому
приводится данная система линейныхъ формъ, равно рангу
ихъ матриссы, т. е. если /л есть рангъ матриссы, то т — /и, формъ
могутъ быть выражены черезъ остальныя /л, которыя одна отъ дру-
другой не зависятъ. Къ тому же заключешю приводитъ следующее
зам-Ьчаше. Если перем%ннымъ х\, х%, ..., хт дадимъ произвольный
значен1я, не равныя нулю одновременно, и вычислимъ соотв^тству-
юшдя имъ значен1я tii, и->, ... и,„, то уравнен1я
и( = пп хх + а/о х2 ¦
(г = 1, 2, ... т).
определяющая эти формы, можно разсматривать, какъ систему со-
вместныхъ уравнен$й, для которой поэтому все характеристичесме
определители должны быть равны нулю. Поэтому всегда имеемъ
«И «12--- "l« "l
а„. п.,., ... а.,„ и„
п пи
"ftZ • ¦ • "fill "«
"ri ¦ ¦ ¦ а,;а "г
и на основанш § 25 и 53, с) находимъ
1
(г = iW 4- 1, ,(t + 2 т)
ч%мъ и доказывается вышесказанное.
63. Теперь мы можемъ доказать одну теорему, которая облег-
чаетъ опред-влеше ранга данной матриссы. Допустимъ, что найденъ
такой определитель д ф 0 порядка /л, что Bet определители по-
порядка (л, + 1, содержашдеся въ матриссЬ и содержащ1е въ себе б,
равны нулю, такъ что
«И «12 • • • «1„ аП
а21 а,,2 ... a.2jl n2s
= 0,
56 I, 2. линейныя формы. §§ 63—64
при всЬхъ возможныхъ значешяхъ г и s. Разлагая этотъ опред%-
литель по элементамъ последняго столбца и разделяя на д, полу-
чимъ равенство
въ которомъ Ai, Я2, ... Я„ отъ 5 не зависятъ. А это показываетъ,
что формы
иг = аг1х1 + аг2л;2Н V агпхп (г == ц + 1, ^ + 2, ..., т)
выражаются линейно черезъ щ, И2,...,иц (У'ке независимыя одна
отъ другой, потому что 6 ф 0). Поэтому рангъ матриссы
«И «12 • • • аЫ |
«21 «22 ¦¦¦ а2п\
«ml «m2 •• • атп\
какъ разъ равенъ /л. Итакъ, чтобы можно было утверждать,
что рангъ матриссы равенъ /j,, достаточно найти въ ней
одинъ такой опредтзлитель порядка /л, не равный нулю, что
Bet опредтзлители порядка /л -f- 1, его въ ce6t содержащ1е,
равны нулю. Отсюда, какъ частный случай, вытекаетъ такая теорема:
Если не вс% опред%лители, содержащ1еся въ какихъ нибудь т — 1
столбцахъ написанной выше матриссы, равны нулю, а вс-Ь старине
опред-Ьлители, содержащ1е въ ce6t тЪ же столбцы, равны нулю,
то и всяк1й другой старцпй опред%литель равенъ нулю.
Линейныя преобразовашя. Щ
64. Представимъ себЪ, что въ одной или въ нътколькихъ
алгебраическихъ формахъ съ п переменными xi, Хг, ...,хп> числа
х, (г = 1, 2, ..., п) замтэняются следующими выражен1ями
A2)
Данныя формы превращаются тогда въ такое же число формъ съ
переменнымиу\,у%, .. .,у„. Операшя,изображаемая уравнешями A2),
переводящая данныя формы въ новыя, называется линейнымъ пре-
образован!емъ. Модулемъ преобразовашя называютъ опреде-
литель
§§ 64-66
ЛИНЕЙНЫЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
57
*11
knl
*12
*22
Кг
¦¦¦hn
•••*2»
НИ
к =
который надо предполагать не равнымъ нулю, иначе между перем-Ьн-
ными Х\у х2,---,х„ установилось бы линейное соотношеше (§ 61),
и он% не были-бы независимыми переменными. Если К = 1, то
преобразоваше называютъ унимодулярнымъ.
65. Чтобы возвратиться отъ преобразованныхъ формъ къ пер-
воначальнымъ, нужно къ преобразованнымъ формамъ прим-Ьнить
некоторое другое линейное преобразоваше, которое называется
обратиымъ относительно перваго. Формулы обратнаго преобразо-
вашя очевидно получатся, если р-Ьшимъ уравнен1я B2) относительно
чиселъ у. Если Ху есть алгебраическое дополнеше элемента kiS
въ К Ф 0, то правило Крамера даетъ
A3)
= У.12
х21 дга
^ Х2
х„
Хп
КУп = ХЫ Х1
Х2
Модуль обратнаго преобразован1я есть (§ 37)
2
1
66. Если примЪнимъ преобразоваше A2) къ систем-fe формъ
ал хг + яй а-2 + • • • + аы хп , (г = 1, 2, ...,»),
то эта система преобразуется въ систему
ЬгхУх + Ьг2У2 +-+ ЬЫУп, (i = 1, 2, . . ., я),
гд% числа ? весьма просто связаны съ числами а. А именно, если
мы прим-Бнимъ преобразоваше A2) къ г'-ой формЪ первой системы,
то эта форма преобразуется въ
Л Л
H
Поэтому, отбирая коэффициенты при у}-, найдемъ
bij = «il Kj + «й kZj +¦¦¦+",» kni-
58
I, 2. линейный формы.
§§ 66—68
По правилу умножешя определителей тотчасъ видимъ, что
bn b12... bln
Ь21 Ь22 . . . Ь2п
Ьш\ Ь,,2 ¦ ¦ ¦ Ьпп
I
b b />
I 2 22 " ' ' S;2
|
i k\n k2n ¦ ¦ ¦ k,m
т. е.: Опред"Ьлитель системы формъ, полученной черезъ ли-
линейное преобразован1е данной системы линейныхъ формъ,
равенъ опред"Ьлителю первоначальной системы, умножен-
умноженному на модуль преобразован1я.
67. ПослЪдовательное npnMtHeHie н%сколькихъ линейныхъ пре-
образован1й равносильно прим%нен1ю одного такого преобразовашя,
модуль котораго равенъ произведен^ модулей всЬхъ дан-
ныхъ преоб разован1й. При доказательств^ этого предложешя мы
можемъ, конечно, ограничиться случаемъ двухъ посл-Ьдовательныхъ
преобрязован!й
Хг = kil У У
+ ¦ ¦ ¦ + k тУп - У{ = k'il «1 + */2 S2 -
Результатъ последовательнаго применешя этихъ двухъ преобразо-
ван1й, очевидно, равносиленъ преобразованш, определяемому фор-
формулами, дающими выражешя переменныхъ х непосредственно черезъ
переменныя z. Разсматривая х\, х%, ...,хп, какъ систему линейныхъ
формъ отъ ylt у2, ..., у„, имеющую определитель К, и обозначая
черезъ К' модуль второго преобразовашя, на основан1и преды-
предыдущего § тотчасъ находимъ, что КК' есть определитель новой
системы формъ, т. е. модуль преобразоващя, равносильнаго двумъ
даннымъ.
68. Ортогональныя преобразовашя. Между линейными пре-
образовашями особенно важное значен1е имеютъ ортогональныя.
Они оставляютъ безъ изменешя сумму квадратовъ переменныхъ.
Чтобы преобразован1е A2) было ортогонально, необходимо, сле-
следовательно, чтобы тождественно удовлетворялось равенство
A4I >~ ~
т. е. въ выраженш
+
коэффищентъ при у? долженъ быть 1, а коэффишентъ при y,yj,
где г Ф/, долженъ быть 0. Разлагая квадраты по степенямъ буквъ_у,
находимъ, что
1 при г =У
A5) ku кг] + k2i kSJ+--- + km knj =
j 0 при
§§ 68-71
ЛИНЕЙНЫЯ ПРЕОБРАЗОВАНЫ.
59
Обратно, если услов1я A5) выполнены, то и тождество A4) выпол-
выполняется, и преобразоваше будетъ ортогонально.
69. Определитель называется ортогональнымъ, если имъ
можно воспользоваться въ качестве модуля ортогональнаго преобра-
зовашя, для чего необходимо и достаточно, чтобы между его эле-
элементами kij существовали соотношешя A5). ВсякШ ортогональный
определитель равенъ + 1. Действительно, въ силу соотноше-
нШ A5), квадратъ его
1 0 ... О
О 1 ...О
О 0 ... 1
= 1,
откуда К— + 1. Преобразоваше съ модулемъ ^называется право-
правовращающим ъ при К = -f- 1, и л%вовращающимъ при К = — 1.
70. Всяк1й ортогональный определитель характери-
характеризуется тЪмъ, что каждый его элементъ равенъ своему алге-
алгебраическому дополнен1ю, взятому притомъ съ обратнымъ
знакомъ, когда определитель равенъ—1.
Въ самомъ деле, давая въ формулахъ A5) числу г значежя
1, 2, 3,...,и, получимъ
*12
*, ¦
Решая эту систему относительно kij, k2j, . ¦., knj по правилу Кра-
Крамера, находимъ
Kkt. = 0 • ха + 0 • хя + •¦• + 1 • xtj + •¦• + 0 • у.ы = хи,
откуда и следуетъ сказанное. Обратно, если
A6) Kkti = y.i} ,
то левая часть въ формуле A5) будетъ
она равна 0 при г Фу', и 1 при г = /. Уравнен1я A5) удовлетво-
удовлетворяются и определитель ортогоналенъ.
71. Более обще, каждый миноръ ортогональнаго определи-
определителя равенъ соответствующему алгебраическому дополнешю, и при-
60
I, 2. линейныя формы.
71—73
томъ съ обратнымъ знакомь, если опред-Ьлитель равенъ — 1. Д-Ьйстви-
тельно, разсмотримъ въ опред-Ьлител-Ь, взаимномъ съ К, какой нибудь
миноръ v-ro порядка. На основанш формулы A6) онъ равенъ
соответствующему минору Kv въ К, умноженному на К1'. Съ дру-
другой стороны (§ 38), мы знаемъ, что тотъ-же миноръ равенъ алге-
алгебраическому дополненш Kv, умноженному на Kv~1; раздт>ляя полу-
полученное равенство на К1 1, находимъ, что алгебраическое допол-
нен1е минора Kv равно KKV, что и требовалось доказать.
72. Чтобы н%которое преобразован1е было ортого-
нальнымъ, необходимо и достаточно, чтобы модуль его, по
зам-feHt въ немъ столбцовъ строками, совпалъ съ модулемъ
обратнаго преобразован1я. Въ самомъ д-Ьлъ-, если преобразо-
ваше A2) ортогонально, то, внося въ формулы A3) выражешя xij
изъ формулъ A6), тотчасъ увидимъ, что упомянутое услов1е небхо-
димо. Обратно, если формулы
У г = ku -г'1 + hi хъ + hi *
Л h kinyn
^ Ь k«i хп
при г'=1, 2, 3, ... п изображаютъ два обратныхъ преобразовашя,
то изъ нихъ слЪдуетъ тотчасъ и соотношен1е A6), а сл-Ьдовательно,
оба преобразован1я ортогональны.
73. Построеше ортогональныхъ преобразованш. Элементы
ортогональнаго определителя п-го порядка, число которыхъ равно п2,
должны удовлетворять услов1ямъ A5). Число посл%днихъ равно
п -\- \п\п — 1) = \п{п + 1), а именно п гЬхъ, у которыхъ правая
часть равна 1 и ^п(п — 1) гЬхъ, гд^ правая часть равна нулю.
Отсюда сл-Ьдуетъ, что мы можемъ дать произвольныя значешя
п2 — \п{п-\- 1) = \п(п — 1) элементамъ, и тогда, вообще говоря,
остальные \п{п + 1) элементовъ, удовлетворяйте такому же числу
услов1й, уже определятся. Вмъхто того, чтобы приписывать произ-
произвольныя значешя \п(п-\-\) элементамъ, можно поставить себе
задачу выразить Bet я2 элементовъ черезъ \п(п — 1) нроизволь-.
ныхъ величинъ. Эта задача р%шена Кейли (Cayley) съ помощью
весьма изящной методы, которую мы и изложимъ. Пусть
А =
а21 «22 ...
«1 "n2 • • • "»n
будетъ псевдосимметричесюй опредЪлитель, котораго главные эле-
элементы всЪ равны 1, такъ что
A7)
ац = - я., при г фУ и аи = 1 ,
73—74
ЛИНЕЙНЫЯ ПРЕ0БРА30ВАН1Я.
61
Въ определитель1 А произвольны только элементы, лежащде по одну
сторону главной д1агонали, число ихъ равно \п{п — 1), и мы ихъ
можемъ выбрать за величины, въ которыхъ надо выразить вс-Ь и2
элементовъ модуля К. Разсмотримъ преобразовашя, опредъчяяемыя
формулами
xi = аг1 zl + ai2 S2 + ai3 Z3 ^ 1" ain zn'
Уь = a\i z\ + a2i Z2 + "з/ ^з + ' ¦ • + anisn,
для i = 1, 2, 3, ..., п. Складывая эти формулы и принимая во
внимаше равенства A7), находимъ
A8) xt+yi = 2su
Преобразован1я, обратныя предыдущимъ двумъ, выражаются фор-
формулами
A=i = ПН Х1 + «2,- -Г2 + "Зг Л'3 Н Ь ClniXn,
которыя, въ силу A8), приводятся къ слъ\дующимъ
2 ,2 II \ 2
2 \ 2
3"«»- Чл-н У-д
А это показываетъ, что (§ 72) преобразоваше, въ которомъ общее
выражение элемента модуля есть
(IS)
¦Jau- l при г =7
2 . . .
-j-я,.- при гф;,
будетъ ортогональны мъ.
74. Построенное такимь образомъ преобразован1е
всегда правовращающее. Въ самомъ дЪл"Б, модуль его
2\«
ап — \
- i А . . . «,„
• • • а„„ — ¦
Произведен!е ^4 на опред-Ьлитель, стоящ1й въ правой части, есть
опред"Блитель, въ которомъ общее выражение элемента им%етъ слъ-
дующ1й видъ:
ai2aj2 +¦¦¦+ atj (ajj - | A)
ainajn,
62
I, 2. ЛИНЕЙНЫЯ ФОРМЫ.
74-75
т. е.
Первый членъ въ правой части этого равенства равенъ нулю при
у, и равенъ А, при г =/. Следовательно,
сц = - i ^««7 = * ^ЯУ«- при г =1г->
Следовательно, всегда с^ = ^Аац, (аа = 1), откуда слЪдуетъ, что
2\»
... iAan
i Ааы i Aa2n ¦ ¦ ¦ i Aann
Припоминая, что А никогда не можетъ быть нулемъ (§ 47), мы
и находимъ, что К = 1.
75. ПрилгЬръ. Для построешя самаго общаго ортого-
нальнаго определителя 3-го порядка заметимъ прежде всего,
что взаимный определитель определителя
1 г -q
-у 1 р
q -/> 1
будетъ
r + pq -q+pr
— г + qp 1 + q2 p + qr
q + rP — P + rq l -\- r2
Съ помощью формулы A9) тотчасъ находимъ, что искомый опре-
определитель будетъ
. +р2-д*-г2 2 (г + pq) 2{-q+pr)
2 ( — г + qp) 1 — f- + q2 — г2 2 (р + qr)
Обозначая черезъ a, ft, у три числа, удовлетворяюийя равенству
о2 + Р2 + 72 = 1 > всегда можемъ положить
= atgy> ^ = ,3tgy- »" = У tg — -
§ 75 ЛИН ЕЙНЫЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. 63
Тогда предыдущШ определитель представится въ более простомъ
виде
cose + a? A — cos#) 7 sin § + аЗA -cos#) — /?sin# +ay A — cos#)
8a(l-cos#) cos-fl + jS2 A-cos#) a sin # + ,?-/ A - cos#)
— cos*) - asin # + y/? A - cos#) cos#+y2 A—
Отсюда сл%дуетъ, что самое общее ортогональное преобразоваше
тройничной формы определяется формулами
f х' = х cos & + (уу — Зг) sin д + в A — cos d) (ax + .Яу + у г),
B0) \ у' =у cos * + (fts - уд;) sin г? + Д A - cos •&) (ах + Зу + yz),
[ z' = z cos & + (?.г- — ay) sin # + у A — cos #) (ax + ;?)' + ys)
известными въ Аналитической Геометр1и подъ именемъ „формулъ
Эйлера" 1). Такъ какъ, очевидно, ах'-\-$у'-\-yz' —ax-\-($y-\-yz,
э это преобразоваше оставляетъ безъ изменен1я выражен1я xi-\-y2-\-zi
ах + fty + yz, а следовательно, и выражен1е g2 = х2 + у1 + z1 —
- (ах -t- ?у + узJ = (yjv — /9йгJ + (as — 7л:J + (fix — ajvJ. Раз-
сматривая а, {}, у какъ косинусы угловъ, образуемыхъ некоторымъ
направлен1емъ съ тремя осями прямоугольной системы координатъ,
а х, у, z, какъ Декартовы координаты некоторой точки М, мы
видимъ, что точка _М, при переходе въ другую точку М' съ ко-
координатами х', у', z'', вращается около прямой, проходящей черезъ
начало координатъ и определямой направлешемъ (а, /9, у), всегда
оставаясь въ разстоянш, равномъ q, отъ этой прямой. Направлеше
общаго къ этой прямой и прямой О-М перпендикуляра определяется
косинусами
у у — Зг аг ух ?х ау
Q Q ' Q
а потому косинусъ угла, на который должна повернуться точка М
около прямой, чтобы попасть въ М', равенъ частному отъ
делешя B9) произведешя матриссъ
а ,3 у I a i? у
1 = х* + уу'+ гг'- {ах + ру + yz?
х у z
х' у г'
на q2, т. е. cos#. Итакъ, формулы B0) обозначаютъ враще-
Hie на уголъ # около прямой, проходящей черезъ начало
координатъ въ направлеши (а, /?, у). (Примеч. XXII.)
!) ОнЪ вновь были найдены Родригомъ (Rodrigues) T. V. Journal
Jiouville (p. 405).
64
I, 3. КВАДРАТИЧНЫЯ ФОРМЫ.
§§ 76-77
КВЛДРДТИЧНЫЯ ФОРМЫ.
Основныя понят1я изъ теорш квадратичныхъ
формъ.
76. Въ приложешяхъ Алгебры особенно важное значеше
ютъ квадратичныя формы E5) съ п переменными:
U = ап х\ + а22 х\ + я33 х\ + • ¦ • + апп х\
+ 2а12 хх х2 + 2я13 хх дг3 + 2я23 х2 х3 -\
Для сокращешя принято писать
причемъ подразумевается, что указатели г и J, одинъ независимо
отъ другого, принимаютъ Bet значешя (ц-клыя) отъ 1 до п.
Симметричесий определитель
а
... а1
11 2 " ¦ • "In
я21 а22 ... a2n
a_, «„„ ... «„_
где Oij = aji, называется дискриминантномъ формы U, а квадра-
квадратичная форма
и з
дискриминантъ которой есть определитель взаимный съ определи-
телемъ А, называется формою взаимною съ U.
77. Съ изучемемъ квадратичной формы U находится въ тес-
тесной связи разсмотреше системы линейныхъ формъ, определитель
которой равенъ дискриминанту формы, а именно:
A)
м2 = а21х1 + я22дг2 + ••¦ + а2пхп,
Прежде всего замечаемъ, что имеемъ равенство
B) U=Ulxx + u2x2+---+unxn.
Это даетъ для U выражеше, симметричное относительно буквъ х и и.
§§ 77—78 первоначальныя понята о квадратичныхъ формахъ.
65
Примемъ теперь за новыя переменныя числа иг, и2, ¦••, и„, пред-
предполагая, что они независимы. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство А ф 0 (§ 61). Если введемъ эти
новыя переменныя въ выражеше U, то эта форма перейдетъ въ
взаимную съ нею (разделенную на А). Действительно, прилагая
правило Крамера къ рЪшешю системы A) относительно перемЪн-
ныхъ х, найдемъ систему уравнешй
(Iе)
Ах1 = ап их
Ах2 = а12 иг
««2 ««•
Подставляя эти выражешя въ равенство B), получимъ
C)
U = -a
78. Къ тому же результату можно придти иначе. Услов1е со-
совместности уравнетй A) и B), съ неизвестными Х{, требуетъ,
чтобы
а21 2 • • ¦ «2» М2
««1 "я2
= 0.
Отсюда (§ 17) получимъ для f/ выражен1е
«11 «12 • • • «In «1
Я21 а»2 ¦ ¦ ¦ a-in ,
«1 «2 • ¦ • Un ° I
которое (§ 25) не отличается отъ выражешя C). Если, аналогично
этому, выразимъ услов1я совместности уравнен1й Aа) и B), съ
неизвестными и\, ио,...,и„, то можно будетъ написать
U = - ¦
«И «12 • • ¦ «1» Х1
«21 «22 • • ¦ «2» Х2
ап
Хп
| х1 х2 ... хп О
Полезно удержать оба выражешя для U.
(См. прим. XXIII).
66
I, 3. квадратичный формы.
§ 79
79. Само по себъ1 понятно, что всякую квадратичную форму
можно выразить въ произвольно болыиомъ числЪ перем-Ьнныхъ;
стоитъ только заменить каждую изъ перемЪнныхъ, въ которыхъ
форма первоначально выражена, линейною формою новыхъ пере-
м-Ьнныхъ, число которыхъ больше числа первоначальныхъ. Обратно,
весьма важно имъть возможность узнать, можетъ ли данная форма
быть приведена къ формъ1 съ меньшимъ числомъ перемЪнныхъ.
Допустимъ, что въ квадратичной формЪ
U
п перемЪнныхъ х могутъ быть линейно сгруппированы такъ, что-
чтобы для U получилось выражеше, зависящее отъ т новыхъ пере-
перемен ныхъ
Пусть
У1 = *21 х\
k12 х2-\ 1- kl
Л V Кп Хп>
Ут =
U з
будетъ это новое выражеше формы U. Представляя ce6t, что въ
него подставлены выражешя jy-овъ черезъ х, и сравнивая результатъ
съ первоначальнымъ выражешемъ U, получаемъ
D)
rat
E)
i, 3
j=l
Уравнеше D) показываетъ, что дискриминантъ А равенъ произве-
дешю матриссъ
ъ ъ k
2 «12 • • " и
F)
11
21
ml
с12..
о22--
Ст2-
¦ сы
¦ С2п
. С
тп
ъ ъ ъ
Ъ Ъ Ъ
Kml Rm1 • ¦ ¦ ктп
составленному по столбцамъ. Если т < и, то это произведете
равно нулю (§ 29). Итакъ, если квадратичная форма можетъ быть
приведена къ форм-fe съ меньшимъ числомъ перемЪнныхъ, то ея
дискриминантъ равенъ нулю. Мы увидимъ BCKopt, что обратно, если
дискриминантъ формы обращается въ нуль, то форма будетъ при-
79-81 первоначальный поняла о квацратичныхъ формахъ.
67
водима, и поэтому можно будетъ высказать такую теорему: Для
того, чтобы квадратичная форма была неприводима необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ея дискриминантъ не былъ ра-
равенъ нулю.
80. Если т = п, то А = С К *), и уравнеше E) показы-
ваетъ, что и С = ВК. СлЪдовательно, А—В К2, т. е. квадра-
квадратичная форма, полученная линейнымъ преобразован1емъ
данной формы им-Ьетъ дискриминантъ, равный дискрими-
дискриминанту данной формы, умноженному на квадратъ модуля
преобразовашя.
81. Рангъ дискриминанта квадратичной формы равенъ
наименьшему числу перемЪнныхъ, къ которому можетъ
быть приведена данная форма. На основанш замЪчашя, сд-Ьлан-
наго въ концЪ § 43, всегда можно предположить, что за главный
опредътштель въ А взятъ одинъ изъ главныхъ миноровъ порядка fi
(fi — рангъ А). Пусть
' *П Я12 ¦ • ¦ %
J21 Й22 " • • a4i,
будетъ этотъ опред%литель. Совмъхтность уравнен1й A) и B) тре-
буетъ, чтобы (§ 53)
' «11 «12-•• Я1,« «1
«21 «22 • ¦ • аЩь «2
= 0.
\х\ ,и2 ' " ' \Ц1
'С1 «2 • • ' И„
Отсюда, по формул% § 25, находимъ
U
>, з
rflt uij алгебраическое дополнеше atj въ д. Такимъ образомъ мы
видимъ, что въ д"Ьйствительности U приводится къ квадратичной
формЪ съ ц, лишь перем%нными, которыя уже независимы, такъ-
какъ д ф 0 **). Такъ какъ дискриминантъ новой формы равенъ (§ 37)
—-— = д"—2 и также не равенъ 0, то дальнейшее приведете къ мень-
*) Понятно, что С и К обозначаютъ определители съ элементами,
соответственно равными с{- и ki-.
**) Такимъ образомъ доказано то предложете, о которомъ было упо-
упомянуто въ § 79.
5*
68 I, 3. квадратичный формы. §§ 81-83
шему числу перемтэнныхъ невозможно (§ 79). Последнее утверждеше
можно еще доказать слъ\дующимъ образомъ. Всямй миноръ v-таго
порядка въ А равенъ произведен^ двухъ атриссъ (§ 31), которыя
получаются выборомъ нъкоторыхъ v столбцовъ изъ матриссъ F).
Пока v > т, произведете такихъ двухъ матриссъ, по теорем-fe Бине,
равно нулю. Следовательно, Bet миноры порядка v > т въ А бу-
лутъ равны нулю и потому его рангъ рьШ т, т. е. т 1> /л, иными
словами, невозможно привести квадратичную форму къ меньшему,
чъ-мъ /л, числу перемтзнныхъ.
82. Для неприводимыхъ квадратичныхъ формъ показано было
въ §§ 77 и 78 возможность перехода отъ данныхъ формъ къ
взаимнымъ. Легко видъть, что подобный переходъ невозможенъ для
формъ приводимыхъ. Прежде всего замЪтимъ, что при /г < п — 1,
взаимныхъ формъ не существуетъ вовсе, потому что ect миноры a,j,
будучи порядка п — 1 > /л, обратятся въ нуль (по опредтзлемю
чсила /л). Если же /л = п — 1, то взаимная форма существуетъ, но
рангъ ея дискриминанта равенъ 1 (§ 36). Следовательно, эта вза-
взаимная форма приведется (§ 81) къ одному квадрату линейной
формы. Иными словами, взаимная форма отъ данной при-
приводимой квадратичной формы, если существуетъ, есть
квадратъ линейной формы. Это можно доказать и непосред-
непосредственно. Прежде всего замътимъ, что по крайней мъръ одинь изъ
главныхъ элементовъ а„ взаимнаго определителя долженъ быть
отличенъ отъ нуля, иначе ect его элементы (§ 45) были бы равны
нулю. Заттзмъ можемъ написать
<V V = 2j arr Uij Xi Xj = ? "ir Urj Xi Xj <§
i, J «, J
ИЛИ
Инвар1антныя свойства.
83. Инвар1анты. Положимъ, что а, Ь, с,... обозначаютъ
коэффишенты некоторой алгебраической формы степени т, и
а', Ь', с',... аналогичные имъ коэффишенты формы, получаемой
изъ данной при помощи нъ-котораго линейнаго преобразовашя **)
*) Надо помнить, что при n(J. = а^ и a{j = ayl- (§ 43).
**) Коэффишенты я и я' называютъ аналогичными, если они стоять
передъ членами, соответствующими другъ другу въ данной и преобразован-
преобразованной формт> такъ, что если въ данной формт> былъ членъ a.VjXj, то въ пре-
преобразованной будетъ членъ а'у\у1у
§§ 83—84 ИНВАР1АНТНЫЯ свойства. 69
Положимъ, что каково бы ни было это преобразование всегда
мЪсто соотношен1е
G) ср (я', V, с', ...) = К1' <р (а, Ь, с, ...),
гдтз К модуль преобразовашя. Въ такомъ случай выражеме (р на-
называется инвар1антомъ данной формы. Если р = О, то между
коэффищентами данной и коэффициентами новой формы суще-
ствуетъ соотношеше, независящее отъ сделаннаго преобразования,
и инвар1антъ называется тогда абсолютным^.. Въ такомъ случат»,
вообще говоря, невозможно данную форму преобразовать въ дру-
другую тоже напередъ заданную, потому что новые коэффициенты
не могуть быть заданы произвольно, а должны удовлетворять ра-
равенству
(8) <р{а', Ь', с', ...) = <г(я, Ъ, с, ...).
84. Принявъ во внимаше вышесказанное, легко решить во-
прось: существуютъ ли формы ж-ой степени съ п пере-
переменными, не имЪюшдя абсолютныхъ инвар1антовъ? Если въ
форме и-ой степени имеется v коэффищентовъ, то легко видъть,
что, вообще говоря, можно найти такое линейное преобразоваше,
которое переведетъ данную форму въ другую произвольно задан-
заданную, если число коэффищентовъ преобразовашя, т. е. п2, не меньше
числа условШ, которымъ надо удовлетворить, т. е. v; эти услрв1я
мы получаемъ, выражая, что коэффищенты преобразованной формы
равны заданнымъ a priori числамъ а', Ь', с', ... Припоминая ска-
сказанное въ § 55 о числтз коэффищентовъ въ формтз m-ой степени
съ п переменными, находимъ, что, если не имЪютъ м-Ьста соотно-
шен1я вида (8), то должно быть
и + 1 п + 2 п + 3 п + т - 1 < п
2 " ' ~3 4 т =
Замтзтимъ теперь, что произведен1е первыхъ двухъ множителей въ
лт=вой части
гд-fe подъ п подразумевается целое число, большее единицы. Такъ
какъ все сл-Ьдующ!е множители больше 1, то написанное неравен-
неравенство не можетъ удовлетворяться при т > 3. Следовательно, т = 2
или т = 3. Въ первомъ случай п произвольно, во второмъ п обя-
обязательно должно быть = 2 *). Итакъ, соотношешя (8) не могутъ
существовать для квадратичныхъ и для бинарныхъ кубиче-
скихъ формъ. Эти формы не имеютъ абсолютныхъ инвар)антовъ.
Для всехъ другихъ формъ будемъ иметь v > п2 и v — и2 равно
числу ихъ абсолютныхъ инвар1антовъ. Напримеръ, бинарная форма
*) Иначе п -\- % (п — 1) (я — 2) > п.
70 I, 3. квадратичныя формы. §§ 84—87
m-oPi степени, при яи>3, им-Ьетъ т—Ъ абсолютный инвар1анты, трой-
тройничная форма той же степени им-Ьетъ ихъ \(т-\-1) (т + 2) — 9 и т. д.
85. Форма, не им-Ьющая абсолютнаго инвар1анта, не
можетъ им%ть бол-fee одного обыкновеннаго инвар1анта.
Въ самомъ дълъ, допустимъ, что форма им-Ьетъ два инвар1анта
д> и ip, переходящее при линейномъ преобразовали въ <рКр и \pKq,
тогда выражеше (p^^—v переходило бы въ (<рКГУ>{\рKq)~v = (рччр—?
и было бы абсолютнымъ инвар1антомъ разсматриваемой формы, что
противно предположена.
86. Квадратичная форма им-Ьетъ только одинъ инва-
р1антъ, а именно дискриминантъ формы. Въ § 80 уже было
доказано, что дискриминантъ есть инвар1антъ. Другого же не можетъ
существовать потому что квадратичная форма (§ 85) не им%етъ
абсолютнаго инвар1анта (§ 84).
87. На томъ же основанш бинарная квадратичная форма
аохъ 4- За1А'2у + За2ху2 + %У8
не можетъ им-Ьть бoлte одного инвар1анта. Этотъ единственный
инвар!антъ есть
4(я0а2 - а\) (а^д - Яд) -- (я0я8 - axa2f,
какъ впосл-Ьдств1и будетъ показано. Впрочемъ, непосредственное
вычислеше безъ особаго труда покажетъ, что приведенное выше
выражеше при линейномъ преобразованш пр1обр^таетъ только мно-
множитель К6. Биквадратичная форма
аох* + 4a1#3_y + 6а2х2у2 + Ааъху'А
им-Ьетъ, кром-Ь инвар1анта
переходящаго при линейномъ преобразованш съ модулемъ К въ АГ4/,
еще инвар1антъ
/ =
«о а\ ач
я2 я3 я4
я2 - я0
переходящ1й въ KeJ *). Поэтому единственный абсолютный инва-
р1антъ (§ 85) этой формы будетъ /3 : J2.
*) Все это будетъ доказано въ книг* V, §§ 482, 483.
§ 88
ИНВАР1АНТНЫЯ СВОЙСТВА.
71
88. Вместо одной формы можно разсматривать систему формъ
и определять инвар1антъ системы такъ же, какъ и раньше (§ 83),
представляя себе, что онъ выраженъ въ коэффищентахъ всъхъ формъ
данной системы. Такъ напримъръ, определитель системы п линей-
ныхъ формъ съ п переменными есть инвар1антъ системы, потому
что онъ удовлетворяетъ условш G) при р = 1 (§ 66). Если извъстенъ
инвар1антъ одной формы, то легко получить изъ нея инвар1антъ си-
системы подобныхъ ей формъ *). Мы ограничимся случаемъ двухъ
квадратичныхъ формъ, но обращаемъ внимаше на то, что излага-
излагаемая ниже метода применима къ любому числу формъ. Положимъ,
что некоторое линейное преобразоваше переводитъ формы
соответственно въ формы
Sa'tj*r*j. Zb'ij*i*j- **)
Ясно, что то же самое преобразоваше переводитъ форму
при чемъ Я обозначаете совершенно произвольное число. Обозначая
черезъ К модуль преобразовашя и припоминая, что дискриминантъ
формы (§ 80) есть ея инвар1антъ, будемъ иметь
«iH
4н
я»1-
- ;Al
f
ai2 + Ab,
я22 + Aij
2 ••• Я1„ Ч
2 ' • • «2» H
,2 •¦• «Lh
" A*2n
/
«11 +
«21 +
«„1 +
Я611 я12 -
A6nl «и2^
НЯ612 •
h^22 •
fAAl2
•¦ «1»
¦• «2n
+
+
+
Xblr
'¦K
Каждая часть этого равенства можетъ быть представлена въ виде
полинома, расположеннаго по степенямъ Я (§ 17). Напримеръ, ле-
левую часть можно представить въ виде
Обозначая черезъ (p'v то выражеше, въ которое обращается <pv, когда
*) Т. е. формъ той же степени съ гЬмъ же числомъ перемЪнныхъ.
**) Новыя перем^ннын, после преобразован1я, обозначаютъ теми же
буквами, какъ и старыя.
72
I, 3. квадратичный формы.
В—89
въ немъ замтэнимъ коэффициенты первоначальныхъ формъ коэф-
фишентами преобразо ванныхъ, будемъ иметь
<р'о + Яд>1 + ¦ ¦ ¦ + Г<р'п = К2 (<р0 + X<p1+---+ 1п<р„),
каково-бы ни было значеше Я. Поэтому
<p'v=K2<pv, (, = 0, 1, 2, ..., я),
следовательно, дс0, gpi, ..., д?„ будутъ инвар1анты системы. ЗамЪ-
тимъ, что (jPo = ^4, д)„ = В, гдъ А и В определители съ элемен-
элементами uij и й,/ соответственно. Новыми инвар1антами будутъ только
(pi, <р2, ..., <р№ — 1- Выражеше (р\, наприм-Ьръ, будетъ
bn й12 . . . aln
*21 «22 • • • «2«
«11 «12 ' • ¦
«21 «22 • ¦ • Ь2п
««1 «»2 ¦ • ' Ьпп
и т. д. Замтзтимъ еще, что каждое изъ <pt можно разсматривать,
какъ частный инвар1антъ одной изъ формъ, а именно, какъ инва-
р1антъ при гакихъ линейныхъ преобразовашяхъ, который не мЪ-
няютъ другой.
89. Ортогональные инвар1анты. Если потребуемъ, чтобы
<р{а, Ъ, с, ...) былъ инвар1антомъ не для всевозможныхъ линей-
ныхъ преобразованШ, а лишь для ортогональныхъ (§ 68) то полу-
чимъ такъ называемые ортогональные инвар1анты, число которыхъ,
очевидно, больше, ч^мъ число разсмотртзнныхъ выше общихъ инва-
р1антовъ. Такъ, квадратичная форма съ п переменными, кроме дискри-
дискриминанта, имеетъ еще п — \ ортогональныхъ инвар1антовъ, разыска-
шемъ которыхъ мы сейчасъ и займемся. На основанш замечан1я,
сделаннаго въ конце предыдущего §, всяшй инвар1антъ системы,
состоящей изъ формы U и формы х\ -\-х\ + ¦•• + х\ (не меняю-
меняющейся при ортогональномъ преобразовали) будетъ ортогональнымъ
инвар{антомъ U. На основанш того, что изложено въ томъ же §, все
коэффициенты (jp0, (jPi, (pi, . .., cpn-i (фп = 1) при различныхъ сте-
пеняхъ Я въ разложенш определителя
будутъ ортогональными инвар1антами формы U. Раньше, а именно
въ § 27, г, было найдено, что <pv есть сумма всехъ главныхъ мино-
ровъ V-&TO порядка въ определителе А. Поэтому имеемъ теорему:
§§ 89-91
КАноническгя выраженш формъ.
73
сумма всЪхъ главныхъ миноровъ одного и того же порядка
въ дискриминант^ квадратичной формы есть ортогональный
инвар!антъ этой формы.
90. Примеры для упражнешя. а) Найти ортогональные инвар1анты
тройничной квадратичной формы
ах2 -j- by'1 + cz2 -f- 2/ys + 2gsx -f- 2hxy.
Дискриминантъ
\ a h g
h b f ' = abc + Ifgh a/2 - bg2 - eh2
g f с .
им-Ьетъ сл-Ьдуюш.1е главные миноры, кром-fe а, Ь, с,
f
/
= be
g
a h
h b
= ab - Ifi.
Следовательно, ортогональные инвар1анты будутъ
а + b + с, be + са + ab - /2 - g* - IP.
(и, конечно, дискриминантъ).
Ь) Найти инвар1антъ системы двухъ тройничныхъ квадратичныхъ
формъ. Пусть данныя формы будутъ вышенаписанная (въ а) и следующая
а'х2 + b'y* + c'z2 + If'yz + Ig'zx + Ih'xy.
Искомый инвар1антъ будетъ
\а' hi
h' b j
g' f
или, въ раскрытомъ видъ,
bca' + cab' + abc' — (a'f1 + b'g2 + c'lP)
+ 2 (ghf + hfg' +fgh') - 2 (aff + bgg' + chh').
a'
h'
g'
h
b
J
g
f
с
+
a
h
g
h'
b'
f
g
f
с
+
a
h
g
h
b
f
g'
f
c'
Каноничесюя выражен1я формъ.
91. Когда какая нибудь форма съ помощью линейнаго пре-
образован1я приведена къ наипростейшему изъ всЬхъ видовъ, въ
которыхъ она можетъ быть представлена, то говорятъ, что она при-
приведена къ каноническому виду. Впрочемъ, выборъ наипростЬй-
шаго, т. е. каноническаго вида есть до известной степени д-Ьло
соглашешя, хотя и не вполнЪ произволенъ. Такъ напримЪръ, би-
бинарная кубическая форма
«.г3 + ЗЬх2у + Зсху2 + dx*
можетъ быть приведена при помощи линейнаго преобразовашя къ
74 I, 3. квадратичный формы. §§ 91—92
виду х3 -\- у3. Для этого надо положить х — ах'-\- fty', у = ух' -\- ду'
и определить четыре коэффициента а, /?, у, 6 такъ, чтобы четыре
коэффищента преобразованной формы были равны соотв-Ьтствующимъ
коэффищентамъ въ х3-\-у3. Эту форму и можно принять за кано-
каноническое выражеше данной формы. Напротивъ того, выражеше
х3 -\-у3 + z3 нельзя принять за каноническое выражеше тройничной
кубической формы, потому что число величинъ, которыми можно
распорядиться (коэффнщентовъ линейнаго лреобразовашя), здесь
равно 9, а число условгё, которымъ надо удовлетворить равно числу
коэффищентовъ формы т. е. 10. На этомъ основанш вводятъ еще
десятое неопределенное k и принимаютъ
за каноническое выражен1е формы. Сл%дуетъ, однако, им^ть всегда
въ виду, что подобнаго рода приведешя могутъ въ частныхъ
случаяхъ и неудаваться. Такъ наприм-Ьръ, существуютъ бинарныя
кубичесшя формы, которыя не приводятся къ виду х3-\-у3, но
могутъ быть приведены къ виду ху2.
92. За каноническое выражеше квадратичной формы прини-
принимаютъ
гд-fe а( (г = 1, 2,... и) величины постоянныя, а уг— линейныя
функцш первоначальныхъ перем1энныхъ. Приведен!е квадратичной
формы къ указанному виду возможно не однимъ, а безчисленнымъ
множествомъ линейныхъ преобразованШ, потому что w2 коэффищен-
коэффищентовъ искомаго преобразовашя
+ ki2y2 Н Ь klH уп;
+ ^22^2 Н + Кп Уп,
A0)
должны удовлетворять всего \п(п—1) услов1ямъ. Действительно,
чтобы привести U къ виду (9) съ помощью преобразован1я A0)
нужно определить элементы 1щ такъ, чтобы въ преобразованной
квадратичной форме было a,j = 0 при г Фу" '*)¦ Но преобразован1е
будетъ вполне определеннымъ, если потребуемъ, чтобы оно было
ортогональнымъ. Оно должно тогда удовлетворятъ \п{п + 1)
услов1ямъ ортогональности (§ 73) и еще \п{п - 1) услов1ямъ, для
того, чтобы преобразованная форма была вида (9). Общее число
условШ будетъ
п(п — 1
*) А число такихъ аг- очевидно есть —
92-93
КАН0НИЧЕСК1Я ВЫРАЖЕН1Я ФОРМЪ.
75
т. е. равно числу неопредъленныхъ элементовъ ktj. Опредълешемъ
ихъ изъ указанныхъ условШ мы и займемся.
93. Представимъ ce6t, что мы переходимъ отъ формы (9) къ
первоначальной, при помощи преобразовашя обратнаго искомому A0);
это обратное преобразоваше, въ силу требуемой ортогональности
искомого определится формулами (§ 72)
У\ = hi х\ + hi Х2 4 h *„1 ха,
Уч. = hi xi + hi хч -\ Ь к,л хп>
Уп = Кп Х1 + k2n X2-i Ь knn Xn ,
форма (9) обратится въ
U = У ar (kir х, + k2r x2 + ¦ ¦ ¦ + kHr XJ.
Отождествляя это выражен1е U съ первоначальнымъ, получимъ
т. е. полагая j = 1, 2, ..., п,
ai\
««2
ain
= a^k
= aik
l *ii "
1*21"
k
h a2
\-a2
\-a2
*a
*12H
*»2H
" ••¦ + «» *!ll
-- + «»**»
1"",,*,-»
*ln>
*»»
Разсматривая
Крамера получимъ
, ..., ankin какъ неизв^стныя, по правилу
Kajkij=
(гд-fe x/j- алгебраическое дополнен)е k,j въ А'). Отсюда, на основанш
изв-Ьстныхъ свойствъ (формула A6) § 70), сл^дуетъ
,2 k2j
+ ain knj.
Полагая зд-Ьсь i= 1, 2, ...,n, получаемъ систему
(«U - «j) *ij + «12 k2j + ¦ ¦ ¦ + «1„ *nj = 0,
«21 klj + («22 - aj) k2j + • ¦ • + «2n *nj = 0.
«„1 k\j +
«»2 k2j
(«„„ - «;) *H; = 0,
которую можно разсматривать, какъ систему п линейныхъ однород-
ныхъ ypaBHeHift съ п неизвестными. Для того, чтобы ей удовле-
76
I, 3. квадратичный формы.
§§ 93 95
творяли значешя k\j, kij,...,knj, не равныя нулю одновременно,
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы
A2)
a,.
n22
обращался въ нуль. Следовательно, а1( а2, ..., а„ будутъ корнями
уравнешя
«и — х а.„ ¦¦¦ а,
A3)
-11
«21
'12 ¦" "In
а.,2 - х ¦¦¦ а.,п
а.,
= 0
и имЪютъ поэтому всегда вещественныя значеьпя (§ 33, d). Къ по
cлtднeмy результату, впрочемъ, легко придти непосредственно, разсма-
тривая форму U — а(х\ -\~ х\ + ••• + д^), которая преобразуется въ
t - а)у\ + (п., - а)
(г.в - а)
и поэтому для а = a,i, а^,...,ап приводится къ меньшему числу
перем-енныхъ. Отсюда слЪдуетъ, что (§ 79) ея дискриминантъ обра-
обращается въ нуль для этихъ значешй а.
94. Теперь уже легко определить элементы искомиго ортого-
нальнаго преобразовашя съ помощью системы A1), въ которой
числа a.j уже можно разсматривать, какъ извЪстныя. Взявъ ту си-
систему A1), которая соотвЪтствуетъ данному значешю J, мы знаемъ,
что неизвъттныя пропорщональны алгебраическимъ дополнешямъ эле-
ментовъ одного ряда (§ 59) или корнямъ квадратнымъ изъ алге-
браическихъ дополненШ главныхъ элементовъ (§ 45), принимая во
внимаше, что определитель системы симметричесюй. Обозначая че-
резъ uij алгебраическое дополнеще элемента аи — cij въ определи-
определителе A2), для каждаго значения j будемъ имъть
k,.- К, К; 1
-nj
такъ какъ ti\. + k\j
•• -\-k\.=\ (§ 70). Следовательно,
95. Замечая, что дискриминантъ формы (9) равенъ a^a-i ... ап
и потому не равенъ нулю, если ни одно изъ чиселъ а не равно
нулю, мы видимъ, что всякое каноническое выражеше формы само
по себе неприводимо. Изложенная въ предыдущихъ двухъ §§ ме-
§§ 95 96 КАН0НИЧЕСК1Я ВЫРАЖЕН1Я ФОРМЪ. 77
тода имЪетъ то преимущество, что она применима и къ приводи-
мымъ формамъ и даетъ при этомъ приведете формы къ наимень-
наименьшему числу перемЪнныхъ. Действительно, уравнеше A3) можно
представить (§ 26, i) въ вид-fc
А - хпп_1 + х2 ап_., - ¦¦¦ + хп~\ х -v" = О,
обозначая черезъ av сумму всЬхъ главныхъ миноровъ въ А по-
порядка v. Bet эти миноры, порядокъ которыхъ больше ранга /л опре-
определителя А, обратятся въ нуль. Поэтому, если форма приводима,
то последнее уравнеше приведется къ
Это уравнеше имЪетъ п — /л корней, равныхъ нулю, и въ канони-
ческомъ выраженш (9) останутся только /л членовъ, такъ что ква-
квадратичная форма будетъ приведена къ наименьшему числу пере-
мънныхъ (§ 81).
96. Изложимъ еще одинъ интересный способъ приведешя
квадратичной формы къ каноническому виду, исходя изъ того
замЪчашя, что преобразоваше
Ун = Хп
заключаетъ въ ce6t, какъ разъ столько неопред'Ьленныхъ вели-
чинъ kij, сколько услов1й, которымъ надо удовлетворить, а имен-
именно ^п(п — 1). Положимъ xv4rl = 0, лт„^_2 = 0, ... хп = 0. Это
обозначаетъ, что число перем-Ьнныхъ въ данной форм-fe уменьшено
до v\ съ другой стороны ясно, что преобразоваше A4), если въ
немъ зам-Ьнимъ п на v, будетъ именно то, которое переводитъ
форму &^у\ + avyl + ••• + avy2v въ первоначальную форму съ v
перемънными, х\, хъ, ..., xv потому что yv+\, yv+2, •••,JVn обра-
обращаются въ 0 вмътт-fe съ соответствующими числами х. Дискрими-
нантъ последней формы равенъ aia% ... av, дискриминантъ той, въ
которую она переходитъ, равенъ
«rl aV> ¦¦¦ av
а преобразоваше A4), очевидно, унимодулярное (§ 64) *).
*) Потому что въ опредЪлител'Ь К, ей соответствующем!), главные эле-
элементы = 1, а всЬ элементы по одну сторону д1агонали = 0, откуда А" = 1.
78 I, 3. квадратичныя формы. §§ 96—97
Поэтому (§ 80) имеемъ
откуда, въ предположен^, что определители Аи А->, ..., Ан = А
не равны нулю, находимъ
__ А _А^ _ As _ A
12 ~,i — ^
Итакъ, мы видимъ, что квадратичная форма приводится къ кано-
каноническому виду
А1 А./ ^п—\
где Av им^ютъ значешя A5). Практически это приведете делается
следующимъ манеромъ: изолируютъ одну изъ перемЬнныхъ, вы-
выделяя выражеше, равное квадрату линейной формы (и приводятъ
форму къ сумме одного квадрата и формы съ числомъ перемен-
ныхъ на единицу меньшимъ первоначальнаго, съ которою посту-
паютъ такимъ же образомъ и т. д.). Напримеръ, если а\\ не равенъ 0,
то тотчасъ видимъ, что въ anU члены, содержащее х\, входятъ въ
составъ квадрата формы au^i + 012^2 + «13^3 + •¦• -\-а\пхп- Сле-
Следовательно, полагая
= х J-a±'x +-^лг 4
GП - ап
получимъ U = у\ -(- U\ где U' квадратичная форма съ (и— 1)
переменными х2, х3, ..., хп. Предполагая, что апа22 — сг^ не равно 0,
можемъ такимъ же путемъ изолировать х2. Полагая
„ I 11 =3 12 13 _ , __И 24 12___14 .. | _ _ _
находимъ ^7' = агу\ + t/''> гд-fe U" = а3д| + ••• и т. д. Чтобы
такимъ путемъ получить выражеше (9), нужно, какъ видно, разсма-
тривать перемтэнныя х\, х%, ..., хп въ изв-Ьстномъ порядкЪ, съ т-Ьмъ,
чтобы въ ряд+, чиселъ Ах, Аъ, Аз, At, ... не было нулей. Это,
однако, не всегда возможно.
97. Законъ инерцш. Мы уже заметили (§ 92), что квадра-
квадратичную форму можно привести къ каноническому виду безчислен-
нымъ множествомъ преобразовали, распоряжаясь лишними \п{п-\-1)
элементами преобразовашя по нашему произволу. Но замечательно,
что всевозможный различныя каноничесюя изображешя одной и той-
же формы обладаютъ однимъ весьма важнымъ общимъ свойствомъ,
указаннымъ Сильвестеромъ (Sylwester). Мы говоримъ о такъ
называемомъ законе инерцш квадратичныхъ формъ. Положимъ,
что cti, а.2,...,а„ и fii, @2, ...,ftn обозначаютъ коэффищенты въ
§§ 97 — 98 КАН0НИЧЕСК1Я ВЫРАЖЕН1Я ФОРМЪ. 79
двухъ различныхъ каноническихъ выражешяхъ одной и той же фор-
формы, такъ что
A7) aixl + a24+ ¦¦¦ + anx2n
для всевозможныхъ значешй чиселъ х или у. Примемъ числа
Х\, Х2, • ¦ ¦, хп за независимый перемънныя, тогда yi, y-i, .. .,уп бу-
дутъ линейныя выражещя относительно чиселъ х. Положимъ, что
въ одной части равенства A7) имъется /л, а въ другой v отрица-
тельныхъ коэффишентовъ, и допустимъ, что /л < v. Дадимъ тЬмъ /л
перемЪннымъ х, квадраты которыхъ въ лъвой части имъютъ отри-
отрицательные коэффищенты, значешя, равныя нулю. Въ лъвой части
останется п — /л перемънныхъ х, которыми можно распорядиться
такъ, чтобы въ правой части исчезли всъ числа у, передъ квадра-
квадратами которыхъ коэффищенты положительны. Въ самомъ дълъ, число
такихъ jy-въ равно п — v и п — v < и — /л, при v > /л, а потому
(§ 57) требуемымъ услов1ямъ можно удовлетворить безчисленнымъ
множествомъ способовъ. При /г > v, мы могли бы такимъ же пу-
темъ уничтожить положительные члены въ лъвой и отрицательные
въ правой части равенства A7). Итакъ, при ц ф v существовало
бы безчисленное множество системъ значешй перемънныхъ, для
которыхъ равенство A7) обращалось бы въ невозможное равенство
между существенно положительнымъ и существенно отрицательнымъ
числами. Поэтому должно быть /л = v. Иными словами: во всъхъ
различныхъ каноническихъ выражен1яхъ одной и той же
квадратичной формы число членовъ съ опредЪленнымъ
знакомъ + или —, одно и то же. При этомъ, конечно, под-
разумъвается, что коэффищенты формы и коэффищенты преобра-
зованШ числа вещественныя.
98. Изъ закона инерщи прямо вытекаетъ, что для опред%-
лен1я числа квадратовъ съ опредъленнымъ знакомъ въ канониче-
каноническихъ выражешяхъ данной квадратичной формы достаточно замътить
знаки при квадратахъ въ какомъ либо одномъ изъ этихъ выражетй,
напримъръ въ A6). Числа av имт^ютъ очевидно знакъ -(- или —,
смотря потому, будутъ-ли _Av-\ и Av одинаковыхъ или против-
ныхъ знаковъ *). Отсюда слъдуетъ, что число отрицательныхъ
членовъ въ каждомъ каноническомъ выраженж квадра-.
тичной формы равно числу перемънъ знаковъ въ ряд%
1, Ai, Л2, . •., Лп-1, А. При этомъ существенно предполагается,
что ни одинъ изъ членовъ этого ряда не равенъ нулю. Мы пока-
жемъ, однако, ограничиваясь предположещемъ, что при Av = О,
сосъдше члены Av—\ и Av+\ не равны нулю, что высказанный выше
*) Въ первомъ случа-fe говорятъ, что Avl и Av представляютъ по-
постоянство, а во второмъ перемену знака.
80 I, 3. квадратичный формы. § 98
результатъ остается справедливымъ и въ послЪднемъ случа-fc, подъ
услов1емъ, что при счете перемене знака, Av выкидывается.
Прежде всего докажемъ, что, при Av = 0, Av^x и Av+l будутъ
непременно числа разныхъ знаковъ. Действительно, если Av = 0,
то формула § 25 дастъ
Умножая o6ti части равенства на А,„-х = iiw и пользуясь форму-
формулами § 36, получимъ
l- ajvaj,
или
«11 «12 ¦•¦ Я1,„-1 «1,-H-l
I "vl uv2 ¦•¦ "v,v-l uv,v+l |
откуда и следуетъ сказанное (см. XXIV). Теперь разсмотримъ вместо
формы U другую форму U', которую получимъ, если изъ глав-
ныхъ элементов* дискриминанта формы U вычтемъ одно и то же
число а. Если представимъ себе, что обе формы U и U' приве-
приведены къ каноническому виду, по способу § 93, то найдемъ для U'
выражеше
U' - (^ - а)у\ + (п2 -а)у\ + --- + (ап - а) у2п.
Число а можно выбрать достаточно малымъ по абсолютной вели-
величине для того, чтобы соответствуюiuie члены въ каноническихъ
выражешяхъ обеихъ формъ имели одинаковые знаки. Достаточно
взять за а число, лежащее между наибольшимъ отрицательнымъ
и наименыпимъ положительнымъ корнемъ уравнен1я A3). Поэтому
на основанш закона инерщи можно, при счете отрицательныхъ
членовъ въ каноническихъ выражешяхъ, заменить форму U фор-
формой U'. Далее, такъ какъ вычиташе изъ главныхъ элементовъ
дискриминанты формы U произвольно малого по абсолютной вели-
величине числа а, произведутъ въ А\, А<г,..., изменен1я, которыя
также будутъ сколь угодно малыми (XXV), то легко видеть, что
при достаточно маломъ а2, те изъ названныхъ членовъ ряда, кото-
которые не были нулями, сохранятъ свои знаки, а тотъ членъ, который
былъ нулемъ можно будетъ сделать не равнымъ нулю. Поэтому,
если Av~i, Av, Av+i изменятся въ A'v—i, A'v и A'v+i то A'v—i
и Al+i будутъ числа разныхъ знаковъ, и одна перемена зна-
знаковъ, представляемая парою Av^-i и А*+1, дастъ также одну пе-
перемену A'v—\, A'v, A'v+i, каковъ бы ни былъ знакъ числа A'v
§ 99 КАН0НИЧЕСК1Я ВЫРАЖЕШЯ ФОРМЪ. 81
99. Примеры, а) Если я и ab — h2 не равны нулю, то пр1емомъ,
изложеннымъ въ § 96, можно привести квадратичную форму
U = ах2 + by2 + cz2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy
къ нижеследующему (каноническому) виду
тт I , h , S Y2 , ab-h2 I , a/ gh \2
U = а[х + -у +^-г ) -\ (у + -4—%тг «
\ aJ а ) а \ аЪ — А2 /
4- 2/?й - а/2 - bg2 - с/г2 2
Это тождество теряетъ смыслъ, когда я, 6, с или 6, с, ,§-, h одновременно
будутъ нулями, и съ помощью того же npieMa § 96 нельзя найти какое-
нибудь другое аналогичное тождество взам-Ьнъ предыдущаго. Въ этихъ
случаяхъ надо прибегнуть къ npieMy § 93, который всегда приведетъ
КЪ ЦТ)ЛИ.
Ь) Такъ напримъфъ, квадратичная форма U = yz + zx + xy приво-
приводится къ виду
U= i(x +у + zf - \(х -у? -^(х +у - 2zf.
Къ этой форм-b ир1емъ § 96 не применимъ, потому что въ ряде
1, Ах = О, А2 = - \, А = \
есть одинъ членъ, равный нулю. Но такъ какъ неисчезаюице члены имеютъ
знаки + — + и даютъ две перемены знака, то можно быть увереннымъ,
что въ любомъ каноническомъ выражеши данной формы будетъ два отри-
цательныхъ члена. Проверить это можно, взявъ вместо U форму
U' = U-a(x2+y2 + z2),
каноническое выражеше которой при — ^ < а < 1 будетъ иметь столько-
же отрицательныхъ членовъ, сколько ихъ имеется въ каноническомъ выра-
жети U. Действительно, пр1емъ § 93 дастъ
U' = Ц^ (х + у + zf - Ц^ (х -уJ - Ц^ (х + у- 2zf.
Второй пр1емъ (§ 96) дастъ
и мы видимъ, что достаточно взять а < ?, чтобы въ ряде
1, А[ = - а, А'г = -¦ J: + а2, А' = A - а) (? + а)°-
неисчезающ1е члены имели те же знаки, как1е они имели для U, а исче-
зающШ получаетъ знакъ, не имеющШ вл1ян!я на счетъ переменъ знака,
потому что знаки + + — первыхъ трехъ членовъ представляютъ всегда
одну перемену знака. Заметимъ наконецъ, что при а = \- А'2 = 0, но
знаки неисчезающихъ членовъ + — + опять представляютъ две пере-
перемены знака.
с) Возвратимся теперь къ общей тройничной квадратичной формъ
примера а), и применимъ къ ней критерШ § 98. Если хоть одинъ изъ коэф-
82
I, 3. квадратичный формы.
99-100
фищентовъ я, Ь, с не равенъ нулю, то всегда можемъ предположить, что,
наприм-връ, а > 0. Тогда данная форма приведется къ виду X2 -f- У2 - Z2,
если ея дискриминантъ А отрицателенъ, а если дискриминантъ положителенъ,
то къ виду X2 + У2 + Z2, когда аЪ > № и къ виду X2 — У2 — Z2, когда
аЬ < Л2. Зам-втимъ еще, что въ случа-в А >0 ab — № и ас — g2 будутъ
числа одинаковыхъ знаковъ, какъ видно изъ тождества
Лп = {аЬ h2)(ac - g2) (a/ - ghJ.
Поэтому, если а Ь — h- > 0, то Ь и с тоже больше 0, какъ и а. Если, наконецъ,
Bet три числа а, Ь, с равны нулю, то квадратичная форма приведется къ
виду X2 — Y2 Z2 или къ виду А'2 + Y2 — Z2 смотря потому, будетъ ли
А > 0 или < 0 *).
100. Въ приложешяхъ часто приходится им^бть д-Ьло съ су-
существенно положительными квадратичными формами. ОнЪ обла-
даютъ свойствомъ принимать только положительныя значешя при
любыхъ значеьпяхъ перемЪнныхъ, не равныхъ нулю одновременно.
Каноническое выражеше такой формы не можетъ въ себ-fe заклю-
заключать отрицательныхъ квадратовъ. Иначе, приравнивая нулю т-fe пере
мЪнныя, которыхъ квадраты положительны, получили бы для формы
отрицательныя значешя. Поэтому необходимо, чтобы определи-
определители Ах, Ач,...,А были всЪ положительны; этого и достаточно,
по формулЪ A6), чтобы форма им'Ьла всегда одни лишь положи-
положительныя значешя. Всл'Ьдств!е этого мы можемъ высказать сле-
следующую весьма важную теорему:
Для того, чтобы неприводимая квадратичная форма
ап х\ + а2., х7,
.„п л-'?, + 2сг12 л\ х., + 2av, xl .г.. + 2<72,. .г2 х-л -(-
была существенно положительна, необходимы и достаточны
слъ'дуюшля услов1я:
au > 0, an al2 > 0,
.„ a.,.,
"п
ап
> 0.
Для того, чтобы форма была, напротивъ того, существенно отрица-
отрицательна, необходимо и достаточно, чтобы тЪ же определители были
попеременно положительны и отрицательны, начиная съ перваго Яц,
который долженъ быть отрицательнымъ. Надо, однако, заметить, что
благодаря пробъчнамъ, оставшимся въ § 98, можетъ возникнуть
сомнете въ справедливости сделанныхъ выше заключешй въ техъ
случаяхъ, когда въ ряде Ai, A>, ... встретятся члены, равные нулю.
Но легко прямо доказать, что въ такихъ случаяхъ квадратичная
форма не можетъ всегда сохранять одинъ и тотъ же знакъ. Если
*) Болышя буквы Л", Y, Z обозначаютъ линейныя функцш отъ х,у, s.
§§ 100-101
КАНОНИЧЕСК1Я ВЫРАЖЕН1Я ФОРМЪ.
83
положимъ, что яц = 0, то форму U можно представить въ виде
U = axi + /?> ГД* а и ft отъ х\ не зависятъ. Выбравъ кашя нибудь
значешя остальныхъ перемтэнныхъ, не обращаюиия только а въ
нуль, очевидно можемъ зат-Ьмъ распорядиться числомъ хг такъ,
чтобы U получило любое значеше, положительное или отрица-
отрицательное. Далее, если ап не равно нулю, a Av первый исчезающей
членъ въ ряд-fe А\, Ач, ..., то замтэтимъ, что при Av—i Ф 0, всегда
можно дать числамъ xi, х%, . ¦., xv—i значешя, отличаюицяся отъ ху
лишь постоянными множителями, чтобы было
"а •*-! + ",-2-VH ^aivxv = Q (« = 1, 2, 3, .... г.)
Обозначая, следовательно, черезъ $ совокупность тъхъ членовъ
въ U, которые не содержатъ въ себъ первыхъ v перемънныхъ,
будемъ им^Ьть
U = .
(я,-, „+i xv
ain xn)xit
откуда U = «.vv + [i,
2
где положено
'12 •• 'h,v I rtl,H-l"V
'22 ¦•• "-2,v - 1 «2,г + 1-Г
П,Л ",-2 ¦¦¦ av.v-l
Какъ видимъ, и а зависитъ только отъ x^j, х*+2 ,.-•¦, хп • При-
давъ этимъ переменнымъ любыя значешя, не обращающая а въ О,
всегда можно дать числу xv такое положительное или отрицательное
значеше, достаточно большое по абсолютной величине, чтобы U
получило по желашю положительное или отрицательное значеше.
Остается устранить еще одно сомнеше, а именно: не можетъ ли а
тождественно обратиться въ нуль? Но тогда мы имели бы
аи ai2 ... я1р „__-,
я21 я22 ... a2v л
= 0
при i=v, v -\- 1, ..., п. Следовательно, (§ 63) всъ миноры опре-
определителя А, содержащееся въ первыхъ v строкахъ его, были бы
равны нулю, а тогда и А было бы равно нулю (§ 22), вопреки
предположена, что U форма неприводимая; следовательно, а тожде-
тождественно нулемъ быть не можетъ (XXVI).
101. Теперь мы оставимъ на время квадратичныя формы и
заключимъ эту первую книгу некоторыми указашями, касающи-
6*
84
I, 3. квадратичный формы.
§ 101
мися приведешя бинарныхъ формъ вообще къ канониче-
каноническому виду. Предложимъ себе преобразовать форму
A8) аох ~т ~гa\x
въ сумму т-хъ степеней
.09) a1(x+k1y)m +
kry)m
при чемъ число г этихъ степеней должно быть по возможности
малымъ. Отождествляя выражешя A8) и A9) получимъ т +1
условныхъ уравненШ, а число входящихъ въ A9) неопредЪленныхъ
величинъ (а и k), которыми можно располагать, равно 2г. Чтобы ихъ
можно было определить согласно требуемымъ услов1ямъ, вообще не-
необходимо, чтобы 2г было^т+1, и потому за г надо брать наимень-
наименьшее ц^лое число, котораго не превосходитъ r—^L. При т — 2п — 2,
г = п и у насъ будетъ 2и — 1 условШ и 2и неизвъстныхъ. Отсюда
сл-Ьдуетъ, что въ случай бинарныхъ формъ четнаго порядка, можно
безчисленнымъ множествомъ способовъ привести такую форму къ
виду A9). Напротивъ того, если т = 2п— 1, то г = п и имъемъ 2п
условШ съ 2и неизвестными. Положимъ, что
¦ У
= ах (х
Отождествляя, находимъ
B0)
«2*2
ап (х + kny f
*2я—1
Разсмотримъ гЬ п-\-1 уравненШ, которыя сл^дуютъ за г-тымъ, и припо-
мнимъ, что эти уравнешя, содержащ1я п неизвестныхъ а.\, 0.%, ..., а„,
только тогда совместны, когда
1 1 ... 1
«,-+1
= 0
ИЛИ
«i+i + «2 «<+2 + •¦• +х»вЦ-» = °| (г' = °- 1,2, ...,я-1)
...,7cn обозначаютъ алгебраическ1я дополнен!я перваго
§§ 101-102
кдноническш выраженш формъ.
85
столбца. ДалЪе, замъняя первый столбецъ какимъ угодно другимъ,
получимъ
Поэтому, зам-Ьчая, что числа х отъ г не зависятъ, будемъ имЪть
0 +x1ki+x2k2i + ••• +хпЩ =0,
Х1 «1 + *2 «2
яиаи+1 =0,
5«2 «п+1 +
+
Это система я + 1 линейныхъ однородныхъ уравнешй относительно
чиселъ л, а потому, если эти числа не равны нулю одновременно,
какъ то и будетъ, если числа fc( всъ различны между собою, опре-
определитель этой системы будетъ равенъ нулю, такъ что
B1)
1
аг a2
a1 a2 a3
«»-l "n an-\
Нп- 1
= 0
для х = ki, k-i,...,kH. Достаточно рйшить уравнен1е B1), чтобы
найти значен1я ki, ?2, ...,kn- Подставляя ихъ въ любыя п уравне-
шй B0) получимъ и значешя чиселъ а.
102. Прим-Ьръ для упражиеи!я. Привести къ каноническому виду
бинарную кубическую форму
а0 х» + 3 аг х*у + 3 а2 ху2 + а3у>
Если яоя,, = а\, то данная форма прямо получается въ искомомъ
а именно:
1 .
-5 (я0 х
«о
а0 а„ — я,
3
Пусть теперь аоа2^-а\. Если ея инвар1антъ (§ 87)
2\ 2
J = 4(Gq Я2 — rti) (Я1 яз — Я2' ~ \аО аЛ — а\ а2Г
не равенъ нулю, то уравнеше B1) даетъ два различныхъ корня
а0 а?> — а1а2— У — .
1 ™~
о
2 (<70 G2 — а*)
2 —'
2(а0а2 — af)
а изъ уравнешй а± + а2 = ао> аг &i + а2 ^2 = а\ получаемъ значешя at и а^,
для которыхъ данная форма принимаетъ видъ а1|3+а2ч3. гд^Ь | = * + kvy,
86 I, 3. квадратичный формы. § 102
щ — x-\-k^y. Замт>тимъ, что g и ч равны линейнымъ множителямъ, на кото-
который разлагается квадратичная форма
[ Яо х -\- я±у а± х -J- Q%y о 9
j = (Яо Я2 " - пу)Хг -f- (Яо Я8 — Я5 A2)ХУ + («1 <Т3 — а2)У2-
дискриминантъ которой равенъ ^ Л. Д-Ьйствительно, эта квадратичная форма,
какъ показываетъ непосредственное разложеше, принимаетъ видъ («oa2~ai)?4-
Наконецъ, если между коэффищентами данной формы существуетъ соотно-
шеше Л = 0, то ее нельзя привести къ суммъ кубовъ, если она сама не
равна кубу линейной формы. Но ее можно привести (срав. съ § 91) къ
виду a0ti27), гдъ ? = х -\- kxy, т)' — х -\- k2y, и
а0 а3 я, п., л?! а3 — а\ ая (я0 ао -
^ = 2k
^ 2, k,
2 («о яа - ад ао «а - Я1 «2 ао («1 яз - я2
къ первой книги.
I (къ § 3).
Термины Permutation и Substitution мы переводимъ соотвът-
ственно терминами перестановка и подстановка. Вместо по-
слЪдняго часто встречается иностранный терминъ субституция.
Мы остановились на русскомъ термине подстановка на томъ
основанш, что онъ уже давно вошелъ въ употреблеше, и что можно
не опасаться смъшешя двухъ сходно звучащихъ русскихъ терми-
новъ, если разъ навсегда заметить, что перестановка обозначаетъ
само размъщен1е элементовъ, а подстановка — операцию пере-
переводящую одно размЪщеше въ другое. ЗамЪтимъ еще, что подста-
подстановка, переводящая одну перестановку, напримъръ a ft у д е въ дру-
другую, наприм-Ьръ fideya, обозначается символомъ
:3 д е у a J'
при чемъ элементы, занимаюшде одинаковыя м^ста въ разсматри-
ваемыхъ перестановкахъ незываются соответствующими и пи-
пишутся одинъ подъ другимъ.
II (къ § 11).
Пояснимъ сказанное здъсь примъромъ. Разсмотримъ опреде-
определитель четвертаго порядка:
ап av, я1Я пи
«21
«31
«41
а,,2
«;-в
«42
3
«33
«43
«24
«34
«44
и опредълимъ знакъ + при членъ a3i «42 а-ш яи • Въ перестановке
первыхъ указателей 3 4 2 1 число обращешй равно 2 -j- 2 -(- 1 =5,
г = 5; въ перестановке вторыхъ указателей 12 3 4 число обраще-
шй s = 0, г + 5 = 5. Поэтому знакъ разсматриваемаго члена есть
88 прим-бчанш.
(— 1), т. е., минусъ. Положимъ теперь, что переменили порядокъ
множителей и написали тотъ же членъ въ виде а^ eiu a3i a2i, т. е.
произвели подстановки
Каждая изъ этихъ подстановокъ состоитъ изъ одного цикла при
4-хъ элементахъ, т. е. обЪ нечетныя (п — v = 3). Теперь число
обращенШ г въ перестановке 4 13 2 равно 3 + 1=4, а число 5
въ перестановка 2 4 13 равно 1-)-2 = 3; r-\-s = 7 есть число нечет-
нечетное, какъ и раньше, и знакъ—перед ь разсматриваемымъ членомъ со-
сохраняется.
$111 (къ § 14).
Замт>тимъ прежде всего следующее свойство определителей:
Два определителя, въ которыхъ строки одного слу-
жатъ столбцами другого, и наоборотъ, равны между собой,
иными словами: определитель не меняетъ своей величины
при замене строкъ столбцами, и наоборотъ. Это свойство
вытекаетъ непосредственно изъ самого закона составлешя определи-
определителя, изложеннаго въ § 11, такъ какъ строки и столбцы при этомъ
составленш играютъ совершенно одинаковую роль. Напримеръ,
«И
«21
«31
«12
«32
«13
«23 =
«33
«11
«12
«1.4
«21
«22
«2»
«31
«32
«»3
Впрочемъ, чтобы вполне ясно убедиться въ справедливости этой
теоремы, заметимъ следующее. Разсматриваемое въ ней преобра-
зоваше состоитъ, какъ видимъ, въ перемтэщенш каждаго элемента
даннаго определителя, стоящего на мъсте (ij), т. е. въ пересе-
чен1и /'-той строки и /-таго столбца, на место (/г)» симметричное
съ первымъ относительно главной д1агонали, причемъ главные эле-
элементы, конечно, остаются на своихъ мЪстахъ. Следовательно, если
обозначимъ элементы преобразованнаго определителя буквами bij,
причемъ первый значекъ опять указываетъ строку, а второй —
столбецъ, то bij = dji. Каждому члену (— \y+sailjl ai2J, ... ainJii
даннаго определителя соотвтэтствуетъ равный ему по величине и по
знаку членъ (— l)s+rbjlii bj2,a ... ?,в,в преобразованнаго, а потому
значеше прерваго равно значешю второго.
IV (къ § 14).
Теорема этого § въ общемъ случай еще легче доказывается,
если сперва докажемъ упомянутый въ конц-fe частный случай, а за-
припомнимъ определете четной и нечетной подстановки.
ПРИМ-ЬЧАНШ.
89
V (къ § 17).
Въ виду часты хъ приложенШ указаннаго здесь разложешя
приведемъ еще прим+фъ.
171 "
a-i-
f «i
f «2
[
1
!«2
bl '
b2-
b1
bo
r-A
fA
Л1
я.,
I «2
A
h
-f
+ A
4" P2
2
1 t
«2 '
4-
«1
«2
'l + .
'2 + ,
A
A>
Л
?2
Вообще, если элементы нЪсколькихъ столбцовъ разложены каждый
на несколько слагаемыхъ, то определитель можетъ быть разложенъ
на сумму нт>сколькихъ определителей, которые получимъ, комби-
комбинируя каждый столбецъ слагаемыхъ въ каждомъ столбце съ каж-
дымъ столбцомъ слагаемыхъ во вст>хъ другихъ столбцахъ. Все ска-
сказанное о столбцахъ, очевидно, относится и къ строкамъ. Изъ того,
что сказано въ §§ 16 и 17, вытекаетъ следующее важное слЪдсте.
Если между элементами вст>хъ строкъ (столбцовъ) опреде-
определителя существуетъ одно и тоже линейное однородное со-
OTHOiueHie
A)
1я,1 + яадй + ••• + ;.„«,.„ = o,
при г = 1, 2,...,n, где Яь Яг, ..., Я„ не равны нулю одно-
одновременно, то определитель равенъ нулю. Въ самомъ деле,
если, напримеръ, Ai не равно 0, то изъ уравнешя A) получимъ
ПП = .W2 ai2 + ^3 аЯ+ ¦¦¦ + .«» Я!Н-
На основан1и § 17 определитель будетъ равенъ сумме несколь-
кихъ определителей съ эквивалентными столбцами, т. е. равныхь
нулю (§ 16). Впоследствш въ § 57 мы увидимъ, что существоваже
соотношешя A) не только достаточно, но и необходимо для того,
чтобы определитель былъ равенъ нулю.
VI (къ § 25).
Въ справедливости последняго замечашя, весьма важнаго для
приложенШ, можно убедиться следующимъ образомъ. Обозначимъ
черезъ <»у алгебраическое дополнеше элемента яу въ определи-
определителе a,s т. е. въ алгебраическомъ дополненш элемента ars въ опреде-
определителе D. Мы получимъ <3у изъ ars, если выкинемъ въ немъ «'-тую
строку и у-тый столбецъ, и возьмемъ полученный определитель со
знакомъ (— l)!+i (§ 20). Но ars получается изъ D, если въ немъ
выкинемъ r-тую строку и 5-тый столбецъ, и возьмемъ полученный
определитель со знакомъ (— l)r+s. Следовательно, cbij можно по-
получить изъ D, выкидывая въ немъ г-тую и r-тую строки, у-тый
и 5-тый столбцы, и взявъ полученный тогда определитель со
90
ПРИМ-ЬЧАНШ.
знакомъ (— 1)''+г+Л-\ Съ другой стороны, совершенно такимъ же
образомъ получается изъ D определитель л,; — алгебраическое до-
полнеше минора (§ 20)
Следовательно, ш,-
Напримеръ
¦ "и
1
I 1
, 1
=
¦ =
0
Я22
".¦!•>
2
1
0
0
"l
2
ЧТО
VII
0
0
', 0
i 4
"Т!
.4
"rS
и надо
(къ §
= "ц
I
0
4
I .
было показать
26).
я« 0
":а «in
2 "i:i
"ll 2 ":«
0
0
4
4-
VIII (къ § 27, к.).
Надо обратить вниман!е на то, что предпоследше элементы
въ последней строке и последнемъ столбце равны яи_1( а все
остальные, кроме главнаго, равны нулю. Обозначая, какъ и раньше,
элементы определителя черезъ a,j, имеемъ поэтому а„„ = а„ _i -\- а„,
(in, и 1 = Ян—1,11 = а., 1, и din = (inj = 0, при г и у < и — 1. Фор-
Формула § 25, при г = 5 = п, дастъ
и вся сумма
С У)
сведется къ одному члену, именно къ члену
(in—1 Си t,n-i- Затемъ, очевидно, а„„ = Dn i, л»»—i, н-i = -Д1—2 и
Dn = {an—\ + a») Dn 1 — я« i Z)«-2- Къ тому же результату можно
придти при помощи простого разложешя определителя Da по эле-
ментамъ последней строки (§ 23), не прибегая къ формуле § 25.
IX (§ 27, га).
Фибоначчи — итальянсюй математикъ, написавшШ въ 1228 г.
замечательный для своего времени ариеметическ1й трактатъ подъ
назвашемъ „Liber abaci", о которомъ можно прочесть у Кантора:
Cantor, „Vorlesungen iiber die Geschichte der Mathematik, B. II.
стр. 6. „Abacus" — (абакъ) назваше разграфленной доски, употре-
употреблявшейся въ древности для производства вычисленШ.
прим-ьчашя.
91
X (къ § 29).
Примеры, а) т = п
«11 «12
«21 «22
ь) in > n
с =
«И «12
«21 «22
с) т<
л =
«И *П +
«21 hi +
,с =
ап а12 я13
a21 «22 «23
«12 Й12 + «13 *13. ЯИ
«22 *12 + «23 *13> «21
*11 3
«11 *11 + «12 *12> «11 *21 + «12 *22
«21 ^11 + «22 *12> «21 ^21 + «22 ^22
= А.В.
?> =
bn 612
^21 ^22
1 + «12
1 + «22
'12 3
«22 «23
«11 «12
«21 «22
«31 «:12
, B =
hi h..
*31 ^3'>
С =
«31
«12 ^12> «11 *21
«22 *12> «21 *21
«32 ^12> «31 ^21
«12 *22> «11 *3
«22 *22' «21
Ь-л,
XI къ § 31.
Для пояснешя теоремы этого § положимъ, что матриссы А и В
состоять изъ 5-ти столбцовъ и 4-хъ строкъ (т = 5, п = 4). Произ-
Произведете ихъ будетъ опредЪлитель 4-го порядка
Cl\ C?> C\?>
^21 ^22 ^23
Coi Сод ^33
^41 ^42 ^43
СИ
гд-fe с,у составляются по формулЪ E) § 28. Возьмемъ въ немъ,
наприм^ръ, миноръ
определяемый системами значенШ г = 2, 3, 4, / = 1, 3, 4. Онъ
долженъ быть равенъ произведена матриссъ, состоящихъ изъ
92
ПРИМ-ЬЧАНШ.
2-ой, 3-ей и 4-ой строкъ въ матриссахъ А и В. Одна изъ нихъ
будетъ
«21 «22 «23 «24 «25
А = «31 Я32 «33 4 «35
«41 «42 «43 «44 «45
другая 5' аналогичная ей, съ буквами Ь. Произведете А' на В'
будетъ определитель
С =
<-22
¦-31
гдЪ с^- составляются изъ элементовъ А' и .6' по формуле E). Со-
ставимъ, напримеръ, с'п'-
<724
23 Ь2Ь,
а эта сумма, какъ видимъ, равна с^ (по формуле E)). Такимъ же
образомъ, убеждаемся, что каждый элементъ въ С равенъ соответ-
соответствующему элементу въ С&, такъ что С = С\%.
XII (къ 33, а).
Последшй результатъ легко получить, пользуясь известнымъ
выражешемъ
а 1 3 - 1 Ь \
<р(т) — иг.
И
а, /9, ...,й различные простые делители числа т (см. Д. Граве,
Элем. теор1я чиселъ, или Веберъ и Вельштейнъ 1. с. стр. 299)
и замечая, что — равно числу чиселъ, меньшихъ т и деля-
делящихся на а.
XIII (къ § 34).
Приведенное нами доказательство развито несколько подроб-
подробнее, чемъ въ немецкомъ подлиннике, въ которомъ изложеше его
намъ кажется не вполне точнымъ. Кроме того, мы считаемъ полез-
нымъ, для лучшаго уяснешя теоремы и ея доказательства, провести
его на частномъ примере. Разсмотримъ определитель 4-го порядка
D и его взаимный А:
аП Я12 «13 аП
а2\ а-22 a2Z a2i
«31 «S2 «33 «34
«41 «42 «43 «44
«11 «12 «13 «14
Ct21 Яоо «23 а24
«31 «32 «33 «34
«41 «42 3 «44
ПРИМ-ЬЧАНШ.
93
= D. агш,
и докажемъ, что
«13 «14
«23 «24 i
гдт> ai324 есть алгебраическое дополнете минора
I «13 «14 !
«23 «24
въ опред'Ьлител'Ь D. Мы положимъ, следовательно, г = 2,
= 4,
г = 1, j = 3. Мы им"Ьемъ здт>сь
"гз = «24 =
«11 «12 «13 «14
0 0 0 1
«31 «32 «33 «34 |
«41 «42 «43 1 I
умножая элементы (;-аго) 3-го столбца на (сц-у) «13 и прибавляя къ
нему элементы 1-го, 2-го и 4-го столбцовъ, умноженные на
аи, а12, аи, получимъ
! «И «12 D «14
О 0 аи 1
У «rs = ) «13 «24 =
«31 «32
«41 «42
= ?>'
Алгебраическое дополнеше (а,.,) аи въ П равно
«И «12 «14
«31 «32 «34 = «23 («г j)'
«41 «42 «44
Алгебраическое дополнеше элемента /) въ D' равно
0 0 1
«31 «32
«41 «42
«31 «32 «34
«41 «42 «44
т. е. равно алгебраическому дополнешю минора
«13 «14
«23 «24
въ определителе D- Следовательно,
=(- ])
ю
D. 01324, или
«13 «14
«23 «21
= D. а
1321-
94
ПРИМЪЧАНШ.
XIV (къ § 39).
Для пояснешя приведеннаго здесь доказательства замт>тимъ
следующее. Положимъ, что алгебраическое дополнеше минора Dn^,,
есть eDv, где e = + 1; тогда sDH—v есть алгебраическое допол-
дополнеше минора Dv и въ тоже время е /!„__„ есть алгебраическое до-
полнеше минора Av въ А, такъ какъ в зависитъ только отъ ука-
указателей, а они одинаковы въ Dv и Av, и въ Dn .,, и Д,_,,. По
теореме § 38, заменивъ въ ней v на п — v, находимъ, что Ан _,.
равно степени Dn~v~1, умноженной на алгебраическое дополнеше
минора Dn-^>, т. е. на sDv, а слЪдовательно еД,_1; = Dn " -1. Dr,
что и доказываетъ теорему.
XV (къ § 41).
Въ опредълител'Ъ § 41 числа р и q могут ь имт>ть любое изъ
значешй 0, 1, 2, ..., (fx, — 1), но условившись писать z',t i =/„,
Гц+i = 5,„ можно числамъ р и q дать и значен!я р = /г, q = /л.
При р = q = /л,} этотъ определитель напишется такъ
откуда и видно, что оиц — обыкновенное дополнеше элемента djmi
имт>етъ написанное въ § 41 выражеше. Такимъ же образомъ про-
проверяются и остальныя три выражешя: аом, ciMo, Ooo- Пояснимъ тео-
теорему § 41 (т. е. собственно говоря, частный ея случай, доказанный
въ § 36) частнымъ примт>ромъ. Возьмемъ определитель
3 2 - 1
«11 а12
«32
«23
О
- 1
0.
Рангъ его очевидно есть 2. Составимъ обыкновенныя дополнешя
его 9 элементовъ; обозначая черезъ ар<1 обыкновенное дополнеше
элемента й^4-1,?+г мы найдемъ
I 1 2 : : 0 2
«оо= =¦¦!. «oi=: =2.
0 — 1 | |-1-1
Ода = 1, «ю = 2, «и = - 4, а12 = - 2
О од = — 3, П21 = 6, 022 = 3.
Въ 1-омъ и 2-омъ столбцахъ определителя D содержатся миноры
2-го порядка
Г22. «12 > l102-
ПРИМЪЧЛШЯ.
95
въ 1-омъ и 3-емъ столбцахъ, соответствуюийе имъ, т. е, составленные
изъ равноименныхъ строкъ, миноры будутъ
наконецъ во 2-омъ и 3-емъ столбцахъ
Согласно теорем* найдемъ
ll00-
3_ -2
6~-4
Точно также поверяются равенства
XVI (къ § 44).
Напримеръ, въ определителе
: о а ь ,
-a Or
1-й с О
сопряженные миноры 2-го порядка
a b а О
и
| 0 с b - с
оба равны ас. Въ определителе
О а
-а 0
-Ь -d
- с - е
b с
d e
0 /
сопряженные миноры 3-го порядка, а именно алгебраичесмя допол-
нешя элементовъ с и — с, будутъ:
- а
- b
— с
0
-d
... ,,
d
0
-/
=
i a
—
0
— а
а,
b
с
b
d
0
0,
-.
с
е
f
d
е
=
d
0
-/
- г-
а
=- 0
d
Ъ
d
0
с
е
-/
96
ПРИМ-ЬЧАШЯ.
Символъ
XVII (къ § 46).
обозначаетъ, что надо каждое изъ значешй
*> 5
г' = 1, 2, ..., п сочетать съ каждымъ изъ значешй j = 1, 2, ..., п,
и взять сумму всъхъ слагаемыхъ, соотвЪтствующихъ этимъ соче-
ташямъ. Суммируя сперва по j при i постоянномъ, а полученный
результатъ затЪмъ по г, мы и получимъ преобразоваше двойной
суммы въ выраженш D въ квадратъ простой:
=24- 2^-
j i
Замт>чаше о числт> членовъ разложенш ]/Z) доказывается, какъ
и сама теорема § 46, поверкою при » = 2и переходомъ отъ п — 2
къ п, замътивъ, что въ A1) число членовъ равно п — 1.
XVIII (къ 48, b и с).
Ь) Опред-Ьлитель аи, алгебраическое дополнеше элемента ап
въ D, выражается такъ:
О г - q
-г О D
q -р О
«22 Я23 «24
«32 «33 «34
«42 «43 «44
022 есть алгебраическое дополнеше элемента а<ц = 0 въ опредЪ-
лителт> аи, т. е.
О р
«22 = ,
I -Р о
Такъ же найдемъ азз = q2, Ли = у1- Положивъ Уйж — р>
дт>лен1я
им-Ьемъ формулы
A) Я23 = У°22- У^33> С24 ~ УЙ22* У^44 >
гдт> Пгз — алгебраическое дополнен1е а-гз въ аи, т. е.
-г, р'
опре-
1 23 :
и
q, О
г, О
q, -Р
= pq
прим-ьчанш. 97
Поэтому формулы A) при JA122 =/> дадутъ Уд^ = ^, |^^2 = f, и
формула A1), где й12 = я, аи = Ь, аи = с, дастъ ]/75 = ap-\-bq-\- cr.
с) Зам-Ьчаемъ соотношете
где Dn данный определитель (и S? 3) и значешя D\ = х, D2 = л:2 + я2.
Изъ этихъ формулъ уже легко получить и общее выраже-
Hie Dn, приведенное въ § 18, с.
XIX (къ § 55).
Число членовъ въ разложенш (ai-\-a-,-\- •••-}• ап)т, какъ легко
видеть, равно числу членовъ вида
< 4 ¦ ¦ ¦ <.
въ которыхъ а, /?,... у получаютъ всЬ положительный ц-Ьлыя зна-
четя (и нуль), сумма которыхъ равна т. Иными словами, это число
равно числу сочетан!й съ повтореюями изъ п буквъ по т, а
это число, какъ известно, равно числу различныхъ сочетанШ
изъ т + п — 1 буквъ по пг, т. е.
(т + п- -1) (ш + и-2) ... п I -2-3 ¦¦¦ (т-\-п ¦ 1)
1 • 2 ¦•• т 1-2 ••• (w -- 1) • 1 • 2 ••• т
(см. Веберъ и Вельштейнъ, т. I стр. 198).
XX (къ § 57).
Теорему а) § 57 можно формулировать еще следующимъ
образомъ:
Если число неизввстныхъ (и) въ данной системе т
линейны хъ однородныхъуравнен1й прев ышаетъ число урав-
нен1й, т. е. п > т, то системе удовлетворяетъ безчислен-
ное множество значен1й неизвестныхъ, не равныхъ нулю
одновременно.
При этомъ, по крайней мере, п — т неизвестнымъ можно
дать произвольный значенш; но нельзя утверждать, что любымъ
п — т изъ неизвестныхъ можно приписать произвольный значешя.
Действительно, эти значеши, какъ мы видели, зависятъ отъ выбора
главнаго определителя системы и не всякШ определитель порядка ц,
где ц рангъ матриссы системы, содержащШся въ этой матриссе,
можетъ быть взятъ за главный, такъ какъ могутъ существовать
между упомянутыми определителями и равные нулю. Такъ, въ
системе уравнешй
•V + У Л- я + « = 0
2.v + 1у + Зг + 1и = О
З.г- + Зу + 'lz + Зи = О,
98
прим-ьчашя.
матрисса которой имт>етъ рангъ 2, нельзя, напримтфъ, по произ-
произволу выбрать значешя неизв'Ьстныхъ z и и, или z и х, или z и у,
потому что данная система, очевидно, удовлетворяется только при
2 = 0 и х -\-у -f- и — 0. Выбравъ по произволу, напр., х и у1 по-
лучимъ опред-Ьленныя значешя z = 0 и и = — (*" +jy).
b) Выражеше для д^- въ § 57 получается слЪдующимъ обра-
зомъ. Первыя ii уравненш системы A0) переписываемъ такъ
я12 х2
1и x
п,а xi + а,,г Х2 + ¦ ¦ ¦ + «„.„•*„ =
Правило Крамера дастъ
= д'
х,- = д' , гд*
о
jXj> "l, l
./ = ¦«+1
а на основанш § 17, получимъ
данное бъ § 57 выражеше.
XXI (къ § 58).
Для выяснешя заключенШ, сд'Ьланныхъ въ этомъ §, зам'Ьтимъ
следующее. Мы доказали раньше, что если рангъ матриссы (опре-
(определителя въ нашемъ случа-fe) системы
ai2 x2 -\ Ь ain xn = 0
B)
(гдЪ г=1, 2, ..., п) равенъ /л, то система B) им*етъ оо"—¦« рт>шенШ,
гдт> не всЬ Xi равны нулю. Обратно, если система B) имт>етъ оо"—¦"
прим-ьчанш. 99
р-Ьшешй упомянутаго свойства, то это значить, что, выбравъ по
произволу значешя н-Ькоторыхъ неизвестныхъ, число которыхъ
равно п — (I, для остальныхъ /,«. неизвестныхъ получимъ вполне
определенный значешя, а потому въ нашемъ определителе по-
порядка п долженъ содержаться по крайней мере одинъ определи-
определитель порядка ц, не равный нулю, а все определители порядка
выше ц будутъ равны нулю. А это и значитъ, что рангъ опреде-
определителя системы B) равенъ ,м. Итакъ, доказано, что существова-
Hie оо"—*" числа решети системы B) упомянутаго свойства есть
услов1е необходимое и достаточное для того, чтобы рангъ
определителя системы быль равенъ ц.
Далее, пусть
*! = ;.!, Х2 = 1„ ...Хп=/.п
есть одна изъ системъ решенШ уравненШ B), при чемъ не все /.,
равны нулю. Ясно, что изъ этой системы получимъ безчисленное
множество другихъ, заменяя числа Я,- числами, имъ пропорщ'ональ-
ными. Все получаемыя такимъ образомъ системы мы считаемъ за
одну. Эта система даетъ одно соотношеше между элементами
определителя, вида
C) Х± пп + Я2 а,, + •••+/.„ пы = 0, (г = 1, 2, ¦ • ¦ и).
Оно и будетъ единственным^ если рангъ определителя равенъ
п— 1, т. е. если система B) имеетъ оо1 решена). Если же рангъ
определителя равенъ п — 2, то будетъ существовать еще одно
соотношеше, вида:
ц1ап + Цо(if, + ••¦ + /<„ л,;, = 0G = 1, 2, .. ., it),
въ которомъ числа //,¦ не пропорцюнальны числамъ Я,, и т. д.
Въ этомъ смысле и надо понимать угверждеше § 58, что
услов1е, необходимое и достаточное для того, чтобы рангъ
определителя системы B) былъ равенъ /л,, состоитъ въ
томъ, что существуютъ п — /л, различныхъ системъ значе-
н!й Ai, Яг,...,Я„, не равныхъ нулю одновременно, удовле-
творяющихъ соотношен1ю C) при всякомъ г = 1, 2, ..., ;;.
XXII (къ § 75).
Въ курсахъ Аналитической Геометрш подъ именемъ формулъ
Эйлера приводятся не формулы B0) § 75, а формулы преобразо-
вашя однихъ ортогональныхъ координатъ въ друпя, въ которыхъ
коэффищенты, т. е. девять косинусовъ угловъ, образуемыхъ осями
одной ортогональной системы съ осями другой, выражены въ
трехъ, такъ называемыхъ, углахъ Эйлера О, Ц>, У- Эти выра-
100
ПРИМ-ЬЧАНШ.
жетя не симметричны, и Эйлеръ далъ и друпя, симметричныя
выражен1я, введя въ разсмотр^ше величины, обозначенныя у насъ
черезъ # и (а, /?, у) (см. въ Encyklopadie der math. Wissensch.
В. VI, Heft 2, стр. 204). Выражешя девяти косинусовъ въ трехъ
параметрахъ р, q, г, совпадаюип'я съ элементами опредътштеля,
разсматриваемаго нами въ § 75, известны теперь подъ низваш-
емъ формулъ Родрига (Rodrigues). Весьма простымъ способомъ
Кёнигъ (Koenigs, Le?ons de Cinematique) получилъ формулы Род-
Родрига изъ первоначальныхъ формулъ Эйлера. Мы предлагаемъ чита-
читателю, въ вид-Ь легкаго упражнешя, сделать это преобразоваше,
на основанш слЪаующихъ указанШ. Обозначимъ черезъ а, Ь, с,
а', Ь', с', а"', Ъ", с" косинусы угловъ между осями двухъ системъ,
распределяя ихъ по следующей схемт>:
X. Y, Z
X' я b
У1' а' | ?
Z' | а" \ Ь"
такъ что а = cos(jf.r'), Ъ = cos(ух), с = cos(?.r') и т. д.
Возьмемъ извтзстныя выражешя этихъ косинусовъ черезъ углы
Эйлера, а именно:
а = cos ц cos V sin <p sin 1,1 cos 9,
b = cos </ sin у + sin <F cos y> cos 9,
с = sin с/, sin 9,
a' — — sin q cos у - cos q sin i/i cos 9,
b' = - sin f/ sin v + cos <p cos v cos 9,
c' = cos с/; sin 9,
a" = sin v sin 9, i" = cos v sin 9, c" = cos 9,
выводь которыхъ можно найти въ любомъ курсЬ Аналитической
Геометрш. Введемъ теперь, следуя Кёнигу, перем'Ьнныя t, и, v, ги
слвдующимъ образомъ."
9 у -- сг
t = Sin -- COS ; ,
. 9 . i/) — ц.
и = sin — sin
9 . V + Ч 9 '/' + Ч
v = cos -^ sin ¦ iv = — cos — cos —=— ,
при чемъ, очевидно,
Тогда можно будетъ и ест. девять косинусовъ а, Ь, с, ..., вы-
разитъ въ /, и, v, w, пользуясь формулами A) и B), и принимая
t II V
во внимаше C). Если еще положимъ р = --, q = —, г = —, то вы-
ПРИМ-6ЧАН1Я.
101
ражешя косинусовъ въ Д q, r совпадутъ съ выражешями элементовъ
определителя § 75, именно такъ, что определитель
a a a :
b b' b"
с с' с
.'г
будетъ тождественъ съ опредЪлителемъ § 75. Для пояснешя ска-
заннаго въ § 75 о механическомъ значенш формулъ B0) заметимъ
следующее. Изъ формулъ B0) выводимъ, умножая ихъ по очереди
на х, у, z и складывая:
хх' + уу' + zz' = (а-2 + у'1 + s1) cos 0- - {ах + $у -\- ysf A - cos Щ,
т. е.
хх' +уу' + zz' — (ах + fly + ysf =
= [х2 Л-У1 + -г2 - (алг + Jy + yzf] cos 9 = р2 cos ¦§,
гд"Ь q, какъ известно, изображаетъ разстоян!е отъ точки (х, у, г)
до прямой, проходящей черезъ начало координатъ въ направленж
(а, /9, у). Чтобы показать, что формулы B0) выражаютъ вращеше
на уголъ 1? около прямой О А (а, /?, у), зам'Ътимъ, что при пере-
ходЪ точки М(х, у, z) въ точку М' {х , у', /), при чемъ разстоя-
Hie q отъ М до и А не меняется, плоскость ОАМ придетъ въ
положеше ОАМ', повернувшись на уголъ, равный углу между
нормалями къ этимъ плоскостямъ. Нормаль къ плоскости ОАМ,
какъ перпендикуляръ къ О А (а, /?, у) и ОМ(—, —. — ], имЪетъ
направлен1е (а, Ь, с), гд*
ух
fix — ay
Аналогично выразятся косинусы угловъ нормали къ плоскости ОАМ',
и косинусъ угла между этими нормалями выразится формулою
_ (уу - Us) (уу> - Us') + (as - ух) (az' - ух') + (,3х - ¦ ау) ($х' - ау')
Числитель въ со есть сумма произведен!й старшихъ определителей
въ матриссЬ
« /9 у
х у z
, умноженнныхъ на старине определители въ матрисс*
а (I у
x'y'z'
и, по теорем* Бине, равенъ произведен1ю этихъ матриссъ, т. е.
определителю
СП С12
102
ПРИМЪЧАНШ.
где
Поэтому
С = дглг'
с12 = с21 = ал: +
С22 = хх' +уу' +
+ zz' — (ах + $у
= ал/
yef = д2 cos -ft,
и fri = cosi?1, что и требовалось доказать. ЗамЪтимъ въ заключе-
Hie, что формулы B0) выражаютъ зависимости между координатами
двухъ различныхъ положен!й движущейся точки относительно не-
неподвижной системы координатъ, а не формулы преобразовашя ко-
ординатъ, т. е. зависимость между координатами неподвижной точки
относительно двухъ различныхъ системъ координатныхъ осей; по-
слЪдшя получаются изъ формулы B0), если въ этихъ формулахъ
зам-Ьнимъ буквы х, у, z на х', у', z и обратно.
XXIII (къ § 78).
Для пояснешя зам'Ьтимъ следующее:
а) Представимъ элементы послъмшяго столбца въ первомъ
определителе § 78, приравненномъ нулю, въ вид'в:
«1 + 0, г<2 + 0, ••¦ и„ + 0, 0+ U,
и разложимъ определитель на два слагаемыхъ. Одно изъ нихъ
будетъ
«11 «12 • • • «1„ «1 '
D =
«21 «22
ап2 ¦ ¦ ¦ ап
"nl "«2
«! «2
а другое равно AU] сумма ихъ равна нулю, поэтому U = -.¦
Ь) Применяя къ определителю D формулу § 25, выдъчливъ
элементъ 0, получимъ
откуда и видно, что первое выражен1е U совпадаетъ съ фор-
формулою C).
с) Наконецъ, поступая аналогично предыдущему съ опредЪ-
лителемъ, который надо приравнять нулю, чтобы выразить услов1е
совместности уравненШ Aа) и B), и припоминая еще (§ 37), что
определитель, взаимный съ А, равенъ А"-1, получимъ и второе
выражете для U.
прим-ьчашя.
103
XXIV (къ § 98).
ПримЪнимъ формулу § 25 къ определителю D = Av+i, где
Av+i составленъ по формуле A5) § 98, съ заменою v на v-\- 1,
и положимъ еще г = 5 = v + 1. Тогда ars = 0,4-1, v+л будетъ
алгебраическое дополнеше элемента я„_|_1, „+1 въ у4„_|_1 и, очевидно,
равно Av т. е., по условда, равно нулю. Первый членъ правой части
въ формул^ § 25 пропадетъ и получится
», 3
где г и j принимаютъ все значешя 1, 2, ... v. Далее ciij есть
алгебраическое дополнеше элемента яу въ определителе ^4V
(§ 25), а потому iiw есть алгебраическое дополнеше элемента avv
въ Av, т. е.
«w = Av-1 ¦
Следовательно,
Но такъ какъ определитель Av = 0, то алгебраичесюя дополнешя
соотвътствующихъ элементовъ его въ двухъ строкахъ или столб-
цахъ пропорщональны (§ 36).
Поэтому
или
aij = °iv avj
— ~~^j aivai,v+lavjav+l,j
j, t-fl,
потому что Av определитель симметричесюй. Наконецъ, двойная
сумма въ правой части, очевидно, равна квадрату суммы
какъ видно изъ разложен1я этого определителя по элементамъ
последняго столбца.
104 прим-ьчанш.
XXV (къ § 98).
Высказанное здесь положеше можно вполне строго доказать
лишь после того, какъ будутъ доказаны основныя теоремы изъ теорш
пределовъ, которой посвящена вторая книга. Определители Av
равны сумме конечнаго числа членовъ, которые сами равны произве-
дешямъ несколькихъ изъ чиселъ аи, умноженныхъ на величины, отъ
нихъ независящая. Сказанное въ § 98 объ этихъ определителяхъ
есть прямое следств1е теоремъ о пределахъ суммъ и произведен^,
изложенныхъ въ §§ 132 и 133 книги II.
XXVI (къ § 100).
Для разъяснешя сказаннаго въ этомъ § приведемъ ниже-
нижеследующее вычислеше. Данную форму U прежде всего предста-
вимъ въ виде суммы трехъ членовъ, относя къ первому слагаемому
все члены, въ которые входятъ только первыя v переменныхъ
Х\, ха, ¦ ¦ ¦, xv, ко второму те, въ которые входятъ произведешя
этихъ v переменныхъ на остальныя xv+1,...,xn, и наконецъ, къ
третьему те члены, въ которые входятъ только последшя п — v
переменныхъ xv+i, xv+2,..., хп. Принимая во внимаше, что я,7 = Яу,-,
мы можемъ, следовательно, представить 'U такъ
u=2J(<*a х\ + ai2 ха + • • • + aiv xv) xi + 2^(ai, v+i xv+i H H ain XJ xi + $
обозначая черезъ Д третье слагаемое, зависящее только отъ xv+ь ...х„.
Теперь первое слагаемое, т. е.
X, (а»1 Х1 "Ь ui2 Х2+ ' " + aiv Xv) Xi
i=l
можно обратить въ нуль, независимо отъ значешя xv. Въ самомъ
деле, для этого, очевидно, достаточно удовлетворить системе v ли-
нейныхъ однородныхъ уравнешй съ v неизвестными
«11 #1 + «12 *2 + • • ¦ + alv Xv = °
«21 х\ ~Ь «22 Х2 "Ь ''' "Г «2у Xv ^^
что всегда возможно, потому что, по условш, определитель этой
системы Av равенъ нулю. Замечая еще, что, по условда, алгебраи-
алгебраическое дополнеше элемента ат, очевидно равное Av—\, не равно
нулю, мы получимъ, при xv совершенно произвольномъ, следующее
решен1е системы A)
B) fjL — ?jL — — Хр~1 _ Xv
avi av2 av,v—l avv
прим-ьчашя. 105
гдъ1 а„„ = А^ _i и вообще а„ — алгебраическое дополнеше эле-
элемента aVi въ Av (§ 59). Подставляя найденныя значешя х\,Х2, ¦¦-, xv_i,
выраженныя черезъ xv, въ написанное выше выражеше U, мы полу-
чимъ U= 2axv + /?, гд*
C) « = -л— У, К, v+1 *\„+1 + • • • + аы хп\ avi.
Чтобы убедиться, что выражеше C) совпадаетъ съ гбмъ, которое
дано въ § 100, въ вид* определителя, стоитъ только представить
себе, что этотъ определитель разложенъ по элементамъ последняя
столбца.
Наконецъ, чтобы убедиться, что въ случае а тождественно,
т. е. при произвольныхъ значен!яхъ х^\, ..., хп, равнаго нулю,
следующ1й определитель § 100 равенъ нулю при г =v, v-\-1, ..., и,
надо припомнить, что при i = v, этотъ определитель есть А„, рав-
равный нулю по условш, и при другихъ значешяхъ г онъ получается
изъ предыдущего (т. е. изъ выражетя __у~' а\, если последова-
тельно положимъ все перем-БНныя xv+i, AVf-2> • • •, х„, кром-Ь пер-
ваго, второго и т. д., равными нулю.
книт вторая
КНИГИ ВТОРДЯ.
Иррацюнальныя числа. Пределы. Безконечные ряды
и произведения.
ирррцюнрльныя числя.
Основныя понятчя.
103. Изъ элементарной математики мы знакомы съ Teopiera
рашональныхъ чиселъ, т. е. чиселъ ц-Ьлыхъ (включая сюда и
нуль) и дробныхъ. Представимъ себтз теперь, что вся эта область
чиселъ разделена на два класса, которые мы назовемъ нижнимъ и
верхнимъ, такимъ образомъ, что всякое число нижняго класса
меньше любого числа верхняго класса. При этомъ можетъ случиться,
что въ нижнемъ классЪ существуетъ число а, большее всЬхъ дру-
другихъ чиселъ этого класса, или что въ верхнемъ классЪ существуетъ
число Ь, меньшее всЬхъ другихъ чисель этого класса. Въ этихъ случа-
яхъ говорятъ, что сделанное раздЪлеше опредЪляетъ рацшнальное
число, именно число а въ первомъ случай или число Ъ во второмъ.
ЗамЪтимъ тутъ же, что числа а и Ъ не могутъ существовать одно-
одновременно. Иначе между этими числами можно было бы вставить без-
численное множество рацюнальныхъ чиселъ, которыя не принадле-
принадлежали бы ни къ нижнему, ни къ верхнему классу. Но можетъ слу-
случиться, что не существуетъ ни числа а, ни числа Ь, обладающихъ
указанными свойствами. Въ такомъ случай, условимся говорить, что
указанный способъ раздЪлешя вс-Ьхъ рацюнальныхъ чиселъ на два
класса опредЪляетъ иррацдональное число. Итакъ, иррацю-
иррацюнальныя числа опредъляются такими раздълешями ращональной
области на два класса, которыя обладаютъ следующими свойствами:
1) Всякое число нижняго класса меньше любого числа верх-
верхняго класса. 2) Въ нижнемъ классъ нътъ числа, превосходящаго
ПО II, 1. ирращональныя числа. §§ 103—105
всЪ друпя числа того же класса (наибольшаго). 3) Въ верхнемъ
классЪ нътъ числа, которое было бы меньше всЪхъ другихъ чиселъ
того же класса (наименьшего).
104. Примеры, а) Если отнесемъ къ нижнему классу рацюнальное
число я и всё рацюнальныя числа, менышя я, то верхшй классъ будетъ со-
состоять изъ всЬхъ рацюнальныхъ чиселъ, большихъ я, и въ этомъ классъ не
будетъ наименьшего числа. Действительно, взявъ вь верхнемъ классъ
любое число а', мы можемъ, какъ известно изъ теорш ращональныхъ чи-
чиселъ 1), вставить между аи а' > я безчисленное множество рашональныхъ
чиселъ, которые по необходимости будутъ принадлежать верхнему классу и
будутъ < а'. Но нижшй классъ не обладаетъ свойствомъ не заключать въ
себе наибольшаго числа, потому что такое число существуетъ, а именно
число а. Сделанное раздълеше не опредъляетъ иррацюнальнаго числа, а
опред'Ьляетъ рацюнальное число я.
Ь) Иначе обстоитъ дело съ У2; это число не существуетъ, если мы
ограничимся областью однихъ ращональныхъ чиселъ. Но его можно опре-
определить, какъ иррацюнальное число, соответствующее раздълент всъхъ
ращональныхъ чиселъ на два класса, на основанш следующего критер1ума.
Отнесемъ къ верхнему классу все положительныя рацюнальныя числа,
квадраты которыхъ больше 2, а къ нижнему все остальныя ращональныя
числа (т. е. положительныя, которыхъ квадраты меньше двухъ, нуль и все
отрицательныя^ Чтобы доказать, что такое разделеше определяетъ иррацю-
иррацюнальное число, надо показать, что оба класса обладаютъ всеми необходи-
необходимыми для этой цели свойствами. Прежде всего очевидно, что любое число
нижняго класса меньше всякаго числа верхняго класса, такъ какъ изъ двухъ
положительныхъ чиселъ то будетъ меньше другого, котораго квадрат ь меньше
квадрата другого (и всякое отрицательное число меньше положительнаго).
Далее, если а какое нибудь число нижняго класса, то всегда найдется дру-
другое число того же класса, которое будетъ больше а *) (т. е. въ нижнемъ
классе нътъ наибольшаго числа). Чтобы въ этомъ убедиться, надо показать,
что существуетъ такое положительное число /г, для котораго а + h принад-
лежитъ нижнему классу, т. е. не только а- < 2, но и (я + Щ1 < 2, или
Bя + К) h < 2 — а-. Взявъ Л < 1, мы удовлетворимъ предыдущему нера-
неравенству при h < г • Следовательно, достаточно взять // положитель-
1 2 я-' д
нымъ и меньшимъ наименьшего изъ чиселъ 1 и • Аналогичнымъ пу-
темъ можно было бы показать, что если а принадлежитъ верхнему классу,
то всегда найдется число, меньшее а и принадлежащее тому же классу, т. е.
что въ верхнемъ классе нетъ наименьшего числа
105. Равенство и неравенство**). Говорить, что два числа
аи/? равны между собою, и пишутъ а = /?, если классы, опредЪ-
ляющ1е а, совпадаютъ съ соответствующими классами, определяю-
определяющими /3. При этомъ очевидно, что совпадете нижнихъ классовъ
влечетъ за собой совпадете верхнихъ, и наоборотъ. Говорятъ. что
х) Надо помнить, что отъ сложешя, вычиташя, умножешя и дтлешя
въ области ращональныхъ чиселъ всегда получаются числа той же области.
*) Причемъ, конечно, можно ограничиться предположешемъ, что а > 0.
**) Въ дальнейшихъ §§ ращональныя числа мы будемъ обозначать
преимущественно латинскими буквами, а иррашональныя греческими, при
чемъ, однако, не исключается возможность, того, что греческая буква обоз-
начаетъ, въ частномъ случае, рацюнальное число.
§§ 105—107 основныя понятт. Ill
а меньше /?, и пишутъ а < /?, если существуетъ такое рацюналь-
ное число, которое одновременно принадлежитъ верхнему классу
числа а и нижнему классу числа /?. Если, въ частности, /? рацюналь-
ное число, то неравенство а < /? выражаетъ собою только то, что /?
принадлежитъ верхнему классу числа а. Точно также, если а рацю-
нальное число, то неравенство а < /? обозначаетъ, что а принад-
принадлежитъ нижнему классу числа /?. ДалЪе говорятъ, что а число
положительное, если оно больше 0, т. е. если нижшй классъ числа
а содержитъ въ себЪ нуль; число а — отрицательное, если нуль
принадлежитъ верхнему его классу.
106. Числа, равныя по абсолютной величин^. ПеремЪ-
нимъ знаки у встзхъ чиселъ нижняго класса числа а на противопо-
противоположные, и будемъ ихъ разсматривать, какъ числа, образующая верх-
Н1Й классъ нтзкотораго числа $; нижнШ классъ этого числа /? будетъ
очевидно, состоять изъ чиселъ верхняго класса числа а, взятыхъ съ
обратными знаками. Ясно, что таюя два числа аи/? будутъ одно
положительное, а другое отрицательное, потому что 0 будетъ одно-
одновременно находиться въ нижнемъ класеЬ одного изъ нихъ и въ
верхнемъ другого. При такихъ обстоятельствахъ условимся говорить,
что числа аи/? равны по абсолютной величин^ и писать
/? = — а. ЗамтзТивъ, что продЪлавъ съ классами числа /? ту опера-
ц!ю, которую произвели съ классами числа а, мы, очевидно, получимъ
изъ ft число а. Иными словами, если /9 = — а, то а — — /?.
107. Обратный числа. Предполагая а > 0 и ограничиваясь
областью однихъ положительныхъ рацюнальныхъ чиселъ, возьмемъ
обратныя значешя *) чиселъ обоихъ классовъ, опредъляющихъ а,
и въ то же время переставимъ эти классы (т. е. нижшй на верх-
нШ и обратно). Тогда определится новое число C, которое мы на-
зовемъ обратнымъ относительно а, и будемъ писать [} = — •
Легко видтлъ, что изъ ,3 = — вытекаетъ а = -~- Если, дaлte, а<0,
то символъ — изображаетъ отрицательное число, абсолютная вели-
величина котораго есть число, обратное абсолютной величин^ а.
Иными словами, если а < 0, то, для опредЪлетя символа — > усло-
условились писать
1 1
Наконецъ, установимъ разъ навсегда, что при а = 0, символъ —
ничЪмъ не опредЪленъ и потому никакого смысла не имЪетъ.
*) Обратнымъ значешемъ ращональнаго числа а называется число —
а
112 II, 1. ИРРАЦЮНАЛЬНЫЯ ЧИСЛА. §§ 108—111
108. Если а < /?, то существуетъ безчисленное мно-
множество рацшнальныхъ чиселъ, лежащихъ между а и /?. По
условш сушествуетъ такое рацюнальное число а, что
а < а < j3.
Такъ какъ а не можетъ быть наиболылимъ числомъ въ нижнемъ
классЬ числа /?, то въ этомъ классЪ сущесгвуеть ращональное
число а > а, принадлежащее также къ верхнему классу числа а,
такъ что
о < а < а' < д ¦
Но между рацюнальными числами а и а можно вставить безчи-
безчисленное множество рацюнальныхъ чиселъ, которыя вс% будутъ при-
принадлежать верхнему классу числа а и нижнему классу числа /?, что
и надо было показать. ДалЪе ясно, что теорема остается справед-
справедливой и тогда, когда, по крайней Mtpt, одно изъ чиселъ аи/?
рацюнально.
109. Изъ неравенствъ а < /? и t3 < у, слтздуетъ нера-
неравенство а<-/. ЗамЪчаемь, что опредЪлеше неравенствъ а</?, /?<у
заключаетъ въ себЪ утверждеше, что существуютъ два такихъ рацю-
рацюнальныхъ числа а и Ь, для которыхъ а < а < /?, /? < b < у. От-
Отсюда видно, что а принадлежитъ нижнему, а Ь верхнему классу
числа /3; следовательно, а < Ъ. Дал^е Ъ принадлежитъ нижнему
классу числа у, поэтому и а принадлежитъ тому же классу, т. е.
существуетъ число а, принадлежащее одновременно верхнему классу а
и нижнему у, откуда а < у.
110. Между двумя рашональными числами, разность
которыхъ можетъ быть сдтзлана сколь угодно малою (по
абсолютной величинЪ) можетъ заключаться только одно
число. Допустимъ обратное, т. е. положимъ, что а < а < Ь, и
а < /? < Ъ. Если а < /?, то можно указать два опредЪленныхъ
числа а' и V такихъ, что а <</<&'</?, а тогда и a<«'<6'<i,
а откуда Ь — а > Ъ' — а т. е. b — а нельзя сделать, вопреки пред-
ложешю, меньшимъ чЪмъ b'^d; аналогичное заключеше получается и
при а > /?.
Итакъ, нельзя допустить, что /? не совпадаетъ съ а, если
положительное число Ь — а можно сделать меньшимъ любого по-
положительнаго числа.
111. Всякое число а можно заключить между двумя pauio-
нальными числами, разность которыхъ по абсолютной ве-
личинтз будетъ меньше любого положительнаго числа. Если а
лежитъ между а и b > а, то\(а-\-Ь) будетъ принадлежать либо
нижнему, либо верхнему классу числа а. Въ первомъ случай поло-
положимъ ах = \ (а -\- Ь), Ъх = Ь, во второмъ а4 = а, Ьх = ^ {а + Ь).
Въ обоихъ случаяхъ а будетъ заключаться между числами ах и Ьх,
§§ Ш —113 основныя понятш. 113
причемъ 6j — а4 = \ (b — а). Поступивъ такъ же съ ах и Ъх, най-
демъ два такнхъ числа аг и Ьг, что
а2 < а < Ь2 и Ь2 — а2 = — (Ь± — ах) = -^{Ь — а).
Продолжая такъ далее, получимъ числа аг и Ъъ и т. д., и нако-
нецъ ап и 6И, для которыхъ
Выбирая я достаточно большимъ, мы можемъ сделать Ъп — ап мень-
шимъ любого положительнаго числа.
112. Изъ нижняго класса иррацдональнаго числа всегда
можно выделить неубывающую последовательность pauio-
нальныхъ чиселъ, в г которой найдется число, превыша-
превышающее любое изъ чиселъ этого класса*). Составленная въ пре-
аыдущемъ § последовательность чиселъ а, ах, а%, а3... такова,
что а ^ ах, а, ^ аг и т. д., т. е. что каждый послъдующШ членъ не
меньше предыдущего, следовательно, это последовательность не-
неубывающая **). Остается показать, что какое бы число а' мы ни
выбрали въ нижнемъ классе числа а, всегда найдется въ нашей
последовательности такое число ап, чтоа„>а'. Такъ какъ а! не наи-
наибольшее число въ нижнемъ классе а (такого не существуетъ), то
найдется число а" > а', принадлежащее тому же классу. Вместе съ
темъ мы видели, что Ъп — ап можно сделать, взявъ п достаточно
большимъ, меньшимъ любого положительнаго числа, въ частности,
следовательно, меньшимъ а" — а'. Изъ неравенства Ьп — ап<^а"—а'
следуетъ ап~>Ъп—а"+а'>а/, потому что Ь„— а" > 0, такъ
какъ а" принадлежитъ нижнему, а Ь„ верхнему классу числа а.
113. Изъ сказаннаго ясно, что последовательность а,, а2, а9,...,
какъ и последовательность bx, b2, b3, ... ***) могутъ служить для
определешя иррацюнальнаго числа. А именно, предполагая, что эта
последовательность дана, мы видимъ, что она приводитъ къ раз-
делешю всехъ рацюнальныхъ чиселъ на два класса, обладающихъ
требуемыми свойствами. Достаточно отнести каждое рацюнальное
число а' къ нижнему классу, если въ данной последовательности
возможно найти число, не меньшее а!', и къ верхнему, если въ
данной последовательности найти такое число невозможно. Это
*) Неубывающею последовательностью чиселъ аг, а2, as, ... вп ...,
называется такая, въ которой каждое число не меньше (больше или равно)
предыдущего.
**) Въ самомъ хЬлЬ ах = ^ (а + Ь) > а при Ъ > а, или ах = а, а2 =
i(«i+ *i) > «i или я2= аи и т. д.
***) Последовательность blt b2, bB,... есть последовательность невозра-
стающая, такъ какъ b > bx > b2 > b3 ...
114 II, 1. ИРРАЩОНАЛЬНЫЯ ЧИСЛА. §§ 113—114
замЪчате важно въ томъ отношенш, что оно открываетъ новый
путь для изучешя иррацюнальныхъ чиселъ, определяя эти числа при
помощи последовательностей ращональныхъ чиселъ. Teopin число-
выхъ последовательностей была строго обоснована Гейне х) и
теор1я ирращональныхъ чиселъ тесно съ нею связана работами
Г. Кантора, Липшица и др. Но уже за 30 лътъ до того Ката-
ланъ въ своемъ преподаванш и небольшихъ замъткахъ поло-
жилъ основаше новой теорш ирращональныхъ чиселъ 2). Вайер-
штрассъ основываетъ теор1Ю ирращональныхъ чиселъ на более
тонкихъ поняпяхъ, разсматривая эти числа, какъ суммы безконечно
большого числа ращональныхъ чиселъ. Мы предпочитаемъ въ даль-
нЪйшемъ изложенш пользоваться раздЪлешемъ на классы, принад-
лежащимъ Дедекинду и принятымъ Дини, Таннери и другими (I).
Д1>йств1я надъ иррацюнальными числами.
114. Сложеше. а) Суммою двухъ чиселъ аи/? назы-
ваютъ и обозначаютъ черезъ a -f- /? такое число, рацдональ-
ное или иррациональное, которое больше суммы любыхъ
двухъ рацшнальныхъ чиселъ, соответственно меньшихъ,
чемъ а и /?, и меньше суммы любыхъ двухъ чиселъ, соответ-
соответственно ббльшихъ, чемъ аи/?, такъ что
а + b < а + В < а' + Ъ\
если а<^а<С.а', 6</?<6', каковы бы ни были ращональныя числа
а и Ь, а' и Ь', удовлетворяюшдя вторымъ неравенствамъ.
Установивъ такое определеше, покажемъ, что всегда суще-
ствуетъ число a-f-/? и что более одного такого числа не
можетъ быть.
Ь) Положимъ
A) а<а<а', b<$<br.
Всякое ращональное число г, не имеющее вида а-\-Ь, т. е. не раз-
разлагающееся на два слагаемыхъ, изъ которыхъ одно меньше а, дру-
другое меньше /?, непременно будетъ больше всехъ чиселъ, имею-
щихъ этотъ видь. Потому что, если бы г<Са-\-Ь, то г — я<6</?
и, вопреки предположена, г равнялось бы сумме двухъ ращональ-
ращональныхъ чиселъ а и г — а, где
а < а, г — а < /3.
Подобнымъ же образомъ докажемъ, что всякое ращональное число,
не имеющее вида a'+ b', будетъ меньше всехъ чиселъ этого вида,
!) .Die Elemente der Funttionenlehre (Crelles Journal, Bd. 74)
2) Cm. „Mathesis" 1886. стр. 151. (Журналъ, издаваемый въ Брюссел-fe.)
§§ 114—115 Д-БЙСТВ1Я НАДЪ ИРРАЦЮНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. 115
Поэтому, если существуетъ рацюнальное число г, не имеющее ни
вида а -\- Ъ ни вида а -f- Ь', гдЪ а, Ь, а', Ъ' удовлетворяютъ выше
указаннымъ неравенствамъ, то будемъ иметь
а + Ь < г < а' -+- Ь',
каковы бы ни были числа a, b, a', b', удовлетворяюшдя условЬ
ямъ A). Въ этомъ случай сумма а-\-(} существуетъ и равна этому
числу г.
c) Положимъ теперь, что такого числа г не существуетъ; это
значитъ, что всякое рацюнальное число будетъ либо вида а-\-Ъ,
либо вида а' + Ъ''. Образуемъ изъ этихъ чиселъ два класса. Этимъ
определится некоторое иррацюнальное число у, потому что всегда
а -\- b < a' -f- b', и въ нижнемъ класса нт,тъ наибольшаго, а въ
верхнемъ н'Ьтъ наименьшаго числа. Действительно, мы всегда мо-
жемъ найти два числа at и Ъх такихъ, чтобы было
а < ах < a, b < Ьх< [), откуда а -\- b < rtj+ bt и т. д.
Такъ какъ всегда
а + Ъ < -/ < а' + Ь',
то искомая сумма есть у.
d) Итакъ, всегда существуетъ число, рацюнальное или иррацю-
иррацюнальное, подходящее подъ опредт>лен1е суммы a+ /9. Остается до-
доказать единственность этого числа. Согласно § 111 мы всегда
можемъ заключить число а между двумя числами а и а > а, та-
такими, что а—а будетъ меньше любого положительнаго числа. Тоже
самое можно сделать съ [}. Но изъ неравенствъ
а' — а < \ t, b' — b < i s ,
rat e произвольно заданное положительное число, выводимъ, путемъ
сложешя: а?-\-Ь'—(а-\-Ь) < е. Поэтому (§ 110) число a -\- (}, ле-
лежащее между двумя числами, положительная разность которыхъ
меньше любого числа е, есть число, вполне определенное (един-
(единственное).
115. Свойства суммы, а) Такъ какъ сумма a -f- /? опреде-
определяется суммами а + Ъ и а + Ъ', не изменяющимися при переста-
перестановке слагаемыхъ, то очевидно a +/? = /?+ а.
b) Аналогично этому доказываютъ, что
« + /3 + 7 = a + (/3 + •/) и т. п.
c) Если /? = 0, то числа Ъ — отрицательныя, а числа Ъ'—по
ложительныя рацюнальныя числа. Отсюда следуетъ, что
а + b < а < а, а' + Ь' > а' > а.
Следовательно, классы а-\-Ь и а'-\-Ь' определяютъ число а. Иными
словами
a + 0 = а.
116 II, 1. ИРРАЦЮНАЛЬНЫЯ ЧИСЛА. §§ 115—117
d) Если /? =—а, то числа Ъ равны числамъ а', взятымъ съ
обратными знаками (§ 106), и такъ какъ а' >й, то а-\- Ъ = а — а' <0.
Точно такъ же числа Ъ' равны числамъ а съ обратными знаками
и а'-\-Ь' = а' — а>0. Число, лежащее всегда между а-\-Ь и а'-\-Ь'
есть, следовательно, 0. Иными словами а + ( — а) = 0 или короче
а-а = 0.
e) Отъ сложешя числа съ неравными числами получа-
получаются неравныя суммы. Действительно, если а</?, то можно себе
представить таюя два числа а и Ь, что а<я<6</?. Кроме того,
(§ 111) всякое число у можно заключить между двумя числами
с к с' такими, что с —с<Ь — а или а-\-с <_Ъ-\-с. Съ другой
стороны, изъ опредълешя суммъ а -\- у и [} -\- у слЪдуетъ, что
' p b+ Ь р т. е.,
если а<@, то
116. Вычитан1е. Всегда существуетъ число, которое, будучи
сложено съ /?, дастъ въ суммт, а. Это число есть а -)- ( — /?). Дей-
Действительно, по свойствамъ суммы имъемъ
Не существуетъ другого числа, обладающаго гЬмъ же свойствомъ,
потому что было показано, что два различныхъ числа, сложенныя
съ однимъ и тЪмъ же, не могутъ давать одну и ту же сумму.
Итакъ, число a -f- (— /3) или короче а — /?, дающее при сложенш
съ ft число а, есть единственное. Оно по опредЪлешю и есть
разность между числомъ а и числомъ Д.
117. Умножеше. Положимъ сперва, что аи/? положитель-
ныя числа, и a, b, a', b' положительныя рацюнальныя числа,
удовлетворяющ1я услов1ямъ A) § 114. Всякое положительное paiiio-
нальное число г будетъ либо вида ab, либо вида а' Ь', либо
ни того, ни другого. Если г не имъетъ вида аЬ, то r>ab.
Иначе изъ неравенства r<^ab мы вывели бы, что —<&</?
и вопреки предположена число г разлагалось бы на множители
а<^а и — <С/?• Такимъ 'же образомъ покажемъ, что если г не
имЪетъ вида а'Ь', то г<С.а'Ь'. Следовательно, если г не будетъ
ни вида ab, ни вида а'Ь', то ah <V <С.а' Ь\ для всъхъ значешй
a, b, a', b', удовлетворяющихъ услов1ямъ A). Если нътъ рацюналь-
наго числа упомянутаго свойства, то это значитъ, что всякое рацю-
нальное число будетъ либо вида ab, либо вида а'Ь'. Тогда раз-
смотримъ ирращональное число, определяемое классами чиселъ ab
и а'Ь'. Такимъ образомъ мы убеждаемся, что наверно существуетъ
число "/, рацюнальное или ирращональное, обладающее темъ свой-
свойствомъ, что оно будетъ больше произведен1я любыхъ двухъ
§§ 117 — 120 ДЪЙСТВШ НАДЪ ИРРАЦЮНаЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. 117
положительныхъ рацшнальныхъ чиселъ, соответственно
меньшихъ ч^мъ а и 8, и меньше произведешя любыхъ двухъ
рацшнальныхъ чиселъ, соответственно большихъ, чъмъ а и 3:
ab<Cy K.a'b'. Это число единственное. Чтобы это доказать, надо
лишь убедиться, что каково бы ни было положительное число е, всегда
можно выбрать числа а, Ь, а', V такъ, чтобы а'Ъ'— аЪ было меньше е.
(§ ПО). Съ этой цълью, выберемъ между числами верхняго класса
наибольшаго изъ чиселъ а и 8 число с такое, чтобы с1 было больше ^е,
где е выбранное по произволу положительное число. Это, очевидно,
всегда возможно, и будемъ иметь а<Сс, Ъ<^с и с2^>-^-или-_-• <С с.
о ос
Затъмъ выбираемъ числа а, а', Ъ, Ь' такъ, чтобы а'—а и Ъ'—Ъ
были меньше „-, что также всегда возможно. Тогда, такъ какъ
а + b -\- -~ • < Ъс, мы будемъ имъть
и а'Ъ'— ab<Ce- Поэтому (§ ПО) число у, лежащее всегда между
аЪ и а'Ъ'- единственное, вполне определенное. Оно и будетъ по
определешю произвелешемъ данныхъ чиселъ а и 8, и обозна-
обозначается знакомъ а8.
118. Такимъ образомъ определяется произведете двухъ чи-
чиселъ лишь вь томъ случае, когда эти числа оба положительны.
Вообще же произведен1емъ двухъ чиселъ а и 8 называютъ про-
произведете ихъ абсолютныхъ величинъ, взятое со знакомъ-)- или — ,
смотря по тому, будутъ ли числа а и 8 одинаковыхъ или разныхъ
знаковъ. Иными словами
«?=-(-«) Д ар=-а( -If), аЗ = (-а)(-0).
Произведен1е а на 0 будетъ по опреяълен!ю равно нулю. Въ послЪ-
дующемъ мы будемъ для1 сокращешя речи считать а и /5 положи-
положительными. Bet, найденныя при этомъ свойства легко обобщить на
все друпе случаи.
119. Свойства произведешя. а) а8 = 8а, Ъ) а8у = а (8у) и т.д.
с) а- 1 = а, d) а— =1, е) если умножимъ число на нерав-
ныя числа, то получимъ неравныя произведен1я. Все эти
свойства легко доказываются съ помощью разсужденШ, аналогич-
ныхъ тъмъ, которыми мы пользовались въ § 115.
120. Д^ле^е. Всегда существуетъ число, которое по
умножен1и на В ф 0 даетъ а. Оно равно произведешю а--т>
которое для краткости обозначаютъ знакомъ -=-. Действительно, по
118 II, 2. teopw пред-ьловъ. §§ 120-122
свойствамъ произведешя, имЪемъ
Не существуетъ другого числа съ тъмъ же свойством ь, потому что
два различныхъ числа,умноженныя на /?, какъ мы видели, даютъ
различный произведешя. Поэтому, число -д > которое по умноженш
на j3 даетъ а — единственное. Оно, по опредълешю, есть част-
частное отъ дЪлешя а на /?. Здъть также замЪтимъ, что при /? = 0,
символъ -тг смысла не имъетъ.
121. Аналогичнымъ образомъ можно обобщить всЬ правила
алгебраическаго вычислешя на иррацюнальныя числа. Напримъръ,
чтобы доказать, что а (/3 + у) = а/? + ау, достаточно разсмотр4ть
соотвЪтствуюния разд^лен1я на классы и обнаружить тождество одно-
именныхъ классовъ. Для насъ достаточно было намЪтить путь, ко-
которому надо следовать при подобныхъ доказательствахъ, гЬмъ бол'Ье,
что полное распространеше алгебраическаго вычислен1я на иррацю-
иррацюнальныя числа, само собою и совершенно естественно получается
изъ той важной теорш, которую мы теперь и разовьемъ.
ТЕ0Р1Я ПРЕДЪЛОВЪ.
Стремлеше къ пределу.
122. ОпредЪлеше. а) Число ап, изменяющееся съ измЪне-
н1емъ натуральнаго (цълаго положительнаго) числа п, называется
безконечно большимъ при безконечномъ п, если при безпре-
дъпьно возрастающемъ п, число а„ въ конц^Ь концовъ ста-
становится и остается большимъ сколь угодно большого
числа. Выражаясь точнъе, если каждому выбранному по произволу
числу L соотвътствуетъ нъкоторое число v такого рода, что при
п > v всегда будетъ пп > L, то говорятъ, что ап число безконечно
большое, или что а„ возрастаетъ безпредъльно или стремится
къ безконечности.
Ь) Говорятъ, что а„ при безконечномъ и есть число безконечно
малое, если при безпредЪльномъ возрастанш п, абсолютная вели-
величина числа ап въ концъ концовъ становится и остается меньшею
сколь угодно малаго положительнаго числа. Точн-fee выражаясь:
если каждому положительному числу е соотвЪтствуетъ нъкоторое
§§ 122—123 СТРЕМЛЕН1Е КЪ ПРЕДЪЛУ. 119
число этакого рода, что при п~р-v всегда |«„|<^е*), то говорить,
что а„ безконечно мало или стремится къ нулю (II).
c) Когда вообще говорятъ, что а„ при безконечномъ п стре-
стремится къ а или, что последовательность чиселъ at, а2, аъ, ...
имеетъ предЪлъ (limes) а, и пишутъ limя„ = я, то этимъ выра-
жаютъ, что разность а„ — а число безконечно малое. Въ частности
предЪлъ безконечно малаго числа есть нуль.
d) Принято также писать lim а„ = сю и говорить, что ап имеетъ
пред'Ьломъ положительную безконечность или просто безконеч-
ность, чтобы выразить, что ап число безконечно большое. Конечно,
подобный способъ выражешя есть дело простого соглашешя и вво-
вводится лишь для сокращешя речи. Съ тою же целью говорятъ,
что GН имъетъ предъломъ отрицательную безконечность, и пишутъ
\\тап= — °о, чтобы выразить, что ( — ап) стремится къ безко-
нечности.
123. Прим1>чан1Я. а) Если ап стремится къ а, то — йп
стремится къ — а. Действительно, разности
ап - а, -ап- ( - а) = а - яв
равны между собою по абсолютной величин^, и потому одна изъ
нихъ не можетъ быть безконечно малою безъ того, чтобы и дру-
другая не была таковою же.
b) Если число ап заключается между двумя безко-
безконечно малыми, то оно само безконечно малое. Действительно,
абсолютное значеше ап не можетъ быть больше абсолютныхъ зна-
ченШ обоихъ данныхъ чиселъ (между которыми оно заключается),
а потому оно должно сдълаться и оставаться меньшимъ любого по-
ложительнаго числа.
c) Если при безконечномъ п число ап стремится къ а,
то его абсолютная величина стремится къ абсолютной ве-
личинЪ а. Действительно, такъ какъ абсолютная величина разности
двухъ чиселъ всегда больше или равна разности абсолютныхъ вели-
чинъ этихъ чиселъ **), то будемъ имътъ
ап | — j a
Поэтому разность \ап\ — \а\ будетъ безконечно малою одно-
одновременно съ ап — а.
d) Если ап число безконечно большое, то обратное ему
число — будетъ безконечно малымъ. Действительно, если е
*) Символомъ | л: | всегда будемъ обозначать абсолютную величину х.
**) Известно, что \a-\-b\^\a[-\-\b\; положивъ b = с — а, нахо-
димъ I с I й | а I -)- 1 с — а\, \ с — а\>\с\ — I в I .
120 II, 2. теорш предъловъ. §§ 123-125
произвольно заданное, сколь угодно малое число, то всегда можно
найти такое значеше v, чтобы при п > v было
1 1
ап > —' откуда -„-< Е-
Иначе говоря, если lim ап = оо, то lim — = 0-
ап
е) Обратное заключеше несправедливо. Можно лишь утвер-
утверждать, что число, обратное положительному безконечно малому числу
имеетъ предЪломъ -\- ж*, а обратное отрицательному безконечно
малому имеетъ пределомъ— оо. Если же ап, стремясь къ нулю,
не будетъ въ конце концовъ сохранять одинъ и тотъ же знакъ,
то обратное число — будетъ лишь колебаться между положитель-
ап
ными и отрицательными числами, сколь угодно большими по абсо-
абсолютной величине, не стремясь ни къ какому пределу. Такъ напри-
мЪръ, последовательность чиселъ 1,—i, \,—\, \, ... имеетъ пре-
дътюмъ нуль, а последовательность обратныхъ чиселъ 1, — 2, 3,
— 4, 5,... не имеетъ никакого (ни конечнаго, ни безконечнаго)
предала.
124. Способъ пред'Ьловъ. Этотъ многообъемлющ1й спо-
собъ состоитъ въ переход^ отъ данныхъ соотношенШ между iepe-
м^нными числами къ аналогичнымъ соотношен1ямъ между предт>лами
этихъ чиселъ. Онъ основанъ на небольшомъ числЪ теоремъ, кото-
рыя доказываются весьма просто, если примемъ во внимате, что,
на основанш самого опредъ^летя предала (§ 122, Ь, с), существова-
Hie предала а перем^ннаго числа ап заключаетъ въ себ-fe возможность
всегда найти такое значеше v числа п, что при n^>v an будетъ
превосходить любое число, меньшее а, и оставаться мень-
шимъ любого числа, большаго а. Для этого достаточно взять
число е (§ 122) меньшимъ абсолютной величины разности между а
и вышеупомянутыми числами (III). ЗамЪтимъ еще, что, опираясь на
сказанное выше (§§ 112 и 113) объ иррацюнальныхъ числахъ, мы
можемъ утверждать, что всякое иррацшнальное число можно
разсматривать, какъ пред+,лъ некоторой последователь-
последовательности рацшнальныхъ чиселъ (IIIа).
125. Переменное число не можетъ одновременно стре-
стремиться къ различнымъ предъ'ламъ. Действительно, допустивъ,
что ап стремится къ двумъ неравнымъ между собою предЪламъ
а и Ь, мы могли бы, обозначая черезъ с число, лежащее между а и Ь,
(а <[ с <С Ь), найти такое значеше указателя п, для котораго
одновременно а„^>с и ап<С.с (§ 124), что невозможно. Слъ\дуетъ,
однако, заметить, что ап можетъ стремиться къ различнымъ преде-
ламъ при различныхъ формахъ указателя п. Напримеръ, по-
последовательность -|-, -|, \, \} |-, |^, ... никакого предела не имеетъ,
последовательность чиселъ, стоящихъ на нечетныхъ местахъ, имеетъ
§§ 125—129 СТРЕМЛЕНШ КЪ ПРЕДЪЛУ. 121
пред'Ьломъ нуль, а последовательность чиселъ, стоящихъ на чет-
ныхъ мъттахъ, имеетъ предъломъ 1 (IV). Важно заметить еще сле-
следующее. Изъ опредътшшя предала данной последовательности чи-
чиселъ вытекаетъ, что всякая последовательность, состоящая изъ
безконечнаго числа чиселъ, выделенная изъ последова-
последовательности, имеющей пределъ, сама имеетъ тотъ же самый
пределъ.
126. Изъ двухъ переменныхъ чиселъ ап и Ь„, стремящихся
къ различнымъ между собою пределамъ а и Ь, то, которое стре-
стремится къ большему пределу, въ конце концовъ, сделается больше
другого. Иными словами, если
lim ап > lim bn\ то ан > Ьп ,
начиная съ некоторого значешя указателя п. действительно, вы-
бравъ какое нибудь число с между а и b, a^> c^> b, при доста-
достаточно большомъ значенш п и для всехъ еще большихъ, будемъ
иметь (§ 124) ап^>с, b,,<ic, откуда ап^>Ьп-
127. Если одно переменное число въ конце концовъ*дела-
ется и остается меньше другого, то пределъ периаго не
можетъ быть больше предела второго. Иными словами: если
ан < Ьп, то liman < lim bn.
Действительно, если бы lim а„ былъ больше lim&n, то въ конце
концовъ имели бы ап^>Ьп, вопреки предположен^.
128. Изъ последнихъ теоремъ вытекаютъ некоторыя след-
ств1я, заслуживающ!я внимашя. Прежде всего важно заметить, что
переменное число въ конце концовъ принимаетъ и сохра-
няетъ знакъ (-}- или —) своего предела, т. е. если Нта„^>0,
то въ конце концовъ будетъ и я„^>0. Последовательность чиселъ,
стремящаяся къ положительному пределу, можетъ поэтому заклю-
заключать въ себе лишь ограниченное число отрицательныхъ или рав-
ныхъ нулю чиселъ. Обратно, если а.„>0, то 1ша„^0, т. е. поло-
положительное переменное число можетъ стремиться только къ
положительному пределу или къ нулю. Равнымъ образомъ,
отрицательное переменное число не можетъ стремиться къ положитель-
положительному пределу. Изъ этого следуетъ, что последовательность, со-
состоящая изъ безчисленнаго множества положительныхъ и
безчисленнаго множества отрицательныхъ чиселъ, ни къ ка-
какому пределу, кроме нуля, стремиться не можетъ.
129. Сумма и произведете конечнаго числа безко-
безконечно малыхъ чиселъ суть числа безконечно малыя (V). Если v
число заданныхъ слагаемыхъ или сомножителей, и е произвольно
заданное положительное число, то достаточно сделать абсолютную
величину каждаго слагаемаго меньшей —, и каждаго множителя
122 II, 2. теорю пред-ьловъ. §§ 129-133
v
меньшей ]/~е, чтобы сумма и произведение, по абсолютной величине,
сделались меньше е. Действительно, известно, что абсолютная ве-
величина произведешя равна произведению абсолютныхъ величинъ
сомножителей, а абсолютная величина суммы не больше суммы аб-
абсолютныхъ величинъ слагаемыхъ.
130. Если два переменныхъ числа стремятся къ одному
и тому же пределу, то всякое число, лежащее между дан-
данными переменными числами, стремится къ тому же пре-
пределу. Положимъ, что при всякомъ п*), a,i<^bn<icn, и lima,,=
lime,, = а. Разность Ь„—а (§ 123, Ь) безконечно мала, потому что
заключается между ал— а и сн — а, безконечно малыми по условш.
Следовательно, lim Ь„ = а.
131. Если некоторое переменное число Ъп стремится
къ пределу а, и всегда заключается между переменными
а„ и сн, разность которыхъ стремится къ нулю, то эти пе-
ременныя ал и сп стремятся къ тому же пределу я, какъ
и Ь„- Пусть ап<СЬп<С.сп, lim 6„ = я, lim (ап — с„) = 0; напишемъ
а„ — а = (а«— Ьп) + {Ь„ —а). Разность ап — Ь,„ лежащая между 0
и безконечно малою разностью ап—сп, имеетъ пределомъ 0; раз-
разность Ьп — а, по условш, безконечно мала; следовательно, lima,, =а,
а такъ какъ с„ — а = (сн — а„) + (ап — а), то и lim cn = а.
132. Пределъ суммы конечнаго числа переменныхъ,
стремящихся къ определеннымъ пределамъ, равенъ сумме
пределовъ слагаемыхъ. Действительно, если переменный а„, Ъп
cn,...,kn стремятся соответственно къ пределамъ а, Ъ, c,...,k,
то это значитъ, что (§ 122, с) ап — а, Ьп — Ь, сп — с, . ¦. kn — k
числа безконечно малыя, а потому (§ 129) и сумма ихъ
(«и + *п+с»+ ••• +К) - (а+ Ь+ €+¦¦¦ +k).
число безконечно малое. Иначе
lim (я„ + 6в + с„Н \-k,,) = a + b + c+- + k
= lim an + lim bn + lim ?„ + •¦¦+ lim kn.
Какъ одно изъ следегай этой теоремы, заметимъ следующее: если
разность двухъ переменныхъ стремится къ нулю, и одно
изъ нихъ стремится къ некоторому пределу, то и другое
стремится къ тому же пределу. Действительно, если lim an = а и
lim (bn — дн) = 0, то 'lim bn = lim an -f- lim (bn — an) = a.
133. Пределъ произведеюя конечнаго числа сомножи-
сомножителей, стремящихся къ определеннымъ пределамъ, равенъ
*) Начиная съ нЪкотораго м^ста.
§§ 133—136 основный теоремы. 123
произведение предъловъ сомножителей. Действительно, пере-
перемножая числа
ап = а + (ап - а), Ьп = Ь + (Ьп - Ь), сп = с + (сп - с), ...
получимъ произведете аЪс ... , сложенное съ конечнымъ числомъ
безконечно малыхъ слагаемыхъ (VI). Поэтому
iim anbncn ¦¦¦ = a b с ¦¦¦ = lim an ¦ lim Ьп ¦ Iim cn ¦¦¦
134. Если ап стремится къ пределу а, отличному отъ
нуля, то- стремится къ пределу — . Выбравъ по произволу по-
положительное число е, меньшее 1 и, замечая, что предътгь числа—, рав-
наго произведен1ю а„ на —, есть 1, мы можемъ дать числу п
ап
такое значеше, начиная съ котораго — > е, и въ то же время
fl« —
ая2- Тогда
Фа ,. 1 1
— < ?, Iim— = —.
а„ я.„ а
135. ПредЪлъ частнаго равенъ частному отъ дЪлен1я
предала числителя на предЪлъ знаменателя, предполагая
посл'Ьдн1й не равнымъ нулю. Действительно, на основан1и ска-
заннаго въ предыдущемъ §, имъемъ
ап 1 1 1шя,
lim -j— = Игл а„ ¦ lim у- = lim я„
\ „ lim Ьп ~ lim Ьп ¦
Важно никогда не упускать изъ вида существеннаго ограничешя,
что lim А„фО.
Основныя теоремы.
136. Теорема I. Всякое возрастающее переменное число
имъетъ конечный или безконечный предЪлъ.
Если ап не возрастаетъ до безконечности, то существуетъ по
крайней м-fept одно число, котораго а„ не превзойдетъ, и ясно, что
тъмъ же свойствомъ обладаетъ всякое число, большее упомянутаго.
ЗамЪтивъ это, раздЪлимъ ect ращональныя числа на два класса
слъдующимъ образомъ. Отнесемъ рацюнальное число г къ нижнему
классу, если въ последовательности ах, аг, а3, ¦.. возможно найти
число, большее г; наоборотъ, отнесемъ рацюнальное число г къ
верхнему классу, если въ последовательности я,, аг, аъ, ... не воз-
124 И, 2. теорщ предъловъ. § 137
можно найти число, превышающее г. Числа нижняго класса, оче-
очевидно, меньше чиселъ верхняго класса; кроме того легко показать,
что въ нижнемъ классе нЪтъ наибольшего числа. Въ самомъ деле,
когда возьмемъ любое число г нижняго класса и найдемъ число а„
большее г, что по условто возможно, то всякое рацюнальное число,
лежащее между г и ап, т. е. большее г и меньшее а,„ будетъ при-
принадлежать тому же классу, согласно опредъпенда этого класса.
Следовательно, какое бы число нижняго класса ни выбрали, всегда
найдутся числа того же класса, бблышя выбраннаго. Указанное раз-
дЪлеше всЬхъ рацюнальныхъ чиселъ опредЪляетъ, следовательно,
(§ 103) некоторое рацюнальное или иррацюнальное число а х). Далее,
изъ теорш иррацюнальныхъ чиселъ (§ 112) слЪдуетъ, что какъ бы
мало ни было произвольно заданное число е, въ нижнемъ классе
числа а всегда найдется такое число г, которое превзойдетъ число
а — s. Поэтому, найдя еще число ап большее г, a fortiori будемъ
иметь а„^>а — ?, т. е. положительная разность а — ап<Се и оста-
остается <Г е, при возрастан1и п, такъ какъ а при этомъ не меняется,
а а„ возрастаетъ. Сл^овательно, lim а„ = а. Подобнымъ же обра-
зомъ доказывается, что всякое убывающее (или лучше не возра-
возрастающее) переменное число стремится къ отрицательной безконечности
или къ конечному пределу.
137. Лемма. Изъ всякой последовательности, заклю-
заключающей въ себъ неограниченное число чиселъ, можно вы-
выделить другую последовательность, стремящуюся къ нЬко-
торому конечному или безконечному пределу.
Если въ данной последовательности а\, а-г, а3, ... заключается
лишь конечное число чиселъ, меньшихъ или равныхъ ci\, то въ ней
наверно будетъ безконечное число чиселъ, превосходящихъ а,\. Чтобы
иметь дело съ определеннымъ случаемъ, мы и предположимъ, что въ
нашей последовательности безконечное число чиселъ, большихъ а\.
Пусть одно изъ нихъ будетъ аг, ¦ Можетъ случиться, что между сле-
следующими за нимъ числами найдется число аг^>аг^ между сле-
следующими за аГг число аг,^>аГг и т. д. Если такой подборъ чиселъ
можно продолжать безпредельно, то изъ 'данной последовательности
выделится последовательность постоянно возрастающихъ чиселъ,
имеющая по доказанной теореме (§ 136) конечный или безконечный
пределъ. Въ противномъ случае встретится наконецъ некоторое
число аГ}, котораго не превзойдетъ ни одно изъ следующихъ за
нимъ чиселъ и выделится группа изъ конечнаго числа чиселъ
а. < а < а ¦¦¦ < а .
Между числами, следующими за аГ), опять будетъ, по предполо-
шее число.
!) а будетъ рационально, если въ верхнемъ классЪ будетъ наимень-
§§ 137—138 основный теоремы. 125
женйо, безконечное число чиселъ, большихъ ах, но не превосходя-
щихъ аГх- Начиная съ одного изъ нихъ ач составляемъ подобно
предыдущему, последовательность возрастающихъ чиселъ, которая
подобно первой, либо продолжится безпредЪльно (и тогда лемма
будетъ доказана), либо оборвется на нтжоторомъ числе а, , кото-
раго не превзойдетъ ни одно изъ слътгующихъ, но само оно будетъ
не больше аГ). Такимъ образомъ получится новая группа изъ ко-
нечнаго числа чиселъ
Продолжая такимъ образомъ, получимъ рядъ группъ
«i< % < «Ц < ••¦ < аг._.
При этомъ либо дойдемъ до последовательности съ безконечнымъ
числомъ возрастающихъ чиселъ (и лемма будетъ доказана), либо
получимъ последовательность съ безконечнымъ числомъ не воз-
возрастающихъ чиселъ
г/. ¦> lv
имеющую (§ 136) конечный предъпъ (а не — со, такъ какъ все
ея числи большей!) (VII).
138. npHiwbnaHiH. а) Положимъ, что ап и Ъп переменныя
числа, о которыхъ известно следующее: 1) когда а„ стремится къ
некоторому пределу а, то и Ьп стремится къ некоторому пре-
пределу Ъ *), и 2) различнымъ значешямъ а соответствуютъ различный
значеьпя Ъ. Тогда можно утверждать, что если существуетъ опре-
определенный пределъ для Ъп, то существуетъ и определенный
пределъ для ап (не зависящШ отъ последовательности значен1й п).
Действительно, если бы последовательность ах, йг, аъ, ¦ ¦ ¦ не имела
определенная предела, то мы могли бы выделить изъ нея после-
последовательности, имеющдя различные пределы а, которымъ соответ-
соответствовали бы и различныя значешя Ъ, что противоречить существо-
ван1ю определеннаго предела для Ь„.
Ь) Въ § 125 была уже приведена последовательность, кото-
которая разбивается на две, имеющая различные пределы. Не мешаетъ
заметить, что въ случае безконечнаго числа выделяемыхъ последо-
последовательностей различные ихъ пределы могутъ дать сплошной рядъ
*) При чемъ эти пред-Ълы могутъ быть различны для различныхъ по-
последовательностей значешй числа п.
126 II, 2. теорш пред-ьловъ. §§ 138-139
чиселъ (т. е. Bet числа, лежашде въ нъкоторомъ промежутка между
двумя данными числами). Приведемъ следующШ примерь: Пусть v
обозначаетъ число цифръ въ числе п. Переменное число ап = —
можетъ иметь пред^ломъ любое число а, лежащее между 1 и 10.
Действительно, если заставимъ число п последовательно принимать
значемя, равныя наибольшему целому числу, заключающемуся въ
числахъ
10 100 1000 10 000
то ап будетъ стремиться къ данному числу а (VIII).
139. Теорема II. Услов1е, необходимое и достаточное
для существован1я конечнаго предала числа ап, состоитъ
въ томъ, чтобы каждому сколь угодно малому положи-
положительному числу е соответствовало такое число v, для ко-
тораго
при всякой паре значен1й п и п", болыиихъ v.
Если ап стремится къ а, то это значитъ, что при произвольно
заданномъ положительномъ числе е, какъ бы оно мало ни было,
всегда можно найти такое число v, чтобы было
п, -a <is, ап„--а <Ле,
для всехъ значен1й п' и п", большихъ v. Следователгно, будемъ
иметь
SS | ап, - а
а - ап„ \ < е,
т. е. yoioeie необходимо. Обратно, положимъ, что при данномъ е
можно найти такое v, чтобы | ап' — ап" |<С1е> Для всехъ зна-
чешй п' и п"', большихъ v. Тогда, въ частности, фиксируя зна-
чеше п', увидимъ, что все числа ап, для которыхъ n^>v, будутъ
заключаться между ап< — -f и аП'-\-\. Отсюда следуетъ, что если
мы изъ последовательности а\, а2, аз,--- способомъ, указаннымъ
въ § 137, выделимъ последовательность ar, as, at,---, имеющую
пределъ, то этотъ пределъ будетъ наверно числомъ конечнымъ.
Обозначимъ его черезъ а. Определимъ затемъ въ ряде указате-
указателей г, s, t, -.. число [л > v, достаточно большое, чтобы \ац — а
было меньше ^е. Тогда для всякого n^>v будемъ иметь
| ап - а | ё | ап - а
откуда Нт ап = а. Итакъ, услов1е и достаточно.
140-141
ОСНОВНЫЯ ТЕОРЕМЫ.
127
140. Теорема III. Если при безпредЪльномъ возра-
станш п, переменный а„ и Ьп стремятся къ нулю и, кромЪ
того, Ьп постоянно убываетъ*), то
A)
lim -r- = lim , —,
предполагая, что второй предЬлъ существуетъ. Обозначая
черезъ / значеше правой части равенства A), мы можемъ, при про-
произвольно заданномъ положительномъ е, найти такое значеше п, что
всъ дроби
!Vfl
ап-\-1
будутъ заключаться между / — | и /+ |. Замечая, что знаменатели
вс^хъ этихъ дробей числа положительныя, можемъ сказать, что
между тЪми же числами будетъ заключаться дробь, числитель кото-
которой равенъ суммЪ числителей и знаменатель суммЪ знаменателей
данныхъ дробей **), т. е.
- ъ
I
tt-j-D
< is,
какъ бы велико v ни было, при всЪхъ значен1яхъ п, начиная съ
нйкотораго
Дробь ," —-3^, при данномъ п и безпред^льно возраста-
ющемъ v, стремится къ предълу -г- ¦ По этому всегда можно вы-
выбрать v такъ, чтобы выполнялось неравенство
а тогда получимъ
ъ,Г
lim -^-
141. Теорема IV. Если при безиред^льно возраста-
ющемъ п число Ъп, постоянно возрастая, превосходить
всякое данное число, то
B)
lim -г- = lim т -,-
*) Это второе услов1е можно выразить неравенствомъ Ьп,1 < Ьп при вся-
комъ п. Оно не вытекаетъ изъ перваго, потому что Ьп можеть приближаться
къ 0, не постоянно убывая, а то возрастая, то убывая, колеблясь около нуля.
**) Это известная теорема элементарной Алгебры. (См. напр. Алгебра
Ж. Бертрана, перев. Пирожкова 1899. 1 часть, стр. 88. Зам"Ьтимъ только, что
ie, чтобы оба члена дробей были > 0, поставленное у Бертрана, излишне.)
128
II, 2. ТЕ0Р1Я ПРЕДЪЛОВЪ.
§§ 141-142
въ предположена, что второй предЪлъ существуетъ.
Обозначая черезъ / значеше второй части равенства B), мо-
жемъ найти такое число v, что при п > v всегда
а„ — а
и—1
Другими словами, всЬ дроби
av+l
¦',¦+2
Vfl
гп-1
- К
содержатся между / — ^е и
знаменатели положительны, будемъ имЪть
Ьп Ъп- 1
съ тЪмъ, такъ какъ всЬ
b
¦-/
< ie.
Мы возьмемъ v достаточно большимъ для того, чтобы им^ло мЪсто
не только последнее неравенство, но и неравенство 6„>0, что
всегда возможно, потому что по yaiOBiio bn возрастаетъ безпре-
д^льно BMtcrt съ п. На томъ же основанш, при постоянномъ v,
можно выбрать п такимъ, чтобы число ^ebn превзошло абсолют-
абсолютную величину числа av — lbv и загЬмъ при возрастан1и п остава-
оставалось постоянно большимъ послЪдняго числа. Замечая теперь, что
On
"у ¦- lbv
I)
*., - - *.
¦- /
непосредственно находимъ
ШТ = 1.
142. Сл"Ьдств!я. а) Если некоторая последовательность
чиселъ стремится къ конечному пределу, то къ тому же
пределу стремится и среднее ариеметическое и среднее
геометрическое значен1е ея первыхъ п членовъ.
Въ самомъ дЪлЪ, на основанш последней теоремы имЪемъ
C)
Нт-
¦¦ lima,,.
если предЪлъ во второй части существуетъ*).
ВпослЪдствш мы увидимъ (§ 150), что предЪлъ логаривма
перем^ннаго числа равенъ логариему отъ предала этого
*) Полагаемъ въ теоремъ IV Ьп = п и замъняемъ ап черезъ
§§ 142-143 основный теоремы. 129
перемЪннаго. Считая это доказаннымъ и заменяя въ предыдущемъ
равенств!; ап черезъ )ogan, получимъ
lim log Yа\ я2 ... ап = lim log an,
откуда
D) lim У'a1 a2 .. . an = lim an,
предполагая, что предтлъ въ правой части равенства существуетъ*).
Ь) Если въ некоторой последовательности отношен1е
и-таго члена къ предыдущему стремится къ некоторому ко-
конечному пределу, то къ тому же пределу стремится корень
/г-ой степени изъ п-то члена. Действительно, стоитъ только
заменить въ равенств^ D) ап черезъ ——, чтобы получить
а
,. l/ Ч з ,. п ,.
lim I/ а, ... = lim = lim
а
п-1
E) lim YWn = lim
143. Прим"Ьчан1я. а)**) Вторая теорема § 142 (выражаемая
формулою D)) доказана въ предположены, что не только ап > О,
но и lim ап > 0 (иначе log ап и log (lim an) не имели бы смысла въ
области вещественныхъ чиселъ). Поэтому формула D) остается не
доказанною для того случая, когда Нтям = О. Чтобы пополнить
этотъ пробЪлъ, достаточно было бы доказать, что формула C),
а следовательно, и D) остаются справедливыми и тогда, когда а„
стремится къ безконечности. (Действительно, формула D) не изме-
изменится, если замЪнимъ а,- на — и, будучи доказана для случая
а{
lim а„ = оо, будетъ справедлива и для lim ап = 0). Впрочемъ,
легко доказать, что самая теорема § 141 при указанномъ обобщенш
на случай безконечнаго предела правой части остается справедли-
справедливой (а следовательно, остаются справедливыми и ея следств1я въ
§ 142), т. е., что имеетъ место следующее предложеше:
Если Ь„ при безпредельно возрастающемъ п, въ конце
концовъ, постоянно возрастаетъ, и если
(A) lim bn = cc, lim
я.. — а
п- 1
- *«-i
*) Изъ самаго доказательства теоремъ Ш и IV и ихъ сл-Ьдств1й видно,
что здЪсь предполагается, что существуетъ конечный пред-Ьлъ.
**) Это прим^Ьчаше принадлежитъ бывшему ученику Чезаро G. Sannia
и пом-Ьщено въ концъ нЪмецкаго издан1я.
130 II, 2. ТЕОР1Я ПРЕДЪЛОВЪ, § 144
то и
,. ап
lim т = ,
Въ самомъ д^ле, пусть / есть сколь угодно большое число,
a v выбрано такъ,. что при п ]> v
а — п л
- > 2/;
К -
_!
тогда, повторяя разсуждешя § 141, найдемъ
а,- а а а 1Ь
-А Л>2/, -J! -/>-!!; ! +
Поэтому, взявъ и достаточно большимъ и замечая, что пре-
второго члена послЪдняго неравенства при безконечномъ п
равенъ / (а первый членъ по абсолютной величин^ становится сколь
угодно малымъ), будемъ им-Ьть при всякомъ достаточно большомъ п
-г- > /, т. е. hm-^ = ос .
Къ тому же заключешю можно придти, 3aMt4aH, что а„ въ KOHut
концовъ постоянно возрастаетъ и стремится къ ос (изъ второго
yoiOBin (А)); поэтому можно применить теорему § 141 къ — и
п
тогда получимъ Пш — = 0 и т. д. Аналогично этому обобщается и
теорема § 140.
Ь) Въ предыдущихъ теоремахъ всегда предполагалось существо-
ваше предтуювъ въ правыхъ частяхъ равенствъ A), B), C) и D),
и изъ этого предположетя выводились заключешя о существованш
пред%ловъ лtвыxъ частей. Однако, послЪдн1е могутъ сущест-
существовать и тогда, когда первые не существуютъ. НапримЪръ,
мы видЪли (формула C)), что если существуетъ предЪлъ а по-
последовательности «1, а%, а3, ..., то существуетъ и предЪлъ после-
последовательности
«1. i («1 + «2) . i(rtl + + «з)- i (Я1 + «2+ «3+ Я4), ••¦
и равенъ тому же а. Но вторая последовательность можетъ имъ-ть
предЪлъ, когда первая его не имт>етъ. Такъ напримт>ръ, изъ после-
последовательности
F) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
выводится указаннымъ путемъ следующая
1, Ь !. I, f, t, 4. Ь ¦•-
§ 144 ОСНОВНЫЙ ТЕОРЕМЫ. 131
имеющая предЪлъ ^ *), тогда какъ первая никакого предала, оче-
очевидно, не имЪетъ.
c) Можно построить безчисленное множество последователь-
последовательностей, представляющихъ подобное явлеше. Положимъ, наприм-Ьръ,
что совокупность всЬхъ ц-Ьлыхъ положительныхъ чиселъ разбита
на г системъ А\, Аг, ...,АГ, при чемъ каждая изъ этихъ системъ
содержитъ въ себе безконечное множество чиселъ. Положимъ,
далее, что ап стремится къ пределу lit когда число и проходить
все значешя, принадлежашдя системе А(. Пусть щ обозначаетъ
число чиселъ этой группы, не превосходящихъ п, а а,„ сумму чле-
новъ разсматриваемой последовательности (а„), соотв-Ьтствующихъ
этимъ in значен!ямь указателя п. Тогда для той частной после-
последовательности, члены которой стремятся къ пределу U, имъемъ
lim -^- = U **), такъ какъ я,-, очевидно, возрастаетъ безпред-Ьльно
BMtcrt съ п: иначе система At заключала бы въ себ-fe конечное
число чиселъ. Ясно, что можно написать
— (а. + <7, + • • • + «„) + — • — + — • h • • • Ч ¦ —
п у х 2 >' п1 п п., п пг п
(по самому опредълетю чиселъ а,-„).
П:
Пред^лъ — можно назвать вероятностью того, что произ-
произвольно выбранное целое положительное число принадлежитъ си-
системе А(. (Определете математической вероятности можно найти
напр, у С. Савича „Элементарная теор1я страховашя" 1909 стр. 3.)
Обозначимъ эту вероятность черезъ pt. Тогда при безпредёльно
возрастающемъ п будемъ иметь
1шД(я1 + а2+ ••• +ап) =hpx+l2p?,+ ¦¦¦ +lrpr-
Напримеръ, въ последовательности F) имеемъ две системы: систему
А\ нечетныхъ чиселъ и систему Аг четныхъ чиселъ. Очевидно, здесь
рх = р2 = ^, h = 1, 4=0. Пределъ второй последовательности
(среднихъ аривметическихъ) равенъ, следовательно, l.-|-f-0. ^ = ^.
d) Аналогичнымъ образомъ изъ данной последовательности
а\, а*,, аз, • ¦ ¦ можно образовать другую
2 3 4
у
rtj, у Яуаг2, у
*) При п четномъ ап = \, при п нечетномъ ап = =—
т
1 о \_
lim an = i при всякомъ п. »
**) По формул-Ь C) § 142.
132
II, 2. ТЕ0Р1Я ПРЕДЪЛОВЪ.
§ 144
и применить къ ней тъ же разсуждешя (см. формулу D) § 142).
Если системы At, пределы U и въроятности pt существуютъ, то
будемъ им%ть
144. Теорема V. Если \\тап = а, \imbn=b, то
Положимъ, что v обозначаетъ наибольшее цълое число, за-
п
ключающееся въ -= ; тогда
V ,. И — V 1 *)
hm — = hm = тг •
и и 2
Такъ какъ \iman=a, то lim|an| =ja|, и (§ 142, а)
lim —(
и
V ,. 1,1 ii
= hm — hm — ( ai +
) =4
Поэтому, взявъ число а > ^ | а \, можемъ утверждать, что для до-
достаточно большого значешя п, всегда будемъ имъть
Предпославъ это, разсмотримъ выражеше
b)].
Мы можемъ принять, что число п взято достаточно большимъ, чтобы
абсолютная величина разности br — b была меньше — для всЬхъ
значен1й г, ббльшихъ п — v. Такимъ образомъ, для нъ-котораго зна-
чен!я п и для всЬхъ значен1й еще ббльшихъ будемъ им"Ьть
+ I av
< ?
и следовательно, lim а„ = 0, т. е.
lim — (rtl Ъп + а2 Ьп _.!
я„ bn_v+1) = Ъ lim^-(rtl + а2
•) v
[ft] п ,
2" = 2" — 0. ГДЬ 0 < g < 1; « —
= =- + е; и lim — = 0.
§§ 144—145 ОСНОВНЫЯ ТЕОРЕМЫ. 133
Правая часть равна
b lim — lim '- = lab.
n v
Поэтому
lim — («1 bn + «2 bn-l + ¦ ¦ ¦ + avbn -„+1 ) = i ab ¦
Аналогично этому доказали бы, что
lim — (ап bt + ап_х Ь2+ ¦¦ ¦ + av+l bn__ v) = i ab.
Путемъ сложен1я получаемъ
\i {b +
¦¦ +anb1) = ab.
145. Теорема VI. Если Ъп при безпред-Ьльномъ возра-
стан1и п стремится къ нулю, постоянно убывая, а 61 + 62+ ...
...-\-b,i 1 + Ь„ безпредЪльно возрастаетъ, то
Я161 + я2й2+ ... +anbn 1
1 "т ( + + + )
предполагая, что второй предЪлъ существуетъ.
ЗамЪтимъ, что въ томъ случай, когда существуетъ предътгь а„,
теорема эта прямо вытекаетъ изъ теоремы IV, и притомъ безъ вся-
кихъ ограничешй, наложенныхъ нами на Ъп. Д%йствительно, зам*-
нивъ въ формулъ- B) § 141 ап на «161 + ^262+ ••• + а„ Ьп и bn
на 61 + 62+ ••¦ + Ьп, тотчасъ получимъ
a1b1 + a2bi+ ••• +anbn ]
Но настоящая теорема именно тогда и полезна, когда lim а„ не
существуетъ. Для этого случая ее и докажемъ. Положимъ
и примемъ, что а„ стремится къ пределу а при безпред-Ьльномъ
возрастали п. Тогда можно написать
«1 h + а2 Ь.г + ••• + яи 6И
= «! *! + Bа2 -а1)Ь2+ ••• + («ая - (;; 1) ая_!) 6Я
= «х FХ - 62) + 2 а2 F2 - 63) + ¦ • ¦ + я а„ F„ - 6м+1) + « ап Ьп+1.
Отсюда, положивъ с, = г (bi — bi^i) и зам-Ьтивъ, что
134 II, 2. теорш пред-ьловъ. § 145
находимъ
«1*1 + «2*2 + ••¦ +ап Ьп = а1с1 + «2 С1 + ¦¦¦ + апСп
+ an[(b1 + b2 + ••• +6J- (с1 + са+ ¦•• +OL
и далъе
д161 + я262+ ¦¦¦ +апЬп
G)
Такъ какъ Ь„ убываетъ, то с„ > 0. КромЪ того, a -f- с2 + ••• + ^«
возрастаетъ безпред^льно. Въ самомъ д-Ьл-Ь, какъ бы велико ни было
число /, всегда можно достигнуть того, что ci-\-c%-\- ¦•¦ -\-с„ бу-
детъ больше /. Для этого достаточно выбрать v столь большимъ,
чтобы сумма bi -\- Ь2 + ••• + bv превзошла /, и зат-Ьмъ выбрать п
такимъ, чтобы было
И то, и другое возможно, потому что bi + b2 + •¦• + bn возра-
возрастаетъ безпред'Ьльно, а Ьп при возрастан1и п стремится къ нулю.
Принимая еще во внимате, что Ь„ постоянно убываетъ, будемъ
HMtTb
С! + с2+ ¦¦¦ +сп >61 + 62+ ••• +br + (n-v)bn+l-nbn+1*),
т. е.
bv - vbH+l
Зам-Ьтивъ это, им%емъ (§ 141, формула B))
«1 % + а2 с2 + • ¦ • + ап сп ап сп
lim ; = hm = lim a .
+ + +
Второй членъ правой части есть произведен1е двухъ множителей,
изъ которыхъ второй стремится къ нулю (по доказанному выше),
а первый
*1 + *2+ ••• +bn bt + b2+ ¦¦¦ +bn
всегда заключается между 0 и 1 (т. е. представяетъ собой число
конечное); поэтому этотъ второй членъ стремится къ 0, а первый
*) h + c2+ •••+<:„= *! + &,+ ... +bn-nb№+1 = b1 + b2+ ¦¦¦ +bv
(bv+1 + bv+2 + ... +6 J _ nbn+1 и (bv+1 + bv+2+.-. + bn) >{n-v) bH+l,
ii убыван1Я bn.
§§ 145—148 УПРАЖНЕНШ НА ВЫЧИСЛЕНШ ПРЕДЪЛОВЪ. 135
къ пределу, равному а. Следовательно,
alb1 + a2b2+ ¦•• +nnbn
hm ———: —у = «,
l>i + l>2 + ¦¦¦ + bn
что и требовалось доказать.
Упражнешя на вычисление предЪловъ.
146. Дано положительное число а и требуется найти пред'Ьлъ я" при
возрастанш п до безконечности. При а = \ имъемъ всегда а" — 1. При
а < 1, имъемъ я" = а"^1 " а < я"~1, т. е. а" постоянно убываетъ и потому,
на основанш теоремы I должно стремиться къ конечному пределу />0,
Но изъ тождества я" = а"~1 • а, при возрастали п до оа, слЪдуетъ / = la,
(а — 1) 1 = 0, сл-Ьдовательно, / = 0. При а > 1, имЪемъ а" = а" ~г ¦ а > а",
слъдовательно, а", постоянно возрастая вмт>ст-Ь съ п, должно стремиться
къ конечному или безконечному предълу; но этотъ предълъ конечнымъ
быть не можетъ, потому что онъ долженъ былъ бы быть положитель-
нымъ числомъ /, а предыдущее тождество при безконечномъ п даетъ 1 = 1а
(а — 1) / = С, / = 0. Итакъ,
lim а" = 0 при я < 1, lim а" = оо при а > 1.
Впрочемъ, каждый изъ этихъ результатовъ есть сл*дств1е другого
(§ 123, d, e).
я»
147. Еще легче определяется предълъ —-• Тождество
a" a" l a
«! («-1)! п
показываетъ, что разсматриваемое число, при какомъ угодно данномъ поло-
жительномъ числе а, въ концъ концовъ начинаетъ убывать, а именно, на-
начиная съ того значешя п, которое больше а. Поэтому оно должно стремиться
къ н*которому предълу /sO. Но вышенаписанное тождество, при переходт»
къ предълу, даетъ / = / • 0, т. е. / = 0. Слъдовательно,
я"
lim-7 = 0.
я!
Далъе, очевидно, что тотъ же результатъ имт>етъ мътто и при а < 0.
148. Положимъ, что предълъ ап *) существуетъ и равенъ а. Чему
тогда равенъ предълъ я™? Если т цълое положительное число, то я™
есть произведете изъ т сомножителей, имъющихъ каждый предъломъ о;
поэтому (§ 133) lim я™ = я1". Дал^е, если т=—7, гдъ т' ц+злое положи-
положительное число, и положимъ я™ = Ьп, то я„ = 6'"'. Такъ какъ ап стремится
къ предълу Ът, когда Ьн стремится къ Ь, то, обратно, можно утверждать
(§ 138, а), что если предъпъ ап существуетъ, то существуетъ и предЪлъ Ьт
*) Въ §§ 148, 150 и 151 предполагается ап > 0.
136 II, 2. теорш предъловъ. §§ 148—151
и притомъ им^емъ я = Ьт, т. е. b = а'". Если т = pjq, где р и q ц'Ьлыя
положительный числа, то можно написать
? ч
lim </ = lim Yal = ]/V = «"'•
Наконецъ, если т = — т', где т' положительное ращональное число,
то (§ 134) им-Ьемъ
limam= lim^-^ — = а'".
Итакъ, lim a™ = (lim aH)m, при всякомъ ращональномъ значенш т.
149. Если допустимъ, что существуеть lima|1 = a, то какозъ будетъ
предЪлъ 6"м? Предположимъ сперва, что число Ь, которое должно быть
всегда положительнымъ *), меньше 1, и обозначимъ черезъ ап абсолютную
величину ап — а. Когда задано некоторое сколь угодно малое положитель-
положительное число е, то всегда можно (§ 146) найти такое число v, чтобы A — б)"
было меньше Ь. Не изм-Ьняя v, выберемъ теперь п такимъ, чтобы ап было
меньше l/v и оставалось такимъ при дальнъйшемъ возрастан1и и (что воз-
возможно, потому что lim Un = 0). Тогда будемъ имъть
1 - Ьап < 1 _ A _ еуа« < 1 - A - 6) = е.
Отсюда последовательно получаемъ
lim ba» = 1, lim b"n = b", т. e. lim b"» = bUma».
При b > 1, можно написать
lim b"n = lim -1-- =— =6".
b-"« b a
150. Допуская, что ап стремится къ пределу а, найти предълъ
log ап. Изъ равенства ап — \ogan сл^Ьдуетъ: ап = Ьп>г, гкЪ b есть основаше
разсматриваемой системы логариемовъ. Если ап стремится къ пределу «,
то (§ 149) ап стремится къ пред-Ьлу Ьа. Поэтому (§ 138, а), обратно, если
существуетъ предълъ ап, то существуетъ и предЪлъ ап, при чемъ
а — ba, a = log а.
Следовательно,
lim log а„ = log (lim an). (Ср. § 142.)
151. Если ап и Ьп при безпред'Ьльномъ возрасташи и соответственно
стремятся къ предъламъ а и Ь, то къ какому предълу стремится я*»?
Полагая сп — апп имъемъ log си = bn log ап, откуда log с — b log а и с = аь.
Следовательно,
(8) lima> = (limfln)Um'V
*) Иначе Ь"п можетъ не иметь смысла въ области вещественныхъ
чиселъ.
§§ 152 — 154 УПРАЖНЕН1Я НА ВЫЧИСЛЕН1Е ПРЕДЪЛОВЪ. 137
152. Полагая, что ап стремится къ пределу а найти пред-Ьлъ
и (ап — ан_1). Допуская, что такой предътгь существуетъ и равенъ /, мо-
жемъ написать (§ 141)
па
пап
а = lim -— = Шп[ап - (w - 1 яя1] = lim п (ап - ап1) + lim an_x
или а = I + я, откуда / = 0. Следовательно, п (ап — ап1) либо ни къ ка-
какому пределу не стремится, либо стремится къ 0. Далее, легко показать,
что среднее ариеметическое значеше первыхъ п членовъ вида п(ап — ап_г)
всегда стремится къ нулю. Действительно, это среднее ариеметическое
можно написать такъ *):
и пред*лъ его будетъ (§ 142, а) а — а, т. е. нуль.
153. Даны два положительныхъ числа а и Ъ > а; черезъ а1 обозна-
чимъ ихъ среднее геометрическое, черезъ Ьх ихъ среднее ариеметическое,
т. е. положимъ
ах = YaF, by = |(я + b).
Изъ чиселъ ах и Ьх составимъ такимъ же образомъ числа а2 и Ь2, изъ
нихъ <73 и Ь3 и т. д. Вообще, пусть будутъ
Очевидно, для всякого значешя п, имъемъ а„ < а , , < Ь ,. < Ь , т. е.
а < Gj < а2 < а8 < • • • < b-s < b2 < b1 < b.
Число ап возрастаетъ вмъстъ съ п, оставаясь меньше Ь, тогда какъ Ьп
постоянно убываетъ, оставаясь больше а. Отсюда слъдуетъ (§ 136), что
ап и Ьн стремятся соответственно къ конечнымъ пределамъ аи/?. Изъ
второго, напр., соотношешя (9) получается, при переходе къ пределамъ:
/3 = i (и + /3), следовательно а = Я Этотъ общш пределъ чиселъ ап и Ьп
называется ариеметически-геометрическимъ среднимъ чиселъ а и Ь.
Аналогичнымъ путемъ доказываютъ, что последовательности чиселъ ап и Ьп,
определяемыхъ следующимъ закономъ
2апЬп
a ' *i ( + *)
имеютъ общимъ пределомъ геометрическое среднее чиселъ а и Ь, которое
поэтому можно называть также ариеметически гармоническимъ среднимъ
чиселъ а и b (IX).
154. Положимъ, что дана последовательность чиселъ, въ которой
каждый членъ равенъ ариеметическому среднему двухъ предшествующихъ
членовъ. Тогда ясно, что числа я1( я3, аь, ... изменяются въ одномъ(
*) «о =
138 II, 2. теорш предъловъ. §§ 154-156
а числа а2, а4, яв, ... въ другомъ направлеши (т. е., если первыя возра-
стаютъ, то вторыя убываютъ, и наоборотъ). Такъ какъ при этомъ и те,
и друпя остаются между первыми числами аи b (a = au b = rt2) обеихъ
последовательностей, то обе последовательности стремятся къ некоторымъ
конечнымъ пред'Ьламъ. Эти пределы равны между собою. Это тотчасъ сде-
сделается очевиднымъ, когда въ соотношенш ап,1 = | (ап + яя_1) мы будемъ
увеличивать я до безконечности и перейдемъ къ предъламъ. Впрочемъ, въ
этомъ можно прямо убедиться и вычислить этотъ обшдй предёлъ, найдя
общее выражеше членовъ данной последовательности, а именно:
а + 2Ь ,,»»Ь-а
»~ 3 ^v ' 3 • 2»-2
Отсюда тотчасъ находимъ
limeB = -He+2A) (X).
155. Здесь намъ надо будетъ сделать небольшое отступлеше, чтобы
доказать некоторый неравенства, полезныя при решенш различныхъ вопро-
совъ. Положимъ, что й], а2, а3, ... суть положительныя числа, менышя 1.
Обозначнмъ черезъ аи г сумму произведен^ изъ п первыхъ чиселъ данной
последовательности, по г множителей въ каждомъ. Тогда, какъ известно,
A0) A -а^а -«2) •¦• A -а^ = 1 -onl + arl2- ¦¦¦ ± ап„,
(изъ правила умножетя многочленовъ). Мы покажемъ, что всегда можно
написать
A1) (l-nJO-a,) ¦¦•A-аи) = 1-Vl + V2- -. ±0Vr,
где 8 лежитъ между 0 и 1. Иными словами, если въ правой части равен-
равенства A0) опустимъ все члены, следуюшде за ап г (при данномъ ;-), то полу-
чимъ число, меньшее или большее, чемъ то, что находится въ левой части,
смотря потому, будетъ ли г нечетное или четное. Для доказательства, ко-
конечно, достаточно показать, что равенство A1), очевидно справедливое при
п = г, будетъ справедливо при замене п на п + 1, если оно справед-
справедливо при какомъ нибудь п; умножая обе части равенства A1) на A №п,1),
получимъ
- «и_|_1 + «и+1 "и, 1 - • • • + П„+1 вн, г- -1 -+" 9 «п+1 "и , г ¦
Замечая еще, что oM^1; r = "и, г + ап+\ °п, г—i находимъ
-'- (, w-j-l п,г—1 ~г v n-4-l) п, г)'
Величина въ скобкахъ, очевидно, положительная, не больше
«и+1 Оп, г- 1 + (! - ап+0 °п,г = Пп+\ , г - ttn+\ "п, г < °п+1, г ¦
Поэтому ее можно представить въ виде '''on_i_l r, где V лежить между
0 и 1, что и требовалось показать.
156. Мы воспользуемся формулою A1), чтобы изсльдовать, какъ
A \"
1 И ) при безпредельномъ возрастан1и п. Если а
§§ 156—157 УПРАЖНЕНИЯ НА ВЫЧИСЛЕШЕ ПРЕДЪЛОВЪ. 139
положительное число, меньшее 1, то A — а)п > 1 — на *), и въ частности,
при а = — .-
г п-
1-Л >1-—, т.е. 1+— > 1 --— •
Замечая далъе, что
A2) Л IV-.
\n-\j У • п-\,
получаемъ
+ -)>(!+- Х ^
н) ' У ' п- I)
Следовательно, разсматриваемое число постоянно возрастаетъ. Но по
той-же формул^ A1)
,„ , п п(п—\) „ w(«— 1)(и —2) „
1
и въ частности, при о = — >
и
Зи- 3\ п} \ п] 3
А отсюда, съ помощью тождества A2), найдемъ
1 \я— 1 1
3'
/' 1 \«
Такимъ образомъ, мы видимъ, что число (X —1—I , постоянно возрастая
вмъстъ съ п, не можетъ однако превзойти 3. Поэтому оно должно стре-
стремиться къ конечному пределу. Этотъ пределъ обозначаютъ черезъ е; онъ
играетъ чрезвычайно важную роль въ Математике. Итакъ, при безпре-
дЪльвомъ возрастании п,
nj
Можно тутъ же заметить, что это равенство справедливо и тогда, когда п
стремится къ (- со). Действительно, полагая п = — т, где.т положитель-
положительное безпредельно возрастающее число, на основаши тождества A2) имеемъ
/ 1 \м / 1 \п+\ I 1 \\—т I 1 \т—1
lim 1+— =lim 1+— =lim 1 — = lim 1 + ——A =e.
\ и \ n \ ml \ m— 1 /
157. Положимъ, что ап стремится къ безконечности при безпредъль-
номъ возрасташи и; чему равенъ предълъ A -\ J и? Если т наиболь-
наибольшее цълое число, заключающееся въ ап, то т ? ап < т + 1; слъдова-
*) Изъ формулы A1) при «! = а2 = ••¦ = ап = а, ап , = па, г = 1.
140 П, 2. теорш пред-ьловъ. §§ 157-159
тельно т + 1 (а вмътгЬ съ нимъ и т) возрастаютъ безпредъльно вмъстъ
съ и. Въ то же время имъемъ
/ iw-^л
m+'l\ ' ет + 1/ "Г ' яиу ^ m V ' m
Припоминая последнее зам'Ьчате § 125, видимъ, что II -\ ) " заключается
между двумя числами, стремящимися къ общему предълу е. Поэтому (§ 130)
1 \««
Ит II
Къ тому же результату, очевидно, придемъ и въ томъ случай, когда ап
стремится къ (— ее).
158. Допуская, что ап стремится къ пределу а, найти предълъ
<Хп\п
1 • Положимъ 11 = апап. Если в-ЬО, то ясно, что ап стремится
къ +°° или - эо, смотря по знаку а (§ 123, е). Между гёмъ имъемъ
+_
«
а потому, на основанш формулы (8),
Полученный результатъ справедливъ и при а = 0. Въ самомъ дълЪ, разема-
тривая въ последовательности я1( а2, а3, ..., только положительные или
только отрицательные члены, мы можемъ применить предыдущая разеужде-
шя и получаемъ, что искомый предълъ равенъ е° = 1. А для тЪхъ членовъ
нашей последовательности, которые равны нулю, если таковые имъются,
разематриваемое число само равно 1.
159. Положимъ, что предълъ ап существуетъ и равенъ а. Чему ра-
н
венъ предълъ u\Yan— l)? ifln > 0). Полагая
находимъ
Когда п стремится къ х =°, то, переходя къ предъламъ, получимъ а = е ,
т. е. Ъ = log а, при чемъ символъ log здъеь и во всей книгъ дальше обо-
значаетъ такъ называемый натуральный или Неперовъ логариемъ *),
*) По имени изобретателя логариемовъ Непера (Napir).
§§ 159 — 161 УПРАЖНЕШЯ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕД-ЁЛОВЪ. 141
т. е. логариемъ, взятый по той системЪ, основаше которой есть число е.
ЗамЪтимъ еще, что lim bn существуетъ (§ 138, а), если существуетъ
Нтям. Итакъ,
п
lim n (Yan — О = log a.
160. Разсмотримъ число
п п
_ /уъ + у
п~~\ 2
которое при п = 1 равно среднему ариеметическому чиселъ а и Ъ, при
п = 2 совпадаетъ съ среднимъ ариеметическимъ средняго ариеметическаго
и средняго геометрическаго чиселъ а и Ь. Легко показать, что при безпре-
дЪльномъ возрастанш п число /и стремится къ предълу, равному среднему
геометрическому УаЬ. Действительно, напишемъ 1п въ вид"Ь
Положимъ зат'Ьмъ
ся = ь{и(УБ - 1) + и(УЬ- 1)\ .
Тогда /м = II Н—-) • Замътимъ теперь, что (§ 159)
с = lim сп = ^ (log a + log b) = log УаЬ
Следовательно (§ 158), / = ес = УаЬ. Итакъ, при безпред'Ьльномъ возра-
стан1и п им-ъемъ
161. Пред^лъ Уп при безконечномъ п прямо получается (§ 142, Ь)
изъ того, что
lim У'п = lim --^ = lim ^1 + — \ = 1.
п
Къ тому же результату придемъ, если покажемъ, что логариемъ ~\/~п стре-
стремится къ нулю. А къ этому приводитъ теорема IV, въ силу которой
lim Щ^ = lim \ log (и + 1) - log и ( = lim log (l + -^\ = 0.
Общ-Ье, если р сколь угодно большое число, то отношеше (log rif къ п
имъетъ пред"Ьломъ нуль, откуда, возвышая это отношеше въ степень q = —'
выводимъ, что отношен1е log n къ пя, какъ бы мало ни было поло-
положительное число q, всегда имъетъ предЪломъ нуль. Эти теоремы
мы установимъ въ бол-ъе общемъ вид-Ь въ одномъ изъ ближайшихъ пара-
графовъ.
142 II, 2. теорш предъловъ. §§ 162—163
162. Разсмотримъ последовательность чиселъ аг, а2, а3, ..., по-
постоянно и безпредъльно возрастающихъ, и положимъ
A3) lim п (ап - а^) = /.
На основанш сказаннаго въ § 152 предположен!е /фО исключаетъ возмож-
возможность существовашя конечнаго предъла для ап. Но можно утверждать
и нъчто большее, а именно, что равенство A3) при /фО, заключаетъ въ
себъ утверждеше, что ап стремится къ + оо. Въ самомъ дълъ, на осно-
ваши теоремы IV, имъемъ
lim 5 = lim ; ; r-r = lim
l l l ( 1)
5 = lim ;;rr = lim =^= /.
log» log и - log A1 - 1) L П-»
V «/
Поэтому, если / > 0, и а призвольное положительное число, меньшее /,
то, начиная съ нъкотораго значешя «, будемъ им^бть ап > a log n, откуда
lim ап = (х. Такимъ же образомъ увидимъ, что при /< 0 lim ап = -- оо.
То же самое можно получить и иначе, выражая, что среднее ариеметиче-
ское и первыхъ значешй числа п [ап — ап1) (§ 152) должно стремиться
къ предълу /:
Если бы ап стремилось къ конечному предълу, то / было бы равно 0. Сле-
Следовательно, если 1—0, то ап, постоянно возрастая или постоянно убы-
убывая при безпредъльномъ возрасганш п, смотря потому будетъ ли / > 0
или / < 0, стремится въ первомъ случае къ + со, а во второмъ къ (• со).
163. Основываясь на предыдущему покажемъ, что, какъ бы велико
а1'
ни было число р, отношеше — всегда имЪетъ пределомъ 0 *). Заметимъ
п
прежде всего, что
lim =lim I- = I;
поэтому, при р — целомъ
<-л
а* - а*
1* " "~ "А i-lii " — -1 i I " А 1 i i I '"—А \ \
/ ч р 1 I ' ' \ _ / ' ' \ \ \ **
Теперь теорема IV дастъ
Hm — = lim (арп avn л) — р lim (ап — ап_1) аРп — pi ¦ lim .
« п
Применяя полученный результатъ несколько разъ, находимъ
< «Г1 «Г2 1
lim — =/>/• lim = р(р - \I- ¦ lim -^— = •¦• = р ! f ¦ lim — = 0.
П 11 11 и
*) При условш, что / (формула 13) число конечное.
§§ 163—165 УПРАЖНЕН1Я НА ВЫЧИСЛЕН1Я ПРЕДЪЛОВЪ. 143
Ясно, что найденный результатъ будетъ справедливъ и при р не цЪломъ,
потому что тогда можно зам-Ьнить р цЪлымъ числомъ р' > р и заметить,
что арп < а>Уп, если выберемъ п достаточно большимъ для того, чтобы ап
было больше 1. Наконецъ, какъ бы мало ни было число q, взявъ р —- —,
получимъ (§ 148)
V
lim-= lim — = lim— =0.
n" \nl \ til
Зам'Ьтимъ при этомъ, что при q = 0 лъвая часть есть со *).
п
164. Найти предълъ ] 1 • 2 • 3 ••¦«==— :. при безконеч-
п а
номъ п. Полагая
получаемъ
",,+i _ (it I 1)!""
отсюда
,. a,,+i ,. 1
hm ¦—Т— = hm .
Поэтому (§ 142, b)
1 » 1
lim — у1 • 2 • 3 ¦ • • п = — ¦
п r e
j
165. Найти пред-Ьлъ - 1 '{и + 1) (л + 2) ... 2«, при безконеч-
номъ а. Полагая
1 я„ = — 1 "GГ+ТГ(« + 2) • --^
найдемъ отсюда
rt«+i 2 Bн + 1) н" 4» + 2 1
"п
Следовательно,
lim--- Т (;» + 1) (» + 2) • • • 2« = —- •
Къ тому же результату приходимъ, принимая во внимание тождество
\2
,
- 1 (« + 1) (я + 2) ¦ ¦ ¦ 2» = „_
*) Доказанное въ этомъ § и составляетъ объщанное въ § 161 обоб-
щен1е Результаты § 161 получаются отсюда при an — \ogn, при чемъ/=1.
144 И, 2. ТЕ0Р1Я ПРЕДЪЛОВЪ. §§ 166—168
166 *). Чтобы найти предЪлъ
\р 4- 2Р + Зр + • • • + п"
при п безконечномъ, применяемъ снова теорему IV и получаемъ
1
lim —г- = lim ——п ~тт = lim
= lim
¦!'-(¦-in
i
i
167. Требуется найти пределъ
\Р Л-2Р -\- ¦¦¦
пр р 4- 1
при п безконечномъ. Приведя данное выражеше къ общему знаменателю
и применяя теорему IV, найдемъ
lim ]im
(Р+1)*р (Р + У) [п>-(п-
Правая часть имъетъ такое же значеше, какъ и выражеше
( )
hm ^ — = lim
Рп"-^-^Р(р l)^+... l-t
Следовательно,
fl + 2\ \-np n
168. Требуется найти пред^лъ выражен1я
при гг безконечномъ. Выражеше въ скобкахъ состоитъ изъ безконечнаго
числа членовъ и мы еще не знаемъ, какой оно имъетъ смыслъ. Но скоро
увидимъ (см. теорш рядовъ, § 179 и слъдуюийе), что это выражеше изо-
бражаетъ при р > 1 вполнъ определенное число, изменяющееся при е
*) Въ §§ 166 168 число р считается целымъ и положительными
Предполагается известною формула бинома Ньютона для целаго положи-
тельнаго показателя.
**) Въ этомъ примере, какъ и въ предыдущемъ и следующемъ, при-
применяется разложеше двучлена по формуле бинома Ньютона, при чемъ выпи-
выписываются только два или три члена; все остальные въ пределе обращаются
въ нуль.
§§ 168-169 ГРАНИЦЫ И ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХЪ АНСАМБЛЕЙ. 145
неши п и, кром-Ь того, мы увидимъ, что это число по раздълеши на множи
теля пр стремится къ нулю при возрасташи и до безконечности. Поэтому,
обозначая черезъ 1п все предложенное выражеше, мы можемъ сказать,
что число
„-Р1 =
при безконечномъ я имъетъ предъломъ нуль. Чтобы найти теперь пре-
дълъ lim ln = /, примъняемъ теорему Ш и получаемъ
. .. »"Р1п ,. П ''« --W+L) *1п+1 .. Р -I
I = lim = lim = lim r
n" n " - («+ I)"-" /- Hf
! + я -1
Р ,Р(р-2)
2я + 6я2
Въ трехъ посл%днихъ параграфахъ число Д какъ уже сказано, предполага-
предполагалось ц'Ьлымъ. Но мы увидимъ, послъ того какъ прюбрътемъ нъкоторыя
новыя свъдън1я, что это ограничеше можно будетъ отбросить *).
Границы и пределы числовыхъ ансамблей.
169. Къ понятш о „предЪлЪ" съ бол-Ье широкой точки зр%-
тл мы придемъ, разсматривая такъ называемые ансамбли (Mengen)
чиселъ, т. е. совокупности чиселъ, заданныхъ сразу, а не слЪдующихъ
одно за другимъ по известному закону, какъ это было въ разсма-
триваемыхъ до сихъ поръ посл-Ьдовательностяхъ (Folgen) (XI).
Всякая посл-Ьдовательность чиселъ, если не обращать внимашя на
порядокъ, въ которомъ они расположены, есть въ то же время не-
некоторый ансамбль, но обратно, не во всякомъ ансамбле можно
расположить числа такъ, чтобы можно было сказать какое число
непосредственно слъ-дуетъ за даннымъ. ПростейшШ примЪръ ан-
ансамбля представляетъ совокупность всЬхъ чиселъ (рацюнальныхъ и
ирращональныхъ), лежащихъ между двумя данными а и Ь. Такой
ансамбль называется интерваломъ (промежуткомъ) и обозначается
символомъ (а, Ь). Числа а и Ь называются границами интервала
и разсматриваются обыкновенно, если не указанно противоположное,
какъ принадлежащая данному интервалу. Меньшее изъ чиселъ а и b
*) А именно, будетъ показано (§ 222 и § 332 d), что разложеше сте-
степени бинома по формулъ Ньютона при извъстныхъ услов1яхъ можетъ быть
обобщено на случаи дробнаго показателя. Въ §§ 166 и 167 останется только
очевидное ограничеше /4-1 > 0, безъ котораго вычислешя не имъютъ
смысла.
10
146 И, 2. ТЕ0Р1Я предъловъ. §§ 169-170
называютъ нижнею, а большее —верхнею границею интервала.
Абсолютная величина разности этихъ чиселъ служить мерою вели-
величины интервала. Кроме конечныхъ интерваловъ, все числа кото-
рыхъ лежатъ между двумя данными, могутъ встречаться и безко-
нечные, т. е. таюе, величина которыхъ можетъ быть сколь угодно
большою. Наприм-Ьръ, подъ интерваловъ (а, ж) понимаютъ интер-
валъ (а, Ь), въ которомъ числу Ь можно дать сколь угодно боль-
большое значеше. Онъ содержитъ въ себе всъ числа, не менышя а,
подобно тому какъ интервалъ (— ос, Ь) содержитъ въ себе всъ
числа, не болышя Ь- Въ нЪкоторыхъ случаяхъ приходится разсма-
тривать интервалы сколь угодно малые. Чтобы выразить, что
некоторое свойство имЪетъ место въ сколь угодно маломъ интер-
интервале, въ которомъ нижняя (или верхняя) граница есть данное чи-
число а, говорятъ, что это свойство имЪетъ место вправо (или
влево) отъ а, при чемъ само число а всегда исключается, и что
оно имъетъ место въ окрестности a (Umgebung), или въ смеж-
смежности съ а, если оно имЪетъ место и вправо и влево отъ а, не
исключая однако возможности того, что иногда (въ частныхъ слу-
случаяхъ) оно окажется справедливымъ лишь съ одной стороны. Иными
словами, правая сторона отъ а обнимаетъ собою веЬ числа, боль-
1шя а и сколь угодно къ нему близюя, лъ-вая веЬ числа, менышя а
и сколь угодно къ нему близшя, а окрестность а и тъ и друпя, за
исключешемъ самого а. Если почему либо такого исключешя не
хотятъ дъттть, то надо оговорить особо, что разсматриваются правая
или лЪвая сторона, или o6t, и само число а.
170. Ансамбль называется конечнымъ, если всъ его числа
принадлежатъ конечному интервалу. Само собою разумеется, что
этотъ интервалъ (а, Ь) можно сдълать какъ угодно болыиимъ, увели-
увеличивая b или уменьшая а, не лишая его свойства содержать въ себе
всъ числа даннаго ансамбля. Но его нельзя уменьшать безпре-
дЬльно, не нарушая этого свойства, если ансамбль не приводится
къ одному единственному числу. Когда а возрастаетъ, a b убыва-
етъ, то можетъ случиться (и, какъ увидимъ дальше, непременно
случится), что въ конце концовъ встретятся два числа X и /л со
следующимъ свойствомъ: Всякое число даннаго ансамбля, содержа-
содержащееся въ интервале (а, Ь) будетъ содержаться и въ интервале
(Я, /л), но какъ только увеличимъ Я или уменьшимъ /и какъ
угодно мало, то получимъ новый интервалъ, въ которомъ уже
не все числа даннаго ансамбля содержатся *). Границы X и /л
этого наименьшего интервала, содержащего все числа даннаго ан-
ансамбля, называются соответственно нижнею и верхнею грани-
границами даннаго ансамбля. (Иногда еще прибавляютъ эпитетъ: точ-
*) Т. е. найдется, по крайней мЪр-Ь, одно число ансамбля вправо отъ
верхней границы и, по крайней мъръ, одно влъво отъ нижней границы но-
ваго интервала.
§§ 170-171 ГРАНИЦЫ И ПРЕДЪЛЫ ЧИСЛОВЫХЪ АНСАМБЛЕЙ. 147
ныя нижняя и верхняя границы ансамбля). На основанш выше ска-
заннаго, мы можемъ установить слъдуюшля опредълежя: Нижняя
граница ансамбля есть наибольшее изъ чиселъ, не превос-
ходящихъ ни одного числа даннаго ансамбля. Верхняя гра-
граница ансамбля есть наименьшее изъ чиселъ, которыхъ не
превосходитъ ни одно число даннаго ансамбля. (XII). Ниж-
Нижняя и верхняя граница ансамбля не всегда принадлежать данному
ансамбль (т. е. не равны какимъ нибудь числамъ этого ансамбля).
Но если которая нибудь изъ этихъ границъ принадлежитъ ансамблю,
то она, очевидно, будетъ наименьшимъ или наибольшимъ числомъ
въ ансамблЪ. Обратно, если въ ансамбль- есть наименьшее или наи-
наибольшее число, то оно необходимо будетъ соответственно нижнею
или верхнею его границею. Напримъръ, последовательность посто-
постоянно возрастающихъ чиселъ alt аг, я3,..., стремящихся къ пре-
пределу а, имЪетъ нижнюю гранцицу ах, верхнюю а; но въ то время
какъ л, есть наименьшее число даннаго ансамбля, а не будетъ наи-
наибольшимъ его числомъ, потому что, при всякомъ п, а„ < а, и а
вовсе къ ансамблю не принадлежитъ; оно будетъ лишь верхнею его
границею, потому что каково бы ни было число а <^а, при доста-
достаточно болыпомъ и, всегда ап будетъ больше а, откуда и видно, что
а есть наименьшее изъ всъхъ чиселъ, которыхъ не превосходитъ ни
одно число даннаго ансамбля. Напротивъ, во всякой последователь-
последовательности чиселъ, которыя стремятся къ конечному пред-Ьлу, колеблясь
около него, т. е. переходя съ одной его стороны на другую, всегда
есть и наименьшее и наибольшее число. Другой примЪръ предста-
вляетъ нижнШ (или верхшй) классъ иррашональнаго числа а. Это
ансамбль рацюнальныхъ чиселъ, между которыми по опредътшнш
числа а (§ 103) нътъ наибольшего (наименьшего), и именно поэтому
число а есть верхнняя (нижняя) граница этого ансамбля (§ 112).
171. Лемма. ВсякШ критер1й, даюшлй возможность
разложить совокупность всЬхъ чиселъ *) на два класса,
обладающихъ тт>мъ свойствомъ, что всякое число одного
класса меньше всякаго числа другого класса, опредъ-ляетъ
число, которое будетъ либо наибольшимъ въ нижнемъ
классъ, либо наименьшимъ въ верхнемъ.
Чтобы это доказать, возьмемъ некоторое число а въ ниж-
нижнемъ и некоторое число Ь въ верхнемъ классъ и числомъ с = \ (а-\-Ь)
раздт>лимъ интервалъ (а, Ь) на два. Если с будетъ принадлежать
нижнему классу, то выберемъ изъ этихъ двухъ интервалъ (с, b), a
если с принадлежитъ верхнему классу, то выберемъ интервалъ (а, с).
Новый выбранный нами интервалъ обозначимъ черезъ (я,, Ьх)\ въ
лервомъ случаъ ах = с^>а, 6, = Ь, во второмъ я, = я, &, = c<ib.
Въ обоихъ случаяхъ
аг> а, А-, gi, Ьг — я3 = $(Ь — а).
*) Какъ рацюнальныхъ, такъ и иррацюнальыхъ.
10*
148 И, 2. теорш пред-ьловъ. §§ 171-172
Такимъ же образомъ, какимъ изъ интервала (а, Ь) получили интервалъ
(я,, bY), мы можемъ изъ второго получить третШ (а%, Ь.г), изъ третьяго
четвертый (а3, Ьъ) и т. д. Въ конце концовъ дойдемъ до интер-
интервала (ап, ап), который, какъ бы велико п ни было, будетъ обла-
обладать тъмъ же свойствомъ, какъ первоначальный, а именно нижняя
его граница будетъ принадлежатъ нижнему классу, а верхняя верх-
верхнему. Въ то же время будемъ иметь
7 r , b a
а ё я, < а, < ..., b > b, it lh, ~> . . ., Ь„ a = •
i - i — > -- l — j — > n n „и
откуда видно, что числа ап, оставаясь < Ъ, постоянно вырастаютъ
или, по крайней мЪръ, не убываютъ. Следовательно, они стремятся
къ некоторому конечному пред%лу | (§ 36), къ которому стремятся
и числа Ь„, потому что
lim (bn - ап) = 'im™- = 0, lim bn = lim an + lim (bt! an) = ?;
это число I и определяется данными двумя классами. Выбравъ по
произволу число х<С^, можно всегда найти достаточно большое
значеше п, чтобы а„ было больше х, потому что lim а„ = |, а
тогда х будетъ принадлежать, какъ и а„, нижнему классу. Такимъ
же образомъ покажемъ, что всякое число х^>^ будеть принадле-
принадлежать верхнему классу. Но самое число § необходимо должно при-
принадлежать тому или другому классу, потому что мы предположили
что наша классификащя распространяется на всъ числа. Дал-fee ясно,
что въ томъ классе, которому принадлежитъ §, оно будетъ наиболь-
шимъ или наименьшимъ, потому что какъ бы мало мы его ни уве-
увеличили въ первомъ случае или уменьшили во второмъ, оно тотчасъ
переходитъ въ другой классъ*).
172. Теорема I. Всяюй конечный ансамбль имеетъ ниж-
нижнюю и верхнюю границу.
Отнесемъ къ одному классу, который назовемъ нижнимъ, век
числа, не превосходяшдя ни одного числа даннаго ансамбля, а въ
другой все числа, оторыя превосходятъ какое нибудь число дан-
даннаго ансамбля. Всякое число а нижняго класса будетъ меньше лю-
любого числа b верхняго класса. Действительно, когда мы говоримъ,
что Ъ принадлежитъ верхнему классу, то это значитъ, что суще-
ствуетъ въ данномъ ансамбле, по крайней мере, одно число а,
меньшее а\ съ другой же стороны а не можетъ превзойти а, такъ что
а ^ а < Ъ. Подобная классификащя всехъ чиселъ, по доказанной
лемме, определяетъ некоторое число Я. Въ верхнемъ классе не
можетъ быть наименьшаго числа Ь, потому что всякое число Ь'',
*) Изъ этой леммы сл%дуетъ, что „с-Ьчешя" въ области иррацюналь-
ныхъ чиселъ не могутъ давать новаго обобщешя поняпя о числЪ, а даютъ
опять прежшя числа. См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с. Т. I. стр. 81.
§§ 172—174 границы и пред-ьлы числовыхъ ансамблей. 149
лежащее между а и b, (a<^b' <^b), принадлежитъ тому же классу.
Следовательно, Я есть наибольшее число нижняго класса, т. е.
наибольшее изъ чиселъ, не превосходящихъ ни одного числа
даннаго ансамбля. Это и есть нижняя граница его, по опредЪ-
лешю (§ 170). Аналогичнымъ образомъ доказывается существоваше
верхней границы ансамбля.
173. Распространеше понятчя о предал!*. Если некоторый
ансамбль представляетъ собою последовательность безконечно боль-
большого числа чиселъ, имеющую конечный пределъ, то этотъ пределъ,
очевидно, характеризуется темъ, что въ его окрестности нахо-
находится безконечное число чиселъ даннаго ансамбля. Это на-
водитъ на мысль и вообще назвать пределомъ какого угодно
ансамбля всякое число, обладающее вышеуказаннымъ свойствомъ*).
Последовательности чиселъ, стремящихся къ конечному пределу,
представятъ тогда особый родъ ансамблей, имеющихъ одинъ только
пределъ. Вообще же ансамбль можетъ иметь несколько и даже
безконечное число пределовъ (точекъ сгущешя). Можетъ даже слу-
случиться, что все его числа и еще друпя, ему не принадлежашдя,
будутъ его пределами (въ обобщенномъ смысле слова). Простымъ
примеромъ служитъ ансамбль всехъ ращональныхъ чиселъ, такъ
какъ въ окрестности любого рацюнальнаго или иррацюнальнаго
числа всегда находится безчисленное множество ращональныхъ чи-
чиселъ. Заметимъ, что если справа (слева) отъ некотораго предела |
лежитъ безконечное число чиселъ ансамбля, то | есть нижняя
(верхняя) граница техъ чиселъ ансамбля, которыя больше (меньше) |.
Обратно, нижняя и верхняя граница ансамбля, когда оне къ нему
не принадлежатъ, будутъ очевидно его пределами.
174. Теорема II. Всяк1й конечный ансамбль, содержа-
ипй въ себе безконечное число чиселъ, имеетъ, по крайней
мере, одинъ пределъ.
Въ самомъ деле, если разделимъ пополамъ, какъ въ § 171,
интервалъ {а, Ь), содержащей въ себе все числа даннаго ансамбля,
то, по крайней мере, въ одной изъ частей должно содержаться
безконечное число чиселъ ансамбля. Такой интервалъ, вдвое мень-
шШ даннаго, обозначимъ черезъ (я, 6,); изъ него подобнымъ же
образомъ выделимъ последовательность убывающихъ по величине
интерваловъ (а„, Ь„), границы которыхъ, какъ мы видели, будутъ
стремиться къ некоторому общему пределу |, и которые не пере-
стаютъ содержать въ себе безконечное число чиселъ даннаго ан-
ансамбля. Назначивъ по произволу положительное число h, какъ
*) Эти „пределы" ансамбля суть не что иное, какъ такъ называемый
точки сгущешя (по Вейерштрассу). См. Г. Ковалевск1й, „Введете въ ис-
числеше безконечно малыхъ" (Одесса, 1909), стр. 12, или его „Основы диф-
ференщальнаго и интегральнаго исчислешй" (Одесса, 1911), стр. 12. ОбЪ
книги переведены подъ ред. прив.-доц. С. О. Шатуновскаго.
150 II, 2. теорш пред-ьловъ. §§ 174—176
угодно малое, всегда можемъ найти такое значеше и, при кото-
ромъ an^>%~h и 6„<|+ h. Интервалъ (|— h, |+A) будетъ
заключать въ себе интервалъ (а„, Ь„) и подобно последнему со-
содержать въ себе безконечное число чиселъ даннаго ансамбля,
какъ бы мало h ни было. Следовательно, | будетъ предъломъ
ансамбля.
175. Теорема III. Всяюй конечный ансамбль, содер-
содержаний въ ce6t безконечное число чиселъ, имъетъ наиболь-
наибольшей и наименышй изъ предЪловъ*).
Пределы ансамбля, содержащагося въ интервалъ (Я, ц) и не
содержащегося ни въ какомъ интервале, меньшемъ (Я, ц), сами со-
ставляютъ конечный ансамбль и имеютъ, следовательно, нижнюю
границу Яо S: Я и верхнюю ц0 ^ /л,. Чтобы доказать теорему, до-
достаточно показать, что Яо и [л0 сами будутъ пределами ансамбля,
т. е. булутъ принадлежать тому ансамблю, нижнюю и верхнюю
границу котораго они составляютъ: Яо будетъ тогда наименьшМ,
и fi0— наиболышй изъ пределовъ. Относительно Яо это будетъ
доказано, если удастся найти число .т>Я0, столь близкое къ Яо,
что въ интервал-b (Яо, х) по исключенш изъ него нижней границы
не будетъ заключаться ни одного предела анса-мбля *й). Если же
такого числа х найти нельзя, то это значить, что въ интервале
(Яо, х), какъ бы близко х ни подходило къ Яо, находится по край-
крайней мере одинъ изъ пределовъ даннаго ансамбля, а съ нимъ, и
безконечное число чиселъ этого ансамбля (лежащихъ въ окрестности
этого предела). Следовательно, Яо будетъ также пределомъ ансамбля.
Аналогично этому то же самое доказывается о числе ц0.
176. Чтобы показать, насколько ббтыиая общность понятШ
способствуетъ сокращенш доказательствъ и уясненш истинъ, по-
кажемъ, какимъ образомъ изъ теоремы II непосредственно вытека-
етъ лемма, доказанная въ § 137. Если числовой ансамбль ах, а.,, я3,...
не ограниченъ справа или слева, то, конечно, изъ него можно вы-
выделить последовательность, стремящуюся къ ж или — ос . Если же
ансамбль конечный, то существуетъ, по крайней мере, одно число |,
въ окрестности котораго содержится безконечное число чиселъ
ансамбля. Если все эти числа лежатъ, наприиеръ, справа отъ |, то,
начавъ съ некотораго аг > ?, можемъ найти другое а% < а,-, за-
третье at < а* и т. д. до безконечности. Получится убыва-
*) Поняпе и назван!е наибольшзго изъ пред-Ьловъ принадлежитъ
Коши. См. Гурса, „Курсъ математическаго Анализа", перев. подъ ред. Б
Млодз-Ьевскаго. 19I. стр. 595. Т. I.
**) Въ самомъ дЪл-Ь, такъ какъ Яо нижняя граница ансамбля преде-
пределовъ, то въ интервал-fe (Яо, х) долженъ находиться хотя бы одинъ пред-Ьлъ;
а если въ (Яд, х) по исключены Яо, такового не оказывается, то этотъ пре-
дЪлъ и будетъ само число Яо.
§§ 176—178 ГРАНИЦЫ И ПРЕДЪЛЫ ЧИСЛОВЫХЪ АНСАМБЛЕЙ. 151
ющая последовательность чиселъ, ббльшихъ |, очевидно, стремяща-
стремящаяся къ конечному пределу. Впрочемъ, после изложеннаго въ
§§ 172—175, лемма § 137 уже становится не нужною для доказа-
доказательства теоремы § 139. А именно, принимая во внимаже, что
совпадете наибольшего изъ пределовъ съ наименьшими очевидно,
необходимы и достаточно для существовашя единственнаго предала
ансамбля, легко вывести необходимое и достаточное yoioeie того,
чтобы числа ах, а%, я3,... стремились къ определенному конеч-
конечному пределу. Въ самомъ деле, если при произвольно заданномъ
сколь угодно маломъ s возможно найти такое число г>, что при
всякихъ п и и", ббльшихъ v, \ап> — <V'|<^e, то все числа
«v-1-i, я,.+2, ¦ • •, будутъ лежать въ интервале (я,,_|_1 — е, av+i-\-ё).
Следовательно, только въ этомъ интервале иожетъ находиться пре-
делъ | даннаго ансамбля, и таковой действительно тамъ найдется,
на основанш теоремы (II) § 174. Другого же предела f суще-
существовать не можетъ, потому что, если два числа § и f лежатъ въ
интервале (a,.+i — е. я,-+1 ~Н ?)i то 2е ^> 11 — %' , и число е нельзя
было бы выбрать такъ, чтобы е было меньше \\%—§'j, вопреки
предположена *).
177. Въ некоторыхъ вопросахъ число Яо и ^о играютъ даже
более важную роль, чемъ Я и рь. Они не меняются, чего вообще
нельзя сказать о Я и /л, когда изь даннаго ансамбля выключимъ
одно или несколько чиселъ (конечное число чиселъ), потому что
такое выключеше не меняетъ ни одного изъ пределовъ ансамбля.
Если Яо не равно Я, то въ интервале (Я, х) при х <^ Яо не можетъ
находиться безконечное множество чиселъ даннаго ансамбля (иначе Яо
не былъ бы наименьшимъ изъ пределовъ), а при я->Яо, въ ин-
интервале (Я, л), наоборотъ, наверно будетъ безконечное множество
такихъ чиселъ. Аналогичное замечаме относится и къ /лп. Следова-
Следовательно, Яо и /г0 будутъ соответственно верхнею и нижнею границею
всехъ чиселъ х, для которыхъ въ интервалахъ (Я, х) или (х, [i)
не заключается безконечное множество чиселъ даннаго ансамбля.
Этимъ, однако, не исключается возможность такого случая, въ кото-
ромъ и вне интервала (Яо, /Ло), т. е. влево отъ Яо и вправо
отъ ц0 все еще находится безконечное множество чиселъ даннаго
ансамбля. Ведь Яо, напримеръ, можетъ не принадлежать къ ан-
ансамблю техъ чиселъ .v, верхнею границею котораго оно служитъ.
178. Чтобы представить предыдущая соображешя еще въ
более ясномъ свете, вообразимъ себе, что изъ последователь-
последовательности ci\, а->, аз,..., ограниченной снизу и сверху, выключены
первые и членовъ (я = 1, 2, 3,...). Оставшаяся последователь-
последовательность aH_j-i, a„-±-2, cin-t-ъ, ¦ ¦ ¦ всегда имъетъ нижнюю границу Я,,;>л„-_г
*) ЗдЪсь доказана только достаточность услов1я; но необходимость
его уже была доказана въ § 139 независимо отъ леммы § 137.
152 II, 3. теорш рядовъ. §§ 178-179
и верхнюю границу /г„ ^ цп—х *). Числа A, Ai, Я2,..., не убы-
ваюшдя, но очевидно, менышя ц, стремятся къ некоторому пре-
предку Ао^/*; числа ц, /гх, [г2,---, не возрастающая и больишя А,
также стремятся къ некоторому пределу ^о =й А. Легко убедиться,
что эти два предала совпадаютъ съ числами Ао и /г0, определен-
определенными выше. Они характеризуются следующими свойствами:
a) Все числа данной последовательности, начиная съ
некотораго места, будутъ больше любого числа, которое
меньше Ао, и меньше любого числа, которое больше [Ао-
b) Какъ бы далеко мы ни подвинулись въ нашей по-
последовательности, всегда еще встретятся числа и менышя
и болышя любого числа, лежащаго между Ао и fi0.
На основами перваго свойства, левая сторона наименьшаго
и правая сторона наибольшего изъ пределовъ имеютъ совершенно
тотъ же характеръ, какъ левая и правая сторона единственнаго
предела, если таковой существуетъ, и можно поэтому сказать, что
числа данной последовательности колеблются около некотораго
интервала (Ао, [Ло), который въ исключительныхъ случаяхъ можетъ
свестись къ одному единственному числу. Если же такого числа, т. е.
единственнаго предела, не существуетъ, то невозможно при про-
произвольно заданномъ положительномъ числе е найти такое число v,
чтобы J а„' — а„" ] было меньше е, для всякихъ п' и п", большихъ v.
Действительно, на основанш второго свойства, при е</г0 — Ао
всегда найдутся достаточно болышя значешя и' и п", для кото-
рыхъ \ апг — а„"\^>е, стоитъ только взять
"„' < г (яо + f*o - f). а„," > i (яо + ,«о + f')>
что всегда возможно **) (XIII).
ТЕОР!Я РЯДОВЪ.
Основныя опред%лен1я и примеры.
179. Одно изъ главнейшихъ приложен1й Teopin пределовъ
состоитъ въ томъ, чтобы изследовать какой смыслъ можетъ иметь
выражеше «i + иг+Мз..., содержащее безчисленное множество
чиселъ и называемое безконечнымъ рядомъ, и въ какой мере
*) Границы части последовательности не могутъ быть шире гра-
ницъ ц'Ьлой последовательности.
**) На ocHoeaHin свойства Ь), зам*чая, что при
,Ц| - ') и W-Q + ."-о + f) лежатъ между Яо и ,к0.
§§ 179—180 основный опред-ьленш и прим-ьры. 153
возможно приложить къ такому выражент извтэстныя свойства
суммъ, состоящихъ изъ конечнаго числа слагаемыхъ. Мы будемъ
обозначать черезъ Sn сумму п первыхъ членовъ ряда. При безпре-
дтзльномъ возрастали п Sn можетъ стремиться къ некоторому пре
делу, а можетъ и не стремиться ни къ какому пределу. Въ пер-
вомъ случае рядъ называется сходящимся или расходящимся,
смотря по тому, будетъ ли предЪлъ S,, конечнымъ или безконеч-
нымъ; во второмъ — рядъ называется неопределенными 3aMt-
тимъ здесь же, что неопределенный рядъ, посредствомъ известной
группировки членовъ, всегда можетъ быть преобразованъ такъ,
чтобы онъ сделался сходящимся или расходящимся. Действительно,
намъ известно, что (§ 137) всегда можно указать такую последо-
последовательность возрастающихъ чиселъ г, s, t, .. ., что SH будетъ стре-
стремиться къ конечному или безконечному пределу, когда будемъ
давать числу п последовательно значешя г, s, t, ... Иными сло-
словами, рядъ
въ которомъ сумма членовъ въ каждой скобке разсматривается
какъ одинъ членъ, будетъ сходящимся или расходящимся. Уже это
одно обстоятельство показываетъ, что сложеше безконечнаго числа
слагаемыхъ не подчиняется такъ называемому сочетательному
закону, а дальше мы увидимъ, что и переместительный законъ
не всегда имеетъ место *). Обратно, важно заметить, что нельзя
разлагать члены сходящагося или расходящегося ряда на части.
Такое разложеще можетъ обратить данный рядъ въ неопределенный.
180. Если рядъ сходящШся, то пределъ S, къ которому
стремится Sn при безконечномъ п, называютъ суммою ряда, при
чемъ условились писать
s = uv -)- щ +¦
Разность /?„ = 5 — Sn, стремящаяся къ нулю при безпредельномъ
возрастали п, называется остаткомъ. Очевидно Rn обозначаетъ
то, что останется отъ суммы даннаго ряда, когда откинемъ въ
немъ первые п членовъ. Въ самомъ дЪл'Ь, если въ равенстве
Sn+I, - Sn = "„+1 + "n+i + ¦ • ¦ + "n+j,
будемъ увеличивать р безпредельно, сохраняя за п постоянное зна-
4eHie, то левая часть будетъ стремиться къ пределу 5 — Sn, т. е.
къ Rn, и поэтому можно писать
К = "п+1 + "„+2 + »»+3 + •¦•
*) См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с. стр. 24.
154 II, 3. теорш рядовъ. §§ 181-182
181. Важно заметить, что рядъ съ одними положительными чле-
членами неопредЪленнымъ быть не можетъ. Действительно, такъ какъ
то ясно, что о„ постоянно возрастаетъ при возрастанш ;/, а
довательно, стремится къ конечному или безконечному пределу,
т. е. рядъ будетъ сходяшдйся или расходящдйся. То же самое спра-
справедливо для рядовъ съ одними отрицательными членами. ВсякШ
неопределенный рядъ поэтому необходимо содержитъ въ себе без-
конечное число положительныхъ и безконечное число отрицатель-
ныхъ членовъ.
182. Примеры. Геометрическая прогрессия l+.r+.v2+.v3+•¦•
даетъ примеры сходящагося, расходящагося и неопределеннаго ряда.
Если |д'|<^1, то (§ 146) хп стремится къ нулю при безпредель-
номъ возрастанш п. Если д-^>1, то х" возрастаетъ безпредельно
вместе съ п. Если х<С — 1, то хп по абсолютной величине возра-
возрастаетъ безпредельно, но будетъ положительнымъ или отрицатель-
нымъ, смотря по тому, будетъ ли п число четное или нечетное.
Замечая еще, что
1 — хп
" = Т^~Х '
тотчасъ видимъ, что данный рядъ расходяшлйся при .г ~^> 1, схо-
сходя цийся при — 1 < .V < + 1 и неопределенный при д<^ — 1.
Въ частныхъ случаяхъ при х = 1 и л = — 1, получаемъ ряды
1 + 1+1 +!+¦¦•, 1-1 + 1-1 + ...,
изъ которыхъ первый, очевидно, расходящдйся (S,, = и). Второй
же неопределенный, потому что Su принимаетъ попеременно зна-
чен!я 1 и 0, смотря по тому, будетъ ли п нечетное или четное.
Резюмируя, можемъ сказать, что данный рядъ будетъ сходящимся
только тогда, когда х лежитъ въ интервале (— 1, +1), не совпа-
совпадая съ его границами. На этомъ основанш означенный интервалъ
называютъ интерваломъ сходимости даннаго ряда. Мы разсмо-
тримъ теперь друпе примеры сходящихся и расходящихся рядовъ,
которые будутъ намъ полезны для дальнейшаго.
183. Гармоничесюй рядъ. Между расходящимися рядами
замечателенъ такъ называемый гармонически рядъ
Сумма первыхъ п членовъ обыкновенно обозначаютъ черезъ //„.
Достаточно заметить тождество п(Н„ — Hn—i) = 1, чтобы ска-
сказать (§ 162), что Нп возрастаетъ безпредельно вместе съ л; къ
§§ 183—184 основный опред-ьленш и прим-ьры. 155
этому можно добавить, что гармонически рядъ слабо расходя-
расходящейся, потому что Нп возрастаетъ до оо, какъ натуральный лога-
риемъ и, т. е. весьма медленно по сравненш съ п (XIV). Расходи-
Расходимость можно еще установить также гЬмъ, что (§ 156) f 1 —j—j
стремится къ пределу с постоянно возрастая, такъ что будемъ
имъть последовательно
7>> log (* + j) ' Н« > log (" + ])> lim Н" = х- *]
Чтобы получить нЪчто болЪе точное, разсмотримъ числа an = Hn\ogn,
очевидно положительный. Мы вскоръ (§ 186) увидимъ, что
- < - log f 1 - ]) = log —— (XV).
Отсюда слтздуетъ, что
такъ что числа а„, оставаясь больше 0, постоянно убываютъ,
а потому и стремятся къ конечному пределу. Этотъ предЪлъ обы-
обыкновенно обозначаютъ буквою С и называютъ Эйлеровою по-
постоянною. При помощи другихъ средствъ значеше этого числа
удалось определить съ большою точностью и получить
с' = 0,5772156649015328 ...
Зам-Ьтимъ, между прочимъ, что можно написать
A) Hn = \ogn + C + 9H,
гд-fe дп стремится къ нулю при безпредтзльномъ возрастан1и п.
184. Показательный рядъ. Этимъ именемъ называютъ рядъ
v д-2 ХЪ Д4
1 + "+ \^\ + ПГ з + Т^Г- з ¦ 4 + '"'
потому что его сумма равна ех, каково бы ни было значеше х.
Въ самомъ fliyiti, по формул^ бинома Ньютона имтземъ
*) Изъ соотношешй —.- Iog^1-— и //„=- + —у+-_ + -
находимъ, что Нп > log ' - ^- ¦ — - j • —-^ ¦ ¦ ¦ ^ = log(« + 1).
156 II, 3. теорш рядовъ. § 184
если, для сокращен1я, положимъ
Vr~ " Y-2-.-r 'nr~\ n\ ' п)'" ";; j r! "
ЗамЪтимъ, что при г постоянномъ
llm vr
Дал%е надо различать два случая. Если л'^>0, то им-Ьемъ
llm vr = i ¦
I1=DO I 1
. , х V
Отсюда сл^дуетъ, полагая г не меньшимъ, чт^мъ наибольшее цт^лое
число, заключающееся въ х,
vr+1 + vr+2 +...+Vt,<vr (
Следовательно,
увеличивая и безпредтзльно, найдемъ
r\(r+l-x) " ' 1! ' 2! ' ^ г! ^ "
и, наконецъ, увеличивая г до безконечности и припоминая (§ 147),
что общШ членъ даннаго ряда стремится къ 0, получаемъ
Если же х <С 0, то можно написать (§ 155)
= 1 + v, + v2 + ••• + ^^ + %vr,
гд-fe 0 лежитъ между 0 и 1, въ предположен^, что п больше абсо-
абсолютной величины х. При безпредЪльномъ возрастали и, правая
часть окончательно принимаетъ значетя, лежашдя между
между ттзмъ, какъ лт^вая стремится къ пределу <? (§ 158). Если
теперь будемъ безпредъльно увеличивать г, то объ выше означен-
ныя суммы, между которыми всегда заключается ех, и разность
§§ 185—186 основныя опред-ьленш и прим-ьры. 157
которыхъ стремится къ нулю, необходимо стремятся къ пределу,
равному ех (§ 131). Следовательно, формула B) справедлива при
всякомъ значенш х.
185. Изъ предыдущаго параграфа въ частности слъдуетъ, что
число е есть сумма безконечнаго ряда
1 + Т + 1~2 + Г^гТз + ГТУ- гГ 4 + • • ¦ •
Можно, очевидно, также написать
*=1 + T! + i + i+-+7T + rT7-'
гдъ 0 лежитъ между 0 и 1, а г какъ угодно велико. Напри-
мЪръ, / = 2 -\- Q, т. е. 2 <^ е <[ 3. Взявъ г достаточно большимъ,
найдемъ х)
« = 2,718281828459045...
Это число иррационально. Действительно, если оно было бы
равно рацюнальной дроби pjq, то, взявъ г = q, получили бы изъ
предыдущей формулы, по умноженш на q\, равенство между ц%-
лымъ числомъ и числомъ 0/^, которое больше 0 и меньше 1.
Такое равенство невозможно.
186. Логариемическш рядъ. Изслътшвашя, аналогичныя при-
веденнымъ въ § 184, даютъ еще одинъ интересный примЪръ схо-
дящагося ряда. Известно (§ 159), что, при безконечномъ п,
1
НшкA A .v)")= — log A -х).
Мы предположимъ, что х число положительное и меньшее единицы.
Мы увидимъ впослтздствш (§ 222), что формула бинома Ньютона,
дающая разложеше A — х)'" по степенямъ х, справедлива и тогда,
когда т не utvioe положительное число. Принявъ это, можемъ
написать
Отсюда сл%дуетъ
]) Въ „Intermediaire des mathematiciens (t. VII. p. 53) находимъ зна-
чеше е съ 205 десятичными знаками, вычисленное Шанксомъ (W. Shanks).
158 11 3. теорш рядовъ. § 186
Правую часть можно написать въ видтэ vx + v2 -\- г>3 + • • •, положивъ
2п) Г (г-1)|»У г
замтзтимъ теперь, что если г остается постояннымъ, а п возраста-
хг
етъ безпред"Ьльно, то vr стремится къ пределу — . Въ тоже время
имЪемъ
1 \ /, 1 \ I. 1 \ гх"
T^j I1 - (F+i)!) ¦ ¦ Ч1 - { + i
откуда слЪдуетъ
xv r
Vr+1 + Vr+2 + Vr+3 + ¦¦¦ < Vr (-V + л- - Л'3 -+- ¦¦¦)= jTT-- -
а следовательно,
l i
f,(l_(l_.v)")-I^:< 1>1 + Щ+ ¦¦¦ +v,.<n(\ A -л-;7')-
Увеличивая зд-Ьсь п безпредтзльно, не измЪнняя при этомъ числа г,
получаемъ
- iog(i -*¦) - ^т^.)'< у + :J + -• + у < - logO - .v).
Наконецъ, при безпред%льномъ возрастан1и г, находимъ
C) -iogO-*) = Y+? +y + "t+'---
Предыдущая формула выражаетъ собою то, что
Зам^нивъ зд%сь х на хг, а п на наибольшее цтзлое число, заклю-
(XVI), и замтзтивъ,
logO +¦«)= — log (I
чающееся въ ~ (XVI), и зам%тивъ, что
получимъ
т. е.
Л- у*2 Л*3 yi
§§ 186- 187 основный теоремы. 159
Впрочемъ, каждая изъ формулъ C) и D) заключаетъ въ себъ дру-
другую (что прямо видно, если замЪнимъ х на — х), такъ что намъ
достаточно разсмотрЪть одну изъ нихъ, и мы можемъ сказать,
что онъ справедливы для всъхъ значешй х, лежащихъ между
— 1 и + 1, ПРИ чемъ пока °6Ъ эти границы мы исключаемъ. Но
легко видъть, что формула C) и при х — — 1, а слъдовательно
D) при д: = -|-1, остаются справедливыми. Дъйствительно, сумму 2п
первыхъ членовъ ряда 1 — ^ + ¦§¦ — т + '"' можно написать въ
видт»
~-^°n > 1 ~ Э ' ^ О,, 1 ! 4 ' ' ¦
Поэтому, пользуясь формулою A), имЪемъ
S2,, = log2+o2,,-o,,;
а потому при безконечномь п:
lim S-ы = log 2, limSaB 1 = lim (So,, + -„-) = log 2, и окончательно
Iog2=--l i+j.--L+....
Наоборотъ, тотчасъ видно, что ни формула C) при х = 1, ни D)
при .г = — 1 не имЪютъ мъхта. Мы можемъ поэтому утверждать,
что интервалъ сходимости (§ 182) обоихъ рядовъ есть (—1, +1),
за исключешемъ верхней границы для перваго и нижней для вто-
второго ряда.
Основныя теоремы.
187. Общш признакъ сходимости. Для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы сумма Sn первыхъ п членовъ
ряда, при безпредъчпьномъ возрасташи п, стремилась къ конечному
пределу. А это будетъ имъть мЪсто тогда, когда (§ 139) каждому
положительному числу е соотв-Ьтствуетъ такое значеше п, что для
этого значешя и всЬхъ большихъ его, абсолютная величина раз-
разности S,,^p — Sn будетъ меньше е. Иными словами для сходи-
сходимости ряда и, -(- и% + иъ -)- ... необходимо и достаточно,
чтобы, задавъ по произволу положительное число е, можно
было найти такое значете п, начиная съ котораго, незави-
независима отъ значен!я число р, имЪло бы мЪсто неравенство
;««+1 + «и+2+... +нп+р < е
Въ этомъ состоитъ общдй признакъ сходимости ряда. ЗамЪтимъ,
что увеличивая п безпред%льно и давая числу р различныя значе-
160 II, 3. теор1я рядовъ. §§ 187—188
жя, постоянныя или изменяющаяся BMtcrfe съ п, будемъ имъть (на-
основанш предыдущаго неравенства).
1>т («я+i + и„+2 + ¦¦¦ + »»+р) = О
Въ этомъ равенств^ содержится безконечное число условШ, изь
которыхъ каждое необходимо, но ни одно, взятое отдельно, не
достаточно для сходимости ряда.
188. ПримЪчан1я. а) Положивъ р = 1, находимъ, что во
всякомъ сходящемся ряд% общ1й членъ (un+i) стремится къ
нулю. Но рядъ можетъ и не быть сходящимся, хотя общШ его
членъ им-Ьетъ предЪломъ нуль. ПримЪромъ тому служитъ гармони-
ческ)й рядъ (§ 183), расходяшдйся, между т%мъ какъ lim — = 0.
ДатЬе, при всякомъ данномъ (постоянномъ) р, имЪемъ
lim
(потому что при данномъ р число членовъ конечное и каждый
членъ стремится къ 0). Но можно сказать еще больше этого! Если
обратимъ вниман1е на то, что каждая дробь въ скобкахъ меньше \1п,
а число ихъ р, такъ что сумма въ скобкахъ меньше pin, то уви-
димъ, что она стремится къ нулю даже при безпредъ-льномъ воз-
растанш р, лишь бы при этомъ pin стремилось къ нулю. А это
возможно въ безчисленномъ множеств^ случаевъ, напримЪръ, когда р
равно числу цифръ числа п или []/0г], т. е. наибольшему цътюму
числу, содержащемуся въ У п, и т. д. (XVII).
Ь) Нельзя никоимъ образомъ полагать, что если рядъ не-
неопределенный, то услов1е lim и„ = 0 не можетъ выполняться.
Такъ напримт^ръ *) рядъ, обшдй членъ котораго равенъ
ип = sin (яу п) — sin (л > п — 1),
а сумма и первыхъ членовъ равна, очевидно, sin (лУп), ни къ
какому пределу не стремится, а колеблется въ интервал^ (- - 1, +1)
между ттзмъ, какъ общШ членъ его
ин — sin (л У п) sin (л "I п — 1)
= 2 sin r . -я cos Г^- (Г« + 1 7Г-Т)
У п+ 1 п 1 L2
очевидно, стремится къ 0. Такимъ же образомъ рядъ, для кото-
]) См. Genocchi —Peano. Calcolo differentiale стр. XVI. № 55.
§§ 188—189 ОСНОВНЫЯ ТЕОРЕМЫ. 161
раго сумма п первыхъ членовъ равна sin (n\ log и), очевидно, не-
неопределенный, между темъ, какъ не только ип, но даже сумма
= 2 sin —^gM_2 cos ( ? (У log ,, + У toi27
1 log и - у log 2 ii \г
стремится къ 0.
с) Въ итоге получается заключеше, что, когда сумма
«„+! + и„+2 + • • • + ип^р стремится къ нулю, все еще ничего
нельзя сказать о сходимости ряда, потому что для р-Ьшешя вопроса
о сходимости нужно было бы исчерпать все возможныя постоян-
ныя и перемЪнныя (зависяшдя отъ п) значешя цЪлаго числа р. Но,
если найдемъ, что вышеозначенная сумма при постоянномъ ли р,
или при возрастающемъ вместе съ п по какому нибудь закону
значенш р, не стремится къ нулю, то можно утверждать на-
нав-Ьрно, что рядъ не будетъ сходящимся. НапримЪръ, возвраща-
возвращаясь къ гармоническому ряду, разсмотримъ сумму
она не можетъ стремиться къ нулю, потому что состоитъ изъ п
убывающихъ дробей и потому больше, чЪмъ последняя изъ нихъ,
умноженная на и, т. е. больше \. Следовательно, гармонически
рядъ не сходящШся. Онъ расходяшлйся (§ 181), потому что всЬ
его члены положительны. Вслтэдств1е невозможности съ помощью
вышеуказаннаго общаго признака сходимости определенно
установить сходимость ряда, приходится прибегать къ спещальнымъ
признакамъ сходимости, надлежащее примкнете которыхъ дозво-
ляетъ въ большомъ числе случаевъ узнать, будетъ ли данный рядъ
сходящимся или нетъ.
189. Теорема I. Всяк1й сходящейся рядъ съ положи-
положительными членами остается сходящимся после того, какъ
умножимъ его члены на числа, не превосходящая по абсо-
абсолютной величине даннаго числа.
Положимъ, что абсолютныя величины чиселъ я,, а2, ай, ...
все меньше /. Если рядъ сходящейся, то это значить, что каково бы
ни было произвольно заданное, сколь угодно малое положительное
число е, можно найти такое значете числа п, начиная съ котораго,
независимо отъ значешя р, имеетъ место неравенство
",,+1+«и+2+ ••¦ +«„+,,< у
162 II, 3. теорш рядовъ. §§ 189-191
Слъдовательно, для тъхъ же значенШ п и р, имъемъ
ап+\ "п+1 + Яп+2 "»+2 + ' ' ' + а»+р "п+р
< (",.+1 + "п+2 + 1" «и+Р l < <¦¦ •
откуда, на основанш общаго признака сходимости заключаемъ, что
рядъ ах и1 -\- а.л м2 + а3 иъ -\- ... сходящейся.
190. Сл1>дств!я. а) Рядъ будетъ сходящимся, если рядъ
абсолютныхъ величинъ его членовъ сходяшлйся. Для дока-
доказательства стоитъ только въ предыдущей теорем^ положить нъко-
торыя изъ чиселъ а равными 1, а друпя равными —1. Обратная
теорема несправедлива.
b) Рядъ будетъ сходящимся, если абсолютныя вели-
величины его членовъ не превосходятъ соотвътствующихъ чле-
членовъ другого сходящегося ряда съ положительными чле-
членами. Чтобы это доказать, достаточно положить, что числа а го
абсолютной величинъ не превосходятъ единицы.
c) Расходянийся рядъ съ положительными членами
остается расходящимся послть того, какъ умножимъ его
члены на числа, не менышя даннаго положительнаго числа.
Д-Ьйствительно, если бы полученный рядъ былъ сходящимся, то
и данный рядъ былъ бы сходящимся по теоремъ I. Впрочемъ,
теорема сама по себъ очевидна, потому что, если ни одно изъ
чиселъ at, a.lt я3, ... не меньше а, то, очевидно, сумма п первыхъ
членовъ ряда а1 и1 -\- а2 и% -(- <т3 иъ -\- ¦ ¦ ¦ не меньше a Sn и возра-
стаетъ безпред%льно такъ же, какъ и Sn, BMtcTt съ п.
191. Теорема II. Рядъ съ положительными членами бу-
будетъ сходящимся, если, начиная съ н-вкотораго мъста, от-
HomeHie посл-Ьдующаго члена къ предыдущему будетъ
меньше соотвътствующаго отношен1я въ другомъ сходя-
сходящемся рядъ, и расходящимся, если вышеупомянутое отно-
uieHie, начиная съ нъьотораго мъста, больше соотвътству-
соотвътствующаго отношен1я другого расходящагося ряда съ положи-
положительными членами.
Въ самомь дъл"Б, изъ неравенства —"+1 <^ _JLj_i) слт^дуетъ, при
и„ и v положительныхъ, какъ мы предполагаемъ, ~^-L < т"; такъ что
''«41 ''»
"тг—, начиная съ нъкотораго MtcTa, постоянно убываетъ и потому
делается и остается меньше нъкотораго опредъленнаго числа.
Поэтому, если г\ -\- v., + ^з + ••• РЯД'Ь сходящ1йся, то (§ 189) и
рядъ ил -\- и2 -)- ц.л -\- ¦ ¦ ¦ будетъ сходящ1йся. Напротивъ того, изъ
неравенства ""г > к"л сл^дуетъ, что "^1 > — такъ что — , на-
§§ 191—193 ОСНОВНЫЯ ТЕОРЕМЫ. 163
чиная съ нЪкотораго мЪста, постоянно возрастаетъ и делается и
остается больше нЪкотораго опредтэленнаго положительнаго числа.
Поэтому, (§ 190, с) если рядъ vl-\- v% -f- z>8 -f- ¦¦¦ расходящШся, то
и рядъ м, -f- «a + Щ ¦ ¦ ¦ будетъ расходящимся.
§ 192. Лемма Абеля. г) Если положительныя числа
«!, а2, я3, ... представляютъ возрастающую или убыва-
убывающую послъдовательность, и абсолютныя величины суммъ
Oi = «и+1, о2 = Hn+i + и„+2, ¦¦¦ ар = «„_j_i + и„+з + • • • + ип+,, всЬ
меньше даннаго числа /, то абсолютная величина суммы
«м+1 ип+1 + Яп+2м«4-2 + ¦ • • + «»+? и»-н> будетъ меньше /я^ц,
когда послъдовательность я,, я2, я3)... убывающая, и
меньше 1а„+Р, когда это послъдовательность возрастающая.
Дъйствительно, сумму a,,+i «н-i + я«+2 и«+2 + • • ¦ + а»+р ип+.Р
можно написать такъ:
я„+1 «1 + «„+•>( п., - аО + «)!+-j (o3 - о2) + • ¦ • + ап+р (о/; - о^ г)
Если аи постоянно убываетъ при возрастан1и п, то всЪ разности
л„_)_1 — Яя-|-г, ап-\-2 — я«+з, • ¦ • положительны, и потому абсолютная
величина разсматриваемой суммы меньше, чЪмъ
Если, наоборотъ, а„ постоянно возрастаетъ BMtcrt съ п, то вс%
упомянутыя разности отрицательны и абсолютная величина разсма-
разсматриваемой суммы меньше, чтьмъ
{ К+2 яв+1) + ¦ • • + (ап+р - «я+^_0 + ап+Р) I < 21 ап+Р ¦
193. Теорема III. Всяк1й сходящейся рядъ остается схо-
сходящимся послЪ того, какъ его члены будутъ умножены на
числа, которыя, слтэдуя одно за другимъ въ данномъ по-
рядкть, изменяются постоянно въ одномъ направлен1и (т. е.
постоянно возрастая или постоянно убывая) и остаются при этомъ
по абсолютной величинъ1 меньше даннаго числа 2).
Прежде всего замЪтимъ, что числа а„ (на которыхъ умно-
жаемъ члены даннаго ряда) необходимо стремятся къ конечному
предъпу, и потому въ конц4 концовъ сохраняютъ знакъ этого пре-
1) Abel, Oeuvres, 2-е ed. стр. 222.
2) Въ „Comptes rendus de ГАс. des sc. de Paris", 24 Nov. 1890.
La Maestra показалъ, что теорема остается справедливою и тогда, когда
множители ап то убываютъ, то возрастаютъ, лишь бы среднее ариемети-
ческое первыхъ п множителей постоянно возрастало или постоянно убывало
11*
164 II, 3. теорш рядовъ. §§ 193-195
дела. Если этотъ предЪлъ равенъ нулю, то (согласно условш),
Bet а„ будутъ положительными или все отрицательными. Во вся-
комъ случае, следовательно, указателю п можно дать такое зна-
чен1е, начиная съ котораго знакъ ап остается неизмЪннымъ. Мм
можемъ считать, что это будетъ знакъ +, такъ какъ противопо-
противоположный случай сводится къ этому посредствомъ перемены знака
у вс+эхъ <;„ и у вс+эхъ членовъ даннаго ряда на противоположный.
Въ такомъ предположен^, мы можемъ сказать на основанш сходи-
сходимости даннаго ряда и,\, и%, щ, ¦¦., что суммы di, 02, Оз, ••• пре-
дыдущаго § могутъ быть сделаны (§ 187) по абсолютной величине
меньше любого положительнаго сколь угодно малаго числа, и то
же самое можемъ сказать и о числе /, которое можно разсматри-
вать, какъ наибольшую изъ этихъ абсолютныхъ величинъ. Если
числа а„ образуютъ убывающую последовательность, то можно
взять 1<^в1а\ (гдъ в произвольное положительное число), и па
лемме Абеля написать
Если же наоборотъ числа ап постоянно возрастаютъ, оставаясь
меньше даннаго числа а, то, положивъ 1<^е/2а, найдемъ
п+1 »и+1 + ап+2 "й+2 + ' ¦ ' + «п+р "н+р \ < 2lan+p •'- -"^ ? < Ь-
На основзн1и общаго признака сходимости мы и заключаемъ, что
рядъ й1 их -\- а2 Hi + а3 «з + • ¦ • сходящейся.
194. Теорема IV. Если неопределенный рядъ обла-
даетъ тъмъ свойствомъ, что сумма произвольнаго числа!
послъдовательныхъ его членовъ всегда остается конеч-
конечною, т. е. меньшей нъкотораго постояннаго числа, то такой1
рядъ обратится въ сходящейся, когда умножимъ его члены
на числа, образующая убывающую последовательность, и
стремящуюся къ нулю.
На основанш леммы Абеля, абсолютная величина суммы
я„4-1 и„+1 + а„+2 ип+-> + ••• -\-ап+Рип+р меньше lan+i- Чтобы она
была меньше е, достаточно сделать яя+1 < ell, а это всегда воз-
возможно, потому что по yoioBiio а„^_! стремится къ нулю.
195. Сл1>дств1е. Если члены ряда попеременно поло-
положительны и отрицательны, а абсолютныя ихъ величины по-
постоянно убываютъ и стремятся къ нулю, то рядъ будетъ
сходя цийся. Эта теорема прямо вытекаетъ изъ предыдущей.
Стоитъ только принять за неопределенный рядъ въ § 194
рядъ 1 — 1 —}— 1 — 1 —|— —. Однако, въ виду важности настоя-
¦§§ 195-196 основныя теоремы. 165
щей теоремы мы дадимъ прямое ея доказательство. Положимъ, что
«1>М2>»з> ••• >0 и разсмотримъ рядъ и\ — и2-\- из — «4 + ••¦•
Группируя члены сл+здующимъ образомъ
("i - Щ) + ("з - "д -г («.-, - "в) + ¦ •'.
видимъ, что суммы So, Si, Se, ••¦ образуютъ возрастающую по-
последовательность. Группируя иначе:
«! - (и, -- и3) - (z/j - //.-,) -- (г/8 — г/7) -
видимъ, что суммы Si, S3, S-a, ... постоянно убываютъ. Въ то же
время замЪтимъ, что Sn<iSn—i<LSi при и четномъ, и 5«>S«_i>S2
при « нечетномъ. Следовательно, сумма Son постоянно возрастаЬтъ
оставаясь меньше Si и стремится поэтому къ конечному пределу.
То же самое можно сказать о сумме 5?»i, которая постоянно
убываетъ, оставаясь больше So. Наконецъ, пределъ Szn равенъ
пределу So,,-л, потому что разность Son — 5гп -i = — Uin стре-
стремится къ нулю, по условто.
196. Прим"Ьчан1я. а) Если бы lim и„ Ф 0, то рядъ былъ бы
неопределенный, такъ какь S,, при п четномъ стремилась бы къ
одному пределу, а при п нечетномъ къ другому. Разность этихъ
пределовъ равна пределу и„.
b) Если члены ряда, хотя и стремятся къ нулю, но не по-
постоянно убываютъ, то рядъ можетъ и не быть сходящимся.
Напримеръ, рядъ
_L_ _L_ + _ J_ _._!.-. +_.L_. ...
Iх" 2 1 ] ' 2 -М 13- 1 13+1 У 4 - - 1
имеетъ попеременно положительные и отрицательные члены, стре-
стремящееся къ нулю. Однако, рядъ расходящШся, потому, что, груп-
группируя члены попарно, найдемъ, что Son = 2Нп (§ 183).
c) Если въ какомъ нибудь знакопеременномъ ряде (такъ
называются ряды, о которыхъ мы говоримъ въ §§ 195 — 196)
удержимъ первые п членовъ для получешя приближеннаго значешя
суммы ряда S, то сделаемъ погрешность, по абсолютной
величине меньшую перваго изъ отброшенныхъ членовъ.
Действительно, мы видели, что Sn больше или меньше 5,j_i, смо-
смотря потому, будетъ ли п нечетное или четное. Отсюда следуетъ,
что общШ пределъ 5 всегда лежитъ между S,, и S,,+i, при ка-
какомъ угодно п, такъ что
А это можно написать такъ
S = «t - и, + щ - ¦¦¦ ± ин ^ 5ип^_1,
где 9 лежитъ между 0 и 1, каково бы ни было значеше п.
166 II, 3. теорш рядовъ. §§ 197-199
Сравнеше рядовъ съ положительными членами
197. О болЪе или менЪе сильной расходимости ряда съ по-
положительными членами естественно судить на основанш большей или
меньшей быстроты, съ которою сумма первыхъ п его членовъ
стремится превзойти всякую границу при безпредЪльномъ возраста-
нш п. Поэтому, обозначая черезъ Un и Vn сумму п первыхъ
членовъ въ рлдахъ
«1 + «2 + + ' '' ' V\ + V2 + V3 + ¦¦¦
говорятъ, что первый рядъ слабее расходится, чЪмъ второй, если
отношеше Un къ Vn стремится къ нулю при безпред+зльномъ воз-
растанш п. Если, наоборотъ, это отношеше безпред%льно возра-
стаетъ, то первый рядъ сильн-fee расходится, чтзмъ второй. Замтз-
тимъ, что на основанш такого опредъпешя, къ числу рядовъ, рас-
расходящихся слабее даннаго, можно отнести вс-fe сходящ1еся ряды.
198. Сходимость ряда тъмъ сильн%е, ч%мъ быстрее оста-
токъ ряда (§ 180) стремится къ нулю. Если ап и /?,( обозначаютъ
остатки сходящихся рядовъ
«! + щ + «з + • • ¦ , г\ + v2 + v ., +
то говорятъ, что первый рядъ сходится сильн%е или слабъе вто-
второго смотря потому, стремится ли отношеше ан къ /?„ къ нулю
или возрастаетъ безпред%льно BMtcTt съ возрастан}емъ п.
199. Теорема I. Если отношеше общихъ членовъ двухъ
рядовъ съ положительными членами стремится къ нулю,
то первый рядъ слабее расходится или сильнее сходится,
ч+змъ второй.
Положимъ, что предъпъ отношешя ujvn равенъ нулю и что
рядъ vx + v2 + ^з + •• расходящ1йся. Замечая, что Vn возра-
возрастаетъ безпредтзльно, на основанш известной теоремы (§ 141)
имЪемъ
hm = hm -р-^р^ = llm iT = °-
у п п г п 1 "п
Первый рядъ, следовательно, слабее расходится, чемъ второй, при-
чемъ не исключается возможность первому ряду быть сходящимся.
Если, дал+зе, рядъ vx-\- v%-\-v%-\- ¦ ¦ ¦ сходяшдйся, то и рядъ
и\ "Н ui + ио + ••• сходящ1йся, (§ 189) потому что отношеше ~t
§§ 199—201 CPABHEHJE РЯДОВЪ СЪ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 167
стремясь, по предположенш, къ нулю, остается конечнымъ. КромЬ
того, замъчая, что а„ и /?„ стремятся къ нулю, постоянно убывая,
имъемъ (§ 140)
hm — = lim -, ^J1- = hm :- = 0.
'Jn ''и ~~ ¦''n+1 Vn
Поэтому рядъ и,-\-иг + иъ -f- ••• сильнъе сходится, чъмъ рядъ
Vi + v-i + Щ+ ¦¦¦
200. ПрилгЬчашя. а) Мы вид%ли, что общ1й членъ сходя-
щагося ряда (§ 188, а) необходимо стремится къ нулю, но ^брат-
наго заключешя сделать нельзя. Теперъ мы можемъ утверждать,
что всяк1й рядъ съ положительными членами, имеющими
пред-Ьломъ нуль, будетъ либо сходяиийся, либо слабЪе
расходящ!йся, ч%мъ рядъ 1 —|— 1 —|— 1 —J— - - -
Ь) Понятно, что если рядъ при передвиженш его на одинъ
членъ впередъ, даетъ сильнее сходяиийся рядъ *), то можно его
считать весьма сильно сходящимся. Изъ доказанной теоремы выте-
каетъ, что такое обстоятельство будемъ имъть мЪсто тогда, когда
отношеше --i- стремится къ нулю. ВслЪдств1е этого, въ прило-
жен1яхъ теорш рядовъ, стараются преобразовывать сходяш.1еся ряды
такъ, чтобы это услов1е выполнялось.
201. Теорема II. Если данъ нъкоторый рядъ съ поло-
положительными членами, то всегда можно построить другой,
слабее сходящейся или слабЪе расходящ1йся рядъ.
а) Пусть и, -\- и.х -\- ия -f- • • • будетъ данный рядъ, который
предположимъ сходящимся. Сохраняя обозначен1я предыдущихъ §§,
положимъ
Vt = У U — Yn\< V2 — Yal — У а2> г'-А = У а2 ~~ УаА! ¦ ¦ ¦
Рядъ vl + vi + г'з +••¦ будетъ сходящимся, потому что сумма п
первыхъ его членовъ ^ =]/"[/—У а,, и при п безконечномь
V = у О. Кром% того, такъ какъ остатокъ.
то lim(а„//9„) = limV^a,, = 0. Следовательно, новый рядъ слабее
сходится, чЪмъ Mj -\- ut-\- г1ъ -\- ¦ ¦ ¦
*) Т. е. если рядъ п., + ил + и4 + • • • + u,,+i + ''' сх°Дится сильн-fee
ряда их + и., + «з + ¦ • • + ин + ¦¦¦
168 И, 3. ТЕОия рядовъ. §§ 201-203
b) Если рядъ г/, -\- щ -\- м3 + • • • расходяиийся, то положимъ
г<х = УЬ\, v2 = У~U2 ¦-- Т L\, v3 = У ~СЪ ¦- \ V2, . ..
Рядъ vi -\- v2 -f~ г'3 ¦•• расходящШся, потому что Vn = VU,t
безпредътшно возрастаетъ вмЪсгЬ съ п. Но такъ какъ lim (VnIUn)
= lim—= = 0, то новый рядъ слабее расходится, чЪмъ данный.
' п
202. Прим^чаше. Нельзя установить границы между
сходящимися и расходящимися рядами. Иными словами, если
даны два ряда, одинъ сходящейся, другой расходящейся, то можно
составить безчисленное множество сходящихся и безчисленное мно-
множество расходящихся рядовъ, при чемъ первые будутъ слабее схо-
сходиться, чъмъ данный сходящШся рядъ, а вторые слаб-fce расходиться,
чъмъ данный расходящейся рядъ. Это впервые замтзтилъ Абель,
которому мы обязаны ттзми интересными сображен1ями, которыя за
этимъ слтздуютъ.
203. Теорема III. Если рядъ съ положительными чле-
членами
а1 а., а-л я4
расходящ1йся, то расходящимся будетъ и рядъ
al oL a.. Go
въ которомъ ап обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ
даннаго ряда, но расходимость новаго ряда слабее расхо-
расходимости даннаго.
Обозначивъ черезь т„ сумму п первыхъ членовъ новаго ряда,
очевидно, будемъ имъть
L + J +. , J
Оставляя п безъ измънетя, мы можемъ, благодаря расходимости
даннаго ряда, всегда найти такое значеше р, чтобы ап+Р было
больше 2в„. Тогда т,,+Р — Vn будетъ больше \. Увеличивая теперь
п до безконечности и обозначая черезъ ру, р2, рз, . ¦ ¦ тъ значен1я р,
которыя при разныхъ п удовлетворяютъ вышеупомянутому ymoeifo
найдемъ, что tn+p — хп не будетъ стремиться къ нулю, когда р
будетъ последовательно получать значешя р\, р-г, р-&, ..., и необхо-
необходимое для сходимости ряда услов1е (§ 187) не будеть выполнено.
Следовательно, новый рядъ расходяшдйся. Далтзе, его расходимость
слабъе расходимости даннаго, потому что отношете общихъ чле-
членовъ, равное 1/<т„, стремится къ нулю.
§ 204 CPABHEHIE РЯДОВЪ СЪ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 169
204. Построеше скалы расходящихся рядовъ. Если члены
перваго ряда § 203 остаются конечными, то предыдущую теорему
можно иначе доказать и въ тоже время показать, что сумма тя
безпредтзльно возрастаетъ, какъ log an. Въ самомъ дЪл'Ь, такъ
какъ, по условш, а„ не убываетъ безпредт,льно, то а„ в„ безпре-
дъльно возрастаетъ вмъстъ съ п, и потому (§ 157), применяя
известную теорему (§ 141), будемъ имЪть
log -^L-
Inn = hm -- = lim log
1 ь[ опак
Замтзтивъ это, мы можемъ изъ второго ряда вывести новый тЪмъ же
манеромъ, какимъ второй получился изъ перваго. Это будетъ рядъ
"l @1 ^1 ^'> ^2 ^2 ' ®'.\ ^3 ^'Л
который мы можемъ (§ 190, с) заменить слъдующимъ
а10] log ot ' а., во log o2 а?, л$ log o3 '
такъ какъ отношеше общихъ членовъ послт,днихъ двухъ рядовъ
имтзетъ предтзломъ единицу. Сумма п первыхъ членовъ послтздняго
ряда возрастаетъ безпредЪльно, какъ logTB, т. е. какъ log log an,
и изъ этого ряда можно вывести слъ\дующ1й *)
1 ^ L , 1 , ...
а1 о1 log ot log log ot a2 a2 log a2 log log o2 a3 o3 log o3 log log o3
который расходится слабее предыдущихъ, но остается расходящимся
и т. д. Взявъ, напримтэръ, а„ = 1, получимъ расходящ1еся ряды
1 + 1 + 1 + 1+ ...,
1.1.1
2 log 2 ^ 3 log 3 ^ 4 fog 4 '
1,1,1
2 log 2 log log 2 ' 3 log 3 log log 3 ' 4 log 4 log log 4 '
изъ которыхъ каждый расходится слабее предыдущего.
*} Въ рядахъ, общ1й членъ которыхъ им-Ьетъ видъ
»rig7;.]glgH-"lg lg \gli ¦¦¦'
первые члены могутъ не имЪть смысла и должны быть откинуты, но, начи-
начиная съ достаточно большого значешя и, эти члены будутъ вещественными
и положительными числами.
170 II, 3. теорш рядовъ. §§ 205-207
Спещальные признаки сходимости.
205. Теорема I. Въ сходящемся рядЪ иу-\-и%-\-т-\- •••,
произведете ап ип не можетъ стремиться, при безпредЪль-
номъ возрастали п, къ предълу, отличному отъ нуля,
если рядъ
E) V1 + 7h + V3 + ---
есть расходящейся рядъ съ положительными членами
Действительно, если lim an ип будетъ число положительное,
наприм-Ьръ, то и члены ряда % -|- м2 + из + ¦ • • будутъ, начиная съ
нъкотораго м-Ьста, числа положительныя, и этотъ рядъ можно
разматривать, какъ выведенный изъ ряда E) посредствомъ умноже-
шя его членовъ на a\U\, 0,2,11%, аз из, ¦¦¦ Но эти числа, начиная съ
н-вкотораго м-вста, были бы, при нашемъ предположен^ больше нЬ-
котораго даннаго положительнаго числа. Следовательно, (§ 190, с)
данный рядъ былъ бы расходящимся, вопреки услов1ю.
206. Сл1>дств1е. Ни въ какомъ сходящемся рядЪ про-
произведете пи„ не можетъ стремиться къ предълу, не рав-
равному нулю. Это вытекаетъ прямо изъ предыдущей теоремы, если
примемъ за рядъ E) гармонически рядъ. Но легко дать другое доказа-
доказательство сказанному зд-Ьсь, не предполагая известною расходимость
гармоническаго ряда; это новое доказательство, напротивъ того, можетъ
служить для утверждешя расходимости этого ряда. Стоить только
припомнить, что раньше (§ 152) было доказано следующее: если 5„
стремится къ конечному пределу, то п (Sn — Sn-i), т. е. пи„,
либо ни къ какому пределу не стремится, либо стремится къ пре-
пределу, равному нулю.
207. Прим1>чашя. а) Изъ предыдущей теоремы прямо слт,-
дуетъ, что, если апип стремится къ пределу, отличному отъ нуля,
то рядъ Mi + м2 + Мз + ••¦ расходящШся. Но, кром-fe того, видно,
что yaiOBie l\manun=0 не необходимо для сходимости, потому
что пред"влъ ап ип можетъ и не существовать, это ycnoeie въ то
же время и не достаточно для сходимости, потому что оно вы-
выполняется для безконечно большого числа расходящихся рядовъ,
расходимость которыхъ слаб-fee расходимости ряда E).
Ь) Въ частности, yoioeie lim nun = 0 ни необходимо, ни
достаточно для сходимости ряда. Оно не достаточно, потому что
существуютъ расходящ1еся ряды, для которыхъ оно удовлетво-
удовлетворяется; таковъ напримтфъ, рядъ (§ 204)
1 ¦+ Х 1
2 log 2 т 31og3 ' 4 log 4
§ 207 СПЕШАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ. 171
Оно не необходимо, потому что существуютъ сходяпи'еся ряды,
для которыхъ пип не имъетъ предала. Такъ напримъръ, рядъ
сходящейся (§ 186 или § 195), а между гЬмъ пип постоянно коле-
колеблется отъ — 1 къ +1. Точно такъ же мы дальше увидимъ, что
нижеслЪдующШ рядъ
1 + 92 + 32 + " + б2 + ' ' ' "Г W + '9" + Ш + ' ' '
сходя щШся. Онъ построенъ такъ, что и„ = \1п, если п квадратъ
ц-влаго числа, и и„ = \lvil, если п не квадратъ. Между тЪмъ
зд-Ьсь пип, очевидно, не имъетъ пред-Ьломъ нуль, потому что оно
равно единиц^ всяк1й разъ, какъ п есть квадратъ.
c) Можно однако доказать, что ycnoeie Ншии„ = 0 необхо-
необходимо удовлетворяется 1), если члены ряда и\ + и2 + «з + •••
сл-Ьдуютъ одинъ за другимъ, постоянно убывая, по крайней
мЪрЪ, начиная съ н^котораго мЪста. Въ самомъ д-Ьл-Ь, тогда и рядъ
(щ и2) + 2 («2 - г/:.) + 3 (к3 - г/4) -f • ¦ •,
Bet члены котораго положительны, будетъ сходящимся, потому что
сумма его первыхъ п — 1 членовъ равна ,Б„ — пип < Sn < 5.
Если S' ^ S есть сумма этого второго ряда, то \\тпип = 5— S'.
Ио S' не можетъ* быть меньше 5, иначе lim n ип ^> 0 и рядъ
«i + «2 + «3+--- былъ бы расходящимся. Поэтому S' = 5 и
lim n tin = 0. Къ тому же заключенш можно придти съ помощью
теоремы, доказанной въ § 141, положивъ тамъ а„ — п,
Ьп = - и замтзтивъ, что
d) Съ другой стороны, какъ уже было сказано, суще-
ствован1е limnu,,, отличнаго отъ нуля, достаточно для
того, чтобы можно было утверждать расходимость ряда
Mi + «2 + Из-(- •••• Для примера возьмемъ рядъ
1 + A ' log 2J + A - !; log З)" -Ь- A - i log 4L -4- • ¦ •
Положивъ для сокращешя v = nilog и, замътимъ, что
j l08 "
\ ] + ;' ]°g !
') Borel, Theorie des fonctions entieres. p. 17.
172 II, 3. теопя рядовъ. § 207
Въ то же время, такъ какъ (см. § 183)
1
то
О < -log««H < ^j-.
Но мы уже знаемъ (§ 161), что при п безконечномъ и v безко-
нечно, поэтому
log п ,. у» log2 п
lim —2-т- = lim - -_- • —&— = 0,
|> — 1 V — \ П
следовательно, lim log/и/„ = 0, Нш»мв= 1. Мы можемъ поэтому
утверждать, что данный рядъ расходящдйся.
е) Выбирая для а„ выражешя все быстръе и быстръе возра-
стающйя вмъстъ съ п, можно достигать все болъе и болъе слабой
расходимости ряда E) и такимъ образомъ болъе и болъе ограни-
ограничивать область расходящихся рядовъ, для которыхъ lim а,, и„ = 0,
такъ какъ каждый разъ исключается безконечное число расходя-
расходящихся рядовъ. Но невозможно исключить всъ расходящдеся ряды,
потому что для этого надо было бы построить рядъ, расходящШся
слабъе всякого другого расходящагося ряда, а мы знаемъ, что
такого ряда не существуете Поэтому нельзя надъяться при-
личнымъ выборомъ чиселъ ап достигнуть того, чтобы разыскаше
предъла алип дало рътающ1й признакъ для суждешя о схо-
сходимости любого ряда; этимъ замъчашемъ мы обязаны Абелю '), ко-
который доказалъ, что, ограничиваясь даже рядами съ положитель-
положительными членами, нельзя подобрать чиселъ ап гакимъ образомъ,
чтобы любой рядъ Mi-(-«2-(-«з + •• былъ сходящимся или
расходящимся, смотря по тому, будетъ ли Нтя»и»=0 или
lim а„ и п. ^> 0. Въ самомъ дълъ, прежде всего зам'Ьтимъ, что рядъ
долженъ быть расходящимся, потому что въ немъ ип = 1,'я„,
а„и„= 1. Но извъстно, что (§ 203) тогда и рядъ
а2
гд% о„ есть сумма п первыхъ членовъ перваго ряда, также расхо-
дящ1йся. Между тъмъ для него
и„ = , lim я и = lim — = 0.
<7 о ' о
') Oeuvres, 2-е ed., p. 398.
§§ 208—209 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ. 173
208. Теорема II. (Теорема Куммера.) Пусть аь а%, аз, ...
есть некоторая последовательность положительныхъ чи-
селъ. Если при безпред'вльномъ возрастали п выражен1е
начиная съ нЪкотораго значен1я п, остается больше нЪко-
тораго положительнаго числа, то рядъ и\ + м2 + из + ••• съ
положительными членами будетъ сходящимся. Если наобо-
ротъ, разсматриваемое выражен1е, начиная съ нЪкотораго
з начет я и остается отрицательнымъ, и рядъ 1 1 f •••
A^ С1<> Ct^
расходяппйся, то и рядъ гн -f- «2 + «з + ••• расходящ1йся *).
Дтэйствительно, изъ неравенства ап— an-\-i > I, при un+i > 0,
Urnl
сл^Ьдуетъ
G) ап «» - «я+1 "«+1 > 7"и+1 ,
откуда видно, что положительное число ап и„ постоянно убываетъ
съ возрастатемъ п и потому стремится къ конечному пред-Ьлу.
Отсюда слтздуетъ, что рядъ
("] «1 - «2 u'l) + («2 «2 - «3 "з) + (Я3 и'6 - ai "i) + ¦¦¦
сходящШся, потому что сумма первыхъ п его членовъ \
стремится къ конечному предълу. ПослЪдгай рядъ останется схо-
сходящимся, когда помножимъ его члены на 1/1. Данный рядъ
«1 -(- и2 + из -\- ¦¦¦ будетъ также сходящимся, потому что его члены
по условш положительные, начиная съ н-Ькотораго мъхта, будутъ
меньше соотвътствующихъ членовъ сходящегося ряда, какъ видно
изъ неравенства G). Наоборотъ, изъ неравенства ап яи-Н <С 0
вытекаетъ, что апи„ возрастаетъ вм%стт, съ п, а потому (§ 205)
рядъ Ui-\-Ui-\-u-i-\- ¦¦¦ расходяшдйся (конечно при условш, что рядъ
а « а
расходящ1йся).
209. Прим1>чан1е. Въ приложешяхъ этой теоремы обыкно-
обыкновенно ящутъ предтзлъ выражешя F) при п безконечномъ. Рядъ
1) Бол-fee общ1я теоремы можно найти въ рабогЬ Dini „Sulle serie
convergent et divergent! a termini positivi" (Annali dell' Univ. Tosc, IX).
174 II, 3. теорш рядовъ. §§ 209-211
будеть сходящимся или расходящимся, смотря по тому, будетъ ли
этотъ предътгъ числомъ положительнымъ или отрицательными
Когда онъ равенъ нулю, тогда о сходимости или расходимости
ряда ничего нельзя сказать, за исключешемъ того случая, когда
выражете F), приближаясь къ нулю, остается постоянно отрица-
тельнымъ, потому что въ этомъ случай можно утверждать, что
рядъ будетъ расходящимся.
210. Сл1>дств1я. а) Рядъ съ положительными членами
будетъ сходящимся или расходящимся, смотря по тому,
будетъ ли предЪлъ отношен1я послЪдующаго члена къ
предыдущему, при безконечномъ п, меньше или больше
единицы *). Эта теорема есть частный случай теоремы Куммера
(при ап — 1), но ее можно доказать и независимо отъ послЪдней,
сравнивъ данный рядъ съ геометрическою nporpeccieio 1-|-л;4-х2-| ,
сходящеюся при х < 1 и расходящеюся при х^1, и пользуясь
теоремою § 191.
b) Рядъ съ положительными членами будетъ сходя-
сходящимся или расходящимся, смотря по тому, будетъ ли пре-
пред-Ьлъ выражен1я ;г —— -1 , при п безконечномъ, больше
или меньше единицы. Это есть признакъ Раабе (Raabe). Онъ
получается также изъ теоремы. Куммера, при а„= п.
c) Рядъ съ положительными членами будетъ сходя-
щШся или расходяиШся, смотря потому, будетъ ли предЪлъ
выражен1я
4+1
-- И - 1 log»/
при безконечномъ п больше или меньше единицы. Действи-
Действительно, пусть этотъ предтзлъ равенъ /. При а„ = п log n выражеше F)
равно разности между даннымъ выражешемъ и («-|-l)log 1H— ,
и стремится (XVIII) поэтому къ пределу, равному /— 1, т. е. поло-
положительному или отрицательному, смотря по тому, будетъ ли / > 1
или / < 1.
211. ПрилгЬчашя. а) Рядъ слЪдствШ изъ теоремы Куммера
можно продолжать безгранично, полагая последовательно
«и = и log я, п log ;/ • log log //, п log n ¦ log log n ¦ log log log n, . . .
*) Этотъ признакъ данъ былъ Д'Аламбертомъ и рЪшаетъ вопросъ
о сходимости или расходимости въ весьма большомъ числ^б частныхъ слу-
чаевъ. Обыкновенно его и ставятъ въ начали теорш сходимости рядовъ.
§ 211 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ. 175
Такимъ образомъ получаемъ выражешя
Iя I—" 11 — 1 I log я — 1 I log log я — 1 I log log log я, и т. д.
\\\ \"«+1 111 )
Эти выражения, вмъстъ съ тремя разсмотрънными въ изложенныхъ
выше слЪшггаяхъ, могутъ имъть пределы /, /', /", ... Но изъ нихъ
только одно можетъ имъть конечное значеше, не равное единиц*,
потому что ясно (XIX), что тогда вст> предыдущие равны 1, а всЬ
послъдуюице безконечны. Достаточно одного изъ чэтихъ предъловъ,
не равнаго единиц*, чтобы решить вопросъ о сходимости или
расходимости ряда. Результатъ определяется тЪмъ, будетъ ли этотъ
предълъ больше или меньше единицы.
Ь) Существуютъ, конечно, ряды, для которымъ все безчислен-
ные разсматриваемые пределы равны 1. Но существуетъ также без-
численное множество другихъ формъ чиселъ а„ въ теоремЪ Куммера
и если окажется, что при выбранной формъ ап выражеше F) стре-
стремится къ 0 (и вопросъ о характеръ ряда остается не рЪшеннымъ),
можно вместо выражешя F) разсмотръть произведете его на о,„
гд% о„, какъ всегда, обозначаете сумму
«1 «2 " ' ап
Смотря по тому, остается ли это произведете, начиная
съ нт>кораго значен1я п, меньше 1 или больше /, гдт> /> 1,
рядъ будутъ расходящимся или сходящимся. Эта теорема по
существу не отличается отъ теоремы Куммера и получается изъ нея,
если замънимъ ап на ап Ъп и замътимъ, что
с) Впрочемъ, всъ эти признаки, несмотря на большую пользу,
которую они приносятъ при разсмотр-Ьнш рядовъ чаще всего встре-
встречающихся, далеки отъ того, чтобы дать истинные и существенные
симптомы сходимости и расходимости рядовъ. Такъ, напримтфъ,
ограничиваясь простъйшимъ случаемъ (ап =1), полезно заметить,
что рядъ можетъ быть сходящимся, не смотря на то, что
OTHomeHie un+i/un, при возрастанш п, не перестаетъ при-
принимать значен1я болышя единицы и даже сколь угодно
болышя. Такое обстоятельство встръчается, напримт^ръ, въ очень
простомъ ряд* а + ^ + о? + Р + ¦ ¦ • + а2"8 + jS2m + • • •, кото-
который им+зетъ всЬ члены положительные и будетъ сходящимся, если
176 II, 3. теорш рядовъ. §§ 211-212
а и /3 лежать въ интервале @, 1) за, исключетемъ границъ. Если,
кромт, того, а < j8, то отношеше и-го члена къ предыдущему
им^Ьетъ пред"Ьломъ 0 при нечетномъ и, а при п четномъ возра-
стаетъ безпредъльно. (См. XX).
Однако надо заметить, что такая неправильность всегда мо-
жетъ быть устранена 1) приличною группировкою членовъ безъ
изменетя ихъ порядка, действительно, какъ бы мало ни было
данное положительное число k, всегда можно найти такое значе-
Hie n, начиная съ котораго будемъ иметъ kSn > RH, потому что
Sn стремится къ пределу 5 > О, а остатокъ ряда Rn стремится
къ нулю. Неравенство kSn^> RH остается справедливымъ и въ
томъ случае, когда будемъ разсматривать данный рядъ не съ на-
начала, а съ некотораго члена. Отсюда следуетъ, что можно такъ
группировать члены даннаго ряда Hi-\- Иг -\- н$ + ¦¦¦> не меняя
ихъ порядка, чтобы получился новый рядъ г\ -\- % + г>з + ••• (ка-
(каждый членъ котораго равенъ сумме членовъ одной группы членовъ
даннаго ряда), въ которомъ удовлетворяется неравенство
и темъ более неравенство -^- <С_ k. Такимъ образомъ исчезаетъ
L п
тотъ обманчивый симптомъ расходимости, который являлся въ пер-
воначальномъ ряде.
212. Примеры, а) Требуется изследовать характеръ ряда
1 + .L+_L + J_+...
1 2<° зр ?'
Замечаемъ, что
- -*— = ~- = 1 +- , ИЩИ 5- -¦ 1 =р.
"п+1 "' I "J L"»+i J
На основанш правила Раабе заключаемъ, что данный рядъ схо-
дяшдйся при р^>\, расходящ1Йся при р <^ 1. При р = 1, какъ мы
уже знаемъ, рядъ будетъ расходяшдйся. Следовательно, лишь при
р > 1 данный рядъ сходящдйся.
Ь) Разсмотримъ более общдй рядъ, общШ членъ котораго,
при п > 1, имеетъ видъ
1
и1' (log nf
!) Это 3aMt4aHie принадлежитъ Lerch und Weyr (J.unal de Sciencias,
1886-87, pp. 79, 97).
§§ 212—213 спЕщлльные признаки сходимости. 177
Прежде всего замъчаемъ, что
1 ' -Г' ' 1^og[1+ll<l,
п + 1
а потому можно написать
log (я
l) =
log и м log ;г'
гдЪ 6 лежитъ между 0 и 1 и при безконечномъ п имЪетъ пре-
дъломъ 1. Поэтому
а отсюда, выполняя умножеже и отбрасывая члены, которые по
умноженш на и log и имЪютъ пред%ломъ нуль, находимъ
Итакъ, при /> > 1 рядъ сходящШся, при р < 1 расходящ1йся.
При р — \, имЪемъ
lim п — 1 — 1 I log п = q lim 6 = q.
L 1"и+1 J J
Слт>довательно, при </<^1 рядъ расходящдйся, при (]^>1 сходя-
щШся (§ 210, с). Наконецъ, при р = 1 и q — 1, какъ мы уже
знаемъ (§ 204), рядъ расходящ№ся. Резюмируя, находимъ, что
данный рядъ
р >\, q произвольномъ
сходяиийся при
р = \. q>\
р < 1, q произвольномъ
расходящ1йся при
Р = 1. 1 "-S 1 ¦
Въ случай/><1, при д- произвольномъ, расходимость слйдуетъ также
изъ того (§ 206), что (§ 161)
lim ;г г/,, = lim
(log я)?
213. Теорема III. Если для нъкотораго ряда
«
съ положительными членами У~ип, начиная съ н%котораго
мъста, остается меньше даннаго числа, которое само меньше
12
178 II, 3. теорш рядовъ. §§ 213—214
П
единицы, то рядъ сходящейся. Если же ]/ии, начиная съ
нЪкотораго м-вста никогда не меньше единицы, то рядъ
расходяиийся.
Действительно, изъ неравенства у и„<^х <С 1 сл^дуетъ ип<
а сходимость ряда, котораго общШ членъ х", при л' <[ s, известна
(§ 182). Следовательно, данный рядъ и подавно сходящШся (§ 190, Ь).
и
Наоборотъ, если Уип ^ 1, то м» ^ 1 и т. д. Одинъ изъ способовъ
п
прилагать эту теорему состоитъ въ разысканш предела Уи„ при п
безконечномъ. Если этотъ предълъ меньше 1, рядъ сходящШся, если
п
больше 1, расходйщШся. Если Нт]/м„= 1, ничего нельзя сказать,
п
за исключешемъ того случая, когда приближаясь къ 1, ]/м„, на-
начиная съ некотораго места, никогда не делается меньше 1; въ
этомъ случае рядъ также расходящШся.
214. ПриягЁчашя. ПредыдущШ признакъ, можно сказать,
эквивалентенъ съ тъмъ, который основанъ на разсмотреши отно-
шешя ип+\1ип; такъ какъ известно, что (§ 142, Ь), если это отно-
и
шеше имеетъ пределъ /, то существуетъ и пределъ Уи„, равный
тому же /. Этому не противоречив то обстоятельство, что рядъ
можетъ быть сходящимся, между темъ какъ ни тотъ, ни другой
пределъ не существуетъ, какъ это, напримеръ, имеетъ место для
разсмотреннаго выше ряда а -\- [Р -+- а3 -|- Д4 -(- • ¦ •. Признакъ, осно-
п
ванный на разсмотреши предела Уи„, редко можно прилагать, хотя
теоретически онъ имеетъ преимущество передъ темъ, который осно-
основанъ на разсмотреши предела отношешя un+i/un, потому что этотъ
второй пределъ можетъ не существовать, когда первый существуетъ.
Разсмотримъ, напримеръ, вместе съ Лерхомъ (Lerch) L) рядъ, ко-
котораго общШ членъ равенъ
ип = q Х- @ <^ q <С 1, х ^- 1),
где v обозначаетъ число цифръ въ п. Такъ какъ v— 1 не
больше обыкновенная (десятичнаго) логариема п, то, при безпре-
дъльномъ возрастали п, отношен1е vpln стремится къ нулю (§ 163),
каково бы ни было число р. Отсюда следуетъ, что
lim \ ип = lim q n x2n^ v>, = q < l.
!) Abhandlungen der bohmischen Akad. der Wissensch. 1885. (Мемуары
Богемской Академ1и Наукъ.)
§§ 214—215 СПЕЦГАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ. 179
Следовательно, рядъ будетъ сходяшдйся, какъ бы велико ни было х.
Если бы вмЪсто этого мы стали разсматривать отношеше Un+i!un,
то не могли бы вывести никакого заключешя. Дъйствительно, если V
обозначаетъ число цифръ въ (п — 1), то разность v — v', вообще
равная нулю, дълается равною 1 всякШ разъ, когда п получаетъ
значеше, равное степени 10. Отсюда слъдуетъ, что отношеше
г<„ _ 1(vv) .?("
— П • X
вообще равное q, делается равнымъ xv при п равномъ степени 10.
Существуетъ послъдовательность значен!й п
п=1, 10, 100, 1000,...
для которыхъ отношеше ип^л_1ип въ концЪ концовъ превзойдетъ
любое данное число, а рядъ остается сходящимся. Это согласно съ
гЬмъ, что было сказано въ зам-Ьчанш с) § 211.
215. Теорема IV. (Теорема Жамэ) (Jamet). Рядъ съ поло-
положительными членами и\-\-иг + «з+ ¦•• будетъ сходящимся,
если при безпредъльномъ возрастанш и, выражен1е
v"' v' r "»'log«
въ концъ концовъ остается большимъ нъкотораго числа,
которое само больше 1, и расходящимся, если то же
выражеше въ концъ1 концовъ никогда не превосходитъ
единицы 1).
Въ самомъ дълъ, полагая ип = п~~рп и замечая, что нера-
неравенство
"г— -— -— lOg« Р„,
у ип ¦= п « =е » > 1 -- - — log «
влечетъ за собою слъдующее:
П щ
"ft ' V ' ft/ \oQ fl '
ты видимъ, что въ томъ случаъ, когда выражеше (8) больше р > 1,
будемъ имъть и рп>/>>!. А тогда данный рядъ будетъ сходя-
сходящимся, потому что (§ 190, Ь) члены его въ концъ концовъ будуть
меньше соотвътствующихъ членовъ сходящагося ряда (§ 212, а)
„Mathesis" A892, стр. 80). (Брюссель.)
12*
180 II, 3. теорщ рядовъ. §§ 215-217
Если же выражеше (8), начиная съ нтжотораго п, будетъ всегда
меньше 1 или равно 1, то это значить, что начиная съ нъкото-
раго мъхта
п Г 1 1
A - - \ги ) ¦: < 1, т. е. и„ > 1 log и .
v ' "-'log и ~ и ~~ | и & J
А тогда данный рядъ будетъ расходящимся (§ 190, с), потому что
его члены не меньше членовъ расходящагося ряда (§ 207, d)
1 + A - ilog2J + A — * log3K + A -| log4)*+ ....
216. ПримЪчаше. Теорема Жамэ примъняется, подобно пре-
предыдущей, посредствомъ разыскашя предала выражешя (8) при п = ос.
Рядъ будетъ сходящимся или расходящимся, смотря по тбму,
будетъ ли этотъ предЪлъ больше или меньше 1. Когда этотъ
пред"Блъ равенъ единиц^, то безъ дальн-вйшаго изсл-вдоватя нельзя
ничего сказать, за исключешемъ того случая, когда выражеше (8),
приближаясь къ 1, остается постоянно ^ 1: тогда рядъ будетъ
расходящШся. Въ другихъ случаяхъ нужно добыть новый признаку
дополняющШ первый. Можно, напримъръ, вм*сто выражен1я (8>
разсмотръть следующее:
лпг\ ». ,1 Нп
"' log п J log log п
Для доказательства достаточно положить м„ = —, отсюда
п (log ri)q»
вывести, что qn превзойдетъ данное выражеше и припомнить,
что (§ 212, Ь) рядъ
1 , !__ , L_+...
2 (log 2)* 3 (log 3)" 4 (log 4)"
сходящейся при <7>1, и расходящШся при q-шХ.
217. Примеры. Данъ рядъ
(log2)^(log3)8 + (log4)*" •
Чтобы доказать его сходимость, можно, принявъ и\ = 0 за первый
его членъ, заметить, что
п .
lim Уп~п = lim -: = 0.
log п
Для рядовъ съ общими членами
1 1 1
(log»)
logn
§§ 217—218 упражнешя и приложенш. 181
н
находимъ, что У~ип = 1, и можемъ прибегнуть къ признаку Жамэ.
На практик^ удобнее непосредственно применять тотъ принципъ,
на которомъ этотъ признакъ основанъ, состоящей въ сравненш дан-
наго ряда съ другимъ, общШ членъ котораго есть пр. Это сво-
сводится къ тому, что вместо выражешя (8) разсматривается отно-
шете рп = log—: log;/, при чемъ можно утверждать, что рядъ
будетъ сходящимся, если это отношен1е въ конце концовъ
остается большимъ некотораго числа, которое само больше
единицы, и расходящимся, если это отношеше, въ конце
концовъ, никогда не делается меньше единицы. Напримеръ,
для данныхъ выше рядовъ имеемъ соответственно
Р„ = log log п, log log log и, —
Первыя два изъ этихъ выраженШ рп возрастаютъ безпредельно
вместе съ и, а третье имеетъ пределомъ нуль, следовательно,
первые два ряда сходяицеся, а третШ расходяццйся. Если полу-
получится для р„ пределъ, равный 1, то можно перейти къ разсмот-
отношешя log ztjt къ log log п и т. д. Конечно, могутъ ветре-
титься и так1е ряды, къ которымъ предпочтительно прилагать
признакъ Жамэ въ его первоначальной форм*. Такъ напримеръ,
Г х Iй
для ип = 1 log и , пределъ выражешя (8) равенъ х, и тотчасъ
видимъ, что рядъ (срав. съ § 207, d)
[l -|log2]2+ [l -~|1о8з]3+ [l -|log4]4+ ..
будетъ сходящимся только при х^>1.
Упражнения и приложешя.
218. Упражнен1Я. а) Немнопе доказанные выше признаки
сходимости рядовъ даютъ возможность весьма быстро узнать ха-
рактеръ рядовъ, разсмотренныхъ въ §§ 184, 186. Для показа-
тельнаго ряда, напримеръ, достаточно заметить, что
дг" . и„+1 . X
для и = — lim —^- = Игл — = 0.
11 I it i\i a it
Следовательно, рядъ сходящШся для всякаго положительнаго х (§ 210).
Онъ будетъ сходящимся и при всякомъ отрицательномъ значенш х,
потому что (§ 190, а) въ этомъ случае члены его, попеременно
182 II, 3. теорш рядовъ. § 218
положительные и отрицательные, начиная съ нЪкотораго мъхта,
а именно съ того, для котораго п > | х |, постоянно убываютъ
и, кром"Б того, им-вють предЪломъ нуль. Подобно этому поступаютъ
и съ логаривмическимъ рядомъ. ОбщШ его членъ и„= +'— возра-
стаетъ безпред"Бльно (по абсолютной величин^) или стремится къ
нулю, смотря по тому, будетъ ли | х | больше или не больше 1,
откуда и видно, что ycnoeie \х\^1 необходимо для сходимости
ряда (§ 188, а). Отношеше посл-вдующаго члена къ предыдущему
въ ряд"в абсолютныхъ величинъ членовъ даннаго ряда им-ветъ пре-
Д"БЛОМЪ
п
lim-
Поэтому рядъ будетъ сходящимся при |яг|<|1 (§§ 210; 190, а).
Для | х | = 1, рядъ будетъ расходящимся при х = — 1, потому что
тогда онъ обращается въ гармонически рядъ, и сходящимся при
х = 1, потому что тогда члены его, попеременно положительные
и отрицательные, постоянно убываютъ и им"вютъ предЪломъ нуль.
Впрочемъ, послътшя два свойства справедливы при всякомъ поло-
жительномъ х, не большемъ 1, потому что неравенство
п > п + 1
I]
справедливо при х<С1-\-—, а потому и при х^1, каково бы
ни было значеше п.
Ь) Въ частности, нами было найдено (§ 186), что
(9) 1 -! + !-!+ •¦¦ =-• log 2 = 0,6931471 ...,
и именно съ помощью формулы A) § 183, которая весьма по-
полезна, потому что даетъ возможность вычислять суммы различныхъ
рядовъ типа (9). Действительно, мы видели что сумма а^п первыхъ
2 п членовъ ряда (9), очевидно, равная
имъетъ предъломъ log 2, при безконечномъ п. Если данъ рядъ
(Ю) 1 +i ~? + 4- + i-± + ?4 •¦¦,
то сейчасъ видимъ, что
§ 218 УПРАЖНЕН1Я И ПРИЛ0ЖЕН1Я. 183
откуда 5 = f log2 = 1,0397207 ..., такъ какъ -S3m_i и 5зп—з отли-
отличаются отъ 5зи на величины, имЪюшдя пред^ломь нуль. Этотъ при-
м-Ьръ показываетъ, что не всегда можно менять порядокъ
членовъ ряда. Действительно, ряды (9) и A0) отличаются только
порядкомъ членовъ, а имеютъ различныя суммы. Для ряда
1+-S--+ + * + !-¦?.• + ¦&+ •••
подобнымъ же образомъ имеемъ
10
2 "
°з» 2и + 1 2н + 3 ^ * An - 1 2" 2
откуда .S = I log 2 = 0,3465735 ... Наконецъ, для ряда
находимъ
SSl, = ^з» - я«. 5 = log 3 = 1,0986122 ...
Въ болЪе общемъ случай находимъ, что log»z есть сумма ряда
1 + 2 + ¦" + Ъ" Х + ^7+Т + ^Г4Г2 + '¦¦ + 27^~ 2 +2tii + 1 + '"
с) Не целесообразно прибегать къ признакамъ сходимости,
когда можно прямо вычислить сумму ряда, какъ показываютъ выше
приведенные примеры. Если, напримеръ, данъ рядъ
l-2-3"t-4i-5" "'
то можно, конечно, доказать его сходимость, замечая, что
«„ _ (н + 1) (я + 2) = j + 2
«,,+i »(« + 1) и \ив+1
или принимая во внимаше (§ 190, Ь), что ип<С~, и припоминая,
что — есть общШ членъ сходящагося ряда (§ 212, а). Но это
изследоваше излишне, потому что достаточно написать и„ въ
виде — —--т, чтобы сейчасъ же найти
и « 4- 1'
5„ - 1 - 2 + ^ - з +••¦+-- 7Гтг1 = —Tj. 5=1.
Точно также, когда предложенъ рядъ
1-2-Зт5-6-7 т 91011 г 131415
_ ¦
11 I
184 II, 3. теорш рядовъ. § 218
._ 3)D„ -
Т0
и Dя-3)Dя-2) ' Dя-2)Dя-1)
и постараемся определить аи/? такъ, чтобы имъть тождественно
(при всякомъ /г)
Dи-~ 1)о + Dи -
т. е. а -(- j8 = 0, а + 3/? = — 1, откуда а = — /? =»--^. Тогда полу-
чимъ ми = 4 — -— — — —-— и разлагая, какъ и
2 |_Dя — 3) D я — 2) D« — 2) D и — 1)J
въ предыдущемъ прим^рЪ, каждую дробь на двъ, находимъ
1/1 1 1
2\4я-3^4«-1 2я - 1
Отсюда найдемъ Sn = \o2u — \an и 5 — | log 2 = 0,1732867
Если данъ рядъ
19 А
о/\ о 1 '
2-3T5'6 ' 9-l(V 14 ¦ 15 ' 20-21
то, какъ легко видъть, числитель п-той дроби равенъ
1 +3 + 4 + 5 + ••• + (п + 1) = \(п + 1)(я + 2) -- 2 = \п(п + 3) - 1,
а, следовательно, знаменатель ея будетъ
1п(п + 3) [|я(>/ + 3) + 1] = {п(п + 1) (я + 2) (я + 3).
Тогда положимъ
„ | Р | 7
« я (я + 1) + (я + 1) (я + 2) ^ (п + 2) (к + 3)'
при чемъ тождественно должны имт,ть
(я + 2) (к + 3) а + и (» + 3) /9 + я (н + 1) у = 2 (и2 + 3 я - 2).
2
Полагая последовательно и = 0, « = — 3, находимъ а = у = — ^ •
Сравнивая затъмъ коэффициенты при пг, получимъ а + j8 + у = 2,
откуда В = -S-. Окончательно получимъ
о
5 = -- ? + У ¦ | - | • i- = J.
d) Чтобы доказать сходимость ряда
\ll> l i ; 7. "Го™ 5П 7. "Г Ъ ч | „ т ¦ ¦ ¦
§ 218 УПРАЖНЕН1Я И ПРИЛ0ЖЕН1Я. 185
(х > 0), можно группировать члены попарно и заметить, что
" и « + .г п(п + х) ' ип (п + 1) (п + .г + 1) ~
Применяя теперь правило Раабе (§ 210, Ь)
Рядъ сходящийся. Проще еще слЪдующШ пр1емъ. Зам-Ьтимъ, что
м» < -j , и что рядъ 1 + i + 1 + tV + • • • сходящШся. Конечно,
такимъ образомъ будетъ доказано лишь то, что сумма Sn пер-
выхъ п членовъ ряда A1) стремится къ некоторому пределу 5,
когда п проходитъ черезъ одни четный значешя. Но при п не-
четномъ, имЪемъ
Sn = Sn л + ;7-|т , lim Sn = lim SH_X = S.
Если х равно целому положительному числу т, то сумма ряда A1)
равна сумме первыхъ т членовъ гармоническаго ряда. Действи-
Действительно, сумма первыхъ 2и членовъ равна
и, очевидно, имеетъ пределомъ //т, когда при постоянномъ in
число п возрастаетъ безпредельно.
е) Для ряда
1 , 1-2 , 1-2-3 +
* + 1 (HD (х + D ' (-v + 1) (-v + 2) (л: + 3)
имеемъ
—7—;—s. lim = hm 1 + —г-, = 1 •
-» - (* + 1) (д- + 2) .T7(.v + ;f)' "'" Ив+1 ~ •"" ^ I „
Применяя правило Раабе, находимъ
|и» .\ .. пх
im ?г I • — 11= hm ——- = х.
\»п+1 " + 1
lim
¦"и+1
Следовательно, рядъ сходящШся при л]> 1, расходящШся, при дг<^ 1;
онъ расходящейся и при х = 1, что видно непосредственно. Между
прочимъ, въ случае сходимости легко найти и сумму ряда. Стоить
только заметить, что очевидное тождество (х -\- п)ип = пип—\ можно
написать въ виде
{X 1)ИЛ =Я«„ _!-(« + 1)«„.
186 II, 3. теорш рядовъ. § 218
такъ что, заменяя п последовательно на п — 1, п — 2,... 3, 2, 1,
и суммируя, получимъ
А такъ какъ члены ряда следуютъ одинъ за другимъ въ убыва-
ющемъ порядке, то (§ 207, с), какъ известно, Iim пип — 0. Слт>до-
вательно, о = г •
X — 1
f) При положительномъ значенш х < е, рядъ
будетъ сходящимся. Действительно,
е "¦
При д: > г, рядъ расходящ1йся. Онъ расходящ1йся и при х = г,
потому что при этомъ предположены разсматриваемое отношеше,
приближаясь къ е, остается постоянно больше 1 (§ 156). Чи-
Читатель можетъ доказать, что въ более общемъ случае рядъ, для
котораго ии = — (—) будетъ сходящимся только при р > |. (XXI).
Рядъ A2) принадлежитъ къ типу рядовъ
X Х^ Х^ Х^
въ которыхъ предполагается, что ан стремится къ конечному пре-
пределу а при п безконечномъ. Такъ какъ
,. Un ..XX
Iim = urn — = — ,
«„-1 ап а
то прямо видно, что при х < а рядъ сходящдйся, а при х > а
расходящШся. Онъ будетъ рясходящимся и при х = а, если числа
ип а
flii «2, а», ... постоянно возрастаютъ, потому что тогда = —
"и—1 ап
всегда больше 1. Въ другихъ случаяхъ характеръ ряда при х — а
зависитъ отъ свойства данной последовательности а^, а2, а3,..., а
прежде всего отъ значенШ выражен1я п(ап—а) при безпредель-
номъ возрастан1и п *).
g) Требуется изследовать характеръ ряда
1!дг 2U-2 ,
+
{х + ах) Bх + а2) ^ (х + а{) Bх + а2) (Зх + я3)
*) См. правило Раабе.
§ 218 УПРАЖНЕН1Я И ПРИЛ0ЖЕН1Я. 187
въ томъ предположен^, что существуетъ конечный предълъ а
чиселъ ап, при безконечномъ п. Мы им'вемъ здъхь
ип их .. "„
= ; > lim = 1.
Правило Раабе ведетъ затЪмъ къ изслъдовашю слъдующаго предала
lnx + aH \ an a
lim п I — 1 = lim— = —
\ ИХ I X X
Отсюда вытекаетъ, что рядъ сходящШся при х<С.а, расходящШся
при х ]> 0. При х = а тотъ или другой характеръ прежде всего
зависитъ отъ значенШ выражен1я (ап — a) log n при безпредъльномъ
возрастали п.
h) Расходимость ряда
« , . а а . а
sin -:—h sin -=- + sln -n- + sin -г- +
при всякомъ положительномъ и отрицательномъ а слЪдуетъ прямо
изъ того замЪчашя, что
а
sin —
lim пи„ = и lim = а
а
п
п
Напротивъ того, рядъ
.а 1 . а , 1 . а . 1 . «
sm-j- + у sin -^ + у sin у + — sin -^- -f ¦ ¦ ¦
будетъ сходящимся при всякомъ а, потому что абсолютная величина
1
его общаго члена меньше произведешя —^на \а\.
i) Рядъ
A3) sin а + sin 2а 4- sin За 4~ sin 4а 4- •••
не сходящШся, потому что обицй членъ его не имЪетъ предЪломъ
нуль (предполагая, конечно, что а не краткое отъ яг). Рядъ этотъ
неопределенный. Въ самомъ дЪлъ, если умножимъ всЬ члены
суммы Sn на sin—, то, припоминая соотношеше
2 sin v a sin -^ = cos B v - 1)-|- - cos B v 4-1) у,
получимъ
2 Sn sin ^ = cos ^ - cos B« -f- 1) у = 2 sin -^-sin -—-^-
188 II, 3. теорш рядовъ. § 218
Сумма
. па
Sn = sin («+ 1) у
sinT
оставаясь конечною, ни къ какому пред-Ьлу не приближается, а ко-
колеблется безъ конца. Принимая еще во внимаше, что
pa
2 .
Sn+P Sn=--——
не возрастаетъ безпред'Ьльно, видимъ, что рядъ A3) принадлежитъ
къ числу рядовъ, о которыхъ шла р-Ьчь въ теорем* IV § 194.
Отсюда сл'Ьдуетъ, что можно утверждать сходимость ряда
о^ sin а + а2 sin 2 а + а3 sin 3 а + а4 sin 4 а +
въ которомъ числа ai, Яг, а3, ¦ ¦. могутъ быть какими угодно,
лишь бы они постоянно убывали и стремились къ нулю.
Такъ напр., рядъ
sin а + | sin 2а + \sin 3а + -}-sin4а + ¦¦¦
сходящШся при всякомъ а.
j) Доказать сходимость ряда
х sin2 а . х2 sin2 a sin2 2 а
1 + х cos2 а A -\-х cos2 а) A + х cos2 2 а)
при 0 < х < 1. Здъхь им'Ьемъ
ип х sin2 я а
и„_1 1 + л: cos2 я а
При безпредъ-льномь возрастанш я, sin'2wa и cos2wa постоянно
колеблются между 0 и 1, а потому разсматриваемое выражеше ни
къ какому пределу не стремится. Т%мъ не мен^Ье, сейчасъ же видно,
что всегда
а этого достаточно, чтобы установить сходимость ряда
к) Доказать, что рядъ Ui, + м2 + «з + • • • съ положитель-
положительными членами будетъ сходящимся, если возможно найти такое
положительное переменное число ап, чтобы, начиная съ н^Ькото-
раго значешя п, им%ло мъхто неравенство
§ 218 УПРАЖНЕН1Я И ПРИЛОЖЕНЫ. 189
Действительно, изъ этого неравенства следуетъ
Un_UH± >и
ап <7н-)-1 '
Отсюда видно, что — постоянно убываетъ, оставаясь больше 0, и по-
тому стремится къ конечному пределу. Этимъ доказана сходимость
ряда
1 _ ^±\ -L ...
ах а2/ ' \а2 аг] ' \аг aj ^
(для котораго Sn =— —), а темъ самымъ a fortiori и сходимость
даннаго ряда 2).
1) Дана произвольная последовательность положительныхъ чи-
селъ я1( я2, я3, Доказать сходимость ряда
1 + «! ^ A + «l) A + «2) A + «l) A + «о) A +«3)
Достаточно заметить, что
««+1
чтобы видеть, что сходимость даннаго ряда есть прямое
доказанной въ предыдущемъ прим-fep-fe теоремы. Впрочемъ, можно
также заметить, что
11
"« ~ A + «О A + а2) ... A + ап^) A + а,) A + й2) ¦•• A + ап)'
откуда
Следовательно, сумма Sn постоянно возрастаетъ вместе съ п,
оставаясь меньше 1; поэтому она стремится къ некоторому пре-
пределу S ^ 1.
т) Данъ рядъ
ai of
J) Этогь признакъ сходимости данъ былъ Ф. Джюдиче (Giudice)
въ Rendiconti del Circolo matematico di Palermo A890).
190 H, 3. теорш рядовъ. §§ 218-219
въ которомъ о„ обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ расходяща-
гося ряда съ положительными членами
JL + -L + -L + -L+...
«1 а2 аъ д4
Тогда имъемъ
1 "п 1
а
и дал-Ье
п
ип — п ' пп „ ' яп+1 ~~ р
а ° "+1 °
Следовательно (§ 211, Ь),если р~>1, то рядъ сходящШся. Мы зна-
емъ уже (§ 203), что при р = 1 a fortiori при р < 1 рядъ расхо-
дяшдйся. На этомъ основаши читателю легко будетъ обобщить
теорему Жамэ (§ 215), а именно показать, что рядъ (съ положи-
положительными членами) и\ + м2 + и3 + • • • будетъ сходящейся,
если выражете
A '" ' "
У "„ «„/ log о„
въ концъ концовь остается больше нъкотораго числа, ко-
которое само больше 1, и расходящейся, если это выражение
въ конц-fe концовъ остается меньшимъ или равнымъ 1.
Впрочемъ, вмъсто вышеуказаннаго выражен1я можно разсмагривать
отношеше log къ log an ¦
anUn
219. Вычислен1е натуральныхъ логариемовъ. Логариеми-
чесюй рядъ им^Ьетъ много весьма полезныхъ приложенШ. Принимая
во внимаше сказанное въ концъ § 186, находимъ, что черезъ сло-
жен1е формулъ C) и D) получается формула
1 -J- X I 1 * * '
]Ост ' _ 2 I % А хР + -
справедливая только для х, лежащего въ интервалъ ( — 1, + 1), за
исключешемъ его границъ. Въ частности для х = -~ —j находимъ
A4) log (п + 1) - log „ + 2 (^ +
1)Н
и можемъ, слъдовательно, вычислить натуральный логаривмъ
любого ц^влаго числа, если знаемъ натуральный логаривмъ пред-
шествующаго ц%лаго числа. Такъ наприм%ръ, при п = 1, находимь
§§ 219—220 упражненш и приложенш. 191
и, ограничиваясь восемью первыми членами, получимъ
log2 = 0,69314718 ...,
при чемъ можно ручаться за верность веЬхъ написанныхъ десятич-
ныхъ знаковъ, такъ какъ сделанная погрешность
JU_L_ , 1 , 1 ¦ \ _2_/J_ , J. , J_ . \
3 U7-98+ 19-99 ' 21 -91"" " / 3- 17 \ 9» + 9» + 910 + "' /
1 1 1
4¦3 ¦ 17 • 9' " 975725676 108
Чтобы получить такое же приближеше съ помощью формулы (9)
§ 218-го намъ нужно было бы (§ 196, с) удержать въ ней бол-fee
ста миллюновъ членовъ. Впрочемъ известны различныя друпя фор-
формулы х), еще бол%е выгодныя, ч-Ьмъ формула A4). Положивъ въ
2
основной формул^ д- = —^—g— и замечая, что
Ф- 3«т2 = (я 4: 2) (я + 1)а,
получимъ
, (и + 2) (« - IJ 4 4* , 4»
s (n - 2) (я + IJ " я» - Зя ^ 3 (Ф - Зя)» ^ 5 (я» - Зяр '
откуда, ограничиваясь первымъ членомъ разложешя, получаемъ
формулу
log (я + 2) = 2 log (н + 1) - 2 log (я -- 1) + log (и - 2) + ф 4 ^ .
Она даетъ log(w + 2) съ двадцатью четырьмя десятичными зна-
знаками, когда известны логариемы п-{-\, п — \ и п —2, предполагая,
что число цифръ въ п больше 3. Действительно, погрешность про-
происходящая отъ пренебрежешя всеми членами разложешя, начиная
со второго, меньше
42 I, . 4 f _ \ 16
ЦФ - 3nf \ ^ (Ф - ЗяJ т (ф - Ъпу ^ I Зи(Ф - 4) (я2 - 3) (я2 - IJ'
т. е. (если п > 1000) меньше -j^..
220. Вычислен1е обыкновенныхъ логариемовъ. Известно,
что логариемъ числа, взятый по какому нибудь основант а, полу-
получается черезъ умножеше натуральнаго логаривма того же числа на нъ-
J) Он% даны Лавернедомъ (Lavernede) (Nouvelles Annales de Math,
t X. p. 72) и Секретаномъ (Secretan) (Comptes rendus de l'Ac. des sc. de
Paris t. XL1V. p. 12176) См. объ этомъ указашя Б рок ар a (Brocard) въ
Intermediaire des Math. (t. VII. p. 252).
192 II, 3. теорш рядовъ. § 220
которое число М, называемое модулемъ разсматриваемой системы.
По самому опредЪлешю логариемовъ, имЪемъ п = el°sn = ahoe n
гд-fe Log я взятъ по основашю а. Отсюда, взявъ логариемы сперва
по основатю а, а потомъ по основанию е находимъ,
Log я = log n. Log e, Log я log a = log я,
такъ что, полагая Log и = Л/log я, им-Ьемъ М = Loge = : . Для
вычислешя обыкновенныхъ логариемовъ (а = 10) надо прежде всего
вычислить модуль М = .—=гг. По формуле A4) им'Ьемъ
откуда, припоминая формулу A5), получаемь
Ограничиваясь немногими членами въ этихъ рядахъ, находимъ
log 10 = 2,302585092 ..., М= 0,434294481 ...
Поел* этого, умножая объ части равенства A4) на М, получаемъ
формулу
Log(« + 1) = log» + 2М{^ГХ + з-B7Г+1M + 5B»'+ iy +
достаточно удобную для построен1я таблицы обыкновенныхъ лога-
логариемовъ. Желая, наприм^ръ, им^ть логариемы чиселъ, меньшихъ
100000, достаточно вычислить логариемы чиселъ между 10* и 105,
и поэтому въ предыдущей формул* можемъ предположить п <! 101.
Ограничиваясь даже однимъ первымъ членомъ разложен1я, сд'Ьлаемъ
погрешность
3Bя + 1K + 5 Bя
12и(« + 1) B« + 1) 24«з ^ 1013'
Следовательно, прим-Ьняя формулу
2М
+ l) Lg+
для вычислешя обыкновенныхъ логариемовъ, можно ручаться, что
получаемые результаты даютъ приближеше, в-Ьрное до одной еди-
единицы 13-го десятичнаго разряда. Еще большаго приближешя можно
достигнуть, прим-Ьняя друпя формулы, упомянутый въ предыдущемъ
параграфе.
§ 221 упражненш и приложенш. 193
221. Формула Стирлинга. Чтобы показать одно изъ инте-
реснъйшихъ приложешй ряда A4), начнемъ съ того, что предста-
вимъ формулу A4) въ видъ
Сумма ряда, написаннаго въ правой части, очевидно, меньше, чъмъ
~г +TF + I
1 + 3 \Bп + If + фг +TF + I X + 12«(и
Отсюда сл-Ьдуетъ
или, переходя отъ логариемовъ къ числамъ,
A6) ,
Посл^Ь этого положимъ
п! е"
A7) "- - ТЦ
и
и замЪтимъ, что
"п+\ е
Неравенства A6) дадутъ
т. е.
апе ^ < ан+1с~1^п+^< ¦¦¦ < ап+1 < а„.
1
Такимъ образомъ, мы видимъ, что числа апе 12" постоянно возра-
стаютъ вмЪсгЬ съ п, оставаясь всегда меньше чиселъ а», образу-
юшихъ съ своей стороны убывающую последовательность. Поэтому
тъ1 и друг1я стремятся къ н'Ькоторымъ конечнымъ пред^ламъ, по
необходимости равнымъ между собою. Если положимъ
lim an = lim an e х'гп = а,
n—'-o w=ac
13
194 И, 3. теорш рядовъ. §§ 221—222
то для всякаго значешя п будемъ имъть
апе Vln < а < ап, т. е. а = апе 12п
при нЪкоторомъ значенш 0 между 0 и 1. Подставляя вмъхто ап
п-\— — пА
его выражеше A7), получаемъ п\ = ап 2е 12и. ВпослЪдствш
увидимъ, что а = ]/~2гт *). Поэтому напишемъ теперь же
, ¦в
1 . 2-3-4 •••«= у2пп ¦ пе
Это есть формула Стирлинга, дающая возможность вычислять п\
при большихъ значен!яхъ п съ большою точностью.
222. Бинолмальный рядъ. Такъ называютъ рядъ
Впосл-Ьдствш будетъ доказано **), что въ тъхъ случаяхъ, когда
рядъ этотъ сходящейся (за исключешемъ значешй т = 0 и х— — 1)
сумма его равна A -\-х)т, такъ что въ частномъ случай, когда т
цъ\лое положительное число, мы снова находимъ известное разло-
жен1е A -(- х)т въ вид% полинома, состоящаго изъ т -f- 1 членовъ
(биномъ Ньютона). Для какихъ же значенШ тих бином1аль-
ный рядъ будетъ сходящимся? Чтобы ответить на этотъ во-
просъ, удобно будетъ представить этотъ рядъ въ видЪ
а0 — пх х + п2 х2 — а.А яг3 + • • •.
полагая
я„ = 1 - -.
гд^ [а, = т-\- 1. При возрастанш и до безконечности коэффищенты
дълаются въ концъ концовъ числами одного и того же знака,
потому что
ап—1 П ,. ап—1
lim = 1.
Отсюда сл'Ьдуетъ, что абсолютная величина отношешя посл'Ьдующаго
члена къ предыдущему имЪетъ пред-Ьломъ абсолютную величину х.
Отсюда вытекаетъ следующее заключеше (на основанш сказаннаго
въ § 210, при х < 0, и въ § 190, при х > 0). Рядъ будетъ схо-
сходящимся при х | <[ 1 и не будетъ сходящимся при | х \ ^> 1, каково
*) Это есть слЪдств1е такъ называемой формулы Валлис а (см. § 464, а).
**) См. § 332, е) и прим-Ьчате XXII.
§§ 222—223 упражненш и пРиложЕНга. 195
бы ни было значеше т. Другими словами, интервалъ сходимости
биькшальнаго ряда есть (—1, -\-\). Остается изслътювать характеръ
ряда на границахъ интервала. При х = — 1 рядъ обращается въ
До + пг + ^2 + ¦ • ¦ и, такъ какъ
.. in \ ,. па
hm n 1 = hm
\ I
п=х \n-ii
то рядъ будетъ сходящимся при т > О (и при т = 0), расходящимся
при т < 0. При л; = 1 нашъ рядъ обращается въ я0 — «i + Яг — «з Н
и члены его, начиная съ нъкотораго мЪста, будутъ поперемънно по-
положительные и отрицательные. Отсюда сл%дуетъ, что рядъ не будетъ
сходящимся, если, начиная съ н^Ькотораго мъхта, я„ Ss а„—\. А это
услов1е выполняется при т ^ — 1. Онъ будетъ, наоборотъ, схо-
сходящимся, когда т ^>—1, потому что тогда не только aM<^a«_i,
при достаточно болыномъ п, но и lim an = 0. Действительно, при
постоянномъ v^>m, им'Ьемъ
дал'Ье, припоминая расходимость гармоническаго ряда, находимъ
lim av an = оо, и наконецъ Iiman = 0. Резюмируя можемъ сказать:
«—х и-f-x
интервалъ сходимости бином1альнаго ряда есть (— 1, 1),
при чемъ надо исключить обЪ границы, когда т не боль-
больше — 1, и только нижнюю, когда т^>\, но 0
223. Вычислен1е корней изъ чиселъ. Бином1альный рядъ
можно прим-Ьнить къ выводу бол%е или мен^е удобныхъ ариеме-
тическихъ правилъ для извлечен1я корней изъ чиселъ. Мы ограни-
ограничимся, наприм-Ьръ, квадратными корнями. Положимъ, что дано ц%лое
число N и пусть а3 наибольшШ квадратъ, не превышающШ ^V;
тогда, полагая N = а2 -{- х, им-вемъ
Рядъ въ правой части весьма быстро сходится, если отношеше л'.,
достаточно мало. Впрочемъ, ясно, что изъ а2 ? 7V<] (а + IJ вы-
текаетъ
0 ¦?: х < 2а + 1,
ИЛИ
предполагая, что ./V больше 9. Последнее предположен1е всегда
можно сд-Ьлать, потому что при N <^ 9 достаточно его умножить
на полный квадратъ k2, извлечь корень изъ k-N и разделить ре-
13*
196 II, 3. ТЕ0Р1Я рядовъ. §§ 223-224
зультатъ на k. Такъ какъ теперь члены ряда, начиная со второго,
попеременно положительные и отрицательные, то, остановившись
на любомъ член^, можно быть увЪреннымъ, что погрешность по
абсолютной величине не превысить следующего члена. Можно такжи
вычислять съ помощью последовательныхъ приближешй, при-
нявъ за первое приближеше число а,\, получаемое при удержаше
небольшого числа членовъ ряда, напримеръ, первыхъ трехъ:
Если бы ограничились первыми двумя, то пришли бы къ обыкно-
обыкновенному способу приближеннаго вычислетя корней, излагаемому въ
курсахъ начальной Алгебры. Полагая затемъ N = а2-\-х1 вычисляемъ
Я„ = Я, 4- - .
2«i Ьа{
ч
Хо Ха
Затемъ полагаемь N = а2-\- х0 и вычисляемъ а3 — а.,-\-к-- —^
и т. д. Числа «1, а2, а3, ... быстро приближаются къ J/W. Дей-
Действительно, относительная погрешность (XXIII), которую делаемъ,
принимая ai за значен1е 'VN, меньше -.-^—ц < -.„, когда —.,- < fj. Съ
другой стороны,
1 " ^ 8 а4 64 яе' я^ " 8 я" 8'
поэтому погрешность при второмъ приближенш меньше -6 < ,., ,.
16я1 2
и такимъ же образомъ находимъ, что при последующихъ прибли-
627 gsi б243
жешяхъ погрешности будутъ меньше -щ, ^^, ^и • • •
Вл1яше перем-Ьны порядка членовъ на характера»
ряда.
224. Опред-Ьлешя. О двухъ данныхъ рядахъ мы будемъ
говорить, что они отличаются одинъ отъ другого толька
порядкомъ членовъ, если каждый членъ, встречающШся извест-
известное число разъ въ одномъ ряде, столько же разъ встречается и
въ другомъ, и наоборотъ. При этомъ не обращается внимашя на
члены, обращающееся въ нуль. Изменить порядокъ членовъ
ряда значить образовать изъ него новый, отличаюшдйся отъ него
только порядкомъ членовъ. Въ этихъ определешяхъ заключается пред-
положеше, что одинъ и тотъ же членъ ряда встречается въ немъ лишь
конечное число разъ. Далее, чтобы некоторое изменеше порядка
§§ 224—227 ВЛШН1Е перем-ьны порядка член, на хлрактеръ ряда. 197
членовъ было вполне определено, нужно однозначнымъ образомъ ука
зать то место п', на которое, по измънеши порядка, попадаетъ членъ,
занимавшШ до него место п. Такимъ образомъ каждому конечному
значешю п соотвътствуетъ конечное значеше п\ сказать, что ип
передвигается въ безконечность, не значитъ определить место, ко-
которое должно занять и„ после изменешя порядка.
225. Само собою возникаетъ вопросъ: позволительно ли
менять порядокъ членовъ ряда? Мы увидимъ, что это не
всегда позволительно, потому что изменеше порядка членовъ мо-
жетъ не только повл1ять на значеше суммы ряда, въ случае его
сходимости, но можетъ изменить и самый характеръ ряда. Мы
будемъ говорить, что рядъ абсолютно сходящейся или абсо-
абсолютно расходящейся, если онъ сохраняетъ свой характеръ при
любомъ порядке членовъ. Мы докажемъ, что для такихъ рядовъ не
только характеръ, но и значеше суммы остается безъ изменешя.
Просто сходящимся (расходящимся) мы назовемъ не абсолютно
¦сходящдйся (расходящдйся) рядъ.
226. Мы ограничимся изучешемъ такихъ рядовъ, для кото-
рыхъ lim и„ = 0, потому что таюе ряды всегда допускаютъ измене-
Hie порядка членовъ, какъ мы его определили во § 224. Прежде
всего заметимъ что въ такихъ рядахъ никакой членъ asO не
можетъ встрЬтиться безконечное число разъ, потому что, назначивъ
какое нибудь число е между 0 и ! а \, всегда найдемъ такое число v,
что при п > v будемъ иметь \iin\<iB, и поэтому, члены, рав-
равные а, необходимо будутъ заключаться въ числе первыхъ v чле-
членовъ, значить, число ихъ ограничено. Кроме того, услов1е, что
Лтии = 0, т. е. что обшлй членъ рядъ имеетъ пределомъ
нуль, сохранится при всякомъ измененш порядка членовъ.
Въ самомъ деле, обозначимъ черезъ v' то место, на которое по-
попадаетъ, после изменешя порядка членовъ, тотъ изъ членовъ
«1, И2,...,и„, который въ новомъ ряде станетъ правее всехъ
лрочихъ названныхъ v членовъ. Тогда въ числе первыхъ v чле-
членовъ новаго ряда необходимо будутъ заключаться все те члены,
абсолютная величина которыхъ не меньше е (XXIV). Следовательно,
каково бы ни было заданное число е > 0, всегда существуетъ
такое число vr, что при и > г>', j м„ | < е. Поэтому и при новомъ
порядке lim и„ = 0.
227. Теорема I. Рядъ съ положительными членами мо-
можетъ быть только абсолютно сходящимся или абсолютно
расходящимся.
Положимъ, что данъ расходящейся рядъ и въ немъ произ-
произведено некоторое изменеше порядка членовъ, пусть новый рядъ
будетъ «1 + «г + мз + • • • • Если въ этомъ ряде возьмемъ п чле-
198 II, 3. теорш рядовъ. §§ 227-22»
новъ, въ числе которыхъ находятся все члены суммы Sn, то
S'n'}>Sn, и такъ какъ, по условш, S№ возрастаетъ безпредъльно
вместе съ п, то тоже самое будетъ и съ S'n', потому что п' ( Sg п)
возрастаетъ безпред'Ьльно вместе съ п. Следовательно, рядъ оста-
остается расходящимся и после преобразовашя. Если далее рядъ былъ
сходя щ\ й с я, то возьмемъ въ немъ сумму п первыхъ членовъ Sny
выбравъ п достаточно болыиимъ, чтобы въ ней заключались
все п членовъ суммы S'n<. Тогда 5'»'й5», и такъ какъ, по усло-
bjk>, Sn стремится къ конечному пределу S, когда п', а сл-Ьдова-
тельно, и п безпред'Ьльно возрастаютъ, то то же самое можно ска-
сказать и объ S\', которая постоянно возрастаетъ при возрастали п'.
Следовательно, рядъ остается сходящимся.
228. Въ посл-Ьднемъ случае, кром-fe того, всегда S'^S. Если же,
наоборотъ, во второмъ ряде возьмемъ п' членовъ, въ числе кото-
которыхъ заключаются все п членовъ суммы Sn, то S'n's=^Sn- Вместе
съ темъ, такъ какъ существоваше i>v уже доказано, одновременно
будемъ иметь S' j? 5. Следовательно, S' = S. Мы видимъ та-
кимъ образомъ, что изменен!е порядка членовъ сходяща-
гося ряда съ положительными членами не только не нару-
шаетъ сходимости ряда, но не меняетъ и его суммы.
229. Теорема II. (Теорема Римана.I) Данъ рядъ, члены
котораго стремятся къ пределу, равному нулю; пусть
«i+«2+«9+ •••. h+ b2+ h+ ¦¦¦
будутъ ряды, состояние изъ положительныхъ и изъ абсо-
лютныхъ величинъ отрицательныхъ членовъ даннаго рядаг
расположенныхъ въ томъ самомъ порядке, въ какомъ они
были расположены въ данномъ ряде. Если ряды (а) и (Ь)
сходящееся, то данный рядъ абсолютно сходящ1йся. Если
изъ этихъ двухъ рядовъ только одинъ сходящейся, то
данный рядъ абсолютно расходящейся, если оба преды-
предыдущее ряда расходящееся, то характеръ даннаго ряда
зависитъ отъ порядка членовъ, такъ какъ приличнымъ
изменен1емъ этого порядка можно сделать рядъ сходя-
сходящимся, расходящимся или неопределенным^ и въ случае
сходимости даннаго ряда достигнуть того, что сумма его
можетъ принять любое значен1е.
а) Разсматривая п первыхъ членовъ даннаго ряда, положимъг
что между ними а положительныхъ и /9 отрицательныхъ. Тогда,
обозначая черезъ Ап и Вп суммы п первыхъ членовъ рядовъ
(а) и (Ь), будетъ иметь
A8) Sn = Aa--B,.
!) Эта теорема дана Риманомъ въ 1834 г.; см. В. Riemanns. Gesam-
melte Werke" стр. 221.
§ 229 ВЛ1ЯН1Е ПЕРЕМ-ЬНЫ ПОРЯДКА ЧЛЕН. НА ХАРАКТЕРЪ РЯДА. 199
ЗамЪтимъ, что числа аи/? возрастаютъ безпред'Ьльно вместе съ п,
иначе вс% члены даннаго ряда, начиная съ нЪкотораго места, были
бы числами одного знака. Если оба ряда {а) и (Ь) сходяшдеся,
то Sn стремится къ пределу 5 = А — В, следовательно, данный
рядъ сходящШся. Онъ, кром^ того, абсолютно сходяшдйся, по-
потому что въ § 227 было показано, что какъ въ (а), такъ и въ (Ь)
можно переставлять, члены какъ угодно, не нарушая ихъ сходимости,
а следовательно, и сходимости даннаго ряда.
b) Если одинъ изъ рядовъ (а) и (Ь) сходящШся, а другой
расходяшдйся, то Sn возрастаетъ безпред'Ьльно по абсолютной ве-
величине. Следовательно, данный рядъ расходящШся и притомъ, на
основанш сказаннаго въ § 227, абсолютно.
c) Положимъ теперь, что ряды (а) и (Ь) оба расходящдеся.
Равенство A8) теперь ничего не даетъ, потому что Аа и В$ воз-
возрастаютъ безпредельно, при чемъ ничего нельзя утверждать о томъ,
какимъ образомъ изменяется при этомъ ихъ разность. Необходимо
прибегнуть къ новымъ средствамъ. Покажемъ сперва, что члены
даннаго ряда можно расположить такъ, что рядъ будетъ сходящимся
и иметь сумму, равную любому напередъ заданному числу о. Возь-
мемъ какъ разъ столько членовъ ряда (а), сколько нужно, чтобы
получить сумму, большую а, т. е. чтобы ai-\- по-- ¦ -f- atl > a,
2+ ' • • Яц—1^6, ИЛИ
Это всегда возможно, потому что рядъ (а) по услов1ю расходя-
расходящШся. Точно также расходимость ряда (Ь) позволяетъ отнять отъ Su
какъ разъ столько членовъ этого ряда, сколько нужно, чтобы
получилась сумма, не большая а, такъ что
«1 + «2 + • • ¦ + "ru - bi - h - "М"'
«l + «2 + ¦ • • + «м- bx — b2- ¦¦¦ - Ьг_± > о
или
Аналогичнымъ образомъ прибавляемъ опять /л' членовъ ряда (а) и
отнимаемъ v' членовъ ряда (Ь) и продолжаемъ такое образоваше
суммъ, выполняющихъ возможно малыя колебашя около даннаго
числа о. Полученныя выше неравенства и следуюиця за ними:
v,_1 > О,
200 II, 3. ТЕОР1Я рядовъ. §§ 229-230
могутъ быть написаны слЪдующимъ образомъ:
o<sA(-os v
0 ? а - S/l+v < bv,
0 < S((+r+((,-о io^,,,
О S а - S/(+1I+H,+ll, < bv+r,,
Они показываютъ, что когда число п получаетъ последовательно
значешя
A9) /t, n+-v, (i+ \< + 1ь', ,«+ » + ц'+ /, ,<(-+ г>+,«' + )''+,«", ...,
то разности между Sn и б, по абсолютной величине, не превосхо-
превосходить членовъ ряда
имеющихъ, по услов!ю, пред^ломъ нуль. Итакъ,
lim Su = a,
когда п проходитъ последовательность значенШ A9). Если значе-
Hie n не принадлежитъ къ этой последовательности, то оно заклю-
заключается между двумя ея числами г и j, и мы будемъ им^ть
si < sn < sj Oder S. > Sn > Sjt
смотря по тому, занимаетъ ли г четное или нечетное мЪсто въ по-
последовательности A9). Итакъ, Sn всегда заключается между двумя
числами, стремящимися къ предЪлу а, и равенство B0) справед-
справедливо безъ всякихъ ограничешй. Наконецъ, чтобы доказать, что
данный рядъ можно сделать расходящимися или неопредЪ-
леннымъ достаточно повторить предыдуцш разсуждешя. Заменяя
постоянное число б перем'Ьннымъ, возрастающимъ безиред^льно
съ п или не стремящимся ни къ какому пределу.
230. Теорема III. (Теорема Дирихле.) Для абсолютной
сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы рядъ аб-
солютныхъ величинъ его членовъ былъ сходящимся х).
Сумма первыхъ п членовъ ряда абсолютныхъ величинъ чле-
членовъ даннаго ряда равна Аа-\- Вр. Этотъ рядъ будетъ, следо-
следовательно, расходящимся, если хотя одинъ изъ рядовъ (а) или (Ь)
расходяшдйся, и сходящимся только въ случае одновременной
сходимости обоихъ рядовъ (а) и (Ь). На основанш предыду-
предыдущей теоремы эта одновременная сходимость им%етъ место
х) Эта важная теорема, какъ указано, принадлежитъ Lejeune-Diri-
chlet (Crelles Journal 1829). (XXV).
•§§ 230—232 ВЛ1ЯН1Е ПЕРЕМ-ЬНЫ ПОРЯДКА ЧЛЕН. НА ХАРАКТЕРЪ РЯДА. 201
тогда и только тогда, когда данный рядъ абсолютно схо-
сходящийся.
231. Теорема IV. Сумма абсолютно сходящегося ряда
не меняется ни при какомъ изменены порядка его чле-
«овъ.
Мы видъли, что въ случаЪ абсолютной сходимости даннаго
ряда, ряды (а) и (Ь) сходяшдеся. Сумма п первыхъ членовъ Аа—В^
обращается при измъненш порядка членовъ въ А'а>-~В'г. Но
сходящШся рядъ (а) им%етъ всЬ члены положительные, а мы
уже доказали (§ 228), что сумма такого ряда не зависитъ огь по-
порядка членовъ, такъ что при безпредъльномъ возрастанш а или а'
числа Аа и А'а> стремятся къ одному и тому же предълу А.
То же самое относится и къ числамъ Д; и В[г, стремящихся къ
.пределу В. Следовательно, сумма даннаго ряда всегда равна А—В.
232. Теорема V. Если члены просто сходящегося ряда
по абсолютной величине постоянно убываютъ, то отно-
ujeHie числа положительныхъ членовъ, содержащихся въ
числе первыхъ п членовъ ряда, къ числу отрицательныхъ,
¦содержащихся тамъ же, при безпред'Ьльномъ возрастали и,
не можетъ стремиться къ пределу, отличному отъ еди-
единицы 1).
Полагая ап = 1 или ап — — 1, смотря по тому, будетъ ли обшдй
членъ ряда, абсолютную величину котораго обозначимъ черезъ и„,
положительнымъ или отрицательнымъ, мы можемъ написать данный
рядъ въ видъ1
«] «1 + «2 + «3 «3 +
На основанш теоремы Дирихле (III), рядъ абсолютныхъ величинъ
•«1 + «2 + из + •¦¦ будетъ расходящимся. Кромъ того, члены ряда,
убывая по абсолютной величин-fe, стремятся къ нулю, следова-
следовательно, (см. § 145)
lim lim 0
п их -f и2 + ¦¦¦ + "„
¦предполагая, что первый предълъ сущесгвуетъ. Зам-Ьтимъ теперь,
что Я1+Й2+ ¦•¦ -\-ап, очевидно, изображаетъ собою избытокъ числа
положительныхъ членовъ надъ числомъ отрицательныхъ, содержа-
содержащихся въ числ^Ь первыхъ п членовъ ряда *). Пред^лъ отношещя
!) См. въ Bulletin des sciences math, et astronom. A888) остроумное
доказательство этой теоремы, принадлежащее Г. Багнера (G. Bagnera).
*) Такъ что число положительныхъ членовъ равно -— * ^ а"''
п — (я, + по + ¦¦¦ + а,.)
.а число отрицательныхъ равно — — ; — ¦
202 II, 3. теор1я рядовъ. §§ 232-233-
перваго числа ко второму будетъ
какъ и утверждаетъ теорема. Ее можно формулировать такъ:
положительныя числа встречаются такъ же часто, какъ
и отрицательныя.
233. Упражнения, а) Рядъ
!-+-*¦ ?+*+*-?+*+ J - h+ ¦¦¦
можетъ быть разве только просто сходящимся, потому что рядъ.
абсолютныхъ величинъ расходяшдйся. Но замечая, что абсолютныя
величины членовъ постоянно убываютъ, а положительные члены
встречаются чаще отрицательныхъ, можемъ утверждать, на осно-
ван1и предыдущей теоремы, что рядъ не можетъ быть сходящимся.
Действительно, съ помощью формулы A) (§ 183 и слъд.) видимъ,
что сумма п первыхъ членовъ Sn возрастаетъ безпредъчпьно, какъ
-\\ogn (XXVI).
b) Рядъ 1 1 \- ¦¦¦ очевидно неопределенный при
2Р Зр v
р < 0, потому что его члены суть числа попеременно положитель-
положительныя и отрицательныя, и не стремящееся къ нулю. Напротивъ при
р > 0 рядъ будетъ сходящимся, потому что абсолютныя величины
его членовъ постоянно убываютъ и стремятся къ нулю. Съ другой
стороны, мы знаемъ, что при^>1, рядъ абсолютныхъ величинъ.
членовъ даннаго ряда сходящейся (§ 212, а). Следовательно,
данный рядъ
абсолютно сходящейся при р^>1,
ПрОСТО СХОДЯЩ1ЙСЯ „ 0<[/>^1,
неопределенный „ р ^ 0.
c) Въ частности просто сходящимся будетъ рядъ
1 - i + i-i Л ¦¦-.
поэтому на основанш теоремы Римана возможно расположить
члены ряда въ такомъ порядке, чтобы сумма ряда равнялась про-
произвольно выбранному числу а. Мы покажемъ, что этого можна
достигнуть, располагая члены ряда такимъ образомъ, чтобы веро-
вероятность найти въ новомъ ряде положительный членъ была равна
§ 233 ВЛ1ЯН1Е ПЕРЕМ-ВНЫ ПОРЯДКА ЧЛЕН. НА ХАРАКТЕРЪ РЯДА. 203
B1) «-^*).
предполагая, что при этомъ мы не м-Ьняемъ той последователь-
последовательности, въ которой расположены члены одинаковыхъ знаковъ въ
данномъ ряд^Ь. Действительно, если въ числе п первыхъ членовъ
даннаго ряда будетъ а положительныхъ и /? отрицательныхъ, и по-
ложимъ
lim-" =й, а следовательно lim - =1 - й **),
п п
то можемъ написать
S» = {1 + 1 + 5 + •'' + 2^.-l) ~ B + 4 + Ъ + ¦ ¦' + 2Д
и, на основанш формулы A) (§ 183)
s» = Н2а ¦ * Я« -^ = log 2 а - .V log а,8 + р2а - .| (оа + Р/,).
откуда, при безконечномъ п,
Приравнивъ это выражеше числу б и вычисливъ отсюда со, мы и по-
лучимъ выражен1е B1). Если желаемъ, наприм^ръ, чтобы сумма
даннаго ряда осталась безъ изм-Ьнеюя, т. е., чтобы а = log 2, должны
взять ы = \. Следовательно, необходимо, чтобы положитель-
положительные и отрицательные члены встречались одинаково часто.
Напримеръ,
i + i-±-* + 4 + V-*-i+i+ ¦•• =iog2.
Точно также, если желаемъ, чтобы сумма была равна нулю, поло-
жимъ въ B1) о = 0, откуда & = 4- (т. е. на 5 членовъ въ п
членахъ должно быть 4 отрицательныхъ и 1 положительный).
Напримеръ,
d) Разсмотримъ снова бином1альный рядъ съ целью узнать,
въ какихъ случаяхъ онъ будетъ абсолютно сходящимся. Мы видели,
*) Вероятность эта равна пределу отношешя числа положительныхъ
членовъ, содержащихся въ п членахъ ряда, которое обозначимъ черезъ а,
къ числу я, при безпредЪльномъ возрастанш п.
**) Потому что вероятность встрътить отрицательный членъ, какъ со-
бьте противоположное первому, въ суммъ съ вероятностью перваго должна
дать достоверность, т. е. вероятность, равную 1.
204 II, 3. ТЕОР1Я рядовъ. §§ 233-234
что при х отрицательномъ веЬ члены ряда, начиная съ нЪкотораго
мъста, будутъ числами одного и того же знака (§ 222) и поэтому
{§ 227) рядъ будетъ абсолютно сходящимся въ интервал* (—1, 0),
не исключая верхней границы. Отсюда, на основанш теоремы Ди-
Дирихле, заключаемъ, что сходимость будетъ абсолютною и въ интер-
интервал* @, 1), за исключешемъ верхней границы. Простая сходимость
можетъ, следовательно, имЪть мъхто только при х = 1, и действи-
действительно им^Ьетъ мъхто для гЬхъ значешй т. для которыхъ рядъ не
будетъ сходящимся при х = — 1. Припоминая, что при х = — 1
рядъ будетъ сходящимся только при т S: 0, а при х = 1 онъ схо-
сходится при т^>—1, приходимъ къ заключешю, что биномиаль-
биномиальный рядъ будетъ просто сходящимся лишь при х = 1 и при
значешяхъ т между — 1 и 0, за исключешемъ границъ.
е) Полагая, напримъръ, въ бином1альномъ рядъ х = 1, полу-
получаемъ формулу
9'« -1 i а л. fii1" ~zU m(tn ~ 1^ш ~2)
j
\2 ¦ 1-2-3
справедливую лишь при т^>\. При этомъ важно знать, что при
отрицательномъ т порядка членовъ мънять нельзя. Пола-
Полагая дал^Ье т = \, при произвольномъ х, получаемъ формулу
'~~'2 2 • 4 2-4-6
справедливую независимо отъ порядка членовъ при всякомъ х,
абсолютная величина котораго не превышаетъ 1, т. е. при \х\^\.
При т = — \ получаемъ другую важную формулу
1 ]._1_ь32 ь3'5з 1-3-5-7 4
УТЦ^Х ~~ ~~ 2 Т^А Х~ ~~ 2~4^ 6 Х + 2-4-6-8 * ~' '"'
справедливую при всякомъ х, котораго абсолютная величина меньше
1 (\х\ <] 1). Она остается справедливою и при х = 1, но въ этомъ
случае порядка членовъ менять нельзя.
Д1>йств1я надъ рядами.
234. Опред'Ьлешя. Сложить два данныхъ ряда съ общими
членами и„ и vn значитъ составить новый рядъ, общШ членъ кото-
котораго равенъ
перемножить эти ряды значитъ составить новый рядъ, обицй
членъ котораго равенъ
«'» = "i vn + v»-i + "з г'п-г + ¦ ¦ ¦ + "п vi ¦
Первый изъ составленныхъ рядовъ называется суммою, второй —
¦произведен^емъ данныхъ рядовъ.
§§ 235—237 д-ьйствш надъ рядами. 205
235. Теорема I. Сложен1е двухъ сходящихся рядовъ
даетъ новый сходящейся рядъ, сумма котораго получается
черезъ сложеше суммъ данныхъ рядовъ.
Если Un и Vn обозначаютъ суммы п иервыхъ членовъ дан-
данныхъ рядовъ, то аналогичная имъ сумма для ряда, полученнаго
сложешемъ ихъ, будетъ
wn = wi + тг + ws + '' ' + wn
= («i + Щ + Ь «„) + К + v2+ ¦¦¦ + vn) = Un + Vn.
Следовательно, IVn при п безконечномъ стремится къ предълу
И^= U -\- V. Замътимъ, что эта теорема, очевидно, справедлива
при всякомъ конечномъ числЪ слагаемыхъ рядовъ. Съ другой
стороны ниже мы увидимъ, что она вовсе не всегда справедлива,
если им'Ьемъ дътю съ безконечнымъ числомъ рядовъ.
236. Теорема II. (Теорема Абеля.) Если черезъ умно-
жен1е двухъ сходящихся рядовъ получается также сходя-
щ1йся рядъ, то его сумма равна произведен!ю суммъ дан-
данныхъ рядовъ.
Складывая п первыхъ членовъ ряда, полученнаго отъ умно-
жешя данныхъ рядовъ, г. е. чиселъ
го 1 = и 1 v1, iv2 = «i v.> + п., г\, ы.А = их v% + "¦> v-> + Щ v\. • ¦ ¦
получимъ
B2) Wn = «, VH + и2 Vn y + и3 Vn .,+ ¦¦¦ + „„ Vx,
дал-fee, сложивъ PVi, PV->, ¦ ¦ ., Wn и раздъливъ сумму на и, на-
ходимъ
B3) ~ {Wx + W, + ¦ ¦ ¦ + Wn) = Л {L\ VH + U, ?п__л + ...+ UnF1).
Такъ какъ, по „условш, вс^ три ряда сходяшдеся, то существуютъ
предълы U, V, W чиселъ Un, Vn, Wn при безконечномъ п.
Поэтому существуютъ (§§ 142, а; 144) и пределы об-Ьихъ частей
равенства B3), а именно W и UV. Следовательно, W — UV.
237. ПримЪчашя. а) Умножен1е двухъ сходящихся рядовъ
можетъ дать рядъ неопределенный. Расходящ1йся рядъ не можетъ
быть полученъ этимъ путемъ никогда, потому что иначе л^Ьвая
часть равенства B3), при безпредЪльномъ возрастанш Wn, также
возрастала бы безиред^льно, вмъхто того, чтобы приближаться къ
пред-Ьлу UV. Чтобы показать дал-fee, что произведете действи-
действительно можетъ быть неопред'Ьленнымъ, перемножимъ ряды
B4) 1 - -2 + г - -4- -\ , j-p - -р + — - _ -] ,
206 II, 3. ТЕОР1Я рядовъ. § 237
оба сходяицеся (§ 195). ОбщШ членъ произведешя не стремится
къ нулю, потому что его абсолютная величина
log (я + 1) ' 2 log я ' 3 log (» - 1) ' т и log 2 log (и + 1)
¦и въ конце концовъ превзойдетъ всякое число, меньшее 1 *). Сле-
Следовательно, произведете данныхъ рядовъ, рядъ несходяицйся. Надо,
однако, заметить, что данные ряды оба просто сходящееся. Теорема
следующего параграфа покажетъ, что только въ этомъ случае и мо-
жеть получиться не сходящееся произведете.
Ь) Въ частности можетъ случиться, что, возводя просто схо-
сходящШся рядъ въ квадратъ, получимъ не сходящШся рядъ. Возвы-
симъ, наприм'Ьръ, въ квадратъ рядъ
а 1 L,^1
У А У Ъ
Г 2 1/3 У А У Ъ
тогда получимъ рядъ, въ которомъ абсолютная величина общаго
члена
4 + + ^ ++ JL
+ + „_ ++
Уг-п У 2 (ii-i) 1"з (п — ¦/) У и • 1
не стремится къ нулю при безконечномъ п. Действительно,
1' v(n - v + 1) = i У (и + 1J -(п + 1 - 2vf s 1 (п + 1),
и выше написанная сумма состоитъ изъ п дробей, изъ которыхъ
каждая не меньше . ; следовательно, въ конце концовъ она
превзойдетъ всякое число, меньшее 2.
с) Можетъ случиться и обратное, т. е. что квадратъ просто
сходящагося ряда будетъ тоже сходящШся рядъ. Если, напримеръ,
возвысимъ въ квадратъ рядъ 1— -j + -? — -J-+---, то получимъ
рядъ съ членами попеременно положительными и отрицательными *-'),
но абсолютная величина общаго члена
постоянно убываетъ и стремится къ нулю, такъ какъ
2 ,, 2 г, 2
п "~х п 4- 1 я
Г н« Ц
[я + 1 п
*) Такъ какъ lim fT—,Д" .,-] = 1, (форм. 1) § 183).
**) Какъ и въ предыдущемъ примЪръ\
¦§ 237 д-ьйствш надъ рядами. 207
Припоминая теперь, что сумма даннаго ряда равна log 2, на осно-
однш теоремы Абеля будемъ имъть
\НХ - ±Н2 + IЯ3 - 1Я, + • • • = i(log 2р.
238. Теорема III. Отъ умножешя двухъ сходящихся
рядовъ, изъ которыхъ по крайней Mtpt одинъ абсолютно
¦сходящейся, получается сходящейся рядъ х). Равенство B2)
можно представить въ видЪ
Wn = "ii^-i'n) + MV-Qn-J +¦¦¦ + ««& - Qx) = l\ У- %,
если обозначить черезъ р„ остатокъ въ рядъ1 (v) и положить
°и = «1 On + И2 9п-1 + «3 {?„- 2 Н Ь "» ?1 •
Если было бы доказано, что при и безконечномъ а„ стремится къ
нулю, то сейчасъ можно было бы написать
W=\\m Wn = Flim Un =* V V.
Все д'Ьло сводится поэтому къ доказательству, что а„ стремится
къ 0. Предположимъ, что рядъ (и) абсолютно сходящШся, а рядъ (v)
просто сходящ1йся. Разложимь число п на два слагаемыхъ v и п - v,
оба безпредъльно возрастающ1я вм*ст* съ п. Пусть q и q' обозна-
чаютъ соответственно наибольш1я изъ абсолютныхъ величинъ чиселъ
4>1. 1'2. С;3- •¦•- Qn-v И (-'n-v+l- On-v+2 iV
Такъ какъ рядъ (v) сходящ1йся, то число q остается конечнымъ,
когда п безпредЪльно возрастаетъ. КромЪ того, q' стремится къ
нулю, когда п — v вмъхгЬ съ п безпредЪльно возрастаетъ и всЬ
числа 0„—1+1' Q»—v+2, ¦ ¦ ¦ стремятся къ нулю. Замътивъ это, мо-
жемъ написать
°п = («1 еп + »2 Qn-i H + ">. On-v+i) + ("v+i On -„+¦¦¦-*- «„ qO ,
и тотчасъ видимъ, что абсолютная величина ап не больше чъмъ
9' («1 + «2 + ¦ ' • + U'v) + 0 (U'v+1 + U'v+2 -!-••¦+ "J
1) Эта теорема была впервые высказана и доказана Коши въ его
„Cours d'Analyse" p. 147, но только для случая, когда оба умножаемые
ряда абсолютно сходяццеся. ЗагЬмъ Мертенсъ (Mertens, Crelle's Journ.
В. 79 p. 182) доказалъ, что она справедлива, когда лишь одинъ пзъ нихъ
абсолютно сходящ1йся. Приводимое здЪсь доказательство принадлежитъ
1енсену (lensen, Nouv. Corr. math. 1879 p 430).
208 II, 3. теорш рядовъ. §§ 238-240
nvfe Mi, u'o, ..., абсолютныя величины чиселъ и\, иг, • •• Такъ какъ
рядъ (и) абсолютно сходящМся, то и рядъ (и') сходяшдйся. Отсюда
слЪдуетъ, что при безпред^льномъ возрастали п, U'v стремится къ
конечному предЪлу, а о' U'v къ нулю. Также и U'n — U'v стремится
къ нулю, а съ нимъ и произведете его на д. Итакъ, lim on = 0.
239. Теорема IV. Ряды, получаемые отъ сложения или
умножен1я двухъ абсолютно сходящихся рядовъ, будутъ
также абсолютно сходящееся.
Если ряды
«! + Щ + «3 + • • •. vl + Щ + Vb +
абсолютно сходящ!еся, то, на основан1и теоремы Дирихле, будутъ
сходящимися и ряды
Н[ + «, + и'л + ¦ ¦ ¦, v[ -f V-2, + V3 +
составленные изъ абсолютныхъ величинъ членовъ данныхъ рядовъ.
Biwfecrfe съ гЬмъ будутъ сходящимися, на основанш теоремы I и III,
ряды, определяемые общими членами
«1 + v'n' "\ v'n + «2 v'a-\ + •••+«« V'l-
Обозначая черезъ гс'п абсолютную величину общаго члена въ суммЪ
или произведен1и данныхъ рядовъ, найдемъ, что въ случай сложешя
zt>'n^u'n-\-v'n,a въ случай у множешя w'n-^ku'iv'n-\- uWn—xA \-u'nVi*).
Следовательно, въ обоихъ случаяхъ рядъ (и/) будетъ сходящимся,
потому что его члены положительны и меньше соотвЪтствующихъ
членовъ сходящихся рядовъ. Итакъ, рядъ (го) абсолютно сходящШся.
Двойные ряды.
240. Опред'Ьлешя. Сложеше безконечнаго числа рядовъ при-
приводить къ разсмотрънга двойныхъ рядовъ:
+ д21 + а,& + «23 + Я24 + ¦ ¦ ¦
+ Я31 + rt32 + аЗЗ + rt34 + ' ' '
*) Потому что абсолютная величина суммы не превосходить суммы
абсолютныхь величинъ слагаемыхъ.
§§ 240-242 двойные ряды. 209
Пусть Smn обозначаетъ сумму чл.еновъ, заключающихся въ прямо-
угольникт>, содержащемъ т первыхъ строкъ и п первыхъ столб-
цовъ, т. е. пусть
Snm = «11 + «12 + «13 + Ь «1и
+ «21 + «22 + «23 + ' • ' + «2и
T "ml "Г "т2 Т итЗ Т" ' "Г "mif
Рядъ называется сходящимся, если Smn при безпредътшномъ воз-
растанш тип стремится къ конечному пределу 5, независящему
отъ закона возрасташя чиселъ тип. Если, наоборотъ, Smn воз-
возрастаетъ безпредъльно, то рядъ называется расходящимся. Во
всЪхъ другихъ случаяхъ онъ будетъ неопредЪленнымъ.
241. Двойные ряды можно суммировать по строкамъ, т. е.
вычислить суммы Mi, Иг, Из, ... строкъ въ схемъ B5) и изъ нихъ
образовать рядъ и\ + Мг + Мз + ¦¦•• Можно ихъ суммировать и по
столбцамъ, т. е. вычислить суммы столбцовъ z>i, Vi, v%, • ¦ ¦ въ
схемъ B5) и изъ нихъ образовать рядъ Vi + % ¦+- Vз + •••. Если
двойной рядъ сходящ1йся или расходящШся, то оба полученные
такимъ образомъ ряда будутъ соответственно сходящимися или
расходящимися, и въ случай сходимости суммы U и V этихъ рядовъ
совпадаютъ съ суммою 5 двойного ряда. Замътимъ, что суммиро-
ваше двойного ряда по строкамъ состоитъ въ томъ, что въ суммЪ
Smn сперва увеличиваютъ безпредъльно п, не мъняя при этомъ т,
а потомъ въ полученномъ предъпЪ при п безконечномъ увеличи-
увеличиваютъ безпредЪльно т. При суммироваши по столбцамъ, наоборотъ,
сперва возрастаетъ безпредЪльно т при постоянномъ п, а потомъ
въ полученномъ предъл% возрастаетъ безпредъльно п. Иными сло-
словами, два способа суммировашя даютъ для 5 нижеслЪдуюиця вы-
ражен1я:
S = Hm Aim S,m\ S = Iim /lim Sn
mn
Чтобы можно было назвать данный двойной рядъ сходящимся,
необходимо, чтобы всяюй другой способъ сложешя давал ь ту же
сумму. Такъ, напримъръ, мы должны имъть 5 = Hm 5И».
242. Правило сложешя рядовъ привело бы къ приравниванш
суммъ U и V между собою, если онъ существуютъ. Но легко
видъть, что суммировате по ¦ столбцамъ можетъ дать результатъ
отличный отъ того, который получается при суммироваши по стро-
строкамъ. Ясно, кромЪ того, что равенство получаемыхъ такимъ обра-
образомъ результатовъ еще не достаточно для того, чтобы утверждать
сходимость двойного ряда, потому что друпе способы увеличивать
14
210 II, 3. теорш рядовъ. §§ 242-243
безпредЪльно тип могли бы давать друпе результаты, и даже
расходяшдеся или неопределенные ряды. Чтобы привести примеры
двойныхъ рядовъ, представляющихъ различныя выше упомянутыя
особенности, достаточно выбирать различныя формы 5»ш, такъ какъ
каждой изъ этихъ формъ соотвътствуетъ двойной рядъ, опреде-
определяемый общимъ членомъ
атп ~ ^тп ~~ ("-")», ге—1 + ^т -1, и) + ^т— 1,и—1'
при чемъ тЪ изъ Su, которыхъ хотя одинъ изъ указателей равенъ
нулю, считаются нулями (XXVII).
243. Такъ, чтобы получить примъры неопредъленныхъ рядовъ, можно
давать 5,„„ значешя
inn
1 \« т т п тп{т - п)
т) ' т + п (in + и)'-1 [in + нK
Первый рядъ при суммированш по строкамъ, очевидно, расходящейся, между
тЪмъ какъ при суммирован1и по столбцамъ, онъ сходяшдйся и сумма его
равна 1. При т = п, сумма его равна е, а при другихъ законахъ безпре-
д'Ьльнаго возрастан1я т и и можно получить для S любое значеше, большее
единицы. При гЪхъ же обстоятельствахъ второй рядъ оказывается схо-
сходящимся и сумма его будетъ соотътственно равна 0, 1, \, а при другихъ
прилично выбранныхъ законахъ возрасташя т и п сумма ряда можетъ
получить любое положительное значен!е, не большее 1 *). TpeTift рядъ при
сложен1и по строкамъ и по столбцамъ даетъ S = 0, а при т — п S = \.
Наконецъ, четвертый рядъ, дающШ S = 0 при всЬхъ трехъ упомянутыхъ
способахъ сложен!я, при другихъ можетъ дать сумму, равную любому числу,
квадратъ котораго не больше TiF (XXVIII). Ниже мы приводимъ еще очень
простой прим^ръ неопредъленнаго ряда
0 + 1+0 + 0 + 04
-1 + 0+1+0 + 0+---
+ 0 - 1 + 0+ 1 + 0+ ¦¦•
+ 0 + 0 - 1 + 0 + 1 -\
При сложенш по строкамъ получаемъ 1, по столбцамъ — 1. Вообще, пре-
дълъ Smn равенъ 1, 0 или — 1, смотря по тому, будетъ ли т < п, иг — п
или т > п. Чтобы, съ другой стороны, имъть безчисленное множество при-
мЪровъ двойныхъ сходящихся рядовъ, или лучше сказать, чтобы построить
двойной рядъ, имъющШ ту же сумму, какъ нЪкоторый простой сходяццйся
рядъ аг + «2 + а8 + ¦ • •, можно разсмотръть рядъ
(«! - я2) + (я2 - я3) + (й3 - а4) + ¦ ¦ ¦
+ (а2 - а3) + (а3 — а4) + (а4 - аь) + • • •
+ (я3 - я4) + (я4 - я5) + («5 - я6) Н
*) Положивъ т = kn, найдемъ (k > 0) limSmK =
k + l
§§243-245 двойные ряды. 211
Если Ап сумма п первыхъ членовъ даннаго простого ряда, то
^тп = Ат "Ь Ап ~~ Ат+п ' "m ^mn = A •
244. Преобразовате Клаузена (Clausen) *). Положимъ, что
данъ сходящ1йся двойной рядъ. Положимъ
711 — п 4- (п -L л 4- f<7 -I-/7 1 4- ¦ • •
шп ~ ипп Т \ип, п-\-1 I и+1, п> I \ип, п-\-2 Т "и-|-2, и-1 т^
Зам^тимъ, что
«« + w« = («1я + a«l) + («2» + ап2) + ¦¦¦ + (««-1, „ + «и, „_l) + ««и + W« .
а слъдовательно, Un-\- Vn = Snn + ^«. Такъ какъ при безко-
нечномъ п
то также и lim Wn — S. Преобразован1е двойного ряда въ про-
простой wi + и>2 + w-i -\- ¦ ¦ ¦ часто бываетъ выгодн-fee, чЪмъ преобразо-
ван1е въ одинъ изъ рядовъ иу + Uz-)-из + ¦ ¦ ¦ или v% -\- v^ + Va + ¦ • • •
Но не всегда. НапримЪръ, нЪтъ выгоды дЪлать это преобразован1е
въ послЪднемъ ряд% предыдущаго параграфа.
245. Теорема. Двойной рядъ будетъ сходящимся, если
по замънЪ есъхъ членовъ абсолютными ихъ величинами
рядъ, полученный черезъ сложен1е по строкамъ (или столб-
цамъ), будетъ сходящимся.
По предположенш Bet строки схемы B5) будутъ абсолютно
сходящимися рядами. Пусть
= I «11 I + I «12 S +
= I «21 I + ! «2!
«23
+ I «2.
°3 = I «31 I + 1 «32 I + I «33 ! + I «81 i +
будутъ суммы рядовъ, составленныхъ изъ абсолютныхъ величинъ
членовъ, а итп пусть обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ ж-ой
строки схемы B5), такъ что
"'ми = П\п + И2п ~Ь ИЗп + " " ' + Итп ¦
Очевидно, им^емъ
итп | = | «ml j + | «т2 | + | ят3 j + ¦ ¦ • + | яши ! < "ш'
Если теперь задано по произволу положительное число е, то схо-
Crelles Journal, III, p. 94.
14*
212 II, 3. ТЕОРга рядовъ. §§ 245-246
димость ряда Oi + о2 + о3 + ••• позволяетъ найти такое число /л,
что
и a fortiori
B6) I "д+i. „ + "«+2, п + «,«+з, „+¦•¦+ «„ ; < i e
для всякаго т^> /л и для произвольнаго п. То же число /л
можно выбрать достаточно большимъ, чтобы выполнялось нера-
неравенство
B7) j u1 -j- ;л, -г ил -{-¦¦¦ -\- и^ - U , < 'j-f .
Д-Ьйствительно, рядъ iti-\-и%-{-ih-\- ¦ ¦ ¦, сходящ1йся, потому что
абсолютныя величины его членовъ не больше соотвЪтствующихъ
членовъ ряда d -f- °з + Оз + • • •, по услов1ю сходящагося. Не м-бняя
теперь [г выбраннаго, какъ сказано выше, зам^тимъ что
того, что
lira (и1п + и,п + ¦ • • + иfj = Hi + «2 + ¦ ¦ • + afl,
можно найти такое число v, чтобы при п > v постоянно
м-Ьсто неравенство
"ы - "¦>„ + Ь «,(„ - («1 + щ+ ь "„) < i к ¦
Складывая его съ неравенствами B6) и B7), получимъ
для всякой пары значешй т и п, соответственно большихъ,
1.1 и v. Итакъ, Smn стремится всегда къ пределу U, по какому
закону ни возрастали бы до безконечности числа т и п.
246. Прим"Ьчатя. а) Если какое нибудь одно изъ услов!й
теоремы § 245 не будетъ выполнено, то можетъ случиться, что
теорема не будетъ справедлива. Положимъ, наприм-Ъръ, что поло-
жительныя числа alt а.г, а3, ... всб меньше 1 и стремятся къ нулю.
Тогда ряды
п., — а., - ая + ай
п. С
B8)
§ 246 двойные ряды. 213
будутъ сходящееся. Действительно, сумма нечетнаго числа членовъ
въ т-мъ ряде
Я1 A - а,)-1 - а2 A - «2Г -1 + «2 A ~ Яг)* " «з A - ЯзГ'-1 + • ¦ •
равна аг A — а^), а сумма четнаго числа B и) членовъ равна
и стремится къ пределу ах A — а!)"'^1 при возрастали и до безко-
нечности. Следовательно,
поэтому рядъ м, -+• «2 + мз + ¦ ¦ • сходящШся и сумма его равна
Если же будемъ суммировать въ схемЪ B8) по столбцамъ, то по-
лучимъ
vi=a1 + ау A - at) + «1 A - «iJ +•¦¦=!,
— v2 = v3 = я2 + Я2 A ~ a2) + a2 A ~ агJ + ' ' ' = 1 ¦
и рядъ z/j -)- г»а + г»3 + • • • вместо того, чтобы быть сходящимся и
имЪть сумму 1, оказывается неопредЪленнымъ и приводится къ
ряду
1-1 + 1-1+ ¦¦-.
Ь) Если рядъ а1 + аг + аъ ... былъ бы расходящимся, то
можно было бы думать, что теорема не оправдывается, потому что
ряды B8) не абсолютно-сходящдеся. Не мЪшаетъ, однако, за-
заметить, что теорема можетъ не им^ть м^ста и въ такомъ случай,
когда и ряды B8) и рядъ «, + и% + щ + ... абсолютно сходя-
щ1еся. Чтобы привести примъ-ръ, достаточно взять за ах-{-аг-\-а%-{-...
какой нибудь сходящ1йся рядъ, напримЪръ х-\-хг-{-х3-{- ... @<д-<1).
Мы получаемъ тогда схему
X - X2 -\- Х- — X8 + Х^ — Х^ -j- ¦ ¦ ¦
X A - X) - X* A - X2) + X2 A - X2) - А"» A -Xя) -г • • ¦
X A - Xf - X2 A - Л-2)-' + X2 A - X2J - *3 A - ДГЗJ 4- • • ¦
214 II, 3. ТЕОпя рядовъ. § 246
состоящую изъ абсолютно сходящихся рядовъ, суммы которыхъ
даютъ рядъ
х + х(\-х) + хA - xf+-- = 1,
также абсолютно сходящШся. Между тъмъ суммироваше по столб-
цамъ даетъ снова неопределенный рядъ
1-1 + 1-1+ ....
Это происходитъ только отъ расходимости ряда о1 -\- аг -j- аь -\- ...
с) Нужно, однако заметить, что услов1я, поставленныя въ
формулировка теоремы только достаточны, но вовсе не необхо-
необходимы. Въ самомъ дъу1ъ, если lima,, = 0, то двойной рядъ, соста-
составленный слъдующимъ образомъ
«! - я2 + 0 +0 +0 + ¦¦•
+ 0 +a2-a3+0 +0 + .¦•
+ 0 +0 +a3^ я4+0 + •••
+ 0+0+0 +a4- a-0+ ¦¦¦
будетъ сходящШся, потому что сумма Smn равна ах, когда т — п,
и равна ai — ат—\, когда тфк, поэтому всегда lim Sm „ = a,,
хотя рядъ 0j -f- сг2 -f a3 + • • • можетъ быть и расходящимся; онъ и
будетъ такимъ, если a1-j-a2+ #3-|- ••• расходяшдйся рядъ съ поло-
положительными членами.
d) Наконецъ, зам^тимъ, что теорема, о которой идетъ рЪчь,
заключаетъ въ себЪ, какъ частный случай, теорему Коши объ умно-
женш двухъ абсолютно сходящихся рядовъ (§ 238). Действительно,
если ряды Mj + щ + иъ + .. . и vx + v% + Щ ¦ ¦ ¦ абсолютно схо-
дяшдеся, то ясно, что въ двойномъ рядъ
H3V2 +
сложен1е по строкамъ, посл% замены всЬхъ членовъ ихъ абсолют-
абсолютными величинами, дастъ простой сходящШся рядъ
и[ V f 4 ^ + из v>
Поэтому и двойной рядъ будетъ сходящимся и сумма его, полу-
полученная сложетемъ по строкамъ
§§ 246-247 двойные ряды. 215
будетъ равна суммЪ простого ряда, полученнаго сложешемъ по
столбцамъ, т. е.
247. Упражнешя. а) Чтобы найти сумму ряда х+2х2-]-Зх3+...,
сходящегося при | х | < 1, можно его представить въ видЪ двой-
двойного ряда
Суммируя одинъ разъ по строкамъ, а другой разъ по столбцамъ,
находимъ:
1 - х г 1 - х ^ 1 - х ' A - хJ
b) Разсмотримъ двойной рядъ
а х + а2х2 + а3 х3 + я4 л4 + ¦ ¦ •
+ ах2 + a-.v4 + а3 Xе + aixs + ¦¦¦
-{-ах3 -{-а2х6
Если абсолютныя величины х и ах меньше 1, то получимъ абсо-
абсолютно сходяцг1еся ряды, суммируя, какъ по строкамъ, такъ и по
столбцамъ. Въ первомъ случай получимъ суммы
ах ах2 ах3
щ =
1 — ах " 1 -- д.г2 1 — ах3
во второмъ
ах а-х2 а3 хъ
1 1 — х ¦ г 1-х2 л 1— .т3
Такимъ образомъ, приходимъ къ следующему результату:
ах ах2 ах3 ах . Фх'1 аъхъ
* + + +
- ах * 1 -
с) Рядомъ Ламберта называютъ сл'Ьдующ1й:
1 - -Г "^ 1 - .Г2 "^ 1 - .Г» + 1 - X* Т
216 II, 3. теорш рядовъ. § 247
при чемъ, конечно, предполагаютъ х отличнымъ отъ 1 и — 1.
Такъ какъ, далъе,
то видно, что рядъ не можетъ быть сходящимся вн% интервала
(—1, + 1), такъ какъ тогда имътш бы Нш«/„ = — 1. Напротивъ,
при | х | < 1, yoiOBie lim un = 0 выполняется, и далЪе видимъ, что
тогда рядъ будетъ абсолютно сходящимся, потому что
«,
„+1
lim
«..,
Итакъ, рядъ будетъ абсолютно сходящимся въ интервал^ (—1,
за исключешемъ границъ. Замътивъ это, разложимъ каждый членъ
въ (абсолютно-сходящШся) рядъ слъдующимъ образомъ:
ЗатЪмъ напишемъ
- X2 + Xi + X6 + ЛГ8 + • ¦
+ хд + хв + ¦ •
+ Л-1 +*8+-.
+ хъ + •
+ х6 + ¦ ¦
Ясно, что хп появится въ ир тогда и только тогда, когда п дълится
на р, и потому, суммируя по столбцамъ, получимъ
C1) 5 = х8A) +л-29 B) +х39C) +ж*0D) + •¦•,
гдЪ 0 (и) обозначаетъ число делителей п. Изъ этого уравнешя
ясно, почему рядъ Ламберта играетъ важную роль въ ариеметикъ1).
d) Приложимъ теперь преобразоваше Клаузена къ ряду
Ламберта. Этотъ рядъ равнозначенъ ряду B9), если въ послъд-
!) Первый, кто показалъ подобныя ариеметичесмя приложешя, былъ
Шеркъ (Scherk, Crelles Journal, IX p. 162, X. p. 207). Мнопе математики
пытались загёмъ вывести изъ ряда Ламберта законъ распредт>лешя простыхъ
чиселъ, но тщетно.
§ 247 двойные ряды. 217
немъ положимъ а = 1. Чтобы применить преобразоваше Клаузена
(§ 244), прежде всего замътимъ, что
т. е.
wn = *"' A + 2 (хи + x2» + хы +¦¦¦)) = f^* ^! •
Следовательно, сумму ряда Ламберта можно представить въ видЪ
Новый рядъ есть рядъ, быстро сходящдйся (§ 200, Ь), потому что
lim ^ = нт A ^К1±^5 x*«+i , о.
w« A + хп) A - лг'^1)
На этомъ то и основана польза преобразовашя Клаузена. При х= ^,
«априм^ръ, получимъ
I + 1 + J + Ч + !2L . ^+
' 9990
+ + + = + + .
9 Т 99 Т 999 Т 90 ' 990000 ' 999000000000 '
Въ ряд% правой части достаточно взять одинъ членъ, чтобы полу-
получить значеше суммы ряда, вЪрное до третьяго десятичнаго знака
включительно, въ лъвой, для достижешя того же приближен1я, надо
взять три члена. Можно даже доказать, что въ разсматриваемомъ
частномъ случай v членовъ ряда Ламберта даютъ только v
«•Ьрныхъ десятичныхъ знаковъ, тогда какъ преобразован1е Клау-
Клаузена около (v-|-lJ знаковъ. Далъе, въ общемъ случа% легко найти
выражен1е остатка ряда. Стоитъ только въ уравненш C0) положить
,а = хп\ тогда получимъ
п+1 2и+2 Зя+3
Отсюда видно, что относительная погрешность, которую д^лаемъ,
взявъ всего п членовъ, меньше хп. Следовательно, преобразовав
т%мъ выгоднее, ч%мъ меньше х. Но его выгода уменьшается все
€олъе и болъе, чъмъ больше х приближается къ 1 *). (XXIX.)
е) Преобразован!е ряда Ламберта въ рядъ Клаузена можно вы-
вывести также изъ изучешя ряда
1 - X ^ 1 - Х°- ^ 1 - X» ^ 1 -
1) Для этого случая Шлёмильхъ (SchlOmilch) далъ другое преобра-
зован1е въ Journal de Liouville A863, p. 101).
218 П, 3. теорш рядовъ. § 247
Этотъ рядъ сильнее сходящШся (§ 199), чЪмъ рядъ Ламберта, по-
потому что отношеше общихъ членовъ равно хп1-п~1\ и вслъдсше
того, что | х | < 1, стремится къ 0 при п безконечномъ. Для дан-
наго ряда
При сложенш по столбцамъ членовъ «1 + % + и3+-- видно,
что хп войдетъ въ ир въ томъ и только въ томъ случае,
когда п будетъ вида п = pq, при q 2г р. Сл-Ьдовательно, р должна
быть такимъ д^лителемъ п, чтобы было p~q = —, т. е. р ^ ]/я.
Отсюда сл^дуетъ, что коэффищентъ при хп равенъ числу дели-
делителей п, не превосходящихъ Уп. Онъ равенъ, следовательно,
вообще ^Ь(п), и только въ томъ случаъ, когда п точный квадратъ,.
онъ равенъ —%— (XXX). Следовательно, припоминая формулу C1),,
находимъ
S' = i^S+ %(х + х* + х» + • • •),
откуда получается
S -= 2
СО п
* = У1+Х хп\
Ух У
— х 1 х 1 х
i) Если ср {п) обозначаетъ число чиселъ, простыхъ съ п и не
превосходящихъ п, то, какъ известно (§ 33, а), имеетъ место ра-
равенство
где а, Ь, с, ... все различные делители числа п. Основываясь на
этомъ, легко найти сумму ряда
поступая такимъ же образомъ, какъ и съ рядомъ Ламберта. Раз-
Разлагая каждый членъ по восходящимъ степенямъ х, увидимъ, что
коэффищентъ при хп какъ разъ равенъ написанной выше сумме,
т. е. п. Полагая, какъ это необходимо, |#|<С1, и припоминая
результатъ перваго упражнещя, получимъ
X
3 = х + 2х* + 3x3 + ... = A__л.J.
Напримеръ,
10
9 + 99 "*" 999 "*" 9999 "*" 81'
§§ 248—249 безконечныя произведенш. 219
Безконечныя произведешя.
248. Въ тесной связи съ Teopieio безконечныхъ рядовъ нахо-
находится и теор1я безконечныхъ произведен^, о которой мы ска-
жемъ здесь несколько словъ, съ целью показать потомъ одно ин-
интересное ея приложеше. Пусть при безпред'Ьльномъ возрастанш п
произведете Р„ первыхъ п членовъ некоторой последовательности
ut, щ, щ, ... стремится къ некоторому конечному пределу Р;
въ такомъ случай принято писать Р ¦= щщщ • • ¦ и говорить, что
м,м3м3... есть сходящееся безконечное произведете, зна-
4eHie котораго равно Р. Если же Рп безпредельно возрастаетъ
вместе съ п или ни къ какому пределу не стремится, то говорятъ,
что произведете расходящееся или неопределенное. Такъ какъ
log Pn = log щ + log u2 + log «з + • • • + log un,
то оказывается, что сходимость ряда
C2) log щ + log «2 + log «3 + log «4 + • • •
есть ycnoBie, необходимое и достаточное для того, чтобы безконеч-
безконечное произведете щиги* ... было сходящимся и не равнымъ
нулю. Произведете будетъ сходящимся и тогда, когда рядъ C2)
расходящШся, стремящШся къ (— оо), но тогда значеше Р — 0.
Следовательно, всякое yaiOBie, необходимое для сходимости ряда C2)г
необходимо для того, чтобы разсматриваемое произведете было
сходящимся и отличнымъ отъ нуля. Замътимъ въ частности услов1е
lim log и„, = 0 или lim и„ = 1.
249. Теорема ЬЧтобы безконечное произведете**, и2щ...,
все множители котораго больше нуля и меньше единицы
или все больше единицы, было сходящимся и не равнымъ
нулю, необходимо и достаточно, чтобы рядъ
C3) (И1_1) + („2_ 1) + (и3-1)+ ...
былъ сходящимся.
Въ самомъ деле, если данное произведете сходящееся и не равно-
нулю, то и рядъ C2) сходящШся и, следовательно, пределъ общага
члена ряда C3) есть нуль. Следовательно, его можно представить
въ виде и„ — 1 = —, где а„ стремится къ -f- со при ип > 1 и
а
ап
п
къ —сю при ип < 1. Въ то же время им^емъ (§ 157)
C4, lim ^ = lim пп log (, _, 1) = log lim (i +
220 II, 3. теорш рядовъ. §§ 249-251
А поэтому и рядъ C3) сходяшлйся (§ 189) *). Обратно, если рядъ
C3) сходящШся, то Нти„ = 1, откуда видно, въ силу той же фор-
формулы C4), остающейся справедливой, что и рядъ C2) сходящейся,
а потому произведете u1u2ui ... сходящееся и не равно нулю.
250. Теорема П. Безконечное произведете utuiui...
будетъ сходящимся и не равнымъ нулю, если ряды
(«!- 1) +(И2- 1) +(и3-1) + •¦•>
C5) («! - IJ + (И, - 1J + (щ - 1J + ...
будутъ сходящимися.
Такъ какъ въ силу сходимости перваго ряда lim«n=l, то чле-
члены произведетя, начиная съ нЪкотораго мъхта, будутъ всЪ положи-
положительные, и потому рядъ, обшдй членъ котораго vn— ип—1—\o<gun
будетъ имЪть, начиная сь нЪкотораго мътта, всЪ члены веществен-
вещественные. Такъ какъ, кромЪ того,
то отсюда вытекаетъ, что рядъ z>, -\- vt + У3~Ь • • • будетъ сходя-
сходящимся вмъхт-fe съ рядомъ C5). А потому будетъ сходящимся и рядъ
C2), какъ разность двухъ сходящихся рядовъ, поэтому и данное
произведете сходящееся и не равно нулю. Замътимъ еще, что если
только первый рядъ былъ бы сходящимся, то рядъ V) + v2 -\- ^з + • • •
имъпъ бы положительные члены и былъ бы расходящимся. Рядъ C2)
стремился бы къ (—оо) и произведете щи2щ ... было бы схо-
сходящимся и равнымъ нулю.
251. Сл1>дств1е. Безконечное произведете ихщщ...
будетъ сходящимся и не равнымъ нулю, если рядъ
абсолютно сходящ1йся.
Действительно, такъ какъ абсолютная величина ип—1, начи-
начиная съ нъкотораго м%ста, будетъ меньше 1, то также будемъ имъть,
начиная съ нъкотораго мътта (ип—1J<С|^»—1 i- Такъ какъ
по теорем^ Дирихле рядъ съ общимъ членомъ \и„ — 11 сходящ1йся,
и a fortiori такимъ же будетъ и рядъ C5), то вмъхгё съ тЪмъ, въ
силу теоремы II, и безконечное произведете будетъ сходящимся и
не равнымъ нулю.
*) Такъ какъ отношеше общихъ членовъ рядовъ C2) и C3) число
конечное въ силу формулы C4).
§ 252 БЕЗКОНЕЧНЫЯ ПРОИЗВЕДЕНЫ. 221
252. Приложен1е къ функцш Г.
а) Весьма важное значеше въ различныхъ частяхъ математиче-
скаго анализа имЪетъ безконечное произведете
/
1
1
2
1
+
Y
)
X
т
1
1
3
2
+
}
X
т
1
1
4
3
+
V
)
X
У
/
1
1
5
4
+
Y
)
X
т
обозначаемое черезъ Г(х-\-1) и называемое функиЛею Гамма*).
Разумеется, при разсмотренш этого произведетя, надо избегать да,
вать числу х значетя — 1, — 2, — 3, ... (т. е. все цЪлыя и отри-
отрицательные); при всякомъ другомъ значенш х, какъ легко показать-
показаться:-]-1) есть произведете сходящееся. ЗамЪтимъ, въ самомъ деле,
что всл%дств1е известной формулы (§ 222)
общему члену этого произвенен1я можно дать видъ 1 -)—", гд-fe
ап стремится къ предълу ^х(х—1) при безконечномъ п. Поэтому,
на основанш теоремы I, произведете будетъ сходящимся, потому
что такимъ же будетъ рядъ, получаемый отъ умножешя членовъ за-
заведомо сходящагося ряда 1 -j- \ -\- \-\- j\ ~\- ¦ ¦ ¦, соответственно
на числа а,, аа, о3, а4..., не превосходяшдя (по абс. величине)
некотораго конечнаго числа. На основанш этого позволительно
писать
C6) Г(х + 1) = // ^ У- ¦ **)
Ь) Безконечное произведен1е, общ1й членъ котораго равенъ
р, есть произведен1е сходящееся. Его значен1е (§ 183) равно
1
А- ел , ,С+9« с
U T=lim \=e •
1 ii «=«±
*) Отъ греческаго назван1я буквы Г.
**) Буква П есть символъ произведешя множителей даннаго вида,
подъ нимъ написанныхъ, при чемъ я принимаетъ всб ц^лыя положительный
значешя, начиная съ 1.
222 II, 3. ТЕОпя рядовъ. § 252
rat С есть Эйлерова постоянная. Но такъ какъ произведете
C6) не равно нулю, то мы можемъ написать
/у _* !L _ /у _? 77 й
r(, + i)-v/1 + i)- i "V\1 + l
1
nj e" \ ¦ n J en
и приходимъ, такимъ образомъ, къ важной формулt Вейер-
штрасса (Weierstrass)
с) Опредъпенш C6) функщи Г цълесообразно дать другую
форму, введенную Гауссомъ *). Нужно только замшить, что правая
часть равенства C6) равнозначна съ
I™- -г , {П + , ; — , **)
чтобы получить возможность написать
j • 2 • 3 ¦ ¦ • и
Г(х + 1) = lim nx ~
Если зaмtтимъ, что
.. пх
= lim —:— = х,
Г(х)
то тотчасъ же получаемъ основное свойство
Г{х+1) = хГ(х).
Такъ какъ при х = 0 формула C7) даетъ Г{1) — 1, то находимъ
ГB) = 1!, ГC) = 2!, ГD) = 3!, ГE) = 4!, ...
d) Изъ формулы C7) выводимъ
.- 4"-и21Ч(Ь2-3-.- нJ
' 2/ и^Bл-+1)Bл; + 2)Bа- + 3)---Bдг + 2«)
*) Она еще раньше встречается у Эйлера.
§ 252 БЕЗКОНЕЧНЫЯ ПРОИЗВЕДЕН1Я. 223
Оь другой стороны, заменяя въ той же формул^ х и п на 2х и
In, найдемъ
, ^и, -г ., - , я— {2х + 1} Bх + 2) Bх + 3) • ¦ • B* + 2«)
Изъ этихъ двухъ формулъ, припоминая формулу Стирлинга (§ 221),
находимъ
Такимъ образомъ приходимъ къ формул^ Лежандра
Въ частности, при х = 0, изъ C8) вытекаетъ, что Г(^) = Уп, и
далЪе, съ помощью последней формулы и основной, получимъ
ПримЪчашя ко второй книгЪ.
I (къ § 113).
Приведенная здЪсь теор1я иррацюнальныхъ чиселъ принадле-
житъ Дедекинду (Dedekind) и изложена имъ въ основныхъ чертахъ
въ статье „Непрерывность и иррацюнальныя числа" (Stetigkeit und
irrationale Zahlen), переводъ С. Шатуновскаго, Одесса 1909 г.
Разд^леше вс-Ьхъ ращональныхъ чиселъ на два класса, обладающихъ
указанными здЪсь свойствами, называютъ с1зчен1емъ (Schnitt) въ
области ращональныхъ чиселъ.
БолЪе подробное изложеше теорш Дедекинда см. Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 72 и слъ\д.
II (къ § 122).
Выражешя „въ концЪ концовъ", „начиная съ нЪкотораго п",
„при достаточно большомъ п" и т. п., съ которыми часто будемъ
встречаться въ этой книге, введены для сокращешя рЪчи. Истин-
Истинный ихъ смыслъ состоитъ въ слъчаующемъ. Когда разсматриваются,
перемъ-нныя числа ап, Ьн, ¦¦•, въ которыхъ указатель п посл%до-
вательно принимаетъ всЪ значен1я 1, 2, 3,... до безконечности, и
говорятъ, что эти числа ап, Ьп, ... „въ конц-Ь концовъ" и т. д. удо-
влетворяютъ нЪкоторымъ услов1ямъ, то этимъ утверждаютъ сущест-
вован1е такого числа v, что данныя услов1я выполняются при вся-
комъ значен1и п, равномъ или большемъ v, т. е. при n^v.
III (къ § 124).
Положимъ \iman = a и а' < а < а", гдЪ а и а!' произвольный
числа, удовлетворяются этимъ неравенствамъ. Услов1е lim ап = ее
равносильно условда \ап — а \ < е, rat e произвольное положи-
положительное число; послЪднее услов!е равносильно неравенствамъ
а - f < ап < я + е.
прим-ьчанш ко п-ой книг*. 225
Взявъ е < а — а', получимъ ан > а — е > а — (а — а') = а', а
взявъ е < а" — а, получимъ ап < а -j- ? < а + (а" — а) = а". Сле-
Следовательно, „начиная съ нЪкотораго значешя и', я'< ап < а", что
и требовалась показать.
ЗамЪтимъ здесь, что часто BCTpt4aromeecfl впосл-Ьдствш выра-
жен1е при „произвольно выбранномъ сколь угодно маломъ,
положительномъ числЪ е", заключаетъ въ себ% плеоназмъ. Если е
можно выбрать по произволу, то само собою разумеется, что его
можно взять сколь угодно малымъ. Если т%мъ не менЪе послЪд-
н1й эпитетъ прибавляется, то делается это для того, чтобы под-
подчеркнуть существенное свойство числа е удовлетворять нера-
неравенству ?<А, какъ бы мало ни было данное положительное
число h.
Ша (къ § 124).
Развивая последнее замЪчаше и принимая во внимаше ска-
сказанное въ §§ 112 и 113, можемъ высказать следующее положеше:
Всякое иррац1ональное число а можно разсматривать,
какъ обпий пред^лъ двухъ последовательностей
A) ах, а2, я3, ... ап, ...
и
B) Ьи Ь2, Ъъ, ... Ьп, ...,
изъ которыхъ A) не убывающая, а B) не возрастающая,
при чемъ Ьп — йв > 0 при всякомъ и, и Ъп — ап < е при
достаточно большомъ п, и сколь угодно маломъ е. Чи-
Число а всегда будетъ заключаться между ап и Ь„, которыя можно
разсматривать, какъ приближенныя значешя числа а, ап по недо-
недостатку, Ьп по избытку. Полагая приближенно а = а„ или а = Ьп
мы дъчпаемъ погрешность, меньшую Ьп — а„, т. е. при доста-
достаточно большомъ п^меньшую любого даннаго числа. ЗамЪтимъ, что
известный изъ элементарной алгебры процессъ извлечешя У А, где А
не точный квадратъ, съ точность до 1/10, 1/100, V1000)-- по недо-
недостатку и по избытку даетъ две последовательности A) и B), облада-
Ю1щя необходимыми для определешя иррацюнальнаго числа у А
свойствами.
IV (къ § 125).
Общее выражеше чиселъ данной последовательности при п
1 от + 1
нечетномъ есть a2m+i = —т~о ' а ПРИ п четномъ а2т = —т~о-
Взявъ »t -f 3 > - , имеемъ a2m+i < е, т. е. lim a2m+i = 0; взявъ
15
226 прим-бчанш ко п-ой книг*.
т -\- 2 > — , имЪемъ 1 — а^т < ?, т. е. lim а<г,т = 1 • Когда п бу-
детъ проходить все значетя 1, 2, 3. ... четныя и нечетныя, то ап,
очевидно, будетъ колебаться между 0 и 1, не стремясь ни къ ка-
какому пределу. Последнее замечаше этого § надо понимать такъ:
если данная последовательность а,, а2, as, ... имЪетъ некоторый
пред^лъ а, то этотъ же предълъ а будетъ иметь последователь-
ность, которую получимъ, выкинувъ изъ данной, напримеръ, все
числа съ четными указателями или вообще все числа, указатели
которыхъ удовлетворяютъ известному условда, лишь бы въ оста-
оставшейся последовательности было безконечное число чиселъ. По-
Последнее услов1е необходимо.
V (къ § 129).
Конечнымъ числомъ называется 1) всякое постоянное опре-
определенное число, 2) всякое переменное число, все значешя котораго
заключаются между двумя данными числами. Терминъ „конечное"
противополагается, следовательно, „безконечно большому", а не
„безконечно малому". Если нужно оттенить, что некоторое пере-
переменное число стремится къ конечному пределу, отличному отъ
нуля, то необходимо оговорить, что предълъ не равенъ нулю.
VI (къ § 133).
Заключеше это основано на томъ, что сказано въ § 129, и
на очевидномъ предложены, что произведете конечнаго числа на
безконечно малое само безконечно малое.
VII (къ § 137).
Аналогично этому лемма доказывается и въ томъ случае,
когда данная последовательность заключаетъ въ себе безконечное
множество чиселъ, меньшихъ а. Въ этомъ случае изъ данной по-
последовательности всегда можно выделить другую, имъющую пре-
деломъ конечное число или — эо . Заметимъ еще, что если данная
последовательность предела не имеетъ, то выделяемыя изъ нея по-
последовательности будутъ иметь различные пределы, иначе обицй
ихъ пределъ былъ бы и предЬломъ данной последовательности, что
противоречить предположенш.
VIII (къ § 138).
Обозначая символомъ [N] наибольшее целое число, заклю-
заключающееся въ N, имеемъ N = [N] + Q, nvk 0 = Q < 1- Заметимъ,
ГЮ"!
далее, что при 1 < а й 10 число цифръ въ — равно v, потому
прим-ьчлнга ко п-ой книг-в. 227
10" ГЮ"!
что 101"" ^ — < Ю1'. Поэтому, полагая п = — , будемъ им^ть
a l a j
по условш
_ W
п п
L aJ La J La
гдъ 0 ^ q <] 1, откуда lim (ап — а) = 0, lim яи = а.
IX (къ § 153).
1anbn
Число д„-|-1 =—-Tj- называется среднимъ гармоническимъ
чиселъ а„ и Ьп- Изъ тождества
(я 4- 6J- (a - bf = Aab
слЪдуютъ неравенства
J-anbn , у'аПГ пп+1>п ъ
Замечая еще, что
имЪемъ an+.i<C\^ ab <Z bn+i, откуда и видно, что lim ап+\ =
Соотношен1е между an-\-i, dn и bn можно писать также въ
слЪдующихъ видахъ:
2 _ J_ J_ an__ an ~ ап+1
Рядъ 1 + I + т + • • • + i,; + ¦ ¦ • > съ которымъ впослъдств4и бу-
будемъ часто встръчаться, называется гармоническимъ, потому что
каждый его членъ равенъ среднему гармоническому двухъ смежныхъ
съ нимъ членовъ.
X (къ § 154).
Общее выражеше для ап
„ - ?+2*
{_ ц-
3 ¦ 2»-2
можно пров%рить способомъ полной индукцш. При и = 2 и и = 3
' ка
15*
оно непосредственно повъряется и даетъ а2 = Ь, я3 = "~~9~~' какъ
228 прим-ьчанш ко п-ой книг-ь.
и должно быть. Остается показать, что если оно вЪрно для указа-
указателей п—1 и и, то оно будетъ в-Ьрно и для указателя п-\-\,
если
an+l = i (ап + ап+1).
Эту легкую выкладку мы предоставляемъ самому читателю. Инте-
Интереснее показать, какъ эта формула можетъ быть выведена изъ за-
закона составлешя чиселъ нашей посл-Ьдовательности, т. е. изъ урав-
нешя
A) а„+г = i K+i
Для этого зам"вчаемъ сперва, что
творяютъ значешя ап=\, и а„ =
Для этого зам"вчаемъ сперва, что уравнешю A) очевидно, удовле-
(-1)"
2й
Зат-Ьмъ легко показать, что ему удовлетворяетъ и выражеше
B)
T
rflt Cy и С2 отъ b не зависятъ и могутъ быть поэтому опреде-
определены по частнымъ значен1ямъ числа п. Полагая п=\, найдемъ (а^=а)
C) а = С] - ^,
а полагая /г = 2, получимъ (а2 = Ь)
D) Ъ = С\ + ^.
уравнен1я C) и D) относительно С, и С2 и подставляя въ B),
мы и найдемъ общее выражеже
я»- ci +l '' 3-2» 2
Уравнен1е A) есть частный случай такъ называемыхъ линейныхъ
уравнен1й въ конечныхъ разностяхъ съ постоянными коэф-
фиц1ентами. Изложенное нами ръшеше есть приложен1е общаго
способа ръшешя такихъ уравнен!й (См. А. Марковъ „Исчислеше
конечныхъ разностей". Издаше „Mathesis" 1910 г. Гл. VI).
XI (къ § 169).
Французсшй терминъ „ансамбль" (ensemble), принятый нами
для перевода нъмецкаго „Menge", употребляется и другими авто-
авторами (см. напримъръ Б. Букр-Ьевъ „Введен!е въ Teopiro рядовъ".
Юевъ. 1906). Некоторые авторы переводятъ то же слово терминомъ
прим-ьчанш ко п-ой книг-ь. 229
„множество", подходящимъ ближе къ немецкому, но мен-fee опре-
д-Ьлительнымъ и имЪющимъ на русскомъ язык-fe и другой смыслъ.
Задать ансамбль чиселъ значитъ указать признакъ, позволяющШ
судить, принадлежитъ ли данное число къ данному ансамблю или
нътъ. ПримЪровъ различныхъ ансамблей читатель найдетъ достаточно
въ самой книгЪ.
XII (къ § 170).
СлЪдуетъ заметить и другую формулировку опредЪлешя ниж-
нижней и верхней границы ансамбля, мен-fee краткую, чЪмъ данная въ
§ 170, но бол-fee удобную для приложешй и потому принятую
большинствомъ авторовъ. Нижняя граница ансамбля есть
число Я, обладающее следующими свойствами:
1° Въ ансамбли нЪтъ ни одного числа, меньшаго Я-
2°. Какъ бы мало ни было положительное число е>
въ ансамбл-fe есть по крайней м-fep-fe одно число, мень-
меньшее Я -\- е.
Верхняя граница ансамбля есть число fx, обладающее
следующими свойствами:
1°. Въ ансамблЪ нЪтъ ни одного числа большаго [л.
2°. Какъ бы мало ни было положительное число е, въ
ансамбл-fe есть по крайней м-fept одно число, большее fx — e.
ОпредЪлешя эти равносильны прежнимъ. Покажемъ это для нижней
границы X. Первое свойство выражает ь, что X есть число, не пре-
превосходящее ни одного изъ чиселъ ансамбля. Второе показываетъ,
что Я есть наибольшее изъ такихъ чиселъ, потому что какъ бы
мало мы ни увеличили Я, тотчасъ получаемъ число Я + е уже пре-
превосходящее по крайней Mtpt одно изъ чиселъ ансамбля.
Подобнымъ же образомъ убъждаемся въ совпаденш преж-
няго и новаго опредЪленш [л.
XIII (къ § 178).
Слишкомъ сжатое изложете въ этомъ § дЪлаетъ не лишними
слЪдуюшдя разъяснешя.
1) Чтобы доказать, что числа Я0 = НтЯи и (м0 = Нт(м„ совпа-
даютъ съ наименьшимъ и наиболыиимъ изъ предътювъ данной по-
сл^овательности, разсудимъ слъдующимъ образомъ.
Возьмемъ по произволу сколь угодно малое положительное
число е и разсмотримъ окрестность числа Яо, т. е. интервалъ
(Яо — е, Я0 + б)- Мы покажемъ, что въ немъ находится безконечно
большое число чиселъ данной последовательности
A) я1( я2, а3, ... ап, ап+,...,
230 ПРИМЪЧАНШ КО П-ОЙ КНИГ-Ь.
т. е., что Яо есть одинъ изъ ея предЪловъ (точекъ сгущешя). Для
этого зам-Ьчаемъ, что въ этотъ интервалъ попадутъ всё числа
начиная съ некотораго места и притомъ именно слева отъ Яо, т. е.
въ интервалъ (Яо—е, Яо), такъ какъ Яо есть НтЯ„ и все Я„, Я„-|-ь •••
меньше Яо. Съ другой стороны, справа отъ каждаго изъ этихъ
чиселъ, т. е. въ каждомъ изъ интерваловъ
(Яи, Ап + б), {Xn+V Яя+1 + е) ...,
будетъ по крайней мере одинъ изъ членовъ нашей последователь-
последовательности, потому что Я», Я„_|_1, ... нижжя границы частей ея. (См. при-
мечаше XII). Bet, эти интервалы на основанш сказаннаго о поло-
женш чиселъ Яи, Я„_|_1, ..., очевидно будутъ заключаться въ интер-
вал^ (Яо — е, Я0-)-б), въ которомъ такимъ образомъ и окажется
безчисленное множество чиселъ последовательности A).
- e In Xq ап' Я
Фиг. I.
{п' > и).
Совершенно аналогичнымъ путемъ доказывается, что ц0 одинъ изъ
предътювъ данной последовательности. Остается показать, что Я„
наименьш1й, a fx0 наибольшШ изъ пределовъ. Это почти очевидно;
допустимъ, напримъръ, что существуетъ предълъ Я0'<Я0. Мы
всегда можемъ дать числу п достаточно большое значеше, чтобы Я»
было ближе къ Яо, ч^мъ Яо', т. е., чтобы Яо' <СЯМ ^ Яо, а такое ра-
равенство невозможно, такъ какъ Хо' попало бы въ интервалъ
(Я, Яя), въ которомъ находится только конечное число первыхъ п
членовъ нашей последовательности и Яо' пределомъ ея быть не
можетъ.
2) Для доказательства свойства а)« § 178 возьмемъ какое
угодно число а<^к0, выберемъ положительное число е<^Я0 — а
и п достаточно большимъ, чтобы было Яо — Яя<Се1 т- е-
Яо — Х„<^Х0 — а, откуда Я„^>а и все числа A), начиная съ я„_|_1,
будучи больше Яя, будутъ и подавно больше а. Такимъ же обра-
образомъ доказывается, что все числа A), начиная съ некотораго места,
будутъ меньше /3, если @ >(и0.
3) Чтобы доказать свойство Ь) § 178, беремъ какое нибудь
число у между Яо и fx0, т. е. такъ, чтобы было Я0<^у <[ (л0, и вы-
выберемъ е <Су — Яо. Такъ какъ Яи нижняя граница части
B) °п+1> ап+2' ап+3> ¦¦¦
нашей последовательности, то между числами B) найдется, по край-
крайней мере, одно ап> {n"j>n), лежащее въ интервале (Я„, Я„ + е)
(см. XII). Тогда имеемъ ап> <Я„ + ?<ЯЯ + 7 — Яо ^ у, потому
прим-ьчашя ко н-ой книге. 231
что л„^Я0. Такимъ же образомъ, взявъ е < /i0—у, докажемъ, что
въ последовательности B) найдется число а„" [п" > п), большее у,
каково бы ни было п.
XIV (къ § 183).
а
Если ап и Ьп возрастаютъ безпредъльно, a lim -=- = 1, то
п
говорятъ, что ап возрастаетъ, какъ Ъп. Услов1е это, очевидно, бу-
детъ выполнено, если а„ — Ъп остается конечнымъ, что и показы-
показывается въ § 183 для Нп и log п. Выражен1е „log n возрастаетъ
весьма медленно, сравнительно съ п" напоминаетъ доказанное въ
§ 161 равенство lim —— = 0. Можно также сказать, что log и
М=зо П
возрастаетъ безконечно медленн-fee, чЪмъ всякая степень nq, какъ
бы малъ ни былъ показатель q ~^> 0, потому что тамъ же доказано,
что lim- —= 0, т. е. что для всЪхъ достаточно большихъ зна-
nq
чен1й п log n<^e. nq, при сколь угодно маломъ положительномъ в
и сколь угодно маломъ положительномъ q.
XV (къ § 183).
Можно, не отсылая читателя впередъ, весьма просто доказать
это неравенство. Оно очевидно будетъ вытекать изъ неравенства
при помощи логариемировамя, а неравенство A) будетъ доказано,
если замътимъ, что lim (l ) = е (§ 156) и покажемъ,
чтоП ) постоянно убываетъ при возрастали п, т. е. что
'\ _.
«+1
или
при взякомъ ц'Ьломъ положительномъ п. Д-Ьйствительно, тогда
/ 1 \—п
число II ] стремится къ своему пределу е, постоянно убывая,
следовательно, остается всегда большимъ е, какъ и требуетъ фор-
формула A). Поэтому, все сводится къ доказательству B), а это до-
достигается весьма просто при помощи извъттнаго тождества (формулы
Безу)
я»+1 __ 6»+i = (а _ Ь) (ап + я"-16+ ... -f ab"-1 + Ьп).
232 прим-ьчашя ко н-ой книг-ь.
Если а > Ь > 0, то отсюда получимъ
C) аи+1 - bn+l > (а - Ь) (я + 1) Ь".
Полагая а = \ ,—г, 6 = 1 , а — b = —-.—г-тт, находимъ
п +1 » и (« -(- 1)'
(l - 41Г1-
или
[ «+1/ V «/ I «/ " «
откуда
/ 1 \я+1 / 1 \и
1 ,-г) - 1 - — >0,
что и доказываетъ неравенство B).
XVI (къ § 186).
Основная формула этого § получается изъ формулы § 159
1
при ап = а = г. •
Выводъ разложешя log (I -f- .v) изъ разложен!я C), въ кото-
ромъ х предполагается числомъ положительнымъ и меньшимъ 1,
можно сделать сл'Ьдующимъ образомъ. Въ формулт,
(За) - log(l - -v) = lim [у + х~ _... + -— |
п = 2т или 2т + 1; въ обоихъ случаяхъ " = т . Замъняя
здЪсь д' на х2 и п на т, получимъ
- log A - х°-) = hm^ I— + -2 + ... + -
Вычитая это равенство изъ (За) при п = 2т и при и = 2/w -f- 1,
замечая, что при всякомъ k
2? A 2k
мы и находимъ
4- ,-) = hm ^ - у +-3- - т + ... _ _
прим-ьчашя ко п-ой. книг-ь. 233
или
д.2 д-3
D)
Стропи выводъ этихъ разложенШ, не основанный на недоказанномъ
еще здЪсь обобщенш формулы бинома Ньютона, будетъ данъ
въ § 332.
XVII (къ § 188).
Если р равно числу цифръ въ п, то п ^ \0р~1,
— < .; при п = оо и й = ао и lim -
При /> = [ |/и ] = j/^ — Qn, гд-fe 0 == ри
О <" — < .; при п = оо и й = ао и lim -- = lim = 0.
Зам-Ьчан1е а) § 188 очень важно, показывая, что неравенство § 187
можетъ выполняться въ безчисленномъ множеств^ случаевъ для рас-
ходящагося ряда, но оно не опровергаетъ общаго признака сходимости,
потому что, сколько бы случаевъ мы ни испытали, нельзя ручаться,
что не найдется такой, когда yoioeie § 187 не будетъ удовле-
удовлетворено.
Для гармоническаго ряда, напр., при р = п получимъ
и расходимость ряда обнаруживается.
XVIII (къ § 210).
При ап = и log и, имъемъ
ап —^- - яя+1 = и log и —— - (« + 1) log (н + 1)
= п log я —" (я + 1) log A + -) + log я
ии4-1 I \ »/ J
и
lim [^(и + 1) log(l + i-)] = lira log (l + ^-)"+l = 1.
234 ПРИМЪЧАШЯ КО П-ОЙ КНИГЪ.
XIX (къ § 211, а).
Обозначая разсматриваемыя здъсь выражешя черезъ аи а2, а3, ...
и полагая \ogpn = log log ... log n, ... имъемъ ах = 1, и
p разъ
(ap — l)log^__i n, при всякомъ />>1.
Отсюда и видно, что если lim ар = I s 1, то lim ap_|_i = + оо ;
а если lim ap+i = /zl, то ap—l = -.—^— стремится къ 0, и
lim Op = 1.
XX (къ § 211, с).
1) Прежде всего замътимъ, что сказанное здъсь не опровер-
гаетъ § 210, потому что изъ сказаннаго тамъ можно вывести лишь
такое заключение: рядъ будетъ расходящимся, если отношеше——
остается больше 1, для всъ^ъ значен1й п, начиная съ н-Ькото-
раго мъста; а зд^сь оно колеблется между 0 и оо.
2) Сходимость ряда a + /З2 + «8 + ^ + • • • ПРИ « и ft <C 1 >
сдълается очевидною, если замътимъ, что S%m и Sim+x равны сум-
мамъ опредът1еннаго числа членовъ двухъ убывающихъ геометричес-
кихъ прогрессШ, и o6t стремятся къ предълу _^ 2 + _ „3 при
возрастан1и m до оо.
3) Интересное замъчаше г.г. Lerch и Weyr, помещенное въ
мало доступномъ испанскомъ журналъ, требуетъ нtкoтopыxъ по-
яснешй. Покажемъ, какъ именно надо группировать члены даннаго
сходящегося ряда
A) и1 + щ + щ+ •••
съ положительными членами, чтобы получить рядъ
B) v1 + v2 + v3+---
удовлетворяющая поставленному услов1ю.
при всякомъ значенш п.
Замъчаемъ прежде всего что S > Sn при всякомъ п, потому
что всъ члены ряда A) положительны.
Затъмъ опред'Ьляемъ такое значен1е vi, чтобы было
что всегда возможно, какъ было уже объяснено, и положимъ vt =SVl =
прим-ьчАнга ко п-ой книг-ь. 235
Загёмъ, не мЪняя vx, опредътшмъ такое значеше v2, чтобы было
что также возможно, потому что предълъ лъвой части при v2 = со
равенъ
k(S-SVl) >0,
а пред-Ьлъ правой нуль. Положимъ
V2 = SVl+Vl - SVt = («»,+¦! + "Kl+2 + •• ' + «»l+v»)-
Зат-Ьмъ, не м-Ьняя v, и v2, опред"Ьляемъ v3 такъ, чтобы было
что, конечно, также возможно, и полагаемъ
Процессъ понятенъ; въ peзyльтaтt получается рядъ г/,, г/а, v3» • ¦ • >
удовлетворяющ1й требуемому услов1ю при всякомъ и, начиная
СЪ й = 1.
4) Въ
достаточно сгруппировать члены попарно, чтобы получить рядъ
въ которомъ отношеше стремится къ предътту, меньшему 1.
Полагая vt = а + /2г, у2 = а3 + /?4, ... vm = а?™-1 + /З2"
им'Ьемъ
/а\2т+1
Vm+1 ^l ?+* [)
. $-»> /я
и при 0<о</3<1, lira-^±i =/3'<1.
XXI (къ § 218, f).
Правило Раабе даетъ
236 ПРИМ-ЬЧАНШ КО II-ОЙ КНИГЬ.
/ Мп \
при чемъ п I 1 j приближается къ этому пределу, оставаясь
меньше его. Далее,
«X
Отсюда v = е ¦ е 2 3 = е\\ ~ т; + -?г\ и
L l 6 \
v — е 1 ... „
= —т + е , гд* lim s — 0.
ех 2 х 3^=0
Следовательно, lim п (—-— 11 = р — -^, и т. д.
XXII (къ § 222).
Суммироваше бином!альнаго ряда для случая хит какихъ
угодно, вещественныхъ или мнимыхъ, составляетъ предметъ клас-
сическаго мемуара Абеля „Recherches sur la serie
въ первомъ томе собрания его сочиненШ, къ которому мы и отсы-
лаемъ читателя. Изсаедован1я Абеля для вещественнаго показателя т
читатель найдетъ также у Вебера и Вельштейна, стр. 473 — 487.
XXIII (къ § 223).
Если ах — приближенное значеше числа я, и
а = аг + в = Я1 (l + —),
то е — называютъ абсолютною, а относительною погрешностью
при замене а на д,.
XXIV (къ § 226).
Въ самомъ деле, тогда вправо отъ uv въ новомъ ряде не
будетъ ни одного изъ членовъ щ, щ, ... uv даннаго ряда, а будутъ
только те, о которыхъ уже известно, что абсолютныя ихъ вели-
величины меньше е.
ПРИМЪЧАНШ КО II-ОЙ КНИГ-Б.
XXV (къ § 230).
237
Свойство сходящагося ряда сохранять сходимость при зам-Ьн-Ь
его членовъ ихъ абсолютными величинами часто принимаютъ за
опредЪлен1е абсолютно сходящагося ряда. (См., напр., Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 446). Зд-Ьсь дано другое опред"влеше (§ 224),
а потому вышеуказанное свойство нужно доказать, что и делается
въ § 230.
XXVI (къ § 233, а).
Для даннаго ряда сумма S3n равна
т. е.,
i! | |
3 + 4 "^ 5 6^ "r3w-2"r3«-l Зи'
5з« = Щ» ~ 5 Нп = log Зи - | log п + 1 С + в,
откуда
С Эйлерова постоянная, и lim q = 0 (см. A) § 183), или
S3n = 1 log « + i С + log 3 + е,
S3
,. Г S3n 1 .
hm —: = 1.
,1=ooUlog«J
XXVII (къ § 242).
Наприм-връ:
«24 = 524 — [ -5
a23
au !
an
Я13 = -^13 ~
= «11 + «12 + «13 i - I «11 + «12 i •
XXVIII (къ § 243).
Полагая п = km, nrfe 0 <^ k <C.l, найдемъ, что для всЬхъ зна-
чен1й тип, сумма Sinn, а сл^овательно, и lim Smn = ,\\ , , J •
Распоряжаясь числомъ ?, можемъ получить для этого пред-вла без-
численное множество значешй, но Bet эти значен1я не превосхо-
дятъ наибольшаго значен1я данной дроби, котораго она достигаетъ
при k = 2 — 1^3, и которое равно —— = —==. Общ1й способъ
6/3 /10»
разыскан1я наибольшихъ и наименьшихъ значен1й функщи будетъ
238 ПРИМЪЧАНШ КО П-ОЙ КНИГЪ.
изложенъ въ Ш-ей книгъ, но читателю легко провърить указанный
выше результатъ сл-Ьдующимъ путемъ. Обозначая черезъ h про-
произвольное положительное или отрицательное число, обусловленное
только гЬмъ, чтобы k -4- h заключалось между 0 и 1, такъ что
h < 1, положимъ f(k) = -г. , 3 и составимъ
+BW + Cht
y гд*
А = A + kf [A - 2А) A 4- *) - 3(А - #)],
Б = _A + ^) [A.4- >&J + 3^A -k)],C= -k(\ -k).
При ? = 2-1/3", ^4 = 0, 5<0, С<0, |Д|>|С|, и
... , ,. .... h2(B + Ch)
fik + h) -/(*) = ^-^t-^ < о,
для всЬхъ значен!й А, удовлетворяющихъ условш | h ; < 1. Отсюда
и видно, что при k = 2 — У~3, f(k) >f(k 4- Л) при А ^ 0 и | h I < 1.
XXIX (къ § 247, d).
'"[г
1-х2 1 — х'-'
Х2 ~3
откуда и видно, что при 0 < л* < 1, Rn<^x"S.
XXX (къ § 247, е).
Если а есть д-Ьлитель числа п, то, очевидно, и — есть дЪли-
тель числа п, и если а-сГ]/^, то — >|/и. Если п не полный
квадратъ, то каждому делителю, меньшему ~\/~п, соотв-Ьтствуетъ
одинъ делитель, больш1й ~\/~п, и число тЪхъ и другихъ дътштелей
равно \Ь{п). Если п полный квадратъ, то еще есть дълитель, рав-
равный У~п, поэтому въ посл-Ьднемъ случай число дът!ителей, не боль-
шихъ \fn, равно —~—•
книт третья
книга третья.
Teopifl функц1й.
ФУНКи1И ОТЪ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Основныя понятчя.
253. Переменная х называется независимою, если ей можно
приписывать любое значете. При этомъ можетъ случиться, что ея
изменяемости поставлены нЪкоторыя границы, можно, напримеръ,
требовать, чтобы переменная постоянно оставалась въ некоторомъ
интервале (§ 169) или принадлежала некоторому ансамблю лишь
бы при этомъ не принимались во внимаше значетя, принимае-
мыя другими переменными. Въ противоположность jTOMy функшею
называется всякая такая переменная у, которая связана съ незави-
независимою переменною такимъ образомъ, что всякому значетю х соот-
ветствуетъ одно и только одно значете у. Эту зависимость выра-
жаютъ темъ, что пишутъ у = f(x), где символъ f можетъ изобра-
изображать совокупность различныхъ операщй, которыя надо выполнить
надъ числомъ х, чтобы результатъ ихъ давалъ значете у. Вообще
же этотъ символъ выражаетъ только то, что между переменными
установлена некоторая зависимость, не предполагая возможности
выполнешя действий, посредствомъ которыхъ выводится значете у
по данному значетю х. Если соответств1е между х и у взаимно-
взаимнооднозначно, т. е. если каждому значенш у соответствуем одно
и только одно значете х, то можно разсматривать у, какъ незави-
независимую переменную и тогда х = g(y), т. е. х есть некоторая функ-
щя отъ у. При этомъ функщи (или зависимости), изображаемыя
символами f n g, называются взаимно-обратными. Представляя
себе, чтобы яснее видеть въ чемъ тутъ дело, обе функщи, отне-
отнесенными къ одной и той же независимой переменной t, можемъ ска-
сказать, на основанш определетя функцш f(t) и g{t), что f[g(.f)]
и g[f(()] приводятся тождественно къ t (I).
16
242 III, 1. функши отъ одной перем-ьнной. § 254
254. Примеры, а) Простейшая изъ функшй отъ х есть та, которая
определяется требовашемъ сохранять одно и то же значеше, каково бы ни
было значеше х, напримеръ, у = 1 *). Полагая у — х, у = х-, или вообще—у
равнымъ целому полиному относительно х, мы этимъ опред'Ьляемъ различныя
функщи х, которыми подробно займемся въ пятой книге. Еще общн-fee сим-
волъ / можетъ обозначать совокупность извЪстнаго числа основныхъ алге-
браическихъ операщи, т. е. сложенШ, вычитанШ, умножешй, дЪленШ, возвы-
щешй въ степевь и извлеченШ корней (Съ цълымъ показателемъ); въ этихъ
случаяхъ функщя /(х) называется алгебраическою. Въ частности, когда
отсутствуетъ последняя изъ названныхъ операщй, функщя называется раци-
рационально ю, и въ этомъ случае,какъ легко убедиться, она будетъ либо ц1з-
лымъ полиномомъ (или целой функцией), либо частнымъ отъ дълен1я
одного полинома на другой 1). (II.)
Ь) Въ тъхъ случаяхъ, когда функщя задана въ виде частнаго отдъ-
лен1я одной функщи на другую: у = —j-х , можно желать, чтобы функщя
была определена во всемъ интервал*, въ которомъ заключается корень
функщи v (х), т. е. такое значеше х, для котораго vW = 0. Съ этою целью
нужно объяснить, какое значеше желаютъ придать функщи для значенШ х,
равныхъ корнямъ функцш у (х). Такъ, напримъръ, функщи
нельзя считать опред*ленными въ такомъ интервал*, въ которомъ лежитъ
значеше х = 0, если не добавить, что каждая изъ нихъ принимаетъ некоторое
данное значеше при .v = 0. Это значен!е, впрочемъ, можно выбирать по про-
произволу. Въ самомъ дъл+j надо заметить, что результаты -J- и J, получаемые
въ правыхъ частяхъ вышеприведенныхъ равенствъ при .v = 0, лишены
всякаго Смысла, потому что въ ариеметикъ или алгебръ никогда не опре-
д-Ьляютъ (ср. §§ 107 и 120) частнаго. не оговоривъ, что дълитель не равенъ
нулю. Конечно, можно было бы приписать этимъ символамъ некоторый
определенный смыслъ, но въ этомъ нЪтъ надобности; это повело бы даже
къ нъкоторымъ неудобствамъ, нарушивъ общность правилъ алгебраическаго
вычислешя. Во всякомъ случае нужно остерегаться говорить, что ? безко-
нечное, а {} неопределенное число, какъ это иногда делаютъ. Это не
имело бы никакого смысла. Въ самомъ деле, выражеше безконечное
число потому не имеетъ смысла, что всякое число само по себе конечно.
Поняпе о безконечности исчерпывается тъмъ, что каково бы ни было
данное число, всегда можно себе представить другое число, большее дан-
наго 2). Иными словами безконечность не есть состоян1е, въ которомъ
находится въ данный моментъ величина (или число, ее измеряющее), а от-
относятся исключительно къ процессу, который претерпъваетъ переменная
величина, не встречающая никакихъ границъ при своемъ возрасташи. Желать
определить, т. е. фиксировать некоторое число, и въ то же время, говорить,
что оно изменяется, принимая сколь угодно болышя значешя, или (въ слу-
случае $) прямо приписать ему всевозможныя значешя, очевидно, нелепо.
*) Такую функщю называютъ постоянною.
х) Для более точныхъ указанШ^см. „Corsojdi analisi algebrica" Ca-
pelli et Garbieri p. 418.
2) Относительно этого пункта см. Cauchy „Sept lecons de physique
generate". Тотъ же взглядъ на безконечность высказываетъ и Лейбницъ, одинъ
изъ основателей исчислешя безконечно малыхъ. См. „Resume du Cours d'Ana-
lyse" par Mansion p. 220.
§ 254 основный понятт. 243
А между гЬмъ эти нелепости и лежатъ въ основе тЬхъ возраженШ, ко-
торыя делались некоторыми критиками противъ исчислешя безконечно
малыхъ.
c) Функщя у = х совпадаетъ съ обратною ей функщею; то же самое
можно сказать о функцш, значеше которой при х = О равно нулю, а при
х ^ 0 равно —, такъ что обе фуккщи обладаютъ свойствомъ удовлетво-
удовлетворять тождеству /[/(а-)] = х. Если хотимъ найти обращеше функцш у = х2,
то прежде всего замечаемъ, что можно разсматривать у, какъ независимую
переменную лишь при условш ограничешя ея значешй интерваломъ @, =с).
Однако, каждому значенш у въ этомъ интервал*, за исключешемъ нижней
ея границы, соотвт>тствуютъ два значетя х, а именно \гу и — ~\гу- Следо-
Следовательно, разыскаше функщи. обратной относительно Р, приводить къ двумъ
функщямъ y~t и — УТ или, пожалуй, къ безчисленному множестзу функ-
шй, если условимся для каждаго значешя / брать то тотъ, то другой изъ его
квадратныхъ корней (Ш).
Для достижешя ясности и определенности при изученш основиыхъ
свойствъ функшй слъдуетъ никогда не отступать отъ определешя функщи,
даннаго въ §223 (т. е. не забывать услов1я однозначности функщи), и по-
потому разсматривать ~\r t и — 1 t, какъ две различныя функщи, не смотря
на то, что въ дальнт>йшихъ математическихъ изсл-Ьдован1яхъ окажется воз-
можнымъ п даже полезнымъ разсматривать ихъ, какъ соединенныя въ одну.
Тогда надо будетъ расширить понят1е о функщи въ томъ направленш, что-
чтобы функщя отъ х могла при каждомъ данномъ значеши отъ х получать не
одно, а два или несколько различныхъ значешй, и даже безчисленное мно-
множество ихъ, подчиненныхъ некоторому определенному закону (IV).
d) Уже изъ элементарной алгебры намъ известна функщя ах (прия>0),
по крайней мере, для ращональныхъ значешй х. Дальше, въ § 270, Ь, мы
увидимъ какимъ образомъ можно распространить ея определение и на ирра-
шональныя значен]я х. Обратная ей функщя есть Log х, т. е. логариемъ числа х
при основанш а. При этомъ последняя функщя, очевидно, определена только
при х > 0. Въ частности функщя, обратная /, есть log x. ДалЪе, въ тригоно-
метрш уже изучаются функщи sin.v, cosx, \gx, ... такъ называемыя
круговыя (или тригонометрически) функщи. Последняя tg^; не опре-
определена для техъ значенШ х, для которыхъ cos х = 0. Хотя часто и пишутъ
^g '— = оо, но это равенство имеетъ лишь условный смыслъ, о которымъ ниже
будетъ речь. Весьма важное значеше имЪютъ функщи, получаемыя отъ
обращешя круговыхъ *). Функщя y = cosx не допускаетъ обращен1я, если
не условимся подъ значешемъ дуги х, косинусъ который равенъ у, пони-
понимать наименьшую положительную дугу (равную нулю при _у = 1), изъ всвхъ
имеющихъ данный косинусъ. а при этомъ условш обратная данной функшя
обозначается знакомъ arc cosy. Подобнымъ же образомъ определяютъ функ-
цш arc s'my и arc tg_v, обратный функшямъ у = sin x и у = igy, условившись,
что данному значен1ю синуса или тангенса, равнаго_у, соотв-втствуетъ наи-
наименьшая по абсолютной величине дуга х, изъ всехъ дугъ, имеющихъ дан-
данный синусъ или тангенсъ. Согласно этимъ определешямъ, всегда имеемъ
—-г- ? arc sinjv g -^ , 0 < arc cosjv < я,
*) Эти функщи называются обратными круговыми. Впрочемъ, на
русскомъ язык* часто круговыя функщи (sin^;, cos*:, ...) называютъ три-
тригонометрическими, а обратныя имъ просто круговыми.
16*
244 Ш, 1. функщи отъ одной перем-ьнной. § 254
Принимая во внимаше еще, что
/ л \ л
cos -" —arc sin у = sin (arc sin у) = у, 0 ss - — arc sin у ? л,
я
всегда можемъ писать — — arc sin у = arc cos у, т. е.
arc sinjv + arc cosy = - •
Читателю легко будетъ самому найти друпя соотношешя между символами
arssin, arc cos, arctg, если онъ постоянно будетъ иметь въ виду те огра-
ничешя, коюрыя содержатся въ самомъ определенш этихъ символовь. Иначе
легко впасть въ ошибки. Чтобы въ этомъ убедиться, достаточно, напримеръ,
заметить, что равносильная одной известной формуле тригонометрш формула
, , , К + V
arc tg и + агс tg v = arc tg
справедлива только при uv < 1. Если же nv > 1, то въ правой части надо
прибавить или отнять число л, смотря по тому, будутъ ли и и v больше О
или и и v меньше 0. (V.)
е) Если условимся приписывать числу у значеше 0, когда х число ращ-
ональное. и значеше 1, когда х число иррацюнальное, то у будетъ функщя
отъ х, очевидно, не допускающая обращешя (т. е. не имеющая обратной).
Тоже самое можно сказать о функцш, определяемой требовашемъ принимать
значеше 1 для вс-Ьхъ положительныхъ значенш х, значеше — 1, для всехъ
отрицательныхъ v и значеше 0 для х = 0. Эта замечательная функщя встре-
встречается часто въ ариометическихъ изследовашяхъ Кронеккера (Kronecker), кото-
который обозначилъ ее знакомь sgn x, читается сигну мъ х. На первый взглядъ
кажется невозможнымъ изобразить ее помощью знаковъ обыкновенныхъ опе-
ращй, а между темъ легко найти различныя ея выражешя, и прежде всего сь
помощью знака операцш lim, состоящей въ переходе къ пределу, въ предпо-
предположены, что некоторое целое число ;/ безпредельно возрастаетъ. Действи-
Действительно, легко видеть, что
пх е"х—е~пх 2
sgn х = lim — ; Sgn x — ijm ; Sgn x = ijm arc tg nx (см.VI)
Впрочемъ, можно и не прибегать къ операши lim. Если условимся припи-
приписать функщи arctg —, которая не определена этою формулою при х = 0,
значеше 0 при х = 0, то легко видеть (см. V), что
sgn х — - (arc tg x + arc tg—
Другая функщя, тесно связанная съ предыдущею, определяется требовашемъ
принимать значеше, равное абсолютному значенш х при всякомъ данномъ
значенш х. Мы ее обозначймъ символомъ | х ,. Ясно, что ' х \ = х sgn x.
Наконецъ, функщя
у = lim sgn sin2 n! ях
ПГ=х> I J
§ 254 основныя понятщ. 245
есть именно та функгая, которую мы определили въ начал* пункта е). Дей-
Действительно, при х рацшнальномъ [х = —\, nix при безпредельномъ
V Ч)
возрастанш н HenpeMtHHO сделается и останется числомъ целымъ, и
_y = sgnO=O, а при х иррацшнальномъ этого никогда не случится,
%vc?n\nx остается большимъ U и у = 1.
f) Повторяемость (Haufigkeit) появлешя цифры 0 между десятич-
десятичными знаками числа х есть интересная функшя отъ х, которую мы всегда
будемъ обозначать символомъ ы (х), когда будемъ иметь случай впослВд-
ствш приводить ее въ качестве примера. Она определяется следующимъ
образомъ: если въ числе первыхъ к десятичныхъ знаковъ числа х заклю-
чается т нулей, и отношеше — при безпредельномъ возрастанш числа п
стремится къ некоторому пределу, то этотъ предЪлъ мы и примемъ за зна-
чеше функщи у, соответствующее данному значение х. Функщя у = ы (х)
не допускаетъ обращен1я, не потому что у нельзя принять за незави-
независимую переменную (какъ въ послъднихъ разсмотрЪнныхъ выше прим'Ьрахъ),
а потому, что каждому данному значенвд у (которое должно, однако, всегда
оставаться съ интервал!; (О, 1) *) соотвЪтствуетъ безчисленное множество
значешй х, и изъ нихъ нельзя изолировать одно определенное, какъ это
было сд*лано въ обратныхъ круговыхъ функщяхъ. Въ самомъ аЬлЬ, поло-
жимъ, что дано по произволу число а и фиксировано положительное
сколь угодно малое число /;. Всегда можно найти такое целое число i>,
чтобы 101' было > j • Обозначимъ, далее, черезъ х' — а то число, которое
получимъ, когда въ числе х — а откинемъ все десятичные знаки, стояние
правее i'-таго. Тогда, очевидно, х — х' < h **), а съ другой стороны
(о (х') = ш (а), потому что добавлеше х' — а къ а изменяетъ только конеч-
конечное число цифръ въ я и на пределъ отношетя — никакого вл1яшя не ока-
зываетъ. Такимъ образомъ, наша функц1я, принявъ некоторое значеше ы (а)
при .v = а, возвращается къ тому же значешю безчисленное множество
разъ въ окрестности любого другого значешя х. Заметимъ, кроме того, что
всегда можно изменять т при возрастанш и до безконечности такъ, что
т
отношеше — ни къ какому пределу не будетъ стремиться, и составить
такое число а, для котораго о (а) не существуетъ. Изъ предыдущихъ со-
ображешй вытекаетъ, что это будетъ им%ть место въ окрестности всякаго
другого значешя х, такъ что во всякомъ интервале, какъ бы малъ онъ ни
былъ, функщя ft) (x) не будетъ определена для безчисленнаго множества
значевШ переменной (VII).
g) Безконечные ряды и произведешя (§ 252) даютъ новые примеры
функщй, Положивъ, напримеръ,
получимъ функщю у, определенную въ интервале (— 1, + 1) за исключе-
. шемъ нижней границы. Въ этомъ интервале, какъ известно (§ 186), функ-
функшя у принимаетъ те же значешя, какъ и другая функщя log A + х), опре-
определенная въ интервале (— 1, со), также за исключешемъ нижней границы.
Уравнеше
F{x) = sin 2 лх -f- h sin Anx -\- },r sin 6лх + • • •
*) Такъ какъ т всегда < п.
**) Потому что x — x' < — .
246 III, 1. функцш отъ Одной перем-ьнной. §§ 254 — 255
опредЪляетъ функцш F{x) для всякаго значешя х (§ 218, i). Полезно за-
заметить, что она можетъ быть выражена черезъ две друпя весьма просты я
функцш [х], т. е. наибольшее целое число, заключающееся въ х*) и sgn x.
Действительно, элементарнымъ путемъ можно показать 1), что
-F(x) = sgn (x - \х\)- 2(х - [х])
или, если угодно,
где д(х) = х — [*•]. Въ частности отсюда выводятъ, что въ интервале @,2л)
за исключен1емъ объихъ границъ, имъетъ место следующая полезная
для насъ формула
sinx + ?sin2* + 3:Sin3x+ ••• =\(л-х). (См. VIII.)
h) Заметишь еще, какъ уже было сказано, что нътъ надобности
уметь выразить у при помощи аналитическихъ символовъ, изображающихъ
некоторый операцш, производимыя надъ независимой переменной х, или
даже только знать, что подобное выражете возможно, чтобы иметь право
утверждать, что у есть функщя отъ х. Достаточно, чтобы задаше каждаго
значен1я х такъ или иначе определяло одно соответствующее значеше у.
Такъ, напримеръ, растворимость какой нибудь соли, упругость и скрытая
теплота водяного пара — функцш температуры. Важнейшая функщя отъ
одной независимой переменной (времени), говоритъ Томсонъ -), для жите-
жителей Ливерпуля, есть, можетъ быть, цена хлопчатой бумаги, хотя и не
удается найти какую нибудь аналитическую зависимость между этою ценою
и временемъ, считаемымъ отъ некотораго даннаго момента. Друпя функцш
времени будутъ: само время, показываемое очень плохими часами, темпера-
температура въ данной точке пространства, или температура, наблюдаемая съ по-
помощью даннаго термометра и выражаемая въ среднемъ и приближенно при
помощи круговыхъ тригонометрическихъ функщй 3). Все эти функщ'и не
обратимы. Какимъ образомъ можно было бы, напримеръ, разсматривать
время, какъ функщю температуры? Но, самая любопытная функщя времени,
безъ сомнешя, есть давлеше воздушнаго столба на барабанную перепонку.
Представимъ себе, напримеръ, что эта функщя построена при помощи слу-
шашя музыкальной шесы, исполняемой большимъ оркестромъ. Какъ бы
сложны, мягки или резки, гармоничны или дисгармоничны ни были про-
производимые звуки, какъ бы они ни наслоялись одинъ на другой, зная эту
функщю, мы могли бы съ точностью воспроизвести слышанные звуки, и по-
получили бы, кроме того, массу показанШ, чуждыхъ действительному BocnpiHTiro
музыкальныхъ тоновъ 4) (IX).
255. Функшя называется конечною въ данномъ интервал^,
если всЬ ея значешя въ этомъ интервал^ составляютъ конечный
ансамбль. Границы этого ансамбля (§ 170) называются грани-
*) Читается антье (entier) отъ х.
х) Pringsheim. Mathematische Annalen, томъ 26, стр. 193. См.
также § 363.
2) W. Thomson. „Conferences scientifiques et allocutions" trad, par
P. Lugol. 1893, стр. 178.
3) Liagre. Calcul des probabilites, стр. 288.
i) W. Thomson. Тамъ же, стр. 178—180.
§§ 255—257 основныя понятш. 247
цами (нижнею и верхнею) функши. Иными словами, нижняя
граница функщи есть число, характеризуемое слЪдуюшимъ двой-
нымъ услов1емъ: 1) оно не превосходить ни одного изъ значенШ
функцш, 2) всякое число, его превосходящее, превзойдетъ и неко-
некоторое значеше функши. Аналогично, верхняя граница функцш есть
число, обладающее следующими свойствами: 1) его не превосхо-
превосходить ни одно изъ значенШ функцш, 2) всякое число, меньшее его,
будетъ меньше н-Ькотораго значешя функцш. Эти границы только
тогда можно называть наименьшимъ и наибольшимъ значе-
шемъ функщи, или иначе минимумомъ и максимумомъ ея, если
функщя, действительно, принимаетъ значешя, равный этимъ грани-
цамъ въ данномъ интервале. Такъ, напримеръ, функщя sin x ко-
конечна во всякомъ интервале и имеетъ въ немъ минимумъ — 1 и мак-
симумъ -\- 1, если интервалъ не меньше 2тс. Функщя q{x)=x—[x]
также конечна во всякомъ интервале, и если интервалъ не меньше
1, то она имеетъ въ немъ наименьшее значеже 0, но не имеетъ
наибольшего, потому что верхняя ея граница 1 не принадлежитъ къ
числу значетй функши при какомъ нибудь значенш х [О :S р (х)<С 1].
Напротивъ того, функщя, равная — при xslO и равная 0 при
п
х = 0, не будетъ конечною въ интервале, въ которомъ лежитъ О,
потому что, какъ бы велико ни было число /, всегда будетъ суще-
существовать въ интервале такое значеше х, при которомъ — будетъ
х
больше / или меньше /. Достаточно взять значеше х "Су- Функ-
Функщя можетъ быть конечною въ одномъ направленш и не конечною
въ другомъ (т. е. иметь нижнюю границу и не иметь верхней, и
наоборотъ). Такъ, напримеръ, функщя, равная квадрату предыду-
предыдущей (т. е. равная — при 12О и равная 0 при х = 0) ни въ ка-
X"
комъ интервале (— а, -\- а) не имеетъ верхней границы, но имеетъ
нижнюю границу -», которая въ то же время есть ея минимумъ.
а 1
Такимъ же образомь функщи ех не конечна въ интервале, заклю-
чающемъ въ себе 0, но имеетъ въ немъ минимумъ.
256. Теорема I. Всякая функц1я, конечная въ данномъ
интервале, имеетъ въ немъ нижнюю и верхнюю границу.
Это есть простое следсше определешя конечности функщи
и известной теоремы (§ 172) о существовали нижней и верхней
границы конечнаго ансамбля.
257. Теорема II. Если функшя конечна въ окрест-
окрестности всехъ чиселъ конечнаго интервала, то она конечна
и въ интервале.
248 III, 1. функщи отъ одной перемънной. §§ 257—258
Мы примЪнимъ для доказательства косвенный пр1емъ, а именно
докажемъ, что если функщя не конечна въ интервале, то найдется
по крайней мЪрЪ одно число этого интервала, въ окрестности ко-
тораго функщя не конечна. Отрицая конечность функщи въ интервале,
мы утверждаемъ возможность найти между значешями, который она
принимаетъ въ интервале по крайней мере, одно ух, превосходящее
любое заданное число /,, а также и значеше у%, превосходящее любое
число /2, большее yi. Такимъ путемъ можно идти безпредЪльно и по-
построить последовательность чиселъ /,, /2, /3, ... постоянно и безпре-
д^льно возрастающую. Значетямъ у{, у2 у3,... функщи соотвътству-
ютъ значешя х\, х2, х3,... независимой переменной, все между
собою различный *), и образуюипя поэтому последовательность,
состоящую изъ безконечно большого числа чиселъ. Такъ какъ все
эти числа принадлежатъ конечному интервалу, то по известной тео-
теореме (§ 174), въ этомъ интервале существуетъ одно или несколько
чиселъ, въ окрестности которыхъ будетъ безчисленное множество
чиселъ этой последовательности (точки сгущешя). Пусть ? одно изъ
такихъ чиселъ. Выбравъ по произволу положительное сколь угодно
малое число h, покажемъ, что въ интервале (|—h, %-\-h) функ-
функщя превзойдетъ любое число /, какъ бы оно велико ни было. Дей-
Действительно, выбравъ v настолько большимъ, чтобы при n^>v
1п было больше /, заметимъ, что въ последовательности av+i> AVf-2,
xv+3, ¦¦¦ непременно въ конце концовъ найдется такое х„, которое
попадетъ въ интервалъ (? — h, |-|- /г)**). Соответствующее ему
значеше Функщи уп, по услов1ю, больше 1„ ]> /; следовательно, въ
окрестности точки ^ функщя у приметъ значен1е, большее любого
числа /, что и надо было доказать.
258. Можно доказать эту теорему и прямымъ путемъ, если не
желаемъ ссылаться на теорему § 174. По условш, функщя конечна
въ окрестности со всеми числами интервала (а, Ь). Въ частности,
ycnoBie, что она конечна вправо отъ а, обозначаетъ, что она
конечна въ интервале (а, х), верхняя граница котораго х до-
достаточно близка къ а. Это будетъ справедливо и для всякаго
числа х'<С_х и ~^>а. Ансамбль всехъ такихъ чиселъ х^Ь, для
которыхъ функщя конечна въ интервале {а, х) имеетъ верхнюю
границу §:=6. Это число § есть наибольшее число этого ан-
ансамбля (т. е. принадлежитъ этому ансамблю). Действительно, взявъ
какое нибудь число ?' <[ ?, достаточно близкое къ ?, и принимая
во внимаше, что функщя конечна влево отъ ? (по условш), заклю-
чаемъ, что она конечна въ интервале (§', |). Съ другой стороны
она конечна въ интервале {а, §'), следовательно, и во всемъ ин-
*) Иначе одному и тому же значенвд х соответствовали бы различ-
различный значешя у, что противоречить установленному здсь определешю
функцш (§ 253).
**) Иначе t не было бы точкою сгущешя.
§§ 258-260 стремленш къ пред-ьлу. 249
тервалЪ (а, §), (т. е. ? принадлежите разсматриваемому ансамблю и
является наибольшимъ числомъ въ немъ). Остается показать, что
? = Ъ. Если бы ? было меньше 6, то взявъ число f ]> ?, доста-
достаточно близкое къ ?, мы получили бы интервалъ (§, §"), въ кото-
ромъ функщя была бы конечна, а следовательно, она была бы ко-
конечна и въ интервале (а, §"), а это противоречить тому, что | есть
наибольшее изъ чиселъ х^Ь, обладающихъ тъмъ свойствомъ, что
функщя конечна въ интервале (а, х). Итакъ, § = Ь.
259. Теорема III. (Первая теорема Вейерштрасса). Если
функц1я конечна въ конечномъ интервале, то въ немъ най-
найдется, по крайней мъръ, одно число, въ окрестности кото-
раго функиля имъ-етъ ту же нижнюю границу, какую она
имЪетъ во всемъ интервале. То же самое относится и къ
верхней границе.
Мы можемъ ограничиться доказательствомъ теоремы для ниж-
нижней границы. Обозначимъ ее черезъ Я. Если она въ то же время
минимумъ функщи, то въ разсматриваемомъ интервал^ найдется,
по крайней Mtpt, одно число g, для котораго Д?) = Я, и ясно, что
и въ окрестности § число Я будетъ минимумомъ функщи. Если Я
не минимумъ, то это показываетъ, что f(x) — Я въ данномъ интер-
валъ- всегда больше 0, но принимаетъ сколь угодно малыя значешя,
откуда слЪдуетъ, что функщя
определена во всемъ интервал^ (я, Ь), но не конечна въ
немъ. Поэтому (§ 257 или 258) въ интервале (а, Ь) существуетъ
такое число ?, въ окрестности котораго <р{х) не конечна, т. е.
какъ бы велико ни было число /, всегда въ сколь угодно маломъ
интервале (?—А, |+/г) найдется число х0, для котораго <р(хо)^>1,
откуда f(x0) <^ Я + —.. Следовательно, Дд'о) меньше числа, которое
больше Я, но отличается отъ Я сколь угодно мало. Итакъ, и въ
интервале (? — k, ?-\-h) Я есть наибольшее изъ чиселъ, не превос-
ходящихъ ни одного значешя функцш J(x) въ этомъ интервале,
иными словами: Я нижняя граница функщи въ окрестности ?.
Стремлеше къ пределу.
260. Когда говорятъ, что независимая переменная х стре-
стремится къ пределу а, то это значитъ (§ 169), что х принимаетъ
все значешя въ окрестности а. Часто полезно бываетъ различать
стремлеше къ а слева или справа, и можно себе представить,
что въ первомъ случае переменная х проходитъ, постоянно воз-
возрастая, целый интервалъ (а — k, а), за исключешемъ верхней гра-
границы, а во второмъ — постоянно убывая, интервалъ (a, a -f- k), за
250 III, 1. функщи отъ одной перем-ьнной. §§ 260-262
исключешемъ нижней границы. Говорить, далЪе, что переменная х
стремится къ безконечности, если при своемъ измънеши она, въ
концъ концовъ, принимаетъ значешя, превосходятся любое данное
число. Этого можно достигнуть, заставляя х проходить цълый ин-
тервалъ (g, сю). Аналогичное опредълеше имеется для х, стремя-
щагося къ — со.
261. Говорятъ, что значешя f{x) справа отъ а стремятся къ
предълу /, если съ приближетемъ х къ а справа, абсолютная вели-
величина разности f(jx)— /, наконецъ, становится и остается меньше
любого положительнаго числа. Подробнее это можно выразить такъ.
Говорятъ, что /(х) справа отъ а имъетъ предълъ I, и пишутъ
если каждому сколь угодно малому положительному числу е соот-
вътствуетъ такое число h^>0, что для всъхъ значенШ х въ интер-
валъ (a, a-\-h), за исключешемъ нижней границы, имъетъ мъсто
неравенство
A) !/(*)-/!<?.
Также говорятъ, что /(х) сл'Ьва отъ а им-ветъ предълъ / и пи-
пишутъ
если каждому числу е > 0 соответствует ь такое число h > 0, что
неравенство A) имъетъ мъсто для всякаго х въ интервалъ {а — h, a),
за исключешемъ верхней границы. Наконецъ, если, какъ это обык-
обыкновенно и бываетъ, существуютъ предълы справа и сл-вва отъ а, и
оба равны /, то пишутъ
Mm f{x) = /.
X—f(.
Только для сокращен1я р-вчи говорятъ, что J(x) имъетъ предълъ /,
при а = я. Подъ этимъ надо понимать, что перемънная х должна
принимать всб значен1я, безконечно близк1я къ а, за исключе-
н1емъ именно самого а. Вообще надо отличать числа f(a + 0)
и Да — 0), т. е. предълы функши fix) при х = а, отъ значе-
значешя fia), действительно получаемаго функц1ей при х = а.
262. Говорятъ далъе, что fix) стремится къ пределу /, при
х безконечномъ, если каждому положительному числу е соотвът-
ствуетъ такое число ?, что неравенство A) будетъ справедливо при
всякомъ значенш х > |.
Говорятъ, что для х, стремящагося къ а справа или слъва *)
*) Или съ приближешемъ х къ а справа или сл-Ьва.
§§ 262—263 СТРЕМЛЕН1Е КЪ ПРЕД-ЬЛУ. 251
f(x) стремится къ эо, и условились писать
iim/l» = ее, Ит/(х) = со,
если всякому сколь угодно большому числу I, соответствуете такое
положительное число h, что въ интервале (а, а-\-к) или (а—h, a),
за исключешемъ границы а, имЪетъ место неравенство f(x) > /.
Аналогично этому определяется стремлете или приближеме къ пре-
пределу — сю. Наконецъ, говорятъ, что при х безконечномъ f(x) стре-
стремится къ безконечности, и условимся писать
если каждому сколь угодно большому числу / соотвътствуетъ такое
число |, что f{x) > / при х > ^. Небольшого размышлешя доста-
достаточно, чтобы убъдиться, что всъ эти опредълен1я построены по
одному и тому же принципу. Здъсь кстати будетъ замътить, что
часто вмъсто того, чтобы говорить, что некоторая функц1я стре-
стремится къ сю, когда х стремится къ а, или, что она стремится къ
предълу /, когда а стремится къ безконечности, говорятъ, что эта
функшя безконечна при х = а, или что она равна / при х без-
безконечномъ. Это совершенно условный способъ выражешя, имъющШ
свои выгоды и не вызываюшдй сомнънШ, если разъ навсегда ясно
установленъ ихъ истинный смыслъ. Сообразно такому способу вы-
ражешя принято писать
/(й) = со ИЛИ /(со) = /.
Вотъ этимъ то способомъ и можно определить, напримъръ, функщю
arctgx (§ 254, d) подобно функцш arc sin x, не исключая значенШ
± т> • Безъ этого равенства въ родъ arctg(+ ао) = + --, или
tg ^ = оо, не имъли бы смысла. Въ послъднемъ случа-fe, впрочемъ,
молча подразумевается еще нечто: въ левой части надо подъ Ц
подразумевать "-„- — 0, потому что
tg (J ± О) = + со.
263. Изъ техъ же соображен1й, которыми раньше пользова-
пользовались, когда шла речь о функщяхъ, зависящихъ отъ переменнаго
числа п, принимающего одни целыя знччешя (число а„ данной по-
последовательности, общШ членъ безконечнаго ряда ип), вытекаютъ
нижеследующ1е результаты. Всякая функщя, принимающая при воз-
растан1и переменнаго таюя значен1я, изъ которыхъ последующее ни-
никогда не меньше предыдущаго, стремится при безконечномъ х къ
252 HI, 1. функцш отъ одной перемънной. §§ 263—264
некоторому конечному или безконечному пределу, потому что та-
такой функщи достаточно сделаться больше нтэкотораго даннаго
числа, чтобы заттзмъ и оставаться больше эгого числа при воз-
растан1и х. Если некоторая функщя всегда заключается между двумя
другими, который съ приближешемъ х къ а стремятся къ общему
пределу /, то и данная функщя стремится къ тому же пределу /.
Если съ приближешемъ х къ а функщя стремится къ некоторому
пределу, отличному отъ нуля, то въ конце концовъ функщя приметъ
и будетъ сохранять знакъ (-(- или —) этого предела. Поэтому функ-
функщя, никогда не перестающая принимать какъ положительныя, такъ и
отрицательныя значешя въ окрестности некотораго даннаго значе-
н1я я, не можетъ стремиться къ пределу, отличному отъ нуля. Если
и, v, w, ... функщи отъ х, и если сь приближешемъ х къ а:
lim и = a, lim v = ,3, lim гс = ¦/,...,
то
lim (и + v -f- w + •••) = « + .?+ У + •••. Hm nvzv ¦¦¦ = ajy
при условш, что число разсматриваемыхъ функщй конеч-
конечное. Пределъ отношен1я и къ v равенъ ., при услов1и, что /?
не равно нулю, но можно кое что сказать и въ техъ случаяхъ,
когда v ни къ какому конечному отличному отъ нуля пределу не
стремится. А именно, если v безпредельно возрастаетъ, при чемъ и
it
остается конечнымъ, то — стремится къ 0, а когда v стремится
къ 0, сохраняя при этомъ знакъ числителя и, и —остается конечнымъ
по абсолютной величине, то — возрастаетъ безпредельно. У насъ
еще средствъ для вычислешя предела частнаго, когда числи-
числитель и знаменатель одновременно стремятся къ нулю, но этимъ
вопросомъ мы ниже займемся.
264. Теорема IV. Для того, чтобы функц1я f{x) стре-
стремилась къ конечному пределу съ приближешемъ х къ а
справа, необходимо и достаточно нижеследующее усло-
Bie: когда задано положительное сколь угодное малое
число s, всегда можно найти такое положительное число /г,
чтобы для всякой пары значен^ х и х", лежащихъ въ ин-
интервале (a, a -f- h), за исключен1емъ нижней границы, удо-
удовлетворялось неравенство
Услов1е необходимо. Именно, если f(x) стремится къ пределу /, съ
приближешемъ х къ а справа, то это значитъ, что при данномъ
сколь угодно маломъ е ]> 0 существуетъ такое число h >> 0, что
§ 264 СТРЕМЛЕН1Е КЪ ПРЕДЕЛУ. 253
для всякаго .г, удовлетворяющего неравенствамъ
а < х s а + й.
Поэтому, если д/ и х" лежатъ въ интервале (a, a-\-h), не совпадая
съ а, то одновременно имЪемъ
-/| <it. \f(x")-l\<ie,
и вместе съ темъ
'f(x') -f(x") < \f{x') - /1 + j / -/(.v") i < e.
Представимъ себе теперь обратно, что при данномъ е > О опредтз-
ленъ такой интервалъ (а, я + /г), въ которомъ, за исключешемъ
нижней границы, всегда
B) \f(x')-f(x")\<ie.
Выберемъ въ эгомъ интервал^ произвольную убывающую последо-
последовательность чиселъ, стремящихся къ пределу а, и разсмотримъ по-
последовательность соотв-втствующихъ значешй функщи. Известно
(§ 137), что изъ второй последовательности всегда можно выделить
такую f{a^), Дя.г), /'(д3),..., которая стремится къ некоторому пре-
пределу. Пределъ этотъ не можетъ быть безконечнымъ, потому что
изъ B) вытекаетъ
/Ы -it </K) <
Поэтому положимъ, что
и возьмемъ п достаточно большимъ, чтобы выполнялось нера-
неравенство
Для всякаго значен1я х въ интервале (а, а -\- /г), за исключен!емъ
нижней границы, имеемъ, вь силу услов1я B),
'/(*)-/(«„)! < Н.
а потому, складывая два последн1я неравенства, получимъ
;/(*) - / I ^ !/(.v) -/(«„) j + ;/(eJ - / | < 6.
Следовательно, / есть пределъ _/(.т) справа отъ а. Съ очевиднымъ
изменешемъ разсужден1я докажемъ также существован!е предела
слева. Далее легко приноровить вышеизложенное доказательство къ
случаю безпредельно возрастающаго х. Нужно только заменить
число h числомъ |, нижнею границею безконечнаго интервала
(?> °°)i въ которомъ выбираются числа х' и х".
254 HI, 1. функщи отъ одной перем-ьнной. § 265
265. При изученш функцШ оказывается также весьма полез-
нымъ ввести въ разсмотр-feHie числа, аналогичный тт^мъ, которыя вве-
введены были раньше въ § 175, и разсматривать ихъ съ той точки зръшя,
которая была указана въ § 178. Ансамбль значений, принимаемыхъ
некоторою конечною функщею /(х) въ интервале (х, х -\- А), за
исключешемъ границы х, им-ветъ нижнюю границу Я. Это Я есть
функшя отъ h, необходимо стремящаяся къ некоторому пределу
Яо, когда h стремится къ 0, потому что, при убыванш /г, Я не мо-
жетъ изменяться иначе, какъ только возрастая "), но остается при
этомъ меньше верхней границы /л. Это число Яо и будетъ то, что
называется наименьшимъ изъ предъ-ловъ функщи /(х). Анало-
Аналогично этому определяется наиболышй изь пределовъ /л0. Оче-
Очевидно, эти пределы, называемые также пределами неопределен-
неопределенности (Unbestimmtheitsgrenzen), зависятъ исключительно отъ х, и
могутъ быть, однако, различны слева и справа отъ него. Функщи,
Я0(д;) и (ло(х), относящаяся, напримеръ, къ правой стороне х, ха-
характеризуются следующими свойствами. Всякому положитель-
положительному е соответствуетъ такое положительное число /г, что
для всякаго значешя х, лежащаго между а и а ~\~ h
Я0(я) - ? < f(x) < ,11ц (a) -f f,
и въ каждомъ сколь угодно маломъ интервале (я, а +h)
существуютъ числа х и х", для которыхъ
?.0{а) + t >/(*¦'). fix") < .«о И - «•
На этомъ основзн1и легко доказать теорему IV, не прибегая къ
лемме § 137. Достаточно заметить следующее: если не существуетъ
единственнаго предела значенШ х справа отъ я, то Я0<^/10, и
задавъ положительное число е <; /л^ — Яо, всегда можно найти числа
х' и х", какъ угодно близюя къ а, и при томъ таюя, что
/{*¦') < | (Я„ + ,и0 - е), f{x") > | (Яо + .(,„ + е) **).
откуда получается \/(х')—J{x").^>s. Поэтому, если для каждой
пары значенШ х' и х" и для всякаго е удовлетворяется услов1е
\f{x') —f(x") \ <С ? въ достаточно маломъ промежутке (а, а -\- h),
то невозможно, чтобы Яо было меньше /л0, такъ что Яо = /л0 и не-
необходимо существуетъ число f(a + 0), равное общему значешю
л0 и /л0 ).
*) Точно говоря, не убывая, потому что если бы въ интервал* (х, л'+^
где Aj < h, нижняя граница функщи была бы /.j < '/., то это л^ было бы ниж-
нижнею границею и въ (л\ .г- + К), поэтому Хх & '/..
**) Ибо i(/0 + ,H0— e) > /.„, а | (/.(, + ,«о+ t) < .«о. и существуетъ
(см. выше) такое х\ что f(x') меньше любого числа, которое > Яо и т. д.
***) Все сказанное здъсь есть простое примънеше соображен1й, изло-
женныхъ въ §§ 176—178, къ ансамблю значешй данной функцш f(x) въ дан-
номъ интервалъ.
266—267 непрерывность. 255
Непрерывность.
266. Непрерывный функцш. Функшя называется непрерыв-
непрерывною при х = а, если пределы, къ которымъ она стремится съ при-
ближешемъ х къ а, совпадаютъ съ частнымъ значешемъ, которое
функщ'я имъетъ для х = а. Итакъ, непрерывность функцш f(x) при
х = а выражается равенствами
f{a + 0)=f{a), /(a-O)=/(ij.
Функщя называется непрерывною въ интервал-fe, если она не-
непрерывна при всякомъ значенш х, лежащемъ въ этомъ интервал^.
Можетъ случиться, что функшя непрерывна только справа или
только слъ-ва отъ а. Это тотъ случай, когда им-Ьетъ мъхто лишь
одно изъ выше приведенныхъ равенствъ. (Либо /(а -+- 0) = /'(а),
либо /(а — 0) =/(а), но не оба вмътгЬ.) Замътимъ, что, употребляя,
наприм'Ьръ, выражеше: функшя непрерывна справа отъ а, мы
принуждены стать въ противоръч1е съ однимъ общимъ опред-Ьле-
шемъ, установленнымъ въ § 169. Поэтому, если мы хотимъ утвер-
утверждать, что функщя непрерывна въ нЪкоторомъ интервал-fe, котораго
нижняя граница есть а, то должны непременно явно это и выска-
высказать (X). Важно заметить, что опредЪлеше непрерывности всецело
заключается въ равенствъ
такъ что возможность переставлять символы у и lim. является ха-
рактеристичнымъ свойствомъ непрерывныхъ функщй.
267. Ясно, что для непрерывныхъ функщй имЪютъ мътто
свойства, аналогичныя т^мъ, которыя были доказаны въ теорш пре-
д-бловъ. Въ частности суммы и произведен1я конечнаго числа
непрерывныхъ функц1й будутъ также непрерывными функ-
Ц1ями. Такъ, наприм-Ьръ, если при н-Ькоторомъ значенш х, функщи
<р(х) и %>(х) непрерывны, то для этого же значен1я непрерывны и
функщи
/ (яг) = <р (*•) + v (-*), g{x) = rp (x) v (х),
потому что |§ 263)
= lim gp (x)-\-\im v (•*) = <P (''m x) + V lИтл;) =f(\imx)
(x) = lim cp (x) • lim у (л-) = q> (lim x) ¦ y> (lim x) = g (lim x).
Частное отъ дЪлешя одной непрерывной функщи на другую также
непрерывно, при условш, что исключаются Bet значен1я х,
для которыхъ делитель обращается въ нуль. Наконецъ, за-
м'Ьтимъ, что непрерывная функц1я отъ непрерывной функ-
256 III, 1. функщи отъ одной перемънной. §§ 267—269
иди отъ х также непрерывна. Въ самомъ дт>лт>, составляя изъ двухъ
непрерывныхъ функщй <р{х) и 1р(х) новую f[x) = <Р h/> 0*0] > имт^емъ
Mm fix) = lim rp [y(x)] = <js [lim yi(x)] = (p [y(iim x)\ =/(lim x),
предполагая, конечно, что значешя функщи ip(x), принимаемый ею
въ интервалахъ, въ которыхъ она непрерывна, попадаютъ въ rb ин-
интервалы, въ которыхъ q>(x) непрерывна. Эти значешя, какъ увидимъ
дальше (§ 276), образуютъ одинъ или несколько интерваловъ, въ
которыхъ ip и должна быть непрерывна.
268. Теорема V. Необходимое и достаточное услов1е
для того, чтобы f(x) была непрерывна справа отъ а, со-
стоитъ въ томъ, чтобы по произвольно заданному, сколь
угодно малому положительному числу е, можно было опре-
определить положительное число h такъ, чтобы неравенство
,/(*')-/Cv") , < f-.
выполнялось для всякой пары значешй х' и х" въ интер-
интервале (а, а -\- ti) *).
Что услов1е бол-fee, ч^мъ достаточно, видно изъ того, что взявъ
х' = а и х" равнымъ любому числу между а и a-\-h, изъ yoiOBin
\/(х") —Да) I <е, имъемъ f(a + 0) =/{а). Обратно, если /(а + 0)
сушествуетъ и равно f\a), то при всякомъ данномъ числ-fe е можно
найти таюя положительныя числа h' и /г", чтобы неравенства
;/(.г-0 -/(*") , < ь, J(x) -/(a) [ < k
удовлетворялись; первое, на основанш теоремы IV, для любой пары
значенШ х' и х" въ интервал-fe (я, а + /г'), за исключешемъ ниж-
нижней границы а, а второе, на основанш опредътгешя предала, для
всякаго х въ интервал-fe (a, a-\-h'r). Поэтому, обозначая черезъ h
наименьшее изъ чиселъ ti и //", и сопоставляя оба предыдущая
неравенства, находимъ, что для всякой пары значенШ х и х"
въ интервал^ {а, а -\- It)
Очевидно, что такую же теорему можно высказать и подобнымъ же
образомъ доказать для лъъой стороны отъ а. Разсматривая, дал^е,
одновременно правую и лЪвую стороны отъ а, находимъ нижесле-
нижеследующее необходимое и достаточное услов!е для непрерыв-
непрерывности f{x) при х = а: для каждаго положительнаго числа е должно
найтись такое положительное число /г, что f(x') — f(x") ' <^e, для
всякой пары значенШ х и х" въ промежутке (а — /г, а -\- ti).
269. Поняие о непрерывности весьма полезно въ техъ слу-
чаяхъ, когда требуется дополнить (распространить) определеше не-
*) Не исключая а.
§ 269 непрерывность. 257
которой функцш и въ частности тЪхъ, который для рацюнальныхъ
значенШ независимой переменной намъ известны уже изъ элемен-
элементарной алгебры. Если функщя f(_x) такова, что, при произвольно
заданномъ сколь угодно маломъ положительномъ е, около каждаго
значешя х можно назначать такой интервалъ, въ которомъ абсо-
абсолютная величина разности любыхъ двухъ значенШ функщи будетъ
меньше е, то легко распространить опредЪлеше f(x) на ирращо-
нальныя значешя X и при томъ такъ, что получится функщя, не-
непрерывная для всЬхъ (ращональныхъ и иррацюнальныхъ) значенШ
независимой переменной. Съ этой цътп.ю, беремъ какую угодно
последовательность рацюнальныхъ чиселъ я,, ai: аг, ... стремя-
стремящихся къ иррациональному пределу а. Въ смежности съ а беремъ
такой интервалъ, внутри котораго абсолютная величина разности
любыхъ двухъ значенШ функщи меньше е. Въ этотъ интервалъ, въ
конце концовъ, попадаютъ числа нашей последовательности, такъ
что, при достаточно большихъ значешяхъ п и п", будемъ иметь
;/(«„,) -/(в„„)! < е
Следовательно (§ 139), существуетъ некоторый пределъ для f(an)
и этотъ пределъ мы и условимся понимать подъ значе-
н1емъ /(а). Теперь докажемъ, что определенная такимъ обра-
зомъ функщя непрерывна для всякаго рацшнальнаго или
иррац1ональнаго значен1я а независимой переменной. Въ
самомъ деле, когда задано сколь угодно малое число е ]> 0, можно,
по yarcOBiro, найти такое h^>0, чтобы для любой пары рацшналь-
ныхъ значенШ х' и х' въ интервале (а — h, a-\-)i) имели
|/(*')-/(*") К \е.
Ясно, что это неравенство остается справедливымъ и въ томъ
случае, когда одно изъ чиселъ х' или х", напримеръ х, ирра-
щ'онально, лишь бы другое, рацшнальное х" было взято доста-
достаточно близко къ х'', это вытекаетъ изъ установленнаго выше опре-
делешя f(x) при ирращональномъ х'. Отсюда следуетъ, что бу-
дутъ ли х' и х" ращональны или иррацюнальны, лишь бы они ле-
лежали въ интервале (а — h, a-\-h), всегда можно найти pauio-
нальныя числа а и а", для которыхъ
|/(*') "/(«01 < It, \/(х") -/(«")!< *е.
Замечая, что f(x') — f(x") равно сумме трехъ разностей
/(*')-/(«'). /(«')-/(«"), f{a")-f{x"),
изъ которыхъ каждая по абсолютной величине меньше ^е, нахо-
димъ, что \f{x') — Дж")! < е для всякой пары значешй х и х"
17
258 III, 1. функщи отъ одной перемънной. §§ 269—270
въ интервал^ (я — h, a-\-h). Отсюда, по теорем-fe V, и вытекаетъ,
что f(x) непрерывна при х = а.
270. Примеры, а) Весьма легко убедиться, что функщи у = 1,
х, х2, ... Ух, sin х, cos x, ... непрерывны при всякомъ значенш х (для Ух,
конечно, при х > 0). Напримеръ, замечая, что
¦ — а\ I х — а I
Ух + У а У а
_ . х — а х + а
sin х — sin a = 2 sin —-— cos —-— ,
находимъ, что съ приближешемъ х къ а МтУ~х=Уа, lim sin x = sin a,
и для первой, въ случае а = 0, lim |/лГ= 0 справа отъ нуля. Также функ-
шя, определяемая для х ss 0 формулою и равная 1 при х = 0, непре-
непрерывна при всякомъ *•: при л; ~ 0, какъ отношеше двухъ непрерывныхъ
функщи, а при л; = 0, потому что, приближаясь къ нулю, длина дуги х всегда
заключается между sin x и tgA-, следовательно
sin л; sin * , ,,ч
cos л; < < 1, lim = 1 *).
b) Функщя ах при х ращональномъ (и а > 0) известна изъ Алгебры.
Следуя указашямъ § 269, легко обобщить ея определеше для х иррашональ-
наго. Прежде всего припоминаемъ, что при ращональныхъ х' и х" раз-
разность ах — ах можно сделать сколь угодно малою по абсолютной вели-
величине, взявъ разность х' — х" достаточно малою по абсолютной величине.
Действительно, тогда ах~х будетъ какъ угодно близка къ 1, а потому
ах — ах = ах (ах ~х — 1) будетъ какъ угодно мала по абсолютной вели-
величине **). Поэтому, на основанш § 269, всякой последовательности чиселъ
Xj, х2, xs, ..., стремящейся къ иррацюнальному пределу *•, соответствуеть
последовательность чиселъ aXl, ax', ах\..., стремящихся къ некоторому
конечному пределу. Этотъ пределъ мы и обозначаемъ черезъ ах. Легко
показать, что определенная такимъ образомъ функщя сохраняетъ при вся-
всякомъ х известныя свойства функщи ах при х ращональномъ, а именно:
изменяется постоянно въ одномь направленш при возрастанш х, постоянно
и безпредельно возрастая при а > 1, и наоборотъ, стремясь къ нулю, при
а < 1, и удовлетворяетъ условда ах ¦ ах' = ах'х'. Изъ этихъ замечашй сле-
дуетъ, что уравнеше ау = х, опредепяетъ у, какъ функщю отъ х, въ интер-
интервале @, со), за исключешемъ нижней границы, потому что всякому поло-
положительному значенш х соответствуетъ одно и только одно значеше у.
„.г, г, , Sin X Sin X Sin X , Sin X
*) При х > 0, sin x < х < tg x, -— > > -—, т. е. 1 > > cos x.
sin x x tg x x
Hm cos x = 1, откуда lim = 1. Результатъ останется вернымъ Я при х < 0,
а о х
потому что
я=о х
sin (— х) sin х
=
— X X
**) См. Веберъ и Вельштейнъ. Стр. 120.
§ 270 непрерывность. 259
Непрерывность этой функщи _у = Log л; есть прямое сл-Ьдсгае непрерывности
обратной ея функщи ах *).
с) Сд-Ьлаемъ еще приложеше сказаннаго въ § 269, предложивъ ce6t
изъ всЬхъ функщй, обладающихъ свойствомъ
f(x)+f{x')=f(x + x'),
найти гё, которыя будутъ непрерывны. Если х положительное рацюналь-
ное число, и положимъ >
очевидно, будемъ имъть
ное число, и положимъ х = —, гдЪ ряд цЪлыя положительныя числа, то,
обозначая черезъ а число/A). ДалЪе, при х' = 0, имъ-емъ /О) +/@) =/(x),
откуда /@) = 0. При х' = — х, находимъ fyx) = — /(— х); поэтому и при
xss 0 f{x) = ах. Если положимъ теперь, что л; число ирращональное и возь-
мемъ произвольную последовательность чисель (ращональныхъ) хх, х2,х3,...
им"Ьющихъ пред%ломъ х, то по условто непрерывности должны им^ть
/О) =/(lim *-„) = lim/(.vre) = limaxn = ах.
Рекомендуемъ читателю для упражнетя провести аналогичное изсл*дован!е
для функшй, обладающихъ свойствомъ
f(x)-f{x')=f(xx'),
и замъ"гимъ, что кром^Ь непрерывной функц1и *•"*, этому услов1ю удовле-
творяетъ безчисленное множество разрывныхъ функщй, въ томъ числЪ
sgnx.
d) Когда х стремится къ нулю, то всегда остается между
числами
) ( )
ГП / пг— \
гд% п = — , а такъ какъ (§ 159) lim \п\ а — 1) = log я, то
,. ах-\ ,
bm = log a.
Итакъ, прим^ромъ функщи, непрерывной для всЪхъ значен1й х, можетъ,
*) Это заключеше не очевидно, но легко можетъ быть доказано, послЪ
того, какъ будетъ доказана теорема § 276.
**) Такъ какъ /(А) =/ A) +/ AJ + . • ¦ +/A) [р разъ], и т. д.
какъ это слъ\дуетъ изъ услов1я.
17*
260 III, 1. функцш отъ одной перем-ьнной. §§ 270—272
служить также функцдя, определяемая при х й= 0 формулою , и равная
log а при х = 0. Аналогично этому доказываютъ, что
1
lim A + х)х = е,
о
и, следовательно, функщя, равная A-|- х)х при х ^ 0, и равная е при х = 0.
непрерывна при всякомъ х.
271. Разрывный функц!и. Функщя называется разрывною
при данномъ значенш х, если она при этомъ значенш не непре-
непрерывна, а разрывною въ интервал^, если она разрывна, по крайней
мъръ, при одномъ значенш х въ этомъ интервалъ. Разрывъ можетъ
являться съ обЪихъ сторонъ х = а или только съ одной, и во вся-
всякомъ случа-fe разрывы съ разныхъ сторонъ отъ а другъ отъ друга
независимы. Мы можемъ поэтому ограничиться разсмотр-Ьшемъ разры-
вовъ, могущихъ имЪть мъхто справа отъ а, и замътимъ, что функщя
будетъ разрывна, 1) если предЪлъ, къ которому она стремится
справа отъ а, не совпадаетъ съ частнымъ ея значешемъ при х = а,
и 2) если этотъ предътгъ безконечный или вовсе не существуете
Въ первомъ случай разрывъ называется разрывомъ 1-го рода
или обыкновеннымъ, во второмъ —разрывомъ 2-го рода. Суще-
Существенная разница между двумя родами разрывовъ состоитъ въ томъ,
что разрывъ 2-го рода не зависитъ отъ значешя функцш при
х = а, а исключительно отъ того, какимъ образомъ измъняется
функщя въ окрестности а. Иными словами, чтобы указать, имЪетъ
ли f(x) разрывъ 2-го рода справа или сл-Ьва отъ а, нътъ надоб-
надобности знать число /(а); наоборотъ, неизбежно его знать, если хо-
тятъ узнать, имъетъ ли f(x) разрывъ 1-го рода (обыкновенный),
который возможно устранить, по крайней Mtpt, съ одной стороны
отъ а, измънивъ значеше /{а).
272. Примеры, а) Изъ теоремъ, доказанныхъ въ конц-fe § 267, слЪ-
дуетъ, что -- и sin— непрерывны при х з= 0. При х = 0, напротивъ, онЪ
X ОС
имЪютъ разрывъ 2-го рода. Чтобы это установить, не надо знать каюя зна-
чешя даны будутъ этимъ функшямъ при х = 0. Достаточно замЪтитъ для
первой, что — по абсолютной величин^ возрастаетъ безпредЪльно съ при-
ближешемъ х къ нулю, а для второй, что sin — ни къ какому пределу не
стремится съ приближешемъ х къ нулю. Действительно, въ сколь угодно
маломъ интервал* (— h, -\-h) эта функшя принимаете значешя 0, 1, 0, — 1
2
одно за другимъ, всякШ разъ какъ число —, безпредЪльно возрастая по
абсолютной величин*, делается равнымъ целому числу, сравнимому (mod. 4)
съ числами 0, 1, 2, 3. (XI). Иной характеръ имЪетъ функшя, определяемая
формулою xsin — для х as 0: она будетъ непрерывна и при х = 0, если для
§ 272 непрерывность. 261
этого значешя х припишешь ей значеюе 0, или будетъ им*ть разрывъ 1-го
рода (обыкновенный) при х = О, если припишемъ ей для этого значешя д-
значеше, отличное отъ нуля. Чтобы показать, что разрывъ можетъ произойти
съ одной лишь стороны отъ нъкотораго значешя перемънной, разсмотримъ
1
наприм^ръ, функщю, равную нулю при л-= 0, и равную ех при *'5sO. Она не-
непрерывна слъва и разрывна справа отъ 0, потому что ея значешя стремятся
къ предълу 0 или =о, смотря по тому, приближается ли х къ нулю, оставаясь
отрицательнымъ или положительнымъ. Функщя log х, непрерывная при х > О,
неимъющая смысла при х < 0, имъетъ разрывъ справа отъ х = О такого
же рода, какъ фуныя -. То же самое можно сказать о функцш sin log x,
имъющей разрывъ при х — О того же рода, какъ sin —, а для х > 0 непре-
непрерывной, на основанш послъдней теоремы § 267. На томъ же основаши
logsin* непрерывна, пока sin *• не равенъ 0, и разрывна, какъ—, справа
отъ четныхъ и слъва отъ нечетныхъ кратныхъ числа п, какимъ бы обра-
зомъ мы ни опредъляли ея значеше при х, равномъ кратному отъ п. Вс*
вышеупомянутыя функцш и всъ друпя, им*ю1Ш'я въ конечномъ интервал*
конечное число разрывовъ, называютъ вообще непрерывными, чтобы
отличить ихъ отъ тъхъ, которыя им*ютъ въ конечномъ интервал* безко-
нечное число разрывовъ, т. е. отъ безконечно часто разрывныхъ функшй.
Ь) Функщя tg^ вообще непрерывна, a tg — безконечно часто
разрывна. Первая, tg*; какъ частное отъ д-влетя непрерывныхъ функшй
sin .г на cos х, непрерывна, пока cos х ---: 0, и им-ветъ разрывы 2-го рода
въ окрестности каждаго изъ безконечно большого числа корней функщи
cos .v т. е., чиселъ а = "- — пл (п — ц-влое число), потому что
lim tg.r =+=-=, lim tg.v = — со.
x=a -0 х=а-\-0
Того же рода разрывы имъетъ функшя tgf — j (при х---0), для безчислен-
наго множества значен1й .т, какъ угодно близкихъ къ 0 *). Наоборотъ, раз-
/2 \
сматриваемая функщя будетъ непрерывна во всемъ интервал* —, со) за
\ л J
исключешемъ нижней границы и въ интервал* (— со, за исключе-
V п)
н!емъ верхней границы. При х = 0 и въ окрестности этого значешя всегда
будутъ разрывы 2-го рода и, кромъ того, замечается еще нъчто бол-fee
сложное, а именно: разсматриваемая функщя принимаетъ безчисленное
множество разъ любое значеше въ любомъ интервал*, заключающемъ въ
себъ нуль (XII). Зам*чая еще, что въ окрестности -х = 0 наша функщя
д*лается сколь угодно большою по абсолютной величин^, но не остается
таковою, мы не можемъ сказать, что (§ 262) она возрастаетъ до без-
конечности, а можемъ лишь утверждать, что она не будетъ конечною
въ окрестности х = 0.
с) Такое же зам*чаше можно сд*лать, ограничиваясь значешями х
справа отъ нуля, о функшй, равной нулю для всякого рацюнальнаго зна-
*) А именно для вс*хъ значешй вида х = ———:—, гд* т ц*лое
число, сколь угодно большое по абсолютной величин*.
262 III, 1. функщй отъ одной перемънной. § 272
чешя х и равной logx для всякагоиррацюнальнаго значешя х. Эта функщя
имЪетъ, кромъ того, разрывъ 2-го рода при всякомъ значении х > 0.
Она принадлежите къ числу такъ называемыхъ вполн* (total) разрыв-
разрывныхъ функщй, тогда какъ tgf — ] принадлежитъ къ числу пунктирно-
\х I
разрывныхъ функнЛй, потому что, несмотря на безконечное число разры-
вовъ въ любомъ интервал* (,— h, -j- h), въ томъ же интервал* имеется
безконечное множество значешй х, при которыхъ tgl —) непрерывна*).
Таковы дв-fe болышя категории безконечно часто разрывныхъ функщй Ч.
Бол-fee простые примеры вполне разрывныхъ функщй представляютъ: функ-
щя, равная 0 при х рацюнальномъ и 1 при х ирращовальномъ, функщя,
обозначенная черезъ ш(х) въ § 254, f. ДалЪе, если представимъ ce6t функ-
щю, принимающую произвольно заданныя значешя, когда й(д:) = 0, а во
всЬхъ другихъ случаяхъ равную log©(x), то составимъ функщ'ю, которая
не только не непрерывна, но и не конечна въ любомъ интервал^, сколь
угодно маломъ.
d) Функщя \х\, непрерывная справа отъ любого значешя х, имЪетъ
обыкновенный разрывъ слЪва отъ всякаго цЪлаго значен1я х. Действительно,
при х ц-Ьломъ,
\х\ = х, \х + 0] = х, \х - 0] = х — 1.
Функщя — , непрерывная сл^ва отъ всякого положительнаго и отрицатель-
наго значешя х, им-Ьетъ разрывъ 1-го рода справа отъ безчисленнаго мно-
множества значенШ х, какъ угодно близкихъ къ нулнэ, и разрывъ 2-го рода
при х = 0. Функщя, определяемая формулою х -- при х :; 0, и равная 1
при х = 0, будетъ непрерывна при- х = 0, несмотря на то, что въ окрест-
окрестности х = 0 находится безчисленное множество значешй х, справа отъ кото-
которыхъ функщя имЪетъ разрывъ 1-го рода; интервалы, въ которыхъ нахо-
находятся татя значешя, измеряются величиною х и становятся все меньше
и меньше по мърЪ приближешя х къ нулю (XIII).
е) Съ помощью функщи [х\ можно показать, что непрерывная
функцдя отъ разрывной не всегда разрывна. Пусть (р(х> непре-
непрерывная функщя, удовлетворяющая условда q>@) = <рA), какъ напримЬ
s'mnx, х— Y~x и т- Д- Обозначимъ для сокращешя х -- [х] черезъ p()
и разсмотримъ функщю/(*¦) = q>{ц>(х^—непрерывную отъ разрывной. Ясно,
что f(x) можетъ имЪть разрыв!, лишь тамъ, гд* tp(x) его им*етъ, т. е.
сл"Ьва отъ цълыхъ значен1й х. Принимая это во внимаше, замътимъ, что
для этихъ значенШ ipxx) = 0, f(x) = (р@), между гёмъ какъ сл^вз отъ
нихъ имъемъ
V (х - 0) = 1, f{x - 0) = у [V(# - 0)] = <р A) = v @) =/(ж).
Итакъ, f(x) непрерывна. Еще бол^е простой прим^ръ получимъ, взявъ
',' (х) = -,2> ПРИ х == 0- v@) = 0, а за ср{х) такую непрерывную функщю,
*) А именно для ткхъ значен1й х, которыя не им-Ьютъ указанной въ
предыдущей выноскъ формы.
г) Для выяснешя того, что подобныя различая не лишены содержан1я,
а соотв"Ьтствуютъ существенно различнымъ характерамъ изм-Ьнен1я разрыв-
разрывныхъ функщй, отсылаемъ читателя къ соч. Dini, „Fondamenti della teorica
delle funzioni" (н-Ьм. пер. Lilroth и Schepp) p, 62.
272—275 непрерывность. 263
которая при х безконечномъ имъетъ то же значеше, какъ и при х = О, напри-
мъръ ср(х) — е sin х. Хотя ц>(х) имъетъ разрывъ при .? = 0, но f(x) = cp(tp (х))
непрерывна, потому что
/@) = q> [V@)l - q> @), lim/(*) = ср (со) = ср @) .
3=0
f) Функщя
/(*•) = sin л; + ^sin 2x -(--J sin Зх + •••,
вообще непрерывна; она обращается въ 0, когда sin.r = 0, а при всЪхъ
другихъ значен1яхъ х принимаетъ значешя (§ 254, g. См. XIV).
и, следовательно, непрерывна, пока х не равно а, гдЪ и — кратное отъ 2я;.
Въ то же время мы им-Ьемъ
такъ что съ объихъ сторонъ отъ а наша функщя имъетъ обыкновенный
разрывъ. Этотъ примъръ замъчателенъ, потому что показываетъ, что сумма
безконечно большого числа непрерывныхъ функцдй можетъ и не
быть непрерывною. Такъ какъ, кромъ того,
lim (sin x + i sin 2x -\- ¦¦¦) is lim sin x -f » lim sin 2x + ¦ • •,
когда x стремится къ 0, то (§ 263) мы видимъ, что предЬлъ суммы без-
безконечно большого числа слагаемыхъ не всегда равенъ суммъ
предъловъ слагаемыхъ.
273. Теорема VI. Если функщя f(x) непрерывна при
х = а, и /(а) не равно 0, то f(x) въ окрестности а сохра-
няетъ постоянно знакъ числа /(а).
Действительно, въ силу непрерывности, lim f(x) =f(a), т. е.
какъ бы мало ни было число ? > О, всегда найдется такое h ]> О,
что въ интервале {а—к, а-\-/г) \/{х)—f(a) | < е, или иначе
C) /(я)-е </(*)</(«)+е.
Достаточно взять s=\/(a)], чтобы видеть, что f(x) > 0 или
f{x) <С 0, смотря по тому, будетъ ли /(а) ^> 0 или f{a) <C_ 0.
274. Теорема VII. Функщя, непрерывная въ некото-
ромъ интервале, будетъ и конечною въ этомъ интервале.
Действительно, неравенства C) показываютъ, что функщя ко-
конечна въ окрестности всякаго числа въ данномъ интервале, а потому
(теорема II) она конечна въ интервале.
275. Теорема VIII. Если непрерывная въ некоторомъ
интервале функция на границахъ интервала имеетъ значе-
264 III, 1. функцш отъ одной перемънной. §§ 275-277
Hin разныхъ знаковъ, то она обращается въ нуль, по край-
крайней мере, одинъ разъ въ этомъ интервале.
Въ силу теоремы VI, вправо отъ нижней границы а суще-
существуем безчисленное множество такихъ значенШ х, что въ интер-
интервале (а, х) функшя сохраняетъ знакъ числа /{а), напримъръ, знакъ
-(- • Эти значешя х не могутъ быть сколь угодно большими, такъ
какъ, по условш, на другой границе Ъ функщя имъетъ уже отри-
отрицательное значеше. Ансамбль этихъ значенШ х, следовательно, ко-
конечный и имъетъ (§ 172) верхнюю границу |. Такъ какъ слъва отъ
§ функщя положительна, то въ силу той же теоремы VI невозмож-
невозможно, чтобы у(?) было меньше 0. Отсюда прежде всего видно, что
К 6, потому что/F)<0, и поэтому въ интервале (а, Ь) можно
разсматривать и правую сторону отъ ?. Если бы /QQ было больше
0, то вправо отъ | были бы так1я числа х, для которыхъ f{x) > 0
въ интервалъ (§, х), а следовательно, и во всемъ интервалъ (а, х),
т. е. число §— верхняя граница разсматриваемаго ансамбля—оказалось
бы меньше нъкоторыхъ чиселъ этого же ансамбля, что невозможно.
Следовательно, _Д|) = 0.
276. Сл*дств!е. Непрерывная функшя не можетъ пе-
перейти отъ одного значешя къ другому, не переходя че-
резъ все промежуточныя.
Пусть / какое угодно число между /(а) и f(b); разсмотримъ
функщю f{x) — I, очевидно, непрерывную вместе съ f(x) въ интер-
интервале {а, Ь). На границахъ его она принимаетъ значешя f(a) — /и
f(b) — /, по сделанному объ / предположетю, разныхъ знаковъ.
Предыдущая теорема VIII и устанавливаетъ существоваше числа ?
между а и Ь, для котораго /"(?) — / = 0, т. е. /(§) = /. (XV.)
277. Прим'Ёчашя. а) Характеръ поогбднихъ свойствъ гораздо
тоньше, чемъ можетъ показаться съ перваго взгляда. Действительно,
нельзя считать интуитивно ясной невозможность для непрерывной
функцш переходить отъ положительнаго значетя къ отрицатель-
отрицательному или наоборотъ, не обращаясь въ нуль, потому что a priori
понятш о непрерывности не противоречить, напримеръ, предполо-
жеше, что функщя принимаетъ одни только ирращональныя значе-
шя, а тогда, какъ она можетъ принять значеше нуль, которое ра-
щонально. Лишь после того, какъ доказана теорема VIII, можно
утверждать, что такой непрерывной функцш не существуетъ.
Ь) Столь же мало основательно было бы считать, что возмож-
возможность изменить одно значеше на другое, не переходя черезъ про-
промежуточныя, есть существенное свойство разрывныхъ функщй; по-
потому что существуютъ разрывныя функц1и, не могушЛя пе-
переходить отъ одного значен1я къ другому, не переходя
черезъ все промежуточныя. Достаточно было бы привести въ
примъфъ функщю sin—, разрывную при х = 0 (§ 272, а). Когда
,
§ 277 непрерывность. 265
х, убывая, переходитъ отъ положительнаго значешя къ отрицатель-
отрицательному, то sin— непрерывно колеблется между — 1 и -\- 1, не пере-
перескакивая ни черезъ одно изъ иромежуточныхъ значенШ х). Нельзя
. . , /1 \
того же сказать о функцш tg— , которая перескакиваетъ, въ
\х I
окрестности х = О, отъ положительнаго значешя къ отрицательному,
при чемъ оба могутъ быть сколь угодно велики по абсолютной ве-
величине.
с) И вполне разрывная функщя можетъ обладать свойствомъ,
о которомъ здесь говорится. Въ самомъ деле, если возьмемъ любыя
два числа а и Ь, сколь угодно близюя другъ къ другу, то можно
доказать, что функщя со (а) принимаетъ въ интервале (а, Ь) все
значешя между 0 и 1 (каждое безконечное число разъ), а следова-
следовательно, и все значешя между со (я) и со(й), предполагая, конечно,
что эти числа существуютъ. После того, что было сказано объ этой
функщи въ' § 254, f, достаточно будетъ показать, что каково бы
ни было данное между 0 и 1 число /, всегда можно найти такое
А, для котораго со (а) равно /. Построимъ въ интервале @, 1) по-
последовательность чиселъ /,, 1г, /3, ... имеющихъ пределомъ / и
напишемъ х по десятичной системе. При этомъ дадимъ ему произ-
произвольную целую часть, разложимъ десятичные знаки на группы по-
последовательно въ 1, 2, 3, ... цифры и числа каждой группы выбе-
ремъ также по произволу, соблюдая лишь одно yoiOBie, чтобы между
v цифрами v-ой группы было [vlv] нулей. После этого, возмемъ въ
построенномъ такимъ образомъ числе х п первыхъ десятичныхъ
знаковъ и предположимъ, что п попадаетъ въ v-ую группу,
такъ что
п' — v < 11 =g и', гп' — [vlv\ <и й т',
если обозначимъ черезъ т число нулей въ этихъ п знакахъ и
положимъ
п' = 1 + 2 + 3 + •¦• + .-, т' = [/J + [2/21 + [3/31 + ••• + К] .
Теперь заметимъ, что
и' ' п'
и, кроме того, по известной теореме (§ 141)
lim —у — lim —— = lim lv = I.
, ') Друпе прим*ры можно найти въ мемуарЪ G. Darboux въ „Annales
de 1'Ecole norm, sup." B-е serie, t. IV).
266 III, 1. функщи отъ одной перемънной. §§ 277-279
Такъ какъ еще имеемъ
т' — [vlv] m т'
п' ~ п п' — v
то
га (х) = lim -- = lim —г = /.
' п п'
278. Теорема IX. (Вторая теорема Вейерштрасса.) Всякая
функщя, непрерывная въ конечномъ интервале, имеетъ
въ немъ максимумъ и минимумъ.
Теорема VII показываетъ, что функщя, непрерывная въ неко-
торомъ интервале (а, Ь), будетъ въ немъ и конечна. Поэтому, въ
силу теоремы I, существуетъ и нижняя ея граница Я въ интервале
{а, Ь). Покажемъ, что Я есть минимумъ функщи, т. е. принадле-
житъ къ числу значешй, принимаемыхъ функщею въ интервале
(а, Ь). Если бы мы допустили противное, т. е. что f(x) не равно Я
ни при какомъ значещи х въ (а, Ь), то функщя
была бы определена во всемъ интервал^ и, какъ отношеше двухъ
непрерывныхъ функщй, непрерывна. Но она не была бы конечна.
Действительно, какъ бы велико ни было число I, всегда можно
найти такое значеше /(х), которое будетъ меньше любого значе-
шя, большого Я (по определен™ нижней границы) и въ частности
меньше Я -{- —г. Для такого значен1я х, очевидно, д>(х) >/. Но по
той же теорем^ VII мы знаемъ, что н^тъ такой непрерывной въ
данномъ интервале функщи, которая въ немъ не была бы конечна.
Поэтому нельзя допустить, что Я не принадлежите къ числу значе-
нШ /(х) въ интервале (а, Ь), и f(X) есть минимумъ ея въ этомъ
интервале. Аналогично доказывается существоваше максимума. От-
Отсюда заключаемъ, что если некоторая функщя въ данномъ интервале не
достигаетъ своей верхней или нижней границы, то это служить вер-
нымъ признакомъ того, что разсматриваемая функщя разрывна.
279. Теорема X. (Теорема Кантора.) Если функщя /(.г)
непрерывна въ некоторомъ интервале {а, Ь), то, задавъ
сколь угодное малое произвольное положительное число
е, всегда можно найти такое положительное число h, что
колебаще функщи въ любомъ интервале, равномъ h по ве-
величине и заключающемся въ (а, Ь), будетъ меньше е.
Колебан1емъ функщи въ данномъ интервале называютъ раз-
разность между верхнею и нижнею границами ея въ этомъ интервале.
Въ частности колебаше непрерывной функщи въ данномъ интервале
равно избытку максимума ея надъ минимумомъ. Заметивъ это, при-
§ 279 непрерывность. 267
поминаемъ, что въ силу непрерывности функщи, на основанш тео-
теоремы V, мы можемъ любое значеше х въ интервале (а, Ь) заклю-
заключить въ такой интервалъ (х — k, x ~\~ h), чтобы для всякой пары
значенш х' и х'\ лежащихъ въ (х — h, x -\- h), имело место не-
неравенство
D) !/(*')-/(*")! < е,
где е произвольно заданное положительное число. При данномъ ё,
для каждаго значешя х въ (а, Ь) найдется безчисленное множество
значешй числа h, потому что, если одно изъ нихъ найдено, то вся-
всякое положительное число, меньшее найденнаго, тЪмъ бол-fee бу-
будетъ удовлетворять поставленному условда. Но, съ другой стороны,
значешч h, соответствующая даннымъ е и х, не могутъ быть сколь
угодно велики, уже по одному тому, что данный интервалъ (а, Ь), изъ
котораго не долженъ выходить интервалъ (х — h, х -\- /г), предпола-
предполагается конечнымъ. Следовательно, эти значетя h должны иметь
верхнюю границу, и ее то мы и будемъ въ дальнЪйшемъ обозна-
обозначать черезъ h. Такимъ образомъ, при данномъ е, каждому значе-
шю х соотв+зтствуетъ одно определенное значеше h, при ко-
торомъ для всякой пары значенШ х и х", лежащихъ между х — h
и x-\-h, неравенство D) удовлетворяется. Этимъ определяется не-
некоторая функщя h(x), принимающая одни лишь положительныя
значешя во всемъ данномъ интервале, и потому имеющая въ немъ
нижнюю границу Я, которая будетъ больше 0, или, можетъ быть, и
равна 0. Мы покажемъ сейчасъ, что последнее предположеше не-
невозможно. На основанш первой теоремы Вейерштрасса суще-
ствуетъ въ интервале (а, Ь), по крайней мере, одно число ?, въ
окрестности котораго нижняя граница функцш h(x) равна тому же
Я. Положимъ А(?) = ho и разсмотримъ некоторое значеше х, ле-
лежащее въ интервале (? ~, §-|--=-j *). Всякая пара значенШ
х и х", лежащихъ въ интервале (х ~, х-\--°), будетъ лежать
и въ интервале (?— h{j, |-j-A0), а потому для интервала
(х ~ , х Ц- -тР) неравенство D) удовлетворяется. Следова-
тельно, значешя, принимаемыя функщею h (x) въ интервале
~, ^-(--™) не могутъ быть меньше --0 [по самому опреде-
лен1ю /г(л'), какъ верхней границы чиселъ h, для которыхъ нера-
неравенства D) удовлетворяются при х' и х", лежащихъ въ (х — h,
х-\-li)\. Поэтому и ASs-jj-Ao. Следовательно, и во всемъ данномъ
*) Интервалъ f х — ^, х + w \ , очевидно, будетъ заключаться ц-Ьли-
комъ въ интервал* (д — Ло, | -|- /г0).
268 III, 1. функцш отъ одной перем-ьнной. §§ 279—280
интервале (a, b) h{x) никогда не меньше \ho- Отсюда вытекаетъ,
что при данномъ е неравенство D) наверно удовлетворится, каюя бы
два значешя х' и х" въ данномъ интервале {а, Ь) мы ни взяли,
лишь бы было \х' — x"\<C.lh*). Въ заключеше заметимъ, что въ форму-
формулировке теоремы X вместо того, чтобы говорить о безчислен-
номъ множестве разностей \f(x') — f(x") |, соответствующихъ
различнымъ парамъ значешй х и х", говорится только о колеба-
Н1и функцш /(х), т. е. о наибольшей изъ этихъ разностей, потому
что если неравенство D) удовлетворяется для этой наибольшей раз-
разности, то, очевидно, оно удовлетворится и для всЪхъ остальныхъ.
280. Теорему X можно доказать еще иначе, опираясь на вто-
вторую, а не на первую теорему Вейерштрасса. Доказательство можно
начать съ того пункта предыдущего §, где по данному е мы опре-
определили для каждаго х фунщю h(x). Возьмемъ въ интервал*
[х — h(x), х -\- h(x)] любое число х-{-1 к заметимъ, что неравен-
неравенство D) удовлетворится, очевидно, въ любой части этого интервала,
въ частности, въ такой, въ середине которой лежитъ х-\-1, а одна
изъ границъ есть ближайшая къ х +1 граница первоначальнаго
интервала. Отсюда следуетъ, что
//(л- 4- /) > Л (.г) - /, при / > 0,
и h{x + /) 2s h{x) + I, при / < 0. Этого нельзя было бы сказать,
если бы выбрали наиболее удаленную отъ х + / границу. Да-
Далее ясно, что если возьмемъ интервалъ, еще болышй последняго, съ
серединою въ (х -f- /), то неравенство D) не будетъ удовлетво-
удовлетворяться въ такомъ интервале, именно на основанш определешя функ-
ши h(x). Следовательно, 1г(х +1) = ^(Л')~Ь Л ПРИ /^>0 и
h(x -f- /) ^ h(х) — /, при / < 0. Во всехъ случаяхъ имеемъ
i h (x + /) - h {х) | -z \ 11, lim h (x + /) = h (x),
т. е. функшя h(x) непрерывна. По второй теореме Вейерштрасса
она имеетъ минимумъ Я, и Х~^>0, потому что все значешя
h(x)^>0. Теперь уже ясно, что тотъ интервалъ, о которомъ гово-
ритъ теорема Кантора, какъ разъ равенъ 2Я *к).
*) Потому что услов!е \х' — х" \ < h0, очевидно, равносильно услов1ю,
что х' и х" лежатъ въ интервал* (х—^, х + ~тг)' гд* х произвольно
выбранное число въ (я, Ъ).
**) Свойство функцш, непрерывной въ нЪкоторомъ интервал^, выра-
выражаемое теоремою Кантора, называется равномерною непрерывностью
въ этомъ интервал-Ь. Поэтому можно сказать, что функщя, непрерывная въ
интервал* (а, Ь), будетъ въ немъ равномерно непрерывна.
§ 281 РАЗЫСКАН1Е ПРОИЗВОДНЫХЪ. 269
ТЕОР1Я ПРОИЗВОДНЫХЪ.
Разыскан1е производныхъ.
281. Опред1>лен1Я. Когда переменное число z переходить
отъ одного значешя къ другому, то оно испытываетъ приращен!е
(положительное, отрицательное или равное нулю), которое принято
обозначать знакомъ дz. Всякому произвольному приращенш дх не-
независимой переменной х соотвъ-тствуетъ определенное приращеше
ду функщи у = J(x), а именно для даннаго значещя х
ду = fix + h) — f(x), если дх = к.
Отношеше
дх к
называютъ правымъ или л^вымъ отношен!емъ приращен1й,
смотря по тому, будетъ ли h > 0 или h < 0. Если для данной функ-
функщи у это отношеше стремится къ определенному пределу съ ири-
ближешемъ h къ нулю, то этотъ предЪлъ будетъ функщею отъ х,
которую называютъ производного справа или производного
слЪва. Производныя справа и слъ-ва могутъ совпадать, и въ такомъ
случай говорятъ, что функщя у им^етъ единственную производную,
которую обозначаютъ /'(х) или — еще короче —знакомъ у'. Обыкно-
Обыкновенный случай представляютъ именно функщи, имъ-юшдя единствен-
единственную производную. (XVI).
282. Примеры, а) Производная постоянной равна нулю, потому
что. при у постоянномъ, всегда ду = 0, каково бы ни было значеше х. Сле-
Следовательно, j/= 0. Производная независимой переменной равна 1, по-
потому что при у = х, ду = дх. Следовательно, у' = 1.
Ь) Чтобы убедиться, что производныя справа и слева могутъ иметь
различныя значешя при одномъ и томъ же значенш независимой перемен-
переменной, разсмотримъ функцш у =/<х), равную нулю при х = 0, и равную
х arctg — при х 35 0. Такъ какъ
1. g-m^
то будемъ иметь
lim arctg -=- = т,¦, hm arctg T = - - ъ ,
h=+0 s к 2 ,i=_0 s к 2
откуда и видно, что при х — 0 производная справа равна ^, а производная
слева равна — 4-.
270 III, 2. теорш производныхъ. § 282
с) Точно также, для функши, равной 0 при х = 0, и при д;^0,
имеемъ
Смотря по тому, стремится ли h къ 0 справа или слива, eh либо возра-
стаетъ безпред'Ьльно, либо стремится къ 0. Поэтому
lim = 0, lim = 1,
ft=-4-0 — lt=z— 0 _
т. е. при х = 0, наша функщя имЪетъ производную справа, равную нулю,
и производную слева, равную единице.
d) Другой примеръ даетъ намъ (см. § 272, е) функшя <р(х — [х]), въ
томъ предположена, что функщя <р(х) им'Ьетъ при х — 0 производную
справа, равную а, а при х = 1 производную слева, равную /?, и кроме
того, а = г /? и <р(.0) = <р[1). Мы видимъ тотчасъ, что для всякаго цёлаго
значешя х
Следовательно, функщя наша им'Ьетъ для всякаго 1гЬлаго х производную
справа и производную слЪва, не равныя между собою. Можно для примера
взять q>{x) = sin^x, f(x) = sin3t{.r — [x]}, зам'Ьтивъ, что (§ 270, а)
,. sin я;Л — sin 0 . ,. sin (n -4- лК) — sin л
а = lim = = л, ;9 = hm —Ь—!—^ = — л .
е) Но производная можетъ не существовать вовсе или суще-
существовать только съ одной стороны. Наприм'Ьръ, функшя у = ю(х),
опредЪлеше которой (§ 254, f) дополнено такимъ образомъ, что когда ы(х)
не существуетъ, у им'Ьетъ произвольно выбранное значеше между 0 и 1,
вовсе не им'Ьетъ производной ни при какомъ значенш х. Действительно,
когда (§ 277, с) дх стремится къ нулю, у постоянно колеблется между — 1
и -f- 1. такъ что отношеше приращенШ не только ни къ какому пределу не
стремится, а безчисленное множество разъ принимаетъ произвольно заданное
значеше. Такой же характеръ обнаруживаетъ функщя, принимающая зна-
чеще 0 при х рацюнальномъ, и значете 1 при х иррашональномъ, такъ
какъ ду можетъ принимать только значетя 0, 1, — 1. Функщя х — [х]
им'Ьетъ производную, равную 1, для всбхъ значенШ х, не ц-блыхъ, и для
цЪлыхъ значен1й справа, а сл^ва отъ ц^лыхъ значенШ х производной не
им'Ьетъ, потому что при дх = h < 0, ду = 1 + к, и отношеше приращенШ
стремится къ — со. Въ упомянутыхъ зд-Ьсь случаяхъ не существоваше про-
производной исключительно происходитъ отъ разрывности функщй, такъ какъ
производная не можетъ существовать въ м^стЬ разрыва. Действительно,
д у
чтобы отношеше -j=— могло стремиться къ конечному пределу необходимо,
чтобы ду стремилось къ нулю, когда дх стремится къ нулю, т. е., чтобы
функшя jy была непрерывна. Итакъ, непрерывность есть необходимое
i существован1я производной.
§ 282 разысканш производныхъ. 271
i) Однако, непрерывность недостаточна для существовашя про-
производныхъ Наприм^ръ, функщя Ух непрерывна при х = 0, а гЬмъ не мен^Ье
,. УЪ - У о
lim j—1— = оо.
ВпослЪдствш мы иногда будемъ говорить, что производная отъ Ух при а —О
безконечна, но при этомъ, именно въ геометрическихъ приложешяхъ по-
подобное выражеше понимаютъ не въ томъ смысла, что отношен1е прира-
приращен^ им-ветъ безконечный предЪлъ, а въ томъ, что производная,
вычисленная при х > О безпред'Ьльно возрастаете когда х стремится къ 0.
Действительно, при .г > 0 имЪемъ
,. yx~+Ji — Ух ,. 1 1 ,. 1
lim- —, —=lim --, — =——, lim —— = =о
л=о
, lim
2 Ух т=+о у
Ясно, что совершенно другой смыслъ ингветъ утверждеше, что производная
функцш х — [х\ wbBa отъ всякаго ц-Ьлаго значен1я х равна — т (XVII).
Впрочемъ, легко составить непрерывныя функши, у которыхъ отношеше при-
ращен1й ни къ какому конечному или безконечному пределу не стремится.
Такъ, напримъ-ръ, для функши у = х — , непрерывной при х = 0 (§ 272, d),
не существуетъ производной при х = 0, потому что
/@) = 1, f(h) = Л *
i ay /w_-/w = m _ i
J' ддг Л L«J A'
откуда видно, что съ приближешемъ h къ 0, отношен1е приращенШ по-
постоянно колеблется между 0 и -- 1 (исключая — 1).
g) Противъ посл-бдняго примера можно было бы сделать сл-Ьдующее
возражеше: разсматриваемая въ немъ функщя непрерывна при х = 0, но
въ окрестности этого значешя безконечно часто разрывна. Чтобы показать,
что нельзя вообще на такомъ обстоятельств^ основать объяснеше отсутсгая
производной, стоитъ только разсмотрЪть функшю, равную нулю при х = 0,
и х sin — при х 3; 0. Она всюду непрерывна, а при х = 0 производной не
им-Ьетъ, потому что
/@) = О, ДА) = Л ^п у. "¦- = J-^-T^> = siny
у w > ¦/ w h дх h h
и съ приближешемъ h къ 0, sin -.- ни къ какому пределу не стремится.
h) Другой замечательный прим*ръ дастъ разсмотр-ънная выше функ-
шя q>(x — [х]). Положивъ q;(х) = х sin — при х sg 0, и qp(O) = 0, имЪемъ
X
и <рA) = 0, qp'(O) не существуетъ, и кром^Ь того
.... ,. \-\-h . л ,. \-\-h . л!г sinira
(р'{\) = lim—— sin г = lim —— sin т = lim = л.
h=S « 1 + « ;,=о « 1 + " a=O a
Сл-Ьдовательно, непрерывная функшя, вообще изображаемая формулою
272 III, 2. теорш производныхъ. §§ 282-283
не имЪетъ производной справа ни при какомъ ц-Ьломъ значенш х, а сл'Ьва
имЪетъ производную, равную п. Если же возьмемъ <р(х) = х— Ух, то
найдемъ, что непрерывная функшя [х] + Ух — [х] для всЬхъ цЪлыхъ зна-
чешй имъ-етъ безконечную производную справа, и производную, равную -=-
слЪва (XVIII). Пользуясь этою функшею Шварцу удалось составить функ-
цш, для которой подобное обстоятельство встречается безконечное число
разъ въ любомъ интервал^. Наконецъ, Вейерштрассъ далъ прим-Ьръ не-
непрерывной функщи, не им-Ьющей производной ни при какомъ зна-
чен1и х, который мы сообщимъ впослъ\дствш (§ 801) *).
283. Производная обратной функцш. Разсмотримъ функщю
у == f(x), непрерывную при х = а и въ окрестности а. Предполо-
жимъ, что, по крайней Mtpt, для этихъ значенШ х существуетъ об-
обратная функшя х = g(y), и докажемъ, что если производная
функцш f существуетъ и не равна нулю, то существуетъ
и производная функцш g. Изъ непрерывности функцш f{x) при
х = а сл'Ьдуетъ, что Ьу = /(а + йлг) — /(а) стремится къ нулю
вмъ-стъ- съ дх. Изъ непрерывности у въ окрестности а сл-Ьдуетъ,
что Ьу непрерывная функшя отъ дх. Отсюда вытекаетъ, что Ьу
принимаеть всъ- значен1я въ нЬкоторомъ интервал^ (§ 276), заклю-
чающемъ въ себ-fe нуль, при чемъ, однако, значен1е Ьу = 0 ис-
исключается. Причина этого исключения лежитъ въ томъ, что если бы
Ьу было равно 0, при нЪкоторомъ значенш Ьх = h Ф 0, то одному
и тому же значен1Ю у — /(а) соотвт>тствовали бы два значетя х:
х = а и х = а -\- h, а тогда вопреки предлоложенш нельзя было бы
разсматривать х, какъ функщю отъ у. Эти соображешя даютъ намъ
. дх
теперь право разсматривать отношеше -т—, какъ отношенш соот-
вътствующихъ другъ другу приращенШ функщи х = g{v) и неза-
независимой переменной у (см. прим-%чан1е XVI). Предполагая теперь,
что съ приближен'емъ Ьх къ 0, -.- стремится къ пределу у'^ 0,
тотчасъ видимъ (§ 263), что пред-Ьлъ отношешя
Ьх _ 1
by ~ Ьу_
Ьх
существуетъ и равенъ —у. Подробнее выражая полученный резуль-
татъ, можемъ сказать: Если известна производная f'(x)^0
функц1и f{x), то производная обратной функц1и g(x) будетъ
1) Бол'Ье общ1е примеры того же рода можно найти у Dini „Fon-
damenti" etc. p. 146, или р. 205 и слЪд. (въ нъ'мецкомъ перевод* Luroth
и Schepp).
§§ 283—284 разысканш производныхъ. 273
Bet эти соображешя применимы къ каждой сторон-fe отъ даннаго
значешя а въ отдельности. Пусть известно, напримт>ръ, что суще-
ствуетъ производная отъ у справа отъ а (т. е. при дх > 0). Тогда
(§ 263) ду въ конце концовъ приметь и сохранитъ знакъ этой про-
производной, и можно будетъ утверждать существоваше производной
обратной функщи справа или слева отъ у =f(a), смотря
по тому, будетъ ли этотъ знакъ -)- или —. Если же предполагается
существоваше производной отъ у слева отъ а (т. е. при дх < 0),
то ду въ конце концовъ приметъ и сохранитъ знакъ, противопо-
противоположный знаку этой производной *), а потому можно утверждать
существоваше производной обратной функщи слева или справа
orbjy = f(a), смотря по тому, будетъ ли знакъ данной производной
-|- или —. Изъ предыдущего также слъ\ауетъ, что если у имЪетъ
единственную производную по х, не равную нулю, то х имЪетъ
единственную производную по у.
284. Производная функщи отъ функцш. Если перемънная
у задана не какъ функщя отъ х, а какъ функщя отъ другой функ-
функщи и, такъ что
У =/(«), u = v{x),
и если предположимъ, что существуютъ производныя f (и) и (р'{х),
то легко показать, что существуетъ и производная отъ у,
взятая по дг, и что она равна произведена /'(и) ¦ (р'{х) [или
f'(cp(x)) ¦ (р'(х)]. Действительно, мы имеемъ тождество
ду _ ду ди
дх ди дх'
ди . , г
въ которомъ -f—, по предположен1ю, стремится къ предълу и .
Это требуетъ, чтобы ди стремилась къ нулю вмъхтЬ съ дх, а такъ
какъ функщя и непрерывна, потому что имЪетъ производную, то
и ди непрерывная функщя отъ дх и принимаетъ вс-fe значешя,
принадлежа1Щ'я некоторому интервалу, заключающему въ себе и
нуль. Положимъ сперва, что для всЪхъ значешй дх, для которыхъ
дх\<^г), где г\ некоторое достаточно малое положительное число,
ди постоянно отлично отъ нуля (что наверно и будетъ, если и' не
равно 0), тогда мы можемъ разсматривать ~, какъ отношеше соот-
ветствующихъ приращешй функщи у и независимой переменной и
(см. XVI) и сказать, что это отношеше стремится къ пределу /'(и),
существоваше котораго предполагается. Изъ даннаго тождества тогда
вытекаетъ, что ~~ стремится къ пределу у', равному произведенш
*) Одинаковый съ нею знакъ (по § 263) будетъ им-Ьть-^-, а дх <0.
18
274 III, 2. теорш производныхъ. §§ 284—285
f'{u) ¦ <р'{х). Остается показать, что высказанная теорема остается
справедливою и въ томъ случай, когда въ смежности съ нулемъ
(въ окрестности нуля) существуетъ такая последовательность чиселъ
к, //, h", ... , что ди = 0 всяюй разъ, какъ дх делается равнымъ
одному изъ этихъ чиселъ *). Прежде всего ясно, что производная
и', существоваше которой предполагается въ данномъ случай, необ-
необходимо должна быть равна нулю (иначе отношеше -т— не могло бы
быть равно нулю для значенШ дх въ смежности съ нулемъ). С,
другой стороны, всЬ разсуждешя, приведенныя въ первомъ случае,
будутъ применимы и теперь, если дх стремится къ нулю, обходя
всъ1 числа h, ti, h", ... , при которыхъ ди = 0, а потому -~-
стремится къ пределу /'(и) 0 = 0. Если же дх принимаетъ именно
значешя h, к', к",..., то ди — 0, откуда и ду =f'(u + ди)—/(и) = 0,
и -~ = 0. Следовательно, существуетъ предъ-лъ -~~ , при дх стре-
стремящемся къ нулю непрерывно, т. е. существуетъ производная
у', и она равна нулю такъ же, какъ и произведете /'(и) ¦ и'.
Итакъ, всегда будемъ им-Ьть у' = f (и) ¦ и'. Замъ'тимъ здъ-сь, что
уравнеше A) заключается въ послътшемъ, какъ частный случай,
потому что при и = g(x) (§ 253) имъ-емъ у = х и у' = 1. Обоб-
Обобщая полученный результатъ на тотъ случай, когда
находимъ у' =/'(и) cp'(v) tp'{w)... , предполагая, конечно, что число
функшй и, v, w, ... ограничено. Итакъ, мы имеемъ теорему: про-
производная функции отъ функции равна произведен1Ю произ-
производныхъ этихъ функщй, при чемъ каждая производная бе-
берется по той переменной, отъ которой каждая функц1я не-
непосредственно зависитъ.
285. Производная суммы. Пусть y=u-\-v-\-w-\-..., где
и, v, w, ... функцш отъ х, имеюшдя производныя. Дадимъ пере-
переменной х приращеше дх, при чемъ у, и, v, w, ... получатъ при-
ращешя ду, ди, dv, dw, ... Такъ какъ всегда
y-\-dy = u-{-du-{-v-\-dv-\~w-\~dw-\- •••,
ТО
ду _ди ,dv dw
откуда, переходя къ пределамъ съ приближешемъ дх къ нулю, по-
*) Тогда отношен1е -^- теряетъ смыслъ, и предыдущее разсужден1е
надо заменить другимъ.
§§ 285—288 разыскаше производныхъ. 275
лучимъ у = и' -f- v' + w' -f- . .. Итакъ, производная суммы рав-
равна сумм-fe производныхъ слагаемыхъ, предполагая число по-
слъ\днихъ конечнымъ.
286. Производная произведешя. Если у = uv, то
у + ду = {и + дм) (у -f dv) = uv + udv -\- vdu + du- dv,
откуда
ду dv , 6и , ди
-. - = и 1 \- v -.— + j— dv, у' = uv' + v и*.
дх дх дх дх J
Отсюда слт>дуетъ, что производная произведен1я равна суммт,
произведен^, получаемыхъ отъ умножен1я производной
каждаго сомножителя на произведен1е вс-Ьхъ остальныхъ
сомножителей. Д-Ьйствительно, допустимъ, что теорема, доказан-
доказанная выше для двухъ сомножителей, справедлива для п — 1 сомно-
сомножителей. Остается доказать, что она будетъ справедлива для п со-
сомножителей; а для этого стоить только въ послЪднемъ случат, на-
написать
У = u'(vw ¦¦¦) -\- u(vw ¦¦¦)' = и'vw ¦¦¦ -\- uv'w ¦¦¦ + uvw' ¦•¦ -\- ¦¦¦,
и убедиться такимъ образомъ, что она справедлива вообще *).
287. Производная частнаго (или дроби). Допуская суще-
ствоваше производныхъ отъ функшй и и v, можемъ утверждать и
существован1е производной функщи у = — (при v не равномъ нулю),
потому что
и -\- ди и vdu — udv
У ~
dv
откуда
du dv
by dx dx vu — uv
Въ частномъ случай, когда а постоянное число, для у = — имЪемъ
288. Производная степени. Пусть у = хп, rat n цътюе по-
положительное число. Изъ правила для разыскашя производной про-
произведешя находимъ, написавъ у =х ¦ х ¦ х ¦ ¦ ¦ х, у' = пхп~1. Дока-
жемъ, что эта формула справедлива при всякомъ рацюнальномъ зна-
*) При конечномъ числ-fe сомножителей.
18*
276 III, 2. теорш производныхъ. §§ 288-289
ченш п. Предположимъ сперва, что п = —, гд-fe т цътюе положи-
положительное число. Такъ какъ производная отъ хт существуетъ, то, по
сказанному въ § 283, существуетъ и производная обратной функщи
1
у = Xю. Доказавъ существоваше производной^', мы можемъ взять
производную отъ х =ут, применяя правила § 284. Получаемъ
1 = т -у'"-1 -у', или
У = --/->»= пут(п-1)= пхп~\
Ml
Далъ-е, если п равно отношенш двухъ цЪлыхъ чиселъ р и q, то
на основанш того же правила и полученнаго выше результата,
им^емъ
У = . . . ...
q ч
Наконецъ, если п равно отрицательному числу — т, то, применяя
послътшШ результатъ послъ\дняго §, имЪемъ
у = , у' = = ._ щ* '»-! = и/.
*"' ж2'"
Если теперь у = ип, гд-fe п любое ращональное положительное или
отрицательное число, а и какая угодно функщя отъ х, по пра-
правилу § 284, находимъ у' = пи"~1- и'. Въ частности для у = У и
найдемь
4Y и
Во избЪжате лишнихъ выкладокъ полезно также заметить, что
ДЛЯ у = —- ,
п и'
289. Производный отъ ах и Log х. Пусть у = ах. Когда х
получитъ приращеше дх = h, то у получитъ приращеше
г-л.1, г dv х ак - 1.
' дх h
откуда, припоминая полученный уже раньше результатъ (§ 270, d),
получаемъ
пь - 1
у' = a1 lim —;—¦ = ах log а.
/1=0 «
§§ 289—290 разысканш производныхъ. 277
Въ частности, при у = е*, у' = ех. Подобно этому им%емъ для
у = Log х
ду = Log (х + Л) - Log а-, У = _ Log A - ^-J
и затъмъ (§ 270, d)
Въ частности для у = log х, у' = —. Полученные два результата
могутъ быть выведены одинъ изъ другого при помощи формулы
A), потому что, если f(x) = ах, то g(x) = Logx. Отсюда слЪдуетъ,
что, зная одну изъ производныхъ, напримЪръ, f'(x) = axLoga, мо-
жемъ найти другую по формулъ- A):
*-(*) = —^---^-L.-^.
/'(Log*-) aLQSX\oga х
Теперь, на основанш сказаннаго въ § 284, мы можемъ утверждать,
что, если существуетъ производная функцш и, то производный
функщй
У = е". У = log и
соответственно будутъ
' = «• г > ' - и'
1 и
Зам-Ьтимъ, наконецъ, что, зная производныя отъ еи и logM, мы мо-
можемъ снова найти производную степени и притомъ обобщить
выведенное выше правило на случай иррашональнаго по-
показателя. Действительно, изъ у = ип = еп1ое" выводимъ
уГ _ еп og« _ _ п ип~ 1 . и' _
11
290. Производныя круговыхъ (тригонометрическихъ)
функщй. Пусть у= sin x; при дх = h имЪемъ
ду = sin (x + h) — sin x = 2 sin ^cos (a* + -^
Поэтому (§ 270, а)
h
sin -^
у' = lim —^-cos (x + ^- ] = cos x.
ь=а » V 1}
2
Если jy = cosar, то можно найти производную путемъ подобнаго же
вычислетя или, короче, пользуясь правиломъ § 284, можно написать
У = sin ['- - х\, у' = — cos (? ~ х) = - sin х.
278 III, 2. теорш производныхъ. §§ 290—291
Для у — tg#, разсматривая tg#, какъ отношеше smx къ cos .г, и
применяя правило § 287, находимъ
r _ cos х cos x — sin x (— sin .г) 1
COS2* COS2*'
Можно найти производную tgx и путемъ непосредственнаго вы-
числешя, а именно:
~ л=о h h cos x cos (x + h) ~ cos2 .v'
Наконецъ, когда
у = sin и, у = cos и, у = tg и
(и функщя отъ х), то соответственно
= г<' cos м, _у' = — и' sin и, у' =
cos2 и
291. Производныя обратныхъ круговыхъ функцШ. Прежде
всего надо заметить, что эти производныя вообще существуютъ,
именно на основанш доказанной въ § 283 теоремы. ПослЪ этого
только можно, написавъ
v — arc sin х, у = arc cos х, у = arc tg x
и выведя отсюда соотношешя х = sinjy, x = cosjy, x = tg у, при-
применить къ послътшимъ правило § 284. Тогда получимъ
1 = у' cos у, 1 = — у' sin у, 1 = —"V^>
J COS2JV
откуда заттзмъ найдемъ сл^дуюийя значен1я производныхъ у', соот-
соответственно написаннымъ выше тремъ функщямъ у:
11 1 1,1
3
COSJV у \ _ Х2
Можно и прямымъ вычислешемъ (не прибегая къ обращешю функ-
щи) найти эти производныя. Такой способъ имъетъ то преимуще-
преимущество, что даетъ и доказательство существовашя производныхъ и ихъ
выражешя. Пусть, наприм^ръ, у = arc tg х, бх = h, тогда
arct - h -
, .. arc tg (x + h) — arc tg x \-\-x(x-\-h)
У 1J^= h = ™0 h '
§§ 291—292 разысканш производныхъ. 279
Полагая к — [1 -f- х (х -f- к)] a, гдъ а стремится къ нулю вмъстъ
съ к, находимъ
, ,. [arc tga I I 1
у' = lim ^'
а 1 + х(х + к)\ 1 + *-
Замътимъ, что въ вышеприведенныхъ выражеьшхъ \г\ — яг- обо-
значаетъ положительное значеше корня, потому что дуги, обозначен-
обозначенный символами arc sin x и arc cos х, имЪютъ первая положительный
косинусъ, вторая положительный синусъ *). Сумма этихъ дугъ по-
постоянная (§ 254, d), ч-Ьмъ и объясняется, что и производныя ихъ
равны по абсолютной величин-fe и противоположны по знаку. Резю-
Резюмируя вышесказанное и припоминая правило § 284, можемъ на-
написать для
у = arc sin и, у = arc cos и, у = arc tg и
соответственно
У = — . у' = г . у' = „ •
Въ заключеше замЪтимъ, что, пользуясь теоремою § 283, мы молча
исключили Tt случаи, когда разсматриваемыя нами функщи произ-
водныхъ не им-Ьютъ. Такъ, напримъръ, для функщи arc sin x произ-
производная существуетъ только до тъхъ поръ, пока cosjy не равенъ О,
т. е. х не равенъ + 1; для этихъ значенШ х = + 1, это надо
всегда имъть въ виду, производной отъ arc sin x не существуетъ.
Такъ, при х = 1 нЪтъ производной ни справа, ни слЪва (справа, по-
потому что тогда самой функщи arc sin x не существуетъ), такъ какъ
,. arc sin(l — It) — arc sin 1 ,. arc cos(l — h)
lim > '-. = hm } '
*=o ~h i,=o h
.. a ,. a
= hm = hm
ЛЛЛ.Л1 ЛЛЛЛМ. ~^s t
a=0l-cosa a=o2sin2«
Подобное же имъетъ м-Ьсто для arc cos x. Наоборотъ, производная
arctg^; всегда существуетъ, потому что производная tg.r никогда не
обращается въ нуль.
292. Упражнешя. а) Производная полинома
у = а0хп + Я] Xй-1 + а2 х"' 2 + а3хп~3 + ¦¦¦ + an_t x + ап
степени п есть полиномъ
У = пайхп~г + (и - 1) alX'1-2 + (п - 2) агхп~г + ¦•• + 2ап_гх + а„_г
степени п — 1.
— W> W) , вторая между 0 и .-г.
280 III, 2. теорш производныхъ. § 292
Производная отъ у', которую называютъ второю производного
отъ у, есть
у" = п{п - 1)аохп-2 + (я - 1) (и - 2) «i*-"-3 + ••• + 2аи_2.
Послъдовательныя производныя У", У?, ... C-я, 4-я, ...) будутъ также по-
полиномы степеней п — 3, я — 4, ..., и-ая производная есть постоянное число,
а всЬ слЪдуюшдя нули: у^ = я! я0, _у(и+1^) = У"+2) = ¦•• =0.
Ь) Для
лл | COS k X
у -=x(\ogx~ 1), log cos лг, log log .r, logtg^-, {oiT+~co%k'x
съ помощью доказанныхъ въ предыдущихъ §§ правилъ и полученныхъ
результатовъ находимъ соответственно:
, . . 1 1 Ik
у' = log X, — tg X, : . — > — ?—•
х log л- sin х sin «л-
Для
у = arc cos A — х) — У 2.v — л:2, arc cos — -1- log (.v -f- l^.r2 — я2)
получимъ
-х' x V x -a
J V 2-
Точно также находимъ для функшй
sin a sin х Ь 4- a cos х , ех — е~~х
у = arc sin •= , arc cos —-—. , arc tg
1 — cos a cos x a + b cos x ex _|_ e~x
сл-Ьдующ1я выражешя производныхъ
sinrtVa2 № 2
(/
1 — cos a cos x'
c) Bcb эти вычислен1я производныхъ легко производятся, если при-
м-Ьнимъ, гд-Ь нужно, правила для нахождешя производныхъ суммы, произве-
ден1я, частнаго, и къ каждому члену результатовъ — правило для нахождешя
производной функщи отъ функщи; последнее правило особенно важно, потому
что оно позаоляетъ устранигъ вс-fe трудности, сопряженныя съ вычислен1емъ
производной сложнаго выражешя, расчленяя это выражеше и оперируя
посл-Ьдовательно надъ каждою частью въ отдельности. Такъ, наприм-Ьръ,
производная отъ
у = arc tg (x — Y1 + х2)
берется такъ:
1 + (х - У 1 + *2J I 2 VT+1?) 2 A +х 2)
Этотъ результатъ легко пов*рить, зам-Ьтивъ, что
у = ^arctg.v — J.t.
§ 292 РАЗЫСКАНШ ПРОИЗВОДНЫХЪ. 281
Точно также для вычислешя производной отъ
у = х УТТ^ + log (х + /ТТ^
пишутъ
/г+Т2 + '+1 А + 2
d) Если даны соотношешя
tg 2 " К 1 -х g 2 К l + k g 2
то, сравнивая производныя об-Ьихъ частей равенствъ, легко найдемъ
1 у 1 _ k2
]/"l — х*' 1 + ^ COS .
Далзе, если даны функши
у =хх, у = хг\ ...,
то взявъ, сперва логариемы, а потомъ производныя объихъ частей получен-
ныхъ равенствъ, найдемъ
у = х* A + log .v), у = **+** ( j- + log .v + log2 *
Однако, поступая такимъ образомъ, мы допускаемъ a priori существоваше
производной у'. Чтобы устранить это возражеше, надо впередъ доказать,
что эта производная существуетъ. Въ предпослъднихъ двухъ примърахъ
это вытекаетъ изъ того замъчашя, что у можетъ быть представленъ въ
вид-fe arctg и. Для у = хх можно написать у = exlogx и т. д.
е) Производная порядка п (и-ая) отъ у = хт log x равна
Въ частности,
у») = m\
Такимъ же образомъ, послъдовательнымъ вычислен1емъ производныхъ най-
найдемъ, что я-ыя производныя функщй
у = е-ТС0!"' cos (x sin а), у = excos" sin (x sin a)
соотвътственно равны
У») = e^cos« cos (па+х sjn а)> у") = ^cos« sjn („a + x sin я).
Не столь просто вычислеше н-ой производной отъ у = arctg a-, но ее легко
выразить, какъ функшю отъ у, вычисляя (п — 1)-ую производную отъ
У = -т——г, = cos2у, а именно:
1 +х-
_у = (п -- 1)! cosMjv • sin п [у + ~) •
282 III, 2. теорш производныхъ. § 293
Свойства производныхъ.
293. Прежде чемъ идти далее, сделаемъ небольшое отступле-
Hie въ область, чрезвычайно важную для приложенШ Математики.
Уже при доказательстве основныхъ теоремъ въ теорш функшй
удобно пользоваться геометрическимъ изображешемъ независимой
переменной. Это изображеше мы получимъ, установивъ соответ-
CTBie между значешями переменной и точками некоторой прямой
линш, какъ это делается въ Аналитической Геометрш. Благодаря этому
все доказательства, не изменяясь по существу (потому что нужно
остерегаться основывать ихъ на какихъ либо геометрическихъ поня-
пяхъ), выигрываютъ въ ясности и наглядности, и могутъ быть вы-
выражены немногими словами. Вместо того, чтобы говорить о значе-
Н1и, которое даютъ переменнной, называютъ точку, служащую его
изображешемъ, и всяшй интервалъ (а, Ъ) изображается прямоли-
нейнымъ отрезкомъ, ограниченнымъ точками а и Ь, т. е. точками,
разстояшя которыхъ отъ некоторой начальной точки, отложенныя
въ известномъ направленш, измеряются числами а и Ъ. Чтобы изо-
изобразить некоторую функщю у, стоитъ только разсматривать каждую
пару соответствующихъ значешй л" и у, какъ Декартовы (прямо-
угольныя) координаты точки на плоскости; уравнеше у = f(x) изо-
изобразить тогда некоторую линт, съ помощью которой легко от-
отдать себе отчетъ въ главныхъ свойствахъ функщи и ея производ-
производной. Прежде всего надо указать геометрическое значеше производ-
производной. Разсмотримъ касательную къ кривой въ точке М, т. е.
предельное положеше, съ которымъ
стремится совпасть секущая ММ',
когда точка М'', двигаясь по кривой,
безпредельно приближается къ М.
Пусть S и Т будутъ точки встречи
секущей и касательной съ осью абс-
циссъ, Р и Р' основашя перпендику-
ляровъ, опущенныхъ изъ точекъ М
OS ТР Р' — и ^ на т^ же ось' Обозначимъ
черезъ Н точку, имеющую съ точ-
Рис. 4. кою М' общую абсциссу, а съ точ-
точкою М— одинаковую ординату. Пусть
х и у — координаты данной точки М, х -\- дх и у -\- ду — коорди-
координаты точки М', и заметимъ, что въ силу подобая треугольни-
ковъ МНМ' и SPM
У
д у М'Н МР
d.v МП SP
Когда дх и ду стремятся къ нулю, точка М' стремится къ М,
§§ 293—294 свойства производныхъ. 283
Р и М остаются неподвижными, i> стремится къ Т, поэтому
т. е. производная ординаты некоторой кривой, взятая по
абсцисс*, изображаетъ угловой коэффишентъ касательной
къ кривой. Если независимая переменная обозначаетъ время, то
этотъ коэффищентъ, а следовательно, и производная, изображаетъ
скорость или мъ-ру быстроты, съ которою функщя въ данный
моментъ стремится возрастать или убывать. Именно съ этой послед-
последней точки зръ-шя понят1е о производной, лежащее въ основе исчи-
слешя безконечно малыхъ, и представилось уму Ньютона, неза-
незадолго до 1667 года *).
294. Примеры, а) При вычерчиванш кривой у =/(х) весьма по-
полезно знать производную f'(x) ординаты, потому что это даетъ средство
строить кривую по точкамъ и по касательнымъ. Мы ограничимся зд^сь
немногими примерами, чтобы показать пользу графическаго изображешя, и
притомъ не съ геометрической точки зр-Ьшя, о которой рЪчь будетъ впе-
впереди, а именно съ точки зрЪшя самой теорш функшй. Мы предпошлемъ два
совсбмъ простыхъ упражнен1я, показавъ построен!е касательной къ пара-
Рис. 5.
Рис. 6.
(рис. 5) и равносторонней гипербол-b (рис. 6), изображаемыхъ
уравнешями
Изъ формулъ
х а
2я х
у = * = 2у~ , У = - % = -у-
а х х- х
У
находимъ ТР— —г = ^гх для параболы и РТ'= —'—, = х для гиперболы.
1) См. Mansion, Resume du Cours d'Analyse p. 194.
284
III, 2. теорш производныхъ.
§ 294
Отсюда заключаемъ, что, зная точку 0— вершину параболы или центръ гипер-
гиперболы, и точку Р—проекшю данной на кривой точки М на касательную къ
параболе въ ея вершине или на асимптоту гиперболы, построеше каса-
касательной въ точке М приводится къ следующему: соединивъ точку М на
параболе съ срединою Т отрезка ОР, получимъ касательную къ параболе,
а соединивъ точку М на гиперболе съ точкою Т, симметричною съ О
относительно Р, получимъ касательную къ гиперболе.
b) Лишя, изображающая функцда.у = х — [х], состоитъ изъ безчислен-
наго множества прямолинейныхъ отрезковъ; одинъ конецъ каждаго отрезка
лежитъ на прямой у = 0, въ точке х = я, а другой на прямой у = 1, въ
точке .V = п +1 *). Точки на второй прямой, собственно говоря, надо исклю-
исключить, но полезно заметить, что съ геометрической точки зр-Ьшя подобныя
исключешя не нужны. Напротивъ, надо пользоваться поняпемъ о непрерыв-
непрерывности, чтобы исключать по возможности меньше точекъ и касательныхъ.
Такимъ образомь, когда точка, при движенш по кривой, стремится совпасть
съ некоторою неподвижною точкою, координаты которой уравненш кривой
не удовлетворяютъ, эту неподвижную точку темъ не менее разсматриваютъ
(въ Геометрш), какъ принадлежащую кривой: впрочемъ, и не возможно ее
исключить или отделить отъ другихъ графическими средствами. Подобнымъ
же образомъ поступаютъ, когда въ некоторой точке М не существуетъ ка-
касательной, между темь, какъ сушествуегь прямая, съ которою стремится
совпасть касательная въ точке М' при безпредельномъ приближенш М'
къ М; эту прямую и разсматриваютъ, какъ касательную въ точке М. Таюя
соглашеШя принимаются для устранения некоторыхъ сомнешй, которыя не
редко встречались бы въ геометрическихъ приложешяхъ, если мы захотели
бы держаться строгой интерпретацш установленныхъ выше аналитическихъ
принциповъ.
c) Другая интересная лишя получится при изображены функцш
Она состоитъ изъ отрезковъ, образуемыхъ на безчисленномъ
множестве прямыхъ, выходящихъ изъ одной точки (рис. 7).
При < xi=--, имеемъ у = пх in — целое число); на этой прямой
v и -t- 1 ' и
прямыя у = 1 — х и у = 1 образуютъ отре-
зокъ, принадлежащей данной линш (за исклю-
чешемъ конца его, лежащаго на первой ли-
линш). Точка А на оси _>'-въ, ордината которой
равна 1, можетъ быть причислена къ данной
линш **), но эту линш невозможно начертить
въ окрестности точки А, несмотря на то, что
въ этой точке ордината непрерывна (§ 272,
d) (XX).
d) Въ предыдущемъ примере разсма-
триваемая функщя непрерывна въ точке А,
но разрывна въ ея окрестности. Иное дело
представляетъ функшя, определяемая равен-
равенствами f(x) = х sin I -) при x s 0 и /@) = 0.
\х/
Она непрерывна при всякомъ х (§ 272, а). Темъ не менее линш, которой
Рис. 7.
*) Потому что у — х ~ [х] всегда > 0 и < 1, и при п ь х < п + 1
имеетъ видъ у = х — п («-целое число). Такъ какъ х< и —J—1, но не
равно и -г 1, то у подходить къ 1 какъ угодно близко, но не дости-
гаетъ ея.
**) Полагая у = 1 при х = 0 (§ 272, d).
§ 294 свойства производныхъ. 285
• /1\
уравнеше есть у = х sin — , невозможно начертить въ окрестности точки
\х)
х = О, у = 0. То же самое можно сказать о непрерывной функцш
/[/(х)] = х sin — sin
х . 1
^¦sm —
х
и притомъ въ окрестности безчисленнаго множества значешй х въ ин-
л. / 1 1\ 111
тервалъ +- , а именно + -, l^-, + --- • • •
Так1я точки сгущаются все больше и больше въ функщяхъ f(f(f(x))Y
f (/{/(/(х))))..., потому что всяюй разъ къ тбмъ точкамъ, въ окрестности
которыхъ функцвд нельзя графически изобразить, присоединяются новыя и
новыя. а именно те, въ которыхъ функшя обращается въ нуль (XXI). Не слъ-
дуетъ, однако, думать, что невозможность графическаго построешя проистекаетъ
исключительно вслъдств1е несуществован1я производной, а следовательно, и
касательной въ разсматриваемыхъ точкахъ. Напримъръ, кривая у = х2 sin —
касается оси х (у'= 0) въ начале координатъ, между тъмъ физически
невозможно начертить кривую въ окрестности начала координатъ *).
e) Существуютъ и таюя функши, для которыхъ нельзя провести ни
одного штриха изображающихъ лиши, хотя можно поставить сколько угодно
точекъ этихъ лиши, и притомъ, какъ угодно близкихъ одна къ другой.
Такова, напримъръ, функщя ы (х), изслъдованная въ § 277, с. На каждомъ
прямолинейномъ' отръзкъ. параллельномъ оси х, заключенномъ въ полосъ
между прямыми у = 0 и у = 1, и сколь угодно маломъ, какъ видно изъ
сказаннаго въ § 277, с, лежитъ безчисленное множество точекъ линш, изо-
изображающей данную функщю; эти точки какъ бы заполняютъ всю упомяну-
упомянутую полосу. Если въ этомъ случаъ невозможность графическаго изображешя
можно объяснить полною разрывностью функши, то этого объяснешя нельзя
применить къ функши Вейерштрасса (§ 801) она непрерывна вездъ, но ни
въ одной точкъ не имъетъ производной. Эти замъчашя убъждаютъ насъ въ
необходимости чисто аналитическихъ доказательствъ даже и такихъ свойствъ
функши, которыя кажутся очевидными, если изобразимъ ихъ въ геометри-
геометрической формъ, потому что съ одной стороны эти свойства вовсе не зави-
сятъ отъ возможности графическаго изображешя функши; съ другой, эта
возможность отсутствуетъ для обширныхъ классовъ функши, несмотря на
непрерывность и на существован1е производной.
f) Читатель можетъ упражняться въ графическомъ изображенш раз-
личныхъ разрывныхъ функши, разсмотрънныхъ нами раньше. Мы ограни-
ограничимся здъсь двумя лишь функшями, графическ1я построешя которыхъ намъ
впослъдствш понадобятся.
Ы
1) Лишя у = —-- состоитъ изъ безчисленнаго множества гиперболи-
ческихъ дугъ, потому что, когда х заключается въ интервале (я, п + 1),
гдъ п целое число, за исключешемъ верхней границы, то уравнеше обра-
обращается въ ху = и, и изображаетъ дугу гиперболы, соединяющую точку Р
*) Вследств1е безконечно частыхъ колебан4й sin въ окрестности л=0.
286
III, 2. ТЕОРШ ГфОИЗВОДНЫХЪ.
§ 294
на прямой у = 1 (при х = п) съ точкою Q на гиперболе х A — у) = 1 (при
х = п -М) *) (рис. 8).
Припоминая сказанное о построенш касательной къ гиперболе въ примере
а) видимъ, что касательная въ каждой точке Р проходитъ черезъ точку А,
симметричную съ О относительно прямой _у = 1. Следовательно, касатель-
ныя въ точкахъ Рх, Р2, Р%, .. ¦ все сходятся въ точке А. Дал-fee, если
Рис. 8.
возьмемъ любую точку М на линш и проведемъ черезъ нее прямую, парал-
параллельную оси х, то касательная въ этой точк-б будетъ симметрична съ ОМ
относительно этой прямой. Такъ какъ съ возрасташемъ х до безконечности
limjy = 1, то проведенная черезъ М прямая, параллельная Ох, въ предътгБ
совпадаетъ съ прямою у = 1, и касательная въ точк'Ь М пройдетъ черезъ
точку А. Итакъ, если точка М, двигаясь по лин1и у = —. t стре-
стремится къ предельному положен1ю на прямой у — 1, то касатель-
касательная въ точк-Ь М стремится къ предельному положент^ = 2.
2) Также легко построить лишю, изображающую функщю
Эта лин1я состоитъ изъ безчисленнаго множества параболическихъ дугъ
и оказывается, что, когда точка движется по этой лин1и въ безко-
нечность, стремясь къ предельному положен1ю на оси х-въ, то
острый уголъ, образуемый касательною въ этой точке съ осью
х-въ, постоянно колеблется въ интервале 1а, 4
ница котораго стремится къ нулю (рис. 9) (XXII).
нижняя гра-
g) ВсякШ посвящающШ себя техническимъ наукамъ, увидитъ, что па-
паровая машина сама чертитъ свою собственную д1аграмму т. е. линш,
изображающую давлеше пара, какъ функщю объема, образующегося подъ
поршнемъ. Поэтому, если известны положешя поршня въ те моменты, когда
начинается и кончается впускъ пара изъ котла въ цилиндръ, или выпускъ
*) Точка Q лишь предельная точка на дуге PQ, потому что х какъ
угодно близко къ я + 1, но не равно и + 1.
294—295
СВОЙСТВА ПРИЗВОДНЫХЪ.
287
его въ конденсаторъ, то машина раскрываете передъ тЪмъ, кто ее допра-
шиваетъ, свои достоинства и недостатки. Различный Д1аграммы встречаются
во всЬхъ отдЪлахъ инженерной науки и часто употребляются и при изуче-
ши различныхъ явлешй природы, не исключая и явленШ соцюлогическаго
характера г).
У
1
Рис. 9.
х
Въ такихъ эмпирическихъ кривыхъ нельзя теоретически говорить
о касательной или производной, хотя эти кривыя постолько и важны, по-
сколько онЪ могутъ служить для суждешя о скорости изм^ьне^я изобра-
изображаемой ими функцш. Действительно, эти кривыя не свободны отъ неболь-
шихъ погрешностей и изображаютъ не истинную функшю и, а некоторую
другую v, несколько отличную отъ и. И нетрудно убедиться, что, если
производная функцш и существуетъ, то производная отъ v можетъ и не
существовать, или, если и существуетъ, то v' можетъ значительно отличаться
отъ и'. Напримъръ2), если и =v +
^-, где а постоянное весьма ма-
никогда не превосхо-
, , \ х ,
лое число, то и — v' = — cos —5 и, хотя \и — v
дитъ a, I и' — v' | можетъ быть весьма большою въ окрестности безчислен-
наго множества значенШ х.
1ЭЪ. Функшя f(x) называется возрастающею или убываю-
убывающею или постоянною справа отъ а, если возможно найти такое
положительное число h, чтобы въ интервал^ (a, a-\-h) всЬ зна-
чешя f(x) были соответственно больше, меньше или равны f(a).
Функщ'ю f(x) называютъ возрастающею, убывающею или постоян-
постоянною слева отъ а, если въ интервале (а, а — К) всЬ значешя функ-
функцш будутъ соответственно меньше, больше или равны f{a). Можетъ
случиться, что такое число h не существуетъ вовсе. Такъ, напри-
мЪръ, ясно, что функщ'я f(x) — х sin — , при х ^ 0, и равная нулю
при х = 0, въ окрестности нуля никогда не перестаетъ принимать
значешя какъ положительныя, такъ и отрицательныя и равныя нулю.
Какъ бы мало ни было h, въ интервале (—к, -\-h) fix) будетъ и
больше и меньше и равно /@) = 0. Поэтому эту функщю f(x) въ
окрестности х = 0, или, какъ говорятъ для краткости, при х = 0,
!) См., напримъ-ръ, „Cours d'Economie politique" par V. Pareto.
2) Cm. Laurent „Calcul des probabilites" p. 200 или Genocchi et Pe-
ano, „Calcolo differenziale", p. XIII.
288 III, 2. теорш производныхъ. §§ 295-297
нельзя назвать ни возрастающею, ни убывающею, ни постоянною.
Именно это обстоятельство и объясняетъ невозможность графиче-
скаго изображешя этой функцш въ окрестности начала координатъ,
потому что, намътивъ точку, въ окрестности которой ордината кри-
кривой не возрастаетъ, не убываетъ и не постоянна, невозможно себъ1
представить какимъ образомъ примыкаютъ къ ней сосътшя точки.
Подобное же можно сказать о функцш y = xsm2l—), которую
нельзя назвать возрастающею при х = 0, потому что въ окрестности
нуля, она безконечное число разъ равна/@) = 0 *). Функщя а>(х)
(§ 277, с) такова, что о ней нельзя ничего сказать (относительно воз-
расташя или убывашя) въ окрестности любого значения х.
296. Функщя f(x) называется 1) возрастающею или 2) убы-
убывающею или 3) постоянною въ интервал-fe, если для любой пары
значенш х' и х" въ этомъ интервалъ разность f(x') — fix")
1) имЪетъ одинаковый знакъ съ х' — х", 2) имЪетъ знакъ, противо-
противоположный знаку х' — х" и 3) равна нулю. Чтобы выяснить разли-
4ie между возрасташемъ (или убывашемъ, или постоянствомъ) „въ
интервалъ1" и „при данномъ значенш х" (т. е. „въ окрестности"
даннаго значешя х) достаточно взять для примера функщю -7, зна-
чеше которой при х = 0 выбрано по произволу. Ее надо назвать
возрастающею въ окрестности или при х = 0, справа отъ 0, ка-
каково бы ни было значеше ея при х = 0, и въ тоже время она бу-
детъ убывающею въ любомъ интервал^ @, h) за исключешемъ
нижней границы, какъ бы мало ни было h (ХХШ). Ясно, что функ-
функщя, возрастающая, убывающая или постоянная въ интервал^, будетъ
обладать соответственными свойствами въ окрестности любого зна-
чешя переменной въ этомъ интервал-Ь. Но обратное заключеше
вовсе не очевидно, хотя оно и справедливо, какъ будетъ доказано
въ слтздующемъ параграфе. ЗамЪтимъ здъхь же, что это заключем1е
будетъ несправедливо, если функщя будетъ, напримЪръ, возрастаю-
возрастающею съ одной лишь стороны отъ вс-Ьхъ чиселъ даннаго интер-
интервала. Такъ, напримЪръ, функщя х — [х] возрастающая справа отъ
любого значешя х, но она не будетъ возрастающею въ интервал^
(а, Ь), если [я] < Щ (XXIV).
297. Теорема I. Функщя, возрастающая въ окрестности
каждаго числа, лежащаго въ данномъ интервал^, будетъ
возрастающею въ интервал^. (Теорема остается справедливою,
когда въ ея формулировка слово „возрастающая" замЪнимъ словами
„убывающая" или „постоянная".)
Если допустимъ, что въ конечномъ или безконечномъ интер-
валтз функщя не будетъ возрастающею, то въ данномъ интервал^
будетъ заключаться, по крайней Mtpt, одинъ интервалъ (ах, 6,), для
*1 При х = Н , гдЪ п цЪлое число, сколь угодно большое.
§§ 297—298 свойства производныхъ. 289
границъ котораго (at < bx) имЪетъ мЪсто неравенство /(a,) ^f
Обозначимъ теперь черезъ (а2, 62) правую (верхнюю) или лЪвую
(нижнюю) половину интервала (а,, bt), смотря по тому, будетъ ли
/Г1 2 М </(at) или /Г1 "Г М ^/(в)), и зам-Ьтимъ, что въ обоихъ
случаяхъ У(а2) s^f(b2). Съ интерваломъ (а2, й2) поступимъ, какъ съ
интерваломъ (aj, 6t), и, продолжая такимъ образомъ, подобно тому,
какъ поступили въ § 171, найдемъ число ?— общШ пред-Ьлъ нижнихъ
границъ а^, й2, а3, ... и верхнихъ границъ bit b2, b3, ... последова-
последовательно образуемыхъ этимъ путемъ интерваловъ. Это число f, оче-
очевидно, будетъ лежать въ данномъ интервал-fe (а, Ь). Выбравъ по-
положительное сколь угодно малое число h по произволу, всегда мо-
жемь определить достаточно большое число п, чтобы ап и Ьп по-
попали въ интервалъ (?— h, %-\-h), первое сл-Ьва, второе справа отъ
|. Такимъ образомъ, мы видимъ, что интервалъ (?—-/г, §) содер-
житъ число х' = ап, а интервалъ (h,, %-\-h) число х" = Ьп, о ко-
торыхъ изв-Ьстно, что f(x') i^f(x"), при х'<С.х". А это противо-
рЪчитъ предположен1ю, что /(х) возрастающая въ окрестности
числа §, потому что въ силу этого предположен1я, при достаточно
маломъ h, всегда им-Ьемъ fix") >f(x'). Совершенно аналогично
доказывается теорема въ случай функцш убывающей или посто-
постоянной.
298. Теорему I можно доказать иначе, не прибътая къ про-
процессу § 171. Положимъ опять, что J{x) функщя, возрастающая въ
окрестности каждаго числа х въ данномъ интервал-Ь. Возьмемъ по
произволу два числа х' и х" въ этомъ интервалt и пусть х'<Сх".
Для доказательства теоремы достаточно доказать, что f(x') <if(x").
Такъ какъ f(x) является возрастающей справа отъ х'', то существуютъ
числа х ^= х", но больш1я х', для которыхъ f{x') <ij(x). Ансамбль
этихъ чисель х конечный и имт>етъ верхнюю границу Ь,^х". Дал^е,
такъ какъ f(x) возрастающая сл^ва. отъ |, то существуетъ такой интер-
интервалъ (|—h, |), что f(x) < /*(|) для всЬхъ значен1й х, лежащихъ
въ немъ. Съ другой стороны, по самому опредт>лен1ю верхней гра-
границы ансамбля, въ томъ же интервал^ аежитъ, по крайней Mtpt, одно
число |* разсматриваемаго ансамбля, т. е. такое, что fix') <!/(?') и
одновременно/(^)</(|). Отсюда вытекаетъ, что f(x)</(§), т. е. |
принадлежитъ къ разсматриваемому ансамблю и будетъ поэтому
вправо отъ f нашлось бы число §"<^я", для котораго fi^) < f(,
а потому и f{x') <_/"(?")> т- е- и S" принадлежало бы тому же ан-
ансамблю, а это невозможно, потому что наибольшее число этого
ансамбля есть ?<g". Итакъ, § = х" и fix') </(л-")- Можно зам-fe-
тить, что при этомъ доказательств-Ь условия теоремы не были ис-
использованы полностью, а именно функщя была предположена воз-
возрастающею сл-Ьва отъ каждаго значешя хх въ интервал-);, а справа
предположено лишь существование н-Ькоторыхъ чиселъ хг, какъ
19
290 III, 2. ТЕОРга производныхъ. §§ 298-301
угодно близкихъ къ хх, для которыхъ /(#,) </(л-2) *). Однако, мы
видимъ, после того какъ теорема доказана, что изъ этого, повиди-
мому, более широкаго услов1я, необходимо следуетъ, что функщя
будетъ возрастающею справа отъ каждаго значешя х въ данномъ
интервале.
299. Теорема II. ФункцДя будетъ возрастающей или
убывающей справа (слева) отъ а, смотря по тому, будетъ ли
производная ея при х = а справа (слева) больше или мень-
меньше нуля.
Изъ сущности установленныхъ опредъ\лешй вытекаетъ, что
функщя будетъ возрастающею при х = а, если возможно указать
такое положительное число h, что, при dx\<Ch, ду им-Ьетъ одина-
одинаковый знакъ съ дх, и убывающею, если, при \dx\<Ch, ду им-Ь-
етъ знакъ, противоположный знаку дх. Если при х = а про-
производная справа (слева) есть число положительное, то соответствую-
соответствующее отношеше приращешй -—, съ приближешемъ дх къ 0, въ
конц-Ь концовъ становится и остается числомъ положительнымъ, т. е.
ду принимаетъ и сохраняетъ знакъ дх, а следовательно, функщя бу-
будетъ возрастающею. Такимъ же образомъ доказывается, что функ-
функщя будетъ убывающею при х =я, если ея производная при х = а
отрицательна. Далее, если производная при х = а равна нулю, то
это не мЪшаетъ тому, чтобы ду при достаточно маломъ | дх | со-
сохраняло постоянный знакъ, и функщя была возрастающею или убы-
убывающею при х = а. Но можетъ случиться, что ду въ конц-Ь кон-
концовъ д-Ьлается равнымъ нулю или не перестаетъ обращаться въ
нуль или м-Ьнять знакъ, какъ бы мало ни было дх; тогда функщя,
если она не постоянна, не будетъ вообще ни возрастающею, ни
убывающею.
300. Теорема III. Функцдя, имеющая единственную про-
производную, будетъ возрастающею или убывающею въ дан-
данномъ интервале, смотря по тому, будетъ ли эта производ-
производная во всемъ интервале больше или меньше нуля.
Действительно, если, напримеръ, f'(x) > 0 для всехъ значе-
Hitt х въ интервале, то f(x) будетъ возрастающею въ окрестности
каждаго изъ этихъ значенШ, а въ силу теоремы I будетъ возра-
возрастающею и въ интервале.
301. Maxima и minima. Говорятъ, что f(x) проходитъ че-
резъ minimum при х = а, или что f{a) есть minimum функцш,
если ни одно изъ значешй f{x) въ окрестности числа а не меньше
/(а). Говорятъ, что /(а) есть maximum функщи f{x), если ни
*) А это неравносильно условго, чтобы f(x) была возрастающею
сцрава отъ хх, требующему, чтобы /(..%) </(х.2) для всЬхъ чиселъ х.1>х1
и достаточно близкихъ къ xv
301-302
СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХЪ.
291
одно изъ ея значешй въ окрестности а не превосходить /(а). Опре-
Определяемые такимъ образомъ maxima и minima называются абсо-
абсолютными, въ отлич1е отъ maximum'a и minimum'a, которые функ-
щя им-Ьетъ въ данномъ интервалъ1, и которые называютъ относи-
относительными. Посд-Ьдше зависятъ отъ совокупности вс-бхъ значешй
функцш въ данномъ интервал-Ь, первые только отъ значешй, при-
нимаемыхъ функщею въ окрестности н-Ькоторыхъ определенныхъ
значенШ независимой переменной. (XXV.) Въ интервале можетъ
быть несколько абсолютныхъ maxima и minima, и лишь одинъ от-
относительный maximum и minimum. Посл-Ьдше могутъ меняться при
изм-Ьненш интервала, первые сохраняютъ свой характеръ въ каж-
домъ интервале и всегда соответствуют определеннымъ значешямъ
х. Эти замечан1я становятся очевидными, если применимъ геометри-
геометрическое изображеше функцш (рис. 10). На прилагаемой фигуре, на-
примеръ, видно, что изображаемая ею функшя имеетъ въ интер-
интервале (а, Ь) относительный minimum на нижней границе а, относи-
относительный и въ то же время абсолютный maximnm въ некоторой
точке у. Другой абсолютный maximum
виденъ въ а, два абсолютныхъ minima У
въ точкахъ /9 и д, при чемъ второй -^^ /.
больше, чемъ maximum въ точке а.
Если подвинемъ а влево, то относи-
относительный minimum уменьшится и поя-
появится на нижней границе новаго интер-
интервала. Если подвинемъ точку b вправо,
то относительный maximum не изме- а а /3 у S Ь е
нится и останется въ у до техъ поръ,
пока точка b не перейдетъ вправо за с. ИС- "'
Тогда этотъ maximum увеличится и по-
падетъ на верхнюю границу новаго интервала. Въ заключеше сде-
лаемъ следуюшдя важныя замечашя: абсолютный minimum при х = а
есть не что иное, какъ относительный minimum въ доста-
достаточно маломъ интервале, выбранномъ въ окрестности а;
относительный minimum въ данномъ интервале, если онънепо-
падаетъ ни на одну изъ границъ интервала, будетъ въ то же
время и абсолютный minimum. Все сказанное относится и къ ma-
maximum'у. Въ дальнейшемъ, если не сделано никакой оговорки, речь
будетъ идти объ абсолютныхъ maxima и minima.
302. Теорема IV. Если функщя имеетъ единственную
производную, и при х = а проходитъ черезъ minimum или
maximum, то производная обращается въ нуль при х = а.
Положимъ, напримеръ, что /(а) есть minimum. По определешю
абсолютнаго minimum'a/(.т) не возрастающая функц1я слева отъ
а и не убывающая справа отъ а. Следовательно, разсматривая
единственную производную при х = а, какъ производную слева,
видимъ, что она не можетъ быть больше 0, а разсматривая ее, какъ
19*
292 III, 2. теорш производныхъ. §§ 302—304
производную справа, также видимъ, что она не можетъ быть отри-
отрицательною (теорема II). Поэтому она должна быть равна нулю.
Обратная теорема не справедлива. Производная можетъ обращаться
въ нуль при данномъ значенш х, а функщя при этомъ значенш не
проходитъ ни черезъ maximum, ни черезъ minimum. Ничто не м-К-
шаетъ функщи быть, наприм-Ьръ, возрастающею и справа и слива
отъ этого значешя (какъ это имЪетъ мъхто, напримЪръ, для у — xi
при х = 0).
303. Теорема V. (Теорема Ролля (Rolle). Если функщя,
им-Ьющая единственную производную, принимаетъ равный
значен1я на границахъ интервала, то производная, по край-
крайней Mtpt, одинъ разъ обратится въ нуль внутри интер-
интервала *), предполагая, что функцДя непрерывна и на грани-
границахъ интервала. Функщя непрерывна во всемъ интервал^: на гра-
границахъ по услов1ю, внутри границъ, потому что имЪегъ единствен-
единственную производную для всъ'хъ значенШ х внутри интервала, за ис-
ключещемъ или съ включетемъ границъ — безразлично. Поэтому, по
второй теорем-Ь Вейерштрасса, въ этомъ интервал^ существуетъ, по
крайней Mtpt, одно число §, при которомъ f(x) достигаетъ наи-
большаго или наименьшаго значешя, т. е. относительнаго maximum'a
или minimum'a въ данномъ интервал^. Если бы ect значешя функщи
въ интepвaлt (я, Ь) были равны /(а), то производная была бы
равна нулю для вctxъ значешй х въ этомъ интервал^ Поэтому мы
можемъ принять, что не ect значешя f(x) равны f(a). Тогда, по
крайней Mtpt, одно изъ двухъ ея значешй — наибольшее или наи-
наименьшее не будетъ равно f(a) =/{b), и соотв^ствуетъ, огЬдова-
тельно, числу ^, лежащему между а и Ь, не совпадающему ни съ
а, ни съ Ь. Исключивъ, такимъ образомъ, границы, мы видимъ
(§ 301), что У(|) будетъ абсолютный maximum или minimum
функщи f(x), а потому (§ 302) необходимо будемъ имъть
/'(D = о.
304. Прим1>чан1Я. а) Относительно ограничен^, наложен-
ныхъ на разсматриваемую функщю, зам^имъ, что функшя х — [х]
обращается въ нуль на границахъ интервала @, 1), непрерывна въ
интервал^ если исключимъ границы, и HMterb единственную произ-
производную въ этомъ интервал^ Однако эта производная (равная 1) въ
нуль внутри интервала не обращается. Теорема Ролля зд^ь не
оправдывается потому, что функщя разрывна aitea отъ 1, что и
препятствуетъ ей достигнуть верхней своей границы. Но отнюдь не
невозможно, чтобы теорема имът1а MtcTO и въ такихъ случаяхъ,
когда функщя не непрерывна на границахъ интервала. Такова, на-
ъ, функщя sin— въ HHTepeaflt @,—), разрывная на нижней
*) Т. е. между границами.
§§ 304—305 свойства производныхъ. 293
границ^ *). Если, напротивъ того, услов1е непрерывности соблюдено
во всемъ интервал^ (не исключая границъ), то теорема Ролля бу-
детъ справедлива независимо отъ того, существуютъ или н-Ьтъ про-
изводныя на границахъ. Достаточно привести въ примЪръ непре-
непрерывную функщю х sin —, не им-Ьющую производной при х = 0. Во
всякомъ интервал^ @, I производная обращается въ нуль без-
V пп 1
численное множество разъ для значешй х, равныхъ обратиымъ ве-
личинамъ корней уравнешя tg.r = :r (XXVI).
b) Теорема Ролля говоритъ между прочимъ, что между двумя
корнями функцди f(x) лежитъ, по крайней мЪр+>, одинъ ко-
корень производной fix). При этомъ, что особенно важно зам-Ь-
тить, всегда предполагается, что выполнены услов1я непрерывности
и существовашя единственной производной, какъ они высказаны въ
формулировк-Ь самой теоремы. Случай, когда при х = а обраща-
обращаются въ нуль f{x) и fix), можно разсматривать, какъ частный слу-
случай теоремы Ролля, примененной къ нулевому интервалу (а, а).
Надо ce6t представить, что въ а совпадаютъ два или бол-fee корней
функцш fix). На этомъ основанш говорятъ, что а кратный ко-
корень fix) и называютъ тогда прост ымъ такой корень, который не
обращаетъ въ нуль f'{x); корень называютъ двойнымъ, если онъ
будетъ простымъ корнемъ fix), т. е. когда fia) = 0, а /"(яM0;
тройнымъ,если онъ двойной jumfipc), т. е. если^Ча) = 0, f"(a) = 0,
fid) g0, и т. д. Вообще и-кратнымъ корнемъ функцш f\x) на-
называютъ такое число а, которое обращаетъ въ нуль f(x) и всъ1
ея послътювательныя производныя до (п — 1)-ой включительно.
Такой корень разсматриваютъ происходящимъ отъ совпадешя п
корней, равныхъ а.
305. Теорема VI (Теорема Коши (Cauchy). Если въ нъко-
торомъ конечномъ интервал^ (а, Ь) функц!и ср и \р непре-
непрерывны, им'Ьютъ въ этомъ интервал^ (исключая или не ис-
исключая границы) единственныя производныя ср' и ip', не
им"бющ1я общихъ корней, то въ данномъ интервал^ суще-
ствуетъ, по крайней Mtpt, одно число f, не совпадающее
съ границами, для котораго
q(b) c[{a) y/(g)
Такъ какъ при формулировка теоремы, конечно, нельзя вводить
*) Полагая fix) = sin — , при х > 0, и /@) = 0, имЪемъ и /I —I = 0
х \л1
11 2
/' (х) = т, cos - обращается въ 0 для всЪхъ х = /г> , , -— , гдЪ k цЪлое
Х- X B R -\- 1) .1
число, большее 0.
294 III, 2. теорш производныхъ. §§ 305—307
величинъ, не имЪющихъ смысла, то въ написанной формул-Ь заклю-
заключается предположеше, что, по крайней Mtpt, для одной изъ функшй,
напримЪръ гр, значешя ея на границахъ интервала не равны между
собой. При этомъ предположена всегда можно подобрать постоян-
постоянное число k такъ, чтобы функцдя <р(х) — kip(x) имЪла равныя зна-
значешя на этихъ границахъ; для этого стоить только положить
(р (a) — kip (а) = (( (Ь) — k \p (Ь)
и въ виду услов1я 1р(а) ЗЕ Ц>(Ь) вывести отсюда
k =
д (b) - V (a)
- V (а) '
Теперь функщя <р {х) — k\p (x) во всемъ интервал^ непрерывна, и
им-Ьетъ единственную производную <р'{х) — ktp'(x), которая по тео-
рем-Ь Ролля, по крайней м^рЪ, для одного значешя f внутри ин-
интервала обратится въ нуль, такъ что будемъ им1угь
Такъ какъ ip'(^) не можетъ быть равно нулю, иначе и (р'{^) = 0
вопреки условш, сделанному относительно ср' и 1р', то изъ преды-
предыдущего уравнен1я получимъ
(Случай k = 0 не исключается, а приводитъ опять къ теоремЪ
Ролля). Сравнивая два выражешя для k, мы и находимъ теорему
Коши. ЗамЪтимъ, что теорема остается справедливою и въ томъ
случа-в, когда д>' и ip' обращаются въ нуль на границахъ интер-
интервала, или не существуютъ на этихъ границахъ; съ другой стороны
теорема можетъ не им-Ьть мътта въ случай разрыва одной изъ функ-
шй на одной изъ границъ.
306. Теорема VII. (Теорема Лагранжа). Для всякой функ-
uin f(x), непрерывной въ конечномъ интервал^ (а, Ь) и
имеющей внутри его единственную производную, имЪемъ
f{b) -/(а) = F- а)/>®,
HtKOTopoe число въ HHTepeaflt {a, b), отличное отъ
границъ.
Это непосредственное сл-Бдегае теоремы Коши. Стоитъ только
положить <р(х) = fix), Ц){х) = х, и заметить, что ip'(x) = 1.
307. CfltflCTBiH. а) Функц1я, производная которой рав-
равна нулю, есть число постоянное. Д-Ьйствительно, если f'(x)=0
для всякаго х въ (я, Ь), то теорему Лагранжа можно прим-Ьнить
§§ 307—308 свойства производныхъ. 295
ко всякому интервалу {а, х), верхняя граница котораго не больше
Ь, и получить, что fix) = f(a), т. е. равно постоянному числу. Эта
теорема есть необходимое дополнете къ теореме III, дополнеше, ко-
котораго никакъ нельзя было бы сделать къ аналогичной теореме II.
Надо особенно подчеркнуть, что f (x) есть единственная произ-
производная, и что теорема не имела бы места, если бы, напримЪръ, про-
производная справа всегда равнялась нулю, какъ это имЪетъ место
при у = [х].
Ь) Две функц1и, имбющ1я одну и ту же производную,
могутъ отличаться одна отъ другой только на постоянное
число. Действительно, если <p' = ip', то производная отъ ср — tp есть
нуль, и разность <р — ip есть постоянное число. Следовательно, если
известна одна первообразная функщя F{x) отъ f{x), т. е. функщя,
производная которой есть f{x), то все друпя первообразныя функ-
цш будутъ заключаться въ формуле F(x) + С, где С произволь-
произвольная постоянная.
308. Прим-Ьчашя. а) Чтобы показать, что теорема Лагранжа
можетъ не им"бть м-Ьста въ случай невыполнешя какого нибудь изъ
услов)й, перечисленныхъ въ ея формулировк-fe, достаточно привести
функщю равную — при д-З^О и равную 0 при х = 0. Применяя
теорему Лагранжа къ интервалу (а, Ь), границы котораго отличны
отъ нуля, получимъ $1 = ab, что невозможно, если а и b разныхъ
знаковъ, т. е. если въ интервал^ (а, Ь) заключается значеше х = 0,
при которомъ /'(х) не существуетъ. Да и въ томъ случай, когда
это значеше лежитъ на границ^ интервала @, х) получаемъ невоз-
невозможное равенство ?2 = — х2, объясняемое исключительно разрыв-
разрывностью функши на нижней границе.
Ь) Разсмотримъ общн-fee функшю f\x), которая съ одной сто-
стороны, напримеръ, справа отъ а не конечна, но можетъ иметь един-
единственную производную, понимая подъ этимъ, что эта производная
существуетъ въ достаточно маломъ интервале (я, х), но не при
х — а; кроме того, мы допускаемъ, что съ приближешемъ х къ а
функщя не перестаетъ принимать значешя, сколь угодно болышя по
абсолютной величине. Теорему Лагранжа можно следовательно при-
применить къ интервалу (а, х) за исключешемъ нижней границы,
т. е. къ интервалу (х1, х), где х' ^> а и какъ угодно близко къ а.
Положимъ теперь, что задано по произволу сколь угодно большое
число /; по условт можно указать такое число х', чтобы \f(x')\
была какъ угодно велика и потому можно удовлетворить нера-
венствамъ
',/(*') -/(.г) I > (.v - а) I или \х - *') \f (|) | > (х - а) I > (х - х') I
и, наконецъ, !_/"'(!) |>/, где f лежитъ между х' к х к стремится къ
а, когда х приближается къ а. Итакъ, если съ приближещемъ
296 III, 2. теор1я производныхъ. § 308
независимой переменной къ конечному пределу фyнкцiя,
имеющая единственную производную, принимзетъ сколь
угодно болышя по абсолютной величине значешя, то та-
кимъ же свойствомъ пользуется и производная.
c) Еще проще можно показать, что если функщя, имею-
имеющая единственную производную, стремится къ конечному
пределу при безпред"Ьльномъ возрастали независимой пе-
переменной, то производная либо стремится къ нулю, либо
колеблется, не приближаясь ни къ какому пределу. Въ са-
момъ деле, фиксируя некоторое число а и взявъ х~^>а, изъ ра-
равенства f(x) —/(а) = (х — «)/'(!) заключаемъ, что (х—а)/'(|) при
безпредёльномъ возрасташи х стремится къ конечному пределу, а
потому Y\mf\?) = 0. Нужно, однако, остерегаться считать последнее
з;=эо
равенство равносильнымъ равенству \\m.f\x) = 0, потому что хотя
? и можетъ принимать сколь угодно болышя значешя, если возьмемъ
а достаточно большимъ (х > f > а), но изъ этого не слъ\цуетъ,
что f можетъ принимать все значешя, болышя любого даннаго
числа. Можно только утверждать, что \\mf\x) либо равенъ нулю,
либо не существуетъ. Во всякомъ случай etpHo будетъ утвержде-
Hie, что f'{x) при безпредъ'льномъ возрастан!и х не перестаетъ
принимать значешя, сколь угодно малыя по абсолютной BeflH4HHt.
Эти слъ\цств1я теоремы Лагранжа, равно какъ и сама теорема, мо-
гутъ быть весьма легко геометрически интерпретированы, но чтобы
не впасть въ искушеше приписать этой интерпретации силу доказа-
доказательства, мы на ней не остановимся и рекомендуемъ читателю еще
разъ прочесть зам-Ьчашя въ § 294, е.
d) Теорем^ Лагранжа можно дать форму равенства -г— = /'(?),
ОХ
принимая во вниман1е, что дх относится къ некоторому определен-
определенному значен1ю х = а (т. е. полагая дх = х — а). Замътимъ, что
теорема будетъ справедлива и въ томъ случае, когда /'(а) не су-
существуетъ, потому что во всехъ нашихъ разсуждешяхъ мы исклю-
исключали границы интервала, чтобы не вводить лишнихъ ограниченШ,
предполагая функщю f(x) лишь непрерывною на границахъ интер-
интервала и ничего не предполагая о производной на этихъ границахъ.
Если /'(а) существуетъ, то изъ теоремы Лагранжа вытекаетъ, что
съ приближешемъ дх къ нулю limf'(^) =f'(a). И здесь левую
часть не следуетъ смешивать съ \imf('x), хотя съ приближешемъ х
къ а и f стремится къ а. Въ самомъ деле, число f, хотя и заклю-
заключается всегда между х и я, можетъ и не принимать всехъ значешй
въ окрестности а (срав. § 260), а потому можно только утверждатьг),
См. Qenocchi—Peano „Calcolo" стр. 50.
§ 308 свойства ироизводныхъ. 297
что, съ приближешемъ яг къ a, f'(x) проходить черезъ без-
численное множество значешй, какъ угодно близкихъ къ /'(а).
Этимъ, однако, не исключается возможность принимать ей и друпя
значешя, мЪшаюшдя ей стремиться къ какому нибудь пределу. При-
мтэромъ такого случая можетъ служить функщя fix) = x2 sin —,
(/@) = 0), для которой у'@)=0, между тЪмъ, какъ f'(x) =
= 2х sin cos —, ни къ какому пределу не стремится съ при-
X X
ближешемъ х къ 0, вслъ\цств1е постояннаго колебашя cos — между
— 1 и +1. Теорема Лагранжа даетъ
х sin — = 2 g sin — — cos — .
х ь ?
отсюда слтздуетъ, что lim cos -— = 0, а это показываетъ, что ^ такая
разрывная функщя отъ х, которая стремится BMtcrb съ *• къ 0,
при чемъ значешя, которыхъ она не принимаетъ, безконечно много-
численн%е ^хъ, черезъ которыя она проходить (XXVII). Другой
примтзръ даетъ функщя
/(л-) = * sin log л, (/@) = 0),
для которой имтземъ, по теорем^ Лагранжа,
sin log x = У 2 sin tj + log g\ ¦
^7- + log§) не можетъ быть больше \, то въ сколь
угодно маломъ интервал!- @, h) будетъ безчисленное множество
интерваловъ, въ которые f не попадаетъ никогда. Эти интервалы
принадлежатъ послъ\цовательности (q, q2), (qB, q^), (qb, qe),.. , rat
SI
q = e~~* . (XXVIII.)
e) Изъ предыдущихъ 3aMt4aHift сл-Ьдуетъ, что всякая функщя,
которую можно разсматривать, какъ единственную производную
другой функщи, можетъ имтлъ лишь разрывы 2-го рода *). Иными
словами, если подвижная точка М' на кривой стремится совпасть
съ неподвижною точкою М, и касательныя въ точкахъ М и М'
вполн-Ь определены, то подвижная касательная въ М' либо стре-
стремится къ совпадешю съ касательного въ М, либо вообще никакого
предтзльнаго положешя не им^Ьетъ. Конечно, производная можетъ
*) Потому что либо lim/'(x) —/'{а) и f (x) непрерывна, либо
\\т/'(х) не существу етъ, т. е. f'{x) им^Ьетъ разрывъ 2-го рода.
298 III, 2. теорш производныхъ. §§ 308—309
иметь и обыкновенные разрывы, но тамъ, где таковые встретятся,
можно быть увереннымъ, что производная справа не равна произ-
производной слива. ПримЪромъ можетъ служить функщя
производная которой равна [х] для не ц%лыхъ значенШ х. Обыкно-
Обыкновенные разрывы последней представляются при каждомъ ц-Ьломъ
значенш х, въ виде скачковъ отъ производной слева, равной х—\,
къ производной справа, равной х.
Дополнешя къ теорш пред'Ьловъ.
309. Благодаря последнимъ теоремамъ мы можемъ подгото-
подготовить теперь переходъ отъ чистой теорш въ неменее интересную
область практическихъ приложенШ теорш пред'Ьловъ. Прежде всего
мы выведемъ изъ теоремы Коши другую важную теорему, съ по-
помощью которой можно будетъ заполнить одинъ пробълъ (§ 263)
въ теорш пред'Ьловъ. Эта теорема дастъ намъ возможность вычи-
вычислять пределы многихъ функщй, которые при нъкоторыхъ значе-
шяхъ независимой переменной представлялись бы въ виде выраже-
шй, не имъющихъ смысла, какъ то
°, -, 0 -со, со -ее, 0°, ссО 1="
0 сю
если бы мы применили къ нимъ обыкновенныя правила перехода
къ пределамъ. Замътимъ теперь же, что все вышеприведенныя
формы приводятся къ двумъ первымъ, единственнымъ, о которыхъ
будетъ идти речь въ формулировке нижеследующей теоремы. Дей-
Действительно, если произведете двухъ функщй <р, tp, съ приближе-
юемъ х къ некоторому пределу, стремится принять форму 0 • оо,
то достаточно заменить его частнымъ отъ делешя w на - , чтобы
перейти къ первой или второй форме. Точно также, когда разность
ср — ip стремится принять форму оо — оо, достаточно раземотреть
эту разность, какъ произведете <р на 11 — —), чтобы придти къ
V 1 г
предыдущему случаю, при условш, что — стремится къ I, безъ ко-
тораго разематриваемая разность не могла бы оставаться конечною.
Къ тому же случаю приводится и разыскаше предела отъ g)v, когда
(р стремится къ нулю или безконечности, a ip стремится къ нулю,
или когда <р стремится къ 1, a tp къ безконечности. Достаточно
раземотреть логариемъ этого выражешя, т. е. iploggp, который при-
нялъ бы форму 0 • оо, если бы ошибочно (и безполезно) приме-
§§ 309—310 дополнЕнш къ теорш пред-ьловъ. 299
нили къ нему правило разыскашя предала произведешя конечнаго
числа сомножителей, когда пределы этихъ сомножителей су-
ществуютъ.
310. Теорема VIII. (Теорема Лопиталя. (L'Hospital) Если
две непрерывныя функши одновременно стремятся къ нулю
или безконечности, когда независимая переменная стре-
стремится къ конечному пределу или безпредЪльно возра-
стаетъ, и если при этомъ отношен1е производныхъ стре-
стремится къ некоторому пределу, то къ тому же пределу
стремится и OTHomeHie самыхъ функцдй, предполагая, что
производныя въ окрестности а не имтэЮтъ общихъ кор-
корней, или, въ случай безпредтзльнаго возрасташя перем-Ьн-
ной, не им+>етъ сколь угодно большихъ общихъ корней.
При этомъ еще предполагается, что, за исключен1емъ
значен1я х = а, производныя существуют^ и единственны.
а) Положимъ сперва, что, съ приближешемъ х къ а, д>(х) и
гр{х) стремятся къ 0, такъ что, въ силу непрерывности ихъ, имЪемъ
<р(а) = 0, ip(a) = 0. Взявъ х достаточно близкимъ къ а, чтобы въ
интервал^ (я, х), за исключешемъ границъ, не было ни одного
числа, обращающего одновременно въ нуль <f' и ip', по теорем^
Коши, будемъ им+>ть
<( (х) _ у (-у) — д (а)_ = д' 'р
V (->-") V (-V) — 'V (а) у/ (|)'
nrfc f, лежащее между а и х, стремится къ а вм-ЬсгЬ съ х. Отсюда
cлtдyeтъ
если прецтзлъ въ правой части существуетъ. Это заключеше
остается справедливымъ и въ томъ случай, когда х, вм-Ьсто того,
чтобы стремиться къ а, возрастаетъ безпред-Ьльно. Действительно,
иоложивъ х = —, можемъ написать
,. q>(x) ,
hm ^-У- = Urn
При этомъ предполагается, что функщи wl—) и 1/> I—), непрерыв-
ныя при sigO, непрерывны и при z = 0, что заставляетъ припи-
приписать имъ значеше нуль при z = 0. Чтобы можно было применить
теорему Коши, безъ всякихъ сомнтэШй, нужно, кроме того, допустить
300
III, 2. теорш производныхъ.
§ 310
существоваше такого числа /, что при х > / никогда ip'(x) и
(f'(x) одновременно не обращаются въ нуль. Аналогичными сообра-
>ьешями полученный результатъ распространяется на тотъ случай,
когда х стремится къ — оо, при чемъ z стремится къ нулю слтэва.
Ь) Положимъ теперь, что, при безпред-Ьльномъ возрастанш х,
<р(х) и ip(x) также безпредЪльно возрастаютъ, и что отношете
производныхъ стремится при этомъ къ пред-Ьлу /. Это yaioeie тре-
буетъ, чтобы при произвольно заданномъ сколь угодно маломъ по-
ложительномъ числЪ е можно было указать такое число а, чтобы
при х ^> а всегда выполнялось неравенство
<Pr(x)
W' {x)
< е.
Полагая, что а выбрано достаточно болыиимъ, чтобы въ интервалъ1
(а, оо) не заключалось ни одного общаго корня функщй <р'(х) и
ip'(x), можемъ приложить теорему Коши, которая дастъ
<р(х) = <р (х) — <р (а)
ц> (х) Ц> (х) — щ> (я)
1 -
У> (а)
V (х) _ <р' (с)
ч> И
v'(l)
l -
<р(а)
<p(x) <p (x)
при всякомъ х > а и нЪкоторомъ f, лежащемъ между а и х.
Теперь будемъ увеличивать х безпредЪльно, не изменяя а. Первый
множитель правой части остается всегда между / — е и / -f- 8; второй
стремится къ пределу 1, и потому попадаетъ въ концЪ концовъ
въ интервалъ A—е, 1 -\- е) и остается въ немъ. Отсюда слЪдуетъ,
что, начиная съ нЪкотораго значешя х (отъ котораго зависитъ и |),
всегда будемъ им-Ьть
<Pf (s)
V'(s)"
1 -
1 -
V(a)
<Р (а)
q>(x)
S'e,
01 и I 0' меньше 1. Отсюда
Назначивъ теперь сколь угодно малое положительное число г/, до-
достаточно, при / ^ 0, взять
или
в = —-— при / = 0, чтобы получить въ первомъ случаъ
= |9 + /8' + Н/е|-е<A+2|/|)е<ч
<р{х)
4>(х)
310 — 311 ДОПОЛНЕН1Я КЪ ТЕОР1И ПРЕД-ЬЛОВЪ. 301
во второмъ. Итакъ, въ обоихъ случаяхъ
lim ^ = /,
а—оо Ц! (X)
что и доказываетъ теорему въ случаъ Ь). Теорему можно считать
справедливою и въ томъ случа-fe, когда числитель въ отношеши
У-Щ остается конечнымъ и, следовательно, отношеше имъетъ пре-
д-Ьломъ нуль, потому что тогда отношеше производныхъ не мо-
жетъ стремиться къ пределу, отличному отъ нуля. Чтобы это пока-
показать, достаточно написать
1 = Шп=иш = 1+Нш;
V (х) ц>' (х) у' {х)
Если, наконецъ, х вмъсто того, чтобы возрастать безпредъльно,
стремится къ конечному предълу а, то теорема остается справед-
справедливою. Полагая х — а = — , можемъ написать
0
hm ^-И- = hm — -I = lim -f = lim
h) ^h)
hi)
что и требовалось показать.
311. npHM^fenaHifl. а) При разысканш предала -^Vr въ томъ
случав, когда х стремится къ я, можетъ случиться, что числа у'(а),
tp'(a) не существуютъ или оба равны нулю, а теорема остается спра-
справедливою, потому что лишь въ окрестности х = а, а не при
х = а, производныя должны существовать и не им1пъ общихъ кор-
корней. Если объ производныя обращаются въ нуль при дг = а, оста-
оставаясь непрерывными, то при разысканш предала ихъ отношешя мы
имЪемъ передъ собою ту же задачу, которую им"Ьли въ началъч
Если, однако, всЬ друпя услов1я теоремы выполнены и для отношешя
производныхъ, то мы можемъ снова применить теорему, переходя
ко вторымъ производнымъ, загЬмъ, если нужно, къ третьимъ и т. д.
Ь) Н-Ькоторыя изъ замЪчашй, сдъланныхъ раньше, выдвигаютъ,
повидимому, трудно устранимое возражен1е противъ теоремы Лопи-
таля. А именно, кажется, что вытекаюиий изъ нея процессъ разы-
скан1я предала отношен!я всегда будетъ фиктивнымъ, не ведущимъ
къ цътш, когда обт^ функщи qp и tp возрастаютъ безпред-Ьльно съ
302 III, 2. теорш производныхъ. § 311
приближешемъ переменной къ конечному предълу, или обе стре-
стремятся къ нулю, когда переменная возрастаетъ безпредъльно. дей-
действительно, въ первомъ случаъ объ производныя, какъ было заме-
замечено въ § 308, Ь, тоже возрастаютъ безпредельно или постоянно
колеблятся, а во второмъ обе стремятся къ нулю (§ 308, с). На
это возражете можно ответить следующее: главное значеше про-
процесса, указываемаго теоремою Лопиталя состоитъ въ томъ, что онъ
даетъ возможность преобразовать выражете, пределъ котораго
ищутъ, въ другое, которое не можетъ стремиться къ пределу, от-
отличному отъ искомаго, и представляется обыкновенно въ более про-
стомъ виде, чемъ данное, и допускаетъ таюя упрощешя, после ко-
торыхъ искомый пределъ прямо можетъ быть найденъ.
с) Теорему Лопиталя можно считать справедливою, когда от-
ношеше производныхъ, вместо того, чтобы стремиться къ конечному
пределу, возрастаетъ безпредельно. Въ самомъ деле, положимъ, что
<р и ip стремятся къ нулю съ приближешемъ х къ а. Выберемъ въ
окрестности а такой интервалъ, въ которомъ -—, остается постоянно
больше даннаго сколь угодно большого числа /. Тогда и — для
V
разсматриваемыхъ значешй х будетъ больше /, потому что это отно-
шеше для даннаго х равно отношешю (-, при некоторомъ значенш
? въ интервале (а, х)
сГ (х) ч' (с)
V (х) V (!>)
Следовательно,
,. <Р (х)
lim ±—— = оо,
х=а V (X)
вместе съ
lim V^-=cx3.
Въ томъ случаъ, когда (р и ip возрастаютъ безпред"Бльно, возьмемъ
отношеше —, которое при нашемъ предположена будетъ стре-
стремиться къ нулю одновременно съ ^, а такъ какъ оно, въ концъ
концовъ дълается и остается положительнымъ *), то можно утверж-
утверждать, что — стремится къ оо, вм-bcTt съ ^.
V V
d) Если отношеше производныхъ ни къ какому предълу
не стремится, то изъ этого нельзя заключать, что не существуетъ и
*) Потому что <р и v стремятся къ
§ 311 ДОПОЛНЕНШ КЪ ТЕОРШ ПРЕД-ЬЛОВЪ. 303
предтэлъ отношешя первообразныхъ функцШ. Напримтэръ,
sin х
.. х — sin x ,. х ,
lim .— = hm .— = 1,
^x X + Sin X *=„ j , S'n^
X
между гЬмъ какъ отношеще производныхъ, равное tg21-у), предала
не им-Ьетъ. Действительно, изъ доказательства теоремы слЪдуетъ
только то, что если при безпред-Ьльномъ возрастан!и х или съ при-
ближешемъ его къ конечному пределу, существуетъ предъ\лъ отно-
шен1я функщй (р и ip, то существуетъ первый, а не второй изъ
слтздующихъ двухъ предътювъ:
Игл Щ. Ш К?\-
() (Л)
Число ^, по самой сущности своей, есть нЪкоторая функщя отъ х,
которая вмъхгё съ х стремится къ оо или къ одному и тому же
конечному пределу, однако не должна при этомъ принимать
всЬ значешя, принимаемыя числомъ х, откуда и слъчцуетъ, что
изъ существовашя перваго предала нельзя заключать о существова-
ши второго. Наоборотъ, существоваше второго предала, какъ это и
сказано въ услов1яхъ теоремы, необходимо влечетъ за собою суще-
ствоваше перваго, а вм-Ьст-Ь съ гЬмъ и предала отношен1я перво-
первообразныхъ функщй.
е) Въ обыкновенныхъ приложешяхъ никогда не представляется
случая считаться съ ограничешями, относящимся къ общимъ кор-
нямъ производныхъ. Но полезно указать на возможность такихъ
случаевъ, когда отношеше функщй колеблется въ то время, какъ
отношеше производныхъ стремится къ опредъ\ленному пределу. Такъ,
напримтзръ, если
(р (х) = х -\- sin х cos х, v (х) = (х + sin х cos •*') esina;
то ясно, что отношеще этихъ функщй при безпредъ\льномъ возра-
стан1и х постоянно колеблется между ей —; между гЬмъ отноше-
отношеше производныхъ
Ч' (х)
V' (Xi х т B -|- sin .v) cos д:
очевидно, стремится къ нулю, потому что числитель остается конеч-
нымъ, а знаменатель возрастаетъ безпредъ71ьно BMtcTt съ х. Этотъ
результатъ объясняется тtмъ, что o6t производныя <р'(х) и ip'(x)
обращаются одновременно въ нуль, когда х проходитъ черезъ одинъ
304 III, 2. теорш производныхъ. §§ 311—312
изъ корней соэд:, между которыми всегда находятся числа, превос-
превосходятся любое данное число.
312. Упражнешя.а) Къ какому предЪлу стремится хп е~х при без-
предЪлыюмъ возрастанш х~> При «sO этотъ предЪлъ, очевидно, равенъ
нулю. Если п > 0, то положимъ, что v есть наибольшее неположительное
число (у S 0) въ ряду чиселъ п — \, п~2,... При безконечномъ х
имт>емъ
хп х"—1 хп~2
lim хп е~х = lim — = п lim = п (п - 1) llm = • • •
ех ех ех
= п (п - 1) (« - 2) • • • О + 1) lim — = 0,
ех
Иными словами, ех возрастаетъ до безконечности быстрее, ч^мъ какая угодно
степень числа х. Заменяя х черезъ log x (и следовательно ех черезъ х),
найдемъ отсюда, что log x возрастаетъ до безконечности столь медленно, что
любая его степень съ какимъ угодно показателемъ возрастаетъ медленнее,
ч-вмъ х. Этотъ результатъ можно получить и непосредственно съ помощью
теоремы Лопиталя, написавъ
Пред^лъ хх при х безконечномъ можно найти слътгующимъ образомъ (.при-
(.принимая во внимате непрерывность log x)
1 Х !
limlogx* = lim-^— = 0, log \\mxx = 0, \\т хх = \.
Если въ полученныхъ результатахъ замЪнимъ х на—, то найдемъ
lim х log» x = 0, lim xx _ \.
Ь) Чтобы вычислить предЪлъ cos x log sin x — log tg ^ съ приближе-
шемъ х къ 0, перепишемъ данное выражеше въ вид^Ь
X X
log 2 • cos x + A + cos x) log cos - — A — cos x) log sin-^-.
Первый членъ им^Ьетъ пред^ломъ log 2, второй стремится къ 0, третШ, оче-
очевидно, равный — sin2 f-^j log sin2(^j стремится также къ нулю, на основа-
ши посл-Ьдняго результата предыдущаго упражнешя. Итакъ,
/ х\
lim (cos x ¦ log sin x — log tg -~ I = log 2.
0\ s/
с) Для поверки полученнаго раньше (§ 270, а) результата, замЪтимъ,
что съ приближешемъ х къ 0
sin х .. cos x . .. tg^ 1 ,
lim = lim —:— = 1; lim -=— = lim —5— = 1 .
X 1 X COS2*
§ 312 Д0П0ЛНЕН1Я КЪ ТЕ0Р1И ПРЕДВДОВЪ. 305
Теорема Лопиталя даетъ далее сл-вдующде результаты, предполагая везде
предЪлъ х = 0:
,. a — у а* — x* ,. f » — .v- и
hm = hm = —,
a
ax—bx ax log a - bx log b °S~d
hm = hm — = ;
cx __ dx cx lQg c_dx ]og rf ^
,. sin* — д? cos x 1,. sinx 1
hm 5 = -7; hm = -^,
x3 3 л; 3
.. x — sin яг 1 ,. 1 — о.оъ x 1 sin л; 1
hm » = -^ hm = = — hm = -г-,
x3 3 дг2 6 x 6
2л; — 3 sin x + д; cos x 1 .. 2 — 2 cos л; — д; sin x
lim p = -^ hm
1 ,. sin x — x cos x 1
= 20llm х-* = 60'
X X X
._ „ , ,,. . s . „ 4 sin^ + sm л; cos -=r — Здгсов-г-
(9_i_ 6 cos x) л; — A4 + cos дЛ sin л: 2,. 2 2 2
hm -—! s = -=f hm = .
x> 7 x°
_ 3 .. x — sin, _ 1
= 70 m x$ = 140'
d) Подобнымъ же образомъ найдемъ
hm
* 1 .. l-cos2x 1 ,. ltgx\2 1
—5— = -к bm —5 5— = -7Г lim (-=— = -=¦
x3 3 x2cos3x 3 \ x I 3
или иначе
tgx — x ,. sin x — л; cos д: ,. sin x — # cos x 1
hm ——=— = lim 5 = lim r = T •
Xs X6 COS ДГ Xs 3
Если для вычислешя предала —^ — cot2 x мы напишемъ данное выражеше
sin2 х — х2 cos2 x sin x + # cos дг sin * — х cos дг дг2
то тотчасъ заметимъ (не прибегая къ теореме Лопиталя), что первый мно-
множитель имеетъ пределомъ 2, а второй и третШ пределы,- какъ уже знаемъ,
равны соответственно \ и 1. Следовательно,
lim I—g — cot2,) = -х--
е) Мы знаемъ (§ 270, d), что
lim A + х)х = е.
1
Естественно является вопросъ, какъ быстро убываетъ разность е — A+х)х
съ приближешемъ х къ 0, и приводить кь следующему вычислешю
20
306 III, 2. теор1я производныхъ. § 312
1
lim = e lim
,lm llm
2 л 2 1 + л- 2
Такимъ же образомъ найдемъ
цт (!+*)* 2~е = 1 Ит
2 4
= Ит
л;2 4 х'д
е х — log(l + л;) е 1
1т 1^—= !11тГ
fi Если желаемъ найти предЪлъ
х — У~(х — а) (х - Ь)
при безконечномъ х, то выгодно будетъ положить х — — и приближать
къ 0. Тогда данное выражеше приметъ видъ
1 - У(\-ае) (\-~Щ
и пред'Ьлъ его равенъ пределу
при z = 0. Итакъ,
lim [х - у {х-а) (х- 6)) = -^ (« + 6).
Къ тому же результату можно придти, не прибътая къ теорем* Лопиталя,
написавъ данное выражеше въ вид*
.... , а + о
(я + о)х — аи х
У(х-а)(х-Ь)
g) Бол^Ье общ1й результатъ состоитъ въ сл^дующемъ: если двЪ функ-
щи отъ х, q> и ц>, возрастаютъ безиред^льно вмътгЬ съ х, и известна такая
функщя/, для которой отношетя — и у стремятся къ конечному, не равному
нулю, пределу k и, кромъ того, изврЬстенъ предЪлъ / выражешя f. У/,
то легко найти и предълъ у~ ___ у~_ д-Ьйствительно,
v 2У* У/
§§ 312—313 изсл-ьдованш функщй. 307
При f=(p = x2, у = (лг —я) (х — Ь) получимъ снова предыдущей примЪръ.
Аналогично этому трактуется случай корней и-ой степени, и получается
lim("l/"m — l/"™) = "~ 1™ ^~ '
если пред*лъ второй части существуетъ и отношешя <р и у къ дг" стре-
стремятся къ 1 при безконечномъ х. Въ частности, им-Ьемъ
» —j '>-- _ = «__6
Изсл-Ьдоваше функщй.
313. Къ важн'Ьйшимъ приложешямъ теоремы Лопиталя при-
надлежитъ разыскан1е абсолютныхъ maxima и minima функ-
функщй (§ 301). Мы уже вид-Ьли (§ 302), что если функщя f(x), HMt-
ющая единственную производную/'(-г)) при х = а проходитъ че-
резь maximum или minimum, то /'{а) = 0. Положимъ теперь, что
при х = а обращаются въ нуль всЬ послътшвательныя производныя
до порядка п исключительно *), или какъ говорятъ (§ 304, Ь), что
а есть корень (и— 1)-ой кратности отъ f'{x). Повторнымъ npHMt-
нен1емъ теоремы Лопиталя, полагая, что х стремится справа или
слЪва къ а, получимъ
Л111 11111 ,- . - ' ,
/ ,т\'^ // (ОС Cl\H~~ fl
а такъ какъ по опред^лен1ю f(n){a)
f(n—l) , л Лп'Л)(л-\ -
m
x ~ a
то окончательно найдемъ
Ш =/(B)
J
(л- - a)" n!
Зам1;тимъ, что къ тому же результату мы могли бы придти, при-
применяя еще одинъ разъ теорему Лопиталя, но тогда надо было бы
допустить существоваше /<~п>(х) въ смежности съ х = я, а для даль-
н-Ьйшихъ заключен1й достаточно одного существовашя fin\a). Воз-
Возвращаясь къ полученному результату, зам-Ьчаемъ, что съ приближе-
н1емъ х къ a f{x) —f{a) въ конце концовъ принимаетъ и сохра-
*) Т. е. f(a) =/"(«) = ¦•¦ =/(и)(«) = 0, /{п\а) ss 0.
20*
308 III, 2. теорш производныхъ. §§ 313—314
няетъ знакъ числа (х — а)"/(п^(а). Знакъ этого числа изменяется
вместе со знакомъ числа х — а при п нечетномъ, и не меняется, а
совпадаетъ со знакомъ числа f(fi) (а) при п четномъ. Изъ этого сл%-
дуетъ, что въ первомъ случай f{a) не будетъ ни maximum, ни mi-
minimum, а во второмъ наверно maximum или minimum. Иными сло-
словами: значеюя переменной х, при которыхъ fix) есть ma-
maximum или minimum, будутъ простыми корнями или кор-
корнями нечетной кратности производной f'(x). Смотря по тому,
будетъ ли f(n\a) положительнымъ или отрицательнымъ числомъ, f(a)
будетъ minimum или maximum (при п четномъ), а въ случае п не-
четнаго можно сказать, что функщя будетъ возрастающею или убы-
убывающею. При этомъ всегда надо помнить, что эта и-ая производная
предполагается единственною. Въ противномъ случа-fe, какъ мы уви-
димъ, заключешя наши могутъ не оправдаться.
314. Упражнешя. а) Изъ всЬхъ прямоугольниковъ, им-Ью-
щихъ одинъ и тотъ же данный периметръ, квадратъ имЪетъ наи-
наибольшую площадь. Действительно, если х длина одной изъ сторонъ, 2я
данный периметръ, то площадь измеряется числомъ у = х(а — х). Произ-
Производная у' = а — 2х обращается въ нуль только при х — —, а такъ какъ
вторая производная — 2 число отрицательное, то при х = -= функщя^
получаетъ максимальное значеше —г. Точно такъ же, изъ вс^хъ пря-
прямоугольниковъ, имеющихъ данную площадь а2, квадратъ имЪетъ
наименьш1й периметръ. Действительно, если х длина одной изъ сто-
ронъ и 2у периметръ, то у = х -\ , у —\ ^, у = —д-. Первая про-
производная обращается въ нуль при х = а и при х = — а. При первомъ зна-
чеши у" > 0, при второмъ у" < 0, и функщя у имеетъ minimum 2 a при
х = а и maximum (— 2я) при х = — а. Но лишь первое решеше даетъ
ответь на вопросъ, такъ какъ онъ требуетъ, чтобы х было больше 0.
"""" Ь) Предложимъ себе построить коробку наибольшего объема
изъ четырехугольнаго листа, вырезывая на углахъ его четыре равныхъ
квадрата. Если а и b обозначаютъ длину и ширину листа, х высоту коробки,
то ея объемъ выразится числомъ
у = #(« - 2л:) (й - 2х) = аЬх - 2(« + Ь)х2 + 4х*.
Приравнивая нулю перв}^ю производную у' = аЪ — 4(я + Ь) х + 12х2, по-
лучимъ
х = I (а + Ъ + Уа2 - ab + б2).
Вторая производная у" = — 4(я + V) + 24л: принимаетъ тогда значеше
Чтобы получить maximum надо здесь удержать знакъ —, т. е. взять
х = ¦? (а + Ь) — У а2 — аЪ + Ь2. Это число всегда заключается между ? а
и ? Ь. Второе значеше для х не даетъ р-Ьшешя вопроса, потому что это
значеше больше половины наименьшего изъ двухъ измерешй листа.
§ 314 ИЗСЛЪДОВАШЕ ФУНКЩЙ. 309
с) Если хотимъ изслЪдовать функцш у = хх въ интервале @, оо),
то можемъ начать съ того, что если положимъ х — — и будемъ приближать
х къ 0 справа, то z будетъ стремиться къ к>, у = — и lim_>' = 0. При х = \
у = 1, а при безпредЪльномъ возрастали х у стремится къ тому же зна-
чен1ю 1 (§ 312, а). Отсюда понятно, что при измЪненш х отъ 1 до оо, у
проходитъ черезъ minimum или maximum, и не трудно предусмотреть, что_у
пройдетъ именно черезъ maximum, потому что при х > 1 и у > 1. Чтобы
въ этомъ вполне удостовериться, замътимъ, что производная
1-2
у' = хх A-log*)
положительна при х < е и отрицательна при х > е, и что функщя изъ воз-
возрастающей становится убывающею при переходе х черезъ е. Максимальное
1
ея значеше при х = е равно ее = 1,444667 ... Если бы мы хотели удостове-
1
риться при помощи изследовашя у", что при х = е, хх будетъ maximum,
а не minimum, то надо было бы заметить, что изъ
У 1 - log* .„„„__ УУ" -У'2 _ 3 - 2 log х
— = 5 слъдуетъ = 5
у х- У х
Полагая х = е, у = ее, у' — 0, получимъ у" = — е" , чего и достаточно,
1 1
чтобы утверждать, что е" есть maximum функцш хх.
d) Предложимъ себе найти основашя техъ логариемиче-
скихъ системъ, въ которыхъ логариемъ некотораго числа мо-
жетъ равняться самому числу. Пусть а искомое основаше и log x
логариемъ х по этому основашю. Дело сводится къ изследовашю вопроса,
можетъ ли функщя у = х — log x обратиться въ нуль при некоторомъ зна-
чен!и х. Ясно, что какъ при достаточно маломъ положительномъ х, такъ
и при х достаточно большомъ у будетъ положительными Следовательно,
чтобы функщя у могла обратиться въ нуль, необходимо и достаточно, чтобы
наименьшее ея значеше было меньше или равно 0. Этотъ minimum соответ-
, , Log e .
ствуетъ тому значешю х, при которомъ у' = 1 ^— = 0, т. е. х = Log e
и, чтобы удостовериться, что здесь будемъ иметь именно minimum, а не
maximum, достаточно заметить, что при х < Log e у убывающая, а при
х > Log e у возрастающая функщя. Итакъ, наименьшее значеше у равно
1. Чтобы это число было меньше или равно 0,
1 1
необходимо, чтобы было е ? Loge, т, е. 1 S Logee и, следовательно, а ? е'.
e) Какимъ услов1ямъ должны удовлетворять числа р и q,
чтобы трехчленъ x3+px + q обращался въ нуль при трехъ раз-
различи ыхъ вещественныхъ значен1яхъ х? Чтобы функщя^ = х3+/># + <?
могла обращаться въ 0 три раза, когда х изменяется отъ — оо до оо, прежде
всего необходимо (§ 304, Ь), чтобы производнаа у' = 3#2+/> могла обра-
обращаться въ нуль при двухъ вещественныхъ различныхъ значешяхъ х. Это
310 III, 2. ТЕОР1Я ПРОИЗВОДНЫХЪ. § 314
требуетъ, чтобы р было меньше 0. Предполагая это ycroeie выполненнымъ,
заметимъ, что въ первомъ и третьемъ изъ трехъ интерваловъ
У > О, а въ среднемъ у' < 0 *). Поэтому въ каждомъ изъ этихъ интерва-
ловъ функщя у можетъ обращаться въ нуль только одинъ разъ, а для
того, чтобы она действительно обращалась въ 0 въ такомъ интервале,
необходимо и достаточно, чтобы ея значешя на границахъ интервала были
числами разныхъ знаковъ. Такъ какъ на границахъ средняго интервала
у принимаетъ значешя
(maximum и minimum въ абсолютномъ cмыcлt), то прежде всего не-
необходимо, чтобы эти числа были разныхъ знаковъ, т. е. чтобы было
Oi или 4^
Это услов1е и достаточно, потому что, когда оно выполнено, то непре-
непременно р < 0, и функщя у, убывающая въ среднемъ интервале, имеетъ на
нижней его границе знакъ -|~, а на верхней —, а потому обращается въ
нуль и въ другихъ двухъ интервалахъ (XXIX).
f) Докажемъ, что въ эллипсе разстоян1е отъ центра до любой
нормали не превосходитъ разности полуосей. Уравнешю эллипса
№х2 + Фу1 = а2Ъ2 можно удовлетворить, положивъ х = a cos ср, у = b sin q>,
где <р изменяется отъ 0 до In. Чтобы найти угловой коэффищентъ каса-
касательной (§ 293), т. е. у1, где у есть функщя отъ х, определяемая уравне-
шемъ эллипса **), замечаемъ, что изъ этого уравнешя имеемъ
,,,„,„ , b2x bcos(f
№х + а1у у' = 0, у' = 5~ = ;—- •
а2у a sin q;
Поэтому уравнеше нормали будетъ
, . a sin q> . .
у — Ъ sin ф = т (х — a cos <p),
т. е. ах sin <р — by cos у = (а2 — b2) sin <p cos <p. Следовательно, разстояше
отъ центра до нормали будетъ
, _ (а2 — b2) sin q: cos cp
Теперь надо взять производную отъ к по ср, и приравнять ее нулю. Но
удобнее будетъ сперва заметить, что
1а2-Ь2\2 я2 Ъ2 ,,,,,,,,,, д, ^
\ h I cos2<p ' sin2 (f &
*)У^+, = з[, + /Г]1[,-/Г|].
**) Т. е. такая, при которой функщя Ь2х2 + а2у2 равна постоян-
постоянному о2*2, а следовательно, производная ея 2[Ь2х + а2уу'] равна нулю.
§ 314 ИЗСЛЪДОВАНШ ФУНКЩЙ. 311
откуда видно, что разыскаше наибольшаго значешя h сводится къ разы-
скашю наименьшаго значешя функщ'и a2tg2<p + 62cotg2<p, т. е. суммы двухъ
перемЪнныхъ величинъ, произведете которыхъ равно постоянному числу.
А этотъ вопросъ былъ i въ другой лишь форме i рёшенъ въ первомъ упраж-
ненш *), и мы можемъ утверждать, что maximum h будетъ тогда, когда
a- tg2 <p = b2 cotg2 q, = ab, т. е. при tg <р = ± 1/ —, а тогда
г (X
— Ь2\2
-
h
= ф -\- Ь2 + 2 я b = {а + ЬJ, следовательно, h = а — Ь.
g) Можно доказать, что св-Ьтъ употребляетъ наикратчайшее
время для перехода отъ одной точки къ другой, когда эти точки лежатъ
въ разнородныхъ средахъ, отдЪленныхъ одна отъ другой плоскостью. Въ
самомъ д-Ьл-fe, пусть а и Ь будутъ разстояшя данныхъ точекъ, лежащихъ въ
разнородныхъ средахъ, отъ разделяющей плоскости; q, — уголъ падешя,
i/> — уголъ преломлешя; nv и ^'скорости св^Ьта въ первой и второй среде.
Время, потребное для перехода отъ одной точки къ другой, будетъ равно
/-U + U
V \ПCOS (f COS ipj
Углы ср и if> связаны соотношешемъ
atgq, + btgip = const. (XXX).
откуда, взявъ производную по tp, получимъ
cos2 rp cosJ
Тогда будемъ иметь
1 ( a sin q> b sin rp \ _a (sin ф — и sin
)
n cos3 (p ~^ cos2 Ц) ) nv cos2 q;
и, следовательно, чтобы f обратилось въ нуль, нужно, чтобы sings/sin^ = и.
А это и есть известный законъ преломлешя, открытый Декартомъ и уста-
установленный Ферма и Лейбницемъ, какъ частный случай общаго закона
эконом in, управляющаго проявлешями всехъ законовъ природы, даже
такихъ, которые кажутся недоступными метематическимъ изследоватямъ 1).
h) Въ геометрическихъ приложешяхъ часто встречается, что искомый
maximum (или minimum) будетъ относительнымъ (§ 301) и соответ-
ствуетъ некоторому определенному интервалу, въ которомъ принуждена
оставаться независимая переменная въ силу условШ задачи. Тогда вполне
возможно, что производная въ нуль не обращается, и изследовашя, подобный
предыдущимъ, делаются безплодными. Поэтому, когда независимая пере-
переменная не можетъ выйти изъ некотораго интервала, надо или изменить
выборъ независимой переменной, или прямо испытать, не получится ли
maximum или minimum на границахъ интервала, могущдй дать ответь на
поставленный вопросъ, не будучи maximum или minimum въ абсолютномъ
смысле. Весьма простой примЬръ даетъ разыскаше наибольшей или наи-
*) Где искали minimum функщи х -}
X
х) См. объ этомъ интересную главу о направлена движен1Я въ
„Основныхъ началахъ". Г. Спенсера.
312 III, 2. теорш производныхъ. § 314
меньшей изъ всЬхъ хордъ круга, имЪющихъ одинъ неподвижный конецъ А
и одинъ подвижный М. A priori ясно, что minimum хорды г будетъ г = 0.
когда М совладеть съ А, и maximum г = 2я, где а рад!усъ круга, когда М
совпадетъ съ точкою В, д1аметрально противоположною съ А. Если выбе-
ремъ А В за ось абсциссъ и А за начало координатъ, то будемъ иметь
rs — 2ax, откуда г г' — 2а и оказывается, что г' не обращается въ нуль
ни въ А, ни въ В. Это происходить отъ того, что переменная х должна
оставаться въ интервале (О, 2а) и что искомые minimum и maximum
получаются какъ разъ на границахъ *). Если выберемъ за независимую
переменную уголъ 9 = МАВ, то г = 2а cos в, г' = — 2а sin в, и при в = 0
получимъ только maximum г — 2а. Это объясняется гёмъ, что 0 остается
, Г п , яП ..
всегда въ интервале ——, -f — , на границахъ котораго и будетъ mi-
minimum, a maximum соответствуем значение 6 = 0, лежащему внутри интер-
интервала. Этотъ maximum будетъ, следовательно, и абсолютнымъ, и г' должна
поэтому обращаться въ нуль. Всякое затруднеше исчезаетъ, если точка А
передвинется по направлешю А В и придетъ въ разстояше b отъ центра.
Тогда г2 — 2 b r cos в + Ь- = а2, откуда, взявъ производную, и полагая г' = 0,
получимъ sin в = 0, т. е. в = 0, г = а + Ь, или 1 = янг = «-4, Взявъ
еще разъ производную, найдемъ
,. br cos Ь + b(a + b) _ b , ,. .
откуда видимъ, что а + Ь есть maximum, а а — b minimum r.
i) Положимъ, что q>{x) функщя, непрерывная въ смежности съ х — 0,
и разрывная 1-го рода при х = 0, при чемъ q>(— 0) < 0, tp{-\- 0) > 0. Такова,
1
ех — 1
напримЪръ, ср(х) = — , для которой ср(— 0) = —1, <р(+ 0) = 1. Функщя
?+\
/(х) = хгср(х) при х = 0 не будетъ ни maximum, ни minimum, потому что
въ смежности съ нулемъ функщя q>(x) непрерывна и им-Ьетъ одинаковый
знакъ съ х; то же самое можно сказать и о функщи f(x), которая, следо-
следовательно, и слева и справа отъ нуля возрастающая. Между темъ
/'@) = linr7-^1—^-^ = lim x(p(x) = 0.
Что касается /"@), то она можетъ не существовать; если же она суще-
ствуетъ, то
/"@) = lim f'^ ~f'(°l = 2 lim7^ = 2 limy (x) = 2<p(± 0M=0,
x
x=±Q
потому что, по теореме Лопиталя,
Щ
*) Производная г' всегда больше 0, г постоянно возрастаетъ, когда х
идетъ отъ 0 до 2а, следовательно, при х — 0 получается minimum г — 0, а
при х = 2а получается maximum г = 2а.
314 изсл-бдованш функщй. 313
Во всякомъ случай /"@) не равна нулю. Итакъ, при х = 0 первая про-
производная отъ f(x) равна нулю, вторая не равна нулю, а между
гЪмъ /@) ни maximum, ни minimum. Это объясняется тъмъ, что f (х)
не имъетъ единственной производной fix).
j) Въ заключеше изслъдуемъ характеръ измънешя функщй Г(х),
определенной въ § 252. Положимъ сперва, что х изменяется отъ 0 до со.
Изъ формулы Вейерштрасса (§ 252, Ь) при помощи логариемироваюя
получаемъ [полагая Г(х-\-1) — х Г (х)]
(A) logr(x) = - log* - Сх + JT Щ - log (l +
Въ § 285 было дано правило для разыскашя производной суммы конеч-
наго числа слагаемыхъ; впослъдствш будетъ доказано, что при извъхтныхъ
услов!яхъ его можно применять и при безконечномъ числЪ слагаемыхъ.
Въ данномъ случай эти услов1я выполнены; применяя упомянутое правило,
беремъ производную отъ log Г(х) и находимъ
x -4- n — 1
l ' 1
откуда получаемъ
Г(х) ^ " - ' х > 2 * + 1 ^ 3 х + 2 '
Правая часть постоянно возрастаете вмъсгё съ х; при *¦ = 1 она при-
нимаетъ значеше 0 < С, а при х — 2 значен1е 1 > С, сл-Ьдовательно, она
только одинъ разъ дЪлается равною С при нЪкоторомъ значен!и ^ между
1 и 2. Это число g и будетъ единственнымъ корнемъ функщи Г'(х). Такъ
какъ при х < | Г' (х) < 0, а при х > g iv (x) > 0, то Г(х) сперва убы-
ваетъ въ интервалъ @, |), а зат-Ьмъ возрастаетъ въ интервал* (g, oo), слъ-
довательно, Г(?) есть minimum функщи Г{х) въ интервалъ @, со). Къ тому
же заключешю приводить равенство
Г® ~ Iя + (s + IJ (t + W + '
(получаемое изъ предыдущего, если возьмемъ опятъ производныя и при-
мемъ во внимаше, что Г'(д) —0). Значен1е корня |, лежащаго между 1 и 2,
можно вычислить весьма точно, съ помощью пр!емовъ, которые будутъ
изложены въ книг* пятой, и нетрудное вычислен}е даетъ
с - 1,4616321 ..., Г(|) - 0,8856032 ...
Когда х возрастаетъ отъ g до со, то Г(х) возрастаетъ безпредъльно, потому
что Г(х + 1) = хГ(х). Она также возрастаетъ, когда х убываетъ отъ g до 0,
и притомъ безпред-Ьльно, потому что
lim хГ(х) = lim Г(х + 1) = ГA) = 1.
к) Теперь предположимъ х отрицательнымъ и воспользуемся формулою
(В) Г(х) - (-l)T(g)
314 III, 2. теорш производныхъ. § 314
где q = х — [х], и [х] = — я IXXXI). Отсюда видно, что значешя Г(х)
при х < 0 зависятъ отъ ея значешй въ интервале @, 1), изъ котораго
исключены границы 0 и 1. Изъ той же формулы видно, что въ интерва-
лахъ (— 1, 0), (—2, —1), (—3, —2) ... Г(х) попеременно положительна и
отрицательна и въ смежности (окрестности) съ границами 0, — 1, — 2, —3,...
безконечно велика по абсолютной величине. Отсюда уже можно предвидеть,
что въ каждомъ интервале (—я, — п -\- 1)Г(х). по крайней мере, одинъ
разъ проходитъ черезъ maximum или minimum, смотря по тому, будетъ ли п
четное или нечетное число. Такой maximum или minimum получится при д
равномъ корню уравнешя
Когда q возрастаетъ отъ 0 до 1, левая часть уравнешя постоянно возраста-
етъ отъ — со до + сю у и потому только одинъ разъ обращается въ 0 при нЪ-
которомъ опредЪленномъ значенш q = дп, которое и определяется такимъ об-
разомъ, какъ некоторая функщя отъ п. Итакъ, въ каждомъ интервале
(— п, — п + 1) существуетъ только одинъ maximum или одинъ minimum
функцш Г(х), соответствующей значенш хп = — п -f Qn- Дал^ве, изъ нера-
неравенства
Г' (On) . , , 11, ,1
>1 + + + +
видно, что правая, а следовательно, и левая часть при безпредельномъ воз-
растан1и п безпредельно возрастаетъ. Поэтому q» должно стремиться къ
нулю. Такъ какъ, кроме того,
то будемъ иметь
lim
а такъ какъ сумма въ скобкахъ заключается между
Qn
(гдъ Н = 1 + -fr -\ 1—), то отсюда следуетъ, что lim дп Нп = 1 или
lim gn log n = 1. Принявъ это во внимаше и замечая, что
и=зо
f 1) log и
видимъ, что въ правой части первый множитель стремится къ 1, а второй
къ 0. Следовательно, lim Г (хп) = 0. Отсюда следуетъ, что Г (х) принимаетъ
всякое значеше, отличное отъ нуля (безконечное число разъ) г). Иными сло-
словами, ура внеше Г (х) = k, не имеющее решешя при k = 0, при всякомъ k,
не равномъ нулю, имеетъ безчисленное множество решешй.
!) Въ ,Traite elementaire des series" par M, Qodefroy p. 250 можно
видеть графическое изображеше функцш Г(х).
§§ 315—316 III, 3. РАЗЛОЖЕШЯ ВЪ РЯДЫ. РЯДЫ ФУНКЩЙ. 315
РПЗЛОЖЕН1Я ВЪ РЯДЫ.
Ряды функцш.
315. Теперь мы спещально займемся функщями, которыя опре-
определяются безконечными рядами. Положимъ, что данъ рядъ их -\-
-\- щ -\- и3 + ... , члены котораго суть функцш отъ перемЪннаго
числа х. Значещя х, при которыхъ рядъ будетъ сходяццйся, могутъ
образовать одинъ или несколько интерваловъ, въ которыхъ сумма
ряда будетъ определена, какъ некоторая функщя отъ х. Когда раз-
сматривается некоторый интервалъ {а, Ь), въ которомъ рядъ схо-
дящШся, то и остатокъ ряда д>„(х), т. е. сумма ряда, получаемаго
изъ даннаго черезъ отбрасываше первыхъ п его членовъ, будетъ
также функщя отъ х, определенная въ томъ же интервале. Мы
знаемъ (§ 180), что при безпредельномъ возрастали п остатокъ
стремится къ нулю. Следовательно (§ 122, Ь), когда задано поло-
положительное и сколь угодно малое число е, можно указать, при вся-
комъ данномъ значенш х въ интервале (а, Ь), такое число v, что
абсолютная величина <рп(х) будетъ оставаться меньше е, когда п
будетъ больше v *). Если возможно определить число v незави-
независимо отъ х, то рядъ называютъ равномерно сходящимся. Иными
словами, положимъ, что соответственно каждому значешю х будемъ
выбирать наименьшее значеше v (которое предполагается целымъ
числомъ), удовлетворяющее поставленному услов1ю; тогда можно ска-
сказать, что v есть некоторая функщя отъ х, определенная въ интер-
интервале (я, Ь). Если эта функщя будетъ конечною въ данномъ интер-
интервале, какъ бы ни было выбрано е, то она имеетъ въ немъ (§ 256)
верхнюю границу (въ данномъ случае эта граница въ то же время
будетъ и максимумъ v)\ очевидно, для всякаго п, большаго этой
верхней границы, всегда будемъ иметь | д>п(х) \ <С в, каково бы ни
было данное значеше х въ интервале (я, Ь). Въ этомъ случае схо-
сходимость будетъ равномерною. Но можетъ случиться, что при неко-
торомъ прилично выбранномъ значенш е (и a fortiori для всехъ
меньшихъ его значешй), функщя v въ данномъ интервале не бу-
будетъ конечною. Тогда невозможно найти такое значеше п, одно и
то же для всехъ значешй х въ (а, Ь), начиная съ котораго
<рп(х) | оставалось бы всегда меньше е. Въ этомъ случае сходи-
сходимость будетъ неравномерною.
316. Теорема I. Для равномерной сходимости ряда
функщй отъ х въ данномъ интервале необходимо и доста-
достаточно, чтобы остатокъ <рп{х) стремился къ нулю и тогда,
когда будемъ произвольнымъ образомъ изменять х въ
данномъ интервале вместе съ п.
*) Т. е. начиная отъ п — v + 1-
316 III, 3. разложены въ ряды. §§ 316—317
Изъ самого опред'Ьлешя равномерной сходимости вытекаетъ,
что если рядъ равномерно сходящейся, то всегда lim (рп(х) = 0, ка-
кова бы ни была последовательность значешй хх, xi} х3, ... по-
лучаемыхъ числомъ х въ данномъ интервале. Услов1е необходимо;
чтобы убедиться въ его достаточности, стоить только доказать, что
если рядъ будетъ неравномерно сходящШся, то въ интервале (а, Ь)
найдется такая последовательность х1, хг, х3,..., для которой
Игл срп(х) не равенъ 0. При сделанномъ предположен^ (неравно-
(неравномерной сходимости ряда) определенная въ предыдущемъ § функщя
v не будетъ конечна при нЪкоторомъ достаточно маломъ данномъ
числе е. Следовательно, можно найти последовательность а, /?, у,...
значешй функцш v, возрастающихъ безпредельно, соотв-Ьт-
ствующихъ значешямъ х, которыя можно обозначить черезъ ха,
jc,3, xr,... Какъ бы мы ни выбирали друпя значешя х„, остатокъ
<рп{х) не можетъ стремиться къ нулю, потому что при п — а, /?, у,...
всегда будетъ | <рп(хп) | ^ е *).
317. Примеры, а) Рядъ
равномерно сходящ,1йся въ интервале (— 1, -f- 1), потому что аб-
солютная величина остатка — будетъ меньше е, когда п j> —,
числа независящего отъ х. Не то будетъ для ряда
B) A - *) + (х - *2) + (*а _ х») + (Хз - х*) + ...,
сходящегося въ томъ же интервале (— 1, +1), за исключешемъ
нижней границы. (При х = 1 сумма ряда, очевидно, равна 0). При
д;<М остатокъ ряда равенъ хп, и нельзя найти такого числа v,
чтобы при n^>v \хп\ было меньше е для всехъ значен1й х въ
данномъ интервале. Действительно, такъ какъ х можетъ подходить
къ 1 какъ угодно близко, то можно положить х = 1 , и оста-
остатокъ II 1 не будетъ стремиться къ 0 при п безконечномъ (а
къ пределу —j. Съ другой стороны, ясно, что рядъ будетъ равно-
равномерно сходящимся во всякомъ интервале, заключающемся целикомъ
внутри (- 1, + 1). (XXXII.)
Ь) Рядъ 1 -f- х + х2 -f- x3 -\- ... , сходящШся въ интервал^
(— 1, -j- 1) за исключешемъ границъ, будетъ равномерно сходя-
*) Когда мы говоримъ, что значеше v = а соотв-Ьтствуетъ числу ха, то
это значить, что при п>а-\-\,\срп (ха) \ < е, а при п = а неравенство еще
не удовлетворяется, т. е. \(ра(ха) & е. Это слЪдуетъ изъ опред^летя числа v-
§§ 317—318 ряды функщй. 317
щШся въ интервале (—а, -+- а), где а < 1 и какъ угодно близко
къ 1. Действительно, задавъ по произволу е, определимъ v такъ,
чтобы было av ^ A — а)е, тогда при и>
Хп
<_ е при вся-
всякомъ х, для котораго [ х | < а. То же самое можно сказать о ряде
1 -+- 2х -+- ?>х2 -\- ... , сходящемся въ томъ же интервале (§ 247, а).
Для того, чтобы остатокъ ряда былъ меньше е по абсолютной ве-
величине, достаточно определить v такъ, чтобы (v + I) av было не
больше A — аJе, а определете v подъ этимъ услов1емъ всегда
возможно, потому что vpav при всякомъ р стремится къ нулю при
v безконечномъ *). (§ 312, а.)
с) Сумма.и первыхъ членовъ ряда
равна х — пхе~пх* и стремится къ пределу х при п безконечномъ.
Следовательно, рядъ будетъ сходящимся при всякомъ х. Но онъ не-
неравномерно сходящШся въ интервале, содержащемъ въ себе значе-
Hie х = 0. Действительно, при х = — остатокъ ряда пхег-пх% ра-
1
венъ е п и не стремится къ 0 при возрастали п до оо. Рядъ
1 +х^ A +*)A +2х)гA+х)A +2лг)A +3х)^ ¦¦"
также сходящ1йся при х 2S 0, потому что при л;^>0 сумма
Sn = 1 —;—; имеетъ пределомъ 1 а при х = 0 равна нулю.
Но рядъ неравномерно сходящ1йся въ интервале, нижняя граница
котораго есть нуль, потому что при х = — остатокъ ряда делается
равнымъ } и къ нулю не стремится. Съ другой стороны, рядъ бу-
будетъ равномерно сходящимся во всякомъ интервале, нижняя граница
I е
котораго а > 0. Достаточно взять п > , т. е. больше числа,.
независящаго отъ х, чтобы остатокъ ряда былъ меньше е.
318. Теорема II. Если рядъ абсолютныхъ величинъ
членовъ даннаго ряда функций будетъ равномерно сходя-
сходящимся въ данномъ интервале, то рядъ, полученный пу-
темъ умножен1я членовъ даннаго ряда на функцш, оста-
остающаяся конечными въ данномъ интервале, будетъ также
абсолютно и равномерно сходящимся въ томъ же ин-
интервале.
*) Для даннаго ряда
(V + I)xv + vxv+l ч("+ \)xv -vxr+x (v+ \)xv
318
III, 3. РАЗЛОЖЕНЫ ВЪ РЯДЫ.
§§ 318-320
Пусть ui -j- м2 + Щ + • • • данный рядъ въ интервале (я, b); z^,
г>2, г»3>... функщи, которыхъ абсолютныя величины въ интервале
(а, Ь) .не превосходятъ даннаго числа /. Рядъ uxvx-\- u2v2-\-
+ M3W3+ ... будетъ абсолютно сходящШся, потому что абсолют-
абсолютныя величины его членовъ не превосходятъ соответствующихъ чле-
членовъ сходящагося ряда | и, J + | щ \ + | иъ \ + . • • > умноженныхъ
на /. Когда задано какое угодно положительное число е, то, по
услов1ю, можно найти такое число v, независимое отъ х, чтобы
при п ^> v было
, , е
и a fortiori
я+3
«м+2 vn+2 + Un+3 Vn+3
e.
Следовательно, рядъ uxv1-{-
MtpHO СХОДЯЩИМСЯ.
--- будетъ и равно-
319. Сл"Ьдств1Я. а) Рядъ, получаемый отъ умножеьпя
постоянныхъ членовъ абсолютно сходящагося ряда на
функции, значен1я которыхъ въ данномъ интервал^ оста-
остаются конечными, будетъ абсолютно и равномерно сходя-
сходящимся въ этомъ интервал^. Стоитъ только заменить функщи их
въ предыдущей теореме постоянными числами и заметить, что рядъ
постоянныхъ членовъ по необходимости равномерно сходящШся,
чтобы убедиться въ справедливости вышесказаннаго.
Ь) Рядъ функций будетъ абсолютно и равномерно схо-
сходящимся въ данномъ интервале, если рядъ верхнихъ гра-
ницъ абсолютныхъ величинъ членовъ даннаго ряда есть
сходяшдйся рядъ. Положимъ, что данъ рядъ их-\- щ-\- щ-\- ...;
заменимъ каждый его членъ и„(х) верхнею границею ц,п функщи
| ип(х) | въ данномъ интервале. Если рядъ положительныхъ членовъ
Mi + Мг + /*3 + • • • сходящдйся, то сходимость его, конечно, абсо-
абсолютная. Данный рядъ получается черезъ умножеме членовъ по-
и (х)
следняго ряда на функщи vn = —ш—, а такъ какъ \vn ^ 1,
то
теорема доказана.
320. Примеры, а) Если а положительное число, меньшее 1, то, какъ
известно, рядъ 1 + а + а2 + ¦ ¦ ¦ сходяцдйся, а этого достаточно, на основа-
ши второго следств1я, чтобы скорее (ср. § 317, Ь) придти къ заключешю
что рядъ 1 + х + х2 + • • • абсолютно и равномерно сходящШся въ интер-
интервале (— а, а), или, такъ какъ а можно взять сколь угодно близкимъ къ 1,
въ интервале (—1, + 1) за исключешемъ границъ. То же самое справедливо
и относительно ряда 1 + 2х + Зх2 + ¦¦¦ Въ самомъ деле, о"ияа" при вся-
комъ п будутъ наибольшими значешями абсолютныхъ величинъ функщи хп
и пхп~х въ интервале (—a, -f а) (т. е. верхними ихъ границами).
§§ 320-321 ряды функщй. 319
b) Въ силу перваго или второго сл'Ьдств1я, если рядъ ах-)- а2 -\- аъ -\- ¦¦¦
абсолютно сходящШся рядъ, то рядъ
аг sin {Ьг х) + а2 sin (b2x) -f o3 sin (b3x) + ¦¦¦
абсолютно и равномерно сходяцг1йся во всякомъ интервале, каковы бы ни
были числа Ь1г Ь2, Ьв, Такъ, наприм-Ьръ, при р > 1, ряды
3 . K=0O
г sin их v-rcoswx
к=1 " п=Л "
абсолютно и равномерно сходящееся. При р = 1 теоремы, на которыхъ
основано это заключеше, уже не имеютъ места, и приходится непосредственно
изследовать сходимость данныхъ рядовъ.
с) Разсмотримъ несколько более обшдй рядъ
ах sin х -f a2 sin 2x -f я3 sin Зх -\-
Мы уже знаемъ (§ 218, i), что этотъ рядъ при всякомъ х сходящШся, даже
тогда, когда аи а2, а3, ... образуютъ расходящШся рядъ, лишь бы эти
числа постоянно убывали и стремились къ нулю, что какъ разъ и имеетъ
1
место при ап = —. Такъ какъ рядъ не изменится, если прибавимъ къ х или
отнимемъ отъ него 2 я, то можно ограничиться значешями х въ интервале
(О, 2я). Известно, что
. рх
sln2 / * + Н
sin (я + 1) х -f sin (« -f 2)x + ••• + sin (я -\- р) х = sin \п +^—п—\х.
sin —
Отсюда следуетъ, что, выбравъ сколь угодно малое положительное число а,
и взявъ х въ интервале (а, 2п — а), будемъ иметь
sin (и + 1) х + sin (я -f 2) х -\- ¦¦¦ + sin (я + р)х \ <
sin-у
Следовательно (§ 192),
|<г„М!<—•
sin-^r
Поэтому, если задано положительное число с и число с выбрано достаточно
большимъ, чтобы было av < e sin -—, то при я > v \ <рп(х)\ < е и, следо-
следовательно, данный рядъ будетъ равномерно сходящимся во всякомъ интер-
интервале, не содержащемъ въ себе числа, кратнаго отъ 2л.
321. Теорема III. Если для х = а члены н"Ькотораго
равном-Ьрно сходящегося ряда имЪютъ конечные пределы,
то и сумма этого ряда имеетъ конечный пред%лъ, равный
сумм-fe предЪловъ членовъ ряда.
320
III, 3. РАЗЛОЖЕНШ ВЪ РЯДЫ.
§ 321
а) Для определенности разсмотримъ пределы справа отъ а,
и выдъушмъ сколь угодно малый интервалъ (а, а -\- К) изъ того
интервала, въ которомъ рядъ равномерно сходящШся. На основанш
этой сходимости всегда можно по данному положительному, сколь
угодно малому числу е определить число v (не зависящее отъ К)
такъ, чтобы при п > v было
а следовательно,
для двухъ произвольныхъ значенШ х' и х", лежащихъ въ интер-
интервале {a, a-\-h). Фиксируя число п (т. е. не меняя выбраннаго его
значешя, определеннаго согласно вышеуказанному условш), заме-
тимъ, что, когда х стремится къ пределу а, то сумма п первыхъ
членовъ даннаго ряда fn{x) стремится къ определенному пределу,
равному сумме пределовъ и,, щ, щ,...,и„. Поэтому можно вы-
выбрать h достаточно малымъ, чтобы \fn(x') —fn{x") | < \е. Обозна-
Обозначая теперь черезъ /(х) сумму даннаго ряда, будемъ иметь, на осно-
ван1и предыдущихъ неравенствъ
| fjx') -fn{x")
cpn(x") | < s
для всякой пары значешй х и х", лежащихъ въ интервале (я, а -\- И).
Следовательно,/(ж) (§264) стремится къ конечному пределу f{a-\-0),
съ приближешемъ х къ а справа.
Ь) Теперь докажемъ, что этотъ пределъ есть не что иное,
какъ сумма безконечнаго ряда, составленннаго изъ пределовъ чле-
членовъ даннаго ряда. Мы имеемъ
D)
/(*) - Уи{(а + 0) = У{щ(х) - «Да + 0)} + срп{.х).
При данномъ положительномъ сколь угодно маломъ е можно найти
такое число v (не зависящее отъ h), чтобы при п > v было
д>п(х)\<С^8 для всехъ значенШ х въ интервале (я, a-\-h). Удер-
Удерживая определенное значеше п, будемъ теперь приближать х къ а.
Такъ какъ Ui{x) стремится къ пределу Ui{a + 0), то при достаточно
маломъ h, имеемъ
3"
а потому, на основанш равенства D),
\Дх)~ УиДа+0
321—323
РЯДЫ ФУНКЩЙ.
321
Замечая теперь, что и разность f(x) —fifi-\-0) можетъ быть сде-
сделана меньшей -=- по абсолютной величин?, и при томъ такъ, что
о
она будетъ и оставаться меньшей -^ когда х стремится къ а, бу-
з
демъ иметь
/(я-f 0)-
< е.
Итакъ, Да + 0) = щ(а + 0) + щ{а + 0) + щ(а + 0) + •••.
322. Теорема IV. Если рядъ непрерывныхъ функц1й
сходится равномтзрно, то его сумма есть непрерывная
функщя.
Действительно,
,-(а ± 0).
00
/{а) =^Ги{(а), Да ± 0) =
Второе равенство есть следств!е равномерной сходимости ряда и
предыдущей теоремы. Съ другой стороны, вследсте непрерывности
членовъ ряда, имеемъ
«Да = «Да + 0), поэтому /(а) = /(а ± 0).
Итакъ, f(x) функщя непрерывная.
323. Теорема V. Если производныя членовъ сходя-
щагося ряда функшй образуютъ равномерно сходящейся
рядъ, то сумма этого второго ряда равна производной отъ
суммы даннаго ряда.
Мы ограничимся разсмотръшемъ производныхъ, напр., справа
и заметимъ следующее: если а лежитъ въ томъ интервале, где
имеетъ место равномерная сходимость, и если h достаточно мало
для того, чтобы а -f- h заключалось въ томъ же интервале, то
всегда можно по данному положительному сколь угодно малому
числу е определить число v (не зависящее отъ Н) такъ, чтобы при
п > v было
! СО
»+i I
для всехъ значешй х въ интервале (я, a-\-h). Отсюда следуетъ
v+l
21
322
III, 3. разложенш въ ряды.
§§ 323-324
Положимъ для сокращешя
^ (¦«,(« +А)-и,(в) ,
и замЪтимъ, что, применяя теорему Лагранжа (§ 306) къ послЪд-
iijia + h) — и((а)
нимъ п — v выражешямъ - подъ знакомъ суммы,
получимъ
2
Н-1
гд-fe a<C?<Ca-\-h. Опред-Ьливъ v согласно поставленнымъ выше
услов1ямъ и фиксируя его значеше, находимъ сперва
Замечая дал-fee, что
2J
lim
/1=0
h) —
можно взять h достаточно малымъ для того, чтобы было а„ | < ^-е.
Отсюда получится, что ап | < е при достаточно большомъ п и до-
достаточно маломъ h. Если теперь, оставляя v и А постоянными, бу-
демъ увеличивать п безпред'Ьльно, то на основанш сходимости обо-
ихъ рядовъ, найдемъ
/1=я
т. е.
или иначе
324. Прим^чан!я. а) Посл-Ьдн1я три теоремы отчасти запол-
няютъ проб-Ьлы, оставш1еся открытыми въ §§ 263, 267 и 285, ука-
указывая безконечное число случаевъ, въ которыхъ можно распростра-
распространить способы разыскашя пред%ловъ, теоремы о непрерыв-
непрерывности и правила разыскан1я производныхъ суммъ конечнаго
числа функщй на суммы съ безконечнымъ числомъ слагаемыхъ.
Однако, этимъ не исключается возможность того, что эти теоремы и
правила будутъ им-бть м-бсто и въ другихъ случаяхъ, къ которымъ
вышедоказанныя три теоремы не относятся.
§ 324 ряды ФУнкщй. 323
b) Всякая непрерывная функщя можетъ быть изображена рав-
равномерно сходящимся рядомъ. Въ самомъ деле, составимъ какую
нибудь последовательность чиселъ а,, а2, а3, ..., стремящихся къ
нулю, и положимъ щ =/(х + а,), и (при п > г) и„ = f{x-\-an) —
— f(x-\-an_i). Сумма п первыхъ членовъ ряда м, -\- м2 -\- и3 -+- ...
есть /п(х) =/(х-\-ап), и limfn(x) =/(х). Следовательно, рядъ
и\ + ич + и3 + . • • сходящейся, и его остатокъ равенъ q>n(x) =
= fix) —f(x -\- а„). Заметивъ это, можемъ по данному положи-
положительному сколь угодно малому числу е, на основанш теоремы
Кантора (§ 279), въ силу непрерывности функцш f(x), опре-
определить число h такъ, чтобы было \/(х') — f(x") | < е, при
х — х' | < h. Отсюда следуетъ, что, выбравъ число v достаточно
большимъ для того, чтобы | а„ | оставалось меньше h при и>^,
будемъ иметь <рп {х) | <С е для всехъ значен1й п, большихъ числа v,
независящаго отъ х. Такимъ образомъ, непрерывная функщя f(x)
представится, какъ сумма равномерно сходящегося ряда
f(x + ai) + {f(x + a.;) -/.х + щ)} + {/(х + ая) -f(x+a.J} + ¦¦¦. (XXXII bis).
c) Съ другой стороны, теорема IV показываетъ, что разрыв-
разрывная функщя никогда не можетъ быть изображена равномерно схо-
сходящимся рядомъ непрерывныхъ функщй. Такъ, напримеръ, сумма
ряда B) имеетъ обыкновенный разрывъ слева отъ х = 1, и этого
достаточно, чтобы обнаружить неравномерную сходимость ряда въ
интервале съ верхнею границею 1 *). Однако, не следуетъ ду-
думать, что неравномерная сходимость ряда есть верный указа-
указатель разрывности его суммы. Достаточно припомнить рядъ C),
сумма котораго непрерывная функщя х, хотя рядъ неравномерно
сходя щШся.
d) Аналогично этому, теорема V показываетъ, что равномер-
равномерная сходимость ряда производныхъ отъ членовъ даннаго ряда до-
достаточна для того, чтобы утверждать, что производная сумма дан-
даннаго ряда существуетъ и равна сумме производныхъ его членовъ.
Но это yorcoBie не необходимо, потому что существуютъ таюе
ряды, что рядъ производныхъ неравномерно сходящШся, а имеетъ
суммою производную суммы даннаго ряда г). Наконецъ, легко при-
привести примеръ ряда, для котораго сумма ряда производныхъ не
равна производной отъ суммы даннаго ряда. Такъ сумма ряда A)
равна 1 при всякомъ х, а рядъ производныхъ — 1 + A — х) -+-
-f-(# — л-2) + ••• при х = 1 имеетъ сумму — 1, а не 0. Это
объясняется темъ, что последнШ рядъ не равномерно сходяшдйся.
*) Сумма S ряда B) равна 1 при х < 1 и S = 0 при х = 1.
!) См. подобный прим+.ръ въ „Resume du Cours d'Analyse" par
Mansion, p. 255.
21*
324 III, 3. разложешя въ ряды. §§ 325—326
Разложен1я въ степенные ряды.
325. Особенно важное для насъ значеше имЪетъ разложеше
функщй въ ряды, расположенные по ц.'Ьлымъ положительнымъ сте-
пенямъ переменной,—ряды, называемые степенными (Potenzreihen)
или целыми (series entieres)
E) f(x) = а0 + ахх + а2х2 + агя? + ¦¦¦.
Основною теоремою въ теорш этихъ рядовь служитъ следующая:
степенной рядъ будетъ абсолютно и равномерно схо-
сходящимся въ интервале (—а, + а), за исключен1емъ, мо-
жетъ быть, границъ, если при х = а члены этого ряда
образуютъ конечную последовательность. Действительно,
данный рядъ можно себе представить происшедшимъ изъ ряда
\ _| 1—_ _|_ ... черезъ умножеше членовъ последняго на
числа а0, ata, ага2,... (абсолютныя величины которыхъ, по усло-
Biro, все меньше некотораго постояннаго числа). Такъ какъ этотъ
последшй рядъ есть рядъ, сходящШся абсолютно и равномерно
(§ 320, а) въ интервале (— а, -f- а) за исключешемъ границъ, то
то же самое можно утверждать (§ 318) и относительно даннаго ряда.
Усл(ше теоремы (конечность всёхъ чиселъ а0, а1а, а2а2,...), ко-
конечно, можетъ быть выполнено и въ томъ случае, когда рядъ не
будетъ сходящимся ни на одной изъ границъ, потому что можетъ
случиться, напримеръ, что съ возрасташемъ п до безконечности
апап, оставаясь конечнымъ, не стремится къ нулю. Но можно на-
наверно утверждать, что установленное услов1е выполняется, если рядъ
будетъ сходящимся на одной изъ границъ. А именно, въ этомъ
случае \im а„ап = 0, и поэтому можно, задавъ по произволу поло-
жительное число /', определить наименьшее значете числа v подъ
услов1емъ, чтобы при n^>v всегда было ;а„аге|</'; затемъ можно
найти достаточно большое число /, чтобы при п ^ v иметь
я„аи\<С.1, з тогда ясно, что при любомъ значенш п будемъ
иметь |ямаи|</, потому что /'^ | avav \ < /. Отсюда следуетъ,
что, если рядъ E) будетъ сходящимся на одной изъ гра-
границъ интервала (—а, -(-а), онъ будетъ сходящимся во
всемъ интервале, за исключен1емъ, можетъ быть, другой
границы, и эта сходимость будетъ равномерная, за исключешемъ
границъ.
326. Рад!усъ сходимости. Можетъ случиться, что не суще-
ствуетъ такого положительнаго числа а, чтобы рядъ былъ сходящимся
при х = а. Въ такомъ случае изъ доказанной теоремы тотчасъ сле-
следуетъ, что рядъ будетъ сходящимся только при х = 0 (таковъ, напри-
напри, рядъ, обинй членъ котораго есть п\хп). Съ другой стороны, мо-
§§ 326—327 разложенш въ степенные ряды. 325
жетъ случиться, что рядъ будетъ сходящимся для всевозможныхъ
х"
значешй х (достаточно указать на рядъ, общдй членъ котораго —у).
Если же рядъ не будетъ сходящимся для какого нибудь значешя х,
то ансамбль чиселъ а будетъ конечнымъ и им'Ьетъ, следовательно,
(§ 172) верхнюю границу Q, которая можетъ и не принадлежать
ансамблю. Въ разсматриваемомъ случай, значен1я перем-Ьннаго
числа х, для которыхъ рядъ сходящ1йся, образуютъ интер-
валъ (—q, q), на границахъ котораго сходимость можетъ и не
иметь места, но внутри котораго сходимость будетъ абсолютная
и равномерная. Вышеупомянутые два случая можно разсматривать,
какъ частные случаи посл^дняго. Они соотв'Ьтствуютъ q = 0 и
q = оо. Во всЬхъ случаяхъ число q называютъ рад1усомъ схо-
сходимости ряда *). Для рядовъ
п у*п у*п
х • Z, t' jL !*•
q = 1, т. е. для всЬхъ трехъ рядовъ интервалъ сходимости
будетъ (— 1, 1). При этомъ для перваго ряда надо исключить об"Ь
границы, для второго одну верхнюю, а третШ будетъ сходящимся
во всемъ интервал^. Иными словами, значешя х, для которыхъ три
вышеприведенные ряда будутъ сходящимися, для перваго ряда не
имъ-ютъ ни наибольшаго, ни наименьшаго, для второго имеютъ
только наименьше, а для третьяго и наибольшее и наименьшее.
327. Опред-Ьлен1е д. Если существуетъ число
q = lim
то можно доказать, что оно и есть рад1усъ сходимости ряда. Дей-
Действительно, положимъ, что ии = | апх" |, и разсмотримъ рядъ
Щ + М2 + из + • • •! для этого ряда имеемъ
lim = hm
\_х\
Q
Известно (§ 210, а), что при \x\<CQ рядъ чиселъ и сходящ1йся и,
следовательно (§ 230), рядъ E) абсолютно сходящШся. Поэтому
рад1усъ сходимости будетъ не меньше д. Но онъ не можетъ быть
и больше д, потому что иначе въ интервале сходимости были бы
значешя х > Q, для которыхъ рядъ E) абсолютно сходящейся, какъ
*) Происхождеше этого назвашя объясняется въ теорш рядовъ съ
комплексными членами.
326 III, 3. разложения въ ряды. §§ 327—328
это необходимо имеетъ место внутри интервала сходимости; а съ
другой стороны, встЬдсте того, что lim—-— > 1 рядъ абсолют-
абсолютен-!
ныхъ величинъ членовъ даннаго ряда былъ бы расходящимся, что
противоречить теореме Дирихле (§ 230). Подобнымъ же образомъ
доказывается, что если существуетъ число
оно и будетъ рад!усомъ сходимости ряда. Стоитъ только заме-
заметить, что
п
lim Уип = lim
повторить предыдущая разсуждешя и сопоставить съ теоремою
§ 213. Такимъ образомъ, можно, косвеннымъ путемъ, доказать
тождественность (см. § 142, Ь) двухъ разсмотръ-нныхъ выше пред'Ь-
пред'Ьловъ. Если эти пределы не существуютъ, то можно прибегнуть къ
нижеследующей теореме.
328. Теорема Адамара (Hadamard). Если числа j/jan| при
п = 1, 2, 3, ... образуютъ конечный ансамбль, то обратное
значеюе наибольшаго изъ пределовъ этого ансамбля равно
рад1усу сходимости ряда
я0 + а1х + а2х2 + ¦¦¦.!)
Въ самомъ деле, обозначимъ черезъ — упомянутый въ теореме
наиболышй изъ пределовъ даннаго ансамбля; это число всегда су-
существуетъ (§ 175). Тогда (см. § 178) о неравенствахъ
известно, что первое выполняется при всехъ значешяхъ п, ббль-
шихъ некотораго даннаго числа, а второе при некоторыхъ значе-
значешяхъ и, сколь угодно большихъ. Положимъ теперь въ ряде, кото-
раго общ1й членъ есть ип = апхп, \х\<Сд. Тогда, между ' х\ и q
можно вставить число qq, где q<^\. Выберемъ, далее, / такъ,
чтобы было q = | х | ¦ /; въ такомъ случае, начиная съ некотораго
значешя п, будемъ иметь
< q < 1, | ип I < q»,
l~) «Sur le rayon de convergence des sreies ordonnees suivant les puis-
puissances d'une variable" (Comptes rendus de l'Academie de Paris 1888 p. 259).
§§ 328—329 РАЗЛ0ЖЕН1Я въ степенные ряды. 327
и данный рядъ будетъ абсолютно сходящимся, потому что абсолют-
ныя величины его членовъ будутъ меньше соотв-Ьтствующихъ чле-
новъ сходящейся геометрической прогрессш 1 -\-q + q2 +••• Если
же |дг|>р, то можно выбрать Г такъ, чтобы было 1 = \х\-1'
и всегда найдутся сколь угодно болышя значешя п, для которыхъ
yjTQ = \x\- тТ^Й > 1, | «„; > 1.
Отсюда следуетъ, что рядъ не будетъ сходящимся, потому что не-
необходимое для сходимости услов1е Птм„ = 0 не выполняется. Сле-
Следовательно, q есть верхняя граница значетй х, при которыхъ дан-
данный рядъ будетъ сходящимся. Замъ-тимъ въ заключеше, что q = ос
тогда и только тогда, когда наиболышй (а следовательно, и наи-
п
менышй) пределъ чисель }/"[ ап | равенъ нулю. Итакъ, необходи-
необходимое и достаточное услов1е для того, чтобы рядъ
былъ сходящимся при всякомъ значен1и х, есть равенство
lim ]¦ а„ \ = 0.
329. Производная степенного ряда. Перейдемъ теперь^къ
разсмотръ-шю ряда
F) g(x) = «j + 2а2х + Зп.лх2 + iaix'i -f •••,
составленнаго изъ производныхъ отъ членовъ ряда E). Рад1усъ
сходимости q' ряда F) не можетъ быть больше рад1уса сходи-
сходимости q ряда E), потому что общШ членъ ряда F) папхп~х, при
безпредъ-льно возрастающемъ п, становится, въ концъ- концовъ,
больше общаго члена а„хн ряда E) по абсолютной величин* *).
Съ другой стороны, выбравъ число ?, ¦ меньшее о и какъ угодно
близкое къ д, найдемъ, что при х = а, гдъ- ^<а<р, рядъ E)
сходящШся и, следовательно, iim а„а" — 0. Отсюда заключаемъ, что
рядъ F) будетъ абсолютно и равномерно сходящимся (§ 318) въ
интервале (— |, ?), потому что этотъ рядъ можно разсматривать
происходящимъ изъ ряда 1 +2 (-3^+ ..., абсолютно и рав-
равномерно сходящагося при j х | <С а (§ 320, а), черезъ умножеме его
членовъ на числа ait а^а, аъаг,.., образующш конечный ансамбль.
Итакъ, q' не можетъ быть и меньше р. Отсюда следуетъ, что
рядъ F) имеетъ тотъ же интервалъ сходимости, какъ и рядъ E),
за исключешемъ, можетъ быть, границъ, на которыхъ рядъ произ-
производныхъ можетъ быть расходящимся или неопределеннымъ, между
какъ внутри этого интервала сходимость всегда остается
*) И получилось бы, что при д < х < о', рядъ 6 сходяццйся, а рядъ
5 расходящШся, что невозможно.
328 III, 3. рлзложЕнга въ ряды. §§ 329-330
абсолютною и равномерною. На основанш этой равномерности мы
можемъ утверждать (§ 323), что g(x) есть производная отъ
f(x), а такъ какъ это заключеше справедливо для всякаго степен-
степенного ряда, то это же заключеше можно распространить на ряды,
члены котораго будутъ вторыя, третьи и т. д. производныя членовъ
даннаго ряда, такъ что будемъ иметь
Г (*) = j>Jnanxn~x f" (х) =j>Jn (п - 1) апхп~2.
1 2
'" (х) =2Jn (n ~\){п- 2) ах"-\ ¦ ¦ ¦
/'" (х) =2Jn (n ~\){п- 2) апх
з
Изъ этихъ соотношешй и ряда E) тотчасъ находимъ, при х = 0>
/@)=«0. //@) = «], /"@)=2я2, /'"@)=6я3, ...
и приходимъ, такимъ образомъ, къ следующему важному заключе-
Н1Ю. Если некоторая функщя f(x) можетъ быть изображена степен-
нымъ рядомъ, то этотъ рядъ необходимо имеетъ видъ
G) f{x) =/@) + \Г @) + Y;~2f" @) + 1^3/'" (°) • • • •
Итакъ, мы теперь имеемъ правило для разложешя данной функцш
въ степенной рядъ. Но мы еще не вправе применять это правило,
потому что не имеемъ еще критер1ума, утверждающаго законность
такого разложешя. Этотъ пробелъ мы сейчасъ и заполнимъ.
330. Формулы Тэйлора и Маклорена. Рядъ G) можно на-
написать въ более общемъ виде, заменивъ f{x) черезъ f(x + a), a
затемъ х черезъ х — а, что даетъ разложеше f(x) въ рядъ, распо-
расположенный по степенямъ (х — а), а именно:
(8) /(*) =/(«) + *-^-Г (а) ijL^ 4V
Чтобы решить вопросъ о законности такого разложешя, мы всегда
вправе написать
и остатокъ Rn взять въ виде
(д--а)Хдг)
» (я - 1)! v '
где v целое положительное число, а <р{х) некоторая функщя отъ
х, зависящая также отъ п и v. Мы допустимъ существоваше и-ой
§ 330 РАЗЛОЖЕШЯ ВЪ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 329
производной отъ f{x) во всемъ интервал^, въ которомъ лежитъ
число а, и выбравъ въ томъ же интервал* еще одно число Ь, раз-
смотримъ функцдю
F(x) _m+*=*f,(x) + ^1Г{Х) + ... +(^Г1/-!)(.)
(b -
По формул* (9) имЪемъ F(a) =/(b) и, кромЪ того, очевидно,
F(b) =f(b). Функщя F(x) принимаетъ, следовательно, одинаковыя
значешя на границахъ интервала (а, Ь), а потому (§ 303) ея про-
производная должна обращаться въ нуль при нъкоторомъ значенш
х = |, лежащемъ внутри этого интервала. Весьма простое вычисле-
Hie даетъ
Выражая, что F'(x) обращается въ нуль при х = §, мы найдемъ
отсюда ср{Ъ), а заменяя опять букву b буквою х, получимъ
<р(х) = (х — %)п~vfyn (|), п — . , / " E),
гдЪ | лежитъ между # и л\ Положивъ еще § = A — 6)я + 6*-, гдЪ
О <^ 0 < 1, можемъ написать
Rn = j*Zu"vV ~ 9)и~"/(и)(й-
Формула (9), дополненная этимъ выражешемъ остатка Rn, назы-
называется формулою Тэйлора *). Въ частности, при v = п и v = 1
получаемъ слЪдуюиия формы остатка, найденныя первая Лагран-
жемъ, вторая Коши:
= {x-affn) = (x-tf A _ и_1/(я) |}
Форма Лагранжа, безъ сомн-Ьтя, самая простая, но она не всегда
способна дать отчетъ о характер-Ь измЪнешя Rn при безпредъль-
номъ возрастан1и п. Въ такихъ случаяхъ обращаются къ форм*
Коши. Но въ нЪкоторыхъ случаяхъ и эта недостаточна, и прихо-
приходится прибЪгнуть къ самой общей (XXXIII). Во всякомъ случаъ,
когда дана функщя f(x), составлена та или другая форма остатка
Rn и окажется, что при безпредЪльномъ возрастами числа п оста-
*) Остатокъ Rn называютъ также дополнительнымъ членомъ
формулы Тэйлора.
330 III, 3. разложенщ въ ряды. j§ 330- 331
токъ Rn стремится къ нулю, тогда мы вправе разложить функщю
f(x) въ безконечный рядъ (8). Полагая въ ней а = 0, приходимъ и
къ разложетю G). Мы можемъ, однако, теперь, положивъ въ фор-
формуле (9) а = 0, съ большею точностью и общностью писать, даже
не предполагая разложимости f(x) въ безконечный степенной рядъ
A0) f{x) =/@) + у/'@) +™/"@) + ¦•• + -(и*_ }),/""""@) + Rn,
где
К = —)/(п>(Ъх) или Rn = Х_ A - e)K"V(n)(e^)
или общнее
Формула A0), дополненная однимъ изъ выраженШ остатка (или до-
полнительнаго члена), называется формулою Маклорена. Сопоставляя
сказанное здъть съ концомъ предыдущего §, мы видимъ, что из-
слъдоваше измт>нешя /?„, при безпредт>льномъ возрастали п, даетъ
намъ средство узнать, законно ли разложеше функцш f\x) въ
рядъ G).
331. ПримЪчашя. а) Не надо думать, что сходимость рядовъ
Тэйлора и Маклорена достаточна для того, чтобы соответствую пин
разложешя были законны. Можетъ, напримъръ, случиться, что рядъ
G) сходяищйся, но сумма его не равна /(х). Действительно, надо
обратить вниман1е на то, что Rn не есть, строго говоря, остатокъ-
ряда, а просто разность между f(x) и суммою п первыхъ членовъ
ряда, и поэтому ничто ему не мъшаетъ при безпредъльномъ воз-
растанш п стремиться къ пределу g(x), не равному нулю при вся-
комъ д; въ данномъ интервалt>; а въ такомъ случай рядъ G) бу-
детъ имтзть суммою не f(x), a f(x) — g(x). Конечно, g(x) не про-
произвольная функцш, потому что разложеше f(x) — g(x) въ степенной
рядъ возможно только тъмъ способомъ, который указанъ форму-
формулою G), и следовательно, g{x) должна обладать свойствомъ обра-
обращаться въ нуль, вмъстъ со всЬми своими последовательными про-
производными, при х = 0. Это безчисленное множество условШ удов-
удовлетворяется, конечно, весьма ръдко. Однако, можно привести про-
1
стой примъръ такой функщи, определяемой равенствомъ g(x) =е х,
при х s 0, и ^@) = 0. Замт>чаемъ прежде всего, что въ силу из-
въхтнаго уже результата (§ 312, а) имт>емъ
= Мтг*е-г = 0.
§§ 331-332 РАЗЛОЖЕНЫ ВЪ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 331
ДалЪе, легко доказать, что если g(n>@) = О, то и ^я+1'@) = 0.
ДЪйствительно, вычисляя послъдовательныя производныя нрилг^гО,
находимъ
1
g(n\x) = J?А Х-ае *¦'
а потому
1 а+1
/и+1)@) = lim y,Ax-ia+l)e~* = YА\т z^ e~kг= 0.
Ь) Другое замтэчаше оказывается полезнымъ, потому что оно
во многихъ случаяхъ избавляетъ отъ необходимости непосредствен-
наго изслЪдовашя измЪнешя Rn ПРИ безконечномъ возрастали п.
Мы уже сказали, что для законности разложешя G) необходимо
доказать не сходимость ряда, а то, что Rn стремится къ нулю при
безконечномъ п. И какъ только удастся установить, что w-ая произ-
производная, даже при возрастали п до безконечности, остается конеч-
конечною въ интервал^ @, х), такъ тотчасъ же увидимъ, что упомяну-
упомянутое услов!е выполняется, и разложеше законно. Чтобы это дока-
хп
зать, стоитъ только припомнить, что (§ 147) —г стремится къ нулю
при всякомъ х, а потому, если абсолютная величина /^{Цх) при п
безконечномъ не превосходитъ даннаго числа, то
lim R = \imJ-^^- = 0.
332. Упражнешя. а) Для функцш f{x) = ех им*емъ f^n> = ех, число
конечное во всякомъ интервалЪ и при всякомъ п (потому что оно отъ п
не зависитъ). Поэтому H3entAoeaHie Rn при п безконечномъ является излиш-
нимъ и, на основанш пocлtднягo замЪчан1я § 332, можно быть увь^ренныш.
a priori, что Нт7?и = 0. Такъ какъ/и)@) = 1, то (см. § 184)
X Х~ Х^ V^
1> = ' + Т + П + П2^3 + "П2~^3~4 + "'
при всякомъ значенш х. Подобнымъ же образомъ получаемъ сл"Бдующ1я
разложешя:
, X2 , X4 . Xя Х<>
b) Для f{x) = ех"*а cos (x sin а) или f(x) = ег"оя" sin (x sin я), какъ
известно (§ 292, е), имЪемъ cooTBtTCTBeHHO
/(я)(дг) = excosa cos [па + х sin я), /(п)(х) = e*eosa sin [па + х sin я),
такъ что соответственно /*¦"' @) = cos па, /(и' @) = sin па, откуда
est:osa cos (.г- sin a) = 1 + ^- cos a + -^- cos 2я + ^т^-^ cos За + ¦ ¦ ¦,
I 1 ' I 1 ¦ I ¦ О
332 III, 3. РАЗложЕнт въ ряды. § 332
Въ этихъ формулахъ заключаются предыдущая при а — О и а = -J-. ДалЪе,
отсюда же получимъ разложешя ех cos х и ех%тх при а = ^— и зам-feHt х
на х~\Г2 и т. д.
с) Для f(x = log (I + х) им"Ьемъ
J хХ>^ 1> A+дг)»' я!
откуда
гдъ
1 + Ъх] п 1 + 6* \1 + бдг,
и 0 < в < 1. При л; > 1 или л S — 1 мы можемъ себя избавить отъ труда
изслътювать Rn, потому что прямо видно (§ 218, а), что въ этихъ случаяхъ
рядъ не будетъ сходящимся. Полагая х ? 1, но положительнымъ, зам"Ьчаемъ,
X . I X \п
что < х й 1, поэтому I,,.) остается конечнымъ, въ то время
какъ — стремится къ нулю. Первая форма (Лагранжа) остатка даетъ тогда
lim Rn = 0. Если же х > — 1, но отрицательно, то надо приб-Ьгнуть ко вто-
второй форм-fe (Коши) остатка, потому что первая не даетъ возможности ска-
сказать что либо определенное о Rn при п безконечномъ. Такъ какъ отно-
шен1я и соответственно меньше, ч"Ьмъ и 1, тогда какъ
1 + 6лг 1 + 9л; 1 + х
Xй стремится къ нулю, то и въ этомъ случа-fe \imRn = 0. Итакъ (ср. § 186),
въ интервал^ (— 1, -f 1), за исключен1емъ нижней границы, им-Ьемъ
X2 X» X*
) + +
d) Чтобы разложить въ рядъ функщю у = arctg#, припомнимъ,
что (§ 292, е) ея и-ая производная равна
У + ~о~
Остатокъ въ формуле Маклорена, взятый въ форм* Лагранжа, равенъ произ-
Xй
веденда —на величину, остающуюся конечною, но не стремящуюся къ 0. Сле-
Следовательно, Rn стремится къ нулю только въ томъ случае, когда х по абсолют-
абсолютной величине не превосходить единицы. Въ этомъ предположеши (— 1 <, х S 1),
формула Маклорена даетъ
arc tg x = х — %хъ + ±хъ — i-x" + • • •
Этою формулою пользовались для вычислешя п. На границахъ интер-
интервала (— 1, + 1) она даетъ
§ 332 РАЗЛОЖЕШЯ ВЪ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 333
но этою формулою нельзя воспользоваться съ указанной цЪлью, вслт>дств1е
крайне медленной сходимости ряда. Надо было бы взять 24000 членовъ
(§ 196, с), чтобы получить четыре вЪрныхъ десятичныхъ знака. Весьма
удобную формулу далъ Мехинъ (Machin). Положимъ tga = i, тогда
*2^ ^^^ +
ЗамЪчаше, что tg4a немного превосходитъ единицу, наводитъ на мысль по-
положить 4а = -т + /?, пгб /? будетъ весьма малое число. А именно, находимъ,
я 11
Такъ какъ -г = 4 а — /3 = 4 arc tg -=- — arctg ^== , то
4 о 2оУ
\ 3 - 100 ^ 5 ¦ Г0№ " 7 ¦ 1003
_А /,1 !!
239 \
А /, _ +--1
239 \ 3-57121 + 5 -571212 7 -571213 ^ /
Съ помощью этой формулы В. Шанксъ (Shanks) вычислилъ л съ 707 деся-
десятичными знаками. Первые 30 можно зам-Ьтить при помощи сл-Ьдующихъ фран-
цузскихъ стиховъ:
Que j' aime a faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archimede, artiste ingenieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi ton probleme eut de pareils avantages.
Если каждое слово зам'Ьнимъ числомъ содержащихся въ немъ буквъ, то
получимъ
л = 3,141592653589793238462643383279 ...
Еще два знака можно написать, если припомнить 3aMt4ame Каталана г) что
подобную поэтическую работу нельзя продолжить, потому что посл"Ь цифры 5
сл"Ьдуетъ нуль. Гораздо полезнее, однако, им"Ьть приближенное значете л,
которое им"Ьетъ практическое приложеше. Такъ, если въ л2 = 9,8696044 ...
ограничиться первыми четырьмя десятичными знаками, то для л получимъ
значеше 0,26. ]А46 = 3, 141591953 ..., геометрическое толковаше котораго
(принимая во внимаше, что 146 = 52+112) дастъ вполн% удовлетворитель-
удовлетворительное спрямлен1е окружности круга 2) такъ какъ прим-Ьнен1е его даетъ по-
погрешность около одного миллиметра для круга съ д1аметромъ въ одинъ
километръ.
!) Catalan. „Nouvelle correspondence mathematique", t. V, p. 44.
2) Этотъ способъ былъ предложенъ Шпехтомъ (Specht) въ Crelles
Journal В. 111. S. 83. Другое построеше, дающее мен^Ье приближенное значе-
Hie л = 4 — 2У~2 + § V~^ + i 1^6 = 3,14277 ... было недавно предложено
Q. Peirce въ „Bulletin of the American Math. Society" (July, 1901, p. 427).
334 III, 3. разложенш въ ряды. § 332
е) Въ заключеше предложимъ себе разложить въ степенной рядъ
фуякшю/Ос) = A + х)т. Ея я-ая произодная равна
/"> (х) = от (т - 1) (т — 2) ... (от — и -)- 1) A + ¦*)"' ",
поэтому формула G) дастъ
(И) A + *г = 1 + ^.г + ^-А .,, + -i^J^_?l.vs + ...,
всяк1й разъ, когда рядъ въ правой части сходяшдйся и, кроме того,
lim Rn = 0. Мы увидимъ, что последнее услов1е всегда выполнено, когда
рядъ сходяшдйся и левая часть имеетъ смыслъ, т. е. за исключетемъ слу-
случая, когда одновременно т = 0 и х = — 1. Мы оставимъ также въ стороне
разъ навсегда случай от = 0, потому что тогда прямо видно, что формула A1)
имеетъ место, какое бы значеше ни имелъ л- ^ 1. После этихъ замечанШ
беремъ Rni1 въ форме Коши:
(т 1) (т -2) ¦¦¦ (т - п)
~ , ^ о х •
Зам"Ьтимъ, что Rn<i разложенъ такимъ образомъ на три множителя (не счи-
считая тх). Трепй множитель есть общ1й членъ бином1альнаго ряда съ пока-
зателемъ т — 1; этотъ рядъ будетъ сходящимся (§ 222) при х \ < 1, ка-
каково бы ни было иг, при х¦ = — 1 и т а 1, и при .v = 1, т > 0. Во всЬхъ
этихъ случаяхъ первые два множителя (тх совсЬмъ отъ и не зависитъ)
остаются конечными, а третШ, какъ общШ членъ сходящагося ряда, стре-
стремится къ нулю, следовательно, и Mm Rni[ = 0. Остается разсмотръть rb
случаи, когда первый рядъ сходяшлйся, а второй (бином1альный съ показа-
телемъ т — 1) расходяшлйся. Эти случаи соотв"Ьтствуютъ предположешямъ
х = — .1 при 0 < от < 1, и х = 1 прп — 1 < т < 0. Въ первомъ случа* въ
выраженш Rn , х относительно перваго множителя A — 6)"' х нельзя быть
ув*реннымъ. что онъ остается конечнымъ, потому что т — 1 < 0, а 6, хотя
и меньше 1, но при безпредЪльномъ возрасташи и можетъ быть подходить
къ 1 какъ угодно близко. Во второмъ случай третШ множитель уже не
стремится къ нулю, потому что его абсолютная величина
возрастаетъ безпредельно вместе съ п. Въ послЪднемъ случае вопросъ
сейчасъ же решается, если возьмемъ Лагранжеву форму для Rn:
R = т(т-\) (от-2)--- (от-и + 1)A + т „_
Множитель (l + 9)m~n остается всегда между 0 и 1, какъ бы ни изменя-
изменялось S при возрастанш п, между темъ какъ другой множитель стремится къ
нулю, какъ общШ членъ даннаго сходящагося ряда. Следовательно, limi?n=0.
Въ другомъ же случае (х= —1, 0< от <1) ни одна изъ спешальныхъ формъ
остатка, не даетъ возможности узнать стремится ли Rn къ нулю или нётъ.
Действительно, изъ общаго выражешя
R ,_ .Ч1 A _ 9)m "" *п_ (т — 1) (от -- 2) ¦¦¦ (т - п)
§§ 332—333 РАЗЛОЖЕНЩ ВЪ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 335
тотчасъ видно, что нельзя быть увт>реннымъ въ конечности множителя
A — 9)"'""'' не предполагая, что v g m < 1. Если же возьмемъ v = in, то 6
исчезаетъ изъ выражешя Rn\^, и мы получаемъ точное выражете остатка
Такъ какъ въ нашемъ случат* т положительное и меньше 1, то
а следовательно, lim Яи_ц = 0. Итакъ, мы не только имЪемъ право писать,
какъ частный случай A1) при х = — 1
1 _ '*L "'('" ~ 1) _ т (т — 1) ('" — 2) , _ а
1 + 1 -2 1 -2-3 + "¦ ^Ul
каково бы ни было т > 0 *), но можемъ разсматривать предыдущее ра-
равенство, какъ предельный, такъ сказать, случай тождества
т пг (т — 1) т (т — 1) ¦¦¦ (т — п -\- 1)
I - у + ^ "• ±
-С""
при п безконечномъ.
333. Другого рода полезныя приложешя Тэйлоровой формулы
находимъ въ теорш численныхъ рядовъ. Положимъ, что данъ рядъ
положительныхъ убывающихъ чиселъ и, -f- и.г + г«3 + • • •. Предста-
вимъ себ-fe функщю f(x), имеющую лишь положительныя значен1я,
постоянно убывающую при возрасташи х и принимающую при
х=1, 2, 3, ... значешя щ, и.г, иъ, ... Допустимъ, дал"Ье, что намъ
изв-Ьстна одна изъ первообразныхъ функщй /(х), которую обозна-
чимъ черезъ F(x). Эта функщя постоянно возрастаетъ вм^ст-Ь
съ х, потому что ея производная f(x), по услов1ю, всегда положи-
положительна (§ 300), а потому непременно стремится къ конечному или
безконечному пределу (§ 263) при безпред'Ьльномъ возрастанш х.
Обозначая теперь черезъ а и /? два опредЪленныя числа соответст-
соответственно въ интервалахъ («—1, п) и (и, я 4-1), будемъ им*ть **)
F(n)-F(n -1) =/(«), F(n+\)-F(n)^f{,t),f(a) > и»
откуда
F(n + \)-F(\) <щ f«,+ ns+ ¦¦• +и„ < F(n) -
*) Случай m > 1 уже раньше былъ указанъ.
.**) По TeopeMt Лагранжа, представляющей частный случай формулы
Тэйлора при « = 1.
336 III, 3. разложенш въ ряды. §§ 333—334
Отсюда слЪдуетъ, что рядъ и1-\-щ-\-и}-\---- будетъ сходя-
сходящимся или расходящимся, смотря по тому, стремится ли
F(x) при х безконечномъ къ конечному или безконечному
пределу. Действительно, въ первомъ случат, сумма первыхъ п
его членовъ, постоянно возрастая, остается всегда меньшей числа
F(n) — F@), которое, по предположен!», имЪетъ конечный
предт>лъ. Во второмъ, та же сумма, будучи больше числа
F(n-\-\) — F(l), возрастающаго безпредельно вместе съ п, а
fortiori возрастаетъ безпредельно. Этотъ замечательный признакъ
сходимости принадлежитъ Коши *).
334. Формула Тэйлора даетъ намъ теперь средство еще глубже
проникнуть въ изучеше даннаго ряда их + и2 -\- и3 -\- ¦ ¦ ¦ , даже въ
томъ случай, когда его члены не слЪдуютъ одинъ за другимъ въ
убывающемъ порядки. Прежде всего мы докажемъ следующую тео-
теорему Франеля1): Положимъ, что f(x) имЪетъ единственную произ-
производную. Если эта производная, при безпредЪльномъ возра-
стан!и х, стремится къ нулю, постоянно убывая по абсолют-
абсолютной величине и сохраняя постоянный знакъ, то выражеюе
A2) ИХ + Щ + «з + •¦¦ + «„ _! + к»п - F(») **)
стремится при п безконечномъ къ конечному пределу /.
Действительно, это выражеше можно представить въ виде vt +
+ ^2 + ¦ • • +^»| ПОЛОЖИВЪ
vn = F(n - 1) - F(n) + I {f(n - 1) +/(я) }.
Съ другой стороны, пользуясь формулою Тэйлора (9) съ дополни-
тельнымъ членомъ Лагранжа, получимъ ***)
F{n -t) = F(n-l)+ if(n - 1) + 1/' (а),
F(n - I) = F(n) - i/(n) + if У),
где а и /? определенныя числа, лежашдя одно въ первой, другое
во второй половине интервала (и—1, п). Отсюда, сравнивая два
выраженш г \п ~-\, находимъ
Такимъ образомъ, г>, + v2 -(- v3 -\- ¦ ¦ ¦ представляется, начиная съ не-
котораго места, въ виде ряда съ попеременно положительными и
*) Маклоренъ въ своемъ „Traite des fluxions", появившемся въ св-Ьтъ
вскоре после Ньютонова открыт1я исчислен1я безконечно малыхъ, далъ
этотъ признакъ, облеченный въ геометрическую форму. Поэтому этотъ при-
признакъ называютъ обыкновенно теоремою Коши - Маклорена.
!) .Intermediaire des Mathematiciens", t. I, p. 234.
**) F{x) — первообразная функщя отъ f(x), т. e. F'(x) =f{x).
***) Прим-Ьняя (9) къ F(x), полагая п = 2 и одинъ разъ х = п — -J-,
а = п — 1, другой разъ х = п — ?, а = п.
§§ 334—335 РАЗЛ0ЖЕН1Я ВЪ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 337
отрицательными, и постоянно убывающими членами. Следовательно,
(§ 195), рядъ vt + v.x + v3 + • • ¦ сходящШся и его сумма равна
именно пределу / выражешя A2). Замечая еще (§ 196, с), что ве-
величина остатка vn^ -f v,,-\-2 + • • • всегда заключается между 0 и
~~ i/ (n) (XXXIV)', можемъ написать
д
A3) «! + «2 + «з + ' ¦' + «„ = F (И) + i/(«) + у/' (Я) + /,
гдЪ 0<6<[1. Эта формула весьма полезна при приближенномъ
вычислеши некоторыхъ суммъ. Но во всякомъ случае, если желаемъ
получить лучшее приближеше, надо непосредственно изслЪдовать
выражеше д„ = — (vn+i + vH+s + • • •)• Действительно, мы увидимъ,
п
что, заменяя въ выраженш A3) число -rrf'{n) черезъ д„, всяк1й
разъ легко получить удовлетворительное приближен!е для дп изъ
непосредственнаго разсмотрен1я равнаго ему выражешя — {vn-\-i +
+ ?Vf2 ~т" •••)• Впрочемъ, изъ Тэйлоровой формулы, въ ея общемъ
виде, можно вывести формулы, аналогичныя формул* A3), даюшдя
все более и более удовлетворительныя приближешя. Действительно,
стоитъ только въ формуле Тэйлора взять два лишнихъ члена, чтобы
о
иметь формулу, получаемую изъ A3) черезъ замену -^f'(ji) че-
1 б
резъ —jf'{п) + ТооУ//'GгI предполагая, что f" удовлетворяетъ
темъ же услов1ямъ, что и f.
335. Примеры, а) Доказанный въ § 333 признакъ сходимости или
расходимости рядовъ, данный Коши (Маклореномъ), даетъ возможность тот-
часъ же установить расходимость рядовъ, опредЪляемыхъ общими членами
1 1 1
п п log п п log п log log п
Стоитъ только заметить, что всЬ эти функцш убываютъ и стремятся къ
нулю при п безконечномъ, и имЪютъ первообразный функши
log п, log log п, log log log n, ...,
возрастающая безпред-Ьльно вмъхгё съ п. Теорема Франеля даетъ еще новые
результаты относительно этихъ рядовъ. Такъ напримЪръ, она прямо дока-
зываетъ существоваше числа
\\im 11 + - + о + • • • Н log и
п—-л \ 4 о П
о которомъ мы уже раньше сказали (§ 183), что оно равно Эйлеровой по-
постоянной С = 0,577215664901 ... Точно также она доказываетъ существо-
ваше числа
которое вычисляется инымъ путемъ и равно 0,794678645453 . .. х).
„lntermediaire des Mathematiciens", t. V, p. 101.
338 III, 3. рлзложЕнга въ ряды. § 335
Ь) Съ помощью формулы A3), которую мы теперь напишемъ въ
болъе общей формЪ:
A4) щ + щ + щ + ••• + ип = F(n) + i/(K) + on + /,
можно идти и дальше въ приближенномъ вычислети лъвой части.
При /(я) = —, напримъръ, имъемъ F(n) = log n, / = С и остается только
вычислить оп = — (vn\1 + г'м_|_2 "Ь • • • )> ° которомъ мы пока знаемъ только,
что дп стремится къ нулю при безконечномъ п. Въ данномъ случаъ имъемъ
а такъ какъ (§ 219)
l0g »7^Л = 2 \ЪГ^1 + 3Bя- IK + 5Bи - 1K +¦¦
2 \n - 1 + п I \2п - 1/ "*~ Bя + IK + B« - 1>> + "' )'
то тотчасъ видимъ, что
v =4/ 1_
п \3B;г- 1)»
а вм-Ьст* съ тъмъ
< V" < 3 Bи - 1) \B»г - IJ Bя - IL ~"~ Bи - 1)в
и, наконецъ (§ 247, а),
0 < v" < 12я2(»-1J ~ 12 \(и - IJ я2/'
Следовательно, 0< —Qn< T7f~2- Поэтому, обозначая черезъ 6 число, лежащее
между 0 и 1, можемъ сказать, что сумма первыхъ я членовъ гармо-
ническаго ряда равна
Такимъ образомъ, мы въ состоянш будемъ отв*тить на вопросъ о вели-
чинъ суммы первыхъ 100000 членовъ этого ряда, что она равна 12,090146 ...
Для этого достаточно положить въ формулъ A5) п = 105. Съ другой сто-
стороны, при и = 10, когда легко вычислить непосредственно лъвую часть,
формула A5) даетъ число С съ пятью вЪрными десятичными знаками.
с) Если ип = log n, то можно положитъ F{n) = n log n — п, потому
что производная отъ х log х — х равна log x. Существоваше числа
lim (log (я!) - (п + \) log « + п\
И=33 \ /
вытекаетъ изъ теоремы Франеля. Впослъдствш мы найдемъ его значеше /
§§ 335 — 336 АСИМЛТ0ТИЧЕСК1Я И30БРАЖЕН1Я СТЕПЕННЫХЪ РЯДОВЪ. 339
и получимъ / = log 'Yin. Чтобы показать теперь же приложеше фор-
формулы A4), зам-Ьчаемъ, что
_П[о п __ 1 , 1 , 1 ,
откуда получается
U< - У« < 3 \Bп - 1Я + B* - 1 )* + ''' | ~ 12 |^Т ~" н /
и, слЪдовательно, 0 < ои < у^~. Формула A4) дастъ теперь
U6j log (н!) = (« + i) log n - п + ~ + log 1^2^ -
а переходя отъ логариемовъ къ числамъ найдемъ извЪстную формулу
Стерлинга (§ 221).
Асимптотичесюя изображен1я степенныхъ
рядовъ.
336. Если отношеше двухъ функщй стремится къ 1, когда
независимая переменная возрастаетъ безиред-кльно или когда обЪ
функщй безпред"Ьльно возрастаютъ съ приближешемъ независимой
перем-Ьнной къ конечному пределу, то говорятъ, что функщй отно-
относятся асимптотически одна къ другой. Если нашли функщю <рй,
асимптотическую къ функцш f, загЬмъ другую /,, асимптотическую
къ/—(р0, третью <р.г, асимптотическую къ _/"—<р0 —94 и т- Д->
то найдемъ такъ называемое асимптотическое изображеше функщй/
/(*) = (f0 (х) + с^ (х) + <г2 (*)+-¦•
Это равенство надо понимать условно, какъ заменяющее рядь ра-
венствъ, смыслъ которыхъ намъ изв-Ьстенъ:
<ро(х) ^(х)
Функцш <ра, <рх, <р.г,... обладаютъ, очевидно, тъмъ свойствомъ,
что отношен1е каждой изъ нихъ къ предыдущей имъетъ предЪ-
ломъ нуль *). Поэтому, если при послЪдовательномъ вычислен1и
<JV <Pi> гРъ>--- получимъ, наконецъ, постоянную, то всЪ сл-Ьдую-
*) Потому что изъ того, что
lim — -^LJ= i_ сл*дуегь И
дtлимoe им"Ьетъ пред"Ьломъ 0, сд'Ьдовательно, и предъчпъ делителя есть 0.
340 III, 3. разложечщ въ ряды. § 336
1шя за ней должны имъть предЪломъ нуль. Все сказанное относится
и къ тому случаю, когда переменная, возрастая безпред"Ьльно, по-
лучаетъ только цЪлыя значешя, и этотъ случай, какъ сейчасъ уви-
димъ, является наиболее важнымъ.
337. Примеры, а) Въ § 814, j) мы видели, что хГ(х) стремится
къ пределу 1, когда х стремится къ нулю справа. Этотъ результата можно
выразить такъ: — есть асимптотическая функц1я къ Г{х) справа
отъ нуля. Замечая далее, что
Нт(г(лг) --] = limf (ДГ+П~ 1=РA)=-С*),
\ X J X
можемъ написать асимптотическое уравнете Г(х) = С. Оно, впро-
чемъ, еще проще получается изъ разложешя Г(х -\- 1) въ степенной рядъ
путемъ разделешя всбхъ членовъ на х.
Ъ) Чтобы получить примеры асимптотическаго разложешя функщй
отъ переменной, принимающей лишь 1гЬлыя значешя, стоитъ только обра-
обратиться къ равенствамъ A5) и A6) и написать ихъ въ слътгующемъ е
log (и!) = п log и - п+ ^ log и + log ул + |— + ••¦¦
Какъ видимъ, отношен1е каждаго члена правой части къ предыдущему стре-
стремится къ нулю при безпред'Ьльномъ возрастанш переменной. Разложешя
можно продолжать до безконечности, вовсе не заботясь о ихъ сходимости,
потому что они не являются, какъ обыкновенные безконечные ряды, резуль-
татомъ одного перехода къ пределу, а заключаютъ въ себе безконечное
число такихъ переходовъ, сл-Ьдующихъ одинъ за другимъ !).
с) Изъ формулы Стерлинга легко вывести одинъ результатъ, который
полезно здесь же заметить, такъ какъ мы имъ часто будемъ пользоваться,
1
а именно: Ксэффиплентъ при хп въ разложен1и г имеетъ
асимптотическимъ выражешемъ число — Въ самомъ деле, мы
упл
имеемъ
е—*9f
1 -3-5 ¦¦• Bи- 1) = 1 -2-3 ¦¦¦ 2» = BпУ. _ е_2^_ _ _ 1
2-4-6 ••• 2» ~ B-4-6 -2«)*~4"(и[J~у.™ ~ У^Гп
т. е.
ЬЗ-5 ••• Bн- 1) лГ- 1
*) См. въ § 314, j формулу
Г'(х) , „ , 1.1
Г(х) ' " - ' х^ 2 .г + 1 ^
*) И для этихъ разложен!й Ре an о указалъ общ1й способъ изследо-
вашя. См. въ Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino. 1891.
§ 336 АСИМПТ0ТИЧЕСК1Я ИЗОБРАЖЕНЫ СТЕПЕННЫХЪ РЯДОВЪ. 341
d) Къ другому интересному равенству, которымъ вскоре и восполь-
воспользуемся, мы придемъ, поставивъ себе целью найти асимптотическое изобра-
жеше числа делителей первыхъ п цЪлыхъ чиселъ, или, иначе говоря, изо-
бражеше суммы 9A) + 9B) + ¦•¦ + 5(«)> где 9(и) обозначаегь число дели-
делителей числа п. Мы будемъ исходить изъ следующего замечатя:
п- 1
0, вообще
1, если п делится на р.
Если сложимъ все подобныя выражешя, въ которыхъ число р проходитъ
все це.чыя значетя отъ 1 до v = []/"«], то получимъ число делителей
/— - Ч»)
числа п, не превосходящихъ у п, т. е. вообще —~ , а если п точный ква-
дратъ, то *). Отсюда сл^дуетъ, что
6A) + 9B) + ... + Ни) = 2? 2J [\т\ ~
/,¦=1 ;;=! \ L/1 J L
И-|-Г*~1П
\\ь\
/.—1 ;;=!
Двойная сумма, стоящая въ правой части, легко приводится къ следующей:
Итакъ, будемъ иметь
9A) + 6B) + ¦•• +0(и) =
а следовательно,
6
Такъ какъ, съ другой стороны,
п
то ясно, что при безконечномъ п
lim— = 1,
Итакъ,
. 1 Vfyw \пЛ\ п
im — > —- — — = 0.
_ iog = 2С _ х =
*) См. примечан1е (XXX) къ книге II.
342 III 3, разложенш въ ряды. §§ 337—338
Такимъ образомъ, мы пришли къ важной асимптотической формул* Ди-
Дирихле 1)
6A)+ 8B)+ ••• +5(w) = «log« + BC- l)n+ ¦¦¦.
338. Займемся теперь спещально функщями, которыя въ дан-
номъ интервал-в (— q, д) могутъ быть изображены степенными ря-
рядами. Мы уже знаемъ, что такая функщя непрерывна и имъетъ
производную для всъхъ значенШ х, для которыхъ х \ <С Q- Но мы
не знаемъ, что будетъ, когда .r = +Q; а между т-Ьмъ именно изъ
того, что представляетъ изъ себя рядъ на границахъ интервала схо-
сходимости, можно часто выводить полезные результаты для асимпто-
тическаго выражешя суммы ряда вблизи этихъ границъ. Съ другой
стороны, мы увидимъ, что въ нъкоторыхъ вопросахъ эти асимпто-
тичесшя выражешя могутъ заменять точныя значешя суммъ, почти
всегда недоступныя. Мы предпошлемъ сперва следующую теорему:
Если на одной изъ границъ интервала сходимости степен-
степенной рядъ расходящейся, то изображаемая имъ функцдя
возрастаетъ безпредъльно, когда независимая переменная,
оставаясь внутри интервала, безпредъльно приближается
къ этой границъ1. Для большей определенности и упрошешя до-
доказательства мы будемъ всегда разсматривать верхнюю границу д,
и положимъ о=1. Последнее не нарушаетъ общности разсужде-
Н1я, потому что стоитъ только заменить х на дх, чтобы сделать
раД1усъ сходимости равнымъ 1. Положимъ, что
/(х) = я0 + я, х + а2х2 + ¦ • ¦, я0 + а1 + а., + ¦ ¦ ¦ = ее,
при чемъ, если понадобится, мы измънимъ знаки всЬхъ коэффищен-
товь. Нужно показать, что, какъ бы велико ни было число /, f(x)
дълается и остается больше /, когда х будетъ больше нъкотораго
опредтзленнаго числа, меньшаго 1, и достаточно близкаго къ 1.
Возьмемъ некоторое число /' > / и, пользуясь расходимостью ряда
ао + а\ + ai + ¦ • ¦ > опредълимъ число v такъ, чтобы при и > v
сумма а0 +- ai +- al +¦ ¦ ¦ ¦ +¦ а„ была больше /'. Замтзтимъ теперь,
что при 0 < X <[ 1 имЪемъ
(а0 + ах + ¦¦¦ + nv+i) + (я0 + Я] + ¦ ¦ • + я„+2) х
у
+ (я0 + яа + ¦ • ¦ + av+3) х"-+ ¦¦¦ > -j—~x
или
(я0 -t- ах + • ¦ • + av) + я(,+1 + я„+, х + av+s х2 + • ¦ ¦ > /'.
Если умножимъ лъвую часть на .v''~l, то получимъ выражен1е
(а0 — а1 -г ¦¦¦ + я,,) -г''^1 — (я0 — а±х + ¦ ¦ ¦ + я„.г'') + Дх).
!) „Journal de Liouville" 1856. p. 359. См. также сообщеше Stiltjes'a
Парижской Академш Наукъ. Comptes rendus, t. XCVI p. 764.
§§ 338—339 асимптотически изображенщ степенныхъ рядовъ. 343
Следовательно,
/(*) > «оа - У+1) + в1(* - xv+l) + ¦ ¦ ¦ + av(xv - xv+l) + l'xv+\
He мЪняя теперь v, заставимъ x приближаться къ пределу 1,
тогда правая часть будетъ стремиться къ пределу /', и потому
остается въ концЪ концовъ больше числа / < /'. A fortiori, f(x) бу-
будетъ также больще /. Следовательно, limf(x) = оо.
х=1
339. Теорема. Положимъ, что два степенныхъ ряда съ
положительными коэффициентами будутъ расходящимися
при одномъ и томъ же значеши х = q на границт, общаго
интервала сходимости данныхъ рядовъ, положимъ далЪе,
что при безпредъльномъ возрастали п OTHOiueHie коэф-
фиц1ентовъ при х" въ этихъ рядахъ стремится къ неко-
некоторому конечному пред-влу. Тогда и отношеше функц1й,
изображаемыхъ этими рядами, стремится къ тому же пре
дтзлу, когда х стремится къ р.
Это и есть та теорема, на которой основывается асимптоти-
асимптотическое изображеше степенного ряда. Приведемъ рад1усъ сходи-
сходимости къ 1 и замт,тимъ, что на основанш предыдущей теоремы
функщ'и
Ч (х) = ап + ах х + а2 х2 + • ¦ •, ^(лг) = Ьо + Ьхх + Ьгх2 + ¦¦¦
безпред-Ьльно возрастаютъ съ приближен!емъ х къ 1. Отсюда вид-
видно, что высказанная здъхь теорема есть, такъ сказать, теорема Ло-
питаля (§ 310, Ь) для степенныхъ рядовъ. Однако, надо замЪтить,
что теорема Лопиталя здъхь не привела бы ни къ какому резуль-
результату, потому что производныя <р' и чр' имтзютъ также форму сте-
степенныхъ рядовъ, расходящихся при .t = 1. Допустимъ теперь, что
коэффициенты ап и Ьи, по крайней м-вр-в, начиная съ н-вкотораго
a, положительны, и что существуетъ предълъ / отношен!я -?-
при безконечномъ п. Тогда, задавъ по произволу положительное,
сколь угодно малое число е, всегда можемъ найти такое число v,
чтобы при n~^>v выполнялось неравенство
т. е., чтобы а„ оставалось въ предтзлахъ (/ — е)Ьп и (/ -(- е)Ьп.
Тогда и
при х~^>0. Съ другой стороны, при постоянномъ v, такъ какъ
344 III, 3. разложенш въ ряды. §§ 339—340
<р{х) и ip(x) возрастаютъ безпредтэльно съ приближешемъ х къ 1,
видимъ, что отношеше
стремится къ пределу 1. Поэтому, при всякомъ даниомъ е' можно
будетъ найти достаточно малый интеовалъ сл-Ьва отъ х = 1, чтобы
неравенства
выполнялись для всЬхъ значен1й л* въ этомъ интервал-fe. Отсюда
сл-Ьдуетъ, что при произвольно заданномъ положительномъ числЪ
г), если положимъ, напримЪръ, е = /е' = \г} < /, то будемъ имЪть
для указанныхъ значенШ х
(fix) , ,. cf(x) ,
Ч^ — / < Ч, такъ что \1тЦ-4-=1.
! vW
340. Теперь мы въ состоянш дополнить сказанное раньше о
непрерывности степенныхъ рядовъ въ интервал-fe сходимости и до-
доказать, что они будутъ непрерывными функщями и на границахъ
интервала, если только остаются на нихъ сходящимися. Иными сло-
словами: Если на границъ1 интервала сходимости степенной
рядъ им-Ьетъ сумму /, то функщя, изображаемая этимъ ря-
домъ, стремится къ пределу /, когда независимая перемен-
переменная, оставаясь внутри интервала, стремится къ границ^
его. Эта важная теорема принадлежитъ Абелю *). Теорема § 338 ее
дополняетъ. Пусть
Дх) = а0 + а^х + а2х2 + ¦ ¦ ¦, а0 + а1 + а2 + ¦¦¦ = I,
и примемъ, что / > 0, что всегда возможно, потому что въ про-
тивномъ случат* всегда можно увеличить значеше а0 и достигнуть
сказаннаго. Разсмотримъ теперь рядъ
ср(х) - я0 + («о + ai> х + К + «1 + я2) х2 + •¦¦
и замтлимъ, что (§ 327) рад!усъ сходимости его равенъ 1 (XXXVI).
При х = 1 онъ расходяшдйся, потому что его обшдй членъ стре-
стремится къ пределу 1^>0. Такъ какъ его коэффищенты, начиная съ
нъкотораго м*ста, вс-fc положительны (по той же причинъ), то
*) Она доказана Абелемъ въ цитированномъ уже мемуарЪ о бино-
м1альномъ ряд%, на основан1и другихъ соображешй.
§§ 340—342 АСИМПТОТИЧЕСК1Я ИЗОБРАЖЕШЯ СТЕПЕННЫХЪ РЯДОВЪ. 345
можно применить предыдущую теорему къ функщямъ <р{х) и
ip(x) --^ 1 + х + х% -f- • • • = -. : • Тогда получимъ
lim A — д-) q: (х) = lim (а0 + а1 + а2 + ¦ ¦ ¦ + ап), т. е. lim f(x) = 1.
х=1 и=х ~ х=1
341. ПрипгЪчаше. Не слЪдуетъ думать, что теорема Абеля
очевидна сама по себ-fe. Надо принять во внимаше, что въ ней до-
доказывается равенство значенШ двухъ величинъ, имЪющихъ суще-
существенно различный смыслъ, а именно:
Нт(я0 + ахх + а2х2 + •¦•) и Нт (я0 + «i + •¦• + я,,)-
Впрочемъ, теорема Абеля даетъ возможность утверждать существо-
ван1е перваго предала, когда второй существуетъ, но очень можетъ
случиться, что второго предала нЪтъ, когда первый существуетъ.
Простымъ прим^Ьромь является сл-Ьдующ!й:
— х + х- - •••) =
a lim [1 — 1 + 1 — 1 + • • ¦ + 1] не существуетъ. Наконецъ, для
рядовъ не степенныхъ теорема не в-Ьрна, потому что числа
lim (tio(x) + щ(х) + н2{х) + ¦••), Пт (ио(а) + и^а) + •¦• + nn(a>)
могутъ оба существовать, не будучи равными. Напримъръ,
lim ((х — х-)-\-(х- - д-3! + (д-3 - л-4) + ¦•) = 1, lim @ + 0 + ••• + 0) = 0.
342. Упражнен1я. ai Теорема Абеля даетъ намъ то. чего намъ не-
недоставало, чтобы со всею полнотою установить некоторый разложешя гораздо
болЪе быстрымъ путемъ, чЪжь примкнете формулы Маклорена, иногда весьма
неудобное. Такъ напримъръ, чтобы получить разложеше функши log A 4-х)
и arctgx по степенямъ х, достаточно заметить, что производныя этихъ функ-
щй разлагаются слЪдующимъ образомъ:
и что самыя функши обращаются въ нуль при х = 0. Тогда, на основанш
сказаннаго въ § 329, можно написать
log A + х) = х — ^х1 + ^Xs — ¦¦¦, arctg х = х — ^ х3 -\- Ix'J — •••
во всякомъ интepвaлt (—а, а), гдъ а < 1 и какъ угодно близко къ 1.
Теперь теорема Абеля дозволяетъ распространить эти разложешя на слу-
случай а = 1 при единственномъ условш, чтобы ряды остались сходящимися.
Для перваго ряда это будетъ при д- = 1, для второго при х = ± 1, по-
поэтому
log 2 = 1 -* + *- •••, 'J = l_| + ?- ....
346 III, 3. разложенш въ ряды. § 342
b) Аналогичнымъ образомъ можно найти сумму бином1альнаго ряда
для всЬхъ значешй х и т, для которыхъ рядъ будетъ сходящимся, исклю-
исключая только тотъ случай, когда одновременно х = — 1, т = 0. Действительно,
мы имЪемъ
далее, умножая на A + .г) и замечая, что
(т - 1) (т - 2) ••• (т — п + 1) (т — 1) (т - 2) ¦¦¦ (т - п)
(и - 1)! ^ п !
т(т — 1) ¦ • • (;и — и + 1)
= «1 '
находимъ
f'(x) m
f(x) l+x'
Левая часть, очевидно, есть производная отъ \ogfix), вторая—производная
отъ wlog(l + х~) или log(l + лг)"\ Эти функши, следовательно, могутъ отли-
отличаться одна отъ другой только постояннымъ слагаемымъ (§ 307, Ь), которое,
впрочемъ, оказывается нулемъ, потому что обе функщ'и при х = 0 обраща-
обращаются въ нуль. Следовательно, f(x) = A -f xm).
с) Воспользуемся теперь теоремою § 339, чтобы найти асимптотичес-
асимптотическое изображеше ряда f(x) = х -\- xi -f xlJ + ••• , очевидно, расходящагося
при х = 1, но сходящагося слева отъ 1. Сперва разсмотримъ функщю
связанную съ/(д;) очевиднымъ соотношетемъ A—х) v(x)=f(x), и срав-
нимъ ее съ нижеследующею
въ которой коэффишентъ при хп равенъ (§ 337, с).
3 • 5 • ¦ • Bп + 1) 1 ¦ 3 ¦ ¦ ¦ B» - 1) _ Ъг + 1 ._ д Уп
2-4-.-2« " 2-4-.-2« -^"+1)~ ^^ + •¦¦ " V-T
Пред-Ьлъ отношен1я коэффишентовъ при л:" въ обоихъ рядахъ будетъ по-
поэтому равенъ
§ 342 АСИМПТ0ТИЧЕСК1Я И30БРАЖЕН1Я СТЕПЕННЫХЪ РЯДОВЪ. 347
Отсюда, на основанш упомянутой теоремы, имЪемъ
Iim A - *)' ср (х) = Ига A - xff(x)
и потому можемъ написать равенство
асимптотически справедливое сл"Ьва отъ х = 1. Продолживъ вычислеше, безъ
большихъ затруднешй найдемъ болЪе приближенное выражеше (XXXVII):
1-х 2 8 r "v -v-r • •
Къ тому же выражешю можно прямо придти, если считать извъхтнымъ
одно свойство f(x) x), доказать которое мы предлагаемъ читателю въ видЪ
упражнешя, хотя для доказательства находящаяся въ нашемъ распоряженш
элементарныя средства пока недостаточны *). Свойство это выражается
равенствомъ
гд-fe числа х и х', оба лежащ1я между 0 и 1, связаны соотношен1емъ
l°g~ • log— = я2- Въ силу этого соотношетя х' стремится къ нулю, когда х
стремится къ 1, и въ этомъ предположенш тотчасъ находимъ
Y^x = 1 Iim (]
d) Рядъ f{x) = дг — х*-\-х% — х16~\- ••• не будегь сходящимся при х = 1,
но это не мЪшаетъ его суммЪ стремиться къ определенному пределу, когда х
стремится къ 1. Чтобы найти этотъ предЪлъ, замътимъ, что въ ряд-Ь
^^ = х+ х2 + х3 +
коэффишентъ при хп, ап — 1 или ап — 0, смотря по тому, будетъ ли число
v = [У~п] нечетное или четное. Легко выполнимое вычислеше даетъ
i) Cauchy: „Memoire sur la theorie des nombres" A830, p. 614)
Memoires de L'Institut de France. Tome XVII.
*) Cm. § 760, i въ книг* VII.
348 HI, 3. разложенш въ ряды. § 342
Далее, замечая, что Ой" — v2 ё= 2е, находимъ
а1 + а2 + а +...+О» = _ ^ =
п + 1 ' ~ Ъг -
После этихъ замЪчанШ достаточно сравнить рядъ
Ф (.v) = я^ + (ах + а^х2 + (д^ + я2 + яз) *3 + ¦ • • •
съ рядомъ
7,-4^ = * + 2х + Зл'2
чтобы вид^ь, что lim(l — xfcp (лг) = ?. Но A — л;J гр (дг) =/(л-). Следо-
Следовательно, «=i
lim (*• - л-4 + л-9 - д.-16 + ¦¦¦) = i-
(См. npHMtnaHie XXXVIII.)
е) Если желаемъ найти асимптотическое выражеше функщи
(при х = 1 рядъ расходящ1йся), то целесообразно будетъ разсмотрт>ть ряды
въ которыхъ коэффищенты при .г" будутъ соответственно //„ и Нп, где
'' = [Vм] * ¦ Пределъ отношен1я этихъ коэффищентовъ есть
log v 1
п=ж log я 2
и, следовательно, -у log ^ есть асимптотическая къ f(x) функщя. Чтобы
идти дальше въ разложеши /(х), разсмотримъ функщю
/(х) - у log —— = а^х + а2х2 + аъх°> ¦
въ которой
у п
и, следовательно, а1 -\- а2 -\- а-6 ¦ ¦ ¦ = \ С Поэтому, на основанш теоремы
Абеля,
lim \ fix) — тг log ;—
*) Въ этомъ легко убедиться, представивъ : въ виде ряда
1 —- ОС
1+х + х2+--- и поступая аналогично тому, какъ показано въ примечаши
къ предыдущему примеру.
§ 342 АСИМПТОТИЧЕСКШ ИЗОБРАЖЕНШ СТЕПЕННЫХЪ РЯДОВЪ. 349
Лъвой части можно дать другой видъ, замъчая, что съ приближешемъ х къ 1
log— 1°#—
lim lo
log- tog- г 1
g-—- = log lim-—'- = 0, т. е. lim log log —+ log- =0
i —- ji i —- Д- \ л i ж j
Такимъ образомъ, можно написать асимптотическое, слъва отъ 1, ра-
равенство !) (XXXIX)
х + ^х* + ^х'->+ •.. = -iloglogi + ic.
f) /(.v) = bu-1x-\-2lt~~lx2 + З'1^1*3 + •¦• принимаетъ при х = 1 зна-
чеше I" + 2М~' + З'"^1 + ¦-¦ , конечное при ,« < 0 (§ 212, а). При ,« > 0
она, напротивъ, безиред^льно возрастаетъ сл^Ьва отъ 1. Такъ какъ, при
н = 0, f(x) = — log (I — х) (какъ извЪстно), то остается изслЪдовать только
случаи it > 0, и съ этой ц^ью достаточно сравнить fix) съ
припоминая опредълете фуккцди Гамма § 252, с:
«' Vх
Г(х + 1) = Ит , , 1Л,. ,".;
\)(х + 2) ¦¦¦ (х + п)
Мы тотчасъ видимъ, что отношеше коэффищентовъ при хп при безконеч-
номъ п стремится именно къ предълу ]\tu) и потому '-):
lim A "-1 х + 2й х2 + З"-1 х3 +•¦¦)( 1 - xf = Г(,«).
.с—1
Эта формула приводить къ разсмотрън1ю функщи Г съ новой точки зръ-
Н1я. Выражеше, стоящее въ лъвой части, можно представить въ видъ
ахх + а2л'2 + «з-v3 + • • •, полагая
а„ = «"-1 - ^ (и - I)'-1 + ^^ (« - 2)"-1 - ....
Теорема Абеля позволяетъ тогда выразить Г(ц), какъ сумму я1+я2+я3+ •••,
а такъ какъ
то, замъняя еще ,« на х + 1, можно написать 3)
Г(х + 1) = lim f W - f (» - 1)' + Х(Х.~^ (« - 2f -...).
!) N. Sonin: „Sur les polynomes de Bernoulli1' (Crelles Journal, Bd. 116,
S. 147).
2) Appell. „Sur certaines series ordonnes par rapport aux puissances
croissantes dune variable" (Comptes rendus de l'Academie des Sciences de
Paris, 1878).
3) „Intermediaire des Mathematiciens", t. VI, p. 148.
350 III, 3. разложены въ ряды. § 342
gi Въ заключеше воспользуемся формулою Дирихле, доказанною
въ § 337, для асимптотическаго выражешя ряда Ламберта (§ 247, с)
Мы уже знаемъ, что этотъ рядъ можно преобразовать въ слъдующШ:
упомянутая формула Дирихле наводитъ на мысль изслъдовать функщю
дх) _ _L. log -А— = у F (п) - Нп)хп
1 — X I — л ^^^
1
въ предположен^, что л; стремится къ 1 слъва. Сумма первыхь п коэф-
фищентовъ равна
6A) + 9B)+ ¦¦¦ +8(и)-(н + 1)#и + н = С«+ ¦¦¦,
сл^овательно, сама функщя, разделенная на 0A — х), есть асимптотиче-
асимптотическая функщя относительно л; + 2х- + Зл;3 + •••, т. е. относительно — -,.
Ci — х)-
Поэтому будемъ имъть
Это выражен1е легко преобразовать въ другое, пользуясь темъ же замъ-
чашемъ, которое мы сд'Ьлали по поводу ряда Сонина, и написать
С-log log—
Такимъ образомъ, находимъ безконечно большой членъ разложешя Шле-
мильха, упомянутаго въ § 247, dj, и этого достаточно, чтобы судить о зна-
чеши Ламбертова ряда слъва отъ единицы. Но, чтобы вычислить его сумму
съ извъстнымъ приближешемъ, надо знать все разложеше *) (XL)
1 1 / 1\*
С-log log- j log- (^log-j
" I ^ 4 ~ 144 8640ЕГ
*) Это и есть разложен1е, найденное ЗсЫбтЛсЬ'омъ въ указанной
статьъ, при помощи формулы Эйлера - Маклорена, о которой говорится
въ § 357.
§ 343 ИНТЕРПОЛЯЦЮННЫЯ ФОРМУЛЫ. 351
Интерполяцюнныя формулы.
343. Задача интерполировав *) состоитъ въ построенш
функщи у =/(х), принимающей данный значешя у,, у.г, уг, ... при
данныхъ значешяхъ х = xt, х2, хъ, ..., т. е. подъ услов1ями
/(*i) =У\. /(-Ч) =Уъ< f(x3) =Уа. ¦ ¦ ¦
Задача эта по существу своему, вообще говоря, неопределенная. Но
если желаютъ, чтобы у было целою функщею, степень которой
меньше п, то достаточно задать п паръ соотвЪтствующихъ значе-
Н1й х и у, чтобы функщя была вполне определена. Действительно,
изъ элементарной Алгебры уже известно **), что два полинома тож-
дествены, если они равны между собою для значенШ переменной
независимой, число которыхъ больше степени полиномовъ. Впро-
чемъ, этотъ частный случай задачи интерполировашя приводится къ
решенш системы уравнен1й
«о*?-1 + «! .<~2 + а2 х1*-3 + ¦¦¦ + ап_2 х. + яв _! = yf
(»= = 1, 2, 3, ..., и)
относительно коэффищентовъ а0, ах,... а„—i, и такъ какъ опре-
определитель этой системы не равенъ нулю (§ 27, d), то прямо видно,
что решение будетъ единственное (§ 50). Точно такъ же, если
lini xn = 0, то задача будетъ определенною, когда требуется, чтобы
искомая функщя разлагалась въ степенной рядъ, но въ этомъ случае
задача можетъ не иметь вовсе решетя въ этой форме. Действитель-
Действительно, допуская, что существуютъ две таюя функщи, получимъ, что раз-
разность ихъ, вида а0 + ахх-\- а^х2 + • • • обращается въ нуль для без-
численнаго множества значешй х стремящихся къ нулю, а потому,
вследетае непрерывности, она будетъ нулемъ при х = 0. Отсюда
следуетъ, что а0 = 0, а замечая, что и ах + а%х + а3х2 + • ¦ •
равно нулю для техъ же значенШ х, найдемъ я, = 0, затемъ
а2 = 0 и т. д., т. е. что обе функщи совпадаютъ въ одну. Далее,
очевидно, что если числа ух, у2, уъ, ¦•¦ заданы по произволу, то
самый вопросъ о существованш такой функщи, остается открытымъ,
такъ какъ прежде всего необходимо, чтобы эти числа стремились
къ конечному пределу при безпредельно возрастающемъ п.
*) Точн-fee говоря, одна изъ задачъ интерполировашя См. А. Мар-
ковъ „Teopifl конечныхъ разностей" стр. 1.
**) См. Веберъ и Вельштейнъ, стр. 225.
352 III, 3. разложешя въ ряды. § 344
344. Интерполяцюнныя функцш '). Выражеше
называется первою интерполяционною функшею отъ fix) и пред-
ставляетъ собою не что иное, какъ соответствующее интервалу
(х1, х.2) OTHOineHie приращешя функцш къ приращешю независи-
независимой переменной (ср. § 281). Вторая интерполяцюнная функщя
отъ f{x) есть
/И' Х2< ХЪ) '
Х2 — Х3
т. е. представляетъ собою при данномъ .г, первую интерполяцюн-
ную функщю отъ /(.г,, х) для интервала (хг, х3). Продолжая та-
кимъ же образомъ, дойдемъ до (;г — 2)-ой интерполящонной функ-
ши и опредЪляемъ (я—1)-ую, какъ первую интерполящонную функ-
uiio отъ /(л:,, х.,, ¦ ¦ ¦ х„—2, х) для интервала {xn~i, х„), т. е.
полагая
,, , f(Xl,X2,..., Хп_2, Хн^) -/(.Vj ,Х2 Х>1_3, Хп)
/(.г1( х2, л-3, ..., .vn) = .
хп— 1 " л п
Bet эти функцш могутъ быть непосредственно выражены въ дан-
ныхъ числахъ v,, jy2, ..., уп. Действительно, мы
" - Xl - X,, X2 — Xt ¦¦'-'¦¦ •» Xl — X-d A-3 — X
а вычитая и разделяя на х2 — л-3, находимъ
fiv х_ х \ = У\ | 3 | Z?__
Легко написать и общ1й результатъ
./ \Х1> Х2> ' • •» хп) ~ /Т7
^ Да) (Л-! - Л-3) . . . (.Г! - Хп)
, ^ ,
(¦г'„ - Xl) (Хп - Х2) ¦ ¦ ¦ (хп - -v,,-l) '
и проверить его обычнымъ способомъ. Последняя, найденная Ампе-
ромъ, формула показываетъ, что всякая интерполяцшнная функ-
шя отъ fix) симметрична относительно значен^ х, отъ
которыхъ она зависитъ.
!) См. Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino A881 - 82 — 83).
Въ 1878 г. помещена первая статья Genocchi „Объ интерполяцюнныхъ
функщяхъ" съ многочисленными указаниями на предшествуюшдя е
дован1я.
§§ 345—346 интерполяцюнныя формулы. 353
345. Формула Ньютона. Изъ опредтлешя первой интерпо-
ляшонной функцш отъ f(x) относительно любого интервала (х, хх)
слъ-дуетъ, что
f{X) =/(*i) + (X - Xl)fixu х),
и такъ какъ аналогично
/(#!, X) =/(*!, Х2) + (X — X2)f(x1, Х2, X),
то отсюда видимъ, что
fix) =f{xr) + ix- Xl)fiXl, x2) + ix- Xl) ix - x2)/(x1; x2, x).
Продолжая такъ же далЪе, очевидно, придемъ къ следующему ре-
результату
A7) fix) =/(х1) + ix - xi)fix1, х2) + ix- хг) ix - x2)fixx, x2, xa)+ ¦¦¦
-f ix - xj) ix - x2) ... ix - xn_1)fix1, x2, ..., xn_l< x).
Если желаемъ, чтобы f(x) была полиномомъ степени п — 1 (или,
какъ это можетъ случиться, степени ниже п — 1), то замЪчаемъ,
что при такомъ предположенш fix) — fix^) делится на х — хх,
такъ что f{xt, x) будетъ полиномъ (и — 2)-ой степени. Отсюда же
слЪдуетъ, что f{xit x2, х), разсматриваемая, какъ первая интерпо-
ляцюнная функщя отъ f (л;,, х), будетъ полиномъ in — 3)-й степени,
и такъ дал^Ье до f(xt, х2, ¦ • •, хп—i, х), которая уже будетъ п о-
стоянною. Следовательно,
/(х1; х2, ..., хп_г, х) =fixu х2, ..., *„_1( хп),
а подставляя это въ A7), находимъ
A8) fix) =/(*i) + ix- x^fiXi, x2) + ix- Xl) ix - x2)fixlt x2, xs) + •••
+ ix~ Xj) ix-x2) ... ix - xn_1)fix1, x2, x3, . ... xn).
Это и есть формула Ньютона, дающая возможность всегда со-
составить единственный полиномъ, степени ниже п, принимающШ
данныя значешя jy,, у2, ¦ ¦ ,уп при данныхъ значен1яхъ дг,, х%, ¦ ¦ •, х„
перем+знной х. Степень полинома, вообще (п — 1)-ая, можетъ по-
понизиться, и это наверно случиться, если числа ух, у%, --^уп заданы
такъ, что /(*,, х2, ¦ ¦ ¦, хп) = 0.
346. Формула Лагранжа. Чтобы ввести въ правую часть
формулы A8) явнымъ образомъ числа yt, _y2, -¦ -,у„, стоитъ только
применить формулу Ампера, доказанную въ § 344. Замътимъ сперва,
что всякая интерполяцюнная функщ'я выражается линейно и одно-
однородно черезъ числа у, а потому и fix) будетъ выражаться по-
добнымъ же образомъ, такъ что можно положить
A9) fix) =л/, (*) +y2f2 ix) +y3f3 ix) + ... +ynfn ix).
23
354 III, 3. РАЗЛОЖЕШЯ въ ряды. §§ 346—347
Функщя fn{x) тотчасъ определится по формуле Ампера, после того
какъ заметимъ, что въ формуле A8) только послбдшй членъ за-
ключаетъ въ себе у„. Далее, достаточно заменить хп черезъ какой
нибудь Xi, чтобы по симмегрш найти
(х - Xl) (х -х2) ... (х - xt_x) (х - xi+1) ... (х - х„)
{ > Л (Х) ~~ (ж,- - *i) (ж, - *2) • • • (*< - *,_i) (** - *;+i) • • • (ж, -х„) '
Формула A9), въ которой ft имеетъ выражеше B0), есть интерпо-
ляцюнная формула Лагранжа. Ее можно, впрочемъ, прямо соста-
составить на основанш следующего замечашя. Если хотимъ найти ре-
решете задачи въ виде выражешя A9), то fi{x) необходимо долженъ
быть полиномомъ степени ниже п, обращающимся въ 1 при x = Xi,
и въ нуль при всякомъ другомъ x = Xj, не равномъ Xi. А этимъ
услов1ямъ мы, очевидно, удовлетворим!,, взявъ для f,{x) выражен1е
B0). Найдя,, такимъ образомъ, одну функцдю /(х), удовлетворяю-
удовлетворяющую поставленнымъ требован!ямь, мы знаемъ, что другой не суще-
ствуетъ, если степень ея не достигаетъ или не превосходитъ п.
347. Правая часть равенства A8) представляетъ собою функ-
щю, принимающую данныя значен1я^1 =/(х1), у% =/(хг), ¦ ¦ -,уп =
= /{Хп), когда числу х мы дадимь значен1я х = xlt x2, ..., хп- Раз-
Разность между левою и правою частью есть, следовательно, функщя
Rn(x), которая обращается тождественно въ нуль, когда f есть
тотъ полиномъ степени ниже п, который определяется упомянутыми
услов1ями. Вообще же о функцш Rn (x) можно только сказать, что
она имеетъ корни я1,, я\>, . ..,.ги—i, х„. Положимъ, что эти числа
расположены въ возрастающемъ порядке и заметимъ, что произ-
производная Rn'{x) должна (§ 303) обратиться въ нуль при п — 1 зна-
чешяхъ х, лежащихъ соответственно въ интервалахъ (хх, х.2),
(х.2, х9),..., (лг«—1, хп). Такимъ же образомъ заключаемъ, что Rn"(x)
обратится въ нуль при п — 2 значешяхъ х, лежащихъ также между
ЛГ( и хп и т. д. Наконецъ Rn(n~V){x) обратится въ нуль при
торомъ значенш | въ интервале (хх, хп). Такъ какъ
R{:^ (ж) =/"-1) (*) - (« - l)!/(*i. ж„, ¦ •., хп).
то будемъ иметь
Эта теорема весьма полезна въ различныхъ геометрическихъ вопро-
сахъ. Заметимъ, что если #,, х2,...,хп одновременно стре-
стремятся къ пределу а, то и | стремится къ а. Поэтому, предпо-
предполагая /("Цх) непрерывною при х = а, найдемъ
B2) lim/t*,, x2t ..., хп) =
§§ 347—348 интерполяцюнныя форлулы. 355
Возвращаясь къ Rn, замътимъ, что формула A7) при замЪнЪ п на
п + 1 дастъ
Rn = (x- xt) (х - х2) ... (х - хп)/(х1) х2, ..., хп, х),
и, обозначая через ь f число, лежащее между наибольшимъ и наи-
меньшимъ изъ чиселъ хх, х2, ..., х„ и х
B3) Кп = (х - Xl) (* - *а) ...(*- x/^f- ¦
Такимъ образомъ, формула Ньютона, если къ правой ея части при-
бавимъ выражеше Rn, является обобщешемъ формулы Тэйлора съ
дополнительнымъ членомъ Лагранжа и сводится действительно къ
этой формул^, на основанш B2), когда заставимъ всЬ числа xlt
хг, ..., хп одновременно стремиться къ пределу а.
348. Приложен1Я. ai Свойство, выражаемое формулою B2), даетъ
намъ возможность ответить на вопросъ, поставленный въ конц-б § 343,
а именно, найти функидю / (х), разлагающуюся въ степенной рядъ и прини-
принимающую заданныя a priori значешя для значешй хг, х2, х3,..., стремя-
стремящихся къ нулю. Пусть п', п"', п'", ... произвольныя цъ1 лыя числа, не равныя
между собою и болышя п. Если существуютъ числа
= я0, Пт/(д.-и, хп,) = а1, Нт/(дгв, хп,, хп„) = а2, ...,
то искомая функщя /(х) — а0 + а1 х + я2х2 ¦¦¦.
Ъ) Вычислеще обыкновеннаго логариема (при основати 10) любого
числа всегда можно свести къ вычисленш логариема сколь угодно большого
числа, черезъ умножеше даннаго числа, если понадобится, на некоторую
степень 10. Мы покажемъ, что если имтдатся въ распоряженш таблицы ло-
гариемовъ съ v знаками, и число х, котораго логариемъ ищемъ, будетъ
больше 10 , то всегда можно применить известное правило
я + 1
Log х = Log п -\- (х + и) Log
nrfc « = [лг|. Въ самомъ дЪя-в, применяя формулу Ньютона съ дополнитель-
дополнительным ь членомъ B3) къ функцш Log x, и полагая при этомъ Xj — n, x2 = n-\-l,
мы получимъ именно предыдущее равенство, съ гвмъ лишь отлич1емъ, что
къ правой части прибавится число
М
R = (х - п i (я + 1 - х) —^ ¦
3aMt4afl, что произведете (х — п) (п -\- 1 — х), какъ произведен1е двухъ
чиселъ, которыхъ сумма 1, никогда не больше — (§ 314, а), и припоми-
припоминая ("§ 220), что М < ?, тотчасъ увидимъ, что въ пpeдtлaxъ точности вы-
числен)й можно отбросить R, потому что
R<^< I- --,1-.
23*
356
HI, 3. РАЗЛОЖЕНШ ВЪ РЯДЫ.
§ 348
с) Если х1: х2, ... и у1ч у2, ••• будемъ разсматривать, какъ коорди-
координаты точекъ Mlt М2, ... на кривой, то первая интерполящонная функщя,
очевидно, изображаетъ угловой коэффиш'ентъ хорды М1М2. Возьмемъ Мх
и М2 въ смежности съ точкою М, абсцисса которой равна а, и будемъ
приближать Мг и М2 безпредъльно къ М. Если производная у' непрерывна
при х = а, то формула B2) *) дастъ
и покажетъ, что касательная въ точкъ М есть предъльное положе-
nie всъхъ ctкyщиxъ М1М2, между тъмъ какъ установленное раньше опре-
дълеше касательной позволяетъ сдълать такое заключеше лишь въ томъ
случаъ, когда одинъ конецъ съкущей неподвижно помъщенъ въ точкъ М.
й) Вторая интерполяцюнная функщя имъетъ также простое геометри-
геометрическое значеше. Въ самомъ дълъ, изъ Аналитической Геометрш известно,
что площадь треугольника М1М2МЪ (фиг. 11) равна
— А) (Х5 - Л\) (Х± — Х2)/(Х1, Х2, Х3)
У!
Уз
въ томъ предположен^, что точка, двигающаяся по периметру, оставляя
площадь, имъ ограниченную, слъва, проходить вершины треугольника
въ написанномъ выше порядкЪ. Предположимъ теперь, если у =f(x) есть
уравнеше кривой, вторую производную f"(x\ непрерывною при х = а
и отличною отъ 0, и опредълимъ некоторый интервалъ въ смежности
съ а (§ 273), въ которомъ /"(х) со-
храняетъ знакъ числа f"\a). Границамъ
этого интервала соотвътствуютъ на кри-
кривой точки Р и Q. На основаши фор-
формулы B1), для трехъ точекъ Mlt M2, М3
на дугъ PQ функщя f(xlt x2, х8> бу-
будетъ имъть тотъ же знакъ, какъ и число
/"(а). Замътивъ это, фиксируемъ точ-
точку Mlt выбираемъ М2 вправо отъ Мь т. е.
такъ, чтобы х2 было больше xlt а точку
М3 такъ, чтобы подвижная точка, пере-
мъстившаяся изъ Мх въ М2, должна была
повернуть налъво, чтобы попасть въ Л/3.
При этихъ услов1яхъ а будетъ числомъ по-
ложительнымъ, а поэтому (xa—x1)(xs—x2)
будетъ имъть знакъ числа/"(а), откуда
слъдуетъ, что /"(а) > 0, если хъ внъ
интервала (хг, х2), и /"(а) < 0, если х?> внутри (х1, х2). Теперь легко вид^ь,
что точка М3 будетъ лежать внутри дуги М^М2 или внъ ея, смотря потому,
будетъ ли эта дуга вогнута или выпукла по направленш къ нижней
части фигуры. Отсюда слъдуетъ, что въ первомъ случаъ /"(а) > 0, а во
второмъ /"(я) < 0. Къ этому заключенш можно придти проще, взявъ на
кривой произвольную точку М между М1 и М2, а на хордъ М1М2 точку Мг
имъющую съ М общую абсциссу х. Уравнете прямой МХМ2 есть
Рис. 11.
У =
(х —
lt х2),
!) Это уравнен1е можно было бы принять за опредълеше про-
производной, что представило бы нъкоторыя выгоды, на которыя указалъ
Реапо въ „Mathesis" A892 р. 12).
§§ 348 — 349 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 357
и разность между ординатою точки М и ординатою точки М' будетъ, на
основанш формулъ A7) и B1), равна
(х — хх) (х - x2)/(xlt х2, х) = i (х — xt) (х - х2)/"(?),
где д лежитъ хх и Хо. Эта разность им^етъ, следовательно, знакъ, противо-
противоположный знаку /"(?) или /"(а). Отсюда следуетъ, что все точки М ле-
жатъ ниже хорды М1М2, если f"(а) > 0, и выше, если /"(я) < 0. Это
остается справедливымъ для всякой дуги, заключающейся въ MtM2, и для
соответствующей хорды. Итакъ, знакъ f"(x) можетъ служить къ тому,
чтобы узнать кашя дуги (достаточной малости) на данной кривой обращены
вогнутостью вверхъ (f"(x) > 0) и каюя внизъ (f"(x) < 0).
е) Если при данныхъ выше услов1яхъ точки Мг, М2, М3 одновременно
стремятся совпасть съ опредъленною точкою М на кривой (х = а), то кругъ,
описанный около треугольника M1M2Mi, также будетъ стремиться совпасть
съ нъкоторымъ опредЪленнымъ кругомъ, который называется соприка-
соприкасающимся кругомъ къ кривой въ точке М. (Происхождеше этого назван1я
объяснится впослъдствш.) Чтобы доказать существоваше такого предъльнаго
круга, достаточно показать, что центръ круга МХМ2МЬ стремится занять
положеше на нъкоторой неподвижной прямой, и рад1усъ его q стремится
къ определенному предълу. Изъ элементарной Геометрш извъстно, что
рад1усъ круга #j?2M3 равенъ частному отъ дълешя произведен1я lxhh
сторонъ треугольника МгМ2Мг на 4а. Обозначая еще черезъ q>1, <p2, <р3
углы наклонен1я сторонъ треугольника къ оси лг-овъ, будемъ HMtn>
± (х2 — х3) (лг3 — х{) {хх — х2) = 1У121Ъ cos <рх cos ф2 cos ф3-
Замечая, что всъ три угла qilt (р2, ф3 стремятся къ предълу qi, гдъ <р уголъ
наклонен1я касательной въ точкъ М съ осью л:-овъ, и припоминая свой-
свойство B2), найдемъ отсюда
+ — = 2 lim/C*!, x2, x3) cos фх cos (p2 cos (p3 = /"(a) cos3g9,
гдъ tg <p =f'{a). Следовательно,
_
Q ~~
/"(а) ¦
Эта длина, весьма важная при изученш кривыхъ, называется рад1усомъ
кривизны въ точкъ М(х = Л). Что касается центра круга М1М2МЪ, то
онъ всегда находится на перпендикуляре къ М1М2, проходящемъ черезъ
середину хорды МХМ2. Когда точки Мх и М2 стремятся къ совпадешю
съ М, прямая Мх М2 стремится совпасть съ касательного въ точке М,
а перпендикуляръ къ ней, очевидно, съ нормалью къ кривой въ той же
точке. Отсюда следуетъ, что соприкасакищйся кругъ принадлежитъ къ
числу техъ круговъ, которые касаются данной кривой въ данной точке М,
Бернулл1евы и Эйлеровы числа.
349. Мнопя важныя функщи не разлагаются въ степенные
ряды при помощи формулы Маклорена (.10), потому что не удается
найти общаго выражешя я-ой производной. Но, принимая во вни-
ман1е, съ другой стороны, что въ эту формулу собственно входятъ
не послъдовательныя производныя функцщ f{x), а лишь частныя
358 III, 3. разложенш въ ряды. §§ 349-350
ихъ значения при х = 0, видимъ, что вычисляя производную и-го
порядка отъ /(х), мы дЪлаемъ въ действительности, строго говоря,
больше того, что необходимо для разложешя функши въ степенной
рядъ. Понятно, что могутъ существовать друпя средства для того,
чтобы такъ или иначе получить искомое разложеше. Въ этомъ от-
ношенш оказываются полезными некоторый спещальныя посл-Ьдова-
тельности чиселъ, свойствами которыхъ мы прежде всего и зай-
займемся. Приложеше ихъ, заметимъ это, часто приводитъ къ рядамъ
не сходящимся, которыми, однако, несмотря на это можно пользо-
пользоваться, потому что сумма п первыхъ членовъ весьма быстро при-
приближается къ некоторому пределу, отъ котораго потомъ при воз-
растанш п она опять удаляется, такъ что наступаетъ расходимость
или неопределенность ряда. Благодаря такому свойству, таме ряды
называютъ псевдо-сходящимися.
350. Теор1я упомянутыхъ последовательностей чиселъ основы-
основывается на следующемъ замечанш. Тождество
B4) f(a + (h + x))=f((a + h) + x),
въ которомъ обе части предполагаются разложенными оъ
рядъ Тэйлора, остается справедливымъ, когда заменимъ
степени переменнаго х произвольными числами. Действи-
Действительно, разложете f(a + h -\- х) по формуле Тэйлора можно пред-
представить въ двухъ видахъ:
/((я + h) + яг) = Да + К) + j Г (а + К) + ~/Ч« + *)+-,
Если во второмъ ряде соберемъ все члены, содержание хп, то не-
необходимо получимъ снова тотъ же коэффищентъ (§ 329), какой
имеетъ хп въ первомъ ряде. Отсюда ясно, что оба выражешя оста-
останутся тождественными, когда заменимъ числа 1, х, х%, х3,... про-
произвольными числами ап, а,, а2, а3, ... Такъ, напримеръ, разлагая
(а + h + х)г, находимъ
а2 + 2a{h + х) + {№ + 2hx + х2) = (я + hf + 2(я + h)x + х2,
но можно также написать и
я2а0 + 2я(йа0 + aj + (h2a0 + 2hax + aj = (я + hfa0 + 2(я + h)ul + а2,
каковы бы ни были числа а0, at, a2. Выражен!е
§§ 350—351 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 359
принято обозначать символически черезъ f(x -\- ah) *). Особенно
замечательна функшя еат, т. е.
"о-г j ^1.2^1.2-3^ '
которую называютъ производящею функщею последователь-
последовательности ап, а1, а2, ... Полезно здЪсь же заметить, что правило умно-
жешя рядовъ (§ 234) выражается слФ.дующимъ символическимъ ра-
венствомъ
B5) еах ¦ е^х = е<а+^,
которымъ мы часто будемъ пользоваться впоследствш.
351. Бернулл1евы числа. Бернулл1евыми числами назы-
называются числа, определяемый символическимъ равенствомъ
B6) {В+\)р - В» =р,
где р последовательно получаетъ значешя 1, 2, 3,...; кроме
того, Вл = 1- Такъ, при р = 2 получимъ 2ВХ -\- 1 =2, откуда
Вх = ^. При р = 3, ЪВг + 36, + 1=3, откуда #2 = |, и про-
продолжая такимъ же образомъ далее, найдемъ
3 » 4 чп' 5 ' 6 ло> 7 ' 8
=0, -B10 = --, Bn = 0, B12= -~2тж,В13=0, Ви = -^
Теперь беремъ тождество
f(x + (B+l)h) -/(x + Bh) =
2J p
p=i
и замечаемъ, что въ силу формулы B6) правая часть приводится къ
hf'(x) + т/"(х) + Y^f'"{x) + ••• = hf(x + h).
Следовательно, принявъ еще во внимаше тождество B4), будемъ
иметь:
B7) /((* + h) + Bh) -fix + Bh) = hf{x + h).
Это основная формула въ теорш Бернулл1евыхъ чиселъ. Поло-
живъ х = — h и заменивъ потомъ h на х, получимъ
B8) ДВх)-ДВх-х) = х/Щ.
*) Символизмъ состоитъ въ томъ, что въ разложенш Дх + ah) по сте-
пенямъ h показатели степеней а0, а1, а2,... надо заменить указате-
указателями чиселъ а0, a-L, a2,..-
360 III, 3. разложенш въ ряды. §§ 352—353
352. Все Бернулл1евы числа съ нечетнымъ указате-
лемъ равны нулю, кроме Z?, = \. Действительно, при /(х) = хр фор-
формула B8) даетъ
B9) Bp — (B — \f = 0,
предполагая р не равнымъ 1; при р = 1, въ правой части формулы
B9) будетъ 1. При р^>1 будемъ, следовательно, иметь, въ силу
B6), (В + 1)р — (В — \у = р, или заменяя р на Ц
Полагая р = 2, 3, 4, ..., находимъ, что Вз, В-о, Вт, ... равны 0#
353. При f(х) =ех формула B8) дастъ производящую функ-
ц1ю Бернулл1евыхъ чиселъ. Съ самомъ д^ле, принявъ во вни-
маше формулу B5), можемъ последовательно писать
6 1
ИЛИ
_ в х _
Та же формула B8) при другихъ формахъ функцш f(x) даетъ
друг1я интересныя разложен1я. Напримеръ, при f{x) = cos x,
имеемъ
cos Вх — cos Вх ¦ cos*- — sin Bx- sin x = 0.
Замечая теперь, что Вз = Въ = Вп = • • • =0, находимъ
Итакъ, заменяя х на 2х, получимъ
„ _ х sin 2 х ,
cos 2Bx = ^ рс— = *• cot x,
1 — cos 2x
т. е.
Изъ этого разложешя, далее, тотчасъ получаются разложен1я -^—
и т. д., если заметимъ, что
X 1
cot -=— cot x ¦= ——. cot x — 2 cot 2 x = tg лт
2 sin x 6
§§ 353 — 354 БЕРНУЛЛШВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 361
и т. д. Такимъ образомъ находимъ
_ х х 2х д
xcotx- l-y-45 945 |725
х
х 7^ _3_1^ J127д
sin* T 6 ^360 ^ 15120^604800
хд , 2л-5 17х7 62лг9
tgx = x + T + -^+3I^ +2835+ "••
354. Эйлеровы числа. Эйлеровыми числами называются
числа, опредЪляемыя символическимъ равенствомъ
въ которомъ р последовательно принимаетъ значен1я 1, 2, 3,...
Такимъ образомъ получаемъ следующую последовательность чиселъ
1, 0, - 1, 0, 5, 0, — 61, 0, 1365, 0, - 50521, 0, 2702765, ...
Какъ очевидное слъдетае опредълешя, вытекаетъ, что всъ Эйлеровы
числа съ нечетнымъ указателемъ равны 0. На основанш
того же опредълетя имъемъ тождество
Дх + (Е - 1) h) +/(*• + (E-\)h) = 2f{x),
которое съ помощью тождества B4) обращается въ
Д(х + h) + Eh) +Д(х -h, + Eh) = 2Ах).
Это основная формула въ теорш Эйлеровыхъ чиселъ. Если по-
ложимъ 1 = 0 и потомъ замънимъ h на х, то найдемъ
х + х) +ДЕх - х) = 2/@).
Въ частности, при f{x) = ех, съ помощью формулы B5), получимъ
Иными словами, производящая функция Эйлеровыхъ чиселъ
будетъ
: = 1 ~ Т+ 4" ~ 720" + "8064" ~ ¦"¦
Друпя интересныя разложен1я получимъ при другихъ формахъ /(х).
Напримъръ, при f(x) = cos x, находимъ cosEx = sec л;, т. е.
277x8
362 III, 3. РАЗЛ0ЖЕН1Я въ ряды. §§ 355—356
355. Эйлеровы числа обладаютъ многими интересными свой-
свойствами. Если разсмотримъ, напримъръ, только не равныя нулю Эй-
Эйлеровы числа, то легко замътить, что всъ они, за исключешемъ Ео,
будутъ вида 6 К—1, что всъ стояищя на четныхъ мъстахъ кон-
кончаются цифрою 5, а на нечетныхъ цифрою 1 и т. д. Эти свойства
заключаются въ теоремъ Сильвестра '), которую мы здъсь только
выскажемъ: Если a, /?, у,-., делители числа р — р'', то раз-
разность EiP — Е2р' делится на тъ изъ чиселъ 2а-\-\, 2/? -f- 1,
2у + 1,..., которыя будутъ числами простыми. Въ дальнъй-
шемъ будемъ заниматься исключительно Бернулл1евыми числами. Но
сперва замътимъ, что послъдшя весьма просто связаны съ Эйлеро-
Эйлеровыми. Действительно, мы имъемъ
JiB-l)x
_ DВ-3)* = _i^f^l 1-х -3*ч =
ix\ x
и сравнеше коэффищентовъ при хр даетъ символическое равенство
_ DД - If - DД - Sf
А^ 27
Обратно, изъ тождества
2хе2х 2хех
eix-l e2x~l ех+е"х
выводится
_
356. Эйлерова формула суммировали. Чтобы оправдать
полученныя разложешя, необходимо иметь возможность оценивать
погрешность, которую мы делаемъ, останавливаясь на известномъ
члене, и затемъ доказать, что эта погрешность стремится къ нулю,
когда число принятыхъ во внимаше членовъ безпредельно возра-
стаетъ. Если напишемъ основную формулу B7), удерживая только
п -\- 1 членовъ въ разложен1и каждаго слагаемаго левой части, и
обозначимъ остатокъ черезъ Rn, то получимъ формулу сумми-
рован!я Эйлера2)
C0) hf (x + h) = д/(х) + Щ^ 6 f (х) + ^ if" (*)+•••
Bnhn лАп11
x) „Comptes rendus de l'Academie des Sciences de Paris" (t. 52, p. 212).
Доказательство этой теоремы, данное Stern'омъ можно найти въ „Crelles
Journal" (Bd. 79, S. 67).
2) „Institutiones calculi differentialis" (Cap. V).
§ 356 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 363
при чемъ еще нужно отыскать границы, между которыми можетъ
изменяться Rn. Это опредЪлеше выполнено было Мальмстеномъ,:)
давшимъ слЪдуюшдя выражешя Rn для четнаго п (XLI)
Доказательство этихъ формулъ требуетъ знашя интегральнаго исчис-
лешя 2), поэтому здъсь мы ограничимся выводомъ выражешя, хотя
менЪе удовлетворительнаго, но достаточнаго для обыкновенныхъ
приложенШ, и получающагося весьма просто. Разсмотримъ функщю
и примъ'нимъ къ ней формулу Лагранжа
C1) F(x + h) -F(x) = hF'(x+ ей).
ДалЪе, замЬтимъ, что
F(*) =/(*) + ^/'W + -^f/"W + - + ^f/W
между т'Ьмъ какъ, на основанш B9),
F(x + А) =/(* + К) + ~х~/'(х + h) + ^f'(x + А)
+ ~т-/(п)(х + h)- hf'(
Подставляя въ C1) и пользуясь формулою C0), находимъ
Rn= -hF'(x+ih).
Между тъмъ, легко видЪть, что
Поэтому будемъ им^ть
Чтобы им^ть возможность прилагать эту формулу, надо прежде
!) Malmsten въ Crelle's Journal A847, S. 55). Другую форму далъ
Сонинъ (Sonin) въ Annales de l'Ecole normale, 1889, p. 257.
2) Cm. Tannery: „Fonctions dune variable" 2-е edition, 1910. t. II.
p. 97, § 265, и Darboux: „Sur les developpements en series" (Journal de
Liouville, 3-е serie, t. 11).
364 III, 3. РАЗЛОЖЕШЯ въ ряды. §§ 356—358
всего знать границы, въ которыхъ меняется символическое выраже-
Hie (В — 0)", когда 6 изменяется отъ 0 до 1 и, кроме того, какъ
увидимъ далее, надо будетъ знать, какъ изменяется Вп при без-
предельномъ возрастали п. Въ конце этой главы мы будемъ въ
состоянш ответить на эти вопросы и удостовериться въ законности
хех х
разложешй ——, ——, ^cotgx, tg# и т. д. Въ то же время мы
будемъ иметь средства узнать, съ какимъ приближешемъ можно
пользоваться другими не сходящимися разлбжешями, съ кото-
которыми скоро встретимся.
357. Формула суммирования Маклорена. Заменяя въ фор-
формуле B7) х последовательно на х + А, х + 2А, ..., х + nh и сум-
суммируя, получимъ
nh)) =f(x
Въ частности, при х = 0 и h = 1, находимъ
C2) /'A) +/'B) +/'C) + ••• +/'(«) =/(я + В) -ДВ).
Это и есть формула суммировали Маклорена. Заметимъ, что
правая часть есть не что иное, какъ символическое выражеше ряда
где / постоянное, которое въ каждомъ частномъ случае надо
определить. Такимъ образомъ, формула C2) дополняетъ и разъяс-
няетъ некоторые изъ полученныхъ более строгимъ путемъ въ
§ 334 результатовъ. Однако, понятно, что этою формулою надо
пользоваться осторожно, если въ нее заранее не введено выражеше
остаточнаго члена Rn.
358. Приложешя. а) Сумма одинаковыхъ степеней первыхъ п
ц-Ьлыхъ чиселъ *). Для f{x) = xpJrl, формула C2) тотчасъ даетъ
*) р предполагается ц'Ьлымъ числомъ.
§ 358 БЕРНУЛЛШВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 365
НапримЪръ,
1 +2+3 +•••+« = ;J + ^ = i-«(w + l),
12 + 22 + 32 + . . . + „2 = П_ + *L + JL = ^п{п + 1) B„ + 1),
13 + 2» + 33 + • • ¦ + Ф = ? + ^ + ^ = 1 «2(я + 1J,
«2 + Зя - 1),
я5 = — + — + — --¦¦
6 + 2 + 12 12
«8
= 1 «(я + 1) Bя + 1) C«1 + б;»» - 3» + 1),
_ и2- 4я
Ь) Гармоническ1й рядъ (§ 335, Ь). Для /(лг) = logx, формула C2)
даетъ
1 + \ + ? + ''' + \ = log {п + В) ~~ log В = с + log n + log I1 + ?
т. е. псевдо - сходящ1йся рядъ
+ + +
log я
е + 240^»
с) Формула Стирлинга (§ 335, с). Для f(x) = хlogх — х такимъ
же образомъ найдемъ
,i 1,1 ii
г- . 12 и 360 п' ' 1260 и5 1680 п~ ' 1188и9
я! = У 2лп ¦ ппе
но не надо забывать, что рядъ, стоящШ въ показателе не сходяиийся.
Для упражнешя читателю предлагается преобразовать это выражеше въ
366 III, 3. РАЗЛ0ЖЕН1Я въ ряды. §§ 358—359
Если подъ знакомъ корня отбросимъ члены съ —, то получимъ приближен-
приближенное выражеше я!, найденное Forsyth'oivn> l).
359. Бернулл!евы полиномы. Подъ этимъ назвашемъ разу-
мЪютъ полиномы
изображаюи^е при цъломъ значенш х, какъ мы видъли, сумму
\р _|_ 2р -\- ¦ ¦ ¦ -\- (х— 1)^. Очевидно, <рр{\) = 0, а принимая во вни-
ман1е формулу B9), видимъ, что и <рР@) = 0. Найдемъ теперь
значеше <Рр\-Л ¦ Мы имъемъ
ех - 1 * ех - 1
е2 - 1
хр
отсюда получимъ, сравнивая коэффищенты при —- въ oбtиxъ час-
тяхъ равенства:
Поэтому
Отсюда сл'Ьдуетъ, что при р четномъ ср? I—| = 0. Впрочемъ, выра-
выражеше срр(х) легко представить въ такомъ видЪ, что корни его 0, 1
и \ сделаются очевидными. Если въ правой части формулы C3) на-
пишемъ (х —2~( + \В —о") вм*сто х — 1 -\- В, и затъмъ разло-
жимъ ее по степенямъ 1л-—^1, то получимъ выраженш
{х - IY+1 р 1у_! lp{p-\)(p -2)
Т++5760
въ которомъ послътшШ членъ будетъ
или-[1-^2Ц*-±).
!) Въ „Reports of British Association" (Rep. of the 53-rd meeting,
1884, p. 407).
§§ 359—360 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА, 367
смотря по тому, будетъ ли р нечетное или четное. Замътимъ здЪсь,
что х—у мЪняетъ только знакъ при зам^н^Ь х на A—х), откуда
слъ-дуетъ, что
C5) Vp A - х) = (- 1У+1 <рр (х) *).
При р нечетномъ предыдущее разложеше можно расположить по
степенямъ х(х—1), замечая, что 1х—«-) =х(х—1) + х- ^ъ
случа-fe четнаго р того же можно достигнуть, выведя за скобки
|л; ~\. Такимъ путемъ, различая случай нечетнаго указателя отъ
случая четнаго, получимъ слъ'дуюшдя замЪчательныя выражен1я:
If
360. Мы докажемъ теперь, что въ интервал^ @, 1) Бернул-
л!евы полиномы съ четнымъ указателемъ обращаются въ
нуль только на границахъ и въ его срединЪ, гд-fe и м-Ьня-
ютъ знакъ, а Бернулл1евы полиномы съ нечетнымъ указа-
указателемъ только на границахъ, принимая наибольшее по
абсолютной величин^ значеше въ средин^ интервала. Мы
уже знаемъ, что д>2р(х) обращается въ нуль при х = 0, 1 и -^-, а
формула C5) показываетъ, что (рор(х) мtняeтъ знакъ при переход*
х съ одной стороны отъ х = -к- на другую. Остается показать,
что (fip(x) не обращается въ нуль ни между 0 и у, ни между
-у и 1. Допуская, что сказанное справедливо для cpip—ъ(х), т. е. что эта
функщя сохраняетъ определенный знакъ между 0 и -~- и противо-
противоположный ему между -~- и 1 **), прим^няемъ къ функщи /(х) =
= д>2Р(х) известную формулу интерполирован1я (§ 347)
f{x) =/(Ж1) + (Ж - *!)/(*!, Х2) + ЦХ- X,) (X - X2)f" (s),
*) При ^> нечетномъ
**) Не обращаясь въ 0.
368 III, 3. РАЗЛОЖЕШЯ въ ряды. §§ 360—361
полагая хх = 0, х2 = у и принимая во внимаше, что
4; (*) = 2> (* - 1 + ЯJ* = 2/. Bр - 1) «paj)_2 (*).
Тогда получимъ
9>2i, (*) = Р B * - !)х (* ~ й ^-г (й >
гд"Ь ? число, лежащее между 0 и 1. Изъ этой формулы, очевидно,
вытекаетъ не только то, что (р2р(х) въ интервал^ @, 1) нигд-fe,
кромЪ границъ и средины его, въ нуль не обращается, но и то, что
знакъ ея противоположенъ знаку функцш дJр_2(х). Такъ какъ
прямо видно, что функщя <р2(х) = -— х{х—1)Bлг—1) слъва отъ
1 1
-„- положительна, а справа отъ -^ отрицательна, то мы и можемъ
считать теорему доказанною для веЬхъ значешй р, и добавить, что
д>2р(х) сл'Ьва отъ -=- им-Ьетъ знакъ (—1)-р+1, а справа противопо-
противоположный. Дал-fee, функщя <p2P-i(x), производная которой есть
«V-i (*) = (*-! + Bf»-1 = Bр - 1) Пр_г (х),
будетъ между 0 и | возрастающей или убывающей, а между ^ и
1, обратно, убывающей или возрастающей, смотря по тому, будетъ
ли р четное или нечетное. Сл-Ьдовательно, она сохраняетъ внутри
интервала @, 1) знакъ (— 1)^ и при х = -у получаетъ наибольшее
по абсолютной величин^ значеще.
361. Доказанныя свойства влекутъ за собою важныя для Бер-
нулл!евыхъ чиселъ слЪдств1я. Д-Ьйствительно, въ § 352 было пока-
показано, что век Бернулл1евы числа съ нечетнымъ указателемъ равны
нулю. Но пока оставалось подъ сомнЪшемъ, не встретятся ли и
между числами Вг, В±, Be, ... нули. Формула C4) тотчасъ устра-
няетъ это сомн-Ьше и, кром^Ь того, показываетъ, что знакъ В2р про-
противоположенъ знаку (р2Р — i(ir), т- е- одинаковъ съ (—1)^+1.
Итакъ, Бернулл!евы числа съ четными указателями имЪютъ
поочередно знаки + и —- То же самое можно утверждать и
объ Эйлеровыхъ числахъ. Действительно, формула C3) даетъ
dp + 1) <Р2р Ш = (В- ifp+1. VP + 1) ПР Ш = (в - i?P+1'
откуда при помощи C5) сл-Ьдуетъ (§ 355)
Е2р = 24i+1 [<Р2р (*) - Vip Ш1 = -
По этому Е2р им-Ьетъ знакъ (— 1)^.
§§ 362—363 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 369
362. Изъ сказаннаго въ § 360 (и изъ той же формулы C4)
слъ\дуегь, что при п четномъ въ интервал^ @, 1) будемъ имъть
Иными словами,
для всякаго значешя Q между 0 и 1. Такъ какъ, кромъ того, въ
этомъ интервал^ <pn — i сохраняетъ знакъ, противоположный знаку
Вп, то
<В - В)" - Вп = f 1 - (Б " SH \Вп\,
а следовательно,
Мы видимъ отсюда, что абсолютная величина символическаго выра-
выражешя (В — 6)" никогда не превосходитъ \Вп\у а поэтому абсолют-
абсолютная величина найденнаго въ § 356 выражешя Rn^o, не больше аб-
абсолютной величины перваго изъ найденныхъ Мальмстеномъ выра-
жешй Rn- Это показываетъ, что оба эти выражешя (Rn Мальмстена
и Rn+s § 356) одинаково выгодны, когда д-Ьло идетъ о томъ,
чтобы доказать, что Rn стремится кь нулю съ возрасташемъ п до
со. Того же самаго нельзя утверждать въ томъ случай, когда надо
найти границы, въ которыя хотятъ заключить \Rn\ въ псевдо-
псевдосходящихся разложешяхъ, получаемыхъ при помощи символиче-
символическаго вычислешя.
363. Доказанныя въ § 360 свойства Бернулл1евыхъ полино-
мовъ находятъ легкое и интересное разъяснеше въ возможности
представить эти полиномы тЪмъ или другимъ изъ рядовъ
,„с. Чг^ътпх \^cos их
C6) У , У —
смотря по тому, будеть ли указатель полинома нечетный или чет-
четный. Прежде намъ надо, однако, вычислить сумму ряда
C7) f(x) = sin л-4-i sin 2 я- +
доказавъ одну важную формулу, которою мы уже два раза раньше
^§ 254, g и § 277, f) пользовались. Замечая, что
2 sin -^ cos m x = sin I m + — I x — sin \m — — I x,
24
370 III, 3. разложены въ ряды. §§ 363—364
легко найдемъ, что производная суммы п первыхъ членовъ ряда
C7) равна
j sin In + ~\ х
cos х + cos 1х + cos Зд: + ••• + cos пх = — -^ -) — •
2 sin *
Отсюда слъдуетъ, что функщя
1 i х 'П + ^' Х
F {х) = sin х + 7r sin 2 х + • • • Н sin « д; + —
определенная во всякомъ интервал-в, не содержащемъ въ себЪ крат-
наго отъ 2л, имЪетъ производную
COS т- • COS H + тг Л"
F' (х) =
4 (и + 2) sin2 ^
и прямо видно, что hmjr (х) = 0. Если k = \-^—\ , то можно къ
функщи jF(*) применить теорему Лагранжа (§ 306) для всякой
пары значешй (наприм-Ьръ, х и л -\- 2кл), выбранныхъ въ интер-
вал-fe Bкл, 2л -\- 2кл) за исключен1емъ границъ. Такимъ образомъ,
получимъ, обозначая черезъ § число, лежащее между х и n-\-2km,
сл-Ьдующ1й результатъ
sinx + -г sin 2д: + ••• -) sin пх
1 п
„ .. cos \п + о I х
+ kn -V 1— + (* - я - 2 Ая) F' (I).
B«+l)sinJ
Отсюда, при безконечномъ п, находимъ
C8) /(Х» = ЯГ
364. Теперь мы можемъ вычислить сумму Фр(х) перваго или
второго ряда C6), смотря по тому, будетъ ли р нечетное или чет-
четное число. Мы уже знаемъ, что при р > 1 (§ 320, Ь, с) ряды C6)
равномерно сходящиеся во всякомъ интервал-b. То же самое можно
сказать и о рядЪ C7), гд"Ь р = 1, если исключимъ значешя х, крат-
ныя отъ 2л. Поэтому можемъ утверждать (§ 323), что
C9) ф;(д-) = (-1^-1Ф^1(х).
§ 364 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 371
Намъ известна Ф^(х) = fix) по формуле C8). Эту формулу мы
напишемъ въ виде Фг(х) = л (В — о) *), где
2n
Такъ какъ я(В — о) есть производная отъ —я2(В ~ оJ, то
(§ 307, Ь) будемъ иметь
Ф2(х) = л2(В- gf + a,
где а постоянное, по крайней мере, во всякомъ интервале {2ktt,
2л -\- 2kn), за исключешемъ границъ. При этомъ а не зависитъ
отъ k, потому что Ф2 и (В—qJ не изменяются, когда х изме-
изменится на кратное отъ 2лг. Чтобы найти а, заметимъ, что
Л _ _ у!+ 2 v l -
V ^Г ft ^^ B/?)
или Фр(яг) = — II ^jj Фр(О) для всякаго четнаго р и припом-
нимъ равенство [В ^Л ~—II—TTZi)^» доказанное въ § 359.
При р = 2 имеемъ
Ф2(ге) = я* ^ - |J+ " — у^ + п
и въ то же время
*2 (t) = - 2" Ф2 (°) = — у ^2 - 2 "'
Следовательно, а = 0. Теперь, чтобы найти Ф3(лг), замечаемъ, что
а такъ какъ яг2(/? — qJ есть производная отъ — %я3(В—qK, to
можемъ написать
где постоянное ;9 тотчасъ определится изъ того, что въ силу не-
непрерывности Фз(лг) (§ 322) правая часть должна стремиться къ пре-
пределу ФзB&я;) = 0, когда Q стремится къ 0. Поэтому /? = 0. Для
определен1я Ф^Сдг) имеемъ
откуда
*) Потому что /?! = ¦?.
372 III, 3. РАЗложЕнга въ ряды. §§ 364—365
а для опред-Ьлешя у стоить только заметить, что
1 \4 т
и въ то же время
(
такъ что "/ = 0. Продолжая такъ далЪе, видимъ, что Фр(х) = /.Р(В—Q)'1.
Для опред-Ьлешя Хр служить формула C9), которая даетъ
^' р
Итакъ, окончательно,
Р---1 р
D0) Фр{х) = (-1I - J • г^1 J, E - 9f.
Эта формула и показываетъ, въ какой связи суммы ФР(х) нахо-
находятся съ полиномами Бернулли. Въ самомъ д-Ьл'б, пользуясь форму-
формулами C3) и C5), получаемъ, для всякаго х въ интервал^ @, 1), изъ
формулы D0) нижеслъ-дующую
Чр-i (-v) = (- II 2J ;,_! р ( Фр @) - Фр Bлл-) ),
которая съ полною очевидностью обнаруживаетъ доказанныя въ
§ 360 свойства.
365. Приложемя. а) Однимъ изъ интересн15йшихъ приложен1й фор-
формулы D0) является вычислеше суммъ
,,1,1,1.
для четныхъ значен1й р. Заменяя въ D0) р на 2р, получимъ
COS.V + COS2 X + COS 3 Х + .^ ( _ 1)Р- 1 _ 2^-1 jf^ {В
1 -2- 3 ¦¦¦ 2/>
90 ' Sb 945' Ss 9450'
I1"
2
и, въ частности,
напримъръ:
1
2р
при .v
1
+ 2^
л-
- ~~ 6
г--р
= 0
1
¦ si
§ 365 БЕРНУЛЛ1ЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА. 373
Когда р безпредЪльно возрастаетъ, л'Ьвая часть стремится къ 1, а поэтому,
припоминая еще формулу Стирлинга (§ 221), получимъ формулу,
АпУе.
Р4
дающую ответь на вопросъ, поставленный въ kohltb § 356. (XLII). До сихъ
поръ еще не удалось найти суммы s для нечетныхъ р. Известны только
преобразовашя ихъ въ болЪе быстро сходяпцеся ряды, дающде возможность
удобнаго численнаго приближеннаго ихъ вычислешя. Такъ, наприМ'Ьръ, нашли
1+^+4>+т5+ ••• = 1,20205690315959428540 ...
2"> о" 4й
при помощи небольшого числа членовъ другого ряда г)
Ь) Та же формула D0) при зам-ЬнЪ р на '2р + 1 даетъ
sin.v
При x = ^, получаемъ 5 = j, а въ § 361 мы нашли, что
— —Li— F
\ t/ 4
Следовательно,
111 ,
1 —¦
j.2.3...2^
Наприм^ръ,
3^5 '' 4 ' 33 "*" 53 ''' ~ 32 ' '''
Въ то время, какъ для всякаго нечетнаго / мы знаемъ значешя суммъ
1 — ™ + -гр — ут» + "¦' для четнаго /* мы не им*емъ выражен1я даже про-
простейшей изъ нихъ
О ней имеется обширное изследован!е Каталана а).
Вотъ этотъ другой рядъ:
%(- . 1)» -1-ls.2»-3».--(« - iy*
-^ 1 -2- 3 ¦ ¦ • C« - 2) \Bп - 1)- ^ 12иCи - 1)/ '
См. сообшен1е А. Маркова (Markoff) въ Comptes rendus d'Ac. des sc. de
Paris A6 Dec. 1889). До р = 70, суммы sp съ 32 десятичными знаками вы-
вычислены Stieltjes (Acta mathematica 1887).
~) Catalan. Мемуары С.-Петерб. Академ1и наукъ G cepifl т. XXXI).
Въ Comptes rendus (t. 64, p. 1139) Bresse нашелъ
G = 0,91596559417721905460357 . ..
374 III, 4. функцш отъ н-всколькихъ перемънныхъ. §§ 366 — 367
ФУНКЦ1И ОТЪ НЬСКОЛЬКИД> ПЕРЕМЪННЫМЪ.
Основныя понятчя и разыскаше производныхъ.
366. Несколько перем-Ьнныхъ х,у, z,... называются неза-
независимыми, если значеше, приписанное одной изъ нихъ, никоимъ
образомъ не сгЬсняетъ свободы приписать какой-нибудь другой зна-
чен1е, зависящее до известной степени отъ нашего произвола
(XLIII). Совокупность всЬхъ системъ значешй, который можно при-
приписать перемъннымъ, образуютъ область п измЪренШ; прост-Ьй-
mift частный случай (п = 1) такой области представляетъ то, что
мы раньше называли интерваломъ. Если каждой системе значенШ п
перемЪнныхъ, принадлежащихъ некоторой области, соответствуете
на основами н-Ькотораго критер1ума определенное число, то сово-
совокупность этихъ чиселъ образуетъ некоторую функшю отъ п пе-
перем-Ьнныхъ; эта функшя будетъ определена въ данной области и
обозначается символомъ f(x, у, z,...) или другими, ему подоб-
подобными. Принято также говорить, что функщя определена для каждой
точки области, при чемъ подъ точкою разум^ють не что иное,
какъ систему п значешй, приписанныхъ независимымъ переменнымъ.
Свойства функшй, доказанныя для функщй отъ одной переменной,
легко распространяются и на функщй отъ многихъ перемённыхъ г).
367. Непрерывность. Когда независимыя переменный х, у,
z, ... получаютъ приращешя дх, ду, dz, ..., то функш'я получитъ
приращен1е
«/ = /(*+ д*. У+ йу, ¦¦¦)-/(*< У, •¦•)¦
Функщя называется непрерывною въ данной точке, если df
всегда стремится къ нулю, когда дх, ду, dz, ... стремятся къ нулю,
независимо отъ какого-либо соотношешя между последними. Если
п— 1 изъ перемённыхъ разсматриваются, какъ постоянныя, т. е. со-
храняютъ приписанныя имъ значешя, то данную функщю можно
разсматривать, какъ функщю отъ оставшейся одной переменной, и
ясно, что если функщя непрерывна относительно системы перемён-
перемённыхъ, то она будетъ непрерывна и относительно каждой изъ нихъ
въ отдельности. Но не следуетъ думать, что и обратное заключе-
Hie верно, т. е. что непрерывность fix, у, z,...) относительно
системы перемённыхъ равносильна непрерывности ея относительно
каждой переменной въ отдельности. Чтобы убедиться въ томъ, что
См., напримЪръ, Genocchi et Peano „Calcolo" (§ 129).
§§ 367—368 основныя понятш и разыскаше производкыхъ. 375
функшя можетъ быть разрывна, будучи непрерывною от-
относительно каждой изъ перем-Ьнныхъ, отъ которыхъ она
зависитъ, достаточно разсмотръть слъ-дуюипй прим-Ьръ. Возьмемъ
функшю отъ Декартовыхъ координатъ точки на плоскости, равную
1 для всякой точки на любой изъ координатныхъ осей и равную
нулю для всякой другой точки. Эта функшя, очевидно, разрывна
въ начал-fe координатъ, между т-Ьмъ какъ она, конечно, непре-
непрерывна въ той же точк-fe относительно каждой изъ перем-Ьнныхъ,
когда другая остается равною нулю. Достаточно изменить значеше
функщи въ началъ координатъ изъ 1 въ 0, чтобы функщя поте-
потеряла непрерывность относительно каждой изъ перем-Ьнныхъ въ от-
отдельности; тЪмъ не мен-fee можно сказать, что теперь функшя без-
конечно мен^Ье разрывна, чЪмъ была раньше.
368. Частный производный. Если функщя f разсматривается,
какъ функщя одного х или одного у и т. д., то ея посл-Ьдователь-
ныя производныя называются частными производными по х, по
у, и обозначаются символами fx, fy, fxx, fxy, fyx и т. д. Напри-
мЪръ, въ случай функцш отъ двухъ перемънныхъ, будемъ имъть,
назначивъ по произволу значешя х и у,
/I (,; у) - ^Lt±yyz?*yl. /у {х, у) = lim/(^±^r/^Z).
/0 « " /0 «
/1=0
Дал he изъ fx выводятся fxx и fxy такимъ же образомъ, какимъ
fyx и fyy выводятся изъ fy, и т. д. Для того, чтобы существовали
частныя производныя необходима непрерывность функцш относи-
относительно каждой изъ перем-Ьнныхъ въ отдельности, но не необхо-
необходима непрерывность въ томъ болЪе широкомъ смысл-fe, о кото-
ромъ сказано въ предыдущемъ параграф^. Мы докажемъ теперь,
что при разысканш посл-Ьдовательныхъ частныхъ производныхъ, по-
рядокъ, въ которомъ производится вычислеше производ-
производныхъ, не вл1яетъ на результатъ, если всЬ функц1и, после-
последовательно получаемыя, непрерывны *). Мы можемъ, оче-
очевидно, ограничиться случаемъ вторыхъ производныхъ, и показать,
что производная отъ fx, взятая по у, не отличается отъ производ-
производной отъ fy, взятой по х, если получаемыя при этомъ функщи fxy
и fyx непрерывны. Дадимъ числамъ х и у приращешя дх = h,
ду = k, и разсмотримъ выражеше
С, =/(х + 1г,у + k) -f(x + h, у) -fix, у + k) +f(x, у).
Если напишемъ его такъ
9 = [/(•* + К у + К) -/(х + к, у)] - [f(x, y+k) -f{x, y)\.
*) Въ широкомъ смыс.тЬ слова.
376 III, 4. функцш отъ нъсколькихъ перем-бнныхъ. §§ 368—369
то оно представить приращеше, получаемое функщею f(x, y
—f{x, у), когда въ ней у и k остаются постоянными, а х пе-
переходить въ x-\-h. Поэтому, применяя теорему Лагранжа (§ 306)
къ названной функщи отъ одного х, получимъ
С, = h [f'x{x + Mi,y + k) ~f'x [x + О А, у)],
гд-fe 0 некоторое определенное число, лежащее между 0 и 1. Те-
Теперь мы имЪемъ передъ собою приращеше, получаемое функщею
fx{x + Qh, у), если при постоянномъ х -j- ()h дадимъ числу у при-
ращеше k. На основами той же теоремы, примененной теперь къ
функщи одного у, получимъ
гд-fe 0' тоже лежитъ между 0 и 1. Следовательно, если функция ./^
въ точке ix, у) непрерывна, то ея значеше въ этой точке предста-
вляетъ собою пределъ, къ которому стремится отношеше ~ съ при-
ближен1емъ h и k къ нулю. Если же напишемъ q въ виде
9 = 1Л* + А. У + k) -f(x, y + k)\- l/(x + h, у) --/(*, у)],
то совершенно аналогично докажемъ, что упомянутый выше предъ\пъ
равенъ значен1ю fyx въ той же точке (л;, у), предполагая, что
и эта функщя непрерывна въ этой точке *). Следовательно,
f" - f"
J*У —Jyx-
369. Сложный (составныя) функцш. Если въ у =f(u, v,w,...)
и, v, w,... не независимыя переменныя, а функщи отъ одной не-
независимой переменной х, то и у функщя одного х, хотя и пред-
представляется въ виде функцш отъ несколькихъ переменныхъ. Въ та-
комъ случае говорятъ, что у есть сложная или составная функ-
функщи, а и, v, w,... составляющая функцш. Если первыя частныя
производныя отъ функщи f непрерывны и первыя производныя со-
ставляющихъ функщи существуютъ, то, какъ сейчасъ докажемъ,
производная отъ сложной функщи равна сумме всехъ про-
изводныхъ, получаемыхъ по правилу разыскан!я производ-
производной функц1и отъ функц1и, когда у по очереди разсматри-
вается, какъ функц1я одного и, одного г* и т. д. Само собою
разумеется, что при составлен1и частныхъ производныхъ отъ f по
и, по v и т. д., эти переменныя и, -о и т. д., разсматриваются,
х) Въ действительности, мы предполагаемъ больше, чЪмъ нужно. Mi-
Minimum условШ, при которыхъ / = / указанъ Реапо. См. „Mathesis"
1890, р. 153.
§§ 369—370 основныя поняты и рэзысканш производныхъ. 377
какъ независимыя. Мы можемъ ограничиться, для простоты, доказа-
тельствомъ теоремы для случая двухъ составляющихъ функщй. По-
ложимъ, что приращенш дх соотв-Ьтствуютъ приращешя h и k
функщ'й и и v. Приращеше у будетъ ду =f{u -\-h, v -+- k) —f(u, v).
По теореме Лагранжа им-Ьемъ
/(« + h, v) -/(и, v) = hf'u (и + 6h, v),
f(u + h, v + k) -/(« + h, v) = kf'T (tt + k, v + Vk).
Отсюда, сложивъ и разд'Ьливъ на дх, находимъ
а переходя къ пред'Ьламъ и принимая во внимаше сд^ланныя пред-
положен1я, получимъ
A) У = «'/«(«. «) + »'/,'(«. »)•
370. Прим"Ьчан1я. а) Теорема остается, очевидно, справед-
справедливою, если только одна изъ члстныхъ производныхъ непрерывна
относительно системы перем'Ънныхъ и, v, а другая только относи-
относительно одной соотв-Бтствующей переменной.
Ь) Въ правилъ A) заключаются, какъ частные случаи, всъ до-
казанныя раньше (§ 285 и слъ\а..) правила разыскашя производ-
производныхъ. Такъ, наприм-Ьръ, ecnuy = u-\-v, uv, — и т. д., то соответ-
соответственно получимъ
и A) дастъ
и'
/ / i / / , / и т
у = и 4- v . vii + uv , s- ,
¦^ ¦УХ'2
с) Дал-fee, правило A) даетъ возможность непосредственно
найти производныя нтзкоторыхъ функщй, для разыскашя которыхъ
прежде приходилось прибегать къ особымъ пр!емамъ. Такъ, напри-
м-Ьръ, чтобы найти производную отъ у = Xх можно разсматривать
сперва основан1е х, а потомъ показатель х, какъ единственную
переменную, взять производную отъ степени переменнаго числа, а
потомъ производную отъ показательной функщи, и сложить резуль-
результаты; тогда и получимъ
у' = х ¦ Xх'1 + хх log х = хх A -(- log х).
Въ более общемъ случае у = uv, где и и v функщи отъ х,
найдемъ
у' = vur ~х • и' + u'v' log и = и1 \v -"- + v' log и ) .
378 III, 4. функщи отъ нъсколькихъ перемънныхъ. §§ 371—372
371. Однородность. Функш f(x,y, з,...) называется одно-
однородною степени т, если тождественно имеемъ
B) f(tx, ty, tz, ...) = tmf(x, y, z, ...).
Таковы, напримеръ, разсмотренныя въ первой книге алгебраиче-
ск1я формы, а въ частности квадратныя — однородныя функщи вто-
второй степени. Такимъ же образомъ однородными функщями соответ-
соответственно степеней 0, \, — 1 будутъ функщи
z х у ' * \ х -\-у -{- z
и т. д. Заметимъ, что первыя частиыя производиыя однород-
однородной функши ш-ой степени будутъ однородными функ-
функциями (т— 1)-ой степени. Действительно, сравнивая производ-
производный по х отъ обеихъ частей тождества B) и разделяя на t, полу-
чимъ какъ разъ
тождество, отличающееся отъ B) лишь темъ, что f заменено на
/J-, а т на т — 1.
372. Однородныя функщи характеризуются следующимъ
свойствомъ: Сумма произведен^! частныхъ производныхъ
однородной функцш степени т, умноженныхъ каждая на
соответствующую переменную, равна самой функцш, умно-
умноженной на т. Действительно, написавъ B) въ виде
C) -l-f(tx, ty, tz, ...)=f(x,y, z, ...),
выводимъ отсюда, взявъ производныя по f, при постоянныхъ
•V, У, Z,
откуда при t = 1
•v/s (х, у, . ..) + У/у (х, у, ...)+¦¦¦ = т/{х, у, ...).
Это теорема Эйлера. Заметимъ теперь следующее. Если въ по-
следнемъ тождестве заменимъ д:, у, г,... черезъ tx, ty, tz,... и
разделимъ обе части на /'"+1, то придемъ снова къ тождеству D),
которое показываетъ, что производная левой части въ C) равна
нулю, а следовательно, эта левая часть сама отъ t не зависитъ, и
372—374 основныя понятш и разысканш производныхъ.
379
потому всегда равна тому значент, которое получимъ, положивъ
t=\. Такимъ образомъ, снова приходимъ къ тождеству B), т. е.
именно къ опредёленш однородности.
373. Производная опред'Ьлителя. Какъ приложеше правила
A) разсмотримъ первый изъ определителей
У =
предполагая, что второй есть взаимный перваго (§ 34). Производ-
Производная отъ у по одному изъ его элементовъ равна алгебраическому
дополненш этого элемента. Действительно, мы имъемъ, напримъръг
у = ахих -\- а.ги2 + «зиз- Единственный членъ, содержащШ щ, есть
diiii, и at отъ ih не зависитъ. Следовательно, ущ = а/. Если, да-
л^е, все элементы суть функщй одной и той же переменной х,
то у есть функщя отъ х, производная которой, по правилу A),
будетъ
щ vi
и2 v2
и3 v3
wl
w2
W3
«! 1>!
«2 Ь2
«3 b3
Cl
C2
cs
а, «2
w2
Кроме предположешя, что элементы определителя имеютъ произ-
водныя, никакихъ другихъ не требуется, потому что частныя про-
изводныя отъ j/, какъ суммы произведен^ непрерывныхъ функщй,
сами непрерывны. Полученное выражеще для у можно написать въ
следующемъ виде:
E)
У' =
"*1 u\
w2
«2 V2 W2
Ho Vo W.
«1 vl
+ ! u2 v2 w2
3 !
Въ этомь состоитъ правило разыскашя производной отъ функц1и
отъ х, представленной въ виде определителя. Оно справедливо,
очевидно, для определителя любого порядка.
374. Определители Вронскаго. Въ некоторыхъ приложе-
шяхъ особенно важное значеше имеютъ определители Вронскаго.
Въ этихъ определителяхъ первый столбецъ состоитъ изъ производ-
производныхъ функщй отъ одной переменной х, а следующее изъ последо-
вательныхъ производныхъ отъ этихъ функщй. Вычислеше произволь-
произвольной такого определителя делается особенно просто по правилу E).
Такъ, напримеръ, если
У =
V
w
v'
w'
tr
v"
w"
. У =
f
w
и
v'
It'
380 III, 4. функцш отъ нъсколькихъ перемънныхъ. §§ 374—375
(см. § 16), такъ что, для получешя производной отъ определителя
Вронскаго и-го порядка, стоитъ только заменить въ немъ (п — 1)-ыя
производныя /г-ыми. Далее, если обозначимъ определитель Врон-
скаго и-го порядка просто черезъ (и, v, w,...), то, какъ легко
видеть, будемъ иметь
F) (tu, tv, tw, ...) = t" (и, v, w, ...).
Это свойство, представляющее по форме столь большую аналопю
съ опредътшшемъ однородныхъ функщй, легко доказать. Составивъ
определитель Вронскаго функцш tu, tv, tw, ..., замЪчаемъ, что во
второмъ столбце можно отбросить элементы съ множителемъ f, по-
потому что они пропорцюнальны соотв-втствующимъ элементамъ пер-
ваго столбца; въ третьемъ столбце после этого можно откинуть
элементы съ множителями f и t", какъ соответственно пропорцю-
нальные элементамъ перваго и второго столбца. Въ конце концовъ
придемъ къ определителю (и, v, w,...), въ которомъ все эле-
элементы будутъ умножены на /, т. е. именно къ равенству F) (§ 15).
375. Докажемъ теперь весьма важное свойство определителей
Вронскаго, выражающееся въ следующей теореме: Чтобы две или
несколько функщй были линейно независимы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ихъ определитель Вронскаго не
былъ равенъ нулю. Прежде всего заметимъ, что функцш назы-
называются линейно независимыми, если между ними не суще-
ствуетъ линейнаго и однороднаго соотношешя съ постоянными ко-
эффищентами. Иными словами, функцш и, v. w, ... не независимы
линейно, если существуютъ п постоянныхъ а, Ь, с, ..., не равныхъ
нулю одновременно, для которыхъ тождественно имеетъ место ра-
равенство
G) аи + bv -\- cw + ••• = 0.
Если такое соотношеше существуегь, то будемъ также иметь
аи' + bv'-\-cw' + ¦ ¦ ¦ = 0, аи" + bv" + cw" -\ = 0 и т. д., и
yoioBie совместности этихъ уравнешй, линейныхъ и однородныхъ
относительно неизвестныхъ а, Ъ, с,..., будетъ (и, v, ze>....)=0.
Остается, следовательно, показать, что, обратно, если этотъ опреде-
определитель равенъ нулю тождественно, то между функшями и, V, ги, ...
будетъ существовать соотношение вида G). Заметимъ прежде всего,
что при п = 1 уравнеше G) выражаетъ именно то, что (и) = и
обращается въ нуль. Отсюда следуетъ, что для доказательства тео-
теоремы достаточно доказать, что она будетъ справедлива для п функ-
Шй, если допустимъ, что она верна для меньшаго числа функщй г).
Если бы и было равно 0, то соотношеше G), очевидно, удовле-
Demoulin. „Mathesis" A897, p. 62).
§§ 375—376 РАЗЛожЕнга въ ряды, maxima и minima. 381
творялось бы при а — 1, b = с = ¦ ¦• = 0. Поэтому можно предпо-
предположить, что и не равно нулю тождественно, и, припоминая теорему
F), написать
о = <„,»,«,..., = „-(^--Ьф)' ?
Но послЪдшй определитель Вронскаго будетъ порядка (п — 1)-гог
и такъ какъ онъ равенъ нулю, по нашему допущешю, то отсюда
вытекаетъ соотношеше Ъ I—I +с(— I +••¦ =0, где Ь, с, ... по-
стоянныя, не равныя нулю одновременно. Поэтому первообразная
функщ'я b I—) + с (—) + ' ¦ равна некоторому постоянному, ко-
торое можно обозначить черезъ — а, и получимъ окончательно, что-
п функщй и, v, w,... связаны соотношен1емъ вида G). (XL1V).
Разложешя въ ряды. Maxima и minima.
376. Формулы Тэйлора и Маклорена весьма легко распростра-
распространяются на функцш отъ нЪсколькихъ переменных!). Фиксируемъ не-
некоторую точку (а, Ь, с, ...) и въ смежности съ нею другую
(х,у, z,...); обе въ той области, вь которой fix, у, z, ...)
определена. Положимъ затемъ и = а -\- f(x — a), v = b -\- t{x — b),
w = с-\-t(x — с), . .. и разсмотримъ f(u, v, w,...), какъ функ-
щю одного /. Производная этой функщи F(t) легко определяется
по правилу A), если заметимъ, что производныя, взятыя по /, отъ
функщй и, v, iv, ... будутъ и' = х — a, v' —х — b, w' = х — с, ...
Такимъ образомъ, получимъ
F' (t) = (х - d)f'x (и, v, ...) + {у - b)fy (и, v, ...) + (-- с)/', (и, v, ...)+¦¦•
Взявъ снова производную, найдемъ
F"{() = (х - afflx (и, v,...) + (y - ЬГ-/п {и, v, ...) + (*- c?f"z (и, г; ...)+¦¦¦
+ 2 (х - а) {у - b)f'ly (и, v,...) + 2(x- а) (г - с)/^ («, v, ...)
+ 2{у-Ъ) (z-c)f^(u, v, ...)+ ....
Продолжая такимъ же образомъ, заметимъ, что можно положить
символически
Fin) V) = [(х- а)/х (и, г; ...) + (у - Ь)/у (и, г., ...)+¦¦¦] ".
если условиться въ разложен1и ;г-ой степени полинома заменять
произведете fxfyf* ¦ ¦ ¦ производного fxyl... вычисленною для точки
(и, V, w, ..), которая совладеть съ (а, Ь, с,...) при / = 0, и съ
382 III, 4. функцш отъ н-всколькихъ перемънныхъ. §§ 376—377
(х, у, z,...) при t=\. Поел* этого, стоить только подставить
выражешя F, F', F", ... въ формулу Маклорена:
F(l) = F @) + F' {0) + ~ F" @) + i F>" @) + ¦ • • + ~ F^ (G),
чтобы получить
fix, у, ...)=/(я, b,...) + ix-a)f'x(a, Ъ, .. .) + (у - b)fy {а, Ь, ...) + ••¦
+ i [ [х - яJ/» (а, Ь, ..-)+••• +2 (х- а) (у - b)/Jy(a, Ь, ...) + ¦¦¦]
гд'Ь |, »j, f, ... числа, лежащ1я соотв-Ьтственно между х и а,
у и b, z и с, ... Это Тэйлорова формула для фуккцш отъ нъ-
сколькихъ перемЪнныхъ. Если положимъ въ ней а= b = с = ... =0,
то получимъ формулу Маклорена:
f{x.у, ...)=/@, 0, ...) + x/U0, 0, ...)+у/у@, 0. ...) + ••¦
+ И*2/ГЛ°, о, .-.)+У/да(о, о, ...)+¦¦¦ + 2*^@, о, ...)
Она даетъ намъ, въ предположены, что послъ\о.н1й (дополнительный)
членъ стремится къ нулю съ возрасташемъ п до безконечности,
разложеше функщи /(х, у, z, ...) въ рядъ алгебраическихъ формъ
степеней 1, 2, 3, ...
377. Перейдемъ теперь къ изслрЬдован1ю вопроса о наиболь-
шихъ и наименьшихъ значен1яхъ (maxima и minima) функщй отъ
н^сколькихъ перем"Бнныхъ. Когда говорятъ, что некоторое свойство
им-Ьетъ м'Ьсто въ смежности съ точкою (а, Ь, с, ...) или въ
окрестности точки (а, Ь, с,...), то этимъ утверждаютъ сущест-
BOBaHie такого положительнаго числа h, что означенное свойство
им-Ьетъ мъхто для всЬхъ точекъ (х, у, 2, ...) удовлетворяющихъ
услов1ямъ
за исключешемъ, въ крайнемъ случа-b, самой точки (а, Ь, с, ...).
Принявъ это во внимаше, говорятъ, что f(x,y, z,...) будетъ
minimum (или maximum) въ точк'Ъ (а, Ь, с,...), если въ смеж-
смежности съ этою точкою ни одно изъ значешй функщи не меньше
(или не больше), Ч"Ьмъ /(а, Ъ, с, ...). Иными словами, нужно имЪть
возможность указать такое достаточно малое положительное число
§§ 377—378 разложены въ ряды, maxima и minima. 383
h, чтобы для всъхъ значешй х, у, ?,..., удовлетворяющихъ усло-
в1ямъ (8), имъло мъсто первое (или второе) изъ условШ
(9) /(а, Ъ, с,...) <Дх, у, з, ...), /(а, Ь, с, ...) >/(*. у, z, ...).
Если эти услов1я действительно выполняются, то, очевидно, обозна-
обозначенная выше черезъ F{f) функшя будетъ minimum или maximum
при / = 0. Действительно, при выполненш условШ (9) будемъ
ИМ"БТЬ
^@) ss F(t), или F@) > F(t)
для всЬхъ значен1й / не большихъ 1 по абсолютной величин-fe, такъ
какъ для этихъ 3Ha4eHift t числа и, v, zu,... какъ и числа
х,у, z,... удовлетворяютъ услов!ямъ (8). Такимъ образомъ, ра-
зыскаше maxima и minima функцш f{x, у, z,...) приводится къ
разыскан1ю maxima и minima всЬхъ функц!й F(t) соответствую-
щихъ безчисленному множеству точекъ (х, у, г,...), которыя
можно взять по произволу въ смежности съ (а, Ь, с,...).
378. Если перем-внныя независимы, то известное услов1е
Г@) = 0, т. е.
распадается на слъдуюипя отдЪльныя услов1я:
/>. Ь, с, ...) = 0, /у(а, Ь, с, ...) = 0, />, Ь, с, .. .) = 0, .. .
Итакъ, тъ системы значешй перемънныхъ х,у, з,..., при
которыхъ функц1я f отъ независимыхъ перемънныхъ
х, у, z,... можетъ быть minimum или maximum, будутъ
рЪшеюями системы уравнен1й
(Ю) /х(х,У, *,-¦¦) = 0, /y(x,y,z, ...) = 0, />,jy, «,...) = 0,...
Чтобы узнать, даетъ ли то или другое рЪшеше этой системы mi-
minimum или maximum, надо разсмотръть квадратичную форму
F" @) = (х - а?/;х{а, Ь, ...) + (у - bff'yy {а, Ь, ...) + (*- cff^ (а, *,...)+¦¦¦
+ 2(* - а) (^ - 6)/^ (я, *,...) + 2(* - a) (z - c)fx',(p, b,...)
+ 2(у - b) (z - с)/^(а, 6, ...)+-..
отъ ;; независимыхъ перем-Ьнныхъ х — а, у — b, z — с,...
Дискриминантъ (§ 76) этой формулы есть значеше определителя
i Jхх J xy Jх= ' ' '
J ZX J =V J SS ' ' '
384
III, 4. функцш отъ н-бсколькихъ перемънныхъ. §§ 378—379
вычисленное для х = а, у = Ъ, z = c,... Эта важная функщ'я
Н(х,у, z,...) называется Гесс1аномъ функщиу*). Въ даль-
нЪйшемъ мы оставимъ въ сторонЪ случай Н{а, Ь, с,...) = 0, и
припомнимъ (§ 100), что необходимыя и достаточный услов1я (при
Н(а, Ь, с, ...) гг 0) для того, чтобы квадратичная форма F"{Q)
была существенно положительна, будутъ слЪдующдя
A1)
fxx > О-
J xx J ху
/ух *уу
> о,..., н > о
при х = а, у = b, z = с, ... Наоборотъ, чтобы F"@) была суще-
существенно отрицательна, для всЪхъ системъ значен1й перем^нныхъ
х— а, у — b, z — с, ¦. . (не равныхъ нулю одновременно), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы было
A2)
/,; <
J XX J Xy
Jyx Jyy
> 0, ..., ( \f Н > 0.
С/тЬдовательно, если н-Ькоторая система а, Ь, с,... значен1й пере-
м-Ьнныхъ х, у, z,..., удовлетворяющая систем-fe уравнен1й A0),
удовлетворяетъ и услов1ямъ A1), то функщя f{x, у, z,...) при
х = а, у = Ъ, z = с, . ¦. будетъ minimum. Наоборотъ, она будетъ
maximum, если выполняются услов1я A2). Она не будетъ ни ma-
maximum, ни minimum, если при //т^0, не выполняются ни услов!'я A1),
ни услов1я A2) Сомнительнымъ остается случай Н = 0, требующШ
особаго
379. Чтобы найти, напримЪръ, maxima и minima функцш отъ двухъ
независимыхъ перем'Ьнныхъ, надо начать съ разыскашя т^ехъ значенШ пере-
M^HKbixb, который обращаютъ въ нуль первыя производныя, .и найденныя
значешя подставить во вторыя производныя. Тогда могутъ представиться
слЪдуюцие случаи:
f'Lfyy -f'x2y>° (minimum при /^ > 0, maximum при /'„ < 0).
„ < 0 (ни minimum, ни maximum),
„ „ = 0 (сомнительный случай).
Въ случай функцш отъ трехъ независимыхъ перемънныхъ, при условш
fxxfyy-~f"ry < 0. не будемъ им-Ьть ни minimum, ни maximum. Но то же
самое будетъ и при f'xXf'y'u —
^> если Ге-сс1анъ
J хх Jуу J 5= ^1 J у= J zx J ху J хх J y= J yy J вх JssJxy
будетъ имъть знакъ, отличный отъ знака /хх. Въ противномъ случай будемъ
По имени математика Гессе (Hesse).
§§ 379—380 РАЗЛОЖЕНШ въ ряды, maxima и minima. 385
имЪть minimum или maximum, смотря по тому, будетъ ли обшдй знакъ чи-
селъ Н и fvX + или —. Зам^Ьтимь, что maxima и minima имЪютъ наклон-
наклонность встречаться все рЪже и р'Ьже по мЪрЪ увеличешя числа перем'Бнныхъ.
380. Чтобы скорее подвигаться впередъ, мы оставили въ
§ 378 большой проб-Ьлъ, который теперь необходимо заполнить.
Найдя, что при выполиенж условШ A1) или A2) будемъ имЪть
всегда F"@) > 0 или всегда F"@) < 0, мы изъ этого можемъ за-
заключить только то, что все безконечное множество функщй F(t)
при ( = 0 будутъ имтзть minimum или maximum, Но изъ этого еще
нельзя заключить, что f(x,y, z,...) въ точкъ (а, Ь, с,...) бу-
будетъ minimum или maximum. Для возможности такого заключешя
надо было бы пользоваться теоремою, обратного той, которая уста-
установлена въ конц-в § 377, а эта обратная теорема далеко не всегда
справедлива. Поэтому приступимъ къ непосредственному изслътюва-
Hiro приращешя
f(x, у, г,...) -Да, Ь, с, ...) = \ F"(b),
и замътимъ, что F"(b) можно разсматривать, какъ квадратичную
форму, съ переменными коэффициентами. Эти коэффициенты, из-
изменяясь вмЪсгё съ измЪнешемъ х,у, z,..., стремятся (всл-Ьд-
CTBie предполагаемой непрерывности вторыхъ производныхъ) къ
соотвЪтствующимъ коэффищентамъ, формы F"@), когда точка
(х, у, z,...), какимъ угодно образомъ, приближается къ точк'Ъ
(а, Ь, с, ...), при чемъ и промежуточная точка (|, г/, ?, ...), для
которой вычислены коэффициенты въ F"(b), приближается кь той же
точк% (а, Ь, с,...). Отсюда мы еще не въ прав-fc заключить, что
если F"@) въ смежности съ точкою (а, Ь, с, ...) сохраняетъ по-
постоянный знакъ, то и ,F"F) стремится принять этотъ знакъ. Въ са-
момъ д-Ьл-Ь, и та и другая форма им"Ьютъ въ смежности съ этою
точкою значешя, безконечно близюя къ нулю, и потому, хотя он-fe
отличаются одна отъ другой безконечно мало, не исключается воз-
возможность того, что знаки ихъ будутъ различны. Дътю и состоитъ
именно въ томъ, чтобы показать, что это невозможно. Съ этой
цтзлью целесообразно будетъ разделить об^ формы на
г2 = (X - Of -\-(y-bf+(s — cf+ ¦¦¦
и загЬмъ разсматривать полученныя отношешя, какъ квадратичныя
формы отъ перем'Ьнныхъ
_ дг — а д __у — Ъ , _ « — с
связанныхъ соотношен1емъ а2 + /J2 -f Y2 + ¦ • • = !• Въ самомъ дъл%,
пусть k есть наименьшей по абсолютной величин-fe коэффищентъ въ
каноническомъ видъ (§ 92) формы —±-±. Замътимъ теперь, что
Bet коэффищенты будутъ положительны, либо вев отрицательны,
25
386 HI, 4. функцш отъ нъсколькихъ перемънныхъ. §§ 380—381
смотря по тому, будетъ ли форма существенно положительная
или существенно отрицательная. Поэтому | F"@) | > kr2, и от-
отношение /""(О) къ г2 не стремится къ 0. Наоборотъ, отношеше
F"(§)~F"(Q) ,
—— — непременно стремится къ нулю, потому что это отно-
г
шеше есть квадратичная форма отъ перемъ'нныхъ a, /J, у, ..., лежа-
щихъ между — 1 и 1, и съ коэффициентами, имеющими пред&помъ
нуль. Поэтому
lim Т^ = ! + hm (H^
Отсюда сл-Ьдуетъ, что всегда можно найти такое положительное
число h, чтобы для вс-Ьхъ значешй х, у, z,..., удовлетворяю-
щихъ услов!ямъ (8), выше написанное отношеше было, наприм'Ьръ,
больше ^ и, следовательно,
смотря по тому, будетъ ли k^>0 или < 0, т. е. f{x,y, z, ...)>
>f(a, b, с, ...) въ первомъ, и f(x, у, z, ...)< f(a, b, с, ...)
во второмъ случай 1).
381. Предыдушдя соображен!я т^мъ бол^Ье необходимы, что
случаи, когда всЬ функщи F(f) при ( = 0 будутъ им-Ьть maximum
или minimum, a /(a, b, с,...) не будетъ ни гЬмъ, ни другимъ для
/(х, у, z, ...), вполне возможны. Чтобы ясн-fee понять причину та-
такого обстоятельства, лучше всего будетъ ограничиться случаемъ
функщи отъ двухъ перем"Ьнныхъ х = а -\- г cos 0, у = Ъ + г sin О,
значешя которыхъ въ смежности съ {а, Ь) зависятъ отъ г и О-
Если для какого нибудь значешя 0 функщя будетъ minimum въ
{а, Ь), то это значитъ, что f(x, y)~^f(a, b) для разсматриваемаго
значешя 0 и для всбхъ значешй г въ некоторомъ интервал-fe
(— у, -\- Q). Это число q будетъ вполн-fe определенная функщя
отъ 0, если условимся брать всегда наибольшее возможное значеше
для Q. При изм^нвши 0 отъ 0 до лг (за исключешемъ одной изъ
границъ) q будетъ, вообще говоря, изменяться, и соответствующая
пара значешй х = а + Q cos 0, у = b + q sin 0 описывать сомкнутую
кривую, внутри которой постоянно будетъ f(x, y)^/(a, b), между
темъ какъ вне ея, какъ угодно близко къ границе, f(x,y)<_f(a, b).
Если функщя д, какъ это обыкновенно и бываетъ, достигаетъ не-
котораго наименьшего значешя А|/2, то можно быть увереннымъ,
что /(х, у) 7^f(a, b), если \х — а\шк и \у — b\^h. Тогда
f(x, у) действительно будетъ minimum въ точкЪ (а, Ь). Но если
х) Для большихъ подробностей см. Qenocchi et Peano „Calcolo"
(p. 186, 197).
§§ 381—382 разложенш въ ряды, maxima и minima. 387
случится, что q имт>етъ только нижнюю границу, равную нулю, то
f(a, b) не будетъ minimum функцш f{x, у). Действительно, тогда
существуетъ такое значеше 6, въ смежности съ которымъ нижняя
граница q всегда будетъ нуль (§ 259) и достаточно взять Q въ
смежности съ этимъ значешемъ, чтобы можно было сделать
Q < h\^2, какъ бы мало ни было h. А тогда, взявъ г > q, найдемъ
и таюя значешя х и у, для которыхъ, несмотря на то, что
х — a\^=h, \у— b\^h, будемъ имтлъ /(х, у) </(«, Ь).
382. Положимъ теперь, что между п переменными существу-
ютъ т « п) cooTHomeHifi
A3) <р (х, у, «,...) = О, у> (х, у, z, ...) = 0, ...
такого рода, что т перемЪнныхъ и, v, w,... могутъ быть раз-
сматриваемы, какъ функши отъ п — т остальныхъ 1). Эти послт>д-
Н1я мы обозначимъ буквами х, у, z, ... и будемъ ихъ считать неза-
независимыми. Значешя перемт>нныхъ, при которыхъ функщя
f(x, у, z, ..., и, v, w, ...)
можетъ быть minimum или maximum, должны обращать въ нуль
(§ 378) первыя ея частныя производныя, взятыя по независимымъ
перем'Ъннымъ. Въ частности, принимая во внимаше правило для
разыскан1я производной сложной функцш (§ 369), мы должны
им-Ьть
A4) f'x+ <fu + Kfl+ ¦¦¦ = 0.
nrb производныя их, Vx, wx,... должны быть найдены при помощи
уравненШ A3), т. е. изъ системы уравнешй
<t'x+ uWu + vWv + ••• = °>
4>'x+uWu + VWvJr ¦¦¦ =0.
применяя правило Крамера (§ 50) и предполагая, что
A6)
Вместо того, чтобы подставлять значешя их, vx, wx,--., найден-
vl v'v v>l ¦ ¦ •
35 0.
M Объ услов1яхъ, при которыхъ это возможно (къ числу нихъ
принацлежитъ между прочимъ услов1е A6), ниже приводимое), мы будемъ
говорить въ начал-fe шестой книги.
25*
388 III, 4. функцш отъ нъсколькихъ перемънныхъ. §§ 382—383
ныя изъ уравненШ A5), въ уравнеше A4), мы можемъ присоеди-
присоединить это последнее къ системе A5) и прямо написать услов1е со-
совместности :
Л А А---
Гх <Ри <е'ъ ¦ ¦ ¦ =о.
Ц> Ц) 1р • •
; <ГХ
¦ v'
л
(Гу
л ¦¦¦
<(', ¦ ¦ ¦
v* ¦ ¦ ¦
Заменяя элементы перваго столбца по очереди частными производ-
производными функщй f, cp, ip, ... по т%мъ п—т перем%ннымъ, которыя
выбраны были за независимыя, получимъ п — т уравнешй, которыя
BMtcTt съ т уравнен1ями A3) и послужатъ для опред-влетя зна-
чен1й х, у, z,..., и, v, w, ... Итакъ, т% системы значен!й
х, у, z,..., которыя удовлетворяютъ уравнетямъ A3) и
д%лаютъ функц1ю f(x,y,z,...) minimum или maximum,
принадлежать къ числу т%хъ, которыя обращаютъ въ нуль
вс% CTapmie опред%лители матриссы
A7)
383. Чтобы придать вычислетямъ бол%е симметр1и, обыкно-
обыкновенно пос1упаютъ сл-Ьдующимъ образомъ. Изъ того, что всЪ стар-
ш1е опред%лители матриссы A7) обращаются въ нуль, заключають
(§ 58), что одно и тоже линейное соотношеше связываетъ элементы
каждаго столбца. Въ это соотношеше непременно должны входить
элементы первой строки. Действительно, если бы существовало
линейное соотношеше между одними cp', ip', ..., то обратились бы
въ нуль всб CTapmie определители той матриссы, которая получается
изъ A7) зачеркиван1емъ первой строки. А это противоречить усло-
вт A6). Поэтому, для прилично выбранныхъ Я, ц, v, ..., можемъ
писать
f'x = Х(р'х + Wx + •••>/» = X(f'y + Wy + ¦ ¦ ¦ • /г = X(p'z + !l% + ¦¦¦' ¦¦¦
Иными словами, для того, чтобы разыскать maxima и minima функ-
ши /, когда переменныя связаны уравнен1ями A3), надо прирав-
приравнять нулю первыя производныя не функц1и /, а функцш
f{x, у, я, ...) - I (p ix, у, з, ...) - ,w v (x, у, s, ...)—••••
При этомъ получаются п уравнен1й, которыя, по исключен1и
A, fj,, v, ..., приводятся къ п—т уравнешямъ. Присоединивъ къ
нимъ уравнешя A3), получимъ п уравненШ для определен!я п пе-
ременныхъ.
§ 384
РАЗЛ0ЖЕН1Я ВЪ РЯДЫ. MAXIMA И MINIMA.
389
384. Упражнешя. а) Возьмемъ прямоугольную пластинку О ABC
(рис. 12), отъ которой, какъ указано на рисункЪ, отломленъ кусокъ OPQ.
Требуется изъ оставшейся части образовать другую прямоугольную
пластинку, имЪющую по возможности наи-
наибольшую площадь. Естественно будетъ удержать
обЪ нетронутый стороны АС и ВС, и выбрать
новую вершинну О', противолежащую вершин* С,
на новой сторон-fe PQ. Если р и q обозначаютъ
отрезки ОР и OQ, то координаты искомой точки О'
относительно осей О А и ОВ удовлетворяютъ урав-
нешю qx + ру = pq, а функшя, maximum кото-
которой ищется, будетъ площадь новаго прямоуголь-
прямоугольника, равная (а — х)(Ъ — у) *). Производныя этой
функщи по х и по у, т. е. у — Ь и х — а должны
быть пропорцюнальны числамъ q и р. Поэтому, если
изъ С проведемъ прямую, параллельную прямой,
соединяющей О съ серединою PQ, то эта прямая
и встрътитъ PQ въ искомой точк-fe О'. Если бы
точка О' попала внЪ отр-Ьзка PQ, то, какъ легко
видъть, ее надо было бы заменить ближайшимъ
концомъ этого отрезка. Можно общн'Ье доказать, что, какова бы ни была
форма излома PQ, д1агональ новаго прямоугольника должна быть парал-
параллельна прямой, касающейся PQ въ точк-fe О'.
Ь) Покажемъ, что общее уравнеше коническаго сЪчешя
A8)
ах2 + by2 + с + If у +
2hxy = 0
можетъ быть представлено въ болЪе удобной форм-в, если въ него введемъ
координаты центра (хо,уо), опредЪляемыя, какъ известно, уравнен1ями
A9)
х0 + hy0 + g = 0, hx0 + by0 +/ = О
или Ф'х (х0, у0) = 0, Ф'у (х0, у0) = 0, гдЪ Ф (х, у) обозначаетъ л-Ъвую часть
уравнешя A8). Прежде всего замЪтимъ, что Тэйлорова формула позволяетъ
представить эту функщю въ вид*
Ф(х0, у0) + а(х - xof +b(y -y0J + 2h{x- хо)(у —у0).
Чтобы вычислить Ф(х0, у0), стоитъ только заметить тождество
Ф(х, у) = {ах + hy+g)x + (hx + by +f)y + (gx +fy + c).
Это равносильно прим-Ьнен!ю теоремы Эйлера (§ 372) къ л-Ъвой части урав-
нен1я A8), посл-Ь того, какъ сд-Ьлаемъ ее однородною **). Въ частности
имЪемъ Ф(х0, у0) = gx0 -\-fyo + с> а исключая х0 и у0 изъ уравнен1й A9)
и послЪдняго, находимъ
/
g f с — Ф(х0, у0)
= 0,
*) а = О А, Ъ = ОВ.
ОС V
**) Замънивъ х и у на — и — и умноживъ на z2.
? 2
390 III, 4. функцш отъ нъсколькихъ перемънныхъ. § 384
откуда получимъ Ф{х0, у0) = —т тъ . ГД* D обозначаетъ дискриминантъ
abc + 2fgh - я/2 — bg2 - ch2.
с) Чтобы вычислить длины полуосей коническаго сЬ'1ен1я A8),
выгодно сперва представить его уравнение въ той форме, которая указана
въ предыдущемъ упражненш
а(х - х0J + Ъ{у -у0J + 2к(х - х0) (у -у0) + аЬ°_ ш = 0.
Дело сводится къ опред'Ълешю наибольшаго и наименьшаго значешя функ-
функцш г2 = (х — хо)г -\- (у —УоJ, при чемъ перем^Ьиньш х и у связаны преды-
дущимъ уравнешемъ. Поступая по указан1ямъ § 383, положимъ
х — хо = Х{а(х — х0) + h(y —у0) }, у -у0 = Я { h(x — х0) + Ь(у —у0) }.
Умножая первое уравнеше на х — х0, второе на у—у0, и складывая, полу-
получимъ (я Ъ — к2) г2 = — XD. Съ другой стороны, Я можно определить, исклю-
исключая изъ тЪхъ же уравнен1й х — х0 и у —у0, что даетъ
0 =
«2-1 hi
hi Ы—\
= (яб — h2)l2 - (а + Ь)Х + 1.
Отсюда сл^Ьдуетъ, что квадраты полуосей будутъ корнями следующего
уравнен1я съ неизвестною г2:
(a+b)B D2 _
^ (ab-h2J ^ (ab- Wf
d) Предложимъ себе теперь вычислить полуоси плоскаго сече-
шя поверхности эллипсоида данною его д1аметральною плоско-
плоскостью. Пусть а, Ъ, с будутъ длины полуосей эллипсоида, а, 0, у косинусы
угловъ, образуемыхъ главными сечешями съ данною плоскостью. Если оси
эллипсоида примемъ за координатныя оси, то уравнешя эллипсоида и данной
плоскости будутъ соответственно
(а) 5+{ + ^=1- «г + ^ + ув = О.
Вопросъ состоитъ въ определенш наименьшаго и наибольшаго значешя
функцш x2-\-y2-\-z2 (при условныхъ уравнешяхъ (я)). Согласно сказан-
сказанному въ § 383, полагаемъ
кх . Яу . , lz ,
х =¦¦ -^ + ,wa,, у = -р- + /»Д s = -^ + w.
Складывая эти уравнен1я, умноживъ ихъ предварительно, первое на х,
второе на у, третье на г, получимъ г2 = Я. Подставляя въ уравнеше пло-
плоскости значешя
ц,аа2 _ fifib2 _ щс2
х = ^2И72 • У = W^V2 ' Z ~ ~с2^72 '
§ 384 РАЗЛ0ЖЕН1Я ВЪ РЯДЫ. MAXIMA и MINIMA. 391
получаемыя изъ предыдущихъ уравнешй, и замечая, что ,« не можетъ быть
равно нулю, приходимъ къ уравнешю второй степени относительно г2:
fa^ + _&&_ + с2"/2 ^ = 0;
корни котораго и будутъ квадраты искомыхъ полуосей. Если изъ центра
эллипсоида возставимъ перпендикуляры къ плоскости каждаго съчешя и на
нихъ отложимъ длины одной изъ полуосей съчешя (той или другой—безраз-
другой—безразлично), то концы этихъ перпендикуляровъ будутъ лежать на некоторой
поверхности 4-го порядка, играющей весьма важную роль въ ОптикаJ).
Такъ какъ координаты этихъ концовъ будутъ х — ± аг, у = ± f)r, z = ± уг,
то стоитъ только подставить взятыя отсюда величины а, ,3, у въ предыдущее
уравнеше, чтобы получить уравнеше искомой поверхности:
которое, по уничтожеши знаменателей, приметъ видъ
(д.2 +у2 + S2) (Д2д.2 + b2y2 + C2Z°-) - (б2 + С2) а2 X2 - {С2 4 Я2) 62У
_ (Я2 + 62) С2^2 + я2 б2 С2 = 0.
Это такъ называемая поверхность волны. Изучение нъкоторыхъ ея
свойствъ привело Гамильтона къ предвидъшю такъ называемой кониче-
конической рефракц1и, подтвержденной впослрЬдств1и на опытъ. Такими теоре-
теоретическими открыпями явлешй природы 2), которыя ц-Ьлыя столъ™ не подда-
поддавались наблюден1ю, лучше всего доказывается огромное значеше Математики.
е) Вычислеше кратчайшаго разстоян1я между двумя прямыми
приводитъ кь бол'Ъе общей задача — найти наименьшее значеше функщи
г- = (#i ~У\? + 0*2 —УгJ + ••• +(*„ -Уп>2
если изв-Ьстно, что 2и перем-Ьнныхъ удовлетворяютъ 2и — 2 уравнешямъ
Л?1 — йЕ-1 Xi) (In ^n — &п У\ 1 J^2 2
такъ что г2 въ действительности есть функщя отъ двухъ только независи-
мыхъ перемънныхъ. Принявъ за эти независимыя перем^нныл значен1я
и и v написанныхъ выше двухъ рядовъ равныхъ отношен1й, замъчаемъ,
что выражан1е г2 послъ подстановки въ него
х{ = а{и + а(, yi = ,3{v + b{ (г = 1, 2, 3 п)
переходитъ въ
B0) г- = ям2 -f bv2 -f с + 2/f + 2gu 4- 2huv,
1) См., напр., Poincare, Theorie mathematique de la lumiere (p. 296).
2) Apyrie интересные прим-Ьры изъ Физики и Астрономш приведены
въ сообщенш Q. Cesaro Бельпйской Академш (Bulletins, 1891, р. 503).
392 III, 4. функщи отъ н-ьсколькихъ перемънныхъ.
где положено
§ 384
- 54 ъ=
1
a h
й 6
1 1
Обратимъ внимаше на то, что определители
a h g
h b f
представляютъ собою квадраты матриссъ (§ 30)
щ «2 ... а,
А #2 • • ¦ К , а1 «2
Чтобы г2 былъ minimum или maximum, необходимы услов1я
B1 au + hv + g = 0, hu+bv+/=0.
Когда они выполнены, то выражеше B0) въ силу теоремы Эйлера при-
приведется къ
B2)
г2 = gu -\-fv + с.
Гесаанъ отъ г2 равенъ ab — h-, а такъ какъ а и ab — № равны суммамъ
квадратовъ, то можно утверждать (§ 379), что действительно получается
minimum. Вм-ЬстЬ съ гЬмъ, исключая и и v изъ ypaBHeHifl B1) и 22),
получимъ
а й g
h b f
g f c-r"-
= 0, т. e.
a
h
g
h
b
f
g
f
с
=
a
h
h
b
Искомый minimum будетъ, следовательно,
a1-b1 a2- b2
«i «2 • • • «„
A ^2 ¦ • • ,4
f) Вычислен1я другихъ кратчайшихъ разстояшй, какъ то разстоян4я
отъ точки до плоскости или отъ точки до прямой на плоскости и въ про-
пространстве, приводятъ къ задаче найти наименьшее значен1е суммы
§ 384
РАЗЛОЖЕНШ ВЪ РЯДЫ. MAXIMA И MINIMA.
393
квадратовъ п перемЪнныхъ, удовлетворяющихъ т <п линейнымъ
уравнешямъ.
Пусть данныя уравнешя будутъ
B3
а21 Х1 ~Ь а22 Л*2 "Ь а2
+ Я1» *« =
и положимъ, что ни одно изъ нихъ не есть слЪдств1е другихъ. Для этого
требуется (§ 54, а), чтобы не все crapuiie определители матриссы
Я11 Я12 Я13 ••• а1п
Я21 «22 Я23 ¦•' Я2и
ат\ ат2 атЪ '" ат%
были равны нулю, и следовательно (§ 30), чтобы квадратъ этой матриссы
г^ 1 С22 CW, '" С2т
не былъ нулемъ. Чтобы найти maxima и minima функцш
г2 = х\ + д| + • • • + лг^ надо написать уравнешя
"Ь
B4)
Умножая эти уравнешя соответственно на xlt x2,---,xn и складывая,
получимъ
B5)
Я2
и все дЪло сводится къ опредЪлешю коэффишентовъ ?л, %%,...,Хт. Умно-
Умножая уравнешя B4) на afl, ai2, ..., aln, получимъ
ki = К си + h ci2 + ¦ ¦ ¦ + К cim-
Следовательно, коэффициенты Xt определяются системою
h = К
394
III, 4. ФУНКЦ1И ОТЪ НЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМЪННЫХЪ.
§ 384
им-Ьющею единственное р-Ьше'ше. Впрочемъ, н-Ьтъ надобности решать эту
систему; достаточно выразить услов1е ея совм-Ьстности съ уравнешемъ B5),
чтобы тотчасъ получить
0 =
У2
К
k2
*1
C-t 1
?2
^12
¦ ¦ ¦ *„
• • • clm
¦ ¦ ¦ Чт
откуда и получается искомое наименьшее значеше
С
0 ky
k9 ¦ ¦ • К
с\т
g) Въ приложешяхъ часто случается, что для опредЪлешя н-Ькото-
рыхъ неизвестныхъ величинъ х\, х.,, ¦ ¦ ¦, хп устанавливаютъ линейныя урав-
нен1я, въ которыхъ коэффишенты и известные члены даются непосред-
непосредственными наблюдешями. Достаточно было бы имЪть п уравненШ для
опред-Ьлен!я п неизв-Ьстныхъ, но, всл-Ьдств1е неизб-Ьжныхъ неточностей из-
м^ренШ, изъ этихъ уравнешй получались бы неточныя значен1я неиз-
втэстныхъ. Произведя мног1я новыя изм-Ърешя приходятъ къ систем^ t23)
изъ т уравнен1й, гд'Ь т значительно больше и и возникаетъ вопросъ:
какимъ образомъ всего выгоднъ-е распорядиться этими урав-
нен1ями, чтобы изъ нихъ съ наибольшею вероятностью полу-
получить точныя значек1я HeH3BtcTHbixb? На этотъ вопросъ отв%-
чаетъ Teopifl вероятностей, одна изъ интересн'Ьйшихъ частей Мате-
Математики. Она учитъ, что при невозможности обратить въ нуль всЬ по-
погрешности, т. е. найти таюя величины неизв'Ъстныхъ, при которыхъ
разности между левыми и правыми частями всЬхъ туп уравненШ были
равны нулю, надо определить неизвестныя такъ, чтобы сумма квадра-
товъ этихъ погрешностей была minimum. Это требоваше приводитъ
для определешя неизвестныхъ къ известнымъ процессамъ вычисленШ, ко-
которые составляютъ то, что называется Методою наименьшихъ ква-
дратовъ. Въ главныхъ чертахъ все сводится къ тому, чтобы сделать мини-
мумомъ функщю
Следовательно, взявъ последовательно производныя по xlf x2,..., хп, дол-
должны иметь
с12
с.а х2
Саг х2
сп1 хп
k2 я21
сп1 хп = Ьх ап
сп,2 хп = kx а12 + k2 а.„
kn anl,
kn an2 ,
К ап
§ 384 РАЗЛ0ЖЕН1Я ВЪ РЯДЫ. MAXIMA И MINIMA. 395
Это та система, которая дастъ для всЪхъ х наиболее пр1емлемыя значешя.
Чтобы лучше уяснить себЪ дЪло, полезно разсмогёть случай одной неиз-
неизвестной, для опредЪлешя которой измЪрешя дали я значенШ аг, а2, ..., ап>
весьма мало отличающихся между собою. ЗдЪсь надо найти minimum
функши
(х - axf + (х- а2? + ¦ • • + (х - апу-;
съ этой цЪлью нужно положить
х — a1Jrx — а2 -\- ¦ ¦ ¦ -\-х — аи = 0, т. е. х — — (а1 -\- а2 -{• ¦•• -f an).
Это и есть то, что обыкновенно д'Ьлаютъ х).
!) См. напримЪръ, Quetelet: „Theorie des probabilites", p. •
А. Марковъ: „Исчислеше вЪроятностей", СПБ. 1908. стр. 215—264
. 47, или
ПримЪчашя къ третьей книгЪ.
I (къ § 253).
Для пояснешя приведемъ слЪдуюшШ прим%ръ. Положимъ
у = х2, каждому значешю х соотвтлттвуетъ определенное положи-
положительное значеше у. Условимся подъ ]Ау понимать положительное
значеше квадратнаго корня; тогда х = Уу~ будетъ функщя отъ
независимой переменной у, въ интервал^ @, оо). Въ нашемъ при-
м%р% /(/) = t2 и g(t) = y~t будутъ взаимно обратныя функщи отъ
независимой переменной / въ томъ же интервале, при чемъ
f[g WJ = (V~fJ = t, g [/(/)] = Y7* = t.
II (къ § 254, a).
Общн%е, алгебраическою функцдею у отъ независимой пе-
переменной х называютъ такую, которая удовлетворяетъ уравнен1ю
вида:
A) Хйуп + Х1У"-Х +¦ Х2уп~ *+...+Хп_1У + Хп = О,
гд% Хо, Хх, Xit ... Хп цЪлые полиномы относительно х, а п ц%лое
Y
положительное число. При п = \, уравнеше A) дастъ у = ~ ,
ращональную функщю отъ х, приводящуюся къ цъуюй ращональ-
ной при Хо, равномъ постоянному числу.
Не мЪшаетъ заметить, что коэффищенты полиномовъ Хо,
Xt, Х2, ... могутъ быть какими угодно числами, рацюнальными
или иррацюнальными.
III (къ § 254, с).
Последнее зам^чаше надо понимать такъ: давая числу / зна-
чен1я t0, /,, /2, ..., мы можемъ безчисленнымъ множествомъ спосо^
ПРИМЪЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИРБ. 397
бовъ комбинировать знаки -+- и — у чиселъ + y~tQ, +|/7,,
+ ]/72, ¦ ¦ ¦, взявъ, напримеръ, все корни съ -\-, или все съ — ,
или знакъ -|- для всехъ рацюнальныхъ значешй |/7" и знакъ —
для всехъ ирращональныхъ значешй \rJ и т. д.
IV (къ § 254, с).
Такъ поступаютъ, напримеръ, при изучеши алгебраическихъ
функщй въ томъ общемъ смысле слова, о которомъ сказано въ при-
мёчаши (И). Функщя у, определяемая уравнешемъ A), и ничемъ
другимъ, имеетъ для каждаго значешя х, вообще говоря, п различ-
ныхъ значешй, подчиненныхъ тоуу закону, что все эти значешя
будутъ корнями даннаго уравне^я A) при данномъ значеши х. По-
добнаго рода функщй называются многозначными; во всей
третьей книге о такихъ функщяхъ нетъ речи; подъ словомъ функ-
щя здесь всегда подразумевается функщя однозначная.
V (къ § 254, d).
Функщй arc sin / и arc cos t определены только въ интервале
(—1, +1), потому что синусъ или косинусъ дуги не можетъ быть
больше единицы по абсолютной величине. Функщя arctg/, напро-
тивъ, определена въ интервале (— оо, -\- сю). При всякомъ / зна-
s-, +-L- , и знакъ
arc tg / и arc sin / одинаковъ со знакомъ t. Вместе съ arc tg / можно
разсматривать и функщю arccotg/, определяя ее, какъ дугу, котан-
генсъ которой равенъ t, лежащую въ интервале I—т~>+~о~1-
Ясно, что
arc cotg t = arc tg — •
Весьма важное замечаше, сделанное въ § 254, d относительно
формулы
A) arc tg и + arc tg v = arc t^ -——— ,
можно разъяснить следующимъ образомъ. Этой формуле соответ-
ствуетъ тригонометрическая формула
1 - tg х tgy
принимающая, при
B) tg х = и, \%у = v
398 ПРИМЪЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГЕ.
форму
Обращая функши B), можемъ взять х = arc\gu, у = arctg у; тогда
хну будутъ лежать въ интервал^ I ~,-f у , а х -\-у можетъ
и не заключаться въ немъ, но наверно заключается въ интервал^
(— jz, -f- it). Формула C), показывающая, что х -\- у есть одна изъ
и 4- v
дугъ, тангенсь которыхъ равенъ -——, даетъ, следовательно,
D) х -f-у = arctg и -\- arctg у = arctg-— -|- kn,
гдт> первый членъ правой части лежитъ между =- и -f- у, а ?
цт>лое число или нуль. Такъ какъ | х -\-у \^=тс, то k можетъ им%ть
только одно изъ трехъ значннШ 0, -f- 1, —-1, а именно: 1) если
х-\-у лежитъ между "к- и -\- —-, то надо положить k= 0; 2) если
х -\-у > у , то ^ = 1, 3) если ^+JV<! — у> то ^ = — 1 • Эти
услов1я легко теперь выразить въ числахъ и и V- Если 1) х-\-у
лежитъ между — -=- и -f- у , то cos (л -\-у) >¦ 0, т. е.
cos д: cos jv — sin x sin jy > 0,
а замечая, что cos лг > 0, cosjy > 0, отсюда находимъ
1 — tg x igу = 1 — uv > 0, uv < 1.
2) При у < x-bjy < ^. cos (л; |j)<0, 1—uv<0, uv^>\,
«>0 и y>0. 3) При — л<_х+у< — у, cos(x+jy)<0,
«г/>1, и < 0, w < 0. Резюмируя, находимъ: при uv<i\, k = 0,
при му > 1, ^ = 1, когда и > 0 и и > 0, и ^= — 1, при и <С 0
и у < 0. Замътимъ еще формулу
E) arctg х + arc t^ - = ± |,
гд% знакъ -)- надо взять при х ^> 0, знакъ — при л; < 0. Эта
формула намъ скоро понадобится (§ 254, е); она выражаетъ из-
известное свойство дугъ, для которыхъ тангенсъ одной равенъ котан-
котангенсу другой, а именно: сумма такихъ дугъ равна +-«-, когда дуги
лежатъ между 0 и -~-, и равна к-, когда он% лежатъ между
0 и -у.
ПРИМЪЧАШЯ КЪ III-ЕЙ КНИГ*.
VI (къ § 254, е).
399
Въ формул%
sgn x = lim -
11 х
= lim
t?+*2
всегда подразумевается положительное значеше квадратнаго корня.
Поэтому
! = х, при х > О
= - х, при х < 0.
Отсюда
sgn*-
= — =1, при х > 0
х
= — 1, при *• < 0,
и, конечно, при х = 0, ' = 0 при всякомъ п, такъ что
У 1 + «а х2
sgn х = 0 при д; = 0.
VII (къ § 254, f).
При вычисленш значешя <Ъ(х) при данномъ х надо предста-
представить х въ вид% десятичнаго числа съ безконечнымъ числомъ десятич-
ныхъ знаковъ, приписывая, если нужно, безконечное число нулей съ
правой стороны. Такъ, напримЪръ, при х = 1, &(х) = 1, потому
что для х = 1,00000... т = п при всякомъ п. То же самое значе-
Hie получимъ для всякаго ц%лаго значешя х и для значешя, равнаго
конечной десятичной дроби. НапримЪръ, при х = 0,13500000...
т = п — 3 при всякомъ п ^ 3, — = 1 и S>(x) = lim — = 1.
Для х = \ = 0,333..., т = 0 и &{х) = 0; для х = ~= 0,0101 ...,
99
я п4-1 ... 1
т = у или —~-, и со{х) = у и т. д.
VIII (къ § 254, g).
Формулы, выведенныя въ этомъ пунктъ, вытекаютъ изъ слЪ-
дующей весьма важной формулы
A)
arc tg
—
справедливой при всякомъ $ и при ]r|^l. CTporift выводъ
этой формулы читатель найдетъ въ упомянутомъ уже мемуар%
400 примъчАнга къ iii-ей книгь.
Абеля о биноишльномъ ряд-fe (V. А. форм. 33), а также у Вебера
и Вельштейна, стр. 496. При х = 1, въ л%вой части находимъ
Понимая подъ arctg/ всегда дугу, лежащую между —-^ и + ~?>
tg^r =-у при —jz< v<C_jz (за исключешемъ
границъ $ = + я.). Отсюда вытекаетъ, следовательно, формула
„ 1> . „
B) ^ = sm #23
Положивъ въ этой формул% $ = л — О, гд% 0 < 6 < 2л (въ силу
неравенства —лг-<^<я.), и замънивъ загЬмъ, для однообраз!я,
букву 6 буквою -!?•, находимъ формулу
л - 1> . sin2d , sin3i> /n „ о .
C) —^— = sin ¦» + ^2~ + —д— + • • • @ < ё < 2я).
Положимъ здт^сь $• = 2ях, 0<^х<^1, и обозначимъ черезъ F(x)
сумму ряда
F(x) = sin 2jm; + ^ sin Алх + i sin бяд: + ¦ • •,
тогда формула C) дастъ
D) —F(x) = \-2x, @ < х < 1).
л
Введемъ теперь въ разсмотрЪше функщю
Q (х) = X - [X] ,
гд% [х] обозначаетъ наибольшее ц%лое число, не превосходящее х.
Ясно, что q(x) = 0 при всякомъ цЪломъ значенш х, и д(х)=х
при 0 < х < 1. Поэтому формулу D) можно написать такъ:
E) —F(x) = \-2q (х), @ < х < 1).
л
Съ другой стороны, F(x) и р(х), очевидно, пер1одическ1я функцш
съ перюдомъ 1, т. е. i^(x+ 1) = F(x) и, вообще, F{x-\^_m) = ^(я),
если т цЪлое положительное число, и д(х + т) = р(х), потому
что при увеличенш или уменьшенш х на 1 [л"] увеличивается или
уменьшается на 1, a q(x) не изменяется. Отсюда сл%дуетъ, что ра-
равенство E) справедливо при вст-хъ значешяхъ х, не равныхъ ut-
лому числу. Замечая еще, что д(х) всегда лежитъ между 0 и 1,
обращаясь въ нуль при х ц%ломъ, мы видимъ, что sgnx = 0 при
х цъломъ, когда и F(x) и q(x) равны нулю, и sgn[p(x)] = 1 при
ПРИМЪЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГЕ. 401
х, неравномъ целому числу. Поэтому формулу E) можно написать
въ вид%
F) |. F (х) = sgn (х - [а-]) - 2 (х - \х])
тс
для всЪхъ значе:"!й х безъ исключешя, какъ и сказано въ § 254, g.
Наконецъ. приведенное тамъ же выражете
вытекаетъ изъ равенства
G) q (х) + д (- .г) = 1
при х, неравномъ ц-Ьлому числу, откуда и получаемъ
1 - 2 () (х) = о (- х) - о (х).
Что касается равенства G), то оно вытекаетъ изъ того, что равенство
х - [.г] = о (х), гдЪ 0 < о (.г) < 1
можно написать такъ:
-х+[х] + 1 = 1-д (х),
или
-х- { -[х] -1} = 1 -о (.г),
гд%
0 < 1 - д (х) < 1,
откуда
[-х]=-\х]-1 и q(-x) = 1-q (х).
IX (къ § 254, h).
Сочинен1е В. Томсона (лорда Кельвина), на которое ссылается
авторь, имеется и въ переводЪ на русск1й языкъ, подъ заглав1емъ:
„Строеше матер1и", популярныя лекши В.Томсона, переводъ Б. Вейн-
берга, подъ редакщей профессора И. Боргмана (СПБ. 1895). Чи-
Читатель съ интересомъ прочтетъ на стр. 179 и сл%д. ту лекщю, изъ
которой авторъ заимствовалъ свою цитату. Но для того, чтобы со-
составить ясное^ поняие о томъ явленш, о которомъ здъть говорится,
и о той роли, которую при изученш этого явлешя играетъ Мате-
Математика, чтешя этой лекцш недостаточно. Для выяснешя физической
стороны явлешя надо быть знакомымъ съ учешемъ о звукЪ (Аку-
(Акустикой), а для уяснежя роли Математики надо познакомиться съ
изображешемъ функцШ, заданныхъ графически, при помощи триго-
нометрическихъ рядовъ. Для изучешя этого вопроса мы можемъ ре-
рекомендовать читателю, знакомому съ началами интегральнаго исчи-
26
402 примъчашя къ ш-ей книгъ.
слешя, «Лекцш о приближенныхъ вычислешяхъ" профессора А. Н.
Крылова. СПБ., 1911. Гл. V.
X (къ § 266).
Въ § 169 было сказано, что если н-Ькоторое свойство им%етъ
мъхто въ сколь угодно маломъ интервал^, нижняя граница котораго
есть а, то говорятъ, что это свойство имЪетъ мъхто справа отъ а, при
чемъ само а всегда исключается. Здъть, наоборотъ, выражеше:
функщя непрерывна справа отъ я, т. е. f{a -\- 0) =/(а), выражаетъ
свойство функцш именно при х = а, и вовсе не влечетъ :sa собой
существовашя какого нибудь интервала съ нижнею границею а, въ
которомъ то же самое свойство им%еть мъхто. Въ этомъ и состоитъ
противоречие съ опредъ\лешемъ § 169, и этимъ и объясняется не-
необходимость явнаго указашя того интервала, если онъ существуетъ,
гдЬ функщя непрерывна.
XI (къ § 272, а).
Говорятъ, что а сравнимо съ b по модулю р, и пишутъ
а = b (mod/>), когда a— b делится нацътю на р; иными словами,
a = b (mod/»), если а = kp -\- Ь, гд% k ц%лое чисто. Если —: срав-
нимо съ числами 0, 1, 2, 3 по модулю 4, то — —4k, 4k-\- I, 4k-\-2,
4k + 3, т. е. — = 2kjz, 2Ы-^^, 2k+JT, 2kn + ^-n и
0, 1, 0, -1.
XII (къ § 272, b).
Положивъ — = /гл + а, гд% k ц%лое число ss 0, а такое
число, для котораго tg« = а, тпМ а произвольно заданное число,
им%емъ
6 х s
гдъ k всегда можно выбрать такъ, чтобы т—-— попало въ интер-
валъ (—/г, + 1г) и оставалось въ немъ при увеличенш абсолютнаго
значен1я ц-влаго числа k.
XIII (къ § 272, d).
1) Полагая f{x) = — , возьмемъ х = -^, гд% N цълое число,
ПРИМЪЧАШЯ КЪ lIl-ЕЙ КНИГЕ. 403
тогда
4) = № = -Лт, a
~4-h) = lim Г Л..,1 = Л' - 1,
TV
потому что при h > 0, -у-згд%
2) Полагая _Д#) = х у-- , при х * 0, и /@) = 1, имъемъ
/(//) =/Л—1 = AJ-J- — ol = 1-—/г^, гд-fe 0<е<1. Отсюда
\im f(h) = 1 =/"@), т. е. f(X) непрерывна при х = 0. Полагая
.г = -у, гд-fe N ц*лое число, находимъ у 1-^-1 = 1, а при /г > 0
г(\ , Л 1+Л7гГ X I \+ЛЪ,лт 1Ч
= 1 у, т. с. не равенъ /"(,.) " функщя разрывна для безчи-
сленнаго множества значешй, какъ угодно близкихъ къ 0.
XIV (къ § 272, f).
Въ § 254, g дано значен1е
.,ч ,., . . . sin 2.v sin 3.v , .
U) У (х) = sin х + — 1 3- .-+..• =4 (л - х)
при 0<д,"-<2л:. Чтобы получить значен1е f(x) при всякомъ х,
положимъ въ лЪвой части равенства х = 2тя-\- ^, гд-fe т ц-Ьлое
положительное или отрицательное число, a g между 0 и 2л. Тогда
по формул-fe A), потому что 0 < ^<^_2л. Заменяя | его выраже-
шемъ | = х — 2тя, получимь
fix) = \ (л — х) + тл = \(л — х) -\-
XV (къ § 276).
Теорема § 276 одна изъ важн-Ьйшихъ въ теорш непрерывныхъ
функщй. Мы считаемъ необходимымъ указать на нЪкоторыя важ-
н%йш1я, вытекаюш.1я изъ нея заключешя, безъ которыхъ мнопе
пункты въ дальнЪйшемъ изложен1и этой Teopin не будутъ вполне
ясны.
1. Прежде всего зам-Ьтимъ, что она отождествляетъ два по-
понята, которыя мы соединяемъ подъ назвамемъ свойства непрерыв-
404 прим-ьчанш къ ш-ей книгь.
ности. Когда мы говоримъ, что независимая переменная х обла-
даетъ свойствомъ непрерывности въ интервал* (а, Ь) или, короче,
что она непрерывна въ этомъ интервал*, то подъ этимъ понимается,
что х принимаетъ вс* значешя, какъ рацюнальныя, такъ и ирра-
цюнальныя, лежашля въ этомъ интервал*. Когда мы говоримъ, что
некоторая функщя отъ х непрерывна въ н*которомъ интервал*, то это
значить (§ 266), что для всякаго значешя х, лежащаго въ интервал*
A) limf(x)=/(.limx).
Теорема § 276 показываетъ, что функщя, непрерывная въ смысл*
опред*лешя A), будетъ непрерывна и въ смысл* вышеупомянутая
выше опред*лешя непрерывности. Теорема § 276 даетъ возмож-
возможность весьма легко установить условие обратимости функцщ, непре-
непрерывной въ данномъ интервал*, и доказать непрерывность обратной
функщи. Замътимъ сперва н*которыя опред*лешя. Функщя f{x) на-
называется возрастающею въ интервале (а, Ь) (см. также § 296),
если каковы бы ни были числа xt и хг въ интервал* (я, Ь) раз-
разности хх—х.г и_/"(#•,)—У(л'2) будутъ имъть одинаковые знаки, и убы-
убывающею, если эти числа им%ютъ разные знаки. Иными словами, для
возрастающей функцш одновременно им%ютъ мъхто неравенства
Л\ < X.,, /(Xj) </(х,,),
т. е. большему значетю х соотв%тствуетъ и большее значеше f(x);
для убывающей функщи, наоборотъ, при .т,<лг2, /(х^) ^>/(л),
т. е. большему значен)ю х соотвтзтствуетъ меньшее значен1е функщи.
Какъ возрастающая, такъ и убывающая въ данномъ интервал^
функщя называются монотонными въ этомъ интервал-fe.
Теорема. Если у = f(x) непрерывная и монотонная
функция отъ х въ интервал* (а, Ь), то существуетъ и
обратная функиля х = g{y), монотонная и непрерывная
въ интервал^ [f(a), f(b)] или [f{b), f(a)]. Для опред-вленности
положимъ, что дд-) возрастающая функшя; тогда при а < Ъ,
f(a) <Cf{b)- Возьмемъ какое нибудь значеше у0 между j(a) и
f{b). По теорем* § 276 въ интервал* (а, Ь) найдется, по край-
крайней Mtpt, одно значеше х = х0, для котораго f(x0) = у0. Всл*д-
cTBie возрастан1я функщи f(x) въ интервалъ (а, Ь) мы можемь
утверждать, что другого значешя ху въ интервал* (а, Ь), для ко-
котораго _/"(#!) =Уо, быть не можетъ. Д*йствительно, при д:,<.г-0>
Д.г1)</(.т0), а при хх > ха, /(х,) >/(д). Сп*довательно, каж-
каждому значешю у = у0 въ интервал* [/(a), f(b)] соотв*тствуетъ
одно и только одно значеше х = х0 въ интервал* (а, Ь), для ко-
тораго f(x0) = у0. Поэтому х есть функц1я отъ у, опред*ленная
во всемъ интервал* [/(a), f{b)\. Кром* того, эта функщ'я, обрат-
обратная данной /(л), будетъ какъ и данная, возрастающею, потому
что при
ПРИМЪЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГЬ. 405
необходимо будетъ и xt<^x2. Легко, далее, показать, что эта
функщя х = g{y) будетъ непрерывною въ интервале [f(a),/(b)].
Действительно, взявъ опять произвольное значеше у = у0 въ этомъ
интервал* и называя черезъ х0 соответствующее ему значеше х,
будемъ изменять дг отъ х0— 8 до ха-\-е, где s произвольно за-
заданное сколь угодно малое положительное число. Функщя у будетъ
тогда изменяться отъ
Уг =/{х0 - е) до у2 =/{хо + «).
при чемъ ух <Суи <У 2, такъ какъ х0 — ? < .%"„ <| х0 -f е. Положимъ
_у„ — _yt = <5,, у%—у0 = б.г и обозначимъ черезъ д наименьшее изъ
этихъ двухъ положительныхъ чиселъ. Каждому значешю у въ ин-
интервале (уц у.г) или (у0 — <5,, у0 -\- C2) соотв*тствуетъ значен1е х,
лежащее въ интервал^ (х0 — е, д;0 + е); но интервалъ (у0 — д,
З'о + й), очевидно, весь заключается въ интервале (у0 — б,, уо-\-д2),
и мы приходимъ къ следующему заключен1ю: всякому произвольно
заданному положительному числу е соответствуем другое число
д ^> 0, такое, что для всвхъ значешй jy, лежащихъ въ интервале
(у0 — д, у0-\-д), соответствующ1я значе.^я х лежатъ въ интервале
(х0 — е, .v0 -\- б), откуда следуетъ, что
lim^(j') = х0 =g(y0),
т. е. g{y) непрерывна при всякомъ значен1и у = у0 въ интервале
[/(а), /(Ь)]- Легко также показать, что ycioeie монотонности функ-
щи f(x) не только достаточно, но и необходимо для ея обрати-
обратимости (см. Tannery, Introduction a la theorie des fonctions, 2-е ed.
p. 247). Действительно, положимъ, что взяты каюя угодно три
числа хх, х2, х3 въ интервале (а, Ь), удовлетворяющая условш
xi<C-r2 "^л'з- Если функшя /\х) обратима, то числа /'(л.-,), /{хг),
/(.г3) необходимо различны между собою; иначе одному и тому же
значенш^ соответствовали бы два различный значения х, вопреки пред-
предположение Покажемъ, что f(x2) всегда будетъ заключаться между
/(x-i) и j(x3). Допустить противоположное значитъ допустить, что
либо /(хд) лежитъ между f{xt) и f(x2), либо f(xx) между f(x2) и
/\х3). Въ первомъ случае разности f(x3)—f(xx) и f(x3) — f(x2)
будутъ разныхъ знаковъ и, по теореме § 275, уравнеше
f(x)—f(x3) = 0 будетъ иметь корень х между д.-, и х2, такъ
что /(хъ) = f(x'), при чемъ х' не равно х3, что невозможно. Та-
кимъ же образомъ доказывается невозможность второго случая.
Следовательно, при хх<^х2<^хг, имеемъ либо /"(#i)<!/(..v.2X/(#3),
либо f(xt) >/(л2) >/(д), т. е. f{x) либо возрастающая, либо
убывающая въ интервале {а, Ь).
406 ПРИМ-ЬЧАНШ КЪ III-ЕЙ КНИРБ.
XVI (къ § 281).
Важно заметить, что, определяя f(x), какъ
lim J-^- ^—/W
предполагается, что дх стремится къ 0 непрерывно, т. е. прини-
маетъ всевозможныя значешя, принадлежапл'я н-Ькоторому интер-
интервалу, заключающему въ ceot нуль, за исключен1емъ значен1я
дх = 0, при которомъ разсматриваемое отношеше теряетъ смыслъ.
XVII (къ § 282, t).
При .v цЪломъ, f(x) = х —¦ [.v] = 0; при h > 0, f[x — h) =
= х — h — (.r — 1) = 1 — h,
,. fix - h) —fix) ,. 1 — h
lim J— -,---- ' = lim j- = — со.
ft=o —« A=o —"
XVIII (къ § 282, h).
Полагая <p{x) = x—ух, им^емъ g:@) = gp(l), а потому
(§ 272, e) функщя <p(x—[x]) = x — [x] —У~х—[х] непрерывна, а
следовательно, и функщя /'(д.-) = [д] -f- Y~x~— [x] непрерывна. При
д: ц/Ьломъ и h >¦ 0 (достаточно маломъ),
/(*) = х, f(x + h) = х + Yh, \imf{X + h]~fi*X) = lim
h=0 h
ix - h) = r _ l + Y\~~h /Су"А)"/И = 1 - У 1 - h
XIX (къ § 292, d).
Въ этомъ npHM%pt и во многихъ другихъ функцдя у задана
неявно, т. е. задано не выражение у черезъ х, а уравнеюе, которому
удовлетворяетъ у при всякомъ х. Во вевхъ подобныхъ случаяхъ
н*тъ надобности сперва ръшать уравнен1е относительно у, и загЬмъ
искать производную у', да это во многихъ случаяхъ было бы даже
не выполнимо. Можно взять производныя отъ каждой части даннаго
уравнешя, не забывая, что у есть функщя х, т. е. применяя пра-
правило § 284, и написать, что эти производныя между собою равны:
ПРИМЪЧАШЯ КЪ Ш-ЕЙ КНИГЕ.
407
получится уравнеше первой степени относительно у', откуда эта
величина и определится. Приравнивать же производныя обеихъ
частей уравнешя А = В можно, потому что А — В = 0 при вся-
комъ х, следовательно, производная отъ А—В равна нулю, иначе
,/1 — .о .
XX (къ § 294, с).
Укажемъ здесь построеше линш, изображающей функцию
У = л" I-J, не ограничиваясь одними положительными значешями х,
какъ это сделано въ книге, а разсматривая какъ значешя х>0,
такъ и 1<^0,
Рис. II.
X' С"
1) д->0. При х> 1, ^j = 0, у = 0, т. е. всемъ значешямъ
а>1 соответствуетъ ось а--въ отъ точки С (х = 1) до оо, при
чемъ точка С исключается, такъ какъ при х= 1, [—1 = 1, у = 1,
т. е. получается точка В (х = 1, у = 1). Построивъ квадрать
О ABC, стороны котораго равны 1, проведемъ д1агональ АС,
уравнеше которой есть х +у =1 или у = 1 — х. Положимъ те-
перь 77+1^*"= Ti' гд* п можетъ иметь значен1я 1, 2, 3, 4, ...
Тогда п -= --<н-|- 1, — = п, у = их; это уравнение выражаетъ
прямую, проходящую черезъ точку 0. На этой прямой искомой
лиши принадлежитъ лишь отрезокъ между точкою х = — v = 1
на стороне АВ и предельною точкою х = —-— v = ——
п + 1 ' J п + 1
линш у + л; = 1, т. е. на д1агонали АС. При и = 1, получаемъ
408 ПРИМЪЧАШЯ КЪ Ш-ЕЙ КНИГ-Ь.
прямую ОВ, у = х, и на ней отрЪзокъ 3D искомой линш (D—
предельная точка, не принадлежащая лиши). Проведя прямую
EDQ± Ох, находимъ ОЕ = \, QE = 1, QE = 2 . ОЕ и, соеди-
нивъ Q съ О, получаемъ прямую OQ, у = 2х, и на ней отрЪ-
зокъ QR искомой лннш. Построивъ RQX J_ Ох и соединивъ Ql съ
О, получимъ прямую OQU у = 3х, и на ней отръзокъ QXRX
искомой линш и т. д. до безконечности, приближаясь безпредЪльно
къ точкЪ А.
2) х <[ 0. Замътимъ сперва, что, по опредЪлешю [z], всегда
имЪемъ [z] = z — Q, гд+з 0 ^ о <[ 1, будетъ ли z ^> 0 или <[ 0. Такъ что,
если z лежитъ между —п и —п—-1, гдЪ п цЪлое положительное
число, то [z] = —п — 1. Замътивъ это, положимъ теперь, что х^к — 1,
тогда --: s? — 1, — = — 1, у — —х. Это уравнеше прямой
ОМХМ<1, д-Ьлящей уголъ у Ох пополамъ. Bet точки этой прямой,
начиная отъ точки Mlt абсцисса которой равна — 1, принадлежать
искомой линш, при чемъ сама точка Мх не исключается.
Пусть теперь —1<^х<С.О, и обозначая опять черезъ ;/ ц-Ь-
лое положительное число, положимъ <^х ^—у-г\ тогда
— п^> — > —п— 1, — = —п— 1, у = — (it -\- \)х, что выра-
жаетъ прямую, проходящую черезъ О въ угл% у Ох'; на ней искомой
линш принадлежитъ отрЪзокъ между предельною точкою х = ,
п-\-1 . , ~ .
у = —'— на линш у -\-х = 1, т. е. на продолженш линш LA, и
точкою х = ——-у, у = 1, на продолженш линш fi^4. При п = \,
получимъ лишю у = — 2дг и на ней отртззокъ Q R' искомой ли-
hjh. Дальнейшее построен1е аналогично указанному для х ^> 0, и
даетъ отрезки Q" R"'.. ., безпредЪльно убываюппе и приближаю-
шдеся къ А сверху и слЪва.
XXI (къ § 294, d).
Повторен1е операщи /, гд-Ь f{x)=xsm — , равносильно по-
последовательному прибавлен1ю множителей sin ^-, sin -.— ,
x sin — x sin -
X ~"" . 1
x sin —
и т. д. Обозначая черезъ /п(х) результатъ п кратнато повторешя
операщи f и присоединяя yc/iOBie fn{0) = 0, мы видимъ, что fx(x)
нельзя графически изобразить въ окрестности точки х = 0, /г(х) въ
окрестности точекъ х = 0и всЪхъ другихъ корней уравнешя ft(x)=0
или sin — = 0, т. е. точекъ х = 4- —, гд% п ц+злое положитель-
х — и.т
прим-ьчанш къ ш-Ей книг-ь. 409
ное число, функщю f%{x) въ окрестности всЪхъ предыдущихъ то-
чекъ и всЪхъ другихъ корней уравнешя _Д(л") = 0, т. е. корней
уравнешя sin = 0, или х sin — = + — , и т. д. Последнее
л; sin —
х
ypaBHeHie подстановкой д- = —, приводится къ виду
A) sin г = ±
и.т
и корни его равны обратнымъ величинамъ корней уравнешя A).
Предлагаемъ читателю определить границы, между которыми ле-
лежать корни уравнения A), при данномъ п, пользуясь теоремою
§ 275, а также и графическимъ построешемъ синусоиды у = sin z
и прямой у = , точки пересЬчешя которыхъ и опред+зляютъ
корни уравнен1я A).
XXII (къ § 294, f)
Чтобы построить лин1ю, изображающую функщю
положимъ х = п -\- |, гдЪ /г = [д], 0 ^ ?<[ 1. Тогда
jV = 2 [l—^V^§]—парабола, положен1е которой зависитъ отъ п.
При измЪненш ? отъ 0 до 1, получимъ параболическШ отрЪзокъ
между точками (д- = п, у = — J и \х = п-\-\, у = п±.Л , ПРИ
чемъ вторая —предельная и искомой лин1и не принадлежитъ. При
п = 0 получается первый отрЪзокъ между точками @, 1) и A, J-)
(см, чертежъ 7-й § 294). Съ увеличешемъ п отрЪзки опускаются
все ниже и ниже. Чтобы доказать свойство касательной, указанное
въ § 294, f, замЪчаемъ, что при достаточно маломъ h^>0 (такъ
что ? -\- h <С_ 1)
/(* + *) = 2-яA-1утга),
У g — У s + /<
2я+1-Л ~ 2"+1(У'
Отсюда видимъ, что угловой коэффишентъ касательной меньше 0,
и tga = . 2 , если а острый уголъ между касательной и О.г.
410 ПРИМ-ЬЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГЪ.
Съ приближешемъ | къ 0, т. е. х къ п справа, tga стремится къ
оо, а къ ^у. Съ приближеыемъ § къ 1, т. е. х къ п -+- 1 слт^ва,
tga стремится къ , 2, числу убывающему безпредЪльно при воз-
растанш п.
ХХШ (къ § 296).
Действительно, положимъ /@) = / и возьмемъ h^>0 и <С у,
тогда при 0<я;г=А<~-, ~>/, т. е. /(д;) > ДО). Съ другой
стороны, взявъ въ интервал-fe (О, h) два числа х и лг" (х'^>х",
т. е. д;'—х" ^> 0), будемъ им+зть
XXIV (къ § 296).
Действительно, полагая
f(x) = х - [х], и 0 < h < 1,
им+земъ
Съ другой стороны, при a<ix'<^x"<^b, имЪемъ х — *•''<[О,
/ — Да-") = д-'— х" + [х"\ — [х'\, и при [х1} — [*-'] > х"— л',
получимъ f{x') ^>f(x") ¦
XXV (къ § 301).
Въ математической литератур^ употребляется иногда и другая
терминолопя. Относительные maxima и minima, по принятой у Че-
заро (и у другихъ итальянскихъ математиковъ) терминолопи, назы-
ваютъ просто наибольшимъ и наименьшимъ изъ значен(й функщи
въ данномъ интервал-b. Въ вопросахъ о наибольшихъ и наимень-
шихъ значешяхъ функщй отъ искомыхъ переменныхъ различаютъ
два случая: 1) когда эти перемЪнныя независимы, 2) когда он-fc свя-
связаны некоторыми условными уравнешями. Въ первомъ случае ma-
maxima и minima функцш (по отношетю къ смежнымъ) называютъ
абсолютными, во второмъ —относительными (relatifs). Последняя тер-
терминолопя принята какъ въ русской, такъ и въ иностранной литера-
турЪ (см., напримЪръ, Mansion, Resume du cours d'analyse infinite-
simale, стр. 188; Stolz, Grundzuge der Diff. u. Integral - Rechnung
1893. B. I. стр. 240. С. Relative Extrema).
ПРИМ-ЬЧАШЯ КЪ ШЕЙ КНИРЬ, 411
XXVI (къ § 304, а).
f(x] = х sin —, f (.r) = sin cos — = 0; полагая х = —,
X XXX Z
находимъ i<gz = z. О рЪшенш этого уравнешя см. Бе'ртранъ „Ал-
„Алгебра" перев. Пирожкова, 2-я часть, стр. 262.
XXVII (къ § 308, d).
Для пояснения сказаннаго въ этомъ пунктв можемъ заметить
следующее:
1) Для вычислешя /'@) нельзя пользоваться выражешемъ
f(x) = л:2 sin — при х s 0, потому что при х = 0 это выражеше
теряетъ смыслъ, и надо пользоваться опредЪлешемъ
/1=0 "
и услов1емъ /@) = 0. Тогда и получимъ
/'@) = lira [/г sin-!] =0.
л=о L "J
2) Применяя формулу Лагранжа
гдЪ | лежитъ между 0 и х, къ данной функцж, получаемъ
х sin —) = 2 с sin — — cos —,
\х I Ь S
откуда и вытекаетъ, что съ приближен1емъ х и ? къ нулю cos -у
также стремится къ нулю, а такъ какъ при непрерывномъ при-
ближеши ? къ нулю cos — не можетъ стремиться къ опред+зленному
пред+злу, а постоянно колеблется между — 1 и -(- 1, то необхо-
необходимо заключить, что ? разрывная функшя отъ х, стремящаяся
къ нулю вм+эст+э съ х-
3) Положимъ, что ? стремится къ нулю, принимая последо-
последовательно значешя
(,) (^|_, ^_^_. B~|^, ....
гд+з и ц+злое число, лежащее при достаточно большомъ \п' въ
сколь угодно маломъ интервал+з (—/г, -(- /г). Для вс+зхъ этихъ зна-
чен1й ^ получимъ
cos — = 0.
с
412 прим-ьчанш къ ш-ей книгъ.
Поэтому limcos—- = 0, если ? принимаетъ значешя A) и безко-
с=0 S
нечно близюя къ нимъ. Съ другой стороны, если обозначимъ че-
резъ а любое число, для котораго cos а не равно нулю, т. е. не
имеющее вида —^—л: при k итломъ, и положимъ, что § прини-
принимаетъ последовательно значешя
B) 111
пл + и (п 4 1)л + « (и 4 2).т 4 а
(где « целое число), лежания въ томъ же интервале (— /г, 4- h), T0
для такихъ значенШ | получимъ
cos ^г = cos (иг л 4 «) = ± cos а = ± я,
где +д обозначаетъ любое число въ интервале (—1, 4-1). не
равное нулю. Отсюда заключаемъ, что limcos— не равенъ нулю,
когда ^ принимаетъ значен!я B) или безконечно близк1я къ нимъ.
Последовательность A) есть частный случай последовательности
B) при а = " 7" я, где k целое число. Итакъ, при услов1и
limcos-^ = 0, переменное число с можетъ принимать значен1я, рав-
ныя числамъ последовательности A) и безконечно близк1я къ нимъ,
и не можетъ принимать значенШ, равныхъ и безконечно близкихъ
числамъ безконечнаго множества последовательностей B),
соответствующихъ безконечному множеству значен^ а, не рав-
ныхъ —^—jr. Вероятно, это обстоятельство и имелъ въ виду ав-
торъ, высказывая, что значешя, которыхъ не можетъ принимать |,
безконечно многочисленнее техъ, которыя это число можетъ
принимать.
XXVIII (къ § 308, d).
Для fix) = х sin log х и /@) = 0 формула Лагранжа даетъ
sin log x = sin log с 4 cos log с = 2 sin -- sin I ^- 4 loj
= V2sin(^- + logsj
откуда
Для значен1й ^, лежащихъ внутри интервала {q2k 1, q2k), где
прим-ьчанш къ ш-ей книгь. 413
л
q = е 2, и k целое положительное число, log|-(-x будетъ за-
'-4~ — foi и for, a , log § + —
ключаться между-^— kn и -^ for, a | log | + -j-1 между for ^
и for —^, т. е. будетъ заключатьс!1 въ интервал^
SL ^L] {^ 7J±\ (%IL 1 i
4 ' 4 / ' ^ 4"' 4 J ' 1 ' 4
Во Bcfcxb этихъ интервалахъ
вопреки доказанному.
XXIX (къ § 314, е).
Когда говорятъ, что полиномъ нечетной степени
/(*) = л-21!+1 + А дг" + pi х1"-1 + ¦¦¦ + р2н+1
при х = — оо им+^етъ знакъ ¦—, а при х = -\~ оо знакъ -j-, то
подъ этимъ понимаютъ следующее: числу х всегда можно дать до-
достаточно большое по абсолютной величинЪ значеше, чтобы знакъ
f(x) совпалъ со знакомь его перваго члена д-2'^1. Это сделается
очевиднымъ, если представимъ f(x) въ
+
%?}
и зам+^тимъ, что при достаточно большомъ значенш \х\ сумма въ
скобкахъ какъ угодно близка къ 1. Въ нашемъ примЪръ'
?. /(-«=)< 0, /(-Y-т) >Q'f(+Y~f) <0-/(+oc)>0'
откуда и слЪдуетъ сказанное о корняхъ f(x).
XXX (къ § 314, g).
Если А и В данный точки, К точка пересЪчешя луча св^та
съ разделяющею плоскостью, tx время, потребное для прохождешя
пути АК со скоростью nv, t% время, потребное для прохожден1я
пути KB, со скоростью v, то
= nvtu
п cos g? cos y)J i
414 ПРИМ-6ЧАН1Я КЪ Ш-ЕЙ КНИГЪ.
а сумма a tg q> -4- b tg ijf, очевидно, равна разстоянш между проэк-
щями точекъ А и В на разделяющую плоскость, т. е. величин^ по-
постоянной.
XXXI (къ § 314, к).
Считаемъ не лишнимъ несколько подробнее развить важные
выводы этого пункта. Чтобы вывести формулу (В), зам^чаемъ, что
повторное примкнете основной формулы Г(д) = (о — 1) Г (о — 1)
даетъ, при q = х -4- п,
Т{х + п) = Г (о) = (q - 1) (о - 2) ... (о - к)-Г (а-),
откуда
7^Л_ f-l)T(-O)
(В)
A - о) B - <j) ... [и - q)
Дал-fee, перенося множитель (— 1)" въ лЪвую часть, логариемируя
и взявъ затЪмъ производныя, находимъ
Г(х) Г (о) + 1 - о + 2 - о ' "+»-о'
Для опред^лен1я максимума или минимума Г(х) надо приравнять
Г'(х) нулю, откуда и получаемъ уравнеьпе
Если д„ корень этого уравнеьпя, то
Г'@„) 11 . ^1 .,,1, , 1 w
потому что 0 < р„ < 1.
Изъ формулы Г(х -4- 1) = л--Г(.г) сл-Ьдуетъ,
Г' (.г- + 1) = Г(а-) + х Г i х),
отсюда
lira —_ = — 1,
потому что
Ига Г(х) = ^.
1=0
Наконецъ, последнее неравенство § 314, к получается слЪдующимъ
образомъ:
ПРИМЪЧАН1Я КЪ III-ЕЙ КНИГЪ. 415
Изъ формулы (В) при х = х», Q = Qn, им%емъ
(Л"' A-^,B-^... (я-о„)
(-1)"Г(ои+1) log)/
0„(\- оп) log и B - р„) C - ?)„) •¦¦(«
откуда получаемъ
]\0п + !) log
(и - 1)'
потому что 0 < q,, < 1.
Окончательное заключеше о безчисленномъ множестве корней
уравнешя Г(х) = k при k^O, ясно слЪдуетъ изъ того, что lj во
всякомъ интервал^ (—п, — п -\- 1) Г(г) можетъ принимать
сколь угодно большое значеше и 2) при достаточно большомъ п
и сколь угодно малое, потому что lim ,Г(х„) = 0.
XXXII (къ § 317, а).
Дъйсгвительно, если |.г'<а<1, то достаточно удовлетво-
удовлетворить неравенству а" < е, независимо отъ значешя х, чтобы, х" ! < е.
Первому неравенству удовлетворить легко. Полагая а = -,-377,, гдЪ
¦/>0, должны имЪть A +"/)"> -; н0 A —f—7)" 1> 1 +«7> сл%дова-
.1-t
дельно, достаточно взять ;г>——.
XXXII bis (къ § 324, Ь).
Указываемый авторомъ процессъ разложешя непрерывной функ-
щи вь равномерно сходящ1йся рядъ непрерывныхъ функщй можетъ
оказаться непримънимымъ, если функция f{x) определена только въ
интервал^ (а, Ь) и не имъетъ смысла But его. Въ этомъ случае
для значенШ х, достаточно близкихь къ а [при ап < 0] или къ b
[при а„>0], аргументъ х -\- ап будеть лежать вне этого интер-
интервала, такъ что не для всехъ значешй х въ (а, Ь) все члены ряда
(х + «V + [f(x + а2) -f(x+ai)]+ ¦¦¦ + [Дх + ап) -f(x + а „__,)] + ¦¦¦
имеютъ смыслъ. Напримеръ, функщя f(x) = arc sin x определена
только въ интервале (— 1, -\- 1); полагая а„ =—, получимъ рядъ
arc sin x = arc sin {x + 1) + arc sin ( a- + j) — arc sin (.v -f- 1) +
• • • + arc sin (a- -\ j — arc sin I a- H Л + ¦ • ¦,
416 ПРИМ-6ЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГ-В.
въ которомъ при любомъ п первые п -f- 1 членовъ не имеютъ
смысла въ интервале A , II, за исключешемъ нижней гра-
границы.
Темъ не менее утверждеше автора, что всякая определенная
въ интервале (а, Ь) и непрерывная въ немъ функщя f(x) для
всЬхъ значешй х въ {а, Ь) можетъ быть разложена въ равно-
равномерно сходящШся рядъ непрерывныхъ функщй — вполне правильно.
Пользуясь, въ сущности, идеей автора, можно, напримеръ, дать
такое разложеше:
Для каждаго х въ интервале (<?, Ь) аргументъ х-\ [п = 1, 2, 3,...]
содержится между х и Ь, т. е. въ (а, Ь).
[Это замечаше принлдлежитъ Г. М. Фихтенгольцу.]
XXXIII (къ § 330).
Общая формула остатка въ формулахъ Тэйлора (Taylor) и
Маклорена (Mac-Laurin) дана была Шлемильхомъ (Schlomilch) и не-
независимо отъ него Рошемъ (Roche).
Различныя друпя формы остатка, совершенно иного харак-
характера, полезныя въ приближенныхъ вычислен1яхъ функцШ, даны
Н. Сонинымъ въ статье „Объ остатке формулы Тэлёри" Универс.
Извеепя. Варшава, 1891.
XXXIV (къ § 334).
Положимъ для определенности, что f{x) сохраняетъ знакъ -|- ,
начиная съ х = п. Остатокъ ряда vt -f- v% -\- ¦ ¦ ¦ -f- vn + • • • (§196, с)
численно меньше vn + \ = —\f'{a\) -\--kf(@\)> ГД"Ь ai лежитъ въ
интервале (п, п-\-\), {} t въ интервале (м + -т> л)- По успоыю/'(х)
постоянно убываетъ, следовательно,
/'(«l) >/'0У и Vn+1 < °. НО > - i/' («х) > - |/' (К).
XXXV (къ § 337, d).
Прежде всего заметимъ, что v= [\^n], очевидно, равно числу
полныхъ квадратовъ, не превышаюшихъ п. Далее, если k обозна-
ПРИМ-ЬЧАНШ КЪ III-ЕЙ КНИГЪ. 417
чаетъ любое цЪлое число отъ 1 до п, то, по замеченному въ
§ 337, d,
равно числу д%лителей числа k, не превышающихъ j/Х т. е., какъ мы
раньше видЪли (§ 247, е), равно -~ или -Mr~~ > гд* * въ числи-
числителе появляется всякШ разъ, когда k есть полный квадратъ. По-
Поэтому, если въ разсматриваемой сумм^ дадимъ числу k все значе-
Н1я k = \, 2, 3, ...,п и Bet результаты сложимъ, то получимъ, съ
одной стороны, двойную сумму
I 2 Ш -
а съ другой,
rat v = [\^n], какъ уже сказано, равно числу полныхъ квадра-
товъ, не превышающихъ п. Отсюда и находимъ
2 I 2 ([р\ ' М) - v - в A) + в B) + ... + в (п).
Чтобы преобразовать двойную сумму въ простую, замъ'чаемъ, что
суммировать можно агЬдующимъ образомъ: сперва положить р = \
и взять сумму
зат%мъ положить р = 2 и взять сумму тъхъ же разностей отъ
k = 22 ([У Щ = 2) до А = и,
тогда получимъ
и т. д., наконецъ, взять р = v и вычислить
418 ПРИМЪЧАНШ КЪ Ш-ЕЙ КНИГ-Б.
Следовательно, двойная сумма будетъ равна
XXXVI (къ § 340).
По § 327 рад1усъ сходимости этого ряда равенъ
lim — = 1, потому что lira а„ = 0,
«о + «Н + яи_! + ап
иначе рядъ а0 -4- я, + • ¦ ¦ + а„ + ¦¦ былъ бы расходящимся,
вопреки предположена, что
lim (а0 + «1 + • • • + ап_1) = /.
XXXVII (къ § 342, с).
Метода Чезаро для разыскашя асимптотическихъ выраженШ
степенныхъ рядовъ, основанная на теоремЪ § 339, ему же принад-
принадлежащей, даетъ весьма просто во многихъ случаяхъ первый, без-
конечный, членъ искомаго разложешя, какъ это и показано имъ въ
различныхъ примЪрахъ § 342. Относительно самой основной тео-
теоремы § 339 замътимъ следующее. Если
будутъ ряды съ коэффищентами одного и того же знака, сходя-
цдеся при х < 1 и расходящдеся при х = 1, то по теоремъ § 339
,. fix) ,. ан
lira ^-^4 = lim -^ ,
если пред^лъ въ правой части существуете Но пред^лъ л+^вой
части можетъ существовать и въ томъ случай, когда предътгь пра-
правой не существуетъ, а теорема Чезаро, повидимому, ничего не
даетъ. Это затруднеше однако, какъ показано на приведенныхъ
примЪрахъ, можетъ быть часто обойдено слЪдующимъ пр1емомъ.
Заменяя их) и (р (х) функщями { ' и ^*L t у которыхъ коэф-
1 — X х — ОС
фищенты при хп въ разложен1яхъ по степенямъ х будутъ
ах-\-а.г-\ f- ап и blJrb2-] \-bn (что прямо получится при умно-
жен1и рядовъ A) на рядъ = 1 -\- х -\- х2 + • • • + х"—1 -{-¦¦¦),
получимъ, по той же теоремъ § 339,
прим-вчанш къ ш-ей книг*. 419
lira "^-i— — lim
Ь2+ ¦¦¦ + bn
и предЪлъ въ правой части можетъ существовать, когда lim -^- не
существуетъ. Мы покажемъ зд-Ьсь, какъ можно воспользоваться
этимъ замЪчашемъ для вычислен!я второго (постояннаго) члена въ
асимптотическомъ выраженш функщи
а именно
о которомъ въ § 342 сказано, что его можно получить „безъ осо-
быхъ затрудненШ", продолжая вычислен1е. Вопросъ состоитъ въ
разысканш
Разсмотримъ, BMtcTt съ Чезаро, функцно
связанную съ f(x) соотношешемъ A — х) ср{х) = f(x), вытекаю-
щимъ изъ того, что
, —, г , ( = 1, когда it квадратъ цълаго числа,
I = 0, когда п не квадратъ,
и приводимъ вопросъ, къ разыскашю
lira (A — х)т(х) —
Чтобы воспользоваться теоремою § 339, лерепишемъ это выраже-
Hie такъ:
B)
О-*)
Мы могли бы, конечно, написать это выражеше и въ видъ1
27*
420 прим-ьчашя къ ш-ей книг-ь.
но тогда теорема § 339 ни къ чему не привела бы, потому что
отношеше коэффишентовъ при хп въ числителе и знаменателе ни
къ какому пределу не стремится, между гЬмъ какъ въ формуле
B), напротивъ, пределъ этого отношешя вполне определенъ, какъ
сейчасъ и покажемъ. Въ знаменателе коэффишентъ при х", оче-
очевидно, равенъ п-\-\. Постараемся вычислить коэффищентъ при хп
въ числителе, при чемъ, конечно, можемъ ограничиться членами
порядка не ниже перваго относительно п, т. е. отбрасывать сте-
степени п ниже первой, такъ какъ пределъ отношешя такихъч леновъ
къ п (или и+1) равенъ нулю. Коэффишентъ при хп въ A—х)
равенъ (по формуле бинома Ньютона)
= &±3+..-<„. §337. с),
6 У яп
а следовательно, въ - >?(l-.rf* коэффишентъ при * бу-
детъ равенъ
где не выписанные члены будутъ степени ниже п. Коэффишентъ
при хп въ у^ равенъ ап = #, + аг-\- ¦ ¦ ¦ + а„, где ап = tyn\.
Остается вычислить эту сумму
«»= [ vt] + iv 2] + ivm + ¦¦¦ + [у»].
Полагая n = v2-\-/i, где 0 ^ ц ^ 2v, []fn]=v, замечая, что
а1 = а2 = аЪ ~ 1 > «4 = Я5 = - ' ' =«8 = 2
= • ' ' = «„,_! = V - 1
и что число членовъ, равныхъ k— 1, равно k2—-{k— IJ = 2k — 1,
при k = 2, 3, ..., v, а число членовъ, равныхъ v, равно //. -j- 1 =
= п — v2 -\- 1, находимъ
о„= 1-3 + 2-5+ ••• +0— 1) Bv— \) + v(n — i^ + l)
*=»<— 1 *^1>—1 *=ZV—1
*=1 k=\
ПРИМЪЧАШЯ КЪ Ш-ЕЙ КНИРЬ. 421
Но известно, что
k—v-1
следовательно,
2
А-=1
По сделанному выше замечатю въ этомъ выраженш достаточно
удержать члены степени не ниже п и у2, такъ что можемъ на-
написать
не выписанные члены роли не играютъ. Остается найти
Пользуясь соотношешемъ п = v2-\-/г, 0 ^ /i ^2v, находимъ
lira — = 1,
и окончательно,
откуда по § 339,
Вычислен!е третьяго члена въ асимптотическомъ разложенш
f(x) будетъ еще сложнее, и нужны друпя средства, менее элемен-
тарныя, но быстрее ведущ'ш къ цели. Таьая средства и даетъ фор-
формула Коши, которую Чезаро приводитъ безъ доказательства въ
§ 342 и доказываетъ въ книге VII, § 760. Эта формула съ не-
необыкновенной легкостью даетъ все три члена асимтотическаго вы-
ражешя f(x) и можетъ дать и сколько угодно членовъ въ разло-
женш f(x) по степенямъ У~\—х. Действительно, формулу Коши
(log ^,
1
X7
422 прим-ьчанш къ ш-ей книг-ь.
можно написать такъ
и полагая п = 1 —?, гд-fe | стремится къ 0, когда х стремится къ 1,
разложить log— = —log (I—?) въ рядъ
тогда
Поэтому
или
УИ(х' + х« + х*+-) (i-i-yi^H +¦¦¦).
Зам-Ьтивъ теперь, что съ приближен1емъ х къ 1 не только х стре-
х'
мится къ 0, но и —, гдЪ р любое положительное число, также
стремится къ 0 (какъ сейчасъ будетъ показано), изъ предыдущей
формулы тотчасъ получаемъ
lim {f(x) УI — х) = 7^ У я,
х.
liml
1т/ Я 1 Уп(\-х)
Л Г 1 Л ?/ О
Jlog A ?)}
дальше, то получили бы и дальнЬйпне члены. Чтобы показать, что
а если бы продолжали разложеше J—log A —¦ ?)} по степенямъ
х'
lim = 0, при р > О,
x=l A-xf
положимъ х' = е~ъ', х = е~~а\ тогда соотношен1е log-;-log— = л,2,
дастъ о = — и
ПРИМ-ЬЧАШЯ КЪ III-ЕЙ КНИГЕ. 423
Съ приближемемъ х къ 1, а стремится къ 0 и
lim —"- = lira
A - xf а=о W1' - I)"
Такъ какъ е"' — 1 < а2, то
паконецъ, полагая а- = — и припоминая, что lim 1-^1 = «з, по
лучаемъ lim = 0, что и требовалось доказать.
х=1 A — #)^
XXXVIII (къ § 342, d).
Для пояснешя зам^тимъ сл-Ьдуюиця преобразован1я:
отсюда
Дал-fee,
i-|-Bib—IJ ^~r p-{-4m*—im
p=0
A) p=lm—
P+lm'—i
B)
jo=O p=zim
f(X\
Вычитая B) изъ A) и подставляя въ разложеше , найдемъ
Отсюда и видно, что въ разложенш
/И _ах , ах2 ,
424 прим-ьчашя къ ш-ей книг-ь.
коэффищентъ ап = 1 при п = v2 -f- /г, гдЬ 0^la^2v, и v нечет-
номъ, а а, = 0 при v четномъ.
Число слагаемыхъ въ группЪ членовъ съ коэффищентомъ 1,
въ которой первый членъ имЪетъ указателя Bт — IJ, равно Am2 —
— Bт—1J = 4?«—1. Для вычислешя суммы а„= ах-\-аг-\- ¦ ¦-\-а„,
rat n=v2-\-/i, и 0^ftg2v, разсмотримъ отд-Ьльно случаи
1) v четнаго и 2) v нечетнаго. Въ 1) случаъ
Оп = а1 + а2 + ¦ ¦ ¦ +«A,-Г" + • • ' + «„*_!•
Каждая группа членовъ, въ которой указатель перваго члена ра-
венъ Bт —IJ даетъ Am — 1 единицъ, при чемъ т = 1, 2, 3, ¦¦-,\- По-
Поэтому
Во 2) случаъ
<*„ = «1 +- «2 + ' ' ¦ + av> + ¦ ¦ ¦ + «V_|_,t •
Послъдше jtt -f- 1 членовъ даютъ ,а -(- 1 = п -\- \ — v2 единицъ.
Между предшествующими членами число единицъ равно
Оба случая можно соединить въ одинъ, написавъ
оя = 1^г— (« + 1) + --гг- v{v + 1).
Равенство A —д:Jдо(й;) = f(x) получается прямо изъ того, что
а2лг2 + а3х» + • • •) A + х + х2 + ¦ ¦ •)
прим-ьчанш къ ш-Ей книг-ь. 425
XXXIX (къ § 342, е).
Формула Н. Я. Сонина, о которой здЪсь говорится, дана имъ
въ мемуарЪ „О Бернулл1евыхъ полиномахъ", Универс. Изв., Варшава,
1888, стр. 64, подъ видомъ
отъ котораго переходъ къ виду, данному въ книгё, очевидно, полу-
получается подстановкою
* = e-h\
XL (къ § 342, g).
Не безполезно несколько подробн-fee развить сг.ишкомъ крат-
краткая указашя въ этомъ интересномъ примтфъч
Разсматривается функщя
l0 г*
\-хяЦп) + ••¦.
• OU + y + y +¦¦¦+'-+¦¦¦)
= У Нпхп, такъ что
q>(x) = У^апхп, гц-h ап = 6(«j — Нл,
я=1
*=м 1:=п
Зам-Ьчая равенства
0
1
Нп-\
п
п
= нп
1
я
п
1
п
1
п
п
п
п
1
—
1
—
1
1
1
1
3
3
1
1
2
2
п =нп,
426 прим-ьчанш къ ш-Ей книга,
и складывая ихъ, найдемъ
2J = (» + 1) Нп - п.
*=i
По формулЪ Дирихле (§ 337) имЪемъ
*=п
5/9(?)=wlog« + BC- \)n + Pn, гд*Нт-2 = 0,
а /Ук = logп -\~ С, если отбросимъ члены, исчезаюшде при п = со.
Подставляя эти выражешя въ ап, найдемъ
lira—= С.
Дал te,
1-х'
а2х>- -\ + а„хп -\
и=1
W=QD
a v(*0 = J^nxn = _ ,2 (§
По теорем-fe § 339
lim
откуда и получается асимптотическое равенство
Сх
«*>(*) =
1 -л:
XLI (къ § 356).
Здъсь дДх) = f{x + h) -f{x) и т. д.
Различныя формы остаточнаго члена формулы Эйлера можно
найти въ соч. А. А. Маркова „Исчислеше конечныхъ разностей"
отд. 2-й, глава V. Тамъ же дано изслъдоваше предътювъ, въ ко-
которые можно заключить /?„, и различныя приложешя формулы Эй-
Эйлера. Форма, въ которой эта формула приведена въ соч. А. А.
Маркова, несколько отличается отъ данной здъть, а именно она
тамъ дана въ томъ BHflt, въ которомъ ее обыкновенно пишутъ,
когда хотятъ ею пользоваться для вычислешя суммъ съ помощью
интеграловъ и обратно.
ПРИМ-ЬЧАНШ КЪ III-ЕЙ КНИГ6.
427
XLII (къ § 365).
Формула эта даетъ также отвътъ на вопросъ о сходимости ря-
довъ, въ которые разлагаются различный функщи, разсмотрЪнныя
въ § 253.
Мы покажемъ это для функщи
хех
Полагая въ формулъ Эйлера C0) f(x) = е", имъемъ д/(х) = е" (eh — 1),
dJ(O) = eh ~ 1 и то же самое значеше для б/'@), <5/"@) ... Раз-
д%лимъ Bet члены на eh — 1; положивъ п = 2/> и замЪнивъ букву
h черезъ х, получимъ
xe*
ё° - 1
В,
2р
\-2---2p
(В -
На основан1и § 363, им%емъ
2pl(ex-l)
Заменяя B<zp его асимптотическимъ выражешемъ и 1 • 2 ... 2/> также,
по формулЪ Стирлинга, находимъ
^%p'
и получимъ
. 2 .. . 2/ = 2 у
2р\
откуда и находимъ при \х\<С.2п,
Щ
=0;
разложенш
доказано, и интервалъ сходимости будетъ (—2л, 2л).
428 прим-ёчанш къ ш-ей книг-ь.
XLIII (къ § 366).
Слова „до известной степени" добавлены для того, чтобы
устранить возражеше противъ высказаннаго определешя для случая
переменныхъ, связанныхъ неравенствами. Напримеръ, переменныя
х и уу удовлетворяющая условно х2 -\-у2 ~ 1 независимы и могутъ
принимать все значешя между — 1 и -f- 1; но если зададимъ х = а,
то у уже не можетъ принимать все значешя между — 1 и -\-1, а
должно остаться въ предълахъ — ]/~1 — я2 и -)- ]/ 1 — я2.
XL1V (къ § 375).
Точное опредълеше линейной независимости и зависимости п
функщ'й можетъ быть дано въ слтздующихъ выражешяхъ:
Функщи и, v, w, ... отъ х, опред-Ьленныя въ интepвaлt (а, /3),
называются линейно зависимыми въ этомъ интервалъ, если
существуетъ п постоянныхъ я, Ь, с, ..., не равныхъ сплошь нулю,
такого рода, что для всЪхъ значен^ х въ интервал-Ь (а, C)
HMteTb мъсто равенство G). Въ противномъ oiy4at функщи назы-
называются линейно независимыми въ интepвaлt (а, ^).
Тождественное обращеше бъ нуль опред^ителя Вронскаго
необходимо, для того чтобы функщи были линейно зависимыми,
но отнюдь не достаточно, въ чемъ можно убЪдиться на примЪрЪ
[Kowalewski, „Einiiihrung in die Determinantentheorie", 1909; S. 327.]
Опредълимъ функщи u(x), v(x) въ интepвaлt (—1, 1)
равенствами
u(x) = x2 при -lS^iO, u(x) = 0 при Og^sl;
v(x) = 0 при — 1 <; x s 0, v(x) — x2 при Ogisl.
Функцш и, v непрерывны и имтзютъ производныя во всемъ интер-
вал% (— 1, 1). Определитель Вронскаго этихъ функц1й имЪетъ видъ
х2 2х
0 0
при — 1 sjfs
о о
при 0 s= х а
х°~ 2х
и, следовательно, тождественно равенъ нулю въ интервале (— 1, 1).
Тъмъ не менее, функщи и, v линейно независимы въ интервале
(— 1, 1), ибо положивъ въ равенстве типа G)
аи(х) + bv(x) = 0
х = — 1 и х = \, найдемъ, что а = Ь = 0.
Доказательство автора содержитъ погрешность въ томъ отно-
шенш, что, разсмотревъ случай, когда и = 0 въ интервале (а, $),
примъчашя къ ш-Ей книге. 429
и случай, когда ифО въ этомъ интервал-fe, онъ оставилъ безъ
разсмотръшя случай, когда для однихъ значешй х и = 0, а для
другихъ и ф 0.
Для того, чтобы получить услов1е, достаточное для линейной
зависимости данныхъ п функцШ, можно къ требованш, чтобы
опред^штель Вронскаго обращался тождественно въ нуль, при-
присоединить еще требоваше, чтобы опредЪлитель Вронскаго п — 1
функщй вовсе не обращался въ нуль въ интервалЪ (а, /?) [Kowa-
lewski, loc. cit., S. 328], или же, чтобы функщй разлагались въ сте-
степенные ряды.
КНИГИ ЧЕТВЕРТАЯ
КНИГД ЧЕТВЕРТАЯ,
Комплексныя числа и кватернюны.
комплекспыя числа
Основныя понятчя.
385. Когда задана единица линейной м-Ьры ОА, то ect по-
ложительныя числа могутъ быть изображены точками на прямой, на
которой по произволу назначена начальная точка О. При этомъ
А'
О 1 А
Рис. 13.
каждая точка на прямой опредЪляется принадлежащею ей абсцис-
абсциссою, и обратно, число а, измЪряющее эту абсциссу, изображается
соотвътствующею точкою, которую и называютъ кратко точкою а.
ДалЪе, чтобы ввести изображеше отри-
цательныхъ чиселъ, условились разсма-
тривать новую единицу ОА', равную
первой, но противоположно направлен-
направленную. Такимъ образомъ, всЬ веществен-
ныя числа могутъ быть изображены —
точками оси абсциссъ. Каково же бу-
детъ аналитическое выражеше, способ-
способное изобразить всякую другую точку
на плоскости? Разсмотримъ сперва точки
на оси у-въ, и введемъ, еще новую
единицу ОВ, равную ОА, но напра-
направленную въ положительную сторону по
оси ординатъ. Обозначимъ эту новую единицу черезъ г, такъ что ia
28
Рис, 14.
434 IV, 1. комплексный числа. §§ 385—388
будетъ обозначать длину а, отложенную по оси jy-въ въ положи-
тельномъ направленш, подобно тому какъ — а обозначаетъ длину
а, отложенную по оси х-овъ въ отрицательномъ направлены. Иными
словами: знакъ г такъ же, какъ и знакъ—, служитъ лишь для того,
чтобы обозначить новое направлеше, по которому надо двигаться
изъ точки О, чтобы встретить точку, изображающую разсматриваемое
число. Для простоты, однако, условились употреблять знакъ г и для
изображешя числа г. 1 или точки В.
386. Чтобы распространить правила алгебраическаго вычисле-
шя на вновь введенныя числа, прежде всего необходимо опредЪ-
лить основныя операцш независимымъ отъ природы этихъ чисель
способомъ. Мы установимъ следующее опредЪлеше сложешя: сло-
сложить одно число съ другимъ, или точнее прибавить одно число къ
другому, значитъ найти то число, въ которое обратится первое,
когда второе примемъ за начальную точку. Следовательно, a -j- ib
изобразитъ точку ib, въ томъ предположен^, что начальная точка
передвинута въ точку а. Число a-\-ib, которое называютъ ком-
плекснымъ или мнимымъ, изображаетъ, следовательно, ту точку на
плоскости, координаты которой будутъ а и Ь; обратно, эта точка
изображаетъ число а-\-гЪ, называемое аффиксомъ разсматривае-
мой точки. Ясно, что мы получимъ одну и ту же точку, когда при-
бавимъ ib къ а или а къ ib, такъ что а и ib въ выраженш
а -\- ib можно переставлять. Равенство двухъ комплексныхъ чиселъ
обозначаетъ совпадение техъ точекъ, аффиксами которыхъ служатъ
данныя числа, и распадается необходимо на два равенства: одно
между вещественными частями этихъ чиселъ, другое между частями
со знакомъ г, которыя называютъ также чисто мнимыми частями
числа. Въ частности, чтобы а -\- ib = 0, необходимо и достаточно,
чтобы а = 0, b = 0.
387. Умножеше двухъ чиселъ можно определить, какъ разыска-
Hie того числа, въ которое обратится одно изъ нихъ, когда другое
примемъ за единицу мъры положительныхъ чиселъ. Замътимъ, что
для получешя i нужно повернуть единицу мъры ОА на уголъ -^ въ
сторону, противоположную движешю часовой стрелки. Поэтому г2
или г ¦ г будетъ то число, въ которое обратится г, когда примемъ
ОВ за единицу м-Ьры положительныхъ чиселъ. Следовательно,
чтобы получить г2, надо повернуть ОВ около О на уголъ "-- въ
указанномъ выше направлен1и; тогда получимъ ОА', такъ что г'2 = — 1.
Поэтому комплексное число можно писать въ виде а + b ~\f— 1 ¦
388. Тригонометрическое изображеше. Въ полярныхь
координатахъ а = г cos 9, b = r sin 9, такъ что комплексное число
a -j- ib можно писать въ виде г (cos 9 + г sin 9), где
у Я2 + Р, 9 = arc tg - +
388—390
ОСНОВНЫЯ ПОНЯТ1Я.
435
при произвольномъ цъчтомъ значенш k. Уголъ Q называютъ аргу-
аргумен то мъ даннаго числа, а г (всегда положительное или равное нулю)
модулемъ этого числа и часто обозначаютъ знакомъ \a-\-tb\.
Обратимъ внимаше на то, что комплексное число равно нулю
тогда и только тогда, когда модуль его равенъ нулю.
389. Сложеше и вычиташе. Изъ опредълешя сложешя
прямо слъдуетъ, что сумма двухъ чиселъ с = а -\-гЬ и с = a! -\-ib'
есть аффиксъ лежащей противъ О вершины параллелограмма, по-
строеннаго на Ос и Ос' (рис. 15). Координаты этой точки будутъ,
очевидно, а-\-а' и b-\-b', такъ что
с'-\-с = с-\-с'. Мы имъемъ, сле-
следовательно,
Подобнымъ же образомъ доказыва-
доказывается, что
ее-
Точка с—с' симметрична съ с-\-с'
относительно точки с. Она есть ко-
нецъ прямой, равной и параллельной
с'с и проведенной изъ О- Полезно
замътить, что разстоян1е между Рис- 15.
точками с и с измеряется мо-
модулемъ разности с —с'. Чертежъ показываетъ еще, что модуль
суммы двухъ комплексныхъ чиселъ всегда заключается
между суммою и разностью модулей слагаемыхъ.
390. Умножеше (рис. 16). Если О А есть единица длины,
то число с получится, если повернемъ ось абсциесъ на уголъ Q' и
загЪмъ отложимъ на ней отъ точки О длину, отношеше которой къ
ОА равно г [c'=r'(cos Q'-(-г sin %')].
Если теперь будемъ разематривать
Ос [с = г (cos 0 + «sin 0)], какъ еди-
единицу при изображенш положитель-
ныхъ чиселъ, то, по опредълент
умножешя, для получешя числа с ¦ с'
надо продрать надъ Ос ту же опе-
рацш, которую д-Ьлали съ ОА для
получешя с', т. е. повернуть Ос на
уголъ 0', и отложить затъмъ на ней
отъ точки О длину гг', отношеше
которой къ Ос( = г) равно г'. Тогда
получимъ прямую, составляющую съ
Ох уголъ 0 + 9', и на ней точку ее' въ разстоянш гг отъ О.
Замътимъ, что мы получили бы ту же точку, если бы хогЬли изо-
28*
Рис. 16.
436 IV, 1. комплексный числа. §§ 390—392
бразить число с'с, такъ что с с = се'. Изъ сказаннаго вытекаетъ,
что, каково бы ни было число сомножителей, всегда
a) аргументъ произведешя равенъ сумм^Ь аргументовъ со-
сомножителей,
b) модуль произведен1я равенъ произведенш модулей
сомножителей,
Иными словами,
(a + ib)(a' + ib') = rr' [cos (8 + 8') + i sin (9 + 6')],
или, раскрывая правую часть
(я + ib) (я' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Обратимъ теперь внимаше на то, что полученный результатъ полу-
получается перемножешемъ а -\- ib на а' + ib' по обыкновеннымъ пра-
виламъ Алгебры, принимая во внимаше соотношеше г1 = — 1. За-
мЪтимъ еще частный случай: произведете двухъ такъ называемыхъ
сопряженныхъ комплексныхъ чиселъ a-\-ib и а — ib равно
квадрату общаго ихъ модуля, т. е. а2-\-Ь2.
391. Для того, чтобы произведете нЪсколькихъ ком-
комплексныхъ чиселъ обратилось въ нуль, необходимо и до-
достаточно, чтобы одинъ изъ множителей обратился въ нуль.
Пусть г, г1, г", ... будутъ модули чиселъ с, с,' с",... Если ее с"... = 0,
то и rr'r"...=0. Поэтому одно изъ вещественныхъ чиселъ
г, г1, г", ... должно быть нулемъ, а тогда и одно изъ комплексныхъ
чиселъ с, с', с", ... будетъ нулемъ. Обратно, если, наприм-Ьръ, с = 0,
то одно за другимъ будутъ имЪть MtcTO равенства r = 0, rr'r"... =0,
ее с"... = 0.
392. Д1>лен1е. Изъ сказаннаго въ § 390 тотчасъ слъдуетъ,
что — будетъ модуль, а 9 — 9' аргументъ частнаго отъ дълешя
а -\- ib на а' -\- ib' Поэтому,
или, раскрывая правую часть,
a + ib aa' 4- bb' , .ba' - ab'
а' + ib' a'l + b'Z ^ a''2 + /j'2 '
предполагая, что г' не равно 0. Обратимъ внимаше на то, что къ
тому же результату придемъ, если умножимъ числителя и знамена-
знаменателя въ л-Ьвой части на а—ib'. Резюмируя все вышесказанное, при-
ходимъ къ тому заключешю, что можно производить всЬ алгебра-
ичесюя вычислежя такъ, какъ будто эти числа вещественны, а г —
число, удовлетворяющее уравнешю г'2 = — 1.
§§ 393—394 основныя поняты. 437
393. Возвышеше въ степень. Применяя правило умножешя
къ случаю п множителей, равныхъ cos Q -\- г'sin 0, получимъ
(cos 6 -f г sin bf1 = cos n 6 + i sin n 6.
Это формула Муавра. Ее легко распространить на случай не ц-fe-
лаго и и не положительнаго п. Пусть сперва п = — т, где т
целое и положительное число. Тогда имЪемъ
(cos 9 + »sin 9)" = 1 1
(cos 9 -f г sin 9)т cos mb -\- isin т9
= cos m 9 — г sin »г 9 = cos и 9 + i sin и 9.
Если п = -- , rat p vi q utflbm взаимно простыя числа, то положимъ
(cos 9 + г sin 9)" = cos t + г sin /.
Возвышая обЪ части равенства въ степень q (при чемъ q всегда
можно считать положительнымъ), найдемъ
cos/>8 -j- / sin /> 0 = cos qt -\- г sin qt.
Следовательно,
2k~r
qt = рЪ +2ka, t = n&-\ •
гд^Ь k — ц-Ьлое число или нуль.
Отсюда видимъ, что (cos 0 + г'sin 9)и, кроме значен!я cos«9 + ^'sin «О,
соответствующего значен!ю k = 0, имеетъ еще q — 1 значенШ, соот-
втзтствующихъ значешямъ k=l, 2, 3, ¦••, q—1; при k = q, q-\-l,---
повторяются полученный раньше числа. Далее, легко видеть, что,
каково бы ни было и, всегда r"(coswQ + г sin и Q) есть ;г-ая
степень отъ г (cos 0 + г sin 0)- Наконецъ заметимъ, что при п —
цЬломъ, формула Муавра дастъ выражеше тригонометрическихъ
функц1й дугъ, кратныхъ отъ 0, черезъ cosO и sin 0- Действительно,
разлагая левую часть формулы по строке бинома Ньютона, тот-
часъ найдемъ
cos «9 = cos" 6 - !i^_l) cos"-2 6 • sin2 9 + • ¦ •,
sin »6 = ? cos'-1 9 • sin e - »(»-!)(»-2) cosB_s 6 s.n3 _ _
394. Корни изъ единицы. Корнями п - ой степени изъ
единицы называютъ все числа, которыя по возвышенш въ сте-
степень п даютъ 1. Обозначая такое число черезъ г (cos 9 -|- г sin 0),
мы должны иметь
rn (cos п 9 -|- i sin n 9) = 1,
438 IV, 1. комплексный числа. §§ 394—395
откуда г = 1, cos «9 = 1, sinw9 = 0, такъ что и9 = 2kn (k цълое
или 0). Сл-вдовательно, корни и-ой степени изъ 1 будутъ
In . . 2п 4л . An 6л . . 6я
cos \- г sin — i cos \-1 sin — . cos у г sin — , • • •.
п п п п п п
обозначая первое черезъ со, для другихъ (въ силу формулы Муав-
ра) будемъ имъть выражешя со2, со3, со4, ... Всъхъ корней w-ой
степени изъ 1 будетъ ровно п, а именно
1, и, ы-, ..., to"-
потому что и" = 1, еоя+1 = со, ..., ы~х = ы"—1 Эти числа бу-
будутъ аффиксами вершинъ правильнаго многоугольника, вписаннаго въ
кругъ рад1уса 1, съ центромъ въ точкъ 0. Далъе, очевидно, что
получимъ все корни п - ой степени какого угодно числа
г (cos 9 + г sin 0), умноживъ одинъ изъ нихъ на всЬ п корней изъ 1.
Действительно,
1 1
HI e + 2kn . . . 6 + 2Ал\ ^ f S . . 8
г cos \-1 sin = г cos —\-1 sin -
\ п п I \ п п
Замътимъ, что вершины какого нибудь правильнаго п—угольника
съ центромъ въ О изображаютъ корни и-ой степени одного и
того же числа х) *).
Пределы, ряды и функцш.
395. Опред-Ьлен!я и основныя теоремы Teopin пред^ловъ
(§ 122 и сл-Ьд.) остаются въ силъ для комплексной перемънной
х + гу. Нужно только везд^ BMtcTO абсолютной величины раз-
сматривать модуль числа. Мы будемъ говорить, что последова-
последовательность комплексныхъ чиселъ zx, z.it z3, ... стремится къ пре-
пределу z, если каждому сколь угодно малому положительному чи-
числу е соотвътствуетъ другое число v такъ, что, при п > v, мо-
модуль zn — z будетъ всегда меньше е. Иными словами, точки, им-fe-
юиия аффиксами zly г.г, z?>,..., должны въ конц-Ь концовъ по-
попасть внутрь сколь угодно малаго круга, центръ котораго нахо-
находится въ точкЬ z. Исходя изъ этого опредЪлешя, тотчасъ видимъ,
что теорема Коши (§ 139) остается въ полной силъ- и имъ-етъ
!) О корняхъ изъ единицы и ихъ приложешяхъ къ вопросамъ высшей
Ариеметики см. Н. Weber. Lehrbuch der Algebra. T. I. гл. XII.
*) НЪкоторыя приложешя читатель найдетъ и у Вебера и Вель-
штейна. Т. I. стр. 367, а приложешя къ теорш чиселъ —въ Высшей Алгебр-в
Ю. Сохоцкаго. Т. II.
§§ 395—397 пред-ёлы, ряды и функщи. 439
слЪдуюшдй смыслъ: если каждому положительному сколь угодно
малому числу е соответствуем такое число п, что взаимный раз-
стояшя точекъ съ аффиксами zn^\, Zn+z, зп+з--- всЬ меньше е,
то этого достаточно, чтобы утверждать, что последовательность
zi, z.it s3, ... имеетъ конечный предЪлъ.
396. Для того, чтобы комплексное переменное число
имело предЪлъ, необходимо и достаточно, чтобы веще-
вещественная его часть и коэффицдентъ при i имели пределы.
Действительно, если е задано и \вп — z | < е, при п > v, то абсо-
абсолютный величины хп — х и уп—у a fortiori будутъ меньше е,
и обратно, если эти послЪдшя при п > v будетъ меньше -у,
то a fortiori (§ 389)
\zn-z -^\хп-х\ + \уп - у \ < s,
а следовательно, lim sn = z. Это зам Ьчан1е даетъ возможность
весьма просто удостовериться въ томъ, что теоремы теорш пре-
деловъ остаются въ силе для комплексныхъ переменныхъ. Кроме
того, надо иметь въ виду, что
lim (xn + iyn) = lim xn + i \\myn,
если существуетъ та или другая часть равенства, и что, если
модуль и аргументъ числа zn стремятся къ пределамъ гиб при
безконечномъ п, то зн стремится къ числу z, котораго модуль
равенъ г, а аргументъ равенъ Q.
397. Определешя, относящ1яся къ вещественнымъ рядамъ, приме-
применимы и къ рядамъ комплексныхъ чиселъ. Пусть будетъ un = an-\-ibn
обшдй членъ ряда и Sn = Ап + гВп сумма п первыхъ его членовъ.
Чтобы Sn стремилась къ некоторому пределу, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Ап и Вп стремились къ некоторымъ пределамъ, и если
А к В будутъ пределы А„ и Вп, то S = А -\- iB будетъ сумма
даннаго ряда. Следовательно, чтобы рядъ комплексныхъ чиселъ
былъ сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы рядъ
вещественныхъ частей его членовъ и рядъ коэффиилентовъ
при г были оба сходящееся. Такъ какъ ап и Ъп получаются отъ
умножещя i ип на числа, лежащдя между — 1 и -f- 1, то (§ 189)
оба ряда, о которыхъ идетъ речь, будутъ наверно сходящимися,
если рядъ ¦ м, |-f- и2 + [ иг \ -\- ¦ ¦ сходящШся. Итакъ, данный
рядъ будетъ сходящимся, если рядъ модулей его членовъ
сходящейся. Съ другой стороны, надо заметить, что рядъ комплекс-
комплексныхъ чиселъ можетъ быть сходящимся и тогда, когда рядъ моду-
модулей его членовъ расходяшдйся. Напримеръ, въ ряде, обшдй членъ
1 / 1171 , . . Пл\
котораго и„ = — cos —-- -\- г sin -у I, рядъ модулей представляетъ
440 IV, 1. комплексный числа. §§ 397—399
расходяиийся (§ 183) гармонически рядъ. Между гЪмъ данный рядъ
сходяшдйся, и сумма его равна
Обшдя теоремы теорш рядовъ также распространяются на ряды
комплексныхъ чиселъ, только нужно везде, какъ и въ этомъ §,
терминъ абсолютная величина заменять словомъ модуль. Мы
ограничимся въ последующему въ качестве примеровъ, изложе-
шемъ доказательствъ двухъ теоремъ: теоремы Дирихле (§ 230)
и теоремы Абеля (§ 193).
398. Для того, чтобы рядъ комплексныхъ чиселъ былъ
абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы
рядъ модулей его членовъ былъ сходящимся. Если рядъ
абсолютно сходяшдйся (§ 225), то, обозначая его обшдй членъ
черезъ un = an-\-ibn> найдемъ, что ряды чиселъ ап и Ьп также
абсолютно сходяшдеся, потому что всякое изменеше порядка чле-
членовъ въ ряде чиселъ ип произведетъ такое же изменеше порядка
въ последнихъ двухъ рядахъ. Поэтому будутъ сходящимися ряды
чиселъ | а„\ и \Ьп\, а следовательно, и рядъ, обшдй членъ котораго
есть \ап\+\Ь„\. А поэтому сходящимся будетъ и рядъ модулей \Ь„ ,
потому что I и„ I не больше j я„ | -|- | bn \. Обратно, если рядъ моду-
модулей \ип\ сходяшдйся, то a fortiori будутъ сходящимися ряды чи-
чиселъ а„\ и \Ьп , потому что эти числа не больше j un j, а следо-
следовательно, ряды чиселъ я» и /»,, а потому и чиселъ ип — абсолютно
сходя шдеся.
399. Сходяшлйся рядъ останется сходящимся, если
умножимъ его члены на числа ах, аг, а3,..., обладающая
темъ свойствомъ, что рядъ
«1 + («2 — «i) + (аз — «г) + ¦ • '
будетъ абсолютно сходящейся. Действительно, пусть а обо-
значаетъ сумму ряда (положительныхъ членовъ)
«1 I + I а2 - «1 ! + 1 «3 — «2 I + • ' ' ,
сходящегося въ силу предыдущей теоремы Дирихле. Когда задано
произвольное положительное (сколь угодно малое) число е, то
всегда можно найти такое число v, чтобы при п > v и любомъ
р было
Далее, легко видеть, что (ср. § 192) сумма
аи_|_1 ии+1 + аи+2 Ии+2 + ' ' ' + ап+р Un-\-p
§§ 339-400 пред-ёлы, ряды и функцш. 441
можетъ быть тождественно преобразована въ следующую сумму
(«и+1 - ап+2) ип+1 + (аи+2 - аи+3) («я+1 + «м+2) + • • •
+ «„4-;, («„+1 + И«-Н + • • • + ««+;<) •
Поэтому ея модуль меньше, чЪмъ ^—, умноженное на
«»+2 - «я+1 , + j «n+3 - ав+2 +...+; аи+р - а,^.^ ! + | ап+р {.
Между ткмъ ясно, что
ап+2 ~ «„+1 ; + ' «и+3 - «я+2 [+¦•¦+' ап+р - «я+^-1 ,' < «
и всл%дств1е того, что
а„+Р = «1 + («2 - «i) + («з ^ а-з) + ' •' + (ан+р — аи+;ь_!),
также
I ап+р \ ^ Ol ! + | «2 - «1 , + ' «3 — а2 | + ¦ ¦ • + ! «п+р — ап+р-1 < «-
такъ что будемъ имЪть
, ««+2 - «И+1 + | «Я+3 ~ ап+2 ,+ ¦¦•+[ «и+^ | < 2«.
Следовательно,
¦ «я+2 ип+» + ¦¦¦ + ап+р ип+р < ^о • 2 - = е
при я>г> и любомъ значенш/». Поэтому рядъ а1и1 +а.2и.г-\-а3и3-\—
сходящШся (§ 187).
400. Функщи. Функц1ею комплексной переменной
z = х -\- гу называютъ и обозначаютъ черезъ f(z) всякое аналити-
аналитическое выражеше, способное опред-Ьтить функщю f(x) веществен-
вещественной переменной х и не теряющее смысла при замене переменной
х на з. Такъ, напримеръ, на основанш сказаннаго въ § 393, всякая
степень z съ рацюнальнымъ (целымъ или дробнымъ, положи-
тельнымъ или отрицательнымъ) показателемъ есть функщя отъ z.
Примеры:
2- = х2 —
2ixy, &ъ = дгЗ — Зху2 + г{3х2у -_у3), . • •
На основан1и того же и предыдущихъ §§ определены и все алге-
браическ{я (§ 254, а) функщи комплексной переменной z. Уместно
будетъ здесь же заметить, что тогда какъ ращональныя функщи,
очевидно, однозначны (uniforme), ирращональныя способны при-
принимать несколько значенШ при одномъ и томъ же z (ср. § 254, с).
п
Такъ напримеръ, ]/z имеетъ п значен1й (§ 394), и замечательно
то, что когда точка z, двигаясь непрерывно по плоскости, возвра-
442 IV, 1. комплексный числа. §§ 400-401
тится на прежнее мЪсто, Y~z можетъ принять значеше, не совпа-
совпадающее съ первоначальнымъ. Опишемъ, напримъ'ръ, кругъ съ цент-
ромъ въ точкъ- О, выйдемъ изъ точки z = г (cos Q + i sin Q) съ на-
чальнымъ значешемъ ~\f z = r'-lcos-^ -j- г sin -^-j, и обойдя всю окруж-
окруж2
ность, вернемся О въ прежнюю точку: мы найдемъ въ ней зна-
чеше Y~z равное
1 / 5 + 2 л 9 + 2 л \ 1 / S . . 9
''"COS h'Sin = = — /-MCOStt +2Sln^-
\ z z / \ z z
3
Подобно этому ]/ з имъ-етъ три значешя, которыя переходятъ одно
въ другое, когда z одинъ или нъч'колько разь опишетъ окружность
круга около О, какъ центра.
401. Всякая функщя f(z) им-Ьетъ вообще комплексныя зна-
чен1я и должна представляться въ видь1 и -\- iv, гдЬ и и v веще-
вещественный функщи вешественныхъ перем-Ьнныхъ .г и у. Но функщи
и и v далеко не произвольны, а принадлежать къ особому и важ-
важному классу гармоническихъ функпдй, т. е. такихъ функщи
<р{х, у), для которыхъ тождественно
Въ самомъ д'Ьл'Ь, разсмотримъ /'(с-), какъ функщю отъ независимыхъ
перем"Ьнныхъ х и у, а ~ какъ функщю х -\- iv отъ этихъ же пере-
м'Ьнныхъ, трактуя /, какъ некоторую постоянную. Допуская су-
1лествован1е производной /'(.v) для вещестЕеннаго .г, найдемъ, что
первыя частныя производныя отъ _/(•-) = и ~\~ iv, будутъ
потому что ;' = 1, г' = /. Приписывая теперь числу / опять его
значете, находимъ
"// + ' Z'n "- '(".г + /:'.r) = Ul'x '¦-• ¦
а следовательно,
откуда
Если бы г< и г1 были произвольныя функц1и, то u-\-iv, хотя и была
бы комплексною функщею отъ двухъ независимыхъ перемЪнныхъ,
но не функц1ею отъ одной переменной ,;; поэтому ее нельзя
§§ 401—402 предълы, ряды и функцш. 443
было бы обозначать черезъ f{z) и тЪмъ более нельзя было бы
придать какой либо определенный смыслъ символу f'{z). Если же
услов1я A) выполняются, то легко видеть следующее:
a) Въ выраженш
«(•V, У) + iv(x, у)
переменный х к у входятъ только въ комбинацш z = х -f- гу. Дей-
Действительно, заменяя х черезъ з — iy, разсматривая з, какъ веще-
вещественную переменную, a i — какъ некоторую постоянную, для част-
частной производной, взятой по у отъ полученнаго выражешя
и(з — iy, у) + iv(z -- iy, у)
найдемъ следующее выражеше:
- i(u'x - v'j + «; - i*v'x = A + Г-) и'у,
которое приводится къ нулю, если г% = — 1. Отсюда слЬдуеть, что
разсматриваемое выражеше, когда въ немъ подставимъ z — гу
вм-Ьсто х, приводится къ функц1и одного з, и потому его и можно
обозначить черезъ f(x).
b) f'{s) допускаетъ такое же опредълеше, какое f (лг) имеетъ
при вешественномъ х. Действительно, когда точка з переходитъ
въ з -\- дз, то и и v получатъ, какъ известно (§ 376), приращешя
дн = иг дх + Иуду + •¦¦, ди = v'xfix + v ду + • • ¦,
гд-Ъ мы пренебрегаемъ членами, которые и по разделенш ихъ на
дх или <5v стремятся къ нулю вместе съ дз. Отсюда, принимая
во внимаше A), получимъ
й/= ("г + ivJ Йх + ("у + iv!,) дУ + ¦ ¦ ¦ = К + iv.'c] (E-v + г'Ь') + ¦¦¦,
и следовательно,
Urn J{-/'(„.
Надо обратить внимаше на то, что если услов1я A) не выпол-
выполняются, то левая часть последняго равенства, если и существуетъ, то
зависитъ отъ того, какимъ образомъ дз стремится къ нулю. (I.)
402. Говорятъ (ср. § 261), что функщя f(z) стремится къ
некоторому вещественному или комплексному пределу / съ при-
ближешемъ з къ з,, если всякому сколь угодно малому положи-
положительному числу е соответствуем такое положительное число к, что
въ круге рад1уса h съ центромъ въ з0 всегда f{z) — /: < е. Для
существовашя такого предела необходимо и достаточно (ср. § 264),
чтобы /"(V) — f(z") \ была меньше е для всякой пары значещй
444 IV, 1. комплексный числа. §§ 402—403
z' и z" внутри круга достаточно малаго рад1уса съ центромъ въ zQ.
Ясно, что стремлеше f{z) къ предку I = а -\- Ьг равносильно одно-
одновременному стремленш и къ а и v къ Ъ. Очевидно, что въ этомъ
случае и и v непрерывны, такъ какъ
lim и(х, у) = и{х0, у0), lim v{x, у) = v(x0, y0),
какимъ бы образомъ z = х -4- iy ни стремилось къ предку
zo — хо ~т" 1УоI и обратно, непрерывность и к v влечетъ за собою
и непрерывность f(z).
403. Степенной рядъ
B) со + с13 + с^ + с^+ ...,
если онъ сходящШся, опред^яетъ некоторую функщю f{z). РядЪ|
составленный изъ модулей членовъ даннаго ряда, съ своей стороны,
есть степенной рядъ, расположенный по степенямъ вещественной
перемъ-нной r — \s\, и имЪетъ (§ 326) некоторый интервалъ схо-
сходимости ( — q, q), который въ частномъ случай можетъ быть без-
конечнымъ или сводится къ нулю. При г<^_о, рядъ модулей
будетъ сходящШся, и поэтому рядъ B) будетъ абсолютно сходя-
сходящШся (§ 398). При г > Q, напротивъ, рядъ не будетъ сходящимся,
потому что его общШ членъ, не только не стремится къ нулю, но
даже не остается конечнымъ. Дт>йствительно, если бы модуль | с„ | гп
этого общаго члена могъ оставаться меньше нтжотораго даннаго
числа k, при г>@, то им^и бы, взявъ число г' между q и г,
также
11 < А|-
(т)"
и рядъ модулей былъ бы сходящимся и внЪ интервала (— g, q),
что противоречить опредълен1ю послъдняго (§ 190, Ь). Сл^ова-
тельно, рядъ B) будетъ сходящимся въ круг-fe рад1уса р и съ
центромъ въ начала координатъ и не будетъ сходящимся внъ1
этого круга, который на этомъ основанш и называется кругомъ
сходимости даннаго ряда. Сомнительной всегда является сходи-
сходимость, когда аффиксъ точки принадлежитъ самой окружности круга.
Поняие о равном-Ьрной сходимости (§ 315) и относящаяся къ
нему теоремы (§ 321 и слтздуюшде) также легко распространяются
на ряды функш'й комплексной переменной. Въ частности, доказа-
доказательства равномерной сходимости и правила для разыскашя
производной степенного ряда оть вещественной переменной
(§§ 325, 329) справедливы и для ряда B), и позволяютъ утверждать,
§§ 403—404 пред-ёлы, ряды и функщи. 445
что сумма этого ряда есть непрерывная функшя f{z), имеющая
производную
всегда предполагая, что точки окружности круга сходимости исклю-
исключаются.
404. Если не зависяццй отъ z членъ ряда B) неравенъ нулю,
то около начала координатъ можно описать такой кругъ, внутри
котораго не будетъ ни одного корня функцш f(z). Действительно,
непрерывность функщи f{z) дозволяетъ найти такое положительное
число h, что при г \ < h всегда f{s) — со|< со|. Но, на осно-
ванш последняго зам-Ьчашя § 389, имеемъ
Следовательно, f{z) не обращается въ нуль внутри круга рад1уса h
съ центромъ въ начале координатъ. Установивъ это положеше, до-
кажемъ теперь следующую теорему: Два степенныхъ ряда, им-fe-
ющ1е, равныя суммы при безчисленномъ множестве значе-
н!й переменной, стремящихся къ нулю, тождественны. Въ
самомъ деле, пусть
будетъ рядъ, полученный вычитащемъ одного ряда изъ другого.
Сумма этого ряда обращается въ нуль для безчисленнаго множества
значешй переменной, стремящихся къ нулю, и поэтому обращается
въ нуль внутри сколь угодно малаго круга, съ центромъ въ начале
координатъ. Поэтому, с0—с0' должно быть равно нулю. При со = с0'
рядъ
будетъ обращаться въ нуль для безчисленнаго множества значенШ г,
стремящихся къ нулю, следовательно, с, = с/ и т. д. Поэтому дан-
данные ряды необходимо совпадаютъ. Отсюда следуетъ, что воз-
возможно только одно разложен1е функцш въ степенной рядъ.
И не трудно было бы убедиться (ср. § 329), что это разло-
жеше является именно формулою Маклорена. На вопросе о томъ,
какимъ образомъ можно убедиться a priori въ законности этого раз-
ложешя для данной функщи, мы здесь остановиться не можемъ и
отсылаемъ читателя къ другимъ сочинешямъ 1).
х) Для первоначальнаго изучешя полезно ознакомиться съ „Resume du
Cours d'Analyse" par Mansion. Смотри также его же „Principes d'une theorie
nouvelle des fonctions elementaires d'une variable imaginaire" (Annales de la
Societe scient. de Bruxelles 1885-86).
446 VI, 1. комплексный числа. §§ 405—406
405. По какому бы пути точка z ни приближалась безпре-
дъльно къ точкъ z0 внутри круга сходимости ряда B), функцдя
f{z) сумма этого ряда, вслъдств1е своей непрерывности всегда бу-
детъ стремиться къ пределу f(z0). Но, если точка z0 лежитъ на
окружности круга сходимости, этого уже нельзя утверждать, пред-
предполагая, конечно, что f(z0) существуетъ. Для этого случая Абель
доказалъ, что (ср. § 340) lim f(z) =f(z0), если z приближается
къ z0 по направлен1ю, нормальному къ окружности круга,
т. е. по рад1усу его. Понятно, что z должно приближаться къ
z0 съ внутренней стороны отъ окружности. Это выражаютъ гЬмъ,
что полагаютъ \z' = qo, при q <] 1, такъ что и z должно быть
равно qz0, въ силу сд-Ьланнаго предположена. Нужно показать, что
разность
Д*о) -/(*) = «i*o(l -Я) + с2г0Щ - & + св*0»A -&+¦¦•
стремится къ нулю, когда q стремится къ 1. Полагая ип = cnzon,
а„ = 1 — qn, знаемъ (§ 399), что рядъ aiul -f- <x2u2 -j- a3u3 + • • •
будетъ сходящ1йся, такъ какъ, по услов1ю, рядъ ttl -f- щ -\- и-л -\-
~\ [=_/(^0I сходяш.1йся. Изъ упомянутаго § надо еще взять то,
что всякому сколь угодно малому положительному числу е соот-
вЪтствуетъ такое число v, что, при n^>v, для всъхъ разсматривае-
мыхъ значенШ q
\ ап+1 ип+1 + ап+2 ип+2 + ¦ • • | <; ~ ¦
Разъ число п назначено, всегда можно найти достаточно близкое
къ 1 значеше q, чтобы было
Тогда для ' z\, достаточно близкаго къ q, будемъ им-Ьть f(z0) —
—/(#)!< в, т. е. \imf(z) =f(z0). Изъ этой именно теоремы Абель
и вывелъ свою теорему объ умноженш рядовъ (§ 236).
Важныя трансцендентныя функцш.
406. Показательная функщя. Рядъ
1 + Т + П~2 + F1T~3 + ¦"
сходящШся на всей плоскости, потому что рядъ модулей его
членовъ всегда сходящийся (§ 184). Ничто не мъшаетъ обозна-
обозначить его сумму черезъ е*, такъ какъ этотъ символъ до сихъ
поръ былъ опредЪленъ только для вещественныхъ значенШ z. Если
§§ 406—407 важныя трансцендентный функцш. 447
z = г (cos 0 + 2 sin 9), то данный рядъ разложится слт>дующимъ об-
разомъ на два
..ч i r ,_
— sin 6 + у—?, sin 2 О
Уже ранн-fee (§ 332, Ь), было доказано, что первый рядъ есть разло-
жете функцш ercos(> cos(rsin 9), а второй — функцш егс°м sin(rsinQ).
Отсюда слъ-дуетъ
е" = /cos e (cos (r sin ej + г sin (r sin 9)),
т. е.
ех+'У = ex(C0Sy _|_ / sin у).
Въ частности, при х = 0 получимъ важную формулу Эйлера
eUJ — cos_y + г sin v,
на ocHOBaHin которой предыдущая формула принимаетъ видъ
<?+'У = ех ¦ eiy. Общн-Ье, замтзтимъ, что
ег ¦ / = ех+х' (cos (у +у' + / sin {у +у')) = е~'+г'
Сл-Ьдовательно, функщя е~ обладаетъ изв-Ьстнымъ свойствомъ
е" ¦ /' • с"" ¦ • • = /+г'+»"'Ч ,
и для комплексныхъ показателей. Наконецъ, на основан1и сказан-
наго въ конц-Ь § 403, функщя е* на всей плоскости непрерывна и
имteтъ производную ев.
407 Круговыя (тригонометрическая функц1и). Точно такъ
же мы вправтз, для опред^ен1я круговыхъ функщй отъ комплекс-
комплексной перем-Ьнной, положить
г2 г*
coss= Г_ —+ j .2.3.4 •
г г'л гъ
sin z =
-3^ 1-2-3-4-5
установивъ сходимость написанныхъ рядовъ, сходимость абсолютную
и равномЪрную на всей плоскости, такъ какъ ряды модулей бу-
дутъ сходягшеся при всякомъ г. Составляя функцш cos s + г sin 0
и cos z — / sin z, находимъ
+ l+l2+ ~ ' l+l2 '
448 IV, 1. комплексный числа. § 407
такъ что можно писать
е'г = cos z + г sin z, ё~%° = cos z — i sin z.
Формула Эйлера, следовательно, справедлива и для не веществен-
ныхъ дугъ. Изъ послЪднихъ уравнешй еще получаемъ
cos z = - (в'я + е~'г), sin z = --. (е'е - ё~и).
Съ помощью этихъ соотношешй легко доказываются основныя фор-
формулы. Тригонометрш, который, такимъ образомъ, распространяются
на область комплексныхъ чиселъ. Такъ, напримЪръ, имъемъ
cos z cos z' = 3- (eU:~z'> + <Г^->"> + «;(г+-='> + е~Пг+^),
sin z sin z' = A (ti{-'—'"> + e -'¦<*—"') - «.''(-'+-"¦) _ е-''(г+-'')),
откуда
cos 2 cos г' — sin z sin г' = -Ь (У (г+*'' + <?^'(г+г'') = cos (г -\- z')
и т. д. ЗамЪняя въ формулахъ, опредъляющихъ cos^r и sin z, z на
— г, найдемъ
cos (— z) = cos z, sin (— г) = — sin z,
а предыдущее соотношеше, при z = — з, дастъ
cos2 «¦ -J- sin2 г = 1.
Наконецъ, замЪтимъ, что производная отъ cos,s есть — sin z, а про-
производная отъ sins есть cosz, какъ и для вещественной переменной.
Друпя тригонометричесмя функщи опредътгаютъ такимъ же обра-
образомъ, какъ въ Тригонометрш вещественной перем-внной, полагая
1 2 , sins I eis - e~is
sec z — = — — • te s = =
coss e's + e-'$ cosz г <,«> + „-•--
Чтобы показать, какое значительное упрощеше' приноситъ теор1я
комплексныхъ чиселъ въ нЪкоторыхъ вопросахъ, припомнимъ про-
производящую функщю Эйлеровыхъ чиселъ (§354), и замътимъ, что
sec z = eEls = cos Ez + г sin Es = cos Ez.
Такимъ же образомъ имЪемъ
tg*=i,(/-e),
A t
такъ что коэффищентъ при 2» въ разложен1и этой функцш бу-
детъ (§ 355)
i*-1 (?+1У-(?-1У_«^-1 ,_ i"'1 2P+iBP+i l)B
407-408
важный трансцендентный функцш.
449
Иными словами, какъ дли вещественныхъ, такъ и для комплекс-
ныхъ z, имЪемъ
sec а = 1 + ~ + -^
15
408. Гиперболическ5я функцш. Такъ какъ основный фор-
формулы Тригонометрш позволяютъ выразить тригонометрически функ-
функцш комплекснаго числа z = x-\-iy черезъ функцш вещественнаго
числа х и чисто мнимаго гу, то достаточно найти тригонометриче-
тригонометрическую интерпреташю этихъ послЪднихъ, чтобы получить въ то же
времи интерпреташю всей комплексной Тригонометрш. Разсматривая
формулы
cos !Ж=^
приходимъ къ изучешю функщй
sin гх = ~ (е
sh.v= 2^-
называемыхъ соотв-втственно гиперболическимъ косинусомъ и
гиперболическимъ синусомъ вещественной переменной х. Такъ
же опред'Блиютъ гиперболическ1й тангенсъ, полагай
,, sh х ех — е~~х
th х = -т— = 1
ch /¦ + *
ch x / + е
и т. д. Происхожден1е этихъ назван1й объисняется существован1емъ
очевиднаго соотношенш
которое показываетъ, что sh х и ch х — координаты точки Q на
равносторонней гиперболе (рис. 17), за-
заданной уравнежемъ
- — I - = I,
точно такъ же, какъ cos.*; и sin.*;—коорди-
sin.*;—координаты точки Р на окружности круга рад1-
уса 1 съ центромъ въ начале координатъ.
Если Р' и Q' — точки, симметричныя съ Р
и Q относительно оси абсциссъ,то площадь
кругового сектора ОРР' измеряетси чи-
сломъ х; аналогично этому легко пока-
показать, что площадь гиперболическаго сек-
сектора OQQ' измеряется соответствую-
щимъ числомъ х. Въ самомъ деле, про- рис 17.
ектируемъ точки А и Q въ точки В
и R на асимптоту. Такъ какъ площади ОАВ и OQR эквива-
29
450
IV, 1. КОМПЛЕКСНЫЯ ЧИСЛА.
§§ 408-409
лентны*), то искомая площадь равна удвоенной площади криволиней-
наго четырехугольника ABRQ- ВпослЪдствш мы увидимъ, что эта
последняя площадь измеряется числомъ log -zj^ . Но, очевидно,
ОБ = *
¦ sh x
Следовательно, пл. OQQ' = \gex = х. Наконецъ, рад1усы век-
векторы ОР и OQ отсекаютъ на общей касательной къ кругу и ги-
гиперболе въ точке А отрезки, равные соответственно Vgx и thx.
Лишь въ характере изменешя гиперболичесюя функщи существенно
отличаются отъ круговыхъ. Въ то время какъ х изменяется отъ О
до со, ch л: изменяется отъ 1 до со, sh л: отъ 0 до со , th л: отъ О
до 1. Для отрицательныхъ значенШ х значешя гиперболическихъ
функщи определяются равенствами:
ch (— х) = ch х, sh (—#) = — sh x, th (— х) = — th x.
409. Теперь мы докажемъ, что каждому значенш х соответ-
ствуетъ некоторое число |, лежащее между ^-и-(-у (гипербо-
(гиперболическая амплитуда х), тригонометрическая функцш котораго
воспроизводятъ, лишь въ другомъ порядке,
гиперболичесюя функщи отъ х. Пусть Р
(рис. 18) некоторая точка на окружности
круга, описаннаго рад1усомъ ОА = 1 изъ
точки О, какъ центра. Пусть, далее, Q бу-
детъ точка встречи касательной къ кругу
въ точке Р съ прямой О A, Q" — точка
встречи касательной къ кругу въ точке А
съ ОР. Прямая, перпендикулярная къ Ох
въ точке Q', и прямая, параллельная къ Ох,
проведенная черезъ Q', встречаются въ
некоторой точке Qy которая лежитъ на
кривой, служащей для изображешя гиперболическихъ функщи; въ
самомъ деле, если обозначимъ уголъ РОх черезъ f, то будемъ
иметь
OQ' = OQ" = sec I, QQ' = AQ" = tg |,
откуда OQ'2 — QQ'2 = 1 • Теперь и видно, что предыдущ!я урав-
нешя равносильны следующимъ
ch х = sec |, sh x = tg ?.
Изъ нихъ тотчасъ выводимъ следующая:
th x = sin с, coth x = cosec f, sech x — cos c, cosech x = cot с .
Рис. 18.
*) Потому что изъ уравнеюя гиперболы, отнесенной къ асимптотамъ,
выходить, что ОБ. АБ = OQ. QR.
ch* + sh * = secf + tg| - L±|fl =tg (
§§ 409—410 важный трансцендентный функцш. 451
Итакъ, гиперболичесьпе синусъ и тангенсъ отъ х соответ-
соответственно равны тригонометрическимъ тангенсу и синусу отъ
|, т. е. отъ гиперболической амплитуды х. Подобное же
можно сказать о косеканс-fe и котангенсъ и о косинусъ и
се к а неЪ. Далъе, чтобы видЪть какое соотношеше связываетъ пе-
ремънную х съ ея гиперболическою амплитудою f, замътимъ, что
D + x
. , I t n\
откуда получается х = logtg l-~ -f- -j-L соотношенш, которое можно
написать въ видЪ, подмЪченномъ Лезаномъ
Въ заключен1е, обратимъ внимаше на соотношен1е между кривыми,
служащими для изображешя т'Ьхъ и другихъ (круговыхъ и гипер-
болическихъ) функцШ. Если Р' и Р" будутъ проекщи точки Р на
Ох и на AQ", то прежде всего можно заметить, что касательная
къ гипербол-fe въ точкЪ Q проходитъ черезъ Р', такъ же, какъ ка-
касательная къ кругу въ точкъ Р проходитъ черезъ точку Q'. Дей-
Действительно, какъ известно, угловой коэффищентъ первой касатель-
ОО' 00'
ной равенъ -Q~y = ~/t, . O6t касательныя пepectкaютcя на пря-
прямой АР"(У' и подобно тому, какъ по построешю Q" лежитъ на
ОР, такъ Р" лежитъ на OQ и т. д.
410. Гиперболичесюя функщи можно также определить и
для комплексныхъ значен1й переменной, положивь
ch z — \ (ег -\- е~в), sh z = ^ («я — е~г),
и ихъ соотношешя съ круговыми прямо слтздуютъ изъ опредълешя,
потому что изъ него вытекаетъ
. , sin is
ch s = cos гз, sh з = —:—
I
Изъ этихъ уравнешй видно, что соотношеше
остается справедливыми Далее, легко доказать формулы
ch ( z + s') = ch з ch s' + sh z sh s', sh (s + z') — sh s ch z' + ch s ch s',
th s 4- th z'
J 1 f I *\ ЧД н^1 I 111 ^*
и мнопя друпя аналогичныя формуламъ обыкновенной Тригоно-
метр1и. Такимъ путемъ создается особый родъ вычисленШ, пред-
29*
452 IV, 1. комплексный числа. §§ 410—411
ставляющШ известный выгоды въ н-Ькоторыхъ вопросахъ '). Заме-
тимъ, наконецъ, что всякая круговая или гиперболическая функ-
шя отъ комплексной переменной всегда выражается черезъ кру-
говыя и гиперболическая функцш отъ вещественной переменной.
Наприм-Ьръ,
cose1 = cos xchy — г sinxshy, ch z = cosjy ch x + isin_y sh x,
sin з = sin x chjy -f i cos *• shjy, sh ,s = cosjy sh лг + * sin у ch x.
411. Логаривмическая функщя. Формула Эйлера даетъ воз-
возможность представить всякое число z въ виде ге'К Такъ какъ число
9 можно заменить черезъ Q -\- 2kn, гд-fe ^ ц-Ьлое число *), то можно
также писать
и вм-fecT-fe съ т^мъ, распространяя определен!е натуральнаго ло-
гариема,
log («) = log r + «9 + 2ikn.
Символъ log(s) употребляется для обозначешя общаго логариема
числа z. Если z равно положительному числу г, то последняя фор-
формула даетъ
log if) = log r + 2 ikn
(потому что при z = г, 0 = 0), и показываетъ, что всякое положи-
положительное число, кроме вещественнаго логариема, имъ-етъ еще безко-
нечное множество мнимыхъ. Дал^е, имеемъ log (z) = log (r) -f- i6-
Следовательно, прибавляя /Q къ каждому логариему г, получимъ
все безчисленное множество логариемовъ числа ге1^. Все эти числа
будутъ аффиксами точекъ на прямой, перпендикулярной оси веще-
ственныхъ чиселъ, отстоящихъ одна отъ другой на одно и то же
разстояше 2п. Когда точка движется по окружности круга съ цент-
ромъ въ начале координатъ, то эта прямая передвигается вдоль са-
самой себя, потому что она всегда встречаетъ ось абсциссъ въ одной
и той же точке, изображающей вещественный логариемъ модуля z>
т. е. число log | я | = log г. Общнее, когда z описываетъ какую-ни-
какую-нибудь сомкнутую кривую около начала координатъ **), то прямая ло-
логариемовъ колеблется, передвигаясь вдоль самой себя постоянно
въ одномъ направлен^, между двумя крайними положетями,
такъ что различные логариемы z переходятъ одинъ въ другой,
описывая волнообразную кривую. Если же, наоборотъ, z описываетъ
!) Для большихъ подробностей можно указать: „Die Lehre von den
Hyperbelfunktionen" von Ciinther и его же „Parabolische Logarithmen und
parabolische Trigonometrie".
*) Потому что
e2Sili = cos2?.t; + ism2kn= 1.
**) При чемъ, следовательно, г изменяется въ нЪкоторыхъ границах!»
и снова принимаетъ первоначальное значеше, но не остается постояннымъ,
а 9 постоянно возрастаешь.
§§ 411—412 ВАЖНЫЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЯ ФУНКЦ1И. 453
сомкнутую кривую, внутри которой не лежитъ начало координатъ,
тогда не только прямая логариемовъ, колеблясь и поперечно и про-
продольно, возвращается въ прежнее положеше, но то же самое сд-fe-
лаетъ и каждая ея точка, такъ что различныя опред-Ьлешя log (г)
останутся различными между собою и опишуть каждый кольцевую
кривую, лежащую между крайними положениями прямой (I bis).
412. Значеше zc при c = a-\-ib опредЪляютъ, условившись
писать
sc _ gclog2 _ g(s+«i,(logr+i9+2i»w)_
Модуль о и аргументъ t числа z" имЪютъ, следовательно, значешя
при произвольныхъ целыхъ значешяхъ k и k'. Условимся на ми-
минуту разсматривать безконечное множество чиселъ (равныхъ z),
имеющихъ модуль г и аргументы 0 + 2п, Q + 4л, ..., какъ раз-
различныя числа, хотя и изображаемыя одною и тою же точкою. Если
мы применили бы обыкновенныя правила возвышешя въ степень
с *) къ числу z или къ какому угодно другому изъ чиселъ, изобра-
жаемыхъ тою же точкою, то получили бы
т. е.
2е = га е-ъ^+Ы") . /[SlogН-а(8+2*л)] = Qei(t-Wit) = Qeitt
согласно съ опред-Ьлен1емъ. Итакъ, чтобы возвысить z въ степень
с, надо применить обыкновенныя правила ко всему без-
конечному множеству чиселъ, изображаемыхъ одною и
тою же точкою z. Следовательно, существуетъ безчисленное мно-
множество значешй zc. Они составляютъ геометрическую nporpecciro съ
знаменателемъ е2'яе и изображаются точками, лежащими на лога-
риемической спирали съ полюсомъ въ начале координатъ. Эта
кривая встречаетъ ось jy-въ параллельно къ Ос и потому обра-
обращается въ окружность круга, какъ мы уже видели (§ 394), когда
с вещественное число. Если же с чисто мнимое число, то она об-
обращается въ прямую лишю. Предыдущая замечашя полезно иметь
въ виду при возвышенш въ одну и ту же степень двухъ частей
равенства. Иначе можно было бы, напримеръ, изъ вернаго равен-
равенства е~2>а = с2г-т, возвышая обе части въ степень г, получить не-
нелепый результатъ е2л = е~2л, между темъ какъ мы въ праве
утверждать лишь то, что числа ^злA —*) и е—2лA+*') равны между
собою при прилично выбранныхъ целыхъ числахъ k и k', что на
самомъ деле и будетъ при k — k' = 2. (II).
:) Т. е. возвышеше модуля въ степень с и умножеше аргумента на с.
454 IV, 1. комплексный числа. § 413
Геометричесюя упражнешя.
413. Криволинейный координаты. Если две вещественныя функ-
ш'и и и v отъ двухъ независимыхъ (вещественныхъ) переменныхъ хну
приравняемъ некоторымъ вещественнымъ постояннымъ а и Ь, то уравне-
шя и = a, v = b, представятъ две определенныя лин1и на плоскости. Если
существуетъ лишь одна пара значешй а и Ь, при которыхъ эти линш про-
ходятъ черезъ данную точку М, и другихъ общихъ точекъ, по крайней
мере, въ ограниченной части плоскости, эти линш не имеютъ, то числа а и Ь
могутъ служить для определешя положешя точки М въ этой части плоско-
плоскости, и называются поэтому криволинейными координатами точки М.
Если функцщ и и v получаются черезъ отделеше вещественной части отъ
чисто мнимой въ выраженш некоторой функщи/(«) отъ комплексной пере-
переменной z = х + iy, то все лиши, определяемыя уравнешемъ и = а, при
безчисленномъ множестве значешй постоянной я, встречаютъ всегда подъ
прямымъ угломъ линш, изображаемыя уравнешями v = b. Это обстоятель-
обстоятельство выражаютъ темъ, что получаемыя такимъ образомъ системы криволи-
нейныхъ координатъ называютъ ортогональными *). Чтобы убедиться
въ сказанномъ, заметимъ, что найденныя въ § 404 услов1я A) выражаютъ
именно услов1я перпендикулярности касательныхъ въ общей точке къ кри-
вымъ и = а и v = Ь, такъ какъ произведете угловыхъ коэффищентовъ
этихъ касательныхъ
~7 и ^7 = ? (Ш)-
равно — 1. Обыкновенная система прямолинейныхъ Декартовыхъ коорди-
координатъ доставляется функщею z, или общнее функщею az + Д где а и ,J
как!я угодно вещественныя или комплексныя постоянныя. Если же возьмемъ
функщю z2, то одна система линИ будутъ равносторонн1я гиперболы, для
которыхъ оси Ох и Оу — асимптоты, а другая — те же гиперболы, но по-
вернутыя около общаго центра О на уголъ, равный - . Функщ'я Уз даетъ
параболы съ фокусомъ въ О и осью симметр1и Ох. Функцш
logs, log logz, log
даютъ также интересныя координатныя системы. Первая даетъ обыкновен-
ныя полярныя координаты, для второй — одна изъ системъ координатныхъ
лин^й будетъ система логариемическихъ спиралей съ полюсомъ въ начале
координатъ. Третья даетъ систему такъ называемыхъ диполярныхъ коор-
координатъ, весьма полезныхъ въ Электростатике v). Пусть г, и г2 разстоян1я
отъ точки z до точекъ zt и zo, а (р уголъ, подъ которымъ отрезокъ zxz2
виденъ изъ точки г; тогда имёемъ
Z — Zo
*) Выражен1е: две кривыя пересекаются подъ прямымъ угломъ или
ортогонально, означаетъ, что касательныя къ этимъ кривымъ въ общей
точке взаимно перпендикулярны.
!) См. Betti. Teorica delle forze newtoniane (p. 189). Есть нЪмецкШ
переводъ Fr. Meyer.
§§ 413—414 геометрическш упражнешя. 455
такъ что можно положить и = log-1, v — qi. Лиши одной системы, <р = const,
Г2
будутъ круги, проходящее черезъ точки зх и з2 (полюсы). Линш другой,
опредЪляемыя уравнешемъ ~ = const., будутъ также круги, ортогональные
къ первой систем^ круговъ. Къ числу круговъ этой первой системы (какъ пре-
предельный случай) принадлежитъ и прямая, проходящая черезъ точки зх и #9;
на этой прямой лежать, следовательно, центры круговъ второй системы.
Можно было бы возразить, что два круга, пересЬкаюшдеся въ точке г, пе-
ресЬкутся еще въ другой точкъ\ Но эта другая, хотя и имъ-етъ съ z общую
координату и, но различныя v, потому что полюсы (гх и з2) разд"Бляютъ
первый кругъ на дв"Б части: въ одной v = q>, а въ другой v = л — q> (IV).
414. Функщя
log (У* — г1 + Уз - sjj)
доставляетъ совокупность всбхъ коническихъ сБчен1й, имЪющихъ общ1е
фокусы въ точкахъ s1 и гг. Въ самомъ д"бл"б, вычитая изъ данной функцш
постоянное число log (з2 — #i), мы можемъ загёмъ положить
и следовательно,
откуда получаемъ
У з — zx — У~г2 — zx (ch u cos v -(- i sh и sin гг),
У з — z2 = y~z2 — 3t (sh и cos v -\- i ch и sin v).
Взявъ теперь квадраты модулей (§ 389), найдемъ
rx = r(ch2 и cos2 v + sh2 и sin2 v), r2 = r(sh2 и cos2^ -\- ch2 и sin2г1),
где г обозначаетъ разстоянге между точками zx и z2, а гх и г2 им^готъ гЪ
же значешя, какъ въ предыдущемъ упражненш. Поэтому
гг -\- г2 = г ch 2и, г1 — г2 = г cos2w.
Отсюда слъ\цуетъ, что лнн1и г< = const, будутъ эллипсы съ фокусами въ
гг и з2, а лин)и v — const, гиперболы съ т^Ьми же фокусами. Зам'Ьтимъ
еще, что ге2и и ге~2и будутъ модули чиселъ
(sl + S2> ± 2 |/ (S — Зг) (З — 32)
и потому можно утверждать, что сумма разстоян1й точки з отъ какихъ
угодно двухъ другихъ зх и з2 равна
C)
з2) - У(з - гх)(г -з2)\.
Этотъ результатъ можно, впрочемъ, доказать непосредственно, припоми-
припоминая (§ 389), что модули суммы и разности двухъ чиселъ сие' измеряются
456 IV, 1. комплексный числа. §§ 414—415
д1агоналями параллелограмма, построеннаго на Ос и Ос'. Такъ какъ сумма
квадратовъ Д1агоналей равна суммъ- квадратовъ четырехъ сторонъ, то
имъ-емъ
Положимъ теперь c=~\/~z — zlt с' = ~\fz — z% и замЪтимъ, что всегда
]2 = | с21; тогда тотчасъ увидимъ, что выражеше C) совпадаетъ съ
—зг | + | з — z2 |. т. е. равно суммъ- разстояшй точки г отъ гх и z2.
415.' Интересное приложеше послъ-дняго полученнаго результата мы
найдемъ, разсматривая функщю /{з) — (z — Zj) (e — z2\ (z — гй), обращаю-
обращающуюся въ нуль въ точкахъ з1: z2, zs. ВпослЬдств1и мы увидимъ, что къ
такому виду можно привести любо"й полиномъ 3-ей степени отъ s (съ коэф-
фищентомъ 1 при z3). Производная этой функцш
D) /'(з) = Зг* —2(z± + z2 + g3) z + (z2z3 + s3z1 + 3xz2)
обращается въ нуль въ точкахъ f и f, симметрично расположенныхъ отно-
относительно точки
т. е., такъ называемаго, центра тяжести треугольника z-is2z3, и это уже
составляетъ одно изъ замт>чательныхъ свойствъ даннаго полинома. Въ сере-
динъ- одной изъ сторонъ, напримъ-ръ, въ ^i = | (z2 + z3) функщя
/' (з) = {з- з2) (z - z.A) + {z- s3) (z - zj) + (« - 0i) (s - z2)
принимаетъ значен!е~ -\(z,2 — г3J. а такъ какъ
f'(z) =3(*-?) (*-f).
TO
E) D - t) D - П = - M** - ЧJ-
Составляя теперь по формул^ C) выражен!я для разстояшй точки %х отъ
f и f, видимъ, что эти разстоян!я будутъ модули сл'Ьдующихъ чиселъ
Вводя сюда мнимые корни третьей степени изъ 1 (§ 394)
« = -4 + ^/3, о^-^-^уз,
можно вышенаписанныя числа, измЪнивъ знакъ, представить такъ
Ml + Ъ [(» + «2) («2 + Ч) + (« - «2) («2 - *3) ] •
Полагая еще
F) «! + м2«2 ё
найдемъ, что эти числа будутъ tt и t2. Следовательно, сумма разстоянШ т1
отъ f и f' будетъ равна fi; + "| & I- "Если вмътто % возьмемъ т2 или г3 —
§§ 415 — 416 ГЕОМЕТРИЧЕСКШ УПРАЖНЕН1Я. 457
середины сторонъ з-дг1 и ¦е1г2, то надо будетъ заменить выражен1я F)
соответственно следующими:
Z2 + й>2«3 + мг1 = 3 ГО f!, Я2 + fflSg + <j?zx = Зй>2?2>
«3 + ОJ^ + COZ2 = 3ffl2ti, S3 + (О31 -f- OJZ2 —
Выражете C) приметъ въ этихъ случаяхъ значешя
т. е. опять то же самое значеше | ^ | + | t2 \, такъ какъ модули и и и2
равны 1. Отсюда слъ-дуетъ, что точки хх, г2, т3 принадлежатъ эллипсу,
фокусы котораго въ точкахъ ^ и f2, а центръ, следовательно, въ t0.
Далее (см. § 390), изъ формулы E) следуетъ, если аще обозначаеть
вообще аргументъ числа г, что
Ч ~ С , Ч- ?
аг§ t + аг§ ~Т = п
Это обозначаетъ, что лучи %f и т^ одинаково наклонены къ прямой s2ss.
Эта прямая будетъ, следовательно, касательная къ эллипсу въ точке т±.
Итакъ, если известны корни гг, z2, z% полинома третьей степени, то корни
производной этого полинома будутъ лежать въ фокусахъ эллипса,
касающегося сторонъ треугольника s1s2si въ серединахъ этихъ
сторонъ 1). Заметимъ въ заключеше, что корни производной ? и f весьма
легко выражаются въ числахъ ?0> й и ta- А именно, перемножая равен-
равенства F) и замечая, что 1 + ы + ол2 = 0, получаемъ
«I2 + ^ + z? — s2sa — zbzx — s1s2 = 9 ?i?2-
Съ другой стороны, имеемъ
*i2 + «22 + «з2 + 2«2*з + 2%% + 20! з2 = 9102.
Следовательно, ^^e + ^e^i + ^1^2 = 3(Со2 — &.&)• Вследств1е этого выраже-
Hie D) для производной принимаетъ видъ
/(*)=3((*-fi))8-f1U))
откуда
416. Линейныя подстановки. Полагая s' =/(*), мы определяемъ
некоторое геометрическое преобразован1е, переводящее каждую точку z въ
другую определенную точку z'. Изучая, напримеръ, преобразован1я
(8) г' = г + с. г' = сз, z'=\,
тотчасъ видимъ, что прибавлен1е постоянной с къ аффиксу каждой точки z
равносильно поступательному перемещен1ю фигуры. Величина и напра-
влен!е этого перемещешя определяется отрезкомъ Ос. Умножеше аффикса
1) Эта интересная теорема въ общей форме для полинома любой
степени дана Van der Berg'o.\№ въ Nieuw Archief voor Wiskunde XV, p. 140.
458 IV, 1. комплексный числа. §§ 416—417
на постоянное с производитъ вращенле около точки О на уголъ, равный
аргументу числа с, и расширен1е (или сжапе) изъ точки О, измеряемое
модулемъ с. Наконецъ, преобразоваше, переводящее точки я въ точки —,
равносильно сочетанш обращен1я (замены г на —), или преобразовашя
взаимныхъ рад1усовъ векторовъ по отношенвд къ кругу pafliyca 1 съ цент-
ромъ въ 0, и зеркальнаго изображешя фигуры (замены 6 на — в) въ
ея плоскости на оси вещественныхъ чиселъ. Bet эти преобразовашя част-
частные случаи следующего
yz + д'
которое называется линейною подстановкою. При этомъ, однако, всегда
надо предполагать, что определитель подстановки Л = ад — ?>¦/ не ра-
венъ 0, иначе получалось бы, что г' = const., т. е. всЬмъ точкамъ на пло-
плоскости соответствовала бы одна и та же точка z'. Замечая, далее, что z'
можно написать такъ:
видимъ, что всякая линейная подстановка разлагается на несколько про-
стыхъ, вида (8).
417. Ангармоничесюя отношения (Doppelverhaltnisse). Когда даны
4 числа s, г1, z2, zH, то вообще говоря возможно найти три числа klt k2, fr3,
не равныя нулю одновременно, сумма которыхъ равна нулю и которыя въ
то же время удовлетворяютъ соотношешю
(9) k1(zz1 + s2zs) + k,{gz2 + ^s-j) + ks(zz3 + zxz2) = 0.
Нужно только положить
k2 = {zz?> + zxzo) — (s^ + s2zs) = (z - z.,) («з - sj,
k.A = (zz1 -\- z2z-A) — (sz2 -\- s-^Sj) = (e — z9) (z1 — s2),
Значен1я взаимныхъ отношенШ чиселъ k, одного къ другому, взятыя съ
обратными знаками, называются ангармоническими отношешями четы-
рехъ чиселъ, при чемъ отношент —~ есть ангармоническое отношенш
чиселъ е, zx, s2, z-6, взятыхъ въ написанномъ порядке; его обозначаютъ
черезъ (sz1s2:se), такъ что
/ ч _ (g - г2) (g3 - зх) _ z —52 . Sj^- з.
Если не обращать внимашя на порядокъ чиселъ, то получится шесть зна-
чен1й ангармоническаго отношешя, а именно;
ко _ . кя _ Ьь _ 1 _ tl - k? + k» - _ l
~ к3 ~~ "' ~ kx~ k2 -f ?3 ~ 1 — /.' k., k2 '/.'
ks 1 k^ k2 + k% k2 k2
k2 Я k-A k3 '' ki k<, -f- ?3 /.
§§ 417—418 геометрическш упражненш. 459
Если изъ трехъ коэффишентовъ k два между собою равны, то шесть ангар-
моническихъ отношенШ приводятся къ тремъ — 1, \, 2, и положеше четы-
рехъ точекъ г, г^ га, г3 въ этомъ случай называется гармоническимъ.
Если же коэффициенты k въ равенств^ (9) будутъ равны 1, со, й2 т. е.
тремъ кубическимъ корнямъ изъ 1, то 6 ангармоническихъ отношенШ при-
ведутся къ двумъ, а именно къ мнимымъ кубическимъ корнямъ изъ — 1,
и положеше четырехъ точекъ з, *х, z2, zs называется тогда эквигармо-
ническимъ. Если грд обозначаетъ модуль разности зр — sq,i. e. разстояже
между точками з и zq, то модуль (zz1z23n) равенъ
г03 Г13
а аргументъ равенъ разности или суммъ угловъ, подъ которыми отръзокъ
ZoSB виденъ изъ точекъ z и зх. Отсюда, между прочимъ, слъдуеть, что если
ангармоническое отношен1е четырехъ точекъ число веществен-
вещественное, то эти четыре точки лежать на окружности одного и того же
круга *), и наоборотъ. Ангармоническое отношеше, какъ видимъ,
имъетъ чисто геометрически характеръ, и поэтому не изменяется ни
при какомъ перемЪщешй координатныхъ осей. Если замътимъ, что всякое такое
леремъщеше равносильно подстановки з' = аз + /3, при чемъ | а | = 1 **),
то самъ собою является вопросъ о вл1янш какой угодно линейной подста-
подстановки на ангармоническое отношеше четырехъ точекъ. Выполняя по очереди
элементарныя подстановки (8), па которыя разлагается самая общая, т. е.
преобразуя всякое число гр въ зр-\-с, или сзр, или —, увидимъ, что соот-
ношен1е (9) остается всегда справедливымъ ***). Следовательно, линейныя
подстановки ангармоническаго отношен1я не м^Ьняготъ. Отсюда въ
частности вытекаетъ, что линейная подстановка преобразуетъ круги на пло-
плоскости въ круги же, потому что мы видъли, что четыре точки на окруж-
окружности круга имЪютъ вещественныя ангармоничесшя отношешя, и наоборотъ.
Такъ какъ эти отношешя остаются вещественными и послъ линейнаго
преобразован!я, то четыре точки остаются на окружности круга и послъ
преобразовашя.
418. Остановимся еше на минутух) на разсмотръти линейныхъ под-
становокъ и докажемъ, что розыскаше точки г', соотв-Ьтствующей данной
точке з, вообще говоря, приводится къ опред-Ьлешю четвертой точки, кото-
которая съ тремя данными имъетъ данное ангармоническое отношеше. Сперва
замътимъ, что линейная подстановка оставляетъ въ покоЪ дв-fe точки (такъ
называемыя двойныя точки). Онъ будутъ корнями гх и з2 того уравнен1я,
которое выражетъ требоваше *' = з, т. е.
ул2-(а-д)г-$ = 0.
*) Потому что тогда аргументъ отношен1я равенъ нулю, а следо-
следовательно, упомянутые углы или равны между собою или дополняютъ другъ
друга до 2п.
**) См. облця формулы преобразования ортогональныхъ координатъ:
х = х' cos oj — у' sin ы -\- а
у — х' sin ы -\-у' cos со + Ь.
***) Надо помнить, что k1 + k2 + k3 = 0.
х) Дальн^йцпя cetfliHifl о линейныхъ подстановкахъ читатель мо-
жетъ почерпнуть изъ „Theory of functions of a complex variable" Forsyth
(p. 512.)
460 IV, 1. комплексный числа.
Изъ этого уравнешя выводимъ
= а - <5
J - 4/1, 2yz2 = а-д ~
Принимая еще во внимате, что « — д = у (z1 + г2), ,i =
лучимъ
а — уз-, , а — у
§§ 418-419
(a + df - 4Л.
— yz1z2, легко по-
откуда, предполагая z1 не равнымъ z2, найдемъ
д -
Представляя ce6t, что величина этого ангармоническаго отношешя Я изме-
изменяется, при чемъ двойныя точки гл и z2 и данная точка z остаются непод-
неподвижными, видимЪI что точка zr Передвигается по плоскости такъ, что каж-
каждому значенвд Я соотв-Ьтствуетъ определенное положен1е точки z'. Мы имЪ-
емъ, кроме того,
. z' — z, , . з — z,
bg^~^r= log A +log ~—^'
а потому, на основанш сказаннаго въ конц-fe § 413, мы въ праве утверждать
что если изменяется только модуль Я, то точка г' описываетъ окружность
круга, проходящую черезъ z1 us.,, а когда изменяется только аргументъ Я.
то в' описываетъ ортогональную къ первой окружность круга съ центромъ
на прямой z1z2.
419. Теперь мы можемъ построить те точки z, которыя съ тремя
данными точками расположены гармонически или эквигармонически
(рис. 19). Положимъ сперва, что требуется найти точку z для которой
(zz1z2z2) = — 1. Мы знаемъ уже что
она должна лежать на окружности
круга, описаннаго около треугольника
zlz2z:i (§ 417). Далее, пусть точки
О1, б.г, О3 будутъ точки пересЬчешя
сторонъ треугольника съ касательными
къ описанному кругу въ противопо-
ложныхъ каждой стороне вершинахъ.
Кругъ, описанный изъ точки О1 ра-
д1усомъ O1si, есть известный въ эле-
элементарной Геометрш Аполлон1евъ
кругъ треугольника s1z2zs, соответ-
ствующШ вершине s1. Онъ, очевидно,
пересекаетъ кругъ z1z2s.i ортогональ-
ортогонально, а следовательно, будетъ общимъ
местомъ точекъ z, для которыхъ мо-
модуль {zz^z^-j) число постоянное, рав-
равное модулю этого отношешя въ точке
0Х, т. е. 1. Следовательно, искомая
точка есть другая точка пересечешя z[ Аполлон1ева круга съ кру-
гомъ z-^s^z^ Эта точка называется гармонически сопряженною съ zt от-
относительно z2z3. Подобнымъ же образомъ, друпе два Аполлошевы круга пере-
секаютъ кругъ ziz2z?l, кроме точекъ z., и z3, въ точкахъ z0 и z3, гармо-
Рис. 19.
а1л
нически сопряженныхъ съ
и
относительно
xzs и
2- Такъ какъ, по
§§ 419 — 420 ГЕОМЕТРИЧЕСКШ УПРАЖНЕНШ. 461
извъстной теореме, точки Ох, О2, Os лежатъ на одной прямой, то прямыя
z1si, z.,s2 и z3z3 проходятъ черезъ одну точку. Действительно, эти пря-
прямыя поляры точекъ Ог, О2 и О3 относительно круга zxz2za, и пересекаются
поэтому въ полюсе прямо'й ОгО2Ог, т. е. въ такъ называемой точке Ле-
муана треугольника zxz2z3.
420. Найдемъ, во вторыхъ, точки z, для которыхъ (zzxz2z^ равно
одному изъ чиселъ —и, —и2 (при и3= 1). Точка z = т, для которой
должна находиться на окружности перваго Аполлошева круга треуголь-
треугольника z1s2z3 (какъ всякая другая точка, для которой модуль Я = 1). Но такъ
какъ, по известнымъ свойствамъ кубическихъ корней изъ 1
то та же точка т должна находиться и на двухъ другихъ Аполлошевыхъ
кругахъ. Точно также точка ъ', для которой
будетъ второю точкою пересечешя трехъ Аполлошевыхъ круговъ, которые,
такимъ образомъ, пересекаются въ двухъ только точкахъ, что, впрочемъ,
известно изъ элементарной Геометрш. Эти точки, отличающшся многими
интересными свойствами 1), называются изодинамическими центрами
треугольника z1z2z^. Надо зам-Ьтить, что треугольники z132zs и ZyZ2'zJ
имеютъ общ1е круги Аполлотя, а следовательно, и общ1е изодинамичесые
центры. Кроме того, каждый изъ этихъ центровъ образуетъ съ вершинам»
того и другого треугольника такую группу четырехъ точекъ, въ которой
каждая точка есть изодинамическШ центръ треугольника, образуемаго тремя
другими, Заметимъ въ заключеше, что соотношеше (9), примененное къ на-
настоящему случаю, непосредственно даетъ выражеше для % и г', а именно:
' «j -f- ffl Z2 + И2 Z3
Въ то же время изъ формулы F), припоминая, что z± + z2 -j- zs = 3f0>
легко находимъ
а потому
Ь2
Эти формулы вместе съ G) могутъ давать различные и интересные резуль-
результаты, изъ которыхъ мы приведемъ только одинъ: (С?Чг')=—1. Сл-Ёдовательно,
точки f, f, г, %' лежатъ на окружности круга, на которой первыя две
гармонически отделяют ъ последшя две.
1) Neuberg: „Memoire sur le tetraedre" (Memoires de l'Acad. de Bel-
gique, 1884).
462 IV, 2. кватернюны. § 421
КВДТЕРНЮНЫ.
421. Изложенная выше въ геометрической формь, по Арганду
(Argand), теор1я комплексныхъ чиселъ, хотя и не вполнЪ строга съ
точки зрЪшя чистой Математики, весьма однако приспособлена къ
цълямъ преподавашя, и даетъ въ то же время цЪнныя средства какъ
въ вопросахъ Анализа, такъ и въ изученш геометрическихъ соот-
ношенШ на плоскости. ТЪмъ не мен-fee желательно имЪть возмож-
возможность чисто алгебраическую теорш развить исключительно алгебра-
ическимъ путемъ. Этой ц-Ъли легко можно достигнуть, разсматри-
вая комплексное число а -\- ib, какъ аггрегатъ (сочеташе) двухъ
вещественнныхъ чиселъ а и Ъ разнаго рода. При этомъ естественно
является мысль разсматривать общнъе разнородный комплексъ нЪ-
сколькихъ чиселъ а0, ах, а2,.-., который можно обозначить сим-
воломъ ао-\-гхах -\-г.га% -+- • • •, въ которомъ знаки z\, ц, ... служатъ
только для характеристики различной природы чиселъ а0, ах, а2, ...
ТЪ же знаки служатъ впрочемъ и для краткаго обозначешя еди-
ницъ м-Ъры для каждаго рода величинъ, такъ что вмъсто ir. 1 пи-
шутъ просто гг. Но всегда нужно имъть въ виду, что только въ
эгомъ смыслЪ знаки гг входятъ въ вычислеше, какъ настоящ1я числа.
Равенство двухъ комплексныхъ чиселъ заключаетъ въ себЪ равен-
равенства всЪхъ соотв^тствующихъ составныхъ частей обоихъ чиселъ, по-
потому что различныя единицы предполагаются неприводимыми пу-
путемъ сложешя. На томъ же основанш равенство
яо + г^! + г2а2+ ••¦ = О
заключаетъ въ себъ ect равенства ай = 0, ах = 0, а2 = 0, и т. д.,
и наоборотъ. Для подобнаго рода чиселъ легко построить алге-
алгебраическое вычислеше, руководясь принципомъ, который Ганке ль
(Hankel) назвалъ принципомъ незыблемости правилъ вычисле-
шя. Что касается сложеюя, то, понимаемое въ обыкновенномъ
смысла слова, оно, конечно, производится путемъ сложетя соотвът-
ствующихъ составныхъ частей данныхъ чиселъ, такъ что
а + Ъ + • • • = а0 + Ьо + ¦¦¦ +i1(a1 + b1+ ¦ ¦ ¦) + i2 («2 + b2 + ¦¦¦)+ ¦¦¦
Умножеше, напротивъ, не им-Ьетъ никакого смысла, пока мы сами ему
такового не придадимъ, слъдуя, насколько возможно, принципу не-
незыблемости. Если хотимъ, чтобы умножеже а на b производилось,
какъ въ обыкновенной АлгебрЪ, то прежде всего должны стараться
сохранить такъ называемое сочетательное свойство, потому что
нарушеше его въ корнъ запутало бы вычислетя; для достижешя этой
цъли достаточно принять, что различныя единицы пользуются этимъ
свойствомъ, т. е., HanpnMtp^ (iris)h = ir(isit)- Но перемъститель-
§§ 421-422 кватершоны. 463
наго закона нельзя уже сохранить, какъ въ теорш обыкновенныхъ
комплексныхъ чиселъ вида a-\-ib, и потому приходится отли-
отличать iris отъ isir. Но надо заметить, что обыкновенное значеше
умножешя, а следовательно, и обыкновенный правила умножешя
двухъ чиселъ остаются въ силе, когда одинъ изъ множителей число
вещественное. Въ этомъ случае, напр., имЪемъ
аЪ = aob -+¦ ца-^Ь + i2a2b -)-¦••= Ъа.
422. Мы будемъ здесь изучать кватершоны, т. е. ком-
комплексный числа, составленныя изъ величинъ четырехъ различныхъ
родовъ:
а = я0 + ixa± + i2a2 + г3ая.
Для того, чтобы вычислеше съ такими числами заключало въ себе,
какъ частный случай, вычислеше съ обыкновенными комплексными
числами, необходимо, чтобы квадратъ одной изъ единицъ былъ бы
равенъ — 1, а затЪмъ то же yoioeie, по симметрш, налагается и на
друпя единицы. Bcfe они неприводимы одна къ другой путемъ сло-
жен1я. Но если желаемъ, чтобы умножение н-бсколькихъ кватерш-
оновъ давало опять кватернюнъ, нужно принять, что произведете
нъсколькихъ единицъ линейно выражается въ самыхъ единицахъ.
Съ этою цълью, слъдуя изобретателю кватернюновъ1), мы устано-
вимъ слЪдующдя равенства:
A)
«1= - 1. «2*3= — «3*2 = «1.
«2 = - 1, НН = - «1*3 = *2.
г|=— 1, «1*2 = — *2«1 = «з-
Они, очевидно, нарушаютъ перемЪстительный законъ умножен1я, но
сохраняютъ, какъ легко видъть, сочетательный. Это простЪйиия
изъ возможныхъ предположен1й, но не единственный. Ничто не
м'Ъшаетъ, наприм-връ, положить квадраты единицъ равными нулю,
и тогда получается особый родъ алгебраическаго вычислешя, въ
которомъ, между прочимъ, произведете можетъ обращаться въ нуль
безъ того, чтобы одинъ изъ множителей былъ равенъ нулю. Это
вычислеше — такъ называемое исчислеше знакоперемънныхъ чи-
чиселъ (alternirende Zahlen) позволяетъ, между, прочимъ весьма просто
изложитъ теорш опред-влителей, такъ какъ всякШ определитель
и-го порядка представляется въ виде произведешя п комплексныхъ
чиселъ. Эти числа изобретены Грассманомъ, которому принадлежитъ
также введете многихъ смълыхъ и широкихъ понятШ, положенныхъ
ииъ въ основу его „Учешя о протяжешяхъ" („Ausdehnungslehre") 2).
!) Hamilton: ,.Elements of Quaternions' (London 1866). См. также
учебники Hoflel, Laisant, Сомова („Вектор1альный Анализъ") и др.
2) „Ausdehnungslehre" 1862 (Stettin). См. также Peano „Calcolo geo-
metrico-' (Torino 1888).
464 IV, 2. кватернюны. §§ 423-424
423. Опред'Ьлежя. Если at = а% = аъ = 0, то кватернюнъ
обращается въ вещественное число а0 и называется тогда скаля-
ромъ (Skalar). Если, наоборотъ, аи = 0, то кватернюнъ называется
векторомъ (Vektor). ВсякШ кватернюнъ а состоитъ, следовательно,
изъ скалярной части, обозначаемой черезъ 8я, и изъ вектор1аль-
ной, обозначаемой черезъ ®1)а:
а = §я -(- ®0а-
Модулемъ или тензоромъ называютъ, и обозначаютъ черезъ
а\, число ]/ля024-О12-(-йг22 + й'з2 всегда вещественное и положи-
положительное. Когда модуль равенъ 1, то кватернюнъ называется еди-
ничнымъ кватерншномъ (Einheitsquaternion). ВсякШ кватершонъ
равенъ произведена его модуля на некоторый единичный кватер-
кватернюнъ, называемый версоромъ а и равный
Версоръ вектор!альной части есть единичный векторъ и назы-
называется осью кватернюна. Если А есть модуль кватернюна а, то,
очевидно, можно положить
я0 = A cos 8, Y^i2 + «з2 + а?? = ^4 sin 9,
и определяемый такимъ образомъ уголъ Q называется аргумен-
аргументом ъ кватернюна. Если для краткости обозначимъ версоръ tya (ось)
черезъ Я, то будемъ имъть
§я = A cos 0, буя = Я A sin 8.
Отсюда слЪдуетъ, что кватернюнъ всегда можно представить въ
вид-fe
а = A (cos 6 + Я sin 6),
rat. A, 0, Я — модуль, аргументъ и ось кватернюна. Кватернюнъ
A (cos 0 — Я sin Q) называется сопряженнымъ съ а и обозначается
знакомъ а. Сопряженные кватернюны отличаются одинъ отъ дру-
другого только знакомъ при вектор1альной части.
424. Геометрическое изображеше (рис. 20). Векторъ
ha\ + hai ~т~ Наъ геометрически изображается прямолинейнымъ от-
рЪзкомъ, им-Ъющимъ проекщи at, а2, я3 на трехъ взаимно перпен-
дикулярныхъ координатныхъ осяхъ. Въ частности, всякШ рад!усъ
шара съ центромъ въ началЪ координатъ и рад!усомъ 1 изобра-
жаегъ единичный векторъ. На поверхности шара можно также изо-
изобразить всяк1й единичный кватернюнъ (версоръ). Действительно,
всякШ единичный векторъ Я определяется точкою Р, концомъ изо-
изображающего рад1уса, и дв^ д1аметрально противоположныя точки
на поверхности шара изображаютъ два сопряженныхъ вектора. Если
424-425
IV, 2. КВАТЕРНЮНЫ.
465
теперь данъ будетъ некоторый версоръ съ осью А и аргументомъ Q,
то можно будетъ его изобразить на окружности большого круга,
полюсъ котораго находится въ Р, слЪдующимъ образомъ: отложимъ
на окружности этого большого круга отъ произвольной начальной
точки дугу 9 въ томъ или другомъ направленш, смотря по тому,
будетъ ли Q > 0 или < 0. Условились считать положительнымъ на-
правлешемъ дугъ 9 направлеше, противоположное движенш часовой
стрЪлки для наблюдателя, находящагося въ Р. Каждая определенная
дуга, отложенная сперва въ одномъ, а потомъ въ противоположномъ
направлеши, изображаетъ всегда два сопряженныхъ версора, потому
что измЪнеше А въ — А равносильно изменению 9 въ — 9.
425. Сложенте векторовъ. Сложеше векторовъ
B)
;3я3,
Ь = i-J>x
isbs,
производится, какъ выше было
сказано, по формулъ
«г («2
+ Ц(аь + bs+ ¦¦¦),
такъ что сумма нъхколькихъ век-
векторовъ равна вектору, получаемо-
получаемому построешемъ многоугольника,
стороны котораго равны и па-
параллельны *) даннымъ векторамъ;
сторона, замыкающая этотъ мно-
гоугольникъ, и будетъ искомая
сумма (рис. 21).
Рис. 21.
*) ТочнЪе говоря, геометрически равны.
30
466 IV, 2. кватернюны. §§ 426-427
426. Умножеше векторовъ. Перемножаемъ по обыкновен-
нымъ правиламъ векторы B), соблюдая при этомъ услсшя A), и не
м-Ьняя порядка сомножителей. Тогда получимъ
(О)
и видимъ, что
$ba = S>ab, <?0ba = — <?0ab.
Въ частности, ^(a2) = — ^(/г2) = 0, а следовательно,
Въ еще бол^е частномъ случай находимъ, что квадратъ еди-
ничнаго вектора равенъ—1. Въ заключеше замътимъ еще
формулы
\(ab + ba), tyab = \ (ab — Ьа),
полезныя при вычиcлeнiяxъ съ кватернюнами.
427. Геометрическую интерпретащю произведен1я двухъ век-
векторовъ легко получить. Пусть А и В модули данныхъ векторовъ,
6 уголъ между ними и
h «1 + h a2 + Ч as' h Pi + h ih + h Ps
единичные векторы. Изъ Аналитической Геометрш известно, что
cos 6 = a^! + a2^2 + a3fK.
Следовательно,
§ a b = — А В cos 9.
Итакъ, скалярная часть произведешя двухъ векторовъ получится,
если проекщю одного изъ нихъ на продолжеше другого умножимъ
на модуль послЪдняго. Дал-fee, положимъ, что ityx -f- i2y2 -f- iby% есть
тотъ единичный векторъ, который изображается на поверхности
шара полюсомъ большого круга, идущаго отъ точки а къ точкЪ Ъ.
Тогда, какъ тоже известно изъ Аналитической Геометрш, будемъ
HMtTb
Ч\ = У2 = 7з = 1
а2 ;Р3 ~ a3.'J>2 a3^1 ~~ а1'^3 а1^2 — a2$L s'n ^
Следовательно,
= ~ AB/.sin 8.
Итакъ, вектор1альную часть произведен1я вектора а на векторъ b
получимъ следующимъ образомъ: на сопряженномъ съ Я вектор^
§§ 427-428 IV, 2. кватернюны. 467
откладываемъ длину, измеряемую темъ же числомъ, которымъ изме-
измеряется площадь параллелограмма, построеннаго на а и Ь. Оконча-
Окончательно, следовательно, имеемъ
аЪ = — АВ (cos 9 + /.sin в),
при чемъ Я2 = — 1, и это соотношеше непосредственно интерпре-
интерпретируется на поверхности шара. Зам-ьтимъ, что параллельность
сомножителей необходима и достаточна для того, чтобы
произведете было скалярнымъ, а перпендикулярность ихъ
для того, чтобы оно было векторомъ.
428. Умножен!е кватершоновъ. Положимъ, что требуется
умножить
а = §я + ®0а на Ъ = S>b + tyb.
Мы имеемъ
а замечая, что S>^Vx = ty&x = 0, получаемъ
$,ab = $>а ¦ §>Ь
Съ другой стороны, применяя формулы C) къ умножешю векто-
ровъ sya и зуб, находимъ
Следовательно,
aab3),
я362)]
(«1*2 - «2 *l) I -
Тотчасъ видимъ, что
Итакъ, вообще говоря, произведете зависитъ отъ порядка сомно-
сомножителей. Для того, чтобы а Ь было равно ba, необходимо и доста-
достаточно, чтобы произведете вУа-^ОЬ было скалярно, т. е., чтобы
вектор1альныя части а и b имели одинаковыя или прямо противо-
положныя направлешя. Ниже мы дадимъ геометрическую интерпре-
интерпретацию умножен1я кватернюновъ на сфере.
468 IV, 2. кватернюны. §§ 429-430-
429. Зам"Ьчан1Я. а) Произведете двухъ сопряженныхъ
кватернюновъ равно квадрату общаго ихъ модуля. Дей-
Действительно,
а ¦ а = ($а -f sv»a) ($a - «Уя) = ($яJ - («РаJ
Ь) Кватернюнъ, сопряженный съ произведен1емъ двухъ
кватершоновъ, равенъ произведен^ кватерншновъ, сопря-
сопряженныхъ съ данными кватершоками, но написанныхъ въ
обратномъ порядк^, т. е. Ъа = а-Ъ. Действительно, по самому
определению
~ ~ = - «У
я,
поэтому формулы E) дадутъ
$(а-1>) = Sa ¦ $b + S(Sl)a • «1N) = %ab = S6
а следовательно,
с) Модуль произведешя равенъ произведен1ю модулей
сомножителей. Действительно, изъ последняго замечания выте-
каетъ, что
\ab j2 = ab -~ab =«• 6б'-а"= я я • | 6 |2 = \а |2 • j 6 |2,
откуда |а6[ = |а|-|^|. Такъ какъ, для того, чтобы какой нибудь,
кватернюнъ обратился въ нуль, необходимо и достаточно, чтобы
модуль его былъ равенъ нулю, то изъ последней теоремы выте-
каетъ такое следств1е (ср. § 391): чтобы произведете двухъ-
кватершоновъ было равно нулю, необходимо и достаточно,
чтобы одинъ изъ нихъ былъ равенъ нулю.
430. Д"Ьлете кватершоновъ. Обратнымъ данному ква-
тернюну а называется и обозначается черезъ — такой кватернюнъ,
который по умноженш на а даетъ 1. Такой кватернюнъ суще-
ствуетъ, а именно
1 li
а \ci\~
Действительно, на основанш § 429, а) имеемъ
1 яя
- • Я = ]*
а я
430-431
IV, 2. КВАТЕРНЮНЫ.
469
Частнымъ отъ д-Ьлешя b на а называется и обозначается черезъ —
такой кватернюнъ, который по умноженш на а даетъ Ь. Это
число будетъ
6 1, 1 , / 1 \ , ,
- = — • о, потому что я • — Ъ — \а ¦ — \Ь — Ъ.
a a J а \ а)
Если аи Ь, въ частности, будутъ векторами съ модулями А и В, то
1, а , аЬ
откуда (§ 427)
7 Г)
- - = _ (cos 9 -)- Я sin 6).
Рис. 22.
431. Последняя формула тотчасъ даетъ геометрическую
интерпретацию умножен!я версоровъ (рис. 22). Если а и b
два единичныхъ вектора, то версоръ cos Q -f- Я sin Q, какъ показы-
ваетъ предыдущая формула, будетъ
равенъ частному отъ дЪлешя Ъ на а,
если принять, что изображающая его
дуга на сферъ направлена отъ а къ Ь.
Теперь, чтобы умножить каюе нибудь
два версора, передвинемъ изобра-
изображающая ихъ дуги, каждую по тому
большому кругу, на которомъ она
лежитъ, пока онъ1 не встретятся въ
одной точкт> — начальной для одной
и конечной для другой дуги. Дуга,
идущая отъ начала второй дуги къ
концу первой, и изобразитъ версоръ
произведете. Въ самомъ д%л%, мы построили такимъ образомъ
сферическШ треугольникъ, въ которомъ углы изображаютъ еди-
единичные векторы а, Ь, с, а дв^ стороны — данные версоры, соот-
в-Ьтственно равные — и -г-. Третья сторона изображаетъ частное
- и равна версору произведешь» двухъ данныхъ, потому что
1 с
с = — с = - ¦
а а
Следовательно, умножен1е версоровъ производится такъ, какъ
сложеше векторовъ на плоскости (§ 389). Къ этому резуль-
результату можно, впрочемъ, придти чисто тригонометрическимъ путемъ,
и обратно, изъ него можно вывести основныя формулы Сфериче-
Сферической Тригонометрш ').
]) См. Houel: ,Theorie elementaire des quantites complexes" p. 482.
470 IV, 2. кватернюны. §§ 432-433
432. Произведете трехъ векторовъ. Приложимъ результаты
§ 428 къ разыскатю произведена трехъ векторовъ а, Ь, с. Сперва
имЪемъ
abc = a§>bc + atybc,
следовательно,
S>abc = S (atybc), Gfiabc = aS>bc + ^l) (atybc).
Изъ § 426 получается, что скалярная часть произведешя векто-
векторовъ а и ®Obc равна
- а1 (b2cs - bsc2) - «2F3^ -
Поэтому
Такимъ образомъ, мы видимъ, что, независимо отъ знака, скалярная
часть произведешя трехъ векторовъ равна объему параллелепипеда,
построеннаго на трехъ данныхъ векторахъ. Отсюда слъчдуетъ, что
произведете трехъ векторовъ будетъ векторомъ лишь въ
томъ случай, когда эти три вектора лежатъ въ одной пло-
плоскости. Что касается вектор1альной части, то применяя формулы
D), получимъ
2®Oabc = 2a$bc + a&Jbc — ty (be) ¦ а
= a (Bbc + tybc) +¦ (Bbc — tybc) a = abc + cba
и дал%е
2eVabc = a {be + cb) — (ac +ca) b + с [ba + ab)
или, обращаясь снова къ формуламъ D),
F) tyabc = a&bc - b§ca + c$ab.
433. Изъ последней формулы легко вывести другую, часто
применяемую въ исчисленш кватернюновъ. Предложимъ себе найти
векториальную часть произведешя ®dab на ®Dcd, въ предположен1и,
что а, Ь, с, d—векторы. Очевидно,
sy (abc) = <зу [§ (ab) ¦ с + sy (ab) ¦ с] = c$,ab + sv> [sy (ab) ¦ c\.
а потому формула F) приметъ видъ
G) sy [sy (ab) ¦ с] = a$bc - b$ca.
Заметимъ теперь, что
$bcd = S (bScd + btyed) = S (b°Dcd).
Поэтому, заменяя въ соотношеьни G) с на ®Dcd, получимъ
в$ (в$аЬ ¦ e?cd) = a§,bcd -
§§ 434-435 IV, 2. кватернюны. 471
434. Формула Муавра. Частичная аналопя кватернюновъ съ
обыкновенными комплексными числами ясно выступаетъ, если, фик-
фиксируя единичный векторъ Я, ограничимся разсмотрЪшемъ только
ткхъ кватернюновъ, которые имЪютъ осью данное Я. Тогда имЪютъ
место обыкновенныя правила вычислешя, и наприм-връ, будемъ
HMiiTb
(cos в + X sin 6) (cos в' + X sin 9') (cos 8" -f X sin e") ...
= cos(9 + 9' + 9" + ••¦) + A sin (9 + 8' + 6"+ •••).
Въ частности, при цЪломъ положительномъ п
(cos 8 + A sin 8)" = cos n 8 + Я sin n 9.
Эту формулу легко распространить загёмъ на всякое рацюнальное
значеше п обыкновеннымъ путемъ (§ 393).
435. Теорема Гамильтона. Если векторъ и повернемъ
на уголъ 0 около его оси Я, то онъ обратится въ х uty,
гд-fe х есть версоръ cosO + ^sinQ.
Пусть а и Ъ будутъ векторы, получаемые при проектировали
вектора и на ось Я и на плоскость, перпендикулярную къ Я, такъ
что и = а-\- Ъ. Когда плоскость, проходящая черезъ и и Я, повер-
повернется на уголъ 0 около оси Я, то векторъ а останется безъ измт>-
нетя, а векторъ Ъ перейдетъ въ Ъх (§ 430). Следовательно, ука-
указанное вращеше приводить и къ совмЪщент съ v = а -\- Ьх. Дъпо
сводится къ выражен1ю а и b въ функщяхъ отъ и, Я и Q. Такъ
какъ Я2 = — 1, то им^емъ тождественно
и = - /?и = - Х$1и - ;.«1)Я«.
Въ § 427 мы видътш, что проекщя и на Я равна — §Яи, и
это число изображаетъ, следовательно, модуль вектора а. Далт*е,
такъ какъ Я есть версоръ а, то можно написать а= — Х$?м, и,
следовательно,
b = и — а = — Х2и + 1$Хи — — АОД.м.
Наконецъ,
v = ¦ - ХЬХи — Яф (Аи) • г.
Чтобы привести этотъ результатъ къ той изящной форме, въ кото-
которой онъ данъ Гамильтономъ, напишемъ
v = — A IS (Аи) г * + &$ (Аи) ty| ty
и заметимъ, что по формуле Муавра
-А 8 . в 1 8.9
г 2 = cos -- — A sin -^ , т* = cos -= + л sin к ¦
472 IV, 2. кватернюны. § 435
Отсюда слЪдуетъ
S Q.u) T~i + «D (Аи) Ф = ($/м + ^Ли) cos ^ - (§Аи - бУЛи) Я sin -^
9 ,„ . 6 „ 8 . 9 /, 9 , . 9\
= /. и cos 2 — и'- sln о" = /'-и cos — + « sin — = I/ cos -=¦ + sin I n
•I e - • s\ - -4
= /. I cos ^ — /. sin ^ j г/ = лт: 2 г^.
Итакъ,
Это чрезвычайно простое соотношен1е заключаетъ въ ce6t дока-
занныя въ § 75 формулы Эйлера. Оно даетъ замечательный при-
м^Ьръ необыкновенныхъ сокращенШ, которыхъ можно достигнуть въ
нъкоторыхъ вычислен1яхъ при помощи методы Гамильтона.
Примтьчашя къ четвертой книгк
I (къ §§ 400 — 401).
Число w = u-\-iv, где и и v функцш отъ вещественныхъ
переменныхъ х и у, называется функщей отъ комплекснаго числа
z = х -\- iy, если каждому значешю з соответствуем определенное
значеше w, аналогично опредЪленш функщи отъ вещественной пе-
переменной, данному въ § 253. При такомъ определенш функщи и
и v могуть быть заданы произвольно, потому что каждому значе-
значешю з соответствуем определенная пара значенШ х и у, а потому
и определенная пара значешй и и v, и одно определенное значеше
w =f{3~). Услов1я, которымъ авторъ подчиняегъ функщи и и v въ
§ 401, необходимы только тогда, когда устанавливается поняпе о
производной f (s).
I bis (къ § 411).
Когда точка z = reir> описываетъ сомкнутую кривую, внутри
которой лежитъ начало координатъ, то модуль г изменяется въ
пределахъ гх и гг, где г, — наименьшее, а г2 — наибольшее значе-
значеше г для точекъ описываемой кривой. Аргументъ Q постоянно воз-
растаетъ отъ некотораго значешя 0t до Oi + 2лг, когда точка з
одинъ разъ опишетъ всю кривую. Поэтому прямая, на которой на-
находятся точки, изображающая все логариемы отъ з при данномъ г,
будетъ колебаться между двумя прямыми, перпендикулярными къ Ох,
проведенными въ разстояшяхъ logrj и logr2 отъ начала коор-
координатъ. При этомъ точка, изображающая log (z) = log r -j- 0 г -\- 2k.il
при данномъ k, будетъ описывать кривую, остающуюся между упо-
упомянутыми прямыми, переходя отъ одной къ другой, постоянно под-
поднимаясь, вследств1е возрасташя 0, и когда з придетъ въ первона-
первоначальное положеше, а 0 изъ (^ перейдетъ въ 9t + 2kn, то точка
log (г) придетъ въ точку log г -\- 6,г + 2 (k -\- 1)лг, т. е. вь точку,
изображающую другое значеше логариема того же числа з. Если же
кривая, которую описываетъ з, не заключаетъ внутри своего об-
474 прим-ёчанш къ iv-ой книг-в.
вода точки О, то модуль z по прежнему изменяется въ предътгахъ
гх и г2, где гх минимумъ, а гг максимумъ г, a Q сперва возраста-
етъ отъ некотораго значешя 6, до другого ()а, а затемъ убываетъ
отъ 9, опять до 0,. Поэтому точка, изображающая одинъ изъ ло-
гариемовъ z опишетъ сомкнутую кривую, лежащую между двумя
определенными прямыми, проведенными въ разстояшяхъ logr^ и
logr2 отъ О перпендикулярно къ Ох, сперва поднимаясь, когда Q
возрастаетъ отъ Q4 до Q2, а потомъ понижаясь, когда Q убываетъ
отъ Q2 до 9;, и возвратится на прежнее место. Все сказанное здесь
можетъ быть весьма наглядно показано на чертежахъ, которые мы
и рекомендуемъ выполнить читателю.
II (къ § 412).
Логариемическою спиралью называется кривая, уравнете ко-
которой въ полярныхъ координатахъ, gut, имёетъ видъ q = Reat,
где R и а — постоянный; при этомъ предполагается, что полюсъ
находится въ точке О, въ начале Декартовыхъ координатъ. Раз-
личныя точки, изображающая все значешя функцш г1' = деи, соот-
ветствущ1я различнымъ значен1ямъ целаго числа k въ формулахъ
будутъ лежать на кривой, уравнеше которой получимъ, исключая k
изъ этихъ выражений. Мы получимъ
ь
— t
где
~ log г
R = е "
Это уравнеше изображаетъ логаривмическую спираль. Если с— число
вещественное, то b — 0, и q = R = const., т. е., кривая вырождается
въ окружность круга. Если с есть чисто мнимое число, то а = О,
и вышеприведенное выражеше для t даетъ
t — b log r = const.
(отъ k не зависитъ). Это уравнеше изображаетъ прямую лишю.
Логариемическая спираль обладаетъ темъ свойствомъ, что она
пересекаетъ все рад1усы векторы подъ однимъ и темъ же угломъ,
иными словами, уголъ касательной съ рад1усомъ векторомъ вели-
величина постоянная. Въ § 588 будетъ показано, что тангенсъ угла ю
касательной къ кривой q =/(/) съ рад1усомъ векторомъ точки ка-
сатя равенъ —,, где q" есть производная отъ q по t. Применяя
это къ логариемической спирали
О =Re~7lt,
прим-вчашя къ iv-ой книге. 475
находимъ, tg со = -г , или, измЪнивъ направлеше касательной,
tgtOj = -г-. Съ другой стороны, очевидно, что тангенсъ угла, обра-
зуемаго прямою Ос, гдт* с = а -\- Ы, съ осью у-овъ, также ра-
венъ -=-, откуда и слЪдуетъ, что касательная къ логариемической
спирали въ точкЪ ея пересЪчешя съ Оу, параллельна прямой Ос.
Наконецъ, последнее зам^чаше § 412 объясняется слъ-дующимъ
образомъ: возвышеше г~2'-т въ степень i даетъ въ результат^ различ-
ныя числа, заключающаяся въ формулЪ
а возвышен1е въ ту же степень числа е2Ы — всб выражешя вида
И Т. Д.
III (къ § 413).
Чтобы найти угловой коэффищентъ касательной къ линш
и{х, у) = а, гдъ1 а постоянное число, надо найти производную у'
отъ у по х. Не рЪшая уравнешя относительно у, можно разсма-
тривать и(х, у), какъ сложную функщю отъ х (§ 369), и взявъ ея
производную, по правилу § 369, приравнять ее нулю на томъ
основанш, что въ силу даннаго уравнешя функщя и(х, у) равна
постоянному числу. Обозначая черезъ и'х и и' частныя производныя
отъ и по х и по у, находимъ и'х-1 -\- и' -у' = 0, откуда у' = -,•
IV (къ § 413).
1) Полагая/(s) = as-(-/?, z — x-\-iy, a = a1-\-a2i, (i = /31
f(z) = и + iv, находимъ и = alx — a2y + ft, v = a2x -\- axy -j- ft;
уравнешя и = a, v = b даютъ, следовательно, двт> системы прямыхъ,
пересекающихся подъ прямымъ угломъ.
2) Если f(z) = 0* = (х -\- гу)г = х2 — уг + 2ху ¦ г, уравнен1я
х% — у% = а, и ху = Ъ, даютъ двй системы гиперболъ, положеше
которыхъ относительно осей очевидно.
3) f{z) = z^\ полагая z = p(cosO + г sin 6), находимъ
#i = pilcos тг + г sin -А; уравнен1я лин1й первой системы: g^cos -^ = а,
а второй: ^ sin ^ = Ь, или q = 1+cqs9 , и q = ^Г—^ — параболы.
4) f(z) =^\ogz = u + iv, z = еи-е"= де^, Q = eu, 6=г>.
Лин1и и = const., v = const, будутъ тождественны съ лишями
q = const., 9 = const. — система полярныхъ координатъ.
476 прим-вчанш къ iv-ой книг-в.
5) f(z) = log log z; z = gem, log z = log о -j- гб - Полагая
+ i§ = R e"f = R (cos cp-\-i sin cp), находимъ R =K(
n
(p = arctg , log logs = logi? -\- icp = и + iv. Линш v = const.
8 9 —
даютъ j = c = const, logp=-, q = ec — логариемичесюя спирали,
линш и = const, будутъ изображаться уравнешемъ (loggJ-j-Q2 = const.
6) f{z) = log-;—"-. Надо показать, что модуль этой функцш
& Л/tf
равенъ ~, гдтз г, и г., обозначаютъ разстояшя отъ точки z до s1
и до 02, а аргументъ равенъ ср, гдЪ (р есть уголъ между прямыми,
соединяющими точку z съ zt и з.г. Въ § 389 уже было замечено,
что | z — zl ' = г,, и \ z — z2 — г.,, следовательно,
Чтобы вычислить аргументъ, полагаемъ z — zt = rx (cos a -j- / sin a),
z — z2 = r2 (cos/9 -j- i sin/9), тогда, обозначая черезъ (jp, аргументъ
отношен1я -——, знаемъ, что cpt =а — /9.
Съ другой стороны, если для данныхъ точекъ zi и г.г положимъ
sl =g,(cos01+«sin61), s2 = p2(cos 9а+/sin9а) и s = g(cosO+/sin9),
и напишемъ выражен1я z — zx и z — z2 по этимъ формуламъ, то изъ
сравнешя съ написанными выше выражетями, найдемъ
о cos 6 — о. cos 8, . р sin 8 — п1 sin 8,
cos a = , sin и = -1 .
, о cos 8 — о.) cos 6, . о sin 8 — оо sin 8,
cos ;i = — > sin fJ = ^ •
Составляя по этимъ формуламъ выражеше cos q)i = cos a cos/? -f-
-\- sin a sin /9, и обозначая черезъ г разстояше между точками zx и 2а>
определяемое формулою
^2 = ох2 + (J2 - 2^02 COS (8j - 92),
получимъ
cos cFl = ^ 2
т. е.
COS ^t = COS (f И Cf1 = ср,
rat (jp есть уголъ при вершинт* z въ треугольнике 0я,02. Итакъ,
действительно,
V (къ §§ 424 — 435).
Хотя дальнейшее изложеше, местами очень сжатое, также
даетъ поводъ къ нъкоторымъ разъяснетямъ, имеющимъ целью
примъчанп къ iv-ой книг-в. 477
сделать это изложеше болЪе доступнымъ, но мы на нихъ не оста-
остановимся 1) потому что въ дальнЪйшемъ не встрЪтимъ приложенШ
излагаемой теорш, 2) потому что въ настоящее время эта теор1я
излагается проще и удобнее для приложенШ въ Геометр1и, Меха-
ник% и ФизикЪ. См. Предислов!е къ „Вектор!альному Анализу"
Л. Сомова. СПБ. 1907.
книги пятня
книгд пятдя,
Длгебраичесшя уравнешя,
СУЩЕСТВОВПШЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
Исключеше (Elimination).
436. Для того, чтобы подготовиться кь изучешю корней алге-
браическихъ функщй, умЪстно будетъ предпослать н%которыя крат-
юя свъ-дЪщя объ исключена (неизвЪстныхъ изъ уравненШ). Мо-
жетъ случиться, что между безчисленнымъ множествомъ уравнешй,
являеощихся необходимыми слъ\цств1ями данной системы уравненШ,
удается найти такое, которое не заключаетъ въ ce6t некоторой
определенной неизвестной. Тогда говорятъ, что эта неизвестная
исключена. Напримеръ, если даны уравнешя f(x) = 0, g (х) = О,
и удалось изъ нихъ вывести, какъ необходимое сл-Ьдсте, уравне-
Hie R = 0, независящее отъ х, то исключеше неизвестной х вы-
выполнено. Само собою понятно, что полученное такимъ образомъ
уравнеше есть необходимое yaioeie существовашя такого значе-
шя х, которое обращаетъ одновременно въ нуль функщи f(x) и
g (x). Если BMtcTt съ тЪмъ окажется, что полученное ycfloeie бу-
будетъ въ то же время и достаточнымъ, то R называется резуль-
результантомъ этихъ функщй у и g. Итакъ, результантомъ двухъ функщй
fug отъ х называютъ такое выражеще, независящее отъ х,
обращен1е котораго въ нуль необходимо и достаточно для
того, чтобы разсматриваемыя функили имъли, по крайней
мт^ртз, одинъ обшдй корень.
437. Примеры. Положимъ, что даны уравнешя
айх + Я!=0, Ьох + Ьг = 0.
Умножая первое на 6„, второе на аA, и вычитая одно изъ другого, получимъ
с01 = 0, полагая вообще для сокращешя ctJ• = a^ij — aj br Точно также,
если даны уравнешя
аох- + aix + я-> = 0, Ъ{)х- + 1>\Х — Ь2 = 0,
31
482 V, 1. сущЕСтвовАН1Е и счетъ корней. §§ 437—438
то, умножая сперва первое на Ьо, второе на а0, потомъ первое на Ь2, второе
на я2, получимъ путемъ вычиташя
COiX + «02 = 0, С[у>Х + С12 = 0 ,
а отсюда, пользуясь полученнымъ выше результатомъ, с01с12 — с0О2 = 0, т. е.
(aob1 — я^о) («!&, — a2bj - (a0b2 - a2bof = 0.
Поступая подобнымъ же образомъ съ уравнешями
A) аохА + а1х2 + а2х + а& = 0, Ьох* +61.v2 + 62х + Ь-А = 0,
сперва получимъ уравнешя
с01х2 + с02л; + %s = 0, созх2 + с13х + с23 = 0,
а пользуясь предыдущимъ результатомъ, выводимъ отсюда услов1е
(ст ея1 ~Ь ст с(а) \с(в С23 ~Ь ст см) ~Ь (coi C23 cim )" = 0.
Раскрывая л^вую часть и принимая во внимаше тождество
с01С23 + с02с31 + f03c12 = 0' ]
которое само непосредственно вытекаетъ изъ следующего
62 ьъ ! _
п., а3
получимъ
B) С03 (Соз3 — 2 C0
Каждое изъ трехъ найденныхъ услов1й наверно необходимо для совмест-
совместности соответствующей пары уравнешй. Но между темъ, какъ легко прямо
убедиться, что первыя два въ то же время и достаточны, объ условш B)
этого сказать нельзя. Действительно оно выполняется, если — = —*-, а между
«з h
темъ ясно, что этого услов1я недостаточно, чтобы уравнешя A) имт>ли об-
щ)й корень. Произведенныя выкладки, вместо того, чтобы дать истинный
результантъ, ввели посторонняго множителя. Мы увидимъ, действительно, что
результантъ уравнешй A) равенъ левой части уравнешя B), разделенной на
множителя cos.
438. ПослЪднШ примЪръ показываетъ необходимость ознако-
ознакомиться съ такими методами, который давали бы возможность про-
производить исключеме такъ, чтобы наверно получался въ оконча-
тельномъ вывода результантъ. Такъ какъ, кромЪ того, такими мето-
методами мы будемъ пользоваться для доказательства существовашя
корней алгебраическихъ функщй, то необходимо имЪть хотя бы
одну такую методу, которая не зависала бы отъ предположена
§§ 438-439 исключенш. 483
этого существовашя. Принимая это во внимаше и ограничиваясь
разсмотрЪшемъ цъ-лыхъ функцШ
/(*) = аохп + alXn^ + ••¦ + «„. g (х) = Ьохт + Ь1 х'1 + ¦¦¦ + Ьт,
мы назовемъ результантомъ двухъ полиномовъ fag такую функ-
функцию отъ коэффищентовъ, обращеше которой въ нуль необхо-
необходимо и достаточно для того, чтобы данные полиномы им^ли
общаго делителя1)*), или, какъ говорятъ, не были взаимно-
простыми. Намъ останется тогда только показать (§ 450, а), что
это предварительное опредЪлеше, которымъ мы будемъ пользоваться
въ ближайшихъ параграфахъ, совпадаетъ съ прежнимъ, даннымъ
въ § 436.
439. Метода Эйлера, а) Если полиномы fag имЪютъ об-
общаго дъпителя д, то существуетъ два такихъ полинома f и gx,
степени которыхъ соответственно ниже степеней f и gf что
f = fx§, g = g\&-> и будемъ им%ть
C) fgi - gfx = 0.
Обратно, положимъ, что ycлoвie C) выполняется тождественно.
Обозначимъ черезъ ® общаго наибольшаго дъ7штеля полиномовъ
f\ и ^i (ПРИ чемъ 3) можетъ быть и единицей, если _/", и gx вза-
взаимно простые полиномы), тогда ft =f.i<S>, gt = g2 ®, гд-fe /2 и g2
взаимно простые полиномы. Соотношен!е C) принимаетъ видъ
fSi~Sf%- Зд^сь f% д^литъ, какъ видно, произведен1е fgi, но,
будучи взаимно простымъ съ g2, долженъ д%лить f такъ что
f=f2d, гдЪ й полиномъ не ниже первой степени, потому что
степень f% не превосходитъ степени f, которая ниже степени f
Подставляя f = f2<) въ тождество fg.z = gfi} получимъ g —g^d.
Следовательно, fag имеютъ общаго делителя д.
Ь) Изъ предыдущаго сл^Ьдуетъ, что необходимое и достаточ-
достаточное услов1е для того, чтобы f и g не были взаимно простыми,
совпадаетъ съ необходимымъ и достаточнымъ услов1емь существо-
ван1я такихъ полиномовъ
А = «0^-Ч alX"-*+ .- + an_lt л = :Зохт-1+ й*—2+ ••¦ + ,3М-!,
чтобы им^Ьдо мъхто тождество C), т. е. чтобы было
{аохп + а^-1 +-¦¦ + а„) (\хт-х + Я1 xm~2 + ¦¦¦ + :\п__х)
= (Ьохт + Ь^™-1 + ... + bj{aoxn-1 + alX"-'1 + - + «„_!>.
]) Мы предполагаемъ, что Teopia алгебраической делимости извЪстна
изъ элементовъ. См. Cours d'Aigebre superieure par Mansion A889 lit p. 15).
*) На русскомъ языкЪ см. Веберъ и Вельштейнъ стр. 221 и с.тЬд.
31й
484
V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
439—440
Сравнивая коэффищенты") при одинаковыхъ степеняхъ х, получаемъ
систему
ао;3о — Ьоао =0,
«1 .?о + «о °i " 6i ао — Ьо «1 = ° •
«!¦?! + ао/32 — Ь2а0 — bla1 — Ьоа2 = 0.
I*
п -\- т линейныхъ однородныхъ уравнешй съ п-\- т неизвестными
а0, сц, а2,...,а„, /?0, /3j, /?4, ...,/?„,. Для того, чтобы можно
было найти для нихъ значемя, не равныя нулю одновременно,
необходимо и достаточно (§ 56), чтобы определитель этой системы
былъ равенъ нулю. Этотъ определитель (и -f- иг)-го порядка мо-
жетъ быть написанъ, если замЪнимъ столбцы строками и не будемъ
обращать внимашя на знакъ его, въ слЪдующемъ видт> :)
! а0 ах я2 ... 0 [
! 0 а0 «! . . . 0
0 0 0 ... а,.
ь0 ьх ь2 ... о
0 1>0 bi ... 0
| 0 0 0 ... Ьп
Это и есть, следовательно, искомый результантъ.
440. Къ той же форме результанта Сильвестръ пришелъ дру-
гимъ путемъ. Разсмотримъ, напримеръ, два уравнешя, одно третьей,
другое второй степени:
аох* + агх2 + а2х + я3 = 0, Ьох* + Ьгх + h = °-
Умножая первое на х, а второе на х и на х%, получаемъ систему
аях
lX2 4-
= 0,
Я8 = 0.
=0,
=0,
62 = 0,
которую можно разсматривать, какъ состоящую изъ пяти линейныхъ
однородныхъ уравненШ съ пятью неизвестными, значешя которыхъ
*) На основан1и теоремы о тождеств* полиномовъ. См. Веберъ и
Вельштейнъ. Стр. 225.
х) Объ опред-Ьлителяхъ этого вида см. у Trudi § XI „Teoria dei de-
terminanti".
440—441
ИСКЛЮЧЕН1Е.
485
должны оказаться пропорциональными числамъ хА, хъ, х2, х, 1 при
прилично выбранномъ значенш х. Следовательно, результантъ, въ
смысле § 436, будетъ
«0
0
b0
0
6]
6л
«2
«1
h
аъ
a2
0
jj
0
я
0
0
0 0 Ьо Ь1 Ь2 \
такъ какъ его обращеше въ нуль необходимо и, какъ увидимъ
дал^е, и достаточно для совместности данныхъ уравнешй.
441. Метода Безу. а) Положимъ сперва п = т, и чтобы
иметь дело съ определенпымъ случаемъ, возьмемъ два уравнешя
4-ой степени:
аох± -\- a1x'i -\- а2х2 + а9х -)- а\ = О,
Умножая первое на Ьо, второе на а0, и вычитая, получимъ
? + с02х2 + стх + см = О,
умножая первое на Ьох-\-Ь1; второе на аох-\-alt и вычитая, по-
получимъ
^02л + (% + С12>х- + (СМ + f13)A" + Си = 0.
Точно также, умножая сперва первое на box2 -\- bt x -\- b2, второе
на яо.г2 + ахх -\- а2, а потомъ первое на Ьох3 -\- Ьххг -\- Ьгх -\- Ь3,
а второе на аохъ -\- ахх% -\- а%х -f- a9, и вычитая, найдемъ
(с
= О,
Такимъ образомъ получается система изъ четырехъ уравненШ, кото-
рыя можно разсматривать, какъ линейныя и однородныя, и удовле-
удовлетворяющаяся значешями неизвЬстныхъ, пропорциональными числамъ
х3, х2, х, 1. Определитель этой системы, на основанш сказаннаго въ
конце предыдущего параграфа, и будетъ искомымъ результантомъ:
01 (F* ^Ь'д ^04 '
! ^03 ^04 i~ ^13 ^11 [ ^23 ^21
j
! <Ч>1 ^11 ^24 ^34 '
486 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 441—442
Не трудно найти законъ его составления для случая двухъ уравнешй
и-ой степени '). Выражеше общаго элемента будетъ
принимая, что коэффициенты съ указателями, большими п, равны
нулю. Къ тому же результату Cayley (Кейли) пришелъ, исходя изъ
иныхъ соображенШ 2).
Ь) Если w > т, то второе уравнеше умножаютъ на хп~т
и прим'Ьняютъ предыдущую методу, при чемъ получается всего т
уравнешй. Чтобы получить остальныя п — т, умножаютъ второе
уравнеше последовательно на 1, х, х1, ..., хп~т^х. Положимъ, на-
прим^ръ, что им-Ьемъ одно уравнен1е 4-ой, а другое 2-ой степени:
aoxi -f a^ + а2х2 + п-ах + Ci = 0) b0x2 + b^x + b2 = 0.
Умножая второе на х'г, и выполняя вычислен1я по вышеизложенной
ыетод-fe, найдемъ два уравнешя:
с01х3 + с02х2 + согх + coi = О,
с02*3 + (% + CV2)X2 + {Coi + CVA)X + CU = 0.
Два другихъ будутъ, если угодно,
Ьох?> + Ьгх- + Ь2х = 0, Ь0х2 + Ь^х + Ъ2 = 0.
Такимъ путемъ получится результантъ:
aob1 — a^o a0b2-a2b0 — asbQ — а±Ь0 \
а0 br, — а2 Ьо а1 Ь2 — а2 61 — asb0 — я3 b1 — aib0 — ai b1
b0 bx b.2 0
I 0 bQ bx b2
Обратимъ внимаше на то, что метода Безу даетъ результантъ въ
бол^е сжатомъ видЬ, Ч'Ьмъ метода Эйлера3). Действительно, Эйлеровъ
результантъ есть определитель порядка п -\- т, а результантъ Безу
определитель порядка п, если п 2г т. Въ этомъ и состоитъ пре-
преимущество методы Безу передъ Эйлеровой.
442. B"fecb. Если некоторый одночленъ составленъ изъ буквъ,
снабженныхъ указателями, то сумма указателей всехъ множителей,
какъ равныхъ, такъ и не равныхъ между собою, называется весомъ
!) См. Jacobi, Crelles Journal, Bd. XV, S. 102.
2) Philosophical Transactions, 1857.
3) Перейти отъ одной формы къ другой не трудно съ помощью
извъхтныхъ свойствъ определителей. См. Trudi, 1. с. р. 101.
§§ 442-443 исключенш. 487
одночлена. Всякая сумма одночленовъ, имЪющихъ одинаковый в-Ьсъ,
называется изобарного. Такъ, напримеръ, выражеше D) изобарно,
в-Ьсъ его равенъ i-\-j — 1 *). Результанты Эйлера и Безу изо-
изобар ны. Въ самомъ дЪлЪ, тотъ членъ, который получится, когда
изъ п строкъ возьмемъ элементы, стояшде на мЪстахъ г\, г2, ..., г„,
будетъ иметь въ произведенш первыхъ т множителей въхъ, равный
к + (.'2 + ]) + D + 2) + ••• + (гт+ т - 1) =
а въ произведены остальныхъ множителей вт>съ, равный
(*m+i — 1) + ¦ • ¦ +(*„-« + т) =^J ir — И« - т) (и - w + 1).
г—т+1
Отсюда слЪдуетъ, что в'Ьсъ каждаго члена равенъ
\п(п + 1) + \т{т — 1) — i(« — т) (и — т + 1) = пт,
и прямо видно, что в%съ не меняется при переход^ отъ одного
члена определителя къ другому (I). Следовательно, определитель
изобаренъ, и в^съ его равенъ произведен1ю степеней дан-
ныхъ полиномовъ. Точно такъ же, въ результанте Эйлера каждый
не исчезающШ членъ заключаетъ въ себе произведете первыхъ т
множителей, весь котораго будетъ
(г\ - 1) + (/2 - 2) + ••• + (im - m) =2J'r ~ im{m + 1}>
и произведен!е остальныхъ множителей, вЪсъ котораго равенъ
у=.п-\-т
(«¦„+1 - !> + <-1ш+2 ~ 2) + ••• + ('п+т - ") =27''¦ - iM{li + ^
Г=|И-|-1
такъ что весь весь каждаго члена равенъ
\(п + »0 (п + w + 1) — \п(п + 1)
Итакъ, результанты, даваемые методами Эйлера и Безу имеютъ
одинаковый весь, а этого достаточно, чтобы быть увереннымъ,
что метода Безу лишнихъ множителей не вводить.
443. Если имеемъ два уравнешя съ двумя неизвестными х
и у, и первое будетъ степени т, а второе степени п относи-
относительно обеихъ неизвестныхъ, то можно расположить левыя
*) Btcb одночлена а?Ь?сь* равенъ
488 V, 1. СУЩЕСТВОВАНШ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 443—444
части по степенямъ х, и тогда а,- и Ь, будутъ полиномы степени
не выше г относительно у. Пусть at и $ будутъ коэффишенты
при у' въ at и bj. Когда исключимь х, то результантъ, очевидно,
будетъ целая функщя отъ у, старшШ членъ которой получимъ,
когда въ каждомъ элементе результанта поставимъ а^у1 и ft,-у* со-
соответственно на место а{ и Ь\ *). Изъ сказаннаго въ предыду-
щемъ § тотчасъ вытекаетъ, что этотъ сгаршлй членъ равенъ про-
изведешю у""' на постоянную, равную результанту полиномовъ
аохп + а.х"-1 + ¦ ¦ ¦ + «„, ,,90*'» + З.х'"-1 + ... + ,3„,.
Сл-Ьдовательно, если эти полиномы, какъ это обыкновенно и
бываетъ, взаимно простые, то въ результангЬ данныхъ функщй на-
в^рно будетъ членъ степени тп. Итакъ, степень результанта
равна произведешю степеней данныхъ уравнен^ и можетъ
понизиться лишь въ частныхъ случаяхъ, а именно, если тт> поли-
полиномы, которые получимъ, когда, удержавъ лишь члены наивысшей
степени относительно х и у, положимъ въ нихь у = 1, будутъ
имЪть общаго делителя. Въ этомъ состоитъ теорема Безу. Въ
Аналитической Геометрш она находитъ следующую замечательную
интерпреташю. „Дв-b алгебраичесюя кривыя пор^дковъ т и и,
вообще, пересекаются въ тп точкахъ". Тамъ же дал+^е доказыва-
ютъ, что понижен1е числа тп до тп — г происходить не отъ
внезапнаго исчезновения г точекъ перес+зчен1я, а отъ передвижен!я
ихъ въ безконечность. Поэтому можно сказать, что дв-fe данныя
кривыя порядковъ т и и всегда пересекаются въ тп точ-
точкахъ (вещественныхъ, мнимыхъ, лежащихъ въ области конечнаго
или безконечнаго). Теорема Безу легко распространяется на случай
какого угодно числа уравненШ 2).
Существоваше корней.
444. Пусть f(x) есть явная алгебраическая функщя. Уравне-
Hie f{x) = 0 всегда можетъ быть приведено къ более простому
виду посредствомъ удаления изъ него радикаловъ. Этой цели дости-
гаютъ следующимъ образомъ. Обозначимъ каждый радикалъ осо-
х) Все это справедливо лишь въ предположеши, что а0 и Ьо оба не об-
обращаются въ нуль, такъ какъ вышеизложенный методы разыскашя резуль-
результанта существенно предполагаютъ, что степени данныхъ уравнешй не могутъ
быть понижены.
2) Относительно этого обобщен1я и другихъ важныхъ теоремъ теорш
исключешя см. Salmon Fiedler: „Algebra der linearen Transformationen" B-oe
изд. стр. 91) или упомянутое въ примъ-чаше I французское издаше того же
сочинешя); Laurent: „Traite d'Algebre 4е ed. 3me partie, стр. 134); Serret:
„Cours d'Algebre supirieure" D-е изд. 1877, томъ I стр. 599 и слъ\ц.; Fetersen:
„Theorie der algebraischen Gleichungen" Bd. I, S. 60.
§§ 444—446 существованш корней. 489
бою буквою, и пусть и, v, zv, ... будутъ v новыхъ перемЪнныхъ,
который такимъ образомъ появляются. Уравнешя ихъ опред-Ьляю-
шдя, после надлежащихъ возвышенШ въ степень, дадутъ v рацю-
нальныхъ соотношешй между v новыми переменными и прежнею х.
Присоединяя эти уравнешя къ данному, получимъ систему v -f- 1
рацюнальныхъ уравнещй съ v -f- 1 неизвестными х, и, v, w, ...
Понятно, что изъ нихъ можно исключить v неизвесткыхъ и, v, w, ...
и притомъ такъ, что никаме радикалы не будутъ введены. Полу-
Получится некоторое рашональное уравнеше съ одною неизвестною х,
которое, очевидно, можно привести къ виду
E) аохп + alX" г + а.,хп-- + ¦¦¦ +ап = 0
при услов1и ао>0. Вь дальнейшемъ всегда будетъ подразумеваться,
что разсматриваемое ypaBHeHie приведено къ виду E). Вопросъ,
который здесь передъ нами возникаетъ, состоитъ въ сл-Ъдующемъ:
Имеетъ ли уравнен1е E) корень?
445. Для значен1й .г, модуль которыхъ возрастаетъ безпре-
дЬльно, значен1я функцш
f{x) = ,70д:" + rtj.v" -1 + а,хп-- + ¦¦¦ +аи
будутъ вь конце концовъ определяться значен1ями старшаго члена.
Эго делается очевиднымъ, если напишемъ
и заметимъ, что выражеше въ скобкахъ стремится кь пределу я0
при возрастанш \х\ до безконечности. Отсюда вь частности следу-
етъ, что полиномъ четной степени съ вещественными ко-
коэффициентами въ конце концовъ принимаеть и сохраня-
етъ знакъ старшаго члена, когда дадимъ переменной х
достаточно большое по абсолютной величине значен1е. А
полиномъ нечетной степени съ вещественными коэффиш-
ентами принимаетъ и сохраняетъ знакъ старшаго члена
или противоположный этому знакъ, смотря по тому, да-
дадимъ ли переменной х положительное или отрицательное
значение, достаточно большое по абсолютной величине.
446. Когда коэффищенты уравнен!я E) вещественны, то въ
н'Ькоторыхъ случаяхъ существоваше корня очень легко обнаружить.
Такъ, например ь, если степень полинома нечетная, то на основанш
только что сказаннаго всегда можно найти такой интервалъ ( — я, +я),
на границахъ котораго поли.юмъ будетъ им+зть различные знаки, а
именно знакъ — на нижней, и знакъ + на верхней границе, пред-
предполагая всегда а0 > 0. Отсюда следуетъ, что f(x), вследств!е
490 V, 1. существованш и счетъ корней. §§ 446—447
своей непрерывности (§ 275), по крайней м-fep-fe, одинъ разъ
обратится въ нуль въ этомъ интервале. Поэтому им-Ьемъ следу-
следующую теорему: всякое уравнен1е нечетной степени съ ве-
вещественными коэффициентами им-Ьетъ, по крайней м-fep-fe,
одинъ вещественный корень. Къ этому можно добавить, что
знакъ этого корня противоположенъ знаку независящего
отъ х члена уравнешя. Д-Ьйствительно, если этотъ членъ, оче-
очевидно равный /@), положительный, то f(x) должна обратиться въ
нуль въ интервал-fe ( — а, 0), т. е. для отрицательнаго значен;я х;
если же /@) отрицательно, то f(x) обратится въ нуль въ интер-
интервал-fe @, а). — Если степень полинома четная, то можно взять а
достаточно большимъ, чтобы на об-Ьихъ границахъ интервала
( — а, а) значешя /(х) были положительными. Следовательно, если
/@) < 0, то f (х) обратится въ нуль какъ въ интервал-fe (—а, 0)
такъ и въ интервал-fe (О, а). Поэтому, им-Ьемъ еще теорему: всякое
уравнен1е четной степени съ вещественными коэффиш-
ентами и съ отрицательнымъ независимымъ членомъ им-Ь-
етъ одинъ положительный и одинъ отрицательный корень
(по крайней м-fep-fe).
447. Два полинома f (з) и g{s) (s-комплексное число, равно
какъ и коэффищенты полиномовъ) называются сопряженными, если
соотв-Ьтствующде коэффищенты ихъ числа сопряженныя, такъ что,
отделяя вещественныя части коэффищентовъ отъ чисто мнимыхъ,
можемъ написать
f(s) = и (s) + iv (a), g (s) = и (г) - iv (в),
гд-fe полиномы и (z) и v (г) имЪютъ уже вещественные коэффищ-
коэффищенты. Каждый изъ этихъ полиномовъ, въ свою очередь, можеть
быть представленъ въ комплексной форме, если отд-Ьлимъ въ z
вещественную часть х отъ чисто мнимой гу. Тэйлорова формула
даетъ
<Р (х + гу) = (f (х) - |у"- ср" (х) + ¦ ¦ ¦ + гу { д>' (х) - ±у* у'" (*)+¦••>
такъ что, если (р есть полиномъ съ вещественными коэффищентами,
то зам-Ьна у на —у изм-Ьняетъ только знакъ чисто мнимой его
части. Поэтому можемъ написать
к (х -\- iy) — «j -4- ги0, и (х — гу) = и^ — г«2,
v (х + iy) = vi + 1Щ, v (-V — iy) = г-'i — iv2,
откуда
f(x 4- iy) = г«! + iг/2 + г (t'j + iv,) = tt1 — v, + i (u2 + ^i)
g (x — iy) = ity — гщ - - i(vx — iv2) = u± — z>2 — г («2 + i>j).
Отсюда теорема: при сопряженныхъ значен1яхъ переменной
сопряженные полиномы принимаютъ сопряженныя значетя.
Изъ этого прямо сл-Ьдуетъ, что если какое нибудь число обра-
щаетъ въ нуль н-Ькоторый полиномъ, то сопряженное съ
§§ 447-448 существованш корней. 491
первымъ число обратить въ нуль сопряженный съ дан-
иымъ полиномъ. Полиномъ съ вещественными коэффициентами
сопряженъ самъ съ собою. Поэтому имЪемъ теорему: всякое урав-
нен1е съ вещественными коэффициентами, имеющее ком-
комплексный корень, имъетъ и другой, сопряженный съ пер-
первымъ. Отсюда слЪдуетъ, что число мнимыхъ корней уравнешя съ
вещественными коэффициентами всегда четное.
448. Теорема Даламбера1) (D'Alembert). Всякое алге-
алгебраическое уравнен1е съ вещественными или комплекс-
комплексными коэффициентами имъетъ вещественный или комплекс-
комплексный корень.
а) Разсмотримъ опять уравнеше E), т. е. f(x) = 0, и для
простоты положимъ а0 = 1. Условимся говорить, что п будетъ
число четности г, если 2Г есть наивысшая степень 2, на которую
дълится л*). Положивъ х = у + h и располагая f(x) по степе-
нямъ у, найдемъ
/(*) =уп + б,/* + 62у-2 + ¦•¦ +ЬН,
гдъ
F)
я (и — 1) и — 1 ,
2) ,,
6 = If + axhn-x + а2Л"-2 + ... +ап.
Группируя члены f (x) слъдующимъ образомъ
/И = (У + Ъ^-г + ... +Ьп)+у (Ь1Уп~* + й^—* + • • • + Ъп
полагая п — 2v, и
Ф (лг) = лг" + ^х^1 + biXv~2 + ¦ ¦ ¦ + b2v ,
<Р(х) = blX"-x + 63x"-2 + ••• + b2v_lt
г) Нижеследующее доказательство им^етъ преимущество передъ раз-
различными другими по своему чисто алгебраическому характеру. Оно принад-
лежитъ Клиффорду, а потомъ снова было найдено Валецкимъ (Walecki)
(Nouvelles Annales des Mathematiques, 1883, стр. 241). См. также въ Rivista
di Matematica интересное изслЪдоваше Loria подъ заглав!емъ: 11 teorema
fondamentale della teoria delle equazioni algebriche". Въ посл-Ьднее время Вей-
ерштрассъ далъ новое доказательство въ „Sitzungsberichten der Berliner Aca-
demie" за 1891 г.
*) Такъ что нечетное число будетъ четности нуль.
492 V, 1. существованш и счетъ корней. § 448
можемъ написать
G) /(х) = Ф(у2)+у'Р(у2).
Разсмотримъ теперь результантъ функщй Ф и <Р:
1 b2 bi ... О
О 1 Ь2 ... О
R = !
1
0
0
0
*3
0 .
bj ¦
b.
.. b
.. 0
.. 0
| О О О ... Ь2г._1
Очевидно, cR будетъ ц-Ьлою функщею отъ //, и степень ея равна Btcy 9i
относительно чиселъ й,- *). В+,съ этотъ (§ 442) былъ бы равенъ
v(v— 1), но указатели коэффишентовъ Ф удвоены, а указатели
коэффишентовъ (Р noc.Tfe удвоешя еще увеличены на единицу.
Благодаря этому вЪсъ oft сделался равнымъ
2r(i;-l) + .'= v{2v- 1). (И).
Игакъ, Ш будетъ степени v{2v — 1) относительно h. Однако, чтобы
быть ув"вреннымъ въ этомъ, надо еще показать, что коэффищенп.
при старшемъ членЬ никогда не равенъ нулю. Ясно, что этогь
старшШ членъ получится (§ 443), если замЬнимъ каждый элемент ь
опред-влителя Ж старшимъ членомъ этого элемента. Принимая по
внимаше формулы F), мы видимъ поэтому, что искомый коэф-
фиц1ентъ будетъ то число, въ которое обратится й, когда всЪ
числа а,, а%, as,... положимъ равными нулю, a h = 1. Следова-
Следовательно, искомый коэффищентъ есть не что иное, какъ результантъ
Ф и *Р въ частномъ случай f(x) = яг", и h = 1. При этихъ пред-
положен1яхъ, равенство G) даетъ
(у + !)" = Ф (У) +у Ч> (У), {у - 1)" = Ф (.г2) - у Ч> Сг-0 **).
Если бы результантъ Ф и Ф обратился къ 0, то Ф и (Р им-Ьлп бы
общаго делителя, который долженъ былъ бы л'Ьлить (у -4- 1)" и
(у — 1)", а эти полиномы, очевидно, взаимно простые. Поэтому
членъ степени vBv — 1) въ SI не исчезаетъ, и степень ?R на-
наверно будетъ четности г — 1, если степень даннаго урав-
нен1я была четности г.
*) Потому что bf степени i относительно h.
**) При зам-ЬнЪ у на —у, и при п = 1\>.
§ 448 СУЩЕСТВ0ВАН1Е КОРНЕЙ. 493
b) Предположили теперь, что f{x) имеетъ вещественные коэф-
фищенты и степень п = 2v, при v нечетномъ. Уравнеше ?R = О
будетъ тогда также иметь вещественные коэффициенты, а его сте-
степень равна v Bг> —1), т. е. нечетному числу. Следовательно (§ 446),
существуетъ такое вещественное число /г, при которомъ ?R = 0.
Известно далее, что при этомъ значенш h полиномы Ф и *Р,
также съ вещественными коэффищентами (какъ это видно изъ фор-
мулъ F)), будутъ иметь общаго делителя у. Поэтому будемъ иметь
Ф (х) = ср (х) Х (х), Ч> (х) = v (х) Х (х).
Уравнеше G) дастъ тогда
или заменяя у черезъ х — h, f{x) =_/j (л')_/.г(д')> nit _/, и Д поли-
полиномы съ вещественными коэффициентами; сумма степеней этихъ
полиномовъ равна п. Если степени обоихъ полиномовъ ft и j\
числа четныя, то одна изъ нихъ была бы, какъ и п, равна удвоен-
удвоенному нечетному числу *), т. е. одинъ изъ полиномовъ /',, f., нахо-
находился бы въ тЪхъ же услов1яхъ, какъ и f. Поступая съ нимъ такъ,
какъ мы поступали съ /' и продолжая такъ же, дал-fee, мы получимъ
рядь полиномовъ съ вещественными коэффищентами степени ко-
торыхъ будутъ постоянно убывать, и одинъ изъ этихъ полиномовъ
наконець будетъ либо нечетной, либо второй степени и, следова-
следовательно, будетъ им1;ть корень, который будетъ въ то же время кор-
немь даннаго полинома (потому что вей полиномы упомянутаго
ряда будутъ дЬлителями даннаго). Во всЪхъ этихъ разсужден1яхъ
подразумевалось, что полиномъ (Р существуетъ. Если бы этотъ по-
линомъ, для разематриваемаго вещественнаго значен1я h оказался бы
равнымъ нулю, т. е. если бы всЬ числа Ьх, Ьв, Ьь, ... были равны
нулю, то предложенное уравнеше привелось бы къ Ф{уг) =0. Оно
имело бы вещественные коэффициенты и было бы нечетной степени
относительно у1, а потому имело бы корень. Итакъ, теорема спра-
справедлива для уравненШ съ вещественными коэффищентами, если сте-
степень уравнешя равна удвоенному нечетному числу.
с) Она справедлива и для всякаго уравнешя нечетной степени
съ вещественными или комплексными коэффиц1ентами.
Действительно, положимъ, что f (z) есть полиномъ нечетной сте-
степени, a g{z) сопряженный съ нимъ. Функщ'я
f{z)g{s) = {и + iv) (и - iv) = ifi + v2,
имеетъ вещественные коэффициенты и степень, равную удвоенному
нечетному числу. По доказанному она имеетъ корень а -4- /,<?. Если
это число не обращаетъ въ нуль f(s), то оно необходимо должно
быть корнемъ g(s), а тогда а — /,i будетъ корнемъ fiz).
*) Если 2/( + 2и± = и = 2v, то a -J- /^ = г = нечетному числу и по-
потому ,н или /fj — нечетное.
494 V, 1. СУЩЕСТВОВАнт и счетъ корней. §§ 448—449
d) Остается, наконецъ, доказать, что теорема будетъ спра-
справедлива для того случая, когда степень п четности г, если допу-
стимъ, что она справедлива для степени п четности, меньшей г.
А для этого достаточно себЪ представить, что всЬ предыдущая
разсуждешя повторены для случая уравнешя съ вещественными или
комплексными коэффищентами. Тогда уравнешя Ш, = 0 и Ф = О,
степеней vBv — 1) и v, четности г — 1, если п = 2v чет-
четности г, по предположенш, будутъ удовлетворяться некоторыми
значешями h и у1. Следовательно, всегда возможно будетъ разло-
разложить у" на два полинома у, и f^, степеней пл и пг. Если одно изъ
этихъ чиселъ будетъ четности, меньшей г, то соотв-Ьтствующдй по-
линомъ будетъ имъть корень, который будетъ также и корнемъ
полинома у". Въ противномъ случай, одно изъ чиселъ и, и щ, на-
примъ-ръ Wj будетъ той же четности г, какъ и п, потому что если
бы оба числа пх и щ были четности, большей г, то и п = п1-\-щ
было бы четности, большей г, противно предположенш. Тогда примъ-
няемъ къ полиному fi предыдущая соображешя и, продолжая такимъ
образомъ, составимъ рядъ полиномовъ, число которыхъ, конечно,
ограничено, потому что степени ихт- убываютъ. Если бы четность г
постоянно сохранялась, то въ самомъ неблагопр1ятномъ случай дошли
бы до полинома степени 2Г, за которымъ необходимо посл-Ьдовалъ
бы полиномъ степени ниже 2Г, а потому и четности, меньшей г.
Такой полиномъ, по предположена, имъ-лъ бы корень, принадле-
принадлежащей, конечно, и данному полиному. Теорема доказана вполнъч
449. Сл1>дств1е. Всякое уравнен1е и-ой степени съ ве-
вещественными или комплексными коэффициентами им^етъ
равно п вещественныхъ или комплексныхъ корней. Мы ви-
д^бли, что /(х) им^Ьетъ, по крайней Mtpt, одинъ корень СЦ. Зам-Ь-
чая, что (см. § 500) f(x) —/(а) всегда дълится на х — а, мо-
жемъ написать, полагая а = at,
гд.Ъ ft(x) полиномъ (п— 1)-ой степени, им"Ьющ1й корень а2, и по-
потому представляюи!1йся въ формЪ (х — a.^f^x) и т. д. Продолжая
такимъ образомъ, получимъ окончательно
(8) f(x) = (.г- — at) (х — а2) (х — п3) . .. (х — а„)
(а0 = 1). Для того, чтобы этотъ полиномъ обратился въ нуль, необ-
необходимо и достаточно, чтобы одинъ изъ множителей обратился въ
нуль; поэтому можно утверждать, что а2, ag,...,an, какъ и а,,
будутъ корнями fix), и что въ области вещественныхъ и ком-
комплексныхъ чиселъ !) другихъ корней не существуете
!) Оговорка относительно природы корней необходима. Действи-
Действительно, Гамильтонъ доказалъ, что общее уравнеше 2-ой степени, напри-
м-Ьръ, им"Ьетъ 16 корней, если въ область разсматриваемыхъ чиселъ вклю-
включить кватернюны.
§ 450 СУЩЕСТВОВАН1Е КОРНЕЙ. 495
450. Прим'Ьчан1я. а) Два полинома, имЪюшде одинъ общдй
корень а, не будутъ взаимно простыми, потому что будутъ иметь
общаго д-Ьлителя х — а, на основанш формулы (8). Обратно, если
два полинома имЪютъ общаго делителя, то каждый корень этого
делителя обращаетъ въ нуль оба полинома. Итакъ, одновремен-
одновременная делимость двухъ полиномовъ на третШ и одновременное
обращеьпе ихъ вь нуль для н-Ькотораго значен1я перемен-
ной суть вполне равносильныя свойства полиномовъ.
b) Ничто не мЪшаетъ тому, чтобы некоторые изъ корней а
были равны между собою. Поэтому целесообразнее, вместо (8),
писать общн-fee
/(*•) = (а- - а^1"' (х - а,)г" (х - аг)г> ... {х - а„)Ч
где теперь уже все а различны и сумма гх + г% -\- ¦ ¦ ¦ + rv всегда
равна степени полинома п. Хотя, въ действительности, будемъ
имъ-ть всего v различныхъ значенШ х, обращающихъ данный поли ¦
номъ f(x) въ нуль, но и теперь удобнЪе говорить, что f(x) имЪетъ
п корней, изъ которыхъ г, равны сц, г2 равны а2 и т. д.
c) Если f(x) им^етъ г корней, равныхъ а, при чемъ век
друпе отличны отъ а, то легко показать, что а будетъ кратнымъ
корнемъ порядка г или г — кратнымъ корнемъ, въ томъ смыслЪ,
который быль опред-Ьленъ раньше (§ 304, Ь). Действительно, изъ
того, что f(x) = (х — a)r<p(x), rat cp(x) цЪлая функц1я, не деля-
делящаяся на х — а, сл%дуетъ, что производная
f'(x) = (л. _ аI-1 [Г(р'х) + (х - а)у'{х)\.
Выражен1е въ скобкахъ не делится на х — а, потому что при х = а
оно обращается въ г(р(а) Ф 0. Следовательно, f (х) имеетъ только
г— 1 корней, равныхъ а, а отсюда следуетъ, что f"{x), f'"(x) ¦¦¦
будетъ иметь соответственно г — 2, г — 3, ... корней, равныхъ а,
такъ что окончательно f-ri(a) уже не равно нулю. Итакъ, если а
r-кратный корень функщи /(х), то оно будетъ (г — 1) — кратнымъ
корнемъ функцш f (х), (г — 2) — кратнымъ корнемъ f" (x) и т. д.,
простымъ корнемъ ^—^(х) и не будетъ корнемъ функцш ^Г)(х).
Для того, чтобы какой нибудь корень f{x) былъ вообще
кратнымъ, необходимо и достаточно, чтобы онъ былъ
корнемъ /'(х).
d) Если коэффищенты f{x) вещественны, то по сказанному
въ конце § 447, каждому мнимому корню а соответствуем дру-
другой а, съ нимъ сопряженный. Къ этому можемъ теперь .добавить,
что если а корень кратности г, то и а — корень той же кратности.
Действительно, х будетъ корнемъ попиномовъ f(x), f (x), ...,f<-''—l\x)
съ вещественными коэффищентами, но не будетъ корнемъ
496 V, 1. существованш и счетъ корней. §§ 450—452
полинома /^Цх). Следовательно, значеше х = а обратить въ
нуль первые г полиномовъ, не обращая въ нуль посдЪяняго.
(Это и значитъ, что а есть г— кратный корень f{x)). Отсюда
слъ\цуетъ, что представивъ f(x) въ виде (8), мы можемъ соеди-
соединить линейные множители, соответствующее сопряженнымъ корнямъ
а и а, въ произведете вида {х2-\-р х-\-д)г, гдъ рад веще-
вещественны, потому что р=—(а-\-а), q — аа. Итакъ, всяк1й по-
линомъ съ вещественными коэффишентами можетъ быть
представленъ въ виде произведеюя линейныхъ и квадрат-
ныхъ множителей съ вещественными коэффициентами.
Общ1е корни двухъ уравненш и кратные
корни.
451. Общ1е корни. Если обозначимъ черезъ ©(.г) общШ
наиболышй делитель полиномовъ f{x) и g(x) и положимъ
/(.v) = /, (д-) ф (х). g (.v) = gl (х) ® (х),
то увидимъ ясно, что всякШ корень ©(.г) будетъ общимъ корнемъ
/(.г) и g(x), и обратно, всяк1й об[щй корень f(x) и g{x) будетъ
корнемъ ©(У), такъ какъ взаимно простые полиномы f\ и gt
одновременно обращаться въ нуль не могутъ. Итакъ, общими
корнями двухъ цЪлыхъ функидй будутъ т-fe и только тЪ,
которые обращають въ нуль общаго наибольшего дЬли-
теля этихъ функщй. Изъ этой теоремы тотчасъ получается раз-
ложен1е общаго наибольшаго делителя на линейные множители.
Если fag имъ-ютъ общими ровно г корней равныхъ а, 5 корней
равныхъ {1, t — равныхъ у и т. д., то общШ наибольшей ихъ дъли-
тель есть
© (х) = {х-а)'\х- JY(x -¦/)'...
Мы сейчасъ увидимъ, что разыскаше общихъ корней находится въ
прямой связи съ методами исключешя.
452. Теорему, служащую основашемъ методы Эйлера (§ 439, а)
можно легко обобщить, замечая, что возможность определить
полиномы
о- _ з m-l , i щ_,_1^
гакъ, чтобы имело место тождество
(9) fgi-gft-0.
§ 452
0БЩ1Е КОРНИ ДВУХЪ УРАВНЕН1Й И КРАТНЫЕ КОРНИ.
497
есть необходимое и достаточное услов1е дли того, чтобы
полиномы
/= аохп
+
+ я», g=
blXm~ 1 + ¦¦¦
имели общаго делителя степени не ниже г. Тождество (9)
разбивается (аналогично тому, что сказано въ § 439, Ь) на систему
линейныхъ и однородныхъ уравненШ относительно чиселъ а и /?,
и возможность определешя требуемыхъ полиномовъ ft и gi равно-
равносильна (§ 56) обращешю въ нуль старшихъ определителей н"Ько-
торой матриссы. Эта матрисса получится изъ
«0
0
0
0
b0
0
0
«1
0
0
h
bo
0
a2 . . .
a1 . . .
a0 . . .
0 ...
b.2 . . .
h
0 ...
0
0
0
an
0
0
6..
если выкинемъ изъ 31 послЪдшя п — г изъ первыхъ и строкъ,
и послЪдшя и —г изъ всъхъ строкъ. Если выкинемъ еше 2 г — 2
посл%днихъ столбцовъ, въ числ% которыхъ последн!е г — 1 состоять
исключительно изъ нулей, то получимъ одинъ изъ старшихъ опре-
определителей cRi—1 матриссы. Остальные, которые мы обозначимъ че-
резъ cRWi? oH^j,..., Щ^Р> получатся изъ Щ_х при последова-
последовательной замене его последняго столбца каждымъ изъ следующихъ
за нимъ г — 1 столбцовъ матриссы (не сплошь состоя щихъ изъ
нулей). Поэтому необходимыя и достаточныя услов1я для суще-
ствован1я тождества (9) будутъ
A0)
,-_! = 0, ЗС\ = 0, 31^! = 0
= 0.
Для облегчешя составления определителей gHf i полезно писать
первыя п строкъ въ определитель 91 въ обратномъ порядке.
Тогда для получешя матриссы, содержащей все определители A0),
нужно будетъ .вычеркнуть первыя п — г и последуя п — г
строкъ (III.)
32
498
V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 453 — 454
453. Такъ, напримъръ, въ случай двухъ уравненШ 4-ой сте-
степени, схема
0
0
0
я0
0
0
0
0
0
«0
h
К
0
0
0
«0
a,
a.2
b.
bo
0
«0
a,
a2
z
b2
bi
bo
«i
a2
as
h
b.
b2
bi
a2
«3
«4
0
0
bi
b.
b2
«3
«4
0
0
0
0
I),
"i
0
0
0
0
0
0
bi
тотчасъ обнаруживаетъ определители
civ, c^X, ол.2 И с11з ~ CIqO± — d^O^.
Далъе, легко вид-Ьть, что элементамъ схемы можно дать ниже-
слъдующее расположен1е
«0
0
0
0
0
0
0
bo
«1
«0
0
0
0
0
bo
bi
«2
a,
a0
0
0
bo
bi
b9
Я3 «4 0
t?2 ^з Яд
<Zj Я*> Яд
b0 h
«2
bi b2 b.
bo b3 bi
bg b± 0
0
0
«4
«3
*4
0
0
0
0
0
«4
0
0
0
454. Предпославъ изложенное въ послъднихъ двухъ §§, пе-
рейдемъ теперь къ той интерпретацш методы Эйлера, которая
дана Сильвестромъ (§ 440). При этомъ всъ уравнетя, получаемыя
по способу Сильвестра, будемъ писать въ такомъ порядкъ (см. § 455),
чтобы коэффищенты получили именно то расположеше, которое
указано въ последней схемъ § 453. Откинемъ i первыхъ и г по-
сл^днихъ уравнен1й, и разсмотримъ остальныя n-{->n~2i уравнен1й
§§ 454—455 0БЩ1Е КОРНИ ДВУХЪ УРАВНЕН1Й И КРАТНЫЕ КОРНИ.
499
какъ линейныя уравнешя относительно степеней х до {п-\-т — г)-ой
включительно. Исключая изъ этихъ уравнешй все степени х выше
г-ой, получимъ уравнеше вида
(Ч)
ш!/> = о.
Если р есть показатель степени 3) (общаго наибольшаго д%ли-
тели f и g), то, очевидно, у и g, одновременно деляшдеся на
всЬхъ линейныхъ множителей 3), будутъ иметь общихъ делите-
делителей вс^хъ степеней не выше р, но ни одного делителя сте-
степени больше р, т. е. тождество (9) будетъ удовлетворяться для
i = 1, 2, .../>, но не будетъ удовлетворяться при г > р. Следова-
Следовательно, на основаши A0), все определители Ж, Жг, 9Ц, ..., 9lp._i
равны нулю, и уравнеше A1) обращается въ тождество 0 = 0,
пока i<ip, а при г = р, наверно будетъ существовать уравнеше
A2)
dip x
= о.
Кроме того, такъ какъ оно удовлетворяется каждымъ изъ р общихъ
корней fug, то 91р ф 0, и уравнеше A2) не можетъ быть сте-
степени ниже р. Итакъ, число общихъ (неравныхъ или равныхъ)
корней fug равно указателю перваго изъ чиселъ ряда
91, oR,, oR2> •••> не равнаго нулю, и значен1я этихъ корней
получаются, какъ решетя уравнешя A2).
455. Возьмемъ для примера опять уравнешя § 453 и составимъ схему
ах~< + ахх6 + а%х7> + аъх* + а±хъ = 0
д0л'6 + Я\ХЬ + а2х* + Яд-*3 + а4,х2 = 0
аох"> + «i^;4 + а2хя -\- аъх2 -\- а±х = 0
я0лг4 4- «i#3 4- a2* ~Ь язА" + я4 = 0
?0*4 4- *i^3 + Ь2х* 4- 63x 4- 64 = 0
= 0
4-
Если выполнены услов1я Sl = 0, bR.i= 0, а оИгфО, то можно утверждать,
что данный уравнешя имЪютъ два и только два общихъ корня. Для опредЪ-
лешя ихъ достаточно исключить .г3, х*, хъ изъ четырехъ среднихъ уравне-
уравнешй схемы. Тогда получимъ уравнеше
a0
О а,
0 b0 b1
bn b, />.,
а2 a?ix2 -\- а±х
0 а1 а2х2 -\- asx 4-
Ь.дх
= 0
32'
500
или
1.
«0
0
0
bo
СУЩЕСТВОВАН1Е И
a1 я2 ai
a« «i «3
b0 b^ b3
bv b2 b.
* +
СЧЕТЪ
ao
0
0
bo
«i
КОРНЕЙ.
Я2 0
b2 0
§§ 455-457
= 0.
456. Кратные корни. Для нахождешя кратныхъ корней раз-
личныхъ порядковъ на практик^ поступаютъ слЪдующимъ образомъ.
Пусть ft (х) есть произведете множителей вида х — а, соотвътству-
ющихъ простымъ корнямъ функщи f{x), /г (х) — произведен1е та-
кихъ же множителей, соотв"Ьтствующ.ихъ двойнымъ корнямъ и т. д.,
такъ что
f{x) .=/1 И/г" (*)/33 (*)Л* (*)¦••
Изъ сказаннаго выше (§ 450, с; § 451) слЪдуетъ, что обшдй наи-
больипй делитель / и производной f будетъ
®i(*) =/я(*)/32(*)Л8 (*)•¦•
Точно такъ же, общдй наибольш1й делитель ®2 полинома ®, и его
производной равенъ _Д/4* • • • > общ.1й наибольш!й д-Ьлитель ®3 по-
полинома ©2 и его производной равенъ Д ... и т. д. РаздЪлимъ f
на 3),, 3), на 3J, и т. д. и пусть частныя отъ этихъ дЪлешй бу-
дутъ q»!, gr,a, cp3, ...; тогда
= /г
= Л И
и, наконецъ,
Я>2
Остается теперь только решить каждое изъ уравнешй
въ отд-Ьльности. Слъдовательно, разыскан1е кратныхъ корней слага-
слагается изъ четырехъ рядовъ операщй, а именно, одного ряда разыс-
кан1й общихъ наибольшихъ делителей, двухъ рядовъ д-Ьлешй, и
наконецъ, одного ряда рЪшенШ уравнен1й съ одними простыми
корнями 1).
457. Дискриминантъ. Чтобы некоторая ц-Ьлая функщя им*ла
кратные корни, необходимо (§ 450, с), чтобы существовали об-
ип"е корни этой функщи и ея производной, а потому результантъ
этихъ двухъ функщи долженъ быть равенъ нулю. Этотъ результантъ
О кратныхъ корняхъ см. Trudi „Teoria dei determinanti" p. 179.
§§ 457—458 ОБЩШ корни двухъ уравнешй и кратные корни. 501
называется дискриминантомъ даннаго уравнешяу"=О и обозна-
обозначается обыкновенно черезъ Л. Для его вычислешя полезно сделать
данное уравнеше однороднымъ, т. е. заменить л: на — и зат-Ьмъ
умножить всЬ члены на у". Уравнеше приметъ тогда видъ
f(x, у) = аохп + а^хп-ху + а2хп~2у2 + ¦¦¦ + а„уп = 0.
Такъ какъ, по теоремъ Эйлера (§ 372), xf/ + yfy' = п/, то вся-
Kift кратный корень функщи f обращаетъ въ нуль и //, и обратно,
всякое число, обращающее одновременно въ нуль fj и fy', обра-
обратить въ нуль f и fx', т. е. будетъ кратнымъ корнемъ f. Поэтому
дискриминантъ даннаго уравнешя можетъ только постояннымъ мно-
жителемъ отличаться отъ результанта частныхъ производныхъ его
лт>вой части.
458. Разсмотримъ, наприм-Ъръ, уравнен1е третьей степени
Полагая
f х, у = аох^ -)- 3alx'iy -\-Зя.,ху2
им-Ьемъ
Поэтому дискриминантъ даннаго уравнетя будетъ (§ 437, ср. § 102)
Л = 4(я0а2 —я'/) (аха3 — а22) - (аоав - a1a.f,
т. е.
А — Ъа^ а? -\-6аоа1а2а3 — а2 а2 — 4а0а23 — 433^^.
Точно такъ же найдемъ дискриминантъ уравнеюя четвертой степени
аох1 -\- 4а, х9 -{- &а2х2 -{-4а3х + ai = 0,
равный, какъ замЪтилъ Буль (Boole),
^ = /з — 27/2,
гдЪ / и / обозначаютъ инвар!анты (§ 87)
/ = aoai — 4а1а3 + За22, / = аоа2«4 + 2а1а2а3 — а23 — «оаз2 "~ ^i^i2
биквадратичной формы аол;4 + 4a1*ejv + •••. Дискриминантъ общаго уравне-
уравнешя и-ой степени есть функщя коэффищентовъ степени 2(и — 1) и въта
п(п — 1). Сильвестръ1) называетъ дискриминантомъ алгебраической формы
съ v переменными результантъ ея первыхъ частныхъ производныхъ. Онъ
будетъ однородною и изобарного функц!ею коэффиц1ентовъ степени vfn—lf^1
и въса и (и —l)^1 *)
J) Philosophical Magazine, 1851.
*) См. Salmon: Algebre superieure, стр. 144—145.
502 V, 1. СУЩЕСТВОВАШЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 459
Упражнешя и приложешя.
459. Одно то обстоятельство, что (§ 449) всяюй полиномъ и-ой сте-
степени разлагается на п линейныхъ множителей, им-Ьетъ многочисленный сл-Ьд-
ств1я, а также важныя и разнообразныя приложешя. Мы начнемъ съ малень-
каго упражнешя, которое дастъ намъ полезный для будущего результата.
Намъ известны корни полинома хп — 1 (§ 394), а именно:
^ ^sin2^ (k = 0, I, 2, ..., и-1),
и теперь мы можемъ утверждать, что
хп - 1 = (х - 1) (х - «) (х- а2) ... (х- а"-1),
или, если раздЪлимъ на х — 1,
хп 1 +хп 2 + •¦• + 1 = (х - о>) (х - oj2) ••• (х - и"),
а потому, при х = 1,
я = A - ш) A - со2) ¦•¦ A - of'1).
Но
1 - w*| = l/('l_Cos™)'J+sin2— =2 sin— ;
следовательно, сравнивая модули объ-ихъ частей предыдущаго уравнешя,
получимъ
r,n-i . л . In . Зп . (п — \)я
и = 2 sin — sin — sin — • • • sin — ¦
n n n n
Если мы теперь раздЪлимъ четверть окружности круга на п частей, рав-
ныхъ h [h = •=— I, то сейчасъ найдемъ и произведете синусовъ угловъ
h, 2h, ... {n—\)h. Въ самомъ дъ-л-fe, такъ какъ сумма угловъ rh и (n—r)h
п
равна -= , разсматриваемое произведена можно написать въ двухъ видахь
sin h sin 2h sin Zh ... sin (n — \)h, cos h cos 2/z cos Sh ... cos (и — \)h.
Отсюда сл-Ьдуетъ, что его квадратъ, умноженный по 2й, равенъ
sin 1h sin Ah ... sin Bи — 2) h = sin - sin — ... sin — = .
n n n 2й
Поэтому !)
Vn
sin h sin 2h sin 3h ... sin (n — 1) h — ——г •
!) Въ .Lehrbuch der Algebra' von H. Weber (Band I, S. 424 и
можно найти друпя интересныя формулы, аналогичныя выведеннымъ.
§ 460 УПРАЖНЕН1Я И ПРИЛОЖЕНЫ. 503
460. Всякую рацюнальную функщю отъ х можно представить въ видъ
частнаго отъ дълешя одной цълой функши /(х) на другую цълую g (x),
при чемъ f n g можно считать взаимно простыми. Если представимъ себъ
еще, что цЪлая часть этого частнаго заранъе выдЪлена, то можно считать,
что степень / ниже степени g. Если извъстны корни функши g (x), то весьма
fix)
важно умъть разложить рацдональную дробь -—- на слагаемыя
просты я дроби, т.е.так1Я,чтобы каждаяизъ нихъ обращалась въ безконечность
только при одномъ изъ корней функши g (х). Предполагая сначала, что всъ п
корней а, /?, у, ..., Я функщи g (x) простые, положимъ, что g(x) предста-
представлено въ формъ (8). Такъ какъ, по предпсложеню, ни fix), ни g' (х) съ
g (х) общихъ корней не им-ьютъ, то существуютъ числа
'(D
и ни одно изъ нихъ не равно нулю. Замътимъ теперь, что функщ'я
а (х - /?) (х — у) ... + Ь (х - а) (х - у) ... + ... + 1{х - а) (х - J) ...
при х — а обращается въ
я (а - Р) (а -¦/)... = ag'(а) =/(а>,
при х — $ — въ /(,?) и т. д., такъ что при п различныхъ значешяхъ х она
принимаетъ значешя, одинаковыя съ /(х). Но такъ какъ ея степень, какъ и
степень /(х), меньше п, то она не можетъ отличаться отъ f(x), иначе раз-
разность между нею и /(х) имъли бы больше корней, чъмъ единицъ въ пока-
зателъ ея степени. Следовательно,
A3) gfx) = х~^а + 7=0 + ¦¦¦ + -х~1 ¦
Переходимъ къ общему случаю, когда g (х) = (х — а)г (х — /3)*(х — ¦/)' . . .,
такъ что g(x) = (х — a)r q>(x), гдъ q> (а)фО. Каково бы ни было аг, имъ-
емъ тождество
f(x) f()()
~ ( )r
(x - a)r <p (x)
Число ar можно определить такъ, чтобы f(x) — arq>(x) дълилось на х — а,
для чего необходимо /(а) — arq>(a) = 0, т. е
Обозначая теперь черезъ/t и ^ частныя отъ дълешя f—ar<f и g на х—а,
получаемъ
Л(*)
(x-a)
и сводимъ дъло къ разложению —. Эта дробь проще данной въ томъ отно-
щеши, что а будетъ корнемъ знаменателя кратности г — \. Представляя
504 V, 1. существовАнш и счетъ корней. §§ 460—461
себъ повторенными предыдущая соображешя, можемъ прямо написать
= _J[__ _
ftW (л: -~ct)r x йН'
гдъ
а /1(а)=_/'(а)-дгФ/(«)_ г! / /(а) /г+1)(»)\
rl-<?(<*) Ф(а) ^(г) (а) \ ' '' + 1 ?W(a)/
Продолжая такимъ же образомъ, дойдемъ до
?- ^Л") г а ?•(*)'
гдъ gr (х) или $ (х) уже не имъетъ корня а. Переходя къ разсмотрънш
корня ,j, а потомъ по очереди и всЪхъ другихъ, видимъ, что окончательно
придемъ къ формулъ
+ + •¦• + -
х- а (лг—«J (.r-o)r
которая, при г = 5 = /= ¦¦• =1 приводится къ A3). Коэффищенты здЪсь
имъютъ болъе сложныя выражен1я, которыя мы вскоръ найдемъ. На прак-
тикъ этими выражен1ями, впрочемъ, ръдко пользуются, предпочитая прибъг-
нуть къ методъ неопредъленныхъ коэффиц!ентовъ, послъ того какъ
возможность представить данную дробь въ видъ A4) установлена.
461. Обыкновенно коэффициенты данной дроби числа вещественный, и
по соображешямъ, которыхъ значеше мы впосл'Ьдств1и увидимъ, желательно
разложить ее на простыя дроби съ коэффициентами также вещественными.
Съ этой цълью линейные множители функши g{x), соотвтэтствующ1е сопря-
женнымъ мнимымъ корнямъ а и а, соединяютъ въ произведете вида x2-\-px-\-q
450, d), гдъ р и q—числа вещественныя. Такъ какъ числа, получаемыя при
подстановка въ —г сперва а, а затЬмъ а, будутъ сопряженными (§ 447),
то корни а и а дадутъ въ формулъ A3) членъ
т т ах -\- b
х — а х — а х- + рх + Ч '
гдъ а и Ь числа вещественныя, потому что а = т -\- т, b = —{та-\- та).
Переходя къ случаю кратныхъ корней, полагаемъ ^(.г-) = (х2-\-рх-\-qIф(.т)
и замъчаемъ, что въ тождествъ
fix) = ax + b f(x)-(ax + b)cp(x)
g(x) Y^
числа а и Ь можно определить такъ, чтобы f — {ах -\-Ь)ср дълилось на
х2 + рх + q. Для этого достаточно вычислить число т — \ и положить
а а + Ь = т, а а -{¦ Ь = т, откуда для а и Ь получатся вещественныя зна-
§§ 461—462 упражненш и приложенш. 505
чешя. Продолжая идти гёмъ же путемъ, какъ въ предыдущемъ параграф^,
увидимъ, что каждая пара мнимыхъ сопряженныхъ корней кратности г
дастъ въ разложенш — на простыя дроби сумму членовъ слътгующаго вида:
ахх + Ьх а2х + bo агх + К
х* +рх + q + (*2 +рх + qf + ¦" + (л;2 +рх + qf
462. Возвратимся къ вопросу § 460 и разберемъ его иначе съ цъ\пыо
получить обшдя выражешя коэффишентовъ разложешя. Положимъ, что g
им^Ьетъ v различныхъ корней а, в, у, • •., "/. кратностей г, s, t, ..., k соот-
соответственно, такъ что
g{x) = (* - af(x - ff)\x - у/ ...(х- ?.)к.
Положимъ для сокращешя
gi(x) = (х - $)н(х -уI ...(х- Я)к, gi(x) = {х- /)' ... (дг - Л)*. ...,
Такъ какъ g1 не обращается въ нуль при х — а, то можно, при дъ\ленш
У на ^1( расположить частное по восходящимъ степенямъ х — а. Такъ какъ
/ степени ниже п, a g1 степени п — г, то получимъ г членовъ упомяну-
таго разложешя, т. е., имЪя
A5)
зам^чаемъ, что /х будетъ степени ниже п — г. Точно такъ же, разделяя /j
на ^О' степень котораго равна п — г - s, и выписавъ 5 членовъ, получимъ
( Щ = bs + *,_, (х ~ Р) f b,__s (х -№+¦¦¦
A6) { 8*{х)
rat /2 будетъ степени ниже п ~ г — 5. Продолжая такимъ образомъ, дой-
демъ до функцш fv_x степени не выше k — 1, и можно будетъ написать
/„_! (X) = /д. + /*_! (Ж - Я) + /»_2 {X - 1J + •' • + к (X ~ А)* •
Теперь д-Ьлимъ A5) на (х — а)г, загёмъ A6) на (х — /?)8 и т. д., наконецъ,
последнее уравнен1е на (х — Х)к. Суммируя, мы снова получимъ формулу A4).
КромЪ того, изъ самаго процесса, посредствомъ котораго мы установили
равенство A5), вытекаетъ, что ar, ar_i, ar_2,... будутъ первые г коэф-
фищентовъ въ разложен1и функщи
gl{x) (X a> g(x)
по восходящимъ сгепенямъ (х — а). Но мы имЪемъ
+ „ _
506 V, 1. СУШ.ЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 462
и умножеше рядовъ
аг + аг_,{х-а)+а^2(х^ а? + -, ^^ + {х - а)^^}
должно дать рядъ
/(*) = Да) + (х- аI-^ + (х- aff-^ + ¦ • • .
Отождествляя произведете первыхъ двухъ съ поагЬднимъ, найдемъ
/'(a).
A7)
,-! +"»¦ (г+1)!
я>--1 "G+
Изъ этой системы линейныхъ уравнен1й мы и найдемъ последовательно
коэффищенты аг, аг_1, аг_2,..., изъ аналогичной системы, относящейся
къ корню /3. найдемъ коэффищенты bs, bs_1, ... Действительно, эти числа
будутъ первыми 5 коэффициентами въ разложен1и функщи
по восходящимъ степеням-ь х — /? При этомъ h(x) обозначаетъ ращональ-
ную функщю, остающуюся конечною при дг = /? и, следовательно, разла-
разлагающуюся по восходящимъ степенямъ х — Д. Но такъ какъ въ разложенш
(л: — [3)sh(x) являются лишь степени х — а съ показателями, не меньшими 5,
то bs, bt_1, .. . будутъ также первыми s коэффициентами въ разложенш
fix)
(х — fif-A-r, и потому будутъ удовлетворять систем* уравнен1й, которая
S \х)
отличается отъ A7) только тъмъ, что на место а поставлено /3, а на место
г поставлено s. Все сказанное относится и къ остальнымъ коэффищентамъ
ct, ct_x ... и т. д. Къ формуле, более общей, чемъ A4), придемъ, исходя
изъ какого нибудь разложешя ^(л:) на множители, взаимно простые одинъ
относительно другого попарно,
Тогда найдемъ
/(*) = у \<*Л*) , аЛх) , , ar(x)]
g(x) Zj 1<р(х) ~^ щ(хУ ^ <рг{х)У
где суммироваше распространяется на все множители ср,х,ч>,..., и ai,bi,ci,..-
будутъ прилично выбранныя целыя функши, степеней соответственно низ-
шихъ, чемъ ф, %, у>, ... (См. прим. IV.) Изъ этой формулы въ частности
§§ 462—463 упражнешя и приложешя. 507
слъдуетъ, если припомнимъ заключительное замъчаше § 450, то разложеше
на дроби съ линейными и квадратными знаменателями, и съ вещественными
коэффищентами, которое мы дали въ предыдущемъ параграфъ.
463. Другое полезное приложеше формулы (8) состоитъ въ разложе-
нш sin х и cos х въ безконечныя произведешя. Мы будемъ исходить изъ
доказанной въ § 393 формулы:
sin „г 8 = ™ cos—1 8 sin 8 - т {т ~ '> (f ~ ^ cos"-3 8 sinB 6 + ....
1 1 - 2 • о
Пусть т равно нечетному числу 2и + 1; положимъ mb=x, sin2 8 = z.
Тогда предыдущую формулу можно написать такъ:
Правая часть есть цълая функщя отъ г степени п\ независимый членъ,
какъ легко видъть, равенъ 1. Поэтому, разлагая эту функшю на линейные
множители, можемъ написать:
Корни а1( а2, ..., ип получимъ, опредъливъ тъ значешя х, которые обра-
щаютъ въ нуль числителя sin х, отбрасывая значеше х = 0, которое обра-
щаетъ въ нуль и знаменателя левой части. При х = л, 2л, ..., пл, полу-
получимъ корни
. „ л . „ 2я; . „ пл
аЛ - sin2 тг , а9 = sin2 s , ..., а„ — sin2 г •
1 2и 4- 1 " 2и + 1 " 2и+1
Поэтому будемъ им^ть
sin х
A8)
Bп -+-1) sin
2и + 1
2n+lj
Выбравъ определенное значен!е х, обозначимъ черезъ v наибольшее целое
число, заключающееся въ — , и пусть п > v. Множители, слЪдуюцце за
СХ
v-тымъ въ произведеши A8), всъ заключаются между 0 и 1, произведен!е
ихъ меньше 1, но больше (§ 155), чъмъ
A9)
2n+\
508
V, 1. СУЩ.ЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
§ 463
Теперь замЪтимъ следующее: когда 9 изменяется по абсолютной величинъ
отъ 0 до -уг, какъ это и имЪетъ мЪсто для всЪхъ дугъ. входящихъ въ раз-
sin 8 „ ,2
сматриваемое нами выражеше, то—-— убываетъ отъ 1 до—, такь что
4G2
—, < sin2 9 < О2.
л2
Поэтому число, стоящее въ скобкахъ формулы A9), навЪрно меньше, чЪмъ
rl X2
1
X* ут 1 Xе ут
~±2j г2 < Т j?j r(r-1) ~ 4г> '
,.+i «4-1 v '
х2
а следовательно, выражеше A9) заключается между 1 и 1 — -г- и можетъ
fa;2
быть представлено въ видЪ 1 — -j— , гд% /—число, изменяющееся BMtcrt
съ х, п и v, но всегда лежащее между 0 и 1. Теперь мы можемъ написать
правую часть формулы A8) въ видь-
Ч
+Ч
I
sin2 n I
2я + 1/
sin2
1 -¦
1 -
sin2
sin2
X
2n+l
vn
2м+ 1
1 -
Av
Установивъ это, фиксируемъ v и увеличиваемъ п до безконечности. Оче-
Очевидно, будемъ им-бть
~-
2п 4-
lim
sin
гя гл
2я+ 1
tx2
при всякомъ значенш г. Что касается послЪдняго множителя 1 — -j- ,въко-
торомъ изм%няется одно /, то онъ долженъ стремиться къ опред-Ьленному
tx2
пред%лу, потому что 1-— равно отношен1ю н%котораго числа, стремящегося
sin х . .
къ пределу , къ другому числу (произведен!ю всЪхъ другихъ множите-
множителей правой части формулы A8)), стремящемуся къ предълу, не равному
нулю. Поэтому и t стремится къ н-Ькоторому пред-Ьлу, очевидно, лежащему
между 0 и 1, Итакъ,
*.*-*{i-?Wi-?)- i-^
1 -
л/ \ 4л*I \ v*n*i \ Av)
Если, наконецъ, будемъ и v увеличивать безпред%льно, то получимъ
(ОГ\\ ' /1 ill 1/1 "
Аналогичныя соображешя могли бы дать и разложеше cos .г; но его можно
§§ 463-464 УПРАЖНЕНШ И ПРИЛОЖЕНШ. 509
получить проще, замечая, что
sin 2 л:
cos х = ¦——,
2 sinx
и пользуясь полученнымъ результатомъ B0). Такимъ образомъ найдемъ
B1> cos* = A--^-j г-«Ы l1-^
O6t формулы принадлежать Эйлеру.
464. Въ заключеше укажемъ некоторыя изъ важнейшихъ приложешй
последнихъ формулъ.
а) При х = -7г, формула B0) даетъ
¦^- 0 -т) (• -га) 0 -i) 0 -^) (' -
ОбщШ членъ этого произведешя можно написать такъ:
1 _
4и2~"
2« 2«
Следовательно,
.т_22 446688 10
"~Т'"'3""~'У'Т'Т'"9" '"'
Это формула Валлиса (Wallis).
b) Раньше (§ 221) мы нашли
B2) и1 = в«"+тГ"+й".
Формула Валлиса позволяетъ теперь найти постоянную а. Действительно,
мы можемъ написать
п ,. 2 2 4 2и 1 / 2-4-6 ••• In
= i,m . . . . . — = hm ---
/ loo /к — i n x /'
Съ другой стороны, съ помощью формулы B2) выводимъ
4 0—0'
2-4-6 ¦¦¦ 2« B-4-6 ¦•• 2иJ _4И(«!J т/« "^ilT
1-3-5 ¦•• B« — 1) ~ 1-2-3-4 ••• 2и ~ Bя)!
6 и 6' лежатъ между 0 и 1. Следовательно,
А— 4 9-6
и наконецъ, а =
/— А— 4 9-6'
510 V, 1. СУЩ.ЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 464
с) Взявъ сперва логариемы отъ обЪхъ частей равенства B0), а по-
томъ производный, получимъ
,,„, , 1 / 2х 2х 2х
B3) cot * = - - ( + +
Это разложеше законно, потому что рядъ въ скобкахъ равномерно схо-
дящШся (§ 323, § 319, а). ЗамЪтимъ, что, вслЪдсттае равенства
2х 1 1
п- л- — x* nn — x n я -j- x
можно писать
cot л- = У1 —
^-/ X — I!,t
_ х
Такимъ образомъ, обнаружены rt значешя, х, которыя обращаютъ cotg x
въ безконечность, подобно тому какъ формулы B0) и B1) обнаруживаютъ
тъ значешя х, при которыхъ sin x и cos x обращаются въ нуль.
d) Формула B3) имъ-етъ важное приложеше. Она даетъ возможность
вычислить суммы
для всякаго четнагоД Действительно, изъ B3) выводимъ
X COt X = 1 — У7 -,;--,- 5 = 1 — У^ ( -ТГ + "^"I + ~S
^П-П--Х- ^ \П-П- П Л, П
ИЛИ
Съ другой стороны, известно, что (§ 353)
А изъ сравнен1я двухъ разложенШ *) получаемъ
iii I п/'—
, ,1 , 1,1, = (-1>
^ 22i> 32р 42р '
' 2 • 3 • • • Чр
что раньше (§ 365, а) было найдено инымъ путемъ.
е) Къ свойствомъ функщи Г(х), доказаннымъ въ § 252, мы можемъ
теперь присоединить еще одно новое, въ высшей степени важное. Формула
Вейерштрасса даетъ непосредственно
ГA + х) ГA - х)
*) На основан1и теоремы о тождествЪ степенныхъ рядовъ, доказанной
на стр. 351.
§§ 464—465 СИММЕТРИЧЕСК1Я ФУНКЦШ И Т. Д. 511
откуда
Г(х) ГA - х) = -Л—
' ' sin я;*
Въ частности, Fz(^) = л, отсюда
Симметричесюя функцш и функцш, им^ющ^я не-
несколько значенш.
465. Симметрическ1я функции. Функщя отъ п перем-Ьнныхъ
а,, а,2,...,а„ называется симметрическою, если она не м-Ьняетъ
своей формы ни при какомъ перем-Ьщенш перем-Ьнныхъ. Такъ, на-
примЪръ, симметрическими функщями будутъ суммы ср всевозмож-
ныхъ произведен^ по р множителей въ каждомъ, т. е.
С1 ~ а1 + а2 + ''' + аи > С2 — а1 а2 + а1 аЗ + а2 аЗ + ' " > " ' ' сп = а1 а2 '' ' а" •
Эти суммы называются элементарными симметрическими функ-
1Иями. Если положимъ, что всегда возможно,
аохп + а1хп^1 + ¦¦¦ + ап = ао(х — ах) {х - а2) ¦¦¦ {х — а„),
то, раскрывая правую часть и отождествляя съ лЪвою, получимъ
соотношешя
г _ °1 с _ а2 - _ аЯ __ , п»°»
С л — ) Со —~t (,„ —. *••» ^м I — I) 5
«о "о «о «о
которыя надо запомнить. Въ частности, надо помнить, что въ каж-
каждомъ алгебраическомъ уравненш сумма корней равна ко-
коэффициенту при второмъ член-fe, раздЪленнному на коэф-
фиц1ентъ при первомъ, взятому съ обратнымь знакомъ.
(Предполагая, конечно, что члены расположены по порядку убы-
ван1я степеней.) ЗагЬмъ, важно заметить симметрическ1я функщи
частные случаи функцш
B4) ^VVo/1 •••«/.-.
которую получимъ, если подъ знакомъ суммы переставимъ переменный
вс-Ьми возможными способами. Ясно, что комбинируя линейно раз-
различный функцш вида B4), получимъ всЬ ц-Ьлыя симметричесюя функ-
функщи, кашя вообще могутъ существовать.
512 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 466-467
466. Формулы Жирара (Girard). Взявъ производную отъ
цтзлой функцш f(x), разложенной предварительно на линейные мно-
множители, получимъ
х
fix) х — ах х — а2
При х | > [ а имъемъ
+ 4 + ^
х - а х х1 х°
Поэтому, при модул% х, большемъ модулей всЪхъ корней уравне-
шя f(x) = 0, найдемъ
/'(•f)=^o , s1 , ?2
fix) X ^ X* ^ Л»
а отсюда получается тождество
= и-(и- 1)^ + (к-2)^- •••. (VI.)
Ряды зд%сь можно продолжить до безконечности, условившись счи-
считать Ср = 0 при р^>п. Сравнивая коэффищенты при х~~р, получимъ
(« — Р) ср = S0Cp - S^Cy^ + S2Cp__2— ¦¦¦ ±Sp
или
PCP = 5i^-i - s2cp-2 + s»cp-3 -T -"г,-
Это есть формула Жирара L), позволяющая последовательно выра-
выразить числа 5 и числа с, одни черезъ друпя, въ вид% ращональныхъ
функщй. При этомъ найдемъ соотношешя (VI bis):
2- 65
467. Формулы Варинга. Къ тъмъ же соотношешямъ можно
прямо придти, исходя изъ тождества:
1 — I | I . - I • ' ' I 1 " ~ I = I — Г~ ^ ~~ ' ' ' 2t п '
X I \ XI \ XI X "К v
Полагая для кратности
г) Остроумное и наглядное доказательство еямож но найти у Lucas
„Theorie des nombres" p. 268.
§ 467—468 симметрическш функцш и т. д. 513
получимъ изъ упомянутаго тождества, логариемируя и пользуясь
известными разложешями върядъ (предполагая \x\^>\av\,v = 1,... ,п;
§ 332, а, с), следующее равенство
B5) v = - log A - и) = и + i Ф + 1- ил + ¦¦¦
При этомъ, конечно, предполагается, что \х\ достаточно велика, чтобы
\и' была <^ 1, что всегда возможно, потом}' что и стремится къ
нулю, когда | х \ возрастаетъ безпред+эльно. Обратно, им-Ьемъ
B6) „=!-.-=-" ' *
„=1_в=т.._ + __
Обозначимъ теперь черезъ
сумму всЪхъ произведенШ е,; е,-2 ... ?,., въ которыхъ положительныя
ц1;лыя числа г,, ц, ...,/,-, равныя или неравныя между собою, им%-
ютъ сумму, равную р. Иными словами, положимъ
Теперь стоитъ только сравнить коэффициенты при х~р въ об-Ьихъ
частяхъ равенства B5) и B6), чтобы получить формулы Варинга:
468. Теорема. Всякая цълая симметрическая функцдя
есть цълая рац1ональная функц1я отъ элементарныхъ сим-
метрическихъ функшй.
Эта важная теорема уже доказана для функщй sl, s.,, ss,... ,
т. е. для функщй типа B4) при v = 1. Остается показать, что она
будетъ справедлива для даннаго v, если допустимъ ея справедли-
справедливость для вс+эхъ меньшихъ значешй v. Если вь выражен!и B4) вы-
полнимъ одно суммирован1е, то выражеше это можно будетъ на-
написать такъ:
Vv^ (s
Функц!и, стоящ1я въ правой части, будутъ также типа B4) съ тою
лишь разницею, что въ нихъ v заменено черезъ v — 1 или 1. По
33
514 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ §§ 468—470
условш Bcfe онЪ выражаются целыми рацюнальными функщями отъ
элементарныхъ симметрическихъ функцШ. Следовательно, то же са-
самое можно утверждать и о лЪвой части. Сделанное преобразоваше
предполагаетъ, собственно говоря, что вс-fe числа р различны, но
если два или несколько показателей будутъ между собою равны, то
получаемыя при этомъ приведешя, теоремы не нарушаютъ.
469. Приведемъ н-Ькоторые прим%ры. Функщя B4) при v = 2 равна
Следовательно,
<27)
если, однако, рх = р2 = р, то каждый членъ былъ два раза сосчитанъ въ
сдЪланномъ преобразовали, а потому, то, во что обратится выражеше B7)
въ данномъ случай, равно половинЪ предыдущаго результата:
Точно такъ же им-Ьемъ
S^n Pi „ Рг ,, Рг — \^„ Pur I'lfc _ п Рг „ 1>'\
/, а1 «2 аЯ ~ /, а1 а2 \sjK al ~~ а2 )¦
Пользуясь формулою B7), можно посл-Ьднее выражен1е написать такъ:
Следовательно, получимъ
B8) ^<i?'ui'«ih =
При p] = p2 = ря = p будемъ им%ть
^Jafa/a/ = i (Sp3 - 3sps2p + 2s3p).
470. Въ практическихъ вычислен1яхъ удобн-Ье не делать
обхода черезъ функщи s, и этого можно достигнуть, руководясь
разсмотр-Ьшемъ в%са и степени вычисляемой функцш. Въ выра-
выражеше функцш B4) черезъ числа с не могутъ входить члены, въ
которыхъ число множителей больше р, если р наиболышй показа-
показатель чиселъ а въ B4), потому что всякое с первой степени отно-
относительно каждаго а. Съ другой стороны, степень каждаго с относи-
относительно вс+эхъ перем%нныхъ а какъ разъ равна указателю этого с.
Поэтому въсъ искомаго выражешя равенъ числу всьхъ равныхъ или
§§ 470 — 471 СИММЕТРИЧЕСКШ ФУНКЦШ И Т. Д. 515
неравныхъ множителей а, входящихъ въ выражеше B4), т. е.
числу рх -\-рг + •¦ • -\-pv Положимъ, напримъръ, что требуется
выразить
черезъ элементарный симметричесгая функщи. Формула B8) даетъ
тотчасъ
Теперь надо было бы выразить всъ 5 черезъ с, но выкладка была
бы очень длинна, и результатъ трудно было бы проверить. Между
тъмъ послъдшя замъчашя позволяютъ прямо написать
]? а^а^ = k0c6 + Vics + hc2ci + hc32 + к^с^ + k-ncj + kgC^c^
Численные коэффищенты ko, ki, ..., ks опред-Ьляютъ, написавъ пре-
предыдущее равенство семь разъ для произвольно выбранныхъ част-
ныхъ случаевъ. Такимъ образомъ, получается вообще система линей-
ныхъ уравнен1й, которая и даетъ значешя k. Въ данномъ примъръ
найдемъ 1)
ои?а? = - 12ce + 7clC-0 + 4^ -Зс? - Ъс?^ + Clc,c.A. (V1II.)
471. Вычисление дискриминанта. Большой интересъ пред-
ставляетъ симметрическая функщя
A = {aL — a^l^ - asf-(a2 - a3f ... (аи_1 - аяJ,
которую называютъ дискриминантомъ (§ 33, Ь) чиселъсц, а2,..., а„.
Обращен1е дискриминанта въ нуль есть, очевидно, необходимое и
достаточное yoiOBie равенства двухъ или нъсколькихъ чиселъ а.
Отсюда ясно (§ 457), что дискриминантъ алгебраическаго уравнешя
можетъ отличаться отъ дискриминанта его корней только постоян-
нымъ множителемъ. Такимъ образомъ, мы получаемъ новую методу
для вычислешя дискриминанта даннаго уравнетя. Дискриминантъ
уравнения третьей степени
X3 — С] X3 + С2Х — Сд = 0,
напримъръ, равенъ
Л = (а2 -- ан)-(а3 — а,J^ — а2J,
!) Существуютъ таблицы симметрическихъ функшй до 13-й степени
(относительно а) включительно, въ которыхъ эти функшй выражены въ
элементарныхъ с. См. Salmon-Fiedler, Algebra der linearen Transform.,
2-ое изд. стр. 444. Въ нЪмецкомъ изданш Fiedler*a таблицы приведены
только до 6-ой степени. До 10-й степени эти таблицы им-Ьются и во фран-
цузскомъ перевод^ О. Chemin'a (стр. 504), цитированномъ выше.
33*
516 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 471
nvfe сц, а2, а3 — корни этого уравнешя. Чтобы выразить его черезъ
числа с, примънимъ методу, указанную въ предыдущемъ параграфа
Примемъ во внимаше, что каждое изъ а входитъ въ разложеше А
въ четвертой степени, что каждый членъ этого разложешя заклю-
чаетъ чъ себЪ шесть множителей (равныхъ или неравныхъ), и на-
конецъ, что ср = 0 при р > 3. Поэтому намъ надо прежде всего
найти вс+э разложешя числа 6 на четыре ц-Ьлыхъ слагаемыхъ, заклю-
заключающихся между 0 и 3, включая границы. Эти разложешя будутъ:
О + О + З + З, 1 + 1+2 + 2, 0 + 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1+3,
0+1+2 + 3.
Теперь мы уже можемъ положить
А = koci + kxc?-c? + k,cg + k3cxsc3 + k^c, ca,
Для опред%лен1я коэффищентовъ k будемъ давать числамъ а раз-
личныя частныя значен1я. Прежде всего зам-Ьтимъ, что при а3 = О
вышеприведенное уравнен1е переходить въ следующее (§ 465)
(ах — а.,J = ky («! + а2)'2 + ^2а1а2>
откуда видно, что &4 = 1, /гг = — 4. Примемъ теперь за а
кубичесие корни изъ 1 и замътимъ, что гJ — 1 = ы (со — о>г),
1 —- со = сог(со — oj2); тогда найдемъ Л = {со — с-JN = (]/"— ЗN = — 27.
Съ другой стороны, Cj = с2 = 0, съ = 1; с.тЬдовательно, Л = k0.
Итакъ, k0 = — 27. Положимъ, далъе, а, =2, а2 = 2, а3 = — 1,
при чемъ находимъ сх = 3, с2 = 0, с3 = — 4; тогда получимъ
4^0 = 27^з, откуда ks = —4. Положимъ, наконецъ, ах = 1, а2 = 1,
а3 = — 1, при чемъ получимъ ct = 1, с2 = сз = — *> тогДа найдемъ
^o + ^i—^2 — ^з + ^4 = 0» и ^4 = 18. Слъдовательно, (ср. § 458)
B9) А = -27 с? + с? с/ - 4 с23 - 4 q» с3 + 18 q с2 с3.
Можно зам-Ьтить, что дискриминантъ уравнен1я ;гой степени всегда
и (я—1)
содержитъ въ ce6t членъ (— 1) а ппс%~~х (IX). Наконецъ, не
мъшаетъ напомнить (§ 33, Ь), что Л выражается въ суммахъ 5 въ
вид+э квадрата опред-Ьлителя Вандермонда. Для уравнен1я 3-ей сте-
степени
Л =
s0 s±
sl S2
So = —
выражен1е, приводящееся къ виду B9) съ помощью формулъ, дан-
ныхъ въ конц^Ь § 466.
472-473
СИММЕТРИЧЕСК1Я ФУНКЦ1И И Т. Д.
517
472. Teopia симметрическихъ функщй даетъ новую методу
исключешя, которую теоретически можно считать наиболее удов-
удовлетворительною. Если fug ц%лыя функщй отъ х\ alt ai, ..., ап
корни первой, /?,, /?2, .../?„, корни второй, то необходимое и до-
достаточное yoiOBie для того, чтобы / обращалось въ нуль при х
равномъ одному изъ корней g, состоитъ въ томъ, чтобы
/(&)/(&).../(?») было равно нулю. Но /(&)/(&).. ./(ft.)
цълая симметрическая функщя корней функщй g, и потому мо-
можетъ быть выражена цътюю ращональною функщею отъ коэффи-
щентовъ данныхъ полиномовъ, откуда и получается новая метода
для вычислешя результанта. Итакъ, результантъ / и g можетъ отли-
отличаться только постояннымъ множителемъ отъ каждаго изъ произ-
ведешй
Та:<имъ образомъ, теорема Безу (§ 443) становится очевидною.
Замечая, дал-Ье, что полиномы / и g можно написать въ ввд/Ь
/(х) = (х — aj) (х - а2) ... (х - а„), g (х) = {х - ,^) (х - J2) ... (х - ,1т),
изъ предыдущаго видимъ, что результантъ равенъ
i^n n, m
/J (a,. - А) («, - ,1?) ... (а. - jj = [J (a, - fy,
т. е. произведенш разностей между всЬми корнями одного поли-
полинома и корнями другого.
473. Последняя метода исключешя можетъ служить для вычислешя
н-Ькоторыхъ определителей. Такъ наприм%ръ, составленный по методе Эй-
Эйлера результантъ функщй
равенъ
х" — 1, f{x) = Я] + а2х + <73а-2 +
«1
О
О
О
я..
апх«-
О ..
О ..
0
- 1
0
0
0
1
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
«1
0
0
а2
1
0
«з ¦¦
0 ..
1 ..
. а
. 0
. 0
о о
518
V, 1. СУЩЕСТВОВАШЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
473-475
Складывая первые (и —1) столбцовъ последовательно съ каждымъ изъ и —1
послъднихъ, получимъ
C0)
*3 • ¦ • un
... ап
а, ... ал
а
с
Ь
Ъ
а
с
с
Ъ
а
Метода Безу дала бы послътшШ результатъ непосредственно. Съ другой сто-
стороны, тотъ же результатъ, какъ мы видъли, равенъ/A)/(и)/(ш2) .../{тп~1)>
гдъ 1, ш, ш2, ..., ип~г корни и-ой степени изъ 1. Сравнеше двухъ выра-
жен1й и дастъ значеше циркулянта C0) (ср. § 33, с). Напримъръ,
= (я + Ь + с) (а + ыЬ -)- т2с) {а + m2b -f тс).
Выполняя умножешя и зам%чая, что и -f ш2= — 1, ш3= 1, получимъ въ пра-
правой части
(я + Ь + с) (я2+ 62+ с2 - be — с а - ab) = «3+ б3 + с3 - Зябс.
474. Функц1и, им-Ьющ1я два или несколько значен!й.
Функщя отъ п перем-Ьнныхъ, для всякой системы значен!й этихъ
перем%нныхъ, можетъ вообще принять п\ различныхъ значен1й,
т. е. столько, сколько перестановокъ можно сделать изъ этихъ п
перемънныхъ. Но понятно, что для нъ-которыхъ спещальныхъ функ-
щй число этихъ значегай можетъ быть и меньше. Такъ напримт>ръ,
симметричесюя функщи им'Ьютъ только одно значеше для каждой
системы значешй этихъ перемт>нныхъ, и этимъ свойствомъ, какъ
легко можно показать1), он% вполн% характеризуются. Опреде-
Определитель Вандермонда (§ 27, d; § 471) или У Л можетъ принимать
только два значешя, потому что всякая транспозишя двухъ пере-
мЪнныхъ м-Ьняетъ только его знакъ, такъ что всякая четная подста-
подстановка оставляетъ его безъ изм^немя, а всякая нечетная переводитъ
его въ — У~Л. Функщи, им%ющ1я, какъ У Л, лишь два значен1я,
отличающихся только знакомъ, называются знакопеременными.
475. ОбщШ видъ вскхъ знакоперем%нныхъ функщй
есть дУЛ, гд% g симметрическая функция *). Существуетъ,
по крайней Mtp-fe, одна транспозищя, которая изм^няетъ данную
функщю <р въ — д>; иначе (р была бы симметрическою функщею,
!) См. Netto „Substitutionentheorie", S. 1.
*) Подразумевается, что функц1я ц%лая рацюнальная относительно
всЬхъ перемЪнныхъ.
§§ 475—477 симметрическш функцш и т. д. 519
потому что оставалась бы неизменною при всякой подстановка
(§ 5). Пусть эта транспозищя будетъ (a{a,i). Она ничего не изм-Ь-
нитъ въ функщи у, если а,- = а,-, следовательно, въ этомъ предпо-
ложенш (р = — (р, т. е. (р равна нулю при а, = aj. Отсюда сл-Ь-
дуетъ (см. выноску), что <р д-Ьлится на а; — О/, а <р2 на (а,-—а,-)*.
Но функщ'я д>г, очевидно, симметрическая, а потому не можетъ
заключать въ себе множителя (а, — а/}2, не заключая въ то же
время и всЪхъ другихъ ему аналогичныхъ. Она делится, сл-Ьдова-
сл-Ьдовательно, на Л, а функщя д> на У Л. Пусть теперь v наивысцнй по-
показатель степени У А, входящШ множителемъ въ (р. Если бы v
было числомъ четнымъ, то частное отъ д-Ьлешя <р на симметричес-
симметрическую функщю (УЛУ, было бы знакоперемънною функцдею и по-
потому содержало бы еще друпе множители, равные У Л, что проти-
противоречить предположена. Следовательно, v равно нечетному числу
2k-{-\ и <р v необходимо будетъ симметрическою функщю д/
Итакъ, можно положить
где g = g'. Лк симметрическая функьця. Заметимъ, наконецъ, что
подстановки, не меняющая <р, очевидно, совпадаютъ съ теми, кото-
рыя не меняютъ У Л, т. е. съ четными. A priori этого мы не мо-
могли бы утверждать.
476. ОбщШ видъ функций, имеющихъ два значетя,
есть g,+g2jAd, где gt и g2—симметрическ1я функц!и. Пусть
g9j и д92 будутъ два значешя разсматриваемой функщи. Всякая под-
подстановка, произведенная надъ переменными, оставляетъ q>i отлич-
нымъ отъ д94, потому что подстановка изменяетъ лишь обозначеше
переменныхъ. Отсюда следуетъ, что любая подстановка либо не
м^няетъ ни g9t ни д92, либо переводитъ одну въ другую. Следова-
Следовательно, g9, -f- 4>г симметрическая, а «р, — (рг знакопеременная функ-
функщя. Отсюда следуете; что можно положить
откуда
(Pl = ?l + Й У -4 <Р2 = Si — ?2 V~d-
477. Функц1и, не изменяющ{яся при любой четной под-
подстановке, или при любой круговой подстановке трехъ пере-
переменныхъ, не могутъ иметь более двухъ значен1й. Сперва за-
мечаемъ, что функщя, не меняющаяся при любой круговой подста-
подстановке трехъ переменныхъ, не изменится и при любой четной под-
подстановке (§ 10). Если бы функщя, кроме значешй <р, и <р2, имела
еще третье q>3, то подстановки, изменяющая g9t въ q)i и д>„ въ д>3>
520 V, 1. СУЩЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 477—479
были бы необходимо нечетныя, и взятыя вмъхт% были бы равно-
равносильны четной, а потому <р3 не могло бы отличаться отъ q>l. Эта
теорема легко распространяется на функщи, не изм-Ьняклщя своего
значешя при всякой круговой подстановка опредЪленнаго нечет-
наго числа перемънныхъ.
478. Кром-fe симметрическихъ и знакоперем-Ьнныхъ
функилй, не существуетъ другихъ, степени которыхъ мо-
гутъ быть симметрическими функилями. Пусть ср несимметри-
несимметрическая функщя, но такая, что некоторая ея степень (рР — симметри-
симметрическая функщя. Легко уб-Ьдиться, разлагая показателя, на простые
множители, что при разысканш функщй ц> можно ограничиться слу-
чаемъ р простого *). Если <р не симметрическая функщя, то суще-
существуетъ, по крайней м-Ьр-Ь, одна транспозищя, которая изм-Ьняетъ
одно изъ значенШ функщй, наприм-Ьръ, q>v въ некоторое другое,
положимъ, д>2. Но по предположен^ при любой подстановка
g9jp = ф/, откуда фг = ajq)l, гд-Ь, какъ обыкновенно, со есть корень
степени р изъ 1, не равный единицъч Если примЪнимъ упомянутую
транспозищю вторично, то предыдущее соотношеше перейдетъ въ
ср1 = ы(р2, откуда путемъ умножешя получается со2 = 1. Такъ
какъ р по предположена, число простое, то необходимо р = 2,
а следовательно, <р% = — <pt, и функщя будетъ знакоперем-Ьнною,
если она не симметрическая.
479. Если число перемт>нныхъ больше 4, то единствен-
ныя функц1и, н"Б1<оторыя степени которыхъ им-Ьютъ только
два различныхъ значен1я **), сами им-Ъютъ только два зна-
чен1я. И зд-Ьсь можно ограничиться разсмотр-Ьшемъ простого пока-
показателя степени. Если бы функщя д> им-Ьла бол-Ье двухъ различныхъ
значешй, то существовала бы, по крайней M-fept>, одна круговая
подстановка трехъ перем-Ьнныхъ, переводящая одно изъ ея зна-
чен1й g9j въ другое (рг. Съ другой стороны, та же подстановка не
мЪняетъ степени q>v, такъ какъ последняя по предположена им-Ьетъ
только два различныхъ значешя *). Слъдовательно, у^ = <р/,
и qo2 = сод}г. Прим-Ьняя ту же круговую подстановку еще два раза,
получаемъ д>3 = сод>2 и зат^мъ д>{ = сснръ, сл-Ьдовательно, со3 = 1.
Поэтому р = 3. Все сказанное выше можно повторить для круго-
круговой подстановки пяти буквъ. Тогда найдемъ р = 5. Этотъ резуль-
татъ противор'Ьчитъ предыдущему, а потому, при п > 4, невоз-
невозможно предположить, что ц> имт^етъ больше двухъ различныхъ
значенШ. Въ случай же я ^ 4 о подстановк-Ь изъ пяти перем-Ьн-
ныхъ не можетъ быть рт>чи, и противоръ^е изсчезаетъ (X).
*) См. прим%чаше X.
**) При всевозможныхъ подстановкахъ.
§§ 480—481 СИММЕТРИЧЕСКШ ФУНКЦШ И Т. Д. 521
480. Легко указать при я^4 функцш, им%юшля больше
двухъ значенШ, степени которыхъ им-Ьютъ только два зна-
чен1я. Разсмотримъ, напримт^ръ, функщю
гд-Ь
Применяя одинъ разъ за другимъ подстановку (а,, а.г, а3), пере-
водимъ функцдю дра последовательно въ
<р3 = а3 + wax + w2a2 = w («x + та.,
Для каждаго изъ этихъ значешй им'Ьемъ
фЗ = а/' -\- а2А -\- а
+ 3 w (а3 а22 + «J аа2 + а., ах2) + 3 w2 (а., а32 + а:. «^ + а1 а.?) ¦
Функщя д)я, имеющая два различныхъ значен1я, должна (§§ 468, 476)
выразиться въ элементарныхъ симметрическихъ функщяхъ
cl ~ al + «2 + a3' c'l = а2аЛ + a:;"l + Ola2' C:i = ala2a3
и въ дискриминантъ B9). Действительно, пользуясь тождествомъ,
найденнымъ въ концъ § 473, найдемъ
aj8 -|- a.,:l + о/1 + 6a1a2a;j
-— (ftj 4- a2 + f!:i)(«i2 + «з2 + a32 ~~ a2a3 ~ a3al ~~ alH2) + 8«!«2«3
аЗаГ + "la22) + («За22
— а2) + «^2(^1 — а3) =
Съ другой стороны,
(а,«з2 + аза12 + «ia22) — (аз«22 + а1 «з2 + «2«i2)
= (а, — пя) (пя — О]) («! — а,) = + У Л
Сл+эдовательно,
C1) ^ = i B^ - 9clC., + 27с3) + f У=ТЗ.
481. Точно такъ же, функщя четырехъ перем-Ьнныхъ *)
<р = («^4 + а2ав) + ы(а.2а± + аъа^) + co2(a3a4 + ^a,)
*) ИмЪющая шесть различныхъ значешй.
522 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 481—482
обладаетъ т%мь свойствомъ, что кубъ ея им-Ьетъ только два раз-
личныхъ значешя. Д-Ьйствительно, полагая
= а2а1 + аЯа1' $) = аЗа4
замъ-чаемъ, что подстановка (ala.iab) влечетъ за собою другую
(/?,/92/?3). Поэтому мы получимъ выражеше <рг, если въ правой части
формулы C1) замЪнимъ сх суммою вс-Ьхъ /3, т. е. числомъ г,, сг —
суммою
г3 — произведешемъ
и, наконецъ, + ]ЛЛ выражешемъ
D - к) (#» - А) (А - А>)
= («2 — аз) (аЯ — «l) («1 — «2) («4 — «l) («4 — «2) («4 — «з) = ±
Следовательно,
Впосл%дств1и мы увидимъ, что благодаря именно существо-
вант этихъ исключительныхъ функщй и возможно р-Ьшеше
уравнен1й первыхъ четырехъ степеней въ радикалахъ (XI).
Вычислеше инвар1антовъ и друпя приложен1я.
482. Соображетя, изложенный въ § 470, могутъ быть съ пользою
приложены къ вычислешю инвар!антовъ бинарныхъ формъ (XII). Сто-
Стоить только заметить,. что инвар1антъ есть функщя коэффищентовъ формы
/(х, у), получаемой (какъ въ § 457) изъ цЪлой функши /(х) приведен1емъ
послъдней къ однородному виду. Поэтому инвар1антъ будетъ симметриче-
симметрическою функщею корней ураввешя /(х) = 0, обладающею слъ\дующимъ свой-
свойствомъ: она не изменяется *), если въ функщи f(x, у) произведемъ какое
угодно линейное преобразоваше перем%нныхъ, что очевидно, равносильно
замънЪ х на —-г—, въ функщи f(x). При этомъ разность at — а3- двухъ
корней уравнен1я преобразуется въ
a a,- -f Ь a a- -f Ь (ad — be) (а; — а у)
caf + d ctij + d (ca( -f d) (caj + d)
Для того, чтобы преобразованное выражеше некоторой функщи отъ разно-
разностей а{— aj отличалось отъ нея самой лишь н-Ькоторымъ множителемъ. оче-
очевидно, необходимо, чтобы ect корни входили одинаковое число разъ въ
*) Точнъе говоря, прюбрътаетъ лишь некоторый множитель.
§ 482 ВЫЧИСЛЕН1Е ИНВАР1АНТ0ВЪ И ДРУПЯ ПРИЛ0ЖЕН1Я. 523
каждый членъ этой функщи *), какъ это и имеетъ м%сто въ дискрими-
дискриминанте. Такъ, напримеръ, функщ'я
(«1 - a2f + («! - а3J + (а2 - а3J + ¦ ¦ ¦ + (а„ _х - аиJ
будетъ инвар1антомъ лишь при п = 2. Ея значеше (при произвольномъ п)
равно (§ 30)
-'1 • • ¦ "n
Точно такъ же, для биквадратичной бинарной формы инвар!антомъ будетъ
следующая функщя
(а2 — а3J (а4 — а4J + (а3 — cijJ (а2 — а4J + (а1 — а2J (а3 — а4J,
которую легко выразить въ коэффищентахъ съ помощью изложенной раньше
методы. Полагая, какъ подобаетъ (§ 470),
находимъ, при а± = а3, а2 = а4,
(«1 — aif = *o(':i2 + а22 + 4а1а2J + 4*1а1а2(а1 + а.,J + k2a12a22,
откуда /&0 = 1, kx = — 3, k2 = 12. Такимъ образомъ находимъ снова ква-
квадратичный инвар1антъ биквадратичной бинарной формы
C2) /= с22 - Зсхс3 + 12с4.
Замечательно, что первоначальное выражеше / черезъ а разлагается на два
множителя, цълыхъ и ращональныхъ относительно а. Действительно, введемъ
въ разсмотръте тЪ функщи р отъ корней а, которыя были определены въ
предыдущемъ параграфе, и заметимъ, что
^2 — h = («2 - °з)(«4 — ai). Дз — ih = («з - «i)(«4 - «г).
& - $s = («1 — «г) («4 - а@)-
Тогда получимъ
/ = i№ - ДзJ + (А, - ftJ + (ft - А,J]
= ft2 + № + /V - /V3 - Mi - ft&,
а следовательно (§ 473),
C31 f 7 = '"i + "a + ш (а2а4 + °3ai) + w2(a3a4 + ai«2)l
\ X [%a4 + O2<z3 + uJ(a2a4 -f- аъа^ + ш (a3a4 +
Общнее для всякой бинарной формы четной степени *)
/{х, у) = аоХ- + у в1*- V + ^-^ а2*"-V +
инвар1антомъ будетъ симметрическая функщя
У (а, - а2J (а8 - а4J .. . (ап^ - anf
*) Для того, чтобы все дроби имели одинаковаго знаменателя.
!) См. Salmon 1. с. стр. 184.
524 V, 1. существованш и счетъ корней. §§ 482—484
корней уравнешя /(х, 1) = 0. Она выражается, независимо отъ численнаго
множителя, слЪдующимъ образомъ:
т 1 , чя 1 / П «(К — 1) , . „,
/-|(Д-») =|(?,-y»iVi+ Ь2 a2an-i ~ ¦¦¦ +яия0)").
483. Кубичесюй инвар!антъ
C4) / = ${2с? _ дС1с2сг + 27c^Ci - 72с2с4 + 27с32)
биквадратичной формы f(x, у) получимъ, разсматривая симметрическую
функщю
/ = (а3 — аа) (а, - а4)(«1 — агJ (аз - а4J
C5) + («1 — «г)(«з — а4)(«2 — «зJ(«1 ~ а4J
+ («з — a8)(cii — а4)(а3 — а1J(а2 — а4J
корней уравнен1я /(.т, 1) = 0 (XIII). Вычислешя § 481 даютъ возможность
получить другое выражеше для J, которое легко разлагается на три мно-
множителя, цЪлыхъ и рацюнальныхъ относительно а, Въ самомъ дЪл!>, напи-
шемъ выражен-'е C4) для 2/ въ сл-Ьдующемъ вид-fe
2 с? - 9 с, (сх Ч - 4 Ci) + 27 (с^ с4 - 4 с2 г4 + ^).
Тогда оно тотчасъ преобразуется въ следующее:
- с? + гс.^C1 + ,3, + Д) - 9с2(.?233 + Д,,??! + ^Д2) 4- 27^,92,93
Легко теперь узнать, что къ тому же виду приводится и выражеше C5) или
(ft - Л)СЗВ - АJ + № ~ А) (& - ftJ + (ft - ft) (ft - ftJ-
Поэтому имъемъ
/ = I [2(ai«4 + a2<z8) - (a4 + a4)(a2 + a3)]
C6) X [ 2 (a2 «i + «з «i) - (a2 + a4) (a3 + a4) ]
X [2(a3n4 + aiftj) - (a3 + a4)(a! + a,)].
Выражен1я C2) и C4) для I и J отличаются только численными множите-
множителями отъ данныхъ раньше въ § 87. Но указанное въ § 458 соотношеше
Буля изменится въ нижеследующее:
C7) 4 = ^G3-/2).
484. Упражнен1я. а) Составить кубическую форму, опреде-
определяемую корнями
7i = ft + ft - 2ft, 72 = ft + ft - 2ft. 7з = ft + ft - 2ft-
этихъ чиселъ равна нулю. Произведете, какъ сейчасъ было ш
- 2/, а сумма произведен^ по два
- I Gi2 + 7а2 + 7з2) = - 3(А3 + ft ft ) = - 3/.
*) Коэффициенты равны бином1альнымъ, только средшй раздЪленъ на 2.
§ 484 ВЫЧИСЛЕН1Е ИНВАР1АНТ0ВЪ И ДРУПЯ ПРИЛ0ЖЕН1Я. 525
Следовательно, искомая кубическая форма равна (§ 465)
Она т%мъ замечательна, что имЪетъ тотъ же дискриминантъ, что
и биквадратичная форма, определяемая корнями alt «2, аа, ai.
Действительно,
72 - Уз = — 3^2 — &) = — 3(«2 - аз)(а4 — «l) И Т- Д-.
а потому дискриминантъ равенъ
Если хотимъ найти его выражеше въ коэффищентахъ кубической формы,
то*на основанш формулы B9) имеемъ последовательно
93Л = - 27 • 4/2 + 4 • i7/s, 4 = ^3 -/2).
Такимъ образомъ, снова подтверждается формула C7).
Ь) Составить уравнен1е, котораго корни равны ангармони-
ческимъ отношешямъ четырехъ чиселъ. зная уравнен1е, которому
удовлетворяютъ эти числа. Корни искомаго уравнешя будутъ равны
(§ 417) з-з 1
(«3 «2 «!«<!) = h = ZT Т' (alft2«3«4) = 1 — А2 = -5-.
Pi — /'2 л3
^ ^, (ащ^п^ = 1 - Я3 = -г-
Ръ ~ Рз
(«2«1«3«4) = h = 5? Т' (C{3«1«2«4) = ] ~ h = Т"
5?(C{«««) ] h
Следовательно, искомое уравнен1е будетъ 6-ой степени, и не должно ме-
меняться отъ замЪны неизвестной А на — или на 1-Я. Чтобы удовлетворить
А
первому условш, очевидно, необходимо, чтобы коэффищенты крайнихъ чле-
новъ и членовъ, равно отстоящихъ отъ концовъ, были равны между собою.
ЗамЪчая еще, что сумма шести корней равна 3, а произведете ихъ равно 1,
находимъ, что искомое уравнеще будетъ вида
C8) Я6 — ЗЯ5 + «Я4 - 6Я3 + «Я2 — ЗЯ + 1 = 0.
Чтобы оно не менялось при замене Я на 1-Я необходимо, чтобы сумма
всъхъ коэффищ'ентовъ была равна 1 **), поэтому 2а — Ь = 5. Остается вы-
вычислить а. Припоминая, что а есть сумма всехъ произведешй корней по
два, а сумма корней равна 3, находимъ
9-2Я=Я12 + Я22 + Я82 + ^ + ^-2 + ^- ***)
*) Точнее говоря,
Q{x, у) = л? - 31ху2 + 2/у.
**) Сумма коэффищентовъ /(Я) равна/A), но /(Я) =/A — Я), т. е.
УС) =у@) = '•
***) Квадратъ суммы безъ удвоенной суммы произведенш по два
равенъ сумме квадратовъ.
526 V, 1. СУЩЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 484 — 485
ЗамЪчая, что, съ другой стороны, инвар1антъ / = Д2 + • • • — j4^3 — ¦ ¦ ¦
(§ 482) можетъ быть приведенъ къ виду
увидимъ, что
и аналогично
к + 4- = 1 + w8 - Pi)~> к + 4- = ^ х (л - л)
Отсюда путемъ возвышешя въ квадратъ и сложешя найдемъ
а зат%мъ
39J_22_l_>2i _I_ i QiO
/з /з
-^-, 6 = 7-2--
Подставляя эти значешя въ равенство C8), получаемъ
(Я2 - Я + I)8 = 73
Я2(Я - 1J - А '
Принимая во внимаше еще формулу C7), можемъ написать
(Я2 - Я + IK _ 73
Правая часть есть абсолютный инвар1антъ (§ 87). Отсюда агЬдуетъ, что
если два уравнешя 4-ой степени имъ-ютъ равные абсолютные инвар1анты,
то группы 4 корней того и другого уравнешя им-Ьютъ одинаковыя анг'ар-
моническ1я отношешя KpoMt того, видимъ, что обращен1е въ нуль ква-
дратичнаго инвар!анта I характеризуетъ эквиангармоническое,
а обращен1е въ нуль кубическаго инвар1анта J—гармоническое
расположен1е корней (§ 417). Эти два свойства, которыя, такъ сказать,
написаны въ формулахъ C3) и C6), им%ютъ замечательную геометрическую
ннтерпретащю 1).
485. Функц1Я Гессе. Съ изучен1емъ функщи f(x) связано изучеше
функш'и Гессе Н(х), т. е. другой цЪлой функщи, которая по приведенш къ
однородной форм* пропорцюнальна опред-Ьлителю Гессе (TecciaHy) (§ 378)
J хх J xy
Jyx Jyy
!) См. „Vorlesungen iiber Geometrie" v. Clebsch Band. I, S. 239;
Bd. II, S. 615.
§§ 485—486 ВЫЧИСЛЕН1Е ИНВАРШНТОВЪ И ДРУГШ ПРИЛОЖЕНШ.
527
При у = 1 имеемъ f'x = /, fxx =/" *), а друпя частныя производныя вы-
вычисляются применешемъ теоремы Эйлера (§ 372) къ функщямъ/,/, / :
Пользуясь этими формулами для исключешя производныхъ, взятыхъ по у,
преобразуемъ определитель Гессе последовательно въ
= (п - 1)
/" Г |
(я - 1)/' «/ '
Мы условимся полагать
«/ (я - 1)/'
= (« - 1)/'2(.г) - nf(x)f"{x).
Такимъ образомъ, каждой цълой функцш f{x) степени п соотв^тствуетъ
функщя Гессе Н{х), степень которой вообще равна 2 я —4, что сейчасъ
же видно изъ первоначальной формы Н (въ виде определителя изъ вто-
рыхъ производныхъ), изъ которой, полагая
/(*) =
1п(п - \)а2хп~2 -f-
находимъ
Н(х)
(п -
пЦ„-1)-^~
- (а0хп-2 + (я -2)a1xn~z + ¦ ¦ -)(а2хп~2 + (я - 2)а3хп~3 + •••).
486. После сказаннаго выше поставимъ себе теперь задачу: выра-
зитъ Н(х) въ корняхъ функции /(х). Мы будемъ исходить нзъ ра-
равенства
/(*) х-а^х
откуда, взявъ производныя, получимъ
Р (х) f{x) \х
Полагая для сокращешя
1
1
р {x-ajp ix-a2)P
имеемъ, следовательно,
/' _ - Г _
*) /' и/" Для кратности обозначаютъ производныя/'(х) н/"(х).
528 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 486 — 487
а поэтому
C9) ^ = (я- !)?-«? -„^-tf-j* «
Замечая, что правая часть есть квадратъ матриссы
; 1 1 ... 1
i 1 1 1 i .
X — Cti X — (Ip X — Lln
можемъ написать (§ 30)
Н
~ 2j (х - а,-J (л- - о/
н, наконецъ,
Я (л-) = ^(ai - а,J (х - «„)-> (л- - а4)-'... (а- - а ?,
гд% суммирован1е распространяется на всЬ пары корней aj, a2, a3. ....«„
Какъ видимъ, //(.г) есть сумма квадратовъ, которые всЬ будутъ положи-
положительными при х и (I вещественныхъ. При этихъ услов1яхъ Н (х) можетъ
обратиться въ нуль только тогда, когда каждый изъ квадратовъ равенъ
нулю, а это возможно лишь въ томъ случаъ, когда всъ а равны между со-
собою. Изъ сказаннаго вытекаетъ слъдующая теорема 1): если цълая функ-
ц1я имъетъ всъ корни вещественные и неравные, то ея функция
Гессе им-Ьетъ всъ корни мнимые.
487. Полезно замътить, что кратные корни функции /будутъ
также кратными корнями функции Н. Действительно, если / им-Ьетъ
д-Ьлителя (х — а)'2, то и //2, а следовательно и Н, имъютъ того же дъли-
теля. Отсюда слъдуетъ, что дискриминантъ D функши Н непременно обра-
обращается въ нуль, когда дискриминантъ функцш / равенъ нулю. Чтобы это
имело м-Ьсто, необходимо и достаточно, чтобы D делилось на А. Припом-
нимъ теперь, что (§ 458) дискриминантъ Д относительно коэффищентовъ
функщи /, будетъ степени 2 (и — 1) а весъ его равенъ п (п — 1). Чтобы
определить вёсъ D, надо заметить, что весъ каждаго коэффициента въ Н,
разсчитанный относительно коэффищентовъ въ /, оказывается увеличен-
нымъ на 2 единицы, такъ что искомый весъ, относительно коэффишентовъ
функщи /, равенъ
Bи - 4) B« — 5) + 2 • 2 Bи - 5) = 2и B« - 5),
а следовательно, весъ -— равенъ
2и B« - .5) - п (п - 1) = Зм (п - 3).
Такъ какъ при п — 3 это число равно нулю, то можно утверждать, что ку-
кубическая функпдя и ея функция Гессе имъютъ одинъ и тотъ же
дискриминантъ. Для биквадратичной функщи, напротивъ, дискриминантъ
1) См. заметки Gerbaldi и Schoute въ „Rendiconti del Circolo mate-
matico di Palermo" A889).
§§ 487—488 вычисленш инваиантовъ и друпя приложены. 529
ея функши Гессе разлагается на два множителя одинаковаго вЪса изъ ко-
торыхъ одинъ есть дискриминантъ данной функши. Это обстоятельство
можно было бы и непосредственно установить, если бы сначала, помощью
довольно сложной выкладки, составили инвар1анты (квадратичный и кубич-
кубичный) функши Гессе, которые должны получиться равными 16/2 и 64/-.
Формула Буля дала бы тогда
Но замечательная Теор1я алгебраическихъ формъ даетъ более легюе
и скорые способы вычислешя
488. Функция Якоби. Также замечательна функшя Якоби Q(x),
пропорщональная опред-Ьлителю, составленному изъ первыхъ частныхъ про-
изводныхъ отъ функши f и Н *). Это также целая функщя степени, вообще
говоря, п — 1 + 2к — 5 = 3 (и — 2). По теореме Эйлера
хН' + 7/; = Bн 4O/
поэтому имеемъ (§ 485)
I /х Н'х 1 I /' 77'
: I = I = B/2 - 4) ///' - и fW.
/' Н' \ \ и/ Bп - 4) 77
Мы положимъ
О = (и - 2) Hf - \ nfH'.
Постараемся теперь выразить Q въ корняхъ функцди /. Изъ формулы
C9), взявъ производныя и замечая, что о'р — —Рарл-1< получимъ
77' =HJ^ + ^ri>_UGi
Следовательно,
О
--г, = и ("Оа -- о-^в-)) — 2а1 (iid2 — О]/-) = п-а^ — 3//О] о-> + 2а^°.
f
Обозначимъ на минуту черезъ a, j, у ¦¦¦ дроби , , •••¦ и на
X — С1^ X — di)
пишемъ правую часть такъ;
«2 («з + ;?i + . •.) - 3/2 (а + j + ¦ ¦ ¦) (а-> + ,32 + . • ¦) + 2 (а + ,4 + • • -f
= (п — 1) (// - 2) Zifi -3(и- 2) 1'а,3 (а + ,3) + 12 1сфу.
Тогда тотчасъ увидимъ. что это выражен1е получится отъ сложен1я сле-
дующаго
2 (ifi + :Р + f) - 3Jy (,] + ;¦) - Зуа (у + а) - За.^ (а + ft)
со всеми ему аналогичными. Но последнее выражеше есть разложете про-
изведен1я
Bа - .1 - 7) B,3 - •/ - а) B-/ - а - ,3);
*) Подразумевается, приведенныхъ къ однородному виду подстановкою —
вместо .v и умножешемъ на соответственныя степени у.
34
530 V, 1. СУЩЕСТВОВАН1Е и счетъ корней. §§ 488—489
поэтому можемъ написать
Я.- у(-Л
р —- \х — а( х — cij х — а
X/_J 1 1_\
\х — а ¦ х — пк х — aj
X
1
_2 1_
\х— at х —
и, наконецъ,
= 2 [2 (chx + a2a3) - (а2 + о3) (* + «й)]
X [2 (а2х + a3ai) - (a3 + aj (дг + a,)]
X [2 (ft3* + «i«2) — («l f «2) (^ + «зI
гд'ъ суммироваше распространяется на всъ тройки корней.
489. Возвратимся къ формуламъ опредЪлешя:
Н = (п- I)/'2 - nff", Q = {n- 2) Hf - i nfH'.
Возвышая вторую въ квадратъ и исключая f'1 съ помощью первой, получимъ
(я - 1) ?>2 = (я - 2J № (Н + я//") _ я (« - 1) (я - 2) ffff'//'
+ ^и2(«-1)/2Я'2
ИЛИ
Ф = п (н - 2) Я/[(и - 1) Н'Г — (« - 2) Я/"] - | ifi (n - 1)/2 Я'з,
гдъ для сокращен1я положено
Ф = (и — 2J Я» — (и — 1) ?».
ДалЬе, имъемъ
Н> = (и - 2)/'/" - «т7'"
и, следовательно,
(» - 1) Я'/' - (я - 2) Я/" = nf[(n - 2)/"-' - (« - 1)/'/'"].
Отсюда
^5 = (я - 2) Я [(я - 2)/ - (я - 1)/'/'"] - Н« - 1) Я'2
Правая часть есть цълая функщя. Итакъ, существуетъ линейная ком-
бинац1я изъ Я3 и jQ2, дълящаяся на/2. Это замъчан1е даетъ возмож-
возможность для каждаго значешя п находить важныя соотношен1я между Я и Q.
Ф
Еще надо заметить, что Ф степени 6 (к — 2), а потому -^ степени
6 (» — 2) — 2и = 4 (« — 3). Наконецъ, полезно знать старыпе члены въ Н,
Q и Ф. Написавъ / въ видъ
/ = хп - с^»-1 + с2хп~2 - с3хп-3 +¦¦¦,
§§ 489—490 ВЫЧИСЛЕН1Е ИНВАР1АНТОВЪ И ДРУПЯ ПРИЛОЖЕН1Я. 531
найдемъ
Я = [(« - 1) с? - 2пс2] *2И-4 + • • •
Q = [(и - 1) (и - 2) q3 - Зи (« — 2) сг с2 + Зи2с31 #з«-б + • • •
ф = [ — 9;г2 (и - 1) с32 + 3 (и - 1) (и - 2fcfc? -Hn(n - 2fc2A
- 6(п - 1J (я - 2) с^с3 + 18« (и - 1) (и - 2) схс2с? п2х^"-^ + ¦¦¦
490. Приложеше къ кубической функцш. а) Для кубической
функцш
/ = Х?' — С±Х2 + С2 X — С3
функщя Гессе будетъ квадратною, а функщя Якоби также кубическою функ-
шею; черезъ корни а1( а2, а3 функщи / он4 выражаются формулами
D0) Я = («2 - а3J (х - ttlJ + (а3 - а^ (х - a2f + («j - u.,f (x - a3f,
D1) Q= [2 (ttlx + «2«з) — («2 + «з) {х + «i)]
X [2 (а2дт + ftgOi) - («з + ai) (x + rt2)]
X [2 («Злт + a^cu,) — («! + «g) (дт + «3)].
Эти выражен1я обнаруживают зам-Ьчательныя геометрическ1я зависимости
между разсматриваемыми тремя функщями1). Корни «/, а2'', щ' функщи Q
выражаются ращонально въ корняхъ функщи /. Они определяются урав-
нещями
2Х (а^ + а2а3) = (aL + «/) («2 + п3) и т. д.,
который выражаютъ, что
(a/ajaa^) = - 1, (а,/а,,^^) = — 1, (а-/^щс^) = — 1,
т. е. каждый корень функцш Q гармонически сопряженъ съ кор-
немъ функц1и /, относительно двухъ другихъ корней той же
функщи/. Отсюда слЪдуетъ, что когда корни alt щ, п3 функщи / даны,
то корни функщи Q будутъ находиться (§ 417) на окружности круга а^и,^.
Каждый изъ корней функши Q, наприм-Ьръ ах , можно построить, замечая,
что касательныя къ кругу въ точкахъ а/ и ах встречаются на прямой «оа3,
или что касательныя въ а2 и а3 встречаются на ^а^. Эти построещя обна-
руживаютъ взаимность, существующую между двумя кубическими функщ-
функщями, потому что касательныя въ ах и «/ встречаются также на а./а./, и
касательныя въ а2 и а'3 на а^и/. Оба треугольника имъчотъ общую
точку Лемуана (§ 419), въ которой встречаются прямыя a^t/, aon0',
(ЦAъ > т- е- прямыя, соединяющ1я вершины каждаго треугольника съ полю-
полюсами противолежащихъ сторонъ.
Ь) Если будемъ разсматривать кубичесюе корни изъ 1
« = — 4A — >- — 3), «2=-i(i+i -3),
какъ величины известныя, то выражен1е D0) функщи Гессе тотчасъ разла-
разлагается такъ, что корни функцш Я можно выразить ращонально черезъ
корни функщи /. Заметимъ сперва, что если три числа о, X у удовлетво-
ряютъ соотношешямъ
a + ;* + "/ = 0, а2 + ,Р + f- = 0,
Clebsch. „Vorlesungen uber Qeometrie" (В. I. S. 218 и 227j.
34*
532
V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
490
то кубы этихъ чиселъ между собою равны. Действительно, «2 = (,j + уJ =
= — a2 -f 2fy, откуда а- = ,3-д и «3 = /Р = у3- Отсюда слт>дуетъ, что a, ,.?, -/
пропорцюнальны кубическимъ корнямъ изъ единицы. Теперь замЪтимъ, что
выражеше D0) есть сумма квадратовъ трехъ чиселъ, сумма которыхъ
(«2 — «3) (х - аг) + («3 - П]) {х - а.,) + ((^ - а2) (х - «3)
тождественно равна нулю. Следовательно, если подставимъ вместо х ко-
корень функши Н, то отношеше двухъ этихъ чиселъ можетъ имъть лишь
одно изъ двухъ значешй со или ю-. Отсюда слъдуетъ, что, обозначая чс-
резъ % и г' корни функщи //, будемъ имъть
(та±а2а.д) = - ы, (т'
Птакъ (§ 420), корни функнди Гессе отъ данной кубической функ-
функции совпадаютъ съ изодинамическими центрами треугольника,
образуемаго корнями данной кубической функции 1). Зд-Ьсь уместно
будетъ припомнить, что числа % и %' изображаютъ общ1я точки трехь Апол-
лон1евыхъ круговъ треугольника «!«2а8
(рис. 23). Такъ какъ эти круги орто-
ортогональны съ кругомъ «jci.,^, то, какъ
изв'Ьстно, центръ О посл'-бдняго дол-
женъ находиться на прямой тт'. Дал4е,
такъ какъ касательный въ «, и а', къ
соответствующему Аполлошеву кругу
встречаются въ О, т. е. на тт', то
(тг'«,.«;) = — 1, для i = 1, 2, 3, т. е.
корни кубическихъ функц1й/и
Q соответствуютъ другъ другу
такъ, что всякая пара соответ-
соответствую щихъ корней гармонически
сопряжена относительно корней
фу и к или Н, Далее, такъ какъ длина 0<ц
есть геометрическое среднее между 0%
и От', то видимъ, что корни функ-
функши Гессе отъ данной кубиче-
кубической функши падаютъ въ точки,
взаимный относительно круга, определяемаго корнями данной
функши, такъ что одна изъ нихъ всегда внутри, а другая вне этого
круга. Замечая, наконецъ. что О есть полюсъ прямыхъ ctjfi/, п2п2', аъа.д'
относительно трехъ Аполлошевыхъ круговъ, заключаемъ, что эти три хорды
должны встретиться на прямой тт' въ точке, гармонически сопряженной
съ О относительно т и т.'. Поэтому точки т. и т' лежатъ на томъ д1а-
метре описаннаго круга, который проходитъ черезъ точку Ле-
муана. Они делятся гармонически этою точкою и центромъ круга.
с) Выражеше функши Гессе въ коэффишентахъ функщи / есть
Я = 2[(cf - Зс2)х2 ~ (Clc2 - 9с3)х + (ci - 3clC3)].
Ея дискриминантъ (срав. § 487) пропорцюналенъ
= - 12 J.
Рис. 23.
!) Относительно этой интересной теоремы и другихъ, см. „Ricerche
sulla Qeometria delle forme binarie cubiche" Beltrami (Memorie dell'Accad.
di Bologna, 1870), а также .Involutions cubiques dans le plan complexe" Jan
de Vries (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1901).
§§ 490—491 вычисленш инваиантовъ и друпя приложены. 533
Тому же числу равно Н'2 при Н = 0. Чтобы въ этомъ убедиться, доста-
достаточно заметить, что если
ах- -)- Ьх + с = 0,
то
{2ах + bf = 4а(а.г-' + Ьх) + Ь- = б2 - 4ас.
Заметимъ еще, что при м = 3, старшШ членъ въ выражении Ф (§ 489)
равенъ 54 Jxs (см. формулу B9)). Следовательно,
Это тождество, найденное Кейли (Cayley) >), заключаетъ въ себе соотно-
uieHie Буля между инвар1антами биквадратичныхъ формъ, какъ частный
случай. А именно, если въ формулахъ D0) и D1) дадимъ переменной л-
определенное значеше, то биквадратичная функщя, определяемая корнями
«t, а2, rt;1, л" имеетъ квадратичный инвар1анть, какъ разъ равный { Н (§482),
и кубическШ инвар1антъ, равный \Q (§ 483). Полагая теперь х = «4, а по-
поэтому Н = 21, Q = 2J, и подставляя вместо f'-A произведете квадратовъ
разностей чиселъ аг, а2, а3, а4, т. е. дискриминантъ А биквадратичнои функ-
ши, мы и получимъ формулу C7).
d) CooTnomeHie Кейли можно получить различными другими путями,
замечая, что для определешя постояннаго *) отношешя Н'л -2Q2 къ/2
можно выбирать значеше х по произволу. Если возьмемъ, напримеръ, .v
равнымъ корню функщи Н, то Н'2 приведется, какъ уже было сказано,
къ —12.7, и будемъ иметь (§ 489)
° Н^ - 2f'f") - \- н'- = - у н'2 = 6^-
Если положимъ .г' равнымъ корню функщи /, то будемъ иметь
/= 0, /"' = 6, f'4/ - 16/') = 4А, Н = 2/'*, Н' =f'f",
и правая часть предыдущаго равенства будетъ равна
2/'~(/ - 2/'/'") -- I/'2/ = %/'-{/"- - 16/') = 6J.
Полагая, наконецъ, х равнымъ корню «/ функц1и Q, и замечая, что
i («а — "-б) («/ — '[i) = - («8 - «i) («i' - «г)
последовательно найдемъ
С\ А
491. Приложен1е къ биквадратичнои функцш. а) Функщи Гессе
и Якоби для биквадратичнои функщи будутъ соответственно функщи 4-ой
и 6-ой степени, выражаюпцяся — первая въ виде суммы квадратовъ, вторая
Salmon, 1. с. стр. 263.
Г
при п = 3.
Ф
) Потому что (§ 489) степень функщи -С; [ = 4 (к — 3) ] равна О
534
V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
§ 491
въ видъ произведешя нъкоторыхъ трехъ квадратичныхъ функщй. Сперва
удобн-fee будетъ представить Q въ несколько иной форм-fe, чъмъ та, кото-
которую мы нашли въ KOHirfe § 488. Для этого полезно сперва заметить сле-
следующее тождество:
+ BC- а-/?)Bа-,3-б)B/}- д- а) +1B а - ,8 - у) B,3 - у- а)Bу- а -|3)
Если въ немъ заменимъ а, /?, у, й соответственно числами , ,
х — a-L х — а2
. . то левая часть обратится въ -™ (§ 488), а въ правой мно-
х — а3 лг — а4 ^ /д
житель ,3+7 — а — <5, напримеръ, обратится въ i
1
1
1
1 J-t
где f1 первая изъ следующихъ квадратичныхъ функщй:
А = («2 + «3 - ах — а4) х2 — 2 (а2 а3 — % а4) дг + а2 а3 (ах + а^ — а1 а4 («2 + аз)>
/г= (аз+ а1 — а2~ a4)^2~2 (asaj — а2а^) x + a3aj (a2 + a4) — a2tii(a3-i-a1),
/8 = (с^ -f a2 — а3 — а4) х2 — 2 (с^ а2 — а3 а4) х + ах а2 (а3 + а4) — а3 а4 (% + а2).
Такимъ образомъ, мы и получимъ Якоб1еву функц1ю Q (х), разложенную на
три квадратичныхъ множителя:
Разсматривая, съ другой стороны, всЬ пары чиселъ, разд-Ьляющихъ два
данныя числа z0 и з0' гармонически, говорятъ, что эти числа образуютъ
инволюшю, которая будетъ вполнъ определена, когда извъстны дв-b таия
пары (sv 2^) и (s2, s^'). Действительно, всякая другая пара (s, г') связана
съ первыми двумя услов1емъ
1 г +s' zz'
= 0,
которое получается, когда исключимъ z0 -\~ z0' и zozo' изъ соотношен1й
2 {zozQ' + zz') = (zo+ z(/) {z + z%
2 (z0 V + Slzx') = («0 + V) (-1 + V). 2 («o V + *2V) = (^o + V)
(выражающихъ гармоническое расположен!е 4-хъ точекъ).
Принимая теперь во внимаше, что квадратичные множители Q могутъ
б уть представлены въ видъ
1 2х
А=
«3 «2«3 !. А =
I 1 «1 "Г «4 «1 «4
1 2х
1 а3 +
а2 «4
! 1 2дг дг2
. /з = ( ! «1 + а2 «1«2
1 tt3 -f «4 ^4
§ 491 ВЫЧИСЛЕН1Е ИНВАР1АНТ0ВЪ И ДРУПЯ ПРИЛОЖЕНЫ. 535
видимъ, что корни Якоб1евой функц1и отъ данной биквадратичной
функции распадаются на три пары, изъ которыхъ каждая гар-
гармонически раздЪляетъ дв^ опред-Ьленныя пары корней данной
функции. Они изображаютъ, выражаясь геометрически, двойныя точки
трехъ инволющй, опредъляемыхъ корнями биквадратичной функцш. Легко
также показать, что каждый квадратичный множитель функцш Q(x) обла-
даетъ тъмъ же свойствомъ относительно двухъ другихъ множителей.
Ь) Изъ первоначальныхъ выражешй flt /2, /3 вытекаютъ равенства
Л —Л = - 2(«2 - аз) (х — «i) (х — ск)< h +Л = 2(«i — а4) (х — «г) (* — as),
Л -А = - 2(«з — «i) (х - «г) (* — ai): /з +А = 2(«2 - «4) (х — а3) (х - %),
A —ft = - 2(«i - а2) (х - а3) (х — а4), А +Л = 2(«з - «4> (¦» - ai) (x - «г)-
Они ведутъ къ различнымъ интереснымъ слъ\дств1ямъ. Если, наприм*ръ, мы
возвысимъ ихъ въ квадратъ и сложимъ, то получимъ выражеше функщи
Гессе Н черезъ квадратичные множители функцш Q:
Если же перемножнмъ ихъ между собою, то получимъ соотношсшя:
Такимъ образомъ, данная биквадратичная функщя / тремя различными спо-
способами разлагается на квадратичные множители, которые линейно выражаются
черезъ rt, изъ которыхъ состоитъ ея Якоб1ева функшя. Зам-Ьтимь еще
тождество
(А - Шг + W8 - А)Л2 + (А - >Wi = о,
которое показываетъ, что А, /г> /з не независимы между собою, и потому
не всякая функщя 6-ой степени можетъ быть разсматриваема, какъ Яко-
6ieea функщя н-Ькоторой функщи 4-ой степени 2). Въ то же время изъ тож-
тождества (/32 —/г) — (/г —/22) = 4-/i/ (§ 484, а) легко вывести первое изъ
слъдующихъ трехъ тождествъ (а друпя два по аналопи)
ЗД2 = Н - 47l/, 3/22 = Н- 4у2/, 3/32 = Н- 4у3/.
Следовательно, квадраты квадратичныхъ множителей Якоб1евой функцш вы-
выражаются линейно черезъ данную биквадратичную функщю / и ея функщю
Гессе Н. Дал-fee, перемножая послъдшя три тождества, получимъ (§ 484, а)
= № - 3 IH- 42/2 + 2/- 4VS = Н* - 16C/Я - 8//)/2
и наконецъ, замъчая, что лъвая часть равна |С?2, находимъ
4ЯЗ - 3Q2 = МC1Н - 8//)/2.
J) О распредъленш корней функщи И относительно корней функ-
функцш/см. замътку R. Russell въ „Proceedings of the London Math. Soc."
(vol. XIX, p. 56).
2) Cm. Clebsch: „Theorie der binSren algebraischen Formen", S. 447.
536 V, 1. СУЩЕСТВОВАШЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 491—492
с) Къ последнему результату можно придти и другимъ путемъ, при-
мъняя соображешя § 489. При и = 4, функщи
Я = З/'2 - 4//", Q = 2 (Я/' ~fH'), Ф = 4//« - 3№
будутъ соответственно 4-ой, 6-ой и 12-ой степени. Мы знаемъ, далъе, что
отношеше функцш Ф къ 16/- есть цблая функщя четвертой степени, кото-
которая выражается слътгующимъ образомъ
rf = 2НB/"* - 3/'/'") — |Я'-\
Есть основаше испытать, не выражается ли эта функщя линейно черезъ rb
дв-fe функщи 4-ой степени, которыя являются зд^сь въ числе разсматри-
ваемыхъ функшй, а именно, черезъ/ и Я. Полагая <р = /./'+/t//, нахо-
димъ, что прежде всего необходимо, чтобы функщя ц приводилась къ цН,
когда х есть одинъ изъ корней функшй /. Но при этомъ предположении
Н = 3/'2, II' = 2/'/", f Я'2 = #/"-',
и дал'Ье
<р = 2НB/"'2 - 3/7'"') - ///"-' = 3#(/"-' - 2/7'").
Обозначая, для упрощен1я вычислен1й, черезъ tn ь. е-., избытки чиселъ
«j, аа, о3 надъ «4. очевидно, наидемъ при х = а4
/' = — eif2%- i/'' = %f;j + ?з«1 -Ь «1 fa- i./"" = — (fi + % + e;!)
и отсюда
|((. = 3(Г'2 - 2/7'") = 12[(8,(,) + ЕЯЕ, + flt,J _ 3elto?8(ei + t, + ?.,)]
-= б-ГьуЧеа - f,3J = 6Г(«! - aj-{a2 — as)- = 12/.
Следовательно, функщя (р(х) - 12/¦ //(*') обращается въ нуль, когда х
равно любому корню функщи /'. а такъ какъ она одной съ нею степени,
то можно положить q> — 121 ¦ Н = /./. Для опред'Ьлешя Я достаточно срав-
сравнить коэффищенты при х1 въ обЪихъ частяхъ равенства. Припоминая, что
въ (р этотъ коэффищентъ (§ 489) равенъ учетверенному числу
- 4- 27а,2 + 9<W - 32с/ - -Пс{'Съ +
находимъ. что для получешя \/. надо изъ предыдущаго числа вычесть
3C^'- - 8 с.,) (с/ - Зсхса + 12с4)
= 9^2с/ — 24с/ - 27с^с3 + 72с^съ
Отсюда слъ-дуетъ
\). = - 4 • 27с32 - 8с/ + 36(clC2c3 - Зс^'с^ + 8^е4) = - 8/
а. наконецъ, г/- = 12/Я - 32//. откуда 4Я* - ЗО-> = 64C/Я— в//)/2.
492. Метода Альфзна (Halphen). Для того, чтобы выполнить вс-Ь
эти вычислещя, исЬтъ надобности, какъ мы то считали удобнымъ въ преды-
дущихъ упражнещяхъ, выражать различныя функщи въ корняхъ функщи /,
Альфень далъ остроумную методу1), въ которой исключительно пользуются
„Nouvelles Annales des Mathematiques" 1885, p. 17.
§ 492 ВЫЧИСЛЕШЕ ИНВАР1АНТ0ВЪ И ДРУПЯ ПРИЛ0ЖЕН1Я. 537
функщями /, /', /", ... Эта метода основана на слъдующемъ замъчанш.
Если / и g цълыя функцш степени п. то выражеше
приводится къ числу постоянному. Въ самомъ дълъ, производная этого
выражешя
/g(»+» + g/»+i> = 0.
Вычислеше этой постоянной, которую Альфенъ обозначаетъ символомъ (fg),
весьма просто. Стоить только дать перемънной х въ равенстве, опредъля-
ющемъ искомую постоянную, какое нибудь частное значете. Напримъръ,
положимъ .v = 0, тотчасъ увидимъ, что (//) есть не что иное, какъ квадра-
квадратичный инвар1антъ бинарныхъ формъ, который мы указали въ концъ § 482.
Мы дадимъ здъсь несколько легкихъ приложенш разсматриваемои методы.
a) Для вычислешя дискриминанта кубической функщи
/ = хА — c1xia+ с2х — ся
воспользуемся постоянными (/'/') и (II'f"). Значешя ихъ найдемъ тотчас ь,
положивъ .v = 0. Тогда
iff) =УГ" -Г2 = - 4 (^- - Зс,).
Точно такъ же, замъчая, что
И = 2/'з — з/f", Н' =/'/'' - 3//'", //" =/"- - Iff"
найдемъ, что
(tf'/'O = H'f" - H"f" = - Г" + 3ff'f"- 3/f2,
далъе, полагая х = 0,
(H'f") = 4{2c^ ~9Clc., + 27c3).
Возвращаясь къ первоиачальнымъ выражен1ямъ объихъ постоянныхъ въ
функц1ональныхъ символахъ, закгЬчаемъ, что если / имъетъ кратный корень,
и положимъ х равнымъ именно такому корню, то
(/'/') =-/"s. («'/")= -У"'3-
Следовательно, (/'/''/¦*-(-(//''f')'~ будетъ такая функщя отъ коэффищентовъ/,
которая обращается въ нуль, также какъ и дискриминантъ, когда / имъетъ
кратный корень. Кромъ того, легко видъть, что в-Ьсъ этой функщи равенъ 6,
т. е. (§ 487) равенъ въсу дискриминанта. Следовательно, она можетъ отли-
отличаться отъ дискриминанта лишь численнымъ множителемъ. Распоряжаясь
этимъ множителемъ надлежащимъ образомъ, найдемъ (срав. § 471).
Л = з'т D (q2 - Зс2K - Bс{- - 9схс2 + 27с3)-'1
= - 27с32 + cfc? - 4с/> - 4сп3с3 + Мс^СоС^.
b) Для биквадратичной функщи
/ = х1 — с1х?' -\- с.-,х- — с?1х + с4
легко провърить, что постоянныя (ff) и (HJ) какъ разъ равны инвар1ан-
тамъ / и J. Умножая ихъ на численные множители, выбранные такъ, чтобы
538 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 492 — 494
сохранились выражешя / и /, данныя въ §§ 482 и 483, найдемъ
Теперь замътимъ, что если / им-Ьетъ кратные корни, и х равенъ одному изъ
нихъ, то послЬдовательно найдемъ
Разсуждая, какъ въ предыдущемъ случай, и подбирая приличнымъ образомъ
коэффищентъ пропорщональности, находимъ
Wy 4
27 ~П( J '
j
64-27
с) И въ вычислеши посл-Ьдняго примъра предыдущаго § 491, с можно
достигнуть значительныхъ упрощенШ при помощи символа (fg)- Этимъ пу-
темъ удается прямо доказать, что функщя <р выражается линейно черезъ /
и Н, вм-Ьсто того, чтобы идти ощупью: нужно только представить функщю
<р въ видъ
Счетъ корней.
493. Разыскан1е корней алгебраическаго уравнен1я всегда мо-
жетъ быть сведено къ опредЪленда вещественныхъ корней урав-
ненШ съ вещественными коэффиц!ентами. Д-Ьйствительно, цЪ-
лая функщя f(z), по отд-кленш вещественныхъ частей коэффищен-
товъ и вещественной части переменной z отъ мнимой, можетъ быть
представлена въ вид"Ь
f(x+ iy) = Ч> (х, у) + iip (x> У)-
Чтобы f(z) было равно 0, необходимо и достаточно, чтобы одно-
одновременно
<Р (*> У) = °. Ч> (х, у) = 0,
Исключен1е у изъ послЪднихъ двухъ уравнен1й дастъ уравнеше съ
вещественными коэффи1иентами, вещественные корни котораго да-
дутъ значешя х. Исключен1емъ х найдемъ значеше у. Въ этой таъ\
и следующей, опираясь на сделанное зам-Ьчаше, мы и займемся ис-
исключительно разыскиватемъ вещественныхъ корней ц-Ьлыхъ функцдй
съ вещественными коэффищентами. Методы, который мы изложимъ
для разыскан1я такихъ корней, требуютъ, чтобы мы заранее могли
сказать, сколько корней заключается въ данномъ интервал-Ь. По-
Поэтому мы сперва и ограничимся разсмотръшемъ различныхъ средствъ,
придуманныхъ для получешя ответа на послъдн1й вопросъ.
494. Леммы, а) Въ смежности съ корнемъ ц-Ьлой функ-
ц1и производная будетъ им"Ьть справа отъ корня знакъ,
§ 494 счетъ корней. 539
одинаковый со знакомъ самой функщи, а слева отъ корня
знакъ противоположный. Выберемъ положительное число h до-
достаточно малымъ для того, чтобы въ интервале (а — h, a -\- h),
кроме а, не заключалось ни одного корня функцШ f и f. Тогда
каждая изъ этихъ функщй въ интервалахъ (а — h, а) и (а, а -f- h),
за исключешемъ границы а, будетъ сохранять определенный знакъ.
Известно, что f(x) = (х — a) f (§) (§ 306), гдъ | лежитъ между
а и х. Если х лежитъ въ одномъ изъ указанныхъ интерваловъ, то
и ? находится въ томъ же интервале, и потому знаки чиселъ
/Ч1) и f'(x) одинаковы. Следовательно, при \х — a\<^h, f(x)
и f'{x) будутъ иметь одинаковые знаки при х>а и различные
при х<С а-
b) Если а корень кратности г функщи f, то справа
отъ а функция f имЪетъ знакъ, одинаковый съ f№(a). Сл-Ьва
отъ а знакъ у" будетъ одинаковъ со знакомъ/f^ (а) при г
четномъ, и противоположенъ ему при г нечетномъ. Въ са-
момъ дъ'лъ1, образуемъ около а интервалъ, въ которомъ непрерыв-
непрерывная и необращающаяся въ нуль при х = а функщя f-r) (х) (§ 450, с)
сохраняетъ определенный знакъ. Тогда ясно, на основанш предыду-
предыдущей леммы, что справа отъ а функщи f^1^, /(f~'2\ ¦ ¦ ¦ f, f бу-
будутъ им-Ьть одинаковый знакъ съ /^ (а), а слъва /(г~1) противопо-
противоположный, /(г~2) одинаковый и т. д., и, наконецъ, f одинаковый или
противоположный съ yw (а), смотря по тому, будетъ ли г четное
или нечетное число *).
c) Въ любомъ интервал^ будетъ нечетное число кор-
корней функцш у, если значен1я f на границахъ интервала
имъчотъ разные знаки, если же эти значен1я имъчотъ оди-
одинаковые знаки, то въ интервал^ либо четное число кор-
корней, либо ни одного. Действительно, если а,, а2, ..., а„ обозна-
чаютъ все, равные или неравные, корни функщи у, лежание въ
интервал^ (а, Ь), то можно написать
f(x) = (х — %) (х - а2) ¦¦¦ (х — av) ip (дг),
гд-fe (р{х) ц^лая функщя, необращающаяся въ нуль въ (а, Ь), и
потому (§ 275) принимающая на границахъ значешя одинаковаго
знака, такъ что (p(a)q>(b) > 0. Теперь имеемъ
= (a-.
= (й- ,
— a2) • • ¦
- a2) •••
(a
- av) 4> («).
откуда следуетъ, что f(a)f(b) имъетъ знакъ числа
(я -- ад (а— а,) ¦¦¦ (а - av) ¦ (b - а{) (b - а2) ¦¦¦ {b - av),
*) To же самое еще проще вытекаетъ изъ формулы Тэйлора.
540 V, 1. СУЩЕСТвовАнге и счетъ корней. §§ 494—497
т. е. знакъ ( — 1)", потому что послЪдше v множителей все поло-
положительные, а первые v отрицательные. Следовательно, v будетъ не-
нечетное, когда f(a) и f(b) числа разныхъ знаковъ, и четное или
нуль, когда f(a) и f(b) числа одинаковыхъ знаковъ.
495. Теорема Ролля. Между двумя последовательными
корнями целой функц1и заключается нечетное число кор-
корней производной.
Если а и /? два пос.твдовательныхъ корня функщи f, то это
значить, что въ интервале (о, /3) f не обращается въ нуль и, сле-
следовательно, сохраняетъ определенный знакъ. На основанш первой
леммы существуетъ справа отъ а интервалъ (а, а), въ которомъ f
имеетъ знакъ, одинаковый съ _/* и слева отъ ,5 интервалъ (Ь, ,5),
въ которомъ f имеетъ знакъ, противоположный знаку J. Поэтому,
на основанш третьей леммы, функщя f, имеющая противоположные
знаки на границахъ интервала (а, Ь), имеетъ въ этомъ интервале,
а следовательно, и въ интервале (а, /?), за исключен1емъ гра-
грани цъ, нечетное число корней.
496. Сл"Ьдств1Я. а) Между двумя последовательными
корнями функцш /' не можетъ заключаться более одного
корня функцш f. Действительно, если бы ихъ было два, то между
ними не оказалось бы ни одного корня f, что противоречить тео-
теореме Ролля. Принято говорить, что вещественные корни функ-
uin f отдЬляютъ корни функцди f.
b) Если все корни функцш J вещественные и про
стые, то такими же будутъ и все корни f, /'', f' и т. д.
Пусть а1, а2, ..., а„ обозначаютъ все корни функцщ f, располо-
расположенные въ порядке возрастали. Въ каждомъ изъ ;/— 1 интерваловь
(а,, а.г), (п,2, а3), ... (а„_1, а,,) лежитъ, по крайней мере, одинъ
корень функщи f. Следовательно, f имеетъ, по крайней мерв,
п — 1 вещественныхъ неравныхъ корней, а съ другой стороны, из-
известно, что и больше и — 1 корней она иметь не может ь. Все
сказанное о функщи /", можно применить къ f, затемъ къ f"
и т. д.
497. Теорема Декарта. Число положительныхъ корней
алгебраическаго уравнения f(x) = 0, не превышаетъ числа
переменъ знака въ полиноме f[x).
Заметимъ прежде всего, что если въ ряду чиселъ, не равныхъ
нулю, два рядомъ стоящихъ числа имеютъ противоположные знаки,
то говорятъ, что имеемъ перемену знака, а если два рядомъ
стояния числа имеютъ одинаковые знаки, то говорятъ, что имЪемъ
постоянство знака. Далее, подъ переменами и постоянств'ами
знака въ уравненш
D2) аохп + аххп-х + а.,хп~2 +...+«» =0
§§ 497-498 счетъ корней. 541
понимаютъ перемены и постоянства знака въ ряду его коэффищен-
товъ, взятыхъ въ томь именно порядкЬ, въ которомъ они напи-
написаны въ выраженш D2). Теорема, которую надо доказать, очевидна
въ томъ случат,, когда число перем-Ьнъ знака равно нулю. Действи-
Действительно, въ этомъ случае f(x), левая часть уравнешя D2), при вся-
комъ положительномъ значенш х будетъ иметь знакъ, обццй всЬмъ
коэффищентамъ, а потому положительныхъ корней иметь не мо-
жетъ. Остается, следовательно, показать, что теорема будетъ спра-
справедлива при и перемЪнахъ знака, если предположить, что она верна
при меньшемъ числе перем-внъ. Замтлимъ для того, чтобы это по-
показать, что функщя х"к/ имЪетъ, очевидно, те же положительные
корни, какъ и у. Пусть число ихь равно р. Къ функщи x~kf, во
всякомъ интервале, не заключающемъ въ себ-fe нуля, можно приме-
применить теорему Ролля (см. § 303). На основанш этой теоремы мо-
жемъ утверждать, что производная отъ этой функщи
*-*/' - кх-*-1/ - х-1'-' {xf - kf),
а следовательно, и xf — kf, т. е.
D3) {п - k)aoxn +(» - к - l)^^" + ••• +A - Щап_хх - kan,
будетъ иметь, по крайней мере, одинъ корень въ каждомь изъ
(р—1) интерваловъ между р корнями функцш х~к/, т. е. будетъ
иметь, по крайней мере, р — 1 положительныхъ корней. Если те-
теперь положимъ, что въ уравнении D2) есть перемена знака при пе-
переходе отъ коэффищента при xv, напримеръ, къ коэффищенту при
д/, то стоитъ только дать числу k значеше, лежащее между v и
v—1, чтобы въ уравнен1и D3) эта перемена знака обратилась въ
постоянство *). Все же остальныя перемены и постоянства въ D2)
останутся безъ изменетя и въ D3), потому что все коэффищенты
слева отъ разсматриваемаго места свои знаки сохранятъ, а все ко-
коэффищенты справа изменятъ ихъ на противоположные. Итакъ, число
k всегда можно такъ выбрать, что въ уравненш D3) будетъ и—1
перемена знака, если въ D2) ихъ было и. Но тотда, по предполо-
женш, уравнеще D3) не можетъ иметь более и — 1 положитель-
положительныхъ корней, а такъ какъ ихъ имеется, по меньшей мере, р—\,
то должно быть р^и, что мы и хотели доказать1).
498. Дополнительныя теоремы, а) Разностъ между чи-
сломъ переменъ знака и числомъ положительныхъ корней
всегда число четное. Выбравъ а достаточно большимъ для того,
*) Если nocnt члена съ xv тотчасъ сл-Ьдуетъ членъ съ .г1 , то до-
достаточно взять k между v и v — /.
!) Это остроумное доказательство принадлежитъ Лагерру (Laguerre)
,Nouvelles Annales de Mathematiques" A879, p. 5).
542 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 498—499
чтобы f(x) имело знакъ, одинаковый съ а0, при х S? а (§ 445),
будемъ иметь интервалъ @, а), внутри котораго будутъ лежать
все положительные корни функщи /. Число ихъ будетъ четное или
нечетное (§ 494, с) смотря по тому, будутъ ли /@) и /(а), т. е.
ап и а0, иметь одинаковые или противоположные знаки, иными сло-
словами, смотря по тому, будетъ ли число перемъ'нъ знака и четнымъ
или нечетнымъ. Следовательно, и—р всегда число четное*).
Ь) Число отрицательныхъ корней не превышаетъ числа
перем-Ьнъ знака въ /( — х). Действительно, отрицательные корни
функцш /(х) получаются, если перем-Ьнимъ знаки у положитель-
ныхъ корней функщи f( — х).
499. ПрийгЬчашя. а) Если въ уравненш только одна
перемена знака, то уравнеше им"Ьетъ только одинъ поло-
положительный корень. Действительно, по теореме Декарта р (число
положительныхъ корней) можетъ иметь только значешя 0 или 1;
но и—р, какъ мы видели, не можетъ быть нечетнымъ, по-
поэтому р = 1.
b) Если уравнен1е не им-Ьетъ мнимыхъ корней, то
число его положительныхъ корней равно числу перем-Ьнъ
знака въ данномъ уравненш, а число отрицательныхъ кор-
корней равно числу перемЪнъ знака въ уравнеши, получае-
момъ изъ даннаго заменою х на —х. Если полиномъу(д;) пол-
полный, т. е. ни одинъ изъ его коэффищентовъ не нуль, то ясно,
что при замене х на -~ х всякая перемена знака переходитъ въ
постоянство, и наоборотъ, потому что изъ двухъ смежныхъ чле-
новъ лишь одинъ измънитъ знакъ. Следовательно, число v пере-
м-бнъ знака въ f{—х) равно числу постоянствъ знака въ /(х), и
если и число перемЪнъ знака въ /(х), то и + v = п. Если теперь
полиномъ f{x) сделается неполнымъ (оттого, что пропадутъ не-
некоторые члены), то, очевидно, числа и и v возрасти не могутъ,
такъ что вообще и-\ v^n. Съ другой стороны, если все корни
вещественные, и изъ нихъ р положительныхъ и q отрицательныхъ,
то р + q = п. Отсюда
и -\- v sS р -\- q или (и — р) -\- (v — q) й 0.
Но, по теорем^ Декарта, и — р и v — q не могутъ быть меньше
нуля, следовательно, и = р, v = q, что мы и хотели доказать.
c) Если въ уравненш не хватаетъ члена между двумя
другими одинаковыхъ знаковъ, то уравнен1е наверно
*) Въ случа-Ь /@) = ап = 0, ап_1 --\- 0, надо разсматривать уравнеше
f(x\
-^ = 0 и теорема остается верною, и т. д.
§§ 499-500 счетъ корней. 543
имЪетъ мнимые корни. Положимъ, что «и_„_|-1 = 0. Если an—v и
«к_„_1_2 одинаковыхъ знаковъ, то пара членовъ an—vXv -f- an-vJr2Xv~'i
представляетъ постоянство знака также и после замены х на — х.
Разсматривая теперь общее число перем-Ьнъ знака въ f(x) и _/(—#),
очевидно, будемъ иметь
u-\-v&n — v-\-v — 2 = и — 2.
А тогда тЪмъ бол-fee p-\-q~S^n — 2. Следовательно, уравнеше
им-Ьетъ, по крайней мере, 2 мнимыхъ корня. Подобнымъ же обра
зомъ доказывается, что уравнен1е им-Ьетъ, по крайней мере,
2k мнимыхъ корней, если въ уравненш не хватаетъ 2k
слъдующихъ одинъ за другимъ членовъ, или когда не хва-
хватаетъ 2k—1 членовъ между двумя членами одинаковыхъ
знаковъ.
d) Важно заметить, что приведенное въ § 497 доказательство
теоремы Декарта не требуетъ непременно, чтобы f было целою
функщею. Достаточно, чтобы въ J или, точнее говоря, въ разложе-
нш D2), которое можетъ заключать въ себе и безконечное число
членовъ, степени х, по которымъ оно расположено, имъ\ли показа-
показатели (ц4лые или дробные), слъдуюгще одинъ за другимъ либо по-
постоянно возрастая, либо постоянно убывая.
500. Прежде ч-Ьмъ идти далее, полезно будетъ дать опреде-
леше такъ называемыхъ функидй Руффини (Ruffini). Изъ левой
части f уравнешя D2) можно вывести полиномы
/l = аохп'1 + аххп~2 + ¦¦¦ + an_v ¦¦¦,
/„-2 = аох2 + а1х + п2, /„_! = аах + alt /„ = а0.
Полиномы f,J\,fi, ¦¦-,fn и будутъ функцш Руффини, соответству-
соответствующая данному уравнен)ю; расположенныя въ указанномъ порядке,
оне образуютъ рядъ Руффини. Значешя, принимаемыя ими при
данномъ значеши х = а, весьма легко вычисляются, если исходить
изъ fn = а0 и заметить, что
/м_1 (я) = а/п {а) + rtj, /я_2 (а) = nfn_x (а) + а.,, ¦ ¦ ¦
и, наконецъ, f(a) = afx(a) + ап. Въ этомъ и состоитъ самый про-
простой изъ всехъ известныхъ способовъ вычислешя /(а). Принимая
во внимание сказанное здесь, заметимъ, что изъ
/(*) -/(я) = а0 {х" - а") + а, (хп~1 - а"-1) + ¦•¦ + ап_л (х - а)
тотчасъ получается
f(X] ~f}a) = «0 (Я*-1 + «*"-* + • • • + в") + ¦ • ¦ + «„-2 (* + в) + Я_1,
544 V, 1. существованш и счетъ корней. §§ 500—502
т. е.
D4) х — а = Лг"~1-/Г« ^ + х"~2/п¦ i (") ¦+ ¦¦¦ +/i И-
501. Теорема Лагерра. Число вещественныхъ корней
функц1и f{x), превышающихъ данное положительное чи-
число а, не превышаетъ числа переменъ знака въ ряде Руф-
фини при х=а, и разность между этими двумя числами
всегда число четное1).
Изъ D4), при х~^>а, выводимь
~~ = х"-1/,, (а) + ¦¦¦ +/\ (а) + x-lf{a) + ax"'2f (а) + а2Х-3/(а) + ¦¦¦
Если а ]> 0, то правая часть представляетъ и переменъ знака, где
и равно числу переменъ знака въ ряде
D5) /И, Л И,/, (я), ••-/»•
Следовательно, не можеть существовать более и положительныхъ
чиселъ, обращающихъ эту правую часть въ нуль. Эти числа, бу-
будучи по необходимости больше а, и будутъ корнями функцш /(х),
превосходящими а. Для доказательства второй части теоремы, опре-
делимъ сперва число Ь, достаточно большое для того, чтобы f(x)
при х J> Ъ имело знакъ числа а0. Тогда все разсматриваемые корни
попадутъ въ интервалъ (а, Ъ) и число ихъ будетъ четное или не-
нечетное, смотря по тому, будетъ ли /{а) иметь знакъ числа f(b),
т. е. числа fn{ct), или противоположный, иными словами, смотря по
тому, будетъ ли число и четное или нечетное. Эта теорема, прило-
приложенная къ f[ —) или къ J(—x), даетъ также возможность опре-
определить верхнШ пределъ числа положительныхъ корней функцш
f(x), меныпихъ даннаго положительнаго числа, или число корней,
меньшихъ даннаго отрицательнаго числа.
502. Теорема Бюдана (Budan). Число корней
функцш /(х), лежащихъ въ данномъ интервале, не прево-
сходитъ числа перемъ-пъ знака, теряемыхъ рядомъ
D6) /,/'./",/'". ¦¦¦
при переход^ переменной отъ нижней границы интервала,
черезъ промежуточныя значен1я, къ верхней его границе,
и разность между этими двумя числами всегда число
четное.
„Nouv. Ann. de Math." A880, p. 52).
§§ 502-503 счетъ корней. 545
Число перемтэнъ знака въ ряд-fe D6) остается безъ измЪнешя.
при непрерывномъ возрастали перемънной, пока ни одинъ изъ чле-
новъ ряда не обращается въ нуль. Действительно, всЬ члены ряда не-
прерывныя функщи, которыя не могутъ изменить знакъ, не обра-
обращаясь въ нуль. Постараемся теперь разсмотрЪть, что произойдетъ,
когда х переходитъ черезъ некоторое значеше а, равное корню
функщи f. Если г есть показатель кратности корня а, то, какъ из-
известно (§ 494, Ь), первые г —(— 1 членовъ ряда D6) справа отъ а
не представляютъ ни одной перемены знака, а слтзва отъ а ровно г
перемънъ знака. Следовательно, при перехода х черезъ а проис-
происходить потеря г перемЪнъ знака, т. е. теряется ровно столько пе-
ремтзнъ знака, сколько корней, совпадающихъ съ значешемъ а
(§ 450, Ь). Остается теперь разсмотръть, не происходитъ ли въ ряде
D6) потери или выигрыша перемънъ знака, когда х переходитъ че-
черезъ некоторое значеше а, не равное корню функщи f, но обра-
обращающее въ нуль одну изъ производныхъ, наприм'Ьръ _/(!). Всегда
можно принять, что /^~л~>(а) ф 0, и если г есть показатель крат-
кратности корня а, то нужно еще предположить, что /('+г)(а) ф 0.
Установивъ сказанное, образуемъ около а интервалъ, въ которомъ
^V-d(.y) и fV+r>(x) сохраняютъ постоянный знакъ. Если этотъ знакъ
одинаковъ для обЪихъ функщи, то рядъ
D7) /('~1), /@, /('+г), ••., /{'+г\
составляющей часть ряда D6), справа отъ а не представляетъ ни
одной перемены знака, а слева отъ а г или г -+- 1 перем-Ьнъ,
смотря по тому, будетъ ли г четное или нечетное число. Число по-
терянныхъ перемт»нъ знака, следовательно, четное. Если же знаки
fO—v^a) и /"(!'+г'(а) различны, то рядъ D7) представитъ одну пере-
перемену знака справа отъ а, а слт^ва г~\-\ или г смотря по тому,
будетъ ли г четное или нечетное число, такъ что число потерян-
ныхъ перемъ'нъ будетъ г или г— 1, т. е. опять четное число. Изъ
всего этого слъ\дуетъ, что при переход^ х отъ нижней границы нъ1-
котораго интервала къ верхней его границт» рядъ D6) можетъ
только терять перемены знака. При этомъ число потерянныхъ пере-
перемънъ знака будетъ равно числу корней функщи f въ данномъ интер-
валъ1 (равныхъ или неравныхъ), увеличенному на некоторое четное
число, которое въ частныхъ случаихъ можетъ и обращаться въ
нуль1).
503. ПримЛЬчатя. а) Теорема Декарта есть непосредственное
слт>дств1е какъ теоремы Бюдана, такъ и теоремы Лагерра. Чтобы
въ этомъ убедиться, стоить только заметить, что при а = 0 и при
1) Несколько болЪе простое доказательство далъ Fouret (Nouv. Ann.
de Math. 1892).
35
546 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 503—504
х = 0 ряды D5) и D6), если отбросить некоторые положительные
множители, приводятся къ ряду коэффищентовъ, потому что
/@)=К, /i(«)=/'@);=Vi. /a@)=i/"@) = e,,_2, ¦¦•
между т-Ьмъ какъ при достаточно большомъ значенш х функцш
D6) принимаютъ и загь'мъ сохраняютъ знакъ числа а0. Перемены
знаковъ, теряемыя при переход^ х отъ 0 до безконечности, будутъ,
следовательно, тъ, которыя окажутся въ ряде а0, alt а2, ..., ап, когда
изъ него выкинемъ члены, обращаютдеся въ нуль. Чтобы оправдать
это выкидываше, нужно только принять за нижнюю границу интер-
интервала, къ которому примъняемъ теорему Бюдана, вмътто нуля про-
произвольно малое положительное число. ЗатЬмъ надо заметить, что,
если при х = 0 только промежуточные члены ряда D7) обращаются въ
нуль, рядъ этотъ справа отъ нуля представляетъ ровно столько пе-
рем%нъ знака, сколько ихъ даютъ два крайнихъ члена, т. е. одну
или ни одной.
Ь) Теорема Бюдана не даеть возможности точно указать число
корней въ данномъ промежутка; на этотъ вопросъ дастъ отвътъ
другая теорема (см. § 505 и слъ\д.), которую мы вскоре докажемъ.
Т/Ьмъ не менее въ приложещяхъ теорема Бюдана очень полезна.
Еще полезнее одна теорема Лагерра х), аналогичная теореме § 501.
Сильвестру принадлежитъ замечательное усовершенствован1е теоремы
Бюдана, заключающее въ себ-fe естественно и усовершенствоваше
теоремы Декарта, принадлежащее Кемпбеллю (CampbellJ).
504. Упражнен1я. а) Дана ц^лая функщя я-ой степени f{x), ect
корни которой вещественны. Требуется доказать, что если мы раздЪ-
лимъ интервалъ между двумя смежными корнями а и /3 на п рав-
ныхъ частей, то въ крайнихъ частяхъ интервала производная /'
не обращается въ нуль. Приравняемъ нулю выражеше
+ + +
оставляя слЪва отъ всъ члены, соотв4тствующ1е корнямъ, не превыша-
ющимъ а, а справа отъ ¦= вс% члены, соотвътствующ1е корнямъ, не
X р
меньшимъ /3, и подразумевая подъ х число, лежашее между а и /3 и обра-
обращающее въ нуль функщю /'. Тогда получимъ
в—
!) „Nouv. Ann. de Math." A880, p. 55).
2) Todhunter, „Algebra" C. ed., p. 217). Petersen, „Algebraische
Gleichungen" (S. 212j. См. также замътку Poulain въ С. R. de ГАс. de
Paris. A888, p. 470).
§ 504 счетъ корней. 547
равенство между двумя суммами членовъ, изъ которыхъ, какъ видимъ,
выписаны съ каждой стороны только наиболыше. Отсюда слъдуетъ, что
D8) —S^. П^1^-^~.
х — а р—х х — а р — х
а потому
а -\ ^ х s= p
(что и доказываетъ теорему).
Въ частномъ случаъ, при п = 2, находимъ, что единственный корень
функщи /' дълитъ промежутокъ (a, /?) пополамъ.
Ь) Доказать, что, если всъ п корней функщи / вещественные, то всъ
корни функщи f2 -\- kf'2, гдъ х положительное число, будутъ мнимые, и при-
томъ въ каждомъ изъ нихъ коэффицДентъ при г по абсолютной ве-
личинъ меньше nY~k. Написавъ уравнеще /2 + kf'2 = 0 въ видъ
? = + + + =
/ х - «! х - а2 х - ая
и полагая дг = а + «Д должны имъть
а — а± — Ф . « — а2 — г,3 а — ап
[а - atf- + ^ т (а - а,J + ,^ ^ ^ (а _ aJ + > ~ /^ "
Замътивъ, что j3, очевидно, нулемъ быть не можетъ, сравнимъ коэффишенты
при i въ объихъ частяхъ равенства и получимъ
Знаменатели лъвой части не меньше ,?2. Поэтому
п 1
Иными словами, если въ разстоянш пУ k отъ оси вещественныхъ чиселъ
проведемъ параллельный ей прямыя, то внутри полученной такимъ образомъ
полосы будутъ лежатъ всъ корни функщи /2 -(- kf'2, и ни одинъ не будетъ
лежать на оси г).
с) Если, напротивъ, к число отрицательное, то всъ корни функщи
/2 + kf'2 будутъ вещественными, какъ сейчасъ увидимъ изъ одного инте-
реснаго обобщешя теоремы Ролля, принадлежащаго Варингу. Обозначая че-
резъ а, /?, у, ... корни функщи/, черезъ г, s, t, ... соответственные по-
показатели ихъ кратности, черезъ k любое вещественное число, и приравнивая
/-(- kf нулю, получимъ уравнеше
!) Друг!я полезныя упражнен1я можно найти въ „Nouv. Annales de
Mathem.", за 1885 г., стр. 321, и за 1887 г., стр. 36.
35*
548 V, 1. СУЩЕСТВОВАШЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 504
Л*вая часть есть функщя q> (x), непрерывная въ любомъ интервал*, изъ
котораго исключены числа а, /3, у, ... Ясно, что въ смежности съ корнемъ а
соотв*тствую1ш'й ему въ функщи д> членъ по абсолютной величин*
превзойдетъ сумму вс*хъ прочихъ, такъ что сл*ва отъ а функщя ср отри-
отрицательна, а справа отъ « положительна. Сл*довательно, когда х изм*няется
въ интервал* между двумя посл*довательными корнями функщ'и /, функ-
функщя (р м*няетъ знакъ и им*етъ въ этомъ интервал*, по крайней м*р*, одинъ
корень. Зам*чая еще, что при достаточно большихъ значешяхъ | х | функ-
функщя <р принимаетъ и сохраняетъ знакъ числа k, видимъ, что ср им*етъ еще
корень, менышй или болышй, ч*мъ вс* корни функщи /, смотря по тому,
будетъ ли k > 0 или < 0. Итакъ, если v есть число различныхъ корней
функщи /] то (р им*етъ, по крайней м*р*, v корней, отличныхъ отъ корней
функщи /. Кром* того (§ 450, с), она обращается въ нуль при значешяхъ х,
равныхъ кратнымъ корнямъ функши /, и им*етъ поэтому еще
(Г - 1) + (в - 1) + (/ - 1) + ••• = П - V
корней, общихъ съ /". Следовательно, если вс* корни / вещественные,
то тоже самое можно сказать и о функцш/-)- kf.
d) Давая числу k различный вещественныя значешя, легко обоб
щить посл*днюю теорему. Предполагая, что вс* корни f вещественные-
можемъ то же самое сказать о функщ'и /+ kf, дал*е и о функщи
/+ *,/' + к, (/' + ktf") =/+. (At + Аа)/' + kxhj" и. т. д.
Такимъ образомъ, приходимъ къ теорем*: Если вс* п корней функц1и f
вещественные, то иве* корни функщи af-\-bf-\-cf"-\- ¦¦¦ будутъ ве-
вещественными, при услов1и, что функщя ахп-\-Ьх"^1->гсх"~'2 -\- ¦¦¦ им*-
етъ также вс* корни вещестенные (XV bis). Этимъ путемъ можно до-
доказать, наприм*ръ, вещественность корней уравнешя:
х- + ^ х"-1 + t! ~ ^ х"-2 + • ¦ • = 0,
е) Доказать, что если вс* корни функщи f вещественные, то ква-
дратъ каждаго коэффиплента больше произведен1я двухъ сос*д~
нихъ коэффиц!ентовъ. Выпишемъ четыре смежныхъ члена функщи/:
••¦ + «^i*—^1 + %xn-v + <*v+1*n-v-X + <*v+2x"-*-2 +¦¦¦
Умножая на (х — к) получаемъ
¦ ¦ • + К - h«v.!)*"-1*1 + • • • + (av+2 - har+1)xn-"-1 + • ¦ •.
Если бы av было равно 0, то теорема, очевидно, была бы справедлива,
на основанш сд*ланнаго раньше зам*чашя въ § 499, с. Предположимъ по-
поэтому яа,Ц^0. По тому же зам*чанда, коэффищенты av — havl и ev_|_2 — hav_^_l
г) Друг1я аналогичныя упражнетя можно найти у Laurent: „Traite
d'Algebre" III ч. 4-е изд. стр. 70.
§ 504 счетъ корней. 549
при h = v' , должны имъть разные знаки, потому что всъ- корни функцш
11 v
(х — h)f вещественные. Имъ-я
находимъ, что знакъ числа av2 — av_1av,1 одинаковъ со знакомь числа
а\ , j — avav_^_2, т. е. не зависитъ отъ v. Но первые три члена функцш / по
умноженш на х — h даютъ
Такъ какъ яо-ЬО, то можно положить h — -—, и необходимо будетъ, чтобы
знакъ «0 былъ противоположенъ знаку числа
а0а2 — а-,2
Слъдовательно, «j2 > аоа2, и вмъст1> съ тъмъ av2>av^_1avj^.1 при всякомъ v.
Эта теорема, данная Де Гюа (De Gua), позволяетъ часто обнаружить су-
ществован1е мнимыхъ корней, когда это не удается съ помощью теоремы
Декарта. Изъ различныхъ слъдствШ теоремы Де Гюа укажемъ на доказа-
доказательство существовашя мнимыхъ корней нъ-которыхъ уравнешй, напри-
м^ръ, такихъ, въ которыхъ три послъдовательные члена составляютъ геоме-
геометрическую прогресаю или четыре ариеметическую.
f) Рекомендуемъ читателю снова приняться за различные разсмотрън-
ные въ этой главъ вопросы и изслъдовать ихъ непосредственно на плоскости
комплексной перемънной. Можно начать со слъ-дующаго замъчан1я: если
черезъ некоторый корень х функщи f проведемъ прямую подъ угломъ Э
къ оси вещественныхъ чиселъ, и обозначимъ черезъ гх, г2, г3, ... разстоя-
Н1Я отъ «j, а.,, а3, ... до х, а черезъ 9j_, 02, 63, ... углы наклонен1я къ той
же оси прямыхъ, соединяющихъ с^, а2, а3 ... съ х, то будемъ имъть
x-(h х - а., _ _х-пп_ ,-9
7^7-^17 Ту9" • ( }
Уравнен1е
D9) —1— Н -1— + • • • + —— = 0
х — «г х — а2 х — ап
приметъ форму, независящую отъ 8. Оно распадается на два, изъ кото-
которыхъ одно есть
sin flj sin 8., sin 6я
I - + ¦ • ¦ н —- = и.
'l '2 'п
Оно показываете, что разстоян1я гг sin 6Х, г., sin 9.,, ;-3 sin 93, ... точекъ а1;
а.,, а3, ... отъ разсматриваемой прямой не могутъ быть ни всъ больше 0,
ни всъ меньше 0. Слъдовательно, корни функции / лежатъ по объ
стороны отъ прямой, проходящей черезъ какой нибудь корень
функции /', если только они не лежатъ всъ на этой прямой, въ какомъ
случаъ на ней же будутъ и всъ- корни /'. Такимъ образомъ, мы выясняемъ
одну, уже paHte доказанную, теорему (§ 496, Ь) и, кромъ того, получаемъ
550 V, 1. СУЩЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 504
сл-БдующШ результатъ: если все корни функцш / лежатъ въ неко-
некоторой области, ограниченной сомкнутымъ контуромъ, то въ той
же области лежатъ и всб корни функщи /'1). Друпя ограничешя
для положенШ корней функщи /' получимъ, повторяя на плоскости первое
упражнеше. Нужно только принять за а и /3 корни функщи/, наиближе
лежашЛе къ определенному корню х функщи/'. Такъ какъ модуль каж-
каждой дроби въ левой части уравнешя D9) не можетъ быть больше суммы
модулей всбхъ прочихъ членовъ, то вместо неравенствъ D8) получимъ теперь
i х — /3 [ ? in — 1) j x — а |, j x — a [ SS (n — 1) \ x — 8 ].
Отсюда вытекаетъ следующее: если изъ всбхъ круговъ, отдътшющихъ гар-
гармонически а отъ /9, начертимъ rt два, которые дъ-лятъ отръ-зокъ въ отно-
шенш 1 къ и—1, и п — 1 къ 1, то такимъ образомъ мы отдъ\лимъ корни
а и в отъ корня х функщи f. Дал^Ье, если черезъ середину каждаго изъ
прямолинейныхъ отрЪзковъ, соединяющихъ а и $ съ другими корнями /,
возставимъ къ этимъ отрЪзкамъ перпендикуляры, то въ той части плоско-
плоскости, которая лежитъ вн^Ь обоихъ круговъ, получимъ границы для положешя
корня х функщи /', такъ какъ, по предположена, точка х не можетъ от-
отстоять отъ а и /3 дальше, чЪмъ отъ любого изъ другихъ корней. Такимъ
образомъ кругами и прямыми лишями, определенно построенными по дян-
нымъ корнямъ функщи / всегда можно ограничить гб части плоскости, въ
которыхъ будуть лежать различные корни функщи /'.
g) Изучен1е взаимнаго расположен1я корней функщи / и /' обнару-
живаетъ замечательный законъ, относящ1йся къ неизменяемости некоторыхъ
выражен1й или элементовъ. Такъ, между прочимъ, при переходе отъ / къ /'
и къ следующимъ производнымъ остается безъ изменешя центръ тяжести
корней
So = - («1 + «2 + h ап) ¦
Действительно (§ 465), сумма корней функщи
равна сг = я?0, а сумма корней функщи /' = я/^1 — (и — 1)с1хп~~2 + •••
равна cl = (n— 1)|0, такъ что среднее ариеметическое корней и здесь
равно ?0. Это число будетъ и единственнымъ корнемъ функщи f'"~v>.
Корни д и §' функщи у(и^2|5 сумма которыхъ равна 2g0, имеютъ произве-
ден1е, равное среднему ариеметическому всехъ произведен1й корней функ-
функщи / взятыхъ по два, и т. д. Мы ограничимся здесь разсмотрешемъ чи-
селъ ^0 и ??'. Заметимъ, что изъ равенствъ
«1 + «2 + а8+ ••¦ = «to-
аха2 + ага?1 + а2а3 + ••• = \п{п — 1)$$'
получается
(«1 - СоJ + («2 - &J + • ¦' + (О, - У2
х) Объ этомъ вопросе и другихъ аналогичныхъ можно найти ссылки
на многочисленныя сюда относяш.1яся изследован1я въ „Melanges mathema-
tiques" par Mansion, стр. 26.
§ 504 счетъ корней. 551
Обозначимъ теперь черезъ tv и ч„ Декартовы координаты а0 относительно
начала ?0 и прямой ?t', какъ оси абсциссъ, тогда
^A = 4^-=---=#v^ = ^, (xvi bis)
гдЪ с обозначаетъ разстояте точекъ f и ?' отъ ?0. Поэтому
(?i + iVif + (й + «teJ + ••¦+(?„ + *ЧВJ = и (я -
а следовательно,
гдт, суммирование распространяется на значешя 1, 2, 3, ..., п числа к. Те-
Теперь замт,тимъ еще, что
такъ что будемъ имт>ть
v sin 0 - 4v cos 9 + hf = ^2J ^v2 + %2) ~ i»(n - l)c* cos 29
Отсюда прямо видно, что эта сумма будетъ minimum при 9 = 0 и h — 0.
Итакъ, изъ всбхъ прямыхъ на плоскости прямая ??' есть та, для
которой сумма квадратовъ разстояшй отъ всбхъ корней функ-
uin / будетъ наименьшею. Изъ сказаннаго выше вытекаетъ, что та же
прямая обладаетъ тЪмъ же характеристическимъ свойствомъ по отношенвд
къ функцдямъ /', /", ... Въ частномъ случай кубическаго уравнешя обо-
обозначимъ
к2 + и2 + й2 = б «2, vi2 + vi + ni = 6 б2,
такъ что я2 — Ь2 = с2; тогда изъ соотношенШ.
1?1 + 1J + % = ° - Sl4l + ?2 42 + 1зЧз = °
и изъ предшествующихъ вытекаетъ
= = = +
& — & «з — ?i Si — й "" У
откуда
li2 . %2 - 3gi2 + (f2-g3J = ni±Sk±M±Sk^Jit = л
а2 + ~Ъ2 За2 3«2
То же самое относится къ другимъ двумъ точкамъ (корнямъ). Следовательно,
х2 у2
эллипсъ -JJ--T- jr, = li фокусы котораго находятся въ точкахъ ? и ?' (? и f
суть корни производной отъ правой части кубическаго уравнешя /= 0),
проходитъ черезъ точки (— |^15 — ?%) и т. д., т. е. черезъ середины сто-
ронъ треугольника а^аъ. Такимъ образомъ, мы снова находимъ известную
уже теорему (§ 415).
552 V, 1. существованш и счетъ корней. §§ 505—506
Теорема Штурма.
505. Пусть у есть цЬлая функщ'я (съ вещественными коэффи-
коэффициентами). Мы можемъ всегда предположить, что /не имЬетъ крат-
ныхъ корней (§ 456). Пусть ft ел производная. РаздЬлимъ f на /*j
и обозначимъ черезъ f% остатокъ отъ дълещя, взятый съ обрат-
обратнымъ знакомъ. Затт>мъ д'Ьлимъ fx на f2 и обозначаемъ черезъ Д
остатокъ, взятый съ обратнымъ знакомъ. Продолжая этотъ процессъ,
получимъ рядъ функцШ,
степени которыхъ, очевидно, убываютъ. Последняя изъ этихъ функ-
функщй есть постоянная, не равная нулю. Действительно, полиномы f и
/*j взаимно простые, потому что / кратныхъ корней не имъетъ. Про-
Производимая нами операщя, если не обращать внимашя на перемены
знаковъ у остатковъ отъ дъленШ, есть не что иное, какъ разыска-
н!е общаго наибольшаго дълителя полиномовъ /' и fx, и не можетъ
привести къ остатку, равному нулю. Полученныя функщ'и называ-
называются функциями Штурма (Sturm), а образуемый ими рядъ—ря-
домъ Штурма.
506. Теорема Штурма1). При возрастали х отъ а до Ъ
(а < Ь) соответствующей функц1и у рядъ Штурма теряетъ
ровно столько перем-Ьнъ знака, сколько корней функцДи/
заключается въ интервал^ (а, Ь).
Прежде всего ясно, что при непрерывномъ измънеши х отъ
а до Ъ число перемЪнъ знака въ рядт, Штурма остается безъ из-
менен1я, пока ни одна изъ функщй этого ряда не изм-Ьнитъ своего
знака. Поэтому, всл-Ьдств1е непрерывности этихъ функщй, намъ
нужно только разсмотръть, что произойдете когда значеше х
обратить которую нибудь изъ нихъ въ нуль. Прежде всего за-
мътимъ, что дв^Ь рядоиъ стоящ1я функц1и одновременно въ нуль
обратиться не могутъ. Это очевидно для f и fx, потому что f не
имЪетъ кратныхъ корней. KpOMt того, такъ какъ между тремя рядомъ
стоящими функщями существуетъ соотношеще видау",„1 =/ig9i—/н-ь
гд^Ь cpt цЪлая функщя, то одновременное обращен1е въ нуль функ-
функщй /i-|-i и fi повлекло бы за собою таковое же для ft и _Д_!, за-
т%мъ для _/,-_! и fi_2 и т. д. и наконецъ, для fx и f, что невоз-
невозможно. Следовательно, если j\ обращается въ нуль, то fi—i и ft+i
не обращаются въ нуль. Он-fe принима!отъ значещя разныхъ знаковъ,
потому что, если, при х = a, J] = 0, то fi-\ = —fi-\-\- Мы можемъ
г) Этой теорем* посвящена ц'Ьлая глава въ учебник* Вебера (Weber,
Algebra) томъ I, стр. 316—358.
§§ 506-507 теорема штурма. 553
всегда образовать около а достаточно малый интервалъ, въ которомъ
функщи fi_i и /ц-i, непрерывный и неравныя нулю при х = а, со-
храняютъ во всемь интервале тотъ знакъ, который оне им^ютъ при
х = а. Для определенности положимъ, что /i_i сохраняетъ знакъ
+ , тогда fi^i будетъ сохранять знакъ —. Въ такомъ случай,
слева и справа отъ а, функщи fi—i, fi, fi-\-i будутъ иметь знаки
-|-, + , — . Каковъ бы ни былъ знакъ функщи ft до и после ея
обращешя въ нуль, всегда рядъ _/",__!, fi, f+i дастъ одну перемену
знака слева отъ а и одну перемкну знака справа отъ а. Отсюда
заключаемъ, что переходъ числа х черезъ корень какой-нибудь изъ
промежуточныхъ функщи, если онъ не будетъ въ то же время кор-
немъ функщи f никакого измънещя въ числе перемънъ знака въ
ряде Штурма не производитъ. Такое измъ-неще можетъ произойти
только при переходе х черезъ корень функщи /. Въ этомъ случай
действительно произойдетъ потеря одной перемены знака, потому
что, какъ мы видели (§ 494, a), fx справа отъ а им^етъ знакъ,
одинаковый сь f, а сл-Ьва отъ а противоположный. Итакъ, въ то
время какъ при переход-fe х черезъ какой-нибудь корень а функщи
/ пропадаетъ одна перемъ-на знака, при переход^ черезъ любое
другое значеше ни одна не пропадаетъ и ни одна не появляется
вновь. Ясно, следовательно, что при переход^ х отъ а къ Ъ про-
пропадаетъ столько перем'Ьнъ знака, сколько корней функщи f заклю-
заключается между а и Ь.
507. ПримЪчашя. а) При составлеши ряда Штурма можно,
не изменяя заключешй, умножать встр^чаемыя функщи на лгобыя
положительныя числа. TaKiH умножешя полезно производить въ
численныхъ приложешяхъ, во изб-Ьжан1е дробныхъ коэффищентовъ,
вводимыхъ последовательными делен1ями.
b) При доказательстве теоремы, последнШ постоянный членъ
ряда не входитъ въ разсмотреше, благодаря тому лишь обстоятель-
обстоятельству, что, не будучи равнымъ нулю, онъ всегда сохраняетъ опре-
определенный знакъ. Отсюда следуеть, что если при составлены функ-
щй Штурма дойдемъ до такой, которая сохраняетъ постоянный
знакъ въ разсматриваемомъ интервале, то на ней и можно оста-
остановить рядъ Штурма.
c) Это замечаше можно еще иначе оправдать, разсмотревъ
ближе изменен1е знаковъ въ Штурмовомъ ряде. Разсмотримъ, на-
примеръ, перемену знака, представляемую некоторыми двумя функ-
щ'ями, положимъ fi и ft-\-i, при х = а. При непрерывномъ возра-
стан1и х эта перемена знака будетъ подвигаться влево отъ /} или
вправо отъ /i-j-ь когда одна изъ этихъ функщи будетъ менять
знакъ. А именно, если первая изъ функщй, которая должна изме-
изменить знакъ, будетъ /,, то перемена знака передвинется влево
(XVII), и такимь образомъ, она будетъ передвигаться влево всякШ
разъ, какъ функщя, стоящая левее другой, раньше этой другой
554 V, 1. СУЩЕСТВОВАНШ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. § 507
изм-Ьнитъ знакъ, пока не займетъ перваго места въ ряде переменъ
и последовательностей знака. ЗатЬмъ, она непременно перейдетъ
въ постоянство, когда х перейдетъ черезъ корень функщи f.
Понятно теперь, что функщя Штурма, не меняющая знака въ раз-
сматриваемомъ интервале, представляетъ собою преграду, препят-
препятствующую такому передвижешю перемены знака справа налево или
наоборотъ. Этимъ именно и объясняется, что лежащая вправо отъ
этой функщи часть Штурмова ряда не играетъ роли при счете по-
терянныхъ переменъ знака, такъ какъ ни одна изъ переменъ
знака, встречающаяся въ этой части, до начала ряда достигнуть
не можетъ, чтобы обратиться зд-Ьсь въ постоянство знака.
d) До сихъ поръ молча подразумевалось, что на границахъ
интервала (я, Ь) ни одна изъ функщй /, /4, /2, ... не обращается
въ нуль. Иначе непонятно было бы, какъ считать перемены
знака на этихъ границахъ, между темъ какъ къ этому счету и сво-
сводится все дело. Мы условимся теперь при этомъ счете опус-
опускать те члены, которые обращаются въ нуль. Но тогда надо
разсмотреть не требуетъ ли это yaiOBie какого-либо изменешя въ
формулировке самой теоремы Штурма. Прежде всего заметимъ,
что, какъ уже было сказано, три функщи /i_i, fi, /i-fi предста-
вляютъ одну перемену знака какъ слева, такъ и справа отъ корня
функщи fi, и одну же перемену знака мы сосчитаемъ въ паре
функщи y|-_i и _/iq-i, когда выкинемъ среднШ членъ ft = 0. Поэтому
выкидываше среднихъ членовъ ряда, обращающихся въ 0 при х = а
или л" = Ь, никакого изменешя въ счете переменъ знака не про-
изведетъ. Остается разсмотреть те случаи, когда сама функщя f
исчезаетъ на одной изъ границъ или на обеихъ. Съ этой целью,
вместо интервала (а, Ь), разсмотримъ сперва интервалъ (a-\-h,
b — h), где h достаточно малое положительное число для того,
чтобы для значенШ х, лежащихъ между а и а -\- h, и между Ъ — h
и Ъ ни одна изъ функцШ f, f\, f%, ¦ • ¦ не меняли знака. Если
f(a) = 0, а f(b) Ф 0, то при х = а-\- h, функщи f и ft, какъ из-
известно, представляютъ постоянство знака, а потому число пере-
переменъ знака въ рядахъ /, /,, /%, ... при x = a-\-h, равно числу
переменъ знака въ ряде fx, f2, ... при х = а, полученномъ после
опускашя члена /(а) = 0. Обозначимъ это число черезъ \i. Число
переменъ знака въ ряде /, ft, f%, ... при х = Ъ — h, очевидно,
равно числу переменъ знака въ томъ же ряде при х = Ь. Обозначая
его черезъ v, находимъ, что число потерянныхъ переменъ знака
при переходе х отъ а до b равно v = pi — v и равно числу кор-
корней функщи f въ промежутке (a-\-k, b), т. е. въ интервале
(а, Ь), за исключешемъ нижней границы. Ес<ш f(b) = 0, то,
какъ известно, функщи f и /х при х = b — h представляютъ пе-
перемену знака, которая исчезаетъ при переходе х отъ b — h къ b.
Поэтому, выкидывая членъ f(b) = 0 и обозначая черезъ v число
переменъ знака въ ряде fx,f2... при х = Ь, мы включимъ въ
§§ 507 — 508 теорема штурма. 555
число потерянныхъ перемЪнъ знака v =/г—v и ту, которая обу-
обусловлена существовашемъ корня Ъ. Изъ вышесказаннаго слтэдуетъ,
что при нашемъ условш относительно счета перемтзнъ знака тео-
теорему Штурма надо формулировать следующимъ образомъ: Число
перемтзнъ знака, теряемыхъ рядомъ Штурма, соотв-Ьтству-
ющимъ функцш у, при переходе переменной отъ нижней
границы интервала къ верхней, равно числу корней функ-
функцш у лежащихъ въ данномъ интервале, за исключешемъ
нижней границы. Поэтому, если при х = а или х = Ъ найдемъ
у= 0, и, выкинувъ какъ этотъ, такъ и всякШ другой членъ ряда,
обращающейся въ нуль, насчитаемъ v потерянныхъ переменъ знака
при переходе х отъ а къ Ь, то можемъ утверждать следующее:
кроме корня а, существуетъ еще v корней въ промежутке (а, Ь)\
напротивъ того, кроме корня Ъ существуетъ еще лишь v — 1 кор-
корней въ промежутка (а, Ъ), не считая а, который также можетъ
быть корнемъ.
е) Теорема Штурма остается справедливою и въ томъ случае,
когда у им^етъ кратные корни, если предположимъ, что каждый
кратный корень считается одинъ разъ, какъ простой. Действительно,
въ данномъ случаъ послъ\цнШ членъ ряда Штурма будетъ, очевидно,
пропорцюналенъ общему наибольшему дълителю функцШ у и у.
Если обозначимъ черезъ др, частное отъ дът1ен1я у на этого наи-
большаго делителя (который, очевидно, будетъ дълителемъ всЬхъ
функщй ряда), то ясно, что перемены знака въ ряде f, fx, f%, ...
будутъ совпадать съ переменами знака въ ряде <р, др,, <р2, ... По-
следн!й рядъ обладаетъ теми же свойствами, какъ и рядъ Штурма,
соответствуюшдй функщи д>, т. е. функцш, простыми корнями кото-
которой будутъ все различные корни функщи f (и только эти корни) *).
508. Приложешя. а) Теорема Штурма даетъ возможность указать
точно число вещественныхъ корней уравнен1я и узнать сколько между ними
положительныхъ и сколько отрицательныхъ **). Наприм^ръ, для функщи
f = лг4 — 2х2 + х — 1 рядъ функщй Штурма состоитъ изъ / и слъ\цующихъ:
/i = 4дгЗ - 4дг + 1, Л = 4х2 - Злг + 4, /3 = 23л; + 8, /4 = - 2924.
Для значен1я х отрицательнаго и достаточно большого по абсолютной вели-
величине рядъ знаковъ будетъ:
+ — + — — (три перемены знака);
при х = 0 знаки совпадаютъ со знаками независимыхъ членовъ, т. е.
— + + + — (две перемены знака).
Мы имеемъ одну потерянную перемену, следовательно, одинъ отрица-
*) Подробнее объ этомъ см. Laurent H. „Traite d'Algebre", стр. 62.
**) Стоитъ только применить ее къ интерваламъ (— с», 0), @, со).
556 V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ. §§ 508—509
тельный корень. При х достаточно большомъ имЪемъ знаки старшихъ
членовъ
+ + + + — (одна перемена знака).
Следовательно, уравнеШе л;4 — 2л;2 + х — 1 = 0 имеетъ одинъ положитель-
положительный, одинъ отрицательный корень и два сопряженныхъ мнимыхъ. Можно
еще добавить, что положительный корень лежитъ между 1 и 2, а отрица-
отрицательный между —2 и —1. Теорема Декарта даетъ только существоваше
одного положительнаго и одного отрицательнаго корня, но оставляетъ въ
неизвестности будутъ ли остальные два корня вещественные или мнимые:
Ь) Теорема Штурма прилагается также къ разыскатю необходимыхъ
и достаточныхъ условШ вещественности всехъ корней алгебраическаго
уравнешя
аохп + аххп~~^ + «2#"~~2 +•••+«» = 0.
Во первыхъ, рядъ Штурма долженъ быть полнымъ, т. е. состоять изъ п-\-\
функщй степеней п, п— 1, п — 2, ..., 2, 1,0 чтобы возможна была потеря п
переменъ знака. Во вторыхъ при х достаточно большомъ рядъ Штурма дол-
долженъ представлять одни постоянства знака, следовательно, при я0 > 0
старшее члены всехъ Штурмовыхъ функщй должны быть положительны.
Эти услов1я и достаточны. Действительно, положимъ, что они выполнены.
Давая переменной х отрицательное и достаточно большое по абсолютной
величине значеше, найдемъ для функщй Штурма попеременно знаки + и —,
такъ что рядъ ихъ даетъ и переменъ знака. Выд'Ьляя, следовательно, интер-
валъ (— /, + /), внгЬ котораго нетъ корней функщй /, найдемъ, что при
переходе х отъ — I къ + / рядъ Штурма потеряетъ п переменъ знака и,
следовательно, / будетъ иметь п вещественныхъ корней. Такъ напримеръ,
для уравнешя xs-\-px + q = 0 рядъ Штурма будетъ
f=xi + px + q, Л = 3х2+р, /2=-2px-3q, /3 = - Ьр - 27 qK
Следовательно, должно быть р < 0, \ръ + 21ф < 0. Но первое услов1е уже
заключается во второмъ, потому что, при р > 0, 4^3 + 21 q- не можетъ быть
меньше 0. Следовательно (срав. § 314, е), необходимое и достаточное
услов1е вещественности и неравенства всехъ корней функщи
xs+px + q есть Ар6 + 27 q- < 0.
509. Ответь на вопросы предыдущаго параграфа можно бу-
будетъ дать въ общемъ видъ, если удастся найти обшдя выражен1я
функцШ Штурма. Ц^лое частное отъ дЪлешя
/= хп - схп^ + ••• на Л = пх"-1 - (п - \)схп-% + ••¦
1 / с\ ,
равно — [ х , и потому мы имъемъ
откуда слъдуетъ
f it \ it j *—1 х — af n- ^-J х — (if
Замечая, дал-fee, что
п а( — с = (а,- - аг) + (а,. — а2) + • • • + (а* - «„),
§ 509
ТЕОРЕМА ШТУРМА.
557
можемъ написать
/
1
и2
(«,- ~ суJ
г — а,-) (дг — ау)'
Л
Сравнивая это выражеше съ выражешемъ -j. , можно угадать общШ
результатъ, найденный Сильвестромъ х). Независимо отъ нъкото-
рыхъ множителей, которые въ случае уравнешй съ вещественными
коэффициентами всегда положительны (а потому могутъ быть от-
отброшены), будемъ имъть
/,¦ V-T («1 - «2J(«1 ~ «зJ ¦ • • К-1 - aif
f Z^ {x - ajix - а2) ¦¦¦ (х- а,)
гд-fe суммирован1е распространяется на вс-fe системы изъ г указа-
указателей, которыя (какъ 1, 2, 3,..., г) выбраны между числами
1, 2, 3, ... п. Въ частности, что можно было предвидеть, /„ есть
не что иное, какъ дискриминантъ Л функцш J. Последняя формула
показываетъ, что f,- полиномъ степени п — г, коэффиц1енты кото-
раго суть симметрическ1я функц1и корней функщи f. и следова-
следовательно, выражаются целыми рашональными функщями коэффишен-
тонъ полинома f. На основан1и сказаннаго въ предыдущемъ пара-
параграфе важно вычислить первый коэффищентъ въ /,-, который мы
обозначимъ черезъ а,-. Мы имеемъ
1
«1
«I2
1
«2
ai
... 1
и видимъ (§ 30), что Oi есть квадратъ матриссы
1 1 1 ••• 1
а12 а22 аЪ ¦¦¦ On2
!) Philosophical Magazine A839), Journal de Liouville A862, p. 368).
Доказательство см. у I. Serret, „Algebre superieure" 4-е изд. т. 1 стр. 570,
или у Salmon, „Algebre superieure" стр 73 и слЪд. См. также замЪтку
Gilbert о Штурмовыхъ функщяхъ въ Nouvelles Annales de Math. 18b6 г.
стр. 263 и Trudi „Determinants (Applicazioni, § V).
558
V, 1. СУЩЕСТВ0ВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
509-511
такъ что можно написать
s.
0
i—2
Следовательно (§ 466),
s0 s1
ai = 5o = n >
и, наконецъ,
.5,
— 2пс2 и т. д.
/1.
510. Теорема. Число паръ мнимыхъ корней цтэлой
•функц!и, неим-Ьющей кратныхъ корней, равно числу пере-
знака въ рядЪ а1, а.г, .. . а„.
Эту теорему легко вывести изъ теоремы Штурма, если при-
принять во внимаше замЪчашя § 508. Въ самомъ дЪлЪ, если v есть
число перемтэнъ знака въ рядЪ ах, бг, ..., а„, то таково же будетъ
и число перем-Ьнъ знака въ ряд-fe /, ^,/.г, ..-,/н при достаточно
большомъ значенш х, потому что первыя двъ1 функщи посл'Ьдняго
ряда даютъ постоянство знака. Если же дадимъ х значеше отри-
отрицательное и достаточно большое по абсолютной величин-fe, то каж-
каждая перемена знака обратится въ постоянство и обратно. Следова-
Следовательно, въ послтэднемъ случатэ число перем-Ьнъ знака въ ряд^Ь
Штурма будетъ п — v. Поэтому число потерянныхъ перем-Ьнъ
знака при возрастали х въ интервал^ (— /, /), вн1в котораго
нтэтъ корней у, будетъ равно n — 2v. При теорем-fe Штурма им-Ьемъ
п — 2v вещественныхъ корней и, следовательно, v паръ мнимыхъ.
511. Последняя теорема можетъ быть установлена при по-
помощи другого интереснаго доказательства'), не требующаго знашя
Штурмовыхъ функц1й. Разсмотримъ квадратную форму, дискрими-
нантъ которой равенъ
¦ ¦ ¦ s
... s.
„+1
!) См. мемуаръ Боркгардта (Borchardt) въ „Journal de Liouville",
1847, стр. 58.
§ 511 ТЕОРЕМА ШТУРМА. 559
т. е. дискриминанту даннаго уравнешя. Л не равно нулю, потому
что век корни даннаго уравнешя простые. Разсматриваемая квад-
квадратная форма, которую можно представить въ вид-fe
<Р = («0*1 + «i*2 + «2*3 + • • • + sn_1xn)x1
+ «2*2 + «3*3 + ««*„) *2
и*2 + ««+1*3 + • • • «2«-2*И)*И'
можетъ быть поэтому приведена къ сумме п квадратовъ, не рав-
ныхь нулю. Здъхь надо припомнить, что число отрицательныхъ
квадратовъ равно (§ 98) именно тому числу перемЬнъ знака, о ко-
торомъ говорится въ формулировке теоремы. Поэтому достаточно
привести ср къ каноническому виду и показать, что число отрица-
отрицательныхъ квадратовъ равно числу паръ мнимыхъ корней уравнешя.
Это приведете въ данномъ случае непосредственно получаютъ, если
въ выраженш д> отделимъ все то, что относится къ определенному
корню а. Такимъ образомъ получимъ
(х1 +ах2 + а-хъ + ••• + ап~1хн)х1
+ {ах1 + а~х2 + а3х3 + ••• + апхю)х2
+ (о—1*! + апх,, + ап+г
= (Xl +ах2 +«2*з
Следовательно, полагая
У г = *1 + «i*2 + а12*
будемъ им-Ьть
Если а, вещественное число, то у^ > 0. Если а, мнимый корень,
то пусть а/ будетъ ему сопряженный. Тогда yt и yj будутъ также
мнимыми сопряженными, и представятся въ вид-fe р + q~\/~— 1, съ
вещественными коэффициентами р vs. q. Отсюда слъ-дуетъ:
У? +У/ = {P + q У^ТJ + {p-q V =ГТJ = 2 (р2 - q*).
Итакъ, каждая пара мнимыхъ корней дастъ въ каноническомъ видт,
формы д) два вещественныхъ квадрата, одинъ положительный, дру-
другой отрицательный, между гЬмъ какъ всякШ вещественный корень
560
V, 1. СУЩЕСТВОВАН1Е И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
511-ЫЗ
даетъ одинъ положительный квадратъ. Следовательно, всякШ отри-
отрицательный квадратъ обнаруживаетъ одну пару мнимыхъ корнейг).
512. Прим1>чашя. а) Необходимый и достаточный усло-
в1я вещественности всЬхъ корней алгебраическаго урав-
нешя съ вещественными коэффишентами состоять въ
томъ, что
о,
So So 5.
«о
si
> 0.
Эти неравенства всегда можно выразить неравенствами въ буквахъ
с, при помощи теорш симметрическихъ функцШ.
Ь) Услов1е Л ^> 0 необходимо для вещественности всЪхъ кор-
корней. Но когда оно выполнено, можно утверждать лишь только то,
что число паръ мнимыхъ корней будетъ четное или нуль. Если
Л < 0, то уравнеше имъетъ нечетное число паръ мнимыхъ корней.
Это заключеше можно прямо вывести изъ выражешя
4 = («1 — aoJ(ai — «зJ(«2 — «зJ • • ¦ (а„_1 — «nJi
которое показываетъ, что Л наверно больше 0, если всъ а веще-
ственныя числа. Дал^е, всякая пара сопряженныхъ мнимыхъ корней
«г и а,- вводитъ отрицательный множитель (а,- — а,J, между гЬмъ
какъ век друпе множители (at — as) и (a.j~at), гдЪ as и щ со-
сопряженные корни, соединяются попарно въ положительныя про-
изведен1я.
513. Примеры, а) Для полнаго кубическаго уравнешя
необходимый и достаточный услов1я вещественности и неравенства веЬхъ
трехъ корней будутъ
в]2 — я0я2 > О, А > О,
пгб А известный (§ 87) дискриминантъ
Зд-бсь yaioeie A > 0 должно быть само по себъ достаточнымъ, потому что
уравнеше 3-й степени не можетъ имЪть четырехъ мнимыхъ корней. По-
!) Подобными же соображешями можно доказать бол'Ье общую те-
теорему, данную Brioschi (см. „Determinanti" Trudi, стр. 250). См. также
статью Sylvester въ ..Philosophical Transactionsл за 1853 г. объ обобщеш'и
теоремы Штурма, и статью Brioschi въ „Nouvelles Annales de Math.", 1856,
стр. 275.
§§ 513—514 V', 2. ръшенш уравнешй. численное ръшенш. 561
этому услсше а{- — а0а2 > 0 должно заключаться въ условш А > 0 (срав
§ 508, Ь), и въ этомъ тотчасъ убеждаемся, зам^тивь тождество
а,;2 А = 4 (а{г — a0a2f — Bа^ — ЗяцЯ^ + я02я3J.
Ь) Для уравнешя 4-ой степени
4агх + я4= О,
наоборотъ, yaioeie А > 0 не достаточно, чтобы можно было утверждать
вещественность всбхъ корней. По знаку А можно лишь наверно сказать, что
при А < 0 два корня вещественные и два мнимые. При А > 0 надо прибег-
прибегнуть еще къ другимъ функщямъ Штурма, въ которыхъ коэффищенты при
старшихъ членахъ, независимо отъ нёкоторыхъ положительныхъ множите-
множителей, будутъ !)
«j2 — а0а2, (а{2 - а0а.2I +laoj,
гдъ (§ 87)
/= я0я4 — 4я1я3 + Зя.,2, / =
«1 а2 «3
Чтобы всб корни были вещественными при А > 0, необходимо, чтобы оба
числа / и / были больше 0. Въ противномъ случат, (при J > 0, всЪ 4
корня мнимые.
с) И для уравнешя 5-й степени можно утверждать, что если дискри-
минантъ меньше 0, то уравнеше им^ветъ 2 мнимыхъ и 3 вещественныхъ
корня. Если дискриминантъ больше 0, то, если не всб корни вещественные,
уравнеше имЪетъ только одинъ вещественный корень. Одинъ изъ возмож-
ныхъ случаевъ отличается отъ другого при помощи изслъдовашя н-Ькоторыхъ
трехъ функщй отъ коэффищентовъ 2).
PtbdJEHIE УРДВНЕН1Й,
Численное решете.
514. Переходимъ теперь къ численному рЪшеьию уравне-
Н1й, т. е. къ разысканш т^хъ чиселъ, который, будучи подставлены
на м-fecTO перем-Ьнной, обращаютъ въ нуль данный полиномъ съ
численными коэффиц1ентами. При этомъ мы можемъ ограни-
ограничиться разсмотрЪшемъ уравнен1й вида
A) яод;и + а^х"-1 + а.2хп-2 + ¦ ¦ ¦ + а„ = О
J) Cayley „Quarterly Journal", t. IV. p. 10, См. также зам-Ьтку Hal-
phen въ „Nouv. Ann. de Math.", 1885, p. 31—35.
-) Roberts „Quarterly Journal", t. IV. p. 175.
SO
562 V, 2. р-ьшенш УРАВНЕН1Й. §§ 514-515
съ ц-Ьлыми коэффищентами и а0 > 0, замъчая, что къ этому виду
можно привести всякое алгебраическое уравнеше съ алгебраическими
(т. е. не трансцендентными) коэффициентами, которые (по опре-
дЪлешю) удовлетвориютъ алгебраическому уравнешю съ рацюналь-
ными коэффишентами. Действительно, если одинъ или несколько
коэффищентовъ а удовлетворяютъ одному или нътколькимъ алге
браическимъ уравнешямъ, то можно эти коэффищенты исключить
(срав. § 444) изъ этихъ уравнешй и даннаго, и исключеше выполнить
такъ, чтобы получилось уравнеше (высшей степени) съ рацюнальными
коэффищентами. Эти коэффищенты можно привести къ ц/Ьлымъ чи-
сламъ, умножая все уравнеше на надлежаще выбранное цълое число.
Когда это сделано, обыкновенно начинаютъ съ разыскашя ц'Ьлыхъ
корней, затъмъ дробныхъ рацюнальныхъ и потомъ, для упроще-
шя, кратныхъ корней. ЗатЪмъ приступаютъ къ приближенному
вычислеюю иррашональныхъ корней. Что касается мнимыхъ
корней, то напомнимъ (§ 493), что ихъ вычислеше сводится къ
вычислению вещественныхъ корней уравнешй съ вещественными ко-
коэффищентами.
515. Границы корней. Прежде всего надо ограничить
корни, т. е. определить интервалъ, внЪ котораго не можетъ на-
находиться ни одинъ вещественный корень уравнешя. Границы этого
интервала называются нижнею и верхнею границами корней.
Вопросъ сейчасъ же сводится къ определенно одной верхней гра-
границы, потому что, если f(x) обозначаетъ первую часть уравнешя
A), то нижняя граница его корней, очевидно, получится, если возь-
мемъ верхнюю границу корней уравнешя f(—х) = 0, съ обрат-
нымъ знакомъ. Точно такъ же можно получить нижнюю границу по-
ложительныхъ корней /\х), взявъ обратную величину верхней гра-
границы корней /{-.) и т. д. Для опредЪлешя верхней границы /
имъется много правилъ:
а) Правило Ньютона. Если при х = I всъ функщи /, /',
f", ... положительны, то / верхняя граница корней функщи f.
Действительно, при всякомъ х > /, имъемъ
(*¦ - 1)/'A) + ^ - О2/"О + • • ¦ > 0.
Впрочемъ, это правило можно считать непосредственнымъ сл^д-
ств1емъ теоремы Бюдана (§ 502). Для практическаго его примЪне-
н1я, начинаютъ съ опред^лешя наименьшаго ц-Ьлаго числа, котораго
не превосходитъ корень функцш /(-"~1>- Это число подставляютъ
въ f(n~'2'1 и, если получится число отрицательное, то увеличиваютъ
упомянутое число столькими единицами, сколько нужно, чтобы со-
соответствующее значеше f("—'2> было больше 0. Новое полученное
число подставляютъ въ у<"-3) и т. д., и продолжаютъ такъ до тъхъ
поръ, пока не получатъ числа, для котораго само f будетъ больше 0.
Такое число / и будетъ искомою верхнею границею.
§§ 515—516 ЧИСЛЕННОЕ Р-ЁШЕН1Е. 563
b) Правило Лагерра. Тотъ же процессъ можно применить,
заменяя рядъ функщй /, /', /", ... рядомъ функцШ Руффини
fjfijfz,--- Справедливость этого правила прямо слЪдуетъ изъ
теоремы Лагерра (§ 501).
c) Известны и друпя правила, менее удовлетворительныя въ
смысле получаемаго результата *), но легче и быстрее применимый.
Обозначимъ черезъ аг, наиболышй изъ коэффищентовъ, предше-
ствующихъ первому отрицательному коэффициенту as, и черезъ а<
наибольший по абсолютной величине изъ отрицательныхъ коэффи-
коэффищентовъ. Правила Маклорена, Лагранжа и Тилло выражаются
следующими равенствами
, 1
Лагранжъ далъ еще другое правило для опредъттешя высшаго пре-
предела положительныхъ корней, а именно: составивъ выражешя:
«о
и все подобныя имъ, относящаяся ко всемъ отрицательнымъ коэф-
фищентамъ уравнешя, надо взять сумму двухъ наибольшихъ изъ
этихъ чиселъ; оно и дастъ число /.
d) Вместо того, чтобы прилагать эти правила, часто разлага-
ютъ полиномъ f на прилично выбранныя части и стараются непо-
непосредственными испыташями найти верхшя границы Г, /", ... корней
каждой части, после чего берутъ за / наибольшее изъ этихъ чи-
чиселъ. Но изъ всехъ этихъ правилъ наиболее удовлетворительным ь
остается правило Ньютона 1) потому, что оно никогда не даетъ ре-
результата большаго, чемъ друпе, и 2) потому, что оно даетъ бли-
ближайшее целое число, большее самаго большого корня х), если все
корни вещественные. Если въ последнемъ случае наиболыщй ко-
корень есть целое число, то правило Ньютона его и дастъ. Это пре-
преимущество правила Ньютона есть прямое следств1е неизменяемости
центра тяжести корней (§ 504, g). (XVIII.)
516. Ц'Ьлые корни. Если а корень функщй /, то (§ 500,
формула 44)
B) Дх) = (х - а){х"-1/,, + лг"^2/„_1 + • • • +/j).
где fx,f-i, . ¦., fn обозначаютъ значешя функщй Руффини при х — а.
Заметимъ теперь, что при а целомъ все эти значешя также целыя
*) А именно, даютщя вообще слишкомъ большое число /.
г) „Nouvelle Correspondance Mathematique", 1880, стр. 174.
36*
564 V, 2. р-ьшенш уравнен^. §§ 516—517
числа, и что они получаются одно изъ другого помощью соот-
ношенШ
C) /п = «о- Л-1 = «/« + ai- •••-/! = «Л + «я_1. 0 = аД + ап.
Последнее равенство показываетъ, что а делитель числа а„; частное
отъ делешя равно —fx. Предпоследнее показываетъ, что а делитъ
an—i —/i, т. е. сумму ап—\ и предыдущаго частнаго. Новое част-
частное будетъ —f2. Продолжая такимъ образомъ, найдемъ, что по-
последнее частное есть —/„ — а0. Если все эти услов1я выполнены,
то а наверно будетъ корнемъ, потому что равенства C), умножен-
ныя соответственно на а", а"—1, ..., а, 1 и сложенныя даютъу"(я) = 0.
Итакъ, имеемъ теорему:
Для того, чтобы целое число было корнемъ алгебраи-
алгебраическаго уравнешя съ целыми коэффиц1ентами, необходимо
и достаточно, чтобы это число делило независимый членъ,
далее, коэффищентъ при х, сложенный съ частнымъ отъ пер-
ваго делешя, коэффищентъ при х, сложенный съ частнымъ
отъ второго делешя, ..., коэффищентъ при хп~х, сложенный
съ частнымъ отъ (и — 1)-го делешя, и наконецъ, чтобы
частное отъ ;/-го делешя было равно коэффиц1енту стар-
шаго члена, взятому съ обратнымъ знакомъ.
517. Разыскаше целыхъ корней алгебраическаго уравнешя все-
всецело основано на предыдущей теореме. Надо найти различныхъ
делителей независимаго члена и испытать для каждаго изъ нихъ,
удовлетворяются ли указанныя услов1я. Но, чтобы не производить
лишнихъ действШ, важно знать некоторые признаки, по которымъ
a priori можно исключить изъ испыташя того или другого дели-
делителя, не могущаго быть корнемъ уравнешя. Прежде всего ясно,
что надо исключить техъ делителей числа ап, которые лежатъ вне
границъ корней уравнешя. Далее, тождество B) показываетъ, если
въ немъ положимъ х = 1 и х = — 1, что а-\-\ делитъ /(— 1), а
а — 1 делитъ f{-\- 1). Все это ведетъ къ следующему процессу
при разыскаши целыхъ корней: 1. Определяемъ границы коряей.
2. Испытываемъ, не будутъ ли 1 или — 1 корнями уравнешя, при
помощи вычислешя f{\) и f(—1), и если + 1 будетъ корнемъ, то
освобождаемъ уравнеше отъ найденнаго корня ^z 1 делешемъ f{x)
на х + 1. 3. Исключаемъ всехъ делителей числа а„, отличныхъ отъ
+ 1, лежащихъ вне границъ корней. 4. Прибавляемъ единицу къ
каждому изъ остальныхъ делителей и исключаемъ техъ изъ нихъ,
которые после этого не дадутъ делителя числа /(— 1); затемъ,
вычитаемъ единицу изъ оставшихся делителей и отбрасываемъ техъ,
которые после этого не дадутъ делителя числа /A). 5. Приме-
мяемъ основную теорему къ остальнымъ делителямъ. 6. Делимъ
после того, какъ найдемъ корень а, функцш f(x) на х — а, по-
полученное частное снова делимъ на х — а и т. д., чтобы узнать,,
будетъ ли а простымъ, двойнымъ и т. д. корнемъ.
§§ 518—519 численное ръшенш. 565
518. ПримЪръ для упражнешя. Найти цъ-лые корни уравнешя
30 = 0.
Правило Ньютона даетъ границы корней — 7 и 6. Делители 30, лежание въ
этихъ границахъ, исключая + 1, будутъ
-6, —5, -3, —2, 2, 3, 5.
Прямо видно, что +1 и — 1 не корни уравнешя, потому что
/A) 84, /(-1) = 30.
Прибавляя единицу къ найденнымъ дътштелямъ получаемъ числа
- 5, - 4, - 2, — 1, 3, 4, 6,
изъ которыхъ — 4 и + 4 не д-Ьлятъ /(— 1) = 30. Следовательно, делителей
— 5 и'З надо отбросить. Остаются делители
- 6, - 3, — 2, 2, 5.
Вычитая единицу изъ каждаго изъ нихъ, получаемъ числа
-7, -4, -3, 1, 4,
которыя все дъ\пятъ/A) = 84.
Мы видимъ, следовательно, что единственныя числа, которыя надо
испытать съ помощью основной теоремы, будутъ — 6, — 3, — 2, 2 и 5.
Вычислеше можно расположить слъ\цующимъ образомъ, обрывая выкладку
для каждаго числа, какъ только дележе нацело оказывается невозможнымъ:
— 6
-3
-2
2
5
(-61)
- 5
- 10
— 15
15
6
— 66
— 71
-76
-46
-55
(-59)
11
38
-23
- 11
-48
-21
-82
-70
(+4)
8
-41
— 14
12
-37
- 10
(+2)
— 2
— 2.
Следовательно, данное уравнеше имеетъ только два цъ\пыхъ корня — 6 и 5.
При помощи делешя, сейчасъ видимъ, что оба они простые:
f(x) = (х + 6) (х - 5) B*2 + 2х - 1).
519. Дробные корни. Допустимъ, что неприводимая дробь —
удовлетворяетъ уравненш A), въ которомъ а0 = 1. Полагая х = —
и умножая на д"~1, получимъ
^ + ^f-1 + «2P'1-*V +-¦+ an!1'1 = 0,
566 V, 2. р-ьшенш уравнешй. §§ 519-520
• те
т. е. неприводимая дробь — должна быть равна целому числу, что
невозможно. Итакъ, имтэемъ теорему: алгебраическое уравнен1е
съ целыми коэффициентами и съ коэффиилентомъ, рав-
нымъ единиц-Ь, въ старшемъ членЪ не можетъ имЪть дроб-
ныхъ рацшнальныхъ корней. Эта теорема даетъ возможность
тотчасъ свести вопросъ о разысканш дробныхъ корней къ вопросу
о разысканш цЪлыхъ корней. Въ самомъ дъ^гЬ, положимъ, что
данное уравнеше не им"Ьетъ той формы, которая указана въ тео-
ремъ (т. е. а0 Ф !)• Mfai можемъ преобразовать его такъ, чтобы
преобразованное уравнеше приняло эту форму, умножая всЬ корни
на прилично выбранное цълое число k *). Преобразованное уравне-
уравнеше будетъ
аохп + кагхп~х + к°-а2хп~2 + ¦¦¦ + knan = 0.
Распоряжаясь числомъ k такъ, чтобы всъ коэффищенты kax, Ра.2, ...
д-Ьлились на а0 (для чего можно положить, наприм-Ьръ, k = ао)>
и разделяя все члены на а0, приведемъ его къ желаемой формъч
Тогда оно не будетъ имъть ращональныхъ дробныхъ корней. Если
а, /3, у,... будутъ его цълые корни, то -^-, -j, T'"'" ^УДУТЪ
дробными корнями даннаго уравнен1я. Между ними заключаются
и ц-Ьлые его корни (когда а или /? и т. д. д-Ьлятся на k). На прак-
тик-fe, однако, предпочтительно сперва найти ц^лые корни, а загЬмъ
уже, понизивъ степень уравнешя, приступить къ разыскашю дроб-
дробныхъ корней.
520. Прим'Ьръ для упражнешя. Найти рац1ональные корни
уравнен1я
21 х* — 41 х3 + 45 дг2 — 24лг + 4 = 0.
Правило Ньютона даетъ 1 для верхней границы корней. Уравнете, получае-
получаемое заменою х на — х имт>етъ всб коэффищенты положительные. Следо-
Следовательно, всб вещественные корни уравнен1я заключаются между 0 и 1.
Полагая у = 21 лг, получимъ
37044 = 0,
и мы знаемъ, что всЬ корни этого уравнешя лежатъ между 0 и 21. Въ этихъ
границахъ изъ дълителей 37044 лежатъ слъдукише
2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18.
Числа
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 17
должны были бы дълить/A) = 27365. Вычеркивая тъ, которыя этому усло-
В1ю не удовлетворяютъ, увидимъ, что остаются только дълители 1, 6, 14.
*) Иными словами, замъняя въ данномъ уравнен!и лг на -г-
2
6
14
(- 10584)
18522
6174
2646
§§ 520—521 численное р-ьшеше. 567
Эти удовлетворяютъ и другому условда, потому что 3, 7 и 15 д-блятъ
/(— 1) = 48615. Загвмъ производимъ вычислетя по следующей схеме:
(+945) (-41) (+1)
7938 3969 4914
- 4410 - 735 210 35-6-1
- 7938 - 567 378 27 - 14 - 1
Ращональными корнями даннаго уравнешя будутъ, следовательно, числа тД и
Ц, т. е. ^ и |. Левая часть даннаго уравнешя представится теперь въ
такомъ виде
Gлг — 2) (Зх - 2) {х2 - х + 1).
521. Кратные корни. Метода для вычислешя ирращональ-
ныхъ корней, которую мы изложимъ въ следующей главе, требуетъ,
чтобы искомые корни были простыми. Съ этой целью, освободивъ
уравнение отъ всЬхъ ращональныхъ корней, поступаемъ съ нимъ
какъ указано выше, въ § 456, и разбиваемь данное уравнеше на
несколько другихъ. Одно изъ нихъ будетъ иметь простые корни,
равные простымъ корнямъ даннаго, другое —• также простые корни,
равные двойнымъ даннаго, и т. д. Къ этому добавимъ еще сле-
следующее :
a) Если уравнение съ рашональными коэффициентами
имеетъ только одинъ корень определенной кратности, то
этотъ корень непременно будетъ раилональнымъ. действи-
действительно, операцш, которыя надо произвести (делешя полинома на
полиномъ), чтобы получить уравнеше х — а = 0, относящееся къ
этому корню, не могутъ ввести иррацюнальностей. Но если коэф-
фиц1енты въ 1 — а рацюнальны, то это и означаетъ, что корень а
число рацюнальное.
b) Въ уравнешяхъ первыхъ пяти степеней нетъ случая
для применешя методы отделен1я кратныхъ корней. Въ
самомъ деле, такъ какъ мы предполагаемъ, что уравнение освобо-
освобождено отъ рацюнальныхъ корней, то необходимо, чтобы оно имело,
по крайней мере, два двойныхъ корня и поэтому было не ниже 4-ой
степени. И въ случае уравнешя 5-ой степени, остальной пятый про-
простой корень (единственный) былъ бы непременно рацюнальный,
и мы опять приходимъ къ уравнешю 4-ой степени съ двумя двой-
двойными корнями. Иными словами, если уравнеше 4-ой степени съ
ращональными коэффициентами не имеетъ рацюнальныхъ корней, то
оно можетъ иметь кратные корни лишь въ томъ случае, когда
левая его часть можетъ быть представлена въ виде квадрата трех-
трехчлена второй степени. Приведете къ этому виду (или доказатель-
доказательство невозможности его) делается въ каждомъ случае легко, безъ
того, чтобы пришлось прибегнуть къ методе отделешя кратныхъ
корней. Впрочемъ, разсматривая функщю Гессе Н = Зу"'2 — 4//",
568 V, 2. р-ьшенш УРАВНЕН1Й. §§ 521-522
тотчасъ видимъ, что услов1е, необходимое и достаточное для
того, чтобы f было полнымъ квадратомъ, состоитъ въ
томъ, что f отличается отъ Н только постояннымъ мно-
жителемъ 1). (XIX.) Точно такъ же нътъ надобности прибъгать
къ отдъ\лещю кратныхъ корней вь уравненш 5-ой степени съ рацю-
нальными коэффициентами, не имъ-ющемъ ращональныхъ корней,
потому что можно a priori сказать, что корни будутъ простые.
Приближенное вычислеше корней.
522. Въ предыдущей главъ мы видъли, что при разысканш
корней алгебраическаго уравнен1я его всегда можно привести къ
другому, имеющему лишь простые и иррацюнальные корни. Къ
разыскашю посл'Ьднихъ мы теперь и приступимъ. Ьесьма важная
метода, изобретенная Ньютономъ и усовершенствованная Фурье,
даетъ возможность быстро вычислять иррацюнальные корни алге-
браическихъ функщй и всъхъ такихъ трансцендентныхъ, которыя
имт>ютъ вторую производную. Эта метода предполагаетъ только,
что корни отделены, т. е. что неизвестный корень а, наприм'Ьръ,
изолированъ въ нЪкоторомъ интервале [а, Ь) (въ которомъ, сле-
следовательно, кроме а, другихъ корней нътъ). Когда такой интер-
валъ найденъ, то, теоретически, по крайней мЪръ, весьма легко при-
приблизиться къ этому корню какъ угодно близко. Припомнимъ въ
самомъ деле (§ 494, с), что f(a) и f(b) имЪютъ разные знаки,
выберемъ какое нибудь число с въ интервал^ (а, Ь), напримъ'ръ,
с =-!¦(« + &) и вычислимъ /(с). Если случится, что f(c) = Q, то
это значитъ, что а = с *). Въ противномъ случа%, /(с) будетъ
им+>ть знакъ числа /(а) или f{!>). Въ первомъ случай интервалъ
(а, Ь) можно будетъ зам-Ьнить интерваломъ (с, Ь), во второмъ ин-
терваломъ (а, с). Искомый корень будетъ, следовательно, заключенъ
въ интервал^, вдвое меньшемъ первоначальнаго. Продолжая такимъ
же образомъ, можемъ вычислить корень съ желаемой степенью точ-
точности. Но этотъ процессъ, теоретически столь простой, въ прило-
женш на практик-Ь утомителенъ, главным ь образомъ потому, что
даетъ результаты не достаточно быстро приближающееся къ иско-
искомому корню. ТЪмъ не мен^Ье, имъ пользуются, чтобы съузить перво-
первоначальный интервалъ, прежде чЪмъ применять какую-нибудь другую
методу приближешя, и для удобства вычислешя дътштъ первона-
первоначальный интервалъ не на дв-Ь, а на десять равныхъ частей.
х) См. Н alp hen, 1. с, стр. 26, и Clebsch, Vorlesungen iiber Geometrie
(издан1е 1876 г.. I томъ, стр. 241).
*) Впрочемъ, если уравнеше освобож1ено отъ ращональныхъ корней,
и числа а и Ь, какъ это обыкновенно бываетъ, рацюнальны, то случай
/(с) = 0 не можетъ встретиться.
§ 523 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕН1Е КОРНЕЙ. 569
523. Метода Ньютона—Фурье. Положимъ, что корень а
изолированъ въ интервале (а, Ь), и что этотъ интервалъ достаточно
съуженъ, чтобы функщя f" въ немъ сохраняла постоянный знакъ.
Знакъ этотъ будетъ одинаковъ со знакомъ либо /(а), либо f(b).
Въ дальнъйшемъ подъ буквгою а мы будемъ подразумевать не
нижнюю границу интервала, а ту, на которой J и /" им+зютъ оди-
одинаковые знаки. Условившись въ этомъ, имЪемъ
Да) =Да) + (а - a)f (а) + Ца - aff"{S),
гдъ ? некоторое определенное число между ana. Такъ какъ
/(а) = 0, то последнее равенство даетъ
г. _д
Г (а) 'f'(a)
Следовательно, принявъ за первое приближеше число
будемъ иметь
откуда
ai-«= (g-gff'Q)
п-ау 2 Да) '
Такъ какъ, по условш, _/"(?) и У^(я) одинаковыхъ знаковъ, то ви-
димъ, что ах— а одинаковаго знака съ а—а15 т. е. что ах всегда
лежитъ между а и а. Вместе съ т^мъ заметимъ, что f{al), какъ
и /(а), имеетъ тотъ же знакъ, который f" сохраняетъ во всемъ
интервале, такъ какъ м^жду а и а, нетъ корней функщи f. По-
Поэтому, получивъ число а,, лежащее ближе къ а, чемъ а, можемъ
темъ же способомъ найти число а.,, затемъ число аъ и т. д. Каж-
Каждое изъ этихъ чиселъ будетъ ближе къ а, чемъ предыдущее. Все
эти числа последовательно вычисляются по формуле
Надо еще показать, что они приближаются къ пределу а. Для
этого сперва заметимъ, что разсматриваемыя числа наверно прибли-
приближаются къ некоторому пределу а', потому что они следуютъ одно
за другимъ, постоянно убывая или постоянно возрастая. Если теперь
въ равенстве
/К) = К -«„+!)/' К)
будемъ увеличивать п безпредельно, то получимъ f(a') = 0, такъ
570 V, 2. p-bujehie УРАВНЕН1Й. §§ 523-524
какъ по сд+зланнымъ предположешямъ f непрерывна, a f конечна
въ данномъ интервал^. Отсюда и слъ\дуетъ, что а'=а, потому что
а единственный корень функцш f въ данномъ интервалъ. Нако-
нецъ, чтобы представить въ надлежащемъ осв+эщенш практическую
пригодность методы Ньютона, надо еще показать быстроту при-
ближеюя ап къ а. Съ этой ц+элью покажемъ, что числа
/К), /(а2), Даь), ...
не только стремятся къ нулю, но такъ составлены, что и отноше-
Hie каждаго изъ нихъ къ предыдущему стремится къ нулю. Въ са-
момъ дъ\лЪ, при прилично выбранномъ между ап и ап-\-\, и потому
стремящемся къ а, числЪ |и, имтэемъ
/К) -/(««+i) = К - «„+!)/' (Q,
откуда
/К) /'(««)'
и наконецъ,
lim —тг~ = 0.
потому что f(^n) и J'(an) стремятся къ общему пределу ^'(а) ф 0.
Иными словами — можно сказать, что метода Ньютона даетъ значеше
искомаго корня, какъ сумму ряда:
а = Oj + (а2 - а2) + (а3 - а2) + (а4 - я3) + ••••
Этотъ рядъ сходится весьма быстро (§ 200, Ь). Действительно, от-
ношеше общаго члена къ предыдущему равно
ап+1-ап /К) У'(«и+])'
и имтэетъ предтэломъ нуль, потому что первый множитель стремится
къ нулю, а второй къ 1 ').
524. Другой рядъ чиселъ #,, Ь.г, Ь3, ..., быстро приближаю-
приближающихся къ искомому корню, и притомъ со стороны, противополож-
противоположной той, съ которой къ нему приближаются числа ах, а2, аъ, ..,,
J) О метод% Ньютона — Фурье см. замЪтку Darboux въ „Nouv. Ann.
de Math." A869) и Fouret A890). О другихъ методахъ можно прочесть
у Petersen: „Theorie der algebraischen Gleichungen" C. Abschnitt); Serret:
„Cours d'Algebre superieure" и въ интересной стать* Laguerre въ „Nouv.
Annales de Math." 1880, стр. 161. Существуете также прекрасная метода
графическаго р-Ьшеюя уравнен!й (см. Nomographie par Maurice
d'Ocagne).
§ 524 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕН1Е КОРНЕЙ. 571
можно составить съ помощью следующаго соотношешя
h - 6"'/'(а") ~ апЛЬп)
n+1 /(«„)-/(*»)
Начиная съ числа Ь, получаемъ сперва число bt, которое можно
представить въ одномъ изъ следующихъ двухъ видовъ
/'(«О' "'-" Г (с)'
положивъ
Замечая, что
К-а =/(а) п
К - Ь ДЬ) ^ и'
вицимъ, что Ь\ лежитъ внутри интервала (а, Ь). Заметивъ сказан-
сказанное выше, разсмотримъ теперь функщю
<р (х) = /(*) - /(а) -(х- а)/' (с).
Эта функщя обращается въ нуль при х = а и при х = Ь; кромъ
того, <p(bi) =f(b1). Ея производная
<р'{х) =/'(*) ~f'{c) = (лг - «)/"(!)
имеетъ знакъ, одинаковый съ х — с, если f" ]> 0 въ (а, Ь), и
противоположный знаку #• — с, если /" <^0. Отсюда следуетъ, что
функщя ср(х) убываетъ въ части интервала (а, Ь) слева отъ с, и
возрастаетъ въ части {а, Ь), лежащей справа отъ с, а следова-
следовательно, <р{х) во всемъ интервале отрицательна. Обратное будетъ во
второмъ случае. Следовательно, въ обоихъ случаяхъ <р(х) и /"
сохраняютъ противоположные знаки во всемъ интервале (а, Ь).
Въ частности, при х — Ьх, /{Ъ^), какъ и f(b), имеетъ знакъ, про-
противоположный знаку f", а потому Ьх будетъ заключаться между Ъ
и а. Такъ какъ, далъе, /(а^ и f{bx) имеютъ противоположные
знаки, то все предыдущая заключешя можно применить къ Ь2, ко-
которое окажется лежащимъ между J, и а, и т. д. Продолжая та-
кимъ образомъ, видимъ, что числа blt b2, bs, ... все ближе и
ближе подходятъ къ искомому корню. Пусть /3 есть предълъ этихъ
чиселъ. Изъ равенства
{/(«„) -/(*„)> b^ = bj(an) - aj(bn),
при безпредельно возрастающемъ п, получимъ (а — Д)у"(Д) = 0.
Отсюда, либо /3 = а, либо _/"(/?) = 0, т. е. опять /9 = а. Наконецъ,
чтобы удостовериться въ быстроте приближешя, напишемъ
572 V, 2. р-ьшенш ypABHEHifl. §§ 524-526
где цп и сп обозначаютъ числа, лежашдя соответственно въ интер-
валахъ (bn, bn^-i) и (ап, Ь„). Эти числа стремятся къ пределу а при
возрастали п до оо, а потому
= 0.
АК) \ f'K).
525. Прим"Ьчан1я. а) Если, применяя методу Ньютона, мы да-
димъ ce6t трудъ вычислять и последовательность чиселъ bl, b.z, b3, ...,
то получимъ ту выгоду, что въ каждый моментъ будемъ знать выс-
цпй пределъ погрешности 4), которую делаемъ, остановившись
на ап или Ъп- Этотъ пределъ равенъ абсолютной величине раз-
разности ап — Ъп.
Ь) Метода Ньютона позволяетъ также отделять корни. Глав-
Главное затруднеше, на которое можно натолкнуться, когда съ целью
отделешя корней подставляютъ вместо х последовательныя частныя
значешя, какъ это обыкновенно и делается (§ 522), состоитъ въ
следующемъ: если на границахъ некотораго интервала значешя
функцш имеютъ одинаковые знаки, то остается неизвестнымъ (если
не применена была теорема Штурма) *), существуютъ ли корни въ
этомъ интервале, или нетъ. Это затруднеше встретится тогда, когда
функщя обращается въ нуль для двухъ весьма близко лежащихъ
значешй а и /?, или когда она не обращается въ нуль, но прини-
маетъ весьма малыя по абсолютной величине значешя. Въ первомъ
случае метода Ньютона, примененная къ обеимъ границамъ, должна
дать две последовательности чиселъ а,, а>, аъ, ... и bt, b2, й3, . . .,
стремящихся соответственно къ а и /?. Если случится, что при не-
которомъ значенш п получается изменен!е знака разности а„ — Ьп,
или если а„ или Ъп перестаютъ изменяться въ одномъ направленш,
то можно утверждать, что вь разсматриваемомъ интервале нетъ
корня функщи у.
526. Геометрическая интерпретац1я. При помощи геоме-
трическихъ соображешй легко отдать себе отчетъ во всемъ ска-
занномъ выше (рис. 24). Представимъ себе кривую лищю у = f{x)
и разсмотримъ дугу А В, концы которой имеютъ абсциссы а и Ь.
Вследсте сделанныхъ въ начале предположенШ дуга эта на всемъ
своемъ протяжений вогнута въ одну и ту же сторону, какъ, напри-
меръ, на рис. 24. Друпе возможные случаи получаютъ свою гео-
геометрическую интерпретащю посредствомъ зеркальнаго изображешя
данной фигуры по отношен1ю одной или обеихъ осей. Крайн1я
ординаты, ось Ох и дуга А В образуютъ два криволинейныхъ 7Ре-
х) Объ оцЪнкЪ этой погр-Ьшности см. Serret „Cours d'Algebre sup.",
и „Calcolo" Genocchi e Peano (стр. 97).
") Практически неудобная, какъ ведущая къ длиннымъ выкладкамъ.
526-527
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕН1Е КОРНЕЙ.
573
угольника. Изъ двухъ крайнихъ касательныхъ только одна попа-
даетъ въ одинъ изъ этихъ треугольниковъ, а именно касательная
въ томъ конце дуги, ордината котораго имЪетъ знакъ одинаковый
съ f". Применяя методу Ньютона къ этому концу, получаемъ въ
качестве значешя ах именно абсциссу точки перестэчешя касатель-
касательной съ осью Ох; действительно, уравнеше этой касательной есть
у = (х — а)/' (а) +/(«), и при у = О находимъ х = ах х). Число 6,
(какъ легко видеть) есть абсцисса точки пересъ-чешя хорды А В
съ Ох. Между этими точками дуга А В пересъкаетъ Ох въ точке,
Рис. 24.
абсцисса которой равна искомому корню а. Получивъ точки ах и bt
мы приходимъ къ тому, чтобы искать этотъ корень на меньшей
дуг-fe А1В1. Чтобы получить дал-fee а.г и Ъг, надо только построить
точки пересъчешя Ох съ касательного въ Ах и хордою ААВ1 и т. д.
Если крайшя ординаты были бы одинаковаго знака, и мы хотътш
бы определить корни прим+знешемъ методы Ньютона къ обоимъ
концамъ интервала, какъ было указано въ конц-Ь предыдущего па-
параграфа, то замътили бы следующее: перем-Ьна знака разности
ап — Ьп равносильна переходу точки пересъчен1я крайнихъ каса-
касательныхъ съ одной стороны оси Ох на другую, въ чемъ легко убе-
убедиться. Въ конц-fe концовъ касательныя такъ пересекутся, что по-
м^шаготъ кривой пересечь ось л:-овъ и корня въ данномъ интер-
интервале не будетъ.
527. Упраншешя. а) Уравнеше ж3 — 2х — 5 = 0 имЪетъ только одинъ
вещественный корень. Онъ находится между 2 и 3. Действительно, /B)— —1,
/C) = 16. Разделяя интервалъ B, 3) на десять равныхъ частей, находимъ
/B, 1) = 0,061, поэтому верхйюю границу 3 можно заменить числомъ 2, 1,
Въ этихъ границахъ/'' = 6х сохраняетъ знакъ +, поэтому, применяя ме-
методу Ньютона, надо начинать съ верхней границы 2, 1. Мы им-Ьемъ
а — а, —
/{а) 0,061
= 0,00543 ...,
') Обратно, эта геометрическая интерпреташя даетъ снова формулу
Ньютона, и аналогичный соображешя даютъ еще лучнля методы прибли-
жен!я. См., напримеръ, „Melanges Mathematiques" par Catalan, (т. 1, стр. 79).
574 V, 2. р-ьшеше УРАВНЕН1Й. § 527
откуда а1 = 2,095 Продолжая такимъ образомъ, найдемъ последовательно
а2 = 2,094552, а9 = 2,094551481542, а4 = 2,094551481542326591482386. Если
бы дошли до я3, то получили бы корень съ сорока восемью верными
десятичными знаками.
b) Если дано уравнеше дг' + Зл;2 — 2х+1=0, то теорема Декарта
показываетъ, что отрицательныхъ корней оно не имеетъ, а положительныхъ
можетъ иметь только два. Такъ какъ ^f" = 2х2 -\- 1 > 0 всегда, то методу
Ньютона можно приложить къ любому интервалу. Можно взять а = 0, по-
потому что /@) = 1 имъетъ знакъ /". Если бы положительные корни действи-
действительно существовали, то мы должны были бы получить возрастающую
последовательность чиселъ, приближающихся къ меньшему корню. А между
тЬмъ мы найдемъ «t = ?, а2 = — ^V- Здесь можемъ остановиться и утвер-
утверждать, что данное уравнеше вещественныхъ корней не имеетъ. Впрочемъ,
мы могли бы придти къ этому заключешю прямо, если бы заметили, что
трехчленъ Зх2— 2х -f- 1- такъ же какъ и л;4, при всякомъ вещественномъ х,
числа положительныя.
c) Уравнеюе г3 — Зх2 — 7х + 4 = 0, по теореме Декарта, имеетъ на-
наверно одинъ отрицательный корень, и можетъ иметь два положительныхъ.
Что эти два корня действительно существуютъ и одинъ изъ нихъ лежитъ
между 0 и 1, показываетъ то обстоятельство, что /@) = 4,/A) = —5 —
числа разныхъ знаковъ. Вторая производная въ этомъ интервале отрица-
отрицательна, такъ какъ \/" = х-— 1, поэтому надо взять а — 1. Исходя изъ этого
значешя, по методе Ньютона быстро найдемъ искомый корень 0,486456474... *).
Друпе два корня лежатъ въ интервалахъ (—2, — 1) и D, 5). Ихъ прибли-
женныя значешя будутъ: — 1,875... и 4,387...
d) Вычислить вещественные корни уравнешя х:> — 8х— 1 =0. И здесь
теорема Декарта указываетъ на бегспорное существоваше единственнаго
положительнаго корня. Отрицательныхъ корней оно можетъ иметь не более
двухъ, и они, действительно, существуютъ, потому что при х = 0 и х= — \
л^вая часть получаетъ значешя разныхъ знаковъ. Метода Ньютона даетъ
значешя:
oj = - 2,7639 ... , а2 = — 0,1250 ..., а3 = 2,8887 ...
e) Чтобы ръшить уравнеше cos x = х, замъчаемъ прежде всего, что
число х, ему удовлетворяющее, необходимо должно заключаться въ интер-
интервале (— 1, 1), въ которомъ всегда заключается cosx. Въ этомъ интервале
функщя /=лг —cosa; постоянно возрастаетъ, потому что производная,
/' = 1 -4- sin х, остается положительною. Такъ какъ, при х — 0, f < 0, а при
х = 1, / > 0, то данное уравнеше имеетъ одинъ и только одинъ коре нь
между 0 и 1. Для вычислешя его по методе Ньютона надо взять а = 1,
потому что при х = 1 функщя / имеетъ знакъ +, который /" = cos*-
сохраняетъ во всемъ интервале. Мы получимъ для значешя корня число
а = 0,73908512, т. е, а = 42°^0/47",25,
если примемъ во внимате, что дуга, равная единице (рад1усу), выраженная
въ градусахъ, равна -^ , т. е. 57°17'44",806247 ...
f) Провести касательную къ цепной лин1и у = $(ех + е~х) черезъ
начало координатъ. Пусть у = kx будетъ уравнеше искомой касательной.
Вопросъ сводится къ определешю k такимъ образомъ, чтобы уравнеше
ех -\-ё~х — 2kx имело двойной корень. Этотъ корень долженъ обращать въ
Bourget. „Nouv. Ann. de Math.". 1869, стр. 21.
§ 527
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕН1Е КОРНЕЙ.
575
нуль производную отъ функцш ех + е x~2kx, т. е. удовлетворять уравне-
Н1ю ех — е~х — 2k. Исключая k, находимъ, что этотъ корень долженъ удовле-
удовлетворять и уравнешю
ех -
, = х, т. е. х = \ log
1
х— 1
По самой природ* задачи можно сказать, что возможны только два корня, равные
X -4- 1
по абсолютной величин*. Впрочемъ, легко видеть, что функщя/=х— 4-log у,
отрицательная справа отъ 1,съ возрасташемъ х становится и остается потомъ по-
х~
ложительною. Действительно, ея производная f = -^—г > 0, при | х \ > 1,
следовательно, / постоянно возрастаетъ. Подстановка х=\,\ и х = 1, 2
даетъ результаты разныхъ знаковъ, и методу Ньютона надо применить къ
верхней границ-fe а = 1, 2, гдъ- / и /" одинаковыхъ знаковъ. Мы найдемъ
а= 1.199678 ... Далъ-е, перемножая уравнешя
найдемъ k =¦
ea=k(a+l), е~а1г{а-~\),
-^ = 1,50888 . . . Теперь мы можемъ утверждать, что
Уа?-1
уравнете ех -\- ё~х = 2kx или вовсе не им*етъ вещественныхъ корней либо
им*етъ ихъ два, смотря по, тому, будетъ ли | k\ < или > 1,50888 ...
g) Весьма интересно уравнение tg х = х х), встречающееся въ матема-
математической теорш упругости свт>та и тепла. Зд*сь оказывается весьма полез-
нымъ графическое изображеше, съ помощью котораго тотчасъ можно уви-
/О
Я /к а.
Рис. 25.
безчисленное множество корней этого уравнешя и определить ихъ
(рис. 25). Корни даннаго уравнешя, очевидно, равны абсциссамъ точекъ пере-
сЬчешя линШ у = х и у = tg x. Последняя (называется тангентоидою)
состоитъ изъ безчисленнаго множества одинаковыхъ ветвей; каждая изъ
!) См. „АлгебруJ Бертрана (пер. Пирожкова), .Cours d'Analyse"
Catalan (стр. 297), „Lecons d'Optique physique" Verdet (стр. 272).
576 V, 2. р-ьшеше уравнен^. § 527
нихъ пересекается съ прямою у — х въ одной точке. Мы видимъ, что
можно ограничиться разсмотрешемъ однихъ положительныхъ корней, что
эти корни образуютъ рядъ, «-ый членъ котораго лежитъ между числами
ял: и (п + -J-) я, и темъ ближе ко второму, чемъ больше п. Чтобы вычи-
вычислить корень и, лежащШ въ интервале (я — \п, а), где а = (я + i)n, есте-
естественно положить а = а — 6, где 6 лежитъ между 0 и ^. Тогда уравнеше
tg а = а переходитъ въ cotg 9 = а или 9 = arctg — и потому будетъ
а = я — arctg — .
Если въ правой части вместо и возьмемъ я > а, и положимъ
а1 = а — arctg - ,
то получимъ число, большее корня, но меньшее а, и потому лежащее ближе
къ а, чемъ я. Точно такъ же
а2 = а — arctg —
будетъ больше а, но меньше а1 и т. д. Итакъ, числа alt а2, я3, ..., составля-
емыя по формуле
а ,, = а — arctg — ,
"+1 я
постоянно приближаются къ корню а, оставаясь больше а. Следовательно,
они приближаются къ некоторому пределу а'. Увеличивая въ предыдущемъ
равенстве я до ее, получимъ
а' = а — arctg —
и потому а' = а, такъ какъ въ интервале (а — '--, а) заключается только
одинъ корень разематриваемаго уравнешя. Такимъ образомъ, не прибегая
къ методе Ньютона, мы можемъ воспользоваться составленною последова-
последовательностью чиселъ Я}, а2, я3, ... чтобы безпредельно приближаться къ ис-
искомому корню. Но приближеше будетъ слишкомъ медленно. Действительно,
апл_\ — ап ~ arctg arctg — = arctg ,
откуда, при безконечномъ я, имеемъ
.. ап+1-"П ,. 1 1
lim —^ = hm -,,... = г— -s ¦
Для ycKopeHifl вычислен!я придется обратиться къ методе Ньютона, начиная
съ одного изъ значенШ, полученныхъ при выше приведенномъ вычислеши.
При этомъ. однако, нельзя исходить изъ значешя а = (;/ + ^) я, потому что
при этомъ значенш функц1я tg *• — х обращается въ безконечность. Такъ
§ 527 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕШЕ КОРНЕЙ. 577
напримъръ, если хотимъ вычислить наименыш'й положительный корень,
то надо начать не съ а = %л,, а. но крайней мЪръ, съ
2
а = \п -¦ arctg -•
Тогда съ помощью методы Ньютона получимъ
tga-й а 1 3
ai = a ~ "ti^" = ЩГа ~ tga = 2 п
и т. д. Въ KOHirb концовъ найдемъ
а = 4,493409457909 ... , т. е. а = 257t>27'12",231224 . ..
h) Уравнен!е tg x = x замъчательно еше гЬмъ, что возможно общее
его р-Ьшеше, т. е. опред'Ьлеше формулы, выражающей вс-fe его корни. Въ
самомъ дълъ, уравнен1е а = а — arctg — можно написать такъ (§ 332, d):
_ _!, 1 |_ J_
а-а- а + з„з 5п? + 7а.Т '"'
Если въ правой части подставпмъ а вместо с. и отбросимъ члены съ - не
ниже 3-ей степени, то получимъ а = а . Если теперь въ правой части
подставимъ а — — вм.ъсто а и отбросимъ члены, начиная съ 5-ой степени
относительно — , то найдемъ
а
(, ] \ , ! ] 2
\я я3/ Зя^ « За-1
Подобнымъ образомъ найдемъ далЪе
1.1
1 2 ^o / 1 2 \» . / 1
я Зя- \ я Зя-у \ а Зя-1
или
' 1_ J_ 5 \ I / J_ _3
\Я я8 Зс15/ 3 l я3 а:
Продолжая этотъ процессъ найдемъ, что корень ап разлагается въ слъду-
ющ!й сходя1ЩЙся рядъ
_ . , о л _ 1 2 13
«и — <¦" + ч>л („ _|_ ^ д. з(»Г+1У31? ~ T5~(»7+Tj'W)
~ 105ITT+'iy^' " зТ5(УГ+ ij»л»
37
578
V, 2. РЪШЕНШ УРАВНЕНИЙ.
§ 527
Если и очень велико, (какъ это имЪемъ основаше считать по теорш диф-
фракцш свт>та) то можно съ достаточною точностью положить
«„ = «
л — — •
11.1
i) При р1эшеши уравнешя sin.r = ?A- также полезно применить графи-
графическое изображеше (рис. 26) и разсматривать корни уравнения, какъ абсциссы
общихъ точекъ синусоиды у = sin х съ прямою у = kx. Если откинемъ
-к, X
значеше х = О, то при k > 1, очевидно, уравнеше корней больше не
Поэтому предположимъ k < 1 и представимъ себтз даже, что ? непрерывно
убываетъ, начиная отъ k = 1. Тогда прямая у = kx будетъ вращаться около
начала координатъ по направлешю движен1я часовой стрелки. При этомъ
эта прямая безконечное число разъ делается касательною къ синусоидъ.
Это случится каждый разъ, когда число k получаетъ такое значеше, при
которомъ уравнешя sin х — kx = 0 и cos х — k — 0 (л'Ьвая часть котораго
есть производная л^Ьвой части ¦ перваго) имЪютъ общШ корень. Исключеше k
изъ этихъ уравнешй тотчасъ даетъ tgx = x. Пусть а1У а2, а3, ... будутъ
положительные корни этого уравнешя, и kn = cosa,,. Угловые коэффициенты
касательныхъ къ синусоид1з, проведенныхъ черезъ начало координатъ, рас-
расположенные въ убывающемъ порядка, будутъ 1, k2, kit ke, ..., k-, k3, kt.
Когда k меньше klt то прямая у = kx уже не перес-Ьчетъ синусоиды въ
точкт5, не совпадающей съ началомъ координатъ. Следовательно, уравнеше
sin х = kx имтзетъ вещественные корни только при такихъ значешяхъ k,
которыя меньше 1, но не меньше ¦ , гдтз о = 4,49 ... есть наи-
меньш1й положительный корень уравнешя tg х — х. Если. наприм-Ьръ, k > О
и лежитъ между двумя определенными числами k.,n__9 и k2n, то уравнеше
имтзетъ 2п — 1 положительныхъ корней, т. е. уравнеше имт.етъ тогда
всего 4« — 1 вещественныхъ корней. При k весьма маломъ число веще-
2
ственныхъ корней весьма близко къ - . Наконецъ, замтзтимъ, что наимень-
Ш1й положительный корень будетъ въ интервал-fe @, я), если k > 0, и въ
интервал-Ь (я, %), если k < 0 Такъ какъ функщя f=$\nx - kx при х = л
равна — ksz, т. е. им-Ьетъ тотъ же знакъ, какой /" = — sin x сохраняетъ въ
томъ или другомъ интервал^, то применяя методу Ньютона надо начинать
всегда съ а = п. Тогда найдемъ ах = упг~ь и т- д- (XX.)
§ 528 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЪШЕНШ. 579
Алгебраическое p-femeHie.
528. Кубическое уравнеше. Перейдемъ теперь къ алге-
алгебраическому ptmeHiro уравнешй, т. е. попробуемъ найти явныя
алгебраичесюя выражения корней уравнешя въ коэффищентахъ его,
предполагая послтэдше произвольными. Для уравнешй первой и вто-
второй степени вопросъ уже ръ-шенъ въ элементарной Алгебръч Раз-
смотримъ теперь уравнеше третьей степени вида:
D) xV+px + q^O.
Полагая х = и + v, преобразуемъ его въ следующее:
«з + Ф + Cuv +p)(u + v) + q = О,
которое удовлетворяется, если одновременно положимъ
Ф-\-г$ + q = 0, 3uv + р = О,
т. е. iis -f- v3 = — q, u3l>3 = — \yj. Мы видимъ, что иъ и v3 бу-
дутъ корнями квадратнаго уравнен1я
которое называется резольвентою даннаго. Поэтому будемъ им-Ьть
л/ч2
-У Т
f> 3__ q i/r, Р
27' " --~2~У Т + 27'
Каждое изъ неизвтэстныхъ и и v имтэетъ, следовательно, три зна-
Menin, такъ что для и -\- v получилось бы всего девять значен1й,
если бы не приняли во внимаше, что надо взять лишь тъ значешя
и и v, которыхъ произведете uv = — ^. Пусть будетъ а, Ъ та-
о
кая пара значенШ. Искомые корни кубическаго уравнешя будутъ
тогда
ах — а -(- Ь, а2 = а>а -\- @26, «3 = ы-а + ыЬ,
гд-fe со есть мнимый корень кубичесюй изъ 1 (§ 394). Полученный
результатъ обыкновенно выражають следующею формулою
E)
580 V, 2. р-ьшенш уравнен^. §§ 528-530
известною подъ именемъ формулы Тартал1а (Tartaglia) *). Въ
сущности эта формула даетъ девять значешй х, удовлетворяющихъ
уравненш D), если въ немъ р обозначаетъ любой кубическШ ко-
корень изь ps. Следовательно, въ действительности формула Тартал1а
даетъ девять корней функши
арх 4- q)(x* + о?рх + q) = (х* + qf
529. Формула Тартал)а имеетъ тотъ недостатокъ, что пред-
ставляетъ корни уравненШ въ мнимомъ виде (алгебраически не-
устранимомъ), именно въ томъ случае, когда все корни веще-
вещественны, т. е. когда ~~\-~<С0 (§ 508, Ь) (XXI). Другой недоста-
недостатокъ состоитъ въ томъ, что она представляетъ ращональные корни
въ иррацюнальномъ виде. Такъ напр., уравнеще х3 — х — 6 = 0
имеетъ единственный вещественный корень 2; между темъ формула
E) даетъ для этого корня сложное выражеше, которое приходится
вьчислять при помощи логариемовъ, и потому на практике полу-
получается число, весьма близкое къ 2, но не 2. Замечено 1), что по-
подобное обстоятельство всегда встречается, если оперируемъ съ одними
рацюнальными числами, за исключетемъ того случая, когда уравне-
Hie 3-ей степени имеетъ видъ
д.3 _
3-й) = 0
при ращональныхъ а, /?, у. Только въ этомъ случае можно (при-
(приведя уравнете къ виду D) способомъ, который будетъ указанъ
ниже) точно вычислить ращональный корень по формуле E). Друпе
два корня, мнимые, обращаютъ въ нуль (х — /?)'2-|- Зу2.
530. Последн1й изъ упомянутыхъ недостатковъ не играетъ
роли на практике, если уравнеще предварительно освобождено отъ
ращональныхъ корней. Что касается перваго, то его можно устра-
устранить, приведя формулу E) къ тригонометрическому виду. Полагая.
--J-5 COS 5, -|2 + -g=™&2sin29
получаемъ по формуле Тартал1а
х = "J^o (cos 6 + /sin 6) -j- у^о (cos 5 — /sin 0).
Известно (§ 393), что значещя двухъ радикаловъ будутъ соответ-
соответственно
\- i sin ,, -¦-- , о'М cos i sin
' \ 6
\ i sin,,
о о
*) Эту формулу чаще называютъ формулою Кардана.
1) Е. Kummer: „Mathesis" 1881, стр. 96, 184.
§§ 530-531 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЪШЕШЕ. 581
rat k принимаетъ значешя 1, 2, 3. При этомъ надо оба выражешя
комбинировать попарно такъ, чтобы произведете ихъ было веще-
вещественно, а для этого надо давать числу к одинаковыя значетя въ
томъ и другом ь. Отсюда слъдуетъ
1 i
х = 2 о3 cos ¦
3
такъ что три корня уравнешя будуть
120°) , «,, = 2р'! cos [\ + 240'-') ¦
/ \ а /
Эти числа будутъ извъстны, когда будутъ определены положитель-
положительное число q и уголъ (j. Такъ какъ, согласно положенному,
то о и 0 легко вычисляются съ помощью логариемовъ.
531. Общее кубическое уравнеше
F) X" — С±Х- + С.уХ — Ся = 0
всегда приводится къ виду D). Стоить только принять за новую не-
неизвестную
Тогда данное уравнете обращается въ
имеющее требуемый видъ D). Въ данномъ случае
следовательно (§ 492, а ,
д~ ря _ J
4" + 27 = ~4~27'
где, какъ всегда,
J = - 27 с3-' + 18^^^ - 4г1:!с3 - 4 с,» + cfc.?.
Радикалы въ формуле Тартал1а будутъ равны
з
582 V, 2. р-ьшенш уравнешй. §§ 531 -532
и корни уравнешя F) выражаются формулою
з
.V = |(q +V \{2с{' — Qqcg + 27 с3 + 'AY— 3 А)
i B qs - 9 Cj c2 + 27 с, - 3 Y~ 3 ^)) •
532. Уравнешя четвертой степени. Положимъ теперь, что
дано уравнеше
G) xi+px* + qx+r = 0
и попробуемъ ему удовлетворить, полагая х = и -\- v -\- w. Возвышая
это равенство въ квадратъ, получимъ
х2 — {ifi + v2 + w'2) = 2{vw + ыи + uv),
дал'Ье, снова возвышая въ квадратъ, получимъ
Л'4 - 2 (ifi + V2 + W2)X2 + («2 + V2 + W2J
= 4(vsw2 + w2u2 + ti-v2) + %>uvwx.
Отождествляя это уравнен!е сь даннымъ, получаемъ
„2 + V2 + W2 = _ Р, „Sufi + ърг12 + U2V2 = tt^L , tfiv2lV2 = |I.
Отсюда сл'Ьдуетъ (§ 465), что и2, v2, w2 будуть корнями кубиче-
скаго уравнеш'я
Это есть резольвента даннаго уравнен1я. Когда найдены корни
резольвенты, тогда для каждой изъ неизв'Ьстныхъ и, v, w, полу-
получимъ два значешя. Но только rt значен1я и, v, w нужно комби-
комбинировать въ сумм-fe и-\-v-\-w, которыхъ произведете равно
— \q *). Пусть а, Ь, с будутъ таюя три значен!я. Тогда искомые
4 корня будутъ
«! = a -f- Ь -f- с, п.) = а — 6 — с. а3 = — а -(- 6 — с, а± = — а — b -\- с.
Замъ-гимъ, что общее ypaBHenie 4-й степени всегда приводится къ
формЪ G). Напишемъ общее уравнен1е въ видь-
Л4 — CxXi -\- С.,Х2 — СЪХ 4 fj = O
и введемъ новую неизв-ъстную
*) Какъ видно изъ предыдущего, гд^Ь Suvzv = — q.
§§ 532 — 534 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ Р-ЬШЕШЕ. 583
Этимъ путемъ данное уравнеше приведется къ уравнешю
с* - iCc^ - 8е2)Г2 + k(V2 ~ 2с3)? + Л(q2c2 - 4qc3 + 16с4) = О
типа G). РтзШивъ его и прибавивъ ко всЬмъ корнямъ число \сх
получимъ корни даннаго уравнешя.
533. Изложеиныя въ §§ 528 и 532 методы для решетя урав-
нешй 3-ей и 4-ой степени даны были, первая Гюдде (Hudde), вто-
вторая Эйлеромъ. Различными авторами даны были друпя методы ').
Здтзсь мы ограничимся изложетемъ еще только двухъ методъ,
имтэющихъ то преимущество, что онЪ построены на общихъ прин-
ципахъ и даютъ возможность усмотреть путь, по которому надо
идти, чтобы попытаться найти способы для рЪшешя уравненШ выс-
шихъ степеней. Одна изъ нихъ, метода Кейли (Cayley) основана
на теорш форм ь и пользуется соотношещями между функщею f и
ея функщями Гессе и Якоби, Н, Q и т. д. для приведешя f къ
каноническому виду и разложешя ея зат^мъ на линейные множи-
множители 2). Другая—метода Лагранжа основана на теорш симметриче-
скихъ функщй и имтзетъ то преимущество, что ясно обнаруживаетъ
истинную причину невозможности общаго р-Ъшешя уравненШ выше
4-ой степени въ радикалахъ.
534. Метода Кейли. а) Въ квадратномъ уравнеши
разложеше на линейные множители получается легко, если примемъ
за основаще выражеше функщй Гессе (§ 485)
Н =/'* -Iff",
приводящейся въ данномъ случат, къ постоянной с42 — 4с2, вслтзд-
ств1е того, что f = 2х — с,, f" = 2. Мы получаемъ тотчасъ
2//" =//2 - Н = (/' - у#) (f + УН)
или
/ = (х - ±Cl - \ VH) (х - {С1 + i VH) ¦
Следовательно, корни уравнен1я, выражаются формулою
!) См. въ .Theorie der algebraischen Gleichungen" Petersen (стр. 87
и с.тЬд.). Можно рекомендовать также, для ознаком.тетя съ этимъ предметомъ
.Этюды", опубликованные Torto lini въ .Annali di Matematica* A858, стр. 310).
2) См. Halphen, „Nouv. Ann. de Math." 1885, стр. 17; Clebsch:
„Vorlesungen uber Qeometrie" (т. 1, стр. 278, 307).
584 V, 2. р-ьшенш уравнешй. § 534
b) Для кубическаго уравнешя
Xя — СгХ- -{- С.,Х — Г,, = О
разсмотримъ функщю Гессе Н= 2f'2 — bff" и функщ'ю Якоби
Q=Hf - \H'f. Раньше было доказано (§ 490, с), что
(8) Яа-2№-54/-'//.
Это тождество можно написать въ вид'Ь
д> + 27/-' .l=i №
КПК
Мы утверждаемъ теперь, что задача приведена f къ канони-
каноническому виду существенно не отличается отъ задачи раз-
лож ешя Н на линейные множители. Въ самомъ д-Ьлт>, поло-
жимъ, что это разложеше выполнено, и пусть ах -\- а' и Ьх -\- Ь'
линейные множители функщи \Н. Предыдущее тождество приво-
дитъ къ тому, чтобы положить
^) W+ 1/1 - й-' = (*х+ "'?, iQ- 3/Т' — 3J = ((>x + b'f>
и всл45дств1е этого
A0) 3/7 "-~3l = (ах + a'f — (bx + b'f,
что мы и хотъли доказать. Поэтому, чтобы приложить методу
Кейли къ р-Ъшешю кубическаго уравнешя, требуется только умЪть
составить л45выя части равенствъ (9), которыя должны сделаться
полными кубами. Или короче, когда найдены корни о и (S функцш
Н, то будемъ знать, чго f=l(x~aK—/л(х — @У\ гдъ Я и tu
постоянныя. Послтэ этого, отождествляя это выражен1е / съ псрво-
начальнымь, легко найдемъ коэффиц1енты Я и /г и разложимъ f на
з я
линейные множители (х — а)у), — (х— р)]//•(-•
с) Если желаемъ снова найти съ помощью методы Кейли об-
общую формулу для корней, данную въ § 531, то поступаемъ слъ\цу-
ющимъ образомъ. Составляя функшю Гессе, находимъ (§ 490, с)
A1) \И = (с? - Зс2)(х - J Clf + 1;о(х - icj + i(cf - 3c2f,
гд-fe для сокращешя положено а = 2с* — 9с,с2 + 27с3- Зам^тимъ,
что (§ 489) од:3 есть старшШ членъ функщи О. Поэтому изъ (9)
слтздуетъ
A2) .U + *7 — 3^ = аА. In — |7 ^ЗЛ= If'.
Съ другой стороны, положимъ
\ И = [а(х - J q) + а"] [Ъ (х - tq) + Ь"\,
§ 534 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЪШЕШЕ. 585
такъ что, отождествляя съ (] 1), будемъ имЪть
ab = сх-' - 3с,, а" Ь" = (П-!' \~.. аЪ" + Ъа" = J о.
\ !
Этимъ соотношешямъ удовлетворимъ, полагая а" =-\ Ьг, Ь" = \аг-
Теперь формулЪ A0) можемъ дать видъ
(аз _ щ/ = [п(х - J с,) + { i-'p - [6(л: - J-q) + И2]3-
Отсюда видно тотчасъ. если раздвлимъ на aa — b3, что f разлагается
на три линейныхъ множителя, изъ которыхъ одинъ есть частное
огь
[a (x - -J q) + ! lfi\ - [b(x - i q) + < я2] = (a - 6)(.v - i q) - i (n2 - 6-')
на я — b, т. e. .v — \{(\ +я+ ^)- Второй есть частное отъ д-fe-
[а(х — \сг) -f .\ Ь-\ — оу[Ь(х — .'. с,) + -}sa2]
= (а - <¦> b) (x — J сj) — J (о (я- — оJ b'-)
на (j — nb, т. e. .т ---J-(с, -(- we + n''b). Наконецъ, Tpeiift полу-
чимъ, разд+зливъ
[ а (х - i q) + -I S2 ] - cj2 [ b (x - J f j) + i я-' 1
= (я — co2u)(x - 1 г,) - J оJ(а- — oLi-')
на а — o)%b. Онъ равенъ л- — J(с, -(- w2G -)-wA). Следовательно,
На основан1и A2) это значитъ, что корни f заключаются въ
формул'Ь
з з
(° + 31^-- 3> +Vi(o - 31'- 3z/)).
d) Для уравнен1я четвертой степени, вм-Ъсто (8) надо взять
соотношеше
или
;! О2 = Я» - 3/ЯD/J + 2/D/)».
Но мы видели уже (§ 491, Ь), что это соотношен1е разбивается
на бол%е простыя, если введемъ квадратные множители fx, ft, f%
Якоб1евой функщи О = §f\fif-&* Тогда будемъ имЪть
Н - 47l/ = ЗДг. // - 4;:,/ = 3/^, Я - 4/з/ = З/,2.
гд-fe ylt /j, Уз корни функщи Q(x) = а3 — Ъ1х -\- 2J. Если посл+з
ptшeнiя уравнен1я fi = 0 составимъ биквадратичныя функц1и
586 V, 2. р-ьшеше уравнешЙ. §§ 534-535
Н — 4 у f, то OHt должны оказаться полными квадратами и,
если извлечемь изъ нихъ корни, то и получимъ квадратичные мно-
множители функщи Q. ЗагЪмъ можно найти и линейные множители
функцш J] которая пропорщональна /а2—/3а = (/2 /з)- (Д~/з)-
Достаточно даже знать одинъ только корень yt функщи Qt и огра-
ограничиться составлешемъ Н—^Yi/> которая сделается равною З/,2.
Извлечете корня квадратнаго дастъ результата,, который независимо
отъ произвольнаго численнаго множителя приводится къ виду
{ах -4- a') (bx -4- b'). Тогда друпя две функцш f2 и fs необходимо
должны быть вида (ах -\- а')' + (Ьх + Ь')г, потому что (§ 491, а)
корни ихъ гармонически отдтзляютъ корни функщи /^, и сами между
собою образуютъ гармоническую систему четырехъ элементовъ.
Такимъ путемъ мы получимъ приведете /22 —/32, а следовательно,
и у къ каноническому виду
/= ?.(ах + я'I -1- ,!i(fli- + a'fjix + b'f + v(bx + b'f,
посл'Б чего уравнеше j' = 0 рЬшается, какъ квадратное *).
535. Метода Лагранжа. а) Въ квадратномъ уравнен1и
известны дв"Ь симметрическ1я функщи отъ корней, а именно
Ясно, что если хотимь отличить одинъ корень отъ другого, то
надо знать какую нибудь несимметрическую функщю этихъ кор-
корней. Въ данномъ случай мы имъ-емъ (§ 474) знакопеременную
функщю а, — at, квадратъ которой есть дискриминантъ ct2—4с2 дан-
наго уравнен1я. Следовательно, корни уравнешя получаются черезъ
сложен1е и вычиташе изъ соотношен1й
«1 + а., = с1, а1 — «2 = T ^
и потому имтзютъ значенш
Ь) Точно такъ же для кубическаго уравнен1Я недостаточно
знать только три симметричесюя функщи
«j -f II., + С!3 = С1. а2а3+ «з«1 + «1 = С2- а1а2«3 = С3<
чтобы различить между собою корни уравнешя. Но мы уже заметили
(§ 480), что функщ'я (а, + ыа.г -4- w2a3)s имеетъ только два раз-
личныхъ значен1я
Л = (c[i + waa
(' /7 V , 1 ¦ (у' \
у"--- г, )
§ 535 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ Р"Ы11ЕН1Е. 587
который мы можемъ разсматривать, какъ корни квадратнаго уравне-
шя съ коэффишентами, выражающимися рацюнально вт, коэффищен-
тахъ даннаго уравнешя. Въ самомъ дт^тЬ, имЪемъ
(«х + (XL, + w2^) + («1 + о-«2 4- м«3) = 2 <ti — а2 — Hai
(«1 + о)п2 + <а2а3) + <->'<h + w-«a + Wfts) = ^2(^«з ~~ ni — аг)'
(«! + (')«2 + 0J«s) + «2(«1 + «2("!2 + ыг!з) = f'jBfl2 ~ (U — Oj).
Отсюда, черезь умножеше, получимъ /?,+Д = о, если, какъ
прежде, а обозначаетъ коэффишенть старшаго члена функцЫ Q.
Точно такъ же можно было бы составить /5, и /?.2 и затЪмъ ре-
резольвенту даннаго уравнешя. Но для вычислешя ^, и f92 полезнее
вычислить /?, — ,32. Съ этой цъ\лью напишемъ
(Cj -•(- О а2 + w" нз) ~ w (а1 + ш2 а2 + ы аз) = ( ' — w) (а1 "~ а2)'
(пг + М«2 + и2«з) — flJ'"("l + <Р|>2«2 + юаз) = ('г)' ~ ')(аЗ — %)•
Отсюда, зам-Ьчая еще, что (ю — м2JA -- wJ (ш2 — IJ, т. е. дискри-
минантъ функц1и хъ —¦ 1, равень — 27, черезь умножеше найаемъ
Л ~ к = ЪУ~Ъ±-
Следовательно,
>ly = ,v@ + з У- з~3), ,^а = i (о — з у ~зЗ).
Теперь, чтобы найти корни а,, а4, а3 остается ръшить систему
линейныхъ уравнен1й
ч я _
«! + а2 + «3 = Сх, «х + fJ а2 + fJ2 CS = У7Л ¦ ('-\ + »2 + 0> «3 = I7 ^2'
Окончательно, получимъ
«2 = i (Cl + W2 КЛ + (> VJ>) , ПЛ = 1 (q + f) VJl + «2 УЙ •
с) Въ случа-Ь уравнения четвертой степени мы можемъ раз-
смотр-Ьть функщю а.2о3-|-а,а4, им-Ьющую только три значешя
,3l = «2с'з + "lfll> .4 = fl3f'l + f?2a4> Л = aJ a2 + М3«4-
Поищемъ то уравнен1е третьей степени, которое определяется зна-
чешями этихъ трехъ корней. Легкое вычислеше даетъ
.^1 + h + Л = с->> ,к.к + .h.h + Л.4 = Г1сз - 4г4-
588 V, 2. ръшен]е УРАВНЕН1Й. § 535
Следовательно, резольвента будетъ
Если знаемъ одинъ его корень, напр., ,?,, то будемъ иметь
такъ что п.2а3 и «,а4 будутъ корнями уравнешя .v2 — ^х -\- г4 = 0.
Обозначая корни этого уравнешя через ь а и Ь, находимъ, следо-
следовательно, о.2«, = а, «,а4 = Ь. Заи'Ьчая, что
имеемъ два сотношешя, которымъ удовлетворяютъ «2 -|- а3 и
а, —(— ct4, а именно
Отсюда сле.ауетъ, что
2 ' ''! а - b 1 ' J а Ъ
Следовательно, квадратныя уравнен1я
а — b a b
и дадутъ все четыре корня даннаго уравнешя. Иными словами,
имеемъ тождество, которое легко проверить:
A4) .\х - ^.v» + c,.vL> - r3.v + с4
= А'- - - ' ^ .V + Д А"- ----- -- -1- X + Ь •
\ а — b ) \ а — b I
d) Вместо «,га3-|-а|«4 можно было бы выбрать функщю
«, — а.2 — а3 + П|. Хотя эта функщя им-Ьетъ 6 различныхь значе-
значений, такъ что для ея определежя надо будетъ решить уравнеже
шестой степени, но эти шесть значешй делятся на три пары рав-
ныхъ по величине и противоположныхь по знаку чиселъ; поэтому
резольвента будетъ содержать только четныя степени неизвестной и
приводится къ уравнешю третьей степени. Шесть значенШ разема-
гриваемой функши будутъ
7] = («1+ ) — ( + ('-л).
73 = («2 + (Н) ~ («3 + nl)> "/3 = ( + (Н) ~ («1 + C!L>)
и —у,, —;'.,, —'/з- Новую резольвенту легко получить изъ той,
которая дана была формулою A3), если воспользоваться зависи-
§§ 535 — 536 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЫ11ЕН1Е. 589
мостями между числами {2 и у. Действительно, замечая, что
У!2 = («! + «2 + «з + «4)" - 4(;4 + Л) = <Ч2 - 4 с2 + 4Д и т. д.,
мы видимъ, что неизвъстная z въ новой резольвенте связана съ не-
неизвестною у резольвенты A3) равенствомъ zl — схг — 4с2 + 4jy.
Подставляя выражеме у черезъ z въ уравнеше A3), получаемъ
A5) г1' - Cci* -8с2)з* + (Зс^ - \6с^с2 + 16с^ + 16qc3 - 64е4)^
Найдя корни ух, "/2, у3 этого уравнешя и присоединяя равенство-
°-\ + а2 + аз И" а4 = ri къ тремъ равенствамъ, выражающимъ корни
7 черезъ а, получимъ систему четырехъ линейныхъ уравнен1й, изъ
которыхъ и найдемъ значен1я корней уравнешя четвертой степени
а2 = VF1 ~Ь 7i "/¦> ~ 7з^ • (!2 = i ('l 7i ~Ь 7t 7з)¦
«з = I (ci ' ' Vi - 72 + Уз) ¦ "i ^ i (CJ + 7i + 72 + 7з) •
536. Прим1>чан1я. а) Метода Лангранжа, при надлежащемъ
Bi>raopt функщи корней, которая должна удовчегвэрять резольвент^,
приводитъ ращональнымъ путемъ къ тЪмъ искусственнымъ пр1емамъ,
съ помощью которыхъ Гюдде, Феррари, Декартъ, Эйлеръ и друпе
решили уравнен1я третьей и четвертой степени. Метода Кейли такъ
же находится въ тесной связи съ методою Лагранжа. Въ этомъ не-
нетрудно убедиться, замЪтивъ, что резольвенты въ у и з, соотвъ-т-
ствуюния уравнен1ю четвертой степени не отличаются суще-
существенно отъ резольвенты Q = 0. Действительно, лъ-выя части
уравнен1й A3) и A5) получаются изъ Q(x), если положимъ соот-
соответственно
.v = с, — 3 v, лг = ' {Зс{- - 8^) - :)с2.
Далее, легко показать, что разложеше /'(.v) на множители по фор-
мулт> A4) равносильно тому, которое даетъ метода Кейли. Если по-
положимъ, какъ на то наводитъ эта метода
/(.г) = (Ял-1-' + их -+- г)? - (/.'яг'-' + а'х + /)-'.
то найдемъ, что должно быть
'/? - '/.'- ¦= 1 • г + г' = </. + '/.')<!, v — г' = (Я — //N.
„ + а' = 5Ll-"p(/.+ ).'), п - «' = ^1^(Я - Я')
и вместе съ
a = l (у -i-1 'у- — 4 e4). 6 •= 1 (_v — ") 'v2 — 4 c4),
где у корень резольвенты A3). Каждому изъ трехъ корней соот-
590 V, 2. Р-ВШЕН1Е УРАВНЕН1Й. § 536
въ-тствуетъ одинъ изъ трехъ видовъ разложешя f на два квадрат-
ныхъ множителя. Метода Феррари сводитъ въ сущности къ тому,
что берутъ Я = 1, X' = 0.
b) Лагранжъ примЪнилъ свою методу ко всякому алгебраиче-
алгебраическому уравнешю 1) и научилъ составлять резольвенту для урав-
щя какой угодно степени. Обгщя уравнешя первыхъ четырехъ сте-
степеней могутъ быть р-Ьшены въ радикалахъ потому, что для нихъ это
вспомогательное уравнеже (резольвента) будетъ степени низшей, чъ-мъ
данное уравнеше. Это благопр1ятное обстоятельство уже не встречается
въ уравнешяхъ выше четвертой степени. Такь, напр., ртмиете урав-
уравнешя 5-ой степени всегда можетъ быть сведено къ рЬшетю уравне-
уравнешя 4-ой степени 2), но коэффициенты этого уравнешя зависятъ оть
рЪшешя уравнешя 6-ой степени, и метода теряетъ реальное значеше.
Мы вскоръ- увидимъ, что этотъ фактъ зависитъ не отъ несовершенства
методы (которая съ пользою можетъ быть приложена при рЪшенш
уравнешй н-Ькоторыхъ особыхъ классовъ), а отъ недостаточности ал-
гебраическихъ символовъ для явнаго изображетя корней алгебраиче-
скихъ уравнен1й въ функщяхъ огь коэффиц1ентовъ. Для такого
изображешя въ конечномъ видЬ необходимы новые символы. Эр-
миту (Hermite) и BpiocKH (Brioschi) удалось, напримъ-ръ, дать общее
рт3шен1е уравнен1й пятой и шестой степени, при помощи нтзкоторыхъ
трансцендентныхъ функщй. Это не исключаетъ, однако, возможности,
какъ показалъ Клейнъ (Klein), въ томъ случай, когда ръ-шеше въ ра-
радикалахъ невозможно, найти рЪшеше при помощи чисто алге-
браическихъ средствъ, но принадлежащихъ уже къ области высшей
Алгебры.
c) Всматриваясь внимательно въ рътиеше уравненШ первыхъ че-
четырехъ степеней, можно видЪть, что успЪхъ методы Лагранжа осно-
ванъ [именно на возможности (срав. §§ 480, 481) построить таюя
функщй отъ корней уравнешя, которыя сами имЪютъ несколько
различныхъ значен!й, а степени ихъ только одно или два. Такъ, при
ръчпенш квадратнаго уравнешя мы были приведены къ разсмотръ1-
шю функщй а, — а2, имеющей два значен1я, а квадратъ которой
есть симметрическая функщя Л. При рЪшенш кубическаго уравне-
шя мы разсматривали функщю at -f- coa.2 -4- ''>2а3, кубъ которой
есть функщя, имеющая два различныхъ значешя Ца + З]/^—б А).
Наконецъ, при рЪшенш уравнен1я 4-ой степени, вместо того,
чтобы р%шать уравнеше A3), могли бы прямо составлять функщю
/?,+«& +"Vs. т. е.
а1а4 + ( + р{
х) Мемуары Берлинской Академ1й. 1771. См. также работу Вандер-
монда въ мемуарахъ Парижской Академ!и за тотъ же годъ.
2) Объ этомь см. работу Brioschi въ .Annali di Materrratica" B-я
cepia, т. I стр. 222).
§§ 536—537 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЧзШЕШЕ. 591
кубъ которой им-Ьетъ два значешя J + \Jl — /3- Это прямо слЪ-
дуетъ изъ того, что дискриминанты чиселъ /? и чиселъ а равны
между собою, а функщя а для нихъ равна 2J.
537. Упражнения, а) Решить уравнен1е х3 + 6х — 7 = 0. Здесь
имЪемъ (§ 528)
Корни резольвенты будутъ следовательно,
и3 = 1 + Ч = 8, Ф = \ — \=-\.
Поэтому можно положить и = 2, 2@, 2м2, v = — 1. — м, — tor. Эти значен1я
надо комбинировать попарно такъ, чтобы всегда было uv = — 2. Следова-
Следовательно, корни даннаго уравнешя будутъ 2 — 1, 2га — а2, 2оУ2 — и, или
в1 = 1, а, = - i A + 3 }А^3), а3 = - i A - 3 /^3).
b) Половину шара разделить на две равновелик!я части
плоскостью, параллельною основан1ю. Принимая рад1усъ за единицу
и обозначая черезъ х разстоян1е между основатемъ и искомою плоскостью,
находимъ, что должно быть
Я2* 11 + A - *в)] + | хг =¦ |, т. е. д-з - За- +1 = 0.
Зд^сь (§ 530) р = — 3, q = 1, сл-Ьдовательно, о = 1, cos 9 = — ?, 8 = 120°.
Корни, следовательно, будутъ
«1 = 2cos 40°, а, = 2 cos 1601, «, = 2 cos 280°.
Услов1ямъ завдчи отвечаегь только тоть корень, который лежигъ между 0
и 1. Это есть
2 cos 280° =2 cos 80° = 0,3472964 ...
с) Решить уравнен!е 4х3 + 9#2 + 18.г + 17 = 0 по методе
Кейли1) Вводя прилично выбранные численные коэффициенты во избежа-
Hie дробей, найдемъ А = — 27 ¦ 1600,
Н = -90(Зд.-2 + 10л; + 3), Q = - 270 A1 х* — Ъх1 - 63.г — 67).
Затемъ легко видеть, что вырэжеше
- (Их» - 9*2 - 63л: - 67) + 4 Dл:3 + 9.г2 + \Ьх + 17)
имеетъ значен1я 5(x-f-3K и —(З.г'-flK. Следовательно, данное уравнеше
можетъ быть написано въ виде
въ которомъ оно непосредственно и решается. Впрочемъ, достаточно, не
Ц Salmon „Algebre sup", стр. 264.
592 V, 2. рчзшеше уравнешй. § 537
составляя функцш Q, заметить, что функщя Н имъетъ корни —3 и —\,
чтобы лъвую часть уравнешя можно было написать въ видъ
Отождествляя съ даннымъ, находимъ
Я+27/t = 4, 27/.+ ,(t=17,
откуда Я = 5,н.
d) Решить ypaBHeHie1) хл + 8х$ - 12а--' + 104а¦ — 20 = 0. Вычи-
сляемъ инвар1анты / = — 4 ¦ 12 • 54, J = 27 ¦ 32 ¦ 189, и находимъ затъмъ
(§ 534, d) резольвенту хъ + б5 а- + 7 • 6й = 0. Тотчасъ видимъ, что это урав-
неше имъетъ корень — б2. Съ другой стороны, имъемъ
Н = 6 ¦ 48 (** - 10.v» 12а2 - 4.v + 106)
и знаемъ, что биквадратичная функщя
2 {х1 — 1О.г-з - 12л;2 - 4а- + 106) + (.V4 + 8х° - 12.V2 + 104а- - 20)
должна быть полнымъ квадратомъ. Действительно, она равна утроенному
квадрату функцш х- — 2х — 8, которая имъетъ корни — 2 и 4. Слъдова-
тельно, лъвая часть даннаго уравнешя должна приводиться къ виду
Я (л- + 2I + .к (л- + 2J (л- - 4;2 + )¦ (л- — 4)*.
Отождествляя, находимъ 7. = — 3v, ц = - 2v, и такъ какъ
З^2 + 2в - - 1 = (s + 1) Cs — 1),
то уравнеше принимаетъ видъ
{{х + 2J + (а- - 4Jj [3(.г + 2J - (а- - 4)-'] = 0,
и корни его получатся изъ системы линейныхъ уравнен1й
± {х + 2) ]¦' - 1 = л- - 4, -, (л- + 2) ) '3 = а - 4 ;
значен1я корней будутъ
«jl = 1+3 V^^l, «;. = - 5 - 3 1А3,
fiL, = 1 - 3 У - 1, «. = - 5 + 3 Уз.
Метода Лагранжа (§ 535, с) привела бы къ резольвентъ
у. + 3 ¦ 4 v2 + 57 • 42j' — 124 • 4s ¦= 0.
имъющей корень 8. Затъмъ нужно будетъ ръшить уравнен1е
х-> _ 8л- - 20 = 0,
котораго корни будутъ а = 10, b = — 2. Данное уравнеше разобьется, сле-
следовательно, на слъдуюшля два
л-2 - - 2х + 10 = 0, л-2 + Юл; - - 2 = 0.
') Salmon .Algebre sup. стр. 278.
§ 567 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЧзШЕШЕ. 593
е) Иногда встречаются уравнешя выше четвертой степени, приводя-
щ1яся къ уравнешямъ первыхъ четырехъ степеней, благодаря той или дру-
другой особенности. Мы разсмотримъ здъсь, въ частности, такъ называ-
емыя, возвратныя уравнешя, степень которыхъ можетъ быть понижена
по крайней мъръ вдвое. Эти уравнешя имъютъ корни попарно взаимно-
обратные (а и — и потому не мъняются отъ замъны х на— .Следовательно
\ а/ х ,
коэффищенты ихъ таковы, что
откуда я,- = an_i или а( = —яи_,-> Для * = 1. 2, 3, ... п. Предполагая, что
уравнеше освобождено отъ корней -4- 1 или — 1, если оно таковые имъетъ,
видимъ, что оно непремънно будетъ вида
во*8» + а^-1 + •¦• + а^х^1 + avxv + а^х*-1 + ¦¦¦ + а0 = О
и степень его можетъ быть понижена до v. Дъйствительно, полагая
хр + х~р — ?р' можемъ его написать такъ
Но выражен1я $р, функщи отъ х-\-х~ ' = у, весьма легко вычисляются, такъ
какъ имъемъ тождественно
т- е. Sp+x = У ?р — др_х. Им^я t0 = 2, $х=у, последовательно найдемъ
|2=У-2, д3=У-3^, |4=У-4у + 2, &=У!-5э<в + 5у, ...
Такимъ образомъ данное уравнен1е приводится къ виду
boyv + ьу-1 + ь^-2 + ... + ь? = о.
Когда его р-Ьшимъ, то каждое значен1е у даетъ два значения для х, вы-
числяемыя по формул* х = \{у ± YУг — 4). Замътимъ, наконецъ, что
вычислеше функщй | можно еще ускорить, пользуясь тождествомъ
?,p%q = fp-j-y + ?р—}• Разность р — q ц%лесообразно брать по возможности
малою и пользоваться формулами ^ = |/ —2, ?2р+1 = ^р+1 -у.
{) Какъ прим%ръ возвратнаго уравнен1я, разсмотримъ известное
уравнен1е (§ 484, Ь)
A6) Аб - ЗА* +(б - ^) Я* - G - 2 ^ Я» + (б - ^ Я2 _ ЗА + 1;= 0,
давшее значешя ангармоническаго отношен1я корней биквадратнаго уравне-
Ьстны инвар1анты / и /, а сл-Ьдовательно, и 4 = -fa (/з — /2).
н1я, когда изв-Ьстны
Полагая А + у = х -\-1, такъ что
# +-i = *а + 2* -
38
594 V, 2. Р-ВШБН1Б уравнен^. §§ 537-536
приведемъ предложенное уравнеше къ следующему
/з /з
Формулы тригонометрическаго решетя (§ 530) даютъ
такъ что
Следовательно,
., cos S1 cos 02 cos Ь.,
х, = — 3 i , *.> = — 3 f-, x.. = — 3 ,
1 cos S - cos D 6 cos 9
если для сокращешя обозначимъ черезъ Dl5 62, 93 углы -J-9, ^
? 9 + 240°. Для каждаго изъ этихъ угловъ имеемъ
1 _ ^со?| _ з^+ cot2 e
>~ cosT^ ~ 2 ?"wi^9 '
откуда получается
. _ УЗ ± cot 9 _ cos (9 + 120°)
'" ~ УЗ + cot 9 ~ "cos(9=F 120<У
Следовательно, корни уравнешя A6) зависятъ единственно отъ трехъ значе-
/з
Hifl 6, которыя определяются темъ, что абсолютный инвар!антъ -^ приво-
приводится къ виду . 2 „ • Шесть корней уравнешя A6) равны, следовательно,
cos 9„ cos So cos 9Ч cos 9, cos 9, cos 9,
cos 93 cos 9, cos 9X cos 93 cos 92 cos 9X
Иными словами (срав. § 417), имеемъ
4- % 04) cos 9X -|- ((ца-i + (ца^) cos 62 + («i «а + аза4) cos ^з =
Полученныя значешя все вещественны, если предположимъ 9 вещественнымъ.
Это делается яснымъ изъ того, что въ этомъ предположены будемъ иметь
А > 0. Поэтому (§ 513, Ь), если коэффициенты вещественны, то либо все
корни биквадратнаго уравнешя вещественны, либо все мнимые, и въ по-
слёднемъ случае, такъ какъ они сопряженные, лежатъ на одной окруж-
окружности круга, а потому (§ 417) ангармоническое ихъ отношеше въ обоихъ
случаяхъ вещественно.
Теорема Руффини.
538. Переходя къ вопросу объ алгебраическомъ рЪшенш урав-
немй какой угодно степени, изсл-Ьдуемъ сперва, не должно ли об-
общее выражеше корня, какъ функщи коэффищентовъ, имЪть какую
нибудь спещальную форму. Съ этою целью нужно прежде всего
§§ 538—539 теорема руффини. 595
сообщить нЪкоторыя свътгЬтя о способа классифицировать извътт-
нымъ образомъ явныя алгебраичесмя функщи. Bet данныя въ из-
въхтномъ вопросЬ величины и всЬ друпя, получаемыя изъ данныхъ
путемъ сложешя, вычитатя, умножетя, дт>лешя и возвышешя въ
степень съ ц-Ьлымъ показателемъ образуютъ некоторую, такъ на-
называемую область рациональности (Rationalitatsbereich). Она об-
ладаетъ тЪмъ свойствомъ, что всякая ращональная функщя отъ со-
содержащихся въ ней величинъ даетъ результатъ, принадлежашлй той
же области. Чтобы выйти изъ этой области, оставаясь, однако, въ
области алгебраическихъ функщй, нужно выполнить возвышете
въ степень съ рашональнымъ дробнымъ показателемъ. Тогда по-
лучимъ результатъ, вообще говоря, уже не принадлежащей данной
области ращональности. Впрочемъ, возвышеше въ степень съ пока-
показателемъ —, гд-fe р цътюе положительное, и q цълое число, равно-
равносильно ращональному д-Ьйегаю, возвышешю въ степень q, сопро-
сопровождаемому извлечетемъ корня степени р, являющимся единствен-
нымъ ирращональнымъ д-Ьйств1емъ, способнымъ ввести иррацюналь-
ности. Кром"Ь того, если разложимъ р на простые множители
р _
а, /?; "Л ••• равные или неравные, то операщя у разобьется на
а _ ,1 у _
операщи у , У , у , ..., которыя уже не разлагаются дальше
на подобныя же операщи. Следовательно, у съ простымъ по-
показателемъ р есть простая или элементарная операщя изъ числа
тъхъ, которыя могутъ ввести иррацюнальности.
539. Предпославъ сказанное выше, присоединимъ теперь къ
данной области ращональности rb результаты, которые получатся,
когда надъ величинами, въ ней содержащимися, будетъ произведено
простое извлечете корня. ЗагЬмъ надъ всЬми величинами расши-
расширенной такимъ образомъ области произведемъ рацюнальныя опера-
операщи и результаты ихъ причислимъ къ той же области. Такимъ об-
образомъ построена будетъ новая область ращональности, обладающая,
какъ и первая, гЬмъ свойствомъ, что всякая рацюнальная функщя
отъ величинъ, йъ ней содержащихся, будетъ заключаться въ той же
области и только новое извлечете корня можетъ дать результатъ,
лежащШ BHt ея. T-fe функщи, которыя можно разематривать, какъ ра-
рацюнальныя, только послъ едъланнаго расширешя первоначальной об-
области, называются иррацюнальными перваго порядка. Въ ней про-
простая ирращональная операщя является примененною только къ ра-
цюнальнымъ функщямъ. Подобнымъ же образомъ переходятъ къ
расширетю второй области ращональности и образуютъ третью, въ
которой новыя иррацюнальныя функщи являются, какъ рацюналь-
рацюнальныя, и называются ирращональными второго порядка. Въ нихъ про-
простая иррацюнальная операщя применена къ ращональнымъ функ-
функщямъ и къ иррацюнальнымъ перваго порядка, и къ послътшимъ
38*
596 V, 2. р-бшеше УРАВНЕН1Й. §§ 539-540
обязательно. Продолжая такимъ образомъ, доходимъ до явныхъ
алгебраическихъ функщй fi-aro порядка, въ которыхъ встречается,
по крайней мър-fe, одна простая ирращ'ональная операщя, произве-
произведенная надъ функщею порядка /л — 1. Число v такихъ радикаловъ
въ функщй и порядка /л называется степенью этой функши. По-
Понятно, что при этомъ число v считается приведеннымъ къ наимень-
наименьшему значешю въ томъ смысл-fe, что если какой нибудь изъ радика-
радикаловъ порядка /л выражается ращ'онально черезъ друпе, то это его
выражеше и считается подставленнымъ въ выражеше функцш и.
Окончательно въ и остаются только таюе радикалы порядка /л, ко-
которые помощью рацюнальныхъ операщй не сводятся одинъ къ дру-
другому. Поэтому, если мы выдъпимъ въ выраженш и одинъ изъ та-
такихъ радикаловъ, то можно написать
A7) и =f(Yv, vx, v2, vs, ...),
гд-fe p простое число, f символъ рац1ональной функц1и, v функщя
порядка /л — 1, между тъмъ, какъ vx, v%, v3, ... функщй порядка
не выше /л и степени не больше v - 1.
540. Лемма I. Всякая алгебраическая функция порядка
/л и степени v можетъ быть представлена въ видъ1
A8) и = и0 + ^Vv + u^VvY + • • ¦ + и^УНу-1,
гд-fe р простое число, м0, м,, и2, ... алгебраическ!я функц1и
порядка не выше /л и степени не выше v— 1, между тЪмъ
р
какъ v функиля (/л— 1)-го порядка, и \/~v не выражается
рац1онально въ м0, их, м2, ... Кром-fe того, всегда можно
принять нх — 1.
Такь какъ всякая ращональная функщя отъ одной или нЪ-
сколькихъ перемЪнныхъ можетъ быть выражена, какъ частное отъ
дъугешя одной ц-Ьлой функщй на другую, то выражеше A7) можно
написать въ вид-fe
<Ро + <Pi
р _
V v
гд-fe g> и tp ц-блыя функщй отъ v,, v2, v3,... Если обозначимъ для
сокращешя
<р(х) = <Ро+ <PiX + (p2x2+ ¦¦¦¦ v(x) = Щ
то можемъ еще написать
§ 540 теорема руффини. 597
i' _ р - /|_ р _
^^<р(Yv)w(<»Vv)v(и2Yу) ¦¦ ¦ ч>(о"-1 Yу)
V Р Р Р
где со есть мнимый корень степени р изъ 1. Известно, что
р_ /> _ р _ р _
Yv, wf», ы2|^г>, ..., wp~lYv
будутъ всЬ /> корней уравнешя хр = v. Отсюда сл-Ьдуетъ, что
функщя
ц-влая и симметрическая отъ корней уравнешя хр — v = 0, выразится
цЪлою ирращональною функщею отъ коэффищентовъ этого уравне-
н1я, т. е. отъ v. Такимъ образомъ, въ функщю w уже не войдетъ
р _
~V~v- Эта функщя w будетъ, следовательно, ц^лая функщя отъ v%
(/=], 2, 3,...) и отъ v. Что касается числителя въ выраженш
A9), то онъ не будетъ симметрическою функщею отъ корней урав-
нен1я хр — v = 0. Но если представимъ себЪ, что выполнены умно-
жешя т-Ьхъ р полиномовъ, изъ которыхъ онъ составленъ, то ясно,
что его можно -изобразить въ вид^Ь цътюй функщи, которая, будучи
р _
расположена по степенямъ ]/~v, представится такь
Зд-fecb a'o, wx, wt, ... будутъ ц-Ьлыя функщи отъ vt, т. е. алге-
браичесюя функщи, удовлетворяющдя т-Ьмъ же услов1ямъ, какъ и w.
Поэтому и частныя отъ nfantmn ихъ на w будутъ таюя же функ-
функщи, только не ц-Ьлыя функщи относительно Vi(i =1, 2, 3, ...), а
лишь рац1ональныя. Обозначая эти частныя черезъ и0, щ, и2, ...,
получимъ формулу
Въ этой формул-fe всегда можно ограничиться первыми р чле-
членами. Действительно, такъ какъ
lp \p (p
P \P P \P+L
то члены up Ii/^J , Up+.i I !/¦"! ,... можно соединить соотв-Ьт-
p
p _
ственно о членами щ, uxy~v, ... При всемъ этомъ y~v остается
не выражающимся ращонально черезъ vit а следовательно, и черезъ
598 V, 2. р-вшенщ УРАВНЕН1Л. §§ 540-541
iH. Остается показать, что всегда можно считать м, = 1, при чемъ,
конечно, функщю v надо будетъ заменить другою функщею w,
удовлетворяющею гЬмъ же услов1ямъ, какъ и v. Въ самомъ дътгЬ,
замътимъ, что всЬ функщи их, иг, иъ, ... не могутъ быть равны
нулю, иначе и привелось бы къ и0 и не было бы степени v, какъ
мы предположили. Пусть к,- одна изъ этихъ функщй. не равная
нулю. Положимъ w = urpvr; тогда функщи
будутъ отличаться только множителями, аналогичными функшямъ г/,
отъ функщй
а сл-вдовательно^ и отъ функщй
если не обращать внимашя на порядокъ, въ которомъ онъ напи-
написаны. Въ частности, для прилично выбраннаго k, для котораго
kr = pq + 1, будемъ имъть
Следовательно, (/ zf не выражается черезъ прежшя или новыя функ-
р _
ц1и и;, такъ какъ въ противномъ случаъ и ]/v выразился бы въ
нихъ рац1онально. Если теперь представимъ ce6t, что вь выражен1е
A8) введена функщя iv вмт,сто v, то ясно, что получится выраже-
;'_ v
Hie того же вида, но вмъсто члена ur\' vr войдетъ Уи} съ коэф-
фиц1ентомъ 1.
541. Лемма II 1). Положимъ, что р простое число, а
г»,, v2, ..., Vp-i функц1и, принадлежащая н-Ькоторой опред-fe-
ленной области рац1ональности; положимъ, далъе, что функ-
ц1я v принадлежитъ той же области, но корни степени р
изъ г1 ей не принадлежатъ. Тогда, если одновременно удо-
удовлетворяются уравнен1я
(A) v - хр = 0. v0 -t- vx x + v.,x>- + • • ¦ + vp_ rv"-' = 0.
то необходимо будемъ имт,ть
Она принадлежитъ Абелю (Abel), „Oeuvres completes", t. 11, стр. 196.
§§ 541—542 теорема руффини. 599
Въ самомъ д-ЬлЪ, допустимъ обратное, т. е.. что не всЬ
г>„, vt,..-,Vp—i равны нулю. Тогда можно искать общаго наиболь-
шаго делителя двухъ вышеприведенныхъ полиномовъ. Пусть этоть
д-Ьлитель будетъ степени г, где г, очевидно, лежитъ между 1 и
р — 1, включая и границы *). Приравнивая нулю этого общаго наи-
наибольшего делителя, получимъ уравнеше
М'о -f 11\Х + Zc'2X2 + ¦ ¦ ¦ -\- X1' = 0.
корни котораго будутъ въ то же время корнями уравнешя хр— v = 0.
Поэтому, если одинъ изъ этихъ корней есть х0, то друпе будутъ
ыах0, ы^х'о, со:'х0,..., гдт) ы мнимый корень степени р изъ 1.
Если положимъ о = а-\-$-\-у-\- ¦••, то, какъ известно, произведете
корней будетъ равно
Зам'Ьтимъ теперь, что р по условш простое число, а потому и
взаимно-простое съ г; на основанш изв-бстной теоремы аривме-
тики, остатки отъ дЪлешя р, 2р, 3/>, ..., (г— \)р на г булутъ, неза-
независимо отъ порядка, равны 1, 2, 3, ..., /'—1. Следовательно, всегда
существуетъ такое кратное отъ р, которое при дтленш на г дастъ
остатокъ 1. Пусть оно будетъ kp, такъ что kp=qr-\-\. Изъ
того, что (— zv0)9 = с*I1"xol>p~l, сл-Ьдуетъ
часть есть корень степени р изъ v. Правая принадлежитъ къ
данной области рацюнальности, потому что къ ней принадлежитъ
и vh и а'„, такъ какъ при разысканш общаго наибольшаго дели-
делителя производятся только рацюнальныя операщи. Поэтому одинъ
изъ корней степени р изъ v принадлежалъ бы данной области ра-
рацюнальности, противно предположешю. Итакъ, допущеше, что не
встз v0, vx, vit ..., Vp-i равны нулю, невозможно.
542. Лемма III. Алгебраическ1я функши коэффиц1ен-
товъ, дающ1я общее выражеше корней алгебраическаго
уравнен!я, разр^шимаго въ радикалахъ, рац1онально выра-
выражаются въ корняхъ уравнен1я.
На основан1и первой леммы, явная алгебраическая функщя,
удовлетворяющая уравнешю
аохп + а,х"~1 + а2х" '2 + ¦ ¦ ¦ + ап = 0.
всегда можетъ быть представлена въ вид-fe
B0) л- = «0+Wli'IT+ h.2{Yv)-+ ¦¦¦ +и 1(У~г)'-1.
*) Такъ какъ уравнешя (А) им^ютъ. по крайней м-fep-fe, одинъ общ1й
корень, по предположенш.
600 V, 2. РЧзШЕШЕ УРАВНЕН1Й. § 542
гд-fe p, v и вс-fe щ удовлетворяютъ много разъ уже упомянутымъ
услов!ямъ. Подставимъ это выражеше х въ данное уравнеше и за-
мътимъ, что х, х3, ... имъютъ тотъ же видъ, какъ и х. Тогда
получимъ
B1) i'o + vj/1, + v/Vv? +¦¦¦ + vp_x(Vvy-1 = 0,
гдъ v0, vlt v.2, ... изображаютъ рацюнальныя функщи отъ v и и,-.
р
Такъ какъ ]/~v не выражается ращонально черезъ и,, а слъдова-
тельно, и черезъ г>,-, то по второй лемм-fe должны имъть v0 = 0,
v%= 0, ..., г/^_1 = 0. Отсюда вытекаетъ, что равенство B1) будетъ
р _
имъть мъхто и при зам-Ьн-Б j/^г1 его различными значешями, а сле-
следовательно, функщя B0) будетъ удовлетворять данному уравнежю
р _
и тогда, когда мы въ ней подставимъ по очереди вмъсто j/"z/ зна-
р _ р _
чен!я w j/"w, w* j/"y, ... Такимъ образомъ получаются р корней
даннаго уравнешя
B2)
p
\- н2 с>2(
; J
Vv +¦ «^...^-«(l
Всъ эти корни различны между собою. Действительно, равенство
двухъ изъ нихъ дало бы соотношеше вида B1), съ коэффициен-
коэффициентами, не равными нулю, что невозможно. ЗагЬмъ, замечая, что их
всегда можно считать равнымъ единиц-в, изъ уравнешй B2) найдемъ
р _
выражете ]/~Vi какъ функщи отъ р корней:
Vv = \ («1 + «^"Ч + ^~а«зН v ыаР)-
Итакъ, если будемъ считать извъстными корни изъ единицы, то
v
Y~v выразится ращонально въ корняхъ а,, аа, ..., ар. То же самое
можно сказать объ и0, м,, щ, ..., потому что система B2) дастъ
г (% + о? а., + <..р-2 «з + •' ')г
§§ 542—543 теорема руффини. 601
Поэтому, если обозначимъ черезъ у какую угодно изъ функщй,
входящихъ въ выражеше B0), то можно написать
У=/{аи «а, ..., а„),
гдъ f есть символъ региональной операщи, производимой надъ
всъми корнями даннаго уравнешя или надъ н-вкоторыми изъ нихъ.
Эта функщя отъ п перемънныхъ можетъ имъть н-всколько, по-
ложимъ т значешй (при подстановкахъ, производимыхъ надъ
at, аа, ..., ап). Пусть эти т значешй будутъ /?,, /9а, ..., /?от. Они бу-
будутъ корнями уравнетя степени т, которое должно удовлетворяться
выражешемъ вида
я _ я _ ч
у = vq + ViVw +>2(У"а»J +j KV
гдъ все у,- будутъ функц1и того же порядка, какъ функщя у, или
низшаго, и навърно низшей степени, чЪмъ у. Въ то же время ко-
эффищенты уравнешя, которому удовлетворяем у, будутъ ц-влыя
симметрическ!я функши отъ значен!й /9, и потому будутъ ращональ-
ныя функщй отъ коэффищентовъ даннаго уравнения. Отсюда, по-
1
вторяя вышеприведенный заключежя, выведемъ, что j/"a> и вс-fe Vi бу-
будутъ ращональныя функц!и отъ fj(, а слъдовательно, и отъ а,. Те-
ч
перь У zv и вев Vi, съ своей стороны, выразятся при помощи фор-
формулы A8) алгебраическими функщями низшей степени, о которыхъ
опять докажемъ, что онъ будутъ рацюнально выражаться въ а,.
Продолжая такимъ образомъ, мы дойдемъ, наконецъ, (исключая ра-
радикалы одинъ за другимъ) до ращ'ональныхъ функщй отъ коэффи-
коэффищентовъ даннаго уравнешя, которыя нав-врно будутъ ращональными
и даже симметрическими функщями отъ корней даннаго уравнешя.
543. Чтобы отдать себъ полный отчетъ въ значенш только
что доказанной, чрезвычайно важной леммы, полезно разсмотръть,
что происходитъ въ гвхъ уравнешяхъ, которыя мы ум-вемъ ръшать
въ радикалахъ. Зам-втимъ, напр., что въ формул-fe, дающей р+;шен1я
квадратнаго уравнен1я, радикалъ выражаетъ разность корней. Точно
также радикалы въ формулъ Тартал1а для кубическаго уравнешя
выражаются рацюнально въ корняхъ уравнетя, а именно:
r~cfi 1$ У— 3
4" + 27 = ~Y8~ («г - «з)(«з
V-
Въ общемъ случай фактъ, установленный леммою III, обнаруживается
вполнъ ясно методою Лагранжа.
602 V, 2. Р-БШЕН1Е уравнен^. §§ 544-545
544. Теорема Руффини '). P-femeHie въ радикалахъ алге-
браическаго уравнения выше четвертой степени невоз-
невозможно.
р
Пусть У и есть радикалъ перваго порядка, входяшдй въ об-
общее выражеше корня даннаго уравнешя. Этотъ радикалъ долженъ
выражаться ращонально въ корняхъ уравнешя, и по возвышенш въ
степень р долженъ дать функщю и, ращональную относительно ко-
коэффищентовъ, а потому симметрическую относительно корней. На
* _
основанш § 478, можемъ утверждать, что У и, не будучи симмет-
рическимъ относительно корней, долженъ быть знакоперемен-
знакопеременного функщею, и поэтому р = 2. Произведя ращональныя операцш
р _
надь У и и ращ'ональными функщями отъ коэффищентовъ, полу-
чимъ функщю v, имеющую два значешя, изъ которой, если выра-
жен!е корня уравнешя еще не составилось, надо извлечь корень
я
степени q, гд-fe q простое число. Функщ'я Уу, ирращональная
второго порядка относительно коэффищентовъ, будетъ тъмъ не
менъе ращональна относительно корней даннаго уравнешя По воз-
вышен!и въ степень q она должна дать функщю, имеющую только
два значен1я, хотя сама имъетъ больше двухъ. А это невозможно
(§ 479), если число перем^нныхъ (т. е. корней уравнешя) больше
четырехъ. Следовательно, общему уравнетю степени выше четвер-
четвертой нельзя удовлетворить явною алгебраическою функщею отъ ко-
коэффищентовъ. (XXII).
545. Прим1>чан1е. Теорема Руффини и предшествующая ей
соображешя, независимо отъ того, что избавляютъ. насъ отъ без-
плодныхъ попытокъ разыскан!я р-Ьшен1я въ радикалахъ общихъ
уравненШ 5-ой, 6-ой,... степеней, даютъ намъ указан1я на изыска-
Hie формулъ для р-Ьшешя уравнен1й первыхъ четырехъ степеней.
Прежде всего мы вид-Ьли, что первый радикалъ, являющейся при
разыскан1и корня, если вычислешя производятся по порядку, будетъ
квадратный корень, извлекаемый изъ дискриминанта уравнешя. Вто-
Второй будетъ кубическимъ корнемъ. Действительно, мы знаемъ, что
при й54 существуютъ ращональныя функщи, им^юиЦя два зна-
чен1я и даюиия по возвышен!и въ степень q опять функц1и, имъ-
ющ1я два значешя. Но известно также (§ 479), что q должно быть
равно 3. Поэтому, если хотимь, напр., решить кубическое уравнеше,
то должны положить
3 _ 3
!) .Reflessioni intorno della soluzione delle equazioni algebraiche gene-
rali" (Modena, 1813).
§ 545 ТЕОРЕМА РУФФИНИ. 603
гдЪ v необходимо должно быть вида (р -\- %р У~Л, а <р и тр рацю-
нальныя функши коэффищентовъ. Подставляя въ уравнеше и при-
припоминая вторую лемму, получаемъ соотношешя
v -f ifiv* = YVBq3 — 9ct<:2 + 27r3), uv = Цс^ - Зс2),
откуда, если положимъ
27 Л = 4(q2 _ Зс2K - BCl3 _ 9 ct с, + 27 csf,
получаются значен!я v и u^v2:
у'тBсх3 - 9Clc2 + 27cs) ± ^У^-'ЗЛ.
Такимъ образомъ, снова приходимъ къ общей формул-fe для корня,
найденной раньше другимъ путемъ.
ПримЪчашя къ пятой книгЬ.
I (къ § 442).
Разсматривая определитель § 441, изображающей результантъ
уравнешя 4-ой степени (п = 4) и уравнешя 2-ой степени (т = 2),
и мысленно обобщая его на случай какихъ угодно тип, при
п Jg т, безъ труда убеждаемся, что элементъ, стоячий въ 1-ой
строк-fe на z'j-омъ мътгЬ, им-Ьетъ сумму указателей, т. е. въхъ ix,
элементъ, стояний на /2-омъ мъттб во 2-ой строк-fe, имъетъ вътъ
4+1, и т. д., наконецъ элементъ, стояшлй на гш-омъ м-fecT-fe въ
гя-ой строка им-Ьетъ в-Ьсъ im-\-m— 1. Наоборотъ, элементъ,
стоящ!й на г'ш+1-омъ м-fecT-fe въ т -\- 1-ой строкЪ, им-Ьетъ в'Ьсъ
г',,,+1 — 1, и т. д. Такимъ путемъ сосчитанъ вътъ какого угодно
члена результанта Безу, и аналогично этому и результанта Эйлера,
при чемъ еще приняты во внимаше формулы
Г=1 Г=Г1П+1 Г=\
Надо, впрочемъ, заметить, что теорема о вътъ1 результанта, дока-
доказанная въ § 442, проще можетъ быть доказана noc;rfc того, какъ
будетъ извъхтна метода составлешя результанта при помощи сим-
метрическихъ функщй (см. § 472). Это доказательство можно про-
прочесть въ сочиненш G. Salmon „Legons d'Algebre superieure" traduits
par O. Chemen, 2-ое изд. 1890. стр. 100.
II (къ § 448 a).
Если бы функщй Фиф были написаны въ вид-fe
Ф(д-) = aoxv + a1xv~1 + ¦¦¦ + av_1x + av
71 (x\ =^ (9 xv—* 4- 3 xv~ -4- • ¦ • -\- 3 x 1 3
ПРИМ-ЁЧАН1Я КЪ V-ОЙ КНИГЕ.
605
то вЪсъ результанта былъ бы —v(v
А теперь коэффициенты
1), по теорем^ § 442.
aQ, alt a0, ...,av заменены коэффициентами
1, b2, bi, ..., b2v, и коэффищенты
До> hi h< •••> ?v—i К0ЭФФиЦ1ентами
Ьл, bo. br., ..., Ь9л, л,
т. е. у веЬхъ коэффищентовъ указатели удвоены, а у послътшихъ v
еще, кроме того, увеличены на одну единицу. Поэтому сумма ука-
указателей каждаго члена результанта, т. е. его в-Ьсъ сделается равнымъ
III (къ § 452).
Для пояснешя разсмотримъ случай двухъ уравненШ 4-ой сте-
степени (п = т = 4), который разсматривается и въ § 453, и най-
демъ услов1я, необходимыя и достаточныя, чтобы fug им-Ьли
общаго делителя не ниже 3-ей степени (/ = 3).
«!** + я2д:а + авх + я4, g = 60дг* + ^х3 + 62л:2 + Ъгх
Результантомъ Эйлера будетъ определитель 8-го порядка
al a2
О а
0
#3 ^4 ^
й2 Яд Я4
О О
О 0 я0 «J а2 аз
О О О а0 ах а2
60 Ь1
О Ао
О 0
Ь2 b3
О О О
Ь3
О О
Ъ± О
г>4
о о о ь0 ъх ь2 ь
Напишемъ тождество /g3—g/3= 0, гд-Ъ/^о, ^,До+Д,
и приравнивая нулю коэффищенты при хъ, лг4, л;8, х2, х, 1 въ этомъ
тождеств^, получимъ следующую систему уравнен1й съ неизвестными
«о, «1, До, А:
ai = О
ctj = 0
«i A) + «о .3i — *1 «о -
я2,80 + й] & — 62 а0 -
аз ^о + «2 А — *з «о —
я4 ^0 + я3 Д — 64 а0 —
О Д0
606
прим-ьчанш къ v-ой книга.
Матрисса этой системы, независимо отъ знака, и по
строкъ столбцами (которая была сделана и при составленш R),
будетъ
а0 аг а, аъ ai 0 I
о
Я} Я9 Я^ Я4
b» bo b, О
О Ьо Ьх b2 bs b
и получается, какъ видимъ, выкидывашемъ изъ R послъднихъ двухъ
(г—1) строкъ изъ первыхъ 4-хъ, и послътшихъ двухъ изъ веЬхъ
строкъ, при чемъ еще выкидываются два столбца нулей. Старине
опргдълители R2, R2n\ R2m, этой матриссы, согласно сказанному
въ § 452, будутъ
J пц cty а2 Я3 Gq ciy по я±
I i
О я0 ах а2 | у \ 0 яп я, я3
о0 Oj b2 b% |
i
0 }0 }, J, 0
ъ.
, R
>B)=
я0
0
*0
0
«!
«0
*1
«2
«1
*2
*1
0
я4
0
b.
Если /?2 = 0, 7?2A) = 0. R-P* = 0, то f и g будутъ имъть общаго
дътштеля, не ниже 3-ей степени.
IV (къ § 462).
/(*)
Упомянутое въ концЪ параграфа разложен1е дроби ~-f на
\я им-Ьетъ важныя приложен!я въ различныхъ частяхъ
Математики, поэтому считаемъ полезнымъ несколько подробнее на
немъ остановиться. Все дътю основано на одной важной теорем^,
H3BtcTHoft изъ элементарной Алгебры и вытекающей изъ алгориема
Эвклида для разыскашя общаго наибольшего дъпителя двухъ ц-fe-
лыхъ функщй. Теорема эта состоитъ въ сл'Ьдующемъ:
Если X и Y двъ взаимню простыя ц*лыя функц1и, то
всегда можно найти друпя двъ цълыя функц!и А и В та-
кимъ образомъ, чтобы тождественно удовлетворялось ра-
равенство
A) AX + BY=1.
(См., напримъръ, Веберъ и Вельштейнъ, стр. 227, тамъ же указанъ
и способъ нахождешя функщй А и В).
Замътимъ, между прочимъ, что опредълешя функщй А и В
приводится къ разложешю -у въ непрерывную дробь и нахожде-
ПРИМЪЧАНШ КЪ V-ОЙ КНИГЕ. 607
шю последней подходящей дроби. Положимъ теперь, что дана
дробь
|Ф, гд-Ь *(*) = чгг *>'••¦
при чемъ предполагается, что полиномъ /(х) взаимно простой съ
g (х), т. е. дробь несократима, степень f(x) ниже степени g (x), и
полиномы <р, %, ip... простые одинъ относительно другого. Поло-
Положимъ, для сокращешя, <pr = P, y^ip* ... = Q. Такъ какъ Р и Q
взаимно простые полиномы, то можно найти функщи А и В та-
кимъ образомъ, чтобы
АР -
Отсюда
1 В А
PQ~7 + ~Q
и
.§¦(*) PQ P + -0-'
или, выдъляя въ правой части ц-влыя части Е(х) и Ех{х), находимъ
а такъ Kai , no yoioeiio, степень f(x) ниже степени g{x), то
Е(х) + Е1 (х) = 0, и получится
,
гд-fe въ дробяхъ правой части степени числителей ниже степеней
знаменателей, а, какъ легко видеть, дроби эти несократимы. Со
второю дробью въ правой части можно поступить такъ же, какъ
съ данною, и т. д. Такимъ путемъ придемъ къ разложешю
*¦(*) 9>г(л:) XS W V'W
гд-Ь всЬ числители въ правой части будутъ степеней, низшихъ,
ч-вмъ знаменатели. Разсматривая любую изъ этихъ дробей, напри-
м-Ьръ, первую, положимъ, что степень у, (х) выше степени tpix),
хотя и ниже степени g>r (л;). Разд-вливъ fx (x) на д> (х), полу-
чимъ fx (х) = tp (х) ¦ Q -\- R, wt R степени ниже q>. Отсюда
ГАх) R . О
q>r{x) <pr{x) <pr~1(x)
608 прим-ьчанш къ v-ой книга.
Если Q будетъ euie высшей степени, чЪмъ <р (х), то раздЪливъ
Q на <р (х), получимъ Q = Qx <р (х) -+- /?,, гд-fe /?, степени ниже (р, и
Ai?) = R _| Ei | Ях
Продолжая такимъ путемъ, непременно дойдемъ до такого <2«, ко"
торое будетъ степени ниже <р, и получимъ разложеше того вида,
которое дано въ § 462.
V (къ § 464, d).
Здъть авторъ прибътаетъ къ изменен1ю порядка суммировашя
въ случай безконечныхъ рядовъ. Этотъ пр1емъ—при опредъпенныхъ
услов1яхъ — оправдывается следующей теоремой, принадлежащей
Кош и (Cauchy).
ее
Теорема. Если ряды ? \ ат, „ \ (при и = 1, 2, 3,...) и
дя, п \ сходящ1еся, то будутъ сходящимися и ряды
21-».. («- 1. 2...J.J'^-.-'J'V-(» = !. 2-•¦•)..
при чемъ
СО СО СО 3D СО
¦ 2'Х
X ОЭ СО СО
Изъ услов1я теоремы, согласно § 245, вытекаетъ сходимость
рядовъ ^ат, п {п = 1, 2, . ..) и f, /, ат, п, а также существо-
соотношен1я
Такъ какъ каждое изъ ряда неотрицательныхъ слагаемыхъ не
превосходитъ ихъ суммы, то
съ другой стороны,
прим-ьчанш къ v-ой книг-ь.
такъ что при /л = ], 2,..., v = 1, 2, ...
609
откуда заключаемъ (§§ 136, 181) о сходимости ряда ^ \ д ц п
а следовательно (§ 190, а), и ряда У^afti п, Для /х= 1, 2, ...
Взявъ произвольное число е>0, найдемъ таю'я числа М и N,
что при jj, 22 Ж, v Sj W
Фиксируе.иъ значешя /л > М и беремъ настолько большое v( 25 Л7),
чтобы выполнялось неравенство
C) \22°-.- -22а«.» <1;
это сделать возможно, такъ какъ
и=1 "—х я=:1 )и=1 и=1 ""^ ™=1 и=1
Изъ соотношен1й B) и C) заключаемъ, что при /j, ;> il/
откуда
Г
X /
^J = lim У У а
< в,
т. е. рядъ ? 2j ат> п сходяшдйся и сумма его равна А (ср. A)).
Въ § 464, d) им"Ьемъ
^ 2х2т
х cotg х — 1 —
= 1 —
39
610 прим-ьчлшя къ v-ой книгь.
Здъсь яот, „ = - 9т 2т > 0, такъ что а,щ „ = | anh » ; и теорема непо-
непосредственно примъняется. Въ другихъ случаяхъ убедиться въ вы-
полнен1и услов1й теоремы часто бываетъ затруднительно.
VI (къ § 466).
Тождество это получается слъдующимъ образомъ. По фор-
муламъ
Cl~ а0 ' Ч ~ а0' С'д я^' '"% С« ° (~ ) я^
(§ 465) можемъ написать f(x) въ
/' (*) = я0 («*~~1 - ^ (»* - I)*"" + е2 (и -
ЗагЬмъ формулу
/(я;) я; ^ а-2" а-3" "¦
можно переписать въ видт>
подставивъ написанныя выше выражен1я У^(д^) и f (х), мы и найдемъ
требуемое тождество.
VI bis (къ § 466).
Если положимъ а0 = 1 и замт>нимъ сх, сг, съ, ... ихъ выра-
жен1ями —я,, а2, —а3,..., то формулы Жирара обратятся въ
формулы
51 + а1 — 0, S2 + 5!^! + 2я2 = 0, А-3 + 523t + 5гЯ9 + Зя3 = 0
и т. д., извЪстныя подъ назван!емъ формулъ Ньютона (см. Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 244).
VII (къ § 467).
Приведемъ тотъ выводъ формулъ Варинга, на который авторъ
указываетъ въ тексгЬ. Имт>емъ одновременно:
прим-ьчанш къ v-ой книгь. 611
V $P X 1 г
но
Подставляя этотъ рядъ вместо иг во второе выражен1е для v,
получимъ:
r=l v—r
-Й—< XP —
Отождествляя коэффищенты при — въ этомъ и въ первомъ разло-
жен1и для v, найдемъ
Аналогично этому:
р~\
VIII (къ § 470).
Разовьемъ несколько подробнее намт>ченный въ этомъ пара-
параграфа способъ вычислен1я симметрическихъ функщй отъ п пере-
39*
612 прим-ьчашя къ v-ой книг-ь.
мЪнныхъ а1У а2, ..., а„, вида
где v ^ п.
1°. Въ приложешяхъ этого способа полезно умЪть сосчитать
число членовъ такой суммы, не выписывая ихъ на самомъ дЪлЪ.
Условившись, въ случае v < п, считать pv-\-i — pv-\-z = ¦ ¦ = р„ = О,
мы можемъ ограничиться разсмотрешемъ случая v = п и писать раз-
сматриваемую сумму всегда въ видь1
A) S = ? «/¦«/'...«/».
По самому опредътшнш этого символа, мы получимъ сумму .Ь, если
переставимъ указатели 1, 2, ..., п всЪми возможными способами, не
мтэняя порядка показателей рх, р%, ...,рп, и сложимъ век различ-
ныя между собою получаемыя такимъ образомъ произведен1я. Раз-
Различными мы называемъ так!я произведен1я, въ которыхъ, по край-
крайней м-ЬрТэ, одна изъ перем'Ьнныхъ аг- входитъ сь различными пока-
показателями степени, и одинаковыми таюя, которыя отличаются одно
отъ другого только порядкомъ сомножителей и, следовательно,
имЪютъ равныя величины при произвольныхъ значен1яхъ перемТзН-
ныхъ о,, аг, ..., а„. Разсмотримъ теперь два возможныхъ случая:
1) Bet показатели pt, р2, ... рп между собою различны и 2) среди
чиселъ ft,, р2, ...,р„ есть равныя между собою. Въ первомъ случа-fe,
очевидно, всё составленный вышеуказаннымъ способомъ произведе-
тя между собою различны, а потому число членовъ въ суммъ 5f
которое обозначимъ черезъ N, равно числу перестановокъ изъ
п чиселъ 1, 2, ..., я, т. е. число N = 1 ¦ 2 ... п = п\ НапримТзръ,
при п = 3 и различныхъ между собою рх, р2, ръ, им%емъ
N = 3! = 6, а
B)
S = 2j' a/'a./'a-/' = a/' а2р'а/> + a./'a/> a^ + a/- a/' a/'
+ a/'a3Aa/' + а/'а/'а3л + a/'a/> a/'
и, въ частности, (/>, = 1, p% = 2, />3 = 0)
Переходя ко второму случаю, положимъ, что изъ п чиселъ
pt, р2,---,рп № чиселъ между собою равны и отличны отъ всЬхъ
прочихъ, различныхъ между собою. Если и теперь составимъ выше-
вышеуказаннымъ способомъ всЪ п\ произведен^, то между ними будутъ
одинаковы я, а именно, одно и то же произведете, независимо
отъ порядка сомножителей, встретится въ числе веЬхъ п\ произ-
веденШ ровно fj,\ разъ, т. е. столько разъ, сколько имЪемъ пере-
прим-ьчанш къ v-ой книг?.. 613
становокъ изъ /л буквъ; поэтому, число различныхъ произведен^,
т. е. число членовъ въ сумме S, будетъ равно ~. Действительно,
если pi = рг = ръ = • • = />„, и возьмемъ какой нибудь членъ
суммы
<af...a^af...ft^,
!1 '2 >,и '.н+1 'и '
где г,, 4. • • •> V> г,«+ь • • ¦> г» как;я нибудь изъ чиселъ 1, 2, ...,;/
то ясно, что всб произведешя, получаемыя при /л\ перемЬщешяхъ
первыхъ jj, указателей будутъ одинаковыми. Напримтзръ, въ при-
веденномъ выше примЪрЪ, при рх = рг, въ правой части фор-
мулы B) каждое произведен!е встретится два раза, N = ^ = 3 и
S = 2J «/' "/• 'Ф = «/' «/' «:/3 + «/' «;/' <" + «з^1 а/1 а./' ¦
Если теперь еще v показателей сделаются равными между собой и
отличными отъ встзхъ прочихъ, то среди (- произведенШ различ-
различныхъ останется —~ и т. д. Такимъ образомъ, приходимъ къ сл"Ь-
дующему общему заключешю. Если въ выраженш
между числами рх, р2, .. ., р„ им-Ьемъ /л чиселъ, равныхъ а, v рав-
ныхъ Ь, ..., Q равныхъ с, при чемъ а, Ь,...,с между собой раз-
различны, то число членовъ въ сумме 5 выражается формулою
S = У" at a2 a-g- a42 = У] a, a2 a33 a42 a5" a60 a70
Напримеръ, при п = 7, въ сумме
будетъ
-v = о. п< •)¦ = 5-6-7 = 210 членовъ.
2°. Обозначая черезъ с,, сг, ..., с„ элементарный симметриче-
сюя функщи переменныхъ а,, а2,...,а„ и полагая
f(x) =(x- at) (я; - и2) . ¦. (х - ап) =
= -г-" - с,.г'-1 + е2хи-2 _... + (- 1)"«я,
можемъ сказать, что въ формуле A) суммироваше распростра-
614 прим-ьчанш къ v-ой книгъ.
няется на век корни полинома f{x). Если, въ частности, положимъ
сц = а2 = • • • = ап = 1, f(x) = (х—1)", то с,, с.г, ..., сп будутъ со-
соответственно равны бинолпальнымъ коэффищентамъ п,- .-„ , ..., 1,
а сумма 5, каковы бы ни были показатели pit рг, ...,/>„, будетъ
равна числу ея членовъ N, потому что вст» члены ея равны еди-
ницт». Этимъ зам'Ьчашемъ можно съ выгодою пользоваться въ при-
ложенш способа вычислешя симметрическихъ функщй вида A), ука-
заннаго въ § 470.
3°. При составленш буквеннаго выражешя 5 черезъ элемен-
тарныя функщй ct, с2, ..., с„, по данному вт>су g и степени т
(относительно сх, сг, ...), можно поступать сл-Ьдующимъ образомъ:
разложить число g вст>ми возможными способами на слагаемыя,
число которыхъ не превышаетъ т\ эти слагаемыя и дадутъ значе-
шя указателей функщй с,, с2, ...,сд въ различныхъ членахъ бук-
буквеннаго выражешя 5. Наприм-Ьръ, если g = 6, т = 3, какъ въ
примт>рт> § 470, то замтэчаемъ слт>дующ{я разложен1я числа 6 на
слагаемыя, числомъ не больше 3:6, 5+1, 4 + 2, 3 + 3, 2 + 2 + 2,
1 + 1+4, 1+2 + 3, и находимъ, что буквенное выражеше
Иа^а^а^ будетъ
C) ^ «1 «22 °з3 = koc4 + *if5ci + hc4c2 + hci + kiciict, + k-oc? + k^c^c.^,
какъ и написано въ тексгЬ.
4°. Для составлешя линейныхъ уравнен1й, служащихъ для
опред"Ьлен1я численныхъ коэффищентовъ k0, kit..., выбираемъ
числа а,, а2, ... или полиномъ f(x) такъ, чтобы вычислеше значе-
н1я 5 и функщй сх, сг, ... было по возможности просто (при чемъ
полезнымъ оказывается пунктъ 2° настоящаго примъчашя) и, по-
полагая вст> d, указатель i которыхъ будетъ больше п (степени f{x)
или числа перемтэнныхъ а,, а2, ..., а„), равными нулю.
Примтэнимъ сказанное къ примеру § 470 и провт>римъ такимъ
образомъ приведенный тамъ результатъ.
1) Полагая а, = а2 = 1, а3 = 0, f(x) = х(х — IJ, имЪемъ
ct = 2, сг = 1, остальныя с, = 0, и 5 = .Sdj а22а33 = 0, потому
что въ каждый ея членъ аъ входитъ множителемъ. Уравнен1е C)
даетъ
?5 = 0.
2) Выбирая a,i такъ, чтобы вст> с,-, кромт» с3, были равны
нулю, найдемъ коэффищентъ kz. Для этого положимъ сц = 1,
а2 = со, а3 = со2, гдт> со мнимый кубическШ корень изъ 1, тогда
fix) = х3 — 1, съ = \, Bet друпя а = 0, а
= 3 (со* + ш) = - 3
прим-ьчанш къ v-ой книгъ. 615
и формула C) дастъ
*л = - 3.
3) Полагая а, = а2 = а3 = 1, f(x) = (х — I)8, имъемъ
с, = с2 = 3, с3 = 1, S = iV= 3! = 6, и въ силу C) k3 + 9ks = 6,
откуда
4) /(*¦) = (л - IL, с, = 4, с2 = 6, с% = 4, с4 = 1, 5 = ЛГ =
= 4! = 24,
#! + 10/fr2 + 25A4 = - 28.
6) /(л-) = (я- - IN, с, = сь = 6, с2 = с4 = 15, с5 = 20, св = 1,
5 = yV= ?! = 120;
k0 + ЗбД-i + 225*2 + 540 ?4 = - 480.
7) Остается найти еще одно уравнеше, независимое отъ пре-
дыдущихъ, чтобы вычислить Bet семь коэффиц1ентовъ k,-. Поло-
жимъ а, = а2 =а3 = 1, а* = — 1, т. е. f(x) = (д:— 1K(л' + 1) =
= х* — 2л-3 + 2х — 1; сх =2, сг = 0, с3 = - 2, г4 = — 1.
Для вычислешя суммы 5 = 2ala,2a3sai° (при и = 4), зам^Ь-
чаемъ, что число членовъ этой суммы равно 24, изъ которыхъ 12
равны -f- 1 и 12 равны —1, такъ что 5 = 0. Для этого не нужно
выписывать всЬ 24 члена суммы; достаточно заметить, что + 1 по-
лучимъ для т+5хъ членовъ, гдЪ а4(= — 1) стоитъ на 2-мъ или 4-мъ
мъсгЬ (съ четными показателями степени), а — 1, въ гЬхъ, гдЪ ai
стоитъ на 1-мъ и 3-мъ Mtcrt, и что число первыхъ и вторыхъ
членовъ, очевидно, одинаково. Такимъ образомъ, формула C)
дастъ теперь
0- —'12-4А4, *4= -3.
Подставляя это значен1е въ предыдущая три уравнен1я и рЪшая ихъ,
найдемъ
k2 = 4, kx = 7. *0 = - 12
и окончательно получимъ
2^ о-\а?а.? = — 12св + 7с1с-) + 4с2с4 — Зс32 - 3cj2c4
какъ и дано въ § 470.
616 прим-ьчанш къ v-ой книг-ь.
IX (къ § 471).
Чтобы убедиться въ справедливости этого замъ-чанш, примемъ
во вниман1е, что в^съ дискриминанта
j = (Ol — а.,J («! - а3J .. . (а1 - anf (a2 - а3J ... (а„_! - aj\
очевидно, равень
2[(«- 1) + («-2)+.-- +2 + 1] = и(«- 1),
а степень равна 2(w —1). Поэтому выражеше Л въ функщяхъ с,
будетъ вида Zl = ^с»" + • • •, гдт> въ остальные члены непременно
входитъ, по крайней мЪр-b, одна изъ функщй ct, с2, •••, сп—i- Если
возьмемъ У(а:) = хп — 1, то вс^ а при i < w будутъ равны нулю,
с» = (— I)™ и Л = ?0( — l)("-4!. Съ другой стороны, если
а,, а2, ..., а„ корни Да:), то, какъ известно,
W + + +
дг—% х — а., х ап
откуда
Г (ак)= (ак - а:) ¦¦¦ (ак- а,.^) (ак - иК+1) . .. (ак — ан).
Давая k значен1я 1, 2, ...и, и перемножая результаты, получимъ
я (и—1)
A) J = (-\) 2 /'(«!)/'(оа) . ../'(«„)•
Применяя формулу A) къ _/"(#) = а."—1, получимъ
а изъ сравнешя съ предыдущимъ выражешемъ Л, получимъ
» ("—1)
?0 = (- 1) 2 н"
что и требовалось доказать.
X (къ §§ 478 и 479).
Приведенныя здъхь доказательства теоремъ, высказанныхъ
въ этихъ параграфахъ, существенно предполагают^ что р число
иростое. Этимъ случаемъ можно и ограничиться, если иметь въ виду
лишь те приложешя этихъ теоремъ, съ которыми мы встретимся въ
вопросе о решенш уравнешй въ радикалахъ (§ 544). Но теоремы
остаются справедливыми и при р не простомъ. Доказательство тео-
прим-ьчанш къ v-ой книг-ь. 617
ремы § 478 въ общемъ случае дано, между прочимъ, у Netto
„Substitutionstheorie" стр. 63, но это доказательство основано на
другихъ, довольно сложныхъ, соображешяхъ. Между т+змъ, элемен-
элементарный способъ доказательства, применимый для р простого, мо-
жетъ быть, съ помощью нЪкоторыхъ простыхъ дополнешй, примъ1-
ненъ и къ случаю р составного, что мы и покажемъ. Сперва не
безполезно будетъ указать одну теорему, известную изъ теорш
корней изъ единицы, на которой основаны доказательства обЪихъ
теоремъ въ случай р простого, а именно: если со есть корень неко-
некоторой степени изъ единицы, не равный единиц*, рх и р2 простыя
числа, и ы^' = сдр> =1, то рх = р%. Въ самомъ деле, если рх и р.г
простыя, а следовательно и взаимно простыя, неравныя числа, то
всегда можно найти два такихъ цътшхъ числа а и Ъ, чтоя t>\~bp% = \,
а тогда изъ условШ со1'' = 1, со1'' = 1 найдемъ со"р'~Ьрг = со = 1,
вопреки предположент, Поэтому нельзя предположить, что рх не
равно р.г.
Заключеше, что круговая подстановка трехъ, пяти или вообще
нечетнаго числа перем'Ьнныхъ не изменяетъ значешя q>1', если эта
степень можетъ им^ть всего два различныхъ значен1я, вытекаетъ
изъ того, что iff должно быть вида 5, -\-s^Y A, гдъ sy и s.a сим-
метрическ1я функщи (§ 476). Круговая подстановка нечетнаго числа
перем'Ьнныхъ равносильна четному числу транспозищ'й (§ 5). Каждая
транспозищя переводитъ s1+52]/^zl въ 5,—s2 У~А ; следовательно,
четное число транспозищй приводитъ опять къ первоначальному зна-
чен1ю.
Теперь докажемъ теорему § 478 для случая р составного. По-
ложимъ, что срр симметрическая функщя, и пусть а некоторый про-
простой нечетный дътштель числа р; тогда, полагая р = ад, получимъ,
что (ifi)a симметрическая функщя, откуда, какъ доказано въ § 478,
и cpv будетъ симметрическая, потому что, если бы она была знако-
знакопеременная, то число а должно было бы равняться 2. Продолжая
разсуждать такимъ образомъ, очевидно, дойдемъ до функщи q?',
где t равно 2 или степени 2 и у' симметрическая функщя. Теперь,
разсуждая совершенно такъ, какъ въ § 479, придемъ къ заключе-
Hifo, что if не можетъ иметь более двухъ различныхъ значешй (по-
(потому что иначе одновременно имели бы со' = 1 и со3 = 1, что не-
невозможно, при / = 2*). Поэтому ср должна быть вида
(f = sl + S2 У Л'
Если ни 5,, ни s., не равна 0, то (jP2, очевидно, будетъ того же
вида и т. д., и (f* не могла бы быть симметрическою. Поэтому
либо s,, либо s2 равна 0, т. е. ip симметрическая или знакопере-
знакопеременная, что и требовалось доказать.
Въ заключеше заметимъ, что теоремы §§ 478 и 479 спра-
справедливы при условш, что переменныя, отъ которыхъ зависитъ ср,
618 прим-бчашя къ v-ой книгъ.
независимы, т. е. что между ними не установлено никакихъ соот-
ношешй.
XI (къ § 481).
Функщя <р, какъ легко видЪть, имъетъ 6 различныхъ значе-
шй, и удовлетворяетъ уравнешю 6-ой степени съ коэффициентами,
ращ'ональными относительно с,, c2,..., какъ это видно изъ найден-
наго выражешя для дс3. Вычислеше функцш ААг + ЛДз + ftnh
легко произвести по способу § 470. Изъ выражёнШ ^ черезъ а
тотчасъ видно, что /?,/?2 + ^/93 + Д2/?3 = 2Ха«аз*> ПРИ " = 4-
Число членовъ подъ знакомь 2 равно 12. Въсъ этой функщи ра-
венъ 4, степень равна 2, поэтому
Применяя эту формулу къ функщямъ /'(л) =л2(д:—D2, х(х — IK,
(.г — IL, тотчасъ находимъ k2~0, kx = 1, k0 = — ^, и Д,p2-j-
& + &&
Аналогично этому вычисляется и /?1/32/?3 — симметрическая функ-
функщя относительно а,, съ въхомъ 6 и степенью 3.
XII (къ § 482).
Прежде всего надо заметить, что всякую цЪлую функщю
(l)f(x) = {x- ai) (х ~ а2) ... . (х-а„) = х" ¦~с1хп-1 + с2х'1-2 + ...+(- 1)" с>1
можно привести къ однородному виду, замъ-нивъ х на — и умно-
живъ заттзмъ встз члены на у11. Тогда получаемъ бинарную форму
B) fix, У) - (х - а1У) (х - а,у) ...(х- а„у) = хп - elXn-\v
+ *2*"-V- ¦••+(- 1)"спу\
Ясно, что
f(x) =/(х, 1), и /(*, у) =ynf[j) ¦
Инвар1антъ / формы B), как-? известно, есть такая функщя коэф-
фищентовъ формы B) или функщи f(x), которая прюбрътаетъ
только множитель K'f при любомъ линейномъ преобразованы пере-
мънныхъ х vi у съ модулемъ, равнымъ К- Самое общее линейное
преобразоваще состоитъ въ замени перем'Ьнныхъ х и у линейными
функщями ах + by и cx-\-dy. Ясно, что результатъ такой зам*ны
х и у въ форм-fe f(x, у) [при у = 1] можно получить также замъ-
нивъ въ функщи f{x) перемЪнную х выражен1емъ °^г^ и Умн°-
прим-бчанш къ v-ой книг-ь. 619
живъ загёмъ все члены на {сх -\- d)n. Простейшее линейное пре-
образоваше состоитъ въ замене х на х — Я, где Я произвольное
число; оно соответствуем значешямъ а = 1, Ъ = —Я, с = 0, d=l,
и модуль его, очевидно, равенъ 1. При такомъ преобразован^,
следовательно, инвар1антъ / совс+эмъ не изменится. Заметимъ те-
теперь, что инвар1антъ / можно всегда представить, какъ симметри-
симметрическую функцш отъ корней at, <х2, ..., а„ функцш /(х), замтзнивъ
коэффициенты t"j, с2,... ихъ выражешями 2dlt 2a1a2,... Изъ
вышесказаннаго вытекаетъ, что если /=Ф(о,, о2, ..., а»), то функ-
щя Ф должна обладать свойствомъ
C) Ф(«! +Я, О2 + А , ап + /.) = Ф(аи «2> ..., «„),
при произвольномъ Я. Въ самомъ д^лТз, / не меняется при зам-ЬнЪ
х на л: — Я, а тогда, очевидно, корни a,,o,,...,o, заменяются
числами a, -f- Я, а2 + Я, ... ап -\- Я. Ясно, что свойство C) принад-
лежитъ функщямъ, зависящимъ только отъ разностей а,—аг,
а, —а3, ..., а„_1 — а„ корней, и, какъ легко убедиться, только та-
кимъ функщямъ. Отсюда вытекаетъ такое заключеше: инвар1ан-
то*1ъ формы f(x, у) можетъ быть только функцдя отъ раз-
разностей корней функцди f{x, 1) или f(x). Къ этому можно
добавить, что если въ каждый членъ выражешя (р{а^ — «2,
ai—аз> • • ¦> ап—1~an) Bet» корни а,, а2, ..., а„ входятъ одинаковое
число разъ, то такая функщя, действительно, будетъ инвар1антомъ
формы /(х, у), потому что при самомъ общемъ линейномъ преоб-
разованш пр1обрететъ только множитель, какъ то и показано въ
начале § 482.
То же самое еще проще можно показать, если напишемъ,
какъ функцт /(х), такъ и функщю разностей корней въ одно-
родномъ виде (см. Salmon, Algebre superieure, 2-ое изд., 1890,
стр. 179).
XIII (къ § 483).
Выражеше инвар1анта J въ коэффицдентахъ, т. е. выражеше
C4) можно получить, вычисляя симметрическую функцдю C5) по
правилу § 470. Но гораздо проще ее можно вычислить съ помощью
npieMa, изложеннаго въ неоднократно цитированномъ сочиненш
Salmon, Legons d'Alg. sup., стр. 88. Мы считаемъ полезнымъ при-
привести здесь этотъ пр1емъ, такъ какъ онъ применимъ ко всякой сим-
метрической функщи разностей корней уравнен1я f[x) = 0 и даетъ
матерьялъ для многихъ упражнешй. Пр1емъ этотъ основанъ на сле-
следующей теореме:
Теорема. Всякая симметрическая функщя ср отъ раз-
разностей корней уравнен1я
620 прим-ьчашя къ v-ой книг-в.
выраженная въ коэффицдентахъ с,, с.,,...,сп, удовлетво-
ряетъ уравнен1ю
A) n<rCi + (n — l) с, <рСг + (я - 2) с2 (рн + • • • =0,
гдъ1 <рС|. обозначаетъ производную (р, взятую по с,.
Доказательство. Обозначая черезъ Я произвольное число,
преобразуемъ функщю f(x), замтэнивъ въ ней х черезъ л" — Я.
При такомъ преобразовали корни ея а,, а.г, . .., а„ обратятся въ
а,-)-Я, а2 + Я, ...аи + Я и функция <р, какъ функщя разностей
корней, не измъ-нитъ своего значешя. Иными словами, если по-
ложимъ
с/х" -s
B) /(.г - Я) = х" - с^х"-1 + с/х
то
C) ч(сх', с/, с/,...) = <1 (q, c.lt fH,...)•
Но
/(*-/.) = (.г- - /.)" - Cl(x - Л)" + с,(х - /.)»-'¦- Св(д- - Я)"-3+ ••¦
Располагая по степенямъ я' и выписывая только члены, независяцие
отъ Я, и первой степени относительно Я, получимъ
/(* - Я) = .г" - (q + п).) .г"-1 + (г, + („-.- 1) ^Я +.-.) а" - 2
- («з + (« - 2) с2 Я + • ¦ ¦) .Vм 3 + • ¦ •,
а сравнивая съ B), находимъ
D) с/ = q + нА, f2' = г2 + (« - 1)^;. + •••, с/ = с3 + (и - 1)сЛ + •••
и т. д. Съ другой стороны, полагая
с/ = сг + й с1, с/ = с2 + Л с2, с3' = с3 + E с3,
по формул^ Тэйлора находимъ
Ч {с\, с2', с/, •••) = q (с±, с2, г3, ...) + <РС/С! + g^c/^2 + <РСг6с3 +
а заменяя dct, Ec2, dc3,... ихъ значен1ями, взятыми изъ формулъ
D), и принимая во внимаше ycnoBie C), получимъ
+ )?{ ¦ ¦ ¦ ¦ ) + ¦ ¦ • =0.
Такъ какъ Я число произвольное, то коэффищенты при различныхъ
степеняхъ Я въ уравненш E) должны обращаться въ нуль, такъ что
c, ct + (" - 2)c2<rc, + ••• = 0,
что и требовалось доказать.
прим-ьчанш къ v-ой книг-ь. 621
Для вычислешя функщи (р доказанная теорема служить слъ-
дующимъ образомъ: зная вЪсъ и степень функщи <р относительно
коэффищ'ентовъ с,, с%, с3, ... пишемъ выражеше др съ неопреде-
неопределенными численными коэффищентами, какъ въ § 470. Уравнеше A),
которое должно удовлетворяться тождественно, т. е. независимо
отъ значешй перем-Ьнныхъ сх, с2, сл, ..., дастъ загЬмъ систему ли-
нейныхъ уравнешй, съ помощью которыхъ вст» неизвестные числен-
численные коэффищенты k0, klt k2, ... въ выражеши <р выразятся въ
одномъ изъ нихъ, который затЪмъ определяется по частнымъ зна-
чещямь корней alt а2, ... Приложимъ сказанное къ вычисленш
функщи J, опредъпяемой формулою C5) § 483. Въхъ ея равенъ 6,
степень равна 3, поэтому полагаемъ
Формула A) при п = 4, даетъ
4Л, + 3fl/ei + 2c.JCs + c3jet = 0,
г. е.
Приравнивая нулю коэффищенты при
находимъ
4?0 + 4?4 +?3 = 0, SX-g + e/tt =0, 3A0 + Aj = 0, 2/&0 + 9*2 = 0,
откуда
^=--3*,,, ^2 = —**o- ^з = 8/!'о. *4=-3X-0,
и
/ = ko x ci W-a — 3< j-f 4 - J с2* + 8c,c4 - 3c;2 }.
Наконецъ, полагая
ai = a2 = 0, a3 = % = 1.
находимъ
/ = 1, ct = 2, c2 = 1 • сз = C4 = 0. и ^o = — I >
такъ что окончательно
/ = И <23 — 9«1С2<"з + 27^2^ - 72с,с4 + 27с32 },
согласно съ формулою C4).
Для упражнешя предлагаемъ применить указанный способъ къ
вычислент дискриминантовъ кубическаго и биквадратнаго уравне-
Н1я, полученныхъ раньше другимъ путемъ.
622 прим-ьчанш къ v-ой книга.
XIV (къ § 491).
Тождество это легко проверить, замЪтивъ, что 1) обЪ его
части обращаются въ нуль при а-\- ft = у -f- д, при а -(- у = /5 + Ь
и при а-\-д = р-\-у, 2) что объ его части цЪлыя функщ'и 3-ей
степени относительно а и 3) что коэффищентъ при а3 въ лтзвой
части равенъ 6.
XV (къ § 504, с).
Если / = (х — а)г (х —-/9)s (х — y)s..., то взявъ логариемы
и зат-Ьмъ производную, найдемъ
/ х - а + .v - Ц + х - ;•
а написавъ уравнеше f -\- kf = 0 въ видтз
получаемъ требуемую формулу.
XV bis (къ § 504, d).
Если уравнеше
A) ах" + Ьхп~1 + схп ^2+ ••• = 0
имЪетъ встз корни вещественные, то, очевидно, и уравнеше
B) ахп - Ьх" + схп^- - • • • =0
обладаетъ гЬмъ же свойствомъ.
Обозначая корни уравнешя B) черезъ kx, k2, ..., k,,, будемъ
имтзть
— = У к,, — = У k, k,. ... и т. д.;
sl по доказанному выше, въ случай вещественности чиселъ
ky, k<,,..-,kn и вещественности встзхъ корней /(х), уравнеше
/() +^i /'(*)+^7*i h •/"(*)+ ••• =0.
т. е.
af(x) + bf'(x) + с/"(х) + ••• = 0
будетъ также имтзть век корни вещественные.
прим-ьчанш къ v-ой книг-ь. 623
Полагая f(x) = .v" и замечая, что уравнеше {х-\-\)п =
с"—1 -f- f~^~ x"~2 ~t ¦ ¦ ¦ =0 имЪетъ всЪ корни веще-
п2
ственные, тотчасъ убеждаемся, что и уравнеше х" -\- -.- хп~х -\-
-[- '-"~ ' хп~2 -f- ••• =0, имт>етъ вст> корни вещественные.
Доказательство же вещественности всЪхъ корней уравнен!я
* 1-2 + 1-2-3-4 ^"
не вытекаетъ непосредственно изъ теоремы § 504, d, а требуетъ
дополнительныхъ изслтэдовашй, на которыхъ мы здт>сь останавли-
останавливаться не будемъ.
XVI (къ § 504, f)
Припоминая сказанное въ § 389 о модулт» разности двухъ
комплексныхъ чисель, и указанное тамъ же построеше этой раз-
разности, тотчасъ находимъ, что модуль х — а„ равенъ rv, а аргументъ
числу я -\- @ -\- 0,,) откуда
ИЛИ
XVI bis (къ § 504, g)'.
Эта формула есть прямое слт,дств1е только что указанной въ
предыдущемъ прим^чанш. Равенства
получатся, очевидно, если принять во внимаше, что сумма числи-
числителей дробей
^ (V=l. 2 :
равна нулю, въ силу равенства
624 прим-ьчащя къ v-ой книг-ь.
'XVII (къ § 507, с).
Для пояснешя сказаннаго здесь, разсмотримъ четыре един-
единственно возможный комбинаши знаковъ, представляемыя тремя по-
последовательными функщями /,-i, ft, fi+i, ДО и после изменешя
знака fi при переходе переменной х черезъ корень функщи J], а
именно
fi I. fi, Л'
'-fl
I- - +
Въ I и II случай, когда функщя ft, стоящая л'Ьв%е _/i-fi> раньше
перемтэнила знакъ, перемена знака между j\ и ft^i перешла въ пе-
перемену знака между ft—\ и /,-, т. е. передвинулась влЪво. Въ III
и IV случат», когда функция yi;, стоящая правде f(_i, раньше пере-
переменила знакъ, перемена знака между f,_1 и ft перешла въ пере-
перемену знака между fi и fi-\-\, т. е. передвинулась вправо.
XVIII (къ § 515, d).
Упоминаемый здесь способъ определешя верхней границы /
положительныхъ корней основанъ на следующемъ простомъ заме-
чан1и. Если имеемъ группу положительныхъ членовъ, за которыми
следуетъ группа отрицательныхъ, то сумма членовъ группы
Л (*) = aQx" + а,хп'л + ¦ ¦ ¦ + ап_п хт - ап__т+1 х"^1 ап_рх",
можетъ быть написана такъ
и тогда сделается яснымъ, что при возрастан!и х fx{x) непременно
возрастаетъ, потому что въ скобкахъ уменьшаемое возрастаетъ, и
прим-ьчашя къ v-ой книгь. 625
вычитаемое убываетъ. Поэтому, если при х = Г fx{x) > О, то при
х^>Г, наверно /х(х) ]> 0. На таюя группы, какъ fx(x), обыкно-
обыкновенно и разбивають левую часть даннаго уравнешя f{x) = 0, и
опредЪливъ для каждой группы соответствующее число /', получа-
ютъ для I наибольшее изъ /'. Наприм^ръ, для /(х) = х4' — 4д;3-(-
-4- З*2 — 5л: — 7 = 0, беремъ /t(x) = х* — 4л-3 = хъ(х — 4), и на-
ходимъ /' = 4, /%(х) = Ъх% — 5х — 7, при х = 4 будетъ ]> 0. Сле-
Следовательно, можно взять 1 = 4. Метода Ньютона дала бы / = 3.
XIX (къ § 521, Ь).
Действительно, если / делится на (х — аJ, то f делится на
х—a, H=2>f"i — Aff" разделится на (х—а)'1. Поэтому, если
f = (х — аJ(х — /?J, то H=kf, где К постоянное число. Об-
Обратно, если Н = k ¦/, то всякий делитель f делитъ и Н, а потому
и f. Следовательно, тогда всяк1й линейный делитель полинома f
войдетъ въ него въ квадрате, т. е. f = (х — аJ(х — /9J.
XX (къ § 527).
Кроме методы Ньютона—Фурье, на практике очень удобною,
и даже часто более удобною, при вычислены корней численныхъ
уравнешй высокихъ степеней, оказывается метода Грэффе (Graffe),
подробно разработанная и поясненная примерами въ „Лекщяхъ о
приближенныхъ вычисленшхъ" А. Н. Крылова, СПБ., 1911. Эта
метода замечательна еще темъ, что она применима и къ вычисле-
Hiro мнимыхъ корней уравнешя.
XXI (къ § 529).
Неприводимый случай (casus irreductibilis) уравнещя 3-ей
степени получилъ свое назваше отъ того, что вещественные
корни кубическаго уравнешя не мог^тъ быть представлены веще-
вещественными радикалами. Легко показать, что если бы мы пожелали
изобразить кубичесюе корни, входяшде въ формулу Тартал1а, при
Л = -^j + \ < 0, въ виде A-\-Bi, т. е. отделить вещественную
часть отъ мнимой, то для определешя чиселъ А и В пришли бы
опять къ уравнешю 3-ей степени съ 3-мя вещественными корнями,
т. е. къ уравненш того же вида, какъ и данное. Действительно,
полагая
40
626 ПРИМ-6ЧАН1Я КЪ V-ОЙ КНИГЕ.
и припоминая, что произведете этихъ кубическихъ корней должно
быть равно — 4г-, находимъ
о
(А + Вг)(А - Bi) = Л* + № = - 4т,
- у + г/^1 = А» - ЗАВ2 + г(ЗА^В - В»),
т. е.
а замъняя В2 его выражешемъ — (А2 + 4") > получаемъ для опре-
дълешя ^4 уравнен1е
дискриминантъ котораго равенъ
4з
Доказательство невозможности изобразить вещественными радика-
радикалами корни неприводимаго уравнешя 3-ей степени съ тремя веще-
вещественными корнями и рацюнальными коэффищентами можно найти
у Вебера и Вельштейна, т. I, § 102.
XXII (къ § 544).
Доказательство невозможности алгебраическаго ръшешя об-
обща г о уравнешя выше 4-ой степени, впервые данное Руффини въ
мало распространенномъ мемуары, цитируемомъ Чезаро, было за-
тбмъ дано Абелемъ въ мемуаръ1, вошедшемъ теперь въ I томъ
полнаго собрашя сочинешй, независимо отъ Руффини, работа кото-
раго Абелю не была извъттна. Относительно теоремы Руффини-
Абеля не безполезно заметить следующее. Доказательство основано
на существенномъ предположены, что корни уравнешя, а следова-
следовательно и коэффищенты его независимы, иными словами, что
между ними не установлено никакихъ соотношешй, что и выра-
выражается терминомъ „общее алгебраическое уравнение". Истинный
смыслъ этой теоремы состоитъ въ томъ, что не существуетъ такой
явной алгебраической функцш, которая выражала бы корень любого
алгебраическаго уравнешя степени выше 4-ой, какъ функщю его
коэффищентовъ. Но изъ нея вовсе не слъ\п.уетъ, что не существуетъ
уравнешй выше 4-ой степени, разрЪшимыхъ въ радикалахъ. Напро-
тивъ, известны ц-влые классы уравнешй высшихъ степеней, разръ-
шимыхъ въ радикалахъ; npocrtfiiuifi классъ такихъ уравненШ со-
ПРИМЪЧАНШ КЪ V-ОЙ КНИГЕ. 627
ставляютъ, такъ называемый, „уравнен!я дтэлешя круга", т. е. урав-
нешя вида
хР-1 + хР-2+ ... +х+1 =0,
гдт> р простое число.
Къ числу уравнешй, разрЪшимыхъ въ радикалахъ, принадле-
принадлежать, такъ называемый, Абелевы уравнения, которымъ посвященъ
мемуаръ Абеля въ I томт» собран!я его сочиненШ, № XI, и мнопя
друпя. Во всЬхъ такихъ случаяхъ возможность алгебраическаго ръ-
шен1я обусловлена некоторыми зависимостями, a priori устанавли-
устанавливаемыми, между корнями уравнешя. Такъ напримЪръ, въ уравне-
Н1яхъ дт>лен1я круга, вс% корни могутъ быть выражены степенями
одного изъ нихъ.
ЗПМЪЧЕННЫЯ ОПЕЧДТКИ.
Стран. Строка Напечатано Нужно читать
12 Ссылка на Вебера и Вельштейна въ выноск'Ь *) относится къ
приведенному въ строка 10 сн. выраженш.
42 3 св. (см. примъч. XV1I) (см. примъч. XVIU)
132 9 сн. о" °п
195 20 сн. n-f°° n=oo
log n log «
231 13 св.
п q n9
379 6-7 сн. производныхъ функщй произвольныхъ функщй
406 8 св. XVII (къ 282, t) XVII (къ § 282, f)
465 11 св. Пропущена ссылка на прим-Ьч. V.
497 16 сн. п — г *—1
п т
„ 15 сн. я — г i— 1
„ 4 сн. п т
„ 2 сн. п —г (дважды) г'—1
514 14 св. sp s 2
519 2 св. (а^а,) (а, aj)
519 7 св. (aj-ajf (а,--«/J
534 18 св. Въ формулъ^ посл^Ь Q пропущенъ знакъ =
Предметный указатель,
(Числа обозначаютъ страницы книги).
Ангармоническое отношение.
458. Неизменяемость его при линей-
линейной подстановке. 459. Уравнеше, ко-
которому удовлетворяютъ 6 ангарм.
отнош. 4 чиселъ. 525.
Аргументъ комплекснаго числа.
435. Аргументъ кватершона. 464.
Асимптотическое изображе-
Hie функщ'й. 339.
Бернулл1евы полиномы.366. Изо-
бражеше ихъ тригонометрическими
рядами. 369.
Бернулл1евы числа. 359. Произ-
Производящая функщя. 360. Изображеше
б. ч. безконечнымъ рядомъ. 510.
Бином1альный рядъ. 194. 334.
Вандермондъ. Определитель
Вандермонда. 15.
Векторы. 464. Сложеше и умно-
жеше. 465. Геометрическая интерпре-
тащя. 466. Произведете трехъ векто-
ровъ. 470. Теорема Гамильтона о вра-
щеши вектора около оси. 471.
Версоръ кватернюна. 464. Гео-
Геометрическая интерпретащя умножешя
версоровъ. 469.
Взаимные определители. 29. Тео-
Теорема о его минорахъ. 31. и объ ихъ
алгебр, дополнешяхъ. 35.
Взаимная форма данной квадра-
квадратичной формы. 64.
Гамма. Функшя Г. 221. (см. так-
также 349). Формула (Вейерштрасса)
для \/Г(х + 1). 222: для Г(х)Г(\ - х)
510; (Лежандра). для Г{х + ?). 223.
ИзслЪдоваше функцш Г. 313.
Гармоническое расположен1е 4
точекъ числовой плоскости. 459. По-
строеше 4-й гармонической точки.
460.
Гармонически рядъ. 154.
Гармоническ1я функши. 442.
Гессе. Функшя Гессе отъ данной
целой ф. 526. Корни ея мнимые,
когда корни целой функцш вещест-
вещественные и неравные. 528. Геометрич.
значеше функцш Гессе для куби-
кубической. 532. для биквадратичной функ-
функцш. 535.
Гиперболическ1я функщи (ги-
перболическШ синусъ, косинусъ и т.д.).
449.
Гиперболическая амплитуда.
450.
Главные элементы определи-
определителя. 7.
Границы, верхняя и нижняя чи-
числового ансамбля. 146. Гр. функщи
въ данномъ интервале. 247.
Двойные ряды. 208. Преобразова-
Hie Клаузена. 211. Примеры. 215—218.
Двузначны я функщи корней ал-
гебраическаго уравнешя и ой степени.
519. Въ случае п > 4 никакая другая
функщя не имеетъ двузначной сте-
степени, между темъ, какъ при п й 4
существуютъ и друпя функщи, обла-
дакищя этимъ свойствомъ, на чемъ и
основана возможность решешя этихъ
уравнешй въ радикалахъ. 521, 522.
Диполярныя координаты. 454.
Дискриминантъ я чиселъ. 27.
Его выражеще въ элем. симм. функ-
щяхъ. 515, 516.
Дискриминантъ алгебраич. урав-
уравнешя. 500.
630
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Дискриминантъ квадратич. фор-
формы. 64. Д. какъ HHBapiaHTb. 70.
Дополнен1е, обыкновенное и ал-
алгебраическое, минора опред-Ьли-
теля. 10.
ЗнакоперемЪнныя функцш кор-
корней алгебр, уравнешя. 518.
ЗнакоперемЪнныя числа (Грас-
сманна). 463.
Изодинамическ1е центры тре-
треугольника. 461. Ихъ соотношеше съ
функщею Гессе. 532.
Инвар1анты алгебр, формы. 68.
Квадратичная и бинарная кубическая
форма не имЪетъ абсолюта. инвар1-
анта (а сл-Ьдоват. только одинъ обык-
обыкновенный инвар1антъ). 70. (см. тоже
геометрич. соображешя 523). Квадра-
Квадратичный инвар, бинарной формы четной
степени. 524. Ортогональные инварн
анты. 72. Вычислеше инвар1антовъ
522, способъ Альфена. 536.
Интерполирован1е.351. Интер-
полящонныя функцш. 352. Формула
Лагранжа. 353. форм. Ньютона. 353.
Ирраидональныя числа. Ихъ
опред4леше раздълешемъ всЬхъ рац.
чиселъ на два класса. 109. Равенство
и неравенство ир. ч. 110. Сложеше,
вычиташе, умножеше и д-Ьлеше.
114-118.
Исключен1е. 481.
Каноническ1я выражешя алгебр,
формъ. 73. бинарныхъ формъ. 83—84.
Законъ инерши. 78.
Квадратные корни. Ихъ вычи-
слеше. 195.
Квадратичныя формы. 64. Не-
Неприводимость. 66. Свойство дискри-
дискриминанта при линейн. преобразов. Зна-
чеше его ранга. 67. Форма, взаимная
данной. 64; она равна квадрату
линейн. ф., если данная приводима. 68.
Положительныя квадр. формы. 82.
Необходимое и достат. yoioeie чтобы
квадр. ф. была положительною. 82.
Кватерншны. 462. Скалярная и
вектор1альная часть. 464. Кват. еди-
единица. 464. Модуль, версоръ, ось, ар-
гументъ кватернюна. Сопряженные
кватерн. 464. Умножеше. 467. Дзле-
Hie кватернюновъ. 468.
Комплексны я числа. 433. Геоме-
Геометрическое значен1е, тригонометричес-
тригонометрическое представлеше. 434. Геометричес-
Геометрическая интерпретащя сложешя, вычита-
н\я, умножен1я и дъмешя. 435. Воз-
BbiuieHie въ степень. Формула Му-
авра. 437.
Континуантъ. 20. Связь съ не-
непрерывными дробями. 20. Число чле-
новъ континуанта и-го порядка. 22.
Координаты криволинейныя. 454.
Корни алгебраич. уравнешя съ
веществ, коэффиц. Теорема Ролля. 540.
Правила Декарта для опред'Ьл. числа
положит, корней урав. 540. Теорема
Лагерра о числ-fe корней, превыша-
ющихъ данное число. 544. Теорема
Бюдана о числ'Ь корней въ данномъ
интервалъ. 544. Теорема Штурма. 552.
Необход, и дост. услов1е веществен-
вещественности всъхъ корней. 560. Корни, об-
щхе двумъ уравнешямъ. 496. Число
ихъ. 499. Кратные корни уравне-
уравнешя. 500.
Корни изъ единицы. 437.
Косой симметрическ1й опре-
дълитель. 37. Онъ равенъ нулю, если
его порядокъ число нечетное. 38. и
квадрату ращон. выражешя въ его
элементахъ, если порядокъ его четное
число. 40.
Крамеръ. Правило Кр — а для
ръшешя системъ линейн. уравн. 43.
Круговыя подстановки. 3.
Круговыя (тригонометр.) функ-
функцш, опред'Ьляемыя степенными ря-
рядами. 447.
Куммеръ. Теорема К. о сходи-
сходимости ряцовъ. 173.
Ламбертъ. Рядъ Л—а. 215—16.
Примкнете преобраз. Клаузена. 216—
17. Асимптотическое вычислен!е. 350.
Линейны я подстановки въ комп-
комплексной перемън. Геометрич. значе-
Hie. 457. Двойныя точки. 459.
Линейныя преобра зовашя
(однородныя). 56. Определитель си-
системы лин. формъ при лин. преобр.
умножается на модуль преобраз. 58.
Посл'Ьдоват. примънеше нъхколькихъ
линейныхъ преобраз. 58. Ортогональ-
ныя преобр. 58. Построеше ортог.
1 преобр. 60. Формулы Эйлера. 62—63.
Линейныя уравнешя и системы
такихъ ур. 42. Правило Крамера. 43.
Теорема Руше. 45.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
631
Линейны я формы. 50. Независи-
Независимость. 54.
Логариемы. Вычислеше нату-
ральныхъ лог. 190. и обыкновенныхъ
логар. 191.
Логариемическ1й рядъ. 157.
Логариемъ, какъ фуикшя ком-
комплексной перем. 452. ;
Маклоренъ. Рядъ М. 328. Фор-i
мула суммировашя. 364.
Матрисса. 5. Умножеше мат-
риссъ. 22. Теорема Бине о произве- ;
денш 2-хъ матр. 23. Главные ми-
миноры въ квадрате м. 25.
Maxima и Minima (абсолют, и
относит.) 290, функщй несколькихъ
перемънныхъ. 382.
Миноры определителя. 10. Со-
Сопряженные, главные, дополнительные
миноры, алгебр, доп. минора. 10 Раз-
ложеше определителя по минорамъ. 12.
Модуль комплекснаго числа. 435.
м. кватернюна. 464.
Многозначныя функши корней
алгебр уравнешя. 51S.
Непрерывность ф.однэй перем.
255. Равномерная непрерывность (те-
(теорема Кантора). 266. Неирерывность
функ. несколькихъ перемен. 374.
Неприводимость квацр. фор. 66.
Обратная функщя относительно
данной 241. Теорема объ ея произ-
производной. 272.
Обращеше (преобразоваше вза-
взаимными рад. вект.). 458.
Обращен1е въ перестановке. 1.
Однородныя функщй. 378. Те-
Теорема Эйлера. 378.
Ортогональный определитель.
59, Теорема объ алгебр, дополн. его
элементовъ. 59.
Ортогональны я преобразовашя.
58. Формулы Эйлера. Ихъ геомегрич.
значеше. 63.
Ось кватернюна. 464.
Перестановки четныя и нечет-
ныя. 1. Число тЪхъ и другихъ одина-
одинаково. 4.
Пересечете, точки пересечешя
двухъ алгеб. кривыхъ. 488. '
Подстановки. 2. четныя и не-
четныя. 4. Разложеше подст. на циклы,
круговыя подстан. 3. Разложеше чет-
четной подст. на циклы изъ 3 элемеа-
товъ. 4.
Показательная функщя, опре-
определяемая степеннымъ рядомъ. 446.
Порядокъ определителя. 5.
Пределъ. 118. Основныя теоремы
о пределахъ. 123 — 135. Примеры
135—145. Предельныя значешя функ-
функщй. 298. Теорема Лопиталя. 299. Пред.
комплексной переменной. 438. Пре-
Пределы числового ансамбля. 145. ВсякШ
конечный ансамбль безконечнаго мно-
множества чиселъ имеетъ пределъ. 149.
НаименьшШ и наибольшей изъ преде-
ловъ ансамбля. 150. Пределы неопре-
неопределенности функ. справа и слева. 254.
Принципъ неизменности пра-
вилъ счислешя. 462.
Приращен1е, отношеше прира-
щешй и его связь съ производною.
Теоремы Коши и Лагранжа. 293—294.
Произведен1я, безконечныя. 219.
Теоремы о сходимости. 219—220.
Производная (справа и слева)
отъ/(л-). 269. Геометрическое значе-
Hie. 282. Частныя производныя. Пеге-
мена порядка дифференцирован1и.
375-376. Производная сложной функ-
ц!и. 376.
Псевдо-симметрическ1й опре-
определитель. 37 — 40. Если главные его
элементы равны 1, то опред. равенъ
сумме квадратовъ. 41.
Разрывы непрерывности A-го
и 2-го рода) функцш/(.г). 260. Разде-
леше функщй съ безконеч. числомъ
разрывовъ на пунктирно и вполне
разрывныя ф. 262. Непрерывная ф.
отъ разрывной можетъ быть непре-
непрерывною. 262. Сумма безкон. числа
непрерыв. ф. можетъ не быть непре-
непрерывною. 263.
Рангъ матриссы. 9—10 и 55.
Рацшнальныя функши. Разло-
жеше ихъ на простейцдя дроби. 503.
Результантъ двухъ цел. функ-
ш'й. 481. Способъ Эйлера для его
вычисл. 483. Метода Сильвестра.
484. Метода Безу. 485. Результантъ
изобаренъ. 487. Приложеше къ
опреде.ч. точекъ пересеч. двухъ алгеб.
кривыхъ. 488.
Решен!е численныхъ алгеб. урав-
632
предметный укАзатель.
ненШ съ целыми коэффиц. 561. Пре-
Пределы корней. 562. Вычислеше ц-Ь-
лыхъ. 563. и ращональн. корней. 565.
Вычислеше несоизм. корней по спо-
способу Ньютона-Фурье. 569. Геометрич.
интерпретащя. 572.
Руффини. Функшя Р—и для дан-
данной целой ф —и. 543.
Ряды (вещественные), сходящдеся,
расходяыцеся, неопределенные. 152.
ОбщШ признакъ сходимости. 159. Те-
Теорема о сходящихся рядахъ. 161-165.
Сравнеше рядовъ съ положительны-
положительными членами, сильнейшая или слабЪй-
шая сходимость и расходимость. 166.
Для всякаго ряда можно найти другой
слабее сходящ. или расход, рядъ. 167.
Специальные признаки сходимости.
170—181. Перемена порядка членовъ
ряда. 196. Абсолют, и простая сходи-
сходимость и расходимость. 197. Сумма абс.
сход, ряда не зависитъ отъ порядка
членовъ. 201. Сложеше и умножеше
сход, рядовъ. 204.
Ряды съ комплексными членами.
438. Абсолютная сходимость. 440.
Ряды функций. 315. Равномерная
сходимость; примеры неравномерной
сходимости. 316. Сумма равномерно-
сходящагося ряда непрерывн. ф. сама
непрерывна. 321. Теорема о почлен-
номъ дифференцированш ряда ф. 321.
Симметрически определит. 37.
Симметрическая функщя. 511,
элементарная. 511. Формулы Жирара
и Варинга. 512. Всякая целая сим. ф.
есть целая рац. ф. отъ элементарныхъ
симм. ф-й. 513.
Скаляръ. 464.
Сопряженные миноры опреде-
определителя. 10.
Степенные ряды, вещественные.
324. Рад1усъ сходимости. 324. Теорема
Коши Адамара. 326. Производная сте-
пен. ряда. 327. Непрерывность 342—
345. Степенные ряды съ комплексною
переменною и компл. коэффищентами.
444. Круги сходимости. 444. Единст-
Единственность разложешя въ степей, рядъ
445. Теорема Абеля о суммЬ ряда на
окружности круга сходимости. 446.
Стирлингъ, фопмула С —а. 193
365.
Суммирован!е, формула суммир.
Эйлера. 362. Маклорена. 364.
Тензоръ (Модуль) кватернюна.
464.
Транспозишя (перестановка 2-хъ
элементовъ). 3.
Трансцендентныя функцш. 446.
Тэйлоръ, рядъ Т-а. 328. Недо-
Недостаточность его сходимости для закон-
законности разложешя ф — и. 330. Оста-
Остаточный членъ по Лагранжу и Коши.
329. Приложеше къ численнымъ ря-
дамъ. 335.
Уравнешя, алгебраичесмя. 481.
Теорема Даламбера о существова-
существовании корня. 491. Уравнеше и-ой сте-
степени имеетъ п корней. 494. Куби-
Кубическое уравн. 579. Уравнеше 4-ой
степени 582. Методы Кейли и Ла-
гранжа для рЪшешя уравн. 2, 3 и 4
степени. 583, 586. Теорема Руффини
объ уравненш 5-ой степени. 602.
Фибоначчи, рядъ Ф—и. 21.
Функцш отъ одной переменной.
241. Верхняя и нижняя границы. 246.
Теорема Вейерштрасса. 249. Пределы
неопределенности. 254. Непрерыв-
Непрерывность. 25э. Разрывы 1-го и 2-го рода.
260. Теоремы о непрерывныхъ функ-
щ'яхъ. 263 — 268. Функцш отъ несколь-
кихъ переменныхъ. Непрерывность.
374. Функцш отъ комплекс, перемен-
переменной. 441.
Циклъ. 2.
Циркулянтъ. 27.
Эйлерова постоянная. 155.
Эйлеровы числа. 361. Произво-
Производящая функщя. 361. Теорема Силь-
Сильвестра. 362.
Эквигармоническое положе-
Hie 4-хъ точекъ на числовой плос-
плоскости. 459. Построеше 4-ой точки. 460.
Якоб1ева функщя данной целой
функцш. 529. Ея выражешя для ку-
кубической. 531. и для биквадратичной
функщй. 534.