Эмиль Борель
1
Профессоръ Сорбонны и Высшей Нормальной Школы въ Париже.
Тригонометр1я
Переводъ О. В. С-
со 2-го дополненнаго французскаго издашя,
подъ редакцией
Профес. Харьковскаго Университета Н. Н. СаЛТЫКОВа.
Типограф1я Т-ва И. Д. Сытина, Пятнит
МОСКВА. — 1909.
.«•По»***;»»
v
№&*£.
uV

ПРЕДИСЛОВ1Е КЪ ПЕРЕВОДУ.
Руководство Э. Бореля написано очень ясно и
просто. Авторъ, выдающийся ученый и преподаватель,
сумЪлъ съ замЪчательнымъ искусствомъ провести въ
своей книгЬ господствующую теперь идею обновлешя
преподавашя математики въ средней школ'Ь. Это на-
правлеше имйетъ главною цгЬлыо сгладить рЪзкую
грань, которая существуетъ между иреподавашемъ
элементарной и высшей математики.
Изучеше руководства тригонометрш Э. Бореля
можно рекомендовать ученикамъ средней школы и всЬмъ
лицамъ, стремящимся къ самообразованш. Въ крат-
комъ и интересномъ изложенш читатель легко
познакомится со всЬмй основными понятиями тригонометрш,
которыя необходимы для изучешя естественныхъ
наукъ и высшей математики.
Русски читатель, незнакомый съ понят1емъ о
производной, безъ ущерба для изучешя тригонометрш,
можетъ не проходить п°п° 85 и 86 ii задачи п°п° 279—
291, 299—301, 308, 309 до тЪхъ поръ, пока не
познакомится съ указаннымъ поняпемъ.
Проф. Н. Сал?пыковъ.
1*

ПРЕДИСЛОВ1Е АВТОРА.
Долгое время господствовала мысль, что тригоно-
метр1я заключаетъ въ себе более сложныя математи-
чесюя знашя, чЪмъ арифметика, алгебра и геометр!я.
Однако едва ли можно встретить въ послЪднихъ от-
дЪлахъ математики столько простыхъ вопросовъ, ипте-
ресныхъ по своимъ приложешямъ, сколько нхъ
находится въ началахъ тригонометрш. Поэтому сл'Ьдуетъ
приветствовать стремлеше ввести тригонометрш въ
курсъ предметовъ начальнаго математическаго обра-
зовашя. Но чтобы это нововведете оказалось плодо-
творнымъ, необходимо излагать основы тригонометрш
действительно элементарно и интересно въ практиче-
скомъ отношенш.
Въ предлагаемомъ руководств* я преследовалъ
обе эти ц^ли, насколько было возможно ихъ
осуществлено въ т^хъ узкихъ рамкахъ, которыхъ я дол-
женъ былъ придерживаться.
Почти все необходимыя сведешя изъ тригонометрш
заключаются въ первыхъ двухъ главахъ настоящей
книги. Читатель найдетъ въ нихъ: опредгьленге трехъ
основнихъ круговихъ функцт, зависимости меоюду
круговими функцгями одной и той же дуги, или
дополнительнихъ дугъ и т. д.у указангя относительно
примтънетя таблицъ, pmuenie прямоугольнихъ тре-

— 5 —
угольниковъ :). Главная цйль изучешя заключается
въ ycBoeHin указанныхъ основныхъ св^дЪнШ
настолько, чтобы умЪть свободно ими пользоваться.
Поэтому слЪдуетъ упражняться въ р^шенш примЪ-
ровъ на основныя начала тригонометрш до гЬхъ
поръ, пока они не будутъ усвоены такъ же твердо
какъ четыре арифметическихъ дЪйств1я. Число при-
мЬровъ должно быть возмояшо больше, при этомъ
неважно, чтобы всЬ они были разнообразны. Бываетъ
полезно даже проделать несколько разъ одинъ и тотъ
же примЪръ, но при различныхъ численныхъ зада-
шяхъ. Въ виду этого, по совЬту нЪкоторыхъ
преподавателей, я счелъ полезнымъ поместить подъ
различными номерами примеры, представляюшде видо-
изм'Ьнешя одной и той же задачи, но при различныхъ
задашяхъ.
Со строго обдуманнымъ нам'Ьрешемъ я удЪлилъ
главное мЪсто десятичному д'Ьлешю четверти круга,
отодвинувъ на второй планъ шестеричную систему
измЪретя дугъ; тЪмъ не менЪе, она излагается въ
книгЬ настолько подробно, чтобы читатель сум'Ьлъ
!) Я считалъ необходимымъ указать с'пособъ у потреблен in таблицъ
во второй же глав-в, т.-е. на сколько в'озможно раньше.
Обыкновенно установился обычай отодвигать эту существенную часть
тригонометрш къ концу, полагая необходимымъ предварительно изложить
способы составлешя таблицъ.
Однако весьма важно, какъ можно раньше, научить учениковъ
пользоваться таблицами; съ этой целью полезно употреблять
сначала четырехзначныя таблицы, которыя вполне достаточны для pt.
шешя большей части практическихъ вопросовъ. Поэтому, несмотря
на неболыше размеры книги, я помйстилъ въ ней четырехзначныя
таблицы логарифмовъ чиселъ, антилогарифмовъ (т.-о. чиседъ, соотвЪт-
ствующихъ данному логарифму) и логарифмовъ круговыхъ функцШ
дугъ, разнящихся между собой на половину града и градуса. Сл'вдуетъ
рекомендовать упражняться возможно больше въ р*шенш
практическихъ вопросовъ, при помощи данныхъ таблицъ.

— 6 —
пользоваться ею. Съ этою цЪлью шестеричное дЪле-
Hie применяется также въ болыиомъ числи прим'Ь-
ровъ. Въ настоящее время мы переживаемъ йовиди-
мому переходный моментъ, подобный тому, который
послЬдовалъ за введешемъ метрической системы из-
мЪрешя. Въ то время руководства арифметики были
заполнены примерами, для унражнешй на преобразо-
ваше старыхъ единицъ измЪретя ьъ новыя и обратно.
Въ настоящее время такъ же слЪдуетъ привыкать къ
переходу отъ десятичной системы изьгЬретя къ
шестеричной и обратно.
Не будемъ останавливаться наисторическихъ причи-
нахъ введешя новой системы изм^решя и на ея
преимуществах^ Для освйщетя этого вопроса, советуемъ
лучше всего обратиться къ замечательной статьи
члена Парижской Академш Наукъ Гюйу: О приложении
десятичнаго дтлетя четверти круга къ мореплаватю,
напечатанной въ „Annuaire clu Bureau des Longitudes"
за 1902 годъ. Авторъ высказываетъ надежду, что
въ будущемъ старая система д-Ьлешя окружности
должна почти совершенно исчезнуть 1) и говоритъ, что
молодые люди, привыкнувъ. къ новой систем* измЪ-
решя, будутъ съ трудомъ мириться съ усложнетями,
который вводятся въ* вычислетя шестеричной
системой измерешя.
Пользуюсь настоящимъ случаемъ, чтобы выразить
признательность преподавателямъ средней школы, ко-
!) Я не говорю, что шестеричная система должна совершенно
исчезнуть, потому что астрономамъ придется еще долго ею
пользоваться, такъ какъ много прежнихъ наблюденш и вычисленШ выпол-
лено въ шестеричной систем* изм*решя дугъ. Но и астрономы со
временемъ привыкнуть пользоваться новой системой изм*решя,
указывая, въ начал* и въ конц* своихъ вычисленш, способъ приведешя
ихъ къ старой систем* изм*рев1я.

I торые делились со мной своими замЪчатями по
поводу моихъ руководствъ; советы ихъ очень ц1ьшш для
меня, и я надеюсь пользоваться ими и дальше. Я буду
очень радъ, если эта книга встретить такой же
доброжелательный пр1емъ со стороны преподавателей, какъ
и всЬ предыдушдя. Ихъ одобреше послужитъ мнЪ
лучшей наградой за трудъ.
Эму ль Ворель.

ТРИГОНОМЕТР1Я
ГЛАВА I.
Основныя поняля.
1. ИзмЪреше дугъ.
1. Ц*ль тригонометрш. — Какъ хорошо известно,
чтобы построить геометрическую фигуру, составленную
изъ отрЬзковъ прямыхъ лиши, нетъ необходимости
знать все ея части. Такъ, наиримеръ, для построешя
треугольника, достаточно знать его две стороны и
уголъ между ними; чтобы построить параллелограмъ,
достаточно знать его две неравныхъ стороны и одну
д1агональ и т. д. Такимъ образомъ все составныя части
геометрической фигуры становятся известными, если
мы знаемъ определенное число изъ нихъ. Тщательно
выполненное иостроеше, при помощи линейки,
угольника, циркуля и транспортира, позволяетъ найти иско-
мыя части съ определенною степенью точности. На-
примеръ, если построить треугольникъ, две стороны
котораго равны соответственно 32 и 45 миллиметрамъ,
а уголъ, заключенный между ними, равенъ половине
прямого угла, то легко найти, что длина третьей
стороны равняется приблизительно 31,9 миллиметрамъ.
Цель тригонометрш заключается въ решети вопро-
совъ, подобныхъ предыдущему, при помощи вычисле-

10 —
шя; другими словами, тригонометрия даетъ способъ
находить численную величину (длины и углы) состав-
ныхъ частей геометрической фигуры, на основание
численныхъ величинъ (длинъ и угловъ) остальныхъ ея
частей, которыя достаточны, для построен\я
рассматриваемой фигуры. ЗдЪсь рЪчь идетъ исключительно
о геометрическихъ фигурахъ, составленныхъ изъ
отр'Ьзковъ прямыхъ лиши. Такъ какъ подобныя
фигуры вообще состоятъ изъ треугольниковъ, то можно
сказать, что задача тригонометрш заключается въ
ртшенги треугольниковъ, или въ вычислены неизв'Ьст-
ныхъ частей треугольника, при помощи его извйст-
ныхъ остальныхъ частей, которыхъ достаточно для
построешя разематриваемаго треугольника 1). Въ виду
этого необходимо остановиться на вопросЬ объ
измерены угловъ болте подробно, чгЬмъ это дгЬлается
обыкновенно въ геометрш, и съ этою ц-Ьлью удобнее
начать съ разсмотрЪшя задачи объ измтренш дугъ. Хотя
оба эти вопроса: измЪреше угловъ и измЪрете дугъ
совершенно равнозначны, тЪмъ не менЪе второй • во-
просъ допускаетъ болЪе ясное изложеше чЪмъ
первый, такъ какъ самое понят1е о дугЬ является менЪе
отвлбченнымъ ч-Ьмъ понят! е объ угли.
2. Тригонометрически кругъ. — Для опредйлетя
положетя точки на какой-либо прямой, мы ирйни-
маемъ определенную точку на ней за начало, намй-
чаемъ положительное направлен1е и выбираемъ
определенную единицу длины. Такимъ же образомъ, чтобы
определить положеше точки на окружности,
необходимо наметить на ней точку, принимаемую за начало
дугъ, положительное направлен1е движешя по окруж-
*) Мы ограничимся раземотръшемъ только прямолинейной
тригонометрш, которая называется таьъ въ отлич1е отъ сферической,
занимающейся ръшешемъ сферическихъ треугольниковъ, начерчен-
ныхъ на сфер*Б и образованныхъ дугами ея болыпихъ круговъ.

— и —
ности и, наконецъ, единицу длины. Въ тригонометрш
за единицу длины принимается обыкновенно радгусъ
разсматраваемаго круга. Подобный кругъ, съ намй-
ченнымъ началомъ, обусловленнымъ иоложительнымъ
направлетемъ и рад1усомъ, который взятъ за единицу
длины, называется тригонометрпческимъ кругомъ.
Обыкновенно условливаются считать положитель-
нымъ то направлеше движешя вдоль окружности,
которое противоположно движенгю часовой стртлки.
Само собою разумеется, что этотъ выборъ совершенно
Произвольный и что съ такимъ же усп&хомъ можно
яыло бы выбрать за положительное прямо
противоположное направлеше. Наконецъ за начало дугъ
обыкновенно считатотъ точку, наиболее отстоящую вправо
на окружности. Выборъ этотъ хотя и вполне
произвольный, но гЬмъ не менее всегда принимается, благодаря
своему удобству.
Описанный тригонометрических кругъ изображенъ
на чертежи 1-омъ; начало дугъ находится въ точки А;
положительное направлеше отмечено стрелой на
чертеже; единица длины равна ОА. На чертежи нане-
сенъ также рад1усъ ОА, который соединяетъ центръ
окружности съ началомъ дугъ
и называется начальнымъ ра-
дгусомъ.
Положеше точки М на
окружности вполне определяется
своей, такъ называемой,
криволинейной абсциссой, т.-е. длиной
и знакомъ дуги А31. НапримгЬръ,
на чертежи 1-омъ
криволинейная абсцисса точки М равна
приблизительно 0,6,а
криволинейная абсцисса точки JV равна приблизительно—1,3.
Если бы нашъ кругъ представлялъ матер!альный

— 12 —
кругъ, наприм^ръ, въ вид* колеса съ рад!усомъ
величиной въ одинъ метръ, то криволинейныя
абсциссы на немъ можно было бы легко измерять,
при помощи метра изъ ленты или полосы клеенки.
3. Кратныя значешя криволинейныхъ абсциссъ.—
Мы только что сказали, что криволинейная абсцисса
точки М равна величин* 0,6, а криволинейная абсцисса
точки N равняется —1,3. Въ самомъ д'Ьл'Ь, точка,
принужденная двигаться по окружности, должна
направиться въ положительную сторону, чтобы пройти
по кратчайшему пути изъ положетя А въ М и описать
путь, длиной въ 0,6. Такъ я^е точно, чтобы пройти по
кратчайшему пути изъ А въ N, точка должна
направиться въ отрицательную сторону и пройти разстояше
въ 1,3. Но вполн* возможно также перейти изъ поло-
жешя А въ N, двигаясь въ положительномъ направле-
нш; однако въ этомъ случае путь будетъ бол ее
длинный. Это было бы, пожалуй, похоя^е на то, что путе-
шественникъ, имея въ своемъ распоряягеши
достаточно свободнаго времени, отправляется изъ Парижа
въ Москву черезъ Нью-Йоркъ, Санъ-Франциско, 1око-
гаму и Сибирь. Спрашивается, чему будетъ равняться
описанная дуга, если двшкущаяся точка направится
изъ А въ полоя^еше N, следуя въ полояштельномъ
направленш, т.-е. пройдетъ сначала черезъ точку Ж?
Само собою разумеется, что длина
соответствующей дуги AMN равняется длингЬ всей окруяшости,
за вычетомъ длины малой дуги AN. Если рад1усъ
окружности принять за единицу длины, то длина всей
окруяшости равняется 2~, или приблизительно 6,28;
такъ какъ длина малой дуги AN, согласно сделанному
выше предполоя^ешю, равна 1,3, то отсюда сл^дуетъ,
что длина дуги AMN имЬетъ следующее приближен-
ное значете
6,28 — 1,3 = 4,98.

— 13 —
Поэтому криволинейную абсциссу точки N мы мо- .
жемъ принимать равной, или 4,98, или же — 1,3.. Та-
кимъ же образомъ криволинейная абсцисса точки М
равняется -f- 0,6 или равна — 5,68, такъ какъ такова
приблизительно длина дуги ANM, которую приходится
пройти точкЪ изъ А ъъ М, двигаясь въ
отрицательную сторону.
Можно смотреть на опред'Ьлете положетя точки
на окружности еще съ болЪе общей точки зрЪтя,
которая приноситъ своего рода выгоду, какъ мы уви-
димъ впосл'Ьдствш.
Чтобы перейти изъ точки А въ М, можно, напри-
мгЬръ, совершить 163 полныхъ оборота окружности
въ положительномъ направленш и зат'Ьмъ описать
малую дугу AM. Въ такомъ случай длина всего прой-
деннаго пути выразится числомъ
163 X 2т:-f 0,6.
Шслйднее выражеше представляетъ одно изъ зна-
четй, которое можно присвоить криволинейной
абсциссе точщ! М. Обозначимъ вообще черезъ а
величину малой дуги AM, а подъ к будемъ разуметь
цЪлое положительное или отрицательное число. Пред-
положимъ, что, при переходе изъ положетя А въ Ж,
движущаяся точка описываетъ полную окружность к
разъ въ положительномъ направленш, если к —
положительное число, или — к разъ въ отрицательномъ
направленш, если к представляетъ отрицательное
число (т.-е. — к является положительнымъ), и загЬмъ
уже описываетъ малую дугу AM. Въ такомъ
случае все пройденное точкой пространство
представляется, какъ по величине такъ и по своему знаку,
слЪдующимъ выражешемъ
2къ + а>

— 14 —
въ чемъ читатель легко можетъ самъ убедиться.
Полученный результатъ 2&тг -f а представляетъ общгй видъ
выражемя криволинейныхъ абсциссъ точки М, при чемъ
а им'Ьетъ значеше одной какой-либо изъ этихъ
абсциссъ. Н'Ьтъ надобности предполагать, что а
обозначаешь непременно наименьшую дугу AM. Въ самомъ
дйл^, если положить, напримйръ,
а' — 2къ -\~ а
и
a"==2#i:-f а',
гдЪ к и У представляютъ цЪлыя числа, то отсюда
слЪдуетъ формула прежняго вида
такъ какъ число Л-f к* является такимъ же иоложи-
тельнымъ или отрицательнымъ числомъ, какъ к или V.
4. Приложеше.—Чтобы нагляднее выяснить поня-
rrie о кратныхъ значешяхъ криволинейныхъ абсциссъ
и BMicTt съ тЪмъ понять пользу ихъ употреблешя,
прим'Ьнимъ ихъ къ рЪшенш слЬдующаго примера.
Задача.—Дет подводы движутся въ противополоэю-
ныя стороны по окружности, радгусъ которой равенъ
километру; скорость первой подводы равна 20 кило-
метрамъ въ часъ, а скорость второй подводи равняется
30 километрамъ въ часъ; требуется определить время
ихъ встречи, если известно, что въ полдень обт под-
воды проходятъ одновременно черезъ точку А.
Условимся считать исходнымъ пунктомъ точку А и
положительнымъ направлете движетя первой
подводы; за единицу длины принимаемъ километръ и за
единицу времени часъ. Следовательно, скорость
первой подводы равняется -f 20, а скорость второй —30.
Если условимся считать время съ полудня, то въ та-
комъ случай, очевидно, что въ моментъ времени /

— 15 —
криволинейная абсцисса первой подводы равна 20/, а
криволинейная абсцисса второй подводы—30/. Оба вы-
ражетя криволинейныхъ абсциссъ равны между собой
только при значенш < = 0. Поэтому, если не
принимать въ расчетъ кратныя значешя криволинейныхъ
абсциссъ, то можно притти къ ошибочному заключетю,
что обе подводы встретятся только въ начальный
моментъ времени, что противоречит^ конечно,
здравому смыслу.
Становится понятнымъ, что для того, чтобы въ
моментъ времени / обе подводы были бы въ одной и
той же точке М9 достаточно, чтобы криволинейныя
абсциссы каждой изъ подводъ были равны одному изъ
значетй криволинейной абсциссы точки Ж Если
криволинейная абсцисса одной подводы имйегь значеше а,
то криволинейная абсцисса другой подводы должна
быть а-\-2кк9 где к представляетъ некоторое целое
положительное или отрицательное число. Поэтому мы
получаемъ равенство
201 — — Ж-{-2кп,
изъ котораго находимъ, что
- ?}с71
~~~ ~5 (Г'
Такимъ образомъ получается столько моментовъ
встречъ, сколько существуетъ различныхъ целыхъ
значетй числа/с Такъ, напримеръ, для &=1
получаемъ
<=^-—0М2566 ,
т.-е. t равно приблизительно -часа или 71/2 минутамъ.
о
Следовательно, первая встреча подводъ произойдетъ
приблизительно въ 12 ч. Iх!2 мин. Такимъ же образомъ

— 16 —
вычисляется время остальныхъ встр'Ьчъ. Чтобы
определить время встрЪчъ, которыя произошли до
полудня, слЪдуетъ давать h цЪлыя отрицательныя зна-
чешя.
Мы сов-Ьтуемъ читателю решить ту же самую
задачу, при помощи непосредственныхъ арифметиче-
скихъ вычислетй. Сходство вычислетй: и получен-
ныхъ результатовъ обнаружить удобство применетя
кратныхъ значенШ криволинейныхъ абсциссъ.
5. Прямой уголъ какъ единица изм*решя.—Въ виду
того, что прямой уголъ часто встречается въ геометрш,
его принимаютъ иногда за единицу измеретя угловъ;
соответствующая единица измеретя дугъ
представляетъ четверть окружности, четверть или квадрантъ.
Часто принимается за единицу измеретя также сотая
доля четверти, которую называютъ градомъ; сотая доля
града иногда называется минутой, а сотая доля
минуты называется секундой десятичной системы. Поэтому
уголъ, который выражается члсломъ 0,345268 въ до-
ляхъ прямого угла, выражается также слЪдующпмъ
образомъ ^
34г, 5268
или
34г 52' 68й.
Вся метрическая система изм^решй основана на ука-
занномъ способе измеретя дугъ и угловъ. Основная
длина, принятая за метръ, представляетъ собой длину
одной десятой доли десятичной секунды земного мери-
д1ана. Десятичная система делетя дугъ
представляетъ собой особенное удобство въ геодезш и
преимущественно тамъ и употребляется, несмотря на
давность шестеричной системы делетя окружности и на
привычку къ этому деленно, которому мы посвятимъ
сейчасъ несколько словъ.

-- 17 —
6. Шестеричное д^леше. — Шестеричная система
представляетъ собой древнш способъ д-Ьлешя
окружности на 360 градусовъ, градуса на .60 минуть и
минуты на 60 секундъ. Секунда, въ свою очередь,
подразделяется, по десятичной систем*, на десятыя, сотыя
доли секунды и т. д. Такъ, наприм'Ьръ, при помощи
разсматриваемой системы, мы пишемъ
53° 45' 35",3.
Эта система счислешя непоследовательна и
представляетъ болышя неудобства; но, темъ не менее,
безъ знашя ея нельзя обойтись, такъ какъ еще до
сйхъ поръ она очень часто применяется и нельзя
думать, чтобы въ скоромъ времени она вышла изъ упо-
"треблетя. Однако можно надеяться, что со временемъ
разсматриваемая система все-таки исчезнетъ, какъ
исчезли прежшя миры длины, площадей, объемовъ и
веса. /
7. Преобразоваше единицъ. — Очень важно уметь
совершать преобразоваше системы единицъ, т.-е. быть
въ состоянш вычислить величину дуги или угла въ
какой-либо изъ указанныхъ системъ измеретй, если
величина ихъ выражена въ единицахъ другой системы.
Съ этою целью мы будемъ пользоваться всегда,
въ качестве промежуточной вспомогательной системы,
системой, где прямой уголъ (или четверть)
принимается за единицу измерешя.
1°, Выраженье дугь тригонометрическим круга,
когда радгусъ его принять за единицу. — Принимая
рад!усъ за единицу измерешя, заключаемъ безъ труда,
2п т,
что длипа четверти окружности равняется — = -•
4: &
Поэтому, имея выражев1е дуги въ доляхъ четверти,
Тригопо.метрёя. 2

— 18 —
достаточно умножить его на ~ > чтобы получить длину
той же дуги въ частяхъ padiyca. Наоборотъ, если
длина дуги выражена въ доляхъ рад1уса, достаточно
разделить последнюю на ^т.-е. умножить ее на -
для того, чтобы получить разсматриваемую величину
въ единицахъ четвертей. Напомнимъ значешя чиселъ
т: 2
£=1,5707963.,., - = 0,6366197...
2 т:
Въ частности дуга четверти измеряется
тригонометрически величиной 1,57..., а дуга, длина которой
равна рад1усу, выражается въ доляхъ четверти чи-
сломъ 0Ч,6366...
2°. Выражете дугъ въ десятичной системы. —
Преобразоваше дугъ, выраженныхъ въ градахъ, въ
части четверти совершается непосредственно, въ силу
самаго опредЪлешя градовъ; такъ же просто
совершается и обратное преобразоваше. Такъ, наприм'Ьръ,
0Ч,6366197^63Г,66197 = 63Г 6б'19",7.
3°. Выражете дугъ въ шестеричной систелмъ.1—
Чтобы выразить ихъ въ доляхъ четверти, сл^дуетъ
помнить, что четверть равняется 90 градусамъ, или
90X60 = 5400 минутамъ, или 5400X60 = 324000 секундъ.
Поэтому, наприм'Ьръ, дуга въ 35°43'57" выражается
въ доляхъ четверти сл'Ьдующимъ числомъ
35 _43_ 57_
90 + 5400"" 324000 '

— 19 -
Чтобы совершить обратное преобразоваше, слЪдуетъ
умножить на 90 длину дуги, выраженной въ доляхъ
четверти; ц'Ьлая часть полученнаго произведешя пред-
ставляетъ число градусовъ; десятыя доли, умножен-
ныя на 60, 'даютъ новое произведете, цЪлая часть
тсотораго определяете число мпнутъ, а ея десятыя
доли, умноженныя на 60, представляютъ число секундъ
съ ихъ десятичными долями.
Припгёръ: Выразить въ шестеричной системгь
величину дуги, длина которой равняется радгусу, т.-е.
равна О4,6366197...
Получаемъ
0,6366197 X 90 = 57,295773
0,295773 X 60 == 17,74638
0,74638X60 = 44,7828.
Поэтому для разсматриваемой дуги получается
приближенное значев1е 57°17'44",8.
Если не делается особаго указатя, то всегда
предполагается въ тригонометрЫу что единицей измЪ-
решя служить рад1усъ.
И. ОпредЪлеше круговыхъ функцш.
8. Предварительныя поняйя.—Пусть им'Ьемъ дугу
окружности съ началомъ въ точки Л (черт. 1, см. стр. 11),
конецъ которой перемещается по окружности
тригонометрическая круга. Съ каждымъ положешемъ точки М
легко связать значешя нЪкоторыхъ отвлеченныхъ
чйселъ, представляющихъ собой функцш 2) дуги АВУ
которыя называются ея круговыми функциями. Они
определяются при помощи построешя опред'Ьленныхъ от-
*) Функщей какой-либо величины называется вообще всякая
величина или выражен]е, которое зависитъ такимъ образомъ отъ
указанной величины, что, для каждаго даннаго значеш'я последней, при-
нимаетъ вполне определенную величину.
2*

20 -
р'Ьзковъ прямыхъ лиши. Однако длина послЪднихъ
не разсматривается, и только принимается въ расчетъ
отношеше ихъ длины къ рад1усу тригонометриче-
екаго круга, которое, такимъ образомъ, не зависитъ
отъ масштаба чертежа. Поэтому круговыя функщи-
являются отвлеченными числами, представляющими
собой отношешя (съ опредЪленнымъ знакомъ), но не
длины.
Для опредЪлетя круговыхъ функщй дуги удобно
предположить, что ея начало находится въ точки А,
которую мы называемъ
В началомъ дугъ (см. черт.
2). Конечно, всЬ точки
окружности
тождественны между собой и
поэтому возможно взять лю:
бую изъ нихъ за точку
А. Если окружность
начерчена на лист'Ь бумаги,
то всегда возможно
повернуть ее такъ, чтобы
точка А оказалась
точкой окружности, наиболее отстоящей вправо. ,
На чертеже 2-омъ рад1усъ ОА представляетъ
начальный рад1усъ; А' обозначаетъ обыкновенно точку д1а-
метрально противоположную точки А, а прямая ВВ
представляетъ д1аметръ, перпендикулярный д1аметру
АА! При этомъ черезъ В называется тотъ изъ кон-
цовъ д1аметра, черезъ который прежде всего прохо-
дитъ точка, отправляющаяся изъ положешя А и
двигающаяся по окружности въ положительномъ
направлены!. Д1аметры А А! и ВВ раздЪляютъ нашъ кругъ
на четыре четверти, которыя называются
соответственно первой, второй, третьей и четвертой
четвертью, въ томъ порядки, въ которомъ ихъ огибаетъ
/

— 21 —
точка, описывающая окружность въ положительномъ
направленш, выходя изъ начальнаго положешя А.
Следующая таблица, которую можно продолжить
сколь угодно далеко вправо и вл'Ьво, даетъ значеше
криволинейныхъ абсциссъ точекъ А, В, А', В' въ ча-
стяхъ радгуса, въ десятичной и шестеричной системахъ
измЪрешя дугъ.
В'
~~2
— LOOr
— 90°
4чет.|
А
0
0
0
Н 1
т-Н '
2
100г
| 90°
I
н
^ I Л'
Г Л
С<1 1
— -
z
200г
180°
Зчет.|
IV
2
300 г
270°
4 чет.]
А
-
2-
400г
360°
В
5т: 1
~2
500г
'450°
9. Опред*лен1е основныхъ круговыхъ функщй:
косинуса, синуса и тангенса. — Пусть имЪемъ
тригонометрически кругъ (черт. 2); назовемъ осью коси-
нусовъ ось х'ху совпадающую съ д1аметромъ А!А\ на-'
чало этой оси примемъ въ центре О. Единицу длины
и положительное направлете на оси выбираемъ та-
кимъ образомъ, чтобы абсцисса х) начальной точки
А равнялась + 1. Поэтому единицей длины служить
отрЪзокъ ОА, а направлете отъ О къ А является
положительными
Пусть им'Ьемъ какую-нибудь дугу съ началомъ въ
точки А и концомъ въ точкгЬ М. Косинусомъ этой
дуги называется абсцисса основатя Р
перпендикуляра, опущепнаго изъ конца дуги М на нашу ось.
Короче говоря, косинусомъ дуги называется абсцисса на
1) Абсциссой точки на оси называется разетояше этой точки отъ
начала оси.

— 22 —
оси конусовъ проекцги г) на эту ось конца дуги. Въ
зависимости отъ того, находится ли точка Р на ОА или
на ОА\ косинусъ представляетъ положительную или
отрицательную величину; абсолютное значеше косинуса
ОР
выражается величиной отношешя ^-, гдЪ ОА
служить единицей длины. Такимъ образомъ величина
косинуса не зависитъ отъ рад1уса тригонометрическаго
круга, а только отъ величины дуги AM (или угла АОМ),
выраженной въ доляхъ рад1уса, въ градахъ или въ
градусахъ.
Изъ даннаго опредЪлешя становится очевиднымъ,
что абсолютная величина косинуса не можетъ
превышать единицы, такъ какъ ОР не можетъ быть больше
О А. КромЪ того, вполне ясно, что косинусъ можетъ
получать любое значеше, заключающееся между
величинами —1 и +1, въ зависимости отъ положешя
точки М. Накрнецъ
слЪдуетъ заметить,
что значеше косинуса
зависитъ только отъ
положешя начала А и
конца М разсматривае-
мой дуги и не
находится въ зависимости
отъ кратяыхъ значешй
криволинейной
абсциссы точки Ж. Такимъ
образомъ выъльъ раз-
личнимъ кратнымъ
значенгямъ криволиней-
1) Проекщей точки на прямую линно называется точка на ней,
представляющая основа Hie перпендикуляра, опущеннаго изъ
данной точки на разсматриваемую прямую.

— 23 —
ной абсциссы точки М соотвттствуетъ одно и то же
значенге косинуса; это замЪчате какъ увидимъ
дальше относится также къ другимъ круговымъ функ-
щямъ.
Осью синусовъ называется ось г/у (черт. 3),
совпадающая съ В'В и имеющая начало въ точки О.
Положительное даправлеше на разсматриваемой оси и
единица длины выбираются такъ, чтобы абсцисса
точки В равнялась 4-1- Синусъдут ^.Жпредставляетъ
абсциссу точки Q, которая служить проекщей точки
М на ось синусовъ. ВсЬ замЪчатя, сдЪланныя нами
но поводу опредйлетя косинуса, относятся также и
къ синусамъ.
Выражаясь бол'Ье кратко, можно сказать, что косину съ
и синусъ дуги AM представляютъ соответственно
абсциссу и разставить ординату точки Ж1), по отношенш
!) Положение каждой точки М на плоскости вполне определяется
разстояшями ея отъ двухъ взаимно перпендикулярныхъ осей Ох и Оу,
расположенныхъ въ разсматриваемой плоскости. Разстояше $ilf (чер. 1)
точки М отъ оси Оу, равное отрезку ОР, называется абсциссой
точки М\ разстояше же РМ точки М отъ оси Ох, равное отрезку OQ,
называется ординатой точки М.
Оси Ох и Оу называются координатными осями, а уголъ хОу —
прямоугольной прямолинейной системой координатъ хОу.
У\
Q\.
м
х
01"
х
Черт. I.

— 24 —
къ нашей системЬ прямоугольныхъ осей ох и оу. Отсюда
ясно слЪдуетъ, что задавая значешя косинуса и сц-
Об* разсматриваемьщ величины: абсцисса и ордината точки М,
по отношенш къ разсматриваемой систем-fe координатъ, разумеются
подъ однимъ общимъ назвашемъ: кордииаты точки Ж.
Направдешя осей вправо и вверхъ отъ начала координатъ О
считаются положительными сторонами осей абсциссъ и ординатъ.
Продолжешя о'1шхъ осей Ох' и Оу' считаются отрицательными.
По даннымъ значен!ямъ абсциссы и ординаты точки легко
определить положеше ея на плоскости, по отношенш къ данной систем'Ь
координатъ. При этомъ еледуетъ обращать особенное внимаше на
знакъ данныхъ значенШ координатъ. Такъ, точки съ положительными
зпачешями обеихъ координатъ расположены въ углу хОу; точки съ
•отрицательными значешями абсциссъ и положительными ординатами
находятся въ углу х'Оу; точки съ отрицательными значешями обеихъ
координатъ лежатъ г,ъ yixyx'Oy'; наконецъ точки съ положительными
абсциссами и отрицательными ор шнатами расположены въ углу хОу'~
Часто приходится совершать такъ называемое преобразованге
координатъ, т.-е. переходить, для определешя положеьия точки, отъ
одной системы координатъ къ другой.
Пусть, напримъръ.положеше точки Ж (черт. II) определяется,
относительно системы
прямоугольныхъ осей Ох и Оу,
координатами ОР=х и OQ=y. Бвремъ
новую систему двухъ
взаимно перпендикулярныхъ
осей Оххх и 0\у\> параллель-
ныхъ прежнимъ осямъ и
находящихся отъ нихъ
соответственно i:a разстоя-
н1яхъ
OR = a, OS^b,
представляющихъ координаты новаго начала 0t, по отношение къ
прежнимъ осямъ.
Точка М определяется относительно новыхъ осей координатами
(hP^xu 0,ft=y,
Изъ разсмотрешя чертежа становится очевиднымъ, что сущеегвуютъ
следующая зависимости:
ху -_г х — а, у{ = у — h,
т.-е. новыя координаты выраоюаются разностью прежпихъ
координатъ и координатъ новаго начала, относительно прежней системы.
У\
Q'
"О1"
Уг
М
Яг
о:
Ё Р
Черт. II.
я\
х

— 25 —
нуса какой-либо дуги, съ началомь въ точке А, мы
вполне точно опредЪляемъ конецъ этой дуги М\ что
же касается величины соответствующей дуги, то она
представляетъ одно какое-либо изъ кратяыхъ значенШ
криволинейной абсциссы точки М.
Осью тангенсовъ называется прямая tt (черт. 4),
проведенная въ точки А параллельно оси г/у и въ
одномъ съ нею направлены. Начало этой оси,
находится въ точкЪ А; ея положительное направлете At
совпадаешь съ положительнымъ направлетемъ ОВ; a
единицей длины служить отрЪзокъ ОВ, Тангенсъ
дуги AM определяется
абсциссой, на оси ft, точки
пресЬчешя Т рад1уса ОМ
съ осью ft. Подобно
косинусу и синусу, знач'еше
тангенса не зависитъ отъ
избранной единицы длины,
такъ какъ, по абсолютной
величине, равняется отно-
шенш отрезка AT къ ОВ
(или ОА). Обе дуги, концы
которыхъ дзаметрально
противоположны, какъ, напри-
меръ, дуги AM и AM
имеютъ одинъ и тоть же тангенсъ; дальше намъ
придется возвратиться еще разъ къ последнему замечанш.
Тангенсъ можетъ получать все значетя отъ —оо до
+ оо, такъ какъ соединяя точку О съ какой-либо
точкой Т19 на оси ti, мы определяемъ точку Ж,,
представляющую конецъ дуги, тангенсъ которой равенъ
абсциссе точки 1\.
Косинусъ, синусъ и тангенсъ дуги а обозначается
следующимъ образомъ
cos с/,
sin a,
t Д' а.

— 26 —
Эти величины представляютъ три основныхъ круго-
выхъ функцш; дальше мы дадимъ еще опредЪлеше
трехъ другихъ круговыхъ функцШ: котангенса, секанса
и косеканса, которыя, однако, менЬе употребительны
чЪмъ предыдущдя; двЪ послЪднихъ изъ нихъ
встречаются особенно рЪдко.
Ю. Знаки основныхъ круговыхъ функщй.— Очень
валено указать значешя знаковъ основныхъ круговыхъ
функщй, въ зависимости отъ четверти, гдЪ находится
точка М.
ЗамЪтимъ прелюде всего, что въ первой четверти
всгь три функцш имтютъ положительным значенгя.
Чтобы косинусъ имЪлъ положительное значеше, для
этого необходимо и достаточно, чтобы проекщя точки
на ось А! А находилась бы на отрезки ОАу но не на
отрЪзкЪ ОА!, Чертежъ 5-ый показываетъ, что последнее
в в
В1 в*
Черт. 5. Положительный косинусъ: Черт. 6. Положительный синусъ:
четверти 1 и 4. четверти 1 и 2.
услов1е удовлетворяется, если точка Ж находится въ
первой или четвертой четверти. Такимъ же образомъ
изъ чертежа 6-го видно, что синусъ имЪетъ
положительное значеше въ первой и второй четверти; нако-
нецъ, чертежъ 7-ой показываетъ, что тангенсъ является
положительнымъ въ первой и третьей четверти. Чтобы
твердо запомнить эти чертежи, читатель долженъ пе-

27
речертить ихъ несколько разъ; тогда ему будетъ
достаточно представить ихъ въ своемъ воображенш (или
воспроизвести на бумагЬ), чтобы определить
непосредственно знакъ круговой функщи какой-либо дуги
въ зависимости отъ четверти, въ
которой лежитъ конецъ М этой
дуги.
11. Вспомогательный круговыя
функщи: котангенсъ,секансъ, косе-
канеъ.—Осью котангенса называется
прямая лишя^(черт. 8),
проведенная въ точки В, параллельно
Черт. 7. Положительный
тангенсы четверти 1 и 3.
оси х'х; за начало проведенной прямой принимаемъ
точку В\ положительное направлете ея Bz совпадаетъ
съ положительной стороной Оху а единицей длины
служитъ отрЪзокъ ОВ. Котангенсомъ дуги AM
называется абсцисса, на оси Bz, точки Z, представляющей
пересечете прямой ОМ съ осью ds. Поэтому оче-
видно* что котангенсъ имЪетъ всегда "одинаковый знакъ
съ тангенсомъ, т. - е. является положитейьнымъ въ
первой и третьей четверти (черт. 9). Котангенсъ дуги а
обозначается выражешемъ
cotg a.

— 28 —
Черт. 9. Положительный котангенсы четверти 1 п 3.
Намъ не придется пользоваться въ дальнгЬйшемъ
изложенш, ни секансомъ, ни косекансомъ. Но для
тЪхъ читателей, которые заинтересуются этими
функциями, укажемъ, что секансомъ дуги AM (черт. 10)
называется абсцисса точки S, представляющей пере-
Черт. 10.
сЪчеше касательной прямой MS къ окружности, въ
точк'Ь Ж, съ осью косинусовъ. Косекансомъ дуги ЛМ
(черт. 11) называется абсцисса точки V пересЬчешя
касательной MY къ окружности съ осью синусовъ.
Мы предоставляемъ читателю самостоятельно доказать
слЪдующДя зависимости
1 1
sec х — — cosec х — —.— ,
cos х sin x

— 29 —
который справедливы
какъ по величине такъ
и по знаку, какова бы
ни была величина дуги
х. Указанный формулы
позволяютъ исключать
величину секанса и
косеканса изъ формулъ,
которыя отъ нихъ завк-
сятъ, и получать такимъ
образомъ новыя
формулы, не заключаются
послЪднихъ круговыхъ
функщй1).
Черт. И.
III. Соотношешя между круговыми функцтми одной
и той же дуги.
12. Зависимость между косинусомъ и синусомъ.—
Пусть AM представляетъ
какую-либо дугу (черт. 12),
величину которой обозна-
чимъ черезъ а; косинусъ
ея, по абсолютной
величине, равенъ ОР, а синусъ,
по абсолютной величине,
выражается отрЪзкомъ OQ,
или равнымъ ему отрЪз-
в* комъ РМ, при чемъ рад1усъ
Черт, j 2. окружности принять за еди-
в
АЧ О
У
F
\
_^/
\
)л ж
У1
1) Само собою разумеется, что не только благодаря последнему
обстоятельству величины секансъ и косекансъ мало употребительны.
Мы покажемъ дальше, что тангенсъ и котангенсъ также выражаются
черезъ синусъ и косинусъ; но, тЬмъ не менйе, употреблеше тангенса
очень полезно, такъ какъ, благодаря введеино его, получаются очень
цростыя формулы которыми часто приходится пользоваться.

— 30 —
ницу длины. Изъ прямоугольнаго Д'-ка ОМР
получается следующая зависимость
Такъ какъ величина ОМ равна единиц*, то,
принимая во внимаше, что квадраты выражешй, равныхъ
по абсолютной величин*, равны между собой, выво-
димъ изъ последней зависимости следующее
равенство
(Лг) eos2a + sin2a = 1 •
Полученная зависимость (Аг) им*етъ очень важное
значеше и поэтому необходимо ее запомнить *).
Предположимъ на время, что рад1усъ нашего крущ
не равняется единиц*, и обозначимъ его черезъ В;
пусть х и у обоаначаютъ координаты какой-либо точки
М окружности относительно осей Ох, Оу 2). Если
черезъ а обозначить величину дуги AM, то, въ силу
опред*лешя круговыхъ функщй, им*емъ формулы
/У» Л]
cos а = -р 9 sin а = -— >
и поэтому основная зависимость (Аг) приводится къ
сл*дующему виду
№(*)'-'■
или становится
х* + у* = В.
Полученное равенство представляетъ уравненге
окружности, которая, какъ говорятъ, отнесена къ
прямоугольнымъ осямъ, нроходящимъ черезъ центръ
!) Выговаривается полученное ссотношеше сл'вдующимъ обра-
зомъ: косинусъ квадратъ а + синуеъ квадратъ а равняется I.
*) См. подстрочное приагвчате въ п<>9.

— 31 —
круга. Выведенное уравнеше представляетъ такимъ
образомъ необходимое и достаточное услов1е для того,
чтобы точка съ координатами ог> у лежала на нашей
окружности.
Исходныя формулы могутъ быть представлены
также въ слЪдующемъ вид'Ь
X — ll COS<7,
y — R sin a.
Если дуга а изменяется отъ О до 2тс (или отъ 0Г
до 400г, или же отъ 0° до 360°), то легко видЪть, что
точка съ координатами х, у описываетъ окружность
въ положительномъ направленш (если R им'Ьетъ
положительное значеше) или въ отрицательномъ
направленш (если R представляетъ отрицательную вели-
личину). Поэтому говорятъ, что послйдтя уравнетя
даютъ такъ называемое параметрическое представле-
нге окружности, т.-е. выражаютъ координаты точекъ
окружности съ помощью параметра а.
13. Выражеше тангенса и котангенса черезъ
косину съ ,и синусъ. — Пусть AM представляетъ
какую-либо дугу (черт.
13), отрЪзокъ ОР—
абсолютное значете ея
косинуса, отргЬзокъ
РМ—абсолютную величину
синуса и, наконецъ, отрЪ-
зокъ AT — абсолютную
величину тангенса
нашей дуги. Изъ подоб1я
Д-овъ ОРМ и ОАТ
получается соотношеше
АТ_РМ
оа~Ър *

— 32 —
Отсюда слЪдуетъ искомая зависимость
/ 4 ч l since
(АЛ iga= >
2 с cos a
которая имЪетъ м1ьсто для абсолютныхъ значетй раз-
сматриваемыхъ величинъ. Легко, однако, убедиться,
что об* части этого равенства им'Ьютъ одинаковые
знаки во всЬхъ четырехъ четвертяхъ тригонометриче-
скаго круга.
Действительно, въ первой четверти всЬ три фун-
кщи sin a, cos а и tga им'Ьютъ положительным значешя.
Во второй четверти sin а положительный, cos а и
tg а отрицательные. т
Въ третьей четверти tg а положительный, sin а и
cos а отрицательные,
Наконецъ, въ четвертой четверти cos а положи-
тельный, sin а и tga отрицательные.
Такимъ образомъ соотношете (Л2) справедливо не
только для абсолютныхъ значетй входящихъ въ него
величинъ, но также и для дЪйствительпыхъ ихъ
значетй, зависящихъ отъ знаковъ. Подобно предыдущему,
легко вывести равенство
. cos a
cotga—~— у
sin a
исходя изъ разсмотрЪтя подоб1я треугольниковъ
OMQ и OZB.
Изъ сопоставлетя обоихъ предыдущихъ равенствъ,
получаемъ новую зависимость
/ л ч i. cos a 1
(Л о) cotg а = »— = -— >
6 ° sin a tg а
которая ноказываетъ, что котангецсъ представляетъ
обратную величину тангенса. Въ виду простоты
поели дняго соотношетя, не слЪдуетъ вводить въ одну
и ту же задачу одновременно обозначетя тангенса
и котангенса одной и той же дуги.

— 33 —
Вообще вполн'Ь возможно ограничиться разсмотрй-
шемъ одного только тангенса, а относительно
котангенса запомнить двгЬ слгЬдующихъ зависимости:
формулу (А2) и равенство
(6У3) cot«- 1 -^ а ) —tga
которое будетъ доказано вт^ слЪдующемъ отдЬлЪ.
Эти двЪ формулы необходимо помнить, чтобы быть въ
состоянш применять общеупотребительный таблицы.
Въ виду этого и было необходимо остановиться
несколько подробнее па разсмотрЪнш котангенса.
14. Выражеше основныхъ круговыхъ функщй, при
помощи одной изъ нихъ.—Дв^з основныхъ зависимости
(A) cos2а -]- sin2«-1, tgci =
1 cos a
даютъ возможность выразить дв*Ь какихъ-либо изъ
основныхъ круговыхъ функщй черезъ третью }). При
этомъ слЪдуетъ, однако, заметить, что, при р-Ьше-
вш разсматриваемаго вопроса, вводятся радикалы съ
двумя знаками; на этомъ важномъ обстоятельстве мы
остановимся подробнее въ дальнЪйшемъ изложеши.
1°.Лыражете синуса и .тангенса черезгкосинусъ.—
Искомыя выражения получаются непосредственно въ
сл'Ьдующемъ вид*
. ,- 2— . iy'f—cos*a
sma —4-V 1 — cos2a, tga= ----- •
Вычислеше выражетй косинуса и тангенса черезъ
синусъ делается совершенно аналогичнымъ образомъ.
*) Формулы
1 1 1
cote; а = А , sec а — , cosec а = --. -
tg a cos a sm a
нозволяютъ вычислить загЬмъ выражешя 5 какихъ-либо изъ 6 фрункщй
черезъ одну изъ нихъ; однако указанное вычислеше не
представляется настолько интереснымъ, чтобы стоило его приводить зд$сь.
Тригонометрия. «J

— 34 —
1°. Выражете синуса и косинуса черезъ тан-
геисъ.—Подставляя въ уравнение
cos2 a -|— sin2 а — 1
выражете
sin« = tga cos a,
получаемъ, для опредЪлешя cos г/, следующее урав-
нен1е
cos2 a -j- cos2 a tg2 a — 1.
Разрешая последнее уравнете второй степени
относительно cos я, находимъ
-+-1
cos а — -—- .
Поэтому предыдущее выражете sin а даетъ
sina = tga созя~—;-=~ ^ .
Сл4дуетъ обратить особенное внимате на то
обстоятельство, что въ посл'Ьднихъ двухъ формул ахъ знаки -f-
соотвЪтствуютъ другъ другу, т.-е. если взять знакъ -j-
въ первой изъ формулъ, то во второй формуле сл'Ь-
дуетъ также взять знакъ + • Къ этому вопросу о двои-
ныхъ знакахъ мы возвратимся въ п° 21.
IV. Зависимости между круговыми функциями дугъ,
сумма или разность которыхъ выражается кратнымъ
числомъ четвертей окружности.
15. Приведете дугъ къ первой четверти.—Какъ
мы увидимъ въ следующей второй главЪ,
общеупотребительные тригонометрически таблицы даютъ зна-
чешя круговыхъ функщй дугъ первой четверти (или,
точнее сказать, ихъ логарифмовъ). Поэтому, если дан-

— 35 —
нал дуга не принадлежитъ къ первой четверти, то
необходимо сделать приведете, которое позволяло бы
выразить ея круговым функти черезъ круговым фун-
кц'ш дугъ первой четверти. Достигнуть этого проще
всего на основанш слЪдующихъ соображетй.
Если величина а представляетъ дугу первой
четверти, которая заключается между пределами 0 и
~ > то дуга ~ — а заключается между пределами ~
и ~, т.-е. принадлежитъ ко второй четверти
тригонометрическая круга. Дуга г,-\-а заключается между
Зт:
пределами т: и -^- и принадлежитъ поэтому къ третьей
четверти; наконецъ дуга 2т: —а, находясь между
пределами -£ и 2т:, принадлежитъ къ четвертой четверти.
Li
Итакъ, если а обозначаетъ какую-нибудь дугу первой
четверти, то выражешя т. — а, тг+а, 2т: — а предста-
вляютъ соответственно дуги второй, третьей и
четвёртой четверти.
Предположимъ, что дуги выражаются въ
десятичной системе и Г представляетъ некоторое число гра-
довъ между 0 и 100. Въ такомъ случае выражешя
200—Г, 200 -|- Г и 400 — Г представляютъ собой числа,
заключающаяся соответственно между 100 и 200, меяеду
200 и 300 и, наконецъ, мея*ду 300 и 400.
Изложенное выше формулируется словами, что пе-
реходъ отъ первой четверти къ тремъ другимъ
совершается при помощи трехъ основныхъ подстановокъ,
который состоятъ въ замене а черезъ к — а, т: + а и
2- —а. Дело сводится къ тому, чтобы узнать, какъ
вл1яютъ эти три основныхъ подстановки на изменеше
величины косинуса, синуса и тангенса, т.-е. какъ
изменяется величина кая^дой изъ последнихъ функщй,
вследств1е замены а черезъ т: — а, ъ-\-а или 2п — а.
3*

— 3G —
Мы докажемъ дал'Ье, что отв^тъ на поставленный
вопросъ заключается въ сл^дующихъ словахъ:
Каждая изъ трехъ основныхъ подстановокъ оста-
вляетъ безъ измтьнетя одну изъ трехъ основныхъ
функигй и гштняетъ знакъ двухъ остальныхъ функигй.
Чтобы решить вопросъ, какая изъ трехъ лиши
остается безъ изм1шешя, при каждой изъ
подстановок^ достаточно вспомнить знаки разсматриваемыхъ
функщй въ каждой четверти, т.-е. возвратиться къ
чертежамъ 5-ому, 6-ому и 7-ому въ п°п°10 и 11.
Благодаря этому получается, въ доиолнете къ
предыдущему, следующее предложеше:
Замша величины а на z—а (вторая четверть) не
изменяешь синуса г замтьна а на ъ-\-а (третья
четверть) не гштняетъ тангенса; наконеиъ замкьна а на
2т: — а (четвертая четверть) не гштняетъ косинуса.
Обаизложенныхъ правила выражаются следующими
важными формулами
j sin (т.—a)—sin a; cos (~—а)=—cosa; tg (тг—а)=—tg a;
(В)\ tg (u4-^)=tg а; sin (n-\-a)=— sin a; cosfa-f-a)——cosa;
^cos(2t:—a)=cosa; tg(2r,—a)=—tga; sin(2n:—a)=—sin a.
Чтобы запомнить ихъ, удобно пользоваться
предыдущими правилами, предполагая, что дуга а
принадлежим къ первой четверти, а дуги т: — а, гс-|-а, 2т;— а
принадлежать соответственно ко второй, третьей и
четвертой четверти; тогда, принимая во вниманге знаки
крг^овыхъ функигй въ различныхъ четвертяхъ, мы не
сдгьлаемъ огиибки въ знакахъ формулъ (В).
Однако легко доказать, что формулы (В) остаются
справедливыми, какова бы ни была дуга а. Поэтому,
применяя эти формулы, нить надобности
ограничиваться предположешемъ, что дуга а принадлежишь
перЕОй четверти.

— 37 —
16. Дуги, сумма которыхъ равна половин*
окружности.—Теорема.—Кошт двухъ дугъ, сумма которыхъ
равна половинт окруэюности, находятся па одной и
той oice прямой, параллельной оси косинусовъ А'А (при
чемъ начала об-Ьихъ этихъ дугъ перенесены, конечно,
въ одну и ту же точку А).
Согласно съ опред'Ьлешемъ, криволинейным
абсциссы двухъ разематриваемыхъ дугъ выражаются
черезъ а и ъ — а, при чемъ за начало криволинейныхъ
абсциесъ взята точка А; положительное направлеше
абсциесъ считается въ обычную сторону, а единица
длины равняется О А (черт. 14). Вычислимъ
криволинейную абсциссу дуги ъ — а, иринявъ за начало точку
А', а за положительное направлеше, противоположное
общепринятому, оставивъ при этомъ единицу длины
прежней. Если изменить сперва одно только пачало,
то новая абсцисса будетъ выражаться разностью
прежней абсциссы и абсциссы новаго начала, по отношешю
къ прежнему началу а), т.-е. равняется
(т. — a) — z=rz — a,
потому что абсцисса точки А\ по отношешю къ А,
выражается черезъ т:. Если затЬмъ мы измЪнимъ
сторону положительнаго направлешя, то новое выражеше
абсциссы должно будетъ отличаться отъ предыдущаго
противоположнымъ знакомъ, т.-е. станетъ а. Такимъ
образомъ концы обЪихъ нашихъ дугъ имЪютъ равных
криволинейныя абсциссы, при условт, что одна изъ
этихъ абсциесъ откладывается отъ начала А, въ обще-
принятомъ положительномъ направлети, другая oice
абсцисса отсчитывается отъ начала А! въ
противоположную сторону. Предположимъ, напримЪръ, что
дв'Ь движущихся точки выходятъ одновременно одна
1) См. подпрочнее примЪчаше въ »°9.

— 38 —
Черт. 14.
изъ положетя А, другая же изъ А' и движутся по
окружности въ противоположный стороны. Если обе
точки описываютъ въ равные промежутки времени
равныя пространства, но абсолютной величине, то, въ
каждый моментъ времени,
онгЬ будутъ находиться въ
концахъ двухъ разсматри-
ваемыхъ дугъ, сумма кото-
рыхъ равна половин* окруж-~
ности. Следовательно,
становится очевиднымъ, что по-
ложешя обЪихъ движущихся
точекъ симметрично располо-
жены по OTHouieHiio къ оси
ВВ\ т.-е. находятся на одной
и той же прямой,
параллельной оси АА!.
Разсуждетя становятся еще нагляднее, если
обратиться къ помощи чертежа. Если одна изъ
движущихся точекъ находится последовательно въ положе-
ши Ж, N, Р или II, то другая точка занимаетъ
соответственно положетя М\ У, Р и R'. Первая точка
дышется въ направлены, отмеченномъ стрелками
внутри окружности, а вторая—въ направленш, указан-
номъ внешними стрелками. Наконецъ можно было бы
изменить направлетя движешя обеихъ точекъ, т.-е.
предполояшть, что а — отрицательная величина, но и
тогда доказательство остается прежнимъ.
CntflCTBie.—Деть дуги, сумма копгорыхъ равна поло-
вингь окруэюности, гимъютъ равные синусы, а косинусы
и тангенсы ихъ противоположны по знаку.
Это следств!е вытекаетъ непосредственно изъ
чертежа 14-аго, на которомъ круговыя функщи дугъ AM
и АУГ выражаются следующимъ образомъ: сипусъ

39 —
представляется отргЬзкомъ OK, косинусъ—отрЪзками
ОН и ОН, а тангенсъ—отрезками AT и AT.
Такимъ образомъ формулы первой строки таблицы
(В) становятся доказанными для всЪхъ значетй а и
представляются въ слЪдующемъ вид-Ь
(JSa) sin(?r—а) — sin a; cos(r: — а)= — cos а; tg(it—«) =—tga
Можно было бы ограничиться с доказательствомъ
иервыхъ двухъ изъ этихъ фор-
мулъ; третья получается дгЬ-
летемъ двухъ предыдущихъ.
17. Дуги, разность кото-
рыхъ представляетъ половину
окружности. — Пусть им'Ьемъ
дуги а и a-j-т:, разность ко-А'
торыхъ равна половине
окружности; пусть точки М и
Ж представляютъ концы дан-
ныхъ дугъ (черт. 15). Раз-
суждетя, иодобныя
предыдущим^ показываютъ, что если
принять за начало точку А',
сохраняя прежнюю сторону положительнаго
направлены, то криволинейная абсцисса точки Ж равняется а.
Такъ какъ дуги AM и А!Ж равны не только по
абсолютной величина, но и по знаку, то заключаемъ, что
точки М и Ж лежать на противоположныхъ концахъ
одного и того же д!аметра.
Теорема. — Если разность двухъ дугъ равняется
половинт окружности, то копии ихъ дгаметрально
противоположны; татя дуги имгьютъ равные
тангенсы , а синусы и косинусы ихъ имкыотъ
противоположные знаки.
Доказательство второй половины последней теоремы
вытекаетъ непосредственно изъ чертежа 15-аго. По-
' 9
( р
М'
|У
в
О
<?•
В'
V'
*\N
/
\
\
Р
t
т
А
е'
X,
Черт. 1Г.

— 40
£ТАГ
лученный результатъ выражается следующими
формулами
(B2)tg(r*-\-a')=tga; cosf::-f-a) = —cose*; sin(ic + a)=—sina.
18. Противоположный дуги. — Противоположными
называются дуги, сумма которыхъ равна нулю. Криво-
линейныя абсциссы концовъ М и М' двухъ противо-
положныхъ дугъ
выражаются соответственно
черезъ а и—а (черт. 16);
за выражеше
криволинейной абсциссы конца
второй дуги можно также
взять разность 2ъ — а,
т.-е. разсматривать,
вместо иротивоноложныхъ
дугъ, дуги, сумма ко-
' торыхъ равна длин*
окружности.
Теорема.—Концы про-
тивоположпыхъ дугъ
находятся на одной
прямой, параллельной оси синуса; косинусы двухъ про-
тивоположныхъ дугъ равны} а синусы и тангенсы
ихъ равны по абсолютной величитъ, но
противоположны по знаку.
Равенство абсолютныхъ значешй дугъ AM и АМ\
знаки которыхъ противоположны, доказываетъ первую
часть нашей теоремы; вторая же половина ея
непосредственно вытекаетъ изъ чертежа 16-аго. Такимъ
образомъ получаются формулы
(J3'8) cos (— а) = cos a; sin (— a)= —sin a; tg(— а) ~ — tg«,
или равнозначиыя съ ними новыя формулы
(_В3) cos(2t:—«)=cos«; sin (2т:--</)= — sin я; tg(2~—«)=— tgv*.

_ 41 —
19. Дополнительныя дуги.-Дв'Ь дуги называются
дополнительными у если сумма ихъ равняется четверти
окружности. Такимъ образомъ дуги а и --*-—а являются
дополнительными дугами.
Разсмотримъ сперва дв-Ь дополнительныхъ дуги
AM ii AN, принадлежащихъ первой четверти (черт. 17).
Построимъ синусъ MP,
косинусъ ОР и тан-
генсъ А Т первой дуги,
а для второй дуги
нроведемъ синусъ ея
A'Q, косинусъ OQ а
котангенсъ BZ. Такъ
какъ углы MOP, XUQ
дополнительные другъ
къ другу, то
прямоугольные
треугольники ONQ и МОР равны
между собой, точно
такъ же какъ и прямоугольные треугольники ОТА
и OZB. Отсюда вытекаютъ равенства
QN =r= OP, OQ = РМ, BZ^AT,
которыя приводятъ соответственно къ следующим!»
формуламъ
cos я; cos [ £— а ) = sin а;
cotg: 1-1*— a I =tga.
sm
(С)
гдЪ а обозначаете величину дуги A3J, а дуга АХ
равняется ~—а. Вторая изъ полученныхъ формулъ (С)
нредставляетъ очевидное сл'Ьдств1е первой формулы.

— 42 —
Чтобы запомнить выведенныя формулы, слЪдуетъ
заметить, что приставка слога Ъ была введена, для
обозначетя круговыхъ функщй дополпительныхъ дугъ.
Такъ, напрпмъръ, ко — синусъ дуги представляетъ
не что иное, какъ синусъ дополнительной дуги (та-
кимъ я*е образомъ ко—секансъ представляетъ секансъ
дополнительной дуги).
Формулы (С) вполнгь овщгя, т.-е. имЪютъ силу
также и въ томъ случае, когда дуги а и ~ — а не
принадлежат!) къ первой четверти. Убедиться въ
этомъ возможно различными способами; можно было бы,
напримйръ, начать съ разсмотр-Ьшя всЬхъ возможныхъ
различныхъ случаевъ и привести всгЬ дуги къ первой
четверти, при помощи формулъ (В). Такой способъ
доказательства мы рекомендуемъ читателю, для упраж-
нешя въ формулахъ (В). БолЪе непосредственный
способъ доказательства состоитъ въ ел'Ьдующемъ:
разсуждая какъ въ п° 16-омъ, докажемъ, что концы
двухъ дополнительныхъ дугъ, им'Ьющихъ общее
начало въ точкгЬ А, имЪютъ равныя криволинейныя
абсциссы, если считать начало одной изъ нихъ въ
точки А и положительную сторону въ обычномъ
направленш, а для второй дуги начало ея поместить
въ точкгЬ В и положительное направлеше считать въ
сторону прямо противоположную предыдущему. Но,
если принять точку В за начало, а за положительное
направлеше сторону прямо противоположную обычному
направленно, то осью косинусовъ будетъ служить
прямая у'у, а осью сииусовъ прямая х'х9 такъ какъ,
при сдЪланномъ предположены относительно начала
и полоясительной стороны, криволинейная абсцисса
точки А равняется ~\- £ • Последнее замЪчаше позво-
ляетъ установить формулы (С) въ самомъ общемъ

— 43 —
предположение Мы не станемъ, однако,
останавливаться на указанномъ доказательстве, въ виду
некоторой кажущейся сложности его.
20. Обращете круговыхъ функщй. — Совершить
обращете круговой функщй значить вычислить
величину дугъ, для кото-
рыхъ разсматриваемая
круговая ф у н к ц i я
имЪетъ данную
величину. Легко убедиться
что число такихъ дугъ
неограниченное и что
всЬ оне очень просто
выражаются при
помощи одной какой-либо
изъ нихъ.
1°. Обращете
синуса—Обозначимъ че-
резъ Ь значеше sin а;
требуется вычислить
величину дугиа. Начер-
тимъ тригонометрическШ кругъ (черт. 18) и отложимъ
на оси синусовъ Оу отрЪзокъ ОР — Ъ (сл^дуеть всегда
помнить, что отръзокъ ОЛ представляетъ единицу
длины, т.-е. & .равняется величинъ отношетя >yi ).
На нашемъ чертежЬ Ь представляетъ
положительную величину. Концы дугъ, синусъ которыхъ равенъ
ОР, находятся въ точкахъ Ж и М\ представляющихъ
точки пересЬчешя окружности съ прямой,
проходящей черезъ точку Р параллельно оси Ох. Если
обозначить черезъ а величину одной изъ дугъ, съ концомъ
въ точки Ж, то величина второй дуги, съ концомъ
въ точк*Ь Ж\ представляется разностью тг — а и обнцй
Черт. 18.

— 44 — ",
видъ всЪхъ дугъ, концы которыхъ лежать въ точкгЬ Ж
или въ точки Ж', выражается стЬдующимъ образомъ
а= а + 2#т:, для Ж,
а = 7.— а-\-2къ, для Ж',
гдЪ Ь обозначаетъ цЪлое положительное число, нуль
или отрицательное число.
Написанныя формулы разрЪшаютъ задачу обраще-
шя синуса.
1°. Обращете косинуса, — Пусть отрЪзокъ OQ = с
(черт. 19) представляетъ величину косинуса, которую
мы отложимъ на. оси косц- {у t
нусовъ Ох (на нашемъ
чертеже с представляетъ отрицательную величину, и мы
югЬемъ Cz=771 —приблизительно — 0,65). Концы дугъ,
косинусъ которыхъ равенъ OQ, находятся въ точкахъ
М или Ж'; если обозначить черезъ а величину
одной изъ этихъ дугъ, то обицй видъ нхъ выражается
формулами
а= a-\-2kz, для М,
а = _ a-f-2Д--, для Ж7.
1°. Обращете тангенса.—Пусть величина тангенса
выражается отрЪзкомъ AT=d (черт. 20); величину его

'- — 45 —
AT
откладываемъ на оси тангенсовъ U (имЪемъ d= — =
= приблизительно 1,2). Искомыя дуги кончаются въ
точкахъ М или JST и обпцй видъ ихъ выражается
следующими двумя формулами
а= . а-\-21ску для Л,
а = - + a -f- 2&тг, для Л/'.
ОбЪ послгЬдн1я формулы удобно заключить въ одну
общую формулу
а = а + hr.,
гдЪ /г представляетъ некоторое ц^лое положительное
число, нуль или отрицательное число; если h четное
число, то конецъ дугъ а находится въ точкЪ Ж,
если же h нечетное число, то дуги а кончаются въ
точке W.
1°. Зам?ъчате.—Есш мы имЪемъ
Ъ = sin а, с = cos a, d = tg а,
то вводятся сл-Ьдуюпця обозначешя
а = arc sin 6, а = arc cos 6', a = arctgd,
т.-е., наприм'Ьръ, обозначеше arc sin & представляетъ
о#ш/ какую-либо изъ дугъ, синусъ которыхъ равенъ Ь.
Обыкновенно принимаютъ, что arc sin Ъ
представляетъ ту изъ дугъ, которая заключается между
— ^и-|--1; однако всяюй разъ, когда вводится по-
Li Li
слЪднее услов1е, его сл'Ьдуетъ оговаривать1;.
1) Некоторые изъ авторовъ, среди которыхъ можно назвать
Коши, употребляютъ различный обозначешя, въ зависимости отъ
предположенia, разсматриваются ли одновременно ост дуги, синусы
которыхъ равны Ь, или же одна дуга, которая заключается между
тс тс
х- и + —)-• '1&къ, наприм'Ьръ, можно написать arc sin (ft), въ пер-
l> L
вомъ предположенш, и arc sin [(b)], во второмъ случаъ\ Хотя такое обс.
значен1е и не общепринятое и поэтому не является класеическимъ,
но гбмъ не мен^е иногда оно можетъ быть полезнымъ.

— 46 —
21. Объяенеше двойныхъ знаковъ въ формулахъ
п°14.—Полученные результаты даютъ простое объясне-
ше происхождетю двойныхъ знаковъ въ формулахъ,
выражающихъ значетя двухъ изъ трехъ основныхъ
круговыхъ лнтй (синусъ, косину съ, тангенсъ), въ
вид* функщй одной какой-либо изъ нихъ. Предполо-
жимъ, наприм'Ьръ, что требуется вычислить значете
sin а черезъ данную величину tga. Если дано значете
tga, to это не значитъ еще что известна величина а,
такъ какъ въ посл'Ьднемъ случае выражеше sin a
имело бы одно вполне определенное значете. Если
же задано значете tga, to величина дуги втямъ не
определяется и становится извЪстнымъ только, что
она заключается въ одной изъ следующихъ двухъ
формулъ
а == a -f- 27гтг,
а = п-\- а-f 2кг..
Синусы дугъ а, представленныхъ первой изъ этихъ
формулъ, равны sina, а синусы дугъ, данныхъ
второй формулой, равны sin
(тг-f-a), т.-е. равны—sina.
Поэтому становится по-
нятнымъ, почему выра-
жете sina, въ виде функ-
щи tg а, имЪетъ двойной
знакъ и представляетъ,
такимъ образомъ две
величины , противо по лож -
ныхъ по знаку.
Следующее простое
геометрическое построе-
Hie вполне равносильно
предыдущимъ вычисле-
тямъ. Пусть отрезокъ AT (черт. 21) представляетъ

— 47 —
собой данное значеше tga. Концы соотвЪтствующихъ
дугъ а лежать въ точкахъ М или М\ и синусъ по-
сл'Ьднихъ равенъ поэтому отрезку РМ или отрезку
1*31. Косинусъ т*хъ же дугъ представляется отрЪз-
комъ ОР или отрЪзкомъ ОР', т.-е. выражается однимъ
изъ двухъ значешй равныхъ по величине, но прямо
противоположныхъ по своему знаку.
Поэтому, когда дается значеше tga, то н'Ьтъ
никакого основашя выбирать предпочтительнее одно изъ
двухъ соотв&тствугощихъ противоположныхъ значешП
sina или cosa. Но если, вм^сгЬ со значешемъ tgay
задается также величина дуги а, то въ такомъ
случай вопросъ о знак* sina или cosa разрешается самъ
собою.
V. Круговыя функц|'и простыхъ дугъ. Приложешя.
22. Тригонометричесшя выражешя частей
правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольни
ковъ. — Въ геометрш занимаются вычислешемъ
сторонъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ
окружность даннаго рад!уса В и описанныхъ около
нея, при разлнчномъ числи сторонъ п. Мы дадимъ
тригонометричесюя выражешя величины этихъ
сторонъ и, при помощи послЪднихъ, составимъ значешя
круговыхъ функщй дуги — •
Теорема I. — Сторона правильнаго многоугольника
съ п сторонами, вписаннаго въ окружность радгуса
Ry равняется выражетю 2 В sin — •
п
Пусть точка О представляетъ центръ данной окруяг-
ности (черт. 22) и отр'Ьзокъ MN представляетъ
сторону разсматриваемаго многоугольника; центральный

2::
уголъ МОХ равенъ — • Условимся разсматривать
окружность О какъ тригопометрическШ кругъ, принимая
за начальный рад1усъ
в ОА, который проходить
черезъ середину стороны
MX перпендикулярно къ
ней. Такъ какъ уголъ
МО А равенъ — > то, въ
силу опредйлетя
синуса, шгЬемъ
-' ^ тг Ml'
sin ЛГОЛ = sin — =-' •
п ОА
Поэтому получаемъ искомую зависимость
МХ=2МР = 20Л sin —= 27/ sin — •
Теорема П.—Апофема правильнаго многоугольника
съ п сторонами, вписанного въ окружность радгуса
]{, равняется выражетю Я cos --}- •
Въ самомъ дЪлЪ, мы тгЬемъ (черт. 22)
г, n OF
cos— -— cos Л/OJ— —- >
п ОА
и, стало-быть, получаемъ искомое выражеше
OP = J*eos—•
и
Теорема III.—Сторона правильнаго многоугольника
съ п сторонами, описаннаго около окружности радгуса
II, равняется выраэюенгю 211 Uj—>

— 49 —
Действительно, пусть отрйзокъ Д/JV" (черт. 23) пред-
ставляетъ сторону раз-
аматриваемаго
многоугольника, касающуюся
нашей окружности въ
точк^ А. Принимаемъ
эту окружность, съ цен-
тромъ въ точкг1> О, за
т р и г о н о м е три ч ее к i й
кругъ и уславливаемся
считать точку А за
начало дугъ. Уголъ МОХ
равенъ
и
X'
~~щ
в
О
В'
У
V'
t
м
А~
N
х,
уголъ
и
Черт. 23.
поэтому
к
ЛОА равняется
Въ силу опред1ьлешя тангенса, получаемъ
te — = teMOA--
АМ
О А
Отсюда слгЬдуетъ формула
3[N=2AM~21lte± •
п
23. Вычислеше круговыхъ функщй дугъ, рав-
ныхъ — > —
, —Если предполояшть число сторонъ
п правнльнаго многоугольника равнымъ 3, 4 или 6, то
получается соответственно равностороннШ
треугольнику квадратъ и правильный шестиугольникъ. Какъ
известно, сторона равносторонняго треугольника, впи-
яаняаго въ окружность рад!уса В, равна R \/ 3, а
Л .
апофема его равняется — » сторона равносторонняго
Тригонометрия.

— 50 —
описаннаго треугольника равна 2Л\/3; сторона впи-
саннаго квадрата равна Л }/2, а его апофема рав-'
2fi/*~
няется —~— » сторона описаннаго квадрата равна 22»;
наконецъ сторона правильнаго внисаннаго
шестиугольника равна величине рад1уса Л, а апофема
того же шестиугольника представляется величиной
Л ]/Т .
' т>— ' сторона правильнаго описаннаго шестиуголь-
211
ника равна ~/^-
Поэтому доказанный выше теоремы I, II, III
приводить къ слЪдующимъ формуламъ
sm4 = --, cos™ ---, tg—=lf
.7:1 ~ /3" . ~ 1
Сл'Ьдуетъ при этомъ заметить, что было бы
совершенно достаточно вывести, при помощи геометрш,
формулы, дающдя значешя sin-^- и sin 4- ВсгЬ осталь-
3 4
ныя формулы выводятся изъ нихъ, на основаши
очень простыхъ вычислешй въ виду того, что дуги
~Ъ~ и ~ir являются дополнительными другъ къ другу, а
дуга -£- представляетъ свое собственное дополнсте.

— 51 —
Въ десятичной системе измЪрешя, дуги-^-> — и -£-
представляются соответственно выражешями —•— > 50г,
о
—;■—> въ шестеричной системъ измъренш, тгЬ же дуги
О
равны соответственно 60°, 45°, 30°. Отсюда
непосредственно сл'Ьдуютъ формулы2), которыя полезно
запомнить
. 100г 200г . - 1
S111——= COS-—— = Sill 30° = COS 60° — — >
о о 2.
sin 50r = cos 501 = sin 45° = cos 45°--= -—>
tg 50r = tg 45° = 1.^
24. Натуральный значешя круговыхъ функцш. — Въ
элементарной геометрш вычисляются значешя сторонъ правильнаго
многоугольника, число которыхъ выражается числами 2П, или 3X2",
или 5Х'2\ или 15Х2Л, для какихъ угодно значешй п. Если ввести
въ разсмотр^ше звездообразные многоугольники, то является
возможность вычислять величину круговыхъ функщй любой дуги съ
желаемой точностью, такъ какъ возможно выбрать величину п
достало тс
точно большой для того, чтобы величина ~г1 при соотв^тствен-
номъ выбор* значешя р, отличалась сколь угодно мало отъ величины
данной дуги.
Однако такой способъ вычислешя мало употребителенъ; мы упо-
минаемъ о немъ лишь только для того, чтобы указать читателю на
возможность еоставлешя сдевдующихъ таблицъ (см. также примеры
для упражнешя отъ 9 до 15).
*) Одно изъ неудобствъ десятичной системы изм'Ьрешя дугъ
представляется въ неделимости числа 100 на 3. Такъ какъ последнее
свойство является характернымъ для десятичной системы измерения
дугъ, то приходится мириться съ посл'вднимъ неудобствомъ.
4*

— 52 —
Таблица натуральныхъ значенШ круговыхъ функщй *).
Дуга.
0Г
5Г
10г
15г
20г
25г
30г
35г
40г
45г
50г
Сянусъ.
О
0.078
0.156
0.233
0.309
0.383
0.454
0.522
0.588
0.649
0.707
Тан ген съ
0
0.079
0.158
0.240
0.325
0.414
0.510
0.613
0.727
0.854
1.000
j Дуга.
50г
55 г
60р
65г
70г
75г
8'Jr
85г
90г
95г
100г
Синусъ.
0.707
0.760
0.809
0.853
0.891
0.924
0.951
0.972
0.988
0.997
1.000
Тангенсъ
1.000
1.171
1.376
1.632
1.963
2.414
3.078
4.165
6.314
12.706
00
3начете расположенныхъ въ этой таблиц* величинъ понятно
само собою; въ ней не показаны величины косинуса иди котангенса,
такъ какъ он* легко определяются. Такъ, HMteMb, наприм'връ,
cos 35г = sin (100 — 35)г = sin 65г .
25. ИзмЪнешя круговыхъ функщй. Синусоида. —
Приведенная выше таблица даетъ возможность вычиг
слять величину круговыхъ функщй какой угодно дуги,
такъ какъ круговыя функцш любой дуги выражаются
черезъ круговыя функцш дугъ первой четверти.
ИзмЪнетя круговыхъ функщй удобно изображать
для наглядности, графически при помощи кривыхъ
линШ, принимая за абсциссы длину дугъ, а за
ординаты величину круговыхъ функщй (при чемъ рад1усъ
тригонометрическаго круга всегда принимается рав-
1) Приведенный въ этой таблиц* значев1я круговыхъ функщй
называются натуральными въ противоположность ихъ логарифсни-
ческимъ величинамъ.

- 53 —
нымъ единиц* длины). Полезно имЪть понят1е о
кривой, которая изображаетъ изм^нете синуса; она
представляется слЪдующимъ образомъ (черт. 24).
Изображенная на чертеж* кривая называется
синусоидой. Въ точкЬ 0 длина дуги равна нулю и
величина синуса также равняется нулю; при пзмЗшенш
дуги отъ о доу> синусъ этой дуги возрастаетъ отъ
О до 1 (равенъ 1 въ точкЪ А). При дальн'Ьйшемъ измгЬ-
•А Е
С
Черт. 24.
ненш дуги отъ ~ до г, синусъ ея уоываетъ отъ 1 до О
(становится 0 въ точк*Ь В). ЗагЬмъ, при измЪнеши дуги
Зт: .
отъ т. до — » синусъ продолжаетъ убывать отъ значе-
шя 0 до—1 (въ точки С) и т. д.
Графическое представлеше измЪнешя косинуса
дается также той owe самой кривой. Но при этомъ
только сл*дуетъ перенести ось Оу въ новое положеше
0'у\ что ясно слЪдуетъ изъ первой формулы изъ
двухъ сл'Ьдующихъ, которыя непосредственно выте-
каютъ изъ формулъ (В) и (С)
(С) sinl ~ -{- х J — cos х\ cos( ~- —|— лг 1 ===== — sin х.
Читатель можетъ самостоятельно начертить
синусоиду съ такой точностью, которую допускаютъ нмАю-
ццяся въ его распоряженш чертежный принадлеж-

— 54 —
ности (см. примеры для упражнешя 12 и 13). Мы
предлагаемъ, кром* того, начертить кривую,
изображающую измЪнете тангенса, которая представляетъ
также некоторый интересъ.
Примеры дл# упражнений на I главу.
1. Вычислить въ доляхъ рад1уса величину дуги
въ 25г,3054.
2. Вычислить въ доляхъ рад1уса величину дуги
въ 315г,2075.
3. Вычислить въ доляхъ рад1уса величину дуги
въ 35°15'45".
4. Вычислить въ градахъ величину дуги въ
148°15'32".
5. Вычислить въ градусахъ величину дуги въ
3540г,3875.
6. Вычислить длину дуги въ 15г,3750 для
окружности рад1уса въ 3,50 метра.
1. Вычислить длину дуги въ 12°28'43" для
окружности рад1уса въ 2,75 метра.
8. Начертить окружность рад1усомъ въ одинъ децит
мешръ и вписать въ нее правильные многоугольники
съ 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 сторонами, одна изъ вершинъ
которыхъ должна находиться въ точки А, взятой за
начало дугъ. Начертить лиши, определяющая круго-
выя функцш дугъ, концы которыхъ находятся въ
вершинахъ нашихъ многоугольниковъ. Измерить на
чертеж* длину этихъ литй и составить таблицу
полу ченныхъ такимъ образомъ значешй синусовъ,
косицу совъ, тапгенсовъ и котангенсовъ разсматриваемыхъ
дугъ, въ десятичной и зат*мъ въ шестеричной систем*
изм*решя дугъ.
9. Начертить четверть окружности рад1усомъ въ
20 сантиметровъ и вписать соотв*тствуюиця ей части

— 55 —
правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ съ 4,8,
16, 32, 64 сторонами, при условш, что одна изъ вер-
шинъ каждаго многоугольника совпадаетъ съ нача-
ломъ А начерченной дуги. Измерить синусы,
косинусы и тангенсы всгЬхъ дугъ, соответствующихъ только
первой половине данной четверти окружности и
составить, таблицу полученныхъ величинъ, выразивъ дуги
въ частяхъ рад1уса, въ градахъ и въ градусахъ.
10. Разрешить тгЬ же самые вопросы для
многоугольниковъ съ 6, 12, 24, 48 сторонами.
11. Разрешить те же вопросы для
многоугольниковъ съ 5, 10, 20, 40, 80 сторонами.
12. Начертить окружность рад1усомъ въ одннъ деци-
метръ и отложить отъ начала А последовательно
равный дуги АА^ АгА2> А2АГ.., длиной въ 5 миллиметровъ.
Для этого достаточно ограничиться дугами, который
соответствуют^ хордамъ АА^, АгА2, А2А3..., длина
которыхъ равна 5 миллиметрамъ. Допущенная
погрешность, всл£дств1е замены дугъ хордами, очень
незначительна для разсматриваемыхъ малыхъ дугъ.
Вводимой погрешностью слгЬдуетъ далее совершенно
пренебречь въ настоящемъ вопросе; она меньше
другихъ погрешностей, неизбежныхъ при графиче-
скомъ построены* разематрнваемаго рода, вследствие
толщины ироводимыхъ лиши, несовершенства масштаба
и т. д. !).
Построивъ косинусы дугъ АА1У АА2> AAS.., и т. д.,
длина которыхъ въ доляхъ рад1уса окружности
выражается соответственно числами 0,05 , 0,10 , 0,15 и т. д.,
i) При вьшолненш подобныхъ построенШ слъиуетъ имъчъ въ виду,
что весьма легко проверить точность построешя дугъ, для которыхъ
криволинейная абсцисса конца выражается простыми дробными
частями окружности, какъ, напримг]>ръ, -'-, -^-, ~, -^ит. д.

— 56 —
измерить величину этихъ косинусовъ въ частяхъ
pafliyca.
Начертивъ загЬмъ две прямоугольныхъ оси ох, оу
и примемъ за единицу длины одинъ дециметръ, какъ
для абсциссъ такъ и для ординатъ; отлояшмъ на оси
абсциссъ величину дугъ, а на оси ординатъ
соответствующая имъ значешя косинусовъ. Полученная та-
кимъ образомъ кривая даетъ графическое предста-
влеше объ измененш косинуса. СлЬдуетъ сделать
чертежъ, начиная отъ значешя абсциссы—2 до
величины ея +2-
13. Решить предыдупцй вопросъ, разсматривая ен-
нусы вместо косинусовъ.
14. Решить задачу, аналогичную предыдущим?»
для случая тангенса. Такъ какъ кривая,
изображающая его изменешя, состоитъ изъ частей,
простирающихся въ безконечность, то ее невозможно начертить
целикомъ. Поэтому предлагаемъ читателю начертить
только части кривой, которыя могутъ поместиться на
имеющемся листе бумаги. Затемъ следуетъ
выполнить новый чертеясь, принявъ за единицу длину 2
сантиметра, вместо 10 сантиметровъ; благодаря этому
получится изображеше более значительной части раз*
сматриваемой кривой лиши.
15. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для
случая котангенса.
16. Найти величину дугъ, косинусъ которыхъ ра-
венъ cos35r,3264.
17. Найти величину дугъ, косинусъ которыхъ ра-
венъ cos 15°35'15".
18. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ ра-
. т:
венъ sin— •

— 57 —
19. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ ра-
17т:
венъ — cos ~- •
о
20. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ равенъ
— sin 8655°38'15".
21. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ равенъ
sin 4875г,3478.
22. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ
равенъ tg215°.
23. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ ра-
1
BeH*t78^'~35''
24. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ
раВеНЪ tg35^3884 •
25. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ
равенъ — tg — •
26. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ
т: г Зт: г
ТГ Тв 1б' 32'
27. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ
ъ г 5т:
12' 24' 24'
28. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ
т. 2п Зп 4т:
5 5 5 5
29. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ
тт Зт: 13т: 19т:
Г6? 10* 20 ' 20 '
30. Вычислить величину sin а при условш, что
tg а = 3 и что дуга а удовлетворяетъ неравенствамъ
200г<а<300г.
31. Вычислить величину cos а при услов1яхъ, что
tga = —1,5 и 100г<а<200г.

— 58
32. Вычислить величину tga и sin a при ушкшяхъ,
что cos а■_-= —0,8 и 200г<а<300г.
33. Вычислить величину sin a и cos a при усло-
в1яхъ, что cotga--— 2 и 100гО<200г.
34. Вычислить величину cos a при условш, что
tga —— 2 sin a.
35. Вычислить величину sin а при условш, что
tg a — 3 cos a.
36. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ,
синусъ которыхъ равенъ 0,3. Сделать чертежъ,
37. Вычислить значешя круговыхъ функщй дугъ,
косинусъ которыхъ равенъ — • Сделать чертежъ.
38. Вычислить зпачетя круговыхъ функщй дугъ,
тангенсъ которыхъ равенъ —1/2. Сделать чертежъ.
39. Вычислить значешя круговыхъ функщй дуги
при условш, что тангенсъ ея равенъ удвоенной
величине ея синуса. Найдешшя величины изобразить па
чертежгЬ.
49. Вычислить значешя круговыхъ функщй дуги
при условш, что тангенсъ ея равенъ произведенпо — 3
на ея косинусъ. Изобразить рЪшеше на чертеже.

ГЛАВА II.
Прим-Ьнеше таблицъ. РЪшеше
прямоугольны^ треугольниковъ,
I. ПримЪнеше таблицъ.
26. Содержаще таблицъ. — Таблицы, которыми
приходится чаще всего пользоваться, даютъ значетя
логарифмовъ круговыхъ функщй. Таблицы, которыя
даютъ значетя круговыхъ функщй, употребляются
гораздо рЪже и для пользовашя ими нЪтъ надобности
въ указатяхъ.
Въ виду того, что круговыя функщй любой дуги
выраоюаются черезъ круговыя функщй дугъ первой
четверти тригонометрическая круга (?г°15), то поэтому
достаточно имЪть таблицы круговыхъ функщй дугъ
только первой четверти. Такъ какъ дал4е косинусъ и
котангенсъ каждой дуги равны соответственно синусу
и тангенсу ея дополнительной дуги, то благодаря этому
вводится еще следующее упрощете. Достаточно чтобы
таблицы давали только значетя логарифмовъ синуса
и тангенса дугъ первой четверти, или же значетя
логарифмовъ всЬхъ четырехъ круговыхъ функщй:
синуса, косинуса, тангенса и котангенса, но только для
дугъ первой половины первой четверти, т.-е. для дугъ
между 0Г и 50г (или между 0° и 45°). Последнее за-

— 60 —
м*чаше большею частью и принимается въ расчетъ
при составленш логарифмическихъ таблицъ.
Поэтому приложенныя ниже таблицы заключаютъ
въ себ* сл*дуюшДя величины (см. таблицы логариф-
мовъ круговыхъ функщй въ конц* книги, стр. 220).
Въ первомъ столбце находятся значетядугъ, величины
которыхъ расположены въ арифметической прогрессш.
Въ нашихъ малыхъ таблицахъ посл*довательныя зна-
чешя дугъ разнятся между собой на половину града
или градуса. Но существуютъ также таблицы, въ
которыхъ значешя посл*довательныхъ дугъ разнятся
между собой на одну минуту или на десять секундъ
въ той или другой систем* изм*решй. Въ сл*дую-
щихъ за первымъ четырехъ столбцахъ таблицъ
находятся соответственно логарифмы синусовъ, тангенсовъ,
котангенсовъ и косинусовъ дугъ, величина которыхъ
указана въ первомъ столбц*. Такъ, наприм*ръ, мы
находимъ въ указанныхъ таблицахъ
log sin 10Г = Т, 1943 ,
такъ какъ логарифмъ 1,1943 находится въ одной строк*
съ дугой 10г, а сверху столбца находится указаше
log sin. Внизу того же самаго столбца стоитъ надпись
log cos. Указашя внизу столбцовъ относятся къ ду-
гамъ, размеры которыхъ показаны въ столбц* съ
правой стороны страницы, т.-е. въ конц* каждой строки.
Посл*дшя дуги являются соответственно
дополнительными къ дугамъ, величина которыхъ находится
въ той же самой строк*, но въ первомъ столбц*.
Такъ, наприм*ръ, въ конц* строки, гд* были взяты
предыдущая данныя, находится величина 90г. Поэтому
для дуги въ 90г, въ силу указашя внизу страницы,
получаемъ
log cos 90г = 1,1943.

— 61 —
Последняя формула, какъ мы хорошо знаемъ, им^егь
одинаковое значете съ предыдущей.
Такимъ образомъ при разысканш логарифмовъ
круговыхъ функщй дугъ, которыя принадлежать
первой половине первой четверти тригонометрическаго
круга, слЪдуетъ принимать во внимаше указашя,
находящаяся въ первомъ столбце сверху страницы. Если
разсматриваемая дуга принадлежитъ ко второй
половине первой четверти, то необходимо смотреть
на указашя, находящаяся въ послЪднемъ столбце, а
также внизу страницы. Такъ, наприм'Ьръ, въ данныхъ
таблицахъ находятся значешя логарифмовъ
log tg 16°30' =1,4716,
log sin 68°30' = 1,9687.
27. ПриигЬнеше таблицъ.—Приведенныхъ объясне-
шй вполне достаточно для пользован1я таблицами,
при разысканш значен1й круговыхъ функщй, дуги
которыхъ даны въ таблицахъ. Но для опредЪлешя
круговыхъ функщй дугъ, не находящихся въ
таблицахъ, приходится пользоваться услов1ями пропорщо-
нальности, какъ и при всякихъ другихъ логарифми-
ческихъ таблицахъ. Поэтому въ таблицахъ
заключаются обыкновенно еще три столбца, съ табличными
разностями log sin, log cos и логарифмовъ tg и cotg г)у
въ одномъ и томъ же столбце. КромЪ того, иногда
даются еще небольппя вспомогательный таблицы, для
вычислешя иропорщональныхъ частей. Вычислеше
ихъ совершается такъ же, какъ и при разысканш
логарифмовъ чиселъ. Но при этомъ слЪдуетъ обращать
особенное внимаше на знакъ табличной разности, т.-е.
*) Такъ какъ произведете tga . cotg а равно 1, то сумма
логарифмовъ tga и cotg a равна 0; поэтому табличныя разности этихъ
величинъ отличаются другъ отъ друга только знакомъ, который въ
таблицахъ не указывается.

— 62 —
каждый разъ обращать внимаше на то обстоятельство,
изменяется ли логарифмъ въ томъ же самомъ смысле,
какъ и дуга, или въ прямо противоположномъ напра-
вленш. Въ зависимости отъ этого приходится
вычисленную поправку прибавлять къ табличному
логарифму или вычитать изъ него. Бели, кромгЬ того, зна-
чешя разематриваемыхъ дугъ даны въ градусахъ, то
слгЬдуетъ всегда имЪть въ виду соответствующее ей
подраздгЬлен1е дугъ, которое вводить въ вычислеше
нЪкоторыя усложнешя.
Прим*ръ. — Вычислить logcotg* 17°18'35". Таблицы
даютъ слЪдуюиця значешя
logcotg 17° = 0,5147,
logcotg 17°30' = 0,5013.
Табличная разность, соответствующая 30', равняется
134
134; поэтому получаемъ поправку -— =4,466... для
4 466
одной минуты и —--— = 0,0744... для одной секунды.
60
Такъ какъ въ пашемъ случай величина логарифма
убываетъ, при возрастет дуги, то вычислеше
возможно вести по одному изъ слЪдующихъ двухъ спо-
собовъ. Напишемъ
для 18' : 4,466 ... X 18 = 80,40 4,46666 0,0744
ДЛЯ 35" : 0,0744 ... X 35 = 2,60 18 35
ДЛЯ 18'35" 83 35 73328 3720
44 666 2232
80,399 2,604
Вычитая 83 десятитысячпыхъ изъ logcotg 17°,
получаемъ
log COtg 17°18'35" = 0,5147 — 0,0083 = 0,5064.

— 63 -
Но возможно также поступить иначе; совершивъ
вычитате
80' —18'35" = 11'25",
сд'Ьлаемъ слЪдую идя вычислешя
для 11' : 4,466... X 11 = 49,13... 4,466...
для 25" : 0,744... X 25— tfie^. 44,666...
50,99 49,132
Ирибавивъ 51 десятитысячную къ log coig 17°30',
получимъ очевидно прежшй результатъ.
Вычислешя упрощаются, при введены десятичпаго
дЪлешя четверти круга, какъ легко будетъ убедиться
на прим'Ьрахъ, при р-Ьшенш треугольниковъ. Мы да-
димъ дальше также примеры на рЪшеше обратныхъ
вопросовъ, о разысканш значешй круговыхъ функщй
первой четверти, въ десятичной или шестеричной си-
стемахъ измЪрешя, по данному ихъ логарифму (см.
таблицы съ примерами рЪшешя треугольниковъ
въ концЪ книги, стр. 207 и сл-Ьдуюпця за ней).
28. Несколько заигёчашй относительно приигёне-
н1я таблицъ.— Приигбчаше I. — Если при вычисле-
шяхъ встречаются дуги, которыя не принадлежать
первой четверти тригонометричеекаго круга, то сл%-
дуетъ всегда югЬть въ виду, что отрицательным,
числа не имтютъ логарифмовъ г); поэтому нельзя писать
Iogco3l50r35'25" или log tg 115°35'28". Въ виду этого,
приступая къ вычисленгямъ съ помощью логарифмовъ,
необходимо преобразовать значешя круговыхъ
функщй всгЬхъ дугъ, которыя находятся въ формулахъ,
1) Такая точка зръшя проводится въ элементарной математики,
гд-в уаотреблеше логарифмовъ пресл'вдуетъ практическую цель упро-
щен1я вычислен!!!. Въ высшей математике вводится пснят1е о дога-
рифмахъ отрицательныхъ чиселъ, которые выражаются такъ
называемыми мнимыми числами.

— 64 —
въ круговыя функщй дугъ первой четверти (или
же по меньшей м^рЬ заменить ихъ круговыми
функциями, которыя представляютъ положительныя зна-
четя).
ПримЪчаше II.—При применены логарифмическнхъ
таблицъ къ вычисленш круговыхъ функщй, дуги ко-
торыхъ выражены въ частяхъ рад1уса, необходимо
прежде всего выразить ихъ въ градусахъ или гра-
дахъ, въ зависимости отъ того, каюя таблицы
находятся подъ руками. Если выборъ зависитъ отъ
читателя, то, конечно, удобнее всего воспользоваться
десятичной системой. -
Прикгёчаше III. — Необходимо всегда помнить, что
въ таблицахъ находятся логарифмы круговыхъ.
функщй, но не значетя самыхъ функщй. Поэтому, при
вычисленш значешй круговыхъ функщй данной дуги
или при обратномъ вычисленш дуги по даннымъ ея
круговымъ функщямъ, необходимо применять,
соответственно этому, таблицы логарифмовт> или антило-
гарифмовъ.
ПримЪчаше IV.—Мы не имЪемъ въ виду давать указашй для со-
ставлешя таблицъ, т.-е. для вычисления чисолъ, которыя въ нихъ
находятся.
Читатель легко можетъ самостоятельно догадаться, какъ
составляются эти таблицы, съ желаемой точностью приближешя, на осно-
вапш сл-вдующпхъ соображешй (см. w° 24 и п* 25). РаздЬливъ
окружность на 2п равныхъ частей и увеличивая число п, мы получимъ,
наконецъ, точки дъллен]я, которыя расположены сколь угодно близко
къ намъ^ченнымъ заранее точкамъ окружности. Само собою
разумеется, что основанный на этомъ способъ вычислешя таблицъ былъ
бы слигакомъ сложвымъ. Бол-ве кратше способы составления и
поверки численныхъ таблицъ требуютъ, однако, бол-ве глубокихъ мате-
матическихъ познанШ, ч*бмъ те, котор!Лми обладаетъ читатель настоя-
щей книги.

— 05 —
II. Ptmeme прямоугольныхъ треугольниковъ.
29. Относительно рйшешя треугольниковъ.—Какъ
говорилось выше, задача ртьшенгя треугольника
приводится къ вычнсленпо н'Ькоторыхъ изъ его составныхъ
частей, на основанш достаточнаго числа дру-
гихъ заданныхъ частей треугольника. Классическими
считаются тЪ задачи, которыя разсматриваютъ рЪше-
н1я треугольниковъ по даннымъ сторонамъ и угламъ.
Эти задачи представляютъ большой практически инте-
ресъ. Но, кромЪ того, существуютъ весьма разнообразныя
задачи на р1ынете треугольниковъ по даннымъ мед1а-
намъ, высотамъ, биссекторамъ, рад1усамъ описанныхъ
или вписанныхъ окружностей и т. д. РЪшеше подоб-
ныхъ задачъ представляетъ иногда значительныя
трудности, на разсмотрЪши которыхъ мы не станемъ,
однако, останавливаться, чтобы не тратить много
времени, тЪмъ болЪе, что послЪдшя задачи не
представляютъ црактическаго интереса.
Для рЪшешя треугольниковъ въ указаниыхъ клае-
сическихъ случаяхъ, необходимо имЪть достаточное
число зависимостей между сторонами и углами
треугольника, или, лучше сказать, между сторонами
треугольника и круговыми функщями его угловъ. Мы
начнемъ съ разсмотрЪ^я указаниыхъ зависимостей
въ случай нрямоугольнаго треугольника. Что
касается косоугольныхъ треугольниковъ, то, для рй-
шешя ихъ, намъ придется пользоваться новыми
формулами, выводъ которыхъ будетъ данъ въ слгЬдую-
щихъ главахъ.
30. Зависимости между частями прямоуголь-
наго треугольника. — Согласно съ установившимся
обычаемъ, условимся обозначать черезъ а, Ь} с
стороны треугольника и черезъ А, В, С его углы. При
Тригонометрия. «Э

— 66 —
этомъ условимся всегда предполагать, что сторона а
лежитъ противъ угла А, сторона Ь — противъ угла В
и сторона с — противъ угла С. Наконецъ при разсмо-
трЪнш прямоугольныхъ треугольниковъ, условимся
разъ навсегда считать, что А представляетъ прямой
уголъ и что, стало-быть, а представляетъ гипотенузу
разсматриваемаго треугольника.
Поэтому, вводя десятичную систему изм^ретя дугъ,
получаемъ слЪдуюшдя формулы
(1)
(2)
4=* 100,
.В+С='100,
къ которымъ слЪдуетъ прибавить пифагорово
равенство
(3) «2r==J2^_c2#
Наша задача приводится къ выводу сл'Ьдующихъ
зависимостей
(4) & = asin.B,
(5) c = acosU,
(6) b = ctgB.
Иослтднгя формулы представляютъ непосредствен-
нов слтдствге опредтьлетя крг^говыхъ функцШ. Чтобы
уб'ЬдИТЬСЯ ВЪ ЭТОМЪ, ВОЗ*>-
мемъ прямоугольный
треугольник ъ ABC (черт. 25).
Вокругъ точки Bf какъ
центра,опшцемъ дугидвухъ
окружностей радхусовъ ВС
и ВА. Назовемъ черезъ Л
точку пересгЬчешя первой
окружности съ продолжешемъ стороны ВА и
черезъ Е точку пересЬчетя второй окружности со
стороной ВС. Принимая кругъ, которому принадлежитъ
A D
Черт. 25.

— 67 —
дуга ВС, за тригонометрически, согласно съ даннымъ
опред'Ьлешемъ, получаемъ
„- В А В А с
откуда и слЪдуютъ формулы (4) и (5). ЗатЪмъ,
принимая кругъ, которому принадлежитъ дуга АЕ, за
новый тригонометрически кругъ, получаемъ, согласно
съ опредЪлетемъ, зависимость
* л АС Ь
которая даетъ формулу (6).
Само собою разумеется, что, разсматривая
окружности, съ центромъ 6Г, также легко доказать еще но-
выя формулы
(4)' с = a sin. С,
(5)' h = acosC,
(6)' c = btgC.
Посл'Ьдтя формулы получаются также изъ форму лъ
(4), (5), (6), при помощи замены въ нихъ В черезъ
100 — Су въ силу зависимости (2).
КромгЬ того, формула (6) получается также при
помощи дйлетя формулы (4) на (5). Накопецъ
зависимость Пифагора (3) выводится изъ тйхъ же двухъ по-
слЪднихъ формулъ, возводя обЪ части ихъ въ
квадрата и складывая 1). Поэтому только равенства (2), (4j
*) При этомъ принимается во внимате зависимость
cos* В + sin2 В = 1,
которая, въ свою очередь, получается изъ теоремы Пифагора; поэтому
было бы невозможно выводить последнюю теорему изъ приведениыхъ
соображенш.
5*

— 68 —
и (5) представляютъ различныя между собою
зависимости между частями прямоуголънаго
треугольника. Изъ послЪднихъ равенствъ получаются все
остальныя зависимости, при помощи простыхъ
преобразовали. Что же касается равенства (1), то оно
показываетъ только, что разсматриваемый треуголь-
никъ прямоугольный.
Существоваше всего трехъ независимыхъ между
собою равенствъ находить себе вполне естественное
объяснеше въ томъ, что для рЪшешя йрямоугольнаго
треугольника необходимо иметь возможность
вычислить три изъ его частей
а, Ъ, с, Д С,
при помощи двухъ данныхъ изъ нихъ. Однако при
этомъ необходимо, чтобы данными двумя частями
треугольника не являлись одновременно оба угла В и С.
Въ самомъ деле, если ихъ заданный значешя не удо-
влетворяютъ условт (2), то задача невозможна, если
же последнее равенство удовлетворяется, то задача
въ такомъ случай является неопределенной. Такимъ
образомъ, вмгЬсто того чтобы задавать величину обо-
ихъ угловъ В и С, удовлетворяющихъ равенству (2j,
достаточно дать одинъ изъ нихъ; тогда значете
второго угла вполне определяется равенствомъ (2).
Нетрудно видеть, что все приведенные разсуждешя
находятся въ полномъ соответствш съ геометрическими
построешями.
31. Перечень различныхъ случаевъ. — При
решети прямоугольныхъ треугольниковъ возможно
сделать столько различныхъ предположен!^ сколько разъ
возможно выбрать по две части треугольника изъ
всего числа пяти его частей
а, Ь, с, Д С.

— 69 —
Однако не всЪмъ этимъ предположетямъ
соответствуют действительно различные случаи. Равенство
(2) определяешь одинъ изъ острыхъ угловъ, когда
дана величина другого угла. Поэтому не следуетъ
считать различными два случая, соответствующее
двумъ различнымъ предположетямъ, когда дается
величина угла В или С. Кроме того, оба катета
треугольника не представляютъ между собой
существенной разницы и поэтому безразлично, который изъ нихъ
заданъ—катетъ ли Ь, или катетъ с. Въ виду этого
слгЬдуетъ различать всего только четыре различныхъ
случая.
Первый случай. — Дани гипотенуза треугольника
и одинъ изъ его острыхъ угловъ.
Второй случай. — Дани катетъ треугольника и
одинъ изъ его острыхъ угловъ.
ТретШ случай. — Даны гипотенг/за треугольника и
одйнъ изъ его катетовъ*
Четвертый случай.—Дани оба катета треугольника.
Для вычислешя неизвестныхъ частей
треугольника достаточно применить въ каждомъ изъ перечи-
сленныхъ случаевъ выведенныя выше формулы. Мы
наметимъ, въ краткихъ чертахъ, необходимыя
вычислешя для решетя треугольниковъ, хотя предыдущая
формулы сами по себе уже подсказываютъ тотъ путь
вычислешй, по которому следуетъ итти.
32. Первый случай. — Заданы величины а и Ь\
Требуется найти С\ Ъ, с.
Начнемъ съ вычислешя величины С, при помощи
равенства
С =юо — В.
Затемъ следуетъ воспользоваться формулами
Ь = а sin В,
с = a cos В,

— 70 —
который необходимо вычислять при помощи логариф-
мовъ, т.-е. находимъ
log Ъ — log a -|- log sin В
log с = log a -f- log cos В.
ПримЪръ г) см. таблицы въ конц'Ь книги, стр. 207.
33. Второй случай.—Заданы величины Ь к В (или С).
Требуется найти С (или В), а, с.
Прежде всего вычислимъ острый уголъ, на осио-
ванит равенства
Б+С=100.
Значешя а и с определяются формулами
Ь
а = -—=г >
sin В
Ъ
которыя вычисляются при помощи логарифмовъ.
ПримЪръ см. таблицы въ концЪ книги, стр. 208.
34. Третий случай. — Заданы величины а и Ъ.
Требуется найти В, С, с.
Вычислимъ прежде всего уголъ В, при помощи
формулы
(4)' sinJS = --
а
Значеше С находится изъ равенства
(7=100 — В.
Вычисливъ значете угловъ, легко найти
величину с, воспользовавшись формулой
(5) с = а cos В.
*) Мы сочли наиболее удобнымъ собрать вм'бст'б въ конц1> книги
боб примеры на р$шете треугольниковъ, рядомъ съ таблицами
логарифмовъ.

— 71 —
Изсл*доваше. — Выражете sin В, представленное
равенствомъ (4)', должно определять искомую
величину угла В. Для этого необходимо, чтобы величина
sin .В была меньше единицы, т.-е. доляшо существовать
неравенство
Въ силу геометрической зависимости, существую-
.щей между катетомъ и гипотенузой прямоугольнаго
треугольника, данныя величины а и Ь должны
удовлетворять последнему неравенству. Если оно
удовлетворяется, то sin В представляетъ положительную
величину, меньше единицы; ей соотвЪтствуетъ
единственное, вполне определенное значеше остраго угла.
ПримЪчаше къ третьему случаю. Приведенный способъ вы-
числешя является наиболее краткимъ, если не стремиться къ
возможно большей точности/результатов!». Но если приходится применять
таблицы логарифмовъ съ большнмъ числомъ десятичяыхъ знаковъ и
желательно при этомъ иметь возможно большее число точныхъ
десятичяыхъ знаковъ, то указанный способъ вычислешя оказывается слиш-
комъ сложнымъ. Вычислешс каждаго логарифма вводитъ некоторую
ошибку; поэтому формула (4)' даеть только приближенное значеше
угла Б. Подставляя его въ формулу (5), мы увеличиваемъ въ результат*
погрешность, введенную предыдущими вычиелешями. Вь виду этого
желательно вычислять значеше каждой изъ неизвестныхъ величинъ
самостоятельно, при помощи данаыхъ величинъ, если только ото
возможно. Въ трстьемъ изъ разсмо-
тр*внныхъ выше случаевъ, такой
способъ вычислешя неизвестныхъ
величинъ возможно осуществить,
воспользовавшись следующими соображе-
Н1ЯМИ.
Проводимъ биссектрису угла С
(черт. 26), пересекающую катетъ АВ
въ точке D. На основанш известной
геометрической теоремы, получается Черт. 20.
следующая зависимость
TJA__DB Ш_+ DB _ с
С А ~~ СВ ~~~~ С А ]-СВ ~~ а + Ь '

72 —
Kpoirt того, изъ прямоугольнаго треугольника CDA получаемъ
. -.,,>. DA
иглсп = ш.
Такъ какъ уголъ ACD равенъ половин* углаСданнаго
треугольника, то мы получаемъ формулу
♦ с с
Съ другой стороны формула Пифагора даетъ
Извлекая квадратный корень изъ обеихъ частей посл1цняго ра
венства, приводимъ его къ следующему виду
с= j/ {а + b) (a~^~Z>j7
Въ данномъ случав и*тъ надобности вводить двойной знакъ передъ
радикаломъ, такъ какъ величина гипотенузы с представляетъ
положительное значешя. Подставляя последнее значеше с въ предыду-
щее выражеше tg -^, находимъ для него следующее выражеше
, с \ /~^=7>
t ГУ __ — | / .
° 2~\ а + Ь
Такимъ образомъ значен!*я с и С выражаются черезъ сумму и
разность данныхъ гипотенузы и катета
а -{- b и а — Ь, ♦
при чемъ последняя разность представ л г етъ, очевидно,
положительную величину. Поэтому мы югЬемъ
С 1
Jog tg 2=~2 |log(« —£)+дон.1ор;(я4-/>)|.
log с— ^ |log (a + 6) 4- log (a — b)}.
Следовательно, при помощи таблицъ, приходится вычислять только
логарифмы выражений а + ^ и « — &• Но при этомъ приходится
выполнять несколько вспомогательныхъ вычисленш, которыхъ не
приходилось делать при первоначальномъ решен in задачи.
ПримЪръ см. таблицы въ конц-fe книги, стр. 209.
35. Четвертый случай. — Заданы величины Ь и с.
Требуется найти а, 2>\ С.

— 73 —
Уголъ В вычисляется при помощи формулы
зат/Ьмъ находимъ значешя
Ь
sin В
о=юо — в.
Въ данномъ случае, чтобы обойти неудобство отъ
вычислешя значешя а черезъ посредство угла В,
который вычисляется въ свою очередь при помощи дан-
ныхъ величинъ, остается воспользоваться теоремой
Пифагора, которая даетъ
Однако примкнете последней формулы усложняетъ
вычислешя, особенно если Ъ и с выражаются при
помощи большого числа знаковъ.
Прпм'Ьръ см. таблицы въ конц-fe книги стр. 210.
III. Приложен! я.
36. Зам*чашя общаго характера.— Цриведенныхъ
формулъ рЪшешя прямоугольныхъ треугольниковъ
вполне достаточно для разрЪшешя большинства вонро-
совъ, касающихся практическихъ приложешй тригоно-
метрш а). Вирочемъ, при рЪшети этихъ задачъ, нЪтъ
1) Въ сущности этихъ формулъ достаточно для какихъ угодно
эяементарныхъ приложенш, такъ какъ любая геометрическая фигура
подразделяется на прямоугольные треугольники проведешемъ вспо-
могательныхъ лпшй. Однако такой способъ оказывается иногда
бол'ве еложнымъ, чъчиъ, напримЗфъ, примкнете формулъ ръчнешя
косоугольныхъ треугольниковъ, которыя будутъ выведены впослъд-
CTBJH.

— 74 —
надобности строго придерживаться формулъ въ томъ
вид'Ь, какъ он* были выше приведены. Лучше всего
исходить изъ самаго опредйлетя основныхъ круго-
выхъ функщй и возстановлять въ своей памяти
черт. 25, или же воспроизводить его непосредственно.
У кого не развито геометрическое представлеше и кто
легче запоминаетъ отвлеченныя опред'Ьлетя, для тЪхъ
достаточно запомнить следующее основное положеше:
Отногиенге катета къ гутотенузт прямоугольнаго
треугольника равняется синусу или косинусу одного
изъ его острыхъ угловъ. Отногиенге катетовъ
прямоугольнаго треугольника равняется тангенсу или
котангенс]) одного изъ его острыхъ угловъ.
Неопределенность, введенная въ предыдущую формулировку, исче-
заетъг если заметить, что сторона треугольника
обращается въ нуль одновременно съ угломъ, лежащимъ
противъ нея и что синусъ и тангенсъ угла обращаются,
въ нуль одновременно со своимъ угломъ 1).
37. Различный задачи.—Задача I.—Вертикальная
мачта, въ 20 метровъ высотою, въ данный моментъ
времени бросаетъ на горизонтальную поверхность земли
ттънЬ) длиною въ 23,75 метровъ. Спрашивается, какова
высота солнца надъ горизонтомъ въ данный моментъ
времени, въ данномъ мтстт?
СлЪдуетъ напомнить, что высотою солнца надъ
горизонтомъ называется острый уголъ, образованный на-'
правлешемъ солнечныхъ лучей съ горизонтальной
плоскостью. Согласно съ только что формул ирован-
*) Чтобы не смешивать между собой круговыхъ функщй, при
формулировке изложенного правила, елъ\дуетъ заметить, что
синусъ и косинусъ всегда меньше единицы, чего н^тъ для тангенса.
Приведенное зам^чаше предостерегаетъ также отъ грубой ошибки,
которая могла бы произойти отъ смйшиватя отношешя катета къ ги-
потенуз'Б съ обратнымъ отношешемъ. Какъ хорошо известно, катетъ
прямоугольнаго треугольника всегда меньше его гипотенузы.

— 75 —
нъщъ принципомъ, тангенсъ искомаго угла х равенъ
отношению двухъ катетовъ прямоугольнаго
треугольника, образованнаго мачтой и ея горизонтальною
гЬнью. Величина тангенса послЪдняго угла была бы
близка къ нулю, если бы солнце было недалеко отъ
горизонта. Тогда отбрасываемая мачтою т&нь была бы
очень длинной, сравнительно съ длиною мачты.
Следовательно, длина гЬни должна находиться въ
числители (это сл&дуетъ также и изъ самой формулы), и мы
получаемъ
20
log tg x = log 20 — log 23,75.
log20=j.,3010 log 23,7 =1,3747
доп. log 23,75 = 2,6245 для 0,05 = 8
' log tg# = 1,9255 log23,75 = 1,3755
Отсюда слЪдуетъ, что x имЪетъ следующее
приближенное значете
х = 44г,5.
Какъ известно, во время весенняго или осенняго
равноденств!я, т.-е. 9 марта и 10 сентября, высота
солнца надъ горизонтомъ, въ полдень, равна дополне-
Hiio къ широт* мЪста. Поэтому предыдущая задача
даетъ способъ приближеннаго вычислешя
географической широты мЪста, при помощи наблюдешй простыхъ
явлешй на земли.
Задача II. Въ местности, гдгь наибольшая т) высота
солнца надъ горизонтомъ равна 66° (т. - е. приблизи-
*) Разсматриваемая наибольшая высота, соответствующая
летнему солнцестояшю, въ полдень (9 ионя), получается прибавлешемъ,
къ дополненiio широты; величины угла наклонешя экватора
надъ эклиптикой (23°26'57" 1 января 1903 года: этотъ уголъ у бы-

- 76 —
тельно на широтть Парижа) требуется возвести на
горизонтальной поверхности земли сттьну, по напра-
вленгю съ востока на западъ, такимъ образомъ, чтобы
полоса земли, въ 10 метровъ шириною къ оъверу отъ
сттьны, была бы всегда въ ттни. Спрашивается, какова
должна быть высота стгьны?
Искомая высота х определяется формулой
ж =10 tg65°
log x = log 10 -f- log tg 65°
log 10 = 1
logtg 65° = 0,3314
log x =1,3314
aHTHlog. 1,3314 = 21,43
для 0,0003 15
♦ 21,445
Следовательно, искомая высота равняется 21,45 мет-
рамъ.
Задача III. Длина прямолинейнаго желтзнодорож-
наго пути, считая по горизонтальному направлению,
равняется 2340 метрамъ и имтьетъ равномерный на-
клонъ къ горизонту въ 2Т,50. Чему равняется
действительная длина разсматриваемаго путиЧ
Горизонтальной длиной пути называется разстояте
между вертикальными лишями въ концахъ пути (эти
концы сравнительно на столько близко расположены
другъ къ другу, что проведенныя въ нихъ вертикаль-
ныя ирямыя можно считать параллельными). Разсма-
триваемая горизонтальная длина пути и изображается
всегда на карте или на плане.
ваетъ въ настоящее время на 2" въ годъ, но находится всегда между
пределами 21°59' и 24°36'). Въ Париж* (Пантеонъ), широта кото-
раго 48°56', наибольшая высота солнца достигаешь 64°ЗГ.

— 77
Искомая длина пути х находится какъ результата
дйлешя числа 2340м на косину съ дуги 2Г,50. Поэтому
получаемъ
log х = log 2340 — log cos 2r,50
log 2340 = 3,3692
log cos 2r,50 = 1,9996 доп. log cos 2r,50 = 0,0004
log # = 3,3696
5=5 . aHTHlog. 3,369 = 2,339
ДЛЯ 0,0006 3_
a? =2342
Следовательно, искомая действительная длина
пути равна 2342м, т.-е. больше горизонтальной длины
разсматриваемаго пути на 2 метра.
Задача IV. Дани дв% взаимно перпендикулярнихъ
оси Ох и Оу (черт. 27)
и прямая АВУ угловой
коэффицгентъ которой
равенъ' 0,55. Требуется
найти уголъ, который
образуетъ эта прямая
съ осью Ох.
ЗамЪтимъ прежде
всего, что угловымъ коэффи-
щентомъ данной прямой
называется тангенсъ
угла, КОТОрЫЙ ОНа Обра- Черт. 27.
зуетъ съ осью Ох.
Стало-быть, называя черезъ а послЪдтй уголъ,
получаемъ
tga = 0,55.
Поэтому, если воспользоваться, для опредЪленгя
угла а, таблицами натуральныхъ значешй круговыхъ
функщй (см. п° 24), то для а получается приближен-

— 78 —
ное значете 32г. Если же воспользоваться, для вычи-
слетя а, таблицами логарифмовъ, то получаемъ
log tg a = log 0,55 = 1,7404.
Следовательно,, приближенное значете угла а
равняется также 32г, такъ какъ мы имЪемъ
log tg32r --=1,7402.
Табличная разность Ь равняется 80. Поэтому, при-
нимая во внимате разность
7404 — 7402 = 2,
слЪдуетъ прибавить къ табличной дугЬ величину
2
Ьл отъ °г>5 > т-"е- °г>°125- Такимъ образомъ получаемъ
80
въ результате для а значете 32г,0125 , но при этомъ
нельзя быть увЪреннымъ въ точности посл'Ьднихъ
двухъ цифръ.
Примеры для ^пражнешй на II главу.
При помощи четырехзначныхъ таблицъ, вычислить
логарифмы данныхъ круговыхъ функщй или круго-
выя функцш по даннымъ ихъ логарифмамъ, въ
зависимости отъ сделанныхъ указатй. Н^тъ надобности (
стремиться къ точности, большей ч^мъ та, которая
соответствуем таблицамъ.
41. Log sin 35г,75.
42. Log cos 38г,5.
43. Logtg43r,875.
44. Logcotg25r,125.
45. Log sin 80r,375.
46. Log cos 90r,6666.
47. Log tg 95r,40.
48. Logcotg65r,25.

— 79 -
49. Sin 138г,40.
50. Cos 265г,375.
51. Tg568r,10.
52. Cotg 2654r,45.
53. Log sin 18° 15'.
54. Log cos 79°45'.
55. Log tg 68°30'.
56. Log cotg 15° 15'.
57. Sin 435°15'.
58. Cos 2348°30'.
59. Tg 4287°6'.
60. Cotg 2874° 12'.
61. Sin 2641°15'.
62. Tg 3654°23'.
Решить, при помощи четырехзначныхъ таблицъ,
съ соответствующей имъ точностью, слъ\цующдя урав-
нешя,
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
принимая во внимате неравенства.
Sin х
Cos х
Tgx
Cotg x
Sin x
Cos x
Tg x
Cotg x
Sin x
Cos x
Tgx
Cotgx
SinV
Cos2 x
Tg2x
Cotg2A'
Sin^r
'Vtfx
= 0,342
= 0,471
= 0,543
= 0,325
= 0,782
= — 0,931
= — 2,345
= 3,456
= 0,425
= — 0,342
= —2,446
= 3,528
= 0,625
= 0,342
= 2,325
= 15,432
= 0,432
^1,254
0 <ж<100г.
0 <ж<100г.
0 О<100г.
0 О<100г.
0 <ж<100г.
100гО<2001'.
Ю0гО<200г.
100гО<300г.
90° < ж < 180°.
0 <ж<180°.
180° О < 360°.
]80°<ж<369°.
200г<ж<300г.
K)0r<.r<200r.
300гО<400г.
200гО<300г.
180° <ж< 270°.
270°<.г<360°.

— 80 —
Вычислить, при помощи пятизначныхъ таблицъ,
логарифмы данныхъ значешй круговыхъ функщй или
значетя круговыхъ функщй по даннымъ ихъ лога-
рифмамъ.
. 81. Log sin 43г,3425.
82. Log cos 35r,7735.
83. Log tg 28г,3550.
84. Logcotg 13г,4120.
85. Logsin82r,3155.
86. Log cos 97г, 1745.
87. Logtg81r,2305.
88. Log cotg 69r,3215.
89. Log sin 42r,2342.
90. Log cos 85r,3257.
91. Logtg 17r,3654.'
92. Log cotg 14r,2827.
93. Sin 215r,l735.
94. Cos314r,3259.
95. Tg617r,4253.
96. Cotg 736r,3598.
97. Log sin 17°8'35".
98. Log cos 14°35'28".
99. Logtg75°12'39".
100. Log cotg 17°3' 11".
101. Sin2356°'14'13".
102. Cos 4359°12'18".
103. Tg26543°4'12".
104. Cotg 4632°9'38".
Вычислить, при помощи пятизначныхъ таблицъ и
съ соответствующею имъ точностью, углы,
определяемые следующими уравнетями и неравенствами.
105. Sin х =0,34521 0 О<100г.
106. Cos ж =0,87324 0 <ж<100г.
107. Tg» =0,34213 0 <гг<Ю0г.

GO
О О О
о о о
-1-Н СМ <М
о о
о о
см со
о
о
V
V
ооооооооо
о о о о о
о о о о о
GO 00 00 00 t-
гН тН тН CM
О О О Рч
О О О О
СО 00 00 О
СО тЧ r-J 1—1
о о
о о
см см
о о о о
о о о о
со со со т*
о с о
о о о
со о ос
СО СО -ч
VVV
VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
www**, 8 ^ ^ ^ М S S Ц S 8 S M Si S S Я Si S
VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
о о о
о о
С75 <У:
о о
r-Н СМ
Р- P. F-. О
о о о о
о о о оо
см см со ~н
GO О
г- *>-
см оо
СО О О
о .я
Q GO
о о
rH О О
i^ см см
о -н со
см со X4
со о °
см" о" I
СЮ
1-
sis
<Р о о
^ н (N
^ I СО
о ! сГ
Ч сю ^
СМ
° 5;
I о~
■I! II
со со
I О
о о
СМ тН СМ О тН
N СО О ^ со
Oi ^t< CM CO 00
N -^ W лз ь
05 тН W н СО
~ тн4 со" о" ~
гч СМ СМ СМ СМ СО Г»
i>- t>» i^- t^- i>- оо оо
>о ю ю со о со оо
00 00 ^ ь ^ 00 00
со ^ со о со со оо
о о о о о см" ю сГ о
2-s 9^ с
о о о
1>- Г- СЛ
см см
со о см
"* Ю X'
со со i>.
со >о ^
со_ со см
см" ^-Г
Н О СО О £н О СО
оо о .я
Н О СО
ью
^ **
о 'оо о .а
О Е- О со
Ъ0М
II II II
^ ^ fen
о Ьй о
о ь о
CNIWCMCOCOCOOOCOCOOO
оо о 5 о оо о .Э
5н О со О Н О со
О Р.
я V
S *
§ V
>р р.
** 2
О) О
Он <»
о I
о
и
CD
я
со
^ о * о "
о о о
О CM on
!>• 1^ О
VVV
Н ^ v
VVV
^L О О
О о О
о см го
Ю i-^. со
тН CM £\.| ^ч
N СО [s. ^
О !>• ».о СС
*тН Ю -н ог
со см ^ ^
о о см" />Г
II
0D
IS
i о ьс о
СО О Ен О
«"5
О 00 ОЭ О
СО 00 СО ^

— 82 —
141. Вычислить3) всЬ значешя угла х, опред'Ьляе-
маго формулой
^3
COS X
Y<
Sill # = -/._
142. Вычислить всЬ значешя угла х, определяв-
маго формулой
У 10,34
143. Вычислить значешя острыхъ угловъ х и ?/,
опред^ляемыхъ формулами
igx = sin 15г,30.
tgy = cosl8°15\
144. Вычислить острый уголъ ху определяемый
формулой
cos я? = 2 sin 12г,75.
145. Вычислить острый уголъ у, определяемый
формулой
sin 2/ —3cos92r,45.
146. Вычислить значешя острыхъ угловъ х и у,
опредЪляемыхъ формулами
3,45
vsin х =
I/
COS?/:
v i/fooooo
12,83
I V уЧоообооо
вывезти отсюда значешя угла *, опредЪляемаго
формулой
sin2 (2x 4- 4?/)
1<г £ = - - •
° cos8 (3# -[- 52/}
1) Bet примеры, начиная съ настоящаго, слЪдустъ решать какъ
въ десятичной, такъ и въ шестеричной системахъ изм^ренш.

— 83 -
147. Вычислить значешя острыхъ угловъ ос и у.
оиредЪляемыхъ формулами
6 425
3,24
J 18,35
вывести отсюда значешя угла z, опредЪляемаго
формулой
2 sin2 (x + у)
cos * = —■—-~-~~ •
45 tg30+2«/)
148. Вычислить значешя круговыхъ функщй сл'Ь-
дующихъ дугъ, выраженныхъ въ частяхъ рад!уса:
О , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,4 , 0,5 ..., 1,9 , 2.
Начертить кривыя, представлякшця графическое изо-
бражеше разсматриваемыхъ функцШ. Выполнить вы-
числешя въ градахъ и градусахъ.
149. Решить прямоугольный треугольникъ по
слЪдуюшимъ даннымъ:
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
« —
а =
а =
а-—
6 =
Ь =
с —
С —
а =
а —
а =
а =
Ъ =
Ъ =
258м
30м,75
25км
1245м"
355м
300м
63м,25
128мм
275м
540м м
2м,356
0м,0034
3м,50
4м,75
В= 15°18'.
С= 23г,45.
в= ззг,зо.
Г7= 17°,50'.
В= 35г,43.
С= 75г.
Б= 38г,49.
(7= 50°38'.
й=134м.
й = 289мм.
Ь= 1м,875
5с = 0 м,000!
в = 428М31.
е=^ 8м,375.
6*

— 84 —
163. РЪшить прямоугольный треугольникъ по
данному катету Ъ и данной высоте h, опущенной изъ
вершины прямого угла на гипотенузу. Приложить къ
случаю
й = 345мм, А = 138м31.
164. Найти географическую широту мЪста, гдгЬ
въ пертдъ равноденств1я, въ полдень, тЬнь,
падающая на горизонтальную поверхность земли отъ
вертикальной колонны, высотою въ 20 метровъ, имЪетъ
28,75 метровъ длины.
165. Найти длину горизонтальной тгЬни, падающей
отъ вертикальной колонны въ 30 метровъ высотою, въ
перюдъ лгЬтняго и зимняго солнцестояшя, въ полдень,
въ местности, гд4 длина этой тЪни, въ перщцъ равно-
денств1я, равняется 32,50 метрамъ. Сл&дуетъ
предположить, что уголъ наклона экватора надъ эклиптикой
равенъ приблизительно 23°27' (или приблизительно
26Г,05).
166. Въ местности, географическая широта которой
равна 53г,85 , длина горизонтальной тгЬни,
отбрасываемой вертикальной колонной, равна 35,75 метрамъ,
въ першдъ зимняго солнцестояшя, въ полдень. Чему
равняется длина той я^е самой гЬни въ перюдъ л^т-
няго солнцестояшя?
167. Въ местности, географическая широта 2)
которой равна 49г,35 , вычислить длину горизонтальной
т/Ьни, отбрасываемой вертикальнымъ стержнемъ въ 1
метръ длиною, въ полдень, въ першдъ зимняго
солнцестояшя и лЪтняго равноденств!я и солнцестояшя. На
сколько удлиняется эта т/Ьнь за промежутокъ
времени между першдами л'Ьтняго солнцестояшя и равно-
1) Читатель можетъ заменить указанную широту широтой
местности, гд* онъ живетъ.

— 85 —.
денств1я, а такя^е между першдами зимняго равно-
денств1я и солнцестоятя?
1S8. Основываясь на результатахъ предыдущей
задачи и оставляя прежнее значеше географической
широты местности, решить следующую задачу.
Определить высоту горы, возвышающейся надъ
горизонтальной поверхностью долины, расположенной въ данной
местности; известно, что оконечность тени, падающей
отъ вершины горы, въ полдень, передвигается по
поверхности долины на 145 метровъ къ сиверу, за про-
межутокъ времени между осеннимъ равноденств1емъ и
зимнимъ солнцестояшемъ.
169. Прямоугольное здате, измерешя котораго
равны 20 метрамъ на 25 метровъ, требуется покрыть
крышею съ наклономъ въ 40°. Определить поверхность
этой крыши въ квадратныхъ метрахъ.
170. Определить работу силы, въ 15 динъ, точка
приложешя которой перемещается прямолинейно на
протяжеши 3,75 метра; направлеше пути образуетъ
уголъ въ 23г,50 съ направлешемъ силы.

ГЛАВА III.
Теорема о проекщздъ. Сложеше дугъ.
I. Геометрическое изложеше теоремы о проекщяхъ.
38. Опред*леше прямоугольныхъ
проекщй.—Прямоугольной проекгпей данной точки на прямую лингю
называется точка пересгьченгя этой прямой съ
перпендикулярной къ ней плоскостью, проведенной черезъ
данную точку, Такъ какъ мы ограничиваемся разсмо-
трЪшемъ только прямоугольныхъ проекщй, то
большею частью будемъ пропускать прилагательное
прямоугольный и говорить только проекцгя. КромЪ того,
будемъ всегда предполагать, что прямая литя, на
которую мы проектируемъ точку, представляетъ ось,
т.-е. что на разсматриваемой прямой намечено
определенное направлеше, которое принимается за
положительное 1). Проектируя на ось данныя точки А и В,
располоя^енныя изв'Ьстнымъ образомъ въ пространстве,
получаемъ проекщй ихъ а и Ъ9 которыя опредЪляютъ
*) Некоторые авторы, употребляя слово ось, подразумеваюсь подъ
посл'вднимъ понят1емъ прямую лишю, на которой отмечено не только
положительное направленie, но вм^ств съ тбмъ избрана и
определенная единица длины. Однако выборъ единицъ длины только тогда
необходимъ, когда приходится измерять длину. Въ посл'вднсмъ
случае, само собою разумеется, должна быть выбрана определенная
единица длины, независимо отъ того, разсматриваемъ ли мы прямую
какъ ось или какъ прямую лишю, на которой не намечено
положительна™ и отри цательнаго направлетя.

— 87 —
отртокъ прямой лиши на нашей оси. Полученный
отрезокъ представляетъ часть оси, которая можетъ
быть измерена алгебраически. Следовательно, нашему
отрезку соответствуешь определенное положительное
или отрицательное число, въ зависимости отъ того,
Совпадаешь ли направлеше аЪ съ положительной или
отрицательной стороной направлетя на данной оси.
Необходимое зам*чаше.—На последующихъ стра-
ницахъ мы съ намерешемъ не даемъ чертежей, такъ
какъ все приводимыя разсуждешя не зависятъ отъ
того или другого частнаго вида чертежа. Очень часто
для начинающего трудно следить за геометрическими
разсуждешями, который не сопровождаются рисун-
комъ. Въ такомъ случае читателю следуетъ составить
етолько различныхъ чертежей, сколько возможно
сделать различныхъ предположенШ относительно распо-
ложешя составныхъ частей чертежа, и проследить на
каждомъ изъ нихъ весь последовательный ходъ раз-
суждешй.
39. Векторы. — Векторомъ называется
определенный отрезокъ А В прямой лиши,. съ началомъ А и
концомъ В. Векторъ ВА называется противополож-
нымъ вектору АВ. Два вектора АВ и А!В' называются
равными, если длина ихъ равна, а направлетя ихъ
параллельны и направлены въ одну и ту же сторону 1).
Приведенныя услов1я можно выразить въ другой форме
словами, что точки А, В, А\ В' представляютъ четыре
вершины параллелограма, противоположными
сторонами котораго служатъ АА! и ВВ'2). Проекгпей
вектора на ось называется ея отрезокъ, начало котораго
*) Само собою разумеется, что два вектора, равные порознь
третьему, равны между собой; это услов1е необходимо для того,
чтобы опред^лете равенства имЗзло смыслъ.
2) Если бы отрезки AA''n BB' служили ддагоналями
параллелограма, то разсматриваемые векторы были бы противоположными.

— 88 —
а и конецъ Ь представляютъ соответственно проекщи
начала А даннаго вектора и его конца В.
Теорема.—Проекты, двухъ равныхъ векторобъ на
одну и ту же ось представляютъ два равныхъ от-
ргозка. Разсмотримъ сначала частный случай, когда
начала А я А' двухъ равныхъ векторовъ АВ и А'В'
лежать въ одной и той же плоскости Р,
перпендикулярной къ данной оси. Такъ какъ отрЪзокъ ВВ па-
раллеленъ АА\ то становится очевиднымъ, что оба
конца В и В' данныхъ векторовъ лежатъ также въ
одной и той же плоскости Q, перпендикулярной къ
разсматриваемой оси. Поэтому проекщи на нее обоихъ
векторовъ представляются однимъ и ггЬмъ же отрЪз-
комъ аЪ9 где а является точкой пересЬчешя плоскости
Р съ нашей осью, а Ь—точкой пересЬчешя плоскости
Q съ той же осью. Такимъ образомъ наша теорема
справедлива въ разсмотренномъ частномъ случае.
Предположимъ теперь, что АВ и А'В'
представляютъ два равныхъ вектора, расположенныхъ какъ угодно
въ пространств*. Обозначимъ черезъ а и а' проекщи
точекъ А и А' на ось и черезъ аВг и а'В\—два
вектора, равныхъ соответственно даннымъ векторамъ, но
съ началами въ точкахъ а и а\ Такъ какъ проекщи
последнихъ векторовъ равны соответственно проекщ-
ямъ данныхъ векторовъ, то достаточно доказать, что
проекщи двухъ последнихъ векторовъ представляютъ
равные отрезки. Проекщи аЪ и а'Ь* векторовъ аВг и
а'В\ определяются услов1емъ, что отрезки ЬВг и Ъ'В\
перпендикулярны къ оси. Прямоугольные
треугольники аЬВ1 и а'Ь'В1 равны, такъ какъ стороны ихъ
параллельны, а гипотенузы равны; поэтому соответствен-
ныя стороны аЬ и а'Ь' равны. Однако этого не
достаточно для доказательства, что отрезки аЪ и а'Ь' равны.
Необходимо, кроме того, убедиться еще, что разсма-
триваемые отрезки направлены въ одну и ту же

— 89 -
%сторону. Но последнее заключеше вытекаетъ
непосредственно изъ того, что ad й ВХВ\ представляютъ
противоположныя стороны параллелограма. Такимъ
образомъ наша теорема становится вполне доказанной.
40. Геометрическая сумма двухъ или н*сколь-
кихъ векторовъ.—Пусть имЪемъ два вектора АВ и ВС
такихъ, что начало второго вектора совпадаетъ съ
'Концомъ перваго вектора. Геометрической суммой двухъ
данныхъ векторовъ называется векторъ АС, начало
котораго совпадаетъ съ началомъ перваго вектора, а
конецъ—съ концомъ второго вектора.
Если даны два вектора, расположенныхъ какъ
угодно въ пространстве, то, для опредедешя ихъ
геометрической суммы, одинъ изъ векторовъ
заменяется равнымъ ему векторомъ, имЪющимъ свое
начало въ концгЬ второго вектора.
Изъ основныхъ свойствъ параллелограма слйдуетъ,
что геометрическая сумма двухъ векторовъ не зави-
ситъ отъ порядка, въ которомъ ихъ разсматриваютъ.
Подобно предыдущему определяется геометрическая
сумма несколькихъ векторовъ АВ, ВС, CD, BE,
которые расположены въ такомъ порядке, что конецъ
каждаго изъ нихъ совпадаетъ съ началомъ следующаго
за нимъ вектора. Геометрическая сумма разсматривае-
мыхъ векторовъ определяется въ виде вектора АЕ,
начало котораго совпадаетъ съ началомъ перваго
вектора, а конецъ—съ концомъ последняго вектора.
Чтобы составить геометрическую сумму произвольно
расположенныхъ векторовъ, ихъ заменяютъ равными
имъ векторами, которые удовлетворяютъ предыдущему
условш. Въ геометрической сумме несколькихъ
векторовъ всегда возможно изменить порядокъ двухъ
какихъ-либо последовательныхъ векторовъ, не изме*
няя конечнаго результата. Отсюда следуетъ, что
геометрическая сумма несколькихъ векторовъ не за-

— 90 —
внситъ отъ порядка, въ которомъ рассматриваются
данные векторы.
41. Теорема о проекщяхъ.— Введенныя поняпя и
опредйлетя позволяютъ приступить къ
доказательству такъ называемой теоремы о проекщяхъ,
которая представляетъ важное значете въ тригоно-
метрш, механике, аналитической геометрш.
Выражается эта теорема сл'Ьдующимъ образомъ.
Теорема.—Проекцгя на данную ось вектора, пред-
ставляюгцаго геометрическую сумму нтсколькихъ
векторовъ, равняется суммгь проекцш этихъ составляю-
щихъ векторовъ. При этомъ сл'Ьдуетъ помнить, что
всЬ разсматриваемыя проекцш представляютъ собой
отрезки, при слоя^енш которыхъ сл'Ьдуетъ принимать
во внимате ихъ знакъ.
Начнемъ доказательство нашей теоремы съ раз-
смотр'Ьтя просгЬйшаго случая двухъ векторовъ А В
и ВС, расположенныхъ такъ, что начало второго
вектора совпадаетъ съ концомъ перваго. Геометрическая
сумма ихъ равна АС. Обозначимъ соответственно че-
резъ а, Ь, с проекцш на разсматриваемую ось точекъ
А, В, С. Справедливость разсматриваемой теоремы
вытекаетъ непосредственно изъ существовашя следую-
щаго хорошо изв^стнаго равенства
ас — ab -j- be.
Если разематриваются векторы АВ, ВС, CD, BE,
геометрическая сумма которыхъ представляется векто-
ромъ АЕ, то доказательство разсматриваемой теоремы
вытекаетъ также непосредственно изъ извйстнаго
равенства
ае = ab -{- be -\- cd -j- de.
Наконецъ, если разематриваемые векторы
расположены какъ угодно въ пространстве, то для требуе-
маго доказательства достаточно заметить, что проекцш

— 91 —
двухъ равныхъ векторовъ представляются равными
отрезками. Поэтому мы замйняемъ данные векторы
равными имъ векторами, которые удовлетворяюсь
условш, указанному въ предыдущемъ частномъ
случае.
РазсмотрЪнная теорема о проекщяхъ выражается
иногда следующими словами:
Теорема.—Сумма проекигй на какую-либо ось послгь-
довательпихъ сторонъ замкнутаго многоугольника
равняется нулю.
Если вершины даннаго многоугольника
представляются точками AJBCDEF и если ихъ проекцш на
данную ось представляютъ точки abcdef, то
доказательство разсматриваемой теоремы вытекаетъ изъ сл4-
дующаго изв^стнаго равенства
аЬ -\- bc-j-cd + de -|- ef -f- /а = 0.
II. Тригонометрическое вычислеше проекцт.
42. Основная формула.—Чтобы применять теорему
проекцШ, необходимо умЪть вычислять проекцш
даннаго вектора на ось. Легко доказать, что величина
разсматриваемой проекцш Р выражается формулой
V = I cos а,
гдЪ I обозначаешь длину даннаго вектора, а а
представляешь уголъ, образованный направлешемъ вектора
съ направлешемъ оси.
Предположимъ сначала, что величина угла а
заключается между 0 и 2 прямыми углами, т.-е. а
представляешь уголъ, который обыкновенно разсматри-
вается въ элементарной геометрш.
Для доказательства предыдущей формулы, мы
им'Ьемъ право, на основанш теоремы *г°39,
предположить, что начало А даннаго вектора находится на

— 92 —
оси. Обозначимъ черезъ В конецъ нашего вектора и
черезъ Ъ проекцш конца В на разсматриваемую ось.
Такъ какъ ВЬ перпендикулярно къ ЛВ, то изъ прямо*-
угольнаго треугольника АВЬ им'Ьемъ
Ab = ABcosBAb.
Если направлете АЬ положительное, то уголъ ВАЬ
представляетъ въ такомъ случай уголъ а. Такъ какъ
далЪе
АЬ = 1\ АВ = 1,
то последнее равенство становится тожествевнымъ
съ формулой, которую мы желаемъ доказать.
Если же направлете АЬ отрицательное, то мы имЪ-
емъ
АЪ = — Р
и въ этомъ случае а представляетъ уголъ, который
образуетъ АВ съ продолжен!емъ ЬА по другую
сторону отъ точки А. Поэтому получаемъ
ВАЪ = к — а
и предыдущая формула становится
— P = 7cos(t: — о).
Наконецъ, применяя формулы (Вл), на стр. 39, нахо-
димъ
— Р = — Z cos а,
или
P = /cosa.
Такимъ образомъ разсматриваемая формула
становится доказанной для случая, когда значеше а
заключается между 0 и 2 прямыми углами. Предполо-
жимъ теперь, что а представляетъ одно изъ значетй
угола, на который сл^дуетъ повернуть направлете

— 93 —
вектора для того, чтобы оно стало параллельнымъ
положительному направленш оси и было направлено
съ нимъ въ одну сторону (или иначе а представляетъ
одно изъ значешй угла, на который нужно повернуть
ось, чтобы направление ея было параллельно съ на-
правлешемъ вектора и было направлено съ нимъ въ
одну сторону). ВсЪ значешя разсматриваемыхъ угловъ
заключаются тогда въ следующей общей формул*
Косинусы всЬхъ послйднихъ угловъ равны между
собой. Отсюда и слЪдуетъ общность нашей основной
формулы.
43. Проешця отрезка на ось.—Очень часто
приходится въ приложешяхъ вычислять проекцш даннаго
отрезка на ось, при чемъ этотъ отрЪзокъ располо-
я^енъ (или, какъ говорятъ, отлооюенъ) на другой оси.
Въ такомъ случае удобно имйть въ своемъ распоря-
женш общую формулу, независящую отъ значешя
стороны отрезка. Такая формула дается следующей
теоремой:
Теорема. — Проеюпя на ось отргъзка, отложеннаго
на другой оси, равняется произведетю алгебраической
величины отрезка, ултоэюенной на косинусъ угла между
обеими осями (угломъ между осями называется уголъ,
образованный ихъ полоэюительными направлениями).
Для доказательства этой теоремы достаточно
различать два случая, зависящихъ отъ того, является
ли разсматриваемый отр'Ьзокъ положительнымъ или
отрицательнымъ. Если отр'Ьзокъ положительный, то
наша теорема приводится къ основной формуле, такъ
какъ алгебраическая величина отрезка является въ
данномъ случай ея длиной I, а направлен1е отрезка
совпадаетъ съ положительнымъ направлешемъ оси.
Поэтому уголъ мея^ду двумя осями равенъ углу а.

- 94 —
Такимъ образомъ въ разсматриваемомъ случае наша
теорема справедлива. Если же данный отргЬзокъ
отрицательный, то алгебраическая величина его равна—7,
где I обозначаетъ длину отрезка, а уголъ между осями
выражается черезъ т, — а, при чемъ а представляетъ
уголъ между направлен 1емъ отрезка и направлетемъ
оси, на которую онъ проектируется. Но такъ какъ
основная формула можетъ быть представлена также
въ слгЬдующемъ вид*
7J = (—0 cos (- — a),
то разсматриваемая теорема становится доказанной
также и въ этомъ второмъ случай. Следовательно,
теорема справедлива въ самомъ общемъ случае.
Значеше нашей теоремы заключается въ томъ, что
она избавляетъ отъ необходимости, въ каждомъ част-
номъ случай, делать изслйдоватя, аналогичныя пре-
дыдущимъ. Такъ, если пришлось бы применять ихъ
нисколько разъ въ какомъ - либо доказательстве, то
следовало бы каждый разъ разсматривать оба различ-
ныхъ случая, которые могутъ представиться и делать
два различныхъ чертежа, что вводило бы рядъ ослож-
нешй. Доказанная теорема представляется въ слй-
дующемъ видй
P=:s cos a.
Здйсь s обозначаетъ алгебраическую величину
отрезка, т.-е. положительное или отрицательное число
(между темъ какъ длина / представляетъ всегда
существенно положительную величину). Кроме того,
величина а представляетъ значеше угла между осями,
между тймъ какъ прежнее значеше а обозначало
уголъ между направлетемъ вектора и положитель-
нымъ направлетемъ оси.
44. Общая формула. — Обозначимъ черезъ S19 S2,
S39 S4 отрезки прямыхъ лиши, отлоя^епные соотвЪт-

— 95 —
ственно на осяхъ Av А2, Ав, А4. Пусть а19 а2, а3> аг
обозначаютъ соответственно углы послъднихъ осей съ
осью А, на которую мы проектируемъ отрезки. На
основанш теоремы, доказанной въ w°4l, величина Р,
представляющая проекцш геометрической суммы дан-
ныхъ отрЪзковъ, равняется суммЪ ихъ проекцШ. Выра-
жешя послъднихъ легко составить на основанш только
что доказанной теоремы. Такимъ образомъ получается
равенство
Р — Sx cos ax -(- S2 cos a2 -(- SB cos a3 -f- $4 cos a4.
Теорема о проекщяхъ чаще всего применяется въ
вид-Ь послЪдняго равенства (число членовъ его второй
части обыкновенно равняется двумъ или тремъ членамъ
и рЪдко превышаетъ четыре слагаемыхъ).
III. Сложеже дугъ.
45. Постановка задачи. — Подъ задачей сложения
или вычитангя дугъ подразумевается рЪшеше слй-
дующаго вопроса: по даннимъ круговымъ функыгямъ
двухъ дугъ а и Ъ, вычислить круговым функцт ихъ
суммы а-\-Ъ или разности а — Ь. На основанш
теоремы о проекщяхъ,
поставленная задача
разрешается непосредственно
въ самомъ общемъ видЪ,
не требуя разсмотрЪтя
въ отдельности различ-
ныхъ частныхъ
предположен^* относительно
расположешя концовъ
дугъ а% Ьу а-\-Ъ.
Съ этой ц-Ьлью зам*-
тимъ прежде всего, что черт. 28.

— 96 —
косинусъ дуги AM (черт. 28) представляетъ проекщю
вектора ОМ на ось косинусовъ ОА. Начало вектора ОМ
находится въ центрЪ тригонометрическаго круга, а ко-
нецъ—въ конц'Ь разсматриваемой дуги; ось ОА
определяется центромъ тригонометрическаго круга О и
началомъ А разсматриваемой дуги; начало оси
находится въ точки О и положительное направлеше
считается отъ точки О къ А; единица длины равна ОА.
ИослгЬдшя услов!я выражаются иначе словами, что
абсцисса точки А равна -j~l; говорятъ также иногда,
что А служитъ направляющей точкой оси.
Синусъ дуги AM представляетъ проекщю ОМ на
ось ОБ, имеющую своимъ началомъ точку О, а
направляющей точкой—точку В, положея1е которой на
окружности определяется услов!емъ, что дуга А Б равняется
46. Вычислеше cos (a-]-b).—Разсматриваемая
задача состоитъ въ вычислены выражешя cos (а -}- Ь) при
помощи значенШ косинусовъ и синусовъ дугъ а и Ь^
Пусть AM (черт. 28) 1) обозначаетъ дугу a, a MR
представляетъ дугу Ъ; чтобы вычислить cos (а-)-£)>
достаточно найти, выражеше проекщи OR на ось ОА%
или Ох. Вычислимъ величину этой проекщи, разсма-
тривая отрЪзокъ OR какъ геометрическую сумму двухъ
векторовъ, опредЪляемыхъ следующими услов1ями:
Обозначимъ черезъ Р основате перпендикуляра,
опущеннаго изъ точки R на ОМ; векторъ OR
представляетъ геометрическую сумму векторовъ ОР и PR.
Проводимъ ось Ох1У совпадающую съ ОМ, возьмемъ.
ея начало въ точке О, а положительное направлент
1) Согласно съ зам*вчатемъ на стр. 87, мы предлагаемъ
читателю одновременно съ даннымъ составить также и друие чертежи >
соответствующее различнымъ расположешямъ дугъ, и на этпхъ.
чертежахъ проследить ходъ приводимыхъ разсужденш.

- 97 —
на ней намЪтимъ такъ, чтобы абсцисса точки Ж
равнялась -(-1- Вторую ось Оуг опред'Ьляемъ при помощи
точки Ж такъ, чтобы дуга ММ! равнялась -^-Если
опустить изъ точки В перпендикуляръ В Q на ось Оуи
то очевидно, что векторъ OQ равенъ вектору PR (о'ни
представляютъ противоположныя стороны
прямоугольника, для котораго двумя другими сторонами
являются отрезки ОР и QB). Поэтому, проектируя ОВ на
ось Ох, получаемъ
Пр. (0Д) = Пр. (ОР) + Пр. (OQ).
Чтобы вычислить нроекщи ОР и OQ, разсматрива-
емъ ихъ какъ отрезки, отложенные соответственно на
осяхъ Охг и Оул\ уголъ между осями Охг и Ох
равенъ а; что же касается угла между осями Оуг и Ох,
то величина его равна а + - .
Такъ какъ, съ другой стороны, дуга MB
равняется Ъ, то, въ силу даннаго выше опред^летя, слЪду-
етъ, что отр'Ьзокъ ОР равняется cos&, а отр-Ьзокъ OQ
равенъ sin Ъ. Поэтому им^ютъ мЪсто слЪдуюпця вы-
ражешя
Пр. (СШ) = cos (а+ 6).
Пр. (OP) — cos Ъ cos а.
Пр. (OQ) — smb cos («-+* — ) ==—sin Ъ sin а.
Въ силу послЪднихъ формулъ, предыдущее
равенство приводить насъ къ следующей основной
формуле, которую необходимо запомнить
(Dj) cos (a -j- Ъ) = cos a cos 6 — sin a shift.
Тригонометр1я. 7

— 98 —
Сл'Ьдуетъ заметить, что полученная формула выведена
независимо отъ частныхъ предположен^ относительно
значетя дугъ а, ft, а-\-Ъ и поэтому имЪетъ вполне
обшдй характеръ. Изъ нея получаются непосредственно
вс* друпя тригонометричесьия формулы, безъ помощи
какого бы то ни было построетя.
47. Вычислете cos (a — Ь).— Если въ основной
формуле (Dj) заменить ft на — ft> то получается равенство
cos (a — ft) = cos a cos (— ft) — sin a sin (— ft),
которое даетъ искомую формулу
cos (a — ft) = cos a cos ft -|- sin a sin ft.
48. Вычислете sin (a-ft)) и sin (a— b).— Заменяя въ
только что полученной последней формул* а на --— а,
Li
находимъ
cos
ll — а — j j = cos /1 — а J Cos ft -j- sin (— — a 1 sin ft
и въ результат* получаемъ формулу сложетя сину-
совъ, которую также необходимо помнить,
(D2) sin (a -\- ft) = sin a cos ft -j- sin ft cos a.
Заменяя въ посл'Ьднемъ равенств* Ъ на —ft,
получаемъ
sin (a — ft) = sin a cos ft — sin ft cos a,
49, Вычислете tg(a-fb) и tg(a-b).—Разделяя
почленно равенство (D2) на (D,), получаемъ выражеше
А . , 7Ч sin a cos ft 4- sin ft cos a
tg (a 4- ft) = =-—'—: r-T •
1 cos a cos ft — sin a sin ft

- 99 —
Разделяя числителя и знаменателя второй части
поотЬдняго равенства на произведете cos a cos Ъ, нахо-
димъ искомую формулу
(Д.) tg (a + 6) = ^f-'^-j ■
3 ° ' 1 — tg a tg Ъ
Последняя зависимость доказываете, что тангенсъ
суммы двухъ дугъ выражается въ видЪ ращональной1)
функцш тангенсовъ этихъ дугъ. Какъ мы видели,
последнее услов!е не имЪетъ мЪста по отношетю къ
косинусу или синусу: выражеше * cos {а -|~ Ъ) заклю-
чаетъ не только cos а и cos Ъу но, кромЪ того, еще sin a
и sin&.
Заменяя въ формуле (D3) Ь на — 6, получаемъ
вторую искомую формулу
tg а — tg Ъ
tg (a —6) =
1 + tg a tg 6
% 50. ЗамЪчашя относительно формулъ сложешя.—
Такъ какъ формулы вычиташя выводятся изъ
формулъ сложешя, при помощи замены Ъ на — Ь, то
потому важнее всего запомнить формулы сложешя, ко-
торыя мы напишемъ здЪсь всЬ рядомъ
j'cos (a -J- Ь) == cos a cos Ъ — sin a sin Ьу
| sin (a-\-b) = sin a cos & -\- sin & cos a,
tg(a + ^-l-tga tg6"
(#)
% Кто не освоился еще достаточно съ последними
формулами, тотъ очень часто можетъ ошибаться въ
ихъ знакахъ. Легко избегнуть этой ошибки, замЪ-
*) Ращональной функщей переменной величины называется выра-
жеше, которое получается изъ нея при помощи алгебраическихъ дМ-
ствШ возвышешя въ цйлую степень, сложешя, вычиташя, умноже-
шя или двлешя.
7*

— 100 —
тнвши разъ навсегда, что если все три дуги a, S,
а-\-Ъ принадлежать первой четверти
тригонометрическая круга, то наибольшая изъ трехъ дугъ а~\-Ъ
должна иметь, сравнительно съ двумя другими, наи-
менышй косинусъ и наиболышя значешя синуса и
тангенса. На основанш - последнихъ сображешй,
объясняется присутств1е знака минусъ въ формуле сло-
жешя косинуса, знака плюсъ въ вырая^еши синуса,
наконецъ, знака плюсъ въ числителе и знака минусъ
въ знаменателе формулы слоя^ешя тангенса.
61. Обобщеше.-—Само собою разумеется, что,
применяя основныя формулы (D), легко вычислять
последовательно вырая^ешя круговыхъ функщй суммы какого
угодно числа дугъ, при помощи круговыхъ функщй
посл'Ьднихъ дугъ. Такъ, напримеръ, разсматривая
а-\-Ъ-\-с какъ сумму а-\-Ь и с, иолучаемъ
cos (a -f- Ъ + с) = cos (а -]- Ъ) cos с — sin (а -|- Ъ) sin с.
Подставляя въ.последнее равенство выражешя cos (а+6)
и sin (а -|-й), определяемыя формулами (D), находимъ
cos (а --}- Ъ -\- с) = (cos a cos Ъ — sin a sin Ъ) cos с—
— (sin a cos Ь -\~ sin Ъ cos a) sin c=
= cos a cos Ъ cos с — sin Ъ sin с cos a—
— sin с sin а cos Ъ — sin а sin Ъ cos с?.
Мы не станемъ продолжать дальше аналогичныхъ
вычислешй, такъ какъ они выполняются гораздо проще
при помощи другихъ еообрая^енМ, которыхъ, однако,
мы здесь не можемъ излагать.
52. Формула, относящаяся къ arc tg.—Какъ
говорилось выше, обозначеше arc igp представляетъ одну изъ
дугъ, тангепсъ которыхъ равенъ р. Вычислимъ сумму
arc tgp-\- arc tg q = x.

— 101 —
Вводя обозначешя
arctgp-^a, - - - -
arc \gq—„h,
т.-е. полагая
P = tga, (j=-tgb,
получаемъ
х=^а ~\-Ь.
Поэтому находимъ
teX-t~la I b)~iga + tgb -p+q
tex — t0(a + b) — 1_tgatgb—1_pii
и, стало-быть, получаемъ въ результат*
х = arc tg
I—Pi
Такъ какъ дуги, тангенсы которыхъ равны,
различаются между собою на кратное число я, то
полученный результатъ приводитъ къ следующему
равенству
arc tgp-\- arc tg q = arc tg ~
*±«-L-ta.
'M
Выведенная формула равнозначна съ формулой сло-
жешя тангенса и бываетъ иногда полезна при вычи-
слеши.
Примеры для упражнений на III главу.
171. По значетямъ круговыхъ функщй дугъ —,
-, --, вычислить круговыя функцш суммъ и разно-
4: О
стей послЪднихъ дугъ, взятыхъ по дв*.

— 102 —
172. Но значешямъ круговыхъ функщй дугь ~,
О
j, —, вычислить круговыя функцш суммъ и
разностей послЪднихъ дугъ, взятыхъ по дв'Ь.
173. Доказать равенство
arc tg~ -f arctg - -f arctg - = - + far.
174. Доказать равенство
sin (a -f- b) sin (a — b) = sin2a — sin2i.
175. Дана окружность и вписанный въ нее
правильный шестиугольникъ. Проводимъ ось, образующую
уголъ а съ одной изъ его сторонъ. На основанш
теоремы о проекщй замкнутаго многоугольника,
составить формулу, выражающую равенство нулю суммы
проекщй сторонъ разсматриваемаго шестиугольника
на данную ось.
176. Обобщить предыдущую задачу, замЪнивъ
шестиугольникъ правильнымъ многоугольникомъ съ п
сторонами. РазсмотрЪть частный случай, когда данная
ось перпендикулярна или параллельна одной изъ
сторонъ многоугольника.
177. Пусть имЪемъ правильную ломанную лишю, съ
р сторонами ММгМ2М3... Mp-tMp, вписанную въ
окружность съ центромъ О. Назовемъ черезъ 2г общую
величину дугъ MMV МгМ2, M2MZ, ...Mp-tMp. Проводимъ
ось, образующую уголъ а со стороной ММг. Прило-
живъ теорему о проекщяхъ къ замкнутому
многоугольнику OMMxM2 ... Mp-iMpO, вывести изъ нея формулу,
выражающую сумму косинусовъ дугъ, представляю-
щихъ арифметическую ирогресст.
178. Доказать, что, въ силу равенства
а -{- Ь -f- с — я,

— 103 —
имЪетъ мЪсто следующее соотношен1е
cos2a -f- cos26 4- cos2£ -f- 2cos a cos 6 cos с = l.
179. Доказать, что, въ силу равенства
a-f-ft + tf = ~,
имЪетъ мЪсто соотношете
tg a + tg ft -f tg с = tg a tg Ь tg с.
180. Вычислить tg(a-f 6 +с) въ вид* функцш ве-
личинъ tga, tg 6, tgc.
181. Вычислить tg (a-)-&-(-с-f-^) въ вид* функцш
величинъ tga, tg ft, tgc, tgc?,
182. Вычислить tg (a-{-6-f-с-|-d + e) въ ВИД* фун-
;кщи величинъ tga, tg ft, tgc, tgd, tge.

ГЛАВА IV.
Умножеше и д-Ьлеше дугъ. Различныя
формулы.
I. Умножеше дугъ.
53. Постановка задачи.—Задача умножешя дугъ
состоитъ въ сл&дующемъ: по даннимъ значетямъ
круговыхъ функцгй дуги а, вычислить круговым фун-
кгаи кратныхъ значент этой дуги, т.-е. дугъ 2а, За,
4а/5а... па... Очевидно, что послЪдшй вопросъ
приводится къ задаче сложешя дугъ. Однако формулы,
разрешающая разсматриваемую задачу, настолько
просты, что интересно ихъ вывести и помнить по
крайней мир* въ просгЬйшемъ случай двойныхъ дугъ.
54. Удваиваше дугъ.—Если въ формулахъ
сложешя (D) заменить Ъ черезъ а, то получаются слЪдую-
шдя равенства
{ cos2a = cos2a— sin2a,
_ J sin 2a = 2 sin a cos a,
Первая изъ написанныхъ формулъ легко
приводится къ виду, зависящему или только отъ cos a, или
только отъ sin а. Для этого достаточно
воспользоваться известною зависимостью
cos2a-j~sin 2a = l.

— 105 —
Поэтому получаются формулы, которыя необходимо
запомнить,
v , \ cos 2а = 2 cos2a — 1,
\ cos 2а =1—2sin2a.
Бол'Ье сложное преобразовате формулъ (£) состо-
итъ въ слЪдующемъ. Напишемъ первыхъ дв-Ь
формулы въ вид'Ь
cos2a — sin2a
cos 2a:
sin 2a -
cos2a-4~sin2a'
2 sin a cos a
cos2a -(- sin2a'
что всегда возможно сделать, такъ какъ знаменатель,
который мы ввели, равенъ единице. Разделяя
числителя и знаменателя каждой дроби на cos2a, получаемъ
формулы
1 — tg2a
cos 2a =
sin 2a:
l+tg2a'
2 tga
i+tg2V
которыя показываютъ, что воь круговия фунщт дуги
2а выражаются въ видгь рацгональныхъ фунщт lg a.
65. Параметричесшя выраже!пя круговыхъ фун-
кцШ.—Зам1щимъ въ иредыдущихъ выражешяхъ а на
—, т.-е. подставимъ а вместо 2а. Вводя посл'Ь этого
обозначеше

— 106
получаемъ выражетя
( 1-f
cosa-^
1 + *2 '
(F)l siua = —
tga =
1 + *2 '
2/
1 —/2
ПостЬдтя формулы представляютъ выражетя
круговыхъ функщй какой-либо дуги а съ помощью
параметра t, который им-Ьетъ очень простое значеше,
какъ было указано выше. Такимъ образомъ* получается
возможность заменять формулы, зависяшдя отъ кру-
говыхъ функщй дуги а, алгебраическими выраже-
Н1ями, заключающими значеше одного только
параметра t.
Чтобы дать примЪръ примЪнетя послйднихъ фор-
мулъ, напомнимъ (см. стр. 31), что прямоугольныя
координаты какой-либо точки окружности рад1уса В,
центръ которой совпадаетъ съ началомъ координатъ,
выражаются слЪдующимъ образомъ
j х = В cos a,
| у =г: В sin a.
Подставляя въ послйдтя формулы выражетя кру-
говыхъ функщй, представляемыя равенствами (F),
получаемъ
Предоставляемъ читателю доказать и
проверить, что всЬ точки окружности, и притомъ каждая

— 107 —
изъ нихъ только одинъ разъ, получаются при изме-
ненш въ посл-Ьднихъ формулахъ t отъ — оо до -{-со.
Данное параметрическое представлеше окружности
является очень важнымъ во мношхъ вопросахъ.
IL ДЪлеше дугъ.
56. Постановка задачи.—Задача делетя дугъ
заключается въ составлеши и решети уравнетй, кото-,
рыми определяются выражегия круговыхъ функщй
дугъ — > —, — ... , по даннымъ значетямъ круго-
2t О ^х.
выхъ функщй дуги я. Мы ограничимся разсмотрЪшемъ
только одного случая делетя дуги на 2.
Само собою разумеется, что, выполняя
последовательно умножете и дЪлеше дугъ, приходимъ къ
более общей задачи вычислетя значешй круговыхъ
функщй дугъ ■?—> где р и q два какдхъ-либо ц^лыхъ
числа. Такимъ образомъ получаются значешя
круговыхъ функщй дугъ, отношение которыхъ къ дуге а
представ ля етъ некоторое соизмеримое число.
Наконецъ, заметимъ, что, применяя
последовательно решете задачи делетя дуги на 2, находимъ
выражетя круговыхъ функщй дугъ "у' Т' If 16 '"''
черезъ посредство значешй круговыхъ функщй дуги а.
Такимъ образомъ, сочетая дёлеше дуги на 2 съ умно-
жешемъ ея, мы получаемъ возможность, по
даннымъ круговымъ функщямъ дуги а, вычислять зна-
чешя круговыхъ функщй всехъ дугъ вида ~~-, где
р и п представляютъ произвольныя целыя числа.
Поэтому всегда возможно определить значешя р к п
•такъ, чтобы соответствующее имъ значеше дуги
отличалось отъ некоторой данной дуги Ь на сколь угодно

108 —
малую, произвольно заданную величину. На основаши
сд&ладныхъуказанШ, является возможность вычислять
значете круговыхъ функщй какой-либо дуги Ъ съ.
желаемою точностью.
57. Зная cos а, вычислить круговыя функщй дуги
—.—Для рЬшетя поставленная вопроса
воспользуемся формулами (Е)\ въ которыхъ замЪнимъ а че-
резъ
2 '
= 2cos2-
(Е)'
cosa =
cos a = 1—-2 sin2—
Изъ послЪднихъ равенствъ находимъ
0 а 1 4- cos a
• cos2 —- — —Ц-— ,
sin
2
а
1 —cos a
Отсюда получаются искомыя формулы
а ,/~1 +cosa
т=±у ——.
(*У
cos
sm
tg
1—cos a
■A
-cos a
+ cosa
Во второй части посл&днихъ равенствъ, передъ
радикаломъ, находится двойной знакъ, происхождеше
котораго легко понять.

- 109 —
Действительно, если значете дуги а задано, то
дуга — имеетъ вполне определенное значете; со-
ответствуюнця ей значешя круговыхъ функщй
становятся также вполне определенными, т.-е. имеютъ
определенный знакъ. Поэтому, зная величину —, необхо-
димо выбрать соответствующей ей знакъ въ форму-
лахъ (F)'. Однако задать значете cos а не то owe
самое, что задать а,. такъ какъ, давая значете cos a,
мы не определяемъ еще этимъ значешя дуги а. Такъ,
если обозначить черезъ а одно какое-либо изъ значе-
шй дугъ, косинусъ которыхъ равенъ cos а, то все
дуги, имеюпця тотъ же самый косинусъ,
представляются общей формулой
а = + а -|- 2Jcx,
где к обозначаетъ произвольное целое число.
Половины этихъ дугъ определяются формулой
2 ~~~ 2 ~*~
Поэтому становится очевиднымъ, что, въ
зависимости отъ знака, который мы выбираемъ въ последней
формуле и въ зависимости
отъ значешя числа й. полу- в
чаются выражешя синуса,
косинуса и тангенса разсматри-
ваемыхъ дугъ съ различными
знаками.
Выведенное заключеше
уясняется особенно наглядно при
помощи чертежа. Пусть отре-
зокъ ОР представляетъ данное -
значете косинуса (черт. 29). Черт. 29.

— по —
ВсЪ дуги, косинусомъ которыхъ служитъ отр'Ьзокъ ОР,
кончаются въ точкахъ М или М\ Предположимъ, на-
прим'Ьръ, что дуга ЛЖим'Ьетъ 30г; въ такомъ случае
дуга АЖ равна 400—30. Дуга, кончающаяся въ
точке M и заключающая полную окружность, равняется
400-J--30; дуга съ концомъ въ М\ заключающая также
полную окружность, равна 800—30. Половины этихъ
дугъ представляются соответственно числами
15, 200—15, 200 + 15, 400 — 15.
Обозначимъ концы послЪднихъ дугъ соответственно
черезъ S, S\ S", S'"; они представляютъ, очевидно,
вершины прямоугольника. Мы пришли бы въ те же са-
мыя точки, если бы взяли также друпя дуги, концы
которыхъ лежатъ въ точкахъ Ж" и Ж'. Косинусы дугъ,
кончающихся въ одной изъ четырехъ точекъ 8t #',
S", S"', равны одной изъ двухъ величинъ ОБ или OR;
синусы этихъ дугъ выражаются одной изъ величинъ
OQ или OQ'; наконецъ тангенсы разсматриваемыхъ
дугъ равны одной изъ величинъ AT или А Т\ что
вполне согласуется съ приведенными выше вычисле-
тями.
58. Зная sin а, вычислить sin- и cos-y . —
Подставляя во вторую формулу (Е) величину — вместо а,
находимъ
(1) 2 sin— cos — = sina.
2 2
Полученное равенство представляетъ одно изъ ура-
внешй, для определешя значетй двухъ неизвестныхъ
. а а
sin и cos . вторымъ уравнетемъ служитъ зави- ,
U Li
симость
(2) яп»-|- + еов»-| = 1.

— Ill —
Итакъ, задача приводится къ рЬшешю системы
двухъ уравнешй (1) и (2), которыя разрешаются очень
просто слЪдующимъ образомъ. Складывая сначала, а
загЬмъ вычитая равенства (1) и (2), получаемъ
sin2— -f cos2-- -f- 2 sm — cos — — 1 -f- sm a,
2 2, *Z и
sin2— -f- cos2— — 2 sm —- cos — = 1 — sm a,
Z Li Li L
т.-е. приходимъ къ уравнешямъ
I sin— +C0S~9 ) = ! + sin a>
I . a a\2 л
. (sin— — cos— J = l — sm a.
Отсюда находимъ равенства
sin— -j- cos —- = +1/ 1 -j- sina,
(8Ь . a a • /- :
sm— — cos — = Hh |/ 1—sin a.
Складывая эти уравнешя, a затЬмъ вычитая
второе изъ перваго, получаемъ выражешя
f2sin|=rr--f:/i-|-sina±i/ 1 —sina,
(4) I
2 cos- = + j/i -]- sin a qp |/l — sina.
Въ полученныхъ формулахъ верхн1е и нижше знаки
соответствуют другъ другу, т.-е. взявши, напримЪръ,
формулу

— 112
мы должны взять вторую формулу въ сл-Ьдующемъ
виде
— j/l -j- sin a-
а 1
С08Г=2
-j/"l — sin a
такъ какъ сумма и разность посл'Ьднихъ значенШ
должна удовлетворять равенствамъ (3).
Формулы (4) даютъ четыре значетя для sin--и, со-
ответственно имъ, 4 значетя для cos -, при чемъ зна-
. a v .a
четя sm - те же самыя, что и значетя соз-,нотоль-
2 ^
ко слЪдуютъ въ различно мъ порядке. Полученный
результатъ очень просто
поясняется при помощи
чертежа.
Пусть отрйзокъ OQ пред-
s ставляетъ данное з начете си-
а нуса (черт. 30) и пусть
соответствующая ему дуги
кончаются въ точкахъ М или
Ж'. Если, напримЪръ, малая
дуга AM равна 60г, то дуги,
Черт. зо. концы которыхъ лежатъ въ
точкахъ 1и1, выражаются
въ градахъ следующими числами
60, 200—60, 400 + 60, 600—60,...,
а половины этихъ дугъ соответственно равны
30, 100 — 30, 200 4-30, 300—30...
ПослЪдтшъ числамъ соответствуют точки S, S\ S", S"\
представляющая вершины прямоугольника, стороны
котораго параллельны биссекторамъ угловъ между

- из —
осями. Поэтому получается 4 значетя для синусовъ,
которыя, очевидно, равны 4 значешямъ косинусовъ.
Чтобы уб-Ьдиться въ этомъ, достаточно обратить вни-
ман!е на симметр1ю чертежа по отношешю къ одному
изъ биссекторовъ угла между осями. Справедливость
сд'Ьланнаго заключешя вытекаетъ также изъ того, что
синусъ каждой дуги равенъ косинусу ея
дополнительной дуги.
о
59. Зная tga, вычислить tg-.—Будемъ исходить изъ
формулы
2tg2
t<ra= •
>-<
Полагая въ ней
tg a = t, tg - = х,
находимъ равенство
t(l — x2) = 2x,
или
ijc2 + 2x — t = o.
Полученное. ypaBnenie второй степени относительно х
даетъ
,— -l±/l+<»
— -
т.-е. находимъ выражеше
z tg a
Такимъ образомъ получаются два значешя, суще-
ствован1е которыхъ объясняется разсуждешями,
аналогичными предыдущими КромЪ того, легко видЪть,
о
Тригонометр1я. °

— 114 —
на основаши геометрическихъ соображешй, что оба
рЪшешя всегда существуютъ и произведете ихъ
равняется— 1. Посл'Ьдшй результатъ вытекаетъ
непосредственно изъ разсмотрЪтя уравнетя второй
степени, которое опред'Ьляетъ искомое значете, такъ
какъ известный членъ его равенъ произведетю его
корней.
Если, вместо значетя tg а, задать значете дуги а,
то двойственность знаковъ исчезаетъ; составлете со-
отвЪтствующихъ значенШ tg--не представляетъ тогда
затруднетя и совершается аналогично тому, какъ мы
поступали въ п°57 при вычисленш круговыхъ функцШ
а
дуги-, по данному значенпо cos а.
III. Различный формулы.
бО. Преобразоваше суммъ и разностей въ про-
изведешя.—Для вычислетя числовыхъ формулъ,
которое большею частью совершается при помощи
логарифмовъ, очень важно умЪть заменять сумму
двухъ круговыхъ функщй произведетемъ двухъ дру-
гихъ круговыхъ функщй. Такъ какъ, при помощи
логарифмовъ, гораздо удобнее вычислять произведете
ч'Ьмъ сумму, то этимъ и обусловливается значете
формулъ, которыя будутъ выведены.
Напишемъ изв'Ьстныя зависимости
cos (а -\- Ь) = cos a cosJ — sin a sin 6,
cos (а — &) = cos a cosi-f~s*na sin b.
Складывая ихъ и загЬмъ вычитая второе изъ пер-
ваго, получаемъ новыя равенства
cos (а -\- Ъ) -j- cos (« —-b)= 2 cos a cos b,
cos (a -\-b) — cos (a — b) = — 2 sin a sin b.

— 115 —
Для удобства вычпслешя, вводимъ обычно употре-
бляемыя обозначешя
а — Ъ — q,
изъ которыхъ слгЬдуетъ, что
2
Поэтому предыдушдя формулы становятся
/ , • рЛ-я р — Q
cosi? -f"cos 9 — 2 cos о cos —о~>
C')i 1
COSj) — COS# =— 2 SHI—^-^ Sin
2
Исходя изъ зависимостей, представляющихъ выра-
жетя sin («• + &) и sin (a — й), легко получить при
помощи разсуждетй, подобныхъ предыдущпмъ, слЪдую-
щ\я формулы
(»>.
i . ^ . Р~\- У Р — Q
sin/? -f- sin g^ == 2 sin ——■ cos ,
^ . P — (l P -\-<l
sin p — sm q = 2 sin - 0 cos - ' --
2 ~~~ 2 '
Такъ какъ имЪетъ М'Ьсто равенство
sin p , sin </ sin p cos q + sin # cos p
tgp±tg? =
cos p — cos g cos p cos g
sin (p + g)
cosp cosr/
то, получаются сл'Ьдугопця соотношев1я
sin(i)-f-(/)
(»).
( tg;) 4- tg ,
n* ' ° J cosjp cosg
sin (p — #)
tg #— tg a = .
nl ° L COS /) COS q

— 116 —
Сов'Ьтуемъ читателю запомнить всЬ три группы
формулъ (6г), въ особенности же первыя двЪ изъ
нихъ 1).
Само собою разумеется, что предыдущая формулы
разрЪшаютъ также и обратную задачу. Но, для рЪше-
шя последней, наши формулы удобнее представлять
въ первоначальномъ видЪ, т.-е. писать
cosacos& = -- cos (a -j- b) -[- cos (a — b) I,
sinasin& = --| cos (a — b) — cos(a-j-J) ,
sinacos6 = —I sin (a ~|-6)-(-sin (a — b) I.
61. Выражешя вида а cos (cot -f-a)-J-b cos (cot + P)> ГД*
t—переменная величина.—При изучеши колебатель-
ныхъ движенШ встречаются выражетя сл'Ьдующаго
вида
(1) у = a cos (со/ -\-а)-\-Ь cos (со/ + Р)«
ЗамЪтимъ прежде всего, что выражетя вида
(2) a'cos (Ы + «О + 6'sin И + Ю»
(3) a" sin (id -f а") + Ъ" sin (со/ -f-f")
въ сущности не отличаются отъ предыдущего.
*) Последшя формулы легко запомнить, на основанш сл'Ьдующаго
замечашя: первая часть первой изъ формулъ не изменяется отъ
перестановки буквъ р и q; поэтому вторая часть также не должна
изменяться вследств1е этой замены. Следовательно, въ этой второй
части долженъ заключаться косинусъ, а не синусъ величины^ g,
такъ какъ синусъ пзменяетъ свой знакъ, при изменевш знака дуги,
тогда какъ косинусъ своего знака при этомъ не меняетъ. Кроме
того, если положить р = q, то синусъ^ "7" ^ обращается въ нуль, тогда
какъ косинусъ отличенъ отъ нуля.

— 117 —
Въ самомъ д^л-в, существуетъ равенство
a" sin {at + a") + Ь" sin {mi + П = — a" cos (со* + з"+1)-
— 6"cos (»< + ?"+ *V
которое приводится къ виду (1), при помощи
следующей подстановки
— а" = а, —Ъ" = Ь,
Такимъ же образомъ выражеше (2) принимаешь видъ
a' cos (со/ 4- а') + V sin (со/ -f (У) = a' cos (со/ -f а') —
— 6'cos (©*+£'+~У
Итакъ, для изучения разсматриваемыхъ выраженШ,
можно исходить изъ любого изъ трехъ указанныхъ
выраженШ (1), (2), (3). Возьмемъ формулу
у = a cos (со/ -\-a)-\-b cos (со/ -(- ji),
разсмотрЗьше которой, какъ мы увидимъ, приводить
къ кривой линш, которая называется синусоидой.
Напишемъ предыдущее выражеше въ слЪдующемъ
вид*
(4) у = a cos со/ cos а — a sin со/ sin а -(- ft cos со/ cos ^ —
— Ъ sin со/sin [S = (a ccs а—[-& cos jj) cos со/—(« sin я—|—& sin ji) sin со/.
Всегда возможно найти два такихъ числа с и у, кото-
рыя определялись бы равенствами
a cos а -\- Ь cos fi = с sin у,
a sin а -(- Ъ sin Pi = — с cos у.

— 118 —
Возвышая въ квадратъ оба послЪднихъ равенства и
затЪмъ складывая полученные результаты, находимъ
с<2 = а2 + Ь2 -\~ 2аЪ (cos 2 cos ? -f sin a sin £) =
=а2 -^ б2 +2а& cos (а—i*);
отсюда получаемъ
с = \Га* -\- /;2 -f 2aft~cos (a — [J).
Что касается угла у, то величина его известна,
такъ какъ даны значешя его синуса и косинуса.
Подставляя найденныя значешя с и у въ выраже-
nie у, приводимъ его къ следующему виду
(5) у = с (sin у cos Ы -f- cos у sin cotf) =
= csin (co^ —J— 7).
ПриигЬчаше.— При помощи вычислешй, иодобныхъ
иредыдущимъ, выражешя вида (2) или (3) приводятся
непосредственно къ виду (5), при чемъ нЪтъ
надобности преобразовывать ихъ предварительно къ виду (1).
62. Изигёнеше выражешя у = с sin C^>t -j- у). —Зам*-
тимъ прежде всего, что всегда возможно сделать
предположеше, что с>0. Въ самомъ Д'Ьл'Ь, если зна-
чете с отрицательное, равное — с', то всегда можно
написать
у = — с'sin (со/ -[- у) = c'sin Ы -j- у -f-::).
Вводя обозначеше
* i * i >
получаемъ выражеше
y=-=c'8'm((at-\-->'),
гдЬ с' представляетъ положительную величину.
Наконецъ всегда можно предположить, что
величина у заключается между 0 и 2т:, такъ какъ всегда

— 119 —
возможно въ скобкахъ прибавить или вычесть 2тг, или
какое-либо кратное число 2т:, не изменяя при этомъ
величину синуса.
Какъ известно, mix илтетъ пергодомъ величину
2тг, т.-е. принимаетъ одни и тгь owe значетя, когда х
увеличивается на 2тс. Въ данномъ случай мы пмЪемъ
х -— Ы -\~ v.
Поэтому, когда х увеличивается на 2~, т.-е.
переменный аргументъ at возрастаетъ на 2т, (такъ какъ у—
постоянная величина), то i увеличивается на вели-
2тг 2тг
чину— . Следовательно, функщя у имЪетъ пермдъ — >
и поэтому возможно ограничиться изучешемъ изме-
нешя у только въ пред^лахъ изменешя t отъ О
до-»).
Указанному алгебраическому свойству функцш
соответствуешь следующее физическое явлеше: когда
2it
время увеличивается на величину —, движущаяся
точка возвращается въ первоначальное положеше.
Легко составить понят1е объ измененш у, разсма-
тривая одновременно изменеше выражешй # = a><-f-Y
и у = с sin х9 где с>0. Величина х возрастаетъ или
убываетъ одновременно съ i въ зависимости отъ того,
представ л я етъ ли w положительную или
отрицательную величину.
Если продположить, наприм^ръ, что со>0, тогда
х возрастаетъ вместе со временемъ. Какъ известно,
знакъ выражешя ыъх изменяется, когда х получаетъ
i) Всл$дств1е перюдичности функцш у очевидно, что характеръ
ея изменешя будетъ повторяться при далыгМшемъ изменен) и t.

— 120 —
значешя '^, —ь, и т. д., т.-е. когда имЪютъ м^сто
услов!я
^ + Y = -2!' 0ТКУДа /==^(~2~~т)'
а1+Ч = *£9 откуда * = ^(у —у),
и т. д. и т, д.
Чтобы остановиться на чемъ - либо онредЬленномъ,
предположимте что у<ъ; мы иолучаемъ тогда ел*-
дующую таблицу значетй
t
+
I ■+»
3
II
8
.2
:
0
k
с sin у
возрастаетъ.
возрастаетъ.
I
& l<N
•н| £
т:
2
с
возрастаетъ.
убываетъ.
Г
,-| 3
Г.
0
возрастаетъ.
убываетъ.
Г
3it
2
— с
возрастаетъ.
возрастаетъ.
I
т-ЧЗ
2-
0
возрастаетъ.
возрастаетъ.
2и
(0
4-
>-
•s
со
Кривая линия, представляющая измАнеше разематри-
ваемой функщи, изображается на чертеж* 31 и
представляешь собой синусоиду, которая получается, если
синусоиду у = с sinco^ передвинуть вмйст* съ осью oi,
вдоль по ней. на величину— -. То же самое заключете

— 121 —
ясно слЪдуетъ также изъ формулъ.
Въ самомъ д^л-Ь, мы имЪемъ
у = с sin (Ы -f- y)=e? sin <о (i -f ^ ) .
• Черт. 31.
Поэтому, если провести ось d\j параллельно оси оу че-
резъ точку о\ абсцисса которой равна —х , то,
откладывая значеше абсциссъ t отъ точки о', полу-
чаемъ
?/ — с sin to/',
такъ какъ
/ + ! = /'.
СО
Такимъ образомъ кривая, определяемая посл'Ьднимъ
уравнешемъ, представляетъ, по отношешю къ осямъ
о'у' и о'(, обыкновенную синусоиду. Последнее зам'Ь-
чаше показываетъ, что, при изученш изм&нешя
у — с sin (а< -j- у), уголъ у им'Ьетъ второстепенное
значеше; различныя кривыя, соотв'Ьтствуюшдя разнымъ
значешямъ у, получаются изъ одной и той же
кривой, перемещая ее вдоль оси ot.
Поэтому общность разсужденШ не уменьшается отъ
введешя предположешя, что у меньше ~ .
*) Отрицательное значеше абсциссы показываетъ, что точка о'
должна быть отложена въ сторону отрицательныхъ абсциссъ.

— 122 —
Наоборотъ, величипа со югЬетъ первенствующее
значете, такъ какъ отъ нея зависитъ величина
2-
иерюда —.
ПримЪчаше I. —Само собою разумеется, что преды-
душдя формулы, легко обобщаются, если взять 3, 4
или большее число синусовъ или косинусовъ,
вместо 2, какъ мы это делали.
ПривгЬчаше П.—Выше было указано, что разсматри-
ваемыя выражешя встречаются при изучети прямо-
линейныхъ колебательныхъ движешй. Въ самомъ
дЪлЪ, когда точка совершаетъ указанное движете, то
отклонеше ея отъ центра, около котораго точка
совершаетъ колебатя представляется выражешемъ у
сл^дующаго вида
у^сът И + у),
где t обозначаетъ время. Какъ было доказано, сумма
нЪсколькихъ подобныхъ функщй, одинаковаго перк>да,
приводится къ одной функщй такого же вида и съ тЪмъ
же самымъ перюдомъ. Полученный алгебраичесшй
результатъ соответствуете следующему такъ
называемому механическому закону сложешя движешй 1):
сложное движете, составленное изъ Н'Ьсколькихъ
колебательныхъ движешй одинаковаго першда и
совершающихся по одной и той я^е прямой, представляетъ
*) Само собою разумеется, что движущаяся точка можетъ
совершать одно только движете; мы вводимъ поште о сложиомъ
движешй только для удобства представлешя или механическаго осущест-
вдешя разсматриваемаго движешя. Такъ, напр., возьмемъ сложное
колебательное движете, состоящее изъ двухъ колебательныхъ
движенШ, направленныхъ вдоль одной и той же прямой. Для
представлешя его, предположимъ, что точка совершаетъ одно колебательное
движете вдоль подвижной прямой, которая въ свою очередь, bmIjctIj
съ движущейся по ней точкой, совершаетъ второе колебательное
движете вдоль своего направлешя.

— 123 —
собой колебательное движете съ тКмъ же самымъ
пер1одомъ.
63. Вычислеше формулъ при помощи
логарифмовъ.—Приведете формулы къ виду удобному для лога-
рифмическаго вичисленгя состоитъ въ ея
преобразование позволяющемъ получать выражете логарифма
неизвестной величины въ видЪ суммы или разности
логарифмовъ извЪстныхъ величинъ. Такое приведете,
однако, не всегда возможно. Въ послъднемъ случае
стремятся вести вычислетя такимъ образомъ, чтобы
имЪть возможность ограничиться наименьшимъ чис-
ломъ вспомогательныхъ логарифмическихъ вычисле-
mttг). Дадимъ понят1е о томъ, какъ вести для этого
вычислеше на простомъ примири, часто
встречающемся въ практик*. Пусть имЪемъ формулу
tg х = А-\-В,
гдгЬ А я В иредставляютъ болЪе или менйе сложныя
выражешя, которыя были предварительно вычислены
при помощи логарифмовъ. Задача состоитъ въ
вычислены логарифма tg# съ гЬмъ, чтобы получить зат-Ьмъ
величину х при помощи таблицъ. Такъ, наприм-Ьръ,
пусть им'Ьемъ выражешя
о
4 /2 j> cos 25° 15'
ж ~ sin30r, 75' — tg 18° 387 *
Логарифмически таблицы даютъ значешя log А и
log В, Чтобы найти А и В, пришлось бы дважды обра-
*) Не елъмгуетъ, однако, злоупотреблять этимъ принципомъ, не
считаясь съ другими вспомогательными вычислешями, которыя не ве-
дутъ къ вычиелешю логарифмовъ чиселъ по таблицамъ. Иногда
выгодн-ве найти одинъ лишни! логарифмъ, если, благодаря этому,
является возможность избежать большого числа сложенш или вы-
читанШ.

— 124 —
щаться къ помощи таблицъ, затемъ вычислять сумму
А -\-В и, наконецъ, найти по таблицамъ ея логарифмъ.
Такимъ образомъ пришлось бы три раза обращаться
къ помощи таблицъ для вычислешя log tg х. Поэтому
удобнее поступить следу ющимъ образомъ. Напи-
шемъ
Предполагая В и А положительными, введемъ обо- -
значеше
где ср представляетъ вспомогательный уголъ. Въ силу
введеннаго обозначен] я, полу чае мъ
log tg ср = - (log В — log A).
Поэтому находимъ
tg3 = ./l(i + tg2<p) = ——.
' ° т cos2cp
Следовательно, иолучаемъ окончательно
log tg x = log A — 2 log cos ср.
Благодаря сделанному преобразование, намъ придется
обратиться къ помощи таблицъ всего только два раза
вместо трехъ: первый разъ—для определен!я угла ср
при помощи значешя logtgcp; второй разъ—для разы-
екашя log cos ср по данному значешю ср. При этомъ
следуетъ заметить, что, благодаря строенш таблицъ,
оба раза приходится справляться на одной и той же
страниц*, что также вводитъ некоторое упрощете.

— 125 —
Можно было бы также поступить слЪдующимъ
образомъ. Предполагая, что Ау>В, вводимъ обозна-
чете*)
В
COS (0 = — .
А
Отсюда сл-Ьдуеть
log cos <f = log В — log A.
Поэтому получаемъ
tg x = A(l -j- cos ъ) = 2 A cos21.
Посл'Ьдтй способъ вычислстя требуетъ разыскатя
угла \ по величин* угла <р. ТЪмъ не мен^е этотъ
Lt
способъ представляетъ удобство, когда, вмйсгЬ съ
данной формулой, приходится вычислять одновременно
также следующую формулу
Действительно, мы им^емъ
tgy = All — ~т) = А (1 — cos ъ) = 2 A sin21,
и, следовательно, вычислеше обЪихъ формулъ
требуетъ разыскатя всего только трехъ величинъ по
таблицами
64. Друпя формулы.—При частомъ употребление
тригонометрическихъ формулъ, пршбрЪтается навыкъ
преобразовывать ихъ къ виду, удобному для практи-
1) При опред&шнш вспомогательна™ угла, при помощи значешя
его синуса или косинуса, необходимо чтобы величина посд-Ьднихъ
заключалась между — 1 и +1; что же касается тангенса, то
величина его можетъ принимать каюя угодно значетя.

— 126 —
ческихъ вычислешй или для теоретическихъ изелЪ-
дованШ. Однако нельзя дать общихъ правилъ для
выполнешя подобныхъ преобразовашй. Поэтому мы
ограничимся указашемъ я'Ьсколькихъ искусственныхт^
пр1емовъ, которыми приходится постоянно
пользоваться.
Очень часто .бываетъ выгодно вводить, вместо
единицы, выражетя sin ^ , или cos о, или tg^. Такъ, на-
прим'Ьръ, пусть им-Ьемъ
1-f sin cp = sin ~ + sin<p = 2sin U + f) cos Ij— |) >
8111 (| + *)
Такъ какъ дуги
4 ' ° • г
cos -- cos ъ
4
Т. '■Si 7Г Ъ
4 + 2 И 4~2
являются дополнительными другъ къ другу, то си-
нусъ одной изъ нихъ равняется косинусу другой.
КромЪ того
г, 1
cos - = —7= .
4 J/2
Поэтому предыдущая выражешя становятся
l + sin? = 2sin2(|+!),
1 + to' CD = Г 2 -
1 ° ' ' COS'£

— 127 —
Для второго примера возьмемъ формулу
а — Ь
х = ——- •
а -f- о
Требуется вычислить log x, , зная log а и log?;. Вводя
обозначеше
Ь = a tg ср, или -- = tg 'л,
получаемъ
tg tg ъ
а — a tg 'f __ 1 —tg f 4
-a + atRT-l + tB«p 1 + t„«t„e °U '/
Если tf и 6 представляютъ положительныя значешя,
то, вводя обозначеше
£- = *■«,
приводимъ выражете х къ следующему виду
1 —tg2a
х = \ т-гт~ = cos 2 а-
l-ftg2a
Если им^еть м'Ьсто услов!е, что Ь2 меньше а2, то,
полагая
а
получаемъ
1 — c^f) 20
х~ l+"cosft— gV
Если задача состоитъ только въ вычисленш log г, то
въ гакомъ случае безразлично, какимъ изъ трехъ
преобразованШ ни воспользоваться. Но если
одновременно требуется выполнять также и друпя вычисле-

— 128 —
тя, то можетъ случиться, что однимъ изъ трехъ ука-
занныхъ преобразовашй удобнее воспользоваться, ч'Ьмъ
остальными.
Для послЪдняго примера, преобразуемъ въ
произведете следующую сумму
Sill/)-)- COS q.
Замечая, что
COS q = Sin /J — q),
нредставляемъ данную сумму въ вид-fe призведешя
ШР + Ш (|-,) =2», (I + '-=S) «" ('*-*-?) '
Примеры дл;* упрауцнети на IV главу.
183. Вычислить cos За, зная sin а и cos а; заметить,
что выражеше cos 3 а представляетъ ращональную
функцш cos а.
184. Вычислить sin За, зная sin а и cos я; заметить,
что выражеше sin 3 а представляетъ ращональную
функцш sin а.
185. Вычислить tg3tf, зная tga.
186. Вычислить cos 4 я, зная sin а или cos и.
187. Вычислить sin 4 а, зная sin а и cos a.
188. Вычислить tg4«, зная tga.
189. Вывести формулы дгЬлетя дугъ пополамъ, на
основаши вычислетй элементарной геометрш, при
помощи которыхъ, по данной стороне и апофем-Ь пра-
вильнаго вписаннаго многоугольника, вычисляются
сторона и апофема правильнаго вписаннаго
многоугольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ.

— 129 —
190. Вычислить, съ точностью до одной тысячной,
значетя круговыхъ функщй дуги въ 5Г.
191. Вычислить, съ точностью до одной тысячной,
значетя круговыхъ функщй дуги въ 3°45'.
9
192. По данному значетю sina = —, вычислить
величину sin —; найти значетя дуги --, соответствую-
шдя различнымъ выражешямъ найденныхъ круговыхъ
функщй.
тс
193. Зная tg-- —1, вычислить, съ точностью до
одной тысячной, значетя tg-|, tg^, tg^>, tg^.
194. Вычислить, при помощи логарифмовъ,
величину угла х, опредъляемаго формулой
tg х = sin 35°15' + sin 18°35'.
195. Вычислить величину угла у, опред'Ьляемаго
формулой
cos у = sin 20г,30 + cos 85г,45.
196. Вычислить величину угла е, опред'Ьляемаго
формулой
tg я = tg 25г,85 + COtg 40г,15.
197. Вычислить величину угла х, опред'Ьляемаго
формулой
sin32r,45 tgl5r 75
tg# =
cos45r,50 tgl2r,l5
198. Вычислить величину угла у, опред'Ьляемаго
формулой
^3 + ^2
Тригонометр1я. 9

— 130 —
199. Вычислить величину угла *, определяемая
формулой
. q 1 —cos35r.40
e l + sin40r,50
200. Вычислить величину угла х, определяемая
формулой -
sin3 х
1 —tg75\50
l + tg80r,75
201. Углы a, b, с удовлетворяюсь условш
(1) a + b-\-c = v.
Привести къ виду, удобному для логарифмическаго
вычислешя, сумму
sin a -j- sin Ъ -|- sin с.
202. Углы а, Ь, с удовлетворяютъ условш (1).
Привести къ виду, удобному для логарифмическаго вы-
числен1я, сумму
— 1 -f- cos a -f- cos b -f- cos с.
203. Решить тотъ же вопросъ для суммы
tga + tgb + tge.
204. Углы а у Ъ, су (/удовлетворяютъ условш
a-\-b-{-c-\-d—2K.
Привести къ виду, удобному для логарифмическаго
вычислешя, сумму
. cos a -J- cos b -|- cos с -\~ cos d.
205 Доказать справедливость равенства
sin a -f- sin 6 -f~ s^n c — s*n (a + * + c) —
. 64-c . c-\-a . a + 6
— 4 sm —5— sm —±— sin —~—

— 131 —
206. Доказать справедливость равенства
cos a -j- cos 6 -[" cos c ~h cos (а + 6 -f- с) =
Ъ4-с с-\~а а-\-Ъ
^4 cos—+—cos—^—cos—]— .
2 2 2
207. Доказать справедливость равенства
tgft , tgc tga tgc tga tgft =
tg с "^ tg a ' tg b tgb tgc tga
8 sin (b — c) sin (c — a) sin (a — 6)
sin 2a sin 26 sin 2c
208. Предполагая существоваше зависимости
привести къ виду, удобному для логарифмическаго
вычис л ешя, сумму
— 1 -\~ sin a -f sin 6 + sin с.
209. Решить тотъ же вопросъ для суммы
cos a -\- cos b -{- cos с.
210. Привести къ виду, удобному для
логарифмическаго вычислешя, суммы, указанныя въ прим'Ьрахъ
208 и 209, предполагая существоваше условгя
17 1 ^
<* + b + c=—.
211. Вычислить значеше суммы
S=. cos a -f- cos (a -j- r) -f- cos (a + 2r) -f- cos {a -|~ 3r) +
+ cos(a-f-4r).
9*

— 132 —
V
Составивъ произведете 2£siu~, заменить въ немъ
цроизведешя, находящаяся въ каждомъ изъ членовъ,
разностью двухъ синусовъ.
212. Вычислить, какъ въ предыдущемъ примири,
сумму
8 — sin a -f- sin (а -\~ г) + sin (а + 2г) -f- sin (а -|~ Зг) -f-
+ sin (а -\- 4г).
213. Обобщить предыдущее примеры.

ГЛАВА V.
Ptiueme треугольниковъ,
I. Зависимости между углами и сторонами треугольника.
65. Обозначешя.— Обыкновенно обозначаютъ
черезъ а, Ъу с длину трехъ сторонъ разсматриваемаго
треугольника; противолежашДе имъ углы называются
соответственно черезъ А, В, С. Величину ихъ мы бу-
демъ подразумевать обыкновенно въ градахъ, если
не будетъ сделано особыхъ указашй относительно
измйрешя угловъ. .Поэтому они удовлетворяют
следующей зависимости
4 +В+С=200.
Углы А, В, С представляютъ собой значетя угловъ
треугольника, определяемыхъ въ элементарной геоме-
тр1и, т.-е. представляютъ положительныя величины,
заключаюшДяся между 0 и 200. Стороны а, Ъ, с
выражаются также положительными числами, при чемъ
ихъ величина дается- въ однехъ и гЬхъ же едини-
цахъ длины, которыя должны быть указаны въ каж-
домъ частномъ случае. Обыкновенно обозначаютъ
черезъ R рад1усъ окружности, описанной около
треугольника; черезъ г — рад!усъ окружности, вписанной въ
треугольникъ и черезъ г\ г", г'"— рад1усы окружностей,
вписанныхъ внешнимъ образомъ въ треугольникъ,

— 134 —
соответственно въ углахъ А, В, С. Какъ увидимъ
далЪе, удобно ввести обозначеше
т.-е. назвать черезъ р половину периметра
треугольника. Величины В, г, г', г", г'" и р представляютъ собою
числа, выражаюпця длину въ данныхъ единицахъ из-
мЪрешя. Наконецъ черезъ 8 обыкновенно
обозначается площадь треугольника, т.-е. измеряющее ее
число въ единицахъ площади, представляющихъ ква-
дратъ, сторона котораго равняется единице длины.
Мы перейдемъ теперь къ выводу зависимостей между
введенными величинами, на которыхъ основывается
рЪшеше треугольниковъ.
68. Первая система оеновныхъ зависимостей.—
Первая группа оеновныхъ формулъ получается на
основанш следующей геометрической теоремы:
Евадратъ стороны треугольника, лежащей противъ
его остраго угла (или тупого) равняется суммгь
квадратовъ двухъ другихъ сторонъ треугольника,
уменьшенной (или увеличенной) на удвоенное произведете
одной изъ нихъ на проещгю на нее второй стороны.
Обозначимъ черезъ а сторону треугольника, ква-
дратъ которой вычисляется; противъ нея лежитъ уголъ
Л9 который заключается мея*ду сторонами Ъ и с. Если
уголъ А острый, то проекщя стороны Ъ на с равна
6 cos А Если я^е А представляетъ тупой уголъ, то
разематриваемая проекщя выражается черезъ —6 cos A,
такъ какъ cos А пред став ляетъ - въ данномъ случай
отрицательную величину, тогда какъ разематриваемая
геометрическая проекщя является существенно поло-
яштельной величиной. Такимъ образомъ въ обоихъ
разематриваемыхъ случаяхъ получается одна и та же
формула
a2 = b2-{-c2 — 2bccosA.

— 135 —
Полученная формула и всЬ аналогичный ей
формулы, которыя выводятся такимъ же образомъ или
получаются непосредствевно изъ первой формулы, при
помощи круговой замены буквъ, представляютъ
первую систему основныхъ зависимостей
( а2=г Ъ*А-с2 — 2bc cos A,
(I) | &2 = C2-fa2_2cacosJB,
{С* =: d2 -\- Ъ* - 2db QOSC.
Мы называемъ написанную систему зависимостей
основною, потому что она представляетъ необходимия
и достаточныя условгя для того, чтобы три положи-
тельныхъ числа а, Ъ, с и три угла (заключающееся
между 0 и 200) определяли собой треугольникъ, со
сторонами а, Ъ, с и углами А, Б, С. Написанныя
равенства являются необходимыми, потому что, какъ мы сей-
часъ доказали, они имЪютъ место для каждаго
треугольника. Легко доказать, что наши услов1я являются
вм'Ьст'Ь съ т'Ьмъ достаточными. Чтобы уб'Ьдиться въ
этомъ, предположимъ, что разсматриваемыя услов!я
(I) действительно удовлетворяются. Построимъ
треугольникъ съ двумя сторонами а1 Ъ, и заключеннымъ
между ними угломъ С. Обозначимъ черезъ с19 Аг, В1
три остальныхъ части построеннаго треугольника. Для
построеннаго треугольника, на основанш только что
доказаннаго предложешя, им-Ьютъ мЪсто следующая
зависимости
Га2=624-^2 — 2Ц cos^,
(I/ | Ь2=сг2-\-а2 — 2с1асо&В1,
ид2=а2-|-Ь2 — 2a6cos С.
Изъ послЪднихъ равенствъ системъ (I/ и (I) полу-
чаемъ
с2 = с,2.

— 136 —
Такъ какъ с и сх представляютъ положительныя
величины, то отсюда сл'Ьдуетъ, что
с = сг
Сопоставляя два первыхъ равенства системы (I) съ
двумя первыми равенствами системы (I)', получаемъ
cos J. —cos Av
cos В = cos Вг.
Такъ какъ величина угловъ А, В, Аг, Вг заключается
между 0 и 200, то изъ предыдущихъ равенствъ
получаются слЪдуюцця
A=AV B = BV
Поэтому части построеннаго нами треугольника
оказываются следующими
а, Ъу су А, Ву С,
т.-е. построенный треугольникъ тожественъ данному
а треугольнику. Такимъ образомъ
мы убеждаемся, что услов1я (I)
являются достаточными.
67. Вторая система основ-
ныхъ зависимостей. — Иногда,
вместо первой, бываетъ удобнее
пользоваться второй системой
основныхъ равенствъ, къ выводу
которой мы приступаемъ. Опи-
Черт. 32. шемъ окружность вокругъ дан-
наго треугольника А ЕС (черт. 32); обозначимъ че-
резъ О центръ этой окружности и черезъ Вея радь
усъ. Прово димъ прямую ОВ и изъ точки О опускаемъ
перпендикуляръ ОН на сторону ВС. Очевидно, ВОН

- 137 —
равенъ углу А 2), если уголъ А острый, и равняется
200—^1, если уголъ А тупой. Во всякомъ случае
им'Ьетъ мЪсто следующее равенство
/\
sin ВОН = sin A.
Съ другой стороны ВН равняется половшгЬ стороны
ВС. Поэтому получаемъ
a = 2BH=20BsmBOH=2Rsi\\A.
Такимъ же образомъ выводятся равенства
Ъ = 27? sin В, с = 2В sin С.
Приравнивая между собою три различныхъ выражетя,
которыя получаются для одной и той же величины
2R изъ поыгЬднихъ трехъ равенствъ, получаемъ слй-
дуюшдя зависимости
!а Ъ с
sin A si?i В sin С
,4 +В+ (7 = 200,
гдЪ последнее равенство представляетъ
геометрическое услов1е, выражающее равенство суммы угловъ
треугольника двумъ прямымъ угламъ. Полученныя
уравнетя (II) представляютъ вторую систему основ-
ныхъ зависимостей. Если положительныя числа а, &, с
1) Если уголъ А острый, то, продолжая ОН до пересечент съ
дугой ВС въ 1очк1> D, видимъ, что вписанный уголъ А и
центральный уголъ ВОН измеряются одной и той же дугой BD, равной
половин* дуги BDC.
Если уголъ А тупой, то, очевидно, центръ описаииаго круга
лежитъ вн* треугольника. Сделавши соответствующе! новый чер-
тежъ, читатель ленео убедится, что построенный центральный уголъ
ВОН въ данномъ случай равенъ 200—А.

— 138 —
и углы А, Ь\ С (заключающееся между 0 и 200)
удовлетворяют зависпмостямъ (II), то легко доказать,
что они определяюсь собою треугольникъ, частями
котораго служатъ величины а, 6, с, А, В, С. Въ са-
момъ деле, построимъ треугольникъ, одна изъ
сторонъ котораго равна а и двумя прилежащими къ ней
углами служатъ В и С (сумма которыхъ меньше 200).
Обозначймъ черезъ Ъ19 cv Аг остальныя части
построенная) треугольника. Для него имЪютъ место
следующая равенства
[ а Ьг <?j
(II/ I Ш1'1~'ШВ~'ЖС9
[а1-{~В + С=200.
Сопоставляя формулы (II) и (II)', получаемъ
непосредственно
A=AV Ь = Ъг, с = сг.
Следовательно, зависимости (II) представляютъ
действительно необходимыя и достаточныя услов!я суще-
ствовашя треугольника, стороны котораго измеряются
числами а, Ь, с, а углы равны значетямъ А, В, С
(заключающимися между 0 и 200).
68. Третья система основныхъ зависимостей.—Не
останавливаясь подробно на третьей системе
основныхъ формулъ, которыя встречаются довольно редко,
заметимъ только, что оне получаются последователь-
нымъ проектировашемъ замкнутаго контура всего
треугольника на каждую изъ его сторонъ. Поэтому
разематриваемыя формулы представляются въ сле-
дующемъ виде
t а = Ъ cos C-\- с cos B,
(III) ] Ъ — с cos A -f- a cos С,
с = a cos В -f- Ь cos A.

—.139 —
Каждое изъ написанныхъ равенствъ заключаетъ
пять частей треугольника, между гЬмъ какъ каждое
изъ равенствъ (I) и (II) системы заключаетъ только
по четыре части треугольника.
Легко доказать, что полученная система уравнетй
также вполнЬ опредЪляетъ треугольникъ. Для этого
замЪтимъ прежде всего, что, такъ какъ величина
косинуса меньше единицы, то, въ силу уравнешй (III),
каждое изъ чиселъ а, Ъу с меньше суммы двухъ дру-
гихъ. Поэтому .всегда возможно построить
треугольникъ, сторонами которого служили бы отрезки а, Ь, с.
Назовемъ черезъ Ал, Bv Сг углы треугольника,
построенная на посл'Ьднихъ сторонахъ. Написавъ за-
тЪмъ, что части построеннаго треугольника а, &, с,
А19 Bv Сг удовлетворяютъ системе уравнешй вида (III),
приходимъ къ заключешю
A=Alf B = BV C=C\.
69. Равнозначность трехъ системъ основныхъ
зависимостей.—Мы получили выше три различныхъ
системы основныхъ зависимостей. Легко убедиться, что
всЬ три системы равнозначны, если только
предположить что а, Ъу с положительныя величины и Л, Б, С
заключаются между 0 и 200 1).
Действительно, если одна изъ трехъ системъ
удовлетворяется шестью величинами а, Ъ, с, А, В, С, то
*) Безъ этого ограничительна™ услов1я всб три системы не бу-
дутъ равнозначными; въ этомъ легко убедиться при помощи вычи-
сленШ. Такъ, наприм'връ, системы (I) и (II) удовлетворяются
следующими величинами
A rrr 100, В := _ 50, С = — 50.
Между т^мъ очевидно, что система (II) не удовлетворяется
последними значешями.

— 140 —
это показываётъ, что существуетъ треугольникъ,
частями котораго служатъ послЪдшя величины.
Следовательно, эти шесть величинъ удовлетворяютъ
также каждой изъ остальныхъ двухъ основныхъ си-
стемъ. Приведенныя разсуждетя показываютъ
теоретически, что каждая изъ разсматриваемыхъ трехъ
системъ основнцхъ зависимостей можетъ быть
выведена изъ любой изъ остальныхъ двухъ системъ.
Доказательство разсматриваемаго предложеш'я, при
помощи непосредственныхъ вычислешй, представляетъ
интересный прнм'Ьръ для упражнедШ, на которомъ
мы здЪсь не станемъ останавливаться (см. примеры
для упражнешй п° 214, 215).
70. Дополнительный зависимости. —
Дополнительными называются зависимости, который, кромЪ сто-
ронъ и угловъ разсматриваемаго треугольника, заклю-
чаютъ еще друпя геометрическ1я величины, находя-
нцяся въ простой связи съ треугольникомъ. Число
такихъ зависимостей неограниченное, такъ какъ
невозможно точно установить степень простоты, которую
должна представлять зависимость между какими-либо
геометрическими величинами и даннымъ
треугольникомъ. Такъ, можно было бы поставить всю геометрга
въ связь съ треугольникомъ; но въ этомъ, однако, не
представляется никакого интереса.
Мы уже встречались съ дополнительными
зависимостями, заключающими рад!усъ В описаннаго круга,
которыя представляются въ сл^дующемъ вид*
smi smi? sin С
Обозначимъ черезъ А высоту АН, опущенную изъ
вершины А треугольника ABC (черт. 33). Если В
/\
острый уголъ, то уголъ АВН равенъ В, если же по-

141
слйднШ уголъ тупой, то АВН равняется 200 — В.
Въ обоихъ случаяхъ синусъ угла АВН равенъ sin By и
прямоугольные тре -
угольники АВН и АНС
даютъ зависимости
й = 6 sin С—с sin В.
Такъ какъ удвоенная
площадь треугольника
ABC равняется произ-
ведешю ah, то полу-
чаемъ
25= ah = ab sin С =
= ас sin В.
Такимъ же образомъ получаются аналогичный
равенства
| (2) 2$ = Ьс sin A = ca sin JB = ай sin (7.
Посл'Ьдшя формулы имгЬютъ важное значеше, такъ
какъ даютъ простое выражете площади треугольника
въ вид* половины произведены двухъ сторонъ
треугольника на синусъ угла между ними.
Изъ равенствъ (1) и (2) получается новая
интересная зависимость
4:RS=abc.
Обозначимъ черезъ О центръ окружности,
вписанной въ нашъ треугольникъ, черезъ г—ея рад1усъ,
черезъ А', В', С'—точки соприкосновешя окружности
соответственно со сторонами ВС, С А, АВ.
Площадь разсматриваемаго треугольника ABC
равняется сумм* площадей треугольниковъ ОВС, ОСА,
ОАВ. Принимая за оснозаше въ треугольник* ОВС

— 142 —
сторону ВС — а и за высоту О А' = г и д'Ьлая то же
самое въ остальныхъ треугольникахъ, получаемъ
/п, 0 1 . 1 7 . 1 a-j-^-r с
(3) 5 = ~ аг +- 6г -f- -2- сг = —L2-J:- ^ = ^
Какъ хорошо известно, существуютъ зависимости !)
.4J5'.
.ВС
СЛ'
= АС:
= БА'
= СВ:
—р-
—р-
=р-
-а
-Ь
— <■■
Возьмемъ прямоугольный треугольникъ ОАВ\ такъ
какъ острый уголъ, лежапцй противъ стороны ОВ' = г,
А
равенъ -- , то получается зависимость
2 J»—а
Разсматривая окружности, вписанныя внЪшнимъ*
образомъ въ треугольникъ, получаемъ зависимости,
аналогичныя предыдущимъ
8= (р — а) г' = (р — 6) г" = (р — с) г'",
, А г'
tg — = — •
° 2 р
Впрочемъ, достаточно запомнить только зависимости
(3) и (4).
*) Первыя звенья равенствъ каждой строки вытекаютъ
непосредственно изъ своиствъ вписаннаго круга. Что же касается вторыхъ
авеньевъ равенствъ, то, на основанш первыхъ, мы иагвемъ
2р = 2(АВ' + С А1 + В А'), или р = АВ' + G4' + JW.
Такъ какъ
то изъ предыдущего равенства сл'Бдуетъ
АВ' =р — а и т. д.

— 143 —
II. РазсмотрЪше четырехъ классическихъ случаевъ.
7L. Перечень четырехъ случаевъ. — Задача, къ
разсмотрйнш которой мы приступаемъ, состоитъ въ
р-Ьшенш треугольника но тремъ даннымъ изъ его
основныхъ составляющихъ частей, сторонъ и угловъ,
въ числи которыхъ должна быть по меньшей мйрй
одна сторона. Поэтому могутъ быть заданы или одна
сторона и два угла, или двЪ стороны н- одинъ уголъ,
или, наконецъ, всЬ три стороны. Если задается одна
сторона и доа угла, то безразлично знать, как!е изъ
угловъ даны, такъ какъ трет1й уголъ вычисляется
очень просто, при помощи двухъ данныхъ. Но если
заданы дв'Ь стороны и одинъ уголъ, то послЪднШ мо-
жетъ, или заключаться между данными сторонами,
или лежать противъ одной изъ нихъ, что
представляешь собой два различныхъ случая. Поэтому, при
рЪшенш треугольниковъ, сл'бдуетъ различать всего
4 различныхъ случая:
1°. Заданы одна сторона и два угла: я, В, С.
2°. Заданы дв'Ь стороны и уголъ между ними:
Ъ, с, А.
3°. Заданы дв'Ь стороны и уголъ, лежаний противъ
одной изъ сторонъ: а, 6, А.
4°. Даны три стороны: а, 6, -с, - -. - -
Мы разсмотримъ последовательно всЬ четыре пе-
речисленныхъ случая и въ каждомъ изъ нихъ вы-
числимъ, при помощи заданныхъ частей треугольника,
всЬ его пеизвтстныя части, а также и его площадь.
72. Первый случай: даны а, В, С—Беремъ систему
основныхъ равенствъ (IL)
а Ь с
(П)
sin A sin .В sin С
{ A + B + C=200.

_ 144 —'
которыя легко разрЪшаютъ разсматриваемую задачу.
Прежде всего вычислимъ величину
Л = 200 — В — С.
Всл^дъ за т1шъ получаемъ непосредственно формулы
a sin В
Ь =
sin А
a sin С
S--=
sin A
ab sin С a2 sin В sin С
2 sin A
которыя удобны для вычислешя при помощи лога-
рифмовъ.
73. Второй случай: даны Ь, с* А.—Беремъ прежде
всего равенство
JB-f 6Y=200 — Л.
Зат'Ьмъ, составляя сложныя пропорщи, выводимъ изъ
формулъ (II) слгЬдуюцця зависимости
Ъ __ с Ъ-\-с Ъ — с
sin В ' sin С sin В -f- sin С sin В — sin С
которыя даютъ соотиошеше
sin В — sin (7 6 — с
sin В -f- sin С ~~ Ъ -}- с
Съ другой стороны, им'Ьютъ мЪсто равенства (см.
стр. 115).
. т> . п . В—С В+С
sin В — 31п С = 2sin —-— cos —j-— >
2 и
sm В -+- sm С=2 sin —^— cos —-— •
2 а

- — 145 —
Разделяя послЬдтя равенства почленно и заменяя
отношешя sin къ cos черезъ ty, въ силу выведен наго
выше равенства, получаемъ
В — С
sin В— sin С п 2 Ь — с
sin В-f siifC = ~ В-^С~Ь~^~с '
" 2
Такъ какъ существуетъ зависимость
В 4- С А
■"t- = ioo--,
то предыдущее равенство даетъ
В —С Ъ — с B+V Ь—с А
\о- — =1^ - Uy ■ = СОт°' - •
° 2 Ь-f-c * 2 й-4-с ' 2
Зная величину Jtf-S-^r и В—С, получаемъ изъ
нихъ значетя В и С. Вел-Ьдъ за т*мъ;
воспользовавшись первымъ звеномъ равенствъ (II) и выражешемъ
площади треугольника черезъ дв'Ь стороны и уголъ
между ними, находимъ
Ь sin A
a — —~ - ,
sin И
S=^hc*h\A.
ИзслЪдоваше.—Такъ какъ известно, что, но раз-
ематриваемымъ даннымъ частямъ треугольника, всегда
возможно его построить, то изсл'Ъдоваше полученнаго
рЪшешя является почти излишнимъ. Однако, для
упражнешя, полезно доказать, что найденныя
значетя В и С удовлетворяютъ требуемымъ услов!ямъ,
т.-е. величина ихъ заключается между 0 и 200.
Чтобы убедиться въ этомъ, въ виду того что Ьяг
входятъ симметрично въ полученный формулы, можемъ
Тригонометгня. I'-'

— 146 —
предположить, что Ь >с. Въ такомъ случае им'Ьетъ
М'Ьсто услов1е
и, стало-быть, мы имЪемъ неравенство
h — c i А ^ А
Поэтому существуетъ острый уголъ а, тапгенсъко-
тораго равняется выражешю
Ь — с 4 А
Ъ + е C°tg 2 '
и который, въ силу предыдущего неравенства, удовле-
творяетъ условно
0<tga<tg(lOO-~).
Такимъ образомъ уголъ а заключается въ сл'Ьдующихъ
предЪлахъ
0<а<100-~.
Въ силу полученныхъ формулъ рЪшешя нашего
треугольника, заключаемъ, что
В — С
2
■ = а,
В-\-С А
-£-- = юо - 2 •
Отсюда получаются сл'Ьдуюиия значешя искомыхъ
угловъ В и С
А
jB^a + lOO —- ,
Л
С ^=100— г— a ,

— 147 —
величина которыхъ, въ силу послйдняго неравенства,
заключается между О и 200.
Прим*чан1е относительно вычислешя при помощи
логарифмовъ,—Если вместо значешй Ь и с известна
величина ихъ логарифмовъ log Ъ и log с, то удобнее
прежде всего вычислить вспомогательный уголъ <р,
определяемый равенствомъ
с
Благодаря этому получа,емъ
tg —2~ = tg (50 — cp) cotg -- •
74. Трет1й случай: даны a, b, А.—Въ этомъ
случае уголъ В вычисляется при помощи формулы
(1) sm J3 = •
ВслЪдъ за тЪмъ получаемъ
(2) С'=:200 — А — В.
Стало-быть, находимъ
a sin С
(3) <? = -_-,
v 7 sin л
5=-a6sin 6y.
2
Полученныя формулы очень простыя и
вычисляются непосредственно при помощи логарифмовъ.
Однако въ данномъ случай необходимо наследовать
nolo*

— 148 —
лученный результатъ; какъ мы увидимъ, въ
зависимости отъ значенШ заданныхъ величинъ, разсматри-
ваемая задача или не имЪетъ совсЬмъ рЬшетя, или
им'Ьетъ одно или два рЪшешя.
ИзелЪдовате.—Для того, чтобы формула (1)
определяла значете угла В, величина второй части ея
(представляющая существенно положительную
величину) не должна превосходить единицы. Если бы мы
илтли паоборотъ
Ъ sin A
то въ такомъ случать задача была бы невозможной.
Нредположимъ поэтому, что имЬетъ мЪсто услов!е
Ь sin А
а ~~
КромЬ того необходимо, чтобы формула (2) давала
положительное значете для угла С. Такъ какъ
равенство (1) опред-Ьляетъ значете sin .В, величина ко-
тораго лежитъ между 0 и 1, то существуетъ два угла,
заключающихся между 0 и 200, которые имЪютъ одинъ
и тотъ же синусъ. Обозначимъ эти углы
соответственно черезъ В и В\ считая В острымъ, а В' ту-
иымъ угломъ. Какъ известно, они удовлетворяюсь
условт
В + В" = 200.
Посл'Ьднимъ значетямъ В и В" соответствуют два
угла С и С", опредйляемыхъ формулами
а=200 — А — В\
С"=200 — А — 2Г= В— А.
Въ дальн^йшемъ мы будемъ разсматривать два раз-
личныхъ случая, въ зависимости отъ того, является
ли уголъ А острымъ или тупымъ.

— 149 —
1. Уголь А острый.—Въ этомъ случай уголъ С
имгЬетъ всегда положительное значеше, такъ какъ
каждый изъ угловъ А и В' меньше 100, а сумма ихъ
меньше 200. Чтобы уголъ С" им4лъ тоже
положительное значеше, для этого необходимо и достаточно
существовашя услов1я
В'>А.
Поэтому, такъ какъ углы В' и А острые, должно
удовлетворяться услов1е
sin В'^> sin Af
или
Ь sin А ^ . .
—— >sm J.,
а
или
Ъ^> а.
Вели последнее услов1е не шгЬетъ мгЬста, то,
очевидно, уголъ С" не существуетъ.
Такимъ образомъ, если уголъ А острый, то
существуют два р'Ьшешя при условш, что Ь больше а и
всего одно рйшеше, если Ь меньше а.
2. Уголь А тупой.—Въ этомъ случай уголъ С"
имЪетъ всегда отрицательное значеше, такъ какъ
каждый изъ угловъ А и В" больше 100 и сумма ихъ
больше 200. Чтобы уголъ С им4лъ 'положительное
значеше, необходимо и достаточно существовашя
уаткшя
2?<200 — А.
Такъ какъ оба угла В' и 200—.4 острые, то
предыдущее услов1е приводится къ неравенству
smbJ'<sm (200 —Л),

— 150 —
которое, въ силу формулы (1), становится
Ь sin А ^ . ,
<"sm A,
а ^
т.-е.
Такимъ образомъ, если уголъ А тупой, то разсма-
триваемая задача не допускаетъ вовсе р^шешя,
когда Ъ больше а, и одно только р-Ьшете, если Ь
меньше а. Наконецъ полезно заметить, что уравнетя,
разрешаются разсматриваемую задачу, не измЪняютъ
своего вида, если заменить въ нихъ А черезъ 200—А:
Поэтому приходится делать одни и тп> же вичислешя
при совмжтномъ рЪшеши двухъ задачъ, въ которыхъ
а и Ъ имЪютъ одно и то же значете, а углы А до-
полняютъ другъ друга до половины окружности. Бели
при этомъ основное услов1е
Ъ sin A < a
удовлетворяется, то каждая изъ об?ъихъ задачъ им%етъ
по два ргъшенгя В и В"\ если же
то оба решетя соотв'Ьтствуютъ той изъ задачъ, гдЪ
данный уголъ А острый. Последняя задача имЪетъ
такимъ образомъ два р'Ьшетя, задача же, для
которой данный уголъ А тупой, не имЪетъ рЪшешй. Если
им'Ьетъ м^сто услов1е
то одно изъ рЪшетй соответствуем задаче съ острымъ
угломъ А, а другое — задаче съ тупымъ угломъ А;
такимъ образомъ каждая изъ задачъ им'Ьетъ по одному
р^шенш. Наконецъ, если уголъ А прямой, то суще-

— 151 —
ствуетъ только одно решете; то же самое им-Ьетъ
место, если
bsir\A--~a.
Въ обоихъ этихъ случаяхъ мы имеемъ дело съ пря-
моугольнымъ треугольникомъ. решете котораго раз-
сматривалось раньше.
Полученные результаты вполне согласуются съ
геометрическими по-
строетями. Пусть АС
представляетъ отр'Ьзокъ
длиной Ь (черт. 34). Изъ
точки А проводимъ
прямую линпо I),
образующую данный уголъ А съ
прямой лишей АС.
Сумма обоихъ угловъ,
которые образуетъ прямая Т)
съ прямою АС, очевидно
равна двумъ прямымъ; построете, однако, не
изменяется, какой бы изъ этихъ двухъ угловъ мы ни
приняли равнымъ А. Изъ точки С, какъ центра, описы-
ваемъ дугу окружности рад1усомъ а. Если разстояше
точки С отъ прямой I) меньше рад1уса а, то
проведенная дуга пересЬкаетъ прямую D въ двухъ точкахъ
В'к В". Оба получаюшдеся треугольника АВСи АВ"С
представляютъ решетя двухъ совмЪстныхъ задачъ,
соотвЪтствующихъ двумъ различнымъ угламъ въ
вершин* А, которые дополняготъ другъ друга до двухъ
прямыхъ. Если, кроме того, а>&, то обе точки В' и В"
расположены по различнымъ сторонамъ отъ точки А,
какъ это ясно слЪдуетъ изъ элементарныхъ свойствъ на-
клонныхъ прямыхъ. Одно изъ полученныхъ р^шенШ
соответствуете треугольнику съ острымъ угломъ А,
другое—треугольнику съ тупымъ угломъ А. Если же
«<£, что соответствуете нашему чертежу, то обе

— 152 —
наклонныхъ С В' и СВ\ вмйсгЬ съ иернендикуляромъ
СИ, расположены съ одной стороны отъ СА. Въ этомъ
случай оба ргЬшев1я соответствуют треугольнику съ
острымъ угломъ А. Длина перпендикуляра СН, опу-
щеннаго изъ точки С на прямую I), равна, очевидно,
величине Ь sin А; поэтому условю пересЬчея1я
проведенной окружности съ прямою Х>, т.-е. услов!е
существовали обЪихъ точекъ В' и J/', выражается нера-
венствомъ
а^> ^sin A.
Примечание.—Если существуетъ услов1е ау>Ъ, то
гЬмъ болйе a>6sinА, и въ этомъ случае всегда
существуетъ ptnieBie разсматриваемой задачи и только
одно.
75. Четвертый случай: заданы а, Ь, с.—При рЬше-
Hin предыдущихъ задачъ, мы всегда исходили изъ
системы (II); въ настоящемъ случай воспользуемся
системой (1), исходя изъ ея уравнешя
а 2 _ /,2 _j_ c2 __ 2hc cos A.
Изъ него мы получаемъ
сокЛ = —Ц-.—— •
2 he
Последняя формула даетъ значеше угла А.
Аналогичными формулами определяются углы В и С. Мы
не станемъ, однако, писать ихъ выражешй, такъ какъ
гораздо удобнее преобразовать разематриваемыя
формулы елгЬдующимъ образомъ.
Такъ какъ, очевидно, существуютъ равенства
If COS Л:
1,2 _|_ С2 __ а2 _|_ 21>С ___ (h -'г- С)8 -
2hc 2Ьс

* — 153 —
то отсюда получаемъ
2Л __ 1 —сонЛ_ а2— (Ь — с)2 (а-\-Ь — с)(а— Ъ-\-с)
g ~2 ~ Т^соГЛ ~~ \b-\-c)2 — a2 ~~ (Ь ^с-l- а) (0 -±-С—~а)'
Вводя обозначеше
a -f b + с -— 2/>,
находимъ
Ь -'- с —- г/ — 2р — 2а — 2(/> — а),
с -j- г/ — & = 2(/>—/>),
a-\-b — c = 2Q>—c).
Следовательно, предыдущая формула становится
п 2~"~ р(р—а)
Такимъ же образомъ получаются значешя
и мы приходимъ къ сл&дующимъ (формуламъ
(\)'
if
О'
о
()•
А
о
2Г
= 1''
.^
— Ь)(р —
Р (V — ")
-е)(р-
Р (Р — Ь)
zi^Lr.
<"■>
а)
Ь)
р (р — с)
где передъ радикаломъ берется знакъ -\-, такъ какъ
А В С
V 2
имеютъ положительное значеше.
углы - , ~ , — острые, и, следовательно, тангенсы ихъ

— 154 —
Полученныя формулы очень удобны для
вычислена при помощи логарифмовъ; чтобы вычислить иско-
мыхъ три угла, достаточно найти логарифмы 4-хъ
величинъ
Р, Р—а, Р — Ь, р — с.
Легко также выразить площадь треугольника при
помощи послЪднихъ четырехъ величинъ; для этого
достаточно воспользоваться формулами (3) и (4) въ ю°70,
которыя даютъ
Я2=Р2Г2 =рКр _ rt)2 tg2 ^ ^р (р _ а) (р - Ь) (р — С),
т.-е.
Я= \/р (р — а) (р — Ь)(р — с).
При вычислены, съ помощью логарифмовъ, удобнЬе
прежде всего начать съ вычислешя рад1уса г вписан-
наго круга или его логарифма; въ силу формулы (3)
м°7"0, получаемъ
Р V P
Изсл*довате.—Изъ геометрическихъ соображешй
слгЬдуетъ, что разсматриваемая задача допускаетъ
одно только рЪшете въ единственномъ
предположение что наибольшая изъ данныхъ сторонъ
треугольника меньше суммы двухъ другихъ сторонъ. Это
заключеше легко вывести также изъ полученныхъ
формулъ. Въ самомъ дЪлЪ, для существовашя угла Л
необходимо и достаточно, чтобы найденное значете
А
tg2-— было положительными Последняя величина
им'Ьетъ одинаковый знакъ съ произведешемъ
(а -f- Ь-f с) (Ь -U с — а) (с-{-а — Ь) (а -\-Ъ — с).

— 155 —
Бели предположить, наприм'Ьръ, что Ъ представляетъ
наибольшую изъ трехъ данныхъ сторонъ треугольника,
то въ поелЪднемъ произведены Bcb три множителя
• а-\-Ъ-\-с, Ъ^-с — а, а-\-Ъ — с
являются положительными. Чтобы четвертый
множитель с-\-а—Ъ былъ также положительнымъ, для этого
должно существовать неравенство
1><а + с,
которое и представляетъ требуемые услов1е. Тотъ же
самый результатъ можно получить, написавъ уело-
В С
Bie, что выражешя tg2— и tg2 — имЪютъ положитель-
ныя значешя, или что значешя выражешй cos-4, cos Ву
cos(7 заключаются между пределами —1 и -\-1.
Полученное решете треугольника является един-
ственнымъ, такъ какъ А, В, С заключаются между
А В
О и 200 и, следовательно, величина угловъ —, — и
Li U
С
—- заключается между 0 и 100. Поэтому каждый изъ
z
посл'Ьднихъ угловъ получаетъ единственное значеше,
которое определяется положительной величиной его
тангенса.
76. Примеры р*шен1я треугольниковъ.—При
решети треугольниковъ какъ и при всякихъ другихъ вы-
числешяхъ съ помощью логарифмовъ, очень важно
располагать вычисления въ опредЪленномъ порядке,
такъ чтобы для получешя окончательнаго результата
оставалось только вписать численныя эадашя. Такой
порядокъ р'Ьшешя изменяется, только въ
зависимости отъ того, требуется ли ограничиться при рЬгиенш
задачи опредЪленнымъ приближеннымъ значетемъ/

— 156 —
или же желательно достигнуть наибольшей точности,
которую возможно получить при помощи пропорщо-
нальныхъ частей. Ниже будутъ приведены
примеры вычиелешй для решетя треугольниковъ въ
различныхъ случаяхъ.Не слЪдуетъ, однако, смотреть
на нихъ какъ на образцы, которымъ необходимо сл-Ьпо
следовать; мы рекомендуемъ подрая^ать указанными
ирим'Ьрамъ, вводя вм^сгЬ съ тЪмъ яеобходимыя из-
мЗшетя, при рЪшенш каждой задачи, сообразно съ
представляющимися обстоятельствами въ каждомъ
частномъ случае (см. стр. 207—214).
III. Неклассичеше случаи. Приложения.
77. Зам*чашя относительно неклассическихъ слу-
чаевъ. —- Возможно составить задачи на ргЬшете
треугольниковъ по какимъ угодно тремъ даннымъ геометри-
ческимъ величинамъ, связаннымъ съ треугольникомъ.
При этомъ необходимо, чтобы данныя величины являлись
независимыми, т.-е. не были бы связаны между собой
какимъ-либо уравнешемъ. Такъ, наприм'Ьръ, три угла
треугольника не являются независимыми величинами;
площадь, периметръ и рад1усъ окружности,
вписанной въ треугольникъ, также не представляютъ неза-
висимыхъ мея^ду собою величинъ. Вообще сл^дуетъ
сказать, что заданныя величины не должны быть
всЬ три угламщ одна изъ нихъ, по меньшей M^pib,
должна зависать отъ определенной единицы длины.
Въ противномъ случае bcIs треугольники, подобные
тому, который нредставляетъ рЪшете разсматри-
ваемой задачи, служили бы также ея р^шешями.
Вм^ст^ съ т4>мъ услов1е, выражающееся въ томъ,
чтобы всЪ три заданныхъ величины не были бы углами,
не является достаточнымъ признакомъ для того, чтобы

— 157 —
заданныя величины были между собою независимыми.
Мы не станемъ останавливаться подробно на понятш
о независимости заданныхъ величинъ; этотъ вопросъ
долженъ быть подробно разсмотрънъ при рйшенш
каждой отдельной задачи.
Задаваемыя въ каждой задачи геометричесшя
величины связываются алгебраическими равенствами со
сторонами треугольника и круговыми функщями его
угловъ. Если къ этимъ равенствамъ присоединить одну
изъ системъ основныхъ зависимостей, то
тригонометрическая задача приводится къ алгебраической
задаче (при этомъ, конечно, въ случай надобности,
слйдуетъ пользоваться алгебраическими зависимостями
между круговыми функщями одного и того же угла).
Общая теор1я исключея1я неизвйстныхъ нозволяетъ
приводить подобную задачу къ рйшешю одного или
нйсколькихъ алгебраическихъ уравнетй съ одной
неизвестной. Изложенный способъ решетя задачъ, ыред-
ставляетъ для насъ интересъ только въ такомъ
случай, когда въ результате получаются уравнешя не
выше второй степени; въ иослйднемъ случай вообще
возможно получить рйшеше задачи, при помощи бо-
лйе простыхъ дййствШ, чймъ тй, которыя вытекаютъ
изъ общей теорш исключешя неизвйстяыхъ. Очень
часто задача приводится къ рйшенш тригонометриче-
скихъ уравненШ; наиболее часто встречающееся виды
ихъ будутъ разсмотрйны въ следующей главй.
78. I. PtmeHie треугольника по тремъ высотамъ.—
Называя черезъ hy к, I три высоты треугольника, по-
лучаемъ
2S = ah = bk = rl:
отсюда непосредственно получаются слйдуюшдя выра-
жешя сторонъ треугольника и его полупериметра,
черезъ посредство величины его площади S,

— 158 —
r. 26' , 2S 2S
(1) « = _, 6=T, c=T,
Выведенное въ w°75 выражеше tg —, въ силу предыду-
щихъ формулъ, становится
& 2
■V
= ■/(Д + с-Ь)(о + Ь —«) =
" (а + i -f- с) (Ъ -f с — а)
U ^ г £ Ah^ к i J
\h^ к^ I А * г * /
въ виду того, что подрадикальная дробь сокращается
на общаго множителя 4S2, входящаго въ числитель
и знаменатель. Аналогичныя формулы получается для
Б О
выражешй tg-- и tg —-•
Такъ какъ мы им-Ьемъ равенства
S2 = р (р — а) (р — Ь) (р — с) =
то, составляя уравнеше нзъ ихъ перваго и послйд-
няго звена, получаемъ изъ пего, по сокращенш па S2
и извлеченш квадратнаго корня, следующее зна-
чеше S
1
' U^* ' ?А* * hj\l^h kj\h^k l)

— 159 —
Подставляя вычисленное выражеше S въ формулы (I),
получаемъ, наконецъ, искомыя стороны треугольника.
II. PtmeHie треугольника по pafliycy вписанной
окружности и углаюъ.—Выведенныя въ п°70 формулы
вида (4) даютъ зависимости
р — Ь
г
' tg*~
& 2
г
В
г cos —
Li
. В '
Sill --
с
г cos-—
te
6Т
Sill
(7
Отсюда получается выражеше а въ сл'Ьдующемъ видЪ
а~р — Ь-\-р —с = г\
. U + C
sin ~—
2
В С
cos -- cos —
_2. + —2-
. Б ^ . 6У
sin — sin —
2 2
А
г cos —-
. В . С
sin-sin-
sin — sin —
2 2
Такимъ же образомъ вычисляются остальныя двЪ
стороны треугольника
г cos
В
г cos
С
. л.
111 -7Г
2
sin
""(7'
2
sin
/1
—
2
sin
И '
_
2
Наконецъ, воспользовавшись найденными значе-
шями а и Ь, получаемъ выражеше площади
треугольника

— 160 —
i В С
с r '"cos ;>
cos-cosed sin 2 cos---. 7^—5 5 =
sm-sm-sin -2-
г2cot- - cot" - cotg 9 •
79. PtuieHie многоугольниковъ. Четыреугольникъ,
вписанный въ кругъ. —Зависимости между углами и
сторонами треугольника позволяюсь приводить
решете какого угодно многоугольника, съ достаточнымъ
числомъ данныхъ частей, къ ргЬшешю системы урав-
нешй. Действительно, всегда возможно (и иритомъ
различными способами) разложить многоугольникъ на
треугольники. При этомъ стороны послЪднихъ и углы,
которые не нредставляютъ составныхъ частей
многоугольника, вводятся въ качестве вспомогательныхъ
неизвЪстныхъ величинъ. Если число заданныхъ частей
многоугольника достаточное, то совместное pinieme
разсматриваемыхъ треугольниковъ приводится къ
алгебраической задач* рЪшешя совокупности совмЪстныхъ
уравнетй, число которыхъ равняется числу неизвйст-
ныхъ. Если многоугольникъ имйетъ какой - либо
частный видъ (правильный многоугольникъ, паралле-
лограмъ, ромбъ, трапещя и т. д.), то изъ его опре-
д^летя получается несколько зависимостей между
его частями. Каковъ бы ни былъ многоугольникъ,
во всякомъ случае между его углами, выраженными
въ градахъ, существуетъ зависимость
!\4 = 200(и —2),
гдгЬ п обозначаетъ число сторонъ разсматриваемаго
многоугольника.
Приложимъ указанный обпця соображ^тя къ ргЬ-
шен1ю четыреугольнша, вписаннаго въ кругъ, по дан-
ST —- ahsm С-—
9

— 161 —
нымъ его сторонамъ; обозначпмъ ихъ черезъ а, Ъ, с, d
въ томъ порядке, какъ онЪ встречаются, если
описывать периметръ четыреугольника въ одномъ опредЪ-
ленномъ яаправленш. Уголъ между сторонами а и Ь
условимся обозначать черезъ (аЪ) и т. д. Услов1я, ко-
торыя показываютъ, что данный четыреугольникъ впи-
санъ въ кругъ, выражаются известными равенствами
(ab) -j- (cd) — 200,
(be) -4- (da) — 200,
представляющими очевидное сл'Ьдств1е теоремы объ
измерен!!! виисанныхъ угловъ.
Назовемъ черезъ D длину д1агонали, лежащей про-
тивъ угловъ (аЬ) и (cd)\ эта д1агональ дйлиттэ
четыреугольникъ на два треугольника, для которыхъ им&ютъ
М'Ьсто зависимости
№ = f/2 _|_ //2 __ 2ab cos (aft),
j)2 ^, С2 _|_ (\2 — 2ed cos (cd).
Замечая, что
cos (cd) — — cos (ab)
и приравнивая оба написанныхъ выше выражетя D2y
получаемъ
«2 + V1 — 2ab cos (aft) — с2 -f d2 -f 2cd cos (//6).
Изъ ноел'Ьдняго равенства находимъ
а2 _|. £2 _ С2 __ ,/2
COS(#ft):
2(а6 + cd)
Поэтому простое преобразоваше даетъ
ttf2 <?*) _ 1 — CQs (<*&) __ с2 + d2 — а2 — ft2 + 2 (aft -f cd)
g ~2~~ ~ 1 -р cos (aft) — a2 -f Ь2 — с"2" — d2 ~j- 2 («ft -f erf):
(c + ^-Cc* —ft)2
(rt + ft)2 — (<; — rf)2
ТрпюноыетрЬ;. 1 i

— 162 —
Заменяя разность квадратовъ въ числителе и
знаменателе черезъ произведете суммы на разность, полу-
чаемъ
(ab) __ (с -\~d-\-a — Ь) (с -f- d -J- b — a)
'g"~T ~ (a + b -f с — d) (a ~\- Ь -4- d — c) '
Вводя обозначеше
2p — (( -|- b -\- e -|~ d,
зам'Ьчаемъ, что имЪютъ м£сто следующий равенства
2 (р — а) = Ъ -J- с ~|- d — а,
2 (р —b) = c + d-{-a — Ъ,
2(р— с) —d-\~a-{-b -6',
2 {р — d) — a -f b 4- v - d.
Поэтому предыдущая формула приводится къ
следующему виду
, {оЬ) _ ■■ / (р - а) (р — Ь)
g " 2 ~ ' (» — c)~(j)—d)'
Такимъ же образомъ получается выражете
г 2 " р (>--а)<>--^'
Шьтъ надобности составлять далЪе выражешя
tg Ц~ и tg ~- . Действительно, легко убедиться, что
существуетъ, напримЪръ, следующее соотношен1е
l* 2 V 2 *'
которое является слгЬдств1емъ равенства (аб) -|~ (Ы) =
^200.
Площадь S разсматриваемаго четыреугольника пред-
сгавляетъ сумму площадей двухъ треугольнпковъ, на

— 163 —
которые онъ делится д1агональю 1). Поэтому простыл
вычислешя, въ силу выведеннаго выше значешя cos (aft),
даютъ
2# = aft sin (aft) -f- cd sin (cd) = (aft + cd) sin (aft),
16№ = 4 (aft + cd)2 sin2 («6) = 4 (ab -f cd)2 [l _ cos2 (ab)\ =
== 4 («6 + cd)2 — (a2 4- ft2 — <*2 — d2)2
= (2 ab -f "led + a2 + ft2 — c2 — d2) (2ab -f 2ed — a2 —
&2-f- 6'2 -f- d2)
= l(a + b)2 ~ (c - d)2\ № ~r W - (" - Щ
= (a-f-&-fc —rf) (a-f ft — c-f-d)(e + d-j-
-j-a —ft) (c-fd — a-f ft)
= 16 (p — a) (p — ft) (p — c) (p — d).
Отсюда окончательно сл'Ьдуетъ, что
S = хГ(р~—аТ(р~^){р~—с)\р - d).
Полученныя формулы представляютъ сходство съ
формулами решетя треугольника по тремъ сторонамъ.
Подобно тому какъ для треугольника, такъ и въ на-
стоящемъ случай для четыреугольника, получаются ана-
логичныя услов1я возможности решетя задачи. Для
этого выражешя, находящдяся подъ знакомъ радика-
ловъ, должны быть положительными, т.-е. наибольшая
изъ сторонъ четыреугольника должна быть меньше
суммы остальныхъ его сторонъ. Последнее заключете
является также очевиднымъ и съ чисто
геометрической точки зрг£тя.
Примеры дл>1 упражнений на V главу.
214. Доказать, при помощи вычислетй,
равнозначность первой и третьей системы основныхъ
зависимостей между частями треугольника.
215. Доказать равнозначность второй и третьей
системы основныхъ зависимостей между частями
треугольника.
и*

— 164 —
216. Доказать, при помощи вычислешй, следующую
зависимость*
Ui = / {- r"-\-v"' — r
между рад1усами круговъ, описаннаго вокругъ
треугольника и вписанныхъ въ него внутреннимъ и
вн'Ьшнимъ образомъ.
217. По даннымъ сторонамъ и угламъ
треугольника вычислить его высоты.
218. Вычислить, при существовали предыдущихъ
условШ, отрезки высотъ треугольника, между его
вершинами и точкой пересгЬчетя высотъ; между
каждой изъ вершинъ треугольника и точкой пересЬчешя
опущенной изъ нея высоты съ окружностью,
описанной вокругъ треугольника.
219. Задача, аналогичная 217, для биссекторовъ
внутреннихъ и вн'Ьшнихъ угловъ треугольника.
220. Задача, аналогичная 218, для биссекторовъ
внутреннихъ и вн'Ьшнихъ угловъ треугольника.
221. Задача, аналогичная 217, для мед1анъ.
222. Задача, аналогичная 218, для"мед1анъ.
223. Вычислить длину перпендикуляровъ, опущен-
ныхъ на стороны треугольника изъ центра описанной
вокругъ него окружности.
224. Основашя высотъ треугольника ABC предста-
вляютъ вершины второго треугольника А'В'С.
Вычислить его части въ вид'Ь функщй частей перваго
треугольника.
225. Решить задачу, аналогичнукГиредыдущей, для
точекъ пересЬчетя внутреннихъ биссекторовъ тре-
угольпика съ его сторонами.
226. Р-Ьшитъ аналогичную прежнимъ задачу для
трехъ точекъ пересЬчетя внутреннихъ и вн'Ьшнихъ
биссекторовъ треугольника съ его,сторонами, выбран-
ныхъ соотвЪтственнымъ образомъ; при этом1ь сл'Ьду-
етъ точно установить порядокъ этого соотв,Ьтств1я.

— 165 —
227. Вычислить рад1усъ а окружности, вписанной
внутри треугольника такимъ образомъ, что она касается
* вписанной въ него окружности и двухъ сторопъ
треугольника Ъ и с; выразить а черезъ г и А,
228. Назовемъ черезъ ji и у рад1усы двухъ
окружностей, аналогичныхъ окружности рад1уса а,
указанной въ предыдущей задаче. Доказать соотношете
/Й+ /7а + »''*? = '••
РЗшгать слЪдукшце треугольники:
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
а —
« =
а =
а =
й =
а =
Ъ =
'Ь =
Ъ =
6 =
Ь —
Ь =
а =
а =
и —
а =
а =
а =
а —
а —
а =
а —
а =
« —
а =
:325 м
-- 19м, 35
= 0М,348
=175кы
-- 128м, 35
=115м,42
:152м •
=18м,75
=12м,75
=35км,18
•Зм,2475
^2М,8356
= 356м
:155м,8
• 314м,5
=15м,7
:152м,74
=413м,55
:28М
:5М,75
: Г2КМ
:Z» = 6360KM
:13м,452
■17м,385
282м,37
В =
В =
в=
в=
в^
и=
с =
с =
с =
с —
с —
с=-
Ь =
Ь ~-
Ъ =
ъ=
ь=
ъ =
ь=
ъ =
А =
ь =
./,т=
0--=
-■ 35г,45
- 85г,40
:12Г,38
: б'',35
115г,3452
25°15'35"
134м
56м,55
17м,34
1780м
:2м,3786
:3м,5742
:274М
:134М,7
:208м,9
--23 м,42
:138М,26
:328м,74
: 35М
:8М,35
: 13КИ
■15м,874
-17м,433
371м,71
С =
с=
с=
с=
€'--=
Сг=
А =
А =
А =
А =
Л =
А =
А =
А =
А =
А =
А =
А =
с—-
е —
С =-
с =
с-—
f —
с =
= 74г,78.
= 108г,95.
: 180Г,38.
: 3Г,48.
: 35Г,287Г>.
-95°8'34".
:34Г,15.
: 95г,34.
:101r,18.
:15Г,56.,
= 78г,3842.
60°18'34".
: 15Г,34.
:25г,75.
: 165Г,28.
: 74Г,ЗГ>.
28г,2573.
48°15'39".
43м.
7 м,43.
1458м.
1875м.
18м,439.
17м,875.
488м,23.
*-

— 166 —
Выразить углы последний) треугольника въ
градуса хъ, а его площадь въ гектарахъ.
254. Решить треугольникъ по даннымъ величштмъ
а, Л и Ъ-\-с. ИзслЪдовать рЪшете.
255. Решить треугольникъ по даннымъ величинамъ
а, А и ft — с. Изсл'Ьдовать рЪшете.
256. Решить треугольникъ по даннымъ величинамъ
а, А и Ь ~\-с. Изсл'Ьдовать рЪшеше.
257. Pi шить треугольникъ по даннымъ величинамъ
Ауа-\-Ъ и а-\-с. Изсл^довать ргЬшете.
258. Решить треугольникъ по одной данной
высоте и всЬмъ угламъ.
259. Вычислить тригонометрически д1агонали
четыреугольника, вписаннаго въ окружность, но его
сторонамъ. Вывести отсюда изв-Ьстныя соотношешя
между д1агоналями и сторонами четыреугольника.
260. Вычислить углы и площадь вписаннаго въ
окружность четыреугольника, стороны котораго имЪ-
ютъ значешя
'4a=i 3542м, ft — 2575м, с = 4683м, rf=8654M.
261. Вычислить углы и площадь трапещи, для ко-
торой длина параллельныхъ сторонъ равна
24м,59 и 35м,43,
а длина непараллельныхъ сторонъ выражается
числами
17м,58 и 14м,75.
262. Вычислить стороны, углы и площадь паралле-
лограма, зная, что его д1агонали им'Ьютъ длину
435мм и 875мм,
а уголъ, составляемый д1агоналями, равняется
45г,48.

— 167 —
263. Углы пятиугольника равны между собой; длина
его трехъ послЪдовательныхъ сторонъ равняется
соответственно 2м, 3м, 4м. Вычислить две остальныхъ
стороны разсматриваемаго пятиугольника и его д1аго-
нали.
. 264. Даны две окружности, центры которыхъ
находятся на разстоянш d, а рад1усы равны соответственно
В и В. Вычислить углы, образуемые общими
касательными къ обеимъ окружностямъ.
Для примера взять сечете земли и луны
плоскостью, проходящей черезъ ихъ центры, и положить
tf=384500KM, й= 6366км, Z? = 1741KM.
265. Вычислить стороны четыреугольника, описан-
наго около окружности, по данному рад1усу
последней и угламъ А, Б, С\ D четыреугольника. Само
собой разумеется, что А, В, С, I) удовлетворяютъ
условно
А [-В rC-f/)г=400.

ГЛАВА VI.
Различны* допопнешя.
I. Тригонометричесмя уравнешя.
80. Обиця зам*чашя. -Тригонометрическими
называются уравнешя, которыя заключаютъ неизв'Ьстныя
величины подъ знакомь круговыхъ функщй. Тригоно-
метрическ!я уравнешя принадлежать кт> числу урав-
нетй, называемыхъ трансцендентными въ противо-
полояшость алгебранческимъ уравнешямъ. Трансцен-
дентныя уравнешя имЪютъ обыкновенно неограничен- -
ное число рЪшешй. Такъ, напримгЬръ, уравнете
sin х — О
имЪетъ неограниченное число рЪшешй
которыя вс* заключаются вь одной общей формул*
х />'-,
гд* /• обозначаетъ ц'Ьлое, положительное или
отрицательное число.
Однако мы строго ограничишь кругъ трансцендент-
ныхъ уравнетй, которыми будемъ заниматься. Тактъ
напримгЬръ, уравнеше
принадлеяагтъ къ виду существенно транснендентнихъ,
которыя выходятъ за пределы нашего изучешя. Мы

— 169 —
ограничимся разсмотрЪшемъ только такихъ тригоно-
метрическихъ уравнешй, которыя приводятся къ виду
алгебраическихъ, если принять за новыя неизвЪстныя
величины круговыя функцш неизвестныхъ величинъ,
входящихъ въ данныя тригонометричесшя уравнетя.
Таковы, наприм'Ьръ, уравнетя съ одной, неизвестной
х, которыя зависятъ алгебраически отъ круговыхъ
функщи дугъ а}х, а2х,... апх, где числа аи а2,..., ап
соизмеримы съ числомъ а, т,-е. равняются произве-
детямъ последняго на ц^лыя положительный или
отрицательныя числа. Действительно, все круговыя
функцш дугъ агх, а2х... апх выражаются, при
помощи форму лъ сложешя дугъ, ращонально черезъ
круговыя * функщи дуги ах. Последтя въ свою
« . ах
очередь все выражаются рацюнально черезъ tg - .
ах
Поэтому, благодаря обозначешю tg — —/, разсматри-
Li
ваемыя тригонометричесшя уравнетя
преобразовываются въ алгебраическ1я уравнетя по отношетю къ
новой известной величине /.
На основанш изложенныхъ еоображетй, можно
было бы не останавливаться дальше на тригонометри-
ческихъ ура^нешяхъ, такъ какъ они приводятся къ
виду алгебраическихъ уравнешй. Однако очень часто
удобнее решать разсматриваемыя уравнетя, при
помощи споообовъ, основанныхъ нр, примкнете триго-
нометрическихъ формулъ, какъ легко убедиться на
следующихъ примерахъ.
81. Линейныя уравнетя относительно cos x и sin х.—
Линейное уравнеше относительно cos x и sin я?
представляется въ следующемъ общемъ виде
(1) atosx-\-bm\x — c,
где а, Ь, с обозначаютъ данныя числа.

— 170 —
Если решать написанное уравнете по указанному
общему способу, то, вводя обозначешя
х
to — — /
1 — t2 . 2t
находимъ
«(1 —<2) + 26/ = c(l-|-<2),
(a~\-c)t2-\~2bt-{-c~- a = 0,
/ = —6±/c2~a8—ft2
Мы не станемъ изслЪдовать полученнаго р^шеша;
читатель легко убедится самостоятельно, что изсл'Ьдо-
вате приводитъ къ результатамъ, которые
получаются также изъ приводимаго ниже
тригонометрическая рЪшетя даннаго уравнев1я. Начнемъ съ опре-
д'Ьлетя, по давнымъ числамъ а и 6, значетя угол а <р,
заключающаяся между 0 и 200, и числа г при
помощи сл'Ьдующихъ зависимостей
|« = гсов,,
\0~Г Sill <р.
Нетрудно видеть, что об?ъ величины г и у всегда суще-
ствуютъ. Действительно, разделяя почленно преды-
дущдя равенства (2),. получаемъ зависимость
(3) tK<p=;->
которая даетъ всегда вполне определенное
единственное значеше для угла <р, заключающееся между 0 и
200, каковы бы ни были выражешя а и Ъ. Найдя
значеше <р> нетрудно определить, пользуясь любымъ
изъ уравнешй (2), величину г, которая, очевидно, удо-

— 171 —
влетворяетъ также и второму изъ этихъ уравнетй.
Подставляя выражешя а и Ь, представляемыя
равенствами (2), въ уравнете (1), находимъ
(1)' /■ cos у cos x -)- г sin <© sin .r ~ с,
или
(1)" г cos (я — <р) = <\
Полученное уравнете (1)" торжественно съ (1)-мъ, но
представляетъ его въ новомъ вид*. Полагая
(4) cos ч = ->
опредълимъ отсюда значен1е угла я, заключающееся
между 0 и 200, предполагая при этомъ, что суще-
ствуетъ неравенство
(5) — к-<1.
г
Последнее приводится въ следующему, болЪе
простому виду
с2
Воспользовавшись найденнымъ значешемъ угла а,
нредставляемъ уравнете (1)" слЪдующимъ образомъ
(6) cos (х — ср) = cos a.
Обидй видъ ргЬшетй послъдняго уравнетя дается
(формулой
х — <f = 2fot±a,
гд* * цЪлое, положительное или отрицательное число,
т.-е.
х = 2&т: + ^f ± а-
Вводя обозначетя
у + а = Xj, 'f — я = ,r2,

— 172 —
представляемъ рЪшевля даннаго уравнешя
следующими двумя формулами
(7)
Уа
■ 21- -\-х2.
Какъ мы видели, для существовашя рЪшешй
нашего уравнешя, необходимо и достаточно, чтобы
удовлетворялось неравенство (5), или (5)'. Такъ какъ
соотношешя (2) даютъ
= а2Ч-62
то поэтому разсматриваемое услов1е становится
6<2<a2-fb2.
Въ частномъ случагЬ, когда последнее неравенство
обращается въ равенство, то необходимо положить,
что а = 0 или a = ir; тогда оба выражешя (7)
представляются одной формулой.
Полученное решете допускаетъ следующее весьма
простое геометрическое толковаше. Предположимте
для простоты разсуждетй, что числа а, Ь ж с поло-
жительныя. Легко привести къ этому частному пред-
положешю самый обицй случай, замЪнивъ х черезъ
х \~п^ ГД* «,-въ зависимости отъ знаковъ а,'Ъ, с,
должно представлять одно изъ значешй 0, 1, 2 или 3.
Построимъ прямоугольный треугольникъ ОАГ>,
катеты котораго ОА и ОН
равны соответственно чи-
сламъ а и Ь (въ опре-
дЪленномъ масштабе)
(черт. 35). Гипотенуза АВ
разсматриваемаго
треугольника равняется г, а
острые углы равны со-

— 173 —
ответственно rf и 100 — <р, какъ это следуетъ изъ
формулъ (2). Проводить черезъ точку О прямую лишю
D, образующую уголъ х съ ОА, и проектируемъ точки
.1 и В на прямую В. Обозначая проекщи ихъ
соответственно черезъ А' и В и считая уголъ х острымъ
положительнымъ, получаемъ
О А! — О A cos х •=■ a cos х,
OBf — OB sin x — Ъ sin #,
А!В! — a cos x -j- i sin л?.
Если бы чертежъ нашъ имЪлъ видъ чертежа 36, то
х представлялъ бы острый отрицательный уголъ, и
мы имели бы формулы
ОAf ~ a cos х, ОВ' = — &sm<r,
J/Б' = О А' — ОВ' = а cos я? -f 6 sin x,
где, само собой разумеется, обозяачешя ОА'у ОВ\ А'В'
представляютъ существенно положительныя длины.
Piuieme заданнаго уравнения равнозначно решещю
следующей геометрической
в задачи: провести прямую
D такъ, чтобы отрчъвокъ
А В' имтлъ данную длину с.
Такъ какъ АВ служить
проекщей отрезка АВ на
ось D, то, следовательно,
А АВ' равняется г cos a, где
Черт. 36. - г обозначаетъ длину АВ, а
a—уголъ между А В' и АВ,
Поэтому уголъ а определяется непосредственно
(формула (4), стр. 171) и, очевидно, равняется выраженио
х — ср, взятому съ определеннымъ знакомъ и
увеличенному на кратное число 2т:.
Данное геометрическое решете легко можетъ быть
обобщено (см. примЪръ 307).

— 174 —
82. Квадратичный уравнешя относительно cosx и
sinx.—Квадратичными уравнениями относительно cos;r
и sin# называются уравнешя, который содержать
члены второй степени относительно cos х и sin х и не
заключаютъ иосл-Ьднихъ въ первой степени. Разсматрп-
ваемыя уравнешя идгЬютъ слЪдуюшдй обшдй видъ
Л cos2 х -{- 2В sin x cos x -\- с sin2. r = J).
Написанное уравнеше приводится къ бол^е простому
виду, если умножить его вторую часть на выражеше
cos2 х -f- sin2 х, которое = 1. Благодаря этому, данное
уравнеше становится
A cos2 х f- 2B sin х cos x 4- С sin2 x --=. J) (cos2 x -f- sin2 .r),
или
(Л — I)) cos2 х -\- 2В sin х cos x -f (Г — />) sin2a? — 0.
Такимъ образомъ разсматрнваемое уравнеше делается
однороднымъ, т.-е. вс/fe члены его становятся одной и
той эюе степени (второй). Для простоты напитиемъ
полученное уравнеше въ огЬдующемъ вид*
if cos2 x ~|- 2iArsin x cos x -f- P sin2 x = 0.
Разделяя всЪ члены его на cos2 .г, тюлучаемъ
уравнеше второй степени относительно tg.r
Ptg2a?-f 2iSTtga?"f-af=°-
Изсл'Ьдоваше посл'Ьдняго уравнешя совершается очень
просто, такъ какъ тангенсъ можетъ принимать как1я
угодно значешя. Поэтому, для существовашя корней
(т.-е, чтобы корни были действительными), достаточно
существовашя услов1я
К* — МР>0.
Разсматрнваемое квадратичное уравнеше можетъ
быть также приведено къ виду линейнаго уравнешя

175 —
относительно cos 2 г и т\2х, при помощи подстановки
формулъ
1 + cos 2х
ъо$2х = —1— ,
sin 2х
sin ^' cos х = —~—,
1 — cos 2x
sm2# = .
Такимъ образомъ получается уравнете только что
разсмотрЪнное въ предыдущемъ параграф*.
83. Системы уравнетй съ двумя неизвестными. —
При решети задачъ тригонометрии очень часто
встречаются системы тригонометрическихъ уравнетй съ
двумя неизвестными' величинами х и у, который вхо-
дятъ симметрично въ данныя уравнетя. Въ этихъ
случаяхъ, вместо исключетя одной изъ неизвгЬстныхъ
по способу подстановки, бываетъ удобнее
воспользоваться симметр1ей уравнетй, для ихъ преобразован [я.
Чтобы показать, какъ совершаются подобныя преобра-
зовашя, приведемъ несколько примЪровъ.
/. Ртиитъ систем}) уравнетй:
х -J- у = а,
sin х ~\~ sin у = Ь.
ОбщШ способъ решетя данныхъ уравнетй
заключается въ подстановке во.второе уравнете значетя у%
определяема™ изъ перваго уравнетя въ виде
разности а — х. Раскрывая загЬмъ выражеше sin (a — x)f
получаемъ линейное уравнете относительно sin# и
cos#, которое решается указаннымъ выше образомъ.
Однако проще воспользоваться следующей
формулой
. х -\~у х — г/
ЙИП X |- 8111 // = 2 МП —^—- COS ; - ,

— 176 —
которая, въ силу перваго изъ данныхъ уравнетй,
становится
, . ^ . а х — ц
S1J1 X --;-- S1 \\ у = 2 S1 П — COS —-- -.
Поэтому второе изъ данныхъ уравнешй принимаешь
слЪдуюццй видъ
х — if О
COS - = —
2 л . а
2нт~
и даетъ возможность вычислить, при помощи лога-
рифмовъ, уголъ ——. Зная величину х — у и
выражеше х-\-у, определяемое первымъ. изъ данныхъ
уравнешй, получаемъ искомыя значешя х и у.
Изсл*дован1е.—Для возможности вычиелешя угла
--j-^, необходимо и достаточно, чтобы квадратъ его
косинуса былъ меньше единицы, т.-е. чтобы
удовлетворялось услов!е
ft2 < 4 sin21.
»* at
Если последнее услов1е имйетъ мг1зсто, то для'—~~
получается выражеше слйдующаго вида 2к~±:А, гд&
А представляетъ определенную дугу, и въ
результате мы получаемъ
гдгЬ числу к необходимо давать одни и тгЬ же зяаче-
шя, а при А брать одновременно или верхше, или
нижше знаки.

— 177 — *
TL Ргъшить cacmeMf) уравнении
cos# р
cos у q'
# — # = «.
Составляя сложную пропорцш изъ перваго уравнетя,
при помощи простого преобразоватя, получаемъ
. х 4-v . х — у
— 2 sm ——^ sin ——^
р — q ___ cos ж — cos г/ __ 2 2
>+ # ~~ cos # +cos?/ л #-рУ #—г/
1 * ' 2 cos—~^cos—~-
- X у , X ~\~ у
* 2 ° 2
Поэтому, въ силу второго изъ данныхъ уравнешй, на-
ходимъ
° 2 </ -f P ° 2
Отсюда получается выражеше Т^ , а зат-Ьмъ, при
помощи сложетя и вычитатя, находятся значешя х
и у, такъ какъ второе изъ данныхъ уравяешй даетъ
х — у
значеше полуразности
2
II. Производима круговыхъ функцш.
S4. Предварительный теоремы.—Мы предполагаема^
въ настоящей статьгЬ, что ест дуги выражаются
исключительно въ частяхъ padiyca.
Теорема I.—Если х обозначаетъ положительную
дугу, меньше четверти окружности тригонометриче-
скаго круга, то существуютъ неравенства
тлх <^x<^tgx,
Тригонометрия. 1 -

#
— 178 —
пока.швающгя, что величина дуга х заключается
между величиной ея синуса и тан-
\м гене а.
Пусть AM иредставляетъ дугу
х (черт. 37); синусъ ея
изображается отрЪзкомъ ЖР, а тан-
генсъ равенъ отрезку MR. Строимъ
точку М'9 расположенную
симметрично съ М относительно ОЛ.
Принимая за единицу длины ОЛ,
иолучаемъ
2sinх = ММ\ 2# = дуга МЛМ', 2 tga? = MR-\-BM'.
Такимъ образомъ неравенства, которыя требуется
доказать, преобразовываются въ слЪдуюшдя
МЛГ < дуги МЛМ' < МП + ИМ'.
Первое изъ этихъ неравенствъ очевидно само по себЪ,
такъ какъ хорда, стягивающая дугу окружности,
короче ея; второе же неравенство вытекаетъ изъ того,
что дуга МЛЗГ*) короче огибающей ея лиши МЯЛ-ИМ'.
Ц Если читатель знакомь съ этой теоремой только для того
случая, когда разематриваемыя кривыя ломанныя, то, для распростра-
нешя ея, сл'вдуетъ разеуждать слйдующимъ образомъ. Проводимъ
перпенликуляръ къ прямой AR изъ какой-либо ея точки, лежащей.
между А и R; предположимъ, что этотъ перпендикуляръ nepect-
каетъ MR въ точк-в И и M'R въ #'. Периметръ многоугольника
МНН'М' меньше MR + RM'; ко этотъ же самый периметръ больше
периметра многоугольника, вписаннаго въ дугу ММ' и,
следовательно, больше или по меньшей жЪр± равняется длин* этой дуги
(которая отличается на сколько угодно малую величину отъ
вписаннаго многоугольника съ достаточно болынимъ числомъ сторонъ).^
Такимъ образомъ МR + RM' больше дуги МАМ'.

— 179 —
Теорема II.—Если дуга х заключается между 0 и щ
то существуешь неравенство
X
О < х — sin х < ~ у
т.-е. разность между дугой и ея синусомъ предста-
вляетъ положительную величину, меньше четверти
куба дуги.
Первая половина неравенства, показывающая что
разсматриваемая разность положительная, т.-е. >0,
вытекаетъ непосредственно изъ теоремы I въ томъ
случай, когда х меньше ^; то же первое звено нера-
венства становится само по собй очевиднымъ, если х
больше^- (такъ какъ синусъ такой дуги меньше 1).
Поэтому остается доказать вторую часть написаннаго
неравенства. Для этого замЪтимъ следующее
XX XX
sin х = 2 sin - cos - = 2 tg - cos2 - = 2
tgf(l-aln«f).
Такъ какъ дуга — заключается между 0 и ~, то им*-
ютъ м^сто неравенства
/у» /у> /v> /у»
|Л/ ^ «А/ . <А; - «Л/ •
tg->-, sm-<--.
X X
Поэтому, для положительныхъ значетй sin - и ~ > су-
ществуютъ неравенства
х хх2 . лх х2
2tg->*, ш2-<^, 1_8Ш2_>1__.
Отсюда слйдуетъ, что
m)x>xll—~) >
12*

— 180 —
т.-е. хз
х — sin x < - •
4
ПрипгЁчаше.—Теоремой II удобно пользоваться въ
сл'Ьдующемъ виде
X
х <С sin х <С х.
4
Такъ какъ значешя х положительный, то, разделяя
последнее неравенство на х, получаемъ
х *» *n£<L
4 х
Последнее неравенство не изменяется, если х
заменить черезъ — х, такъ какъ существуютъ равенства
(— х)2 х2 sin( — х) sin x
4 4 —х х
Поэтому разсматриваемыя неравенства справедливы
также для всчьхъ значенгй х, заключающихся между—ъ и 0.
Теорема III.—Отношете синуса къ дуггь стремится
къ единица, когда дуга стремится къ нулю, т.-е.
разсматриваемое отношете тЪмъ менее отличается отъ
единицы, чЪмъ ближе величина дуги къ нулю.
Поэтому, когда дуга обращается въ нуль, разсматриваемое
отношете должно быть заменено единицей.
Предположимъ, действительно, что х имйетъ зна-
чеше (положительное или отрицательное),, близкое къ
нулю; выражаясь точнее, предположимъ, что мы
имеемъ
гдЪ h представляетъ какое-либо положительное число
меньше тт. Въ силу предыдущей теоремы,
существуешь неравенство

— 181 —
Поэтому т'Ьмъ болЪе имЪетъ мЪсто услов1е
1_*!<5EL£<1.
4 #
Разность между единицей и отношешемъ : пред-
h ъ
. ставляетъ положительную величину меньше - • Если
h малая величина, то предыдущая разность также
мала и будетъ становиться т*мъ меньше, ч%мъ меньше
значеше h. Если, наприм'Ьръ,
7 1 Ъ2 1 . _ 1 h2
/г = , то — = , если п = > то — =
100 4 40000 1000000 4
1
4000000000000
Если дуга х принимаетъ все менышя и менышя зна-
чешя (положительный или отрицательныя) и обра-
. sin х
щается, наконецъ, въ 0, то отношеше —— становится
раввымъ 1.
85. Производный основныхъ круговыхъ фуншЦй.—
Мы предполагаемъ, что читатель знакомъ съ понять
емъ о производной изъ дифференщальнаго
исчисления.
Пусть имЪемъ функцио
у = т\х\
если х получаетъ приращеше Ах и если обозначимъ
черезъ Д у соответствующее приращеше, которое
получаетъ функщя уу то находимъ
Д у sin (х -f- Д х) — sin
Ах Ах Ах
л . Д х I . А х\
х 2Яп-гсов(х+-Г)

— 182
т.-е. имйемь
. sm——
Дг/_
Д#
2 / , Д*\
-сое (*+—].
Если \% обращается въ нуль, то отношеше
. Д х
sin — —
lx
становится равнымъ единице, и мы получаемъ
d (sin x)
dx
= cos x = sin [x
+1)
= — sin x = cos
(■+!)■
Такимъ же образомъ доказывается формула
d (cos #)
dx
Наконецъ мы имЪемъ
4. / I А Ч ' 4. Sin Д ^
4 ' cos # cos (х 4- Д л?)
и отсюда получаемъ
Такимъ же образомъ получается формула
d(cotg#) —1 . , 9
dx sin2 #
чэ
Изъ полученныхъ формулъ легко выводятся
известные намъ результаты относительно измЪнещй круго-
выхъ функщй.

— 183 —
Часто приходится вычислять производныя круго-
выхъ функщй кратныхъ или дробныхъ дугъ, т.-е.
производныя выражетй cosa#, sina#, tgax, гдй а обозна-
чаетъ постоянную величину (которая можетъ быть
цЪлюй или дробной, безразлично). Искомый
производныя находятся на основанш общей теоремы о диф-
ференцированш сложныхъ функщй; однако гораздо
проще, не основываясь на последней теореме,
проделать въ каждомъ частномъ случай непосредственно
всЬ необходимый вычислетя. Пусть, наприм'Ьръ,
требуется вычислить производную sin ах. Согласно съ
опред'Ьлешемъ, искомая производная представляетъ
величину отношетя
" ' sin а(х -)-Д^) — sin ах
-Л X
когда Д# становится равнымъ 0. Если положить
ах —у, то аЛ# = Лу и предыдущее отношете
становится
^^sin(2/-f А у) — siiiy_fl sin (у-f А у) — sin у
а
Такъ какъ число а представляетъ постоянную
величину, то, когда А х обращается въ 0, то же самое
происходитъ съ А у. Поэтому отношете
aiii(y-|-Ay) —siny
Ay
обращается въ выражете cosy, представляющее
производную функщю siny. Следовательно, отношете В
становится равнымъ произведенш а на cosy, т.-е.
равняется acosax. ТЪ же самыя разсуждешя
прилагаются къ косинусу, тангенсу и котангенсу. Такимъ
образомъ мы приходимъ къ следующему правилу:

— 184 —
Правило.—Для вычислен!я производной по х
круговыхъ функщй кратной дуги ах, умножаютъ на а
производную поотЬднихъ функщй, вычисленную въ
предположенш, что произведен1е ах заменено одной
буквой у (т.-е., какъ говорить, берутъ производную
по ах).
При вычислены нроизводныхъ функщй
произведения или степеней круговыхъ функщй одной и той же
дуги всего удобнее заменять ихъ суммами или
разностями. Такимъ образомъ слйдуетъ, совершать
предварительно преобразовав in, обратныя гЬмъ, которыя
употребляются для приведешя суммы или разности
круговыхъ функщй къ виду, удобному для логариф-
мическихъ вычисленШ. Благодаря такому преобразо-
ванш, задача становится проще, чЪмъ задача диффе-
ренцировашя произведешя.
Примеры I. — Вычислить производную фунпцги
у = sin x sin Зх. Замечая, что
у — sin х sin Зх = - fcos (3^ — х) — cos (Зх -f- х)'\ —-
= - cos 2х —- cos4r,
получаемъ, дифференцируя последнее выражеше,
?/ = — sin 2;\-\- 2 sin 4-л
IL Вычислить первую и вторую производным функции
у — cos 2x cos Зх cos \x,
Такъ какъ данная функщя приводится къ
следующему виду
у z=z—(cos x -(-cos Ъх) cos 4#=- cos.x cos 4.£--j- --cos 4# cos Ъх--~
2 2 2
~ - (cos Зх 4- cos Ьх -]~ cos x -|- cos S)x),

— U5 —
то поэтому иолучаемъ
у' — — (sjn x-\-3 sin Зх -f~ 5 8*п эх-\-9 sin 9a?),
4
у"= — - (cos х -j- CJ cos 3# 4- 25 cos Ьх -f- 81 cos 9х).
86. Приложешя.—I. Касательная къ синусоидп.—
Изложенныя соображетя позволяютъ точнее
представить данное выше (на страниц* 53) иостроеше
синусоиды, при помощи опред'Ьлешя величины углового
коэффищента *) ея касательной. Полагая
у = sin x,
получаемъ
Поэтому угловой коэффшцентъ касательной, при
измйненш х отъ О до 2ir, изменяется между
пределами — 1 и -}-1- Разсматриваемый угловой
коэффищентъ равняется + ^ когда х равняется 0; поэтому
касательная въ этой точке къ синусоиде совпадаетъ
съ биссекторомъ угла хОу. Затемъ при изменены х отъ
О до ~ , угловой коэффшцентъ касательной убываетъ и
обращается въ 0, когда х = -. Такимъ образомъ ка-
о
сательная наклоняется все более и более къ оси х и
становится параллельна оси Ох въ точке Л (черт. 24).
Указаннымъ образомъ легко продолжить и дальше изу-
чеше вида синусоиды.
: If. Изцчете измгьнетя выраженгя
у = х — 2 sin j.\
при измуьпенги х отъ 0 до 2z.
*) Опредйлеше углового коэффищента прямой линш находится
на страниц* 77, въ задач* VJ.

— 186 —
Производная данной фуякщи имЪетъ значение
у' — 1 — 2 cos х.
Выражете у* обращается въ 0, когда cos# = - , т.-е.
для значетй х = - и х — —-. При изм^ненш л? отъ о
о о
до^, производная им'Ьетъ, очевидно, отрицательное зна-
о
чехпе и, следовательно, функщя «/ убываетъ. При
дальний шемъ измЗшенш х отъ -£ до ~> значете у'
становится положительнымъ и поэтому функщя у возра-
етаетъ. Наконецъ, при дальнЪйшемъ измЪненш х отъ
~~ до 2тт, функщя у снова убываетъ. Вычисляя вели-
о
чину функщи у для указанныхъ значетй х, равныхъ
о и — j а также и для крайнихъ значетй о и 2тг,
С) О
составляемъ следующую таблицу
1 1 !
Iх 1 °
Г
У
-1
0

отрицательное.

убываетъ.
тс
~3"
0
1-/3
минимумъ.
положи-
тельное.
возра-
стаетъ.
5гс
~3~
0
•£ + •*
максим умъ.

отрицательное.

убываетъ.
2я
—1
2я
1
При изм'Ьнеши ж отъ - до -^> функщя у постоянно
о о
возрастаетъ отъ паименьшаго своего отрицательнаго

187
значешя ~— у$ (минимумъ, равный приблизительно
5тт —
0,7)'до наибольшаго положительнаго значешя — -}- i/3
■', з
(макримумъ, равный приблизительно 7). Отсюда сл'Ь-
дуетъ, что фуякщя у обращается въ о всего одинъ
Черт. 38.
разъ въ разсматриваемомъ промежутке излгЬнешя х.
Значеше %, при которомъ у обращается въ 0, можетъ
.быть получено при помощи послЪдовательныхъ лроб-
ныхъ подсчетовъ.
Изм'Ьнеше разсматриваемой функцш
представляется графически при помощи чертежа 38.
: Въ точки А функщя у имгЬетъ наименьшее значе-
Hie, въ точк'Ь В— наибольшее. Въ этихъ точкахъ угло-

— 188 —
вой коэффищентъ у' касательной къ разсматриваемой
i ривой обращается ьъ 0, и касательная становится
параллельна оси Ох. Въ точкахъ О и С, соотв^тствую-
щихъ значешямъ 0 и 2тг переменной х, угловой
коэффициента касательной равен ь — 1. Следовательно, въ
этихъ точ! ахъ касательная параллельна биссектору
у!ла х'Оу. Точка, гд4 касательная наиболее
отклоняется отъ оси Ох, соответствуешь наибольшему зна-
ченш «/', т.-е. величин* # = тг, для которой у' равна 3;
эта точка на чертеж* обозначена черезъ Р. Мы пре-
доставляемъ читателю доказать, что точка Р предста-
вляетъ центръ кривой и вм^ст* съ тЪмъ точку
перегиба, т.-е. точку, где наша кривая пересекается съ
касательной къ пей, построенной въ этой точке.
III. Приложеже тригонометрш къ съемкЪ плановъ.
87. ОпредЪлеше.—Задача съемки плана
определенной местности представляетъ, по своему существу,
решете геометрической фигуры•> образованной опреде-
леннимъ числомъ постоянныхъ точекъ, естественныжъ
или намеченныхъ искусственнымъ образомъ въ
разсматриваемой местности1). Решете полученной та-
—- t
*) Постоянный точки выбираются более или менее близко другъ
отъ друга, въ зависимости отъ преследуемой цели. Эти точки должны
быть достаточно близки для того, чтобы положеше другихъ точекъ,
которое желаютъ точно знать, могло быть легко определено,, по
отношение къ постояннымъ точкамъ, съ желаемою точностью. Такъ,
напримйръ, возьмемъ у часто къ земли, ограниченный съ одной стороны
кривой лишен АВ, длиной въ 50 метровъ, которая отклоняется отъ
прямой АВ не больше чемъ на 50 сантиметровъ. Если этотъ уча-
стокъ находится въ деревне, где земля оценивается невысоко
сравнительно съ городомъ, то вполне достаточно за постоянный точки
принять А и В. Если же указанный участокъ земли расположенъ
въ центре большого города, где квадратная сажень земли стоитъ
столько, сколько целая десятина ьъ деревне, то тогда приходится

— 189 —
камъ образомъ фигуры приводится къ измтретю или
вычисленгю ея составныхъ частей. РЪшивъ фигуру,
легко начертить затемъ ея планъ, т. - е. построить
проекщю подобной ей фигуры. Мы ограничимся разсмо-
трешемъ частнаго случая, когда все постоянныя точки
находятся въ одной плоскости. На практике чаще
всего этой плоскостью служить горизонтальная. Раз-
сматривая постоянныя точки и прямыя лиши, соеди-
няюпця ихъ по 2, получаемъ плоскШ многоугольникъ,
стороны и углы котораго требуется определить. Не все
однако части разсматриваемаго многоугольника
независимы между собой. Разрешая рядъ треугольниковъ,
изъ котррыхъ состоить нашъ многоугольникъ,
возможно вычислить все его части, если будутъ
непосредственно измерены только некоторый изъ нихъ, соот-
в'Ьтственнымъ образомъ избранный: въ этомъ и
заключается значеше тригонометрш для съемки плановъ J)t
88. Изнгбреше длинъ и угловъ.—Само собою
разумеется, что невозможно определить фигуру
разсматриваемаго многоугольника, при помощи измтретя однихъ
только угловъ, такъ какъ все подобные
многоугольники имеютъ равные углы. Вь виду этого необходимо
измерить по меньшей мтърть одну длину. Легко видеть,
что вполне достаточно измерить одну только
какую-нибудь д 1ину и зат/Ьмъ достаточное число угловъ.Это
обстоятельство является весьма существенными такъ какь
измереше угловъ совершается гораздо легче и съ
большею точностью, чемъ измереше длины но
поверхности земли. Мы не станемъ здесь описывать инстру-
ментовъ, употребляемыхъ для этихъ измеренШ, ни
ввести между точками Л и В цЪдыа рядъ промежуточныхъ постоян-
ныхъ точекъ.
*) Можно было бы обойтись безъ вычислешй, если требуется
только начертить планъ; но если стремиться къ болве точному
составлена этого плана, то полезно сделать вс* вычислешя.

— 190 —
излагать способовъ ихъ улотреблешя, при помощи ко-
торыхъ стремятся уменьшись возможныя погрешности.
Какъ инструменты такъ и способы ихъ примЪнешя
изменяются въ зависимости отъ преследуемой ц*Ьли,
т.-е. въ зависимости отъ требуемой большей или
меньшей точности пскомыхъ результатовъ2). При обыч-
ныхъ землемерныхъ съемкахъ, обыкновенно
удовлетворяются точностью до одного дециметра, при изм-Ь-
рети разстоятй въ несколько сотъ метровъ. Если
измЪрешя сдЪланы съ точностью до одного
сантиметра, то съемка считается весьма точной. Въ посл^д-
немъ случае точность измерения колеблется въ пре-
2) Принципы, на которыхъ устраиваются измерительные приборы,'*
всегда очень П} осты. Приборы различаются между собой только въ
деталяхъ построешя и по тЬмъ присписоблешямъ, при помощи
которыхъ вводятся поправки на возможныя погрешности (происходяпня,
напримеръ,отъ расширешя металла, атмосферной рефракцш, при
визировали на болыпихъ разетояшялъ и т. д.). Для из>ерешя длины
пользуются всегда длиной определенной величины (метромъ въ виде
ленты или деревянной линейки, з<млемерной цепью, металлической
железной или платиновой линейке й, проверенной лливы), котирую
откладываютъ вдоль измеряемая) протяжеыя, отъ очного его конца
до другого. Для измерешя угловъ пользуются раздтленнымъ на части
кругомъ, съ подвижнымъ на немъ ддаметромъ, китч рый врашаётся
вокругъ центра круга. При изме^енш, центръ круга помещается въ
въ вершине измеряемаго угла и подвижный д1аметръ совмещается
-после ювательно съ обеими сторонами )гла (при чемъ мишень навидится
на разематриваем^ю точку, или невооружепнымъ ьтаземъ, или при
помощи зрительной трубы). ЗагЬмъ по кру]у (невооружен! ымъ глазомъ
или при помощи лупы, или мгкроскопа) отсчишвается уголъ, на.
который былъ повернуть подкиж! ый д!аметръ. Более подро(Зное опи-
саше инструмента представляетъ инте{ есъ только тогда, когда
читатель имеетъ самый приборъ подъ pyi ами. Поэтому лучше
научиться пользоваться простымъ не совсемъ точнымъ приборомъ,
чемъ читать по книге подробное описаше сложнаго прибора. Мы
бы очень рекомендовали читателю по возможности продела! ь въ
действительности несколько землемерныхъ съемокъ на земле.

- 191 —
дЪлахъ отъ х до уо^оо изм*Ряемой длины, и
поэтому можно считать точными четыре или пять циф-
ровыхъ знаковъ. При изм'Ьрешяхъ въ высшей геоде-
3iir, разстояшя въ несколько километровъ измеряются
съ точностью до нЪсколькихъ миллиметровъ, такъ что
погрешность равна приблизительно -^т^т^тг
измеряемой длины, и поэтому можно считать точными шесть
или семь цифръ. Конечно, необходимо также измерять
и углы съ точностью, которая соответствовала бы
точности измерешя разстояшй, т.-е. съ точностью до со-
тыхъ долей града, при точныхъ землемерныхъ съем-
кахъ, и съ точностью до десятитысячныхъ долей
града (секундъ десятичной системы), при геодезиче-
скихъ съемкахъ. При обычныхъ землемерныхъ съем-
кахъ, достаточно ограничиваться десятыми долями
града. Иаконецъ, въ зависимости отъ точности
съемки, нужно пользоваться логарифмическими
таблицами съ 4, 5, '6 пли 7 десятичными знаками.
При этомъ сл%дуетъ всегда имтъть въ виду, что при
вичислетяхъ не слтьдуетъ стремишься къ точности,
которая превосходила бы точность произведенныхъ из-
мгъретй. Пусть, напримеръ, одна изъ сторонъ тре-
угольнаго участка земли равняется 24,50 метрамъ,
съ точностью до одного дециметра, а прилежание къ
ней углы равны соответственно 85,4С и 47,60 гра-
дамъ, съ точностью до десятыхъ долей града. Въ
разсматриваемомъ случае было бы нецелесообразно
вырая^ать площадь указаннаго участка въ квадратныхъ
миллиметрахъ или даже сантиметрахъ. Достаточно
выразить ее въ квадратныхъ метрахъ, отбрасывая дроби,
и то въ этомъ случае нельзя быть увереннымъ въ
точности цифръ, выражающихъ единицы. Въ данномъ
случае вполне достаточно пользоваться логарифмп-

— 192 —
ческими таблицами съ четырьмя десятичными
знаками.
Наконецъ слЪдуетъ избегать вводить слишкомъ
малые углы, такъ какъ погрешность, введенная при
ихъ измгЬреши, влечетъ за собой еще более
значительный погрешности въ послЪдующихъ вычисле-
шяхъ. Мы ограничимся т^мъ, что отмЪтимъ этотъ
фактъ, не останавливаясь на его доказательстве. Съ
практической точки зрйтя, не следуетъ поэтому
вводить въ разсмотрЪше треугольниковъ, одинъ изъ
угловъ которыхъ меньше 10г. Для достижешя
наибольшей точности, доступной общеупотребительнымъ
инструментамъ, следуетъ брать треугольники, которые
больше всего приближаются къ равностороннимъ (при
чемъ углы ихъ должны заключаться, напримеръ, между
50г и Ю0Г). Этого всегда возможно достигнуть, вводя,
но мере надобности, дополнительныя точки.
89. Классичесшя задачи.—Последовательное вы-
числеше частей треугольниковъ, образованныхъ
постоянными точками, не представляетъ теоретическихъ
трудностей, такъ какъ приходится всегда иметь дело
съ первымъ или вторымъ изъ разсмотрЪнныхъ слу-
чаевъ решетя треугольниковъ. Для примера, мы
укажемъ несколько классическихъ задачи, чтобы
дать поняйе о способахъ решетя треугольниковъ,
употребляемыхъ въ практике.
/. Излтрить разстоянге между доступной точкой
Л и недосягаемой точкой В,
Само собою разумеется, что положеше точки В
(черт. 39) точно отмечено или какой-либъ точкой, или
лишей, видимой изъ точки А. Такъ, напримеръ, точка В
можетъ представлять стволъ тонкаго дерева или точку,
отмеченную на обрыве скалы и т. д. Когда говорится,
что точка В недоступна, то это значитъ, что
непосредственное измереше разстояшя АВ по земле пред-

193 —
ставляетъ затруднеше, вслгЬдств!е природы самой
местности. Такъ, напри- в
м'Ьръ, точки А и В могутъ
быть разделены широкой
рекой, пропастью или ку-
старникомъ, черезъ
который неудобно итти съ
землемерной цепью.
Сделанный замечашя слЪдуетъ
иметь въ виду въ после-
дующихъ задачахъ.
PemeHie задачи начинается съ измерешя основа-
Bin АС, выбраннаго такимъ образомъ, чтобы стороны
треугольника ABC возможно меньше отличались другъ
отъ друга; затемъ измеряются углы А и С разсматри-
ваемаго треугольника, Вычислеше искомой стороны
треугольника АВ совершается непосредственно но
формуле
Ь siii С AC sin С
Черт. 39.
АВ:
sin Б" sin (200 — А— С)
II. Излмьрить разетоян'кч межОу двумя
недоступными точками С и I).
Принимаемъ за
оеновате АВ (черт.
40) отрезокъ,
который приблизительно
равенъ и паралле-
ленъ разстоятю CD.
Мы выбираемъ АВ
съ такимъ расче-
томъ, чтобы его бы-
в ло легко измерить
и чтобы точки С и
/> удобно усматри-
Тригоцоиетр1я. ■»«>
Черт. 40.

194
вались изъ А и В, ЗагЬмъ измеряются углы А к В
треугольниковъ CAB и DAB. Обозначая черезъ
А и В углы перваго треугольника и черезъ А', В'
углы второго треугольника, получаемъ
АВ sin В т, , .__ 31? sin i>"
f.4
sin (.4 + Б)
7)Л =
sin (.4'-{-£')
Такимъ образомъ въ треугольнике ACI) становятся
известными стороны AG и .4D и заключаюшдйся между
ними уголъ, равный -^(А — А*) (берется знакъ -f-илн
— въ зависимости отъ того, что А > А! или А < А!).
Поэтому последтй треугольникъ легко разрешается
(второй случай). Если требуется вычислить только
разстояте CD, to для этого воспользуемся формулой
<77)2 = АС* + Л~7)2 — 2 AC' . IT) cos (.1 — Af),
которая даетъ
Cl)
sin2 В
sin2i>"
УхпЦА + В) 1 ьтЦА' + В')
_ 2 sin В sin Б' cos {А —А'Ц
~~~ ът{А-\~В)ж\{А' ~\-В')\ '
Следуетъ однако заметить, что, для приведешя
полученной формулы къ виду, удобному для логариф-
мическихъ вычислешй, приходится проделать вычи-
s слен1я, которыя почти
равнозначны съ полнымъ
решетемъ нашего
треугольника.
III. Определить
высоту вертикальной
колонны, основанге которой
доступно.
Пусть точка S (черт. 41)
черт. 41. представ л я етъ вершину

195
колонны, основаше которой обозначимъ черезъ Р. Вы-
бираемъ достаточно удаленную отъ Р точку А и
обозначимъ черезъ В точку, лежащую на PS, которая
находится въ одной горизонтальной плоскости съ
точкой А. Изм'Ьривъ непосредственно разстояше ЛВ н
уголъ В AS, получаемъ
Bb = ABtgHAS.
Чтобы получить искомую высоту PS, слЪдуетъ
прибавить къ BS длину ВР, которая была измерена
непосредственно.
Если разстояше АВ не можетъ быть измерено
непосредственно, всл*Ьдств1е условШ данной местности,
то въ такомъ случай остается прибегнуть къ
помощи задачи I.
IV. Измгьрить высоту вершины горы или высоту
здания, возвишающагося надъ горизонтальной плоскостью.
Для опредЪлетя горизонтальной плоскости
выбирается точка А (черт.
42) и въ той же самой
плоскости берется
вторая точка В такъ,
чтобы основаше АВ было
легко измерить. За-
тЬмъ измеряются
углы А и В
треугольника SAB и кроме
того еще одинъ уголъ,
напримеръ, образуемый лишей SA съ
горизонтальной плоскостью (т.-е. въ нашемъ случае уголъ
SAO; плоскость ЛОВ горизонтальная, а прямая SO
перпендикулярна къ ней). Называя черезъ А и В
углы треугольника SAB, получаемъ
АВмпВ
Черт. 42.
SA =
sin (A-f В)
SO=SA sin SAO ,
13*

— 196 —
Какъ было уже указано, желательно, для точности
измЪретя, чтобы треугольникъ SAВ возможно меньше
отличался отъ равносторонняго. Однако последнее
требоваше не является безусловными иногда, вслед-
CTBie условШ данной местности, приходится, напри-
меръ, выбирать АВ на продолжены! ОА (см. примерь
для упражнешя 292).
90. Понят1е о тр1ангулящи.—Подъ тргангулятей
подразумевается точное определете несколькихъ по-
етоянныхъ точекъ въ данной местности. Точки эти
берутся въ болыномъ числе и располагаются такимъ
образомъ, чтобы изъ какой-либо одной изъ нихъбыло
возможно усматривать, по меньшей мере, три дру-
гихъ точки. Благодаря последнему условно, какъ
увидимъ далее, легко определить положете каждой
новой точки, относительно прежнихъ точекъ, при
помощи простыхъ измерешй угловъ.
Какъ примеръ тр1ангулящи мы приведемъ здесь
схематическую карту тр1ангуляцш (чертежи 43а и 43b),
для определетя новаго французскаго меридгана,
предпринятой въ 1870 году и продолжавшейся въ течете
20 летъ. На карте отмечены утолщенными лишями
базы (Base), т.-е. длины, измеренныя непосредственно
на поверхности земли. Какъ указывалось выше, вполне
достаточно, съ теоретической точки зретя, измерить
одну только базу; но въ интересахъ проверки полу-
чаемыхъ результатовъ измеряются, по меньшей мере,
две базы въ обоихъ концахъ тр1ангулящонной сети.
Въ приведенной нами тр1ангуляцш за основную была
принята Париэюская база (Base de Paris), которая была
измерена два раза; при этомъ различ1е въ обоихъ
измерешяхъ выразилось числомъ въ 8ММ,9. Кроме того
были измерены еще по одному разу две иоверочныхъ
базы въ Дерпиньане (Base de Perpignan) и въ Касселе
(Base de Cassel).

— 197 —
ANGLETERRE
Fairhght
lemma *^>
Basede
\rpignan
^Aticnebase
deMelun
Если тр1ангулящонная сЬть треугольниковъ
растягивается на большомъ разстоянш, то въ такомъ
случае необходимо принимать въ расчетъ кривизну
земной поверхности, т.-е. приходится разсматривать не
плосте, а сферичесше треугольники. Не
останавливаясь подробнее на посл-Ьднемъ обстоятельств*, зам*-
тнмъ только, что теодолиты, приборы, служашде для

— 198 —
изм'Ьрсшя угловъ, даютъ ихъ величину въ горизой-
тадьной плоскости. Благодаря этому измеряется
непосредственно величина проекцШ разсматриваемыхъ
угловъ на горизонтальную плоскость.
91. Задача составлешя карты.—Подь задачей со-
ставлешя карты подразумевается следующая задача:
даны точка М и треугольиикъ ABC (черт. 44); ?шт-
ривгаи углы С MB и АМС, вычислить разстояшя МА,
MB, МО въ вадт фуикцШ послтъдпихъ угловъ и частей
треугольника ABC. Разсма-
с р, триваемая задача разрешает-
Гся графически, при помощи
простого геометрическаго по-
строешя. Действительно, для
этого достаточно построить
дуги окружностей, изъ точекъ
которыхъ разстояшя ВС и АС
в видны соответственно подъ
Черт. 41. данными измеренными
углами; обе дуги пересекаются
въ искомой точке. Приведенное геометрическое по-
строете не даетъ однако решетя задачи, если обе
дуги сливаются (въ противномъ случае обе дуги,
имеюпЦя одну общую точку С, пересекаются также
п во второй точке). Последнее услов1е очевидно
шгЬетъ место только въ томъ случае, когда точка Ж
находится на окружности, описанной вокругъ
треугольника ABC. На практике случай этотъ не
встречается, такъ какъ точка Ж находится всегда вн.утри
треугольника ABC (т.-е. каждая точка области TpiaH-
гуляцш находится внутри такихъ треуголениковъ какъ
ABC, все три вершины котораго представляютъ
постоянные точки тр1ангуляцш).

— 199 —
Для ргЬшешя разсматриваемой задачи, при
помощи вычислешй, введемъ слгЬдуюшдя обозначетя
ВС=а, СЛ^-Ь, СМВ^а,
АМС = ft, свй=х, (АМ^ у.
Если углы л- и у известны, то вычислете разстоя-
iiitt MA, MB, МС, въ вид* функщй величинъ а, Ь, з,
ft, ;г, у, совершается безъ всякаго труда. Выражая
услов1е, что сумма угловъ двухъ треуголъниковъ ВМС
и АМС равняется 4 прямымъ и обозначая черезъ С
уголъ АСВ, получаемъ
(1) х + у -j- а -; - =s --= 400 — с.
Съ другой стороны, изъ треугольниковъ МВС и
MAC у находимъ
sin х sin 2 sin у sin ft
Отсюда получается зависимость
sin х Ь sin a
(2) .— == —г--? •
v J sm // «sm ft
Равенства (i) и (2) представляютъ систему
уравнений, которую мы уже раньше разсматривали.
Определяя вспомогательный уголъ <р, при помощи соотно-
шетя
a sin ft
/; sm a
получаемъ изъ равенства (2) сложную пропорцш
sin х — sin // 1 — tg tf
„_ —v_. — ■■ — = (ou — ъj.
sm # -4- sm /y I -\- tg з

— 200 —,
Отсюда находимъ
А х — у , А х 4- у
tg __^ = tg (50 - ъ) tg —~р'- --=
= tg(50 —?)tg^200 ——"iy^)--
= -tg№0-y)tga ' ^- •
Прим£чаше.—Если точка М находится на
окружности, описанной вокругъ треугольника ЛВЛ, то въ
такомъ случае получаемъ
50—0 = 0, ' ' ' - ==100.
2
Следовательно, произведете
tg'fcO-^tg1 * 1 -
въ данномъ случае принимаетъ неопределенный видъ
О X оо. Такймъ образомъ и изъ вычислешй также
.обнаруживается неопределенность задачи въ разсма-
триваемомъ частномъ случае.
Примеры для упражнений на главу VI.
266. Вычислить значеше угловъ х, заключающихся
между о и 400г и определяемыхъ уравнен!емъ
2 sin х — 3 cos x — 1.
Решить аналогичный воиросъ для следующихъ
уравнешй:
267. 4 sin х -| - 5 cos х ---- 6.
268. 3 sin2 х -|- 4 sin x cos x — cos2 х -- 2.
269. Sin 3r = 2sin.r.

— 201 —
270. Въ данномъ уравненш второй степени
(1) ax*-±-bs-{-c = 0
У
иам1шить х черезъ tg-^; уравненю приводится тогда
къ виду
(2) Л сон у-\-Ji sin у— С.
Изъ тригонометрическаго р*Ьшешя посл'Ьдняго уравне-
шя (2) вывести рЪшешя уравяешя (1).
271. Применить предыдуицй способъ къ рйшенш
сл'Ьдующихъ уравнеши
314а;2 — 275л - — 417 = 0,
7,351#2 — 3,475г — 8,431 =-- 0.
272. Решить систему уравнеши
sin х -f- sin у = а,
cos #~j-cos y = b.
Разсмотрйть частный случай, когда а = 0,351, Ь -. 1,172,
273. Решить систему уравненШ
sin2 xJrsm2 у— а
cos x cos у~Ь.
РазсмотргЬть частный случай, когда а=\, 347,6 —0,131.
274. РЬгтшть систему уравнен1й
х-\-у = а%
tg X tg ?/--6.
РаземотргЬть частный случай, когда я = 350г,425,
6 = 3,124.
275. Решить неравенства
3 sin2 х > 2 sin х -j- 1, о <./; < 400г.
276. 2 cos2 х < 5 sin ./, — 200г < х < 200г.
277. cos х -f- cos 2x -f cos 3.r > 0, 0 О < 400г.
278. tg r -|- tg 3r > 0, 0 < x < 360°.

— 202 —
На основанш свойствъ производной функцш,
изучить измЪнеше сл'Ьдующихъ выраженШ, при измЗше-
вш х отъ 0 до 2- (вычислить съ наибольшей
возможной точностью въ градахъ и частяхъ рад1уса зна-
четя х, соотв-Ьтствуюнця наибольшимъ и наименьшимъ
значешямъ функщй):
279. 3 sin х — 5 со$ х — 3.
280. sin 2# — 3 cos x.
281. cos 2х -\- 2 cos х — 2 sin x.
282. f^cos х — }/з sin х — х.
283. sin х — \/з cos x —-•
и
284. 2 sin 2х — 3 cos 2х — х.
285. 2 tg# — Зх.
286. 2 tg х — 3 sin 2x.
287. cotg x — 5 sin 2.г — Зх.
288. Изучить измЪнете функцш
х — sin х,
при изм*Ьненш х отъ — 2т. до +2- и начертить
кривую, изображающую функцш.
289. При помощи результатовъ, получеяныхъ въ
иредыдущемъ примири, изучить, въ тОмъ же самомъ
промежутке, и изобразить графически функщю
1 — cos .г.
2
290. На основанш результатовъ предыдущаго при-.
м*Ьра, решить прежнШ вопросъ для функщи
л?» . .
X—--- S1I1 X.
о
291. Решить тотъ же вопросъ для функщй

— 203 —
292. Наблюдатель зам'Ьчаетъ, что вершина
колокольни находится подъ угломъ въ 15г надъ горизон-
томъ. Пройдя по горизонтальной поверхности земли
50 метровъ по прямой линш въ направленш, перпен-
дикулярномъ къ высоте колокольни, наблюдатель за-
мЪчаетъ, что вершина колокольни возвышается надъ
горизонтомъ подъ угломъ въ 20г,5. Требуется, во-пер-
выхъ, определить высоту колокольни надъ
горизонтальной плоскостью, въ которой находится глазъ
наблюдателя во время обоихъ наблюдешй и, во-вторыхъ
определить первоначальное разстояше наблюдателя отъ
колокольни.
293. Дана сеть треугольниковъ, изображенная на
чертежгЬ 45-омъ. ИзмгЬривъ разстояше АВ и углы,
отмеченные соответственно числами 1, 2, ... 14, вычислить
длину KF. При этомъ даются следующая задашя
АВ = 315м , (1)^38г,75 , (2) = 50г,25 , (3)=80г,25 ,
(4) = 45г , (5) = 85г,75 , (6) = 60г,50 , (7) = 72г,25 ,
(8) —82г,50, (9) —39г, (10) = 83г, (11) = 69г,50 ,
(12) — 73г,75 , (13) — 58г , (14) = 92г,25.
Черт. 45.
294. Сохраняя задашя предыдущего примера,
вычислить длину отрезковъ АВ, AC, ADy AE, AF, AG,
АН, А К и углы, которые они образуютъ между собой.

— 204 —
295. Въ одинъ и тотъ же моментъ времени изъ
трехъ точекъ А,В,С горизонтальной плоскости
усматривают лодку воздушнаго шара N. Изъ точки А
лодка N усматривается надъ горизонтомъ подъ угломъ
а, изъ точки -В—подъ угломъ р и изъ 6Т—подъ угломъ у.
Зная а,р,у и части треугольника ЛВС, вычислить
высоту N надъ горизонтальной плоскостью ЛВС.
Приложить къ случаю, когда ЛВ=ВС=ЛС=ЗэООЪ1у
а=62г, Э = 45г, 7 = 4ИГ-

(B)\
— 205 —
Таблицы основныхъ формулъ тригонометрт.
(А ) cos2a-4-sin2rt = 1, t& a= , cotga=——=-
^ 7 ' n cos а' ft sin а tg a
(sin (тт — я) —- sin а; cos (тт — а) = — cos a;
tg(Ti — а) = —tga.
tg (тт 4- «) = tg a; cos (тт -|- а) = — cos a;
sin (тт -\- а) = — sin a.
cos (2тт — а) = cos a; sin (2тт — а) = — sin а;
tg (2тт — а) = — tg a.
(Х\) cos I у — /м = sin a; tg Гу — a J = - cotg </.
(cos (a -f- i) ^- cos а со,з & — sin a sin &,
^j.xjsin (a+ 6) = sin a cos&-|-sni& cos r/,
tg- (a -f 6) = 6 ~r *> .
V ' 1 — tg a tg 6
(cos 2a = cos2a — sin2a = 2 cos2« — 1 = 1 —2sin2a.
) sin 2a = 2 sin a cos a,
Г }\t о 2 tga
• a , 1— <2 . 21
tg y = t; cos a = y-pj, sin « = j _p-,,
2*
(Ю{
\
til a =
*2
a . ... a
1 -f cos a = 2 cos2 -y; 1 — cos a = 2 sin2 -y •
cos
/>4~cos# = 2 cos ' cos - -y
,W<
о • р-\-я • jp— *
cos^ — cos ry = — 2 sin —;'--- sin —д—
-—2 sin ' sin --у-,
I . Л . р-\-ч р — ч
sinp -|- sin q = 2sin —~-cosL——
о P + 0 . i9~ в
sin # — sm // — 2 cos —~— sin ---—

— 206 —
Формулы рЪшешя треугольниковъ.
Прямо игольные треуго, 1ьн ыки.
cos С sin В
с с
cos.# ~~sin ( '
Ъ=с tg В.
Б-| rr= 10O.
Косоугольные треугольники.
СА+В 4-С ------200,
а Ь С :2П.
I sin A sin В sin С
(a*=.b2 + c2 — 2bc cos A,
h*^=c2~\-a9---2ca cos Я,
\с* = а*-\-Ь* — 2аЪ cos С,
В—С Ь—с ^ А
to =~ -СО Iff •
2 b-\-c h 2
S—-^bc sin .4 =. y^ (p — a) (p — b) (p — c),
S=pr = (p — a) r' = (p — b) r" = (p - <*) r"
tg-f^y (^-6) <'-*>-
2 " V (p — n) V —a

— 207 —
Прямоугольные треугольники. (Первый случаи).
Заданныя {а —538м
величины |# —35г, 156
Формулы: (7=100— В, /y^asin В, с —a cos В-
(С= 64г,844
Резуль-]ь==282м2
ТаТЪ (с = 458-:
Вспомогательным
вычислены.
Вычисленге log sin В.
log sin 35г = Г, 7181
для 0,1 11
для 0,05 5,5
для 0,006 0,66
log sin В
1,7198
Основным вычиссле-
тя.
Вычислен ie С.
100
и= 35,156
0 =
64,844
Вычисленье Ь.
о
5
= 11
log a
2,7308
Вычисленге log cos В.
log cos 35r,5 =1,9287
для — 0,3 126
для — 0,04 168
для — 0,004 16
log sin В = 1,7198
log Ь = 2,4506
анти log 2,450=281,8 о=7
для 0,0006 42
log cos С
^ 1,9301
5 = 21
"5
= 4,2
0,5
0,156
0,344
b = 282,2
Вычисление с.
log a = 2,7308
log cos В =1,9301
log с = 2,6609
анти log 2,660=457,1 3=10
для 0,0009 9
с = 458

' — 208 —
Прямоугольные треугольники, (Второй случай).
Заданныя ib = Ю0М Искомыя ^ =
величины )JB=40r величин !,._., q-m
6f = 60r
а = 170м J
6* = 137М.6.
Формулы: C~ioq — J1 « —-т_--. с = 6 cote 5.
Вычисленie a.
log 6 = 2
доп. log sin В =0,2308
log a = 2,2308
анти log 2,230=109,8 "5 = 4
для 0,0008 32
я = 170,12
1 Вычисленге с.
I log 6 = 2
log cotg 5 = 0,1387
I log с = 2,1387
1 анти log 2,138 =137,4
для 0,0007 21
6'= 137,61
I
г=-=з
|

— 209 —
ПряМОуГОЛЬНЫе ТреуГОЛЬНИКИ. (ТретШ случай).
Заданныя (а —825м ,4,
величины \Ь = 614м
Формулы: sin 2? = — ,
ГВ= 53г,4
татъ
[с = 551м,7.
С =100 — Д <? = я sin Г.
Всполюгашельныя вичи-
сленгя.
Вычисленге log a.
log 825 = 2,9165 2 = 5
для 0,4 2
log a = 2,9167
Вычисленге log sin С.
е=з8
log sin 46г,5 = 1,8242
для 0,1 8
log sin 6'= Г,8250
Основныя
вычиелетя.
Вычисленге В и С.
log Ъ = 2,7882
доп. log a = 3,0833
log sin 2f= 1,8715
log sin 53r =1,8690 c=31
25 X 50 1250
31
31
25
-44
1250 |31
1100144
C--
:53r,4,
:46Г,6.
Вычисление с.
log a = 2,9167
log sin С =1,8250
log c= 2,7417
анти log 2,741=550,8 3= 13
для 0,0007 9
(7 = 551,7
Тригонометр1я.
14

210
Прямоугольные Треугольники. (Четвертый случай).
Вычислете въ градусахъ.
Заданныя /Ь = 235км
величины \с — 478км
Формулы: tg В = - - ,
Вспомогательным вини-
слетя.
Вычислете log sin В.
. log sin 26° = 1,6418
ДЛЯ 11' 28
log sin B = 1,6446
i = 77
11X77_ 847 __
30 30 " ~
fi* = 26°ll'
Искомый J q _ 6зо49/
величины. [а=582к^7в
C' = 90° — By a^-j!—.
sin i?
Основным вычисле- J
тя. J
Вычислете В и С.
log й = 2,3711
доп. log с = 3,3206
log tg i? =1,6917
log tg 26° =1,6882 S— 95
35
30 X 35 _ 1050
95 ~~ 95 —
1050 95
100 Гц
x i 1
U = 26cll' 89°60'
<7=63°49' 26°11'
63°49'
Вычислете a. 1
log 6 = 2,3711 '
доп. log sin B= 0,3554
log a = 2,7265
анти log 2,726=532,1 $=12
ДЛЯ 0,0005 6
a = 532,7

— 211 —
КоСОуГОЛЬНЫе треуГОЛЬНИКИ. (Первый случай).
Q (а = 4м,52
Заданныя)Б = 65Г>5
величины [(7-48г,5
Искомыя
величины
(Л=86Т,Ь
i=3M,942
с = 3м, 191
Формулы: А = 200 — J? — С, J:
«sinl/ a sin С
sin J. sin A
Вспомогательным вычи-
сленгя.
Вычисленге В-\-С.
Б=65г
<7=48г
,<>
В-\~С = 113г
Основным вычислетя.
Вычисленге А.
200
.В-}-#= 113,5
Вычисление Ь.
log a=J),6551
log sin Б =1,9308
доп log sin Л=0,0098
log b = 0,5957
анти log 0,595=3,936 5=9
для 0,0007 63
й = 3,942
Вычисленге с.
log a = 0,6551
log sin (7=1,8390
доп log sin J. = 0,0098
log c = 0,5039
анти log 0,503=3,184 5=8
для 0,0009 72
<?= 3,191
14*

— 212 —
КоСОугОЛЬНЫе треуГОЛЬНИКИ. (Второй мучай).
с = 45м
величины I ^ _ 50г
Заданвыя
Формулы:
В-ГС

Результата
:100 —
А
tu
с~ в
а-.
2
Ь т\Л
<Б:=50Г,36
|б'=:99Г,64
U = 31M,9I
с— Ь А А
Вспомогательным вычи-
слетя.
с-{-Ь = 32
с — Ь = 45
А =«
2
45 = 77
■ 32 -г 13
sin JB
Основным вычисл'тя.
Вычисленге В и С.
log (с — Ь)= 1,1139
доп log (c-fj)=2,1135
log cotg —= 0,3828
Вычисленге log sin В.
log sin 50r =1,8495
0, 3X0,034= 102
0,06X0,034= 204
log sin 50г,3б = 1,8507
доп log sin B = 0,1493
n jj _
log tg—- = 1,6102 8=97
logtg24r,5=l,6075
Поправка 0Г,14 27
27X0,5 13,5
97
G — B
97
2
= 24r,64
100-
A
2
B+C
^ + ^^=99^,64
Б+^7 С—В
= В=Ъ0Т,36
2 2
Вычисление а.
log 6 = ^,5051
log sin A =1,8495
доп log sin Б = 0,1493
log a = 1,5039
= 31,91 8 = 8

213
Косоугольные треугольники. (ТретШ случаи).
Задан- (а = 46* Иско- f^=90rfl, -Б"=109г,9
ныя {б = 51м мыя {С=39г,9, 6"'=20г,1
велич. ^=70г велич. ^=30м,28, б-"=16м,03
1 ^ . Т1 /) sin А ~ ЛЛ ^ -г sinC
1 Формулы: smU = , С—200—Л—JG, е=а-.—т.
1 a sm-4.
1 Вычисле^ге В.
log & = 1,7076
j log sin _4 =1,9499
доп log a = 2,3372
. log sin JS = 1,9947
log sin 90r=l,9946 5 = 5 |
i3' = 90r,l
Вычисление С".
В" = 109г,9
Л = 70г
.' С' = 39г,9
1 Вычислеше с'.
log a =1,6628
flonlog sin А = 0,0501
log sin 39г,5 = 1,76455=47
для 0,4 38
log с'= 1,4812
антн log 1,481=30,27 5=7
для 0,0002 0,014
с'= 30,28
.В" = 200 — £'=109г,9 1
Вычислеше С".
Л' = 90г,1
А = 70г
С?" = 20г,1
. Вычислеше с".
log a =1,6628
доп log sin A = 0,0501
log sin 20Г = Г,4900 5=103
для 0,1 0,0020
jog c"= 1,2049
aHTiilog 1,204=16,00 5=3
для 0,0009 0,027
с" = 16,03

— 214 —
Косоугольные треугольники. (Четвертый случай).
0 (а = 325м
Заданныя I j _ 428м
величины) 513м
L4 = 43r,46
Искомыя '^ —62Г*42
величины) с=в4г;12
Формулы
:Н/^
) (Р-Ъ) (Р-с) Л__г_ В__
' g 2 р-а' D 2 р_й
Р
Вспомогательным
вычислен! я.
2 ^=1266
j> = 633
^ — г/= 308
р — Ь = 205
р — с= 120
Вычислете log r.
log О — а) = 2,4886
log (p —ft) = 2,3118
log (р —с) = 2,0792
= 3,1986
ДОП log р
2 log r
log г
= 4,0782
= 2,0391
+ С г
ПовЪрка Л + ^ + С = 200г,00
г
-. tg-=
Основным вычисленгя.
Вычислете А.
50X50 2500
log г=2,0391
доп log (p—а)=3,5114
log tg-= 1,5505
log tg 21Г,5=Г,5455
50
108
2500J108
34o!~23~
o = 108
108
поправка 23
-А = 21г,73 Л = 43г,46
Вычисление В.
log ,=2,0391 35X5° 175°J
доп log (p—6)=3",6882
82
82
log tg-=1,7273
log tg 31r =1,7238
1750|_82
llo!21
5 = 82
поправ. 21
f =31-21
35
£=62r,42
Вычислете С.
log r = 2,0391
доп log (/?—c)=?,9208
9_X50_450
69 — 69
С
bg tg-= 1,9599
log tg47r:
■1,9590
450i
= 69
69
6
поправка 06
f = 47r,06
09
С=94ГД2

\
— 215 —
ЛогариФмы чиселъ.
N
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42 !
43 !
44
45
46
47
48
49
0
0000
414
792
1139
461
1761
2041
304
553
788
ЗОЮ
222
424
617
802
3979
4150
314
472
624
4771
914
5051
185
315
5441
563
682
798
911
6021
128
232
335
435
6532
628
721
812
902
1
043
453
828
173
492
790
068
330
577
810
032
243
444
636
820
997
166
330
487
639
786
928
065
198
328
453
575
694
809
922
031
138
243
345
444
542
637
730
821
i 911
2
086
492
864
206
523
818
095
355
601
833
054
263
464
655
838
*014
183
346
502
654
800
942
079
211
340
465
587
705
821
933
042
149
253
355
454
551
646
739
830
920
3
128
531
899
239
553
847
122
380
625
856
075
284
483
674
856
*031
200
362
518
669
814
955
092
224
353
478
599
717
832
944
053
160
263
365
464
561
656
749
839
928
4
170
569
934
271
584
875
148
405
648
878
096
304
502
692
874
*048
216
378
533
683
829
969
105
237
366
490
611
729
843
955
064
170
274
375
474
571
665
758
848
937
5
212
607
969
303
614
903
175
430
672,
900
118
324
522
711
892
*065
232
393
548
698
843
983
119
250
378
502
623
740
855
966
075
180
284
385
484
580
675
767
857
946
6
253
645
*004
335
644
931
201
455
695
923
139
345
541
729
909
*082
249
409
564
713
857
997
132
263
391
514
635
752
866
977
085
191
294
395
493
590
684
776
866
955
7
294
682
*038
367
673
9Е9
227
480
718
945
160
365
560
747
927
*099
265
425
579
728
871
*011
145
276
403
527
647
763
877
988
096
201
304
405
503
599
693
785
875
964
8
334
719
*072
399
703
987
253
504
742
967
181
385
579
766
945
*116
281
440
594
742
886
*024
159
289
416
539
658
775
888
999
107
212
314
415
513
609
702
794
884
972
9
374
755
*106
430
732
*014
279
529
765
989
201
404
598
784
962
*133
298
456
609
757
900
*038
172
302
428
551
670
786
899
*010
117
222
325
425
522
618
712
803
893
981

— 216 —
J N
j 50
I 51
I 52
53
I 54
55
I 58
57
58
59
I 60
61
1 62
63
64
65
66
67
1 68
1 69
1 70 i
1 71 1
72
J 73
74
1 75
76
77
I 78
79
80
I 81
82
83
84
85
86
87
88
89
1 °
6990
7076
160
243
324
7404
482
559
634
709
7782
853
924
993
8062
! 8129
! 195
261
325
388
8451
513
573
633
692
8751 1
808 |
865
921
976
9031
085
138
191
213
9294
345
395
445
494
| 1
! 998
084
! 168
251
332
412
490
566
642
716
789
860
931
*000
069
136
202
267
331
395
457
519
579
639
698
756
814 1
871 |
927
982
036
090
143
196
248
299
350
400
450|
499
1 2
1
*007
093
177
259
340
419
1 497
1 574
1 649
723
796
868
938
*007
075
142
209
274
338
401
463
525
585
645
704
762
820
876
932!
987 j
042
096
149 i
201
253
304 1
355
405
455
504 |
j 3
*016
101
1 185
267
348
427
505
582
657
731
803
875
945
*014
082
149
215
280
344
407
470
531
591
651
710
768
825 j
882
938
993
047
101
154
206
258
309
360
410
460
509
1 4
*024
110
193
275
356
435
513
589
664
738
810
882
1 952
*021
' 089
156
222
287
351
414
476
537
597
657
716
774
831
887
943
998
053
106
159
212
263
315
365
415
465
513
5
*033
118
202
284
364
443
520
597
672
745
818
889
959
1*028
096
162
228
1 293
357
420
482
543
603
663
722
779 1
837
893
949
*004
058
112
165
217
269
• 320
370
420
469 1
518 |
1 6
*042
126
210
292
372
451
528
604
679
752
! 825
! 896
! 966
*035
102
169
235
299
363
426
488
549
609
669
727
785
842
899
954 1
*009
063
117
170
222
274
325
375
425
474
523
?
*050
135
218
300
380
459
536
612
686
760"
832
903
973
*041
109
176
241
306
370
432
494
555
615
675
733
791 j
848 j
904
960
*015
069
122
175
227
279
330 |
380
430
479 1
528 |
1 8
*059
143
226
308
388
466
543
619
1 694
| 767
839
! 910
980
*048
116
182
248
312
376
439
500
561
621 ,
681 j
739 j
797
854
910
965
*020
074
' 128
180
232
284
335
385
435
484
533
9
*067
152
235
316
396
474 1
5511
627 I
701 1
774
1 846 1
1 9171
987 j
*055
122 1
1891
254 1
3191
382 1
445 J
506 1
567 j
627 1
686 1
745 1
802
8591
915 1
9711
*025J
079 1
133 1
1861
238 1
2891
3401
390 1
4401
4801
538
_l

— 217 —
I N
] 90
1 91
J 92
1 93
j 94
1 95
96
97 1
1 98
1 99
1 <
1 °
9542
590
638
685
731
9777
828
868
912
956
1
547
595
643
689
736
782
827
872
917
961
2
552
600
647
694
741
786 j
832 1
877
921
965
3
557
605
652
699
745
791
836
881
926
969
4
562
609
657
703
750
795
841
886
930
974
5
566
614
661
1 708
! 754
800
845
890
934
978
6
571
619
666
713
759
805
850 j
894
939
983
7
576
624
671
717
763
809 1
854
899
943
987
8
581
628
675
722
768
814 1
859
903
948
991
9 j
586 1
633 J
680
727 1
773
818
863 1
908 1
952 1
996 1
Таблицы антилогариФмовъ съ четырьмя
десятичными знаками.
1
1 L
1 00
01
I 02
1 03
I 04
J 05
1 06
1 07
I 08
] 09
1 ю
" !
12 j
1 13
1 И
1 15
1 16
I 17
1 18
М
0
1000
023
047
072
096
1122
148
175
202
230
1259
288
318
349 j
380
1413
445
479
514
549
1
002
026
050
074
099
125
151
178
205
233
262
291
321
352 j
384
416
449
483
517
552
2
005
028
052
076
102
127
153
180
208
236
265
294
324
355
387
419
452
486
521
556
3
007
030
054
079
104
130
156
183
211
239
268
297
327
358
390
422
455
489
524 j
560
4
009
033
057
081
107
132
159
186
213
242
271 |
300
330
361
393
426
459
493
528
563
5
012
035
059
084
109
135
161
189
! 216
245
274
303
334
365
396
429
462,
496 |
531
567
6
014
038
062
086
112
138
164
191 i
219
247
276
306
337
368
400
432
466
500
535
570
1
7
016
040
064
089
114
140
167
194
222
250
279
309
340
371
403
435
469
503
538
574
8
019
042
067
091
117
143
169
197
225
253
282
312
343
374
406
439;
472
507
542
578
9
021
1 045
069
094
119
146 1
172 1
199
227 1
256 1
285
315
346 1
377 1
4091
4421
476 1
510
545 1
581 j

— 218 —
L
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0
1585
622
660
698
738
1778
820
862
905
950
1995
2042
089
138
188
2239
291
344
399
455
2512
570
630
692
754
2818
884
951
3020
090
3162
236
311
388
467
3548
631
715
802
890
1
589
626
663
702
742
782
824
866
910
954
*000
046
094
143
193
244
296
350
404
460
518
576
636
698
761
825
891
958
027
097
170
243
319
396
475
556
639
724
811
899
2
592
629
667
706
.746
786
828
871
914
959
*004
051
099
148
198
249
301
355
410
466
523
582
642
704
767
831
897
965
034
105
177
251
327
404
483
565
648
733
819
908
3
596
633
671
710
750
791
832
875
919
963
*009
056
104
153
203
254
307
360
415
472
529
588
649
710
V73
838
904
972
041
112
184
258
334
412
491
573
656
741
828
917
4
600
637
675
714
754
795
837
879
923
968
*014
061
109
158
208
259
312
366
421
477
535
594
655
716
780
844
911
979
048
119
192
266
342
420
499
581
664
750
837
926
5
603
641
679
718
758
799
841
884
928
972
*018
065
113
163
213
265
317
371
427
483
541
600
661
723
786
851
917
985
055
126
199
273
350
428
508
589
673
758
846
936
6
609
644
683
722
762
803
845
888
932
977
*023
070
118
168
218
270
323
377
432
489
547
606
667
729
793
858
924
992
062
133
206
281
357
436
516
597
681
767
855
945
7
611
648
687
726
766
807
849
892
936
982
*028
075
123
173
223
275
328
382
438
495
553
612
673
735
799
864
931
999
069
141
214
289
365
443
524
606
690
776
864
954
8
614
652
690
730
770
811
854
897
941
986
*032
080
128
178
228
280
333
388
443
500
559
618
679
742
805
871
938
*006
076
148
221
296
373
451
532
614
698
784
873
963
9 [
618 f
656 f
6941
734 Г
774 1
1
816 1
858 |
9011
945 1
991 1
*037 f
084 1
133 1
183 1
2341
286 1
3391
393 1
449 t
506 1
5641
624 1
685 1
748 J
812 1
877 1
944 I
*013I
0831
155 1
228 J
304 |
3811;
459 1
540 1
622 1
707 t
793 f
882 1'
972 1

— 219 —
f L
60
61.
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77 !
78 1
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
§9
0
3981
4074
169
2C6
365
4467
571
677
-786
898
5012
129
248
370
495
5623
! 754
888
6026
166
6310
457
607
761
918
7079
244
413
586
762
943
8128
318
511
710
8913
9120
333
550
772
1
990
083
178
276
375
477
581
688
797
909
023
140
260
383
508
636
768 S
902
039
180 j
324
471
622
776
934
096 j
261
430
603
780
962
147
337
531
730
933
141
354
572 I
795
2
999
093
188
285
385
487
592
699
808
920
035
152
272
395
521
649
781
916
053
194
339
486
637
792
950
112
278
447
621
798
980
166
356
551
750
954
162
376
594
817
3
*009
102
198
295
395
498
603
710
819
932
047
164
284
408
534
662
794
929
067
209
353
501
653
808
966
129
295
464
638
816
998
185
375
570
770
974
183
397
616
840
4
*018
111
207
305
406
508
, 613
721
831
943
058
176
297
420
546
675
808
943
0811
223 I
368
516
668
823
982
145
311
482
656
834
*017
204
395
590
790
995
204
419
638
863
5
*027
121
217
315
416
519
624
732
842
955
070
188
309
! 433
559
689
821
957
095
237
383
531
683
839
998
161
328
499
674
852
*035
222
414
610
810
*016
226
441
661
886
6
*036
130
227
325
426
529
634
742
853
966
082
200
321
445
572
702
834
970
109
252
397
546
699
855
*015
178
345
516
691
870
*054
241
433
630
831
*036
247
462
683
908
7
*046
140
236
335
436
539
645
753
864
977
093
212
333
458
585
• 715
848
984
124
266
412
561
714
871
*031
194
362
534
709
889
*072
260
453
650
851
*057
268
484
705
931
8
*055
150
246
345
446
550
656
764
875
989
105
224
346
470
598
728
861
998
138
281
427
577
730
887
*047
211
379
551
727
907
*091
279
472
670
872
*078
290
506
727
954
9 1
*064 1
159
256
355
457
560
667
775
887
*00O
117
236
358
483
610|
741 [
875 J
*012|
152 1
295 1
442 1
592 [
745 1
902
*063l
228 J
3961
5681
7451
9251
*no|
299 1'
492
6901
892 1
*099f
311 j
528 f
7501
977 1
I
I

— 220
Логарифмы круговыхъ Функцш
дугъ, выраженныхъ въ градахъ.
Log sin | Log ig
Log cotg Log cos
100r-A
or
0r,5
lr
lr,5
2r
2r,5
3r
3r,5
4r
4r,5
5r
• 5r,5
6r
6r,5
7r
7r,5
8r
8r,5
9r
9r,5
10r
10r,5
IF
llr,5
12r
12r,5
13r
13r,5
14r
14r,5
15r
15r,5
16r
16r,5
17r
17r,5
18r
18r,5
19r
19r,5
20r
20r,5
21r
21r,5
22r
22r,5
23r
23r,5
24r
24r5,
25r 1
00
3,8951
"2,1961
2,3722
2,4971
2,5939
2,6731
2,7400
2,7979
2,8490
2,8946
2,9359
2,9736
1,0083
1,0403
1,0702
1,0981
1,1242
1,1489
1,1722
1,1943
1,2153
1,2353
1,2545
1,2727
1,2902
1,3070
1,3232
1,3387
1,3537
1,3682
1,3822
1,3957
1,4087
1,4214
1,4337
1,4456
1,4572
1,4684
1,4793
1,4900
1,5003
1,5104
1,5203
1,5299
1,5392
1,5484
1,5573
1,5660
1,5745
1,5828
00
3,8951
2,1962
2,3723
2,4973
2,5943
2,6736
2,7406
2,7988
2,8501
2,8960
"2,9376
2,9756
1,0105
1,0430
1,0732
1,1015
T,1281
1,1533
1,1771
1,1997
1,2213
1,2419
i,2616
1,2805
1,2987
1,3162
1,3330
1,3493
1,3651
1,3804
1,3952
1,4095
1,4235
1,4371
.1,4503
1,4632
1,4758
1,4880
1,5000
1,5118
1,5233
1^,5345
1,5455
1,5563
1,5669
1,5773
1,5876
1^,5976
1,6075
1,6172
+ oo
2,1049
1,8038
1,6277
1,5027
1,4057
1,3264
1,2594
1,2012
1,1499
1,1040
1,0624
1,0244
0,9895
0,9570
0,9268
0,8985
0,8719
0,8467
0,8229
0,8003
0,7787
0,7581
0,7384
0,7195
0,7013
0,6838
0,6670
0,6507
0,6349
0,6196
0,6048
0,5905
0,5765
(Г,5629
0,5497
0,5368
0,5242
0,5120
0,5000
0,4882
0,4767
0,4655
0,4545
0,4437
0,4331
0,4227
0,4124
0,4024 1
0,3925 |
0,3828 !
0
0,0000
1,9999
1,9999
1,9998
1,9997
1,9995
1,9993
1,9991
1,9989
1,9987
1,9984
1,9981
1,9977
1,9974
1,9970
1,9966
1,9961
1,9956
1,9951
1,9946
1,9941
1,9935
1,9929
1,9922
1,9916
1,9909
1,9902
1,9894
1,9886
1,9878
1,9870
1,9861
1,9852
1,9843
1,9834
1,9824
1,9814
1,9804
1,9793
1,9782
1,9771
1,9759
1,9747
1,9735
1,9723
1,9710
1,9697
1,9684
1,9670
1,9656
100r
Log cos ; Log cotg Log tg
Log sin

1
Log cos j Log cotg Log tg j Log sin | A |
4444444444 4^4 4 4 4 4 4^4 4^4 4^4 44444444 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4^4 4
ooa)C»ooaia)OooDi»ooooooxoo<i4<i<i^^<i^^<i^^^M^^<i<i^Niao5aa5aQ(»a©©oo5ffioi
Ф©ЮСОСЛИ(]01^005ЬЭОО|^005и<|1»1ХМСО^СО^®^СО^ОМ001\5ФОетФЬ9арСО<)ОС01ЛСОИ^Офи
cлoo^o^^чo^^^cлcлет^мooo^ocлco^»o^^ooQoм©l^oo5иo^oocooooаw^ooi^l^^sФlцa>oox
0(OCOCOCO©CCCDOCDCOCOCDCO©OOOOOOOOI»0000(»(»00(»00(»00^44l^<l<l^<lvlN)^4lC505a05
0«00^1^05СЛ01|ЦММ1>аниОСОСОа>М0105№^й}МЬ5ИИО«0(»^<105СЛ1^^МЬ»ИО?ОСООО^ает^ЫМ
owo5Фмwco^swooи^^^JOмacDюcлooиl^a^^йl^NJ0^5l^^fflиl^aQoo^ocoет^oooиtClCo*^o^aoi^l
QOQOQO<X(XOOOOa>00<»aOOO<»0000<»OOCOCOCOCOCO:D<X>CDCOC©COC^
СОЬЭОЭФЬЭС1СОЬЭСП<ХН^0005С01>ЭСЛ<10Ь»СГС<»ОГОСЛ^1СОЬЭ^а>аООЬЭ^
рСОЬ5СЛ<1СООнииОСО(ХамО<1МФетО^ОЭ1>5СЛ1»НМСЛ^1»а)ФСО(»СО^№МИСООЗСОЩфМ^
,444444444444444444444444444444444444444444444444444
j>
Log sin
CQ
I-"
to
1 «-«
| c>
г»
О
<Л 1
8
1
1 Н

со
О
о
i
Log cos Log cotg
Log tg | Log si.i
1 **
— - "■'- ~ -•"- ' -• "—'--■ " .V..-,.,..T..-, * .V.. . ,,.-^ ^ , «If..- V> ,.V_. ■,■■-.—-■- ,.J.A..., ^..U^.,,^.*,,',.- .... .1, ■ V.
1
10ЬЭ^^ООС0С00000^^0)0)СЛСЛ^^Са)Са)10|>Э^^ООС0С&0000^^С)С)СЛСГ14^^С0С01010>^--^ОО
i °i °g °i °i °i °i °i °i °i °i °i °£ °i °i °i °i °i °£ °i °£ °g°g°
^Se0^)^^^^C0^aиO00CЛMOЛW00M00M0^^ФOOC0^l^CDWCЛетC0ФиOl^&50^(X)фls5^lиOo
(»©имсоиетасдоь*фммФ01Л^мкеоф<1©05^05Мч©^соФма1Соо)05^а>ч10ососооо0
^О5ет4^ьс^сс^1^н^<хсл1^^1озао1>эсломс^^1<юс»ао<^сосо^<1с^
О5ЗД^^^М^^Ц^^4^СЯетСЛС^етСТСЛО5О5О5О5СЛа5^1^<|^<Х)0^
оосооим(мслфЧ10оои1\5^ет<100онмет<)фимет^оь5етоон(^ч^слооти.оослетоосл№ '
оослслоососо?оосл1>51М<11^спофМ(\Э1ПФ1Л(^№МО<1(^&:етьэаф
CDCDCDCDCDCDCDCDCDCDCDCD CO^CD CD CD CD CD CD CO CO ^CO CD CD CO^CD CO CD^CO^CO CD CO *CO "cO **<D ^CO >CO *СО ~СО CO "cD ^CO ^CD "cD Ъ Ъ
CD05OT^^^1«<I^^^VJ<»C»00(XOO(»<»<X)00(»COCOCDCOCDCDCDCDCDCDCOCOCOCDCDCOC^
' C3i4000MM(^W<IOOCOOHW(M^CnC»<I(Xl^O^HWMi^^OiC"05<Kvl4 00C»(»GO«DCO
ow<iM050W40toi^©^a)COcD<ocoai4iai^wco<ii^o©b»(»M(»MroOM^«OM
38§>SS©©~^io23w22Si5io5oJyyoDSS
о о о о о о о о о о о о.о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ооооооооооооооо
ъ> 1
Log sin
Log tg
Log cotg
Log cos
s
°

1 <
1
1 о
Г
1 ***
1 °
1 °
1 со
1 -1
Log tg | Log cotg
Log sin
<:
Swcowwwcowwwwcocowcococowwcococ?
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
^NOOJ^iUMiHOl^iOMHaNlOWOOOiOMHOOCDOJOOOiOWOJtOWON^^NTtirth-TjiO'vOMai
ffl©CiWWWiaiO^^T|(^^MCOWMM(NWN(NTHHHri0000506505000000t>-NN«05D?OiOW'*
C5QO©05OCi05a050505050505©C50>05aQaa^05050i05Q(»000000Q00000X00a)0C)00Q00000CC
WHrHHHHrtN(NW^lOCONQ()aiH(NMliONariNTH{OOOONlOI>OHM«)QOOCOiai>OOiONO
l^5Dia^«(NTHOaOONi©lO^M<NNH005a)l>N<CU5THMCO(NTH0050JQO^^CO»fl^MMWHOO
о*4 о" о" о" о" о4 о" о" о" о" о" о" о" о*4 о" о" о" о4 о" о" о" о" о" о" о" о" о*4 о" о" о" о" о" о4 б" о" о" о" о" о" о" о" о*4 о" о4 о"
ФrtФ^^юN^(^^юNQOQOю^и(X)MoO!^^ЮQOOнN05M(^lиooo(Oт)^нooю(^lQo^иN(^loo'*o ''
t (^lмтJ(юco^>cooOr^(NM^*lft'ON^•ooo^oи(^l(Nwтl^locDco^.oooiOoи(NM«'!)iюфco^аo^o
{O«C«O©«®^CONt>.^NbN^I>l>l>C^0000Q0O00OO00000Q0Q000iX)aO5OiOiO5O>OiO5O>O5O>C5O5C
QOOнNMтl^^laЮ^^■C00^flJOин!N05M^M^Юlu'5(0CD^■^■00Q0fl)0^OOИтЦ(^^(NNC<ЗC0rJ^тj(тl^
^COO(£i(©®OCO^CDO®^CDCDbI>Nt»l>l>Nt^L^I>I>l>t>.|>b-l>t>I>oOOOOOQOOOOOOOOO(»XOO(»
www со * со" со со со со со со со сосососососососососо
оооооооооооо о о о о о о о о оо о о ооооооооооооооо о о о о о о
счеЗс5счсче5сйс^ййс5сЯсчсчсоюсо
■»wwm-w—» 1 JULiii )'"'»■ '■ ip«*— li hi mill p»^iww iii ii>»iw^M*pwH>Mi^HHHwpiiHw«<Mi>^Hi«M^»iMMi»H»»w iii ■ ——
"35
CO
о
| 90°—A | Log cos Log cotg | Log tg
mm

Прим%ры для упражнежя на Bet отд%лы
тригонометрж.
Примеры на теор|"ю.
296. Найти значеше угловъ х, опредгЬляемыхъ ра-
венствомъ
cos2 х — (sin 35° -J- cos 35°) cos x -f- sin 35° cos 35° = 0.
297. Найти зпачен1е угловъ x, опред'Ьляемыхъ ра-
венствомъ
sin2^-j-(sinl8r,35—cos 18J\35)siiix— sin 18r,35cos 18r,35=0.
298. Найти значеше угловъ х9 опред'Ьляемыхъ pa-
венствомъ
tg2*+(tg£-tg^tg*-l = 0.
299. Изучить и представить графически измЪнеше
трехчлена
2 sin2 х — 3 sin x — 1,
при изменены х отъ 0 до 2тг. За единицу длины
принимается дециметръ.
300. Изучить и представить графически изм-Ьнеше
трехчлена
5 cos2 х — 6 cos x-\-l,
при изменено* х отъ 0 до 2тт.

— 225 —
301. Изучить и представить графически измЪнеше
трехчлена
3 cos2 х—10 cos x — 8,
при измЪненш х отъ — тг до -f- тт.
302. Доказать, что выражешя sin x и cos x
представляюсь оба ращональныя числа только въ томъ случай,
X
когда tg -- является ращональнымъ числомъ. Восполь-
зоваться послЪднимъ результатомъ для опред-Ьлешя
всЪхъ прямоугольныхъ треугольниковъ, три стороны
которыхъ равны цЪлымъ числамъ, меньше 50.
303. Р-Ьшить систему уравненШ
х + у — а,
sin х -f- sin у = sin x sin у.
Приложить къ частному случаю, когда а — —.
304. Доказать, что sin3a и cos3a выражаются
слйдующимъ образомъ
sin3 a = A sin а -|~ В sin 2a -\- С sin За -\- A' cos a -f-
4- В! cos 2a -J- С' cos За,
cos3 а = М sin a -J- N sin 2а -|~ Р sin За -f- -И"' cos a -)-
+ -№ cos 2a -f P' cos За,
гдЪ А, В, С, А', В', С, Му N, Р, Ж', N\ P — постоянные
кoэффицieнты (некоторые изъ нихъ нули), значеше
которыхъ требуется вычислить.
305. Выразить такимъ же образомъ sih4 a и cos4 a въ
слЪдующемъ видЪ
sin4 а = А sin a -j- JB sin 2a. -f- С sin 3a -f- D sin 4a -f- A' cos a -f-
-f- 2?' cos 2a 4- С cos 3a -f- #' cos 4a,
cos4 a=Msin a 4- iV sin 2a -f- P sin 3a 4~ Ф sin 4a-\-M cos a -j-
+ N' cos 2a 4 F cos 3a -f $' cos 4a.
15

— 226 —
306. Решить аналогичную предыдущимъ задачу по
отношенш къ sin5 a, cos5 а и по отношенш къ произведе-
шямъ sin4 a cos a, sin3 a cos2 а, sin2 a cos3 а, sin a cos4 a.
307. Решить уравнеше 2 ^Ln cos (d + аЛ) = Б; дать
геометрическое решете, аналогичное п° 81.
308. Дана боковая поверхность S конуса вращешя.
Найти уголъ при его вершин*, для котораго разсма-
триваемый конусъ имйотъ наиболышй объемъ.
309. Дана трапещя съ параллельными сторонами АВ
и CD и равными непараллельными сторонами АС и BD.
Даны длина стороны АВ = а и площадь трапещи,
равная Ва2; определить общую величину угловъ А и В
изъ услов!я, чтобы периметръ трапещи имЪлъ
наименьшее значеше.
Космограф|'я.
При рЪшенш приведенныхъ ниже задачъ достаточно
предположить (въ первомъ приближенш), что планеты
описываютъ равномерно концентрическгя
окружности, расположенныя въ одной плоскости, въ центр*
которыхъ находится солнце. За начальный
принимается рад!усъ, проходяпцй черезъ центръ земли
1 января 1902 года. Продолжительность года
считается въ 360 дней, или 12 м'Ьсяцевъ, по 30 дней
каждый.
Следующая таблица даетъ величину криволиней-
ныхъ абсциссъ кая^дой планеты на ея траектории въ
момеятъ 1 января 1902 года (положительная сторона
траекторШ соответствуешь одному и тому же
направленно, въ которомъ вращаются всЬ планеты);
продолжительность обращенШ указывается въ годахъ съ дробями;
разстояше планетъ отъ солнца измеряется въ едини-

227 —
цахъ, за которыя принимаетея разстояше земли отъ
солнца.
""
Меркурш
Венера
Земля
Марсъ
Юпитеръ
Сатурнъ
Уранъ •
Нептунъ
Абсцисса.
— 1730
— 270
00
— 1430
— 1600
— 1680
+ 1540
— 100

Продолжительность.
0,2408
0,6182
1,0000
1,8808
11,862
29,457
84,020
164,767
Разстояше.
0,3871
0,7233
1,0000
1,5237
5,2028
9,5389
19,1833
-30,055
Среднее разстояше земли отъ солнца равно
приблизительно 149 500 000км.
310. Вычислить разстояше земли отъ всЪхъ пла-
нетъ 1 января 1902 г.
311. Вычислить то же разстояше 1 января 1904 г.
312. Вычислить предыдущая разстояшя 1 числа
текущаго и сл-Ьдующаго за нимъ месяца.
313. Вычислить соотв'Ьтствующ1е 1 января 1902 г.
углы, образованные видимыми лучами, падающими
отъ земли къ центру солнца и къ центрамъ осталь-
ныхъ планетъ.
314. Вычислить предыдуцця величины,
соответствующая 1 числу текущаго и слъдующаго за нимъ
месяца.
315. На основаши предыдущихъ вычислешй, найти
приближенное значеше времени прохождешя черезъ
мерщцанъ каждой планеты 1 числа текущаго и слЪ-
15*

— 228 —
дующаго за нимъ м-Ьсяца; указать вытекаюшДя
отсюда заключения относительно усматривашя этихъ пла-
нетъ утромъ или вечеромъ.
Механика.
316. Къ гЬлу в&сомъ въ 10 гр. приложена
горизонтально направленная сила въ 35 динъ. Вычислить
величину и направлеше равнодействующей ея и силы
тяжести. Полагаемъ # = 9,81.
317. Подвода движется вдоль по прямой дорогЬ
равномерно съ скоростью 15 километровъ въ часъ.
Колесо подводы им^етъ одинъ метръ въ д1аметргЬ.
Вычислить для каждаго момента времени направлеше и
величину скорости точки колеса, которой оно
соприкасалось съ землей въ начальный моментъ времени.
318. Разстояте между точками А и В равно 10м,
при чемъ точка А расположена на 2м выше надъ го-
ризонтомъ точки В, Нить въ 15м длиной
укреплена своими концами въ точкахъ А и Д и въ точки
С прив'Ьшенъ грузъ въ 500гр, при чемъ АС-— 7м.
Не принимая въ расчетъ вЪса нити, вычислить натя-
жеше ея отрЪзковъ ОА и СВ.
319. Принимаемъ данныя предыдущей задачи, за ис-
ключешемъ длины АС, считая ее неизвестной;
вычислить ея длину, исходя изъ услов1я, чтобы натя-
жешя обоихъ отрёзковъ нити были равны.
Физика.
320. Вычислить уголъ отражешя светового луча,
падающаго подъ угломъ въ 35г на тЪло, показатель
преломлешя котораго равенъ 1,65.
321. Световой лучъ падаетъ на стеклянную
пластинку въ 2СМ толщиной, показатель преломлешя ко-

— 229 —
торой равенъ 1,55. Вычислить уголъ падетя луча,
зная, что прошедпий черезъ стекло лучъ, параллельный
падающему лучу, отстоитъ отъ посл'Ьдняго на 2ММ,5.
322. Им'Ьемъ квадратный сосудъ, наполненный во^
дой; станки его имЪютъ 5ММ толщины, а внутренше
размеры равны 30мм.
Найти ходъ луча, падающаго въ горизонтальной
плоскости на станку сосуда подъ угломъ въ 15° и
выходящаго черезъ противоположную стенку сосуда.
Определить все части геометрическаго пути луча
света, принимая показатель преломлешя воды рав-
нымъ 1,336 и стекла сосуда равнымъ 1,557.
323. Решить аналогичный предыдущему вопросъ,
предполагая, что уголъ падетя луча и точка, куда
онъ падаетъ таковы, что существуетъ полное отраже-
ше въ станки, соседней со стенкой, на которую
падаетъ лучъ. Найти наименьшее значеше угла падетя,
при которомъ происходитъ разсматриваемое явлете.
324. Определить ходъ светового луча въ призме,
съ угломъ при вершине въ 60° и съ показателемъ
преломлетя 1,635. Лучъ падаетъ подъ угломъ въ
0°, 10°, 20°, 30°, 40°... 80° (для каждаго значешя
угла слйдуетъ разсматривать оба случая). Оба луча,
падающШ и отраженный, находятся въ одной и той же
плоскости, перпендикулярной ребру призмы.
325. Следующая таблица даетъ показатели
преломлетя трехъ литй -В, D, Н спектровъ двухъ сор-
товъ стекла, флинтгласса (тяжелый листъ п° 2) и крон-
гласса (легкШ листъ 1228).
в
1,7801
1,5126
*
1,7920
1,5160
Н 1
1,8567
1,5323
Тригонометр1я.

— 230 —
На каждый изъ этихъ листовъ стекла падаетъ лучъ
бЪлаго свита подъ угломъ въ 40г. Вычислить углы
отражетя для обоихъ сортовъ стекла и для каждой
изъ линШ, указанныхъ въ таблице.
326. Возьмемъ призму изъ флинтгласса, указаннаго
въ предыдущей задаче. Экранъ расположенъ
параллельно плоскости, делящей пополамъ уголъ призмы,
на разстояши 50см отъ нея. Требуется вычислить раз-
стояше между лишями Д D, Н въ спектре, образо-
ванномъ лучомъ, соответствующими наименьшему
отклонешю линш D на экран*. Предполагается, что
точки падещя и выхода луча расположены настолько
близко къ вершине призмы, что последними разстоя-
шями можно пренебречь.
327. Вычислить уголъ полнаго отражетя луча въ
воздух'Ь отъ флинтгласса и кронгласса, указанныхъ въ
примере п° 326, для лиши В, D, Н.
. 328. Вычислить уголъ полнаго отражетя луча въ
воздух'Ь и въ вод* для сл'Ьдующихъ тЪлъ,
показатели преломлешя которыхъ, для средней части спектра,
выражаются числами:
Светло-желтая цинковая обманка 2,37
Безцветный алмазъ 2,42
Расплавленный кварцъ . 1,45
ОЬроуглеродъ, при 10 градусахъ Цельсит, .1,63
ИсландскШ пгпатъ (двояко преломляюпцй). 1,66 и 1,49.

0ГЛДВЛЕН1Е..
Предислов1е къ переводу
Предислов1е автора
Глава I. Основныя понятая.
I. ИзмЪреше дугъ
1. Ц'Ьль тригонометрш
2. Тригонометрически кругъ
3. Кратныя значешя криволинейныхъ абсциссъ. .
4. Приложеше
5. Прямой уголъ, какъ единица изм1фен1я . . . .
6. Шестеричное дйлеше
7. Преобразоваше единицъ
II. ОпредЪлеше круговыхъ функщй
8. Предварительныя пошшя
9. ОпредЬлеше основныхъ круговыхъ функщй:
косинуса, синуса и тангенса ...*....
10. Знаки основныхъ круговыхъ функщй
11. Вспомогательныя круговыя^ функщй: котан-
генсъ, секансъ, косекансъ
III. Соотношешя между круговыми функщями одной и
той же дуги
12. Зависимости между косинусомъ и синусомъ . .
13. Выражеше тангенса и котангенса черезъ коси-
нусъ и синусъ
14. Выражеше основныхъ круговыхъ функщй, при
помощи одной изъ нихъ . . .

— 232 —
Стр.
IV. Зависимости между круговыми функц!ями дугъ,
сумма или разность которыхъ выражается крат-
нымъ числомъ четвертей окружности 34
15. Приведете дугъ къ первой четверти —
16. Дуги, сумма которыхъ равна половин*
окружности 37
17. Дуги, разность которыхъ представляетъ
половину окружности 39
18. Противоположныя дуги 40
19. Дополнительный дуги 41
20. Обращеше круговыхъ функцш 43
21. Объяснен1едвойныхъзнаковъвъформулахъл°14. 46
V. Круговыя функцш простыхъ дугъ. Приложения . 47
22. Тригонометричесшя выражешя частей правиль-
ныхъ вписанныхъ и описанныхъ много-
угольниковъ —
23. Вычислеше круг, функщй дугъ равныхъ^, -р тт 49
24. Натуральный значения круговыхъ функщй . . 51
25. Измйнешя круговыхъ функщй. Синусоида ♦ . 52
Примеры для упражненш на I главу 54
Глава П. Примкнете таблицъ. Р*швн1е
прямоугольныхъ треугольниковъ.
I. Содержаще таблицъ. 59
26. Содержаше таблицъ —
27. Примкнете таблицъ 61
28. Несколько зам^чашй относительно примйне-
тя таблицъ 63
II. РЪшеше прямоугольныхъ треугольниковъ 65
29. Относительно р4шен1я треугольниковъ .... —
30. Зависимости между частями прямоугольнаго
треугольника —
31. Перечень различныхъ случаевъ 68
32. Первый случай 69
33. Второй случай —
34. ТретШ случай 70
35. Четвертый случай 72

— 233 —
Стр.
III. Приложешя 73
36. ЗаагЬчавля общаго характера —
37. Различный задачи 74
Примеры для упражнетй на II главу 78
Глава Ш. Теорема о проекц1яхъ. Сложен1е дугъ.
I. Геометрическое изложение теоремы о проекщяхъ . 86
38. Опредвдеше прямоугольныхъ проекцШ .... —
39. Векторы 87
40. Геометрическая сумма двухъ или н'всколькихъ
векторовъ 89
.41. Теорема о проекщяхъ 90
II. Тригонометрическое вычислеше проекщй 91
42. Основная формула
43. Проекщя отрезка ва ось 93
44. Общая формула 94
III. Сложеше дугъ 95
45. Постановка задачи —
.46. Вычислеше cos (а + Ь) 96
47. Вычислеше cos (а — Ъ) 98
48. Вычислеше sin (а + Ъ) и sin (а — Ь) —
49. Вычислеше tg (а + Ь) и tg (а — Ь) —
50. Зам'вчашя относительно формулъ сложешя . . 99
51. Обобщеше 100
52. Формула, отаосящаяся къ arc tg —
Примеры для упражненШ на III главу 101
Глава IV. Умножете и д1&лен1е дугъ.
Различный Формулы.
I. Умножете дугъ 104
53. Постановка задачи —
54. Удваиваше дугъ —
55. Параметрическ1я выражеы1я круговыхъ функщй. 105

— 234 —
Стр.
II. Д*лен1е дугъ ' . . 107
56. Постановка задачи —
57. Зная cos а, вычислить круговыя функцш дуги к • 108
58. Зная sin а, вычислить sin - и cos^ НО
59'. Зная tga, вычислить tg^ ИЗ
III. Различный формулы 114
60. Преобразование сумыъ и разностей въ
произведешь —
61. Выражения вида a cos (atf-fa) + &cos(u>£ + f),
гдй t -— переменная величина , . . 116
62. Измйнеше выражешя у — с sin (at + 7) • • • • П8
63. Вычислен!е формулъ при помощи логарифмовъ . 123
64. Друпя формулы 125
Примеры для упражнешй на IV главу 128
Глава V. Р*шен1е треугольниковъ.
I. Зависимости между углами и сторонами
треугольника 133
65. Обозначешя —
66. Первая система основныхъ зависимостей ... 134
67. Вторая система основныхъ зависимостей . . . 136
68. Третья система основныхъ зависимостей ... 138
69. Равнозначность трехъ системъ основныхъ
зависимостей 139
70. Дополнительныя зависимости 140
II. РазсмотрЪше четырехъ классическихъ случаевъ . 143
71. Перечень четырехъ случаевъ —
72. Первый случай: даны а, В, С —
73. Второй случай: даны Ьу с, Л 144
74. ТретШ случай: даны а, Ъ, А 147
75. Четвертый случай: даны ау Ъ, с 152
76. Примеры ръчдешя треугольниковъ 155

— 235 —
Стр.
HI. Ненлассичесше случаи. Приложежя 156
77. Зам^чашя относительно неклассическихъ слу-
чаевъ —
78. I Р'вшеше треугольника по тремъ высотамъ . '. 157
II PtaeHie треугольника по рад)усу вписанной
окружности и угламъ 159
79. РЪшеше многоугольниковъ. Четыреугольникъ,
вписанный въ кругъ 160
Примеры для упражненШ на У главу 163
Глава VI. Различный дополнетя.
I. Тригонометричесшя уравнешя 168
80. Общхя завгвчашя . —
81. Линеиныя уравнешя относительно cos о; и sin а?. 169
82. Квадратичныя уравнешя относительно cos х
и sin х 174
83. Системы уравненш съ двумя неизвестными . . 175
II. Производный круговыхъ функцш 177
84. Предварительный теоремы —
85. Производный основныхъ круговыхъ функщй . 181
86. Приложешя . . . 185
III. Приложеше тригонометрш къ съемкЪ плановъ . . 188
87. Опредйлеше . —
88. Изм4реше длинъ и угловъ 189
89. Классичесшя задачи 192
90. Поште о тр1ангуляцш 196
91. Задача составлешя карты 198
Примеры для упражнешй на VI главу 200
Таблицы основныхъ тригонометрическихъ формулъ ... 205
Формулы р4шешя треугольниковъ 206
Примеры р-Бшешя прямоугольныхъ треугольниковъ , . 207
Примеры рйшешя косоугольныхъ треугольниковъ ... 211

— 236 —
Стр.
Логарифмичесшя таблицы 215
Логарифмы чиселъ —
Антилогарифмы •. • /zfl\
Логарифмы круговыхъ функщй дугъ, выраженныхъ въ
градахъ 220
Логарифмы круговыхъ функцШ дугъ, выраженныхъ въ
градусахъ 222,
Примеры для упражненШ на всв отделы тригоно-
метрш 224
Примеры на Teopiio —
Космограф1я 226
Механика '. . . . 228
Физика Г —
*