/
Текст
Екнезто Сезнро
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА
И ИСЧИСЛЕНІЯ БЕЗКОНЕЧНО МАЛЫМЪ
Зрнесто Чезпро
ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА ВЪ НЕАПОЛЬ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
Н71ГЕБРНИЧЕСКНГО АНАЛИЗА
И ИСЧИСЛЕНІЯ БЕЗКОНЕЧНО МАЛЫМЪ
СЪ МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ПРИМѢРАМИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Переводъ съ нѣмецкаго съ примѣчаніями и дополненіями профессора
К. Н. ПОССЕ
СЪ 28 ЧЕРТЕЖАМИ
Одесса 1913
амши (ѣл
пя&ѵящаетя
чнии і/ъ&микъ
Ѵгоккеіі^ зот іиіен
ег іаііепез ѵісіеп.
Оегез /Іеіпіп^ег ег
і еѵіуі тог§епзк]аег
гепеге епіі зпееп
/іпеге епН Іи/іеп;
теп зіегкеге епЛ ѵегеіеп
зот <1е ѵеіег игіеп зкааіег
о§ Ьеіузег шіеп зігааіег.
]ЗІоггіз(]егпе 7}]оггізоі].
Предисловіе автора къ нѣмецкому изданію.
Важнѣйшею вѣтвью математическихъ наукъ, безъ сомнѣнія,
можно считать ту, которая, пользуясь возможностью увеличивать и
уменьшать по произволу числа, и принимая во вниманіе существу-
ющія между ними зависимости, устанавливаетъ систему аналити-
ческихъ пріемовъ, примѣняемыхъ, какъ въ. геометрическихъ изслѣдо-
ваніяхъ, такъ и при изученіи явленій природы. Эта вѣтвь носитъ
названіе Анализа безконечно-малыхъ. Въ настоящей книгѣ
(предназначавшейся первоначально исключительно для моихъ уче-
никовъ) она и излагается элементарнымъ способомъ на твердой
основѣ Алгебраическаго Анализа, начала котораго я сперва и
сообщаю, опираясь на параллельно читаемый курсъ Аналитической
Геометріи.
Что касается принциповъ, которымъ въ моемъ преподаваніи я
придаю меньше значенія, чѣмъ приложеніямъ ихъ, то читатель мо-
жетъ подробнѣе ихъ изучить по превосходнымъ руководствамъ дру-
гихъ ученыхъ: ЬірзсНііх, Біпі, Негшііе, ХѴеЬег, Зіоіг, Ое-
поссЬі, Реапо, Таппегу, )огбап, б'Агсаіз, Аггеіа и другихъ.
Я же стараюсь вести читателя быстрымъ и вѣрнымъ путемъ къ
обильной жатвѣ аналитическихъ и геометрическихъ фактовъ.
Я очень благодаренъ издателю, Б. Тейбнеру, за лестное для
меня предложеніе разрѣшить нѣмецкій переводъ моей книги. Вмѣстѣ
съ тѣмъ считаю долгомъ публично выразить мою живѣйшую при-
знательность моему уважаемому коллегѣ профессору университета
въ Грейфсвальдѣ *) Герхардту Ковалевскому за превосходное
выполненіе перевода.
:) Впослѣдствіи въ Боннѣ.
Ред.
VIII
ПРЕДИСЛОВІЕ КЪ НѢМЕЦКОМУ ИЗДАНІЮ.
Я надѣюсь, что мои и его труды 'будутъ вознаграждены
благосклоннымъ отношеніемъ къ этой книгѣ со стороны нѣмецкаго
юношества, которому она исключительно предназначается. Мы пред-
лагаемъ ему этотъ учебникъ, какъ собраніе задачъ для упражненій,
на фонѣ изложенія (хотя и не вполнѣ исчерпывающаго) глав-
нѣйшихъ частей Алгебраическаго Анализа и Анализа безконечно
малыхъ.
Э-. Чезаро.
Отъ редактора русскаго перевода.
Учебникъ Анализа бывшаго профессора Неаполитанскаго Уни-
верситета Э. Чезаро (Е. Сезаго Т 1906) появился въ печати въ
1904 году, въ нѣмецкомъ переводѣ съ рукописи автора, сдѣлан-
номъ профессоромъ Университета въ Грейфсвальдѣ, Г. Ковалев-
скимъ. Эта книга представляетъ собою соединеніе двухъ руко-
водствъ того-же автора, изданныхъ на итальянскомъ языкѣ, съ
нѣкоторыми измѣненіями и дополненіями, а именно: Согзо бі апаіізі
а1§еЬгісе“ (1894 г.) и „Еіетепіі сіі саісоіо іпііпііезітаіе" (1899 г.).
Черезъ годъ по выходѣ въ свѣтъ нѣмецкаго изданія вышло второе
изданіе „Еіетепіі" на итальянскомъ языкѣ, представляющее собою
почти буквальное воспроизведеніе нѣмецкаго, лишь дополненное
нѣсколькими новыми примѣрами. Публикуемое нами русское изда-
ніе есть обработанный переводъ съ нѣмецкаго, при чемъ приняты
во вниманіе и дополненія изъ второго изданія „Еіешёпіі".
По выходѣ въ свѣтъ перваго ихъ изданія извѣстный матема-
тикъ педагогъ Таннери (). Таппегу), вице-директоръ Парижской
Нормальной Школы, въ рецензіи, помѣщенной въ XXIII томѣ Виііеііп
дез зсіепсез таіЬёшаіідиез еі азігопотідиез за 1899 г., между про-
чимъ, говоритъ:
„Книга Э. Чезаро окажетъ драгоцѣнныя услуги учащимся.
Принципы изложены въ ней строго, пріемы вычисленія тщательно
разъяснены. Читатель можетъ ихъ усвоить на многочисленныхъ
примѣрахъ и упражненіяхъ, помѣщенныхъ въ книгѣ. Эти упраж-
ненія, по способу ихъ обработки, представляютъ собою образцы
изящества, и не могутъ не возбудить у читателя научной любо-
знательности и интереса къ научнымъ работамъ”. Отъ читателя
книги Чезаро не требуется иныхъ свѣдѣній, кромѣ обыкновеннаго
курса Математики нашей средней школы и курса Аналитической
Геометріи, въ томъ объемѣ, въ какомъ она обыкновенно читается
въ нашихъ Университетахъ. Однако, мѣстами весьма сжатое изло-
женіе могло бы затруднить читателя, обладающаго среднею под-
готовкою, а потому, издавая русскій переводъ, мы сочли полезнымъ
снабдить его различными примѣчаніями и дополненіями, имѣющими
цѣлью сдѣлать книгу по возможности общедоступною.
Особое вниманіе читателя мы обращаемъ на упражненія, ко-
торыми книга весьма щедро надѣлена. Самъ авторъ, какъ видно
изъ его предисловія, придаетъ имъ главное значеніе. Указывая въ
главныхъ чертахъ ходъ рѣшенія, онъ тѣмъ не менѣе оставляетъ,
читателю еще довольно мѣста для самостоятельной работы, а со-
общая въ этихъ упражненіяхъ весьма интересные и важные резуль-
таты, онъ быстрымъ путемъ вводитъ читателя въ различныя отрасли
Анализа. Упражненія въ книгѣ Чезаро составляютъ одно органи-
ческое цѣлое съ теоретическою частью, дополняя и разъясняя по-
слѣднюю.
Объемъ книги, самъ по себѣ довольно большой, еще увели-
чился отъ присоединенія вышеупомянутыхъ примѣчаній и дополне-
ній; поэтому мы рѣшили издать книгу въ двухъ томахъ. Первый
обнимаетъ собою первыя пять книгъ (главъ) оригинала и пред-
ставляетъ собою какъ бы введеніе въ Анализъ безконечно ма-
лыхъ; второй будетъ въ себѣ заключать собственно Диффереціаль-
ное и Интегральное Исчисленія съ ихъ приложеніями къ Гео-
метріи.
Римскія цифры (I, II, и т. д.), встрѣчающіяся въ текстѣ, отсы-
лаютъ читателя къ тѣмъ примѣчаніямъ, которыя мы нашли болѣе
удобнымъ выдѣлить въ особые отдѣлы послѣ каждой книги ори-
гинала. Мелкія редакціонныя примѣчанія помѣщены въ видѣ выно-
сокъ подъ знаками *); знаки 1), -) и т. д. относятся къ подстроч-
нымъ примѣчаніямъ, принадлежащимъ автору.
Ссылки автора на иностранныя руководства по элементар-
ной Математикѣ, замѣнены вездѣ, гдѣ было возможно, ссылками
на русскія руководства, оригинальныя или переводныя.
Въ работѣ моей, какъ редактора, дѣятельную и весьма цѣн-
ную помощь мнѣ оказывалъ Г. М. Фихтенгольцъ. На немъ лежалъ
отвѣтственный трудъ чтенія послѣдней, ревизіонной корректуры;
кромѣ того, я ему обязанъ многими, очень цѣнными замѣчаніями,
которыми я неоднократно пользовался, и за которыя приношу ему
мою глубокую благодарность.
X. Лоссе.
ОГЛАВЛЕНІЕ.
СТР.
Предисловіе автора .........................................VII—VIII
Отъ редактора...............................................IX—XI
Книга первая: Теорія опредѣлителей. Линейныя и ква-
дратичныя формы.
1. Теорія опредѣлителей...............................1—42
Подстановки......................................1— 5
Матриссы и опредѣлители .........................5—10
Миноры............................................10—13
Вычисленіе опредѣлителей..........................14—22
Умноженіе матриссъ................................22—29
Взаимные опредѣлители.............................29—37
Свойства нѣкоторыхъ опредѣлителей особаго вида....37—42
2. Линейны я формы..................................42— 63
Линейныя уравненія...............................42— 50
Системы линейныхъ формъ..........................50— 56
Линейныя преобразованія...........................56—63
3. Квадратичны я формы..............................64— 86
Основныя понятія изъ теоріи квадратичныхъ формъ .... 64— 68
Инваріантныя свойства............................68— 73
Каноническія выраженія формъ.....................73— 86
4. Примѣчаніякъпервойкнигѣ..........................87—105
Книга вторая: Ирраціональныя числа. Предѣлы. Безко-
нечные ряды и произведенія.
1. Ирраціональны ячисла.............................109—118
Основныя понятія.................................109—114
Дѣйствія надъ ирраціональными числами ............114—118
2. Т е о р і я п р е д ѣ л о в ъ....................118—152
Стремленіе къ предѣлу............................118—123
Основныя теоремы.................................123—135
СТР.
Упражненія на вычисленіе предѣловъ.............135—145
Границы и предѣлы числовыхъ ансамблей..........145—152
3. Теоріярядовъ.................................. 152—223
Основныя опредѣленія и примѣры ... ..........152—159
Основныя теоремы...............................159—165
Сравненіе рядовъ съ положительными членами.....166—169
Спеціальные признаки сходимости ...............170—181
Упражненія и приложенія . . ..................181—196
Вліяніе перемѣны порядка членовъ на характеръ ряда . . . 196—204
Дѣйствія надъ рядами ................ ... 204—208
Двойные ряды........................... 208 — 218
Безконечныя произведенія.......................219—223
4. Примѣчаніяковторойкнигѣ....................... 224—238
Книга третья: Теорія функцій.
1. Функціиотъоднойперсмѣнной...................... 241—268
Основныя понятія . . . •.................. . . 241—249
Стремленіе къ предѣлу ...................... 249—254
Непрерывность . ............................... 255—268
2. Теорія производныхъ .......................... 269—314
Разысканіе производныхъ ...................... 269—281
Свойства производныхъ ....................... 282—298
Дополненія къ теоріи предѣловъ ................ 298—307
Изслѣдованіе функцій.......................... 307—314
3. Разложенія въ ряды............................ 315—373
Ряды функцій...................................315—323
Разложенія въ степенные ряды ... .......... 324—339
Асимптотическія изображенія степенныхъ рядовъ. 339—350
Интерполяціонныя формулы ...................... 351—357
Бернулліевы и Эйлеровы числа................ 357—373
4. Функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ. . . 374—395
Основныя понятія и разысканія производныхъ.... 374—381
Разложенія въ ряды. Махіпіа и тіпіта........... 381—395
5. Примѣчанія къ третьей книгѣ.................... 396—429
Книга четвертая: Комплексныя числа и кватерніоны.
1. Комплексныячисла.............................. 433—461
Основныя понятія ......................... • . 433—438
Предѣлы, ряды и функціи........................ 438—446
Важныя трансцендентныя функціи................. 446—453
Геометрическія упражненія...................... 454—461
2. Кватерніоны .................................. 462—472
3. Примѣчаніякъчетвертойкнигѣ..................... 473—477
СТР.
Книга пятая: Алгебраическія уравненія.
1. Существованіе и счетъ корней................... 481 -561
Исключеніе (Еіітаііоп).......................... 481—488
Существованіе корней............................ 488—496
Общіе корни двухъ уравненій и кратные корни . ... 496—501
Упражненія и приложенія ...................... 502—511
Симметрическія функціи и многозначныя функціи....511—522
Вычисленіе инваріантовъ и другія приложенія..... 522—538
Счетъ корней.................................... 538—551
Теорема Штурма.................................. 552—561
2. Рѣшеніе уравненій............................... 561—603
Численное рѣшеніе............................... 561—568
Приближенное вычисленіе корней.................. 568—578
Алгебраическое рѣшеніе......................... 579—594
Теорема Руффини............................... 594—603
3. Примѣчаніякъпятойкнигѣ............................ 604—627
Предметный указатель............................ 629—632
КНИГИ ПЕРВНЯ
КНИГИ ПЕРВЯЯ.
Теорія опредѣлителей. Пикейныя и квадратичныя
формы.
ТЕОРІЯ ОПРЕДѢЛИТЕЛЕЙ.
Подстановки.
1. Въ элементарной алгебрѣ разсматриваются такъ называ-
емыя перестановки (Регтиіаііоп) *) и доказывается, что число
всѣхъ перестановокъ, которыя можно образовать изъ п элементовъ,
равно
«1 = 1.2... іі,
т. е. произведенію п первыхъ цѣлыхъ чиселъ. Одну изъ переста-
новокъ, выбранную по произволу, въ отличіе отъ всѣхъ другихъ
называютъ главною. Если въ другой перестановкѣ какіе-нибудь
два элемента расположены не въ томъ порядкѣ, въ какомъ они
находились въ главной, а въ обратномъ, то говорятъ, что эти эле-
менты представляютъ обращеніе (безпорядокъ, нарушеніе порядка,
инверсію) (Іпѵегзіоп) независимо отъ числа элементовъ, которыми
они раздѣляются въ сопоставляемыхъ перестановкахъ. Наибольшее
число обращеній встрѣчается въ такъ называемой обратной пере-
становкѣ, въ которой всѣ элементы главной перестановки написаны
въ обратномъ порядкѣ. Дѣйствительно, въ этомъ случаѣ каждая пара
элементовъ представляетъ обращеніе; число ихъ равно 1).
Чтобы опредѣлить число обращеній въ любой перестановкѣ, надо
сосчитать, сколько обращеній представляетъ каждый ея элементъ
*) См. Веберъ и Вельштейнъ „Энциклопедія Элементарной Мате-
матики". Переводъ съ нѣм. подъ ред. прив.-доц. В. Кагана. Т. I, (второе
изданіе, 1911), стр. 193. Въ дальнѣйшихъ ссылкахъ на эту книгу мы будемъ
ее называть просто .Веберъ и Вельштейнъ".
при сопоставленіи съ элементами, слѣдующими за нимъ, и сложить
всѣ полученныя такимъ образомъ числа. Въ дальнѣйшемъ изложеніи
мы будемъ обозначать элементы перестановокъ первыми п цѣлыми
числами и примемъ перестановку 12 3... п за главную. Тогда
число обращеній, которыя можетъ дать какой-нибудь элементъ, —
напримѣръ, і — равно числу чиселъ, меньшихъ і и слѣдующихъ за
нимъ (т. е. написанныхъ вправо отъ него). Перестановка назы-
вается четною или перваго класса, если въ ней содержится четное
число обращеній, и нечетною или второго класса, если въ ней не-
четное число обращеній. Такъ, напримѣръ, перестановка 465187293
четная, потому что въ ней имѣется 3 -|- 4 3 + 3 + 2 -|- 1 =16
обращеній.
2. Когда какая-нибудь перестановка раздѣлена на двѣ части,
то, въ виду дальнѣйшихъ приложеній, полезно знать, сколько обра-
щеній представляютъ элементы первой части съ элементами второй.
Положимъ, что г'і, г2, г'з, ..., іѵ обозначаютъ элементы первой ча-
сти, расположенные въ возрастающемъ порядкѣ. Элементъ іг мо-
жетъ представить обращеніе только съ элементами 1, 2, 3, ..., іт — 1;
изъ нихъ надо выкинуть тѣ, которые не входятъ во вторую часть,1
а такими будутъ элементы 4, г2, • • • 7г_і (входящіе въ первую часть).
Поэтому число обращеній, происходящихъ отъ одного элемента іг,
равно
іг — 1 — (г — 1) = іг - г,
а, слѣдовательно, число всѣхъ обращеній, образуемыхъ элементами
первой части съ элементами второй, равно
(Ч _ і) + (г-2 ~ 2) + ••• + (*„ - *) = Ч + Ч + • • + 4 - і ѵ (т + 1).
3. Операція, посредствомъ которой отъ одной перестановки
переходятъ къ другой, составленной изъ тѣхъ же элементовъ, назы-
ваютъ подстановкою или субституціей (ЗиЬзіііиііоп) (I). Чтобы
выполнить переходъ отъ одной перестановки къ другой, т. е. про-
извести данную подстановку, можно поступать слѣдующимъ обра-
зомъ. Сперва замѣнить элементъ а первой перестановки соотвѣт-
ствующимъ (см. примѣчаніе I) ему элементомъ второй; затѣмъ
элементъ первой перестановки — соотвѣтствующимъ ему элементомъ
у второй и т. д. Поступая такимъ образомъ, мы необходимо дойдемъ
до такого элемента А, которой надо будетъ замѣнить элементомъ а,
съ котораго начали. Такую цѣпь замѣщеній, въ которой послѣдній
элементъ замѣщается первымъ, называютъ цикломъ и обозначаютъ
символомъ (а/?у ... А) Если однимъ цикломъ еще не исчерпывается
переходъ отъ первоначальной перестановки къ новой, то беремъ
какой-нибудь элементъ а', еще не стоящій на требуемомъ мѣстѣ,
и съ него начинаемъ новый циклъ (а' (3' А'). Продолжая такимъ
образомъ до тѣхъ поръ, пока не остается ни одного элемента, не
поставленнаго на требуемое мѣсто, мы и выполнимъ данную под-
становку. Слѣдовательно, всякая подстановка распадается на нѣ-
сколько цикловъ (если не приводится къ одному циклу) и можетъ
быть изображена такъ:
(а^у ... Я) (а'/?"/' .. . /.') (а"@"у" ... Л")...
Такъ, напримѣръ,
/123456789',
(465187293) = (5 6 * * * * * * * 14) (267) (3589).
4. Подстановка, состоящая изъ одного цикла, называется круго-
вою или циклическою (гігкиіаге). Въ частности, когда циклъ состо-
итъ изъ двухъ только элементовъ, напримѣръ,
(14), онъ называется транспозиціей и рав-
носиленъ простому перемѣщенію его элемен-
товъ. Результатъ круговой подстановки, про-
изведенной надъ п элементами, можетъ быть
наглядно изображенъ слѣдующимъ образомъ.
Размѣстимъ элементы данной перестановки
по окружности круга въ данномъ порядкѣ
по опредѣленному направленію и въ равныхъ а
одинъ отъ другого разстояніяхъ. Затѣмъ по-
вернемъ кругъ въ обратномъ направленіи на
2.т ,
уголъ ; тогда на мѣста данныхъ элементовъ
И
Рис. 1.
станутъ новые въ требуемомъ порядкѣ (рис. 1).
5. Всякая подстановка разлагается на нѣсколько транс-
позицій. Дѣйствительно, всякая подстановка разлагается, какъ мы
видѣли, на нѣсколько круговыхъ. Легко видѣть, съ другой сто-
роны, что всякая круговая подстановка распадается на нѣсколько
транспозицій. Въ самомъ дѣлѣ, круговую подстановку (а^у...Я),
очевидно, можно выполнить, переставляя послѣдовательно элементъ
а съ каждымъ изъ остальныхъ, что и выражается формулою
(а/?-/ .../) = (ай (ау). .. (ал).
6. Классъ перестановки измѣняется при всякой транс-
позиціи. Эта теорема очевидна въ томъ случаѣ, когда транспони-
руются два смежныхъ элемента а и /?, потому что тогда либо
создается одно новое обращеніе (при а < /?), либо уничтожается
одно обращеніе (при а > ,9), и классъ перестановки, очевидно, мѣ-
няется въ обоихъ случаяхъ. Остается теперь только показать, что
любая транспозиція двухъ несмежныхъ элементовъ равносильна
нечетному числу транспозицій смежныхъ элементовъ. Положимъ,
что между а и находится ѵ промежуточныхъ элементовъ. Транс-
позицію (а @) можно произвести слѣдующимъ образомъ. Помѣстимъ
послѣдовательно а вправо отъ каждаго изъ ѵ промежуточныхъ эле-
ментовъ, потомъ перемѣстимъ а и /?, и, наконецъ, помѣщаемъ послѣ-
довательно /? влѣво отъ каждаго изъ ѵ промежуточныхъ элементовъ.
Результатъ, очевидно, получится тотъ же, какъ и отъ простой транс-
позиціи (а/?), но при этомъ мы производимъ, какъ видно, 2ѵ-(-1
транспозицій смежныхъ элементовъ, что и требовалось показать.
7. Легко видѣть, что число четныхъ перестановокъ изъ
п элементовъ равно числу нечетныхъ. Дѣйствительно, транс-
понируя два опредѣленныхъ элемента во всѣхъ п\ перестановкахъ
изъ п элементовъ, мы получимъ опять всѣ п\ перестановокъ, только
въ другомъ порядкѣ; но при этомъ всякая четная перестановка
дѣлается нечетною, и обратно. Слѣдовательно, число первыхъ пере-
становокъ необходимо должно быть равно числу вторыхъ.
8. Изъ § 6 слѣдуетъ, что всякая перестановка, къ, кото-
рой примѣняется нѣкоторая подстановка, измѣнитъ свой
классъ, либо сохранитъ прежній, смотря по тому, будетъ ли
число транспозицій, на которыя разлагается данная под-
становка, числомъ нечетнымъ или четнымъ. Отсюда слѣдуетъ,
что всякая подстановка равносильна либо только четному, либо только
нечетному числу транспозицій, ибо, въ противномъ случаѣ, она, бу-
дучи примѣнена къ перестановкѣ, преобразовала бы послѣднюю въ
такую, которая принадлежала бы, какъ къ классу четныхъ, такъ и къ
классу нечетныхъ перестановокъ. Это ведетъ къ раздѣленію самихъ
подстановокъ на четныя и нечетныя.
9. Разложеніе подстановокъ на циклы, помимо другихъ выгодъ,
представляетъ еще то преимущество, что позволяетъ непосредственно
видѣть, будетъ ли данная подстановка четною или нечетною. Дѣй-
ствительно, если данная подстановка, разлагаясь на ѵ цикловъ, со-
держитъ всего п элементовъ, и если число элементовъ въ г-омъ
циклѣ обозначимъ черезъ пг, то, на основаніи формулы § 5, нахо-
димъ, что подстановка равносильна
(«1 - 1) + («2 - !) 4-1- (»ѵ - 0 = « - V
транспозиціямъ *). Отсюда вытекаетъ слѣдующее заключеніе: под-
становка будетъ четною, если число цикловъ и число эле-
ментовъ во всѣхъ ея циклахъ оба четныя или оба нечетныя,
она будетъ нечетною — если одно изъ этихъ чиселъ четйое,
а другое нечетное. Напримѣръ, подстановка (1 4) (267) (3589)
четная, потому что число цикловъ 3 и число всѣхъ элементовъ 9 —
оба нечетныя (II).
10. Всякая четная подстановка разлагается на круго-
выя по три элемента въ каждой. Такъ какъ каждая четная под-
*) Потому что формула § 5 показываетъ, что число транспозицій, на
которыя разлагается циклъ, на единицу меньше числа элементовъ цикла.
становка разлагается на нѣсколько паръ транспозицій, то доста-
точно показать, что всякая пара транспозицій равносильна одной
или нѣсколькимъ круговымъ подстановкамъ по три элемента въ
каждой. Если транспозиціи имѣютъ одинъ общій элементъ, то непо-
средственно видно, что
(«,'?) (ау) = («,?у);
а на основаніи этого замѣчанія можно написать
(а <) (уй) = (а,8) (ау) (/а) (уй) = (а,3у) (уай),
и теорема доказана. Замѣтимъ, что, обратно, всякая подстановка,
разлагающаяся на нѣсколько круговыхъ подстановокъ по три эле-
мента въ каждой, будетъ четною, потому что каждая изъ соста
вляюіцихъ подстановокъ четная.
Матриссы и опредѣлители.
11. Прямоугольная схема
«и «12 «із • • • «1»
^21 «22 а23 . . • «2и
«31 «32 «зз • • а3п
ат1 «ти2 «тЗ 4 ’ атп
состоящая изъ т строкъ по п чиселъ въ каждой (или изъ п столб-
цовъ по т чиселъ въ каждомъ), называется матриссою. Различаютъ
матриссы квадратныя и прямоугольныя; въ первыхъ т = п, во
вторыхъ т ф п. Опредѣлителемъ (или детерминантомъ) назы-
ваютъ алгебраическое выраженіе, получаемое изъ квадратной ма-
триссы по закону, который мы сейчасъ укажемъ. Полагая
і ап аі2 ... а1п
р _ і «21 «22 • ' ’ а2п
! «яі а,л «яи
называютъ число п порядкомъ опредѣлителя О. Выраженіе этого
опредѣлителя получается слѣдующимъ образомъ. Составляемъ все-
возможныя произведенія по и элементовъ матриссы въ каждомъ
произведеніи, при чемъ въ каждое произведеніе входитъ только одинъ
элементъ изъ каждой строки и только одинъ элементъ изъ каждаго
столбца. Каждому изъ этихъ произведеній мы приписываемъ знакъ ф
или —, смотря по тому, принадлежатъ ли перестановки первыхъ
указателей (указателей строкъ) и вторыхъ указателей (указателей
столбцовъ), въ разсматриваемомъ произведеніи, къ одному классу
или къ разнымъ классамъ. Затѣмъ беремъ сумму всѣхъ полученныхъ
такимъ образомъ членовъ; эта сумма и будетъ искомымъ выраженіемъ
о'предѣлителя /). Иными словами, если г\, г2, ... іп и /2, •
изображаютъ любыя двѣ перестановки первыхъ п цѣлыхъ чиселъ,
то будемъ имѣть:
гдѣ г обозначаетъ число обращеній въ первой перестановкѣ, а 5 —
число обращеній во второй. Чтобы оправдать такое опредѣленіе *),
необходимо показать, что знакъ каждаго члена останется безъ измѣ-
ненія при измѣненіи порядка сомножителей (несмотря на претер-
пѣваемыя при этомъ измѣненія чиселъ г и 5). Условимся говорить,
что два числа будутъ одинаковой четности, если оба они чет-
ныя или оба нечетныя, и разной четности въ противномъ случаѣ.
Замѣтимъ теперь, что всякая подстановка, примѣненная къ буквамъ а,
влечетъ за собою таковую же для буквъ і и /, при чемъ, очевидно,
перестановки Л • • • іп и /іу2 • • -}п либо одновременно измѣнятъ
свой классъ, либо одновременно сохранятъ прежній. Если числа
, одинаковой ,
г и 5 до подстановки были-----------— четности то и послѣ под-
разной
становки они останутся таковыми-же. Поэтому, если г + $ до измѣ-
, четнымъ
ненія порядка сомножителей было числомъ ------------, то оно оста-
нечетнымъ
нется такимъ же и послѣ измѣненія этого порядка, и знакъ (— 1)8+г
останется безъ измѣненія (II).
12. На основаніи вышесказаннаго мы можемъ при вычисленіи
7) считать, что вторые, напримѣръ, значки расположены въ возра-
стающемъ порядкѣ (5 = 0) и писать
В = "У, ( — 1) аі1 I аіг 2 аі.і 3 • • • Яіпп'
Еще короче иногда пишутъ:
2? = Ч: «ц а22 лзз * * •
при чемъ подразумѣвается, что первые или вторые значки должны
быть переставлены всѣми возможными способами и каждый членъ
долженъ быть взятъ со знакомъ -|- или — , смотря по тому, будетъ ли
*) Т. е. доказать, что оно даетъ для опредѣлителя одно вполнѣ опре-
дѣленное выраженіе при данныхъ элементахъ и не содержитъ логическаго
противорѣчія.
соотвѣтствующая этому члену перестановка четной или нечетной.
Въ составъ опредѣлителя Д входятъ, между прочимъ, члены
Я11 Я22 а33 ' ' ' апп’ ( 1) Яи1 ап—1, 2 ап—2, 3 ’ ’ ‘ а1п~
Элементы, входящіе въ первое изъ этихъ произведеній, называются
главными или элементами главной діагонали; элементы второго
принадлежатъ второй діагонали. Число всѣхъ членовъ опредѣли-
теля и-го порядка равно п\ Половина ихъ войдетъ со знакомъ -ф,
другая половина со знакомъ —, какъ то слѣдуетъ изъ сказаннаго
въ §§ 1 и 7 *).
13. Примѣры. Выраженіе
а Ь I
= а(1 — Ьс
с (І [
есть опредѣлитель второго порядка. Въ приложеніяхъ часто встрѣчаются опре-
дѣлители третьяго порядка. При вычисленіи ихъ удобно пользоваться слѣ-
дующимъ правиломъ Саррюса (Заггиз) (фиг. 2 и 3).
Надо перемножить между собою элементы, стоящіе въ вершинахъ обоихъ
треугольниковъ фиг. 2, и прибавить къ суммѣ этихъ двухъ произведеній
произведеніе элементовъ главной діагонали; такимъ образомъ, получатся
положительные члены опредѣлителя (т. е. тѣ, которые надо взять со зна-
комъ +); отрицательные члены получаются аналогичнымъ образомъ изъ
фиг. 3:
(Лс)
^1 &2 Ф
С] 6^2
— "Н ^3^1 ^2 — — ^2^1 ^3 —
*) Въ примѣрахъ, вмѣсто того, чтобы обозначать элементы опредѣли-
теля одною буквою съ двумя значками, мы обозначаемъ ихъ разными буквами
съ однимъ значкомъ или вовсе безъ значковъ
Вѣрность этого правила вытекаетъ изъ того, что изъ шести перестано-
вокъ 123,231,312,321,213, 132 первыя три — четныя, а вторыя три —
нечетныя.
14. Изъ основного опредѣленія, даннаго въ § 11, непосред-
ственно вытекаютъ главныя свойства опредѣлителей (III). Положимъ,
что произведено нѣкоторое перемѣщеніе столбцовъ опредѣлителя,
вслѣдствіе чего опредѣлитель /9 превращается въ опредѣлитель
<7
В'^-
а.
• • • аВ,
а., .. . а.,
а
ма основаніи сказаннаго
теля /)', если въ суммѣ
въ § 12 мы получимъ значеніе опредѣли-
С = У - 1)' а а а- і . . . а, .
распространимъ суммированіе на всѣ возможныя перестановки пер-
выхъ значковъ. Съ другой стороны, мы получимъ значеніе опредѣ-
лителя И, если, расположивъ вторые значки въ данномъ порядкѣ
(представляющемъ 5 обращеній), переставимъ затѣмъ
всѣми возможными способами одни только первые значки, такъ что
Б = - 1)Г+Х Ч/. Ч • • • Ч - ( И’ 2Л( - 1)Г Ч.н • • %іп
т. е. О = (— 1)“. О' *). Итакъ, подстановка, примѣненная къ
нѣсколькимъ параллельнымъ рядамъ (перемѣщеніе однихъ
на мѣсто другихъ) не измѣняетъ абсолютной величины
опредѣлителя; она мѣняетъ лишь его знакъ, если она не-
четная, и не измѣняетъ ничего, если она четная. Въ част-
ности, можно транспонировать два параллельныхъ ряда, измѣнивъ
въ то же время знакъ опредѣлителя (IV),
15. Другое замѣчательное свойство опредѣлителей состоитъ
въ томъ, что при умноженіи всѣхъ элементовъ одного и
того же ряда на одно и то же число опредѣлитель умно-
жается на это же число. Дѣйствительно, всякій членъ раскрытаго
выраженія опредѣлителя содержитъ множителемъ одинъ и только
одинъ изъ тѣхъ элементовъ, которые умножаются на данное число к.
Ясно поэтому, что и все выраженіе умножится на это число к. Въ
частности, при к = — 1 находимъ, что пере-мѣна знака всѣхъ
*) Все сказанное о столбцахъ, очевидно, примѣнимо и къ строкамъ.
Въ дальнѣйшимъ столбцы или строки безразлично мы будемъ называть
параллельными рядами.
элементовъ одного и того же ряда измѣняетъ знакъ опре-
дѣлителя, не измѣняя его абсолютной величины.
16. Опредѣлитель, въ которомъ два параллельныхъ ряда
тождественны или эквивалентны, равенъ нулю. Два парал-
лельныхъ ряда называются эквивалентными, если соотвѣтственные
элементы ихъ пропорціональны. Умножая всѣ элементы одного изъ
этихъ рядовъ на коэффиціентъ пропорціональности мы сдѣлаемъ
эти ряды тождественными, при чемъ опредѣлитель 79 обратится въ кі).
Транспозиція двухъ тождественныхъ рядовъ, конечно, не измѣняетъ
значенія опредѣлителя кИ', а, съ другой стороны, мы знаемъ, что
всякая транспозиція измѣняетъ кі) въ —кі). Слѣдовательно,
кі) = — кі), и П = 0.
17. Разлагая элементы одного и того же ряда на нѣсколько
слагаемыхъ, можно представить опредѣлитель въ видѣ суммы нѣ-
сколькихъ опредѣлителей. Такъ, напримѣръ,
«1 + п а2 а:і «1 а., а,. а а*
+ 7 +
е1 + 7 О сз сі С2 «’з 7 с2
Это слѣдуетъ изъ того, что каждый членъ раскрытаго выраженія
опредѣлителя содержитъ одинъ и только одинъ изъ элементовъ,
разложенныхъ на слагаемыя (V).
Принимая во вниманіе сказанное въ предыдущемъ §, тотчасъ за-
ключаемъ, что значеніе опредѣлителя не измѣнится, если къ
элементамъ нѣкотораго ряда прибавимъ одинаковыя крат-
ныя соотвѣтственныхъ элементовъ параллельнаго ему ряда.
Напримѣръ,
аІ + та-л а-> ал \ «1 С->
Ь, + т Ь-л Ь., Ь., • --- Ь.> Ья ,
с, Т іпс-, с.> с-> г, с.> с-,
потому что
! тая а., а-л
тЬл Ь.> 1>.А = 0,
пг с.. с., ся
какъ имѣющій два эквивалентныхъ столбца.
18. Опредѣлители, получаемые изъ данной матриссы, когда
всѣми возможными способами извѣстное число строкъ комбини-
руемъ съ равнымъ ему числомъ столбцовъ, называются содержащи-
мися въ данной матриссѣ. Тѣ изъ этихъ опредѣлителей, которые
имѣютъ наивысшій порядокъ, называются старшими опредѣли-
телями, а всѣ другіе — младшими или, короче, минорами. Ран-
томъ матриссы называется наивысшій порядокъ содержащихся въ
ней опредѣлителей, отличныхъ отъ нуля. Такъ, напримѣръ, рангъ
матриссы
0 с — Ъ Ь — с
— с 0 а с — а ,
Ь —а 0 а — Ъ
въ которой не всѣ элементы равны нулю, равенъ двумъ потому
что, какъ легко убѣдиться непосредственнымъ вычисленіемъ (§ 13),
всѣ ея старшіе опредѣлители 3-го порядка равны нулю, а опредѣ-
лители второго порядка не равны нулю.
Миноры.
19. Разсмотримъ одинъ изъ миноровъ, содержащихся въ ма-
триссѣ опредѣлителя 22, — положимъ, слѣдующій:
Я'і./і Я’1Л Я'іУз • • • Я«1Л.
Я?з7і Я'аА Я/зУз * ’ '
е =
Если іі = у1( /2 =/2, іп = ]п, то миноръ называется главнымъ,
и главные его элементы принадлежатъ главной діагонали старшаго
опредѣлителя 22. Два минора называются сопряженными, если
указатели строкъ одного равны указателямъ столбцовъ другого,
и наоборотъ. Каждый главный миноръ сопряженъ самъ съ собою.
Въ частности каждый элементъ можно разсматривать, какъ миноръ
перваго порядка. Элементы ац и ау(- сопряжены одинъ съ другимъ;
главный элементъ ац сопряженъ самъ съ собою.
20. Миноръ можно себѣ представить полученнымъ изъ опре-
дѣлителя 2? черезъ опусканіе изъ послѣдняго извѣстнаго числа строкъ
и такого же числа столбцовъ. Если опустимъ изъ опредѣлителя 22
тѣ именно строки и столбцы, которыя входятъ въ составъ то
получимъ нѣкоторый миноръ С)', порядка п — ѵ; миноры 0 и О'
называются взаимно-дополнительными: есть дополненіе ми-
нора и наоборотъ. Далѣе, алгебраическимъ дополненіемъ
минора называютъ его обыкновенное дополненіе взятое со
знакомъ -|- или —, смотря по тому, будетъ ли сумма указа-
телей всѣхъ строкъ и всѣхъ столбцовъ въ число четное или
нечетное. Иными словами, если есть обыкновенное дополненіе
минора С)', то алгебраическое дополненіе того же минора равно
(— 1)°О, гдѣ для сокращенія положено
О = г\ + г2 + ’ ’ ’ + гѵ + Л + ^2 + ' ' ’ +Л>-
Замѣтимъ, что, если о' обозначаетъ число, аналогичное о для ми-
нора то сумма о + о', очевидно, равна суммѣ указателей всѣхъ
строкъ и всѣхь столбцовъ въ опредѣлителѣ 2), такъ что
о + о' - 2 (1 + 2 + 3 -]-+«)
Отсюда видно, что числа о и о' всегда одинаковой четности, а по-
тому, чтобы два взаимно-дополнительныхъ минора были алгебра-
ически дополнительными, надо приписать имъ одинъ и тотъ же
знакъ, т. е. если алгебраическое дополненіе минора ()' есть
или — С), то алгебраическое дополненіе минора будетъ соотвѣт-
ственно 0' или —С)'. Въ частности, алгебраическое дополненіе эле-
мента а^- есть опредѣлитель, получаемый изъ выкидываніемъ
г-ой строки и /-аго столбца, и взятый со знакомъ -|- при і -\-д
четномъ и со знакомъ — при і нечетномъ.
21. Лемма. Произведеніе минора на его алгебраиче-
ское дополненіе есть составная часть раскрытаго выра-
женія старшаго опредѣлителя.
Въ самомъ дѣлѣ, каждый членъ такого произведенія равенъ
произведенію нѣкотораго члена изъ минора на нѣкоторый членъ
минора , взятому со знакомъ (— 1)°, гдѣ о имѣетъ указанное
въ § 20 значеніе. Эго произведеніе, независимо огь знака, совпа-
даетъ съ нѣкоторымъ членомъ опредѣлителя И, потому что заклю-
чаетъ въ себѣ ѵ + (;г — ѵ) = п элементовъ, взятыхъ изъ различ-
ныхъ между собою рядовъ. Что касается знака, то его можно
опредѣлить слѣдующимъ образомъ. Первые указатели въ разсма-
триваемомъ произведеніи представляютъ собою нѣкоторую переста-
новку изъ чиселъ 1, 2, 3, ...,и, раздѣленную на двѣ части, при-
чемъ въ первой части будетъ ѵ чиселъ, а во второй и — у; то же
самое относится и ко вторымъ указателямъ. Обозначимъ черезъ г
число обращеній въ первой части перестановки первыхъ указате-
лей (г), черезъ г' — число обращеній во второй части той же
перестановки, черезъ 5 и з' аналогичныя имъ числа для переста-
новки вторыхъ указателей (у). Примѣняя правило опредѣленія зна-
ковъ, указанное въ § 11, найдемъ, что разсматриваемое произве-
деніе будетъ имѣть знакъ
( - I )г+г'. ( - 1 )’+< (_ і= ( _ і у-Н'+Н-’'-Н.
Мы покажемъ сейчасъ, что тотъ же знакъ будетъ имѣть это про-
изведеніе, если будемъ его разсматривать, какъ членъ опредѣли-
теля О. При этомъ предположеніи число всѣхъ обращеній въ пере-
становкѣ первыхъ указателей, очевидно, равно г + г' -|- е, гдѣ е
равно числу обращеній, образуемыхъ числами первой части этой
перестановки съ числами второй ея части. Точно такъ же число всѣхъ
обращеній въ перестановкѣ вторыхъ указателей равно 5 4-5'4-77,
гдѣ т/ есть число обращеній, образуемыхъ числами первой части
этой перестановки съ числами второй ея части. По правилу
§ 11, разсматриваемый членъ опредѣлителя 7? будетъ имѣть
знакъ (— 1)г+г'+'+'’'+сг'/. Но мы видѣли въ § 2, что
е = 4 + і2 + • • + 4 - 4 »’ (•’ + !), П = Уі +.!> + • • +Л - і г (” + 1)-
Отсюда слѣдуетъ, что е -|- 4 = о —- ѵ (у 1). Замѣчая, что ѵ (у -|- 1)
всегда есть четное число, мы и находимъ:
( _ 1 іу+''Ч-8+',Ч-я .
Лемма, такимъ образомъ, доказана.
22. Теорема. Всякій опредѣлитель равенъ суммѣ про-
изведеній всѣхъ миноровъ порядка ѵ, содержащихся въ ѵ
параллельныхъ рядахъ’), на соотвѣтствующія имъ алге-
браическія дополненія.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ доказанной леммы вытекаетъ, что всѣ
полученные при такихъ умноженіяхъ члены войдутъ въ составъ
опредѣлителя. Далѣе, очевидно, что всѣ эти члены различны между
собою. Остается показать, что число ихъ равно п\, гдѣ п— порядокъ
опредѣлителя, чтобы убѣдиться, что, кромѣ этихъ членовъ, въ выра-
женіи даннаго опредѣлителя никакихъ другихъ не заключается.
Число всѣхъ миноровъ, содержащихся въ ѵ параллельныхъ рядахъ,
очевидно, равно числу сочетаній изъ п элементовъ по г, т. е.
и 1
і’! (и — і’)!
Каждый изъ нихъ содержитъ г! членовъ, а алгебраическое дополне-
ніе, ему соотвѣтствующее, (и — ѵ)! членовъ. Слѣдовательно, каждый
миноръ, умноженный на свое алгебраическое дополненіе, дастъ
ѵ! (и — членовъ, и число всѣхъ членовъ будетъ равно
I’! (” — >')! , -ц
ѵ ')>!(» — г!)
23. Слѣдствіе. Всякій опредѣлитель равенъ суммѣ про-
изведеній, получаемыхъ отъ умноженія каждаго элемента
одного ряда на соотвѣтствующее элементу алгебраическое
дополненіе *) **).
*) Т. е. въ матриссѣ, состоящей изъ г столбцовъ и іі строкъ или изъ ѵ
строкъ и п столбцовъ, гдѣ и—порядокъ опредѣлителя (см. Веберъ и Вель-
штейнъ, 1. с., стр. 219).
**) Частный случай теоремы § 22, при >> = 1.
Поэтому, если 0,7 есть алгебраическое дополненіе элемента а!7-
то
5 = а;1 а(1 + аі2 аі2 + аі?: аіз Н-\-аіп аін
для всякаго і = 1 2,...ц. Сокращенно также пишутъ:
Л аігаіг-
Г—\.
24. Сумма произведеній элементовъ нѣкотораго ряда
на алгебраическія дополненія соотвѣтственныхъ элемен-
товъ другого, параллельнаго первому, ряда равна нулю.
Дѣйствительно, сумма
Я/1 «Д + аі2 П}2 + Я/3 “/3 + + «,'в
представляетъ собою разложеніе опредѣлителя 79 послѣ того, какъ
въ его матриссѣ элементы ал, аі2,... замѣнены элементами
а такой опредѣлитель, какъ имѣющій два тождественныхъ парал-
лельныхъ ряда, равенъ нулю (§ 16). Слѣдовательно,
г
аіг Пу,- = 0 ПРИ У-
/•=1
25. Въ заключеніе докажемъ еще другую важную формулу,
которой въ дальнѣйшемъ мы часто будемъ пользоваться. Совокупность
всѣхъ членовъ въ разложеніи опредѣлителя 77, въ составъ кото-
рыхъ входитъ данный элементъ аГ8, есть аг,а,8. Это прямо слѣду-
етъ изъ § 23. Всякій другой членъ разложенія содержитъ въ себѣ
непремѣнно одинъ членъ г-той строки и одинъ элементъ 5-таго
столбца, оба отличные отъ Пусть эти два элемента будутъ
аг) и а,,. Они образуютъ съ элементами ап и а,у миноръ
я,7 !
I = «,7 8 - «,7 «о-
агі аг* \
Этотъ миноръ, умноженный на его алгебраическое дополненіе, ко-
торое обозначимъ черезъ а,/, войдетъ въ составъ опредѣлителя
(§ 22). Слѣдовательно, коэффиціентъ при а18«Г7, гдѣ /фг, /ф 5, въ
выраженіи опредѣлителя 77 будетъ равенъ —0,7, и мы будемъ имѣть
д «г» 11,7 аг.і-
гдѣ надо дать указателю і всѣ значенія 1, 2, 3, ..., н, за исключе-
ніемъ г, а указателю у всѣ тѣ же значенія, за исключеніемъ 5. Далѣе,
важно замѣтить, что а,7 можно разсматривать, какъ алгебраическое
дополненіе элемента «у, но не въ опредѣлителѣ 77, а въ опредѣ-
лителѣ а,.,, (въ алгебраическомъ дополненіи элемента цГ8) (VI).
Вычисленіе опредѣлителей.
26. Изъ доказанныхъ въ предыдущихъ §§ свойствъ опредѣ-
лителей вытекаютъ правила, позволяющія быстро ихъ вычислять.
Умножая элементы рядовъ на надлежаще выбранные множители и вы-
читая одинъ рядъ изъ другихъ, можно достигнуть того, что всѣ
элементы нѣкотораго ряда, за исключеніемъ одного, обратятся въ
нуль. Тогда (§ 23) опредѣлитель сведется къ произведенію этого
одного элемента на его алгебраическое дополненіе, которое будетъ
опредѣлителемъ низшаго порядка, чѣмъ данный. Полезно также
замѣтить, что, если всѣ элементы, лежащіе по одну сторону отъ
главной діагонали, будутъ равны нулю, то опредѣлитель будетъ
равенъ произведенію его главныхъ элементовъ, что прямо выте-
каетъ изъ разложенія опредѣлителя по элементамъ перваго ряда,
въ которомъ, при нашемъ предположеніи, всѣ элементы, кромѣ
одного, будутъ нули (VII).
27. Упражненія, а) Значеніе опредѣлителя
а2 2аЬ Ь2 .
В = ас аА -\-Ьс ЬА \
с2 ЧсЛ А2
можно вычислить, примѣняя ко второму столбцу теорему § 23:
О = — ІаЬ сА (аА — Ьс) + («а? + Ьс) (а2А2 — Ь2с2) — ’ІсА • аЪ (аА — Ьс).
Отсюда
О = (аА — Ьс) ((аА 4- Ьсі2 — ЬаЬсА} = (аА — Ьс)3.
Ь) Требуется вычислить опредѣлитель
а Ь с А
А а Ь с
с А а Ь
Ь с Л а
Сложивъ первый столбецъ съ суммою всѣхъ прочихъ, выведя за знакъ опре-
дѣлителя общій множитель а + Ь + с А и вычитая затѣмъ первую строку
изъ всѣхъ остальныхъ, получимъ:
1 Ь с А Ь — с с — А
1 а Ь с \ а — Ь
О = (а + 6 -|- с + А) -= (а + + с + <7) А — Ь а — с Ь — А
1 А а Ь
\ с — Ь А — с а — А
1 с А а \
Складывая въ послѣднемъ опредѣлителѣ послѣдній столбецъ съ первымъ,
выдѣляя общій множитель а — Ь с — Л и вычитая, наконецъ, послѣднюю
строку изъ первой, получимъ:
1 Ь — с с — а? і
(а — Ь + с — а?)
О а — с I) <7 I = (я — 6 + с — </)
1 <7 - с а — (I |
Ь — (і с — а |
а — с Ь — а? ;
Поэтому
I) = (а+ 64-с + <7) (а — Ь-\-с — (і) \(а — с)2 + (6 — <7)2].
с) Если въ опредѣлителѣ а Ь с (1
О = Ь а Л с
с й а Ь
сі с Ь а
къ первому столбцу прибавимъ сумму всѣхъ другихъ, то обнаружится
общій множитель а + Ь + с + Л. Если сперва перемѣнимъ знаки у элемен-
товъ двухъ послѣднихъ столбцовъ и двухъ послѣднихъ строкъ (что, оче-
видно, значенія О не мѣняетъ) и потомъ произведемъ указанную операцію,
то обнаружится множитель а + Ь — с — Л. Аналогичнымъ путемъ обнару-
живаются множители а — Ь + с — (I и а — Ь — с -ф <1. Такъ какъ Л, оче-
видно, есть полиномъ четвертой степени относительно буквъ а, Ъ, с, а?, то
онъ можетъ отличаться только численнымъ множителемъ к отъ произведенія
вышеупомянутыхъ четырехъ множителей. Значеніе множителя к получимъ,
сравнивая коэффиціенты, напримѣръ, при а4, въ выраженіи О и въ этомъ про-
изведеніи, что и дастъ к = 1. Поэтому
5 = (а-ф6-фс-ф<7) — (а — Ь-\-с — <І) (а - Ь — с-ф о?).
(1) Опредѣлителемъ Вандермонда (Ѵапбегтопсіе) называютъ ниже-
слѣдующій опредѣлитель
1 «1 а\. .а”-1
1 я2 • «2"1
1 «з яз • • «Г1
1 ап • •
Прямо видно, что О есть полиномъ степени 1 + 2 + 3 -ф • • -ф (и — 1) — | п (п — 1)
относительно а1: а2, ... ап. При = а}- два параллельныхъ ряда опредѣ-
лителя дѣлаются тождественными, и опредѣлитель обращается въ нуль. Слѣ-
довательно, онъ дѣлится на Разсматривая всевозможныя пары ука-
зателей і и /, получаемъ |я(и — 1) множителей вида — а^, отъ произве-
денія которыхъ 7) можетъ отличаться только численнымъ множителемъ,
такъ что
Д = к(аѵ-а^(аѵ-а^ .. . ап) (л2-«3) ... (я2-«д) ...
Чтобы опредѣлить к, замѣчаемъ, что к есть коэффиціентъ при
въ развернутомъ произведеніи, написанномъ въ правой части предыдущаго
равенства. Съ другой стороны, написанный выше членъ есть произведеніе
элементовъ второй діагонали въ опредѣлителѣ 29 и входитъ въ его выра-
женіе (§ 12) съ коэффиціентомъ (—Поэтому к = (— Ір"1-"'1,. Для
краткости принято писать:
т—п -1
О = ( - 1)^н(и-1) II (аг - а,.+1) (аг - а,.+2) ... (аг - ап),
Г-\
Г — П —1
гдѣ символъ [I обозначаетъ произведеніе всѣхъ множителей, за нимъ на-
г = 1
писанныхъ, соотвѣтствующихъ значеніямъ
г= 1, 2, ..., («—1).
Очевидно, что можно также писать
г=п— 1
Д == ГІ («г+і - «,.) («г+2 - аг) ... (ан - а,.).
Т=1
е) Многіе другіе опредѣлители легко приводятся къ опредѣлителю
Вандермонда. Такъ, напримѣръ,
и вторая часть равенства тотчасъ замѣняется выраженіемъ
- МРа...
1 - 6\а2 а2І \а3 а2/
= (а263 — — (яіА ~ «2^]).
Такъ же получаемъ равенство
8ІП“ а соз- а 8Іп а сое а I
5ІП2,3 СО82<3 8ІП ,3 СО8 ? ' = зіп (3 — у) 8ІП (у — а) 8Іп (а — 3).
I 8ІП~7 СО8-7 8ІП-/ СОЗ у ;
1) При помощи обыкновеннаго дѣленія и вычитанія рядовъ или тѣмъ
пріемомъ, который мы примѣнили къ вычисленію опредѣлителя Вандер-
монда, находятъ, что опредѣлитель
Ь1 агЬ2 а}Ь., ... и-,Ьи I
' а, Ъ2 а2Ь., а.,Ь?: ... а2Ьп
а1Ья а2Ья а-^Ь-^ ... а-іЬп
аіь„ а2Ьп альп ЯпЬп
равенъ
аі («2 — яі ^г) («з ^2 а2 ^з) • • • К ^и—1 ~ ап—і ^п)
§) Положимъ
а± х х ... х
х а<>х ... х
О = хх а3... х
х х х ... ап
Изъ всѣхъ столбцовъ вычтемъ послѣдній. Получимъ
д = а,- - х 0 0 ... х 0 а2 — х 0 ... х 0 0 а3 — х ... х
х~ап х—ап х-ап...ап I
Выдѣляя изъ строкъ множители ах — х, а2 — х, ..., ап — х, видимъ, что 7)
есть произведеніе («! — х) (а2 — х) ... (ап — х) на опредѣлитель
1 0 0 ... — а1 ~ х . 0 1 0 ... - х а* — х 0 0 1 ... — х - і - і - і ... _ ап~Х
Послѣдній приводится къ опредѣлителю
1 0. X
а1 — X
о і. X
— X
0 0 . ап уу х
ап — х — х і г
если къ послѣдней строкѣ прибавимъ сумму всѣхъ другихъ. Всѣ элементы,
стоящіе влѣво отъ главной діагонали, равны нулю; поэтому опредѣлитель
равенъ произведенію его главныхъ элементовъ, такъ что
а п—*
п = (аі- х) (а., -х)... (а - х) —
= X (<»! - х) (а2- х) ... (ап— х)
И) Если данъ нѣкоторый опредѣлитель О, то, на основаніи сказаннаго
въ § 17, легко вычислить опредѣлитель О (х), который получится изъ О,
если къ каждому его элементу прибавимъ одно и то же число х, т. е. опре-
дѣлитель
«11 + х «12 “I- Х ' ' ’ а1п 4" Х I
п . ,ч _ «21 + х «22 4- -V • • а2п + X
апі+х ап2+ х апп+х
Опредѣлитель, составленный изъ первыхъ слагаемыхъ каждаго элемента
въ I) (х~), равенъ О. Далѣе, опредѣлитель, который получимъ, взявъ въ
первомъ столбцѣ вторыя слагаемыя, а въ другихъ первыя, будетъ
х «12 • • «1„ ‘
= х(ап+а214-----Ьа„і),
аи2... апп |
гдѣ а, -, какъ всегда, обозначаетъ алгебраическое дополненіе элемента
Поступая также съ каждымъ столбцомъ, получимъ, послѣ сложенія, про-
изведеніе числа х на сумму алгебраическихъ дополненій всѣхъ элемен-
товъ О. Замѣчая еще, что опредѣлители, которые получатся, если въ двухъ
или болѣе столбцахъ возьмемъ вторыя слагаемыя, будутъ равны нулю, какъ
имѣющіе тождественные столбцы, найдемъ окончательно
Д (х) = Л + х^ аі(.
Если, въ частности, всѣ элементы въ О, кромѣ главныхъ, равны нулю,
то, обозначая эти послѣдніе черезъ я1, а2, ... ап, замѣтимъ, что = О
при г фу’, а при і= у аі( приводится къ произведенію своихъ главныхъ
элементовъ, т. е. къ Г), дѣленному на а;. Поэтому
1 ,ѵ 4- аг х ... х
Л- х + а2 .. . X . /1,1,1, , 1 \
...................., ’ ц, ' 1
л' х ... х 4- гіп ।
Замѣняя каждое а,, черезъ аі — х, получаемъ результатъ предыдущаго
упражненія инымъ лишь путемъ.
і) Аналогичнымъ путемъ вычисляется опредѣлитель, получаемый изъ
опредѣлителя О прибавленіемъ числа х къ однимъ только главнымъ его
элементамъ. Обозначивъ черезъ оѵ сумму всѣхъ главныхъ миноровъ (§ 19)
опредѣлителя О, и написавъ вмѣсто я,-, при г фу, я(фО, тотчасъ уви-
димъ (§ 17), что
«и + X ^12 «Ія
Я21 #22 4“ х • • «2И
«пі ап2 •• а.п + х
— О + + л:2аи_2 + • • + хп 1 ох хп
І) Чтобы вычислить опредѣлитель
| а0 + а1 а} 0 0 ... 0
: аѵ аг ф а., а2 0 ... 0
I 0 «а а2 + «?, дз ••• 0
і 0 0 ф ... 0
............................................
0 0 О 0 ап_1 ф ап
вычитаемъ первый столбецъ изъ второго, измѣненный этимъ путемъ второй
изъ третьяго и т. д Ту же операцію повторяемъ со строками и затѣмъ
измѣнимъ знаки элементовъ всѣхъ строкъ и столбцовъ съ четными указа-
телями. Тогда О приметъ видъ опредѣлителя, вычисленнаго въ упражне-
ніи к), лишь съ замѣною х на а„, и мы найдемъ
77 — ЯдЯ^д.,
к) Къ послѣднему результату можно придти также, примѣняя разло-
женіе опредѣлителя по элементамъ послѣдней строки и послѣдняго столбца
(§ 25). Обозначая данный опредѣлитель черезъ Г)п, тотчасъ найдемъ (VIII), что
= («п-1 + ап) ®п—1 — «и-1 •
Эту формулу можно написать такъ:
г)-
Замѣняя здѣсь п на п — 1, п— 2, ..., 4, 3 и замѣчая, что
77^ = Яд ф Я^, Я^ Яд ~І~ «2 «0 Н- «О «Т > ^2 — «2 «0 «1 >
получаемъ путемъ умноженія
Р„ ~ ап ^п-1 ~ ао а1 «2 • • • «„-1
или
Оп Рп -1 1
Замѣняя здѣсь, наконецъ, опять п черезъ п — 1, и — 2, ...3, 2 и скла-
дывая, находимъ
1,1,1
яоя4я2 .. . ап а0 а4 а2
2
а.
1) Континуантами (Копііпиапіе) называются опредѣлители, въ кото-
рыхъ всѣ элементы, за исключеніемъ главныхъ и лежащихъ на двухъ
линіяхъ, параллельныхъ главной діагонали и смежныхъ съ нею, равны нулю.
Элементы, лежащіе на одной изъ этихъ линій, равны 1, а на другой (— 1);
главные элементы—произвольныя числа. Названіе континуантовъ объясняется
связью ихъ съ непрерывными дробями (ігасііопз сопііпиез) *). Мы будемъ
обозначать континуантъ, имѣющій главные элементы
ломъ («! а2а3 ... ап), такъ что
ях, а2, • • • ап, симво-
(Я1 «2 я8 • • • яи) ~
«1
- 1
я2
О -1
0 ...
1 ...
яз • • •
0 0... 1
О 0 ... - 1 ап
Разлагая этотъ опредѣлитель по минорамъ, содержащимся въ первыхъ ѵ
столбцахъ (§ 22), легко убѣдимся, что
(1)
(Я1 а‘і • • • яв) — (Я1 я2 • • • Я,,) Яг_|_2 • • • «„)
+ («1«2 • ' • Яв-і) (Яг-|-2 Я14-3 • ' • ап) •
Въ частности, имѣемъ
(2)
(аіа2 ап) — а4 (а2а?і ... ап) + (а3а4 ... ап),
(3)
(«ія2 ... я„) = я„ (о,о2 ... яи_і) + («і«2 ... а„_а).
Изъ формулы (3) получается законъ образованія любого континуанта. Дѣло
сводится къ тому, чтобы изъ произведенія а1 а2 ... ап послѣдовательно вы-
кидывать всѣми возможными способами всѣ пары двухъ смежныхъ элемен-
товъ. Напримѣръ, чтобы вычислить континуантъ (ах а2 а3 а4 а3) надо изъ
произведенія я1а3я3я4я5 послѣдовательно выкинуть а4а3, я3я4, а2а3, а4а2,
потомъ а4а5 и я2а3, а4а5 и а4а2, а3а4 и а4а2. Тогда получимъ
(я4о2я3а4а^ — «іО2я3о4я3 —о4«2я3 —|— о4о2о3 —(Х4а4сір) -|- а3а4а^
+ а4 + я3 + я5.
Далѣе, принимая во вниманіе равенство (2), легко видѣть, что
, . ,1 (а1а2)
«1 = («і)> «і + — = ~—
а2
(а2)
(я1я2яз)
1 (я2я3)
2 + «з
О
О
1
1
0
0
О
О
о
О
*) См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с., стр. 358.
и что вообще
, 1
«і Ч-----------1------
Й2 + «Г+
(яія2яз я«>
(Я2Я3 ••• ап)
т) Разсмотримъ, въ частности, континуантъ
1 1 0 ... О
- 1 1 1 ... О
0-1 1 ... О
О 0 0 ... 1
Изъ формулы (3) находимъ
(4)
и — и < -4- и о .
п п—1 ~ п—2 »
откуда видно, что каждый членъ ряда и1, «2, и3, ... равенъ суммѣ двухъ
предшествующихъ. Значенія чиселъ ип будутъ, слѣдовательно,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Этотъ рядъ извѣстенъ подъ именемъ ряда Фибоначчи (РіЬопассі) (италь-
янскій математикъ XIII вѣка) 1). Онъ обладаетъ интересными свойствами 2),
и нѣкоторыя непосредственно вытекаютъ изъ результатовъ предыдущаго
упражненія. Напримѣръ, соотношеніе (1) даетъ
и = и и -4- и , и <
п V П—Ѵ I ѵ—1 п—ѵ--1
и, въ частности, и2ѵ = и2 + и^_1, т. е. сумма квадратовъ двухъ смежныхъ
членовъ ряда есть также членъ ряда. Чтобы найти значеніе ип, положимъ
а=Н1 + К5), .3 = |(1 - /5).
Числа а и <9 будутъ корнями уравненія х2 — х — 1 = 0. Тотчасъ видно, что
уравненіе (4) удовлетворится тождественно выраженіемъ
ип = аап + ЫГ,
гдѣ а и Ь отъ п не зависятъ. Эти коэффиціенты опредѣлятся по началь-
нымъ условіямъ Е = 0, и0 = 1, которыя требуютъ, чтобы выполнялись
равенства
!) ЬіЪег АЬЪасі. См. „Кесѣегсѣез" Е. Ьисаз въ ВиІІеИіпо ЬіЫіо-
§га(ісо сіі Вопсошра^пі (Коша, 1877).
2) См. сообщеніе Ьатё Парижской Академіи Наукъ (Сотріез гешіиз,
1814 г., стр. 867) (IX).
т. е.
откуда
а _ Ь 1
а — /7 а — /7
а"+’ —
Замѣтимъ еще, что ип обозначаетъ число членовъ любого континуанта я-го
порядка. Число это, слѣдовательно, равно
р + У~5у,+1_ (1_— 1'5 р+1 |
или
1 [и + 1 , к (п + 1) п (и — 1) , (« + 1) п (и — 1) (п — 2) (и — 3)
2й \ 1 1-2-3 + " Т-2-3-4-5
Чтобы доказать, что это число цѣлое, можно его представить въ слѣдующемъ
видѣ (§ 48, с):
, , и — 1 (п - 2) (и - 3) , (іі - 3) (іі - 4) (и - 5)
1 + "Т + г-2 + “ 1-2-3 “+
Умноженіе матриссъ.
28. Положимъ, что и Ь,-,- обозначаютъ элементы двухъ
подобныхъ матриссъ, т. е. такихъ, которыя содержатъ одно и
то же число т столбцовъ и одно и то же число п строкъ:
«и а12 «із . - - а1т
а21 а22 а2‘Л а2т
ап1 ап2 апЗ ' ' апт
ьп ьі2 ЬѴІ... ь1т |
62і Ь22 ь2Я... Ь2т
^>/1 ^п2 ' ^пт
Перемножимъ элементы /-той строки первой матриссы на соотвѣт-
ствующіе элементы /-той строки второй и сложимъ всѣ получен-
ныя произведенія. Тогда мы получимъ общій членъ
(5)
= «,-! + а -2 Ьу2 а -3 іуз +----------------1- аіт Ь/т
квадратной матриссы п-ѵо порядка
I Г11 с12 • • с\п
с2\ с22 с2п
^//2 * ' ‘ ^пп і
На основаніи свойствъ, къ доказательству которыхъ мы сейчасъ пе-
рейдемъ, опредѣлитель С называется произведеніемъ обѣихъ дан-
ныхъ матриссъ. Въ частности изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что
выраженіе (5) есть произведеніе г-той и у'-той строкъ данныхъ
матриссъ, потому что любую строку элементовъ можно разсматри-
вать, какъ матриссу, состоящую изъ одной строки. Замѣтимъ, что
умноженіе матриссъ можно производить и по столбцамъ, а не по
строкамъ, такъ что, собственно говоря, получаются два произве-
денія, но, въ случаѣ прямоугольныхъ матриссъ, одно изъ нихъ,
какъ мы вскорѣ увидимъ, всегда равно нулю.
29. Теорема Бине (Віпеі) 4). Разложимъ числа на одно-
члены, которые написаны въ выраженіи (5), и въ первомъ столбцѣ
опредѣлителя С вмѣсто каждаго изъ с напишемъ только одно изъ
его слагаемыхъ а. Ъ, ., гдѣ і. обозначаетъ любое изъ чиселъ
1, 2, 3, ... т. Точно такъ же во второмъ столбцѣ вмѣсто каждаго сі2
напишемъ только одно изъ его слагаемыхъ а.. Ь.,., гдѣ /„ опять любое
изъ чиселъ 1, 2, 3, ...т. Подобно этому поступаемъ съ каж-
дымъ изъ столбцовъ въ опредѣлителѣ С. Такимъ путемъ, вмѣсто
этого опредѣлителя получимъ слѣдующій:
<7,Ь, : а, Ьп- ... а. Ь ! і . а. .
Чі Ѵ1 Ъз -71 './« «7Н ' ‘71 }71 ‘7и
"*7і а2І2 Ь.,к ... а2іп Ьп.п \ а.,л а2^ . .. а,,-*
'I =
| “«К 6'7. «»./, ^71 • ' • апіп Ьпіп і I Я».Л
Сумма всѣхъ аналогичныхъ ему выраженій, соотвѣтствующихъ всѣмъ
возможнымъ способамъ, какими можно выбрать числа у , у2, .. ,/п
изъ ряда 1, 2, 3, ... т, и будетъ равна опредѣлителю С, какъ то
слѣдуетъ изъ § 17. Замѣтимъ теперь, что, если какія-нибудь два
числа изъ ряда /р/2, ...,/ будутъ между собою равны, то со-
отвѣтствующій опредѣлитель (6) будетъ равенъ нулю, потому что
въ немъ будутъ два тождественныхъ столбца. Поэтому можно
ограничиться только тѣми изъ опредѣлителей (6), въ которыхъ
всѣ у между собою различны. Но, въ случаѣ т < п, такихъ,
очевидно, не будетъ вовсе, потому что всѣхъ чиселъ д имѣется н,
а различныхъ значеній, которыя они могутъ имѣть, всего т.
Итакъ, если т < п (число столбцовъ меньше числа строкъ), то С = 0.
Когда т = п, т. е. когда данныя матриссы изображаютъ два опре-
’) Въ той общей формѣ, въ которой здѣсь эта теорема изложена, она
принадлежитъ Коши (Саисйу) ()оигп. сіе ГЕсоІе роіуіесйп., 1815).
дѣлителя А и В, то,
равно слѣдующему:
на основаніи § 14, выраженіе (6) будетъ
Я11 а12 • • • я1и
Я21 я22 • • • я2и
’ ^пп
іъл. /Сы /6/с
гдѣ 5 обозначаетъ число обращеній въ перестановкѣ^/,^ • ••/„*).
Слѣдовательно, на основаніи § 12, находимъ
С = Л2(-1)«6.. ...6 , = АВ,
т. е. опредѣлитель С равенъ произведенію данныхъ опредѣлителей,
въ обыкновенномъ смыслѣ. Наконецъ, если т > и, то, примѣняя
послѣдній результатъ къ каждой системѣ п различныхъ между собою
чиселъ, выбираемыхъ изъ ряда 1, 2, 3, ... т, найдемъ, что С есть
сумма всѣхъ произведеній, получаемыхъ отъ умноженія
каждаго старшаго опредѣлителя изъ первой матриссы на
соотвѣтствующій опредѣлитель изъ второй (X).
30. Если, въ частности, данныя матриссы тождественны, то
полученный умноженіемъ по строкамъ квадратъ матриссы изъ т
столбцовъ и п строкъ при т<п равенъ нулю, а въ слу-
чаѣ т Ій п онъ равенъ суммѣ квадратовъ всѣхъ старшихъ
опредѣлителей матриссы. Напримѣръ,
... ап |2_ ' а\ + а2 + • • • + а2п а2Ь2+ +апЬп
Ь2 Ь3 ... Ъп [ | аі + а2 Ь2 + • • • + ап Ьп + Ь2 + • • • +
^2
Мя
т. е.
Я1Я3
ь\ь?,
2
#2^3
(яі + я2 + • • • + я^) + Ь2 + • • • + Ь~) = (а1 //} + а2 Ь2 + • • • + ап Ьп)2
+ (яі ^2 — я2 $і)2 + (яі ~ аз ^і)2 + (я2 ^з яз ^г)2 “ѣ • •
31. Положимъ, что изъ данныхъ матриссъ А и В мы выдѣ-
лили двѣ новыя, состоящія всего изъ ѵ строкъ (у < п), соотвѣт-
ствующихъ двумъ системамъ значеній указателей і и /, по ѵ чиселъ,
взятыхъ изъ ряда 1, 2, ... п, въ каждой системѣ. Выдѣлимъ затѣмъ
изъ произведенія С двухъ подобныхъ матриссъ А и В, полученнаго
умноженіемъ по строкамъ, тотъ миноръ і'-го порядка, который
опредѣляется упомянутыми системами указателей і и /. Перемножая
по строкамъ выдѣленныя двѣ матриссы, мы тотчасъ увидимъ, что ихъ
*) Потому что новый опредѣлитель получается изъ (6) перемѣщеніемъ
столбцовъ (подстановкою), переводящимъ перестановку / ... /и въ главную
перестановку 1 2 3 ... п.
произведеніе равно этому минору. Итакъ, если произведеніе
двухъ подобныхъ матриссъ получено умноженіемъ по
строкамъ, то миноръ этого произведенія, опредѣляемый
двумя системами указателей по ѵ въ каждой, равенъ про-
изведенію тѣхъ матриссъ, которыя образуются строками,
соотвѣтствующими въ А и В тѣмъ же системамъ указа-
телей. Въ частномъ случаѣ, когда обѣ системы совпадаютъ,
т' е‘ когда разсматриваемый миноръ будетъ
главнымъ (§ 19), и когда, кромѣ того, матриссы А и В тожде-
ственны, оказывается, что въ квадратѣ матриссы всякій глав-
ный миноръ есть квадратъ нѣкоторой матриссы (XI).
32. Предположимъ далѣе, что А и В суть квадратныя ма-
триссы и разсмотримъ въ ихъ произведеніи миноръ у' обыкно-
венное дополненіе элемента с^. Чтобы вычислить у' , надо выкинуть
въ матриссѣ А /-тую строку, а въ В у-тую строку и перемно-
жить полученныя при этомъ матриссы по строкамъ. Старшіе опре-
дѣлители первой (новой) матриссы мы получимъ, выкидывая въ
ней послѣдовательно 1-ый, 2-ой, ..., я-ый столбецъ; мы получаемъ
тогда, очевидно, обыкновенныя дополненія а' а'.....а' элемен-
товъ ап, ац, ...,ат- Аналогично этому старшіе опредѣлители вто-
рой (новой) матриссы будутъ /Г.1( ^2, ..., На основаніи теоремы
Бине будемъ имѣть
А; = а;і^т + + • + аіп^-п-
Замѣчая, что алгебраическое дополненіе элемента а., равно
«о. = (- іу+^«су,
находимъ изъ предыдущаго равенства
7о- = ( - 1У+У27 [ ( -- 1)!'+г аіг ( - 1/+г ] = 27%,
г=1 г—1
т. е.
7/у = а,і Зд + а,-2 3;з + ай Ч----1- аіп .
Мы видимъ, слѣдовательно, что алгебраическія дополненія элемен-
товъ опредѣлителей А, В и С связаны между собою такъ же, какъ
и самые элементы.
33. Упражненія.
(8тіШ):
Предложимъ себѣ вычислить опредѣлитель Смита
Д =
(1, 1) (1, 2) (1, 3) ...(1, м)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) ... (2, м)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) ... (3, и)
(п, 1) (п, 2) (и, 3) ... (и, и)
гдѣ (г, у) обозначаетъ общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ і и у. На-
помнимъ сперва, что если <р (и) обозначаетъ число чиселъ, простыхъ
съ и и не превышающихъ п, то сумма значеній <р(п), въ которыхъ
на мѣсто п подставлены по очереди всѣ дѣлители числа и, какъ
разъ равно п *). Отсюда слѣдуетъ, что (г, у) = - <р (т), гдѣ суммированіе
распространяется на всѣ значенія т, дѣлящія (г, у”), т. е. на всѣ общіе дѣлители
чиселъ і и у. Поэтому можно представить (г, у) въ слѣдующей формѣ
(7) (г,у) = япалф(І) + я,.2а>2ф(2) + «й «;з (3) + • • + аіп <р (и),
условившись считать «у = 1, когда і дѣлится на у, и а.: — 0, когда і не
дѣлится на у (такъ что для всѣхъ значеній і < у' аі} = 0). Въ самомъ дѣлѣ,
при этихъ условіяхъ, коэффиціентъ
аіѵ аіѵ ПРИ V (”)
будетъ равенъ 1, когда і и у' оба дѣлятся на ѵ, и равенъ 0, когда ѵ не общій
дѣлитель чиселъ і и у, такъ что въ формулѣ (7) во второй части будемъ
имѣть 2’ <р (г), распространенную на всѣхъ общихъ дѣлителей ѵ чиселъ і и у.
Отсюда слѣдуетъ, что въ формулѣ (5) § 28 можно положить = Яу«р(у),
Су = (г, у), ш опредѣлитель 7? будетъ равенъ произведенію опредѣлителей
1 0 0 0
1 1 0 0
А = 1 0 1 0
1 1 0 1
и
В =
<іц<г(1) «щ <Р (2) ... «1яф(я)
«21 Ф С1) а22 ѵ (2) • • • «2„ <Р (»)
\ ап1<Р(У) (1п2(Р^) «К,Л<«) і
Д<р(1)<р(2)...<р(и).
Опредѣлитель .4, въ которомъ (по условію Лу = 0 при і < у) всѣ элементы
по одну сторону діагонали равны 0, приводится къ произведенію главныхъ
элементовъ, т. е къ 1. Поэтому
О = у (1) у (2) <р (3) ... <р (п).
Этотъ результатъ можно представить въ видѣ
г и ] Г п 1 Г п 1 Г и 1 Г п 1
I 1 1 / 2 ѵ'з-І / 4 ѵ 6 Ч 6 / ’ уіОуУ
Д==”!Ы Ы Ы Ы ы
гдѣ [д-] обозначаетъ наибольшее цѣлое число, заключающееся въ х. а 2, 3,
5, 7, 1), ... представляютъ рядъ простыхъ чиселъ (XII).
Ъ) Составимъ квадратъ опредѣлителя Вандермонда (§ 27, д). Въ
немъ а у = а1~1, поэтому
*) См., напр., Д. Граве, „Элементарный курсъ теоріи чиселъ". Кіевъ.,
1909, стр. 25.
если
= аР + + «1 + • • • + <
Итакъ, опредѣлитель
50 51 52 5п-1
51 52 53
52 53
1 ’ 32п — 2
равенъ («1 — а2)2 (аг — я3)2 (я2 — л3)2 ... («„_! — яи)2. Это выраженіе назы-
вается дискриминантомъ чиселъ а1, а2, ап. Замѣтимъ, что условіе,
необходимое и достаточное для того, чтобы не всѣ эти числа были различны
между собою, состоитъ въ томъ, что дискриминантъ ихъ обращается въ нуль.
с) Опредѣлители, въ которыхъ различныя строки получаются при по-
мощи круговой подстановки, произведенной надъ элементами первой строки,
называются циркулянтами. Мы увидимъ впослѣдствіи, что уравне-
ніе х" - 1=0 имѣетъ п различныхъ между собою корней а1, а2, ... ап,
въ числѣ которыхъ всегда находится единица. Чтобы вычислить значеніе
циркулянта
пі 67., "з • ап
ап «1 а2 . Пп 1
Б = ап- 1 ап • ап 2
«2 аі "1
умножимъ его на опредѣлитель
1 а2 ... а” 1
. 1 а, а! ... 1
А = 6 6 '
Если положимъ для сокращенія
/(.г) = а1 + а2х + я3х2 + ... + апхп \
то произведеніе всякой строки 1, а, а-.... опредѣлителя Д на первую
строку опредѣлителя 7) равно /(а), а произведеніе той же строки въ 3
на г'-тую строку въ Л равно
ап--г+2 + ап-г+з « Н------Ь «в«’- 2 + ага’ 1 + а2а’ Н----1- яп_,.+го’' ’
или, если принять во вниманіе, что а” = 1,
^а'-1 + «2«г'+ +«и_1-+2аи + яй_,.+3аи+1+ ... + апап+і~2
Слѣдовательно,
Л4 =
/уу
/(а2) «2/(«2) «2/(а2) • «Г 7(«2)
/ю ая/(«ѣ) «»/(««) . У-Ж)
а этотъ опредѣлитель, по выдѣленіи множителей /((д),/(а2), .. ./(аи),
приводится къ Д. Поэтому, принимая во вниманіе, что А не равенъ О,
В = /(аі)/(а2)/(аз) •••/(««)•
Если умѣемъ найти числа а1, а.,, ап (а это будетъ потомъ показано),
то сумѣемъ вычислить всякій циркулянтъ по предыдущей формулѣ. Для
п = 4 мы уже, напримѣръ, знаемъ, что уравненіе х1 — 1 = О имѣетъ
корни 1, — 1, У— Іи — У — 1, получаемые рѣшеніемъ уравненій ла — 1—0
и х2 + 1 = 0. Поэтому для циркулянта, опредѣляемаго элементами «, Ь, с, <і,
имѣемъ
/(і) = « + * + ₽ + а, /(У -1) = а - с + (ь - ау у - і,
/( — 1) = а — Ь 4- с — (і, /( — У — 1) = а — с — (Ъ - іі) У — 1,
а потому (ср. съ § 27, Ь)
а Ь с (I
сі а Ь с
с <1 а Ь
= (а + Ь + с + іі) (а - Ь ф с — (і) [(ч — с)2 ф (Ь — <7)2].
Ь с <1 а
4) Положимъ, что данъ нѣкоторый симметрическій опредѣлитель А
порядка п, т. е. такой, въ которомъ сопряженные элементы между собою
равны (ау. = а^). Обозначимъ черезъ /(х) тотъ опредѣлитель, который
получимъ, прибавивъ къ каждому изъ главныхъ элементовъ опредѣлителя А
число х. Мы знаемъ (§ 27, і), что /(х) есть полиномъ степени п относи-
тельно х. Такой полиномъ обращается въ нуль только при н значеніяхъ
числа х, какъ будетъ впослѣдствіи доказано (§ 449). Съ помощью умно-
женія опредѣлителей легко доказать, какъ это сдѣлалъ Сильвестеръ (8уі-
ѵезіег, РЬііозорЬісаі Ма^ахіпе, 1852), что, если всѣ элементы симметри-
ческаго опредѣлителя А вещественны, то и всѣ корни полинома /(х), т. е.
корни уравненія /(х) = 0, также вещественны. Для этого, очевидно, доста-
точно доказать, что всѣ корни уравненія /(х)/{ — х) = 0 вещественны.
Обозначимъ черезъ с{- общее выраженіе элемента въ опредѣлителѣ С,
равномъ квадрату А. Тогда общій членъ произведенія опредѣлителей
/(•»)/(— х) будетъ
ффд + •• + Уи + х) + ••• + Фу У и -*)+•••+ аіпазп = са
при г фу, и
«а + «й Н----Р У а + л') Ун ~ -ТФ---аіп = сн - -г'2>
при г =/. Слѣдовательно, уравненіе /(.г)/(—х) = 0 можно представить
въ видѣ
а- *-і2 • • • сіп
С21 ₽22 л “ • • • С2П
Сп1 Сп2 ' ' ' Спі.
или (§ 27, і) въ видѣ
(8) С + + О,, 2 ( - а2)2 + ... + 01 ( - Л-2)»-1 + ( - Л-2)« = О,
гдѣ оѵ обозначаетъ сумму всѣхъ главныхъ миноровъ порядка ѵ въ опре-
дѣлителѣ С. Но извѣстно (§ 31), что, какъ С, такъ и всѣ а,,—числа суще-
ственно положительныя. Поэтому уравненіе (8) не можетъ имѣть корней
вида д У — 1, при у вещественномъ, неравномъ нулю, такъ какъ при такихъ
значеніяхъ х лѣвая часть уравненія (8) есть число положительное. А чтобы
удостовѣриться, что уравненіе (8) не можетъ имѣть корней вида р 4- д У — 1,
стоитъ только включить число р въ главные элементы опредѣлителя А
и свести такимъ образомъ этотъ случай къ предыдущему. Слѣдовательно,
всякое значеніе х, удовлетворяющее данному уравненію, непремѣнно будетъ
вещественнымъ *).
Взаимные опредѣлители.
34. Обозначая черезъ <і.Ъ] алгебраическое дополненіе эле
мента ауу, разсмотримъ опредѣлитель
«И «12 . . • «і„ |
«21 «22 • . • «2„
ап1 ап2 ' ' ' апп
«И «12 • • • «і„
°21 а22 ’ ’ ’ а2и
«пі ап2 ' ' апп
Опредѣлитель Д называется взаимнымъ (гегіргоке) опредѣлителемъ
отъ даннаго /?. Мы докажемъ слѣдующую теорему: Каждый ми-
норъ второго порядка въ Д равенъ алгебраическому до-
полненію соотвѣтствующаго ему минора въ О, умножен-
ному на И. Прежде всего замѣтимъ, что аг8 можно получить
изъ И, если въ немъ на мѣсто агз поставимъ 1, а на мѣсто всѣхъ
другихъ элементовъ г-ой строки 0. Дѣйствительно, разлагая полу-
ченный такимъ образомъ опредѣлитель по элементамъ г-ой строки
(§ 23), тотчасъ увидимъ, что это разложеніе приведется къ одному
члену, равному аГ8.
*) Эту теорему можно, напримѣръ, примѣнить къ доказательству веще-
ственности корней уравненія 3-ей степени, которое разсматривается въ ана-
литической геометріи при опредѣленіи направленія осей поверхностей 2-го
порядка.
Итакъ,
аи • • • фу • • • «18 • • • фи
а,1 <*и
0 ... 0 ... 1 ... О
Яи1 • • • апі • • апи • апп
Въ этомъ новомъ опредѣлителѣ умножимъ всѣ элементы у-аго
столбца на а;7, (гфг, у'фл') и прибавимъ къ нимъ соотвѣтствен-
ные элементы всѣхъ другихъ столбцовъ, предварительно умноживъ
ихъ по очереди на а,і, ац, ..аіп. Тогда на г-омъ мѣстѣ /-аго
столбца окажется элементъ аі8, а на всякомъ другомъ ѵ-омъ мѣ-
стѣ (г ф г) того же столбца будетъ (§ 24)
аѵ1 аі1 + аѵ2 аі2 + аІЗ + ’'' + аѵп аіп
О при ѵ = і,
0 при ѵ ф і.
Съ другой стороны, произведенная операція даетъ въ результатѣ
лроизведеніе а,уаг, (§§ 15 и 17). Слѣдовательно,
«и • • • 0 •••«!»••• «1»
лд ... Л ... ... аіп
0 ... ... 1 ... 0
Фі • • • 0
Обозначимъ послѣдній опредѣлитель буквою 29' и замѣтимъ, что
онъ отличается отъ даннаго О только элементами г-ой и г-ой
строки и у-го и 5-аго столбца; всѣ остальные элементы въ 29'
и И одинаковы. Разложимъ теперь опредѣлитель 29' по элемен-
тамъ у-аго столбца. Такъ какъ въ этомъ столбцѣ, за исключеніемъ
элементовъ а,-8 и 29, всѣ остальные равны нулю, то въ разложеніи
его останутся только два члена: произведеніе аіз на его алгебраиче-
ское дополненіе въ 29' и произведеніе элемента 29 на его алге-
браическое дополненіе въ 2?'. Алгебраическое дополненіе эле-
мента аіз, какъ легко видѣть, равно агу. Чтобы получить алге-
браическое дополненіе элемента 29, надо въ 29' выкинуть 9-ую
строку и у’-ый столбецъ, въ пересѣченіи которыхъ стоитъ 29, и при-
писать результату знакъ (— 1 )'+7. Получаемый при этомъ опредѣ-
литель отличается отъ только тѣмъ, что вмѣсто элементовъ
Фі> аг2, ..., агя, .... агп
стоятъ элементы
О, 0, ... 1, ... 0.
Поэтому искомое алгебраическое дополненіе элемента О въ 29'
получимъ, если выкинемъ въ послѣднемъ еще г-ую строку и 5-ый
столбецъ, и припишемъ знакъ (—1)г+’. Припоминая сказанное
о видѣ опредѣлителей /) и 29', а именно, что они отличаются
только элементами, стоящими въ выкидываемыхъ строкахъ и
столбцахъ, находимъ, что найденное выраженіе совпадаетъ съ
тѣмъ, которое получится, если въ данномъ опредѣлителѣ 29 вы-
кинемъ г-ую и г-ую строки, у’-ый и 5-ый столбцы и припишемъ
результату знакъ (—1 )’4-Я-Н-«. А тогда, какъ извѣстно, получается
алгебраическое дополненіе минора
«г, I
въ опредѣлителѣ 29. Обозначая это дополненіе буквою й/уг8, будемъ,
слѣдовательно, имѣть
<9) «о- «Г8 = «а «>; + д •
т. е.
п . а 7
)-у Г8 |
что и требовалось доказать *).
35. Изъ формулы (9) легко вывести полученную уже раньше
важную формулу (§ 25). Умножая обѣ части равенства (9) на
и суммируя по і и /, находимъ
*>3 І>3
Сумма въ лѣвой части (§§ 23 и 24) равна
«а-Кі аі2 Ч----1- ат а,-,,) = Да,.,,
і= 1
а первую сумму въ правой части можно написать такъ:
^«/8 «А-
А потому (срав. съ § 25)
ЯГ8 «88 = «О', 8 ",8 агГ
і, 3
*) См. примѣчаніе (XIII).
36. Если какой-нибудь опредѣлитель обращается въ
нуль, то и взаимный его опредѣлитель обратится въ нуль.
Кромѣ того, обратятся тогда въ нуль и всѣ миноры взаим-
наго опредѣлителя до миноровъ второго порядка включи-
тельно. Дѣйствительно, изъ § 34 слѣдуетъ, что при 2) = 0 всѣ
миноры второго порядка въ Д будутъ равны нулю. Отсюда далѣе
вытекаетъ, что и всѣ миноры высшаго порядка и сама Д будутъ
равны нулю. Чтобы въ этомъ убѣдиться, стоитъ только представить
себѣ всѣ эти опредѣлители разложенными по минорамъ, содержа-
щимся въ какихъ-нибудь двухъ столбцахъ или строкахъ. Замѣтимъ
еще, что изъ соотношеній
ап аі2 = 0, «,1 аІЗ = о, «й «й = 0
ал аІ2 «71 «73 «72 «73
слѣдуетъ
^1 =“<2 =“й = ...
<1 «72 «73 «7»
т. е. что при 7) = 0 въ опредѣлителѣ Д всѣ параллельные между
собою ряды эквивалентны (§ 16). Иными словами: Если какой-
нибудь опредѣлитель равенъ нулю, то алгебраическія до-
полненія элементовъ любого ряда пропорціональны алге-
браическимъ дополненіямъ элементовъ всякого другого па-
раллельнаго ему ряда *).
37. Если /9 не равно 0, то и Д не равно 0. Дѣйствительно, опре-
дѣлитель Д равенъ тЭ"1, если п есть порядокъ даннаго опредѣ-
лителя 2). Чтобы это доказать, перемножимъ В и Д по строкамъ.
Общее выраженіе элемента произведенія будетъ
Г — П
аігаіг
Г=1
О При і = /,
0 при і ф/.
Слѣдовательно,
о о... о
о о ... о
откуда, при В ф 0, получимъ Д = Вп~1. Это равенство справед-
ливо и при В = 0, потому что тогда и Д = 0.
*) Полезно замѣтить, что то же самое можно сказать и объ обыкно-
венныхъ дополненіяхъ, потому что замѣна алгебраическихъ дополненій
обыкновенными въ приведенныхъ выше равенствахъ равносильна умноже-
нію всѣхъ дробей на (,— 1 )'+’ .
38. Во взаимномъ опредѣлителѣ опредѣлителя Е) всякій
миноръ порядка ѵ равенъ алгебраическому дополненію
соотвѣтствующаго ему минора въ 2), умноженному на Еѵ~1.
При ѵ = 1 эта теорема есть не что иное, какъ опредѣленіе вза-
имнаго опредѣлителя; при ѵ = 2 она доказана въ § 34. Пусть
теперь ѵ > 2. Обозначимъ черезъ Дѵ тотъ миноръ въ Д, который
опредѣляется указателями і\, и у’і, у2,...,у„. Пусть
Гі, Г2, , гп—ѵ будутъ числа, оставшіяся въ рядѣ 1, 2, ... п, когда
изъ него исключимъ числа Л, /2, ..., 4, а $і, $2, • •і>, анало-
гично— числа, оставшіяся въ томъ-же рядѣ, по исключеніи изъ него
чиселъ уі, у2, -••/ѵ*)- Опредѣлитель Дѵ можно написать въ видѣ:
1 0... 0 0 0...0
0 1 ... 0 0 0 ... 0
0 0 ... 1 0 0 ... 0
''А аі,8, аі,8„__ѵ аі,І, аі,І, аі,]ѵ
і28п —ѵ ііЗі ЧЪ
а, , а- ... а. а, а, ... а, .
Въ самомъ дѣлѣ, если разложимъ написанный здѣсь опредѣлитель
по минорамъ, содержащимся въ послѣднихъ ѵ столбцахъ, то тот-
часъ увидимъ, что всѣ члены разложенія обратятся въ нуль, за
исключеніемъ одного
1 0 0 0 ... 0
0 1 0 0 ... 0
0 0 0 0... 1
Съ другой стороны, перемѣщеніемъ строкъ, а также и столбцовъ
въ данномъ опредѣлителѣ 2), его можно представить въ видѣ
О =(-1)е
агЛ • • а 1 —V аг,3, аг ' 172 •• аг,і
ЯГ,8, ЯГг8, ' аг^п--ѵ а і аг і
гп— ГП- • аг ч 'п—V п- V аг ,• ' п—Ѵ-Н аг і • 'п—Ѵ’^'і гп—ѵ^ѵ
аѵ, • • аі 8 - V аі.з, \3: ' • • ; 'іЭф
аі,8, аІ8 ►2в2 аЧ8п—Ѵ
аіѵ8, аі 8 1 аі 8 гѵ п—V С'іѵ31 аі і ' у72 * ' аі 1 1 ѵЗѵ
*) Всѣ написанные выше ряды чиселъ предположимъ расположен-
ными въ возрастающемъ порядкѣ.
гдѣ о обозначаетъ число всѣхъ обращеній въ перестановкахъ
Г1Г2 • • ?14 • • • Іѵ И 5152 • • • 5„.-„/і /а . . . /,. Д. Это ЧИСЛО 0 ОДИ-
наковой четности съ числомъ
а = гі + г2 Н---Ьѵ + «і Н-52 Н------Н, г
Дѣйствительно, по сдѣланному предположенію о порядкѣ располо-
женія чиселъ г, і, 5 и /, число обращеній въ указанныхъ переста-
новкахъ будетъ равно числу обращеній, образуемыхъ элементами
группы Гі, г-і ... гп—ѵ съ элементами группы г'і, іч ... /,,, плюсъ число
обращеній, образуемыхъ элементами группы 5і, 52 • • • 5п_„ съ элемен-
тами группы /1,7'2 •••/)• Примѣняя къ счету этихъ двухъ чиселъ
формулу § 2, мы найдемъ
е = о — (п - і») (н — ѵ 1),
откуда прямо и вытекаетъ сказанное о числахъ д и о.
Теперь перемножимъ И и А по строкамъ, пользуясь фор-
мулою (5) § 28; тогда найдемъ:
агЛ ' '^пі- 0 0 . . 0
агЛ а а'гг8п—V 0 0 . . 0
я 4 = (- -іу 'п-ѵ*' аг * *п— • •. а « ‘ п—ѵ*п—V —ѵ 0 0 . В 0 . . 0 . 0
аіл • • • аіч '2*П — V 0 в . . 0
аі 9 1 V8 2 • • • аі я *ѵ п—V 0 0 . . в
Отсюда, разлагая по минорамъ, содержащимся вь послѣднихъ ѵ
столбцахъ (при чемъ опять обратятся въ 0 всѣ члены разложенія,
кромѣ одного съ миноромъ
в 0 . .. 0
0 в. .. 0 = ВѴ)
0 0 . . в
и раздѣляя на И 4= 0, получимъ:
аг,и, аг^ агі8П V
агЛ агл "Ѵя-ѵ
аг ч агп—^ Гп -ѵ8П-~Ѵ
*) Это слѣдуетъ изъ того, что произведеніе элементовъ главной діаго-
нали опредѣлителя въ правой части формулы входитъ въ его выраженіе со
знакомъ +, а въ выраженіе В именно со знакомъ (— I)9.
что и доказываетъ теорему, потому что множитель при Т)”—1 въ
правой части, очевидно, изображаетъ алгебраическое дополненіе ми-
нора, который опредѣляется указателями 4, /2, • гѵ и /2, • • .,]ѵ
въ опредѣлителѣ 2) и который соотвѣтствуетъ минору Аѵ въ- А.
Полученный результатъ справедливъ и при 7) = 0 и ѵ > 1, потому
что даетъ тогда, согласно доказанному въ § 36, Дѵ = 0.
39. Алгебраическое дополненіе минора Д„ порядка ѵ въ А
есть миноръ Дп^, порядка п — ѵ, взятый съ тѣмъ же знакомъ, съ
какимъ надо взять миноръ Оѵ въ 7), соотвѣтствующій минору Дѵ,
чтобы получить алгебраическое дополненіе минора 1)п-ѵ, соотвѣт-
ствующаго минору Дп-ѵ Поэтому, на основаніи теоремы § 38,
алгебраическое дополненіе минора Д„ равно произведенію /)»—
на миноръ Оѵ. Иными словами: алгебраическое дополненіе
минора порядка ѵ во взаимномъ опредѣлителѣ опредѣли-
теля И равно соотвѣтствующему минору въ 2), умножен-
ному на /)»-”—!. Въ частности, при ѵ = 1, мы видимъ, что алге-
браическое дополненіе элемента во взаимномъ опредѣли-
телѣ А опредѣлителя И равно соотвѣтствующему элементу
въ 2), умноженному на Оп~2. Отсюда слѣдуетъ, что взаимный
опредѣлитель взаимнаго опредѣлителя I) есть
ЯцД”-2 Лі2Ли-2 ... 2
2 ^Д”- 2 ... «2я2)”-2
«яі^г«„2Р"-2...ак„Л«-2
Его значеніе должно быть равно (и—1)-ой степени отъ 7)”-1
(§ 37), и дѣйствительно оно равно
2)« [) = ууиг 2и>-1 _ I)1
(см. примѣч. XIV).
40. Сдѣлаемъ еще одно замѣчаніе. Если перемножимъ
взаимные опредѣлители двухъ данныхъ, то полученное
произведеніе будетъ равно взаимному опредѣлителю про-
изведенія данныхъ опредѣлителей. Само собою разумѣется,
что умноженія производятся въ обоихъ случаяхъ по строкамъ, или.
въ обоихъ случаяхъ по столбцамъ. Дѣйствительно, производя умно-
женія по строкамъ, напримѣръ, мы найдемъ слѣдующее общее вы-
раженіе элемента произведенія взаимныхъ опредѣлителей
а»1^1 + ай^’2 + а»3'4з + ' + ат^п,
а изъ § 32 извѣстно, что эта сумма есть алгебраическое дополне-
ніе у,у элемента въ произведеніи данныхъ опредѣлителей.
41. Теорема, доказанная въ концѣ § 36, допускаетъ обобщеніе,
которое полезно замѣтить. Обозначимъ черезъ [ж рангъ опредѣ-
лителя 2) (§ 18), равнаго нулю, и разсмотримъ нѣкоторый его
миноръ
аі г 12 г Ѵц • №іг Чгч * Г г2ГЧ . а'2гд+У аіѴ>ч-\л в«2ь'^4-1 ві1'5у-|-2 вІ28Ж
аірг2 ’ • аі г Яіргч-[-і в'/>8Ж ауж
а(р-\-ігі %+1г2 ’ Яір+1ГЧ ^р+^ч+і
в>ЖГ2 ’ аІр-\-1гЧ %+^ч+г %Ж89+1 Я-’Ж8Ж
аір+2гі %-| 2Г2 ‘ ' %+ъгч аіУ+УГІ^ %+28Ж %+2’Ж ’
а, „ •>}АГХ %г2 ’ • аі г аІцгд-\-1 %8Ж %8Ж ’ • аі 8
Этотъ миноръ также равенъ нулю, потому-ли что онъ можетъ
имѣть эквивалентные паралельные ряды, или потому, что порядокъ
его во всякомъ случаѣ больше *). Если условимся обозначить
черезъ арі обыкновенное дополненіе перваго изъ слѣдующихъ
четырехъ элементовъ
I в^+іг«+і й%+1®г+1
въ выше написанномъ опредѣлителѣ, то ясно, что обыкновенныя
дополненія остальныхъ трехъ будутъ ар,г+і, По-
этому (см. § 36 и выноску къ нему), будемъ имѣть
ар, Ч _ ^Р, Ж .
ЙЖ. ч ЙЖ. Ж
переписавъ это въ видѣ
%, Ч = °^ + 1’ ч
?-Н я^+і, Ч+1
и давая числу/) значенія 0, 1, 2,...,/г—1, получимъ
П0</ _ й19 _ °27 _ _ йду
йо,<ж аі,?+і Й2,Ж %, Ж
а отсюда выведемъ далѣе
й00 __ й01 _ Й02 _ _ й0,а
йд0 Йді Пдд
*). Порядокъ его равенъ /+1+м — і/1+ !)+! = і«+1-
Замѣтимъ въ то же время, что
о о • • • <&.: о
(См. прим. XV.).
Итакъ, если рангъ даннаго опредѣлителя, обращающагося
въ нуль, равенъ /х, то всѣ миноры, содержащіеся въ нѣко-
торыхъ рі строкахъ (или столбцахъ), пропорціональны со-
отвѣтствующимъ минорамъ*), содержащимся въ какихъ
угодно другихъ рі строкахъ (или столбцахъ) (XV).
Свойства нѣкоторыхъ опредѣлителей
особаго вида.
42. Опредѣлитель, въ которомъ каждый элементъ равенъ
своему сопряженному, а,у = а7<, называется симметрическимъ
(§ 33, (1). Опредѣлитель называется косымъ симметрическимъ,
если каждые два сопряженные элементы равны между собою
по абсолютной величинѣ, но противоположны по знаку, «Уу = — ау;;
а слѣдовательно, въ частности всѣ главные элементы равны нулю:
Ли = 0. Если вмѣсто нулей на мѣстѣ главныхъ элементовъ косого
симметрическаго опредѣлителя поставимъ числа, не равныя нулю
одновременно,то Получимъ псевдосимметрическій опредѣлитель.
Такъ, напримѣръ, изъ двухъ опредѣлителей
а г — </
— г Ь р
= аЬс 4- ар2 4- Ь<]2 + сг2,
= 0,
<1 —Р с
0 г —
— г 0 р
Ч -р 0
первый псевдосимметрическій, второй косой симметрическій.
Примѣромъ симметрическаго опредѣлителя можетъ служить
опредѣлитель
а
к
к
Ь
/ = аЪс + 2/§к — а/2 — Ь§2 — ск2.
с і
*) Соотвѣтствующими называются миноры, содержащіеся въ данныхъ
строкахъ (столбцахъ) и составленные изъ равноименныхъ столбцовъ (строкъ).
Симметрическимъ будетъ всякій опредѣлитель, получаемый возвы-
шеніемъ въ квадратъ любого опредѣлителя *). Всѣ опредѣлители
трехъ упомянутыхъ типовъ пользуются тѣмъ общимъ имъ всѣмъ
свойствомъ, что главные миноры опредѣлителя даннаго типа будутъ
опредѣлителями того же типа, т. е. главный миноръ симметрическаго
опредѣлителя есть также симметрическій и т. д.
43. Симметрическіе опредѣлители. Ясно, что сопряжен-
ные миноры (§ 19) симметрическаго опредѣлителя между
собою равны, потому что строки одного совпадаютъ со столбцами
другого и наоборотъ (см. прим. III). Въ частности алгебраическія
дополненія двухъ сопряженныхъ элементовъ равны между собою т. е.
при = а7г и я,-у = Яу,-, а потому взаимный опредѣлитель сим-
метрическаго опредѣлителя также симметрическій. Далѣе,
если примѣнимъ теорему § 41 (йоо аДА» = аом л<.о) и сдѣлаемъ указатели
Гі, Га, гз, и 5і, 52, 5з, ... соотвѣтственно равными указателямъ
А, І2, із, • , • и у), /2,/з ..., то найдемъ, замѣчая, что въ нашемъ
случаѣ Под = Лдо, слѣдующее равенство:
аиГІ
’і 1 аі і аі ,
2
акк акк ‘ ‘ ’ акіІЛ
Згк кк к][і
і
а- а- ... а- .
''РУ1 I
І і ’ ’ ’ 1
Итакъ, если рангъ симметрическаго опредѣлителя равенъ
то квадратъ всякаго минора порядка /л равенъ произве-
денію двухъ главныхъ миноровъ того же порядка. Отсюда,
слѣдуетъ, что главные миноры порядка /л не могутъ всѣ одно-
временно обратиться въ нуль, потому что тогда и всѣ вообще
миноры порядка [л были-бы равны нулю, и рангъ опредѣлителя
былъ бы ниже /л.
44. Косые симметрическіе опредѣлители. Если у всѣхъ
элементовъ косого симметрическаго опредѣлителя измѣнимъ знаки
на противоположные, то произойдетъ лишь замѣна строкъ столб-
цами й наоборотъ, такъ что опредѣлитель своей величины не
измѣнитъ. Но, съ другой стороны, при подобномъ преобразованіи
(умноженіи всѣхъ элементовъ на — 1), какъ извѣстно (§ 15), опредѣ-
литель пріобрѣтаетъ множитель (— 1)”. Слѣдовательно, 2) = (— 1)и2),
и при п нечетномъ 2) = 0. Итакъ, всякій косой симметриче-
скій опредѣлитель нечетнаго порядка равенъ нулю. При-
мѣняя такой же способъ разсужденія къ двумъ сопряженнымъ ми-
норамъ, тотчасъ увидимъ, что во всякомъ косомъ симметрическомъ
опредѣлителѣ сопряженные миноры либо равны между собою,
либо равны только по абсолютной величинѣ, смотря по тому,
будутъ-ли они четнаго или нечетнаго порядка.
*) См. формулу (5) § 28 при Ьіг
Отсюда, въ частности, слѣдуетъ, что алгебраическія до-
полненія двухъ сопряженныхъ элементовъ косого симме-
трическаго опредѣлителя порядка п (какъ сопряженные
миноры порядка п — 1) будутъ между собою равны, если п
число нечетное, или равны только по абсолютной величинѣ,
если п число четное. Наконецъ, изъ этой теоремы вытекаетъ, что
взаимный опредѣлитель даннаго косого симметрическаго
опредѣлителя будетъ симметрическимъ, когда онъ нечет-
наго порядка, и косымъ симметрическимъ, когда онъ чет-
наго порядка (XVI).
45. Положимъ, что нѣкоторый опредѣлитель 7), равный нулю,
имѣетъ взаимный симметрическій опредѣлитель. Въ этомъ послѣд-
немъ, какъ извѣстно (§ 36), всѣ миноры второго порядка равны
нулю, такъ что
Иными словами: если взаимный опредѣлитель даннаго опре-
дѣлителя, равнаго нулю, есть опредѣлитель симметри-
ческій, то элементы любого его, ряда пропорціональны
корнямъ квадратнымъ изъ соотвѣтственныхъ имъ главныхъ
его элементовъ.
Въ частности эту теорему можно примѣнить ко всякому
симметрическому опредѣлителю, равному нулю (§ 43), и, на осно-
ваніи перваго и послѣдняго свойства косыхъ симметрическихъ опре-
дѣлителей, доказанныхъ въ § 44, къ взаимному опредѣлителю всякаго
косого симметрическаго опредѣлителя нечетнаго порядка. Важно
замѣтить слѣдующее: чтобы перейти отъ формулы я^- = )/яі,Яуу къ
формуламъ (10), надо первую написать въ видѣ Яу = я,-,- ]/ Я;;,
одному изъ корней квадратныхъ можно приписать любой знакъ,
а знакъ другого вполнѣ опредѣлится по знаку извѣстной лѣвой
части формулы, т. е. по знаку числа яу = а^. Такимъ образомъ,
если мы выберемъ по произволу знакъ, напримѣръ, у ]/ Яц, то
знаки всѣхъ другихъ ]/я2з, ... ]/апп опредѣлятся изъ формулъ
ГІ12 — а21 ~ ^а11 У^а22’ ' а1п ~ апІ ~ ’ У апп
46. Всякій косой симметрическій опредѣлитель-четнаго
порядка п равенъ квадрату выраженія, цѣлаго и раціональ-
наго относительно его элементовъ. Теорема очевидна при « = 2,
такъ какъ
а
Поэтому достаточно показать, что она будетъ справедлива для
косого симметрическаго опредѣлителя четнаго порядка п, если до-
пустимъ, что она справедлива для опредѣлителей четнаго порядка,
меньшаго п. Примѣняя извѣстную (§ 25) формулу и пользуясь
равенствами аіг = — аг,, агг = 0, получимъ
77 = Д’а.уі,.,- л,.;,
7 з і, 3
гдѣ опредѣлитель а,2 есть алгебраическое дополненіе элемента
но не въ Р, а въ агг. Опредѣлитель агг есть главный миноръ
взаимнаго отъ О опредѣлителя, т. е. также косого симметрическаго
опредѣлителя (§ 44). Поэтому агг есть (§ 42) косой симметрическій
опредѣлитель нечетнаго порядка п — 1, а потому, на основаніи § 45,
имѣемъ равенство й17-= а, слѣдовательно,
>> > і
ИЛИ
(11) VТ> = ал Vаи + «,.2 V«22 + Лг3 Vа33 -Р
гдѣ, на основаніи замѣчанія § 45, въ правой части у одного изъ
квадратныхъ корней можно выбрать любой знакъ, а знаки всѣхъ
другихъ тогда вполнѣ опредѣлятся. Замѣчаемъ теперь, что всѣ ац
(§ 42) будутъ косые симметрическіе опредѣлители порядка (п — 2),
и по предположенію будутъ квадратами цѣлыхъ раціональныхъ
выраженій относительно элементовъ. Подставляя эти выраженія
въ /Р, мы найдемъ для него цѣлое раціональное выраженіе, чТо
и требовалось доказать. Наконецъ, легко видѣть, что разложе-
ніе У О заключаетъ въ себѣ 1.3 5 7... (и —-1) членовъ*) (XVII).
47. Псевдосимметрическіе опредѣлители. Положимъ, что Р
псевдосимметрическій опредѣлитель, всѣ главные элементы котораго
равны х. Положивъ х = 0, получимъ косой симметрическій опре-
дѣлитель Ро. Можно считать, что Р происходитъ изъ Р() отъ при-
бавленія числа х къ каждому изъ главныхъ элементовъ послѣдняго,
а потому по формулѣ § 27, і будемъ имѣть
77 — 77 0 1 4- 2 4- ••• х" о1 4- Xя,
*) Т. е. одночленовъ, цѣлыхъ и раціональныхъ относительно элемен-
товъ 77.
гдѣ оѵ есть сумма всѣхъ главныхъ миноровъ въ /90 порядка ѵ.
Каждый изъ этихъ миноровъ есть косой симметрическій опредѣли-
тель (§ 42). и обращается въ 0 при ѵ нечетномъ (§ 44), а при ѵ
четномъ (§ 46) есть квадратъ цѣлаго раціональнаго выраженія отно-
сительно элементовъ. Поэтому
= + л-и -2о2 + .ѵ" Ц . ..
Если п число четное, то хп~2‘гбіѴ есть сумма квадратовъ, т. е. всякій
псевдосимметрическій опредѣлитель четнаго порядка, съ
равными между собой главными элементами, разлагается
на сумму квадратовъ. Если п — нечетное, то И равно произве-
денію х на сумму квадратовъ. Если х = 1, то, сопоставляя оба
предыдущія „заключенія, находимъ, что всякій псевдосимметри-
ческій опредѣлитель съ главными элементами, равными 1,
есть сумма квадратовъ.
48. Примѣры, а) Замѣтимъ слѣдующіе простые результаты
X г I 1
Г X Р I = А-3-)- (/2+ у2+ Г2) X, — Г
Ч ~Р х I Ч
Ь) Чтобы вычислить опредѣлитель
0 а ь с
В = а 0 г - ч
- Ь - г 0 р
— с Я -р 0
съ помощью формулы (11), нужно обратить вниманіе на опредѣленіе знаковъ
квадратныхъ корней, согласно замѣчанію, сдѣланному въ § 45. Главные ми-
норы опредѣлителя а,, у насъ будутъ р-, <?2, г2; если возьмемъ V= р
(а не—р), то должны будемъ взять Т<<72 = <7, 1/”г2 = г и получимъ по
формулѣ (11) В = {ар + Ь^ сг^2. Болѣе общій результатъ даетъ примѣръ
с
Ь
а
- д
Р
— а
- Ь
г х
Ч ~Р
= хі - Г (а2 + Ь2 + с2 + р2 + у2 + г2) х2 + (ар р-Рд-р сг)2.
— с
с) Наконецъ, легко доказать, что опредѣлитель
х а 0 .. . 0 0 і
— а х а .. . 0 0
0 — а х . .. 0 0
0 0 ...
0 0...
х а
а х
равенъ
+ а2 ..«-2 , ^2)(я-3) 4 «- - 4, (”- 3)(п —4>(и—5) 6
-* | (л Л ~ 12 €< л I 1-2-3 а х
(см. прим. XVII).
ЛИНЕЙНЫЯ ФОРМЫ.
Линейныя уравненія.
49. Разсмотримъ систему п линейныхъ уравненій, т. е. урав-
неній первой степени, съ п неизвѣстными
(1)
«и Х1 #12 х2 + ' ' ' + а1п хп = к1>
^1 "Ь #22 Х2 4- •• ' + а2п Хп = к2,
ат Х1 + Пп2 х2 + ' ' ' + апп хп = кп'
Рѣшеніемъ системы уравненій называется система значеній неиз-
вѣстныхъ, удовлетворяющая всѣмъ уравненіямъ системы. Опредѣли-
тель В, общій элементъ котораго есть т. е. опредѣлитель^
составленный изъ коэффиціентовъ данныхъ уравненій, называется
опредѣлителемъ системы. Обозначая, какъ обыкновенно, че-
резъ ау алгебраическое дополненіе элемента ау въ 2), умножимъ
данныя уравненія по порядку на ац, а2<, &пі и сложимъ полу-
ченные результаты; тогда найдемъ
і — п
(7) (ах. аи + «2у а2і + • + ап} ані) = ку в1,4- к2 агі -р кп апК
Въ лѣвой части коэффиціентъ при х,- равенъ нулю, когда у =|= іг
и равенъ О, когда / = і. Правая часть есть результатъ замѣны
элементовъ г-аго столбца числами кі, к>, ...,к„. Поэтому, вводя
обозначенія
к1 «12 • Я1„ «11 к\ • • «Ія . ^11 ^12 ‘ ‘
^2 ^22 ‘ ‘' ^2п . а2 = «2! к‘1 ' '' «2И ^21 ‘ ’ ^2
«яі кп '' ' «ЯП ап1 ап2-'кп
приведемъ уравненіе (2) къ виду Пх: = Оі- Мы видимъ такимъ
образомъ, что всякое рѣшеніе системы (1) будетъ и рѣше-
ніемъ системы
(3) І)хх — І\, Лх., = Е).,, ..., І)хя =
50. Правило Крамера. Если О ф 0, то система (3), очевидно,
имѣетъ одно и только одно рѣшеніе, а именно:
(4)
Ч о ’ Ч !) ’ ...........хп в
Это единственное рѣшеніе, которое можетъ имѣть система (1)г
и мы покажемъ сейчасъ, что система значеній (4) дѣйствительно
удовлетворяетъ всѣмъ уравненіямъ системы (1). Выберемъ любое
Изъ нихъ, напримѣръ, г-тое. Подставляя въ него на мѣсто неизвѣст-
ныхъ значенія (4), получимъ
'X а" Хі = І 2 а>- ‘ ГДѢ = 2 к3 аЛ
І=1 ?=1 ./=1
Слѣдовательно,
а" Г (Я^ "Л + «Г2 5-2 + • • • + ат фМ) •
«=і У
Коэффиціентъ при ^ равенъ 0, если/ф г, и равенъ О, если]=г.
Поэтому правая часть равенства приводится къ кг, и г-тое уравне-
ніе удовлетворяется. Резюмируя сказанное, получаемъ слѣдующее
правило Крамера:
Если опредѣлитель системы п линейныхъ уравненій съ п
неизвѣстными не равенъ нулю, то система имѣетъ одно
и только одно рѣшеніе. Это рѣшеніе состоитъ изъ системы
значеній, получаемыхъ черезъ послѣдовательную замѣну
каждаго столбца въ опредѣлителѣ системы столбцомъ из-
вѣстныхъ членовъ уравненій, и раздѣленіе получаемыхъ
такимъ образомъ п опредѣлителей на опредѣлителя си-
стемы і).
51. Если 0 = 0, а одинъ, по крайней мѣрѣ, изъ опредѣли-
телей Оі, О2, ... Оп не равенъ нулю, то невозможно удовлетво-
рить всѣмъ уравненіямъ системы (3), потому что одно изъ нихъ
приметъ видъ О-Д/фО. Въ этбмъ случаѣ уравненія системы (1)
несрвмѣстны. Примѣромъ можетъ служить система:
•г+3' + « = 1, .ѵ ->-> + 2* = 0, .ѵ -\-у ф Зг = 0.
Она несовмѣстна, потому что соотвѣтствующая ей система (3) бу-
детъ 0 • х = 1, 0 у = — 1, 0 а = 0 и, очевидно, не имѣетъ рѣше-
нія, такъ что и данная его не имѣетъ. Положимъ, далѣе, что опре-
дѣлитель О и всѣ опредѣлители Оі, О>, ..., Оп одновременно равны
нулю. Тогда система (3) удовлетворяется совершенно произволь-
*) При этомъ, для полученія значенія неизвѣстнаго х,- надо замѣ-
нить г-тый столбецъ въ Ф столбцомъ извѣстныхъ членовъ уравненій.
ными значеніями неизвѣстныхъ. Отсюда, однако, еще нельзя заклю-
чить, что тоже самое имѣетъ мѣсто и для системы (1). Напримѣръ,
уравненія
х+_у + « = 1, л^+д' + -г = 2, л--|-.у + г-= 3,
очевидно, несовмѣстны, а уравненія (3) въ данномъ случаѣ приве-
дутся къ 0-х = 0, 0-^ = 0, 0-г = 0, т. е. къ системѣ, вполнѣ
неопредѣленной. Это показываетъ, что при /) = 0 нельзя утвер-
ждать эквивалентности системъ (1) и (3), т. е. нельзя сказать,
что всякое рѣшеніе одной изъ нихъ есть рѣшеніе другой и на-
оборотъ. Полное изслѣдованіе системы (1) мы будемъ въ состояніи
произвести послѣ того, какъ докажемъ весьма важную теорему
Руше (КоисЬё), къ изложенію которой теперь и приступимъ.
52. Разсмотримъ болѣе общій случай, а именно: систему т
уравненій съ п неизвѣстными:
(5)
а11 Х1 + Я12 Х2 + + О1п Хп - /г,,
Я21 Х1 + Я22 Х2 “Ь + а2п Хп = ^2 '
ат1 Л’1 + ат2Х2 + ••• + атпХп = кп,
Если всѣ коэффиціенты при неизвѣстныхъ равны нулю, то, очевидно,
уравненія будутъ либо неопредѣленными, когда въ то же время
всѣ извѣстные члены равны нулю, либо несовмѣстными, когда
хотя одинъ изъ послѣднихъ не равенъ нулю. Этотъ совершенно
исключительный случай, не представляющій никакого интереса, мы
исключимъ изъ разсмотрѣнія и будемъ всегда предполагать, что не
всѣ коэффиціенты при неизвѣстныхъ во всѣхъ уравненіяхъ равны
нулю. Кромѣ того, можно всегда предположить, что число уравне-
ній больше числа неизвѣстныхъ, т > п, потому что, въ противномъ
случаѣ, ничто не мѣшаетъ присоединить къ системѣ (5) нѣсколько
уравненій, числомъ болѣе п — т, въ которыхъ всѣ коэффиціенты
при неизвѣстныхъ и всѣ извѣстные члены равны нулю. Тогда си-
стема (5) замѣнится системою, очевидно, ей эквивалентною и удо-
влетворяющею поставленному выше условію. Имѣя въ виду все ска-
занное, разсмотримъ теперь матриссу нашей системы
аи аі2 • • • а1п
а21 а22 ' а2п
аті ат2 ’ ' ' атп
и положимъ, что ея рангъ (§ 18) равенъ ц < п. Въ ней будетъ
содержаться, по крайней мѣрѣ, одинъ опредѣлитель (Ц-таго порядка,
не равный нулю (по самому опредѣленію ранга). Этотъ опредѣли-
тель, или одинъ изъ такихъ, если ихъ будетъ нѣсколько, мы назо-
вемъ главнымъ опредѣлителемъ системы. Онъ характеризуется
тѣмъ свойствомъ, что онъ самъ не равенъ нулю, между тѣмъ
какъ всѣ опредѣлители высшаго порядка, содержащіеся въ
матриссѣ системы, равны нулю. Элементами его будутъ коэф-
фиціенты при нѣкоторыхъ р неизвѣстныхъ въ нѣкоторыхъ р
уравненіяхъ данной системы. Но понятно, что, переставляя, если
нужно, уравненія системы и буквы хі, х%, ..., х„, обозначающія
неизвѣстныя, мы можемъ всегда достигнуть того, что неизвѣстныя
и уравненія, коэффиціенты которыхъ будутъ элементами главнаго
опредѣлителя, займутъ мѣсто первыхъ р строкъ и первыхъ р столб-
цовъ. Такая операція, очевидно, не мѣняетъ системы рѣшеній дан-
ныхъ уравненій, а главный опредѣлитель приметъ форму
' «11 «12 ' ' ' а1м
I ^22 * * ’
I
| а,и1 а/і2 ' • •
Введемъ еще слѣдующее обозначеніе:
; «И «12 • • • а1,а к1
I . а,,и к,, і
!.". .7 . . !
I «,«1 а,и2 ' ^11
| «гі аг2 ' агц К ।
Опредѣлители <5і, д2, ..., дт называются характеристическими
опредѣлителями системы. Замѣтимъ, что первые р изъ нихъ
всегда равны нулю, потому что у нихъ послѣдняя строка тожде-
ственна съ одною изъ предыдущихъ. Мы вскорѣ увидимъ, что
условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы уравненія дан-
ной системы были совмѣстны, состоитъ въ томъ, что и осталь-
ные т — р характеристическихъ опредѣлителей равны нулю. Теперь
мы можемъ формулировать самую теорему.
53. Теорема Руше. Если характеристическіе опредѣли-
тели системы т линейныхъ уравненій съ п неизвѣстными,
гдѣ п < т, не всѣ равны нулю, то уравненія несовмѣстны.
Въ противномъ случаѣ система имѣетъ одно единственное
рѣшеніе, когда рангъ матриссы ея равенъ п, и безчисленное
множество рѣшеній, когда рангъ матриссы ея меньше п 1)._
г) Сотріез гепдиз де ГАсадётіе дез Зсіепсез де Рагіз, 1875.
а) Перенесемъ неизвѣстныя л-^і, х^.2, • • •, хп въ правыя ча-
сти уравненій и дадимъ этимъ неизвѣстнымъ произвольныя значе-
нія с^і, Си-і-2. • • •, сп- Данная система приведется тогда къ систе-
мѣ т уравненій съ /г неизвѣстными:
«11 л’і + «12 х2 + а1и Ѵ/< —
(6) «21 Н + «22 Л2 + ••• «2,и Х/, = *2 •
«»1 Л'1 + «„,2 Х2 + ••• «,П1и-Ѵа = к'т ’
гдѣ
Я — п
(7) к’г = кг агх
X — д -|-1
при іа п, и к’. = к,- при [а = п. Прежде всего замѣтимъ, что
система (6) имѣетъ тотъ же главный опредѣлитель и тѣ же
характеристическіе опредѣлители, какъ и система (5). Въ
самомъ дѣлѣ, матрисса системы (6) не можетъ содержать въ себѣ
опредѣлителей порядка выше /а (потому что въ ней число столб-
цовъ равно /а)-, между тѣми же, порядокъ которыхъ равенъ /а, за-
ключается опредѣлитель <5, который и можно принять за главный,
такъ какъ онъ не равенъ нулю. Что касается характеристическихъ
опредѣлителей
«11 «12 ’ • ’ «1/, к1
«21 «22 ‘ • • «2,< к2
а,л а,,2 к’,<
Пг2 к’г
то, на основаніи извѣстнаго свойства опредѣлителей (§ 17) и фор-
мулы (7), можно, разложивъ послѣдній столбецъ на слагаемыя, на-
писать
«11 «12 ’ ’ ‘ «1/і «1»
«21 «22 • ’ • «2/< «28
«ді «/<2 • • • «/,/< «/,8 і
«,1 «Г2 • • • «™ «Г8 I
Опредѣлитель, на который здѣсь умножается св, очевидно, содер-
жится въ матриссѣ (5) и обращается въ нуль, потому что его
.порядокъ больше /а. Поэтому <5,- = что и требовалось доказать.
Ь) Теперь замѣтимъ, что по извѣстной формулѣ § 25 будемъ
имѣть
і, .і
гдѣ і и у получаютъ значенія 1, 2, ... ц. Возьмемъ въ системѣ (6)
первыя уравненій и еще одно г-тое, умножимъ послѣднее на д,
а каждое і тое изъ первыхъ ц на число
- «л + агч ПІ2 -і---------------------------н «,,, «,„) = -
./=1
и сложимъ полученные результаты. Тогда въ правой части, на осно-
ваніи формулы (8), получится
і ,./
Въ лѣвой части коэффиціентъ при х, будетъ
’, .і
а это есть результатъ замѣны въ д’г чиселъ
кх, к' кг
числами
какъ показываетъ та же формула (8). Если же сдѣлаемъ эти замѣны
въ написанномъ раньше выраженіи <5,- въ видѣ опредѣлителя, то
увидимъ, что результатъ всѣхъ нашихъ операцій надъ уравне-
ніями (6) даетъ равенство
Опредѣлитель, на который здѣсь умножается х„, равенъ нулю, по-
тому что послѣдній столбецъ совпадаетъ съ у-тымъ, и послѣднее
равенство приведется къ равенству
О --- 0 • .ѵ., + • + 0 • .ѵ,( = ,
*) Такъ какъ д есть алгебраическое дополненіе элемента к^. въ <5', а «,у
алгебраическое дополненіе въ <5.
которому нельзя удовлетворить, когда д,' ф 0- Слѣдовательно, урав-
ненія нашей системы несовмѣстны, если хотя бы одинъ изъ ха-
рактеристическихъ опредѣлителей не равенъ нулю, что и доказы-
ваетъ первую часть теоремы.
с) Если всѣ характеристическіе опредѣлители равны нулю, то
формула (8) даетъ
а’-.і п'.і-
і, .І
А это показываетъ, что уравненію
*> + •••-* %
каковъ бы ни былъ значекъ г, можно удовлетворить, положивъ
, І~!Л,
/-1
Далѣе, инымъ способомъ уравненіямъ (6) удовлетворить нельзя,
потому что первыя д уравненій системы (6) представляютъ си-
стему /і уравненій съ д неизвѣстными и опредѣлителемъ д ф О,
допускающую, какъ извѣстно (§ 50), лишь одно рѣшеніе.
д) Изъ всего вышеизложеннаго вытекаетъ, что въ томъ случаѣ,
когда всѣ характеристическіе опредѣлители обращаются въ нуль,
система (5) имѣетъ одно и только одно рѣшеніе, если (л = ті, или
безчисленное множество рѣшеній, если д<«, потому что, въ по-
слѣднемъ случаѣ, всякой произвольно выбранной системѣ зна-
ченій , г„_г2, ..., сп неизвѣстныхъ л;н^і, Л7,_|_2, ..., х„, соотвѣт-
ствуетъ опредѣленная система значеній неизвѣстныхъ хі, х->, ух^
(а въ первомъ случаѣ, когда д = и, чиселъ С/,_|_і, ..сп, очевидно,
не существуетъ). Въ случаѣ д < и мы будемъ говорить, что си-
стема (5) допускаетъ оо (безконечность степени и — /л) рѣшеній
{(и — д)-іасЬ ппепсііісѣе), выражая этимъ, что каждое изъ безко-
нечнаго множества значеній любой изъ и — д неизвѣстныхъ ,
Л7,_|_2, •. •, хп можно комбинировать съ каждымъ изъ безконечнаго
множества значеній всѣхъ другихъ и опредѣленною системою зна-
ченій остальныхъ неизвѣстныхъ х,, х2, ..., х^. Мы въ правѣ такъ
говорить, потому что, какъ сейчасъ покажемъ, всякое рѣшеніе
системы (5) заключается въ числѣ тѣхъ, которыя даетъ изложенная
выше метода. Чтобы это показать, замѣтимъ, что каково бы ни было-
выбранное по произволу рѣшеніе системы (5)
ф = <•;, .ѵ2 -= с.;,... л-/(+1 = сц,,... ,ѵ„ - г,;,
мы можемъ положить = с^->, ..., с„ = с„, а тогда
рѣшеніемъ системы, состоящей изъ д первыхъ уравненій системы (6)
непремѣнно будетъ система значеній
Ф = с{, X., = 4, ... х/( = с',
иначе упомянутая сейчасъ система д уравненій съ д неизвѣстными
имѣла бы болѣе одного рѣшенія, между тѣмъ какъ ея опредѣ-
литель <5 ф О, что невозможно (§ 50). Теорема Руше доказана
вполнѣ.
54. Примѣчанія, а) Вышеизложенныя изслѣдованія показы-
ваютъ, что если система допускаетъ рѣшенія, то д уравненій необхо-
димы и достаточны для нахожденія всѣхъ этихъ рѣшеній, такъ
что рангъ матриссы системы даетъ наименьшее число урав-
неній, къ которымъ можно свести данную систему.
Ь) Въ случаѣ системы п уравненій съ п неизвѣстными за
матриссу системы можно взять ту, которая получится, когда къ
матриссѣ опредѣлителя системы прибавимъ одну строку элемен-
товъ, равныхъ нулю. Если ф 0, то (д = п) главный опредѣлитель
есть I), и всѣ характеристическіе опредѣлители, очевидно, равны 0.
Слѣдовательно, имѣемъ одно единственное рѣшеніе. Если = 0,
то главный опредѣлитель надо искать между его минорами. Его
порядокъ будетъ всегда меньше п, такъ что въ этомъ случаѣ имѣ-
етъ мѣсто либо несовмѣстность, либо неопредѣленность. Поэтому
условіе ф 0 есть не только достаточное, но и необходимое
условіе единственности рѣшенія системы. Этимъ восполняется про-
бѣлъ, на который было указано въ § 51.
с) Условія совмѣстности нѣсколькихъ линейныхъ уравненій
можно, слѣдуя Капелли х), высказать просто и изящно. Матрисса
Я11 Я12 • • • «Іп ^1
(д) «21 «22 ' • • а2п ^2
) ат1 ат2 атп
содержитъ въ себѣ <5 ф 0. Ея рангъ, слѣдовательно, не меньше д.
Но онъ не можетъ быть больше д ф 1, потому что всѣ опредѣ-
лители порядка, большаго дфі, содержащіеся въ ней, равны нулю.
Дѣйствительно, либо это будутъ опредѣлители, содержащіеся въ
матриссѣ системы (когда буквы к въ нихъ не входятъ), либо опре-
дѣлители, содержащіе буквы к\ первые равны нулю по условію,
вторые, потому что всѣ дополненія этихъ элементовъ равны 0 и въ
разложеніи ихъ по элементамъ к всѣ члены обратятся въ нуль. Итакъ,
рангъ матриссы (9) равенъ д или дф 1. Въ первомъ случаѣ всѣ
опредѣлители порядка д —|— 1, содержащіеся въ ней, къ числу кото-
рыхъ принадлежатъ и характеристическіе опредѣлители, обратятся
въ нуль, и уравненія системы, слѣдовательно, совмѣстны. Во вто-
ромъ случаѣ въ (9) содержится, по крайней мѣрѣ, одинъ опредѣли-
тель порядка д ф 1, не равный нулю, а такъ-какъ такой опредѣлитель
не можетъ содержатся въ матриссѣ системы (рангъ которой д), то
’) Сареііі. „Кіѵізіа сіі Маіетайса" 1892, ра§. 54.
онъ долженъ заключать въ себѣ буквы к. Въ тоже время допол-
ненія этихъ элементовъ въ немъ не могутъ быть всѣ равны нулю,
иначе самъ опредѣлитель обратился бы въ нуль. Поэтому, по край-
ней мѣрѣ, одно изъ этихъ дополненій не будетъ нулемъ, и мы
можемъ его выбрать за главный опредѣлитель въ матриссѣ системы.
А тогда разсматриваемый опредѣлитель, не равный нулю, будетъ
характеристическимъ опредѣлителемъ, и по теоремѣ Руше, уравненія
системы несовмѣстны. Резюмируя, находимъ, что уравненія системы
совмѣстны или несовмѣстны, смотря по тому, будетъ-ли рангъ
матриссы (9) д или д 1. Иными словами, для совмѣстности системы
линейныхъ уравненій необходимо и достаточно, чтобы матрисса
системы сохранила свой рангъ, когда къ ней добавимъ
столбецъ извѣстныхъ членовъ уравненій.
Системы линейныхъ формъ.
55. Между цѣлыми раціональными выраженіями, зависящими
отъ н перемѣнныхъ лд, л-2, ..., хп, особаго вниманія заслуживаютъ
однородныя, т. е. такія, въ которыхъ всѣ члены имѣютъ одну
и туже степень т относительно Хі, х->, ...,хп, или иначе говоря,
гдѣ сумма показателейстепеней чиселъ хі, х2, ...,хп во всѣхъ чле-
нахъ одна и та-же. Такія выраженія называются алгебраическими
формами, линейными при т = 1, квадратичными при т = 2,
кубическими при т = 3, биквадратичными при т — 4, фор-
мами 5-ой, 6-ой и т. д. степени при т = 5, 6 и т. д. Форма лю-
бой степени съ двумя перемѣнными (п = 2) называется бинарною,
съ тремя (п = 3) тройничною *). Въ этой главѣ мы будемъ зани-
маться линейными и квадратичными формами. Общій видъ линейной
формы есть
и = Я] л'х я2 х2 + • • • + ап хп,
а разложеніе ит по степенямъ перемѣнныхъ даетъ простѣйшій при-
мѣръ формы /»-ой степени. Замѣтимъ, что изъ этого разложенія
можно получить любую форму /и-ой степени, умножая каждый
членъ разложенія на произвольные коэффиціенты, не зависящіе
отъ хі, Х2, ..., хп, и что число членовъ въ самой общей формѣ /и-ой
степени съ п перемѣнными равно числу членовъ въ разложеніи ш-ой
степени п — членнаго полинома, т. е. числу различныхъ сочетаній
изъ т п — 1 буквъ по т (XIX).
56. Когда дана система, состоящая изъ т линейныхъ формъ
съ п перемѣнными, то важно бываетъ знать, могутъ ли всѣ эти
формы обращаться въ нудь при значеніяхъ перемѣнныхъ, не рав-
*) Для формъ съ 4-мя и т. д. перемѣнными, на русскомъ языкѣ осо-
быхъ терминовъ не употребляютъ.
ныхъ нулю одновременно. Иными словами, спрашивается: имѣетъ-
ли система линейныхъ
однородныхъ уравненій
(10)
«И Л'1 + «12 Х2 + ••• + «1Я хп = °>
«21 -Ѵ1 + «22 А'2 + ''' + «2н Хп = 0 '
ат1 А'1 + ят2х2 + + «»», Хп ~ 0'
рѣшенія, кромѣ очевиднаго
(И)
х} = 0, .ѵ2 = 0, .... хп = 0.
Ясно, что характеристическіе опредѣлители для нашей системы всѣ
равны нулю, потому что послѣдній столбецъ каждаго такого опре-
дѣлителя образуется извѣстными членами уравненій, а эти члены
всѣ равны нулю. Теорема Руше учитъ, что случай несовмѣстности
не можетъ встрѣтиться, и это подтверждается тѣмъ, что одно рѣшеніе,
а именно (И), существуетъ. Та же теорема учитъ, что если рангъ
матриссы системы равенъ и, то возможно только одно рѣшеніе, и
тогда оно необходимо совпадаетъ съ (11). Слѣдовательно, необхо-
димое и достаточное условіе, для того, чтобы нѣсколько
линейныхъ однородныхъ формъ могли одновременно обра-
щаться въ нуль, для значеній перемѣнныхъ, не равныхъ
нулю одновременно, состоитъ въ томъ, чтобы рангъ ма-
триссы коэффиціентовъ былъ меньше числа неизвѣст-
ныхъ.
57. Въ случаѣ ш > и, число рѣшеній системы (10), какъ мы
знаемъ, будетъ оои—если д есть рангъ матриссы. Въ случаѣ т < п
надо къ матриссѣ системы присоединйть болѣе чѣмъ (и — т) строкъ
нулей, а потому при разысканіи главнаго опедѣлителя мы можемъ
ограничиться тѣми т строками, которыя состоятъ не изъ однихъ
нулей, потому что всякій опредѣлитель со строкою однихъ нулей
равенъ нулю. Такимъ образомъ мы видимъ, что порядокъ глав-
наго опредѣлителя не можетъ быть больше т, т. е. д т и
п — д п — т. Отсюда теорема: Всякая система т линейныхъ
однородныхъ уравненій съ п неизвѣстными, при п > т
имѣетъ по крайней мѣрѣ сс”’" рѣшеній. Во всѣхъ случаяхъ,
чтобы рѣшить систему (10) достаточно, послѣ того какъ будетъ
выбранъ опредѣленный главный опредѣлитель системы
«11 «12 • • • «Іи
^21 ^90 • • •
| «иі %2 ' • • «ии
рѣшить первыя д уравненій системы относительно Хі, Х2, ...,хи»
Полагая
«и яі2 • • • яі, »—і яі; яі, і+і • аіц
^21 ^22 * * * ^2, /—1 ^2} ^2, «-{-1 * ‘ * ^2ц,
Я/Л а^'-- а,и, і- 1 Я«, 4-1 ' • ' Яцц
по правилу Крамера получимъ
ѵі (/=1, 2. 3, ...,ц)
./=«4-1
при чемъ можемъ по произволу выбрать значенія каждой изъ неиз-
вѣстныхъ 34,4-1, ^4-2, . , ха- При всякомъ другомъ выборѣ глав-
наго опредѣлителя о' въ тѣхъ-же д столбцахъ, въ которыхъ содер-
жится <5, получается формула, не отличающаяся отъ предыдущей,
и чтобы это провѣрить, достаточно замѣтить, что въ силу теоремы,
высказанной въ концѣ § 41, мы имѣемъ <5 д' = д/у/ду- (Прим. XX.)
58. Разсмотримъ теперь въ частности случай п линейныхъ
формъ съ п перемѣнными. Если опредѣлитель этой системы не
равенъ нулю, то эти формы не могутъ обращаться въ нуль одно-
временно при значеніяхъ перемѣнныхъ, не равныхъ нулю одновре-
менно *). Если опредѣлитель /) = 0 и рангъ его = д, то суще-
ствуетъ, какъ было доказано, жп~ і1 системъ значеній перемѣнныхъ,
не равныхъ нулю одновременно и обращающихъ всѣ данныя формы
въ нуль. Обращая нѣкоторымъ образомъ эту теорему, можно ска-
зать, что необходимое и достаточное условіе для того, чтобы рангъ
нѣкотораго опредѣлителя и-го порядка былъ равенъ д, состоитъ
въ томъ, чтобы между элементами каждой изъ его строкъ (или
каждаго изъ столбцовъ) существовало п — /я линейныхъ однород-
ныхъ соотношеній. Этимъ хотятъ сказать, что возможно найти п — д
различныхъ системъ значеній 2і, 2г, ...Яя, для которыхъ
ягі + ^2 аіг + '' ’ + ''•« аіп = 0
при всякомъ значеніи і = 1, 2, ... п.
(См. прим. XXI).
Въ частности имѣемъ слѣдующую теорему: Для того, чтобы
нѣкоторый опредѣлитель былъ равенъ нулю, необходимо
и достаточно, чтобы между элементами каждой его строки
(каждаго столбца) существовало одно и тоже линейное одно-
родное соотношеніе.
(См. примѣчаніе (V) къ § 17.)
*) Потому что система линейныхъ однородныхъ уравненій, получа-
емыхъ отъ приравниванія всѣхъ этихъ формъ нулю, имѣетъ тогда един-
ственное рѣшеніе: = х2 = = хп = 0.
Изъ нашей теоремы слѣдуетъ, кромѣ того, что всякій опредѣли-
тель порядка п и ранга д, при помощи извѣстныхъ операцій (§ 17),
можетъ быть преобразованъ въ такой, въ которомъ всѣ элементы
въ п — д параллельныхъ рядахъ будутъ равны нулю. Въ частности
всякій опредѣлитель, равный нулю, можетъ быть преобразованъ въ
другой, въ которомъ всѣ элементы одного (по крайней мѣрѣ) ряда
равны нулю.
59. Для приложеній особенно интересенъ тотъ случай, когда
2) = 0, а по крайней мѣрѣ одинъ изъ элементовъ взаимного опре-
дѣлителя не равенъ нулю. Если, напримѣръ, аи ф 0, то главный
опредѣлитель <5 = а,, будетъ порядка п — 1, и система допускаетъ
оо1 рѣшеній. Чтобы ихъ найти, поступаемъ какъ въ § 57, т. е. пере-
носимъ члены съ хі въ правую часть и опредѣляемъ остальныя
неизвѣстныя изъ п — 1 уравненій. Такимъ образомъ найдемъ, что
а^Хі = ЯцХі, и, измѣняя і, будемъ имѣть
А’і _ А2 _ Аз _ _ А’я
«п «12 а13 а1п
Извѣстныя свойства опредѣлителя дѣлаютъ полученный результатъ
очевиднымъ. Случай п — 1 однородныхъ уравненій съ п неизвѣст-
ными приводится къ разсмотрѣнному присоединеніемъ къ данной
системѣ одного уравненія съ нулевыми коеффиціентами.
60. Примѣры, а) Система
аѵх ф Ьгу ф <72^=0, а2х ф Ь2у ф с.,~ = 0, а3х ф Ь3у + с:,.г = 0
только тогда имѣетъ рѣшенія, кромѣ очевидного х=у=г = 0,
когда
«2
а2 1>2 с2
я3 Ь-л с3
= 0.
При выполненіи этого условія система имѣетъ безконечное число
рѣшеній, опредѣляемыхъ формулами
л- у _ г
5дС3 — ^3^2 ^"2^3 — ^3^2 Я-э — Я3 Ъ2
въ томъ предположеніи, что не всѣ знаменатели равны нулю. Такъ
напримѣръ, система
х ф у ф г = 0, х ф_у ф = 0, х ф_у ф Зг = 0
имѣетъ безчисленное множество рѣшеній (оо1), опредѣляемыхъ фор-
мулами х = А, у = — А, з = 0, гдѣ А можно измѣнять отъ — оо
ДО ф оо .
Ь) Принимая во вниманіе послѣднее замѣчаніе § 59, находимъ
для рѣшеній системы
формулы
I
X
^"1 ^1 «1 ах Ь, 'Ч Ьх сх
^9 ^2 - (іі) Сі) (І% 1 (Іі) 1)і) (Іі) — ач с2 ,
63 с3 </3 «3 ся <73 «3 (Іъ «з йз е3
Никакихъ другихъ рѣшеній система не имѣетъ, если предположимъ,
что по крайней мѣрѣ одинъ изъ знаменателей не равенъ нулю.
61. Говорятъ, что между формами и1( и^, ... ит существуетъ
линейная зависимость, если возможно найти такія числа Аі, Аг, • А»,,
которыя не равны нулю одновременно и для которыхъ выраженіе
Аіг/і + А2и2 + ••• + Кпит обращается въ нуль тождественно (т. е.
независимо отъ значеній перемѣнныхъ хх, Хг, ..., хи, отъ которыхъ
зависятъ и1г и2, • • • иот). Если такого соотношенія между формами
не существуетъ, то формы называются линейно независимыми.
Установивъ это опредѣленіе, положимъ, что формы и1; и2, ...,ит
изображаютъ лѣвыя части уравненій (10). Вслѣдствіе произвольности
значеній перемѣнныхъ хх, х2, ..., хп, предполагаемыхъ независимыми,
уравненіе
Аі их + ••• +АЮ ит = 0
разбивается на п уравненій, а именно:
Аі Я11 + А2 Я21 + ' ’ ’ + атХ — 0 >
Аі «12 Л2 я22 + ''' + ~^т ат1 — 0.
Аі яіи + А2 «2И + '' ’ + Ат атп — 0.
Чтобы нельзя было удовлетворить этимъ уравненіямъ значеніями
Аі, А2, ... А,ге, не равными нулю одновременно, необходимо и доста-
точно, чтобы рангъ матриссы системы былъ равенъ т (§ 56).
Итакъ, имѣемъ теорему: Для того, чтобы т линейныхъ формъ
съ п перемѣнными были независимы, необходимо и доста-
точно, чтобы рангъ ихъ матриссы былъ равенъ т. Какъ
частный случай отсюда вытекаетъ, что условіе, необходимое и до-
статочное для независимости п линейныхъ формъ съ п перемѣнными,
состоитъ въ томъ, чтобы опредѣлитель ихъ не былъ равенъ нулю.
62. Если т > и, то рангъ матриссы непремѣнно меньше т,
потому что онъ не можетъ быть больше п. Отсюда слѣдуетъ,
что не можетъ существовать больше, чѣмъ п независимыхъ
формъ отъ п перемѣнныхъ. Такъ напримѣръ, формы ах-уЪу
и а'х-\-Ъ'у независимы при аЪ'^а'Ъ, но невозможно найти
еще третью форму а"хЬ"у, независимую отъ первыхъ двухъ.
Дѣйствительно, каковы бы ни были а" и Ъ" всегда имѣетъ мѣсто
тождество
(а' Ь" — Ь'а") (ах + Ьу) + (Ьа" — аЬ") (а'х + Ь'у)
+ (аЬ' — Ьа') (а"х + Ь"у) = 0.
Во всякомъ случаѣ наименьшее число формъ, къ которому
приводится данная система линейныхъ формъ, равно рангу
ихъ матриссы, т. е. если д есть рангъ матриссы, то т — д формъ
могутъ быть выражены черезъ остальныя д, которыя одна отъ дру-
гой не зависятъ. Къ тому же заключенію приводитъ слѣдующее
замѣчаніе. Если перемѣннымъ хі, Хг,...,хт дадимъ произвольныя
значенія, не равныя нулю одновременно, и вычислимъ соотвѣтству-
ющія имъ значенія гц, и->, ... ит, то уравненія
Ыі = "11 -Г1 + «/2-^2 + ••• аіпХп’ (« = 2> »«)•
опредѣляющія эти формы, можно разсматривать, какъ систему со-
вмѣстныхъ уравненій, для которой поэтому всѣ характеристическіе
опредѣлители должны быть равны нулю. Поэтому всегда имѣемъ
«і, л12 •
«21 л22 ... а2і1 и2
«<<1 %2 • • гіі,
аг-і «г
и на основаніи § 25 и 53, с) находимъ
и = -р . а а , и, (г = 1, /і + 2....т)
« і, з
чѣмъ и доказывается вышесказанное.
63. Теперь мы можемъ доказать одну теорему, которая облег-
чаетъ опредѣленіе ранга данной матриссы. Допустимъ, что найденъ
такой опредѣлитель <5 ф 0 порядка д, что всѣ опредѣлители по-
рядка д + 1, содержащіеся въ матриссѣ и содержащіе въ себѣ <5,
равны нулю, такъ что
«11 «12 • • • «1,и «1з |
«21 «22 • • • «2ц «2з
«111 «р2 ' • • «ц.и «цз
I аг1 аг2 ... аг/і аГІ!
при всѣхъ возможныхъ значеніяхъ г и 5. Разлагая этотъ опредѣ-
литель по элементамъ послѣдняго столбца и раздѣляя на д, полу-
чимъ равенство
атз ~ А Я18 + '-2 а2» + ''' + Пиі •
въ которомъ Лі, Аг, ... А„ отъ 5 не зависятъ. А это показываетъ,
что формы
иг = х, ----(- агп хп (г == д + 1, Д + 2, ..., ш)
выражаются линейно черезъ иі, И2,...,ии (уже независимыя одна
отъ другой, потому что д ф 0). Поэтому рангъ матриссы
Я11 я12 • • • «1„ і
Я21 я22 • • • а2п
.................і
ат1 ат2 ‘ ‘ ‘ атп |
какъ разъ равенъ д. Итакъ, чтобы можно было утверждать,
что рангъ матриссы равенъ д, достаточно найти въ ней
одинъ такой опредѣлитель порядка д, не равный нулю, что
всѣ опредѣлители порядка д —|— 1, его въ себѣ содержащіе,
равны нулю. Отсюда, какъ частный случай, вытекаетъ такая теорема:
Если не всѣ опредѣлители, содержащіеся въ какихъ нибудь т — 1
столбцахъ написанной выше матриссы, равны нулю, а всѣ старшіе
опредѣлители, содержащіе въ себѣ тѣ же столбцы, равны нулю,
то и всякій другой старшій опредѣлитель равенъ нулю.
Линейныя преобразованія. 1ЦІ
64. Представимъ себѣ, что въ одной или въ нѣсколькихъ
алгебраическихъ формахъ съ п перемѣнными хі, Х2,---,х„, числа
Хі (/=1, 2, ..., п) замѣняются слѣдующими выраженіями
(12)
Х1 — ^11А1 + ^12>2 + "• + ^ІиАп’
Х2 = ^21 Аі + ^22 Аг + ’' ’ + ^2иА„ >
хп = ^иіАі + ' + Ъппуп •
Данныя формы превращаются тогда въ такое же число формъ съ
перемѣнными^!,^г, • • . ,_у„. Операція, изображаемая уравненіями (12),
переводящая данныя формы въ новыя, называется линейнымъ пре-
образованіемъ. Модулемъ преобразованія называютъ опредѣ-
литель
ъ ъ ъ
«11 «12 . . . «1н
А Ъ ѣ
А21 22 •• к2п
к к к
Кп\ Кп2 ' Кпп
который надо предполагать не равнымъ нулю, иначе между перемѣн-
ными д,"і, Х2,---,хп установилось бы линейное соотношеніе (§ 61),
и онѣ не были-бы независимыми перемѣнными. Если К = 1, то
преобразованіе называютъ унимодулярнымъ.
65. Чтобы возвратиться отъ преобразованныхъ формъ къ пер-
воначальнымъ, нужно къ преобразованнымъ формамъ примѣнить
нѣкоторое другое линейное преобразованіе, которое называется
обратнымъ относительно перваго. Формулы обратнаго преобразо-
ванія очевидно получатся, если рѣшимъ уравненія (22) относительно
чиселъ у. Если Ху есть алгебраическое дополненіе элемента кія
въ К =|= 0, то правило Крамера даетъ
(13)
Ауі — Иц Л'і 4~ х2 + ••• + ХИ1 х„,
Ку 2 = *12 Л’1 + Х22 х2 + + КП2 хп >
КУ„ = И1п Хі + Х2и Х2 + ' ’' + *пп Хп‘
Модуль обратнаго преобразованія есть (§ 37)
Х11 И21 ... Х„1
Х12 Х22 • • • 'Лп2
1
К '
^Іп Л2п ' * ' Лпп
66. Если примѣнимъ преобразованіе (12) къ системѣ формъ
алхі + аі2хг^-----------^аіпхп’ (г = 1, 2, .... я),
то эта система преобразуется въ систему
ЬцУх + Ьі2у2 ----1- Ьіпуп, (г = 1, 2, ..., п),
гдѣ числа Ь весьма просто связаны съ числами а. А именно, если
мы примѣнимъ преобразованіе (12) къ г-ой формѣ первой системы,
то эта форма преобразуется въ
ал + •• + ^ІпД'и) + аі2 (^21^1 + • + ^2»^п)
+ " + аіп (^П1Л1 + ••' + &тУп)'
Поэтому, отбирая коэффиціенты при у3-, найдемъ
Ьі} = ал і + аі2 к2і + '' • + (Ііп кп ..
По правилу умноженія опредѣлителей тотчасъ видимъ, что
5ц ^12 ’ • 51и а11 «12 • Я1и к11 ѣ "21 • ѣ • кп\
^21 ^22 ’ &2п = ^21 ^22 * • «2И 1 ^12 ^ 22 ' ъ,л
5иі ^и2 ‘ * &пп «П1 «Я2 • 1 1 1 1)1
т. е.: Опредѣлитель системы формъ, полученной черезъ ли-
нейное преобразованіе данной системы линейныхъ формъ,
равенъ опредѣлителю первоначальной системы, умножен-
ному на модуль преобразованія.
67. Послѣдовательное примѣненіе нѣсколькихъ линейныхъ пре-
образованій равносильно примѣненію одного такого преобразованія,
модуль котораго равенъ произведенію модулей всѣхъ дан-
ныхъ преобразованій. При доказательствѣ этого предложенія мы
можемъ, конечно, ограничиться случаемъ двухъ послѣдовательныхъ
преобразованій
ѵі = + ^Уг + •• + ЬіпУп’ Уі = 4 -1 + ^2 «2 + ••• + к’іпеп
Результатъ послѣдовательнаго примѣненія этихъ двухъ преобразо-
ваній, очевидно, равносиленъ преобразованію, опредѣляемому фор-
мулами, дающими выраженія перемѣнныхъ х непосредственно черезъ
перемѣнныя а. Разсматривая Хі, х2, ..., х„, какъ систему линейныхъ
формъ отъ у1у у2, . •> У», имѣющую опредѣлитель К, и обозначая
черезъ К' модуль второго преобразованія, на основаніи преды-
дущаго § тотчасъ находимъ, что КК' есть опредѣлитель новой
системы формъ, т. е. модуль преобразованія, равносильнаго двумъ
даннымъ.
68. Ортогональныя преобразованія. Между линейными пре-
образованіями особенно важное значеніе имѣютъ ортогональныя.
Они оставляютъ безъ измѣненія сумму квадратовъ перемѣнныхъ.
Чтобы преобразованіе (12) было ортогонально, необходимо, слѣ-
довательно, чтобы тождественно удовлетворялось равенство
(14)1 х2± + Х~, Н-1- х2 = у2 +у2 н--І-У2 ,
т. е. въ выраженіи
(*ИУі 4---Ь ЬіпУпУ2 + (^21-Уі 4-ь ^пУпУ + ••
+ (^1Л + ••• +^тІУп)2
коэффиціентъ при ѵ,2 долженъ быть 1, а коэффиціентъ при угуі,
гдѣ г ~|= у, долженъ быть 0. Разлагая квадраты по степенямъ буквъ у,
находимъ, что
(15)
&М ^1 у + ^2і ^2} + ~
1 при і = у
0 при іф]
Обратно, если условія (15) выполнены, то и тождество (14) выпол-
няется, и преобразованіе будетъ ортогонально.
69. Опредѣлитель называется ортогональнымъ, если имъ
можно воспользоваться въ качествѣ модуля ортогональнаго преобра-
зованія, для чего необходимо и достаточно, чтобы между его эле-
ментами кіі существовали соотношенія (15). Всякій ортогональный
опредѣлитель равенъ + 1. Дѣйствительно, въ силу соотноше-
ній (15), квадратъ его
1 0 ... О
і.................
| О О ... 1
откуда К — + 1. Преобразованіе съ модулемъ К называется право-
вращающимъ при К = + 1, и лѣвовращающимъ при К = — 1.
70. Всякій ортогональный опредѣлитель характери-
зуется тѣмъ, что каждый его элементъ равенъ своему алге-
браическому дополненію, взятому притомъ съ обратнымъ
знакомъ, когда опредѣлитель равенъ—1.
Въ самомъ дѣлѣ, давая въ формулахъ (15) числу і значенія
1, 2, 3,..., п, получимъ
1 ^11 ] + ^21 і + '' ' + ^>11 кпз = 6 >
I ^12 з + ^22 ^2> + " ' + ^И2 кп= О,
I к2) Н Ь к„з = 1 ,
I + ^2я + ••• + — О,
Рѣшая эту систему относительно Х’іу, Ф /гП} по правилу Кра-
мера, находимъ
КкІЗ — 0 • *І1 + 0 • + ••• + 1 • + •• • + о - у.іп = хі},
откуда и слѣдуетъ сказанное. Обратно, если
(16) Кк^ = х,. ,
то лѣвая часть въ формулѣ (15) будетъ
У-1 з + к2і Г-2з + • • + У-пз-) ’
она равна 0 при / ф/, и 1 при і = /. Уравненія (15) удовлетво-
ряются и опредѣлитель ортогоналенъ.
71. Болѣе обще, каждый миноръ ортогональнаго опредѣли-
теля равенъ соотвѣтствующему алгебраическому дополненію, и при-
томъ съ обратнымъ знакомъ, если опредѣлитель равенъ — 1. Дѣйстви-
тельно, разсмотримъ въ опредѣлителѣ, взаимномъ съ К, какой нибудь
миноръ ѵ-го порядка. На основаніи формулы (16) онъ равенъ
соотвѣтствующему минору Кѵ въ К, умноженному на К'’. Съ дру-
гой стороны (§ 38), мы знаемъ, что тотъ-же миноръ равенъ алге-
браическому дополненію Кѵ, умноженному на /С" -1; раздѣляя полу-
ченное равенство на К1 \ находимъ, что алгебраическое допол-
неніе минора Кѵ равно ККѴ, что и требовалось доказать.
72. Чтобы нѣкоторое преобразованіе было ортого-
нальнымъ, необходимо и достаточно, чтобы модуль его, по
замѣнѣ въ немъ столбцовъ строками, совпалъ съ модулемъ
обратнаго преобразованія. Въ самомъ дѣлѣ, если преобразо-
ваніе (12) ортогонально, то, внося въ формулы (13) выраженія х,-у
изъ формулъ (16), тотчасъ увидимъ, что упомянутое условіе небхо-
димо. Обратно, если формулы
ХІ = ^іЛ'і + кііУ, + + •• + кіпУп
Уі = -Г1 + кИ л'з + ^Зг Л'3 + ’'' + кпІ хп
при г = 1, 2, 3, ... п изображаютъ два обратныхъ преобразованія,
то изъ нихъ слѣдуетъ тотчасъ и соотношеніе (16), а слѣдовательно,
оба преобразованія ортогональны.
73. Построеніе ортогональныхъ преобразованій. Элементы
ортогональнаго опредѣлителя и-го порядка, число которыхъ равно гі~,
должны удовлетворять условіямъ (15). Число послѣднихъ равно
и д. і.«(и — 1) = \п(п + 1), а именно п тѣхъ, у которыхъ правая
часть равна 1 и \п(п — 1) тѣхъ, гдѣ правая часть равна нулю.
Отсюда слѣдуетъ, что мы можемъ дать произвольныя значенія
іі- — |7?(и-(- 1) = %п(п - 1) элементамъ, и тогда, вообще говоря,
остальные \ 1) элементовъ, удовлетворяющіе такому же числу
условій, уже опредѣлятся. Вмѣсто того, чтобы приписывать произ-
вольныя значенія -1и(и-(-1) элементамъ, можно поставить себѣ
задачу выразить всѣ п2 элементовъ черезъ ^п(п— 1) произволь-
ныхъ величинъ. Эта задача рѣшена Кейли (Сауіеу) съ помощью
весьма изящной методы, которую мы и изложимъ. Пусть
Я11 Я12 • ' «Іп
д _ я21 а22 ... а2п
\ ап1 апі • • апп
будетъ псевдосимметрическій опредѣлитель, котораго главные эле-
менты всѣ равны 1, такъ что
(17)
ац = ~ аИ ПРИ г и = 1 ’
Въ опредѣлителѣ А произвольны только элементы, лежащіе по одну
сторону главной діагонали, число ихъ равно %п(п — 1), и мы ихъ
можемъ выбрать за величины, въ которыхъ надо выразить всѣ и2
элементовъ модуля К. Разсмотримъ преобразованія, опредѣляемыя
формулами
хі = аи «і + «й «2 + «з + • • • + аіп
Уі = ^1 + П2І г2 + ПЗІ ' + апіеп>
для /=1, 2, 3, ..., п. Складывая эти формулы и принимая во
вниманіе равенства (17), находимъ
(18)
хі+Уі = ^і.
Преобразованія, обратныя предыдущимъ двумъ, выражаются фор-
мулами
А:-і = П1і -Г1 + а2і Х2 + Х3 Н----Ь апіХп,
= ПІ1У1 + аі2У2 + пізУз + + «іпУп-
которыя, въ силу (18), приводятся къ слѣдующимъ
2 2 / 2 \ 2
Уі = “1 і Л'1 + а2іХ2 + ' '' + аіі ~ 1 Хі + '' апіХп >
2 2 / 2 \ 2
хі = ^апУі + ~4 аі2У2-----------Цзф ач - Н--------------Н аіпУп,
А это показываетъ, что (§ 72) преобразованіе, въ которомъ общее
выраженіе элемента модуля есть
(19)
при і =]
при гф/,
будетъ ортогональнымъ.
74. Построенное такимъ образомъ преобразованіе
всегда правовращающее. Въ самомъ дѣлѣ, модуль его
Произведеніе А на опредѣлитель, стоящій въ правой части, есть
опредѣлитель, въ которомъ общее выраженіе элемента имѣетъ слѣ-
дующій видъ:
А = ал ал + аі2аі2 н-----ь і Л) Н----1- аіп а^,
т. е.
Г=: П
А [Аа-
Г = 1
Первый членъ въ правой части этого равенства равенъ нулю при
і А], и равенъ А, при г =]. Слѣдовательно,
Сц = - І АаЦ = І Апп ПРИ І Ф/
с,-,- = А - I Аа„ = $А.
Слѣдовательно, всегда су = ^Аа^, (а.ц = 1), откуда слѣдуетъ, что
і Аап | Ап.л ... і Аап1
-^^22 • • •
| л«1в I Аа.іп ... I Аапп
Припоминая, что А никогда не можетъ быть нулемъ (§ 47), мы
и находимъ, что К = 1.
75. Примѣръ. Для построенія самаго общаго ортого-
нальнаго опредѣлителя 3-го порядка замѣтимъ прежде всего,
что взаимный опредѣлитель опредѣлителя
1 г /]
— г 1 р
д -р 1
= 1 + У’2 + ?2 + г~
будетъ
1+ф і' + рд -д+рг
-г + др 1 — Ф Р + дг
д ф гр — р + п? 1 + г2 * *
Съ помощью формулы (19) тотчасъ находимъ, что искомый опре-
дѣлитель будетъ
1 + /2 ~ Ф — г'2
1 + У»2 + ф + г2
2 ( - Г + др-)
ф/2 + ф ф2
2 (? + </>)
1 + Ф + + гі
2 Ф + рд)
1 + Ф2 + Ф + г2
1 - ф ф - г8
1 Ф/2 Ф Ф Ф г2
2 ( - Р + гд)
1 + />2 + ф + г2
2 ( - ? + /Ф
1 + Р1 1 + ?2 + гі
2 (/ + дг)
і + У’2 + ?2 + г2
1 — />2 — д2 + г2
Обозначая черезъ а, у три числа, удовлетворяющія равенству
а2 ф Р2 ф У2 = 1, всегда можемъ положить
"і? ’З'
р = аі%^-> д у - г =
Тогда предыдущій опредѣлитель представится въ болѣе простомъ
видѣ
соз//-га- (1--соз + 75Іпг} + аЗ(1 —соз#) —л?8Іп# + а"/(1 —соз#)
— /зіп-^ + ^а (1 — созг>) соз О-г + (1соз + азіи^ + .З/(1 — созіЗ) !.
/Ззіпд + уа (1 — соз &) — азіп + (1 — соз #) 00517+ у2 (1 — созг>) ,
Отсюда слѣдуетъ, что самое общее ортогональное преобразованіе
тройничной формы опредѣляется формулами
(20)
х' = х соз + (уу — Зг) зіп д + а (1 — соз &) (ах + Зу + ув),
у' = у соз & + (аз — ух) зіп 3 + 3 (1 — соз +) (ал- + Зу + "/«),
г' = з соз 3 + (Зх — ау) зіп 3 + у (1 — соз 3) (а.ѵ + Зу + уз)
извѣстными въ Аналитической Геометріи подъ именемъ „формулъ
Эйлера" х). Такъ какъ, очевидно, ах' у уу' З-'/г' = ах + /?у+-уз,
э это преобразованіе оставляетъ безъ измѣненія выраженія +2+_у2 + з2
ах + [Зу + /з, а слѣдовательно, и выраженіе п2 — х2 у2 + з2 —
- (ах + /9у + /г)2 = (уу — ;9з)2 + (аг — ух)2 -|- (/?х — ау)2. Раз-
сматривая а, /?, у какъ косинусы угловъ, образуемыхъ нѣкоторымъ
направленіемъ съ тремя осями прямоугольной системы координатъ,
а х, у, г, какъ Декартовы координаты нѣкоторой точки М, мы
видимъ, что точка М, при переходѣ въ другую точку М' съ ко-
ординатами х7, у', г’, вращается около прямой, проходящей черезъ
начало координатъ и опредѣлимой направленіемъ (а, /9, у), всегда
оставаясь въ разстояніи, равномъ о, отъ этой прямой. Направленіе
общаго къ этой прямой и прямой ОМ перпендикуляра опредѣляется
косинусами
уу — '--г 7х Зх ау
д д д
а потому косинусъ угла, на который должна повернуться точка М
около прямой, чтобы попасть въ М', равенъ частному отъ
дѣленія (29) произведенія матриссъ
а 3
х у
\ а 3 У
і х' у' з'
7
= хх' + уу' + - (ал + Зу + уг)2
на о2, т. е. соБі?. Итакъ, формулы (20) обозначаютъ враще-
ніе на уголъ 3 около прямой, проходящей черезъ начало
координатъ въ направленіи (а, р, у). (Примѣч. XXII.)
!) Онѣ вновь были найдены Родригомъ (Кобгіяиез) Т. V. Лоигпаі
ЛоиѵіПе (р. 405).
КВПДРНТИЧНЫЯ ФОРМЫ.
Основныя понятія изъ теоріи квадратичныхъ
формъ.
76. Въ приложеніяхъ Алгебры особенно важное значеніе имѣ-
ютъ квадратичныя формы (55) съ п перемѣнными:
13 = Й11 Л'1 + Л22 ,ѵ2 + «33 А, + • • + Яип X*
2й|2 Х2 2«^3 Х^ Л"3 2л23 Х2 .ѵ3 • • •
Для сокращенія принято писать
і, 7
причемъ подразумѣвается, что указатели і и у, одинъ независимо
отъ другого, принимаютъ всѣ значенія (цѣлыя) отъ 1 до п.
Симметрическій опредѣлитель
а11 а12 ‘ ' а1п
д _ Л21 «22 • • • «2и
ап1 а2п ' ' ' Япп
гдѣ ау = Щі, называется дискриминантномъ формы ІЗ, а квадра-
тичная форма
Ѵ=ХаИХіХі.
1, 3
дискриминантъ которой есть опредѣлитель взаимный съ опредѣли-
телемъ А, называется формою взаимною съ [}.
77. Съ изученіемъ квадратичной формы (7 находится въ тѣс-
ной связи разсмотрѣніе системы линейныхъ формъ, опредѣлитель
которой равенъ дискриминанту формы, а именно:
«і = аи хг + а12х2^--1- я1и хп,
м2 ~ Я21 Х1 + я22 х2 + '' ’ + в2и Хп ’
и»=ап1Х1+ а„2Х2^-----^аппХп'
Прежде всего замѣчаемъ, что имѣемъ равенство
(2) 13 = хг + «2 х2 + • • + гіпхп'
Это даетъ для выраженіе, симметричное относительно буквъ х и и.
Примемъ теперь за новыя перемѣнныя числа иі, и2, ...,ип, пред-
полагая, что они независимы. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство А ф 0 (§ 61). Если введемъ эти
новыя перемѣнныя въ выраженіе то эта форма перейдетъ въ
взаимную съ нею (раздѣленную на А). Дѣйствительно, прилагая
правило Крамера къ рѣшенію системы (1) относительно перемѣн-
ныхъ х, найдемъ систему уравненій
^Х1 — «11 4- «21 гі2 + + ая1 "я ’
Ах% — а12 И] + «22 «2 + • • • + а,і2 ип'
Ахп = «1я“1 + «2я«2 Н--Ь %„«„
Подставляя эти выраженія въ равенство (2), получимъ
(3) 17=«.,«/«,
і, з
78. Къ тому же результату можно придти иначе. Условіе со-
вмѣстности уравненій (1) и (2), съ неизвѣстными х,, требуетъ,
чтобы
«11 "12 • «Ія г‘1
«21 «22 ’ «2я и., = 0
«ЯІ «Я2 • • апп ип
"1 г/2 . ип V
Отсюда (§
17) получимъ для
и выраженіе
«и ^12 * • «Ія
«21 «2я
«ЯІ «я2 ' «ЯЯ "я
"1 «2 • • “я 0
которое (§ 25) не отличается отъ выраженія (3). Если, аналогично
этому, выразимъ условія совмѣстности уравненій (Iй) и (2), съ
неизвѣстными Иі, и2, то можно будетъ написать
«11 «12 • • ' «Ія Х1
«21 «22 • • «2я Х2
1
Ля-2
I
“яі «я2 • ' • «я» хп
х± х9 ... х 0 і
Полезно удержать оба выраженія для [}.
(См. прим. XXIII).
79. Само по себѣ понятно, что всякую квадратичную форму
можно выразить въ произвольно большомъ числѣ перемѣнныхъ;
стоитъ только замѣнить каждую изъ перемѣнныхъ, въ которыхъ
форма первоначально выражена, линейною формою новыхъ пере-
мѣнныхъ, число которыхъ больше числа первоначальныхъ. Обратно,
весьма важно имѣть возможность узнать, можетъ ли данная форма
быть приведена къ формѣ съ меньшимъ числомъ перемѣнныхъ.
Допустимъ, что въ квадратичной формѣ
п
ѵ аізхіхз
«> 3
п перемѣнныхъ х могутъ быть линейно сгруппированы такъ, что-
бы для 1} получилось выраженіе, зависящее отъ т новыхъ пере-
мѣнныхъ
( Л = ^11 Х1 + ^12 х2 + •" + ^1и Л'и>
1 У 2 — ^21 Л'1 + ^22 х2 + " + &2п Хп>
( Ут = !гт1 А’1+ кт2х2+ + /гтпХп'
Пусть
т
и = У ьиУіУз
і, 3
будетъ это новое выраженіе формы [}. Представляя себѣ, что въ
него подставлены выраженія ^у-овъ черезъ х, и сравнивая результатъ
съ первоначальнымъ выраженіемъ П, получаемъ
(4)
гдѣ
(5)
Уравненіе (4) показываетъ, что дискриминантъ А равенъ произве-
денію матриссъ
Сц С12 . . С1п ^12 ^12 • • ^1и
(6) "2І С2п ^21 &22 ' ^2п
Ст1 Ст2 •' стп ^ті ^т2 ’ ' ’ ^тп
составленному по столбцамъ. Если т < п, то это произведеніе
равно нулю (§ 29). Итакъ, если квадратичная форма можетъ быть
приведена къ формѣ съ меньшимъ числомъ перемѣнныхъ, то ея
дискриминантъ равенъ нулю. Мы увидимъ вскорѣ, что обратно, если
дискриминантъ формы обращается въ нуль, то форма будетъ при-
водима, и поэтому можно будетъ высказать такую теорему: Для
того, чтобы квадратичная форма была неприводима необхо-
димо и достаточно, чтобы ея дискриминантъ не былъ ра-
венъ нулю.
80. Если т = п, то А = СК*), и уравненіе (5) показы-
ваетъ, что и С = ВК. Слѣдовательно, А — ВК2, т. е. квадра-
тичная форма, полученная линейнымъ преобразованіемъ
данной формы имѣетъ дискриминантъ, равный дискрими-
нанту данной формы, умноженному на квадратъ модуля
преобразованія.
81. Рангъ дискриминанта квадратичной формы равенъ
наименьшему числу перемѣнныхъ, къ которому можетъ
быть приведена данная форма. На основаніи замѣчанія, сдѣлан-
наго въ концѣ § 43, всегда можно предположить, что за главный
опредѣлитель въ А взятъ одинъ изъ главныхъ миноровъ порядка (л
(/л — рангъ А). Пусть
ац «12 • «1Д
= «21 «22 • • •
арХ аи2 ' ' ' а,и,и
будетъ этотъ опредѣлитель. Совмѣстность уравненій (1) и (2) тре-
буетъ, чтобы (§ 53)
«11 «12-•• Я1,« “1 I
«21 «22 • ' ’ «2,<|. «2
.................!=°-
«,и1 «д2 ’ • ащі и:и
«1 «2 С ।
Отсюда, по формулѣ § 25, находимъ
гдѣ алгебраическое дополненіе въ <5. Такимъ образомъ мы
видимъ, что въ дѣйствительности 17 приводится къ квадратичной
формѣ съ /л лишь перемѣнными, которыя уже независимы, такъ-
какъ д ф 0 **). Такъ какъ дискриминантъ новой формы равенъ (§ 37)
у'1-1
—_— = и также не равенъ 0, то дальнѣйшее приведеніе къ мень-
*) Понятно, что С и К обозначаютъ опредѣлители съ элементами,
соотвѣтственно равными и Ъі-.
**) Такимъ образомъ доказано то предложеніе, о которомъ было упо-
мянуто въ § 79.
тему числу перемѣнныхъ невозможно (§ 79). Послѣднее утвержденіе
можно еще доказать слѣдующимъ образомъ. Всякій миноръ ѵ-таго
порядка въ А равенъ произведенію двухъ атриссъ (§ 31), которыя
получаются выборомъ нѣкоторыхъ ѵ столбцовъ изъ матриссъ (6).
Пока ѵ > т, произведеніе такихъ двухъ матриссъ, по теоремѣ Бине,
равно нулю. Слѣдовательно, всѣ миноры порядка ѵ > т въ А бу-
дутъ равны нулю и потому его рангъ /г т, т. е. т /х, иными
словами, невозможно привести квадратичную форму къ меньшему,
чѣмъ /х, числу перемѣнныхъ.
82. Для неприводимыхъ квадратичныхъ формъ показано было
въ §§ 77 и 78 возможность перехода отъ данныхъ формъ къ
взаимнымъ. Легко видѣть, что подобный переходъ невозможенъ для
формъ приводимыхъ. Прежде всего замѣтимъ, что при /г < п — 1,
взаимныхъ формъ не существуетъ вовсе, потому что всѣ миноры а,у,
будучи порядка п — 1 > /х, обратятся въ нуль (по опредѣленію
чсила /г). Если же у, = п — 1, то взаимная форма существуетъ, но
рангъ ея дискриминанта равенъ 1 (§ 36). Слѣдовательно, эта вза-
имная форма приведется (§ 81) къ одному квадрату линейной
формы. Иными словами, взаимная форма отъ данной при-
водимой квадратичной формы, если существуетъ, есть
квадратъ линейной формы. Это можно доказать и непосред-
ственно. Прежде всего замѣтимъ, что по крайней мѣрѣ одинъ изъ
главныхъ элементовъ а„ взаимнаго опредѣлителя долженъ быть
отличенъ отъ нуля, иначе всѣ его элементы (§ 45) были бы равны
нулю. Затѣмъ можемъ написать
«гг Г агг Хі Хі = а* аг} Хі Х] (§ 36)
Ь 3 Ь 3
или
агг Ѵ ап Х1 агі Х] = («гі -Н + -Г2 Н-----1- агп Х'А~ *) •
Л 3
Инваріантныя свойства.
83. Инваріанты. Положимъ, что а, Ь, с,... обозначаютъ
коэффиціенты нѣкоторой алгебраической формы степени т, и
а, Ь', с',... аналогичные имъ коэффиціенты формы, получаемой
изъ данной при помощи нѣкотораго линейнаго преобразованія **)
*) Надо помнить, что при = аи = ау,. (§ 43).
**) Коэффиціенты а и а' называютъ аналогичными, если они стоятъ
передъ членами, соотвѣтствующими другъ другу въ данной и преобразован-
ной формѣ такъ, что если въ данной формѣ былъ членъ ах{х^ то въ пре-
образованной будетъ членъ а' у\у1^.
Положимъ, что каково бы ни было это преобразованіе всегда
имѣетъ мѣсто соотношеніе
(7) <р (а', Ь', с', ...) = Кр (р (а, Ь, с, ...),
гдѣ К модуль преобразованія. Въ такомъ случаѣ выраженіе <р на-
зывается инваріантомъ данной формы. Если р = 0, то между
коэффиціентами данной и коэффиціентами новой формы суще-
ствуетъ соотношеніе, независящее отъ сдѣланнаго преобразованія,
и инваріантъ называется тогда абсолютнымъ. Въ такомъ случаѣ,
вообще говоря, невозможно данную форму преобразовать въ дру-
гую тоже напередъ заданную, потому что новые коэффиціенты
не могутъ быть заданы произвольно, а должны удовлетворять ра-
венству
(8) Ф («', Ь', с',...) = (( (а, Ь, с, ...).
84. Принявъ во вниманіе вышесказанное, легко рѣшить во-
просъ: существуютъ ли формы ш-ой степени съ п пере-
мѣнными, не имѣющія абсолютныхъ инваріантовъ? Если въ
формѣ /г-ой степени имѣется ѵ коэффиціентовъ, то легко видѣть,
что, вообще говоря, можно найти такое линейное преобразованіе,
которое переведетъ данную форму въ другую произвольно задан-
ную, если число коэффиціентовъ преобразованія, т. е. №, не меньше
числа условій, которымъ надо удовлетворить, т. е. ѵ, эти условія
мы получаемъ, выражая, что коэффиціенты преобразованной формы
равны заданнымъ а ргіогі числамъ а', Ь', с', .. . Припоминая ска-
занное въ § 55 о числѣ коэффиціентовъ въ формѣ т-ой степени
съ п перемѣнными, находимъ, что, если не имѣютъ мѣста соотно-
шенія вида (8), то должно быть
п + 1 п + 2 я + 3 п т — 1
1 - . ! . !—. . . . '-----П.
2 3 4 т
Замѣтимъ теперь, что произведеніе первыхъ двухъ множителей въ
лѣвой части
і(» + 1) (» + 2) = я + |(я - 1) (я - 2) * п,
гдѣ подъ п подразумѣвается цѣлое число, большее единицы. Такъ
какъ всѣ слѣдующіе множители больше 1, то написанное неравен-
ство не можетъ удовлетворяться при т > 3. Слѣдовательно, т = 2
или т = 3. Въ первомъ случай п произвольно, во второмъ п обя-
зательно должно быть = 2 - ). Итакъ, соотношенія (8) не могутъ
существовать для квадратичныхъ и для бинарныхъ кубиче-
скихъ формъ. Эти формы не имѣютъ абсолютныхъ инваріантовъ.
Для всѣхъ другихъ формъ будемъ имѣть ѵ > п2 и ѵ — п2 равно
числу ихъ абсолютныхъ инваріантовъ. Напримѣръ, бинарная форма
*) Иначе я (я — 1) (я — 2) > п.
ж-ой степени, при ж>3, имѣетъ т— 3 абсолютныя инваріанты, трой-
ничная форма той же степени имѣетъ ихъі(ш+1)(т + 2) — 9 ит. д.
85. Форма, не имѣющая абсолютнаго инваріанта, не
можетъ имѣть болѣе одного обыкновеннаго инваріанта.
Въ самомъ дѣлѣ, допустимъ, что форма имѣетъ два инваріанта
д> и ір, переходящіе при линейномъ преобразованіи въ <р Кр и уК9,
тогда выраженіе д>ѵчр— р переходило бы въ К1')'1 (гр= грчр-р
и было бы абсолютнымъ инваріантомъ разсматриваемой формы, что
противно предположенію.
86. Квадратичная форма имѣетъ только одинъ инва-
ріантъ, а именно дискриминантъ формы. Въ § 80 уже было
доказано, что дискриминантъ есть инваріантъ. Другого же не можетъ
существовать потому что квадратичная форма (§ 85) не имѣетъ
абсолютнаго инваріанта (§ 84).
87. На томъ же основаніи бинарная квадратичная форма
а0Л-8 + 3<71Л-у + ЗЛмЛ'у2 + «зД»3
не можетъ имѣть болѣе одного инваріанта. Этотъ единственный
инваріантъ есть
4 («о«2 — аі> (аіаз яг) ““ (яояз ~~ яія2)2,
какъ впослѣдствіи будетъ показано. Впрочемъ, непосредственное
вычисленіе безъ особаго труда покажетъ, что приведенное выше
выраженіе при линейномъ преобразованіи пріобрѣтаетъ только мно-
житель К*. Биквадратичная форма
лол4 -|- 4а1х3у + 6а2х2у2 + 4а3л'_)';1 + аіуі
имѣетъ, кромѣ инваріанта
1 — — 4(?^6Тд —ѣ 3^7„
переходящаго при линейномъ преобразованіи съ модулемъ К въ К^І,
еще инваріантъ
«0 «2
0 •) 2
= аоа2а4 2п1а2а3 - а2 - аоа%
^2
переходящій въ К6} *). Поэтому единственный абсолютный инва-
ріантъ (§ 85) этой формы будетъ /3 : /2.
:) Все это будетъ доказано въ книгѣ V, §§ 482, 483.
88. Вмѣсто одной формы можно разсматривать систему формъ
и опредѣлять инваріантъ системы такъ же, какъ и раньше (§ 83),
представляя себѣ, что онъ выраженъ въ коэффиціентахъ всѣхъ формъ
данной системы. Такъ напримѣръ, опредѣлитель системы п линей-
ныхъ формъ съ п перемѣнными есть инваріантъ системы, потому
что онъ удовлетворяетъ условію (7) при р = 1 (§ 66). Если извѣстенъ
инваріантъ одной формы, то легко получить изъ нея инваріантъ си-
стемы подобныхъ ей формъ *). Мы ограничимся случаемъ двухъ
квадратичныхъ формъ, но обращаемъ вниманіе на то, что излага-
емая ниже метода примѣнима къ любому числу формъ. Положимъ,
что нѣкоторое линейное преобразованіе переводитъ формы
-аихіхз' -ьихіхі
соотвѣтственно въ формы
2^•, І7>'. ,-ѵгѵ,. **)
V * Л 1.) 1 3 7
Ясно, что то же самое преобразованіе переводитъ форму
- ("0- +Аг>ѵ) Х{х} въ 5 + лб'.;) х(Хр
при чемъ Я обозначаетъ совершенно произвольное число. Обозначая
черезъ К модуль преобразованія и припоминая, что дискриминантъ
формы (§ 80) есть ея инваріантъ, будемъ имѣть
"11+7А1 "12 + а1п+^61п |
"21 "Ь ^21 "22 И- ^22 ' ’' а2п И- ^2п
ап1 + ап2 +^п2 "• С,пп + ^І,пп
"11 + 'Аі "12 + А 2 • «1» +
__ "21 + ^21 "22 “Ь ^^22 ” а2п + 7’^2н
"«1 + ап2 + ^п2 ’ ’ ’ апп + ^пп
Каждая часть этого равенства можетъ быть представлена въ видѣ
полинома, расположеннаго по степенямъ /. (§ 17). Напримѣръ, лѣ-
вую часть можно представить въ видѣ
<Го + '-<71 + &~<Р2 + ' •' + /• <Рп •
Обозначая черезъ <р’ то выраженіе, въ которое обращается <рѵ, когда
*) Т. е. формъ той же степени съ тѣмъ же числомъ перемѣнныхъ.
**) Новыя перемѣнныя, послѣ преобразованія, обозначаютъ тѣми же
буквами, какъ и старыя.
въ немъ замѣнимъ коэффиціенты первоначальныхъ формъ коэф-
фиціентами преобразо ванныхъ, будемъ имѣть
<₽0 + + '' ' + ^П(Рп ~ (^О + Л-Т1! + ’' ’ +
каково-бы ни было значеніе Л. Поэтому
<РѴ = к'чѴ' (> =~ О, 1, 2, ..и),
слѣдовательно, <рл, (рі,...,д>п будутъ инваріанты системы. Замѣ-
тимъ, что 5₽0 — А, (рп = В, гдѣ А и В опредѣлители съ элемен-
тами и Ьі) соотвѣтственно. Новыми инваріантами будутъ только
срх, д>2, ..., (рп-і- Выраженіе д?і, напримѣръ, будетъ
0ц «12 • • «1»
<Р\ = $21 • • «2» +
6»і а»2 ",ІП
«11 612 ... П1п | яц «12 ... 61п
«21 ^22 ’ «2» + • + «21 П22 ^2п
$„2 "пп "п2 • &пп
и т. д. Замѣтимъ еще, что каждое изъ др( можно разсматривать,
какъ частный инваріантъ одной изъ формъ, а именно, какъ инва-
ріантъ при такихъ линейныхъ преобразованіяхъ, которыя не мѣ-
няютъ другой.
89. Ортогональные инваріанты. Если потребуемъ, чтобы
(р(а, Ь, с,...) былъ инваріантомъ не для всевозможныхъ линей-
ныхъ преобразованій, а лишь для ортогональныхъ (§ 68) то полу-
чимъ такъ называемые ортогональные инваріанты, число которыхъ,
очевидно, больше, чѣмъ число разсмотрѣнныхъ выше общихъ инва-
ріантовъ. Такъ, квадратичная форма съ п перемѣнными, кромѣ дискри-
минанта, имѣетъ еще « — 1 ортогональныхъ инваріантовъ, разыска-
ніемъ которыхъ мы сейчасъ и займемся. На основаніи замѣчанія,
сдѣланнаго въ концѣ предыдущаго §, всякій инваріантъ системы,
состоящей изъ формы V и формы хі -|-х\ + + Хп (не мѣняю-
щейся при ортогональномъ преобразованіи) будетъ ортогональнымъ
инваріантомъ 17. На основаніи того, что изложено въ томъ же §, всѣ
коэффиціенты 5₽0, фі, 9₽2, • •і (фи = 1) при различныхъ сте-
пеняхъ Я въ разложеніи опредѣлителя
«и + Л а12 ... «і„
«21 «22 + Л ... аіп
а„\ ап2 апп +
будутъ ортогональными инваріантами формы 17. Раньше, а именно
въ § 27, і, было найдено, что (рг есть сумма всѣхъ главныхъ мино-
ровъ т'-аго порядка въ опредѣлителѣ А. Поэтому имѣемъ теорему:
§§ 8991
клноническія выраженія формъ.
73
сумма всѣхъ главныхъ миноровъ одного и того же порядка
въ дискриминантѣ квадратичной формы есть ортогональный
инваріантъ этой формы.
90. Примѣры для упражненія, а) Найти ортогональные инваріанты
тройничной квадратичной формы
ах- + Ьу- + сё- 4- 2/уг + 4- 2кху.
Дискриминантъ
' а к ё
к Ь / 1 = аЬс 4- 2/)у/г а/2 — Ьу- - сіг2
ё / с .
имѣетъ слѣдующіе главные миноры, кромѣ а, Ь, с,
= аЬ — к2.
Слѣдовательно, ортогональные инваріанты будутъ
а + Ь с, Ьс + са 4- аЬ - ]"2 — у;2 — 1і-.
(и, конечно, дискриминантъ).
Ь) Найти инваріантъ системы двухъ тройничныхъ квадратичныхъ
формъ. Пусть данныя формы будутъ вышенаписанная (въ а) и слѣдующая
а' х2 + Ъ'у2 4- с' г2 + “і/'уг + 2%' зх 4- 2к'ху.
Искомый инваріантъ будетъ
а' 1і у
к' 1> / \ +
ё' / с I
а к' §
а к
к Ь
ё / с'
или, въ раскрытомъ видѣ,
Ъса' 4- саЪ' 4- аЪс' — («//2 + Ъ'ё2 + с'№)
+ 2 (ё11/' + /і/ё' +/ёк') ~ 2 ("//' + 4- скк').
Каноническія выраженія формъ.
91. Когда какая нибудь форма съ помощью линейнаго пре-
образованія приведена къ наипростѣйшему изъ всѣхъ видовъ, въ
которыхъ она можетъ быть представлена, то говорятъ, что она при-
ведена къ каноническому виду. Впрочемъ, выборъ наипростѣй-
шаго, т. е. каноническаго вида есть до извѣстной степени дѣло
соглашенія, хотя и не вполнѣ произволенъ. Такъ напримѣръ, би-
нарная кубическая форма
Л.Ѵ3 4- 3/лѴ- І' + Зб'.ѴѴ2 4-
можетъ быть приведена при помощи линейнаго преобразованія къ
виду л3 -ф- у3. Для этого надо положить х = ах -ф-Ру', у = ух' -ф-ду'
и опредѣлить четыре коэффиціента а, у, д такъ, чтобы четыре
коэффиціента преобразованной формы были равны соотвѣтствующимъ
коэффиціентамъ въ х3-\-у3. Эту форму и можно принять за кано-
ническое выраженіе данной формы. Напротивъ того, выраженіе
Л? -ф-у3 -ф- г3 нельзя принять за каноническое выраженіе тройничной
кубической формы, потому что число величинъ, которыми можно
распорядиться (коэффиціентовъ линейнаго преобразованія), здѣсь
равно 9, а число условій, которымъ надо удовлетворить равно числу
коэффиціентовъ формы т. е. 10. На этомъ основаніи вводятъ еще
десятое неопредѣленное к и принимаютъ
я3 _|__уЗ _|_ §]гху &
за каноническое выраженіе формы. Слѣдуетъ, однако, имѣть всегда
въ виду, что подобнаго рода приведенія могутъ въ частныхъ
случаяхъ и неудаваться. Такъ напримѣръ, существуютъ бинарныя
кубическія формы, которыя не приводятся къ виду х3-\-у3, но
могутъ быть приведены къ виду ху2.
92. За каноническое выраженіе квадратичной формы прини-
маютъ
(9) = «і.7і + «аТг Н---Н «нЛо
гдѣ йі (і = 1, 2,... и) величины постоянныя, а \>і— линейныя
функціи первоначальныхъ перемѣнныхъ. Приведеніе квадратичной
формы къ указанному виду возможно не однимъ, а безчисленнымъ
множествомъ линейныхъ преобразованій, потому что № коэффиціен-
товъ искомаго преобразованія
хі = * *ііЛ + 4----ь
(10) хч = + ••• + ЬъіУп,
ХП = Уі + к,иУ2 + • • + кппу „
должны удовлетворять всего ^п(п—1) условіямъ. Дѣйствительно,
чтобы привести II къ виду (9) съ помощью преобразованія (10)
нужно опредѣлить элементы кц такъ, чтобы въ преобразованной
квадратичной формѣ было = 0 при і =|= у ”). Но преобразованіе
будетъ вполнѣ опредѣленнымъ, если потребуемъ, чтобы оно было
ортогональнымъ. Оно должно тогда удовлетворятъ %п(п -ф- 1)
условіямъ ортогональности (§ 73) и еще %п(п — 1) условіямъ, для
того, чтобы преобразованная форма была вида (9). Общее число
условій будетъ
| я (я + 1) + | я (и - 1) = п'-’
п (п— 1)
*) А число такихъ очевидно есть —-
т. е. равно числу неопредѣленныхъ элементовъ Опредѣленіемъ
ихъ изъ указанныхъ условій мы и займемся.
93. Представимъ себѣ, что мы переходимъ отъ формы (9) къ
первоначальной, при помощи преобразованія обратнаго искомому (10);
это обратное преобразованіе, въ силу требуемой ортогональности
искомого опредѣлится формулами (§ 72)
У1 = *и 4- *21 і * * * * * * * * х2 4-к кп1 .Ѵп,
У2 = к12 •*! + ^22 х2 4---------------4 кп2 хп>
Уп = к1пХ1+к2пХ2Ч---------------------І-кп„ХП’
форма (9) обратится въ
V = аг (к1г -т1 + к2г Х2+ + кпг Х»У'-
Г=1
Отождествляя это выраженіе 1} съ первоначальнымъ, получимъ
= ^агкіг^т,
г= I
т. е. полагая / = 1, 2, ..
I «,1 = «1 кн кп + «2 кі2 к!2 + • • + «» кіП кт>
) аі2 = “1 кі1 к21 + а2 кі2 к22 + '' ' + ап кіп к2п'
і аіп = «1 кі1 к,Л + «2 кі2 кп2 + '' ' + «,. кіп кпп
Разсматривая а^кц, а2кі2, ..., апкі„ какъ неизвѣстныя, по правилу
Крамера получимъ
Каікі) = «іі + аі2 + аіл Лп]
(гдѣ х,-; алгебраическое дополненіе въ К). Отсюда, на основаніи
извѣстныхъ свойствъ (формула (16) § 70), слѣдуетъ
аІ кіІ = ЯІІк1.і + Я'2к2і + ' ' + аіп кп/
Полагая здѣсь і= 1, 2, ...,и, получаемъ систему
(«11 - «>) кЦ + «12 к2і + • •' + «1» кпі = 0,
(И) «21 к1] + («22 ~ “>) к2] + + «2п^ѵ=°>
«Іі1^ѵ+ аи2 к2і + + (апп ~ а? кпі = °>
которую можно разсматривать, какъ систему п линейныхъ однород-
ныхъ уравненій съ п неизвѣстными. Для того, чтобы ей удовле-
творяли значенія к^, кгі,.-.,кп^ не равныя нулю одновременно,
необходимо и достаточно, чтобы опредѣлитель системы
(12)
"11 ' а] аѴ> ' ’ ’ аіп
"21 "22 "2„
"»1
"ни "у
обращался въ нуль. Слѣдовательно, аі, а2, будутъ корнями
уравненія
(13)
"11 Х "12 " "іи
п.?1 — х а.,п
= О
апп
и имѣютъ поэтому всегда вещественныя значенія (§ 33, б). Къ по
слѣднему результату, впрочемъ, легко придти непосредственно, разсма-
тривая форму О— а(х^ -ф- хг2 -ф- •• •+ х%), которая преобразуется въ
("і - «)У1 + ("2 - “)Уг + •• + ("и - а)У2„
и поэтому для а = Яі, а2,...,ап приводится къ меньшему числу
перемѣнныхъ. Отсюда слѣдуетъ, что (§ 79) ея дискриминантъ обра-
щается въ нуль для этихъ значеній а.
94. Теперь уже легко опредѣлить элементы искомаго ортого-
нальнаго преобразованія съ помощью системы (И), въ которой
числа уже можно разсматривать, какъ извѣстныя. Взявъ ту си-
стему (11), которая соотвѣтствуетъ данному значенію у, мы знаемъ,
что неизвѣстныя пропорціональны алгебраическимъ дополненіямъ эле-
ментовъ одного ряда (§ 59) или корнямъ квадратнымъ изъ алге-
браическихъ дополненій главныхъ элементовъ (§ 45), принимая во
вниманіе, что опредѣлитель системы симметрическій. Обозначая че-
резъ а,у алгебраическое дополненіе элемента ац — въ опредѣли-
телѣ (12), для каждаго значенія у будемъ имѣть
= = . . = к^3 _1
Ѵ^іу ^“иу Ѵ\у + %• + ’ ’' + “„у
такъ какъ Іг^. -ф- к\. -ф- ••• -ф- к\. = 1 (§ 70). Слѣдовательно,
к.. = Ѵ ----------~--------
'1 ' “іу + “2у + •• + “и;
95. Замѣчая, что дискриминантъ формы (9) равенъ аг а> ... ап
и потому не равенъ нулю, если ни одно изъ чиселъ а не равно
нулю, мы видимъ, что всякое каноническое выраженіе формы само
по себѣ неприводимо. Изложенная въ предыдущихъ двухъ §§ ме-
тода имѣетъ то преимущество, что она примѣнима и къ приводи-
мымъ формамъ и даетъ при этомъ приведеніе формы къ наимень-
шему числу перемѣнныхъ. Дѣйствительно, уравненіе (13) можно
представить (§ 26, і) въ видѣ
А .ѵі _2 - + х о, _д_ .ѵ — О,
обозначая черезъ оѵ сумму всѣхъ главныхъ миноровъ въ А по-
рядка ѵ. Всѣ эти миноры, порядокъ которыхъ больше ранга /г опре-
дѣлителя А, обратятся въ нуль. Поэтому, если форма приводима,
то послѣднее уравненіе приведется къ
(°« + *%-2
• • • + л1 ± .г) а: — іЛ
Это уравненіе имѣетъ п — /г корней, равныхъ нулю, и въ канони-
ческомъ выраженіи (9) останутся только /г членовъ, такъ что ква-
дратичная форма будетъ приведена къ наименьшему числу пере-
мѣнныхъ (§ 81).
96. Изложимъ еще одинъ интересный способъ приведенія
квадратичной формы къ каноническому виду, исходя изъ того
замѣчанія, что преобразованіе
(14)
Л — Л’і + 4- ^’із-г:і + • • • — ^1н хп ,
У-2 = Л'2 + к2Яхл + .. . + к2н х„ >
У» =
заключаетъ въ себѣ, какъ разъ столько неопредѣленныхъ вели-
чинъ сколько условій, которымъ надо удовлетворить, а имен-
но ^п(п — 1). Положимъ л',, ;.! = 0, = 0, ... хн = 0. Это
обозначаетъ, что число перемѣнныхъ въ данной формѣ уменьшено
до ѵ, съ другой стороны ясно, что преобразованіе (14), если въ
немъ замѣнимъ п на ѵ, будетъ именно то, которое переводитъ
форму + аѵу% въ первоначальную форму съ ѵ
перемѣнными, хі, д'г, .хѵ потому что _уѵ-|-і, Дѵ+2, обра-
щаются въ 0 вмѣстѣ съ соотвѣтствующими числами х. Дискрими-
нантъ послѣдней формы равенъ аійг---^, дискриминантъ той, въ
которую она переходитъ, равенъ
і в11 Я12 ’ ' ' а1ѵ
І ^21 ^22 * * ’ &2.ѵ
....................
аг1 аѴ> ' ' аѵѵ
а преобразованіе (14), очевидно, унимодулярное (§ 64) *).
*) Потому что въ опредѣлителѣ К, ей соотвѣтствующемъ, главные эле-
менты = 1, а всѣ элементы по одну сторону діагонали = 0, откуда К = 1-
Поэтому (§ 80) имѣемъ
Л = а1«2«3 аѵ
откуда, въ предположеніи, что опредѣлители Аі, А->,...,Ап = А
не равны нулю, находимъ
Л -^9 -^3
«1-Лі, а, - а3 --А^, ..., а„~ А~~ .
Итакъ, мы видимъ, что квадратичная форма приводится къ кано-
ническому виду
(16) А-И + + Х-^'з + "
гдѣ Аѵ имѣютъ значенія (15). Практически это приведеніе дѣлается
слѣдующимъ манеромъ: изолируютъ одну изъ перемѣнныхъ, вы-
дѣляя выраженіе, равное квадрату линейной формы (и приводятъ
форму къ суммѣ одного квадрата и формы съ числомъ перемѣн-
ныхъ на единицу меньшимъ первоначальнаго, съ которою посту-
паютъ такимъ же образомъ и т. д.). Напримѣръ, если ац не равенъ 0,
то тотчасъ видимъ, что въ ац17 члены, содержащіе лд, входятъ въ
составъ квадрата формы йи*! + «12*2 + «із*з + -{-аіпхп. Слѣ-
довательно, полагая
, "12 . «13 ,
+ ---------------------
«11 «11
получимъ (7 =уІ + гДѣ И' квадратичная форма съ (н — 1)
перемѣнными х2, х3, ..., хп- Предполагая, что «п«22 —не равно 0,
можемъ такимъ же путемъ изолировать лд. Полагая
.. , «11 «23 ~ «12 «13 , «11«24 —«12«14 .. і
Д’2 = х2 + 2-Л‘3 +------^4Т
«11«22 " «12 «11«22~ «12
находимъ ІА = а2_у- -ф-I}", гдѣ V" = а3х% + ••• и т. д. Чтобы
такимъ путемъ получить выраженіе (9), нужно, какъ видно, разсма-
тривать перемѣнныя Хі, х-з, . • ., хп въ извѣстномъ порядкѣ, съ тѣмъ,
чтобы въ рядѣ чиселъ Аі, Аз, А3, Аі, ... не было нулей. Это,
однако, не всегда возможно.
97. Законъ инерціи. Мы уже замѣтили (§ 92), что квадра-
тичную форму можно привести къ каноническому виду безчислен-
нымъ множествомъ преобразованій, распоряжаясь лишними 1)
элементами преобразованія по нашему произволу. Но замѣчательно,
что всевозможныя различныя каноническія изображенія одной и той-
же формы обладаютъ однимъ весьма важнымъ общимъ свойствомъ,
указаннымъ Сильвестеромъ (Зуіхѵезіег). Мы говоримъ о такъ
называемомъ законѣ инерціи квадратичныхъ формъ. Положимъ,
что аі, аз,...,ап и /?і, /?2, обозначаютъ коэффиціенты въ
двухъ различныхъ каноническихъ выраженіяхъ одной и той же фор-
мы, такъ что
(17) х± + а2 х2 + • • • + ап х~ = фдф )32у2 у + ііпу2п
для всевозможныхъ значеній чиселъ х или у. Примемъ числа
Лі, Хъ, ...,хп за независимыя перемѣнныя, тогда уі, у2, ...,уп бу-
дутъ линейныя выраженія относительно чиселъ х. Положимъ, что
въ одной части равенства (17) имѣется /г, а въ другой ѵ отрица-
тельныхъ коэффиціентовъ, и допустимъ, что /г < ѵ. Дадимъ тѣмъ /і
перемѣннымъ х, квадраты которыхъ въ лѣвой части имѣютъ отри-
цательные коэффиціенты, значенія, равныя нулю. Въ лѣвой части
останется п — /г перемѣнныхъ х, которыми можно распорядиться
такъ, чтобы въ правой части исчезли всѣ числа у, передъ квадра-
тами которыхъ коэффиціенты положительны. Въ самомъ дѣлѣ, число
такихъ у-въ равно п — ѵ и п — ѵ <іп — /у при ѵ > /г, а потому
(§ 57) требуемымъ условіямъ можно удовлетворить безчисленнымъ
множествомъ способовъ. При /т > ѵ, мы могли бы такимъ же пу-
темъ уничтожить положительные члены въ лѣвой и отрицательные
въ правой части равенства (17). Итакъ, при /т ф ѵ существовало
бы безчисленное множество системъ значеній перемѣнныхъ, для
которыхъ равенство (17) обращалось бы въ невозможное равенство
между существенно положительнымъ и существенно отрицательнымъ
числами. Поэтому должно быть /я, = ѵ. Иными словами: во всѣхъ
различныхъ каноническихъ выраженіяхъ одной и той же
квадратичной формы число членовъ съ опредѣленнымъ
знакомъ + или —, одно и то же. При этомъ, конечно, под-
разумѣвается, что коэффиціенты формы и коэффиціенты преобра-
зованій числа вещественныя.
98. Изъ закона инерціи прямо вытекаетъ, что для опредѣ-
ленія числа квадратовъ съ опредѣленнымъ знакомъ въ канониче-
скихъ выраженіяхъ данной квадратичной формы достаточно замѣтить
знаки при квадратахъ въ какомъ либо одномъ изъ этихъ выраженій,
напримѣръ въ (16). Числа аѵ имѣютъ очевидно знакъ -ф- или —,
смотря потому, бу дутъ-ли и Аѵ одинаковыхъ или против-
ныхъ знаковъ*). Отсюда слѣдуетъ, что число отрицательныхъ
членовъ въ каждомъ каноническомъ выраженіи квадра-.
тичной формы равно числу перемѣнъ знаковъ въ рядѣ
1, Аі, Аг,...,Ап~і, А. При этомъ существенно предполагается,
что ни одинъ изъ членовъ этого ряда не равенъ нулю. Мы пока-
жемъ, однако, ограничиваясь предположеніемъ, что при Аѵ = О,
сосѣдніе члены Лѵ і и Аѵуі не равны нулю, что высказанный выше
*) Въ первомъ случаѣ говорятъ, что Аѵ1 и Аѵ представляютъ по-
стоянство, а во второмъ перемѣну знака.
результатъ остается справедливымъ и въ послѣднемъ случаѣ, подъ
условіемъ, что при счетѣ перемѣнѣ знака, Аѵ выкидывается.
Прежде всего докажемъ, что, при Аѵ = 0, А,.....< и будутъ
непремѣнно числа разныхъ знаковъ. Дѣйствительно, если Аѵ = 0,
то формула § 25 дастъ
Умножая обѣ части равенства на Аѵ-і = и пользуясь форму-
лами § 36, получимъ
V V
А-іЛ+і = аіѵ аі<г+і аіѵ а( ,,+1. Я>1, „+1,
ИЛИ
Я11 Я12 • ' Я1, ѵ- I Я1, ѵ-|-1
п21 а2і ... а2 ѵ1 л2,-г+і
Я1'1 аѵ2 • • Пѵ, ѵ --1 аѵ, !+! і
откуда и слѣдуетъ сказанное (см. XXIV). Теперь разсмотримъ вмѣсто
формы (7 другую форму ІА, которую получимъ, если изъ глав-
ныхъ элементовъ дискриминанта формы V вычтемъ одно и то же
число а. Если представимъ себѣ, что обѣ формы V и V' приве-
дены къ каноническому виду, по способу § 93, то найдемъ для I}'
выраженіе
V' - («1 - «) Т? + (я2 - а) УІ + • • + («„ - а)у~,
Число а можно выбрать достаточно малымъ по абсолютной вели-
чинѣ для того, чтобы соотвѣтствующіе члены въ каноническихъ
выраженіяхъ обѣихъ формъ имѣли одинаковые знаки. Достаточно
взять за а число, лежащее между наибольшимъ отрицательнымъ
и наименьшимъ положительнымъ корнемъ уравненія (13). Поэтому
на основаніи закона инерціи можно, при счетѣ отрицательныхъ
членовъ въ каноническихъ выраженіяхъ, замѣнить форму [} фор-
мой ІА. Далѣе, такъ какъ вычитаніе изъ главныхъ элементовъ
дискриминанты формы (7 произвольно малого по абсолютной вели-
чинѣ числа а, произведутъ въ Аі, Аі,..., измѣненія, которыя
также будутъ сколь угодно малыми (XXV), то легко видѣть, что
при достаточно маломъ а2, тѣ изъ названныхъ членовъ ряда, кото-
рые не были нулями, сохранятъ свои знаки, а тотъ членъ, который
былъ нулемъ можно будетъ сдѣлать не равнымъ нулю. Поэтому,
если Аѵ~і, Аѵ, Аѵуі измѣнятся въ А'ѵ—і, А'ѵ и Д,-|_і то А', і
и х/7|-і будутъ числа разныхъ знаковъ, и одна перемѣна зна-
ковъ, представляемая парою Аѵ. \ и Аѵ.уі, дастъ также одну пе-
ремѣну А'ѵ—і, А'ѵ, А'ѵ^-і, каковъ бы ни былъ знакъ числа А'„.
99. Примѣры, а) Если а и аЬ- - /г2 не равны нулю, то пріемомъ,
изложеннымъ въ § 96, можно привести квадратичную форму
У = ах2 + Ъу2 + с.А + 2/_у« + 2^ях 4- 2кху
къ нижеслѣдующему (каноническому) виду
тт / , А , А V I <*Ь - к2
О = а х + - у + - г 4----------------
\ а а ) а
а/
аЬ ІІ2
\2
В
( аЪс -\-2/§к — а/2 — Ь§2 — ск2 2
+ аЬ- /4
(>’ +
Это тождество теряетъ смыслъ, когда а, Ь, с или Ь, с, к одновременно
будутъ нулями, и съ помощью того же пріема § 96 нельзя найти какое-
нибудь другое аналогичное тождество взамѣнъ предыдущаго. Въ этихъ
случаяхъ надо прибѣгнуть къ пріему § 93, который всегда приведетъ
къ цѣли.
Ь) Такъ напримѣръ, квадратичная форма У = уе 4- %х 4- ху приво-
дится къ виду
{7 — 4 (х 4- у 4- -г)2 і (х — _у)2 — 4г (х 4- у 2е)2.
Къ этой формѣ пріемъ § 96 не примѣнимъ, потому что въ рядѣ
1, Аг = О, А2 = - 4, А = 4
есть одинъ членъ, равный нулю. Но такъ какъ неисчезающіе члены имѣютъ
знаки 4- — 4- и даютъ двѣ перемѣны знака, то можно быть увѣреннымъ,
что въ любомъ каноническомъ выраженіи данной формы будетъ два отри-
цательныхъ члена. Провѣрить это можно, взявъ вмѣсто У форму
У' = У - а(х2^-у2 4- й2),
каноническое выраженіе которой при — 4 < а < 1 будетъ имѣть столько-
же отрицательныхъ членовъ, сколько ихъ имѣется въ каноническомъ выра-
женіи У. Дѣйствительно, пріемъ § 93 дастъ
ТгГ 1 - - а , 14" 2а . 1 + 2а , п ,,
Ь' = —д— (х 4-у 4- г)2--------— (х -у)2--------(х 4- У - 2«)2.
Второй пріемъ (§ 96) дастъ
У' = — а I х —
и мы видимъ, что достаточно взять а < 4. чтобы въ рядѣ
1, А[ = — а, А' = - 4 4- а2, А' = (1 - а) (4 4- а)2
неисчезающіе члены имѣли тѣ же знаки, какіе они имѣли для 74 а исче-
зающій получаетъ знакъ, не имѣющій вліянія на счетъ перемѣнъ знака,
потому что знаки 4- + — первыхъ трехъ членовъ представляютъ всегда
одну перемѣну знака. Замѣтимъ наконецъ, что при а = 4 А’2=0, но
знаки неисчезающихъ членовъ 4- — 4- опять представляютъ двѣ пере-
мѣны знака.
с) Возвратимся теперь къ общей тройничной квадратичной формѣ
примѣра а), и примѣнимъ къ ней критерій § 98. Если хоть одинъ изъ коэф-
фиціентовъ а, Ь, с не равенъ нулю, то всегда можемъ предположить, что,
напримѣръ, а > 0. Тогда данная форма приведется къ виду X2 4- У2 - 22,
если ея дискриминантъ А отрицателенъ, а если дискриминантъ положителенъ,
то къ виду X2 + У2 А- 22, когда аЬ > к2 и къ виду X2 — У2 — 22, когда
аЬ < Іі2. Замѣтимъ еще, что въ случаѣ А >0 аЬ — 1г2 и ас - у2 будутъ
числа одинаковыхъ знаковъ, какъ видно изъ тождества
А а = (а Ь к2) (ас - у2') (а/ - уііг-.
Поэтому, если а Ь — № > 0, то Ъ и с тоже больше 0, какъ и а. Если, наконецъ,
всѣ три числа а, 1>, с равны нулю, то квадратичная форма приведется къ
виду X2 — У2 22 или къ виду X2 + У2 -- 22 смотря потому, будетъ ли
А > 0 или < 0 *).
100. Въ приложеніяхъ часто приходится имѣть дѣло съ су-
щественно положительными квадратичными формами. Онѣ обла-
даютъ свойствомъ принимать только положительныя значенія при
любыхъ значеніяхъ перемѣнныхъ, нё равныхъ нулю одновременно.
Каноническое выраженіе такой формы не можетъ въ себѣ заклю-
чать отрицательныхъ квадратовъ. Иначе, приравнивая нулю тѣ пере
мѣнныя, которыхъ квадраты положительны, получили бы для формы
отрицательныя значенія. Поэтому необходимо, чтобы опредѣли-
тели Аі, Ач,---,А были всѣ положительны; этого и достаточно,
по формулѣ (16), чтобы форма имѣла всегда одни лишь положи-
тельныя значенія. Вслѣдствіе этого мы можемъ высказать слѣ-
дующую весьма важную теорему:
Для того, чтобы неприводимая квадратичная форма
Я11 ХІ + в22 Л'2 + -'’н + 2Л12Л1Х2 + 2 <71:1 Х. + 2 <723 Л'2 X) Д •••
была существенно положительна, необходимы и достаточны
слѣдующія условія:
"11 > 0, I "ц «12
"11 "12 "13
"21 и.,.
^21 ^22 ^23
Г7;П (732 Нзз
"11 "12 • • ' "1„
"21 "22 • • "2н
..................
";,1 "„2 ’ ' ' "«»
Для того, чтобы форма была, напротивъ того, существенно отрица-
тельна, необходимо и достаточно, чтобы тѣ же опредѣлители были
поперемѣнно положительны и отрицательны, начиная съ перваго ап,
который долженъ быть отрицательнымъ. Надо, однако, замѣтить, что
благодаря пробѣламъ, оставшимся въ § 98, можетъ возникнуть
сомнѣніе въ справедливости сдѣланныхъ выше заключеній въ тѣхъ
случаяхъ, когда въ рядѣ Аі, А», встрѣтятся члены, равные нулю.
Но легко прямо доказать, что въ такихъ случаяхъ квадратичная
форма не можетъ всегда сохранять одинъ и тотъ же знакъ. Если
) Большія буквы X, У, 2 обозначаютъ линейныя функціи отъ ,ѵ,у, в.
положимъ, что Яц = 0, то форму 17 можно представить въ видѣ
1} = ахі + /?, гдѣ а и /? отъ хі не зависятъ. Выбравъ какія нибудь
значенія остальныхъ перемѣнныхъ, не обращающія только а въ
нуль, очевидно можемъ затѣмъ распорядиться числомъ х± такъ,
чтобы 17 получило любое значеніе, положительное или отрица-
тельное. Далѣе, если ап не равно нулю, а Аѵ первый исчезающій
членъ въ рядѣ Аі, Ач, ..., то замѣтимъ, что при Аѵ і Ф 0, всегда
можно дать числамъ хі, Хч, ., хѵ_і значенія, отличающіяся отъ хѵ
лишь постоянными множителями, чтобы было
Я/1Л'1 + ПІ2Х‘Ч +--к аіѵХѵ = 0 0' = 1, 2, 3, . . ., ѵ)
Обозначая, слѣдовательно, черезъ @ совокупность тѣхъ членовъ
въ 17, которые не содержатъ въ себѣ первыхъ ѵ перемѣнныхъ,
будемъ имѣть
Г 1 + 2^(а^ „+1 + ац ,,+2 .ѵ„+2 + • + аіп хп)х{,
і=і
откуда 17 = а .г,. + /У, гдѣ положено
Какъ видимъ, и а зависитъ только отъ х^ч,хп- При-
давъ этимъ перемѣннымъ любыя значенія, не обращающія а въ 0,
всегда можно дать числу хѵ такое положительное или отрицательное
значеніе, достаточно большое по абсолютной величинѣ, чтобы 17
получило по желанію положительное или отрицательное значеніе.
Остается устранить еще одно сомнѣніе, а именно: не можетъ ли а
тождественно обратиться въ нуль? Но тогда мы имѣли бы
«и «12 ' ' ' ' «1, ѵ - 1 «і;
л21 «22 ' ' «2, г -1 «2І
= 0
«„< а.
при і = ѵ, ѵ1, ..., п. Слѣдовательно, (§ 63) всѣ миноры опре-
дѣлителя А, содержащіеся въ первыхъ ѵ строкахъ его, были бы
равны нулю, а тогда и А было бы равно нулю (§ 22), вопреки
предположенію, что 17 форма неприводимая; слѣдовательно, а тожде-
ственно нулемъ быть не можетъ (XXVI).
101. Теперь мы оставимъ на время квадратичныя формы и
заключимъ эту первую книгу нѣкоторыми указаніями, касающи-
6*
мися приведенія бинарныхъ формъ вообще къ канониче-
скому виду. Предложимъ себѣ преобразовать форму
(18) «о хт + у Лі хп-'у + хт-2у9- 4----|_Ят у*
въ сумму ш-хъ степеней
(19) а, (х + к1У)т + с2 (* + кіУГ + • • + аг (х + кгУ)т,
при чемъ число г этихъ степеней должно быть по возможности
малымъ. Отождествляя выраженія (18) и (19) получимъ т +1
условныхъ уравненій, а число входящихъ въ (19) неопредѣленныхъ
величинъ (а и /г), которыми можно располагать, равно 2г. Чтобы ихъ
можно было опредѣлить согласно требуемымъ условіямъ, вообще не-
обходимо, чтобы 2г было^т+1, и потому за г надо брать наимень-
шее цѣлое число, котораго не превосходитъ ^44. При т — Ъп — 2,
г = п и у насъ будетъ 2п — 1 условій и 2 и неизвѣстныхъ. Отсюда
слѣдуетъ, что въ случаѣ бинарныхъ формъ четнаго порядка, можно
безчисленнымъ множествомъ способовъ привести такую форму къ
виду (19). Напротивъ того, если т = 2п —-1, то г = н и имѣемъ 2п
условій съ 2 и неизвѣстными. Положимъ, что
«о ѵ'2” ’1 + (2« - 1) а\х2п 2У + • •' + і/" 1
= а1 (х -|- кіУ)2п 1 -|- а2 (х ф- ;у)“и 14" ’ ’ ’ + ап (х + кпУ )"" 1.
Отождествляя, находимъ
«о = аі + а2 + • ’ + ап'
^1 + а2 ^2 + ' • + ан кн,
(20) а2 = аг к2 + а2 ^2 + + ап^п>
а2п—1 = “1 1 + «2 ~ 4+
Разсмотримъ тѣ п-\-1 уравненій, которыя слѣдуютъ за /-тымъ, и припо-
мнимъ, что эти уравненія, содержащія п неизвѣстныхъ а2, ап,
только тогда совмѣстны, когда
а{ 1 1 ... 1
^2 • • • = д
а , кп кп кп
“і4~л К1 К2. Кп
или
Ио аіу1 + х2 аіУ> + ' ’ ’ + хп аіі-п = 0> (г = 0, 1,2,...,и— 1)
гдѣ Хо, хі,...,хп обозначаютъ алгебраическія дополненія перваго
столбца. Далѣе, замѣняя первый столбецъ какимъ угодно другимъ,
получимъ
хо + хі !гі + $ + + к'] = 0.
Поэтому, замѣчая, что числа х отъ і не зависятъ,
будемъ имѣть
х0 + хі + х2 к~ -1- .. +х„к- =0,
х0 а0 + Х1 а1 + Х2 а2 + •• + хп ап = 0 ’
хзаі + Я2 + Х2 Я3 + • + М41 = °І
Х0 ап—1 + Х1 ап + Х2 Яп+1 + " ’ + хп Я2п—1 ~ ’
Это система п + 1 линейныхъ однородныхъ уравненій относительно
чиселъ %, а потому, если эти числа не равны нулю одновременно,
какъ то и будетъ, если числа хі всѣ различны между собою, опре-
дѣлитель этой системы будетъ равенъ нулю, такъ что
для х = кі, Достаточно рѣшить уравненіе (21), чтобы
найти значенія ^і, Подставляя ихъ въ любыя п уравне-
ній (20) получимъ и значенія чиселъ а.
102. Примѣръ для упражненія. Привести къ каноническому виду
бинарную кубическую форму
а0 .г5 + 3 а, .г2 у Д- 3 а2 ху- +
Если а0«2 = «р то данная форма прямо получается въ искомомъ видѣ,
а именно:
Л («о * + «1УГ +
«о ао
Пусть теперь Если ея инваріантъ (§ 87)
□ = 4 («о а,, - л®) (Я1 - («0 ая — а2)2
не равенъ нулю, то уравненіе (21) даетъ два различныхъ корня
_ (70 <73 ] — А ь __ аіі а3 ~ «1 а2 — "К— 4
2 (<т0 а2 — а?) 2 2 (<т0 а2 — а,)
а изъ уравненій + а2 — а0, а, кх -|- а2 к2 = а. получаемъ значенія а± и «2,
для которыхъ данная форма принимаетъ видъ <4^• гдѣ + кѵу,
Ч = х-\-к2у. Замѣтимъ, что ; и і) равны линейнымъ множителямъ, на кото-
рыя разлагается квадратичная форма
л0 х -(- агу х + а2у
агх-\-а2у а2х-\-а9у
= (а0 а2 - - а[)х2 -ф (л0 аг)ху + (а± /і9 - а^у--
дискриминантъ которой равенъ | Д. Дѣйствительно, эта квадратичная форма,
какъ показываетъ непосредственное разложеніе, принимаетъ видъ (яоа2—а^)^.
Наконецъ, если между коэффиціентами данной формы существуетъ соотно-
шеніе /1 = 0, то ее нельзя привести къ суммѣ кубовъ, если она сама не
равна кубу линейной формы. Но ее можно привести (срав. съ § 91) къ
виду л0^2ч, гдѣ = х-\-к1у, и]'= х + к2у, и
2 / 2\
«о а2 <7Х — а2 (я0 а2 - -
к\ = - — = 2 , к2 .
2 (^0 — ^1) ^0 ^3 — ^2 ^0 (^1 ^3 — ^2-^
Примѣчанія къ первой книгѣ.
I (къ § 3).
Термины Регтиіаііоп и ЗиЬзІііиііоп мы переводимъ соотвѣт-
ственно терминами перестановка и подстановка. Вмѣсто по-
слѣдняго часто встрѣчается иностранный терминъ субституція.
Мы остановились на русскомъ терминѣ подстановка на томъ
основаніи, что онъ уже давно вошелъ въ употребленіе, и что можно
не опасаться смѣшенія двухъ сходно звучащихъ русскихъ терми-
новъ, если разъ навсегда замѣтить, что перестановка обозначаетъ
само размѣщеніе элементовъ, а подстановка — операцію пере-
водящую одно размѣщеніе въ другое. Замѣтимъ еще, что подста-
новка, переводящая одну перестановку, напримѣръ а $ у д е въ дру-
гую, напримѣръ ^деуа, обозначается символомъ
/ а у <5 е\
\ <5 6 7 а / ’
при чемъ элементы, занимающіе одинаковыя мѣста въ разсматри-
ваемыхъ перестановкахъ незываются соотвѣтствующими и пи-
шутся одинъ подъ другимъ.
II (къ § 11).
Пояснимъ сказанное здѣсь примѣромъ. Разсмотримъ опредѣ-
литель четвертаго порядка:
«11 «12 «13 «11 '
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «31
«41 «42 «43 «44 -
и опредѣлимъ знакъ + при членѣ а$і аі2 а2$ ац. Въ перестановкѣ
первыхъ указателей 3 4 2 1 число обращеній равно 2 + 2 -|- 1 =5,
г = 5; въ перестановкѣ вторыхъ указателей 1 2 3 4 число обраще-
ній 5 = 0, г + 5 = 5. Поэтому знакъ разсматриваемаго члена есть
(— 1), т. е., минусъ. Положимъ теперь, что перемѣнили порядокъ
множителей и написали тотъ же членъ въ видѣ Л42«иазі«2з, т. е.
произвели подстановки
342 1\
4132/
= (3 412),
1234
24 1 3
= (1 2 4 3).
Каждая изъ этихъ подстановокъ состоитъ изъ одного цикла при
4-хъ элементахъ, т. е. обѣ нечетныя (и — ѵ = 3). Теперь число
обращеній г въ перестановкѣ 4 13 2 равно 3 -|- 1 = 4, а число 5
въ перестановкѣ 24 13 равно 1-|-2 = 3; г-|-5 = 7 есть число нечет-
ное, какъ и раньше, и знакъ—-передъ разсматриваемымъ членомъ со-
храняется.
(къ § 14).
Замѣтимъ прежде всего слѣдующее свойство опредѣлителей:
Два опредѣлителя, въ которыхъ строки одного слу-
жатъ столбцами другого, и наоборотъ, равны между собой,
иными словами: опредѣлитель не мѣняетъ своей величины
при замѣнѣ строкъ столбцами, и наоборотъ. Зто свойство
вытекаетъ непосредственно изъ самого закона составленія опредѣли-
теля, изложеннаго въ § 11, такъ какъ строки и столбцы при этомъ
составленіи играютъ совершенно одинаковую роль. Напримѣръ,
«11 «12 «13 : «11 «21 «31
«21 «22 «23 ; “ «12 «22 «32 •
«31 «32 «33 I «13 «23 «33
Впрочемъ, чтобы вполнѣ ясно убѣдиться въ справедливости этой
теоремы, замѣтимъ слѣдующее. Разсматриваемое въ ней преобра-
зованіе состоитъ, какъ видимъ, въ перемѣщеніи каждаго элемента
даннаго опредѣлителя, стоящаго на мѣстѣ (/у), т. е. въ пересѣ-
ченіи /-той строки и /-таго столбца, на мѣсто (у і), симметричное
съ первымъ относительно главной діагонали, причемъ главные эле-
менты, конечно, остаются на своихъ мѣстахъ. Слѣдовательно, если
обозначимъ элементы преобразованнаго опредѣлителя буквами 6,7,
причемъ первый значекъ опять указываетъ строку, а второй —
столбецъ, то = Каждому члену (—іу+'л/,;, •••
даннаго опредѣлителя соотвѣтствуетъ равный ему по величинѣ и по
знаку членъ (— 1)8+г^1«1 ^-2л, ••• ^-піп преобразованнаго, а потому
значеніе прерваго равно значенію второго.
IV (къ § 14).
Теорема этого § въ общемъ случаѣ еще легче доказывается,
если сперва докажемъ упомянутый въ концѣ частный случай, а за-
тѣмъ припомнимъ опредѣленіе четной и нечетной подстановки.
V (къ § 17).
Въ виду часты хъ
приведемъ еще примѣръ.
приложеній указаннаго здѣсь разложенія
+ аі +- Л
Ч9 + «2 ^2 Н~ $2
I «1 Ь1 . «1
= ! +
! «2 ^2 а2
Я1 + Л । | а1 + Л
+
I ^2 Н- $2 &2 ^2 Н~ $2
Л і । 1 “1 | , а1 Л і
,г?2 і I а., 62 | а.2 Д> I
Вообще, если элементы нѣсколькихъ столбцовъ разложены каждый
на нѣсколько слагаемыхъ, то опредѣлитель можетъ быть разложенъ
на сумму нѣсколькихъ опредѣлителей, которые получимъ, комби-
нируя каждый столбецъ слагаемыхъ въ каждомъ столбцѣ съ каж-
дымъ столбцомъ слагаемыхъ во всѣхъ другихъ столбцахъ. Все ска-
занное о столбцахъ, очевидно, относится и къ строкамъ. Изъ того,
что сказано въ §§ 16 и 17, вытекаетъ слѣдующее важное слѣдствіе.
Если между элементами всѣхъ строкъ (столбцовъ) опредѣ-
лителя существуетъ одно и тоже линейное однородное со-
отношеніе
(1)
^-1 Л,I + '-2 ^,2 аіп ~
при і = 1, 2, ..., /г, гдѣ Лі, Яз, ..., Лп не равны нулю одно-
временно, то опредѣлитель равенъ нулю. Въ самомъ дѣлѣ,
если, напримѣръ, Аі не равно 0, то изъ уравненія (1) получимъ
аіІ = .и2 аі2 + ^3 ЯІЗ + ’ ” + ‘Мн аіп'
На основаніи § 17 опредѣлитель будетъ равенъ суммѣ нѣсколь-
кихъ опредѣлителей съ эквивалентными столбцами, т. е. равныхъ
нулю (§ 16). Впослѣдствіи въ § 57 мы увидимъ, что существованіе
соотношенія (1) не только достаточно, но и необходимо для того,
чтобы опредѣлитель былъ равенъ нулю.
VI (къ § 25).
Въ справедливости послѣдняго замѣчанія, весьма важнаго для
приложеній, можно убѣдиться слѣдующимъ образомъ. Обозначимъ
черезъ а)(і алгебраическое дополненіе элемента ац въ опредѣли-
телѣ а,5 т. е. въ алгебраическомъ дополненіи элемента въ опредѣ-
лителѣ 22 Мы получимъ изъ аг8, если выкинемъ въ немъ г-тую
строку и у-тый столбецъ, и возьмемъ полученный опредѣлитель со
знакомъ (— 1)'+7 (§ 20). Но аг8 получается изъ 2), если въ немъ
выкинемъ г-тую строку и з-тый столбецъ, и возьмемъ полученный
опредѣлитель со знакомъ (— 1)г+3. Слѣдовательно, можно по-
лучить изъ 2), выкидывая въ немъ г-тую и г-тую строки, у-тый
и 5-тый столбцы, и взявъ полученный тогда опредѣлитель со
знакомъ (— 1)!+,+>+'. Съ другой стороны, совершенно такимъ же
образомъ получается изъ 2) опредѣлитель п,у — алгебраическое до-
полненіе минора (§ 20)
। "< '
I М 1
Слѣдовательно, а>ц = ач-,
что и надо было показать.
VII (къ § 26).
Напримѣръ
«н 0 0 0
: о о
, л.>2 0 0
“ А ' = "У 0
I "31 "за "зз 0
' <ц., ап
, "41 "42 "13 "44 і
= "іі "22
"43
VIII (КЪ § 27, к.).
Надо обратить вниманіе на то, что предпослѣдніе элементы
въ послѣдней строкѣ и послѣднемъ столбцѣ равны а„ і, а всѣ
остальные, кромѣ главнаго, равны нулю. Обозначая, какъ и раньше,
элементы опредѣлителя черезъ а^, имѣемъ поэтому апп = ап _і 4-
ал, и -і = Лн-і, „ = а„ і, и аін = апі = 0, при 7 и / < и — 1. Фор-
мула § 25, при г --= 5 = и, дастъ
и апп апп '“і} "ш "»у ’
(>',./)
и вся сумма сведется къ одному члену, именно къ члену
«»-іСн 1,„-1- Затѣмъ, очевидно, апп = І)п і, п»-і, 1 = 2)„-2 и
/Л, = (ап__і + а„) О,. і — а‘п і Къ тому же результату можно
придти при помощи простого разложенія опредѣлителя /А по эле-
ментамъ послѣдней строки (§ 23), не прибѣгая къ формулѣ § 25.
IX (§ 27, ш).
Фибоначчи — итальянскій математикъ, написавшій въ 1228 г.
замѣчательный для своего времени ариѳметическій трактатъ подъ
названіемъ „ІлЬег аЬасі“, о которомъ можно прочесть у Кантора:
Сапіог, „Ѵогіезип^еп ііЬег сііе СезсйісЫе сіег Маіііетаіік, В. II.
стр. 6. „АЬасиз“ — (абакъ) названіе разграфленной доски, употре-
блявшейся въ древности для производства вычисленій.
примѣчанія.
91
X (къ § 29).
А =
Примѣры.
а) т = п
«11 «12 р _ $11 $12
«21 «22 $21 $22
Ь) т > п
д __ | «11 «12 «із
I ^21 ^“>9 ^23
ап
"21
«11 $11 + «12 $12’ «11 $21 + «12 $22
Н21 ^11 "Ь ^22 ^12» Л21 ^21 Н- #22 ^22
^11 ^12 ^13
&21 ^22 ^23 I
#ц ^11 Н" ^12 ^12 Н" "13 *13> "11 ^21 Н” "12 ^*22 “Ь ^13 ^23
#21 ^11 Н~ #22 ^12 “Ь "23 ^13» "21 ^21 "Ь "22 ^22 "Ь "23 ^23
я12 |
«22
$11
$21
$22
«21 «23
«12 «13
«22 «23
= А. В.
$12 $13 і
! •
$22 $23 і
с =
, в =
с) т<^п
«11 «12 $11 $12
А = «21 «22 , в = $21 $22
«31 «32 $31 $32
С =
«11 $11 + я12 $12> Я11 $21 + я12 $22 > Я11 $31 + я12 $32
Я21 $11 ”Ь я22 $12’ Я21 $21 4“ я22 $22' Я21 $31 4~ я22 $32
= 0.
«31 $11 4" «32 $12’ «31 $21 4" «32 $22’ «31 $31 4“ «32 $32
XI къ § 31.
Для поясненія теоремы этого § положимъ, что матриссы А и В
состоятъ изъ 5-ти столбцовъ и 4-хъ строкъ (т = 5, п = 4). Произ-
веденіе ихъ будетъ опредѣлитель 4-го порядка
С =
СИ с12 Оз 01
С21 ^22 Оз ^24
С31 ^32 Оз 04
с1і 02 Оз Оз
гдѣ Сіі составляются по формулѣ (5) § 28. Возьмемъ въ немъ,
напримѣръ, миноръ
С21
^12 = і С31
С41
с23 С2І
СХІ С31 >
с43 <4і
опредѣляемый системами значеній і = 2, 3, 4, /=1, 3, 4. Онъ
долженъ быть равенъ произведенію матриссъ, состоящихъ изъ
2-ой, 3-ей и 4-ой строкъ въ матриссахъ А и В. Одна будетъ «21 «22 «23 «24 «25 Л7 = «31 Я32 «зз «34 Л35 , «41 «42 «43 «44 «45 ИЗЪ нихъ
другая В' аналогичная ей, съ буквами Ь. Произведеніе будетъ опредѣлитель С11 С12 С13 С' = с21 с22 с23 , С31 С32 С33 А' на В'
гдѣ с'іі составляются изъ элементовъ А' и В' по формулѣ (5). Со-
ставимъ, напримѣръ, сіі:
Сц — «21 ^21 + «22 ^22 + «23 ^23 + «24 ^24 + «25 ^25 >
а эта сумма, какъ видимъ, равна С21 (по формулѣ (5)). Такимъ же
образомъ, убѣждаемся, что каждый элементъ въ С' равенъ соотвѣт-
ствующему элементу въ С12, такъ что С' = Сі2-
XII (къ 33, а).
Послѣдній результатъ легко получить, пользуясь извѣстнымъ
выраженіемъ
, ч « - 1 .3 - 1
®(т) = т.------------—г—
а іі
<5 1
—, , гдѣ
о
а, д различные простые дѣлители числа т (см. Д. Граве,
Элем. теорія чиселъ, или Веберъ и Вельштейнъ 1. с. стр. 299)
[7ИІ X
— равно числу чиселъ, меньшихъ т и дѣля-
щихся на а.
XIII (къ § 34).
Приведенное нами доказательство развито нѣсколько подроб-
нѣе, чѣмъ въ нѣмецкомъ подлинникѣ, въ которомъ изложеніе его
намъ кажется не вполнѣ точнымъ. Кромѣ того, мы считаемъ полез-
нымъ, для лучшаго уясненія теоремы и ея доказательства, провести
его на частномъ примѣрѣ. Разсмотримъ опредѣлитель 4-го порядка
В и его взаимный Д:
«11 «12 «13 «14
#21 ^22 ^23 ^24
«31 «32 «33 «34
«41 «42 «43 «44
«11 «12 «13 «14
«31
П22
^32
«23 «24
«33 «34
«41 «42 «43 «44
и докажемъ, что
“13 «14 і _ п
I - « а1324
«23 «24 і
гдѣ йіз24 есть алгебраическое дополненіе минора
«13 «14
«23 «24
въ опредѣлителѣ 2). Мы положимъ, слѣдовательно, г = 2, 5 = 4,
г = 1, у = 3. Мы имѣемъ здѣсь
I «11 «12 «13 «14
0 0 0 1
«г.5 = «24 = !
«31 «32 «33 «31
I «41 «42 «43 «41 I
къ
на
столбца на (а<у) «із и прибавляя
4-го столбцовъ, умноженные
умножай элементы (/-аго) 3-го
нему элементы 1-го, 2-го и
«и, Яі2, «и, получимъ
«ц «12 & «14
(«О аГ8 =) а13 а24 = 0 0 а14 1 = О'
«31 «32 0
«4Х «42 9 «44
Алгебраическое дополненіе (а, ) «и въ В' равно
Алгебраическое дополненіе элемента /1 въ В' равно
О 0 1
_ «31 «32
«31 «32 «34
«41 «42
«41 «42 «44
т. е. равно алгебраическому дополненію минора
«13
«23
«14
«24
[(- 1У+>+г+»= ])Ю= _|_ і]
въ опредѣлителѣ 2). Слѣдовательно, «із«2і = «і4«гз + В. Діз24, или
«13
«14
«23 «24
— В’ а1324.
XIV (къ § 39).
Для поясненія приведеннаго здѣсь доказательства замѣтимъ
слѣдующее. Положимъ, что алгебраическое дополненіе минора ОЛѵ
есть е/),,, гдѣ е = ± 1; тогда ёО,., есть алгебраическое допол-
неніе минора Иѵ и въ тоже время е есть алгебраическое до-
полненіе минора Дѵ въ Д, такъ какъ е зависитъ только отъ ука-
зателей, а они одинаковы въ Пѵ и Дѵ, и въ и Дп~ѵ. По
теоремѣ § 38, замѣнивъ въ ней ѵ на п — ѵ, находимъ, что Дн _
равно степени И"умноженной на алгебраическое дополненіе
минора т. е. на 6І)„, а слѣдовательно еДп_г. = Т)" ” л.
что и доказываетъ теорему.
XV (къ § 41).
Въ опредѣлителѣ § 41 числа р и могуть имѣть любое изъ
значеній 0, 1, 2, ..., Ы — 1), но условившись писать ! =/«,
7'м+і = можно числамъ р и ц дать и значенія р = /г, = //.
При р = <] = /г, этотъ опредѣлитель напишется такъ
а,... а,- «
откуда и видно, что — обыкновенное дополненіе элемента
имѣетъ написанное въ § 41 выраженіе. Такимъ же образомъ про-
вѣряются и остальныя три выраженія: Пом, Поо- Пояснимъ тео-
рему § 41 (т. е. собственно говоря, частный ея случай, доказанный
въ § 36) частнымъ примѣромъ. Возьмемъ опредѣлитель
О =
«и
«21
^12 ^ІЗ
^22 ^93
«31 «32 «33
3 2
О 1
- 1 О
1
2
1
Рангъ его очевидно есть 2. Составимъ обыкновенныя
его 9 элементовъ; обозначая черезъ ар<1 обыкновенное
элемента ар^іг9^і мы найдемъ
1 2 : 0 2 '
аоо = = - 1. аоі = = 2.
!о -1 । І-і-і
°02 = 1 > Лю = 2, яи = — 4, я12 = — 2
С20 = — 3, П21 = 6, См., — 3.
дополненія
дополненіе
Въ 1-омъ и 2-омъ столбцахъ
2-го порядка
опредѣлителя I) содержатся миноры
въ 1-омъ и 3-емъ столбцахъ, соотвѣтствующіе имъ, т. е, составленные
изъ равноименныхъ строкъ, миноры будутъ
°2і> <|и> $оі=
наконецъ во 2-омъ и 3-емъ столбцахъ
$20" $10> $00’
Согласно теоремѣ найдемъ
С 22 $12 $02 $ — 2 1
$21 $ц $01 4
Точно также повѣряются равенства
$22 _ $12 $02 __ |
$20 $10 $00
XVI (къ § 44).
Напримѣръ, въ опредѣлителѣ
: 0 а Ь .
| — а 0 с
\ - Ь с 0
сопряженные миноры 2-го порядка
а Ь и 0 с і а 0 Ь — с
оба равны ас. Въ опредѣлителѣ
0 а ь С
— а 0 (І е
- Ь — (І 0 /
— с - е -/ 0
сопряженные миноры 3-го порядка, а именно алгебраическія допол-
ненія элементовъ с и — с, будутъ:
— сі 0 (і а, 0, Л а Ъ с
- - Ь — і/ () ---/> (1 0 — 0 (7 е
- с ~ е -/ | | с е -/ іі 0 -/
а Ь с
О (I е
- а О Г
XVII (къ § 46).
Символъ обозначаетъ, что надо каждое изъ значеній
і — 1, 2, ..., п сочетать съ каждымъ изъ значеній / = 1, 2, ..., п,
и взять сумму всѣхъ слагаемыхъ, соотвѣтствующихъ этимъ соче-
таніямъ. Суммируя сперва по у при г постоянномъ, а полученный
результатъ затѣмъ по г, мы и получимъ преобразованіе двойной
суммы въ выраженіи 2) въ квадратъ простой:
2’*-
ІЗ і I 3 ’ 3 і I » I
Замѣчаніе о числѣ
и сама теорема § 46,
къ
п, замѣтивъ, что
членовъ разложеніи Ё доказывается, какъ
повѣркою при п = 2 и переходомъ отъ п — 2
въ (11) число членовъ равно п — 1.
въ
XVIII (къ 48, Ь и с).
Ь) Опредѣлитель а1(, алгебраическое
выражается такъ:
дополненіе элемента аи
О
«и =
- 1
1>
О
^22
«32
«42
я23
я43
Я24
«34
«44
О
1
022 есть алгебраическое дополненіе элемента а22 = 0 въ опредѣ-
лителѣ ац, т. е.
Такъ же найдемъ Озз = <у2, О44 = г2. Положивъ о22 = для опре-
дѣленія
= + у, И |Ла44=уг2=±г
имѣемъ формулы
(1)
°23 — Ѵ"а22- С24 1/Г':22- ’
гдѣ о2з — алгебраическое дополненіе а23 въ ап, т. е.
и
У,
Поэтому формулы (1) при ]/п22 = р, дадутъ \Р г2 = г, и
формула (11), гдѣ а12 = а, ап = Ь, аи = с, дастъ = ар-\-^-\-сг.
с) Замѣчаемъ соотношеніе
Оп = х ^п—1 + я2 ^п—2’
гдѣ данный опредѣлитель (п 3) и значенія РР = х, И г = х2-\-сР.
Изъ этихъ формулъ уже легко получить и общее выраже-
ніе 29и, приведенное въ § 18, с.
XIX (къ § 55).
Число членовъ въ разложеніи ^-ра-,-^ •••4' ап)т, какъ легко
видѣть, равно числу членовъ вида
4? . . . ,
въ которыхъ а, ... у получаютъ всѣ положительныя цѣлыя зна-
ченія (и нуль), сумма которыхъ равна т. Иными словами, это число
равно числу сочетаній съ повтореніями изъ п буквъ по т, а
это число, какъ извѣстно, равно числу различныхъ сочетаній
изъ т + п — 1 буквъ по т, т. е.
(т-\-п - 1) (т + п — 2) • « 1 • 2 • 3 • • (т 4- « 1)
1= 1 2 ••• (и - 1) • Т~2 ••• т
(см. Веберъ и Вельштейнъ, т. I стр. 198).
XX (къ § 57).
Теорему а) § 57 можно формулировать еще слѣдующимъ
образомъ:
Если число неизвѣстныхъ (и) въ данной системѣ т
линейныхъ однородныхъ уравненій превышаетъ число урав-
неній, т. е. п > ж, то системѣ удовлетворяетъ безчислен-
ное множество значеній неизвѣстныхъ, не равныхъ нулю
одновременно.
При этомъ, по крайней мѣрѣ, п — т неизвѣстнымъ можно
дать произвольныя значенія; но нельзя утверждать, что любымъ
п — т изъ неизвѣстныхъ можно приписать произвольныя значенія.
Дѣйствительно, эти значенія, какъ мы видѣли, зависятъ отъ выбора
главнаго опредѣлителя системы и не всякій опредѣлитель порядка /4,
гдѣ ц рангъ матриссы системы, содержащійся въ этой матриссѣ,
можетъ быть взятъ за главный, такъ какъ могутъ существовать
между упомянутыми опредѣлителями и равные нулю. Такъ, въ
системѣ уравненій
•ѵ+ У + 2 + « = о
2 .ѵ + 2_у + Згг + 2и = О
З .ѵ + Зу + 2г 4 Зи — О,
матрисса которой имѣетъ рангъ 2, нельзя, напримѣръ, по произ-
волу выбрать значенія неизвѣстныхъ г и и, или и х, или г и _у,
потому что данная система, очевидно, удовлетворяется только при
г = 0и х у и — 0. Выбравъ по произволу, напр., х и уу, по-
лучимъ опредѣленныя значенія г = 0 и и = — (х + у).
Ь) Выраженіе для х^ въ § 57 получается слѣдующимъ обра-
зомъ. Первыя ц уравненіи системы (10) переписываемъ такъ
«11 Л’1 + «12 Х2 Н-------Ь
«21 Л'1 + «22 Х.у + ' ’ + «2« Х и
П!Л Х1 + «,12 Х2 + ' ' • + «ДЛ = «„> Хі-
>=,(.(. 4-1
Правило Крамера дастъ
хі = , гдѣ
а на основаніи § 17, получимъ
д,- =
У=,«+і
гдѣ бу имѣетъ данное въ § 57 выраженіе.
XXI (къ § 58).
Для выясненія заключеній, сдѣланныхъ въ этомъ §, замѣтимъ
слѣдующее. Мы доказали раньше, что если рангъ матриссы (опре-
дѣлителя въ нашемъ случаѣ) системы
«іі + аі‘> х-> + • • + аіп хп = 0 (2)
(гдѣ ?=1, 2, ..., и) равенъ /г, то система (2) имѣетъ оо”—“ рѣшеній,
гдѣ не всѣ хі равны нулю. Обратно, если система (2) имѣетъ
рѣшеній упомянутаго свойства, то это значитъ, что, выбравъ по
произволу значенія нѣкоторыхъ неизвѣстныхъ, число которыхъ
равно п — іі, для остальныхъ неизвѣстныхъ получимъ вполнѣ
опредѣленныя значенія, а потому въ нашемъ опредѣлителѣ по-
рядка п долженъ содержаться по крайней мѣрѣ одинъ опредѣли-
тель порядка /4, не равный нулю, а всѣ опредѣлители порядка
выше іі будутъ равны нулю. А это и значитъ, что рангъ опредѣ-
лителя системы (2) равенъ «. Итакъ, доказано, что существова-
ніе " числа рѣшеній системы (2) упомянутаго свойства есть
условіе необходимое и достаточное для того, чтобы рангъ
опредѣлителя системы былъ равенъ ц.
Далѣе, пусть
Л1 = >-1. Л2 = . . . Хп = ).п
есть одна изъ системъ рѣшеній уравненій (2), при чемъ не всѣ
равны нулю. Ясно, что изъ этой системы получимъ безчисленное
множество другихъ, замѣняя числа Л, числами, имъ пропорціональ-
ными. Всѣ получаемыя такимъ образомъ системы мы считаемъ за
одну. Эта система даетъ одно соотношеніе между элементами
опредѣлителя, вида
(3) а •! + Л2 л,-., Н-+ /.„ аіп =0, (г = 1, 2, • п).
Оно и будетъ единственнымъ, если рангъ опредѣлителя равенъ
п— 1, т. е. если система (2) имѣетъ оо1 рѣшеній. Если же рангъ
опредѣлителя равенъ п — 2, то будетъ существовать еще одно
соотношеніе, вида:
ал + ц,аі2 + ••• _р. /іп а,., = 0 (і = 1, 2, .. ., и),
въ которомъ числа /і; не пропорціональны числамъ Л,, и т. д.
Въ этомъ смыслѣ и надо понимать утвержденіе § 58, что
условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы рангъ
опредѣлителя системы (2) былъ равенъ ;і, состоитъ въ
томъ, что существуютъ п — (л, различныхъ системъ значе-
ній Лі, Я2, ...,Л„, не равныхъ нулю одновременно, удовле-
творяющихъ соотношенію (3) при всякомъ і = 1, 2, ..., п.
XXII (къ § 75).
Въ курсахъ Аналитической Геометріи подъ именемъ формулъ
Эйлера приводятся не формулы (20) § 75, а формулы преобразо-
ванія однихъ ортогональныхъ координатъ въ другія, въ которыхъ
коэффиціенты, т. е. девять косинусовъ угловъ, образуемыхъ осями
одной ортогональной системы съ осями другой, выражены въ
трехъ, такъ называемыхъ, углахъ Эйлера 6, <р, Ч'- Эти выра-
женія не симметричны, и Эйлеръ далъ и другія, симметричныя
выраженія, введя въ разсмотрѣніе величины, обозначенныя у насъ
черезъ $ и (а, /?, у) (см. въ Епсукіорабіе сіег таік. УѴіззепзсЬ.
В. VI, НеЙ 2, стр. 204). Выраженія девяти косинусовъ въ трехъ
параметрахъ р, д, г, совпадающія съ элементами опредѣлителя,
разсматриваемаго нами въ § 75, извѣстны теперь подъ низвані-
емъ формулъ Родрига (Кобгі^иез). Весьма простымъ способомъ
Кёнигъ (Коепі^з, Ье?опз бе Сіпетаіідие) получилъ формулы Род-
рига изъ первоначальныхъ формулъ Эйлера. Мы предлагаемъ чита-
телю, въ видѣ легкаго упражненія, сдѣлать это преобразованіе,
на основаніи слѣдующихъ указаній. Обозначимъ черезъ а, Ь, с,
а , Ь', с , а", Ь", с" косинусы угловъ между осями двухъ системъ,
распредѣляя ихъ по слѣдующей схемѣ:
X.
Х' і "
У' а'
7, і //
/ | а '
У, X
такъ что а = С08(х.г'), Ь = со8(у.г')> с = соз(гл:/) и т. д.
Возьмемъ извѣстныя выраженія этихъ косинусовъ черезъ углы
Эйлера, а именно:
II II II СО8 СО8 8ІП ч ч ч- СО8 8ІП 8ІП V V 6, 8ІП -г 8ІП ч ч 8ІП СО8 ч V СО8 СО8 ѳ, 0,
(1) а' = — 8ІП ч СО8 V - СО8 ч 8ІП V СО8 0,
Ь' = 8ІП ч 8ІП V + СО8 ч СО8 V СО8 9,
с' = СО8 ч 8ІП ѳ,
а" — 8ІП у 8ІП ѳ, Ъ" = СО8 V 8ІП 0, с" — СО8 0
выводъ которыхъ можно найти въ любомъ курсѣ Аналитической
Геометріи. Введемъ теперь, слѣдуя Кёнигу, перемѣнныя /, и, ѵ, га
слѣдующимъ образомъ:
(2)
5 у — п- 6 . )/> — а.
І = 81П - СО8 , и = 81П 81П ----------
О . у + (/ 0 V + Ч
V = СО8 51П —2---------------, гѵ = — С08 2" СО8-------------2
при чемъ, очевидно,
(3)
/*- —?/- —|— ’Ѵ~ —— 1.
Тогда можно будетъ и всѣ девять косинусовъ а, Ь, с, ..., вы-
разитъ въ /, и, ѵ, гі’, пользуясь формулами (1) и (2), и принимая
і и ѵ
во вниманіе (3). Если еще положимъ р = д = -, г = то вы-
раженія косинусовъ въ р, д, г совпадутъ съ выраженіями элементовъ
опредѣлителя § 75, именно такъ, что опредѣлитель
а а' а'!
Ь Ь' Ъ"
с с' с"
будетъ тождественъ съ опредѣлителемъ § 75. Для поясненія ска-
заннаго въ § 75 о механическомъ значеніи формулъ (20) замѣтимъ
слѣдующее. Изъ формулъ (20) выводимъ, умножая ихъ по очереди
на х, у, г и складывая:
хх' + у у' зз' — (№ 4- у2 + з-) соз & — (ах + ,>у уз)2 (1 — соз &),
т. е.
хх' +уу' + зз' - (ах + ,фу + ;’<$)2 =
= [-ѵ2 + у2 + з2 - (ах + Лу + 7~)2] соз 0 = о2 соз -О,
гдѣ о, какъ извѣстно, изображаетъ разстояніе отъ точки (х, у, г)
до прямой, проходящей черезъ начало координатъ въ направленіи
(а, /9, у). Чтобы показать, что формулы (20) выражаютъ вращеніе
на уголъ Д около прямой О А (а, у), замѣтимъ, что при пере-
ходѣ точки М(х, у, А въ точку М’ (х , у', А), при чемъ разстоя-
ніе о отъ М до О А не мѣняется, плоскость ОАМ придетъ въ
положеніе ОАМ', повернувшись на уголъ, равный углу между
нормалями къ этимъ плоскостямъ. Нормаль къ плоскости ОАМ,
какъ перпендикуляръ къ О А (а, /9, у) и ОМ{^, имѣетъ
направленіе (а, Ь, с), гдѣ
уу — 08 & 'Iх с 0х — аУ
(5 О @
Аналогично выразятся косинусы угловъ нормали къ плоскости ОАМ',
и косинусъ угла между этими нормалями выразится формулою
= (уу - (уу' - 0з') (аз ух) (аз' - ух') + (0х - - ау) (0х' - ау')
д2
Числитель въ со есть сумма произведеній старшихъ опредѣлителей
въ матриссѣ
а 0 у а 0 у
, умноженнныхъ на старшіе опредѣлители въ матриссѣ ,
X у 3 | х'у' з'
и, по теоремѣ Бине, равенъ произведенію этихъ матриссъ, т. е.
опредѣлителю
гдѣ
С11 = а~ + З2 + / = 1 . сі2 = С21 = ах + &У + Уг = ах' + Ну' + У-®7,
Ссу) === XX? —|— У У? —|— .
Поэтому
С = хх' 4- у у' + гг' — (ах -ф ^у + -/«)2 = <52 соз -і7,
и аі = соз-#, что и требовалось доказать. Замѣтимъ въ заключе-
ніе, что формулы (20) выражаютъ зависимости между координатами
двухъ различныхъ положеній движущейся точки относительно не-
подвижной системы координатъ, а не формулы преобразованія ко-
ординатъ, т. е. зависимость между координатами неподвижной точки
относительно двухъ различныхъ системъ координатныхъ осей; по-
слѣднія получаются изъ формулы (20), если въ этихъ формулахъ
замѣнимъ буквы х, у, г на х', у', г! и обратно.
XXIII (къ § 78).
Для поясненія замѣтимъ слѣдующее:
а) Представимъ элементы послѣдняго столбца въ первомъ
опредѣлителѣ § 78, приравненномъ нулю, въ видѣ:
-ф 0, и2 0, • • ип -ф 0, 0 + 1},
и разложимъ опредѣлитель на два слагаемыхъ,
будетъ
а11 я12 • • • а1п и1
Я21 я22 • • ' а2п и2
Одно
изъ нихъ
Яп1 я«2 ’ ' * Яип «п
и1 М2 ••• ип 0
а другое равно АѴ', сумма ихъ равна нулю, поэтому V = —
Ь) Примѣняя къ опредѣлителю формулу § 25, выдѣливъ
элементъ 0, получимъ
7) = 0 • А
откуда и видно, что первое выраженіе 1} совпадаетъ съ фор-
мулою (3).
с) Наконецъ, поступая аналогично предыдущему съ опредѣ-
лителемъ, который надо приравнять нулю, чтобы выразить условіе
совмѣстности уравненій (1“) и (2), и припоминая еще (§ 37), что
опредѣлитель, взаимный съ А, равенъ \ получимъ и второе
выраженіе для [}.
XXIV (къ § 98).
Примѣнимъ формулу § 25 къ опредѣлителю Р = гдѣ
Аѵ±і составленъ по формулѣ (15) § 98, съ замѣною ѵ на ѵ+ 1,
и положимъ еще г = 8 = ѵ-\-\. Тогда аг8 = „+1 будетъ
алгебраическое дополненіе элемента въ и, очевидно,
равно Аѵ т. е., по условію, равно нулю. Первый членъ правой части
въ формулѣ § 25 пропадетъ и получится
^+і = лііаі, г+іаіН-і,л
і, з
гдѣ і и у принимаютъ всѣ значенія 1, 2, ... ѵ. Далѣе есть
алгебраическое дополненіе элемента въ опредѣлителѣ Аѵ
(§ 25), а потому есть алгебраическое дополненіе элемента аѵѵ
въ Аѵ, т. е.
—1 *
Слѣдовательно,
— ^7 аѵѵ аіз аі, ѵ-|-1 , з '
і, .і
Но такъ какъ опредѣлитель Аѵ = 0, то алгебраическія дополненія
соотвѣтствующихъ элементовъ его въ двухъ строкахъ или столб-
цахъ пропорціональны (§ 36).
Поэтому
і) Яіѵ
^ѵз 'Ѵѵ
или
11 ѵѵ Ліз аіѵ аѵз
И
—1 агѵ аг, і’-ТІ ®ѵз , з
' ,3
аіѴ Яі, ѵ-|-1 %'ѵ г1—|—1 ,
і,3
потому что Аѵ опредѣлитель симметрическій. Наконецъ, двойная
сумма въ правой части, очевидно, равна квадрату суммы
Я11 • • • Й1, V— 1 Й1, ѵ—|—1
Я1>1 • Я1>, ѵ—1 аѵ,ѵ4-1
какъ видно изъ разложенія этого опредѣлителя по элементамъ
послѣдняго столбца.
XXV (къ § 98).
Высказанное здѣсь положеніе можно вполнѣ строго доказать
лишь послѣ того, какъ будутъ доказаны основныя теоремы изъ теоріи
предѣловъ, которой посвящена вторая книга. Опредѣлители Аѵ
равны суммѣ конечнаго числа членовъ, которые сами равны произве-
деніямъ нѣсколькихъ изъ чиселъ а.ц, умноженныхъ на величины, отъ
нихъ независящія. Сказанное въ § 98 объ этихъ опредѣлителяхъ
есть прямое слѣдствіе теоремъ о предѣлахъ суммъ и произведеній,
изложенныхъ въ §§ 132 и 133 книги II.
XXVI (къ § 100).
Для разъясненія сказаннаго въ этомъ § приведемъ ниже-
слѣдующее вычисленіе. Данную форму [} прежде всего предста-
вимъ въ видѣ суммы трехъ членовъ, относя къ первому слагаемому
всѣ члены, въ которые входятъ только первыя ѵ перемѣнныхъ
Хі, хз,-.-,хѵ, ко второму тѣ, въ которые входятъ произведенія
этихъ ѵ перемѣнныхъ на остальныя , ..., х„, и наконецъ, къ
третьему тѣ члены, въ которые входятъ только послѣднія и — ѵ
перемѣнныхъ хѵ^.і, х^,.. - , хп- Принимая во вниманіе, что
мы можемъ, слѣдовательно, представить (7 такъ
Х1 + *2 + • • • + аіѵ хѵ) хі+2^(аіг „+1 хг+1 Н--И аіп хп) хі + $,
і=1 і—1
обозначая черезъ 3 третье слагаемое, зависящее только отъ лг^і,... х„.
Теперь первое слагаемое, т. е.
(«,1 *1 + «12 Х2 + ''' + аіѵ Л'„) Хі
і=1
можно обратить въ нуль, независимо отъ значенія хѵ. Въ самомъ
дѣлѣ, для этого, очевидно, достаточно удовлетворить системѣ ѵ ли-
нейныхъ однородныхъ уравненій съ ѵ неизвѣстными
а11 Х1 + «12 х2 + ’'' + а1ѵ хѵ ~ 0
т «21 *1 + «22 Хі + ••• + «2„ Хѵ = 0
аѵІ Х1 + Яѵ2 Х2 + ’ ’' + аѵѵ хѵ — 0,
что всегда возможно, потому что, по условію, опредѣлитель этой
системы Аѵ равенъ нулю. Замѣчая еще, что, по условію, алгебраи-
ческое дополненіе элемента аѵѵ, очевидно равное Аѵ 1я не равно
нулю, мы получимъ, при хѵ совершенно произвольномъ, слѣдующее
рѣшеніе системы (1)
(2)
хі
аѵІ
гдѣ ат = Аѵ л и вообще аѵі — алгебраическое дополненіе эле-
мента аѵі въ Аѵ (§ 59). Подставляя найденныя значенія хі, х2,..., г„_і,
выраженныя черезъ хѵ, въ написанное выше выраженіе [}, мы полу-
чимъ V = 2ахѵ + /?, гдѣ
(3)
2 <=ѵ
а = -/ ' Іаі, ѵ-|-1 Л’Н-1 + ' '' + аіп Жп1 аѵг-
Чтобы убѣдиться, что выраженіе (3) совпадаетъ съ тѣмъ, которое
дано въ § 100, въ видѣ опредѣлителя, стоитъ только представить
себѣ, что этотъ опредѣлитель разложенъ по элементамъ послѣдняго
столбца.
Наконецъ, чтобы убѣдиться, что въ случаѣ а тождественно,
т. е. при произвольныхъ значеніяхъ х^і,..хп, равнаго нулю,
слѣдующій опредѣлитель § 100 равенъ нулю при і = ѵ, п,
надо припомнить, что при і = ѵ, этотъ опредѣлитель есть А„, рав-
ный нулю по условію, и при другихъ значеніяхъ і онъ получается
изъ предыдущаго (т. е. изъ выраженія 1 , если послѣдова-
тельно положимъ всѣ перемѣнныя хѵ_р1, хѵ^>, ..., хп, кромѣ пер-
ваго, второго и т. д., равными нулю.
КНИГИ ВТОРАЯ
КНИГИ ВТОРНЯ.
Ирраціональныя числа. Предѣлы, Безконечные ряды
и произведенія.
ИРРАЦІОНАЛЬНЫЯ ЧИСЛА.
Основныя понятія.
103. Изъ элементарной математики мы знакомы съ теоріею
раціональныхъ чиселъ, т. е. чиселъ цѣлыхъ (включая сюда и
нуль) и дробныхъ. Представимъ себѣ теперь, что вся эта область
чиселъ раздѣлена на два класса, которые мы назовемъ нижнимъ и
верхнимъ, такимъ образомъ, что всякое число нижняго класса
меньше любого числа верхняго класса. При этомъ можетъ случиться,
что въ нижнемъ классѣ существуетъ число а, большее всѣхъ дру-
гихъ чиселъ этого класса, или что въ верхнемъ классѣ существуетъ
число Ъ, меньшее всѣхъ другихъ чиселъ этого класса. Въ этихъ случа-
яхъ говорятъ, что сдѣланное раздѣленіе опредѣляетъ раціональное
число, именно число а въ первомъ случаѣ или число Ь во второмъ.
Замѣтимъ тутъ же, что числа а и Ь не могутъ существовать одно-
временно. Иначе между этими числами можно было бы вставить без-
численное множество раціональныхъ чиселъ, которыя не принадле-
жали бы ни къ нижнему, ни къ верхнему классу. Но можетъ слу-
читься, что не существуетъ ни числа а, ни числа Ь, обладающихъ
указанными свойствами. Въ такомъ случаѣ, условимся говорить, что
указанный способъ раздѣленія всѣхъ раціональныхъ чиселъ на два
класса опредѣляетъ ирраціональное число. Итакъ, ирраціо-
нальныя числа опредѣляются такими раздѣленіями раціональной
области на два класса, которыя обладаютъ слѣдующими свойствами:
1) Всякое число нижняго класса меньше любого числа верх-
няго класса. 2) Въ нижнемъ классѣ нѣтъ числа, превосходящаго
всѣ другія числа того же класса (наибольшаго). 3) Въ верхнемъ
классѣ нѣтъ числа, которое было бы меньше всѣхъ другихъ чиселъ
того же класса (наименьшаго).
104. Примѣры, а) Если отнесемъ къ нижнему классу раціональное
число а и всѣ раціональныя числа, меньшія «, то верхній классъ будетъ со-
стоять изъ всѣхъ раціональныхъ чиселъ, большихъ я, и въ этомъ классѣ не
будетъ наименьшаго числа. Дѣйствительно, взявъ вь верхнемъ классѣ
любое число а', мы можемъ, какъ извѣстно изъ теоріи раціональныхъ чи-
селъ !), вставить между я и а' > а безчисленное множество раціональныхъ
чиселъ, которые по необходимости будутъ принадлежать верхнему классу и
будутъ < а'. Но нижній классъ не обладаетъ свойствомъ не заключать въ
себѣ наибольшаго числа, потому что такое число существуетъ, а именно
число а. Сдѣланное раздѣленіе не опредѣляетъ ирраціональнаго числа, а
опредѣляетъ раціональное число а.
Ь) Иначе обстоитъ дѣло съ У2; это число не существуетъ, если мы
ограничимся областью однихъ раціональныхъ чиселъ. Но его можно опре-
дѣлить, какъ ирраціональное число, соотвѣтствующее раздѣленію всѣхъ
раціональныхъ чиселъ на два класса, на основаніи слѣдующаго критеріума.
Отнесемъ къ верхнему классу всѣ положительныя раціональныя числа,
квадраты которыхъ больше 2, а къ нижнему всѣ остальныя раціональныя
числа (т. е. положительныя, которыхъ квадраты меньше двухъ, нуль и всѣ
отрицательныя). Чтобы доказать, что такое раздѣленіе опредѣляетъ ирраціо-
нальное число, надо показать, что оба класса обладаютъ всѣми необходи-
мыми для этой цѣли свойствами. Прежде всего очевидно, что любое число
нижняго класса меньше всякаго числа верхняго класса, такъ какъ изъ двухъ
положительныхъ чиселъ то будетъ меньше другого, котораго квадратъ меньше
квадрата другого (и всякое отрицательное число меньше положительнаго).
Далѣе, если я какое нибудь число нижняго класса, то всегда найдется дру-
гое число того же класса, которое будетъ больше я * *) (т. е. въ нижнемъ
классѣ нѣтъ наибольшаго числа). Чтобы въ этомъ убѣдиться, надо показать,
что существуетъ такое положительное число к, для котораго а + к принад-
лежитъ нижнему классу, т. е. не только а- < 2, но и (я + /г)2 < 2, или
(2я + к) к < 2 - я-'. Взявъ к < 1, мы удовлетворимъ предыдущему нера-
, 2 - я2 „ , ,
венству при к < -----• Слѣдовательно, достаточно взять я положитель-
, 2 я2 „
нымъ и меньшимъ наименьшаго изъ чиселъ 1 и ---------- • Аналогичнымъ пу-
ги + 1
темъ можно было бы показать, что если а принадлежитъ верхнему классу,
то всегда найдется число, меньшее я и принадлежащее тому же классу, т. е.
что въ верхнемъ классѣ нѣтъ наименьшаго числа
105. Равенство и неравенство**). Говорятъ, что два числа
а и равны между собою, и пишутъ а = /?, если классы, опредѣ-
ляющіе а, совпадаютъ съ соотвѣтствующими классами, опредѣляю-
щими /?. При этомъ очевидно, что совпаденіе нижнихъ классовъ
влечетъ за собой совпаденіе верхнихъ, и наоборотъ. Говорятъ, что
х) Надо помнить, что отъ сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія
въ области раціональныхъ чиселъ всегда получаются числа той же области.
*) Причемъ, конечно, можно ограничиться предположеніемъ, что я > 0.
**) Въ дальнѣйшихъ §§ раціональныя числа мы будемъ обозначать
преимущественно латинскими буквами, а ирраціональныя греческими, при
чемъ, однако, не исключается возможность, того, что греческая буква обоз-
начаетъ, въ частномъ случаѣ, раціональное число.
а меньше /?, и пишутъ а < /?, если существуетъ такое раціональ-
ное число, которое одновременно принадлежитъ верхнему классу
числа а и нижнему классу числа /?. Если, въ частности, раціональ-
ное число, то неравенство а < /? выражаетъ собою только то, что /?
принадлежитъ верхнему классу числа а. Точно также, если а раціо-
нальное число, то неравенство а < $ обозначаетъ, что а принад-
лежитъ нижнему классу числа /9. Далѣе говорятъ, что а число
положительное, если оно больше 0, т. е. если нижній классъ числа
а содержитъ въ себѣ нуль; число а — отрицательное, если нуль
принадлежитъ верхнему его классу.
106. Числа, равныя по абсолютной величинѣ. Перемѣ-
нимъ знаки у всѣхъ чиселъ нижняго класса числа а на противопо-
ложные, и будемъ ихъ разсматривать, какъ числа, образующія верх-
ній классъ нѣкотораго числа ,9; нижній классъ этого числа /9 будетъ
очевидно, состоять изъ чиселъ верхняго класса числа а, взятыхъ съ
обратными знаками. Ясно, что такія два числа а и $ будутъ одно
положительное, а другое отрицательное, потому что 0 будетъ одно-
временно находиться въ нижнемъ классѣ одного изъ нихъ и въ
верхнемъ другого. При такихъ обстоятельствахъ условимся говорить,
что числа а и равны по абсолютной величинѣ и писать
[і = — а. Замѣтивъ, что продѣлавъ съ классами числа ту опера-
цію, которую произвели съ классами числа а, мы, очевидно, получимъ
изъ число а. Иными словами, если /9 = - а, то а = — /?.
107. Обратныя числа. Предполагая а > 0 и ограничиваясь
областью однихъ положительныхъ раціональныхъ чиселъ, возьмемъ
обратныя значенія *) чиселъ обоихъ классовъ, опредѣляющихъ а,
и въ то же время переставимъ эти классы (т. е. нижній на верх-
ній и обратно). Тогда опредѣлится новое число р, которое мы на-
зовемъ обратнымъ относительно а, и будемъ писать /9 = — •
Легко видѣть, что изъ 3 = — вытекаетъ а = Д-- Если, далѣе, а<0,
’ а ,3 ’ '
то символъ — изображаетъ отрицательное число, абсолютная вели-
чина котораго есть число, обратное абсолютной величинѣ а.
Иными словами, если а < 0, то, для опредѣленія символа —, усло-
вились писать
1 1
а ~ — а
Наконецъ, установимъ разъ навсегда, что при а = 0, символъ —
ничѣмъ не опредѣленъ и потому никакого смысла не имѣетъ.
*) Обратнымъ значеніемъ раціональнаго числа а называется число— •
а
108. Если а < /?, то существуетъ безчисленное мно-
жество раціональныхъ чиселъ, лежащихъ между а и (3. По
условію существуетъ такое раціональное число а, что
а < а < іЗ.
Такъ какъ а не можетъ быть наибольшимъ числомъ въ нижнемъ
классѣ числа /?, то въ этомъ классѣ существуетъ раціональное
число а > а, принадлежащее также къ верхнему классу числа а,
такъ что
а < а < а' < >3.
Но между раціональными числами а и а можно вставить безчи-
сленное множество раціональныхъ чиселъ, которыя всѣ будутъ при-
надлежать верхнему классу числа а и нижнему классу числа /?, что
и надо было показать. Далѣе ясно, что теорема остается справед-
ливой и тогда, когда, по крайней мѣрѣ, одно изъ чиселъ а и
раціонально.
109. Изъ неравенствъ а < и /? < 7, слѣдуетъ нера-
венство а </. Замѣчаемъ, что опредѣленіе неравенствъ а</?, /?<7
заключаетъ въ себѣ утвержденіе, что существуютъ два такихъ раціо-
нальныхъ числа а и Ь, для которыхъ «<«</?, (3 < Ь < 7. От-
сюда видно, что а принадлежитъ нижнему, а Ь верхнему классу
числа /?; слѣдовательно, а Ь. Далѣе Ь принадлежитъ нижнему
классу числа 7, поэтому и а принадлежитъ тому же классу, т. е.
существуетъ число а, принадлежащее одновременно верхнему классу а
и нижнему 7, откуда а < 7.
110. Между двумя раціональными числами, разность
которыхъ можетъ быть сдѣлана сколь угодно малою (по
абсолютной величинѣ) можетъ заключаться только одно
число. Допустимъ обратное, т. е. положимъ, что а < а < Ь, и
а < /? < Ь. Если а </?, то можно указать два опредѣленныхъ
числа а' и Ь' такихъ, что а<а'<У</?, а тогда и а <а' <Ь' <.Ь,
а откуда Ъ —- « > Ь' — сі т. е. Ь - а нельзя сдѣлать, вопреки пред-
ложенію, меньшимъ чѣмъ Ь' — а’’, аналогичное заключеніе получается и
при а > (3.
Итакъ, нельзя допустить, что /? не совпадаетъ съ а, если
положительное число Ь — а можно сдѣлать меньшимъ любого по-
ложительнаго числа.
111. Всякое число «можно заключить между двумя раціо-
нальными числами, разность которыхъ по абсолютной ве-
личинѣ будетъ меньше любого положительнаго числа. Если а
лежитъ между а и Ь > а, то|(в + і) будетъ принадлежать либо
нижнему, либо верхнему классу числа «. Въ первомъ случаѣ поло-
жимъ а, = і (я + Ь), Ьх = Ь, во второмъ ах = а, Ь^ = (а + Ь).
Въ обоихъ случаяхъ а будетъ заключаться между числами ах и ,
причемъ Ь, — = 4 (6 — а). Поступивъ такъ же съ а} и Ьх, най-
демъ два такихъ числа аг и Ь2, что
а2 < а < Ь2 и Ь2 - а., = у - а±) = у (6 - а).
Продолжая такъ далѣе, получимъ числа «3 и /л, и т. д., и нако-
нецъ ап и Ьп, для которыхъ
ап < а < Ъп и Ъ,г - ап = - а) .
Выбирая п достаточно большимъ, мы можемъ сдѣлать Ъп — ап мень-
шимъ любого положительнаго числа.
112. Изъ нижняго класса ирраціональнаго числа всегда
можно выдѣлить неубывающую послѣдовательность раціо-
нальныхъ чиселъ, въ которой найдется число, превыша-
ющее любое изъ чиселъ этого класса*). Составленная въ пре-
дыдущемъ § послѣдовательность чиселъ а, ах, а2, а3... такова,
что л ит. д., т. е. что каждый послѣдующій членъ не
меньше предыдущаго, слѣдовательно, это послѣдовательность не-
убывающая **). Остается показать, что какое бы число а' мы ни
выбрали въ нижнемъ классѣ числа а, всегда найдется въ нашей
послѣдовательности такое число чтоаи></. Такъ какъ а' не наи-
большее число въ нижнемъ классѣ а (такого не существуетъ), то
найдется число а” > а', принадлежащее тому же классу. Вмѣстѣ съ
тѣмъ мы видѣли, что Ьп — ап можно сдѣлать, взявъ п достаточно
большимъ, меньшимъ любого положительнаго числа, въ частности,
слѣдовательно, меньшимъ а” — а'. Изъ неравенства Ъп — —а'
слѣдуетъ ап > Ьп—а" + а' > а', потому что Ьп -- а" > О, такъ
какъ а" принадлежитъ нижнему, а Ьп верхнему классу числа а.
113. Изъ сказаннаго ясно, что послѣдовательность а,, а2, «3,...,
какъ и послѣдовательность Ьх, Ь2, Ь3, ... ***) могутъ служить для
опредѣленія ирраціональнаго числа. А именно, предполагая, что эта
послѣдовательность дана, мы видимъ, что она приводитъ къ раз-
дѣленію всѣхъ раціональныхъ чиселъ на два класса, обладающихъ
требуемыми свойствами. Достаточно отнести каждое раціональное
число а' къ нижнему классу, если въ данной послѣдовательности
возможно найти число, не меньшее а', и къ верхнему, если въ
данной послѣдовательности найти такое число невозможно. Это
*) Неубывающею послѣдовательностью чиселъ в15 а2, а3, ... ап
называется такая, въ которой каждое число не меньше (больше или равно)
предыдущаго.
**) Въ самомъ дѣлѣ = у (а + 6) > а при Ь > а, или а± — а, а2 =
|(«!+ 6і) > «! ИЛИ «2= «1; И т. Д.
***) Послѣдовательность 61, 62, Ь3,... есть послѣдовательность невозра-
стающая, такъ какъ Ь > Ьх > Ь2 > Ь3 ...
замѣчаніе важно въ томъ отношеніи, что оно открываетъ новый
путь для изученія ирраціональныхъ чиселъ, опредѣляя эти числа при
помощи послѣдовательностей раціональныхъ чиселъ. Теорія число-
выхъ послѣдовательностей была строго обоснована Гейне х) и
теорія ирраціональныхъ чиселъ тѣсно съ нею связана работами
Г. Кантора, Липшица и др. Но уже за 30 лѣтъ до того Ката-
ланъ въ своемъ преподаваніи и небольшихъ замѣткахъ поло-
жилъ основаніе новой теоріи ирраціональныхъ чиселъ * 2). Вайер-
штрассъ основываетъ теорію ирраціональныхъ чиселъ на болѣе
тонкихъ понятіяхъ, разсматривая эти числа, какъ суммы безконечно
большого числа раціональныхъ чиселъ. Мы предпочитаемъ въ даль-
нѣйшемъ изложеніи пользоваться раздѣленіемъ на классы, принад-
лежащимъ Дедекинду и принятымъ Дини, Таннери и другими (I).
Дѣйствія надъ ирраціональными числами.
114. Сложеніе, а) Суммою двухъ чиселъ а и @ назы-
ваютъ и обозначаютъ черезъ а 4- /? такое число, раціональ-
ное или ирраціональное, которое больше суммы любыхъ
двухъ раціональныхъ чиселъ, соотвѣтственно меньшихъ,
чѣмъ а и /?, и меньше суммы любыхъ двухъ чиселъ, соотвѣт-
ственно большихъ, чѣмъ а и такъ что
а + Ь < а + В < а’ + Ъ',
если Ь <_[$ <_Ь', каковы бы ни были раціональныя числа
а и Ь, а' и Ь', удовлетворяющія вторымъ неравенствамъ.
Установивъ такое опредѣленіе, покажемъ, что всегда суще-
ствуетъ число а-\-@ и что болѣе одного такого числа не
можетъ быть.
Ь) Положимъ
(1) а < а < а', Ь < /3 < Ь'.
Всякое раціональное число г, не имѣющее вида а-\-Ь, т. е. не раз-
лагающееся на два слагаемыхъ, изъ которыхъ одно меньше а, дру-
гое меньше /?, непремѣнно будетъ больше всѣхъ чиселъ, имѣю-
щихъ этотъ видъ. Потому что, если бы г<^а~\-Ь, то г —
и, вопреки предположенію, г равнялось бы суммѣ двухъ раціональ-
ныхъ чиселъ а и г — а, гдѣ
а < а, г — а <
Подобнымъ же образомъ докажемъ, что всякое раціональное число,
не имѣющее вида а’ + Ъ', будетъ меньше всѣхъ чиселъ этого вида,
х) „Піе Еіетепіе дег ГипШопепІеЬге (СгеІІез Лоигпаі, Вд. 74)
2) См. „МаЙіезіз” 1886. стр. 151. (Журналъ, издаваемый въ Брюсселѣ.)
Поэтому, если существуетъ раціональное число г, не имѣющее ни
вида а + Ь ни вида а 4* Ь', гдѣ а, Ъ, а', Ъ' удовлетворяютъ выше
указаннымъ неравенствамъ, то будемъ имѣть
а + Ь < г < а' -|- Ь',
каковы бы ни были числа а, Ъ, а', Ъ', удовлетворяющія услові-
ямъ (1). Въ этомъ случаѣ сумма а + ;-> существуетъ и равна этому
числу г.
с) Положимъ теперь, что такого числа г не существуетъ; это
значитъ, что всякое раціональное число будетъ либо вида а-\-Ь,
либо вида а' + V. Образуемъ изъ этихъ чиселъ два класса. Этимъ
опредѣлится нѣкоторое ирраціональное число у, потому что всегда
а + Ь < а' 4* Ь', и въ нижнемъ классѣ нѣтъ наибольшаго, а въ
верхнемъ нѣтъ наименьшаго числа. Дѣйствительно, мы всегда мо-
жемъ найти два числа ах и Ъх такихъ, чтобы было
а < ах< а, Ь < Ь± < /3, откуда а + Ь < «!+ и т. д.
Такъ какъ всегда
а + Ь < / < а' + Ь',
то искомая сумма есть у.
сі) Итакъ, всегда существуетъ число, раціональное или ирраціо-
нальное, подходящее подъ опредѣленіе суммы Остается до-
казать единственность этого числа. Согласно § 111 мы всегда
можемъ заключить число а между двумя числами а и а > а, та-
кими, что а—а будетъ меньше любого положительнаго числа. Тоже
самое можно сдѣлать съ /?. Но изъ неравенствъ
а’ — а < 4 і, Ь' — Ь < | е ,
гдѣ 6 произвольно заданное положительное число, выводимъ, путемъ
сложенія: а' 4- Ъ'—(а-\-Ь) е. Поэтому (§ ПО) число а + ^, ле-
жащее между двумя числами, положительная разность которыхъ
меньше любого числа 8, есть число, вполнѣ опредѣленное (един-
ственное).
115. Свойства суммы, а) Такъ какъ сумма а 4- опредѣ-
ляется суммами а 4- Ъ и а 4- Ъ', не измѣняющимися при переста-
новкѣ слагаемыхъ, то очевидно а 4- /? = /? + а-
Ь) Аналогично этому доказываютъ, что
« + 3 + 7 = а + (0 + /) и т. п.
с) Если /? = О, то числа Ь — отрицательныя, а числа Ъ'—по
ложительныя раціональныя числа. Отсюда слѣдуетъ, что
а 4- Ь < а < а, а' Ь' > а' > а.
Слѣдовательно, классы а Ь и а'-\-Ъ' опредѣляютъ число а. Иными
словами
а -|- 0 = а.
сі) Если /? =—а, то числа Ь равны числамъ а', взятымъ съ
обратными знаками (§ 106), и такъ какъ а' > а, то а-\- Ь =а — а' <0.
Точно такъ же числа Ъ' равны числамъ а съ обратными знаками
и а'-|- Ъ' = а--а > 0. Число, лежащее всегда между а-\-Ъ и а'-\-Ь'
есть, слѣдовательно, 0. Иными словами а -|- ( — а) = 0 или короче
а — а = 0.
е) Отъ сложенія числа съ неравными числами получа-
ются неравныя суммы. Дѣйствительно, если то можно себѣ
представить такія два числа а и Ъ, что а<а<й</?. Кромѣ того,
(§ 111) всякое число у можно заключить между двумя числами
с и с' такими, что с — с<Ь — а или а-\-с'<Ь-\-с. Съ другой
стороны, изъ опредѣленія суммъ а -|- у и слѣдуетъ, что
а -|-у<« + с', /? + у >Ь-\-с, а-|-у <«й Д-с</? +7, т. е.,
если а < /?, то а -р у < /? + у.
116. Вычитаніе. Всегда существуетъ число, которое, будучи
сложено съ /?, дастъ въ суммѣ а. Это число есть а + ( — /?). Дѣй-
ствительно, по свойствамъ суммы имѣемъ
а + ( — ,9) + = а + ( — /9 = а 0 = а.
Не существуетъ другого числа, обладающаго тѣмъ же свойствомъ,
потому что было показано, что два различныхъ числа, сложенныя
съ однимъ и тѣмъ же, не могутъ давать одну и ту же сумму.
Итакъ, число а (— /?) или короче а — /?, дающее при сложеніи
съ /? число а, есть единственное. Оно по опредѣленію и есть
разность между числомъ а и числомъ /?.
117. Умноженіе. Положимъ сперва, что а и положитель-
ныя числа, и а, Ь, а', Ь' положительныя раціональныя числа,
удовлетворяющія условіямъ (1) § 114. Всякое положительное раціо-
нальное число г будетъ либо вида аЬ, либо вида а' Ъ', либо
ни того, ни другого. Если г не имѣетъ вида аЬ, то г>аЬ.
У
Иначе изъ неравенства г<^аЪ мы вывели бы, что — <&</?
и вопреки предположенію число г разлагалось бы на множители
Г
а<^а и — </?. Такимъ же образомъ покажемъ, что если г не
имѣетъ вида а'Ь', то г<^а'Ь'. Слѣдовательно, если г не будетъ
ни вида аЬ, ни вида а'Ь', то аЬ <іа'Ъ', для всѣхъ значеній
а, Ь, а', Ь', удовлетворяющихъ условіямъ (1). Если нѣтъ раціональ-
наго числа упомянутаго свойства, то это значитъ, что всякое раціо-
нальное число будетъ либо вида аЬ, либо вида а'Ь'. Тогда раз-
смотримъ ирраціональное число, опредѣляемое классами чиселъ аЬ
и а'Ь'. Такимъ образомъ мы убѣждаемся, что навѣрно существуетъ
число у, раціональное или ирраціональное, обладающее тѣмъ свой-
ствомъ, что оно будетъ больше произведенія любыхъ двухъ
положительныхъ раціональныхъ чиселъ, соотвѣтственно
меньшихъ чѣмъ а и /?, и меньше произведенія любыхъ двухъ
раціональныхъ чиселъ, соотвѣтственно большихъ, чѣмъ а иф
аЬ < у < а’ Ъ'. Это число единственное. Чтобы это доказать, надо
лишь убѣдиться, что каково бы ни было положительное число а, всегда
можно выбрать числа а, Ъ, а', Ъ’ такъ, чтобы а'Ь' — аЬ было меньше а.
(§ 110). Съ этой цѣлью, выберемъ между числами верхняго класса
наибольшаго изъ чиселъ а и @ число с такое, чтобы са было больше ^а,
гдѣ а выбранное по произволу положительное число. Это, очевидно,
всегда возможно, и будемъ имѣть Ь <2 с и или ~ <5 с.
’ 3 Зс
Затѣмъ выбираемъ числа а, а’, Ь, Ь' такъ, чтобы а'—а и Ь'—Ь
были меньше , что также всегда возможно. Тогда, такъ какъ
а + Ь + ъ <С Зс, мы будемъ имѣть
ос
а'Ь'
~ < аЬ + е
Зс
и а'Ь'—аЬ<іе. Поэтому (§ ПО) число у, лежащее всегда между
аЬ и а'Ь'- единственное, вполнѣ опредѣленное. Оно и будетъ по
опредѣленію произведеніемъ данныхъ чиселъ а и /?, и обозна-
чается знакомъ а/?.
118. Такимъ образомъ опредѣляется произведеніе двухъ чи-
селъ лишь вь томъ случаѣ, когда эти числа оба положительны.
Вообще же произведеніемъ двухъ чиселъ а и /? называютъ про-
изведеніе ихъ абсолютныхъ величинъ, взятое со знакомъ-]- или — ,
смотря по тому, будутъ ли числа а и @ одинаковыхъ или разныхъ
знаковъ. Иными словами
а ? = — ( — а) аЗ = — «( — /?), аЗ = ( -- а) ( — /?).
Произведеніе а на 0 будетъ по опредѣленію равно нулю. Въ послѣ-
дующемъ мы будемъ для1 сокращенія рѣчи считать а и р положи-
тельными. Всѣ найденныя при этомъ свойства легко обобщить на
всѣ другіе случаи.
119. Свойства произведенія, а) а/? = /?а, Ь) ару = а (/?у) и т. д.
с) а • 1 = а, д) а • = 1, е) если умножимъ число на нерав-
ныя числа, то получимъ неравныя произведенія. Всѣ эти
свойства легко доказываются съ помощью разсужденій, аналогич-
ныхъ тѣмъ, которыми мы пользовались въ § 115.
120. Дѣленіе. Всегда существуетъ число, которое по
умноженіи на /? ф 0 даетъ а. Оно равно произведенію
которое для краткости обозначаютъ знакомъ Дѣйствительно, по
свойствамъ произведенія, имѣемъ
Не существуетъ другого числа съ тѣмъ же свойствомь, потому что
два различныхъ числа,умноженныя на /?, какъ мы видѣли, даютъ
различныя произведенія. Поэтому, число , которое по умноженіи
на /9 даетъ а — единственное. Оно, по опредѣленію, есть част-
ное отъ дѣленія а на /?. Здѣсь также замѣтимъ, что при /? = 0,
символъ смысла не имѣетъ.
Р
121. Аналогичнымъ образомъ можно обобщить всѣ правила
алгебраическаго вычисленія на ирраціональныя числа. Напримѣръ,
чтобы доказать, что а + у) = а/? Ц- ау, достаточно разсмотрѣть
соотвѣтствующія раздѣленія на классы и обнаружить тождество одно-
именныхъ классовъ. Для насъ достаточно было намѣтить путь, ко-
торому надо слѣдовать при подобныхъ доказательствахъ, тѣмъ болѣе,
что полное распространеніе алгебраическаго вычисленія на ирраціо-
нальныя числа, само собою и совершенно естественно получается
изъ той важной теоріи, которую мы теперь и разовьемъ.
ТЕОРІЯ ПРЕДѢЛОВЪ.
Стремленіе къ предѣлу.
122. Опредѣленіе, а) Число ап, измѣняющееся съ измѣне-
ніемъ натуральнаго (цѣлаго положительнаго) числа и, называется
безконечно большимъ при безконечномъ п, если при безпре-
дѣльно возрастающемъ п, число ап въ концѣ концовъ ста-
новится и остается большимъ сколь угодно большого
числа. Выражаясь точнѣе, если каждому выбранному по произволу
числу I. соотвѣтствуетъ нѣкоторое число ѵ такого рода, что при
п > ѵ всегда будетъ ап >• А, то говорятъ, что ап число безконечно
большое, или что ап возрастаетъ безпредѣльно или стремится
къ безконечности.
Ь) Говорятъ, что ап при безконечномъ п есть число безконечно
малое, если при безпредѣльномъ возрастаніи п, абсолютная вели-
чина числа ап въ концѣ концовъ становится и остается меньшею
сколь угодно малаго положительнаго числа. Точнѣе выражаясь:
если каждому положительному числу 6 соотвѣтствуетъ нѣкоторое
число ѵ такого рода, что при п )> ѵ всегда | ап | е *), то говорятъ,
что ап безконечно мало или стремится къ нулю (II).
с) Когда вообще говорятъ, что а„ при безконечномъ п стре-
мится къ а или, что послѣдовательность чиселъ 04, я2, я3,...
имѣетъ предѣлъ (Іітез) а, и пишутъ 1ітям = а, то этимъ выра-
жаютъ, что разность а» — а число безконечно малое. Въ частности
предѣлъ безконечно малаго числа есть нуль.
сі) Принято также писать Ііт ап = о© и говорить, что ап имѣетъ
предѣломъ положительную безконечность или просто безконеч-
ность, чтобы выразить, что ап число безконечно большое. Конечно,
подобный способъ выраженія есть дѣло простого соглашенія и вво-
дится лишь для сокращенія рѣчи. Съ тою же цѣлью говорятъ,
что ап имѣетъ предѣломъ отрицательную безконечность, и пишутъ
1ітяи = - оо, чтобы выразить, что ( «„) стремится къ безко-
нечности.
123. Примѣчанія, а) Если я„ стремится къ а, то — ап
стремится къ — а. Дѣйствительно, разности
- а, - ап- ( - я) = я - ап
равны между собою по абсолютной величинѣ, и потому одна изъ
нихъ не можетъ быть безконечно малою безъ того, чтобы и дру-
гая не была таковою же.
Ь) Если число ап заключается между двумя безко-
нечно малыми, то оно само безконечно малое. Дѣйствительно,
абсолютное значеніе ап не можетъ быть больше абсолютныхъ зна-
ченій обоихъ данныхъ чиселъ (между которыми оно заключается),
а потому оно должно сдѣлаться и оставаться меньшимъ любого по-
ложительнаго числа.
с) Если при безконечномъ п число ап стремится къ а,
то его абсолютная величина стремится къ абсолютной ве-
личинѣ а. Дѣйствительно, такъ какъ абсолютная величина разности
двухъ чиселъ всегда больше или равна разности абсолютныхъ вели-
чинъ этихъ чиселъ **), то будемъ имѣть
| ап — а | & | ап | — [ а | .
Поэтому разность | ап | — | а | будетъ безконечно малою одно-
временно съ ап — а.
б) Если ап число безконечно большое, то обратное ему
число — будетъ безконечно малымъ. Дѣйствительно, если е
ап
*) Символомъ |х| всегда будемъ обозначать абсолютную величину х.
**) Извѣстно, что |я + 6|^|я[-Нб|; положивъ Ь = с — а, нахо-
димъ I с I й | я I + I с — я I, і с — я ! > I с I — 1 я | .
произвольно заданное, сколь угодно малое число, то всегда можно
найти такое значеніе ѵ, чтобы при п > ѵ было
1 1
ап > ~ ’ откуда — < е.
° "п
Иначе говоря, если Ііт ап = ао, то Ііт —=0-
ап
е) Обратное заключеніе несправедливо. Можно лишь утвер-
ждать, что число, обратное положительному безконечно малому числу
имѣетъ предѣломъ -|- ао, а обратное отрицательному безконечно
малому имѣетъ предѣломъ— ао. Если же ап, стремясь къ нулю,
не будетъ въ концѣ концовъ сохранять одинъ и тотъ же знакъ,
1 „
то обратное число — будетъ лишь колебаться между положитель-
ап
ными и отрицательными числами, сколь угодно большими по абсо-
лютной величинѣ, не стремясь ни къ какому предѣлу. Такъ напри-
мѣръ, послѣдовательность чиселъ 1,—і, -у,—... имѣетъ пре-
дѣломъ нуль, а послѣдовательность обратныхъ чиселъ 1, — 2, 3,
— 4, 5,... не имѣетъ никакого (ни конечнаго, ни безконечнаго)
предѣла.
124. Способъ предѣловъ. Этотъ многообъемлющій спо-
собъ состоитъ въ переходѣ отъ данныхъ соотношеній между іере-
мѣнными числами къ аналогичнымъ соотношеніямъ между предѣлами
этихъ чиселъ. Онъ основанъ на небольшомъ числѣ теоремъ, кото-
рыя доказываются весьма просто, если примемъ во вниманіе, что,
на основаніи самого опредѣленія предѣла (§ 122, Ь, с), существова-
ніе предѣла а перемѣннаго числа ап заключаетъ въ себѣ возможность
всегда найти такое значеніе ѵ числа п, что при п )> ѵ ап будетъ
превосходить любое число, меньшее а, и оставаться мень-
шимъ любого числа, большаго а. Для этого достаточно взять
число е (§ 122) меньшимъ абсолютной величины разности между а
и вышеупомянутыми числами (III). Замѣтимъ еще, что, опираясь на
сказанное выше (§§ 112 и 113) объ ирраціональныхъ числахъ, мы
можемъ утверждать, что всякое ирраціональное число можно
разсматривать, какъ предѣлъ нѣкоторой послѣдователь-
ности раціональныхъ чиселъ (Ша).
125. Перемѣнное число не можетъ одновременно стре-
миться къ различнымъ предѣламъ. Дѣйствительно, допустивъ,
что ап стремится къ двумъ неравнымъ между собою предѣламъ
а и Ьу мы могли бы, обозначая черезъ с число, лежащее между а и Ъ,
(а<с< Ь), найти такое значеніе указателя п, для котораго
одновременно ап> с и ап<С.с (§ 124), что невозможно. Слѣдуетъ,
однако, замѣтить, что ап можетъ стремиться къ различнымъ предѣ-
ламъ при различныхъ формахъ указателя п. Напримѣръ, по-
слѣдовательность 4, никакого предѣла не имѣетъ,
послѣдовательность чиселъ, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, имѣетъ
предѣломъ нуль, а послѣдовательность чиселъ, стоящихъ на чет-
ныхъ мѣстахъ, имѣетъ предѣломъ 1 (IV). Важно замѣтить еще слѣ-
дующее. Изъ опредѣленія предѣла данной послѣдовательности чи-
селъ вытекаетъ, что всякая послѣдовательность, состоящая изъ
безконечнаго числа чиселъ, выдѣленная изъ послѣдова-
тельности, имѣющей предѣлъ, сама имѣетъ тотъ же самый
предѣлъ.
126. Изъ двухъ перемѣнныхъ чиселъ ап и Ьп, стремящихся
къ различнымъ между собою предѣламъ а и Ь, то, которое стре-
мится къ большему предѣлу, въ концѣ концовъ, сдѣлается больше
другого. Иными словами, если
Ііт ап > Ііт Ьп\ то > Ьп ,
начиная съ нѣкоторого значенія указателя п. Дѣйствительно, вы-
бравъ какое нибудь число с между а и Ь, а^> с^>Ъ, при доста-
точно большомъ значеніи п и для всѣхъ еще большихъ, будемъ
имѣть (§ 124) а„^>с, Ьп<іс, откуда
127. Если одно перемѣнное число въ концѣ концовъ*дѣла-
ется и остается меньше другого, то предѣлъ перваго не
можетъ быть больше предѣла второго. Иными словами: если
«„ < Ь„, то 1іт«и < 1іт5л.
Дѣйствительно, если бы Ііт ап былъ больше 1іт6„, то въ концѣ
концовъ имѣли бы ап^>Ъп, вопреки предположенію.
128. Изъ послѣднихъ теоремъ вытекаютъ нѣкоторыя слѣд-
ствія, заслуживающія вниманія. Прежде всего важно замѣтить, что
перемѣнное число въ концѣ концовъ принимаетъ и сохра-
няетъ знакъ (+ или —) своего предѣла, т. е. если 1іта„^>0,
то въ концѣ концовъ будетъ и «„^>0. Послѣдовательность чиселъ,
стремящаяся къ положительному предѣлу, можетъ поэтому заклю-
чать въ себѣ лишь ограниченное число отрицательныхъ или рав-
ныхъ нулю чиселъ. Обратно, если «.„>0, то 1ітя„;>0, т. е. поло-
жительное перемѣнное число можетъ стремиться только къ
положительному предѣлу или къ нулю. Равнымъ образомъ,
отрицательное перемѣнное число не можетъ стремиться къ положитель-
ному предѣлу. Изъ этого слѣдуетъ, что послѣдовательность, со-
стоящая изъ безчисленнаго множества положительныхъ и
безчисленнаго множества отрицательныхъ чиселъ, ни къ ка-
кому предѣлу, кромѣ нуля, стремиться не можетъ.
129. Сумма и произведеніе конечнаго числа безко-
нечно малыхъ чиселъ суть числа безконечно малыя (V). Если ѵ
число заданныхъ слагаемыхъ или сомножителей, и е произвольно
заданное положительное число, то достаточно сдѣлать абсолютную
величину каждаго слагаемаго меньшей и каждаго множителя
V
меньшей чтобы сумма и произведеніе, по абсолютной величинѣ,
сдѣлались меньше е. Дѣйствительно, извѣстно, что абсолютная ве-
личина произведенія равна произведенію абсолютныхъ величинъ
сомножителей, а абсолютная величина суммы не больше суммы аб-
солютныхъ величинъ слагаемыхъ.
130. Если два перемѣнныхъ числа стремятся къ одному
и тому же предѣлу, то всякое число, лежащее между дан-
ными перемѣнными числами, стремится къ тому же пре-
дѣлу. Положимъ, что при всякомъ и*), ап<^.Ьп<ІСп, и 1іт«,1 =
Іітсн = а. Разность Ьк—а (§ 123, Ь) безконечно мала, потому что
заключается между ал — а и — а, безконечно малыми по условію.
Слѣдовательно, Ііт Ън = а.
131. Если нѣкоторое перемѣнное число Ьп стремится
къ предѣлу а, и всегда заключается между перемѣнными
а„ и сп, разность которыхъ стремится къ нулю, то эти пе-
ремѣнныя ап и сп стремятся къ тому же предѣлу а, какъ
и Ьп. Пусть ап<Ъп<Сп, ІтЬ„=а, Ііт (ап — сп) = 0; напишемъ
ап — а = (а„ — Д,) + (/>„ — а). Разность ап — Ъп, лежащая между 0
и безконечно малою разностью ап—сп, имѣетъ предѣломъ 0; раз-
ность Ьп — а, по условію, безконечно мала; слѣдовательно, 1іта„=я,
а такъ какъ сп — а = (с„ — <тп) -р (ап — а), то и Ііт сп = а.
132. Предѣлъ суммы конечнаго числа перемѣнныхъ,
стремящихся къ опредѣленнымъ предѣламъ, равенъ суммѣ
предѣловъ слагаемыхъ. Дѣйствительно, если перемѣнныя ап, Ьп
сп,...,кп стремятся соотвѣтственно къ предѣламъ а, Ь, с,...,к,
то это значитъ, что (§ 122, с) ап — а, Ьп— Ь, сп — с,...кю—к
числа безконечно малыя, а потому (§ 129) и сумма ихъ
(«„ + + Сп + + ^И) ~ (а + 6 + С + ’ ' ’ + ^)-
число безконечно малое. Иначе
Ііт (ап -|- Ьп -р сп -р • + р,) = а-\-Ь-\-с-\-----\-к
= Ііт ап + Ііт Ьп + Ііт ₽„ + •+ Чт кп.
Какъ одно изъ слѣдствій этой теоремы, замѣтимъ слѣдующее: если
разность двухъ перемѣнныхъ стремится къ нулю, и одно
изъ нихъ стремится къ нѣкоторому предѣлу, то и другое
стремится къ тому же предѣлу. Дѣйствительно, если Ііт ап = а и
Ііт (Ьп — ян) = 0, то 'Ііт Ьп = Ііт ап -р Ііт (6П — ап) = а.
133. Предѣлъ произведенія конечнаго числа сомножи-
телей, стремящихся къ опредѣленнымъ предѣламъ, равенъ
*) Начиная съ нѣкотораго мѣста.
произведенію предѣловъ сомножителей. Дѣйствительно, пере-
множая числа
«„ = а + (ап - а), Ьп = Ь + (Ьп - Ь), сп = с + (сп - с), ...
получимъ произведеніе аЪс ... , сложенное съ конечнымъ числомъ
безконечно малыхъ слагаемыхъ (VI). Поэтому
ііт апЬпсп = аЬ с • • • = Ііт ап ііт Ьп • Ііт сп
134. Если ап стремится къ предѣлу а, отличному отъ
нуля, то-1 стремится къ предѣлу-^-. Выбравъ по произволу по-
ап
ложительное число а, меньшее 1 и, замѣчая, что предѣлъ числа —, рав-
наго произведенію ап на , есть 1, мы можемъ дать числу п
ап
такое значеніе, начиная съ котораго — > а, и въ то же время
| ан — а | < г2«2. Тогда
135. Предѣлъ частнаго равенъ частному отъ дѣленія
предѣла числителя на предѣлъ знаменателя, предполагая
послѣдній не равнымъ нулю. Дѣйствительно, на основаніи ска-
заннаго въ предыдущемъ §, имѣемъ
ап 1 1 1іт ап
ііт г = Ііт а„ • Ііт 7- = Ііт «„ • т.—г- = г .
Ьп п п ѣт Ьп Іші Ьп
Важно никогда не упускать изъ вида существеннаго ограниченія,
что Ііт Ъп ф 0.
Основныя теоремы.
136. Теорема I. Всякое возрастающее перемѣнное число
имѣетъ конечный или безконечный предѣлъ.
Если ап не возрастаетъ до безконечности, то существуетъ по
крайней мѣрѣ одно число, котораго ап не превзойдетъ, и ясно, что
тѣмъ же свойствомъ обладаетъ всякое число, большее упомянутаго.
Замѣтивъ это, раздѣлимъ всѣ раціональныя числа на два класса
слѣдующимъ образомъ. Отнесемъ раціональное число г къ нижнему
классу, если въ послѣдовательности ах, а2, «:і,... возможно найти
число, большее г; наоборотъ, отнесемъ раціональное число г къ
верхнему классу, если въ послѣдовательности ах, а2, а3, ... не воз-
можно найти число, превышающее г. Числа нижняго класса, оче-
видно, меньше чиселъ верхняго класса; кромѣ того легко показать,
что въ нижнемъ классѣ нѣтъ наибольшаго числа. Въ самомъ дѣлѣ,
когда возьмемъ любое число г нижняго класса и найдемъ число ап
большее г, что по условію возможно, то всякое раціональное число,
лежащее между г и ап, т. е. большее г и меньшее ап, будетъ при-
надлежать тому же классу, согласно опредѣленію этого класса.
Слѣдовательно, какое бы число нижняго класса ни выбрали, всегда
найдутся числа того же класса, большія выбраннаго. Указанное раз-
дѣленіе всѣхъ раціональныхъ чиселъ опредѣляетъ, слѣдовательно,
(§ 103) нѣкоторое раціональное или ирраціональное число а х). Далѣе,
изъ теоріи ирраціональныхъ чиселъ (§ 112) слѣдуетъ, что какъ бы
мало ни было произвольно заданное число е, въ нижнемъ классѣ
числа а всегда найдется такое число г, которое превзойдетъ число
а — 8. Поэтому, найдя еще число ап большее г, а іогііогі будемъ
имѣть ап а — е, т. е. положительная разность а — ап<^е и оста-
ется <5 8, при возрастаніи п, такъ какъ а при этомъ не мѣняется,
а ап возрастаетъ. Слѣдовательно, ііт ап = а. Подобнымъ же обра-
зомъ доказывается, что всякое убывающее (или лучше не возра-
стающее) перемѣнное число стремится къ отрицательной безконечности
или къ конечному предѣлу.
137. Лемма. Изъ всякой послѣдовательности, заклю-
чающей въ себѣ неограниченное число чиселъ, можно вы-
дѣлить другую послѣдовательность, стремящуюся къ нѣко-
торому конечному или безконечному предѣлу.
Если въ данной послѣдовательности «і, а>, а%, ... заключается
лишь конечное число чиселъ, меньшихъ или равныхъ аі, то въ ней
навѣрно будетъ безконечное число чиселъ, превосходящихъ а\. Чтобы
имѣть дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ, мы и предположимъ, что въ
нашей послѣдовательности безконечное число чиселъ, большихъ аі.
Пусть одно изъ нихъ будетъ аг,- Можетъ случиться, что между слѣ-
дующими за нимъ числами найдется число аГ1>ат,, между слѣ-
дующими за аГг число и т. д. Если такой подборъ чиселъ
можно продолжать безпредѣльно, то изъ данной послѣдовательности
выдѣлится послѣдовательность постоянно возрастающихъ чиселъ,
имѣющая по доказанной теоремѣ (§ 136) конечный или безконечный
предѣлъ. Въ противномъ случаѣ встрѣтится наконецъ нѣкоторое
число аг., котораго не превзойдетъ ни одно изъ слѣдующихъ за
цимъ чиселъ и выдѣлится группа изъ конечнаго числа чиселъ
СІ-> Л.. ѵ ' *' ѵ •
1 Г1 Г2
Между числами, слѣдующими за аГ), опять будетъ, по предполо-
і) а будетъ раціонально, если въ верхнемъ классѣ будетъ наимень-
шее число.
женію, безконечное число чиселъ, большихъ аі, но не превосходя-
щихъ аГк- Начиная съ одного изъ нихъ аг, составляемъ подобно
предыдущему, послѣдовательность возрастающихъ чиселъ, которая
подобно первой, либо продолжится безпредѣльно (и тогда лемма
будетъ доказана), либо оборвется на нѣкоторомъ числѣ а.^, кото-
раго не превзойдетъ ни одно изъ слѣдующихъ, но само оно будетъ
не больше аГ)- Такимъ образомъ получится новая группа изъ ко-
нечнаго числа чиселъ
я
1
«я
а8 >
2
Продолжая такимъ образомъ, получимъ рядъ группъ
1 гѵ г%
а, < а. < а. <
1 Л2
Я1 < аі, < а1.2 <
При этомъ либо дойдемъ до послѣдовательности съ безконечнымъ
числомъ возрастающихъ чиселъ (и лемма будетъ доказана), либо
получимъ послѣдовательность съ безконечнымъ числомъ не воз-
растающихъ чиселъ
а ~''і 2 а, > • •
гі. ‘г
имѣющую (§ 136) конечный предѣлъ (а не — ж, такъ какъ всѣ
ея числи больше аі) (VII).
138. Примѣчанія, а) Положимъ, что ап и Ьп перемѣнныя
числа, о которыхъ извѣстно слѣдующее: 1) когда ап стремится къ
нѣкоторому предѣлу а, то и Ъп стремится къ нѣкоторому пре-
дѣлу Ь *), и 2) различнымъ значеніямъ а соотвѣтствуютъ различныя
значенія Ь. Тогда можно утверждать, что если существуетъ опре-
дѣленный предѣлъ для Ъп, то существуетъ и опредѣленный
предѣлъ для ап (не зависящій отъ послѣдовательности значеній гі).
Дѣйствительно, если бы послѣдовательность а1; а->, аз, ... не имѣла
опредѣленнаго предѣла, то мы могли бы выдѣлить изъ нея послѣ-
довательности, имѣющія различные предѣлы а, которымъ соотвѣт-
ствовали бы и различныя значенія Ъ, что противорѣчитъ существо-
ванію опредѣленнаго предѣла для Ьп.
Ь) Въ § 125 была уже приведена послѣдовательность, кото-
рая разбивается на двѣ, имѣющія различные предѣлы. Не мѣшаетъ
замѣтить, что въ случаѣ безконечнаго числа выдѣляемыхъ послѣдо-
вательностей различные ихъ предѣлы могутъ дать сплошной рядъ
*) При чемъ эти предѣлы могутъ быть различны для различныхъ по-
слѣдовательностей значеній числа и.
чиселъ (т. е. всѣ числа, лежащіе въ нѣкоторомъ промежуткѣ между
двумя данными числами). Приведемъ слѣдующій примѣръ: Пусть ѵ
ІО'1’
обозначаетъ число цифръ въ числѣ п. Перемѣнное число ап = —
п
можетъ имѣть предѣломъ любое число а, лежащее между 1 и 10.
Дѣйствительно, если заставимъ число п послѣдовательно принимать
значенія, равныя наибольшему цѣлому числу, заключающемуся въ
числахъ
10 100 1000 10 000
а ’ а ’ а ’ а ’
то ап будетъ стремиться къ данному числу а (VIII).
139. Теорема II. Условіе, необходимое и достаточное
для существованія конечнаго предѣла числа ан, состоитъ
въ томъ, чтобы каждому сколь угодно малому положи-
тельному числу е соотвѣтствовало такое число ѵ, для ко-
тораго
I ап’ - ап" I < ®>
при всякой парѣ значеній п и п”, большихъ ѵ.
Если ап стремится къ а, то это значитъ, что при произвольно
заданномъ положительномъ числѣ 6, какъ бы оно мало ни было,
всегда можно найти такое число ѵ, чтобы было
| ап' - а <^е, | яп„ -- а [ <|е,
для всѣхъ значеній п' и п", большихъ ѵ. Слѣдователгно, будемъ
имѣть
! «и' - й і ап' - а I + I « - ап" ! <
т. е. условіе необходимо. Обратно, положимъ, что при данномъ е
можно найти такое ѵ, чтобы | | < 4е, для всѣхъ зна-
ченій п' и п", большихъ ѵ. Тогда, въ частности, фиксируя зна-
ченіе п', увидимъ, что всѣ числа а„, для которыхъ п^ѵ, будутъ
заключаться между ап> — 4 и ^«' + 4- Отсюда слѣдуетъ, что если
мы изъ послѣдовательности аі, а2, аз, • • способомъ, указаннымъ
въ § 137, выдѣлимъ послѣдовательность аг, ая, аі,..., имѣющую
предѣлъ, то этотъ предѣлъ будетъ навѣрно числомъ конечнымъ.
Обозначимъ его черезъ а. Опредѣлимъ затѣмъ въ рядѣ указате-
лей г, з, і, ... число р > ѵ, достаточно большое, чтобы | — а I
было меньше 4 е- Тогда для всякого п^>ѵ будемъ имѣть
| ап - а | ! ап - ац I + I ац ~ а I < е’
откуда Ііт ап = а. Итакъ, условіе и достаточно.
140. Теорема III. Если при безпредѣльномъ возра-
станіи п, перемѣнныя ап и Ьп стремятся къ нулю и, кромѣ
того, Ъп постоянно убываетъ*), то
(1)
, «и , «„ - «„+1
Ііт -ѵ— = Ііт , —, — >
- Ъ„ ,,
предполагая, что второй предѣлъ существуетъ. Обозначая
черезъ I значеніе правой части равенства (1), мы можемъ, при про-
извольно заданномъ положительномъ а, найти такое значеніе п, что
всѣ дроби
ап ~ Я»-)Т ~~ Яя-]-2 -1 — ап ;і
&п —1
будутъ заключаться между I — ° и IЗамѣчая, что знаменатели
всѣхъ этихъ дробей числа положительныя, можемъ сказать, что
между тѣми же числами будетъ заключаться дробь, числитель кото-
рой равенъ суммѣ числителей и знаменатель суммѣ знаменателей
данныхъ дробей **), т. е.
ап - «я-н ,
7----1 < і ''
какъ бы велико ѵ ни было, при всѣхъ значеніяхъ и, начиная съ
нѣкотораго
Дробь --, при данномъ п и безпредѣльно возраста-
Ьп
ап
ющемъ ѵ, стремится къ предѣлу ѵ-. По этому всегда можно вы-
брать ѵ такъ, чтобы выполнялось неравенство
а тогда получимъ
141. Теорема IV. Если при безпредѣльно возраста-
ющемъ п число Ьп, постоянно возрастая, превосходитъ
всякое данное число, то
(2)
Ііт ~ = Ііт
Ьп
*) Это второе условіе можно выразить неравенствомъ 6и_^1 < Ьп при вся-
комъ п. Оно не вытекаетъ изъ перваго, потому что Ьп можетъ приближаться
къ 0, не постоянно убывая, а то возрастая, то убывая, колеблясь около нуля.
**) Это извѣстная теорема элементарной Алгебры. (См. напр. Алгебра
Ж. Бертрана, перев. Пирожкова 1899. 1 часть, стр. 88. Замѣтимъ только, что
условіе, чтобы оба члена дробей были > 0, поставленное у Бертрана, излишне.)
въ предположеніи, что второй предѣлъ существуетъ.
Обозначая черезъ I значеніе второй части равенства (2), мо-
жемъ найти такое число ѵ, что при п > ѵ всегда
<4е.
Другими словами, всѣ дроби
аѵ аг+‘>. Д- :1 ап (,п-Л
Ъѵ+1 - ьѵ' - б„+1....... ьп Г,
содержатся между I -1,1:. и вмѣстѣ съ тѣмъ, такъ какъ всѣ
знаменатели положительны, будемъ имѣть
1 п V
I ~
< і е-
Мы возьмемъ ѵ достаточно большимъ для того, чтобы имѣло мѣсто
не только послѣднее неравенство, но и неравенство //„>0, что
всегда возможно, потому что по условію Ьп возрастаетъ безпре-
дѣльно вмѣстѣ съ п. На томъ же основаніи, при постоянномъ ѵ,
можно выбрать п такимъ, чтобы число превзошло абсолют-
ную величину числа аѵ — ІЬѴ и затѣмъ при возрастаніи п остава-
лось постоянно большимъ послѣдняго числа. Замѣчая теперь, что
непосредственно находимъ
< 8>
ап ,
Ііт 5— = I.
Ь„
142. Слѣдствія, а) Если нѣкоторая послѣдовательность
чиселъ стремится къ конечному предѣлу, то къ тому же
предѣлу стремится и среднее ариѳметическое и среднее
геометрическое значеніе ея первыхъ п членовъ.
Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи послѣдней теоремы имѣемъ
(3)
в1 + а2 + '' ' + ап
Ііт--------------------
п
= Ііт ап.
если предѣлъ во второй части существуетъ*).
Впослѣдствіи мы увидимъ (§ 150), что предѣлъ логариѳма
перемѣннаго числа равенъ логариѳму отъ предѣла этого
*) Полагаемъ въ теоремѣ IV Ьп = п и замѣняемъ ап черезъ
а1 + а2+ +яи-
перемѣннаго. Считая это доказаннымъ и замѣняя въ предыдущемъ
равенствѣ ап черезъ 1о§лім, получимъ
п
Ііт 1о§ а2 ... ап = Ііт 1о§ ап,
откуда
п
(4) Ііт а2 •. • ап = Ііт ап,
предполагая, что предѣлъ въ правой части равенства существуетъ*).
Ь) Если въ нѣкоторой послѣдовательности отношеніе
и-таго члена къ предыдущему стремится къ нѣкоторому ко-
нечному предѣлу, то къ тому же предѣлу стремится корень
м-ой степени изъ и-го члена. Дѣйствительно, стоитъ только
ап
замѣнить въ равенствѣ (4) ап черезъ -----, чтобы получить
ап— 1
п
-1 / а2 а3 ~а~ ап «,.+1
Ііт I/ а,----• • • -- = Ііт----= Ііт —— .
Г «1 "2 ап -1 "»-1 «В
т- е. “
(5) Ііт Уа = Ііт "+1-
1‘ п
143. Примѣчанія, а) **) Вторая теорема § 142 (выражаемая
формулою (4)) доказана въ предположеніи, что не только ап > О,
но и Ііт ап > 0 (иначе 1о§<7„ и 1о§(1ітан) не имѣли бы смысла въ
области вещественныхъ чиселъ). Поэтому формула (4) остается не
доказанною для того случая, когда 1іт«!м = 0. Чтобы пополнить
этотъ пробѣлъ, достаточно было бы доказать, что формула (3),
а слѣдовательно, и (4) остаются справедливыми и тогда, когда ап
стремится къ безконечности. (Дѣйствительно, формула (4) не измѣ-
нится, если замѣнимъ а,- на — и, будучи доказана для случая
аі
Ііт ап = оо, будетъ справедлива и для Ііт ап = 0). Впрочемъ,
легко доказать, что самая теорема § 141 при указанномъ обобщеніи
на случай безконечнаго предѣла правой части остается справедли-
вой (а слѣдовательно, остаются справедливыми и ея слѣдствія въ
§ 142), т. е., что имѣетъ мѣсто слѣдующее предложеніе:
Если Ьп при безпредѣльно возрастающемъ п, въ концѣ
концовъ, постоянно возрастаетъ, и если
(А)
Ііт Ьп = со
и ап- 1
Ъп - Ьп-Х
*) Изъ самаго доказательства теоремъ 111 и IV и ихъ слѣдствій видно,
что здѣсь предполагается, что существуетъ конечный предѣлъ.
**) Это примѣчаніе принадлежитъ бывшему ученику Чезаро О. Заппіа
и помѣщено въ концѣ нѣмецкаго изданія.
то и
ап
ііт -г- =
Ьп
Въ самомъ дѣлѣ, пусть I есть сколь угодно большое число,
а ѵ выбрано такъ,. что при п ѵ
тогда, повторяя разсужденія § 141, найдемъ
Поэтому, взявъ и достаточно большимъ и замѣчая, что пре-
дѣлъ второго члена послѣдняго неравенства при безконечномъ п
равенъ I (а первый членъ по абсолютной величинѣ становится сколь
угодно малымъ), будемъ имѣть при всякомъ достаточно большомъ п
т. е. Ііт =
Ьп
Къ тому же заключенію можно придти, замѣчая, что ап въ концѣ
концовъ постоянно возрастаетъ и стремится къ оо (изъ второго
условія (Л)); поэтому можно примѣнить теорему § 141 къ — и
"п
Ьп
тогда получимъ Ііт — = 0 и т. д. Аналогично этому обобщается и
теорема § 140.
Ь) Въ предыдущихъ теоремахъ всегда предполагалось существо-
ваніе предѣловъ въ правыхъ частяхъ равенствъ (1), (2), (3) и (4),
и изъ этого предположенія выводились заключенія о существованіи
предѣловъ лѣвыхъ частей. Однако, послѣдніе могутъ сущест-
вовать и тогда, когда первые не существуютъ. Напримѣръ,
мы видѣли (формула (3)), что если существуетъ предѣлъ а по-
слѣдовательности «і, «2, «з, ..., то существуетъ и предѣлъ послѣ-
довательности
а1> І (а1 + Я2І> І(я1 + я2 + аз)> І (Я1 + я2 + я3 + я«)' •••
и равенъ тому же а. Но вторая послѣдовательность можетъ имѣть
предѣлъ, когда первая его не имѣетъ. Такъ напримѣръ, изъ послѣ-
довательности
(6)
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, о, ...
выводится указаннымъ путемъ слѣдующая
112233 4 4
1 > > У > Т > 5 > К > "7 >
имѣющая предѣлъ 1- *), тогда какъ первая никакого предѣла оче-
видно, не имѣетъ.
с) Можно построить безчисленное множество послѣдователь-
ностей, представляющихъ подобное явленіе. Положимъ, напримѣръ,
что совокупность всѣхъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ разбита
на г системъ Аі, А2, ..., Аг, причемъ каждая изъ этихъ системъ
содержитъ въ себѣ безконечное множество чиселъ. Положимъ,
далѣе, что ап стремится къ предѣлу Ц, когда число п проходитъ
всѣ значенія, принадлежащія системѣ А,. Пусть пі обозначаетъ
число чиселъ этой группы, не превосходящихъ п, а аіп сумму чле-
новъ разсматриваемой послѣдовательности («„), соотвѣтствующихъ
этимъ щ значеніямъ указателя п. Тогда для той частной послѣ-
довательности, члены которой стремятся къ предѣлу Ц, имѣемъ
Ііт ~ = Ц **), такъ какъ п,, очевидно, возрастаетъ безпредѣльно
вмѣстѣ съ п: иначе система А, заключала бы въ себѣ конечное
число чиселъ. Ясно, что можно написать
— («1 + <т2 + • • • + «„) +
«П. «1 а2п «2 «г» ”г_
п1 п ' п., п ' пг п
(по самому опредѣленію чиселъ а,ге).
пі
Предѣлъ — можно назвать вѣроятностью того, что произ-
вольно выбранное цѣлое положительное число принадлежитъ си-
стемѣ А,. (Опредѣленіе математической вѣроятности можно найти
напр. у С. Савича „Элементарная теорія страхованія" 1909 стр. 3.)
Обозначимъ эту вѣроятность черезъ р,. Тогда при безпредѣльно
возрастающемъ п будемъ имѣть
1>т — (яі + а2 + + = 4 А Т 4 А + " + 4 Рг •
Напримѣръ, въ послѣдовательности (6) имѣемъ двѣ системы: систему
Аі нечетныхъ чиселъ и систему Аъ четныхъ чиселъ. Очевидно, здѣсь
р{ = А = 1., 4=1, 4=0. Предѣлъ второй послѣдовательности
(среднихъ ариѳметическихъ) равенъ, слѣдовательно, 1.|-{-0.| = |.
(1) Аналогичнымъ образомъ изъ данной послѣдовательности
«і, а-г, аз, ... можно образовать другую
2 3 4
Сіу @2, ^2 а3 ’ @2 , • • •
*) При п четномъ ап = при п нечетномъ ап = . и
Ііт ап = і при всякомъ п. $ »
**) По формулѣ (3) § 142.
и примѣнить къ ней тѣ же разсужденія (см. формулу (4) § 142).
Если системы Аі, предѣлы I, и вѣроятности р, существуютъ, то
будемъ имѣть
Ііт уАѵа2 . . . ап= !•[' I1!/ ... І'р.
144. Теорема V. Если 1іт«я = а, 1іт6и=^, то
І*т (аі Ьп + а2 Ьп1 + • • • + ап Ьр = аЬ.
Положимъ, что ѵ обозначаетъ наибольшее цѣлое число, за-
п
ключающееся въ ; тогда
V П — V 1 *)
Ііт — = Ііт----==
п п 2
Такъ какъ Ііт ап = а, то ііт [ ап \ = | а |, и (§ 142, а)
Ііт ] аі | + | л2 | + ' ’' + 1 а г )
= Ііт Ііт ~ (| «і | + | а2 | + ''' + | аѵ |) = 4 ) а | •
Поэтому, взявъ число а > .) | а 1, можемъ утверждать, что для до-
статочно большого значенія п, всегда будемъ имѣть
—- (I а1 ' + і а2 | + + I аг I) < «
Предпославъ это, разсмотримъ выраженіе
о'‘ = ~[аі(6п 6) 4-я2 (6„ , - 6) 4--^аѵ(рп_ѵ+і 6)].
Мы можемъ принять, что число п взято достаточно большимъ, чтобы
абсолютная величина разности Ьг - Ь была меньше для всѣхъ
значеній г, большихъ и — ѵ. Такимъ образомъ, для нѣкотораго зна-
ченія п и для всѣхъ значеній еще большихъ будемъ имѣть
и слѣдовательно, ііт оп = 0, т. е.
1іт ~ (аі ЪП + а2 ЬП -I + • • • + аѵ Ъп-ѵ+д = 6 Ііт (п1 + а2 4-Ь а„) •
Я И II , (/ п
*) = ъ- =7г—Р, гдѣ 0 < р < 1; п — м = „-4- о; и ііт — = 0.
12 1 2 2 п
Правая часть равна
, V "1 + «2 + ••• + «„
о Ііт — Ііт ------------- = -1 аЪ.
п ѵ
Поэтому
1Іт ~ + Ьп + «2 ^,.-1 + • • • + аѵьп -Н-1 ) = і аЬ •
Аналогично этому доказали бы, что
Ііт (ап Ь2 + •• • + аѵ+1 Ь„_ г) = 4 аЬ.
Путемъ сложенія получаемъ
Ііт — (а, Ьп + а, Ьп_х + + ап 6Г) = аЬ.
145. Теорема VI. Если Ъп при безпредѣльномъ возра-
станіи п стремится къ нулю, постоянно убывая, а 61 + 62+ •••
... + 6М і + 6„ безпредѣльно возрастаетъ, то
Я1 + Я2 ^2 + ’'' + ап^п 1
1іт ~ = Нт - («і + «2 + • • • + «„),
предполагая, что второй предѣлъ существуетъ.
Замѣтимъ, что въ томъ случаѣ, когда существуетъ предѣлъ ап,
теорема эта прямо вытекаетъ изъ теоремы IV, и притомъ безъ вся-
кихъ ограниченій, наложенныхъ нами на 6П. Дѣйствительно, замѣ-
нивъ въ формулѣ (2) § 141 ап на «161 + ^262 + + ап Ьп и 6И
на 6і + 62 + + Ьп, тотчасъ получимъ
алЬ, + а, Ъ, + • • • + а Ь 1
|іт---+ \ + -.Т"+3;------ = ііт ам = Ііт - (Я1 + а2 + • • • + ап).
Но настоящая теорема именно тогда и полезна, когда Ііт ап не
существуетъ. Для этого случая ее и докажемъ. Положимъ
«1 + «2 ' '' + ап = П (1п
и примемъ, что а,г стремится къ предѣлу а при безпредѣльномъ
возрастаніи п. Тогда можно написать
й1&і + «262+ ••• + апЬп
= *і + (2а, - аі)62 + + (««„ - (” і) «и_і)ьп
= «і (6і - 62) + 2 «2 (62 ~ + + • + п ап (Ъп - 6м+1) + п ап Ьп+1.
Отсюда, положивъ с, = і (Ьі — 6,4.1) и замѣтивъ, что
Сі + с2 + • • + сп = ЬА + Ь2 + • • • Ьп - п Ьп_^х,
находимъ
Я1 + я2 $2 + ’" + ап = Й1 С1 + И2 С2 + '' ’ + ап С>і
+ “и 1 (^1 + ^2 + ’'' + 6„) ~ (С1 + С2 + '' ' + Сп) 1 >
и далѣе
Я1 ^1 + я2 ^2 + ''' + ап
(7) ~ ьі + ь2+ -+ьп
Г1 + с‘> + • • • + сп 1а1 ('1 + а2 с2 + • " + ип Сп
П 6Х + 62 + ’'' + \ С1 + с2 + ''' + сп
Такъ какъ Ьп убываетъ, то сп > 0. Кромѣ того, сі + с’2 + + сп
возрастаетъ безпредѣльно. Въ самомъ дѣлѣ, какъ бы велико ни было
число /, всегда можно достигнуть того, что Сі + с2 + ••• + сп бу-
детъ больше I. Для этого достаточно выбрать ѵ столь большимъ,
чтобы сумма 614-62+ ••• + Ъѵ превзошла /, и затѣмъ выбрать п
такимъ, чтобы было
6„+і < + (6і + + • • • + ьѵ — /).
И то, и другое возможно, потому что 61+62+ + Ьп возра-
стаетъ безпредѣльно, а Ьп при возрастаніи п стремится къ нулю.
Принимая еще во вниманіе, что 6„ постоянно убываетъ, будемъ
имѣть
сі + с2 + + сп > 6і + 62 4- • • • 4- 6,, + (я — ѵ) Ьп_^_г
«6„+і*),
т. е.
С1 + С2 + ’ ’' + сп > 6і + 62 + ' ' + 6„ — V Ь,^ > I.
Замѣтивъ это, имѣемъ (§ 141, формула (2))
Я] 4- а2 с2 + • • + пп сп
11Ш----------;---;-------:--------
С1 + С2 + ' ’' + Сп
Сі С
= Ііт ” и = Ііт а .
Второй членъ правой части есть произведеніе двухъ множителей,
изъ которыхъ второй стремится къ нулю (по доказанному выше),
а первый
Г1 + с2 + '' ’ + сп __ . П 6«4-1____
6і + 62+ ••• + 6И “ + 624- • • • + 6И
всегда заключается между 0 и 1 (т. е. представяетъ собой число
конечное); поэтому этотъ второй членъ стремится къ 0, а первый
*) <4 + с2 4- • • • 4- = Ьг 4- 62 4- • • + 6В — пЬп_^_1 — />± 4- Ъ2 4- • 4- +
+ (6,,4-1 + 6„_|_2 +----Ь6И) - пЬ^ и (6^ + 6т+2 4--------------1- 6Я) > (п - ѵ) Ьп+1,
вслѣдствіе убыванія Ъп.
къ предѣлу, равному а. Слѣдовательно,
Ьг а2 Ь2 + • • + "и
ІШ1-----,--;-,-,------і--- = <1,
^1 + ^2 + ' +
что и требовалось доказать.
Упражненія на вычисленіе предѣловъ.
146. Дано положительное число а и требуется найти предѣлъ ап при
возрастаніи п до безконечности. При а = 1 имѣемъ всегда ап = 1. При
а < 1, имѣемъ ап = я"1 ' а < а’1 \ т. е. а" постоянно убываетъ и потому,
на основаніи теоремы I должно стремиться къ конечному предѣлу I й О,
Но изъ тождества «” = а“~1 ’ а, при возрастаніи п до оо, слѣдуетъ I = Іа,
(а — 1) 1 = 0, слѣдовательно, 1=0. При а > 1, имѣемъ ап = ал л • а > а“ х,
слѣдовательно, ап, постоянно возрастая вмѣстѣ съ п, должно стремиться
къ конечному или безконечному предѣлу; но этотъ предѣлъ конечнымъ
быть не можетъ, потому что онъ долженъ былъ бы быть положитель-
нымъ числомъ I, а предыдущее тождество при безконечномъ п даетъ 1 = 1а
(а — 1) I = О, I = 0. Итакъ,
Ііт «” = 0 при а < 1, Ііт а’1 = х при а > 1.
Впрочемъ, каждый изъ этихъ результатовъ есть слѣдствіе другого
(§ 123, б, е).
147. Еще легче опредѣляется предѣлъ —Тождество
-,п .-.п 1 -
а а а
п\ («- 1)! п
показываетъ, что разсматриваемое число, при какомъ угодно данномъ поло-
жительномъ числѣ а, въ концѣ концовъ начинаетъ убывать, а именно, на-
чиная съ того значенія п, которое больше а. Поэтому оно должно стремиться
къ нѣкоторому предѣлу / > 0. Но вышенаписанное тождество, при переходѣ
къ предѣлу, даетъ I = I • 0, т. е. I = 0. Слѣдовательно,
лн
Ііт —; = 0.
п\
Далѣе, очевидно, что тотъ же результатъ имѣетъ мѣсто и при а < 0.
148. Положимъ, что предѣлъ а,,*) существуетъ и равенъ а. Чему
тогда равенъ предѣлъ а™'1 Если т цѣлое положительное число, то а™
есть произведеніе изъ т сомножителей, имѣющихъ каждый предѣломъ о;
поэтому (§ 133) 1іта™ = лш. Далѣе, если т =—7, гдѣ т' цѣлое положи-
т
тельное число, и положимъ л™ = Ьп, то ап = 6™ . Такъ какъ ап стремится
къ предѣлу Ьт, когда Л. стремится къ Ь, то, обратно, можно утверждать
(§ 138, а), что если предѣлъ ап существуетъ, то существуетъ и предѣлъ Ьп,
*) Въ §§ 148, 150 и 151 предполагается ан > 0.
и притомъ имѣемъ а = Ьт, т. е. і = а"‘. Если т = р/ц, гдѣ р и <) цѣлыя
положительныя числа, то можно написать
і___ ч _____
Ііт = Ііт = ат
Наконецъ, если т = — т', гдѣ т' положительное раціональное число,
то (§ 134) имѣемъ
Ііт а™ = Ііт Д. = -17 = а’".
” < ат
Итакъ, Ііт а"’ = (Ііт ап)т, при всякомъ раціональномъ значеніи т.
149. Если допустимъ, что существуеть Ііт ап = а, то каковъ будетъ
предѣлъ 6®»? Предположимъ сперва, что число Ь, которое должно быть
всегда положительнымъ *), меньше 1, и обозначимъ черезъ ап абсолютную
величину ап — а. Когда задано нѣкоторое сколь угодно малое положитель-
ное число е, то всегда можно (§ 146) найти такое число ѵ, чтобы (1 — г)"
было меньше Ь. Не измѣняя ѵ, выберемъ теперь п такимъ, чтобы ап было
меньше 1/ѵ и оставалось такимъ при дальнѣйшемъ возрастаніи п (что воз-
можно, потому что Ііт а>1 ~ 0). Тогда будемъ имѣть
1 - Ьач < 1 - (1 - б)’'а« < 1 - (1 - 6) = 8.
Отсюда послѣдовательно получаемъ
Ііт Ьа« = 1, Ііт 6"» = Ьа, т. е. ііт Ь’‘п = 61ітя".
При Ъ > 1, можно написать
Ііт Ь"п = Ііт —= —— = Ьа.
Ъ а
150. Допуская, что ап стремится къ предѣлу а, найти предѣлъ
1о§ ап. Изъ равенства ап = 1о2«и слѣдуетъ: ап = Ьа«, гдѣ Ь есть основаніе
разсматриваемой системы логариѳмовъ. Если ап стремится къ предѣлу а,
то (§ 149) ап стремится къ предѣлу Ьа. Поэтому (§ 138, а), обратно, если
существуетъ предѣлъ ап, то существуетъ и предѣлъ ап, при чемъ
а = 1о§ а.
Слѣдовательно,
Ііт 1о§ = 1о§(1ітвя). (Ср. § 142.)
151. Если ап и К ПРИ безпредѣльномъ возрастаніи п соотвѣтственно
стремятся къ предѣламъ а и Ь, то къ какому предѣлу стремится аьп» '
Полагая сп = имѣемъ 1о§ си = Ьп 1о§ ап, откуда 1о§ с = Ь 1о§ а и с = аь.
Слѣдовательно,
(8) ііт = (1ітои)11ш
*) Иначе Ьап можетъ не имѣть смысла въ области вещественныхъ
чиселъ.
152. Полагая, что ап стремится къ предѣлу а найти предѣлъ
п (ап — ап_^. Допуская, что такой предѣлъ существуетъ и равенъ I, мо-
жемъ написать (§ 141)
пап
а = Ііт----= Ит п
п 1 "
(« - 1 ая_!] = Ііт п (ап - ап1) + Ііт ап_х
или а = I + а, откуда 7 = 0. Слѣдовательно, п (ап — либо ни къ ка-
кому предѣлу не стремится, либо стремится къ 0. Далѣе, легко показать,
что среднее ариѳметическое значеніе первыхъ п членовъ вида п (ап — ап_^)
всегда стремится къ нулю. Дѣйствительно, это среднее ариѳметическое
можно написать такъ *):
(! + °п ~ И + "' +
и предѣлъ его будетъ (§ 142, а) а — а, т. е. нуль.
153. Даны два положительныхъ числа а и Ь > а; черезъ обозна-
чимъ ихъ среднее геометрическое, черезъ Ьг ихъ среднее ариѳметическое,
т. е. положимъ
ах = \аЪ, Ьх = + Ь).
Изъ чиселъ ах и Ьх составимъ такимъ же образомъ числа а2 и изъ
нихъ <т3 и и т. д. Вообще, пусть будутъ
(9) «„+1 Ьп+1 = і(ап + У •
Очевидно, для всякого значенія п, имѣемъ а„ < а„ ,, < Ь ,, < , т. е.
74 74—1—1 П~I-1
а гіі - А, Іг.
Число ап возрастаетъ вмѣстѣ съ п, оставаясь меньше Ь, тогда какъ Ьп
постоянно убываетъ, оставаясь больше а. Отсюда слѣдуетъ (§ 136), что
ап и Ьп стремятся соотвѣтственно къ конечнымъ предѣламъ а и 3- Изъ
второго, напр., соотношенія (9) получается, при переходѣ къ предѣламъ:
3 = | (а + 3)і слѣдовательно а = 3- Этотъ общій предѣлъ чиселъ ап и Ьп
называется ариѳметически-геометрическимъ среднимъ чиселъ а и Ь.
Аналогичнымъ путемъ доказываютъ, что послѣдовательности чиселъ ап и Ьп,
опредѣляемыхъ слѣдующимъ закономъ
2 ап Ьп
а„.л = а~+1п’ ^'+1 =і(ап +
имѣютъ общимъ предѣломъ геометрическое среднее чиселъ а и Ь, которое
поэтому можно называть также ариѳметически гармоническимъ среднимъ
чиселъ а и Ь (IX).
154. Положимъ, что дана послѣдовательность чиселъ, въ которой
каждый членъ равенъ ариѳметическому среднему двухъ предшествующихъ
членовъ. Тогда ясно, что числа ах, а-л, а5, ... измѣняются въ одномъ,
) а0 = 0.
а числа «2, а^, ... въ другомъ направленіи (т. е., если первыя возра-
стаютъ, то вторыя убываютъ, и наоборотъ). Такъ какъ при этомъ и тѣ,
и другія остаются между первыми числами а и Ь (а = а1г & = а2) обѣихъ
послѣдовательностей, то обѣ послѣдовательности стремятся къ нѣкоторымъ
конечнымъ предѣламъ. Эти предѣлы равны между собою. Это тотчасъ сдѣ-
лается очевиднымъ, когда въ соотношеніи ай_|_! = | (ап + ап_^і) мы будемъ
увеличивать п до безконечности и перейдемъ къ предѣламъ. Впрочемъ, въ
этомъ можно прямо убѣдиться и вычислить этотъ общій предѣлъ, найдя
общее выраженіе членовъ данной послѣдовательности, а именно:
_ « + 2 6 Ъ~~а
п 3 +' ' 3 • 2«-2
Отсюда тотчасъ находимъ
Ііт ап = ±(а + 25) (X).
155. Здѣсь намъ надо будетъ сдѣлать небольшое отступленіе, чтобы
доказать нѣкоторыя неравенства, полезныя при рѣшеніи различныхъ вопро-
совъ. Положимъ, что й], а2, а3, ... суть положительныя числа, меньшія 1.
Обозначимъ черезъ ап г сумму произведеній изъ п первыхъ чиселъ данной
послѣдовательности, по г множителей въ каждомъ. Тогда, какъ извѣстно,
(10) (1 - И1)(1 - «2) (1 - аи) = 1 - ап1 + ап 2 - + апп,
(изъ правила умноженія многочленовъ). Мы покажемъ, что всегда можно
написать
(И) (1 - «ОО - а2) ... (1 - а„) = 1 - пп_ , + ап2 - ••• + Ѳо,,,.,
гдѣ 0 лежитъ между 0 и 1. Иными словами, если въ правой части равен-
ства (10) опустимъ всѣ члены, слѣдующіе за оп г (при данномъ г), то полу-
чимъ число, меньшее или большее, чѣмъ то, что находится въ лѣвой части,
смотря потому, будетъ ли г нечетное или четное. Для доказательства, ко-
нечно, достаточно показать, что равенство (11), очевидно справедливое при
п — г, будетъ справедливо при замѣнѣ п на п + 1, если оно справед-
ливо при какомъ нибудь я; умножая обѣ части равенства (11) на (1 аи ,
получимъ ‘
(1 - «]) (1 - (1 - «„+1) = 1 - ои,і + ои,2 ~ + 0аи,г
«И-Ь1 “I” ^пЦ-1 V 1 * * * І , г । 4- Ѳ ССП_|_1 •
Замѣчая еще, что оя^_1л г = °м,г + а«+і °п, г--1 находимъ
(1 — «і) (1 ~ а2> I1 — аи_|_і) = 1 — °в_|-і, і + °«д-і,2 " " + і
- («»+1 °п, г-1 + 0 (1 - «И4-1) °п, г) •
Величина въ скобкахъ, очевидно, положительная, не больше
ап-р1 , г- 1 + (1 — «»+!> °п,г = ая-|-1, г ~ «п+1 °п, г < ои+1, Г
Поэтому ее можно представить въ видѣ г, гдѣ 5' лежить между
О и 1, что и требовалось показать.
156. Мы воспользуемся формулою (11), чтобы изслѣдовать, какъ
измѣняется (1 4-----) при безпредѣльномъ возрастаніи я. Если а
положительное число, меньшее 1, то (1 — а)” > 1 - па *), и въ частности,
при а = —
п-
Замѣчая далѣе, что
/ 1 \ 1—П / и \п—1 / 1 \»—1
(12) 1-- = НЦ = ! + —Ц
\ п) \п — 1У \ п — 1 /
получаемъ
Слѣдовательно, разсматриваемое число постоянно возрастаетъ. Но по
той-же формулѣ (11)
,, . я(я — 1) я(и-1)(я —2) „
(1 - < > 1 - т а + ' «з
1
и въ частности, при « = —,
п
А отсюда, съ помощью тождества (12), найдемъ
Такимъ образомъ, мы видимъ, что число ^1 + —, постоянно возрастая
вмѣстѣ съ и, не можетъ однако превзойти 3. Поэтому оно должно стре-
миться къ конечному предѣлу. Этотъ предѣлъ обозначаютъ черезъ «; онъ
играетъ чрезвычайно важную роль въ Математикѣ. Итакъ, при безпре-
дѣльномъ возрастаніи м,
/ 1
Ііт 1-1---= е
\ п /
Можно тутъ же замѣтить, что это равенство справедливо и тогда, когда п
стремится къ (- со). Дѣйствительно, полагая п = — т, гдѣ.и-г положитель-
ное безпредѣльно возрастающее число, на основаніи тождества (12) имѣемъ
/ 1 \ п / 1 \ «4-1 /
Ііт (1 -4-- = Ііт (1-|------ = 1іт(1
\ п \ п \
1 V—"' /'
— = Ііт (1 +
т I \
1 \т—1
-----ГІ = е
т — 1 /
157. Положимъ, что ап стремится къ безконечности при безпредѣль-
номъ возрастаніи я; чему равенъ предѣлъ (1 4- и? Если т наиболь-
шее цѣлое число, заключающееся въ ап, то т й ап т -(- 1; слѣдова-
*) Изъ формулы (11) при = а2 = = ап = «, ои , = па, г = 1.
тельно т + 1 (а вмѣстѣ съ нимъ и т) возрастаютъ безпредѣльно вмѣстѣ
съ п. Въ то же время имѣемъ
/ 1 \аи
Припоминая послѣднее замѣчаніе § 125, видимъ, что 1 Н---заключается
\ ап/
между двумя числами, стремящимися къ общему предѣлу е. Поэтому (§ 130)
і- /і । 1
Ііт 1 -----= е.
\ ап /
Къ тому же результату, очевидно, придемъ и въ томъ случаѣ, когда ап
стремится къ (— с< ).
158. Допуская, что ап стремится къ предѣлу а, найти предѣлъ
(ап\п
1 + — I • Положимъ и = ап ап. Если афО, то ясно, что ап стремится
къ +=° или - оо, смотря по знаку а (§ 123, е). Между тѣмъ имѣемъ
\ "/ \ а„) \\ «и/ /
а потому, на основаніи формулы (8),
Полученный результатъ справедливъ и при а = 0. Въ самомъ дѣлѣ, разсма-
тривая въ послѣдовательности а1( «2, а.,,..., только положительные или
только отрицательные члены, мы можемъ примѣнить предыдущія разсужде-
нія и получаемъ, что искомый предѣлъ равенъ е° = 1. А для тѣхъ членовъ
нашей послѣдовательности, которые равны нулю, если таковые имѣются,
разсматриваемое число само равно 1.
159. Положимъ, что предѣлъ ап существуетъ и равенъ а. Чему ра-
п
венъ предѣлъ и ап — 1)? (ап > 0). Полагая
п
ЬП = я(Уап - 1),
находимъ
Когда п стремится къ + эо, то, переходя къ предѣламъ, получимъ а = еь,
т. е. 6 = Іо§ а, при чемъ символъ 1о§ здѣсь и во всей книгѣ дальше обо-
значаетъ такъ называемый натуральный или Неперовъ логариѳмъ *),
*) По имени изобрѣтателя логариѳмовъ Непера (Паріг).
т. е. логариѳмъ, взятый по той системѣ, основаніе которой есть число е.
Замѣтимъ еще, что Ііт Ьп существуетъ (§ 138, а), если существуетъ
1ітлм. Итакъ,
п
ііт п(Уап — 1) = 1о§ а.
160. Разсмотримъ число
п п
__ а + У Ь\п
н \ 2 )
которое при п — 1 равно среднему ариѳметическому чиселъ а и Ь, при
п = 2 совпадаетъ съ среднимъ ариѳметическимъ средняго ариѳметическаго
и средняго геометрическаго чиселъ а и Ь. Легко показать, что при безпре-
дѣльномъ возрастаніи п число Іп стремится къ предѣлу, равному среднему
геометрическому У аЪ. Дѣйствительно, напишемъ Іп въ видѣ
Положимъ затѣмъ
п п
(Уа-Х+уЬ- 1 ' Дп
" \ 2 -г ) ’
сп = I { « (Ѵа - !) + « (У6 ‘ О । •
Тогда
Замѣтимъ теперь, что (§ 159)
с = Ііт сп = | (1о§ а + 1о§ Ь) = 1о§ УаЪ
Слѣдовательно (§ 158), I = ес = УаЪ. Итакъ, при безпредѣльномъ возра-
станіи п имѣемъ
п п
п
161. Предѣлъ У п при безконечномъ п прямо
изъ того, что
получается (§ 142, Ь)
П , , / \
.. - /— и 1 / 1 \
Ііт у п = Ііт —— = Ііт 1 4---------== 1.
п \ п)
п
Къ тому же результату придемъ, если покажемъ, что логариѳмъ У~п стре-
мится къ нулю. А къ этому приводитъ теорема IV, въ силу которой
ІО2Г н \ I / 1 \
Ііт = Ііт < к>2 (» + !) — 1о§ п 1 = Ііт 1о§ 11 + —) = 0.
Общѣе, если р сколь угодно большое число, то отношеніе (1о§ У къ п
имѣетъ предѣломъ нуль, откуда, возвышая это отношеніе въ степень 1 = р
выводимъ, что отношеніе 1о§ п къ и?, какъ бы мало ни было поло-
жительное число всегда имѣетъ предѣломъ нуль. Эти теоремы
мы установимъ въ болѣе общемъ видѣ въ одномъ изъ ближайшихъ пара-
графовъ.
162. Разсмотримъ послѣдовательность чиселъ л1; а2, а-л,..., по-
стоянно и безпредѣльно возрастающихъ, и положимъ
(13)
Ііт п (ап - а„_]) = I.
На основаніи сказаннаго въ § 152 предположеніе /фО исключаетъ возмож-
ность существованія конечнаго предѣла для ап. Но можно утверждать
и нѣчто большее, а именно, что равенство (13) при 7ф0, заключаетъ въ
себѣ утвержденіе, что ап стремится къ + со. Въ самомъ дѣлѣ, на осно-
ваніи теоремы IV, имѣемъ
ап ап ~~ ап 1 п (ап - ап - 1)
Ііт ;---= ііт = Ііт-----,---гх----= ?•
1о§ п 1 - 1о§ (« - 1) (о$ Л _
Поэтому, если I > 0, и а призвольное положительное число, меньшее /,
то, начиная съ нѣкотораго значенія и, будемъ имѣть ап > а 1о§ п, откуда
Ііт ап = со. Такимъ же образомъ увидимъ, что при I < 0 Ііт ап = -- =».
То же самое можно получить и иначе, выражая, что среднее ариѳметиче-
ское и первыхъ значеній числа « (ап — ап1) (§ 152) должно стремиться
къ предѣлу I:
.. / Ф 6^2 * * * Ф ап\ 7
ііт а„ - • ———-------- = /.
\ ” п /
Если бы ап стремилось къ конечному предѣлу, то / было бы равно 0. Слѣ-
довательно, если I —0, то ап, постоянно возрастая или постоянно убы-
вая при безпредѣльномъ возрастаніи и, смотря потому будетъ ли 1 > 0
или I < 0, стремится въ первомъ случаѣ къ ф со, а во второмъ къ ( со).
163. Основываясь на предыдущемъ, покажемъ, что, какъ бы велико
ар
ни было число р, отношеніе — всегда имѣетъ предѣломъ 0 *). Замѣтимъ
п
прежде всего, что
поэтому, при р — цѣломъ
Теперь теорема IV дастъ
а1 ар
Ііт — = Ііт (арп - арп 4) = р Ііт (ап — 1 = рі - Ііт .
11 п
Примѣняя полученный результатъ нѣсколько разъ, находимъ
Ф' ар 1 а1' ~ 1
Ііт — = рі • Ііт —-— = р(р — 1) I- • Ііт —— = ••• = р ! Iр • 1іт — = 0.
п 11 11 11
*) При условіи, что I (формула 13) число конечное.
Ясно, что найденный результатъ будетъ справедливъ и при р не цѣломъ,
потому что тогда можно замѣнить р цѣлымъ числомъ р' > р и замѣтить,
что а1^ < а'п, если выберемъ п достаточно большимъ для того, чтобы ап
было больше 1. Наконецъ, какъ бы мало ни было число д, взявъ р ,
получимъ (§ 148)
а і лА’ / ар\д
Ііт — = Ііт I — = Ііт — =0.
\ и I \ » I
Замѣтимъ при этомъ, что при д = 0 лѣвая часть есть *).
п
1 п ----------1 111
164. Найти предѣлъ ] 1 -2-3--п = 1------, при безконеч-
п л
номъ и. Полагая
п ] п
I « I 1 • 2 • 3 • • • «,
получаемъ
"„-И = (л I !)!»” = / »
ап «!(» + 1)"+1 \"+Ѵ’
отсюда
Поэтому (§ 142, Ь)
1 «--------------------------------1
Ііт — 1 • 2 • 3 • • п = — '
п ’ е
1 ” „__________________
165. Найти предѣлъ - ] (и + 1) (л + 2) ... 2 и, при безконеч-
номъ и. Полагая
1 "" = 77 1 ^Г+ЛН“ + 2) • •
найдемъ отсюда
ц _ 2 (2» + 1) пн _ 4» + 2 1
~ («+1)я+1 ~" + Г’^+±Ѵ'
Слѣдовательно,
1 ”.________________________________________ 4
Ііт - - ] (л + 1) (и + 2) • • 2 л = -- •
Къ тому же результату приходимъ, принимая во вниманіе тождество
/ 1 2и _______________________________________________\2
1 ”____________________4(^Г(2й)!
— ] (« + 1) {п + 2) • • • 2л =-—------------
,1 1 ---------------------------------
*) Доказанное въ этомъ § и составляетъ обѣщанное въ § 161 обоб-
щеніе Результаты § 161 получаются отсюда при оя = 1о§л, при чемъ/=1.
166 * **)). Чтобы найти предѣлъ
1^ + 2^ + 3^+ ... +пр
при п безконечномъ, примѣняемъ снова теорему IV и получаемъ
1^ + 2^+•••+ир 1
,+1
1Ѵ+Ц
м/ I
Ііт
1
“/>+ Г
167. Требуется найти предѣлъ
1* + 2* -|-Н __«_
пР р + 1
при п безконечномъ. Приведя данное выраженіе къ общему знаменателю
и примѣняя теорему IV, найдемъ
1іт.(/ + 1) (1р + 2^ +... + ^)-^+1 = 1ітИ+1-(» -П^1)
(/>+1К (/ + 1) \пр-(п- 1)И
Правая часть имѣетъ такое же значеніе, какъ и выраженіе
Ііт
--------------------<_ = 11т—-------
рп,‘ ' - -^р(р 1) + • • 1---2^- + • • •
Слѣдовательно,
ір + 2р + +пр
пр
**)
168. Требуется найти предѣлъ выраженія
1
1
2 '
п \ 1
т= 2
при п безконечномъ. Выраженіе въ скобкахъ состоитъ изъ безконечнаго
числа членовъ и мы еще не знаемъ, какой оно имѣетъ смыслъ. Но скоро
увидимъ (см. теорію рядовъ, § 179 и слѣдующіе), что это выраженіе изо-
бражаетъ при р > 1 вполнѣ опредѣленное число, измѣняющееся при измѣ-
*) Въ §§ 166 168 число р считается цѣлымъ и положительнымъ.
Предполагается извѣстною формула бинома Ньютона для цѣлаго положи-
тельнаго показателя.
**) Въ этомъ примѣрѣ, какъ и въ предыдущемъ и слѣдующемъ, при-
мѣняется разложеніе двучлена по формулѣ бинома Ньютона, при чемъ выпи-
сываются только два или три члена; всѣ остальные въ предѣлѣ обращаются
въ нуль.
неніи ті и, кромѣ того, мы увидимъ, что это число по раздѣленіи на множи
теля пр стремится къ нулю при возрастаніи л до безконечности. Поэтому,
обозначая черезъ Іп все предложенное выраженіе, мы можемъ сказать,
что число
„ -ч___________!________I—+ 1— +...
" (р- І),?1-' 1<» + 1)>' <«+2)' (іі+З)'
при безконечномъ п имѣетъ предѣломъ нуль. Чтобы найти теперь пре-
дѣлъ Ііт Іп = I, примѣняемъ теорему III и получаемъ
прІп
I = Ііт----= Ііт
п р
н-рІп (н+\урІп+1
п р - (п + 1)-р
Р , ,
2п би2 ]
п 2п-
Въ трехъ послѣднихъ параграфахъ число р, какъ уже сказано, предполага-
лось цѣлымъ. Но мы увидимъ, послѣ того какъ пріобрѣтемъ нѣкоторыя
новыя свѣдѣнія, что это ограниченіе можно будетъ отбросить *).
Границы и предѣлы числовыхъ ансамблей.
169. Къ понятію о „предѣлѣ14 съ болѣе широкой точки зрѣ-
нія мы придемъ, разсматривая такъ называемые ансамбли (Меп^еп)
чиселъ, т. е. совокупности чиселъ, заданныхъ сразу, а не слѣдующихъ
одно за другимъ по извѣстному закону, какъ это было въ разсма-
триваемыхъ до сихъ поръ послѣдовательностяхъ (Роі^еп) (XI).
Всякая послѣдовательность чиселъ, если не обращать вниманія на
порядокъ, въ которомъ они расположены, есть въ то же время нѣ-
который ансамбль, но обратно, не во всякомъ ансамблѣ можно
расположить числа такъ, чтобы можно было сказать какое число
непосредственно слѣдуетъ за даннымъ. Простѣйшій примѣръ ан-
самбля представляетъ совокупность всѣхъ чиселъ (раціональныхъ и
ирраціональныхъ), лежащихъ между двумя данными а и Ь. Такой
ансамбль называется интерваломъ (промежуткомъ) и обозначается
символомъ (д, Ь). Числа а и Ь называются границами интервала
и разсматриваются обыкновенно, если не указанно противоположное,
какъ принадлежащія данному интервалу. Меньшее изъ чиселъ а и Ь
*) А именно, будетъ показано (§ 222 и § 332 б), что разложеніе сте-
пени бинома по формулѣ Ньютона при извѣстныхъ условіяхъ можетъ быть
обобщено на случай дробнаго показателя. Въ §§ 166 и 167 останется только
очевидное ограниченіе р 4- 1 >0, безъ котораго вычисленія не имѣютъ
смысла.
называютъ нижнею, а большее —верхнею границею интервала.
Абсолютная вёличина разности этихъ чиселъ служитъ мѣрою вели-
чины интервала. Кромѣ конечныхъ интерваловъ, всѣ числа кото-
рыхъ лежатъ между двумя данными, могутъ встрѣчаться и безко-
нечные, т. е. такіе, величина которыхъ можетъ быть сколь угодно
большою. Напримѣръ, подъ интерваловъ {а, ж) понимаютъ интер-
валъ (а, Ь), въ которомъ числу Ь можно дать сколь угодно боль-
шое значеніе. Онъ содержитъ въ себѣ всѣ числа, не меньшія а,
подобно тому какъ интервалъ (— оо, Ь) содержитъ въ себѣ всѣ
числа, не большія Ь- Въ нѣкоторыхъ случаяхъ приходится разсма-
тривать интервалы сколь угодно малые. Чтобы выразить, что
нѣкоторое свойство имѣетъ мѣсто въ сколь угодно маломъ интер-
валѣ, въ которомъ нижняя (или верхняя) граница есть данное чи-
сло а, говорятъ, что это свойство имѣетъ мѣсто вправо (или
влѣво) отъ а, при чемъ само число а всегда исключается, и что
оно имѣетъ мѣсто въ окрестности а (ит§;еЬип§), или въ смеж-
ности съ а, если оно имѣетъ мѣсто и вправо и влѣво отъ а, не
исключая однако возможности того, что иногда (въ частныхъ слу-
чаяхъ) оно окажется справедливымъ лишь съ одной стороны. Иными
словами, правая сторона отъ а обнимаетъ собою всѣ числа, боль-
шія а и сколь угодно къ нему близкія, лѣвая всѣ числа, меньшія а
и сколь угодно къ нему близкія, а окрестность а и тѣ и другія, за
исключеніемъ самого а. Если почему либо такого исключенія не
хотятъ дѣлать, то надо оговорить особо, что разсматриваются правая
или лѣвая сторона, или обѣ, и само число а.
170. Ансамбль называется конечнымъ, если всѣ его числа
принадлежатъ конечному интервалу. Само собою разумѣется, что
этотъ интервалъ (д, Ь) можно сдѣлать какъ угодно большимъ, увели-
чивая Ь или уменьшая а, не лишая его свойства содержать въ себѣ
всѣ числа даннаго ансамбля. Но его нельзя уменьшать безпре-
дѣльно, не нарушая этого свойства, если ансамбль не приводится
къ одному единственному числу. Когда а возрастаетъ, а Ь убыва-
етъ, то можетъ случиться (и, какъ увидимъ дальше, непремѣнно
случится), что въ концѣ концовъ встрѣтятся два числа Л и /л со
слѣдующимъ свойствомъ: Всякое число даннаго ансамбля, содержа-
щееся въ интервалѣ (а, Ь) будетъ содержаться и въ интервалѣ
(л, ,а), но какъ только увеличимъ Л или уменьшимъ /л какъ
угодно мало, то получимъ новый интервалъ, въ которомъ уже
не всѣ числа даннаго ансамбля содержатся *). Границы Л и /л
этого наименьшаго интервала, содержащаго всѣ числа даннаго ан-
самбля, называются соотвѣтственно нижнею и верхнею грани-
цами даннаго ансамбля. (Иногда еще прибавляютъ эпитетъ: точ-
*) Т. е. найдется, по крайней мѣрѣ, одно число ансамбля вправо отъ
верхней границы и, по крайней мѣрѣ, одно влѣво отъ нижней границы но-
ваго интервала.
ныя нижняя и верхняя границы ансамбля). На основаніи выше ска-
заннаго, мы можемъ установить слѣдующія опредѣленія: Нижняя
граница ансамбля есть наибольшее изъ чиселъ, не превос-
ходящихъ ни одного числа даннаго ансамбля. Верхняя гра-
ница ансамбля есть наименьшее изъ чиселъ, которыхъ не
превосходитъ ни одно число даннаго ансамбля. (XII). Ниж-
няя и верхняя граница ансамбля не всегда принадлежатъ данному
ансамбль (т. е. не равны какимъ нибудь числамъ этого ансамбля).
Но если которая нибудь изъ этихъ границъ принадлежитъ ансамблю,
то она, очевидно, будетъ наименьшимъ или наибольшимъ числомъ
въ ансамблѣ. Обратно, если въ ансамблѣ есть наименьшее или наи-
большее число, то оно необходимо будетъ соотвѣтственно нижнею
или верхнею его границею. Напримѣръ, послѣдовательность посто-
янно возрастающихъ чиселъ ах, аг, а3,..., стремящихся къ пре-
дѣлу а, имѣетъ нижнюю гранцицу верхнюю но въ то время
какъ (7, есть наименьшее число даннаго ансамбля, а не будетъ наи-
большимъ его числомъ, потому что, при всякомъ и, ап < а, и а
вовсе къ ансамблю не принадлежитъ; оно будетъ лишь верхнею его
границею, потому что каково бы ни было число а < а, при доста-
точно большомъ п, всегда ап будетъ больше а:, откуда и видно, что
а есть наименьшее изъ всѣхъ чиселъ, которыхъ не превосходитъ ни
одно число даннаго ансамбля. Напротивъ, во всякой послѣдователь-
ности чиселъ, которыя стремятся къ конечному предѣлу, колеблясь
около него, т. е. переходя съ одной его стороны на другую, всегда
есть и наименьшее и наибольшее число. Другой примѣръ предста-
вляетъ нижній (или верхній) классъ ирраціональнаго числа а. Это
ансамбль раціональныхъ чиселъ, между которыми по опредѣленію
числа а (§ 103) нѣтъ наибольшаго (наименьшаго), и именно поэтому
число а есть верхнняя (нижняя) граница этого ансамбля (§ 1Г2).
171. Лемма. Всякій критерій, дающій возможность
разложить совокупность всѣхъ чиселъ *) на два класса,
обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что всякое число одного
класса меньше всякаго числа другого класса, опредѣляетъ
число, которое будетъ либо наибольшимъ въ нижнемъ
классѣ, либо наименьшимъ въ верхнемъ.
Чтобы это доказать, возьмемъ нѣкоторое число а въ ниж-
немъ и нѣкоторое число Ь въ верхнемъ классѣ и числомъ
раздѣлимъ интервалъ (а, Ь) на два. Если с будетъ принадлежать
нижнему классу, то выберемъ изъ этихъ двухъ интервалъ (с, Ь), а
если с принадлежитъ верхнему классу, то выберемъ интервалъ (а, с).
Новый выбранный нами интервалъ обозначимъ черезъ (л1; 7^; въ
первомъ случаѣ ах = с^> а, 6, = Ь, во второмъ ах = а, Ьх = с <С.Ь.
Въ обоихъ случаяхъ
ах> а, Ьх Ь, Ьх~ ах = |(6 -- а).
*) Какъ раціональныхъ, такъ и ирраціональыхъ.
Такимъ же образомъ, какимъ изъ интервала (а, Ь) получили интервалъ
(«!, Ъу), мы можемъ изъ второго получить третій (Д2, Ъ2), изъ третьяго
четвертый (а3, />3) и т. д. Въ концѣ концовъ дойдемъ до интер-
вала (ап, с>п), который, какъ бы велико п ни было, будетъ обла-
дать тѣмъ же свойствомъ, какъ первоначальный, а именно нижняя
его граница будетъ принадлежатъ нижнему классу, а верхняя верх-
нему. Въ то же время будемъ имѣть
_ , , , , Ь а
а й а, < а2 .... Ь й 1>х й 1>2 > . . 1> а =---•
- 1 п П (^п
откуда видно, что числа ап, оставаясь < Ъ, постоянно вырастаютъ
или, по крайней мѣрѣ, не убываютъ. Слѣдовательно, они стремятся
къ нѣкоторому конечному предѣлу § (§ 36), къ которому стремятся
и числа Ъп, потому что
Ііт (Ьп - ап) = Ііт-~~ = 0, Ііт Ьп = Ііт а„ + Ііт (Ьп ап} = 5;
это число § и опредѣляется данными двумя классами. Выбравъ по
произволу число х<^с, можно всегда найти достаточно большое
значеніе п, чтобы ап было больше х, потому что Ііт ап = а
тогда х будетъ принадлежать, какъ и а„, нижнему классу. Такимъ
же образомъ покажемъ, что всякое число будетъ принадле-
жать верхнему классу. Но самое число § необходимо должно при-
надлежать тому или другому классу, потому что мы предположили
что наша классификація распространяется на всѣ числа. Далѣе ясно,
что въ томъ классѣ, которому принадлежитъ оно будетъ наиболь-
шимъ или наименьшимъ, потому что какъ бы мало мы его ни уве-
личили въ первомъ случаѣ или уменьшили во второмъ, оно тотчасъ
переходитъ въ другой классъ*).
172. Теорема I. Всякій конечный ансамбль имѣетъ ниж-
нюю и верхнюю границу.
Отнесемъ къ одному классу, который назовемъ нижнимъ, всѣ
числа, не превосходящія ни одного числа даннаго ансамбля, а въ
другой всѣ числа, оторыя превосходятъ какое нибудь число дан-
наго ансамбля. Всякое число а нижняго класса будетъ меньше лю-
бого числа Ь верхняго класса. Дѣйствительно, когда мы говоримъ,
что Ъ принадлежитъ верхнему классу, то это значитъ, что суще-
ствуетъ въ данномъ ансамблѣ, по крайней мѣрѣ, одно число а,
меньшее а; съ другой же стороны а не можетъ превзойти а, такъ что
а г-- а < />. Подобная классификація всѣхъ чиселъ, по доказанной
леммѣ, опредѣляетъ нѣкоторое число Л. Въ верхнемъ классѣ не
можетъ быть наименьшаго числа Ь, потому что всякое число Ь',
*) Изъ этой леммы слѣдуетъ, что .сѣченія" въ области ирраціональ-
ныхъ чиселъ не могутъ давать новаго обобщенія понятія о числѣ, а даютъ
опять прежнія числа. См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с. Т. I. стр. 81.
лежащее между а и Ь, (а </>'<</>), принадлежитъ тому же классу.
Слѣдовательно, Л есть наибольшее число нижняго класса, т. е.
наибольшее изъ чиселъ, не превосходящихъ ни одного числа
даннаго ансамбля. Это и есть нижняя граница его, по опредѣ-
ленію (§ 170). Аналогичнымъ образомъ доказывается существованіе
верхней границы ансамбля.
173. Распространеніе понятія о предѣлѣ. Если нѣкоторый
ансамбль представляетъ собою послѣдовательность безконечно боль-
шого числа чиселъ, имѣющую конечный предѣлъ, то этотъ предѣлъ,
очевидно, характеризуется тѣмъ, что въ его окрестности нахо-
дится безконечное число чиселъ даннаго ансамбля. Это на-
водитъ на мысль и вообще назвать предѣломъ какого угодно
ансамбля всякое число, обладающее вышеуказаннымъ свойствомъ*).
Послѣдовательности чиселъ, стремящихся къ конечному предѣлу,
представятъ тогда особый родъ ансамблей, имѣющихъ одинъ только
предѣлъ. Вообще же ансамбль можетъ имѣть нѣсколько и даже
безконечное число предѣловъ (точекъ сгущенія). Можетъ даже слу-
читься, что всѣ его числа и еще другія, ему не принадлежащія,
будутъ его предѣлами (въ обобщенномъ смыслѣ слова). Простымъ
примѣромъ служитъ ансамбль всѣхъ раціональныхъ чиселъ, такъ
какъ въ окрестности любого раціональнаго или ирраціональнаго
числа всегда находится безчисленное множество раціональныхъ чи-
селъ. Замѣтимъ, что если справа (слѣва) отъ нѣкотораго предѣла
лежитъ безконечное число чиселъ ансамбля, то есть нижняя
(верхняя) граница тѣхъ чиселъ ансамбля, которыя больше (меньше)
Обратно, нижняя и верхняя граница ансамбля, когда онѣ къ нему
не принадлежатъ, будутъ очевидно его предѣлами.
174. Теорема II. Всякій конечный ансамбль, содержа-
щій въ себѣ безконечное число чиселъ, имѣетъ, по крайней
мѣрѣ, одинъ предѣлъ.
Въ самомъ дѣлѣ, если раздѣлимъ пополамъ, какъ въ § 171,
интервалъ (а, Ь), содержащій въ себѣ всѣ числа даннаго ансамбля,
то, по крайней мѣрѣ, въ одной изъ частей должно содержаться
безконечное число чиселъ ансамбля. Такой интервалъ, вдвое мень-
шій даннаго, обозначимъ черезъ 6,); изъ него подобнымъ же
образомъ выдѣлимъ послѣдовательность убывающихъ по величинѣ
интерваловъ (а„, />„), границы которыхъ, какъ мы видѣли, будутъ
стремиться къ нѣкоторому общему предѣлу и которые не пере-
стаютъ содержать въ себѣ безконечное число чиселъ даннаго ан-
самбля. Назначивъ по произволу положительное число А, какъ
*) Эти .предѣлы” ансамбля суть не что иное, какъ такъ называемыя
точки сгущенія (по Вейерштрассу). См. Г. Ковалевскій, „Введеніе въ ис-
численіе безконечно малыхъ” (Одесса, 1909), стр. 12, или его „Основы диф-
ференціальнаго и интегральнаго исчисленій” (Одесса, 1911), стр. 12. Обѣ
книги переведены подъ ред. прив.-доц. С. О. Шатуновскаго.
угодно малое, всегда можемъ найти такое значеніе я, при кото-
ромъ ап > § — А и Ьп <С + А. Интервалъ (§ — к, § + к) будетъ
заключать въ себѣ интервалъ (а„, Ь„) и подобно послѣднему со-
держать въ себѣ безконечное число чиселъ даннаго ансамбля,
какъ бы мало к ни было. Слѣдовательно, будетъ предѣломъ
ансамбля.
175. Теорема III. Всякій конечный ансамбль, содер-
жащій въ себѣ безконечное число чиселъ, имѣетъ наиболь-
шій и наименьшій изъ предѣловъ").
Предѣлы ансамбля, содержащагося въ интервалѣ (л, //) и не
содержащагося ни въ какомъ интервалѣ, меньшемъ (Я, /г), сами со-
ставляютъ конечный ансамбль и имѣютъ, слѣдовательно, нижнюю
границу 204 А и верхнюю /*. Чтобы доказать теорему, до-
статочно показать, что Яо и д0 сами будутъ предѣлами ансамбля,
т. е. будутъ принадлежать тому ансамблю, нижнюю и верхнюю
границу котораго они составляютъ: л0 будетъ тогда наименьшій,
и — наибольшій изъ предѣловъ. Относительно Ло это будетъ
доказано, если удастся найти число ,ѵ>Я0, столь близкое къ л0,
что въ интервалѣ (Яо, х) по исключеніи изъ него нижней границы
не будетъ заключаться ни одного предѣла ансамбля **). Если же
такого числа х найти нельзя, то это значить, что въ интервалѣ
(Яо, х), какъ бы близко х ни подходило къ Яо, находится по край-
ней мѣрѣ одинъ изъ предѣловъ даннаго ансамбля, а съ нимъ, и
безконечное число чиселъ этого ансамбля (лежащихъ въ окрестности
этого предѣла). Слѣдовательно, Яо будетъ также предѣломъ ансамбля.
Аналогично этому то же самое доказывается о числѣ
176. Чтобы показать, насколько ббіьшая общность понятій
способствуетъ сокращенію доказательствъ и уясненію истинъ, по-
кажемъ, какимъ образомъ изъ теоремы II непосредственно вытека-
етъ лемма, доказанная въ § 137. Если числовой ансамбль ах, , л3,...
не ограниченъ справа или слѣва, то, конечно, изъ него можно вы-
дѣлить послѣдовательность, стремящуюся къ оо или — ос . Если же
ансамбль конечный, то существуетъ, по крайней мѣрѣ, одно число
въ окрестности котораго содержится безконечное число чиселъ
ансамбля. Если всѣ эти числа лежатъ, напримѣръ, справа отъ $, то,
начавъ съ нѣкотораго аг > можемъ найти другое а* < аг, за-
тѣмъ третье <іі < ая и т. д. до безконечности. Получится убыва-
*) Понятіе и названіе наибольшаго изъ предѣловъ принадлежитъ
Коши. См. Гурса, „Курсъ математическаго Анализа", перев. подъ ред. Б
Млодзѣевскаго. 1911. стр. 595. Т. 1.
**) Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ /,0 нижняя граница ансамбля предѣ-
ловъ, то въ интервалѣ (Ао, х) долженъ находиться хотя бы одинъ предѣлъ;
а если въ (л0, х) по исключеніи л0, такового не оказывается, то этотъ пре-
дѣлъ и будетъ само число Ло.
ющая послѣдовательность чиселъ, большихъ очевидно, стремяща-
яся къ конечному предѣлу. Впрочемъ, послѣ изложеннаго въ
§§ 172—175, лемма § 137 уже становится не нужною для доказа-
тельства теоремы § 139. А именно, принимая во вниманіе, что
совпаденіе наибольшаго изъ предѣловъ съ наименьшимъ, очевидно,
необходимы и достаточно для существованія единственнаго предѣла
ансамбля, легко вывести необходимое и достаточное условіе того,
чтобы числа л2, а3, ... стремились къ опредѣленному конеч-
ному предѣлу. Въ самомъ дѣлѣ, если при произвольно заданномъ
сколь угодно маломъ е возможно найти такое число ѵ, что при
всякихъ п и п", большихъ ѵ, 5 «ж — а„" | <С 6, то всѣ числа
0,4.2, ..., будутъ лежать въ интервалѣ —е, а„ц_і-|-б).
Слѣдовательно, только въ этомъ интервалѣ можетъ находиться пре-
дѣлъ § даннаго ансамбля, и таковой дѣйствительно тамъ найдется,
на основаніи теоремы (II) § 174. Другого же предѣла суще-
ствовать не можетъ, потому что, если два числа § и лежатъ въ
интервалѣ (0,4.1 — е, «,.41 + е), то 2е )> I § — , и число е нельзя
было бы выбрать такъ, чтобы 6 было меньше —^|, вопреки
предположенію *).
177. Въ нѣкоторыхъ вопросахъ число Ло и играютъ даже
болѣе важную роль, чѣмъ Л и /*. Они не мѣняются, чего вообще
нельзя сказать о Л и /і, когда изь даннаго ансамбля выключимъ
одно или нѣсколько чиселъ (конечное число чиселъ), потому что
такое выключеніе не мѣняетъ ни одного изъ предѣловъ ансамбля.
Если Ло не равно Л, то въ интервалѣ (Л, д) при х /-о не можетъ
находиться безконечное множество чиселъ даннаго ансамбля (иначе Ло
не былъ бы наименьшимъ изъ предѣловъ), а при д)>Ло, въ ин-
тервалѣ (Л, д), наоборотъ, навѣрно будетъ безконечное множество
такихъ чиселъ. Аналогичное замѣчаніе относится и къ /іп- Слѣдова-
тельно, Ло и До будутъ соотвѣтственно верхнею и нижнею границею
всѣхъ чиселъ д, для которыхъ въ интервалахъ (Л, д) или (д, /і)
не заключается безконечное множество чиселъ даннаго ансамбля.
Этимъ, однако, не исключается возможность такого случая, въ кото-
ромъ и внѣ интервала (Ло, До), т. е. влѣво отъ Ло и вправо
отъ /іо все еще находится безконечное множество чиселъ даннаго
ансамбля. Вѣдь Ло, напримѣръ, можетъ не принадлежать къ ан-
самблю тѣхъ чиселъ д, верхнею границею котораго оно служитъ.
178. Чтобы представить предыдущія соображенія еще въ
болѣе ясномъ свѣтѣ, вообразимъ себѣ, что изъ послѣдователь-
ности лі, а->, аз,..., ограниченной снизу и сверху, выключены
первые и членовъ (и = 1, 2, 3,...). Оставшаяся послѣдователь-
ность «441, <т„42, «и_гз, • • • всегда имѣетъ нижнюю границу Л,,^Л„._і
*) Здѣсь доказана только достаточность условія; но необходимость
его уже была доказана въ § 139 независимо отъ леммы § 137.
и верхнюю границу [іп дге_х *). Числа Л, Лі, Л2,..., не убы-
вающія, но очевидно, меньшія д, стремятся къ нѣкоторому пре-
дѣлу Ло = ДІ числа и, ді, да,..., не возрастающія и большія Л,
также стремятся къ нѣкоторому предѣлу До Легко убѣдиться,
что эти два предѣла совпадаютъ съ числами Ло и д0, опредѣлен-
ными выше. Они характеризуются слѣдующими свойствами:
а) Всѣ числа данной послѣдовательности, начиная съ
нѣкотораго мѣста, будутъ больше любого числа, которое
меньше Ло, и меньше любого числа, которое больше до.
Ь) Какъ бы далеко мы ни подвинулись въ нашей по-
слѣдовательности, всегда еще встрѣтятся числа и меньшія
и большія любого числа, лежащаго между Ло и д0.
На основаніи перваго свойства, лѣвая сторона наименьшаго
и правая сторона наибольшаго изъ предѣловъ имѣютъ совершенно
тотъ же характеръ, какъ лѣвая и правая сторона единственнаго
предѣла, если таковой существуетъ, и можно поэтому сказать, что
числа данной послѣдовательности колеблются около нѣкотораго
интервала (Ло, До), который въ исключительныхъ случаяхъ можетъ
свестись къ одному единственному числу. Если же такого числа, т. е.
единственнаго предѣла, не существуетъ, то невозможно при про-
извольно заданномъ положительномъ числѣ е найти такое число ѵ,
чтобы | ап' — а„" I было меньше е, для всякихъ гі и гі', большихъ ѵ.
Дѣйствительно, на основаніи второго свойства, при <'-<До— Ло
всегда найдутся достаточно большія значенія гі и гі', для кото-
рыхъ \ апг — О'п"!^>8, стоитъ только взять
ап' < 2 (Ло + ап" > І (Ло + "'О + р),
что всегда возможно **) (XIII).
ТЕОРІЯ РЯДОВЪ.
Основныя опредѣленія и примѣры.
179. Одно изъ главнѣйшихъ приложеній теоріи предѣловъ
состоитъ въ томъ, чтобы изслѣдовать какой смыслъ можетъ имѣть
выраженіе Мі + и> + и3 . ., содержащее безчисленное множество
чиселъ и называемое безконечнымъ рядомъ, и въ какой мѣрѣ
*) Границы части послѣдовательности не могутъ быть шире гра-
ницъ цѣлой послѣдовательности.
**) На основаніи свойства Ы, замѣчая, что при ь < и0 —/.0,
І(Л0 + дІ-е) и 1(7-0+ .'И + г) лежатъ между 7.0 и ,«0.
возможно приложить къ такому выраженію извѣстныя свойства
суммъ, состоящихъ изъ конечнаго числа слагаемыхъ. Мы будемъ
обозначать черезъ Зп сумму п первыхъ членовъ ряда. При безпре-
дѣльномъ возрастаніи п Зп можетъ стремиться къ нѣкоторому пре
дѣлу, а можетъ и не стремиться ни къ какому предѣлу. Въ пер-
вомъ случаѣ рядъ называется сходящимся или расходящимся,
смотря по тому, будетъ ли предѣлъ Зп конечнымъ или безконеч-
нымъ; во второмъ — рядъ называется неопредѣленнымъ. Замѣ-
тимъ здѣсь же, что неопредѣленный рядъ, посредствомъ извѣстной
группировки членовъ, всегда можетъ быть преобразованъ такъ,
чтобы онъ сдѣлался сходящимся или расходящимся. Дѣйствительно,
намъ извѣстно, что (§ 137) всегда можно указать такую послѣдо-
вательность возрастающихъ чиселъ г, 8, і, .. что Зп будетъ стре-
миться къ конечному или безконечному предѣлу, когда будемъ
давать числу п послѣдовательно значенія г, 8, і, ... Иными сло-
вами, рядъ
("і + "а + + ",) + (иг-м + ' •' + ".,) + + '• + "Д + • ’
въ которомъ сумма членовъ въ каждой скобкѣ разсматривается
какъ одинъ членъ, будетъ сходящимся или расходящимся. Уже это
одно обстоятельство показываетъ, что сложеніе безконечнаго числа
слагаемыхъ не подчиняется такъ называемому сочетательному
закону, а дальше мы увидимъ, что и перемѣстительный законъ
не всегда имѣетъ мѣсто *). Обратно, важно замѣтить, что нельзя
разлагать члены сходящагося или расходящагося ряда на части.
Такое разложеніе можетъ обратить данный рядъ въ неопредѣленный.
180. Если рядъ сходящійся, то предѣлъ 5, къ которому
стремится Зп при безконечномъ п, называютъ суммою ряда, при
чемъ условились писать
5 = и, —|— Нп Т //3 “I- • • • .
Разность /?„ = 3 - Зп, стремящаяся къ нулю при безпредѣльномъ
возрастаніи п, называется остаткомъ. Очевидно 7?„ обозначаетъ
то, что останется отъ суммы даннаго ряда, когда откинемъ въ
немъ первые п членовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если въ равенствѣ
Зп+р -5П= "«+1 + "„+2 + ' + «,,+7,
будемъ увеличивать р безпредѣльно, сохраняя за п постоянное зна-
ченіе, то лѣвая часть будетъ стремиться къ предѣлу 3 — Зп, т. е.
къ А’„, и поэтому можно писать
Кп = "«4-1 + "«4-2 + "«4-з + ’ ’ ’
*) См. Веберъ и Вельштейнъ, 1. с. стр. 24.
181. Важно замѣтить, что рядъ съ одними положительными чле-
нами неопредѣленнымъ быть не можетъ. Дѣйствительно, такъ какъ
= 1 + 11 п > 1' ’
то ясно, что постоянно возрастаетъ при возрастаніи и, а слѣ-
довательно, стремится къ конечному или безконечному предѣлу,
т. е. рядъ будетъ сходящійся или расходящійся. То же самое спра-
ведливо для рядовъ съ одними отрицательными членами. Всякій
неопредѣленный рядъ поэтому необходимо содержитъ въ себѣ без-
конечное число положительныхъ и безконечное число отрицатель-
ныхъ членовъ.
182. Примѣры. Геометрическая прогрессія 1-|-.т+л’2+.ѵ3+ •••
даетъ примѣры сходящагося, расходящагося и неопредѣленнаго ряда.
Если |.г|<1, то (§ 146) хп стремится къ нулю при безпредѣль-
номъ возрастаніи п. Если л)> 1, то хп возрастаетъ безпредѣльно
вмѣстѣ съ п. Если х<і — 1, то хп по абсолютной величинѣ возра-
стаетъ безпредѣльно, но будетъ положительнымъ или отрицатель-
нымъ, смотря по тому, будетъ ли п число четное или нечетное.
Замѣчая еще, что
1 — хп
” = Т-~х ’
тотчасъ видимъ, что данный рядъ расходящійся при 1, схо-
дящійся при — 1 < .г < -|- 1 и неопредѣленный при — 1.
Въ частныхъ случаяхъ при х = 1 и л = — 1, получаемъ ряды
1 + 1 4-1 4-1 + 1 - 1 + 1 - 1 + •••,
изъ которыхъ первый, очевидно, расходящійся (5„ = и). Второй
же неопредѣленный, потому что принимаетъ поперемѣнно зна-
ченія 1 и 0, смотря по тому, будетъ ли п нечетное или четное.
Резюмируя, можемъ сказать, что данный рядъ будетъ сходящимся
только тогда, когда х лежитъ въ интервалѣ (— 1, +1), не совпа-
дая съ его границами. На этомъ основаніи означенный интервалъ
называютъ интерваломъ сходимости даннаго ряда. Мы разсмо-
тримъ теперь другіе примѣры сходящихся и расходящихся рядовъ,
которые будутъ намъ полезны для дальнѣйшаго.
183. Гармоническій рядъ. Между расходящимися рядами
замѣчателенъ такъ называемый гармоническій рядъ
1 +4+4+1+
Сумма первыхъ п членовъ обыкновенно обозначаютъ черезъ Ня.
Достаточно замѣтить тождество п (Нп — Нп—і) = 1, чтобы ска-
зать (§ 162), что Нп возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ съ »; къ
этому можно добавить, что гармоническій рядъ слабо расходя-
щійся, потому что Нп возрастаетъ до оо, какъ натуральный лога-
риѳмъ п, т. е. весьма медленно по сравненію съ п (XIV). Расходи-
мость можно еще установить также тѣмъ, что (§ 156)
стремится къ предѣлу с постоянно возрастая, такъ что будемъ
имѣть послѣдовательно
> 1о8(” + ])> !іт//я =
Чтобы получить нѣчто болѣе точное, разсмотримъ числа аи = //и1о§и,
очевидно положительныя. Мы вскорѣ (§ 186) увидимъ, что
- < - (1 - 1') = (XV).
п \ п) п • - 1
Отсюда слѣдуетъ, что
1 , и
а„ - а - 108 - --<0,
п ~1 « ° п — 1
такъ что числа ац, оставаясь больше 0, постоянно убываютъ,
а потому и стремятся къ конечному предѣлу. Этотъ предѣлъ обы-
кновенно обозначаютъ буквою С и называютъ Эйлеровою по-
стоянною. При помощи другихъ средствъ значеніе этого числа
удалось опредѣлить съ большою точностью и получить
С = 0,5772156649015328 ...
Замѣтимъ, между прочимъ, что можно написать
(1)
//„ = 108 " + Ч- о„,
гдѣ ри стремится къ нулю при безпредѣльномъ возрастаніи п.
184. Показательный рядъ. Этимъ именемъ называютъ рядъ
V Л’“ Л4
1 + Т + Г~1’ + 1 2 3 + 3 4 + " ’
потому что его сумма равна е*, каково бы ни было значеніе х.
Въ самомъ дѣлѣ, по формулѣ бинома Ньютона имѣемъ
1
1 1
О Изъ соотношеній —. 1о&——
' 11 11
находимъ, что Н > 1о8
" и іі — 1 іі -2'
и 1 21 , . .
—-2-'=108(^1).
1 , 1
1
2
п
п І
если, для сокращенія, положимъ
п (п — 1) • •• (и - г + 1) хг 1, 1 \ / 2\ ( г — 1\ хг
ѵ„ —-------, — -----------• —- — 1---1 — -•••! —-----------—- •
7 1 • 2 • • • г 1ІГ \ п) \ п) \ 11 ) г \
Замѣтимъ, что при г постоянномъ
,. хг
Ііт ѵ = — •
н—х Г 1
Далѣе надо различать два случая. Если л’>0, то имѣемъ
(] г + А А г --1\
\ п)\ п / \ п / / х
= ѵг (г+ 1)(г+ 2) ••(7+7) х" "" 4+1'
Отсюда слѣдуетъ, полагая г не меньшимъ, чѣмъ наибольшее цѣлое
число, заключающееся въ х,
[ X X- , \ XV,
<ѣ+1 + ++2 + • • • + Ѵп < V, л + + • • ) = •
Слѣдовательно,
увеличивая п безпредѣльно, найдемъ
и, наконецъ, увеличивая г до безконечности и припоминая (§ 147),
что общій членъ даннаго ряда стремится къ 0, получаемъ
г . , х , X2 X2 , Ж4
е - 1 + т + Г-2 + 1- 2~3 + 1 .2“ЗТ4 + • -
Если же х 0, то можно написать (§ 155)
гдѣ 0 лежитъ между 0 и 1, въ предположеніи, что п больше абсо-
лютной величины х. При безпредѣльномъ возрастаніи п, правая
часть окончательно принимаетъ значенія, лежащія между
1+Т!+2!+ +(7 І)!
, х х- , , хг
1 + Ті + 2! + ” ’1” 7-~!
И
между тѣмъ, какъ лѣвая стремится къ предѣлу с-’' (§ 158). Если
теперь будемъ безпредѣльно увеличивать г, то обѣ выше означен-
ныя суммы, между которыми всегда заключается ех, и разность
которыхъ стремится къ нулю, необходимо стремятся къ предѣлу,
равному ех (§ 131). Слѣдовательно, формула (2) справедлива при
всякомъ значеніи х.
185. Изъ предыдущаго параграфа въ частности слѣдуетъ, что
число е есть сумма безконечнаго ряда
і + 1 + 2_ + ._1_ + _
Т1’12 1 23 1 2-3-4*
Можно, очевидно, также написать
1! 2.! о! г! г! г
гдѣ Ѳ лежитъ между 0 и 1, а г какъ угодно велико. Напри-
мѣръ, 7 = 2 —Ѳ, т. е. 2 < е < 3. Взявъ г достаточно большимъ,
найдемъ 1)
е = 2,718281828459045 ...
Это число ирраціонально. Дѣйствительно, если оно было бы
равно раціональной дроби р)д, то, взявъ г = д, получили бы изъ
предыдущей формулы, по умноженіи на !, равенство между цѣ-
лымъ числомъ и числомъ Ѳ/^, которое больше 0 и меньше 1.
Такое равенство невозможно.
186. Логариѳмическій рядъ. Изслѣдованія, аналогичныя при-
веденнымъ въ § 184, даютъ еще одинъ интересный примѣръ схо-
дящагося ряда. Извѣстно (§ 159), что, при безконечномъ и,
і
Ііт н (1 (1 .ѵ)я) = — Іо§ (1 — х).
Мы предположимъ, что х число положительное и меньшее единицы.
Мы увидимъ впослѣдствіи (§ 222), что формула бинома Ньютона,
дающая разложеніе (1 — х)т по степенямъ х, справедлива и тогда,
когда т не цѣлое положительное число. Принявъ это, можемъ
написать
Отсюда слѣдуетъ
Э Въ „Іпіегтёдіаіге дез таіііётаіісіепв (1. ѴП. р. 53) находимъ зна-
ченіе е съ 205 десятичными знаками, вычисленное Шанксомъ (\Ѵ. Зйапкз).
Правую часть можно написать въ видѣ + ѵ3 + • •, положивъ
ѵ = Л Л _ Ч . . А___1____\ ;
г \ 11 / \ 2я / \ (г— 1)»/ Г
замѣтимъ теперь, что если г остается постояннымъ, а п возраста-
етъ безпредѣльно, то ѵг стремится къ предѣлу у. Въ тоже время
имѣемъ
л 1 Пі 1 \ Л і ) гхѵ
Ѵг гя/ \ (г+1)»/ \ (>' + г — 1) я/ г + V Ѵгх ’
откуда слѣдуетъ
а слѣдовательно,
и (1 - (1 - .ѵ) ") - + ѵ2 + + ѵг < п (1 (1 - Л-) ”) •
Увеличивая здѣсь п безпредѣльно, не измѣнняя при этомъ числа г,
получаемъ
<-;+:у+••• +у-іо8(і ~х)-
Наконецъ, при безпредѣльномъ возрастаніи г, находимъ
(3) — Іое (1 - а.) = *-+ *" +^ + А4‘+ ....
Предыдущая формула выражаетъ собою то, что
, /, . .. / X х‘- х:і хп\
- 1о8(1 - х) = 1пп (т + Т + ”3“ + - + •
Замѣнивъ здѣсь х на л2, а и на наибольшее цѣлое число, заклю-
чающееся въ ~ (XVI), и замѣтивъ, что
1о§ (1 + х) = - 1о§ (1 - - х) + 1о§ (1 - х2),
получимъ
т. е.
<4) Іой О + Л’) - у - у + у - у + • • • •
Впрочемъ, каждая изъ формулъ (3) и (4) заключаетъ въ себѣ дру-
гую (что прямо видно, если замѣнимъ х на — х), такъ что намъ
достаточно разсмотрѣть одну изъ нихъ, и мы можемъ сказать,
что онѣ справедливы для всѣхъ значеній х, лежащихъ между
— 1 и 4-1, при чемъ пока обѣ эти границы мы исключаемъ. Но
легко видѣть, что формула (3) и при х = — 1, а слѣдовательно
(4) при д = -|-1, остаются справедливыми. Дѣйствительно, сумму 2п
первыхъ членовъ ряда 1 — >+-?, — т + • • можно написать въ
видѣ
.4 — 1 4- - 4 - 4- • • • 4- -- - 2 Р- 4 - 4- • • • + —I = //» — Н
2'3 2» \2 + 4' 2л] "
Поэтому, пользуясь формулою (1), имѣемъ
52„ = іой 2 4-о,„ - о„,
а потому при безконечномъ іг.
Ііт = Іо^ 2, Ііт 32п і = Ііт (5->,,-4 ^) = 2, и окончательно
1о82=--1
Наоборотъ, тотчасъ видно, что ни формула (3) при х = 1, ни (4)
при .г = — 1 не имѣютъ мѣста. Мы можемъ поэтому утверждать,
что интервалъ сходимости (§ 182) обоихъ рядовъ есть (—1, 4~1),
за исключеніемъ верхней границы для перваго и нижней для вто-
рого ряда.
Основныя теоремы.
187. Общій признакъ сходимости. Для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы сумма Зп первыхъ п членовъ
ряда, при безпредѣльномъ возрастаніи п, стремилась къ конечному
предѣлу. А это будетъ имѣть мѣсто тогда, когда (§ 139) каждому
положительному числу е соотвѣтствуетъ такое значеніе п, что для
этого значенія и всѣхъ большихъ его, абсолютная величина раз-
ности 5„+р — 3„ будетъ меньше е. Иными словами для сходи-
мости ряда И] 4- 4- ... необходимо и достаточно,
чтобы, задавъ по произволу положительное число е, можно
было найти такое значеніе п, начиная съ котораго, незави-
сим.о отъ значенія число р, имѣло бы мѣсто неравенство
, и«4і + “«4-2 + •' • + ип^р < 1
Въ этомъ состоитъ общій признакъ сходимости ряда. Замѣтимъ,
что увеличивая и безпредѣльно и давая числу р различныя значе-
нія, постоянныя или измѣняющіяся вмѣстѣ съ «, будемъ имѣть (на-
основаніи предыдущаго неравенства).
Ііт («я+1 + и + •• + «, ) = О
Въ этомъ равенствѣ содержится безконечное число условій, изъ
которыхъ каждое необходимо, но ни одно, взятое отдѣльно, не
достаточно для сходимости ряда.
188. Примѣчанія, а) Положивъ р = 1, находимъ, что во
всякомъ сходящемся рядѣ общій членъ (ип+і) стремится къ
нулю. Но рядъ можетъ и не быть сходящимся, хотя общій его
членъ имѣетъ предѣломъ нуль. Примѣромъ тому служитъ гармони-
ческій рядъ (§ 183), расходящійся, между тѣмъ какъ Ііт 1 = 0.
11
Датѣе, при всякомъ данномъ (постоянномъ) р, имѣемъ
Г і 1 , , 1 1 „
[п + 1 г п 4- 2 ~ п + р\
(потому что при данномъ р число членовъ конечное и каждый
членъ стремится къ 0). Но можно сказать еще больше этого! Если
обратимъ вниманіе на то, что каждая дробь въ скобкахъ меньше 1/и,
а число ихъ р, такъ что сумма въ скобкахъ меньше р/п, то уви-
димъ, что она стремится къ нулю даже при безпредѣльномъ воз-
растаніи р, лишь бы при этомъ р/п стремилось къ нулю. А это
возможно въ безчисленномъ множествѣ случаевъ, напримѣръ, когда р
равно числу цифръ числа и или [У/і], т. е. наибольшему цѣлому
числу, содержащемуся въ У и, и т. д. (XVII).
Ь) Нельзя никоимъ образомъ полагать, что если рядъ не-
опредѣленный, то условіе Ііт ип = 0 не можетъ выполняться.
Такъ напримѣръ *) рядъ, общій членъ котораго равенъ
ип = ЗІП (лрАг) — 8ІП (лУ>1 — 1),
а сумма п первыхъ членовъ равна, очевидно, зіп (лУп), ни къ
какому предѣлу не стремится, а колеблется въ интервалѣ ( - 1, 1)
между тѣмъ, какъ общій членъ его
ип — зіп (л У гі) зіп (л ] 11 — 1)
= 2 зіп ———''Л______соз (] и + ] іі — 1) ] ,
У и + 1 и 1 I2 1
очевидно, стремится къ 0. Такимъ же образомъ рядъ, для кото-
') См. СепоссНі — Реапо. Саісоіо сііпегепііаіе стр. XVI. № 55.
раго сумма п первыхъ членовъ равна зіп (я]/ 1о§и), очевидно, не-
опредѣленный, между тѣмъ, какъ не только ип, но даже сумма
г'и4-1 + Ии-|-2 'Г т- «2„
= 2 зіп ——2 -----соз ( (]/ іо§ п + У 1о§ 2»)
У 1о§ и — У 1о§ 2» \2
стремится къ 0.
с) Въ итогѣ получается заключеніе, что, когда сумма
+ Пп-^-ч. + • • + ип^р стремится къ нулю, все еще ничего
нельзя сказать о сходимости ряда, потому что для рѣшенія вопроса
о сходимости нужно было бы исчерпать всѣ возможныя постоян-
ныя и перемѣнныя (зависящія отъ и) значенія цѣлаго числа р. Но,
если найдемъ, что вышеозначенная сумма при постоянномъ ли р,
или при возрастающемъ вмѣстѣ съ п по какому нибудь закону
значеніи р, не стремится къ нулю, то можно утверждать на-
навѣрно, что рядъ не будетъ сходящимся. Напримѣръ, возвраща-
ясь къ гармоническому ряду, разсмотримъ сумму
п +"1 + ;Г+2 + ''' + ^2п '
она не можетъ стремиться къ нулю, потому что состоитъ изъ п
убывающихъ дробей и потому больше, чѣмъ послѣдняя изъ нихъ,
умноженная на и, т. е. больше Слѣдовательно, гармоническій
рядъ не сходящійся. Онъ расходящійся (§ 181), потому что всѣ
его члены положительны. Вслѣдствіе невозможности съ помощью
вышеуказаннаго общаго признака сходимости опредѣленно
установить сходимость ряда, приходится прибѣгать къ спеціальнымъ
признакамъ сходимости, надлежащее примѣненіе которыхъ дозво-
ляетъ въ большомъ числѣ случаевъ узнать, будетъ ли данный рядъ
сходящимся или нѣтъ.
189. Теорема I. Всякій сходящійся рядъ съ положи-
тельными членами остается сходящимся послѣ того, какъ
умножимъ его члены на числа, не превосходящія по абсо-
лютной величинѣ даннаго числа.
Положимъ, что абсолютныя величины чиселъ а1У а2, а3, ...
всѣ меньше I. Если рядъ сходящійся, то это значитъ, что каково бы
ни было произвольно заданное, сколь угодно малое положительное
число е, можно найти такое значеніе числа п, начиная съ котораго,
независимо отъ значенія р, имѣетъ мѣсто неравенство
"„+1 + «ну2 + • • ' + «„+;, < у
Слѣдовательно, для тѣхъ же
значеній п и р, имѣемъ
"и-Н "п+1 + «п_|_2 "„4-2 + ' ' ' + «„4^ 1,п±р
< ("„+і + «„42 + ''' + «„4-Р1 < 4 * 6'
откуда, на основаніи общаго признака сходимости заключаемъ, что
рядъ ах иг + а2 и., + а3 и3 + • • сходящійся.
190. Слѣдствія, а) Рядъ будетъ сходящимся, если рядъ
абсолютныхъ величинъ его членовъ сходящійся. Для дока-
зательства стоитъ только въ предыдущей теоремѣ положить нѣко-
торыя изъ чиселъ а равными 1, а другія равными —1. Обратная
теорема несправедлива.
Ь) Рядъ будетъ сходящимся, если абсолютныя вели-
чины его членовъ не превосходятъ соотвѣтствующихъ чле-
новъ другого сходящагося ряда съ положительными чле-
нами. Чтобы это доказать, достаточно положить, что числа а по
абсолютной величинѣ не превосходятъ единицы.
с) Расходящійся рядъ съ положительными членами
остается расходящимся послѣ того, какъ умножимъ его
члены на числа, не меньшія даннаго положительнаго числа.
Дѣйствительно, если бы полученный рядъ былъ сходящимся, то
и данный рядъ былъ бы сходящимся по теоремѣ I. Впрочемъ,
теорема сама по себѣ очевидна, потому что, если ни одно изъ
чиселъ аг, а2, а3, ... не меньше а, то, очевидно, сумма п первыхъ
членовъ ряда а1 их -|- а3 и2 + а3 и3 • не меньше а и возра-
стаетъ безпредѣльно такъ же, какъ и 5„, вмѣстѣ съ п.
191. Теорема И. Рядъ съ положительными членами бу-
детъ сходящимся, если, начиная съ нѣкотораго мѣста, от-
ношеніе послѣдующаго члена къ предыдущему будетъ
меньше соотвѣтствующаго отношенія въ другомъ сходя-
щемся рядѣ, и расходящимся, если вышеупомянутое отно-
шеніе, начиная съ нѣкотораго мѣста, больше соотвѣтству-
ющаго отношенія другого расходящагося ряда съ положи-
тельными членами.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ неравенства —’‘+' < , слѣдуетъ, при
ип и ѵ положительныхъ, какъ мы предполагаемъ, -—— < такъ что
1 I * п
4. 4. /
----, начиная съ нѣкотораго мѣста, постоянно убываетъ и потому
г'п
дѣлается и остается меньше нѣкотораго опредѣленнаго числа.
Поэтому, если г'і + г'-, + + ••• рядъ сходящійся, то (§ 189) и
рядъ и. 4- г/„ 4- г/.. 4- • • будетъ сходящійся. Напротивъ того, изъ
; «и+1 «„
неравенства —— > 1 слѣдуетъ, что > — такъ что — , на-
П і>п С —1 Н Ѵц
чиная съ нѣкотораго мѣста, постоянно возрастаетъ и дѣлается и
остается больше нѣкотораго опредѣленнаго положительнаго числа.
Поэтому, (§ 190, с) если рядъ 4~ ••• расходящійся, то
и рядъ и, • • будетъ расходящимся.
§ 192. Лемма Абеля. ]) Если положительныя числа
а2, аъ, ... представляютъ возрастающую или убыва-
ющую послѣдовательность, и абсолютныя величины суммъ
Оі = О2 = 4" • • • о? = ип.и 4~ ^п-ра 4- • • • + /> всѣ
меньше даннаго числа /, то абсолютная величина суммы
4“ ^п-|-2 4- '*’ + Оп^-р будетъ меньше
когда послѣдовательность а{, а2, убывающая, и
меньше Іа„+Р, когда это послѣдовательность возрастающая.
Дѣйствительно, сумму а„+і и»+-і 4~ «и-рг и,,4-2 4~ • • 4" сіп+р ип^.р
можно написать такъ:
я„4-і Оі + «„+•>( «•> - о4 + (о3 - а2) + • • + ап^р (рр - ор г)
= (Я»4-1 “ ап+2> °1 + ("п4-2 “ Я»І~з) °2 + • • + ап+1> °р
Если ап постоянно убываетъ при возрастаніи п, то всѣ разности
— а„_|_2, ««4-2 — «пц-з, • • положительны, и потому абсолютная
величина разсматриваемой суммы меньше, чѣмъ
яИ-|-2) + (Яп-42 — Яп+з) + ••• + Кр,, 1 - Яп+/>) + Я»+р Г 1 = Іап+1-
Если, наоборотъ, ап постоянно возрастаетъ вмѣстѣ съ и, то всѣ
упомянутыя разности отрицательны и абсолютная величина разсма-
триваемой суммы меньше, чѣмъ
< К- 2 я«+1) + • + («»+;> ~ ял+^-Р + ап+р 5 / < 2 / ап+р.
193. Теорема ІП. Всякій сходящійся рядъ остается схо-
дящимся послѣ того, какъ его члены будутъ умножены на
числа, которыя, слѣдуя одно за другимъ въ данномъ по-
рядкѣ, измѣняются постоянно въ одномъ направленіи (т. е.
постоянно возрастая или постоянно убывая) и остаются при этомъ
по абсолютной величинѣ меньше даннаго числа 2).
Прежде всего замѣтимъ, что числа ап (на которыхъ умно-
жаемъ члены даннаго ряда) необходимо стремятся къ конечному
предѣлу, и потому въ концѣ концовъ сохраняютъ знакъ этого пре-
1) АЬеІ, Оеиѵгез, 2-е ёд. стр. 222.
2) Въ „Сотріез гепдиз де ГАс. дез зс. де Рагіз“, 24 Моѵ. 1890.
Ьа Маезіга показалъ, что теорема остается справедливою и тогда, когда
множители ап то убываютъ, то возрастаютъ, лишь бы среднее ариѳмети-
ческое первыхъ п множителей постоянно возрастало или постоянно убывало
дѣла. Если этотъ предѣлъ равенъ нулю, то (согласно условію),
всѣ ап будутъ положительными или всѣ отрицательными. Во вся-
комъ случаѣ, слѣдовательно, указателю п можно дать такое зна-
ченіе, начиная съ котораго знакъ ап остается неизмѣннымъ. Мы
можемъ считать, что это будетъ знакъ такъ какъ противопо-
ложный случай сводится къ этому посредствомъ перемѣны знака
у всѣхъ ап и у всѣхъ членовъ даннаго ряда на противоположный.
Въ такомъ предположеніи, мы можемъ сказать на основаніи сходи-
мости даннаго ряда иі, г/а, Из, что суммы Оі, 02, Оз, ... пре-
дыдущаго § могутъ быть сдѣланы (§ 187) по абсолютной величинѣ
меньше любого положительнаго сколь угодно малаго числа, и то
же самое можемъ сказать и о числѣ /, которое можно разсматри-
вать, какъ наибольшую изъ этихъ абсолютныхъ величинъ. Если
числа ап образуютъ убывающую послѣдовательность, то можно
взять 1<^е!аі (гдѣ е произвольное положительное число), и по
леммѣ Абеля написать
«Н+1 "п+1 + а„+2 “„+> + ± "„.р »п+р < Іап+1 '' —— 6 < «•
Если же наоборотъ числа ап постоянно возрастаютъ, оставаясь,
меньше даннаго числа а, то, положивъ I найдемъ
| «п+1 “п+1 + яи+2 “»+2 + • • + ап+р “п+р 1 < 2 7ап+р - - Е < ѣ •
На основзніи общаго признака сходимости мы и заключаемъ, что
рядъ аі иі + а2 и2 + а3 «з + • • сходящійся.
194. Теорема IV. Если неопредѣленный рядъ обла-
даетъ тѣмъ свойствомъ, что сумма произвольнаго числа
послѣдовательныхъ его членовъ всегда остается конеч-
ною, т. е. меньшей нѣкотораго постояннаго числа, то такой'
рядъ обратится въ сходящійся, когда умножимъ его члены
на числа, образующія убывающую послѣдовательность, и
стремящуюся къ нулю.
На основаніи леммы Абеля, абсолютная величина суммы
а„+і и„+і + а„+2 + ••• + а„+ри„+р меньше Іап+і. Чтобы она
была меньше 8, достаточно сдѣлать < е/1, а это всегда воз-
можно, потому что по условію стремится къ нулю.
195. Слѣдствіе. Если члены ряда поперемѣнно поло-
жительны и отрицательны, а абсолютныя ихъ величины по-
стоянно убываютъ и стремятся къ нулю, то рядъ будетъ
сходящійся. Эта теорема прямо вытекаетъ изъ предыдущей.
Стоитъ только принять за неопредѣленный рядъ въ § 194
рядъ 1 — 1 1 — - 1 . Однако, въ виду важности настоя-
щей теоремы мы дадимъ прямое ея доказательство. Положимъ, что
• >0 и разсмотримъ рядъ щ — и-2-\- и?, — ііі -|- •• .
Группируя члены слѣдующимъ образомъ
(г/| - п2) + (г/3 - + (г<-, - иа) +
видимъ, что суммы 3->, 5і, образуютъ возрастающую по-
слѣдовательность. Группируя иначе:
«і - («2 - г/3) - (г/4 - г/.,) - (ив - г/7) - • •,
видимъ, что суммы 5і, 5з, 53, ... постоянно убываютъ. Въ то же
время замѣтимъ, что ЗпуЗп—і<5і при и четномъ, и 5„>.5’„і>5г
при п нечетномъ. Слѣдовательно, сумма 3>п постоянно возрастаетъ
оставаясь меньше 5і и стремится поэтому къ конечному предѣлу.
То же самое можно сказать о суммѣ 5-2„_і, которая постоянно
убываетъ, оставаясь больше .53 • Наконецъ, предѣлъ 3%п равенъ
предѣлу 52,і -і, потому что разность Згп — Згп -і = — Иіп стре-
мится къ нулю, по условію.
196. Примѣчанія, а) Если бы Ііт и„ ф 0, то рядъ былъ бы
неопредѣленный, такъ какъ Зп при п четномъ стремилась бы къ
одному предѣлу, а при п нечетномъ къ другому. Разность этихъ
предѣловъ равна предѣлу ип-
Ь) Если члены ряда, хотя и стремятся къ нулю, но не по-
стоянно убываютъ, то рядъ можетъ и не быть сходящимся.
Напримѣръ, рядъ
1 1 1 1,1
--- — -— — * — “Н -- ' '
)2--------------------------------1 г 2 -ь 1-1'3-1-13-м 1/4-1
имѣетъ поперемѣнно положительные и отрицательные члены, стре-
мящіеся къ нулю. Однако, рядъ расходящійся, потому, что, груп-
пируя члены попарно, найдемъ, что 3%,, = 2/7„ (§ 183).
с) Если въ какомъ нибудь знакоперемѣнномъ рядѣ (такъ
называются ряды, о которыхъ мы говоримъ въ §§ 195 — 196)
удержимъ первые п членовъ для полученія приближеннаго значенія
суммы ряда 3, то сдѣлаемъ погрѣшность, по абсолютной
величинѣ меньшую перваго изъ отброшенныхъ членовъ.
Дѣйствительно, мы видѣли, что Зп больше или меньше 3,^і, смо-
тря потому, будетъ ли п нечетное или четное. Отсюда слѣдуетъ,
что общій предѣлъ 5 всегда лежитъ между 3„ и при ка-
комъ угодно п, такъ что
5 —' ^,1 / I 5„_і_і — •$„.= -• и„_|_і •
А это можно написать такъ
5 = - н, + и, - ± ип 5 и ,
гдѣ Ѳ лежитъ между 0 и 1, каково бы ни было значеніе и.
Сравненіе рядовъ съ положительными членами
197. О болѣе или менѣе сильной расходимости ряда съ по-
ложительными членами естественно судить на основаніи большей или
меньшей быстроты, съ которою сумма первыхъ п его членовъ
стремится превзойти всякую границу при безпредѣльномъ возраста-
ніи п. Поэтому, обозначая черезъ Ц/п и Ѵп сумму п первыхъ
членовъ въ рядахъ
«1 + 4“ и'і + " ' ’ ‘'1 + 4“ ’
говорятъ, что первый рядъ слабѣе расходится, чѣмъ второй, если
отношеніе Ѵп къ Ѵ„ стремится къ нулю при безпредѣльномъ воз-
растаніи п. Если, наоборотъ, это отношеніе безпредѣльно возра-
стаетъ, то первый рядъ сильнѣе расходится, чѣмъ второй. Замѣ-
тимъ, что на основаніи такого опредѣленія, къ числу рядовъ, рас-
ходящихся слабѣе даннаго, можно отнести всѣ сходящіеся ряды.
198. Сходимость ряда тѣмъ сильнѣе, чѣмъ быстрѣе оста-
токъ ряда (§ 180) стремится къ нулю. Если ап и обозначаютъ
остатки сходящихся рядовъ
!І1 + и2 4" + • , Т'1 + ѵ2 + ѵ 3 4“
то говорятъ, что первый рядъ сходится сильнѣе или слабѣе вто-
рого смотря потому, стремится ли отношеніе ап къ /?„ къ нулю
или возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ съ возрастаніемъ п.
199. Теорема I. Если отношеніе общихъ членовъ двухъ
рядовъ съ положительными членами стремится къ нулю,
то первый рядъ слабѣе расходится или сильнѣе сходится,
чѣмъ второй.
Положимъ, что предѣлъ отношенія ипІѴп равенъ нулю и что
рядъ ѵх + г’з + •• расходящійся. Замѣчая, что Ѵ„ возра-
стаетъ безпредѣльно, на основаніи извѣстной теоремы (§ 141)
имѣемъ
Ііт = Ііт ------уу— = Ііт — = 0.
Ѵп Ѵп~ Ѵп 1 Ѵп
Первый рядъ, слѣдовательно, слабѣе расходится, чѣмъ второй, при-
чемъ не исключается возможность первому ряду быть сходящимся.
Если, далѣе, рядъ • • • сходящійся, то и рядъ
их + + иг + ••• сходящійся, (§ 189) потому что отношеніе —,
стремясь, по предположенію, къ нулю, остается конечнымъ. Кромѣ
того, замѣчая, что а„ и стремятся къ нулю, постоянно убывая,
имѣемъ (§ 140)
Поэтому рядъ Й!4~+ и3 + ••• сильнѣе сходится, чѣмъ рядъ
+ ѵ.г + ѵ-л + • • •
200. Примѣчанія, а) Мы видѣли, что общій членъ сходя-
щагося ряда (§ 188, а) необходимо стремится къ нулю, но 'обрат-
наго заключенія сдѣлать нельзя. Теперъ мы можемъ утверждать,
что всякій рядъ съ положительными членами, имѣющими
предѣломъ нуль, будетъ либо сходящійся, либо слабѣе
расходящійся, чѣмъ рядъ 1 1 -|- 1 -
Ь) Понятно, что если рядъ при передвиженіи его на одинъ
членъ впередъ, даетъ сильнѣе сходящійся рядъ *), то можно его
считать весьма сильно сходящимся. Изъ доказанной теоремы выте-
каетъ, что такое обстоятельство будемъ имѣть мѣсто тогда, когда
г/ I 1
отношеніе — стремится къ нулю. Вслѣдствіе этого, въ прило-
жи
женіяхъ теоріи рядовъ, стараются преобразовывать сходящіеся ряды
такъ, чтобы это условіе выполнялось.
201. Теорема II. Если данъ нѣкоторый рядъ съ поло-
жительными членами, то всегда можно построить другой,
слабѣе сходящійся или слабѣе расходящійся рядъ.
а) Пусть м, и.2 + и.л + • • • будетъ данный рядъ, который
предположимъ сходящимся. Сохраняя обозначенія предыдущихъ §§,
положимъ
= ] V — г’2 = Х’з = У «2 — Ѣ «з,- • • •
Рядъ + ѵ2 + г’3 + • будетъ сходящимся, потому что сумма и
первыхъ его членовъ Ѵ„ = V ІІ — У «и и при и безконечной ь
V = Кромѣ того, такъ какъ остатокъ.
то Ііт = Ііт ]/а„ = 0. Слѣдовательно, новый рядъ слабѣе
сходится, чѣмъ их и3 -|- • • •
*) Т. е. если рядъ и., + «., + иі + • • + + • • • сходится сильнѣе
ряда + г<2 + «з + • • + ип + •
Ь) Если рядъ и, 4~ + • • • расходящійся, то положимъ
Т'і — ] ^2 — V й‘2 г'3 — У ^3 “ 1 • • •
Рядъ ѵх + + г'з • расходящійся, потому что Ѵп =р Ѵ„
безпредѣльно возрастаетъ вмѣстѣ съ п. Но такъ какъ Ііт (Ри/^4)
= Ііт—к= = 0, то новый рядъ слабѣе расходится, чѣмъ данный.
202. Примѣчаніе. Нельзя установить границы между
сходящимися и расходящимися рядами. Иными словами, если
даны два ряда, одинъ сходящійся, другой расходящійся, то можно
составить безчисленное множество сходящихся и безчисленное мно-
жество расходящихся рядовъ, при чемъ первые будутъ слабѣе схо-
диться, чѣмъ данный сходящійся рядъ, а вторые слабѣе расходиться,
чѣмъ данный расходящійся рядъ. Это впервые замѣтилъ Абель,
которому мы обязаны тѣми интересными сображеніями, которыя за
этимъ слѣдуютъ.
203. Теорема III. Если рядъ съ положительными чле-
нами
-д—+—+~+...
Яі а., ал я4
расходящійся, то расходящимся будетъ и рядъ
х.+_ь+...,
О] а., с>2 <ія о3 '
въ которомъ обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ
даннаго ряда, но расходимость новаго ряда слабѣе расхо-
димости даннаго.
Обозначивъ черезъ т„ сумму п первыхъ членовъ новаго ряда,
очевидно, будемъ имѣть
, . , I 1 . 1 + ... + 1 I 1 = і .
П^Р " I"» | І а„+2 ап^рі Пп-\-р °п+р
Оставляя п безъ измѣненія, мы можемъ, благодаря расходимости
даннаго ряда, всегда найти такое значеніе р, чтобы оп^.р было
больше 2о„. Тогда ти_|_р — Г» будетъ больше Увеличивая теперь
п до безконечности и обозначая черезъ /ц, р2, рі, ... тѣ значенія р,
которыя при разныхъ п удовлетворяютъ вышеупомянутому условію
найдемъ, что — т,,_ не будетъ стремиться къ нулю, когда р
будетъ послѣдовательно получать значенія р\, рч, р-і, • • - , и необхо-
димое для сходимости ряда условіе (§ 187) не будетъ выполнено.
Слѣдовательно, новый рядъ расходящійся. Далѣе, его расходимость
слабѣе расходимости даннаго, потому что отношеніе общихъ чле-
новъ, равное 1/о„, стремится къ нулю.
204. Построеніе скалы расходящихся рядовъ. Если члены
перваго ряда § 203 остаются конечными, то предыдущую теорему
можно иначе доказать и въ тоже время показать, что сумма т„
безпредѣльно возрастаетъ, какъ 1о§ ои. Въ самомъ дѣлѣ, такъ
какъ, по условію, а„ не убываетъ безпредѣльно, то а„ о„ безпре-
дѣльно возрастаетъ вмѣстѣ съ и, и потому (§ 157), примѣняя
извѣстную теорему (§ 141), будемъ имѣть
1о§
,. іое п„ ,. Пп і ,. , Г,
Інп = Ііт -- -------------= Ііт 1о§ 1
1 1
а„ о„
1
о
1.
Замѣтивъ это, мы можемъ изъ второго ряда вывести новый тѣмъ же
манеромъ, какимъ второй получился изъ перваго. Это будетъ рядъ
Я1 °1 Г1 а2 п2 т2 ' а?, °3 г3
который мы можемъ (§ 190, с) замѣнить слѣдующимъ
_____1_____и._______1____+________I_____
а1 1о8 °1 ' а2 °2 1о8 г'2 аЯ а3 >°8
такъ какъ отношеніе общихъ членовъ послѣднихъ двухъ рядовъ
имѣетъ предѣломъ единицу. Сумма п первыхъ членовъ послѣдняго
ряда возрастаетъ безпредѣльно, какъ Іо^т,,, т. е. какъ Іо^Іо^Оп,
и изъ этого ряда можно вывести слѣдующій *)
аі °і >°8 °і 1°8 іо§ сд п2 >°8 °2 >°8 1°8 °2 аз °з >°8 °з >°8 >°8 °з
который расходится слабѣе предыдущихъ, но остается расходящимся
и т. д. Взявъ, напримѣръ, а„ = 1, получимъ расходящіеся ряды
1 + 1 + 1 + 1+ ...,
2 1о§ 2 + 3 3 + 4 Го§ 4:" ’
______.1________+__________1_______+__________1_______
2 1о§ 2 1о$ Іо» 2 ' 3 Іо» 3 1о§ 1о§ 3 ' 4 1о§ 4Іо» 1о§ 4
изъ которыхъ каждый расходится слабѣе предыдущаго.
*; Въ рядахъ, общій членъ которыхъ имѣетъ видъ
_______________________________________
й'1§7г >8 >8 « >8 >8 >8 " '
первые члены могутъ не имѣть смысла и должны быть откинуты, но, начи-
ная съ достаточно большого значенія п, эти члены будутъ вещественными
и положительными числами.
Спеціальные признаки сходимости.
205. Теорема I. Въ сходящемся рядѣ «і-|-«2 + «з + •••,
произведеніе ап ип не можетъ стремиться, при безпредѣль-
номъ возрастаніи п, къ предѣлу, отличному отъ нуля,
если рядъ
(5) «і ”1” а2 + «з
есть расходящійся рядъ съ положительными членами
Дѣйствительно, если Ііт ап ип будетъ число положительное,
«—X
напримѣръ, то и члены ряда гіл и2 + из + • • будутъ, начиная съ
нѣкотораго мѣста, числа положительныя, и этотъ рядъ можно
разматривать, какъ выведенный изъ ряда (5) посредствомъ умноже-
нія его членовъ на а±и\, а2И2, азиз, Но эти числа, начиная съ
нѣкотораго мѣста, были бы, при нашемъ предположеніи больше нѣ-
котораго даннаго положительнаго числа. Слѣдовательно, (§ 190, с)
данный рядъ былъ бы расходящимся, вопреки условію.
206. Слѣдствіе. Ни въ какомъ сходящемся рядѣ про-
изведеніе пип не можетъ стремиться къ предѣлу, не рав-
ному нулю. Это вытекаетъ прямо изъ предыдущей теоремы, если
примемъ за рядъ (5) гармоническій рядъ. Но легко дать другое доказа-
тельство сказанному здѣсь, не предполагая извѣстною расходимость
гармоническаго ряда; это новое доказательство, напротивъ того, можетъ
служить для утвержденія расходимости этого ряда. Стоитъ только
припомнить, что раньше (§ 152) было доказано слѣдующее: если 8п
стремится къ конечному предѣлу, то п (8„ — 5и_і), т. е. пип,
либо ни къ какому предѣлу не стремится, либо стремится къ пре-
дѣлу, равному нулю.
207. Примѣчанія, а) Изъ предыдущей теоремы прямо слѣ-
дуетъ, что, если апип стремится къ предѣлу, отличному отъ нуля,
то рядъ Иі + «2 + Из + расходящійся. Но, кромѣ того, видно,
что условіе 1ітаими=0 не необходимо для сходимости, потому
что предѣлъ ап ип можетъ и не существовать, это условіе въ то
же время и не достаточно для сходимости, потому что оно вы-
полняется для безконечно большого числа расходящихся рядовъ,
расходимость которыхъ слабѣе расходимости ряда (5).
Ь) Въ частности, условіе Ііт пин = 0 ни необходимо, ни
достаточно для сходимости ряда. Оно не достаточно, потому что
существуютъ расходящіеся ряды, для которыхъ оно удовлетво-
ряется; таковъ напримѣръ, рядъ (§ 204)
2 1о§ 2 ' 3 1о§ 3 ' 41о§ 4 1
Оно не необходимо, потому что существуютъ сходящіеся ряды,
для которыхъ пи:, не имѣетъ предѣла. Такъ напримѣръ, рядъ
сходящійся (§ 186 или § 195), а между тѣмъ п ип постоянно коле-
блется отъ — 1 къ 4-1. Точно такъ же мы дальше увидимъ, что
нижеслѣдующій рядъ
1 + 92 + 32 + Т + 52 + ' ' ' + 82 + 9 + 102 + ' ' '
сходящійся. Онъ построенъ такъ, что ип = 1/м, если п квадратъ
цѣлаго числа, и ип = 1/и2, если и не квадратъ. Между тѣмъ
здѣсь пип, очевидно, не имѣетъ предѣломъ нуль, потому что оно
равно единицѣ всякій разъ, какъ п есть квадратъ.
с) Можно однако доказать, что условіе 1іти«„ = 0 необхо-
димо удовлетворяется х), если члены ряда Иі + и2 4~ Ш 4“ "
слѣдуютъ одинъ за другимъ, постоянно убывая, по крайней
мѣрѣ, начиная съ нѣкотораго мѣста. Въ самомъ дѣлѣ, тогда и рядъ
(»! гг2) + 2 (м2 - г/:.) + 3 (гг3 - г/4) -г • •,
всѣ члены котораго положительны, будетъ сходящимся, потому что
сумма его первыхъ п - 1 членовъ равна ,5И -- п ип < Зп < 5.
Если 3' .4 есть сумма этого второго ряда, то 1ітиии = 5— 3'.
Ио 3' не можетъ- быть меньше 5, иначе Ііт п ип 0 и рядъ
Иі 4- ^2 4- «з 4- былъ бы расходящимся. Поэтому = .5 и
Ііт п ип = 0. Къ тому же заключенію можно придти съ помощью
Зп
теоремы, доказанной въ § 141, положивъ тамъ ан =---------------п,
1 и»
Ьп= - и замѣтивъ, что
'С_' а" 1 = е
Л -- Ь . . '
сі) Съ другой стороны, какъ уже было сказано, суще-
ствованіе 1ітиии, отличнаго отъ нуля, достаточно для
того, чтобы можно было утверждать расходимость ряда
Иі 4“ «2 4* Из 4" Для примѣра возьмемъ рядъ
1 + (1 !, 1о§ 2)2 + (1 - 1о§ ЗУ» 11 - 1о§ 4>‘ + • •
Положивъ для сокращенія г = я/1о§ и, замѣтимъ, что
108
1 + г 108
і чч
1 - ,, і °8 " •
5) Вогеі, ТЪёогіе дез іопсііопз епііёгез. р. 17.
Въ то же время, такъ какъ (см. § 183)
1 , I, Х1 , Г, । 1 I1
- < - 1о§ 1-----= і°8 і Ч------г <-----
і> [ г] [ I' — 1) ѵ -- 1
то
п , Іоеп
О < — юр « н„ < — •
в " ѵ 1
Но мы уже знаемъ (§ 161), что при п безконечномъ и ѵ безко-
нечно, поэтому
1о“ п і> Іоя2 и
Ііт -5-— = Ііт - -- • —6— = 0,
)’ — 1 ѵ — 1 п
слѣдовательно, Ііт 1о§тіип = 0, Птии„ = 1. Мы можемъ поэтому
утверждать, что данный рядъ расходящійся.
е) Выбирая для ап выраженія все быстрѣе и быстрѣе возра-
стающія вмѣстѣ съ п, можно достигать все болѣе и болѣе слабой
расходимости ряда (5) и такимъ образомъ болѣе и болѣе ограни-
чивать область расходящихся рядовъ, для которыхъ Ііт ап ип = О,
такъ какъ каждый разъ исключается безконечное число расходя-
щихся рядовъ. Но невозможно исключить всѣ расходящіеся ряды,
потому что для этого надо было бы построить рядъ, расходящійся
слабѣе всякого другого расходящагося ряда, а мы знаемъ, что
такого ряда не существуетъ. Поэтому нельзя надѣяться при-
личнымъ выборомъ чиселъ ан достигнуть того, чтобы разысканіе
предѣла апип дало рѣніающій признакъ для сужденія о схо-
димости любого ряда; этимъ замѣчаніемъ мы обязаны Абелю ’), ко-
торый доказалъ, что, ограничиваясь даже рядами съ положитель-
ными членами, нельзя подобрать чиселъ ап такимъ образомъ,
чтобы любой рядъ «і«2 + г/з + ••• былъ сходящимся или
расходящимся, смотря по тому, будетъ ли 1ітлпип=0 или
Ііт ап ип 0. Въ самомъ дѣлѣ, прежде всего замѣтимъ, что рядъ
1+1 + 1+ ...
(I.)
долженъ быть расходящимся, потому что въ немъ гі„ = 1. а„,
апип = 1. Но извѣстно, что (§ 203) тогда и рядъ
гдѣ о„ есть сумма п первыхъ членовъ перваго ряда, также расхо-
дящійся. Между тѣмъ для него
1 1 „
и„ =------, Ііт л и = Ііт - = 0.
5) Оеиѵгез, 2-е ё<ѣ, р. 398.
208. Теорема II. (Теорема Куммера.) Пусть а^, аі, л3, ...
есть нѣкоторая послѣдовательность положительныхъ чи-
селъ. Если при безпредѣльномъ возрастаніи п выраженіе
(6)
Пп
------а‘
"и+1
начиная съ нѣкотораго значенія п, остается больше нѣко-
тораго положительнаго числа, то рядъ Иі + Иг + Из + ••• съ
положительными членами будетъ сходящимся. Если наобо-
ротъ, разсматриваемое выраженіе, начиная съ нѣкотораго
1,1,1.
значенія и остается отрицательнымъ, и рядъ----1---1---4- •••
СІ-у (Лс)
расходящійся, то и рядъ Мі + «2 + «з + ••• расходящійся х).
Дѣйствительно, изъ неравенства ап
I, при
>0,
слѣдуетъ
(7)
ап "п - ап+1 ><п+1 > ,
откуда видно, что положительное число ап ип постоянно убываетъ
съ возрастаніемъ п и потому стремится къ конечному предѣлу.
Отсюда слѣдуетъ, что рядъ
(л, гц - а2 гі2) -|- (а2 н2 - а-А иъ) + (л3 г/3 - <т4 и4) + • •
сходящійся, потому что сумма первыхъ п его членовъ бциі —
стремится къ конечному предѣлу. Послѣдній рядъ останется схо-
дящимся, когда помножимъ его члены на 1//. Данный рядъ
«і ііі + «з + • • будетъ также сходящимся, потому что его члены
по условію положительные, начиная съ нѣкотораго мѣста, будутъ
меньше соотвѣтствующихъ членовъ сходящагося ряда, какъ видно
иге
изъ неравенства (7). Наоборотъ, изъ неравенства ап------ли4-і < 0
««+і
вытекаетъ, что апип возрастаетъ вмѣстѣ съ п, а потому (§ 205)
рядъ щ и-> и-і ••• расходящійся (конечно при условіи, что рядъ
«I а2 «3
расходящійся).
209. Примѣчаніе. Въ приложеніяхъ этой теоремы обыкно-
венно ищутъ предѣлъ выраженія (6) при п безконечномъ. Рядъ
’) Болѣе общія теоремы можно найти въ работѣ Віпі „8и11е зегіе
сопѵегдепіі еі <ііѵег§;епіі а іегтіпі розіііѵі" (Аппаіі сіеіі’ ѢІпіѵ. Тозс., IX).
будетъ сходящимся или расходящимся, смотря по тому, будетъ ли
этотъ предѣлъ числомъ положительнымъ или отрицательнымъ.
Когда онъ равенъ нулю, тогда о сходимости или расходимости
ряда ничего нельзя сказать, за исключеніемъ того случая, когда
выраженіе (6), приближаясь къ нулю, остается постоянно отрица-
тельнымъ, потому что въ этомъ случаѣ можно утверждать, что
рядъ будетъ расходящимся.
210. Слѣдствія, а) Рядъ съ положительными членами
будетъ сходящимся или расходящимся, смотря по тому,
будетъ ли предѣлъ отношенія послѣдующаго члена къ
предыдущему, при безконечномъ и, меньше или больше
единицы *). Эта теорема есть частный случай теоремы Куммера
(при ап = 1), но ее можно доказать и независимо отъ послѣдней,
сравнивъ данный рядъ съ геометрическою прогрессіею 1 -|-х-^-х2-| ,
сходящеюся при х < 1 и расходящеюся при х 1, и пользуясь
теоремою § 191.
Ь) Рядъ съ положительными членами будетъ сходя-
щимся или расходящимся, смотря по тому, будетъ ли пре-
Г ип 1
дѣлъ выраженія п ----- - 1 , при п безконечномъ больше
1к»4-і 1
или меньше единицы. Это есть признакъ Раабе (КааЬе). Онъ
получается также изъ теоремы. Куммера, при ап = п.
с) Рядъ съ положительными членами будетъ сходя-
щійся или расходящійся, смотря потому, будетъ ли предѣлъ
выраженія
‘К"
при безконечномъ п больше или меньше единицы. Дѣйстви-
тельно, пусть этотъ предѣлъ равенъ I. При ап = п 1о§ п выраженіе (6)
равно разности между даннымъ выраженіемъ и (п-\-1) 1о§ [1 + ,
и стремится (XVIII) поэтому къ предѣлу, равному 7—1, т. е. поло-
жительному или отрицательному, смотря по тому, будетъ ли I > 1
или I < 1.
211. Примѣчанія, а) Рядъ слѣдствій изъ теоремы Куммера
можно продолжать безгранично, полагая послѣдовательно
а„ = п Іо§ и, и Іо§ и Іо» Іо» п, п 1о“ и 1о§ 1о§ п 1о§ 1о§ 1о§ п, . ..
*) Этотъ признакъ данъ былъ Д'Аламбертомъ и рѣшаетъ вопросъ
о сходимости или расходимости въ весьма большомъ числѣ частныхъ слу-
чаевъ. Обыкновенно его и ставятъ въ началѣ теоріи сходимости рядовъ.
Такимъ образомъ получаемъ выраженія
Эти выраженія, вмѣстѣ съ тремя разсмотрѣнными въ изложенныхъ
выше слѣдствіяхъ, могутъ имѣть предѣлы I, Г, I", ... Но изъ нихъ
только одно можетъ имѣть конечное значеніе, не равное единицѣ,
потому что ясно (XIX), что тогда всѣ предыдущіе равны 1, а всѣ
послѣдующіе безконечны. Достаточно одного изъ этихъ предѣловъ,
не равнаго единицѣ, чтобы рѣшить вопросъ о сходимости или
расходимости ряда. Результатъ опредѣляется тѣмъ, будетъ ли этотъ
предѣлъ больше или меньше единицы.
Ь) Существуютъ, конечно, ряды, для которымъ всѣ безчислен-
ные разсматриваемые предѣлы равны 1. Но существуетъ также без-
численное множество другихъ формъ чиселъ ап въ теоремѣ Куммера
и если окажется, что при выбранной формѣ ап выраженіе (6) стре-
мится къ 0 (и вопросъ о характерѣ ряда остается не рѣшеннымъ),
можно вмѣсто выраженія (6) разсмотрѣть произведеніе его на о„,
гдѣ о„, какъ всегда, обозначаетъ сумму
~ + ... + ^
Сісу
Смотря по тому, остается ли это произведеніе, начиная
съ нѣкораго значенія п, меньше 1 или больше I, гдѣ /> 1,
рядъ будутъ расходящимся или сходящимся. Эта теорема по
существу не отличается отъ теоремы Куммера и получается изъ нея,
если замѣнимъ ап на ап Ьп и Замѣтимъ, что
II,, \ г1п 1 ,
а о — -----------। = \а„ —----------о„ — 1.
'• и ,. । "+1 \ и । , +1
п-|-1 I П-1-1 а
с) Впрочемъ, всѣ эти признаки, несмотря на большую пользу,
которую они приносятъ при разсмотрѣніи рядовъ чаще всего встрѣ-
чающихся, далеки отъ того, чтобы дать истинные и существенные
симптомы сходимости и расходимости рядовъ. Такъ, напримѣръ,
ограничиваясь простѣйшимъ случаемъ (ап =1), полезно замѣтить,
что рядъ можетъ быть сходящимся, не смотря на то, что
отношеніе ип+\Іип, при возрастаніи п, не перестаетъ при-
нимать значенія большія единицы и даже сколь угодно
большія. Такое обстоятельство встрѣчается, напримѣръ, въ очень
простомъ рядѣ а -ф- а3 + • • а2т~1 /?2ш + • • •, кото-
рый имѣетъ всѣ члены положительные и будетъ сходящимся, если
а и лежать въ интервалѣ (0, 1) за, исключеніемъ границъ. Если,
кромѣ того, а < /?, то отношеніе п-го члена къ предыдущему
имѣетъ предѣломъ 0 при нечетномъ п, а при п четномъ возра-
стаетъ безпредѣльно. (См. XX).
Однако надо замѣтить, что такая неправильность всегда мо-
жетъ быть устранена х) приличною группировкою членовъ безъ
измѣненія ихъ порядка. Дѣйствительно, какъ бы мало ни было
данное положительное число к, всегда можно найти такое значе-
ніе п, начиная съ котораго будемъ имѣтъ кЗп > /?„, потому что
5И стремится къ предѣлу 5 > 0, а остатокъ ряда 7?„ стремится
къ нулю. Неравенство кЗ„ > /?„ остается справедливымъ и въ
томъ случаѣ, когда будемъ разсматривать данный рядъ не съ на-
чала, а съ нѣкотораго члена. Отсюда слѣдуетъ, что можно такъ
группировать члены даннаго ряда «і + «а 4~ ^з + •••, не мѣняя
ихъ порядка, чтобы получился новый рядъ г'і -(- ѵ2 + Ѵз + (ка-
ждый членъ котораго равенъ суммѣ членовъ одной группы членовъ
даннаго ряда), въ которомъ удовлетворяется неравенство
^И+1 + УИ+2 + г’«+3 +
и тѣмъ болѣе неравенство < к. Такимъ образомъ исчезаетъ
^'п
тотъ обманчивый симптомъ расходимости, который являлся въ пер-
воначальномъ рядѣ.
212. Примѣры, а) Требуется изслѣдовать характеръ ряда
1+ 1 + 1 + ’ +
2"3" 4''
Замѣчаемъ, что
На основаніи правила Раабе заключаемъ, что данный рядъ схо-
дящійся при 1, расходящійся при р< 1. При р = 1, какъ мы
уже знаемъ, рядъ будетъ расходящійся. Слѣдовательно, лишь при
р > 1 данный рядъ сходящійся.
Ь) Разсмотримъ болѣе общій рядъ, общій членъ котораго,
при п > 1, имѣетъ видъ
_ 1
І'н ~~ и1’(\о& п)4'
!) Это замѣчаніе принадлежитъ Ьегсіі ипсі АѴеуг (1.ипа1 <1е Зсіепсіаз,
1886- 87, рр. 79, 97).
Прежде всего замѣчаемъ, что
1 , Г. 1 1 , Г, 1 1 1
,7+1< I1 „ + 1|- 1о41 + тГ]< 77’
а потому можно написать
1о§ (и +1) = ! , 6
ІО§ 11 ' 11 1о§ 11'
гдѣ 0 лежитъ между 0 и 1 и при безконечномъ п имѣетъ пре-
дѣломъ 1. Поэтому
Лп. = [1+1Р[1+ ’ 1М1 + -+ •••] [1+-/--+ •••].
«и-І-1 I I я Іо^ я] I ” 11 я 1о§ я 1
а отсюда, выполняя умноженіе и отбрасывая члены, которые по
умноженіи на п 1о§ п имѣютъ предѣломъ нуль, находимъ
Итакъ, при р 7> 1 рядъ сходящійся, при р <71 расходящійся.
При р — 1, имѣемъ
Ііт
Слѣдовательно, при 7 <71 рядъ расходящійся, при </7>1 сходя-
щійся (§ 210, с). Наконецъ, при р = 1 и д — 1, какъ мы уже
знаемъ (§ 204), рядъ расходящійся. Резюмируя, находимъ, что
данный рядъ
сходящійся при
р > 1, д произвольномъ
Р = 1. <1 > 1
расходящійся при
р < 1, д произвольномъ
Р = 1. Ч < 1 •
Въ случаѣ у><1, при с] произвольномъ, расходимость слѣдуетъ также
изъ того (§ 206), что (§ 161)
Ііт я ип =
Ііт
я1 р
(108
213. ТеоремаIII. Если для нѣкотораго ряда Ці+г/г+«зН—
п
съ положительными членами начиная съ нѣкотораго
мѣста, остается меньше даннаго числа, которое само меньше
п
единицы, то рядъ сходящійся. Если же ]/ии, начиная съ
нѣкотораго мѣста никогда не меньше единицы, то рядъ
расходящійся.
п
Дѣйствительно, изъ неравенства ]^и„<^х слѣдуетъ ия<хи,
а сходимость ряда, котораго общій членъ хн, при х 5, извѣстна
(§ 182). Слѣдовательно, данный рядъ и подавно сходящійся (§ 190, Ь).
п
Наоборотъ, если \^ип 1, то ип 1 и т. д. Одинъ изъ способовъ
п
прилагать эту теорему состоитъ въ разысканіи предѣла \'Ип при п
безконечномъ. Если этотъ предѣлъ меньше 1, рядъ сходящійся, если
п
больше 1, расходящійся. Если 1іт]/м„ = 1, ничего нельзя сказать,
п—&>
п
за исключеніемъ того случая, когда приближаясь къ 1, ]/и„, на-
чиная съ нѣкотораго мѣста, никогда не дѣлается меньше 1; въ
этомъ случаѣ рядъ также расходящійся.
214. Примѣчанія. Предыдущій признакъ, можно сказать,
эквивалентенъ съ тѣмъ, который основанъ на разсмотрѣніи отно-
шенія такъ какъ извѣстно, что (§ 142, Ь), если это отно-
н
шеніе имѣетъ предѣлъ I, то существуетъ и предѣлъ ип, равный
тому же I. Этому не противорѣчитъ то обстоятельство, что рядъ
можетъ быть сходящимся, между тѣмъ какъ ни тотъ, ни другой
предѣлъ не существуетъ, какъ это, напримѣръ, имѣетъ мѣсто для
разсмотрѣннаго выше ряда а + /?2 + а3 + + • •. Признакъ, осно-
11
ванный на разсмотрѣніи предѣла ]/ия, рѣдко можно прилагать, хотя
теоретически онъ имѣетъ преимущество передъ тѣмъ, который осно-
ванъ на разсмотрѣніи предѣла отношенія и^і!ип, потому что этотъ
второй предѣлъ можетъ не существовать, когда первый существуетъ.
Разсмотримъ, напримѣръ, вмѣстѣ съ Лерхомъ (ЬегсН) ') рядъ, ко-
тораго общій членъ равенъ
ип = >’,ѴИ”+1) (0 < у < 1, х > 1),
гдѣ ѵ обозначаетъ число цифръ въ п. Такъ какъ ѵ— 1 не
больше обыкновеннаго (десятичнаго) логариѳма п, то, при безпре-
дѣльномъ возрастаніи и, отношеніе ѵрІп стремится къ нулю (§ 163),
каково бы ни было число р. Отсюда слѣдуетъ, что
1-- -(14--)
Ііт } ип = Ііт и .ѵ2и ' г' = д < 1.
і) АЫіап<11ип§еп сіег ЬбйтізсНеп Акад. сіег Ѵ/ізаепасІі. 1885. (Мемуары
Богемской Академіи Наукъ.)
Слѣдовательно, рядъ будетъ сходящійся, какъ бы велико ни было х.
Если бы вмѣсто этого мы стали разсматривать отношеніе г/п+і/ии,
то не могли бы вывести никакого заключенія. Дѣйствительно, если ѵ'
обозначаетъ число цифръ въ (п — 1), то разность ѵ — ѵ', вообще
равная нулю, дѣлается равною 1 всякій разъ, когда п получаетъ
значеніе, равное степени 10. Отсюда слѣдуетъ, что отношеніе
11„ 1—р—!>') |(к—Ѵ')(1Н-Ѵ'-|-1)
— и • л
“„1
вообще равное д, дѣлается равнымъ хѵ при п равномъ степени 10.
Существуетъ послѣдовательность значеній п
п = 1, 10, 100, 1000,...
для которыхъ отношеніе ип^ип въ концѣ концовъ превзойдетъ
любое данное число, а рядъ остается сходящимся. Это согласно съ
тѣмъ, что было сказано въ замѣчаніи с) § 211.
215. Теорема IV. (Теорема Жамэ) (.Іатеі). Рядъ съ поло-
жительными членами + + «з+ будетъ сходящимся,
если при безпредѣльномъ возрастаніи п, выраженіе
(8)
п
въ концѣ концовъ остается большимъ нѣкотораго числа,
которое само больше 1, и расходящимся, если то же
выраженіе въ концѣ концовъ никогда не превосходитъ
единицы 1).
Въ самомъ дѣлѣ, полагая ип = и замѣчая, что нера-
венство
п Рп Рп .
____________________________ . І02Г П р
т и = и п =е п >1— Іоеп
г п_________________________п &
влечетъ за собою слѣдующее:
Рп > (1
" — п
’ Мп) Іо» п ’
мы видимъ, что въ томъ случаѣ, когда выраженіе (8) больше р 1,
будемъ имѣть и А тогда данный рядъ будетъ сходя-
щимся, потому что (§ 190, Ь) члены его въ концѣ концовъ будутъ
меньше соотвѣтствующихъ членовъ сходящагося ряда (§ 212, а)
1+-^ + ^+^+-.
Чр У 4^
Э „МаіНезіз" (1892, стр. 80). (Брюссель.)
Если же выраженіе (8), начиная съ нѣкотораго п, будетъ всегда
меньше 1 или равно 1, то это значитъ, что начиная съ нѣкото-
раго мѣста
Н г 1 -I
/1 -і/~\ п Л 1 1 1 Г
(1 - - у и ) :-1, т. е. и й 1----1о§ и .
' • 1о§ п I п ]
А тогда данный рядъ будетъ расходящимся (§ 190, с), потому что
его члены не меньше членовъ расходящагося ряда (§ 207, б)
1 + (1 -|1о82)2 + (1 -|1о§3)3 + (1 -|іо84У+
216. Примѣчаніе. Теорема Жамэ примѣняется, подобно пре-
дыдущей, посредствомъ разысканія предѣла выраженія (8) при п = оо.
Рядъ будетъ сходящимся или расходящимся, смотря по тбму,
будетъ ли этотъ предѣлъ больше или меньше 1. Когда этотъ
предѣлъ равенъ единицѣ, то безъ дальнѣйшаго изслѣдованія нельзя
ничего сказать, за исключеніемъ того случая, когда выраженіе (8),
приближаясь къ 1, остается постоянно 1: тогда рядъ будетъ
расходящійся. Въ другихъ случаяхъ нужно добыть новый признакъ,
дополняющій первый. Можно, напримѣръ, вмѣсто выраженія (8)
разсмотрѣть слѣдующее:
Г/] _ ч п 1 1о§ п
' и”' Іо§ п ] 1о§ 1о§ п
Для доказательства достаточно положить ип = — '—отсюда
п (Іо§
вывести, что дп превзойдетъ данное выраженіе и припомнить,
что (§ 212, Ь) рядъ
—1— + —1__
2(1о82)* 3(1о§3)’ 4(1о§4)?
сходящійся при ^^>1, и расходящійся при </=--1.
217. Примѣры. Данъ рядъ
(ЙГ2? + (ЙРУ3 + (ЙІ4У4 + " '
Чтобы доказать его сходимость, можно, принявъ г/і = 0 за первый
его членъ, замѣтить, что
и — 1
Ііт Уи = Ііт -=--= 0.
' п 1о§ 11
Для рядовъ съ общими членами
______1 ____________1________ 1
“п (1о8я)108’*’ (1о81о8и)ІО8»’ (108 «)'°81ОЙ п
п
находимъ, что Уип = 1, и можемъ прибѣгнуть къ признаку Жамэ.
На практикѣ удобнѣе непосредственно примѣнять тотъ принципъ,
на которомъ этотъ признакъ основанъ, состоящій въ сравненіи дан-
наго ряда съ другимъ, общій членъ котораго есть пр. Это сво-
дится къ тому, что вмѣсто выраженія (8) разсматривается отно-
шеніе = : 1, при чемъ можно утверждать, что рядъ
ип
будетъ сходящимся, если это отношеніе въ концѣ концовъ
остается большимъ нѣкотораго числа, которое само больше
единицы, и расходящимся, если это отношеніе, въ концѣ
концовъ, никогда не дѣлается меньше единицы. Напримѣръ,
для данныхъ выше рядовъ имѣемъ соотвѣтственно
/>„ = 1о§1, ІО8ІО8ІО2И,
(1о§ Іое «)-
1о§ «
Первыя два изъ этихъ выраженій рп возрастаютъ безпредѣльно
вмѣстѣ съ п, а третье имѣетъ предѣломъ нуль, слѣдовательно,
первые два ряда сходящіеся, а третій расходящійся. Если полу-
чится для рп предѣлъ, равный 1, то можно перейти къ разсмот-
рѣнію отношенія Іод къ 1о§ 1о§ п и т. д. Конечно, могутъ встрѣ-
титься и такіе ряды, къ которымъ предпочтительно прилагать
признакъ Жамэ въ его первоначальной формѣ. Такъ напримѣръ,
Г х Iй
для и» = 1 — — 1о§ и , предѣлъ выраженія (8) равенъ х, и тотчасъ
видимъ, что рядъ (срав. съ § 207, б)
[17 12 Г X 13 Г х Т 4
1 - 11о8 2] + [! - ^08 3] + [1 ~ 1о§ 4] + •••
будетъ сходящимся только при х^>1.
Упражненія и приложенія.
218. Упражненія, а) Немногіе доказанные выше признаки
сходимости рядовъ даютъ возможность весьма быстро узнать ха-
рактеръ рядовъ, разсмотрѣнныхъ въ §§ 184, 186. Для показа-
тельнаго ряда, напримѣръ, достаточно замѣтить, что
для и = ------ГТ-: Ііт —±- = Ііт = 0.
' («-1)1 ип п
Слѣдовательно, рядъ сходящійся для всякаго положительнаго х (§ 210).
Онъ будетъ сходящимся и при всякомъ отрицательномъ значеніи х,
потому что (§ 190, а) въ этомъ случаѣ члены его, поперемѣнно
положительные и отрицательные, начиная съ нѣкотораго мѣста,
а именно съ того, для котораго п > | х |, постоянно убываютъ
и, кромѣ того, имѣютъ предѣломъ нуль. Подобно этому поступаютъ
хп
и съ логариѳмическимъ рядомъ. Общій его членъ ип = ± возра-
стаетъ безпредѣльно (по абсолютной величинѣ) или стремится къ
нулю, смотря по тому, будетъ ли |х| больше или не больше 1,
откуда и видно, что условіе | х | й 1 необходимо для сходимости
ряда (§ 188, а). Отношеніе послѣдующаго члена къ предыдущему
въ рядѣ абсолютныхъ величинъ членовъ даннаго ряда имѣетъ пре-
дѣломъ
Поэтому рядъ будетъ сходящимся при |х|<1 (§§ 210; 190, а).
Для | х | = 1, рядъ будетъ расходящимся при х = — 1, потому что
тогда онъ обращается въ гармоническій рядъ, и сходящимся при
х = 1, потому что тогда члены его, поперемѣнно положительные
и отрицательные, постоянно убываютъ и имѣютъ предѣломъ нуль.
Впрочемъ, послѣднія два свойства справедливы при всякомъ поло-
жительномъ х, не большемъ 1, потому что неравенство
х^_ хя+1
И 'И + 1
справедливо при х<1-|-у а потому и при х^І, каково бы
ни было значеніе п.
Ь) Въ частности, нами было найдено (§ 186), что
(9) 1 + ... = 1о8 2 = 0,6931471 ...,
и именно съ помощью формулы (1) § 183, которая весьма по-
лезна, потому что даетъ возможность вычислять суммы различныхъ
рядовъ типа (9). Дѣйствительно, мы видѣли что сумма о2и первыхъ
2 п членовъ ряда (9), очевидно, равная
Н 1 ! 1 .
2и п + 1 + п + 2 + 2и ’
имѣетъ предѣломъ 1о§2, при безконечномъ п. Если данъ рядъ
(Ю) 1-Н + + і-1 + 44
то сейчасъ видимъ, что
53И = 1 + з“ + у + • • • + 4 „ _ і - [у + 4- -+"6 + ’’' + 2я
“ 2 2 Нп “ $2п 2 ’
откуда 5 = 41°ё2 = 1,0397207 .такъ какъ .83м._і и 53и_2 отли-
чаются отъ 53и на величины, имѣющія предѣломъ нуль. Этотъ при-
мѣръ показываетъ, что не всегда можно мѣнять порядокъ
членовъ ряда. Дѣйствительно, ряды (9) и (10) отличаются только
порядкомъ членовъ, а имѣютъ различныя суммы. Для ряда
1+^-Ч- + І + |-Ч- + і+ •••
подобнымъ же образомъ имѣемъ
„ _ ! 1 , 1 1
Зи 2п + 1 + 2« + 3 + 4п - 1 “ °2п ' 2 0,4 ’
откуда 5' = 11о§2 = 0,3465735 ... Наконецъ, для ряда
1+4 -1 +1 + 1 -1+ 4 +
находимъ
53„ = 773)і - Нп, 3 = 1о83 = 1,0986122 ...
Въ болѣе общемъ случаѣ находимъ, что 1о§ т есть сумма ряда
1+1 - ... _ц±__1+_1_+—1_. + +...
+ 2Т 1 т ^ш + 1 + т + 2+ 2т 2 2т + 1
с) Не цѣлесообразно прибѣгать къ признакамъ сходимости,
когда можно прямо вычислить сумму ряда, какъ показываютъ выше
приведенные примѣры. Если, напримѣръ, данъ рядъ
1 1 1 1
1-2+2-3 + 3- 4 + 4- 5 + '"’
то можно, конечно, доказать его сходимость, замѣчая, что
= од+ДАі + 2) = і + 2, п(^- - \ \ = 2
«,,+і «(« + 1) п \ив+і /
или принимая во вниманіе (§ 190, Ь), что и припоминая,
что есть общій членъ сходящагося ряда (§ 212, а). Но это
изслѣдованіе излишне, потому что достаточно написать ип въ
видѣ -- —7-т, чтобы сейчасъ же найти
5 — і _ А _і_ А _ А _і_ .., д_ -_1 = 11 - “5 = 1
“ 1 2 + 2 3 + ' п п + 1 п + 1 Ъ Ь
Точно также, когда предложенъ рядъ
1 , 1 ! і
1-2-3 + 5- 6- 7 + 910 1Г + КГТГІЗ + ''' ’
, 1
гдѣ ип = т.---------------------тт, то положимъ
(4м — 3) (4м — 2) (4м — 1)
а 0
Мп (4м - 3) (4 м - 2) (4м - 2) (4м - 1)
и постараемся опредѣлить а и /? такъ, чтобы имѣть тождественно
(при всякомъ гі)
(4п 1) а + (4м - 3) 0 = 1,
т. е. а = 0, а + 3^8 = — 1, откуда а = — Тогда полу-
1 Г 1 1 1
чимъ ип = + ------7л-----------------------1. и разлагая, какъ и
2 [(4и — 3) (4м — 2) (4м — 2) (4м — 1)] г ’
въ предыдущемъ примѣрѣ, каждую дробь на двѣ, находимъ
1 / і 1 1 \
2(4и-3 + 4я-1 2и - 1/
Отсюда найдемъ 5п = |оп и 5 = |-1о§2 = 0,1732867
Если данъ рядъ
1 4 8 13 ,19
2 3 + 5-6 + 9 10 14 15" 20-21"
то, какъ легко видѣть, числитель и-той дроби равенъ
1 + 3 + 4 + 5 + •• • + (м + 1) = 4 (и + 1) (и + 2) - - 2 = 4 м(и 4- 3) - 1,
а, слѣдовательно, знаменатель ея будетъ
Гм(м + 3) [|и(м + 3) + 1] = ім(м + 1) (м + 2) (м + 3).
Тогда положимъ
„ =_____а___+_______I_______+______I_______,
” п (м | 1) ' (м + 1) (м + 2) ’ (м + 2) (м + 3)
при чемъ тождественно должны имѣть
(м + 2) (м + 3) а + и (м + 3) /3 + и (м + 1) у = 2 (и2 -|- 3 м — 2).
2
Полагая послѣдовательно п = 0, п = — 3, находимъ а = у = — $ •
Сравнивая затѣмъ коэффиціенты при и2, получимъ а + + у = 2,
„ 10 „
откуда р = Окончательно получимъ
О
С 2X10.1 2.1 — 7
‘Э “ - ’ Т 7 3 3 9 *
б) Чтобы доказать сходимость ряда
(И) 1 , . + п — 9 । + ъ — о + • •
1 -х 2. 2 х о о -|- X
(х > 0), можно группировать члены попарно и замѣтить, что
11 X “Я1 .. п (п + х)
и =-------— = —-—,—-, Ііт —= Ііт т---'---------г- = 1 •
п п + х п (п + х) и (« + 1) (п + .г 4- 1)
Примѣняя теперь правило Раабе (§ 210, Ь)
1- / ип , « + 1\ о
Ііт п-------1 = Ііт 1 Н-----— = 2.
! \ «+-ѵ/
Рядъ сходящійся. Проще еще слѣдующій пріемъ. Замѣтимъ, что
и» < ~ , и что рядъ 1 + т + I + тк + • • • сходящійся. Конечно,
такимъ образомъ будетъ доказано лишь то, что сумма пер-
выхъ п членовъ ряда (11) стремится къ нѣкоторому предѣлу 5,
когда п проходитъ черезъ одни четныя значенія. Но при п не-
четномъ, имѣемъ
2
5п = 3П -і + --^-у > 1іт5п = 1іт5„_1 = 5.
Если х равно цѣлому положительному числу т, то сумма ряда (11)
равна суммѣ первыхъ т членовъ гармоническаго ряда. Дѣйстви-
тельно, сумма первыхъ 2п членовъ равна
„ / 1 1______________ __________\ / 1 1 1 \
п \т + 1 т-\~‘2 ' + тп) т \;г 1 +«+ 2
и, очевидно, имѣетъ предѣломъ Нт, когда при постоянномъ т
число п возрастаетъ безпредѣльно.
е) Для ряда
1 1-2 , 1 23
х + 1 + (л7 + 1) (.ѵ + 2) ' (л- +’1) (.ѵ + 2) (х + 3) + ’''
имѣемъ
1-2 3-- « .. «в ,. Л . -ѵ \ ,
и,, = ,——----------7—-—у, Ііт------= Ііт 1 Н--; = 1 .
(х+1) (л- + 2) --(.ѵ+«) и„+1 \ « + 1/
Примѣняя правило Раабе, находимъ
,. 11 х
Ііт —г~
Слѣдовательно, рядъ сходящійся при л\> 1, расходящійся, при 1;
онъ расходящійся и при х = 1, что видно непосредственно. Между
прочимъ, въ случаѣ сходимости легко найти и сумму ряда. Стоитъ
только замѣтить, что очевидное тождество (х п)ип = пип—і можно
написать въ видѣ
(Л- 1)«„ = пи„ л - (и + 1) мп,
такъ что, замѣняя п послѣдовательно на п — 1, п — 2,... 3, 2, 1,
и суммируя, получимъ
<-г1)5й = 1 (» + 1)«я-
А такъ какъ члены ряда слѣдуютъ одинъ за другимъ въ убыва-
ющемъ порядкѣ, то (§ 207, с), какъ извѣстно, Ііт пип — 0. Слѣдо-
с 1
вательно, 5 =------г •
х — 1
I) При положительномъ значеніи х < е, рядъ
(12)
будетъ сходящимся. Дѣйствительно,
При х > е, рядъ расходящійся. Онъ расходящійся и при х = е,
потому что при этомъ предположеніи разсматриваемое отношеніе,
приближаясь къ е, остается постоянно больше 1 (§ 156). Чи-
татель можетъ доказать, что въ болѣе общемъ случаѣ рядъ, для
котораго ип = будетъ сходящимся только при р > (XXI).
Рядъ (12) принадлежитъ къ типу рядовъ
въ которыхъ предполагается, что ап стремится къ конечному пре-
дѣлу а при п безконечномъ. Такъ какъ
Ііт
Ііт —
««
X
а
то прямо видно, что при х < а рядъ сходящійся, а при х > а
расходящійся. Онъ будетъ расходящимся и при х = а, если числа
ип а
аі, аг, аз, ... постоянно возрастаютъ, потому что тогда -----= —
Ии—1 ап
всегда больше 1. Въ другихъ случаяхъ характеръ ряда при х — а
зависитъ отъ свойства данной послѣдовательности а\, аз, аз,..., а
прежде всего отъ значеній выраженія п(ап — а) при безпредѣль-
номъ возрастаніи п *).
§) Требуется изслѣдовать характеръ ряда
1!,ѵ 2!хг________________________________3!.Х-3__________________
х + (х + (2.x -|- а2) (х + ах) (2х + а2) (З.ѵ + а3)
*) См. правило Раабе.
въ томъ предположеніи, что существуетъ
чиселъ а», при безконечномъ п. Мы имѣемъ
ип
ПХ 11 п
—----> Ііт-----=
' + «я «в-1
конечный предѣлъ а
здѣсь
1.
Правило Раабе ведетъ затѣмъ къ изслѣдованію слѣдующаго предѣла
Отсюда вытекаетъ, что рядъ сходящійся при х а, расходящійся
при х > 0. При х = а тотъ или другой характеръ прежде всего
зависитъ отъ значеній выраженія (ап — а) 1о§ п при безпредѣльномъ
возрастаніи п.
Ь) Расходимость ряда
51П у + ЗІП у + «ІП у + 81П у + • • •
при всякомъ положительномъ и отрицательномъ а слѣдуетъ прямо
изъ того замѣчанія, что
а
ЗІП —
Ііт пи„ = «Ііт---= а
" а
п
Напротивъ того, рядъ
.а 1 . а , 1 . а , 1 . а
51ПТ + 2" 51П Т + 3"81П Т + Т 51П 4 + '
будетъ сходящимся при всякомъ а, потому что абсолютная величина
1
его общаго члена меньше произведенія -у на I а |.
і) Рядъ
(13) «іп а + 5Іп2а + зіпЗа + 8Іп4а + •••
не сходящійся, потому что общій членъ его не имѣетъ предѣломъ
нуль (предполагая, конечно, что а не краткое отъ л). Рядъ этотъ
неопредѣленный. Въ самомъ дѣлѣ, если умножимъ всѣ члены
суммы 5В на зіп у, то, припоминая соотношеніе
2 зіп ѵа зіп — = соз (2 ѵ - 1)-?- - соз (2 ѵ + 1) ,
получимъ
„ о . а а ,, а „ . «а . (и + 1)а
2 Зп зіп -у = соз у — соз (2„ н- 1) у = 2 зіп у-зш 2—у-2— •
Сумма
. па
5|п 2
5„ =--------------------------- зіп (и + 1) у >
. (X А
8ІПу
оставаясь конечною, ни къ какому предѣлу не приближается, а ко-
леблется безъ конца. Принимая еще во вниманіе, что
. ра
„ е 5ІП^~ • і ./ + 1 \
5П=---—81п(«а + -у-а)
51П 2
не возрастаетъ безпредѣльно, видимъ, что рядъ (13) принадлежитъ
къ числу рядовъ, о которыхъ шла рѣчь въ теоремѣ IV § 194.
Отсюда слѣдуетъ, что можно утверждать сходимость ряда
а, зіп а + а2 зіп 2 а + «з зіп 3 а + а4 зіп 4 а + • •
въ которомъ числа аі, аг, а3, ... могутъ быть какими угодно,
лишь бы они постоянно убывали и стремились къ нулю.
Такъ напр., рядъ
зіп а + | зіп 2 а + зіп 3 а + ( зіп4а +
сходящійся при всякомъ а.
І) Доказать сходимость ряда
х зіп2 а . х- зіп2 а зіп2 2 а
1 х СО82 а ' (1 х соз2 а) (1 + х соз2 2 а)
при 0 < х < 1. Здѣсь имѣемъ
ип х зіп2 п а
и„ , 1 + х соз2 п а
При безпредѣльнойь возрастаніи п, зіп'Ъга и соз2па постоянно
колеблются между 0 и 1, 1 потому разсматриваемое выраженіе ни
къ какому предѣлу не стремится. Тѣмъ не менѣе, сейчасъ же видно,
что всегда
а этого достаточно, чтобы установить сходимость ряда
к) Доказать, что рядъ «і, + Иг+«з + • • • съ положитель-
ными членами будетъ сходящимся, если возможно найти такое
положительное перемѣнное число ап, чтобы, начиная съ нѣкото-
раго значенія п, имѣло мѣсто неравенство
ип /, , 1 \
~ & ап 11 + .
"и-1-1 '
Дѣйствительно, изъ этого неравенства слѣдуетъ
Отсюда видно, что — постоянно убываетъ, оставаясь больше 0, и по-
ап
тому стремится къ конечному предѣлу. Этимъ доказана сходимость
ряда
/ С?
(для котораго = 2
«і
даннаго ряда *).
----—а тѣмъ самымъ а іопюп и сходимость
1) Дана произвольная послѣдовательность положительныхъ чи-
селъ аі, а2, «з, •••• Доказать сходимость ряда
1 + яі (1 4“ аі) (1 4- яг) (1 + «і) (1 + йо) (1 4"яз) "I”
Достаточно замѣтить, что
«и+1 \ «и+і/
чтобы видѣть, что сходимость даннаго ряда есть прямое слѣдствіе
доказанной въ предыдущемъ примѣрѣ теоремы. Впрочемъ, можно
также замѣтить, что
1 1
“и - (1 + Я1) (1 + а2) (1 + ап1) (1 + Я1) (1 + а2) (1 + а„) ’
откуда
5 = 1_______________________________1_____________
” (I + аі) (1 + аз) ''' (1 + ап)
Слѣдовательно, сумма Зп постоянно возрастаетъ вмѣстѣ съ п,
оставаясь меньше 1: поэтому она стремится къ нѣкоторому пре-
дѣлу 5 <! 1.
т) Данъ рядъ
яі о* а2 аа а? а4 о%
і) Этотъ признакъ сходимости данъ былъ Ф. Джюдиче (Оіибісе)
въ КепдісопО деі Сігсоіо таіетаіісо бі Раіегто (1890).
въ которомъ о„ обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ расходяща-
гося ряда съ положительными членами
а2
Тогда имѣемъ
1 »к __і °»+і °п
ип п ’ ^и-Г-1 » л ______ «
ап °п >'+1 ° п «+1 '*
и далѣе
Слѣдовательно (§ 211, Ь),если > 1, то рядъ сходящійся. Мы зна-
емъ уже (§ 203), что при р = 1 а іогііогі при р < 1 рядъ расхо-
дящійся. На этомъ основаніи читателю легко будетъ обобщить
теорему Жамэ (§ 215), а именно показать, что рядъ (съ положи-
тельными членами) «і + % + «з + • • • будетъ сходящійся,
если выраженіе
/1 _ \ 0
\ Г 108 св
въ концѣ концовъ остается больше нѣкотораго числа, ко-
торое само больше 1, и расходящійся, если это выраженіе
въ концѣ концовъ остается меньшимъ или равнымъ 1.
Впрочемъ, вмѣсто вышеуказаннаго выраженія можно разсмагривать
. . 1 .
отношеніе 1о§----къ 1о§ оп
апг1п
219. Вычисленіе натуральныхъ логариѳмовъ. Логариѳми-
ческій рядъ имѣетъ много весьма полезныхъ приложеній. Принимая
во вниманіе сказанное въ концѣ § 186, находимъ, что черезъ сло-
женіе формулъ (3) и (4) получается формула
, І-і-я „/ 1, 1. 1. \
!о81—= 2 л;+ з-^ + 1-^+т^+... ,
справедливая только для х, лежащаго въ интервалѣ ( — 1, -{- 1), за
исключеніемъ его границъ. Въ частности для х
1
н—, находимъ
2 П —1
(14) 108 (» + !) = Ю8„ + 2 (2-г + 3^2+1? + 5 (27,‘+ту + ''')
и можемъ, слѣдовательно, вычислить натуральный логариѳмъ
любого цѣлаго числа, если знаемъ натуральный логариѳмъ пред-
шествующаго цѣлаго числа. Такъ напримѣръ, при п = 1, находимъ
(15) 1о&2 з (1 +3.9+ 5.92+ 7.93 + •••)’
и, ограничиваясь восемью первыми членами, получимъ
1о§2 = 0,69314718 ..
при чемъ можно ручаться за вѣрность всѣхъ написанныхъ десятич-
ныхъ знаковъ, такъ какъ сдѣланная погрѣшность
2 / * 1 1 і 12 / 1 1 1 1
3 ' 17 - 9® ' 19 9« ' 21 • 910 " / 3- 17(9» + 9» + 91» ф ’ /
1 1 _ 1
~ 4 3 17 • 97 ~ 975725676 < 108 '
Чтобы получить такое же приближеніе съ помощью формулы (9)
§ 218-го намъ нужно было бы (§ 196, с) удержать въ ней болѣе
ста милліоновъ членовъ. Впрочемъ извѣстны различныя другія фор-
мулы 1), еще болѣе выгодныя, чѣмъ формула (14). Положивъ въ
2
основной формулѣ х = и замѣчая, что
п’л— Зп т 2 = (п 2) (я + I)2,
получимъ
(я + 2) (я - I)2 _ 4 42 4:!
°$ (н~ - 2) (я + 1У ” я3 - Зя + 3(я» - Зя)» + 5(я» - Зяр
откуда, ограничиваясь первымъ членомъ разложенія, получаемъ
формулу
4
1о§ (я + 2) = 2 1о§ (" + 1) - 2108 (я -- 1) + І08 (я - 2) + -3- .
Она даетъ 1о§(п + 2) съ двадцатью четырьмя десятичными зна-
ками, когда извѣстны логариѳмы и-|-1, » — 1 и п— 2, предполагая,
что число цифръ въ п больше 3. Дѣйствительно, погрѣшность про-
исходящая отъ пренебреженія всѣми членами разложенія, начиная
со второго, меньше
42 I , 4 42__, \______________16__________
3(я3 — Зя)3 \ (я3 - Зя)2 (я3 - Зя)4 / Зи(я2 — 4) (я2 — 3) (я2 — I)2’
т. е. (если п > 1000) меньше
220. Вычисленіе обыкновенныхъ логариѳмовъ. Извѣстно,
что логариѳмъ числа, взятый по какому нибудь основанію а, полу-
чается черезъ умноженіе натуральнаго логариѳма того же числа на нѣ-
4) Онѣ даны Лавернедомъ (Ьаѵегпёде) (МоиѵеІІез Аппаіез де Маій.
1. X. р. 72) и Секретаномъ (Зесгеіап) (Сотріез гепдиз де ГАс. дез зс. де
Рагіз 1. ХЫѴ. р. 12176) См. объ этомъ указанія Брокара (Вгосагд) въ
Іпіегтёдіаіге дез Маіѣ. (1. VII. р. 252).
которое число М, называемое модулемъ разсматриваемой системы.
По самому опредѣленію логариѳмовъ, имѣемъ п = е10»»1 = аъ°еп,
гдѣ взятъ по основанію а. Отсюда, взявъ логариѳмы сперва
по основанію а, а потомъ по основанію е находимъ,
п = ІО8 п. Ьо8 е, ѣо§ п 1о§ а = 1о§ п,
такъ что, полагая = М1о§п, имѣемъ М = Ьо§е = Для
вычисленія обыкновенныхъ логариѳмовъ (а = 10) надо прежде всего
вычислить модуль М = 1о^ По формулѣ (14) имѣемъ
108 5-1084 + 2(1 + ^ + ^ + ^.+
откуда, припоминая формулу (15), получаемъ
Іо810 2(1 + 3 $ I 5 9, I + 9 (1 + з 81- + 5.812 + •
Ограничиваясь немногими членами въ этихъ рядахъ, находимъ
І08 Ю = 2,302585092 ..., М = 0,434294481 ...
Послѣ этого, умножая обѣ части равенства (14) на Л/, получаемъ
формулу
Ьо8 (« + 1) = 108 « + 2 м (2я + і + З"(2я + Гр + 5(2» + I)5 + ’’
достаточно удобную для построенія таблицы обыкновенныхъ лога-
риѳмовъ. Желая, напримѣръ, имѣть логариѳмы чиселъ, меньшихъ
100000, достаточно вычислить логариѳмы чиселъ между ІО4 и ІО5,
и поэтому въ предыдущей формулѣ можемъ предположить п + 101.
Ограничиваясь даже однимъ первымъ членомъ разложенія, сдѣлаемъ
погрѣшность
2Л/(з(2и + 1)3 + 5(2» + I)5 + '') < 3 С.2» + І)3 + (2и + I)5 + ")
1 1 „ 1
~ 12и(„ + 1) (2« -Рі) < 24»з с Юіз’
Слѣдовательно, примѣняя формулу
2 71/
Ѣо8 (я + 1) = Ѣо8 « +
для вычисленія обыкновенныхъ логариѳмовъ, можно ручаться, что
получаемые результаты даютъ приближеніе, вѣрное до одной еди-
ницы 13-го десятичнаго разряда. Еще большаго приближенія можно
достигнуть, примѣняя другія формулы, упомянутыя въ предыдущемъ
параграфѣ.
221. Формула Стирлинга. Чтобы показать одно изъ инте-
реснѣйшихъ приложеній ряда (14), начнемъ съ того, что предста-
вимъ формулу (14) въ видѣ
(й + 21 ’°8 I1 + «)= 1 + ЗігД 1)2 + 5(2/?+ 1?’+ ''
Сумма ряда, написаннаго въ правой части, очевидно, меньше, чѣмъ
1 + 3 \(2я + 1)- + (2« + I)1 + / 1 + 12и(и + 1) '
Отсюда слѣдуетъ
!<(» +1)^(1 + )) <1+ ^,7+-)
или, переходя отъ логариѳмовъ къ числамъ,
Послѣ этого положимъ
(17)
и замѣтимъ, что
Неравенства (16) дадутъ
"„+1
т. е.
і і
12,1 < «»+і« 12(и+1}< • < ап+1 < ап.
1
Такимъ образомъ, мы видимъ, что числа апе 12 “ постоянно возра-
стаютъ вмѣстѣ съ п, оставаясь всегда меньше чиселъ ап, образу-
ющихъ съ своей стороны убывающую послѣдовательность. Поэтому
тѣ и другія стремятся къ нѣкоторымъ конечнымъ предѣламъ, по
необходимости равнымъ между собою. Если положимъ
і
Ііт ап = Ііт ап е ѵ~п = а,
И=Х> П — Х,
то для всякаго значенія п будемъ имѣть
1 __9_
апе 1ІП < а < ап> т- е- а = апе 12и
при нѣкоторомъ значеніи 0 между 0 и 1. Подставляя вмѣсто ап
пЦ-і п [ 6
его выраженіе (17), получаемъ п\=ап 2е 12и. Впослѣдствіи
увидимъ, что а = [/2 п *). Поэтому напишемъ теперь же
п _
1-2-3-4 ••• п = У^лп-пе 12п.
Это есть формула Стирлинга, дающая возможность вычислять п\
при большихъ значеніяхъ п съ большою точностью.
222. Биноміальный рядъ. Такъ называютъ рядъ
. , т т(т — 1) „ т(т - 1) (т — 2) „
1+Тх+—1?2 -------------->х*+-.
Впослѣдствіи будетъ доказано **), что въ тѣхъ случаяхъ, когда
рядъ этотъ сходящійся (за исключеніемъ значеній ж = Ои.г=- 1)
сумма его равна (1 4-х)™, такъ что въ частномъ случаѣ, когда т
цѣлое положительное число, мы снова находимъ извѣстное разло-
женіе (1 + х)т въ видѣ полинома, состоящаго изъ т 4- 1 членовъ
(биномъ Ньютона). Для какихъ же значеній т и х биноміаль-
ный рядъ будетъ сходящимся? Чтобы отвѣтить на этотъ во-
просъ, удобно будетъ представить этотъ рядъ въ видѣ
а0 — х <і.> .ѵ- — я3 хл ф- • ,
полагая
гдѣ и = 1- При возрастаніи п до безконечности коэффиціенты
дѣлаются въ концѣ концовъ числами одного и того же знака,
потому что
Отсюда слѣдуетъ, что абсолютная величина отношенія послѣдующаго
члена къ предыдущему имѣетъ предѣломъ абсолютную величину х.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее заключеніе (на основаніи сказаннаго
въ § 210, при х < 0, и въ § 190, при х > 0). Рядъ будетъ схо-
дящимся при । х | < 1 и не будетъ сходящимся при | х | > 1, каково
*) Это есть слѣдствіе такъ называемой формулы Валлис а (см. § 464, а).
**) См. § 332, е) и примѣчаніе XXII.
бы ни было значеніе т. Другими словами, интервалъ сходимости
биноміальнаго ряда есть (—1, +1)- Остается изслѣдовать характеръ
ряда на границахъ интервала. При х — — 1 рядъ обращается въ
а0 + аі + + • и, такъ какъ
.. [и , \ пи
Ііт п-------------1 = Ііт —— = и ,
и—со /I / - аП Д
то рядъ будетъ сходящимся при т > 0 (и при т = 0), расходящимся
при т <0. При х = 1 нашъ рядъ обращается въ а0 — аі + а-> — ая Н-
и члены его, начиная съ нѣкотораго мѣста, будутъ поперемѣнно по-
ложительные и отрицательные. Отсюда слѣдуетъ, что рядъ не будетъ
сходящимся, если, начиная съ нѣкотораго мѣста, ап>«и—і- А это
условіе выполняется при т — 1. Онъ будетъ, наоборотъ, схо-
дящимся, когда т^>— 1, потому что тогда не только ап<^а„ і,
при достаточно большомъ п, но и Ііт а„ = 0. Дѣйствительно, при
постоянномъ ѵт, имѣемъ
> 1 + <Нп -
далѣе, припоминая расходимость гармоническаго ряда, находимъ
Ііт аѵ ап = сю, и наконецъ Ііта„ = 0. Резюмируя можемъ сказать:
интервалъ сходимости биноміальнаго ряда есть (—1, 1),
при чемъ надо исключить обѣ границы, когда т не боль-
ше — 1, и только нижнюю, когда т 1, но <^0.
2'23. Вычисленіе корней изъ чиселъ. Биноміальный рядъ
можно примѣнить къ выводу болѣе или менѣе удобныхъ ариѳме-
тическихъ правилъ для извлеченія корней изъ чиселъ. Мы ограни-
чимся, напримѣръ, квадратными корнями. Положимъ, что дано цѣлое
число 7Ѵ и пусть а2 наибольшій квадратъ, не превышающій уѴ;
тогда, полагая 2Ѵ = а2 х, имѣемъ
]/А' =
/, Х\Ь , X х-
а 11 -р - «) “ = а -р -р
\ л2/ 2 л 8 я5
.V'
16 л5
Рядъ въ правой части весьма быстро сходится, если отношеніе ,
достаточно мало. Впрочемъ, ясно, что изъ а2 й А^<С (а + I)2 вы-
текаетъ
0 .ѵ 2 а -Р 1,
или
0 < Л < Ь1 < 1
а- а-
предполагая, что 7Ѵ больше 9. Послѣднее предположеніе всегда
можно сдѣлать, потому что при ;Ѵ<^ 9 достаточно его умножить
на полный квадратъ к2, извлечь корень изъ и раздѣлить ре-
зультатъ на к. Такъ какъ теперь члены ряда, начиная со второго,
поперемѣнно положительные и отрицательные, то, остановившись
на любомъ членѣ, можно быть увѣреннымъ, что погрѣшность по
абсолютной величинѣ не превыситъ слѣдующаго члена. Можно такжи
вычислять съ помощью послѣдовательныхъ приближеній, при-
нявъ за первое приближеніе число «і, получаемое при удержаніе
небольшого числа членовъ ряда, напримѣръ, первыхъ трехъ:
”'1 іа
Если бы ограничились первыми двумя, то пришли бы къ обыкно-
венному способу приближеннаго вычисленія корней, излагаемому въ
курсахъ начальной Алгебры. Полагая затѣмъ = вычисляемъ
V., .Ѵ,
Затѣмъ полагаемъ 7Ѵ = а~, + х-> и вычисляемъ а„ = а., + ^ - —5
22 3 2 I 2а, 8 4
и т. д. Числа аі, а2, а3, ... быстро приближаются къ рОѴ. Дѣй-
ствительно, относительная погрѣшность (XXIII), которую дѣлаемъ,
принимая аі за значеніе ]Л/Ѵ, меньше , когда < Ѳ- Съ
другой стороны,
.гх = х - (а- /Г) = -8—1 < 8я,, < -8 ,
поэтому погрѣшность при второмъ приближеніи меньше
хі Ѳа
16а® 213
и такимъ же образомъ находимъ, что при послѣдующихъ прибли-
627 081 0243
женіяхъ погрѣшности оудутъ меньше ^5, ’
Вліяніе перемѣны порядка членовъ на характеръ
ряда.
224. Опредѣленія. О двухъ данныхъ рядахъ мы будемъ
говорить, что они отличаются одинъ отъ другого только
порядкомъ членовъ, если каждый членъ, встрѣчающійся извѣст-
ное число разъ въ одномъ рядѣ, столько же разъ встрѣчается и
въ другомъ, и наоборотъ. При этомъ не обращается вниманія на
члены, обращающіеся въ нуль. Измѣнить порядокъ членовъ
ряда значить образовать изъ него новый, отличающійся отъ него
только порядкомъ членовъ. Въ этихъ опредѣленіяхъ заключается пред-
положеніе, что одинъ и тотъ же членъ ряда встрѣчается въ немъ лишь
конечное число разъ. Далѣе, чтобы нѣкоторое измѣненіе порядка
членовъ было вполнѣ опредѣлено, нужно однозначнымъ образомъ ука
зать то мѣсто п', на которое, по измѣненіи порядка, попадаетъ членъ,
занимавшій до него мѣсто п. Такимъ образомъ каждому конечному
значенію п соотвѣтствуетъ конечное значеніе п\ сказать, что ип
передвигается въ безконечность, не значитъ опредѣлить мѣсто, ко-
торое должно занять ип послѣ измѣненія порядка.
225. Само собою возникаетъ вопросъ: позволительно ли
мѣнять порядокъ членовъ ряда? Мы увидимъ, что это не
всегда позволительно, потому что измѣненіе порядка членовъ мо-
жетъ не только повліять на значеніе суммы ряда, въ случаѣ его
сходимости, но можетъ измѣнить и самый характеръ ряда. Мы
будемъ говорить, что рядъ абсолютно сходящійся или абсо-
лютно расходящійся, если онъ сохраняетъ свой характеръ при
любомъ порядкѣ членовъ. Мы докажемъ, что для такихъ рядовъ не
только характеръ, но и значеніе суммы остается безъ измѣненія.
Просто сходящимся (расходящимся) мы назовемъ не абсолютно
сходящійся (расходящійся) рядъ.
226. Мы ограничимся изученіемъ такихъ рядовъ, для кото-
рыхъ Ііт и„ = 0, потому что такіе ряды всегда допускаютъ измѣне-
ніе порядка членовъ, какъ мы его опредѣлили во § 224. Прежде
всего замѣтимъ что въ такихъ рядахъ никакой членъ не
можетъ встрѣтиться безконечное число разъ, потому что, назначивъ
какое нибудь число е между 0 и I а', всегда найдемъ такое число ѵ,
что при п > ѵ будемъ имѣть \пп' < е, и поэтому, члены, рав-
ные а, необходимо будутъ заключаться въ числѣ первыхъ ѵ чле-
новъ, значить, число ихъ ограничено. Кромѣ того, условіе, что
1ітии = 0, т. е. что общій членъ рядъ имѣетъ предѣломъ
нуль, сохранится при всякомъ измѣненіи порядка членовъ.
Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ черезъ ѵ' то мѣсто, на которое по-
падаетъ, послѣ измѣненія порядка членовъ, тотъ изъ членовъ
иі, М2,...,иѵ, который въ новомъ рядѣ станетъ правѣе всѣхъ
прочихъ названныхъ ѵ членовъ. Тогда въ числѣ первыхъ ѵ' чле-
новъ новаго ряда необходимо будутъ заключаться всѣ тѣ члены,
абсолютная величина которыхъ не меньше е (XXIV). Слѣдовательно,
каково бы ни было заданное число е > 0, всегда существуетъ
такое число ѵ', что при п > ѵ', I и„ | < е. Поэтому и при новомъ
порядкѣ ііт ип = 0.
X
227. Теорема I. Рядъ съ положительными членами мо-
жетъ быть только абсолютно сходящимся или абсолютно
расходящимся.
Положимъ, что данъ расходящійся рядъ и въ немъ произ-
ведено нѣкоторое измѣненіе порядка членовъ, пусть новый рядъ
будетъ Иі + «2 + Из + • • •. Если въ этомъ рядѣ возьмемъ чле-
новъ, въ числѣ которыхъ находятся всѣ члены суммы 5И, то
3'Я'^3П, и такъ какъ, по условію, Зп возрастаетъ безпредѣльно
вмѣстѣ съ п, то тоже самое будетъ и съ З'п', потому что п' ( > п)
возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ съ п. Слѣдовательно, рядъ оста-
ется расходящимся и послѣ преобразованія. Если далѣе рядъ былъ
сходящійся, то возьмемъ въ немъ сумму п первыхъ членовъ 5»,
выбравъ п достаточно большимъ, чтобы въ ней заключались
всѣ п членовъ суммы 3'^. Тогда 3'п’^3п, и такъ какъ, по усло-
вію, .5,, стремится къ конечному предѣлу 5, когда п', а слѣдова-
тельно, и п безпредѣльно возрастаютъ, то то же самое можно ска-
зать и объ З'п', которая постоянно возрастаетъ при возрастаніи п'.
Слѣдовательно, рядъ остается сходящимся.
228. Въ послѣднемъ случаѣ, кромѣ того, всегда 3'^3. Если же,
наоборотъ, во второмъ рядѣ возьмемъ гі членовъ, въ числѣ кото-
рыхъ заключаются всѣ п членовъ суммы .5',,, то 8'п'^Зп- Вмѣстѣ
съ тѣмъ, такъ какъ существованіе 3' уже доказано, одновременно
будемъ имѣть 3’ 5. Слѣдовательно, 3' = 3. Мы видимъ та-
кимъ образомъ, что измѣненіе порядка членовъ сходяща-
гося ряда съ положительными членами не только не нару-
шаетъ сходимости ряда, но не мѣняетъ и его суммы.
229. Теорема II. (Теорема Римана.)1) Данъ рядъ, члены,
котораго стремятся къ предѣлу, равному нулю; пусть
а1 + а‘і + я3 “1“ ' ’ ' > + ^2 + ^3 + " '
будутъ ряды, состоящіе изъ положительныхъ и изъ абсо-
лютныхъ величинъ отрицательныхъ членовъ даннаго ряда,,
расположенныхъ въ томъ самомъ порядкѣ, въ какомъ они
были расположены въ данномъ рядѣ. Если ряды (а) и (Ь)
сходящіеся, то данный рядъ абсолютно сходящійся. Если
изъ этихъ двухъ рядовъ только одинъ сходящійся, то
данный рядъ абсолютно расходящійся, если оба преды-
дущіе ряда расходящіеся, то характеръ даннаго ряда
зависитъ отъ порядка членовъ, такъ какъ приличнымъ
измѣненіемъ этого порядка можно сдѣлать рядъ сходя-
щимся, расходящимся или неопредѣленнымъ, и въ случаѣ
сходимости даннаго ряда достигнуть того, что сумма его
можетъ принять любое значеніе.
а) Разсматривая п первыхъ членовъ даннаго ряда, положимъ,
что между ними а положительныхъ и /9 отрицательныхъ. Тогда,
обозначая черезъ Ап и Вп суммы п первыхъ членовъ рядовъ
(а) и (/>), будетъ имѣть
(18) 5Й = Л-53.
і) Эта теорема дана Риманомъ въ 1834 г.; см. В. Ніетаппз. Оехат-
теііе 1Ѵегке“ стр. 221.
Замѣтимъ, что числа а и /? возрастаютъ безпредѣльно вмѣстѣ съ п,
иначе всѣ члены даннаго ряда, начиная съ нѣкотораго мѣста, были
бы числами одного знака. Если оба ряда (а) и (6) сходящіеся,
то 8п стремится къ предѣлу 5 = А — В, слѣдовательно, данный
рядъ сходящійся. Онъ, кромѣ того, абсолютно сходящійся, по-
тому что въ § 227 было показано, что какъ въ (а), такъ и въ (6)
можно переставлять, члены какъ угодно, не нарушая ихъ сходимости,
а слѣдовательно, и сходимости даннаго ряда.
Ь) Если одинъ изъ рядовъ (а) и (Ь) сходящійся, а другой
расходящійся, то Зп возрастаетъ безпредѣльно по абсолютной ве-
личинѣ. Слѣдовательно, данный рядъ расходящійся и притомъ, на
основаніи сказаннаго въ § 227, абсолютно.
с) Положимъ теперь, что ряды (а) и (/>) оба расходящіеся.
Равенство (18) теперь ничего не даетъ, потому что Аа и В; воз-
растаютъ безпредѣльно, при чемъ ничего нельзя утверждать о томъ,
какимъ образомъ измѣняется при этомъ ихъ разность. Необходимо
прибѣгнуть къ новымъ средствамъ. Покажемъ сперва, что члены
даннаго ряда можно расположить такъ, что рядъ будетъ сходящимся
и имѣть сумму, равную любому напередъ заданному числу о. Возь-
мемъ какъ разъ столько членовъ ряда (а), сколько нужно, чтобы
ПОЛУЧИТЬ Сумму, большую О, Т. е. ЧТОбы аі+«2 •• + <+> <?,
Й1+ а2+ • • • а,,,О, или
+< > Ѵ-і й п
Это всегда возможно, потому что рядъ (<?) по условію расходя-
щійся. Точно также расходимость ряда (Ь) позволяетъ отнять отъ
какъ разъ столько членовъ этого ряда, сколько нужно, чтобы
получилась сумма, не большая о, такъ что
или
а1 + а2 + • ~ Ь .....“ + = 0 •
а1 + я2 + ' ' + ац “ ^1 ““ ^2 — ~ +-1 > 0
° ’ ‘5Д-В’ -і > 0
Аналогичнымъ образомъ прибавляемъ опять ц' членовъ ряда (а) и
отнимаемъ ѵ' членовъ ряда (/>) и продолжаемъ такое образованіе
суммъ, выполняющихъ возможно малыя колебанія около даннаго
числа о. Полученныя выше неравенства и слѣдующія за ними:
++1474'—1 = 01
5 «Н' И«'+»'—1 > °>
могутъ быть написаны слѣдующимъ образомъ:
Они показываютъ, что когда число п получаетъ послѣдовательно
значенія
(19) ц, і< + ѵ, /і + і’ + /V, /і + р 4- /V -|- ѵ', /і + ѵ + ѵ' + іл", ....
то разности между Зп и б, по абсолютной величинѣ, не превосхо-
дятъ членовъ ряда
имѣющихъ, по условію, предѣломъ нуль. Итакъ,
Ііт = а,
когда п проходитъ послѣдовательность значеній (19). Если значе-
ніе п не принадлежитъ къ этой послѣдовательности, то оно заклю-
чается между двумя ея числами і и у, и мы будемъ имѣть
3і < Зп < 3і ойег 5. > Зп > 8.,
смотря по тому, занимаетъ ли і четное или нечетное мѣсто въ по-
слѣдовательности (19). Итакъ, Зп всегда заключается между двумя
числами, стремящимися къ предѣлу о, и равенство (20) справед-
ливо безъ всякихъ ограниченій. Наконецъ, чтобы доказать, что
данный рядъ можно сдѣлать расходящимися или неопредѣ-
леннымъ достаточно повторить предыдущія разсужденія. Замѣняя
постоянное число б перемѣннымъ, возрастающимъ безпредѣльно
съ п или не стремящимся ни къ какому предѣлу.
230. Теорема III. (Теорема Дирихле.) Для абсолютной
сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы рядъ аб-
солютныхъ величинъ его членовъ былъ сходящимся 1).
Сумма первыхъ п членовъ ряда абсолютныхъ величинъ чле-
новъ даннаго ряда равна Аа-\-В$. Этотъ рядъ будетъ, слѣдо-
вательно, расходящимся, если хотя одинъ изъ рядовъ (а) или (6)
расходящійся, и сходящимся только въ случаѣ одновременной
сходимости обоихъ рядовъ (а) и (й). На основаніи предыду-
щей теоремы эта одновременная сходимость имѣетъ мѣсто
!) Эта важная теорема, какъ указано, принадлежитъ Ьеіеипе-Вігі-
сЫеі (СгеІІёз Іоигпаі 1829). (XXV).
тогда и только тогда, когда данный рядъ абсолютно схо-
дящійся.
231. Теорема IV, Сумма абсолютно сходящагося ряда
не мѣняется ни при какомъ измѣненіи порядка его чле-
новъ.
Мы видѣли, что въ случаѣ абсолютной сходимости даннаго
ряда, ряды (а) и (Ь~) сходящіеся. Сумма п первыхъ членовъ Аа —В>
обращается при измѣненіи порядка членовъ въ А'а' — В’у. Но
сходящійся рядъ (а) имѣетъ всѣ члены положительные, а мы
уже доказали (§ 228), что сумма такого ряда не зависитъ отъ по-
рядка членовъ, такъ что при безпредѣльномъ возрастаніи а или а'
числа Аа и А'а> стремятся къ одному и тому же предѣлу А.
То же самое относится и къ числамъ Д? и В'^, стремящихся къ
предѣлу В. Слѣдовательно, сумма даннаго ряда всегда равна А—В.
232. Теорема V. Если члены просто сходящагося ряда
по абсолютной величинѣ постоянно убываютъ, то отно-
шеніе числа положительныхъ членовъ, содержащихся въ
числѣ первыхъ п членовъ ряда, къ числу отрицательныхъ,
содержащихся тамъ же, при безпредѣльномъ возрастаніи п,
не можетъ стремиться къ предѣлу, отличному отъ еди-
ницы ').
Полагая ап = 1 или ап— — 1, смотря по тому, будетъ ли общій
членъ ряда, абсолютную величину котораго обозначимъ черезъ ип.
положительнымъ или отрицательнымъ, мы можемъ написать данный
рядъ въ видѣ
<7] -|- я2 г/2 + Я3и3 -}- • •
На основаніи теоремы Дирихле (III), рядъ абсолютныхъ величинъ
«і + «а + из + будетъ расходящимся. Кромѣ того, члены ряда,
убывая по абсолютной величинѣ, стремятся къ нулю, слѣдова-
тельно, (см. § 145)
1ІШ а1 + Я2 + • ' ' + = ]іт а1 И1 + д2 к2 + • • • + «я г1 _ у
” «1 + «2 + ' '' + »>,
предполагая, что первый предѣлъ существуетъ. Замѣтимъ теперь,
что «і-|-а2+ +«,>, очевидно, изображаетъ собою избытокъ числа
положительныхъ членовъ надъ числомъ отрицательныхъ, содержа-
щихся въ числѣ первыхъ п членовъ ряда * *). Предѣлъ отношенія
х) См. въ Виііеііп дез зсіепсез таШ. еі азітопот. (1888) остроумное
доказательство этой теоремы, принадлежащее Г. Вагнера (О. Ва^пега).
*) Такъ что число положительныхъ членовъ равно *Я1 ~ + а’^’
+ Ло —Ч * Ч~ г?.,)
.а число отрицательныхъ равно — — ---------------!— •
перваго числа ко второму будетъ
Ііт « + («і + «2 + ••• + я„)
П (Я1 + ^2 4“ ' +
1 + («1 + «2 + + ««)
,, н
= 1іт------]------------------------= 1,
1 ~ п + а- + ’' ’ а"-
какъ и утверждаетъ теорема. Ее можно формулировать такъ:
положительныя числа встрѣчаются такъ же часто, какъ
и отрицательныя.
233. Упражненія, а) Рядъ
14-1 4+4+4-4+1+і - 4 +
можетъ быть развѣ только просто сходящимся, потому что рядъ-
абсолютныхъ величинъ расходящійся. Но замѣчая, что абсолютныя
величины членовъ постоянно убываютъ, а положительные члены
встрѣчаются чаще отрицательныхъ, можемъ утверждать, на осно-
ваніи предыдущей теоремы, что рядъ не можетъ быть сходящимся.
Дѣйствительно, съ помощью формулы (1) (§ 183 и слѣд.) видимъ,
что сумма п первыхъ членовъ Зп возрастаетъ безпредѣльно, какъ
-І1о§и (XXVI).
Ь) Рядъ 1---- + ~----+ очевидно неопредѣленный при
V’ 3;' +
р < 0, потому что его члены суть числа поперемѣнно положитель-
ныя и отрицательныя, и не стремящіеся къ нулю. Напротивъ при
р > 0 рядъ будетъ сходящимся, потому что абсолютныя величины
его членовъ постоянно убываютъ и стремятся къ нулю. Съ другой
стороны, мы знаемъ, что при^^>1, рядъ абсолютныхъ величинъ-
членовъ даннаго ряда сходящійся (§ 212, а). Слѣдовательно,
данный рядъ
абсолютно сходящійся при /»>1,
просто сходящійся „ 0<^р^1,
неопредѣленный „ р 0.
с) Въ частности просто сходящимся будетъ рядъ
1 - 4+4-44 .
поэтому на основаніи теоремы Римана возможно расположить
члены ряда въ такомъ порядкѣ, чтобы сумма ряда равнялась про-
извольно выбранному числу о. Мы покажемъ, что этого можна
достигнуть, располагая члены ряда такимъ образомъ, чтобы вѣро-
ятность найти въ новомъ рядѣ положительный членъ была равна
предполагая, что при этомъ мы не мѣняемъ той послѣдователь-
ности, въ которой расположены члены одинаковыхъ знаковъ въ
данномъ рядѣ. Дѣйствительно, если въ числѣ н первыхъ членовъ
даннаго ряда будетъ а положительныхъ и отрицательныхъ, и по-
ложимъ
Ііт — =<о, а слѣдовательно Ііт - = 1 - <а *) **),
п п
то можемъ написать
8,1 = 0 + 3 + 5 + " + Та'-'1) - (2 + 4 + 6 + " 2д)’
и, на основаніи формулы (1) (§ 183)
Зп = НЧа 4 н<г = 1о8 2 « - V 1о§ а ,8 + р2а - (оа + .
откуда, при безконечномъ п,
5=^108^ = 108(2/^).
Приравнивъ это выраженіе числу б и вычисливъ отсюда а>, мы и по-
лучимъ выраженіе (21). Если желаемъ, напримѣръ, чтобы сумма
даннаго ряда осталась безъ измѣненія, т. е., чтобы б = Іо§2, должны
взять іі) = Т Слѣдовательно, необходимо, чтобы положитель-
ные и отрицательные члены встрѣчались одинаково часто.
Напримѣръ,
1 + і-1-і + ), + У-4-і+А + =іо§2-
Точно также, если желаемъ, чтобы сумма была равна нулю, поло-
жимъ въ (21) о = 0, откуда а> = А (т. е. на 5 членовъ въ п
членахъ должно быть 4 отрицательныхъ и 1 положительный).
Напримѣръ,
і - 1-і- і - і + 1 - Л-А -А-л Ѵ+і- = 0.
б) Разсмотримъ снова биноміальный рядъ съ цѣлью узнать,
въ какихъ случаяхъ онъ будетъ абсолютно сходящимся. Мы видѣли,
*) Вѣроятность эта равна предѣлу отношенія числа положительныхъ
членовъ, содержащихся въ п членахъ ряда, которое обозначимъ черезъ а,
къ числу п, при безпредѣльномъ возрастаніи и.
**) Потому что вѣроятность встрѣтить отрицательный членъ, какъ со-
бытіе противоположное первому, въ суммѣ съ вѣроятностью перваго должна
дать достовѣрность, т. е. вѣроятность, равную 1.
что при х отрицательномъ всѣ члены ряда, начиная съ нѣкотораго
мѣста, будутъ числами одного и того же знака (§ 222) и поэтому
(§ 227) рядъ будетъ абсолютно сходящимся въ интервалѣ (—1, 0),
не исключая верхней границы. Отсюда, на основаніи теоремы Ди-
рихле, заключаемъ, что сходимость будетъ абсолютною и въ интер-
валѣ (0, 1), за исключеніемъ верхней границы. Простая сходимость
можетъ, слѣдовательно, имѣть мѣсто только при х = 1, и дѣйстви-
тельно имѣетъ мѣсто для тѣхъ значеній т. для которыхъ рядъ не
будетъ сходящимся при х = — 1. Припоминая, что при х = — 1
рядъ будетъ сходящимся только при и > 0, а при х = 1 онъ схо-
дится при т —1, приходимъ къ заключенію, что биноміаль-
ный рядъ будетъ просто сходящимся лишь при х = 1 и при
значеніяхъ т между - 1 и 0, за исключеніемъ границъ.
е) Полагая, напримѣръ, въ биноміальномъ рядѣ х = 1, полу-
чаемъ формулу
9,и - 1 > 2” _і_ ~ 11 д_ "г('" ~ О ~ 2) ।
1 + ' 1 • 2 • 1-2-3 -!--
справедливую лишь при т^>\. При этомъ важно знать, что при
отрицательномъ т порядка членовъ мѣнять нельзя. Пола-
гая далѣе т = при произвольномъ х, получаемъ формулу
7— , ! 1 1 9 1 13 9 1-3-5 , .
/1 + л; 1 + 2Л 2-'4 Х" + 2- 4 • 6 Х" 2-4-б'-8Х
справедливую независимо отъ порядка членовъ при всякомъ х,
абсолютная величина котораго не превышаетъ 1, т. е. при 1.
При т = — 4 получаемъ другую важную формулу
і'і + ,ѵ 2
1-3
2-4
1-3-5
2-4-6
1-3-5-7
2-4-6-в
справедливую при всякомъ х, котораго абсолютная величина меньше
1 (|х| < 1). Она остается справедливою и при х = 1, но въ этомъ
случаѣ порядка членовъ мѣнять нельзя.
Дѣйствія надъ рядами.
234. Опредѣленія. Сложить два данныхъ ряда съ общими
членами и„ и ѵп значитъ составить новый рядъ, общій членъ кото-
раго равенъ
перемножить эти ряды значитъ составить новый рядъ, общій
членъ котораго равенъ
= "1 Ѵп + г’К-1 + И3 г'М-2 Н-Ь “п Ѵ1
Первый изъ составленныхъ рядовъ называется суммою, второй —
произведеніемъ данныхъ рядовъ.
235. Теорема I. Сложеніе двухъ сходящихся рядовъ
даетъ новый сходящійся рядъ, сумма котораго получается
черезъ сложеніе суммъ данныхъ рядовъ.
Если 13п и Ѵп обозначаютъ суммы п первыхъ членовъ дан-
ныхъ рядовъ, то аналогичная имъ сумма для ряда, полученнаго
сложеніемъ ихъ, будетъ
+ «4 + + • + гѵ п
= (гіу + 4- • + Пи) + (^1 + 24 + • • + Ѵп} = Ѵп+ Vп.
Слѣдовательно, ІѴп при п безконечномъ стремится къ предѣлу
\Ѵ = П + VЗамѣтимъ, что эта теорема, очевидно, справедлива
при всякомъ конечномъ числѣ слагаемыхъ рядовъ. Съ другой
стороны ниже мы увидимъ, что она вовсе не всегда справедлива,
если имѣемъ дѣло съ безконечнымъ числомъ рядовъ.
236. Теорема II. (Теорема Абеля.) Если черезъ умно-
женіе двухъ сходящихся рядовъ получается также сходя-
щійся рядъ, то его сумма равна произведенію суммъ дан-
ныхъ рядовъ.
Складывая п первыхъ членовъ ряда, полученнаго отъ умно-
женія данныхъ рядовъ, г. е. чиселъ
гу, = « ; і<|, гі'2 = «[ ѵ., + и., ѵг, ги8 = и, <л3 + и., ѵ., + и3 г»,, . ..
получимъ
(22) ІѴп и. + и., г + ил V, 2 + • • + V.
далѣе, сложивъ IV, ІѴ>, ., ІѴп и раздѣливъ сумму на п, на-
ходимъ
(23) 1 (^ + ГГ3 + • • - + и;) = У (V + V ѵп__л + • + ип V).
Такъ какъ, по условію, всѣ три ряда сходящіеся, то существуютъ
предѣлы (7, К, IV чиселъ (7И, V, IV,, при безконечномъ п.
Поэтому существуютъ (§§ 142, а; 144) и предѣлы обѣихъ частей
равенства (23), а именно IV и 13 V. Слѣдовательно, IV — 13 V.
237. Примѣчанія, а) Умноженіе двухъ сходящихся рядовъ
можетъ дать рядъ неопредѣленный. Расходящійся рядъ не можетъ
быть полученъ этимъ путемъ никогда, потому что иначе лѣвая
часть равенства (23), при безпредѣльномъ возрастаніи IVп, также
возрастала бы безпредѣльно, вмѣсто того, чтобы приближаться къ
предѣлу 13 V. Чтобы показать далѣе, что произведеніе дѣйстви-
тельно можетъ быть неопредѣленнымъ, перемножимъ ряды
(241 - 1 -к - - 1 4- 1_____________1_____
> 2 3 4 ’ 1о§ 2 іо§ 3 1о§ 4 1о§ 5 + ’
оба сходящіеся (§ 195). Общій членъ произведенія не стремится
къ нулю, потому что его абсолютная величина
1 . 1___.______1______._____і______ Нп__________
1о§ (и + 1) 2 1о§ п ' 3 1о§ (и — 1) ' ' п 1о§ 2 > 1о§ (п + 1)
и въ концѣ концовъ превзойдетъ всякое число, меньшее 1 *). Слѣ-
довательно, произведеніе данныхъ рядовъ, рядъ несходящійся. Надо,
однако, замѣтить, что данные ряды оба просто сходящіеся. Теорема
слѣдующаго параграфа покажетъ, что только въ этомъ случаѣ и мо-
жетъ получиться не сходящееся произведеніе.
Ь) Въ частности можетъ случиться, что, возводя просто схо-
дящійся рядъ въ квадратъ, получимъ не сходящійся рядъ. Возвы-
симъ, напримѣръ, въ квадратъ рядъ
1 . 1 ,г 1 1 + !_________________
Г 2 ]/3 V 4 1Л5
тогда получимъ рядъ, въ которомъ абсолютная величина общаго
члена
] 1 • » ]/2 (іі — 1) ],Л3(и — 2) + ”1” ] и 1
не стремится къ нулю при безконечномъ п. Дѣйствительно,
_ ,, + 1) = 1. + 1)2 _ („ + і ~ 2ѵЯ 5 I (и + 1),
и выше написанная сумма состоитъ изъ п дробей, изъ которыхъ
2
каждая не меньше —;
/г —1
слѣдовательно, въ концѣ концовъ она
превзойдетъ всякое число, меньшее 2.
с) Можетъ случиться и обратное, т. е. что квадратъ просто
сходящагося ряда будетъ тоже сходящійся рядъ. Если, напримѣръ,
возвысимъ въ квадратъ рядъ 1— Ц-^ — !+ , то получимъ
рядъ съ членами поперемѣнно положительными и отрицательными *-),
но абсолютная величина общаго члена
1 , 1 , 1 । , 1
1-ит2(я - 1)г3(я-2)т ТЯ’1 п + 1
постоянно убываетъ и стремится
къ нулю, такъ какъ
-Н
іі ‘
11 + І Ип
IГ н«
п [п 4- 1
т г Г 1 1
Іакъ какъ ііт т—т—ѵ —
п=» ІЛй («4-1)1
(форм. 1) § 183).
**) Какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ.
Припоминая теперь, что сумма даннаго ряда равна 1о§2, на осно-
ваніи теоремы Абеля будемъ имѣть
Ѵ4 - ІН2 + IНя - ±Я4 + • • • = 1 (108 2)2-
238. Теорема III. Отъ умноженія двухъ сходящихся
рядовъ, изъ которыхъ по крайней мѣрѣ одинъ абсолютно
сходящійся, получается сходящійся рядъ х). Равенство (22)
можно представить въ видѣ
1Ѵп = "і(г- Р») + Р„_і) Ч-+ - Рі) = бти V - пп,
если обозначить черезъ ок остатокъ въ рядѣ (п) и положить
= «1 РВ + и‘1 + «3 РЯ- 2 Ч---------------Ь «я 91 •
Если было бы доказано, что при п безконечномъ о„ стремится къ
нулю, то сейчасъ можно было бы написать
IV = Ііт ІѴп = Гііт Сп = V V.
Все дѣло сводится поэтому къ доказательству, что о„ стремится
къ 0. Предположимъ, что рядъ (и) абсолютно сходящійся, а рядъ (г)
просто сходящійся. Разложимъ число п на два слагаемыхъ ѵ и п - ѵ,
оба безпредѣльно возрастающія вмѣстѣ съ п. Пусть у и д' обозна-
чаютъ соотвѣтственно наибольшія изъ абсолютныхъ величинъ чиселъ
91. 92, Рз- 9„_ѵ и Ри_„+і- Р«-„4-2......Рл-
Такъ какъ рядъ (ѵ) сходящійся, то число о остается конечнымъ,
когда п безпредѣльно возрастаетъ. Кромѣ того, <>' стремится къ
нулю, когда п — ѵ вмѣстѣ съ п безпредѣльно возрастаетъ и всѣ
числа ѵ^і, р„_„_|_2, ... стремятся къ нулю. Замѣтивъ эго, мо-
жемъ написать
ап = (“1 рм Ч- «2 9И-1 Ч- • • ч- »ѵ 9«—1,+1) ч- (“ѵ-1-і 9В ч- • -Г и„ 91) .
и тотчасъ видимъ, что абсолютная величина ом не больше чѣмъ
{>' (г/і + 112 Ч~ • Ч" 11ѵ) Ч" 9 (г/„4-і Ч" и>4-2 Ч- • ' Ч- «„)
^р'^'+рСС' -Г,',),
!) Эта теорема была впервые высказана и доказана Коши въ его
„Соиге б’АпаІузе* р. 147, но только для случая, когда оба умножаемые
ряда абсолютно сходящіеся. Затѣмъ Мертенсъ (Мегіепз, Сгеііе’з Іоигп.
В. 79 р. 182) доказалъ, что она справедлива, когда лишь одинъ пзъ нихъ
абсолютно сходящійся. Приводимое здѣсь доказательство принадлежитъ
Іенсену (Іепзеп, Моиѵ. Согг. таіН. 1879 р 430).
гдѣ и'і, 11'2, ..., абсолютныя величины чиселъ г/і, и?, ... Такъ какъ
рядъ (и) абсолютно сходящійся, то и рядъ (и7) сходящійся. Отсюда
слѣдуетъ, что при безпредѣльномъ возрастаніи п, 1]'ѵ стремится къ
конечному предѣлу, а р7 Ѵѵ къ нулю. Также и І1'п - - Сѵ стремится
къ нулю, а съ нимъ и произведеніе его на о. Итакъ, Ііт оп = 0.
239. Теорема IV. Ряды, получаемые отъ сложенія или
умноженія двухъ абсолютно сходящихся рядовъ, будутъ
также абсолютно сходящіеся.
Если ряды
щ + + 11'і + . г'і + ѵ2 4~ г'з 4-
абсолютно сходящіеся, то, на основаніи теоремы Дирихле, будутъ
сходящимися и ряды
4* и2 4- "з + ’ ’ ’> г'і Т 4~ • •-
составленные изъ абсолютныхъ величинъ членовъ данныхъ рядовъ.
Вмѣстѣ съ тѣмъ будутъ сходящимися, на основаніи теоремы I и III,
ряды, опредѣляемые общими членами
“и4- ѵн + «2ѵи_і + д
Обозначая черезъ абсолютную величину общаго члена въ суммѣ
или произведеніи данныхъ рядовъ, найдемъ, что въ случаѣ сложенія
гѵ'п и’п + ѵ'п, а въ случаѣ умноженія тѵп и'іѵ'п-\- игѵ'п—14 Ь «пй*)-
Слѣдовательно, въ обоихъ случаяхъ рядъ (о/) будетъ сходящимся,
потому что его члены положительны и меньше соотвѣтствующихъ
членовъ сходящихся рядовъ. Итакъ, рядъ (щ) абсолютно сходящійся.
Двойные ряды.
240. Опредѣленія. Сложеніе безконечнаго числа рядовъ при-
водить къ разсмотрѣнію двойныхъ рядовъ:
(25)
яп 4" яі2 4- 4~ 4~ •
4“ Л21 4“ ^22 4“ ^23 4“ ^24 4~ ‘ '
+ язі 4~ Лз2 4~ а?я 4” Лз4 + • •
*) Потому что абсолютная величина суммы не превосходитъ суммы
абсолютныхъ величинъ слагаемыхъ.
Пусть Зтп обозначаетъ сумму членовъ, заключающихся въ прямо-
угольникѣ, содержащемъ т первыхъ строкъ и п первыхъ столб-
цовъ, т. е. пусть
= "11 + "12 + "13 + ’ ' ' + "іи
+ "21 4“ "22 + "23 + ' ' ' + а2п
+ "»и1 + ат2 + "игЗ + ’ ’ ’ + атп
Рядъ называется сходящимся, если Зтп при безпредѣльномъ воз-
растаніи т и п стремится къ конечному предѣлу 5, независящему
отъ закона возрастанія чиселъ т и п. Если, наоборотъ, Зтп воз-
растаетъ безпредѣльно, то рядъ называется расходящимся. Во
всѣхъ другихъ случаяхъ онъ будетъ неопредѣленнымъ.
241. Двойные ряды можно суммировать по строкамъ, т. е.
вычислить суммы и^, и2, Из, ••• строкъ въ схемѣ (25) и изъ нихъ
образовать рядъ Иі + + Из + • •• Можно ихъ суммировать и по
столбцамъ, т. е. вычислить суммы столбцовъ &!, Уг, %,••• въ
схемѣ (25) и изъ нихъ образовать рядъ Ѵ1 + Ѵ2 +- Ѵ-з + • • •. Если
двойной рядъ сходящійся или расходящійся, то оба полученные
такимъ образомъ ряда будутъ соотвѣтственно сходящимися или
расходящимися, и въ случаѣ сходимости суммы I] и V этихъ рядовъ
совпадаютъ съ суммою 5 двойного ряда. Замѣтимъ, что суммиро-
ваніе двойного ряда по строкамъ состоитъ въ томъ, что въ суммѣ
Зтп сперва увеличиваютъ безпредѣльно п, не мѣняя при этомъ т,
а потомъ въ полученномъ предѣлѣ при п безконечномъ увеличи-
ваютъ безпредѣльно т. При суммированіи по столбцамъ, наоборотъ,
сперва возрастаетъ безпредѣльно т при постоянномъ п, а потомъ
въ полученномъ предѣлѣ возрастаетъ безпредѣльно п. Иными сло-
вами, два способа суммированія даютъ для 5 нижеслѣдующія вы-
раженія :
5 = Иш (Ііт 5 \, 5 = Ііт (Ііт 8тп
т~ъ \п~х> I п—Ті
Чтобы можно было назвать данный двойной рядъ сходящимся,
необходимо, чтобы всякій другой способъ сложенія давалъ ту же
сумму. Такъ, напримѣръ, мы должны имѣть 5 = Ііт Зт-
242. Правило сложенія рядовъ привело бы къ приравниванію
суммъ I] и V между собою, если онѣ существуютъ. Но легко
видѣть, что суммированіе по столбцамъ можетъ дать результатъ
отличный отъ того, который получается при суммированіи по стро-
камъ. Ясно, кромѣ того, что равенство получаемыхъ такимъ обра-
зомъ результатовъ еще не достаточно для того, чтобы утверждать
сходимость двойного ряда, потому что другіе способы увеличивать
1 т т п
т] ’ т + п (т-\- п\-
безпредѣльно т и п могли бы давать другіе результаты, и даже
расходящіеся или неопредѣленные ряды. Чтобы привести примѣры
двойныхъ рядовъ, представляющихъ различныя выше упомянутыя
особенности, достаточно выбирать различныя формы Зтп, такъ какъ
каждой изъ этихъ формъ соотвѣтствуетъ двойной рядъ, опредѣ-
ляемый общимъ членомъ
атп ^тп ~ -1,») 1,»—1’
при чемъ тѣ изъ которыхъ хотя одинъ изъ указателей равенъ
нулю, считаются нулями (XXVII).
243. Такъ, чтобы получить примѣры неопредѣленныхъ рядовъ, можно
давать Зтп значенія
тп(т - іі)
{т 4- «)3
Первый рядъ при суммированіи по строкамъ, очевидно, расходящійся, между
тѣмъ какъ при суммированіи по столбцамъ, онъ сходящійся и сумма его
равна 1. При т = п, сумма его равна е, а при другихъ законахъ безпре-
дѣльнаго возрастанія т и п можно получить для 3 любое значеніе, большее
единицы. При тѣхъ же обстоятельствахъ второй рядъ оказывается схо-
дящимся и сумма его будетъ соотѣтственно равна 0, 1, |, а при другихъ
прилично выбранныхъ законахъ возрастанія т и п сумма ряда можетъ
получить любое положительное значеніе, не большее 1 *). Третій рядъ при
сложеніи по строкамъ и по столбцамъ даетъ 3 = 0, а при т — п 3 = |.
Наконецъ, четвертый рядъ, дающій 5=0 при всѣхъ трехъ упомянутыхъ
способахъ сложенія, при другихъ можетъ дать сумму, равную любому числу,
квадратъ котораго не больше (ХХѴІП). Ниже мы приводимъ еще очень
простой примѣръ неопредѣленнаго ряда
0 + 1+0 + 0 + 0+
-1 + 0+1+0 + 0+ -- -
+ 0 -1 + 0+1 + 0+ -- -
+ 0 + 0 - 1 + 0 +!+•••
При сложеніи по строкамъ получаемъ 1, по столбцамъ — 1. Вообще, пре-
дѣлъ Зтп равенъ 1, 0 или — 1, смотря по тому, будетъ ли т < >і, т = и
или т > п. Чтобы, съ другой стороны, имѣть безчисленное множество при-
мѣровъ двойныхъ сходящихся рядовъ, или лучше сказать, чтобы построить
двойной рядъ, имѣющій ту же сумму, какъ нѣкоторый простой сходящійся
рядъ аг + а2 + аз + "' > можно разсмотрѣть рядъ
(яі яг) Н- (я2 — яз) Н- (яз — + • • •
+ (а2 — а3) + (а3 — «4) + (а4 — а5) + • • •
+ (я3 — Я1) + (я4 — аь) + (я5 — яб) + ' ' '
°) Положивъ т = кп, найдемъ (к > 0) 1ітЗти
к
^ + Г
Если Ап сумма п первыхъ членовъ даннаго простого ряда, то
А-т. 4~ ^тп '
244. Преобразованіе Клаузена (Сіаизеп) х). Положимъ, что
данъ сходящійся двойной рядъ. Положимъ
гЛі ~ апп + (ап, п-|-1 + «и-1-1, ») + («п, п-{-2 + «и-|-2, п ) + • •
Замѣтимъ, что
ип + ѵп = (а1п + яи1) + («2» + я»г) + • + К-1, п + «п,п—1) + апп + .
а слѣдовательно, [}п + Ѵп = Зпп + ИЗ. Такъ какъ при безко-
нечномъ п
Ііт = Ііт Уп = Ііт Зпп = 3,
то также и Ііт ІѴп — 3. Преобразованіе двойного ряда въ про-
стой а'і + іі'2 + + • • • часто бываетъ выгоднѣе, чѣмъ преобразо-
ваніе въ одинъ изъ рядовъ + иг + и3 + или ѵі + г»2 + + • • • •
Но не всегда. Напримѣръ, нѣтъ выгоды дѣлать это преобразованіе
въ послѣднемъ рядѣ предыдущаго параграфа.
245. Теорема. Двойной рядъ будетъ сходящимся, если
по замѣнѣ всѣхъ членовъ абсолютными ихъ величинами
рядъ, полученный черезъ сложеніе по строкамъ (или столб-
цамъ), будетъ сходящимся.
По предположенію всѣ строки схемы (25) будутъ абсолютно
сходящимися рядами. Пусть
°1 = I Я11 I + I я12 I + I я13 I + I я14 I + ' ' '
°2 ~ I «21 I 4“ I «22 I 4“ I «23 I 4" I «24 4“ ' ' '
°3 = I «31 I + I «32 I + і «33 ! + I «34 I + • •
будутъ суммы рядовъ, составленныхъ изъ абсолютныхъ величинъ
членовъ, а итп пусть обозначаетъ сумму п первыхъ членовъ т-ой
строки схемы (25), такъ что
$тп = «Іп 4" «2п 4“ «Зп + • 4- итп
Очевидно, имѣемъ
| «шп | = | «ті | 4" | «пі2 | 4“ | «гпЗ I 4“ ’ 4“ | Япгп і < '
Если теперь задано по произволу положительное число е, то схо-
!) Сгеііез Лоигпаі, III, р. 94.
димость ряда Оі Д-о2 Д-Оз + ••• позволяетъ найти такое число /л,
что
і + °ц+2 + °,(+3 + ' ' ' + °т ! <
и а іогііогі
(26) I »д+1 . „ + ««+2, п + »,«+з, 11 тп ; < -з«
для всякаго т и и для произвольнаго и. То же число /л
можно выбрать достаточно большимъ, чтобы выполнялось нера-
венство
(27) і "і -1- "з 4- • • + - Ь'. < V •
Дѣйствительно, рядъ Иі Д-«2 + «з + • ъ сходящійся, потому что
абсолютныя величины его членовъ не больше соотвѣтствующихъ
членовъ ряда щ Д- о2 Д- Оз Д- • • •, по условію сходящагося. Не мѣняя
теперь р, выбраннаго, какъ сказано выше, замѣтимъ что вслѣдствіе
того, что
Ііт (и1(і + »2„ + • • + «„„) = + «2 Ч-+ ,
можно найти такое число ѵ, чтобы при п > ѵ постоянно имѣло
мѣсто неравенство
"1« - "Г--------И «д» - ("1 + «2 + ' + «„) < И
Складывая его съ неравенствами (26) и (27), получимъ
І5Й1П- П < ,
для всякой пары значеній т и п, соотвѣтственно большихъ, чѣмъ
у. и ѵ. Итакъ, 3„т стремится всегда къ предѣлу [}, по какому
закону ни возрастали бы до безконечности числа т и п.
246. Примѣчанія, а) Если какое нибудь одно изъ условій
теоремы § 245 не будетъ выполнено, то можетъ случиться, что
теорема не будетъ справедлива. Положимъ, напримѣръ, что поло-
жительныя числа ах, а2, <т3, ... всѣ меньше 1 и стремятся къ нулю.
Тогда ряды
(28)
- а., — а.2 - ая + а-А - - а 4 4- ...
Л, (1 - ) — а2 (1 — л2) х «2 I1 а2> «з і1 Лз) + • •
і?! (1 - Я])2 -- а2 (1 - «2)2+ л-2 (1 - п2)2 яз С1 - Лз)2 + ' '
будутъ сходящіеся. Дѣйствительно, сумма нечетнаго числа членовъ
въ ж-мъ рядѣ
«1(1- «1)т-1 - «2 (1 - № ' + «2 (1 - "з)" - «3 (1 - «3Г’ + • •
равна ал (1 - ^і)'"1, а сумма четнаго числа (2 гі) членовъ равна
«1 (1 -«п+1)т^
и стремится къ предѣлу ах (1 — а^)’" 1 при возрастаніи п до безко-
нечности. Слѣдовательно,
= «і (1 «і)’" 1
поэтому рядъ и, + + мз + • • • сходящійся и сумма его равна
«і + «і (1 — аі) +«і(1 • - «і)2 + • = । __ 1_ а = 1 •
Если же будемъ суммировать въ схемѣ (28) по столбцамъ, то по-
лучимъ
= «і + «і (1 - «і) + «і (1 — «і)2 + • = 1,
— ѵ2 = ѵ3 = а2 4 «2 (1 — «2) + «а (1 — «з)2 4 • = 1
— ѵі = Ѵгл = п? 4 «з (1 — л3) «з (1 — «з)2 + = 1,
и рядъ + ѵ2 + г’з + • • • вмѣсто того, чтобы быть сходящимся и
имѣть сумму 1, оказывается неопредѣленнымъ и приводится къ
ряду
1-141-14 •••
Ь) Если рядъ 6^ «2 + «3 ... былъ бы расходящимся, то
можно было бы думать, что теорема не оправдывается, потому что
ряды (28) не абсолютно-сходящіеся. Не мѣшаетъ, однако, за-
мѣтить, что теорема можетъ не имѣть мѣста и въ такомъ случаѣ,
когда и ряды (28) и рядъ и2 + и2 + и3 + ... абсолютно сходя-
щіеся. Чтобы привести примѣръ, достаточно взять за а1 + а2+а34-...
какой нибудь сходящійся рядъ, напримѣръ л'-+.'++.'+-+ ... (0<л<1).
Мы получаемъ тогда схему
л - х2 4- х- — хя 4- +’’ — л+ +
х (Л — х) — X2 (1 — X2) + X2 (1 — х2) - .V3 (1 — Xя) -г • •
х (1 — л:)2 — х- (1 — л-2)2 4 х2 (1 — х2)2 — хя (1 - хя)2 + • •
состоящую изъ абсолютно сходящихся рядовъ, суммы которыхъ
даютъ рядъ
X + X (1 — X) + X (1 - Л’)2 + • = 1,
также абсолютно сходящійся. Между тѣмъ суммированіе по столб-
цамъ даетъ снова неопредѣленный рядъ
1-141-14
Это происходитъ только отъ расходимости ряда (Ті + + (Т3 + • • •
с) Нужно, однако замѣтить, что условія, поставленныя въ
формулировкѣ теоремы только достаточны, но вовсе не необхо-
димы. Въ самомъ дѣлѣ, если Іітап = 0, то двойной рядъ, соста-
вленный слѣдующимъ образомъ
аі ~ «а + о + 0 + 0 4-
+ 0 + а2 - а3 + 0 +0 4- . •
+ 0 + 0 +я8— 1-0 4- •••
40 40 40 4 «4 - а-0 4- •
будетъ сходящійся, потому что сумма 5тп равна ах, когда т — п,
и равна Яі—ат—і, когда »г = н, поэтому всегда 1іт5ти = а1,
хотя рядъ 4- о2 -ф- о3 ... можетъ быть и расходящимся; онъ и
будетъ такимъ, если аі-{- а2-\- а3-\- ... расходящійся рядъ съ поло-
жительными членами.
сі) Наконецъ, замѣтимъ, что теорема, о которой идетъ рѣчь,
заключаетъ въ себѣ, какъ частный случай, теорему Коши объ умно-
женіи двухъ абсолютно сходящихся рядовъ (§ 238). Дѣйствительно,
если ряды + и2 + и3 + •. • и г»! + ц2 + г’з • •. абсолютно схо-
дящіеся, то ясно, что въ двойномъ рядѣ
—I- ^1^2 —Ь” ^1^3 —Ь” ^1^4 —Н ' ' '
—ііс) ^/9^2 -Н Н- '''
4- 4 + •
сложеніе по строкамъ, послѣ замѣны всѣхъ членовъ ихъ абсолют-
ными величинами, дастъ простой сходящійся рядъ
«4 V' Г г/2 V' 4 и3 V’ 4 • • • = V' V'
Поэтому и двойной рядъ будетъ сходящимся и сумма его, полу-
ченная сложеніемъ по строкамъ
«4 V 4 4-і- и3 И4 • • • =
будетъ равна суммѣ простого ряда, полученнаго сложеніемъ по
столбцамъ, т. е.
«1 ѵх + («^ 4- 4- (и^ 4- и2ѵ2 4- »з^і) + • • • •
247. Упражненія, а) Чтобы найти сумму ряда х-\-2х2-]-Зх9+—>
сходящагося при | х । < 1, можно его представить въ видѣ двой-
ного ряда
х -4 х2 + х3 + + •••
+ х2 + .V3 + Х* і +
4- .ѵ3 + х4 + •
4- х4 4- • • •
Суммируя одинъ разъ по строкамъ, а другой разъ по столбцамъ,
находимъ:
" + 2+ З-3 + • — + —ѵ + • • - (1^)2
Ь) Разсмотримъ двойной рядъ
а х 4- «2х2 4- а3 х3 4- «4х4 4- •
4- ах2 4- «2х4 4~ а3х6 + а4х8 4~ • •
(2$) 4- 'Т-Т3 4- а2 х6 4~ а3х2 4- л4х12 + • •
Если абсолютныя величины х и ах меньше 1, то получимъ абсо-
лютно сходящіеся ряды, суммируя, какъ по строкамъ, такъ и по
столбцамъ. Въ первомъ случаѣ получимъ суммы
ах ах2 ах3
иі = і------1 и2 = я----------->' г1з = ,-------ц. • • ’
1 — ах 1 -- ах2 1 — ах3
во второмъ
а3х3
”3 = 1 - .ѵ3 ’ " ’
Такимъ образомъ, приходимъ къ слѣдующему результату:
(30)
4___—____і_—___
1— ах 1 — ах2 1 —ах3
ах , а2х2 , а3х3
1-Х ' 1-х2 + 1-х3
с) Рядомъ Ламберта называютъ слѣдующій:
X , X2 , X3 , X4
1 - х + 1 - X2 + 1 - X3 + ТСГ44 + •’
при чемъ, конечно,
Такъ какъ, далѣе,
предполагаютъ х отличнымъ отъ 1 и — 1.
.п
и =---------
п .
1 — х
то видно, что рядъ не можетъ быть сходящимся внѣ интервала
( —1, + 1), такъ какъ тогда имѣли бы Ііт ?/„ = — 1. Напротивъ,
при | д;| < 1, условіе 1іти„ = 0 выполняется, и далѣе видимъ, что
тогда рядъ будетъ абсолютно сходящимся, потому что
и
и
и—1
Ііт
Итакъ, рядъ будетъ абсолютно сходящимся въ интервалѣ (—1, +0,
за исключеніемъ границъ. Замѣтивъ это, разложимъ каждый членъ
въ (абсолютно-сходящійся) рядъ слѣдующимъ образомъ:
—---= хР+ х2р+ х3р + хІ!' + • •
Затѣмъ напишемъ
3 = х х2 хя х1 х^ х6 х1 -] Xя
+ X2 + Хі + Xе + + •
+ Xя + Xе + ' • '
+ .Г1 + Xй +
+ Л?5 + • •
+ X3 + • •
Ясно, что хп появится въ ир тогда и только тогда, когда п дѣлится
на р, и потому, суммируя по столбцамъ, получимъ
(31) 5-хО|1)^.^Н2) + л-:!9(3) + л'‘9(4) +
гдѣ Ѳ (/г) обозначаетъ число дѣлителей п. Изъ этого уравненія
ясно, почему рядъ Ламберта играетъ важную роль въ ариѳметикѣ1).
б) Приложимъ теперь преобразованіе Клаузена къ ряду
Ламберта. Этотъ рядъ равнозначенъ ряду (29), если въ послѣд-
х) Первый, кто показалъ подобныя ариѳметическія приложенія, былъ
Шеркъ (Зсѣегк, Сгеііез Лоигпаі, IX р. 162, X. р. 207). Многіе математики
пытались затѣмъ вывести изъ ряда Ламберта законъ распредѣленія простыхъ
чиселъ, но тщетно.
немъ положимъ а = 1. Чтобы примѣнить преобразованіе Клаузена
(§ 244), прежде всего замѣтимъ, что
аі„ = хпг + 2хп(п+1) + 2хп(п+г> + 2хи(и+3) + •
т. е.
= Хпг ( 1 + 2 (х” + X2" + X3” +••)) = хП''
Слѣдовательно, сумму ряда Ламберта можно представить въ видѣ
Новый рядъ есть рядъ, быстро сходящійся (§ 200, Ь), потому что
(1 + Xя) (1 - х"-1)
= 0.
На этомъ то и основана польза преобразованія Клаузена. При х=
.напримѣръ, получимъ
1,1,1, 11 , 101 1001
9 ’’ 99 ' 999 + ' ' ' — 90 + 990000 + 999000000000 '
Въ рядѣ правой части достаточно взять одинъ членъ, чтобы полу-
чить значеніе суммы ряда, вѣрное до третьяго десятичнаго знака
включительно, въ лѣвой, для достиженія того же приближенія, надо
взять три члена. Можно даже доказать, что въ разсматриваемомъ
частномъ случаѣ ѵ членовъ ряда Ламберта даютъ только ѵ
вѣрныхъ десятичныхъ знаковъ, тогда какъ преобразованіе Клау-
зена около (у-(- I)2 знаковъ. Далѣе, въ общемъ случаѣ легко найти
выраженіе остатка ряда. Стоитъ только въ уравненіи (30) положить
а = хп; тогда получимъ
п
х"ѣ‘ д:2н+2
1 — X + 1-х'
^,Зи-{-3
1 — X3
4~ • • < х” 5 (х > 0),
Отсюда видно, что относительная погрѣшность, которую дѣлаемъ,
взявъ всего п членовъ, меньше хп. Слѣдовательно, преобразованіе
тѣмъ выгоднѣе, чѣмъ меньше х. Но его выгода уменьшается все
болѣе и болѣе, чѣмъ больше х приближается къ 1 4). (XXIX.)
е) Преобразованіе ряда Ламберта въ рядъ Клаузена можно вы-
вести также изъ изученія ряда
о, _ X , X4 І X16
“ г^х + + і -X» + Т^Ѵ4 "
4) Для этого случая Шлёмильхъ (ЗсЫОпііІсѣ) далъ другое преобра-
зованіе въ Лоигпаі бе Ьіоиѵіііе (1863, р. 101).
Этотъ рядъ сильнѣе сходящійся (§ 199), чѣмъ рядъ Ламберта, по-
тому что отношеніе общихъ членовъ равно хп(-п~^, и вслѣдствіе
того, что | х | < 1, стремится къ 0 при п безконечномъ. Для дан-
наго ряда
и = = хрг + .ѵ^+9 + -(---.
При сложеніи по столбцамъ членовъ их + и.г -ф и3 -ф- видно,
что хп войдетъ въ ир въ томъ и только въ томъ случаѣ,
когда п будетъ вида п = р^, при д^р. Слѣдовательно,^) должно
быть такимъ дѣлителемъ п, чтобы было р'-^<] =
т. е. р^^п-
Отсюда слѣдуетъ, что коэффиціентъ при хп равенъ числу дѣли-
телей п, не превосходящихъ Онъ равенъ, слѣдовательно,
вообще фОРг), и только въ томъ случаѣ, когда п точный квадратъ,.
О(и) 4- 1
онъ равенъ — — (XXX). Слѣдовательно, припоминая формулу (31),.
находимъ
откуда получается
5' = 15 + 1 (.г + л4 + х‘3 + • • •),
I) Если </ (и) обозначаетъ число чиселъ, простыхъ съ п и не
превосходящихъ п, то, какъ извѣстно (§ 33, а), имѣетъ мѣсто ра-
венство
<?(«) +ф (6)+ ?>(с)+ ••• = п.
гдѣ а, Ъ, с, ... всѣ различные дѣлители числа п. Основываясь на
этомъ, легко найти сумму ряда
„ лгдр(1) х2ф(2) л^ф(З) я-Тф(4)
1 - х і №1 - х'1- л4 + ’
поступая такимъ же образомъ, какъ и съ рядомъ Ламберта. Раз-
лагая каждый членъ по восходящимъ степенямъ х, увидимъ, что
коэффиціентъ при хп какъ разъ равенъ написанной выше суммѣ,
т. е. п. Полагая, какъ это необходимо, | х | < 1, и припоминая
результатъ перваго упражненія, получимъ
5 = х+2х2 + 3хЗ+ =(Тт^у,-
Напримѣръ,
Ф(1) , у(2) <т(3) , <у(4) , = 1°
9 99 999 + 9999 81’
Безконечныя произведенія.
248. Въ тѣсной связи съ теоріею безконечныхъ рядовъ нахо-
дится и теорія безконечныхъ произведеній, о которой мы ска-
жемъ здѣсь нѣсколько словъ, съ цѣлью показать потомъ одно ин-
тересное ея приложеніе. Пусть при безпредѣльномъ возрастаніи п
произведеніе Рп первыхъ п членовъ нѣкоторой послѣдовательности
иі, , и3, ... стремится къ нѣкоторому конечному предѣлу Р~
въ такомъ случаѣ принято писать Тэ = и]и2и3... и говорить, что
ихи^и.А... есть сходящееся безконечное произведеніе, зна-
ченіе котораго равно Р. Если же Рп безпредѣльно возрастаетъ
вмѣстѣ съ п или ни къ какому предѣлу не стремится, то говорятъ,
что произведеніе расходящееся или неопредѣленное. Такъ какъ
рп = !°8 «і + 1°8 «2 + 108 “з + • • • + 108 ип>
то оказывается, что сходимость ряда
(32)
108 «і + 1°8 «2 + 108 “з + 1о8 “і + '''
есть условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы безконеч-
ное произведеніе ... было сходящимся и не равнымъ
нулю. Произведеніе будетъ сходящимся и тогда, когда рядъ (32)
расходящійся, стремящійся къ (— оо), но тогда значеніе Р — 0.
Слѣдовательно, всякое условіе, необходимое для сходимости ряда (32),
необходимо для того, чтобы разсматриваемое произведеніе было
сходящимся и отличнымъ отъ нуля. Замѣтимъ въ частности условіе
Ііт 1о§ ип = 0 или Ііт ип = 1.
249. Теорема І.Чтобы безконечное произведеніе и, и2и3...,
всѣ множители котораго больше нуля и меньше единицы
или всѣ больше единицы, было сходящимся и не равнымъ
нулю, необходимо и достаточно, чтобы рядъ
(33)
(И1 1) + (и2 ~ 1) + (мз 1) “ ' ' '
былъ сходящимся.
Въ самомъ дѣлѣ, если данное произведеніе сходящееся и не равно
нулю, то и рядъ (32) сходящійся и, слѣдовательно, предѣлъ общаго
члена ряда (33) есть нуль. Слѣдовательно, его можно представить
въ видѣ ип — 1 = —, гдѣ ап стремится къ ж при ип > 1 и
ап
къ —оо при ип < 1. Въ то же время имѣемъ (§ 157)
(34) Ііт І0^ г‘п = Ііт а 1о§ 1 Д- — = 1о8 Ііт (1 + — 'і "= 1.
А поэтому и рядъ (33) сходящійся (§ 189) *). Обратно, если рядъ
(33) сходящійся, то 1ітии = 1, откуда видно, въ силу той же фор-
мулы (34), остающейся справедливой, что и рядъ (32) сходящійся,
а потому произведеніе ... сходящееся и не равно нулю.
250. Теорема П. Безконечное произведеніе иіиіиі...
будетъ сходящимся и не равнымъ нулю, если ряды
(М1 1) + (и2 1) + (и3 1) + ’ ’
(35) («! - I)2 + («2 - I)2 + (и3 - - I)2 + • •
будутъ сходящимися.
Такъ какъ въ силу сходимости перваго ряда 1ітии= 1, то чле-
ны произведенія, начиная съ нѣкотораго мѣста, будутъ всѣ положи-
тельные, и потому рядъ, общій членъ котораго Ѵп= ип—1—1о§и„
будетъ имѣть, начиная сь нѣкотораго мѣста, всѣ члены веществен-
ные. Такъ какъ, кромѣ того,
1іт (^1)2 = Нт «и {1 - «ИЮ8 (1 + 1) } = |, * **)
то отсюда вытекаетъ, что рядъ + ѵг + ѵ3 . будетъ сходя-
щимся вмѣстѣ съ рядомъ (35). А потому будетъ сходящимся и рядъ
(32), какъ разность двухъ сходящихся рядовъ, поэтому и данное
произведеніе сходящееся и не равно нулю. Замѣтимъ еще, что если
только первый рядъ былъ бы сходящимся, то рядъ + ^2 -р + • • •
имѣлъ бы положительные члены и былъ бы расходящимся. Рядъ (32)
стремился бы къ (—оо) и произведеніе ихиги3 ... было бы схо-
дящимся и равнымъ нулю.
251. Слѣдствіе. Безконечное произведеніе и1и4и3...
будетъ сходящимся и не равнымъ нулю, если рядъ
(«і — 1) + (г/2 — 1) + (из — 1) + '
абсолютно сходящійся.
Дѣйствительно, такъ какъ абсолютная величина ип—1, начи-
ная съ нѣкотораго мѣста, будетъ меньше 1, то также будемъ имѣть,
начиная съ нѣкотораго мѣста (ип—1)2<і|г/и— 1 ’. Такъ какъ
по теоремѣ Дирихле рядъ съ общимъ членомъ | ип — 11 сходящійся,
и а ѣогѣіогі такимъ же будетъ и рядъ (35), то вмѣстѣ съ тѣмъ, въ
силу теоремы II, и безконечное произведеніе будетъ сходящимся и
не равнымъ нулю.
♦) Такъ какъ отношеніе общихъ членовъ рядовъ (32) и (33) число
конечное въ силу формулы (34).
**) Ііт ап (1 - ап 1оё(1 + = Ііт - «ДІ - + • • • |-
252. Приложеніе къ функціи Г.
а) Весьма важное значеніе въ различныхъ частяхъ математиче-
скаго анализа имѣетъ безконечное произведеніе
/ 2\х /ЗѴ / 4 V / 5 V
Щ \2/ узу \~4~/
1+| 1+| 1+^ 1+^
обозначаемое черезъ Г(х-\-1) и называемое функціею Гамма*).
Разумѣется, при разсмотрѣніи этого произведенія, надо избѣгать да,
вать числу х значенія — 1, —-2, — 3, ... (т. е. всѣ цѣлыя и отри-
цательныя); при всякомъ другомъ значеніи х, какъ легко показать-
Г(х-|- 1) есть произведеніе сходящееся. Замѣтимъ, въ самомъ дѣлѣ,
что вслѣдствіе извѣстной формулы (§ 222)
и / п 2п2
общему члену этого произвененія можно дать видъ 1 —, гдѣ
ап стремится къ предѣлу %х(х—1) при безконечномъ п. Поэтому,
на основаніи теоремы I, произведеніе будетъ сходящимся, потому
что такимъ же будетъ рядъ, получаемый отъ умноженія членовъ за-
вѣдомо сходящагося ряда 1 -4-1 -ф- ф -ф- -ф- ..., соотвѣтственно
на числа а,, а2, «3, а4..., не превосходящія (по абс. величинѣ)
нѣкотораго конечнаго числа. На основаніи этого позволительно
писать
00 11 4---)
(36) +
і і + —
п
Ь) Безконечное произведеніе, общій членъ котораго равенъ
।
е п
-----р есть произведеніе сходящееся. Его значеніе (§ 183) равно **)
Отъ греческаго названія буквы Г.
**) Буква П есть символъ произведенія множителей даннаго вида,
подъ нимъ написанныхъ, при чемъ и принимаетъ всѣ цѣлыя положительныя
значенія, начиная съ 1.
гдѣ С есть Эйлерова постоянная. Но такъ какъ произведеніе
(36) не равно нулю, то мы можемъ написать
и приходимъ, такимъ образомъ, къ важной формулѣ Вейер-
штрасса (ХѴеіегзігазз)
1
Г(х+ ])
1
с) Опредѣленію (36) функціи Г цѣлесообразно дать другую
форму, введенную Гауссомъ *). Нужно только замѣтить, что правая
часть равенства (36) равнозначна съ
чтобы получить возможность написать
Г(л- + 1) — ііт пх
п=х
і • 2 • 3 п
(л- + 1) (л- + 2) • • • (х -г и)
Если замѣтимъ, что
Г(х + 1)
Г(х)
пх
= Ііт ——
п—х п + Л-
то тотчасъ же получаемъ основное свойство
Г(х + 1) = хГ(х).
Такъ какъ при х = 0 формула (37) даетъ Г'(І) — 1, то находимъ
Г(2) = 1!, Г(3) = 2!, Г(4) = 3!, Г(5) = 41, ...
сі) Изъ формулы (37) выводимъ
Г(х+ Ѵ)г(х +
__-1-
4й. п 2(1 - 2-3 »)2
(2л- + 1) (2л- + 2) (2л- + 3) • - • (2х + 2«) ’
Она еще раньше встрѣчается у Эйлера.
/ 1 \ Ж / 1 \ X / 1 \Х (
\ 1 1/ \ 2/ \ п — 1/ \ 1 и]
3* 4х пх (» + 1)ж ' . , 1ѴГ
Съ другой стороны, замѣняя въ той же формулѣ х и п на 2% и
2и, найдемъ
, п ^1- я2*-1-2-3 2п
1 + } я™(2л'4- 1) (2х + 2) (2х + 3) (2л- + 2я)’
Изъ этихъ двухъ формулъ, припоминая формулу Стирлинга (§ 221),
находимъ
Г<х + 1) = 1 Ит 4” (1 - 2 - 3 • • •
(38) Г(2х+1) 4<1™-|/-;;.1.2.з...2й 4х '
Такимъ образомъ приходимъ къ формулѣ Лежандра
Гі2х>
7г+2;-2^і'Т(^'
Въ частности, при х = 0, изъ (38) вытекаетъ, что Г(^) = \/л, и
далѣе, съ помощью послѣдней формулы и основной, получимъ
Примѣчанія ко второй книгѣ.
I (къ § 113).
Приведенная здѣсь теорія ирраціональныхъ чиселъ принадле-
житъ Дедекинду (Песіекіші) и изложена имъ въ основныхъ чертахъ
въ статьѣ „Непрерывность и ирраціональныя числа“ (8іеіі§кеі( ип<1
іггаііопаіе 2аН1еп), переводъ С. Шатуновскаго, Одесса 1909 г.
Раздѣленіе всѣхъ раціональныхъ чиселъ на два класса, обладающихъ
указанными здѣсь свойствами, называютъ сѣченіемъ (8сНпіК) въ
области раціональныхъ чиселъ.
Болѣе подробное изложеніе теоріи Дедекинда см. Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 72 и слѣд.
II (къ § 122).
Выраженія „въ концѣ концовъ", „начиная съ нѣкотораго п“,
„при достаточно большомъ п“ и т. п., съ которыми часто будемъ
встрѣчаться въ этой книгѣ, введены для сокращенія рѣчи. Истин-
ный ихъ смыслъ состоитъ въ слѣдующемъ. Когда разсматриваются
перемѣнныя числа ап, Ъп, , въ которыхъ указатель п послѣдо-
вательно принимаетъ всѣ значенія 1, 2, 3,... до безконечности, и
говорятъ, что эти числа а», Ъп, ... „въ концѣ концовъ" и т. д. удо-
влетворяютъ нѣкоторымъ условіямъ, то этимъ утверждаютъ сущест-
вованіе такого числа ѵ, что данныя условія выполняются при вся-
комъ значеніи п, равномъ или большемъ ѵ, т. е. при п^ѵ.
III (къ § 124).
Положимъ Ііт ап = а и а' < а < а" , гдѣ а и я" произвольныя
числа, удовлетворяющія этимъ неравенствамъ. Условіе 1ітая = ж
равносильно условію \ап — а | < е, гдѣ 8 произвольное положи-
тельное число; послѣднее условіе равносильно неравенствамъ
а — е < ап < а е.
Взявъ 8 < а — а', получимъ ан > а — 8 > а — (а — а') = а', а
взявъ 8 < а" — а, получимъ ап < а 4* 6 < а + (а" — а) = а". Слѣ-
довательно, „начиная съ нѣкотораго значенія п“, а'<ап<іа", что
и требовалась показать.
Замѣтимъ здѣсь, что часто встрѣчающееся впослѣдствіи выра-
женіе при „произвольно выбранномъ сколь угодно маломъ,
положительномъ числѣ е“, заключаетъ въ себѣ плеоназмъ. Если 8
можно выбрать по произволу, то само собою разумѣется, что его
можно взять сколь угодно малымъ. Если тѣмъ не менѣе послѣд-
ній эпитетъ прибавляется, то дѣлается это для того, чтобы под-
черкнуть существенное свойство числа е удовлетворять нера-
венству 8<Л, какъ бы мало ни было данное положительное
число к.
Ша (къ § 124).
Развивая послѣднее
занное въ §§ 112 и 113,
замѣчаніе и принимая во вниманіе ска-
можемъ высказать слѣдующее положеніе:
Всякое ирраціональное число а можно разсматривать,
какъ общій предѣлъ двухъ послѣдовательностей
(1)
«1. а2, а3, ... ап. .. .
и
(2)
*1. >
изъ которыхъ (1) не убывающая, а (2) не возрастающая,
при чемъ Ъп — ап > 0 при всякомъ п, и Ъп — ап < 8 при
достаточно большомъ п, и сколь угодно маломъ 8. Чи-
сло а всегда будетъ заключаться между ап и Ъп, которыя можно
разсматривать, какъ приближенныя значенія числа а, ап по недо-
статку, Ъп по избытку. Полагая приближенно а = ап или а = Ъп
мы дѣлаемъ погрѣшность, меньшую Ьп— ап, т. е. при доста-
точно большомъ п -меньшую любого даннаго числа. Замѣтимъ, что
извѣстный изъ элементарной алгебры процессъ извлеченія А, гдѣ А
не точный квадратъ, съ точность до ’/'ю, 1ІІОО, по недо-
статку и по избытку даетъ двѣ послѣдовательности (1) и (2), облада-
ющія необходимыми для опредѣленія ирраціональнаго числа ]/А
свойствами.
IV (къ § 125).
Общее выраженіе чиселъ данной послѣдовательности при п
1 т 4- 1
нечетномъ есть а->тл.і = ——а , а при п четномъ а2,и = --------Н,-
1 т + о т 1
Взявъ т 3 )> -, имѣемъ а2т+і < е, т. е. 1іта2т+1 = 0; взявъ
т + 2 > і, имѣемъ 1 — аіт < е, т. е. Іішагт = 1- Когда п бу-
детъ проходить всѣ значенія 1, 2, 3. ... четныя и нечетныя, то ап,
очевидно, будетъ колебаться между 0 и 1, не стремясь ни къ ка-
кому предѣлу. Послѣднее замѣчаніе этого § надо понимать такъ:
если данная послѣдовательность а1( а2, а3, ... имѣетъ нѣкоторый
предѣлъ а, то этотъ же предѣлъ а будетъ имѣть послѣдователь-
ность, которую получимъ, выкинувъ изъ данной, напримѣръ, всѣ
числа съ четными указателями или вообще всѣ числа, указатели
которыхъ удовлетворяютъ извѣстному условію, лишь бы въ оста-
вшейся послѣдовательности было безконечное число чиселъ. По-
слѣднее условіе необходимо.
V (къ § 129).
Конечнымъ числомъ называется 1) всякое постоянное опре-
дѣленное число, 2) всякое перемѣнное число, всѣ значенія котораго
заключаются между двумя данными числами. Терминъ „конечное'
противополагается, слѣдовательно, „безконечно большому', а не
„безконечно малому'. Если нужно оттѣнить, что нѣкоторое пере-
мѣнное число стремится къ конечному предѣлу, отличному отъ
нуля, то необходимо оговорить, что предѣлъ не равенъ нулю.
VI (къ § 133).
Заключеніе это основано на томъ, что сказано въ § 129, и
на очевидномъ предложеніи, что произведеніе конечнаго числа на
безконечно малое само безконечно малое.
VII (къ § 137).
Аналогично этому лемма доказывается и въ томъ случаѣ,
когда данная послѣдовательность заключаетъ въ себѣ безконечное
множество чиселъ, меньшихъ а. Въ этомъ случаѣ изъ данной по-
слѣдовательности всегда можно выдѣлить другую, имѣющую пре-
дѣломъ конечное число или — оо . Замѣтимъ еще, что если данная
послѣдовательность предѣла не имѣетъ, то выдѣляемыя изъ нея по-
слѣдовательности будутъ имѣть различные предѣлы, иначе общій
ихъ предѣлъ былъ бы и предѣломъ данной послѣдовательности, что
противорѣчитъ предположенію.
VIII (къ § 138).
Обозначая символомъ [7Ѵ] наибольшее цѣлое число, заклю-
чающееся въ 7Ѵ, имѣемъ 2Ѵ= [Л,г] + 9, гдѣ 0 = (? < 1- Замѣтимъ,
г Юѵ]
далѣе, что при 1 < а й 10 число цифръ въ — равно ѵ, потому
что ІО””1 — < 10”. Поэтому, полагая п — > будемъ имѣть
по условію
гдѣ 0 г= 2 <; 1, откуда Ііт (ап — а) = 0, Ііт ап = а.
IX (къ § 153).
и 2а>Л
Число аи-|_і = ”^ называется среднимъ гармоническимъ
чиселъ ап и Ьп- Изъ тождества
(я + 6)2 — (а - 6)2 = 4 а Ь
слѣдуютъ неравенства
* п п ,/-------г— _
“и+1 - ”
~2~~ ~ «+1'
Замѣчая еще, что
«,,+Д.и = а„Ьп = =аЬ,
имѣемъ ап^.і < а Ь < Ьп+і, откуда и видно, что Ііт =
ііт 6и^.і = УаЬ.
Соотношеніе между а„_|-і, ап и Ъп можно писать также въ
слѣдующихъ видахъ:
2 = 1 1 = ап ~ а«+і
а«4-і ап Ьп Ьп - «и
Рядъ 1 + + 4 + • • • + Я + • > съ которымъ впослѣдствіи бу-
демъ часто встрѣчаться, называется гармоническимъ, потому что
каждый его членъ равенъ среднему гармоническому двухъ смежныхъ
съ нимъ членовъ.
X (къ § 154).
Общее выраженіе для ап
а + 2 Ь
ап з
п -- &
1 372^
можно провѣрить способомъ полной индукціи. При п = 2 и п = 3
, , а 4- Ь
оно непосредственно повѣряется и даетъ а2 = о, а3= • 9 ’ какъ
15*
и должно быть. Остается показать, что если оно вѣрно для указа-
телей и—1 и п, то оно будетъ вѣрно и для указателя
если
ап-)-1 = I (ап + яп+і> •
Эту легкую выкладку мы предоставляемъ самому читателю. Инте-
реснѣе показать, какъ эта формула можетъ быть выведена изъ за-
кона составленія чиселъ нашей послѣдовательности, т. е. изъ урав-
ненія
(1)
ап+2 - І <ан4-1 + Яп-
Для этого замѣчаемъ сперва, что уравненію (1) очевидно, удовле-
1 ( 1)”
творяютъ значенія ап = 1, и ап = •
Затѣмъ легко показать, что ему удовлетворяетъ и выраженіе
, / (-И"
(2) ап - С1 + С2 ’
гдѣ б?! и С2 отъ Ь не зависятъ и могутъ быть поэтому опредѣ-
лены по частнымъ значеніямъ числа п. Полагая п=\, найдемъ («,=«)
С,
(3) а = С1---------,
а полагая ;г = 2, получимъ (а2 = Ь)
(4)
4
Рѣшая уравненія (3) и (4) относительно С, и С2 и подставляя въ (2),
мы и найдемъ общее выраженіе
а
п
а + '2 ь I < 1 Iй ь - п
3 + 1 3 . 2« 2 '
Уравненіе (1) есть частный случай такъ называемыхъ линейныхъ
уравненій въ конечныхъ разностяхъ съ постоянными коэф-
фиціентами. Изложенное нами рѣшеніе есть приложеніе общаго
способа рѣшенія такихъ уравненій (См. А. Марковъ „Исчисленіе
конечныхъ разностей". Изданіе „МаіЬезіз" 1910 г. Гл. VI).
XI (къ § 169).
Французскій терминъ „ансамбль" (епзетЫе), принятый нами
для перевода нѣмецкаго „Меп^е", употребляется и другими авто-
рами (см. напримѣръ Б. Букрѣевъ „Введеніе въ теорію рядовъ".
Кіевъ. 1906). Нѣкоторые авторы переводятъ то же слово терминомъ
„множество", подходящимъ ближе къ нѣмецкому, но менѣе опре-
дѣлительнымъ и имѣющимъ на русскомъ языкѣ и другой смыслъ.
Задать ансамбль чиселъ значитъ указать признакъ, позволяющій
судить, принадлежитъ ли данное число къ данному ансамблю или
нѣтъ. Примѣровъ различныхъ ансамблей читатель найдетъ достаточно
въ самой книгѣ.
XII (къ § 170).
Слѣдуетъ замѣтить и другую формулировку опредѣленія ниж-
ней и верхней границы ансамбля, менѣе краткую, чѣмъ данная въ
§170, но болѣе удобную для приложеній и потому принятую
большинствомъ авторовъ. Нижняя граница ансамбля есть
число л, обладающее слѣдующими свойствами:
1° Въ ансамблѣ нѣтъ ни одного числа, меньшаго Л-
2°. Какъ бы мало ни было положительное число е>
въ ансамблѣ есть по крайней мѣрѣ одно число, мень-
шее Л + 8.
Верхняя граница ансамбля есть число ц, обладающее
слѣдующими свойствами:
1°. Въ ансамблѣ нѣтъ ни одного числа большаго р.
2°. Какъ бы мало ни было положительное число е, въ
ансамблѣ есть по крайней мѣрѣ одно число, большее 41 — 8.
Опредѣленія эти равносильны прежнимъ. Покажемъ это для нижней
границы Л. Первое свойство выражаетъ, что Л есть число, не пре-
восходящее ни одного изъ чиселъ ансамбля. Второе показываетъ,
что Л есть наибольшее изъ такихъ чиселъ, потому что какъ бы
мало мы ни увеличили Л, тотчасъ получаемъ число Л -|- е уже пре-
восходящее по крайней мѣрѣ одно изъ чиселъ ансамбля.
Подобнымъ же образомъ убѣждаемся въ совпаденіи преж-
няго и новаго опредѣленія ц.
XIII (къ § 178).
Слишкомъ сжатое изложеніе въ этомъ § дѣлаетъ не лишними
слѣдующія разъясненія.
1) Чтобы доказать, что числа Л0 = 1ішЛи и = Ііт ц,п совпа-
даютъ съ наименьшимъ и наибольшимъ изъ предѣловъ данной по-
слѣдовательности, разсудимъ слѣдующимъ образомъ.
Возьмемъ по произволу сколь угодно малое положительное
число е и разсмотримъ окрестность числа л0, т. е. интервалъ
(Ло —е, Ао-|-8). Мы покажемъ, что въ немъ находится безконечно
большое число чиселъ данной послѣдовательности
(1 ) а1( а2, а3, ... ап, ап+і...,
т. е., что Ло есть одинъ изъ ея предѣловъ (точекъ сгущенія). Для
этого замѣчаемъ, что въ этотъ интервалъ попадутъ всѣ числа
''«4-1’ ^п4-2..
начиная съ нѣкотораго мѣста и притомъ именно слѣва отъ Ло, т. е.
въ интервалъ (Ло — е, Л„), такъ какъ Ло есть 1ітЛ„ и всѣ Л», Лп+і, ...
меньше Ло. Съ другой стороны, справа отъ каждаго изъ этихъ
чиселъ, т. е. въ каждомъ изъ интерваловъ
(-І»' Л„ + 6)’ ''«4-1 + Е) • • •>
будетъ по крайней мѣрѣ одинъ изъ членовъ нашей послѣдователь-
ности, потому что Лв, ЛИ4-і, ... нижнія границы частей ея. (См. при-
мѣчаніе XII). Всѣ эти интервалы на основаніи сказаннаго о поло-
женіи чиселъ Лм, Л„_|_і, ..., очевидно будутъ заключаться въ интер-
валѣ (Ло —8, Л04-е), въ которомъ такимъ образомъ и окажется
безчисленное множество чиселъ послѣдовательности (1).
ап' ^и + 6
(»' > п).
е
Фиг. I.
Совершенно аналогичнымъ путемъ доказывается, что /л0 одинъ изъ
предѣловъ данной послѣдовательности. Остается показать, что Л„
наименьшій, а р,0 наибольшій изъ предѣловъ. Это почти очевидно;
допустимъ, напримѣръ, что существуетъ предѣлъ Л/ < Ло. Мы
всегда можемъ дать числу п достаточно большое значеніе, чтобы Л»
было ближе къ Ло, чѣмъ , т. е., чтобы Лс/ <СЛМ^ЛО, а такое ра-
венство невозможно, такъ какъ Л/ попало бы въ интервалъ
(Л, Л„), въ которомъ находится только конечное число первыхъ п
членовъ нашей послѣдовательности и Л/ предѣломъ ея быть не
можетъ.
2) Для доказательства свойства а)« § 178 возьмемъ какое
угодно число а<(Л0, выберемъ положительное число 8<<Л0 — а
и п достаточно большимъ, чтобы было Ло — Л«<(8, т. е.
Ло — Л„<(Л0 —- а, откуда Лп>а и всѣ числа (1), начиная съ аи_|_і,
будучи больше Л„, будутъ и подавно больше а. Такимъ же обра-
зомъ доказывается, что всѣ числа (1), начиная съ нѣкотораго мѣста,
будутъ меньше /9, если /9>|ио.
3) Чтобы доказать свойство Ь) § 178, беремъ какое нибудь
число у между Ло и /г0, т. е. такъ, чтобы было Ло</ < ^0, и вы-
беремъ е <С 7 — Ло. Такъ какъ Ли нижняя граница части
(2)
«„+і. °п4-2’ яи4-з>
нашей послѣдовательности, то между числами (2) найдется, по край-
ней мѣрѣ, одно ап’ лежащее въ интервалѣ (Ли, Л« + е)
(см. XII). Тогда имѣемъ аП’ < К, + 6 < Л„ + 7 — Ло = потому
что лп==л0. Такимъ же образомъ, взявъ 8<(и0— у, докажемъ, что
въ послѣдовательности (2) найдется число ап" (п" > и), большее у,
каково бы ни было п.
XIV (къ § 183).
Если ап и Ьп возрастаютъ безпредѣльно, а Ііт ~ = 1, то
говорятъ, что ан возрастаетъ, какъ Ьп. Условіе это, очевидно, бу-
детъ выполнено, если ап — Ьп остается конечнымъ, что и показы-
вается въ § 183 для Нп и Іо^и. Выраженіе „іо^и возрастаетъ
весьма медленно, сравнительно съ п“ напоминаетъ доказанное въ
§ 161 равенство Ііт - = 0. Можно также сказать, что Іо^и
возрастаетъ безконечно медленнѣе, чѣмъ всякая степень гі1, какъ
бы малъ ни былъ показатель > 0, потому что тамъ же доказано,
что Ііт-^— = 0, т. е. что для всѣхъ достаточно большихъ зна-
п у ’
ченій п 1о^ п<^е. гі1, при сколь угодно маломъ положительномъ е
и сколь угодно маломъ положительномъ
XV (къ § 183).
Можно, не отсылая читателя впередъ, весьма просто доказать
это неравенство. Оно очевидно будетъ вытекать изъ неравенства
/ 1 \-«
0) (1--) ><
при помощи логариѳмированія, а неравенство (1) будетъ доказано,
если замѣтимъ, что Ііт (1 —= е (§ 156) и покажемъ,
/ 1 \—п
что 11 ——) постоянно убываетъ при возрастаніи п, т. е. что
/ 1 " / 1 (и-Ь1)
\ п/ \ п + 1/
или
(2)
1 \«+і
я + 1/
при взякомъ цѣломъ положительномъ п. Дѣйствительно, тогда
/ 1 \— п
число II —--І стремится къ своему предѣлу е, постоянно убывая,
слѣдовательно, остается всегда большимъ е, какъ и требуетъ фор-
мула (1). Поэтому, все сводится къ доказательству (2), а это до-
стигается весьма просто при помощи извѣстнаго тождества (формулы
Безу)
а»+і __ і»+і = (я _ Ь) (ап + ап~АЬ+ -\-аЪпХ + Ьп).
Если а > Ь >• 0, то отсюда получимъ
(3)
я«+і _ > (а _ Ъ) (п + 1) Ьп.
Полагая а = 1-----, Ь = 1--------, а — Ь = —, -;-т, находимъ
н 4-1 ’ п ’ п („ 4-1)
или
откуда
что и доказываетъ неравенство (2).
XVI (къ § 186).
Основная формула этого § получается изъ формулы § 159
1
ПОИ СІп — СІ — •
1 — X
Выводъ разложенія Іо§ (1 +-г) изъ разложенія (3), въ кото-
ромъ х предполагается числомъ положительнымъ и меньшимъ 1,
можно сдѣлать слѣдующимъ образомъ. Въ формулѣ
(За)
- 1о§(1 - -ѵ) = Ііт рі 4
Л- Л’"|
2 + V ]
п = 2 т или 2 т 4- 1; въ обоихъ
здѣсь д- на х2 и и на т, получимъ
случаяхъ К = т .
Замѣняя
Вычитая
замѣчая,
Г л*- ѵ~ т I
-1о8(1 — л-) = 1іт Н- + * + ... 4-1- .
------------------X |_ 1 ~ 3
это равенство изъ (367) при п=2т и
что при всякомъ к
при п = 2 т 4- 1,
мы и находимъ
‘>к М 2к
Л X X
~Ік Г = ~ 2к
, , , Г х х- л13 л4
1о§ (1 -г- х) = Ііт — - — 4- - — +
т— х I **
ИЛИ
(4)
= Ііт
П—
ХЗ Х2т+11
2 + 3 Н 2ш+1]
Строгій выводъ этихъ разложеній, не основанный на недоказанномъ
еще здѣсь обобщеніи формулы бинома Ньютона, будетъ данъ
въ § 332.
XVII (къ § 188).
Если р равно числу цифръ въ я, то п 10^—1,
У) /> р
О <" — < ,; при п = оо и Ъ = ао и 1іпі = Ііт , = 0.
ѵ г п НУ'-1
При р = [ Уп ] = Уп — гдѣ 0 ои < 1,
р
Ііт — = Ііт
п
= 0.
Замѣчаніе а) § 188 очень важно, показывая, что неравенство § 187
можетъ выполняться въ безчисленномъ множествѣ случаевъ для рас-
ходящагося ряда, но оно не опровергаетъ общаго признака сходимости,
потому что, сколько бы случаевъ мы ни испытали, нельзя ручаться,
что не найдется такой, когда условіе § 187 не будетъ удовле-
творено.
Для гармоническаго ряда, напр., при р = п получимъ
1Іт Цл + + - + І] = Ііт(//-^ - ^я)= Іок2ф0,
и расходимость ряда обнаруживается.
XVIII (къ § 210).
При ап = иіо^и, имѣемъ
ап - Л+і = ” 1о8 « - (» + Іо8 (" + V
Ііп+і "яу-і
ип Г / 1 \ 1
= п 1о§ « —— - (« + 1) рое (і + -^ + ]
= [ « [ ---11— 1 ] 1 - (и + 1)1о8[1 +
1 1 Ив-Н 11 \ «/
Г / 1 \ 1 / 1 \
Ііт (я + 1) Іощ 1 + —I = Ііт 1о§ (1 + —I = 1.
XIX (къ § 211, а).
Обозначая разсматриваемыя здѣсь выраженія черезъ аі, а2, а3, ...
и полагая Іо^и = 1о& 1о& . 1о^ п, ... имѣемъ аг = 1, и =
р разъ
(ар — 1)1о^_і и, при всякомъ />>1.
Отсюда и видно, что если Ііт ар = I 1, то Ііт ар^.і = + <ж ;
а если Ііт ар^і = /г 1, то ар— 1 = стремится къ 0, и
Ііт ар = 1.
XX (къ § 211, с).
1) Прежде всего замѣтимъ, что сказанное здѣсь не опровер-
гаетъ § 210, потому что изъ сказаннаго тамъ можно вывести лишь
, “»+1
такое заключеніе: рядъ будетъ расходящимся, если отношеніе——
ип
остается больше 1, для всѣхъ значеній п, начиная съ нѣкото-
раго мѣста; а здѣсь оно колеблется между 0 и <ж.
2) Сходимость ряда а + /З2 + а3 + /З4 + • • • при а и < 1,
сдѣлается очевидною, если замѣтимъ, что Згт и Згт-і-і равны сум-
мамъ опредѣленнаго числа членовъ двухъ убывающихъ геометричес-
кихъ прогрессій, и обѣ стремятся къ предѣлу 1 । ПРИ
возрастаніи т до оо.
3) Интересное замѣчаніе г.г. ЬегсЬ и ХѴеуг, помѣщенное въ
мало доступномъ испанскомъ журналѣ, требуетъ нѣкоторыхъ по-
ясненій. Покажемъ, какъ именно надо группировать члены даннаго
сходящагося ряда
(1) «1 + «2 + и3 + ’' ’
съ положительными членами, чтобы получить рядъ
(2) г-і + ^г + ^вЧ-
удовлетворяющій поставленному условію.
кѵп > ^1 + ^+2+
при всякомъ значеніи п.
Замѣчаемъ прежде всего что 5 > 5п при всякомъ п, потому
что всѣ члены ряда (1) положительны.
Затѣмъ опредѣляемъ такое значеніе ѵ,, чтобы было
>Кѵг
что всегда возможно, какъ было уже объяснено, и положимъ ѵі =3Ѵ, =
(г/1-(-и2-(- ••• 4- иѴі).
Затѣмъ, не мѣняя ѵ1г опредѣлимъ такое значеніе ѵ2, чтобы было
к 4~і’з,
что также возможно, потому что предѣлъ лѣвой части при ѵ2 = со
равенъ
к(3 - 5Ѵ1) > О,
а предѣлъ правой нуль. Положимъ
г?2 — ~ (^ѵі4~і 4“ " + «ѵі4-ѵі)'
Затѣмъ, не мѣняя ѵ, и ѵ2, опредѣляемъ ѵъ такъ, чтобы было
к (51>14-1>24-Гз — 5’і>,4-к1) > 2?Ѵ1_|_Ѵз~|_Ѵв,
что, конечно, также возможно, и полагаемъ
г'з — 51^-рі’з-4-г3 — 5^,4-ѵз = + ••• + иѵі-Н’і~Н’з)
Процессъ понятенъ; въ результатѣ получается рядъ ѵ1, ѵ2, ѵ3, • • ,
удовлетворяющій требуемому условію при всякомъ п, начиная
съ п = 1.
4) Въ примѣрѣ
а + ^ + аЗ + Д4 + ... +а2~-1 + ^+ ...
достаточно сгруппировать члены попарно, чтобы получить рядъ
Ѵ1 + ѵ2 + '' ’ + ѵт + ' >
въ которомъ отношеніе—стремится къ предѣлу, меньшему 1.
Полагая ѵі = а [іг, ѵ2 = а3 + ... ѵт = а2т1 + Д2т,
имѣемъ
ТП—'Х. * (П
XXI (къ § 218, 1).
Правило Раабе даетъ
/ ип \
при чемъ п I----11 приближается къ этому предѣлу, оставаясь
\иМ-і /
меньше его. Далѣе,
, , Л , 1ок(1+*) 1 X . . ,, .
гдѣ ѵ = (1 + х) і ѵ = —------------= 1 — о 4~ , ГДѢ 0 < 0 < 1
Л* 2 О
X ’іх1
гч — а+т Гі х , Ѳ*21
Отсюда ѵ = е е * 3 = е I ' +ЗІ и
ѵ — е 1 , ... _
= — 8„, гдѣ Ііт 8=0.
«г.ѵ-------2 х ^=0
/ ип \ і
Слѣдовательно, Ііт п |-----11 = р — а , и т. д.
’ ѴМ-1 / г 2
XXII (къ § 222).
Суммированіе биноміальнаго ряда для случая х и т какихъ
угодно, вещественныхъ или мнимыхъ, составляетъ предметъ клас-
сическаго мемуара Абеля „КесЬегсѣез зиг іа зёгіе
. т(т — 1) „ т(т — 1) (т — 2) „
1 + тх + к -_2 х‘> + А---- ...
1’2 1’2’0
въ первомъ томѣ собранія его сочиненій, къ которому мы и отсы-
лаемъ читателя. Изслѣдованія Абеля для вещественнаго показателя т
читатель найдетъ также у Вебера и Вельштейна, стр. 473 — 487.
XXIII (къ § 223).
Если ал — приближенное значеніе числа а, и
а = ах + 8 = .
то 8 — называютъ абсолютною, а ~ — относительною погрѣшностью
при замѣнѣ а на аѵ
XXIV (къ § 226).
Въ самомъ дѣлѣ, тогда вправо отъ иѵ въ новомъ рядѣ не
будетъ ни одного изъ членовъ их, и2, . иѵ даннаго ряда, а будутъ
только тѣ, о которыхъ уже извѣстно, что абсолютныя ихъ вели-
чины меньше 8.
XXV (къ § 230).
Свойство сходящагося ряда сохранять сходимость при замѣнѣ
его членовъ ихъ абсолютными величинами часто принимаютъ за
опредѣленіе абсолютно сходящагося ряда. (См., напр., Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 446). Здѣсь дано другое опредѣленіе (§ 224),
а потому вышеуказанное свойство нужно доказать, что и дѣлается
въ § 230.
XXVI (къ § 233, а).
Для даннаго ряда сумма 53м равна
.,1_1 1,11. , 1 , 1________________________1
+ 2 3 + 4 + 5 6 “НЗя-2 + Зя-1 Зя’
т. е.,
53Й = Н3п ~ = 1ой + і с +
гдѣ С Эйлерова постоянная, и Ііт р = 0 (см. (1) § 183), или
П—Х
53и = і |ой " + і с + Іо8 3 + е,
откуда
Ііт
П—X
= 1.
XXVII (къ § 242).
Напримѣръ:
«21 = -$24 — I -$23 + 514 ] + 513
«11 4~ «12 4" «13 4~ «14 ( , а11 + «12 4“ «13
| V «21 V «22 4~ «23 4“ «24 і і 4“ «21 4“ «22 4" «23
— ! аи + «12 4~ аіз 4- «и ; 4~ . «и 4- «12 4~ «із I •
«із = -513 — [ 512 503 ] 4- 502 =
= 1 «11 4- «12 + «13 I — | «11 “Ь «12 і •
XXVIII (къ § 243).
Полагая п = кт, гдѣ 0<(^<Д, найдемъ, что для всѣхъ зна-
... с 4. г с ^(1 —
ченій т и п, сумма ,5ШИ, а слѣдовательно, и Ііт Ътп = ,гз?.
(і +
Распоряжаясь числомъ />, можемъ получить для этого предѣла без-
численное множество значеній, но всѣ эти значенія не превосхо-
дятъ наибольшаго значенія данной дроби, котораго она достигаетъ
при к = 2 — ]^3, и которое равно —Общій способъ
бу 3 у 1 Ой
разысканія наибольшихъ и наименьшихъ значеній функціи будетъ
изложенъ въ ІП-ей книгѣ, но читателю легко провѣрить указанный
выше результатъ слѣдующимъ путемъ. Обозначая черезъ Л про-
извольное положительное или отрицательное число, обусловленное
только тѣмъ, чтобы к + к заключалось между 0 и 1, такъ что
\к I < 1, положимъ /(к) = 4^--—,^ и составимъ
11 1 (1 + «г
. /ч /-/м Ак Ч- Вк2 -]~ С№ ,
/(* +-/(') = (! 2^)41+*+7^’ ГДѢ
А = (1 + ^)2[(1 - 2>6) (1 4- А) - 3(к - ^)],
В = - (1 + >6)[(1 4- Л)2 4-ЗЛ(1 - к)], С = - к(\ - к).
При к = 2-Ѵ1, А = о, В<0, С<0, и
/(к + к) -/(к) =
к‘\В + Ск)
(1 +^(1 +к + к?
< О,
для всѣхъ значеній к, удовлетворяющихъ условію | к < 1. Отсюда
и видно, что при к = 2 - - ]/3, /{к) >/{к-\-к) при Лэ'О и | к I < 1.
XXIX (къ § 247, б).
дЛ+1 д.34-3
Кп = 1 - X + 1 - X2 + 1 - X* + '' '
откуда и видно, что при 0 < х < 1, 7?и < х" 8.
XXX (къ § 247, е).
Если а есть дѣлитель числа п, то, очевидно, и — есть дѣли-
’ ’ а
тель числа п, и если а^Ѵп, то — >]/??. Если п не полный
а
квадратъ, то каждому дѣлителю, меньшему соотвѣтствуетъ
одинъ дѣлитель, большій ]Ли, и число тѣхъ и другихъ дѣлителей
равно 4Ѳ00- Если п полный квадратъ, то еще есть дѣлитель, рав-
ный Ѵп, поэтому въ послѣднемъ случаѣ число дѣлителей, не боль-
-.г- Ѳ(«) + 1
шихъ |/ п, равно .
книга третья
КНИГИ ТРЕТЬЯ.
Теорія функцій.
ФУНКЦІИ ОТЪ ОДНОЙ ПЕРЕМѢННОЙ.
Основныя понятія.
253. Перемѣнная _ѵ называется независимою, если ей можно
приписывать любое значеніе. При этомъ можетъ случиться, что ея
измѣняемости поставлены нѣкоторыя границы, можно, напримѣръ,
требовать, чтобы перемѣнная постоянно оставалась въ нѣкоторомъ
интервалѣ (§ 169) или принадлежала нѣкоторому ансамблю лишь
бы при этомъ не принимались во вниманіе значенія, принимае-
мыя другими перемѣнными. Въ противоположность этому функціею
называется всякая такая перемѣнная у, которая связана съ незави-
симою перемѣнною такимъ образомъ, что всякому значенію х соот-
вѣтствуетъ одно и только одно значеніе у. Эту зависимость выра-
жаютъ тѣмъ, что пишутъ у = /(.г), гдѣ символъ у* можетъ изобра-
жать совокупность различныхъ операцій, которыя надо выполнить
надъ числомъ х, чтобы результатъ ихъ давалъ значеніе у. Вообще
же этотъ символъ выражаетъ только то, что между перемѣнными
установлена нѣкоторая зависимость, не предполагая возможности
выполненія дѣйствій, посредствомъ которыхъ выводится значеніе у
по данному значенію х. Если соотвѣтствіе между х и у взаимно-
однозначно, т. е. если каждому значенію соотвѣтствуетъ одно
и только одно значеніе х, то можно разсматривать у, какъ незави-
симую перемѣнную и тогда х = §{у\ т. е. х есть нѣкоторая функ-
ція отъ у. При этомъ функціи (или зависимости), изображаемыя
символами у и называются взаимно-обратными. Представляя
себѣ, чтобы яснѣе видѣть въ чемъ тутъ дѣло, обѣ функціи, отне-
сенными къ одной и той же независимой перемѣнной і, можемъ ска-
зать, на основаніи опредѣленія функціи /(/) и ^(/), что /[,§(/)]
и ;§[/(/)] приводятся тождественно къ і (I).
254. Примѣры, а) Простѣйшая изъ функцій отъ л- есть та, которая
опредѣляется требованіемъ сохранять одно и то же значеніе, каково бы ни
было значеніе х, напримѣръ, у = I *). Полагая у = х, у = х~, или вообще—у
равнымъ цѣлому полиному относительно х, мы этимъ опредѣляемъ различныя
функціи л-, которыми подробно займемся въ пятой книгѣ. Еще общнѣе сим-
волъ / можетъ обозначать совокупность извѣстнаго числа основныхъ алге-
браическихъ операціи, т. е. сложеній, вычитаній, умноженій, дѣленій, возвы-
шеній въ степевь и извлеченій корней (Съ цѣлымъ показателемъ); въ этихъ
случаяхъ функція /(.ѵ) называется алгебраическою. Въ частности, когда
отсутствуетъ послѣдняя изъ названныхъ операцій, функція называется раці-
ональною, и въ этомъ случаѣ, какъ легко убѣдиться, она будетъ либо цѣ-
лымъ полиномомъ (или цѣлой функціей), либо частнымъ отъ дѣленія
одного полинома на другой х). (И.)
Ь) Въ тѣхъ случаяхъ, когда функція задана въ видѣ частнаго отдѣ-
ленія одной функціи на другую: у = с , можно желать, чтобы функція
V (А')
была опредѣлена во всемъ интервалѣ, въ которомъ заключается корень
функціи ѵ (х), т. е. такое значеніе х, для котораго у ОО = 0. Съ этою цѣлью
нужно объяснить, какое значеніе желаютъ придать функціи для значеній д,
равныхъ корнямъ функціи у (х). Такъ, напримѣръ, функціи
нельзя считать опредѣленными въ такомъ интервалѣ, въ которомъ лежитъ
значеніе х = 0, если не добавить, что каждая изъ нихъ принимаетъ нѣкоторое
данное значеніе при ,ѵ = 0. Это значеніе, впрочемъ, можно выбирать по про-
изволу. Въ самомъ дѣлѣ надо замѣтить, что результаты и получаемые
въ правыхъ частяхъ вышеприведенныхъ равенствъ при .ѵ = 0, лишены
всякаго Смысла, потому что въ ариѳметикѣ или алгебрѣ никогда не опре-
дѣляютъ (ср. §§ 107 и 120) частнаго, не оговоривъ, что дѣлитель не равенъ
нулю. Конечно, можно было бы приписать этимъ символамъ нѣкоторый
опредѣленный смыслъ, но въ этомъ нѣтъ надобности; это повело бы даже
къ нѣкоторымъ неудобствамъ, нарушивъ общность правилъ алгебраическаго
вычисленія. Во всякомъ случаѣ нужно остерегаться говорить, что | безко-
нечное, а X неопредѣленное число, какъ это иногда дѣлаютъ. Это не
имѣло бы никакого смысла. Въ самомъ дѣлѣ, выраженіе безконечное
число потому не имѣетъ смысла, что всякое число само по себѣ конечно.
Понятіе о безконечности исчерпывается тѣмъ, что каково бы ни было
данное число, всегда можно себѣ представить другое число, большее дан-
наго * 2). Иными словами безконечность не есть состояніе, въ которомъ
находится въ данный моментъ величина (или число, ее измѣряющее), а от-
носятся исключительно къ процессу, который претерпѣваетъ перемѣнная
величина, не встрѣчающая никакихъ границъ при своемъ возрастаніи. Желать
опредѣлить, т. е. фиксировать нѣкоторое число, и въ то же время, говорить,
что оно измѣняется, принимая сколь угодно большія значенія, или (въ слу-
чаѣ -8) прямо приписать ему всевозможныя значенія, очевидно, нелѣпо.
*) Такую функцію называютъ постоянною.
і) Для болѣе точныхъ указаній^см. , Согзо;ді апаіізі а1§еЬгіса“ Са-
реІИ еі ОагЬіегі р. 418.
2) Относительно этого пункта см. Сансііу „8ері 1е?опз де рЬу8і^ие
депёгаіе". Тотъ же взглядъ на безконечность высказываетъ и Лейбницъ, одинъ
изъ основателей исчисленія безконечно малыхъ. См. „Кёзшпё ди Соигз д’Апа-
1узе“ раг Мапзіоп р. 220.
А между тѣмъ эти нелѣпости и лежатъ въ основѣ тѣхъ возраженій, ко-
торыя дѣлались нѣкоторыми критиками противъ исчисленія безконечно
малыхъ,
с) Функція у = х совпадаетъ съ обратною ей функціею; то же самое
можно сказать о функціи, значеніе которой при х = 0 равно нулю, а при
х — 0 равно —, такъ что обѣ функціи обладаютъ свойствомъ удовлетво-
рять тождеству /[/(х)1 = х. Если хотимъ найти обращеніе функціи у = х2,
то прежде всего замѣчаемъ, что можно разсматривать у, какъ независимую
перемѣнную лишь при условіи ограниченія ея значеній интерваломъ (0, =с).
Однако, каждому значенію у въ этомъ интервалѣ, за исключеніемъ нижней
ея границы, соотвѣтствуютъ два значенія х, а именно Уу и — Уу. Слѣдо-
вательно, разысканіе функціи, обратной относительно Р, приводитъ къ двумъ
функціямъ ] / и — уТ или, пожалуй, къ безчисленному множеству функ-
цій, если условимся для каждаго значенія 7 брать то тотъ, то другой изъ его
квадратныхъ корней (111).
Для достиженія ясности и опредѣленности при изученіи основныхъ
свойствъ функцій слѣдуетъ никогда не отступать отъ опредѣленія функціи,
даннаго въ §223 (т. е. не забывать условія однозначности функцій), и по-
тому разсматривать ]г і и — 1 і, какъ двѣ различныя функціи, не смотря
на то, что въ дальнѣйшихъ математическихъ изслѣдованіяхъ окажется воз-
можнымъ п даже полезнымъ разсматривать ихъ, какъ соединенныя въ одну.
Тогда надо будетъ расширить понятіе о функціи въ томъ направленіи, что-
бы функція отъ .ѵ могла при каждомъ данномъ значеніи отъ .г получать не
одно, а два или нѣсколько различныхъ значеній, и даже безчисленное мно-
жество ихъ, подчиненныхъ нѣкоторому опредѣленному закону (IV).
б) Уже изъ элементарной алгебры намъ извѣстна функція ах (прил>0),
по крайней мѣрѣ, для раціональныхъ значеній .ѵ. Дальше, въ § 270, Ь, мы
увидимъ какимъ образомъ можно распространить ея опредѣленіе и на ирра-
ціональныя значенія .ѵ. Обратная ей функція есть Ьо§ .ѵ, т. е. логариѳмъ числа ,ѵ
при основаніи а. При этомъ послѣдняя функція, очевидно, опредѣлена только
при .г > 0. Въ частности функція, обратная ех, есть 1о§ .ѵ. Далѣе, въ тригоно-
метріи уже изучаются функціи зіп.ѵ, соз.ѵ, ... такъ называемыя
круговыя (или тригонометрическія) функціи. Послѣдняя х не опре-
дѣлена для тѣхъ значеній .ѵ, для которыхъ соз х = 0. Хотя часто и пишутъ
= оо, но это равенство имѣетъ лишь условный смыслъ, о которымъ ниже
будетъ рѣчь. Весьма важное значеніе имѣютъ функціи, получаемыя отъ
обращенія круговыхъ*). Функція у = созх не допускаетъ обращенія, если
не условимся подъ значеніемъ дуги х, косинусъ который равенъ у, пони-
мать наименьшую положительную дугу (равную нулю при у = 1), изъ всѣхъ
имѣющихъ данный косинусъ, а при этомъ условіи обратная данной функція
обозначается знакомъ агс соз;у. Подобнымъ же образомъ опредѣляютъ функ-
ціи агс зіпу и агс у, обратныя функціямъ у = зіп х иу = і^у, условившись,
что данному значенію синуса или тангенса, равнаго у, соотвѣтствуетъ наи-
меньшая по абсолютной величинѣ дуга х, изъ всѣхъ дугъ, имѣющихъ дан-
ный синусъ или тангенсъ. Согласно этимъ опредѣленіямъ, всегда имѣемъ
---з агс зш_у <; 2 , 0 < агс соз;у < л,
*) Эти функціи называются обратными круговыми. Впрочемъ, на
русскомъ языкѣ часто круговыя функціи (зіп х, созх, ...) называютъ три-
гонометрическими, а обратныя имъ просто круговыми.
Принимая во вниманіе еще, что
/ т \ Л
соз ( 2 — агс 8Іпу I = зіп (агс зіпу) = у, 0 з= 2 — агс зіп у Ц :г,
всегда можемъ писать - агсзіп^у = агссоз^у, т. е.
л:
агс зіп;у + агс соз;у = - •
Читателю легко будетъ самому найти другія соотношенія между символами
агззіп, агс соз, агсі§, если онъ постоянно будетъ имѣть въ виду тѣ огра-
ниченія, которыя содержатся въ самомъ опредѣленіи этихъ символовъ. Иначе
легко впасть въ ошибки. Чтобы въ этомъ убѣдиться, достаточно, напримѣръ,
замѣтить, что равносильная одной извѣстной формулѣ тригонометріи формула
агс 1ч и агс ѵ = агс
и 4- ѵ
1 — и ѵ
справедлива только при иѵ < 1. Если же иѵ > 1, то въ правой части надо
прибавить или отнять число л, смотря по тому, будутъ ли и и <’ больше О
или и и ѵ меньше 0. (V.)
е) Если условимся приписывать числу у значеніе 0, когда х число раці-
ональное. и значеніе 1, когда х число ирраціональное, то у будетъ функція
отъ х, очевидно, не допускающая обращенія (т. е. не имѣющая обратной).
Тоже самое можно сказать о функціи, опредѣляемой требованіемъ принимать
значеніе 1 для всѣхъ положительныхъ значеній х, значеніе — 1, для всѣхъ
отрицательныхъ ѵ и значеніе 0 для х = 0. Эта замѣчательная функція встрѣ-
чается часто въ ариѳметическихъ изслѣдованіяхъ Кронеккера (Кгопескег), кото-
рый обозначилъ ее знакомъ з§п х, читается сигнумъ х. На первый взглядъ
кажется невозможнымъ изобразить ее помощью знаковъ обыкновенныхъ опе-
рацій, а между тѣмъ легко найти различныя ея выраженія, и прежде всего сь
помощью знака операціи ііт, состоящей въ переходѣ къ предѣлу, въ предпо-
ложеніи, что нѣкоторое цѣлое число и безпредѣльно возрастаетъ. Дѣйстви-
тельно, легко видѣть, что
пх е":с — е ”-с 2
зрп х = Ііт —----------- здгп х — Ііт---------, зцп х = Ііт агс іщ пх (см.ѴІ)
у 1 п-х~ епхе пх п—-^
Впрочемъ, можно и не прибѣгать къ операціи Ііт. Если условимся припи-
сать функціи агс!§ --, которая не опредѣлена этою формулою при х = 0,
значеніе 0 при .ѵ - 0, то легко видѣть (см. V), что
з§п х с ^агс х + агс •
Другая функція, тѣсно связанная съ предыдущею, опредѣляется требованіемъ
принимать значеніе, равное абсолютному значенію х при всякомъ данномъ
значеніи х. Мы ее обозначимъ символомъ | х ,. Ясно, что ' х і = х 8§п х.
Наконецъ, функція
у = Ііт 8§п зіп2 п! :гх
п~х> I ]
есть именно та функпія, которую мы опредѣлили въ началѣ пункта е). Дѣй-
ствительно, при х раціональномъ (х = —) , піх при безпредѣльномъ
возрастаніи « непремѣнно сдѣлается и останется числомъ цѣлымъ, и
_у = 8§п0=0, а при х ирраціональномъ этого никогда не случится,
8іп2«!л:х остается большимъ 0 и у = 1.
I) Повторяемость (Наий§кеіі) появленія цифры 0 между десятич-
ными знаками числа х есть интересная функція отъ х, которую мы всегда
будемъ обозначать символомъ ы (х), когда будемъ имѣть случай впослѣд-
ствіи приводить ее въ качествѣ примѣра. Она опредѣляется слѣдующимъ
образомъ: если въ числѣ первыхъ « десятичныхъ знаковъ числа х заклю-
. т ,
чается т нулей, и отношеніе — при безпредѣльномъ возрастаніи числа «
стремится къ нѣкоторому предѣлу, то этотъ предѣлъ мы и примемъ за зна-
ченіе функціи у, соотвѣтствующее данному значенію х. Функція у = ы (х)
не допускаетъ обращенія, не потому что у нельзя принять за незави-
симую перемѣнную (какъ въ послѣднихъ разсмотрѣнныхъ выше примѣрахъ),
а потому, что каждому данному значенію у (которое должно, однако, всегда
оставаться въ интервалѣ (0, 1) *) соотвѣтствуетъ безчисленное множество
значеній х, и изъ нихъ нельзя изолировать одно опредѣленное, какъ это
было сдѣлано въ обратныхъ круговыхъ функціяхъ. Въ самомъ дѣлѣ, поло-
жимъ, что дано по произволу число а и фиксировано положительное
сколь угодно малое число Іі. Всегда можно найти такое цѣлое число г,
чтобы 10’’ было > ’ Обозначимъ, далѣе, черезъ х' — а то число, которое
получимъ, когда въ числѣ х — а откинемъ всѣ десятичные знаки, стоящіе
правѣе г-таго. Тогда, очевидно, х — х' < к **), а съ другой стороны
<о (х7) = ш (<т), потому что добавленіе х' — а къ а измѣняетъ только конеч-
ное число цифръ въ а и на предѣлъ отношенія — никакого вліянія не ока-
зываетъ. Такимъ образомъ, наша функція, принявъ нѣкоторое значеніе ы (а)
при х = а, возвращается къ тому же значенію безчисленное множество
разъ въ окрестности любого другого значенія х. Замѣтимъ, кромѣ того, что
всегда можно измѣнять т при возрастаніи п до безконечности такъ, что
отношеніе — ни къ какому предѣлу не будетъ стремиться, и составить
такое число а, для котораго и (л) не существуетъ. Изъ предыдущихъ со-
ображеній вытекаетъ, что это будетъ имѣть мѣсто въ окрестности всякаго
другого значенія х, такъ что во всякомъ интервалѣ, какъ бы малъ онъ ни
былъ, функція и (х) не будетъ опредѣлена для безчисленнаго множества
значеній перемѣнной (VII).
§) Безконечные ряды и произведенія (§ 252) даютъ новые примѣры
функцій, Положивъ, напримѣръ,
у = х — 4х2 + Іх3 — ^х* + •••
получимъ функцію у, опредѣленную въ интервалѣ (— 1. + 1) за исключе-
ніемъ нижней границы. Въ этомъ интервалѣ, какъ извѣстно (§ 186), функ-
ція у принимаетъ тѣ же значенія, какъ и другая функція 1о§ (1 + х), опре-
дѣленная въ интервалѣ (— 1, =<>), также за исключеніемъ нижней границы.
Уравненіе
Г(х\ = 5ІП 2 лх + | 5Іп 4пх 5ІП б.тх + • • •
*) Такъ какъ т всегда < м.
**) Потому что х — х' < — .
10”
опредѣляетъ функцію Е(х) для всякаго значенія х (§ 218, і). Полезно за-
мѣтить, что она можетъ быть выражена черезъ двѣ другія весьма простыя
функціи [х], т. е. наибольшее цѣлое число, заключающееся въ х*) и 5§п х.
Дѣйствительно, элементарнымъ путемъ можно показать !), что
2
- Е(х) = 8§п (х - |х|) - 2(х - [х])
или, если угодно,
2
- ЕІх) = о( х) — оІ.ѵ),
гдѣ р(х) = х — [х]. Въ частности отсюда выводятъ, что въ интервалѣ (0,2л)
за исключеніемъ обѣихъ границъ, имѣетъ мѣсто слѣдующая полезная
для насъ формула
5ІПХ + | 8ІП 2х + і 8ІП Зх + ••• = | (л — х). (См. VIII.)
11) Замѣтимъ еще, какъ уже было сказано, что нѣтъ надобности
умѣть выразить у при помощи аналитическихъ символовъ, изображающихъ
нѣкоторыя операціи, производимыя надъ независимой перемѣнной х, или
даже только знать, что подобное выраженіе возможно, чтобы имѣть право
утверждать, что у есть функція отъ х. Достаточно, чтобы заданіе каждаго
значенія х такъ или иначе опредѣляло одно соотвѣтствующее значеніе у.
Такъ, напримѣръ, растворимость какой нибудь соли, упругость и скрытая
теплота водяного пара — функціи температуры. Важнѣйшая функція отъ
одной независимой перемѣнной (времени), говоритъ Томсонъ для жите-
лей Ливерпуля, есть, можетъ быть, цѣна хлопчатой бумаги, хотя и не
удается найти какую нибудь аналитическую зависимость между этою цѣною
и временемъ, считаемымъ отъ нѣкотораго даннаго момента. Другія функціи
времени будутъ: само время, показываемое очень плохими часами, темпера-
тура въ данной точкѣ пространства, или температура, наблюдаемая съ по-
мощью даннаго термометра и выражаемая въ среднемъ и приближенно при
помощи круговыхъ тригонометрическихъ функцій 3). Всѣ эти функціи не
обратимы. Какимъ образомъ можно было бы, напримѣръ, разсматривать
время, какъ функцію температуры? Но, самая любопытная функція времени,
безъ сомнѣнія, есть давленіе воздушнаго столба на барабанную перепонку.
Представимъ себѣ, напримѣръ, что эта функція построена при помощи слу-
шанія музыкальной піесы, исполняемой большимъ оркестромъ. Какъ бы
сложны, мягки или рѣзки, гармоничны или дисгармоничны ни были про-
изводимые звуки, какъ бы они ни наслоялись одинъ на другой, зная эту
функцію, мы могли бы съ точностью воспроизвести слышанные звуки, и по-
лучили бы, кромѣ того, массу показаній, чуждыхъ дѣйствительному воспріятію
музыкальныхъ тоновъ Ч (IX).
255. Функція называется конечною въ данномъ интервалѣ,
если всѣ ея значенія въ этомъ интервалѣ составляютъ конечный
ансамбль. Границы этого ансамбля (§ 170) называются грани-
*) Читается антье (епііег) отъ х.
!) Ргіп§8ѣеіт. Маіііетаіізсііе Аппаіеп, томъ 26, стр. 193. См.
также § 363.
2) \Ѵ. Тйотзоп. „Сопіёгепсез зсіепіі^иез еі аііосиііопз" ігаб. раг
Р. Ьи§о1. 1893, стр. 178.
3) ѣіа§ге. Саісиі дез ргоЬаЬіІііёз, стр. 288.
4) \Ѵ. ТЬотзоп. Тамъ же, стр. 178—180.
цами (нижнею и верхнею) функціи. Иными словами, нижняя
граница функціи есть число, характеризуемое слѣдующимъ двой-
нымъ условіемъ: 1) оно не превосходитъ ни одного изъ значеній
функціи, 2) всякое число, его превосходящее, превзойдетъ и нѣко-
торое значеніе функціи. Аналогично, верхняя граница функціи есть
число, обладающее слѣдующими свойствами: 1) его не превосхо-
дитъ ни одно изъ значеній функціи, 2) всякое число, меньшее его,
будетъ меньше нѣкотораго значенія функціи. Эти границы только
тогда можно называть наименьшимъ и наибольшимъ значе-
ніемъ функціи, или иначе минимумомъ и максимумомъ ея, если
функція, дѣйствительно, принимаетъ значенія, равныя этимъ грани-
цамъ въ данномъ интервалѣ. Такъ, напримѣръ, функція зіп х ко-
нечна во всякомъ интервалѣ и имѣетъ въ немъ минимумъ — 1 и мак-
симумъ -|- 1, если интервалъ не меньше 2п. Функція р(г)—д—[л'|
также конечна во всякомъ интервалѣ, и если интервалъ не меньше
1, то она имѣетъ въ немъ наименьшее значеніе 0, но не имѣетъ
наибольшаго, потому что верхняя ея граница 1 не принадлежитъ къ
числу значеній функціи при какомъ нибудь значеніи х|0д7р(.ѵ)<^ 1].
Напротивъ того, функція, равная - при х 0 и равная 0 при
х = 0, не будетъ конечною въ интервалѣ, въ которомъ лежитъ О,
потому что, какъ бы велико ни было число /, всегда будетъ суще-
ствовать въ интервалѣ такое значеніе х, при которомъ — будетъ
больше I или меньше I. Достаточно взять значеніе
Функ-
ція можетъ быть конечною въ одномъ направленіи и не конечною
въ другомъ (т. е. имѣть нижнюю границу и не имѣть верхней, и
наоборотъ). Такъ, напримѣръ, функція, равная квадрату предыду-
щей (т. е. равная — при х д 0 и равная 0 при х = 0) ни въ ка-
Х~*
комъ интервалѣ (— а, -|- а) не имѣетъ верхней границы, но имѣетъ
1
нижнюю границу , которая въ то же время есть ея минимумъ.
СГ 1
Такимъ же образомъ функціи не конечна въ интервалѣ, заклю-
чающемъ въ себѣ 0, но имѣетъ въ немъ минимумъ.
256. Теорема I. Всякая функція, конечная въ данномъ
интервалѣ, имѣетъ въ немъ нижнюю и верхнюю границу.
Это есть простое слѣдствіе опредѣленія конечности функціи
и извѣстной теоремы (§ 172) о существованіи нижней и верхней
границы конечнаго ансамбля.
257. Теорема II. Если функція конечна въ окрест-
ности всѣхъ чиселъ конечнаго интервала, то она конечна
и въ интервалѣ.
Мы примѣнимъ для доказательства косвенный пріемъ, а именно
докажемъ, что если функція не конечна въ интервалѣ, то найдется
по крайней мѣрѣ одно число этого интервала, въ окрестности ко-
тораго функція не конечна. Отрицая конечность функціи въ интервалѣ,
мы утверждаемъ возможность найти между значеніями, которыя она
принимаетъ въ интервалѣ по крайней мѣрѣ, одно уі; превосходящее
любое заданное число а также и значеніе у,г, превосходящее любое
число /2, большее уі. Такимъ путемъ можно идти безпредѣльно и по-
строить послѣдовательность чиселъ ф, Іг, /3, ... постоянно и безпре-
дѣльно возрастающую. Значеніямъ уіг у2 у3,... функціи соотвѣтству-
ютъ значенія х2, д3, ... независимой перемѣнной, всѣ между
собою различныя * **)), и образующія поэтому послѣдовательность,
состоящую изъ безконечно большого числа чиселъ. Такъ какъ всѣ
эти числа принадлежатъ конечному интервалу, то по извѣстной тео-
ремѣ (§ 174), въ этомъ интервалѣ существуетъ одно или нѣсколько
чиселъ, въ окрестности которыхъ будетъ безчисленное множество
чиселъ этой послѣдовательности (точки сгущенія). Пусть одно изъ
такихъ чиселъ. Выбравъ по произволу положительное сколь угодно
малое число к, покажемъ, что въ интервалѣ (§—к, |-ф к) функ-
ція превзойдетъ любое число /, какъ бы оно велико ни было. Дѣй-
ствительно, выбравъ ѵ настолько большимъ, чтобы при п О ѵ
Іп было больше I, замѣтимъ, что въ послѣдовательности лѵ+і, хѵ±2,
хѵ+з, ... непремѣнно въ концѣ концовъ найдется такое хп, которое
попадетъ въ интервалъ (| — к, -ф к} *’х). Соотвѣтствующее ему
значеніе Функціи уп, по условію, больше Іп~^> I', слѣдовательно, въ
окрестности точки функція у приметъ значеніе, большее любого
числа /, что и надо было доказать.
258. Можно доказать эту теорему и прямымъ путемъ, если не
желаемъ ссылаться на теорему § 174. По условію, функція конечна
въ окрестности со всѣми числами интервала (а, Ъ). Въ частности,
условіе, что она конечна вправо отъ а, обозначаетъ, что она
конечна въ интервалѣ (а, х), верхняя граница котораго х до-
статочно близка къ а. Это будетъ справедливо и для всякаго
числа х'<^х и ~у>а. Ансамбль всѣхъ такихъ чиселъ х^Ъ, для
которыхъ функція конечна въ интервалѣ (а, х) имѣетъ верхнюю
границу Это число § есть наибольшее число этого ан-
самбля (т. е. принадлежитъ этому ансамблю). Дѣйствительно, взявъ
какое нибудь число <( достаточно близкое къ и принимая
во вниманіе, что функція конечна влѣво отъ (по условію), заклю-
чаемъ, что она конечна въ интервалѣ |). Съ другой стороны
она конечна въ интервалѣ (а, слѣдовательно, и во всемъ ин-
*) Иначе одному и тому же значенію х соотвѣтствовали бы различ-
ныя значенія у, что противорѣчить установленному здѣсь опредѣленію
функціи (§ 253).
**) Иначе с не было бы точкою сгущенія.
тервалѣ (а, §), (т. е. принадлежитъ разсматриваемому ансамблю и
является наибольшимъ числомъ въ немъ). Остается показать, что
^=6. Если бы было меньше Ъ, то взявъ число доста-
точно близкое къ мы получили бы интервалъ (§, §"), въ кото-
ромъ функція была бы конечна, а слѣдовательно, она была бы ко-
нечна и въ интервалѣ (а, а это противорѣчитъ тому, что § есть
наибольшее изъ чиселъ х^Ь, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что
функція конечна въ интервалѣ (а, х). Итакъ, § = Ь.
259. Теорема III. (Первая теорема Вейерштрасса). Если
функція конечна въ конечномъ интервалѣ, то въ немъ най-
дется, по крайней мѣрѣ, одно число, въ окрестности кото-
раго функція имѣетъ ту же нижнюю границу, какую она
имѣетъ во всемъ интервалѣ. То же самое относится и къ
верхней границѣ.
Мы можемъ ограничиться доказательствомъ теоремы для ниж-
ней границы. Обозначимъ ее черезъ 2. Если она въ то же время
минимумъ функціи, то въ разсматриваемомъ интервалѣ найдется,
по крайней мѣрѣ, одно число для котораго /\|) = 2, и ясно, что
и въ окрестности § число 2 будетъ минимумомъ функціи. Если 2
не минимумъ, то это показываетъ, что Дх) — 2 въ данномъ интер-
валѣ всегда больше 0, но принимаетъ сколь угодно малыя значенія,
откуда слѣдуетъ, что функція
опредѣлена во всемъ интервалѣ (а, Ь), но не конечна въ
немъ. Поэтому (§ 257 или 258) въ интервалѣ (а, Ь) существуетъ
такое число въ окрестности котораго <р(х) не конечна, т. е.
какъ бы велико ни было число I, всегда въ сколь угодно маломъ
интервалѣ (^ — к, + А) найдется число х0, для котораго ф(х0)>-/,
откуда _/(л'о) <С. 2 + . Слѣдовательно, Дл0) меньше числа, которое
больше 2, но отличается отъ 2 сколь угодно мало. Итакъ, и въ
интервалѣ (| - //, А) 2 есть наибольшее изъ чиселъ, не превос-
ходящихъ ни одного значенія функціи ^(х) въ этомъ интервалѣ,
иными словами: 2 нижняя граница функціи въ окрестности
Стремленіе къ предѣлу.
260. Когда говорятъ, что независимая перемѣнная х стре-
мится къ предѣлу а, то это значитъ (§ 169), что х принимаетъ
всѣ значенія въ окрестности а. Часто полезно бываетъ различать
стремленіе къ а слѣва или справа, и можно себѣ представить,
что въ первомъ случаѣ перемѣнная х проходитъ, постоянно воз-
растая, цѣлый интервалъ (а — к, а), за исключеніемъ верхней гра-
ницы, а во второмъ —постоянно убывая, интервалъ (а, ак), за
исключеніемъ нижней границы. Говорятъ, далѣе, что перемѣнная х
стремится къ безконечности, если при своемъ измѣненіи она, въ
концѣ концовъ, принимаетъ значенія, превосходящія любое данное
число. Этого можно достигнуть, заставляя х проходить цѣлый ин-
тервалъ ($, оо). Аналогичное опредѣленіе имѣется для х, стремя-
щагося къ — со.
261. Говорятъ, что значенія /~(х) справа отъ а стремятся къ
предѣлу /, если съ приближеніемъ х къ а справа, абсолютная вели-
чина разности Д(х)— I, наконецъ, становится и остается меньше
любого положительнаго числа. Подробнѣе это можно выразить такъ.
Говорятъ, что /(х) справа отъ а имѣетъ предѣлъ I, и пишутъ
Ііт / (х) = I,
если каждому сколь угодно малому положительному числу € соот-
вѣтствуетъ такое число /г^>0, что для всѣхъ значеній х въ интер-
валѣ (а, а 4- А), за исключеніемъ нижней границы, имѣетъ мѣсто
неравенство
(1) !/(*) -/|<ь
Также говорятъ, что /(х) слѣва отъ а имѣетъ предѣлъ I и пи-
шутъ
= I,
х~а—О
если каждому числу е > 0 соотвѣтствуетъ такое число к > 0, что
неравенство (1) имѣетъ мѣсто для всякаго х въ интервалѣ (а — к, а),
за исключеніемъ верхней границы. Наконецъ, если, какъ это обык-
новенно и бываетъ, существуютъ предѣлы справа и слѣва отъ а, и
оба равны /, то пишутъ
Ііт/(х) = I.
Только для сокращенія рѣчи говорятъ, что /(х) имѣетъ предѣлъ /,
при х = а. Подъ этимъ надо понимать, что перемѣнная х должна
принимать всѣ значенія, безконечно близкія къ а, за исключе-
ніемъ именно самого а. Вообще надо отличать числа {(а + 0)
и /(а— 0), т. е. предѣлы функціи Дх) при х = <т, отъ значе-
нія Д(Д, дѣйствительно получаемаго функціей при х = а.
262. Говорятъ далѣе, что /(х) стремится къ предѣлу I, при
х безконечномъ, если каждому положительному числу е соотвѣт-
ствуетъ такое число что неравенство (1) будетъ справедливо при
всякомъ значеніи х >
Говорятъ, что для х, стремящагося къ а справа или слѣва *)
♦) Или съ приближеніемъ х къ а справа или слѣва.
/(.г) стремится къ ж, и условились писать
Ііт/ (*) = ОС, Ііт /(х) = го,
х=а-\-0 х—а—О
если всякому сколь угодно большому числу / соотвѣтствуетъ такое
положительное число к, что въ интервалѣ (я, а-\-к) или (а—к, а),
за исключеніемъ границы а, имѣетъ мѣсто неравенство /(л) > I.
Аналогично этому опредѣляется стремленіе или приближеніе къ пре-
дѣлу — ж. Наконецъ, говорятъ, что при х безконечномъ /(х) стре-
мится къ безконечности, и условимся писать
1іт/(х) = со,
если каждому сколь угодно большому числу I соотвѣтствуетъ такое
число что /(х) I при л > Небольшого размышленія доста-
точно, чтобы убѣдиться, что всѣ эти опредѣленія построены по
одному и тому же принципу. Здѣсь кстати будетъ замѣтить, что
часто вмѣсто того, чтобы говорить, что нѣкоторая функція стре-
мится къ ж, когда х стремится къ а, или, что она стремится къ
предѣлу I, когда а стремится къ безконечности, говорятъ, что эта
функція безконечна при х = а, или что она равна I при х без-
конечномъ. Это совершенно условный способъ выраженія, имѣющій
свои выгоды и не вызывающій сомнѣній, если разъ навсегда ясно
установленъ ихъ истинный смыслъ. Сообразно такому способу вы-
раженія принято писать
/(я) ИЛИ /(сс) = I.
Вотъ этимъ то способомъ и можно опредѣлить, напримѣръ, функцію
агсі^х (§ 254, д) подобно функціи агс зіп х, не исключая значеній
±. Безъ этого равенства въ родѣ агсі§(+ эо) = ±^, или
= ж, не имѣли бы смысла. Въ послѣднемъ случаѣ, впрочемъ,
молча подразумѣвается еще нѣчто: въ лѣвой части надо подъ
подразумѣвать — О, потому что
+ О) = + со.
263. Изъ тѣхъ же соображеній, которыми раньше пользова-
лись, когда шла рѣчь о функціяхъ, зависящихъ отъ перемѣннаго
числа п, принимающаго одни цѣлыя значенія (число ап данной по-
слѣдовательности, общій членъ безконечнаго ряда и„), вытекаютъ
нижеслѣдующіе результаты. Всякая функція, принимающая при воз-
растаніи перемѣннаго такія значенія, изъ которыхъ послѣдующее ни-
когда не меньше предыдущаго, стремится при безконечномъ х къ
нѣкоторому конечному или безконечному предѣлу, потому что та-
кой функціи достаточно сдѣлаться больше нѣкотораго даннаго
числа, чтобы затѣмъ и оставаться больше эгого числа при воз-
растаніи х. Если нѣкоторая функція всегда заключается между двумя
другими, которыя съ приближеніемъ х къ а стремятся къ общему
предѣлу I, то и данная функція стремится къ тому же предѣлу I.
Если съ приближеніемъ х къ а функція стремится къ нѣкоторому
предѣлу, отличному отъ нуля, то въ концѣ концовъ функція приметъ
и будетъ сохранять знакъ (-(- или —) этого предѣла. Поэтому функ-
ція, никогда не перестающая принимать какъ положительныя, такъ и
отрицательныя значенія въ окрестности нѣкотораго даннаго значе-
нія а, не можетъ стремиться къ предѣлу, отличному отъ нуля. Если
и, ѵ, гѵ, ... функціи отъ х, и если сь приближеніемъ х къ а'.
Ііт и = а, 1ітгі = ,8, Ііт а1 = /,...,
ТО
Ііт (и + ѵ + ® + •••) = « + + у + •••, Ііт иѵгѵ = аЗ? ,
при условіи, что число разсматриваемыхъ функцій конеч-
а
3’
ное.
Предѣлъ отношенія и къ ѵ равенъ
при условіи, ЧТО @
не равно нулю, но можно кое что сказать и въ тѣхъ случаяхъ,
когда ѵ ни къ какому конечному отличному отъ нуля предѣлу не
стремится. А именно, если ѵ безпредѣльно возрастаетъ, при чемъ и
и Л
остается конечнымъ, то — стремится къ 0, а когда ѵ стремится
къ 0, сохраняя при этомъ знакъ числителя и, и — остается конечнымъ
по абсолютной величинѣ, то возрастаетъ безпредѣльно. У насъ
нѣтъ еще средствъ для вычисленія предѣла частнаго, когда числи-
тель и знаменатель одновременно стремятся къ нулю, но этимъ
вопросомъ мы ниже займемся.
264. Теорема IV. Для того, чтобы функція /(х) стре-
милась къ конечному предѣлу съ приближеніемъ х къ а
справа, необходимо и достаточно нижеслѣдующее усло-
віе: когда задано положительное сколь угодное малое
число 8, всегда можно найти такое положительное число /г,
чтобы для всякой пары значеній х' и х", лежащихъ въ ин-
тервалѣ (а, а -(- А), за исключеніемъ нижней границы, удо-
влетворялось неравенство
-/(х") I < г.
Условіе необходимо. Именно, если Дх) стремится къ предѣлу I, съ
приближеніемъ х къ а справа, то это значитъ, что при данномъ
сколь угодно маломъ сД> О существуетъ такое число к 0, что
|/(х) - 1\ < іе
для всякаго х, удовлетворяющаго неравенствамъ
а < х й а + Іг.
Поэтому, если х' и х" лежатъ въ интервалѣ (а, не совпадая
съ а, то одновременно имѣемъ
< ь, \/(х") - 1\ < Н,
и вмѣстѣ съ тѣмъ
77Э < \/{х') - 11 + \і -/(О і < 6.
Представимъ себѣ теперь обратно, что при данномъ е О опредѣ-
ленъ такой интервалъ (а, аІі), въ которомъ, за исключеніемъ
нижней границы, всегда
(2) |/(Ѵ)-/(У') | <
Выберемъ въ эгомъ интервалѣ произвольную убывающую послѣдо-
вательность чиселъ, стремящихся къ предѣлу а, и разсмотримъ по-
слѣдовательность соотвѣтствующихъ значеній функціи. Извѣстно
(§ 137), что изъ второй послѣдовательности всегда можно выдѣлить
такую /7,), /(<73),..., которая стремится къ нѣкоторому пре-
дѣлу. Предѣлъ этотъ не можетъ быть безконечнымъ, потому что
изъ (2) вытекаетъ
/Ч"1) <Лап)
Поэтому положимъ, что
1іт/Ю = с
и возьмемъ п достаточно большимъ, чтобы выполнялось нера-
венство
< -)(-
Для всякаго значенія ,ѵ въ интервалѣ (а, ак), за исключеніемъ
нижней границы, имѣемъ, въ силу условія (2),
/(*) -/(«„) < И,
а потому, складывая два послѣднія неравенства, получимъ
\/(х) / \ЛХ) ~/(ап) I + ,7(«я) - 11 < 6-
Слѣдовательно, I есть предѣлъ Д.г) справа отъ а. Съ очевиднымъ
измѣненіемъ разсужденія докажемъ также существованіе предѣла
слѣва. Далѣе легко приноровить вышеизложенное доказательство къ
случаю безпредѣльно возрастающаго х. Нужно только замѣнить
число к числомъ нижнею границею безконечнаго интервала
(^, сю), въ которомъ выбираются числа х' и х".
265. При изученіи функцій оказывается также весьма полез-
нымъ ввести въ разсмотрѣніе числа, аналогичныя тѣмъ, которыя вве-
дены были раньше въ § 175, и разсматривать ихъ съ той точки зрѣнія,
которая была указана въ § 178. Ансамбль значеній, принимаемыхъ
нѣкоторою конечною функціею /(х) въ интервалѣ (х, х -ф /г), за
исключеніемъ границы х, имѣетъ нижнюю границу Л. Это 7, есть
функція отъ к, необходимо стремящаяся къ нѣкоторому предѣлу
Ло, когда к стремится къ 0, потому что, при убываніи к, А не мо-
жетъ измѣняться иначе, какъ только возрастая "), но остается при
этомъ меньше верхней границы /г. Это число Ло и будетъ то, что
называется наименьшимъ изъ предѣловъ функціи /(х). Анало-
гично этому опредѣляется наибольшій изь предѣловъ /і(). Оче-
видно, эти предѣлы, называемые также предѣлами неопредѣлен-
ности (ипЬезІішшйіеііз^гепхеп), зависятъ исключительно отъ х, и
могутъ быть, однако, различны слѣва и справа отъ него. Функціи,
Я0(х) и 'ф(х), относящіяся, напримѣръ, къ правой сторонѣ х, ха-
рактеризуются слѣдующими свойствами. Всякому положитель-
ному 6 соотвѣтствуетъ такое положительное число к, что
для всякаго значенія х, лежащаго между я и а -ф к
Ло(а) - 8 < /(х) < ,иц (ф 4- 8,
и въ каждомъ сколь угодно маломъ интервалѣ (а, а -ф Л)
существуютъ числа х и х", для которыхъ
ф(я) + С >/(л-7), _/'(х'7) < .«о (я) - 8.
На этомъ основаніи легко доказать теорему IV, не прибѣгая къ
леммѣ § 137. Достаточно замѣтить слѣдующее: если не существуетъ
единственнаго предѣла значеній х справа отъ а, то Ло <ф / и
задавъ положительное число е /х,, — Ло, всегда можно найти числа
х' и х", какъ угодно близкія къ а, и при томъ такія, что
ф(х') < і (ф, + ,и0 - е), /(х") > і (ф + п0 + ф *) **) .
откуда получается —ф(х")ф>б. Поэтому, если для каждой
пары значеній х' и х" и для всякаго 6 удовлетворяется условіе
\/(х') — /(х") і < 8 въ достаточно маломъ промежуткѣ (а, а -ф к),
то невозможно, чтобы Яо было меньше р,0, такъ что Ло = /ф и не-
обходимо существуетъ число /(а-ф 0), равное общему значенію
Ло и /ф ***).
*) Точно говоря, не убывая, потому что если бы въ интервалѣ (х, х-^-к^
гдѣ ф < к, нижняя граница функціи была бы ф < ф то это ф было бы ниж-
нею границею и въ (х, х + к), поэтому ф > Л.
**) Ибо 4(ф + ,Но—е) > ф, а 4(ф + ц0+е) < .(і0, и существуетъ
(см. выше) такое х', что /(х7) меньше любого числа, которое > ф и т. д.
***) Все сказанное здѣсь есть простое примѣненіе соображеній, изло-
женныхъ въ §§ 176—178, къ ансамблю значеній данной функціи /(х) въ дан-
номъ интервалѣ.
Непрерывность.
266. Непрерывныя функціи. Функція называется непрерыв-
ною при х = а, если предѣлы, къ которымъ она стремится съ при-
ближеніемъ х къ а, совпадаютъ съ частнымъ значеніемъ, которое
функція имѣетъ для х = а. Итакъ, непрерывность функціи /(х) при
х = а выражается равенствами
/(а + 0)=/(л), /(а-0)=/(«і.
Функція называется непрерывною въ интервалѣ, если она не-
прерывна при всякомъ значеніи х, лежащемъ въ этомъ интервалѣ.
Можетъ случиться, что функція непрерывна только справа или
только слѣва отъ а. Это тотъ случай, когда имѣетъ мѣсто лишь
одно изъ выше приведенныхъ равенствъ. (Либо /(« + 0) =/'(а),
либо _/(<? — 0) =/(а), но не оба вмѣстѣ.) Замѣтимъ, что, употребляя,
напримѣръ, выраженіе: функція непрерывна справа отъ а, мы
принуждены стать въ противорѣчіе съ однимъ общимъ опредѣле-
ніемъ, установленнымъ въ § 169. Поэтому, если мы хотимъ утвер-
ждать, что функція непрерывна въ нѣкоторомъ интервалѣ, котораго
нижняя граница есть а, то должны непремѣнно явно это и выска-
зать (X). Важно замѣтить, что опредѣленіе непрерывности всецѣло
заключается въ равенствѣ
1іт/(.ѵ) = /(1іт.ѵ),
такъ что возможность переставлять символы у и Ііт. является ха-
рактеристичнымъ свойствомъ непрерывныхъ функцій.
267. Ясно, что для непрерывныхъ функцій имѣютъ мѣсто
свойства, аналогичныя тѣмъ, которыя были доказаны въ теоріи пре-
дѣловъ. Въ частности суммы и произведенія конечнаго числа
непрерывныхъ функцій будутъ также непрерывными функ-
ціями. Такъ, напримѣръ, если при нѣкоторомъ значеніи х, функціи
ф(х) и -ф(х) непрерывны, то для этого же значенія непрерывны и
функціи
/(*) = <р (х) + у (X), §(х) = <р(х) у(х),
потому что (§ 263)
Ііт/(х) = Ііт <р (х) + ііт ѵ (х) = <Р (Ііт х) + ѵ (Ііт х) =/(Ііт х)
Ііт^ (х) = Ііт <р (х) Ііт ір (х) = гр (ііт х) • ір (Ііт х) = § (Ііт х).
Частное отъ дѣленія одной непрерывной функціи на другую также
непрерывно, при условіи, что исключаются всѣ значенія х,
для которыхъ дѣлитель обращается въ нуль. Наконецъ, за-
мѣтимъ, что непрерывная функція отъ непрерывной функ-
ціи отъ х также непрерывна. Въ самомъ дѣлѣ, составляя изъ двухъ
непрерывныхъ функцій <р(х) и чріх) новую /\х) = ф[ф(х)], имѣемъ
Ііт/О) = Ііт гр [ѵ(лф] = <р [Ііт ѵ(-г)! = <7 лг)1 = /(Ііт х),
предполагая, конечно, что значенія функціи 'ф(х), принимаемыя ею
въ интервалахъ, въ которыхъ она непрерывна, попадаютъ въ тѣ ин-
тервалы, въ которыхъ <р (х) непрерывна. Эти значенія, какъ увидимъ
дальше (§ 276), образуютъ одинъ или нѣсколько интерваловъ, въ
которыхъ ф и должна быть непрерывна.
268. Теорема V. Необходимое и достаточное условіе
для того, чтобы /(х) была непрерывна справа отъ а, со-
стоитъ въ томъ, чтобы по произвольно заданному, сколь
угодно малому положительному числу а, можно было опре-
дѣлить положительное число к такъ, чтобы неравенство
,Дх') < а.
выполнялось для всякой пары значеній х' и х" въ интер-
валѣ {а, а + А) *).
Что условіе болѣе, чѣмъ достаточно, видно изъ того, что взявъ
х’ = а и х" равнымъ любому числу между а и а-\-к, изъ условія
/\х"} — Дл)|<е, имѣемъ Дш + 0) = /(«). Обратно, если /(а-|-0)
существуетъ и равно /а), то при всякомъ данномъ числѣ а можно
найти такія положительныя числа /г' и /г", чтобы неравенства
:/(.г/ , < а, ,/(х) -/(«) I < г,
удовлетворялись; первое, на основаніи теоремы IV, для любой пары
значеній х' и х" въ интервалѣ (а, « + //), за исключеніемъ ниж-
ней границы а, а второе, на основаніи опредѣленія предѣла, для
всякаго х въ интервалѣ (а, а-\-к'г). Поэтому, обозначая черезъ к
наименьшее изъ чиселъ к' и Л", и сопоставляя оба предыдущія
неравенства, находимъ, что для всякой пары значеній х и х"
въ интервалѣ (а, а /г)
|/(х') ~/(х") [ < (.
Очевидно, что такую же теорему можно высказать и подобнымъ же
образомъ доказать для лѣвой стороны отъ а. Разсматривая, далѣе,
одновременно правую и лѣвую стороны отъ а, находимъ нижеслѣ-
дующее необходимое и достаточное условіе для непрерыв-
ности /(х) при х = а: для каждаго положительнаго числа а должно
найтись такое положительное число /г, что /(х')— ((х")'<^е, для
всякой пары значеній х и х” въ промежуткѣ (а — к, а + Л).
269. Понятіе о непрерывности весьма полезно въ тѣхъ слу-
чаяхъ, когда требуется дополнить (распространить) опредѣленіе нѣ-
*) Не исключая а.
которой функціи и въ частности тѣхъ, которыя для раціональныхъ
значеній независимой перемѣнной намъ извѣстны уже изъ элемен-
тарной алгебры. Если функція /(х) такова, что, при произвольно
заданномъ сколь угодно маломъ положительномъ е, около каждаго
значенія х можно назначать такой интервалъ, въ которомъ абсо-
лютная величина разности любыхъ двухъ значеній функціи будетъ
меньше е, то легко распространить опредѣленіе /"(х) на ирраціо-
нальныя значенія X и при томъ такъ, что получится функція, не-
прерывная для всѣхъ (раціональныхъ и ирраціональныхъ) значеній
независимой перемѣнной. Съ этой цѣлью, беремъ какую угодно
послѣдовательность раціональныхъ чиселъ , а.,, а3,... стремя-
щихся къ ирраціональному предѣлу а. Въ смежности съ а беремъ
такой интервалъ, внутри котораго абсолютная величина разности
любыхъ двухъ значеній функціи меньше 8. Въ этотъ интервалъ, въ
концѣ концовъ, попадаютъ числа нашей послѣдовательности, такъ
что, при достаточно большихъ значеніяхъ п и п', будемъ имѣть
!/(«„') -/(«„") I < е
Слѣдовательно (§ 139), существуетъ нѣкоторый предѣлъ для /'(«,,)
и этотъ предѣлъ мы и условимся понимать подъ значе-
ніемъ /(а). Теперь докажемъ, что опредѣленная такимъ обра-
зомъ функція непрерывна для всякаго раціональнаго или
ирраціональнаго значенія а независимой перемѣнной. Въ
самомъ дѣлѣ, когда задано сколь угодно малое число е 0, можно,
по условію, найти такое И > 0, чтобы для любой пары раціональ-
ныхъ значеній х' и х' въ интервалѣ (а — Л, «-)-/?) имѣли
-/(х") I < р.
Ясно, что это неравенство остается справедливымъ и въ томъ
случаѣ, когда одно изъ чиселъ х' или х", напримѣръ х', ирра-
ціонально, лишь бы другое, раціональное х" было взято доста-
точно близко къ х7; это вытекаетъ изъ установленнаго выше опре-
дѣленія Дхх) при ирраціональномъ х'. Отсюда слѣдуетъ, что бу-
дутъ ли х' и х" раціональны или ирраціональны, лишь бы они ле-
жали въ интервалѣ (а — Л, всегда можно найти раціо-
нальныя числа а и а", для которыхъ
-/(а7) I < 1-г, |/(х") -/(«") I < і е.
Замѣчая, что /(х') —/(х”) равно суммѣ трехъ разностей
/(х7)-/(л7), /О') -/'(«"), /(«")-/(*").
изъ которыхъ каждая по абсолютной величинѣ меньше Д, нахо-
димъ, что \/(х') — /(х") I < 6 для всякой пары значеній х и х!'
въ интервалѣ («- //, Отсюда, по теоремѣ V, и вытекаетъ,
что /(х) непрерывна при х = а.
270. Примѣры, а) Весьма легко убѣдиться, что функціи у = 1,
х, х2, ... Vх, зіп х, соз х, ... непрерывны при всякомъ значеніи х (для [х,
конечно, при х > 0). Напримѣръ, замѣчая, что
зіп х — зіп а = 2 зіп
2
СО5“2~-
находимъ, что съ приближеніемъ х къ а 1ітфх’[а, Ііт зіп х = зіп а,
и для первой, въ случаѣ а = 0, Ііт Уіс = 0 справа отъ нуля. Также функ-
ція, опредѣляемая для х 0 формулою —и равная 1 при х = 0. непре-
рывна при всякомъ х\ при х г 0, какъ отношеніе двухъ непрерывныхъ
функцій, а при х = 0, потому что, приближаясь къ нулю, длина дуги х всегда
заключается между зіп х и слѣдовательно
зіп х
соз х ---------
,. зіп X , ,,,
Ііт------ = 1 ) •
Ь) Функція ах при х раціональномъ (и а >0) извѣстна изъ Алгебры.
Слѣдуя указаніямъ § 269, легко обобщить ея опредѣленіе для х ирраціональ-
наго. Прежде всего припоминаемъ, что при раціональныхъ х' и х" раз-
ность ах - ах можно сдѣлать сколь угодно малою по абсолютной вели-
чинѣ, взявъ разность х' — х" достаточно малою по абсолютной величинѣ.
Дѣйствительно, тогда ах~х будетъ какъ угодно близка къ 1, а потому
ах — ах = ах (ах ' — 1) будетъ какъ угодно мала по абсолютной вели-
чинѣ **). Поэтому, на основаніи § 269, всякой послѣдовательности чиселъ
хі, х,, х%, .... стремящейся къ ирраціональному предѣлу х, соотвѣтствуетъ
послѣдовательность чиселъ аХ1, аХз,..., стремящихся къ нѣкоторому
конечному предѣлу. Этотъ предѣлъ мы и обозначаемъ черезъ ах. Легко
показать, что опредѣленная такимъ образомъ функція сохраняетъ при вся-
комъ х извѣстныя свойства функціи ах при х раціональномъ, а именно:
измѣняется постоянно въ одномъ направленіи при возрастаніи х, постоянно
и безпредѣльно возрастая при а > 1, и наоборотъ, стремясь къ нулю, при
а < 1, и удовлетворяетъ условію ах ах' = ах+х'. Изъ этихъ замѣчаній слѣ-
дуетъ, что уравненіе ау = х, опредѣляетъ у, какъ функцію отъ х, въ интер-
валѣ (0, со), за исключеніемъ нижней границы, потому что всякому поло-
жительному значенію х соотвѣтствуетъ одно и только одно значеніе^.
*)
При х > 0, зіп х < х < х,
зіп X зіп X зіп X
— >-----------> , т. е.
зіп X X X
зіп X
> СОЗ X.
ііт соз х = 1, откуда ііт---= 1. Результатъ останется вѣрнымъ Я при х < 0,
,г—0 х=О X
зіп (— х) зіп X
потому что-------------=-------
’ - X X
**) См. Веберъ и Вельштейнъ. Стр. 120.
Непрерывность этой функціи _у = Ьо^.ѵ есть прямое слѣдствіе непрерывности
обратной ея функціи ах *).
с) Сдѣлаемъ еще приложеніе сказаннаго въ § 269, предложивъ себѣ
изъ всѣхъ функцій, обладающихъ свойствомъ
/(х) +Дх') = /(х + х'),
найти тѣ, которыя будутъ непрерывны. Если х положительное раціональ-
р
ное число, и положимъ х = —, гдѣ р и а цѣлыя положительныя числа, то,
Ч
очевидно, будемъ имѣть
/ 1 \ р /1 \ ь
Д.х) = у • = у /(1) = ах’ **)
обозначая черезъ а число /(1). Далѣе, при х' = 0, имѣемъ /(х) +/(0) =/(х),
откуда ДО) = 0. При х' = — х, находимъ р\х) = — /(— х); поэтому и при
х 0 /(х) — ах. Если положимъ теперь, что х число ирраціональное и возь-
мемъ произвольную послѣдовательность чиселъ (раціональныхъ) хг, х2, х3,...
имѣющихъ предѣломъ х, то по условію непрерывности должны имѣть
/(х) = /(Ііт .ѵи) = Ііт/(х„) = Ііт ахп = ах.
Рекомендуемъ читателю для упражненія провести аналогичное изслѣдованіе
для функцій, обладающихъ свойствомъ
/(*) -Р\х') =/(хх'),
и замѣтимъ, что кромѣ непрерывной функціи х’", этому условію удовле-
творяетъ безчисленное множество разрывныхъ функцій, въ томъ числѣ
8§п х.
ах — 1
б) Когда х стремится къ нулю, то ---------- всегда остается между
числами
/ п-|—1 \ /п
п \ — 1/, (и + 1) \У а — 1
гдѣ п =
, а такъ какъ (§ 159) Ііт
= а,
то
і • « — 1 .
ііт-------= ІО2 а.
П=я X
Итакъ, примѣромъ функціи, непрерывной для всѣхъ значеній х, можетъ,
*) Это заключеніе не очевидно, но легко можетъ быть доказано, послѣ
того, какъ будетъ доказана теорема § 276.
«п т г! Р \ г I 1 \ , г I 1 \
**) Такъ какъ / — = / — + / I —
\ч) \ч) \ч)
какъ это слѣдуетъ изъ условія.
[р разъ], и т. д.
служить также функція, опредѣляемая при х 0 формулою----------, и равная
1о§ а при х = 0. Аналогично этому доказываютъ, что
і
Ііт (1 + х)х = е,
Х—й
1
и, слѣдовательно, функція, равная (1-|- х)х при х 0, и равная е при х = 0,
непрерывна при всякомъ х.
271. Разрывныя функціи. Функція называется разрывною
при данномъ значеніи X, если она при этомъ значеніи не непре-
рывна, а разрывною въ интервалѣ, если она разрывна, по крайней
мѣрѣ, при одномъ значеніи х въ этомъ интервалѣ. Разрывъ можетъ
являться съ обѣихъ сторонъ х = а или только съ одной, и во вся-
комъ случаѣ разрывы съ разныхъ сторонъ отъ а другъ отъ друга
независимы. Мы можемъ поэтому ограничиться разсмотрѣніемъ разры-
вовъ, могущихъ имѣть мѣсто справа отъ а, и замѣтимъ, что функція
будетъ разрывна, 1) если предѣлъ, къ которому она стремится
справа отъ а, не совпадаетъ съ частнымъ ея значеніемъ при х = а,
и 2) если этотъ предѣлъ безконечный или вовсе не существуетъ.
Въ первомъ случаѣ разрывъ называется разрывомъ 1-го рода
или обыкновеннымъ, во второмъ —разрывомъ 2-го рода. Суще-
ственная разница между двумя родами разрывовъ состоитъ въ томъ,
что разрывъ 2-го рода не зависитъ отъ значенія функціи при
х = а, а исключительно отъ того, какимъ образомъ измѣняется
функція въ окрестности а. Иными словами, чтобы указать, имѣетъ
ли _/(х) разрывъ 2-го рода справа или слѣва отъ а, нѣтъ надоб-
ности знать число /(а); наоборотъ, неизбѣжно его знать, если хо-
тятъ узнать, имѣетъ ли /(х) разрывъ 1-го рода (обыкновенный),
который возможно устранить, по крайней мѣрѣ, съ одной стороны
отъ а, измѣнивъ значеніе /(а).
272. Примѣры, а) Изъ теоремъ, доказанныхъ въ концѣ § 267, слѣ-
дуетъ, что — и зіп — непрерывны при х 0. При х — 0, напротивъ, онѣ
имѣютъ разрывъ 2-го рода. Чтобы это установить, не надо знать какія зна-
ченія даны будутъ этимъ функціямъ при х = 0. Достаточно замѣтитъ для
первой, что — по абсолютной величинѣ возрастаетъ безпредѣльно съ при-
ближеніемъ х къ нулю, а для второй, что зіп і ни къ какому предѣлу не
стремится съ приближеніемъ х къ нулю. Дѣйствительно, въ сколь угодно
маломъ интервалѣ (— к, -ф Іі) эта функція принимаетъ значенія 0, 1, 0, — 1
2
одно за другимъ, всякій разъ какъ число безпредѣльно возрастая по
абсолютной величинѣ, дѣлается равнымъ цѣлому числу, сравнимому (той. 4)
съ числами 0, 1, 2, 3. (XI). Иной характеръ имѣетъ функція, опредѣляемая
формулою хзіп -- для х 3= 0: она будетъ непрерывна и при х = 0, если для
этого значенія х припишемъ ей значеніе 0, или будетъ имѣть разрывъ 1-го
рода (обыкновенный) при х = 0, если припишемъ ей для этого значенія л-
значеніе, отличное отъ нуля. Чтобы показать, что разрывъ можетъ произойти
съ одной лишь стороны отъ нѣкотораго значенія перемѣнной, разсмотримъ
і
напримѣръ, функцію, равную нулю при ,ѵ = 0, и равную ех при л.' . -0. Она не-
прерывна слѣва и разрывна справа отъ 0, потому что ея значенія стремятся
къ предѣлу 0 или сю, смотря по тому, приближается ли х къ нулю, оставаясь
отрицательнымъ или положительнымъ. Функція 1о§ х, непрерывная при х > О,
неимѣющая смысла при х < 0, имѣетъ разрывъ справа отъ х = 0 такого
же рода, какъ функія -. То же самое можно сказать о функціи зіп 1о§ х,
имѣющей разрывъ при .ѵ = 0 того же рода, какъ зіп і, а для х > 0 непре-
рывной, на основаніи послѣдней теоремы § 267. На томъ же основаніи
1о§ зіп х непоерывна, пока зіп х не равенъ 0, и разрывна, какъ—, справа
отъ четныхъ и слѣва отъ нечетныхъ кратныхъ числа л, какимъ бы обра-
зомъ мы ни опредѣляли ея значеніе при х, равномъ кратному отъ л. Всѣ
вышеупомянутыя функціи и всѣ другія, имѣющія въ конечномъ интервалѣ
конечное число разрывовъ, называютъ вообще непрерывными, чтобы
отличить ихъ отъ тѣхъ, которыя имѣютъ въ конечномъ интервалѣ безко-
нечное число разрывовъ, т. е. отъ безконечно часто разрывныхъ функцій.
Ь) Функція вообще непрерывна, а - безконечно часто
разрывна. Первая, какъ частное отъ дѣленія непрерывныхъ функцій
зіп .ѵ на соз л:, непрерывна, пока соз х ----- 0, и имѣетъ разрывы 2-го рода
въ окрестности каждаго изъ безконечно большого числа корней функціи
соз.ѵ т. е., чиселъ а = ? — >іл (я — цѣлое число), потому что
Ііт Щ.ѵ = + х, Ііт і^.ѵ = — =о.
х=а -0 х—а-1-О
Того же рода разрывы имѣетъ функція (при х 0), для безчислен-
наго множества значеній .ѵ, какъ угодно близкихъ къ 0 * *). Наоборотъ, раз-
сматриваемая функція будетъ непрерывна во всемъ интервалѣ —, со за
I 2\
исключеніемъ нижней границы и въ интервалѣ I— со,-----------1 за исключе-
ніемъ верхней границы. При х = 0 и въ окрестности этого значенія всегда
будутъ разрывы 2-го рода и, кромѣ того, замѣчается еще нѣчто болѣе
сложное, а именно: разсматриваемая функція принимаетъ безчисленное
множество разъ любое значеніе въ любомъ интервалѣ, заключающемъ въ
себѣ нуль (ХП,. Замѣчая еще, что въ окрестности -.ѵ = 0 наша функція
дѣлается сколь угодно большою по абсолютной величинѣ, но не остается
таковою, мы не можемъ сказать, что (§ 262) она возрастаетъ до без-
конечности, а можемъ лишь утверждать, что она не будетъ конечною
въ окрестности х = 0.
с) Такое же замѣчаніе можно сдѣлать, ограничиваясь значеніями х
справа отъ нуля, о функціи, равной нулю для всякого раціональнаго зна-
2
*) А именно для всѣхъ значеній вида х = -у;---:—;—, гдѣ т цѣлое
' (2т + 1}л
число, сколь угодно большое по абсолютной величинѣ.
ченія х и равной 1о§х для всякаго ирраціональнаго значенія х. Эта функція
имѣетъ, кромѣ того, разрывъ 2-го рода при всякомъ значеніи х > 0.
Она принадлежитъ къ числу такъ называемыхъ вполнѣ Ооіаі) разрыв-
ныхъ функцій, тогда какъ принадлежитъ къ числу пунктирно-
разрывныхъ функцій, потому что, несмотря на безконечное число разры-
вовъ въ любомъ интервалѣ (— А, 4- к), въ томъ же интервалѣ имѣется
безконечное множество значеній х, при которыхъ непрерывна *).
Таковы двѣ большія категоріи безконечно часто разрывныхъ функцій 1).
Болѣе простые примѣры вполнѣ разрывныхъ функцій представляютъ: функ-
ція, равная 0 при х раціональномъ и 1 при х ирраціональномъ, функція,
обозначенная черезъ й(х) въ § 254, 1. Далѣе, если представимъ себѣ функ-
цію, принимающую произвольно заданныя значенія, когда (аіх) = 0, а во
всѣхъ другихъ случаяхъ равную 1о§ф(х), то составимъ функцію, которая
не только не непрерывна, но и не конечна въ любомъ интервалѣ, сколь
угодно маломъ.
б) Функція [х], непрерывная справа отъ любого значенія х, имѣетъ
обыкновенный разрывъ слѣва отъ всякаго цѣлаго значенія х. Дѣйствительно,
при х цѣломъ,
[х] = х, [х + 0] = х, [х — 0] = х — 1.
й'
Функція
непрерывная слѣва отъ всякого положительнаго и отрицатель-
наго значенія х, имѣетъ разрывъ 1-го рода справа отъ безчисленнаго мно-
жества значеній х, какъ угодно близкихъ къ нулю, и разрывъ 2-го рода
при х = 0. Функція, опредѣляемая формулою х при х 0, и равная 1
при х = 0, будетъ непрерывна при- х = 0, несмотря на то, что въ окрест-
ности х = 0 находится безчисленное множество значеній х, справа отъ кото-
рыхъ функція имѣетъ разрывъ 1-го рода; интервалы, въ которыхъ нахо-
дятся такія значенія, измѣряются величиною х и становятся все меньше
и меньше по мѣрѣ приближенія х къ нулю (XIII).
е) Съ помощью функціи [х] можно показать, что непрерывная
функція отъ разрывной не всегда разрывна. Пусть <р(х; непре-
рывная функція, удовлетворяющая условію дцО) = <р(1), какъ напримѣръ,
зіп лх, х — У~х и т. д. Обозначимъ для сокращенія х -- [х] черезъ чр(х)
и разсмотримъ функцію /(х) = <р(ѵ(хі)—непрерывную отъ разрывной. Ясно,
что /(х) можетъ имѣть разрывъ лишь тамъ, гдѣ у’(х) его имѣетъ, т. е.
слѣва отъ цѣлыхъ значеній х. Принимая это во вниманіе, замѣтимъ, что
для этихъ значеній у’іх) = (), /(х) = <р(0), между тѣмъ какъ слѣва отъ
нихъ имѣемъ
V (х - 0) = 1, /(х - 0) = <р [у(х - 0)] = <р (1) = (0) =/(х).
Итакъ, Дх) непрерывна. Еще болѣе простой примѣръ получимъ, взявъ
(х) = —у ПРИ х == 0- ѵ(0) = 0, а за <р(х) такую непрерывную функцію,
*) А именно для тѣхъ значеній х, которыя не имѣютъ указанной въ
предыдущей выноскѣ формы.
!) Для выясненія того, что подобныя различія не лишены содержанія,
а соотвѣтствуютъ существенно различнымъ характерамъ измѣненія разрыв-
ныхъ функцій, отсылаемъ читателя къ соч. Піпі, „Ропсіапіепіі сіеііа іеогіса
сіеііе іип2Іопі" (нѣм. пер. Ьіігоііі и Бсііерр) р, 62.
которая при х безконечномъ имѣетъ то же значеніе, какъ и при х = 0, напри-
мѣръ <р(х) = г Х зіп х. Хотя гр(л-) имѣетъ разрывъ при .ѵ = 0, но Дх) = (р(чр (.г))
непрерывна, потому что
/(0) = <р [ѵ(0)] = Ф (0), 1пп/(х) ='/( • )-</> (0) •
і) Функція
/{х) = 5ІП X + I 8ІП Чх -|- ) ЗІІ1 З.Ѵ + • • •,
вообще непрерывна; она обращается въ 0, когда зіп х = 0, а при всѣхъ
другихъ значеніяхъ л- принимаетъ значенія (§ 254, См. XIV).
/(») =у (я - х) + [2Х]Я
и, слѣдовательно, непрерывна, пока .г- не равно а, гдѣ а — кратное отъ 2л.
Въ то же время мы имѣемъ
/(а) = 0, /(а+0) = у,/(а-0)= -у,
такъ что съ обѣихъ сторонъ отъ а наша функція имѣетъ обыкновенный
разрывъ. Этотъ примѣръ замѣчателенъ, потому что показываетъ, что сумма
безконечно большого числа непрерывныхъ функцій можетъ и не
быть непрерывною. Такъ какъ, кромѣ того,
Ііш (яіп х + | аіп 2х 4- • • •) і= Ііт аіп х 4 * Ііт аіп Чх 4- • •,
когда х стремится къ 0, то (§ 263) мы видимъ, что предѣлъ суммы без-
конечно большого числа слагаемыхъ не всегда равенъ суммѣ
предѣловъ слагаемыхъ.
273. Теорема VI. Если функція У(х) непрерывна при
х = а, и /(а) не равно 0, то /'(х) въ окрестности а сохра-
няетъ постоянно знакъ числа /(а).
Дѣйствительно, въ силу непрерывности, Ііт У(х) = /(а), т. е.
какъ бы мало ни было число е > 0, всегда найдется такое к 0,
что въ интервалѣ (а — к, а-\- к) |/'(х) — /(«) | < е, или иначе
(3) /(а) - е </(х) <_/'(«) +е.
Достаточно взять е = /'(«) ’, чтобы видѣть, что /(х) > 0 или
Дх)<0, смотря по тому, будетъ ли У(а)>0 или
274. Теорема VII. Функція, непрерывная въ нѣкото-
ромъ интервалѣ, будетъ и конечною въ этомъ интервалѣ.
Дѣйствительно, неравенства (3) показываютъ, что функція ко-
нечна въ окрестности всякаго числа въ данномъ интервалѣ, а потому
(теорема II) она конечна въ интервалѣ.
275. Теорема VIII. Если непрерывная въ нѣкоторомъ
интервалѣ функція на границахъ интервала имѣетъ значе-
нія разныхъ знаковъ, то она обращается въ нуль, по край-
ней мѣрѣ, одинъ разъ въ этомъ интервалѣ.
Въ силу теоремы VI, вправо отъ нижней границы а суще-
ствуетъ безчисленное множество такихъ значеній х, что въ интер-
валѣ (а, х) функція сохраняетъ знакъ числа /{а), напримѣръ, знакъ
-|-. Эти значенія х не могутъ быть сколь угодно большими, такъ
какъ, по условію, на другой границѣ Ъ функція имѣетъ уже отри-
цательное значеніе. Ансамбль этихъ значеній х, слѣдовательно, ко-
нечный и имѣетъ (§ 172) верхнюю границу Такъ какъ слѣва отъ
§ функція положительна, то въ силу той же теоремы VI невозмож-
но, чтобы Д^) было меньше 0. Отсюда прежде всего видно, что
потому что Дй)<0, и поэтому въ интервалѣ (а, Ь) можно
разсматривать и правую сторону отъ Если бы /0^) было больше
0, то вправо отъ § были бы такія числа х, для которыхъ Дх) )> 0
въ интервалѣ (§, х), а слѣдовательно, и во всемъ интервалѣ {а, х),
т. е. число §—верхняя граница разсматриваемаго ансамбля—оказалось
бы меньше нѣкоторыхъ чиселъ этого же ансамбля, что невозможно.
Слѣдовательно, Д|) = 0.
276. Слѣдствіе. Непрерывная функція не можетъ пе-
рейти отъ одного значенія къ другому, не переходя че-
резъ всѣ промежуточныя.
Пусть I какое угодно число между /(а) и Д6); разсмотримъ
функцію Дх) — I, очевидно, непрерывную вмѣстѣ съ Дх) въ интер-
валѣ (а, Ь). На границахъ его она принимаетъ значенія Да) — I и
/(6) — /, по сдѣланному объ I предположенію, разныхъ знаковъ.
Предыдущая теорема VIII и устанавливаетъ существованіе числа
между а и Ъ, для котораго Д§) — I = 0, т. е. Д§) = I. (XV.)
277. Примѣчанія, а) Характеръ послѣднихъ свойствъ гораздо
тоньше, чѣмъ можетъ показаться съ перваго взгляда. Дѣйствительно,
нельзя считать интуитивно ясной невозможность для непрерывной
функціи переходить отъ положительнаго значенія къ отрицатель-
ному или наоборотъ, не обращаясь въ нуль, потому что а ргіогі
понятію о непрерывности не противорѣчитъ, напримѣръ, предполо-
женіе, что функція принимаетъ одни только ирраціональныя значе-
нія, а тогда, какъ она можетъ принять значеніе нуль, которое ра-
ціонально. Лишь послѣ того, какъ доказана теорема VIII, можно
утверждать, что такой непрерывной функціи не существуетъ.
Ь) Столь же мало основательно было бы считать, что возмож-
ность измѣнить одно значеніе на другое, не переходя черезъ про-
межуточныя, есть существенное свойство разрывныхъ функцій; по-
тому что существуютъ разрывныя функціи, не могущія пе-
реходить отъ одного значенія къ другому, не переходя
черезъ всѣ промежуточныя. Достаточно было бы привести въ
примѣръ функцію зіп-—разрывную при х = 0 (§ 272, а). Когда
х, убывая, переходитъ отъ положительнаго значенія къ отрицатель-
ному, то зіп непрерывно колеблется между — 1 и 4-1, не пере-
скакивая ни черезъ одно изъ промежуточныхъ значеній х). Нельзя
того же сказать о функціи ( —), которая перескакиваетъ, въ
окрестности х = 0, отъ положительнаго значенія къ отрицательному,
при чемъ оба могутъ быть сколь угодно велики по абсолютной ве-
личинѣ.
с) И вполнѣ разрывная функція можетъ обладать свойствомъ,
о которомъ здѣсь говорится. Въ самомъ дѣлѣ, если возьмемъ любыя
два числа а и Ь, сколь угодно близкія другъ къ другу, то можно
доказать, что функція щ(.ѵ) принимаетъ въ интервалѣ (а, Ь~) всѣ
значенія между 0 и 1 (каждое безконечное число разъ), а слѣдова-
тельно, и всѣ значенія между О) (а) и й)(й), предполагая, конечно,
что эти числа существуютъ. Послѣ того, что было сказано объ этой
функціи въ' § 254, у, достаточно будетъ показать, что каково бы
ни было данное между 0 и 1 число I, всегда можно найти такое
х, для котораго со(л) равно I. Построимъ въ интервалѣ (0, 1) по-
слѣдовательность чиселъ , 12, 13, ... имѣющихъ предѣломъ I и
напишемъ х по десятичной системѣ. При этомъ дадимъ ему произ-
вольную цѣлую часть, разложимъ десятичные знаки на группы по-
слѣдовательно въ 1, 2, 3, ... цифры и числа каждой группы выбе-
ремъ также по произволу, соблюдая лишь одно условіе, чтобы между
ѵ цифрами ѵ-ой группы было \уІѵ] нулей. Послѣ этого, возмемъ въ
построенномъ такимъ образомъ числѣ х п первыхъ десятичныхъ
знаковъ и предположимъ, что п попадаетъ въ ѵ-ую группу,
такъ что
п' — ѵ < іі и', т' — < т -ё, т',
если обозначимъ черезъ т число нулей въ этихъ п знакахъ и
положимъ
/г' = 1 + 2 -|- 3 4- - + іп' = [4] 4- [2 /2] 4- [3/;.І -|- • • • -|- [ ѵ Ц .
Теперь замѣтимъ, что
Ііт , 0, Ііт 11- = 0
п п'
и, кромѣ того, по извѣстной теоремѣ (§ 141)
Ііт —7 •= Ііт —сі = Ііт /, = 7.
11 ѵ ѵ
, ’) Другіе примѣры можно найти въ мемуарѣ С. ОагЬоих въ „Аппаіез
де ГЁсоІе погт. зир.“ (2-е зёгіе, і. IV).
Такъ какъ еще имѣемъ
— [і’У _ т т'
п' ~ п п' — ѵ
то
т т'
п (х) = Ііт — = Ііт —7 — I.
п п
278. Теорема IX. (Вторая теорема Вейерштрасса.) Всякая
функція, непрерывная въ конечномъ интервалѣ, имѣетъ
въ немъ максимумъ и минимумъ.
Теорема VII показываетъ, что функція, непрерывная въ нѣко-
торомъ интервалѣ (а, Ь), будетъ въ немъ и конечна. Поэтому, въ
силу теоремы I, существуетъ и нижняя ея граница Я въ интервалѣ
(а, Ъ). Покажемъ, что Л есть минимумъ функціи, т. е. принадле-
житъ къ числу значеній, принимаемыхъ функціею въ интервалѣ
(а, Ь). Если бы мы допустили противное, т. е. что /(х) не равно А
ни при какомъ значеніи х въ (а, Ь). то функція
была бы опредѣлена во всемъ интервалѣ и, какъ отношеніе двухъ
непрерывныхъ функцій, непрерывна. Но она не была бы конечна.
Дѣйствительно, какъ бы велико ни было число I, всегда можно
найти такое значеніе /(х), которое будетъ меньше любого значе-
нія, большого Л (по опредѣленію нижней границы) и въ частности
меньше Я-(--^-. Для такого значенія х, очевидно, <р(х)>/. Но по
той же теоремѣ VII мы знаемъ, что нѣтъ такой непрерывной въ
данномъ интервалѣ функціи, которая въ немъ не была бы конечна.
Поэтому нельзя допустить, что Я не принадлежитъ къ числу значе-
ній /(х) въ интервалѣ (а, Ь), и ДЯ) есть минимумъ ея въ этомъ
интервалѣ. Аналогично доказывается существованіе максимума. От-
сюда заключаемъ, что если нѣкоторая функція въ данномъ интервалѣ не
достигаетъ своей верхней или нижней границы, то это служитъ вѣр-
нымъ признакомъ того, что разсматриваемая функція разрывна.
279. Теорема X. (Теорема Кантора.) Если функція /(х)
непрерывна въ нѣкоторомъ интервалѣ (а, Ь), то, задавъ
сколь угодное малое произвольное положительное число
е, всегда можно найти такое положительное число к, что
колебаніе функціи въ любомъ интервалѣ, равномъ к по ве-
личинѣ и заключающемся въ (а, Ь), будетъ меньше ₽.
Колебаніемъ функціи въ данномъ интервалѣ называютъ раз-
ность между верхнею и нижнею границами ея въ этомъ интервалѣ.
Въ частности колебаніе непрерывной функціи въ данномъ интервалѣ
равно избытку максимума ея надъ минимумомъ. Замѣтивъ это, при-
поминаемъ, что въ силу непрерывности функціи, на основаніи тео-
ремы V, мы можемъ любое значеніе х въ интервалѣ (а, Ь) заклю-
чить въ такой интервалъ (х — /г, х Л), чтобы для всякой пары
значеній х' и х'г, лежащихъ въ (х— к, хк), имѣло мѣсто не-
равенство
(4)
І/ѢИ -/(*")! < е.
гдѣ 6 произвольно заданное положительное число. При данномъ 8,
для каждаго значенія х въ (а, Ь) найдется безчисленное множество
значеній числа к, потому что, если одно изъ нихъ найдено, то вся-
кое положительное число, меньшее найденнаго, тѣмъ болѣе бу-
детъ удовлетворять поставленному условію. Но, съ другой стороны,
значенія к, соотвѣтствующія даннымъ 6 и х, не могутъ быть сколь
угодно велики, уже по одному тому, что данный интервалъ (а, Ь), изъ
котораго не долженъ выходить интервалъ (х — к, х к), предпола-
гается конечнымъ. Слѣдовательно, эти значенія к должны имѣть
верхнюю границу, и ее то мы и будемъ въ дальнѣйшемъ обозна-
чать черезъ к. Такимъ образомъ, при данномъ 8, каждому значе-
нію х соотвѣтствуетъ одно опредѣленное значеніе к, при ко-
торомъ для всякой пары значеній х и х", лежащихъ между х — к
и х-\-к, неравенство (4) удовлетворяется. Этимъ опредѣляется нѣ-
которая функція Л(х), принимающая одни лишь положительныя
значенія во всемъ данномъ интервалѣ, и потому имѣющая въ немъ
нижнюю границу Л, которая будетъ больше 0, или, можетъ быть, и
равна 0. Мы покажемъ сейчасъ, что послѣднее предположеніе не-
возможно. На основаніи первой теоремы Вейерштрасса суще-
ствуетъ въ интервалѣ (а, к), по крайней мѣрѣ, одно число въ
окрестности котораго нижняя граница функціи /г(х) равна тому же
Л. Положимъ 4(1) = ко и разсмотримъ нѣкоторое значеніе х, ле-
жащее въ интервалѣ [ё-------, §-4--^ *). Всякая пара значеній
х и х", лежащихъ въ интервалѣ (х--------, х-)--^, будетъ лежать
и въ интервалѣ (^—Ай, §-|-40), а потому для интервала
(х — , х + неравенство (4) удовлетворяется. Слѣдова-
тельно, значенія, принимаемыя функціею к(х) въ интервалѣ
не могутъ быть меньше [по самому опредѣ-
ленію к(х), какъ верхней границы чиселъ к, для которыхъ нера-
венства (4) удовлетворяются при х' и х", лежащихъ въ (х — к,
х-[-Л)]. Поэтому и Слѣдовательно, и во всемъ данномъ
т л ( ^0
*) Интервалъ I х — х 4-
комъ въ интервалѣ (д — Ао, д /г0).
, очевидно, будетъ заключаться цѣли-
интервалѣ (а, Ь) Л(х) никогда не меньше Отсюда вытекаетъ,
что при данномъ е неравенство (4) навѣрно удовлетворится, какія бы
два значенія х' и х” въ данномъ интервалѣ (а, Ь) мы ни взяли,
лишь бы было \х' — х"\<і/іи-''). Въ заключеніе замѣтимъ, что въ форму-
лировкѣ теоремы X вмѣсто того, чтобы говорить о безчислен-
номъ множествѣ разностей \/(х') — /(х”) |, соотвѣтствующихъ
различнымъ парамъ значеній х' и х", говорится только о колеба-
ніи функціи /(х), т. е. о наибольшей изъ этихъ разностей, потому
что если неравенство (4) удовлетворяется для этой наибольшей раз-
ности, то, очевидно, оно удовлетворится и для всѣхъ остальныхъ.
280. Теорему X можно доказать еще иначе, опираясь на вто-
рую, а не на первую теорему Вейерштрасса. Доказательство можно
начать съ того пункта предыдущаго §, гдѣ по данному е мы опре-
дѣлили для каждаго х фунцію Л(х). Возьмемъ въ интервалѣ
\х — 1і(х), х -ф Л(.х)] любое число х ф-/ и замѣтимъ, что неравен-
ство (4) удовлетворится, очевидно, въ любой части этого интервала,
въ частности, въ такой, въ серединѣ которой лежитъ х-\-1, а одна
изъ границъ есть ближайшая къ х ф-1 граница первоначальнаго
интервала. Отсюда слѣдуетъ, что
к (д- -4- /) > к (.ѵ) — I, при I > 0,
и /ііх ф- /) к(х) ф- /, при I < 0. Этого нельзя было бы сказать,
если бы выбрали наиболѣе удаленную отъ х ф- I границу. Да-
лѣе ясно, что если возьмемъ интервалъ, еще большій послѣдняго, съ
серединою въ (х ф-1), то неравенство (4) не будетъ удовлетво-
ряться въ такомъ интервалѣ, именно на основаніи опредѣленія функ-
ціи /і(х). Слѣдовательно, /г(х ф-I) Л(х) -С /, при /ф>0 и
/Дл -ф-/) ^ Л(х) —при I < 0. Во всѣхъ случаяхъ имѣемъ
і к (х ф- /) — к(х)\ 11, Ііт к (.ѵ + /) = Іі (х),
і=о
т. е. функція /г (.г) непрерывна. По второй теоремѣ Вейерштрасса
она имѣетъ минимумъ Л, и Лф>0, потому что всѣ значенія
Л(.ѵ)ф>0. Теперь уже ясно, что тотъ интервалъ, о которомъ гово-
ритъ теорема Кантора, какъ разъ равенъ 2Л *) **).
*) Потому что условіе [х' — х"[ < к0, очевидно, равносильно условію,
/ кл 7іл\ ,
что х и х лежатъ въ интервалѣ І.г —гд“ х произвольно
выбранное число въ (а, 5).
**) Свойство функціи, непрерывной въ нѣкоторомъ интервалѣ, выра-
жаемое теоремою Кантора, называется равномѣрною непрерывностью
въ этомъ интервалѣ. Поэтому можно сказать, что функція, непрерывная въ
интервалѣ (а, Ь), будетъ въ немъ равномѣрно непрерывна.
ТЕОРІЯ ПРОИЗВОДНЫМЪ.
Разысканіе производныхъ.
281. Опредѣленія. Когда перемѣнное число г переходитъ
отъ одного значенія къ другому, то оно испытываетъ приращеніе
(положительное, отрицательное или равное нулю), которое принято
обозначать знакомъ <5г. Всякому произвольному приращенію дх не-
зависимой перемѣнной х соотвѣтствуетъ опредѣленное приращеніе
ду функціи у = /(х), а именно для даннаго значенія х
ду = /(х + к) — /(х), если дх = к.
Отношеніе
ду = /(л'+Л) ~/(х)
дх к
называютъ правымъ или лѣвымъ отношеніемъ приращеній,
смотря по тому, будетъ ли к > 0 или к < 0. Если для данной функ-
ціи у это отношеніе стремится къ опредѣленному предѣлу съ при-
ближеніемъ к къ нулю, то этотъ предѣлъ будетъ функціею отъ х,
которую называютъ производною справа или производною
слѣва. Производныя справа и слѣва могутъ совпадать, и въ такомъ
случаѣ говорятъ, что функція у имѣетъ единственную производную,
которую обозначаютъ /'(х) или — еще короче —знакомъ у'. Обыкно-
венный случай представляютъ именно функціи, имѣющія единствен-
ную производную. (XVI).
282. Примѣры, а) Производная постоянной равна нулю, потому
что, при у постоянномъ, всегда ду = 0, каково бы ни было значеніе х. Слѣ-
довательно, у' = 0. Производная независимой перемѣнной равна 1, по-
тому что при у = х, ду = дх. Слѣдовательно, у' = 1.
Ь) Чтобы убѣдиться, что производныя справа и слѣва могутъ имѣть
различныя значенія при одномъ и томъ же значеніи независимой перемѣн-
ной, разсмотримъ функцію у =/\ху равную нулю при х = 0, и равную
х агсі§ — при х 0. Такъ какъ
,/п П «7, , * 1 ду /(Л)--/(0) . 1
/(0? =0, /(Л) = к агсф 7- , / = агсф ,
то будемъ имѣть
Ііт агсф 4- = ?, Ііт агсі§ т = — ? ,
Л=+о Л 2 к 2
откуда и видно, что при х ~ 0 производная справа равна а производная
-
слѣва равна —
с) Точно также, для функціи, равной 0 при х = 0, и —при х = 0,
1+е*
имѣемъ
А ду /(к) -/(0) = 1 _
А.' дх к 2_
л . . л
Смотря по тому, стремится ли Л къ 0 справа или слѣва, ек либо возра-
стаетъ безпредѣльно, либо стремится къ 0. Поэтому
Ііт ——- - = 0, Ііт ——- = 1,
=4-о А /<=—о А
1+е 1+е
т. е. при х = 0, наша функція имѣетъ производную справа, равную нулю,
и производную слѣва, равную единицѣ.
б) Другой примѣръ даетъ намъ (см. § 272, е) функція <р(х — [лг]>, въ
томъ предположеніи, что функція <р(х) имѣетъ при х = 0 производную
справа, равную а, а при х = 1 производную слѣва, равную ,8, и кромѣ
того, «іг^и <р(0) = <р(1). Мы видимъ тотчасъ, что для всякаго цѣлаго
значенія х
.. ду (р (А) — '/ (0) ду <р (1 А) — <р(1)
<ц--=-0 д X л—40 к дх= —о о X -—о п
Слѣдовательно, функція наша имѣетъ для всякаго цѣлаго х производную
справа и производную слѣва, не равныя между собою. Можно для примѣра
взять ер(х~) = 8Іп пх, /(х) = 8Іп л{х — [х]}, замѣтивъ, что (§ 270, а)
8ІП Л1А - 5ІП 0 „ 8ІП (я+ лк) — 8ІП Л
а = Ііт----------------= л:, 8 = Ііт------—I— -----------= — л .
« /<=<> «
е) Но производная можетъ не существовать вовсе или суще-
ствовать только съ одной стороны. Напримѣръ, функція у = й(х),
опредѣленіе которой (§ 254, I) дополнено такимъ образомъ, что когда ы(х)
не существуетъ, у имѣетъ произвольно выбранное значеніе между 0 и 1,
вовсе не имѣетъ производной ни при какомъ значеніи х. Дѣйствительно,
когда (§ 277, с) дх стремится къ нулю, у постоянно колеблется между — 1
и 4* 1, такъ что отношеніе приращеній не только ни къ какому предѣлу не
стремится, а безчисленное множество разъ принимаетъ произвольно заданное
значеніе. Такой же характеръ обнаруживаетъ функція, принимающая зна-
ченіе 0 при х раціональномъ, и значеніе 1 при х ирраціональномъ, такъ
какъ ду можетъ принимать только значенія 0, 1, — 1. Функція х — [х]
имѣетъ производную, равную 1, для всѣхъ значеній х, не цѣлыхъ, и для
цѣлыхъ значеній справа, а слѣва отъ цѣлыхъ значеній х производной не
имѣетъ, потому что при дх = к < 0, д_у = 1 + к, и отношеніе приращеній
стремится къ — со. Въ упомянутыхъ здѣсь случаяхъ не существованіе про-
изводной исключительно происходитъ отъ разрывности функцій, такъ какъ
производная не можетъ существовать въ мѣстѣ разрыва. Дѣйствительно,
д у
чтобы отношеніе могло стремиться къ конечному предѣлу необходимо,
чтобы ду стремилось къ нулю, когда дх стремится къ нулю, т. е., чтобы
функція у была непрерывна. Итакъ, непрерывность есть необходимое
условіе существованія производной.
1) Однако, непрерывность недостаточна для существованія про-
изводныхъ Напримѣръ, функція ух непрерывна при х = 0, а тѣмъ не менѣе
О-Го
Ііш--------— 00.
Впослѣдствіи мы иногда будемъ говорить, что производная отъ У х при а = О
безконечна, но при этомъ, именно въ геометрическихъ приложеніяхъ по-
добное выраженіе понимаютъ не въ томъ смыслѣ, что отношеніе прира-
щеній имѣетъ безконечный предѣлъ, а въ томъ, что производная,
вычисленная при х > 0 безпредѣльно возрастаетъ, когда х стремится къ 0.
Дѣйствительно, при х > 0 имѣемъ
)<г + Л-Г.ѵ .. 1
Ііт ---—=----— = Ііт - -------—
Л=0 к 11=0 X 4“ /і +4 х
1
2^х’
Ііт ——7
-=Ц-о у х
Ясно, что совершенно другой смыслъ имѣетъ утвержденіе, что производная
функціи х — [л;] слѣва отъ всякаго цѣлаго значенія х равна — (XVII).
Впрочемъ, легко составить непрерывныя функціи, у которыхъ отношеніе при-
ращеній ни къ какому конечному или безконечному предѣлу не стремится.
Такъ, напримѣръ, для функціи у = х непрерывной при х = 0 (§ 272, б),
не существуетъ производной при х = 0, потому что
/(0) = 1,/(Л) = Л Щ
/(&) -/(0) П1 „1
дх Іі [/г] к
откуда видно, что съ приближеніемъ к къ 0, отношеніе приращеній по-
стоянно колеблется между 0 и — 1 (исключая — 1).
§) Противъ послѣдняго примѣра можно было бы сдѣлать слѣдующее
возраженіе: разсматриваемая въ немъ функція непрерывна при х = 0, но
въ окрестности этого значенія безконечно часто разрывна. Чтобы показать,
что нельзя вообще на такомъ обстоятельствѣ основать объясненіе отсутствія
производной, стоитъ только разсмотрѣть функцію, равную нулю при х = 0,
и х зіп — при л- = О. Она всюду непрерывна, а при х = 0 производной не
имѣетъ, потому что
п ли , . 1 бу /(к)~ /(0) . 1
/(0) = 0, /(й) = к зіп ,, г= зіп ,
' ’ ' к дх к к
и съ приближеніемъ к къ 0, зіп у- ни къ какому предѣлу не стремится.
Ь) Другой замѣчательный примѣръ дастъ разсмотрѣнная выше функ-
ція <р (х — И). Положивъ <р (х) = х зіп при .г-'О, и <р(0) = 0, имѣемъ
и <р(1) = О, не существуетъ, и кромѣ того
<р'(1) = Ііт , зіп
л-о «
л
1 4- к
14-й. ліг зіп ла
= Ііт —— зіп ---- = Ііт----= л.
л=о к 14-й о а
Слѣдовательно, непрерывная функція, вообще изображаемая формулою
(х - [лг]) зіп
не имѣетъ производной справа ни при какомъ цѣломъ значеніи х, а слѣва
имѣетъ производную, равную п. Если же возьмемъ <р(х) = х — Ух, то
найдемъ, что непрерывная функція [х] + Ух — [х] для всѣхъ цѣлыхъ зна-
ченій имѣетъ безконечную производную справа, и производную, равную
слѣва (XVIII). Пользуясь этою функціею Шварцу удалось составить функ-
цію, для которой подобное обстоятельство встрѣчается безконечное число
разъ въ любомъ интервалѣ. Наконецъ, Вейерштрассъ далъ примѣръ не-
прерывной функціи, не имѣющей производной ни при какомъ зна-
ченіи х, который мы сообщимъ впослѣдствіи (§ 801) *).
283. Производная обратной функціи. Разсмотримъ функцію
у = /(х), непрерывную при х = а и въ окрестности а. Предполо-
жимъ, что, по крайней мѣрѣ, для этихъ значеній х существуетъ об-
ратная функція х = §(у), и докажемъ, что если производная
функціи / существуетъ и не равна нулю, то существуетъ
и производная функціи Изъ непрерывности функціи /(х) при
х = а слѣдуетъ, что ду = /{а + дх) —/(«) стремится къ нулю
вмѣстѣ съ дх. Изъ непрерывности у въ окрестности а слѣдуетъ,
что ду непрерывная функція отъ дх. Отсюда вытекаетъ, что ду
принимаетъ всѣ значенія въ нѣкоторомъ интервалѣ (§ 276), заклю-
чающемъ въ себѣ нуль, при чемъ, однако, значеніе ду = 0 ис-
ключается. Причина этого исключенія лежитъ въ томъ, что если бы
ду было равно 0, при нѣкоторомъ значеніи дх = к ф 0, то одному
и тому же значенію у — /(а) соотвѣтствовали бы два значенія х:
х = а и х = а к, а тогда вопреки предположенію нельзя было бы
разсматривать х, какъ функцію отъ у. Эти соображенія даютъ намъ
теперь право разсматривать отношеніе
дх
ду ’
какъ отношеніе соот-
вѣтствующихъ другъ другу приращеній функціи х = у) и неза-
висимой перемѣнной у (см. примѣчаніе XVI). Предполагая теперь,
ду
что съ приближеніемъ дх къ 0, стремится къ предѣлу у'0,
тотчасъ видимъ (§ 263), что предѣлъ отношенія
дх 1
ду ду
дх
существуетъ и равенъ рг. Подробнѣе выражая полученный резуль-
татъ, можемъ сказать: Если извѣстна производная у (.г);?0
функціи /(х), то производная обратной функціи §(х) будетъ
(1)
!Л) Г'л-у
і) Болѣе общіе примѣры того же рода можно найти у Піпі „Роп-
батепіі" еіс. р. 146, или р. 205 и слѣд. (въ нѣмецкомъ переводѣ Ьйгоііі
и Зсѣерр).
Всѣ эти соображенія примѣнимы къ каждой сторонѣ отъ даннаго
значенія а въ отдѣльности. Пусть извѣстно, напримѣръ, что суще-
ствуетъ производная отъ у справа отъ а (т. е. при дх > 0). Тогда
(§ 263) ду въ концѣ концовъ приметъ и сохранитъ знакъ этой про-
изводной, и можно будетъ утверждать существованіе производной
обратной функціи справа или слѣва отъ у = /(а), смотря
по тому, будетъ ли этотъ знакъ или —. Если же предполагается
существованіе производной отъ у слѣва отъ а (т. е. при дх < 0),
то ду въ концѣ концовъ приметъ и сохранитъ знакъ, противопо-
ложный знаку этой производной * *), а потому можно утверждать
существованіе производной обратной функціи слѣва или справа
отъу — /(а), смотря по тому, будетъ ли знакъ данной производной
-ф или —. Изъ предыдущаго также слѣдуетъ, что если у имѣетъ
единственную производную по х, не равную нулю, то х имѣетъ
единственную производную по у.
284. Производная функціи отъ функціи. Если перемѣнная
у задана не какъ функція отъ х, а какъ функція отъ другой функ-
ціи и, такъ что
У =/(?*)• и = ср(х),
и если предположимъ, что существуютъ производныя /'(и) и (р'(х),
то легко показать, что существуетъ и производная отъ у,
взятая по х, и что она равна произведенію /'{и) <р'(х) [или
/'(<рРхУ) др'(х)]. Дѣйствительно, мы имѣемъ тождество
ду _ ду ди
дх ди дх
въ которомъ , по предположенію, стремится къ предѣлу и .
Это требуетъ, чтобы ди стремилась къ нулю вмѣстѣ съ дх, а такъ
какъ функція и непрерывна, потому что имѣетъ производную, то
и ди непрерывная функція отъ дх и принимаетъ всѣ значенія,
принадлежащія нѣкоторому интервалу, заключающему въ себѣ и
нуль. Положимъ сперва, что для всѣхъ значеній дх, для которыхъ
|<5хКт), гдѣ г} нѣкоторое достаточно малое положительное число,
ди постоянно отлично отъ нуля (что навѣрно и будетъ, если и' не
л\ ду
равно 0), тогда мы можемъ разсматривать -~, какъ отношеніе соот-
вѣтствующихъ приращеній функціи у и независимой перемѣнной и
(см. XVI) и сказать, что это отношеніе стремится къ предѣлу /'(и),
существованіе котораго предполагается. Изъ даннаго тождества тогда
ду , г
вытекаетъ, что стремится къ предѣлу у , равному произведенію
д у
*) Одинаковый съ нею знакъ (по § 263) будетъ имѣть , а дх <0.
ох
/'(и) ср'(х). Остается показать, что высказанная теорема остается
справедливою и въ томъ случаѣ, когда въ смежности съ нулемъ
(въ окрестности нуля) существуетъ такая послѣдовательность чиселъ
к, к', к”, ... , что ди = 0 всякій разъ, какъ дх дѣлается равнымъ
одному изъ этихъ чиселъ *). Прежде всего ясно, что производная
и', существованіе которой предполагается въ данномъ случаѣ, необ-
ходимо должна быть равна нулю (иначе отношеніе не могло бы
быть равно нулю для значеній дх въ смежности съ нулемъ). С..-
другой стороны, всѣ разсужденія, приведенныя въ первомъ случаѣ,
будутъ примѣнимы и теперь, если дх стремится къ нулю, обходя
всѣ числа к, к', к", ... , при которыхъ ди = 0, а потому ~
стремится къ предѣлу /'(и) 0 = 0. Если же дх принимаетъ именно
значенія к, к', к”,..., то ди — 0, откуда и ду = /'(и -ф ди)—/(и) = 0,
и ~ = 0. Слѣдовательно, существуетъ предѣлъ ~ , при дх стре-
мящемся къ нулю непрерывно, т. е. существуетъ производная
у, и она равна нулю такъ же, какъ и произведеніе /'(и) • и''.
Итакъ, всегда будемъ имѣть у' =(и) • и'. Замѣтимъ здѣсь, что
уравненіе (1) заключается въ послѣднемъ, какъ частный случай,
потому что при и = ^(х) (§ 253) имѣемъ у = х и у' = 1. Обоб-
щая полученный результатъ на тотъ случай, когда
у = /(и), и = <р(ѵ), ѵ — у(гѵ), .
находимъ у' = /'(и) <р'(ѵ) ^'(гѵ)... , предполагая, конечно, что число
функцій и, ѵ, гѵ, ... ограничено. Итакъ, мы имѣемъ теорему: про-
изводная функціи отъ функціи равна произведенію произ-
водныхъ этихъ функцій, при чемъ каждая производная бе-
рется по той перемѣнной, отъ которой каждая функція не-
посредственно зависитъ.
285. Производная суммы. Пусть у=и-)-ѵ-)-гѵ-)-..., гдѣ
и, ѵ, то, ... функціи отъ х, имѣющія производныя. Дадимъ пере-
мѣнной х приращеніе дх, при чемъ у, и, ѵ, то, ... получатъ при-
ращенія ду, ди, дѵ, дгѵ, ... Такъ какъ всегда
ТО
ду _ди дѵ дгѵ
дх дх дд; дх '
откуда, переходя къ предѣламъ съ приближеніемъ дх къ нулю, по-
*) Тогда отношеніе теряетъ смыслъ, и предыдущее разсужденіе
надо замѣнить другимъ.
лучимъ у' = и' 4- ѵ’ + и)' + . .. Итакъ, производная суммы рав-
на суммѣ производныхъ слагаемыхъ, предполагая число по-
слѣднихъ конечнымъ.
286. Производная произведенія. Если у = иѵ, то
у + ду = (и + ди) (у + дѵ) = иѵ + идѵ + ѵди + ди • дѵ,
откуда
Отсюда слѣдуетъ, что производная произведенія равна суммѣ
произведеній, получаемыхъ отъ умноженія производной
каждаго сомножителя на произведеніе всѣхъ остальныхъ
сомножителей. Дѣйствительно, допустимъ, что теорема, доказан-
ная выше для двухъ сомножителей, справедлива для п — 1 сомно-
жителей. Остается доказать, что она будетъ справедлива для п со-
множителей; а для этого стоитъ только въ послѣднемъ случаѣ на-
писать
у' = и'(уш ) + и (уги •••)' = и’ ѵи> у и ѵ’іі) + иѵѵУ + • • •,
и убѣдиться такимъ образомъ, что она справедлива вообще *).
287. Производная частнаго (или дроби). Допуская суще-
ствованіе производныхъ отъ функцій и и ѵ, можемъ утверждать и
существованіе производной функціи У = (ПРИ V не равномъ нулю),
потому что
и + д и и ѵди — идѵ
ду = —;—5-------= —т—, . ч
ѵ У дѵ ѵ ѵ(ѵ у дѵ)
откуда
ди дѵ
ду дх дх , ѵи' — иѵ'
дх „(, , дѵ\ ’ У
Ѵ2 1 + ~ѵ
Въ частномъ случаѣ, когда а постоянное число, для у = ~ имѣемъ
288. Производная степени. Пусть у = хп, гдѣ п цѣлое по-
ложительное число. Изъ правила для разысканія производной про-
изведенія находимъ, написавъ у =х х х х, у’ = пхп~4 Дока-
жемъ, что эта формула справедлива при всякомъ раціональномъ зна-
При конечномъ числѣ сомножителей.
ченіи п. Предположимъ сперва, что п = , гдѣ т цѣлое положи-
тельное число. Такъ какъ производная отъ хт существуетъ, то, по
сказанному въ § 283, существуетъ и производная обратной функціи
і
у = хт. Доказавъ существованіе производной у, мы можемъ взять
производную отъ х =ут, примѣняя правила § 284. Получаемъ
1 = т у"1 -у', или
I .Д—.. т(п—1) ,, .и—1
у = — у = пу — ПХ
Далѣе, если п равно отношенію двухъ цѣлыхъ чиселъ р и су то
на основаніи того же правила и полученнаго выше результата,
имѣемъ
/ --У' і іу-д 1_і х
у = \.ѵ? / , у’ = р \л;? ) — х" = -- х
Ч ц
Наконецъ, если п равно отрицательному числу — т, то, примѣняя
послѣдній результатъ послѣдняго §, имѣемъ
Если теперь у = ип, гдѣ п любое раціональное положительное или
отрицательное число, а и какая угодно функція отъ х, по пра-
вилу § 284, находимъ у = пи 1 • и'. Въ частности для у = |/ и
найдемъ
, и’
у' =----..
ЧУ и
Во избѣжаніе лишнихъ выкладокъ полезно также замѣтить, что
ДЛЯ У = І ’
, п и'
ѵ =---------
„н-1
289. Производныя отъ ах и Ьо§ х. Пусть у = ах. Когда х
получитъ приращеніе дх = к, то у получитъ приращеніе
откуда, припоминая полученный уже раньше результатъ (§ 270, б),
получаемъ
, Г1. а" - 1 х.
у' = а ііт —-— = а 1о§ а.
]і—о «
Въ частности, при у = ё*, у' = ех. Подобно этому имѣемъ для
= Ьо§ х
ду = Ьо§ (х + /г) - Ьо%х, і
и затѣмъ (§ 270, ё)
. 1, .. Л АѴ М
У = -Ь°§ І'гп ! + _- =-.
** \ Л у <л
Въ частности для у = 1о§ х, у' = ~. Полученные два результата
могутъ быть выведены одинъ изъ другого при помощи формулы
(1), потому что, если /"(х) = ах, то ѵ(г) = ѣо^х. Отсюда слѣдуетъ,
что, зная одну изъ производныхъ, напримѣръ, /'(х) = ах Ь, мо-
жемъ найти другую по формулѣ (1);
„ . = 1 =_____1 _ Л/
* ' /' (Ьо§х) х
Теперь, на основаніи сказаннаго въ § 284, мы можемъ утверждать,
что, если существуетъ производная функціи и, то производныя
функцій
_у = еи, у — 1о§ и
соотвѣтственно будутъ
/ и / /
у = е • гі' у' —--
гі
Замѣтимъ, наконецъ, что, зная производныя отъ еи и 1о§и, мы мо-
жемъ снова найти производную степени и притомъ обобщить
выведенное выше правило на случай ирраціональнаго по-
казателя. Дѣйствительно, изъ у = ип = е'1Іое" выводимъ
./ ЛПІ0ЯИ и П- 1 г
у ' = е ь------= пи - гі .
гі
290. Производныя круговыхъ (тригонометрическихъ)
функцій. Пусть у= зіп х; при дх = Іі имѣемъ
ду = зіп (х + /г) — зіп х = 2 зіп ^соз [х -ф •
Поэтому (§ 270, а)
Л
8Ш п , , ,
у' = 11ГП---—СОЗ X + =,- = СОЗ .V.
л=о “ \ 2)
2
Если у = созх, то можно найти производную путемъ подобнаго же
вычисленія или, короче, пользуясь правиломъ § 284, можно написать
у = ЗІП
У‘
— соз
— зіп X.
Для у = і%х, разсматривая і^х, какъ отношеніе зіпх къ созх, и
примѣняя правило § 287, находимъ
, _ СОЗ X СОЗ X — ЗІП X (— ЗІП -ѴІ 1
? СО52 X СОЗ2#'
Можно найти производную і^х и путемъ непосредственнаго вы-
численія, а именно:
, ѵ Іё(х у Іі) - ірх зіп Л 1 1
у — Ііш у----- — Ііт —у— •---------——=— — —5— •
/1=о « « СОЗ X СОЗ (X + п) СОЗ2 Л’
Наконецъ, когда
у = зіп и, у = соз и, у = и
(и функція отъ х), то соотвѣтственно
. , , . , и'
у = и соз и, у = — и' зіп «, у = ——
соз2 и
291. Производныя обратныхъ круговыхъ функцій. Прежде
всего надо замѣтить, что эти производныя вообще существуютъ,
именно на основаніи доказанной въ § 283 теоремы. Послѣ этого
только можно, написавъ
у — агс зіп х, у = агс соз х, у = агс ф х
и выведя отсюда соотношенія х = зіщу, х = соз_у, х = ф у, при-
мѣнить къ послѣднимъ правило § 284. Тогда получимъ
уг
1 = _у'СО8.у, І— 'Ѵ'ЗІПѴ, 1 = ^5^’
откуда затѣмъ найдемъ слѣдующія значенія производныхъ у', соот-
вѣтственно написаннымъ выше тремъ функціямъ у.
111 1,1
----= — ---------=----------. СОЗ2 у = ---і-
соз у у [ _х2 япу х2 1 + X2
Можно и прямымъ вычисленіемъ (не прибѣгая къ обращенію функ-
ціи) найти эти производныя. Такой способъ имѣетъ то преимуще-
ство, что даетъ и доказательство существованія производныхъ и ихъ
выраженія. Пусть, напримѣръ, у = агсі§х, дх = к, тогда
агсі -- к —
ѵ/=]іт= агс (* + /р - агс ф х = Ит аГС 8 1 + *(* + й)
*=> Л к
Полагая к — [1 -ф х (х -ф А)] а, гдѣ а стремится къ нулю вмѣстѣ
съ к, находимъ
, Гагс 1 ] 1
1т [ а 1 + х(х + А)] 1 + х-
Замѣтимъ, что въ вышеприведенныхъ выраженіяхъ — х2 обо-
значаетъ положительное значеніе корня, потому что дуги, обозначен-
ныя символами агс зіп х и агс соз X, имѣютъ первая положительный
косинусъ, вторая положительный синусъ *). Сумма этихъ дугъ по-
стоянная (§ 254, ё), чѣмъ и объясняется, что и производныя ихъ
равны по абсолютной величинѣ и противоположны по знаку. Резю-
мируя вышесказанное и припоминая правило § 284, можемъ на-
писать для
у = агс аіп и, у = агс соз и, у = агс и
соотвѣтственно
и' и' и'
У уПіі2’ у ~ у ~ 1 +
Въ заключеніе замѣтимъ, что, пользуясь теоремою § 283, мы молча
исключили тѣ случаи, когда разсматриваемыя нами функціи произ-
водныхъ не имѣютъ. Такъ, напримѣръ, для функціи агс зіп х произ-
водная существуетъ только до тѣхъ поръ, пока соз_у не равенъ О,
т. е. х не равенъ + 1; для этихъ значеній х = + 1, это надо
всегда имѣть въ виду, производной отъ агс аіп х не существуетъ.
Такъ, при х = 1 нѣтъ производной ни справа, ни слѣва (справа, по-
тому что тогда самой функціи агс зіп .г не существуетъ), такъ какъ
агс зіп(1 — 7г) — агс аіп 1 агс соз(1 — Л)
Ііт------>---<---------- = Ііт -----)------
л -о — Л л=о
а а
= Ііт -------= Ііт -------= ос .
а=0 1 — соз а а=о25іп2а
Подобное же имѣетъ мѣсто для агс соз х. Наоборотъ, производная
агсі^х всегда существуетъ, потому что производная і§х никогда не
обращается въ нуль.
292. Упражненія, а) Производная полинома
У — ГГф X -ф Г/, X -ф Г?2 X -ф ГГд X ' ’' + 1 х -ф
степени п есть полиномъ
у' = па^х”-1 -ф (и — 1) а1х“~2 4- (п — 2)а>,хп 3 -ф ••• + 2«н 2.ѵ + ап_ѵ
степени п — 1.
*) Первая лежитъ въ предѣлахъ I— 4, 41 , вторая между 0 и л.
Производная отъ у', которую называютъ второю производною
отъ у, есть
у" = п(п — 1 ' 2 + (п — 1) (и — 2) + ••• + 2«іі2.
Послѣдовательныя производныя у"', у14, ... (3-я, 4-я, ...) будутъ также по-
линомы степеней п — 3, п — 4, ..., я-ая производная есть постоянное число,
а всѣ слѣдующія нули: у^ = п\ а0, _у(и+1І = _У"+2) = ... =0.
Ь) Для
у = л'(1о§л-~1), 1о§ соз х, 1021о§ .ѵ, Іо8 у 1о§ ІДрЕБгЦ
съ помощью доказанныхъ въ предыдущихъ §§ правилъ и полученныхъ
результатовъ находимъ соотвѣтственно:
у'=І02л‘, — І2х, —:--, -—, -—•
х к>2 х зіп х зіп кх
Для
у = агс соз (1 — .ѵ) — У 2.ѵ — х2, агс соз ~ 4- ІО2 (.ѵ У.ѵ2 — а2)
получимъ
у = і/~Е, Іі/Е+Э.
г 2 — х х Г х — а
Точно также находимъ для функцій
зіп а зіп л Ь 4- а соз х , е — е
у = агс зіп •=----------------, агс соз —(—-----------, агс іе---------
1 — соз а соз х а ф- о соз х ех I е
слѣдующія выраженія производныхъ
зіп а Уа2 И1 2
1 — соз «соз х’ «дАсоз.ѵ’ е2ау е 2ж
с) Всѣ эти вычисленія производныхъ легко производятся, если при-
мѣнимъ, гдѣ нужно, правила для нахожденія производныхъ суммы, произве-
денія, частнаго, и къ каждому члену результатовъ — правило для нахожденія
производной функціи отъ функціи: послѣднее правило особенно важно, потому
что оно позволяетъ устранитъ всѣ трудности, сопряженныя съ вычисленіемъ
производной сложнаго выраженія, расчленяя это выраженіе и оперируя
послѣдовательно надъ каждою частью въ отдѣльности. Такъ, напримѣръ,
производная отъ
у = агс (х — У1 + х2)
берется такъ:
___________1__________
1 + (х — 1 + х-)“
2х \
2УГ+^)
1
2(1 +^2)
Этотъ результатъ легко повѣрить, замѣтивъ, что
Точно также для вычисленія производной отъ
У = х | ) і + 1о§ (х + У1 + .г-’)
пишутъ
у' = У1 + .г2 + х---—--------4-----7=-^ {1 + —-2--------= • • = 2У1 У
2 У1 + а2 л- + У1 + л-2 \ 2 у 1 + л/
б) Если даны соотношенія
. у -і/1+ж , у і/1— к, х
18 2 ~ Г 1-х’ Іё 2 “ V 1 + к 8 2 ’
то, сравнивая производныя обѣихъ частей равенствъ, легко найдемъ
у' = —-1—У' = (XIX).
Уі - № 1 + СОЗ А"
Далѣе, если даны функціи
у = Xх, у = ХхХ, . .
то взявъ, сперва логариѳмы, а потомъ производныя обѣихъ частей получен-
ныхъ равенствъ, найдемъ
у' = Xх (1 4- 1о§ х), у' = 1- + 1о§ .V Ц- ІО§2 А^ , • • •
Однако, поступая такимъ образомъ, мы допускаемъ а ргіогі существованіе
производной у'. Чтобы устранить это возраженіе, надо впередъ доказать,
что эта производная существуетъ. Въ предпослѣднихъ двухъ примѣрахъ
это вытекаетъ изъ того замѣчанія, что у можетъ быть представленъ въ
видѣ агсі§ и. Для у — хх можно написать у = ех10&х и т. д.
е) Производная порядка и (я-ая) отъ у = хт 1о§ х равна
= т(т — 1) ... (/« — п + 1) л-"' '' (іое х Ч- — ц--—- 4- • • 4----
ѵ ѵ ’ ^тт- 1 1 т -п 4-1
Въ частности,
уж) = А + 1 + 1 + 1 + ... + У (Н-1) = У.
\ 2 О ІУІ / х
Такимъ же образомъ, послѣдовательнымъ вычисленіемъ производныхъ най-
демъ, что л-ыя производныя функцій
С05й соз (х зіп а), у = ехеова зіп (х зіп а)
соотвѣтственно равны
у^ = і;*008® с05 (па -|- х зіп а), у^ = ехсо8‘‘ 5іп {па 4~ х зіп л).
Не столь просто вычисленіе и-ой производной отъ у = агсІ§ х. но ее легко
выразить, какъ функцію отъ у, вычисляя (п — 1)-ую производную отъ
у’ = :—г, = соз2у, а именно:
= (« -- 1)! СОЗИ_у • зіп п
Свойства производныхъ.
293. Прежде чѣмъ идти далѣе, сдѣлаемъ небольшое отступле-
ніе въ область, чрезвычайно важную для приложеній Математики.
Уже при доказательствѣ основныхъ теоремъ въ теоріи функцій
удобно пользоваться геометрическимъ изображеніемъ независимой
перемѣнной. Это изображеніе мы получимъ, установивъ соотвѣт-
ствіе между значеніями перемѣнной и точками нѣкоторой прямой
линіи, какъ это дѣлается въ Аналитической Геометріи. Благодаря этому
всѣ доказательства, не измѣняясь по существу (потому что нужно
остерегаться основывать ихъ на какихъ либо геометрическихъ поня-
тіяхъ), выигрываютъ въ ясности и наглядности, и могутъ быть вы-
ражены немногими словами. Вмѣсто того, чтобы говорить о значе-
ніи, которое даютъ перемѣннной, называютъ точку, служащую его
изображеніемъ, и всякій интервалъ (а, Ь) изображается прямоли-
нейнымъ отрѣзкомъ, ограниченнымъ точками а и Ъ, т. е. точками,
разстоянія которыхъ отъ нѣкоторой начальной точки, отложенныя
въ извѣстномъ направленіи, измѣряются числами а и Ъ. Чтобы изо-
бразить нѣкоторую функцію у, стоитъ только разсматривать каждую
пару соотвѣтствующихъ значеній л и у, какъ Декартовы (прямо-
угольныя) координаты точки на плоскости; уравненіе у = /(л) изо-
бразитъ тогда нѣкоторую линію, съ помощью которой легко от-
дать себѣ отчетъ въ главныхъ свойствахъ функціи и ея производ-
ной. Прежде всего надо указать геометрическое значеніе производ-
ной. Разсмотримъ касательную къ кривой въ точкѣ М, т. е.
предѣльное положеніе, съ которымъ
стремится совпасть сѣкущая ММ',
когда точка М', двигаясь по кривой,
безпредѣльно приближается къ М.
Пусть 5 и Т будутъ точки встрѣчи
сѣкущей и касательной съ осью абс-
циссъ, Р и Р' основанія перпендику-
ляровъ, опущенныхъ изъ точекъ М
и М' на ту же ось. Обозначимъ
черезъ Н точку, имѣющую съ точ-
кою М' общую абсциссу, а съ точ-
кою М— одинаковую ординату. Пусть
х и у —координаты данной точки М, х -|- дх и у ду— коорди-
наты точки М', и замѣтимъ, что въ силу подобія треугольни-
ковъ МНМ' и 8РМ
ду М'Н МР
д.ѵ МН ЗР
Когда дх и ду стремятся къ нулю, точка М' стремится къ М,
Р и М остаются неподвижными, 5 стремится къ Т, поэтому
ду МР МР тгГг~
У =11тЙ = 11т ~8Р= ТР=^МТХ'
т. е. производная ординаты нѣкоторой кривой, взятая по
абсциссѣ, изображаетъ угловой коэффиціентъ касательной
къ кривой. Если независимая перемѣнная обозначаетъ время, то
этотъ коэффиціентъ, а слѣдовательно, и производная, изображаетъ
скорость или мѣру быстроты, съ которою функція въ данный
моментъ стремится возрастать или убывать. Именно съ этой послѣд-
ней точки зрѣнія понятіе о производной, лежащее въ основѣ исчи-
сленія безконечно малыхъ, и представилось уму Ньютона, неза-
долго до 1667 года т).
294. Примѣры, а) При вычерчиваніи кривой у = /(х) весьма по-
лезно знать производную /'(х) ординаты, потому что это даетъ средство
строить кривую по точкамъ и по касательнымъ. Мы ограничимся здѣсь
немногими примѣрами, чтобы показать пользу графическаго изображенія, и
притомъ не съ геометрической точки зрѣнія, о которой рѣчь будетъ впе-
реди, а именно съ точки зрѣнія самой теоріи функцій. Мы предпошлемъ два
совсѣмъ простыхъ упражненія, показавъ построеніе касательной къ пара-
Рис. 6.
болѣ (рис. 5)
уравненіями
и равносторонней
гиперболѣ
(рис. 6), изображаемыхъ
а-
Изъ формулъ
а х
а-
х~
'Г'П У 1
находимъ ТР = ^4 =
У 2
для параболы и
= .%• для гиперболы.
!) См. Мапзіоп, Кѳзішіё би Соигз б'Апаіузе р. 194.
Отсюда заключаемъ, что, зная точку 0— вершину параболы или центръ гипер-
болы, и точку Р—проекцію данной на кривой точки М на касательную къ
параболѣ въ ея вершинѣ или на асимптоту гиперболы, построеніе каса-
тельной въ точкѣ М приводится къ слѣдующему: соединивъ точку М на
параболѣ съ срединою Т отрѣзка ОР, получимъ касательную къ параболѣ,
а соединивъ точку М на гиперболѣ съ точкою Т, симметричною съ О
относительно Р, получимъ касательную къ гиперболѣ.
Ь) Линія, изображающая функцію у = х — [х], состоитъ изъ безчислен-
наго множества прямолинейныхъ отрѣзковъ; одинъ конецъ каждаго отрѣзка
лежитъ на прямой у = 0, въ точкѣ х = п, а другой на прямой у = 1, въ
точкѣ .ѵ = » + 1 *). Точки на второй прямой, собственно говоря, надо исклю-
чить, но полезно замѣтить, что съ геометрической точки зрѣнія подобныя
исключенія не нужны. Напротивъ, надо пользоваться понятіемъ о непрерыв-
ности, чтобы исключать по возможности меньше точекъ и касательныхъ.
Такимъ образомъ, когда точка, при движеніи по кривой, стремится совпасть
съ нѣкоторою неподвижною точкою, координаты которой уравненію кривой
не удовлетворяютъ, эту неподвижную точку тѣмъ не менѣе разсматриваютъ
(въ Геометріи), какъ принадлежащую кривой: впрочемъ, и не возможно ее
исключить или отдѣлить отъ другихъ графическими средствами. Подобнымъ
же образомъ поступаютъ, когда въ нѣкоторой точкѣ М не существуетъ ка-
сательной, между тѣмъ, какъ существуетъ прямая, съ которою стремится
совпасть касательная въ точкѣ М' при безпредѣльномъ приближеніи М'
къ М\ эту прямую и разсматриваютъ, какъ касательную въ точкѣ М. Такія
соглашенія принимаются для устраненія нѣкоторыхъ сомнѣній, которыя не
рѣдко встрѣчались бы въ геометрическихъ приложеніяхъ, если мы захотѣли
бы держаться строгой интерпретаціи установленныхъ выше аналитическихъ
принциповъ.
с) Другая интересная линія получится при изображеніи функціи
у = х . Она состоитъ изъ отрѣзковъ, образуемыхъ на безчисленномъ
множествѣ прямыхъ, выходящихъ изъ одной точки (рис. 7).
у = пх і« цѣлое число); на этой прямой
прямыя у = 1 — х и у = 1 образуютъ отрѣ-
зокъ, принадлежащій данной линіи (за исклю-
ченіемъ конца его, лежащаго на первой ли-
ніи). Точка А на оси у-въ, ордината которой
равна 1, можетъ быть причислена къ данной
линіи **), но эту линію невозможно начертить
въ окрестности точки А, несмотря на то, что
въ этой точкѣ ордината непрерывна (§ 272,
б) (XX).
б) Въ предыдущемъ примѣрѣ разсма-
триваемая функція непрерывна въ точкѣ А,
но разрывна въ ея окрестности. Иное дѣло
представляетъ функція, опредѣляемая равен-
ствами /(аг) = х зіп (при ѵ и /(0) = 0.
Она непрерывна при всякомъ .ѵ (§ 272, а). Тѣмъ не менѣе линію, которой
*) Потому что у = х — [д-і всегда > 0 и < 1, и при п ь х < п + 1
имѣетъ видъ у = х — п («-цѣлое число). Такъ какъ х < и—1, но не
равно п у- 1, то у подходитъ къ 1 какъ угодно близко, но не дости-
гаетъ ея.
**) Полагая у = 1 при х = 0 (§ 272, б).
•
уравненіе есть у = х зіп — , невозможно начертить въ окрестности точки
\ А"/
х = 0, у = 0. То же самое можно сказать о непрерывной функціи
У [У О)] = X зіп 1 зіп-Ц
X зіп —
-V
и притомъ въ окрестности безчисленнаго множества значеній х въ ин-
х / 1 1\ 111
тервалѣ ,4— , а именно + •••
\ л л) л 1л 6 л
Такія точки сгущаются все больше и больше въ функціяхъ /(/(/(я-))),
/(/(/(/(*> )))••’ ПОТОМУ чт0 всякій разъ къ тѣмъ точкамъ, въ окрестности
которыхъ функцію нельзя графически изобразить, присоединяются новыя и
новыя, а именно тѣ, въ которыхъ функція обращается въ нуль (ХХІ). Не слѣ-
дуетъ, однако, думать, что невозможность графическаго построенія проистекаетъ
исключительно вслѣдствіе несуществованія производной, а слѣдовательно, и
касательной въ разсматриваемыхъ точкахъ. Напримѣръ, кривая у = .г2 зіп —
касается оси х (у' = 0) въ началѣ координатъ, между тѣмъ физически
невозможно начертить кривую въ окрестности начала координатъ *).
е) Существуютъ и такія функціи, для которыхъ нельзя провести ни
одного штриха изображающихъ линій, хотя можно поставить сколько угодно
точекъ этихъ линій, и притомъ, какъ угодно близкихъ одна къ другой.
Такова, напримѣръ, функція ы (х), изслѣдованная въ § 277, с. На каждомъ
прямолинейномъ' отрѣзкѣ, параллельномъ оси х, заключенномъ въ полосѣ
между прямыми у = 0 и у = 1, и сколь угодно маломъ, какъ видно изъ
сказаннаго въ § 277, с, лежитъ безчисленное множество точекъ линіи, изо-
бражающей данную функцію; эти точки какъ бы заполняютъ всю упомяну-
тую полосу. Если въ этомъ случаѣ невозможность графическаго изображенія
можно объяснить полною разрывностью функціи, то этого объясненія нельзя
примѣнить къ функціи Вейерштрасса (§ 801) она непрерывна вездѣ, но ни
въ одной точкѣ не имѣетъ производной. Эти замѣчанія убѣждаютъ насъ въ
необходимости чисто аналитическихъ доказательствъ даже и такихъ свойствъ
функцій, которыя кажутся очевидными, если изобразимъ ихъ въ геометри-
ческой формѣ, потому что съ одной стороны эти свойства вовсе не зави-
сятъ отъ возможности графическаго изображенія функцій; съ другой, эта
возможность отсутствуетъ для обширныхъ классовъ функцій, несмотря на
непрерывность и на существованіе производной.
1) Читатель можетъ упражняться въ графическомъ изображеніи раз-
личныхъ разрывныхъ функцій, разсмотрѣнныхъ нами раньше. Мы ограни-
чимся здѣсь двумя лишь функціями, графическія построенія которыхъ намъ
впослѣдствіи понадобятся.
[л"1
1) Линія у = — состоитъ изъ безчисленнаго множества гиперболи-
ческихъ дугъ, потому что, когда х заключается въ интервалѣ (я, п + 1),
гдѣ п цѣлое число, за исключеніемъ верхней границы, то уравненіе обра-
щается въ ху = я, и изображаетъ дугу гиперболы, соединяющую точку Р
Вслѣдствіе безконечно частыхъ колебаній зіп въ окрестности л =0.
на прямой у = 1 (при х = п) съ точкою на гиперболѣ х (1 — у) = 1 (при
х = п 4- 1) *) (рис. 8).
Припоминая сказанное о построеніи касательной къ гиперболѣ въ примѣрѣ
а) видимъ, что касательная въ каждой точкѣ Р проходитъ черезъ точку А,
симметричную съ О относительно прямой у = \. Слѣдовательно, касатель-
ныя въ точкахъ Рѵ, Р2, Р<>, ... всѣ сходятся въ точкѣ А. Далѣе, если
Рис. 8.
возьмемъ любую точку М на линіи и проведемъ черезъ нее прямую, парал-
лельную оси х, то касательная въ этой точкѣ будетъ симметрична съ ОМ
относительно этой прямой. Такъ какъ съ возрастаніемъ х до безконечности
Иглу = 1, то проведенная черезъ М прямая, параллельная Ох, въ предѣлѣ
совпадаетъ съ прямою у = 1, и касательная въ точкѣ М пройдетъ черезъ
точку А. Итакъ, если точка М, двигаясь по линіи у = , стре-
мится къ предѣльному положенію на прямой у — 1, то касатель-
ная въ точкѣ М стремится къ предѣльному положенію^ = 2.
2) Также легко построить линію, изображающую функцію
у = 2~М^1 - -^Ул- - И , (х > 0).
Эта линія состоитъ изъ безчисленнаго множества параболическихъ дугъ
и оказывается, что, когда точка движется по этой линіи въ безко-
нечность, стремясь къ предѣльному положенію на оси х-въ, то
острый уголъ, образуемый касательною въ этой точкѣ съ осью
X л. /
х-въ, постоянно колеблется въ интервалѣіа, % I , нижняя гра-
ница котораго стремится къ нулю (рис. 9) (XXII).
§) Всякій посвящающій себя техническимъ наукамъ, увидитъ, что па-
ровая машина сама чертитъ свою собственную діаграмму т. е. линію,
изображающую давленіе пара, какъ функцію объема, образующагося подъ
поршнемъ. Поэтому, если извѣстны положенія поршня въ тѣ моменты, когда
начинается и кончается впускъ пара изъ котла въ цилиндръ, или выпускъ
*) Точка Г) лишь предѣльная точка на дугѣ РО, потому что х какъ
угодно близко къ п + 1, но не равно л + 1.
его въ конденсаторъ, то машина раскрываетъ передъ тѣмъ, кто ее допра-
шиваетъ, свои достоинства и недостатки. Различныя діаграммы встрѣчаются
во всѣхъ отдѣлахъ инженерной науки и часто употребляются и при изуче-
Въ такихъ эмпирическихъ кривыхъ нельзя теоретически говорить
о касательной или производной, хотя эти кривыя постолько и важны, по-
сколько онѣ могутъ служить для сужденія о скорости измѣненія изобра-
жаемой ими функціи. Дѣйствительно, эти кривыя не свободны отъ неболь-
шихъ погрѣшностей и изображаютъ не истинную функцію и, а нѣкоторую
другую ѵ, нѣсколько отличную отъ и. И нетрудно убѣдиться, что, если
производная функціи и существуетъ, то производная отъ ѵ можетъ и не
существовать, или, если и существуетъ, то ѵ' можетъ значительно отличаться
отъ и'. Напримѣръ* 2), если и = ѵ + а зіп , гдѣ а постоянное весьма ма-
, , 1 X , ,
лое число, то и — ѵ' = — соз —= и, хотя и — ѵ\ никогда не превосхо-
а а-
дитъ а, и' — ѵ' | можетъ быть весьма большою въ окрестности безчислен-
наго множества значеній х.
295. Функція У(х) называется возрастающею или убываю-
щею или постоянною справа отъ а, если возможно найти такое
положительное число к, чтобы въ интервалѣ (а, ак) всѣ зна-
ченія _Дх) были соотвѣтственно больше, меньше или равны /(а).
Функцію /(х) называютъ возрастающею, убывающею или постоян-
ною слѣва отъ а, если въ интервалѣ (а, а — к) всѣ значенія функ-
ціи будутъ соотвѣтственно меньше, больше или равны /(а). Можетъ
случиться, что такое число к не существуетъ вовсе. Такъ, напри-
мѣръ, ясно, что функція /(х) — х зіп -і-, при О, и равная нулю
при х = 0, въ окрестности нуля никогда не перестаетъ принимать
значенія какъ положительныя, такъ и отрицательныя и равныя нулю.
Какъ бы мало ни было к, въ интервалѣ (—Л, -ф/г) /(х) будетъ и
больше и меньше и равно /(0) = 0. Поэтому эту функцію /(х) въ
окрестности х = 0, или, какъ говорятъ для краткости, при х = 0,
См., напримѣръ, „Соигз ФЁсопотіе роіііідие" раг V. Рагеіо.
2) См. Ьаигепі „Саісиі дез ргоЬаЬііііёз" р. 200 или Сепоссѣі еі Ре-
апо, „Саісоіо біМегепгіаіе", р. XIII.
нельзя назвать ни возрастающею, ни убывающею, ни постоянною.
Именно это обстоятельство и объясняетъ невозможность графиче-
скаго изображенія этой функціи въ окрестности начала координатъ,
потому что, намѣтивъ точку, въ окрестности которой ордината кри-
вой не возрастаетъ, не убываетъ и не постоянна, невозможно себѣ
представить какимъ образомъ примыкаютъ къ ней сосѣднія точки.
Подобное же можно сказать о функціи _у = хзіп2 , которую
нельзя назвать возрастающею при х = 0, потому что въ окрестности
нуля, она безконечное число разъ равна у(0) = О *). Функція й(д-)
(§ 277, с) такова, что о ней нельзя ничего сказать (относительно воз-
растанія или убыванія) въ окрестности любого значенія х.
296. Функція /(х) называется 1) возрастающею или 2) убы-
вающею или 3) постоянною въ интервалѣ, если для любой пары
значеній х' и х" въ этомъ интервалѣ разность /(х)— /\х")
1) имѣетъ одинаковый знакъ съ х' — х", 2) имѣетъ знакъ, противо-
положный знаку х' — х" и 3) равна нулю. Чтобы выяснить разли-
чіе между возрастаніемъ (или убываніемъ, или постоянствомъ) „въ
интервалѣ" и „при данномъ значеніи х“ (т. е. „въ окрестности"
даннаго значенія х) достаточно взять для примѣра функцію —, зна-
ченіе которой при х = 0 выбрано по произволу. Ее надо назвать
возрастающею въ окрестности или при х = 0, справа отъ 0, ка-
ково бы ни было значеніе ея при х = 0, и въ тоже время она бу-
детъ убывающею въ любомъ интервалѣ (0. Л) за исключеніемъ
нижней границы, какъ бы мало ни было к (ХХШ). Ясно, что функ-
ція, возрастающая, убывающая или постоянная въ интервалѣ, будетъ
обладать соотвѣтственными свойствами въ окрестности любого зна-
ченія перемѣнной въ этомъ интервалѣ. Но обратное заключеніе
вовсе не очевидно, хотя оно и справедливо, какъ будетъ доказано
въ слѣдующемъ параграфѣ. Замѣтимъ здѣсь же, что это заключеніе
будетъ несправедливо, если функція будетъ, напримѣръ, возрастаю-
щею съ одной лишь стороны отъ всѣхъ чиселъ даннаго интер-
вала. Такъ, напримѣръ, функція х — [х] возрастающая справа отъ
любого значенія х, но она не будетъ возрастающею въ интервалѣ
(а, Ь), если [а] < |7/| (XXIV).
297. Теорема I. Функція, возрастающая въ окрестности
каждаго числа, лежащаго въ данномъ интервалѣ, будетъ
возрастающею въ интервалѣ. (Теорема остается справедливою,
когда въ ея формулировкѣ слово „возрастающая" замѣнимъ словами
„убывающая" или „постоянная".)
Если допустимъ, что въ конечномъ или безконечномъ интер-
валѣ функція не будетъ возрастающею, то въ данномъ интервалѣ
будетъ заключаться, по крайней мѣрѣ, одинъ интервалъ (а,, Ьх), для
♦) При х = + —, гдѣ п цѣлое число, сколь угодно большое.
границъ котораго («1 < Ьг) имѣетъ мѣсто неравенство /(«,)
Обозначимъ теперь черезъ (а2, 62) правую (верхнюю) или лѣвую
(нижнюю) половину интервала (а,, &,), смотря по тому, будетъ ли
<Д(яі) или и замѣтимъ, что въ обоихъ
случаяхъ /(а2) = _Дй2). Съ интерваломъ (а2, Ь2) поступимъ, какъ съ
интерваломъ (а,, Ьх), и, продолжая такимъ образомъ, подобно тому,
какъ поступили въ § 171, найдемъ число | общій предѣлъ нижнихъ
границъ а,, а2, аъ, ... и верхнихъ границъ ЪІУ Ь2, Ъ3, послѣдова-
тельно образуемыхъ этимъ путемъ интерваловъ. Это число оче-
видно, будетъ лежать въ данномъ интервалѣ (а, Ъ). Выбравъ по-
ложительное сколь угодно малое число к по произволу, всегда мо-
жемъ опредѣлить достаточно большое число п, чтобы ап и Ъп по-
пали въ интервалъ (| — к, -ф к), первое слѣва, второе справа отъ
Такимъ образомъ, мы видимъ, что интервалъ ({• — к, §) содер-
житъ число х' = ап, а интервалъ (^, -ф к) число х” = Ь.л, о ко-
торыхъ извѣстно, что /(х')^/(х"), при х'<^х". А это противо-
рѣчитъ предположенію, что /(х) возрастающая въ окрестности
числа потому что въ силу этого предположенія, при достаточно
маломъ к, всегда имѣемъ /(х") >/(х'). Совершенно аналогично
доказывается теорема въ случаѣ функціи убывающей или посто-
янной.
298. Теорему I можно доказать иначе, не прибѣгая къ про-
цессу § 171. Положимъ опять, что /(х) функція, возрастающая въ
окрестности каждаго числа х въ данномъ интервалѣ. Возьмемъ по
произволу два числа х' и х" въ этомъ интервалѣ и пусть х'<^х".
Для доказательства теоремы достаточно доказать, что /{х') <^/(х").
Такъ какъ /(х) является возрастающей справа отъ х', то существуютъ
числа х:^х", но большія х', для которыхъ /{х') < Дх). Ансамбль
этихъ чиселъ х конечный и имѣетъ верхнюю границу Діі-х". Далѣе,
такъ какъ /(х} возрастающая слѣва отъ то существуетъ такой интер-
валъ (^—к, д), что /(х)<^./\±) для всѣхъ значеній х, лежащихъ
въ немъ. Съ другой стороны, по самому опредѣленію верхней гра-
ницы ансамбля, въ томъ же интервалѣ лежитъ, по крайней мѣрѣ, одно
число % разсматриваемаго ансамбля, т. е. такое, что Дх') <С/(^') и
одновременно Д^)</(§) Отсюда вытекаетъ, что Дх') <_/(§), т. е.
принадлежитъ къ разсматриваемому ансамблю и будетъ поэтому
наибольшимъ числомъ его. Если бы оказалось меньше х'', то
вправо отъ нашлось бы число §"Дх", для котораго Д^) < /(§"'),
а потому и /{х') </(%'), т. е. и принадлежало бы тому же ан-
самблю, а это невозможно, потому что наибольшее число этого
ансамбля есть § ="• Итакъ, § = х" и /(х') < /(х"). Можно замѣ-
тить, что при этомъ доказательствѣ условія теоремы не были ис-
пользованы полностью, а именно функція была предположена воз-
растающею слѣва отъ каждаго значенія х} въ интервалѣ, а справа
предположено лишь существованіе нѣкоторыхъ чиселъ хг, какъ
угодно близкихъ къ хх, для которыхъ /(х,) </(г2) *). Однако, мы
видимъ, послѣ того какъ теорема доказана, что изъ этого, повиди-
мому, болѣе широкаго условія, необходимо слѣдуетъ, что функція
будетъ возрастающею справа отъ каждаго значенія х въ данномъ
интервалѣ.
299. Теорема II. Функція будетъ возрастающей или
убывающей справа (слѣва) отъ а, смотря по тому, будетъ ли
производная ея при х = а справа (слѣва) больше или мень-
ше нуля.
Изъ сущности установленныхъ опредѣленій вытекаетъ, что
функція будетъ возрастающею при х = а, если возможно указать
такое положительное число /г, что, при Фг*і<Л, Фу имѣетъ одина-
ковый знакъ съ дх, и убывающею, если, при |дх|<Л, <5 у имѣ-
етъ знакъ, противоположный знаку дх. Если при х = а про-
изводная справа (слѣва) есть число положительное, то соотвѣтствую-
щее отношеніе приращеній , съ приближеніемъ дх къ 0, въ
концѣ концовъ становится и остается числомъ положительнымъ, т. е.
ду принимаетъ и сохраняетъ знакъ дх, а слѣдовательно, функція бу-
детъ возрастающею. Такимъ же образомъ доказывается, что функ-
ція будетъ убывающею при х = а, если ея производная при х = а
отрицательна. Далѣе, если производная при х = а равна нулю, то
это не мѣшаетъ тому, чтобы ду при достаточно маломъ | дх | со-
храняло постоянный знакъ, и функція была возрастающею или убы-
вающею при х = а. Но можетъ случиться, что ду въ концѣ кон-
цовъ дѣлается равнымъ нулю или не перестаетъ обращаться въ
нуль или мѣнять знакъ, какъ бы мало ни было <ѣѵ; тогда функція,
если она не постоянна, не будетъ вообще ни возрастающею, ни
убывающею.
300. Теорема III. Функція, имѣющая единственную про-
изводную, будетъ возрастающею или убывающею въ дан-
номъ интервалѣ, смотря по тому, будетъ ли эта производ-
ная во всемъ интервалѣ больше или меньше нуля.
Дѣйствительно, если, напримѣръ, /\х) > 0 для всѣхъ значе-
ній х въ интервалѣ, то /(х) будетъ возрастающею въ окрестности
каждаго изъ этихъ значеній, а въ силу теоремы I будетъ возра-
стающею и въ интервалѣ.
301. Махіта и тіпіта. Говорятъ, что у(х) проходитъ че-
резъ тіпітит при х = а, или что /(а) есть тіпітшп функціи,
если ни одно изъ значеній У(х) въ окрестности числа а не меньше
/(а). Говорятъ, что /(а) есть тахішиш функціи /(х), если ни
*) А это неравносильно условію, чтобы /(х) была возрастающею
справа отъ требующему, чтобы/<х1)</(,ѵ2) для всѣхъ чиселъ х3>хх
и достаточно близкихъ къ хѵ
одно изъ ея значеній въ окрестности а не превосходитъ /(а). Опре-
дѣляемые такимъ образомъ тахіта и тіпіта называются абсо-
лютными, въ отличіе отъ тахітит’а и тіпітит’а, которые функ-
ція имѣетъ въ данномъ интервалѣ, и которые называютъ относи-
тельными. Послѣдніе зависятъ отъ совокупности всѣхъ значеній
функціи въ данномъ интервалѣ, первые только отъ значеній, при-
нимаемыхъ функціею въ окрестности нѣкоторыхъ опредѣленныхъ
значеній независимой перемѣнной. (XXV.) Въ интервалѣ можетъ
быть нѣсколько абсолютныхъ тахіта и тіпіта, и лишь одинъ от-
носительный тахітит и тіпітшп. Послѣдніе могутъ мѣняться при
измѣненіи интервала, первые сохраняютъ свой характеръ въ каж-
домъ интервалѣ и всегда соотвѣтствуютъ опредѣленнымъ значеніямъ
х. Эти замѣчанія становятся очевидными, если примѣнимъ геометри-
ческое изображеніе функціи (рис, 10). На прилагаемой фигурѣ, на-
примѣръ, видно, что изображаемая ею функція имѣетъ въ интер-
валѣ (а, Ь) относительный тіпітит на нижней границѣ а, относи-
тельный и въ то же время абсолютный тахітпт въ нѣкоторой
точкѣ у. Другой абсолютный тахітит
виденъ въ а, два абсолютныхъ тіпіта
въ точкахъ /9 и <5, при чемъ второй
больше, чѣмъ тахітит въ точкѣ а.
Если подвинемъ а влѣво, то относи-
тельный тіпітит уменьшится и поя-
вится на нижней границѣ новаго интер-
вала. Если подвинемъ точку Ь вправо,
то относительный тахітит не измѣ-
нится и останется въ у до тѣхъ поръ,
пока точка Ъ не перейдетъ вправо за с.
Тогда этотъ тахітит увеличится и по-
падетъ на верхнюю границу новаго интервала. Въ заключеніе сдѣ-
лаемъ слѣдующія важныя замѣчанія: абсолютный тіпітит при х = а
есть не что иное, какъ относительный тіпітит въ доста-
точно маломъ интервалѣ, выбранномъ въ окрестности сг,
относительный тіпітит въ данномъ интервалѣ, если онъ не по-
падаетъ ни на одну изъ границъ интервала, будетъ въ то же
время и абсолютный тіпітит. Все сказанное относится и къ та-
хітит у. Въ дальнѣйшемъ, если не сдѣлано никакой оговорки, рѣчь
будетъ идти объ абсолютныхъ тахіта и тіпіта.
302. Теорема IV. Если функція имѣетъ единственную
производную, и при х = а проходитъ черезъ тіпітит или
тахітит, то производная обращается въ нуль при х = а.
Положимъ, напримѣръ, что /(а) есть тіпітит. По опредѣленію
абсолютнаго тіпітит’а у(.г) не возрастающая функція слѣва отъ
а и не убывающая справа отъ а. Слѣдовательно, разсматривая
единственную производную при х = а, какъ производную слѣва,
видимъ, что она не можетъ быть больше 0, а разсматривая ее, какъ
производную справа, также видимъ, что она не можетъ быть отри-
цательною (теорема II). Поэтому она должна быть равна нулю.
Обратная теорема не справедлива. Производная можетъ обращаться
въ нуль при данномъ значеніи х, а функція при этомъ значеніи не
проходитъ ни черезъ тахітшп, ни черезъ тіпітшп. Ничто не мѣ-
шаетъ функціи быть, напримѣръ, возрастающею и справа и слѣва
отъ этого значенія (какъ это имѣетъ мѣсто, напримѣръ, для у = лЗ
при х = 0).
303. Теорема V. (Теорема Ролля (Коііе). Если функція,
имѣющая единственную производную, принимаетъ равныя
значенія на границахъ интервала, то производная, по край-
ней мѣрѣ, одинъ разъ обратится въ нуль внутри интер-
вала *), предполагая, что функція непрерывна и на грани-
цахъ интервала. Функція непрерывна во всемъ интервалѣ: на гра-
ницахъ по условію, внутри границъ, потому что имѣетъ единствен-
ную производную для всѣхъ значеній х внутри интервала, за ис-
ключеніемъ или съ включеніемъ границъ — безразлично. Поэтому, по
второй теоремѣ Вейерштрасса, въ этомъ интервалѣ существуетъ, по
крайней мѣрѣ, одно число при которомъ /(х) достигаетъ наи-
большаго или наименьшаго значенія, т. е. относительнаго гпахітит’а
или тіпігпшп’а въ данномъ интервалѣ. Если бы всѣ значенія функціи
въ интервалѣ (а, Ь) были равны /(а), то производная была бы
равна нулю для всѣхъ значеній х въ этомъ интервалѣ. Поэтому мы
можемъ принять, что не всѣ значенія /’(х) равны /(а). Тогда, по
крайней мѣрѣ, одно изъ двухъ ея значеній —наибольшее или наи-
меньшее не будетъ равно Д«) и соотвѣтствуетъ, слѣдова-
тельно, числу лежащему между а и Ь, не совпадающему ни съ
а, ни съ Ь. Исключивъ, такимъ образомъ, границы, мы видимъ
(§ 301), что У(^) будетъ абсолютный тахітит или тіпітшп
функціи /(х), а потому (§ 302) необходимо будемъ имѣть
/'(& = о.
304. Примѣчанія, а) Относительно ограниченій, наложен-
ныхъ на разсматриваемую функцію, замѣтимъ, что функція х — [л‘]
обращается въ нуль на границахъ интервала (0, 1), непрерывна въ
интервалѣ, если исключимъ границы, и имѣетъ единственную произ-
водную въ этомъ интервалѣ. Однако эта производная (равная 1) въ
нуль внутри интервала не обращается. Теорема Ролля здѣсь не
оправдывается потому, что функція разрывна слѣва отъ 1, что и
препятствуетъ ей достигнуть верхней своей границы. Но отнюдь не
невозможно, чтобы теорема имѣла мѣсто и въ такихъ случаяхъ,
когда функція не непрерывна на границахъ интервала. Такова, на-
примѣръ, функція зіп— въ интервалѣ (0, —), разрывная на нижней
*) Т. е. между границами.
границѣ *). Если, напротивъ того, условіе непрерывности соблюдено
во всемъ интервалѣ (не исключая границъ), то теорема Ролля бу-
детъ справедлива независимо отъ того, существуютъ или нѣтъ про-
изводныя на границахъ. Достаточно привести въ примѣръ непре-
рывную функцію х зіп —, не имѣющую производной при х = 0. Во
всякомъ интервалѣ ^0, производная обращается въ нуль без-
численное множество разъ для значеній х, равныхъ обратнымъ ве-
личинамъ корней уравненія і§х — х (XXVI).
Ь) Теорема Ролля говоритъ между прочимъ, что между двумя
корнями функціи /(х) лежитъ, по крайней мѣрѣ, одинъ ко-
рень производной /\х). При этомъ, что особенно важно замѣ-
тить, всегда предполагается, что выполнены условія непрерывности
и существованія единственной производной, какъ они высказаны въ
формулировкѣ самой теоремы. Случай, когда при х = а обраща-
ются въ нуль Дх) и /'(х), можно разсматривать, какъ частный слу-
чай теоремы Ролля, примѣненной къ нулевому интервалу (а, а).
Надо себѣ представить, что въ а совпадаютъ два или болѣе корней
функціи /(х). На этомъ основаніи говорятъ, что а кратный ко-
рень Д(х) и называютъ тогда простымъ такой корень, который не
обращаетъ въ нульУ'(х); корень называютъ двойнымъ, если онъ
будетъ простымъ корнемъ /\х), т. е. когда /\а) = 0, а /"(л)і5;0;
тройнымъ,если онъ двойной для /’(х), т. е. если /‘(а) = 0, /"(а) = 0,
_/'"(«) іѴ 0, и т. д. Вообще и-кратнымъ корнемъ функціи /(х) на-
зываютъ такое число а, которое обращаетъ въ нуль Д(х) и всѣ
ея послѣдовательныя производныя до (п — 1)-ой включительно.
Такой корень разсматриваютъ происходящимъ отъ совпаденія п
корней, равныхъ а.
305. Теорема VI (Теорема Коши (СаисНу). Если въ нѣко-
торомъ конечномъ интервалѣ (а, Ъ) функціи ср и '(/’ непре-
рывны, имѣютъ въ этомъ интервалѣ (исключая или не ис-
ключая границы) единственныя производныя ср' и ір', не
имѣющія общихъ корней, то въ данномъ интервалѣ суще-
ствуетъ, по крайней мѣрѣ, одно число не совпадающее
съ границами, для котораго
У (Ъ) д (а) </(с) _
Ѵ>(6)-Ѵ(а) ѵ'(?)’
Такъ какъ при формулировкѣ теоремы, конечно, нельзя вводить
*) Полагая /(х) = зіп --, при х > 0, и /(0) = 0, имѣемъ и = 0
1 1 2
(х) =----соз — обращается въ 0 для всѣхъ х = д—, гдѣ к цѣлое
х- х [2 /г । і) *т
число, большее 0.
величинъ, не имѣющихъ смысла, то въ написанной формулѣ заклю-
чается предположеніе, что, по крайней мѣрѣ, для одной изъ функцій,
напримѣръ ф, значенія ея на границахъ интервала не равны между
собой. При этомъ предположеніи всегда можно подобрать постоян-
ное число к такъ, чтобы функція <р(х) — кір(х) имѣла равныя зна-
ченія на этихъ границахъ; для этого стоить только положить
(а) — ку (а) = <( (Ь) - к у (Ь)
и въ виду условія ф(а)й7ф(/>) вывести отсюда
к = (( (Ъ) - у (л)
V (*) - V (л) ’
Теперь функція — кчр(х) во всемъ интервалѣ непрерывна, и
имѣетъ единственную производную <р'(х) — кчр'(х), которая по тео-
ремѣ Ролля, по крайней мѣрѣ, для одного значенія внутри ин-
тервала обратится въ нуль, такъ что будемъ имѣть
<г' (?) = кѵ' ©•
Такъ какъ ф'(^) не можетъ быть равно нулю, иначе и у'(^) = 0
вопреки условію, сдѣланному относительно <р' и ф’, то изъ преды-
дущаго уравненія получимъ
(Случай к = 0 не исключается, а приводитъ опять къ теоремѣ
Ролля). Сравнивая два выраженія для к, мы и находимъ теорему
Коши. Замѣтимъ, что теорема остается справедливою и въ томъ
случаѣ, когда <р’ и ф' обращаются въ нуль на границахъ интер-
вала, или не существуютъ на этихъ границахъ; съ другой стороны
теорема можетъ не имѣть мѣста въ случаѣ разрыва одной изъ функ-
цій на одной изъ границъ.
306. Теорема ѴП. (Теорема Лагранжа). Для всякой функ-
ціи Дл-), непрерывной въ конечномъ интервалѣ (а, Ь) и
имѣющей внутри его единственную производную, имѣемъ
/(6) -/(а) = (Ь - а)/' (с),
гдѣ нѣкоторое число въ интервалѣ (а, Ь), отличное отъ
границъ.
Это непосредственное слѣдствіе теоремы Коши. Стоитъ только
положить <р(х) = /(х), чр(х) = х, и замѣтить, что ф'(х) = 1.
307. Слѣдствія, а) Функція, производная которой рав-
на нулю, есть число постоянное. Дѣйствительно, если У’(х)=0
для всякаго х въ (а, Ь), то теорему Лагранжа можно примѣнить
ко всякому интервалу (а, х), верхняя граница котораго не больше
Ь, и получить, что /(х) = /(а), т. е. равно постоянному числу. Эта
теорема есть необходимое дополненіе къ теоремѣ III, дополненіе, ко-
тораго никакъ нельзя было бы сдѣлать къ аналогичной теоремѣ II.
Надо особенно подчеркнуть, что /'(х) есть единственная произ-
водная, и что теорема не имѣла бы мѣста, если бы, напримѣръ, про-
изводная справа всегда равнялась нулю, какъ это имѣетъ мѣсто
при у = [х].
Ь) Двѣ функціи, имѣющія одну и ту же производную,
могутъ отличаться одна отъ другой только на постоянное
число. Дѣйствительно, если <р' = 'ір', то производная отъ (р — есть
нуль, и разность д> —ір есть постоянное число. Слѣдовательно, если
извѣстна одна первообразная функція Р(х) отъ/(х), т. е. функція,
производная которой есть /(х), то всѣ другія первообразныя функ-
ціи будутъ заключаться въ формулѣ Е(х) + С, гдѣ С произволь-
ная постоянная.
308. Примѣчанія, а) Чтобы показать, что теорема Лагранжа
можетъ не имѣть мѣста въ случаѣ невыполненія какого нибудь изъ
условій, перечисленныхъ въ ея формулировкѣ, достаточно привести
функцію равную — при хД'О и равную 0 при х = 0. Примѣняя
теорему Лагранжа къ интервалу (а, Ь), границы котораго отличны
отъ нуля, получимъ '^ = аЬ, что невозможно, если а и Ь разныхъ
знаковъ, т. е. если въ интервалѣ («, Ь) заключается значеніе х = 0,
при которомъ /'(х) не существуетъ. Да и въ томъ случаѣ, когда
это значеніе лежитъ на границѣ интервала (0, х') получаемъ невоз-
можное равенство = — х2, объясняемое исключительно разрыв-
ностью функціи на нижней границѣ.
Ь) Разсмотримъ общнѣе функцію Дх), которая съ одной сто-
роны, напримѣръ, справа отъ а не конечна, но можетъ имѣть един-
ственную производную, понимая подъ этимъ, что эта производная
существуетъ въ достаточно маломъ интервалѣ (а, х), но не при
х = а; кромѣ того, мы допускаемъ, что съ приближеніемъ х къ а
функція не перестаетъ принимать значенія, сколь угодно большія по
абсолютной величинѣ. Теорему Лагранжа можно слѣдовательно при-
мѣнить къ интервалу (л, х) за исключеніемъ нижней границы,
т. е. къ интервалу (х', х), гдѣ х' )> а и какъ угодно близко къ а.
Положимъ теперь, что задано по произволу сколь угодно большое
число /; по условію можно указать такое число х', чтобы 1 Дх') |
была какъ угодно велика и потому можно удовлетворить нера-
венствамъ
!/(х') -/(х) і > (-Ѵ - а) I ИЛИ \х -- х'} \/' (й I > (х - а) I > (х - х') I
и, наконецъ, гдѣ лежитъ между х' и х и стремится къ
а, когда х приближается къ а. Итакъ, если съ приближеніемъ
независимой перемѣнной къ конечному предѣлу функція,
имѣющая единственную производную, принимаетъ сколь
угодно большія по абсолютной величинѣ значенія, то та-
кимъ же свойствомъ пользуется и производная.
с) Еще проще можно показать, что если функція, имѣю-
щая единственную производную, стремится къ конечному
предѣлу при безпредѣльномъ возрастаніи независимой пе-
ремѣнной, то производная либо стремится къ нулю, либо
колеблется, не приближаясь ни къ какому предѣлу. Въ са-
момъ дѣлѣ, фиксируя нѣкоторое число а и взявъ х~^>а, изъ ра-
венства /(х) — /(а) = (х — а)/\^) заключаемъ, что (х~а)/'(§ при
безпредѣльномъ возрастаніи х стремится къ конечному предѣлу, а
потому ііту'(^) = 0. Нужно, однако, остерегаться считать послѣднее
а,—X
равенство равносильнымъ равенству ііту'(л') = 0, потому что хотя
и можетъ принимать сколь угодно большія значенія, если возьмемъ
а достаточно большимъ (х > > а), но изъ этого не слѣдуетъ,
что можетъ принимать всѣ значенія, большія любого даннаго
числа. Можно только утверждать, что ііт /'(х) либо равенъ нулю,
либо не существуетъ. Во всякомъ случаѣ вѣрно будетъ утвержде-
ніе, что У'(х) при безпредѣльномъ возрастаніи х не перестаетъ
принимать значенія, сколь угодно малыя по абсолютной величинѣ.
Эти слѣдствія теоремы Лагранжа, равно какъ и сама теорема, мо-
гутъ быть весьма легко геометрически интерпретированы, но чтобы
не впасть въ искушеніе приписать этой интерпретаціи силу доказа-
тельства, мы на ней не остановимся и рекомендуемъ читателю еще
разъ прочесть замѣчанія въ § 294, е.
6) Теоремѣ Лагранжа можно дать форму равенства
принимая во вниманіе, что дх относится къ нѣкоторому опредѣлен-
ному значенію х = а (т. е. полагая дх = х — а). Замѣтимъ, что
теорема будетъ справедлива и въ томъ случаѣ, когда /\а) не су-
ществуетъ, потому что во всѣхъ нашихъ разсужденіяхъ мы исклю-
чали границы интервала, чтобы не вводить лишнихъ ограниченій,
предполагая функцію /(х) лишь непрерывною на границахъ интер-
вала и ничего не предполагая о производной на этихъ границахъ.
Если /'(а) существуетъ, то изъ теоремы Лагранжа вытекаетъ, что
съ приближеніемъ дх къ нулю Ііт /'(§) = /'(а)- И здѣсь лѣвую
часть не слѣдуетъ смѣшивать съ ііту('х), хотя съ приближеніемъ х
къ а и стремится къ а. Въ самомъ дѣлѣ, число хотя и заклю-
чается всегда между х я а, можетъ и не принимать всѣхъ значеній
въ окрестности а (срав. § 260), а потому можно только утверждать1),
!) См. ОепоссНі—Реапо „Саісоіо" стр. 50.
что, съ приближеніемъ х къ а, /'(х) проходитъ черезъ без-
численное множество значеній, какъ угодно близкихъ къ /'(а).
Этимъ, однако, не исключается возможность принимать ей и другія
значенія, мѣшающія ей стремиться къ какому нибудь предѣлу. При-
мѣромъ такого случая можетъ служить функція у"(х) = х2 зіп —,
(ДО) = 0), для которой У'(0) = 0, между тѣмъ, какъ /'(х) =
= 2х зіп — — соз —, ни къ какому предѣлу не стремится съ при-
ближеніемъ х къ 0, вслѣдствіе постояннаго колебанія соз — между
— 1 и -ф1. Теорема Лагранжа даетъ
.1 о . . 1 1
X ЗІП — = 2 .; ЗІП — СОЗ — ,
X І е
отсюда слѣдуетъ, что Ііт соз 4- = О, а это показываетъ, что такая
разрывная функція отъ х, которая стремится вмѣстѣ съ х къ О,
при чемъ значенія, которыхъ она не принимаетъ, безконечно много-
численнѣе тѣхъ, черезъ которыя она проходитъ (XXVII). Другой
примѣръ даетъ функція
/(х) = *зіп 1о§л, (/(0) = 0),
для которой имѣемъ, по теоремѣ Лагранжа,
зіп 1о§ х = У 2 зіп + 1о§
Такъ какъ зіп2 -1- 1о§ не можетъ быть больше то въ сколь
угодно маломъ интервалѣ (0, к) будетъ безчисленное множество
интерваловъ, въ которые не попадаетъ никогда. Эти интервалы
принадлежатъ послѣдовательности (</, ^2), (^3, ^4), (<Д </,:),.. , гдѣ
= (ххѵш.)
е) Изъ предыдущихъ замѣчаній слѣдуетъ, что всякая функція,
которую можно разсматривать, какъ единственную производную
другой функціи, можетъ имѣть лишь разрывы 2-го рода *). Иными
словами, если подвижная точка М' на кривой стремится совпасть
съ неподвижною точкою М, и касательныя въ точкахъ М и М'
вполнѣ опредѣлены, то подвижная касательная въ М' либо стре-
мится къ совпаденію съ касательною въ М, либо вообще никакого
предѣльнаго положенія не имѣетъ. Конечно, производная можетъ
*) Потому что либо Ііт/'(х) — /'(а) и /' (х) непрерывна, либо
Ііт /'{х) не существуетъ, т. е. /'(х) имѣетъ разрывъ 2-го рода.
имѣть и обыкновенные разрывы, но тамъ, гдѣ таковые встрѣтятся,
можно быть увѣреннымъ, что производная справа не равна произ-
водной слѣва. Примѣромъ можетъ служить функція
/(*) = X [х] - і ([.ѵ| + [Л-]2),
производная которой равна [х] для не цѣлыхъ значеній х. Обыкно-
венные разрывы послѣдней представляются при каждомъ цѣломъ
значеніи х, въ видѣ скачковъ отъ производной слѣва, равной х—1,
къ производной справа, равной х.
Дополненія къ теоріи предѣловъ.
309. Благодаря послѣднимъ теоремамъ мы можемъ подгото-
вить теперь переходъ отъ чистой теоріи въ неменѣе интересную
область практическихъ приложеній теоріи предѣловъ. Прежде всего
мы выведемъ изъ теоремы Коши другую важную теорему, съ по-
мощью которой можно будетъ заполнить одинъ пробѣлъ (§ 263)
въ теоріи предѣловъ. Эта теорема дастъ намъ возможность вычи-
слять предѣлы многихъ функцій, которые при нѣкоторыхъ значе-
ніяхъ независимой перемѣнной представлялись бы въ видѣ выраже-
ній, не имѣющихъ смысла, какъ то
0 -- - , 0°, -А ГЛ ,
если бы мы примѣнили къ нимъ обыкновенныя правила перехода
къ предѣламъ. Замѣтимъ теперь же, что всѣ вышеприведенныя
формы приводятся къ двумъ первымъ, единственнымъ, о которыхъ
будетъ идти рѣчь въ формулировкѣ нижеслѣдующей теоремы. Дѣй-
ствительно, если произведеніе двухъ функцій <р, ір, съ приближе-
ніемъ х къ нѣкоторому предѣлу, стремится принять форму 0 ж,
то достаточно замѣнить его частнымъ отъ дѣленія а на —, чтобы
перейти къ первой или второй формѣ. Точно также, когда разность
(р — »р стремится принять форму ж — ж, достаточно разсмотрѣть
эту разность, какъ произведеніе <р на , чтобы придти къ
предыдущему случаю, при условіи, что стремится къ 1, безъ ко-
тораго разсматриваемая разность не могла бы оставаться конечною.
Къ тому же случаю приводится и разысканіе предѣла отъ дрѵ, когда
<р стремится къ нулю или безконечности, а ір стремится къ нулю,
или когда <р стремится къ 1, а чр къ безконечности. Достаточно
разсмотрѣть логариѳмъ этого выраженія, т. е. ір Іо§ <р, который при-
нялъ бы форму 0 • ж, если бы ошибочно (и безполезно) примѣ-
нили къ нему правило разысканія предѣла произведенія конечнаго
числа сомножителей, когда предѣлы этихъ сомножителей су-
ществуютъ.
310. Теорема VIII. (Теорема Лопиталя. (ІФНозрііаІ). Если
двѣ непрерывныя функціи одновременно стремятся къ нулю
или безконечности, когда независимая перемѣнная стре-
мится къ конечному предѣлу или безпредѣльно возра-
стаетъ, и если при этомъ отношеніе производныхъ стре-
мится къ нѣкоторому предѣлу, то къ тому же предѣлу
стремится и отношеніе самыхъ функцій, предполагая, что
производныя въ окрестности а не имѣютъ общихъ кор-
ней, или, въ случаѣ безпредѣльнаго возрастанія перемѣн-
ной, не имѣетъ сколь угодно большихъ общихъ корней.
При этомъ еще предполагается, что, за исключеніемъ
значенія х = а, производныя существуютъ и единственны.
а) Положимъ сперва, что, съ приближеніемъ х къ а, <р(х) и
ф(х) стремятся къ 0, такъ что, въ силу непрерывности ихъ, имѣемъ
у (а) = 0, ф(а) = 0. Взявъ х достаточно близкимъ къ а, чтобы въ
интервалѣ (а, л), за исключеніемъ границъ, не было ни одного
числа, обращающаго одновременно въ нуль ф' и ф’, по теоремѣ
Коши, будемъ имѣть
V (*)
V (х)
<Г (.ѵ) - </ (а)_ = д' .7)
Ѵ(.ѵ)—•Ѵ(л) ’/(;)’
гдѣ лежащее между а и х, стремится къ а
слѣдуетъ
вмѣстѣ съ х. Отсюда
Ііт
Ііт
д' (х)
V' (х) ’
если предѣлъ въ правой части существуетъ. Это заключеніе
остается справедливымъ и въ томъ случаѣ, когда х, вмѣсто того,
чтобы стремиться къ а, возрастаетъ безпредѣльно. Дѣйствительно,
1
положивъ х = —, можемъ написать
г
При этомъ предполагается, что функціи д> | и ф -1, непрерыв-
ныя при 2-^0, непрерывны и при 2 = 0, что заставляетъ припи-
сать имъ значеніе нуль при 2 = 0. Чтобы можно было примѣнить
теорему Коши, безъ всякихъ сомнѣній, нужно, кромѣ того, допустить
существованіе такого числа /, что при х > I никогда и
г//(.х) одновременно не обращаются въ нуль. Аналогичными сообра-
женіями полученный результатъ распространяется на тотъ случай,
когда х стремится къ - - ж, при чемъ г стремится къ нулю слѣва.
Ь) Положимъ теперь, что, при безпредѣльномъ возрастаніи х,
гр(х) и тр(х) также безпредѣльно возрастаютъ, и что отношеніе
производныхъ стремится при этомъ къ предѣлу I. Это условіе тре-
буетъ, чтобы при произвольно заданномъ сколь угодно маломъ по-
ложительномъ числѣ е можно было указать такое число а, чтобы
при х )> а всегда выполнялось неравенство
V (-Т) |
Полагая, что а выбрано достаточно большимъ, чтобы въ интервалѣ
(а, со) не заключалось ни одного общаго корня функцій <р'(х) и
можемъ приложить теорему Коши, которая дастъ
1 _ у (а) 1 _ у (а)
Ч> (*) = Ф (х) — <р («) _ у (х) = гр' (с) _ у(х)
V (х) V (х) - у> (а) ‘ _ <р_(а) ѵ' о ’ 1 _ Гр («)
<Р (х) <р (х)
при всякомъ х > а и нѣкоторомъ лежащемъ между а и х.
Теперь будемъ увеличивать х безпредѣльно, не измѣняя а. Первый
множитель правой части остается всегда между / — е и /-фа; второй
стремится къ предѣлу 1, и потому попадаетъ въ концѣ концовъ
въ интервалъ (1—а, 1 -ф а) и остается въ немъ. Отсюда слѣдуетъ,
что, начиная съ нѣкотораго значенія х (отъ котораго зависитъ и |),
всегда будемъ имѣть
1 _ V<а}
= —ѵ-Д=і + еЧ
V (?) 1 _ гр(а)
<Р (х)
гдѣ | 0 | и | 0' | меньше 1. Отсюда
= /_|_ (Ѳ + ѲѲ' Е)е.
Ѵцх)
Назначивъ теперь сколь угодно малое положительное число т], до-
статочно, при 1^0, взять
е < \1і, е <
1 + 2 111
ИЛИ 8 =
1 + ч
при I = 0, чтобы получить въ первомъ случаѣ
I ф - і \ = I 9 + + Ѳ е I е < (1 + 2 ( /|) е < ч
| Ѵ (х) |
и
I = I Ѳ + Ѳ Ѳ7 е I • е < (1 + е) 6 =
V (X) I
во второмъ. Итакъ
, въ обоихъ случаяхъ
(1 + Іфі
(1 + ч)2
< Ч
Ііт = I,
а—оо Ш (X)
что и доказываетъ теорему въ случаѣ Ь). Теорему можно считать
справедливою и въ томъ случаѣ, когда числитель въ отношеніи
остается конечнымъ и, слѣдовательно, отношеніе имѣетъ пре-
ѵ(-т)
дѣломъ нуль, потому что тогда отношеніе производныхъ не мо-
жетъ стремиться къ предѣлу, отличному отъ нуля. Чтобы это пока-
зать, достаточно написать
1 = 1іт+ = 1іт<?'^ + Ч>' м = 1 + 1іт(*).
V (лг) ц>' (х) у (х)
Если, наконецъ, х вмѣсто того, чтобы возрастать безпредѣльно,
стремится къ конечному предѣлу а, то теорема остается справед-
„ 1
ливою. Полагая х — а = — , можемъ написать
г
что и требовалось показать.
311. Примѣчанія, а) При разысканіи предѣла въ томъ
случаѣ, когда х стремится къ а, можетъ случиться, что числа
^'(а) не существуютъ или оба равны нулю, а теорема остается спра-
ведливою, потому что лишь въ окрестности х = а, а не при
х = а, производныя должны существовать и не имѣть общихъ кор-
ней. Если обѣ производныя обращаются въ нуль при х = а, оста-
ваясь непрерывными, то при разысканіи предѣла ихъ отношенія мы
имѣемъ передъ собою ту же задачу, которую имѣли въ началѣ.
Если, однако, всѣ другія условія теоремы выполнены и для отношенія
производныхъ, то мы можемъ снова примѣнить теорему, переходя
ко вторымъ производнымъ, затѣмъ, если нужно, къ третьимъ и т. д.
Ь) Нѣкоторыя изъ замѣчаній, сдѣланныхъ раньше, выдвигаютъ,
повидимому, трудно устранимое возраженіе противъ теоремы Лопи-
таля. А именно, кажется, что вытекающій изъ нея процессъ разы-
сканія предѣла отношенія всегда будетъ фиктивнымъ, не ведущимъ
къ цѣли, когда обѣ функціи (р и ір возрастаютъ безпредѣльно съ
приближеніемъ перемѣнной къ конечному предѣлу, или обѣ стре-
мятся къ нулю, когда перемѣнная возрастаетъ безпредѣльно. Дѣй-
ствительно, въ первомъ случаѣ обѣ производныя, какъ было замѣ-
чено въ § 308, Ь, тоже возрастаютъ безпредѣльно или постоянно
колеблятся, а во второмъ обѣ стремятся къ нулю (§ 308, с). На
это возраженіе можно отвѣтить слѣдующее: главное значеніе про-
цесса, указываемаго теоремою Лопиталя состоитъ въ томъ, что онъ
даетъ возможность преобразовать выраженіе, предѣлъ котораго
ищутъ, въ другое, которое не можетъ стремиться къ предѣлу, от-
личному отъ искомаго, и представляется обыкновенно въ болѣе про-
стомъ видѣ, чѣмъ данное, и допускаетъ такія упрощенія, послѣ ко-
торыхъ искомый предѣлъ прямо можетъ быть найденъ.
с) Теорему Лопиталя можно считать справедливою, когда от-
ношеніе производныхъ, вмѣсто того, чтобы стремиться къ конечному
предѣлу, возрастаетъ безпредѣльно. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ, что
д> и тр стремятся къ нулю съ приближеніемъ х къ а. Выберемъ въ
окрестности а такой интервалъ, въ которомъ ~ остается постоянно
больше даннаго сколь угодно большого числа I. Тогда и ~ для
разсматриваемыхъ значеній х будетъ больше I, потому что это отно-
шеніе для даннаго х равно отношенію , при нѣкоторомъ значеніи
§ въ интервалѣ (а, х)
Слѣдовательно
V (х) Ѵ>' ® ’
<р М
Ііт - =
вмѣстѣ съ
Ііт
ф' (.VI _
V' (»)-
возрастаютъ безпредѣльно, возьмемъ
когда «иу
Въ томъ
отношеніе , которое при нашемъ предположеніи будетъ стре-
миться къ нулю одновременно съ , а такъ какъ оно, въ концѣ
концовъ дѣлается и остается положительнымъ *), то можно утверж-
дать, что у- стремится къ со, вмѣстѣ съ .
б) Если отношеніе производныхъ ни къ какому предѣлу
не стремится, то изъ этого нельзя заключать, что не существуетъ и
Потому что <р и у стремятся къ
предѣлъ отношенія первообразныхъ функцій. Напримѣръ,
ЗІП X
X ~ зіп X X ,
ііт —;.— = Ііт------.— = 1,
г—жх + зіпл: х—. зш .г
между тѣмъ какъ отношеніе производныхъ, равное предѣла
не имѣетъ. Дѣйствительно, изъ доказательства теоремы слѣдуетъ
только то, что если при безпредѣльномъ возрастаніи х или съ при-
ближеніемъ его къ конечному предѣлу, существуетъ предѣлъ отно-
шенія функцій (/ и ф, то существуетъ первый, а не второй изъ
слѣдующихъ двухъ предѣловъ:
,. <{' (?) ѵ'(х)
11Ш - . ІПП --Д—
Число по самой сущности своей, есть нѣкоторая функція отъ х,
которая вмѣстѣ съ х стремится къ ж или къ одному и тому же
конечному предѣлу, однако не должна при этомъ принимать
всѣ значенія, принимаемыя числомъ х, откуда и слѣдуетъ, что
изъ существованія перваго предѣла нельзя заключать о существова-
ніи второго. Наоборотъ, существованіе второго предѣла, какъ это и
сказано въ условіяхъ теоремы, необходимо влечетъ за собою суще-
ствованіе перваго, а вмѣстѣ съ тѣмъ и предѣла отношенія перво-
образныхъ функцій.
е) Въ обыкновенныхъ приложеніяхъ никогда не представляется
случая считаться съ ограниченіями, относящимся къ общимъ кор-
нямъ производныхъ. Но полезно указать на возможность такихъ
случаевъ, когда отношеніе функцій колеблется въ то время, какъ
отношеніе производныхъ стремится къ опредѣленному предѣлу. Такъ,
напримѣръ, если
<р (х) = х 4- зіп х соз х, ір (х) = (х + зіп х соз х) е'-іах
то ясно, что отношеніе этихъ функцій при безпредѣльномъ возра-
станіи х постоянно колеблется между е и —; между тѣмъ отноше-
ніе производныхъ
ір' (х) 2е~аІВХ соз х
ір' (Л') X т (2 -|- зіп .ѵ) СОЗ X ’
очевидно, стремится къ нулю, потому что числитель остается конеч-
нымъ, а знаменатель возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ съ х. Этотъ
результатъ объясняется тѣмъ, что обѣ производныя и 'ір'(х')
обращаются одновременно въ нуль, когда х проходитъ черезъ одинъ
изъ корней соз .г, между которыми всегда находятся числа, превос-
ходящія любое данное число.
312. Упражненія.а) Къ какому предѣлу стремится хп е~х при без-
предѣльномъ возрастаніи х7 При п _ 0 этотъ предѣлъ, очевидно, равенъ
нулю. Если п > 0, то положимъ, что ѵ есть наибольшее неположительное
число (ѵ й 0) въ ряду чиселъ п - 1, п — 2, ... При безконечномъ #
имѣемъ
хп хп~1 хп~2
Ііт хп е х = Ііт — = п Ііт----= п (п — 1) Ііт-----= ...
X лХ ' '
V
= и (я — 1) (я — 2) • • • (у -|- 1) Ііт —- = 0,
Иными словами, ех возрастаетъ до безконечности быстрѣе, чѣмъ какая угодно
степень числа х. Замѣняя х черезъ 1о§ х (и слѣдовательно е черезъ х),
найдемъ отсюда, что 1о§ х возрастаетъ до безконечности столь медленно, что
любая его степень съ какимъ угодно показателемъ возрастаетъ медленнѣе,
чѣмъ х. Этотъ результатъ можно получить и непосредственно съ помощью
теоремы Лопиталя, написавъ
.. Іо^'Ч 1 . .. , , .... 1о8гх „
Ііт —2-— = п Ііт —-= • • = п (я — 1) • • • (г + 1) ііт —— = 0.
і
Предѣлъ хх при х безконечномъ можно найти слѣдующимъ образомъ (.при-
нимая во вниманіе непрерывность 1о§ х)
і іі
— 1 о? х — —
ііт 1о§хх = Ііт — ѵ = 0, 1о§ Ііт = 0, 1ітд;’с = 1.
Если въ полученныхъ результатахъ замѣнимъ х на —, то найдемъ
Ііт х 1о§и х = 0, Ііт хх _ і.
.Т_о .г.О
Ь) Чтобы вычислить предѣлъ соз х 1о§ зіп х — 1о§ съ приближе-
ніемъ х къ 0, перепишемъ данное выраженіе въ видѣ
1о§ 2 • соз х + (14- соз х) 1о§ соз - — (1 — соз х) 1о§ зіп^-.
Первый членъ имѣетъ предѣломъ 1о§ 2, второй стремится къ 0, третій, оче-
видно, равный — зіп2
зіп2 — стремится также къ нулю, на основа-
ніи послѣдняго результата предыдущаго упражненія. Итакъ,
ііш (соз х 1о§ зіп .г- — 1о§ = 1о§ 2.
с) Для повѣрки полученнаго раньше (§ 270, а) результата, замѣтимъ,
что съ приближеніемъ я къ 0
,. зіп.г соз .г , ірх .. 1 ,
Ііт-----= Ііт —=— = 1; Ііт —— = Ііт —5— = 1 .
X 1 X СОЗ2 X
Теорема Лопиталя даетъ далѣе слѣдующіе результаты, предполагая вездѣ
предѣлъ х = 0:
а — У а2 — х- УЬ2 — х2 Ь
Ь - У Ь2 - х2 У а2 — х2 а
і а
ах — Ьх а*1о§а - Іое 6 8 <7
Ііт---------= Ііт----------------— =--------;
сх - <Г сх 1о§ с - ах 1о8 Л 1о8 с_
зіп х — х соз х 1,. зіп л; 1
Ііт---------з-----= тт Ііт-----=
х2 3 х 3
X — ЗІП X 1 1 — СОЗ X 1 81П X 1
Ііт-,-= Ііт-=-= — Ііт-=
ху 3 х2 6x6
, 1х — 3 зіп л: + л; соз х
Ііт-------------------------
1 2 — 2 соз х — х зіп х
= Ііт-------------------------
5 хі
1 зіп X — X СОЗ X 1
= 11т---------X--------=
20 х3 60
4 зіп + зіп х соз — Зх соз
. (9 + 6 соз л;) х — (14 4- соз л;) зіп х 2,.
Ііт -------------------я---!--------------= ѵ11111
х1 7
3 Гт х — зіп х 1
= 70 іт х2 = 140'
0) Подобнымъ же образомъ найдемъ
І&Х-Х
Ііт ——=—
1 1 — соз2 х
„Ііт—5----5—
3 х2 соз2 х
или иначе
ІЯ х — х зіп х — х соз х
Ііт ——=— = Ііт----д------
ху х2 соз х
зіп х — х соз х 1
Ііт----------;------= ъ
Если для вычисленія предѣла - со!2 х мы напишемъ данное выраженіе
въ видѣ
ЗІП2 X — X2 СОЗ2 X _ ЗІП X + X СОЗ X ЗІП X — X СОЗ X X2
х2 зіп2 л; л; л;3 зіп2х
то тотчасъ замѣтимъ (не прибѣгая къ теоремѣ Лопиталя), что первый мно-
житель имѣетъ предѣломъ 2, а второй и третій предѣлы, какъ уже знаемъ,
равны соотвѣтственно | и 1. Слѣдовательно,
.. /1 ... \ 2
Ііт І-= — со(-х = —
х=0 х I 3
е) Мы знаемъ (§ 270, 0), что
і
Ііт (1 +х)х=е.
і
Естественно является вопросъ, какъ быстро убываетъ разность е — (1-|-дг)г
съ приближеніемъ х къ 0, и приводитъ кь слѣдующему вычисленію
Ііт *-(!+*)* = е ит (1+*) Ю8 (1+*)-*
е Іог (1 + х) е 1
= 211т“Г±- = 21,тГ +
е
т
Такимъ же образомъ найдемъ
-+|-
(1 Ч-х)* “ — е е Іх + х- — 2(1 + х}Іо? (1 + л:)
Ііт---------3-------= — Ііт-------------------з--------------
л:- 4 хА
е х -- 1ое(1 4- х) е 1 е
= - Ііт--------—1—' = і1т — =
6 х- 12 1 -4- х 12
(> Если желаемъ найти предѣлъ
х — у (х — а) (х — 6)
* , 1
при безконечномъ х, то выгодно будетъ положить х = — и приближать г
къ 0. Тогда данное выраженіе приметъ видъ
1 -У(І-ав) (1~М
в
и предѣлъ его равенъ предѣлу
1 ѴТі-М(і-М + Г=У
при в = 0. Итакъ,
Ііт /л: — У (х — а) (х — 6)) = 1’ (« + &)•
г—\ I *•
Къ тому же результату можно придти, не прибѣгая къ теоремѣ Лопиталя,
написавъ данное выраженіе въ видѣ
(« + &)« — аЬ
х + У (х — а) (х — Ь)
§1 Болѣе общій результатъ состоитъ въ слѣдующемъ: если двѣ функ-
ціи отъ х, <р и ?р, возрастаютъ безпредѣльно вмѣстѣ съ х, и извѣстна такая
функція/, для которой отношенія у и у стремятся къ конечному, не равному
нулю, предѣлу к и, кромѣ того, извѣстенъ предѣлъ I выраженія
то легко найти и предѣлъ уу _ у/у. Дѣйствительно,
ііт (У — У ір) = Ііт
У<Г + У V
—Ііт
2У к
<Г — 'У
Ѵ7
і
уУ
При /=(р = х-, у> = (х — а) (х — Ь) получимъ снова предыдущій примѣръ.
Аналогично этому трактуется случай корней и-ой степени, и получается
и и 1
1іт(У<р - Уѵ) = -Ііт
п х
если предѣлъ второй части существуетъ и отношенія у и къ х" стре-
мятся къ 1 при безконечномъ х. Въ частности, имѣемъ
п________________«___________________а _ Ь
Ііт (Кт”4 ахл~1 + • - Ѵхп 4- й.ѵ”"1 +•••) = ~Г~ '
Изслѣдованіе функцій.
313. Къ важнѣйшимъ приложеніямъ теоремы Лопиталя при-
надлежитъ разысканіе абсолютныхъ тахіта и тіпіта функ-
цій (§ 301). Мы уже видѣли (§ 302), что если функція /(х), имѣ-
ющая единственную производную /’(х), при х = а проходитъ че-
резъ тахітит или тіпітит, то /'(а) = 0. Положимъ теперь, что
при х = а обращаются въ нуль всѣ послѣдовательныя производныя
до порядка п исключительно *), или какъ говорятъ (§ 304, Ь), что
а есть корень (« — 1)-ой кратности отъ /'(х). Повторнымъ примѣ-
неніемъ теоремы Лопиталя, полагая, что х стремится справа или
слѣва къ а, получимъ
іИт^ц)
(х - л)” п (х " Я)"1
1 1-
= —7 Ііт
п\
/^(х) .
X — СІ
а такъ какъ по опредѣленію У(и)(а)
1іт/±±М =ііт/2±М (я),
то окончательно найдемъ
|іш/(л;) -/(«) /я)(л)
(.ѵ — а)п п!
Замѣтимъ, что къ тому же результату мы могли бы придти, при-
мѣняя еще одинъ разъ теорему Лопиталя, но тогда надо было бы
допустить существованіе въ смежности съ х = а, а для даль-
нѣйшихъ заключеній достаточно одного существованія У(и>(а). Воз-
вращаясь къ полученному результату, замѣчаемъ, что съ приближе-
ніемъ х къ а У(л‘)—Да) въ концѣ концовъ принимаетъ и сохра-
*) Т. е./'(«) =/"(«) = • =/й“1)(а) = 0, /м(л) ®0.
няетъ знакъ числа (х — а)иУ(и)(а). Знакъ этого числа измѣняется
вмѣстѣ со знакомъ числа х — а при п нечетномъ, и не мѣняется, а
совпадаетъ со знакомъ числа при п четномъ. Изъ этого слѣ-
дуетъ, что въ первомъ случаѣ /(а) не будетъ ни тахітит, ни ті-
пітит, а во второмъ навѣрно тахітит или тіпітит. Иными сло-
вами: значенія перемѣнной х, при которыхъ /(х) есть та-
хітит или тіпітит, будутъ простыми корнями или кор-
нями нечетной кратности производной /'(х). Смотря по тому,
будетъ ли /^(а) положительнымъ или отрицательнымъ числомъ, /(а)
будетъ тіпітит или тахітит (при п четномъ), а въ случаѣ п не-
четнаго можно сказать, что функція будетъ возрастающею или убы-
вающею. При этомъ всегда надо помнить, что эта и-ая производная
предполагается единственною. Въ противномъ случаѣ, какъ мы уви-
димъ, заключенія наши могутъ не оправдаться.
314. Упражненія, а) Изъ всѣхъ прямоугольниковъ, имѣю-
щихъ одинъ и тотъ же данный периметръ, квадратъ имѣетъ наи-
большую площадь. Дѣйствительно, если х длина одной изъ сторонъ, 2 я
данный периметръ, то площадь измѣряется числомъ у = х(а — л). Произ-
а
водная у’ = а — 2х обращается
въ нуль только при
а такъ какъ
вторая производная — 2 число отрицательное, то
получаетъ максимальное
Точно такъ
а2
значеніе
4
а л.
при х = 2 функція у
же, изъ всѣхъ пря-
моугольниковъ, имѣющихъ данную площадь а2, квадратъ имѣетъ
наименьшій периметръ. Дѣйствительно, если х длина одной изъ сто-
о , я2 , , п~ ,, 2а2
ронъ и 1у периметръ, то у = х + —, у ' — 1 — у = Первая про-
изводная обращается въ нуль при х = а и при х = — а. При первомъ зна-
ченіи у" > 0, при второмъ у" < 0, и функція у имѣетъ тіпітит 2 л при
х = а и тахітит (—2л) при х = — а. Но лишь первое рѣшеніе даетъ
отвѣтъ на вопросъ, такъ какъ онъ требуетъ, чтобы х было больше 0.
Ь) Предложимъ себѣ построить коробку наибольшаго объема
изъ четырехугольнаго листа, вырѣзывая на углахъ его четыре равныхъ
квадрата. Если а и Ъ обозначаютъ длину и ширину листа, х высоту коробки,
то ея объемъ выразится числомъ
у = х(а — 2х) (Ь — 2л) = аЬх — 2(а 4- Ь)х2 + 4л3.
Приравнивая нулю первую производную у' = аЬ — 4(л + Ь) х + 12л2, по-
лучимъ
х = 4 (л + Ь + У^»2 — а Ь + Ь2).
Вторая производная у" = — 4(л + Ь) + 24л принимаетъ тогда значеніе
^4,Ѵа2-аЬ + Ь2.
Чтобы получить тахітит надо здѣсь удержать знакъ —, т. е. взять
л = 4 (л + 6) — У л2 — а & + 6а. Это число всегда заключается между | а
и і- Ь. Второе значеніе для х не даетъ рѣшенія вопроса, потому что это
значеніе больше половины наименьшаго изъ двухъ измѣреній листа.
1
с) Если хотимъ изслѣдовать Функцію у = Xх въ интервалѣ (0, оо),
1
то можемъ начать съ того, что если положимъ х — - - и будемъ приближать
,ѵ къ 0 справа, то г будетъ стремиться къ оо, у = — и 1іт_у = 0. При х = 1
У
у = 1, а при безпредѣльномъ возрастаніи х у стремится къ тому же зна-
ченію 1 (§ 312, а). Отсюда понятно, что при измѣненіи х отъ 1 до оо, у
проходитъ черезъ тіпітит или тахітит, и не трудно предусмотрѣть, чтоу
пройдетъ именно черезъ тахітит, потому что при х > 1 и у > 1. Чтобы
въ этомъ вполнѣ удостовѣриться, замѣтимъ, что производная
у' = Xх (1 — 1о§х)
положительна при х < е и отрицательна при х > е, и что функція изъ воз-
растающей становится убывающею при переходѣ х черезъ е. Максимальное
і
ея значеніе при х = е равно ее = 1,444667 ... Если бы мы хотѣли удостовѣ-
і
риться при помощи изслѣдованія у", что при х = е, хх будетъ тахітит,
а не тіпітит, то надо было бы замѣтить, что изъ
у = слѣдуетъ уу^уі
у х- У
3—2 1о§ х
Полагая х = е, у = ее, у' = 0, получимъ у" = — ее , чего и достаточно,
і і
чтобы утверждать, что ее есть тахітит функціи хх.
сі) Предложимъ себѣ найти основанія тѣхъ логариѳмиче-
скихъ системъ, въ которыхъ логариѳмъ нѣкотораго числа мо-
жетъ равняться самому числу. Пусть а искомое основаніе и 1о§ х
логариѳмъ х по этому основанію. Дѣло сводится къ изслѣдованію вопроса,
можетъ ли функція у = х — 1о§ х обратиться въ нуль при нѣкоторомъ зна-
ченіи х. Ясно, что какъ при достаточно маломъ положительномъ х, такъ
и при х достаточно большомъ у будетъ положительнымъ. Слѣдовательно,
чтобы функція у могла обратиться въ нуль, необходимо и достаточно, чтобы
наименьшее ея значеніе было меньше или равно 0. Этотъ тіпітит соотвѣт-
, , Ьое е .
ствуетъ тому значенію х, при которомъ у' = 1------= 0, т. е. х = ѣо§ е
и, чтобы удостовѣриться, что здѣсь будемъ имѣть именно тіпітит, а не
тахітит, достаточно замѣтить, что при х < Ьо§ е у убывающая, а при
х > Ьо§ е у возрастающая функція. Итакъ, наименьшее значеніе у равно
Ьо§ е - Ьо§ (Ьо§ е) = Ьо§
Чтобы это число было меньше или равно 0,
і і
необходимо, чтобы было с й Ьо§с, т. е. 1 й Ьо§се и, слѣдовательно, а й ее.
е) Какимъ условіямъ должны удовлетворять числа р и
чтобы трехчленъ х>,~\-рх-\^ обращался въ нуль при трехъ раз-
личныхъ вещественныхъ значеніяхъ х~і Чтобы функція = +7’^ + ?
могла обращаться въ 0 три раза, когда х измѣняется отъ - до -л, прежде
всего необходимо (§ 304, Ь), чтобы производная у' = 3№-(-/> могла обра-
щаться въ нуль при двухъ вещественныхъ различныхъ значеніяхъ х. Это
требуетъ, чтобы р было меньше 0. Предполагая это условіе выполненнымъ,
замѣтимъ, что въ первомъ и третьемъ изъ трехъ интерваловъ
{-Ѵ-і Ѵ-Я- У-і-
у' > 0, а въ среднемъ у' < 0 *). Поэтому въ каждомъ изъ этихъ интерва-
ловъ функція у можетъ обращаться въ нуль только одинъ разъ, а для
того, чтобы она дѣйствительно обращалась въ 0 въ такомъ интервалѣ,
необходимо и достаточно, чтобы ея значенія на границахъ интервала были
числами разныхъ знаковъ. Такъ какъ на границахъ средняго интервала
у принимаетъ значенія
(тахітит и тіпітит въ абсолютномъ смыслѣ), то прежде всего не-
обходимо, чтобы эти числа были разныхъ знаковъ, т. е. чтобы было
+ (іЗ + <0’ ИЛИ +
Это условіе и достаточно, потому что, когда оно выполнено, то непре-
мѣнно р < 0, и функція у, убывающая въ среднемъ интервалѣ, имѣетъ на
нижней его границѣ знакъ +, а на верхней —, а потому обращается въ
нуль и въ другихъ двухъ интервалахъ (XXIX).
I) Докажемъ, что въ эллипсѣ разстояніе отъ центра до любой
нормали не превосходитъ разности полуосей. Уравненію эллипса
Ь-х- + а2у2 = а2Ь2 можно удовлетворить, положивъ х = а соз <р, у = Ь зіп
гдѣ <р измѣняется отъ 0 до 2 л. Чтобы найти угловой коэффиціентъ каса-
тельной (§ 293), т. е. у’, гдѣ у есть функція отъ х, опредѣляемая уравне-
ніемъ эллипса **), замѣчаемъ, что изъ этого уравненія имѣемъ
Поэтому уравненіе нормали будетъ
, . а зіп (р , .
у — о зіп <р = --------(.ѵ — а соз ®),
Ь соз <р ѵ
т. е. ах зіп <р — Ьу соз <р = (а2 — 62) зіп /р соз ір. Слѣдовательно, разстояніе
отъ центра до нормали будетъ
(а2 — 62) зіп <р соз ір
У а2 зіп2 <р + Ь2 соз2 <р
Теперь надо взять производную отъ к по <р, и приравнять ее нулю. Но
удобнѣе будетъ сперва замѣтить, что
----2— Н---------
СО82 (р 51П“ (р
= а2 4* + а2 Ф + № соі2 >
*) у' = З.ѵ2 +Р = 3 [х + [х - ]/- |] •
**) Т. е. такая, при которой функція Ь2х2 + а2у2 равна постоян-
ному а2Ъ2, а слѣдовательно, производная ея 2 [62х + а~уу'\ равна нулю.
откуда видно, что разысканіе наибольшаго значенія 1г сводится къ разы-
сканію наименьшаго значенія функціи а2і§2<р + 62соі§2<р, т. е. суммы двухъ
перемѣнныхъ величинъ, произведеніе которыхъ равно постоянному числу.
А этотъ вопросъ былъ < въ другой лишь формѣ і рѣшенъ въ первомъ упраж-
неніи *), и мы можемъ утверждать, что тахітит 1г будетъ тогда, когда
а2 (§2 <р = Ь2 соі§2 <р = а Ь, т. е. при ср = ± ~, а тогда
/яа _ })2\2
—-— = а2 + Ь2 + 2 а Ь = (а Д- 1>)2, слѣдовательно, к = а — Ь.
\ к )
§) Можно доказать, что свѣтъ употребляетъ наикратчайшее
время для перехода отъ одной точки къ другой, когда эти точки лежатъ
въ разнородныхъ средахъ, отдѣленныхъ одна отъ другой плоскостью. Въ
самомъ дѣлѣ, пусть а и Ь будутъ разстоянія данныхъ точекъ, лежащихъ въ
разнородныхъ средахъ, отъ раздѣляющей плоскости; у — уголъ паденія,
V — уголъ преломленія; пѵ и вскорости свѣта въ первой и второй средѣ.
Время, потребное для перехода отъ одной точки къ другой, будетъ равно
V \п СОЗ (р СОЗ 1/4]
Углы (р и чр связаны соотношеніемъ
аЦг<р + Ы&Ѵ = сопзі. (XXX).
откуда, взявъ производную по (р, получимъ
+ ^о.
СО82 <р СОЗ2 Ір
Тогда будемъ имѣть
1 / а зіп ср Ь зіп ір Д а (зіп ір — п зіп
Г = | б -4- 5 1р I ~ о
V \п соз2 <р соз2 ір ) пѵ СОЗ- ф
и, слѣдовательно, чтобы і' обратилось въ нуль, нужно, чтобы зіп <р/зіпір = я.
А это и есть извѣстный законъ преломленія, открытый Декартомъ и уста-
новленный Ферма и Лейбницемъ, какъ частный случай общаго закона
экономіи, управляющаго проявленіями всѣхъ законовъ природы, даже
такихъ, которые кажутся недоступными метематическимъ изслѣдованіямъ Д.
Н) Въ геометрическихъ приложеніяхъ часто встрѣчается, что искомый
тахітит (или тіпітит) будетъ относительнымъ (§ 301) и соотвѣт-
ствуетъ нѣкоторому опредѣленному интервалу, въ которомъ принуждена
оставаться независимая перемѣнная въ силу условій задачи. Тогда вполнѣ
возможно, что производная въ нуль не обращается, и изслѣдованія, подобныя
предыдущимъ, дѣлаются безплодными. Поэтому, когда независимая пере-
мѣнная не можетъ выйти изъ нѣкотораго интервала, надо или измѣнить
выборъ независимой перемѣнной, или прямо испытать, не получится ли
тахітит или тіпітит на границахъ интервала, могущій дать отвѣтъ на
поставленный вопросъ, не будучи тахітит или тіпітит въ абсолютномъ
смыслѣ. Весьма простой примЬръ даетъ разысканіе наибольшей или наи-
*) Гдѣ искали тіпітит функціи х +
!) См. объ этомъ интересную главу о направленіи движенія въ
„Основныхъ началахъ". Г. Спенсера.
меньшей изъ всѣхъ хордъ круга, имѣющихъ одинъ неподвижный конецъ А
и одинъ подвижный М. А ргіогі ясно, что іпіпітиіп хорды г будетъ г = 0.
когда М совпадетъ съ А, и тахітит г = 2а, гдѣ а радіусъ круга, когда М
совпадетъ съ точкою В, діаметрально противоположною съ А. Если выбе-
ремъ АВ за ось абсциссъ и А за начало координатъ, то будемъ имѣть
г2-=2ах, откуда гг' = 2а и оказывается, что г' не обращается въ нуль
ни въ А, ни въ В. Это происходитъ отъ того, что перемѣнная х должна
оставаться въ интервалѣ (0, 2а) и что искомые тіпітит и тахітит
получаются какъ разъ на границахъ *). Если выберемъ за независимую
перемѣнную уголъ Ѳ = МАВ, то г = 2а соз 0, г' = — 2а зіп Ѳ, и при Ѳ = О
получимъ только тахітит г — 2 а. Это объясняется тѣмъ, что Ѳ остается
. Г
всегда въ интервалѣ —+ — , на границахъ котораго и будетъ ті-
пітит, а тахітит соотвѣтствуетъ значенію Ѳ = 0, лежащему внутри интер-
вала. Этотъ тахітит будетъ, слѣдовательно, и абсолютнымъ, и г' должна
поэтому обращаться въ нуль. Всякое затрудненіе исчезаетъ, если точка А
передвинется по направленію АВ и придетъ въ разстояніе Ь отъ центра.
Тогда г2 _ 2 Ь г соз Ѳ + Ь- = а2, откуда, взявъ производную, и полагая г' = О,
получимъ зіп Ѳ = О, т. е. Ѳ = 0, г = а + Ь, или Ѳ = л и г = а — Ь. Взявъ
еще разъ производную, найдемъ
,, Ьг соз Ѳ + Ь (а + Ь) _ Ь , ,. А
г" = г---т----= -=7— , = Л---(а ± Ь) і= 0,
Ь соз 0 — г + Ъ — (а ± Ь) а ѵ ’
откуда видимъ, что а + Ь есть тахітит, а а — Ь тіпітит г.
і) Положимъ, что <р(х) функція, непрерывная въ смежности съ х = О,
и разрывная 1-го рода при х = 0, при чемъ (— 0) < 0, 0) > 0. Такова,
і
ех — 1
напримѣръ, <р(ѵ) = —---, для которой <р(— 0) = — 1, <р(+ 0) = 1. Функція
ех + 1
/(х) = х2<р(х) ПРИ х = 0 не будетъ ни тахітит, ни тіпітит, потому что
въ смежности съ нулемъ функція <₽(«) непрерывна и имѣетъ одинаковый
знакъ съ л;; то же самое можно сказать и о функціи /)х), которая, слѣдо-
вательно, и слѣва и справа отъ нуля возрастающая. Между тѣмъ
/'(О) = Ііш^-^—= Ііт х<р(х) = 0.
;г=(> х х=0
Что касается /"(0), то она можетъ не существовать; если же она суще-
ствуетъ, то
/"(0) = Ііт ~ //(0> = 2 Ііт = 2 Ііт <р (х) = 2ф(± 0) 0,
х=+0 Х х=±0 Х~ г=+0
потому что, по теоремѣ Лопиталя,
/)х) /'(х)
х Ііт = Ііт •
г—--о -г'- х=+о іх
*) Производная г' всегда больше 0, г постоянно возрастаетъ, когда х
идетъ отъ 0 до 2 а, слѣдовательно, при х = 0 получается тіпітит г = 0, а
при х = 2а получается тахітит г = 2а.
Во всякомъ случаѣ /"(0) не равна нулю. Итакъ, при х —0 первая про-
изводная отъ /(х) равна нулю, вторая не равна нулю, а между
тѣмъ /(0) ни тахітит, ни тіпітит. Это объясняется тѣмъ, что /'(х)
не имѣетъ единственной производной/"(х).
І) Въ заключеніе изслѣдуемъ характеръ измѣненія функціи /'(х),
опредѣленной въ § 252. Положимъ сперва, что х измѣняется отъ 0 до со.
Изъ формулы Вейерштрасса (§ 252, Ь) при помощи логариѳмированія
получаемъ [полагая Г (х + 1) = х Г (л-)]
(И) 1о§Г(х) = --1О2х - Сх + ^[-^-’оеЬ
Въ § 285 было дано правило для разысканія производной суммы конеч-
наго числа слагаемыхъ; впослѣдствіи будетъ доказано, что при извѣстныхъ
условіяхъ его можно примѣнять и при безконечномъ числѣ слагаемыхъ.
Въ данномъ случаѣ эти условія выполнены; примѣняя упомянутое правило,
беремъ производную отъ 1о§ Г(х) и находимъ
ГМ ________1__с, ул (1______1 \ _ _ с і улЛ_______________1 \
Г(Х) X "Т” \П X + ' \П X -\-П — 1/’
откуда получаемъ
ГМ + С-і- 1 1 1 । 1 1 .
Г(х) х ~ 2 х+13 г - 2~ ’
Правая часть постоянно возрастаетъ вмѣстѣ съ х; при х = 1 она при-
нимаетъ значеніе 0 < С, а при х — 2 значеніе 1 > С, слѣдовательно, она
только одинъ разъ дѣлается равною С при нѣкоторомъ значеніи д между
1 и 2. Это число д и будетъ единственнымъ корнемъ функціи Г'(х). Такъ
какъ при х -' 2 Г(х) < 0, а при х > д Г' (х) > 0, то Г(х) сперва убы-
ваетъ въ интервалѣ (0, д), а затѣмъ возрастаетъ въ интервалѣ (д, оо), слѣ-
довательно, Г(|) есть тіпітит функціи Г(х) въ интервалѣ (0, сю). Къ тому
же заключенію приводитъ равенство
г© ? М + I)2 (4 -2© ’
(получаемое изъ предыдущаго, если возьмемъ опятъ производныя и при-
мемъ во вниманіе, что Г'(д) = 0). Значеніе корня лежащаго между 1 и 2,
можно вычислить весьма точно, съ помощью пріемовъ, которые будутъ
изложены въ книгѣ пятой, и нетрудное вычисленіе даетъ
с = 1,4616321 ..., Г(д) = 0,8856032 ...
Когда х возрастаетъ отъ д до оо, то /’(х) возрастаетъ безпредѣльно, потому
что Г(х -ф 1) = хГ(х). Она также возрастаетъ, когда х убываетъ отъ д до 0,
и притомъ безпредѣльно, потому что
Ііт хГ(х) = Ііт Г(х + 1) = Г(1) = 1 •
х=П
к) Теперь предположимъ х отрицательнымъ и воспользуемся формулою
©)
__________(-ІГГ(о)_________
(1 -- о) (2 о) (3 — р)... (я — р)’
гдѣ о = х — (х], и И = — п । XXXI). Отсюда видно, что значенія Г(х)
при х < 0 зависятъ отъ ея значеній въ интервалѣ (0, 1), изъ котораго
исключены границы 0 и 1. Изъ той же формулы видно, что въ интерва-
лахъ (— 1, 0), ( 2. —1), (—3, —2) ... Г(х) поперемѣнно положительна и
отрицательна и въ смежности (окрестности) съ границами 0, — 1, — 2, — 3,...
безконечно велика по абсолютной величинѣ. Отсюда уже можно предвидѣть,
что въ каждомъ интервалѣ (— п, — п 4- 1) Г(х). по крайней мѣрѣ, одинъ
разъ проходитъ черезъ тахітит или тіпітит, смотря по тому, будетъ ли п
четное или нечетное число. Такой тахітит или тіпітит получится при о
равномъ корню уравненія
о 2 о' +
Когда р возрастаетъ отъ 0 до 1, лѣвая часть уравненія постоянно возраста-
етъ отъ — со до + оэ, и потому только одинъ разъ обращается въ 0 при нѣ-
которомъ опредѣленномъ значеніи р = ри, которое и опредѣляется такимъ об-
разомъ, какъ нѣкоторая функція отъ п. Итакъ, въ каждомъ интервалѣ
(—я, — п + 1) существуетъ только одинъ тахітит или одинъ тіпітит
функціи Г(х), соотвѣтствующій значенію х„ = — п + дп. Далѣе, изъ нера-
венства
_ +1+ ... + 1
Г(рп) + 2 + 3 + + п
видно, что правая, а слѣдовательно, и лѣвая часть при безпредѣльномъ воз-
растаніи п безпредѣльно возрастаетъ. Поэтому должно стремиться къ
нулю. Такъ какъ, кромѣ того,
.. Г' (х)
Ііт х -утгх = — 1 >
х=о Г (х)
то будемъ имѣть
Ііт с-------1- =-----И • 4-----) = 1,
п=ію'1 @п 2 м дні
а такъ какъ сумма въ скобкахъ заключается между
Ѳпнп и -г^- + еи/4-і
1 Ѵп
/гдѣ Нп = 1 + 4-----1- —), то отсюда слѣдуетъ, что Ііт дп Нп = 1 или
’ 2 я/ п=оо
Ит ол 1о§ п = 1. Принявъ это во вниманіе и замѣчая, что
I Г (х 1 I < 4-1) .
п и - ри)ри1о§и (я - 1)!’
видимъ, что въ правой части первый множитель стремится къ 1, а второй
къ 0. Слѣдовательно, Ит Г (хп) = 0. Отсюда слѣдуетъ, что Г (х) принимаетъ
п—СО
всякое значеніе, отличное отъ нуля (безконечное число разъ) *). Иными сло-
вами, уравненіе Г (х) = к, не имѣющее рѣшенія при к — 0, при всякомъ к,
не равномъ нулю, имѣетъ безчисленное множество рѣшеній.
х) Въ „Тгаііё ёіетепіаіге без зегіез" раг М, Собеігоу р. 250 можно
видѣть графическое изображеніе функціи Г(х).
РАЗЛОЖЕНІЯ ВЪ РЯДЫ.
Ряды функцій.
315. Теперь мы спеціально займемся функціями, которыя опре-
дѣляются безконечными рядами. Положимъ, что данъ рядъ их +
+ м2 + 4~ ... , члены котораго суть функціи отъ перемѣннаго
числа х. Значенія х, при которыхъ рядъ будетъ сходящійся, могутъ
образовать одинъ или нѣсколько интерваловъ, въ которыхъ сумма
ряда будетъ опредѣлена, какъ нѣкоторая функція отъ х. Когда раз-
сматривается нѣкоторый интервалъ (а, Ь), въ которомъ рядъ схо-
дящійся, то и остатокъ ряда <рп(х), т. е. сумма ряда, получаемаго
изъ даннаго черезъ отбрасываніе первыхъ п его членовъ, будетъ
также функція отъ х, опредѣленная въ томъ же интервалѣ. Мы
знаемъ (§ 180), что при безпредѣльномъ возрастаніи п остатокъ
стремится къ нулю. Слѣдовательно (§ 122, Ь), когда задано поло-
жительное и сколь угодно малое число в, можно указать, при вся-
комъ данномъ значеніи х въ интервалѣ (а, Ь), такое число ѵ, что
абсолютная величина дои(х) будетъ оставаться меньше е, когда п
будетъ больше ѵ *). Если возможно опредѣлить число ѵ незави-
симо отъ х, то рядъ называютъ равномѣрно сходящимся. Иными
словами, положимъ, что соотвѣтственно каждому значенію х будемъ
выбирать наименьшее значеніе ѵ (которое предполагается цѣлымъ
числомъ), удовлетворяющее поставленному условію; тогда можно ска-
зать, что ѵ есть нѣкоторая функція отъ х, опредѣленная въ интер-
валѣ (а, Ь). Если эта функція будетъ конечною въ данномъ интер-
валѣ, какъ бы ни было выбрано в, то она имѣетъ въ немъ (§ 256)
верхнюю границу (въ данномъ случаѣ эта граница въ то же время
будетъ и максимумъ ѵ); очевидно, для всякаго п, большаго этой
верхней границы, всегда будемъ имѣть | <рп{х) | < е, каково бы ни
было данное значеніе х въ интервалѣ (а, Б). Въ этомъ случаѣ схо-
димость будетъ равномѣрною. Но можетъ случиться, что при нѣко-
торомъ прилично выбранномъ значеніи е (и а ѣогііогі для всѣхъ
меньшихъ его значеній), функція ѵ въ данномъ интервалѣ не бу-
детъ конечною. Тогда невозможно найти такое значеніе п, одно и
то же для всѣхъ значеній х въ (а, Б), начиная съ котораго
| ф„(х) | оставалось бы всегда меньше е. Въ этомъ случаѣ сходи-
мость будетъ неравномѣрною.
316. Теорема I. Для равномѣрной сходимости ряда
функцій отъ х въ данномъ интервалѣ необходимо и доста-
точно, чтобы остатокъ <рп(х) стремился къ нулю и тогда,
когда будемъ произвольнымъ образомъ измѣнять х въ
данномъ интервалѣ вмѣстѣ съ п.
*) Т. е. начиная отъ п = ѵ + 1.
Изъ самого опредѣленія равномѣрной сходимости вытекаетъ,
что если рядъ равномѣрно сходящійся, то всегда Ііт = 0, ка-
п=х>
кова бы ни была послѣдовательность значеній хг, х2, х3, ... по-
лучаемыхъ числомъ х въ данномъ интервалѣ. Условіе необходимо;
чтобы убѣдиться въ его достаточности, стоитъ только доказать, что
если рядъ будетъ неравномѣрно сходящійся, то въ интервалѣ {а, Ъ)
найдется такая послѣдовательность х1у х2, х3,..., для которой
Ііт <рп(х) не равенъ 0. При сдѣланномъ предположеніи (неравно-
мѣрной сходимости ряда) опредѣленная въ предыдущемъ § функція
ѵ не будетъ конечна при нѣкоторомъ достаточно маломъ данномъ
числѣ 6. Слѣдовательно, можно найти послѣдовательность а, /9, у,...
значеній функціи ѵ, возрастающихъ безпредѣльно, соотвѣт-
ствующихъ значеніямъ х, которыя можно обозначить черезъ ха,
х,з, хг,... Какъ бы мы ни выбирали другія значенія хп, остатокъ
<р„(х) не можетъ стремиться къ нулю, потому что при и = а, /9, у,...
всегда будетъ | фи(.г-и) | е *).
317. Примѣры, а) Рядъ
(1) (1 - X) + (х - А.С) + ($Х2 — |Л'3) + (іх3 - ^х*) •••
равномѣрно сходящійся въ интервалѣ (—1, +1), потому что аб-
хп х 1
солютная величина остатка —— будетъ меньше е, когда п ,
числа независящаго отъ х. Не то будетъ для ряда
(2) (1 — х) + (х — х2) + (х2 — л®) 4- (х3 — х’) + • • •,
сходящагося въ томъ же интервалѣ (—1, +1), за исключеніемъ
нижней границы. (При х = 1 сумма ряда, очевидно, равна 0). При
д:<1 остатокъ ряда равенъ хп, и нельзя найти такого числа ѵ,
чтобы при п^>ѵ |хи| было меньше 8 для всѣхъ значеній х въ
данномъ интервалѣ. Дѣйствительно, такъ какъ х можетъ подходить
къ 1 какъ угодно близко, то можно положить х = 1 ——, и оста-
токъ ------не будетъ стремиться къ 0 при п безконечномъ (а
къ предѣлу . Съ другой стороны, ясно, что рядъ будетъ равно-
мѣрно сходящимся во всякомъ интервалѣ, заключающемся цѣликомъ
внутри (- 1, + 1). (XXXII.)
Ь) Рядъ 1 + х + х2 + х3 + ... , сходящійся въ интервалѣ
(— 1, -|-1) за исключеніемъ границъ, будетъ равномѣрно сходя-
*) Когда мы говоримъ, что значеніе ѵ = а соотвѣтствуетъ числу ха, то
это значитъ, что при и > а 4- 1, \<рп (ла) | < е, а при п = а неравенство еще
не удовлетворяется, т. е. |<ра (ха) & е. Это слѣдуетъ изъ опредѣленія числа ѵ-
щійся въ интервалѣ (—а, + а), гдѣ а < 1 и какъ угодно близко
къ 1. Дѣйствительно, задавъ по произволу е, опредѣлимъ ѵ такъ,
чтобы было а* 1'(1 — а) 6, тогда при п^>ѵ | * | 6 при вся-
комъ х, для котораго | х | < а. То же самое можно сказать о рядѣ
1 + 2х -|- Зх2 + ... , сходящемся въ томъ же интервалѣ (§ 247, а).
Для того, чтобы остатокъ ряда былъ меньше е по абсолютной ве-
личинѣ, достаточно опредѣлить ѵ такъ, чтобы (г> 1) аѵ было не
больше (1 — а)2е, а опредѣленіе ѵ подъ этимъ условіемъ всегда
возможно, потому что ѵраѵ при всякомъ р стремится къ нулю при
ѵ безконечномъ *). (§ 312, а.)
с) Сумма.п первыхъ членовъ ряда
(3) (х - хе~хі) + (хе-*2 - 2хе~2х2) + (2хе-2*2 - Зхе~3х2) + •••
равна х — пхе'пг‘ и стремится къ предѣлу х при п безконечномъ.
Слѣдовательно, рядъ будетъ сходящимся при всякомъ х. Но онъ не-
равномѣрно сходящійся въ интервалѣ, содержащемъ въ себѣ значе-
ніе х = 0. Дѣйствительно, при х = — остатокъ ряда пхс пх' ра-
і
венъ е п и не стремится къ 0 при возрастаніи п до <х>. Рядъ
х । х_________________________,____ ,____*___________,
1 +л; (1 + X) (1 +2л:)'г(1 4-хі(1 + 2х) (1 +3.-ѵ)т
также сходящійся при х 2^ 0, потому что при х^>0 сумма
3» = 1 — имѣетъ предѣломъ 1, а при х = 0 равна нулю.
Но рядъ неравномѣрно сходящійся въ интервалѣ, нижняя граница
1
котораго есть нуль, потому что при х = — остатокъ ряда дѣлается
равнымъ | и къ нулю не стремится. Съ другой стороны, рядъ бу-
детъ равномѣрно сходящимся во всякомъ интервалѣ, нижняя граница
котораго а > 0. Достаточно взять п > -—~, т. е. больше числа,
независящаго отъ х, чтобы остатокъ ряда былъ меньше е.
318. Теорема II. Если рядъ абсолютныхъ величинъ
членовъ даннаго ряда функцій будетъ равномѣрно сходя-
щимся въ данномъ интервалѣ, то рядъ, полученный пу-
темъ умноженія членовъ даннаго ряда на функціи, оста-
ющіяся конечными въ данномъ интервалѣ, будетъ также
абсолютно и равномѣрно сходящимся въ томъ же ин-
тервалѣ.
*) Для даннаго ряда
1 — (т + 1) ХѴ 4-
= (Г^)2
(г + 1) хѵ - ѵ.ѵ1'+1
(т + 1) хѵ
(1 - ,ѵ)-
Ѵѵ(.х)
Пусть и, 4- и2 + и3 + ... данный рядъ въ интервалѣ (а, Ь);
ѵг, ѵ3,... функціи, которыхъ абсолютныя величины въ интервалѣ
(а, Ь) .не превосходятъ даннаго числа I. Рядъ м1&1-|-м2г/2 +
4-м3г/3 + ... будетъ абсолютно сходящійся, потому что абсолют-
ныя величины его членовъ не превосходятъ соотвѣтствующихъ чле-
новъ сходящагося ряда ) их | + | и.г | + | и31 -|- ..., умноженныхъ
на I. Когда задано какое угодно положительное число 8, то, по
условію, можно найти такое число ѵ, независимое отъ х, чтобы
при п ѵ было
’ “пЦ-І | + | И«+2 + і “иЦ-3 ' + У
и а іогііогі
| ип+1 ѵп-і-1 + ип+2 ѵп-р> + м,1-1-3 Ѵп-І-3 + • • I < ®-
Слѣдовательно, рядъ ихѵх + м2ц2 + + ... будетъ и равно-
мѣрно сходящимся.
319. Слѣдствія, а) Рядъ, получаемый отъ умноженія
постоянныхъ членовъ абсолютно сходящагося ряда на
функціи, значенія которыхъ въ данномъ интервалѣ оста-
ются конечными, будетъ абсолютно и равномѣрно сходя-
щимся въ этомъ интервалѣ. Стоитъ только замѣнить функціи м1
въ предыдущей теоремѣ постоянными числами и замѣтить, что рядъ
постоянныхъ членовъ по необходимости равномѣрно сходящійся,
чтобы убѣдиться въ справедливости вышесказаннаго.
Ь) Рядъ функцій будетъ абсолютно и равномѣрно схо-
дящимся въ данномъ интервалѣ, если рядъ верхнихъ гра-
ницъ абсолютныхъ величинъ членовъ даннаго ряда есть
сходящійся рядъ. Положимъ, что данъ рядъ их + м2 -|- м3 4- ...;
замѣнимъ каждый его членъ ип(х) верхнею границею функціи
| ип(х) | въ данномъ интервалѣ. Если рядъ положительныхъ членовъ
Iй! + ^2 + АС + • • • сходящійся, то сходимость его, конечно, абсо-
лютная. Данный рядъ получается черезъ умноженіе членовъ по-
слѣдняго ряда на функціи ѵп =---------, а такъ какъ |ци|^1, то
“л
теорема доказана.
320. Примѣры, а) Если а положительное число, меньшее 1, то, какъ
извѣстно, рядъ 1 + а + а2 + • • • сходящійся, а этого достаточно, на основа-
ніи второго слѣдствія, чтобы скорѣе (ср. § 317, Ь) придти къ заключенію
что рядъ 1 + х + х- + • • • абсолютно и равномѣрно сходящійся въ интер-
валѣ (— а, а), или, такъ какъ а можно взять сколь угодно близкимъ къ 1,
въ интервалѣ (—1, + 1) за исключеніемъ границъ. То же самое справедливо
и относительно ряда 1 4- 4.x 3№ + • • • Въ самомъ дѣлѣ, а" и и а""1 при вся-
комъ п будутъ наибольшими значеніями абсолютныхъ величинъ функцій хп
и пхп~1 въ интервалѣ (—а, 4- а) (т. е. верхними ихъ границами).
Ь) Въ силу перваго или второго слѣдствія, если рядъ «і + + я3 + •
абсолютно сходящійся рядъ, то рядъ
а± зіп (/^ х) + а2 зіп (Ь2х) о3 зіп (Ь^х) -)-•••
абсолютно и равномѣрно сходящійся во всякомъ интервалѣ, каковы бы ни
были числа Ьг, Ь2, Ьъ, .... Такъ, напримѣръ, при р > 1, ряды
И =00
ПХ \~1СОЗПХ
абсолютно и равномѣрно сходящіеся. При р = 1 теоремы, на которыхъ
основано это заключеніе, уже не имѣютъ мѣста, и приходится непосредственно
изслѣдовать сходимость данныхъ рядовъ.
с) Разсмотримъ нѣсколько болѣе общій рядъ
аг зіп х + а2 зіп 2х + л3 зіп Зх + • • •.
Мы уже знаемъ (§ 218, і), что этотъ рядъ при всякомъ х сходящійся, даже
тогда, когда а2, а3, ... образуютъ расходящійся рядъ, лишь бы эти
числа постоянно убывали и стремились къ нулю, что какъ разъ и имѣетъ
мѣсто при ап = —. Такъ какъ рядъ не измѣнится, если прибавимъ къ х или
отнимемъ отъ него 2 л, то можно ограничиться значеніями х въ интервалѣ
(О, 2л). Извѣстно, что
. рх
ЗІП^
ЗІП (я + 1) X + ЗІП (п + 2) X + • •• + ЗІП (Я 4- р] X =-— ЗІП ІЯ
Отсюда слѣдуетъ, что, выбравъ сколь угодно малое положительное число а,
и взявъ х въ интервалѣ (а, 2п — а), будемъ имѣть
| зіп (я + 1) х + зіп (я + 2) х + • • • + зіп (я + р) х | < —--
зіп —
Слѣдовательно (§ 192),
ИиМ! <-—
ЗІП
Поэтому, если задано положительное число с и число ѵ выбрано достаточно
большимъ, чтобы было аѵ < е зіп то при я > ѵ | <рп(х} | < е и, слѣдо-
вательно, данный рядъ будетъ равномѣрно сходящимся во всякомъ интер-
валѣ, не содержащемъ въ себѣ числа, кратнаго отъ 2л.
321. Теорема III. Если для х = а члены нѣкотораго
равномѣрно сходящагося ряда имѣютъ конечные предѣлы,
то и сумма этого ряда имѣетъ конечный предѣлъ, равный
суммѣ предѣловъ членовъ ряда.
а) Для опредѣленности разсмотримъ предѣлы справа отъ а,
и выдѣлимъ сколь угодно малый интервалъ (а, а к) изъ того
интервала, въ которомъ рядъ равномѣрно сходящійся. На основаніи
этой сходимости всегда можно по данному положительному, сколь
угодно малому числу е опредѣлить число ѵ (не зависящее отъ к)
такъ, чтобы при п > ѵ было
|фЯ(*')| < -з-8> | <Р„ СО <І«,
а слѣдовательно,
| <Р„ (*') - <Р„ {X") | < | 8
для двухъ произвольныхъ значеній х' и х", лежащихъ въ интер-
валѣ (а, а + к). Фиксируя число п (т. е. не мѣняя выбраннаго его
значенія, опредѣленнаго согласно вышеуказанному условію), замѣ-
тимъ, что, когда х стремится къ предѣлу а, то сумма п первыхъ
членовъ даннаго ряда /п(х) стремится къ опредѣленному предѣлу,
равному суммѣ предѣловъ их, м3,...,ии. Поэтому можно вы-
брать к достаточно малымъ, чтобы |/И(У) — /п{х") | < Обозна-
чая теперь черезъ /(х) сумму даннаго ряда, будемъ имѣть, на осно-
ваніи предыдущихъ неравенствъ
| /(х’) ~/(х"} | 2 | /п(х') ] + | <рп(х') - фп(Х") | < 8
для всякой пары значеній х и х", лежащихъ въ интервалѣ (а, а + к).
Слѣдовательно, /(х) (§264) стремится къ конечному предѣлу
съ приближеніемъ я къ я справа.
Ь) Теперь докажемъ, что этотъ предѣлъ есть не что иное,
какъ сумма безконечнаго ряда, составленннаго изъ предѣловъ чле-
новъ даннаго ряда. Мы имѣемъ
(4) Дх) - + 0) = {и^х) - и{(а + 0)} + ф„(х).
і 1
При данномъ положительномъ сколь угодно маломъ е можно найти
такое число ѵ (не зависящее отъ к), чтобы при п > ѵ было
| ФпС'ѵ) | <С 4’е для всѣхъ значеній х въ интервалѣ (а, а-\-к). Удер-
живая опредѣленное значеніе п, будемъ теперь приближать х къ а.
Такъ какъ ііі(х) стремится къ предѣлу и;(а 0), то при достаточно
маломъ к, имѣемъ
! н
—----т Г
- и{(а + 0)} I < у,
а потому, на основаніи равенства (4),
[/(*) +°)
1 1
Замѣчая теперь, что и разность /(х) - /(а^ДУ) можетъ быть сдѣ-
лана меньшей 4г по абсолютной величинѣ и при томъ такъ, что
О
она будетъ и оставаться меньшей 4г, когда х стремится къ а, бу-
О
демъ имѣть
п
!Д« 4 0) -и^а +0)
I 1
й !/(« + 0) - дд ( +
п
Дх) и Да + 0)
Итакъ, /{а Ч- 0) — 0) -(- (л -р 0) “Ь 0) 4“ *' * •
322. Теорема IV. Если рядъ непрерывныхъ функцій
сходится равномѣрно, то его сумма есть непрерывная
функція.
Дѣйствительно,
Да) = иДа), /(а ± 0) = ц.(а + 0).
і і
Второе равенство есть слѣдствіе равномѣрной сходимости ряда и
предыдущей теоремы. Съ другой стороны, вслѣдствіе непрерывности
членовъ ряда, имѣемъ
«Да = «Да + 0), поэтому Да) = Да ± 0).
Итакъ, /(х) функція непрерывная.
323. Теорема V. Если производныя членовъ сходя-
щагося ряда функцій образуютъ равномѣрно сходящійся
рядъ, то сумма этого второго ряда равна производной отъ
суммы даннаго ряда.
Мы ограничимся разсмотрѣніемъ производныхъ, напр., справа
и замѣтимъ слѣдующее: если а лежитъ въ томъ интервалѣ, гдѣ
имѣетъ мѣсто равномѣрная сходимость, и если Л достаточно мало
для того, чтобы а к заключалось въ томъ же интервалѣ, то
всегда можно по данному положительному сколь угодно малому
числу е опредѣлить число ѵ (не зависящее отъ к) такъ, чтобы при
п > ѵ было
I «; (х)
«+1
для всѣхъ значеній х въ интервалѣ (а, а + к). Отсюда слѣдуетъ
Положимъ для сокращенія
" г«Д« +/г) - «Да) ,, ,1
а- = 2 [---------ъ---------
и замѣтимъ, что, примѣняя теорему Лагранжа (§ 306) къ послѣд-
а + к) — «Да)
нимъ п — ѵ выраженіямъ-----------------------подъ знакомъ суммы,
получимъ
<>„=<*>. +2*'
Н-1
гдѣ а <С. § <С а -|- к. Опредѣливъ ѵ согласно поставленнымъ выше
условіямъ и фиксируя его значеніе, находимъ сперва
Замѣчая далѣе, что
И
мэ — «л«)}
Ѵ-|—1
< -Н-
«Да ф Іі) — и^а) ,
Ііт ------------------= и,,н),
і,=о
можно взять к достаточно малымъ для того, чтобы было о„ | < ^е.
Отсюда получится, что о„ | < е при достаточно большомъ п и до-
статочно маломъ к. Если теперь, оставляя ѵ и к постоянными, бу-
демъ увеличивать п безпредѣльно, то на основаніи сходимости обо-
ихъ рядовъ, найдемъ
/<« + к) - /(а)
к
- 2^
і
т. е.
.. У(а к) —Д(а) х л > . .
11т"------
/1=0 п
или иначе
/'(а) — «і (а) -Д И- «з(е)
324. Примѣчанія, а) Послѣднія три теоремы отчасти запол-
няютъ пробѣлы, оставшіеся открытыми въ §§ 263, 267 и 285, ука-
зывая безконечное число случаевъ, въ которыхъ можно распростра-
нить способы разысканія предѣловъ, теоремы о непрерыв-
ности и правила разысканія производныхъ суммъ конечнаго
числа функцій на суммы съ безконечнымъ числомъ слагаемыхъ.
Однако, этимъ не исключается возможность того, что эти теоремы и
правила будутъ имѣть мѣсто и въ другихъ случаяхъ, къ которымъ
вышедоказанныя три теоремы не относятся.
Ь) Всякая непрерывная функція можетъ быть изображена рав-
номѣрно сходящимся рядомъ. Въ самомъ дѣлѣ, составимъ какую
нибудь послѣдовательность чиселъ а,, а2, а3, ..., стремящихся къ
нулю, и положимъ и, =/(х + аі), и (при п > г) ип — /(х-\-ап}~
—}(х -4-аи—і). Сумма п первыхъ членовъ ряда иу -ф- и2 4- -ф- ...
есть /я(.х) =/(* + а„), и 1іт/я(х) = /(х). Слѣдовательно, рядъ
их + ич + + • • • сходящійся, и его остатокъ равенъ <рп(х) =
= /(х) —у(д- -ф- а„). Замѣтивъ это, можемъ по данному положи-
тельному сколь угодно малому числу а, на основаніи теоремы
Кантора (§ 279), въ силу непрерывности функціи /(х), опре-
дѣлить число /г такъ, чтобы было |/(Ѵ) — при
х — х' \ < к. Отсюда слѣдуетъ, что, выбравъ число ѵ достаточно
большимъ для того, чтобы і ап оставалось меньше к при п>ѵ,
будемъ имѣть | <7>п(.г) | < е для всѣхъ значеній /г, большихъ числа ѵ,
независящаго отъ х. Такимъ образомъ, непрерывная функція _/'(х)
представится, какъ сумма равномѣрно сходящагося ряда
/(х + аО4- {/{х + а,} -/^х + а^} + {/(х + ая) — /(*+ а2)Н-. (ХХХП Ьіз).
с) Съ другой стороны, теорема IV показываетъ, что разрыв-
ная функція никогда не можетъ быть изображена равномѣрно схо-
дящимся рядомъ непрерывныхъ функцій. Такъ, напримѣръ, сумма
ряда (2) имѣетъ обыкновенный разрывъ слѣва отъ х = 1, и этого
достаточно, чтобы обнаружить неравномѣрную сходимость ряда въ
интервалѣ съ верхнею границею 1 *). Однако, не слѣдуетъ ду-
мать, что неравномѣрная сходимость ряда есть вѣрный указа-
тель разрывности его суммы. Достаточно припомнить рядъ (3),
сумма котораго непрерывная функція х, хотя рядъ неравномѣрно
сходящійся.
б) Аналогично этому, теорема V показываетъ, что равномѣр-
ная сходимость ряда производныхъ отъ членовъ даннаго ряда до-
статочна для того, чтобы утверждать, что производная сумма дан-
наго ряда существуетъ и равна суммѣ производныхъ его членовъ.
Но это условіе не необходимо, потому что существуютъ такіе
ряды, что рядъ производныхъ неравномѣрно сходящійся, а имѣетъ
суммою производную суммы даннаго ряда т). Наконецъ, легко при-
вести примѣръ ряда, для котораго сумма ряда производныхъ не
равна производной отъ суммы даннаго ряда. Такъ сумма ряда (1)
равна 1 при всякомъ х, а рядъ производныхъ — 1 -ф- (1 —х) +
-ф- (х — х2) -ф- ... при х=1 имѣетъ сумму —1, а не 0. Это
объясняется тѣмъ, что послѣдній рядъ не равномѣрно сходящійся.
*) Сумма 5 ряда (2) равна 1 при х < 1 и 5 = 0 при х = 1.
!) См. подобный примѣръ въ „Кёзшпё би Соигз б’АпаІузе” раг
Мапзіоп, р. 255.
Разложенія въ степенные ряды.
325. Особенно важное для насъ значеніе имѣетъ разложеніе
функцій въ ряды, расположенные по цѣлымъ положительнымъ сте-
пенямъ перемѣнной,—ряды, называемые степенными (РоІепхгеіЬеп)
или цѣлыми (зёгіез епііёгез)
(5)
/М = а0 + х + г:2.ѵ- + + • • •.
Основною теоремою въ теоріи этихъ рядовъ служитъ слѣдующая:
степенной рядъ будетъ абсолютно и равномѣрно схо-
дящимся въ интервалѣ (—а, + а), за исключеніемъ, мо-
жетъ быть, границъ, если при х = а члены этого ряда
образуютъ конечную послѣдовательность. Дѣйствительно,
данный рядъ можно себѣ представить происшедшимъ изъ ряда
+ ••• черезъ умноженіе членовъ послѣдняго на
числа а0, а^а, ага2,... (абсолютныя величины которыхъ, по усло-
вію, всѣ меньше нѣкотораго постояннаго числа). Такъ какъ этотъ
послѣдній рядъ есть рядъ, сходящійся абсолютно и равномѣрно
(§ 320, а) въ интервалѣ (— а, фа) за исключеніемъ границъ, то
то же самое можно утверждать (§ 318) и относительно даннаго ряда.
Условіе теоремы (конечность всѣхъ чиселъ а0, а1а, а2а2,...), ко-
нечно, можетъ быть выполнено и въ томъ случаѣ, когда рядъ не
будетъ сходящимся ни на одной изъ границъ, потому что можетъ
случиться, напримѣръ, что съ возрастаніемъ п до безконечности
апап, оставаясь конечнымъ, не стремится къ нулю. Но можно на-
вѣрно утверждать, что установленное условіе выполняется, если рядъ
будетъ сходящимся на одной изъ границъ. А именно, въ этомъ
случаѣ 1ітаиаи = 0, и поэтому можно, задавъ по произволу поло-
п=Х)
жительное число I', опредѣлить наименьшее значеніе числа ѵ подъ
условіемъ, чтобы при п^>ѵ всегда было ; апап | < I'; затѣмъ можно
найти достаточно большое число I, чтобы при п ѵ имѣть
'«„а" | «С I, а тогда ясно, что при любомъ значеніи п будемъ
имѣть |аиаиІ<7, потому что Г | аѵаѵ | < I. Отсюда слѣдуетъ,
что, если рядъ (5) будетъ сходящимся на одной изъ гра-
ницъ интервала (—а, —|—а), онъ будетъ сходящимся во
всемъ интервалѣ, за исключеніемъ, можетъ быть, другой
границы, и эта сходимость будетъ равномѣрная, за исключеніемъ
границъ.
326. Радіусъ сходимости. Можетъ случиться, что не суще-
ствуетъ такого положительнаго числа а, чтобы рядъ былъ сходящимся
при х = а. Въ такомъ случаѣ изъ доказанной теоремы тотчасъ слѣ-
дуетъ, что рядъ будетъ сходящимся только при х = 0 (таковъ, напри-
мѣръ, рядъ, общій членъ котораго есть п\хп). Съ другой стороны, мо-
жетъ случиться, что рядъ будетъ сходящимся для всевозможныхъ
хп
значеній х (достаточно указать на рядъ, общій членъ котораго —).
Если же рядъ не будетъ сходящимся для какого нибудь значенія х,
то ансамбль чиселъ а будетъ конечнымъ и имѣетъ, слѣдовательно,
(§ 172) верхнюю границу о, которая можетъ и не принадлежать
ансамблю. Въ разсматриваемомъ случаѣ, значенія перемѣннаго
числа х, для которыхъ рядъ сходящійся, образуютъ интер-
валъ (—р, р), на границахъ котораго сходимость можетъ и не
имѣть мѣста, но внутри котораго сходимость будетъ абсолютная
и равномѣрная. Вышеупомянутые два случая можно разсматривать,
какъ частные случаи послѣдняго. Они соотвѣтствуютъ р = 0 и
р = оо. Во всѣхъ случаяхъ число р называютъ радіусомъ схо-
димости ряда *). Для рядовъ
имѣемъ р = 1, т. е. для всѣхъ трехъ рядовъ интервалъ сходимости
будетъ (—1, 1). При этомъ для перваго ряда надо исключить обѣ
границы, для второго одну верхнюю, а третій будетъ сходящимся
во всемъ интервалѣ. Иными словами, значенія х, для которыхъ три
вышеприведенные ряда будутъ сходящимися, для перваго ряда не
имѣютъ ни наибольшаго, ни наименьшаго, для второго имѣютъ
только наименьше, а для третьяго и наибольшее и наименьшее.
327. Опредѣленіе р. Если существуетъ число
р = ііт
п=^> ап
то можно доказать, что оно и есть радіусъ сходимости ряда. Дѣй-
ствительно, положимъ, что ип = | апхп', и разсмотримъ рядъ
+ м2 + мз + • • • > для этого ряда имѣемъ
и
Ііт—~ = Ііт
и ч
апх I = И
ап 1 I О
Извѣстно (§ 210, а), что при | х | < р рядъ чиселъ и сходящійся и,
слѣдовательно (§ 230), рядъ (5) абсолютно сходящійся. Поэтому
радіусъ сходимости будетъ не меньше р. Но онъ не можетъ быть
и больше р, потому что иначе въ интервалѣ сходимости были бы
значенія х > р, для которыхъ рядъ (5) абсолютно сходящійся, какъ
*) Происхожденіе этого названія объясняется въ теоріи рядовъ съ
комплексными членами.
это необходимо имѣетъ мѣсто внутри интервала сходимости; а съ
ип
другой стороны, вслѣдствіе того, что Ііт------> 1, рядъ абсолют-
1
ныхъ величинъ членовъ даннаго ряда былъ бы расходящимся, что
противорѣчитъ теоремѣ Дирихле (§ 230). Подобнымъ же образомъ
доказывается, что если существуетъ число
о = ііт ---—
оно и будетъ радіусомъ сходимости ряда. Стоитъ только замѣ-
тить, что
и,„ п____________ । х
Ііт у и = Ііт 1/ I а„хп I = -—1 •
повторить предыдущія разсужденія и сопоставить съ теоремою
§ 213. Такимъ образомъ, можно, косвеннымъ путемъ, доказать
тождественность (см. § 142, Ь) двухъ разсмотрѣнныхъ выше предѣ-
ловъ. Если эти предѣлы не существуютъ, то можно прибѣгнуть къ
нижеслѣдующей теоремѣ.
п
328. Теорема Адамара (Надатагд). Если числа ]/|ап| при
п = 1, 2, 3, ... образуютъ конечный ансамбль, то обратное
значеніе наибольшаго изъ предѣловъ этого ансамбля равно
радіусу сходимости ряда
И- ^2Л'2 И- • • *)
Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ черезъ упомянутый въ теоремѣ
наибольшій изъ предѣловъ даннаго ансамбля; это число всегда су-
ществуетъ (§ 175). Тогда (см. § 178) о неравенствахъ
п____ н / і \
Гккл (л<?</)
извѣстно, что первое выполняется при всѣхъ значеніяхъ п, боль-
шихъ нѣкотораго даннаго числа, а второе при нѣкоторыхъ значе-
ніяхъ п, сколь угодно большихъ. Положимъ теперь въ рядѣ, кото-
раго общій членъ есть ип = апхп, |х|<р. Тогда, между х и о
можно вставить число до, гдѣ ^<^1. Выберемъ, далѣе, I такъ,
чтобы было д = \ х \ Г, въ такомъ случаѣ, начиная съ нѣкотораго
значенія п, будемъ имѣть
ГПГ = X ; Ѵ\ ап I < Ч < 1, \ип\<
9 „8иг 1е гауоп де сопѵег^епсе дез згёіез огдоппёез зиіѵапі Іез риіз-
запсез д’ипе ѵагіаЫе" (Сошріез гепдиз де ГАсадётіе де Рагіз 1888 р. 259).
и данный рядъ будетъ абсолютно сходящимся, потому что абсолют-
ныя величины его членовъ будутъ меньше соотвѣтствующихъ чле-
новъ сходящейся геометрической прогрессіи 1 д 4- д2 + ... Если
же | х| > р, то можно выбрать I' такъ, чтобы было 1 = \Х\-Г
и всегда найдутся сколь угодно большія значенія п, для которыхъ
VI «и ! = /I "н I > і, I ', > і •
Отсюда слѣдуетъ, что рядъ не будетъ сходящимся, потому что не-
обходимое для сходимости условіе 1ітм„ = 0 не выполняется. Слѣ-
довательно, р есть верхняя граница значеній х, при которыхъ дан-
ный рядъ будетъ сходящимся. Замѣтимъ въ заключеніе, что р = ж
тогда и только тогда, когда наибольшій (а слѣдовательно, и наи-
п
меньшій) предѣлъ чиселъ ап | равенъ нулю. Итакъ, необходи-
мое и достаточное условіе для того, чтобы рядъ
а(> + а±х + а.^х1 + •
былъ сходящимся при всякомъ значеніи х, есть равенство
п
Ііт ]С| а„ \ = 0.
П—Х
329. Производная степенного ряда. Перейдемъ теперь къ
разсмотрѣнію ряда
(6) & (х) = «!-)- 2п2х + Зл3х2 + 4«|Х;1 + • • •,
составленнаго изъ производныхъ отъ членовъ ряда (5). Радіусъ
сходимости р' ряда (6) не можетъ быть больше радіуса сходи-
мости р ряда (5), потому что общій членъ ряда (6) папхи~при
безпредѣльно возрастающемъ п, становится, въ концѣ концовъ,
больше общаго члена а„хп ряда (5) по абсолютной величинѣ *).
Съ другой стороны, выбравъ число ' меньшее р и какъ угодно
близкое къ р, найдемъ, что при х = а, гдѣ ^<а<р, рядъ (5)
сходящійся и, слѣдовательно, 1іта„аи = 0. Отсюда заключаемъ, что
рядъ (6) будетъ абсолютно и равномѣрно сходящимся (§ 318) въ
интервалѣ (— ^), потому что этотъ рядъ можно разсматривать
X
происходящимъ изъ ряда 1 2 -- 4- 3 4~ ..., абсолютно и рав-
номѣрно сходящагося при і х | <4 а (§ 320, а), черезъ умноженіе его
членовъ на числа ал, а2а, а3а2..., образующія конечный ансамбль.
Итакъ, р' не можетъ быть и меньше р. Отсюда слѣдуетъ, что
рядъ (6) имѣетъ тотъ же интервалъ сходимости, какъ и рядъ (5),
за исключеніемъ, можетъ быть, границъ, на которыхъ рядъ произ-
водныхъ можетъ быть расходящимся или неопредѣленнымъ, между
тѣмъ какъ внутри этого интервала сходимость всегда остается
*) И получилось бы, что при О < х < о', рядъ 6 сходящійся, а рядъ
5 расходящійся, что невозможно.
абсолютною и равномѣрною. На основаніи этой равномѣрности мы
можемъ утверждать (§ 323), что ^-(х) есть производная отъ
/(х), а такъ какъ это заключеніе справедливо для всякаго степен-
ного ряда, то это же заключеніе можно распространить на ряды,
члены котораго будутъ вторыя, третьи и т. д. производныя членовъ
даннаго ряда, такъ что будемъ имѣть
(х) = апхл Л /" (х) = {п - 1) «„х"-2.
1 2
(х) = \п (п - 1) (я - 2) апХ"-\ ...
з
Изъ этихъ соотношеній и ряда (5) тотчасъ находимъ, при х = 0,
/(О)=«о, /'(0) = Я1, /"(0)=2«2, /'"(0)=6«3>
и приходимъ, такимъ образомъ, къ слѣдующему важному заключе-
нію. Если нѣкоторая функція /(х) можетъ быть изображена степен-
нымъ рядомъ, то этотъ рядъ необходимо имѣетъ видъ
(7) /М=/(0) + у//(0) + 1-Ѵ"^ + г^^(°) ••••
1 1 • X і • • о
Итакъ, мы теперь имѣемъ правило для разложенія данной функціи
въ степенной рядъ. Но мы еще не вправѣ примѣнять это правило,
потому что не имѣемъ еще критеріума, утверждающаго законность
такого разложенія. Этотъ пробѣлъ мы сейчасъ и заполнимъ.
330. Формулы Тэйлора и Маклорена. Рядъ (7) можно на-
писать въ болѣе общемъ видѣ, замѣнивъ /(х) черезъ /(х 4- а), а
затѣмъ х черезъ х — а, что даетъ разложеніе /(х) въ рядъ, распо-
ложенный по степенямъ (х— а), а именно:
(8) /(х) =/(«) + Х-^/' («) + («) + (Х ~ Я3)3/№ («)+••••
Чтобы рѣшить вопросъ о законности такого разложенія, мы всегда
вправѣ написать
(9) /(х) =/(«) + (а) + ^=^7" («)+-+ (^~_Я)171^(Я~1) (Я) + К">
и остатокъ Кп взять въ видѣ
(х - а)ѵ <р(х)
п (п - 1)! ѵ ’
гдѣ ѵ цѣлое положительное число, а ср(х) нѣкоторая функція отъ
х, зависящая также отъ п и ѵ. Мы допустимъ существованіе и-ой
производной отъ /(х) во всемъ интервалѣ, въ которомъ лежитъ
число а, и выбравъ въ томъ же интервалѣ еще одно число Ь, раз-
смотримъ функцію
/'м=/(х)+<*)+-+(6~*Ѵ/(,1-1)(*)
1 X ' X 1 у .
. (Ь-х)ѵ ...
+ 7п-іу77'^'
По формулѣ (9) имѣемъ Р(а) = /(Ь) и, кромѣ того, очевидно,
7^(6) = /(Ь). Функція Е(х) принимаетъ, слѣдовательно, одинаковыя
значенія на границахъ интервала (а, Ь), а потому (§ 303) ея про-
изводная должна обращаться въ нуль при нѣкоторомъ значеніи
х = лежащемъ внутри этого интервала. Весьма простое вычисле-
ніе даетъ
Выражая, что Е'(х) обращается въ нуль при х — мы найдемъ
отсюда а замѣняя опять букву Ь буквою х, получимъ
Ч>&) = (А- - Кп = {Х ~
гдѣ § лежитъ между а и х. Положивъ еще § = (1 — 0)а + Ѳ.г, гдѣ
0 < 0 < 1, можемъ написать
7г«=(^Л^(1-Ѳ)Я~ѵ/ІЯ)(й-
Формула (9), дополненная этимъ выраженіемъ остатка /?„, назы-
вается формулою Тэйлора *). Въ частности, при ѵ = п и ѵ = 1
получаемъ слѣдующія формы остатка, найденныя первая Лагран-
жемъ, вторая Коши:
> кп = (1 - 6)"“7(Я>©•
Форма Лагранжа, безъ сомнѣнія, самая простая, но она не всегда
способна дать отчетъ о характерѣ измѣненія 7?„ при безпредѣль-
номъ возрастаніи п. Въ такихъ случаяхъ обращаются къ формѣ
Коши. Но въ нѣкоторыхъ случаяхъ и эта недостаточна, и прихо-
дится прибѣгнуть къ самой общей (XXXIII). Во всякомъ случаѣ,
когда дана функція /(х), составлена та или другая форма остатка
Кп и окажется, что при безпредѣльномъ возрастаніи числа п оста-
*) Остатокъ Кп называютъ также дополнительнымъ членомъ
формулы Тэйлора.
токъ Кп стремится къ нулю, тогда мы вправѣ разложить функцію
/(х) въ безконечный рядъ (8). Полагая въ ней а = 0, приходимъ и
къ разложенію (7). Мы можемъ, однако, теперь, положивъ въ фор-
мулѣ (9) « = 0, съ большею точностью и общностью писать, даже
не предполагая разложимости Дх) въ безконечный степенной рядъ
Т Т- хп 1
(10) /(.V) =/(0) + т/'(0) +^/-"(0) + •• + (°) +
гдѣ
или Кп = (1 - Ѳ)«- "Ѵ<”’ (Ѳлг)
или общнѣе
Формула (10), дополненная однимъ изъ выраженій остатка (или до-
полнительнаго члена), называется формулою Маклорена. Сопоставляя
сказанное здѣсь съ концомъ предыдущаго §, мы видимъ, что из-
слѣдованіе измѣненія при безпредѣльномъ возрастаніи п, даетъ
намъ средство узнать, законно ли разложеніе функціи Дх) въ
рядъ (7).
331. Примѣчанія, а) Не надо думать, что сходимость рядовъ
Тэйлора и Маклорена достаточна для того, чтобы соотвѣтствующія
разложенія были законны. Можетъ, напримѣръ, случиться, что рядъ
(7) сходящійся, но сумма его не равна ] (х). Дѣйствительно, надо
обратить вниманіе на то, что не есть, строго говоря, остатокъ-
ряда, а просто разность между /(х) и суммою п первыхъ членовъ
ряда, и поэтому ничто ему не мѣшаетъ при безпредѣльномъ воз-
растаніи п стремиться къ предѣлу Дх), не равному нулю при вся-
комъ .г въ данномъ интервалѣ; а въ такомъ случаѣ рядъ (7) бу-
детъ имѣть суммою не Дх), а Дх) — Дх). Конечно, §-(х) не про-
извольная функція, потому что разложеніе Дх) — Дх) въ степенной
рядъ возможно только тѣмъ способомъ, который указанъ форму-
лою (7), и слѣдовательно, Дх) должна обладать свойствомъ обра-
щаться въ нуль, вмѣстѣ со всѣми своими послѣдовательными про-
изводными, при х = 0. Это безчисленное множество условій удов-
летворяется, конечно, весьма рѣдко. Однако, можно привести про-
_ і
стой примѣръ такой функціи, опредѣляемой равенствомъ Дх) = е 1,
при х хО, и ДО) = 0. Замѣчаемъ прежде всего, что въ силу из-
вѣстнаго уже результата (§ 312, а) имѣемъ
^•'(0) = Ііт^^-- = Ііт ,ѵ 1е = Ііт г2 <’ 2 = 0 .
х = 0 х х=0
Далѣе, легко доказать, что если ^"ДО) = 0, то и «1п+1)(0) = 0.
Дѣйствительно, вычисляя послѣдовательныя производныя при .ѵ?т О,
находимъ
і
(х) = У А х "х ’
а потому
_ і а+1
/и+1,(0) = Ііт У Ах-^+^е х‘ = Ѵдііт з 2 е~’ = 0.
Ь) Другое замѣчаніе оказывается полезнымъ, потому что оно
во многихъ случаяхъ избавляетъ отъ необходимости непосредствен-
наго изслѣдованія измѣненія Кп при безконечномъ возрастаніи п.
Мы уже сказали, что для законности разложенія (7) необходимо
доказать не сходимость ряда, а то, что /?„ стремится къ нулю при
безконечномъ п. И какъ только удастся установить, что /г-ая произ-
водная, даже при возрастаніи п до безконечности, остается конеч-
ною въ интервалѣ (0, х), такъ тотчасъ же увидимъ, что упомяну-
тое условіе выполняется, и разложеніе законно. Чтобы это дока-
Xй
зать, стоитъ только припомнить, что (§ 147) стремится къ нулю
при всякомъ х, а потому, если абсолютная величина /'(п) (О-'') при п
безконечномъ не превосходитъ даннаго числа, то
332. Упражненія, а) Для функціи /(х) = ех имѣемъ /(п) = ех, число
конечное во всякомъ интервалѣ и при всякомъ п (потому что оно отъ п
не зависитъ). Поэтому изслѣдованіе Кп при п безконечномъ является излиш-
нимъ и, на основаніи послѣдняго замѣчанія § 332, можно быть увѣреннымъ
а ргіогі, что 1іт7?и = 0. Такъ какъ / и)(0) = 1, то (см. § 184)
1’ V-
е = 1 + Т + П + Г Гз + Т-2 ДГ4 + "
при всякомъ значеніи х. Подобнымъ же образомъ получаемъ слѣдующія
разложенія:
, х- Л'4 . X3 X5
СОЗ X = 1 - — Д- — — ... , 81П X = X - — Д- — - • .
Ь) Для /(х) = «•гсоь" со® (х 5іп а) или /(х) = е'гс05“ зіп (х зіп а), какъ
извѣстно (§ 292, е), имѣемъ соотвѣтственно
/(п)(х) = (г''С08“ соз (па Д- х зіп а), /(и\х) = сХС03“ зіп (па Д- х зіп а),
такъ что соотвѣтственно (0) = соз па, /(и) (0) = зіп па, откуда
со5 (л.8|п = । X л; Соз 2д д. _соз За 4- ,
1 1 • 2 1 • 2 • о
ех с0&азіп (х зіп а) = ~ зіп а Д- зіп Ча Д- . - зіп За Д- .
1 1’2 1 • 2 • о
Въ этихъ формулахъ заключаются предыдущія при а = 0 и а = у. Далѣе,
отсюда же получимъ разложенія г^созл; и ^зіпл: при а = и замѣнѣ х
на х]/~2 и т. д.
с) Для /(х = 1о§ (1 + х) имѣемъ
(х) = (- I)”-1
(я - 1)! /(п) (0) _ (- I)"-1
(1 + х)п’ п! п!
откуда
108(1 + х} = х--^ + Т- + (-1)“ *- + П
АО 11 — 1 п’
гдѣ
К.
(- 1)ЯІЛ-Я / 1 - 0 і”-1
1 4- Ѳ.ѵ \1 + Ѳ-т/
и 0 < О < 1. При х > 1 или х й — 1 мы можемъ себя избавить отъ труда
изслѣдовать Кп, потому что прямо видно (§ 218, а), что въ этихъ случаяхъ
рядъ не будетъ сходящимся. Полагая х й 1, но положительнымъ, замѣчаемъ,
что < х й 1, поэтому I д-І остается конечнымъ, въ то время
какъ стремится къ нулю. Первая форма (Лагранжа) остатка даетъ тогда
Ііт 7?п = 0. Если же х > — 1, но отрицательно, то надо прибѣгнуть ко вто-
рой формѣ (Коши) остатка, потому что первая не даетъ возможности ска-
зать что либо опредѣленное о Кп при п безконечномъ. Такъ какъ отно-
1 1 - Ѳ . 1
шенія ---— и ----— соотвѣтственно меньше, чѣмъ -—•— и 1, тогда какъ
1 + Ъх 1 + вх 1 + X
хл стремится къ нулю, то и въ этомъ случаѣ 1іт7?„ = 0. Итакъ (ср. § 186),
въ интервалѣ (— 1, + 1), за исключеніемъ нижней границы, имѣемъ
ѵ2 ѵЗ
1О8(1 +я;) = Х-^- + у--4-+-.
б) Чтобы разложить въ рядъ функцію у = агсІ8 х, припомнимъ,
что (§ 292, е) ея и-ая производная равна
(и — 1)! созму • зіп » + -у|-
Остатокъ въ формулѣ Маклорена, взятый въ формѣ Лагранжа, равенъ произ-
Хп
веденію —на величину, остающуюся конечною, но не стремящуюся къ 0. Слѣ-
п
довательно, Кп стремится къ нулю только въ томъ случаѣ, когда х по абсолют-
ной величинѣ не превосходитъ единицы. Въ этомъ предположеніи (— 1 х й 1),
формула Маклорена даетъ
агс і§х = х — |л"3 + іх5 — Іх1 + •
Этою формулою пользовались для вычисленія л. На границахъ интер-
вала (— 1, + 1) она даетъ
* = 1 _ 1 + 1 _ 1 + ...
4 3'5 7 ’
но этою формулою нельзя воспользоваться съ указанной цѣлью, вслѣдствіе
крайне медленной сходимости ряда. Надо было бы взять 24000 членовъ
(§ 196, с), чтобы получить четыре вѣрныхъ десятичныхъ знака. Весьма
удобную формулу далъ Мехинъ (МасНіп). Положимъ = тогда
, „ | 5 | 120 1
8 “ ~ 1 - “ І2 ’ 4 “ “ 1 - “ 119 ~ 1 + 119 ‘
Замѣчаніе, что і§4а немного превосходитъ единицу, наводитъ на мысль по-
ложить 4а = ~ + /3, гдѣ (3 будетъ весьма малое число. А именно, находимъ,
что
л
4
4 а — 1
+ 1
тід = 1
2 + ті-д- 239
0= 4а —
=
Я 11
Такъ какъ = 4 а — /3 = 4 агс — агсі§ та >
4 О 2оУ
ТО
= 16/ _ 4 42 43 \
71 5 \ 3- 100 ! 5-100'-' 7 - 100» "/
АІ!________-1—+—1_______________-1—+...
239 \ 3-57121 5-571212 7 -57121- ^
Съ помощью этой формулы В. Шанксъ (Зѣапкз) вычислилъ л съ 707 деся-
тичными знаками. Первые 30 можно замѣтить при помощи слѣдующихъ фран-
цузскихъ стиховъ:
С)ие ]’ аіше а іаіге арргепбге ип поіпЬге иШе аих за§ез!
Іттогіеі Агсѣітёбе, агіізіе іп§ёпіеиг,
С)иі бе (оп ]и§етеп( реиі ргізег Іа ѵаіеиг?
Роиг тоі іоп ргоЪІёте еиі бе рагеііз аѵапіа^ез.
Если каждое слово замѣнимъ числомъ содержащихся въ немъ буквъ, то
получимъ
л = 3,141592653589793238462643383279 ...
Еще два знака можно написать, если припомнить замѣчаніе Каталана х) что
подобную поэтическую работу нельзя продолжить, потому что послѣ цифры 5
слѣдуетъ нуль. Гораздо полезнѣе, однако, имѣть приближенное значеніе л,
которое имѣетъ практическое приложеніе. Такъ, если въ л2 = 9,8696044 ...
ограничиться первыми четырьмя десятичными знаками, то для л получимъ
значеніе 0,26. ]/"146 = 3, 141591953 ..., геометрическое толкованіе котораго
(принимая во вниманіе, что 146 = 52 + 112) дастъ вполнѣ удовлетворитель-
ное спрямленіе окружности круга 2) такъ какъ примѣненіе его даетъ по-
грѣшность около одного миллиметра для круга съ діаметромъ въ одинъ
километръ.
!) Саіаіап. „Моиѵеііе соггезропбапсе таіѣётаіідие”, ѣ V, р. 44.
2) Этотъ способъ былъ предложенъ Шпехтомъ (Зресііі) въ Сгеііез
.Іоигпаі В. 111. 8. 83. Другое построеніе, дающее менѣе приближенное значе-
ніе л = 4 — 2У~2 4- | } 3 + | ]/6 = 3,14277 ... было недавно предложено
О. Реігсе въ „Виііеііп о( (Не Атегісап Маіѣ. 8осіеіу“ (Тиіу, 1901, р. 427).
е) Въ заключеніе предложимъ себѣ разложить въ степенной рядъ
функцію / (х) = (1 + х)т. Ея и-ая произодная равна
_ т — I) (т — 2) ... {т — п 1) (1 ф- х)т
поэтому формула (7) дастъ
<14 (1 + ,.-) -1 + т + «а.; » -2>
1 1 • 2 1 • & • О
всякій разъ, когда рядъ въ правой части сходящійся и, кромѣ того,
Ііт Кп = 0. Мы увидимъ, что послѣднее условіе всегда выполнено, когда
рядъ сходящійся и лѣвая часть имѣетъ смыслъ, т. е. за исключеніемъ слу-
чая, когда одновременно т = 0 и х = — 1. Мы оставимъ также въ сторонѣ
разъ навсегда случай ш = 0, потому что тогда прямо видно, что формула (11)
имѣетъ мѣсто, какое бы значеніе ни имѣлъ л- 1. Послѣ этихъ замѣчаній
беремъ въ формѣ Коши:
Ц , =„гд.(і+9д-у« і /2ПІѴ'. 1) (ш ^2) (>»-») „
«+1 тх^+ѵл> -(1+е.г-) 1-2-3- я
Замѣтимъ, что разложенъ такимъ образомъ на три множителя (не счи-
тая тх). Третій множитель есть общій членъ биноміальнаго ряда съ пока-
зателемъ т — 1; этотъ рядъ будетъ сходящимся (§ 222) при х \ < 1, ка-
ково бы ни было т, при х = — 1 и т ѣ 1, и при .ѵ = 1, т > 0. Во всѣхъ
этихъ случаяхъ первые два множителя (тх совсѣмъ отъ « не зависитъ)
остаются конечными, а третій, какъ общій членъ сходящагося ряда, стре-
мится къ нулю, слѣдовательно, и ііт = 0. Остается разсмотрѣть тѣ
случаи, когда первый рядъ сходящійся, а второй (биноміальный съ показа-
телемъ т — 1) расходящійся. Эти случаи соотвѣтствуютъ предположеніямъ
х = —.1 при 0 < т < 1, и х = 1 прп — 1 < т < 0. Въ первомъ случаѣ въ
выраженіи 2?,,^ относительно перваго множителя (1 — Ѳ)”' 1 нельзя быть
увѣреннымъ, что онъ остается конечнымъ, потому что т — 1 < 0, а 9, хотя
и меньше 1, но при безпредѣльномъ возрастаніи п можетъ быть подходитъ
къ 1 какъ угодно близко. Во второмъ случаѣ третій множитель уже не
стремится къ нулю, потому что его абсолютная величина
т
п
1 ~'И(1 + І+ +І)
возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ съ «. Въ послѣднемъ случаѣ вопросъ
сейчасъ же рѣшается, если возьмемъ Лагранжеву форму для 7?и:
т (т - 1) (т - 2) • • (т - п ф- 1) т „
Множитель (1 ф 0)”‘ 11 остается всегда между 0 и 1, какъ бы ни измѣня-
лось Ѳ при возрастаніи п, между тѣмъ какъ другой множитель стремится къ
нулю, какъ общій членъ даннаго сходящагося ряда. Слѣдовательно, 1іт7?п=0.
Въ другомъ же случаѣ (х = —1, 0< т <1) ни одна изъ спеціальныхъ формъ
остатка, не даетъ возможности узнать стремится ли Кп къ нулю или нѣтъ.
Дѣйствительно, изъ общаго выраженія
*„+, = <- к’+'ч-ч--
т
(т — 1) (т -- 2) • • • (т — гі)
1-2 • • • «
тотчасъ видно, что нельзя быть увѣреннымъ въ конечности множителя
(1 — не предполагая, что г т < 1. Если же возьмемъ і> = т, то 0
исчезаетъ изъ выраженія и мы получаемъ точное выраженіе остатка
Такъ какъ въ нашемъ случаѣ т положительное и меньше 1, то
а слѣдовательно, Ііт Кп^1 = 0. Итакъ,
какъ частный случай (11) при л- = — 1
мы не только имѣемъ право писать,
т т (т — 1)
Т+ Г-2
т (т — 1) (т — 2)
ГДГЗ +
каково бы ни было т > 0 *), но можемъ разсматривать предыдущее ра-
венство, какъ предѣльный, такъ сказать, случай тождества
т пі (т — 1) , іп (іп — 1) (т — и 1)
1 „ _ Р7... п
Ч'-т) о
при и безконечномъ.
333. Другого рода полезныя приложенія Тэйлоровой формулы
находимъ въ теоріи численныхъ рядовъ. Положимъ, что данъ рядъ
положительныхъ убывающихъ чиселъ + и.2 + + • • • • Предста-
вимъ себѣ функцію /(х), имѣющую лишь положительныя значенія,
постоянно убывающую при возрастаніи х и принимающую при
х=1, 2, 3, ... значенія их, иг, и3, ... Допустимъ, далѣе, что намъ
извѣстна одна изъ первообразныхъ функцій / (л), которую обозна-
чимъ черезъ Е(х). Эта функція постоянно возрастаетъ вмѣстѣ
съ х, потому что ея производная /іх), по условію, всегда положи-
тельна (§ 300), а потому непремѣнно стремится къ конечному или
безконечному предѣлу (§ 263) при безпредѣльномъ возрастаніи х.
Обозначая теперь черезъ а и два опредѣленныя числа соотвѣтст-
венно въ интервалахъ (и—1, п) и будемъ имѣть**)
Р(п) - Е(п - 1) =/(«)• + 1) - Е(п) =/&),/(а) > и„ >/(Д
откуда
Г (п + 1) - Е (1) < иг +- и2 + и3 + • + ип < Е («) - Е (0).
*) Случай т > 1 уже раньше былъ указанъ.
**) По теоремѣ Лагранжа, представляющей частный случай формулы
Тэйлора при п = 1.
Отсюда слѣдуетъ, что рядъ Д-• будетъ сходя-
щимся или расходящимся, смотря по тому, стремится ли
Е\х) при х безконечномъ къ конечному или безконечному
предѣлу. Дѣйствительно, въ первомъ случаѣ сумма первыхъ и
его членовъ, постоянно возрастая, остается всегда меньшей числа
Е(п)— Е(0), которое, по предположенію, имѣетъ конечный
предѣлъ. Во второмъ, та же сумма, будучи больше числа
— /Ѵ)» возрастающаго безпредѣльно вмѣстѣ съ п, а
ІогНогі возрастаетъ безпредѣльно. Этотъ замѣчательный признакъ
сходимости принадлежитъ Коши *).
334. Формула Тэйлора даетъ намъ теперь средство еще глубже
проникнуть въ изученіе даннаго ряда их Д- и2 Д- Д- • • • , даже въ
томъ случаѣ, когда его члены не слѣдуютъ одинъ за другимъ въ
убывающемъ порядкѣ. Прежде всего мы докажемъ слѣдующую тео-
рему Франеля1): Положимъ, что /(х) имѣетъ единственную произ-
водную. Если эта производная, при безпредѣльномъ возра-
станіи х, стремится къ нулю, постоянно убывая по абсолют-
ной величинѣ и сохраняя постоянный знакъ, то выраженіе
(12) Д м2 + и-л Д • ип _4 + ип — Г (п) **}
стремится при п безконечномъ къ конечному предѣлу I.
Дѣйствительно, это выраженіе можно представить въ видѣ Д
Д г’2 Д • • Д ѵп, положивъ
Д = Е(п - 1) - Г(гі) Д і {/(п — 1) Д/(я) }.
Съ другой стороны, пользуясь формулою Тэйлора (9) съ дополни-
тельнымъ членомъ Лагранжа, получимъ ***)
7Г(И _ = _ і) + _ і) (а),
^(Я - і) = ^(я) - |/(я) + і/' У),
гдѣ а и опредѣленныя числа, лежащія одно въ первой, другое
во второй половинѣ интервала (я і, п). Отсюда, сравнивая два
выраженія р[п-----, находимъ
= - 1/' («) + 1/'
Такимъ образомъ, ѵ, Д ѵ2 Д ѵъ Д • • • представляется, начиная съ нѣ-
котораго мѣста, въ видѣ ряда съ поперемѣнно положительными и
*) Маклоренъ въ своемъ „Тгаііё <іез йихіопз", появившемся въ свѣтъ
вскорѣ послѣ Ньютонова открытія исчисленія безконечно малыхъ, далъ
этотъ признакъ, облеченный въ геометрическую форму. Поэтому этотъ при-
знакъ называютъ обыкновенно теоремою Коши - Маклорена.
і) «Іпіегтёфіаіге сіез Майіётаіісіепз”, ѣ I, р. 234.
**) Г(х) — первообразная функція отъ /(х), т. е. Е'(х) = У(х).
***) Примѣняя (9) къ Е(х), полагая п = 2 и одинъ разъ х = п — 4,
а = п — 1, другой разъ х = п — 4, а = п.
отрицательными, и постоянно убывающими членами. Слѣдовательно,
(§ 195), рядъ + г>г + ѵ3 + • • сходящійся и его сумма равна
именно предѣлу I выраженія (12). Замѣчая еще (§ 196, с), что ве-
личина остатка -ф- ѵ„-^2 + • • • всегда заключается между 0 и
— і/ («) (XXXIV)', можемъ написать
(13) «з + «з + • + ип = 7^ (я) +
гдѣ 0 < в< 1. Эта формула весьма полезна при приближенномъ
вычисленіи нѣкоторыхъ суммъ. Но во всякомъ случаѣ, если желаемъ
получить лучшее приближеніе, надо непосредственно изслѣдовать
выраженіе = — (г^у-і + г’и^2 + • • •)• Дѣйствительно, мы увидимъ,
что, замѣняя въ выраженіи (13) число черезъ ри, всякій
разъ легко получить удовлетворительное приближеніе для изъ
непосредственнаго разсмотрѣнія равнаго ему выраженія — (г^у-і +
+ %4-г + •••)• Впрочемъ, изъ Тэйлоровой формулы, въ ея общемъ
видѣ, можно вывести формулы, аналогичныя формулѣ (13), дающія
все болѣе и болѣе удовлетворительныя приближенія. Дѣйствительно,
стоитъ только въ формулѣ Тэйлора взять два лишнихъ члена, чтобы
имѣть формулу, получаемую изъ (13) черезъ замѣну че-
резъ //7'(»), предполагая, что удовлетворяетъ
тѣмъ же условіямъ, что и .
335. Примѣры, а) Доказанный въ § 333 признакъ сходимости или
расходимости рядовъ, данный Коши (Маклореномъ), даетъ возможность тот-
часъ же установить расходимость рядовъ, опредѣляемыхъ общими членами
1 _____1 __________1________
п 11 ІО!»' п 11 1о§ 11 ІОу 1о§ 11
Стоитъ только замѣтить, что всѣ эти функціи убываютъ и стремятся къ
нулю при п безконечномъ, и имѣютъ первообразныя функціи
1о§ п, 1о§ 1о§ п, 1о§ 1о§ 1о§ п, ...,
возрастающія безпредѣльно вмѣстѣ съ п. Теорема Франеля даетъ еще новые
результаты относительно этихъ рядовъ. Такъ напримѣръ, она прямо дока-
зываетъ существованіе числа
^(1 + і + | + - +7І-М’
о которомъ мы уже раньше сказали (§ 183), что оно равно Эйлеровой по-
стоянной С = 0,577215664901 ... Точно также она доказываетъ существо-
ваніе числа
Ііт (трД—5 + о , * + • • • + -~г---1о§ 1о8 иі,
и—х \ 2 ІО8 2 3 ІО8 3 п 108 п ь ь /
которое вычисляется инымъ путемъ и равно 0,794678645453 ...!).
‘) Дпіегтёбіаіге сіез Маійётаіісіеп8“, 1. V, р. 101.
Ь) Съ помощью формулы (13), которую мы теперь напишемъ въ
болѣе общей формѣ:
(14) их -|- и2 + и3 + • • • ип = Г (п) + 4/(я) + <?„ + Л
можно идти и дальше въ приближенномъ вычисленіи лѣвой части.
При /(я) = —, напримѣръ, имѣемъ Г(п) = 1о§ п, 1=0 и остается только
вычислить дп = — + г'и_|_2 + ...), о которомъ мы пока знаемъ только,
что дя стремится къ нулю при безконечномъ я. Въ данномъ случаѣ имѣемъ
і « , 1 / 1 , 1 \
+ 2 (я^Л +й)’
а такъ какъ (§ 219)
я 2 / 1 I 1 1 , \
°8 п - 1 “ 2 \2я - 1 + 3 (2я -~1р + 5(2я - Ір + ’)
2 [п - 1 + и) ~ 2 (гя - 1) + (2я + I)3 + (2 л - Ір + ’' ’
то тотчасъ видимъ, что
Ѵп 4 \3 (2я - I)3 + 5(2и - 1р + 7(2л - 1)7 + "
а вмѣстѣ съ тѣмъ
4/1 2 3
<ѵ" < з (2л - 1) \(2я - 1)2 + (27^Тр + (2/Г-ЛУ' +
и, наконецъ (§ 247, а),
„ „ 2л - 1 1/1 1 \
” < 12и2(л - I)2 12 \(« - I)2 »2/ ’
Слѣдовательно, 0< —еп<
1
12 я2 ‘
Поэтому, обозначая черезъ в число, лежащее
между 0 и 1, можемъ сказать,
ническаго ряда равна
что сумма первыхъ п членовъ гармо-
(15)
1 Ѳ
//п = 1°8” + 2^~І2^+С-
Такимъ образомъ, мы въ состояніи будемъ отвѣтить на вопросъ о вели-
чинѣ суммы первыхъ 100000 членовъ этого ряда, что она равна 12,090146 ...
Для этого достаточно положить въ формулѣ (15) я = 105. Съ другой сто-
роны, при я = 10, когда легко вычислить непосредственно лѣвую часть,
формула (15) даетъ число С съ пятью вѣрными десятичными знаками.
с) Если ип = 1о§ п, то можно положитъ Е(п) = я 1о§ я — п, потому
что производная отъ х 1о§ х — х равна 1о§ х. Существованіе числа
Ііт 11о§ (я!) — (я + |) 1о§ я + я
вытекаетъ изъ теоремы Франеля. Впослѣдствіи мы найдемъ его значеніе I
и получимъ / = 1о§уг2л;. Чтобы показать теперь же приложеніе фор-
мулы (14), замѣчаемъ, что
- - 1 + (» - 2р°8и _ і = 3(2»-1)2 + 5(2и-1)і + 7 (2я — 1)° +
откуда получается
0 < - ѵп < з ((2я _ 1)2 + (2я- 1)і + '') = Г2І~Г
и, слѣдовательно, 0 < ри < Формула (14) дастъ теперь
6 Г----
(16) 1о§ (»!) = (н + 1) 1о§ п - п + + !о§ Г 2л >
а переходя отъ логариѳмовъ къ числамъ найдемъ извѣстную формулу
Стирлинга (§ 221).
Асимптотическія изображенія степенныхъ
рядовъ.
336. Если отношеніе двухъ функцій стремится къ 1, когда
независимая перемѣнная возрастаетъ безпредѣльно или когда обѣ
функціи безпредѣльно возрастаютъ съ приближеніемъ независимой
перемѣнной къ конечному предѣлу, то говорятъ, что функціи отно-
сятся асимптотически одна къ другой. Если нашли функцію др0,
асимптотическую къ функціи /, затѣмъ другую , асимптотическую
къ/ — <р0, третью ф2, асимптотическую къ ] — ср0 — и т. д.,
то найдемъ такъ называемое асимптотическое изображеніе функціи/
/(*) = 'Го (х) + <Гі (*) 4- Чч (х) + • •
Это равенство надо понимать условно, какъ замѣняющее рядъ ра-
венствъ, смыслъ которыхъ намъ извѣстенъ:
Иш^ = 1, = 1, = ) ....
Фо О) Чі (х) Ф2(Л-)
Функціи (р0, до2,... обладаютъ, очевидно, тѣмъ свойствомъ,
что отношеніе каждой изъ нихъ къ предыдущей имѣетъ предѣ-
ломъ нуль *). Поэтому, если при послѣдовательномъ вычисленіи
<р0, 91’ • • • получимъ, наконецъ, постоянную, то всѣ слѣдую-
*) Потому что изъ того, что
1ітЖг_^)=1, слѣдуетъ 1ітт
Фі^) У Ш*) / Ч0(х)
дѣлимое имѣетъ предѣломъ 0, слѣдовательно, и предѣлъ дѣлителя есть 0.
шія за ней должны имѣть предѣломъ нуль. Все сказанное относится
и къ тому случаю, когда перемѣнная, возрастая безпредѣльно, по-
лучаетъ только цѣлыя значенія, и этотъ случай, какъ сейчасъ уви-
димъ, является наиболѣе важнымъ.
337. Примѣры, а) Въ § 314, )) мы видѣли, что хГ(х) стремится
къ предѣлу 1, когда х стремится къ нулю справа. Этотъ результатъ можно
выразить такъ: — есть асимптотическая функція къ Г(х) справа
отъ нуля. Замѣчая далѣе, что
Ит (Г(х) - 1) = Ііт 1 =Р(1) = _ С*),
можемъ написать асимптотическое уравненіе /’(.г) = - — С. Оно, впро-
чемъ, еще проще получается изъ разложенія Г(х 1) въ степенной рядъ
путемъ раздѣленія всѣхъ членовъ на х.
Ъ) Чтобы получить примѣры асимптотическаго разложенія функцій
отъ перемѣнной, принимающей лишь цѣлыя значенія, стоитъ только обра-
титься къ равенствамъ (15) и (16) и написать ихъ въ слѣдующемъ видѣ:
^в = Ю§п + С + 21;/-т^Г2+...,
1о§(„!) = и 1о§ и - «+ 11о§п + 1о§/2л + + -•-.
Какъ видимъ, отношеніе каждаго члена правой части къ предыдущему стре-
мится къ нулю при безпредѣльномъ возрастаніи перемѣнной. Разложенія
можно продолжать до безконечности, вовсе не заботясь о ихъ сходимости,
потому что они не являются, какъ обыкновенные безконечные ряды, резуль-
татомъ одного перехода къ предѣлу, а заключаютъ въ себѣ безконечное
число такихъ переходовъ, слѣдующихъ одинъ за другимъ1).
с) Изъ формулы Стирлинга легю
полезно здѣсь же замѣтить, такъ какъ
а именно: Коэффиціентъ при хп
асимптотическимъ выраженіемъ
имѣемъ
1-3-5 (2« - 1) 1 -2-3 2п
2-4-6 ••• '2п ~ (2-4-6 ••• 2и):
т. е.
> вывести одинъ результатъ, который
мы имъ часто будемъ пользоваться,
1
въ разложеніи имѣетъ
1 — X
число -_____Въ самомъ дѣлѣ, мы
У пл
(2и)! е 2іп 1
!~4И(«!)2~ ’
1 -3-5 ••• (2п - 1)
2-4-6 ••• 2
1
у л
} п =
*) См. въ § 314, ] формулу
х) И для этихъ разложеній Реапо указалъ общій способъ изслѣдо-
ванія. См. въ АШ сіеІГАссасІетіа сіеііе Зсіепге Зі Тогіпо. 1891.
3) Къ другому интересному равенству, которымъ вскорѣ и восполь-
зуемся, мы придемъ, поставивъ себѣ цѣлью найти асимптотическое изобра-
женіе числа дѣлителей первыхъ п цѣлыхъ чиселъ, или, иначе говоря, изо-
браженіе суммы 5(1)4-5(2) + ••• + б(«), гдѣ Ѳ(я) обозначаетъ число дѣли-
телей числа п. Мы будемъ исходить изъ слѣдующаго замѣчанія:
Г п 1 Ги — 11 0, вообще
1/] [ Р 1 I 1, если п дѣлится на р.
Если сложимъ всѣ подобныя выраженія, въ которыхъ число р проходитъ
всѣ цѣлыя значенія отъ 1 до ѵ = []/"и], то получимъ число дѣлителей
, Н”)
числа п, не превосходящихъ у п, т. е. вообще , а если п точный ква-
9 (м) + 1 „ „
дратъ, то -------*). Отсюда слѣдуетъ, что
к—п ^=[1 Л’]
6(1)+ 5(2)+ ••• + 6(м) = 2^У
л—1 р=1
Двойная сумма, стоящая въ правой части, легко приводится къ слѣдующей:
|г(р- 1). (XXXV).
Итакъ, будемъ имѣть
а слѣдовательно,
5(1)+ 6(2)+ ... +б(н) = 2^^-]
6(1)+ 5(2)+ + б (»)
11
— 1о§ 11
= Ъ(НѴ - >08 ѵ) - — + 1о§
ѵ- 2 х
11 іі
Такъ какъ, съ другой стороны,
то ясно, что при безконечномъ п
1 + +
УУі) «
п
<, —
р
р—’
Итакъ,
Ііт ЖИ + б(2) +
\ 11
- іо8 п] = 20 - 1 = 0,15443132 . ..
) См. примѣчаніе (XXX) къ книгѣ II.
Такимъ образомъ, мы пришли къ важной асимптотической формулѣ Ди-
рихле !)
6(1) + 6(2) + ••• + 6(я) = п 1 + (2С — 1)« +
338. Займемся теперь спеціально функціями, которыя въ дан-
номъ интервалѣ (— д, д) могутъ быть изображены степенными ря-
дами. Мы уже знаемъ, что такая функція непрерывна и имѣетъ
производную для всѣхъ значеній х, для которыхъ х \ < д. Но мы
не знаемъ, что будетъ, когда л' = +р, а между тѣмъ именно изъ
того, что представляетъ изъ себя рядъ на границахъ интервала схо-
димости, можно часто выводить полезные результаты для асимпто-
тическаго выраженія суммы ряда вблизи этихъ границъ. Съ другой
стороны, мы увидимъ, что въ нѣкоторыхъ вопросахъ эти асимпто-
тическія выраженія могутъ замѣнять точныя значенія суммъ, почти
всегда недоступныя. Мы предпошлемъ сперва слѣдующую теорему:
Если на одной изъ границъ интервала сходимости степен-
ной рядъ расходящійся, то изображаемая имъ функція
возрастаетъ безпредѣльно, когда независимая перемѣнная,
оставаясь внутри интервала, безпредѣльно приближается
къ этой границѣ. Для большей опредѣленности и упрощенія до-
казательства мы будемъ всегда разсматривать верхнюю границу д,
и положимъ р = 1. Послѣднее не нарушаетъ общности разсужде-
нія, потому что стоитъ только замѣнить х на дх, чтобы сдѣлать
радіусъ сходимости равнымъ 1. Положимъ, что
У( X) = (I,, X -р • •• , ^0 4“ “Ь ‘ ’ = ;/ >
при чемъ, если понадобится, мы измѣнимъ знаки всѣхъ коэффиціен-
товъ. Нужно показать, что, какъ бы велико ни было число I, /(х)
дѣлается и остается больше I, когда х будетъ больше нѣкотораго
опредѣленнаго числа, меньшаго 1, и достаточно близкаго къ 1.
Возьмемъ нѣкоторое число Г > I и, пользуясь расходимостью ряда
а0 + «і + аг -ф • •, опредѣлимъ число ѵ такъ, чтобы при п > ѵ
сумма а0 + а1 + ах + • • -ф ап была больше Г. Замѣтимъ теперь,
что при 0 < X 1 имѣемъ
(яо + ах -}- • • + («о + «і + • + л 2) х
-г (яо + яі + • 4- я1'+з) х~ 4“ '' ‘ > 1 — ѵ
или
(«о «1 Д • ' • Ѣ Яг) + Я,.Д-1 + ">+•> -Ѵ + аѵ+3 х2+ > 1'-
Если умножимъ лѣвую часть на то получимъ выраженіе
(<т0 -г «і - • + «,.) - («о - «і-т + + аѵх‘") .
і) Доигпаі де Еіоиѵіііе" 1856. р. 359. См. также сообщеніе ЗНИіез’а
Парижской Академіи Наукъ. Сотріез гепдиз, 1. ХСѴІ р. 764.
Слѣдовательно,
/(*) > Ло(,1 - х,+1) + аг(х - х”+1) + • • + аѵ(хѵ - .С+1) + 7'.ѵ1’+1.
Не мѣняя теперь ѵ, заставимъ х приближаться къ предѣлу 1,
тогда правая часть будетъ стремиться къ предѣлу и потому
остается въ концѣ концовъ больше числа I < Г. А іогііогі, /(х) бу-
детъ также больше I. Слѣдовательно, Ііт/{х) = ж.
X— 1
339. Теорема. Положимъ, что два степенныхъ ряда съ
положительными коэффиціентами будутъ расходящимися
при одномъ и томъ же значеніи х = о на границѣ общаго
интервала сходимости данныхъ рядовъ, положимъ далѣе,
что при безпредѣльномъ возрастаніи п отношеніе коэф-
фиціентовъ при х'1 въ этихъ рядахъ стремится къ нѣко-
торому конечному предѣлу. Тогда и отношеніе функцій,
изображаемыхъ этими рядами, стремится къ тому же пре
дѣлу, когда х стремится къ о.
Это и есть та теорема, на которой основывается асимптоти-
ческое изображеніе степенного ряда. Приведемъ радіусъ сходи-
мости къ 1 и замѣтимъ, что на основаніи предыдущей теоремы
функціи
(.ѵ) = ап + «! х + а2 .ѵ‘2 + • •, (х) = 1>0 4- х + Ь2 х2 4- • •
безпредѣльно возрастаютъ съ приближеніемъ х къ 1. Отсюда вид-
но, что высказанная здѣсь теорема есть, такъ сказать, теорема Ло-
питаля (§ 310, Ь) для степенныхъ рядовъ. Однако, надо замѣтить,
что теорема Лопиталя здѣсь не привела бы ни къ какому резуль-
тату, потому что производныя ф' и имѣютъ также форму сте-
пенныхъ рядовъ, расходящихся при л = 1. Допустимъ теперь, что
коэффиціенты ап и Ьп, по крайней мѣрѣ, начиная съ нѣкотораго
ап
мѣста, положительны, и что существуетъ предѣлъ I отношенія -т—
"н
при безконечномъ п. Тогда, задавъ по произволу положительное,
сколь угодно малое число 6, всегда можемъ найти такое число ѵ,
чтобы при п^>ѵ выполнялось неравенство
т. е., чтобы ап оставалось въ предѣлахъ (/ — е)Ьп и (/-|-б)йн
Тогда и
I Я.^1 и-Дг+2-У + °ѵ+3-г-+ 7
^>4-1 + ^1-1-2-ѵ + л‘3 Т і
при х^>0. Съ другой стороны, при постоянномъ ѵ, такъ какъ
<р(х) и 'ір(х) возрастаютъ безпредѣльно съ приближеніемъ х къ 1,
видимъ, что отношеніе
1 ~^(6о+61'ѵ+ ••• +6”:ѴІ’) у(х) + ьѵ+іх + Ьѵ+Іх- +
1 _ 1 {а0 + аіХ + ... + аѵ х“ ѵ(х) ' + а*+*Х + ^+3 +
Ф (А/
стремится къ предѣлу 1. Поэтому, при всякомъ данномъ е' можно
будетъ найти достаточно малый интервалъ слѣва отъ х = 1, чтобы
неравенства
(/_е)(1-е')< ^<(/+б)(і + б')
V (А )
выполнялись для всѣхъ значеній х въ этомъ интервалѣ. Отсюда
слѣдуетъ, что при произвольно заданномъ положительномъ числѣ
гі, если положимъ, напримѣръ, е =/б'=-^ </, т0 будемъ имѣть
для указанныхъ значеній х
I <р(х) , <т(.г) ,
Н-4 — I < и, такъ что Ііт -Ц—( = I.
I ѵ(л-) I ѵ(*)
340. Теперь мы въ состояніи дополнить сказанное раньше о
непрерывности степенныхъ рядовъ въ интервалѣ сходимости и до-
казать, что они будутъ непрерывными функціями и на границахъ
интервала, если только остаются на нихъ сходящимися. Иными сло-
вами: Если на границѣ интервала сходимости степенной
рядъ имѣетъ сумму I, то функція, изображаемая этимъ ря-
домъ, стремится къ предѣлу I, когда независимая перемѣн-
ная, оставаясь внутри интервала, стремится къ границѣ
его. Эта важная теорема принадлежитъ Абелю *). Теорема § 338 ее
дополняетъ. Пусть
/(х) = а0 + а1Х + а2х2 + ••, «0 + «1 + «2 + • = А
и примемъ, что I > 0, что всегда возможно, потому что въ про-
тивномъ случаѣ всегда можно увеличить значеніе а,, и достигнуть
сказаннаго. Разсмотримъ теперь рядъ
У (а?) — а0 “Ь («о 4” а1) х + («0 + 4" а2І х^ 4- "
и замѣтимъ, что (§ 327) радіусъ сходимости его равенъ 1 (XXXVI).
При х = 1 онъ расходящійся, потому что его общій членъ стре-
мится къ предѣлу I 0. Такъ какъ его коэффиціенты, начиная съ
нѣкотораго мѣста, всѣ положительны (по той же причинѣ), то
*) Она доказана Абелемъ въ цитированномъ уже мемуарѣ о бино-
міальномъ рядѣ, на основаніи другихъ соображеній.
можно примѣнить предыдущую теорему къ функціямъ <р(х) и
ір(х) 1 + х + .ѵ2 -ф ••• = • Тогда получимъ
Ііт (1 — х) <р(х) = Ііт (а0 ф а1 ф л2 ф ф ап), т. е. Ііт/(х) = /.
Х—1 П—'-і-
341. Примѣчаніе. Не слѣдуетъ думать, что теорема Абеля
очевидна сама по себѣ. Надо принять во вниманіе, что въ ней до-
казывается равенство значеній двухъ величинъ, имѣющихъ суще-
ственно различный смыслъ, а именно:
ііт (а0 -ф ахх ф а2х- ф • •) и ііт («0 + а1 ф -ф ап).
Впрочемъ, теорема Абеля даетъ возможность утверждать существо-
ваніе перваго предѣла, когда второй существуетъ, но очень можетъ
случиться, что второго предѣла нѣтъ, когда первый существуетъ.
Простымъ примѣромъ является слѣдующій:
Ііт (1 — .ѵ ф х- — •••) = !
а Ііт [1 —1 + 1 - 1 -ф 4 1] не существуетъ. Наконецъ, для
рядовъ не степенныхъ теорема не вѣрна, потому что числа
1іт(и0(х) + иДх) + «2(х) ф ••), Ііт (и0(«) ф гф(а) ф ... -ф г/н(л,і)
а п—ъ
могутъ оба существовать, не будучи равными. Напримѣръ,
Ііт ((х — Х-) -ф (х2 — х31 -ф (х3 — Л'4) -ф • • •) — 1, Ііт (0 -ф 0 -ф • • • -ф 0) = 0.
х~ 1 я=оо
342. Упражненія, аі Теорема Абеля даетъ намъ то. чего намъ не-
доставало, чтобы со всею полнотою установить нѣкоторыя разложенія гораздо
болѣе быстрымъ путемъ, чѣмъ примѣненіе формулы Маклорена, иногда весьма
неудобное. Такъ напримѣръ, чтобы получить разложеніе функціи 1о§(1фх)
и агсі§х по степенямъ х, достаточно замѣтить, что производныя этихъ функ-
цій разлагаются слѣдующимъ образомъ:
и что самыя функціи обращаются въ нуль при х = 0. Тогда, на основаніи
сказаннаго въ § 329, можно написать
1о§ (1 + х) = х — |х2 ф |х3 — • • •, агсі§ х = х — |х3 ф іх5 - •••
во всякомъ интервалѣ (—а, а), гдѣ а < 1 и какъ угодно близко къ 1.
Теперь теорема Абеля дозволяетъ распространить эти разложенія на слу-
чай а = I при единственномъ условіи, чтобы ряды остались сходящимися.
Для перваго ряда это будетъ при х = 1, для второго при х = + 1, по-
этому
1°2 2 = 1— і + і— = 1 — 4 Ф Т —
Ъ) Аналогичнымъ образомъ можно найти сумму биноміальнаго ряда
г. ч , , т , т(т — 1) ; т(т — 1) (т — 2) „ ,
/(х) = 1 + у* + 12 х2 +-------------------------’-х* + -
для всѣхъ значеній х и т, для которыхъ рядъ будетъ сходящимся, исклю-
чая только тотъ случай, когда одновременно х = — 1, т = 0. Дѣйствительно,
мы имѣемъ
/ /я - 1 , (»г - 1) (т - 2) . (ш - 1) (т - 2) (т - 3) \
Г (х) = т 1 + х2+ ----ЧТЧЧ2----- + ”7 ’
далѣе, умножая на (1 + х) и замѣчая, что
(т — 1) (т — 2) • • • (гп — п + 1) (гп — 1) (гп - 2) • • • (гп — я)
(« ~ 1)1
т (т — 1) • • (гп —
п!
« + 1)
-------- ,
п!
находимъ
(1 + -V)/' Сг) =
т. е.
/' (лг) т
/(х) ~ 1 + х'
Лѣвая часть, очевидно, есть производная отъ 1о§/’Гх), вторая—производная
отъ т 1о§ (1 + х) или 1о§ (.1 + х)”‘. Эти функціи, слѣдовательно, могутъ отли-
чаться одна отъ другой только постояннымъ слагаемымъ (§ 307, Ъ), которое,
впрочемъ, оказывается нулемъ, потому что обѣ функціи при х = 0 обраща-
ются въ нуль. Слѣдовательно, / (х) = (1 + хт).
с) Воспользуемся теперь теоремою § 339, чтобы найти асимптотичес-
кое изображеніе ряда /(х) = х -|- х4 х9 + -•-, очевидно, расходящагося
при х = 1, но сходящагося слѣва отъ 1. Сперва разсмотримъ функцію
<р(х) = [/Т] х + [/2] х2 + [/3] х» + ••• + []/Ч]хи + ••• ,
связанную съ / (х) очевиднымъ соотношеніемъ (1—х) <р(х)=/(х), и срав-
нимъ ее съ нижеслѣдующею
„ ч-а і , 3 , 3-5 9 , 3-5-7 , ,
(1-х) 2 = 1 + 2* + Г4-Г“+2ТТбЛ +
въ которой коэффиціентъ при хп равенъ (§ 337, с).
3-5- (2« + 1)
2 • 4• 2п
1 • 3 • • • (2я - 1)
2 4••2«
(2« + 1) =
2«-и , _ пу» , ...
Ули Ч-т
Предѣлъ отношенія коэффиціентовъ при хп въ обоихъ рядахъ будетъ по-
этому равенъ
ІУл Ііт іуч.
п=х у п
Отсюда, на основаніи упомянутой теоремы, имѣемъ
4 4 _
Ііт (1 — ху (р (х) = Ііт (1 — х)~/(л) = ! У
Х—1 Х=1
и потому можемъ написать равенство
* + ^ + * *9+--
асимптотически справедливое слѣва отъ х = 1. Продолживъ вычисленіе, безъ
большихъ затрудненій найдемъ болѣе приближенное выраженіе (XXXVII):
іѴі^х - і - | + ....
Къ тому же выраженію можно прямо придти, если считать извѣстнымъ
одно свойство /{х) !), доказать которое мы предлагаемъ читателю въ видѣ
упражненія, хотя для доказательства находящіяся въ нашемъ распоряженіи
элементарныя средства пока недостаточны *). Свойство это выражается
равенствомъ
4- 4-
(-| + * + л4 + ^'+ | •
гдѣ числа х и х', оба лежащія между 0 и 1, связаны соотношеніемъ
1о§— • Іод— — Въ силу этого соотношенія х' стремится къ нулю, когда х
стремится къ 1, и въ этомъ предположеніи тотчасъ находимъ
Ііт (х + хх + х9 + • •) /1 - х = у Ііт ^1-х
= у /л Ііт 1/ -----р = | /л .
б) Рядъ /\х) = х - хі-ух9 — х16-)- ••не будетъ сходящимся при х = 1,
но это не мѣшаетъ его суммѣ стремиться къ опредѣленному предѣлу, когда х
стремится къ 1. Чтобы найти этотъ предѣлъ, замѣтимъ, что въ рядѣ
= х т т- - .ѵ3 -т л;10 + • • + х15 + х25 + х26 + •
1 — х
коэффиціентъ при х", ап = 1 или ап = 0, смотря по тому, будетъ ли число
ѵ = [/«’] нечетное или четное. Легко выполнимое вычисленіе даетъ
1 (—1)”
аі + а2 + яз + ’ • + ап =-2---+ і) Н----2— ѵ (ѵ ’
9 СаисЬу: „Мётоіге зиг Іа Оіёогіе дез потЪгез“ (1830, р. 614)
Мётоігез де Е’ІпзШиі де Ргапсе. Тоте XVII.
*) См. § 760, 1 въ книгѣ VII.
Далѣе, замѣчая, что 0 й « — ѵ2 й 2і>, находимъ
Ііш -1-!——2-2--------!-----= 4 - Ііт —— = 4.
« + 1 " 2и -
Послѣ этихъ замѣчаній достаточно сравнить рядъ
(р (х) = а^х + («-[ + <т2)х2 + (ах + а2 + я3) а;3 + ,
съ рядомъ
Й Ѵ|2 = 1 + 2х Зх- -|- 4л3
чтобы видѣть, что Ііт (1 — х)2 <р (х) = |. Но (1 — х)2 ір (х) =/(х). Слѣдо-
вательно, т=1
Ііт (х — .г* 1 + х9 — х16 4- • •) =
а=1
(См. примѣчаніе XXXVIII.)
е) Если желаемъ найти асимптотическое выраженіе функціи
/(х) = х -ф- 1 х4 -ф- ф х9 -ф- • -
(при х = 1 рядъ расходящійся), то цѣлесообразно будетъ разсмотрѣть ряды
, ч /(*) , ч 1 1 1
Т (х) = 1--х’ ѵ (х) = І--І----------ѵ ’
і «ѵ л л і іЛ-
въ которыхъ коэффиціенты при хн будутъ соотвѣтственно Нѵ и Нп, гдѣ
ѵ = [У«] * . Предѣлъ отношенія этихъ коэффиціентовъ есть
Іог ѵ I
11Ш т-2— =
п=х 1о§ п 2
1
І Х
и, слѣдовательно, 1о§
есть асимптотическая къ /(х) функція. Чтобы
идти дальше въ разложеніи / (х), разсмотримъ функцію
/(х) - у 1о§ рА-=Я1х + а2х2 + «дх3 +
въ которой
1 1 V
яі + я2 + ' ' + ап = 2” = 2 С + 1о8 + '" >
и, слѣдовательно, аг + а2 + а-А • • • = | С. Поэтому, на основаніи теоремы
Абеля,
*) Въ этомъ легко убѣдиться, представивъ --- въ видѣ ряда
1 х + х2 + • • и поступая аналогично тому, какъ показано въ примѣчаніи
къ предыдущему примѣру.
Лѣвой части можно дать другой видъ, замѣчая, что съ приближеніемъ х къ 1
1о8 Т / 1 1 \
Ііт 1о§ ----= 1о§ Ііт ---- =0, т. е. Ііт 11о§ 1о§ — 1о§------ = 0
1 X і X \ X 1 XI
Такимъ образомъ, можно написать асимптотическое, слѣва отъ 1, ра-
венство і) (XXXIX)
х + Хі + л» + • = - 4 ІО§ 1о§ і 1 С.
О X
Й /(х) = Т“—1х-(-2‘“—гх2 + 3" 'х3 + •• принимаетъ при х = 1 зна-
ченіе 1'и—1 + 2*^“’ + 3" 1 + ••, конечное при а < 0 (§ 212, а). При > 0
она, напротивъ, безпредѣльно возрастаетъ слѣва отъ 1. Такъ какъ, при
ц = 0, /(х) = — Іо» (1 — х) (какъ извѣстно), то остается изслѣдовать только
случай ,(і > 0, и съ этой цѣлью достаточно сравнить /(х) съ
(1 - х)~“ = 1 + 4 X + 4'4-11 х2 + + л.з + ... г
1 1 • л 1 * х * О
припоминая опредѣленіе функціи Гамма § 252, с:
іі!
Т (х + 1) =і’™(д, + 1)Сг. + 2) ... (,ѵ + я)-
Мы тотчасъ видимъ, что отношеніе коэффиціентовъ при хп при безконеч-
номъ п стремится именно къ предѣлу 73,и; и потому 2):
Ііт (1х + 214"1 х- + 3" 1 х3 + •••)(! — х)“ = Г(,«).
Эта формула приводитъ къ разсмотрѣнію функціи Г съ новой точки зрѣ-
нія. Выраженіе, стоящее въ лѣвой части, можно представить въ видѣ
сі^х —4“ —Г • • •, полагая
а„ = п'-1 - ± (п - I)"-1 + 2)<<1 ~ •
Теорема Абеля позволяетъ тогда выразить Г^сс), какъ сумму ах-\-а2-\-а3-\-
а такъ какъ
1 АС — 1 , .. ц і , (.АС — 1) (.АС — 2) . ,, -і
^ + «2++а„ = «и-1-2-]—(«-!)“ 1 + ѵ-^--------------4--------------------->
то, замѣняя еще ,и на х+ 1, можно написать 3)
Г(х + 1) = Ііт (п^ - 4" - 1/ + -4 (« - 2)ж-
н--СО \ * 1 • / /
х) Ы. Зопіп: „8иг Іез роіупбтез бе ВетоиПі4 (Сгеііез Тоигпаі, Вб. 116,
3. 147).
2) АрреІІ. „8иг сегіаіпеэ зёгіеэ огёоппёз раг гаррогі аих риізэапсез
сгоізаапіез сГипе ѵагіаЫе" (Сотріез гепёиз бе ГАсабётіе без Зсіепсез бе
Рагіз, 1878).
3) „Іпіегтёбіаіге бе8 МаіЬётаіісіепз", ѣ VI, р. 148.
§•) Въ заключеніе воспользуемся формулою Дирихле, доказанною
въ § 337, для асимптотическаго выраженія ряда Ламберта (§ 247, с)
/(х} = Т^х + Т^ +
Мы уже знаемъ, что этотъ рядъ можно преобразовать въ слѣдующій:
л-Ѳ(1) + ^9(2) + х3Ѳ(3) + ••• ;
упомянутая формула Дирихле наводитъ на мысль изслѣдовать функцію
/(*) - 1о§ т-і- = V(5(п) - Нп)хп
і л 1 л
1
въ предположеніи, что х стремится къ 1 слѣва. Сумма первыхъ я коэф-
фиціентовъ равна
9(1) + 9 (2) + + 5 (и) — (н 4* 1) Нп 4- п = Сп 4- ,
слѣдовательно, сама функція, раздѣленная на С(1 — х), есть асимптотиче-
X
ская функція относительно х 4- Чх- 4- Зх3 + •••. т. е. относительно^---—
Поэтому будемъ имѣть
Это выраженіе легко преобразовать въ другое, пользуясь тѣмъ же замѣ-
чаніемъ, которое мы сдѣлали по поводу ряда Сонина, и написать
С _ і08 іо§—
/(*) = -----------
І0§\7
Такимъ образомъ, находимъ безконечно большой членъ разложенія Шле-
мильха, упомянутаго въ § 247, йф и этого достаточно, чтобы судить о зна-
ченіи Ламбертова ряда слѣва отъ единицы. Но, чтобы вычислить его сумму
съ извѣстнымъ приближеніемъ, надо знать все разложеніе *; (ХЬ)
„ , , 1 ,1
С - 1о§ 1о§ - 1о§ -
л і л
І Н 4 “ 144
1о2 ~
д 1V3
_____________.
“8640'СГ
*) Это и есть разложеніе, найденное ЗсЫбтіІсЬ’омъ въ указанной
статьѣ, при помощи формулы Эйлера - Маклорена, о которой говорится
въ § 357.
Интерполяціонныя формулы.
343. Задача интерполированія *) состоитъ въ построеніи
функціи у = /(х), принимающей данныя значенія уі, у.г, у2, ... при
данныхъ значеніяхъ х = х1, х2, х3, ..., т. е. подъ условіями
/(*і) = У1> /Ы = У2’ ./Оз) = № • • •
Задача эта по существу своему, вообще говоря, неопредѣленная. Но
если желаютъ, чтобы у было цѣлою функціею, степень которой
меньше и, то достаточно задать п паръ соотвѣтствующихъ значе-
ній х и у, чтобы функція была вполнѣ опредѣлена. Дѣйствительно,
изъ элементарной Алгебры уже извѣстно **), что два полинома тож-
дествены, если они равны между собою для значеній перемѣнной
независимой, число которыхъ больше степени полиномовъ. Впро-
чемъ, этотъ частный случай задачи интерполированія приводится къ
рѣшенію системы уравненій
п0х"і 1 + а1-г? 2 + а2х” 3+ "• + ап—2 Хі + ап-1 ~ Уі
(г = = 1, 2, 3, ..., и)
относительно коэффиціентовъ а0, аіг... ап—і, и такъ какъ опре-
дѣлитель этой системы не равенъ нулю (§ 27, сі), то прямо видно,
что рѣшеніе будетъ единственное (§ 50). Точно такъ же, если
Ііт хп = 0, то задача будетъ опредѣленною, когда требуется, чтобы
искомая функція разлагалась въ степенной рядъ, но въ этомъ случаѣ
задача можетъ не имѣть вовсе рѣшенія въ этой формѣ. Дѣйствитель-
но, допуская, что существуютъ двѣ такія функціи, получимъ, что раз-
ность ихъ, вида а0 + агх^- а%х2 + • обращается въ нуль для без-
численнаго множества значеній х стремящихся къ нулю, а потому,
вслѣдствіе непрерывности, она будетъ нулемъ при х = 0. Отсюда
слѣдуетъ, что а0 = 0, а замѣчая, что и ал + а2х + + • •
равно нулю для тѣхъ же значеній х, найдемъ а, = 0, затѣмъ
а2 = 0 и т. д., т. е. что обѣ функціи совпадаютъ въ одну. Далѣе,
очевидно, что если числа ух, у2, у2, ... заданы по произволу, то
самый вопросъ о существованіи такой функціи, остается открытымъ,
такъ какъ прежде всего необходимо, чтобы эти числа стремились
къ конечному предѣлу при безпредѣльно возрастающемъ п.
*) Точнѣе говоря, одна изъ задачъ интерполированія См. А. Мар-
ковъ „Теорія конечныхъ разностей" стр. 1.
**.) См. Веберъ и Вельштейнъ, стр. 225.
344. Интерполяціонныя функціи >). Выраженіе
называется первою интерполяціонною функціею отъ /(х) и пред-
ставляетъ собою не что иное, какъ соотвѣтствующее интервалу
(.ѵ,, .г2) отношеніе приращенія функціи къ приращенію независи-
мой перемѣнной (ср. § 281). Вторая интерполяціонная функція
отъ у(л') есть
/(Х1, х2. х3) =
.Ѵо —
т. е. представляетъ собою при данномъ .ѵ, первую интерполяціон-
ную функцію отъ /(л'і, х) для интервала (,ѵ2, ,г3). Продолжая та-
кимъ же образомъ, дойдемъ до (;г — 2)-ой интерполяціонной функ-
ціи и опредѣляемъ («—1)-ую, какъ первую интерполяціонную функ-
цію отъ /(хх, х.>, ... х„—2, .г) для интервала (л„_і, .у„), т. е.
полагая
ч ....хп_2,хп)
/(*1> х2, х3, ..., х„) =--------------------—------------------ •
ли—1 лп
Всѣ эти функціи могутъ быть непосредственно выражены въ дан-
ныхъ числахъ у,, _у2, ..., уп. Дѣйствительно, мы имѣемъ
/(х, х,) - Л , /(.Ѵ1, х3) - -
У 1 - Хі — X., Х2 — Л'! — .V,, Х3 — X!
а вычитая и раздѣляя на х2 — л3, находимъ
_ _______Ух_________,________/2________,_________Уз________
/ (Лр Ло, Х3 _ х^-
Легко написать и общій результатъ
/(X!, Х2, • • Х„) = . (/ . . .
У;і
+ (л-„ - *1) (.Ѵ„ - .Ѵо) • • • (х„ - Х„_!) ’
и провѣрить его обычнымъ способомъ. Послѣдняя, найденная Ампе-
ромъ, формула показываетъ, что всякая интерполяціонная функ-
ція отъ у(.ѵ) симметрична относительно значеній х, отъ
которыхъ она зависитъ.
И См. Аііі сіеІГ Ассасіетіа йеііе Зсіепге ді Тогіпо (1881 - 82 83).
Въ 1878 г. помѣщена первая статья СепоссНі „Объ интерполяціонныхъ
функціяхъ" съ многочисленными указаніями на предшествующія изслѣ-
дованія.
345. Формула Ньютона. Изъ опредѣленія первой интерпо-
ляціонной функціи отъ /(х) относительно любого интервала (х, х,)
слѣдуетъ, чю
/(х) = /(хХ) + (X - х),
и такъ какъ аналогично
/(Хі, х) = /(хх, х2) + (х - х2)/(хх, х2, х),
то отсюда видимъ, что
/(х) = /(хХ) + (х - Х2) + (х - хх) (.г - х2)/(хг, х2, х).
Продолжая такъ же далѣе, очевидно, придемъ къ слѣдующему ре-
зультату
(17) /(X) =/(Лі) + (х - *!)/(*!, Х2) + (* - (Л' - Л2)/(-г1. х2’ -«3)4--
+ (X - хх) (х - х2) ... (х - Хп_^/(х1, х2, ..ли1, х).
Если желаемъ, чтобы /(х) была полиномомъ степени п — 1 (или,
какъ это можетъ случиться, степени ниже п — 1), то замѣчаемъ,
что при такомъ предположеніи /(х) — Дх,) дѣлится на х — х,,
такъ что ДХ], х) будетъ полиномъ (н — 2)-ой степени. Отсюда же
слѣдуетъ, что Д(хх, х2, х), разсматриваемая, какъ первая интерпо-
ляціонная функція отъ^Х), х), будетъ полиномъ {п — 3)-й степени,
и такъ далѣе до /)хл, х2, . •, хк—і, х), которая уже будетъ по-
стоянною. Слѣдовательно,
/іхі, х2, .... хп_г, х) =/(х1, х2, .... х^, х„),
а подставляя это въ (17), находимъ
(18) /(х) =/(Хі) + (х — х1)/(х1, Х2) + (х - хх) (х - х2)/(хх, х2, х^ 4-
+ (х - хх) (х - х2) ... (,ѵ - х^)/^, х2, х9, . .., хп).
Это и есть формула Ньютона, дающая возможность всегда со-
ставить единственный полиномъ, степени ниже п, принимающій
данныя значенія ух, у2, • ,уп при данныхъ значеніяхъ х,, х2, , хи
перемѣнной х. Степень полинома, вообще (п — 1)-ая, можетъ по-
низиться, и это навѣрно случиться, если числа ух, уг, ,уп заданы
такъ, что , х2, • •, хп) = 0.
346. Формула Лагранжа. Чтобы ввести въ правую часть
формулы (18) явнымъ образомъ числа _уі, _у2, -,уп, стоитъ только
примѣнить формулу Ампера, доказанную въ § 344. Замѣтимъ сперва,
что всякая интерполяціонная функція выражается линейно и одно-
родно черезъ числа у, а потому и Дх) будетъ выражаться по-
добнымъ же образомъ, такъ что можно положить
(19)
/(х) = Л/і(х)+д'2/2(х) +л/з(х) + +у„Л(х)-
Функція /п(х) тотчасъ опредѣлится по формулѣ Ампера, послѣ того
какъ замѣтимъ, что въ формулѣ (18) только послѣдній членъ за-
ключаетъ въ себѣ уп. Далѣе, достаточно замѣнить хп черезъ какой
нибудь Хі, чтобы по симметріи найти
(.X - Хі) (х - х2) ... (х - л^) (л - .. (х - хп)
(20) /і(х) = ,---------------г-------------ѵт---------------.-----. •
(*,- ЛГі) (лч- х2) ... (л?г- х^) (хг- лгг_|_х) . .. (г,- хп)
Формула (19), въ которой / имѣетъ выраженіе (20), есть интерпо-
ляціонная формула Лагранжа. Ее можно, впрочемъ, прямо соста-
вить на основаніи слѣдующаго замѣчанія. Если хотимъ найти рѣ-
шеніе задачи въ видѣ выраженія (19), то /(х) необходимо долженъ
быть полиномомъ степени ниже п, обращающимся въ 1 при х = х,,
и въ нуль при всякомъ другомъ х = Хі, не равномъ х,. А этимъ
условіямъ мы, очевидно, удовлетворимъ, взявъ для /)(х) выраженіе
(20). Найдя,, такимъ образомъ, одну функцію /(х), удовлетворяю-
щую поставленнымъ требованіямъ, мы знаемъ, что другой не суще-
ствуетъ, если степень ея не достигаетъ или не превосходитъ п.
347. Правая часть равенства (18) представляетъ собою функ-
цію, принимающую данныя значенія ^ = /(хх), у2 = /(х2), .. .,уп =
= /(хп), когда числу х мы дадимъ значенія х = хх, х2, ..., х„. Раз-
ность между лѣвою и правою частью есть, слѣдовательно, функція
Вп(х), которая обращается тождественно въ нуль, когда / есть
тотъ полиномъ степени ниже п, который опредѣляется упомянутыми
условіями. Вообще же о функціи Кп (х) можно только сказать, что
она имѣетъ корни х,, х2, . ..,хи_і, х„. Положимъ, что эти числа
расположены въ возрастающемъ порядкѣ и замѣтимъ, что произ-
водная 7?я'(х) должна (§ 303) обратиться въ нуль при п - 1 зна-
ченіяхъ х, лежащихъ соотвѣтственно въ интервалахъ (х,, х.2),
(х2, х3),..., (хи—і, хп). Такимъ же образомъ заключаемъ, что 7?и"(х)
обратится въ нуль при п — 2 значеніяхъ х, лежащихъ также между
хх и хп и т. д. Наконецъ 7?и(и-1)(х) обратится въ нуль при нѣко-
торомъ значеніи § въ интервалѣ (хп х„). Такъ какъ
(х) =/и-1) (х) - (я - 1)!/(хх, х2, ..., хп).
то будемъ имѣть
/'(«—1) (с)
(21) /(х1( х2, ..., хп) = 1)|- •
Эта теорема весьма полезна въ различныхъ геометрическихъ вопро-
сахъ. Замѣтимъ, что если х,, х2,...,хп одновременно стре-
мятся къ предѣлу а, то и стремится къ а. Поэтому, предпо-
лагая /-п\х) непрерывною при х = а, найдемъ
/<и—9(а)
(22) Ит/(х1, х2, ..., хп) =/Ги---рт/ •
I <2 -1) •
Возвращаясь къ 7?и, замѣтимъ, что формула (17) при замѣнѣ п на
и + 1 дастъ
Кп = (х - ЛГі) (х - х2) ... (х - х^/іх^ х2, ..., хп, х),
и, обозначая черезь число, лежащее между наибольшимъ и наи-
меньшимъ изъ чиселъ хх, х2, ..., хп и х
7м (с)
(23) Кп = (х - Хі) (х - х2) ... (х - хпу— хі
Такимъ образомъ, формула Ньютона, если къ правой ея части при-
бавимъ выраженіе /?и, является обобщеніемъ формулы Тэйлора съ
дополнительнымъ членомъ Лагранжа и сводится дѣйствительно къ
этой формулѣ, на основаніи (22), когда заставимъ всѣ числа хх,
хг, .... хп одновременно стремиться къ предѣлу а.
348. Приложенія, а । Свойство, выражаемое формулою (22), даетъ
намъ возможность отвѣтить на вопросъ, поставленный въ концѣ § 343,
а именно, найти функцію / (х), разлагающуюся въ степенной рядъ и прини-
мающую заданныя а ргіогі значенія для значеній хх, х2, х,,, ..., стремя-
щихся къ нулю. Пусть п', п", п'", ... произвольныя цѣлыя числа, не равныя
между собою и большія п. Если существуютъ числа
Ііт/Ю = а0, 1іт/(л-и, хп,) = ах, \іт/(хп, хп,, хп„) = а2, .
п~хі п=л п—х)
то искомая функція /(х) — а0 + ахх + а2х2 •••.
Ь) Вычисленіе обыкновеннаго логариѳма (при основаніи 10) любого
числа всегда можно свести къ вычисленію логариѳма сколь угодно большого
числа, черезъ умноженіе даннаго числа, если понадобится, на нѣкоторую
степень 10. Мы покажемъ, что если имѣются въ распоряженіи таблицы ло-
гариѳмовъ съ ѵ знаками, и число х, котораго логариѳмъ ищемъ, будетъ
« ,лга
больше 10 , то всегда можно примѣнить извѣстное правило
к -4- 1
Ьо§ х = Ьо§ п (х + я) Ьо§ —-—
гдѣ я=:[х]. Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя формулу Ньютона съ дополнитель-
нымъ членомъ (23) къ функціи Ьо§ х. и полагая при этомъ хх — п, л?2 = я-|-1,
мы получимъ именно предыдущее равенство, съ тѣмъ лишь отличіемъ, что
къ правой части прибавится число
М
К = (х — я і (я ф 1 - «)
2^-
Замѣчая, что произведеніе (х — п) (и 1 — .г), какъ произведеніе двухъ
чиселъ, которыхъ сумма 1, никогда не больше — (§ 314, а), и припоми-
ная ("§ 220), что М < |, тотчасъ увидимъ, что въ предѣлахъ точности вы-
численій можно отбросить К, потому что
я , 1 ._____1 1
16е- ' 10”'
16- 10
с) Если х1г х2, • • • и уг, у2, ••• будемъ разсматривать, какъ коорди-
наты точекъ М±, М2, ... на кривой, то первая интерполяціонная функція,
очевидно, изображаетъ угловой коэффиціентъ хорды МХМ2. Возьмемъ Мх
и М2 въ смежности съ точкою М, абсцисса которой равна а, и будемъ
приближать М± и М2 безпредѣльно къ М. Если производная у' непрерывна
при х = а, то формула (22) х) дастъ
Ііт——— = /’(а)
х} х., у
и покажетъ, что касательная въ точкѣ М есть предѣльное положе-
ніе всѣхъ сѣкущихъ МХМ2, между тѣмъ какъ установленное раньше опре-
дѣленіе касательной позволяетъ сдѣлать такое заключеніе лишь въ томъ
случаѣ, когда одинъ конецъ сѣкущей неподвижно помѣщенъ въ точкѣ М.
<і) Вторая интерполяціонная функція имѣетъ также простое геометри-
ческое значеніе. Въ самомъ дѣлѣ, изъ Аналитической Геометріи извѣстно,
что площадь треугольника М1М2М3 (фиг. 11) равна
и
и отличною отъ
Рис. 11.
въ томъ предположеніи, что точка, двигающаяся по периметру, оставляя
площадь, имъ ограниченную, слѣва, проходитъ вершины треугольника
въ написанномъ выше порядкѣ. Предположимъ теперь, если у = /(х) есть
уравненіе кривой, вторую производную /"(х) непрерывною при х = а
опредѣлимъ нѣкоторый интервалъ въ смежности
съ а (§ 273), въ которомъ /"(х} со-
храняетъ знакъ числа /"іаі. Границамъ
этого интервала соотвѣтствуютъ на кри-
вой точки Р н На основаніи фор-
мулы (21), для трехъ точекъ М1, М2,
на дугѣ Р0 функція /(х1г х2, ху бу-
у детъ имѣть тотъ же знакъ, какъ и число
/ /"(а). Замѣтивъ это, фиксируемъ точ-
Іу ку Мг, выбираемъ М2 вправо отъ т. е.
' такъ, чтобы х2 было больше х\, а точку
М3 такъ, чтобы подвижная точка, пере-
мѣстившаяся изъ Мх въ М2, должна была
повернуть налѣво, чтобы попасть въ М3.
При этихъ условіяхъ о будетъ числомъ по-
ложительнымъ, а поэтому л/С.ѵ;,—х2)
будетъ имѣть знакъ числа/" (а), откуда
слѣдуетъ, что /"(а) > 0, если дг3 внѣ
интервала (хг, х2), и /"(а) < 0, если х3 внутри (л^, х2). Теперь легко видѣть,
что точка М3 будетъ лежать внутри дуги УР М2 или внѣ ея, смотря потому,
будетъ ли эта дуга вогнута или выпукла по направленію къ нижней
части фигуры. Отсюда слѣдуетъ, что въ первомъ случаѣ /"(а) >0, а во
второмъ /"(а) < 0. Къ этому заключенію можно придти проще, взявъ на
кривой произвольную точку М между М{ и М2, а на хордѣ МГМ2 точку М'
имѣющую съ М общую абсциссу х. Уравненіе прямой МГМ2 есть
У = /(*і) + (х - х^Дх^ х.^,
х) Это уравненіе можно было бы принять за опредѣленіе про-
изводной, что представило бы нѣкоторыя выгоды, на которыя указалъ
Реапо въ „МаШезіэ" (1892 р. 12).
и разность между ординатою точки М и ординатою точки М' будетъ, на
основаніи формулъ (17) и (21), равна
(х — X}) (х — х2)/(х1, х2, х) -= ) (.ѵ — хг) (х — х2)/"(ё),
гдѣ д лежитъ хг и х.>. Эта разность имѣетъ, слѣдовательно, знакъ, противо-
положный знаку /"(%) или /"(а). Отсюда слѣдуетъ, что всѣ точки М ле-
жатъ ниже хорды М±М2, если /"(а) > 0, и выше, если /"(а) < 0. Это
остается справедливымъ для всякой дуги, заключающейся въ М±М2, и для
соотвѣтствующей хорды. Итакъ, знакъ /"(х) можетъ служить къ тому,
чтобы узнать какія дуги (достаточной малости) на данной кривой обращены
вогнутостью вверхъ (/"(х) > 0) и какія внизъ (/"(х) < 0).
е) Если при данныхъ выше условіяхъ точки М±, М2, одновременно
стремятся совпасть съ опредѣленною точкою М на кривой (х = а), то кругъ,
описанный около треугольника МГМ2М^, также будетъ стремиться совпасть
съ нѣкоторымъ опредѣленнымъ кругомъ, который называется соприка-
сающимся кругомъ къ кривой въ точкѣ М. (Происхожденіе этого названія
объяснится впослѣдствіи.) Чтобы доказать существованіе такого предѣльнаго
круга, достаточно показать, что центръ круга МХМ2М% стремится занять
положеніе на нѣкоторой неподвижной прямой, и радіусъ его о стремится
къ опредѣленному предѣлу. Изъ элементарной Геометріи извѣстно, что
радіусъ круга МГМ2равенъ частному отъ дѣленія произведенія 444
сторонъ треугольника МгМ2М& на 4о. Обозначая еще черезъ <р1, <р2, <р3
углы наклоненія сторонъ треугольника къ оси х-овъ, будемъ имѣть
± (х2 — х3) (х3 — Л'х) — Х2) = 1^121ъ СОЗ <рг СОЗ Ср2 СОЗ Ф3.
Замѣчая, что всѣ три угла <рг, <р2, <ря стремятся къ предѣлу ір, гдѣ <р уголъ
наклоненія касательной въ точкѣ М съ осью .ѵ-овъ, и припоминая свой-
ство (22), найдемъ отсюда
+ 1 = 21^/^!, х2, Л';і) СОЗ (р± СОЗ (р2 СОЗ </3 = /"(а) соя3г/ ,
гдѣ (р = /' (а). Слѣдовательно,
„ _ , (1 +/,2(«))І
0 - ± /"(«) ’
Эта длина, весьма важная при изученіи кривыхъ, называется радіусомъ
кривизны въ точкѣ М(х = (I). Что касается центра круга Л/хЛ/зЛ/д, то
онъ всегда находится на перпендикулярѣ къ М±М2, проходящемъ черезъ
середину хорды М^М2. Когда точки Мх и М2 стремятся къ совпаденію
съ М, прямая Мх М2 стремится совпасть съ касательною въ точкѣ М,
а перпендикуляръ къ ней, очевидно, съ нормалью къ кривой въ той же
точкѣ. Отсюда слѣдуетъ, что соприкасающійся кругъ принадлежитъ къ
числу тѣхъ круговъ, которые касаются данной кривой въ данной точкѣ М.
Бернулліевы и Эйлеровы числа.
349. Многія важныя функціи не разлагаются въ степенные
ряды при помощи формулы Маклорена (10), потому что не удается
найти общаго выраженія и ой производной. Но, принимая во вни-
маніе, съ другой стороны, что въ эту формулу собственно входятъ
не послѣдовательныя производныя функціи /(х), а лишь частныя
ихъ значенія при х = 0, видимъ, что вычисляя производную и-го
порядка отъ /(х), мы дѣлаемъ въ дѣйствительности, строго говоря,
больше того, что необходимо для разложенія функціи въ степенной
рядъ. Понятно, что могутъ существовать другія средства для того,
чтобы такъ или иначе получить искомое разложеніе. Въ этомъ от-
ношеніи оказываются полезными нѣкоторыя спеціальныя послѣдова-
тельности чиселъ, свойствами которыхъ мы прежде всего и зай-
мемся. Приложеніе ихъ, замѣтимъ это, часто приводитъ къ рядамъ
не сходящимся, которыми, однако, несмотря на это можно пользо-
ваться, потому что сумма п первыхъ членовъ весьма быстро при-
ближается къ нѣкоторому предѣлу, отъ котораго потомъ при воз-
растаніи п она опять удаляется, такъ что наступаетъ расходимость
или неопредѣленность ряда. Благодаря такому свойству, такіе ряды
называютъ псевдо-сходящимися.
350. Теорія упомянутыхъ послѣдовательностей чиселъ основы-
вается на слѣдующемъ замѣчаніи. Тождество
(24) /(а (к + л:)) = /((а + к} + х),
въ которомъ обѣ части предполагаются разложенными въ
рядъ Тэйлора, остается справедливымъ, когда замѣнимъ
степени перемѣннаго х произвольными числами. Дѣйстви-
тельно, разложеніе /(а -ф- Іг + х) по формулѣ Тэйлора можно пред-
ставить въ двухъ видахъ:
/((а + й) + х) = /(а + й) + -у/'(а + й) + + й) + -
/(а + (й + ^))= /(а) +А-+-Ѵ(«) +^+Д)-7д«)+ -•
Если во второмъ рядѣ соберемъ всѣ члены, содержащіе хп, то не-
обходимо получимъ снова тотъ же коэффиціентъ (§ 329), какой
имѣетъ хп въ первомъ рядѣ. Отсюда ясно, что оба выраженія оста-
нутся тождественными, когда замѣнимъ числа 1, Ху X 5 X3,... про-
извольными числами а0, а,, а2, а3, ... Такъ, напримѣръ, разлагая
(а + к -ф х)2, находимъ
а2 2а(й + х) + (й2 + 2кх + х2) = (а + й)2 + 2(а + к)х х2,
но можно также написать и
а2 «о 2 а (й а0 + (й2 2 к с^) = Н- й)2 а0 2 (а -ф й) , -|- ,
каковы бы ни были числа а0, а1; аг. Выраженіе
«о/м+м + • • •
принято обозначать символически черезъ у(х -|- <і.к) *). Особенно
замѣчательна функція еаіт. е.
а± х а-,х- «Зх3
а° + 1 + Б2 + Г2І +
которую называютъ производящею функціею послѣдователь-
ности ап, аг, а2, ... Полезно здѣсь же замѣтить, что правило умно-
женія рядовъ (§ 234) выражается слѣдующимъ символическимъ ра-
венствомъ
(25) еах = 4“+^®,
которымъ мы часто будемъ пользоваться впослѣдствіи.
351. Бернулліевы числа. Бернулліевыми числами назы-
ваются числа, опредѣляемыя символическимъ равенствомъ
(26) (В+ Ур-В^р,
гдѣ р послѣдовательно получаетъ значенія 1, 2, 3,...; кромѣ
того, Д, = 1. Такъ, при р = 2 получимъ 2ВІ —1 = 2, откуда
Вх = |. При р = 3, 3/32 + ЗВ| -ф- 1 = 3, откуда Д2 = 4, и про-
должая такимъ же образомъ далѣе, найдемъ
в8=0, в4=-А в5=0, в7=0, В8=-1,
59=о, в10 = ^, д1 = о, в12=-2^,в13=0, в14=Ц,
в15 = о, в16 = -^, в17 = о, в^^, в19=о,....
Теперь беремъ тождество
>'=* кр ^рЧх\
У(х + (В + 1 )й) -/(х + Вк) --^^В +^-Вр)
р=і
и замѣчаемъ, что въ силу формулы (26) правая часть приводится къ
к/’(х) + ~/"(х) + + - =к/'(х + к).
Слѣдовательно, принявъ еще во вниманіе тождество (24), будемъ
имѣть:
(27) р((х + к) Вк) —/(х 4- Вк) = кр’{х 4- к).
Это основная формула въ теоріи Бернулліевыхъ чиселъ. Поло-
живъ х = — к и замѣнивъ потомъ к на х, получимъ
(28) ДВх)-Р(Вх-х) = хР(Ъ).
*) Символизмъ состоитъ въ томъ, что въ разложеніи /(х 4- ак) по сте-
пенямъ к показатели степеней а0, а1, а2,... надо замѣнить указате-
лями чиселъ а0, а±, а2>...
352. Всѣ Бернулліевы числа съ нечетнымъ указате-
лемъ равны нулю, кромѣ Вх = Дѣйствительно, при /(х) = хр фор-
мула (28) даетъ
(29) ВР-(В-1)р = 0,
предполагая р не равнымъ 1; при р = 1, въ правой части формулы
(29) будетъ 1. При будемъ, слѣдовательно, имѣть, въ силу
(26), (В Д- Ір — (В— Ір = р, или замѣняя р на 2р
+ 2)527,_3+ ... + ^-(2/> — 1) (2у> — 2) 7?3 = 0.
Полагая р = 2, 3, 4,..., находимъ, что В$, В-а, Вч,... равны 0#
353. Приу(х) = ёс формула (28) дастъ производящую функ-
цію Бернулліевыхъ чиселъ. Съ самомъ дѣлѣ, принявъ во вни-
маніе формулу (25), можемъ послѣдовательно писать
Р* _ р*. е~х = д., Р« = ВВ’
е — 1
или
В2х*
1 -2
'3
1-2-3
X X2 X4
Т+ 12 ” 720
Та же формула (28) при другихъ формахъ функціи /(х) даетъ
другія интересныя разложенія. Напримѣръ, при /(х) = соз х,
имѣемъ
СОЗ Вх — СОЗ Вх СО5Х — зіп Вх зіп х = 0.
Замѣчая теперь, что Вз = Въ = Вч = • • • =0, находимъ
• о В2л? , В-х»
зіп Вх - В1Х - ь 2 _ 3 + і ,2.з.4.5
X
7
Итакъ, замѣняя х на 2х, получимъ
„ _ х зіп 2 х
соз 2Вх = з-----------=— = X СОТ X,
1 — соз 2х
т. е.
х со! х = 1 —
4В2х2
1-2 +
42/Дх4
1-2-3-4
48В6л^
1 • 2 • 3 4 • 5 6 +
Изъ этого разложенія, далѣе, тотчасъ получаются разложенія , і%х
и т. д., если замѣтимъ, что
X 1
соі -и— соі х = ——» соі х — 2 соі 2 х = ід х
2 81П X &
и т. д. Такимъ образомъ находимъ
х со! х = 1 — X2 т- •Г1 45 2хв 945 4725
X X2 7 х1 31 х*> 127 .г8
— = 1 -|- 81П X т + 360 + Т5І20 + 604800 1
X8 , 2л"э , 17л;7 62л;9
X = X + 15" + 315 + 2835 + "
354. Эйлеровы числа. Эйлеровыми числами называются
числа, опредѣляемыя символическимъ равенствомъ
(Е+ 1)* + (Е - 1/ = О,
въ которомъ р послѣдовательно принимаетъ значенія 1, 2, 3, ...
Такимъ образомъ получаемъ слѣдующую послѣдовательность чиселъ
1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1365, 0, - 50521, 0, 2702765, ...
Какъ очевидное слѣдствіе опредѣленія, вытекаетъ, что всѣ Эйлеровы
числа съ нечетнымъ указателемъ равны 0. На основаніи
того же опредѣленія имѣемъ тождество
Дх + (Е — 1) к) + /(л- + (Е — 1) к) = 2/(л-),
которое съ помощью тождества (24) обращается въ
Д(х + к} + Ек) + Д{х -к) + Ек) = 2Дх).
Это основная формула въ теоріи Эйлеровыхъ чиселъ. Если по-
ложимъ х = 0 и потомъ замѣнимъ к на х, то найдемъ
ДЕх + х) +ДЕх — х) = 2/(0).
Въ частности, при /(х) = ех, съ помощью формулы (25), получимъ
е^.ех + ^. е-* = 2, е^ =------2-----
ех+ ех
Иными словами, производящая функція Эйлеровыхъ чиселъ
будетъ
2 х2 5л4 61л-« 277 х8
е°+е-х~ 2 + 24 720 + 8064 ~
Другія интересныя разложенія получимъ при другихъ формахъ /(х).
Напримѣръ, при У(.г) = со8х, находимъ созЕх = зес х, т. е.
5л4 6К/ 277 л^
2 + 24 + 720 + 8064
355. Эйлеровы числа обладаютъ многими интересными свой-
ствами. Если разсмотримъ, напримѣръ, только не равныя нулю Эй-
леровы числа, то легко замѣтить, что всѣ они, за исключеніемъ Ео,
будутъ вида 6К—1, что всѣ стоящія на четныхъ мѣстахъ кон-
чаются цифрою 5, а на нечетныхъ цифрою 1 и т. д. Эти свойства
заключаются въ теоремѣ Сильвестра '), которую мы здѣсь только
выскажемъ: Если а, 0, у,... дѣлители числа р — р', то раз-
ность Е2р — Е2р’ дѣлится на тѣ изъ чиселъ 2а -ф- 1, 2/? -ф- 1,
2у-|-1,..., которыя будутъ числами простыми. Въ дальнѣй-
шемъ будемъ заниматься исключительно Бернулліевыми числами. Но
сперва замѣтимъ, что послѣднія весьма просто связаны съ Эйлеро-
выми. Дѣйствительно, мы имѣемъ
(4В— 1);г (ІВ 3)х _ ^хе , —х — Зх-. _ ^х _ 9 Ех
V о —- . ѵ ] --------- 4* А С 1
ех+е-х
и сравненіе коэффиціентовъ при хр даетъ символическое равенство
(47? - 1/ - (47? - 3)р
Чр
Обратно, изъ тождества
АВх „2Вх _ 4.ѵеь Чхе2х _ Чхех _ іяф-1)*
а а — . ~т — — л а
гіх-1 ^„1 ех+е~х
ВЫВОДИТСЯ
в р(Е + I/-1
р 2Р(2Р - 1)
356. Эйлерова формула суммированія. Чтобы оправдать
полученныя разложенія, необходимо имѣть возможность оцѣнивать
погрѣшность, которую мы дѣлаемъ, останавливаясь на извѣстномъ
членѣ, и затѣмъ доказать, что эта погрѣшность стремится къ нулю,
когда число принятыхъ во вниманіе членовъ безпредѣльно возра-
стаетъ. Если напишемъ основную формулу (27), удерживая только
п 4- 1 членовъ въ разложеніи каждаго слагаемаго лѣвой части, и
обозначимъ остатокъ черезъ А4, то получимъ формулу сумми-
рованія Эйлера2)
(30) к/'(х + Л) = 6/(х) + <>/'(*) + 6У"(х) + •••
Впкп । г?
+ і о ~ \х> + Вп,
1 • 2 о • п
х) „Сотріеэ гепдиз сіе 1’Асасіётіе дез Зсіепсез сіе Рагіз“ (і. 52, р. 212).
Доказательство этой теоремы, данное Зіегп'омъ можно найти въ „СгеІІез
Іонгпаі" (Всі. 79, 8. 67).
2) „Іпзійиііопез саісиіі дійегепііаііз” (Сар. V).
при чемъ еще нужно отыскать границы, между которыми можетъ
измѣняться /?„. Это опредѣленіе выполнено было Мальмстеномъ, *)
давшимъ слѣдующія выраженія /?„ для четнаго п (ХЫ)
= Л"+ѴИ+2)М-
Доказательство этихъ формулъ требуетъ знанія интегральнаго исчис-
ленія * 2), поэтому здѣсь мы ограничимся выводомъ выраженія, хотя
менѣе удовлетворительнаго, но достаточнаго для обыкновенныхъ
приложеній, и получающагося весьма просто. Разсмотримъ функцію
=/(*) + + + ••• +
и примѣнимъ къ ней формулу Лагранжа
(31) Г(х + к) — Р{х) — кГ’ (х + 6 7).
Далѣе, замѣтимъ, что
Г(х) = Дх) + ^Д(х) + Щ*/"(х) + ... + 0^/<п\х)
между тѣмъ какъ, на основаніи (29),
Г{х + к) = Дх + к) + -^-Д(х + к) + + к)+
+ + А) - ѴДл: + М-
Подставляя въ (31) и пользуясь формулою (30), находимъ
Кп = — кГ’{х + Ой).
Между тѣмъ, легко видѣть, что
Поэтому будемъ имѣть
Кп = - (-^г^И + Ѳй).
Чтобы имѣть возможность прилагать эту формулу, надо прежде
х) Маітзіёп въ Сгеііе’з Іоигпаі (1847, 8. 55). Другую форму далъ
Сонинъ (8опіп) въ Аппаіез де 1’ЁсоІе погтаіе, 1889, р. 257.
2) См. Таппегу: „Ропсііопз дипе ѵагіаЫе“ 2-е ёдіііоп, 1910. ѣ И.
р. 97, § 265, и ВагЬоих: „8иг Іез дёѵеіорретепіз еп зёгіез" (Іоигпаі де
Ілоиѵіііе, 3-е зегіе, ѣ II).
всего знать границы, въ которыхъ мѣняется символическое выраже-
ніе (В — Ѳ)и, когда Ѳ измѣняется отъ 0 до 1 и, кромѣ того, какъ
увидимъ далѣе, надо будетъ знать, какъ измѣняется Вп при без-
предѣльномъ возрастаніи п. Въ концѣ этой главы мы будемъ въ
состояніи отвѣтить на эти вопросы и удостовѣриться въ законности
ѵ/»2' /V
разложеній -------, —— ,
г __ 1 51П X
хсоіёЛ’, І&х и т. д. Въ то же время мы
будемъ имѣть средства узнать, съ какимъ приближеніемъ можно
пользоваться другими не сходящимися разлбженіями, съ кото-
рыми скоро встрѣтимся.
357. Формула суммированія Маклорена. Замѣняя въ фор-
мулѣ (27) х послѣдовательно на х + И, х + 2А, ..., х + пк и сум-
мируя, получимъ
^{/'(л-’ + ^+У'^ + ЗЛ)-)----\-/,(х-\-пк)} =/(х-\-мк-\-Вк)—/(х-\-Вк).
Въ частности, при х = 0 и к = 1, находимъ
(32) /'(1) +/'(2) +/'(3) + ••• + /'(«) =/(и + В)— /(В).
Это и есть формула суммированія Маклорена. Замѣтимъ, что
правая часть есть не что иное, какъ символическое выраженіе ряда
І+Дп) + ^-/'(«) + + •••.
1 1 • Л 1 • і, • о
гдѣ I постоянное, которое въ каждомъ частномъ случаѣ надо
опредѣлить. Такимъ образомъ, формула (32) дополняетъ и разъяс-
няетъ нѣкоторые изъ полученныхъ болѣе строгимъ путемъ въ
§ 334 результатовъ. Однако, понятно, что этою формулою надо
пользоваться осторожно, если въ нее заранѣе не введено выраженіе
остаточнаго члена /?„.
358. Приложенія, а) Сумма одинаковыхъ степеней первыхъ п
цѣлыхъ чиселъ *). Для р(х) х,, л, формула (32) тотчасъ даетъ
+ 2₽ + 3*+ ••• + пр = (и + 'е/+1 "^+1,
р + 1
т. е.
ХР + Т+ ... + = + 1
*) р предполагается цѣлымъ числомъ.
Напримѣръ,
1 +2+3 + • • • + н = + у = |л(я + 1),
I2 + 22 + З2 + • + и2 = ~ ~ + 1) (2я + 1),
О 2 О О
13 + 23 + 3®+ ... +^ = ^ + ^ + ^=1«2(й + 1)2,
14 + 24 + '34 + ... + + ”
<Д Л О ѵѴ
= -1.. п(п + 1)(2я + 1)(3я2 + Зи — 1),
□О
V, , ог, , О’, . . я® , п-' , 5я4 п2
1 +2+3+...+».^у + у + —-Г2
= и2(» + 1)2(2я2 + 2я - 1),
, „„ , , „ Я7 , Я® Я5 Я8 , п
1 64.264-3®+-----^ + = -+++ —
/ 2 2 о 42
= ™ п(п + 1) (2я + 1) (Зя4 + 6я3 — Зп + 1),
I7 4- 27 4- З7 -I- • • • 4- я7 - — 4- — — — + —
+ + + +п ~ 8 + 2 + 12 24 + 12
= 2- д2(и 4- 1)2 (Зя4 + 6яЗ — я2 — 4я + 2),
Ь) Гармоническій рядъ (§ 335, Ь). Для /(х) = Іо^х, формула (32)
даетъ
1 + V + ч + ' ’' + ДГ = ,08 <;г + В> ~ 1о8 В = С + 1о8 п + 1о8 61 + Дг) '
аС О гі \ ** /
т. е. псевдо - сходящійся рядъ
_ 1 1 ! 1 'і1 !,
нп - с + *°8 » + 2я - 12^2 + 120Й4 ~ 252яб + 240я» “ 132я10 + ’ ’’ ‘
с) Формула Стирлинга (§ 335, с). Для /(+) = х 1о§х — х такимъ
же образомъ найдемъ
, — п~>г12п 'І60и ' + І28ОЙ5 —1680и; +1188и9
я! = у 2пп п е
но не надо забывать, что рядъ, стоящій въ показателѣ, не сходящійся.
Для упражненія читателю предлагается преобразовать это выраженіе въ
„! = -Г27г(1/я2 + я + | + І21Г2+ ...)И^
Если подъ знакомъ корня отбросимъ члены съ —, то получимъ приближен-
ное выраженіе п'., найденное ЕогзуйГомъ 1).
359. Бернулліевы полиномы. Подъ этимъ названіемъ разу-
мѣютъ полиномы
(33) <рр(х) =--------------------
изображающіе при цѣломъ значеніи х, какъ мы видѣли, сумму
р _|_ 2р • • • + (.г— 1)Л Очевидно, ф^(1) = 0, а принимая во вни-
маніе формулу (29), видимъ, что и <рДО) = 0. Найдемъ теперь
значеніе тЦѵ,) • Мы имѣемъ
(Д-- 1) X --- VV РХ
\ Нг 9 Хв ХИ
е — е • е —---------=----------------;
ех - 1 — е* - 1
е2 — 1
отсюда получимъ, сравнивая коэффиціенты при
тяхъ равенства:
хр
—г въ обѣихъ час-
р!
Поэтому
(34)
Отсюда слѣдуетъ, что при р четномъ срр = 0. Впрочемъ, выра-
женіе д>Р(х) легко представить въ такомъ видѣ, что корни его 0, 1
и I сдѣлаются очевидными. Если въ правой части формулы (33) на-
пишемъ {х —+ (в —вмѣсто х — 1 -ф В, и затѣмъ разло-
жимъ ее по степенямъ (х —, то получимъ выраженіе
(х — _ р_ . __ іу>—і . 7 Р{Р — 4) (/> ~ 2) _ іур—з _
р + 1 24 + 5760 1
въ которомъ послѣдній членъ будетъ
Вр+^
О>+1)2*
или
і) Въ „Керогіз оі ВгіііяЬ Аззосіаііоп" (Кер. оі Ше 53-гсі шееііпд,
1884, р. 407).
смотря по тому, будетъ ли р нечетное или четное. Замѣтимъ здѣсь,
что х—2” мѣняетъ только знакъ при замѣнѣ х на (1—х), откуда
слѣдуетъ, что
(35) ѴРУ -х) = (-\у+1<Рр{х)*).
При р нечетномъ предыдущее разложеніе можно расположить по
степенямъ дг(дг—1), замѣчая, что = х(х—1) + -^-. Въ
случаѣ четнаго р того же можно достигнуть, выведя за скобки
^х----. Такимъ путемъ, различая случай нечетнаго указателя отъ
случая четнаго, получимъ слѣдующія замѣчательныя выраженія:
= хЦх - 1)2 [л^~2(л- - 1/ 2-Р-^^хГ-\х - I/-3
+ Р(Р~ 1)(?-3)(7^-8) хР_і(х _ іу,_4-----+ р(2р _ ]} в 1 _
ООѵ
(4/> + 2) <рір (х) = х (х - 1) (2 х - 1) [ х^1 (х - 1 )" 1 - _ 1 )У-2
+ ~ {Х - 3-----+ (4/> + 2) /?1 •
0011 г
360. Мы докажемъ теперь, что въ интервалѣ (О, 1) Бернул-
ліевы полиномы съ четнымъ указателемъ обращаются въ
нуль только на границахъ и въ его срединѣ, гдѣ и мѣня-
ютъ знакъ, а Бернулліевы полиномы съ нечетнымъ указа-
телемъ только на границахъ, принимая наибольшее по
абсолютной величинѣ значеніе въ срединѣ интервала. Мы
уже знаемъ, что <р-ір(х) обращается въ нуль при х = О, 1 и у, а
формула (35) показываетъ, что <?2р(х) мѣняетъ знакъ при переходѣ
х съ одной стороны отъ х = на другую. Остается показать,
что д>2Р(х) не обращается въ нуль ни между 0 и у, ни между
-ту и 1. Допуская, что сказанное справедливо для д>2Р—%(х), т. е. что эта
функція сохраняетъ опредѣленный знакъ между 0 и у и противо-
положный ему между ~ и 1 **), примѣняемъ къ функціи р\х) =
= <Р2Р(х) извѣстную формулу интерполированія (§ 347)
/(*) =/(%) + (х - х^/іх^ х2) + 1(х - лгО (х - х2)/" (е),
*) При р нечетномъ = т^-^—р
(Р + 1)2^
**) Не обращаясь въ 0.
полагая хг = 0, х2 = и принимая во вниманіе, что
<Р2р (•*) = 2/> (.ѵ — 1 + В')2р~1 = 2р(2р — 1) <р2р_2 (х).
Тогда получимъ
<Р2р (*) = Р (2 - х)х (* - I) 4>2р-г (й •
гдѣ § число, лежащее между 0 и 1. Изъ этой формулы, очевидно,
вытекаетъ не только то, что фаДх) въ интервалѣ (0, 1) нигдѣ,
кромѣ границъ и средины его, въ нуль не обращается, но и то, что
знакъ ея противоположенъ знаку функціи (р2р — а(л')- Такъ какъ
прямо видно, что функція <р2(х) = -^х(х—1)(2лг—1) слѣва отъ
1 1
2- положительна, а справа отъ у отрицательна, то мы и можемъ
считать теорему доказанною для всѣхъ значеній р, и добавить, что
<р2р(х) слѣва отъ у имѣетъ знакъ (—1У+1, а справа противопо-
ложный. Далѣе, функція — і(х), производная которой есть
1 (х) = (-^ — 1 + В)~Р = (2/> — 1) ір2р- 2 (*)>
будетъ между 0 и | возрастающей или убывающей, а между и
1, обратно, убывающей или возрастающей, смотря по тому, будетъ
ли р четное или нечетное. Слѣдовательно, она сохраняетъ внутри
интервала (0, 1) знакъ (— 1ф и при х — получаетъ наибольшее
по абсолютной величинѣ значеніе.
361. Доказанныя свойства влекутъ за собою важныя для Бер-
нулліевыхъ чиселъ слѣдствія. Дѣйствительно, въ § 352 было пока-
зано, что всѣ Бернулліевы числа съ нечетнымъ указателемъ равны
нулю. Но пока оставалось подъ сомнѣніемъ, не встрѣтятся ли и
между числами В2, В±, В^, ... нули. Формула (34) тотчасъ устра-
няетъ это сомнѣніе и, кромѣ того, показываетъ, что знакъ В2р про-
тивоположенъ знаку (р2р — і('ту), т- е- одинаковъ съ (—1)^+1.
Итакъ, Бернулліевы числа съ четными указателями имѣютъ
поочередно знаки -фи—. То же самое можно утверждать и
объ Эйлеровыхъ числахъ. Дѣйствительно, формула (33) даетъ
(2/> + 1) <р2р Ц) — (В — (2/> 4- 1) <Р2р (т) = Фх т) >
откуда при помощи (35) слѣдуетъ (§ 355)
Еір = \Ф2Р Ш - Ѵ2р Ш ] = - 42*+1 Ф2/ѣ) •
По этому Е2р имѣетъ знакъ (— 1)^.
362. Изъ сказаннаго въ § 360 (и изъ той же формулы (34)
слѣдуетъ, что при п четномъ въ интервалѣ (0, 1) будемъ имѣть
Иными словами,
\(В- Ѳ)”-Вв| й 2(1
для всякаго значенія 9 между 0 и 1. Такъ какъ, кромѣ того, въ
этомъ интервалѣ <рп — і сохраняетъ знакъ, противоположный знаку
Ви, то
<в - о)” - вп і = А - ——। в і,
4 ' 'У I і П I
а слѣдовательно,
Мы видимъ отсюда, что абсолютная величина символическаго выра-
женія (В — 0)“ никогда не превосходитъ Вп \ % а поэтому абсолют-
ная величина найденнаго въ § 356 выраженія Кп |,2 не больше аб-
солютной величины перваго изъ найденныхъ Мальмстеномъ выра-
женій 7?„. Это показываетъ, что оба эти выраженія (/?„ Мальмстена
и Т?и_|_2 § 356) одинаково выгодны, когда дѣло идетъ о томъ,
чтобы доказать, что Кп стремится къ нулю съ возрастаніемъ п до
ж>. Того же самаго нельзя утверждать въ томъ случаѣ, когда надо
найти границы, въ которыя хотятъ заключить 7?„ въ псевдо-
сходящихся разложеніяхъ, получаемыхъ при помощи символиче-
скаго вычисленія.
363. Доказанныя въ § 360 свойства Бернулліевыхъ полино-
мовъ находятъ легкое и интересное разъясненіе въ возможности
представить эти полиномы тѣмъ или другимъ изъ рядовъ
смотря по тому, будетъ ли указатель полинома нечетный или чет-
ный. Прежде намъ надо, однако, вычислить сумму ряда
(37) /(х) = 8ІП ."V8ІП 2 Л' + ^8ІпЗ.Ѵ + •••,
доказавъ одну важную формулу, которою мы уже два раза раньше
'§ 254, § и § 277, і) пользовались. Замѣчая, что
легко найдемъ, что производная суммы п первыхъ членовъ ряда
(37) равна
1 81П ІЯ + 2
СО5 X + СОЗ 2л' + соз Зх + • • • + СОЗ ПХ = — — -]------------------
Г» •
2 8Ш 2
X
Отсюда слѣдуетъ, что функція
X
1 1 X
Г (х) = зіп л' + 2 зін 2 л* + • • • + — зіп п х + — 4-
(2я 4-1) зіп
опредѣленная во всякомъ интервалѣ, не содержащемъ въ себѣ крат-
наго отъ 2л, имѣетъ производную
* / 1 \
СОЗ -г~ СОЗ ІЯ + X
Г' (х) =-------------,
4 (я 4- 2) зіп2
и прямо видно, что Ііт Р' (х) = 0. Если к = , то можно къ
функціи Р(х) примѣнить теорему Лагранжа (§ 306) для всякой
пары значеній (напримѣръ, х и л + 2кл), выбранныхъ въ интер-
валѣ (2кл, 2л 4- 2кл) за исключеніемъ границъ. Такимъ образомъ,
получимъ, обозначая черезъ § число, лежащее между х и л-|-2^я,
слѣдующій результатъ
зіпх + зіп 2х 4- ••• + — зіп пх
2. п
СОЗ [п 4- х
= "4“^ + к ------------ 1 + (А‘ ~ п “ 2 кп) Г' (;-).
(2 «4- 1) зіп
Отсюда, при безконечномъ п, находимъ
/ОО\ I \ і Г * 1
08) ^ = ^-+[2^]я-
364. Теперь мы можемъ вычислить сумму Фр(х) перваго или
второго ряда (36), смотря по тому, будетъ ли р нечетное или чет-
ное число. Мы уже знаемъ, что при р > 1 (§ 320, Ь, с) ряды (36)
равномѣрно сходящіеся во всякомъ интервалѣ. То же самое можно
сказать и о рядѣ (37), гдѣ р = 1, если исключимъ значенія х, крат-
ныя отъ 2л. Поэтому можемъ утверждать (§ 323), что
(39) Ф'р{х) = (-\у-1Фр_х(х).
Намъ извѣстна Ф^х) = /(х) по формулѣ (38). Эту формулу мы
напишемъ въ видѣ Фрх) = л(В — р) *), гдѣ
_ х Г х 1
" 2л “ І2л] '
Такъ какъ л(В— р) есть производная отъ —лг2(2? - р)2, то
(§ 307, Ь) будемъ имѣть
Ф2 (х) = л2 (В — о)2 + а,
гдѣ а постоянное, по крайней мѣрѣ, во всякомъ интервалѣ (2/гл,
2л ф- 2кл), за исключеніемъ границъ. При этомъ а не зависитъ
отъ к, потому что Ф2 и (В—р)2 не измѣняются, когда х измѣ-
нится на кратное отъ 2л. Чтобы найти а, замѣтимъ, что
или ФР(л) =—^1—для всякаго четнаго р и припом-
нимъ равенство ^5-1 —Доказанное въ § 359.
При р = 2 имѣемъ
/ 1 \2 л2
Ф2 (л) = л2 (В -- + а = — у В2 + а
и въ то же время
Ф> (л) = - | Ф2 (0) = - у В2 - а.
Слѣдовательно, а = 0. Теперь, чтобы найти Фъ(х), замѣчаемъ, что
ф'ъ (х) = Ф% (х) = л2 {В — р)2,
а такъ какъ л2(В — р)2 есть производная отъ — ^л\В—р)3, то
можемъ написать
Ф. (х) = — і л3 (В — о);і + -3,
гдѣ постоянное @ тотчасъ опредѣлится изъ того, что въ силу не-
прерывности Ф3(х) (§ 322) правая часть должна стремиться къ пре-
дѣлу Фз,(2кл) = 0, когда р стремится къ 0. Поэтому /? = 0. Для
опредѣленія ФДх) имѣемъ
Ф'і (х) - Ф. (х) = і л3 (В - о):;,
откуда
*т4
ФД*) = - у (В - 0)1 + 7,
*) Потому что Вх — 1.
а для опредѣленія у стоитъ только замѣтить, что
. л4 / „ 1V л4 / 1\
С"1) ~ - у - 2) + 7 - “3 (1 “ 2з) Ві + 'I
и въ то же время
такъ что / = 0. Продолжая такъ далѣе, видимъ, что Фр(х) = /.Р(В—д)1'.
Для опредѣленія Хр служитъ формула (39), которая даетъ
Итакъ, окончательно,
(40) Фр (х) = ( - 1) I - • 2^ (В - о)<
Эта формула и показываетъ, въ какой связи суммы ФДх) нахо-
дятся съ полиномами Бернулли. Въ самомъ дѣлѣ, пользуясь форму-
лами (33) и (35), получаемъ, для всякаго х въ интервалѣ (0, 1), изъ
формулы (40) нижеслѣдующую
ЧР-х (.V) = (- 1)Ы ^11: ( Фр (0) - Фр (2л.ѵ) ),
2.1 'Л
которая съ полною очевидностью обнаруживаетъ доказанныя въ
§ 360 свойства.
365. Приложенія. а) Однимъ изъ интереснѣйшихъ приложеній фор-
мулы (40> является вычисленіе суммъ
9 =1-к1+1 + 1+ ...
-л 1 21' + 3» + 4? +
для четныхъ значеній р. Замѣняя въ (40) р на 2р, получимъ
СОЗ .V СО5 2 X СО8 3 .V .,р_х лір „ 2/,
+ 32Р 9)
и, въ частности, при .ѵ = 0
іі,і =( -
1 + 2-Р + З2-" 42? 1 • 2 - 3 • 2/>
напримѣръ:
л'- л4 лв л8
= 6 = '90 ’ 5(і = 945 ’ 5'8 = 9450' ’
Когда р безпредѣльно возрастаетъ, лѣвая часть стремится къ 1, а поэтому,
припоминая еще формулу Стирлинга (§ 221), получимъ формулу,
1іт I В2Р I • /г.
дающую отвѣтъ на вопросъ, поставленный въ концѣ § 356. (ХЫІ). До сихъ
поръ еще не удалось найти суммы для нечетныхъ р. Извѣстны только
преобразованія ихъ въ болѣе быстро сходящіеся ряды, дающіе возможность
удобнаго численнаго приближеннаго ихъ вычисленія. Такъ, напримѣръ, нашли
1+± + 4=+4 + = 1,20205690315959428540 ...
' 23 З3 43
при помощи небольшого числа членовъ другого ряда г)
Ь) Та же формула (40) при замѣнѣ р на ‘1р-\-1 даетъ
8ІП.Ѵ , 8ІП 2 А- , ЫпЗ.'Ѵ п?>.о2р А+1 42/,-И
^+1+ 22р-|-і + з'^'Т-і + 1 1) 2 (2/,+ 1)Д-В .
т 1
При х = получаемъ § = р а въ § 361 мы нашли, что
/ 1\21'+1 2/>+1
К?) =-4^+і^-
Слѣдовательно,
і____I- + - А- _ 1_ + ... = (- іГ^А+1
32?+1 + 527>+і 72М-і 4^+1 • 1.2 • 3 • • 2/ ’
Напримѣръ,
Въ то время, какъ для всякаго нечетнаго р мы знаемъ значенія суммъ
, 111
1 — з? + 5? _^+ для четнаго р мы не имѣемъ выраженія даже про-
стѣйшей изъ нихъ
О ней имѣется обширное изслѣдованіе Каталана 2).
Ч Вотъ этотъ другой рядъ:
<4 1)ц : 13-2'.33...(» И3. 1 , _______5_____\
1-2-3 (3« - 2) Ц2« - 1)- 12„(3я - 1)/'
См. сообщеніе А. Маркова (Маткой) въ Сотріез гепсіиз сіАс. сіез зс. сіе
Рагіз (16 Пёс. 1889). До р = 70. суммы съ 32 десятичными знаками вы-
числены ЗііеІЦев (Асіа тайіетаііса 1887).
2) Саіаіап. Мемуары С.-Петерб. Академіи наукъ (7 серія т. XXXI).
Въ Сотріез гепсіиз (1. 64, р. 1139) Вгеззе нашелъ
С = 0,91596559417721905460357 . ..
ФУНКЦІИ ОТЪ НЬСКОЛЬКИДэ ПЕРЕМѢННЫМЪ.
Основныя понятія и разысканіе производныхъ.
366. Нѣсколько перемѣнныхъ х, у, г,... называются неза-
висимыми, если значеніе, приписанное одной изъ нихъ, никоимъ
образомъ не стѣсняетъ свободы приписать какой-нибудь другой зна-
ченіе, зависящее до извѣстной степени отъ нашего произвола
(ХЫП). Совокупность всѣхъ системъ значеній, которыя можно при-
писать перемѣннымъ, образуютъ область п измѣреній; простѣй-
шій частный случай (и = 1) такой области представляетъ то, что
мы раньше называли интерваломъ. Если каждой системѣ значеній п
перемѣнныхъ, принадлежащихъ нѣкоторой области, соотвѣтствуетъ
на основаніи нѣкотораго критеріума опредѣленное число, то сово-
купность этихъ чиселъ образуетъ нѣкоторую функцію отъ п пе-
ремѣнныхъ; эта функція будетъ опредѣлена въ данной области и
обозначается символомъ у (.г, у, з,...) или другими, ему подоб-
ными. Принято также говорить, что функція опредѣлена для каждой
точки области, при чемъ подъ точкою разумѣютъ не что иное,
какъ систему п значеній, приписанныхъ независимымъ перемѣннымъ.
Свойства функцій, доказанныя для функцій отъ одной перемѣнной,
легко распространяются и на функціи отъ многихъ перемѣнныхъ г).
367. Непрерывность. Когда независимыя перемѣнныя х, у,
2, ... получаютъ приращенія дх, ду, дг, ..., то функція получитъ
приращеніе
Ѵ = /(худх,у + 6у, ...)-/(х,у, ...).
Функція называется непрерывною въ данной точкѣ, если д/
всегда стремится къ нулю, когда дх, ду, дг, ... стремятся къ нулю,
независимо отъ какого-либо соотношенія между послѣдними. Если
п— 1 изъ перемѣнныхъ разсматриваются, какъ постоянныя, т. е. со-
храняютъ приписанныя имъ значенія, то данную функцію можно
разсматривать, какъ функцію отъ оставшейся одной перемѣнной, и
ясно, что если функція непрерывна относительно системы перемѣн-
ныхъ, то она будетъ непрерывна и относительно каждой изъ нихъ
въ отдѣльности. Но не слѣдуетъ думать, что и обратное заключе-
ніе вѣрно, т. е. что непрерывность /(х,у, г,...) относительно
системы перемѣнныхъ равносильна непрерывности ея относительно
каждой перемѣнной въ отдѣльности. Чтобы убѣдиться въ томъ, что
х) См., напримѣръ, СепоссЬі еі Реапо „Саісоіо" (§ 129).
функція можетъ быть разрывна, будучи непрерывною от-
носительно каждой изъ перемѣнныхъ, отъ которыхъ она
зависитъ, достаточно разсмотрѣть слѣдующій примѣръ. Возьмемъ
функцію отъ Декартовыхъ координатъ точки на плоскости, равную
1 для всякой точки на любой изъ координатныхъ осей и равную
нулю для всякой другой точки. Эта функція, очевидно, разрывна
въ началѣ координатъ, между тѣмъ какъ она, конечно, непре-
рывна въ той же точкѣ относительно каждой изъ перемѣнныхъ,
когда другая остается равною нулю. Достаточно измѣнить значеніе
функціи въ началѣ координатъ изъ 1 въ 0, чтобы функція поте-
ряла непрерывность относительно каждой изъ перемѣнныхъ въ от-
дѣльности; тѣмъ не менѣе можно сказать, что теперь функція без-
конечно менѣе разрывна, чѣмъ была раньше.
368. Частныя производныя. Если функція у разсматривается,
какъ функція одного ѵ или одного у и т. д., то ея послѣдователь-
ныя производныя называются частными производными по х, по
у, и обозначаются символами Д, ^хх, /ху, /ух и т. д. Напри-
мѣръ, въ случаѣ функціи отъ двухъ перемѣнныхъ, будемъ имѣть,
назначивъ по произволу значенія х и у,
/'(.г 4- й, у) — /(.ѵ, у) , Г(х, уУк\—/(х,у\
п=о « " Л=0 «
Далке изъ у, выводятся ^хх и /ху такимъ же образомъ, какимъ
/ух и /Уу выводятся изъ у,, и т. д. Для того, чтобы существовали
частныя производныя необходима непрерывность функціи относи-
тельно каждой изъ перемѣнныхъ въ отдѣльности, но не необхо-
дима непрерывность въ томъ болѣе широкомъ смыслѣ, о кото-
ромъ сказано въ предыдущемъ параграфѣ. Мы докажемъ теперь,
что при разысканіи послѣдовательныхъ частныхъ производныхъ, по-
рядокъ, въ которомъ производится вычисленіе производ-
ныхъ, не вліяетъ на результатъ, если всѣ функціи, послѣ-
довательно получаемыя, непрерывны *). Мы можемъ, оче-
видно, ограничиться случаемъ вторыхъ производныхъ, и показать,
что производная отъ у,, взятая по у, не отличается отъ производ-
ной отъ у, взятой по х, если получаемыя при этомъ функціи ^хѵ
и /уХ непрерывны. Дадимъ числамъ х и у приращенія дх = к,
ду = к, и разсмотримъ выраженіе
5 = /(* + й, у + к) -/(х + к, у) —/(х, у + к) + /(х, у).
Если напишемъ его такъ
Р = [/(* + к, у + к) -/(х + к, 4)] - [/(.ѵ, у + к} —/(х, _у)|.
*) Въ широкомъ смыслѣ слова.
то оно представитъ приращеніе, получаемое функціею ^(х, у-\-к)~
~/(х, у), когда въ ней у и к остаются постоянными, а х пе-
реходитъ въ х-\-к. Поэтому, примѣняя теорему Лагранжа (§ 306)
къ названной функціи отъ одного х, получимъ
е = * [/*(* + 6/;- у + к) + ѳ/г> хИ’
гдѣ Ѳ нѣкоторое опредѣленное число, лежащее между 0 и 1. Те-
перь мы имѣемъ передъ собою приращеніе, получаемое функціею
/Лх + (]Л, у), если при постоянномъ х -ф- 6/г дадимъ числу у при-
ращеніе к. На основаніи той же теоремы, примѣненной теперь къ
функціи одного у, получимъ
р = /г Ѵед (х + ѳ У +
гдѣ 0' тоже лежитъ между 0 и 1. Слѣдовательно, если функція /ху
въ точкѣ (х, у) непрерывна, то ея значеніе въ этой точкѣ предста-
вляетъ собою предѣлъ, къ которому стремится отношеніе ~ съ при-
ближеніемъ ]г и к къ нулю. Если же напишемъ о въ видѣ
0 = ІА* + У + у + к) 1 - [/(.V + к, у) -/(х, у) ],
то совершенно аналогично докажемъ, что упомянутый выше предѣлъ
равенъ значенію /ух въ той же точкѣ (х, у), предполагая, что
и эта функція непрерывна въ этой точкѣ *). Слѣдовательно,
/*У = /ух-
369. Сложныя (составныя) функціи. Если въ^ = /(и, .)
и, ѵ, и>,... не независимыя перемѣнныя, а функціи отъ одной не-
зависимой перемѣнной х, то и у функція одного х, хотя и пред-
ставляется въ видѣ функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ. Въ та-
комъ случаѣ говорятъ, что у есть сложная или составная функ-
ціи, а и, ѵ, гѵ,..- составляющія функціи. Если первыя частныя
производныя отъ функціи / непрерывны и первыя производныя со-
ставляющихъ функцій существуютъ, то, какъ сейчасъ докажемъ,
производная отъ сложной функціи равна суммѣ всѣхъ про-
изводныхъ, получаемыхъ по правилу разысканія производ-
ной функціи отъ функціи, когда / по очереди разсматри-
вается, какъ функція одного и, одного ѵ и т. д. Само собою
разумѣется, что при составленіи частныхъ производныхъ отъ / по
и, по ѵ и т. д., эти перемѣнныя и, ѵ и т. д., разсматриваются,
Въ дѣйствительности, мы предполагаемъ больше, чѣмъ нужно. Мі-
пітшп условій, при которыхъ / = /ух указанъ Реапо. См. „Майіезіб”
1890, р. 153.
какъ независимыя. Мы можемъ ограничиться, для простоты, доказа-
тельствомъ теоремы для случая двухъ составляющихъ функцій. По-
ложимъ, что приращенію дсѵ соотвѣтствуютъ приращенія к и к
функцій и и ѵ. Приращеніе у будетъ ду=/{и-\-к, ѵ + к) —/{и, г>).
По теоремѣ Лагранжа имѣемъ
/(и + к, ѵ) -/{гі, ѵ) = Л/г' (и + Ѳ/г, ѵ),
/{и + 1г, ѵ у И) — /{гі + /г, ѵ) = к/'т (и + к, ѵ + Ѳ' к).
Отсюда, сложивъ и раздѣливъ на дх, находимъ
Й = (г' + Ѳ к' + Й(и + к’ ѵ + Ѳ'Л) ’
а переходя къ предѣламъ и принимая во вниманіе сдѣланныя пред-
положенія, получимъ
(1) у' = и'/и (и, ѵ) + ѵ'/' {гі, ѵ).
37 0. Примѣчанія, а) Теорема остается, очевидно, справед-
ливою, если только одна изъ частныхъ производныхъ непрерывна
относительно системы перемѣнныхъ и, ѵ, а другая только относи-
тельно одной соотвѣтствующей перемѣнной.
Ь) Въ правилѣ (1) заключаются, какъ частные случаи, всѣ до-
казанныя раньше (§ 285 и слѣд.) правила разысканія производ-
ныхъ. Такъ, напримѣръ, если у = нУу иѵ, ~ и т. д., то соотвѣт-
ственно получимъ
у , 1 у . и
/и = 1, ѵ, - , , / = 1, гі,-5 , • • ,
и ’ V 1
и (1) дастъ
у' = и' 4- ѵ', ѵи' -4- иѵ',-----=- , • • •.
У ’ 1 V У
с) Далѣе, правило (1) даетъ возможность непосредственно
найти производныя нѣкоторыхъ функцій, для разысканія которыхъ
прежде приходилось прибѣгать къ особымъ пріемамъ. Такъ, напри-
мѣръ, чтобы найти производную отъ у = хг можно разсматривать
сперва основаніе х, а потомъ показатель х, какъ единственную
перемѣнную, взять производную отъ степени перемѣннаго числа, а
потомъ производную отъ показательной функціи, и сложить резуль-
таты; тогда и получимъ
у' = х Xх 1 + Xх 1о§ х = Xх (1 4- 1о§ х).
Въ болѣе общемъ случаѣ у = иѵ, гдѣ и и ѵ функціи отъ х,
найдемъ
у' = ѵгі '1 • и' и' ѵ' 1о§ и = и1 Iѵ -|- ѵ' 1о§ и
37 1. Однородность. Функція /(х,у, г,...) называется одно-
родною степени т, если тождественно имѣемъ
(2) /(іх, іу, ів, ...) = іт/(х, у, в, ...).
Таковы, напримѣръ, разсмотрѣнныя въ первой книгѣ алгебраиче-
скія формы, а въ частности квадратныя — однородныя функціи вто-
рой степени. Такимъ же образомъ однородными функціями соотвѣт-
ственно степеней 0, — 1 будутъ функціи
и т. д. Замѣтимъ, что первыя частныя производныя однород-
ной функціи »г-ой степени будутъ однородными функ-
ціями (ж — 1)-ой степени. Дѣйствительно, сравнивая производ-
ныя по х отъ обѣихъ частей тождества (2) и раздѣляя на і, полу-
чимъ какъ разъ
/ (іх, іу, ів, ...) = іт~х/'х (х, у, в, ..
тождество, отличающееся отъ (2) лишь тѣмъ, что у замѣнено на
/г, а т на т — 1.
372. Однородныя функціи характеризуются слѣдующимъ
свойствомъ: Сумма произведеній частныхъ производныхъ
однородной функціи степени т, умноженныхъ каждая на
соотвѣтствующую перемѣнную, равна самой функціи, умно-
женной на т. Дѣйствительно, написавъ (2) въ видѣ
(3) = /(*’,
выводимъ отсюда, взявъ производныя по /, при постоянныхъ
•ѵ, У, г,
(4) (Лг-. (ь • • •) У у/у <іх< • •) + I У. ) = о,
откуда при і = 1
х/'х (у. У’ •) +у/у (х. У. •) + = »«/(*, у. •)•
Это теорема Эйлера. Замѣтимъ теперь слѣдующее. Если въ по-
слѣднемъ тождествѣ замѣнимъ х,у, г,... черезъ іх, іу, іг,... и
раздѣлимъ обѣ части на /"‘+1, то придемъ снова къ тождеству (4),
которое показываетъ, что производная лѣвой части въ (3) равна
нулю, а слѣдовательно, эта лѣвая часть сама отъ і не зависитъ, и
потому всегда равна тому значенію, которое получимъ, положивъ
1= 1. Такимъ образомъ, снова приходимъ къ тождеству (2), т. е.
именно къ опредѣленію однородности.
373. Производная опредѣлителя. Какъ приложеніе правила
(1) разсмотримъ первый изъ опредѣлителей
У =
и,
«2
«з
И а?!
г-2 гс2
ах Ъх
Сііу Ь2 С<^
а-л с.А
предполагая, что второй есть взаимный перваго (§ 34). Производ-
ная отъ у по одному изъ его элементовъ равна алгебраическому
дополненію этого элемента. Дѣйствительно, мы имѣемъ, напримѣръ,
у = ауих + а2и2 + а3и3. Единственный членъ, содержащій и,, есть
аіііі, и аі отъ и» не зависитъ. Слѣдовательно, уиі = а,. Если, да-
лѣе, всѣ элементы суть функціи одной и той же перемѣнной х,
то у есть функція отъ х, производная которой, по правилу (1),
будетъ
у' = у + а., + а3 и3 4- Ьѵ г-х 4- Ь2 ѵг 4- Ь3 г-3 у- суѵ. у гѵ2 + с3 гѵ3 .
Кромѣ предположенія, что элементы опредѣлителя имѣютъ произ-
водныя, никакихъ другихъ не требуется, потому что частныя про-
изводныя отъ у, какъ суммы произведеній непрерывныхъ функцій,
сами непрерывны. Полученное выраженіе для у можно написать въ
слѣдующемъ видѣ:
11, Н “Т «і гТ «1 ѵі “Т
(5) у' = «2 Ѵ2 гс-2 + «2 г'2 + и., Ѵ2 ‘4
«3 Ѵ3 гс3 1 | “з Ѵ3 ‘4 и3 гс3
Въ этомъ состоитъ правило разысканія производной отъ функціи
отъ х, представленной въ видѣ опредѣлителя. Оно справедливо,
очевидно, для опредѣлителя любого порядка.
374. Опредѣлители Вронскаго. Въ нѣкоторыхъ приложе-
ніяхъ особенно важное значеніе имѣютъ опредѣлители Вронскаго.
Въ этихъ опредѣлителяхъ первый столбецъ состоитъ изъ производ-
ныхъ функцій отъ одной перемѣнной х, а слѣдующіе изъ послѣдо-
вательныхъ производныхъ отъ этихъ функцій. Вычисленіе произволь-
ной такого опредѣлителя дѣлается особенно просто по правилу (5).
Такъ, напримѣръ, если
и и' и" ! и и' гі'"
у = \ ѵ ѵ' ѵ" , у' = г- </ ѵ'"
гѵ ѵУ ѵУ’ гя ѵс' т'"
(см. § 16), такъ что, для полученія производной отъ опредѣлителя
Вронскаго и-го порядка, стоитъ только замѣнить въ немъ (п — 1)-ыя
производныя ;г-ыми. Далѣе, если обозначимъ опредѣлитель Врон-
скаго и-го порядка просто черезъ (и, ѵ, а',...), то, какъ легко
видѣть, будемъ имѣть
(6) (іи, іѵ, іш, ...) = іп (и, ѵ, іѵ, ...).
Это свойство, представляющее по формѣ столь большую аналогію
съ опредѣленіемъ однородныхъ функцій, легко доказать. Составивъ
опредѣлитель Вронскаго функціи іи, іѵ, Ііѵ, ..., замѣчаемъ, что во
второмъ столбцѣ можно отбросить элементы съ множителемъ I', по-
тому что они пропорціональны соотвѣтствующимъ элементамъ пер-
ваго столбца; въ третьемъ столбцѣ послѣ этого можно откинуть
элементы съ множителями і' и і", какъ соотвѣтственно пропорціо-
нальные элементамъ перваго и второго столбца. Въ концѣ концовъ
придемъ къ опредѣлителю (и, ѵ, щ,...), въ которомъ всѣ эле-
менты будутъ умножены на і, т. е. именно къ равенству (6) (§ 15).
375. Докажемъ теперь весьма важное свойство опредѣлителей
Вронскаго, выражающееся въ слѣдующей теоремѣ: Чтобы двѣ или
нѣсколько функцій были линейно независимы, необхо-
димо и достаточно, чтобы ихъ опредѣлитель Вронскаго не
былъ равенъ нулю. Прежде всего замѣтимъ, что функціи назы-
ваются линейно независимыми, если между ними не суще-
ствуетъ линейнаго и однороднаго соотношенія съ постоянными ко-
эффиціентами. Иными словами, функціи и, ѵ. іѵ, ... не независимы
линейно, если существуютъ п постоянныхъ а, Ь, с, ..., не равныхъ
нулю одновременно, для которыхъ тождественно имѣетъ мѣсто ра-
венство
(7) аи + Ъѵ -ф си> 4- • • • = 0.
Если такое соотношеніе существуетъ, то будемъ также имѣть
аи' -ф Ьѵ'-\-сіѵ' -ф ... = О, аи" -ф Ьѵ" -ф сіѵ" ф ... = 0 и т. д., и
условіе совмѣстности этихъ уравненій, линейныхъ и однородныхъ
относительно неизвѣстныхъ а, Ь, с,..., будетъ (и, ѵ, гц....)=0.
Остается, слѣдовательно, показать, что, обратно, если этотъ опредѣ-
литель равенъ нулю тождественно, то между функціями и, ѵ, іѵ, ...
будетъ существовать соотношеніе вида (7). Замѣтимъ прежде всего,
что при п = 1 уравненіе (7) выражаетъ именно то, что (и) = и
обращается въ нуль. Отсюда слѣдуетъ, что для доказательства тео-
ремы достаточно доказать, что она будетъ справедлива для п функ-
цій, если допустимъ, что она вѣрна для меньшаго числа функцій 1).
Если бы и было равно 0, то соотношеніе (7), очевидно, удовле-
!) Ветоиііп. „Маіѣезіз" (1897, р. 62).
творялось бы при а = 1, Ь = с = • = 0. Поэтому можно предпо-
ложить, что и не равно нулю тождественно, и, припоминая теорему
(6), написать
0 = (г/, ѵ, и’, = .. .^ = V, V, .. А
\ и / \\и) \ и) /
Но послѣдній опредѣлитель Вронскаго будетъ порядка (п -- 1)-го,
и такъ какъ онъ равенъ нулю, по нашему допущенію, то отсюда
вытекаетъ соотношеніе Ь ф- с + • • • =0, гдѣ Ь, с, ... по-
стоянныя, не равныя нулю одновременно. Поэтому первообразная
функція Ь ф- с + •' ’ равна нѣкоторому постоянному, ко-
торое можно обозначить черезъ — а, и получимъ окончательно, что
п функцій и, ѵ, гѵ,... связаны соотношеніемъ вида (7). (ХЫѴ).
Разложенія въ ряды. Махіта и тіпіта.
376. Формулы Тэйлора и Маклорена весьма легко распростра-
няются на функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ. Фиксируемъ нѣ-
которую точку (а, Ь, с,...) и въ смежности съ нею другую
(х, у, г,...); обѣ въ той области, вь которой /(х, у, г,...)
опредѣлена. Положимъ затѣмъ и = а ф- /(х — а), ѵ = Ь ф- і(х — Ь},
гѵ = сі(х— с), ... и разсмотримъ /{и, г', да,...), какъ функ-
цію одного I. Производная этой функціи легко опредѣляется
по правилу (1), если замѣтимъ, что производныя, взятыя по і, отъ
функцій и, ѵ, да, ... будутъ іг' = х — а, ѵ' — х — Ь, гѵ' = х — с, ...
Такимъ образомъ, получимъ
7Г/ (*) = (х - а)/'х (и, ѵ, ...) + (.у - Ь)/у (и, ѵ, .. .) + (г - с)/, (и, ѵ, ...)+ •
Взявъ снова производную, найдемъ
= (х - (и, ѵ, ...) +(у - (и, ѵ, ...) ф (« - с)*/" (и, ѵ, ...)+
+ 2 (х - а) {у - Ь)/”у (и, ѵ, ...) ф 2 (х - а) (« - с)/"г (и, ѵ, ...)
+ 2 (У - Ь) (г - (и, ѵ, . . .) + • • • •
Продолжая такимъ же образомъ, замѣтимъ, что можно положить
символически
(/) = [ (х - а)/х (и, ѵ, . . .) + (у - Ь)/ѵ (и, ѵ, . . .) Т ] п.
если условиться въ разложеніи /г-ой степени полинома замѣнять
произведеніе • • • производною вычисленною для точки
(и, V, іѵ, ..которая совпадетъ съ (а, Ь, с, ...) при 1 = 0, и съ
(х, у, 2,...) при 7=1. Послѣ этого, стоитъ только подставить
выраженія Е, Е', Е", ... въ формулу Маклорена:
^(1) = Р (0) + Р' (0) + | Р" (0) + | Р'" (0) + • • + ~ РМ (Ѳ).
чтобы получить
/(*, У- ••)=/(«> Р Ь, ...) + (у - Ь)/у (а, Ь, ...) + •••
+ 4 [ (X - л)Ѵ« (й> Р ...) + • • • + 2 (лг - а) Су Ь)/”у {а, Ь, ...) Ч-]
+ I- «)"Ѣ } + » (х - а)”"1 (у - Ѣ ••) + •• • Ь
гдѣ і], ... числа, лежащія соотвѣтственно между х и а,
у и Ь, 2 и с, . .. Это Тэйлорова формула для функціи отъ нѣ-
сколькихъ перемѣнныхъ. Если положимъ въ ней а = Ь = с = ... = 0,
то получимъ формулу Маклорена:
/(х.у, ...)=/(0, 0, ...) + ^(0, 0, ...)+Хѵ(°’ °- •••) +
+ і (0, о, ...)+у2/уу(0, 0, ...)+ + 2ху/;у(0, 0, ...)+ ...]
+ (ѳ х, ву, ...) + пух^1/^ (Ѳ Ѳуг, • 4 + • • • ]
Она даетъ намъ, въ предположеніи, что послѣдній (дополнительный)
членъ стремится къ нулю съ возрастаніемъ п до безконечности,
разложеніе функціи У(х, у, 2, ...) въ рядъ алгебраическихъ формъ
степеней 1, 2, 3, ...
377. Перейдемъ теперь къ изслѣдованію вопроса о наиболь-
шихъ и наименьшихъ значеніяхъ (тахіта и тіпіта) функцій отъ
нѣсколькихъ перемѣнныхъ. Когда говорятъ, что нѣкоторое свойство
имѣетъ мѣсто въ смежности съ точкою (а, Ь, с, ...) или въ
окрестности точки (а, Ь, с,...), то этимъ утверждаютъ сущест-
вованіе такого положительнаго числа Л, что означенное свойство
имѣетъ мѣсто для всѣхъ точекъ (х, у, 2, ...) удовлетворяющихъ
условіямъ
(8) \х~а\<,1і, \у~Ь\^1і, \г — с\^к,...
за исключеніемъ, въ крайнемъ случаѣ, самой точки (а, Ь, с, ...).
Принявъ это во вниманіе, говорятъ, что _/(х, у, а,...) будетъ
тіпітит (или тахітит) въ точкѣ (а, Ь, с, ...), если въ смеж-
ности съ этою точкою ни одно изъ значеній функціи не меньше
(или не больше), чѣмъ /(а, Ь, с, ... ). Иными словами, нужно имѣть
возможность указать такое достаточно малое положительное число
чтобы для всѣхъ значеній х, у, 2,..., удовлетворяющихъ усло-
віямъ (8), имѣло мѣсто первое (или второе) изъ условій
(9) Да, Ь, с, ...) </(х, у, г, ...), /(а, Ь, с, ...) >/(х. у, я, ...).
Если эти условія дѣйствительно выполняются, то, очевидно, обозна-
ченная выше черезъ /"(/) функція будетъ тіпітит или тахітит
при і = 0. Дѣйствительно, при выполненіи условій (9) будемъ
имѣть
/’(О) й /•'(/), или /ДО) & Г(і)
для всѣхъ значеній I не большихъ 1 по абсолютной величинѣ, такъ
какъ для этихъ значеній / числа и, ѵ, гѵ, ... какъ и числа
х, у, г,... удовлетворяютъ условіямъ (8). Такимъ образомъ, ра-
зысканіе тахіта и тіпіта функціи /(х, у, г,...) приводится къ
разысканію тахіта и тіпіта всѣхъ функцій /(/) соотвѣтствую-
щихъ безчисленному множеству точекъ (.с, у, г,...), которыя
можно взять по произволу въ смежности съ (а, Ь, с, .. .).
378. Если перемѣнныя независимы, то извѣстное условіе
/'(О) = 0, т. е.
(х-а)/'х(а, Ь, с, ...) + (у - Ь)/у(а, Ь, с, .. .) + (г - с)/'г(а, Ь, с, .. .)+ ... =0
распадается на слѣдующія отдѣльныя условія:
/х(а, Ь, с, ...) = 0, /у(а, Ь, с, ...) = 0, /Дл, Ь, с, .. .) = 0, ...
Итакъ, тѣ системы значеній перемѣнныхъ х, у, 2, ..., при
которыхъ функція у отъ независимыхъ перемѣнныхъ
х, у, г,... можетъ быть тіпітит или тахітит, будутъ
рѣшеніями системы уравненій
0°) /'ЛХ>У- «>•••) = 0, /у(х, у, я, ...) = 0, /’г(х,у, «,...) = 0, ...
Чтобы узнать, даетъ ли то или другое рѣшеніе этой системы ті-
пітит или тахітит, надо разсмотрѣть квадратичную форму
(0) = (-ѵ - а)2/” («, Ь, ...) + (у - Ь'Уу'п (а, />,.-•) + (я - с)2/^, (а, />,...) + • • •
+ 2(х - а)(у - Ь')/'ху(а, />,...) + 2{х - а) (г — с)/'хх(а, Ь, ...)
+ 2(у - 6) (я - с)/”(а. Ъ, ...)+• •
отъ п независимыхъ перемѣнныхъ х — а, у — Ь, 2 — с,...
Дискриминантъ (§ 76) этой формулы есть значеніе опредѣлителя
вычисленное для х = а, у = Ь, 2 = с, ... Эта важная функція
Н(х,у, 2,...) называется Гессіаномъ функціи у *). Въ даль-
нѣйшемъ мы оставимъ въ сторонѣ случай Н(а, Ь, с,...) = 0, и
припомнимъ (§ 100), что необходимыя и достаточныя условія (при
Н(а, Ь, с, ...) гг 0) для того, чтобы квадратичная форма Е"(0)
была существенно положительна, будутъ слѣдующія
(11)
ух Ууу
при х = а, у = Ъ, г = с, ... Наоборотъ, чтобы Е"(0) была суще-
ственно отрицательна, для всѣхъ системъ значеній перемѣнныхъ
х— а, у — Ъ, 2 — с, .. . (не равныхъ нулю одновременно), необхо-
димо и достаточно, чтобы было
(12)
> 0, .. ., ( 1)пН > 0.
Слѣдовательно, если нѣкоторая система а, Ь, с,... значеній пере-
мѣнныхъ х, у, 2,..., удовлетворяющая системѣ уравненій (10),
удовлетворяетъ и условіямъ (11), то функція /(х, у, 2,...) при
х = а, у = Ь, 2 = с, ... будетъ тіпітит. Наоборотъ, она будетъ
тахітит, если выполняются условія (12). Она не будетъ ни та-
хітит, ни тіпітит, если при Н^0, не выполняются ни условія (11),
ни условія (12) Сомнительнымъ остается случай Н = 0, требующій
особаго изслѣдованія.
379. Чтобы найти, напримѣръ, тахіта и тіпіта функціи отъ двухъ
независимыхъ перемѣнныхъ, надо начать съ разысканія тѣхъ значеній пере-
мѣнныхъ, которыя обращаютъ въ нуль первыя производныя,. и найденныя
значенія подставить во вторыя производныя. Тогда могутъ представиться
слѣдующіе случаи:
/хх/уу ~/ху > 0 (тіпітит при /хх > О, тахітит при /хх < 0).
< 0 (ни тіпітит, ни тахітит),
= 0 (сомнительный случай).
Въ случаѣ функціи отъ трехъ независимыхъ перемѣнныхъ, при условіи
А, — / ® < 0, не будемъ имѣть ни тіпітит, ни тахітит. Но то же
самое будетъ и при — /"3. > 0, если Гессіанъ
V * ДД V- у у Л/у '
будетъ имѣть знакъ, отличный отъ знака /хх. Въ противномъ случаѣ будемъ
*) По имени математика Гессе (Неззе).
имѣть тіпітит или тахітит, смотря по тому, будетъ ли общій знакъ чи-
селъ Н и Д!х + или —. Замѣтимъ, что тахіта и тіпіта имѣютъ наклон-
ность встрѣчаться все рѣже и рѣже по мѣрѣ увеличенія числа перемѣнныхъ.
380. Чтобы скорѣе подвигаться впередъ, мы оставили въ
§ 378 большой пробѣлъ, который теперь необходимо заполнить.
Найдя, что при выполненіи условій (11) или (12) будемъ имѣть
всегда /''"(О) > 0 или всегда < 0, мы изъ этого можемъ за-
ключить только то, что все безконечное множество функцій Е(і)
при I = 0 будутъ имѣть тіпітит или тахітит, Но изъ этого еще
нельзя заключить, что /(х, у, г,...) въ точкѣ (а, Ь, с, ...) бу-
детъ тіпітит или тахітит. Для возможности такого заключенія
надо было бы пользоваться теоремою, обратною той, которая уста-
новлена въ концѣ § 377, а эта обратная теорема далеко не всегда
справедлива. Поэтому приступимъ къ непосредственному изслѣдова-
нію приращенія
/(л-, у, г,.. .) -/(«, ь, с, .. .) = 4г ^"(Ѳ),
и замѣтимъ, что Н'(Ѳ) можно разсматривать, какъ квадратичную
форму, съ перемѣнными коэффиціентами. Эти коэффиціенты, из-
мѣняясь вмѣстѣ съ измѣненіемъ х,у, 2,..., стремятся (вслѣд-
ствіе предполагаемой непрерывности вторыхъ производныхъ) къ
соотвѣтствующимъ коэффиціентамъ, формы когда точка
(х, у, 2,...), какимъ угодно образомъ, приближается къ точкѣ
(а, Ь, с, .. .), при чемъ и промежуточная точка (|, ((,...), для
которой вычислены коэффиціенты въ /''"(Ѳ), приближается кь той же
точкѣ (а, Ь, с, ...). Отсюда мы еще не въ правѣ заключить, что
если Р"(0) въ смежности съ точкою (а, Ъ, с, ...) сохраняетъ по-
стоянный знакъ, то и ^"(Ѳ) стремится принять этотъ знакъ. Въ са-
момъ дѣлѣ, и та и другая форма имѣютъ въ смежности съ этою
точкою значенія, безконечно близкія къ нулю, и потому, хотя онѣ
отличаются одна отъ другой безконечно мало, не исключается воз-
можность того, что знаки ихъ будутъ различны. Дѣло и состоитъ
именно въ томъ, чтобы показать, что это невозможно. Съ этой
цѣлью цѣлесообразно будетъ раздѣлить обѣ формы на
г2 = (х — а)2 + (у — Ь)2 + (з — с)2 + •
и затѣмъ разсматривать полученныя отношенія, какъ квадратичныя
формы отъ перемѣнныхъ
х-а п у — Ъ в — с
а =----- • /? = ’--> •/ =-----> • • • >
г г г
связанныхъ соотношеніемъ а2 + + 72 + • • = 1- Въ самомъ дѣлѣ,
пусть к есть наименьшій по абсолютной величинѣ коэффиціентъ въ
каноническомъ видѣ (§ 92) формы —. Замѣтимъ теперь, что
всѣ коэффиціенты будутъ положительны, либо всѣ отрицательны,
25
смотря по тому, будетъ ли форма существенно положительная
или существенно отрицательная. Поэтому | /'""(О) | > кг2, и от-
ношеніе /'"(0) къ г2 не стремится къ 0. Наоборотъ, отношеніе
——------— непремѣнно стремится къ нулю, потому что это отно-
г2
шеніе есть квадратичная форма отъ перемѣнныхъ а, у, ..., лежа-
щихъ между — 1 и 1, и съ коэффиціентами, имѣющими предѣломъ
нуль. Поэтому
Ііт
Г" (У)
= 1 + ііт
7^(0) _ 7г//(0)
= 1.
Отсюда слѣдуетъ, что всегда можно найти такое положительное
число к, чтобы для всѣхъ значеній х,у, 2,..., удовлетворяю-
щихъ условіямъ (8), выше написанное отношеніе было, напримѣръ,
больше и, слѣдовательно,
> -^кг2 или ^"(Ѳ) < ^кг2,
смотря по тому, будетъ ли ^^>0 или <і 0, т. е. /(х,у, 2, ...)>
> /(а, Ь, с, ...) въ первомъ, и /(х, у, 2, .{(а, Ь, с, ...)
во второмъ случаѣ ’).
381. Предыдущія соображенія тѣмъ болѣе необходимы, что
случаи, когда всѣ функціи /’(/) ПРИ / = О будутъ имѣть тахітит
или тіпітит, а /{а, Ь, с,...) не будетъ ни тѣмъ, ни другимъ для
/(х, у, 2, ...), вполнѣ возможны. Чтобы яснѣе понять причину та-
кого обстоятельства, лучше всего будетъ ограничиться случаемъ
функціи отъ двухъ перемѣнныхъ х = а + г соз 9, у = Ь + г зіп 0,
значенія которыхъ въ смежности съ {а, Ь) зависятъ отъ г и 9-
Если для какого нибудь значенія 9 функція будетъ тіпітит въ
(а, Ь), то это значитъ, что /(х, у)^/(а, Ъ) для разсматриваемаго
значенія 0 и для всѣхъ значеній г въ нѣкоторомъ интервалѣ
(—у, -|- {?)• Это число д будетъ вполнѣ опредѣленная функція
отъ Ѳ, если условимся брать всегда наибольшее возможное значеніе
для д. При измѣненіи 9 отъ 0 до д (за исключеніемъ одной изъ
границъ) д будетъ, вообще говоря, измѣняться, и соотвѣтствующая
пара значеній х = а + р соз 9, у = Ь + д зіп 9 описывать сомкнутую
кривую, внутри которой постоянно будетъ /\х, Ь), между
тѣмъ какъ внѣ ея, какъ угодно близко къ границѣ, /{х, у)<./(а, Ъ).
Если функція о, какъ это обыкновенно и бываетъ, достигаетъ нѣ-
котораго наименьшаго значенія Л]/"2, то можно быть увѣреннымъ,
что /(х, у) Ь), если |х — а\^к и — Ь\^к. Тогда
У(х, у) дѣйствительно будетъ тіпітит въ точкѣ (а, Ь). Но если
!) Для большихъ подробностей см. ОепоссНі еі Реапо „Са1со1о“
(р. 186, 197).
случится, что о имѣетъ только нижнюю границу, равную нулю, то
/'(«, Ь) не будетъ тіпітит функціи /(х, у). Дѣйствительно, тогда
существуетъ такое значеніе 0, въ смежности съ которымъ нижняя
граница о всегда будетъ нуль (§ 259) и достаточно взять 9 въ
смежности съ этимъ значеніемъ, чтобы можно было сдѣлать
о < Л]42, какъ бы мало ни было Л. А тогда, взявъ г > р, найдемъ
и такія значенія х и у, для которыхъ, несмотря на то, что
[л: — а\^=к, \у — Ь\^к, будемъ имѣть /(х, у) Ь).
382. Положимъ теперь, что между п перемѣнными существу-
ютъ т « п) соотношеній
(13) (х, у, я, ...) = О, ір (х, у, з, ...) = 0, ...
такого рода, что т перемѣнныхъ и, ѵу гѵ,... могутъ быть раз-
сматриваемы, какъ функціи отъ п — т остальныхъ х). Эти послѣд-
нія мы обозначимъ буквами х, у, 2, ... и будемъ ихъ считать неза-
висимыми. Значенія перемѣнныхъ, при которыхъ функція
^(х, у, г, ..., и, ѵ, гѵ, ...)
можетъ быть тіпітит или тахітит, должны обращать въ нуль
(§ 378) первыя ея частныя производныя, взятыя по независимымъ
перемѣннымъ. Въ частности, принимая во вниманіе правило для
разысканія производной сложной функціи (§ 369), мы должны
имѣть
<14) 4 + «ж/и + Ѵх/ѵ+ • • = °>
гдѣ производныя их, ѵх, и>х,... должны быть найдены при помощи
уравненій (13), т. е. изъ системы уравненій
(15)
+ ѵур'ѵ + ••• = о,
Ѵх+ихЧІ + г,хѵ'ѵ + ••• =0.
примѣняя правило Крамера (§ 50) и предполагая, что
(16)
Фи <Рѵ '
Ѵп Ѵѵ КТ ' ’
Вмѣсто того, чтобы подставлять значенія их, ѵх, гѵх,..., найден-
М Объ условіяхъ, при которыхъ это возможно (къ числу нихъ
принадлежитъ между прочимъ условіе (16), ниже приводимое), мы будемъ
говорить въ началѣ шестой книги.
ныя изъ уравненій (15), въ уравненіе (14), мы можемъ присоеди-
нить это послѣднее къ системѣ (15) и прямо написать условіе со-
вмѣстности :
Замѣняя элементы перваго столбца по очереди частными производ-
ными функцій у) <р, чр, ... по тѣмъ п—т перемѣннымъ, которыя
выбраны были за независимыя, получимъ п — т уравненій, которыя
вмѣстѣ съ т уравненіями (13) и послужатъ для опредѣленія зна-
ченій х, у, г, и, ѵ, іѵ, ... Итакъ, тѣ системы значеній
х, у, г,..., которыя удовлетворяютъ уравненіямъ (13) и
дѣлаютъ функцію /(х, у, 2, ...) тіпітит или тахітит,
принадлежатъ къ числу тѣхъ, которыя обращаютъ въ нуль
всѣ старшіе опредѣлители матриссы
Л /'?
(17) і '
; Ѵх Ѵу Ѵг • ' •
383. Чтобы придать вычисленіямъ болѣе симметріи, обыкно-
венно посіупаютъ слѣдующимъ образомъ. Изъ того, что всѣ стар-
шіе опредѣлители матриссы (17) обращаются въ нуль, заключаютъ
(§ 58), что одно и тоже линейное соотношеніе связываетъ элементы
каждаго столбца. Въ это соотношеніе непремѣнно должны входить
элементы первой строки. Дѣйствительно, если бы существовало
линейное соотношеніе между одними д/, у', ..., то обратились бы
въ нуль всѣ старшіе опредѣлители той матриссы, которая получается
изъ (17) зачеркиваніемъ первой строки. А это противорѣчитъ усло-
вію (16). Поэтому, для прилично выбранныхъ 2, /у ѵ, ..., можемъ
писать
+ ^Ѵх + • • • ’ /у = &<Ру + УѴу +•••,/ = + /Іфг + • • • ’ • •'
Иными словами, для того, чтобы разыскать тахіта и тіпіта функ-
ціи /, когда перемѣнныя связаны уравненіями (13), надо прирав-
нять нулю первыя производныя не функціи а функціи
7(лг, у, я, &<р (х, у, г, ...) — /лу (х, у, я,
При этомъ получаются п уравненій, которыя, по исключеніи
2, рь, ѵ, ..., приводятся къ п—т уравненіямъ. Присоединивъ къ
нимъ уравненія (13), получимъ п уравненій для опредѣленія п пе-
ремѣнныхъ.
384. Упражненія, а) Возьмемъ прямоугольную пластинку ОАВС
(рис. 12), отъ которой, какъ указано на рисункѣ, отломленъ кусокъ ОР^.
Требуется изъ оставшейся части образовать другую прямоугольную
пластинку, имѣющую по возможности наи-
большую площадь. Естественно будетъ удержать
обѣ нетронутыя стороны АС и ВС, и выбрать
новую вершинну О', противолежащую вершинѣ С,
на новой сторонѣ Р^. Если р и /] обозначаютъ
отрѣзки ОР и ОО, то координаты искомой точки О'
относительно осей О А и ОВ удовлетворяютъ урав-
ненію ^x + ру = р^, а функція, тахітит кото-
рой ищется, будетъ площадь новаго прямоуголь-
ника, равная (а — х) (Ь — у) *). Производныя этой
функціи по х и по у, т. е. у — Ь и х — а должны
быть пропорціональны числамъ (] ар. Поэтому, если
изъ С проведемъ прямую, параллельную прямой,
соединяющей О съ серединою Р^, то эта прямая
и встрѣтитъ Р() въ искомой точкѣ О'. Если бы
точка О' попала внѣ отрѣзка Р^, то, какъ легко
видѣть, ее надо было бы замѣнить ближайшимъ
концомъ этого отрѣзка. Можно общнѣе доказать,
Рис. 12.
что, какова бы ни была
форма излома РСС діагональ новаго прямоугольника должна быть парал-
лельна прямой, касающейся Р^ въ точкѣ О'.
Ь) Покажемъ, что общее уравненіе коническаго сѣченія
(18) ах2 + Ьу1 + с + 2/у + 2%х + 2кху = О
можетъ быть представлено въ болѣе удобной формъ, если въ него введемъ
координаты центра (х0,у0), опредѣляемыя, какъ извѣстно, уравненіями
(19)
ах0 + ку0 + § = 0, кх0 + Ьу0 +/= О
или Ф'х (х0, у0) = 0, Ф' (.ѵ0, у0) = 0, гдѣ Ф (х, у) обозначаетъ лѣвую часть
уравненія (18). Прежде всего замѣтимъ, что Тэйлорова формула позволяетъ
представить эту функцію въ видѣ
Ф(х0, УоІ + а(х ~ хо)2 + Ь(у -^0)2 + 2к(х - х0)(у —у0).
Чтобы вычислить Ф(х0, у0), стоитъ только замѣтить тождество
Ф(х, у) = {ах + ку +§)х + (кх + Ьу + /)у + {§х +/у + с).
Это равносильно примѣненію теоремы Эйлера (§ 372) къ лѣвой части урав-
ненія (18), послѣ того, какъ сдѣлаемъ ее однородною **). Въ частности
имѣемъ Ф(х0, у0) = ^х0 -\-/Уо + с, а исключая х0 и у0 изъ уравненій (19)
и послѣдняго, находимъ
а к §
Ь Ь /
§ / с — Ф(х0,уй)
*) а= О А, Ь = ОВ.
**
Замѣнивъ х и у на —
и ~ и умноживъ на а2.
откуда получимъ Ф(л:0, _Уо) = , гдѣ Л обозначаетъ дискриминантъ
аЬс + — а/2 — Ъ§2 — сіг-.
с) Чтобы вычислить длины полуосей коническаго сѣченія (18),
выгодно сперва представить его уравненіе въ той формѣ, которая указана
въ предыдущемъ упражненіи
а(х - х$ + Ь(у-у0)2 + 2Л(лг — д;0) (у — у,,) + = 0.
Дѣло сводится къ опредѣленію наибольшаго и наименьшаго значенія функ-
ціи г2 = (х — л'0'і2 + (у —у0)2, при чемъ перемѣнныя х и у связаны преды-
дущимъ уравненіемъ. Поступая по указаніямъ § 383, положимъ
х — х0 = А { а(х — х0) + к (у —у0) }, у — у0 = А { к(х — х0) + Ь(у —у^ }.
Умножая первое уравненіе на х — хй, второе на у—у0, и складывая, полу-
чимъ (аЬ — к2) г2 = — А /?. Съ другой стороны, А можно опредѣлить, исклю-
чая изъ тѣхъ же уравненій х — х0 и у —уй, что даетъ
0 =
«А — 1
ЙА
ЛА
5А- 1
= (аЬ — к2} А2 — (а + Ь) А + 1.
Отсюда слѣдуетъ, что квадраты полуосей будутъ корнями слѣдующаго
уравненія съ неизвѣстною г2\
4 । (й “И ^)Л „ Л2
' (аЬ — к2)2* ' (аЬ — к2}*
4) Предложимъ себѣ теперь вычислить полуоси плоскаго сѣче-
нія поверхности эллипсоида данною его діаметральною плоско-
стью. Пусть а, Ь, с будутъ длины полуосей эллипсоида, а, у косинусы
угловъ, образуемыхъ главными сѣченіями съ данною плоскостью. Если оси
эллипсоида примемъ за координатныя оси, то уравненія эллипсоида и данной
плоскости будутъ соотвѣтственно
(а)
^2+^2+72= 11 ах + ^ + у® = 0,
Вопросъ состоитъ въ опредѣленіи наименьшаго и наибольшаго значенія
функціи х2-±-у2-\-г2 (при условныхъ уравненіяхъ (а)). Согласно сказан-
ному въ § 383, полагаемъ
Іх . 'Ку . , ,
х = + ,«а,, У = + М г = + ;іу.
Складывая эти уравненія, умноживъ ихъ предварительно, первое на х,
второе на у, третье на 2, получимъ г2 = л. Подставляя въ уравненіе пло-
скости значенія
/міа2
а2 —г2’
іус2
~~ 9
С2 — І
У = -
получаемыя изъ предыдущихъ уравненій, и замѣчая, что ,и не можетъ быть
равно нулю, приходимъ къ уравненію второй степени относительно г-:
а* 2 а2 Ь2іГ- , с2-/2
корни котораго и будутъ квадраты искомыхъ полуосей. Если изъ центра
эллипсоида возставимъ перпендикуляры къ плоскости каждаго сѣченія и на
нихъ отложимъ длины одной изъ полуосей сѣченія (той или другой—безраз-
лично), то концы этихъ перпендикуляровъ будутъ лежать на нѣкоторой
поверхности 4-го порядка, играющей весьма важную роль въ Оптикѣ:).
Такъ какъ координаты этихъ концовъ будутъ х— ± аг, у = ±$г, г = -ууг,
то стоитъ только подставить взятыя отсюда величины а, ,3, у въ предыдущее
уравненіе, чтобы получить уравненіе искомой поверхности:
«2*2 ___________ =
д-2 уу2 й2 _ я2 + д-2 уу2 &2 §2 + х2 уу2 -2 с2 >
которое, по уничтоженіи знаменателей, приметъ видъ
(х2 + у- + г2) (а2х2 + Ъ2у2 + с2.г2) - (б2 -|- с2) а2 х2 — (с2 -|- а2) Ь2у2
— (я2 -|- б2) с-.г- + а2Ь2с2 = 0.
Это такъ называемая поверхность волны. Изученіе нѣкоторыхъ ея
свойствъ привело Гамильтона къ предвидѣнію такъ называемой кониче-
ской рефракціи, подтвержденной впослѣдствіи на опытѣ. Такими теоре-
тическими открытіями явленій природы 2), которыя цѣлыя столѣтія не подда-
вались наблюденію, лучше всего доказывается огромное значеніе Математики.
е) Вычисленіе кратчайшаго разстоянія между двумя прямыми
приводитъ кь болѣе общей задачѣ — найти наименьшее значеніе функціи
г2 = -у^2 +(.т2 — _у2)2 4- ••• + (хп уп)2
если извѣстно, что 2п перемѣнныхъ удовлетворяютъ 2п — 2 уравненіямъ
#1 __ ^2 ^2 __ _ ___________________У2 ^2 __ „ Уп К
«1 «2 ап ' Л $2 ' 8»
такъ что г2 въ дѣйствительности есть функція отъ двухъ только независи-
мыхъ перемѣнныхъ. Принявъ за эти независимыя перемѣнныя значенія
и и ѵ написанныхъ выше двухъ рядовъ равныхъ отношеній, замѣчаемъ,
что выраженіе г2 послѣ подстановки въ него
V,- = а;и + я., уі = ${ѵ + Ь{ (г = 1, 2, 3...п)
переходитъ въ
(20) г2 = аи2 + Ьѵ2 + с + 2/ѵ -ф 2^-и -|- “ікиѵ,
') См., напр., Роіпсагё, Тііёогіе таШётаіідие Фе Іа Іитіёге (р. 296).
2) Другіе интересные примѣры изъ Физики и Астрономіи приведены
въ сообщеніи О. Сезаго Бельгійской Академіи (Виііеііпз, 1891, р. 503).
гдѣ положено
Обратимъ вниманіе на то, что опредѣлители
\ а к а к §
\ к Ь , Ь /
§ / с
представляютъ собою квадраты матриссъ (§ 30)
О, 02 • • «п «1 —Й1 а2 — Ь2 ... ап — Ьп
Л 02 • • 4 і, «1 а2 ап
01 02
Чтобы г2 былъ тіпіт ит или тахітит, необходимы условія
(21
аи + кѵ + § = 0, ки + Ьѵ +/ = 0.
Когда они выполнены, то выраженіе (20) въ силу теоремы Эйлера при-
ведется къ
(22)
г2 = §и -\-/ѵ 4- с.
Гессіанъ отъ г2 равенъ аЬ — к-, а такъ какъ а и аЬ — /г2 равны суммамъ
квадратовъ, то можно утверждать (§ 379), что дѣйствительно получается
тіпітит. Вмѣстѣ съ тѣмъ, исключая и и ѵ изъ уравненій (21) и 22),
получимъ
а к § I а к §
к Ь / = 0, т. е. к Ь /
§ / с — г2 § / с
а к
к Ь
Искомый тіпітит будетъ, слѣдовательно,
«і - ьі а2-Ь2 ... ап — Ьп
“1 «2 • • “ге
Л /?2 • • • 0п
«1 «2 ... ап 2
А Л • • • Л
і) Вычисленія другихъ кратчайшихъ разстояній, какъ то разстоянія
отъ точки до плоскости или отъ точки до прямой на плоскости и въ про-
странствѣ, приводятъ къ задачѣ найти наименьшее значеніе суммы
квадратовъ и перемѣнныхъ, удовлетворяющихъ т < и линейнымъ
уравненіямъ.
Пусть данныя уравненія будутъ
(23
а11 4" я12 х2 4" й13 + •• +«1п хп — ^11
Я21 + я22 Л*2 4" й23 Л'з + ‘ ' + а2п Хп
ат1 Х1 + ат2 Х2 + «шЗ х3 + ’ ’ 4~ ^тп^п = к т
и положимъ, что ни одно изъ нихъ не есть слѣдствіе другихъ. Для этого
требуется (§ 54, а), чтобы не всѣ старшіе опредѣлители матриссы
«11 «12 «13 «Іп
«21 «22 «23 «2и
ат1 ат2 атЗ атп
были равны нулю, и слѣдовательно (§ 30), чтобы квадратъ этой матриссы
41 ^12 4з "• ’ С1т
4і 42 4з •’ ' С2т
Ст1 Ст2 СтЗ ’ . г тт
не былъ нулемъ. Чтобы найти тахіта и тіпіта функціи
г2 = х2 + х2 + • • • + х^ надо написать уравненія
Х1 = 4- /І2«21 + ' ' ’ + ^тат1 ’
Хп — АЯ1п + 2-2«2п + "• + ^татп'
Умножая эти уравненія соотвѣтственно на х±, х2,---,хп и складывая,
получимъ
(25) Г2 = /!^ + Л2^2 + ' • + 2-от ^и, 1
и все дѣло сводится къ опредѣленію коэффиціентовъ ^2,..., Л„,- Умно-
жая уравненія (24) на ая, ай, ..., аіп, получимъ
+ ^2 с/2 + + 2.от сіт.
Слѣдовательно, коэффиціенты опредѣляются системою
А. = 4і 4і + А с12 + • • + лт с1т ,
А = 2-1 4і + 2-2 4г + ''' + 2-„, с2т ,
2-і 4п1 4~ /2 4~ • 4- 2.,„ стт,
имѣющею единственное рѣшеніе. Впрочемъ, нѣтъ надобности рѣшать эту
систему; достаточно выразить условіе ея совмѣстности съ уравненіемъ (25),
чтобы тотчасъ получить
г2 к., кт
кг сп с12 с1т
О ~ ^2 С21 С22 ’ ’ ' С2т ’
кт Ст1 Ст2 ' ' ' стт
откуда и получается искомое наименьшее значеніе
0 • кт
о 1 “ с сп ^12 ’ С1т
^2 ^21 Г22 ’ ' С2т
I кт Ст1 ст2 ' ' ’ стт
§) Въ приложеніяхъ часто случается, что для опредѣленія нѣкото-
рыхъ неизвѣстныхъ величинъ хх, х2, , хп устанавливаютъ линейныя урав-
ненія, въ которыхъ коэффиціенты и извѣстные члены даются непосред-
ственными наблюденіями. Достаточно было бы имѣть п уравненій для
опредѣленія п неизвѣстныхъ, но, вслѣдствіе неизбѣжныхъ неточностей из-
мѣреній, изъ этихъ уравненій получались бы неточныя значенія неиз-
вѣстныхъ. Произведя многія новыя измѣренія приходятъ къ системѣ (23)
изъ т уравненій, гдѣ т значительно больше и и возникаетъ вопросъ:
какимъ образомъ всего выгоднѣе распорядиться этими урав-
неніями, чтобы изъ нихъ съ наибольшею вѣроятностью полу-
чить точныя значенія неизвѣстныхъ? На этотъ вопросъ отвѣ-
чаетъ Теорія вѣроятностей, одна изъ интереснѣйшихъ частей Мате-
матики. Она учитъ, что при невозможности обратить въ нуль всѣ по-
грѣшности, т. е. найти такія величины неизвѣстныхъ, при которыхъ
разности между лѣвыми и правыми частями всѣхъ т > п уравненій были
равны нулю, надо опредѣлить неизвѣстныя такъ, чтобы сумма квадра-
товъ этихъ погрѣшностей была тіпітит. Это требованіе приводитъ
для опредѣленія неизвѣстныхъ къ извѣстнымъ процессамъ вычисленій, ко-
торые составляютъ то, что называется Методою наименьшихъ ква-
дратовъ. Въ главныхъ чертахъ все сводится къ тому, чтобы сдѣлать мини-
мумомъ функцію
т
(«а*! + аі2х2 + • • • + аіпхп - к^-.
1
Слѣдовательно, взявъ послѣдовательно производныя по хг, х2,..., хп, дол-
жны имѣть
Гц хѵ + с21 х2 + • • • + СИ1 х„ — кх аи + к2 а21 + • • • -ф кп апі ,
с12 Х1 4“ ^22 х2 4“ ' 4“ сп2 хп = Я12 4- к2 а,„ 4- 4- кп ап2 ,
С1„ Х1 + С2п Х2 4" ’ ' ' 4- сппхп ~ а1п 4" ^2 а2п 4" ” ’ 4“ кп апп
Это та система, которая дастъ для всѣхъ х наиболѣе пріемлемыя значенія.
Чтобы лучше уяснить себѣ дѣло, полезно разсмотѣть случай одной неиз-
вѣстной, для опредѣленія которой измѣренія дали п значеній а1( а2, ..., аП)
весьма мало отличающихся между собою. Здѣсь надо найти тіпітит
функціи
(х — Я;)і) 2 — (.ѵ а3)2 + • • + (х — яи)2;
съ этой цѣлью нужно положить
х — - х — а2 + + х — = 0, т. е. х = (а, а2 4- • • +- «„)•
Это и есть то, что обыкновенно дѣлаютъ і).
і) См. напримѣръ, Риеіеіеі: „Тііёогіе сіез ргоЬаЪііііёз", р. 47, или
А. Марковъ: „Исчисленіе вѣроятностей”, СПБ. 1908. стр. 215—264.
Примѣчанія къ третьей книгѣ.
I (къ § 253).
Для поясненія приведемъ слѣдующій примѣръ. Положимъ
у = х2, каждому значенію х соотвѣтствуетъ опредѣленное положи-
тельное значеніе у. Условимся подъ У у понимать положительное
значеніе квадратнаго корня; тогда х = будетъ функція отъ
независимой перемѣнной у, въ интервалѣ (0, оо). Въ нашемъ при-
мѣрѣ _/(/) = /2 и §•(/) = ]/і будутъ взаимно обратныя функціи отъ
независимой перемѣнной / въ томъ же интервалѣ, при чемъ
/[§ (/)] = (V Ч- -і, ё [/(/)] = Ѵ'і2 - і-
II (къ § 254, а).
Общнѣе, алгебраическою функціею у отъ независимой пе-
ремѣнной х называютъ такую, которая удовлетворяетъ уравненію
вида:
(1)
+ Хі уп ' ѣ V2 + ... + Хп_, у + хп = о,
гдѣ А'о, Хг, Х2, ... Хп цѣлые полиномы относительно х, а п цѣлое
положительное число. При п = 1, уравненіе (1) дастъ у =----
раціональную функцію отъ х, приводящуюся къ цѣлой раціональ-
ной при Хо, равномъ постоянному числу.
Не мѣшаетъ замѣтить, что коэффиціенты полиномовъ Хо,
Хг, Х2, ... могутъ быть какими угодно числами, раціональными
или ирраціональными.
III (къ § 254, с).
Послѣднее замѣчаніе надо понимать такъ: давая числу і зна-
ченія /0, , /2, ..., мы можемъ безчисленнымъ множествомъ спосо^
бовъ комбинировать знаки 4- и — у чиселъ + ]//0, + ]/?,,
+ ]//2,..., взявъ, напримѣръ, всѣ корни съ или всѣ съ —,
или знакъ + для всѣхъ раціональныхъ значеній ~\ГТ и знакъ —
для всѣхъ ирраціональныхъ значеній ]//" и т. д.
IV (къ § 254, с).
Такъ поступаютъ, напримѣръ, при изученіи алгебраическихъ
функцій въ томъ общемъ смыслѣ слова, о которомъ сказано въ при-
мѣчаніи (И). Функція у, опредѣляемая уравненіемъ (1), и ничѣмъ
другимъ, имѣетъ для каждаго значенія х, вообще говоря, п различ-
ныхъ значеній, подчиненныхъ тоѵу закону, что всѣ эти значенія
будутъ корнями даннаго уравненія (1) при данномъ значеніи х. По-
добнаго рода функціи называются многозначными; во всей
третьей книгѣ о такихъ функціяхъ нѣтъ рѣчи; подъ словомъ функ-
ція здѣсь всегда подразумѣвается функція однозначная.
V (къ § 254, б).
Функціи агс зіп і и агс соз I опредѣлены только въ интервалѣ
(— 1, 4-1), потому что синусъ или косинусъ дуги не можетъ быть
больше единицы по абсолютной величинѣ. Функція агсі§/, напро-
тивъ, опредѣлена въ интервалѣ (— ж>, 4- оо). При всякомъ і зна-
ченія агсі§/ и агсзіп/ лежатъ въ интервалѣ -----4--^, и знакъ
агс і§ / и агс зіп / одинаковъ со знакомъ /. Вмѣстѣ съ агс і§ / можно
разсматривать и функцію агссоі^Л опредѣляя ее, какъ дугу, котан-
генсъ которой равенъ /, лежащую въ интервалѣ
Ясно, что
агс соі§ і = агс і§ •
Весьма важное замѣчаніе, сдѣланное въ § 254, б относительно
формулы
(1)
агс і§ и + агс і§ ѵ = агс (§•
и 4- ѵ
\ - гіѵ’
можно разъяснить слѣдующимъ образомъ. Этой формулѣ соотвѣт-
ствуетъ тригонометрическая формула
. , , , іг х + іч у
іе; (х + у) = , '—г— -
8 1 - х
принимающая, при
(2) і§ х = и, і§_у = ѵ
форму
(3)
. , . . и + ѵ
Обращая функціи (2), можемъ взять х = агси, у = агсѵ\ тогда
х и у будутъ лежать въ интервалѣ -------у, -|- у^ , а х 4- у можетъ
и не заключаться въ немъ, но навѣрно заключается въ интервалѣ
(— п, Ц- я). Формула (3), показывающая, что х у есть одна изъ
и + ѵ
дугъ, тангенсъ которыхъ равенъ -----—, даетъ, слѣдовательно,
(4)
х У у = агсі§ и + агсі§ ѵ = агсі§ 4"
гдѣ первый членъ правой части лежитъ между —~ и + у> а к
цѣлое число или нуль. Такъ какъ | х 4- у \=лу то к можетъ имѣть
только одно изъ трехъ значнній 0, 4- 1, —-1, а именно: 1) если
х -ру лежитъ между--------и 4" у, т0 надо положить к — 0; 2) если
х -\-у > у , то к = 1, 3) если х у < — у, то к — — 1. Эти
условія легко теперь выразить въ числахъ и и ѵ- Если 1) х 4-у
лежитъ между — у и 4- у , то соз (х 4~у) О, т. е-
соз X соз у — ЗІП X зіп у > 0,
а замѣчая, что соз х > 0, созу > 0, отсюда находимъ
1 — х у = 1 — иѵ > 0, иѵ < 1.
2) При -у < х 4-У < ™> соз (х +у)< 0, 1—иѵ < 0, иѵ~у> 1,
ц<>0 и ѵ > 0. 3) При —л < х 4- у < — у, соз (х 4- у) < 0,
иѵ > 1, и < 0, ѵ < 0. Резюмируя, находимъ: при иѵ<^1, к = 0,
при ._иѵ >1, к = 1, когда и > 0 и ѵ > 0, и к — — 1, при и < 0
и ѵ < 0. Замѣтимъ еще формулу
(5)
агсщ х + агс - = ± $ ,
гдѣ знакъ 4- надо взять при х^>0, знакъ — при х < 0. Эта
формула намъ скоро понадобится (§ 254, е); она выражаетъ из-
вѣстное свойство дугъ, для которыхъ тангенсъ одной равенъ котан-
генсу другой, а именно: сумма такихъ дугъ равна 4-у, когда дуги
лежатъ между 0 и у, и равна--------когда онѣ лежатъ между
VI (къ § 254, е).
Въ формулѣ
ПХ X
8§п х = Ііт -------- = Ііт -
п=а> Л’- п—гх, у 1 і_ 2
п2 Т
всегда подразумѣвается положительное значеніе квадратнаго корня.
Поэтому
= х, при х > О
= — х, при х < 0.
Отсюда
— =1, при х > 0
X
8§ПЛ'
— 1, при х < 0,
и, конечно, при х = 0, --—-х---------= 0 при всякомъ п, такъ что
/1 + я2 Л'2
8^П X = 0 при X = 0.
VII (къ § 254, I).
При вычисленіи значенія со(х) при данномъ х надо предста-
вить х въ видѣ десятичнаго числа съ безконечнымъ числомъ десятич-
ныхъ знаковъ, приписывая, если нужно, безконечное число нулей съ
правой стороны. Такъ, напримѣръ, при х = 1, &(х) = 1, потому
что для х = 1,00000... т = п при всякомъ п. То же самое значе-
ніе получимъ для всякаго цѣлаго значенія х и для значенія, равнаго
конечной десятичной дроби. Напримѣръ, при х = 0,13500000...
т = п — 3 при всякомъ п 3, = 1 — — и &(х~) = Ііт — = 1.
я п ѵ п
Для х = 4- = 0,333 ..., т = 0 и й(х) = 0; для х = і = 0,0101 ...,
о УУ
к а —I— х
т = у или —2 ~, и Ф (х) = у и т. д.
VIII (къ § 254, $).
Формулы, выведенныя въ этомъ пунктѣ, вытекаютъ изъ слѣ-
дующей весьма важной формулы
Г 5ІП $
(1) агс іе —-----& = г зіп — 4 г2 зіп 2-& 4- 4 г3 зіп З# — •••,
& 1 + г соз # 3
справедливой при всякомъ $ и при | г \ 1. Строгій выводъ
этой формулы читатель найдетъ въ упомянутомъ уже мемуарѣ
Абеля о биноміальномъ рядѣ (V. А. форм. 33), а также у Вебера
и Вельштейна, стр. 496. При х = 1, въ лѣвой части находимъ
ЗІП & ( І}\
агс ій т—і---г = агс (ч іе тг •
6 1 + соз & & \ 6 2/
Понимая подъ агсі§/ всегда дугу, лежащую между —и -|--у,
получимъ агс і§ Іі§-у) = у при —(за исключеніемъ
границъ гі) = + п). Отсюда вытекаетъ, слѣдовательно, формула
„ зіп2і? зіпЗі? а
(2) = 5ІП ®----------2----1---3-------- ’ ( " ^ < ^ < я:)-
Положивъ въ этой формулѣ 'д' = л —9, гдѣ 0 < 0 < 2л (въ силу
неравенства —л;<^<Сл), и замѣнивъ затѣмъ, для однообразія,
букву 0 буквою находимъ формулу
(3)
л — ,7 . . зіп 2 & ,
__ = 51п^+__ +
зіп 3,7
3
+ ...
(0 < & < 2.ч).
Положимъ здѣсь і)=2лх, 0<х<1, и обозначимъ черезъ Р(х)
сумму ряда
Г(х) = зіп 2лх + | зіп 4жѵ + | зіп влх + • •,
тогда формула (3) дастъ
2
(4) — Г (х) = 1 — 2х, (0 < х < 1).
л
Введемъ теперь въ разсмотрѣніе функцію
д (х) = х — |х],
гдѣ [х] обозначаетъ наибольшее цѣлое число, не превосходящее х.
Ясно, что р(х) = 0 при всякомъ цѣломъ значеніи х, и о(х) = х
при 0 < х < 1. Поэтому формулу (4) можно написать такъ:
2
(5) —Г (х) — 1 — 2о (х), (0 < х < 1).
л
Съ другой стороны, Р(х) и р(х), очевидно, періодическія функціи
съ періодомъ 1, т. е. 7г(х+ 1) = Р(х) и, вообще, Р(х^т) = Р(х),
если т цѣлое положительное число, и р(х + т) = р(х), потому
что при увеличеніи или уменьшеніи х на 1 [х] увеличивается или
уменьшается на 1, а о(х) не измѣняется. Отсюда слѣдуетъ, что ра-
венство (5) справедливо при всѣхъ значеніяхъ х, не равныхъ цѣ-
лому числу. Замѣчая еще, что о(х) всегда лежитъ между 0 и 1,
обращаясь въ нуль при х цѣломъ, мы видимъ, что з^пх = 0 при
х цѣломъ, когда и Р(х) и о(х) равны нулю, и зд;п[р(х)] = 1 при
х, неравномъ цѣлому числу. Поэтому формулу (5) можно написать
въ видѣ
9
(6) — ? (х) = 5§П (х - |х]) — 2 (х — [х])
.4
для всѣхъ значеній х безъ исключенія, какъ и сказано въ § 254, §.
Наконецъ, приведенное тамъ же выраженіе
2
— Г (х) = р (- х) - о (х)
вытекаетъ изъ равенства
(7) р (,ѵ) + е (- а) = 1
при х, неравномъ цѣлому числу, откуда и получаемъ
1 — 2 о (х) — о (— х) — о (х).
Что касается равенства (7), то оно вытекаетъ изъ того, что равенство
.г- — [х] = о (.г), гдѣ 0 < о (х) < 1
можно написать такъ:
— ,ѵ + [х] + I = 1 — (? (х),
или
- .V — { — [х] — 1 } = 1 — о (х),
гдѣ
0 < 1 — р (х) < 1,
откуда
[- х] = — [лг] — 1 и О (— х) = 1 — р (х).
IX (къ § 254, Н).
Сочиненіе В. Томсона (лорда Кельвина), на которое ссылается
авторъ, имѣется и въ переводѣ на русскій языкъ, подъ заглавіемъ:
„Строеніе матеріи", популярныя лекціи В.Томсона, переводъ Б. Вейн-
берга, подъ редакціей профессора И. Боргмана (СПБ. 1895). Чи-
татель съ интересомъ прочтетъ на стр. 179 и слѣд. ту лекцію, изъ
которой авторъ заимствовалъ свою цитату. Но для того, чтобы со-
ставить ясное, понятіе о томъ явленіи, о которомъ здѣсь говорится,
и о той роли, которую при изученіи этого явленія играетъ Мате-
матика, чтенія этой лекціи недостаточно. Для выясненія физической
стороны явленія надо быть знакомымъ съ ученіемъ о звукѣ (Аку-
стикой), а для уясненія роли Математики надо познакомиться съ
изображеніемъ функцій, заданныхъ графически, при помощи триго-
нометрическихъ рядовъ. Для изученія этого вопроса мы можемъ ре-
комендовать читателю, знакомому съ началами интегральнаго исчи-
26
еленія, «Лекціи о приближенныхъ вычисленіяхъ" профессора А. Н.
Крылова. СПБ., 1911. Гл. V.
X (къ § 266).
Въ § 169 было сказано, что если нѣкоторое свойство имѣетъ
мѣсто въ сколь угодно маломъ интервалѣ, нижняя граница котораго
есть а, то говорятъ, что это свойство имѣетъ мѣсто справа отъ а, при
чемъ само а всегда исключается. Здѣсь, наоборотъ, выраженіе:
функція непрерывна справа отъ а, т. е. /(а -ф 0) = /(а), выражаетъ
свойство функціи именно при х = а, и вовсе не влечетъ за собой
существованія какого нибудь интервала съ нижнею границею а, въ
которомъ то же самое свойство имѣетъ мѣсто. Въ этомъ и состоитъ
противорѣчіе съ опредѣленіемъ § 169, и этимъ и объясняется не-
обходимость явнаго указанія того интервала, если онъ существуетъ,
гдѣ функція непрерывна.
XI (къ § 272, а).
Говорятъ, что а сравнимо съ Ъ по модулю р, и пишутъ
я = Ф'пюО), когда а — Ь дѣлится нацѣло на />; иными словами,
2
а = Ь (шоё/>), если а = кр -ф Ъ, гдѣ к цѣлое чисіо. Если — срав-
2
нимо съ числами 0, 1, 2, 3 по модулю 4, то — —^к, 4&-ф 1, 4к-ф 2,
4ф-фЗ, т. е. -і- = 2кл, 2&л;-фу, 2кп-\-л;, 2кп-\-^л и
зш(ф-0, 1, 0, -1.
XII (къ § 272, Ь).
Положивъ — = Ііл -ф а, гдѣ к цѣлое число : 0, а такое
число, для котораго і§а=а, гдѣ а произвольно заданное число,
имѣемъ
х 1 . 1
іе - = ге а = а, и х = ,— •
6 х кл, + а
гдѣ к всегда можно выбрать такъ, чтобы — попало въ интер-
валъ (—/г, -ф /г) и оставалось въ немъ при увеличеніи абсолютнаго
значенія цѣлаго числа к.
XIII (къ § 272, а).
1) Полагая р\х) = , возьмемъ х = у, гдѣ УѴ цѣлое число,
тогда
/ (1) - |«| - Л-, Щ(1 + *) т=11т . .V - 1.
потому что при к >» 0,
] +2ѴЛ
2) Полагая /(х) = х при х 0, и /(0) = 1, имѣемъ
У(Л) = к = к = 1 — /гр, гдѣ 0 < р < 1. Отсюда
Ііт/(А) = 1 = /(0), т. е. /\х) непрерывна при х = 0. Полагая
Л = + о
1 /Iх
л* = у , гдѣ ;Ѵ цѣлое число, находимъ /Н а при /г > О
г / 1 । 7 \ 1 +Л7г Г Л 1 1 . дт . ,.і 1 . \
7 = - ѵ_ = 1), такъ что Ит / (у+Д) =
= 1—, т. е. не равенъ / ( ѵ I и функція разрывна для безчи-
сленнаго множества значеній, какъ угодно близкихъ къ 0.
XIV (къ § 272, I).
Въ § 254, у дано значеніе
. , . л-1 । зіп 2.Ѵ , зіп З.ѵ , , .
<1) у (х) = 81П X + ----Ь —------н • • = Д (л - Л’)
/. о
при 0<л<2лі. Чтобы получить значеніе /’(.ѵ) при всякомъ х,
положимъ въ лѣвой части равенства х = 2и7лг4“ё, гдѣ т цѣлое
положительное или отрицательное число, а д между 0 и 2л. Тогда
/И + с) =/(с) = 4 (л -- е),
по формулѣ (1), потому что 0<§<^2лі. Замѣняя его выраже-
ніемъ д = х — 2тп, получимъ
/(•») = 4 (л - х) + тл = 4 (л - х) + • л.
XV (къ § 276).
Теорема § 276 одна изъ важнѣйшихъ въ теоріи непрерывныхъ
функцій. Мы считаемъ необходимымъ указать на нѣкоторыя важ-
нѣйшія, вытекающія изъ нея заключенія, безъ которыхъ многіе
пункты въ дальнѣйшемъ изложеніи этой теоріи не будутъ вполнѣ
ясны.
1. Прежде всего замѣтимъ, что она отождествляетъ два по-
нятія, которыя мы соединяемъ подъ названіемъ свойства непрерыв-
26*
ности. Когда мы говоримъ, что независимая перемѣнная х обла-
даетъ свойствомъ непрерывности въ интервалѣ (а, 1>) или, короче,
что она непрерывна въ этомъ интервалѣ, то подъ этимъ понимается,
что х принимаетъ всѣ значенія, какъ раціональныя, такъ и ирра-
ціональныя, лежащія въ этомъ интервалѣ. Когда мы говоримъ, что
нѣкоторая функція отъ х непрерывна въ нѣкоторомъ интервалѣ, то это
значитъ (§ 266), что для всякаго значенія х, лежащаго въ интервалѣ
(1) Ііт/(х') = /(Ііт х).
Теорема § 276 показываетъ, что функція, непрерывная въ смыслѣ
опредѣленія (1), будетъ непрерывна и въ смыслѣ вышеупомянутаго
выше опредѣленія непрерывности. Теорема § 276 даетъ возмож-
ность весьма легко установить условіе обратимости функціи, непре-
рывной въ данномъ интервалѣ, и доказать непрерывность обратной
функціи. Замѣтимъ сперва нѣкоторыя опредѣленія. Функція /(х) на-
зывается возрастающею въ интервалѣ (а, Ь) (см. также § 296),
если каковы бы ни были числа и х2 въ интервалѣ (л, Ь) раз-
ности хх—х.г иДх()—Дх2) будутъ имѣть одинаковые знаки, и убы-
вающею, если эти числа имѣютъ разные знаки. Иными словами, для
возрастающей функціи одновременно имѣютъ мѣсто неравенства
Л'і < Л-2, /(Хі)</(х2),
т. е. большему значенію х соотвѣтствуетъ и большее значеніе Дх);
для убывающей функціи, наоборотъ, при х1<х2, Дх1)>/(х2),
т. е. большему значенію х соотвѣтствуетъ меньшее значеніе функціи.
Какъ возрастающая, такъ и убывающая въ данномъ интервалѣ
функція называются монотонными въ этомъ интервалѣ.
Теорема. Если у = Дх) непрерывная и монотонная
функція отъ х въ интервалѣ («, Ь), то существуетъ и
обратная функція х = монотонная и непрерывная
въ интервалѣ [Да), Д^)] или [Д6), Да)]. Для опредѣленности
положимъ, что Дх) возрастающая функція; тогда при а < Ь,
Да)<Д6). Возьмемъ какое нибудь значеніе у0 между /(а) и
ДД. По теоремѣ § 276 въ интервалѣ (а, Ь) найдется, по край-
ней мѣрѣ, одно значеніе х=х0, для котораго Дх0) = у0. Вслѣд-
ствіе возрастанія функціи Дх) въ интервалѣ (а, Ь) мы можемъ
утверждать, что другого значенія х, въ интервалѣ (а, Ь), для ко-
тораго Дхі) =_у0, быть не можетъ. Дѣйствительно, при х1<хп,
Дх,) < Дх0), а при х, > х0, Дх,) > Дх0). Слѣдовательно, каж-
дому значенію у = у0 въ интервалѣ [Да), Дй)] соотвѣтствуетъ
одно и только одно значеніе х = х0 въ интервалѣ (а, й), для ко-
тораго Дх0) =/'о- Поэтому х есть функція отъ у, опредѣленная
во всемъ интервалѣ [Да), Д6)]. Кромѣ того, эта функція, обрат-
ная данной Дх), будетъ какъ и данная, возрастающею, потому
что при
/(Х1) </(х2)
необходимо будетъ и х,Дх2. Легко, далѣе, показать, что эта
функція х = Ду) будетъ непрерывною въ интервалѣ [Дд),Д6)].
Дѣйствительно, взявъ опять произвольное значеніе у = у0 въ этомъ
интервалѣ и называя черезъ ха соотвѣтствующее ему значеніе х,
будемъ измѣнять х отъ х0— е до х0-|-б, гдѣ 6 произвольно за-
данное сколь угодно малое положительное число. Функція у будетъ
тогда измѣняться отъ
У1 =/(х0 - 8) до у2 =/(х0
при чемъ у} <іу0 <_у2і такъ какъ х0 — е < Ха < х„ 4- е. Положимъ
у0 — у{ = уг—у0 = д2 и обозначимъ черезъ д наименьшее изъ
этихъ двухъ положительныхъ чиселъ. Каждому значенію у въ ин-
тервалѣ (Уц у-і) или (_у0 — , Уо + соотвѣтствуетъ значеніе х,
лежащее въ интервалѣ (х0 — е, х0 + е); но интервалъ (^0 — д,
у0 + <5), очевидно, весь заключается въ интервалѣ (у0— д,, у0 Д),
и мы приходимъ къ слѣдующему заключенію: всякому произвольно
заданному положительному числу е соотвѣтствуетъ другое число
б Д 0, такое, что для всѣхъ значеній у, лежащихъ въ интервалѣ
(у0 — д, у0 + <5), соотвѣтствующія значенія х лежатъ въ интервалѣ
(х„ - 6, х0 -|- г), откуда слѣдуетъ, что
= а0 =Ил>),
т. е. §(у) непрерывна при всякомъ значеніи у = у0 въ интервалѣ
[/ («), /(6)]. Легко также показать, что условіе монотонности функ-
ціи Дх) не только достаточно, но и необходимо для ея обрати-
мости (см. Таппегу, Іпігобисііоп а іа іііёогіе сіез іопсііопз, 2-е ёсі.
р. 247). Дѣйствительно, положимъ, что взяты какія угодно три
числа х,, х2, х3 въ интервалѣ (а, Ь), удовлетворяющія условію
х,Дх2 Дх3. Если функція Дх) обратима, то числа Дх,), Дх2),
Дх3) необходимо различны между собою; иначе одному и тому же
значенію^/ соотвѣтствовали бы два различныя значенія х, вопреки пред-
положенію. Покажемъ, что Дх2) всегда будетъ заключаться между
Дх,) и Дх3). Допустить противоположное значитъ допустить, что
либо Дх3) лежитъ между Дх,) и Дх2), либо Дх,) между Дх2) и
Дх3). Въ первомъ случаѣ разности Дх3)—Дх,) и Дх3)—Дх2)
будутъ разныхъ знаковъ и, по теоремѣ § 275, уравненіе
Дх)—Дх3) = 0 будетъ имѣть корень х' между хг и х2, такъ
что Дх3) = Дх7), при чемъ х' не равно х3, что невозможно. Та-
кимъ же образомъ доказывается невозможность второго случая.
Слѣдовательно, при х,<^х2<Д3, имѣемъ либо Дх,) <СДх.,)<(Дхд),
либо Дх,) > Дх2) > Дх3), т. е. Дх) либо возрастающая, либо
убывающая въ интервалѣ (<7, />).
XVI (къ § 281).
Важно замѣтить, что, опредѣляя (х), какъ
Ііт /(* + б.ѵЬ/(*);
дг=+0 ОХ
предполагается, что Ьх стремится къ 0 непрерывно, т. е. прини-
маетъ всевозможныя значенія, принадлежащія нѣкоторому интер-
валу, заключающему въ себѣ нуль, за исключеніемъ значенія
д.ѵ = 0, при которомъ разсматриваемое отношеніе теряетъ смыслъ.
XVII (къ § 282, 1).
При .ѵ цѣломъ, /фѵ) = х— [,ѵ] = 0; при/г^>0, /(х— Іі) =
= -ѵ — Іг — । .г — 1) = 1 — 4,
/(л-- Л) —/(л-)
Ііт —----------- ’
л=о —«
1 - Л
= 11Ш -----=-
Л=0 — «
XVIII (къ § 282, Ь).
Полагая ц(х) = х— имѣемъ др(О) = до(1), а потому
(§ 272, е) функція у>(х—[х]) = х — [л] — ]/~х—[х] непрерывна, а
слѣдовательно, и функція /'(д-) = [д] -ф рх — |.ѵ| непрерывна. При
х цѣломъ и /і> 0 (достаточно маломъ),
/(х) = х, /(х + /г) = х + фФг, Ііт ^ ^Л = _1 =
л=о Ѵк
Лх - А) = 1 + ѵѵ^к,
іф/і-л
Л=0 - к
XIX (къ § 292, б).
Въ этомъ примѣрѣ и во многихъ другихъ функція у задана
неявно, т. е. задано не выраженіе у черезъ х, а уравненіе, которому
удовлетворяетъ у при всякомъ х. Во всѣхъ подобныхъ случаяхъ
нѣтъ надобности сперва рѣшать уравненіе относительно у, и затѣмъ
искать производную у', да это во многихъ случаяхъ было бы даже
не выполнимо. Можно взять производныя отъ каждой части даннаго
уравненія, не забывая, что у есть функція х, т. е. примѣняя пра-
вило § 284, и написать, что эти производныя между собою равны:
получится уравненіе первой степени относительно у', откуда эта
величина и опредѣлится. Приравнивать же производныя обѣихъ
частей уравненія А = В можно, потому что А — В = 0 при вся-
комъ х, слѣдовательно, производная отъ А—В равна нулю, иначе
А' = В'.
XX (къ § 294, с).
Укажемъ здѣсь построеніе линіи, изображающей функцію
у = .г , не ограничиваясь одними положительными значеніями х,
какъ это сдѣлано въ книгѣ, а разсматривая какъ значенія г>0,
такъ и х < 0.
1) х>0. При х> 1, | = 0, у = 0, т. е. всѣмъ значеніямъ
х > 1 соотвѣтствуетъ ось д -въ отъ точки С (х = 1) до ао, при
чемъ точка С исключается, такъ какъ при х = 1, = 1, у = 1,
т. е. получается точка В (х = 1, у = 1). Построивъ квадратъ
ОАВС, стороны котораго равны 1, проведемъ діагональ АС,
уравненіе которой есть х 4- у = 1 или у = 1 — х. Положимъ те-
перь —г<хё—, гдѣ п можетъ имѣть значенія 1, 2, 3, 4, ...
Тогда п -= « “Ь 1, = іі, У = пх; это уравненіе выражаетъ
прямую, проходящую черезъ точку 0. На этой прямой искомой
линіи принадлежитъ лишь отрѣзокъ между точкою х = ~, у = 1
на сторонѣ АВ и предѣльною точкою х =—4-г, ѵ = —на
п 1 іі + 1
линіи у х = 1, т. е. на діагонали АС. При п = 1, получаемъ
прямую ОВ, у = х, и на ней отрѣзокъ ВО искомой линіи (2?—
предѣльная точка, не принадлежащая линіи). Проведя прямую
ЕЕ)О I Ох, находимъ ОЕ = ОЕ = 1, ОЕ = 2 . ОЕ и, соеди-
нивъ 0) съ О, получаемъ прямую ОО, у = 2х, и на ней отрѣ-
зокъ искомой линіи. Построивъ I Ох и соединивъ съ
О, получимъ прямую О(0Х, у = Зх, и на ней отрѣзокъ О\^\
искомой линіи и т. д. до безконечности, приближаясь безпредѣльно
къ точкѣ А.
2) х < 0. Замѣтимъ сперва, что, по опредѣленію [,г], всегда
имѣемъ [г] = г — р, гдѣ 0 == о < 1, будетъ ли г 0 или <( 0. Такъ что,
если г лежитъ между —п и —п—-1, гдѣ п цѣлое положительное
число, то [з] = — п— 1. Замѣтивъ это, положимъ теперь, что х^ — 1,
тогда 25 — 1, |^| = — 1, у = —л’. Это уравненіе прямой
ОМіМг, дѣлящей уголъ уОх пополамъ. Всѣ точки этой прямой,
начиная отъ точки Мх, абсцисса которой равна — 1, принадлежатъ
искомой линіи, при чемъ сама точка Мх не исключается.
Пусть теперь —1<х<10, и обозначая опять черезъ п цѣ-
1 1
лое положительное число, положимъ------<гх^=—т—г; тогда
’ п 11 1
— п> — п — 1, = — п — 1, у = — (« + 1)х, что выра-
жаетъ прямую, проходящую черезъ О въ углѣ уОх' •. на ней искомой
, ' 1
линіи принадлежитъ отрѣзокъ между предѣльною точкою х =--,
Я 4“ 1 -іі X- л
у = —'п— на линіи ух = 1, т. е. на продолженіи линіи СА, и
точкою х = > у = 1, на продолженіи линіи ВА. При п = 1,
получимъ линію у = — 2х и на ней отрѣзокъ О В' искомой ли-
ніи. Дальнѣйшее построеніе аналогично указанному для х 0, и
даетъ отрѣзки 0"В"..., безпредѣльно убывающіе и приближаю-
щіеся къ А сверху и слѣва.
XXI (къ § 294, б).
Повтореніе операціи /, гдѣ Дх) = хзіп—, равносильно по-
слѣдовательному прибавленію множителей зіп---------
X зіп —
X
1
81И ---------і----
X ЗІП--------р
X зіп —
.т
и т. д. Обозначая черезъ /п(х) результатъ п кратнато повторенія
операціи / и присоединяя условіе Д(0) = 0, мы видимъ, что Д(х)
нельзя графически изобразить въ окрестности точки х = 0, /г(х) въ
окрестности точекъ х = 0 и всѣхъ другихъ корней уравненія Д(х)=0
или зіп — = 0, т. е. точекъ х = 4- —, гдѣ п цѣлое положитель-
х и.т
ное число, функцію /3(х) въ окрестности всѣхъ предыдущихъ то-
чекъ и всѣхъ другихъ корней уравненія /2(л‘) = 0, т. е. корней
уравненія зіп —-—г = 0, или х зіп — = + —, и т. д. Послѣднее
.1 Л- — МП
X 51П —
X
уравненіе подстановкой х = , приводится къ виду
(14 зіп г - — ,
х ’ 'І1~Г
и корни его равны обратнымъ величинамъ корней уравненія (I).
Предлагаемъ читателю опредѣлить границы, между которыми ле-
жатъ корни уравненія (I), при данномъ п, пользуясь теоремою
§ 275, а также и графическимъ построеніемъ синусоиды у = зіп г
и прямой у = , точки пересѣченія которыхъ и опредѣляютъ
корни уравненія (I).
ХХП (къ § 294, і)
Чтобы построить линію, изображающую функцію
у = 2 М (1 “ I ~^х > °)
положимъ х = н-\-^, гдѣ п = [.ѵ], Тогда
у = 2 ” [1 — і}/'§]—парабола, положеніе которой зависитъ отъ п.
При измѣненіи отъ 0 до 1, получимъ параболическій отрѣзокъ
между
точками
(* = У = -7) и (Л: = « +У = зіі),
при
чемъ вторая —предѣльная и искомой линіи не принадлежитъ. При
п = 0 получается первый отрѣзокъ между точками (0, 1) и (1, -*-)
(см, чертежъ 7-й § 294). Съ увеличеніемъ п отрѣзки опускаются
все ниже и ниже. Чтобы доказать свойство касательной, указанное
въ § 294, і, замѣчаемъ, что при достаточно маломъ /г 0 (такъ
что Л <4)
/(.ѵ + Л) = 2 "(і
/(х + Л) — / I "Кс — 4- Д _ 1
Л " 2я+1-Л ~~ 2г‘+1(У'1+ УТТУі)
и
/'(Х)=------------------------------
2"+2^
Отсюда видимъ, что угловой коэффиціентъ касательной меньше 0,
, 1
и « = ухухі
если а острый уголъ между касательной и Ох.
Съ приближеніемъ къ 0, т. е. х къ п справа, і^а стремится къ
ж, а къ у.
стремится
Съ приближеніемъ § къ 1, т. е. х къ п + 1 слѣва,
къ
1
2«-(- 2
, числу убывающему безпредѣльно
при воз-
растаніи п.
XXIII (къ § 296).
Дѣйствительно, положимъ /(0) = I и возьмемъ к 0 и ,
тогда при 0 <^х к<^~ , т. е. /(.%•) >/(0). Съ другой
стороны, взявъ въ интервалѣ (0, к) два числа х' и х" (х'>л'",
т. е. х'—х" ~^> 0), будемъ имѣть
XXIV (къ § 296).
Дѣйствительно, полагая
/(*-) = .ѵ — [х], и 0 < к < 1,
имѣемъ
/(.ѵ + Л) = Л- + Іі - [,ѵ] > /(.ѵ).
Съ другой стороны, при а<Сх'<^х"<^Ь, имѣемъ х — х"<^0,
/\х')—/\х") = х'—х"+[х"] — [V], и при [У ] — —х',
получимъ Дх') >/(л").
XXV (къ § 301).
Въ математической литературѣ употребляется иногда и другая
терминологія. Относительные тахіта и тіпіта, по принятой у Че-
заро (и у другихъ итальянскихъ математиковъ) терминологіи, назы-
ваютъ просто наибольшимъ и наименьшимъ изъ значеній функціи
въ данномъ интервалѣ. Въ вопросахъ о наибольшихъ и наимень-
шихъ значеніяхъ функцій отъ искомыхъ перемѣнныхъ различаютъ
два случая: 1) когда эти перемѣнныя независимы, 2) когда онѣ свя-
заны нѣкоторыми условными уравненіями. Въ первомъ случаѣ та-
хіта и тіпіта функціи (по отношенію къ смежнымъ) называютъ
абсолютными, во второмъ—относительными (геІаШз). Послѣдняя тер-
минологія принята какъ въ русской, такъ и въ иностранной литера-
турѣ (см., напримѣръ, Мапзіоп, Вёзитё би соигз б’апаіузе іпііпііё-
зітаіе, стр. 188; Зіоіх, Ошшіги^е сіег ПШ. и. Іпіе^гаі - ВесНпип^
1893. В. I. стр. 240. С. Веіаііѵе Ехігета).
XXVI (къ § 304, а).
г/ . 1 . 1 1 1 п 1
/ (х) = х зіп —, / (х) = зіп------соз — = 0; полагая х = —,
' X' ѵ XX X г
находимъ = О рѣшеніи этого уравненія см. Бертранъ „Ал-
гебра" перев. Пирожкова, 2-я часть, стр. 262.
XXVII (къ § 308, б).
Для поясненія сказаннаго въ этомъ пунктѣ можемъ замѣтить
слѣдующее:
1) Для вычисленія /'(О) нельзя пользоваться выраженіемъ
/(х) = х~ зіп — при д-^0, потому что при х = 0 это выраженіе
теряетъ смыслъ, и надо пользоваться опредѣленіемъ
г /ѴО — ДО)
Г (0; = Ііт
л=о л
и условіемъ /(0) = 0. Тогда и получимъ
(0) = Ііт [Л зіп -11 = 0.
л=о [ «]
2) Примѣняя формулу Лагранжа
Дх) - ДО) = хД(с),
гдѣ лежитъ между 0 и х, къ данной функціи, получаемъ
2 Діп
1
соз — ,
5
откуда и вытекаетъ, что съ приближеніемъ х и § къ нулю соз у
также стремится къ нулю, а такъ какъ при непрерывномъ при-
, . . 1
ближеніи § къ нулю соз — не можетъ стремиться къ опредѣленному
предѣлу, а постоянно колеблется между — 1 и -|- 1, то необхо-
димо заключить, что % разрывная функція отъ х, стремящаяся
къ нулю вмѣстѣ съ х.
3) Положимъ, что стремится къ нулю, принимая послѣдо-
вательно значенія
(1) --,-?-, _-_ ...
7 (2 п 4- 1) л (2 п -т- 3) л (2 п Ц- 5) п ’
гдѣ п цѣлое число, лежащее при достаточно большомъ \іі' въ
сколь угодно маломъ интервалѣ (—/г, -(-7г). Для всѣхъ этихъ зна-
ченій получимъ
СОЗ 4г = 0.
5
Поэтому Іітсоз—= 0, если принимаетъ значенія (1) и безко-
9=0 5
нечно близкія къ нимъ. Съ другой стороны, если обозначимъ че-
резъ а любое число, для котораго соз а не равно нулю, т. е. не
, 2ЛГ +1 , , ,
имѣющее вида —п ПРИ « иѣломъ, и положимъ, что § прини-
маетъ послѣдовательно значенія
(2) 1—, ------.-----,------1-----....
47 я.т + а (и = 1).т + « (« + 2).т + а
(гдѣ п цѣлое число), лежащія въ томъ же интервалѣ (— /г, -|- /г), то
для такихъ значеній § получимъ
соз 4 = соз (мг л -|- а) = + соз а = + а,
с
гдѣ +а обозначаетъ любое число въ интервалѣ (—1, +1), не
равное нулю. Отсюда заключаемъ, что Іітсоз— не равенъ нулю,
9=0
когда принимаетъ значенія (2) или безконечно близкія къ нимъ.
Послѣдовательность (1) есть частный случай послѣдовательности
(2) при а = ' + л, гдѣ к цѣлое число. Итакъ, при условіи
Ііт соз-4 = 0, перемѣнное число $ можетъ принимать значенія, рав-
|=0 Ь
ныя числамъ послѣдовательности (1) и безконечно близкія къ нимъ,
и не можетъ принимать значеній, равныхъ и безконечно близкихъ
числамъ безконечнаго множества послѣдовательностей (2),
соотвѣтствующихъ безконечному множеству значеній а, не рав-
2^ + 1 п. , .
ныхъ ——л. Вѣроятно, это обстоятельство и имѣлъ въ виду ав-
торъ, высказывая, что значенія, которыхъ не можетъ принимать
безконечно многочисленнѣе тѣхъ, которыя это число можетъ
принимать.
XXVIII (къ § 308, О).
Для Дх) =х зіпіо^х и ДО) = 0 формула Лагранжа даетъ
ЗІП 1о§ X = ЗІП 1о§ с + СОЗ 1о§ с = 2 зіп зіп + Іоц
= ]/~2 зіп + 1о§ ,
откуда
. I л . ! 1
\4 6 у 2
Для значеній лежащихъ внутри интервала (#2А-1, д2к), гдѣ
(] = с 2, и к цѣлое положительное число, 1о&^-|-у будетъ за-
-Т г 3 гт , , с. . гс I , 3 .т
ключаться между-д- — кл и —-------кл, а , 1о§ § — [ между кл------—
** 4 I 4 । 4
и кл —, т. е. будетъ заключаться въ интервалѣ
(л З.т\ /б.т 7.т\ /9.т 11.тЛ
\Т’ Т/’ \Т’ ТУ’ \Т’
Во всѣхъ этихъ интервалахъ
вопреки доказанному.
XXIX (къ § 314, е).
Когда говорятъ, что полиномъ нечетной степени
/(*) = Х2'^1 + Рѵ Х2П + /2 X2”-1 + - • + Р2п+1
при д- = — оо имѣетъ знакъ •—, а при х = 4- °° знакъ -|-, то
подъ этимъ понимаютъ слѣдующее: числу х всегда можно дать до-
статочно большое по абсолютной величинѣ значеніе, чтобы знакъ
Д.ѵ) совпалъ со знакомь его перваго члена л’2и+1. Это сдѣлается
очевиднымъ, если представимъ Д.г) въ видѣ
/(X) = х^+ф . Аі . ... .
и замѣтимъ, что при достаточно большомъ значеніи |х| сумма въ
скобкахъ какъ угодно близка къ 1. Въ нашемъ примѣрѣ
/(х) = хЗ + рх + /(- со) < 0, / ( - У ) > 0, / ( + ]/^) < 0, /( + ос) > О,
откуда и слѣдуетъ сказанное о корняхъ /(х).
XXX (къ § 314, $).
Если А и В данныя точки, К точка пересѣченія луча свѣта
съ раздѣляющею плоскостью, і, время, потребное для прохожденія
пути АК со скоростью пѵ, Іг время, потребное для прохожденія
пути КВ, со скоростью ѵ, то
АК = —-— = иг>/. КВ = —-— = у/9, і = і, = {—-------1------—,
соз <р соз у - - \п соз <р созѵ/ ѵ
а сумма аі§ др -I- очевидно, равна разстоянію между проэк-
ціями точекъ А и В на раздѣляющую плоскость, т. е. величинѣ по-
стоянной.
XXXI (къ § 314, к).
Считаемъ не лишнимъ нѣсколько подробнѣе развить важные
выводы этого пункта. Чтобы вывести формулу (В), замѣчаемъ, что
повторное примѣненіе основной формулы Р(д) = (д — 1) Г(о — 1)
даетъ, при д = х -ф- п,
Г(х ф- я) — Г(о) = (р — 1) (р — 2) ... (у — п)Г(х),
откуда
(В)
і-іГ/’(<?)
(1 -у) (2 - р) ... (и - у)
Далѣе, перенося множитель (— 1)" въ лѣвую часть, логариѳмируя
и взявъ затѣмъ производныя, находимъ
Г(х) Г(р) 1 — р ' 2 — р ' ' п — о
Для опредѣленія максимума или минимума Г(х) надо приравнять
Г'(х) нулю, откуда и получаемъ уравненіе
(С)
Г (о) "I” 1 — р ~ 2 — р ~ + п — у
Если д„ корень этого уравненія, то
потому что 0 < д„ < 1.
Изъ формулы Г(х -ф- 1) = ,гГ(.г) слѣдуетъ,
Г' (л- ф- 1) = Г (л-) 4- х Г' і х),
отсюда
потому что
ііт Г (,ѵ) =
Наконецъ, послѣднее неравенство § 314, к получается слѣдующимъ
образомъ:
Изъ формулы (В) при х — хп, д = 0п, имѣемъ
(1 ... (ч-о„)
= (ПІПІРІ+ У____________108»__________
- 9») 1°8 и ' (2 - (?„) (3 - Р„) • • • (« - !?н) ’
откуда получаемъ
, , ^’(о„ + 1) Іоц п
; і іо8»• г^2 . («-1)’
потому что 0 <( о,, < 1.
Окончательное заключеніе о безчисленномъ множествѣ корней
уравненія Л(г) = к при /г . ' О, ясно слѣдуетъ изъ того, что 11 во
всякомъ интервалѣ (—п, — п -|- 1) . Г(х) можетъ принимать
сколь угодно большое значеніе и 2) при достаточно большомъ п
и сколь угодно малое, потому что ііт .Г(х„) , = 0.
п~т.
XXXII (къ § 317, а).
Дѣйствительно, если |.ѵ'<а<1, то достаточно удовлетво-
рить неравенству ап < 8, независимо отъ значенія х,
Первому неравенству удовлетворить легко. Полагая
чтобы хп ; < 8.
“ = 1Т7- ’ гдѣ
•/ 0, должны имѣть (1 +/)” >
но (1-1~7)" > 1 слѣдова-
іельно, достаточно взять п
1__-_8
87
XXXII Ыз (къ § 324, Ь).
Указываемый авторомъ процессъ разложенія непрерывной функ-
ціи вь равномѣрно сходящійся рядъ непрерывныхъ функцій можетъ
оказаться непримѣнимымъ, если функція /(.г) опредѣлена только въ
интервалѣ (а, Ь) и не имѣетъ смысла внѣ его. Въ этомъ случаѣ
для значеній х, достаточно близкихь къ а [при а„ < 0] или къ Ь
[при аи>0], аргументъ х -|- ап будетъ лежать внѣ этого интер-
вала, такъ что не для всѣхъ значеній х въ («, Ь) всѣ члены ряда
(•*’ + «р + [_/'(л; + а2) —/(л' + "-і) ] + • • • + [_/(•*•" + аи) /{х + ' •
имѣютъ смыслъ. Напримѣръ, функція /(х) = агс зіп х опредѣлена
только въ интервалѣ (— 1, -|- 1); полагая ап = получимъ рядъ
агс зіп .ѵ = агс зіп (л: + 1) + Г агс зіп (х + — агс зіп (,ѵ + 1)^ + •
— агс зіп (х 4-------—г
\ » — 1
въ которомъ при любомъ п первые «4-1 членовъ не имѣютъ
смысла въ интервалѣ (1-----1), за исключеніемъ нижней гра-
ницы.
Тѣмъ не менѣе утвержденіе автора, что всякая опредѣленная
въ интервалѣ (а, Ь) и непрерывная въ немъ функція /(х) для
всѣхъ значеній х въ (а, 6) можетъ быть разложена въ равно-
мѣрно сходящійся рядъ непрерывныхъ функцій — вполнѣ правильно.
Пользуясь, въ сущности, идеей автора, можно, напримѣръ, дать
такое разложеніе:
Ь — х
Т
Для каждаго х въ интервалѣ (а, Ь) аргументъ х
содержится между х и Ь, т. е. въ (<?, Ь).
[« = 1, 2, 3,...]
[Это замѣчаніе принадлежитъ
Г. М. Фихтенгольцу.]
XXXIII (къ § 330).
Общая формула остатка въ формулахъ Тэйлора (Тауіог) и
Маклорена (Мас-Ьаигіп) дана была Шлемильхомъ (ЗсЫбшіІсІі) и не-
зависимо отъ него Рошемъ (Косѣе).
Различныя другія формы остатка, совершенно иного харак-
тера, полезныя въ приближенныхъ вычисленіяхъ функцій, даны
Н. Сонинымъ въ статьѣ „Объ остаткѣ формулы Тэлёри" Универс.
Извѣстія. Варшава, 1891.
XXXIV (къ § 334).
Положимъ для опредѣленности, что /'{х) сохраняетъ знакъ -ф,
начиная съ х = п. Остатокъ ряда у, + ^2 “Ь • • • + г’и + • • • (§196, с)
численно меньше ѵ„+і = — і / ) </'(/'і), гдѣ а, лежитъ въ
интервалѣ (ц, /г-фІЬ Чі въ интервалѣ (»-фф, и). По условію /'{х)
постоянно убываетъ, слѣдовательно,
/'(«і) >/'(,У И ѵп+1 <0, но > - («±) > - (и).
XXXV (къ § 337, 6).
Прежде всего замѣтимъ, что ѵ= []/Чг], очевидно, равно числу
полныхъ квадратовъ, не превышающихъ п. Далѣе, если к обозна-
чаетъ любое цѣлое число отъ 1 до п, то, по замѣченному въ
§ 337, а,
равно числу дѣлителей числа 7>, не превышающихъ |/ 7>, т. е., какъ мы
раньше видѣли (§ 247, е), равно или , гдѣ 1 въ числи-
телѣ появляется всякій разъ, когда к есть полный квадратъ. По-
этому, если въ разсматриваемой суммѣ дадимъ числу к всѣ значе-
нія к = \, 2, 3, ..., п и всѣ результаты сложимъ, то получимъ, съ
одной стороны, двойную сумму
а съ другой,
ул Ѳ (к) ѵ
2 ~ + 2 ’
І=1
гдѣ ѵ = [|/ц |, какъ уже сказано, равно числу полныхъ квадра-
товъ, не превышающихъ п. Отсюда и находимъ
*=пд=[Ѣ7|
2 2 - МП; + 0 -Ь-- + 0 («)-
к=1 р=1
Чтобы преобразовать двойную сумму въ простую, замѣчаемъ, что
суммировать можно слѣдующимъ образомъ: сперва положить р = 1
и взять сумму
затѣмъ положить р = 2 и взять сумму тѣхъ же разностей отъ
к = 22 ([]/"к] = 2) до к = п,
тогда получимъ
Г«1 р1]
[ 2 [ 2 ]
и т. д., наконецъ, взять р = ѵ и вычислить
Слѣдовательно, двойная сумма будетъ равна
__„(„_ 1).
XXXVI (къ § 340).
По § 327 радіусъ сходимости этого ряда равенъ
Ііт
ао + аі + • • • + «и_1
«о + «і + ''' + «и-1 + ап
— 1, потому что Ііт ап — 0,
иначе рядъ а0 -|- а, + ан + •• былъ бы расходящимся,
вопреки предположенію, что
Ііт (л0 + л, + • • • + яя_]) = I.
XXXVII (къ § 342, с).
Метода Чезаро для разысканія асимптотическихъ выраженій
степенныхъ рядовъ, основанная на теоремѣ § 339, ему же принад-
лежащей, даетъ весьма просто во многихъ случаяхъ первый, без-
конечный, членъ искомаго разложенія, какъ это и показано имъ въ
различныхъ примѣрахъ § 342. Относительно самой основной тео-
ремы § 339 замѣтимъ слѣдующее. Если
(1)
п—х> п=х
/^=^апхП И <Р(х)^^ЬпХП
—1 п—1
будутъ ряды съ коэффиціентами одного и того же знака, сходя-
щіеся при х < 1 и расходящіеся при х = 1, то по теоремѣ § 339
/(х) ап
ііт 7 , ’ = Ііт -, ,
X—1 Ф \Х) п—х &п
если предѣлъ въ правой части существуетъ. Но предѣлъ лѣвой
части можетъ существовать и въ томъ случаѣ, когда предѣлъ пра-
вой не существуетъ, а теорема Чезаро, повидимому, ничего не
даетъ. Это затрудненіе однако, какъ показано на приведенныхъ
примѣрахъ, можетъ быть часто обойдено слѣдующимъ пріемомъ.
Замѣняя /(х) и д>(х) Функціями и , у которыхъ коэф-
фиціенты при хп въ разложеніяхъ по степенямъ х будутъ
-------------Ь а» и + ----------\-Ьп (что прямо получится при умно-
женіи рядовъ (1) на рядъ ” = 1 + X ф- х~ + • • • + хп 1 -| ),
получимъ, по той же теоремѣ § 339,
/(х) "і •
Ііт = Ііт -г--: ,—:-----5- ,
и=» <Р (х) п—х, + Оа + • • • + о„
и предѣлъ въ правой части можетъ существовать, когда Ііш^ не
п=сс п
существуетъ. Мы покажемъ здѣсь, какъ можно воспользоваться
этимъ замѣчаніемъ для вычисленія второго (постояннаго) члена въ
асимптотическомъ выраженіи функціи
/(х) = X Х^ + Х$ + • • • ,
а именно
/(^ = іУт^х-і+ -
о которомъ въ § 342 сказано, что его можно получить „безъ осо-
быхъ затрудненій”, продолжая вычисленіе. Вопросъ состоитъ въ
разысканіи
Разсмотримъ, вмѣстѣ съ Чезаро. функцію
М=Х
<₽(*) = IV»] *п,
п=1
связанную съ Дг) соотношеніемъ (1 — х) <р(х) = /(х), вытекаю-
щимъ изъ того, что
г ,—, г ,------- 1=1, когда п квадратъ цѣлаго числа,
[/я]-[/и-1]
I = 0, когда п не квадратъ,
и приводимъ вопросъ, къ разысканію
Ііт ^(1 — х)<р(х) — у —
Чтобы воспользоваться теоремою § 339, перепишемъ это выраже-
ніе такъ:
(2) ііт ) 1 — х 2
(1-Х) 2 )
Мы могли бы, конечно, написать это выраженіе и въ видѣ / .. г"-7/, -.-А I 9>(х) — ъ (1 — х) \
ііт Х=1 \ (1 — х) 1 / 27*
но тогда теорема § 339 ни къ чему не привела бы, потому что
отношеніе коэффиціентовъ при хп въ числителѣ и знаменателѣ ни
къ какому предѣлу не стремится, между тѣмъ какъ въ формулѣ
(2), напротивъ, предѣлъ этого отношенія вполнѣ опредѣленъ, какъ
сейчасъ и покажемъ. Въ знаменателѣ коэффиціентъ при хп, оче-
видно, равенъ п1. Постараемся вычислить коэффиціентъ при хп
въ числителѣ, при чемъ, конечно, можемъ ограничиться членами
порядка не ниже перваго относительно п, т. е. отбрасывать сте-
пени п ниже первой, такъ какъ предѣлъ отношенія такихъч леновъ
къ п (или и-фі) равенъ нулю. Коэффиціентъ при хп въ (1—.г) *
равенъ (по формулѣ бинома Ньютона)
1 1 • 3 • 5 • 7 • • • (2я — 1) „ , .... ,
3 ' ---2-4-б-- 2» ~ '&П + (2й + 3)
= 1(2« + 1)Ж±3)+...(см § 337> с),
$ У яп
т/дГ — у
а слѣдовательно, въ — - (1—.г) коэффиціентъ при хп бу-
детъ равенъ
2
з"' ,
гдѣ не выписанные члены будутъ степени ниже п. Коэффиціентъ
при хп въ равенъ оп = ф- а2 ф- • • • ф- ап, гдѣ ап = [У"п ] •
Остается вычислить эту сумму
= [/I] + [/2] + [/3] + • • • + [/й].
Полагая и = ѵ2ф-/л, гдѣ 0 /л 2г>, [|/и | = ѵ, замѣчая, что
67 = 67 у = 67$ — 1 , 67^ ==: • • • 67$ — 2
а(у—1)! — і)Я-і — •' — і -т ~ 1
аѵ' = аѵг+і = • • • = аѵ2_^_ц = ѵ,
и что число членовъ, равныхъ к— 1, равно к~ (к— I)2 = 2^ — 1,
при к = 2, 3, ..., ѵ, а число членовъ, равныхъ ѵ, равно /л ф- 1 =
= п — ѵ2 ф- 1, находимъ
0Я = 1-3ф2-5ф ••• +(г> — 1) (2ѵ — 1)фѵ(я — ѵ3 + 1)
к—у—1
= у7к (2к ф 1) ф ѵ (н — г2
к=ѵ—1 —1
+ 1) = 2^к2+2^к + ѵ(и- Ѵ2ф1)
*_1
Но извѣстно, что
к=1
слѣдовательно,
оп = | ѵ (у — 1) (2ѵ — 1) + 4 >' (ѵ — 1) + ѵ (и — ѵ8 + 1).
По сдѣланному выше замѣчанію въ этомъ выраженіи достаточно
удержать члены степени не ниже п и г>2, такъ что можемъ на-
писать
ов = ~ 4 ѵ3 — 4 V2 + ѴИ + ,
гдѣ не выписанные члены роли не играютъ. Остается найти
Пользуясь соотношеніемъ п = ѵ2 + /л, 0 находимъ
г2
Ііт — = 1,
и окончательно,
откуда по § 339,
ііт /(ж) - 4
Вычисленіе третьяго члена въ асимптотическомъ разложеніи
Дх) будетъ еще сложнѣе, и нужны другія средства, менѣе элемен-
тарныя, но быстрѣе ведущія къ цѣли. Такія средства и даетъ фор-
мула Коши, которую Чезаро приводитъ безъ доказательства въ
§ 342 и доказываетъ въ книгѣ VII, § 760. Эта формула съ не-
обыкновенной легкостью даетъ всѣ три члена асимтотическаго вы-
раженія Дх) и можетъ дать и сколько угодно членовъ въ разло-
женіи /(х) по степенямъ У1—х. Дѣйствительно, формулу Коши
+ X + х* + + • • • (1о§ = /1 + х’ + х'Ь + х'9+ ] /108 ’
можно написать такъ
~У л
и полагая п = 1 —гдѣ стремится къ 0, когда х стремится къ 1,
1
разложить 1о§— = —1о§ (1—въ рядъ
- 1о8(1 = 1+ ? + ?+ •••'
/ о
тогда
Поэтому
{/(х) + = Ѵп и +/ѵѵ (і - н + • • •)
ИЛИ
/(*) /Г=^ - | V Л + I (1 - х) =
VП (х' + х'± + х'9 4- • • •) (1 — 4 У" 1 — X + • • •) •
Замѣтивъ теперь, что съ приближеніемъ х къ 1 не только х стре-
мится къ 0, но и —, гдѣ р любое положительное число, также
стремится къ 0 (какъ сейчасъ будетъ показано), изъ предыдущей
формулы тотчасъ получаемъ
Ііт (/(*) V1 — х) = -,1. Ѵп,
а если бы продолжали разложеніе |—1о§ (1—•§)} по степенямъ §
дальше, то получили бы и дальнѣйшіе члены. Чтобы показать, что
Ііт--------= 0, при р > О,
Ж=1 (1 - хУ
положимъ хг = е~V х = е~‘1‘, тогда соотношеніе 1о§;~-1о§-^ = л2,
дастъ о = — и
а
Л2 ІТ2
х' = е~^ = Г
(1 - х)Р ~ (1 - е~яУ ~ (еаі - 1)” '
Съ приближеніемъ х къ 1, а стремится къ 0 и
Ііт
х'
(1
Такъ какъ <?“’-!< я2, то
О <
1 / \
Наконецъ, полагая я2 = — и припоминая, что Ііт —;) = оо
’ а а=Лепа)
лучаемъ Ііт —----— = О, ЧТ0 и требовалось доказать.
по-
XXXVIII (къ § 342, б).
Для поясненія замѣтимъ слѣдующія преобразованія:
1
т—1
(2т—іу Ат2-
р—00
р=0
отсюда
ДД
т=х, р—х>
----- р-{-(2т—I)2 р-\-Атг
Далѣе,
т—\ р—^
?=* 1 го
р-\-(2т
р—0
р=ъ
р-^Ат^ — Ат
р=л
(1)
Р=1
Р— х>
р—Ат
-—Ат
р—-х>
(2)
т2—Ат
р—Ат
р=ъ
Вычитая (2)
изъ (1) и подставляя въ разложеніе
Дх)
1 - х'
, найдемъ
ДД
т=-п р—А т—1
р-\-Атг—Ат
т=1
Іт'- 1
.(2и-1)’+1
Отсюда и видно, что въ разложеніи
дд
коэффиціентъ ап = 1 при п = ѵ2 ф- /*, гдѣ О 2 г>, и ѵ нечет-
номъ, а ап = 0 при ѵ четномъ.
Число слагаемыхъ въ группѣ членовъ съ коэффиціентомъ 1,
въ которой первый членъ имѣетъ указателя (2 ли — I)2, равно 4/и2 —
- -(2;и—I)2 = 4;и — 1. Для вычисленія суммы бп= ах-\-аг-\- -\-ап,
гдѣ п = ѵ2ц,, и 0^д^2ѵ, разсмотримъ отдѣльно случаи
1) ѵ четнаго и 2) ѵ нечетнаго. Въ 1) случаѣ
г,м ' "і • • • • +а(г—I'1 + • • + «„’—!•
Каждая группа членовъ, въ которой указатель перваго члена ра-
венъ (2/7/1 )2 даетъ 4т — 1 единицъ, при чемъ т — 1, 2, 3, ..., . По-
этому
V (V + 1)
Во 2) случаѣ
°п ~ а1 +" а2 + • • + (ІѴ‘ + • • • + аѵг^гц
Послѣдніе д + 1 членовъ даютъ д ф- 1 = п ф- 1 — ѵ2 единицъ.
Между предшествующими членами число единицъ равно
V—1
”!=— , _ п
(4т — 1) = ^1 4---------С11 ~ В —
//1—1
(і> — 1) V
2
и
(ѵ — 1)ѵ ѵ(ѵ + 1)
ои = п + 1 - V2 4- 2—2---------= я + 1------------2-----
Оба случая можно соединить въ одинъ, написавъ
1 — 1)ѵ (— 1»”
б„ = 2 + 1) Н 2 I) ’
Равенство (1 — х)2<р(х) = /(х) получается прямо изъ того, что
(ъВр-гВ- ('+* + «’+>
= (ахх + а2х2 + а3х* + • • •) (1 + х + х2 + • • •)
= X Н- (/^1 —I- ^2 —I- ~I- ’ " " •
XXXIX (къ § 342, е).
Формула Н. Я. Сонина, о которой здѣсь говорится, дана имъ
въ мемуарѣ „О Бернулліевыхъ полиномахъ", Универс. Изв., Варшава,
1888, стр. 64, подъ видомъ
+ г с + і е~Ы'г □______= С_. +
е + 2Й к 4
отъ котораго переходъ къ виду, данному въ книгѣ, очевидно, полу-
чается подстановкою
ХЬ (къ § 342, е).
Не безполезно нѣсколько подробнѣе развить слишкомъ крат-
кія указанія въ этомъ интересномъ примѣрѣ.
Разсматривается функція
Т'1 Іои
1 — X
<₽(•*') = /(*)
1
-----> гдѣ
1 - X
У(х) = агѲ(1) + х2Ѳ(2) + ••• +аи0(н)+
11 , і-2 т» г"
1—;-1о8 , ѵ =(1 +* + л-2+ • • • + X’-Ч • • ) (а + 4г + ?г+ • • • +~+ • •)
і *А- 1 Л- & О
П—Х
= Нпхп, такъ что
П—1
п=.х
<₽(*) = апхП’ ГДѢ ап = е(и1 — Нп,
п=1
к=.п І.'—п
°п'= в1+ аз+ ' ' +ап = Ѳ(^)“ Л, Нк.
*-=1 *=1
Замѣчая равенства
и складывая ихъ, найдемъ
к=п
нк = нп ~ п-
*_ і
По формулѣ Дирихле (§ 337) имѣемъ
*=м р
V Ѳ(Л) = п 108п + (20 — 1) п + Рп, гдѣ Ііт —2 = 0,
П=&>
к~1
а Н„ = 1о§ п -ф- С, если отбросимъ члены, исчезающіе при п = оо.
Подставляя эти выраженія въ ои, найдемъ
о»
Ига — = С.
Далѣе,
—- = (1 х -|- х2 + • • • + хп 1 + • •) (а-іХ -|- а2х- апх + • • •)
а у(х) = пхп = (§ 247, а),
н—1
По теоремѣ § 339
Ііт ,
а—г (1 — Л’)ѵ’(-ѵ)
= Ііт = С,
откуда и получается асимптотическое равенство
Сх
хи (къ § 356).
Здѣсь 8/(х) = /{х + Л)..../(х) и т. д.
Различныя формы остаточнаго члена формулы Эйлера можно
найти въ соч. А. А. Маркова „Исчисленіе конечныхъ разностей"
отд. 2-й, глава V. Тамъ же дано изслѣдованіе предѣловъ, въ ко-
торые можно заключить /?„, и различныя приложенія формулы Эй-
лера. Форма, въ которой эта формула приведена въ соч. А. А.
Маркова, нѣсколько отличается отъ данной здѣсь, а именно она
тамъ дана въ томъ видѣ, въ которомъ ее обыкновенно пишутъ,
когда хотятъ ею пользоваться для вычисленія суммъ съ помощью
интеграловъ и обратно.
ХЫІ (къ § 365).
Формула эта даетъ также отвѣтъ на вопросъ о сходимости ря-
довъ, въ которые разлагаются различныя функціи, разсмотрѣнныя
въ § 253.
Мы покажемъ это для функціи
ех - 1
Полагая въ формулѣ Эйлера (30) /(х) = ё”, имѣемъ д/(х) = ёс (ек — 1),
(5/(0) = ек — 1 и то же самое значеніе для (5/ѵ(0), (5/"(0) ... Раз-
дѣлимъ всѣ члены на ё' — 1; положивъ п = 2/ и замѣнивъ букву
к черезъ х, получимъ
- - 1 + Л » + Д + . + ,. У + к,г.
ж „ (В - ,
гдѣ = ----2?!---с-і' °<9<1-
На основаніи § 363, имѣемъ
В2рх2р+^Х I
2/! («*-!) |
Замѣняя Вп,р его асимптотическимъ выраженіемъ и 1 • 2 ... 2/ также,
по формулѣ Стирлинга, находимъ
= > і . 2 ... 2/ = 2
и получимъ
Я2^+1 _ ІХ_\^
2р\ 2л; \2л:/ ’
откуда и находимъ при |х!</2?г,
Ііт = 0;
разложеніе
хе
ех - 1
доказано, и интервалъ сходимости будетъ (—2л, 2 л).
ХЫП (къ § 366).
Слова „до извѣстной степени" добавлены для того, чтобы
устранить возраженіе противъ высказаннаго опредѣленія для случая
перемѣнныхъ, связанныхъ неравенствами. Напримѣръ, перемѣнныя
х и _у, удовлетворяющія условію х2 -|-_у2 1 независимы и могутъ
принимать всѣ значенія между — 1 и 4-1; но если зададимъ х = а,
то у уже не можетъ принимать всѣ значенія между — 1 и -|-1, а
должно остаться въ предѣлахъ — у 1 — а~ и -|- ]/ 1 — а2.
ХЫѴ (къ § 375).
Точное опредѣленіе линейной независимости и зависимости п
функцій можетъ быть дано въ слѣдующихъ выраженіяхъ:
Функціи г/, у, гѵ, ... отъ х, опредѣленныя въ интервалѣ (а, (I),
называются линейно зависимыми въ этомъ интервалѣ, если
существуетъ п постоянныхъ а, Ь, с, ..., не равныхъ сплошь нулю,
такого рода, что для всѣхъ значеній х въ интервалѣ (а, ^)
имѣетъ мѣсто равенство (7). Въ противномъ случаѣ функціи назы-
ваются линейно независимыми въ интервалѣ (а, /?).
Тождественное обращеніе въ нуль опредѣлителя Вронскаго
необходимо, для того чтобы функціи были линейно зависимыми,
но отнюдь не достаточно, въ чемъ можно убѣдиться на примѣрѣ
[Кохѵаіехѵзкі, „Еіпіййгип§ іп біе Веіегтіпапіепійеогіе", 1909; 8. 327.]
Опредѣлимъ функціи м(х), ѵ(х) въ интервалѣ (—1, 1)
равенствами
и (ѵ) = л- при — 1 й х х, 0, и (х) = 0 при 0 й х й 1;
ѵ(х} = 0 при - 1 іл-^0, ѵ(х) = х2 при 0 й х й 1.
Функціи и, ѵ непрерывны и имѣютъ производныя во всемъ интер-
валѣ (— 1, 1). Опредѣлитель Вронскаго этихъ функцій имѣетъ видъ
Л’2
0
2х
0
при — 1 й х 2 0,
0 0
х2 2х
при 0 й х й 1
и, слѣдовательно, тождественно равенъ нулю въ интервалѣ (— 1, 1).
Тѣмъ не менѣе, функціи и, ѵ линейно независимы въ интервалѣ
(— 1, 1), ибо положивъ въ равенствѣ типа (7)
а и (х) + Ь ѵ (х) = 0
х = — 1 и х = 1, найдемъ, что а = Ь = 0.
Доказательство автора содержитъ погрѣшность въ томъ отно-
шеніи, что, разсмотрѣвъ случай, когда и = 0 въ интервалѣ (а, ^),
и случай, когда и ф 0 въ этомъ интервалѣ, онъ оставилъ безъ
разсмотрѣнія случай, когда для однихъ значеній х и = 0, а для
другихъ и ф 0.
Для того, чтобы получить условіе, достаточное для линейной
зависимости данныхъ п функцій, можно къ требованію, чтобы
опредѣлитель Вронскаго обращался тождественно въ нуль, при-
соединить еще требованіе, чтобы опредѣлитель Вронскаго п — 1
функцій вовсе не обращался въ нуль въ интервалѣ (а, /?) [Кохѵа-
Іехѵзкі, Іос. сіѣ, 8. 328], или же, чтобы функціи разлагались въ сте-
пенные ряды.
КНИГИ ЧЕТВЕРТАЯ
КНИГИ ЧЕТВЕРТНЯ,
Комплексныя числа и кватерніоны.
КОМПЛЕКСНЫЯ числя.
Основныя понятія.
385. Когда задана единица линейной мѣры ОА, то всѣ по-
ложительныя числа могутъ быть изображены точками на прямой, на
которой по произволу назначена начальная точка О. При этомъ
А' і 0 1 А а
Рис. 13.
каждая точка на прямой опредѣляется принадлежащею ей абсцис-
сою, и обратно, число а, измѣряющее эту абсциссу, изображается
соотвѣтствующею точкою, которую и называютъ кратко точкою а.
Далѣе, чтобы ввести изображеніе отри-
цательныхъ чиселъ, условились разсма-
тривать новую единицу ОА', равную
первой, но противоположно направлен-
ную. Такимъ образомъ, всѣ веществен-
ныя числа могутъ быть изображены
точками оси абсциссъ. Каково же бу-
детъ аналитическое выраженіе, способ-
ное изобразить всякую другую точку
на плоскости? Разсмотримъ сперва точки
на оси у-въ, и введемъ еще новую
единицу ОВ, равную ОА, но напра-
вленную въ положительную сторону по
оси ординатъ. Обозначимъ эту новую единицу черезъ і, такъ что іа
будетъ обозначать длину а, отложенную по оси _у-въ въ положи-
тельномъ направленіи, подобно тому какъ — а обозначаетъ длину
а, отложенную по оси х-овъ въ отрицательномъ направленіи. Иными
словами: знакъ і такъ же, какъ и знакъ—, служитъ лишь для того,
чтобы обозначить новое направленіе, по которому надо двигаться
изъ точки О, чтобы встрѣтить точку, изображающую разсматриваемое
число. Для простоты, однако, условились употреблять знакъ і и для
изображенія числа і. 1 или точки В.
386. Чтобы распространить правила алгебраическаго вычисле-
нія на вновь введенныя числа, прежде всего необходимо опредѣ-
лить основныя операціи независимымъ отъ природы этихъ чиселъ
способомъ. Мы установимъ слѣдующее опредѣленіе сложенія: сло-
жить одно число съ другимъ, или точнѣе прибавить одно число къ
другому, значитъ найти то число, въ которое обратится первое,
когда второе примемъ за начальную точку. Слѣдовательно, а + іЬ
изобразитъ точку іЬ, въ томъ предположеніи, что начальная точка
передвинута въ точку а. Число а-]-іЬ, которое называютъ ком-
плекснымъ или мнимымъ, изображаетъ, слѣдовательно, ту точку на
плоскости, координаты которой будутъ а и Ь', обратно, эта точка
изображаетъ число а А іЬ, называемое аффиксомъ разсматривае-
мой точки. Ясно, что мы получимъ одну и ту же точку, когда при-
бавимъ іЬ къ а или а къ іЬ, такъ что а и іЬ въ выраженіи
а 4- ІЬ можно переставлять. Равенство двухъ комплексныхъ чиселъ
обозначаетъ совпаденіе тѣхъ точекъ, аффиксами которыхъ служатъ
данныя числа, и распадается необходимо на два равенства: одно
между вещественными частями этихъ чиселъ, другое между частями
со знакомъ г, которыя называютъ также чисто мнимыми частями
числа. Въ частности, чтобы а + гЬ = 0, необходимо и достаточно,
чтобы а = О, Ь = 0.
387. Умноженіе двухъ чиселъ можно опредѣлить, какъ разыска-
ніе того числа, въ которое обратится одно изъ нихъ, когда другое
примемъ за единицу мѣры положительныхъ чиселъ. Замѣтимъ, что
для полученія і нужно повернуть единицу мѣры ОА на уголъ въ
сторону, противоположную движенію часовой стрѣлки. Поэтому г2
или і і будетъ то число, въ которое обратится г, когда примемъ
ОВ за единицу мѣры положительныхъ чиселъ. Слѣдовательно,
чтобы получить г'2, надо повернуть ОВ около О на уголъ ~ въ
указанномъ выше направленіи; тогда получимъ ОА', такъ что г2 = — 1.
Поэтому комплексное число можно писать въ видѣ а + Ь \— 1
388. Тригонометрическое изображеніе. Въ полярныхъ
координатахъ а = г соз В, Ь = г зіп 9, такъ что комплексное число
а + іЬ можно писать въ видѣ г (соз 9 + /зіп 9), гдѣ
г = )Ѵг2 -|- Ь-, 9 = агс + 2 к л
при произвольномъ цѣломъ значеніи к. Уголъ 9 называютъ аргу-
ментомъ даннаго числа, а г (всегда положительное или равное нулю)
модулемъ этого числа и часто обозначаютъ знакомъ \а-\-гЬ\.
Обратимъ вниманіе на то, что комплексное число равно нулю
тогда и только тогда, когда модуль его равенъ нулю.
389. Сложеніе и вычитаніе. Изъ опредѣленія сложенія
прямо слѣдуетъ, что сумма двухъ чиселъ с — а А-іЬ и с = а А-іЪ'
есть аффиксъ лежащей противъ О
строеннаго на Ос и Ос' (рис. 15).
очевидно, а-\-а' и Ь-{-Ь', такъ что
с'с = с-^с'. Мы имѣемъ, слѣ-
довательно,
Подобнымъ же образомъ доказыва-
ется, что
(а+й)—(а' +іЬ')=(а—Ь').
Точка с—с' симметрична съ с-\-с'
относительно точки с. Она есть ко-
нецъ прямой, равной и параллельной
с'с и проведенной изъ О. Полезно
замѣтить, что разстояніе между
точками с и с измѣряется мо-
дулемъ разности с — с'. Чертежъ
вершины параллелограмма, по-
Координаты этой точки будутъ,
показываетъ еще, что модуль
суммы двухъ комплексныхъ чиселъ всегда заключается
между суммою и разностью модулей слагаемыхъ.
390. Умноженіе (рис. 16). Если О А есть единица длины,
то число с получится, если повернемъ ось абсциссъ на уголъ 9' и
затѣмъ отложимъ на ней отъ
Ох уголъ 9 + Ѳ', и на ней
точки О длину, отношеніе которой къ
ОА равно г [с'=г'(соз Ѳ'—{—/зіп 9')]-
Если теперь будемъ разсматривать
Ос [с = г (соз 9 + /зіпО)], какъ еди-
ницу при изображеніи положитель-
ныхъ чиселъ, то, по опредѣленію
умноженія, для полученія числа с с'
надо продѣлать надъ Ос ту же опе-
рацію, которую дѣлали съ ОА для
полученія с', т. е. повернуть Ос на
уголъ 9', и отложить затѣмъ на ней
отъ точки О длину гг’, отношеніе
которой къ Ос( = г) равно г'. Тогда
получимъ прямую, составляющую съ
точку сс' въ разстояніи гг отъ О.
Замѣтимъ, что мы получили бы ту же точку, если бы хотѣли изо-
бразить число с'с, такъ что с с = сс'. Изъ сказаннаго вытекаетъ,
что, каково бы ни было число сомножителей, всегда
а) аргументъ произведенія равенъ суммѣ аргументовъ со-
множителей,
Ь) модуль произведенія равенъ произведенію модулей
сомножителей,
Иными словами,
(а + іЬ) (а' + ІЬ') = гг' [соз (5 + 0') -|- і зіп (9 + Ѳ')],
или, раскрывая правую часть
(«+ ІЬ) (а' -|- іЬ') = (аа' — ЬЬ') + і (аЬ' + Ьа').
Обратимъ теперь вниманіе на то, что полученный результатъ полу-
чается перемноженіемъ а + ІЬ на а' іЬ' по обыкновеннымъ пра-
виламъ Алгебры, принимая во вниманіе соотношеніе г2 = — 1. За-
мѣтимъ еще частный случай: произведеніе двухъ такъ называемыхъ
сопряженныхъ комплексныхъ чиселъ а-\-іЬ и а -ІЬ равно
квадрату общаго ихъ модуля, т. е. «2-|-62.
391. Для того, чтобы произведеніе нѣсколькихъ ком-
плексныхъ чиселъ обратилось въ нуль, необходимо и до-
статочно, чтобы одинъ изъ множителей обратился въ нуль.
Пусть г, г*, г", ... будутъ модули чиселъ с, с’ с”,... Если сс’с" ... = 0,
то и гг'г"... = 0. Поэтому одно изъ вещественныхъ чиселъ
г, г', г", ... должно быть нулемъ, а тогда и одно изъ комплексныхъ
чиселъ с, с', с”, ... будетъ нулемъ. Обратно, если, напримѣръ, с = 0,
то одно за другимъ будутъ имѣть мѣсто равенства г = 0, гг'г11... =0,
ссс”... = 0.
392. Дѣленіе. Изъ сказаннаго въ § 390 тотчасъ слѣдуетъ,
что ~ будетъ модуль, а Ѳ — В' аргументъ частнаго отъ дѣленія
а 4- іЬ на а' -|- ІЬ' Поэтому,
а. [соз (Ѳ — У) + і зіп (0 — Ѳ')]
а' + іЬ' г' '
или, раскрывая правую часть,
а + іЬ аа' -|- ЬЬ' , ;Ьа' — аЬ'
а' + ІЬ’ = ’л'г’+Т'Т + г Тра + /,/2 ’
предполагая, что г' не равно 0. Обратимъ вниманіе на то, что къ
тому же результату придемъ, если умножимъ числителя и знамена-
теля въ лѣвой части на а—іЬ'. Резюмируя все вышесказанное, при-
ходимъ къ тому заключенію, что можно производить всѣ алгебра-
ическія вычисленія такъ, какъ будто эти числа вещественны, а і —
число, удовлетворяющее уравненію г2 = — 1.
393. Возвышеніе въ степень. Примѣняя правило умноженія
къ случаю п множителей, равныхъ соз 9 -ф- і зіп 0, получимъ
(соз Ѳ + і зіп 6 )п = соз п Ѳ 4~ і зіп п Ѳ.
Это формула Муавра. Ее легко распространить на случай не цѣ-
лаго и и не положительнаго п. Пусть сперва п = — т, гдѣ т
цѣлое и положительное число. Тогда имѣемъ
(соз 0 + і зіп Ѳ)”' соз т Ѳ + і зіп т Ѳ
= соз т Ѳ — і зіп т Ѳ = соз п Ѳ + і зіп п 0.
р
Если п = -- , гдѣ р и д цѣлыя взаимно простыя числа, то положимъ
(соз Ѳ + і зіп Ѳ)" = соз І + і зіп і.
Возвышая обѣ части равенства въ степень д (при чемъ д всегда
можно считать положительнымъ), найдемъ
соз р 5 + і зіп р Ѳ = соз д і + і зіп д і.
Слѣдовательно,
еУЪ'гТ
д/ = р9 і = и Ѳ 4--•
гдѣ к — цѣлое число или нуль.
Отсюда видимъ, что (соз 0-|-г зіп О)", кромѣ значенія соз и 9 -ф- /зіп «9,
соотвѣтствующаго значенію & = 0, имѣетъ еще д— 1 значеній, соот-
вѣтствующихъ значеніямъ к=\, 2, 3, д—1; при к = д, д-\Л,---
повторяются полученныя раньше числа. Далѣе, легко видѣть, что,
каково бы ни было п, всегда гп (соз п9 -ф- /зіп п9) есть «-ая
степень отъ г (соз 9 -ф- /зіп9)- Наконецъ замѣтимъ, что при п—
цѣломъ, формула Муавра дастъ выраженіе тригонометрическихъ
функцій дугъ, кратныхъ отъ 9, черезъ соз 9 и зіп 9. Дѣйствительно,
разлагая лѣвую часть формулы по строкѣ бинома Ньютона, тот-
часъ найдемъ
СОЗ « 0 = соз” 6 — П 2" соз" 2 Ѳ • 8ІП“ Ѳ ф- • •,
П п—1 . п(п — П(» — 2) ,,_я , . „ ,
зіп «5 = — соз Ѳ • зіп Ѳ-----—=—---------- соз 3 Ѳ • зіп3 5 + • • .
1 1 • 2 о
394. Корни изъ единицы. Корнями п - ой степени изъ
единицы называютъ всѣ числа, которыя по возвышеніи въ сте-
пень п даютъ 1. Обозначая такое число черезъ г (соз 9 -ф- /зіп 9),
мы должны имѣть
г” (соз п 0 -|- / зіп п 5) = 1,
откуда г = 1, созиВ = 1, зіпиО = 0, такъ что иВ = 2/гл (Ь цѣлое
или 0). Слѣдовательно, корни и-ой степени изъ 1 будутъ
2.т . . 2п 4я , . . 4я 6л . . 6л
соз----ѣ г зіп — > соз---ѣ і зіп — . соз---ѣ г зіп — , • • •.
п п п п п п
обозначая первое черезъ со, для другихъ (въ силу формулы Муав-
ра) будемъ имѣть выраженія со2, со3, соі, ... Всѣхъ корней ц-ой
степени изъ 1 будетъ ровно п, а именно
1, со, со-, . . ., со” 1 >
потому что соп = 1, сои+х = со, ..., со-1 = ы”-1.... Эти числа бу-
дутъ аффиксами вершинъ правильнаго многоугольника, вписаннаго въ
кругъ радіуса 1, съ центромъ въ точкѣ 0. Далѣе, очевидно, что
получимъ всѣ корни п - ой степени какого угодно числа
г (соз 0 / зіп 0), умноживъ одинъ изъ нихъ на всѣ п корней изъ 1.
Дѣйствительно,
Ѳ + 2^л
п
+ і зіп
Ѳ , . . Ѳ\
соз —ѣ г зіп -
п п/
со
Замѣтимъ, что вершины какого нибудь правильнаго п—угольника
съ центромъ въ О изображаютъ корни и-ой степени одного и
того же числа х) * *).
Предѣлы, ряды и функціи.
395. Опредѣленія и основныя теоремы теоріи предѣловъ
(§ 122 и слѣд.) остаются въ силѣ для комплексной перемѣнной
х + іу. Нужно только вездѣ вмѣсто абсолютной величины раз-
сматривать модуль числа. Мы будемъ говорить, что послѣдова-
тельность комплексныхъ чиселъ 2,, 22, з3,... стремится къ пре-
дѣлу г, если каждому сколь угодно малому положительному чи-
слу 6 соотвѣтствуетъ другое число ѵ такъ, что, при п > ѵ, мо-
дуль 2п — 2 будетъ всегда меньше е. Иными словами, точки, имѣ-
ющія аффиксами 2Л, г2, 23,..., должны въ концѣ концовъ по-
пасть внутрь сколь угодно малаго круга, центръ котораго нахо-
дится въ точкѣ 2. Исходя изъ этого опредѣленія, тотчасъ видимъ,
что теорема Коши (§ 139) остается въ полной силѣ и имѣетъ
х) О корняхъ изъ единицы и ихъ приложеніяхъ къ вопросамъ высшей
Ариѳметики см. Н. Ѵ/еЬег. ЬеНгЬисН сіег А1§еЬга. Т. 1. гл. XII.
*) Нѣкоторыя приложенія читатель найдетъ и у Вебера и Вель-
штейна. Т. I. стр. 367, а приложенія къ теоріи чиселъ —въ Высшей Алгебрѣ
Ю. Сохоцкаго. Т. II.
слѣдующій смыслъ: если каждому положительному сколь угодно
малому числу е соотвѣтствуетъ такое число п, что взаимныя раз-
стоянія точекъ съ аффиксами .ги_п ^„_|_2, • • • всѣ меньше 6,
то этого достаточно, чтобы утверждать, что послѣдовательность
гг, 23,... имѣетъ конечный предѣлъ.
396. Для того, чтобы комплексное перемѣнное число
имѣло предѣлъ, необходимо и достаточно, чтобы веще-
ственная его часть и коэффиціентъ при і имѣли предѣлы.
Дѣйствительно, если 6 задано и | %п — г | < е, при п > ѵ, то абсо-
лютныя величины хп — х и у„—у а іогііогі будутъ меньше 6,
и обратно, если эти послѣднія при п > ѵ будетъ меньше
то а іогііогі (§ 389)
\«п-~г \Хп~ Х\ + \Уп~У\ < 8.
а слѣдовательно, Ііт гп = г. Это замѣчаніе даетъ возможность
весьма просто удостовѣриться въ томъ, что теоремы теоріи пре-
дѣловъ остаются въ силѣ для комплексныхъ перемѣнныхъ. Кромѣ
того, надо имѣть въ виду, что
Ііт (хп + іуп) = Ііт хп + і 1іт>>и,
если существуетъ та или другая часть равенства, и что, если
модуль и аргументъ числа гп стремятся къ предѣламъ г и 9 при
безконечномъ п, то зп стремится къ числу г, котораго модуль
равенъ г, а аргументъ равенъ 9-
397. Опредѣленія, относящіяся къ вещественнымъ рядамъ, примѣ-
нимы и къ рядамъ комплексныхъ чиселъ. Пусть будетъ ип = ап-\- іЬп
общій членъ ряда и Зп = Ап + гВп сумма п первыхъ его членовъ.
Чтобы Зп стремилась къ нѣкоторому предѣлу, необходимо и доста-
точно, чтобы Ап и Вп стремились къ нѣкоторымъ предѣламъ, и если
А и В будутъ предѣлы Ап и Вп, то 5 = А + іВ будетъ сумма
даннаго ряда. Слѣдовательно, чтобы рядъ комплексныхъ чиселъ
былъ сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы рядъ
вещественныхъ частей его членовъ и рядъ коэффиціентовъ
при і были оба сходящіеся. Такъ какъ ап и Ьп получаются отъ
умноженія і ип на числа, лежащія между — 1 и 1, то (§ 189)
оба ряда, о которыхъ идетъ рѣчь, будутъ навѣрно сходящимися,
если рядъ и, । ' іу1 + • • сходящійся. Итакъ, данный
рядъ будетъ сходящимся, если рядъ модулей его членовъ
сходящійся. Съ другой стороны, надо замѣтить, что рядъ комплекс-
ныхъ чиселъ можетъ быть сходящимся и тогда, когда рядъ моду-
лей его членовъ расходящійся. Напримѣръ, въ рядѣ, общій членъ
котораго и„ = ('соз ’-у -|- і зіп п-^Х, рядъ модулей представляетъ
расходящійся (§ 183) гармоническій рядъ. Между тѣмъ данный рядъ
сходящійся, и сумма его равна
- і + і - I + • + і (1 - 1 + і-) = - 1О8 /2 + і ІЛ.
Общія теоремы теоріи рядовъ также распространяются на ряды
комплексныхъ чиселъ, только нужно вездѣ, какъ и въ этомъ §,
терминъ абсолютная величина замѣнять словомъ модуль. Мы
ограничимся въ послѣдующемъ, въ качествѣ примѣровъ, изложе-
ніемъ доказательствъ двухъ теоремъ: теоремы Дирихле (§ 230)
и теоремы Абеля (§ 193).
398. Для того, чтобы рядъ комплексныхъ чиселъ былъ
абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы
рядъ модулей его членовъ былъ сходящимся. Если рядъ
абсолютно сходящійся (§ 225), то, обозначая его общій членъ
черезъ ип = ап + іЬп, найдемъ, что ряды чиселъ ап и Ьп также
абсолютно сходящіеся, потому что всякое измѣненіе порядка чле-
новъ въ рядѣ чиселъ ип произведетъ такое же измѣненіе порядка
въ послѣднихъ двухъ рядахъ. Поэтому будутъ сходящимися ряды
чиселъ | ап | и I Ьп!, а слѣдовательно, и рядъ, общій членъ котораго
есть |а„|+|6пІ. А поэтому сходящимся будетъ и рядъ модулей \Ьп,
потому что I ип । не больше I ап | + | Ьп |. Обратно, если рядъ моду-
лей | ип \ сходящійся, то а іогііогі будутъ сходящимися ряды чи-
селъ ап ( и \Ьп , потому что эти числа не больше Iип |, а слѣдо-
вательно, ряды чиселъ ап и Ьп, а потому и чиселъ ип — абсолютно
сходящіеся.
399. Сходящійся рядъ останется сходящимся, если
умножимъ его члены на числа аг, а2, а3,..., обладающія
тѣмъ свойствомъ, что рядъ
«і + («2 - «і) + (а3 — «г) + •
будетъ абсолютно сходящійся. Дѣйствительно, пусть а обо-
значаетъ сумму ряда (положительныхъ членовъ)
I «1 I + I а2 - а1 і + I «3 — «2 I + • ’ ’ -
сходящагося въ силу предыдущей теоремы Дирихле. Когда задано
произвольное положительное (сколь угодно малое) число е, то
всегда можно найти такое число ѵ, чтобы при п > ѵ и любомъ
р было
Е
; Ии-рі + ии-|-2 + • + ип^р , < 2а
Далѣе, легко видѣть, что (ср. § 192) сумма
«и_|_і ии_[_2 + • • • + ап+г,
можетъ быть тождественно преобразована въ слѣдующую сумму
(««4-1 — к,гЦ-2І «я-І-1 + </'«--2 — аиЦ-з) (“«+1 + ипуі> + ’ ’ ’
+ «„4-7> («В_|_1 + «„ц_2 + • • • + »пур)
Поэтому ея модуль меньше, чѣмъ умноженное на
ап~|2 ««--1 ! "Ь | Оп_|_з «и_|-2 , Т" " ’ I ап-$-р ап-\-р— 1 | “Ь [ ап-\-р I ‘
Между тѣмъ ясно, что
“«+2 - «„+1; + ' “«+з - «я+2 !+•+' «и+р - Иф-і 1 < а
и вслѣдствіе того, что
а„+р = а1 + (а2 ~ а1) + («3 — а2І + ''' + ^ап+р — <''п-ГІ, 1) ’
также
і ап+р : ё «х I + ! - ах ; + ' а3 - а21 + ••• + I ап+р - ан+?_1 < а,
такъ что будемъ имѣть
, ап+2 ~ а„+і + | ««+3 “ Яп+2 ;+•+ і «»+Д і < 2а-
Слѣдовательно,
«и-|-1 “«4-1 + ап+2 Мп+2 + • • • + ап+і> 11п+р < 2 “ 2 а = е
при п > ѵ и любомъ значеніи р. Поэтому рядъ а1 иѵ -|- а2и.2 -ф- а3и3 -|—
сходящійся (§ 187).
400. Функціи. Функціею комплексной перемѣнной
з = х -ф- іу называютъ и обозначаютъ черезъ у(^) всякое аналити-
ческое выраженіе, способное опредѣчить функцію У(х) веществен-
ной перемѣнной х и не теряющее смысла при замѣнѣ перемѣнной
х на з. Такъ, напримѣръ, на основаніи сказаннаго въ § 393, всякая
степень з съ раціональнымъ (цѣлымъ или дробнымъ, положи-
тельнымъ или отрицательнымъ) показателемъ есть функція отъ з.
Примѣры:
г- = х2 —у2 + 2іху, а3 = хя — Зху2 4- /(Зх'фу — _у3), ...
На основаніи того же и предыдущихъ §§ опредѣлены и всѣ алге-
браическія (§ 254, а) функціи комплексной перемѣнной з. Умѣстно
будетъ здѣсь же замѣтить, что тогда какъ раціональныя функціи,
очевидно, однозначны (ипііогте), ирраціональныя способны при-
нимать нѣсколько значеній при одномъ и томъ же з (ср. § 254, с).
п
Такъ напримѣръ, з имѣетъ п значеній (§ 394), и замѣчательно
то, что когда точка з, двигаясь непрерывно по плоскости, возвра-
п
тится на прежнее мѣсто, ]/г можетъ принять значеніе, не совпа-
дающее съ первоначальнымъ. Опишемъ, напримѣръ, кругъ съ цент-
ромъ въ точкѣ О, выйдемъ изъ точки г = г (соз Ѳ + /зіп 9) съ на-
чальнымъ значеніемъ у г = г'Ісоз + г 8іп I, и обойдя всю окруж-
ность, вернемся О въ прежнюю точку: мы найдемъ въ ней зна-
ченіе ]/г равное
4 / 5 + 2 л . .
г-1 соз-----------1- 1 ЗІП
9 9’
соз 2 + г зіп 2
з
Подобно этому ]/ з имѣетъ три значенія, которыя переходятъ одно
въ другое, когда ,з одинъ или нѣсколько разъ опишетъ окружность
круга около О, какъ центра.
401. Всякая функція у’(.с) имѣетъ вообще комплексныя зна-
ченія и должка представляться въ видѣ и -ф іѵ, гдѣ ц и ѵ веще-
ственныя функціи вещественныхъ перемѣнныхъ ,ѵ и у. Но функціи
и и ѵ далеко не произвольны, а принадлежатъ къ особому и важ-
ному классу гармоническихъ функцій, т. е. такихъ функцій
<р(х, у), для которыхъ тождественно
Ч.Г.Г + = 0-
Въ самомъ дѣлѣ, разсмотримъ /'(-), какъ функцію отъ независимыхъ
перемѣнныхъ х и у, а ~ какъ функцію х + гѵ отъ этихъ же пере-
мѣнныхъ, трактуя /, какъ нѣкоторую постоянную. Допуская су-
ществованіе производной /' (_ѵ) для вещественнаго ,ѵ, найдемъ, что
первыя частныя производныя отъ /(-) = и -ф іѵ, будутъ
./У(-) = и'г іѵ'х, іУ'(г) = и'у + іѵ'ѵ ,
потому что = 1, = і. Приписывая теперь числу / опять его
значеніе, находимъ
+ + = ІП'х Ѵ'г-
а слѣдовательно,
П) у,
откуда
Если бы и и были произвольныя функціи, то и-\-іѵ, хотя и была
бы комплексною функціею отъ двухъ независимыхъ перемѣнныхъ,
но не функціею отъ одной перемѣнной ; поэтому ее нельзя
было бы обозначать черезъ и тѣмъ болѣе нельзя было бы
придать какой либо опредѣленный смыслъ символу /'{г). Если же
условія (1) выполняются, то легко видѣть слѣдующее:
а) Въ выраженіи
«(•ѵ, У) + іѵ(х, у)
перемѣнныя х и_у входятъ только въ комбинаціи 2 = х + іу. Дѣй-
ствительно, замѣняя х черезъ г- — іу, разсматривая 2, какъ веще-
ственную перемѣнную, а і — какъ нѣкоторую постоянную, для част-
ной производной, взятой по у отъ полученнаго выраженія
г/(г - іу, у) + іѵ(2 - іу, у)
найдемъ слѣдующее выраженіе:
- - Ч? + ~ = П + 11у<
которое приводится къ нулю, если г3 = — 1. Отсюда слѣдуетъ, что
разсматриваемое выраженіе, когда въ немъ подставимъ 2 — іу
вмѣсто х, приводится къ функціи одного 2, и потому его и можно
обозначить черезъ /(х).
Ь) /'(г) допускаетъ такое же опредѣленіе, какое у7 (х) имѣетъ
при вещественномъ х. Дѣйствительно, когда точка 2 переходитъ
въ 2 + <5г, то и и -у получатъ, какъ извѣстно (§ 376), приращенія
= и,, дх + чиду + " > дѵ = ѵ'хдх + ѵ^ду + • •
гдѣ мы пренебрегаемъ членами, которые и по раздѣленіи ихъ на
дх или дѵ стремятся къ нулю вмѣстѣ съ <5 г. Отсюда, принимая
во вниманіе (1), получимъ
<5/ = + іѵ'х) дх + (У + г г/) ду у • • = (и'х + іѵ'у (дх + іду) У ,
и слѣдовательно,
1іт
Надо обратить вниманіе на то, что если условія (1) не выпол-
няются, то лѣвая часть послѣдняго равенства, если и существуетъ, то
зависитъ отъ того, какимъ образомъ дг стремится къ нулю. (I.)
402. Говорятъ (ср. § 261), что функція /"(г) стремится къ
нѣкоторому вещественному или комплексному предѣлу I съ при-
ближеніемъ 2 къ г,, если всякому сколь угодно малому положи-
тельному числу 8 соотвѣтствуетъ такое положительное число к, что
въ кругѣ радіуса к съ центромъ въ г0 всегда /(г} —Г < е. Для
существованія такого предѣла необходимо и достаточно (ср. § 264),
чтобы У(г') —у(з//) । была меньше 6 для всякой пары значеній
и г" внутри круга достаточно малаго радіуса съ центромъ въ г0.
Ясно, что стремленіе У(г) къ предѣлу I = а + Ьі равносильно одно-
временному стремленію и къ а и ѵ къ Ь. Очевидно, что въ этомъ
случаѣ и и ѵ непрерывны, такъ какъ
Ііт и(х, у) = и(х0, у0), Ііт ѵ(х, у) = ѵ(х0, у0),
какимъ бы образомъ г = х іу ни стремилось къ предѣлу
= х0 4- гу0, и обратно, непрерывность и и ѵ влечетъ за собою
и непрерывность /(г).
403. Степенной рядъ
(2) с0 у с-^г у с2^ У у ,
если онъ сходящійся, опредѣляетъ нѣкоторую функцію /(у). Рядъ,
составленный изъ модулей членовъ даннаго ряда, съ своей стороны,
есть степенной рядъ, расположенный по степенямъ вещественной
перемѣнной г — \з\, и имѣетъ (§ 326) нѣкоторый интервалъ схо-
димости ( — о, р), который въ частномъ случаѣ можетъ быть без-
конечнымъ или сводится къ нулю. При г<^о, рядъ модулей
К> I + I сі!г + I с21г2 + I Iг3 + • • •
будетъ сходящійся, и поэтому рядъ (2) будетъ абсолютно сходя-
щійся (§ 398). При г > р, напротивъ, рядъ не будетъ сходящимся,
потому что его общій членъ, не только не стремится къ нулю, но
даже не остается конечнымъ. Дѣйствительно, если бы модуль | сп \ г"
этого общаго члена могъ оставаться меньше нѣкотораго даннаго
числа Ь, при г>р, то имѣли бы, взявъ число г' между р и г,
также
Ы/я<*(т)В’
и рядъ модулей былъ бы сходящимся и внѣ интервала (— р, р),
что противорѣчитъ опредѣленію послѣдняго (§ 190, Ь). Слѣдова-
тельно, рядъ (2) будетъ сходящимся въ кругѣ радіуса р и съ
центромъ въ началѣ координатъ и не будетъ сходящимся внѣ
этого круга, который на этомъ основаніи и называется кругомъ
сходимости даннаго ряда. Сомнительной всегда является сходи-
мость, когда аффиксъ точки принадлежитъ самой окружности круга.
Понятіе о равномѣрной сходимости (§ 315) и относящіяся къ
нему теоремы (§ 321 и слѣдующіе) также легко распространяются
на ряды функцій комплексной перемѣнной. Въ частности, доказа-
тельства равномѣрной сходимости и правила для разысканія
производной степенного ряда оть вещественной перемѣнной
(§§ 325, 329) справедливы и для ряда (2), и позволяютъ утверждать,
что сумма этого ряда есть непрерывная функція /(г), имѣющая
производную
С®) = С) + 2с2г + + 4с4«3 • • >
всегда предполагая, что точки окружности круга сходимости исклю-
чаются.
404. Если не зависящій отъ з членъ ряда (2) неравенъ нулю,
то около начала координатъ можно описать такой кругъ, внутри
котораго не будетъ ни одного корня функціи /(г). Дѣйствительно,
непрерывность функціи /(г) дозволяетъ найти такое положительное
число И, что при | г । < Л всегда /(г)— с0|< соі. Но, на осно-
ваніи послѣдняго замѣчанія § 389, имѣемъ
1/00 2: \со\ - ! «о -/(*) I > 0.
Слѣдовательно, /(г) не обращается въ нуль внутри круга радіуса к
съ центромъ въ началѣ координатъ. Установивъ это положеніе, до-
кажемъ теперь слѣдующую теорему: Два степенныхъ ряда, имѣ-
ющіе, равныя суммы при безчисленномъ множествѣ значе-
ній перемѣнной, стремящихся къ нулю, тождественны. Въ
самомъ дѣлѣ, пусть
ео ~ Со + (Сі - сі) я + (с2 - с') г1 4-
будетъ рядъ, полученный вычитаніемъ одного ряда изъ другого.
Сумма этого ряда обращается въ нуль для безчисленнаго множества
значеній перемѣнной, стремящихся къ нулю, и поэтому обращается
въ нуль внутри сколь угодно малаго круга, съ центромъ въ началѣ
координатъ. Поэтому, с0—с,/ должно быть равно нулю. При с0 = с0'
рядъ
“I- (^2 — с/) & — • •
будетъ обращаться въ нуль для безчисленнаго множества значеній г,
стремящихся къ нулю, слѣдовательно, с, = с/ и т. д. Поэтому дан-
ные ряды необходимо совпадаютъ. Отсюда слѣдуетъ, что воз-
можно только одно разложеніе функціи въ степенной рядъ.
И не трудно было бы убѣдиться (ср. § 329), что это разло-
женіе является именно формулою Маклорена. На вопросѣ о томъ,
какимъ образомъ можно убѣдиться а ргіогі въ законности этого раз-
ложенія для данной функціи, мы здѣсь остановиться не можемъ и
отсылаемъ читателя къ другимъ сочиненіямъ х).
!) Для первоначальнаго изученія полезно ознакомиться съ „Кёзшпё <іи
Соигз д'АпаІузе" раг Мапзіоп. Смотри также его же „Ргіпсірез д’ипе ійёогіе
поиѵеііе дез іопсііопз ёіёгаепіаігез д’ипе ѵагіаЫе ігаадіпаіге” (Аппаіез де іа
Зосіёіё зсіепѣ де Вгихеііез 1885 — 86).
405. По какому бы пути точка г ни приближалась безпре-
дѣльно къ точкѣ д0 внутри круга сходимости ряда (2), функція
У(г) сумма этого ряда, вслѣдствіе своей непрерывности всегда бу-
детъ стремиться къ предѣлу /'(з0)- Но, если точка ,г0 лежитъ на
окружности круга сходимости, этого уже нельзя утверждать, пред-
полагая, конечно, что /Сг0) существуетъ. Для этого случая Абель
доказалъ, что (ср. § 340) Ііт /(г) = /(яо), если г приближается
къ г0 по направленію, нормальному къ окружности круга,
т. е. по радіусу его. Понятно, что г должно приближаться къ
съ внутренней стороны отъ окружности. Это выражаютъ тѣмъ,
что полагаютъ । % = до, при д <1, такъ что и г должно быть
равно д%0, въ силу сдѣланнаго предположенія. Нужно показать, что
разность
/(^о) -/(«) = - ?) + ^о2(1 - I2) + ^з^о3(і ~ ?3) +
стремится къ нулю, когда д стремится къ 1. Полагая ип = спгоп,
а„ = 1 — дп, знаемъ (§ 399), что рядъ а1и1 а.2и2 -|- а3и3
будетъ сходящійся, такъ какъ, по условію, рядъ их и2-\- и3
-----[=У(г0)] сходящійся. Изъ упомянутаго § надо еще взять то,
что всякому сколь угодно малому положительному числу е соот-
вѣтствуетъ такое число ѵ, что, при п~^>ѵ, для всѣхъ разсматривае-
мыхъ значеній д
\ «„+1 “„+! + «и+2 2^2 + ' ’ ’ | = 2 '
Разъ число п назначено, всегда можно найти достаточно близкое
къ 1 значеніе д, чтобы было
I + а2и2 + ••• + апіі„ | < •
Тогда для достаточно близкаго къ о, будемъ имѣть /(г0)—
—/(^)1<е, т. е. 1іт_/(г) = /(г0)- Изъ этой именно теоремы Абель
и вывелъ свою теорему объ умноженіи рядовъ (§ 236).
Важныя трансцендентныя функціи.
406. Показательная функція. Рядъ
1 + 1 + 1 • 2 + 1 • 2 • 3
сходящійся на всей плоскости, потому что рядъ модулей его
членовъ всегда сходящійся (§ 184). Ничто не мѣшаетъ обозна-
чить его сумму черезъ е*, такъ какъ этотъ символъ до сихъ
поръ былъ опредѣленъ только для вещественныхъ значеній г. Если
,е = г (соз 6 + г зіп В), то данный рядъ разложится слѣдующимъ об-
разомъ на два
1 + у соз 0 + —у соз 2 Ѳ + • • • + і ^у зіп 0 + зіп 20 + • • • •
Уже раннѣе (§ 332, Ь), было доказано, что первый рядъ есть разло-
женіе функціи йГС080 соз(гзіп В), а второй —функціи <?’С08Ѳ зіп(гзіпВ).
Отсюда слѣдуетъ
/ = /сойѲ (соз (г зіп Ѳ) + і зіп (г зіп 0)),
т. е.
ех+’у = ,>^(со5_ѵ + /зіп у).
Въ частности, при х = 0 получимъ важную формулу Эйлера
= соз_у + г зіп т,
на основаніи которой предыдущая формула принимаетъ видъ
= ех е,у. Общнѣе, замѣтимъ, что
е' е~’ = ех+х (соз (у у-у' Ц- / зіп (у Ч-.т7)) = ег+г
Слѣдовательно, функція е~ обладаетъ извѣстнымъ свойствомъ
и для комплексныхъ показателей. Наконецъ, на основаніи сказан-
наго въ концѣ § 403, функція ё на всей плоскости непрерывна и
имѣетъ производную ее.
407 Круговыя (тригонометрическія функціи). Точно такъ
же мы вправѣ, для опредѣленія круговыхъ функцій отъ комплекс-
ной перемѣнной, положить
созг=1- — • ь ,.3..,
___ в г'л ! г3
зш^ = у - ь 2 . з + Г2-3-4-5 ~
установивъ сходимость написанныхъ рядовъ, сходимость абсолютную
и равномѣрную на всей плоскости, такъ какъ ряды модулей бу-
дутъ сходящіеся при всякомъ г. Составляя функціи соз з -ф і зіп г
и соз 2 — і зіп г, находимъ
1 + + = у 1 - ^ + - ... - е-іх
т і т і.2 + ’ 1'1-2 ~ ’
такъ что можно писать
ё’ = соз в + і зіп г, е = соз 2 — і зіп в.
Формула Эйлера, слѣдовательно, справедлива и для не веществен-
ныхъ дугъ. Изъ послѣднихъ уравненій еще получаемъ
СОЗ 2 = ~ («' + ЗІП 2 = ~ (е‘г — ё~г~).
Съ помощью этихъ соотношеній легко доказываются основныя фор-
мулы. Тригонометріи, которыя, такимъ образомъ, распространяются
на область комплексныхъ чиселъ. Такъ, напримѣръ, имѣемъ
соз в соз вг = і + «;(г+-=') _|_ е~і,
зіп г зіп в' — -Г (е'<л~" ’ + с 'г} - е‘ 1 — ё~~',
откуда
соз в соз в' — зіп в зіп в' = | (ег(г+~ 1 + = соз (в -|- в'}
и т. д. Замѣняя въ формулахъ, опредѣляющихъ созг и зіп г, г на
— г, найдемъ
соз (— г) = соз г, зіп (— г) = — зіп в,
а предыдущее соотношеніе, при .г’ — — з, дастъ
СОЗ2 В + ЗІП2 2 = 1 .
Наконецъ, замѣтимъ, что производная отъ соз г есть — зіп з, а про-
изводная отъ зіп з есть созз, какъ и для вещественной перемѣнной.
Другія тригонометрическія функціи опредѣляютъ такимъ же обра-
зомъ, какъ въ Тригонометріи вещественной перемѣнной, полагая
1 2 , зіп в 1 ег° - е~~‘г
соз в + ь созг г + е~^
Чтобы показать, какое значительное упрощеніе' приноситъ теорія
комплексныхъ чиселъ въ нѣкоторыхъ вопросахъ, припомнимъ про-
изводящую функцію Эйлеровыхъ чиселъ (§ 354), и замѣтимъ, что
зес гг = еЕі° = соз + г зіп 7Г г = соз Е г.
Такимъ же образомъ имѣемъ
такъ что коэффиціентъ при 2? въ разложеніи этой функціи бу-
детъ (§ 355)
2,+і(2Р+1 1)Б
"2 р\ р\ ( + Ъ ~(р+ 1)1 ( ° *+Г
Иными словами, какъ для вещественныхъ, такъ и для комплекс-
ныхъ г, имѣемъ
з2 5У
2’ + 24
зес з = 1
, з3 2г5 .
і8.3- ...г+ 4- ....
408. Гиперболическія функціи. Такъ какъ основныя фор-
мулы Тригонометріи позволяютъ выразить тригонометрическія функ-
ціи комплекснаго числа & = х-\-іу черезъ функціи вещественнаго
числа х и чисто мнимаго іу, то достаточно найти тригонометриче-
скую интерпретацію этихъ послѣднихъ, чтобы получить въ то же
время интерпретацію всей комплексной Тригонометріи. Разсматривая
формулы
соз і х — (ех + ё~х), зіп і х = ~ (ех — е'г),
приходимъ къ изученію функцій
сіі х = і (е® + е~х), зѣ х = і (ех — ех),
называемыхъ соотвѣтственно гиперболическимъ косинусомъ и
гиперболическимъ синусомъ вещественной перемѣнной х. Такъ
же опредѣляютъ гиперболическій тангенсъ, полагая
зіі х ех — е х
сѣ х
и т. д. Происхожденіе этихъ названій объясняется существованіемъ
очевиднаго соотношенія
сѣ2;г — зй-.ѵ = 1,
которое показываетъ, что зЬл; и сй.ѵ— координаты точки 2 на
равносторонней гиперболѣ (рис. 17), за-
данной уравненіемъ
Л'-' - У- = 1,
точно такъ же, какъ созх и зіп х—коорди-
наты точки Р на окружности круга раді-
уса 1 съ центромъ въ началѣ координатъ.
Если Р' и (2 —точки, симметричныя съ Р
и относительно оси абсциссъ, то площадь
кругового сектора ОРР' измѣряется чи-
сломъ х\ аналогично этому легко пока-
зать, что площадь гиперболическаго сек-
тора О^^' измѣряется соотвѣтствую-
Рис. 17.
щимъ числомъ х. Въ самомъ дѣлѣ, про-
ектируемъ точки А и 0 въ точки В
и К на асимптоту. Такъ какъ площади
ОАВ и ОС^Р эквива-
лентны*), то искомая площадь равна удвоенной площади криволиней-
наго четырехугольника АВРО. Впослѣдствіи мы увидимъ, что эта
, ОК „
послѣдняя площадь измѣряется числомъ 1о§ ^2? . по, очевидно,
ОВ =
ОК =---—--
V 2
ех
1/2'
1
/2
Слѣдовательно, пл. О^^' = = х. Наконецъ, радіусы век-
торы ОР и О О отсѣкаютъ на общей касательной къ кругу и ги-
перболѣ въ точкѣ А отрѣзки, равные соотвѣтственно і^х и Шл*.
Лишь въ характерѣ измѣненія гиперболическія функціи существенно
отличаются отъ круговыхъ. Въ то время какъ х измѣняется отъ 0
до ж, сЬ х измѣняется отъ 1 до ж, зй х отъ 0 до оо , ІЬ х отъ 0
до 1. Для отрицательныхъ значеній х значенія гиперболическихъ
функцій опредѣляются равенствами:
сй (— х) = сЬ х, зй (— х) = — зй х, ІЬ (— х) = — Ій х.
409. Теперь мы докажемъ, что каждому значенію х соотвѣт-
ствуетъ нѣкоторое число
лическая амплитуда
е, Л* I / г?
лежащее между------2~ и "г у (гипеР$0-
х), тригонометрическія функціи котораго
воспроизводятъ, лишь въ другомъ порядкѣ,
гиперболическія функціи отъ х. Пусть Р
(рис. 18) нѣкоторая точка на окружности
круга, описаннаго радіусомъ ОА = 1 изъ
точки О, какъ центра. Пусть, далѣе, бу-
детъ точка встрѣчи касательной къ кругу
въ точкѣ Р съ прямой О А, ^7' —точка
встрѣчи касательной къ кругу въ точкѣ А
съ ОР. Прямая, перпендикулярная къ Ох
въ точкѣ , и прямая, параллельная къ Ох,
проведенная черезъ 01', встрѣчаются въ
нѣкоторой точкѣ О, которая лежитъ на
кривой, служащей для изображенія гиперболическихъ функцій; въ
самомъ дѣлѣ, если обозначимъ уголъ РОх черезъ то будемъ
имѣть
ОО' = ОО" = зес д, ОО' = АО" = і§
откуда ОС^'-— = 1. Теперь и видно, что предыдущія урав-
ненія равносильны слѣдующимъ
сй х = зес зй л- = і§
Изъ нихъ тотчасъ выводимъ слѣдующія:
ІЬх = зіп с, соій х = созес с, зесйл; = со5с, созесЬ х = соі с .
*) Потому что изъ уравненія гиперболы, отнесенной къ асимптотамъ,
выходитъ, что ОВ. АВ = ОО. ОК.
Итакъ, гиперболическіе синусъ и тангенсъ отъ х соотвѣт-
ственно равны тригонометрическимъ тангенсу и синусу отъ
т. е. отъ гиперболической амплитуды х. Подобное же
можно сказать о косекансѣ и котангенсѣ и о косинусѣ и
секансѣ. Далѣе, чтобы видѣть какое соотношеніе связываетъ пе-
ремѣнную х съ ея гиперболическою амплитудою замѣтимъ, что
= сѣ х + зЬ х = зес I + і8| = 1 + у) -
откуда получается х = 1о§1§ Д- соотношеніе, которое можно
написать въ видѣ, подмѣченномъ Лезаномъ
Въ заключеніе, обратимъ вниманіе на соотношеніе между кривыми,
служащими для изображенія тѣхъ и другихъ (круговыхъ и гипер-
болическихъ) функцій. Если Р' и Р" будутъ проекціи точки Р на
Ох и на АС)", то прежде всего можно замѣтить, что касательная
къ гиперболѣ въ точкѣ проходитъ черезъ Р', такъ же, какъ ка-
сательная къ кругу въ точкѣ Р проходитъ черезъ точку і^'. Дѣй-
ствительно, какъ извѣстно, угловой коэффиціентъ первой касатель-
ной
мой
ОР,
00' 00'
равенъ . Обѣ касательныя пересѣкаются на пря-
АР"0” и подобно тому, какъ по построенію 2” лежитъ на
такъ Р" лежитъ на и т. д.
410. Гиперболическія функціи можно также опредѣлить и
для комплексныхъ значеній перемѣнной, положивъ
сЬ г = + е 2), зѣ г = — е 2),
и ихъ соотношенія съ круговыми прямо слѣдуютъ изъ опредѣленія,
потому что изъ него вытекаетъ
, . , зіп іг
сп г = соз гг, зп г = —;—
г
Изъ этихъ уравненій видно, что соотношеніе
сѣ2^ -- зѣ2 з = 1
остается справедливымъ. Далѣе, легко доказать формулы
сЬ ( я + г') = сЬ г сЬ г' + Эѣ г Эѣ Р,
111 (г + я'} =
зѣ (г + г’} = зѣ г сѣ г' + сѣ г сѣ г',
ІЬ г + Ій г'
1 + Иі г Ш г'
и многія другія аналогичныя формуламъ обыкновенной Тригоно-
метріи. Такимъ путемъ создается особый родъ вычисленій, пред-
ставляющій извѣстныя выгоды въ нѣкоторыхъ вопросахъ * *). Замѣ-
тимъ, наконецъ, что всякая круговая или гиперболическая функ-
ція отъ комплексной перемѣнной всегда выражается черезъ кру-
говыя и гиперболическія функціи отъ вещественной перемѣнной.
Напримѣръ,
соз е — соз х сѣ_у — і зіп х зѣ_у, сіі г = созу сЬ х + і зіп.г зѣ х,
зіп 2 = зіп X СІІ + І СОЗ .V 8>1 , Эѣ 3 = созу Эѣ X + і зіпу сѣ .V.
411. Логариѳмическая функція. Формула Эйлера даетъ воз-
можность представить всякое число г въ видѣ гс'Ф Такъ какъ число
Ѳ можно замѣнить черезъ Ѳ -ф- 2кл, гдѣ к цѣлое число *), то можно
также писать
и вмѣстѣ съ тѣмъ, распространяя опредѣленіе натуральнаго ло-
гариѳма,
1°8 (г) — '°2 г + * 0 + 2 ікл.
Символъ 1о§(с) употребляется для обозначенія общаго логариѳма
числа г. Если 2 равно положительному числу г, то послѣдняя фор-
мула даетъ
1о§ (г) = 1о§ г + 2 ікп
(потому что при г = г, Ѳ = 0), и показываетъ, что всякое положи-
тельное число, кромѣ вещественнаго логариѳма, имѣетъ еще безко-
нечное множество мнимыхъ. Далѣе, имѣемъ 1о§ (з) = 1о§(г)-ф-/Ѳ-
Слѣдовательно, прибавляя /0 къ каждому логариѳму г, получимъ
все безчисленное множество логариѳмовъ числа ге'®. Всѣ эти числа
будутъ аффиксами точекъ на прямой, перпендикулярной оси веще-
ственныхъ чиселъ, отстоящихъ одна отъ другой на одно и то же
разстояніе 2л. Когда точка движется по окружности круга съ цент-
ромъ въ началѣ координатъ, то эта прямая передвигается вдоль са-
мой себя, потому что она всегда встрѣчаетъ ось абсциссъ въ одной
и той же точкѣ, изображающей вещественный логариѳмъ модуля 2,.
т. е. число 1о§ | 2 | = Іо^г. Общнѣе, когда г описываетъ какую-ни-
будь сомкнутую кривую около начала координатъ **), то прямая ло-
гариѳмовъ колеблется, передвигаясь вдоль самой себя постоянно
въ одномъ направленіи, между двумя крайними положеніями,
такъ что различные логариѳмы 2 переходятъ одинъ въ другой,
описывая волнообразную кривую. Если же, наоборотъ, 2 описываетъ
і) Для большихъ подробностей можно указать: „Віе ѣейге ѵоп деп
НурегЬеИппкііопеп’ ѵоп Сйпіітег и его же „РагаЬоІізсѣе Ьо§агііѣтеп ипб
рагаЬоІізсѣе Тгі§опотеігіе“.
*) Потому что
й2*.ті _ со8 -|_ г-3іп = 1.
**) При чемъ, слѣдовательно, г измѣняется въ нѣкоторыхъ границахъ
и снова принимаетъ первоначальное значеніе, но не остается постояннымъ,
а 0 постоянно возрастаетъ.
сомкнутую кривую, внутри которой не лежитъ начало координатъ,
тогда не только прямая логариѳмовъ, колеблясь и поперечно и про-
дольно, возвращается въ прежнее положеніе, но то же самое сдѣ-
лаетъ и каждая ея точка, такъ что различныя опредѣленія 1о§ (г)
останутся различными между собою и опишутъ каждый кольцевую
кривую, лежащую между крайними положеніями прямой (I Ьіз).
412. Значеніе ,з'' при с = а-\-гЬ опредѣляютъ, условившись
писать
= ес1о§г = й(а4-й,(1ог»-+гѲ+2«л)_
Модуль д и аргументъ і числа гс имѣютъ, слѣдовательно, значенія
р = г’(Ѳ+2*л)і і = Ъ Іо§ г + а (0 + Ікл) + 2к'п
при произвольныхъ цѣлыхъ значеніяхъ к и к!. Условимся на ми-
нуту разсматривать безконечное множество чиселъ (равныхъ г),
имѣющихъ модуль г и аргументы 0 + 2л;, 0 + 4л, ..., какъ раз-
личныя числа, хотя и изображаемыя одною и тою же точкою. Если
мы примѣнили бы обыкновенныя правила возвышенія въ степень
с *) къ числу г или къ какому угодно другому изъ чиселъ, изобра-
жаемыхъ тою же точкою, то получили бы
= [п+Ѳ+2*+]й+'7' = г«+іЪ. ^ш-іде+гі.-о,
т. е.
= га е~5(0+2*+ . еф1окг+«(Ѳ+2*л)] = ф—2*'+ =
согласно съ опредѣленіемъ. Итакъ, чтобы возвысить г въ степень
с, надо примѣнить обыкновенныя правила ко всему без-
конечному множеству чиселъ, изображаемыхъ одною и
тою же точкою г. Слѣдовательно, существуетъ безчисленное мно-
жество значеній .+. Они составляютъ геометрическую прогрессію съ
знаменателемъ е2'л<! и изображаются точками, лежащими на лога-
риѳмической спирали съ полюсомъ въ началѣ координатъ. Эта
кривая встрѣчаетъ ось ^у-въ параллельно къ Ос и потому обра-
щается въ окружность круга, какъ мы уже видѣли (§ 394), когда
с вещественное число. Если же с чисто мнимое число, то она об-
ращается въ прямую линію. Предыдущія замѣчанія полезно имѣть
въ виду при возвышеніи въ одну и ту же степень двухъ частей
равенства. Иначе можно было бы, напримѣръ, изъ вѣрнаго равен-
ства 2'л = е2*'1, возвышая обѣ части въ степень і, получить не-
лѣпый результатъ е2-'7 = е~2л, между тѣмъ какъ мы въ правѣ
утверждать лишь то, что числа ^2-+і —*) и е~2л:(1+*') равны между
собою при прилично выбранныхъ цѣлыхъ числахъ к и к', что на
самомъ дѣлѣ и будетъ при к -- к' = 2. (II).
і:) Т. е. возвышеніе модуля въ степень с и умноженіе аргумента на с.
Геометрическія упражненія.
413. Криволинейныя координаты. Если двѣ вещественныя функ-
ціи и и ѵ отъ двухъ независимыхъ (вещественныхъ) перемѣнныхъ х и у
приравняемъ нѣкоторымъ вещественнымъ постояннымъ а и Ь, то уравне-
нія и = а, ѵ = Ь, представятъ двѣ опредѣленныя линіи на плоскости. Если
существуетъ лишь одна пара значеній а и Ь, при которыхъ эти линіи про-
ходятъ черезъ данную точку М, и другихъ общихъ точекъ, по крайней
мѣрѣ, въ ограниченной части плоскости, эти линіи не имѣютъ, то числа а и Ь
могутъ служить для опредѣленія положенія точки М въ этой части плоско-
сти, и называются поэтому криволинейными координатами точки М.
Если функціи и и ѵ получаются черезъ отдѣленіе вещественной части отъ
чисто мнимой въ выраженіи нѣкоторой функціи /(«) отъ комплексной пере-
мѣнной з = х + іу, то всѣ линіи, опредѣляемыя уравненіемъ гі = а, при
безчисленномъ множествѣ значеній постоянной а, встрѣчаютъ всегда подъ
прямымъ угломъ линіи, изображаемыя уравненіями ѵ — Ь. Это обстоятель-
ство выражаютъ тѣмъ, что получаемыя такимъ образомъ системы криволи-
нейныхъ координатъ называютъ ортогональными *). Чтобы убѣдиться
въ сказанномъ, замѣтимъ, что найденныя въ § 404 условія (1) выражаютъ
именно условія перпендикулярности касательныхъ въ общей точкѣ къ кри-
вымъ и = а и ѵ = Ь, такъ какъ произведеніе угловыхъ коэффиціентовъ
этихъ касательныхъ
»с ѵ и
-У и = -4 (Ш).
иу ѵу
равно — 1. Обыкновенная система прямолинейныхъ Декартовыхъ коорди-
натъ доставляется функціею з, или общнѣе функціею аз + Д гдѣ а и ,3
какія угодно вещественныя или комплексныя постоянныя. Если же возьмемъ
функцію г2, то одна система линій будутъ равностороннія гиперболы, для
которыхъ оси Ох и Оу — асимптоты, а другая — тѣ же гиперболы, но по-
вернутыя около общаго центра
О на уголъ, равный Функція У з дастъ
параболы съ фокусомъ въ О и осью симметріи Ох. Функціи
Іо^з, 1о§ 1о§ г, 1о§ ---—
% —
даютъ также интересныя координатныя системы. Первая даетъ обыкновен-
ныя полярныя координаты, для второй — одна изъ системъ координатныхъ
линій будетъ система логариѳмическихъ спиралей съ полюсомъ въ началѣ
координатъ. Третья даетъ систему такъ называемыхъ диполярныхъ коор-
динатъ, весьма полезныхъ въ Электростатикѣ і). Пусть г, и г2 разстоянія
отъ точки з до точекъ зг и з2, а ір уголъ, подъ которымъ отрѣзокъ зхз2
виденъ изъ точки з; тогда имѣемъ
1о§
3 — зг
3 — з2
1о§
*) Выраженіе: двѣ кривыя пересѣкаются подъ прямымъ угломъ или
ортогонально, означаетъ, что касательныя къ этимъ кривымъ въ общей
точкѣ взаимно перпендикулярны.
х) См. ВеНІ. Теогіса сіеііе Іогге пехѵіопіапе (р. 189). Есть нѣмецкій
переводъ Рг. Меуег.
такъ что можно положить и = Іое-1, ?/ = </. Линіи одной системы, (р = сопяі.,
г2
будутъ круги, проходящіе черезъ точки и в2 (полюсы). Линіи другой,
опредѣляемыя уравненіемъ = сопзѣ, будутъ также круги, ортогональные
къ первой системѣ круговъ. Къ числу круговъ этой первой системы (какъ пре-
дѣльный случай) принадлежитъ и прямая, проходящая черезъ точки в± и г2;
на этой прямой лежатъ, слѣдовательно, центры круговъ второй системы.
Можно было бы возразить, что два круга, пересѣкающіеся въ точкѣ в, пе-
ресѣкутся еще въ другой точкѣ. Но эта другая, хотя и имѣетъ съ в общую
координату и, но различныя ѵ, потому что полюсы (в, и в2) раздѣляютъ
первый кругъ на двѣ части: въ одной ѵ = гр, а въ другой ѵ = ѵ — (р (IV).
414. Функція
Іо§ (У« — + У г - Т2)
доставляетъ совокупность всѣхъ коническихъ сѣченій, имѣющихъ общіе
фокусы въ точкахъ вг и в2. Въ самомъ дѣлѣ, вычитая изъ данной функціи
постоянное число Іо§ (в2 — вг), мы можемъ затѣмъ положить
Ув - в± + У в ~ в2 = УУ2 - • еи+іѵ
и слѣдовательно,
- уВ - с, = уВ2 -
откуда получаемъ
1' г - г, = Ув2 — вА (сіі и соз ѵ + і 811 « зіп г),
У в — в2 = У в2 — г, (зѣ и соз ѵ -|- г сіі и зіп ѵ).
Взявъ теперь квадраты модулей (§ 389), найдемъ
г± = г(сѣ2 и соз2 ѵ + зй2 и зіп2 ѵ), г2 = г(зѣ2 и соз2 г? сѣ2 м зіп2г1),
гдѣ г обозначаетъ разстояніе между точками и в2, а и г2 имѣютъ тѣ
же значенія, какъ въ предыдущемъ упражненіи. Поэтому
гі + г2 — г сЬ 2г/, г1 — г2 = г соз 2ѵ.
Отсюда слѣдуетъ, что линіи г/= сопзѣ будутъ эллипсы съ фокусами въ
вг и в2, а линіи ѵ — сопзі. гиперболы съ тѣми же фокусами. Замѣтимъ
еще, что ге2и и гё~2и будутъ модули чиселъ
(1'г - г, + Ув — г2)" = — (в^ + в2) ± 2 У {в — вг) (в — в2)
и потому можно утверждать, что сумма разстояній точки в отъ какихъ
угодно двухъ другихъ ві и в2 равна
I & і Уі + ^з) + У У еі) V® У)
+1«- і («і + у — У у - у - у I •
Этотъ результатъ можно, впрочемъ, доказать непосредственно, припоми-
ная (§ 389), что модули суммы и разности двухъ чиселъ с и с' измѣряются
діагоналями параллелограмма, построеннаго на Ос и Ос'. Такъ какъ сумма
квадратовъ діагоналей равна суммѣ квадратовъ четырехъ сторонъ, то
имѣемъ
И2 + К І2 = і(І^ + ^ |2 + |с-^ I2)-
Положимъ теперь с=уз— с' = Уг— «2 и замѣтимъ, что всегда
I с ]2 = | с2 |; тогда тотчасъ увидимъ, что выраженіе (3) совпадаетъ съ
| | + | я — |, т. е. равно суммѣ разстояній точки г отъ и «2.
415.' Интересное приложеніе послѣдняго полученнаго результата мы
найдемъ, разсматривая функцію Дг) = (« — (г — «21 (г — «8), обращаю-
щуюся въ нуль въ точкахъ Впослѣдствіи мы увидимъ, что къ
такому виду можно привести любой полиномъ 3-ей степени отъ г (съ коэф-
фиціентомъ 1 при в3). Производная этой функціи
(4) Д (г) = Зг2 2 (.гр + + в'з) а + (-а^з 4* ^з-®! 4* ^і^з)
обращается въ нуль въ точкахъ и , симметрично расположенныхъ отно-
сительно точки
+ $') = М-®! + г2 + «з) = Й)>
т. е., такъ называемаго, центра тяжести треугольника ^г^з, и это уже
составляетъ одно изъ замѣчательныхъ свойствъ даннаго полинома. Въ сере-
динѣ одной изъ сторонъ, напримѣръ, въ = 1 («2 + г8) функція
/' О) = (« - «а) - «з) + (« — «з) (« — -і) + (« ~ ®і) (г - г2)
принимаетъ значеніе —1(^2 — «3)2. а такъ какъ
У У) = з^-о (^ - Г).
то
(5) (П. - 0 (И - ^) = - Д(«а - «з)2-
Составляя теперь по формулѣ (3) выраженія для разстояній точки отъ
и видимъ, что эти разстоянія будутъ модули слѣдующихъ чиселъ
Т1 ~~ 2" 4~ О ± 2 у-д С®2 ~ «з) ~ ~~ з' + д (^2 + ^з) + (#2 ” «з) •
Вводя сюда мнимые корни третьей степени изъ 1 (§ 394)
® = ~^ + ^У'3, а2 = -~-^УЗ,
можно вышенаписанныя числа, измѣнивъ знакъ, представить такъ
М + Ъ К» + И2) («2 + «з) + (ы - «4 («2 - «з) ] •
Полагая еще
(6) -|- О2^2 4" 0^3 = 3^1’ 4- '^^2 4~ ^2^з — 3(?2*
найдемъ, что эти числа будутъ и ^2- Слѣдовательно, сумма разстояній
отъ и будетъ равна , й.' 4- I & I- Если вмѣсто тг возьмемъ т2 или г3 —
середины сторонъ и то надо будетъ замѣнить выраженія (6)
соотвѣтственно слѣдующими:
^2 “I- Аз “I- === Зе)^х, ^2 4" "И А; “I- 3<Д~^2>
<^д —|— 4” Ш А? ~ ~Г 4~ ~2 == Зф ^2 •
Выраженіе (3) приметъ въ этихъ случаяхъ значенія
I ® & I 4~ I 6)2 & Ь і ®2 й. I + I и й । >
т. е. опять то же самое значеніе | | + | 4, |, такъ какъ модули и и а2
равны 1. Отсюда слѣдуетъ, что точки т1г т2, т3 принадлежатъ эллипсу,
фокусы котораго въ точкахъ и 1^2, а центръ, слѣдовательно, въ
Далѣе (см. § 390), изъ формулы (5) слѣдуетъ, если аг§ а обозначаетъ
вообще аргументъ числа г, что
ті — С . тх — I?
агё ~—Д + аг§ ѵ—Г = п-
•»2 ~ "3 ~
Это обозначаетъ, что лучи гх^ и одинаково наклонены къ прямой г2~з-
Эта прямая будетъ, слѣдовательно, касательная къ эллипсу въ точкѣ гх.
Итакъ, если извѣстны корни я2, я3 полинома третьей степени, то корни
производной этого полинома будутъ лежать въ фокусахъ эллипса,
касающагося сторонъ треугольника въ серединахъ этихъ
сторонъ х). Замѣтимъ въ заключеніе, что корни производной и весьма
легко выражаются въ числахъ ^0, и (2. А именно, перемножая равен-
ства (6) и замѣчая, что 1 + и + и2 = 0, получаемъ
~і2 4* -з'а2 + ~:Г -г А: «з^і А1А2 = 9 і\ А-
Съ другой стороны, имѣемъ
А2 4* а2 + А2 4" 2я2я3 4~ 2^3а 4- <2я-^я2 = 9 402.
Слѣдовательно, г2г3 + гзгі + А ^2 = 3(й>2 — й.й)- Вслѣдствіе этого выраже-
ніе (4) для производной принимаетъ видъ
/'(«) =3((«-Й))2—
откуда
(7) ? = 5» + V “ V й. & •
416. Линейныя подстановки. Полагая «'=/(«), мы опредѣляемъ
нѣкоторое геометрическое преобразованіе, переводящее каждую точку г въ
другую опредѣленную точку г’. Изучая, напримѣръ, преобразованія
(8) г' = г-|-г. г' == сг,
тотчасъ видимъ, что прибавленіе постоянной с къ аффиксу каждой точки г
равносильно поступательному перемѣщенію фигуры. Величина и напра-
вленіе этого перемѣщенія опредѣляется отрѣзкомъ Ос. Умноженіе аффикса
!) Эта интересная теорема въ общей формѣ для полинома любой
степени дана Ѵап сіег Ветхомъ въ Міеиѵѵ АгсЬіеі ѵоог ІѴізкипбе XV, р. 140.
на постоянное с производитъ вращеніе около точки О на уголъ, равный
аргументу числа с, и расширеніе (или сжатіе) изъ точки О, измѣряемое
модулемъ с. Наконецъ, преобразованіе, переводящее точки г въ точки —,
&
равносильно сочетанію обращенія (замѣны г на -), или преобразованія
взаимныхъ радіусовъ векторовъ по отношенію къ кругу радіуса 1 съ цент-
ромъ въ 0, и зеркальнаго изображенія фигуры (замѣны Ѳ на — 0) въ
ея плоскости на оси вещественныхъ чиселъ. Всѣ эти преобразованія част-
ные случаи слѣдующаго
~ + б’
которое называется линейною подстановкою. При этомъ, однако, всегда
надо предполагать, что опредѣлитель подстановки /1 = ад — ,?•/ не ра-
венъ 0, иначе получалось бы, что г' = сопві., т. е. всѣмъ точкамъ на пло-
скости соотвѣтствовала бы одна и та же точка У. Замѣчая, далѣе, что г'
можно написать такъ:
/ 1 I л \
~ = - «---------->
7 \ 7« + <Ѵ
видимъ, что всякая линейная подстановка разлагается на нѣсколько про-
стыхъ, вида (8).
417. Ангармоническія отношенія (ПорреІѵегѣаИпіззе). Когда даны
4 числа г, вх, г2, то вообще говоря возможно найти три числа кх, к2, к3,
не равныя нулю одновременно, сумма которыхъ равна нулю и которыя въ
то же время удовлетворяютъ соотношенію
(9) + ^а^з) + к2[зг2 -|- + к3(гз3 -|- — О-
Нужно только положить
^1 = (^^2 + «3«1) — + 3122> е1) («2 гз)’
^2 = (-3 «3 + ^1 -»! + е‘> «з) ~ ^2) ("®3 ~~ 51) ’
^3 = + -'2-з' (^"2 + еЗг1) ~ (г ~~ О7! — г2'і<
Значенія взаимныхъ отношеній чиселъ к, одного къ другому, взятыя съ
обратными знаками, называются ангармоническими отношеніями четы-
рехъ чиселъ, при чемъ отношеніе —~ есть ангармоническое отношеніе
чиселъ г, е2, ^3, взятыхъ въ написанномъ порядкѣ; его обозначаютъ
черезъ («^^2^3), такъ что
Если не обращать вниманія на порядокъ чиселъ, то получится шесть зна-
ченій ангармоническаго отношенія, а именно;
к2 _ . к,, _ _ 1 кх _ к., + к3 __ 1
к3 ’’ кх к.2 + кя 1 — к2 к.> /. ’
____^з__ 2.______ к2 т ^з _ । ___к2_______к2_____ __к_
к2 к ’ кя к3 ’ ’ кх к2 + кя к — 1
Если изъ трехъ коэффиціентовъ к два между собою равны, то шесть ангар-
моническихъ отношеній приводятся къ тремъ — 1, 2, и положеніе четы-
рехъ точекъ в, в1У в2, г3 въ этомъ случаѣ называется гармоническимъ.
Если же коэффиціенты к въ равенствѣ (9) будутъ равны 1, со, со2 т. е.
тремъ кубическимъ корнямъ изъ 1, то 6 ангармоническихъ отношеній при-
ведутся къ двумъ, а именно къ мнимымъ кубическимъ корнямъ изъ — 1,
и положеніе четырехъ точекъ з-, «1, в2, в9 называется тогда эквигармо-
ническимъ. Если грд обозначаетъ модуль разности вр — вГІ, т. е. разстояніе
между точками в и то модуль равенъ
Гоа. Па = ПаНз,
Пз'Пз НзПа’
а аргументъ равенъ разности или суммѣ угловъ, подъ которыми отрѣзокъ
в.,в-л виденъ изъ точекъ в и -у. Отсюда, между прочимъ, слѣдуеть, что если
ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ число веществен-
ное, то эти четыре точки лежать на окружности одного и того же
круга *), и наоборотъ. Ангармоническое отношеніе, какъ видимъ,
имѣетъ чисто геометрическій характеръ, и поэтому не измѣняется ни
при какомъ перемѣщеній координатныхъ осей. Если замѣтимъ, что всякое такое
перемѣщеніе равносильно подстановкѣ в' — ав 4- /?, при чемъ | « | = 1 **),
то самъ собою является вопросъ о вліяніи какой угодно линейной подста-
новки на ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ. Выполняя по очереди
элементарныя подстановки (8), на которыя разлагается самая общая, т. е.
преобразуя всякое число у, въ вр с, или свр, или —, увидимъ, что соот-
ношеніе (9) остается всегда справедливымъ ***). Слѣдовательно, линейныя
подстановки ангармоническаго отношенія не мѣняютъ. Отсюда въ
частности вытекаетъ, что линейная подстановка преобразуетъ круги на пло-
скости въ круги же, потому что мы видѣли, что четыре точки на окруж-
ности круга имѣютъ вещественныя ангармоническія отношенія, и наоборотъ.
Такъ какъ эти отношенія остаются вещественными и послѣ линейнаго
преобразованія, то четыре точки остаются на окружности круга и послѣ
преобразованія.
418. Остановимся еше на минутуг) на разсмотрѣніи линейныхъ под-
становокъ и докажемъ, что розысканіе точки в', соотвѣтствующей данной
точкЬ в, вообще говоря, приводится къ опредѣленію четвертой точки, кото-
рая съ тремя данными имѣетъ данное ангармоническое отношеніе. Сперва
замѣтимъ, что линейная подстановка оставляетъ въ покоѣ двѣ точки (такъ
называемыя двойныя точки). Онѣ будутъ корнями вх и в2 того уравненія,
которое выражетъ требованіе в' — в, т. е.
7-г2 - (а - <5)в — ,3 = 0.
*) Потому что тогда аргументъ отношенія равенъ нулю, а слѣдо-
вательно, упомянутые углы или равны между собою или дополняютъ другъ
друга до 2 я.
**) См. общія формулы преобразованія ортогональныхъ координатъ:
х = х' соз <э — у’ зіп и + а
у = х' ЗІП И + у' СОЗ СО + Ь.
***) Надо помнить, что кх + к2 + к3 = 0.
Ч Дальнѣйшія свѣдѣнія о линейныхъ подстановкахъ читатель мо-
жетъ почерпнуть изъ „Тѣеогу оі (ипсііопз оі а сотріех ѵагіаЫе" Еогзуііі
(р. 512.)
Изъ этого уравненія выводимъ
2-/г1 = а — д + У~(а + д)2 — 4Л, 2уг2 = а — д — У(а + й)2 — 44.
Принимая еще во вниманіе, что а — д = у {г1 -|- «2), $ = — уй1й2, 'легко по-
лучимъ
а ~ 7#і
у г + д
— Зу —
(* - «і).
- «2 =
« — 7^2
7« + й
<Л~ ^2).
откуда, предполагая йх не равнымъ г2, найдемъ
, . а + <5 — ]Ла +<5)2 —44
(й'йй,й^ = -----------—-----------•
а + д + Ѵ^(а + д)2-4^
Представляя себѣ, что величина этого ангармоническаго отношенія л измѣ-
няется, при чемъ двойныя точки г-, и й2 и данная точка й остаются непод-
вижными, видимъ,, что точка гг Передвигается по плоскости такъ, что каж-
дому значенію Л соотвѣтствуетъ опредѣленное положеніе точки г'. Мы имѣ-
емъ, кромѣ того,
, й’ — «1 , . , , г — г±
1о8т>—г = °8 Л + °8 Т—Г1 ’
5 — ^2 & — ^2
а потому, на основаніи сказаннаго въ концѣ § 413, мы въ правѣ утверждать
что если измѣняется только модуль Л, то точка г' описываетъ окружность
круга, проходящую черезъ и й2, а когда измѣняется только аргументъ
то й' описываетъ ортогональную къ первой окружность круга съ центромъ
на прямой йгй2.
419. Теперь мы можемъ построить
тѣ точки й, которыя съ тремя
данными точками расположены гармонически или эквигармонически
(рис. 19). Положимъ сперва, что требуется найти точку й для которой
(йй^й^) = — 1. Мы знаемъ уже что
Л'' она должна лежать на окружности
'У' круга, описаннаго около треугольника
.о____, / •§ Далѣе, пусть точки
б>1, ^2’ бУдУтъ точки пересѣченія
У' //ѴЧх сторонъ треугольника съ касательными
/ / / \ \ \ къ описанному кругу въ противопо-
I .х / \ \ ложныхъ каждой сторонѣ вершинахъ.
/ \ I Кругъ, описанный изъ точки С\ ра-
_________________у -~>О, діусомъ О1й1, есть извѣстный въ эле-
’Ѵ Г*-ментарной Геометріи Аполлоніевъ
'ч \ кругъ треугольника йхй2й3, соотвѣт-
ствующій вершинѣ йг. Онъ, очевидно,
пересѣкаетъ кругъ йхй2й3 ортогональ-
\ но, а слѣдовательно, будетъ общимъ
\ мѣстомъ точекъ й, для которыхъ мо-
дуль (ййай2й.^ число постоянное, рав-
Рис. 19. ное модулю этого отношенія въ точкѣ
йу, т. е. 1. Слѣдовательно, искомая
точка есть другая точка пересѣченія йг Аполлойіева круга съ кру-
гомъ гуг^з- Эта точка называется гармонически сопряженною съ й± от-
носительно й2й3. Подобнымъ же образомъ, другіе два Аполлоніевы круга пере-
сѣкаютъ кругъ кромѣ точекъ й2 и й3, въ точкахъ и й3, гармо-
нически сопряженныхъ съ й2 и й3 относительно йуй3 и йгй2. Такъ какъ, по
извѣстной теоремѣ, точки О1г О2, О3 лежатъ на одной прямой, то прямыя
г.,з2 и ~3с3 проходятъ черезъ одну точку. Дѣйствительно, эти пря-
мыя поляры точекъ Ог, О2 и О3 относительно круга г^-г^з, и пересѣкаются
поэтому въ полюсѣ прямой О1О2О3, т. е. въ такъ называемой точкѣ Ле-
муана треугольника е1г2г3.
420. Найдемъ, во вторыхъ, точки г, для которыхъ равно
одному изъ чиселъ —и, —и2 (при и3= 1). Точка г = г, для которой
). = (&г^2г^ = — а,
должна находиться на окружности перваго Аполлоніева круга треуголь-
ника •е1г2г3 (какъ всякая другая точка, для которой модуль Л = 1). Но такъ
какъ, по извѣстнымъ свойствамъ кубическихъ корней изъ 1
(4 = (гг2 :'3~1) ~ — ~~ ы>
то та же точка т должна находиться и на двухъ другихъ Аполлоніевыхъ
кругахъ. Точно также точка т’, для которой
(У З^2гя) = (г7«2«згі) = (т'г3^2) = — а>2,
будетъ второю точкою пересѣченія трехъ Аполлоніевыхъ круговъ, которые,
такимъ образомъ, пересѣкаются въ двухъ только точкахъ, что, впрочемъ,
извѣстно изъ элементарной Геометріи. Эти точки, отличающіяся многими
интересными свойствами !), называются изодинамическими центрами
треугольника ^1^2^3. Надо замѣтить, что треугольники г1 г2«3 и «1,«2/«3/
имѣютъ общіе круги Аполлонія, а слѣдовательно, и общіе изодинамическіе
центры. Кромѣ того, каждый изъ этихъ центровъ образуетъ съ вершинами
того и другого треугольника такую группу четырехъ точекъ, въ которой
каждая точка есть изодинамическій центръ треугольника, образуемаго тремя
другими. Замѣтимъ въ заключеніе, что соотношеніе (9), примѣненное къ на-
стоящему случаю, непосредственно даетъ выраженіе для г и г7, а именно:
^2^3 ~Г ^з^і —ѣ ЧІ ^2 , 5^2 г3 —(- (О ~>3 —|— О2 >2 у &2
"і 4- О2 &2 —(- О &3 -у —(О <-2 4“ О)2 3
Въ то же время изъ формулы (6), припоминая, что + «2 + «3 = 3^,
легко находимъ
— ЙЬ 4“ Й1 + йз1 ~ Йо + ® Й1 4” О)2 Йз «3 = Йо 4“ О2 Й1 4“ И Йз >
а потому
Й2 ЛЗ
Т = ЙО - > г7 = Йо -
Эти формулы вмѣстѣ съ (7) могутъ давать различные и интересные резуль-
таты, изъ которыхъ мы приведемъ только одинъ: (ЙЙ/тт7)=—1. Слѣдовательно,
точки Й, Й4 т> т' лежатъ на окружности круга, на которой первыя двѣ
гармонически отдѣляютъ послѣднія двѣ.
4 ИеиЬег§: „Мётоіге виг 1е іёігаёбге” (Мётоігез бе ГАсаб. бе Веі-
§ідие, 1884).
КВНТЕРНІОНЫ.
421. Изложенная выше въ геометрической формѣ, по Арганду
(Аг^апсі), теорія комплексныхъ чиселъ, хотя и не вполнѣ строга съ
точки зрѣнія чистой Математики, весьма однако приспособлена къ
цѣлямъ преподаванія, и даетъ въ то же время цѣнныя средства какъ
въ вопросахъ Анализа, такъ и въ изученіи геометрическихъ соот-
ношеній на плоскости. Тѣмъ не менѣе желательно имѣть возмож-
ность чисто алгебраическую теорію развить исключительно алгебра-
ическимъ путемъ. Этой цѣли легко можно достигнуть, разсматри-
вая комплексное число а + іЪ, какъ аггрегатъ (сочетаніе) двухъ
вещественнныхъ чиселъ а и Ь разнаго рода. При этомъ естественно
является мысль разсматривать общнѣе разнородный комплексъ нѣ-
сколькихъ чиселъ а0, аѵ, а2,..., который можно обозначить сим-
воломъ а0-ф-г\а1 +/-2«г + • • •, въ которомъ знаки гх, ... служатъ
только для характеристики различной природы чиселъ а0, аіг а2, ...
Тѣ же знаки служатъ впрочемъ и для краткаго обозначенія еди-
ницъ мѣры для каждаго рода величинъ, такъ что вмѣсто іг. 1 пи-
шутъ просто іг. Но всегда нужно имѣть въ виду, что только въ
этомъ смыслѣ знаки іг входятъ въ вычисленіе, какъ настоящія числа.
Равенство двухъ комплексныхъ чиселъ заключаетъ въ себѣ равен-
ства всѣхъ соотвѣтствующихъ составныхъ частей обоихъ чиселъ, по-
тому что различныя единицы предполагаются неприводимыми пу-
темъ сложенія. На томъ же основаніи равенство
а0 + а1 4“ ?2 а2 4“ = О
заключаетъ въ себѣ всѣ равенства ай = 0, а1 = 0, а2 = 0, и т. д.,
и наоборотъ. Для подобнаго рода чиселъ легко построить алге-
браическое вычисленіе, руководясь принципомъ, который Ганкель
(Напкеі) назвалъ принципомъ незыблемости правилъ вычисле-
нія. Что касается сложенія, то, понимаемое въ обыкновенномъ
смыслѣ слова, оно, конечно, производится путемъ сложенія соотвѣт-
ствующихъ составныхъ частей данныхъ чиселъ, такъ что
а + 4~ • • • = а\) 4- Ьй + • • • + гі («і + &і + • •) + 4 (я2 4* ^2 4- •) 4~
Умноженіе, напротивъ, не имѣетъ никакого смысла, пока мы сами ему
такового не придадимъ, слѣдуя, насколько возможно, принципу не-
зыблемости. Если хотимъ, чтобы умноженіе а на Ь производилось,
какъ въ обыкновенной Алгебрѣ, то прежде всего должны стараться
сохранить такъ называемое сочетательное свойство, потому что
нарушеніе его въ корнѣ запутало бы вычисленія; для достиженія этой
цѣли достаточно принять, что различныя единицы пользуются этимъ
свойствомъ, т. е., напримѣръ, (гг/8)г) = іг(г8іі). Но перемѣститель-
наго закона нельзя уже сохранить, какъ въ теоріи обыкновенныхъ
комплексныхъ чиселъ вида и потому приходится отли-
чать ігія отъ 44- Но надо замѣтить, что обыкновенное значеніе
умноженія, а слѣдовательно, и обыкновенныя правила умноженія
двухъ чиселъ остаются въ силѣ, когда одинъ изъ множителей число
вещественное. Въ этомъ случаѣ, напр., имѣемъ
аЬ = а0Ь + г', Ь -|- і^а^Ь -|- • • = Ьа.
\Т2.. Мы будемъ здѣсь изучать кватерніоны, т. е. ком-
плексныя числа, составленныя изъ величинъ четырехъ различныхъ
родовъ:
СІ = СІ^ —^9 -Н /3 •
Для того, чтобы вычисленіе съ такими числами заключало въ себѣ,
какъ частный случай, вычисленіе съ обыкновенными комплексными
числами, необходимо, чтобы квадратъ одной изъ единицъ былъ бы
равенъ — 1, а затѣмъ то же условіе, по симметріи, налагается и на
другія единицы. Всѣ они неприводимы одна къ другой путемъ сло-
женія. Но если желаемъ, чтобы умноженіе нѣсколькихъ кватерні-
оновъ давало опять кватерніонъ, нужно принять, что произведеніе
нѣсколькихъ единицъ линейно выражается въ самыхъ единицахъ.
Съ этою цѣлью, слѣдуя изобрѣтателю кватерніоновъ1), мы устано-
вимъ слѣдующія равенства:
(1)
«2 = - 1 >
г3 = 1,
*2г3 = гЗг2 = «1,
г'зг1 — ~ г1г3 —
г'1г2 = *2г'1 = г3-
Они, очевидно, нарушаютъ перемѣстительный законъ умноженія, но
сохраняютъ, какъ легко видѣть, сочетательный. Это простѣйшія
изъ возможныхъ предположеній, но не единственныя. Ничто не
мѣшаетъ, напримѣръ, положить квадраты единицъ равными нулю,
и тогда получается особый родъ алгебраическаго вычисленія, въ
которомъ, между прочимъ, произведеніе можетъ обращаться въ нуль
безъ того, чтобы одинъ изъ множителей былъ равенъ нулю. Это
вычисленіе — такъ называемое исчисленіе знакоперемѣнныхъ чи-
селъ (аііегпігепсіе 7аЫеп) позволяетъ, между, прочимъ весьма просто
изложитъ теорію опредѣлителей, такъ какъ всякій опредѣлитель
и-го порядка представляется въ видѣ произведенія п комплексныхъ
чиселъ. Эти числа изобрѣтены Грассманомъ, которому принадлежитъ
также введеніе многихъ смѣлыхъ и широкихъ понятій, положенныхъ
имъ въ основу его „Ученія о протяженіяхъ" („АизбеЬпип^зІеЬге") 2).
Э НатіИоп: ..Еіетепіъ оі С^иаіегпіопя ‘ (Ьогкіоп 1866). См. также
учебники Ноііеі, Ьаіаапі, Сомова („Векторіальный Анализъ”) и др.
2) „Аи8(1еѣпип§5ІеЬге“ 1862 (8іеШп). См. также Реапо „Саісоіо §ео-
теігісо-' (Тогіпо 1888).
423. Опредѣленія. Если ах = аг = аъ = 0, то кватерніонъ
обращается въ вещественное число а0 и называется тогда скаля-
ромъ (Зкаіаг). Если, наоборотъ, а,, = 0, то кватерніонъ называется
векторомъ (Ѵекіог). Всякій кватерніонъ а состоитъ, слѣдовательно,
изъ скалярной части, обозначаемой черезъ §а, и изъ векторіаль-
ной, обозначаемой черезъ ^а:
а = §я -|- зря.
Модулемъ или тензоромъ называютъ, и обозначаютъ черезъ
\а\, число всегда вещественное и положи-
тельное. Когда модуль равенъ 1, то кватерніонъ называется еди-
ничнымъ кватерніономъ (ЕіпЬеііздиаіегпіоп). Всякій кватерніонъ
равенъ произведенію его модуля на нѣкоторый единичный кватер-
ніонъ, называемый версоромъ а и равный
И + Чя"| + ’2 |я| + •
Версоръ векторіальной части есть единичный векторъ и назы-
вается осью кватерніона. Если А есть модуль кватерніона а, то,
очевидно, можно положить
я0 = А соз Ѳ, + «з2 + «з2 = А зіп 9,
и опредѣляемый такимъ образомъ уголъ 9 называется аргумен-
томъ кватерніона. Если для краткости обозначимъ версоръ (ось)
черезъ Л, то будемъ имѣть
§я = А соз 0, ®)я = Л А зіп Ѳ.
Отсюда слѣдуетъ, что кватерніонъ всегда можно представить въ
видѣ
а = А (соз Ѳ + л зіп Ѳ),
гдѣ, А, О, Л — модуль, аргументъ и ось кватерніона. Кватерніонъ
А (соз 0 — Лзіп Ѳ) называется сопряженнымъ съ а и обозначается
знакомъ а. Сопряженные кватерніоны отличаются одинъ отъ дру-
гого только знакомъ при векторіальной части.
424. Геометрическое изображеніе (рис. 20). Векторъ
На\ + г2яг + геометрически изображается прямолинейнымъ от-
рѣзкомъ, имѣющимъ проекціи ах, а2, аг на трехъ взаимно перпен-
дикулярныхъ координатныхъ осяхъ. Въ частности, всякій радіусъ
шара съ центромъ въ началѣ координатъ и радіусомъ 1 изобра-
жаетъ единичный векторъ. На поверхности шара можно также изо-
бразить всякій единичный кватерніонъ (версоръ). Дѣйствительно,
всякій единичный векторъ Л опредѣляется точкою Р, концомъ изо-
бражающаго радіуса, и двѣ діаметрально противоположныя точки
на поверхности шара изображаютъ два сопряженныхъ вектора. Если
теперь данъ будетъ нѣкоторый версоръ съ осью 2 и аргументомъ 9,
то можно будетъ его изобразить на окружности большого круга,
полюсъ котораго находится въ Р, слѣдующимъ образомъ: отложимъ
на окружности этого большого круга отъ произвольной начальной
точки дугу Ѳ въ томъ или другомъ направленіи, смотря по тому,
будетъ ли Ѳ > 0 или < 0. Условились считать положительнымъ на-
правленіемъ дугъ 9 направленіе, противоположное движенію часовой
стрѣлки для наблюдателя, находящагося въ Р. Каждая опредѣленная
дуга, отложенная сперва въ одномъ, а потомъ въ противоположномъ
направленіи, изображаетъ всегда два сопряженныхъ версора, потому
что измѣненіе 2 въ — 2 равносильно измѣненію Ѳ въ — Ѳ.
425. Сложеніе векторовъ. Сложеніе векторовъ
(2)
а = -|- /2а2 + ?3а3, Ь = і-Р + 2 + > • •
производится, какъ выше было
сказано, по формулѣ
я + ь + • • • = /і(«і + + • • •) +
+ г2(я2 + ^2 + ' ' + 7з(а3 + ^3 + " ')>
такъ что сумма нѣсколькихъ век-
торовъ равна вектору, получаемо-
му построеніемъ многоугольника,
стороны котораго равны и па-
раллельны *) даннымъ векторамъ;
сторона, замыкающая этотъ мно-
гоугольникъ, и будетъ искомая
сумма (рис. 21).
*) Точнѣе говоря, геометрически равны.
426. Умноженіе векторовъ. Перемножаемъ по обыкновен-
нымъ правиламъ векторы (2), соблюдая при этомъ условія (1), и не
мѣняя порядка сомножителей. Тогда получимъ
I $>аЬ = — -|- я2&2 +
\ ^)аЪ = 4(в2г>8 - + і^алЬѵ — я^з) + іъ(агЬ2 - а2і>і)
и видимъ, что
§6я.= §я6, <зубя = —е''аЬ.
Въ частности, (а2) = — ^(т2) = 0, а слѣдовательно,
а2 = § (а2) = — (я,2 + я22 + я32) = — | а |2.
Въ еще болѣе частномъ случаѣ находимъ, что квадратъ еди-
ничнаго вектора равенъ—1. Въ заключеніе замѣтимъ еще
формулы
§>аЬ = ЦаЪ + Ьа), ^аЪ=\>аЬ— Ьа),
полезныя при вычисленіяхъ съ кватерніонами.
427. Геометрическую интерпретацію произведенія двухъ век-
торовъ легко получить. Пусть А и В модули данныхъ векторовъ,
Ѳ уголъ между ними и
г'іаі + г2а2 + 73аз, + г232 + «з^з
единичные векторы. Изъ Аналитической Геометріи извѣстно, что
соз Ѳ = + а2/?2 + аз^3'
Слѣдовательно,
&аЬ = — А В соз Ѳ.
Итакъ, скалярная часть произведенія двухъ векторовъ получится,
если проекцію одного изъ нихъ на продолженіе другого умножимъ
на модуль послѣдняго. Далѣе, положимъ, что г'1у1 г2"/,2 /3"/3 есть
тотъ единичный векторъ, который изображается на поверхности
шара полюсомъ большого круга, идущаго отъ точки а къ точкѣ Ъ.
Тогда, какъ тоже извѣстно изъ Аналитической Геометріи, будемъ
имѣть
71 _ 72 _ 7з _ _ I
а2 ;,з — а3;Л — «і^з ац72 — а2/?і зіп Ѳ
Слѣдовательно,
44 я Ь = — А В (г3 7і -Ѣ ?2 72 Н- 7зІ В = А В /. зіп Ѳ.
Итакъ, векторіальную часть произведенія вектора а на векторъ Ъ
получимъ слѣдующимъ образомъ: на сопряженномъ съ Л векторѣ
откладываемъ длину, измѣряемую тѣмъ же числомъ, которымъ измѣ-
ряется площадь параллелограмма, построеннаго на а и Ъ. Оконча-
тельно, слѣдовательно, имѣемъ
аЬ = — АВ (соз 9 -|- Л зіп 9),
при чемъ Я2 = — 1, и это соотношеніе непосредственно интерпре-
тируется на поверхности шара. Замѣтимъ, что параллельность
сомножителей необходима и достаточна для того, чтобы
произведеніе было скалярнымъ, а перпендикулярность ихъ
для того, чтобы оно было векторомъ.
428. Умноженіе кватерніоновъ. Положимъ, что требуется
умножить
а = + буя на Ь = $>Ь -ф ^Ь.
Мы имѣемъ
«6 = §л-§(>ф§л-бубфбуй!.§йфбуа-бу^;
а замѣчая, что §<^)х = ву&х = 0, получаемъ
I • <зуг>),
( в$аЬ = ®у (а • §Ь -ф Ь §а) 4- бУО’Ул • ®у&).
Съ другой стороны, примѣняя формулы (3) къ умноженію векто-
ровъ бу а и бу Ь, находимъ
§(бу« • вуб) = — (%(>! ф а2Ь2 ф л3Ф),
бу(буя • бу г») = 63 - а3г»2) + ^(«з^ - ауЬ^ ф і3(ауЬ2 - «2^).
Слѣдовательно,
§ а Ь = а0 ф, — (л1 Ь1 -ф а2 Ь2 ф л3 Ф),
бу а Ь = іу [ (а0 Ьу -ф ау -ф (а2 Ъя а3 Ь.,\ ]
+ г2 І(во^2 + в2^о) + *з)1
+ г3[(л06з + «з6о) + (ф'Ѵ — а2І>уУ\.
Тотчасъ видимъ, что
&аІ> = &Ьа, бУа&фбу^а.
Итакъ, вообще говоря, произведеніе зависитъ отъ порядка сомно-
жителей. Для того, чтобы аЪ было равно Ьа, необходимо и доста-
точно, чтобы произведеніе бу«-буй было скалярно, т. е., чтобы
векторіальныя части а и Ь имѣли одинаковыя или прямо противо-
положныя направленія. Ниже мы дадимъ геометрическую интерпре-
тацію умноженія кватерніоновъ на сферѣ.
429. Замѣчанія, а) Произведеніе двухъ сопряженныхъ
кватерніоновъ равно квадрату общаго ихъ модуля. Дѣй-
ствительно,
а • а = (§а -р а) (§а — ^а) = (§а)2 — (О) а)2
= а02 + а,2 + а22 + а32 = | а |2.
Ь) Кватерніонъ, сопряженный съ произведеніемъ двухъ
кватерніоновъ, равенъ произведенію кватерніоновъ, сопря-
женныхъ съ данными кватерніонами, но написанныхъ въ
обратномъ порядкѣ, т. е. Ьа=а-Ъ. Дѣйствительно, по самому
опредѣленію
= §а,
поэтому формулы (5) дадутъ
§(л-й) = §«§§ + - О) 6) =
еу(« • Ь) = + 6§а) + брб)
= - бГ(а§г> + *§«) ~ фа) = - ^Ьа,
а слѣдовательно,
а Ь = §Ьа — а — Ь а.
с) Модуль произведенія равенъ произведенію модулей
сомножителей. Дѣйствительно, изъ послѣдняго замѣчанія выте-
каетъ, что
\аЬ = аЪ аЬ = а ЬЬ а аа \ Ь \2 = \ а\2 \ Ъ\2,
откуда \аЬ\ = |а|-|6|. Такъ какъ, для того, чтобы какой нибудь.
кватерніонъ обратился въ нуль, необходимо и достаточно, чтобы
модуль его былъ равенъ нулю, то изъ послѣдней теоремы выте-
каетъ такое слѣдствіе (ср. § 391): чтобы произведеніе двухъ
кватерніоновъ было равно нулю, необходимо и достаточно,
чтобы одинъ изъ нихъ былъ равенъ нулю.
430. Дѣленіе кватерніоновъ. Обратнымъ данному ква-
тернюну а называется и обозначается черезъ — такой кватерніонъ,
который по умноженіи на а даетъ 1. Такой кватерніонъ суще-
ствуетъ, а именно
1 а
а | а I2
Дѣйствительно, на основаніи § 429, а) имѣемъ
Частнымъ отъ дѣленія Ь на
такой кватерніонъ, который
число будетъ
а называется и обозначается черезъ —
по умноженіи на а даетъ Ь. Это
6
а
— • Ъ, потому что
Если а и Ь, въ частности, будутъ векторами съ модулями А и В, то
1, а , аЬ
— О = г. /> =------------,,,
а А1 А2
откуда (§ 427)
(соз Ѳ + Л зіп Ѳ).
431. Послѣдняя формула тотчасъ даетъ геометрическую
интерпретацію умноженія версоровъ (рис. 22). Если а и Ь
два единичныхъ вектора, то версоръ соз Ѳ -ф Л зіп 9, какъ показы-
ваетъ предыдущая формула, будетъ
равенъ частному отъ дѣленія Ь на а,
если принять, что изображающая его
дуга на сферѣ направлена отъ а къ Ь.
Теперь, чтобы умножить какіе нибудь
два версора, передвинемъ изобра-
жающія ихъ дуги, каждую по тому
большому кругу, на которомъ она
лежитъ, пока онѣ не встрѣтятся въ
одной точкѣ — начальной для одной
и конечной для другой дуги. Дуга,
идущая отъ начала второй дуги къ
концу первой, и изобразитъ версоръ
произведеніе. Въ самомъ дѣлѣ, мы
построили такимъ образомъ
сферическій треугольникъ, въ которомъ углы изображаютъ еди-
ничные векторы а, Ь, с, а двѣ стороны — данные версоры, соот-
Ь с
вѣтственно равные — и Третья сторона изображаетъ частное
с
а
и равна версору произведенію двухъ данныхъ, потому что
Ь с 1 /, 1 \ 1 с
— ~г = — 6 • ; - С = — С = -
а о а \ о а а
Слѣдовательно, умноженіе версоровъ производится такъ, какъ
сложеніе векторовъ на плоскости (§ 389). Къ этому резуль-
тату можно, впрочемъ, придти чисто тригонометрическимъ путемъ,
и обратно, изъ него можно вывести основныя формулы Сфериче-
ской Тригонометріи *).
Ч См. Ноііеі: „ТІіёогіе ёіетепіаіге дез диапіііёз сотріехез" р. 482.
432. Произведеніе трехъ векторовъ. Приложимъ результаты
§ 428 къ разысканію произведенія трехъ векторовъ а, Ь, с. Сперва
имѣемъ
аЬс = а&Ьс ф а^ЯЬс,
слѣдовательно,
= § (дбубс), ^ОаЬс = а$>Ьс ф зу (а^Ьс).
Изъ § 426 получается, что скалярная часть произведенія векто-
ровъ а и ^Ьс равна
- «1 (62С3 - 63С2) - «2(63^ - ^Сд) - «3(^2 -
Поэтому
§>аЬс =
а± Ь± сл
&2 ^2
аъ Ъъ с3
Такимъ образомъ, мы видимъ, что, независимо отъ знака, скалярная
часть произведенія трехъ векторовъ равна объему параллелепипеда,
построеннаго на трехъ данныхъ векторахъ. Отсюда слѣдуетъ, что
произведеніе трехъ векторовъ будетъ векторомъ лишь въ
томъ случаѣ, когда эти три вектора лежатъ въ одной пло-
скости. Что касается векторіальной части, то примѣняя формулы
(4), получимъ
2&'ОаЪс = 2а&Ьс ф а^'Ьс — зу (Ьс) а
= а ($>Ьс ф зубс) ф (§6с — ^Ьс) а = аЬс ф сЬа
и далѣе
2'^аЬс а(Ьс — сЬ) — (ас -Ф«) Ь ф с (Ьа ф аЬ)
или, обращаясь снова къ формуламъ (4),
(6) ^аЬс = а^Ьс — Ь&са ф с&аЬ.
433. Изъ послѣдней формулы легко вывести другую, часто
примѣняемую въ исчисленіи кватерніоновъ. Предложимъ себѣ найти
векторіальную часть произведенія в^аЬ на въ предположеніи,
что а, Ь, с, <і—векторы. Очевидно,
(аЬс) = <зу [§ (аЬ) • с ф зу («/>) • с] = с$>аЬ ф ®У [зу (я§). 6-|.
а потому формула (6) приметъ видъ
(7)
зу [ву (аЬ) с] = а§6с — 6§га.
Замѣтимъ теперь, что
$Ьс/і = § ф Ь^сЛ) = § (Ь^сЛ).
Поэтому, замѣняя въ соотношеніи (7) с на зусп?, получимъ
зу (зуаб • = аЪЬсЛ — ЬЪасгІ.
434. Формула Муавра. Частичная аналогія кватерніоновъ съ
обыкновенными комплексными числами ясно выступаетъ, если, фик-
сируя единичный векторъ А, ограничимся разсмотрѣніемъ только
тѣхъ кватерніоновъ, которые имѣютъ осью данное А. Тогда имѣютъ
мѣсто обыкновенныя правила вычисленія, и напримѣръ, будемъ
имѣть
(соз 0 -ф Л зіп Ѳ) (соз Ѳ7 -ф Я зіп Ѳ7) (соз Ѳ" -ф Л зіп Ѳ77) ...
= соз (Ѳ + е7 + Ѳ" + + Л8іп(0 + 0' + ••).
Въ частности, при цѣломъ положительномъ и
(соз 0 -ф Л зіп О)'1 = соз и 0 -ф А зіп п Ѳ.
Эту формулу легко распространить затѣмъ на всякое раціональное
значеніе п обыкновеннымъ путемъ (§ 393).
435. Теорема Гамильтона. Если векторъ и повернемъ
на уголъ Ѳ около его оси Л, то онъ обратится въ т
гдѣ т есть версоръ соз 9-ф А зіп Ѳ.
Пусть а и Ь будутъ векторы, получаемые при проектированіи
вектора и на ось А и на плоскость, перпендикулярную къ А, такъ
что и = а -ф- Ь. Когда плоскость, проходящая черезъ и и А, повер-
нется на уголъ Ѳ около оси А, то векторъ а останется безъ измѣ-
ненія, а векторъ Ь перейдетъ въ Ьт (§ 430). Слѣдовательно, ука-
занное вращеніе приводитъ и къ совмѣщенію съ ѵ = а -ф- Ьт. Дѣло
сводится къ выраженію а и Ь въ функціяхъ отъ и, А и 9. Такъ
какъ А2 = — 1, то имѣемъ тождественно
и = — л2и = — А§Ли — №Ли.
Въ § 427 мы видѣли, что проекція и на А равна — §Аи, и
это число изображаетъ, слѣдовательно, модуль вектора а. Далѣе,
такъ какъ А есть версоръ а, то можно написать а= — А§Аи, и,
слѣдовательно,
Ь = и — а = — /?и -ф Л§Аи = — АФАг/.
Наконецъ,
ѵ = ’ — Я§лм — Лф (Ли) • т.
Чтобы привести этотъ результатъ къ той изящной формѣ, въ кото-
рой онъ данъ Гамильтономъ, напишемъ
ѵ = — ). [§ (/.и) -ф $!? (/.и) г2]
и замѣтимъ, что по формулѣ Муавра
г 2 = СОЗ — — Л 81П — , Г* = СОЗ 2 -ф Л ЗІП 2
Отсюда слѣдуетъ
§ (Ли) т 2 + $2 (Ли) т2 = (§ли + ^Ли) соз | -- (§ли — <^)Ли) Л зіп ~
9
= /. гі соз
и)? зіп = Ли соз Г) + и зіп — = ІЛ соз + зіп -=4 и
Л & у Л I
. / 6 . . 9 \ . _1
= ЛI соз — л зіп 21 и = м и
Итакъ,
ѵ = — Л2г '2иіг2 = т 2ит2.
Это чрезвычайно простое соотношеніе заключаетъ въ себѣ дока-
занныя въ § 75 формулы Эйлера. Оно даетъ замѣчательный при-
мѣръ необыкновенныхъ сокращеній, которыхъ можно достигнуть въ
нѣкоторыхъ вычисленіяхъ при помощи методы Гамильтона.
Примѣчанія къ четвертой книгѣ.
I (къ §§ 400 — 401).
Число гѵ = иіѵ, гдѣ и и ѵ функціи отъ вещественныхъ
перемѣнныхъ х и у, называется функціей отъ комплекснаго числа
ѵ = х ф- іу, если каждому значенію з соотвѣтствуетъ опредѣленное
значеніе гѵ, аналогично опредѣленію функціи отъ вещественной пе-
ремѣнной, данному въ § 253. При такомъ опредѣленіи функціи и
и ѵ могутъ быть заданы произвольно, потому что каждому значе-
нію 5 соотвѣтствуетъ опредѣленная пара значеній х и у, а потому
и опредѣленная пара значеній и и ѵ, и одно опредѣленное значеніе
гѵ Условія, которымъ авторъ подчиняетъ функціи и и ѵ въ
§ 401, необходимы только тогда, когда устанавливается понятіе о
производной _/ѵ (г).
I Ьіз (къ § 411).
Когда точка г- = гФ5 описываетъ сомкнутую кривую, внутри
которой лежитъ начало координатъ, то модуль г измѣняется въ
предѣлахъ гх и г2, гдѣ гѵ — наименьшее, а г., — наибольшее значе-
ніе г для точекъ описываемой кривой. Аргументъ 9 постоянно воз-
растаетъ отъ нѣкотораго значенія О! до О; ф- 2л;, когда точка ,г
одинъ разъ опишетъ всю кривую. Поэтому прямая, на которой на-
ходятся точки, изображающія всѣ логариѳмы отъ г при данномъ г,
будетъ колебаться между двумя прямыми, перпендикулярными къ ()х.
проведенными въ разстояніяхъ іо^г, и 1о§г2 отъ начала коор-
динатъ. При этомъ точка, изображающая іо^ (г) = 1о§ г ф- 9 г ф- 2&лг
при данномъ к, будетъ описывать кривую, остающуюся между упо-
мянутыми прямыми, переходя отъ одной къ другой, постоянно под-
нимаясь, вслѣдствіе возрастанія 9, и когда з придетъ въ первона-
чальное положеніе, а 9 изъ 0! перейдетъ въ 91 ф- 2клг, то точка
1о§ (а) придетъ въ точку Іо§ г ф- Ѳф ф- 2 (к ф- \)лгі, т. е. вь точку,
изображающую другое значеніе логариѳма того же числа з. Если же
кривая, которую описываетъ г, не заключаетъ внутри своего об-
вода точки О, то модуль г по прежнему измѣняется въ предѣлахъ
и г2, гдѣ гх минимумъ, а г2 максимумъ г, а 9 сперва возраста-
етъ отъ нѣкотораго значенія Ѳ1 до другого а затѣмъ убываетъ
отъ д2 опять до 0,. Поэтому точка, изображающая одинъ изъ ло-
гариѳмовъ х опишетъ сомкнутую кривую, лежащую между двумя
опредѣленными прямыми, проведенными въ разстояніяхъ І о <( и
1о§г2 отъ О перпендикулярно къ Ох, сперва поднимаясь, когда 9
возрастаетъ отъ до 02, а потомъ понижаясь, когда 9 убываетъ
отъ до Ѳ1, и возвратится на прежнее мѣсто. Все сказанное здѣсь
можетъ быть весьма наглядно показано на чертежахъ, которые мы
и рекомендуемъ выполнить читателю.
II (къ § 412).
Логариѳмическою спиралью называется кривая, уравненіе ко-
торой въ полярныхъ координатахъ, р и і, имѣетъ видъ р = Кеа1,
гдѣ 7? и а—постоянныя; при этомъ предполагается, что полюсъ
находится въ точкѣ О, въ началѣ Декартовыхъ координатъ. Раз-
личныя точки, изображающія всѣ значенія функціи гг = де'1, соот-
вѣтствущія различнымъ значеніямъ цѣлаго числа к въ формулахъ
р = е«ю8г-г.(Ѳ+2М; ( = Ь і0§ г + а (Ѳ + 27ст),
будутъ лежать на кривой, уравненіе которой получимъ, исключая к
изъ этихъ выраженій. Мы получимъ
гдѣ
Это уравненіе изображаетъ логариѳмическую спираль. Если с—число
вещественное, то Ь = 0, и р = 7? = сопзі., т. е., кривая вырождается
въ окружность круга. Если с есть чисто мнимое число, то а = О,
и вышеприведенное выраженіе для 7 даетъ
і — Ь 1о§ г = сопзѣ
(отъ к не зависитъ). Это уравненіе изображаетъ прямую линію.
Логариѳмическая спираль обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что она
пересѣкаетъ всѣ радіусы векторы подъ однимъ и тѣмъ же угломъ,
иными словами, уголъ касательной съ радіусомъ векторомъ вели-
чина постоянная. Въ § 588 будетъ показано, что тангенсъ угла а>
касательной къ кривой р = /(/) съ радіусомъ векторомъ точки ка-
санія равенъ ~, гдѣ с/ есть производная отъ р по і. Примѣняя
это къ логариѳмической спирали
О= Ке а ,
находимъ, іу оз =-----, или, измѣнивъ направленіе касательной,
і^ю1 = у • Съ другой стороны, очевидно, что тангенсъ угла, обра-
зуемаго прямою Ос, гдѣ с — а 4- Ы, съ осью уовъ, также ра-
венъ , откуда и слѣдуетъ, что касательная къ логариѳмической
спирали въ точкѣ ея пересѣченія съ Оу, параллельна прямой Ос.
Наконецъ, послѣднее замѣчаніе § 412 объясняется слѣдующимъ
образомъ: возвышеніе въ степень і даетъ въ результатѣ различ-
ныя числа, заключающіяся въ формулѣ
(,,- 2гя-|-2Нл:у = ;
а возвышеніе въ ту же степень числа всѣ выраженія вида
= - 2 л (!+«)
И т. д.
III (къ § 413).
Чтобы найти угловой коэффиціентъ касательной къ линіи
и(х, у) = а, гдѣ а постоянное число, надо найти производную у'
отъ у по х. Не рѣшая уравненія относительно у, можно разсма-
тривать и(х, у), какъ сложную функцію отъ х (§ 369), и взявъ ея
производную, по правилу § 369, приравнять ее нулю на томъ
основаніи, что въ силу даннаго уравненія функція и(х, у) равна
постоянному числу. Обозначая черезъ и'х и и частныя производныя
отъ и по х и по у, находимъ их-1 4- иу-у = 0, откуда у = -
IV (къ § 413).
1) Полагая/(з) = аз-\-{3, з — х4*іу, а = аі-\-а2і, @ = Д4" А
/(з) = и 4- іѵ, находимъ и = а,х — а2у + |?і> V = аіх + <44 + Д/,
уравненія и = а, ѵ = Ь даютъ, слѣдовательно, двѣ системы прямыхъ,
пересѣкающихся подъ прямымъ угломъ.
2) Если /(з) = г2 = (х 4- іу)2 = х2 — у2 -ф 2ху • і, уравненія
х2 — у2 = а, и ху = Ь, даютъ двѣ системы гиперболъ, положеніе
которыхъ относительно осей очевидно.
3) У(г) = 2гІ; полагая з = р(созѲ + /зіп Ѳ), находимъ
г- = рИсоз + г зіп I; уравненія линій первой системы: р^соз = а,
а второй: зіп = й, или р = 1+со5б, и р = уу—ѳ - параболы.
4) /(з) — 1о§г = и + іѵ, з = е" е” = , о = си, Ѳ=гл
Линіи и = сопзі., ѵ = сопзі. будутъ тождественны съ линіями
р = сопзі., Ѳ = сопзі. — система полярныхъ координатъ.
5) = Іо»' !()§ г; х = дею, 1о§ 2 = 1о§ о -ф ів. Полагая
1о§ е + /0 = Не’'1 = 7? (соз ср -ф/зіп ср), находимъ 7? = ]/(1о§-р)2-|-()2',
(р = агсі§-, 1о§ Іо^^ = 1о§7? -ф іср = и + іѵ. Линіи ѵ = сопзѣ
даютъ = с = сопзѣ, 1о§о = о = ес —логариѳмическія спирали,
линіи и = сопзѣ будутъ изображаться уравненіемъ (1о§р)2-(-02 = сопзѣ
6) У(г) = 1о§-;—Надо показать, что модуль этой функціи
равенъ ~, гдѣ гх и г2 обозначаютъ разстоянія отъ точки 2 до 2г
и до г2, а аргументъ равенъ (р, гдѣ д> есть уголъ между прямыми,
соединяющими точку з съ г, и . Въ § 389 уже было замѣчено,
что | 2 — 2Х ' = гх, и | 2 — — г.,, слѣдовательно, | | •
Чтобы вычислить аргументъ, полагаемъ — 2Х = г, (соз а ф- і зіп а),
,г — за = гг (соз /9 ф- і зіп /9), тогда, обозначая черезъ <рх аргументъ
отношенія -——, знаемъ, что <рх =а —
Съ другой стороны, если для данныхъ точекъ 2Х и 2.г положимъ
2Х =р((соз Ѳі+г зіпѲД г2 = р2 (соз 92ф-/зіп Ѳ2) и г = р (соз 9-ф/зіп 9),
и напишемъ выраженія 2 — 2Х и 2 — 2.г по этимъ формуламъ, то изъ
сравненія съ написанными выше выраженіями, найдемъ
р соз 5 — о. соз Ѳ,
соз а = ------------±-----1
, р соз Ѳ — р.> соз 5,
соз 3 = =------------------
г9
р зіп Ѳ — р, зіп О
зіп а = ------------ 1------
, р зіп Ѳ — о.> зіп Ѳ.
зіп іі = “-------
Составляя по этимъ формуламъ выраженіе соз = соз а соз/9 ф
-ф зіп а зіп/9, и обозначая черезъ г разстояніе между точками 2Х и г2,
опредѣляемое формулою
г2 = ох2 + й2 ~ 2р}Р2 соз (Ѳ1 — Ѳ2),
получимъ
т. е.
СОЗ (р-і =
гі2 + г.;2 - г2
2Г1 Г 2
СОЗ <Г1 = СОЗ ф и <р1 = ср,
гдѣ ср есть уголъ при вершинѣ 2 въ треугольникѣ
дѣйствительно,
Итакъ,
V (къ §§ 424 — 435).
Хотя дальнѣйшее изложеніе, мѣстами очень сжатое, также
даетъ поводъ къ нѣкоторымъ разъясненіямъ, имѣющимъ цѣлью
сдѣлать это изложеніе болѣе доступнымъ, но мы на нихъ не оста-
новимся 1) потому что въ дальнѣйшемъ не встрѣтимъ приложеній
излагаемой теоріи, 2) потому что въ настоящее время эта теорія
излагается проще и удобнѣе для приложеній въ Геометріи, Меха-
никѣ и Физикѣ. См. Предисловіе къ „Векторіальному Анализу"
П. Сомова. СПБ. 1907.
книги пятня
книги пятня.
Нлгебраическія уравненія.
СУЩЕСТВОВАНІЕ И СЧЕТЪ КОРНЕЙ.
Исключеніе (Еііиііпаііоп).
436. Для того, чтобы подготовиться къ изученію корней алге-
браическихъ функцій, умѣстно будетъ предпослать нѣкоторыя крат-
кія свѣдѣнія объ исключеніи (неизвѣстныхъ изъ уравненій). Мо-
жетъ случиться, что между безчисленнымъ множествомъ уравненій,
являіощихся необходимыми слѣдствіями данной системы уравненій,
удается найти такое, которое не заключаетъ въ себѣ нѣкоторой
опредѣленной неизвѣстной. Тогда говорятъ, что эта неизвѣстная
исключена. Напримѣръ, если даны уравненія / (х) = 0, & (х) = О,
и удалось изъ нихъ вывести, какъ необходимое слѣдствіе, уравне-
ніе У? = О, независящее отъ х, то исключеніе неизвѣстной х вы-
полнено. Само собою понятно, что полученное такимъ образомъ
уравненіе есть необходимое условіе существованія такого значе-
нія х, которое обращаетъ одновременно въ нуль функціи /(х) и
& (х). Если вмѣстѣ съ тѣмъ окажется, что полученное условіе бу-
детъ въ то же время и достаточнымъ, то К называется резуль-
тантомъ этихъ функцій у'и Итакъ, результантомъ двухъ функцій
/ и отъ х называютъ такое выраженіе, независящее отъ х,
обращеніе котораго въ нуль необходимо и достаточно для
того, чтобы разсматриваемыя функціи имѣли, по крайней
мѣрѣ, одинъ общій корень.
437. Примѣры. Положимъ, что даны уравненія
(І^Х 77^ = 0, Ь± = 0.
Умножая первое на 6(), второе на л0, и вычитая одно изъ другого, получимъ
с01 = 0, полагая вообще для сокращенія — аТочно также,
если даны уравненія
а()х- + Щл- + «г = 0> ^оА’2 + ЬіА’ ^"^2 = 0,
то, умножая сперва первое на 60, второе на а0, потомъ первое на 62, второе
на л2, получимъ путемъ вычитанія
соі'ѵ + СО2 ~ , с02л; + с12 = 0,
а отсюда, пользуясь полученнымъ выше результатомъ, с01с12 — с022 = 0, т. е.
(«о — а^о) (^§2 — «2^) - - а2Ь0)2 = 0.
Поступая подобнымъ же образомъ съ уравненіями
(1) я0д;3 + а±х2 + а2х + = 0, 60#3 + Ьгх2 + о.,х + 63 = О,
сперва получимъ уравненія
Соі*2 + со->х + 6'оз — О, + сізЛ- + с23 ~ О-
а пользуясь предыдущимъ результатомъ, выводимъ отсюда условіе
(6'гі) Г?,| + с()2 Сф (С02С93 + СпзСа1) + (с„, С23 С032)2 = 0.
Раскрывая лѣвую часть и принимая во вниманіе тождество
С'оі ''23 + С()2 С31 + с03 с12 = 0,;
которое само непосредственно вытекаетъ изъ слѣдующаго
«0 «2 «3 і
60 61 62 63 = 0,
а0 «1 Л2 «3
61 62 63 1
получимъ
(2) с03 (с033 — 2 с01с03с23 + с02с03с31 + с016’312 + с23с022 — с01с12с23) — 0.
Каждое изъ трехъ найденныхъ условій навѣрно необходимо для совмѣст-
ности соотвѣтствующей пары уравненій. Но между тѣмъ, какъ легко прямо
убѣдиться, что первыя два въ то же время и достаточны, объ условіи (2)
этого сказать нельзя. Дѣйствительно оно выполняется, если — = а между
«з 63
тѣмъ ясно, что этого условія недостаточно, чтобы уравненія (1) имѣли об-
щій корень. Произведенныя выкладки, вмѣсто того, чтобы дать истинный
результантъ, ввели посторонняго множителя. Мы увидимъ, дѣйствительно, что
результантъ уравненій (1) равенъ лѣвой части уравненія (2), раздѣленной на
множителя с03.
438. Послѣдній примѣръ показываетъ необходимость ознако-
миться съ такими методами, которыя давали бы возможность про-
изводить исключеніе такъ, чтобы навѣрно получался въ оконча-
тельномъ выводѣ результантъ. Такъ какъ, кромѣ того, такими мето-
дами мы будемъ пользоваться для доказательства существованія
корней алгебраическихъ функцій, то необходимо имѣть хотя бы
одну такую методу, которая не зависѣла бы отъ предположенія
этого существованія. Принимая это во вниманіе и ограничиваясь
разсмотрѣніемъ цѣлыхъ функцій
/(х) = аохп + а^хп 4- ••• 4- ап, (х) = 60х"‘хт 1 + ••• 4- Ьт,
мы назовемъ результантомъ двухъ полиномовъ / и такую функ-
цію отъ коэффиціентовъ, обращеніе которой въ нуль необхо-
димо и достаточно для того, чтобы данные полиномы имѣли
общаго дѣлителя1)* *), или, какъ говорятъ, не были взаимно-
простыми. Намъ останется тогда только показать (§ 450, а), что
это предварительное опредѣленіе, которымъ мы будемъ пользоваться
въ ближайшихъ параграфахъ, совпадаетъ съ прежнимъ, даннымъ
въ § 436.
439. Метода Эйлера, а) Если полиномы / и & имѣютъ об-
щаго дѣлителя <5, то существуетъ два такихъ полинома и ,
степени которыхъ соотвѣтственно ниже степеней / и что
/' = У1 д, , и будемъ имѣть
(3)
41 - 41 = 0.
Обратно, положимъ, что условіе (3) выполняется тождественно.
Обозначимъ черезъ ® общаго наибольшаго дѣлителя полиномовъ
и (при чемъ ф можетъ быть и единицей, если и вза-
имно простые полиномы), тогда ®, ®, гдѣ /2 и ^2
взаимно простые полиномы. Соотношеніе (3) принимаетъ видъ
~ ё/г- Здѣсь У2 дѣлитъ, какъ видно, произведеніе у^2, но,
будучи взаимно простымъ съ ^2, долженъ дѣлить у такъ что
/”=У2д, гдѣ д полиномъ не ниже первой степени, потому что
степень /.г не превосходитъ степени у, которая ниже степени /.
Подставляя у = въ тождество У§\2 =<§У2, получимъ &
Слѣдовательно, У и § имѣютъ общаго дѣлителя <5.
Ь) Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что необходимое и достаточ-
ное условіе для того, чтобы у и § не были взаимно простыми,
совпадаетъ съ необходимымъ и достаточнымъ условіемъ существо-
ванія такихъ полиномовъ
/і = ••• + а„_і, Л = ^хт-і+ ... +
чтобы имѣло мѣсто тождество (3), т. е. чтобы было
(аохп + агхп 1 + + Ч {\>хт 1 + ~\хт ’-Ѣ •” +/Ч-і)
= (Ч”‘ + 1 -|- ••• 4- 1>т) (аохн 1 4- «Ч' “4- + Сі-і)-
’) Мы предполагаемъ, что теорія алгебраической дѣлимости извѣстна
изъ элементовъ. См. Соигз сГА1§ёЬге зирёгіеиге раг Мапзіоп (1889 14 р. 15).
*) На русскомъ языкѣ см. Веберъ и Вельштейнъ стр. 221 и слѣд.
Сравнивая коэффиціенты *) при одинаковыхъ степеняхъ х, получаемъ
систему
^о“о =0;
«і Л> + «о ~ а0 — ф аі = 0.
я2^0 + Я1Ф1 + «0Л — ^2а0 — ФИ1 — 60а2 = 0.
п ф- т линейныхъ однородныхъ уравненій съ п ф- т неизвѣстными
а0, ап а2,...,а„, /?0, 131, Для того, чтобы можно
было найти для нихъ значенія, не равныя нулю одновременно,
необходимо и достаточно (§ 56), чтобы опредѣлитель этой системы
былъ равенъ нулю. Этотъ опредѣлитель (и ф- ш)-го порядка мо-
жетъ быть написанъ, если замѣнимъ столбцы строками и не будемъ
обращать вниманія на знакъ его, въ слѣдующемъ видѣ * х)
I а0 а2 ... 0 I
10 а0 . 0
0 0 0 .. . а„
ф Ьх ф ... 0
0 Ьа Ьх ... 0
і о о о ... ьт
Это и есть, слѣдовательно, искомый результантъ.
440. Къ той же формѣ результанта Сильвестръ пришелъ дру-
гимъ путемъ. Разсмотримъ, напримѣръ, два уравненія, одно третьей,
другое второй степени:
л0.ѵ3 + ахх- ф а2х + я3 = 0, Іі..х- + 1>хх + Ь2 — 0.
Умножая первое на х, а второе на х и на х2, получаемъ систему
а^х4 + «рѵ3 + а2х2 + аях = 0,
«0х3 + ахх2 + а2х ая = 0,
ф.ѵ1 + 1>1х'і + Ь2х2 = 0,
ф.ѵ:і + Ьхх2 + Ь2х = 0,
Ьах- -4- Ьхх —Ь2 = 0,
которую можно разсматривать, какъ состоящую изъ пяти линейныхъ
однородныхъ уравненій съ пятью неизвѣстными, значенія которыхъ
*) На основаніи теоремы о тождествѣ полиномовъ. См. Веберъ и
Вельштейнъ. Стр. 225.
х) Объ опредѣлителяхъ этого вида см. у Тгисіі § XI „Теогіа сіеі сіе-
Іеггпіпапіі".
должны оказаться пропорціональными числамъ х\ х3, х2, х, 1 при
прилично выбранномъ значеніи х. Слѣдовательно, результантъ, въ
смыслѣ § 436, будетъ
«0 ^2 «3 б
0 <70 6/, С2 я3
60 6] ь.2 о о ,
0 Ьо Ь, 1>2 0
О 0 1>0 Ь1 Ь2 |
такъ какъ его обращеніе въ нуль необходимо и, какъ увидимъ
далѣе, и достаточно для совмѣстности данныхъ уравненій.
441. Метода Безу. а) Положимъ сперва п = т, и чтобы
имѣть дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ, возьмемъ два уравненія
4-ой степени:
аохі + + а2х- + айх + «4 = 0,
++ + Ь±х3 + Ь2х2 + ^зх +^і = 0.
Умножая первое на Ьо, второе на ай, и вычитая, получимъ
СііТ'3' + + с0,>л* + । = О,
умножая первое на Ьох-\-Ь1, второе на аохаи и вычитая, по-
лучимъ
++'' + (+з + сі2>х2 + (+1 + Сз)-'-' + си — О-
Точно также, умножая сперва первое на Ь0х2 -+ Ъг х -+ Ь2, второе
на а0л2-р <+-г'+ д2> а потомъ первое на Ьлх3 +- Ьѵх2 Ь2х -|- Ь3,
а второе на а0х3 + аіх2 -|- а2х -+ аъ, и вычитая, найдемъ
СІ&Х° + (+4 + С13).Т2 + (с14 + С2?)х + с24 — О,
+ С14Л- + 6'2 Гѵ + + і = 0.
Такимъ образомъ получается система изъ четырехъ уравненій, кото-
рыя можно разсматривать, какъ линейныя и однородныя, и удовле-
творяющіяся значеніями неизвѣстныхъ, пропорціональными числамъ
х3, х2, х, 1. Опредѣлитель этой системы, на основаніи сказаннаго въ
концѣ предыдущаго параграфа, и будетъ искомымъ результантомъ:
I +1 с(>2 +з С(И
і с02 с03 + С12 С04 + С13 С14
+3 +1 + +з +1 + с23 С21
ги +і +і !
Не трудно найти законъ его составленія для случая двухъ уравненій
и-ой степени ’). Выраженіе общаго элемента будетъ
4 с0> + с^і+-_2 + с2,^_у_3 + • • +
принимая, что коэффиціенты съ указателями, большими п, равны
нулю. Къ тому же результату Сауіеу (Кейли) пришелъ, исходя изъ
иныхъ соображеній * 2).
Ь) Если п > т, то второе уравненіе умножаютъ на хп т
и примѣняютъ предыдущую методу, при чемъ получается всего т
уравненій. Чтобы получить остальныя п — т, умножаютъ второе
уравненіе послѣдовательно на 1, х, х2, ..., х'‘~ 1. Положимъ, на-
примѣръ, что имѣемъ одно уравненіе 4-ой, а другое 2-ой степени:
аох1 + + а2х- + п-Ах + <т4 = О, 60л- + + 62 = 0.
Умножая второе на х2, и выполняя вычисленія по вышеизложенной
методѣ, найдемъ два уравненія:
С01*3 + с02х2 + Ой-'- + Сц = о,
С|2Л';’ + (г03 + С12)л - + (с01 + с13).ѵ + с14 — 0.
Два другихъ будутъ, если угодно,
Ьох-> —54.ѵ— —р Ъ.Ах 0, 5,, л'— Ч- ЬАх —&2 0.
Такимъ путемъ получится результантъ:
«0*1 «1*0 б?о ^2 — ^2 — «3*0 - «4*0
610 (Іі) ^0 а1 ” «2 ^0 — я364 — а460 - «4*1
Ьй *1 Ь-2 0
0 *0 *2
Обратимъ вниманіе на то, что метода Везу даетъ результантъ въ
болѣе сжатомъ видѣ, чѣмъ метода Эйлера3). Дѣйствительно, Эйлеровъ
результантъ есть опредѣлитель порядка п т, а результантъ Безу
опредѣлитель порядка п, если п 2г т. Въ этомъ и состоитъ пре-
имущество методы Безу передъ Эйлеровой.
442. Вѣсъ. Если нѣкоторый одночленъ составленъ изъ буквъ,
снабженныхъ указателями, то сумма указателей всѣхъ множителей,
какъ равныхъ, такъ и не равныхъ между собою, называется вѣсомъ
і) См. ЛасоЬі, Сгеііез Лоигпаі, ВО. XV, 8. 102.
2) РШІозорѣіісаІ Тгапзасііопз, 1857.
3) Перейти отъ одной формы къ другой не трудно съ помощью
извѣстныхъ свойствъ опредѣлителей. См. Тгисіі, 1. с.. р. 101.
одночлена. Всякая сумма одночленовъ, имѣющихъ одинаковый вѣсъ,
называется изобарною. Такъ, напримѣръ, выраженіе (4) изобарно,
вѣсъ его равенъ /+/— 1 *). Результанты Эйлера и Везу изо-
барны. Въ самомъ дѣлѣ, тотъ членъ, который получится, когда
изъ п строкъ возьмемъ элементы, стоящіе на мѣстахъ іх, і2, іп,
будетъ имѣть въ произведеніи первыхъ т множителей вѣсъ, равный
Г—т
Ч + (72 + 1) + (4 + 2) + ••• 4- (гиг+ т - 1) іг + ^т(т — 1),
г=\
а въ произведеніи остальныхъ множителей вѣсъ, равный
Г=П
0т+і — 1) + • +(»„—« + т) = Ч ~ - т~) (и - Щ + 1).
Отсюда слѣдуетъ, что вѣсъ каждаго члена равенъ
|я(я + 1) У.І.иі — 1) — |(;г — т) (п — т 4- 1) = пт,
и прямо видно, что вѣсъ не мѣняется при переходѣ отъ одного
члена опредѣлителя къ другому (I). Слѣдовательно, опредѣлитель
изобаренъ, и вѣсъ его равенъ произведенію степеней дан-
ныхъ полиномовъ. Точно такъ же, въ результантѣ Эйлера каждый
не исчезающій членъ заключаетъ въ себѣ произведеніе первыхъ т
множителей, вѣсъ котораго будетъ
(71 ' 1) 4- (г2 2) 4- 4- (г„( г,. ^т(т 4- 1),
и произведеніе остальныхъ множителей, вѣсъ котораго равенъ
г=п-\-т
(г'т+1 —' 0 + (г,л_|_2 — 2) 4“ ••• 4- (гпЧ-т ~ ”) = — 2И(И + !)•
такъ что весь вѣсъ каждаго члена равенъ
|(« 4- т) (п 4- т 4- 1) — |п(« 4~ 1) — іт(т 4- 1) = пт.
Итакъ, результанты, даваемые методами Эйлера и Безу имѣютъ
одинаковый вѣсъ, а этого достаточно, чтобы быть увѣреннымъ,
что метода Безу лишнихъ множителей не вводитъ.
443. Если имѣемъ два уравненія съ двумя неизвѣстными х
и у, и первое будетъ степени т, а второе степени п относи-
тельно обѣихъ неизвѣстныхъ, то можно расположить лѣвыя
*) Вѣсъ одночлена а12Ь23с9і равенъ 1-24~2-34~3-4 = 20.
части по степенямъ х, и тогда аі и Ъі будутъ полиномы степени
не выше і относительно у. Пусть а,- и будутъ коэффиціенты
при у' въ а, и Ъ,. Когда исключимъ х, то результантъ, очевидно,
будетъ цѣлая функція отъ у, старшій членъ которой получимъ,
когда въ каждомъ элементѣ результанта поставимъ а-у1' и ^у’ со-
отвѣтственно на мѣсто а, и Ьі ’). Изъ сказаннаго въ предыду-
щемъ § тотчасъ вытекаетъ, что этотъ старшій членъ равенъ про-
изведенію утп на постоянную, равную результанту полиномовъ
аохп + а1х”~1 + • • + «и, .'Vй + + '' • + 3„, •
Слѣдовательно, если эти полиномы, какъ это обыкновенно и
бываетъ, взаимно простые, то въ результантѣ данныхъ функцій на-
вѣрно будетъ членъ степени тп. Итакъ, степень результанта
равна произведенію степеней данныхъ уравненій и можетъ
понизиться лишь въ частныхъ случаяхъ, а именно, если тѣ поли-
номы, которые получимъ, когда, удержавъ лишь члены наивысшей
степени относительно х и у, положимъ въ нихъ у = 1, будутъ
имѣть общаго дѣлителя. Въ этомъ состоитъ теорема Безу. Въ
Аналитической Геометріи она находитъ слѣдующую замѣчательную
интерпретацію. „Двѣ алгебраическія кривыя порядковъ т и п,
вообще, пересѣкаются въ тп точкахъ". Тамъ же далѣе доказыва-
ютъ, что пониженіе числа тп до тп — г происходить не отъ
внезапнаго исчезновенія г точекъ пересѣченія, а отъ передвиженія
ихъ въ безконечность. Поэтому можно сказать, что двѣ данныя
кривыя порядковъ т и п всегда пересѣкаются въ тп точ-
кахъ (вещественныхъ, мнимыхъ, лежащихъ въ области конечнаго
или безконечнаго). Теорема Безу легко распространяется на случай
какого угодно числа уравненій 2).
Существованіе корней.
444. Пусть у"(х) есть явная алгебраическая функція. Уравне-
ніе /(х) = 0 всегда можетъ быть приведено къ болѣе простому
виду посредствомъ удаленія изъ него радикаловъ. Этой цѣли дости-
гаютъ слѣдующимъ образомъ. Обозначимъ каждый радикалъ осо-
і) Все это справедливо лишь въ предположеніи, что а0 и Ьо оба не об-
ращаются въ нуль, такъ какъ вышеизложенныя методы разысканія резуль-
танта существенно предполагаютъ, что степени данныхъ уравненій не могутъ
быть понижены.
2) Относительно этого обобщенія и другихъ важныхъ теоремъ теоріи
исключенія см. Заігпоп Ріесііег: „АІ^еЬга бег ііпеагеп Тгапзіогтаііопеп" (2-ое
изд. стр. 91) или упомянутое въ примѣчаніе I французское изданіе того же
сочиненія); ѣаигепі: „Тгаііё б'АІ^еЬге 4е ёб. Зте рагііе, стр. 134); Зеггеі:
„Соигз б’АІ^ёЬге зирагіеиге” (4-е изд. 1877, томъ I стр. 599 и слѣд.; Реіегзеп:
„Тйеогіе бег аі^еЬгаізсйеп Сіеісішп^еп" Вб. I, 8. 60.
бою буквою, и пусть и, ѵ, гѵ, ... будутъ ѵ новыхъ перемѣнныхъ,
которыя такимъ образомъ появляются. Уравненія ихъ опредѣляю-
щія, послѣ надлежащихъ возвышеній въ степень, дадутъ ѵ раціо-
нальныхъ соотношеній между ѵ новыми перемѣнными и прежнею х.
Присоединяя эти уравненія къ данному, получимъ систему ѵ + 1
раціональныхъ уравненій съ ѵ + 1 неизвѣстными х, и, ѵ, гѵ, ...
Понятно, что изъ нихъ можно исключить ѵ неизвѣстныхъ и, у, гѵ,...
и притомъ такъ, что никакіе радикалы не будутъ введены. Полу-
чится нѣкоторое раціональное уравненіе съ одною неизвѣстною х,
которое, очевидно, можно привести къ виду
(5) -р а±х 1 -р прл'” “ + -ря„ = О
при условіи «0>0. Въ дальнѣйшемъ всегда будетъ подразумѣваться,
что разсматриваемое уравненіе приведено къ виду (5). Вопросъ,
который здѣсь передъ нами возникаетъ, состоитъ въ слѣдующемъ:
Имѣетъ ли уравненіе (5) корень?
445. Для значеній .ѵ, модуль которыхъ возрастаетъ безпре-
дѣльно, значенія функціи
_/ (л.-) = аох1 -р «і-ѵ1 -р сі.,хп ~ -р ~р ан
будутъ въ концѣ концовъ опредѣляться значеніями старшаго члена.
Эго дѣлается очевиднымъ, если напишемъ
= + т + + -Я
и замѣтимъ, что выраженіе въ скобкахъ стремится кь предѣлу
при возрастаніи х до безконечности. Отсюда вь частности слѣду-
етъ, что полиномъ четной степени съ вещественными ко-
эффиціентами въ концѣ концовъ принимаетъ и сохраня-
етъ знакъ старшаго члена, когда дадимъ перемѣнной х
достаточно большое по абсолютной величинѣ значеніе. А
полиномъ нечетной степени съ вещественными коэффиці-
ентами принимаетъ и сохраняетъ знакъ старшаго члена
или противоположный этому знакъ, смотря по тому, да-
димъ ли перемѣнной х положительное или отрицательное
значеніе, достаточно большое по абсолютной величинѣ.
446. Когда коэффиціенты уравненія (5) вещественны, то въ
нѣкоторыхъ случаяхъ существованіе корня очень легко обнаружить.
Такъ, напримѣрь, если степень полинома нечетная, то на основаніи
только что сказаннаго всегда можно найти такой интервалъ ( — а, +а),
на границахъ котораго полипомъ будетъ имѣть различные знаки, а
именно знакъ — на нижней, и знакъ + на верхней границѣ, пред-
полагая всегда <70 > 0. Отсюда слѣдуетъ, что /"(.г), вслѣдствіе
своей непрерывности (§ 275), по крайней мѣрѣ, одинъ разъ
обратится въ нуль въ этомъ интервалѣ. Поэтому имѣемъ слѣду-
ющую теорему: всякое уравненіе нечетной степени съ ве-
щественными коэффиціентами имѣетъ, по крайней мѣрѣ,
одинъ вещественный корень. Къ этому можно добавить, что
знакъ этого корня противоположенъ знаку независящаго
отъ х члена уравненія. Дѣйствительно, если этотъ членъ, оче-
видно равный у(0), положительный, то / (х) должна обратиться въ
нуль въ интервалѣ ( — а, 0), т. е. для отрицательнаго значенія х;
если жеу(0) отрицательно, то _/"(х) обратится въ нуль въ интер-
валѣ (0, а). — Если степень полинома четная, то можно взять а
достаточно большимъ, чтобы на обѣихъ границахъ интервала
( — а, а) значенія у(х) были положительными. Слѣдовательно, если
У(0)<0, то У(х) обратится въ нуль какъ въ интервалѣ (—а, 0)
такъ и въ интервалѣ (0, а). Поэтому, имѣемъ еще теорему: всякое
уравненіе четной степени съ вещественными коэффиці-
ентами и съ отрицательнымъ независимымъ членомъ имѣ-
етъ одинъ положительный и одинъ отрицательный корень
(по крайней мѣрѣ).
447. Два полинома /(з) и ^(г) (г-комплексное число, равно
какъ и коэффиціенты полиномовъ) называются сопряженными, если
соотвѣтствующіе коэффиціенты ихъ числа сопряженныя, такъ что,
отдѣляя вещественныя части коэффиціентовъ отъ чисто мнимыхъ,
можемъ написать
/(«) = и (у) + іѵ (с), .§ (г) = и (г) - іѵ (а),
гдѣ полиномы и (я) и ѵ (г) имѣютъ уже вещественные коэффиці-
енты. Каждый изъ этихъ полиномовъ, въ свою очередь, можетъ
быть представленъ въ комплексной формѣ, если отдѣлимъ въ г
вещественную часть х отъ чисто мнимой іу. Тэйлорова формула
даетъ
Ф О + г» = (х) — |у2 <р" (х) + + іу { 9>' (X) — |у2 <('" (х) + • •}
такъ что, если (р есть полиномъ съ вещественными коэффиціентами,
то замѣна у на —у измѣняетъ только знакъ чисто мнимой его
части. Поэтому можемъ написать
гі (х + іу) — пх + іи2, 11 (х — іу) = иі ~ іи2’
ѵ (,ѵ + іу) = ѵ± + іѵ2, ѵ (х — іу) = — іѵ2,
откуда
/(•ѵ +- Іу) = «1 + ІІІ2 + І<У1 + !'ѵ2) = "1 - ѵ2 + І(.гІ2 + ѵ1)
2 (х — Іу) = - І1І2 - - І(г>х - іѵ2) = НХ - ѵ2 - г («2 + Гі).
Отсюда теорема: при сопряженныхъ значеніяхъ перемѣнной
сопряженные полиномы принимаютъ сопряженныя значенія.
Изъ этого прямо слѣдуетъ, что если какое нибудь число обра-
щаетъ въ нуль нѣкоторый полиномъ, то сопряженное съ
первымъ число обратитъ въ нуль сопряженный съ дан-
нымъ полиномъ. Полиномъ съ вещественными коэффиціентами
сопряженъ самъ съ собою. Поэтому имѣемъ теорему: всякое урав-
неніе съ вещественными коэффиціентами, имѣющее ком-
плексный корень, имѣетъ и другой, сопряженный съ пер-
вымъ. Отсюда слѣдуетъ, что число мнимыхъ корней уравненія съ
вещественными коэффиціентами всегда четное.
448. Теорема Даламбера1) (П’АІешЬегі). Всякое алге-
браическое уравненіе съ вещественными или комплекс-
ными коэффиціентами имѣетъ вещественный или комплекс-
ный корень.
а) Разсмотримъ опять уравненіе (5), т. е. /(х~) = 0, и для
простоты положимъ ад = 1. Условимся говорить, что п будетъ
число четности г, если 2Г есть наивысшая степень 2, на которую
дѣлится «*). Положивъ х = у -ф- к и располагая /(х) по степе-
нямъ у, найдемъ
/(*) = уп + Ми-1 + Ми“2 + +&„•
гдѣ
*і = ] Л + «і,
, п (п — 1) 11 — 1 , ,
&2 = ———— Іі- -|--і а1/-г а2,
. п(п — 1) (я — 2) ... (я — 1) (и — 2) іі — 2 .
= -А--! . 2Ч--Л '--------1?2---' Я1‘ 4---112 ‘ + ’
Ь = кп -|- ахкп 1 + а2кп 2 + + аи .
Группируя члены /Сѵ) слѣдующимъ образомъ
/(•ѵ) = (у” + 'уУ' '+•• +^»)+у(^іУИ 2 + ^зУ! 4+ "• +^П-1),
полагая п = ‘2ѵ, и
Ф (х) = хѵ + Ь2хѵ~1 + Ьіхѵ~2 + — Ь2Ѵ ,
'/'(*) = /У].ѵГІ + 4Х 2 + +
Ч Нижеслѣдующее доказательство имѣетъ преимущество передъ раз-
личными другими по своему чисто алгебраическому характеру. Оно принад-
лежитъ Клиффорду, а потомъ снова было найдено Валецкимъ (ХѴаІескі)
(Ноиѵеііез Аппаіез сіез Маіѣетаіідиез, 1883, стр. 241). См. также въ Кіѵізіа
Ф Маіетаііса интересное изслѣдованіе ѣогіа подъ заглавіемъ: 11 іеогета
іопйатепіаіе деііа іеогіа сіеііе едиахіопі аІ^еЬгісѣе". Въ послѣднее время Вей-
ерштрассъ далъ новое доказательство въ „ЗіігипезЪегісЫеп бег Вегііпег Аса-
детіе“ за 1891 г.
*) Такъ что нечетное число будетъ четности нуль.
можемъ написать
(7)
/(.V) = ф(уі) + д''/>(у2).
Разсмотримъ теперь результантъ функцій Ф и Ф:
1 Ь2 Ьі ... О
О 1 і2 ... О
: і
: 0 0 0 ... Ь2ѵ :
® = I іх Ья Ьй ... о '
О іі і3 ... о
іо О 0 ... І2„._1
Очевидно, ёЯ будетъ цѣлою функціею отъ Іі, и степень ея равна вѣсу ёЯ
относительно чиселъ і,- *). Вѣсъ этотъ (§ 442) былъ бы равенъ
ѵ (ѵ— 1), но указатели коэффиціентовъ Ф удвоены, а указатели
коэффиціентовъ Ф послѣ удвоенія еще увеличены на единицу.
Благодаря этому вѣсъ ёЯ сдѣлался равнымъ
2г (г -]) + >= р(2г - 1). (II).
Итакъ, ёЯ будетъ степени ѵ(2і’ — 1) относительно Іі. Однако, чтобы
быть увѣреннымъ въ этомъ, надо еще показать, что коэффиціентъ
при старшемъ членѣ никогда не равенъ нулю. Ясно, что этотъ
старшій членъ получится (§ 443), если замѣнимъ каждый элементъ
опредѣлителя ёЯ старшимъ членомъ этого элемента. Принимая во
вниманіе формулы (6), мы видимъ поэтому, что искомый коэф-
фиціентъ будетъ то число, въ которое обратится ёЯ, когда всѣ
числа ах, а2, ая, .. . положимъ равными нулю, а /г = 1. Слѣдова-
тельно, искомый коэффиціентъ есть не что иное, какъ результантъ
Ф и Ф въ частномъ случаѣ /(х) = х”, и /г = 1. При этихъ пред-
положеніяхъ, равенство (7) даетъ
(у + !)" = Ф (У) +у Ф (у-}, {у - 1)" = Ф (.У2) - У Ф О’2) **)
Если бы результантъ Ф и Ф обратился къ 0, то Ф и Ф имѣли бы
общаго дѣлителя, который долженъ былъ бы дѣлить (у -|- 1)" и
(у — 1)“, а эти полиномы, очевидно, взаимно простые. Поэтому
членъ степени ѵ(2ѵ — 1) въ ёЯ не исчезаетъ, и степень ёН на-
вѣрно будетъ четности г — 1, если степень даннаго урав-
ненія была четности г.
*) Потому что і,- степени і относительно Л.
**) При замѣнѣ у на —у, и при п = 2 г.
Ь) Предположили теперь, что у(х) имѣетъ вещественные коэф-
фиціенты и степень п = 2ѵ, при ѵ нечетномъ. Уравненіе Ж = О
будетъ тогда также имѣть вещественные коэффиціенты, а его сте-
пень равна ѵ(2ѵ — 1), т. е. нечетному числу. Слѣдовательно (§ 446),
существуетъ такое вещественное число /г, при которомъ еК. = 0.
Извѣстно далѣе, что при этомъ значеніи Л полиномы Ф и Ф,
также съ вещественными коэффиціентами (какъ это видно изъ фор-
мулъ (6)), будутъ имѣть общаго дѣлителя /. Поэтому будемъ имѣть
Ф (х) = ср (х) / (х), 'Р (х) = ір (х) / (х).
Уравненіе (7) дастъ тогда
/(х) = [<т (у2) + у у (у2)]/ (у2)
или замѣняя у черезъ х -- /г, / (х) — /, (х)/г(х), гдѣ и Д поли-
номы съ вещественными коэффиціентами; сумма степеней этихъ
полиномовъ равна п. Если степени обоихъ полиномовъ Д и Д
числа четныя, то одна изъ нихъ была бы, какъ и п, равна удвоен-
ному нечетному числу *), т. е. одинъ изъ полиномовъ Д, нахо-
дился бы въ тѣхъ же условіяхъ, какъ и у. Поступая съ нимъ такъ,
какъ мы поступали съ /' и продолжая такъ же, далѣе, мы получимъ
рядъ полиномовъ съ вещественными коэффиціентами степени ко-
торыхъ будутъ постоянно убывать, и одинъ изъ этихъ полиномовъ
наконецъ будетъ либо нечетной, либо второй степени и, слѣдова-
тельно, будетъ имѣть корень, который будетъ въ то же время кор-
немъ даннаго полинома (потому что всѣ полиномы упомянутаго
ряда будутъ дѣлителями даннаго). Во всѣхъ этихъ разсужденіяхъ
подразумѣвалось, что полиномъ Ф существуетъ. Если бы этотъ по-
линомъ, для разсматриваемаго вещественнаго значенія к оказался бы
равнымъ нулю, т. е. если бы всѣ числа Іу, Ь3, Ьь, ... были равны
нулю, то предложенное уравненіе привелось бы къ Ф(у2) =0. Оно
имѣло бы вещественные коэффиціенты и было бы нечетной степени
относительно у2, а потому имѣло бы корень. Итакъ, теорема спра-
ведлива для уравненій съ вещественными коэффиціентами, если сте-
пень уравненія равна удвоенному нечетному числу.
с) Она справедлива и для всякаго уравненія нечетной степени
съ вещественными или комплексными коэффиціентами.
Дѣйствительно, положимъ, что /(г) есть полиномъ нечетной сте-
пени, а сопряженный съ нимъ. Функція
/(«).§(-*) = (« + г'О (» — М = »- + ѵ2,
имѣетъ вещественные коэффиціенты и степень, равную удвоенному
нечетному числу. По доказанному она имѣетъ корень а -ф- Если
это число не обращаетъ въ нуль Дг), то оно необходимо должно
быть корнемъ ^(г), а тогда « — /,? будетъ корнемъ _Дг).
*) Если 2/і + 2/і, = п = 2ѵ, то /і -Д = г = нечетному числу и по-
тому //. или и, — нечетное.
сі) Остается, наконецъ, доказать, что теорема будетъ спра-
ведлива для того случая, когда степень п четности г, если допу-
стимъ, что она справедлива для степени п четности, меньшей г.
А для этого достаточно себѣ представить, что всѣ предыдущія
разсужденія повторены для случая уравненія съ вещественными или
комплексными коэффиціентами. Тогда уравненія = О и Ф = О,
степеней ѵ(2ѵ — 1) и ѵ, четности г — 1, если п = 2ѵ чет-
ности г, по предположенію, будутъ удовлетворяться нѣкоторыми
значеніями к и у1. Слѣдовательно, всегда возможно будетъ разло-
жить у’ на два полинома и у, степеней пл и и2. Если одно изъ
этихъ чиселъ будетъ четности, меньшей г, то соотвѣтствующій по-
линомъ будетъ имѣть корень, который будетъ также и корнемъ
полинома у’. Въ противномъ случаѣ, одно изъ чиселъ пл и и2, на-
примѣръ пх будетъ той же четности г, какъ и п, потому что если
бы оба числа и пг были четности, большей г, то и « = и1-|-и2
было бы четности, большей г, противно предположенію. Тогда примѣ-
няемъ къ полиному у предыдущія соображенія и, продолжая такимъ
образомъ, составимъ рядъ полиномовъ, число которыхъ, конечно,
ограничено, потому что степени ихт убываютъ. Если бы четность г
постоянно сохранялась, то въ самомъ неблагопріятномъ случаѣ дошли
бы до полинома степени 2Г, за которымъ необходимо послѣдовалъ
бы полиномъ степени ниже 2Г, а потому и четности, меньшей г.
Такой полиномъ, по предположенію, имѣлъ бы корень, принадле-
жащій, конечно, и данному полиному. Теорема доказана вполнѣ.
449. Слѣдствіе. Всякое уравненіе и-ой степени съ ве-
щественными или комплексными коэффиціентами имѣетъ
равно п вещественныхъ или комплексныхъ корней. Мы ви-
дѣли, что у(х) имѣетъ, по крайней мѣрѣ, одинъ корень у. Замѣ-
чая, что (см. § 500) /(У — /{а) всегда дѣлится на х — а, мо-
жемъ написать, полагая а = аг,
/(X) = (X - аД/Д.-ѵ),
гдѣу(х) полиномъ (п— 1)-ой степени, имѣющій корень а2, и по-
тому представляющійся въ формѣ (х — а2)У(х) и т. д. Продолжая
такимъ образомъ, получимъ окончательно
(8)
Дх) = (.V - аО (х - а2) (х - «3) . . . (х - а„)
(а0 = 1). Для того, чтобы этотъ полиномъ обратился въ нуль, необ-
ходимо и достаточно, чтобы одинъ изъ множителей обратился въ
нуль; поэтому можно утверждать, что а2, а3,...,ап, какъ и а,,
будутъ корнями /"(У, и что въ области вещественныхъ и ком-
плексныхъ чиселъ х) другихъ корней не существуетъ.
1) Оговорка относительно природы корней необходима. Дѣйстви-
тельно, Гамильтонъ доказалъ, что общее уравненіе 2-ой степени, напри-
мѣръ, имѣетъ 16 корней, если въ область разсматриваемыхъ чиселъ вклю-
чить кватерніоны.
450. Примѣчанія, а) Два полинома, имѣющіе одинъ общій
корень а, не будутъ взаимно простыми, потому что будутъ имѣть
общаго дѣлителя х — а, на основаніи формулы (8). Обратно, если
два полинома имѣютъ общаго дѣлителя, то каждый корень этого
дѣлителя обращаетъ въ нуль оба полинома. Итакъ, одновремен-
ная дѣлимость двухъ полиномовъ на третій и одновременное
обращеніе ихъ вь нуль для нѣкотораго значенія перемѣн-
ной суть вполнѣ равносильныя свойства полиномовъ.
Ь) Ничто не мѣшаетъ тому, чтобы нѣкоторые изъ корней а
были равны между собою. Поэтому цѣлесообразнѣе, вмѣсто (8),
писать общнѣе
/(х) = (х — щ)1'1 (.ѵ — «,)г’ іх — аз)Г‘ - аѵ)Гѵ<
гдѣ теперь уже всѣ а различны и сумма ф г2 ф • • • ф гѵ всегда
равна степени полинома п. Хотя, въ дѣйствительности, будемъ
имѣть всего ѵ различныхъ значеній х, обращающихъ данный поли
номъ /(х) въ нуль, но и теперь удобнѣе говорить, что /(х) имѣетъ
п корней, изъ которыхъ г, равны а,, г2 равны и т. д.
с) Если Дх) имѣетъ г корней, равныхъ а, при чемъ всѣ
другіе отличны отъ а, то легко показать, что а будетъ кратнымъ
корнемъ порядка г или г — кратнымъ корнемъ, въ томъ смыслѣ,
который былъ опредѣленъ раньше (§ 304, Ь). Дѣйствительно, изъ
того, что /(х) = (.г — а)’ (р(х), гдѣ <р(х) цѣлая функція, не дѣля-
щаяся на х — а, слѣдуетъ, что производная
/ѵ(х) = (Л- — а)’’-1 [г<р'х) + (х - а)(р'(х)].
Выраженіе въ скобкахъ не дѣлится на х — а, потому что при х — а
оно обращается въ г(р(а) ф 0. Слѣдовательно, /'(х) имѣетъ только
г — 1 корней, равныхъ а, а отсюда слѣдуетъ, что ...
будетъ имѣть соотвѣтственно г — 2, г — 3, ... корней, равныхъ а,
такъ что окончательно Д(г,(а) уже не равно нулю. Итакъ, если а
г-кратный корень функціи у"(х), то оно будетъ (г — 1) — кратнымъ
корнемъ функціи /"'(х), (г — 2) — кратнымъ корнемъ /” (х) и т. д.,
простымъ корнемъ /''л'(х) и не будетъ корнемъ функціи ДДх).
Для того, чтобы какой нибудь корень Дх) былъ вообще
кратнымъ, необходимо и достаточно, чтобы онъ былъ
корнемъ у'(х).
б) Если коэффиціенты /(х) вещественны, то по сказанному
въ концѣ § 447, каждому мнимому корню а соотвѣтствуетъ дру-
гой «, съ нимъ сопряженный. Къ этому можемъ теперь .добавить,
что если а корень кратности г, то и а — корень той же кратности.
Дѣйствительно, х будетъ корнемъ полиномовъ у"(х), уѵ(х), ... ,у'('~1)(х)
съ вещественными коэффиціентами, но не будетъ корнемъ
полинома Слѣдовательно, значеніе х = а обратитъ въ
нуль первые г полиномовъ, не обращая въ нуль послѣдняго.
(Это и значитъ, что а есть г— кратный корень /'(л*)). Отсюда
слѣдуетъ, что представивъ /(х) въ видѣ (8), мы можемъ соеди-
нить линейные множители, соотвѣтствующіе сопряженнымъ корнямъ
а и а, въ произведеніе вида (х2р хд)г, гдѣ р и д веще-
ственны, потому что р=— (а + а), д — аа. Итакъ, всякій по-
линомъ съ вещественными коэффиціентами можетъ быть
представленъ въ видѣ произведенія линейныхъ и квадрат-
ныхъ множителей съ вещественными коэффиціентами.
Общіе корни двухъ уравненій и кратные
корни.
451. Общіе корни. Если обозначимъ черезъ ®(.ѵ) общій
наибольшій дѣлитель полиномовъ /(.ѵ) и ^(.ѵ) и положимъ
/Сѵ) = /і СО $ (О 8 (О = Л (О ® (О,
то увидимъ ясно, что всякій корень ®(.ѵ) будетъ общимъ корнемъ
У'(.ѵ) и и обратно, всякій общій корень /\х) и ^(.ѵ) будетъ
корнемъ ©(.г), такъ какъ взаимно простые полиномы и
одновременно обращаться въ нуль не могутъ. Итакъ, общими
корнями двухъ цѣлыхъ функцій будутъ тѣ и только тѣ,
которые обращаютъ въ нуль общаго наибольшаго дѣли-
теля этихъ функцій. Изъ этой теоремы тотчасъ получается раз-
ложеніе общаго наибольшаго дѣлителя на линейные множители.
Если / и .»• имѣютъ общими ровно г корней равныхъ а, 5 корней
равныхъ /?, і — равныхъ у и т. д., то общій наибольшій ихъ дѣли-
тель есть
©(.ѵ) = (л- — «)г(л- — Зр(х — у)1...
Мы сейчасъ увидимъ, что разысканіе общихъ корней находится въ
прямой связи съ методами исключенія.
452. Теорему, служащую основаніемъ методы Эйлера (§ 439, а)
можно легко обобщить, замѣчая, что возможность опредѣлить
полиномы
/ = «О-т" ' ’ -1 - ••• + (Іп^і ,
6І — 1 1Л ‘'ш-і
гакъ, чтобы имѣло мѣсто тождество
(9) /^-^ = 0.
есть необходимое и достаточное условіе дли того, чтобы
полиномы
/ = аохп + агхп 1 + • ’ + ап> X ~ ^,хт + Ь{хт 1 + + Ьпі
имѣли общаго дѣлителя степени не ниже і. Тождество (9)
разбивается (аналогично тому, что сказано въ § 439, Ь) на систему
линейныхъ и однородныхъ уравненій относительно чиселъ а и /?,
и возможность опредѣленія требуемыхъ полиномовъ _/) и равно-
сильна (§ 56) обращенію въ нуль старшихъ опредѣлителей нѣко-
торой матриссы. Эта матрисса получится изъ
«о «і . 0
0 «0 . 0
0 0 «о • . . 0
Ж = 0 0 0 . • &П
ь, Ь, ь2 . . 0
0 Ьо \ . 0
0 0 0 . ът
если выкинемъ изъ еК послѣднія п — і изъ первыхъ п строкъ,
и послѣднія п — і изъ всѣхъ строкъ. Если выкинемъ еше 2/—2
послѣднихъ столбцовъ, въ числѣ которыхъ послѣдніе і — 1 состоятъ
исключительно изъ нулей, то получимъ одинъ изъ старшихъ опре-
дѣлителей еКі -і матриссы. Остальные, которые мы обозначимъ че-
резъ ЖА2^!,..., получатся изъ 91^ при послѣдова-
тельной замѣнѣ его послѣдняго столбца каждымъ изъ слѣдующихъ
за нимъ і — 1 столбцовъ матриссы (не сплошь состоящихъ изъ
нулей). Поэтому необходимыя и достаточныя условія для суще-
ствованія тождества (9) будутъ
(іо) &,•_! = о, ^ = 0, &^г = о.
Для облегченія составленія опредѣлителей еК, і полезно писать
первыя п строкъ въ опредѣлитель 91 въ обратномъ порядкѣ.
Тогда для полученія матриссы, содержащей всѣ опредѣлители (10),
нужно будетъ -вычеркнуть первыя п — і и послѣднія п— г
строкъ (III.)
453. Такъ, напримѣръ, въ случаѣ двухъ уравненій 4-ой сте-
пени, схема
0 0 0 «о «1 а2 а?і «4
0 0 «о а1 а2 «3 «4 0
0 «о а?) «4 0 0
ао «і а.2 аз «4 0 0 0
К ь2 Ьл 0 0 0
0 ь0 Ь2 &3 \ 0 0
0 0 Ьо Ь, 'С Ь, 0
0 0 0 Ьо Ьі Ьз Ь,
тотчасъ обнаруживаетъ опредѣлители
сК, сИ.4, оіС И е&з =
Далѣе, легко видѣть, что элементамъ схемы можно дать ниже-
слѣдующее расположеніе
«о «1 а2 аз «4 0 0 0
0 «0 а2 «3 «4 0 0
0 0 аО СІ । а3 «4 0
0 0 0 "о «1 а3 «4
0 0 0 ь0 Ьу ^3 Ьі
0 0 Ьо \ Ьз к 0
0 Ьо к ь2 Ьз Ьі 0 0
Ьѵ ь., Ьз Ьі 0 0 0
454. Предпославъ изложенное въ послѣднихъ двухъ §§, пе-
рейдемъ теперь къ той интерпретаціи методы Эйлера, которая
дана Сильвестромъ (§ 440). При этомъ всѣ уравненія, получаемыя
по способу Сильвестра, будемъ писать въ такомъ порядкѣ (см. § 455),
чтобы коэффиціенты получили именно то расположеніе, которое
указано въ послѣдней схемѣ § 453. Откинемъ і первыхъ и і по-
слѣднихъ уравненій, и разсмотримъ остальныя п-\-т — 2і уравненій
какъ линейныя уравненія относительно степеней х до (п-\-т — г)-ой
включительно. Исключая изъ этихъ уравненій всѣ степени х выше
/-ой, получимъ уравненіе вида
(И) + ЗІр'Ф-1 + + • + = 0.
Если р есть показатель степени Ф (общаго наибольшаго дѣли-
тели р и (р, то, очевидно, / и одновременно дѣлящіеся на
всѣхъ линейныхъ множителей ф, будутъ имѣть общихъ дѣлите-
лей всѣхъ степеней не выше р, но ни одного дѣлителя сте-
пени больше р, т. е. тождество (9) будетъ удовлетворяться для
і = 1, 2, ... р, но не будетъ удовлетворяться при і > р. Слѣдова-
тельно, на основаніи (10), всѣ опредѣлители 91, 912, ..., 9ф_і
равны нулю, и уравненіе (11) обращается въ тождество 0 = 0,
пока /</>, а при і=р, навѣрно будетъ существовать уравненіе
(12)
^рхѵ + 9(^-1 + ... + о.
Кромѣ того, такъ какъ оно удовлетворяется каждымъ изъ р общихъ
корней р и _§•, то еКр ф 0, и уравненіе (12) не можетъ быть сте-
пени ниже р. Итакъ, число общихъ (неравныхъ или равныхъ)
корней р и равно указателю перваго изъ чиселъ ряда
91, 91,, 9Ц, ..., не равнаго нулю, и значенія этихъ корней
получаются, какъ рѣшенія уравненія (12).
455. Возьмемъ для примѣра опять уравненія § 453 и составимъ схему
аох~‘ + аАх'' + + а3х1 4- а4л® = 0
а0л-6 а4х3 + а2х1 4- а3х? 4- а4х2 = 0
а0.г’ + а^х1 4~ а2х3 + 4- а4х = 0
аол4 + а4х3 + а2х2 ф а3х 4- а4 = 0
60х1 + 6,х3 4~ Ъ2х2 + Ь3х + Ь4 = 0
Ъ^х3 —|— Ь^х1 Ъ2х° 4“ 4~ &\Х == 0
Ь()Х3 4- 4- -'2х' + + &Іх2 = 0
І^х^ 4- І^^х3 4- 62х3 4- Ь3х^ 4- Ь4х3 == 0
Если выполнены условія 91 = 0, 91і = 0, а 9і2Ф0, то можно утверждать,
что данныя уравненія имѣютъ два и только два общихъ корня. Для опредѣ-
ленія ихъ достаточно исключить л‘:і. х*, х3 изъ четырехъ среднихъ уравне-
ній схемы. Тогда получимъ уравненіе
а0 а1 а2 а?іх2 4- '1\х
0 а0 а4 а2х2 4- а3х 4-
0 Ь2х2 ф Ь3х ф Ь4
^0 ^2 Ь3Х2 4" Ь4х
или
а0 а1 а2 аі
<70 Щ Я.
60 ь2 ь3
Ъѵ !>.,
«о
О
О
а2 а2 О
Яо <4
Ь1 Ьі
= 0.
0
+
I
^0 ^2 О
456. Кратные корни. Для нахожденія кратныхъ корней раз-
личныхъ порядковъ на практикѣ поступаютъ слѣдующимъ образомъ.
Пусть у, (х) есть произведеніе множителей вида х — а, соотвѣтству-
ющихъ простымъ корнямъ функціи у"(я), (х) — произведеніе та-
кихъ же множителей, соотвѣтствующихъ двойнымъ корнямъ и т. д.,
такъ что
/(*) =Д М/22 (х)/3 (х)/^ (х) . . .
Изъ сказаннаго выше (§ 450, с; § 451) слѣдуетъ, что общій наи-
большій дѣлитель / и производной будетъ
ад=/ж2(*)/М-.
Точно такъ же, общій наибольшій дѣлитель ®2 полинома и его
производной равенъ , общій наибольшій дѣлитель 5>3 по-
линома и его производной равенъ /) ... и т. д. Раздѣлимъ у*
на Ф, на ®2, и т. д. и пусть частныя отъ этихъ дѣленій бу-
дутъ ф,, ср2, <р3! ..тогда
<7і(*) =/і(*)/г(*)./з(*) •••> <р2(х) =/2(х)/! (х) ..<р3(х) =/3(.г).
и, наконецъ,
М^=/зм,...
<72 (*) Ы*) ФіМ
Остается теперь только рѣшить каждое изъ уравненій
7 = 0,/2 = о,/8 = о, ...
въ отдѣльности. Слѣдовательно, разысканіе кратныхъ корней слага-
ется изъ четырехъ рядовъ операцій, а именно, одного ряда разыс-
каній общихъ наибольшихъ дѣлителей, двухъ рядовъ дѣленій, и
наконецъ, одного ряда рѣшеній уравненій съ одними простыми
корнями т).
457. Дискриминантъ. Чтобы нѣкоторая цѣлая функція имѣла
кратные корни, необходимо (§ 450, с), чтобы существовали об-
щіе корни этой функціи и ея производной, а потому результантъ
этихъ двухъ функцій долженъ быть равенъ нулю. Этотъ результантъ
1) О кратныхъ корняхъ см. Тгиді „Теогіа сіеі деіегшіпапН" р. 179.
называется дискриминантомъ даннаго уравненія /=0 и обозна-
чается обыкновенно черезъ Л. Для его вычисленія полезно сдѣлать
данное уравненіе однороднымъ, т. е. замѣнить х на -у и затѣмъ
умножить всѣ члены на уп. Уравненіе приметъ тогда видъ
?(х, У) = «0* * + аіх У ”1“ а2хП ~У~ + • + апуп — 0.
Такъ какъ, по теоремѣ Эйлера (§ 372), х/х' у]у = к/, то вся-
кій кратный корень функціи У обращаетъ въ нуль и у/, и обратно,
всякое число, обращающее одновременно въ нуль и , обра-
титъ въ нуль у и у/, т. е. будетъ кратнымъ корнемъ у. Поэтому
дискриминантъ даннаго уравненія можетъ только постояннымъ мно-
жителемъ отличаться отъ результанта частныхъ производныхъ его
лѣвой части.
458. Разсмотримъ, напримѣръ, уравненіе третьей степени
а0.ѵ3 -|- За1л- -р За2я -р а3 = 0.
Полагая
/ х, у = а0л-3 -|- -р За.,ху2 + а3у 3,
имѣемъ
і// = аох2 + ^ауху + «2Т2, Му = «і*2 + Ъа2ху + а3_р.
Поэтому дискриминантъ даннаго уравненія будетъ (§ 437, ср. § 102)
/1 = 4(а0а2 — «/) (Я1а3 — а2) - (а0а3 - ауу)’,
т. е.
Д = За^ а2 -р 6аоа1а2а3 — п02а32 — 4а0а23 — 4а3я13.
Точно такъ же найдемъ дискриминантъ уравненія четвертой степени
аохі + 4я]л^ 6а2х2 -р4а3.ѵ + «4 = 0,
равный, какъ замѣтилъ Буль (Вооіе),
Л = /з _ 27/2,
гдѣ / и / обозначаютъ инваріанты (§ 87)
7 4(Т3 ^?3 —р Зп2 , У — 6/9 6/4 ~р 2б/д 6/2 6/3 — 6/., — 6?3 6/4
биквадратичной формы аІ}хх -Р 4а1х3у -р • • •. Дискриминантъ общаго уравне-
нія и-ой степени есть функція коэффиціентовъ степени 2(и — 1) и вѣса
п(п — 1). Сильвестръ1) называетъ дискриминантомъ алгебраической формы
съ ѵ перемѣнными результантъ ея первыхъ частныхъ производныхъ. Онъ
будетъ однородною и изобарною функціею коэффиціентовъ степени ѵ(п— I)1' 1
и вѣса п(п — 1)" 1 *)
Э РЫІозорііісаІ Ма^ахіпе, 1851.
*) См. Заішоп: АІ^ёЬге зирёгіеиге, стр. 144—145.
Упражненія и приложенія.
459. Одно то обстоятельство, что (§ 449) всякій полиномъ и-ой сте-
пени разлагается на п линейныхъ множителей, имѣетъ многочисленныя слѣд-
ствія, а также важныя и разнообразныя приложенія. Мы начнемъ съ малень-
каго упражненія, которое дастъ намъ полезный для будущаго результатъ.
Намъ извѣстны корни полинома хп — 1 (§ 394), а именно:
* 2кп , . . 2кп ,, „
га = соз---к і зіп-- (к = 0, 1, 2.....п - 1),
п п
и теперь мы можемъ утверждать, что
хп — 1 = (х — 1) (х — га) (х — со2) ... (х — га”І),
или, если раздѣлимъ на л: — 1,
хп 1 + хп 2 + • • + 1 = (х — га) (х га2) • • • (х — соп ’),
а потому, при х = 1,
(1 - га1
Но
к
, 2Х’л'1~ . 2кп
1 — соз----- + зш2---------
п / п
п • кп
— 2 зіп— ;
п
слѣдовательно, сравнивая модули обѣихъ частей
получимъ
предыдущаго уравненія,
пп — і п . 2п
и = 2 зіп — зіп —
п п
. Зп . (п — 1).т
ЗІП --- • • • ЗІП -------—
п
п
Если мы теперь раздѣлимъ четверть окружности круга на п частей, рав-
ныхъ к [к = , то сейчасъ найдемъ и произведеніе синусовъ угловъ
к, 2к, ... )и- Л) к. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ сумма угловъ гк и (п—г)к
п
равна $
разсматриваемое произведеніе можно написать въ двухъ видахъ
зіп к зіп 2к зіп Зк ... зіп (п — 1)к, соз к соз 2к соз Зк ... соз (и — 1)к.
Отсюда слѣдуетъ, что его квадратъ, умноженный по 2й \ равенъ
, , . п . 2л . (и —1)л н
зіп 2к зш 4Л ... зіп (2и — 2) к = зш - зіп — ... зіп-------— =-------
п п п <2п~~
Поэтому х)
зіп к зіп 2к зіп Зк ... зіп (п — 1) к = _х
х) Въ .ЬеіігЬисІі бег Аі^еЬга" ѵоп Н. АѴеЬег (Вапб I, 8. 424 и слѣд.)
можно найти другія интересныя формулы, аналогичныя выведеннымъ.
460. Всякую раціональную функцію отъ х можно представить въ видѣ
частнаго отъ дѣленія одной цѣлой функціи /(х) на другую цѣлую § (я),
при чемъ / и § можно считать взаимно простыми. Если представимъ себѣ
еще, что цѣлая часть этого частнаго заранѣе выдѣлена, то можно считать,
что степень / ниже степени Если извѣстны корни функціи § (х), то весьма
, . , /(х)
важно ѵмѣть разложить раціональную дробь —на слагаемыя
7 § (х)
простыя дроби, т.е.такія,чтобы каждаяизъ нихъ обращалась въ безконечность
только при одномъ изъ корней функціи § (х). Предполагая сначала, что всѣ п
корней а, 13, у, ..., А функціи § (х) простые, положимъ, что ,^(.ѵ) предста-
влено въ формѣ (8). Такъ какъ, по предположенію, ни /(х), ни (х) съ
§ (х) общихъ корней не имѣютъ, то существуютъ числа
„ /(“) А _ /(Л / _ /<
е (“) 8 О?) 8
и ни одно изъ нихъ не равно нулю. Замѣтимъ теперь, что функція
а (х — /?) (х — у) ... + 6 (х — а) (х — у) ... + ... + /(х — а) (х — ,3) ...
при х = а обращается въ
« (а - (а - у)... = а#'(а) =/(а,>,
при х — ,3 — въ /(,?) и т. д., такъ что при п различныхъ значеніяхъ х она
принимаетъ значенія, одинаковыя съ /(х). Но такъ какъ ея степень, какъ и
степень /(х), меньше и, то она не можетъ отличаться отъ /(х), иначе раз-
ность между нею и / (х) имѣли бы больше корней, чѣмъ единицъ въ пока-
зателѣ ея степени. Слѣдовательно,
(13)
/(*) а , 6_____________, ... , •
§ (х) х — а х — 3 х — А
Переходимъ къ общему случаю, когда § (х) = (х — а/ (х — /?)8(х — у/ . . .,
такъ что §(х) = (х — а)г д> (х), гдѣ д> (я)ф0. Каково бы ни было аг, имѣ-
емъ тождество
/(*) = ат
8 И (х-а)г
/(х)-аг<р(х)
(х — а)г <р (х)
Число аг можно опредѣлить такъ, чтобы/(х) — аг<р(х) дѣлилось на х— а,
для чего необходимо /(а) — агд>(а) = 0, т. е
= Д1) = Г, /(а)
9>(«)
Обозначая теперь черезъ и частныя отъ дѣленія и § на х— а,
получаемъ
/(*) _ аг /1(*)
8<х) (х-а)г + 8і(.х)
и сводимъ дѣло къ разложенію —. Эта дробь проще данной въ томъ отно-
шеніи, что а будетъ корнемъ знаменателя кратности г — 1. Представляя
себѣ повторенными предыдущія соображенія, можемъ прямо написать
/і(>) = яг-і /2(-*),
&(*) (х -а)г 1
гдѣ
/і(«) /'(«)-*,</(«) г\ /(а)
'' 1 = Ф(«) ’ Ф(а) ^(0 (а) и ' г + г /п(а) /
Продолжая такимъ же образомъ, дойдемъ до
Л-іХ*) _ /Д-ѵ)
ег іМ х~а
гдѣ (х) или д; (х) уже не имѣетъ корня «. Переходя къ разсмотрѣнію
корня ;7, а потомъ по очереди и всѣхъ другихъ, видимъ, что окончательно
придемъ къ формулѣ
/(*) «Ч а.,
г?(ѵ) х - а (х—а)2 Сѵ <:)*'
(14) / >
Ь1 Ь.,
+ + +7х-^+'--'
которая, при г = 5 = і = =1 приводится къ (13). Коэффиціенты здѣсь
имѣютъ болѣе сложныя выраженія, которыя мы вскорѣ найдемъ. На прак-
тикѣ этими выраженіями, впрочемъ, рѣдко пользуются, предпочитая прибѣг-
нуть къ методѣ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ, послѣ того какъ
возможность представить данную дробь въ видѣ (14) установлена.
461. Обыкновенно коэффиціенты данной дроби числа вещественныя, и
по соображеніямъ, которыхъ значеніе мы впослѣдствіи увидимъ, желательно
разложить ее на простыя дроби съ коэффиціентами также вещественными.
Съ этой цѣлью линейные множители функціи §(х), соотвѣтствующіе сопря-
женнымъ мнимымъ корнямъ а и а, соединяютъ въ произведеніе вида х2-\-рх-\-ц
450, й), гдѣ р и д-числа вещественныя. Такъ какъ числа, получаемыя при
/• -
подстановкѣ въ —г сперва а, а затѣмъ а, будутъ сопряженными (§ 447),
то корни а и а дадутъ въ формулѣ (13) членъ
т т а х Ь
х — а' х —71 х- + рх + д ’
гдѣ а и Ъ числа вещественныя, потому что а = т + т, Ъ = — (та + та).
Переходя къ случаю кратныхъ корней, полагаемъ &(х) = (х2 д)' <р(.ѵ)
и замѣчаемъ, что въ тождествѣ
/і.х) _ ах + Ь /(х) — (ах + Ь)<р(х)
&(х) “ (х2 + рх + д)г + (х2 + рх + д^д^х)
числа а и Ь можно опредѣлить такъ, чтобы / — (ах + Ь)д дѣлилось на
х2 4- рх 4- а. Для этого достаточно вычислить число т = -ДД и положить
<?(«)
аа Ь = т, аа Ъ = т, откуда для а и Ь получатся вещественныя зна-
ченія. Продолжая идти тѣмъ же путемъ, какъ въ предыдущемъ параграфѣ,
увидимъ, что каждая пара мнимыхъ сопряженныхъ корней кратности г
/•
дастъ въ разложеніи на простыя дроби сумму членовъ слѣдующаго вида:
аѵх + Ъ, а2х + Ь2 агх +
х2 + рх + <] + (х3 + рх + у)2 (х2 + рх + <])г
462. Возвратимся къ вопросу § 460 и разберемъ его иначе съ цѣлью
получить общія выраженія коэффиціентовъ разложенія. Положимъ, что &
имѣетъ ѵ различныхъ корней а, 3, у, ..., /. кратностей г, л, I. ..., к соот-
вѣтственно, такъ что
р-(х) = (х - а)г(х - 3)Чх - у)' ... (х - А)4.
Положимъ для сокращенія
А'/х) = (* — № - у)' ... (х - А/, ^2(х) = (х - у/ ... (х - А)*. ...,
= (х - А)*.
Такъ какъ не обращается въ нуль при х — а, то можно, при дѣленіи
/на расположить частное по восходящимъ степенямъ х — а. Такъ какъ
/ степени ниже п, а степени п — г, то получимъ г членовъ упомяну-
таго разложенія, т. е., имѣя
2М = аг + аг_х(х - а) + аг_2(х - а)2 + • •
(15) {
+ «/х - а)’ ’1 + (х - а)^},
замѣчаемъ, что будетъ степени ниже п — г. Точно такъ же, раздѣляя
на степень котораго равна и — г - 5, и выписавъ 5 членовъ, получимъ
[ = 1>я + (х - 3) +- Ьч__ 2 (х - 3)2+
I А4(Л')
гдѣ /2 будетъ степени ниже п — г — з. Продолжая такимъ образомъ, дой-
демъ до функціи степени не выше к — 1, и можно будетъ написать
Д_і (х) = Ік + 1к1 (х — Л) + 4_2 (х — А)3 4- • • • + 4 (х — А)* 1.
Теперь дѣлимъ (15) на (х — а)г, затѣмъ (16) на (х — /?)8 и т. д., наконецъ,
послѣднее уравненіе на (х —А)*. Суммируя, мы снова получимъ формулу (14).
Кромѣ того, изъ самаго процесса, посредствомъ котораго мы установили
равенство (15), вытекаетъ, что аг, аг_і, аг_2,... будутъ первые г коэф-
фиціентовъ въ разложеніи функціи
Ж
АіМ &'(х)
по восходящимъ степенямъ (х — а). Но мы имѣемъ
_ (, _ +„ _ +(„ _ О).+Л+....
и умноженіе рядовъ
аг + і (-Ѵ - «) + (х — а)2 + •,
должно дать рядъ
/(*) = /(а) + (* ~ + (Л ~ а)2 уу + • • • •
Отождествляя произведеніе первыхъ двухъ съ послѣднимъ, найдемъ
л«>-^
/Ча) Л)
1 — 1 .. г
?г+1)(«)
(17)
/"(«)_„ /Г’(«)
1-2 ^аг~2 г!
/г+2)(а)
г О' + 2)!
= „ ^г)(°)
(г — 1)! 1 г!
+ ---М
ё'г (д)
(2г - I)!
Изъ этой системы линейныхъ уравненій мы и найдемъ послѣдовательно
коэффиціенты аг, аг_1г аг_2,..изъ аналогичной системы, относящейся
къ корню /?. найдемъ коэффиціенты 68, 5^, ... Дѣйствительно, эти числа
будутъ первыми $ коэффиціентами въ разложеніи функціи
,/іИ
^2^)
= (X - № = (х -
г?Т(*) іЧ*)
(х — 3/ к(х)
по восходящимъ степенямъ х — /? При этомъ к(х) обозначаетъ раціональ-
ную функцію, остающуюся конечною при х = Д и, слѣдовательно, разла-
гающуюся по восходящимъ степенямъ х — /?. Но такъ какъ въ разложеніи
(х — 1г(х) являются лишь степени х — а съ показателями, не меньшими 5,
то 68, будутъ также первыми 5 коэффиціентами въ разложеніи
/'(х)
(х — /?)5У ѵ. ', и потому будутъ удовлетворять системѣ уравненій, которая
& (#)
отличается отъ (17) только тѣмъ, что на мѣсто а поставлено /?, а на мѣсто
г поставлено 5. Все сказанное относится и къ остальнымъ коэффиціентамъ
с(, С;—! ... и т. д. Къ формулѣ, болѣе общей, чѣмъ (14), придемъ, исходя
изъ какого нибудь разложенія ,^(.ѵ) на множители, взаимно простые одинъ
относительно другого попарно,
= ф’ЧлО/С’ОѵЧ*) . ..
Тогда найдемъ
/И = уГ«і(*) ,
ё(х) [ф(х) "г
<Р2(Х)
-I-------------Н
аЛх)
<Рг(х)
гдѣ суммированіе распространяется на всѣ множители <р, ѵ, • • •, и а{, 1^, с(,
будутъ прилично выбранныя цѣлыя функціи, степеней соотвѣтственно низ-
шихъ, чѣмъ д>, %, ір, ... (См. прим. IV.) Изъ этой формулы въ частности
слѣдуетъ, если припомнимъ заключительное замѣчаніе § 450, то разложеніе
на дроби съ линейными и квадратными знаменателями, и съ вещественными
коэффиціентами, которое мы дали въ предыдущемъ параграфѣ.
463. Другое полезное приложеніе формулы (8) состоитъ въ разложе-
ніи зіп х и соз х въ безконечныя произведенія. Мы будемъ исходить изъ
доказанной въ § 393 формулы:
т т—і т(т — 1) (т — 2) „ . „ „ ,
зіп т Ѳ = — соз 1Ѳ зіп Ѳ — —-—-—.------------- соз 3 Ѳ зіп3 6 + • • • .
1 1 • 2. • о
Пусть т равно нечетному числу 2 и -|- 1; положимъ тЪ=х, зіп2 Ѳ = г.
Тогда предыдущую формулу можно написать такъ:
зіп х
(2" + 1)8ІП2йТі
= (1 - е)п - (1 - г)”-1 +
Правая часть есть цѣлая функція отъ степени п; независимый членъ,
какъ легко видѣть, равенъ 1. Поэтому, разлагая эту функцію на линейные
множители, можемъ написать:
зіп х
(2й + 1)8ІП2«ТІ
Корни а1( а2, ..., «и получимъ, опредѣливъ тѣ значенія х, которые обра-
щаютъ въ нуль числителя зіп х, отбрасывая значеніе л: = 0, которое обра-
щаетъ въ нуль и знаменателя лѣвой части. При х = л, 2л, ..пл, полу-
чимъ корни
. „ л . „ 2 л . „ пл
а1 = зш--6---— , а2 = зіп-~----а =зш~---------------—-•
1 2 п 4-1 2 п 4-1 п 2 п 4- 1
Поэтому будемъ имѣть
(18)
ЗІП X
. ч х
ЗІП2-----~Г
1 _ 2и + 1
• 2 2'С
зіп2 =——Т
2п -|- 1
аіп2 5—;-г
1_____
. „ пл
8ш 2и+1/
Выбравъ опредѣленное значеніе х, обозначимъ
число, заключающееся въ , и пусть п > ѵ.
г-тымъ въ произведеніи (18), всѣ заключаются
ихъ меньше 1, но больше (§ 155), чѣмъ
черезъ ѵ наибольшее цѣлое
Множители, слѣдующіе за
между 0 и 1, произведеніе
зіп2
(19)
X
2«4- 1
зіп2
X
2и4-1
зіп2
зіп2
(ѵ-|-1) л
2я-фГ
зіп2
(гѢ2) л
2«4-1
4- ... 4-
зіп2
ІС I
2и4- 1
пл
2^+Т(
1 -
Теперь замѣтимъ слѣдующее: когда 0 измѣняется по абсолютной величинѣ
отъ 0 до > какъ это и имѣетъ мѣсто для всѣхъ дугъ, входящихъ въ раз-
зіп Ѳ , ,2
сматриваемое нами выраженіе, то—-—убываетъ отъ 1 до—, такъ что
4Ѳ;
Поэтому число, стоящее въ скобкахъ формулы (19), навѣрно меньше, чѣмъ
9 1 О
хі ут 1 _ х2
4 х—' г(г— 1) 4ѵ ’
«4-1 '
а слѣдовательно, выраженіе (19) заключается между 1 и 1 — и можетъ
ІХ“
быть представлено въ видѣ 1 — , гдѣ I—число, измѣняющееся вмѣстѣ
съ х, м и ѵ, но всегда лежащее между 0 и 1. Теперь мы можемъ написать
правую часть формулы (18) въ видѣ
8ІП2
1---------
8Іи2
2п +1
1 -
2 л
ЗІП2----2----
2и+1
. , ѵл
511Г2„ + 1/
Установивъ это, фиксируемъ ѵ и увеличиваемъ п до безконечности. Оче-
видно, будемъ имѣть
Ііт (2 я + 1) 8іп 2)74_-і = х>
зіп =——
,. 2 л —і— 1 х
ііт---------— = —
гл гл
81П д---—7
2л -р 1
іх2
при всякомъ значеніи г. Что касается послѣдняго множителя 1 — , въ ко-
торомъ измѣняется одно і, то онъ долженъ стремиться къ опредѣленному
і
предѣлу, потому что Т равно отношенію нѣкотораго числа, стремящагося
къ предѣлу , къ другому числу (произведенію всѣхъ другихъ множите-
лей правой части формулы (18)), стремящемуся къ предѣлу, не равному
нулю. Поэтому и і стремится къ нѣкоторому предѣлу, очевидно, лежащему
между 0 и 1. Итакъ,
8ІП X = X
1 -
4 ѵ
Если, наконецъ, будемъ и ѵ увеличивать безпредѣльно, то получимъ
(20)
ЗІП X = X
1 —
X2 \
9 л2/
Аналогичныя соображенія могли бы дать и разложеніе соз.с; но его можно
получить проще, замѣчая, что
соз х =
зіп 2 х
2 зіп х'
и пользуясь полученнымъ результатомъ (20). Такимъ образомъ найдемъ
(21)
СОЗ X =
1
4 \
257Т2/
Обѣ формулы принадлежатъ Эйлеру.
464. Въ заключеніе укажемъ нѣкоторыя изъ важнѣйшихъ приложеній
послѣднихъ формулъ.
а) При х = формула (20) даетъ
Общій членъ этого произведенія можно написать такъ:
1 _ 2я — 1 2«4-1
4 я2 2 я 2 я
Слѣдовательно,
2Е _ 1 2. 1 1 I А А А I?
У “ Т ' "3 ’ 3 ' 5 'У 7 ’ “9 ‘ 9
Это формула Валлиса (Ѵ/аІІіз).
Ь) Раньше (§ 221) мы нашли
(22) „! = а«И+Ѵй+^.
Формула Валлиса позволяетъ теперь найти постоянную а. Дѣйствительно,
мы можемъ написать
л .2 2 4 2я 1 / 2-4-6 ••• 2я \2
2“ '2«- 1 2Д1-3-5 ••• (2я — 1)/ '
Съ другой стороны, съ помощью формулы (22) выводимъ
4 0—0'
2-4-6 • •• 2я (2-4-6-•• 2я)2 4и(я!)2 „і/и.ДІГ
1-3-5 ••• (2я - 1) ~ 1 - 2-3-4 - •- 2я ~ (2я)! “ а V У
гдѣ Ѳ и 6' лежатъ между 0 и 1. Слѣдовательно,
— 4 8- 9'
У2«И 2 е
а
~2
и наконецъ, а = 2л.
с) Взявъ сперва логариѳмы отъ обѣхъ частей равенства (20), а по-
томъ производныя, получимъ
(23)
1 /2 л; । 2.ѵ ,
х \ л2 — х2 4 л2 — х2 9 я3 — х2 г
Это разложеніе законно, потому что рядъ въ скобкахъ равномѣрно схо-
дящійся (§ 323, § 319, а). Замѣтимъ, что, вслѣдствіе равенства
____2х_____ 1________1__
И3 Л2 — X2 пл — X ПЛ + X
можно писать
соіЛ-= І7—1
X — пл
— х
Такимъ образомъ, обнаружены тѣ значенія, х, которыя обращаютъ соі§ х
въ безконечность, подобно тому какъ формулы (20) и (21) обнаруживаютъ
тѣ значенія х, при которыхъ зіп х и соз х обращаются въ нуль.
д) Формула (23) имѣетъ важное приложеніе. Она даетъ возможность
вычислить суммы
5д=1+^ + ^ + |+
для всякаго четнаго р. Дѣйствительно, изъ (23) выводимъ
Съ другой стороны, извѣстно, что (§ 353)
(4В,,х2 4РВ,хі 43/?(. л4' \
.ѵсоі.^1-( ----4!- + -^!------------У
А изъ сравненія двухъ разложеній *) получаемъ
. , 1 . 1 , 1 , _ <-
1-2-3---2Л
что раньше (§ 365, а) было найдено инымъ путемъ.
е) Къ свойствомъ функціи Г(х), доказаннымъ въ § 252, мы можемъ
теперь присоединить еще одно новое, въ высшей степени важное. Формула
Вейерштрасса даетъ непосредственно
1 __ / Л-3\ зіп лх
І\1 + х) — х) г \ п2) лх
*) На основаніи теоремы о тождествѣ степенныхъ рядовъ, доказанной
на стр. 351.
откуда
Г(х) Г(1 — х) =
я
ЗІП ЛХ
Въ частности, Г2(|) = я, отсюда
Г(і) = V л.
Симметрическія функціи и функціи, имѣющія нѣ-
сколько значеній.
465. Симметрическія функціи. Функція отъ п перемѣнныхъ
а,, а2,...,а„ называется симметрическою, если она не мѣняетъ
своей формы ни при какомъ перемѣщеніи перемѣнныхъ. Такъ, на-
примѣръ, симметрическими функціями будутъ суммы ср всевозмож-
ныхъ произведеній по р множителей въ каждомъ, т. е.
С1 = а1 + «2 + • + ап, с2 = аі а2 + “1 “з + а2 а3 + • , • 1 с„ = «1 а2 • • а„.
Эти суммы называются элементарными симметрическими функ-
ціями. Если положимъ, что всегда возможно,
ЛдЛ/ —X • • • —{- ап = — СЦ) (.V — О2) '' ' (л. — СЕп) ,
то, раскрывая правую часть и отождествляя съ лѣвою, получимъ
соотношенія
которыя надо запомнить. Въ частности, надо помнить, что въ каж-
домъ алгебраическомъ уравненіи сумма корней равна ко-
эффиціенту при второмъ членѣ, раздѣленнному на коэф-
фиціентъ при первомъ, взятому съ обратнымъ знакомъ.
(Предполагая, конечно, что члены расположены по порядку убы-
ванія степеней.) Затѣмъ, важно замѣтить симметрическія функціи
= а/ + а/ + а/ + + а/,
частные случаи функціи
(24) ...а/ѵ,
которую получимъ, если подъ знакомъ суммы переставимъ перемѣнныя
всѣми возможными способами. Ясно, что комбинируя линейно раз-
личныя функціи вида (24), получимъ всѣ цѣлыя симметрическія функ-
ціи, какія вообще могутъ существовать.
466. Формулы Жирара (Сігагй). Взявъ производную отъ
цѣлой функціи /(х), разложенной предварительно на линейные мно-
жители, получимъ
/'И = 1 , + ... , 1
/(х) х — а4 х — а2 ~ х — а
При х | > । а имѣемъ
Поэтому, при модулѣ х, большемъ модулей всѣхъ корней уравне-
нія /(х) = 0, найдемъ
Л-) = ^ + ^ + 4+...,
/\х) х х- х>
а отсюда получается тождество
(1--+
\ X х- /\ х Л /
= + 2)^- •••. (VI.)
X х~
Ряды здѣсь можно продолжить до безконечности, условившись счи-
тать 6^ = 0 при р^>п. Сравнивая коэффиціенты при х~р, получимъ
(« - Р) Ср = 80Ср - 5^-.! + 82ср __2 - • ±
ИЛИ
Рср = *і^-і ' з------Т -у
Это есть формула Жирара !), позволяющая послѣдовательно выра-
зить числа 5 и числа с, одни черезъ другія, въ видѣ раціональныхъ
функцій. При этомъ найдемъ соотношенія (VI Ьіз):
•?2 = сі2 ~ 2с2<
5з — сі3 — 3 <ц с2 4- 3 с.,
Г2= і («I2 - 52)
сз~ ѵ (5і3 — 2 53),
= с/ - 4 с42 с2 + 4 сх с3 + 2 с22 - 4 с4, с4=Ѵі4 “ 6 «і2 52 + 8515:-і + 3 522 - 6 54І
467. Формулы Варинга. Къ тѣмъ же соотношеніямъ можно
прямо придти, исходя изъ тождества:
Полагая для кратности
и =
х
52 I 53
‘2х2 "Т” За;3
4) Остроумное и наглядное
„ТНёогіе дез потЬгез” р. 268.
доказательство еямож но найти у Ьисаз
получимъ изъ упомянутаго тождества, логариѳмируя и пользуясь
извѣстными разложеніями въ рядъ (предполагая |х| , ѵ = 1,... ,іг,
§ 332, а, с), слѣдующее равенство
(25) ѵ = — Іо» (1 — и) = и + | и- -|- % иА + • • •
При этомъ, конечно, предполагается, что |дг| достаточно велика, чтобы
\и' была < 1, что всегда возможно, потому что и стремится къ
нулю, когда ! х \ возрастаетъ безпредѣльно. Обратно, имѣемъ
и = 1 — е
(26)
1
ѵ- ѵА
Ь2 + 1-2-3
Обозначимъ теперь черезъ
сумму всѣхъ произведеній е,; е,-2 ... 8,., въ которыхъ положительныя
цѣлыя числа /2, равныя или неравныя между собою, имѣ-
ютъ сумму, равную р. Иными словами, положимъ
12 р
8 сі = !і‘ 8 !-і = н еі>-і + о 8р н-ь ѵ і н • • • > 8
р і> р
Теперь стоитъ только сравнить коэффиціенты при х~р въ обѣихъ
частяхъ равенства (25) и (26), чтобы получить формулы Варинга:
8 т) <ѵп-)
р /
468. Теорема. Всякая цѣлая симметрическая функція
есть цѣлая раціональная функція отъ элементарныхъ сим-
метрическихъ функцій.
Эта важная теорема уже доказана для функцій 5,, ... ,
т. е. для функцій типа (24) при г» = 1. Остается показать, что она
будетъ справедлива для даннаго ѵ, если допустимъ ея справедли-
вость для всѣхъ меньшихъ значеній ѵ. Если вь выраженіи (24) вы-
полнимъ одно суммированіе, то выраженіе это можно будетъ на-
писать такъ:
27 (5рѵ - - а2Рѵ----------аРѵ\)
• • X /
X < а^-+Рѵ • • • Хі1--------------27 “й а*г а"ѵ-і1+Рѵ •
Функціи, стоящія въ правой части, будутъ также типа (24) съ тою
лишь разницею, что въ нихъ ѵ замѣнено черезъ ѵ — 1 или 1. По
условію всѣ онѣ выражаются цѣлыми раціональными функціями отъ
элементарныхъ симметрическихъ функцій. Слѣдовательно, то же са-
мое можно утверждать и о лѣвой части. Сдѣланное преобразованіе
предполагаетъ, собственно говоря, что всѣ числа р различны, но
если два или нѣсколько показателей будутъ между собою равны, то
получаемыя при этомъ приведенія, теоремы не нарушаютъ.
469. Приведемъ нѣкоторые примѣры. Функція (24) при ѵ = 2 равна
^а/‘(а2Л + «37Л+ •••
Слѣдовательно,
<27) - 5р,+л:
если, однако, р± = р2 = р, то каждый членъ былъ два раза сосчитанъ въ
сдѣланномъ преобразованіи, а потому, то, во что обратится выраженіе (27)
въ данномъ случаѣ, равно половинѣ предыдущаго результата:
Точно такъ же имѣемъ
=^а/'а/'(.5А - а/’ - а/'].
Пользуясь формулою (27), можно послѣднее выраженіе написать такъ:
5Р^Р^Р-і ~ Зр,+р) ~ ~ 8Р,+Рг+р) ^Р, 8Рі+Рз ~ 51>,+Рг+р}’
Слѣдовательно, получимъ
(28) ^аіР'аі ‘а,л " = 5р13р18р, ~ ^р,3р,+рі + 5Рі5Рз+р^ Ѵі',+1^
"I” ^гТ-Рг+л'
При р) = р2= ря = р будемъ имѣть
) (5,;! - 35?5.2/, + 2$3/,).
470. Въ практическихъ вычисленіяхъ удобнѣе не дѣлать
обхода черезъ функціи 5, и этого можно достигнуть, руководясь
разсмотрѣніемъ вѣса и степени вычисляемой функціи. Въ выра-
женіе функціи (24) черезъ числа с не могутъ входить члены, въ
которыхъ число множителей больше р, если р наибольшій показа-
тель чиселъ а въ (24), потому что всякое с первой степени отно-
сительно каждаго а. Съ другой стороны, степень каждаго с относи-
тельно всѣхъ перемѣнныхъ а какъ разъ равна указателю этого с.
Поэтому вѣсъ искомаго выраженія равенъ числу всѣхъ равныхъ или
неравныхъ множителей а, входящихъ въ выраженіе (24), т. е.
числу рх +/>2 + • +А- Положимъ, напримѣръ, что требуется
выразить
^аіа22«3з
черезъ элементарныя симметрическія функціи. Формула (28) даетъ
тотчасъ
аіаа2а33 = - ($і$5 + 525т + 5:Г) + 2а'(|.
Теперь надо было бы выразить всѣ 5 черезъ с, но выкладка была
бы очень длинна, и результатъ трудно было бы провѣрить. Между
тѣмъ послѣднія замѣчанія позволяютъ прямо написать
}, аіи22аз3 = ^осв + + А3с32 + к^срс^ + 4- к^с^с^с^.
Численные коэффиціенты ко, кі, ..., Л’ц опредѣляютъ, написавъ пре-
дыдущее равенство семь разъ для произвольно выбранныхъ част-
ныхъ случаевъ. Такимъ образомъ, получается вообще система линей-
ныхъ уравненій, которая и даетъ значенія к. Въ данномъ примѣрѣ
найдемъ 4)
= — 12св 4- 7с1с5 4- 4с2еі — Зс32 — Зсрсі 4- с (VIII.)
471. Вычисленіе дискриминанта. Большой интересъ пред-
ставляетъ симметрическая функція
4 = (ах — ар2(аѵ - а3)2(а2 - а3)2 ... (ап_± - а„)2,
которую называютъ дискриминантомъ (§ 33, Ь) чиселъ а1( а2,..., ап.
Обращеніе дискриминанта въ нуль есть, очевидно, необходимое и
достаточное условіе равенства двухъ или нѣсколькихъ чиселъ а.
Отсюда ясно (§ 457), что дискриминантъ алгебраическаго уравненія
можетъ отличаться отъ дискриминанта его корней только постоян-
нымъ множителемъ. Такимъ образомъ, мы получаемъ новую методу
для вычисленія дискриминанта даннаго уравненія. Дискриминантъ
уравненія третьей степени
Xя — С] Л'2 4- С2Х — с3 = 0>
напримѣръ, равенъ
4 = («2 " «з)2<аз - а1)2(«1 — аі)2>
і) Существуютъ таблицы симметрическихъ функцій до 13-й степени
(относительно а) включительно, въ которыхъ эти функціи выражены въ
элементарныхъ с. См. Заігпоп-Ріесііег, АфеЬга бег Ііпеагеп ТгапДопп.,
2-ое изд. стр. 444. Въ нѣмецкомъ изданіи Ріесііег’а таблицы приведены
только до 6-ой степени. До 10-й степени эти таблицы имѣются и во фран-
цузскомъ переводѣ О. СЬетіп'а (стр. 504), цитированномъ выше.
гдѣ аі, а2, а3 — корни этого уравненія. Чтобы выразить его черезъ
числа с, примѣнимъ методу, указанную въ предыдущемъ параграфѣ.
Примемъ во вниманіе, что каждое изъ а входитъ въ разложеніе Л
въ четвертой степени, что каждый членъ этого разложенія заклю-
чаетъ зъ себѣ шесть множителей (равныхъ или неравныхъ), и на-
конецъ, что ср = 0 при р > 3. Поэтому намъ надо прежде всего
найти всѣ разложенія числа 6 на четыре цѣлыхъ слагаемыхъ, заклю-
чающихся между 0 и 3, включая границы. Эти разложенія будутъ:
04-0 + 3 + 3, 1 + 1 +2 + 2, 0 + 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1+3,
0+ 1 + 2 + 3.
Теперь мы уже можемъ положить
I = кос-^ + ^1с12с22 + к2с<р + к3с^с3 + к^с^с,, с-л,
Для опредѣленія коэффиціентовъ к будемъ давать числамъ а раз-
личныя частныя значенія. Прежде всего замѣтимъ, что при а3 = О
вышеприведенное уравненіе переходитъ въ слѣдующее (§ 465)
+ [ — а2)2 = кѵ +, + а2)2 + к^а^а»,
откуда видно, что кх = 1, к2 = — 4. Примемъ теперь за а
кубическіе корни изъ 1 и замѣтимъ, что и2 — 1 = о (ы — о>2),
1 — ы = ю2(ю — и2); тогда найдемъ Д = (м — о2)6 = (]А— З)6 = — 27.
Съ другой стороны, с1 = с2 = 0, с3 = 1; слѣдовательно, Д = к0.
Итакъ, к0 = —- 27. Положимъ, далѣе, а, =2, а2 = 2, а3 = — 1,
при чемъ находимъ сл = 3, с.-, = 0, с3 = — 4; тогда получимъ
4к0 = 27к3, откуда к3 = — 4. Положимъ, наконецъ, ах = 1, а2 = 1,
а3 = — 1, при чемъ получимъ сл = 1, с2 = с3 = — 1, тогда найдемъ
— + ^4 = 0, и ^4 = 18. Слѣдовательно, (ср. § 458)
(29) Ч = — 27 <+ + сі-с.г — 4+1 — 4с1:+3 + 18(4 с2с3.
Можно замѣтить, что дискриминантъ уравненія ;г ой степени всегда
п Іп—1)
содержитъ въ себѣ членъ (—1) 2 ппс” ' (IX). Наконецъ, не
мѣшаетъ напомнить (§ 33, Ь), что Д выражается въ суммахъ 5 въ
видѣ квадрата опредѣлителя Вандермонда. Для уравненія 3-ей сте-
пени
+ ^2 |
5._> 53 I = — 3-+2 — + 2515253 ~ +2+ + 3$254>
+ + і
выраженіе, приводящееся къ виду (29) съ помощью формулъ, дан-
ныхъ въ концѣ § 466.
472. Теорія симметрическихъ функцій даетъ новую методу
исключенія, которую теоретически можно считать наиболѣе удов-
летворительною. Если у и § цѣлыя функціи отъ х\ аІУ аг, . . ., ап
корни первой, /?,, /?2, ... корни второй, то необходимое и до-
статочное условіе для того, чтобы у обращалось въ нуль при х
равномъ одному изъ корней состоитъ въ томъ, чтобы
/(/А)/(&)•••/(&») был0 Равн0 нулю- Но /(&)/(&)•••/(&»)
цѣлая симметрическая функція корней функціи и потому мо-
жетъ быть выражена цѣлою раціональною функціею отъ коэффи-
ціентовъ данныхъ полиномовъ, откуда и получается новая метода
для вычисленія результанта. Итакъ, результантъ у и & можетъ отли-
чаться только постояннымъ множителемъ отъ каждаго изъ произ-
веденій
/МііДёг) -/^т) > ё («1) ё Ы • • ё (ап)
Такимъ образомъ, теорема Безу (§ 443) становится очевидною.
Замѣчая, далѣе, что полиномы У и можно написать въ видѣ
/(х) = (х — Яі) (Л- - а2) ... (х — а„), & (х) = (х - Д О - ,32) ... (х -
изъ предыдущаго видимъ, что результантъ равенъ
і—п п, т
П <-аі - А) (“< - • • («,• -- .4) = П (пі —
7—1 г, }
т. е. произведенію разностей между всѣми корнями одного поли-
нома и корнями другого.
473. Послѣдняя метода исключенія можетъ служить для вычисленія
нѣкоторыхъ опредѣлителей. Такъ напримѣръ, составленный по методѣ Эй-
лера результантъ функцій
х — 1, ](.ѵ) = Я] -р а<>х 4~ аух~ апх
равенъ
«1 «2 аз . • . «77-1 ап 0 0 .. . 0
0 а1 а2 ... 2 ап 0 .. . 0
0 0 "1 «в-3 ап~2 ап—1 . 0
сК — 0 0 0 ... 0 «1 а2 «з
- 1 0 0 ... 0 0 1 0 .. . 0
0 — 1 0 ... 0 0 0 1 .. . 0
0 0 0 ... — 1 0 0 0 .. 1
Складывая первые (»—1) столбцовъ послѣдовательно съ каждымъ изъ п — 1
послѣднихъ, получимъ
«і а2 а3 ... ап
ап Я1 Я2 • ап- 1
(30) а = \ ап , ап ... ап 2 .
... [
Метода Безу дала бы послѣдній результатъ непосредственно. Съ другой сто-
роны, тотъ же результатъ, какъ мы видѣли, равенъ/(1)/(й)/(<о2)..
гдѣ 1, о>, о>-, ..., а>п~1 корни я-ой степени изъ 1. Сравненіе двухъ выра-
женій и дастъ значеніе циркулянта (30) (ср. § 33, с). Напримѣръ,
а Ь с
с а Ь
Ь с а
= (а + Ь + с) (а + шЬ -(- ы'-с) (а + (а2Ь -|- ас).
Выполняя умноженія и замѣчая, что и + <о2= — 1, и3= 1, получимъ въ пра-
вой части
(а Ь с) (а2Ь2 с2 — Ь с — — ад) = «3-|-63-|-с8 — 3«6с.
474. Функціи, имѣющія два или нѣсколько значеній.
Функція отъ п перемѣнныхъ, для всякой системы значеній этихъ
перемѣнныхъ, можетъ вообще принять п\ различныхъ значеній,
т. е. столько, сколько перестановокъ можно сдѣлать изъ этихъ п
перемѣнныхъ. Но понятно, что для нѣкоторыхъ спеціальныхъ функ-
цій число этихъ значеній можетъ быть и меньше. Такъ напримѣръ,
симметрическія функціи имѣютъ только одно значеніе для каждой
системы значеній этихъ перемѣнныхъ, и этимъ свойствомъ, какъ
легко можно показать1), онѣ вполнѣ характеризуются. Опредѣ-
литель Вандермонда (§ 27, б; § 471) или У А можетъ принимать
только два значенія, потому что всякая транспозиція двухъ пере-
мѣнныхъ мѣняетъ только его знакъ, такъ что всякая четная подста-
новка оставляетъ его безъ измѣненія, а всякая нечетная переводитъ
его въ — У А. Функціи, имѣющія, какъ У А, лишь два значенія,
отличающихся только знакомъ, называются знакоперемѣнными.
475. Общій видъ всѣхъ знакоперемѣнныхъ функцій
есть $]/~А, гдѣ симметрическая функція* *). Существуетъ,
по крайней мѣрѣ, одна транспозиція, которая измѣняетъ данную
функцію до въ — д?; иначе д? была бы симметрическою функціею,
х) См. 14еііо „8иЬ8НіиііопепіЬеогіе“, 8. 1.
*) Подразумѣвается, что функція цѣлая раціональная относительно
всѣхъ перемѣнныхъ.
потому что оставалась бы неизмѣнною при всякой подстановкѣ
(§ 5). Пусть эта транспозиція будетъ (о^аД. Она ничего не измѣ-
нитъ въ функціи д>, если а{ = «у, слѣдовательно, въ этомъ предпо-
ложеніи дз = — дз, т. е. д> равна нулю при а( = а^. Отсюда слѣ-
дуетъ (см. выноску), что дз дѣлится на а, — а?, а дз2 на (а,—а,)2.
Но функція дз2, очевидно, симметрическая, а потому не можетъ
заключать въ себѣ множителя («у — «у)2, не заключая въ то же
время и всѣхъ другихъ ему аналогичныхъ. Она дѣлится, слѣдова-
тельно, на 4, а функція дз на ~\/~ Д. Пусть теперь ѵ наивысшій по-
казатель степени ]//І, входящій множителемъ въ дз. Если бы ѵ
было числомъ четнымъ, то частное отъ дѣленія д> на симметричес-
кую функцію (]/~Д)ѵ, было бы знакоперемѣнною функціею и по-
тому содержало бы еще другіе множители, равные V Д, что проти-
ворѣчитъ предположенію. Слѣдовательно, ѵ равно нечетному числу
Ф
2/-+ 1 и
необходимо будетъ симметрическою функцію д7
Итакъ, можно положить
<Р = (/? 'Кд
гдѣ д = д7. Дк симметрическая функція. Замѣтимъ, наконецъ, что
подстановки, не мѣняющія д>, очевидно, совпадаютъ съ тѣми, кото-
рыя не мѣняютъ у/~Д, т. е. съ четными. А ргіогі этого мы не мо-
гли бы утверждать.
476. Общій видъ функцій, имѣющихъ два значенія,
есть & УД, гдѣ д1 и д2—симметрическія функціи. Пусть
и д?2 будутъ два значенія разсматриваемой функціи. Всякая под-
становка, произведенная надъ перемѣнными, оставляетъ д>і отлич-
нымъ отъ д?2, потому что подстановка измѣняетъ лишь обозначеніе
перемѣнныхъ. Отсюда слѣдуетъ, что любая подстановка либо не
мѣняетъ ни ф, ни дз2, либо переводитъ одну въ другую. Слѣдова-
тельно, дзх -ф д>2 симметрическая, а дзх — д>2 знакоперемѣнная функ-
ція. Отсюда слѣдуетъ; что можно положить
Фі + Ф2 = 2й- Фі - Ф2 =
откуда
Фі = Л + й У 4 Фг = й - й
477. Функціи, не измѣняющіяся при любой четной под-
становкѣ, или при любой круговой подстановкѣ трехъ пере-
мѣнныхъ, не могутъ имѣть болѣе двухъ значеній. Сперва за-
мѣчаемъ, что функція, не мѣняющаяся при любой круговой подста-
новкѣ трехъ перемѣнныхъ, не измѣнится и при любой четной под-
становкѣ (§ 10). Если бы функція, кромѣ значеній дзх и ф2, имѣла
еще третье до3, то подстановки, измѣняющія дзх въ д>2 и дз2 въ дз2,
были бы необходимо нечетныя, и взятыя вмѣстѣ были бы равно-
сильны четной, а потому срл не могло бы отличаться отъ Эта
теорема легко распространяется на функціи, не измѣняющія своего
значенія при всякой круговой подстановкѣ опредѣленнаго нечет-
наго числа перемѣнныхъ.
478. Кромѣ симметрическихъ и знакоперемѣнныхъ
функцій, не существуетъ другихъ, степени которыхъ мо-
гутъ быть симметрическими функціями. Пусть до несимметри-
ческая функція, но такая, что нѣкоторая ея степень у? — симметри-
ческая функція. Легко убѣдиться, разлагая показателя, на простые
множители, что при разысканіи функцій ср можно ограничиться слу-
чаемъ р простого *). Если д> не симметрическая функція, то суще-
ствуетъ, по крайней мѣрѣ, одна транспозиція, которая измѣняетъ
одно изъ значеній функціи, напримѣръ, до,, въ нѣкоторое другое,
положимъ, д?2. Но по предположенію при любой подстановкѣ
(рѵ = (р.р, откуда до2 = содз1, гдѣ, какъ обыкновенно, со есть корень
степени р изъ 1, не равный единицѣ. Если примѣнимъ упомянутую
транспозицію вторично, то предыдущее соотношеніе перейдетъ въ
до, = ц>до2, откуда путемъ умноженія получается со2 = 1. Такъ
какъ р по предположенію, число простое, то необходимо р = 2,
а слѣдовательно, до2 = — <рх, и функція будетъ знакоперемѣнною,
если она не симметрическая.
479. Если число перемѣнныхъ больше 4, то единствен-
ныя функціи, нѣкоторыя степени которыхъ имѣютъ только
два различныхъ значенія **), сами имѣютъ только два зна-
ченія. И здѣсь можно ограничиться разсмотрѣніемъ простого пока-
зателя степени. Если бы функція ср имѣла болѣе двухъ различныхъ
значеній, то существовала бы, по крайней мѣрѣ, одна круговая
подстановка трехъ перемѣнныхъ, переводящая одно изъ ея зна-
ченій до, въ другое до2. Съ другой стороны, та же подстановка не
мѣняетъ степени до’’, такъ какъ послѣдняя по предположенію имѣетъ
только два различныхъ значенія *). Слѣдовательно, до/ = до/,
и до2 = 60 до,. Примѣняя ту же круговую подстановку еще два раза,
получаемъ до3 = со<р2 и затѣмъ до, = со<р3, слѣдовательно, со3 = 1.
Поэтому р = 3. Все сказанное выше можно повторить для круго-
вой подстановки пяти буквъ. Тогда найдемъ р = 5. Этотъ резуль-
татъ противорѣчитъ предыдущему, а потому, при п > 4, невоз-
можно предположить, что ср имѣетъ больше двухъ различныхъ
значеній. Въ случаѣ же 4 о подстановкѣ изъ пяти перемѣн-
ныхъ не можетъ быть рѣчи, и противорѣчіе изсчезаетъ (X).
*) См. примѣчаніе X.
**) При всевозможныхъ подстановкахъ.
480. Легко указать при н<4 функціи, имѣющія больше
двухъ значеній, степени которыхъ имѣютъ только два зна-
ченія. Разсмотримъ, напримѣръ, функцію
Ф4 = ах + о а2 + а2 ал,
гдѣ
о ----- - I + 4 ѵ~3, ы2 = - 4 - 1 Т/’=73.
Примѣняя одинъ разъ за другимъ подстановку (а,, а.2, а3), пере-
водимъ функцію </ч послѣдовательно въ
<р2 = с‘2 + с'іаб + <У2аі = + ы2«3) = с^фр
Ф3 = а3 4~ ыгц 4- <')2а.> = а> (аг + <аа> + <а2а3) = офр
Для каждаго изъ этихъ значеній имѣемъ
Ф3 = а/’ -|- а23 4- а33 4- 6аха2а3
4- 3 ы (а3 а22 4- «і «32 4- аі2) 4- 3 со2 (а2 а32 4- «3 <!і“ + пі У) •
Функція ф3, имѣющая два различныхъ значенія, должна (§§ 468, 476)
выразиться въ элементарныхъ симметрическихъ функціяхъ
С1 ~ а1 + (с2 + а3- с2 = п2а:< + ".'/Ч + а1и2’ Чі = а1а2а3
и въ дискриминантѣ (29). Дѣйствительно, пользуясь тождествомъ,
найденнымъ въ концѣ § 473, найдемъ
а,3 Н" а2 + аі>’ + 6«1а.,с:.
(«! 4" «2 + «з) («12 + «22 4- а/ — — а3«1 — 4- 9«1п2«3
= сДіф-’ — Зс,) - 9с->.
Далѣе,
(а2а32 4- «заГ + піа22) + («за22 + аіай2 + “2аі2)
= а2а3(с1 — ах) 4- «заі(сі ~ аз) + «і«2(('і — «з) = сіс2 ~~ Зс:1.
Съ другой стороны,
(а2а32 4- + «іа22) — (аз«22 + аіа:2 + “2С42)
= (а2 — «3) («3 — (<4 — а2) = ± V -1
Слѣдовательно,
(31) ф3 = 4(2^ - 4-27с3) + 4 У^ЗІ.
481. Точно такъ же, функція четырехъ перемѣнныхъ *)
Ф = (ща4 4- «2а3) 4- »(а2и4 + а.^) 4- со2(сі3а4 4- а^а*)
*) Имѣющая шесть различныхъ значеній.
обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что кубъ ея имѣетъ только два раз-
личныхъ значенія. Дѣйствительно, полагая
/?4 ~ а4а4 “І~ ^2 «3 * 02 == ^4 “ѣ «3 а1 - 03 == а3 ^4 ~Ѣ а4 СІ9 *
замѣчаемъ, что подстановка (а1а.іа9) влечетъ за собою другую
(/?і/?2/?3). Поэтому мы получимъ выраженіе у/1, если въ правой части
формулы (31) замѣнимъ сх суммою всѣхъ Д т. е. числомъ с,, с2 —
суммою
0203 + 0301 + 0102 ~ С1С3 —
с3 — произведеніемъ
010203 = с1“с4 — 4с2С4 + С»-
и, наконецъ, }/Г Д выраженіемъ
СА 0з) (0з /А) ОА /А)
= («2 — «з) («3 — а1) («1 — «г) («4 — “1) («4 — «2) («4 — аз) = ± Т' -' •
Слѣдовательно,
<р3 = | (2с23 — Эс^Сд -ф 27С]2с4 — 72с2с4 + 27сД) + 4 К— 34.
Впослѣдствіи мы увидимъ, что благодаря именно существо-
ванію этихъ исключительныхъ функцій и возможно рѣшеніе
уравненій первыхъ четырехъ степеней въ радикалахъ (XI).
Вычисленіе инваріантовъ и другія приложенія.
482. Соображенія, изложенныя въ § 470, могутъ быть съ пользою
приложены къ вычисленію инваріантовъ бинарныхъ формъ (XII). Сто-
итъ только замѣтить,. что инваріантъ есть функція коэффиціентовъ формы
/(х, у), получаемой (какъ въ § 457) изъ цѣлой функціи/<х) приведеніемъ
послѣдней къ однородному виду. Поэтому инваріантъ будетъ симметриче-
скою функціею корней уравненія /(х)=0, обладающею слѣдующимъ свой-
ствомъ: она не измѣняется *), если въ функціи /(х, у) произведемъ какое
угодно линейное преобразованіе перемѣнныхъ, что очевидно, равносильно
А I ах 4“ . Г I А Г",
замѣнѣ х на въ функціи ](х). При этомъ разность аі — а у двухъ
корней уравненія преобразуется въ
ааі -|- Ь ас^ -|- Ь (аіі — Ьс) (аі — а )
саі + <і са-^Н (са,.-(- (I) (сс^ + <7)
Для того, чтобы преобразованное выраженіе нѣкоторой функціи отъ разно-
стей а,— ау отличалось отъ нея самой лишь нѣкоторымъ множителемъ, оче-
видно, необходимо, чтобы всѣ корни входили одинаковое число разъ въ
') Точнѣе говоря, пріобрѣтаетъ лишь нѣкоторый множитель.
каждый членъ этой функціи *), какъ это и имѣетъ мѣсто въ дискрими-
нантѣ. Такъ, напримѣръ, функція
(«і - «г)2 + (аі - аз)2 + («2 - «з)2 + ''' + («,. -і — аи)2
будетъ инваріантомъ лишь при п = 2. Ея
равно (§ 30)
1 1 ... 1 2 5;
«і а2 ... ап $4 $3
значеніе (при произвольномъ п)
I = (« — 1) сг2 — 2ис, .
Точно такъ же, для биквадратичной бинарной формы инваріантомъ будетъ
слѣдующая функція
(«2 - «з)2 («1 ~ «1)2 + («з - «1)2 («2 - ат)2 + («1 - «з)‘2 («з — «1)2,
которую легко выразить въ коэффиціентахъ съ помощью изложенной раньше
методы. Полагая, какъ подобаетъ (§ 470),
I(«2 - аз)2 (ах - а4)2 = к0с22 ф- кА с, с3 ф- к^,
находимъ, при а4 = а3, а2 = аі,
(я, — я2)4 = ^о(<д2 + а22 ф- 4а1а,,)2 ф- 4к1а1а2(а1 ф- а,)2 ф- к2а^а^,
откуда к„ = 1, = — 3, к2=\1. Такимъ образомъ находимъ снова ква-
дратичный инваріантъ биквадратичной бинарной формы
(32) I = с32 — Зс-^з ф- 12с4.
Замѣчательно, что первоначальное выраженіе I черезъ а разлагается на два
множителя, цѣлыхъ и раціональныхъ относительно а. Дѣйствительно, введемъ
въ разсмотрѣніе тѣ функціи отъ корней а, которыя были опредѣлены въ
предыдущемъ параграфѣ, и замѣтимъ, что
Д3 — $3 = («2 - «з)(а4 — «1), Дз - Ді = (а3 - «1)(«4 - а,),
Ді - Дг = (аі — «г) («4 — аз)-
Тогда получимъ
I ~ ~ Дз)2 + (Дз — Д1)2 + (Д1 — Дй)2]
= Ді2 + Д22 + Дз2 — Д2Д3 ~ ДзДі — Д1Д2»
а слѣдовательно (§ 473),
(33) ( -Д = [«1«4 + «2«3 + ® («2«4 + «3«1) + И2(«з«4 + «1«з)1
| X [а4а4 + а2а3 ф- 0^(03^ ф- а3а4) ф- ш (а3а4 ф-
Общнѣе для всякой бинарной формы четной степени і)
Дх, у) = аохп + у а±х у ф---------ру-- а2хп 'у1 ф- • • ф- апуп
инваріантомъ будетъ симметрическая функція
(а4 - а2)2 (а3 - а4)2 .. . (аге_4 - ав)2
*) Для того, чтобы всѣ дроби имѣли одинаковаго знаменателя.
!) См. Заітоп 1. с. стр. 184.
корней уравненія /{х, 1) = 0. Она выражается, независимо отъ численнаго
множителя, слѣдующимъ образомъ:
/ = у {а - а')п = у (а0«и ~ у «і«„-! + а2«и-і - • • • + «„а0) *)•
483. Кубическій инваріантъ
(34) 7 = |(2с23 — ѲсузСд + 27^7^4 — 72с2с4 + 27 с32)
биквадратичной формы /{х, у) получимъ, разсматривая симметрическую
функцію
7 = («з — «])(«» - «т)(«і - «г)2 (аз - ''і)2
(35) + (“і «з)(аз " «7 («2 ~ «з)2(«і - «л)2
+ («2 - «з)(а1 - ал)(“з - «1)2(«3 — ал)2
корней уравненія /(х, 1) = 0 (XIII). Вычисленія § 481 даютъ возможность
получить другое выраженіе для 7, которое легко разлагается на три мно-
жителя, цѣлыхъ и раціональныхъ относительно а. Въ самомъ дѣлѣ, напи-
шемъ выраженіе (34) для 27 въ слѣдующемъ видѣ
2сУ — 9 с,(«4с3 — 4 с,) -|- 27 (с42 сі — 4 с, с4 -|~ с32).
Тогда оно тотчасъ преобразуется въ слѣдующее:
— X' Зс22(7| -|- У, + ,<-) — 9с2(72 ?3 7з7і 4“ 7177 !' 27Зі7а7з
= (3/7 — с,)(37> — с>)(Зц7 — с2)
= (2У 73)(272 ~ Ъ - Л - &)•
Легко теперь узнать, что къ тому же виду приводится и выраженіе (35) или
(7і — 7»)(72 — 7і)2 + (7? “ 7і)(7і — X)2 + (Л — Л)(Л — 7з)2-
Поэтому имѣемъ
7=7 [2(04«4 + «2 «:•.,) - («4 + а4)(а2 + а3)]
(36) X [ 2 («2 «4 + «з «і) - («2 + «1) («з + «і) 1
X [ 2 (п3«4 + аіа2) - (а3 4- а4)(а4 + а2)].
Выраженія (32) и (34) для I и 7 отличаются только численными множите-
лями отъ данныхъ раньше въ § 87. Но указанное въ § 458 соотношеніе
Буля измѣнится въ нижеслѣдующее:
(37) 4 = ^(/3-72)-
484. Упражненія, а) Составить кубическую форму, опредѣ-
ляемую корнями
7т = 72 + 7з — 2 у, ~і2 — 7з 7 7г 2,52, ",’3 = 71 4 72 2,л>.
Сумма этихъ чиселъ равна нулю. Произведеніе, какъ сейчасъ было найдено,
равно — 27, а сумма произведеній по два
— і (7і2 + 7з2 + 7з2) = — 3(7і2 + • — 7а 7з ~ •••)= — 37.
*) Коэффиціенты равны биноміальнымъ, только средній раздѣленъ на 2.
Слѣдовательно, искомая кубическая форма равна (§ 465)
й(х) = х* - 3/х--- 2/*).
Она тѣмъ замѣчательна, что имѣетъ тотъ же дискриминантъ, что
и биквадратичная форма, опредѣляемая корнями а1; а2, а3, аі.
Дѣйствительно,
72 7:і = ~ 3(^2 - ^з) = - 3(«2 - аз)(<4 — «і) и т- Д->
а потому дискриминантъ равенъ
Л(у2 - 73)2 = 9М.
Если хотимъ найти его выраженіе въ коэффиціентахъ кубической формы,
то’на основаніи формулы (29) имѣемъ послѣдовательно
93/4 = — 27 • 4/2 4-4 • 27/3, 4 - А(73-,/2).
Такимъ образомъ, снова подтверждается формула (37).
Ь) Составить уравненіе, котораго корни равны ангармони-
ческимъ отношеніямъ четырехъ чиселъ, зная уравненіе, которому
удовлетворяютъ эти числа. Корни искомаго уравненія будутъ равны
(§ 417)
(«3«2 «!«<) = = ‘Л
1
(а^адОа) =
& ~ Ъ
(«асіз^аа) = Я2 =
(азадПіОа) =
1
$2 — /?3
(«а^ядя^ = =
(адс^Яг»!) =
- Лз = • -
'•і
1
Слѣдовательно, искомое уравненіе будетъ 6-ой степени, и не должно мѣ-
няться отъ замѣны неизвѣстной А на — или на 1- /. Чтобы удовлетворить
Л
первому условію, очевидно, необходимо, чтобы коэффиціенты крайнихъ чле-
новъ и членовъ, равно отстоящихъ отъ концовъ, были равны между собою.
Замѣчая еще, что сумма шести корней равна 3, а произведеніе ихъ равно 1,
находимъ, что искомое уравненіе будетъ вида
(38) Л6 — ЗА6 + ал4 — 6Л3 + аЛ2 — ЗЛ + 1 = 0.
Чтобы оно не мѣнялось при замѣнѣ Л на 1 — Л необходимо, чтобы сумма
всѣхъ коэффиціентовъ была равна 1 **), поэтому 2а - Ь = 5. Остается вы-
числить а. Припоминая, что а есть сумма всѣхъ произведеній корней по
два, а сумма корней равна 3, находимъ
9-2Я=Л12 + Л22 + Л32 + ^ + ^-2 + ^. ***)
*) Точнѣе говоря,
й(г, _у) = .г3 — ЗІху- 4- 27У3.
**) Сумма коэффиціентовъ /(Л) равна /(1), но /(Л) = /(1 — л), т. е.
***) Квадратъ суммы безъ удвоенной суммы произведеній по два
равенъ суммѣ квадратовъ.
Замѣчая, что, съ другой стороны, инваріантъ I = Д2 + • • • — 323з — • • •
(§ 482) можетъ быть приведенъ къ виду
/ = (&-«2 + (Л-Л)(Л-Л).
увидимъ, что
х + к (Л - Й 'Л) уі
и аналогично
л2 + у- — 1 + (З3 — /?і) —7=, 23 + -т- = 1 ± (Зі — Д2)“т=-
Л2 Ул '-з Ул
Отсюда путемъ возвышенія въ квадратъ и сложенія найдемъ
111 /з
V + Л32 + /32 + -,2 + - + = - 3 + 2 ,
Л^ Ло л$ Л/
а затѣмъ
Подставляя эти значенія въ равенство (38), получаемъ
(22 - Л + І )» _ /з
/2(л - I)2 - /7 '
Принимая во вниманіе еще формулу (37), можемъ написать
(22 - Л + 1)3 /3
(Л+ 1)2(Л-2)2(Л-4)2-72’
Правая часть есть абсолютный инваріантъ (§ 87). Отсюда слѣдуетъ, что
если два уравненія 4-ой степени имѣютъ равные абсолютные инваріанты,
то группы 4 корней того и другого уравненія имѣютъ одинаковыя ангар-
моническія отношенія Кромѣ того, видимъ, что обращеніе въ нуль ква-
дратичнаго инваріанта I характеризуетъ эквиангармоническое,
а обращеніе въ нуль кубическаго инваріанта }—гармоническое
расположеніе корней (§ 417), Эти два свойства, которыя, такъ сказать,
написаны въ формулахъ (33) и (36), имѣютъ замѣчательную геометрическую
интерпретацію т).
485. Функція Гессе. Съ изученіемъ функціи /(х) связано изученіе
функціи Гессе Н(х), т. е. другой цѣлой функціи, которая по приведеніи къ
однородной формѣ пропорціональна опредѣлителю Гессе (Гессіану) (§ 378)
Іхх /ху |
Г /" ;
> ух х у у ,
!) См. „Ѵогіезип^еп ііЬег Сеогпеігіе" ѵ. СІеЬзсЬ Вашѣ I, 8. 239;
Всі. II, 8. 615.
При у = 1 имѣемъ 4 = /, /4 =/ ' *), а другія частныя производныя вы-
числяются примѣненіемъ теоремы Эйлера (§ 372) къ функціямъ /, /, /у-.
х/’+/'у = п/, х/" +/^ = («-1)Л х/ху+/'т = (« -
Пользуясь этими формулами для исключенія производныхъ, взятыхъ по у,
преобразуемъ опредѣлитель Гессе послѣдовательно въ
/" (« - 1)/' /"
„ , = (п — 1)
/ху - П4 («- і)/'
Г\,
п/ \
Мы условимся полагать
Н =
Г г
п/ (п - 1)/'
= (и -1)//2 -»//",
т. е.
Щх) = (п - 1)//2(.ѵ) -
Такимъ образомъ, каждой цѣлой функціи /{х) степени п соотвѣтствуетъ
функція Гессе Н(х), степень которой вообще равна 2 я —4, что сейчасъ
же видно изъ первоначальной формы Н (въ видѣ опредѣлителя изъ вто-
рыхъ производныхъ), изъ которой, полагая
/(х) = аол-м + «а1хи—1 + — 1)а2а;”—2
находимъ
„4^7) = (Я1^-2 + (" _ 2)^л" 3 + - 2)<и “ 3)«з*я”4 + ••)2
- (ЯоД-"-2 + (я - 2)а1а;п—3 ----)(«2д:”-2 + (я - 2)Д;,л-и 3 + •••).
486. Послѣ сказаннаго выше поставимъ себѣ теперь задачу: выра-
зитъ Н (х) въ корняхъ функціи /{х). Мы будемъ исходить изъ ра-
венства
Л (4 = 1 । -1— + ... + 1 ,
/(х) х — ах х - а2 -ѵ - ап’
откуда, взявъ производныя, получимъ
/,2(х) /"(х) 1___ , 1 , , 1
./- (х) / (л;) (Л- - Яі)2 І- (х - а2)2 (х - ап)‘’
Полагая для сокращенія
1 _________________________________1___ . !_____________
°р {х — а^Р ‘ [х — а2)Р ‘ (х пп)Р ’
имѣемъ, слѣдовательно,
у = Оі. у = ог-О2.
*) /' и /" для кратности обозначаютъ производныя /'(х) и /"(х).
а поэтому
77 . 1Х//2 І" ! «0 °1
(39) = (« - I/- » -7 = - О? = ; 0 1
./ У У I 9] Оо
Замѣчая, что правая часть есть квадратъ матриссы
1 1 ... 1
। _2--------1-----------1 . ’
। .% — а1 х — «2 х — ап
можемъ написать (§ 30)
и, наконецъ,
Н (х) = / (/!] — сг2)2 (л- — «з)2 (.ѵ — а4)2... (л- — а )2,
гдѣ суммированіе распространяется на всѣ пары корней а2, а3, ....аа
Какъ видимъ, Н (х) есть сумма квадратовъ, которые всѣ будутъ положи-
тельными при х и с вещественныхъ. При этихъ условіяхъ Н(х} можетъ
обратиться въ нуль только тогда, когда каждый изъ квадратовъ равенъ
нулю, а это возможно лишь въ томъ случаѣ, когда всѣ а равны между со-
бою. Изъ сказаннаго вытекаетъ слѣдующая теорема ’): если цѣлая функ-
ція имѣетъ всѣ корни вещественные и неравные, то ея функція
Гессе имѣетъ всѣ корни мнимые.
487. Полезно замѣтить, что кратные корни функціи / будутъ
также кратными корнями функціи 77. Дѣйствительно, если / имѣетъ
дѣлителя (х — а)2, то и /'2, а слѣдовательно и Н, имѣютъ того же дѣли-
теля. Отсюда слѣдуетъ, что дискриминантъ 79 функціи Н непремѣнно обра-
щается въ нуль, когда дискриминантъ функціи / равенъ нулю. Чтобы это
имѣло мѣсто, необходимо и достаточно, чтобы 79 дѣлилось на Припом-
нимъ теперь, что (§ 458) дискриминантъ Л, относительно коэффиціентовъ
функціи /, будетъ степени 2 (я — 1) а вѣсъ его равенъ „(я— 1). Чтобы
опредѣлить вѣсъ 79, надо замѣтить, что вѣсъ каждаго коэффиціента въ 77,
разсчитанный относительно коэффиціентовъ въ / оказывается увеличен-
нымъ на 2 единицы, такъ что искомый вѣсъ, относительно коэффиціентовъ
функціи / равенъ
(2и - 4) (2„ - 5) + 2 • 2 (2и - 5) = 2и (2„ - 5),
а слѣдовательно, вѣсъ ~ равенъ
2я (2и — 5) — и (я — 1) = Зн (п — 3).
Такъ какъ при п = 3 это число равно нулю, то можно утверждать, что ку-
бическая функція и ея функція Гессе имѣютъ одинъ и тотъ же
дискриминантъ. Для биквадратичной функціи, напротивъ, дискриминантъ
і) См. замѣтки ОегЬаІсіі и ЗсЬоиіе въ „Кепсіісопіі сіе! Сігсоіо шаіе-
таіісо сіі Раіегто" (1889).
ея функціи Гессе разлагается на два множителя одинаковаго вѣса изъ ко-
торыхъ одинъ есть дискриминантъ данной функціи. Это обстоятельство
можно было бы и непосредственно установить, если бы сначала, помощью
довольно сложной выкладки, составили инваріанты (квадратичный и кубич-
ный) функціи Гессе, которые должны получиться равными 16У- и 647-.
Формула Буля дала бы тогда
Л = 2’^(/з+7-)/7.
Но замѣчательная Теорія алгебраическихъ формъ даетъ болѣе легкіе
и скорые способы вычисленія
488. Функція Якоби. Также замѣчательна функція Якоби ()(х),
пропорціональная опредѣлителю, составленному изъ первыхъ частныхъ про-
изводныхъ отъ функцій / и II *). Это также цѣлая функція степени, вообще
говоря, и — 1 + 2;г — 5 = 3 (іі — 2). По теоремѣ Эйлера
хН' + //,; = (211 4)Н
поэтому имѣемъ (§ 485)
Iі\ Н* I ! /' Н'
\ , , ! = I = (2// - 4) II/' - п/Н'.
\/у Ну\ ! п/ (2п--4) II
Мы положимъ
О = (п — 2) 11/' -- Г п/І I' •
Постараемся теперь выразить въ корняхъ функціи /. Изъ формулы
(39), взявъ производныя и замѣчая, что о'р = —7 <7-1-1 • получимъ
Н' Н/' ,
2/д = 7іг + ^-"*з.
Слѣдовательно,
Обозначимъ на минуту черезъ «, 7, -/ дроби -—, •••, и на
пишемъ правую часть такъ:
„2 („з + / + ...) _ 3„ („ + э + ...) („2 + 32 + ...) + 2 (а + 7 + • • -)3
= (п — 1) (и - 2) - 3 (іі - 2) 2’«7 (а + 7) + 12 Іа//.
Тогда тотчасъ увидимъ, что это выраженіе получится отъ сложенія слѣ-
дующаго
2 («3 + 7° + 73) — 37/ (7 + ;’) — 3;г« (7 + а) — За,7 (<’ + 7) + 12«7‘/
со всѣми ему аналогичными. Но послѣднее выраженіе есть разложеніе про-
изведенія
(2а - 7 - 7) (2,7 - 7 - а) (2/ -а- 7) і
*) Подразумѣвается, приведенныхъ къ однородному виду подстановкою —
вмѣсто х и умноженіемъ на соотвѣтственныя степени у.
поэтому можемъ написать
2 = ______1___1
/з ^\х- а. х-а} х - ак)
ѵМ___________1_______
\л* — х — ак х — аі)
_______1_______м
\х — ак х — аі х — а-)
и, наконецъ,
д(х) = 2 [2 (а^х + а2а3) - (а2 + «3) (х + ]
X [2 («2а- + а^) - (а3 + ах) (« + а,)]
X [2 (а3х + а^) - («! 4- а2) (л; + а3)]
X (* ~ «і)2 О - «о)2 • • • (» - «и)2,
гдѣ суммированіе распространяется на всѣ тройки корней.
489. Возвратимся къ формуламъ опредѣленія:
Н = (п — 1)//2 — п//", = (и — 2) Н/' — | я/Н'.
Возвышая вторую въ квадратъ и исключая /'2 съ помощью первой, получимъ
(« - 1) О2 = (я - 2)2 № (Н + п//") -п(н — 1) (я — 2) НН'И'
+ ^(«-1)^
или
ф = п (іі - 2) Н/[(п - 1) //'/' — (п -2)///"] - 4 «2 (я - 1)/2 Н'2,
гдѣ для сокращенія положено
Далѣе, имѣемъ
и, слѣдовательно,
Ф = (я — 2)2 Н'л — (я — 1) 0-’.
Н' = (и - Ъ/’/" - п/Г’
(п - 1) Н'/' - (п - 2) Н/" = я/[(я - 2)/"2 - (я - 1)/'/'"].
Отсюда
-^5 = (я - 2) Н [(я - 2)/"2 - (я - 1)/'Р'\ - І(П- 1) Н'2
11 /
Правая часть есть цѣлая функція. Итакъ, существуетъ линейная ком-
бинація изъ Н'л и О1, дѣлящаяся на Это замѣчаніе даетъ возмож-
ность для каждаго значенія я находить важныя соотношенія между Н и
Еще надо замѣтить, что Ф степени 6 (я — 2), а
6 (я — 2) — 2я = 4 (я — 3). Наконецъ, полезно знать
Р и Ф. Написавъ / въ видѣ
Ф
потому
степени
старшіе члены въ Н,
/ = хп - с^х’1-1 4- с2хп~2 - с3хп-'3 + • • ,
найдемъ
Н =[(п — 1) сх2 - 2яс2] *2н ~4 + • • •
5 = [(« — 1) (» — 2) — Зи (и — 2) с2 Зя2 с3] хЪп~6 + • • •
Ф = [ — 9«2 (« — 1) с32 + 3 (я — 1) (я — 2)2с12с22 — 8я (я — 2)2с23
— 6 (я — I)2 (я — 2) с^ся + 18я (я — 1) (я — 2) с1!с2с3] и2Х'к 12 + • •
490. Приложеніе къ кубической функціи, а) Для кубической
функціи
/ = - С1Л72 + с2 X - с3
функція Гессе будетъ квадратною, а функція Якоби также кубическою функ-
ціею; черезъ корни а1( а2, а3 функціи / онѣ выражаются формулами
(40) Н = (а2 - а3)2 (х — «О2 + (а3 - ах)2 (х - а2)2 + («і — «2)2 (х — а3)2,
(41) 2 = [ 2 (а^ + <т2а3) — («2 + а3) (х + аД]
X [2 (а2х + («3 + аД (х 4- а2)]
X [2 («з* + с^а.,) - («! + а2) (л; + н3)].
Эти выраженія обнаруживаютъ замѣчательныя геометрическія зависимости
между разсматриваемыми тремя функціями4). Корни а/, а/, ая' функціи
выражаются раціонально въ корняхъ функціи /. Они опредѣляются урав-
неніями
2і («іа/ + а2а3) = (а, + а/) («2 + а3) и т. д.,
которыя выражаютъ, что
(а/йі^аз) = - 1, (а/ «оадаО = - 1, (а3' а-^а.^ = - 1,
т. е. каждый корень функціи О гармонически сопряженъ съ кор-
немъ функціи /, относительно двухъ другихъ корней той же
функціи /. Отсюда слѣдуетъ, что когда корни «15 а2, п3 функціи /даны,
то корни функціи <2 будутъ находиться (§ 417) на окружности круга
Каждый изъ корней функціи <2, напримѣръ а/, можно построить, замѣчая,
что касательныя къ кругу въ точкахъ а/ и <4 встрѣчаются на прямой «,а3,
или что касательныя въ а2 и «3 встрѣчаются на с^а/. Эти построенія обна-
руживаютъ взаимность, существующую между двумя кубическими функці-
ями, потому что касательныя въ аг и а/ встрѣчаются также на а2'(ія', и
касательныя въ <т/ и а'3 на с^а/. Оба треугольника имѣютъ общую
точку Лемуана (§ 419), въ которой встрѣчаются прямыя с^а/, а2а2',
а3а3', т. е. прямыя, соединяющія вершины каждаго треугольника съ полю-
сами противолежащихъ сторонъ.
Ь) Если будемъ разсматривать кубическіе корни изъ 1
о = - і (1 - о2 = - Г (1 + 1 ^-3).
какъ величины извѣстныя, то выраженіе (40) функціи Гессе тотчасъ разла-
гается такъ, что корни функціи Н можно выразить раціонально черезъ
корни функціи /. Замѣтимъ сперва, что если три числа «, 7 удовлетво-
ряютъ соотношеніямъ
а + ,3 + / = 0, а- -|- / -|- 72 = 0,
4) СІеЬзсЬ. „Ѵогіезип^еп ііЬег Оеошеігіе" (В. I. 8. 218 и 227).
то кубы этихъ чиселъ между собою равны. Дѣйствительно, «2 = (./ Д- -/)2 ==
= — а2 + 2Д/, откуда а2 = .'?/, и «3 = Д3 = у3. Отсюда слѣдуетъ, что «, ], ;
пропорціональны кубическимъ корнямъ изъ единицы. Теперь замѣтимъ, что
выраженіе (40) есть сумма квадратовъ трехъ чиселъ, сумма которыхъ
(«а - «з) ~ «і) + («з ~ «і) С* “ «а) + («і - «а) - «з)
тождественно равна нулю. Слѣдовательно, если подставимъ вмѣсто л- ко-
рень функціи Н, то отношеніе двухъ этихъ чиселъ можетъ имѣть лишь
одно изъ двухъ значеній а или <>А. Отсюда слѣдуетъ, что, обозначая че-
резъ г и г' корни функціи //, будемъ имѣть
= — ы, (г'= — о,2.
Итакъ (§ 420), корни функціи Гессе отъ данной кубической функ-
ціи совпадаютъ съ изодинамическими центрами треугольника,
образуемаго корнями данной кубической функціи1). Здѣсь умѣстно
будетъ припомнить, что числа т п т' изображаютъ общія точки трехъ Апол-
лоніевыхъ круговъ треугольника (Щ-уа?,
(рис. 23). Такъ какъ эти круги орто-
гональны съ кругомъ <-^«.,«3, то, какъ
извѣстно, центръ О послѣдняго дол-
женъ находиться на прямой г г'. Далѣе,
такъ какъ касательныя въ а, и къ
соотвѣтствующему Аполлоніеву кругу
встрѣчаются въ О, т. е. на тт,', то
(гг' <іг<і)) = — 1, для і — 1, 2, 3, т. е.
корни кубическихъ функцій/и
соотвѣтствуютъ другъ другу
такъ, что всякая пара соотвѣт-
ствующихъ корней гармонически
сопряжена относительно корней
функціи//. Далѣе,такъ какъ длина Ои,
есть геометрическое среднее между От
и От', то видимъ, что корни функ-
ціи Гессе отъ данной кубиче-
ской функціи падаютъ въ точки,
взаимныя относительно круга, опредѣляемаго корнями данной
функціи, такъ что одна изъ нихъ всегда внутри, а другая внѣ этого
круга. Замѣчая, наконецъ, что О есть полюсъ прямыхъ <і.2п2', а$а3'
относительно трехъ Аполлоніевыхъ круговъ, заключаемъ, что эти три хорды
должны встрѣтиться на прямой тт' въ точкѣ, гармонически сопряженной
съ О относительно г и т'. Поэтому точки т, и т' лежатъ на томъ діа-
метрѣ описаннаго круга, который проходитъ черезъ точку Ле-
му ана. Они дѣлятся гармонически этою точкою и центромъ круга.
с) Выраженіе функціи Гессе въ коэффиціентахъ функціи / есть
Н = 2[(сх2 — Зс2)л;2 — — 9с3)х -|- (с22 — Зсхс3)].
Ея дискриминантъ (срав. § 487) пропорціоналенъ
4[(с1с2 — 9с3)2 — 4(сх2 — Зс2)(с22 — 3 сх с3) ] = — 12 Д.
і) Относительно этой интересной теоремы и другихъ, см. „Кісегсііе
виііа Сеотеігіа беііе іогте Ьіпагіе сиЬісЬе" Веіігаті (Метогіе ЗеІГАссаб.
<1і Воіо^па, 1870), а также Дпѵоіиііопз сиЬідиез сіапз 1е ріап сотріехе" Лап
сіе Ѵгіез (РепЗісопіі сіеі Сігсоіо таіетаііео сіі Раіегто, 1901).
Тому же числу равно Н'2 при /7 = 0. Чтобы въ этомъ убѣдиться, доста-
точно замѣтить, что если
ах2 + Ъх Ц- с = 0,
то
(2ах Ь)2 = 4а(ах2 + Ьх) Ъ2 = Ь2 — 4ас.
Замѣтимъ еще, что при п = 3, старшій членъ въ выраженіи Ф (§ 489)
равенъ 54.7.-Г' (см. формулу (29)). Слѣдовательно,
Н'А - 202 = 54/-’Л.
Это тождество, найденное Кейли (Сауіеу) >), заключаетъ въ себѣ соотно-
шеніе Буля между инваріантами биквадратичныхъ формъ, какъ частный
случай. А именно, если въ формулахъ (40) и (41) дадимъ перемѣнной а-
опредѣленное значеніе, то биквадратичная функція, опредѣляемая корнями
«г, а2, «з, .ѵ имѣетъ квадратичный инваріанть, какъ разъ равный ',11 (§482),
и кубическій инваріантъ, равный :,О (§ 483). Полагая теперь х = а4, а по-
этому Н = 2І, О2], подставляя вмѣсто рД произведеніе квадратовъ
разностей чиселъ а2, ав, а4, т. е. дискриминантъ /I биквадратичной функ-
ціи, мы и получимъ формулу (37).
б) Соотношеніе Кейли можно получить различными другими путями,
замѣчая, что для опредѣленія постояннаго * *) отношенія Н'А - 2(/ къ р
можно выбирать значеніе х по произволу. Если возьмемъ, напримѣръ, ,ѵ
равнымъ корню функціи Н, то Н'2 приведется, какъ уже было сказано,
къ — 12.7. и будемъ имѣть (§ 489)
/73 _ о пз 1 1
~ = Я(/"2 - 2/'- у Н’2 = - -;~Н'2 =
Если положимъ х равнымъ корню функціи /, то будемъ имѣть
/=0, /"' = 6, р2р"2 - 16/9 = 4^, Я = 2//2, Н'
и правая часть предыдущаго равенства будетъ равна
2/'2(/"2 _ 2/7ѵЭ = ѴѴ2(Л2 _ 16/9 = 69.
Полагая, наконецъ, х равнымъ корню функціи (), и замѣчая, что
4 («3 - «3) («/ — «9 = - (а8 - «О (а/ - а2)
т/‘/
= - (Я1 - а2) («/ - «3) = 27ГСГ/-СГ7Г ’
2 ах — — а3
послѣдовательно найдемъ
.________2/___ _______________6/______НА 2О2 Н-‘
’ (2^-^-^’ (2^ - «2-«3)2’ Р р
491. Приложеніе къ биквадратичной функціи, а) Функціи Гессе
и Якоби для биквадратичной функціи будутъ соотвѣтственно функціи 4-ой
и 6-ой степени, выражающіяся — первая въ видѣ суммы квадратовъ, вторая
9 Заітоп, 1. с. стр. 263.
*) Потому что (§ 489) степень функціи
при « = 3.
ф
?2 [= 4(« - 3)1
равна О
въ видѣ произведенія нѣкоторыхъ трехъ квадратичныхъ функцій. Сперва
удобнѣе будетъ представить въ нѣсколько иной формѣ, чѣмъ та, кото-
рую мы нашли въ концѣ § 488. Для этого полезно сперва замѣтить слѣ-
дующее тождество:
(2^-7-б) (2г_д-^)(2д-/8-7) + (27-д-а)(2д-а-7)(2а-у-д)
+ (2<5-а-/?)(2а-3-д)(2;9-д-а)+:і(2а-;9-'/)(213-7-а)(27-а-₽)
= -6(/3 + 7-а-д)(7+а-^-д)(а+/3-У-д) (XIV).
Если въ немъ замѣнимъ а, й, 7, б соотвѣтственно числами —-—, —-—,
Л' — ах х — а2
• —-—1 т° лѣвая часть обратится въ ~ (§ 488), а въ правой мно-
житель ,5 + 7 — а — б, напримѣръ, обратится въ ।
1 , 1_______1________1__. =Л)
х — а2 х — а3 х — ах х — /
гдѣ /4 первая изъ слѣдующихъ квадратичныхъ функцій:
/і = («2 + «з “ «1 - «г) -г2 - 2 (а2 а3 — а4 а4) х + а2 а3 (а4 + а4) - щ а4 (а2 + а8),
/2 = («з + «і — а2 — «4) х- - 2 (а3 а} - а2 а4) х + а3 а, (а2 + а4) — а2 а4 (а3 + а4),
/з = («і + “а - “з — аг)хі — 2 («і а2 — «з ад) х + аі «2 (аз + «д) — «з «д («і + •
Такимъ образомъ, мы и получимъ Якобіеву функцію (я), разложенную на
три квадратичныхъ множителя:
Я (х) - 6/і (л:)/2 (х)/9 (х).
Разсматривая, съ другой стороны, всѣ пары чиселъ, раздѣляющихъ два
данныя числа з0 и з0' гармонически, говорятъ, что эти числа образуютъ
инволюцію, которая будетъ вполнѣ опредѣлена, когда извѣстны двѣ такія
пары («,, 2^) и (^2, г./). Дѣйствительно, всякая другая пара («, в7) связана
съ первыми двумя условіемъ
1 г + г' гг'
1 + Ѵ
1 ло -р Я./ ^2^2
= о,
которое получается, когда
исключимъ 2$ + и ^ог(/ изъ соотношеній
2 С-игіі/ + ®«7) — (^о+ ^о7) (-® + 3')’
2 («о-</ + = («о + А/) (~і + 2 («о^о7 + ~ (го + ^о7) (г2 + ^г7)
(выражающихъ гармоническое расположеніе 4-хъ точекъ).
Принимая теперь во вниманіе, что квадратичные множители могутъ
быть представлены въ видѣ
| 1 2 л: Л'2
/1 = 1 «2 + “3 «2«3 I, /а =
1 1 с:4 -ь «1 а4 I
1 0.x X1
1 а3 + а4 аъаг
1 «2 + «4 «2 «4
112л: л:2
/з = 1 а4 + а, «х«2
1 с:3 -|~ с:4 ц3п4
§ 491
видимъ, что корни Якобіевой функціи отъ данной биквадратичной
функціи распадаются на три пары, изъ которыхъ каждая гар-
монически раздѣляетъ двѣ опредѣленныя пары корней данной
функціи. Они изображаютъ, выражаясь геометрически, двойныя точки
трехъ инволюцій, опредѣляемыхъ корнями биквадратичной функціи. Легко
также показать, что каждый квадратичный множитель функціи О(х) обла-
даетъ тѣмъ же свойствомъ относительно двухъ другихъ множителей.
Ь) Изъ первоначальныхъ выраженій /ц/з./з вытекаютъ равенства
Л -/з = - 2(«2 - «з) Iх — «і) — аі)> /2 +/з = 2(«! - а4) (* - аа) (д? - а3),
/з “Л = — 2(а3 — «і) (х — «2) (* ~ «і). /з +/і = * 2(«2 ~ а<) (х ~ аз) (* — “і),
/1 —Л = — 2(оі - а2) (х - а3) (х — а4), /4 +/2 = 2(а3 - а4) (х - а4) (х - а2).
Они ведутъ къ различнымъ интереснымъ слѣдствіямъ. Если, напримѣръ, мы
возвысимъ ихъ въ квадратъ и сложимъ, то получимъ выраженіе функціи
Гессе Н черезъ квадратичные множители функціи О'-
^'=/12 +/22+Л2-1)
Если же перемножимъ ихъ между собою, то получимъ соотношенія:
Л2-/з2 = 4(Л - ;?3)Л Л2-/12 = 4(Л-Л)Л ./12~Л2 = 4(Л-Л)/.
Такимъ образомъ, данная биквадратичная функція / тремя различными спо-
собами разлагается на квадратичные множители, которые линейно выражаются
черезъ тѣ, изъ которыхъ состоитъ ея Якобіева функція. Замѣтимь еще
тождество
(Л Л)/і2 + (Л “' А)Л2 + (Л — Л)/з2 = 0 >
которое показываетъ, что /4, /2, /3 не независимы между собою, и потому
не всякая функція 6-ой степени можетъ быть разсматриваема, какъ Яко-
біева функція нѣкоторой функціи 4-ой степени 2). Въ то же время изъ тож-
дества (/32 —/г) — (/г —Х2) = 4‘л/ (§ 484, а) легко вывести первое изъ
слѣдующихъ трехъ тождествъ (а другія два по аналогіи)
3/42 = Н - 471/, 3/22 = Н - 4у,/, 3/32 = Н - 47з/.
Слѣдовательно, квадраты квадратичныхъ множителей Якобіевой функціи вы-
ражаются линейно черезъ данную биквадратичную функцію / и ея функцію
Гессе Н. Далѣе, перемножая послѣднія три тождества, получимъ (§ 484, а)
27/і2/22/з2 = 43/«2
=//з_з/^.42у2 + 2/.4Ѵ3 = 7/3- 16(3/77-8//)/2
и наконецъ, замѣчая, что лѣвая часть равна і<22, находимъ
4773 - 322 = 64(3/7/- 8//)/2.
х) О распредѣленіи корней функціи Н относительно корней функ-
ціи/ см. замѣтку Е. Еиззеіі въ „Ргосеебіпез оі іѣе Ьошіоп МаШ. 8ос.“
(ѵоі. XIX, р. 56).
2) См. СіеЬзсЬ: „ТЬеогіе сіег Ьіпйгеп а1§еЬгаізсѣеп Роппеп", 8. 447.
с) Къ послѣднему результату .можно придти и другимъ путемъ, при-
мѣняя соображенія § 489. При п = 4, функціи
Н = З/'2 - 4//", 2 = 2(77/'-///'), Ф = 4//»-3№
будутъ соотвѣтственно 4-ой, 6-ой и 12-ой степени. Мы знаемъ, далѣе, что
отношеніе функціи Ф къ 16/- есть цблая функція четвертой степени, кото-
рая выражается слѣдующимъ образомъ
'/ = 2/7(2/'-' - 3/'/"') -
Есть основаніе испытать, не выражается ли эта функція линейно черезъ тѣ
двѣ функціи 4-ой степени, которыя являются здѣсь въ числѣ разсматри-
ваемыхъ функцій, а именно, черезъ / и Н. Полагая <р = /./+ цН, нахо-
димъ, что прежде всего необходимо, чтобы функція <р приводилась къ /іН,
когда х есть одинъ изъ корней функціи /. Но при этомъ предположеніи
имѣемъ
11 = З/'2, 11' = 2 4ІГ* = Н/"і,
и далѣе
7 = 2НѴГ1 - 3/7'") - ІІГ- = ЗЯ(/"2 - 2/'/"').
Обозначая, для упрощенія вычисленій, черезъ е3 избытки чиселъ
а.,, «3 надъ а4. очевидно, найдемъ при х = а4
/' = - <7263- іГ = «2®» + 71 + «1 О- і/’" = - (®1 + ®2 + ®з)
и отсюда
(((. = 3(/"2 — 2/7'") = 12[(а,(;) + - 36ХЬЕ3(е, + и 4- е:!)]
= 62’ь-12(б2 — ь3)2 = 63(«4 — — «3)‘2 = 12/.
Слѣдовательно, функція <р(.ѵ) - 12/ //(.ѵ) обращается въ нуль, когда х
равно любому корню функціи /'. а такъ какъ она одной съ нею степени,
то можно положить (р — 12/- Н =/./. Для опредѣленія /. достаточно срав-
нить коэффиціенты при .ѵ1 въ обѣихъ частяхъ равенства. Припоминая, что
въ (р этотъ коэффиціентъ (§ 489) равенъ учетверенному числу
— 4- 277 + Эс/7 — 32 с/ — 27с/с3 -4 108<\с.>съ,
находимъ, что для полученія !/• надо изъ предыдущаго числа вычесть
3(3 с/ -- 8 с2) (7 — ЗсдСд 4- 12 с4)
= 977 — 24с/ — 27с/с3 4- 72с1с2с3 36(3с/с4 — 8с2с4).
Отсюда слѣдуетъ
7- = - 4 • 277 ~ $ О3 + З6(с1с,с3 — Зс1-сі -/ 8с2с4) = — 8/
а. наконецъ, ср — \2ІН — 32//. откуда 4Н3 — 30- = 64(31/1— 8//)/3.
492. Метода Альфена (Наірітёп). Для того, чтобы выполнитъ всѣ
эти вычисленія, нѣтъ надобности, какъ мы то считали удобнымъ въ преды-
дущихъ упражненіяхъ, выражать различныя функціи въ корняхъ функціи /.
Альфенъ далъ остроумную методу1), въ которой исключительно пользуются
!) „Лоиѵеііез Аппаіез без Маіііетаіідиез" 1885, р. 17.
функціями /, /', /". Эта метода основана на слѣдующемъ замѣчаніи.
Если / и цѣлыя функціи степени п, то выраженіе
2)-----±/и)^
приводится къ числу постоянному. Въ самомъ дѣлѣ, производная этого
выраженія
± ^/(»+Э = 0.
Вычисленіе этой постоянной, которую Альфенъ обозначаетъ символомъ (/.§•),
весьма просто. Стоитъ только дать перемѣнной х въ равенствѣ, опредѣля-
ющемъ искомую постоянную, какое нибудь частное значеніе. Напримѣръ,
положимъ х = 0, тотчасъ увидимъ, что (//) есть не что иное, какъ квадра-
тичный инваріантъ бинарныхъ формъ, который мы указали въ концѣ § 482.
Мы дадимъ здѣсь нѣсколько легкихъ приложеній разсматриваемой методы.
а) Для вычисленія дискриминанта кубической функціи
/ .- - Хл — С1-Ѵ2а+ Со-У — Г.
воспользуемся постоянными (/'/') и (ІГ/"}. Значенія ихъ найдемъ тотчась,
положивъ .ѵ = 0. Тогда
(/77) = 2/77"-Г- = - 4 (с2 - Зс2).
Точно такъ же, замѣчая, что
И = 2/'2 - Зу/А ІГ =/'/’’ - 3//'", И" =/"і - 2/7"
найдемъ, что
(Н'П = ГГ/"' - Н"/" = -/"- + 3./7Ѵ"- з/Г'2,
далѣе, полагая х = 0,
(Н'/"} = 4 (2с/ - 9С1с, + 27 с/.
Возвращаясь къ первоначальнымъ выраженіямъ обѣихъ постоянныхъ въ
функціональныхъ символахъ, замѣчаемъ, что если /' имѣетъ кратный корень,
и положимъ х равнымъ именно такому корню, то
(/'/') =-/"й. /т
Слѣдовательно, (/'[’//-(ІГ/")'- будетъ такая функція отъ коэффиціентовъ/,
которая обращается въ нуль, также какъ и дискриминантъ, когда / имѣетъ
кратный корень. Кромѣ того, легко видѣть, что вѣсъ этой функціи равенъ 6,
т. е. (§ 487) равенъ вѣсу дискриминанта. Слѣдовательно, она можетъ отли-
чаться отъ дискриминанта лишь численнымъ множителемъ. Распоряжаясь
этимъ множителемъ надлежащимъ образомъ, найдемъ (срав. § 471).
Э = Уг [4 (с/ — Зс2)3 — (2с/ — 9с,/.'- / 27с3)2)
= — 27 с/ / с/ с/ — 4 с/ — 4 с/ с3 + 18 сА с2 с3.
Ь) Для биквадратичной функціи
/ = х1 - с^г3 + с^х- — с3х + с4
легко провѣрить, что постоянныя (//) и (77/) какъ разъ равны инваріан-
тамъ 7 и /. Умножая ихъ на численные множители, выбранные такъ, чтобы
сохранились выраженія I и / данныя въ §§ 482 и 483, найдемъ
/ = 7 = А (Я/).
Теперь замѣтимъ, что если / имѣетъ кратные корни, и х равенъ одному изъ
нихъ, то послѣдовательно найдемъ
(//)=/"2 (///) = 2/"3, 4(//)3-(7//)2 = 0.
Разсуждая, какъ въ предыдущемъ случаѣ, и подбирая приличнымъ образомъ
коэффиціентъ пропорціональности, находимъ
4(//)3-(7Ѵ)2_ 4
64-27 27' 7 '
с) И въ вычисленіи послѣдняго примѣра предыдущаго § 491, с можно
достигнуть значительныхъ упрощеній при помощи символа (/{;) Этимъ пу-
темъ удается прямо доказать, что функція <р выражается линейно черезъ /
и Н, вмѣсто того, чтобы идти ощупью: нужно только представить функцію
<р въ видѣ
Ч> = 3//(//) - 2/(7//).
Счетъ корней.
49 3. Разысканіе корней алгебраическаго уравненія всегда мо-
жетъ быть сведено къ опредѣленію вещественныхъ корней урав-
неній съ вещественными коэффиціентами. Дѣйствительно, цѣ-
лая функція /(/), по отдѣленіи вещественныхъ частей коэффиціен-
товъ и вещественной части перемѣнной з отъ мнимой, можетъ быть
представлена въ видѣ
/(* + г» = ф (х, у} + гѴ (.х> У)-
Чтобы У(г) было равно 0, необходимо и достаточно, чтобы одно-
временно
Ф (*, у) = О, V С*7, у) = О,
Исключеніе у изъ послѣднихъ двухъ уравненій дастъ уравненіе съ
вещественными коэффиціентами, вещественные корни котораго да-
дутъ значенія х. Исключеніемъ х найдемъ значеніе у. Въ этой главѣ
и слѣдующей, опираясь на сдѣланное замѣчаніе, мы и займемся ис-
ключительно разыскиваніемъ вещественныхъ корней цѣлыхъ функцій
съ вещественными коэффиціентами. Методы, которыя мы изложимъ
для разысканія такихъ корней, требуютъ, чтобы мы заранѣе могли
сказать, сколько корней заключается въ данномъ интервалѣ. По-
этому мы сперва и ограничимся разсмотрѣніемъ различныхъ средствъ,
придуманныхъ для полученія отвѣта на послѣдній вопросъ.
49 4. Леммы, а) Въ смежности съ корнемъ цѣлой функ-
ціи производная будетъ имѣть справа отъ корня знакъ,
одинаковый со знакомъ самой функціи, а слѣва отъ корня
знакъ противоположный. Выберемъ положительное число к до-
статочно малымъ для того, чтобы въ интервалѣ (а — к, а к),
кромѣ а, не заключалось ни одного корня функцій / и У'. Тогда
каждая изъ этихъ функцій въ интервалахъ (а —Л, а) и (а, а-\-к'),
за исключеніемъ границы а, будетъ сохранять опредѣленный знакъ.
Извѣстно, что У(х) = (х — а) / (§) (§ 306), гдѣ § лежитъ между
а и х. Если х лежитъ въ одномъ изъ указанныхъ интерваловъ, то
и находится въ томъ же интервалѣ, и потому знаки чиселъ
У’(^) и /'(х) одинаковы. Слѣдовательно, при \х — а\<к, /(х)
и У'(х) будутъ имѣть одинаковые знаки при х^>а и различные
при х<С а.
Ь) Если а корень кратности г функціи у то справа
отъ а функція у имѣетъ знакъ, одинаковый съ уМ(а). Слѣва
отъ а знакъ у будетъ одинаковъ со знакомъ (а) при г
четномъ, и противоположенъ ему при г нечетномъ. Въ са-
момъ дѣлѣ, образуемъ около а интервалъ, въ которомъ непрерыв-
ная и необращающаяся въ нуль при х = а функція уи(х) (§ 450, с)
сохраняетъ опредѣленный знакъ. Тогда ясно, на основаніи предыду-
щей леммы, что справа отъ а функціи у^г—1), у(г—2), ...У', У бу-
дутъ имѣть одинаковый знакъ съ у,г) (а), а слѣва У'?1* противопо-
ложный, у,—2> одинаковый и т. д., и, наконецъ, у одинаковый или
противоположный съ смотря по тому, будетъ ли г четное
или нечетное число *).
с) Въ любомъ интервалѣ будетъ нечетное число кор-
ней функціи у, если значенія у на границахъ интервала
имѣютъ разные знаки, если же эти значенія имѣютъ оди-
наковые знаки, то въ интервалѣ либо четное число кор-
ней, либо ни одного. Дѣйствительно, если а,, а2, ..., аѵ обозна-
чаютъ всѣ, равные или неравные, корни функціи у, лежащіе въ
интервалѣ (а, Ь), то можно написать
/(*) = (х - Яі) (х - а2) • • • (х — аѵ) <р (х),
гдѣ <р(х~) цѣлая функція, необращающаяся въ нуль въ (а, Ь), и
потому (§ 275) принимающая на границахъ значенія одинаковаго
знака, такъ что д>(а)<р(Ь) > 0. Теперь имѣемъ
/(«) - (а ах) (а — а2) (а — аѵ) <р (л),
/(6) = (Ь - аі) (6 - а2) ••• (Ь - аѵ) <р (6),
откуда слѣдуетъ, что имѣетъ знакъ числа
(« - аг) (а — а2) ••• (а - аѵ) (Ь - аг) (6 - а2) ••• (6 - а„),
') То же самое еще проще вытекаетъ изъ формулы Тэйлора.
т. е. знакъ ( — 1)ѵ, потому что послѣдніе ѵ множителей всѣ поло-
жительные, а первые ѵ отрицательные. Слѣдовательно, ѵ будетъ не-
четное, когда /(<;) и /(&) числа разныхъ знаковъ, и четное или
нуль, когда /(а) и /(/>) числа одинаковыхъ знаковъ.
495. Теорема Ролля. Между двумя послѣдовательными
корнями цѣлой функціи заключается нечетное число кор-
ней производной.
Если а и /9 два послѣдовательныхъ корня функціи то это
значитъ, что въ интервалѣ (а, У) у" не обращается въ нуль и, слѣ-
довательно, сохраняетъ опредѣленный знакъ. На основаніи первой
леммы существуетъ справа отъ а интервалъ (а, «), въ которомъ /'
имѣетъ знакъ, одинаковый съ у‘ и слѣва отъ ,3 интервалъ (і, у),
въ которомъ у имѣетъ знакъ, противоположный знаку у. Поэтому,
на основаніи третьей леммы, функція у, имѣющая противоположные
знаки на границахъ интервала (а, Ь), имѣетъ въ этомъ интервалѣ,
а слѣдовательно, и въ интервалѣ (а, /?), за исключеніемъ гра-
ницъ, нечетное число корней.
496. Слѣдствія, а) Между двумя послѣдовательными
корнями функціи /' не можетъ заключаться болѣе одного
корня функціи Дѣйствительно, если бы ихъ было два, то между
ними не оказалось бы ни одного корня у', что противоречитъ тео-
ремѣ Ролля. Принято говорить, что вещественные корни функ-
ціи у' отдѣляютъ корни функціи у.
Ь) Если всѣ корни функціи у вещественные и про
стые, то такими же будутъ и всѣ корни у, У', У" и т. д.
Пусть а,, а2, ..., а„ обозначаютъ всѣ корни функціи У', располо-
женные въ порядкѣ возрастанія. Въ каждомъ изъ п— 1 интерваловъ
(а1; а2), (а2, а3), ... (а„_і, лежитъ, по крайней мѣрѣ, одинъ
корень функціи у. Слѣдовательно, у имѣетъ, по крайней мѣрѣ,
п — 1 вещественныхъ неравныхъ корней, а съ другой стороны, из-
вѣстно, что и больше п - 1 корней она имѣть не можеть. Все
сказанное о функціи У, можно примѣнить къ у, затѣмъ къ /"
и т. д.
497. Теорема Декарта. Число положительныхъ корней
алгебраическаго уравненія /\х) = 0, не превышаетъ числа
перемѣнъ знака въ полиномѣ /(х).
Замѣтимъ прежде всего, что если въ ряду чиселъ, не равныхъ
нулю, два рядомъ стоящихъ числа имѣютъ противоположные знаки,
то говорятъ, что имѣемъ перемѣну знака, а если два рядомъ
стоящія числа имѣютъ одинаковые знаки, то говорятъ, что имѣемъ
постоянство знака. Далѣе, подъ перемѣнами и постоянствами
знака въ уравненіи
(42) аиХп + + а.,хп~2 + --- + ап =0
понимаютъ перемѣны и постоянства знака въ ряду его коэффиціен-
товъ, взятыхъ въ томъ именно порядкѣ, въ которомъ они напи-
саны въ выраженіи (42). Теорема, которую надо доказать, очевидна
въ томъ случаѣ, когда число перемѣнъ знака равно нулю. Дѣйстви-
тельно, въ этомъ случаѣ /(х), лѣвая часть уравненія (42), при вся-
комъ положительномъ значеніи х будетъ имѣть знакъ, общій всѣмъ
коэффиціентамъ, а потому положительныхъ корней имѣть не мо-
жетъ. Остается, слѣдовательно, показать, что теорема будетъ спра-
ведлива при и перемѣнахъ знака, если предположить, что она вѣрна
при меньшемъ числѣ перемѣнъ. Замѣтимъ для того, чтобы это по-
казать, что функція х~к/ имѣетъ, очевидно, тѣ же положительные
корни, какъ и у". Пусть число ихь равно р. Къ функціи х~к/, во
всякомъ интервалѣ, не заключающемъ въ себѣ нуля, можно примѣ-
нить теорему Ролля (см. § 303). На основаніи этой теоремы мо-
жемъ утверждать, что производная отъ этой функціи
х*р' — кх !: У/' х~’’* 1 (хр' — кр),
а слѣдовательно, и х/' — к р, т. е.
(43) (п - к)аохп +(Н — к — 1) 1 + ••• +(1 — к^а^х — кап,
будетъ имѣть, по крайней мѣрѣ, одинъ корень въ каждомъ изъ
(/>—1) интерваловъ между р корнями функціи х~к/, т. е. будетъ
имѣть, по крайней мѣрѣ, р — 1 положительныхъ корней. Если те-
перь положимъ, что въ уравненіи (42) есть перемѣна знака при пе-
реходѣ отъ коэффиціента при хѵ, напримѣръ, къ коэффиціенту при
х”-1, то стоитъ только дать числу к значеніе, лежащее между ѵ и
ѵ—1, чтобы въ уравненіи (43) эта перемѣна знака обратилась въ
постоянство *). Всѣ же остальныя перемѣны и постоянства въ (42)
останутся безъ измѣненія и въ (43), потому что всѣ коэффиціенты
слѣва отъ разсматриваемаго мѣста свои знаки сохранятъ, а всѣ ко-
эффиціенты справа измѣнятъ ихъ на противоположные. Итакъ, число
к всегда можно такъ выбрать, что въ уравненіи (43) будетъ и—1
перемѣна знака, если въ (42) ихъ было и. Но тотда, по предполо-
женію, уравненіе (43) не можетъ имѣть болѣе и - 1 положитель-
ныхъ корней, а такъ какъ ихъ имѣется, по меньшей мѣрѣ, р— 1,
то должно быть р^и, что мы и хотѣли доказать1).
498. Дополнительныя теоремы, а) Разностъ между чи-
сломъ перемѣнъ знака и числомъ положительныхъ корней
всегда число четное. Выбравъ а достаточно большимъ для того,
*) Если послѣ члена съ хѵ тотчасъ слѣдуетъ членъ съ .ѵ1 1, то до-
статочно взять к между ѵ и ѵ — I.
і) Это остроумное доказательство принадлежитъ Лагерру (Ьа§иегге)
„Ыоиѵеііез Аппаіез сіе Маіііётаіідие8“ (1879, р. 5).
чтобы /(х) имѣло знакъ, одинаковый съ а0, при х а (§ 445),
будемъ имѣть интервалъ (0, а), внутри котораго будутъ лежать
всѣ положительные корни функціи /. Число ихъ будетъ четное или
нечетное (§ 494, с) смотря по тому, будутъ ли /(0) и /(а), т. е.
ап и а0, имѣть одинаковые или противоположные знаки, иными сло-
вами, смотря по тому, будетъ ли число перемѣнъ знака и четнымъ
или нечетнымъ. Слѣдовательно, и—р всегда число четное*).
Ь) Число отрицательныхъ корней не превышаетъ числа
перемѣнъ знака въ /(— х). Дѣйствительно, отрицательные корни
функціи /(х) получаются, если перемѣнимъ знаки у положитель-
ныхъ корней функціи Д — х).
499. Примѣчанія, а) Если въ уравненіи только одна
перемѣна знака, то уравненіе имѣетъ только одинъ поло-
жительный корень. Дѣйствительно, по теоремѣ Декарта р (число
положительныхъ корней) можетъ имѣть только значенія 0 или 1;
но и—р, какъ мы видѣли, не можетъ быть нечетнымъ, по-
этому р = 1.
Ь) Если уравненіе не имѣетъ мнимыхъ корней, то
число его положительныхъ корней равно числу перемѣнъ
знака въ данномъ уравненіи, а число отрицательныхъ кор-
ней равно числу перемѣнъ знака въ уравненіи, получае-
момъ изъ даннаго замѣною х на — х. Если полиномър\х) пол-
ный, т. е. ни одинъ изъ его коэффиціентовъ не нуль, то ясно,
что при замѣнѣ х на —- х всякая перемѣна знака переходитъ въ
постоянство, и наоборотъ, потому что изъ двухъ смежныхъ чле-
новъ лишь одинъ измѣнитъ знакъ. Слѣдовательно, число ѵ пере-
мѣнъ знака въ/'(—х) равно числу постоянствъ знака въ /(х), и
если и число перемѣнъ знака въ Дх), то и-\-ѵ = п. Если теперь
полиномъ Дх) сдѣлается неполнымъ (оттого, что пропадутъ нѣ-
которые члены), то, очевидно, числа и и ѵ возрасти не могутъ,
такъ что вообще и ѵ = п. Съ другой стороны, если всѣ корни
вещественные, и изъ нихъ р положительныхъ и <[ отрицательныхъ,
то р = п. Отсюда
и + г? й + у или (и — р) ф (ѵ — д) й 0.
Но, по теоремѣ Декарта, и — р и ѵ — д не могутъ быть меньше
нуля, слѣдовательно, и = р, ѵ = с], что мы и хотѣли доказать.
с) Если въ уравненіи не хватаетъ члена между двумя
другими одинаковыхъ знаковъ, то уравненіе навѣрно
*) Въ случаѣ /(0) = ап = 0, ап1 ф 0, надо разсматривать уравненіе
Дх)
= 0 и теорема остается вѣрною, и т. д.
имѣетъ мнимые корни. Положимъ, что = 0. Если ап-ѵ и
йи-ѵ-і-2 одинаковыхъ знаковъ, то пара членовъ ап—ѵхѵ ап-ѵ^хѵ~2
представляетъ постоянство знака также и послѣ замѣны х на — х.
Разсматривая теперь общее число перемѣнъ знака въ/(х) и У( — х),
очевидно, будемъ имѣть
и-\-ѵ^п — ѵ-\-ѵ — 2 = п — 2.
А тогда тѣмъ болѣе р д 5^ п — 2. Слѣдовательно, уравненіе
имѣетъ, по крайней мѣрѣ, 2 мнимыхъ корня. Подобнымъ же обра
зомъ доказывается, что уравненіе имѣетъ, по крайней мѣрѣ,
с2к мнимыхъ корней, если въ уравненіи не хватаетъ 2к
слѣдующихъ одинъ за другимъ членовъ, или когда не хва-
таетъ 2к—1 членовъ между двумя членами одинаковыхъ
знаковъ.
б) Важно замѣтить, что приведенное въ § 497 доказательство
теоремы Декарта не требуетъ непремѣнно, чтобы / было цѣлою
функціею. Достаточно, чтобы въ у или, точнѣе говоря, въ разложе-
ніи (42), которое можетъ заключать въ себѣ и безконечное число
членовъ, степени х, по которымъ оно расположено, имѣли показа-
тели (цѣлые или дробные), слѣдующіе одинъ за другимъ либо по-
стоянно возрастая, либо постоянно убывая.
500. Прежде чѣмъ идти далѣе, полезно будетъ дать опредѣ-
леніе такъ называемыхъ функцій Руффини (Кийіпі). Изъ лѣвой
части у уравненія (42) можно вывести полиномы
/і = яцх” 1 + а-^хп + • • • + ,
/и—2 — я0Л'2 + а1х + п2> /п—1 ~ П»Х + Я1> /п = а0-
Полиномы уи будутъ функціи Руффини, соотвѣтству-
ющія данному уравненію; расположенныя въ указанномъ порядкѣ,
онѣ образуютъ рядъ Руффини. Значенія, принимаемыя ими при
данномъ значеніи х = а, весьма легко вычисляются, если исходить
изъ у, = а0 и замѣтить, что
/м-1 («) = «Л («) + «!. Д_2 («) = Л/п-1 («) + а2, • • •
и, наконецъ, /(Д) = арх(а) + ап- Въ этомъ и состоитъ самый про-
стой изъ всѣхъ извѣстныхъ способовъ вычисленія /(а). Принимая
во вниманіе сказанное здѣсь, замѣтимъ, что изъ
-/(а) = <70 (.х-“ - ап) + Я1 (Xй”1 - и" ’) + •• + Л„__! (х -- а)
тотчасъ получается
= Я0 ('гЛ 1 + аХ" ~ 4-+ я”'1) + • + г-2 (х + «) +
т. е.
(44)
= хП^/п («) + - ! («) + • • + /1 («).
501. Теорема Лагерра. Число вещественныхъ корней
функціи /(л-), превышающихъ данное положительное чи-
сло а, не превышаетъ числа перемѣнъ знака въ рядѣ Руф-
фини при х = а, и разность между этими двумя числами
всегда число четное1).
Изъ (44), при х~^>а, выводимъ
д = х ‘ 1 /и (я) + • • • +/1 (я) + А’ 1 / (<т) + Л X " / (л) + Я’.Ѵ 3/ (л) + •••
Если а О 0, то правая часть представляетъ и перемѣнъ знака, гдѣ
и равно числу перемѣнъ знака въ рядѣ
(45)
Слѣдовательно, не можетъ существовать болѣе и положительныхъ
чиселъ, обращающихъ эту правую часть въ нуль. Эти числа, бу-
дучи по необходимости больше а, и будутъ корнями функціи /{х),
превосходящими а. Для доказательства второй части теоремы, опре-
дѣлимъ сперва число Ь, достаточно большое для того, чтобы /(х)
при х Ь имѣло знакъ числа а0. Тогда всѣ разсматриваемые корни
попадутъ въ интервалъ (а, Ь) и число ихъ будетъ четное или не-
четное, смотря по тому, будетъ ли /(а) имѣть знакъ числа /(/>),
т. е. числа /„(«), или противоположный, иными словами, смотря по
тому, будетъ ли число и четное или нечетное. Эта теорема, прило-
женная къ или І<ъ./(—х)> даетъ также возможность опре-
дѣлить верхній предѣлъ числа положительныхъ корней функціи
/(*•), меньшихъ даннаго положительнаго числа, или число корней,
меньшихъ даннаго отрицательнаго числа.
502. Теорема Бюдана (Вибап). Число корней цѣлой
функціи /(х), лежащихъ въ данномъ интервалѣ, не прево-
сходитъ числа перемѣнъ знака, теряемыхъ рядомъ
(46)
при переходѣ перемѣнной отъ нижней границы интервала,
черезъ промежуточныя значенія, къ верхней его границѣ,
и разность между этими двумя числами всегда число
четное.
!) „Моиѵ. Апп. бе Маій.” (1880, р. 52).
Число перемѣнъ знака въ рядѣ (46) остается безъ измѣненія,
при непрерывномъ возрастаніи перемѣнной, пока ни одинъ изъ чле-
новъ ряда не обращается въ нуль. Дѣйствительно, всѣ члены ряда не-
прерывныя функціи, которыя не могутъ измѣнить знакъ, не обра-
щаясь въ нуль. Постараемся теперь разсмотрѣть, что произойдетъ,
когда х переходитъ черезъ нѣкоторое значеніе а, равное корню
функціи /. Если г есть показатель кратности корня а, то, какъ из-
вѣстно (§ 494, Ь), первые г Д- 1 членовъ ряда (46) справа отъ а
не представляютъ ни одной перемѣны знака, а слѣва отъ а ровно г
перемѣнъ знака. Слѣдовательно, при переходѣ х черезъ а проис-
ходитъ потеря г перемѣнъ знака, т. е. теряется ровно столько пе-
ремѣнъ знака, сколько корней, совпадающихъ съ значеніемъ а
(§ 450, Ь). Остается теперь разсмотрѣть, не происходитъ ли въ рядѣ
(46) потери или выигрыша перемѣнъ знака, когда х переходитъ че-
резъ нѣкоторое значеніе а, не равное корню функціи но обра-
щающее въ нуль одну изъ производныхъ, напримѣръ Всегда
можно принять, что О(а) ф 0, и если г есть показатель крат-
ности корня а, то нужно еще предположить, что /(,'+г)(а) ф 0.
Установивъ сказанное, образуемъ около а интервалъ, въ которомъ
/(‘~1)(.ѵ) и /’('+',(л-) сохраняютъ постоянный знакъ. Если этотъ знакъ
одинаковъ для обѣихъ функцій, то рядъ
(47) уР—1),
составляющій часть ряда (46), справа отъ а не представляетъ ни
одной перемѣны знака, а слѣва отъ а г или г ф 1 перемѣнъ,
смотря по тому, будетъ ли г четное или нечетное число. Число по-
терянныхъ перемѣнъ знака, слѣдовательно, четное. Если же знаки
/Г—і)(а) и /Ч’+’Да) различны, то рядъ (47) представитъ одну пере-
мѣну знака справа отъ а, а слѣва г -1- 1 или г смотря по тому,
будетъ ли г четное или нечетное число, такъ что число потерян-
ныхъ перемѣнъ будетъ г или г — 1, т. е. опять четное число. Изъ
всего этого слѣдуетъ, что при переходѣ х отъ нижней границы нѣ-
котораго интервала къ верхней его границѣ рядъ (46) можетъ
только терять перемѣны знака. При этомъ число потерянныхъ пере-
мѣнъ знака будетъ равно числу корней функціи / въ данномъ интер-
валѣ (равныхъ или неравныхъ), увеличенному на нѣкоторое четное
число, которое въ частныхъ случаяхъ можетъ и обращаться въ
нуль !).
503. Примѣчанія, а) Теорема Декарта есть непосредственное
слѣдствіе какъ теоремы Бюдана, такъ и теоремы Лагерра. Чтобы
въ этомъ убѣдиться, стоитъ только замѣтить, что при а = 0 и при
Ч Нѣсколько болѣе простое доказательство далъ Роигеі фону. Апп.
сіе Майъ 1892).
х = 0 ряды (45) и (46), если отбросить нѣкоторые положительные
множители, приводятся къ ряду коэффиціентовъ, потому что
/(0)=К> /1(°)=//(О)І=«Я_1, Л(0) = 1/"(0) = ап_2,
между тѣмъ какъ при достаточно большомъ значеніи х функціи
(46) принимаютъ и затѣмъ сохраняютъ знакъ числа а0. Перемѣны
знаковъ, теряемыя при переходѣ х отъ 0 до безконечности, будутъ,
слѣдовательно, тѣ, которыя окажутся въ рядѣ а0, а{, а2, ..., ап, когда
изъ него выкинемъ члены, обращающіеся въ нуль. Чтобы оправдать
это выкидываніе, нужно только принять за нижнюю границу интер-
вала, къ которому примѣняемъ теорему Бюдана, вмѣсто нуля про-
извольно малое положительное число. Затѣмъ надо замѣтить, что,
если при Л'—О только промежуточные члены ряда (47) обращаются въ
нуль, рядъ этотъ справа отъ нуля представляетъ ровно столько пе-
ремѣнъ знака, сколько ихъ даютъ два крайнихъ члена, т. е. одну
или ни одной.
Ь) Теорема Бюдана не даетъ возможности точно указать число
корней въ данномъ промежуткѣ; на этотъ вопросъ дастъ отвѣтъ
другая теорема (см. § 505 и слѣд.), которую мы вскорѣ докажемъ.
Тѣмъ не менѣе въ приложеніяхъ теорема Бюдана очень полезна.
Еще полезнѣе одна теорема Лагерра-1), аналогичная теоремѣ § 501.
Сильвестру принадлежитъ замѣчательное усовершенствованіе теоремы
Бюдана, заключающее въ себѣ естественно и усовершенствованіе
теоремы Декарта, принадлежащее Кемпбеллю (СатрЬеіі)2).
504. Упражненія, а) Дана цѣлая функція и-ой степени /(х), всѣ
корни которой вещественны. Требуется доказать, что если мы раздѣ-
лимъ интервалъ между двумя сме-жными корнями а и [} на п рав-
ныхъ частей, то въ крайнихъ частяхъ интервала производная
не обращается въ нуль. Приравняемъ нулю выраженіе
оставляя слѣва отъ-----всѣ члены, соотвѣтствующіе корнямъ, не превыша-
1 ж х •
ющимъ а, а справа отъ -----всѣ члены, соотвѣтствующіе корнямъ, не
меньшимъ и подразумѣвая подъ х число, лежащее между а и /? и обра-
щающее въ нуль функцію . Тогда получимъ
х) „Ыоиѵ. Апп. сіе Маі1і.“ (1880, р. 55).
2) Тосіііипіег, „А1§еЬга“ (3. есі., р. 217). Реіегзеп, „АІдеЬгаізсІіе
О1еісЬип§еп“ (8. 212> См. также замѣтку Роиіаіп въ С. К. сіе ГАс. бе
Рагіз. (1888, р. 470).
равенство между двумя суммами членовъ, изъ которыхъ, какъ видимъ,
выписаны съ каждой стороны только наибольшіе. Отсюда слѣдуетъ, что
1 я — 1 п —1> 1
х — а ~ $—х’ х — а З — х’
а потому
(что и доказываетъ теорему).
Въ частномъ случаѣ, при п = 2, находимъ, что единственный корень
функціи /7 дѣлитъ промежутокъ (а, /?) пополамъ.
Ь) Доказать, что, если всѣ п корней функціи / вещественные, то всѣ
корни функціи ,/'2У7//2, гдѣ х положительное число, будутъ мнимые, и при-
томъ въ каждомъ изъ нихъ коэффиціентъ при і по абсолютной ве-
личинѣ меньше п\'к. Написавъ уравненіе /24-А//2 = 0 въ видѣ
Л = + ... + _!_ = +_±.
/ х- х - «2 х — а„ ~ У 'і
и полагая х = а + і,3, должны имѣть
а — а1 — ііЗ а — а2 — а — ап — і$ _ і
(а - аД2 + ^- (а - а2)2 + ;72 + (а - а„)2 + Д2 ~ ’
Замѣтивъ, что Д, очевидно, нулемъ быть не можетъ, сравнимъ коэффиціенты
при і въ обѣихъ частяхъ равенства и получимъ
(а - а^)2 + З2 Т (а - а2)2 + р2 + Т (а — пп)2 + /?2 | /5 | ]/^
Знаменатели лѣвой части не меньше ;?2. Поэтому
я 1 . —
> IЯ уѴ 1,31 < м к'
Иными словами, если въ разстояніи «Ук отъ оси вещественныхъ чиселъ
проведемъ параллельныя ей прямыя, то внутри полученной такимъ образомъ
полосы будутъ лежатъ всѣ корни функціи /2 4- к/’2, и ни одинъ не будетъ
лежать на оси х).
с) Если, напротивъ, к число отрицательное, то всѣ корни функціи
/- + к/'2 будутъ вещественными, какъ сейчасъ увидимъ изъ одного инте-
реснаго обобщенія теоремы Ролля, принадлежащаго Барингу. Обозначая че-
резъ а, , у, ... корни функціи /, черезъ г, 5, /, .. . соотвѣтственные по-
казатели ихъ кратности, черезъ к любое вещественное число, и приравнивая
/4- к/' нулю, получимъ уравненіе
—— + —Ц 4- —— 4- ... 4- А = 0. (XV.)
х а х — 3 х — у к
і) Другія полезныя упражненія можно найти въ „Ыоиѵ. Аппаіез де
Маіііет.", за 1885 г., стр. 321, и за 1887 г., стр. 36.
Лѣвая часть есть функція <р (х). непрерывная въ любомъ интервалѣ, изъ
котораго исключены числа а, (3, у, ... Ясно, что въ смежности съ корнемъ а
Г
соотвѣтствующій ему въ функціи членъ --—- по абсолютной величинѣ
превзойдетъ сумму всѣхъ прочихъ, такъ что слѣва отъ а функція отри-
цательна, а справа отъ а положительна. Слѣдовательно, когда х измѣняется
въ интервалѣ между двумя послѣдовательными корнями функціи /, функ-
ція (р мѣняетъ знакъ и имѣетъ въ этомъ интервалѣ, по крайней мѣрѣ, одинъ
корень. Замѣчая еще, что при достаточно большихъ значеніяхъ | х I функ-
ція <р принимаетъ и сохраняетъ знакъ числа к, видимъ, что д> имѣетъ еще
корень, меньшій или большій, чѣмъ всѣ корни функціи /, смотря по тому,
будетъ ли к > 0 или < 0. Итакъ, если ѵ есть число различныхъ корней
функціи /, то <р имѣетъ, по крайней мѣрѣ, ѵ корней, отличныхъ отъ корней
функціи /. Кромѣ того (§ 450, с), она обращается въ нуль при значеніяхъ х,
равныхъ кратнымъ корнямъ функціи / и имѣетъ поэтому еще
(г - 1) + (« - 1) + (/ - 1) +••.=«- ѵ
корней, общихъ съ/. Слѣдовательно, если всѣ корни / вещественные,
то тоже самое можно сказать и о функціи /+ к/'.
<і) Давая числу к различныя вещественныя значенія, легко обоб
щить послѣднюю теорему. Предполагая, что всѣ корни / вещественные-
можемъ то же самое сказать о функціи / + к/', далѣе и о функціи
/' + К/' + к2 (/' + ^/") =/+. + к.,)/' + кѵк^" и. т. д.
Такимъ образомъ, приходимъ къ теоремѣ: Если всѣ п корней функціи /
вещественные, то и всѣ корни функціи а/Ч-й/'+с/" -ф будутъ ве-
щественными, при условіи, что функція ахп---Ьх“ 1-фсл:’!—2 + имѣ-
етъ также всѣ корни вещестенные (XV Ьіз). Этимъ путемъ можно до-
казать, напримѣръ, вещественность корней уравненія:
*”+ ^2 + Ъ'2 ѴЗ -І Г’'~2 +•••== 0 и т‘ д' Х)'
е) Доказать, что если всѣ корни функціи / вещественные, то ква-
дратъ каждаго коэффиціента больше произведенія двухъ сосѣд-
нихъ коэффиціентовъ. Выпишемъ четыре смежныхъ члена функціи /:
•• + «„-і*”-4-1 + аѵхп-ѵ + + •••
Умножая на (х — Іі) получаемъ
• • Н" (аѵ — каѵ л}хП + •' ’ + (якГ2 — каѵ.і_.і)хп ѵ 1 + • •.
Если бы аѵ было равно 0, то теорема, очевидно, была бы справедлива,
на основаніи сдѣланнаго раньше замѣчанія въ § 499, с. Предположимъ по-
этому /,ф0. По тому же замѣчанію, коэффиціенты аѵ — каѵ1 и аѵ_^_2 — /і<іѵ_[_1
х) Другія аналогичныя упражненія можно найти у Ьаигепі: „Тгаііё
<ГА1§;ёЬге“ ІИ ч. 4-е изд. стр. 70.
а 4-1
при к = —должны имѣть разные знаки, потому что всѣ корни функціи
(х - к)/ вещественные. Имѣя
а7 ~а-,- - Л-фІ , аѵаѵ-\-2~ аѵ-і-1
«V - Л «г-1 =------а~ ’ Я”+2 - Л “н-і =--------^7”- ’
находимъ, что знакъ числа а2 — вѵ_1вѵ_|_1 одинаковъ со знакомъ числа
«Тр, — аѵаѵ_^_2, т. е. не зависитъ отъ ѵ. Но первые три члена функціи /по
умноженіи на х — к даютъ
х 1 (я, — к х 4~ (я2 — «і) % 4— * * * •
Такъ какъ 0, то можно положить к = и необходимо будетъ, чтобы
«о
знакъ а0 былъ противоположенъ знаку числа
Слѣдовательно, я/ > яоя2, и вмѣстѣ съ тѣмъ аѵ2 > а ±при всякомъ ѵ.
Эта теорема, данная Де Гюа (Ое Оиа), позволяетъ часто обнаружить су-
ществованіе мнимыхъ корней, когда это не удается съ помощью теоремы
Декарта. Изъ различныхъ слѣдствій теоремы Де Гюа укажемъ на доказа-
тельство существованія мнимыхъ корней нѣкоторыхъ уравненій, напри-
мѣръ, такихъ, въ которыхъ три послѣдовательные члена составляютъ геоме-
трическую прогрессію или четыре ариѳметическую.
() Рекомендуемъ читателю снова приняться за различные разсмотрѣн-
ные въ этой главѣ вопросы и изслѣдовать ихъ непосредственно на плоскости
комплексной перемѣнной. Можно начать со слѣдующаго замѣчанія: если
черезъ нѣкоторый корень х функціи /' проведемъ прямую подъ угломъ 9
къ оси вещественныхъ чиселъ, и обозначимъ черезъ гх, г2, г3, ... разстоя-
нія отъ «!, а2, а3, ... до /г, а черезъ Ѳ15 02, Ѳ3, ... углы наклоненія къ той
же оси прямыхъ, соединяющихъ «х, а2, а3 ... съ х, то будемъ имѣть
х <д л; «2 _х пп ,0 /у ѵт\
7^-----------7^ • (ХѴІ)
Уравненіе
(49) 1. . + _Ь_ 4- ... 4- —1— = о
х — х — а2 х ~ ап
приметъ форму, независящую отъ Ѳ. Оно распадается на два, изъ кото-
рыхъ одно есть
8ІП Ѳі 8ІПЛ + . . . + «ІП = 0
;'1 г2 >'п
Оно показываетъ, что разстоянія зіп 6Х, г.,8іп02, г38іп98, ... точекъ ср,
«2, «з> • • • отъ разсматриваемой прямой не могутъ быть ни всѣ больше 0,
ни всѣ меньше 0. Слѣдовательно, корни функціи / лежатъ по обѣ
стороны отъ прямой, проходящей черезъ какой нибудь корень
функціи/', если только они не лежатъ всѣ на этой прямой, въ какомъ
случаѣ на ней же будутъ и всѣ корни /'. Такимъ образомъ, мы выясняемъ
одну, уже ранѣе доказанную, теорему (§ 496, Ь) и, кромѣ того, получаемъ
слѣдующій результатъ: если всѣ корни функціи / лежатъ въ нѣко-
торой области, ограниченной сомкнутымъ контуромъ, то въ той
же области лежатъ и всѣ корни функціи/'1). Другія ограниченія
для положеній корней функціи /' получимъ, повторяя на плоскости первое
упражненіе. Нужно только принять за а и /9 корни функціи / наиближе
лежащіе къ опредѣленному корню х функціи Такъ какъ модуль каж-
дой дроби въ лѣвой части уравненія (49) не можетъ быть больше суммы
модулей всѣхъ прочихъ членовъ, то вмѣсто неравенствъ (48) получимъ теперь
і х — іЗ [ й (п — 1) | х — а |, | х — а [ й (и — 1)! х — в I.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее: если изъ всѣхъ круговъ, отдѣляющихъ гар-
монически а отъ 13, начертимъ тѣ два, которые дѣлятъ отрѣзокъ въ отно-
шеніи 1 къ и—1, и п — 1 къ 1, то такимъ образомъ мы отдѣлимъ корни
а и /3 отъ корня х функціи /'. Далѣе, если черезъ середину каждаго изъ
прямолинейныхъ отрѣзковъ, соединяющихъ а и 13 съ другими корнями /
возставимъ къ этимъ отрѣзкамъ перпендикуляры, то въ той части плоско-
сти, которая лежитъ внѣ обоихъ круговъ, получимъ границы для положенія
корня х функціи такъ какъ, по предположенію, точка х не можетъ от-
стоять отъ а и 13 дальше, чѣмъ отъ любого изъ другихъ корней. Такимъ
образомъ кругами и прямыми линіями, опредѣленно построенными по дан-
нымъ корнямъ функціи / всегда можно ограничить тѣ части плоскости, въ
которыхъ будутъ лежать различные корни функціи
§) Изученіе взаимнаго расположенія корней функціи / и /' обнару-
живаетъ замѣчательный законъ, относящійся къ неизмѣняемости нѣкоторыхъ
выраженій или элементовъ. Такъ, между прочимъ, при переходѣ отъ / къ /'
и къ слѣдующимъ производнымъ остается безъ измѣненія центръ тяжести
корней
Я> = ~ (аі + а2 + • • • + ап)
Дѣйствительно (§ 465), сумма корней функціи
/ = хп — с,хн 1 -|- с2хп~2 — • • • ± сп
равна сг = п^0, а сумма корней функціи /' = и/1 — (п — ІіГрѵ"-’ 2 + •••
равна с1 = (и—1)д0, такъ что среднее ариѳметическое корней и здѣсь
равно ^0. Это число будетъ и единственнымъ корнемъ функціи
Корни е и / функціи /Ги21. сумма которыхъ равна 2д0, имѣютъ произве-
деніе, равное среднему ариѳметическому всѣхъ произведеній корней функ-
ціи / взятыхъ по два, и т. д. Мы ограничимся здѣсь разсмотрѣніемъ чи-
селъ / и Замѣтимъ, что изъ равенствъ
«] -Т «2 + а8 2 = П ІО'
а1а2 + «іа3 / а2а3 + • • • — — І)^/
получается
(“1 - го)2 + («2 — &)2 +----Ь (а„ - і0)2
= »(« - 1)(іо2 — І5Л) = — :)(і - I')2-
і) Объ этомъ вопросѣ и другихъ аналогичныхъ можно найти ссылки
на многочисленныя сюда относящіяся изслѣдованія въ „Мёіап^ез таДіёша-
ііцнез" раг Мапзіоп, стр. 26.
Обозначимъ теперь черезъ и т)ѵ Декартовы координаты аѵ относительно
начала (-0 и прямой какъ оси абсциссъ, тогда
а1 6о _ а2 ?0 Ии -0 _ (XVI Ьіз)
51 + *41 І2~^гѴ2
гдѣ с обозначаетъ разстояніе точекъ и отъ |0. Поэтому
(й + '4і)2 + (й + «42)2 + + «4В)2 = »(» — 1)сч
а слѣдовательно,
- 4„2) = «(«- _27^4„ = 0,
гдѣ суммированіе распространяется на значенія 1, 2, 3, ..., п числа ѵ. Те-
перь замѣтимъ еще, что
2Х=о, 2Ч=°-
такъ что будемъ имѣть
(?„ 8іп 0 - пѵ соз Ѳ + /г)2 = I(|„2 + ч„2) - т„(я _ і)с2 соз 2Ѳ + я/г2.
Отсюда прямо видно, что эта сумма будетъ тіпітит при 0 = 0 и к — 0.
Итакъ, изъ всѣхъ прямыхъ на плоскости прямая есть та, для
которой сумма квадратовъ разстояній отъ всѣхъ корней функ-
ціи / будетъ наименьшею. Изъ сказаннаго выше вытекаетъ, что та же
прямая обладаетъ тѣмъ же характеристическимъ свойствомъ по отношенію
къ функціямъ , ... Въ частномъ случаѣ кубическаго уравненія обо-
значимъ
5|2 + С22 + ?з2 = 6 Я2, Ч)2 + 1)22 + Чз2 = 662,
такъ что я2 — 52 = с2; тогда изъ соотношеній
41 + 42 + 4з = 0 - 5141 + й42 + &4з = 0
и изъ предшествующихъ вытекаетъ
4і = 4г = 4з = + Ъ
& — 5з 5з — ёі 5і ~ & я У 3
откуда
У , 4? = зу + &-г3)2 = 2^2 + (^+^)2+^-^)2 = .
а2 + Ь2 Зя2 Зя2
То же самое относится къ другимъ двумъ точкамъ (корнямъ). Слѣдовательно,
д-2 у2
эллипсъ ^2+^5 = 1> фокусы котораго находятся въ точкахъ д и (?и д'
суть корни производной отъ правой части кубическаго уравненія / = 0),
проходитъ черезъ точки (— и т. д., т. е. черезъ середины сто-
ронъ треугольника Такимъ образомъ, мы снова находимъ извѣстную
уже теорему (§ 415).
Теорема Штурма.
505. Пусть у есть цѣлая функція (съ вещественными коэффи-
ціентами). Мы можемъ всегда предположить, что / не имѣетъ крат-
ныхъ корней (§ 456). Пусть /, ея производная. Раздѣлимъ у на
и обозначимъ черезъ Д остатокъ отъ дѣленія, взятый съ обрат-
нымъ знакомъ. Затѣмъ дѣлимъ у на Д и обозначаемъ черезъ /3
остатокъ, взятый съ обратнымъ знакомъ. Продолжая этотъ процессъ,
получимъ рядъ функцій,
/(У), /Ах), /3(х), ....
степени которыхъ, очевидно, убываютъ. Послѣдняя изъ этихъ функ-
цій есть постоянная, не равная нулю. Дѣйствительно, полиномы / и
Д взаимно простые, потому что / кратныхъ корней не имѣетъ. Про-
изводимая нами операція, если не обращать вниманія на перемѣны
знаковъ у остатковъ отъ дѣленій, есть не что иное, какъ разыска-
ніе общаго наибольшаго дѣлителя полиномовъ /’ и Д, и не можетъ
привести къ остатку, равному нулю. Полученныя функціи называ-
ются функціями Штурма (Зіигт), а образуемый ими рядъ—ря-
домъ Штурма.
506. Теорема Штурма1), При возрастаніи х отъ а до Ь
(а < Ь) соотвѣтствующій функціи у рядъ Штурма теряетъ
ровно столько перемѣнъ знака, сколько корней функціи у
заключается въ интервалѣ (а, Ь).
Прежде всего ясно, что при непрерывномъ измѣненіи х отъ
а до Ь число перемѣнъ знака въ рядѣ Штурма остается безъ из-
мѣненія, пока ни одна изъ функцій этого ряда не измѣнитъ своего
знака. Поэтому, вслѣдствіе непрерывности этихъ функцій, намъ
нужно только разсмотрѣть, что произойдетъ, когда значеніе х
обратитъ которую нибудь изъ нихъ въ нуль. Прежде всего за-
мѣтимъ, что двѣ рядомъ стоящія функціи одновременно въ нуль
обратиться не могутъ. Это очевидно для У и у, потому что / не
имѣетъ кратныхъ корней. Кромѣ того, такъ какъ между тремя рядомъ
стоящими функціями существуетъ соотношеніе видаД„і = /і(рі—Уц-і,
гдѣ д>і цѣлая функція, то одновременное обращеніе въ нуль функ-
цій У-уі и у повлекло бы за собою таковое же для и У—і, за-
тѣмъ для у._і и у_2 и т. д. и наконецъ, для Д и Д что невоз-
можно. Слѣдовательно, если Д обращается въ нуль, то Д„і и
не обращаются въ нуль. Онѣ принимаютъ значенія разныхъ знаковъ,
потому что, если, при х = а, Д = 0, то Д_і = —Д-рі. Мы можемъ
') Этой теоремѣ посвящена цѣлая глава въ учебникѣ Вебера (Ѵ/еЬег,
Аі^еЬга) томъ I, стр. 316—358.
всегда образовать около а достаточно малый интервалъ, въ которомъ
функціи и непрерывныя и неравныя нулю при х = а, со-
храняютъ во всемь интервалѣ тотъ знакъ, который онѣ имѣютъ при
х = а. Для опредѣленности положимъ, что /)_і сохраняетъ знакъ
+ , тогда у^|_і будетъ сохранять знакъ —. Въ такомъ случаѣ,
слѣва и справа отъ а, функціи /і—і, /і, будутъ имѣть знаки
-|-, + , — . Каковъ бы ни былъ знакъ функціи до и послѣ ея
обращенія въ нуль, всегда рядъ уі-і, /і, /і+і дастъ одну перемѣну
знака слѣва отъ а и одну перемѣну знака справа отъ а. Отсюда
заключаемъ, что переходъ числа х черезъ корень какой-нибудь изъ
промежуточныхъ функцій, если онъ не будетъ въ то же время кор-
немъ функціи /, никакого измѣненія въ числѣ перемѣнъ знака въ
рядѣ Штурма не производитъ. Такое измѣненіе можетъ произойти
только при переходѣ х черезъ корень функціи /. Въ этомъ случаѣ
дѣйствительно произойдетъ потеря одной перемѣны знака, потому
что, какъ мы видѣли (§ 494, а), /) справа отъ а имѣетъ знакъ,
одинаковый съ /, а слѣва отъ а противоположный. Итакъ, въ то
время какъ при переходѣ х черезъ какой-нибудь корень а функціи
/ пропадаетъ одна перемѣна знака, при переходѣ черезъ любое
другое значеніе ни одна не пропадаетъ и ни одна не появляется
вновь. Ясно, слѣдовательно, что при переходѣ х отъ а къ Ь про-
падаетъ столько перемѣнъ знака, сколько корней функціи / заклю-
чается между а и Ъ.
507. Примѣчанія, а) При составленіи ряда Штурма можно,
не измѣняя заключеній, умножать встрѣчаемыя функціи на любыя
положительныя числа. Такія умноженія полезно производить въ
численныхъ приложеніяхъ, во избѣжаніе дробныхъ коэффиціентовъ,
вводимыхъ послѣдовательными дѣленіями.
Ь) При доказательствѣ теоремы, послѣдній постоянный членъ
ряда не входитъ въ разсмотрѣніе, благодаря тому лишь обстоятель-
ству, что, не будучи равнымъ нулю, онъ всегда сохраняетъ опре-
дѣленный знакъ. Отсюда слѣдуетъ, что если при составленіи функ-
цій Штурма дойдемъ до такой, которая сохраняетъ постоянный
знакъ въ разсматриваемомъ интервалѣ, то на ней и можно оста-
новить рядъ Штурма.
с) Это замѣчаніе можно еще иначе оправдать, разсмотрѣвъ
ближе измѣненіе знаковъ въ Штурмовомъ рядѣ. Разсмотримъ, на-
примѣръ, перемѣну знака, представляемую нѣкоторыми двумя функ-
ціями, положимъ /і и/ц-і, при х = а. При непрерывномъ возра-
станіи х эта перемѣна знака будетъ подвигаться влѣво отъ /} или
вправо отъ /Ц-і, когда одна изъ этихъ функцій будетъ мѣнять
знакъ. А именно, если первая изъ функцій, которая должна измѣ-
нить знакъ, будетъ то перемѣна знака передвинется влѣво
(XVII), и такимъ образомъ, она будетъ передвигаться влѣво всякій
разъ, какъ функція, стоящая лѣвѣе другой, раньше этой другой
измѣнитъ знакъ, пока не займетъ перваго мѣста въ рядѣ перемѣнъ
и послѣдовательностей знака. Затѣмъ, она непремѣнно перейдетъ
въ постоянство, когда х перейдетъ черезъ корень функціи у.
Понятно теперь, что функція Штурма, не мѣняющая знака въ раз-
сматриваемомъ интервалѣ, представляетъ собою преграду, препят-
ствующую такому передвиженію перемѣны знака справа налѣво или
наоборотъ. Этимъ именно и объясняется, что лежащая вправо отъ
этой функціи часть Штурмова ряда не играетъ роли при счетѣ по-
терянныхъ перемѣнъ знака, такъ какъ ни одна изъ перемѣнъ
знака, встрѣчающаяся въ этой части, до начала ряда достигнуть
не можетъ, чтобы обратиться здѣсь въ постоянство знака.
б) До сихъ поръ молча подразумѣвалось, что на границахъ
интервала (а, Ъ) ни одна изъ функцій /, ... не обращается
въ нуль. Иначе непонятно было бы, какъ считать перемѣны
знака на этихъ границахъ, между тѣмъ какъ къ этому счету и сво-
дится все дѣло. Мы условимся теперь при этомъ счетѣ опус-
кать тѣ члены, которые обращаются въ нуль. Но тогда надо
разсмотрѣть не требуетъ ли это условіе какого-либо измѣненія въ
формулировкѣ самой теоремы Штурма. Прежде всего замѣтимъ,
что, какъ уже было сказано, три функціи /і~і, у, Дрі предста-
вляютъ одну перемѣну знака какъ слѣва, такъ и справа отъ корня
функціи /і, и одну же перемѣну знака мы сосчитаемъ въ парѣ
функцій У—і и когда выкинемъ средній членъ = 0. Поэтому
выкидываніе среднихъ членовъ ряда, обращающихся въ 0 при х = а
или х = Ь, никакого измѣненія въ счетѣ перемѣнъ знака не про-
изведетъ. Остается разсмотрѣть тѣ случаи, когда сама функція у
исчезаетъ на одной изъ границъ или на обѣихъ. Съ этой цѣлью,
вмѣсто интервала (а, Ь), разсмотримъ сперва интервалъ (а-\-к,
Ь — к), гдѣ к достаточно малое положительное число для того,
чтобы для значеній х, лежащихъ между а и а к, и между Ь — к
и Ь ни одна изъ функцій ... не мѣняли знака. Если
/(«) = 0, а /(Ь) ф 0, то при х = а ф к, функціи у и Д, какъ из-
вѣстно, представляютъ постоянство знака, а потому число пере-
мѣнъ знака въ рядахъ у, при х = а-\-к, равно числу
перемѣнъ знака въ рядѣ ... при х = а, полученномъ послѣ
опусканія члена /(а) = 0. Обозначимъ это число черезъ /г. Число
перемѣнъ знака въ рядѣ у, у, у,... при х=Ъ — к, очевидно,
равно числу перемѣнъ знака въ томъ же рядѣ при х = Ь. Обозначая
его черезъ ѵ, находимъ, что число потерянныхъ перемѣнъ знака
при переходѣ х отъ а до Ь равно ѵ = /г — ѵ и равно числу кор-
ней функціи у въ промежуткѣ (а-\-к, Ъ), т. е. въ интервалѣ
(а, Ъ), за исключеніемъ нижней границы. Еспи /(Ъ) = 0, то,
какъ извѣстно, функціи у и у при х = Ь — к представляютъ пе-
ремѣну знака, которая исчезаетъ при переходѣ х отъ Ъ - к къ Ь.
Поэтому, выкидывая членъ /(Ь) = 0 и обозначая черезъ ѵ число
перемѣнъ знака въ рядѣ у,у2... при х = Ь, мы включимъ въ
число потерянныхъ перемѣнъ знака ѵ = д—ѵ и ту, которая обу-
словлена существованіемъ корня Ъ. Изъ вышесказаннаго слѣдуетъ,
что при нашемъ условіи относительно счета перемѣнъ знака тео-
рему Штурма надо формулировать слѣдующимъ образомъ: Число
перемѣнъ знака, теряемыхъ рядомъ Штурма, соотвѣтству-
ющимъ функціи /, при переходѣ перемѣнной отъ нижней
границы интервала къ верхней, равно числу корней функ-
ціи у, лежащихъ въ данномъ интервалѣ, за исключеніемъ
нижней границы. Поэтому, если при х = а или х = Ъ найдемъ
У= 0, и, выкинувъ какъ этотъ, такъ и всякій другой членъ ряда,
обращающійся въ нуль, насчитаемъ ѵ потерянныхъ перемѣнъ знака
при переходѣ х отъ а къ Ь, то можемъ утверждать слѣдующее:
кромѣ корня а, существуетъ еще ѵ корней въ промежуткѣ (а, 6);
напротивъ того, кромѣ корня Ъ существуетъ еще лишь ѵ — 1 кор-
ней въ промежуткѣ (а, Ь), не считая а, который также можетъ
быть корнемъ.
е) Теорема Штурма остается справедливою и въ томъ случаѣ,
когда у имѣетъ кратные корни, если предположимъ, что каждый
кратный корень считается одинъ разъ, какъ простой. Дѣйствительно,
въ данномъ случаѣ послѣдній членъ ряда Штурма будетъ, очевидно,
пропорціоналенъ общему наибольшему дѣлителю функцій у и /,.
Если обозначимъ черезъ др, частное отъ дѣленія у на этого наи-
большаго дѣлителя (который, очевидно, будетъ дѣлителемъ всѣхъ
функцій ряда), то ясно, что перемѣны знака въ рядѣ у, у,, у2, ...
будутъ совпадать съ перемѣнами знака въ рядѣ д>, дд, д>2, ... По-
слѣдній рядъ обладаетъ тѣми же свойствами, какъ и рядъ Штурма,
соотвѣтствующій функціи д>, т. е. функціи, простыми корнями кото-
рой будутъ всѣ различные корни функціи / (и только эти корни) *).
508. Приложенія, а) Теорема Штурма даетъ возможность указать
точно число вещественныхъ корней уравненія и узнать сколько между ними
положительныхъ и сколько отрицательныхъ **). Напримѣръ, для функціи
7= х1 — 2х2 + х — 1 рядъ функцій Штурма состоитъ изъ / и слѣдующихъ:
Д = 4лД - 4х + 1, /2 = 4л:2 - Зх + 4, /3 = 23л: + 8, /4 = - 2924.
Для значенія х отрицательнаго и достаточно большого по абсолютной вели-
чинѣ рядъ знаковъ будетъ:
+ — + — — (три перемѣны знака);
при х = 0 знаки совпадаютъ со знаками независимыхъ членовъ, т. е.
— + + + — (двѣ перемѣны знака).
Мы имѣемъ одну потерянную перемѣну, слѣдовательно, одинъ отрица-
*) Подробнѣе объ этомъ см. Ьаигепі Н. „Тгаііё <1’А1§ёЬге“, стр. 62.
**) Стоитъ только примѣнить ее къ интерваламъ (— с», 0), (0, со).
тельный корень. При х достаточно большомъ имѣемъ знаки старшихъ
членовъ
+ + + + — (одна перемѣна знака).
Слѣдовательно, уравненіе х* — 2х2 + х — 1 = 0 имѣетъ одинъ положитель-
ный, одинъ отрицательный корень и два сопряженныхъ мнимыхъ. Можно
еще добавить, что положительный корень лежитъ между 1 и 2, а отрица-
тельный между —2 и —1. Теорема Декарта даетъ только существованіе
одного положительнаго и одного отрицательнаго корня, но оставляетъ въ
неизвѣстности будутъ ли остальные два корня вещественные или мнимые:
Ь) Теорема Штурма прилагается также къ разысканію необходимыхъ
и достаточныхъ условій вещественности всѣхъ корней алгебраическаго
уравненія
«0.с'‘ + Ярѵ” ’1 я2.ѵ“ 2 + ••• 4- Яѣ = 0.
Во первыхъ, рядъ Штурма долженъ быть полнымъ, т. е. состоять изъ „Д-1
функцій степеней и, и — 1, я —2, ..., 2, 1,0 чтобы возможна была потеря п
перемѣнъ знака. Во вторыхъ при х достаточно большомъ рядъ Штурма дол-
женъ представлять одни постоянства знака, слѣдовательно, при л0 > 0
старшіе члены всѣхъ Штурмовыхъ функцій должны быть положительны.
Эти условія и достаточны. Дѣйствительно, положимъ, что они выполнены.
Давая перемѣнной х отрицательное и достаточно большое по абсолютной
величинѣ значеніе, найдемъ для функцій Штурма поперемѣнно знаки + и —,
такъ что рядъ ихъ дастъ п перемѣнъ знака. Выдѣляя, слѣдовательно, интер-
валъ (— /, + /), внѣ котораго нѣтъ корней функціи / найдемъ, что при
переходѣ х отъ — I къ + I рядъ Штурма потеряетъ п перемѣнъ знака и,
слѣдовательно, / будетъ имѣть п вещественныхъ корней. Такъ напримѣръ,
для уравненія х3+рх-[-д = 0 рядъ Штурма будетъ
/ = х> + рх + д, = З.ѵ3 + р, = — 2рх - Зд, /3 = — 4/1 — 27 д2.
Слѣдовательно, должно быть р < 0, 4/>3 + 27д2 < 0. Но первое условіе уже
заключается во второмъ, потому что, при р > 0, 4^3 + '27д2 не можетъ быть
меньше 0. Слѣдовательно (срав. § 314, е), необходимое и достаточное
условіе вещественности и неравенства всѣхъ корней функціи
л:3 рх + д есть 4/>3 + 27 д2 < 0.
509. Отвѣтъ на вопросы предыдущаго параграфа можно бу-
детъ дать въ общемъ видѣ, если удастся найти общія выраженія
функцій Штурма. Цѣлое частное отъ дѣленія
/ = хп — сл'и1 + ••• на Л = нх”1 — (п — 1;с.гн 2 + ••
1 / с \ ,
равно — { х------, и потому мы имѣемъ
г п \ п)
/= —I*-—Ѵі-Л>
откуда слѣдуетъ
Замѣчая, далѣе, что
п а( — с = - ах) + (а,- — а2) + • • • + (а* - а„),
можемъ написать
1 у______________(- "і ~
я2 (х — а-) (л: — «у)
у
Сравнивая это выраженіе съ выраженіемъ у
можно угадать общій
результатъ, найденный Сильвестромъ х). Независимо отъ нѣкотО'
рыхъ множителей, которые въ случаѣ уравненій съ вещественными
коэффиціентами всегда положительны (а потому могутъ быть от-
брошены), будемъ имѣть
(«1 — а2)2(аі ~ а.з)2 ••• («г-і - 1
(х — яД(.Ѵ — а2І • ' • — «,)
гдѣ суммированіе распространяется на всѣ системы изъ і указа-
телей, которыя (какъ 1, 2, 3,..., /) выбраны между числами
1, 2, 3, ... п. Въ частности, что можно было предвидѣть, /н есть
не что иное, какъ дискриминантъ А функціи у. Послѣдняя формула
показываетъ, что /, полиномъ степени п — і, коэффиціенты кото-
раго суть симметрическія функціи корней функціи у. и слѣдова-
тельно, выражаются цѣлыми раціональными функціями коэффиціен-
товъ полинома у. На основаніи сказаннаго въ предыдущемъ пара-
графѣ важно вычислить первый коэффиціентъ въ у, который мы
обозначимъ черезъ о,. Мы имѣемъ
°і = Л, («і — ~ «з)2 ("/—і — “/)2
и видимъ (§ 30), что ві есть квадратъ матриссы
1 1 1 • 1
«1 я2 «3 йИ
Яі2 «22 “з2 • '• «п2
г—1 г—1 і ]
«1 Я2 «з •• ап
і) РЬіІозорЬісаІ Ма^агіпе (1839), Зоигпаі <Іе Ілоиѵіііе (1862, р. 368).
Доказательство см. у I. Зеггеі, »А1§ёЬге зирёгіеиге” 4-е изд. т. 1 стр. 570,
или у Заітоп, „АІ^ёЬге зирёгіеиге” стр 73 и слѣд. См. также замѣтку
ОіІЬегі о Штурмовыхъ функціяхъ въ Моиѵеііез Аппаіез Фе Маііі. 1866 г.
стр. 263 и Тгисіі „Веіегтіпапіі* (Арріісагіопі, § V).
такъ что можно написать
5, $і_1
5і 52 5у • • • 5г-
" 52г—2
Слѣдовательно (§ 466),
и0 «і :
°1 = 50 = °2 = | і = «52 — 5Хі) 2 = (« — 1)сх2 — 2ИС2 И Т. Д.
| 51 52
и, наконецъ, оп = Д.
510. Теорема. Число паръ мнимыхъ корней цѣлой
•функціи, неимѣющей кратныхъ корней, равно числу пере-
мѣнъ знака въ рядѣ о1; .. . о„.
Эту теорему легко вывести изъ теоремы Штурма, если при-
нять во вниманіе замѣчанія § 508. Въ самомъ дѣлѣ, если ѵ есть
число перемѣнъ знака въ рядѣ о1; <7г, ..., ап, то таково же будетъ
и число перемѣнъ знака въ рядѣ у при достаточно
большомъ значеніи х, потому что первыя двѣ функціи послѣдняго
ряда даютъ постоянство знака. Если же дадимъ х значеніе отри-
цательное и достаточно большое по абсолютной величинѣ, то каж-
дая перемѣна знака обратится въ постоянство и обратно. Слѣдова-
тельно, въ послѣднемъ случаѣ число перемѣнъ знака въ рядѣ
Штурма будетъ п — ѵ. Поэтому число потерянныхъ перемѣнъ
знака при возрастаніи х въ интервалѣ ( — /, /), внѣ котораго
нѣтъ корней у, будетъ равно п — 2ѵ. При теоремѣ Штурма имѣемъ
п—2ѵ вещественныхъ корней и, слѣдовательно, ѵ паръ мнимыхъ.
511. Послѣдняя теорема можетъ быть установлена при по-
мощи другого интереснаго доказательства ’), не требующаго знанія
Штурмовыхъ функцій. Разсмотримъ квадратную форму, дискрими-
нантъ которой равенъ
50 52 ... 5,,^
«1 Л 53 ...
= «3 54 • • •
Яп -1 5и •$и-; I ‘ ’ • 52и—2
і) См. мемуаръ Боркгардта (ВогсЬагсй) въ Лоитаі де ЬіоиѵіПе",
1847, стр. 58.
т. е. дискриминанту даннаго уравненія. А не равно нулю, потому
что всѣ корни даннаго уравненія простые. Разсматриваемая квад-
ратная форма, которую можно представить въ видѣ
<Р = («0*1 + ^1Х2 + «2-^3 + •' • + 5,г_і*я)*і
+ + 32Х2 + «3*3 + ” —$пХп)Х2
+ (Ѵ-Л + 3пХ2 + Ѵ|-1*3 + • • • $2П-2ХП)ХП>
можетъ быть поэтому приведена къ суммѣ п квадратовъ, не рав-
ныхъ нулю. Здѣсь надо припомнить, что число отрицательныхъ
квадратовъ равно (§ 98) именно тому числу перемѣнъ знака, о ко-
торомъ говорится въ формулировкѣ теоремы. Поэтому достаточно
привести ср къ каноническому виду и показать, что число отрица-
тельныхъ квадратовъ равно числу паръ мнимыхъ корней уравненія.
Это приведеніе въ данномъ случаѣ непосредственно получаютъ, если
въ выраженіи р отдѣлимъ все то, что относится къ опредѣленному
корню а. Такимъ образомъ получимъ
(л^і + ах2 + я2^з -|- ••• + аи 1хн)х^
---(«,г1 а2х2 + а3.т3 + ••• + апхп)х2
+ (аи 1х1 + апх2 + а^.Ѵз + + а2и 2.ѵи)л:и
= (лд + ах2 + а2х3 + •• + ап~1хп)2.
Слѣдовательно, полагая
Уі = Х1 + аіХ2 + « ?ХІ + • • • + Ч"' Хп •
будемъ имѣть
=Л2 +У22 +Узг + •• +у„2'
Если а, вещественное число, то у^ > 0. Если аг мнимый корень,
то пусть а; будетъ ему сопряженный. Тогда у( и будутъ также
мнимыми сопряженными, и представятся въ видѣ р + 1, съ
вещественными коэффиціентами р и р. Отсюда слѣдуетъ:
У? Д-У2 = (/’ + '? V I)2 + (р — ц Ѵ~ I)2 = 2 (/>2 — <72).
Итакъ, каждая пара мнимыхъ корней дастъ въ каноническомъ видѣ
формы <р два вещественныхъ квадрата, одинъ положительный, дру-
гой отрицательный, между тѣмъ какъ всякій вещественный корень
даетъ одинъ положительный квадратъ. Слѣдовательно, всякій отри-
цательный квадратъ обнаруживаетъ одну пару мнимыхъ корнейх).
512. Примѣчанія, а) Необходимыя и достаточныя усло-
вія вещественности всѣхъ корней алгебраическаго урав-
ненія съ вещественными коэффиціентами состоятъ въ
томъ, что
50
51 52 ... Зп
\ 1 \ • $2п—2
Эти неравенства всегда можно выразить неравенствами въ буквахъ
с, при помощи теоріи симметрическихъ функцій.
Ь) Условіе Д > 0 необходимо для вещественности всѣхъ кор-
ней. Но когда оно выполнено, можно утверждать лишь только то,
что число паръ мнимыхъ корней будетъ четное или нуль. Если
А < 0, то уравненіе имѣетъ нечетное число паръ мнимыхъ корней.
Это заключеніе можно прямо вывести изъ выраженія
Л = («1 - «2)2(а! - а3)2(«2 - а3)2 • • • («ге-і - «и)2’
которое показываетъ, что Л навѣрно больше 0, если всѣ а веще-
ственныя числа. Далѣе, всякая пара сопряженныхъ мнимыхъ корней
а, и а,- вводитъ отр и ца т ел ь н ы й множитель (а,-— а,-)2, между тѣмъ
какъ всѣ другіе множители («г — а8) и (ау—а<), гдѣ а8 и а( со-
пряженные корни, соединяются попарно въ положительныя про-
изведенія.
513. Примѣры, а) Для полнаго кубическаго уравненія
аохі + Зл1л;2 + 3<72.г + «3 = 0
необходимыя и достаточныя условія вещественности и неравенства всѣхъ
трехъ корней будутъ
аД — «0«2 >0, Л > 0,
гдѣ л извѣстный (§ 87) дискриминантъ
Л = 4 (ах2 — л0л2) (ст22 ~ яіяз) ~ («ія2 ~ аояз)2
Здѣсь условіе Л > 0 должно быть само по себѣ достаточнымъ, потому что
уравненіе 3-й степени не можетъ имѣть четырехъ мнимыхъ корней. По-
і) Подобными же соображеніями можно доказать болѣе общую те-
орему, данную ВгіозсЬі (см. „Пеіеппіпапіі” Тгибі, стр. 250). См. также
статью Зуіѵезіег въ „РЫІозорІіісаІ Тгапзасііопв'1 за 1853 г. объ обобщеніи
теоремы Штурма, и статью ВгіозсЬі въ „Моиѵеііез Аппаіез бе МаДі.“, 1856,
стр. 275.
этому условіе ях2 — я0я2 > 0 должно заключаться въ условіи А > 0 (срав
§ 508, Ь), и въ этомъ тотчасъ убѣждаемся, замѣтивъ тождество
я02А = 4 (а? - я0я2)3 - (2я7 - + я02я3)2.
Ь) Для уравненія 4-ой степени
аохі -|- 4я1л;3 + 6я2х- + 4я3д- + я4 = О,
наоборотъ, условіе А > 0 не достаточно, чтобы можно было утверждать
вещественность всѣхъ корней. По знаку А можно лишь навѣрно сказать, что
при А < 0 два корня вещественные и два мнимые. При А > 0 надо прибѣг-
нуть еще къ другимъ функціямъ Штурма, въ которыхъ коэффиціенты при
старшихъ членахъ, независимо отъ нѣкоторыхъ положительныхъ множите-
лей, будутъ х)
«Г — (я12 - Я0Л2) 1 +
Гдѣ (§ 87)
I = я0я4 — 4я1я3 + Зя.,2, 7 =
я0 ал
^2
б?2 Пд
^2
^4
Чтобы всѣ корни были вещественными при А > 0, необходимо, чтобы оба
числа / и 7 были больше 0. Въ противномъ случаѣ (при А > 0, всѣ 4
корня мнимые.
с) И для уравненія 5-й степени можно утверждать, что если дискри-
минантъ меньше 0, то уравненіе имѣетъ 2 мнимыхъ и 3 вещественныхъ
корня. Если дискриминантъ больше 0, то, если не всѣ корни вещественные,
уравненіе имѣетъ только одинъ вещественный корень. Одинъ изъ возмож-
ныхъ случаевъ отличается отъ другого при помощи изслѣдованія нѣкоторыхъ
трехъ функцій отъ коэффиціентовъ 2).
РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ.
Численное рѣшеніе.
514. Переходимъ теперь къ численному рѣшенію уравне-
ній, т. е. къ разысканію тѣхъ чиселъ, которыя, будучи подставлены
на мѣсто перемѣнной, обращаютъ въ нуль данный полиномъ съ
численными коэффиціентами. При этомъ мы можемъ ограни-
читься разсмотрѣніемъ уравненій вида
(1) я0/ѵи + аѵхп 1 + я2.ѵ" 2 + • • • + а„ = О
7 Сауіеу „фпагіегіу 4опгпа1“, ѣ IV. р. 10, См. также замѣтку Наі-
рѣеп въ „Моиѵ. Апп. де Майі.“, 1885, р. 34—35.
2) КоЬегіз „фиагіегіу доигпаі". ѣ IV. р. 175.
съ цѣлыми коэффиціентами и а0 > 0, замѣчая, что къ этому виду
можно привести всякое алгебраическое уравненіе съ алгебраическими
(т. е. не трансцендентными) коэффиціентами, которые (по опре-
дѣленію) удовлетворяютъ алгебраическому уравненію съ раціональ-
ными коэффиціентами. Дѣйствительно, если одинъ или нѣсколько
коэффиціентовъ а удовлетворяютъ одному или нѣсколькимъ алге
браическимъ уравненіямъ, то можно эти коэффиціенты исключить
(срав. § 444) изъ этихъ уравненій и даннаго, и исключеніе выполнить
такъ, чтобы получилось уравненіе (высшей степени) съ раціональными
коэффиціентами. Эти коэффиціенты можно привести къ цѣлымъ чи-
сламъ, умножая все уравненіе на надлежаще выбранное цѣлое число.
Когда это сдѣлано, обыкновенно начинаютъ съ разысканія цѣлыхъ
корней, затѣмъ дробныхъ раціональныхъ и потомъ, для упроще-
нія, кратныхъ корней. Затѣмъ приступаютъ къ приближенному
вычисленію ирраціональныхъ корней. Что касается мнимыхъ
корней, то напомнимъ (§ 493), что ихъ вычисленіе сводится къ
вычисленію вещественныхъ корней уравненій съ вещественными ко-
эффиціентами.
515. Границы корней. Прежде всего надо ограничить
корни, т. е. опредѣлить интервалъ, внѣ котораго не можетъ на-
ходиться ни одинъ вещественный корень уравненія. Границы этого
интервала называются нижнею и верхнею границами корней.
Вопросъ сейчасъ же сводится къ опредѣленію одной верхней гра-
ницы, потому что, если /(х) обозначаетъ первую часть уравненія
(1), то нижняя граница его корней, очевидно, получится, если возь-
мемъ верхнюю границу корней уравненія Д—х) = 0, съ обрат-
нымъ знакомъ. Точно такъ же можно получить нижнюю границу по-
ложительныхъ корней /\х), взявъ обратную величину верхней гра-
ницы корней и т- Д- Для опредѣленія верхней границы I
имѣется много правилъ:
а) Правило Ньютона. Если при х = I всѣ функціи /, /',
у", ... положительны, то I верхняя граница корней функціи у.
Дѣйствительно, при всякомъ х > I, имѣемъ
/(х) =АІ) + (X - /)/'(/) + І(Х - /)3/"(/) + • • > 0.
Впрочемъ, это правило можно считать непосредственнымъ слѣд-
ствіемъ теоремы Бюдана (§ 502). Для практическаго его примѣне-
нія, начинаютъ съ опредѣленія наименьшаго цѣлаго числа, котораго
не превосходитъ корень функціи Дм—1; • Это число подставляютъ
въ у'"1--; и, если получится число отрицательное, то увеличиваютъ
упомянутое число столькими единицами, сколько нужно, чтобы со-
отвѣтствующее значеніе у(«—было больше 0. Новое полученное
число подставляютъ въ У'"-3’ и т. д., и продолжаютъ такъ до тѣхъ
поръ, пока не получатъ числа, для котораго само у будетъ больше 0.
Такое число I и будетъ искомою верхнею границею.
Ь) Правило Лагерра. Тотъ же процессъ можно примѣнить,
замѣняя рядъ функцій /, , /”, ... рядомъ функцій Руффини
Справедливость этого правила прямо слѣдуетъ изъ
теоремы Лагерра (§ 501).
с) Извѣстны и другія правила, менѣе удовлетворительныя въ
смыслѣ получаемаго результата*), но легче и быстрѣе примѣнимыя.
Обозначимъ черезъ аг, наибольшій изъ коэффиціентовъ, предше-
ствующихъ первому отрицательному коэффиціенту а3, и черезъ а(
наибольшій по абсолютной величинѣ изъ отрицательныхъ коэффи-
ціентовъ. Правила Маклорена, Лагранжа и Тилло выражаются
слѣдующими равенствами
8 8—Г
1=1-^, /=і+1/Т% /= 1+1/3^.
а0 Г «0 Г аг
Лагранжъ далъ еще другое правило для опредѣленія высшаго пре-
дѣла положительныхъ корней, а именно: составивъ выраженія:
8 I
1/_ «8, 1/-^
г г СІ^
и всѣ подобныя имъ, относящіяся ко всѣмъ отрицательнымъ коэф-
фиціентамъ уравненія, надо взять сумму двухъ наибольшихъ изъ
этихъ чиселъ; оно и дастъ число I.
сі) Вмѣсто того, чтобы прилагать эти правила, часто разлага-
ютъ полиномъ у на прилично выбранныя части и стараются непо-
средственными испытаніями найти верхнія границы Г, I", ... корней
каждой части, послѣ чего берутъ за I наибольшее изъ этихъ чи-
селъ. Но изъ всѣхъ этихъ правилъ наиболѣе удовлетворительнымъ
остается правило Ньютона 1) потому, что оно никогда не даетъ ре-
зультата большаго, чѣмъ другіе, и 2) потому, что оно даетъ бли-
жайшее цѣлое число, большее самаго большого корня х), если всѣ
корни вещественные. Если въ послѣднемъ случаѣ наибольшій ко-
рень есть цѣлое число, то правило Ньютона его и дастъ. Это пре-
имущество правила Ньютона есть прямое слѣдствіе неизмѣняемости
центра тяжести корней (§ 504, §). (XVIII.)
516. Цѣлые корни. Если а корень функціи /, то (§ 500,
формула 44)
(2) /(.ѵ) = (л- - а) (х"-1/,, + х'^/п_х + • • - +/)).
гдѣ У), 7>, ../п обозначаютъ значенія функцій Руффини при х — а.
Замѣтимъ теперь, что при а цѣломъ всѣ эти значенія также цѣлыя
*) А именно, дающія вообще слишкомъ большое число /.
г) „Моиѵеііе Соггезропдапсе МаіЬётаіідие", 1880, стр. 174.
числа, и что они получаются одно изъ другого помощью соот-
ношеній
(3) = ао> /п—і = «Л + яі’ • • •, Л = «Л + Яя—1> 0 = “Л + ап-
Послѣднее равенство показываетъ, что а дѣлитель числа ап\ частное
отъ дѣленія равно — . Предпослѣднее показываетъ, что а дѣлитъ
ап-і — /і, т. е. сумму яи-і и предыдущаго частнаго. Новое част-
ное будетъ —Д. Продолжая такимъ образомъ, найдемъ, что по-
слѣднее частное есть — Д = а0. Если всѣ эти условія выполнены,
то а навѣрно будетъ корнемъ, потому что равенства (3), умножен-
ныя соотвѣтственно на ап, ап~г, ..., а, 1 и сложенныя даютъДа) = 0.
Итакъ, имѣемъ теорему:
Для того, чтобы цѣлое число было корнемъ алгебраи-
ческаго уравненія съ цѣлыми коэффиціентами, необходимо
и достаточно, чтобы это число дѣлило независимый членъ,
далѣе, коэффиціентъ при х, сложенный съ частнымъ отъ пер-
ваго дѣленія, коэффиціентъ при х\ сложенный съ частнымъ
отъ второго дѣленія, ..., коэффиціентъ при а?’1-1, сложенный
съ частнымъ отъ («— 1)-го дѣленія, и наконецъ, чтобы
частное отъ «-го дѣленія было равно коэффиціенту стар-
шаго члена, взятому съ обратнымъ знакомъ.
517. Разысканіе цѣлыхъ корней алгебраическаго уравненія все-
цѣло основано на предыдущей теоремѣ. Надо найти различныхъ
дѣлителей независимаго члена и испытать для каждаго изъ нихъ,
удовлетворяются ли указанныя условія. Но, чтобы не производить
лишнихъ дѣйствій, важно знать нѣкоторые признаки, по которымъ
а ргіогі можно исключить изъ испытанія того или другого дѣли-
теля, не могущаго быть корнемъ уравненія. Прежде всего ясно,
что надо исключить тѣхъ дѣлителей числа ап, которые лежатъ внѣ
границъ корней уравненія. Далѣе, тождество (2) показываетъ, если
въ немъ положимъ х = 1 и х = — 1, что а -ф 1 дѣлитъ Д — 1), а
а — 1 дѣлитъ Д+ 1). Все это ведетъ къ слѣдующему процессу
при разысканіи цѣлыхъ корней: 1. Опредѣляемъ границы корней.
2. Испытываемъ, не будутъ ли 1 или — 1 корнями уравненія, при
помощи вычисленія /(1) и Д—1), и если + 1 будетъ корнемъ, то
освобождаемъ уравненіе отъ найденнаго корня -г- 1 дѣленіемъ /(х)
на х + 1. 3. Исключаемъ всѣхъ дѣлителей числа ап, отличныхъ отъ
+ 1, лежащихъ внѣ границъ корней. 4. Прибавляемъ единицу къ
каждому изъ остальныхъ дѣлителей и исключаемъ тѣхъ изъ нихъ,
которые послѣ этого не дадутъ дѣлителя числа Д— 1); затѣмъ,
вычитаемъ единицу изъ оставшихся дѣлителей и отбрасываемъ тѣхъ,
которые послѣ этого не дадутъ дѣлителя числа /(1). 5. Примѣ-
няемъ основную теорему къ остальнымъ дѣлителямъ. 6. Дѣлимъ
послѣ того, какъ найдемъ корень а, функцію Длг) на х — а, по-
лученное частное снова дѣлимъ на .ѵ — а и т. д., чтобы узнать,
будетъ ли а простымъ, двойнымъ и т. д. корнемъ.
518. Примѣръ для упражненія. Найти цѣлые корни уравненія
2.Ѵ1-г 4+1 — 59+ 61 .г — 30 -0.
Правило Ньютона даетъ границы корней — 7 и 6. Дѣлители 30, лежащіе въ
этихъ границахъ, исключая + 1, будутъ
-6, -5, -3, — 2, 2, 3, 5.
Прямо видно, что +1 и — 1 не корни уравненія, потому что
/(1) = -84, /(—1) = 30.
Прибавляя единицу къ найденнымъ дѣлителямъ получаемъ числа
- 5, - 4, - 2, - 1, 3, 4, 6,
изъ которыхъ — 4 и + 4 не дѣлятъ /(— 1) = 30. Слѣдовательно, дѣлителей
— 5 и'З надо отбросить. Остаются дѣлители
- 6, - 3, — 2, 2, 5.
Вычитая единицу изъ каждаго изъ нихъ, получаемъ числа
— 7, — 4, -3, 1, 4,
которыя всѣ дѣлятъ/(1) = 84.
Мы видимъ, слѣдовательно, что единственныя числа, которыя надо
испытать съ помощью основной теоремы, будутъ — 6, — 3, — 2, 2 и 5.
Вычисленіе можно расположить слѣдующимъ образомъ, обрывая выкладку
для каждаго числа, какъ только дѣленіе нацѣло оказывается невозможнымъ:
(-61) (- 59) (+4) (+2)
- 6 - 5 — 66 11 - 48 8 12 — 2
- 3 - 10 —71
- 2 — 15 - 76 38 - 21
2 15 -46 - 23 - 82 - 41 - 37
5 6 - 55 - 11 - 70 — 14 -10 —2.
Слѣдовательно, данное уравненіе имѣетъ только два цѣлыхъ корня — 6 и 5.
При помощи дѣленія, сейчасъ видимъ, что оба они простые:
/(л:) = (л- + 6) (х — 5) (2 х- + 2 х — 1).
л
519. Дробные корни. Допустимъ, что неприводимая дробь —
р
удовлетворяетъ уравненію (1), въ которомъ а0 = 1. Полагая х = —
и умножая на дп~1, получимъ
у + 1 + о2рп '^ + + а,лп 1 = 0,
<71
т. е. неприводимая дробь должна быть равна цѣлому числу, что
невозможно. Итакъ, имѣемъ теорему: алгебраическое уравненіе
съ цѣлыми коэффиціентами и съ коэффиціентомъ, рав-
нымъ единицѣ, въ старшемъ членѣ не можетъ имѣть дроб-
ныхъ раціональныхъ корней. Эта теорема даетъ возможность
тотчасъ свести вопросъ о разысканіи дробныхъ корней къ вопросу
о разысканіи цѣлыхъ корней. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ, что
данное уравненіе не имѣетъ той формы, которая указана въ тео-
ремѣ (т. е. а0 Ф 1)- Мы можемъ преобразовать его такъ, чтобы
преобразованное уравненіе приняло эту форму, умножая всѣ корни
на прилично выбранное цѣлое число к *). Преобразованное уравне-
ніе будетъ
аохп ф ка1хп~1 ф к2а2хп~2 ф ••• ф кпап = 0.
Распоряжаясь числомъ к такъ, чтобы всѣ коэффиціенты ках, к2а2, ...
дѣлились на а0 (для чего можно положить, напримѣръ, к = л0),
и раздѣляя всѣ члены на а0, приведемъ его къ желаемой формѣ.
Тогда оно не будетъ имѣть раціональныхъ дробныхъ корней. Если
а, Р, у, ... будутъ его цѣлые корни, то -4, 4-,... будутъ
/ѵ лѵ /ѵ
дробными корнями даннаго уравненія. Между ними заключаются
и цѣлые его корни (когда а или и т. д. дѣлятся на к). На прак-
тикѣ, однако, предпочтительно сперва найти цѣлые корни, а затѣмъ
уже, понизивъ степень уравненія, приступить къ разысканію дроб-
ныхъ корней.
520. Примѣръ для упражненія. Найти раціональные корни
уравненія
21 х4 — 41 х3 + 45 л:2 — 24л: ф 4 = 0.
Правило Ньютона даетъ 1 для верхней границы корней. Уравненіе, получае-
мое замѣною х на — х имѣетъ всѣ коэффиціенты положительные. Слѣдо-
вательно, всѣ вещественные корни уравненія заключаются между 0 и 1.
Полагая у = 21л:, получимъ
уі - 41уЗ + 945_у2 — 10584_у ф 37044 = 0,
и мы знаемъ, что всѣ корни этого уравненія лежатъ между 0 и 21. Въ этихъ
границахъ изъ дѣлителей 37044 лежатъ слѣдующіе
2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18.
Числа
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 17
должны были бы дѣлить /(1) = 27365. Вычеркивая тѣ, которыя этому усло-
вію не удовлетворяютъ, увидимъ, что остаются только дѣлители 2, 6, 14.
*) Иными словами, замѣняя въ данномъ уравненіи х на -г-
Эти удовлетворяютъ и /(-!) = 48615. Затѣмъ другому условію, потому производимъ вычисленія по что 3, 7 и слѣдующей 15 дѣлятъ схемѣ:
(- 10584) (+ 945) (- 41) (+1)
2 18522 7938 3969 4914
6 6174 - 4410 -735 210 35 - 6 - 1
14 2646 -7938 - 567 378 27 - 14 - 1
Раціональными корнями даннаго уравненія будутъ, слѣдовательно, числа и
т. е. | и Лѣвая часть даннаго уравненія представится теперь въ
такомъ видѣ
(7х - 2) (Зх - 2) (х>- - х + 1).
521. Кратные корни. Метода для вычисленія ирраціональ-
ныхъ корней, которую мы изложимъ въ слѣдующей главѣ, требуетъ,
чтобы искомые корни были простыми. Съ этой цѣлью, освободивъ
уравненіе отъ всѣхъ раціональныхъ корней, поступаемъ съ нимъ
какъ указано выше, въ § 456, и разбиваемъ данное уравненіе на
нѣсколько другихъ. Одно изъ нихъ будетъ имѣть простые корни,
равные простымъ корнямъ даннаго, другое—-также простые корни,
равные двойнымъ даннаго, и т. д. Къ этому добавимъ еще слѣ-
дующее :
а) Если уравненіе съ раціональными коэффиціентами
имѣетъ только одинъ корень опредѣленной кратности, то
этотъ корень непремѣнно будетъ раціональнымъ. Дѣйстви-
тельно, операціи, которыя надо произвести (дѣленія полинома на
полиномъ), чтобы получить уравненіе х — а = 0, относящееся къ
этому корню, не могутъ ввести ирраціональностей. Но если коэф-
фиціенты въ л: — а раціональны, то это и означаетъ, что корень а
число раціональное.
Ь) Въ уравненіяхъ первыхъ пяти степеней нѣтъ случая
для примѣненія методы отдѣленія кратныхъ корней. Въ
самомъ дѣлѣ, такъ какъ мы предполагаемъ, что уравненіе освобо-
ждено отъ раціональныхъ корней, то необходимо, чтобы оно имѣло,
по крайней мѣрѣ, два двойныхъ корня и поэтому было не ниже 4-ой
степени. И въ случаѣ уравненія 5-ой степени, остальной пятый про-
стой корень (единственный) былъ бы непремѣнно раціональный,
и мы опять приходимъ къ уравненію 4-ой степени съ двумя двой-
ными корнями. Иными словами, если уравненіе 4-ой степени съ
раціональными коэффиціентами не имѣетъ раціональныхъ корней, то
оно можетъ имѣть кратные корни лишь въ томъ случаѣ, когда
лѣвая его часть можетъ быть представлена въ видѣ квадрата трех-
члена второй степени. Приведеніе къ этому виду (или доказатель-
ство невозможности его) дѣлается въ каждомъ случаѣ легко, безъ
того, чтобы пришлось прибѣгнуть къ методѣ отдѣленія кратныхъ
корней. Впрочемъ, разсматривая функцію Гессе /У = З/'2 -4//",
тотчасъ видимъ, что условіе, необходимое и достаточное для
того, чтобы / было полнымъ квадратомъ, состоитъ въ
томъ, что / отличается отъ Н только постояннымъ мно-
жителемъ * *). (XIX.) Точно такъ же нѣтъ надобности прибѣгать
къ отдѣленію кратныхъ корней въ уравненіи 5-ой степени съ раціо-
нальными коэффиціентами, не имѣющемъ раціональныхъ корней,
потому что можно а ргіогі сказать, что корни будутъ простые.
Приближенное вычисленіе корней.
522. Въ предыдущей главѣ мы видѣли, что при разысканіи
корней алгебраическаго уравненія его всегда можно привести къ
другому, имѣющему лишь простые и ирраціональные корни. Къ
разысканію послѣднихъ мы теперь и приступимъ. Еесьма важная
метода, изобрѣтенная Ньютономъ и усовершенствованная Фурье,
даетъ возможность быстро вычислять ирраціональные корни алге-
браическихъ функцій и всѣхъ такихъ трансцендентныхъ, которыя
имѣютъ вторую производную. Эта метода предполагаетъ только,
что корни отдѣлены, т. е. что неизвѣстный корень а, напримѣръ,
изолированъ въ нѣкоторомъ интервалѣ (я, Ь) (въ которомъ, слѣ-
довательно, кромѣ а, другихъ корней нѣтъ). Когда такой интер-
валъ найденъ, то, теоретически, по крайней мѣрѣ, весьма легко при-
близиться къ этому корню какъ угодно близко. Припомнимъ въ
самомъ дѣлѣ (§ 494, с), что /(а) и /(&) имѣютъ разные знаки,
выберемъ какое нибудь число с въ интервалѣ (а, Ъ), напримѣръ,
с=і(а-]-Ь) и вычислимъ /(с). Если случится, что у(с) = 0, то
это значитъ, что а = с *). Въ противномъ случаѣ, У(с) будетъ
имѣть знакъ числа /(а) или /(>). Въ первомъ случаѣ интервалъ
(а, Ь) можно будетъ замѣнить интерваломъ (с, Ь), во второмъ ин-
терваломъ (а, с). Искомый корень будетъ, слѣдовательно, заключенъ
въ интервалѣ, вдвое меньшемъ первоначальнаго. Продолжая такимъ
же образомъ, можемъ вычислить корень съ желаемой степенью точ-
ности. Но этотъ процессъ, теоретически столь простой, въ прило-
женіи на практикѣ утомителенъ, главнымъ образомъ потому, что
даетъ результаты не достаточно быстро приближающіеся къ иско-
мому корню. Тѣмъ не менѣе, имъ пользуются, чтобы съузить перво-
начальный интервалъ, прежде чѣмъ примѣнять какую-нибудь другую
методу приближенія, и для удобства вычисленія дѣлятъ первона-
чальный интервалъ не на двѣ, а на десять равныхъ частей.
1) См. НаІрНеп, 1. с., стр. 26, и СіеЬзсН, Ѵогіезші^еп ііЬег Сеотеігіе
(изданіе 1876 г.. I томъ, стр. 241).
*) Впрочемъ, если уравненіе освобождено отъ раціональныхъ корней,
и числа а и Ь, какъ это обыкновенно бываетъ, раціональны, то случай
/(с) = 0 не можетъ встрѣтиться.
523. Метода Ньютона—Фурье. Положимъ, что корень а
изолированъ въ интервалѣ (а, Ь), и что этотъ интервалъ достаточно
съуженъ, чтобы функція въ немъ сохраняла постоянный знакъ.
Знакъ этотъ будетъ одинаковъ со знакомъ либо /(а), либо /(Ь).
Въ дальнѣйшемъ подъ буквгою а мы будемъ подразумѣвать не
нижнюю границу интервала, а ту, на которой у и /" имѣютъ оди-
наковые знаки. Условившись въ этомъ, имѣемъ
/(а) =/(«) + (а - а)/'(а) + |(а - а)2/"(б),
гдѣ § нѣкоторое опредѣленное число между а и а. Такъ какъ
У(а) = 0, то послѣднее равенство даетъ
г. „ /(«) («-«)Ѵ"(Д
/'(«) 2 /'(а)
Слѣдовательно, принявъ за первое приближеніе число
/(л)
«і = а —
/ («)
будемъ имѣть
сі, — а =
(“ -
2 /'(а)’
откуда
а1 — а _ (а — «)2 /" С;)
п — «і ~ “2 ?(«) ’
Такъ какъ, по условію, /"© и /(а) одинаковыхъ знаковъ, то ви-
димъ, что ах—а одинаковаго знака съ а—т. е. что ах всегда
лежитъ между а и а. Вмѣстѣ съ тѣмъ замѣтимъ, что /(«[), какъ
и /(а), имѣетъ тотъ же знакъ, который /" сохраняетъ во всемъ
интервалѣ, такъ какъ между а и ах нѣтъ корней функціи По-
этому, получивъ число ах, лежащее ближе къ а, чѣмъ а, можемъ
тѣмъ же способомъ найти число а.,, затѣмъ число а3 и т. д. Каж-
дое изъ этихъ чиселъ будетъ ближе къ а, чѣмъ предыдущее. Всѣ
эти числа послѣдовательно вычисляются по формулѣ
а -а
«я+і-«и 7,(Яи)
Надо еще показать, что они приближаются къ предѣлу а. Для
этого сперва замѣтимъ, что разсматриваемыя числа навѣрно прибли-
жаются къ нѣкоторому предѣлу а', потому что они слѣдуютъ одно
за другимъ, постоянно убывая или постоянно возрастая. Если теперь
въ равенствѣ
Ж>) = («я - «я+і)/'(«и)
будемъ увеличивать п безпредѣльно, то получимъ /(а') = 0, такъ
какъ по сдѣланнымъ предположеніямъ у непрерывна, а конечна
въ данномъ интервалѣ. Отсюда и слѣдуетъ, что а’ = а, потому что
а единственный корень функціи у въ данномъ интервалѣ. Нако-
нецъ, чтобы представить въ надлежащемъ освѣщеніи практическую
пригодность методы Ньютона, надо еще показать быстроту при-
ближенія ап къ а. Съ этой цѣлью покажемъ, что числа
/(«і)> /(«г), Л«з),
не только стремятся къ нулю, но такъ составлены, что и отноше-
ніе каждаго изъ нихъ къ предыдущему стремится къ нулю. Въ са-
момъ дѣлѣ, при прилично выбранномъ между ап и и потому
стремящемся къ а, числѣ имѣемъ
Ж) = («„ - «и+і)/Х),
откуда _ Ж+1) _/ду Ж) /'(«„)’
и наконецъ, г Ж+1) „ 11Ш -77~Ѵ = 0.
потому что У'(Х) и _/'(я») стремятся къ общему предѣлу /'(а) ф 0.
Иными словами — можно сказать, что метода Ньютона даетъ значеніе
искомаго корня, какъ сумму ряда:
а — °і + (а2 ~ °і) + (яз ~’ яг) + (аі ~ аз) + • • • •
Этотъ рядъ сходится весьма быстро (§ 200, Ь). Дѣйствительно, от-
ношеніе общаго члена къ предыдущему равно
ая-|-2 ~ Яи—1 _ /(«„+1) /' («„)
я„+і - «„ ” Ж) 7Т«иуУ
и имѣетъ предѣломъ нуль, потому что первый множитель стремится
къ нулю, а второй къ 1
524. Другой рядъ чиселъ Ъ.г, Ь3, .. , быстро приближаю-
щихся къ искомому корню, и притомъ со стороны, противополож-
ной той, съ которой къ нему приближаются числа ах, а2,
!) О методѣ Ньютона — Фурье см. замѣтку ВагЬоих въ „Ыоиѵ. Апп.
сіе МаіЬ.“ (1869) и Роигеі (1890). О другихъ методахъ можно прочесть
у Реіегаеп: „ТЬеогіе <1ег а1§еЬгаІ8сѣеп О1еісНип§еп“ (3. АЬзсНпііі); Зеггеі:
„Соигз 6’А1§ёЬге зирёгіеиге” и въ интересной статьѣ ѣа§иегге въ „Моиѵ.
Аппаіез бе МаіН.“ 1880, стр. 161. Существуетъ также прекрасная метода
графическаго рѣшенія уравненій (см. Мото§гарНіе раг Маигісе
гі’Оса§пе).
можно составить съ помощью слѣдующаго соотношенія
, __ УК) - «ИЖ)
"+1 /Ю-/(Ьп)
Начиная съ числа Ь, получаемъ сперва число Ьи которое можно
представить въ одномъ изъ слѣдующихъ двухъ видовъ
положивъ
/(«) -АЬ) = (« - &)/'(с).
Замѣчая, что
ьі~ а _/(а) п
Ьі - Ь АЬ) ’
видимъ, что Ьг лежитъ внутри интервала (а, Ь). Замѣтивъ сказан-
ное выше, разсмотримъ теперь функцію
<₽ (*) = Ах) — /(«) - {х — а)А (с)
Эта функція обращается въ нуль при х = а и при х = Ъ', кромѣ
того, (р(Ьі) = /(Ьу). Ея производная
<АХ) =/'(*) —/'(с) = (* - а)/"{І)
имѣетъ знакъ, одинаковый съ х с, если у" О въ (а, Ь), и
противоположный знаку х — с, если у"<0. Отсюда слѣдуетъ, что
функція Г[(х) убываетъ въ части интервала (а, Ь) слѣва отъ с, и
возрастаетъ въ части (а, Ь), лежащей справа отъ с, а слѣдова-
тельно, <р(х) во всемъ интервалѣ отрицательна. Обратное будетъ во
второмъ случаѣ. Слѣдовательно, въ обоихъ случаяхъ <р(х) и у"
сохраняютъ противоположные знаки во всемъ интервалѣ Са, Ь).
Въ частности, при х — Ьх, /(&), какъ и /(Ь), имѣетъ знакъ, про-
тивоположный знаку У", а потому />, будетъ заключаться между Ъ
и а. Такъ какъ, далѣе, /(ал) и имѣютъ противоположные
знаки, то всѣ предыдущія заключенія можно примѣнить къ Ь2, ко-
торое окажется лежащимъ между Ьѵ и а, и т. д. Продолжая та-
кимъ образомъ, видимъ, что числа Ъг, Ь2, ... все ближе и
ближе подходятъ къ искомому корню. Пусть /3 есть предѣлъ этихъ
чиселъ. Изъ равенства
{/(«„) -АЬп)} Ь^ = Ьп/(ап) - апАЬп),
при безпредѣльно возрастающемъ п, получимъ (а — У)у(уЗ) = О.
Отсюда, либо /3 = а, либо У(/3) = 0, т. е. опять /3 = а. Наконецъ,
чтобы удостовѣриться въ быстротѣ приближенія, напишемъ
Аьп)-Аьп+1) = (Ьп - ьп+1)/'(Ѵп) =
гдѣ су и сп обозначаютъ числа, лежащія соотвѣтственно въ интер-
валахъ {Ьп, Ъп+і) и (ап, Ьп). Эти числа стремятся къ предѣлу а при
возрастаніи п до оо, а потому
Ж+і) / Ь'О) )'\ м
Ііш • у// \ = ІШ1 1 -'УгУ = О-
Ж) \ /%)/
525. Примѣчанія, а) Если, примѣняя методу Ньютона, мы да-
димъ себѣ трудъ вычислять и послѣдовательность чиселъ , Ь2, Ь3,
то получимъ ту выгоду, что въ каждый моментъ будемъ знать выс-
шій предѣлъ погрѣшности 4), которую дѣлаемъ, остановившись
на ап или Ьп- Этотъ предѣлъ равенъ абсолютной величинѣ раз-
ности ап — Ьп-
Ь) Метода Ньютона позволяетъ также отдѣлять корни. Глав-
ное затрудненіе, на которое можно натолкнуться, когда съ цѣлью
отдѣленія корней подставляютъ вмѣсто х послѣдовательныя частныя
значенія, какъ это обыкновенно и дѣлается (§ 522), состоитъ въ
слѣдующемъ: если на границахъ нѣкотораго интервала значенія
функціи имѣютъ одинаковые знаки, то остается неизвѣстнымъ (если
не примѣнена была теорема Штурма) *), существуютъ ли корни въ
этомъ интервалѣ, или нѣтъ. Это затрудненіе встрѣтится тогда, когда
функція обращается въ нуль для двухъ весьма близко лежащихъ
значеній а и /?, или когда она не обращается въ нуль, но прини-
маетъ весьма малыя по абсолютной величинѣ значенія. Въ первомъ
случаѣ метода Ньютона, примѣненная къ обѣимъ границамъ, должна
дать двѣ послѣдовательности чиселъ а(, а,, а3, ... и Ьх, Ъг, Ь3, . . .,
стремящихся соотвѣтственно къ а и /?. Если случится, что при нѣ-
которомъ значеніи п получается измѣненіе знака разности ап — Ъп,
или если ап или Ьп перестаютъ измѣняться въ одномъ направленіи,
то можно утверждать, что вь разсматриваемомъ интервалѣ нѣтъ
корня функціи у.
526. Геометрическая интерпретація. При помощи геоме-
трическихъ соображеній легко отдать себѣ отчетъ во всемъ ска-
занномъ выше (рис. 24). Представимъ себѣ кривую линію у =/{х)
и разсмотримъ дугу АВ, концы которой имѣютъ абсциссы а и Ь.
Вслѣдствіе сдѣланныхъ въ началѣ предположеній дуга эта на всемъ
своемъ протяженій вогнута въ одну и ту же сторону, какъ, напри-
мѣръ, на рис. 24. Другіе возможные случаи получаютъ свою гео-
метрическую интерпретацію посредствомъ зеркальнаго изображенія
данной фигуры по отношенію одной или обѣихъ осей. Крайнія
ординаты, ось Ох и дуга АВ образуютъ два криволинейныхъ уре-
і) Объ оцѣнкѣ этой погрѣшности см. Зеггеі „Сошъ б’А1§ёЬге 8ир.“,
и „Саісоіо" Сепоссѣі е Реапо (стр. 97).
”) Практически неудобная, какъ ведущая къ длиннымъ выкладкамъ.
угольника. Изъ двухъ крайнихъ касательныхъ только одна попа-
даетъ въ одинъ изъ этихъ треугольниковъ, а именно касательная
въ томъ концѣ дуги, ордината котораго имѣетъ знакъ одинаковый
съ У"'. Примѣняя методу Ньютона къ этому концу, получаемъ въ
качествѣ значенія ах именно абсциссу точки пересѣченія касатель-
ной съ осью Ох\ дѣйствительно, уравненіе этой касательной есть
у = (х — а)/'(а) + /(л), и при у = 0 находимъ х = ал ]). Число 6,
(какъ легко видѣть) есть абсцисса точки пересѣченія хорды АВ
съ Ох. Между этими точками дуга АВ пересѣкаетъ Ох въ точкѣ,
Рис. 24.
абсцисса которой равна искомому корню а. Получивъ точки ал и Ьі
мы приходимъ къ тому, чтобы искать этотъ корень на меньшей
дугѣ АіВі. Чтобы получить далѣе <т2 и Ь2, надо только построить
точки пересѣченія Ох съ касательною въ Ах и хордою А}ВІ и т. д.
Если крайнія ординаты были бы одинаковаго знака, и мы хотѣли
бы опредѣлить корни примѣненіемъ методы Ньютона къ обоимъ
концамъ интервала, какъ было указано въ концѣ предыдущаго па-
раграфа, то замѣтили бы слѣдующее: перемѣна знака разности
ап Ьп равносильна переходу точки пересѣченія крайнихъ каса-
тельныхъ съ одной стороны оси Ох на другую, въ чемъ легко убѣ-
диться. Въ концѣ концовъ касательныя такъ пересѣкутся, что по-
мѣшаютъ кривой пересѣчь ось ,ѵ-овъ и корня въ данномъ интер-
валѣ не будетъ.
527. Упражненія, а) Уравненіе х- — Чх — 5 = 0 имѣетъ только одинъ
вещественный корень. Онъ находится между 2 и 3. Дѣйствительно, /(2)= —1,
/(3) = 16. Раздѣляя интервалъ (2, 3) на десять равныхъ частей, находимъ
/(2, 1) = 0.661, поэтому верхнюю границу 3 можно замѣнить числомъ 2, 1,
Въ этихъ границахъ = 6х сохраняетъ знакъ + , поэтому, примѣняя ме-
тоду Ньютона, надо начинать съ верхней границы 2, 1. Мы имѣемъ
/(а) 0,061
" Яі /(Я1)" 11,23
= 0,00543
*) Обратно, эта геометрическая интерпретація даетъ снова формулу
Ньютона, и аналогичныя соображенія даютъ еще лучшія методы прибли-
женія. См.. напримѣръ, „Мёіап^ез Маіѣётаіідиез” раг Саіаіап. (т. 1, стр. 79).
откуда = 2,095 Продолжая такимъ образомъ, найдемъ послѣдовательно
а2 = 2,094552, а3 = 2,094551481542, а4 = 2,094551481542326591482386. Если
бы дошли до то получили бы корень съ сорока восемью вѣрными
десятичными знаками.
Ь) Если дано уравненіе л4 ф З.г-2 — 2,г ф 1 = 0, то теорема Декарта
показываетъ, что отрицательныхъ корней оно не имѣетъ, а положительныхъ
можетъ имѣть только два. Такъ какъ = 2х2 -ф 1 > 0 всегда, то методу
Ньютона можно приложить къ любому интервалу. Можно взять а = 0, по-
тому что /(0) = 1 имѣетъ знакъ Если бы положительные корни дѣйстви-
тельно существовали, то мы должны были бы получить возрастающую
послѣдовательность чиселъ, приближающихся къ меньшему корню. А между
тѣмъ мы найдемъ а1 = |, а2 ------дт- Здѣсь можемъ остановиться и утвер-
ждать, что данное уравненіе вещественныхъ корней не имѣетъ. Впрочемъ,
мы могли бы придти къ этому заключенію прямо, если бы замѣтили, что
трехчленъ За-2— 2х -ф 1. такъ же какъ и х\ при всякомъ вещественномъ х,
числа положительныя.
с) Уравненіе г3 — Зх2 — 1 х + 4 = 0, по теоремѣ Декарта, имѣетъ на-
вѣрно одинъ отрицательный корень, и можетъ имѣть два положительныхъ.
Что эти два корня дѣйствительно существуютъ и одинъ изъ нихъ лежитъ
между 0 и 1, показываетъ то обстоятельство, что /(0) = 4,/(1) = —5 —
числа разныхъ знаковъ. Вторая производная въ этомъ интервалѣ отрица-
тельна, такъ какъ %/" = х— 1, поэтому надо взять а = 1. Исходя изъ этого
значенія, по методѣ Ньютона быстро найдемъ искомый корень 0,486456474...х).
Другіе два корня лежатъ въ интервалахъ (—2, — 1) и (4, 5). Ихъ прибли-
женныя значенія будутъ: — 1,875... и 4,387...
б) Вычислить вещественные корни уравненія х3 — 8х- 1=0. И здѣсь
теорема Декарта указываетъ на безспорное существованіе единственнаго
положительнаго корня. Отрицательныхъ корней оно можетъ имѣть не болѣе
двухъ, и они, дѣйствительно, существуютъ, потому что при х = 0 и х= — 1
лѣвая часть получаетъ значенія разныхъ знаковъ. Метода Ньютона даетъ
значенія:
сц =- 2,7639 ... , а2 = — 0,1250 ..., а3 = 2,8887 ...
е) Чтобы рѣшить уравненіе соз х = х, замѣчаемъ прежде всего, что
число х, ему удовлетворяющее, необходимо должно заключаться въ интер-
валѣ (— 1, 1), въ которомъ всегда заключается соз .г. Въ этомъ интервалѣ
функція / = х — соз х постоянно возрастаетъ, потому что производная,
У' = 1 -ф зіп х, остается положительною. Такъ какъ, при х — 0, / < 0, а при
х = 1, / > 0, то данное уравненіе имѣетъ одинъ и только одинъ коре нь
между 0 и 1. Для вычисленія его по методѣ Ньютона надо взять а = 1,
потому что при л-= 1 функція / имѣетъ знакъ + , который /" = соз.ѵ
сохраняетъ во всемъ интервалѣ. Мы получимъ для значенія корня число
а = 0,73908512, т. е, а = 42°^0/47",25,
если примемъ во вниманіе, что дуга, равная единицѣ (радіусу), выраженная
въ градусахъ, равна ——, т. е. 57°17'44",806247 ...
I) Провести касательную къ цѣпной л иніи у = | (ех -ф е~х) черезъ
начало координатъ. Пусть у = кх будетъ уравненіе искомой касательной.
Вопросъ сводится къ опредѣленію к такимъ образомъ, чтобы уравненіе
а1 -- е х — 2кх имѣло двойной корень. Этотъ корень долженъ обращать въ
і) Воиг^еі. „І4оиѵ. Апп. бе Ма(Ь.“. 1869, стр. 21.
нуль производную отъ функціи ех + е х — 2 кх, т. е. удовлетворять уравне-
нію ех — ё~х ^Ік. Исключая к, находимъ, что этотъ корень долженъ удовле-
творять и уравненію
X л—х
е — е
іі АГ -|- 1
т. е. X = 11о8
По самой природѣ задачи можно сказать, что возможны только два корня, равные
по абсолютной величинѣ. Впрочемъ,легко видѣть, что функція/=х— 4-1о§ । >
отрицательная справа отъ 1,съ возрастаніемъ х становится и остается потомъ по-
ложительною. Дѣйствительно, ея производная > 0, при | х | > 1.
слѣдовательно, / постоянно возрастаетъ. Подстановка х = 1, 1 и .г = 1, 2
даетъ результаты разныхъ знаковъ, и методу Ньютона надо примѣнить къ
верхней границѣ а = 1, 2, гдѣ / и /" одинаковыхъ знаковъ. Мы найдемъ
а= 1.199678 ... Далѣе, перемножая уравненія
еа=к(а+1), е ~а к (а — 1),
найдемъ к=------—— = 1,50888... Теперь мы можемъ утверждать, что
/а2-1
уравненіе ех е~х = 2кх или вовсе не имѣетъ вещественныхъ корней либо
имѣетъ ихъ два, смотря по, тому, будетъ ли | к\ < или > 1,50888 ...
§1 Весьма интересно уравненіе іц х = х *), встрѣчающееся въ матема-
тической теоріи упругости свѣта и тепла. Здѣсь оказывается весьма полез-
нымъ графическое изображеніе, съ помощью котораго тотчасъ можно уви-
Рис. 25.
дѣть безчисленное множество корней этого уравненія и опредѣлить ихъ
(рис. 25). Корни даннаго уравненія, очевидно, равны абсциссамъ точекъ пере-
сѣченія линій у = х и у = іцх. Послѣдняя (называется тангентоидою)
состоитъ изъ безчисленнаго множества одинаковыхъ вѣтвей; каждая изъ
х) См. „ Алгебру •“ Бертрана (пер. Пирожкова), „Соигз ДАпаІузе"
Саіаіап (стр. 297), „Бе^опз б’Оріідие рѣузідие" Ѵегбеі (стр. 272).
нихъ пересѣкается съ прямою у — х въ одной точкѣ. Мы видимъ, что
можно ограничиться разсмотрѣніемъ однихъ положительныхъ корней, что
эти корни образуютъ рядъ, «-ый членъ котораго лежитъ между числами
я.т и (« + |) п, и тѣмъ ближе ко второму, чѣмъ больше п. Чтобы вычи-
слить корень а, лежащій въ интервалѣ (а — Ія, а), гдѣ а = (п + |)л;, есте-
ственно положить а = а — Ѳ, гдѣ 6 лежитъ между 0 и . Тогда уравненіе
|<г а = а переходитъ въ соі§ Ѳ = а или 0 = агс{§ — и потому будетъ
а = а — агсі§ — .
Если въ правой части вмѣсто а возьмемъ а > а, и положимъ
х 1
= а — агсг§ -- ,
то получимъ число, большее корня, но меньшее а, и потому лежащее ближе
къ а, чѣмъ а. Точно такъ же
х 1
а2 = а — агсі§ —
аі
будетъ больше а, но меньше а1 и т. д. Итакъ, числа а2, ..., составля-
емыя по формулѣ
х 1
«и+! = « - агсШ — ’
постоянно приближаются къ корню а, оставаясь больше а. Слѣдовательно,
они приближаются къ нѣкоторому предѣлу а'. Увеличивая въ предыдущемъ
равенствѣ и до сс, получимъ
, * 1
а' = а — агсгц
и потому а' = а, такъ какъ въ интервалѣ (а — - , а) заключается только
одинъ корень разсматриваемаго уравненія. Такимъ образомъ, не прибѣгая
къ методѣ Ньютона, мы можемъ воспользоваться составленною послѣдова-
тельностью чиселъ «!, а2, а3, ... чтобы безпредѣльно приближаться къ ис-
комому корню. Но приближеніе будетъ слишкомъ медленно. Дѣйствительно,
«.+, - «„ - -8 ~
откуда, при безконечномъ и, имѣемъ
Ііт -------- = Ііт —---------= —-—.
!+"»«»-! >+«-
Для ускоренія вычисленія придется обратиться къ методѣ Ньютона, начиная
съ одного изъ значеній, полученныхъ при выше приведенномъ вычисленіи.
При этомъ, однако, нельзя исходить изъ значенія а = (и + 1) л, потому что
при этомъ значеніи функція іі;.ѵ х обращается въ безконечность. Такъ
напримѣръ, если хотимъ вычислить наименьшій положительный корень,
то надо начать не съ а = 4 л, а. по крайней мѣрѣ, съ
а =
л - агсід
2
З.т
Тогда съ помощью методы Ньютона получимъ
ір а — а а 1 3 /, 4 \ ,3
1 а зіп- а а 2 \ 9 л-] 2 л
и т. д. Въ концѣ концовъ найдемъ
а = 4,493409457909 ... , т. е. а = 257°27/12",231224 . ..
Іі) Уравненіе л* = х замѣчательно еше тѣмъ, что возможно общее
его рѣшеніе, т. е. опредѣленіе формулы, выражающей всѣ его корни. Въ
самомъ дѣлѣ, уравненіе а = а — агс<§ — можно написать такъ (§ 332, сі):
__ 1 , 1__________1_
а а 3 а3 5 а-' 7 а7
Если въ правой части подставимъ а вмѣсто а и отбросимъ члены съ - не
ниже 3-ей степени, то получимъ а = а------------. Если теперь въ правой части
подставимъ а — - вмѣсто а и отбросимъ члены, начиная съ 5-ой степени
относительно — , то найдемъ
а
или
Подобнымъ образомъ найдемъ далѣе
или
Продолжая этотъ процессъ найдемъ, что корень аи разлагается въ слѣду-
ющій сходящійся рядъ
_ , ._________1_______________2______________13_______
а” " (« + і)л 3(и + 4)3л3 15 (к + 1)3.т>
_ 146 781
105(/г + Г)7л7 ' 315(7, -Ц '
Если и очень велико, (какъ это имѣемъ основаніе считать по теоріи диф-
фракціи свѣта) то можно съ достаточною точностью положить
«
п
і) При рѣшеніи уравненія зіпд; = ^л‘ также полезно примѣнить графи-
ческое изображеніе (рис. 26) и разсматривать корни уравненія, какъ абсциссы
общихъ точекъ синусоиды у = зіп х съ прямою у = кх. Если откинемъ
значеніе х — 0, то при к > 1, очевидно, уравненіе корней больше не имѣетъ.
Поэтому предположимъ к < 1 и представимъ себѣ даже, что к непрерывно
убываетъ, начиная отъ к = 1. Тогда прямая у = кх будетъ вращаться около
начала координатъ по направленію движенія часовой стрѣлки. При этомъ
эта прямая безконечное число разъ дѣлается касательною къ синусоидѣ.
Это случится каждый разъ, когда число к получаетъ такое значеніе, при
которомъ уравненія зіп х — кх = 0 и соз х — к = 0 (лѣвая часть котораго
есть производная лѣвой части перваго) имѣютъ общій корень. Исключеніе к
изъ этихъ уравненій тотчасъ даетъ і^х = х. Пусть ах, а2, а3, ... будутъ
положительные корни этого уравненія, и кп = соза„. Угловые коэффиціенты
касательныхъ къ синусоидѣ, проведенныхъ черезъ начало координатъ, рас-
положенные въ убывающемъ порядкѣ, будутъ 1, к2, кі, ке, к-о, к3, к±.
Когда к меньше кг, то прямая у = кх уже не пересѣчетъ синусоиды въ
точкѣ, не совпадающей съ началомъ координатъ. Слѣдовательно, уравненіе
зіп х = кх имѣетъ вещественные корни только при такихъ значеніяхъ к,
которыя меньше 1, но не меньше-------------, гдѣ а = 4,49 ... есть наи-
Ю + «2
меньшій положительный корень уравненія х = х. Если, напримѣръ, к > О
и лежитъ между двумя опредѣленными числами к2ѣ_2 и к2п, то уравненіе
имѣетъ 2и — I положительныхъ корней, т. е. уравненіе имѣетъ тогда
всего 4я - - 1 вещественныхъ корней. При к весьма маломъ число веще-
2
ственныхъ корней весьма близко къ . Наконецъ, замѣтимъ, что наимень-
шій положительный корень будетъ въ интервалѣ (0, л), если к > 0, и въ
интервалѣ (%, аь), если к < 0 Такъ какъ функція х - кх при х = л
равна — кл, т. е. имѣетъ тотъ же знакъ, какой /" = -- зіп х сохраняетъ въ
томъ или другомъ интервалѣ, то примѣняя методу Ньютона надо начинать
всегда съ а — л. Тогда найдемъ
И т. д. (XX.)
Алгебраическое рѣшеніе.
528. Кубическое уравненіе. Перейдемъ теперь къ алге-
браическому рѣшенію уравненій, т. е. попробуемъ найти явныя
алгебраическія выраженія корней уравненія въ коэффиціентахъ его,
предполагая послѣдніе произвольными. Для уравненій первой и вто-
рой степени вопросъ уже рѣшенъ въ элементарной Алгебрѣ. Раз-
смотримъ теперь уравненіе третьей степени вида:
(4) ^+Т>л- + 7=0.
Полагая х = и + ѵ, преобразуемъ его въ слѣдующее:
г/3 + ѵ3 + (3 и ѵ + р) (« 4- ѵ) + д = 0,
которое удовлетворяется, если одновременно положимъ
гг _і_ г/3 у = о, Зиѵ 4- р = О,
«3
т. е. гг3 г? = — <у, м3ѵ3 = — Мы видимъ, что іі3 и ѵ3 бу-
дутъ корнями квадратнаго уравненія
У2 + ЧУ — = о.
которое называется резольвентою даннаго. Поэтому будемъ имѣть
„з = _ х+і/Е7Д 1/ИТД
2І 4 27 2 Г 4 27
Каждое изъ неизвѣстныхъ и и ѵ имѣетъ, слѣдовательно, три зна-
ченія, такъ что для и -|- ѵ получилось бы всего девять значеній,
если бы не приняли во вниманіе, что надо взять лишь тѣ значенія
и и ѵ, которыхъ произведеніе иѵ = -Д-. Пусть будетъ а, Ь та-
О
кая пара значеній. Искомые корни кубическаго уравненія будутъ
тогда
= а Ь, = (оа 4" ы2Ь, «3 = ы'-а + ыІ>,
гдѣ а> есть мнимый корень кубическій изъ 1 (§ 394). Полученный
результатъ обыкновенно выражаютъ слѣдующею формулою
з /--------А з /--------у
извѣстною подъ именемъ формулы Тарталіа (Тагіа^ііа) *). Въ
сущности эта формула даетъ девять значеній х, удовлетворяющихъ
уравненію (4), если въ немъ р обозначаетъ любой кубическій ко-
рень изъ р\ Слѣдовательно, въ дѣйствительности формула Тарталіа
даетъ девять корней функціи
(х3 + рх + у)(х3 + арх Т </)(х3 + ы2рх + <?) = (Л3 + + /Зх3.
529. Формула Тарталіа имѣетъ тотъ недостатокъ, что пред-
ставляетъ корни уравненій въ мнимомъ видѣ (алгебраически не-
устранимомъ), именно въ томъ случаѣ, когда всѣ корни веще-
ственны, т. е. когда <0 (§ 508, Ь) (XXI). Другой недоста-
токъ состоитъ въ томъ, что она представляетъ раціональные корни
въ ирраціональномъ видѣ. Такъ напр., уравненіе х3 — х — 6 = 0
имѣетъ единственный вещественный корень 2; между тѣмъ формула
(5) дастъ для этого корня сложное выраженіе, которое приходится
вычислять при помощи логариѳмовъ, и потому на практикѣ полу-
чается число, весьма близкое къ 2, но не 2. Замѣчено х), что по-
добное обстоятельство всегда встрѣчается, если оперируемъ съ одними
раціональными числами, за исключеніемъ того случая, когда уравне-
ніе 3-ей степени имѣетъ видъ
х3 — (++ 2р)х2 + (2«,9 + ,+ + 3-/2)х — «(,+’ + 3/-') = 0
при раціональныхъ а, /?, у. Только въ этомъ случаѣ можно (при-
ведя уравненіе къ виду (4) способомъ, который будетъ указанъ
ниже) точно вычислить раціональный корень по формулѣ (5). Другіе
два корня, мнимые, обращаютъ въ нуль (х —/?)'2-)-З/2.
530. Послѣдній изъ упомянутыхъ недостатковъ не играетъ
роли на практикѣ, если уравненіе предварительно освобождено отъ
раціональныхъ корней. Что касается перваго, то его можно устра-
нить, приведя формулу (5) къ тригонометрическому виду. Полагая.
а гі* ІР*
---2 = $ С05 $ ’ зіп2 9
получаемъ по формулѣ Тарталіа
3 ___________ 3
х = У о (соз 6 г зіп 9) У о (соз 5 — / зіп 0).
Извѣстно (§ 393), что значенія двухъ радикаловъ будутъ соотвѣт-
ственно
О’’ соз
5 + 2Ѣ.Т . . 5Л-2/’.-т\ і/
----$------Н і 5іп----з ----I, о'Чсоз
! + 2^.і . 9 + 2
----=-------г зіп у
О-----------о
*) Эту формулу чаще называютъ формулою Кардана.
!) Е. Киттег: „МаФезіз” 1881, стр. 96, 184.
гдѣ X’ принимаетъ значенія 1, 2, 3. При этомъ надо оба выраженія
комбинировать попарно такъ, чтобы произведеніе ихъ было веще-
ственно а для этого надо давать числу /? одинаковыя значенія въ
томъ и другомь. Отсюда слѣдуетъ
х = 2 р3 соз
9 + 2 кл
3
такъ что три корня уравненія будутъ
-а и
= 2 О СО8 і
а2 = 2р'!соз + 120°
V / 5
«з = 2р соз — + 240°
\
Эти числа будутъ извѣстны, когда будутъ опредѣлены положитель-
ное число д и уголъ &. Такъ какъ, согласно положенному,
9 = /* СО8° = -2Ѵ
то о и 0 легко вычисляются съ помощью логариѳмовъ.
531. Общее кубическое уравненіе
(6) .Ѵ> — СуХ- + С.,Х — ся = 0
всегда приводится къ виду (4). Стоитъ только принять за новую не-
извѣстную
3 = А' — з С[ .
Тогда данное уравненіе обращается въ
? ~ і — Зс2)с - - (2 с/ — ^сѵс., 4- 27с3) = 0.
имѣющее требуемый видъ (4). Въ данномъ случаѣ
Р = з (сі“ Зс2) > 7 = (2 су’ 9 С] с2 -|- 27 с3).
слѣдовательно (§ 492, а ,
рл _ л
4 '27 427’
гдѣ, какъ всегда,
4 = — 27 с3- + 18 ^е.,^ — 4с/с3 — 4 с/ + с/с/.
Радикалы въ формулѣ Тарталіа будутъ равны
з__________________________
|\і, (2с/ - 9с7 с., + 27с3 ± 3 у ^Зл).
и корни уравненія (6) выражаются формулою
з
.ѵ = (,<.1 + ]//"|(2с13 — 9+ 27с3 + 3 У — -і.-/)
з
+ V і (2 У - 9 с2 -1- 27 ся - 3 У- 3 Л)).
532. Уравненія четвертой степени. Положимъ теперь, что
дано уравненіе
(7) л4 + р х- + у х + г = О
и попробуемъ ему удовлетворить, полагая х = и + ѵ -ф щ. Возвышая
это равенство въ квадратъ, получимъ
х2 — (и2 + ѵ2 4- №) — 2(ѵгѵ -|- ши -Т иѵ),
далѣе, снова возвышая въ квадратъ, получимъ
л.4 — 2 (и2 + ѵ2 -|- щ2) х2 -|- (н2 + ѵ2 ы2)2
= 4(ѵ2гѵ2 + гѵ2и2 -|- гі2ѵ2) 4- Зиѵых.
Отождествляя это уравненіе сь даннымъ, получаемъ
Отсюда слѣдуетъ (§ 465), что и2, ѵ2, и>2 будутъ корнями кубиче-
скаго уравненія
Ч , Р > , Р'1 — 4 Г д2
у + __Л- + __?,___ = о.
Это есть резольвента даннаго уравненія. Когда найдены корни
резольвенты, тогда для каждой изъ неизвѣстныхъ и, ѵ, ѵ», полу-
чимъ два значенія. Но только тѣ значенія и, ѵ, іѵ нужно комби-
нировать въ суммѣ и-{-ѵ-{-гѵ, которыхъ произведеніе равно
— У] *). Пусть а, Ь, с будутъ такія три значенія. Тогда искомые
4 корня будутъ
(і1 = л-|-й4-с, а — Ъ — с. «з = — и 4-1/ — с, аі=—а — Ь-\-с.
Замѣтимъ, что общее уравненіе 4-й степени всегда приводится къ
формѣ (7). Напишемъ общее уравненіе въ видѣ
л4 — с1х'і + с2х2 — сях Т с4 = О
и введемъ новую неизвѣстную
{ — X — )іс1.
*) Какъ видно изъ предыдущаго, гдѣ ѣиѵгс = — д.
Этимъ путемъ данное уравненіе приведется къ уравненію
Э - 1(3?!-’ - 8с2)^2 + ИЭС - 2е3)с + 11в(<'і% - 4еісз + 16Э) = 0
типа (7). Рѣшивъ его и прибавивъ ко всѣмъ корнямъ число -1( с,
получимъ корни даннаго уравненія.
533. Изложенныя въ §§ 528 и 532 методы для рѣшенія урав-
неній 3-ей и 4-ой степени даны были, первая Гюдде (НшИе), вто-
рая Эйлеромъ. Различными авторами даны были другія методы ')•
Здѣсь мы ограничимся изложеніемъ еще только двухъ методъ,
имѣющихъ то преимущество, что онѣ построены на общихъ прин-
ципахъ и даютъ возможность усмотрѣть путь, по которому надо
идти, чтобы попытаться найти способы для рѣшенія уравненій выс-
шихъ степеней. Одна изъ нихъ, метода Кейли (Сауіеу) основана
на теоріи формъ и пользуется соотношеніями между функціею / и
ея функціями Гессе и Якоби, Н, 0 и т. д. для приведенія у къ
каноническому виду и разложенія ея затѣмъ на линейные множи-
тели 2). Другая—метода Лагранжа основана на теоріи симметриче-
скихъ функцій и имѣетъ то преимущество, что ясно обнаруживаетъ
истинную причину невозможности общаго рѣшенія уравненій выше
4-ой степени въ радикалахъ.
534. Метода Кейли, а) Въ квадратномъ уравненіи
А- — С^Х + = О
разложеніе на линейные множители получается легко, если примемъ
за основаніе выраженіе функціи Гессе (§ 485)
Н =/'>- - 2/у",
приводящейся въ данномъ случаѣ къ постоянной с/2 — 4с2, вслѣд-
ствіе того, что /" == 2.ѵ— с,, /” = 2. Мы получаемъ тотчасъ
2//" = //2 - Н = (/' - ѴН) (/' + УН)
или
с- ісі і Н) (х 1у ну.
Слѣдовательно, корни уравненія, выражаются формулою
х — 4(сх 4 Ус{- — 4с2).
4) См. въ „ТНеогіе дег аІ^еЬгаізсІіеп С1еісйип§еп“ Реіегзеп (стр. 87
и слѣд.). Можно рекомендовать также, для ознакомленія съ этимъ предметомъ
.Этюды", опубликованные Тогіо 1 іиі въ .Аппаіі ді Маіетадса* (1858, стр. 310).
2) См. НаІрЬеп, „Моиѵ. Апп. де МаіЬ.“ 1885, стр. 17; СІеЬзсЬ:
„Ѵогіезип^еп ііЬег Оеотеігіе“ (т. 1, стр. 278, 307).
Ь) Для кубическаго уравненія
А'3 - с^х- <.,.*• — С,, = О
разсмотримъ функцію Гессе Н = 2/'2 - 3//" и функцію Якоби
0_=Н/' - %Н'/. Раньше было доказано (§ 490, с), что
(8) Н- - 2 0- - 54/-’Л.
Это тождество можно написать въ видѣ
О-’ + 27/-’. / = 4 №
или
(1 О + ;: /) з./) цд - 3/Г^зД) = (1/7)3.
Мы утверждаемъ теперь, что задача приведенія / къ канони-
ческому виду существенно не отличается отъ задачи раз-
ложенія Н на линейные множители. Въ самомъ дѣлѣ, поло-
жимъ, что это разложеніе выполнено, и пусть ах -|- а' и Ьх -|- Ь’
линейные множители функціи ^Н. Предыдущее тождество приво-
дитъ къ тому, чтобы положить
(9) 4-0 + І/Г- 3-1 = (ах + а'У, 4 О - 1/]= (А.ѵ + 5/
и вслѣдствіе этого
(10) 3./1 ’ЗЯ = (ах + а'У} — (1>х + Ь’)-,
что мы и хотѣли доказать. Поэтому, чтобы приложить методу
Кейли къ рѣшенію кубическаго уравненія, требуется только умѣть
составить лѣвыя части равенствъ (9), которыя должны сдѣлаться
полными кубами. Или короче, когда найдены корни а и функціи
77, то будемъ знать, чго /’=Л(х —а)3—— гдѣ А и /
постоянныя. Послѣ этого, отождествляя это выраженіе у съ перво-
начальнымъ, легко найдемъ коэффиціенты Л и /л и разложимъ / на
з з
линейные множители (х — — (х— /?)]/~/./.
с) Если желаемъ снова найти съ помощью методы Кейли об-
щую формулу для корней, данную въ § 531, то поступаемъ слѣду-
ющимъ образомъ. Составляя функцію Гессе, находимъ (§ 490, с)
(11) 1/7 = (<у — Зс2)(.ѵ - з с,)2 + |а(.ѵ - і^) + - Зс2)-’,
гдѣ для сокращенія положено о = 2с,3 — 9с]с2 + 27с3. Замѣтимъ,
что (§ 489) ах3 есть старшій членъ функціи О. Поэтому изъ (9)
слѣдуетъ
(12) + 4] ЗЛ = л». 4о — 4]'^37/= Лѣ
Съ другой стороны, положимъ
4 Н = [ а (,ѵ - ' с,) + а"] [ Ь (.ѵ - 4<’,) + Ь”],
такъ что, отождествляя съ (] 1), будемъ имѣть
а Ь = с}2 — 3 с.,, а'' Ь" = (1 , а Ь" + Ь а" = ' о.
\ о /
Этимъ соотношеніямъ удовлетворимъ, полагая а" = Ьг, Ь" = ^а'2.
Теперь формулѣ (10) можемъ дать видъ
(а3 — 53)/ = [л(х - і с,) + 3 дер - [Ь(х — 1^) + |«2р.
Отсюда видно тотчасъ, если раздѣлимъ на а3 — /)3, что / разлагается
на три линейныхъ множителя, изъ которыхъ одинъ есть частное
отъ дѣленія
[ Л (.V - .< <у) + 1 де] — Щх — <1) + 1 л-] = (л - Ь)(х — і сх) - і (л2 — 52)
на а — Ь, т. е. .ѵ — (с,-|-аі). Второй есть частное отъ дѣ-
ленія .
[л(х — !<?]) + ’ де] — о[7>(х — ' г,) + Зл2]
= (а - (> 1>) (х — 1 сО — .] н (а2 — о'2 Іі2)
на а— (ѳЬ, т. е. .г --- (Г| <’>а + (’і'2Ь). Наконецъ, третій полу-
чимъ, раздѣливъ
[ л (,т — .( <у) + -IЬ2 ] — <)-[ Ь (х — ' сх) + і а2 ]
= (л — ш-Ь)(х — ( сО — .] и2 (а2 — сЯЯ)
на а— «>*Ь. Онъ равенъ .ѵ— (с, иЬ). Слѣдовательно,
./' = [ѵ - :’(С1 + П + &)][Л- - ’ (<?! + на + га26)][.ѵ — 1(<т + +«*)]
На основаніи (12) это значитъ, что корни у' заключаются въ
формулѣ
з з
Л- = 1 и +/-Ил + зУ- зУ +/У“3] - зУ .
Н) Для уравненія четвертой степени, вмѣсто (8) надо взять
соотношеніе
4Я!І - 302 = 64(3/77 - 8//)/2,
или
3 О2 = Я3 - 3/Я(4/)2 + 27(4/р.
Но мы видѣли уже (§ 491, Ь), что это соотношеніе разбивается
на болѣе простыя, если введемъ квадратные множители /),У2, /3
Якобіевой функціи О = бу'1Д/3. Тогда будемъ имѣть
^“4;,/. 3/,-. //-4?,/=3/Л Я-4/з/=3/з2.
гдѣ , -д, у3 корни функціи й(х) = д3 — 3/д--|-2/. Если послѣ
рѣшенія уравненія Д = 0 составимъ биквадратичныя функціи
Н — 4 /у\ то онѣ должны оказаться полными квадратами и,
если извлечемъ изъ нихъ корни, то и получимъ квадратичные мно-
жители функціи Затѣмъ можно найти и линейные множители
функціи у, которая пропорціональна /а2—/32 = (Д/з)- (Д—/3).
Достаточно даже знать одинъ только корень функціи й, и огра-
ничиться составленіемъ Н—которая сдѣлается равною ЗД2.
Извлеченіе корня квадратнаго дастъ результатъ, который независимо
отъ произвольнаго численнаго множителя приводится къ виду
(ах + а) (Ьх + Ь'). Тогда другія двѣ функціи Д2 и Д необходимо
должны быть вида (ах ф- а'}1 + (Ъх + Ь')2, потому что (§ 491, а)
корни ихъ гармонически отдѣляютъ корни функціи у,, и сами между
собою образуютъ гармоническую систему четырехъ элементовъ.
Такимъ путемъ мы получимъ приведеніе Д2 —Д2, а слѣдовательно,
и у къ каноническому виду
/= /.(ах Т а')1 Ц- + а')2,1>х + 6')- + ѵ(Ъх + Ь')*,
послѣ чего уравненіе у= 0 рѣшается, какъ квадратное *).
535. Метода Лагранжа, а) Въ квадратномъ уравненіи
извѣстны двѣ симметрическія функціи отъ корней, а именно
а1 + а>-~ с1> = С2.
Ясно, что если хотимь отличить одинъ корень отъ другого, то
надо знать какую нибудь несимметрическую функцію этихъ кор-
ней. Въ данномъ случаѣ мы имѣемъ (§ 474) знакоперемѣнную
функцію а, — а2, квадратъ которой есть дискриминантъ с2—4с2 дан-
наго уравненія. Слѣдовательно, корни уравненія получаются черезъ
сложеніе и вычитаніе изъ соотношеній
«і + а2 = сг, а2 — о2 = У г/
и потому имѣютъ значенія
“1 = 4(С1 + У = І (с2 У 3).
Ь) Точно такъ же для кубическаго уравненія недостаточно
знать только три симметрическія функціи
«1 У = с2. а2а2 -|- + сіі а2 = а1а2а3 = с3,
чтобы различить между собою корни уравненія. Но мы уже замѣтили
(§ 480), что функція (а1 + оа., -ф- оі2а3)3 имѣетъ только два раз-
личныхъ значенія
А = («і + + 6)2 «зЛ = (“і + °2а2 + н«3)3.
*) Относительно
которыя мы можемъ разсматривать, какъ корни квадратнаго уравне-
нія съ коэффиціентами, выражающимися раціонально въ коэффиціен-
тахъ даннаго уравненія. Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ
(«! + о «9 + <->-сь,) + («! 4- (-І1 «з 4- о«3) = 2 ау — а2 — ая,
(ах + <э<т2 + ы2а3) 4- с/щ + <о-а.2 + о«з) = <э2(2<т3 — <4 — а2),
(<4 + + ю2а3) + и2 («4 4- 4- ыіъ,) = м(2с2 — о3 — а1).
Отсюда, черезь умноженіе, получимъ /А+Аг = °, если, какъ
прежде, о обозначаетъ коэффиціентъ старшаго члена функціи ().
Точно такъ же можно было бы составить А и /?2 и затѣмъ ре-
зольвенту даннаго уравненія. Но для вычисленія и полезнѣе
вычислить /?( — ,32. Съ этой цѣлью напишемъ
(«; + <оа2 + и2а3) — («х + <о2а2 4- юа3) — (<л — «2)(«2 — «3),
(<!] (•> а2 + со- «3) — со (ах + о2 а2 + со «3) = (1 — ы) — «г) >
(«х + () а2 4- іэ2а3) — 4~ «2 «2 + иа3) = (<’>2 — I) («3 — ах).
Отсюда, замѣчая еще, что (со — со2)2 (1 --со)2 (а)2 — I)2, т. е. дискри-
минантъ функціи х3 — 1, равенъ — 27, черезь умноженіе найдемъ
А - А - З Г-43 І.
Слѣдовательно,
А = Но + 3 V- ЗЛ), А = і(о - 3V-АГф.
Теперь, чтобы найти корни а,, а2, а3 остается рѣшить систему
линейныхъ уравненій
«і 4" «2 + о3 = Су, ах 4- со «2 + со- с3 = у7А <'-у 4- и2 а2 + со а-л = | А-
Окончательно, получимъ
3 3
аі — з (сі + іСц 4” V А) і
3 3 з з _
(І2 = Т (С1 + СО2 І.іу 4~ <> V ,с2) • 0.3 = •! (С1 + 'О 4- СО2 У.Зз) •
с) Въ случаѣ уравненія четвертой степени мы можемъ раз-
смотрѣть функцію а2О34-а|«ѵ имѣющую только три значенія
•^і = «>«з + сіуііу, ,>’2 = а3<іу 4- «аЯі, А = ау а2 4- «3«4-
Поищемъ то уравненіе третьей степени, которое опредѣляется зна-
ченіями этихъ трехъ корней. Легкое вычисленіе даетъ
Л1 4- .0-2 + ,^3 = е-2' 4* лз71 4- 010-2 = Г4С3 -- 4і'у,
01^2-К -- с2 -4 /'4<4 -4г2г4.
Слѣдовательно, резольвента будетъ
(13) V3 - с2.у2 + (с1с-й — 4сДу - (с3- -г -- 4с2с4) = 0.
Если знаемъ одинъ его корень, напр., Д1, то будемъ имѣть
-р «4 ' (:2«4 = С4,
такъ что «2«3 и (іІа4 будутъ корнями уравненія .ѵ2 — + г4 = 0.
Обозначая корни этого уравненія черезь а и Ь, находимъ, слѣдо-
вательно, а2а, = а, а1аі = Ь. Замѣчая, что
(«2 + «з) «1«4 Т ("-1 + О4)«2О3 = с3.
имѣемъ два сотношенія, которымъ удовлетворяютъ а.2 а2 и
а. + а., а именно
(«2 + «;>) + (а4 4- а4) = 5(<!2 -і- о:!) л("і -- <ц) -= о.
Отсюда слѣдуетъ, что
Слѣдовательно, квадратныя уравненія
асх— <'3 „ с3--Ьс1
х~-----л- + а = 0, х- - —----------х 4- о = 0
а — о а о
и дадутъ всѣ четыре корня даннаго уравненія. Иными словами,
имѣемъ тождество, которое легко провѣрить:
(14) .О - <4.ѵ3 + с.,х- - С3.ѵ + с4
а) Вмѣсто а2а3-|-а|а1 можно было бы выбрать функцію
- а.2 — а3 -|- а,. Хотя эта функція имѣетъ 6 различныхь значе-
ній, такъ что для ея опредѣленія надо будетъ рѣшить уравненіе
шестой степени, но эти шесть значеній дѣлятся на три пары рав-
ныхъ по величинѣ и противоположныхъ по знаку чиселъ; поэтому
резольвента будетъ содержать только четныя степени неизвѣстной и
приводится къ уравненію третьей степени. Шесть значеній разсма-
триваемой функціи будутъ
71 = («1 + Щ) - (П2 + О;.;),
72 = (о2 + О4) - («3 + 7з = (<!3 + «О - (о4 + С!2)
и ——‘/3. Новую резольвенту легко получить изъ той,
которая дана была формулою (13), если воспользоваться зависи-
мостями между числами и 7. Дѣйствительно, замѣчая, что
7г = (“1 + «2 + + ГІч)2 — 4 (,С?2 + ,?3) = — 4 с2 + ‘1/А И т. д.,
мы видимъ, что неизвѣстная 2 въ новой резольвентѣ связана съ не-
извѣстною у резольвенты (13) равенствомъ г2 — с*— 4с2 + 4у.
Подставляя выраженіе у черезъ з въ уравненіе (13), получаемъ
(15) г6 — (Зіу2 — + (3 — ІбсрГг + 16 с2- + 16с(с3 — 64с4)г‘2
— (<?43 — 4 с4 с2 + 8 г)2 = 0.
Найдя корни 71; */2, у3 этого уравненія и присоединяя равенство-
а, + а2 + а3 4- «( = с, къ тремъ равенствамъ, выражающимъ корни
7 черезъ а, получимъ систему четырехъ линейныхъ уравненій, изъ
которыхъ и найдемъ значенія корней уравненія четвертой степени
а2 = ’г (6'і + 7і — 7а — 7:7 • и2 = т (гі 71 + 7а 7з) •
<!з = і(сі ’ ' 7і — 7г + 7;>). «і ~ ‘ (с> + 7і + 7г + 7з) •
536. Примѣчанія, а) Метода Лангранжа, при надлежащемъ
выборѣ функціи корней, которая должна удовпегвэрять резольвентѣ,
приводитъ раціональнымъ путемъ къ тѣмъ искусственнымъ пріемамъ,
съ помощью которыхъ Гюдде, Феррари, Декартъ, Эйлеръ и другіе
рѣшили уравненія третьей и четвертой степени. Метода Кейли такъ
же находится въ тѣсной связи съ методою Лагранжа. Въ этомъ не-
трудно убѣдиться, замѣтивъ, что резольвенты въ у и г, соотвѣт-
ствующія уравненію четвертой степени не отличаются суще-
ственно отъ резольвенты 22 = 0. Дѣйствительно, лѣвыя части
уравненій (13) и (15) получаются изъ О(д-), если положимъ соот-
вѣтственно
.ѵ == — Зу, л' = I, (3сг- — 8с2) — ;
Далѣе, легко показать, что разложеніе /(.ѵ) на множители по фор-
мулѣ (14) равносильно тому, которое даетъ метода Кейли. Если по-
ложимъ, какъ на то наводитъ эта метода
/(.V) = (7.Л'2 т- (І.Ѵ -Г г)- — (/.' х- + (К.Ѵ + І1')2.
то найдемъ, что должно быть
/? — -= 1. г + г' = (7. + /.') <і, г — г' = (7. — 7/) Ь.
и вмѣстѣ съ тѣмъ
а — Ну -*-1 .г2 — 4с4). Ь = -1 (у — 1 у- — 4с4),
гдѣ у корень резольвенты (13). Каждому изъ трехъ корней соот-
вѣтствуетъ одинъ изъ трехъ видовъ разложенія у на два квадрат-
ныхъ множителя. Метода Феррари сводитъ въ сущности къ тому,
что берутъ Л = 1, >/ = 0.
Ь) Лагранжъ примѣнилъ свою методу ко всякому алгебраиче-
скому уравненію 1) и научилъ составлять резольвенту для урав-
нія какой угодно степени. Общія уравненія первыхъ четырехъ сте-
пеней могутъ быть рѣшены въ радикалахъ потому, что для нихъ это
вспомогательное уравненіе (резольвента) будетъ степени низшей, чѣмъ
данное уравненіе. Это благопріятное обстоятельство уже не встрѣчается
въ уравненіяхъ выше четвертой степени. Такъ, напр., рѣшеніе урав-
ненія 5-ой степени всегда можетъ быть сведено къ рѣшенію уравне-
нія 4-ой степени 2), но коэффиціенты этого уравненія зависятъ отъ
рѣшенія уравненія 6-ой степени, и метода теряетъ реальное значеніе.
Мы вскорѣ увидимъ, что этотъ фактъ зависитъ не отъ несовершенства
методы (которая съ пользою можетъ быть приложена при рѣшеніи
уравненій нѣкоторыхъ особыхъ классовъ), а отъ недостаточности ал-
гебраическихъ символовъ для явнаго изображенія корней алгебраиче-
скихъ уравненій въ функціяхъ отъ коэффиціентовъ. Для такого
изображенія въ конечномъ видѣ необходимы новые символы. Эр-
миту (Неггпііе) и Бріоски (ВгіозсНі) удалось, напримѣръ, дать общее
рѣшеніе уравненій пятой и шестой степени, при помощи нѣкоторыхъ
трансцендентныхъ функцій. Это не исключаетъ, однако, возможности,
какъ показалъ Клейнъ (Кіеіп), въ томъ случаѣ, когда рѣшеніе въ ра-
дикалахъ невозможно, найти рѣшеніе при помощи чисто алге-
браическихъ средствъ, но принадлежащихъ уже къ области высшей
Алгебры.
с) Всматриваясь внимательно въ рѣшеніе уравненій первыхъ че-
тырехъ степеней, можно видѣть, что успѣхъ методы Лагранжа осно-
ванъ [именно на возможности (срав. §§ 480, 481) построить такія
функціи отъ корней уравненія, которыя сами имѣютъ нѣсколько
различныхъ значеній, а степени ихъ только одно или два. Такъ, при
рѣшеніи квадратнаго уравненія мы были приведены къ разсмотрѣ-
нію функціи а, — а2, имѣющей два значенія, а квадратъ которой
есть симметрическая функція Д. При рѣшеніи кубическаго уравне-
нія мы разсматривали функцію ах -ф а>а.2 -ф ю2а3, кубъ которой
есть функція, имѣющая два различныхъ значенія ' (о ф 3/- 3 4).
Наконецъ, при рѣшеніи уравненія 4-ой степени, вмѣсто того,
чтобы рѣшать уравненіе (13), могли бы прямо составлять функцію
-ф -ф т. е.
а.2а3 + -і- «2аі) + а2(а1а2 + а3а4),
1) Мемуары Берлинской Академій. 1771. См. также работу Вандер-
монда въ мемуарахъ Парижской Академіи за тотъ же годъ.
2) Объ этомъ см. работу ВгіозсНі въ „Аппаіі (Іі Маіептаііса” (2-я
серія, т. I стр. 222).
кубъ которой имѣетъ два значенія У>р/2 — Это прямо слѣ-
дуетъ изъ того, что дискриминанты чиселъ и чиселъ а равны
между собою, а функція о для нихъ равна 2у.
537. Упражненія, а) Рѣшить уравненіе +! 4- 6х — 7 =0. Здѣсь
имѣемъ (§ 528)
. _ к _ 7 ?2 />3 _ 81
6, <7 7’ 4 +27 4“'
Корни резольвенты будутъ слѣдовательно,
а3 = у + 4 = 8, ѵя = -I- — 4 = - 1-
Поэтому можно положить и = 2, 2 и, 2а’, ѵ = — 1. — а>, — о2. Эти значенія
надо комбинировать попарно такъ, чтобы всегда было иѵ = — 2. Слѣдова-
тельно, корни даннаго уравненія будутъ 2 — 1, 2<о — а2, 2<+ — а, или
сц = 1, а.2 = - | (1 + 3 І^-^З), а3 = — |(1 — 3 К^)-
Ь) Половину шара раздѣлить на двѣ равновеликія части
плоскостью, параллельною основанію. Принимая радіусъ за единицу
и обозначая черезъ х разстояніе между основаніемъ и искомою плоскостью,
находимъ, что должно быть
*ЪХ 11 । /1 О\1 । •> О і 1 А
-X- I 1 + (1 - -V2)] + к Х Я ’ Т- е- Л"’ ~ 3-Ѵ +1 = 0.
Л 0 0
Здѣсь (§ 530) р = — 3, ц= слѣдовательно, о = 1, соз 9 = — 9 = 120°.
Корни, слѣдовательно, будутъ
«! = 2 соз 40°, а2 = 2 соз 160°, ая = 2 соз 280°.
Условіямъ задачи отвѣчаетъ только тоть корень, который лежитъ между 0
и 1. Это есть
2 соз 280° =2 соз 80° = 0,3472964 ...
с) Рѣшить уравненіе 4х:і -|- 9 л- 4- 18 л- + 17 = 0 по методѣ
Кейли1) Вводя прилично выбранные численные коэффиціенты во избѣжа-
ніе дробей, найдемъ Л = — 27 1600,
Н= -90(3.+4-ІОх-1-3), 0= 270 (11+1 — 9л2 63 л-— 67;.
Затѣмъ легко видѣть, что выраженіе
— (11 х3 — 9 л- — 63.ѵ — 67) + 4 (4х3 4- 9.+ 4- 18х 4- 17)
имѣетъ значенія 5(х-|-3)3 и —(Зл’4-1)3. Слѣдовательно, данное уравненіе
можетъ быть написано въ видѣ
5(х + 3)34-(3х4- I)3 = О,
въ которомъ оно непосредственно и рѣшается. Впрочемъ, достаточно, не
х) Заішоп „Аі^ёЬге зир“. стр. 264.
составляя функціи О, замѣтить, что функція Н имѣетъ корни —3 и —
чтобы лѣвую часть уравненія можно было написать въ видѣ
/. (а + З)3 + .<( (За + 1 )3.
Отождествляя съ даннымъ, находимъ
Л + 27/і = 4, 27 Л + /і = 17,
откуда А = 5,«.
б) Рѣшить уравненіе1) а4 + 8а3 — 12а-’ + 104а— 20 = 0. Вычи-
сляемъ инваріанты I = — 4 12 • 54, Д = 27 32 189, и находимъ затѣмъ
(§ 534, б) резольвенту а3 + 65 а + 7 • 6° = 0. Тотчасъ видимъ, что это урав-
неніе имѣетъ корень — 62. Съ другой стороны, имѣемъ
Н = 6 48 (а4 - 10а3 12а- - 4.ѵ + 106)
и знаемъ, что биквадратичная функція
2 (А1 — 10а3 - 12а- - 4а + 106) + (л4 + 8а3 - 12а-’ + 104а - 20)
должна быть полнымъ квадратомъ. Дѣйствительно, она равна утроенному
квадрату функціи а'2 — 2а — 8, которая имѣетъ корни — 2 и 4. Слѣдова-
тельно, лѣвая часть даннаго уравненія должна приводиться къ виду
7. (а + 2)4 + іі (а + 2)2 (а -- 4;2 + г (,ѵ — 4)4.
Отождествляя, находимъ 7. = — Зѵ, іі = - 2г, и такъ какъ
З:2 1=(® + I) (Зс- 1),
то уравненіе принимаетъ видъ
[(а + 2)2 + (а - 4)2] [3(.г + 2)2 - (а - 4)2] = 0,
и корни его получатся изъ системы линейныхъ уравненій
2: (а + 2) - Г = а - 4, (а + 2) ) '3 = а - 4 ;
значенія корней будутъ
= 1 + 3 «з = - 5 - 3 ] г3,
<і2 = 1 - 3 V - 1, «. = -54-3 уз.
Метода Лагранжа (§ 535, с) привела бы къ резольвентѣ
д.з + 3.4 ѵ2 4- 57 • 42_у — 134 43 = 0.
имѣющей корень 8. Затѣмъ нужно будетъ рѣшить уравненіе
а2 - 8а - 20 = 0,
котораго корни будутъ а = 10, Ь = — 2. Данное уравненіе разобьется, слѣ-
довательно, на слѣдующія два
а2 - 2.г 4- 10 = 0, а2 4- 10а - - 2 = 0.
е) Иногда встрѣчаются уравненія выше четвертой степени, приводя-
щіяся къ уравненіямъ первыхъ четырехъ степеней, благодаря той или дру-
гой особенности. Мы разсмотримъ здѣсь, въ частности, такъ называ-
емыя, возвратныя уравненія, степень которыхъ можетъ быть понижена
по крайней мѣрѣ вдвое. Эти уравненія имѣютъ корни попарно взаимно-
обратные и — и потому не мѣняются отъ замѣны х на^_. Слѣдовательно
коэффиціенты ихъ таковы, что
<7д СІ] (І2 ап
ап ап—1 ап—2 ао
откуда «, = ап_і или аі = —яп_(, для і = 1, 2, 3, ... п. Предполагая, что
уравненіе освобождено отъ корней -ф 1 или —1, если оно таковые имѣетъ,
видимъ, что оно непремѣнно будетъ вида
я^х^ -ф я^х~ѵ ф -ф яѵ_1хѵ~^ ф аѵхѵ -ф яѵ_^хѵ 1 -ф -ф а(і = О
и степень его можетъ быть понижена до ѵ. Дѣйствительно, полагая
х!‘ ф х~р — Ѣр’ можемъ его написать такъ
а0іѵ + -1 + а2^ѵ~2 + ' '' + аѵ = О-
Но выраженія § функціи отъ х-\-х~ * = у, весьма легко вычисляются, такъ
какъ имѣемъ тождественно
(хр + (х -ф — = л^1 -|--------хр~1 4--------—,
\ х?) \ х/ Ф'"1
т- е. = у — ср_±. Имѣя с0 = 2, §1=_у, послѣдовательно найдемъ
&=4'2 —2, 23=.ф -Зѵ, =уі - 4ф 4- 2, & =у5 - 5у* + 5у, ...
Такимъ образомъ данное уравненіе приводится къ виду
&оуѵ + 51.У11 1 4“ 2 + • • + = 0.
Когда его рѣшимъ, то каждое значеніе у даетъ два значенія для х, вы-
числяемыя по формулѣ х = і(у ± У у2 — 4). Замѣтимъ, наконецъ, что
вычисленіе функцій | можно еще ускорить, пользуясь тождествомъ
4- ср ч. Разность цѣлесообразно брать по возможности
малою и пользоваться формулами = су,а — 2, с2у,.н = -у.
і) Какъ примѣръ возвратнаго уравненія, разсмотримъ извѣстное
уравненіе (§ 484, Ь)
/ р,\ / /3\ / /3\
(16) Я6 - ЗЛ54-(б —^4 Л4- (7- 2-у) '-'!4- 6 — — 1 Я2 — ЗЛ 4- 1;= 0,
давшее значенія ангармоническаго отношенія корней биквадратнаго уравне-
нія, когда извѣстны инваріанты I и }, а слѣдовательно, и х/ = (73 — /2).
Полагая Я -ф у = х -ф 1, такъ что
Л
Л2 4-1 = д:2 + 2л:-1, ЛЗ-ф-^ = х8-фЗіг2-2,
приведемъ предложенное уравненіе къ слѣдующему
/з /з
Формулы тригонометрическаго рѣшенія (§ 530) даютъ
такъ что
Слѣдовательно,
СОЗ 0 = — о
О а
зіп-Ѳ = 1 - ^0 3 = 1 -
4
27
4/3
/3’
соз
СОЗ 0 ’
-3^, .г3=_3^,
соз 0 соз 0
если для сокращенія обозначимъ черезъ 91; Ѳ2, Ѳ3 углы > 0, 10 + 120°,
1 0 + 240°. Для каждаго изъ этихъ угловъ имѣемъ
. 1 __ 3 соз 0 3 + соі2 9
Л / соз 3 0“ 3 — соі2 0 ’
откуда получается
] '3 -- соі 0
/3 + соі 0
соз (0 + 120°)
соз (0 Т 120°)
Слѣдовательно, корни уравненія (16)
ній 0, которыя опредѣляются тѣмъ,
зависятъ единственно отъ трехъ значе-
. • /3
что абсолютный инваріантъ приво-
дится къ виду
5ІП2^зд ' Шесть корней уравненія (16) равны, слѣдовательно,
соз Ѳ2 соз 03 соз Ѳ3
СОЗ Ѳ3 ’ СОЗ 0, ’ СОЗ 0!
соз Ѳх соз Ѳх
соз Ѳ3 ’ соз Ѳ2
соз Ѳ2
соз Ѳх
Иными словами (срав. § 417), имѣемъ
(а2а3 + а4) соз Ѳ4 Ц- (а3а1 + а2а4) соз Ѳ2 + («] а2 + а3а4) соз 03 = О,
Полученныя значенія всѣ вещественны, если предположимъ 0 вещественнымъ.
Это дѣлается яснымъ изъ того, что въ этомъ предположеніи будемъ имѣть
А > 0. Поэтому (§ 513, Ь), если коэффиціенты вещественны, то либо всѣ
корни биквадратнаго уравненія вещественны, либо всѣ мнимые, и въ по-
слѣднемъ случаѣ, такъ какъ они сопряженные, лежатъ на одной окруж-
ности круга, а потому (§ 417) ангармоническое ихъ отношеніе въ обоихъ
случаяхъ вещественно.
Теорема Руффини.
538. Переходя къ вопросу объ алгебраическомъ рѣшеніи урав-
неній какой угодно степени, изслѣдуемъ сперва, не должно ли об-
щее выраженіе корня, какъ функціи коэффиціентовъ, имѣть какую
нибудь спеціальную форму. Съ этою цѣлью нужно прежде всего
сообщить нѣкоторыя свѣдѣнія о способѣ классифицировать извѣст-
нымъ образомъ явныя алгебраическія функціи. Всѣ данныя въ из-
вѣстномъ вопросѣ величины и всѣ другія, получаемыя изъ данныхъ
путемъ сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія и возвышенія въ
степень съ цѣлымъ показателемъ образуютъ нѣкоторую, такъ на-
зываемую область раціональности (КаііопаІІШзЬегеісЬ). Она об-
ладаетъ тѣмъ свойствомъ, что всякая раціональная функція отъ со-
держащихся въ ней величинъ даетъ результатъ, принадлежащій той
же области. Чтобы выйти изъ этой области, оставаясь, однако, въ
области алгебраическихъ функцій, нужно выполнить возвышеніе
въ степень съ раціональнымъ дробнымъ показателемъ. Тогда по-
лучимъ результатъ, вообще говоря, уже не принадлежащій данной
области раціональности. Впрочемъ, возвышеніе въ степень съ пока-
зателемъ —, гдѣ р цѣлое положительное, и 7] цѣлое число, равно-
сильно раціональному дѣйствію, возвышенію въ степень «у, сопро-
вождаемому извлеченіемъ корня степени р, являющимся единствен-
нымъ ирраціональнымъ дѣйствіемъ, способнымъ ввести ирраціональ-
ности. Кромѣ того, если разложимъ р на простые множители
р _
а, 0, 7, равные или неравные, то операція у разобьется на
« _ 7 _
операціи у , у , у , ..., которыя уже не разлагаются дальше
р _
на подобныя же операціи. Слѣдовательно, у съ простымъ по-
казателемъ р есть простая или элементарная операція изъ числа
тѣхъ, которыя могутъ ввести ирраціональности.
539. Предпославъ сказанное выше, присоединимъ теперь къ
данной области раціональности тѣ результаты, которые получатся,
когда надъ величинами, въ ней содержащимися, будетъ произведено
простое извлеченіе корня. Затѣмъ надъ всѣми величинами расши-
ренной такимъ образомъ области произведемъ раціональныя опера-
ціи и результаты ихъ причислимъ къ той же области. Такимъ об-
разомъ построена будетъ новая область раціональности, обладающая,
какъ и первая, тѣмъ свойствомъ, что всякая раціональная функція
отъ величинъ, йъ ней содержащихся, будетъ заключаться въ той же
области и только новое извлеченіе корня можетъ дать результатъ,
лежащій внѣ ея. Тѣ функціи, которыя можно разсматривать, какъ ра-
ціональныя, только послѣ сдѣланнаго расширенія первоначальной об-
ласти, называются ирраціональными перваго порядка. Въ ней про-
стая ирраціональная операція является примѣненною только къ ра-
ціональнымъ функціямъ. Подобнымъ же образомъ переходятъ къ
расширенію второй области раціональности и образуютъ третью, въ
которой новыя ирраціональныя функціи являются, какъ раціональ-
ныя, и называются ирраціональными второго порядка. Въ нихъ про-
стая ирраціональная операція примѣнена къ раціональнымъ функ-
ціямъ и къ ирраціональнымъ перваго порядка, и къ послѣднимъ
обязательно. Продолжая такимъ образомъ, доходимъ до явныхъ
алгебраическихъ функцій /г-аго порядка, въ которыхъ встрѣчается,
по крайней мѣрѣ, одна простая ирраціональная операція, произве-
денная надъ функціею порядка — 1. Число ѵ такихъ радикаловъ
въ функціи и порядка называется степенью этой функціи. По-
нятно, что при этомъ число ѵ считается приведеннымъ къ наимень-
шему значенію въ томъ смыслѣ, что если какой нибудь изъ радика-
ловъ порядка /л выражается раціонально черезъ другіе, то это его
выраженіе и считается подставленнымъ въ выраженіе функціи и.
Окончательно въ и остаются только такіе радикалы порядка /г, ко-
торые помощью раціональныхъ операцій не сводятся одинъ къ дру-
гому. Поэтому, если мы выдѣлимъ въ выраженіи и одинъ изъ та-
кихъ радикаловъ, то можно написать
р _
(17) « = /(Уѵ, ѵх. ѵ2, ѵ3, ...),
гдѣ р простое число, / символъ раціональной функціи, ѵ функція
порядка /т — 1, между тѣмъ, какъ ѵх, ѵ2, ц3, ... функціи порядка
не выше р, и степени не больше ѵ — 1.
540. Лемма I. Всякая алгебраическая функція порядка
іл и степени ѵ можетъ быть представлена въ видѣ
р _ р _ р _
(18) и = и0 + ихУѵ + и2(Уѵ)2 ф • • + и^іУѵ)рУ
гдѣ р простое число, и0, м,, и2, ... алгебраическія функціи
порядка не выше іі и степени не выше ѵ— 1, между тѣмъ
л
какъ ѵ функція (до— 1)-го порядка, и Уѵ не выражается
раціонально въ и0, м1, м2,... Кромѣ того, всегда можно
принять их — 1.
Такъ какъ всякая раціональная функція отъ одной или нѣ-
сколькихъ перемѣнныхъ можетъ быть выражена, какъ частное отъ
дѣленія одной цѣлой функціи на другую, то выраженіе (17) можно
написать въ видѣ
р __ р _
и = <Ро+ФіУѵ + чУУ’")2 +
р _ р _
ѵо + Ѵі V ѵ + ’МѴ"'*’)'2 +
гдѣ <р и ір цѣлыя функціи отъ ѵ,, Ѵ2, ѵ3,... Если обозначимъ для
сокращенія
<р(х) = Фо + у>(х) = і/’о + Ѵіх + 1Р2х2 + ,
то можемъ еще написать
(19)
и
гдѣ (о есть мнимый корень степени р изъ 1. Извѣстно, что
р _ р _ р _ р _
Уѵ, ш2Уѵ, 1 Уѵ
будутъ всѣ р корней уравненія хр = ѵ. Отсюда слѣдуетъ, что
функція
р _ р _ р _ р
гѵ = ѵ(Уг’)ѵ(ш V ѵ)ц>(ш-У г1) • • яр(ы!>~1 ѵ~),
цѣлая и симметрическая отъ корней уравненія хр — ѵ = 0, выразится
цѣлою ирраціональною функціею отъ коэффиціентовъ этого уравне-
нія, т. е. отъ ѵ. Такимъ образомъ, въ функцію гѵ уже не войдетъ
р _
]Лг'. Эта функція гѵ будетъ, слѣдовательно, цѣлая функція отъ Ѵі
(г = 1, 2, 3, ...) и отъ г). Что касается числителя въ выраженіи
(19), то онъ не будетъ симметрическою функціею отъ корней урав-
ненія хр — ѵ = 0. Но если представимъ себѣ, что выполнены умно-
женія тѣхъ р полиномовъ, изъ которыхъ онъ составленъ, то ясно,
что его можно -изобразить въ видѣ цѣлой функціи, которая, будучи
р _
расположена по степенямъ ]/У представится такъ
р _ р _ .
У ѵ 4- гс2(Уг’)2 + ®3(Уг')3 + .
Здѣсь а’о, , гѵг,... будутъ цѣлыя функціи отъ ѵі, т. е. алге-
браическія функціи, удовлетворяющія тѣмъ же условіямъ, какъ и гѵ.
Поэтому и частныя отъ дѣленія ихъ на гѵ будутъ такія же функ-
ціи, только не цѣлыя функціи относительно ѵ,(і =1, 2, 3, ...), а
лишь раціональныя. Обозначая эти частныя черезъ и0, и,, и2, ...,
получимъ формулу
а ѵ _ _
и = и0 + і^У ѵ + И.У.У ѵ)2 ф г/3'(У г»)3 + •
Въ этой формулѣ всегда можно ограничиться первыми р чле-
нами. Дѣйствительно, такъ какъ
р а _ р _ р__ р\
(У г’)р = ѵ, (Уг'р’ѣ1 = ѵУ'Ѵ. (У ѵ)р+2 = ѵ(У ѵ)2,
то члены и
можно соединить соотвѣт-
р _ р _
ственно с;ь членами иа, и^Уѵ. ... При всемъ этомъ Уѵ остается
не выражающимся раціонально черезъ Ѵі, а слѣдовательно, и черезъ
гіі. Остается показать, что всегда можно считать = 1, при чемъ,
конечно, функцію ѵ надо будетъ замѣнить другою функціею іѵ ,
удовлетворяющею тѣмъ же условіямъ, какъ и у. Въ самомъ дѣлѣ,
замѣтимъ, что всѣ функціи г/,, иг, м3, ... не могутъ быть равны
нулю, иначе и привелось бы къ и0 и не было бы степени ѵ, какъ
мы предположили. Пусть и,- одна изъ этихъ функцій, не равная
нулю. Положимъ и' = игрѵг', тогда функціи
р _ р р _ р
будутъ отличаться только множителями, аналогичными функціямъ //,,
отъ функцій
({Ч)'-, (г?л (ггг,.... (ІЧ'Г п'-
а слѣдовательно, и отъ функцій
р р р />
УУ- () (Ѵт)3.....{.
если не обращать вниманія на порядокъ, въ которомъ онѣ напи-
саны. Въ частности, для прилично выбраннаго к, для котораго
кг = рд + 1, будемъ имѣть
р _ р
(] К’)* = "/р7 1
р __
Слѣдовательно, \кѵ не выражается черезъ прежнія или новыя функ-
і' _
ціи и;, такъ какъ въ противномъ случаѣ и У ѵ выразился бы въ
нихъ раціонально. Если теперь представимъ себѣ, что вь выраженіе
(18) введена функція гѵ вмѣсто у, то ясно, что получится выраже-
р__ р
ніе того же вида, но вмѣсто члена и,- ] ѵг войдетъ У ш съ коэф-
фиціентомъ 1.
541. Лемма II г). Положимъ, что р простое число, а
ц,, функціи, принадлежащія нѣкоторой опредѣ-
ленной области раціональности; положимъ, далѣе, что функ-
ція ѵ принадлежитъ той же области, но корни степени р
изъ ѵ ей не принадлежатъ. Тогда, если одновременно удо-
влетворяются уравненія
(А) ѵ — х1' = 0. г0 + г/] х + ѵ.,х2 + • + г’р_ = 0.
то необходимо будемъ имѣть
г-0 = 0, = 0.......................= 0.
х) Она принадлежитъ Абелю (АЬеІ), „Оеиѵгез сотріёіез”, і. II, стр. 196.
Въ самомъ дѣлѣ, допустимъ обратное, т. е.. что не всѣ
г>0, Ѵі , . •, Ѵр—і равны нулю. Тогда можно искать общаго наиболь-
шаго дѣлителя двухъ вышеприведенныхъ полиномовъ. Пусть этотъ
дѣлитель будетъ степени г, гдѣ г, очевидно, лежитъ между 1 и
р — 1, включая и границы *). Приравнивая нулю этого общаго наи-
большаго дѣлителя, получимъ уравненіе
гс'д а.', а' И- 4- • 4~ а' 0.
корни котораго будутъ въ то же время корнями уравненія хр— ѵ = 0.
Поэтому, если одинъ изъ этихъ корней есть х0, то другіе будутъ
о)ах0, сріх0, Сі)7х0,..., гдѣ о мнимый корень степени р изъ 1.
Если положимъ <т = а-|-/9 + 7 + то, какъ извѣстно, произведеніе
корней будетъ равно
I Іі’д = () Л‘о .
Замѣтимъ теперь, что р по условію простое число, а потому и
взаимно-простое съ г, на основаніи извѣстной теоремы ариѳме-
тики, остатки отъ дѣленія р, 2р, 3/>, ..., (г— \)р на г будутъ, неза-
висимо отъ порядка, равны 1, 2, 3, ..., г—1. Слѣдовательно, всегда
существуетъ такое кратное отъ р, которое при дѣленіи на г дастъ
остатокъ 1. Пусть оно будетъ /г/>, такъ что кр=дг-\-\. Изъ
того, что (— а'п)’ = ы(‘ахокр~1, слѣдуетъ
''"•То = (-= г'Л-
Лѣвая часть есть корень степени р изъ ѵ. Правая принадлежитъ къ
данной области раціональности, потому что къ ней принадлежитъ
и ѵк и а’о, такъ какъ при разысканіи общаго наибольшаго дѣли-
теля производятся только раціональныя операціи. Поэтому одинъ
изъ корней степени р изъ ѵ принадлежалъ бы данной области ра-
ціональности, противно предположенію. Итакъ, допущеніе, что не
всѣ 7?0, ѵ.}, . , равны нулю, невозможно.
542. Лемма ІП. Алгебраическія функціи коэффиціен-
товъ, дающія общее выраженіе корней алгебраическаго
уравненія, разрѣшимаго въ радикалахъ, раціонально выра-
жаются въ корняхъ уравненія.
На основаніи первой леммы, явная алгебраическая функція,
удовлетворяющая уравненію
апхп 4- а]хп~1 4- «злг” -2 4- + <іп = 0.
всегда можетъ быть представлена въ видѣ
(20) х = и0+ | 'г’ 4- 4- • • 4- (/ ѵ)^ \
*) Такъ какъ уравненія (Л) имѣютъ, по крайней мѣрѣ, одинъ общій
корень, по предположенію.
гдѣ р, ѵ и всѣ удовлетворяютъ много разъ уже упомянутымъ
условіямъ. Подставимъ это выраженіе х въ данное уравненіе и за-
мѣтимъ, что х\ х3, ... имѣютъ тотъ же видъ, какъ и х. Тогда
получимъ
р _ р _ р _
(21) У ѵ + ѵ2(Уѵ)2 + • • • + г!р_, (уѵ)р ' = 0,
гдѣ ѵ0, ѵ1г ѵг, ... изображаютъ раціональныя функціи отъ ѵ и
р
Такъ какъ Уѵ не выражается раціонально черезъ и,, а слѣдова-
тельно, и черезъ ѵ,, то по второй леммѣ должны имѣть ѵ0 = 0,
г»і= 0, ..., ц»—! = 0. Отсюда вытекаетъ, что равенство (21) будетъ
у _
имѣть мѣсто и при замѣнѣ Уѵ его различными значеніями, а слѣ-
довательно, функція (20) будетъ удовлетворять данному уравненію
р __
и тогда, когда мы въ ней подставимъ по очереди вмѣсто Уѵ зна-
р _ р _
ченія ыУѵ, (і>2Уѵ,... Такимъ образомъ получаются р корней
даннаго уравненія
р р р _
аі= ио т Уѵ + из(У + + ир іУ У
р _ р _ р _
(22) + “р-У^УУУ
ѵ у р _
ар = ио + иУ^Уѵ Ѣ и2ы“р—2(ф У + • • + нр_У1’ х) Уі’)''" !-
Всѣ эти корни различны между собою. Дѣйствительно, равенство
двухъ изъ нихъ дало бы соотношеніе вида (21), съ коэффиціен-
тами, не равными нулю, что невозможно. Затѣмъ, замѣчая, что м,
всегда можно считать равнымъ единицѣ, изъ уравненій (22) найдемъ
выраженіе Уѵ, какъ функціи отъ р корней:
р _ і
У ѵ = — («! + 'о''’1 и2 + о/-2 а3 + • • • + ы а ).
і>
Итакъ, если будемъ считать извѣстными корни изъ единицы, то
р
Уѵ выразится раціонально въ корняхъ а,, аа, ..., ар. То же самое
можно сказать объ м0, и,, и2, ..., потому что система (22) дастъ
„ _ рТ—1 а1 + ыР~Га2 "Ь У~2ГаЗ + • • ' .
Г (сіх + 4- <14 •/
Поэтому, если обозначимъ черезъ у какую угодно изъ функцій,
входящихъ въ выраженіе (20), то можно написать
У = <%, ап),
гдѣ / есть символъ раціональной операціи, производимой надъ
всѣми корнями даннаго уравненія или надъ нѣкоторыми изъ нихъ.
Эта функція отъ п перемѣнныхъ можетъ имѣть нѣсколько, по-
ложимъ т значеній (при подстановкахъ, производимыхъ надъ
а2, . .., аи). Пусть эти т значеній будутъ /?2, ..., /?от. Они бу-
дутъ корнями уравненія степени т, которое должно удовлетворяться
выраженіемъ вида
9 _ Ч _ і __
У = + ѵ2(Уіѵ)2
гдѣ всѣ у, будутъ функціи того же порядка, какъ функція у, или
низшаго, и навѣрно низшей степени, чѣмъ у. Въ то же время ко-
эффиціенты уравненія, которому удовлетворяетъ у, будутъ цѣлыя
симметрическія функціи отъ значеній /?, и потому будутъ раціональ-
ныя функціи отъ коэффиціентовъ даннаго уравненія. Отсюда, по-
ч ___________________________________________________
вторяя вышеприведенныя заключенія, выведемъ, что ]У гѵ и всѣ Ѵі бу-
дутъ раціональныя функціи отъ /?<, а слѣдовательно, и отъ а,. Те-
V__
перь ]' іѵ и всѣ Ѵі, съ своей стороны, выразятся при помощи фор-
мулы (18) алгебраическими функціями низшей степени, о которыхъ
опять докажемъ, что онѣ будутъ раціонально выражаться въ а,.
Продолжая такимъ образомъ, мы дойдемъ, наконецъ, (исключая ра-
дикалы одинъ за другимъ) до раціональныхъ функцій отъ коэффи-
ціентовъ даннаго уравненія, которыя навѣрно будутъ раціональными
и даже симметрическими функціями отъ корней даннаго уравненія.
543. Чтобы отдать себѣ полный отчетъ въ значеніи только
что доказанной, чрезвычайно важной леммы, полезно разсмотрѣть,
что происходитъ въ тѣхъ уравненіяхъ, которыя мы умѣемъ рѣшать
въ радикалахъ. Замѣтимъ, напр., что въ формулѣ, дающей рѣшенія
квадратнаго уравненія, радикалъ выражаетъ разность корней. Точно
также радикалы въ формулѣ Тарталіа для кубическаго уравненія
выражаются раціонально въ корняхъ уравненія, а именно:
1 / у У— 3
V Т + 27 = "18“ (сІ2 ” ” “2)’
3
Въ общемъ случаѣ фактъ, установленный леммою III, обнаруживается
вполнѣ ясно методою Лагранжа.
544. Теорема Руффини ’). Рѣшеніе въ радикалахъ алге-
браическаго уравненія выше четвертой степени невоз-
можно.
р
Пусть и есть радикалъ перваго порядка, входящій въ об-
щее выраженіе корня даннаго уравненія. Этотъ радикалъ долженъ
выражаться раціонально въ корняхъ уравненія, и по возвышеніи въ
степень р долженъ дать функцію и, раціональную относительно ко-
эффиціентовъ, а потому симметрическую относительно корней. На
р _
основаніи § 478, можемъ утверждать, что не будучи симмет-
рическимъ относительно корней, долженъ быть знакоперемѣн-
ною функціею, и поэтому р = 2. Произведя раціональныя операціи
р _
надъ /и и раціональными функціями отъ коэффиціентовъ, полу-
чимъ функцію ѵ, имѣющую два значенія, изъ которой, если выра-
женіе корня уравненія еще не составилось, надо извлечь корень
ч
степени <у, гдѣ д простое число. Функція ирраціональная
второго порядка относительно коэффиціентовъ, будетъ тѣмъ не
менѣе раціональна относительно корней даннаго уравненія По воз-
вышеніи въ степень д она должна дать функцію, имѣющую только
два значенія, хотя сама имѣетъ больше двухъ. А это невозможно
(§ 479), если число перемѣнныхъ (т. е. корней уравненія) больше
четырехъ. Слѣдовательно, общему уравненію степени выше четвер-
той нельзя удовлетворить явною алгебраическою функціею отъ ко-
эффиціентовъ. (XXII).
545. Примѣчаніе. Теорема Руффини и предшествующія ей
соображенія, независимо отъ того, что избавляютъ, насъ отъ без-
плодныхъ попытокъ разысканія рѣшенія въ радикалахъ общихъ
уравненій 5-ой, 6-ой,... степеней, даютъ намъ указанія на изыска-
ніе формулъ для рѣшенія уравненій первыхъ четырехъ степеней.
Прежде всего мы видѣли, что первый радикалъ, являющійся при
разысканіи корня, если вычисленія производятся по порядку, будетъ
квадратный корень, извлекаемый изъ дискриминанта уравненія. Вто-
рой будетъ кубическимъ корнемъ. Дѣйствительно, мы знаемъ, что
при 4 существуютъ раціональныя функціи, имѣющія два зна-
ченія и дающія по возвышеніи въ степень д опять функціи, имѣ-
ющія два значенія. Но извѣстно также (§ 479), что д должно быть
равно 3. Поэтому, если хотимь, напр., рѣшить кубическое уравненіе,
то должны положить
3 _ 3
х = + « 1^2-
Э «Рейеззіопі іпіогпо деііа аоіихіопе деііе едиахіопі аІ^еЬгаісііе §епе-
га!і“ (Модепа, 1813).
гдѣ ѵ необходимо должно быть вида <р -|- ір , а <р и ір раціо-
нальныя функціи коэффиціентовъ. Подставляя въ уравненіе и при-
поминая вторую лемму, получаемъ соотношенія
ѵ + іѵ‘ѵ- = — ^с1с2 + 27с3), иѵ = ' (сг — Зс2),
откуда, если положимъ
273 = 4(^2 — Зс2)3 - (2^3 - + 27 с3)2,
получаются значенія ѵ и г/Зц2:
^(2^3 - + 27 г.,) ±
Такимъ образомъ, снова приходимъ къ общей формулѣ для корня,
найденной раньше другимъ путемъ.
Примѣчанія къ пятой книгѣ.
I (къ § 442).
Разсматривая опредѣлитель § 441, изображающій результантъ
уравненія 4-ой степени (п = 4) и уравненія 2-ой степени (т = 2),
и мысленно обобщая его на случай какихъ угодно т и п, при
п т, безъ труда убѣждаемся, что элементъ, стоящій въ 1-ой
строкѣ на 4-омъ мѣстѣ, имѣетъ сумму указателей, т. е. вѣсъ
элементъ, стоящій на /.,-омъ мѣстѣ во 2-ой строкѣ, имѣетъ вѣсъ
4+1, и т. д., наконецъ элементъ, стоящій на гт-омъ мѣстѣ въ
яг-ой строкѣ имѣетъ вѣсъ іт + т — 1. Наоборотъ, элементъ,
стоящій на гИ!_|_і-омъ мѣстѣ въ т + 1-ой строкѣ, имѣетъ вѣсъ
— 1, и т. д. Такимъ путемъ сосчитанъ вѣсъ какого угодно
члена результанта Безу, и аналогично этому и результанта Эйлера,
при чемъ еще приняты во вниманіе формулы
Надо, впрочемъ, замѣтить, что теорема о вѣсѣ результанта, дока-
занная въ § 442, проще можетъ быть доказана послѣ того, какъ
будетъ извѣстна метода составленія результанта при помощи сим-
метрическихъ функцій (см. § 472). Это доказательство можно про-
честь въ сочиненіи О. Заітоп „Ье^опз сі’Аі^ёЬге зирёгіеиге“ ігадиііз
раг О. СЬетеп, 2-ое изд. 1890. стр. 100.
II (къ § 448 а).
Если бы функціи Ф и Ф были написаны въ видѣ
Ф (х) — ацХ1 + «і-ѵ’’ 1 + + о.ѵ—іх + и,
Ф (х) = .V” + Лх‘~ + • • • + +_2Х + Д,
то вѣсъ результанта былъ бы
А теперь коэффиціенты
— ѵ(ѵ—1), по теоремѣ § 442.
а0, аі, а2, аѵ замѣнены коэффиціентами
1, Ь2, Ъ±, ..., 621І, и коэффиціенты
/?0, •••> <3„_і коэффиціентами
Ь1, 63, ь-л,ь2ѵ_1,
т. е. у всѣхъ коэффиціентовъ указатели удвоены, а у послѣднихъ ѵ
еще, кромѣ того, увеличены на одну единицу. Поэтому сумма ука-
зателей каждаго члена результанта, т. е. его вѣсъ сдѣлается равнымъ
2ѵ (ѵі) -ф ѵ.
III (къ § 452).
Для поясненія разсмотримъ случай двухъ уравненій 4-ой сте-
пени (п = т = 4), который разсматривается и въ § 453, и най-
демъ условія, необходимыя и достаточныя, чтобы /" и § имѣли
общаго дѣлителя не ниже 3-ей степени (/ = 3).
/ = аол4 -ф -ф а2х2 -ф а3х фя4, § = Фі-''1 -ф 4- Ь2х2 -ф Ь3х -ф 64.
Результантомъ Эйлера будетъ опредѣлитель 8-го порядка
7? = ЯО Я1 я2 Я3 ООО 0 «0 а} а2 а3 а4 0 0 0 0 а0 «1 а2 а3 0 0 0 0 а0 аѵ а2 а3 аі Ьо Ьі Ь2 Ь3 Ьі 0 0 0 0 Ьо Ьі Ь2 Ь3 Ьі 0 0 0 0 Ьо Ьі Ь2 Ь-л Ьі 0 0 0 0 Ьо Ьі Ь2 Ьъ Ьі
Напишемъ тождество /^3—§/3 = 0, гдѣ /3=а0л:-фа,, ^з =&>*+&,
и приравнивая нулю коэффиціенты при х'-, х\ х\ х2, х, 1 въ этомъ
тождествѣ, получимъ слѣдующую систему уравненій съ неизвѣстными
°о, аіі /А •
ао + О “о — 0 сц = О
~Ф «о По — п4 = О
а2 4“ а1 А. — ^2 а0 — °1 = О
а3 А) + я2 @1 *3 “о — ^2 а1 = О
аі & + аз А — Ьі а0 — А3 аі = О
О -ф а, (Зі — 0 «о — аі — 0,
Матрисса этой системы, независимо отъ знака, и по замѣнѣ
строкъ столбцами (которая была
будетъ
6?о 67^ 67.)
0 а
Ьо ьх ь2
О 1>0 ь.
сдѣлана и при составленіи /?),
«з аі 0
бТр 67$ СІ^
ья ьі о
Ь3 Ьі
и получается, какъ видимъ, выкидываніемъ изъ 2? послѣднихъ двухъ
(і—1) строкъ изъ первыхъ 4-хъ, и послѣднихъ двухъ изъ всѣхъ
строкъ, при чемъ еще выкидываются два столбца нулей. Старшіе
опредѣлители /?2, Т?2П), 7?2|2), этой матриссы, согласно сказанному
въ § 452, будутъ
«() Я1 а2 а3 «0 «і а.) «4 ао а1 «2 0
0 «о а1 «2 , Л','1'- 0 «о а3 , а2(2>= 0 ао а1 67^
*о К Ьз ь2 64 Ьз Ь1 Ь., 0
0 ьп (>1 (>2 0 Ьз 0 Ьо Ь1 Ьі
Если /?2 = 0, /?2(1) = 0, 7?2(2) = 0, то /" и § будутъ имѣть общаго
дѣлителя, не ниже 3-ей степени.
IV (къ § 462).
Упомянутое въ
простѣйшія имѣетъ
Математики, поэтому
концѣ
важныя
параграфа разложеніе дроби
приложенія въ различныхъ
/И
АХ)
на
частяхъ
считаемъ полезнымъ нѣсколько подробнѣе на
немъ остановиться. Все дѣло основано на одной важной теоремѣ,
извѣстной изъ элементарной Алгебры и вытекающей изъ алгориѳма
Эвклида для разысканія общаго наибольшаго дѣлителя двухъ цѣ-
лыхъ функцій. Теорема эта состоитъ въ слѣдующемъ:
Если X и У двѣ взаимно простыя цѣлыя функціи, то
всегда можно найти другія двѣ цѣлыя функціи А и В та-
кимъ образомъ, чтобы тождественно удовлетворялось ра-
венство
(1)
АХ+ ВѴ = 1.
(См., напримѣръ, Веберъ и Вельштейнъ, стр. 227, тамъ же указанъ
и способъ нахожденія функцій А и В).
Замѣтимъ, между прочимъ, что опредѣленія функцій А и В
х
приводится къ разложенію -р въ непрерывную дробь и нахожде-
нію послѣдней подходящей дроби. Положимъ теперь, что дана
дробь
_/'(х) Л. , ч Т 8 I
, гдѣ (х) = у 7 V • • •
при чемъ предполагается, что полиномъ у(х) взаимно простой съ
^(х), т. е. дробь несократима, степень у (.г) ниже степени ^(х), и
полиномы д, ір ... простые одинъ относительно другого. Поло-
жимъ, для сокращенія, дг = Р, /^ір* ... = 0. Такъ какъ Р и
взаимно простые полиномы, то можно найти функціи А и В та-
кимъ образомъ, чтобы
ар + = 1.
Отсюда
1 _ В А_
рд~ р+ д'
/(х) /(х) в/^.
РО Р ф Р ’•
или, выдѣляя въ правой части цѣлыя части Е(х) и А'Дх'), находимъ
2^3 — Е(х\ I Г (д.4 I /1(Х) | Л(-ѵ)
Нх) (Х’ + Л1(ЛН +/У’
а такъ каі , по условію, степень /(х) ниже степени §{х), то
Е(х) + Ех (х) = 0, и получится
/(х) = Л(х) /2(х) _
^(х) (рг /8У
гдѣ въ дробяхъ правой части степени числителей ниже степеней
знаменателей, а, какъ легко видѣть, дроби эти несократимы. Со
второю дробью въ правой части можно поступить такъ же, какъ
съ данною, и т. д. Такимъ путемъ придемъ къ разложенію
/(х) = /і(х) /У (х) //2)(х)
^(х) <рг(х) /(х) у(х) ’
гдѣ всѣ числители въ правой части будутъ степеней, низшихъ,
чѣмъ знаменатели. Разсматривая любую изъ этихъ дробей, напри-
мѣръ, первую, положимъ, что степень у, (х) выше степени дс(х),
хотя и ниже степени дг (х). Раздѣливъ у (х) на д (х), полу-
чимъ (х) = до (х) • 4-/?, гдѣ Р степени ниже д. Отсюда
/і (х) В ; б
<рг(х) <рг(х) <[:г1(.х)
Если будетъ еще высшей степени, чѣмъ <р (х), то раздѣливъ
О на (х), получимъ О = <р (х) 4- 7?,, гдѣ 7?, степени ниже <р, и
/1(Ф = + X] + & _
Фг(х) (рт (х) фг~\х} <рг~2(х)
Продолжая такимъ путемъ, непремѣнно дойдемъ до такого <2,, ко-
торое будетъ степени ниже др, и получимъ разложеніе того вида,
которое дано въ § 462.
V (къ § 464, ф.
Здѣсь авторъ прибѣгаетъ къ измѣненію порядка суммированія
въ случаѣ безконечныхъ рядовъ. Этотъ пріемъ—при опредѣленныхъ
условіяхъ — оправдывается слѣдующей теоремой, принадлежащей
Коши (СаисЬу).
X
Теорема. Если ряды [ ат, п | (при и = 1, 2, 3,...) и
тп—1
ОС со
/, 2 I ат, п । сходящіеся, то будутъ сходящимися и ряды
п—1 т—1
со со со со эо со
2а»і, « («= і, 2...), уат, 2*у»= ]>2- • • •)>21 ат,»
п/~1 п—1 пі—1 и—I т—1 п—1
при чемъ
X X
п— 1 т=1
Изъ условія теоремы, согласно § 245, вытекаетъ сходимость
X X X
рядовъ 2?ат, П {П = і, 2, . ..) -Цат) п, а также существо-
т~1 п—1 I
ваніе соотношенія
х а> т=іл п—ѵ
Такъ какъ каждое изъ ряда неотрицательныхъ слагаемыхъ не
превосходитъ ихъ суммы, то
-п—ѵ т—^ п=ѵ п~ѵ
I п 1 । ^т, п ! і п I ’
п—1 т~1 п=1 п=1 пг=1
съ другой стороны,
П—Ѵ т—!л п—Ѵ ас х ®
такъ что при /л = 1, 2, . .., ѵ = 1, 2, ...
2' аі‘. »'• - В'
П—1
со
откуда заключаемъ (§§ 136, 181) о сходимости ряда ' а и, п ,
п—1
а слѣдовательно (§ 190, а), и ряда У'п, для /л= 1, 2, ...
11—1
Взявъ произвольное число е>0, найдемъ такія числа М
что при м, Л/, ѵ 2± 7Ѵ
Фиксируемъ значенія и < Л/ и беремъ настолько большое ѵ( ;> Л7),
чтобы выполнялось неравенство
] п—ѵ т~ц со
(3) ! А. а,„, п - У а>», и < 4
। Ш— 1 і<=1 пі~ 1 I
это сдѣлать возможно, такъ какъ
сс П“і' И)—и се п/=п м=ѵ
Изъ соотношеній (2) и (3) заключаемъ, что при м, > М
1)1—11
1)1, п
откуда
А
п •
т,
ат> п сходящійся и сумма
его равна А (ср. (1)).
Въ § 464, б) имѣемъ
Іх2”1
п2т Аіт
2 хіт
Здѣсь ат „ = > 0, такъ что ат п = \ ат п' и теорема непо-
пітл.іт ’ ’
средственно примѣняется. Въ другихъ случаяхъ убѣдиться въ вы-
полненіи условій теоремы часто бываетъ затруднительно.
VI (къ § 466).
Тождество это получается слѣдующимъ образомъ. По фор-
муламъ
СП г — — Я1 г «2 . — _ ( і\«?»
“0
(§ 465) можемъ написать /(х) въ видѣ
/'(лг) = (х? СуХ + Г2Л' 4“ ' • • 4- ( — 1)” еп)
и
/' (*) = «о («*"~1 “ сі (« - + с2 (п - 2)Ѵ‘ 3 4--).
Затѣмъ формулу
*>. 1і+^+...
/(х) X х- "Ѵ*
можно переписать въ видѣ
/' (*)
п—1 „п
подставивъ написанныя выше выраженія /{х} и /' (х), мы и найдемъ
требуемое тождество.
VI Ьіз (къ § 466).
Если положимъ а0 = 1 и замѣнимъ с}, с2, с3, ... ихъ выра-
женіями — а); а2, — а3,..., то формулы Жирара обратятся въ
формулы
4~ =: б, —р 4“ 2б, 4“ *^2V _Н =: б
и т. д., извѣстныя подъ названіемъ формулъ Ньютона (см. Веберъ
и Вельштейнъ, стр. 244).
VII (къ § 467).
Приведемъ тотъ выводъ формулъ Варинга, на который авторъ
указываетъ въ текстѣ. Имѣемъ одновременно:
Подставляя этотъ рядъ вмѣсто
получимъ:
иг во второе выраженіе для ѵ,
ОС 00 Г
Г=1 р—Г Р А
Отождествляя коэффиціенты при — въ этомъ и въ первомъ разло-
хр
женіи для ѵ, найдемъ
р
Аналогично этому:
и
/>=0І
ѴІП (къ § 470).
Разовьемъ нѣсколько подробнѣе намѣченный въ этомъ пара-
графѣ способъ вычисленія симметрическихъ функцій отъ п пере-
*
мѣнныхъ а1, а2, ..., а„, вида
гдѣ V 11.
1°. Въ приложеніяхъ этого способа полезно умѣть сосчитать
число членовъ такой суммы, не выписывая ихъ на самомъ дѣлѣ.
Условившись, въ случаѣ ѵ < п, считать рѵ^ — рѵ^2 = .. = рп = О,
мы можемъ ограничиться разсмотрѣніемъ случая ѵ = п и писать раз-
сматриваемую сумму всегда въ видѣ
(1) 5 = % «/«/>... а**.
По самому опредѣленію этого символа, мы получимъ сумму 5, если
переставимъ указатели 1, 2, ..., и всѣми возможными способами, не
мѣняя порядка показателей рх, р2, ..., рп, и сложимъ всѣ различ-
ныя между собою получаемыя такимъ образомъ произведенія. Раз-
личными мы называемъ такія произведенія, въ которыхъ, по край-
ней мѣрѣ, одна изъ перемѣнныхъ а,- входитъ съ различными пока-
зателями степени, и одинаковыми такія, которыя отличаются одно
отъ другого только порядкомъ сомножителей и, слѣдовательно,
имѣютъ равныя величины при произвольныхъ значеніяхъ перемѣн-
ныхъ а,, а8,...,а„. Разсмотримъ теперь два возможныхъ случая:
1) всѣ показатели рх, р2, ... рп между собою различны и 2) среди
чиселъ^), р2, ...,рп есть равныя между собою. Въ первомъ случаѣ,
очевидно, всѣ составленныя вышеуказаннымъ способомъ произведе-
нія между собою различны, а потому число членовъ въ суммѣ 5,
которое обозначимъ черезъ Л7, равно числу перестановокъ изъ
п чиселъ 1, 2, ..., п, т. е. число Л7 = 1 - 2 ... п = п\ Напримѣръ,
при п = 3 и различныхъ между собою рх, р2, р.х, имѣемъ
УѴ= 3! = 6, а
| 5 = а/- а./' а/1 = а/' а/’ + а/' а/' а/’ + а/'а/’
№ і
I Рі п Рі п Рз і „ Рі с. Рі п Рз і „ Рі с, Рі „ Рз
I (і^ (42 “I- (4$
и, въ частности, (рх = 1, р2 = 2, />3 = 0)
5 = Л ах а22 — ах а22 + а2 а-р 4- а3 + ах а32 + а2 ах2 + а3 я22.
Переходя ко второму случаю, положимъ, что изъ и чиселъ
рх, р2,...,рп и чиселъ между собою равны и отличны отъ всѣхъ
прочихъ, различныхъ между собою. Если и теперь составимъ выше-
указаннымъ способомъ всѣ п\ произведеній, то между ними будутъ
одинаковыя, а именно, одно и то же произведеніе, независимо
отъ порядка сомножителей, встрѣтится въ числѣ всѣхъ и! произ-
веденій ровно /т! разъ, т. е. столько разъ, сколько имѣемъ пере-
становокъ изъ /л буквъ; поэтому, число различныхъ произведеній,
т. е. число членовъ въ суммѣ 5, будетъ равно ~. Дѣйствительно,
если Д = р2 = Д = • • = р;і, и возьмемъ какой нибудь членъ
суммы
а;2...«хм+1--Хм.
'1 '> 1ІІ 'И
гдѣ 7,, ..., Д, гЛ<_|_і, ..., іп какія нибудь изъ чиселъ 1, 2, ..и
то ясно, что всѣ произведенія, получаемыя при м,! перемѣщеніяхъ
первыхъ и, указателей будутъ одинаковыми. Напримѣръ, въ при-
веденномъ выше примѣрѣ, при рх = р2, въ правой части фор-
мулы (2) каждое произведеніе встрѣтится два раза, А” = -^ = 3 и
С _ V ,, Рі ,, Р, Ра _ ,, Рі ,, Рі п Р11 і ,, Рі п Рі с Р> Л- п Рі п Рі г, Рі
РР) уР «Ь, (€>> (€;-> “I- <€•> —р (Л3 (Л‘>
Если теперь еще ѵ показателей сдѣлаются равными между собой и
. «!
отличными отъ всѣхъ прочихъ, то среди - произведеній различ-
іе!
ныхъ останется —, и т.
/II |>!
д. Такимъ образомъ, приходимъ къ
слѣ-
дующему общему заключенію. Если въ выраженіи
(1)
5 = ^«Д«Д...чЛ1
между числами р^, р2,...,р„ имѣемъ /л чиселъ, равныхъ а, ѵ рав-
ныхъ Ь,..., о равныхъ с, при чемъ а, Ь,...,с между собой раз-
личны, то число членовъ въ суммѣ 5 выражается формулою
Напримѣръ, при п = 7, въ суммѣ
5 = ах а2 аа- ар = а, а2 «32 Д2 ар а6° «7°
будетъ
7’
Л = о, •>, Ті = ^.6.7 = 210 членовъ.
2. 2 . о .
2°. Обозначая черезъ сх, с2, ..., сп элементарныя симметриче-
скія функціи перемѣнныхъ а,, а2,...,а„ и полагая
/’(л-) = (* - «і) (* - «2) • • • (•* - п«) =
= х" - Срѵ"-1 + с2а:и-2----------------И - 1)”^
можемъ сказать, что въ формулѣ (1) суммированіе распростра-
няется на всѣ корни полинома /(х). Если, въ частности, положимъ
ах = а2 = • • • = ап = 1, /(х) = (х—1)", то с1, с2, ..сп будутъ со-
отвѣтственно равны биноміальнымъ коэффиціентамъ •••>
а сумма 5, каковы бы ни были показатели рх, р2, ...,рп, будетъ
равна числу ея членовъ IV, потому что всѣ члены ея равны еди-
ницѣ. Этимъ замѣчаніемъ можно съ выгодою пользоваться въ при-
ложеніи способа вычисленія симметрическихъ функцій вида (1), ука-
заннаго въ § 470.
3°. При составленіи буквеннаго выраженія 5 черезъ элемен-
тарныя функціи сх, с2, ..., с„, по данному вѣсу § и степени т
(относительно сх, с2, ..можно поступать слѣдующимъ образомъ:
разложить число & всѣми возможными способами на слагаемыя,
число которыхъ не превышаетъ т; эти слагаемыя и дадутъ значе-
нія указателей функцій с,, с2, ...,сд въ различныхъ членахъ бук-
веннаго выраженія 5. Напримѣръ, если § = 6, т = 3, какъ въ
примѣрѣ § 470, то замѣчаемъ слѣдующія разложенія числа 6 на
слагаемыя, числомъ не больше 3:6, 5—|—1, 4-ф-2, 3 —3, 2 Ц-2 4-2,
14-14-4, 14-2-фЗ, и находимъ, что буквенное выраженіе
будетъ
(3) ГЦ СС2_ Сд3 = 4“ кхС^,Сх 4“ -|- фдСд- -|- к ХС С х 4“ 4" Су С,. .
какъ и написано въ текстѣ.
4°. Для составленія линейныхъ уравненій, служащихъ для
опредѣленія численныхъ коэффиціентовъ Фй, кх,..., выбираемъ
числа ах, а2, ... или полиномъ Дх) такъ, чтобы вычисленіе значе-
нія 5 и функцій сх, сг, ... было по возможности просто (при чемъ
полезнымъ оказывается пунктъ 2° настоящаго примѣчанія) и, по-
лагая всѣ Сі, указатель і которыхъ будетъ больше п (степени р\х)
или числа перемѣнныхъ а,, а2, ..., аи), равными нулю.
Примѣнимъ сказанное къ примѣру § 470 и провѣримъ такимъ
образомъ приведенный тамъ результатъ.
1) Полагая ах = а2 = 1, а3 = 0, р(х) = х(х — I)2, имѣемъ
сх = 2, с2 = 1, остальныя а= 0, и .5 = ^Іа1а22а33 = 0, потому
что въ каждый ея членъ а3 входитъ множителемъ. Уравненіе (3)
дастъ
к-а = 0.
2) Выбирая а{ такъ, чтобы всѣ с,, кромѣ с3, были равны
нулю, найдемъ коэффиціентъ к3. Для этого положимъ ах = 1,
а2 = со, а3 = со2, гдѣ со мнимый кубическій корень изъ 1, тогда
/(х) = л3 — 1, с3 = 1, всѣ другія а = 0, а
5 = ахарар 4- с^аз2^3 + ада^а,3 + + а2а12а33 + а3арс.р =
= 3 (со2 4- со) = — 3
и формула (3) дастъ
к.л = - 3.
3) Полагая а, = а2 = а3 = 1, /(х) = (х — I)8, имѣемъ
сх = с, = 3, с3 = 1, 5 = 7Ѵ= 3! = 6, и въ силу (3) Д, 4~ 9^6 = 6,
откуда
4) /(х) = (х — I)4, с, = 4, с2 = 6, с3 = 4, с4 = 1, 5 = ^ =
= 4! = 24,
Зк2 + 8*4 = - 12.
5) /(х) = (.г — I)5, с, = с4 = 5, с2 = с3 = 10, г4 = 1, 5 = 7Ѵ =
*4 + 10*, + 25*4 = - 28.
6) Дх) = (х — I)6, г, = с5 — 6, с2 = с4 = 15, с5 = 20, се = 1,
5 = уѴ= 6; = 120;
О .
к0 + 36 Л4 + 225*2 + 540*4 = - 480.
7) Остается найти еще одно уравненіе, независимое отъ пре-
дыдущихъ, чтобы вычислить всѣ семь коэффиціентовъ к>. Поло-
жимъ й] = а2 =а3 = 1, а< = — 1, т. е. Дх) = (х— I)3 (х + 1) =
= х4 — 2х3 + 2х — 1; сх = 2, сг = 0, с3 = — 2, с4 = — 1.
Для вычисленія суммы 5 = 2а1а,2аа3аі° (при п = 4), замѣ-
чаемъ, что число членовъ этой суммы равно 24, изъ которыхъ 12
равны + 1 и 12 равны —1, такъ что 5 = 0. Для этого не нужно
выписывать всѣ 24 члена суммы; достаточно замѣтить, что -|- 1 по-
лучимъ для тѣхъ членовъ, гдѣ а4(= — 1) стоитъ на 2-мъ или 4-мъ
мѣстѣ (съ четными показателями степени), а — 1, въ тѣхъ, гдѣ а4
стоитъ на 1-мъ и 3-мъ мѣстѣ, и что число первыхъ и вторыхъ
членовъ, очевидно, одинаково. Такимъ образомъ, формула (3)
дастъ теперь
0 = — 12 - 4*4, *4 = - 3.
Подставляя это значеніе въ предыдущія три уравненія и рѣшая ихъ,
найдемъ
*2 = 4, *4 = 7. *0 = — 12
и окончательно получимъ
^4 сс2- = 12св 4- 7 сх са — 4 с2с4 — 3 — 3 сх~ с4 сх с2с3,
какъ и дано въ § 470.
IX (къ § 471).
Чтобы убѣдиться въ справедливости этого замѣчанія, примемъ
во вниманіе, что вѣсъ дискриминанта
= («і — «г)2 («і - «з)2 • • • («і - «и)2 (а2 - а3)2 • • • («»_і - «м)2.
очевидно, равенъ
2[(«- 1) + („-2)+-.. +2 + 1] = й(;г- 1),
а степень равна 2 (п —1). Поэтому выраженіе А въ функціяхъ с,
будетъ вида А = /гас,л~{ + • • •, гдѣ въ остальные члены непремѣнно
входитъ, по крайней мѣрѣ, одна изъ функцій сг, с2, ..., ся_і. Если
возьмемъ /(х) = хп — 1, то всѣ с, при г < п будутъ равны нулю,
сп = (— I)”-1 и А = Ло( — 1)(и~1)г. Съ другой стороны, если
а,, а2, ...,ап корни /(х), то, какъ извѣстно,
/> (х) = + _____н /(*') ,
х— х — «2 х ап’
откуда
/у (аД = (ак -«!)••(«*- «*_!) (а* - <ц+1) ... (ак - «„).
Давая к значенія 1, 2, ...п, и перемножая результаты, получимъ
п (п—1)
(О Л = (-1) 2
Примѣняя формулу (1) къ /'(.ѵ) = л"—1, получимъ
П (н —1)
2/ = (-1) 2 /г"( — 1)(и- 2'\
а изъ сравненія съ предыдущимъ выраженіемъ А, получимъ
п (и—1)
= (- 1) - пп
что и требовалось доказать.
X (къ §§ 478 и 479).
Приведенныя здѣсь доказательства теоремъ, высказанныхъ
въ этихъ параграфахъ, существенно предполагаютъ, что р число
простое. Этимъ случаемъ можно и ограничиться, если имѣть въ виду
лишь тѣ приложенія этихъ теоремъ, съ которыми мы встрѣтимся въ
вопросѣ о рѣшеніи уравненій въ радикалахъ (§ 544). Но теоремы
остаются справедливыми и при р не простомъ. Доказательство тео-
ремы § 478 въ общемъ случаѣ дано, между прочимъ, у Меііо
„ЗиЬзіііиііопзіНеогіе" стр. 63, но это доказательство основано на
другихъ, довольно сложныхъ, соображеніяхъ. Между тѣмъ, элемен-
тарный способъ доказательства, примѣнимый для р простого, мо-
жетъ быть, съ помощью нѣкоторыхъ простыхъ дополненій, примѣ-
ненъ и къ случаю р составного, что мы и покажемъ. Сперва не
безполезно будетъ указать одну теорему, извѣстную изъ теоріи
корней изъ единицы, на которой основаны доказательства обѣихъ
теоремъ въ случаѣ р простого, а именно: если со есть корень нѣко-
торой степени изъ единицы, не равный единицѣ, р, и рх простыя
числа, и = соЛ =1, то рх = рч,- Въ самомъ дѣлѣ, если рх и рг
простыя, а слѣдовательно и взаимно простыя, неравныя числа, то
всегда можно найти два такихъ цѣлыхъ числа а и Ь, чтоа І>і^Ьрі = \,
а тогда изъ условій сф'> = 1, сф'> = 1 найдемъ — = о = 1,
вопреки предположенію. Поэтому нельзя предположить, что рх не
равно
Заключеніе, что круговая подстановка трехъ, пяти или вообще
нечетнаго числа перемѣнныхъ не измѣняетъ значенія ф^, если эта
степень можетъ имѣть всего два различныхъ значенія, вытекаетъ
изъ того, что <рр должно быть вида 5) -|- з.2 У Д, гдѣ 5! и з.2 сим-
метрическія функціи (§ 476). Круговая подстановка нечетнаго числа
перемѣнныхъ равносильна четному числу транспозицій (§ 5). Каждая
транспозиція переводитъ з1-{-з2|/Л/1 въ з,—,»2 ; слѣдовательно,
четное число транспозицій приводитъ опять къ первоначальному зна-
ченію.
Теперь докажемъ теорему § 478 для случая р составного. По-
ложимъ, что ф7' симметрическая функція, и пусть а нѣкоторый про-
стой нечетный дѣлитель числа р-, тогда, полагая р = ад, получимъ,
что (ф?)“ симметрическая функція, откуда, какъ доказано въ § 478,
и (рч будетъ симметрическая, потому что, если бы она была знако-
перемѣнная, то число а должно было бы равняться 2. Продолжая
разсуждать такимъ образомъ, очевидно, дойдемъ до функціи <р!,
гдѣ I равно 2 или степени 2 и <р1 симметрическая функція. Теперь,
разсуждая совершенно такъ, какъ въ § 479, придемъ къ заключе-
нію, что ф не можетъ имѣть болѣе двухъ различныхъ значеній (по-
тому что иначе одновременно имѣли бы о)* = 1 и со3 = 1, что не-
возможно, при і = 2*). Поэтому <р должна быть вида
<7 = V Л-
Если ни з,, ни з., не равна 0, то ф2, очевидно, будетъ того же
вида и т. д., и (р1 не могла бы быть симметрическою. Поэтому
либо з1, либо з2 равна 0, т. е. ф симметрическая или знакопере-
мѣнная, что и требовалось доказать.
Въ заключеніе замѣтимъ, что теоремы §§ 478 и 479 спра-
ведливы при условіи, что перемѣнныя, отъ которыхъ зависитъ <р,
независимы,
ношеній.
т. е. что между ними не установлено никакихъ соот-
XI (къ § 481).
Функція <р, какъ легко видѣть, имѣетъ 6 различныхъ значе-
ній, и удовлетворяетъ уравненію 6-ой степени съ коэффиціентами,
раціональными относительно сг, какъ это видно изъ найден-
наго выраженія для ф3. Вычисленіе функціи Д /32 Ч-
легко произвести по способу § 470. Изъ выраженій /9 черезъ а
тотчасъ видно, что + Ча/^з — За^а-^, при и = 4.
Число членовъ подъ знакомь 2 равно 12. Вѣсъ этой функціи ра-
венъ 4, степень равна 2, поэтому
^7 “1°2ГІ32 = А)П + &1С1 С3 + ^2С2~.
Примѣняя эту формулу къ функціямъ /(х) = л2(л:—Г)2, х(х ~ I)3,
(х — I)4, тотчасъ находимъ — О, кх = 1, к0 = -- 4, и
~Г Да Рз ~Г Рз ~ сі сз 4 с4.
Аналогично этому вычисляется и — симметрическая функ-
ція относительно а,, съ вѣсомъ 6 и степенью 3.
XII (къ § 482).
Прежде всего надо замѣтить, что всякую цѣлую функцію
(1)/(х) = (* - а4) (Л- - а2) .... (л-- ап) = хп ~с1хп-1 + с2хп~2 + .•+( ~ 1)'Ч
, X
можно привести къ однородному виду, замѣнивъ х на — и
живъ затѣмъ всѣ члены на уп. Тогда получаемъ бинарную
умно-
форму
(2) /(ат у) — (х — іцу) (а — а.2у) ... (а — апу) = хп - сѵхп \ѵ
4-с2а' 2у2 — ••• + (— 1)ис„у".
Ясно, что
/'(*) =/(х, 1), и /(х, у) =Уп/(^\ •
Инваріантъ I формы (2), какъ извѣстно, есть такая функція коэф-
фиціентовъ формы (2) или функціи /(х), которая пріобрѣтаетъ
только множитель Кр при любомъ линейномъ преобразованіи пере-
мѣнныхъ х и у съ модулемъ, равнымъ К- Самое общее линейное
преобразованіе состоитъ въ замѣнѣ перемѣнныхъ х и у линейными
функціями ах + Ьу и сх-\-<іу. Ясно, что результатъ такой замѣны
х и у въ формѣ у(х, у) [при у = 1] можно получить также замѣ-
нивъ въ функціи /(х)
перемѣнную х выраженіемъ
ах 4- Ь
сх у <1
и умно-
живъ затѣмъ всѣ члены на (сх 4- (1)п- Простѣйшее линейное пре-
образованіе состоитъ въ замѣнѣ х на х — Л, гдѣ Я произвольное
число; оно соотвѣтствуетъ значеніямъ а = 1, Ь = —Я, с = 0, <У=1,
и модуль его, очевидно, равенъ 1. При такомъ преобразованіи,
слѣдовательно, инваріантъ / совсѣмъ не измѣнится. Замѣтимъ те-
перь, что инваріантъ I можно всегда представить, какъ симметри-
ческую функцію отъ корней а1; а2,...,а„ функціи /(х(, замѣнивъ
коэффиціенты с\, с2,... ихъ выраженіями 2аіг 2а1а2і ... Изъ
вышесказаннаго вытекаетъ, что если /=Ф(а1, а2, ..., а„), то функ-
ція Ф должна обладать свойствомъ
(3) Ф(аг + Л, а2 + ап + /.) = Ф(аг, а2, . «„),
при произвольномъ Л. Въ самомъ дѣлѣ, / не мѣняется при замѣнѣ
х на х — Я, а тогда, очевидно, корни а2,а2,...,а„ замѣняются
числами а, Л, а2 4- Я, ... а„ 4- Ясно, что свойство (3) принад-
лежитъ функціямъ, зависящимъ только отъ разностей а,—аг,
а, —а3, ..., аи_і — ап корней, и, какъ легко убѣдиться, только та-
кимъ функціямъ. Отсюда вытекаетъ такое заключеніе: инваріан-
тоімъ формы /(дг, _у) можетъ быть только функція отъ раз-
ностей корней функціи /(х. 1) или /(х). Къ этому можно
добавить, что если въ каждый членъ выраженія др(а1 —- п2,
аі—«3, • • ап—і — ап) всѣ корни а,, а2, ..., а„ входятъ одинаковое
число разъ, то такая функція, дѣйствительно, будетъ инваріантомъ
формы /(х, у), потому что при самомъ общемъ линейномъ преоб-
разованіи пріобрѣтетъ только множитель, какъ то и показано въ
началѣ § 482.
То же самое еще проще можно показать, если напишемъ,
какъ функцію /(х), такъ и функцію разностей корней въ одно-
родномъ видѣ (см. Заішоп, АІ^ёЬге зирёгіеиге, 2-ое изд., 1890,
стр. 179).
XIII (къ § 483).
Выраженіе инваріанта у въ коэффиціентахъ, т. е. выраженіе
(34) можно получить, вычисляя симметрическую функцію (35) по
правилу § 470. Но гораздо проще ее можно вычислить съ помощью
пріема, изложеннаго въ неоднократно цитированномъ сочиненіи
Заігпоп, Ье^опз О А1§. зир., стр. 88. Мы считаемъ полезнымъ при-
вести здѣсь этотъ пріемъ, такъ какъ онъ примѣнимъ ко всякой сим-
метрической функціи разностей корней уравненія /\х) = 0 и даетъ
матерьялъ для многихъ упражненій. Пріемъ этотъ основанъ на слѣ-
дующей теоремѣ:
Теорема. Всякая симметрическая функція ср отъ раз-
ностей корней уравненія
/(.г) = х" - с^х11 1 + с.,хп -'- - С.,хп 3 + + (- 1)нс„= 0.
выраженная въ коэффиціентахъ с,, с2,...,с«, удовлетво-
ряетъ уравненію
(1) + (» — + (и - 2)с2</Л;і + ••• =0,
гдѣ <рс. обозначаетъ производную <р, взятую по с,.
Доказательство. Обозначая черезъ Л произвольное число,
преобразуемъ функцію /(х), замѣнивъ въ ней х черезъ д-—Л.
При такомъ преобразованіи корни ея а,, а2,...,а„ обратятся въ
Л, а2-рЯ, ...ая-|-Л и функція <р, какъ функція разностей
корней, не измѣнитъ своего значенія. Иными словами, если по-
ложимъ
(2) /(л- - л) = хп - с/.ѵ”-1 + с./х” 2 - с,;Хп -.
то
(3) ч (с/, с.,', с.л', . . .) = 7 (<4, с2, о>, . . .).
Но
Дх-/.) = (.V - /.)« - Мл- - л)”-1 + с,(х - с3(Д- - л)н-3+ ...
Располагая по степенямъ х и выписывая только члены, независящіе
отъ Л, и первой степени относительно Л, получимъ
І ІХ — /.) = X — (с2 4~ ^2) .V + (с2 (и 1) 4- • •) X
“ (сз + (" “ 2) с2 / + • ) -Vм 3 + • •,
а сравнивая съ (2), находимъ
(4) Су' = с1 + «Л, с2 = с2 + (іі - 1) Су/. + • ••, с2 = с3 + (« — 2) с2/. - • ••
и т. д. Съ другой стороны, полагая
Су = Су ; <5 С|, с./ = с.) д с.,. с/ = с2 і д с3, • • .
по формулѣ Тэйлора находимъ
Ч (с/, Д ') = V (с, с2, Ся. + ср^бСу -Р <тс/5с2 + <рсдс2 -р ••• ,
а замѣняя дву, дс2, дс3,... ихъ значеніями, взятыми изъ формулъ
(4), и принимая во вниманіе условіе (3), получимъ
Л { -г (« - ^сіЧС1 + (« — 2)с2<ірСі 4-}
4- /4 { . . • • } + • • • = 0.
Такъ какъ л число произвольное, то коэффиціенты при различныхъ
степеняхъ Л въ уравненіи (5) должны обращаться въ нуль, такъ что
«<74, 4- (” - 1)^^ 4- (я — 2)с2чСл 4- ••• = 0,
что и требовалось доказать.
Для вычисленія функціи <р доказанная теорема служитъ слѣ-
дующимъ образомъ: зная вѣсъ и степень функціи <р относительно
коэффиціентовъ с(, с2, с3, ... пишемъ выраженіе <р съ неопредѣ-
ленными численными коэффиціентами, какъ въ § 470. Уравненіе (1),
которое должно удовлетворяться тождественно, т. е. независимо
отъ значеній перемѣнныхъ сх, с2, сл, ..., дастъ затѣмъ систему ли-
нейныхъ уравненій, съ помощью которыхъ всѣ неизвѣстные числен-
ные коэффиціенты Ло, /?), Л2, ... въ выраженіи <р выразятся въ
одномъ изъ нихъ, который затѣмъ опредѣляется по частнымъ зна-
ченіями корней а,, а.., ... Приложимъ сказанное къ вычисленію
функціи У, опредѣляемой формулою (35) § 483. Вѣсъ ея равенъ 6,
степень равна 3, поэтому полагаемъ
7 = ^>е1е2с3 + ^2 «У + &Зс2еі +
Формула (1) при п = 4, даетъ
4“ 4“ ^С2~^с3 + с„ =
г. е.
4 (/'і|с.>с., -I— 2к-^ с,) 4- 3 с, (X1осхс> 4- 3 Су— —43с4)
--2 с-> (^)С^Су —2 к с3) 4- с3 (^4 с^— 4“ Су) = 0.
Приравнивая нулю коэффиціенты при
СуС3, с1е4 с^Сд, сгс.?,
находимъ
4^0 4 4-= 0, ЗХ’д 4- 8кх = 0, 3^о4-^і = О, 2&04-9А> = 0,
откуда
X1! — -- ЗХ1,,, Х’у = — 4 кіу, къ = 8^), к4 = — 3 7О.
и
~ С2С3 3< ]2С4 -- 4 Су- 4- 8'2СІ ~ Зср }.
Наконецъ, полагая
аі = а2 = 0, «з = сц = 1,
находимъ
7 ~ 1» == 2, с, = 1. Сд - с^ = 0, и к^ — 4?
такъ что окончательно
7 = -1- { Су3 — 9с1с2ся + 27с12сі — 72с,с4 4- 27с32 },
согласно съ формулою (34).
Для упражненія предлагаемъ примѣнить указанный способъ къ
вычисленію дискриминантовъ кубическаго и биквадратнаго уравне-
нія, полученныхъ раньше другимъ путемъ.
622
ПРИМѢЧАНІЯ КЪ ѵ-ой КНИГѢ.
XIV (къ § 491).
Тождество это легко провѣрить, замѣтивъ, что 1) обѣ его
части обращаются въ нуль при а = у -(- <5, при а -|- у = )5 -|- д
и при а(5 =/? + У, 2) что обѣ его части цѣлыя функціи 3-ей
степени относительно а и 3) что коэффиціентъ при а3 въ лѣвой
части равенъ 6.
XV (къ § 504, с).
Если у = (г — а)г (д- —- /?)’ (г — у)8...,
и затѣмъ производную, найдемъ
то взявъ логариѳмы
а написавъ уравненіе /к/' = 0 въ видѣ
получаемъ требуемую формулу.
XV Ьів (къ § 504, б).
Если уравненіе
(1)
ахп +6хи~1 + схп 2 + ••• =0
имѣетъ всѣ корни вещественные, то, очевидно, и уравненіе
(2)
ахп — Ъхп 1 + схп 2 — ••• — 0
обладаетъ тѣмъ же свойствомъ.
Обозначая корни уравненія (2) черезъ ку, кг, ..., к„, будемъ
имѣть
— = V ку, — = У7 &]&>.... и т. д.;
а 1 а 1 -
а по доказанному выше, въ случаѣ вещественности чиселъ
ку, к<,,...,кп и вещественности всѣхъ корней /{х), уравненіе
/(*) + Уку -/'(х) + кук.у -/"(х) + ... = 0.
т. е.
«/(*) + Ь/'(х) + с/"(х) + ••• = 0
будетъ также имѣть всѣ корни вещественные.
Полагая /(.ѵ) = хп и замѣчая, что уравненіе (х-|-1)п =
= хп -г пх”—1 + х"~2 • • =0 имѣетъ всѣ корни веще-
ственные, тотчасъ убѣждаемся, что и уравненіе х” + хп~г
-|---2+ ••• = О, имѣетъ всѣ корни вещественные.
Доказательство же вещественности всѣхъ корней уравненія
не вытекаетъ непосредственно изъ теоремы § 504, <1, а требуетъ
дополнительныхъ изслѣдованій, на которыхъ мы здѣсь останавли-
ваться не будемъ.
XVI (къ § 504, I)
Припоминая сказанное въ § 389 о модулѣ разности двухъ
комплексныхъ чиселъ, и указанное тамъ же построеніе этой раз-
ности, тотчасъ находимъ, что модуль х — аѵ равенъ гѵ, а аргументъ
числу л (О Д- 0,,) откуда
х - аѵ = гѵЛ'т+9+9і.'>
ИЛИ
—. .
гѵе'^
XVI Ьіз (къ § 504, §)*.
Эта формула есть прямое слѣдствіе только что указанной въ
предыдущемъ примѣчаніи. Равенства
=0 и 2= 0
получатся, очевидно, если принять во вниманіе, что сумма числи-
телей дробей
, (у= 1, 2, ...,«)
равна нулю, въ силу равенства
= «?О-
'XVII (къ § 507, с).
Для поясненія сказаннаго здѣсь, разсмотримъ четыре един-
ственно возможныя комбинаціи знаковъ, представляемыя тремя по-
слѣдовательными функціями /,_і, /і, до и послѣ измѣненія
знака /і при переходѣ перемѣнной х черезъ корень функціи у), а
именно
I.
II.
111.
IV.
/і і. /і, Л+і
| ѣ + -
I + - - ~
I - - +
1 - + +
I + “
1 + + ~
I +
I - ~ +
Въ I и II случаѣ, когда функція у,-, стоящая лѣвѣе Уц.і, раньше
перемѣнила знакъ, перемѣна знака между у,- и перешла въ пе-
ремѣну знака между и у}, т. е. передвинулась влѣво. Въ III
и IV случаѣ, когда функція у, стоящая правѣе у_і, раньше пере-
мѣнила знакъ, перемѣна знака между и /і перешла въ пере-
мѣну знака между /і и УУ-і, т. е. передвинулась вправо.
XVIII (къ § 515, 6).
Упоминаемый здѣсь способъ опредѣленія верхней границы I
положительныхъ корней основанъ на слѣдующемъ простомъ замѣ-
чаніи. Если имѣемъ группу положительныхъ членовъ, за которыми
слѣдуетъ группа отрицательныхъ, то сумма членовъ группы
/1 (х) = аохп + ~1 + •.. + ап_т хт - ап__т+1 V 1--------ап_рх>',
можетъ быть написана такъ
п—ап—р
X Хт~Р
А (х) = хт [ аохп~”‘ + П1хп~т- 1 + • • • + ап_т -
и тогда сдѣлается яснымъ, что при возрастаніи х /^Х) непремѣнно
возрастаетъ, потому что въ скобкахъ уменьшаемое возрастаетъ, и
вычитаемое убываетъ. Поэтому, если при х = Г У/х) > 0, то при
х^>Г, навѣрно /і(х)>0. На такія группы, какъ /х(х), обыкно-
венно и разбиваютъ лѣвую часть даннаго уравненія У(х) = 0, и
опредѣливъ для каждой группы соотвѣтствующее число получа-
ютъ для I наибольшее изъ Напримѣръ, для /(х} = Л4— 4х3-|-
4~ Зх2 — 5х — 7 =0, беремъ /А(х) = х* — 4х3 = х2(х— 4), и на-
ходимъ Г = 4, /2(х) = Зх2 — 5х — 7, при х = 4 будетъ > 0. Слѣ-
довательно, можно взять I = 4. Метода Ньютона дала бы I = 3.
XIX (къ § 521, Ь).
Дѣйствительно, если / дѣлится на (х — а)2, то /' дѣлится на
х—а, Н = зу'2 —4//" раздѣлится на (х—а)2. Поэтому, если
У = (х — а)2(х — <?)2, то Н=к/, гдѣ К постоянное число. Об-
ратно, если Н = к • У, то всякій дѣлитель у дѣлитъ и Н, а потом}'
и У'. Слѣдовательно, тогда всякій линейный дѣлитель полинома }
войдетъ въ него въ квадратѣ, т. е. у = (х— а)2(х — /9)2.
XX (къ § 527).
Кромѣ методы Ньютона—Фурье, на практикѣ очень удобною,
и даже часто болѣе удобною, при вычисленіи корней численныхъ
уравненій высокихъ степеней, оказывается метода Грэффе (Огайе),
подробно разработанная и поясненная примѣрами въ „Лекціяхъ о
приближенныхъ вычисленіяхъ" А. Н. Крылова, СПБ., 1911. Эта
метода замѣчательна еще тѣмъ, что она примѣнима и къ вычисле-
нію мнимыхъ корней уравненія.
XXI (къ § 529).
Неприводимый случай (сазиз іггебпсііЬіІіз) уравненія 3-ей
степени получилъ свое названіе отъ того, что вещественные
корни кубическаго уравненія не могутъ быть представлены веще-
ственными радикалами. Легко показать, что если бы мы пожелали
изобразить кубическіе корни, входящіе въ формулу Тарталіа, при
лЗ
А = < 0, въ видѣ А + Ві, т. е. отдѣлить вещественную
часть отъ мнимой, то для опредѣленія чиселъ А и В пришли бы
опять къ уравненію 3-ей степени съ 3-мя вещественными корнями,
т. е. къ уравненію того же вида, какъ и данное. Дѣйствительно,
полагая
3 3
У-% + /3 = А + Ві, У~ - УИ = А - Ві
и припоминая, что произведеніе этихъ кубическихъ корней должно
, р
быть равно — 4^, находимъ
О
(Л + Ві)(А — Ві) = А2 ВР = ~
О
- у + Л'' -! = А- - ЗАВ2 + і(ЗА2В - В3),
т. е.
- = Аі — ЗАВ2,
а замѣняя В2 его выраженіемъ — ^Л2 + , получаемъ для опре-
дѣленія А уравненіе
Аі + 4 А + | = О,
4 о
дискриминантъ котораго равенъ
1.^ + ^]=2<0
4» |_27*4| 4?:
Доказательство невозможности изобразить вещественными радика-
лами корни неприводимаго уравненія 3-ей степени съ тремя веще-
ственными корнями и раціональными коэффиціентами можно найти
у Вебера и Вельштейна, т. I, § 102.
XXII (къ § 544).
Доказательство невозможности алгебраическаго рѣшенія об-
щаго уравненія выше 4-ой степени, впервые данное Руффини въ
мало распространенномъ мемуарѣ, цитируемомъ Чезаро, было за-
тѣмъ дано Абелемъ въ мемуарѣ, вошедшемъ теперь въ I томъ
полнаго собранія сочиненій, независимо отъ Руффини, работа кото-
раго Абелю не была извѣстна. Относительно теоремы Руффини-
Абеля не безполезно замѣтить слѣдующее. Доказательство основано
на существенномъ предположеніи, что корни уравненія, а слѣдова-
тельно и коэффиціенты его независимы, иными словами, что
между ними не установлено никакихъ соотношеній, что и выра-
жается терминомъ „общее алгебраическое уравненіе". Истинный
смыслъ этой теоремы состоитъ въ томъ, что не существуетъ такой
явной алгебраической функціи, которая выражала бы корень любого
алгебраическаго уравненія степени выше 4-ой, какъ функцію его
коэффиціентовъ. Но изъ нея вовсе не слѣдуетъ, что не существуетъ
уравненій выше 4-ой степени, разрѣшимыхъ въ радикалахъ. Напро-
тивъ, извѣстны цѣлые классы уравненій высшихъ степеней, разрѣ-
шимыхъ въ радикалахъ; простѣйшій классъ такихъ уравненій со-
ПРИМѢЧАНІЯ КЪ Ѵ-ОЙ книгъ.
627
ставляютъ, такъ называемыя, „уравненія дѣленія круга", т. е. урав-
ненія вида
хр~1 + х^2+ ... +-Ѵ- 1 =0,
гдѣ р простое число.
Къ числу уравненій, разрѣшимыхъ въ радикалахъ, принадле-
жатъ, такъ называемыя, Абелевы уравненія, которымъ посвященъ
мемуаръ Абеля въ I томѣ собранія его сочиненій, № XI, и многія
другія. Во всѣхъ такихъ случаяхъ возможность алгебраическаго рѣ-
шенія обусловлена нѣкоторыми зависимостями, а ргіогі устанавли-
ваемыми, между корнями уравненія. Такъ напримѣръ, въ уравне-
ніяхъ дѣленія круга, всѣ корни могутъ быть выражены степенями
одного изъ нихъ.
ЗАМѢЧЕННЫЯ ОПЕЧАТКИ.
Стран. Строка Напечатано Нужно читать
12 Ссылка на Вебера и Вельштейна въ выноскѣ *) относится къ
приведенному въ строкѣ 10 сн. выраженію.
42 3 св. (см. примѣч. XVII) (см. примѣч. ХѴШ)
132 9 сн. н б 0 п
195 20 сн. ® П — 00
231 379 13 св. 6-7 сн. 1о§ И 1о§ п п д пд производныхъ функцій произвольныхъ функцій
406 8 св. XVII (къ 282, I) XVII (къ § 282, I)
465 11 св. Пропущена ссылка на примѣч. V.
497 16 сн. и — і і— 1
И п ш
» 15 сн. п — і і— 1
4 сн. п т
» 2 сн. п — і (дважды) і - 1
514 14 св. 5 Р 5 2
519 2 св. 2 Р (а/ ау)
519 7 св. (ау-а^з (а,-ау)а
534 18 св. Въ формулѣ послѣ С) пропущенъ знакъ =
Предметный указатель,
(Числа обозначаютъ страницы книги).
Ангармоническое отношеніе.
458. Неизмѣняемость его при линей-
ной подстановкѣ. 459. Уравненіе, ко-
торому удовлетворяютъ 6 ангарм.
отнош. 4 чиселъ. 525.
Аргументъ комплекснаго числа.
435. Аргументъ кватерніона. 464.
Асимптотическое изображе-
ніе функцій. 339.
Бернулліевы полиномы.366. Изо-
браженіе ихъ тригонометрическими
рядами. 369.
Бернулліевы числа. 359. Произ-
водящая функція. 360. Изображеніе
б. ч. безконечнымъ рядомъ. 510.
Биноміальный рядъ. 194. 334.
Вандермондъ. Опредѣлитель
Вандермонда. 15.
Векторы. 464. Сложеніе и умно-
женіе. 465. Геометрическая интерпре-
тація. 466. Произведеніе трехъ векто-
ровъ. 470. Теорема Гамильтона о вра-
щеніи вектора около оси. 471.
Версоръ кватерніона. 464. Гео-
метрическая интерпретація умноженія
версоровъ. 469.
Взаимные опредѣлители. 29. Тео-
рема о его минорахъ. 31. и объ ихъ
алгебр. дополненіяхъ. 35.
Взаимная форма данной квадра-
тичной формы. 64.
Гамма. Функція Г. 221. (см. так-
же 349). Формула (Вейерштрасса)
для 1/Г(.ѵ 4- 1). 222: для Г(х)Г(І — х)
510; (Лежандра), для Г(х + 1). 223.
Изслѣдованіе функціи Г. 313.
Гармоническое расположеніе 4
точекъ числовой плоскости. 459. По-
строеніе 4-й гармонической точки.
460.
Гармоническій рядъ. 154.
Гармоническія функціи. 442.
Гессе. Функція Гессе отъ данной
цѣлой ф. 526. Корни ея мнимые,
когда корни цѣлой функціи вещест-
венные и неравные. 528. Геометрич.
значеніе функціи Гессе для куби-
ческой. 532. для биквадратичной функ-
ціи. 535.
Гиперболическія функціи (ги-
перболическій синусъ, косинусъ и т.д.).
449.
Гиперболическая амплитуда.
450.
Главные элементы опредѣли-
теля. 7.
Границы, верхняя и нижняя чи-
слового ансамбля. 146. Гр. функціи
въ данномъ интервалѣ. 247.
Двойные ряды. 208. Преобразова-
ніе Клаузена. 211. Примѣры. 215—218.
Двузначныя функціи корней ал-
гебраическаго уравненія п ой степени.
519. Въ случаѣ п > 4 никакая другая
функція не имѣетъ двузначной сте-
пени, между тѣмъ, какъ при п і 4
существуютъ и другія функціи, обла-
дающія этимъ свойствомъ, на чемъ и
основана возможность рѣшенія этихъ
уравненій въ радикалахъ. 521, 522.
Диполярныя координаты. 454.
Дискриминантъ п чиселъ. 27.
Его выраженіе въ элем. симм. функ-
ціяхъ. 515, 516.
Дискриминантъ алгебраич. урав-
ненія. 500.
Дискриминантъ квадратич. фор-
мы. 64. Д. какъ инваріантъ. 70.
Дополненіе, обыкновенное и ал-
гебраическое, минора опредѣли-
теля. 10.
Знакоперемѣнныя функціи кор-
ней алгебр. уравненія. 518.
Знакоперемѣнныя числа (Грас-
сманна). 463.
Изодинамическіе центры тре-
угольника. 461. Ихъ соотношеніе съ
функціею Гессе. 532.
Инваріанты алгебр. формы. 68.
Квадратичная и бинарная кубическая
форма не имѣетъ абсолютн. инварі-
анта (а слѣдоват. только одинъ обык-
новенный инваріантъ). 70. (см. тоже
геометрич. соображенія 523). Квадра-
тичный инвар. бинарной формы четной
степени. 524. Ортогональные инварі-
анты. 72. Вычисленіе инваріантовъ
522, способъ Альфена. 536.
Интерполированіе. 351. Интер-
поляціонныя функціи. 352. Формула
Лагранжа. 353. форм. Ньютона. 353.
Ирраціональныя числа. Ихъ
опредѣленіе раздѣленіемъ всѣхъ рац.
чиселъ на два класса. 109. Равенство
и неравенство ир. ч. ПО. Сложеніе,
вычитаніе, умноженіе и дѣленіе.
114-118.
Исключеніе. 481.
Каноническія выраженія алгебр.
формъ. 73. бинарныхъ формъ. 83—84.
Законъ инерціи. 78.
Квадратные корни. Ихъ вычи-
сленіе. 195.
Квадратичныя формы. 64. Не-
приводимость. 66. Свойство дискри-
минанта при линейн. преобразов. Зна-
ченіе его ранга. 67. Форма, взаимная
данной. 64; она равна квадрату
линейн. ф., если данная приводима. 68.
Положительныя квадр. формы. 82.
Необходимое и достат. условіе чтобы
квадр. ф. была положительною. 82.
Кватерніоны. 462. Скалярная и
векторіальная часть. 464. Кват. еди-
ница. 464. Модуль, версоръ, ось, ар-
гументъ кватерніона. Сопряженные
кватерн. 464. Умноженіе. 467. Дѣле-
ніе кватерніоновъ. 468.
Комплексныя числа. 433. Геоме-
трическое значеніе, тригонометричес-
кое представленіе. 434. Геометричес-
кая интерпретація сложенія, вычита-
нія, умноженія и дѣленія. 435. Воз-
вышеніе въ степень. Формула Му-
авра. 437.
Континуантъ. 20. Связь съ не-
прерывными дробями. 20. Число чле-
новъ континуанта и-го порядка. 22.
Координаты криволинейныя. 454.
Корни алгебраич. уравненія съ
веществ. коэффиц. Теорема Ролля. 540.
Правила Декарта для опредѣл. числа
положит. корней урав. 540. Теорема
Лагерра о числѣ корней, превыша-
ющихъ данное число. 544. Теорема
Бюдана о числѣ корней въ данномъ
интервалѣ. 544. Теорема Штурма. 552.
Необход. и дост. условіе веществен-
ности всѣхъ корней. 560. Корни, об-
щіе двумъ уравненіямъ. 496. Число
ихъ. 499. Кратные корни уравне-
нія. 500.
Корни изъ единицы. 437.
Косой симметрическій опре-
дѣлитель. 37. Онъ равенъ нулю, если
его порядокъ число нечетное. 38. и
квадрату раціон. выраженія въ его
элементахъ, если порядокъ его четное
число. 40.
Крамеръ. Правило Кр —а для
рѣшенія системъ линейн. уравн. 43.
Круговыя подстановки. 3.
Круговыя (тригонометр.) функ-
ціи, опредѣляемыя степенными ря-
дами. 447.
Куммеръ. Теорема К. о сходи-
мости рядовъ. 173.
Ламбертъ. Рядъ Л—а. 215—16.
Примѣненіе преобраз. Клаузена. 216—
17. Асимптотическое вычисленіе. 350.
Линейныя подстановки въ комп-
лексной перемѣн. Геометрич. значе-
ніе. 457. Двойныя точки. 459.
Линейныя преобразованія
(однородныя). 56. Опредѣлитель си-
стемы лин. формъ при лин. преобр.
умножается на модуль преобраз. 58.
Послѣдоват. примѣненіе нѣсколькихъ
линейныхъ преобраз. 58. Ортогональ-
ныя преобр. 58. Построеніе ортог.
преобр. 60. Формулы Эйлера. 62—63.
Линейныя уравненія и системы
такихъ ур. 42. Правило Крамера. 43.
Теорема Руше. 45.
Линейныя формы. 50. Независи-
мость. 54. ।
Логариѳмы. Вычисленіе нату- ]
ральныхъ лог. 190. и обыкновенныхъ
логар. 191.
Логариѳмическій рядъ. 157.
Логариѳмъ, какъ функція ком-
плексной перем. 452. ;
Маклоренъ. Рядъ М. 328. Фор-і
мула суммированія. 364.
Матрисса. 5. Умноженіе мат-
риссъ. 22. Теорема Бине о произве- ;
деніи 2-хъ матр. 23. Главные ми- I
норы въ квадратѣ м. 25.
Махіта и міпіта (абсолют. и |
относит.) 290, функцій нѣсколькихъ
перемѣнныхъ. 382.
Миноры опредѣлителя. 10. Со-
пряженные, главные, дополнительные
миноры, алгебр. доп. минора. 10 Раз-
ложеніе опредѣлителя по минорамъ. 12.
Модуль комплекснаго числа. 435.
м. кватерніона. 464.
Многозначныя функціи корней
алгебр уравненія. 518.
Непрерывность ф. одной перем.
255. Равномѣрная непрерывность (те-
орема Кантора). 266. Непрерывность
функ. нѣсколькихъ перемѣн. 374.
Неприводимость квадр. фор. 66.
Обратная функція относительно
данной 241. Теорема объ ея произ-
водной. 272.
Обращеніе (преобразованіе вза-
имными рад. вект.). 458.
Обращеніе въ перестановкѣ. 1.
Однородныя функціи. 378. Те-
орема'Эйлера. 378.
Ортогональный опредѣлитель.
59, Теорема объ алгебр. дополн. его
элементовъ. 59.
Ортогональныя преобразованія.
58. Формулы Эйлера. Ихъ геомегрич.
значеніе. 63.
Ось кватерніона. 464.
Перестановки четныя и нечет-
ныя. 1. Число тѣхъ и другихъ одина-
ково. 4.
Пересѣченіе, точки пересѣченія
двухъ алгеб. кривыхъ. 488. ’
Подстановки. 2. четныя и не-
четныя. 4. Разложеніе подст. на циклы,
круговыя подстан. 3. Разложеніе чет-
ной подст. на циклы изъ 3 элемен-
товъ. 4.
Показательная функція, опре-
дѣляемая степеннымъ рядомъ. 446.
Порядокъ опредѣлителя. 5.
Предѣлъ. 118. Основныя теоремы
о предѣлахъ. 123 — 135. Примѣры
135—145. Предѣльныя значенія функ-
цій. 298. Теорема Лопиталя. 299. Пред.
комплексной перемѣнной. 438. Пре-
дѣлы числового ансамбля. 145. Всякій
конечный ансамбль безконечнаго мно-
жества чиселъ имѣетъ предѣлъ. 149.
Наименьшій и наибольшій изъ предѣ-
ловъ ансамбля. 150. Предѣлы неопре-
дѣленности функ. справа и слѣва. 254.
Принципъ неизмѣнности пра-
вилъ счисленія. 462.
Приращеніе, отношеніе прира-
щеній и его связь съ производною.
Теоремы Коши и Лагранжа. 293— 294.
Произведенія, безконечныя. 219.
Теоремы о сходимости. 219—220.
Производная (справа и слѣва)
отъ /(х). 269. Геометрическое значе-
ніе. 282. Частныя производныя. Пере-
мѣна порядка дифференцированій.
375-376. Производная сложной функ-
ціи. 376.
Псевдо-симметрическій опре-
дѣлитель. 37 — 40. Если главные его
элементы равны 1, то опред. равенъ
суммѣ квадратовъ. 41.
Разрывы непрерывности (1-го
и 2-го рода) функціи/(х). 260. Раздѣ-
леніе функцій съ безконеч. числомъ
разрывовъ на пунктирно и вполнѣ
разрывныя ф. 262. Непрерывная ф.
отъ разрывной можетъ быть непре-
рывною. 262. Сумма безкон. числа
непрерыв. ф. можетъ не быть непре-
рывною. 263.
Рангъ матриссы. 9—10 и 55.
Раціональныя функціи. Разло-
женіе ихъ на простѣйшія дроби. 503.
Результантъ двухъ цѣл. функ-
цій. 481. Способъ Эйлера для его
вычисл. 483. Метода Сильвестра.
484. Метода Безу. 485. Результантъ
изобаренъ. 487. Приложеніе къ
опредѣл. точекъ пересѣч. двухъ алгеб.
кривыхъ. 488.
Рѣшеніе численныхъ алгеб. урав-
неній съ цѣлыми коэффиц. 561. Пре-
дѣлы корней. 562. Вычисленіе цѣ-
лыхъ. 563. и раціональн. корней. 565.
Вычисленіе несоизм. корней по спо-
собу Ньютона-Фурье. 569. Геометрич.
интерпретація. 572.
Руффини. Функція Р—и для дан-
ной цѣлой ф —и. 543.
Ряды (вещественные), сходящіеся,
расходящіеся, неопредѣленные. 152.
Общій признакъ сходимости. 159. Те-
орема о сходящихся рядахъ. 161 — 165.
Сравненіе рядовъ съ положительны-
ми членами, сильнѣйшая или слабѣй-
шая сходимость и расходимость. 166.
Для всякаго ряда можно найти другой
слабѣе сходящ. или расход. рядъ. 167.
Спеціальные признаки сходимости.
170—181. Перемѣна порядка членовъ
ряда. 196. Абсолют. и простая сходи-
мость и расходимость. 197. Сумма абс.
сход. ряда не зависитъ отъ порядка
членовъ. 201. Сложеніе и умноженіе
сход. рядовъ. 204.
Ряды съ комплексными членами.
438. Абсолютная сходимость. 440.
Ряды функцій. 315. Равномѣрная
сходимость; примѣры неравномѣрной
сходимости. 316. Сумма равномѣрно-
сходящагося ряда непрерывн. ф. сама
непрерывна. 321. Теорема о почлен-
номъ дифференцированіи ряда ф. 321.
Симметрическій опредѣлит. 37.
Симметрическая функція. 511,
элементарная. 511. Формулы Жирара
и Варинга. 512. Всякая цѣлая сим. ф.
есть цѣлая рац. ф. отъ элементарныхъ
симм. ф-й. 513.
Скаляръ. 464.
Сопряженные миноры опредѣ-
лителя. 10.
Степенные ряды, вещественные.
324. Радіусъ сходимости. 324. Теорема
Коши Адамара. 326. Производная сте-
пей. ряда. 327. Непрерывность 342—
345. Степенные ряды съ комплексною
перемѣнною и компл. коэффиціентами.
444. Круги сходимости. 444. Единст-
венность разложенія въ степей, рядъ
445. Теорема Абеля о суммѣ ряда на
окружности круга сходимости. 446.
Стирлингъ, фопмула С —а. 193
365.
Суммированіе, формула суммир.
Эйлера. 362. Маклорена. 364.
Тензоръ (Модуль) кватерніона.
464.
Транспозиція (перестановка 2-хъ
элементовъ). 3.
Трансцендентныя функціи. 446.
Тэйлоръ, рядъ Т-а. 328. Недо-
статочность его сходимости для закон-
ности разложенія ф —и. 330. Оста-
точный членъ по Лагранжу и Коши.
329. Приложеніе къ численнымъ ря-
дамъ. 335.
Уравненія, алгебраическія. 481.
Теорема Даламбера о существова-
ніи корня. 491. Уравненіе и-ой сте-
пени имѣетъ п корней. 494. Куби-
ческое уравн. 579. Уравненіе 4-ой
степени 582. Методы Кейли и Ла-
гранжа для рѣшенія уравн. 2, 3 и 4
степени. 583, 586. Теорема Руффини
объ уравненіи 5-ой степени. 602.
Фибоначчи, рядъ Ф—и. 21.
Функціи отъ одной перемѣнной.
241. Верхняя и нижняя границы. 246.
Теорема Вейерштрасса. 249. Предѣлы
неопредѣленности. 254. Непрерыв-
ность. 25э. Разрывы 1-го и 2-го рода.
260. Теоремы о непрерывныхъ функ-
ціяхъ. 263 — 268. Функціи отъ нѣсколь-
кихъ перемѣнныхъ. Непрерывность.
374. Функціи отъ комплекс. перемѣн-
ной. 441.
Циклъ. 2.
Циркулянтъ. 27.
Эйлерова постоянная. 155.
Эйлеровы числа. 361. Произво-
дящая функція. 361. Теорема Силь-
вестра. 362.
Эквигармоническое положе-
ніе 4-хъ точекъ на числовой плос-
кости. 459. Построеніе 4-ой точки. 460.
Якобіева функція данной цѣлой
функціи. 529. Ея выраженія для ку-
бической. 531. и для биквадратичной
функцій. 534.
Эт<н> Чем*о
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА
и исчисленія Безконечно милыхъ
чйпъ лі»ю
н к «0<<»
оак^я
1913