К. ДЕЛЛАШЕРИ
ЕМКОСТИ
И СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
Перевод с французского
М Г. ШУРА
Под редакцией
~<ЫНКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА • 1975

УДК 519.21
Книга французского математика К. Деллашери — первая в мировой
литературе монография, в которой систематически излагается общая
теория случайных процессов. В ней рассматриваются теоремы о емкостях
и об измеримом выборе, классификация марковских моментов, теоремы о
сечениях; выявляются взаимосвязь идей и методов в таких областях, как
теория емкостей, теория потенциала и теория мартингалов.
Книга рассчитана на специалистов, занимающихся теорией случайных
процессов и вероятностными аспектами теории потенциала. Как учебное
пособие она будет полезна аспирантам и студентам соответствующих
специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
К Деллашери
ЕМКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Редактор Д. Борисова Художник Д. Орлов Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор Н. Панфилова
Сдано в .набор 29/XI 1974 г. Подписано к печати 5/XI 1975 г.
Бумага имЬ. № 1 60х901/н>в6 бум. л.' 12 печ. л. Уч.-изд. л. 10,76
Изд. Кя 1/8033 Цена 77 коп. Зак. 462
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография Кя 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
20203-005
Д n4|/nlv 75 5-75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Монография Деллашери примыкает к вышедшей в 1966 г.
и переведенной в издательстве «Мир» книге П.-А. Мейера
«Вероятность и потенциалы». Интенсивное развитие этой области
за последние годы позволило по-новому подойти и к основам
теории. Такой подход систематически проводится в книге
Деллашери, которая включает в себя в переработанном виде как
значительную часть книги Мейера, так и дальнейшие
результаты, полученные главным образом руководимой Мейером
группой страсбургских математиков (к которой принадлежит
и Деллашери).
В течение двух последних десятилетий теория потенциала
и теория случайных процессов развивались в тесном
взаимодействии, обогащая при этом друг друга. Известна роль,
которую играют в классической теории потенциала гармонические и
супергармонические функции. В середине пятидесятых годов
было отмечено значение того обстоятельства, что такие
функции, если их рассматривать вдоль траектории броуновского
движения, являются непрерывными справа
супермартингалами (Дуб). С каждым марковским процессом можно связать
класс функций, обладающих аналогичными свойствами (эксцес-
сивные функции Ханта). С их помощью строится общая
теория потенциала, которая сохраняет все основные черты
классической. Вероятностный подход существенно обогатил
возможности теории потенциала. Одно из главных преимуществ
заключается в возможности рассматривать значения функций
в случайные моменты времени. Особую роль играют при этом
так называемые моменты остановки, или марковские моменты.
Некоторыми из них неявно пользовались и прежде: например,
гармоническая мера — это распределение вероятностей в
момент первого выхода из области. Систематическое применение
марковских моментов является одним из основных средств
вероятностной теории.
В дальнейшем обнаружилось, что многие глубокие
результаты зависят не столько от марковского характера процесса
xt{<u) и строения функций f(x) в пространстве состояний,
сколько от определенных свойств измеримости числового

6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
процесса г* (со) = /[**(<*>)] (вполне измеримость и
предсказуемость по Мейеру). Теория только упрощается и находит
более широкую область применений, если отправляться от
процесса zt (со) и не вводить ни траекторий xt (со), ни функций f.
Этот круг вопросов и составляет главное содержание второй
части книги, в первой же части развивается необходимый для
этого аппарат емкостей.
Книга отличается продуманностью изложения. В ней
систематически с полными доказательствами представлены
многие результаты последних лет, известные до сих пор лишь
по трудам страсбургского семинара и кратким журнальным
публикациям. Она является хорошим введением в быстро
развивающуюся область современной математики и полезна
как специалистам, так и новичкам, которые хотят проникнуть
в эту область.
Е. Дынкин

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга состоит из двух разных частей: «Теория
аппроксимации снизу» (гл. I и II) и «Общая теория процессов»
(гл. III — VI). Общее в них заключается в использовании
теорем о емкостях.
Читатель, интересующийся только основаниями общей
теории процессов, может приступить непосредственно к
чтению гл. III, IV и V, ознакомившись с результатами гл. I,
помещенными в разделе «Приложения к теории меры». Однако
для чтения гл. VI требуется хорошее знакомство с § 1
гл. II.
Каждая глава (за исключением гл. III) начинается с
введения, а каждая часть сопровождается комментариями
исторического и библиографического характера (без сомнения,
неполными и содержащими неточности). Поэтому мы
ограничиваемся здесь общим обзором содержания.
Проблемы, рассмотренные в первой части, в общих чертах
можно резюмировать таким образом: содержит ли «крупное»
борелевское множество «крупный» же компакт? В гл. I
вводится терминология и устанавливаются «классические»
теоремы о емкостях, тогда как гл. II посвящена более тон*
ким результатам, которые мы попытались изложить в рамках
некоторой аксиоматической теории классов «исключительных»
множеств. Этим теоремам придана новая форма, причем
методика их вывода, основанная на простых идеях и не требую*
щая привлечения теории аналитических множеств, построена
на использовании «скреперов Серпинского». В этой части
рассматривается весьма общая ситуация, которая
иллюстрируется примерами, порой предваряющими исследования второй
части. В результате первая часть составляет нечто целое,
законченное. Для получения теорем в наиболее сильной форме
возникла необходимость ввести абстрактные понятия, которые
затрудняют первое чтение; поэтому на первых порах мы со*
ветуем читателю ограничиться топологическим случаем. Нако*
нец, для краткости, нами используется некоторое количество
неологизмов, но мы далеки от намерения навязывать их
математической общественности!

8 ВВЕДЕНИЕ
Вторая часть посвящена собственно общей теории
процессов. Однако сначала следует договориться о значении слова
«общий». Мы интересуемся исключительно стохастическими
процессами с временным параметром, пробегающим R+, и
изучаемые нами понятия существенным образом опираются
на топологическую структуру и особенно на структуру
полной упорядоченности пространства R+. Для большей ясности
заметим, что весь материал второй части концентрируется
вокруг фундаментального понятия момента остановки!).
Остов теории составляют классификация моментов остановки
(гл. III), теоремы о сечениях множеств графиками моментов
остановки (гл. IV) и теоремы о проекциях процессов (гл. V).
Наконец, в гл. VI исследуется тонкая структура случайных
множеств. В этой второй части собраны результаты,
полученные в Страсбурге между 1965 г. и 1970 г. (включая и более
ранние результаты, принадлежащие Чжуну, Дубу, Дынкину
и т. д.), а также в переработанном виде материал гл. VIII
книги Мейера [24], который был для нас образцом подачи
материала. Эта часть написана в надежде, что она сможет
послужить для ссылок как при дальнейшем развитии теории,
так и при ее приложениях к теории мартингалов и
стохастических интегралов и теории марковских процессов; однако
результаты, относящиеся к этим областям, в книгу не вошли.
В каждой из глав, занумерованных римскими цифрами,
соблюдается двойная система ссылок. С одной стороны,
главы разбиваются на занумерованные арабскими цифрами
параграфы, которые в свою очередь состоят из пунктов,
названия которых набраны жирным шрифтом; названия
параграфов и пунктов включены в оглавление. С другой
стороны, каждое определение, утверждение, замечание и т. д.,
на которое имеется ссылка в тексте, нумеруется жирными
арабскими цифрами, которые помещены в начале строки. Внутри
одной и той же главы соблюдается непрерывная нумерация.
Всякий раз, когда цифре предшествует буква «О» (соотв. «Т»),
речь идет об определении (соотв. теореме). Таким образом,
если в тексте содержится ссылка на П-7 (соотв. IV-T10),
то подразумевается п. 7 гл. II (соотв. теорема 10 гл. IV) и т. п.
Коль скоро ссылка относится к материалу той же главы,
номер главы опускается, так что ссылка на 01 в гл. II
возвращает нас к определению с номером 1 из этой главы.
Приведем несколько уточнений, касающихся принятых
нами обозначений в терминологии2).
1) В литературе также широко используется термин «марковский мо*
мент». — Прим. перев.
2) Пункт (0), а также определение совокупности ЩА) в п. (2) добавлены
переводчиком. — Прим. перев.

ВВЕДЕНИЕ 9
(0) Действительная прямая обозначается символом R;
полупрямая {t^R: /^0} обозначается через R+; для
обозначения расширенной действительной прямой^ пополненной
полупрямой R+ используются символы R и R+ соответственно.
(1) N — множество натуральных чисел; 1 — это его
наименьший элемент1).
(2) Операции над множествами. Дополнение множества А
обозначается через Ас, разность А П Вс двух множеств А и В
обозначается через А —В. Совокупность всех подмножеств
множества А обозначается символом ^(А).
(3) Замкнутость классов множеств. Для краткости мы
будем применять компактную запись свойства замкнутости
класса <$ множеств относительно определенных операций.
Для разъяснения этой записи достаточно двух примеров.
Выражение «класс & замкнут относительно ((Jf> Of)»
означает, что объединение и пересечение любого конечного
набора элементов из & принадлежит $ (символ f отражает
здесь конечность рассматриваемых наборов), тогда как
выражение «класс <$ замкнут относительно {\Jtnd, П^)»
свидетельствует о том, что объединение любой монотонной
последовательности элементов из 8 и пересечение любой
последовательности элементов из <$ принадлежат <$ (символы m
и d указывают соответственно на монотонность и счетность
рассматриваемых последовательностей). Совокупность
объединений (пересечений) любых последовательностей
элементов из <$ обозначается, как обычно, через <SG (соотв. <??б). Мы
полагаем (<^а)в = ^W
(4) Структурные обозначения. Если f и g — две функции
с действительными значениями, символ f\/g (соотв. fAg)
обозначает max(/, g) (соотв. min(f, g)). Обозначения /+ и f
имеют классический смысл: f+ = f V 0, f" = (— f) V 0.
(5) Теория меры. Мы предполагаем, что читатель знаком
с теорией меры, с применяемыми в ней обозначениями и
терминологией. Если не оговорено противное, топологическое
пространство считается снабженным а-алгеброй своих боре-
левских множеств. Произведение двух а-алгебр $Г и %
обозначается через $Г ® <3 по причинам, изложенным в начале
гл. I. Если (ff'i) — некоторое семейство а-алгебр, то
пересечение этих а-алгебр обозначается символом П^ь в то время
как а-алгебра, порожденная а-алгебрами &*l9 обозначается
через V ^Y При отсутствии специальных оговорок слово
1) Автор использует термины «целое число» и «натуральное число»
как синонимы. — Прим. перев.

10 ВВЕДЕНИЕ
«мера» означает ограниченную положительную 1) меру. Если
\х — мера, а /- ji-интегрируемая функция, то интеграл
функции / по мере \i в зависимости от обстоятельств обозначается
либо символом \ f d\i, либо \i(f), либо еще и £[/], если
^—-вероятностная мера, причем условное математическое ожидание
относительно а-алгебры § обозначается через E[f\$].
(6) Через 1А мы обозначаем индикатор множества А, через
$(Е) — а-алгебру борелевских множеств топологического
пространства £, а через Т (Xh i e /) обозначаем а-алгебру,
порожденную семейством случайных величин (Я/)/(=г
(7) Наконец, мы систематически используем записи типа
«^-измеримый» (например, ^-скрепер, ^Г-емкость и т. д.) и
часто опускаем «приставку», если это не приводит к
недоразумению.
В заключение я хочу поблагодарить всех тех, кто помог
создать эту книгу. Это мои страсбургские коллеги, которые
подверглись серьезным испытаниям во время окончательной
шлифовки книги: П. Ассуад, Ж. Бретаньоль, К. Долеан,
О. Гебюрер, Н. Казамаки, Б. Мэзоннёв, П. Морандо, Дж. Трей-
нор, Д. В. Уолш и М. Вейль, а также группа специалистов
по теории вероятностей Университета г. Павия,
руководимых Н. Пинтакудой. Но в особенности это мой добрый
учитель П. А. Мейер, который внимательно прочитал большую
часть рукописи и без поддержки которого эта книга никогда бы
не появилась на свет.
*) Автор всюду употребляет слово «положительный» в значении
«неотрицательный». — Прим. перев.

Часть А. ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИИ СНИЗУ
Глава I
ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
Пусть \i — некоторая мера в пространстве R*. Хорошо
известно, что \i внутренне регулярна, т. е. для любого боре-
левского множества В
\i {В) = sup \i (/С),
где К пробегает совокупность компактов, содержащихся в В.
Естественно возникает вопрос, какие свойства меры приводят
к возможности ее аппроксимации снизу. Шоке, побуждаемый,
в частности, изучением ньютоновской емкости, установил
в [40], что свойства аддитивности не играют при этом никакой
роли и что определяющими здесь являются свойства
монотонности и непрерывности вдоль последовательностей.
Назовем емкостью всякую функцию /, определенную
на множествах пространства R", принимающую значения в R
и удовлетворяющую следующим требованиям:
(а) / монотонно возрастает: если А содержится в В, то
I(A)< 1(B);
(б) / полунепрерывна снизу: если (Ап) — возрастающая
последовательность, то I {[) Ап) = sup 1{Ап);
(в) / полунепрерывна сверху на компактах: если (Кп) —
убывающая последовательность компактов, то / (П Кп) = inf / (Кп).
Теорема Шоке об /-измеримости позволяет тогда
утверждать, что для любого борелевского множества В
I (В) = sup ЦК),
где К пробегает совокупность содержащихся в В компактов.
Эта теорема оказывается мощным средством в теории
потенциала и теории марковских процессов, которые доставляют
многочисленные примеры емкостей. Но она также играет
фундаментальную роль и в общей теории процессов: именно
на ней основываются доказательства измеримости дебютов
случайных процессов и доказательства теорем о сечениях.
Напомним, что множество пространства R* называется
аналитическим, если оно является проекцией на R* пересече-

12 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
ния членов некоторой последовательности открытых множеств
пространства Rn+\ Доказывается, что совокупность
аналитических множеств пространства R" строго больше
совокупности борелевских множеств из R". Данное Шоке
доказательство теоремы об /-измеримости опирается на теорию
аналитических множеств: он устанавливает для таких
множеств теорему об аппроксимации и с ее помощью получает
/-измеримость борелевских множеств.
Мы доказываем теорему Шоке совершенно иным
способом 1). Он позволяет доказать /-измеримость борелевских
множеств прямо, без обращения к теории аналитических
множеств, и после того, как преодолена трудность усвоения
начальных определений, обнаруживается чрезвычайная
естественность этого способа. Мы попытаемся также показать,
каким образом применяемая нами техника используется при
изучении аппроксимации снизу. Пусть / — некоторая емкость,
а В — некоторое борелевское относительно компактное
множество. Нам нужно показать, что если I(B)>t для
некоторого действительного t, то В содержит такой компакт /С,
что I{K)^t. Зафиксировав число t, предположим, что рекур-
рентно построена некоторая последовательность множеств (Вп)9
удовлетворяющая следующим условиям:
(a) Bi = B и Bn+l = fn(Bu В2, ..., Вп) содержится в Вп\
(Р) / (Вп) > t при каждом п\
(у) множество П Вп содержится в В.
п __
По определению емкости / (П Вп) = inf / (Вп) ^ t\ теперь
достаточно положить К = Л Вп. Рекуррентное построение
последовательности (Вп) приводит нас к рассмотрению
операторов редукции множеств (функций fn из условия (а)), таких,
что используемая редукция оказывается не слишком
радикальной (см. (р)), но тем не_менее достаточной для того,
чтобы «в пределе» множество Вп содержалось в множестве В
(см. (y)). Эти операторы редукции и изучаются нами в § 2;
мы называем их скреперами Серпинского. Теорема об
/-измеримости доказывается в § 3, где содержатся также
приложения этой теоремы, используемые в теории случайных
Процессов.
Наконец, мы затрагиваем проблемы аппроксимации снизу
в абстрактной ситуации. В § 1 излагается комплекс понятий,
Позволяющий обойтись без применения топологии.
') В приложениях к гл. I и II мы обсуждаем также проблемы
аппроксимации снизу с использованием «классических» методов.

1 ПРОСТРАНСТВА С ПОКРЫТИЯМИ 13
1. Пространства с покрытиями
Общие понятия
Вводимые здесь понятия в большой степени аналогичны
понятиям теории абстрактных измеримых пространств;
основное различие заключается в том, что мы не используем
операции перехода к дополнению (ввиду отсутствия
требования аддитивности в определении емкости). С другой стороны,
мы не стремились к тому, чтобы изложить всю
терминологию теории пространств с покрытиями, ограничиваясь
необходимым для дальнейшего минимумом.
1. Пусть Е — некоторое множество. Покрытием1) на Е
называется совокупность <§ подмножеств множества Е, содержащая
пустое множество и замкнутая относительно (11/э (If).
Пара (£, <§) называется пространством с покрытием. Если
$Ф — некоторая совокупность подмножеств данного Е, то
покрытием, порожденным семейством $Ф, называется
наименьшее покрытие множества Е, содержащее s4>. Пусть (Е, <$)
и (F, $Г) — два пространства с покрытиями. Произведением
покрытий <£ и У называют покрытие на £ X Л состоящее
из конечных объединений множеств вида U X V, где U
(соотв. V) принадлежит покрытию <$ (соотв. @~). Это
покрытие обозначается через <^®^"2).
2. Совокупность множеств пространства Е называется
мозаикой, если она содержит пустое множество и замкнута
относительно (U d, П d). Если & — покрытие на Е, то мозаикой,
порожденной покрытием Ж, называют наименьшую мозаику
на £, содержащую <S\ она обозначается через ё, тогда как
мозаика, порожденная произведением покрытий <^®#",
обозначается через e>®3F. Если дополнение всякого элемента
покрытия & входит в §', то мозаика, порожденная
покрытием <8\ совпадает с а-алгеброй, порожденной &. Именно
так обстоит дело, когда Е — локально компактное
пространство со счетной базой, снабженное покрытием йГ, состоящим
из компактных множеств пространства.
Следующие два предложения являются аналогами
классических теорем теории измеримых пространств. Мы не
будем их доказывать (см. Халмош [37J-I-5, 6).
1) Наше определение более ограничительно, чем определение
Мейера [24].
2) Согласно п. 2, произведение двух а-алгебр & и & совпадает
с мозаикой, порожденной произведением покрытий <8 и Т. Мы будем
обозначать его через & (§} <Г, чтобы не спутать с произведением покрытий,
обозначаемым символом <8 ® ^\

U ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
ТЗ. Теорема (о монотонных классах). Пусть (£, <$) —
пространство с покрытием. Мозаика, порожденная покрытием 8,
является также наименьшей совокупностью множеств
пространства Е, содержащей 8 и замкнутой относительно (U md, Л md).
Т4. Теорема. Пусть (£, 8) — пространство с покрытием.
Всякий элемент мозаики 8 принадлежит мозаике,
порожденной некоторым счетным подпокрытием покрытия 8.
Компактные покрытия
5. Пусть Е — некоторое множество, a s4 — некоторая
совокупность подмножеств множества Е. Мы называем s4
компактным классом, если всякое счетное семейство элементов
из $Ф, имеющее пустое пересечение, содержит конечное
семейство с пустым пересечением. Для покрытия это
определение можно также переформулировать следующим образом
ввиду замкнутости покрытия относительно (flf):
06. Определение. Покрытие 8 называется компактным1),
если всякая убывающая последовательность непустых
элементов покрытия 8 имеет непустое пересечение.
Например, совокупность всех компактных множеств
отделимого топологического пространства представляет собой
компактное покрытие.
Замыкание компактного покрытия относительно (fid) также
компактно. Можно показать также, что покрытие, порожден*
ное компактным классом, компактно (см. Мейер [24J-III-T4).
Отсюда следует, что произведение двух компактных
покрытий компактно. Это свойство не используется в дальнейшем.
В следующей теореме формулируется другое важное
свойство покрытий, которым мы часто будем пользоваться.
Т7. Теорема. Пусть К и Е—два множества. Обозначим
через п проекцию множества /С X £ на Е. Пусть, с другой
стороны, Ж — такое покрытие множества КХЕ, что для
всякого jcg£ множество Жх подмножеств из К,
образованное сечениями элементов покрытия Ж, отвечающими х2),
является компактным покрытием на /О Тогда, если
{Неубывающая последовательность элементов покрытия Жб, то
я(ПЯ„)=Пя(Я„).
1) Правильнее было бы называть его, как это делает Мейер [24],
«полукомпактным».
2) Сечением множества А с К X Е, отвечающим х ^ Е, называется
множество {у е /(: (у, х) е Л]. — Прим, перев.

1. ПРОСТРАНСТВА С ПОКРЫТИЯМИ 15
Доказательство. Достаточно показать, что если х
принадлежит Г)я(//„), то найдется такой элементу, входящий
в (]Нп, что х = п(у). А это вытекает из того факта, что
сечения Нп(х) множеств Нп, отвечающие х, образуют
убывающую последовательность непустых элементов компактного
покрытия Ж1. О
Огибающие
08. Определение. Пусть (Е, &) — пространство с
покрытием. Множество А пространства Е называется ^-огибающей
убывающей последовательности (Ап) множеств из Е, если
существует убывающая последовательность {Вп) элементов
объединения &\}{Е), удовлетворяющая следующим двум
условиям:
(а) Вп содержит Ап для всех п,
(б) Г[Вп содержится в Л.
п
9. Замечание. Мы добавляем Е к покрытию <$ для
простоты: было бы достаточно определить огибающие лишь для
таких убывающих последовательностей, у которых А\
содержится в некотором элементе покрытия <$. С другой стороны,
легко показать, что покрытие, получающееся при
замыкании <$ относительно (П d), т. е. <^б, определяет ту же самую
огибающую, что и $.
Рассмотрим теперь два примера ситуаций, в которых
понятие огибающей принимает более простой вид.
10. Пример. Возьмем в качестве Е некоторое отделимое
топологическое пространство, а в качестве <§ — его покрытие,
состоящее из всех его замкнутых подмножеств. Понятно,
что множество А есть ^-огибающая убывающей
последовательности (Ап) тогда и только тогда, когда А содержит П Ап.
п
Второй пример представляет собой абстрактный вариант
первого.
11. Пример. Пусть (£, &) — пространство с покрытием.
Для всякого множества А из пространства Е положим
s$ = {B<=&[){E}: В id A}
и допустим, что П В входит в <%Ь\]{Е} для всякого мно-
в^л
жества А (это, конечно, имеет место, если <$ счетно). При
этих условиях мы обозначаем множество П В через А и
в^л
называем его замыканием множества А (относительно <§).

16 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
Как и в предыдущем примере, множество А является
Погибающей убывающей последовательности (Ап) тогда и только
тогда, когда А содержит П Ап. Необходимость этого условия
очевидна; докажем достаточность. Для фиксированного п
пусть (B^eN—такая убывающая последовательность
элементов покрытия &\){Е), что Ап = Г\Вкп, и положим
к
СП = В\[\В1{\ ... ПВ*.
Мы получаем, таким образом, убывающую
последовательность (Сп) элементов покрытия <$\] {£},_такую, что Сп
содержит Ап при всяком п и что П См = П Ап. Теперь ясно, что А
п п __
является огибающей для {Ап), если А содержит П Ап.
п
В следующем предложении мы перечислим свойства
огибающих, которые используются нами в дальнейшем.
Т12. Теорема, (а) Если А — некоторая огибающая
убывающей последовательности (Ап), то всякое множество из
пространства Е, содержащее А, также является огибающей
для {Ап).
(б) Всякие две убывающие последовательности множеств
пространства Е, имеющие общую подпоследовательность,
обладают одними и теми же огибающими.
(в) Множество огибающих убывающей последовательности
множеств пространства Е замкнуто относительно (f[d).
Доказательство. Не очевиден здесь только п. (в), но
его доказательство аналогично доказательству из примера 11.
Действительно, пусть (Ал) — некоторая последовательность
огибающих убывающей последовательности (Ап) и пусть для
каждого k (Bn) — такая убывающая последовательность
элементов покрытия с? U {£}, что Ап содержится в Вчп при всяком п,
a Ak содержит П В\. Для каждого п положим
п
Cn = Bl[\Bl{\ ... [\В1
Мы определим тем самым такую убывающую
последовательность (Сп) элементов покрытия &\}{Е), что Сп содержит Ап
при всяком п и П Ak содержит
Псп=пв1
п k,n
т. е. fl Ak является огибающей последовательности (Ап). Q

2 СКРЕПЕРЫ 17
2. Скреперы
В этом параграфе мы обозначаем через (Е, 8)
фиксированное пространство с покрытием. После того как будут
определены понятия /-системы и скрепера, мы выделим
совокупность множеств пространства Е, которые называются
гладкими и замечательны своими свойствами, относящимися
к аппроксимации снизу. В основной теореме этого параграфа
формулируются свойства замкнутости этой совокупности:
из нее вытекает, что мозаика, порожденная покрытием $,
состоит из гладких множеств.
1-системы
013. Определение. Совокупность <& множеств
пространства Е называется /-системой, если выполняются следующие
условия:
(а) если А входит в %? и В содержит А, то и В входит в %?,
(б) если (Ап) — возрастающая последовательность
множеств пространства Е и ее объединение (J Ап входит в <&,
п
то существует такое k, что и Ak входит в (в.
С интуитивной точки зрения /-система состоит из
«крупных множеств». Множество всех подмножеств из Е
образует, очевидно, /-систему. Вот некоторые интересные примеры
/-систем; в дальнейшем мы познакомимся и с другими.
14. Примеры. (1) Множество всех непустых множеств из Е
является /-системой.
(2) Множество всех несчетных множеств из Е является
/-системой.
(3) Пусть / — некоторая функция из ^(£) в R,
обладающая следующими свойствами:
/ возрастает: если А содержится в В, то /(Л)</(В);
/«полунепрерывна снизу»: если (Ап) — возрастающая
последовательность, то /(UAn) = sup 1{Ап).
Любую такую функцию назовем предъемкостью. Для
всякого agR множество подмножеств А из Е, таких, что
/(Л)>а, есть /-система. Обратно, со всякой /-системой <$?
можно связать некоторую предъемкость: достаточно положить
/(Л)=1, если Ле«\ и /(Л) = 0, если Аф<8. Тогда ^ =
= {А: 1(А)>0).
Понятие /-системы можно также охарактеризовать с
помощью свойств ее дополнения в классе всех подмножеств
из Е: оно (ее дополнение) есть наследственный класс,
замкнутый относительно (\]md)4

18 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
В этом параграфе мы будем считать некоторую /-систему ^
в Е заданной раз и навсегда. Понятия, которые мы теперь
введем, относятся к этой /-системе.
Скреперы
015. Определение, ^-скрепером Серпинского
называется всякая последовательность F = (fn)n>l отображений
fn: №(f)]Al"~>^(£')» удовлетворяющая следующим условиям:
(а) fn (Ри Р2,..., Рп)аРп, каковы бы ни были п, Рь Р2,..., Рп,
(б) если Рп входит в <&, то и fn(P[9 Р2, .. •> Рп) входит в Ф.
Свойство (а) показывает, что множество Рп
«сглаживается», «обстругивается» функцией fn, а свойство (б) —что
при этом с Рп «снимается не слишком большая стружка».
16. Самым простым примером скрепера служит
тождественный скрепера определяемый равенствами
fn(P\> • • •> Рп)== Рп>
каковы бы ни были п, Ри ..., Рп. В дальнейшем мы с его
помощью построим и другие примеры скреперов.
017. Определение. Пусть F = {fn) —некоторый скрепер.
Последовательность {Рп)п>] множеств пространства Е
называется F-сглаженной, если
(а) Рп+\ <= fn (Л, • • •, Рп) для всех п,
(б) Рп входит в V при любом п.
Очевидно, что всякая такая последовательность является
убывающей.
18. Пусть F = (fn) — некоторый скрепер, и пусть А—
некоторый элемент /-системы <в. Последовательность,
определяемая следующим рекуррентным способом:
Р\ = А, /Э2== f\ (Л)» •••! Pn+\ = fn{P\> ^2> •••> Рп)> • • •!
является /^-сглаженной, причем все ее элементы содержатся
в Л. Мы назовем ее F-сглаженной последовательностью,
порожденной множеством А.
Гладкие множества
Введем теперь впервые в рассмотрение покрытие &,
используемое нами для введения определенного в п. 8 понятия
^-огибающей.
019. Определение. Скрепер F называется совместимым
с множеством А пространства Е, если А служит огибающей
для всякой F-сглаженной последовательности {Рп)> такой, что

2 СКРЕПЕРЫ 19
Pi а Л. Множество А пространства Е называется гладким,
если существует совместимый с ним скрепер.
Понятие совместимого с множеством А скрепера зависит,
вообще говоря, от покрытия <§ и от /-системы <в.
Если А не принадлежит <g?, то не существует сглаженной
последовательности, первый член которой содержался бы в Л,
хотя А совместимо с тождественным скрепером и,
следовательно, является гладким. С другой стороны, если А —
гладкое множество, принадлежащее <&, то всегда найдется
сглаженная последовательность, огибающей которой является А:
в самом деле, если F — совместимый с А скрепер, то
достаточно взять /^-сглаженную последовательность, порожденную
множеством Л.
20. Всякий элемент А покрытия <8 является огибающей
последовательности (Ап), все элементы которой суть А. Отсюда
тотчас следует, что все элементы покрытия & совместимы
с тождественным скрепером. Следовательно, всякий элемент
покрытия & является гладким.
Формулировка теоремы о скреперах. Приложения
Основной в этой главе является следующая теорема,
представляющая собой абстрактный вариант одной теоремы Сер-
пинского [33].
Т21. Теорема. Пусть (Е> S\> — пространство с покрытием,
а Я2 — I-система. Совокупность гладких множеств
пространства Е (относительно & и <&) замкнута относительно
операций ((J md, П d).
В действительности мы будем использовать эту теорему
в следующей формулировке, которая непосредственно
выводится из нее с помощью п. 20 и теоремы 3.
Т22. Теорема. Пусть {Е, 8) — пространство с покрытием,
а ^ — I-система. Все элементы мозаики §, порожденной
покрытием <§Г, гладки.
Чтобы познакомить читателя с такой ситуацией, мы, прежде
чем доказывать эту теорему, проиллюстрируем ее с помощью
двух важных приложений. Вначале докажем некоторый
топологический вариант теоремы Шоке об /-измеримости.
Пусть Е — метризуемое компактное пространство,
снабженное покрытием $*, состоящим из компактных множеств
этого пространства. Пусть, с другой стороны, / — некоторая
емкость Шоке на (£, <$), т. е. предъемкость (см. 14(3)),
«полунепрерывная сверху» на компактах: если (Кп) —- убы-

20 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
вающая последовательность компактов, то /(П Кп) = inf/(/Q.
п п
При этих условиях справедлива следующая теорема.
Т23. Теорема. Всякое борелевское множество
пространства Е I-измеримо, г. е.
i (в)=sup /(/a
где К пробегает совокупность содержащихся в В компактов.
Доказательство. Мы должны показать, что если
I(B)>a (aeR), то найдется такой содержащийся в В
компакт К у что 7(/С)^а. Возьмем в качестве /-системы W
совокупность всех множеств А из Е, для которых 1{А)>а
(см. 14(3)). Напомним, с другой стороны, что множество А
из Е является огибающей убывающей последовательности (Ап),
если А содержит множество (]Ап (см. п. 10). Так как
мозаика, порожденная покрытием <$, является a-алгеброй боре-
левских множеств пространства Е, мы получаем по теореме 22,
что всякое борелевское множество гладко. Пусть теперь
F = (fn) — некоторый совместимый с В скрепер, и пусть (Рп)
есть F-сглаженная последовательность, порожденная
множеством В:
Так как В — огибающая последовательности {Рп), В содержит
компактное множество П Pnf а поскольку / {Рп) > а при всех п9
а / полунепрерывна сверху на компактах, имеем
/(flPJ = inf/(PJ>a,
и теорема доказана. □
Выведем также из теоремы 22 абстрактный вариант
теоремы Сиона [34] об аппроксимации снизу (из статьи [34] мы
заимствовали понятие /-системы). Она представляет собой
обобщение теоремы Шоке об /-измеримости, и из нее, в
частности, вытекает теорема, которую мы только что доказали.
Т24. Теорема (Сион). Пусть (Е, <$) — пространство с по-
крытием, а %? — I-система. Если В — элемент совокупности
92^8^0 существует такая убывающая последовательность (Кп)
элементов из <& П #\ что В содержит П Кп-
п
Доказательство. Согласно теореме 22, В гладко.
Пусть F — некоторый совместимый с В скрепер. Обозначим
через (Рп) /^-сглаженную последовательность, порожденную
множеством В. Так как В — огибающая последовательности

й СКРЕПЕРЫ 21
(PJ, существует такая убывающая последовательность (Вп)
элементов покрытия &\}{Е), что В содержит [\Вп, а Вп
содержит Рп при всяком п\ в частности, каждое множество Вп
принадлежит <&. Если множества Вп входят в <$, начиная
с некоторого номера k, то последовательность (Кп) = (Bk+n)
обладает требуемыми свойствами. Если же Вп = Е при любом п,
то В = Е является объединением возрастающей
последовательности элементов покрытия <$ и, значит, содержит
некоторый элемент К из ^{\^\ в этом случае достаточно
положить Кп = К ПРИ всяком п. П
Доказательство теоремы 21
25. Прежде чем приступить собственно к доказательству,
определим одну операцию над скреперами — смешивание
последовательности скреперов.
Пусть f$: (/?, q)-+ p*q — биективное 1) отображение N2 на N,
строго возрастающее по каждому переменному (например,
р * q = 2Р~' (2<7 — 1)), и пусть (Fk) = (Qn)) —
последовательность скреперов. Для всех п, Р{, Ръ ..., Рп полагаем
fn{P\j Ръ ---э Рп) = fq (Рр * Ь Рр*2, ..., Pp*q),
где n = p*q. Понятно, что таким образом определяется
некоторый скрепер F = (fn), называемый смесью скреперов
относительно биекции р. Важность этой операции
демонстрируется следующей теоремой.
Т26. Теорема. Пусть (Fk)—последовательность скреперов
и F — смесь скреперов Fk относительно биекции р. Для того
чтобы множество А пространства Е было совместимым с F,
достаточно, чтобы оно было совместимым хотя бы с одним из Fk.
Доказательство. Пусть Л —некоторое множество
пространства Е, совместимое с Fk, где k фиксировано. С
другой стороны, пусть (Рп) — некоторая /^-сглаженная
последовательность, первый член которой содержится в А\ мы должны
доказать, что А является огибающей для (Рп). Положим
Qn== Pk+ n
для всякого я. Покажем, что последовательность (Qn)
/^-сглажена. Поскольку А содержит Qb А является огибающей
для (QJ, а так как (Qn) есть подпоследовательность
последовательности (Рп), А будет огибающей и для {Рп) (см. Т12).
) То есть взаимно однозначное. — Прим. ред.

22 ГЛ. Т. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
Поскольку, очевидно, Qn принадлежит W при всяком /г,
остается проверить, что Qn+\ для всякого п заключено в
fn(Qi> @2> •••> Qrt). Последнее вытекает из того, что
последовательность (Рп) является /^-сглаженной. В самом деле,
Qn+l = Pk*(n+\)c^ Pl+(k*n)^ fk*n{P\, P2, ...э Pk*n) =
-/*(Q,. <k ....<?„>
причем первое (в этой цепочке) включение следует из
неравенства & * (я + 1) > k * я. □
Из теоремы 26 сразу же вытекает, что если (Ak) —
некоторая последовательность гладких множеств пространства Е,
то существует скрепер F, совместимый со всеми Ak.
Доказательство теоремы 21. Напомним вначале
формулировку: совокупность гладких подмножеств
пространства Е замкнута относительно (\Jtnd, f\d).
(а) Сначала докажем замкнутость относительно (f)d).
Пусть (Ак) — некоторая последовательность гладких можеств,
и пусть А = П Ак. Обозначим через F некоторый скрепер,
к k
совместимый со всеми множествами А . Если (Рп) —
некоторая /^-сглаженная последовательность, первый член которой
содержится в Л, то Рх содержится также во всех Ак.
Следовательно, всякое Ak является огибающей для (Рп); то же
самое имеет место и для А, согласно Т12(в). Итак, F
совместим с А, и, следовательно, А гладко.
(б) Докажем теперь замкнутость относительно {\)md).
Пусть {Ak) — некоторая возрастающая последовательность
гладких множеств, и пусть Л = (J Ак. Обозначим через F = (fn)
к ь
некоторый скрепер, совместимый со всеми Л . Проведенное
выше рассуждение здесь не проходит, потому что
множество, содержащееся в Л, может не содержаться ни в каком
из Ак. Поэтому мы следующим образом модифицируем
скрепер F. Для всех п, Ри Р2, ..., Рп положим
ФЛЛ, Р* ...,Яя) = Ря> если А[\РхфЧ?9
<рп(РиР2, ..., Pn) = fn(Ap(]PuP29 ..., Яя), если ЛЛЛ^>
где р — наименьшее целое число, такое, что Ар П Р\ входит
в ^ (такое целое число существует в силу свойства 013(6),
которое используется нами в первый раз). Понятно, что мы
тем самым определили некоторый скрепер Ф = (qpj.
Проверим теперь, что он совместим с Л. Пусть (Рп) — некоторая
Ф-сглаженная последовательность, первый член которой со-

3. ЕМКОСТИ 23
держится в Л. Так как Р, е У и ЛЛЛ = Л> имеем
ФЯ(Л. Р2. .... Лг) = МЛрЛЛ, Р2. .... Р«). Отсюда тотчас
следует, что Ар[\Ри ^2» •••. Рт ••• есть ^-сглаженная
последовательность, первый член которой содержится в Ар.
Поэтому Ар — огибающая этой последовательности, а также
и последовательности (Рп), отличающейся от перрой только
своим первым членом (см. Т12 (б)). Отсюда следует, что А
служит огибающей последовательности (Рп) (см. Т12(а)). Таким
образом, А совместимо со скрепером Ф, а потому гладко. □
Замечание. Доказывая теоремы 26 и 21, мы получили
попутно следующий результат. Пусть бФ и $ — такие две
совокупности множеств пространства Е, что А Л В входит в Я,
если i4Ei и В е Я. Если каждому А е $ф можно
сопоставить совместимый с А скрепер (/„), такой, что каждая
функция fn отображает ЗЬп в i?, то так же обстоит дело для
объединений (соотв. пересечений) возрастающих (соотв.
произвольных) последовательностей элементов из st>. В частности,
такая же ситуация имеет место, когда все элементы
совокупности Ж совместимы с тождественным скрепером. Отсюда
выводится следующая, более точная, чем 22, теорема,
которая, однако, не будет использоваться в дальнейшем.
Т27. Теорема. Пусть (Е, &) — некоторое пространство с
покрытием, 9~ — покрытие, содержащее <§\ и пусть *$? —
некоторая I-система на Е. Если А — элемент мозаики Ь, то
существует такой совместимый с А %-скрепер F = (fn)
(относительно &), что fn для всякого п отображает [&~)п в &*.
3. Емкости
028. Определение. Пусть (Е, &) — пространство с
покрытием', ^'-емкостью Шоке на Е называется отображение
I: ^(£)->R, обладающее следующими свойствами:
(а) / монотонно возрастает: если A cz В, то 1{А)^1(В);
(б) если (Ап) — возрастающая последовательность множеств
пространства Е, то
I(U A^ = sup ЦАЛ);
(в) если (Ап) — убывающая последовательность элементов
покрытия 8', то
/(n4.) = inf/(iU
Свойство (в) сразу же распространяется на убывающие
последовательности элементов из $V Вот несколько важных
примеров емкостей.

24 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
29. Примеры. (1) Пусть (£, <%) — некоторое пространство
с покрытием, причем покрытие <$ компактно. Положим
/(Л) = 0, если 4=0, и /(Л)=1, если А Ф 0.
Отображение / является положительной емкостью (условие (в) из
определения 28 применительно к этому примеру оказывается
переформулировкой определения компактного покрытия).
(2) Пусть (Q, #~, Р) — полное вероятностное пространство;
положим для всякого множества А пространства Q
P*(A) = infP{B), Bz=&-, BzdA.
Функция Р*у называемая внешней вероятностью, является
положительной ^-емкостью,
(3) Более общо, пусть (Q, #~, Р) — полное вероятностное
пространство, а К — локально компактное пространство со
счетной базой. Снабдим К покрытием Ж, образованным
компактными подмножествами пространства К. Для всякого
множества А из К X й положим
1(А) = Р*[п(А)],
где п обозначает проекцию пространства К X Q на Q.
Согласно теореме 7, предъемкость / является положительной
Ж ® ^-емкостью на К X й. Емкости, с которыми мы
встретимся в общей теории процессов, чаще всего будут
принадлежать к этому типу.
С другими важными примерами мы познакомимся в гл. II.
030. Определение. Пусть (Е, <S) — пространство с
покрытием и I — емкость на Е. Множество А пространства Е
называется /-измеримым, если
>I(A) = supI(K), ffe=ff6> KczA.
Следующая теорема представляет собой абстрактный вариант
теоремы Шоке [42] об /-измеримости.
Т31. Теорема (Шоке). Пусть (Е, <$) — пространство j:
покрытием и I — емкость на Е. Всякий элемент мозаики §,
порожденной покрытием <£> 1-измерим.
Доказательство. Пусть А<^Ш. Если /(Л) = — оо, то
1(A) = 1(0). В противном случае мы должны показать, что
если I(A)>a (aeR), to найдется такое /Се<§Гб, что К
содержится в А и 1(К)^а. Пусть V — /-система на £,
образованная всеми множествами В пространства £, для которых
1(B) > а. Согласно теореме 24, существует такая убывающая
последовательность (Кп) элементов из ^П^, что А
содержит [\Кп. Теперь достаточно положить К = (]Кп, так как
I(K) = m\I(Kn)>a. U

3 ЕМКОСТИ 25
Мы не будем касаться ни способов построения емкости,
продолжающей данную функцию, определенную на некоторой
совокупности подмножеств пространства, ни емкостей, сильно
субаддитивных или непрерывных справа. Интересующихся
этими вопросами мы отсылаем к работе Мейера [24], где
также можно найти подробную библиографию.
Приложения к теории меры
Следующая теорема позволяет доказать измеримость
многочисленных функций, встречающихся в теории случайных
процессов.
Т32. Теорема. Пусть (Q, &*, Р) — полное вероятностное
пространство, а (К, $ {К))— измеримое пространство, где К —
локально компактное пространство со счетной базой, а ${К) —
а-алгебра его борелевских множеств. Обозначим через я
проекцию пространства К X й на Q. Если В — элемент
произведения о-алгебр $ (К) ® #~, то проекция я (В) множества В
на Q принадлежит !Г.
Доказательство. Пусть «Ж7 —покрытие на К,
состоящее из всех компактных множеств в /(. Символом /
обозначим Ж ® ^-емкость на /СХ^, определенную в п. 29(3),
т. е. 1(А) = Р*[л(А)]. Так как $ (К) — мозаика, порожденная
покрытием Ж, понятно, что $ (К) ® $Г —мозаика,
порожденная покрытием Ж<8>@~. Следовательно, согласно теореме 31,
В является /-измеримым. Таким образом, для всякого
целого п существует такой элемент Ьп из (Ж ® #~)б,
содержащийся в В, что
/(BX/fij + JL-
Поскольку п(Ьп) принадлежит покрытию У при каждом п
(см. Т7), множество я(В) совпадает с тс([}Ьп)^&' с
точностью до множества Р-меры нуль, а так как а-алгебра У полна,
я (В) принадлежит У. О
33. Будем называть множество G, лежащее в произведении
измеримых пространств
(кхо, ад)® л,
измеримым графиком, если G — измеримое множество и для
всякого co^Q сечение G(co) содержит не более одного
элемента. Вот пример использования последней теоремы (усло^
вия которой мы сохраняем).

26 ГЛ. I. ЁМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
Т34. Теорема. Множество G пространства К X й является
измеримым графиком тогда и только тогда, когда существует
такое измеримое отображение g, определенное на некотором
измеримом множестве Н из Q (снабженном о-алгеброй,
индуцированной £Г) и принимающее значения из /С, что
G = {(x,c*)z=KX&: * = *(<*)}.
Доказательство Если g — измеримое отображение,
определенное на Яе^", то график G — {(х, со) е К X Н: х =
= g(co)} является прообразом диагонали пространства /СХК
относительно отображения ср: (х, со)->(л:, g(co)), действующего
из К X Н в К X К- Так как функция ф измерима относительно
произведения соответствующих а-алгебр, а диагональ
пространства К У, К принадлежит ${К) ® ${К), достаточность
высказанного в теореме условия ясна. Обратно, пусть G—
некоторый измеримый график, Н — его проекция на Q, и пусть
g — отображение, определенное на Н следующим образом:
если ©еЯ, то g (со) — проекция на К единственной точки
сечения G(co). Для всякого борелевского множества В из К
множество g~{{B) является проекцией на й измеримого
множества G П {В X й) из К X й. Поэтому по теореме 32
множество g"l{B) принадлежит #~, как и множество Я,
являющееся проекцией G на Q. Итак, необходимость условия
теоремы также доказана. □
35. Теперь мы будем интересоваться случаем /C = R+ (именно
он нужен для теории случайных процессов). Пусть (Q, #", Р) —
полное вероятностное пространство, а А — множество в
пространстве R+ X й. Будем называть дебютом множества А
функцию DA, принимающую положительные значения
(конечные или бесконечные) и определенную на Q равенством
DA (со) = inf {t €= R+: (t, со) е= A},
где полагают DA (со) = + оо, если сечение Л (со) множества А
пусто. Вот другой важный пример использования теоремы 32,
родственной теореме 34.
Т36. Теорема. Пусть (Q, #~, Р) —полное вероятностное
пространство, а А — некоторое измеримое множество в
произведении R+ X й измеримых пространств. Дебют DA множества
А является случайной величиной.
Доказательство. В самом деле, для любого
действительного t > О множество (со: DA < /} совпадает с
проекцией на Q измеримого множества А П ([0, / [ X &) пространства
R+ X й. Поэтому, согласно теореме 32, оно принадлежит *Г. □

3. ЕМКОСТИ 27
Мы вновь приведем это рассуждение в гл. III для
доказательства того, что дебют прогрессивно измеримого
множества является моментом остановки, тогда как следующая
теорема будет использована в гл. IV для доказательства
теорем о сечениях с помощью графиков моментов остановки.
Т37. Теорема (о сечениях). Пусть (Q, $Г, Р) — полное
вероятностное пространство, а В — измеримое множество в
произведении R+ X Q измеримых пространств. Тогда существует
положительная случайная величина Z (с конечными или
бесконечными значениями), такая, что
(а) график [Z] = {(t, со) е R+ X Q." Z (со) = /} величины Z
содержится в В;
(б) множество {со: Z (со) < + оо} совпадает с проекцией
п(В) множества В на Q.
Доказательство. Разобьем доказательство на два
этапа. Сначала покажем, что для любого е > 0 существует
положительная случайная величина Ze, график [Ze] которой
содержится в В и такая, что
P[*(fl)]<P{Z, < + <»} +8.
Затем с помощью этого результата построим Z.
(а) Воспроизведем доказательство теоремы 32. Пусть Ж—
покрытие на R+, состоящее из компактных множеств. Через
/ обозначим Ж ® ^-емкость на R+ X й, определенную в 29 (3),
т.е. /(А) = Р*[л{А)]. Если А принадлежит #(R+)®^\ то
для всякого е > 0 существует такой содержащийся в А элемент
Le из {Ж ® #~)б, что
/(4)</(1е) + в.
Обозначим через Ye дебют множества Le, являющийся,
согласно теореме 36, случайной величиной. Так как для всякого
co^Q сечение Le(co) множества Le, соответствующее со,
является компактным множеством пространства R+, график
[Уе] случайной величины Ye содержится в Le, а потому и
в А. Кроме того, имеем
P[*{A))<P{Y8 < + *>} +в,
поскольку л (А) принадлежит У (см. Т32), a {Ye< + оо}
совпадает с л(Ье).
(б) Перейдем теперь к построению случайной величины
Z, фигурирующей в теореме. Заметим сначала, что
достаточно обеспечить совпадение множества {Z < + °°} с я {В)

28 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
с точностью до множества Р-меры нуль, поскольку тогда
можно так изменить значения Z на пренебрежимом
множестве (л (В) — {Z < + °°}), что получится полное совпадение.
Положим теперь В = АЬ и пусть У^ — случайная величина
с положительными значениями, график которой [У{]
содержится в Ах и такая, что Р[я(Л1)]<2Р{У1 < + оо} (такая
случайная величина существует в силу п. (а)). Пусть А2 =
= АХ — (R+ X {Y\ < + оо}). Точно так же определим
случайную величину Y2 с положительными значениями, график
которой [У2] содержится в А2 и такую, что Я[эт(Л2)]^
^2Р{У2 < + °°}- Таким образом по индукции строится
последовательность (Yn) случайных величин с положительными
значениями, графики которых содержатся в В и имеют
непересекающиеся проекции на Q, причем для каждого целого п
tp{Yk< + oo}>(l-2-n)P[n(B)).
1
Тогда график случайной величины Z, совпадающей с Yn на
{Yn < + оо} при каждом п и равной + оо в остальных слу:
чаях, содержится в В и {Z < + оо} с точностью до
множества Р-меры нуль совпадает с тс {В). □
Добавление
Так как излагаемые здесь понятия и результаты не
используются в дальнейшем (помимо приложения к гл. II),
мы ограничимся самым сжатым очерком теории
аналитических множеств (детали можно найти у Мейера [24]).
Аналитические множества
038. Определение. Пусть (Е, &)—пространство с
покрытием. Множество А пространства Е называется
^-аналитическим, если существуют такое вспомогательное пространство
с компактным покрытием (К, Ж) и такой элемент В
покрытия (Ж ® &)аь> что А является проекцией В на £.
Можно показать, что множество s& всех ^-аналитических
множеств пространства Е содержит <8 и замкнуто
относительно {[id, (]d) (см. Мейер [24J-III-T8); в частности, st
содержит мозаику, порожденную покрытием <$. Можно
показать также, что ^-аналитические множества совпадают с
й'-аналитическими (см. Мейер [24J-III-T10). Мы не используем
здесь никакой информации об аналитических множествах,
кроме их определения.

ДОБАВЛЕНИЕ 29
Докажем теперь теорему Сиона для аналитических
множеств, из которой следует теорема Шоке (см.
доказательство теоремы 31).
Т39. Теорема (Сион). Пусть {Е, <$) — пространство с
покрытием и 92 — I-система на Е. Если А — ^-аналитический
элемент из %?, то существует такая убывающая
последовательность (Ln) элементов из %? Л %>, что А содержит f| Ln-
п
Доказательство. Пусть {К, Ж) — пространство с
покрытием, где Ж компактно, а В — такой элемент из
{Ж ® ^)аб, что Л = я(В), при этом я обозначает проекцию
пространства КХ.Е на Е.
Ясно, что Г = {Я е $ (К X Е): л (Я) е Щ является
/-системой. Предположим, что существует такая убывающая
последовательность (Кп) элементов из Г П {Ж ® <$), что В содержит
П Кп- Тогда достаточно положить Ьп = л (Кп), поскольку
я (П К,г) = П я {Кп) в соответствии с теоремой 7.
Существование такой последовательности (Кп) вытекает из теоремы 24,
так как В принадлежит Г(){Ж ® <%), но это можно доказать
и прямо. Пусть B=nL)Sm> где (Bm)m(=N Для всякого п
п m
есть убывающая последовательность элементов из Ж®&,к
пусть Гв — /-система, образованная теми множествами Я из
КХ>Е, для которых Н(]В^Г. Так как (J B{m принадлежит
т
Гв, существует такое целое ть что К\ = Вт1 также
принадлежит Тв. Рассуждая по индукции, предположим, что Кп уже
построено. Поскольку Кп принадлежит Гв, так же обстоит
дело и с КпО (U Bm+1Y а потому существует такое целое
tnn+\, что Кп+\ = Кп(]Вт*1+1 принадлежит Гв. Понятно, что
построенная нами последовательность (Кп) обладает
требуемыми свойствами. □
Скреперы и аналитические множества
Т40. Теорема. Пусть (Е, <S) — пространство с покрытием,
а 9& — I-система. Всякое ^-аналитическое множество
пространства Е является гладким (относительно Е и <&).
Доказательство. Пусть А — ^-аналитическое
множество пространства Е, (/С, ^ — пространство с покрытием,
причем Ж компактно, а В—такой элемент из (Ж ® ^)аб,
что А является проекцией множества В на Е. Мы
обозначаем далее через я проекцию пространства К X Е на Е и
через Г /-систему на /СХ£> состоящую из таких множеств Я,

30 ГЛ. I. ЕМКОСТИ И СКРЕПЕРЫ
что я(Н) принадлежит /-системе <&. В силу теоремы 22
существует некоторый скрепер Ф = (ф,г) (относительно Ж ® & и
Г), совместимый с В. Если Ри ..., Яя суть множества
пространства Е, положим
(q[ -вп(кхл).
lQ;+1=Bn(/cxp,+1)n9,(Q;, ...,Q;)nPHA—1 n-i,
J Q, =Ql, если Pi czA,
| Q*+i-q;+i. если ^+1с^Пя[Фдд;,... ,q;)]
( при 6=1, ..., га — 1,
(Qi =(/CXPi), если Р,<£Л,
| Q.+. = (^XPft+1). если Pk+l<£Af)n[<?k(Q[, ..., Q'ky]
К при k=l, ..., л— 1.
Заметим, что n(Qk) = Pk при &= 1, ..., я. Если теперь
положить
МЛ, ...> Л) = я[ф«(0|. •••> Qn)]>
каковы бы ни были целое п и множества Ри ..., Рп из £,
то станет ясно, что мы определили таким образом
^-скрепер F = {fn) на £. Покажем, что этот скрепер совместим
с Л. Пусть (Рп) — некоторая Лсглаженная
последовательность, первый член которой содержится в Л. Если Q' и Q,
определены, как выше, то Q\ = Q\CzB. Предположим, что
равенства Qm = Qm доказаны для m^fe. Тогда
Л+1<=МЛ..... ^)=я[фА(др..., Q,)]=^K(Qp .... tf*)]
и потому Qfe+1 = Qft+1. Итак, Q'n = Qn при всяком л, а
поскольку n{Qn) = Pnf получаем, что последовательность (Qn)
является Ф-сглаженной и ее первый член содержится в В.
Значит, В — огибающая для (Qn) (относительно Ж ® *?), т. е.
существует такая убывающая последовательность (Qn)
элементов покрытия Ж ® &ъ что Qn содержит Qn при всяком п
и В содержит (]Qn. Если теперь положить Pn = 7t(Qn), то
{Рп) —■ такая убывающая последовательность элементов
покрытия &% что Р*п содержит Рп при всяком п, и так как ЛЛ1 —
= n{(\Qn) (см. Т7), то Л оказывается огибающей для (Ря).
Итак, скрепер Т7 совместим с Л и Л гладко. □
Замечание. Можно также развить теорию гладких
множеств, в значительной степени сходную с теорией
аналитических множеств. Однако в настоящий момент такая
теория технически слишком сложна и гораздо менее элегантна,
чем теория аналитических множеств (см. Деллашери [11]),

Глава II
МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
Пусть Е — метризуемое компактное пространство, & Ж—
некоторый наследственный класс множеств пространства £,
замкнутый относительно {\}d). В этой главе мы будем
интересоваться следующей проблемой: «Если борелевское
множество В из £ не принадлежит классу Ж, то содержит ли В
компакт К, не принадлежащий Ж?»
Ответ на этот поставленный в самой общей форме вопрос
оказывается отрицательным. В самом деле, возьмем в
качестве Ж совокупность всех множеств первой категории по
Бэру пространства Е (т. е. множеств из £, каждое из
которых содержится в счетном объединении компактов с пустыми
открытыми ядрами). Из теоремы Бэра следует, что
дополнение множества первой категории не может само быть
множеством первой категории. Пусть теперь В — дополнение
некоторой всюду плотной в Е последовательности, не
содержащей изолированных точек. Такое множество В не
принадлежит классу Ж, тогда как всякий компакт, содержащийся
в В, принадлежит 2/8. Вот, напротив, пример, когда
рассматриваемая проблема имеет положительное решение: пусть \i —
мера на Е, и пусть Ж состоит из всех множеств jx-меры нуль.
Поскольку всякое борелевское множество представляет собой
объединение счетной последовательности компактов и
некоторого множества меры нуль, ясно, что каждое борелевское
множество, не входящее в Ж, содержит компакт, не
принадлежащий Ж.
Приведем другой, менее классический пример, который
послужит нам введением к дальнейшему: возьмем в качестве
Ж класс всех счетных множеств из Е. Теорема
Александрова — Хаусдорфа утверждает, что всякое несчетное
борелевское множество содержит несчетный компакт
(распространение этого результата на аналитические множества
принадлежит Суслину). Мы дадим четыре различные интерпретации
этого результата, что доставит нам столько же возможностей
для распространения этой теоремы.

32 ГЛ. П. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
(1) Пусть М — множество всех точечных мер ех 1), где х^Е;
это компакт относительно слабой топологии (т. е. топологии,
отвечающей поточечной сходимости мер как функционалов
на непрерывных функциях). Мы получаем тогда следующее
утверждение: если \х (В) > О для некоторого бесконечного
несчетного множества мер \i, принадлежащих слабому
компакту М, то борелевское множество В содержит компакт,
обладающий тем же свойством.
(2) Пусть Л —мера, равная числу точек множества; она
является мерой Хаусдорфа (меры Хаусдорфа в общем случае
не являются а-конечными; см. определение в § 2). Тогда
если мера борелевского множества В не or-конечна
относительно меры Хаусдорфа Л, то В содержит компакт,
обладающий тем же свойством.
(3) Возьмем в качестве Е некоторый компакт в
пространстве R и рассмотрим на R полугруппу (РД порожденную
равномерным движением с постоянной скоростью + 1. Это
полугруппа Ханта, и счетные борелевские множества являются
борелевскими полуполярными множествами в рамках теории
потенциала, связанного с этой полугруппой. Тогда если
борелевское множество В не является полуполярным, то оно
содержит компакт, также не являющийся полуполярным.
(4) Рассмотрим, наконец, функцию / множества,
принимающую значение 0 на пустом множестве и 1 на всех
других множествах. Она представляет собой положительную
емкость на Е (снабженном покрытием, состоящим из его
компактных множеств). Здесь мы получаем следующее
утверждение: борелевское множество В, содержащее несчетное
семейство {Bi) попарно не пересекающихся борелевских множеств,
таких, что / (В() > 0 при всяком /, содержит компакт,
обладающий тем же свойством.
Распространение утверждения (2) яа произвольные меры
Хаусдорфа принадлежит Дэвису [16], Сиону и Сьерву [35],
а обобщение утверждения (3) на борелевские полуполярные
множества для произвольной полугруппы Ханта можно
найти у Деллашери [6]. В § 2 мы распространим утверждение
(4) на положительные емкости, после чего снова получим, уже
как частные случаи, обобщения утверждений (1), (2) и (3).
Следующий § 3 посвящен изложению аналогичных
результатов, но уже в абстрактной ситуации. Содержащиеся там
теоремы об аппроксимации снизу будут выведены из одной
основной теоремы, помещенной в § 1, в доказательстве
которой применяется техника скреперов. Наконец, заметим,
!) Здесь ех — мера полной единичной массы, сосредоточенная в точке
х. — Прим. перев.

1. ДИХОТОМИЧЕСКИЕ /-СИСТЕМЫ 33
что эти результаты будут установлены для борелевских
множеств (или для элементов некоторой мозаики), но они остаются
верными и для аналитических множеств (см., в частности,
добавление к этой главе).
1. Дихотомические /-системы
На протяжении всего этого параграфа мы обозначим через
(£, <$) некоторое пространство с покрытием, замкнутым
относительно (f|d).
01. Определение. I-система Ф на Е называется
^-дихотомической, если для всякого элемента А 1-системы *&
существуют два непересекающихся множества Ф0 {А) и Ф{ (А) из <§,
такие, что оба множества А Л Фо {А) и А Л Ф[ (Л) принадлежат <8.
Если А — множество пространства Е, а ^ есть /-система
на £, назовем ограничением 1-системы *& на множество А
семейство ^А таких множеств В из Е, что А[\В
принадлежит ^. Понятно, что *&А —также /-система на Е (но не на Л!).
Теперь можно следующим образом переформулировать
определение 1: ^ — дихотомическая /-система, если для любого
Ле? ограничение <&А /-системы ^ на А содержит два
непересекающихся элемента из &. Интуитивно дихотомическая
/-система представляет собой класс «крупных» множеств,
каждое из которых допускает деление на два также
«крупных» множества.
2. П р и м е р ы. В следующих двух примерах Е — метризуе-
мое компактное пространство, снабженное покрытием <$,
образованным всеми компактными множествами из Е.
(1) Пусть [х—некоторое вероятностное распределение на Е,
сопоставляющее нулевую массу одноточечным множествам.
Класс множеств А из £, таких, что \i*(A)>a, asR+,
является дихотомической /-системой, если а = 0, и
недихотомической, если а Ф 0. Проверка предоставляется читателю.
(2) Прежде чем перейти ко второму примеру, напомним
некоторые элементарные топологические понятия. Точку х^Е
называют точкой конденсации для множества А из Е, если
пересечение всякой окрестности точки х с множеством А
несчетно. Простое рассуждение, использующее покрытия,
показывает, что точки множества Л, не являющиеся для него
точками конденсации, образуют лишь не более чем счетное
множество. В частности, если А несчетно, существует
несчетное множество точек конденсации для Л, принадлежащих Л.
Пусть теперь ^ — /-система, образованная несчетными
множествами из £, и пусть А — некоторый элемент из V. Любые
2 К. Деллашерв

34 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
две различные точки конденсации множества А можно
отделить двумя компактными окрестностями этих точек, и потому
/-система ^ дихотомическая.
Приведем теперь основную теорему этой главы. Прежде
чем дать ее доказательство (представляющее собой
переработку рассуждений Серпинского [33]), мы проиллюстрируем
ее примерами.
ТЗ. Теорема. JlycTb Ч? есть &-дихотомическая I-система и
А — элемент из §{\^. Тогда существует несчетное семейство
(Ki) попарно не пересекающихся элементов покрытия &,
содержащихся в А и удовлетворяющих следующим условиям:
(а) при всяком i множество Ki представляет собой
пересечение некоторой убывающей последовательности элементов
из 8{\<8\
(б) объединение всех Ki является элементом К из &
(содержащимся в Л).
Отметим, что здесь, как и в теореме Сиона (см. I-T24),
нельзя утверждать, что Ki принадлежат V. Между тем, если
имеется некоторая «информация» о «величине» пересечения
убывающей последовательности элементов из <?Г П^, в
определенных случаях можно заключить, что К принадлежит ^.
Взглянем еще раз на приведенные выше два примера. В
примере (1) ясно, что мера каждого Ki —• нуль, так как мера \х
ограничена; о мере множества К ничего сказать нельзя.
В примере (2) каждое Ki непусто как пересечение
убывающей последовательности несчетных компактов, поэтому и
К несчетно. Мы получили, таким образом, теорему
Александрова — Хаусдорфа.
Т4. Теорема. В компактном метризуемом пространстве
всякое несчетное борелевское множество содержит несчетный
компакт.
Доказательство теоремы 3
Введем следующие обозначения: D — множество двоичных
конечных слов, составленных из 0 и 1, Dn — множество
таких слов длины п. Если /пбД обозначим через пгО (соотв. ml)
слово, получающееся приписыванием 0 (соотв. 1) к m справа.
Если пг^Ъп, то слова длины 1, 2, ..., лг — 1, я,
образованные первыми, считая слева, буквами слова т, обозначаются
через пги пг2, ..., тп-и тп = т. Точно так же, если \i
принадлежит множеству A,o = {0,l}N бесконечных двоичных

1. ДИХОТОМИЧЕСКИЕ /-СИСТЕМЫ 35
слов, обозначим через \хп слово длины /г, образованное
первыми п буквами слова \i.
Доказательство ТЗ. Пусть А — некоторый элемент
из <f П^- Согласно I-T4, существует такое счетное
подпокрытие Т покрытия <§, что А принадлежит Ф'. Так как А
гладко относительно ЯГ и ^, существует ^-скрепер F = {fn)
относительно покрытия &~, совместимый с А. Обозначим,
с другой стороны, через (Ф0, Ф\) пару отображений из &
в <^Х^\ удовлетворяющих условиям определения 1.
Следующим образом рекуррентно определим отображение
m->Am множества D двоичных слов в совокупность
множеств пространства Е:
Д> = Фо(Л)ПА А1 = Ф1(А)(]А,
Аю - Фо [/1 (А)] П f. (A), Ао = Ф0 [f, (А)] П f, (A),
Ли = Ф1 If 1 (А))] П /i (А), Ai = Ф, [f, (А,)] П fI (A),
и вообще, если m — слово длины я, то
A«o = 00[f«(AW|> ..., Ат/|)]П/я(Ат1> ..., AmJ,
Ат1 = Ф1[^(АШ1, ..., Адая)]П/я(Ат1> ..., Amn).
Из определения скрепера F и свойств пары (Ф0, Ф^
немедленно следует, что все множества Am, m^D, принадлежат <&.
Пусть $ — подпокрытие покрытия 8, порожденное ЯГ и
множествами вида Ф/[/я(Ат1, ..., Ая„)]> где п пробегает
натуральный ряд, £ = 0, 1 и /пеО„. Так как D счетно, понятно,
что счетно и ^. Если В — множество пространства Е,
содержащееся в некотором элементе покрытия ^, обозначим
через В замыкание множества В относительно покрытия &
(см. 1-11; напомним, что В —наименьший элемент из ^б,
содержащий В). Для me D замыкание Ат множества Ат
принадлежит ^бП^- Положим теперь для любого бесконечного
двоичного слова \х
К^ПА^ и К= U К*.
При всяком tn^D множества Ат0 и Ат{ не пересекаются.
Поэтому, если \i и v — два различных бесконечных двоичных
слова, не пересекаются и множества К^ и /Cv. С другой
стороны, множество D^ несчетно (оно имеет мощность
континуума). Чтобы закончить доказательство теоремы (допускаются
соответствующие изменения введенных ранее обозначений),
2»

36 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
нам остается доказать, что К принадлежит & и содержится
в Л. Итак, при всяком целом п множество Dn слов длины п
конечно. Полагаем
Кп= U Ат.
m<=Dn
Множество Кп входит в качестве элемента в ^б, а потому
и в &. С другой стороны, К = П Кп (формула дистрибутив-
га
ности объединений и пересечений); следовательно, К
принадлежит <S. Наконец, для всякого бесконечного слова \i
последовательность (Л^) является /^-сглаженной и А содержит ЛЙ1.
Так как скрепер F совместим с А относительно ^ и ЗГ,
множество А является ^-огибающей для этой
последовательности, т. е. существует такая убывающая
последовательность (Fn) элементов покрытия $Г \] {Е}, что Fn содержит А^
для каждого п и что П Fn содержится в Л. Так как ИГ—под-
п
покрытие покрытия ^, множество Fn содержит А^ при
всяком п. Теперь ясно, что А содержит К«= П А, для всякого
и п п
бесконечного слова \i, а потому содержит и К = U К&- □
м-
В действительности, слегка изменив приведенное
доказательство, можно получить более точный, чем теорема 3,
результат: А содержит 2N попарно не пересекающихся
элементов из с?, каждый из которых представим в виде, указанном
в утверждении (б) теоремы 3, и объединение которых также
принадлежит <§ (см. следующую теорему).
Т5. Теорема. Пусть <& — дихотомическая I-система на Е,
а А — элемент из ffflff. Существует семейство (L^),
состоящее из 2N попарно не пересекающихся элементов покрытия <$,
содержащихся в А и удовлетворяющих следующим условиям*.
(а) при всяком \i множество L^ представляет собой
объединение некоторого семейства (Ki), состоящего из 2N попарно
не пересекающихся элементов покрытия &Л где Ki при
каждом i является пересечением некоторой убывающей после'
довательности элементов из <^П^;
(б) объединение элементов L^ является элементом L
покрытия & {содержащимся в Л).
Доказательство. Мы сохраняем обозначения из
доказательства теоремы 3. Если \i и v — два бесконечных
двоичных слова, обозначим через jx * v бесконечное слово, (2п— 1)-Я

2. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 37
(соотв. 2/г-я) буква которого совпадает с п-й буквой слова \i
(соотв. v). Положим теперь для всякого \i e D^
^М,== U An*v«
Как и выше, с помощью формулы дистрибутивности
доказывается, что все Lu принадлежат <§. Остальные утверждения
доказываются прямо. Замечаем, что Ь=[}Ь^ совпадает
с К = U Я"ц> и легко осуществляем разбиение множества D^
и
на 2N подмножеств вида \i * Z)^, где ja пробегает Z)^. □
Таким образом, мы получаем усиленный вариант теоремы
Александрова — Хаусдорфа.
Т6. Теорема. В компактном метризуемом пространстве
всякое несчетное борелевское множество содержит компакт, пред-
ставимый в виде объединения 2N попарно не пересекающихся
несчетных компактов.
2. Редкие множества (топологический случай)
7. Чтобы избежать повторений, введем сначала понятия
регулярных емкости и предъемкости в абстрактном случае.
Пусть (£, <$) — пространство с покрытием. Назовем
отображение / множества ф(£) в R+ регулярной предъемкостью,
если выполняются следующие условия:
(а) /(0) = О;
(б) / возрастает: если А а В, то /(Л)</(В);
(в) / полунепрерывно снизу: если (Ап) — возрастающая
последовательность, то / (U Ап) = sup / (Ап);
(г) если 1(А) = 0 и /(В) = 0, то и 1(А[)В) = 0;
(д) для любого множества А из Е имеем
7(i4) = inf/(fl), BzdA, B^i.
Назовем / регулярной емкостью, если дополнительно
выполнено следующее условие:
(е) / полунепрерывно сверху на элементах из <$\ если
(Кп) — убывающая последовательность элементов покрытия #\
то / (П/Сл) = inf / (/Гл).
Условия (б) и (в) (соотв. (б), (в) и (е)) означают, что
/ — предъемкость (соотв. емкость). Условие (г) выполняется,
если / субаддитивна (т. е. 1{А[)В)^1 (А) +1(B) для любых
А и В), что имеет место для всех обычных положительных
емкостей. Наконец, условие (д) оказывается совершенно не-
существецньщ, если интересоваться поведением /(Л) только щ

38 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
элементах мозаики &. В самом деле, если / — функция из
В в R+, удовлетворяющая условиям (а) —(г), то можно
продолжить / на У$(Е), полагая для любого множества А из Е
I(A) = mU{B), В id A, Bezi.
Так как нижняя грань достигается на некотором элементе В
из S, понятно, что продолженная таким образом функция /
является регулярной предъемкостью, а если / удовлетворяет
условию (е) — регулярной емкостью.
8. Пусть (£, $) — пространство с покрытием, а / —
регулярная предъемкость на Е. Будем говорить, что множество А
из Е является I-пренебрежимым, если /(Л) = 0. Из условия (д)
следует, что всякое пренебрежимое множество содержится
в некотором пренебрежимом элементе мозаики S, а из
условий (б), (в) и (г) — что множество Jf пренебрежимых
множеств пространства Е является наследственным и замкнутым
относительно (\jd).
Далее в этом параграфе мы подразумеваем под (£, <£)
компактное метризуемое пространство, снабженное
покрытием, состоящим из его компактных множеств. Порожденная
покрытием <$ мозаика совпадает сборелевской а-алгеброй $(Е)
пространства Е. Кроме того, / будет обозначать некоторую
регулярную емкость на Е. Эта емкость не появляется явным
образом нигде, кроме как в доказательствах: все вводимые
ниже понятия зависят только от класса JT /-пренебрежимых
множеств.
Редкие множества
09. Определение. Борелевское множество В
пространства Е называется густым, если оно содержит несчетную
совокупность попарно не пересекающихся непренебрежимых
борелевских множеств. Борелевское множество называется
редким, если оно не является густым. Произвольное
множество в пространстве Е называется редким, если оно
содержится в некотором редком борелевском множестве, и густым
в противном случае.
Согласно теореме об /-измеримости (см. I-T31), слова
«непересекающиеся борелевские» в этом определении можно
заменить на «непересекающиеся компакты». В п. 19 мы
увидим, что густоту множества можно измерить с помощью
регулярной предъем кости.

2. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 39
Следующее предложение дает «положительные»
определения понятия редкого борелевского множества. Оно
показывает, что борелевское множество М редко тогда и только
тогда, когда каждое семейство (Mj) его борелевских
подмножеств обладает «существенной верхней» и «существенной
нижней» гранями по отношению к /.
Т10. Теорема. Пусть М—борелевское множество в
пространстве Е. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) М — редкое множество;
(б) если (Mf)j^j —семейство борелевских подмножеств
множества М, то в J содержится такое счетное
подмножество /0, что множество
м,-( U мл
пренебрежимо при всяком j e /;
(в) если {Mf)f^j —семейство борелевских подмножеств
множества М, то в J содержится такое счетное
подмножество /0, что множество
(ПМЛ-М,
Vfee=/0 )
пренебрежимо при всяком /е/.
Доказательство. Утверждения (б) и (в) эквивалентны,
так как получаются друг из друга переходом к дополнениям
в множестве М. Утверждение (б) влечет за собой (а) в силу
определения густых множеств. Докажем теперь, что
отрицание (б) влечет за собой отрицание (а). Предположим, что
существует такое семейство (Afy)/S/ борелевских множеств
пространства М, что для каждого счетного подмножества /0
из / найдется такой индекс /0, что множество
Mt.-([j мл
не является пренебрежимым. Обозначим тогда через У
множество семейств (Fa) попарно не пересекающихся непренебре-
жимых борелевских подмножеств множества М, каждое из
которых представимо в виде
где ja e /, а всякое /а — счетное подмножество из У.
Множество $Г непусто и индуктивно относительно упорядочения
по включению. Пусть (F^) — некоторый максимальный
элемент в iF. Покажем, что множество отвечающих ему индек-

40 ГЛ. IT. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
сов р несчетно, откуда следует, что М густо. Если бы
множество индексов р было счетным, то существовал бы такой
индекс / е /, что множество
не было бы пренебрежимым. Так как это множество не
пересекается ни с одним Fp, его можно было бы присоединить
к семейству (F^) — но семейство (F^) максимально!
Следовательно, множество индексов {$ несчетно. □
011. Определение. Совокупность Ш, состоящая из
множеств пространства Е, называется ордой, если она
удовлетворяет следующим условиям:
(а) всякий элемент совокупности Ж содержится в
некотором принадлежащем ей борелевском множестве;
(б) совокупность Ж наследственна и замкнута относительно
(Urf);
(в) совокупность Ж содержит все пренебрежимые
множества из Е.
Множество Jf всех пренебрежимых множеств является
наименьшей ордой. Все редкие множества также образуют
орду, что вытекает из следующего предложения.
Т12. Теорема. Борелевское множество М является редким
тогда и только тогда, когда существуют
последовательность (Кп) редких компактов и пренебрежимое борелевское
множество N, такие, что
Если М представимо указанным образом, то для него
существует такое представление с попарно не пересекающимися
компактами Кп> каждый из которых не имеет общих точек
с N.
Доказательство. Сначала докажем необходимость
высказанного условия. Можно считать, что М — редкое, но
непренебрежимое множество. Пусть теперь ЯГ — множество
всех семейств попарно не пересекающихся непренебрежимых
компактов, содержащихся в М. Множество SF непусто,
согласно I-T31, и индуктивно относительно упорядочения по
включению. С другой стороны, из 09 следует, что всякий
элемент множества ЯГ — счетное семейство. Поэтому в
качестве последовательности (Кп) можно взять какой-нибудь
максимальный элемент из ЯГ и положить N = M—(\JKnX а это
множество пренебрежимо согласно I-T31. Чтобы установить

2. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ) 41
достаточность, покажем, что объединение М
последовательности (Мп) редких борелевских множеств само является
редким. Если бы множество М было густым, оно содержало бы
все элементы некоторого несчетного семейства (В/)/€Е/ непре-
небрежимых борелевских множеств. Так как Jf замкнуто
относительно (U d), в этом случае существовало бы такое
отображение j->n(j) множества / в N, что множества В/П
О Мп (/) не были бы пренебрежимыми, а потому нашлось бы
такое целое п, что В/ П Мп оказалось бы непренебрежимым
для несчетного множества /. Но это противоречит тому факту,
что Мп— редкое множество. Поэтому и множество М
редкое. П
Интересную орду редких множеств образуют а-конечные
множества, которые мы сейчас определим.
013. Определение. Борелевское множество М называется
/-а-конечным, если существует а-конечная мера \i на (Е, ${Е)),
удовлетворяющая следующему условию: \л-пренебрежимые
множества, содержащиеся в М, I-пренебрежимы.
Произвольное множество пространства Е называется I-o-конечным, если
оно содержится в некотором борелевском I-a-конечном
множестве.
Очевидно, можно считать меру \i ограниченной, поскольку
всякая а-конечная мера эквивалентна некоторой ограниченной
мере; если М пренебрежимо, можно взять \i = 0. С другой
стороны, из следующей леммы, относящейся к теории меры
(и заслуживающей эпитета «классическая»), вытекает, что
можно выбрать такую меру \х, что содержащиеся в М jx-npe-
небрежимые множества совпадают с /-пренебрежимыми
множествами, содержащимися в М.
Т14. Теорема. Пусть \i есть а-конечная мера на
измеримом пространстве (Q, #~), и пусть & — некоторое
подмножество о-алгебры $Г, замкнутое относительно (\Jd). Мера \х
разлагается, и притом единственным образом, в сумму \i =
= M-i + М-2> где \i\ сосредоточена на одном элементе из &>
а мера \х2 любого элемента из & равна нулю.
Доказательство. Пусть (Qk) — некоторое разбиение
пространства Q на такие измеримые множества Q&, что
\i(Qk) < + оо для всякого k, и пусть (v/)/e/ — фильтрующееся
возрастающее семейство а-конечных мер, сосредоточенных
на одном (зависящем от меры) элементе из 9 и
мажорируемых мерой [I. Для каждого k существует такая извлеченная
из семейства (vy) последовательность (v*), что supv*(£^) =

42 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
= supvy(Qft). Положим теперь |i,=supv* Мера \i{ сосредо-
/ k, п
точена на единственном элементе семейства $ и является
наибольшим элементом в семействе (vy) (потому что
(M-iVv/)(Qfe) = [x1(Qft) для любых k и /). Теперь понятно, что
мера м-2 = М'-"М'1 каждого элемента из $ равна нулю.
Наконец, единственность такого разложения очевидна. □
Приведем теперь ряд примеров. Поскольку мы к ним еще
вернемся, их нумерация фиксируется.
Примеры
15. (0) Пусть / — внешняя мера, соответствующая мере \л
на Е. Тогда /-пренебрежимые множества являются jx-прене-
брежимыми. Все множества пространства Е являются редкими
и даже а-конечными.
(1) Возьмем в качестве / емкость, принимающую на
пустом множестве значение 0 и значение 1 на всех остальных
множествах пространства Е. Единственным пренебрежимым
множеством является пустое множество. Редкими
оказываются здесь счетные множества, они же будут и а-конечными.
(2) Следующий пример обобщает два предыдущих. Пусть
V — некоторое множество мер на £, компактное относительно
слабой топологии (т. е. топологии поточечной сходимости
функционалов от непрерывных функций). Для всякого боре-
левского множества В из £ положим
/(B.) = sup \х{В)
и продолжим /, полагая I(A) = inf 1(B), В=эЛ, Ве$(£),
для любого множества А из Е. Тогда / является регулярной
предъемкостью. С другой стороны, для всякого компактного
множества К из Е отображение \i-*\x(K) полунепрерывно
сверху в слабой топологии. Так как V слабо компактно,
из теоремы о минимаксе (см. Мейер [24]-Х-6) следует, что /
полунепрерывна сверху на компактах. Множество Е
/-пренебрежимо, если для всякой меры \i e V оно содержится
в некотором [х-пренебрежимом борелевском множестве.
Всякое борелевское множество В, для которого множество
{\i е V: \х (В) > 0} счетно, является /-а-конечным.
Совокупность всех множеств из Е, содержащихся в некотором
(зависящем от рассматриваемого множества) борелевском
множестве, удовлетворяющем последнему условию, является ордой
/-а-конечных множеств.
(3) Предположим, что Е — компактное метрическое
пространство. Пусть h — монотонная возрастающая непрерывная

й. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 43
функция, отображающая R+ в R+, для которой /*(/)> 0 при
/ > 0. Для всякого е > 0 и всякого непустого множества А
из Е полагаем
AjM) = inf£A[a(JU,
Фе п
где б( •) —диаметр множества в рассматриваемой метрике,
(Кп) — покрытие множества А компактами Кп диаметров
6(Кп)^г, а Фе — множество таких покрытий. Положим далее
Ag(0) = O. Пусть теперь для всякого множества А из Е
Ah (A) = sup Л£ (А) = lim л£ (А).
е>0 е->0
Функция множеств Ан называется h-мерой Хаусдорфа ')• Она
представляет собой внешне регулярную (в смысле Каратео-
дори) меру, и известно, что все борелевские множества
ЛЛ-измеримы (см. Федерер [36]). Обозначим через / функцию
множеств ЛЗ, где d—диаметр множества Е. Тогда / —
регулярная емкость (проверка условий п. 7 довольно проста, за
исключением условия полунепрерывности снизу, которое
устанавливается в результате тонкого анализа мер Хаусдорфа;
см. Сион и Сьерв [35] и Дэвис [18]). Множества, являющиеся
/-пренебрежимыми, тождественны ЛЛ-пренебрежимым.
Множества, а-конечные относительно меры Хаусдорфа Л\
образуют орду /-а-конечных множеств.
(4) В следующем примере используются обычные для
теории марковских процессов определения и понятия, которые
читатель может найти в книге Блюменталя и Гетура [1].
Пусть (Pt) есть полугруппа Ханта на Е; обозначим через
(Q, {@~t)> №)> Р') ее каноническую реализацию. Допустим,
что {Pt) удовлетворяет предположению об абсолютной
непрерывности: существует такое распределение вероятностей А
на £, что множества нулевого потенциала тождественны
Я-пренебрежимым множествам. Пусть В — борелевское
множество; обозначим через Тв момент первого входа в В и
положим
1(В) = Р*{ТВ< + оо}.
Продолжим /, полагая /(А) = inf /(В), В => Л, Bel{E). Тогда
/ — регулярная емкость и 7-пренебрежимые множества
оказываются полярными, в то время как полуполярные
множества образуют орду 7-а-конечных множеств. Тот факт, что
они образуют орду, вытекает из их определения. Наконец,
1) См. книгу Роджерса (Rogers С. A., Hausdoiff measures, Cambridge
University Press, 1970); добавлено при корректуре.

44 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
если В — борелевское полуаолярное множество, то по
теореме Ханта существует такая последовательность (Тп)
положительных случайных величин, что множество {(/, со): Xt (co)s=B}
совпадает с объединением графиков величин Тп. Для всякой
ограниченной борелевской функции f на Е полагаем
»(f) = Z2-nEXfoXTn.I{Tn<+oo]l
п
Тем самым определена ограниченная мера \i, сосредоточенная
на В и такая, что всякое jx-пренебрежимое содержащееся в В
множество полярно; поэтому В /а-конечно.
Изучение орд редких множеств
Следующее предложение часто позволяет сравнивать две
орды редких множеств.
Т16. Теорема. Пусть М — редкое борелевское множество,
а Ж — орда множеств из Е. Для того чтобы М
принадлежало Ж, (необходимо и) достаточно, чтобы всякое непрене-
брежимое компактное подмножество множества М содержало
некоторое непренебрежимое борелевское множество,
входящее в Ж.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность, причем можно считать, что М
непренебрежимо. Пусть (М/)/е/—фильтрующееся возрастающее
семейство борелевских подмножеств М, принадлежащих Ж; это
семейство непусто в силу теоремы I-T31 и сделанного
относительно М предположения. Пусть /0 — такое счетное
подмножество множества /, что Mf — / U МЛ пренебрежимо
\k<=h )
для всякого /е/ (см. Т10). Теперь снова из теоремы I-T31
и сделанного относительно М предположения вытекает, что
множество М — ( \J МЛ пренебрежимо. Так как Ж со-
держит JP, понятно, что М принадлежит Ж. П
Укажем один частный случай, когда можно утверждать,
что орда редких множеств совпадает с ордой а-конечных
множеств.
Т17. Теорема. Пусть L —множество мер X на Е,
обращающихся в нуль на каждом I-пренебрежимом борелевском
множестве. Если всякое борелевское множество, к-пренеб режимов
для всех X е L, I-пренебрежимо, то любое редкое множество
является 1-о-конечным.

й РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 45
Доказательство. В силу теоремы 16 достаточно
показать, что всякий непренебрежимый редкий компакт К
содержит некоторое непренебрежимое 7-а-конечное борелевское
множество. Пусть мера ЯеТ, такова, что Х{К)фО; можно
считать, что Я сосредоточена на К. Пусть (Л//)/е/—
фильтрующееся убывающее семейство борелевских подмножеств
множества К, на которых сосредоточена Я. По теореме 10
существует такое счетное подмножество /0 множества /, что
множество
( П мл-м,
является 7-пренебрежимым (а потому и Я-пренебрежимым, так
как Я принадлежит семейству L) для всех / е /. Мера Я
сосредоточена на борелевском множестве М = ( П МЛ, и вся-
кое содержащееся в М Я-пренебрежимое борелевское
множество является 7-пренебрежимым; поэтому М — непренебрежимое
7-а-конечное борелевское множество, содержащееся в ТС. П
Примеры. 15(3) Если Е — компакт в R", получаем
следующий результат, принадлежащий Безиковичу и Дэвису
(см. Карлесон [20]): всякое непренебрежимое борелевское
множество содержит компакт ненулевой конечной Лл-меры.
Множества, редкие относительно 7, поэтому тождественны
в силу теоремы 16 множествам, а-конечным относительно
меры Хаусдорфа ЛЛ. Можно, однако, привести пример
метрического пространства Е и функции /г, для которых всякое
редкое борелевское множество оказывается пренебрежимым,
тогда как само пространство Е является густым (см. Дэвис
и Роджерс [19]). Совпадают ли совокупности ЛЛ-а-конеч-
ных, 7-а-конечных и редких множеств в общем случае,
неизвестно.
15(4) В случае процесса Ханта условия теоремы 17
выполнены (это легко вывести из теоремы о сечениях I-T37).
Поэтому орда редких множеств совпадает с ордой
7-а-конечных множеств. Полуполярные множества а-конечны, но
обратное утверждение неверно, если существуют точки,
регулярные для самих себя. В случае, когда точки полуполярны,
представляется вероятным, что и всякое редкое множество
полуполярно (Шоке [41] формулирует этот результат без
доказательства для некоторых ядер в теории потенциала и,
в частности, для ньютоновского ядра).
Приведем, наконец, анонсированную во введении теорему
об аппроксимации снизу. Содержащиеся в ней утверждения (а)
и (б), очевидно, эквивалентны. Приведя набросок доказатель-

46 ГЛ II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
ства, мы вернемся к примерам п. 15 с тем, чтобы закончить
доказательство в следующем пункте.
Т18. Теорема, (а) Пусть М — борелевское множество,
а Ж — орда редких множеств прэстранства Е. Для того
чтобы М принадлежало Ж, (необходимо и) достаточно, чтобы
всякий содероюащийся в М компакт принадлежал Ж.
(б) Пусть В — борелевское множество, а Ж— орда редких
множеств пространства Е. Если В не принадлежит Ж, то
в В содержится некоторый не принадлежащий Ж компакт.
Доказательство. Докажем теорему в форме (б).
Предположим, что множество В фЖ редкое. Из теоремы 12
следует, что В представимо в виде объединения
последовательности компактов и некоторого пренебрежимого
множества. Теперь понятно, что В содержит некоторый компакт
КфЖ. Так как редкие множества образуют орду Ж, мы,
таким образом, свели все к случаю Ж = Ж. Иначе говоря,
мы должны доказать, что густое борелевское множество
содержит густой же компакт. Это мы и докажем после нового
обзора примеров п. 15. □
Примеры. 15(1) Мы вновь получаем теорему
Александрова — Хаусдорфа (см. Т4): всякое несчетное борелевское
множество содержит несчетный компакт. В действительности,
именно для того, чтобы получить новое доказательство этой
теоремы, Серпинский ввел в работе [33] понятие скрепера.
15(2) Если V — слабый компакт мер на £, а борелевское
множество В не является jx-пренебрежимым для несчетного
множества мер \i e V, то в В содержится некоторый
компакт, обладающий тем же свойством.
15(3) Если борелевское множество В не является а-конеч-
ным относительно некоторой меры Хаусдорфа Лл, то оно
содержит некоторый компакт, также не являющийся а-конечным
относительно ЛЛ. Эта теорема в случае, когда Е — компакт
в R", принадлежит Дэвису [16], а в общем случае —Сиону
и Сьерву [35].
15(4) Если В — борелевское множество, не являющееся
полуполярным относительно некоторой полугруппы Ханта
(удовлетворяющей гипотезе об абсолютной непрерывности),
то В содержит также неполуполярный компакт. В такой
форме ]) эта теорема восходит к Деллашери [6].
1) На самом деле этот результат сохраняется и для строго
марковской полугруппы (удовлетворяющей предположению об абсолютной
непрерывности), пространство Е состояний которой представляет собой
борелевское множество в метризуемом компактном пространстве.

2. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 47
Доказательство теоремы 18
Напомним, что мы должны доказать следующее: всякое
густое борелевское множество содержит густой компакт.
В действительности мы получим более точный результат
благодаря понятию густоты, которое сейчас будет введено.
19. Пусть В—густое борелевское множество. По
определению, В содержит все элементы некоторого несчетного
семейства (Bt)t(=T попарно не пересекающихся непренебрежимых
борелевских множеств. Поэтому существует такое е > 0, что
множество {t e T: I(Bt) > e} несчетно. Назовем густотой
множества В число J(В), равное верхней грани всех
положительных е, для которых существует несчетное семейство
попарно не пересекающихся борелевских множеств,
содержащихся в В и имеющих емкость > е; J (В) строго
положительно и, возможно, равно + оо. Продолжим функцию /,
полагая /(М) —0, если М — редкое борелевское множество,
и J(A)= inf J {В), BzdA, В<^$(Е), для произвольного
множества А в Е.
Т20. Теорема. Густота J является регулярной предъем-
костью на (Е, $)*
Доказательство. Функция /, очевидно,
удовлетворяет условиям 7(a), 7(6) и 7(д), а также условию 7(г),
поскольку 7-пренебрежимые множества являются редкими.
Остается проверить, что для / выполняется и условие 7(в),
означающее, что если (Ап) — возрастающая
последовательность множеств из £, то
J{A) = supJ{An), где А = [)Ап.
Поскольку всякое множество из Е содержится в некотором
борелевском множестве той же густоты, понятно, что можно
считать все Ап борелевскими (и нередкими). Пусть е</(Л);
обозначим через (Bt)t^T несчетное семейство попарно не
пересекающихся борелевских множеств, содержащихся в Л и
имеющих емкость > е. Так как / удовлетворяет условию 7(в),
существует отображение t->n(t) множества Т в N, для
которого при любом feT
I{An{t){]Bt)>B.
А так как Т несчетно, существует такое целое п, что
множество
{t&T: I{An(\Bt)>z)
несчетно. Отсюда следует, что J{An) превосходит е. Поэтому
/(4) = sup/(4). p

48 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
Густота /, вообще говоря, не является емкостью: в
примере 15(1), если только пространство Е несчетно, существуют
убывающие последовательности несчетных компактов со
счетным пересечением. В то же время для этого типа предъем-
костей получена теорема об аппроксимации, аналогичная
теореме об /-измеримости. Поскольку редкие множества
тождественны /-пренебрежимым, из этой теоремы, очевидно,
вытекает, что всякое густое борелевское множество содержит
густой компакт.
Т21. Теорема. Для всякого борелевского множества В
J {В) = sup / {К), К^В, К^&.
Доказательство. Очевидно, можно считать В густым.
Мы должны доказать, что если J (В)> в для некоторого е > О,
то В содержит такой компакт /С, что /(К)^е. Пусть поэтому
е >0 таково, что /(В)>е, и (Bt) — некоторое несчетное
семейство попарно не пересекающихся борелевских множеств
емкости > е, содержащихся в В. Предположим вдобавок, что
все множества Bt компактны, это возможно согласно
теореме I-T31. Обозначим через ^ совокупность таких
множеств А из Е, что множество
TA = {te=T: 7(ЛПВ*)>е}
несчетно, и будем считать доказанным, что
^—дихотомическая /-система. Тогда можно применить теорему 3, сохранив
введенные в ней обозначения, и утверждать, что В содержит
компакт /С, представимый в виде объединения несчетного
семейства (Kt) таких попарно не пересекающихся компактов,
что Ki при каждом / является пересечением убывающей
последовательности {Ки п) компактов, принадлежащих <&. В
частности, имеем I{Ki,n) > е для всех / и п, а потому I(Ki)^&
при всяком /. Отсюда следует, что J (К) превосходит или
равно е. Остается только доказать, что ^—дихотомическая
/-система; это и будет предметом следующих двух лемм.
Лемма. Множество & является I-системой.
Доказательство аналогично доказательству второй
части теоремы 20. Пусть (Ап) — возрастающая
последовательность, объединение А которой принадлежит ®\ Множество
Гл = {/еГ: I (А(] Bt) > e} несчетно по определению, и
существует такое отображение t->n(t) множества ТА в N, что
/ {An(t) Г) Bt) > е для всякого t e ТА. Поэтому существует такое
целое п, что множество {t e TA: I(An f| Bt) > е} цесчетно, а это

L РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ) 49
означает, что Ап принадлежит V. Теперь очевидно, что ^
есть /-система. П
Чтобы доказать дихотомичность системы &, мы снова
воспользуемся понятием точки конденсации, применяя его на сей
раз к топологии Хаусдорфа на компактных множествах
пространства Е. Напомним сначала определение этой топологии.
Пусть d — расстояние в пространстве Е, совместимое с
его топологией. Обозначим через X множество всех непустых
компактных множеств пространства Е. Расстояние б в X
определяют, полагая для {Lu L2), принадлежащего ХУ^ХУ
6(LI,L2) = inf{a>0: L{ cz 1% и L2c:L?},
где La обозначает открытую окрестность порядка а
компакта L в пространстве Е с расстоянием d. Пространство X
с так определенным расстоянием б оказывается метрическим
компактом (см. Куратовский [22]). Заметим, что если L
—непустой компакт пространства Е и V — некоторая окрестность
компакта L в £, то непустые компактные множества
пространства Е, содержащиеся в V, образуют окрестность
множества L в X.
Лемма. 1-система <$? является дихотомической.
Доказательство. Пусть Л—элемент /-системы W и
TA = {t<=T: I{A(\Bi)>B).
Семейство компактов {Bt)t^T —несчетное множество,
лежащее в компактном метрическом пространстве X; поэтому (Bt)
содержит два (непересекающихся) компакта В*0 и Bttf
являющихся точками конденсации этого семейства в X. Обозначим
через Фо{А) и Ф{{А) две непересекающиеся компактные
окрестности соответственно множеств В/0 и Btx в
пространстве Е. Поскольку каждая из Ф/И) (''=0, 1) содержит по
несчетной совокупности элементов семейства (Bt)t^T ,
множества Ф0 {А) П А и Ф! (А) П А принадлежат системе V;
следовательно, /-система ^ дихотомическая. П
Наконец, укажем следующее интересное уточнение
теоремы 21, получающееся, если использовать в доказательстве
вместо теоремы 3 теорему 5. Из него, в частности, следует,
что всякое густое борелевское множество содержит
некоторый густой компакт, представимый в свою очередь в виде
объединения 2N густых компактов.

50 ГЛ. И. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
Т22. Теорема. Пусть В—густое борелевское множество.
Для всякого e<J(B) существует компакт /(, содержащийся
в В и представимый в виде объединения 2N компактов
густоты ^8.
3. Редкие множества (абстрактный случай)
23. Теперь (Е, 8) будет обозначать пространство с
покрытием, замкнутым относительно (fid). Будем дополнительно
предполагать, что для покрытия 8 выполнено одно из
следующих двух условий:
(а) дополнение всякого элемента покрытия 8 является
элементом покрытия 8а;
(Р) покрытие 8 компактно, и дополнение любого элемента
из 8 является элементом из 8.
В обоих случаях мозаика 8, порожденная покрытием 8,
совпадает с а-алгеброй, порожденной 8. Заметим, что в
топологическом случае выполнялись оба условия (а) и (|$).
Вновь обозначим через / некоторую регулярную /-систему
на (£, 8). Теперь теория, начиная с определения 9 вплоть
до теоремы 20 включительно, строится точно так же, как и
в топологическом случае: достаточно заменить слова
«компактный» на «элемент покрытия 8», а «борелевский» — на
«элемент мозаики (или а-алгебры) 8». Доказательство же
теоремы 21, в котором используются существенно
топологические соображения, такой простой перестройки не
допускает. В абстрактном случае возможно к тому же, что на Е
вовсе не существует нетривиальной дихотомической /-системы.
Вот пример такой ситуации.
Пример. Возьмем в качестве Е некоторое несчетное
множество, и пусть 8 — замкнутое относительно ( П d) покрытие, по-
рожденное множествами вида {х} или {Е} — х, где х
пробегает пространство Е\ множество А из Е принадлежит
покрытию 8, если А содержит конечное число элементов или
если Ас счетно. Покрытие 8 компактно, и 8 совпадает с 8а.
Поскольку пересечение двух несчетных элементов покрытия 8
всегда непусто, на Е не может существовать дихотомической
/-системы (отличной от $ (Е)). Пусть теперь / — регулярная
емкость на (£, 8), принимающая значение 0 на пустом
множестве и 1 на всех остальных множествах из £; Е густо,
и любые два густых множества из Е имеют непустое
пересечение.
Мы ограничимся тем, что проведем в абстрактном случае
доказательство аналога теоремы 18. Для этого будет введено

3. РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (АБСТРАКТНЫЙ СЛУЧАЙ) 5!
понятие прёдъемкости, ассоциированной с некоторой ордой;
очевидно, что это понятие может быть равным образом
определено и в топологическом случае.
Изучение орд редких множеств
24. Если регулярная предъемкость/ мажорируется емкостью /,
то совокупность всех /-пренебрежимых множеств является
ордой. Обратно, всякой орде Ж можно следующим образом
сопоставить некоторую регулярную предъемкость: положим
для всякого элемента В из 8
J(B)=mfI(B-M), М<=Ж(\£.
Так как Ж замкнута относительно (lid), нижняя грань здесь
достигается. Легко проверить, что /(В) = 0 тогда и только
тогда, когда В принадлежит Ж, и что / (U Вп) = sup / (Вп)
для всякой возрастающей последовательности {Вп) элементов
из <§\ Продолжим /, полагая 1(A) = inf /(B), BzdA, B^B.
Полученная таким образом функция /, называемая
предъемкостью, ассоциированной с ордой Ж, оказывается
регулярной предъемкостью, мажорируемой емкостью /, а Ж
оказывается совпадающей с совокупностью /-пренебрежимых
множеств. Кроме того, / обладает следующим свойством:
если J(M) = 0, то J{A[)M) = J(A) для всякого As=f{E). (*)
Докажем теперь слабую теорему об аппроксимации для
предъемкостей, мажорируемых емкостью /. В соответствии
со сказанным выше абстрактный вариант теоремы 18
получается тогда как непосредственное следствие этой
теоремы.
Т25. Теорема. Пусть /—регулярная предъемкость на (£, <§Г),
мажорируемая емкостью /, и пусть В — элемент из &, не
являющийся J-пренебрежимым. Тогда выполняется одно из
двух условий:
(а) множество В содержит некоторый элемент из &\ не
являющийся J-пренебрежимым;
(б) множество В содержит некоторый густой элемент из %>.
Доказательство. Можно считать, что /
удовлетворяет условию (*), если только заменить / предъемкостью,
ассоциированной с ордой /-пренебрежимых множеств.
Предположим, что условие (а) не выполняется, и покажем, что
тогда выполнено условие (б). Пусть е — действительное число,
для которого 0 < е < / (В); обозначим через ^ /-систему

52 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
{A: J{Af[B)> e}. Будем считать доказанным, что/-система &
является дихотомической. Как и при доказательстве
теоремы 21, теперь можно применить теорему 3: множество В
содержит элемент К покрытия ё\ представимый в виде
объединения несчетного семейства (Ki) попарно не
пересекающихся элементов покрытия <8\ таких, что Ki при всяком /
является пересечением некоторой убывающей
последовательности (Ki,n) элементов из <^Л^- Так как / мажорируется
емкостью /, имеем I{Kttn)>B для всех (/, п), а потому и
ПКд^в для всякого и Отсюда следует, что К — густой
элемент покрытия <$. Нам теперь остается доказать, что
^ дихотомична (когда условие (а) не выполняется). Пусть
А — некоторый элемент из <&', обозначим через VA ограничение
/-системы Ф на А (см. п. 1; заметим, что Фв совпадает с Ч?).
Мы должны доказать, что /-система VA содержит два
непересекающихся элемента Е0 и Е\ покрытия <%. Так как В
принадлежит ^П^, существует, согласно теореме I-T24, такая
убывающая последовательность (Кп) элементов из <ВА П &\ что
В содержит множество Л Кп- Поскольку это последнее
п
множество, по предположению, /-пренебрежимо, получаем
J(A{\B) = J(A{\(B — П/СЛу, иначе говоря, множество \J Кп
принадлежит VA. Рассмотрим теперь по отдельности случаи,
когда покрытие <$ удовлетворяет условию 23(a) или
условию 23 (р):
(а) Так как последовательность \Кп) возрастающая,
существует такое целое р, что КСР принадлежит /-системе ^А. Но
поскольку само КСР является объединением некоторой
возрастающей последовательности (Ln) элементов из & (см. 23 (а)),
найдется такое целое q, что Lq принадлежит фА. Поэтому
достаточно положить Е0 = КР и Е{ = Lq.
(Р) Так как множество U Кп принадлежит VA П 8, мы снова
п
можем применить теорему I-T24. Существует, следовательно,
такая убывающая последовательность (Ln) элементов из
^а П &* что U Кп содержит П /'л- Поскольку множества
я п
Г) Кп и П Ln не пересекаются, а покрытие & компактно
п п
(см. 23 ({$)), существует такое целое п, что Кп и Ln не
пересекаются. Поэтому достаточно положить Е0 = Кп и Е\ == ^я- П
Для случая, когда /—предъемкость, ассоциированная
с некоторой ордой редких множеств, мы получаем теперь
теорему об аппроксимации.

3 РЕДКИЕ МНОЖЕСТВА (АБСТРАКТНЫЙ СЛУЧАЙ) 53
Т26. Теорема. Пусть В — элемент мозаики §\ а Ж — орда
редких множеств пространства Е. Если В не принадлежит Ж,
то В содержит элемент покрытия &, не принадлежащий Ж.
Замечание. В абстрактном случае, вообще говоря,
неверно, что густой элемент из § содержит густой элемент
из &, представимый в виде объединения семейства из 2N
густых элементов покрытия <$.
Следующий пример мы рассмотрим с других позиций и
более подробно изучим в гл. VI.
27. Пример. Пусть (Q, 9~, Р) — полное вероятностное
пространство. Положим Е= R+ XQ и обозначим через <§
покрытие на Е, образованное такими элементами К из ^(R+)®^,
что для всякого coeQ сечение К (со) является компактом
пространства R+. Покрытие <8\ вообще говоря, не компактно,
но можно показать, что оно удовлетворяет условию 23(a)
и мозаика & совпадает с a-алгеброй ^(R+)®#~. Обозначим
через я проекцию пространства R+ X й на Q и для всякого
множества А из Е положим
1(А) = Р*[л(А)].
Мы предоставляем читателю проверить, что / — регулярная
емкость; по существу это та же самая емкость, что и в
примере 1-29(3). Множество пространства R+X^
/-пренебрежимо, если его проекция на Q Р-пренебрежима. График [Z]
положительной случайной величины Z (с конечными
значениями или нет) является /-a-конечным элементом покрытия &ш
В самом деле, мера \i на (Е, <§), определенная равенством
li (A) = P[n (A [)[Z])l Ae=£,
обращается в нуль на 7-пренебрежимых множествах, и A f| [Z]
/-пренебрежимо, если \i(A) = 6 (заметим, что, согласно
теореме I-T32, л (А П [Z]) принадлежит #", если А принадлежит %).
Обозначим через Ж орду, образованную множествами А
пространства Е, содержащимися в некотором счетном
объединении графиков положительных случайных величин с точностью
до некоторого /-пренебрежимого множества. Из теоремы
о сечениях I-T37 и теоремы 16 следует, что Ж совпадает
с ордой всех редких множеств (а также с ордой /-а-конечных
множеств). В частности, если А —редкий элемент мозаики <§*,
то множество {со е Q: А (со) несчетно} является Р-пренебрежи-
мым. Мы установим обратное утверждение в гл. VI: элемент А
мозаики <f, для которого множество {coeQ: Л (со) несчетно}

54 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
Р-пренебрежимо, содержится в некотором счетном
объединении графиков положительных случайных величин с точностью
до некоторого /-пренебрежимого множества. Так как по
теореме 26 всякий густой элемент из & содержит некоторый
густой элемент из <$, достаточно в действительности
показать, что для всякого густого элемента К из <$ множество
{соей: К (со) несчетно} принадлежит 9 и не является Р-пре-
небрежимым.
Добавление
Дихотомические 1-системы и аналитические множества
Пусть (£, <$) — пространство с покрытием, замкнутым
относительно (f| d). Напомним, что /-система Ф на Е
называется ^-дихотомической, если для любого принадлежащего ^
множества А пространства Е ограничение <ёА системы ^ на А
содержит два непересекающихся элемента Ф0{А) и Ф1 (Л)
из &. Докажем теперь аналог теоремы 3 для
^-аналитических множеств. Можно было бы, как и при доказательстве
теоремы 3, воспользоваться теоремой I-T40, но мы дадим
доказательство, не использующее технику скреперов.
Т28. Теорема. Пусть <8 — ^-дихотомическая I-система, а
А — <$-аналитическое множество, принадлежащее *&.
Существует несчетное семейство (Ь{) попарно не пересекающихся
элементов покрытия <§> содержащихся в А и
удовлетворяющих следующим условиям:
(а) Lt при всяком i является пересечением некоторой
убывающей последовательности элементов из S{\^\
(б) объединение L множеств Lt является элементом
покрытия $ (содержащимся в А).
Доказательство. Сначала при тех же
предположениях докажем две леммы.
Лемма. Пусть ^А — ограничение системы *& на Л. Для
всякого В ^ffofl^A существуют два непересекающихся
элемента Wo (В) и ^(В) из <$[¥ёА, содержащихся в В.
Доказательство. Так как В = (J Вп, где (Вп) — неко-
п
торая возрастающая последовательность элементов
покрытия <$> существует такое целое п, что Вп е <&А. Теперь
достаточно положить y¥i(B) = Bn(]Oi(Bn) для / = 0, 1.
Лемма. Теорема 28 верна при дополнительном
предположении, что А — элемент из ^аб.

ДОБАВЛЕНИЕ 55
Доказательство. В том, что касается двоичных слов,
мы сохраним обозначения, введенные нами при
доказательстве теоремы 3. Пусть А= П LM?» гДе C^/Op^n при всяком
я р
целом ^—-некоторая последовательность элементов из <$.
Рекуррентно определим такое отображение m->Lm
множества D конечных двоичных слов в покрытие <$, что Lm при
всяком т есть элемент из ^А. Положим
£о=^о[у4]> 1, = ^[у4]
и в общем случае, если т — слово длины п и Lm уже
определено,
Lm0 = Y0[Lm П (LI Апр+')], LMl = Vx [Lm П (U 45+1)].
Это возможно, поскольку Lmn(lMp+1) является элементом
из ^абП^л- Пусть, наконец,
L^ = П£ц для всякого \i e D^ и L= (J L.
Каждое L» содержится в А, так как L^ содержится в (J Ар]
п р
семейство (L^) несчетно, и любые два различных элемента
этого семейства не пересекаются. Учитывая изменения в
прежних обозначениях, мы должны показать, что L принадлежит £Г,
а это вытекает из равенства
^^П U Lm (формула дистрибутивности),
п m€=Dn
так как множество Dn двоичных слов длины п конечно.
А теперь докажем теорему 28. Пусть (К, Ж) —
вспомогательное пространство с покрытием, причем Ж — компактное
покрытие, содержащее К (это можно было бы предполагать
всегда), и пусть В — такой элемент из {Ж ® ^)аб, что А = л (В),
где л обозначает проекцию пространства КУ^Е на £. Через Г
обозначим /-систему на КХ.Е, образованную всеми
множествами Я, для которых я(Я)е^. Эта /-система Г является,
очевидно, (Ж ® ^-дихотомической. Согласно последней
лемме, примененной к пространству с покрытием (К X Е,
{Ж ® <^)б), дихотомической /-системе Г и элементу В из
Т[\{Ж<8>(э)ф существует такое цесчетцое семейство (Ki)

56 ГЛ. II. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
попарно не пересекающихся и содержащихся в В элементов
из {Ж ® 8)б, что каждое Ki представимо в виде
пересечения некоторой убывающей последовательности элементов из
Г П {Ж ® <Юб и объединение множеств Ki принадлежит {Ж ®<?0б.
В силу определения Г и теоремы I-T7 достаточно теперь
положить Li = n(Ki), чтобы получить семейство (L;),
удовлетворяющее условиям теоремы. П
Замечания. (1) Воспроизводя доказательство теоремы 5,
можно получить усиление теоремы 28, аналогичное теореме 5.
(2) Отметим, что при доказательстве того факта, что
всякий элемент из <ё>, принадлежащий покрытию 8\ содержит
два непересекающихся элемента из 8[\Ф, мы не
пользовались ничем иным, кроме слабой формы дихотомичности
рассматриваемой /-системы.

КОММЕНТАРИИ К ЧАСТИ А
(1) Емкости. Понятие емкости введено Шоке в его
фундаментальном мемуаре [40], большая часть которого посвящена
изучению структуры некоторых емкостей. Теорема об
/-измеримости приведена там в топологической форме, но позже
Шоке заметил, что естественной для нее является
абстрактная форма: в работе [42] он доказал /-измеримость
абстрактных аналитических множеств, определяемых в соответствии
со схемами Суслина. В то же самое время, когда Шоке
получил свой первый топологический вариант этой теоремы в очень
общей ситуации (его заметка в Comptes Rendus датирована
1952 годом), Дэвис, занимаясь проблемами аппроксимации
снизу в теории мер Хаусдорфа, фактически доказал в [15]
абстрактный вариант этой теоремы с помощью схем Суслина.
К сожалению, он настолько увлекся частной формулировкой
интересовавших его вопросов, что его работа долго оставалась
неизвестной аналитикам других специальностей. К тому же
и более поздние замечательные работы Дэвиса, к которым мы
еще обратимся ниже, пока еще слишком мало известны.
Работы Шоке во многом содействовали нынешнему
возрождению интереса к различным теориям аналитических
множеств. В частности, первое доказательство теоремы об
/-измеримости, данное Шоке [40], выявило значение определения
аналитических множеств как образов более простых множеств,
получаемых в результате «хороших отображений», причем это
определение работает и в абстрактном случае, где оно
оказывается эквивалентным определению, основанному на
схеме Суслина, но намного более удобно, чем последнее (см.
Мейер [24]). С другой стороны, следует заметить, что Сион
доказал теорему об /-измеримости, чисто топологическую по
своей природе, которая не содержится среди представленных
здесь формулировок (см. Сион [34] или Бурбаки [2]).
(2) Скреперы. В § 2 гл. I воспроизводится в улучшенном
изложении наш доклад [6] на семинаре по теории
вероятностей в Страсбурге, из которого также взяты первые пункты
из § 1 гл. II. Комментарии к разделу
«Приложения» из § 3 гл. I находятся среди комментариев к части Б.

58 ГЛ ТТ. МНОЖЕСТВА, РЕДКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕМКОСТИ
Как мы уже указывали, техника скреперов —но не
терминология— восходит к Серпинскому [33], где она рассматривается
в топологическом плане, а изучаемая /-система образована
всеми несчетными множествами. Доказательства обеих
фундаментальных теорем (I-T21 и Н-ТЗ) очень близки к
оригинальным доказательствам работы [33], а их обобщения на
аналитические множества содержатся в [6]. Усиление II-T5
теоремы Н-ТЗ основано на идеях Дэвиса [17], хотя Серпинскому
уже около 1930 г. был известен усиленный вариант II-T6
теоремы Александрова — Хаусдорфа.
В русской и польской математических школах почти не
интересовались доказательством теорем об аппроксимации
снизу (за исключением измеримости аналитических множеств
пространства R", доказанной Лузиным в 1918 г.). Этим,
несомненно, и объясняется, почему Серпинский не
воспользовался в полной мере своим методом, оказавшимся вскоре
забытым (Дэвис, однако, сообщил мне частным образом, что
он употреблял скреперы в первом, неопубликованном, варианте
работы [15]). Теорема Александрова—Хаусдорфа и ее
обобщение, принадлежащее Суслину, установлены их авторами
при изучении мощности борелевских и аналитических множеств
(см. название статьи [33] Серпинского, точно определяющее
цель работы): со времен Кантора было известно, что
несчетный компакт в пространстве R* имеет мощность континуума.
(3) Редкие множества. В § 2 и § 3 гл. II воспроизводится
без каких-либо значительных изменений наш доклад [9] на
семинаре Брело — Шоке — Дени. Мы добавили сейчас лишь
понятия густоты и предъемкости, ассоциированной с данной
ордой, не представляющие сами по себе большого интереса,
но несколько проясняющие отдельные моменты доказательств.
Происхождение примеров подробно описано в основном тексте.
Вообще результаты этих параграфов восходят в основном
к работам Дэвиса: так, идея использовать топологию
Хаусдорфа при доказательстве теоремы П-Т21 заимствована из
статьи [17], в то время как доказательство теоремы II-T25
представляет собой обработку доказательства из [16]. Данное
нами в добавлении доказательство теоремы о дихотомических
/-системах для аналитических множеств является новым.
Комментарии к примеру П-27 отнесены в конец части Б.

ЧАСТЬ Б. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ
Глава III
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
1. Общая терминология
1. В этой главе мы считаем, что заданы вероятностное
пространство (Q, У, Р), называемое основным пространством,
и измеримое пространство (Е, %>), называемое пространством
состояний (чаще всего оно будет компактным метризуе-
мым пространством). Множество R+ интерпретируется как
шкала времени, а его элементы называются моментами;
при этом мы говорим, что момент s является
предшествующим (соотв. строго предшествующим) моменту /, если
s ^ t (соотв. s < t).
2. Стохастическим процессом (или, проще, процессом)
называется всякое семейство отображений (Xt)t&f( пространства Q
в Е, такое, что при каждом t отображение Xt является
случайной величиной. Для всякого со е Q отображение t->Xt(<d)
множества R+ в Е называется траекторией точки со. Если
Е — топологическое пространство, мы будем, допуская
вольность речи, говорить, что процесс является (п. н.)
непрерывным, если (почти) все его траектории непрерывны.
Аналогично определяются понятия процесса, непрерывного справа,
процесса, непрерывного слева, процесса, обладающего
пределами слева, причем считается, что всякое отображение
множества R+ в Е непрерывно слева в момент 0.
3. Чаще всего мы будем интерпретировать случайный
процесс (Xt) как отображение X: (t, со) -> Xf (со) пространства
R+ X й в Я; в частности, для нас безразлично, писать X(t, со)
или Х*(со). Если не оговорено противное, пространство R+ XQ
будет предполагаться снабженным а-алгеброй ^f(R+)®^, и
мы будем говорить, что случайный процесс X = (Xf) измерим,
если X— измеримое отображение пространства R+ X Q в Е.
4. Процесс X = (Xt) называется действительным (соотв.
действительным и конечным), если его множеством состояний
служит R (соотв. R), и ограниченным, если к тому же
отображение X ограничено. Ясно, что множество в R+ X &
измеримо тогда и только тогда, когда индикатор этого множества —

60 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
измеримый процесс. Вообще мы будем приписывать
измеримому множеству в R+ X Q эпитеты, относящиеся к его
индикатору, рассматриваемому в качестве процесса.
5. Пусть X=(Xf) и Y=(Yt) -— два процесса с общими основным
пространством и пространством состояний. Будем говорить,
что Y — модификация процесса X, если для всякого /^R+
множество {соей: X*(со)=т^У*(со)} пренебрежимо. Если
вдобавок пренебрежимо и множество U {со е Q: Х*(со)=#=У*(со)},
будем называть процессы X и Y неотличимыми.
Действительный процесс, неотличимый от процесса, тождественно равного
нулю, будет называться несущественным. Процесс Y может
быть модификацией процесса X, не будучи от него
неотличимым. Так, если (Q, #~) = (R+, ^(R+)), a Р—непрерывное ])
распределение вероятностей, то диагональ R+ X R+
представляет собой модификацию процесса, тождественно равного
нулю, но не является несущественным процессом.
Справедлива, однако, следующая теорема, которой мы в дальнейшем
часто будем пользоваться.
Т6. Теорема. Предположим, что Е — отделимое
топологическое пространство, и пусть XuY —два процесса, п. н.
непрерывные справа (соотв. слева). Если Y является
модификацией процесса X, то Y неотличим от X.
Доказательство. В пространстве Q существует такое
пренебрежимое множество N, что для со е № траектории
Х(., со) и У(., со) непрерывны справа (соотв. слева) и X(t, co) =
= Y(t, со) при всех рациональных t. Переход к пределу сразу же
показывает, что X(t, со) = У(£, со) для любого feR+, если
®е=#с. □
С другой стороны, ясно, что всякий процесс, п. н.
непрерывный справа (соотв. слева), неотличим от некоторого
процесса, непрерывного справа (соотв. слева).
7. Пусть {&~t)t<=R —возрастающее семейство а-подалгебр
а-алгебры #~, т. е. такое, что @~s содержится в &~t, если 5
предшествует t. Будем называть а-алгебру ЯГи где /£R+>
а-алгеброй событий, предшествующих моменту t, и через ЯГ^
будем обозначать а-алгебру, порожденную всеми а-подалге-
брами yt. Для всякого /eR+ положим
s>t s<t
!) То есть приписывающее нулевую массу одноточечным множ§*
ствам, — Прим. перев.

2. ПРОГРЕССИВНО ИЗМЕРИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 61
где, по определению, #"о- = #"о- Семейство (&~t) называется
непрерывным справа, если &~t = @~t+ для каждого /. Таким
образом, семейство (9t)f где $t = &~t+ для каждого ^sR+,
непрерывно справа. Обычно семейства а-алгебр, которые нам
придется рассматривать, будут непрерывными справа. Мы
называем а-алгебру ^-, где /£R+> а-алгеброй событий,
строго предшествующих моменту t. В § 3 мы увидим, что
понятие непрерывности слева будет интересным при
рассмотрении возрастающих семейств а-алгебр.
В этой главе раз и навсегда фиксируется некоторое
возрастающее семейство а-подалгебр {&~t)t€ER данной а-алге-
бры &'. Понятия, определением которых мы сейчас займемся,
относятся к (#~*).
2. Прогрессивно измеримые процессы и моменты остановки
08. Определение. Процесс (Xt) называется согласованным
с семейством (#"*), если для всякого ^eR+ случайная
величина Xt является 9~ ^-измеримой.
Процесс {Xt) всегда согласован с его «естественным»
семейством а-алгебр (^), где &~t = T{Xs, s^t}1) при всяком t.
С другой стороны, модификация согласованного случайного
процесса также является согласованной, если каждая а-алге-
бра &~t содержит все пренебрежимые множества из #~.
Интересно выделить процессы, измеримость которых
согласована также с течением времени.
09. Определение. Процесс {Xt) называется
(^^-прогрессивны! i (или прогрессивно измеримым), если для всякого (gR+
отображение (s, co)-> X(s, со) множества [0, <] X Q б £
измеримо в предположении, что [О, t] X ^ снабжено произведением
а-алгебр $([0, t]) ® Tt.
Всякий прогрессивно измеримый процесс является,
очевидно, согласованным и измеримым, но обратное неверно: если
(Q, #") = (R+, $(R+)), a P — некоторое непрерывное
распределение вероятностей, то диагональ R+ X R+ измерима и
согласована с семейством (#%), где @~t при всяком t представляет
собой а-алгебру, порожденную точками полупрямой R+, но
R+ X R+ не является прогрессивно измеримым процессом для
этого семейства (#~*). Однако если ^ = #~ при всех t, то
прогрессивно измеримые случайные процессы совпадают с
измеримыми.
1) Относительно этого обозначения см. п. 6 введения. —Прим. пер ев.

62 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
10. Прогрессивно измеримые множества из R+ X & образуют
а-алгебру, содержащуюся в а-алгебре $ (R+) ® У измеримых
множеств; мы называем первую из них а-алгеброй
прогрессивно измеримых множеств. Так что случайный процесс Х =
— {Xf) прогрессивно измерим тогда и только тогда, когда
X — измеримое отображение множества R+ X 2 в £, причем
R+ X й снабжено а-алгеброй прогрессивно измеримых
множеств.
Следующая теорема дает два важных примера
прогрессивно измеримых процессов, которые будут изучаться в гл. IV.
Т11. Теорема. Пусть Е — метризуемое топологическое
пространство, а X = (Xt) — согласованный и непрерывный справа
{соотв. слева) процесс. Тогда X является прогрессивно
измеримым процессом.
Доказательство. Предположим, что случайный
процесс X непрерывен справа. Пусть ^gR+, nsN, и пусть для
любого натурального k ^ 2п и для любого s, принадлежащего
Xn{s,.) = X(k2~nt, .).
Положим также Хп(0, .) = ^(0, .)• Таким образом определяется
отображение Хп множества [0, t] X & в Е, являющееся,
очевидно, измеримым, если считать, что [0, t] X Q снабжено
а-алгеброй $([0, t]) ® #\. Устремляя п к + оо и переходя
к пределу, получаем, что отображение (s, co)->X(s, со)
множества [0, t] X Q в Е также измеримо относительно этой
а-алгебры. Следовательно, X — прогрессивно измеримый
процесс. Случай, когда траектории процесса X непрерывны слева,
рассматривается аналогично. □
Моменты остановки. Стохастические интервалы
Если исследуется появление некоторого случайного
феномена во времени и через Г (со) обозначается момент, когда этот
феномен возникает, то естественно считать, что процесс (Xt),
определяемый равенством Xt{<d) = I{T(e>xt}1), согласован.
Таким образом, мы приходим к понятию момента остановки.
012. Определение. Положительная случайная величина Г,
конечная или нет, называется моментом остановки
относительно семейства (STf) {или просто моментом остановки), если
для всякого /gR+ множество {T^t} принадлежит
а-алгебре &~f.
1) Это обозначение введено в п. 6 введения. — Прим. перев.

2. ПРОГРЕССИВНО ИЗМЕРИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 63
Очевидно, что всякая постоянная положительная случайная
величина является моментом остановки. Более общо, если
Г—некоторый момент остановки, а ^—положительное
действительное число, то Г + / также момент остановки.
13. Замечания. (1) Если #~0 содержит все пренебрежимые
множества из а-алгебры #~, то всякая положительная
случайная величина, почти всюду совпадающая с некоторым
моментом остановки, сама является моментом остановки. В
дальнейшем мы больше не будем повторять замечания такого рода.
(2) Пусть S — такая положительная случайная величина,
что множество {S < t) принадлежит а-алгебре 9~t при всяком
t e R+. Тогда множество {5 ^ t) принадлежит любой У s при
s>t; поэтому множество {5^/} принадлежит также
а-алгебре 8Ft+- Иными словами, 5 является моментом остановки
относительно семейства (#"*+), а также относительно
семейства (#"/), если только последнее непрерывно справа.
В следующей теореме перечисляются некоторые операции,
применение которых к моментам остановки вновь приводит
к моментам остановки. Ее доказательство предоставляется
читателю.
Т14. Теорема, (а) Если S и Т — два момента остановки, то
случайные величины 5 V Т и S /\Т также являются моментами
остановки.
(б) Пусть (Тп) — последовательность моментов остановки.
Тогда sup Tn является моментом остановки относительно семей-
п
ства (&~t)> a iftf Tn является моментом остановки относительно
п
семейства (@~t+). Если же семейство (@~t) непрерывно справа,
то и lim sup Тп и lim inf Tn являются моментами остановки
п п
относительно семейства (#~*).
Каждому моменту остановки Т можно сопоставить такую
а алгебру ^Ту что ^г = #%, если Т — постоянный момент
остановки, равный t.
015. Определение. Пусть Т —■ момент остановки. Назовем
а-алгеброй событий, предшествующих моменту Т, о-алгебру
9~т, образованную такими элементами а-алгебры &"„, что
при всяком /sR+ множество Afl{T^t) принадлежит &~t.
Непосредственно проверяется, что &"т является а-алгеброй
и что Т оказывается ^т-изыеримыы. Детально свойства этой
а-алгебры мы изучим в § 3. Сейчас же мы ограничимся тем,
что приведем предложение, доказательство которого
предоставляется читателю.

64 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
Т16. Теорема. Пусть Т — момент остановки, а S —
^^измеримая случайная величина. Если S^T9 то и S является
моментом остановки.
Пусть Г — некоторый момент остановки; положим для
всякого целого п
Src = + °° 'A^ + ^+^l^/'2 "'/{(fe-02-'*<7'<*2-'*}-
Этажная 1) случайная величина Sn является ^т"измеРимой и
^ 7\ причем T = \\mSn. Поэтому всякий момент остановки
п
представим в виде предела убывающей последовательности
этажных моментов остановки.
17. Пусть S и Г—такие два момента остановки, что 5^ Т.
Обозначим через [S, Т[ множество {(/, со): S(co)^/< Г(со)},
называемое ниже полуоткрытым справа стохастическим
интервалом с концами S и Т. Иногда мы будем говорить короче:
«стохастический интервал вида [S, Г[», предполагая при этом,
что 5 ^ Г. Аналогично определяются другие типы
стохастических интервалов с концами S и Т. Если S=T, мы будем
писать [Т] вместо [Г, Т\\ [Т] является графиком момента
остановки Т. Если s и t — положительные действительные
числа, то через [s, t[ обозначается, как обычно, интервал,
принадлежащий полупрямой R+, в то время как [s, t[ обозначает
стохастический интервал [s, t [X й, соответствующий
постоянным моментом остановки s и t. Подчеркнем, наконец, что
стохастические интервалы являются множествами из R+ X ^, а не
из R+ X Q. Таким образом, если S(co)= Г(со)= + °° для
некоторого со, то сечение интервала [5, Г], соответствующее
этому со, пусто, и поэтому [5, Т] и [S, Т[ при Г= + оо
обозначают одно и то же множество.
Т18. Теорема. Всякий стохастический интервал является
прогрессивно измеримым множеством в пространстве R+ X &•
Доказательство. Пусть S и Т — такие два момента
остановки, что S ^ Т. Тогда индикатор множества [S, Т[
(соотв. ]S, T]) представляет собой согласованный и
непрерывный справа (соотв. непрерывный слева) процесс. Поэтому,
согласно теореме 11, [S, Т\ и ]S, T] прогрессивно измеримы.
С другой стороны, ]S, П = [5, T[(]]S, Г], a [S, Т] =*
= ([0, S[)cf)(l7\+oo])c. Значит, ]S, T[ и [S, Т] являются
прогрессивно измеримыми множествами пространства R+ X Q. □
!) Этажной называется всякая случайная величина, множество значе*
ний которой не более чем счетно. — Прим. перев.

fc. ПРОГРЕССИВНО ИЗМЕРИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 65
Порожденные различными семействами стохастических
интервалов а-алгебры в R+ X & содержатся в а-алгебре
прогрессивно измеримых множеств. Мы детально изучим эти
а-алгебры в гл. IV.
Прогрессивно измеримые процессы и моменты остановки
19. Пусть {Xt) — процесс, а Н — конечная положительная
случайная величина. Обозначим через Хн отображение со->
-+Х{Н (со), со) пространства Q в £. Если (Xt) — измеримый
процесс, то Хн— случайная величина: в самом деле, Хн
представляет собой композицию измеримых отображений со->
->(#(со), со) пространства Q в R+ X Q и (/, со)->Х(£, со)
пространства R+X2 в £. Если Н является моментом
остановки, мы будем называть Хн значением процесса {Xt) в
момент Н. В этом случае получается более точный результат:
Т20. Теорема. Пусть {Xt) —прогрессивно измеримый
процессу а Т — конечный момент остановки. Тогда случайная
величина Хт является 2Гт-измеримой.
Доказательство. Ясно, что Хт оказывается ^^-изме-
римой. Поэтому мы должны доказать, что для любого А^&
и для любого ^ R+ множество {Хт е А} Л {T^t},
совпадающее с множеством {Хтм ^ А}[) {T^t}y принадлежит
а-алгебре #Y Положим S=TAt) S — момент остановки,
являющийся к тому же ^-измеримой случайной величиной, что
проверяется непосредственно. Теперь измеримость случайной
величины Xs относительно fFt вытекает из того факта, что Xs
получается при композиции отображений co->(S(co), со) из
(Q, 9~t) в ([0, flXQ, Л ([0, t])®9*t) и (s, co)->A(s, со) из
([О, t] X Й, ^([0, t]) ® 9*t) в (£, S) и из определения
прогрессивно измеримого случайного процесса. □
21. Часто возникает необходимость применить эту теорему
к моменту остановки, который не обязательно конечен.
Поскольку единственная проблема здесь—определить Х(Г(ю), со)
при Г(со) = + °°> можно предложить одно из следующих
решений:
(1) К процессу (Xt) добавляется финальная ^^-измеримая
случайная величина Хж. Тогда случайная величина Хт вполне
определена для всякого момента остановки Т и является
^"7,'измеРим°й- Этот прием часто используется в случае, когда
Е — метризуемое топологическое пространство и Z00=lim Xt
f-»oo
существует.
3 К. Деллашери

66 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
(2) Если Xt —действительный процесс, а Т — произвольный
момент остановки, то через Хт • 1\т <+<»} обозначают
случайную величину, принимающую в точке со значение Х(Т(<д), со),
если Г(сй)< + °°> и значение 0, если Г(со) = + °°. Эта
случайная величина также #"Уизмерима.
Измеримость дебютов
Сначала напомним определение дебюта множества из
R+ XQ, введенное в гл. I.
022. Определение. Пусть А — множество из R+ X Q.
Назовем дебютом множества А функцию DA> определенную на Q
равенством
DA (со) = inf {t s R+: (t, со) e= Л},
где DA(co) = + со, если это множество пусто.
Теорема об /-измеримости позволяет теперь показать, что
дебют всякого прогрессивно измеримого множества является
моментом остановки.
Т23. Теорема. Пусть семейство {&~t) непрерывно справа и
каждая в-алгебра STt является полной. Тогда дебют DA
всякого прогрессивно измеримого множества А является моментом
остановки относительно семейства {&~t).
Доказательство. Для всякого /g=R+ множество
{DA < t} представляет собой проекцию на Q множества At =ь
= ЛП[0, t\. Так как At — измеримое множество в
произведении ([О, /[XQ, Я ([0, t[) ® &~t) измеримых пространств, из
теоремы I-T32 следует, что {DA < t) принадлежит полной
а-алгебре yt. А поскольку {3Tt) непрерывно справа, из
замечания 13(2) вытекает, что DA— момент остановки. П
Обратно, всякий момент остановки Т является дебютом
некоторого прогрессивно измеримого множества А: достаточно
принять А= [Г, + °°[ или А= [Т] ').
24. Дебют DA множества А из R+ X Q можно определить
и так: £л (со) = £л (со) = inf {/eR+: [0, t]flA{a>) содержит
хотя бы одну точку}. Вообще для всякого целого п следующим
образом определяются п-дебют множества Л, обозначаемый
через DnA:
£>^ (со) = inf {/gR+: [0, /]f|4(co) содержит по крайней мере п
точек},
1) Дебют стохастического интервала вида [S, Т[ равен S на
множестве {S < Т] и + оо на {S — Г}.

2. ПРОГРЕССИВНО ИЗМЕРИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 67
и оо-дебют множества А:
D°a (со) = inf {t^ R+: [0, /] П ^4 (со) содержит бесконечно
много точек}.
Следующая теорема обобщает теперь теорему 23.
Т25. Теорема. Пусть семейство (tFf) непрерывно справа и
всякая а-алгебра 3Tt является полной. Тогда п-дебют D\ вся-
кого прогрессивно измеримого множества А является моментом
остановки для п= 1, 2, ..., оо.
Доказательство. Уже известно, что Da = Da — момент
остановки. Отсюда по индукции выводится, что для всякого
целого п функция /)л+1 является моментом остановки, так как
представляет собой дебют прогрессивно измеримого множества
An = Af\\DnA, +°o[. Наконец, D°a — также момент остановки,
поскольку это дебют множества С\Ап. □
п
В гл. VI мы при тех же предположениях покажем, что
первый момент Т существенного проникновения в
множество Л, определяемый равенством
Псо) =
=inf {/eR+: [0, /] П А (со) содержит несчетное множество точек},
также является моментом остановки.
26. В этом параграфе мы встречались с различными
ограничениями, налагаемыми на семейство (#"*), как, например,
«если (&*t) непрерывно справа ...» или «если &~0 содержит
все пренебрежимые множества ...», или же «если каждая
а-алгебра 9яt полна ...». В действительности эти условия
достаточно безобидны: это хорошо известно относительно
требования полноты, а, с другой стороны, всякое семейство (STt)
можно «сделать» непрерывным справа, если подставить вместо
него семейство {STt+). Если а-алгебра ЗГ полна, мы будем
поэтому говорить, что возрастающее семейство {STf) ее а-под-
алгебр удовлетворяет обычным условиям, если оно непрерывно
справа и если $Г0 содержит все пренебрежимые множества
из #". Все а-алгебры &~t в этом случае полны.
С этого момента на протяжении этой главы мы
предполагаем, что а-алгебра ЗГ полна и что семейство {&~t)
удовлетворяет обычным условиям. Мы не будем стремиться выделить
результаты, не зависящие от этого предположения*
8*

68 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
3. сг-алгебры, сопоставляемые моментам остановки
Всякому моменту остановки Т мы сопоставили а-ал-
гебру !FT, совпадающую с STt в случае, если Т представляет
собой постоянный момент остановки, равный /, и
соответствующую интуитивным представлениям о событиях,
предшествующих моменту Г. Теперь мы сопоставим каждому
моменту остановки Т еще одну а-алгебру, обозначаемую
через ёГт-, совпадающую с 8Tt— в случае, если Г —постоянный
момент остановки, равный /, и формализующую интуитивные
представления о событиях, строго предшествующих моменту Г.
Чтобы облегчить сравнение этих а-алгебр, напомним также
определение @~т.
027. Определение. Пусть Т — момент остановки
относительно семейства {&~t).
(а) Назовем а-аягеброй событий, предшествующих
моменту Ту а-алгебру &гт, образованную всеми элементами А
из #"оо> для которых
Л(1{Г</}е^ при каждом feR+,
(б) Назовем а-алгеброй событий, строго предшествующих
моменту Tf а-алгебру &~т-, порожденную всеми элементами,
из @~о, а также всеми множествами х) вида
А П {/ < Г}, где Л е= #~,, а/е R+.
Таким образом, в определении описаны все элементы ог-ал-
гебры &~т> в то время как а-алгебра @~т- определяется с
помощью системы порождающих элементов, замкнутой
относительно (f\f).
Замечание. В определении (б) условие «Л е#"> можно
заменить на «Л е #V-» или даже на «Леи #">. В самом
s<t
деле, если Л принадлежит &~и то множество Af\{T>t} пред-
ставимо в виде объединения множеств вида А{){Т>г}, где г
пробегает все рациональные числа, большие t, а Л
принадлежит множеству U #~5.
Доказательство следующей теоремы предоставляется
читателю.
Т28. Теорема. Пусть Т —момент остановки. Тогда Т является
ЗГТ--измеримой случайной величиной и а-алгебра @~т—
содержится в а-алгебре @~т.
!) В дальнейшем эти множества называются порождающими
элементами а-алгебры tF-^. — Прим. перее.

3. (Т-АЛГЕБРЫ 69
Если Т — момент остановки, a S — положительная
случайная величина, п. н. совпадающая с Т, то и S является
моментом остановки, причем #~5_ = #~г_, @~S = @~T. Эти
равенства вытекают из того факта, что а-алгебра #~0 содержит
все пренебрежимые множества из У (предположение,
составляющее часть обычных условий). Вообще можно было бы
всюду в условиях теорем, которые будут сейчас
сформулированы, заменить неравенства, связывающие моменты остановки,
неравенствами, выполняющимися п. н.
Следующая теорема обобщает формулы из
определения 27.
Т29. Теорема. Пусть S и Т — моменты остановки.
(а) Для всякого А е &rs множество А П {S ^ Т)
принадлежит Тт.
(б) Для всякого А е @~s множество А П {S < Т)
принадлежит SFT—
В частности, множество {S^T} принадлежит @~т, а
множество {S < Т} принадлежит @~т—
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из
следующего равенства, выполняющегося для всякого ^gR+:
i4fl{S<r}n{r</} = Hn{S<r}]n{7,<On{SAf<7,AO-
Каждое из трех множеств, пересечение которых образует
правую часть равенства, принадлежит #V первое — потому что А
принадлежит #~s, второе — потому что Т является моментом
остановки, а третье — потому что случайные величины SAT
и ТAt, как легко проверить, ^-измеримы. Утверждение (б)
вытекает из следующего равенства, в котором г пробегает
множество положительных рациональных чисел:
An {S < Г}= U ИП {S<r} П {г < Г}).
г
В самом деле, А принадлежит #~s, а потому А П {S ^ г} при
всяком г принадлежит $ГГ. □
30. Таким образом, множества {S^ Т) и {S < Т) принадлежат
а-алгебре @~т. Переходя к дополнениям и пользуясь тем, что S
и Т играют одинаковые роли, получаем, что все множества
{S<T}, {S<T}, {5= Г}, {S>T} и {5>Г}
принадлежат одновременно обеим а-алгебрам &"s и @~т.
Напротив, множества {S < Т} и {S^T} принадлежат 9~т~
(а также ^"s), но, вообще говоря, не принадлежат #V-, в то
время как множества {S<T} и {S > Т) принадлежат ^s-
(и &~т), но не принадлежат в общем случае $ГТ~. Мы
увидим, что \S < Т) принадлежит #~г_, если S — предсказуемый

70 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
момент остановки (см. Т37), и что это свойство выделяет
предсказуемые моменты остановки среди всех достижимых
моментов остановки (см. Т50).
Т31. Теорема. Пусть Т — момент остановки, а А —элемент
а-алгебры ^"00. Тогда множество ЛП{7>=°°} принадлежит
Доказательство. События Ве5Г^ для которых
ВП{7,= °°} принадлежит £Гт-> образуют а-алгебру. Поэтому
достаточно показать, что А(]{Т = оо} принадлежит @~т~, если
А принадлежит fFn, где п —- целое число. Но тогда множество
А(){Т= оо} представимо в виде пересечения множеств вида
А П \Т > т}, где m пробегает совокупность целых чисел,
больших п, а эти множества принадлежат {Гт~ по определению. □
Сравнение а-алгебр
Теоремы, которые будут сейчас сформулированы,
распадаются на два типа. Именно, мы получим «параллельные»
теоремы, в которых сравниваются между собой а-алгебры
событий, предшествующих (строго предшествующих)
различным моментам остановки, и «перекрестные» теоремы, где
будут сравниваться а-алгебры событий, строго
предшествующих одному моменту остановки и предшествующих другому
моменту остановки.
Т32. Теорема. Пусть S и Т — такие моменты остановки, что
S ^ Г. Тогда о-алгебра 3TS (соотв. #"s-) содержится в о-алгебре
$ГТ {соотв. &~т-)-
Доказательство. Включение 9rsci9rT вытекает из
теоремы 29(a), а включение &$- cz@~T- следует из того факта,
что всякий порождающий элемент а-алгебры #"s- является
порождающим и для #">-: если fsR+, а Ле^, то
An{t<S} = A(]{t<S}(){t<T}. n
ТЗЗ. Теорема. Пусть S и Т —такие моменты остановки,
что S ^ Г. Если неравенство S < Т выполняется на множестве
{0 < Т < оо}, то о-алгебра @~s содержится в о-алгебре Тт-..
Доказательство. Для каждого Ла^5 справедливо
равенство
; A=[A[){S = 0}][)[A[){S<T}][)[A(){T=oo}].
Первое слагаемое в правой части принадлежит #~0> второе —
,@~т- в силу теоремы 29(6), а третье — &"т- по теореме 31,
Поэтому А принадлежит а-алгебре дГт— □
Изучцм теперь свойства последовательностей д-алгебр.

3. а-АЛГЕБРЫ 1\
Следующая теорема показывает, что а-алгебры типа $ГТ
«полунепрерывны сверху», в то время как а-алгебры типа &гт^
«полунепрерывны снизу».
Т34. Теорема. Пусть (Тп) — монотонная последовательность
моментов остановки, и пусть Т = \\п\Тп.
п
(а) Если (Тп) — убывающая последовательность, то
&~т=Г)$~т\
п п
(б) если {Тп) — возрастающая последовательность, то
п п
Доказательство. Сначала докажем утверждение (а).
Согласно теореме 32, а-алгебра $ГТ содержится в fl Ут .
п п
Обратно, пусть ЛеП#"г ; для всякого /gR+и для любого
п п
п множество А П {Тп < t) принадлежит &~и а потому и
множество А П {Т < t) принадлежит &~t. Следовательно, А П {T^.t}
принадлежит а-алгебре &~t+, совпадающей с !Pt> так как
семейство (#%) непрерывно справа; поэтому А принадлежит
ЗГТ. Перейдем теперь к утверждению (б). Рассматриваемая
а-алгебра #V- содержит V 3~т - согласно теореме 32.
Покажем, что все порождающие элементы а-алгебры @~т_
принадлежат V Ут _. Для элементов а-алгебры @~о это очевидно.
п п
С другой стороны, если /gR+ и Леyt9 то множество
А П {' < Т) представляет собой объединение множеств
Af]{t<Tn} и поэтому принадлежит V &"т _• П
Отметим, что утверждение (а) последней теоремы
выражает следующее свойство: непрерывность справа, которой
обладает, согласно нашим предположениям, семейство а-алгебр
(#%), сохраняется и а-алгебрами 9я т.
Следующая теорема представляет собой непосредственное
следствие теорем 33 и 34.
Т35. Теорема. Пусть (Тп) — монотонная последовательность
моментов остановки, и пусть Т=\\тТп.
п
(а) Если (Тп) — убывающая последовательность и для вся-
кого п на множестве {О < Тп < оо} выполняется неравенство
Т < Тпу то
&~т = П&~т-.
п

72 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
(б) Если (Тп) — возрастающая последовательность и для
всякого п на множестве {0 < Т < оо) выполняется неравенство
Тп<Т, то
Ft- = \13~т.
п п
Замечание. Пусть Г— момент остановки. Всегда
найдется такая убывающая последовательность (Тп) моментов
остановки, имеющая предел Т, что Т <Тп на множестве
{О < Тп < оо} при всяком п: в самом деле, достаточно
положить Тп=Т + —. Напротив, не всегда существует
возрастающая последовательность (Тп), имеющая предел Г, для
которой Тп< Т при всяком п на множестве {0 < Т < оо}.
Существование такой последовательности характеризует
предсказуемые моменты остановки, к изучению которых мы
сейчас приступаем. Заметим тут же, что такая
последовательность существует, если Г—постоянный момент остановки,
равный t, и что равенство (б) из теоремы 35 обобщает
утверждение из определения а-алгебры Уг_.
Предсказуемые моменты остановки.
Квазинепрерывность слева
036. Определение. Момент остановки Т называется
предсказуемым, если существует последовательность (Тп) моментов
остановки, удовлетворяющая следующим условиям:
(а) (Тп) — возрастающая последовательность, имеющая
предел Т;
(б) Тп<Т на множестве {Т > 0} при всяком п.
При этих условиях мы говорим, что последовательность (Тп)
предвещает момент Г.
Интуитивный смысл понятия предсказуемого момента
остановки совершенно ясен: физический феномен естественно
назвать предсказуемым, если его появлению предшествует
последовательность сигналов, извещающих о его приближении.
С другой стороны, заметим, что здесь вновь появляются
моменты остановки, о которых мы говорили в предыдущем
замечании: в самом деле, если {Sn) — возрастающая
последовательность моментов остановки, имеющая предел Т, для
которой Sn < Т на множестве {0 < Т < оо}, то моменты
остановки Tn = Sn/\n образуют последовательность,
предвещающую Г. Всякий постоянный момент остановки является
предсказуемым. Более общо, если Г—момент остановки, а / —
строго положительное действительное число, то момент
остановки Т +1 является предсказуемым. Отсюда вытекает, что

3. (Т-АЛГЕБРЫ 73
всякий момент остановки Т представим в виде предела
некоторой убывающей последовательности (Тп) предсказуемых
моментов остановки: достаточно положить Тп=Т-\—.
Подробно предсказуемые моменты остановки будут
изучены в следующем параграфе. Сейчас же мы ограничимся
доказательством одного фундаментального свойства
предсказуемых моментов остановки, уточняющего теорему 29 и п. 30.
Т37. Теорема. Пусть S — предсказуемый момент остановки,
а Т — произвольный момент остановки. Тогда для каждого
A^STS- множество A[\{S^T) принадлежит #~г_. В
частности, множества {S<^T} и {S=T} принадлежат 9~т-..
Доказательство. Пусть (Sn) — последовательность
моментов остановки, предвещающая S; предположим сначала,
что А принадлежит \J&~s • Из равенства
п п
ЛП{5<П = ИЛ{5 = 0}]и[ПИЛ{5„<Г})]
и из теоремы 29(6) вытекает, что А П {S^T} принадлежит а-ал-
гебре #"V-> поскольку А П {Sn < Т) входит в 2ГТ- для
достаточно больших п и {Sn<T} содержит {Sn+{ < Т). В
частности, {S^T} принадлежит @~т~. Тогда элементы Ле^,
для которых ЛП(5<Г} принадлежат #"V-> образуют а-алгеб-
ру, содержащую [jfFs ; поэтому в силу теоремы 35(6) эта
а-алгебра содержит &~s— Наконец, событие {S < Т)
принадлежит $FT- (см. Т29) и
{S=T} = {S^T}-{S<T}
также принадлежит 0ГТ^. □
Сейчас мы введем одну из форм понятия непрерывности
слева семейства а-алгебр {@~t). В противоположность
определению непрерывности справа мы вынуждены здесь ввести в
рассмотрение моменты остановки.
038. Определение. Семейство а-алгебр (!Ft) называется
квазинепрерывным слева, если
для всех предсказуемых моментов остановки Т.
Приставка «квази» напоминает, что совпадение а-алгебр
!FT- и $ГТ обязательно лишь для предсказуемых моментов
остановки Г. В конце этой главы мы приведем пример
квазинепрерывного слева семейства (#"*), для которого
существует такой момент остановки Г, что ^т^ф^т. Однако мы

74 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
увидим также, что если семейство (fFt) квазинепрерывно слева,
то равенство #> = V ^т справедливо для всякой ВОЗраСТа-
ющей последовательности (Тп) моментов остановки, имеющей
предел Т (см. Т51). Заметим, что, согласно теореме 35(6),
определение 38 требует выполнения и этого равенства, если
Т — предсказуемый момент остановки, а {Тп) —
последовательность, предвещающая Т.
Легко привести пример семейства {{Ft), не являющегося
квазинепрерывным слева . Пусть Q —[0, 1] снабжено мерой
Лебега; обозначим пополненную борелевскую а-алгебру через
@~, а через &~0 — tf-алгебру, порожденную пренебрежимыми
множествами. Если положить &~t = &'0 при t<\ и ^ = ^"
при /^1, то семейство (#%) удовлетворяет обычным
условиям, но ЯГх-ф&'х. Другой такой пример мы рассмотрим
в конце этой главы, когда будем изучать классификацию
моментов остановки.
4. Классификация моментов остановки
Напомним, что (Q, &*ъ Р) — полное вероятностное
пространство, снабженное возрастающим семейством а-подалгебр
(y^eR+, удовлетворяющим обычным условиям: (&*t)
непрерывно справа, а #~0 содержит все пренебрежимые множества
а-алгебры ST.
Мы проведем классификацию моментов остановки в
соответствии с их отношением к предсказуемым моментам
остановки. Сначала дадим определения «геометрического»
характера, а затем сформулируем эквивалентные определения,
более близкие к физической интуиции.
039. Определение. Пусть Т — момент остановки.
(а) Говорят, что Т достижим, если существует такая
последовательность (Тп) предсказуемых моментов остановки, что
[ Т\ сг Л) [ Тп\ \с точностью до несущественного множества,
Р(у{ш:Гя(ш)-Г(ш)< +оо})-1.
При выполнении этих условий мы говорим, что Т является
огибающей последовательности (Тп).
(б) Говорят, что Т вполне недостижим, если для всякого
предсказуемого момента остановки S
[T](][S\ = 0 с точностью до несущественного мноо/сества,
т е
Р({<в: 7» = S(<»)< +оо}) = 0.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ ОСТАНОВКИ 75
Очевидно, что всякий предсказуемый момент остановки
достижим и что моменты остановки, одновременно достижимые и
вполне недостижимые, п. н. бесконечны. С другой стороны,
всякий вполне недостижимый момент остановки почти всюду
строго положителен.
40. Пусть Г —момент остановки, а Л —элемент а-алгебры
^"оо- Будем называть сужением момента остановки Т на А
случайную величину, равную Т на А и + °° на А°, и будем
обозначать ее через ТА. Поскольку {ТА <^t) = А П {T^t} для
всякого /eR+, сужение ТА язлязтся моментом остановки
тогда и только тогда, когда А принадлзжит о-алгебре @~т.
Следующая теорема показывает, что всякий момент
остановки можно разложить на достижимую и вполне
недостижимую части.
Т41. Теорема. Пусть Т — момент остановки. Существует
единственное (с точностью до множеств нулевой вероятности)
разложение множества {Т < + оо} на такие два элемента А
и В из @~т-у что мочент ТА достижим, а Тв вполне
недостижим. Момент остановки ТА (соэтв. Тв) называется достижимой
частью (соотв. вполне недостижимой частью) момента
остановки Т.
Доказательство. Обозначим через Ж множество
элементов а-алгебры $Г вида AJ {Sn = Т < + оо}\, где (Sn) —
некоторая последовательность предсказуемых моментов
остановки. Это множество замкнуто относительно (U d), и его
элементы по теореме 37 принадлежат #~г_. Пусть теперь
Н — какой-либо представитель существенной верхней грани
множества Ж\ положим А = Н{\{Т <°о)у В = Нс [\ {Т < оо}.
Читатель без труда проверит, что ТА достижим, Тв вполне
недостижим и что это разложение единственно. □
Следующая теорема, представляющая собой
непосредственное следствие 039 и Т41, показывает, что в некотором смысле
эта классификация является исчерпывающей.
Т42. Теорема. Момент остановки Т достижим (соотв. вполне
недостижим) тогда и только тогда, когда P({a>:S((u) =
= Г((й) <+оо}) = 0 для всех вполне недостижимых (соотв.
достижимых) моментов остановки S.
43. Теперь мы сформулируем теорему, дающую интуитивную
интерпретацию достижимым и вполне недостижимым моментам
остановки. Для этого мы воспользуемся следующими
обозначениями. Если Т — момент остановки, будем обозначать

76 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
через 9*(Т) семейство таких возрастающих
последовательностей (Sn) моментов остановки, что S„^r при всяком п.
Если (Sn) — элемент семейства ^(Г), положим
tf[(S*)] =={«>: limS.(co)=r(co)< + 00, S„(*)< Г(со)
для всех п).
Это множество, согласно теореме 29, принадлежит
одновременно а-алгебрам ЗГТ и ^(Umsj. Сужение момента
остановки Т на K[(Sn)] является достижимым моментом остановки.
В самом деле, если Rn при всяком п обозначает сужение
момента остановки Sn на множество {S„ < limS„}, то момент
остановки R = \imRn предсказуем (его предвещающей
последовательностью служит (RnAn)), а график случайной
величины 7tf[(srt)] содержится в графике R.
Т44. Теорема1), (а) Момент остановки Т достижим тогда и
только тогда, когда множество {О < Т < + со} представимо
в виде объединения последовательности множеств вида К [{Sn)],
где (Sn)ezg>(T).
(б) Момент остановки Т вполне недостижим тогда и только
тогда, когда Р({Т = 0}) = 0 и P(K[(Sn)]) = 0 для всякой по-
следовательности (S„) e ^(Г).
Доказательство. Сначала докажем утверждение (а).
Поскольку для всякой последовательности (Sn)ei?(T)
момент остановки Tj^^sn)] достижим, понятно, что
сформулированное условие является достаточным. Обратно, предположим,
что Т достижим, и пусть (rm)m€_N —последовательность
предсказуемых моментов остановки с огибающей Г. Для всякого
m обозначим через (у?) последовательность моментов
остановки, предвещающую предсказуемый момент остановки Тт,
и положим S%=TAT™. Тогда для каждого т
последовательность (S™\ является элементом множества ^(Т). и необ-
ходимость нашего условия вытекает из равенства {0 < Т < оо}=
= U*[(s?)].
m
Теперь перейдем к утверждению (б). Это условие является
необходимым по теореме 42, поскольку ^/([(s^)] достижим
для любой последовательности (Sn)^9*{T). Оно является и
достаточным, так как, согласно (а), в этом случае
достижимая часть момента остановки Т бесконечна. П
!) Именно эти свойства (а) и (б) приняты Мейером [25] за
определения понятий «достижимый» и «вполне недостижимый».

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ ОСТАНОВКИ 7?
Операции, сохраняющие различные свойства
моментов остановки
Теперь мы займемся изучением устойчивости введенной
классификации моментов остановки по отношению к
структурным операциям, к предельным переходам по монотонным
последовательностям и к сужениям на элементы а-алгебры
событий, предшествующих некоторому моменту остановки.
Следующие два предложения непосредственно вытекают
из определений 36 и 39 и из теоремы 42.
Т45. Теорема. Пусть S и Т — предсказуемые (соотв.
достижимые, вполне недостижимые) моменты остановки. Тогда и
моменты остановки SAT и SVT являются предсказуемыми
(соотв. достижимыми, вполне недостижимыми).
Т46. Теорема. Пусть Т — момент остановки, а А — элемент
а-алгебры fFT. Если Т достижим (соотв. вполне недостижим),
то и момент остановки ТЛ является достижимым (соотв. вполне
недостижимым).
Скоро мы увидим, что если Т предсказуем, то момент
остановки ТЛ является предсказуемым тогда и только тогда,
когда А принадлежит а-алгебре @~т-. Этот факт окажется
следствием некоторых свойств последовательностей моментов
остановки, которые сейчас будут установлены.
Т47. Теорема. Пусть (Тп) — монотонная последовательность
моментов остановки, и пусть T=limTn.
п
(а) Если (Тп)—возрастающая последовательность и
каждый Тп предсказуем (соотв. достижим), то момент остановки Т
также является предсказуемым (соотв. достижимым).
(б) Предположим, что (Тп) — убывающая
последовательность и что для каждого coeQ найдется такое целое п (со),
что Тп(а)((й)= Т((о). Тогда если все моменты остановки Тп
предсказуемы (соотв. достижимы), то и момент остановки Т
предсказуем (соотв. достижим).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай
достижимых моментов остановки. Если (Тп) — возрастающая
последовательность достижимых моментов остановки, имеющая
предел Т, то последовательность (Тп) принадлежит
семейству 9>(Т) и сужение момента остановки Т на А = К[(Тп)]
представляет собой достижимый момент остановки (см. п. 43).
Положим В = АС. Момент остановки Тв достижим, так как
его график содержится в объединении графиков достижимых
моментов остановки Тп. Поскольку Т= ТА/\ТВ, момент
остановки Т достижим, что и утверждается в (а). Чтобы доказать

78 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
(б), достаточно заметить, что график Т содержится в
объединении графиков достижимых моментов остановки Тп согласно
условию, налагаемому на (Тп). Перейдем теперь к случаю
предсказуемых моментов остановки. Пусть сначала (Тп) —
возрастающая последовательность предсказуемых моментов
остановки, имеющая предел Г, и для каждого п обозначим
через (Sn, p)p<=n последовательность моментов остановки,
предвещающую Тп. Положим теперь для всякого п
Sn = sup Sk,p, где k и р пробегают целые числа <я.
Ясно, что {Sn) — последовательность, предвещающая Г.
Поэтому Т предсказуем, что и утверждается в (а). Докажем,
наконец, утверждение (б) для предсказуемых моментов
остановки. Пусть (Тп) — такая убывающая последовательность
предсказуемых моментов остановки, что Тп (со) = Т (со) для
достаточно больших п, и вновь для каждого п через (Sn, р)р€=н
обозначим последовательность, предвещающую Тп. Пусть,
с другой стороны, d — расстояние на R+, совместимое с его
топологией. Отбросив при каждом п некоторую
подпоследовательность последовательности (S„, p)peN, можно считать,
что для каждого р
Р{со: d[SntP{*)> Tn((*)]>2-p}^2-{n+p).
При этом условии положим для всякого р
Sp=MSn,p.
п
Последовательность {Sp) возрастает, и Sp < Т на множестве
{Т > 0} для каждого р, как явствует из условий,
наложенных на (Тп). Пусть S = limSp. Покажем, что 5 = Г, чем и
завершится доказательство теоремы. Для каждого р имеем
P{co:d[5(co), 7»]>2-p}<
< £ Р {со: d [Sn> р (со), Т (со)] > 2~р) <
п
< £ Р {со: й [S„., ((о), Тп (со)] > 2""} < 2"р.
П
Устремляя р к +°°, выводим отсюда, что Р{5<7,} = 0,
а потому S — T1). П
Отметим непосредственное следствие теоремы 47.
Т48. Теорема. Пусть Т — момент остановки. Тогда
множество таких элементов А из о-алгебры &~т, что ТА — предска-
1) Мы допускаем здесь вольность речи: равенство выполняется только
п. н. Мы будем часто делать это и в дальнейшем.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ ОСТАНОВКИ 79
зуемый (соотв. достижимый) момент остановки, содержит
пренебрежимые множества и замкнуто относительно (U d, П d).
Эта теорема позволяет определить «предсказуемую часть»
и «вполне непредсказуемую часть» момента остановки. Однако,
как следует из теоремы 49, может существовать такой
предсказуемый момент остановки Т, что ТА для некоторого А
из ЗГТ вполне непредсказуем, а тогда такое разложение не
представляет никакого интереса.
Приведем теперь теорему о сужении момента остановки Т
на элемент из #~г_.
Т49. Теорема. Пусть Т — момент остановки, а А — элемент
из $ГТ. Для того чтобы ТА был предсказуем, необходимо,
чтобы А принадлежало @~т—> причем это условие является
и достаточным, если Т предсказуем.
Доказательство. Множество А представимо в виде
{Гл< Т) —(Ас0{Т= оо}), и потому оно принадлежит &~т-,
если ТА предсказуем (см. Т31 и Т37). Предположим теперь,
что Т предсказуем. Элементы А из &~т, такие, что ТА и Гдс
оба предсказуемы, образуют, согласно теореме 48, а-алгебру.
Поэтому достаточно доказать, что ТА предсказуем, если А
входит в число порождающих элементов а-алгебры &~т-..
Обозначим через (Тп) последовательность моментов остановки,
предвещающую Т, и пусть А ^ Эгт при фиксированном п.
Сужение Sm момента остановки Тт на А является моментом
остановки, если только целое т превосходит п. Положим
Rm — Sm Л т для т>я. Последовательность (Rm)
предвещает ТА, и, значит, ТА предсказуем. Точно так же
доказывается, что и ТАс предсказуем. Поскольку, согласно
теореме 34 (б), ЗГТ- = V &~т » ?а оказывается предсказуемым
для всех Л^^г— □
Следующая теорема характеризует предсказуемые
моменты остановки среди всех достижимых моментов остановки.
Т50. Теорема. Пусть S—достижимый момент остановки.
Для того чтобы S был предсказуемым, необходимо и
достаточно, чтобы множество {S = Т) принадлежало а-алгебре @~т~
для всякого предсказуемого момента остановки Г. Более
того, если S предсказуем, то множество {S = Т} принад-
леоюит &~т~ для любого момента остановки Т.
Доказательство. Второе утверждение и
необходимость первого условия вытекают из теоремы 37. Докажем
достаточность этого условия. Пусть S — достижимый
момент остановки и (Sn) — последовательность предсказуемых

80 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
моментов остановки, для которой 5 служит огибающей.
Множество {S^S„} принадлежит а-алгебре &rs _ при всяком п
по предположению и в силу теоремы 29(6). Поэтому
сужение Тп момента остановки Sn на {S<JS„} предсказуемо
в соответствии с теоремой 49. Для всякого п момент
остановки Un == Г, Л Т2 Л . . • ЛТп предсказуем и
последовательность фп) убывает. Так как для каждого оо существует
такое п, что Un (со) = S (со), момент остановки S предсказуем
по теореме 47(6). □
Если семейство (&~t) квазинепрерывно слева, то
достижимые моменты остановки совпадают с предсказуемыми. Точнее,
справедлива
Т51. Теорема. Следующие три утверждения эквивалентны:
(а) 'достижимые моменты остановки являются
предсказуемыми;
(б) семейство (#"*) квазинепрерывно слева: &'т- = &тт для
всякого предсказуемого Т\
(в) семейство {&~f) не имеет моментов разрыва, т. е.
Y**r.-*-(ii»r.).
если (Тп) — возрастающая последовательность моментов
остановки.
Доказательство. Утверждение (в) влечет за собой (б)
по теореме 35, а (б) влечет за собой (а) в силу теоремы 50.
Покажем, что из (а) следует (в). Пусть (Тп) — такая
возрастающая последовательность моментов остановки, что Т =
= \\п\Тп, и обозначим через U (соотв. V) достижимую (соотв.
вполне недостижимую) часть момента остановки Г. Для
всякого А е #"г справедливо равенство
A = [{UA = T}-(Ac(){T=oo})]U[{VA<oo}[)(Ari{T = oo})].
Множества Ас[\{Т = оо} и А(){Т = оо) по теореме 31
принадлежат #"г-, а потому принадлежат и V #"V в силУ теО"
п п
ремы 34(6). По условию UA предсказуем; поэтому, согласно
теореме 37, множество {UA = Т) принадлежит &~т~, а
следовательно, и V &~т • Чтобы закончить доказательство, нам
остается показать, что и {VА < оо} принадлежит V &~т • Но
п П
момент VA вполне недостижим, а последовательность (Тп)
принадлежит 9*{VA). Поэтому из теоремы 44(6) следует, что
(y4<oo}=U{^=^<oo}t
п

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ ОСТАНОВКИ 81
Поскольку все множества {VА = Тп<оо} принадлежат V #"V
п п
(см. п. 30), множество {VА < оо} также принадлежит V 2ГТ . □
п
Мы продолжим изучение классификации моментов
остановки в гл. V, где с помощью теории мартингалов будут
получены иные критерии. В заключение этой главы разберем
один пример, изучение которого также будет продолжено
в гл. V.
Пример
52. Пусть fi=R+; обозначим через #~° борелевскую
а-алгебру пространства R+, а через S — тождественное
отображение пространства Q в R+, так что @~° представляет собой
а-алгебру, порожденную отображением S. Пусть Р — такое
вероятностное распределение на (й, {Г°)9 что P{S = 0} = 0
и Р {S > t) > 0 при всяком t e R+. Для каждого t e R+
через #"? обозначим а-алгебру, порожденную S Л t\ @~°t
представляет собой а-алгебру, порожденную борелевской а-алге-
брой на [0, t] и атомом ]/, сх>[. Без труда проверяется, что
семейство (#"?), состоящее из а-подалгебр а-алгебры #*°,
является возрастающим и непрерывным справа. Если для
всякого t через &*t обозначить а-алгебру, порожденную #~?
и Р-пренебрежимыми множествами из У0, то семейство (#"/)
удовлетворяет обычным условиям. Наконец, будем писать Ф
вместо ^"00; ?Г представляет собой пополнение а-алгебры 5го.
Следующая теорема выделяет моменты остановки
относительно семейства (^/) среди положительных случайных
величин.
Т53. Теорема. Положительная случайная величина Т
представляет собой момент остановки относительно семейства (@~t)
тогда и только тогда, когда Т является Р-п. н. постоянной
на множестве {S > Г}.
Доказательство. Поскольку S — момент остановки
и &'s = @~, понятно, что рассматриваемое условие является
достаточным (см. Т16). Обратно, пусть Г —некоторый момент
остановки. При всяком /^R+ множество {T^.t}
принадлежит &~t\ следовательно, с точностью до некоторого пре-
небрежимого множества это множество — либо борелевское
подмножество отрезка [0, t]9 либо представимо в виде
A[}]t, + °° [, где А — борелевское подмножество отрезка [0, t].
Поскольку {S >/} = ]/, +оо[, полагаем
H = {t: {K/}D{S>/}n.H.} и s = infH,

82 ГЛ. III. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ
Множество Я является интервалом (возможно, пустым), левым
концом которого служит s. Для всех t^H множество {S^/}
п. н. содержит {Г</}, а потому Г>5 на {ЭфН}. Для всех
/еЯ множество {Г</} п. н. содержит {S > /}, и, значит,
{s^ T<^t} п. н. содержит {S > /}, так как {Т <s} п. н.
содержится в {S < s}. Устремляя теперь t к s по рациональным
числам, заключаем отсюда, что T—s п. н. на {S>s}.
Наконец, если 5 принадлежит Н и {s} — атом распределения Р,
то множество {оо: T(<u)=T(s)} принадлежит &~T(s) и п« н«
содержит {со: 5(со) > T(s)}> и, следовательно, T(s)^s,
поскольку Г=$ п. н. на {S>s}. П
Теперь моменты остановки классифицируются следующим
образом.
Т54. Теорема. Пусть Т — момент остановки и А —
множество атомов распределения Р. Тогда
(а) Т предсказуем тогда и только тогда, когда Т п. н.
постоянен на множестве {S ^ Г};
(б) Т достижим тогда и только тогда, когда
P{T = SAc<+oo} = 0;
(в) Т вполне недостижим тогда и только тогда, когда
P{T=£SAc< + oo} = 0.
Доказательство. Поскольку Р({0}) = 0, ясно, что
SA — достижимая часть момента остановки S, в то время
как SAc — вполне недостижимая часть (сделайте рисунок!).
Если Т п. н. постоянен на {S^ Г}, то Т предвещается
последовательностью (Г„), где Tn = S V п на множестве {Т < +оо} и
Тп = (\ -1)г + 4/<*<г> на {Г< + °о}.
Поэтому момент остановки Т предсказуем. Читателю предо*
ставляется самому закончить доказательство. □
Если распределение Р непрерывно, то достижимые моменты
остановки предсказуемы, и, следовательно, семейство (&~t)
квазинепрерывно слева (см. Т51). Заметим, что в этом
случае <Ff_ = #"f при всяком /, в то время как ЯГг-фИГг, если
/=7^=0, так как #"?_ не содержит пренебрежимое множество {/}.
Переходим к противоположному случаю: распределение Р
сосредоточено на атомах. Поскольку в соответствии со
сделанным относительно Р предположением (см. п. 52) существует
не менее двух атомов, S оказывается достижимым, но не
предсказуемым моментом остановки и семейство (#"*) не

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ ОСТАНОВКИ 83
является квазинепрерывным слева. В этом случае нет вполне
недостижимых моментов остановки (помимо п. н.
бесконечного момента остановки). Наконец, если Р разлагается
на ненулевые непрерывную и атомическую части, то 5 имеет
вполне недостижимую и достижимую части, не являющиеся
п. н. бесконечными. Так как Р имеет хотя бы один атом
(отличный по условию от {0}), достижимая часть момента
остановки 5 не будет предсказуемой, и, значит, семейство (Ft)
не является квазинепрерывным слева.
Замечание. В рассмотренном примере имело место
равенство Fs_ = Fs. Мы приведем сейчас пример того же
рода, в котором семейство {Ft) квазинепрерывно слева и
допускает такой вполне недостижимый момент остановки Г,
что FT- Ф @~т- Возьмем в качестве Q
теоретико-множественную сумму двух экземпляров множества R+, обозначаемых
через R+ и R+. Пусть F — а-алгебра, порожденная боре-
левскими а-алгебрами этих множеств; через U (соотв. V)
обозначим функцию, определенную на R+ (соотв. на R+)
равенством (У (со) = со (соотв. V((o) = (o) и равную + оо в
противном случае. Положим теперь F°t = F(U A t, V A t) для
всякого /gR+; Ft представляет собой а-алгебру,
порожденную борелевскими множествами обоих отрезков [0, t]1 и [0, t]2
и атомом (]/, + oo[)J [)(]t, + оо[)2. Пусть Р — некоторое
непрерывное распределение, сосредоточенное на двух
экземплярах множества R+; обозначим через Ft (соотв. через F)
а-алгебру, порожденную а-алгеброй Ft (соотв. F0) и всеми
Р-пренебрежимыми множествами. Семейство (Ft)
удовлетворяет обычным условиям, и непосредственное обобщение
предыдущих результатов показывает, что (Ft) квазинепрерьвно
слева. Положим T = UAV и заметим, что Т — вполне
недостижимый момент остановки. Далее, а-алгебра Ft совпадает
с F, в то время как а-алгебра FT~. образована множествами
вида Л1 (JЛ2, где А{ и А2 —два экземпляра одного и того же
борелевского множества из R+ (с точностью до некоторого
пренебрежимого множества). Поэтому а-алгебра FT~ строго
содержится в а-алгебре FT.

Глава IV
ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
В этой главе через (Q, #", Р) обозначается некоторое
полное вероятностное пространство, а через (#"*),eR
—возрастающее семейство а-подалгебр а-алгебры ЗГ,
удовлетворяющее обычным условиям. Это пространство будет служить
основным пространством для рассматриваемых процессов.
В § 1 мы определяем а-алгебру Э~х вполне измеримых
множеств, а-алгебру ЗГ2 достижимых множеств и а-алгебру ЗГЪ
предсказуемых множеств. Эти три а-алгебры, образованные
множествами из R+ X й, порождены тремя типами
стохастических интервалов, связанными соответственно с понятиями
произвольного1) момента остановки, достижимого момента
остановки и предсказуемого момента остановки. Изучив
различные способы задания этих а-алгебр, мы перейдем в § 2
к рассмотрению теорем о сечениях: эти теоремы
утверждают, что во всякое вполне измеримое (соотв. достижимое,
предсказуемое) множество можно вписать «представительный»
график некоторого (соотв. достижимого, предсказуемого)
момента остановки. В § 3 рассматриваются важные
приложения результатов первых двух параграфов: изучение
процессов, непрерывных справа или слева, связь между
предсказуемыми процессами и аалгебрами типа @~т~. Наконец,
в § 4 вводится понятие возрастающего процесса, играющее
важную роль в гл. V.
Большое количество теорем приводится в трех вариантах —
по одному варианту на каждую из а-алгебр Т{ (/=1, 2, 3).
Наиболее важные результаты касаются в основном
а-алгебры &~\ вполне измеримых множеств и а-алгебры Тъ
предсказуемых множеств. Теоремы, относящиеся к а-алгебре ЗГ^
достижимых множеств, особенно интересны в случае, когда
семейство (#"/) квазинепрерывно слева: в этом случае
а-алгебры £Г2 и Тъ совпадают, а это приводит к новым
результатам относительно а-алгебры предсказуемых множеств.
1) Выражение «произвольный» вновь отсылает нас к классификации
моментов остановки и противопоставляется понятиям «достижимый»
и «предсказуемый».

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ а-АЛГЕБР 85
1. Определения а-алгебр
1. Будем обозначать через f { (i = 1, 2, 3) совокупность
множеств из R+X^> представимых в виде конечных объединений
стохастических интервалов вида [5, Т[, где 5 и Т —
произвольные моменты остановки, если/= 1; достижимые моменты
остановки, если / = 2; и предсказуемые моменты остановки,
если / = 3. Легко видеть, что /,• —булева алгебра на R+X&1)-
02. Определение. Назовем а-алгеброй вполне измеримых
(соотв. достижимых, предсказуемых) множеств в-алгебру *ТХ
(соотв. Ф~ъ 3~ъ) на R+Xfi, порожденную булевой алгеброй f{
(сютв. f2, /з)- Процесс X с произвольным пространством
состояний называется вполне измеримым (соотв. достижимым,
предсказуемым), если он оказывается измеримым при
условии, что пространство R+ X ^ снабжено а-алгеброй Тх
(соотв. Т2, Т3).
Предсказуемые множества достижимы, а достижимые
вполне измеримы. Вполне измеримые множества, согласно
теореме Ш-Т182), прогрессивно измеримы. Если
семейство (3^t) квазинепрерывно слева, то в силу теоремы III-T51
достижимые моменты остановки являются предсказуемыми,
и поэтому а-алгебра £Г2 совпадает с а-алгеброй Тъ.
Опишем теперь другой способ задания а-алгебр Тt с
помощью стохастических интервалов.
ТЗ. Теорема. Каждая а-алгебра 2Гt (i = 1, 2, 3) порождается
множеством стохастических интервалов вида [S, Т], где
Т -— произвольный момент остановки, a S — произвольный
момент остановки, если i=l; достижимый момент остановки,
если i = 2; предсказуемый момент остановки, если i = 3.
Доказательство. Поскольку всегда [S, Т] =
= П [S, ^ + 7z~ I' а Т-\-~ есть пРеДсказУемый момент
остановки, рассматриваемые интервалы принадлежат а-алгебре STt.
С другой стороны, имеем [5, Т[ = [S, Т] — [Т\; так как,
согласно сказанному выше, [ Г] принадлежит а-алгебре Т {, если
Т — произвольный момент остановки при /=1, достижимый
при 1 = 2 и предсказуемый при / = 3, понятно, что интервалы
указанного вида порождают Ть. □
Из последней теоремы непосредственно следует, что
стохастические интервалы произвольного типа вполне измеримы.
О Доказательство этого факта содержится в п. 7.
2) Существуют, однако, прогрессивно измеримые множества, не
являющиеся вполне измеримыми. Мы приведем такой пример в гл. VI.

86 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
С другой стороны, если Т — произвольный (соотв.
достижимый, предсказуемый) момент остановки, то его график [Т]
вполне измерим (соотв. достижим, предсказуем). Обратно,
всякая положительная случайная величина, график которой
вполне измерим (соотв. достижим, предсказуем), является
некоторым моментом остановки (соотв. достижимым,
предсказуемым); в случае вполне измеримого графика это
вытекает из теоремы III-T23, а в оставшихся двух случаях —
из теорем о сечениях (см. Т15).
Для а-алгебры предсказуемых множеств существует еще
третье порождающее ее семейство стохастических интервалов.
Т4. Теорема, о-алгебра Тъ прес'сказуемых множеств
порождается стохастическими интервалами вида [0Л], где А
принадлежит а-алгебре @~0i и интервалами вида ]5, Г], где S
и Т — произвольные моменты остановки.
Доказательство. Сужение 0А момента остановки О
на ie #~o> очевидно, представляет собой предсказуемый
момент остановки; поэтому [0А] принадлежит Тъ. С другой
стороны, всякий интервал типа ]S, T] может быть
представлен в виде
is, n = (y[s + |. +oo[)n[o, П.
Поэтому он, согласно теореме 3, принадлежит Тг. Чтобы
закончить доказательство, нам остается показать, что всякий
стохастический интервал вида [S, +оо[, где S предсказуем,
принадлежит а-алгебре, порожденной интервалами
рассмотренного вида, а это вытекает из равенства
[S, +оо[ = [0{5=о}]и(П]5л, +оо[),
где (Sn) — последовательность моментов остановки,
предвещающая 5. □
В процессе доказательства теоремы 22 мы обнаружим,
что можно сузить семейство интервалов описанного вида:
а-алгебра Тъ порождается стохастическими интервалами вида
[0Л], где А принадлежит #"0, и интервалами вида \sBi tB],
где s и t — положительные действительные числа, а В
принадлежит $Г s—
5. Примеры. Приведем несколько простых примеров
действительных вполне измеримых, достижимых и
предсказуемых процессов. В дальнейшем эти процессы будут называться
элементарными.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ а-АЛГЕБР 87
(1) Рассмотрим стохастический интервал вида [S, Г[»
и пусть Z — некоторая #~5-измеримая случайная величина.
Обозначим через X = (Xt) процесс, определяемый равенством
X*(со) = Z(со) • I[s, T\{t, со), или, короче, X = Z • I[s,t[.
Процесс X вполне измерим. Он оказывается достижимым,
если достижимы моменты остановки 5 и Г. Наконец, он
предсказуем в случае, когда случайная величина Z #"5_-изме-
рима, а моменты остановки S и Т предсказуемы.
(2) В примере (1) можно заменить интервал [S, Т[
интервалом [S, Г|, допуская при этом в качестве Т произвольные
моменты остановки.
(3) Наконец, если в примере (1) интервал [S, Г[
заменяется интервалом JS, Г), где S и Т произвольны, а случайная
величина Z является ^-измеримой, то процесс X предсказуем.
Доказываются эти утверждения просто. Сначала следует
проверить их в случае, когда Z — индикатор некоторого
множества Л, а это сводится к рассмотрению стохастических
интервалов, концами которых служат сужения моментов
остановки S и Т на Л, после чего общий случай получается
с помощью приближения произвольных случайных величин
этажными.
Отметим, что элементарные случайные процессы из
примера (1) непрерывны справа и допускают левые пределы,
в то время как процессы из примера (3) непрерывны слева.
В § 3 мы покажем, что вообще согласованные и непрерывные
справа (соотв. непрерывные слева) процессы вполне измеримы
(соотв. предсказуемы).
Следующая теорема показывает, что а-алгебры
достижимых и предсказуемых множеств представляют собой мозаики,
порожденные покрытиями, которые обладают свойствами
компактности, необходимыми для применения теоремы I-T7.
В дальнейшем она будет использоваться только для
уточнения некоторых теорем в гл. VI.
Т6. Теорема, а-алгебра Т^ (соотв. £Г3) совпадает с
мозаикой, порожденной покрытием на R+ X й, образованным ко-
печными объединениями стохастических интервалов вида [S, Г|,
где S и Т — ограниченные моменты остановки, а момент S
достижим (соотв. предсказуем).
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что
а-алгебра Т2 (соотв. &"3) содержит соответствующую мозаику
и что для доказательства совпадения достаточно проверить,
что [S, Т\с принадлежит этой мозаике, когда S и Г
удовлетворяют сформулированным условиям. Поскольку |Г, -f °°[ =

88 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
= и[т, + ~» ?* +л]» нам остается изучить интервал [О, S[.
п
В случае предсказуемого S это очень просто, так как если
(SJ — последовательность моментов остановки, предвещающих
предсказуемый момент S, то справедливо равенство
[0,S[ = U(IO,SeinlO{s>ob +оо[).
п
Перейдем к случаю достижимого S и на сей раз обозначим
через (Sn) последовательность ограниченных и предсказуемых
моментов остановки с огибающей S. Поскольку [О, S[ =
= П [О, S«[, где S'n обозначает сужение момента остановки Sn
п
на множество {5W<5}, достаточно показать, что всякий
интервал вида [0, 5[ принадлежит указанной мозаике, если
S—достижимый момент остановки, график которого
содержится в графике некоторого ограниченного предсказуемого
момента остановки U. А это вытекает из следующего
равенства, в котором (Un) — последовательность моментов
остановки, предвещающих U:
[0,S[=(lJ [0, Un\f][0{S>oh + ~[)U(U [f/(t/<s>An, n]y □
Вообще говоря, а-алгебра вполне измеримых множеств не
совпадает с мозаикой, порожденной покрытием, состоящим
из конечных объединений стохастических интервалов, сечения
которых компактны в R+ (см. пример Ш-52, где Р —
непрерывное распределение). Однако если рассматривать покрытие,
порожденное стохастическими интервалами вида [S, Г], где S
и Т — произвольные моменты остановки, и вида |(/, У[, где
V —вполне недостижимый момент остановки, то можно
показать, что такое покрытие обладает «особенно хорошими»
свойствами компактности и что а-алгебра $~\ совпадает
с порожденной им мозаикой (см. Корня и Лича [21]).
2. Теоремы о сечениях
Теперь мы докажем некоторую общую теорему о сечениях
для любой а-алгебры на R+ X Q> порожденной семейством
стохастических интервалов некоторого специального типа,
после чего теоремы о сечениях, относящиеся к трем нашим
фундаментальным а-алгебрам, будут получены как следствия
этой теоремы.
7. Пусть s4> — некоторое семейство моментов остановки,
содержащее моменты остановки 0 и +оо, замкнутое
относительно равенства почти вскщу, а также относительно
применения конечного числа структурных операций. Обозначим

*>. теоремы о сеченийх &Q
через & множество стохастических интервалов вида [5, Г[,
где S и Т принадлежат si>. Множество /, образованное
конечными объединениями элементов из &, является тогда
булевой алгеброй на R+ X Q- Чтобы проверить это,
достаточно показать, что дополнение всякого элемента из ^ и
пересечение любых двух элементов из & принадлежат /, но
это следует из равенств
[5, 7r=[0,S[ll[7\ +oo[
15, Т[ П [£/, V[ = [S V U, (S V U) V (Т Л V)[.
Предположим к тому же, что семейство s& удовлетворяет
следующим двум условиям:
(а) если S и Т принадлежат бФ, то и момент остановки
S{s<t) принадлежит к-\
(Р) если (Sn) — возрастающая последовательность элементов
из s4>> то supS„ принадлежит s&.
Первое из этих условий гарантирует, что дебют всякого
элемента из ? принадлежит зФ. В самом деле, дебют
стохастического интервала вида [S, Т[ равен S{s<t}> а дебют
конечного объединения элементов из & равен нижней грани
дебютов каждого из этих элементов. В силу второго условия
дебют всякого элемента из f§ тоже принадлежит бФ.
Т8. Теорема. Пусть / — элемент из /б. Дебют Dj
принадлежит S&, а график дебюта Dj содержится в /.
Доказательство. Ясно, что график дебюта Dj
содержится в /, так как сечения /(со) замкнуты в топологии
сходимости справа на R+. Обозначим через & множество
моментов остановки, принадлежащих семейству бФ и
мажорируемых Dj\ множество 9> содержит 0, и оно замкнуто
относительно операции V, применяемой конечное число раз,
а также операции предельного перехода по возрастающим
последовательностям. Пусть теперь Г—представитель
существенной верхней грани семейства Р7, принадлежащий 9>\ мы
хотим показать, что Т п. н. совпадает с Dj9 и тем самым
завершить доказательство теоремы. Пусть (Jn) — убывающая
последовательность элементов из /, пересечением которых
является /. При условии, что Jn заменяется на Jn{\ [7\ + оо[,
можно предположить, что дебют Тп множества 1п
мажорирует Т. Но поскольку всякий Тп принадлежит семейству Р,
мы получаем, что Т= Тп п. н. для каждого п. А так как
график момента остановки Тп содержится в Jn, отсюда
следует, что Т совпадает с Д,. П
Сформулируем теперь общую теорему о сечениях.

90 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕЬРЫ
Т9. Теорема. Пусть Т — ^-алгебра, порожденная /,
а п — проекция пространства R+ X & на Q. Для всякого
элемента А из ЗГ и для любого е > 0 существует такой
принадлежащий семейству бФ момент остановки Т, что
(а) [Г]с/1;
(б) Р[я(Л)]<Р{Г< + оо} + в.
Если DA обозначает дебют множества Л, то множество п (А)
совпадает с {DA < -f- оо}; неравенство (б) записывается тогда
в виде Р{£л< + оо}<Р{Г< + оо} +е.
Доказательство. По теореме I-T37 существует
положительная случайная величина Z, график которой содержится
в Л, причем п(А) совпадает с множеством {Z < + оо}.
Обозначим через А меру на (R+ X Q, #"), определяемую равенством
Л(/)= J f[Z(a>),a>]dP(a>),
{Z<oo}
где f — произвольная положительная измеримая функция на
(R+ X Q» ЯГ)* Эта мера сосредоточена на Л, имеет массу
Я(Л) = /)[л;(Л)], причем для всякого элемента В из Т
Ъ.(В)<Р[п(А[\В)\.
С другой стороны, так как булева алгебра / порождает
а-алгебру Т, существует]) такой содержащийся в Л элемент В
из /б» что Я (Л) ^ Л (В) + е, и потому
Р[п(А)]^Р[л{В)] + г.
Согласно предыдущей теореме, достаточно теперь принять
за Т дебют множества В. □
Поскольку семейство произвольных (соотв. достижимых,
предсказуемых)2) моментов остановки удовлетворяет
сформулированным в п. 7 условиям, мы получаем как следствие
следующий результат:
Т10. Теорема. Пусть А —вполне измеримое {соотв.
достижимое, предсказуемое) множество. Для всякого е > 0
существует такой момент остановки Т (соотв. достижимый,
предсказуемый), что
(а)[Г]с=Л;
(б) Р [л (Л)] < Р {Т < + оо} + е, где я обозначает проекцию
пространства R+ X Q на Q.
!) Это хорошо изЁестный результат теории меры. Он Также является
следствием теоремы об /-измеримости, примененной к покрытию / и
емкости Я*.
2) Если S и Т предсказуемы, то {S < Т} по теореме III-T37
принадлежит !FS^, а потому S^S<T^ предсказуем в силу теоремы Ш-Т49.

2. ТЕОРЕМЫ О СЕЧЕНИЯХ 91
Вообще говоря, оказывается невозможным получить
полное сечение'), как в теореме I-T37. Так, в примере III-52
стохастический интервал ]0, S[ не допускает полного
сечения с помощью графика момента остановки, коль скоро
P{S</} > 0 при всяком t > О, даже если S достижим. Однако
в общем случае стохастический интервал вида ]S, Т[, где
Г—предсказуемый момент остановки, всегда имеет полное
сечение; это вытекает из следующей теоремы (но в основном
она представляет интерес не поэтому!).
Т11. Теорема. Пусть S — момент остановки, а Т—
предсказуемый момент остановки, такие, что S < Т на {S < + °°}.
Пусть А — вполне измеримое множество (соотв. достижимое,
предсказуемое), содержащееся в ]S, T[ и удовлетворяющее
следующему условию:
S(co) входит в замыкание сечения Л (со)
для всякого со е {S < + оо}
и
7* (со) входит в замыкание сечения Л (со)
для всякого со е {Т < + оо}
Тогда существуют убывающая последовательность (Sn)
моментов остановки общего вида (соотв. достижимых,
предсказуемых), сходящаяся к S, и возрастающая последовательность
(Тп) моментов остановки общего вида (соотв. достижимых,
предсказуемых), сходящаяся к Т, такие, что А содержит
графики моментов остановки Sn и Тп при всяком п.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая,
когда множество Л предсказуемо; в остальных случаях
доказательство протекает аналогично. Сначала докажем
существование последовательности (Sn). Для всякого целого п
проекция на Q предсказуемого множества А% = А П J S, S + — J
совпадает с {S < + «>}. Применим предыдущую теорему:
существует такая последовательность (Sn) предсказуемых
моментов остановки, что А% содержит [Sn] и P{S< + oo}^
^P{Sn< + оо} -f 2"n для каждого п. Последовательность (Sn)
сходится тогда к S, и можно считать, что это убывающая
последовательность, если только заменить при всяком п
величину Sn на inf Sm (действительно, последняя величина
!) Т.е. условие (б) здесь нельзя заменить условием Р[л(А)]=^
== Р [Т<1 + оэ}. — Прим. перев.

92 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
обладает теми же свойствами, связанными с сечениями, что
hSJ. Докажем теперь существование последовательности (Тп).
Пусть (Vn) — последовательность моментов остановки,
предвещающих Т. Для каждого п проекция на Q предсказуемого
множества Al = А П ]Vn, T] содержит {Г< + оо}. Вновь
применим предыдущую теорему: существует такая
последовательность (Un) предсказуемых моментов остановки, что Атп
содержит \Un\ и Р{Т< +oo}^P{Un<+оо} + 2~п для
всякого п. Отсюда следует, что последовательность (Un)
сходится к Т. Положим теперь для всякого п и для каждого k^n
Tkn= inf Um, Tn = mfTt = \\mTkn.
rc<m<fc k k
Поскольку {Um< T} на множестве {Um < + 00}, Г„(со)
совпадает с Тп (со) для всякого со, если только k достаточно велико.
Поэтому, согласно теореме III-T47, Тп—предсказуемый момент
остановки, обладающий теми же свойствами, связанными
с сечениями, что nUn. Теперь ясно, что последовательность {Тп)
удовлетворяет сформулированным в теореме условиям. □
Отметим интересное следствие этой теоремы.
Т12. Теорема. Всякий предсказуемый момент остановки
предвещается некоторой последовательностью предсказуемых
этажных моментов остановки.
Доказательство. Пусть U — предсказуемый момент
остановки. Применим предыдущую теорему к моментам
остановки S = 0, T = U{u>o} и предсказуемому множеству
Л= ]0, Т\ П (\J [r]\, где г пробегает множество
положительных рациональных чисел: существует такая возрастающая
последовательность (Тп) предсказуемых моментов остановки
с рациональными значениями, что T=l\mTn и Тп<Т на
множестве {Т < + оо} при каждом п. Тогда момент
остановки U предвещается последовательностью (Un)
предсказуемых этажных моментов остановки, где Un = Тп Л U{u=o} Л п
при любом п. О
Приложения
Следующая теорема оказывается очень полезной при
доказательстве теорем единственности.
Т13. Теорема. Пусть (Xt) и (Yt) —вполне измеримые (соотв.
достижимые, предсказуемые) процессы со значениями в одном
и том же метризуемом комцжтном пространстве состояний.

2. ТЕОРЕМЫ О СЕЧЕНИЯХ 93
Если для всякого произвольного (соотв. достижимого,
предсказуемого) конечного момента остановки Т
XT = YT п. н.,
то процессы (Xt) и (Yt) неотличимы.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая
вполне измеримых процессов, поскольку в остальных случаях
доказательство аналогично. Множество Л = {(£, со): Х{(®)Ф
¥=Yt{(o)} вполне измеримо. Если А не является
несущественным, то по теореме 10 существует момент остановки Т,
график которого, содержащийся в А, также не будет
несущественным. Но тогда найдется такое £^R+, что Хтм не
совпадает п. н. с Yt м* □
Заметим, что в достижимом случае достаточно в
действительности проверить равенство для предсказуемых моментов
остановки, как это видно из определения достижимого момента
остановки. Для действительных процессов требуемое в условии
теоремы равенство можно заменить более слабым.
Т14. Теорема. Пусть (Xt) и (Yt) —впэлне измеримые (соотв.
достижимые, предсказуемые) процессы, положительные или
ограниченные. Если для произвольного (соотв. достижимого,
предсказуемого) момента остановки Т
Е [Хт • /{7-<+оо}] = Е [YT • /{7-<+оо}], (*)
то процессы (Xf) и (Yt) неотличимы.
Доказательство. Опять-таки рассмотрим только
случай вполне измеримых процессов. Множества
А = {(t, со): Xt (со) < Yt (со)} и А' = {(t, со): Xt (со) > Yt (со)}
вполне измеримы. Если процессы (Xt) и (Yt) не являются
неотличимыми, то хотя бы одно из этих двух множеств не
будет несущественным. Тогда из теоремы 10 вытекает, что
существует такой момент остановки Т, для которого
равенство (*) не выполняется. □
Чтобы применить эту теорему, необходимо проверить
равенство (*) для любых моментов остановки, конечных или
нет (ср. V-16).
Теоремы о сечениях позволяют также охарактеризовать
положительные случайные величины, графики которых являются
достижимыми или предсказуемыми.
Т15. Теорема. Для того чтобы положительная случайная
величина Т была предсказуемым (соотв, достижимым, произ-

94 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
вольным) моментом остановки, необходимо и достаточно, чтобы
ее график был предсказуемым {соотв. достижимым, вполне
измеримым) множеством.
Доказательство. Необходимость условия следует из
теоремы 3, а его достаточность в случае полной
измеримости—из теоремы III-T23. Докажем достаточность условия
в случае достижимости и предсказуемости. Если величина Т
имеет достижимый (соотв. предсказуемый) график, то по
теореме 10 существует последовательность (Тп) достижимых
(соотв. предсказуемых) моментов остановки, графики которых
содержатся в графике величины Т, и таких, что Р{Т < + °°}^
<Р {Тп < + °°} + 2""" для каждого п. Если заменить Тп на
Т\ А Т2 А • • • А Тп, то можно далее считать, что
последовательность (Тп) убывает. Тогда Т = lim Tn — достижимый (соотв.
предсказуемый) момент остановки в силу теоремы III-T47. □
Дебют предсказуемого множества может не быть
достижимым моментом остановки; так, например, обстоит дело
в случае стохастических интервалов вида ]S, + <*>[, где S
вполне недостижим. Однако справедлив следующий результат.
Т16. Теорема. Пусть А — предсказуемое (соотв.
достижимое) множество, содержащее график своего дебюта DA. Тогда
DA — предсказуемый (соотв. достижимый) момент остановки.
Доказательство. Так как \DA, + оо[ —
предсказуемое множество, график \DA\ = Л—j DA, +oo[ представляет
собой предсказуемое (соотв. достижимое) множество. Теперь
из предыдущей теоремы следует, что DA — предсказуемый
(соотв. достижимый) момент остановки. □
В частности, стохастический интервал вида [S, Т[, где
S < Т на {S< + °°Ь Достижим (соотв. предсказуем) тогда и
только тогда, когда S и Т —- достижимые (соотв.
предсказуемые) моменты остановки.
В гл. VI мы покажем, что вполне измеримое множество А,
сечения которого А (со) счетны для всякого со е Q,
представляет собой объединение последовательности графиков
моментов остановки. Сейчас же мы ограничимся изучением таких
множеств, про которые уже известно, что они содержатся
в некотором таком объединении.
Т17. Теорема. Пусть А—вполне измеримое (соотв.
достижимое, предсказуемое) множество, содержащееся в счетном
объединении графиков моментов остановки. Тогда А предста-
WMQ в виде объединения последовательности графиков проиъ-

й. ТЕОРЕМЫ О СЕЧЕНИЯХ Q5
вольных {соотв. достижимых, предсказуемых) моментов
остановки, причем существует хотя бы одно такое представление
с попарно не пересекающимися графиками.
Доказательство. Обозначим через (Sn) такую
последовательность моментов остановки, что Л содержится
в U[S„], и для каждого п пусть Тп— момент остановки,
п
графиком которого служит вполне измеримое множество
(A— U [Sphfl [SJ- Тогда графики моментов остановки Тп
попарно не пересекаются и Л = и [Тп]. Предположим теперь,
п
что А достижимо, и покажем, что моменты остановки Тп
достижимы. При всяком п обозначим через Un (соотв. Vn)
достижимую (соотв. вполне недостижимую) часть Тп.
Множество
\J[Vn]=A-\J[Un]
п п
достижимо, и очевидно, что оно не может содержать график
никакого достижимого момента остановки, не являющегося
п. н. бесконечным; поэтому по теореме 10 оно несущественно.
Следовательно, моменты остановки ТП1 совпадающие с их
достижимыми частями, сами достижимы. Тогда всякий
график [Тп] содержится в счетном объединении графиков
предсказуемых моментов остановки. Если же множество А само
предсказуемо, то теорема 15 позволяет воспроизвести начало
доказательства и получить последовательность предсказуемых
моментов остановки, графики которых попарно не
пересекаются, а объединение совпадает с Л. □
В следующем параграфе, а также в гл. V мы увидим, что
множества того типа, который мы только что рассматривали,
часто встречаются в качестве исключительных множеств.
С другой стороны, рассмотренные множества представляют
собой с точностью до несущественных множеств вполне
измеримые редкие (в смысле п. И-27) множества.
Замечание. Пусть Л— такое несущественное множество
из R+ X Q» что для всякого о сечение Л (со) счетно. Поскольку
всякая определенная на Q положительная функция, п. н*
равная +оо, является предсказуемым моментом остановки,
без труда проверяется, что Л представимо в виде объединен
ния последовательности графиков предсказуемых моментов
остановки. Отсюда, в частности, следует, что
Л--предсказуемое множество.

96 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
3. Приложения к изучению процессов
В этом параграфе рассматриваемые процессы
предполагаются действительными и конечными. Однако полученные
в нем результаты без труда переносятся на случай метри-
зуемого компактного пространства состояний Е, если только
слегка ослабить утверждения там, где это необходимо. В самом
деле, поскольку любое такое пространство гомеоморфно
некоторому компакту из RN, можно считать, что процессы со
значениями в Е допускают пространство RN в качестве своего
пространства состояний, и потому изучаемые свойства
(непрерывность, измеримость) зависят в действительности только от
координат траекторий. Некоторые утверждения
распространяются даже на случай, когда Е только метризуемо благодаря
тому факту, что борелевская а-алгебра метризуемого
пространства совпадает с а-алгеброй, порожденной непрерывными
и ограниченными функциями, определенными на этом
пространстве.
В этом параграфе и в следующей главе нам часто
придется пользоваться одним соображением относительно
монотонных классов для доказательства того факта, что
процессы, измеримые относительно а-алгебры, заданной на R+X&,
обладают определенным свойством. Мы приводим здесь
теорему о монотонных классах, которой собираемся пользоваться.
Ее формулировка заимствована нами у Мейера [24], и мы
ограничимся наброском ее доказательства.
Т18. Теорема. Пусть Ж — некоторое векторное прост ран-
ство функций с конечными значениями, определенных на
множестве Е. Предположим, что Ж содержит константы, замкнуто
относительно равномерной сходимости и обладает следующим
свойством: для всякой возрастающей последовательности (fn)
положительных функций из Ж функция f = lim fn принад-
п
лежит Ж, если только она конечна. При этих условиях, если
Ж — равномерно ограниченное замкнутое относительно
умножения множество из Ж, пространство Ж содержит все
функции с конечными значениями^ измеримые относительно а-ал-
гебрЫу порожденной элементами множества Ж.
Доказательство. Очевидно, что значения функций
из Ж принадлежат отрезку [—1, 1]. Пусть Ф — такое множество
функций на [—1, 1]N со значениями в R, чтоф^, ..., fn, ...)
принадлежит Ж для всякой феФи всякой
последовательности (fn) элементов из Ж, Множество Ф содержит все
полиномиальные функции и замкнуто относительно равномерной
сходимости. Отсюда по теореме Стоуна — Вейерштрасса еле-

3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ 97
дует, что Ф содержит все непрерывные функции,
определенные на [—1, 1]N. С другой стороны, Ф замкнуто относительно
предельного перехода по монотонным равномерно
ограниченным последовательностям. Поэтому Ф содержит все
ограниченные борелевские функции, определенные на [—1, 1]N.
Теперь понятно, что Ж содержит все (конечные) функции,
измеримые относительно а-алгебры, порожденной элементами
множества Л, □
Сразу же продемонстрируем первое применение этой
теоремы: всякий вполне измеримый процесс отличается от
подходящего предсказуемого процесса не более чем на
некотором «исключительном» множестве.
Т19. Теорема. Пусть X = (Xt) — вполне измеримый процесс.
Тогда существует такой предсказуемый процесс Y = (Yt), что
множество {X ф Y} содержится в счетном объединении
графиков моментов остановки.
Доказательство. Для краткости назовем X и Y
связанными, если множество {X ф Y) содержится в счетном
объединении графиков моментов остановки. Пусть (№ —
множество вполне измеримых процессов, с каждым из которых
можно связать некоторый предсказуемый процесс. Ясно, что
Ж является векторным пространством, содержащим все
константы и замкнутым относительно поточечной сходимости:
если (А71) — сходящаяся последовательность элементов из Ж,
a Yn при каждом п — предсказуемый процесс, связанный с Хп,
то с процессом X^limXw можно связать предсказуемый
процесс:
r = limsupr./{limsupiy«|<+oo}.
п
С другой стороны, согласно теореме 4, Ж содержит
индикаторы стохастических интервалов вида [5, Г[, причем эти
индикаторы образуют в 9в замкнутое относительно
умножения подмножество. Теперь из предыдущей теоремы
следует, что 9в совпадает со всем множеством вполне измеримых
процессов. □
Выбранный так предсказуемый процесс не является
единственным. К задачам этого рода мы еще вернемся в гл. V.
Предсказуемые процессы
и а-алгебры строго предшествующих событий
Следующая теорема содержит некоторый критерий,
позволяющий проверять, является ли достижимый процесс
предсказуемым; его можно было бы сравнить с критерием из
теоремы III-T50.
4 К Деллашери

98 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
Т20. Теорема. Пусть X = {Xt) — достижимый процесс. Для
предсказуемости X необходимо и достаточно, чтобы случайная
величина Хт- 1{т<+оо)была@~т__-измеримой для всякого
предсказуемого момента остановки Т. Более того, если X
предсказуем, то случайная величина Хт • 1{т<+оо) является
SFT^-измеримой для всякого момента остановки Т.
Доказательство. Сначала докажем второе
утверждение, из которого вытекает необходимость первого условия.
Обозначим через Ж множество таких предсказуемых
процессов X, что Хт • 1{т<+°о} является ^г_-измеримой для
всякого момента остановки Т; легко видеть, что Ж удовлетворяет
условиям теоремы 18. Согласно теоремам 4 и 18, достаточно
рассмотреть случай, когда X — индикатор стохастического
интервала вида [0А], где А принадлежит @~0, или вида J£/, V].
Пусть Г —некоторый момент остановки. В первом случае
Хт • /{г<+оо} совпадает с величиной 1ап{т=о}, очевидно &~т_-ю-
меримой; во втором случае имеем
Хт • /{7,< + оо} =(/{£/<Т) —I{V<T}) • 1{Т<+оо}>
а поэтому величина Хт • 1{т<+оо} оказывается ^7,-"измеРимой
в силу теоремы III-T29. Докажем теперь, что это условие
является и достаточным. Пусть Y — такой предсказуемый
процесс, что множество {X Ф Y} содержится в счетном
объединении графиков моментов остановки, которые по
теореме 17 можно считать достижимыми. В соответствии с
определением достижимого момента остановки еще одно
применение теоремы 17 показывает, что тогда существует
последовательность (Sn) предсказуемых моментов остановки, графики
которых попарно не пересекаются и таких, что множество
{ХфУ} содержится в (J [Sn\. Имеет место равенство
п
Х = 1а-У + Т.Х8я-1[8я], где Л = П[5„]°.
п п
Так как множество А предсказуемо, предсказуем и процесс
1А • Y. С другой стороны, при каждом п предсказуем момент
остановки Sn, а величина Xs • //s <+«>) является &~s --изме-
ft \ П з ft
римой по условию; Xsn • I[sn] — элементарный предсказуемый
процесс. Теперь ясно, что X предсказуем. □
Обратно, предсказуемые процессы позволяют
охарактеризовать элементы а-алгебры типа Ут-\ отсюда получается
глобальное определение таких а-алгебр.
Т21. Теорема. Пусть Т — момент остановки. Измеримая
относительно 2Г„> случайная величина Z является ^'т-.-изме*

3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ 99
римой тогда и только тогда, когда существует предсказуемый
процесс X = {Xt)> такой, что Хт = Z на множестве {Т < -f °°}.
Доказательство. Это условие является достаточным
в силу III-T31 и предыдущей теоремы. Докажем его
необходимость. Обозначим через Ш множество таких
^--измеримых случайных величин Z, что существует предсказуемый
процесс X, для которого XT = Z на множестве {Г< + сх)}.
Как и при доказательстве теоремы 19, проверяется, что Зв
удовлетворяет всем условиям теоремы 18. Поэтому
достаточно доказать необходимость рассматриваемого условия для
случая, когда Z —индикатор одного из элементов,
порождающих а-алгебру #"V-> т- е- когда Z — индикатор
некоторого элемента А из &~0 или множества вида B(]{s<T}y
B^@"s. Теперь достаточно в качестве предсказуемого
процесса взять в лервом случае индикатор множества [0Л, + оо[,
а во втором — индикатор множества jsB, +°°[. □
Очевидным образом справедлива аналогичная теорема,
в которой вместо @~т~ фигурирует @~т, а термин
«предсказуемый» заменен на «вполне измеримый». Можно было бы
также, рассмотрев достижимые процессы, определить
некоторую а-алгебру, промежуточную между @~т- и @~т. Эта
тт-алгебра представляется нам, однако, лишенной интереса.
Процессы, непрерывные слева
Т22. Теорема. Всякий согласованный и непрерывный слева
процесс X = {Xt) предсказуем.
Доказательство. Для всякого целого п положим
ХП = Х0 • /[о] + 2-1 Xk/n ' /] k/n, (*+l)/n]-
k
Процесс Хп предсказуем, поскольку он представляет собой
счетную линейную комбинацию элементарных предсказуемых
процессов. Поэтому ясно, что и Х= \\п\Хп — предсказуемый
п
процесс. □
Теперь из теорем 4 и 22 вытекает, что а-алгебра
предсказуемых множеств порождена согласованными и
непрерывными слева процессами. Кроме того, из теоремы 20 следует,
что случайные величины Xk/n из проведенного выше
доказательства #~(А>/гс)--измеримы; поэтому а-алгебра Тъ порождается
стохастическими интервалами вида [0Л1, /1е^0> и вида
\sB, tB], Ве#%_. Далее, имеем следующий результат.
Т23. Теорема, а-алгебра Тъ порождается согласованным^,
и непрерывными процессами.
4*

100 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
Доказательство. Согласно предыдущей теореме,
согласованные и непрерывные процессы предсказуемы. Обратно,
процесс /[ол, +оо[ непрерывен и согласован, если А
принадлежит @"о, а стохастический интервал вида ]5, +оо[
совпадает с множеством {X > 0}, где X = (Xt) — согласованный
и непрерывный процесс, определяемый равенством Xt =
= t-SAt. □
Теперь мы охарактеризуем процессы, п. н. непрерывные
слева, в соответствии с их поведением вдоль возрастающих
последовательностей моментов остановки. Этот результат
будет использован только при доказательстве теоремы 20 из
гл. V.
Т24. Теорема. Пусть X = (Xt) — ограниченный
предсказуемый процесс. Для того чтобы X был п. н. непрерывным
слева, необходимо и достаточно, чтобы
UmE[XSn\ = E[X{lmsn-\
для всякой возрастающей последовательности (Sn) равномерно
ограниченных предсказуемых моментов остановки.
Доказательство. Необходимость этого условия
очевидна. Докажем достаточность. Предположим, что X не
является п. н. непрерывным слева. Положим Х0 = ^о = ^о и
при каждом t > 0
Xt=l\m sup XS9 Xt = lim inf Xs.
s<t -~ s<*
В п. 3 гл._У1 мы увидим, что так определенные на R+XQ
функции X = (Xf) и X = (Xt) являются предсказуемыми
процессами, если только X прогрессивно измерим. Если X не
будет п. н. непрерывным слева, то одно из предсказуемых
множеств
{(*, со): Xt (со) < Xt (со)}, {(*, со): Xt (со) < Xt (©)}
не будет несущественным. Предположим, что этим свойством
обладает второе из множеств; другой случай
рассматривается аналогично. Тогда найдется такое действительное
число а, что предсказуемое множество
{(*, со): Х,(ю)< а <*,(©)}
не является несущественным, так как множество {X < X}
совпадает с \j{X<.r<X}, гДе г пробегает совокупность

3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ Ю1
всех рациональных чисел. Применим теорему 10 о сечениях
к этому множеству: существует такой предсказуемый момент
остановки Г, что множество {7,< + оо} непренебрежимо и
Хт<а<Хт на {Г<+оо}.
С другой стороны, поскольку Х0 совпадает с Х0, момент Т
строго положителен, и из определения процесса X следует,
что Г (со) принадлежит замыканию сечения Л (со)
предсказуемого множества
А=[0, ПП№, со): Xt(<»)>a}
для каждого сое {Г < -f- °°}. Тогда по теореме 11 существует
возрастающая последовательность (Тп) предсказуемых
моментов остановки, сходящаяся к Г и такая, что А содержит
[Тп\ при всяком п, и мы получаем
liminf Е[ХТп • /{гя<+оо}]>а • Р{Т < + оо} > Е[ХТ • /{г <+<»)].
п
Теперь остается только урезать моменты остановки Тп до
некоторого достаточно большого уровня, чтобы получить
возрастающую и равномерно ограниченную последовательность
(Sn) предсказуемых моментов остановки, не удовлетворяющую
условию теоремы. □
Процессы, непрерывные справа
Т25. Теорема. Всякий согласованный, непрерывный справа
и обладающий пределами слева процесс X = (Xt) вполне из~
мерим.
Доказательство. Для всякого е>0 по индукции
определим возрастающую последовательность моментов
остановки (Г*) с помощью соотношений:
71(со) = 0
и, коль скоро Т\ (со) определено,
7%н (со) = inf \t > П (со): I Xt (со) - Х^ (со) | > е },
где r^-i-i (со) считается равным +<х>, если указанное здесь
множество пусто или если 7,«(со) = + °°- Последовательно
устанавливаем, что таким образом корректно задаются
моменты остановки: момент Тгп+\ является дебютом прогрессивно
измеримого множества, так как процесс X прогрессивно
измерим, а процесс X е-/|т8 . г представляет собой вполне^

102 ГЛ< IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
измеримый элементарный процесс. Поскольку процесс X
непрерывен справа, на множестве {Тгп+\ < + оо} имеем
неравенство I Хтг — X 8 I ^ е, и отсутствие разрывов второго
I in+\ in\
рода равносильно сходимости (г£) к + оо при любом е > 0.
Положим при всяком е > 0
л =-= 2-1 Хтг • / г ге те г •
Процесс X8 вполне измерим, будучи равным линейной
счетной комбинации вполне измеримых элементарных
процессов. Пусть теперь (ел) — последовательность положительных
чисел, стремящихся к 0. Так как X = \\mXefl, процесс X
вполне измерим. □
Учитывая определение сг-алгебры вполне измеримых
множеств, в .качестве следствия получаем такое утверждение:
Т26. Теорема, а-алгебра Т\ совпадает с в-алгеброй,
порожденной согласованными, непрерывными справа и
обладающими пределами слева процессами.
Согласованный, непрерывный справа процесс также вполне
измерим (и без предположения о существовании пределов
слева). Чтобы это доказать, можно было бы, как и при
доказательстве теоремы 25, построить трансфинитную
последовательность (Га) моментов остановки вместо
последовательности, (Тгп) и, использовать ту же схему доказательства,
учитывая существование такого счетного трансфинитного
числа а, что Г£ = + оо п. н.
Мы используем другой метод, который позволяет избежать
применения трансфинитных последовательностей и основная
идея которого может применяться в различных ситуациях ').
Т27. Теорема. Согласованный и непрерывный справа
процесс X = (Xi) вполне измерим.
Доказательство. Заметим сначала, что несущественный
и непрерывный справа процесс £ = {Zt) вполне измерим.
Действительно, положим при любом целом п
(Г' ' Zn = Z • /jo] + 2-1 %{k+\)/n• I]k/n, (k+\)/nh
n
^Поскольку случайная величина Z(k+\)/n> равная 0 п. н., является
^/„-измеримой, ясно, что процесс Zn вполне измерим, а
потому вполне измерим и процесс Z = \\mZn. Следовательно,
п
х) См., в частности, доказательство теоремы 28 и § 2 гл. VI?

3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ ЮЗ
достаточно доказать, что процесс X неотличим от некоторого
вполне измеримого процесса, и, стало быть, достаточно
установить при любом рациональном е > 0 существование
такого вполне измеримого процесса Xе, что множество
{(*, со): |Х, (ш)-А?(©)|> в}
несущественно. Зафиксируем е и обозначим через si
множество моментов остановки 5, для каждого из которых
найдется вполне измеримый процесс Ys, такой, что множество
{(*, со): *е=[0, S(©)[, | *,(©)-У?<©)|> в}
несущественно. Множество si содержит момент остановки О,
и легко проверяется, чго Se^, если S п. н. совпадает с
некоторым элементом si, и что оно замкнуто как относительно
структурных операций, так и относительно перехода к
пределу по возрастающим последовательностям. Обозначим
через Т какой-либо представитель существенной верхней
грани семейства si и докажем, что Г = + °° п. н., чем и
завершим доказательство теоремы. Пусть f/—дебют
прогрессивно измеримого множества
{(*, со): t > Т (со), | Xt (со) - Хт (со) | > в}.
Момент остановки U принадлежит si, так как его можно
сопоставить вполне измеримому процессу
Yu = YT • /[о, т i + Хт • 1[т, и и
и потому T=U п. н. С другой стороны, поскольку процесс X
непрерывен справа, на множестве {U < + °°} справедливо
неравенство Г < £/, и, следовательно, 7,= + оо п. н. □
Теперь мы охарактеризуем вполне измеримые непрерывные
справа п. н. процессы и среди них те, которые п. н. обладают
пределами слева, рассматривая их поведение вдоль
монотонных последовательностей моментов остановки. В
дальнейшем эта теорема, как и теорема 24, будет использоваться
только при доказательстве теоремы 20 из гл. V.
Т28. Теорема. Пусть X = {Xt) — ограниченный вполне изме*
римый процесс. Для п. н. непрерывности справа процесса X
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее
условие'
для всякой убывающей последовательности (SJ
ограниченных моментов остановки справедливо равенство
liir.£[Xsj = £[IiimS(i].

104 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
Кроме того, процесс X обладает п. н. пределами слева тогда
и только тогда, когда, помимо предыдущего условия,
выполняется следующее требование"*
для всякой возрастающей последовательности (Sn)
равномерно ограниченных моментов остановки существует
\шЕ[Х8п1
Доказательство. Сформулированные условия,
очевидно, необходимы. Докажем достаточность первого условия.
Так как предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных справа п. н. процессов также непрерывен справа,
достаточно доказать, что для каждого рационального е > 0
существует вполне измеримый и непрерывный справа
процесс Xе, для которого множество {(t, со): |Х*(со) — X* (со)|^е}
несущественно. Для этого мы можем воспроизвести схему
доказательства теоремы 27. Зафиксируем е и обозначим
через s& множество моментов остановки S, для каждого из
которых существует такой вполне измеримый и непрерывный
справа процесс Ys, что множество {(t, со): t^[0, S(co)[,
|Х*(со) — У? (со) I ^ e} несущественно. Как и выше, докажем,
что множество $Ф содержит момент остановки Г, который
п. н. совпадает с дебютом вполне измеримого множества
{(t, со): t > Т (со), | Xt (со) - Хт (со) | > г).
Если процесс X непрерывен справа п. н., то Т= + оо п. н.
Допустим, что Р{Т< + °°} >0 и обозначим через D (соотв. D')
оо-дебют вполне измеримого множества
{(*, со): t> Г (со), *,(©)> *г(©) +в}
(соотв. {{t, со): t> Г (со), Xt (со) < Хт (со) — е}).
Множество {7, = Z)< + °° или Г = £)'< + оо} совпадает
с точностью до пренебрежимого множества с {Т < + оо}.
Предположим, что множество {T = D <-f °°} не является
пренебрежимым (случай, когда {Т = D' < + °°}
непренебрежимо, разбирается аналогичным образом). Обозначим через S
сужение Т на множество {Т = D < -+- °°}- Для всякого
coe{S< + oo} значение S(co) принадлежит замыканию
сечения Л (со) вполне измеримого множества
А = {(t, со): t > S (со), Xt (со) > Xs (со) + е}.
По теореме 11 существует убывающая последовательность
моментов остановки (Sn), сходящаяся к S и такая, что А
содержит [Sn] при любом п, и мы имеем
Urn inf E \XSn . I[Sn <+оо}] > Е \XS • hs <+■»>] -f e . P {S < + oo}.

3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ Ю5
Остается только урезать моменты остановки Sn до
достаточно большого уровня, чтобы получить убывающую
последовательность ограниченных моментов остановки, которые не
удовлетворяют первому условию теоремы.
Теперь перейдем к доказательству достаточности второго
условия. Вновь рассмотрим последовательности моментов
остановки, определенные рекуррентным способом в
доказательстве теоремы 25, а именно положим 7^ = 0 и
П-ы (со) = inf {t > Т*п (со): | Xt (со) - Хт% (со) | > е}
при каждом е > 0. Предположим, что процесс X непрерывен
справа, но с положительной вероятностью не имеет пределов
слева. Тогда существует такое е > 0, что Г^_Пт7^ не рав-
п
но + оо с положительной вероятностью. Если такое е
зафиксировать, то множество
( Tl < + оо, Hm inf X 8 < lim sup X e \
I n n n n )
окажется непренебрежимым. Таким образом, существуют
рациональное s > 0 и пара (а> Ь) рациональных чисел, такие,
что множество
( Tlo < 5, lim inf X г < а < Ь < lim sup X 8 \
I п п п п )
не является пренебрежимым. Рекуррентным образом
определим последовательность (Sn) моментов остановки,
используя следующие соотношения:
5, = 0,
S2n = ml{t<==[0, s]: t>S2n-u Xt^a}y
S2n+i = inf {t e [0, s]: t > S2n, Xt > b).
Последовательность (Sn A s) возрастает, равномерно
ограничена и lim£[Xs As~\ не существует. Следовательно, второе
условие теоремы достаточно для того, чтобы непрерывный
справа п. н. процесс X обладал (п. н.) пределами слева. □
Замечание. При доказательстве достаточности второго
условия можно было бы также применить рассуждение,
аналогичное приведенному в доказательстве теоремы 24; таким
образом, можно доказать, что это условие необходимо и
достаточно для наличия п. н. у процесса X пределов слева без
предположения о существовании пределов справа.

106 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
Теперь мы продолжим изучение согласованных,
непрерывных справа и имеющих пределы слева процессов. Мы
охарактеризуем те из них, которые являются достижимыми, и те,
которые предсказуемы, исходя из исследования их скачков.
Полученные при этом результаты играют важную роль при
изучении возрастающих процессов.
29. Пусть X = (Xt) — согласованный, непрерывный справа и
имеющий пределы слева процесс. Будем говорить, что
процесс X нагружает момент остановки Г, если Р {Xт ф Хт~,
Г < + оо} > 0, и что X имеет скачок в момент Г, если, кроме
того, Хт ф Хт- п. н. на множестве {Г< + оо}. Наконец,
будем говорить, что последовательность (Тп) моментов
остановки исчерпывает скачки процесса X, если выполняются
следующие условия: при каждом п процесс X имеет скачок
в момент Тп, графики моментов Тп попарно не пересекаются
и X не нагружает никакой момент остановки, график
которого не пересекается с графиками моментов Тп.
ТЗО. Теорема. Пусть X = (Xt) — согласованный,
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс. Существует
последовательность (Тп) моментов остановки, которая
исчерпывает скачки процесса X. Если X достижим, то и моменты
остановки Тп достижимы, если X предсказуем, то и моменты Тп
можно выбрать предсказуемыми.
Доказательство. Обозначим через Y = (Yt)
процесс {Xt-), который является предсказуемым по теореме 22,
и пусть А = {X ф Y}. Мы докажем, что А содержится в
счетном объединении графиков моментов остановки, и тогда
теорема окажется непосредственным следствием теоремы 17.
Для каждого целого п положим
An={\X-Y\>±}.
Множество Ап вполне измеримо, и А равно объединению
множеств Ап. С другой стороны, так как процесс X
непрерывен справа и обладает пределами слева, при любом п и
любом со сечение Ап(аз) не имеет точек накопления в R+.
Поэтому Ап является объединением графиков своих р-дебю-
тов, где р пробегает целые значения. Таким образом, А
содержится в счетном объединении графиков моментов
остановки. □
Т31. Теорема. Пусть X = {Xt) — согласованный,
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс-

3, ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОЦЕССОВ Ш
(а) Процесс X достижим тогда и только тогда, когда он
не нагружает никакой вполне недостижимый момент
остановки.
(б) Пусть процесс X достижим. Тогда он предсказуем
в том и только том случае, если случайная величина Хт • 1{т<+<х>}
является ЗГт~.-измеримой при всяком предсказуемом моменте
остановки Т. Кроме того, если X предсказуем, величина
%т ' Ar <+<*>} является SFт--измеримой при любом моменте
остановки Т.
Доказательство. Пункт (б) служит частным случаем
теоремы 20. Докажем пункт (а). Обозначим через У = (У/)
процесс {Xt~), который является предсказуемым по теореме 22,
и пусть {Тп) — последовательность моментов остановки,
исчерпывающая скачки процесса X. В силу предыдущей
теоремы моменты остановки Тп достижимы, если X достижим,
так что условие, высказанное в п. (а), необходимо. Обратно,
если X не нагружает никакой вполне недостижимый момент
остановки, моменты Тп достижимы. Имеем равенство
X = IA-Y+ Т,Хтп-1[тп],
где Л=П[7,пГ- Так как Л—достижимое множество, про-
п
цесс 1а • У достижим, и Хтп • 1[тп] является элементарным
достижимым процессом при любом п. Итак, ясно, что X
достижим. □
Теперь мы определим один из вариантов понятия
непрерывности слева, подобный своему аналогу для семейства
а-алгебр.
Т32. Теорема. Пусть X = (Xt) -— согласованный,
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс. Следующие
три утверждения равносильны друг другу:
(а) моменты скачков процесса X вполне недостижимы,
(б) процесс X не нагружает никакой предсказуемый
момент остановки;
(в) если (Тп) — возрастающая последовательность моментов
остановки, то п. н.
limZr =Хцтт на множестве (lim Тп < + оо}.
п п п
Мы называем процесс X квазинепрерывным слева, если
он удовлетворяет одному из этих условий.
Доказательство. Легко проверяется, что (в) влечет
за собой (б) и что (б) влечет за собой (а). Мы ограничимся

108 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
проверкой, что из (а) вытекает (в). Пусть {Тп) —
возрастающая последовательность моментов остановки; обозначим
через Т ее предел и через Л —множество П{Тп<Т). Оче-
п
видно, WmXln=XT на АС[\{Т < + оо}. С другой стороны,
сужение ТА является достижимым моментом остановки (см.
111-43); так как, по предположению, процесс X не нагружает
никакой достижимый момент, получаем, следовательно,
равенство \\тХтп = Хт на Af\{T <-f оо}. □
Из теорем 31 и 32 следует, что процесс X п. н.
непрерывен, если он одновременно достижим и квазинепрерывен;
в этом случае он оказывается предсказуемым. В следующей
главе мы увидим, что всякий непрерывный справа мартингал
квазинепрерывен слева, когда семейство (^) само квазине-
прерывно слева.
4. Возрастающие процессы
033. Определение. Действительный процесс А = (At) с
конечными значениями называется возрастающим, если
выполняются следующие условия:
(а) траекториями А служат возрастающие функции,
непрерывные справа;
(б) случайная величина Л0 равна О, и при каждом t e R+
случайная величина At интегрируема.
Из теоремы 25 вытекает, что возрастающий процесс А
вполне измерим, если только он согласован; с другой
стороны, процесс Л, очевидно, имеет пределы слева, а
процесс (Л*_) предсказуем по теореме 22, если Л согласован.
Процесс Л всегда обладает финальной случайной величиной
Л^ = Hm Au конечной или нет, а это позволяет определить
*->оо
случайную величину Ат для любого момента остановки Г.
Когда случайная величина Л^ интегрируема, мы говорим, что
Л — возрастающий интегрируемый процесс.
Достижимые или предсказуемые процессы в соответствии
с теоремой 31 выделяются среди всех согласованных
возрастающих процессов свойствами своих скачков. Учитывая
важность этой теоремы, воспроизведем ее формулировку
применительно к возрастающим процессам.
Т34. Теорема. Пусть А = (Л/) — согласованный
возрастающий (а потому вполне измеримый) процесс.
(а) Он достижим тогда и только тогда, когда Р {Ат ф Лг-} = О
для любого вполне недостижимого момента остановки Т.

4. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ Ю9
(б) Пусть А достижим. Тогда он предсказуем в том и
только том случае, если величина Ат является
5ГТ—-измеримой для любого предсказуемого момента остановки Т. Кроме
того, если А предсказуем, величина Ат является @~т--измеримой
для любого момента остановки Г.
В то время как предсказуемые возрастающие процессы
играют в общей теории важную роль (именно они названы
Мейером «натуральными»), характеризация достижимых
возрастающих процессов наиболее интересна лишь в том случае,
когда семейство (&~t) квазинепрерывно слева. Заметим также,
что по теореме 22 возрастающий, согласованный и
непрерывный процесс предсказуем.
35. Примеры. Теперь приведем несколько простых
примеров возрастающих процессов. В дальнейшем эти процессы
будут называться элементарными.
Пусть Т — положительная случайная величина; для любого
t^ R+ положим
At = /{o< г
сопроцесс A = (At) является возрастающим. Он согласован и,
таким образом, вполне измерим тогда и только тогда, когда Т
служит моментом остановки; в этом случае А — индикатор
стохастического интервала [Г{г>оь + °°[. Из теоремы 16
следует, что А является достижимым (соотв. предсказуемым)
процессом в том и только том случае, если Г—достижимый
(соотв. предсказуемый) момент остановки. С другой стороны,
процесс А квазинепрерывен слева тогда и только тогда,
когда Ту > о} — вполне недостижимый момент остановки.
36. Пусть А = (At) — возрастающий процесс. Для всякого со
траектория t->At((a) служит функцией распределения
некоторой меры а (со) на R+, ограниченной на каждом компакте
и сопоставляющей нулевую массу одноточечному
множеству {0}. Ясно, что Л— непрерывный процесс в том и только
том случае, когда а (со) — непрерывная мера при любом со.
Когда а (со) является чисто атомической мерой при любом со,
мы говорим, что процесс А вполне разрывен. Известно, что
всякая мера может быть разложена единственным способом
на непрерывную и атомическую составляющие. Именно это
утверждается в следующей теореме, относящейся к
возрастающим процессам.
Т37. Теорема. Пусть А = (At) — возрастающий процесс.
Тогда А допускает единственное разлооюение вида
At = Act+Af,

ПО ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
где Ас = (At) — непрерывный возрастающий процесс, a Ad =
= (А?) — вполне разрывный возрастающий процесс. Если А
вполне измерим {соотв. достижим, предсказуем), то Ас
предсказуем, а Аавполне измерим (соотв. достижим, предсказуем).
Доказательство. Мы предположим, что А вполне
измерим; это не ограничивает общности, так как измеримый
процесс вполне измерим относительно семейства а-алгебр
(&t), где 9t совпадает с Т при каждом t. Пусть (^ —
последовательность моментов остановки, исчерпывающая
скачки А. Положим
B» = (ATn-ATn-).IlTn.+„v А*=ЪВ\
Процесс Вп, так же как и процесс А — Вп, является
возрастающим и вполне измеримым при каждом п. Поэтому и Ad —
возрастающий вполне измеримый процесс, причем
непрерывность справа его траекторий обеспечивается теоремой
Лебега о сходимости, примененной к ряду. Так как при
всяком со траектория t->Ad (со) соответствует атомической части
меры, связанной с функцией t->At((i>), процесс AC = A—Ad
является непрерывным и возрастающим, и ясно, что
разложение A = AC + Ad на непрерывную и вполне разрывную
составляющие единственно. С другой стороны, процесс Ас
вполне измерим, а поскольку он непрерывен, он к тому же
и предсказуем. Итак, если процесс А достижим (соотв.
предсказуем), то процесс Ad=A—Ac также достижим (соотв.
предсказуем). П
Теперь мы представим любой возрастающий вполне
разрывный процесс в виде счетной линейной комбинации
элементарных возрастающих процессов, которая для траекторий
напоминает разложение атомической меры в сумму точечных
мер.
Т38. Теорема. Пусть A = (At)—возрастающий, вполне
измеримый (соотв. достижимый, предсказуемый) и вполне
разрывный процесс. Существуют такая последовательность (ап)
действительных положительных чисел и такая
последовательность строго положительных моментов остановки
произвольного вида (соотв. достижимых, предсказуемых), что
А = Л аП ' 1[Тп, +оо[.
п
Доказательство. По теореме 30 найдется
последовательность (Sn) моментов остановки произвольного вида (соотв.
достижимых, предсказуемых), которая исчерпывает скачки А.

4. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ \\\
Мы удовлетворимся рассмотрением случая, когда процесс А
предсказуем, ибо в остальных случаях доказательство
аналогично. Поскольку
а= Z04-V-) •%•+-['
достаточно установить существование указанного в теореме
разложения, когда процесс А имеет вид
A = (AS — 4S-) •/is.+oo[,
где S —строго положительный момент остановки. Так как
случайная величина Z = (As — As-) • I{s<+«>} по теореме 34
является ^--измеримой, существует возрастающая
последовательность (Zn) таких этажных и ?Fs—-измеримых
случайных величин, что Z = l\mZn. Таким образом, найдутся после-
п
довательность (ап) действительных положительных чисел и
последовательность (Нп) элементов а-алгебры @~s-> такие, что
Z = 2-» ап • /яп»
п
Обозначим через Тп сужение S на Нп, которое
предсказуемо по теореме III-T49; тогда получим
А = £ ап • /гг , +оог. П
п
Интегрирование по возрастающему процессу
В дальнейшем рассматриваемые процессы считаются
действительными, и мы допускаем вольность речи, состоящую
в отождествлении классов эквивалентности неотличимых
процессов с их представителями; в частности, функция,
определенная всюду в R+ X й, за исключением, быть может,
несущественного множества, будет рассматриваться как
определенная всюду.
39. Пусть А = (At) — возрастающий процесс. При каждом со
можно связать с траекторией t->At((d) интеграл Стилтьеса—
Лебега. Обозначим через V(A) множество таких измеримых
процессов X, что1)
J|^(co)|d4(co)
< + оо
!) Интеграл вида \ всегда будет рассматриваться как интеграл по
а
полуоткрытому интервалу ] а, Ь]. Меры на R+, с которыми мы будем
работать, никогда не будут иметь положительную массу в Q,

112 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
при всех t e R+. Если X принадлежит О (Л), из теоремы
Фубини вытекает, что интеграл
t
\xsdAs
о
имеет смысл при любых t e R+ для всех траекторий,
лежащих вне некоторого пренебрежимого множества. Таким
образом определенный (вне несущественного множества) процесс
будет обозначаться через
X*A = ((X*A)t).
С одной стороны, из теоремы Лебега вытекает, что -ЛГ * Л —
непрерывный справа процесс, являющийся непрерывным, если
непрерывен А. С другой стороны, Х*А = Х+*А — Х~*Л, и
потому процесс Х*А равен разности двух возрастающих
процессов. Предположим теперь, что процесс X прогрессивно
измерим и что процесс А согласован (а следовательно, вполне
измерим). Тогда по теореме Фубини величина (X * A)t является
^-измеримой при каждом t и потому процесс X * А вполне
измерим. Разложим процесс А в сумму его непрерывной
составляющей и элементарных возрастающих процессов (см. Т37
и Т38):
А = АС+ Е я» • tyv+~[;
п
тогда имеем
Х*Л = Х*Л'+Е апХтп • /[гя> +«,[.
п
Следовательно, процесс X * А достижим, если А достижим,
и предсказуем, если А и X предсказуемы или если А
непрерывен.
Замечание. Для всякого измеримого положительного
процесса X выражение \XsdAs имеет смысл одновременно
о _
при всех t и определяет процесс со значениями в R+,
который мы также обозначим через X * Л. При этом, очевидно,
сохраняются те же критерии измеримости, что и выше.
Заметим, однако, что процесс X * Л, обладающий пределами
слева и справа, может не быть непрерывным справа в
случайный момент
r(©) = inf|f: $Х,(©)Л4, (©)= + «> |.

4. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ ЦЗ
40. С каждым возрастающим процессом A = (At) связывают
а-конечную меру \хА на R+ X Q, определенную равенствами
»АХ) = е\\ XtdAt\ = E[(X*A)J9
где X пробегает множество положительных измеримых
процессов. Эта мера ограничена тогда и только тогда, когда
Л — интегрируемый возрастающий процесс. Мы говорим, что
М-л — мера, порожденная возрастающим процессом Л.
Следующая теорема характеризует а-конечные меры на R+ X Q,
порожденные возрастающими процессами.
Т41. Теорема. Пусть \i — а-конечная мера на (R+ X Q,
^(R+)®#~). Она порождена некоторым возрастающим
процессом А = (At) в том и только том случае, когда справедливы
следующие условия:
(а) \i ([0]) = 0 и [i{[0, t] )< + оо при всяком t e R+;
(б) \х (X) = 0, если X — несущественный измеримый
процесс.
Кроме того, возрастающий процесс, который порождает \i,
единствен с точностью до перехода к неотличимому от него
процесса.
Доказательство. Условия (а) и (б), очевидно,
необходимы. Докажем, что они достаточны. Для каждого ^ R+
определим меру Qt на (Q, ЗГ) следующим образом: при
всяком Яе^ пусть
Qt(H) = v([o, t]XH).
В силу (а), мера Q0 является нулевой и мера Qt ограничена
при каждом /. С другой стороны, из (б) вытекает, что мера Qt
абсолютно непрерывна относительно Р, и мы обозначим
через A't положительный вариант плотности Qt относительно Р.
Случайные величины А\ интегрируемы и
А'0 = 0 п. н.,
Л^<Л£ п. н., если s<£,
Л£ = НтЛ£ в смысле сходимости в Ll(P)f вытекающей из
п
теоремы Лебега, где (tn) — произвольная убывающая и
стремящаяся к t последовательность; следовательно, Л£=Нт А\ п. н.
п
При всяком /eR+ положим
At = inf A'n

114 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
где г пробегает рациональные числа, превосходящие t. Ясно,
что таким образом определенный процесс Л = (Л,) является
возрастающим. С другой стороны, множества вида [0, t] X Н
образуют замкнутое относительно (П/) семейство, которое
порождает а-алгебру $ (R+) ® ЗГ, и потому понятно, что
мера \х вполне определяется значениями, которые она
принимает на этих множествах. Следовательно, [i — мера,
порожденная возрастающим процессом А. Наконец, если В —
другой возрастающий процесс, который порождает \х, то ясно,
что величина Bt равна At п. н. при каждом t, и, таким
образом, В служит модификацией А. Но поскольку А и В
непрерывны справа, процесс В неотличим от Л. □
В § 3 следующей главы мы увидим, что мера,
порожденная возрастающим ^-измеримым процессом (или, короче,
^-измеримая мера), вполне определяется своим сужением на
а-алгебру ЗГ\. В настоящий момент мы ограничимся харак-
теризацией мер, порожденных возрастающим согласованным
(а стало быть, вполне измеримым) процессом.
Т42. Теорема. Пусть \х —мера, порожденная возрастающим
процессом А = (Л*). Возрастающий процесс А является
согласованным тогда и только тогда, когда
М[0, ЧХЯ) = |х(£[/я1^]-/|о.п)
при всяком t ^ R+ и любом Н е ST.
Доказательство. Фигурирующее здесь условие
записывается также в следующей форме:
E[lH-At\ = E[E[lH\rt]'At].
Теперь теорема вытекает из того факта, что величина At
является ^-измеримой в том и только том случае, когда At
ортогональна случайным величинам вида /# — £|7# 1^~*]> где
Н пробегает #~. □
Замена времени
Следующая теорема, принадлежащая Лебегу, позволяет
сводить любой интеграл Стилтьеса к интегралу по мере
Лебега.
Т43. Теорема. Пусть a: t->a (t) — положительная
возрастающая функция {с конечными или бесконечными значениями),
определенная на R+ и непрерывная справа. Пусть при
всяком t e R+
g{t) = ml{s: a(s)>t}.

4. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ J15
Функция с: t-+c(t) является положительной, возрастающей,
непрерывной справа, и c{t) < + 00 тогда и только тогда, когда
а(оо) > t. При этом для любого sgR+
a(s) = \nl{t: c{t)>s}.
Допустим, кроме того, что функция а принимает конечные
значения и что а(0) = 0. Тогда для всякой положительной
борелевской функции /, определенной на R+, имеем
со а (оо) оо
\f{t)da{t)= \ f(c(t))dt=\l{c<oo)(t)-f(c(t))dt.
о о о
Доказательство. График функции с получается из
графика функции а следующим способом: график а отражают
симметрично относительно диагонали декартовой плоскости
и преобразуют участки постоянства а в скачки с (сохраняя
непрерывность справа функции с), а скачки а — в участки
постоянства с. Ясно, что, поступая таким же образом с
графиком с, мы получим график а. Мы предоставляем читателю
возможность самому разобраться в этом подробно и
перейдем к доказательству последнего равенства, которое
представляет собою одну из форм теоремы о замене переменной.
Первые два члена этого равенства определяют интегралы, не
имеющие массы в точке 0, и потому достаточно установить
их равенство, когда / — индикатор интервала вида ]0, s].
00
Однако интеграл \l\otS)(t)da(t) равен a(s), тогда как инте-
о
а(оо)
грал \ I\o,s\(c{t))dt равен длине интервала {t: c{t)^.s), а от-
о
сюда и величине inf {^: c(t)>s}. Совпадение этих интегралов
вытекает теперь из равенства a(s) = inf{/: c{t)>s}. р
Заметим, что a(c(t)) = t в том и только том случае, если
/ — точка роста (в строгом смысле) функции а, тогда как
a{c{t)) = t в том и только том случае, если / — точка роста
(в строгом смысле) функции с.
В частности, a(c(t)) совпадает с t, когда функция а
непрерывна и t принадлежит множеству [0, а (<*>)[. Применяя
последнее равенство из теоремы 43 к случаю, когда / имеет
вид g°a, получаем следующий вариант теоремы о замене
переменной.
Т44. Теорема. Пусть функция a: t-+a {t) определена на R+,
непрерывна, возрастает, принимает конечные значения, и пусть
я(0) = 0.

116 ГЛ. IV. ТРИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ а-АЛГЕБРЫ
Для любой борелевской положительной функции g,
определенной на R+,
оо а (оо)
\g(a(1))da(t) = \ g(t)dt.
о о
45. Пусть теперь A = {At) — возрастающий процесс.
Определим процесс C = (Ct), полагая при каждом t и каждом со
С, (со) = inf {s: As{a>)>t}.
Этот процесс называется заменой времени, отвечающей
процессу А. Когда процесс А согласован, случайные величины Ct
являются моментами остановки: действительно, при любом
s>0
{Ct<s}=\J{As-(Vn)>t}.
п
Следующая теорема очень важна. Ее значение выяснится
в § 3 гл. V.
Т46. Теорема. Пусть X = {Xt) и Y"»(Yt) — два таких
положительных измеримых процесса, что для любого момента оста*
новки S
Е [%s " As <+<»>] = Е [Ys • /{s <+»)].
Тогда для всякого возрастающего согласованного процесса
^4 = (At) и любого момента остановки Т
\xsdAs\=E[ \YsdAs\.
Доказательство. Докажем сначала последнее
равенство, если Г= + оо, и через (Ct) обозначим замену времени,
отвечающую возрастающему процессу (At). В силу теоремы 43
и теоремы Фубини
Гоо "1 Гоо "I оо
Е I J Xs dAА = Е I J Xcs • I{cs<+oo} ds = J E [XCs • /{cs<+co}] ds.
Процесс Y удовлетворяет аналогичному равенству, и ясно, что
£К^ЙЛ5| = £КГ5^1,
так как Cs является моментом остановки при каждом s.
Наконец, случай, когда Т — произвольный момент остановки,

4. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ Ц7
рассматривается путем применения предыдущего результата
к возрастающему процессу
В = А • /[о, Т[ + Л у • /[7\ +оо[. П
Приведем интересное приложение этой теоремы к теории
мартингалов (краткое изложение этой теории можно найти
в начале следующей главы); оно дает простой способ
интегрирования мартингала по возрастающему процессу.
Т47. Теорема. Пусть А = (At) — согласованный
возрастающий процесс, и пусть М = (Mt) — положительный непрерывный
справа и равномерно интегрируемый мартингал. Для всякого
момента остановки Т
{
Е\ \MtdAt
Е[МТ- Ат].
Доказательство. Пусть Х= М • /[о, л> и пусть Y =
= МТ • /[о, г]. Из теоремы Дуба об остановке (см. V-T7)
следует, что
Е Ws " hs <+oo}] = E[YS- I{s <+ooj]
для любого момента остановки S<! Г. Остается только
применить предыдущую теорему для получения искомого
равенства 1)- П
1) Утверждение теоремы 46 применительно к фиксированному
моменту остановки Т остается в силе, если ее условие выполнено лишь для
моментов остановки 5 ^ Г. Это следует из теоремы 46, если в ней
процессы (Xf) и (Yf) заменить на (XtAT) и (YtAT). — Прим. перев.

Глава V
ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Мы все время будем иметь дело с полным вероятностным
пространством (Q, fF, Р), снабженным возрастающим
семейством а подалгебр (#"*), удовлетворяющих обычным условиям.
Если не оговорено противное, то рассматриваемые процессы
считаются действительными; кроме того, мы допускаем
вольность речи, которая состоит в отождествлении классов
эквивалентности неотличимых процессов с их представителями.
В частности, в формулируемых теоремах единственность
понимается с точностью до неотличимости.
Напомним, что мы обозначаем через Tt (/=1, 2, 3) а
алгебру в R+ X Q, состоящую из вполне измеримых множеств
при г=1, достижимых множеств при / = 2 и предсказуемых
множеств при / = 3. Как и в предыдущей главе, наиболее
важные утверждения теорем касаются а-алгебр 0~х и Тъ,
в то время как результаты, относящиеся к а-алгебре &~ъ
особенно интересны при условии, что семейство {£Tt) квази-
непрерывно слева.
В § 2 мы устанавливаем теоремы о проекциях процессов:
каждому измеримому ограниченному процессу X отвечает
такой единственный ^-измеримый процесс 1Х (/=1, 2, 3), что
Е [Хт • YT • 1{т <+оо}] = Е [1ХТ • YT • 1{т <+оо>]
для всякого ограниченного ^-измеримого процесса Y и
всякого момента остановки Г, если /=1, всякого достижимого
(соотв. предсказуемого) момента остановки Г, если / = 2
(соотв. / = 3). Проекция {Х процесса X служит в
определенном смысле условным математическим ожиданием процесса X
относительно а-алгебры &~t. Эта идея уточняется в § 3, где
изучаются дуальные проекции возрастающих процессов: с
каждым возрастающим процессом А связывается
единственный возрастающий ^-измеримый процесс А1, такой, что
Е [{1Х * А)^] = Е [{X * Л')то] для всякого измеримого
положительного процесса X.
Следующий § 4 в основном посвящен изучению
возрастающих предсказуемых процессов и их связей с теорией мартин-

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ Ц9
галов. Вот один из результатов: если А — возрастающий
согласованный процесс, то дуальная проекция Л3 процесса А
однозначно характеризуется тем свойством, что она является
предсказуемым процессом, а процесс А — А3 представляет
собою мартингал. Это исследование находит свое
естественное продолжение в § 5, где устанавливается теорема
разложения супермартингалов класса (D): супермартингал X
класса (D) характеризуется существованием такого
единственного возрастающего предсказуемого процесса А, что процесс
X + А оказывается мартингалом.
Вся эта глава существенным образом опирается на теорию
мартингалов. Поэтому в § 1 мы напоминаем те результаты
этой теории, которые нам понадобятся; к ним можно
обращаться по мере необходимости. За доказательствами мы
отсылаем читателя к классическим работам. Однако чтобы
облегчить возможный поиск литературы, мы ссылаемся на
теоремы из книги Мейера [24].
1. Некоторые сведения из теории мартингалов
01. Определение. Пусть X = (Xt) — согласованный
процесс. Говорят, что X — супермартингал (соотв. мартингал),
если Xt при каждом t является интегрируемой случайной
величиной и для каждой пары (s, t), такой, что s<^/, справедливо
соотношение
Х,>- E\Xt\ys\ п. н. (соотв. Xs^E[Xt\Ts\ п. я.).
2. Напомним, что семейство (Zt) случайных величин
называется равномерно интегрируемым, если выполняются
следующие два условия:
(а) sup £[|Z, !]<+«>,
i
(б) для всякого е > 0 существует такое б > 0, что
/iGf И Р(А) <6=$S\ip E[IA-\ Zt\] <8.
1
Супермартингал X — (Xt) называется равномерно
интегрируемым, если семейство (Xt) равномерно интегрируемо.
Регулярность траекторий
ТЗ. Теорема (см. [24J-VI-T4). Супермартингал X = (Xt)
обладает непрерывной справа модификацией тогда и только
тогда, когда функция t-+E[Xt] непрерывна справа1). В ча-
1) Это утверждение неверно, если семейство а-алгебр (^"^) не является
непрерывным справа.

120 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
стности, всякий мартингал обладает непрерывной справа
модификацией.
Т4. Теорема (см. [24]-VI-T3). Непрерывный справа мартин»
гал п. н. имеет конечные пределы слева.
Поскольку неотличимые процессы мы отождествляем,
последнюю теорему можно читать так: непрерывные справа
супермартингалы имеют пределы слева.
5. Пусть Z — интегрируемая случайная величина. По
теореме 3 существует такой непрерывный справа мартингал {Xt),
что Xt = E[Z\&rt\ п. н. при каждом t; для краткости мы
говорим, что (Xt) является непрерывным справа мартингалом
(E[Z\@~t]). С другой стороны, из теоремы 4 следует, что
непрерывный справа мартингал (Xt) обладает пределами слева;
процесс (Yt) = (Xt-) будет именоваться непрерывной слева
версией мартингала (Е[Z\ @~t]). Тогда Yt = Xt- = E[Z\ #"/-]
п. н. при всяком t (см. Т10), т. е. процесс (Yt) является
мартингалом относительно семейства (#"*-) и служит
модификацией процесса (Xt), коль скоро семейство (!Ft) квазинепре-
рывно слева.
Теорема сходимости и теорема об остановке
Т6. Теорема (см. [24]-VI-T6). Пусть X = (Xt) —
непрерывный справа и равномерно интегрируемый супермартингал.
Существует (единственная с точностью до эквивалентности)
ЗГ^-измеримая интегрируемая случайная величина Х^, такая,
что предельное соотношение
Hm Xt = X„
выполняется как п. п., так и в смысле сходимости в Ll (P).
В дальнейшем мы рассматриваем только непрерывные
справа и равномерно интегрируемые супермартингалы.
Поэтому примем соглашение всегда присоединять к
супермартингалу (Xt) финальную случайную величину Х^. Таким
образом, случайная величина Хт определена для всякого момента
остановки Ту конечного или нет.
Теорема Дуба об остановке позволяет в неравенствах из
определения 1 заменить постоянные моменты моментами
остановки:
Т7. Теорема (см. [24]-VbT13). Пусть X = (Xt)—непрерыв-
нцй справа ц равномерно интегрируемый супермартингал

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ 121
(соотв. мартингал). Если S и Т—-такие мом>нты остановки,
что S ^ Т, то
XS>E[XT\&~S] п. н. {соотв. XS = E[XT\&~S] п. н.).
Теорема сходимости и теорема об остановке допускают
более точную формулировку в случае мартингалов, и именно
вэтой форме они составляют основу всей этой главы.
Т8. Теорема (см. [24J-VI-T6 и Т13). Пусть X =
(Xt)-непрерывный справа и равномерно интегрируемый мартингал.
Существует (единственная с точностью до эквивалентности)
£Г ^-измеримая случайная величина Х^, такая, что для
всякого момента остановки Т
XT = E[XjrT] п. н.
Кроме того, если (Тп) — возрастающая последовательность
моментов остановки, то
limXT =E[XUmT \V Тт 1
в смысле сходимости п. н. и сходимости в V (Р). В частности,
lim Xt=XQO в смысле сходимости п. н. и сходимости в Ll(P).
Обратно, справедливо следующее утверждение:
Т9. Теорема (см. [24J-V-T19). Пусть Z — интегрируемая
случайная величина. Тогда семейство случайных величин вида
E[Z\^] является равномерно интегрируемым при условии,
что 9 пробегает множество о-подалгебр о-алгебры &. В
частности, непрерывный справа мартингал (Xt) = (E[Z\ $Ft])
равномерно интегрируем и Х^ = Е [Z \ ЗГ^ п. н. Для всякого
момента остановки Т
XT = E\Z\$~T] п. н.
Следующая теорема представляет собою теорему об
остановке непрерывных слева версий мартингалов. Так как она
не является классической, мы даем ее доказательство.
Т10. Теорема. Пусть X = (Xt) — непрерывный справа и
равномерно интегрируемый мартингал. Для всякого
предсказуемого момента остановки Т
XT- = E[XT\9mT-\ = E[XJ9'T-\ п. н.
Доказательство. Пусть (rj—-последовательность
моментов остановки, предвещающая Т. По теореме 8
Хт- = lim Хтп = Е [*Г | V 0>J = Е [Х„ | V ^г„].

122 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Требуемое равенство теперь следует из равенства &~т~ ==
= У&~тп (см. Ш-ТЗб(б)). П
п
Мы докажем в § 4, что это свойство однозначно
характеризует предсказуемые моменты остановки. В случае когда
момент остановки Т не предсказуем, неизвестно ни одной
формулы, связывающей Хт~ с Хт посредством оператора
условного математического ожидания. Впрочем, величина Хт~ может
оказаться неинтегрируемой; мы дадим такой пример в конце § 4.
Разложение Рисса. Супермартингалы класса (D)
011. Определение. Непрерывный справа и равномерно
интегрируемый супермартингал называется потенциалом, если
он положителен и если его финальная случайная величина
равна нулю п. н.
Справедлива следующая теорема о разложении
супермартингалов, аналогичная принадлежащей Риссу теореме
разложения из классической теории потенциала.
Т12. Теорема (см. [24J-VI-11). Пусть X =
{Xt)—непрерывный справа и равномерно интегрируемый супермартингал.
Существуют непрерывный справа и равномерно
интегрируемый мартингал Y = (Yt) и потенциал Z = (Zt), такие, что
X = Y + Z,
причем эти процессы Y и Z могут быть выбраны
единственным образом с точностью до неотличимости.
Если X — равномерно интегрируемый мартингал, семейство
случайных величин вида Хт, где Т пробегает совокупность
моментов остановки, является равномерно интегрируемым
(см. Т9). Это не всегда так, если X — супермартингал; по
этой причине необходимо ввести более узкий класс
супермартингалов.
013. Определение. Говорят, что непрерывный справа и
равномерно интегрируемый супермартингал X = (Xt)
принадлежит классу (Z)), если равномерно интегрируемо семейство
случайных величин вида XTt где Т пробегает всю
совокупность моментов остановки.
В то время как всякий непрерывный справа и равномерно
ограниченный мартингал принадлежит классу (D),
супермартингал X входит в класс (£>) тогда и только тогда, когда
в (D) входит его «потенциальная» составляющая из
разложения Рисса.

2. ПРОЕКЦИИ ПРОЦЕССОВ 123
2. Проекции процессов
Т14. Теорема. Пусть X = (Xt)—ограниченный измеримый
процесс. Существует единственный ограниченный &~Гизмери-
мый процесс *Х = {*Х^ (/=1, 2, 3), такой, что
Е [Хт • 1{т <+оо}] = Е [ Хт • 1{т <+оо}]
для всякого момента остановки, если /=1; для всякого
достижимого момента остановки, если / = 2; для всякого
предсказуемого момента остановки, если / = 3. Этот процесс 1Х
называется проекцией процесса X на а-алгебру 0~{ или, иначе,
вполне измеримой (соотв. достижимой, предсказуемой)
проекцией процесса X.
Доказательство. Сначала заметим, что коль скоро
два ограниченных измеримых процесса X и Y имеют
проекции 1X и lY на а-алгебру Т{, причем X < Y, то 1Х < 'У.
Действительно, множество {lX > lY) принадлежит Т{ и оно по
определению проекции не может содержать график
произвольного (соотв. достижимого, предсказуемого) момента
остановки, если /=1 (соотв. i = 2, / = 3). Отсюда по теореме
о сечениях (см. IV-T10) вытекает, что множество {*Х > Т}
пусто. Поэтому, в частности, проекция процесса единственна,
если она существует. Обозначим через 9в{ множество
ограниченных измеримых процессов, обладающих проекцией на Ф~{.
Ясно, что Зв{ — векторное пространство, которое содержит
постоянные, и легко видеть в силу изложенного выше, что 36{
замкнуто относительно равномерной сходимости и
предельного перехода по возрастающим последовательностям. В силу
теоремы о монотонных классах (см. IV-T18) достаточно, таким
образом, доказать существование проекций для элементов
некоторого равномерно ограниченного семейства измеримых
процессов, замкнутого относительно умножения и порождаю?
щего а-алгебру измеримых множеств в R+ X Q. Мы отдельно
исследуем три случая.
(а) Пусть /=1. Достаточно рассмотреть случай, когда
процесс X и\!еет вид
X=Z • /[Г, s],
где Z — ограниченная случайная величина, а г и $—-два
таких действительных положительных числа, что r<^s.
Обозначим через Y непрерывный справа мартингал {E[Z\&~(])f и
пусть
lX = Y-Ilr.9].

124 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Тогда по теореме 9 процесс 1Х является вполне измеримой
проекцией процесса X.
(б) Пусть / = 3. Опять рассмотрим случай, когда X имеет
вид
X = Z • /[г, s\,
но теперь через Y обозначим непрерывную слева версию
мартингала (E[Z\@~t]). Тогда по теореме 10 процесс
ЧГ = У./,Г..1
равен предсказуемой проекции процесса X.
(в) Пусть i = 2. Достижимая проекция процесса, если она
существует, очевидно, равна достижимой проекции вполне
измеримой проекции этого процесса. Следовательно,
достаточно доказать, что всякий вполне измеримый процесс
обладает достижимой проекцией, и в силу теоремы о монотонных
классах достаточно рассмотреть случай, когда X является
индикатором стохастического интервала вида [S, + °о[.
Обозначим SA (соотв. Sj) достижимую (соотв. вполне
недостижимую) часть момента остановки S, и пусть
H=[SA, +oo[U]S„ +оо[.
Так как [Г] П [S, + °° [ = [Т] П Н для всякого достижимого
момента остановки Г, индикатор множества Н является
достижимой проекцией процесса X. □
Ясно, что проекторы pt: X-*lX представляют собой
линейные сохраняющие положительность отображения (см.
начало последнего доказательства), что справедлив закон
композиции Pi°pj = pivi и что pi{X) = X, когда процесс X
^-измерим. С другой стороны, если (Хп) — возрастающая
последовательность, то и (1Хп) — возрастающая последовательность.
Легко видеть, что это позволяет определить проекцию 1Х
произвольного положительного измеримого процесса X как
предел процессов \Х А п), где п — целое число, а потому и
в этом случае проекция 1Х удовлетворяет равенству,
указанному в теореме 14, в котором математические ожидания
теперь могут быть равными + °°- Вообще проекции
обладают алгебраическими свойствами и свойствами
непрерывности, подобными таким же свойствам условных
математических ожиданий (например, можно доказать, что если {Хп)—
равномерно ограниченная последовательность, сходящаяся
к процессу X, то последовательность {1Хп) сходится к *Х).
Следующая теорема устанавливает важную связь между
проекциями и условными математическими ожиданиями,

2. ПРОЕКЦИИ ПРОЦЕССОВ 125
Т15. Теорема. Пусть X — измеримый процесс,
являющийся ограниченным или положительным. Справедливы
соотношения:
]Хт1{т <+оо} = Е [Хт1{т <+оо} I#">],
если Т — произвольный момент остановки;
2Хт1{т<+оо} = Е [Хт1{т <+оо} \@~т],
если Т — достижимый момент остановки;
3Хт1{т <+оо} = Е [Хт1{т <+оо} | #">-],
если Т — предсказуемый момент остановки (следует обратить
внимание на наличие о-алгебры #"V- под знаком последнего
условного математического ожидания).
Доказательство. Пусть Я —элемент а-алгебры Згт
при /=1, 2 и а-алгебры <ГГ_ при / = 3. Если Г
—произвольный (соотв. достижимый, предсказуемый) момент остановки,
то сужение Тн является моментом остановки произвольного
вида (соотв. достижимым, предсказуемым при Н е @~т-)-
Тогда по теореме 14
Е [ХтнГ{тн <+»}] = Е [1хтн!{тн <+*}]'
а это можно записать еще и так:
Е [Хт1{т <+оо}/я] = Е [ Хт1{т <+оо}/#].
Так как случайная величина 1Хт • 1{т <+оо} является #"г-изме-
римой при /=1, 2 и ^7,-'измеРим°й при / = 3, отсюда
следуют приведенные в теореме равенства. □
16. Равенства, фигурирующие в теореме 15, очевидно,
однозначно характеризуют проекцию 1Х процесса X в классе
^-измеримых процессов. В действительности в силу теоремы
IV-T13 достаточно проверить эти равенства для
ограниченных моментов остановки. Напротив, равенства, приведенные
в теореме 14, следует проверять как для моментов остановки
с конечными, так и с бесконечными значениями. В самом деле,
если Z — ограниченная случайная величина с нулевым
математическим ожиданием, но не равная п. н. нулю, то процесс
X = (Xt), такой, что J/ = Z для всех t, в качестве вполне
измеримой проекции имеет непрерывный справа мартингал
(E[Z\&~t])t и, таким образом, Е[1ХТ] = Одля любого
ограниченного момента остановки Г, хотя процесс 1Х не является
несущественным.
Из характеризации проекций, предложенной в теореме 15.
Выводятся в качестве следствия следующий результат,

126 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Т17. Теорема. Пусть X uY — два ограниченных измеримых
процесса. Если Y является &~ (-измеримым, то проекцией про*
цесса X -Y на £Г\ служит 1Х • Y.
Вот несколько примеров проекций, доставляемых теорией
мартингалов. Доказательства предоставляются читателю.
18. Примеры. Рассмотрим процесс X вида X = Z-I\s, т\>
где Z — ограниченная случайная величина и где S и Г—-два
таких момента остановки, что S ^ Т. Тогда
lX = U-I]StT\, *X = V-I]S,Th
где U = (Uf) (соотв. V = (Vt)) — непрерывная справа (соотв.
слева) версия мартингала (E[Z\^t]). Проекцию 2Х описать
несколько труднее: 2Х= W • /is, rj, где W = (Wt) —процесс,
получаемый из U при замене f// (со) на Vt (со) = £//_ (со)
всякий раз, когда точка (t, со) принадлежит графику вполне
недостижимой части любого момента скачка мартингала U.
Следующая теорема утверждает, что проекции разных
типов отличаются только на «исключительных» множествах.
Т19. Теорема. Пусть X — ограниченный измеримый
процесс. Множество {1Х Ф *Х) является объединением счетного
набора графиков моментов остановки {i < /'). Кроме того, эти
моменты остановки вполне недостижимы, если /=1, a j = 2.
Доказательство. В силу теоремы IV-T17 достаточно
"установить, что множество {*Х Ф fX} содержится в
объединении счетного набора графиков (вполне недостижимых, если
/= l,fja / = 2) моментов остановки, и понятно, что множество
ограниченных измеримых процессов, обладающих этим
свойством, удовлетворяет условиям, при которых применима
теорема о монотонных классах (см. IV-T18). Поэтому достаточно
рассмотреть процессы, введенные на этапах (а), (б) и (в)
доказательства теоремы 14. Если JT = Z*/[r. s], где Z —
ограниченная случайная величина, то множество {1ХФгХ}
содержится в объединении графиков последовательности моментов
остановки, исчерпывающей скачки непрерывного справа
мартингала (E[Z\9rt\)\ если X = I[s.+coi9 где S—-момент
остановки, то множество {1Х Ф 2Х} содержится в графике вполне
недостижимой части S. Чтобы завершить доказательство,
остается лишь заметить, что множество {2Х ф *Х} содержится
в {[Х Ф 2Х}[){1Х Ф3Х) для всякого ограниченного
измеримого процесса X. □
Следующая теорема показывает, что вполне измеримые и
предсказуемые проекции сохраняют некоторые свойства регу-

2. ПРОЕКЦИИ ПРОЦЕССОВ 127
лярности траекторий исходного процесса. Эта теорема не
используется в дальнейшем.
Т20. Теорема. Пусть X — ограниченный измеримый
процесс.
(а) Если X непрерывен слева, то его предсказуемая
проекция непрерывна слева.
(б) Если X непрерывен справа, его вполне измеримая
проекция непрерывна справа и, кроме того, имеет пределы слева,
коль скоро имеет пределы слева процесс X.
Доказательство. Докажем утверждение (а). Если
процесс X непрерывен слева, то, очевидно, lim£ [ЛГ5 ] =
п п
= £,[Xiims ] для всякой возрастающей последовательности (SJ
равномерно ограниченных предсказуемых моментов остановки.
Следовательно, мы имеем также lim£[3XS/J = lim£[3-Xiims ],
и п
и, таким образом, по теореме IV-T24 проекция 3Х
непрерывна слева. Используя теорему IV-T28, тем же способом
можно доказать утверждение (б). □
Напротив, в общем случае непрерывность не сохраняется.
Например, если Z — ограниченная случайная величина и Xt=Z
при всяком t, то проекция 1Х (соотв. гХ) совпадает с
непрерывной справа (соотв. слева) версией мартингала (E[Z\yt])f
которая в общем случае не является непрерывной.
Замечание. Пусть X = (Xf) — такой ограниченный
измеримый процесс, что предел X^^lim Xt существует и ^^-из-
*-»+оо
мерим. Можно доказать, что тогда Хм= lim Xt для /==
*->+оо
= 1, 2, 3. Это вытекает из теоремы 15 и следующей леммы из
теории мартингалов: пусть (Zn) — последовательность
случайных величин, модули которых не превышают некоторой
интегрируемой случайной величины, и пусть {$п) — возрастающая
последовательность а-подалгебр а-алгебры 9Г\ если
существует Z^ = lim Zn, то Е [Zn \$п] п. н. сходится к Е [Z„ | V 9п\.
п п
Эта лемма является следствием теоремы о сходимости
мартингалов (см. Мейер [26]).
Теоремы о модификации
Следующая теорема часто позволяет ограничиться
рассмотрением вполне измеримых процессов вместо прогрессивно
измеримых.

128 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Т21. Теорема. Пусть X = {Xt) — прогрессивно измеримый
процесс. Существует единственный вполне измеримый про*
цесс Y=(Yt), такой, что
XT = YT п. н.
для всякого конечного момента остановки Т. Если X —-
индикатор некоторого множества, то и Y — индикатор некоторого
множества.
Доказательство. Заменив при необходимости
исходный процесс процессом Х/(1 +\Х\), можно считать процесс X
ограниченным. Тогда по теореме Т151) вполне измеримая
проекция процесса X будет удовлетворять требуемому
условию. Единственность процесса Y вытекает из теоремы о
сечениях (см. IV-T13). Если X— индикатор, то 1ХТ*1ХТ —
= 1ХТ = Хт п. н. для всякого конечного момента остановки Г,
и, таким образом, из теоремы IV-T13 вытекает, что 1Х • 1Х—
= 1Х или, иначе говоря, процесс 1Х неотличим от некоторого
индикатора. □
Следующая теорема, относящаяся к случаю достижимого
процесса X, доказывается аналогичным образом (ее вторая
часть вытекает из теоремы 19).
Т22. Теорема. Пусть X = (Xt) —вполне измеримый
процесс. Существует единственный достижимый процесс Y = {Yt),
такой, что
XT = YT п. н.
для всякого достижимого конечного момента остановки Т;
причем процесс Y служит индикатором некоторого множества,
если X является индикатором. Кроме того, множество {ХФУ}
представляет собой счетное объединение графиков вполне
недостижимых моментов остановки.
Так как постоянные моменты остановки достижимы,
последние две теоремы устанавливают существование двух|
модификаций исходного процесса. Если семейство (#"*) не
является квазинепрерывным слева, то невозможно доказать
теорему о существовании предсказуемой модификации,
подобную предыдущим (это связано с наличием а-алгебры ^"г-
в последнем из условных математических ожиданий,
фигурирующих в теореме 15).
При этом предсказуемая проекция достижимого
индикатора может не быть индикатором; читатель мог бы в этом
1) Следует принять во внимание и теорему Ш-Т20. — Прим. перев.

3. ПРОЕКЦИИ И ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ 12Э
убедиться, изучая проекцию графика непредсказуемого
достижимого момента остановки.
Напомним, однако, теорему, полученную в предыдущей
главе (см. IV-T19):
Т23. Теорема. Пусть X — вполне измеримый процесс.
Существует предсказуемый (необязательно единственный)
процесс Y, такой, что множество {ХфУ} является счетным
объединением графиков моментов остановки. Если X — индикатор,
то и в качестве Y можно выбрать индикатор.
Последнее утверждение вытекает из того факта, что
процесс Y можно заменить индикатором множества {Y = 0 или
К=1}, если X — индикатор.
Замечание. Теоремы 21, 22 и 23 распространяются на
процессы со значениями в компактном метризуемом
пространстве, если последнее вложено в RN.
3. Проекции и возрастающие процессы
Т24. Теорема. Пусть А = (At) — возрастающий
2Г'измеримый процесс (/=1, 2, 3). Если X = (Xt) и Y = (Yt)—dea
положительных измеримых процесса, имеющих одну и ту же
проекцию на о-алгебру Т и то
E[(X*A)J = E[(Y*A)J.
Доказательство. Изучим сначала случай /= 1.
Процессы X и Y имеют одинаковые вполне измеримые проекции
тогда и только тогда, когда
Е [Хт1{т <+оо}] = Е [YtI{t <+oo}]
для любого момента остановки Т. Так как возрастающий
процесс А является согласованным, требуемое равенство
вытекает из теоремы IV-T46. Перейдем теперь к случаю, когда
1 = 2 или / = 3. Заменяя при необходимости X на 1Х и Y
на lY, можно предположить, что процессы X и Y вполне
измеримы. Разложим возрастающий процесс А в сумму
непрерывного процесса и элементарных процессов (см. IV-T37 и
IV-T38):
где (Тп) — последовательность достижимых, если / = 2, или
предсказуемых, если / = 3, моментов остановки. Таким
образом, достаточно проверить доказываемое равенство для
каждой из составляющих процесса А. Для непрерывной
составляющей Ас оно следует из того факта, что множества
б К. Деллашери

130 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
{X Ф 1Х) и {Y ф lY) служат счетными объединениями
графиков моментов остановки (см. Т19), и из равенства /А' = Т.
С другой стороны, если положить
An=hTn •+«[■
то окажутся справедливыми равенство
E[(X*An)J = E[Xrn-I{Tn<+~]-]
и аналогичное равенство для Y. Доказываемое равенство
вытекает теперь из того факта, что Е[Хт1{Т<+<*>}] = E[YtI{t <+<*>}]
для всякого достижимого, если / = 2, или предсказуемого,
если / = 3, момента остановки Г. □
В действительности полученное в этой теореме равенство
может быть усилено, и мы приходим к такому следствию:
Т25. Теорема. Пусть А — (At) — возрастающий 5Ггизмери*
мый процесс (/=1, 2, 3). Если X = {Xt) и Y = (Yt) — dea
положительных измеримых процесса, обладающих одной и той же
проекцией на а-алеебру STh то
eU XtdAt\Ps\ = e\\ YtdAt | Г Л
для любой такой пары моментов остановки (S, Г), что S ^ Т
Доказательство. Мы должны показать, что для
всякого Н ^ ?Fs справедливо равенство
о о
которое можно записать еще и так:
Е [(('] %• тв] ■ X) * A) J - Е [((/, 5н, Тн] ■ Y) * A) J.
Так как стохастический интервал ]SH, TH\ предсказуем,
процесс IjsH, тн]-*Х совпадает с проекцией на £Tf процесса
IjsH, тн\* X, и аналогичное совпадение имеет место и
в случае процесса Y. Остается только применить
предыдущую теорему, чтобы получить желаемое равенство. П
Из теоремы 24 вытекает, что мера, порожденная
возрастающим ^-измеримым процессом, или, короче,
^-измеримая мера в R+ X ^э вполне определяется своим сужением
на а-алгебру &~t. Обозначим через Ж{ совокупность
вероятностных ^-измеримых мер в R+X& и через £** —- матема*

3. ПРОЕКЦИИ И ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ 131
тическое ожидание, отвечающее \i, где \jL^J(im По теоремам
17 и 24 проекция 1Х на Т{ положительного измеримого
процесса X служит вариантом условного математического
ожидания E^lXl^i] при любом ц е /f, и этот вариант не
зависит от меры [I.
Замечание. Поскольку проекцию можно
интерпретировать как вариант условного математического ожидания,
можно было бы надеяться, что справедливы теоремы
сходимости для проекций, аналогичные существующим в теории
мартингалов. Например, пусть имеется семейство (#"?), ^R+,
/igN, а-подалгебр, возрастающее по каждому индексу и
такое, что #"*= V&~t при каждом t. Если при любом п сим-
п
вол &"% обозначает а-алгебру предсказуемых относительно
семейства (#"?) множеств, то семейство (^~з) является
возрастающим, и легко проверить, что £Г3 = V &~з. Если X—ог-
п
раниченный измеримый процесс, то сходится ли при этих
условиях проекция X на Тъ к проекции X на Тъ, когда п
стремится к бесконечности? В общем случае ответ на этот
вопрос отрицателен (см. Деллашери и Долеан [12]).
Сейчас мы увидим, что свойство, указанное в теореме 24,
однозначно характеризует ^-измеримые меры, и, таким
образом, мы придем к описанию этих мер, не вводя в явной
форме возрастающие процессы, которые их порождают.
Т26. Теорема. Пусть \i — мера, порожденная возрастаю-
щим процессом Л = (Л*). Возрастающий процесс А
Неизмерим тогда и только тогда, когда мера \л удовлетворяет
следующему условию: если X = (Xt) и 7 = (К*) — два
положительных измеримых процесса, имеющих одну и ту же проекцию
на а-алгебру Т\, то
lx(X) = »(Y).
Доказательство. Докажем сначала 0, что процесс А
согласован. В соответствии с теоремой IV-T42 мы должны
проверить, что Е [/# • At] = Е [Е [IH \ Tt] • At] для любого teR+
и всякого Н е #~. Но это следует из того обстоятельства,
что процессы X = 1н • /jo, *] и Y = Е [IH \ @~t] • /jo, t\ имеют одну
и ту же проекцию на а-алгебру Тх (а потому и на &"{),
которая равна М •/jo, t\, где М — непрерывный справа
мартингал {Е[1Н !#"<?] )5€=r • В случае *'=1 доказательство завер-
1) Имея в виду теорему 24, автор ограничивается здесь
доказательством достаточности. — Прим, перев.
б*

132 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
шено, так как согласованный возрастающий процесс вполне
измерим. В случае i = 2 мы должны еще показать, что А не
нагружает вполне недостижимые моменты остановки, но это
объясняется тем фактом, что индикатор графика вполне
недостижимого момента остановки имеет несущественную
достижимую проекцию. Пусть, наконец, / = 3. В силу
предыдущего рассуждения процесс А достижим. Чтобы доказать
его предсказуемость, остается проверить, что для всякого
предсказуемого момента Т величина Ат является
^--измеримой (см. ЛУ-Т34) или равносильное утверждение, что
Е [1Н • Ат] = Е [Е [1Н | &~т-] • Ат] Для любого предсказуемого
момента Т и всякого Яе^, Но это следует из того
обстоятельства, что процессы Х = 1н • /jo, л и Y = Е [/# | ^тА ш Ло, т\
имеют одинаковую проекцию на 0"ъ, которая равна процессу
М_ • /jo, л, где М- — непрерывная слева версия мартингала
(E[IH\Pt\) (см. п. 18). □
Разумеется, при применении этой теоремы достаточно
проверить содержащееся в ее формулировке равенство для
случая, когда Y совпадает с 1Х, а теорема о монотонных
классах позволяет ограничить множество рассматриваемых
процессов X. Таким образом, мы имеем следующую теорему
(в которой устанавливается, что возрастающие предсказуемые
процессы—это возрастающие процессы, названные Мейе-
ром [24] «натуральными»):
Т27. Теорема. Пусть А = (At) — согласованный
возрастающий процесс. Для предсказуемости А необходимо и достаточно,
чтобы при всяком t выполнялось равенство
E^MadA^=E^M^dAA
для любого положительного ограниченного и непрерывного
справа мартингала M = (Mt).
Доказательство. Сначала заметим, что при каждом t
предсказуемая проекция процесса М • /]о,*] равна процессу
М- • /jo, t\ (где М- обозначает непрерывную слева версию
мартингала М). Следовательно, по теореме 24
сформулированное условие является необходимым. Докажем, что оно
достаточно. Согласно теореме 26, следует лишь проверить, что
Е [(X * А)^] = Е [(3Х * А)^] для любого измеримого и
положительного процесса X, причем уже известно, что Е [(X * Л)то] =
= Е[(1Х*А)00\, так как процесс А вполне измерим. По
теореме о монотонных классах (см. IV-T18) достаточно, таким
образом, установить, что Е[(1Х * А)оо] = Е[(3Х* 4)J, когда X

3. ПРОЕКЦИИ И ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ J33
пробегает мультипликативное равномерно ограниченное семей*
ство процессов, лежащее в L1 (А) и порождающее а-алгебру
измеримых множеств. Если рассмотреть процессы вида
X = Z-I[o, t\, где Z — ограниченная положительная случайная
величина, и взять Mt = E[Z\&~t\, то только что
сформулированное условие окажется выполненным. □
Замечание. Если А — интегрируемый возрастающий
процесс, то в теореме 27 достаточно потребовать, чтобы
Е[(М* А)00] = Е [(М-.*А)00\ для любого положительного
ограниченного и непрерывного справа мартингала М.
Действительно, если при фиксированном t и данном М применить это
равенство к мартингалу М • /[о, t\ + Mt • I\t, +«>[, то получится
равенство
EUMsdAA + E[Mt-(A00--Ai)] =
= eUms- dAs] +E[Mt- (A„- At)]9
а если из обоих его членов вычесть конечную величину
ElMfiA^—At)], то мы вновь придем к условию,
фигурирующему в теореме 27.
Дуальные проекции возрастающего процесса
«Скалярное произведение» (X | А) = Е [(X * А)^] определяет
отношение двойственности между процессами и
возрастающими процессами. Это позволяет определить дуальную
проекцию возрастающего процесса А на а-алгебру 5Г\: ею служит
единственный возрастающий ^-измеримый процесс А1, такой,
что
(*Х\А) = (Х\А*)
для любого измеримого положительного процесса X. Заметим,
что равенство А=А\ когда процесс А является ^-измеримым,
не вытекает непосредственно из этого определения; оно
гарантируется, однако, теоремой 24. С другой стороны, следует
остерегаться смешения дуальной проекции возрастающего
процесса с его проекцией; в общем случае проекция (в смысле § 2)
возрастающего процесса не является возрастающим
процессом. Можно было бы избежать этой опасности, если говорить
о проекции меры вместо дуальной проекции возрастающего
процесса.

134 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Т28. Теорема. Пусть A = (At)—возрастающий процесс.
При i=l, 2, 3 существует единственный возрастающий
процесс А* = (а\), такой, что
Е [{*Х * A) J = Е[{Х* Л1) J = Е \{1Х * A1) J
для всякого положительного измеримого процесса X, и этот
процесс А1 является Т'-^измеримым. Он называется дуальной
проекцией возрастающего процесса А на а-алгебру Т'{ или
еще дуальной вполне измеримой (соотв. достижимой,
предсказуемой) проекцией процесса А.
Доказательство. Для всякого измеримого
положительного процесса X положим
M*)-£[('*»i4)J.
Поскольку проекции обладают свойствами линейности,
монотонности и непрерывности, ясно, что таким образом
определена некоторая а-конечная мера \х{ на $(R+)(§ 9ГЪ и nd
теореме IV-T41 эта мера порождена единственным возрастающим
процессом А1. Следовательно, А1 — единственный такой
возрастающий процесс, что
Е[{Х*А*и = Е[{*Х*А)„]
для всякого измеримого положительного процесса Х> а по
теореме 26 процесс А1 является ^~гизмеРимым. □
29. Замечание. Мы доказали в действительности
результат немного более сильный: если ц — такая а-конечная мера
на а-алгебре Ти что
(а) ц([0])= 0 и ^ ([0, t])< + оо при любом t e R+,
(б) [i (X) = 0 для всякого ^-измеримого и
несущественного процесса X,
то существует единственное продолжение \it меры \i на
or-алгебру $(R+)®^~, такое, что [it представляет собой
^/-измеримую меру. В самом деле, при определении ^
достаточно положить \it (X) = \i (X) для всякого измеримого
положительного процесса X и показать, как и выше, что {it
порождается единственным возрастающим ^-измеримым
процессом.
Ясно, что дуальные проекторы р(: А-> А1 представляют
собой линейные отображения, справедлив закон композиции
р1°р1 = р1у* и р1(А) = А, если процесс А является
^-измеримым (см. Т24). С другой стороны, как и в теореме 25,
устанавливается, что фигурирующее в определении А1
требование можцо усилить.

3. ПРОЕКЦИИ И ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ 135
ТЗО. Теорема. Пусть А = (At) — возрастающий процесс, и
пусть А1 = (At) — его дуальная проекция на 3Tt. Если X — из-
меримый положительный процесс, то
ё\ J (XtdAt \3~s = е\\ XtdMl^s \ = E\\ 'XtdAt |#~Л
для любой такой пары моментов остановки (S, Т), что S ^ Т.
В общем случае ни одно из пространств V (А) и V (А1) не
содержится в другом. Тем не менее из теоремы 30 следует,
что класс ^-измеримых процессов, принадлежащих V (Л),
совпадает с аналогичным классом процессов,
принадлежащих Ll(Al). С другой стороны, ясно, что Е [А»] = Е [л!>] (для
проверки в теореме 28 надо взять Х=1), а поэтому
дуальные проекции интегрируемого возрастающего процесса
интегрируемы. Напротив, дуальные проекции ограниченного
возрастающего процесса не являются обязательно ограниченными;
далее мы приведем пример такой ситуации.
Если X — положительный измеримый процесс,
принадлежащий V (А), то X * А также представляет собой возрастающий
процесс. Следующая теорема указывает связи, существующие
между процессами 1Х, А1 и (X * А)1, когда процесс X или А
является ^-измеримым.
Т31. Теорема. Пусть А — возрастающий процесс, и пусть
X —положительный измеримый процесс, принадлежащий L1 (А).
Если процесс X Тгизмерим, то
{Х*А)* = Х*{А*).
Если процесс А Т(-измерим, то
(Х*АУ = (*Х)*А.
Доказательство. По определению, (X* А)* —
единственный возрастающий процесс, такой, что для любого
измеримого положительного процесса Y
Е [ J Ytd {X * А)\J = Е |j (%) Xt dAA ,
и при сделанных предположениях мы имеем
Е\\ {Yt)XtdA^ = E\\ %%dA^.

136 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Это равенство очевидно, когда процесс X является
^-измеримым; если же £Ггизмерим процесс А, оно вытекает из
теорем 17 и 24. В силу соответствующих определений имеем
также
Е
U ЗДХ*(Л%|=£П г,Х^ЛП = £П '(ЛУ)^Лф
и если процесс X является £Ггизмеримым, то ((ХУ) = 1Х-1У
по теореме 17. Следовательно, (X * А)1 = X * (А1), если X
^-измерим. Наконец, если процесс А является ^-измеримым,
то опять же в силу теорем 17 и 24
е[\ M[№*4j = £[j Ъ(%)*4] = я[$ %%<W],
и, таким образом, (X * Af = ((Х) * Л, когда процессе
^-измерим. □
32. Пусть А (соотв. В) — возрастающий процесс и \iA
(соотв. \iB) — мера, порожденная процессом А (соотв. В). Мы
говорим, что процесс В абсолютно непрерывен относительно А,
если для всякого положительного измеримого процесса Y
равенство У*Л = 0 влечет за собой равенство К*В = 0 или,
что то же, если мера \iB абсолютно непрерывна относительно \iA.
Если процесс В абсолютно непрерывен относительно Л, то
существует такой положительный измеримый процесс X&Ll(A),
что В = X * А; этот процесс X служит плотностью меры \iB
относительно \iA. Когда Аи В являются ^-измеримыми, имеем
В = В' = (Х*АУ = СХ)*А,
причем последнее равенство вытекает из предыдущей теоремы.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
ТЗЗ. Теорема. Пусть А—возрастающий процесс, и пусть
В — возрастающий абсолютно непрерывный относительно А
процесс. Если А и В являются £Г i-измеримыми, то существует
такой положительный 0~^измеримый процесс IgL1 (А), что
В = X * Л.
Заметим, наконец, что дуальная проекция сохраняет
непрерывность возрастающего процесса.
Т34. Теорема. Пусть А — непрерывный возрастающий про*
цесс. Дуальная проекция А1 процесса А на &~i является также
непрерывным возрастающим процессом. Кроме того, процесс А1
предсказуем и А1*=А2 = Л3*

4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ 137
Доказательство. Если X— индикатор графика
некоторого момента остановки, то Е [(X * А)^] = Е [(X * А1)^] = О,
и потому процесс А1 не имеет моментов скачка. Значит,
процесс А1 предсказуем, будучи согласованным и непрерывным;
таким образом, А1 = А2= А3. П
4. Приложения к теории мартингалов
Связанные возрастающие процессы
035. Определение. Два возрастающих процесса
называются связанными, если они обладают одной и той же
дуальной предсказуемой проекцией.
Иначе говоря, два возрастающих процесса связаны в том
и только том случае, если меры, которые онц порождают,
имеют одно и то же сужение на а-алгебру предсказуемых
множеств. Таким образом, определенное отношение является
отношением эквивалентности, и из теоремы 28 следует, что
каждый класс эквивалентности содержит один и только один
предсказуемый возрастающий процесс:
Т36. Теорема. Любой возрастающий процесс связан с
одним и только одним предсказуемым возрастающим процессом.
Следующая теорема дает два простых критерия
связанности двух возрастающих процессов, но особенно важным
является следствие этой теоремы.
Т37. Теорема. Пусть A = (At) и B = (Bt) —два возрастаю-
щих процесса. Процессы А и В связаны друг с другом в том
и только том случае, когда они удовлетворяют любому из
следующих условий:
(а) для всякой пары (s, t) действительных положительных
чисел, таких, что s<^,
E[At-Bt\$~s] = E[As-Bs\&~s] n.H.i
(б) для всякого момента остановки Т
Е[АТ] = Е[ВТ].
Кроме того, если А и В связаны и если S и Т — два таких
момента остановки, что S ^ Т, то
т и г т и
\dAt\$~s \ = Е\ \dBt\<rs\
В частности, если S и Т ограничены или если А и В
интегрируемы, то
E[AT-BT\<FS] = E[AS-BS\&~S].

138 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Доказательство. Если А и В связаны, то из
теоремы 30, примененной к предсказуемому процессу -X = 1,
следует равенство
Е
\dAt\rsU*E\ \dBt\STs\
для всякой пары (S, Т) таких моментов остановки, что S^7\
Таким образом, условия (а) и (б) необходимы. Их
достаточность будет установлена, если в соответствии с теоремой
о монотонных классах (см. IV-T18) удастся проверить, что
Е[(Х * А)^] = Е[(Х * В)^], когда X пробегает мультипликативное
равномерно ограниченное семейство процессов,
принадлежащих V (А) П L1 (В) и порождающих а-алгебру предсказуемых
множеств. Если выполнено условие (а), то достаточно
рассмотреть процессы вида Х = 1н* I\stt], H^!FS (см. IV-T22),
и написать равенство
Е[(Х*Аи = Е[1н-(А*-А3)] = Е[1н-Е[А<-А3\<Г$И
и аналогичное равенство для 5, в силу которых Е [(X * А)^] =
= E[{X*B)J, так как E[At — As\3rs] = E[Bt — Bs \TS]. Если
выполнено условие (б), достаточно рассмотреть процессы вида
Х = /[оя], Яб^о, и вида X = I\StT\, гДе 5и Г—
ограниченные моменты остановки (см. IV-T4). Тогда справедливы
равенства
Е[(7[°я] * А)со! = Е[1н-Ао] = 0 и Е[(/,s,п * A)J = Е[Ат - As]
и аналогичные равенства для В, откуда Е[(Х* А)00]=Е[(Х* В)^],
поскольку Е[АТ] = Е[ВТ] и Е [As] = Е [Bs]. □
Применяя критерий (а) к случаю, когда процессы А и В
согласованы, получаем такое следствие:
Т38. Теорема. Два согласованных возрастающих про-
цесса А и В связаны друг с другом тогда и только тогда,
когда процесс А — В является мартингалом.
Мы приведем в конце этого параграфа другой важный
критерий: два интегрируемых возрастающих процесса связаны
в том и только том случае, если они порождают один и
тот же потенциал.
Вот интересное приложение предыдущего следствия,
которое показывает, что в общем случае нельзя определить
стохастические интегралы относительно мартингала, интегрируя
вдоль каждой траектории.

4 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ J39
Т39. Теорема. Пусть М = (Mt) — непрерывный мартингал.
Если траектории мартингала М имеют ограниченную вариацию
на любом компактном интервале, то п. н.
Mt = M0 при всех t.
Доказательство. Для каждого /^R+ и каждого
целого п положим
А?= Z (Mk.2-n-M{k_u.2-n)\ Bnt = I (M,.2_re-M(ft_u.2_„)-,
где суммирование ведется по таким целым k, что k^.2n-t,
и пусть
At = limA?, Bt = limB?.
п п
Эти пределы существуют потому, что At и В? возрастают
с ростом п, и они конечны, когда траектории мартингала М
имеют ограниченную вариацию на компактных интервалах.
При этих условиях ясно, что мы определили таким образом
возрастающие согласованные процессы A = (At) и B = (Bt) и
эти процессы непрерывны, когда непрерывен мартингал М.
Итак, когда мартингал М непрерывен, а его траектории имеют
ограниченную вариацию, можно записать М в виде
М = Мо • /[0, +оо[ + А — В9
где А и В —два возрастающих согласованных и непрерывных,
а стало быть, предсказуемых процесса. Но поскольку М
является мартингалом, процессы А и В связаны и потому
совпадают в силу теоремы 36, так что
М = Мо-1[0, +оо[. □
Теорема 40 характеризует согласованные
возрастающие процессы, связанные с непрерывным предсказуемым
возрастающим процессом в соответствии с характером их скачков.
Т40. Теорема. Пусть А = (At) — согласованный
возрастающий процесс, и пусть А3 = (Л?) — предсказуемая дуальная
проекция процесса А. Тогда процесс Л3 непрерывен в том и
только том случае, если процесс А квазинепрерывен слева.
Доказательство. Напомним, что процесс А
квазинепрерывен слева, если АТ = АТ- для любого предсказуемого
момента остановки, т. с. если моменты скачков процесса А
вполне недостижимы. Если Г—ограниченный предсказуемый
момент остановки, то
Е [(Ат - АТ-)\ = Е [(Im * A)J = £[(/т*Л3) J = Е [(4 - 4-)]-

140 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Так как процесс Л3 предсказуем, он непрерывен тогда и
только тогда, когда он не нагружает ни один предсказуемый
момент остановки (см. IV-T30), а потому тогда и только
тогда, когда процесс Л квазинепрерывен слева. □
Скачки мартингалов
и классификация моментов остановки
Пусть Т — вполне недостижимый момент остановки, и пусть
A = I[t,+оо[. По предыдущей теореме процесс Л3 непрерывен.
Так как процесс Л ограничен, процесс Л3 интегрируем, а так
как Л и Л3 связаны друг с другом, процесс А—А3
представляет собой равномерно интегрируемый мартингал.
Поскольку А имеет единственный скачок в момент Г, а
процесс Л3 непрерывен, получаем следующий результат:
Т41. Теорема. Пусть Т — вполне недостижимый момент
остановки. Существует непрерывный справа и равномерно
интегрируемый мартингал, единственным моментом разрыва
которого служит момент Т на множестве {Т < + °°}> в
который этот мартингал претерпевает скачок единичной величины.
Когда семейство (У*) квазинепрерывно слева, справедливо
и обратное утверждение.
Т42. Теорема. Если семейство (У*) квазинепрерывно слева,
моменты скачков всякого непрерывного справа мартингала
вполне недостижимы {иначе говоря, всякий непрерывный справа
мартингал квазинепрерывен слева).
Доказательство. ПустьМ = (Mt) — непрерывный справа
мартингал. Мы должны доказать, что все моменты скачков
мартингала М вполне недостижимы. Переходя при
необходимости к рассмотрению мартингала (MtAn) при любом
целом п, можно предположить, что мартингал М равномерно
интегрируем. Если семейство (#"/) квазинепрерывно слева,
достижимые моменты остановки предсказуемы и @~т = &~т-
для любого предсказуемого момента остановки Г. Тогда по
теореме 10 для такого момента имеем
МТ = Е [Мт \РТ\ = Е [Мт | #Y-] = Af г_,
й потому все моменты скачков мартингала М вполне
недостижимы. □
Если М —равномерно интегрируемый^ мартингал, а Г —
предсказуемый момент остановки, то Мт~ является
интегрируемой случайной величиной и Е[МТ-] = Е[МТ]. На самом

4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ J41
деле это свойство однозначно характеризует предсказуемые
моменты остановки.
Т43. Теорема. Пусть Т — такой момент остановки, что
Е [Мг_] = Е [Мт] для любого непрерывного справа и
ограниченного мартингала М = {Mt). Тогда момент Т предсказуем.
Доказательство. Из теоремы 27 следует, что
возрастающий процесс А = 1[т{т>0у +°о[ предсказуем, и потому
момент Т также предсказуем (см. IV-35). □
Теперь приведем пример положительного равномерно
интегрируемого мартингала M = {Mt) и вполне недостижимого
момента остановки Г, таких, что величина Мт~ не интегрируема.
44. Пример. Пусть М = (Mt) — непрерывный справа
положительный и равномерно интегрируемый мартингал, а Г
—конечный и строго положительный момент остановки; через А
обозначим возрастающий процесс 1[т, +«>[. Так как процесс
M- = {Mt-) равен предсказуемой проекции М, то по
теоремам 28 и IV-T47
Е[МТА = Е[(А1_* A) J = E[(M* A")J = Е[М» • АЦ
Когда Т предсказуем, А оо Аоо 1, и мы вновь приходим
к равенству Е[МТ-] = Е[МТ]. Но если Г вполне недостижим,
случайная величина AL остается интегрируемой, но может
не быть ограниченной, и тогда не исключено, что величина Мт~
не интегрируема. Вот пример такой ситуации. Воспроизведем
пример, изученный в п. 52 гл. III: множество й равно R+,
символ 5 обозначает тождественное отображение в Q, а #~?
(соотв. 9го)—а-алгебру, порожденную величиной S/\t (соотв. S).
Если Р — вероятностное распределение в (й, &~°), обозначим
через &~t (соотв. У) а-алгебру, порожденную а-алгеброй #"?
(соотв. £Г°) и Р-пренебрежимыми множествами. В качестве
вероятностного распределения возьмем экспоненциальное:
dP — e-fdt. Поскольку Р — непрерывное распределение,
величина S является вполне недостижимым моментом остановки
(см. III-T54), и поэтому возрастающий процесс A = I[S, +«>[
квазинепрерывен слева. Предсказуемая дуальная проекция Л3
процесса А задается равенством
A3t = SAt при любом feR+
(ясно, что возрастающий процесс (S A О согласован и
непрерывен, а потому и предсказуем, и можно непосредственно
проверить, что процесс (/{s</} — SAO является мартингалом,
а это и доказывает равенство \At) = (SAt)\ однако в конце

142 ГЛ, V, ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
этой главы мы дадим общую формулу для вычисления Л3 при
любом вероятностном распределении Р на (Q, 9го)). Обозначим
через Z положительную случайную величину
Z = S~~ • е •/{s>i}«
Эта величина Z интегрируема:
с»
£[Z]=$r2.e'.e~'df=l.
1
Поэтому положительный и непрерывный справа мартингал
{Mf) = {Е [Z | 2Ft]) равномерно интегрируем. В силу
установленного выше равенства
с»
E[Ms-] = E[Moo. At] = Е [Z . S] = J Г2. е* ^ • е~*dt= + оо,
1
и потому величина Ms~ не интегрируема (что, очевидно, влечет
за собой неинтегрируемость случайной величины supM*, а это
по одной теореме Дуба было бы невозможно, если бы
интегрируемой была величина Z*log+Z).
Потенциал, порожденный интегрируемым
возрастающим процессом
45. Пусть А = (At) — интегрируемый возрастающий процесс.
По теореме 3 существует (единственный с точностью до
неотличимости) такой непрерывный справа супермартингал Z =
= (Zt), что при всяком t
Zt = E[A00-At\&~t] п. н.
Супермартингал Z положителен и равномерно интегрируем
(он мажорируется равномерно интегрируемым мартингалом
(Е [А^ | STt\)), а его финальная случайная величина ZTO равна
нулю, так что Z является потенциалом. Мы говорим, что
Z — потенциал, порожденный интегрируемым возрастающим
процессом Л.
Т46. Теорема. Два интегрируемых процесса связаны друг
с другом в том и только том случае, если они порождают
один и тот же потенциал.
Доказательство. Пусть A = (At) и B = (Bt) — два
возрастающих интегрируемых процесса, порождающих
соответственно потенциалы X={Xt) и Y={Yt). Для всякого /
Xl-Yt = E[A„-BJPi]-E[At-Bt\Pt].

4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ МЛРТИНГАЛОВ ИЗ
Из теоремы 37 следует, что Л и В связаны тогда и только
тогда, когда X = Yl). О
Следовательно, всякий потенциал, порожденный
возрастающим процессом, порожден и некоторым предсказуемым
возрастающим процессом, и этот последний единствен: им
служит дуальная предсказуемая проекция исходного
возрастающего процесса.
Т47. Теорема. Пусть А = (At) — интегрируемый
возрастающий процесс и Z = (Zt) — потенциал, порожденный
процессом Л. Тогда Z является потенциалом класса (£>), и для
любого момента остановки Т
ZT = E[A00 — AT\&~T] п. н.
Доказательство. Напомним, что равномерно
интегрируемый супермартингал {Xt) называется принадлежащим
классу (D), если равномерно интегрируемо семейство
случайных величин вида Хт, когда Т пробегает множество моментов
остановки. Потенциал Z порожден процессом Л3, а так как
последний согласован, то при всяком t
Zt = E[Al\&~t]-Al
Поскольку мартингал (^[Л^!^]) равномерно интегрируем
(ибо А1о — интегрируемая случайная величина) и случайные
величины At мажорируются интегрируемой величиной AL,
мартингал так же как и отрицательный
супермартингал (—Л?), принадлежит классу (£>) (см. Т9).
Следовательно, их сумма Z тоже принадлежит классу (D). С
другой стороны, по теореме Дуба об остановке (см. Т7) для
всякого момента остановки Т
zt = e[aI\3~t]-a3t,
и по теореме 37 правая часть этого равенства совпадает
с EiA^ — Ат\ @~т]. Отсюда следует требуемое равенство,
которое определяет значение Z в произвольный момент
остановки. □
*) Например, пусть А и В связаны. Применим к обеим частям
выписанного равенства оператор условного ожидания относительно $Гs и из
получившегося соотношения вычтем равенство, аналогичное исходному
для момента s. Тогда ввиду теоремы 37 получим Е [Xt — Yf I fFs\ = Xs—Ys,
п. н., т. е. процесс {Xt —- Yt) является мартингалом. Отсюда и из
единственности разложения Рисса (см. Т12) для процесса Xf следует
неотличимость X от К. — Прим. перев.

144 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Замечание. Две предыдущие теоремы почти очевидны,
если в них рассматриваются только возрастающие
согласованные процессы; в этом случае теорема 46 вытекает из
теоремы 38, а в доказательстве теоремы 47 можно всюду
заменить Л3 на Л (или только воспользоваться тем, что процесс Л3
согласован).
5. Теорема о разложении супермартингалов
48. Пусть X = (Xf) — непрерывный справа и равномерно
интегрируемый супермартингал. Говорят, что X допускает
разложение Дуба, если существуют такие непрерывный справа
мартингал М = (Mt) и согласованный возрастающий процесс
A = (At), что
М = Х + А.
По теореме 12 для супермартингала X всегда справедливо
разложение Рисса
X=Y + Z,
где Y — равномерно интегрируемый мартингал, a Z —
потенциал; следовательно, X допускает разложение Дуба в том
и только том случае, если это разложение допускает его
«потенциальная» составляющая Z. Допустим, что для Z имеет
место разложение Дуба: существуют мартингал M = (Mt) и
согласованный возрастающий процесс A — (At), такие, что для
всякого t
Mt = Zt + At. (*)
Так как Е [At] = Е [Mt] — Е [Zt] и lim £[Z,] = 0, возрастаю-
щий процесс Л интегрируем, а потому мартингал М
равномерно интегрируем. Но поскольку в то же время lim Zt = 0,
имеем М00 = А00. Таким образом, по теореме 8 равенство (*)
можно записать еще и так:
E[A00\<rt] = Zt + At.
Иначе говоря, потенциал Z порожден согласованным и
интегрируемым возрастающим процессом Л. Следовательно, для
того чтобы потенциал Z допускал разложение Дуба,
необходимо в силу теоремы 47, чтобы он принадлежал классу (£>).
Мы увидим, что это условие и достаточно.
Т49. Теорема. Пусть Z = (Zf)—потенциал класса (D).
Существует один и только один такой интегрируемый и
предсказуемый возрастающий процесс А = (At), что Z является
потенциалом, порождаемым процессом А,

б. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ J45
Доказательство. Единственность процесса А вытекает
из теорем 36 и 46. Доказательство существования необходимо
разбить на ряд лемм. Мы построим меру на а-алгебре
предсказуемых множеств, которую затем продолжим на а-алгебру
измеримых множеств, и обнаружим, что она порождает
возрастающий процесс Л.
Рассмотрим множество стохастических интервалов вида
[0^], где F^&~0l и вида ]S, T] и обозначим через / булеву
алгебру, составленную из конечных объединений таких сто»
хастических интервалов.
По теореме IV-T4 эта алгебра порождает а-алгебру
предсказуемых множеств. Всякий элемент Я из / записывается
единственным способом в виде
H=lOP][)]Sl9 Г,] U ... [)]Sn,Tnl
где F еР0, St < Tt на {St < + оо} и Г, < S,+I на {Tt < + со}
(здесь S{ равно дебюту Я, Т{ —дебюту множества ]Sb +<*>[ П
П Нс, S2 —дебюту множества ]Тх + оо [ П Н и т. д.). Мы
обозначаем через Н множество
H=[0F]\i[SuTl][) ... l)[SniTn]
и полагаем
\i(H) = E[ZSl-ZTl-\+ ... +E\ZSn-ZTn\
Ясно, что так определенная на f функция \х положительна
(поскольку Z — супермартингал) и ограничена (поскольку
Z —потенциал), и нетрудно проверить, что она аддитивна. Мы
покажем, что \i является мерой на булевой алгебре /, —-
именно это влечет за собой принадлежность потенциала Z
к классу (£>). Но сначала докажем лемму, которая позволит
нам заменить элементы алгебры / множествами, сечения
которых замкнуты в R+.
Лемма. Пусть Н — элемент алгебры f. Для всякого е > 0
существует такой элемент К из f, что К с: Н и \i (Н) ^ \х {К) + е.
Доказательство. Очевидно, можно предположить,
что Н представляет собой стохастический интервал вида ]S, T],
причем S < Т на множестве {S < + со}. Обозначим через Sn
сужение S -\— на множество { S Н— <7j> а через Тп —
сужение Т на то же множество.
Имеем Sn > S, на множестве {S < + со} Sn > S и S = lim Sn,
п
а также Тп^Т, на {Sn < -(- со} Тп=Т и Пт7^=7\ Таким

146 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
образом, [Sn, Tn\ содержится в ]S, T\ при каждом п и
Km E \ZSn - ZTn] = Е [Zs - ZT].
Действительно, Zs=\imZSn и ZT = \imZTfi, так как потен-
п п
циал Z непрерывен справа, и эти предельные соотношения
выполняются также в смысле сходимости в V (Р), поскольку Z
принадлежит классу (£>)'). Итак, достаточно взять К = ]Sn, Tn]
при достаточно большом п. □
Лемма. Функция \х является ограниченной мерой на
булевой алгебре f.
Доказательство. Нам надо проверить а-аддитивность \х.
Так как мера \х ограничена, мы должны показать, что если
(Нп) —- убывающая последовательность элементов алгебры /
с пустым пересечением, то \i (Нп) стремится к 0. Пусть е > 0,
и при каждом п пусть Кп — такой элемент из /, что Нп
содержит Кп, а
\1(Нп)<\х(Кп) + 2-пг.
Если положить
Ln = K{(]K2(\ ... ()Кп,
то при каждом п
С другой стороны, последовательность (Ln) убывает и,
очевидно, имеет пустое пересечение. Следовательно, если Dn—-
дебют множества Ln, то последовательность (Dn) возрастает
и стремится к + оо (последнее обусловлено замкнутостью
сечений множеств Ln в R+). Поскольку при каждом п
и величина ZD стремится к нулю в смысле сходимости
в Ll(P), так как Z является потенциалом класса (D), то
lim fi (LJ = 0. Итак, limiA(#J<Je при любом е > 0, а следо-
п п
вательно, lim \i (Hn) — 0. □
п
Мера \i на алгебре f допускает единственное
продолжение на порождаемую этой алгеброй а-алгебру, т. е. на а-ал-
*) Рассматриваемое равенство выполнено, даже если Z не
принадлежит классу (D): оно вытекает из леммы Фату и теоремы Дуба об
остановке.

6. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ \tf
гебру предсказуемых множеств. Это продолжение, также
обозначаемое через \if обладает следующими свойствами:
Лемма. Справедливы следующие утверждения:
(а) |i([0I) = 0 и 11(10, +оо[)<+оо;
(б) ц(#) = 0 для всякого несущественного предсказуемого
множества Н.
Доказ ательство. Утверждение (а) очевидно. Если
множество несущественно, его дебют DH п. н. бесконечен, и,
стало быть, множество A = {DH < + °°} принадлежит #"0.
Множество Н содержится в объединении [0Л] U ]0Л, + оо[.
Так как величина 0Л п. н. бесконечна, ясно, что ja(#) = 0. п
Теперь закончим доказательство теоремы 49. Мы
продолжаем меру \i, определенную на а-алгебре предсказуемых
множеств, на а-алгебру измеримых множеств, полагая для
любого положительного измеримого процесса X
AW = M3*).
Так определенное продолжение Д порождено в силу п. 29
некоторым предсказуемым и интегрируемым возрастающим
процессом A = (At), и ввиду определения меры \i для любой
пары (S, Т) моментов остановки, таких, что S<^7\ имеем
E[AT-As] = n(]S, T]) = E[ZS-ZT].
Следовательно, полагая S = tH и Г = + °° при любых /eR+
и H^&~t, получаем
что влечет за собой равенство Z* = £[A00—-At \^t] при любом /;
таким образом, Z является потенциалом, порожденным
предсказуемым возрастающим процессом Л. □
Теперь вернемся к общему случаю: если X — непрерывный
справа и равномерно интегрируемый супермартингал, то
потенциал, входящий в его разложение Рисса, принадлежит
классу (D) тогда и только тогда, когда X принадлежит
классу (D). Супермартингалы класса (D), таким образом,
образуют класс, совпадающий с классом супермартингалов,
допускающих разложение Дуба. Итак, в силу п. 48
справедлива
Т50. Теорема. Пусть X — супермартингал класса (D).
Существует единственный интегрируемый предсказуемый
возрастающий процесс Л, такой, что процесс
М = Х + А
является мартингалом.

148 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Теперь мы опишем такие супермартингалы X, что
отвечающий им в разложении Дуба возрастающий процесс А
непрерывен.
Регулярные супермартингалы
Пусть X — непрерывный справа и равномерно
интегрируемый супермартингал, и пусть равенство X = Y + Z задает его
разложение Рисса в сумму равномерно интегрируемого
мартингала Y и потенциала Z. Если Т — предсказуемый момент
остановки, предвещаемый последовательностью (Тп) моментов
остановки, то случайная величина YT~ = E[YT\ @~T-] интегрируема
(см. Т10) и ZT- = lim ZT также является интегрируемой
случайной величиной в силу леммы Фату (поскольку по теореме
Дуба об остановке последовательность чисел E^ZTn\ убывает).
Следовательно, Хт- — интегрируемая случайная величина.
С другой стороны, при всяком п
ХТп>Е[Хт\<ГТп]
по теореме Дуба об остановке, а, так как #"V_= \l $FT ,
п п
переход к пределу дает
ХТ-^Е[ХТ\РТ-],
ибо по теореме о сходимости мартингалов UmE\XT\&~T ] =
п п
= Е[ХТ \@~т—]- Следовательно, если Г—предсказуемый момент
остановки, равенство Е[ХТ~] = Е[ХТ] имеет место тогда и
только тогда, когда
ХТ- = Е[ХТ\&~Т-].
051. Определение. Пусть X = (Xt) — непрерывный справа
и равномерно интегрируемый супермартингал. Говорят, что
X является регулярным супермартингалом, если
E[XTJ\ = E[XT]
для всякого предсказуемого момента остановки Г. Если
X — регулярный супермартингал, то
Ay—=== h [лт I Зг т—\
для любого предсказуемого момента остановки Т.
Если процесс X является положительным или
ограниченным супермартингалом, он регулярен тогда и только тогда,
когда его предсказуемая проекция совпадает с его непрерывной
слева версией. Супермартингал X регулярен, коль скоро он
квазинепрерывен слева; обратное утверждение верно при

5. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ Н9
условии, что семейство {{Ft) квазинепрерывно слева. Наконец,
всякий мартингал, непрерывный справа и равномерно
интегрируемый, является регулярным; поэтому
супермартингал X регулярен в том и только том случае, если регулярен
потенциал, входящий в его разложение Рисса.
Т52. Теорема. Пусть X — непрерывный справа супермартин-
гал класса (D) и А— предсказуемый возрастающий процесс
из разложения Дуба процесса X. Возрастающий процесс А
непрерывен тогда и только тогда, когда супермартингал X
регулярен.
Доказательство. Возрастающий процесс А
интегрируем, а потому мартингал М = Х-\-А равномерно
интегрируем. Для всякого предсказуемого момента остановки Т
МТ = ХТ + АТ, Мт-. = Хт- + Ат~ и Е [Мт] = Е [Мг_],
откуда
Е [Ат - Лг-1 = Е [Хт- - Хт].
Так как процесс А предсказуем, он непрерывен тогда и
только тогда, когда он не нагружает предсказуемые моменты
(см. IV-T30). Следовательно, процесс А непрерывен в том и
только том случае, если процесс X регулярен. □
Аппроксимация посредством приближенных лапласианов
Пусть X = (Xt) — потенциал класса (D) и А = (At) —
предсказуемый и интегрируемый возрастающий процесс,
порождающий X. Мы приводим здесь метод аппроксимации процесса А
с помощью возрастающих процессов, которые строятся явным
образом, исходя из X.
53. Пусть при всяком действительном h > О величина phXi
служит вариантом математического ожидания E[Xi+h\ert]f
где /gR+. Легко проверить, что процесс (ph^t)t^R является
супермартингалом, функция t~>E[phXt\ непрерывна справа
и lim E[phXt] = 0. По теореме 3 можно так выбрать phXf
(причем единственным образом с точностью до
неотличимости), чтобы процесс РьХ — (рнХД был потенциалом. С
другой стороны, phXt^Xt п. н. при любом t; так как процессы
phX и X непрерывны справа, phX^.X с точностью до
перевода к неотличимым процессам. Положим теперь для любого
t
Aht=\\{Xs-pkXs)ds.
О

150 ГЛ. V, ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Так определенный возрастающий процесс Ан = (аТ)
согласован и непрерывен, а следовательно, предсказуем. Он
называется приближенным лапласианом порядка h для
потенциала X. Поскольку потенциал X порожден возрастающим
процессом, по теореме 47
Е[XT+h \ГТ] = ЕК - AT+h |Тт]
для любого момента остановки Г. В частности, для всякого t
phXt = E[A00-At+h\Vtl
и, таким образом, процесс phX представляет собой потенциал,
порожденный возрастающим (вообще говоря,
несогласованным) процессом t->At+h— Ah. По теореме 47 имеем также
равенство
(phX)T = E[A00-AT+h\FT]
для всякого момента остановки Г. В результате определение
величины phXf распространяется и на моменты остановки, и
мы будем обозначать через phXT случайную величину {phX)T.
Из написанного выше равенства выводим, что
Хт — РьАт=== E[AT+h — Ат \&гт\
для любого момента остановки Г. Следовательно, процесс
X — phX совпадает с вполне измеримой проекцией процесса
t->Ai+h — At. Теперь из теоремы 25 вытекает, что
\ Yt dAU = Е I \ \ Yt (Xt - phXt) dt =
для любого положительного вполне измеримого процесса
Y = (Yt) и всех моментов остановки Г.
Приведем теорему об аппроксимации.
Т54. Теорема. Для всякого момента остановки Т
Ат= lim At
л->о
в смысле слабой топологии o(Ll, L°°).
Доказательство. Мы должны показать, что
E[Z'AT\=\\mE\_Z-AT~\ (l)

б. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ 151
для любой положительной ограниченной случайной
величины Z. Обозначим через M = {Mt) непрерывный справа
мартингал (E[Z\Srt]). В силу теоремы IV-T47 равенство (1) пере*
писывается в виде
Е\ \ MtdAt\ = lim Е\ -j- \ Mt(Xt-phXt)dt (2)
или в силу последнего равенства из п. 53 в виде
El \MtdAt\=UmE\±\M (3)
Именно равенство (3) мы и докажем. По теореме Фубини
т т /t+h \
\\Mt(A^h-At)dt = \\Mt[ \ dAs)dt =
о о м '
T+h * Т A s .
-i- J I J Midt\dAs. (4)
О N*-A)+ '
Определенная соотношением (4) случайная величина
положительна и мажорируется случайной величиной || Z Ц^ • Л^,
которая интегрируема. Таким образом, можно перейти к пределу
под знаком математического ожидания во втором члене (3),
если этот предел существует. Однако
T+h , Т As v T / s v
4,+
\\{\ Mtdt)dA,-U± \Mtdt\dAs
0 \s-h)+ ' h ^ s~h '
RTAs . T+h , T .
\ m^w+4- 5 J Mtdt\dAs.
0 / T \s-fc)+ /
Второе и третье выражения, входящие в правую часть этого
равенства, мажорируются величиной А • II £ IL * Л^, так что они
стремятся к 0, когда h стремится к 0. С другой стороны,
при каждом со функция /->М/(со) ограничена, непрерывна
справа и обладает пределами слева. Отсюда ясно, что
ЙНТ \ Mtdt)dAs=\Ms-dAs.

152 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Таким образом, последний член равенства (3) удовлетворяет
равенству
lim E
Л->0
L о
Но возрастающий
по теореме 25
~
Ut{A1+h-At)
dt = E
~т
L-0
процесс А предсказуем,
dAt
и, стало быть,
т ~1 г т -|
о J Ld J
что и завершает доказательство равенства (3). □
Замечание. В общем случае нельзя рассчитывать, что
доказанная теорема будет справедлива, если сходимость
понимается в более сильном смысле (см. Деллашери и Долеан [12]).
Однако, если возрастающий процесс А непрерывен (например,
когда потенциал X регулярен), сходимость Ат к Ат имеет
место в смысле сильной топологии пространства V. Подробное
исследование приближенных лапласианов см. у Мейера [24].
Пример
55. Вновь вернемся к примеру из п. 52 гл. III. Напомним
исходные данные: мы берем в качестве Q пространство R+,
снабженное а-алгеброй ЗГ° его борелевских множеств, и
обозначаем через S тождественное отображение Q на R+.
Распределение Р на (Q, &~°) удовлетворяет условиям: P{S=0} = 0
и Р {S > t) > 0 при любом /eR+. Наконец, при каждом t
обозначаем через ?Ft а-алгебру, порожденную величиной S Л t,
а через #"* — а-алгебру, порожденную а-алгеброй #"? и
Р-пренебрежимыми множествами. Поскольку а-алгебра $Г\
совпадает еще и с а-алгеброй, порожденной борелевскими
подмножествами интервала [0, t] и атомом ]t, + oo[, условное
математическое ожидание случайной величины
относительно @~t записывается очень просто: если Z —
положительная случайная величина, то
£[Z|^]=Z./(s<r> +
£[Z*7{S>*}]
P{S>t}
I{S>t} П. H.
Правая часть этого равенства определяет непрерывную справа
версию мартингала {E[Z\&~t]). Рассмотрим возрастающий
процесс A — I[s, +oo[ и вычислим с помощью приближенных
лапласианов дуальную предсказуемую проекцию Л3 процесса 4

5. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ J53
в явном виде. Возрастающие процессы А и А3 порождают один
и тот же потенциал X, равный процессу I[o,si, потому что
Xt = E[A00-At\<rt] = I{S>t].
Для всякого h> 0 и любого ^eR+
E[Xt+h\trt] = Xt+h.I{s<t}+ Е1Хр\^}>п] -/{з>*}п.н.
Обозначим через F функцию распределения, отвечающую Р.
Так как Xt+h = I{s>t+hh предыдущее равенство принимает
простую форму:
где правая часть определяет потенциал phX. Следовательно,
приближенный лапласиан порядка h определяется
соотношением SAt
F(s + k)-F(s)
*-^j
\-F(s)
о
ds.
В рассматриваемом частном случае можно показать, что
Aii сходится к Л/ как п. н., так и в смысле сильной
сходимости в L1, но мы ограничимся эвристическим способом
вычисления величины Л?, произведя предельный переход без
строгого обоснования. Затем мы проверим, что таким
образом действительно получена предсказуемая проекция
процесса Л. Применяя теорему Фубини, как и при
доказательстве теоремы 54, получаем
SAt ss+h v
-*-+Д$*(.))т^ет-
/OA0+ft/ (SAt)Au *
S (т $ ™Vw
0 Ч (u-h)
и, устремляя А к 0, окончательно находим
SAt
,з С dF(u)
Л<- J 1 — /=•(«—) •
о
Т56. Теорема. Дуальная предсказуемая проекция Л3 = (Л?)
возрастающего процесса А = I[S, +«>[ задается равенством
SAt
-з_ С dF(u)
Л*— ) l-F(d^) •
о
где Т7 — функция распределения, отвечающая Р.

154 ГЛ. V. ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
Доказательство. Обозначим через f борелевскую
функцию на R+, заданную соотношением
f(A_( dF(u)
о
Правая часть доказываемого равенства определяет
возрастающий процесс B = (Bt). Этот процесс предсказуем: в самом
деле, Bf = f(S At)> а поскольку процесс (SA0 является
предсказуемым (он согласован и непрерывен), то также
предсказуем и процесс (В/). Остается проверить, что В
порождает потенциал X, отвечающий процессу Л. Но
£[Bjyj = f(s)-W+ £[p^>Td '1{s>t] п'н-
и
= {i-F(f))-f(t) + (i-F№
причем последнее равенство получено в результате
применения теоремы Фубини. Итак, ясно, что Е [Вто | &~t] —Bt =
= hs >t} = Xu П
Если распределение Р непрерывно, то непрерывна и
функция F, и по теореме о замене переменной (см. IV-T44)
f dF (и) _, 1
J \-F(u) ~log l-F(t) '
о
Т57. Теорема. Предположим, что распределение Р
непрерывно. Дуальная предсказуемая проекция возрастающего
процесса A = I[s, +«>[ задается равенством
*8~1ое1-Дл/)'
где F обозначает функцию распределения, отвечающую Р.
Заметим, что в этом случае процесс А3 непрерывен. Это
связано с тем обстоятельством, что S — вполне недостижимая
случайная величина (см. III-T54), вследствие чего процесс А
квазинепрерывен слева. Если Р — экспоненциальное
распределение, то F (t) = 1 — еГх и потому Л* — S Л t*

Глава VI
СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе мы имеем дело с полным вероятностным
пространством (Q, #", Р), снабженным возрастающим
семейством а-подалгебр (#"*), удовлетворяющим обычным условиям.
Случайное множество — это отображение А: со->Л(со)
пространства Q в ?P(R+). Смысл топологических терминов
меняется очевидным образом: например, случайное множество А
замкнуто, если при любом со замкнуто Л (со). Всякое
заданное случайное множество А отождествляется с множеством
# = {(£, со): /^Л(со)} пространства R+ X &, и мы не делаем
различия при употреблении обоих этих понятий, так что
множества из пространства R+ X ^ мы называем
«случайными».
В существенной своей части глава посвящена
доказательству следующих двух теорем (которые устанавливаются
соответственно в § 3 и § 4):
1) Измеримое случайное множество Я содержит такое
совершенное измеримое случайное множество Р, что Я (со)
непусто, коль скоро Я (со) несчетно.
2) Случайное вполне измеримое множество Я, такое,
что Я (со) при всяком со конечно или счетно, является
объединением некоторой последовательности графиков моментов
остановки.
Доказательства проводятся в два этапа. Сначала мы
устанавливаем эти две теоремы для частного случая
замкнутых случайных множеств, которые изучаются в § 1. Затем
исследуем общий случай, приближая подходящим образом
случайные множества замкнутыми случайными множествами
и привлекая для этого теорему аппроксимации, приведенную
в § 1 гл. II; § 2 посвящен подготовке технических приемов,
необходимых для применения этой теоремы. Наконец, в § 5
устанавливается существование непрерывных возрастающих
процессов, носители которых удовлетворяют определенным
условиям.

156 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Замкнутые случайные множества
1. Сначала напомним некоторые понятия топологического
характера, связанные с R (или R+), и перенесем их на
случайные множества. Пусть F — замкнутое множество в R;
дополнение к нему представляет собой конечное или счетное
объединение своих связных компонент, и эти компоненты,
являющиеся открытыми интервалами, называются смежными
интервалами множества F. Когда F совершенно (т. е. не
имеет изолированных точек), любые два различных смежных
интервала не имеют общих концов, и это свойство является
характеристическим для совершенных множеств среди
замкнутых множеств. Мы рассматриваем также в R (или в R+)
правую (соотв. левую) топологию, база которой составлена
из интервалов вида [з, /[ (соотв. ]s, t]). Мы говорим, что
некоторое множество замкнуто или открыто справа (соотв.
слева), если оно замкнуто или открыто в правой (соотв.
левой) 'топологии; отметим, что при такой терминологии
интервалы вида [s, t[ оказываются замкнутыми справа
множествами.
Пусть теперь F — множество в R+ X Q- Мы называем F
замкнутым случайным множеством, если при любом co&Q
сечение F(co) замкнуто в R+; если не возникает
двусмысленности, мы говорим просто, что F замкнуто: оно и в самом
деле замкнуто в топологии произведения R+ X й, если Q
снабжено дискретной топологией. Подобным же образом
определяются понятия компактного, совершенного,
открытого и т. д. случайного множества. Для произвольного
множества Н из R+ X & очевидным образом определяются
замыкание Н и внутренность Н множества Я. Наконец,
аналогичную терминологию мы принимаем в случае правой и
левой топологий; замыкание справа множества Н обозначается
через Hd, а замыкание слева — через Hg.
Пусть F — замкнутое случайное множество. Для любого
е>0 и всякого co<=Q обозначим через ]S*(co), Гп(со)[ я-й
смежный интервал множества ^(со), длина которого строго
больше е. Если этот интервал не существует, полагаем
Sen (со) = Тгп (со) = + °°- Наконец, обозначим через 1 S*n, Г„[
множество в R+ X й, сечение которого, отвечающее
произвольному со, совпадает с ]S^(co), Тгп (со)[, и будем говорить,
что ]Sn, Г«[ является п-м смежным интервалом множества F,
длина которого строго больше е. Даже в том случае, когда F
вполне измеримо, множество ]Sen, Тгп[, вообще говоря, не
является стохастическим интервалом (в смысле терминологии,

1. ЗАМКНУТЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА 157
принятой в гл. III), потому что Sen может не быть моментом
остановки семейства (#"*).
Т2. Теорема. Пусть Я -—прогрессивно измеримое
множество в R+ X Q.
(а) Пусть е > 0 призвольно_ и ] 5«, Теп [ является п-м
смежным интервалом замыкания Н множества Я, длина которого
строго больше е. Функции Sen + e и Теп являются моментами
остановки. __
(б) Замыкание Я множества Я, а также и множество D
правых концов смежных интервалов множества Я вполне
измеримы. __
(в) Замыкание слева Hg множества Н вполне измеримо,
а множество Hg — D предсказуемо.
(г) Замыкание справа Hd множества Я, а также
множество G левых концов смежных интервалов множества Я
являются прогрессивно измеримыми.
Доказательство. Выбрав число е > 0, для всякого
рационального г > 0 и любого целого п положим
Аг>п = {с*: Я(со)п[г,г + е + |]=0}.
Так как Я прогрессивно измеримо, это множество
принадлежит а-алгебре &~г+г+цп- При фиксированном г
последовательность (Аг> п) возрастает вместе с ростом п, и потому
множество Ar = \JArtn входит в а-алгебру #~г+8- Отсюда вытекает,
п
что А = U ({г} X Аг) является прогрессивно измеримым множе-
г
ством пространства R+ X Q относительно семейства а-алгебр
(^+e)^eR . Поскольку 5? совпадает с дебютом множества А,
величина Sf представляет собой момент остановки
относительно семейства (#~/+е), а следовательно, 5? + е является
моментом остановки относительно семейства (@~t)- Но тогда
и величина Г?, которая служит дебютом прогрессивно
измеримого множества ЯП^ + е, +°°[, также является
моментом остановки относительно семейства (#"/). Применяя
это рассуждение к прогрессивно измеримому множеству
тем же способом можно показать, что S% + e
и Т\ — моменты остановки, и, вновь последовательно повторяя
это рассуждение, установить, что Sen + е и Тъп — моменты
остановки при всяком целом п. Пусть Г —дебют прогрессивно

158 ГЛ, VI, СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
измеримого множества Я; имеют место следующие равенства:
D=u[nl й=\т, +0o[(](u]sl + B,rn[)\
п,г \ п, 8 /
H'-D = (10](\H)\)(\T, +°o[n(uJS*+e, nlf).
H* = (H'-D)[){H(\D),
где п пробегает целые, а е — рациональные__значения > 0.
Следовательно, D и Н вполне измеримы, Н8 — D
предсказуемо, a Hg вполне измеримо (так как множество H[\D
представляет собой счетное объединение графиков моментов
остановки). С другой стороны, справедливо равенство Hd =
— Н —{G — Я). Чтобы завершить доказательство, остается
только показать, что G прогрессивно измеримо. Однако
множество G равно счетному объединению графиков случайных
величин Sen, где п пробегает целые, а е — рациональные
значения > 0, меньшие 1/&, где k задано. Поскольку S«
служит моментом остановки относительно семейства {&"ц.е),
а потому и относительно (^t+Mk) при е < l/k, множество G
вполне измеримо относительно семейства {9~t+\/k)- Можно
было бы надеяться закончить доказательство, устремив k
к +°°, но при таком переходе свойство полной измеримости
не сохраняется. Между тем G прогрессивно измеримо
относительно семейства (@~t+\(k) при любом k, а свойство
прогрессивной измеримости сохраняется при переходе к пределу
при &-> + °°- В самом деле, при любом t>0 множество
Ofl([0, t[X&) входит в а-алгебру #([0, f [) ® #**, так как
G П ([0, t — l/k] X &) принадлежит этой а-алгебре при всяком
целом k>l/t. Равным образом и множество ОП[^1 входит
в эту а-алгебру: оно служит при каждом k графиком момента
остановки относительно (&~t+\ik), а потому и графиком
момента остановки относительно (^"*). □
Мы получаем в качестве следствия результат, который
использовали при доказательстве теоремы IV-T24:
ТЗ. Теорема. Пусть X = (Xt)_--ограниченный прогрессивно
измеримый процесс. Положим Х0 = Xq = Х0 и при любом t > 0
Xf = lim sup Xs, Xt = lim inf Xs.
s<t — s<*
s->t s-+t
Так определенные функции X = (Xt) и X = (Xt) являются
предсказуемыми процессами.

1. ЗАМКНУТЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА 159
Доказательство. Так как Х_= — (—Х), достаточно
показать, что процесс X предсказуем. Мы должны проверить,
что при любом действительном а множество {X > а}
предсказуемо. Однако, если при фиксированном а положить Я =
= {X > а), это множество Н окажется прогрессивно
измеримым, но в обозначениях предыдущей теоремы {Х>а} =
= Hg — D, и потому множество {X > а} предсказуемо. □
В дальнейшем часто будет использоваться такое
следствие:
Т4. Теорема. Пусть (Тп) — последовательность моментов
остановки. Замыкание объединения (J [Тп] является вполне
п
измеримым множеством.
Из этого следствия вытекает, что замкнутое случайное
множество F, неотличимое от некоторого прогрессивно
измеримого множества, является вполне измеримым.
Действительно, если при любом рациональном г^О обозначить
через Тг дебют множества F(][r, +oo[, то Тг окажется
моментом остановки, и потому множество F, равное
замыканию объединения (J [7VL вполне измеримо.
г
Замечание. Теперь мы можем привести пример
прогрессивно измеримого множества, которое не является вполне
измеримым. Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией
марковских процессов, и ограничиваемся наброском этого
примера. Пусть (Xt) — одномерное броуновское движение,
начинающееся в нуле, и пусть
Я = {(/,со): Х,(со) = 0}.
Известно, что это множество замкнуто и вполне измеримо.
Множество G левых концов смежных интервалов
множества Н прогрессивно измеримо, и его проекция на Q
совпадает с Q п. н. Однако из строго марковского свойства
вытекает, что G не содержит ни одного графика момента остановки.
Следовательно, множество G не может быть вполне
измеримым в соответствии с теоремой о сечениях.
Совершенное ядро замкнутого случайного множества
5. Известно, что всякое замкнутое множество в R
единственным способом разлагается в сумму не более чем
счетного множества и совершенного множества, называемого
совершенным ядром исходного замкнутого множества. Пусть
теперь F — замкнутое случайное множество; тогда очевидным

/60 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
образом определяется совершенное ядро N множества F.
Допустим, что F вполне измеримо; мы докажем тогда, что N
также вполне измеримо и что множество F — N служит
счетным объединением графиков моментов остановки. С этой
целью, следуя схеме Кантора, построим трансфинитный набор
последовательных производных множеств для F. Обозначим
через 3 множество конечных или счетных трансфинитных
чисел и посредством трансфинитной индукции определим
последовательность (Fi)i^cSl отвечающую замкнутому
случайному множеству F, приняв следующие соглашения:
F0 = F;
если Ft уже определено, то Fi+i представляет собой
множество в R+ X &> сечения которого состоят из
неизолированных точек сечений, соответствующих множеству /у,
если i — предельное трансфинитное число и если F/ опре*
делено при / < i, то Ft = fl fy
При i = 1 множество F( — Fu обозначаемое также через F ,
называется производным множеством множества F. Семейство
(Fi) представляет собой, таким образом, трансфинитный набор
последовательных производных множеств множества F. Ясно,
что Fi — замкнутое случайное множество при любом i e %
С другой стороны, положим при всяком рациональном
положительном г
Тг (со) = inf {t > г: [г, t] П F (со) — бесконечное множество}.
Ясно, что производное множество F' множества F равно
замыканию объединения графиков величин Гг. Поэтому
следующая теорема служит непосредственным следствием
теоремы 2 и измеримости оо-дебютов (см. III-T25):
Т6. Теорема. Пусть F — замкнутое вполне измеримое
случайное множество. При всяком рациональном г функция Тп
определенная соотношением
Тг (со) = inf {t > г: [г, t] П F (со) — бесконечное множество),
служит моментом остановки, а производное множество Fr
множества F, равное замыканию объединения \J[Tr]9 пред*
г
ставляет собой вполне измеримое замкнутое случайное
множество*
Последовательные производные множества для вполне
измеримого замкнутого случайного множества, таким образом*
вполне измеримы и замкнуты. Теперь покажем, что множе*
ство Fi—Fl+i несущественно при достаточно большом L

1. ЗАМКНУТЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА \Q\
Т7. Теорема. Пусть F — вполне измеримое замкнутое
случайное множество, и пусть (F^ — трансфинитный набор
последовательных производных множеств множества F.
Существует такое конечное или счетное трансфинитное число k,
что Fi неотличимо от Fk при всех i > k.
Доказательство. Для всякого /g3 и всякого
положительного г положим
т[ (со) = inf {t > г: [г, t] П Ft (со) — бесконечное множество}.
Так как трансфинитная последовательность (Ft) убывает,
трансфинитная последовательность (?г) моментов остановки
возрастает при фиксированном г. Расположим все
положительные рациональные числа в последовательность (гп) и
определим на 3 функцию h следующим образом:
h(i)= 22"й./и"3'£(ЙЛ«).
пг, п
Поскольку h — возрастающая функция на 3, известно, что
существует конечное или счетное трансфинитное число k,
для которого h (i) = h (k) при всех * ^ k\ следовательно,
Tr=Tr п. н. при всех i^k и всех г. Так как замыкание
множества U[^r] совпадает с Fi+u мы заключаем отсюда,
г
что Fi и Fk+{ неотличимы при всех i>k. П
Теперь мы можем точно описать строение совершенного
ядра N множества F и множества F — N.
Т8. Теорема. Пусть F—вполне измеримое замкнутое
случайное множество. Совершенное ядро N множества F вполне
измеримо.
Доказательство. Пусть k — такое конечное или
счетное трансфинитное число, что Fi и Fk неотличимы при всех
t>&, и пусть L = {co: /^(со) ф /?Л+1 (со)}. Множество L
пренебрежимо, и из определения множества Ft вытекает, что
Fi (со) = Fk (со) при всех со ф. L и всех / ^ k. Однако при
каждом со совершенное ядро Л^ (со) сечения F{®) равно
П Ft (о), вследствие чего Fk и N неотличимы. Так как
N — замкнутое случайное, а ^- вполне измеримое
множество, ядро N также вполне измеримо. □
Т9. Теорема. Пусть F — вполне измеримое замкнутое
случайное множество, и пусть N — его совершенное ядро.
Множество F — N представляет собой объединение последовательности
графиков моментов остановки.
Q К. Деллашери

162 гл- VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
Доказательство. Пусть k — такое конечное или
счетное трансфинитное число, что N и Fk неотличимы. Тогда
множества F—N и £ (Fi — Fi+l) неотличимы. С другой сто-
роны, сечения множества F — N, отвечающие любым со,
конечны и счетны. Следовательно, согласно теореме IV-T17,
нам достаточно доказать, что при каждом / множество
Ft — Fi+i содержится в счетном объединении графиков
моментов остановки. Однако по определению множества /^+1 все
точки сечений (Ft — /VnM©) изолированы. При каждом
рациональном положительном г обозначим через Slr дебют вполне
измеримого множества {Ft — F{+i) П [г, + оо[. Ясно, что
множество Fi—Fi+l содержится в U[SrJ. П
г
Когда сечения множества F конечны или счетны,
совершенное ядро N пусто (потому, что всякое непустое
совершенное множество пространства R имеет мощность
континуума). В качестве следствия получаем такой результат:
Т10. Теорема. Вполне измеримое замкнутое случайное
множество, сечения которого в R+, отвечающие любым со, конечны
или счетны, равно объединению счетного набора графиков
моментов остановки.
Т11. Теорема. Пусть F — вполне измеримое замкнутое
случайное множество с совершенным я")ром N, и пусть (На) —
произвольное семейство измеримых попарно не
пересекающихся множеств в R+ X й, содержащихся в F. Совокупность
таких индексов а, что множество На — N не является
несущественным, не более чем счетна.
Доказательство. Пусть (Тп) — такая
последовательность моментов остановки, что F — N = \J[Tn]; определим
п
ограниченную меру \i в R+ X й, полагая для любого
положительного измеримого процесса Х = (ХД
\i(X)=Z2~n-E[XTn-I{Tn<+ooi].
Если Н — измеримое множество, содержащееся в F — N, то
\i (Я) = 0 тогда и только тогда, когда Н несущественно.
С другой стороны, так как мера \i ограничена, множество
{a: \i (Ha — N) > 0} конечно или счетно. Следовательно,
совокупность таких индексов а, что На не является
несущественным, конечна или счетна. П
С помощью теоремы об аппроксимации снизу, доказанной
в § 1 гл. II, мы распространим эти теоремы на вполне изме-

2. ПОСТРОЕНИЕ ДИХОТОМИЧЕСКИХ 7-СИСТЕМ 163
римые множества, не обязательно являющиеся замкнутыми.
Можно было бы получить эти обобщения из общих теорем,
доказанных в § 3 той же гл. II (см. П-27), но мы применим
другой подход, который использует структуру произведения
R+XQ.
2. Построение дихотомических /-систем
12. Сначала напомним некоторые определения, полностью
используя обозначения гл. II. Мы обозначим через Е
множество R+ X й и через <$ — покрытие на £, состоящее из
измеримых случайных компактов; покрытие <$ замкнуто
относительно (U f > П d), а мозаика §, порожденная покрытием <$>
совпадает с произведением а-алгебр «$(R+)®#"\ Пусть ^ есть
/-система в Е, т. е. совокупность подмножеств множества Е,
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) если Л принадлежит ?, а В содержит Л, то В
принадлежит ^;
(и) если (Ап) — такая возрастающая последовательность
подмножеств множества Е, что объединение \JAn принадле-
п
жит <<?, то существует целое k, при котором Ak входит в <&.
Задав /-систему Ч? (отличную от ^Р(£)), сопоставим
каждому множеству А пространства Е семейство 9* {А) таких
положительных случайных величин S, что множество1)
ЛП[0, S[ не принадлежит *8. Предоставляем читателю
проверку следующих утверждений:
(а) Пусть U и V — две положительные случайные
величины. Если U^V и если V принадлежат семейству 9(A),
то и U принадлежит ^(Л).
(б) Если (SJ — возрастающая последовательность
элементов из ^(Л), то S = limS,i принадлежит ^(Л).
(в) Пусть Л и В — два множества в Е. Если Л
содержит В, то У (Л) содержится в 9 (В).
(г) Пусть (Ап) — возрастающая последовательность
множеств в Е. Имеем
^(у4.)-П^(Д,).
1) В этой главе мы позволяем себе рассматривать стохастические
интервалы, концами которых служат положительные случайные величины,
поскольку эти величины являются моментами остановки относительно
семейства (#"/), где $Ti = #" при любом /. Вообще в этой главе теоремы
сначала доказываются для тех измеримых множеств в R+ X й. которые
вполне измеримы относительно семейства (#"/), где £Г/ = fF при всяком t,
а затем обобщаются на множества, вполне измеримые относительно
семейства (!Ft)» удовлетворяющего обычным условиям.
6*

164 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
Начиная с этого момента мы вводим следующее
дополнительное предположение об /-системе ^ согласно которому
семейство ^(Л), отвечающее множеству А пространства Е,
замкнуто относительно операции перехода от конечного числа
величин к их верхней грани:
(Ш) Если два множества Л и В не входят в /-систему V,
то и их объединение А[)В не входит в V.
Ввиду условия (б) это предположение обеспечивает
наличие в 9(Л) представителя существенной верхней грани
семейства 9>{А)\ такой представитель S будет называться
^-дебютом множества Л. На протяжении всего этого параграфа мы
обозначаем через S(A) некоторый %'-дебют множества А
пространства Е. Если Л — измеримое множество, величина
S{A) мажорирует п. н. обычный дебют1) DA.
Следующая теорема вытекает из свойств (в) и (г).
Т13. Теорема. Пусть <ё>е — совокупность таких множеств А
пространства Е, что
P{S(A)< +оо}>8,
где е > 0 произвольно. Множество <ё>е является I-системой в £.
Приведем некоторые примеры /-систем, удовлетворяющих
условию 12 (III).
14. Примеры. (1) /-система V0, образованная непустыми
множествами пространства Е.
(2) /-система V*, образованная множествами из Е,
которые не содержатся ни в одном счетном объединении графиков
положительных случайных величин.
(3) /-система Ф*, состоящая из множеств в Е, для
каждого из которых хотя бы при одном ю соответствующее
сечение состоит из несчетного множества точек.
Очевидно, справедливы включения V0 => <&* :э У*, которые
влекут за собой аналогичные неравенства для
соответствующих дебютов2). Заметим, что ^-дебют измеримого множества
есть не что иное, как обычный дебют.
15. Введем еще одно предположение об /-системе
V—предположение, которое обеспечит дихотомичность /-системы VB
из теоремы 13. Напомним, что последнее свойство означает
!) Действительно, как легко проверить, ни одна /-система в Е, за
исключением *)3 (£), не содержит пустое множество, вследствие чего
(DA — е)+ е Р7 (А) при любом е > 0, а потому DA > 5 (А) п. н. •— Прим.
перер.
2) Имеется в виду, что ^ -дебют мажорирует #*-дебют, который
в свою очередь мажорирует У°-дебют. — Прим. nepeq.

2. ПОСТРОЕНИЕ ДИХОТОМИЧЕСКИХ /-СИСТЕМ 165
возможность сопоставить всякому элементу А из <Вг два таких
непересекающихся элемента Ф0(Л) и Ф{ (А) покрытия &, что
множества ЛПФ0И) и ЛПФ^Л) принадлежат ^е. Вот это
предположение:
(iv) /-система V не содержит ни одного графика какой бы
то ни было положительной случайной величины.
Вернемся к примерам из п. 14: /-система в?0 не
удовлетворяет этому условию, тогда как /-системы Vе и Ф1
удовлетворяют ему (между прочим, Vg — наибольшая из /-систем,
удовлетворяющих условию (iv)).
Т16. Теорема. При любом е>0 I-система ^г дихэтомична.
Доказательство. Пусть А — элемент из ^е. Так как *&
удовлетворяет условиям (iii) и (iv), положительная случайная
величина S принадлежит 9> (А) в том и только том случае,
если ЛП[0, S] не входит в <g\ Пусть B = A(]\S{A), + oo[;
имеем S(fl)>S(i4) и
ЛП[0, S(B)]=(Bfl[0, S(B)])U(i4fl[0f S{A)\).
Итак, S(B) равно S(A) и В входит в VB. Поскольку
B = \j(A()[s(A)+±, + <*>[)>
существует такое целое k, что множество А (] [5 (Л) + -£-, оо[
принадлежит ^е. Зафиксировав это целое k, положим
Q0(A) = [s(A) + ±y +oo[, Q{(A) = [0t S(A)+T^T].
Множества Q0(A) и Q, (А) являются непересекающимися
измеримыми замкнутыми случайными множествами. Множество
A(]Q0{A) принадлежит Уе по построению. С другой стороны,
при всяком п ]> k + 1
лп[о, s^)+|] = ^nQiH)n[o, SH)+l]f
а потому ^-дебют множества 4flQi04) совпадает с S(A) и
множество Af\Q{(A) также входит в ^е. Чтобы завершить
доказательство, остается лишь положить
Фо(И) = ОЬ(Л)П[0,/1], Oi{A) = Q{(A)f\lO,nl
где я —настолько большое число, что пересечения ЛПФо(^)
и А П Ф1 {А) принадлежат /-системе ^е. П
Теперь мы можем применить теорему П-ТЗ об аппрокец-,
мации снизу к дихотомическим /-системам Я?г

166 ГЛ, VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
Т17. Теорема. Пусть А —измеримое множество в R+XQ»
и пусть S(A) есть ^-дебют множества А. Для всякого
е < P{S(A) < + 00} найдется измеримое совершенное
случайное множество, содержащееся в Л, проекция которого на Q
имеет вероятность, не меньшую е.
Доказательство. Если число е, которое можно
считать строго положительным, фиксировано, то множество А
входит в дихотомическую /-систему фв. В силу теоремы Н-ТЗ,
обозначениям которой мы следуем, существует несчетное
семейство (Ki) попарно не пересекающихся измеримых
случайных компактов, удовлетворяющих следующим условиям:
(а) при каждом I множество Ki представляет собой
пересечение убывающей последовательности (Ki,n) измеримых
случайных компактов, принадлежащих фв; (б) множество K = \jKi
i
является измеримым случайным компактом, содержащимся
в А. Обозначим через я оператор проектирования
пространства R+X& в Q. Так как ^-дебюты мажорируют обычные
дебюты, выполняется неравенство Р[я(/С*,ц)] > в при всех i
и всех п, а поскольку сечения множеств Ki%n являются
компактами, справедливо равенство я(/С*) = Пя(/С*,д). Таким
п
образом, P[n{Ki)]^z при всех L Но множество индексов I
несчетно; из теоремы 11 теперь вытекает, что совершенное
ядро измеримого замкнутого множества К удовлетворяет
требованиям теоремы. □
18. Замечание. Вместо покрытия, составленного из
измеримых случайных компактов, рассмотрим покрытие, состоящее
из вполне измеримых случайных компактов. По теореме IV-T6
мозаика, порожденная этим покрытием, содержит а-алгебру
достижимых множеств. Далее, модифицируем определение
^-дебютов, обозначив через 9>{А) множество таких моментов
остановки S, что А(] [О, S] не принадлежит /-системе 98. Как
и в теореме 16, доказываем, что /-системы дихотомичны, и
получаем в рассматриваемом случае следующее уточнение
теоремы 17. Путь А-—достижимое множество в R+X&> и
пусть S(A) есть V-дебют множества А. Для всякого
8 < Р {S (А) < + оо} существует вполне измеримое
совершенное случайное множество, содержащееся в Л, проекция на Q
которого имеет вероятность, не меньшую е.
3. Момент существенного проникновения
Мы применим результаты предыдущего параграфа к /-си*
стеме ^ в R+X Q, состоящей из множеств, обладающих
хотя бы одним несчетным сечениевд.

3. МОМЕНТ СУЩЕСТВЕННОГО ПРОНИКНОВЕНИЯ 167
19. Пусть Я —множество в R+XQ. Обозначим через я (Я)
проекцию Я на Q:
я(Я) = {со: Я (со) непусто},
а через р(#) — существенную проекцию Я на Q,
определяемую равенством
р(Я) = {оо: Я (со) несчетно}.
Коль скоро Я—-замкнутое случайное множество,
существенная проекция Я совпадает с проекцией его совершенного
ядра; если Я вполне измеримо, то по теореме 8 это ядро
тоже вполне измеримо и потому р(Н) принадлежит а-ал-
гебре &~. Более общо, справедлива
Т20. Теорема. Пусть Я — измеримое множество в R+X^«
Его существенная проекция р(Н) принадлежит о-алгебре &*\
Доказательство. Пусть Т является ^-дебютом
множества Я; тогда множество {Т < +°°} совпадает с точностью
до пренебрежимого множества с наименьшим множеством
из ST, содержащим р(Н). В самом деле, с одной стороны,
все сечения множества ЯП [О, Т[ конечны или счетны, а по
тому р(Н) содержится в множестве {Т < +°°}*> с другой
стороны, если /1еУ содержит р(Я), то сужение Г на Л
принадлежит ^(Я), и потому А содержит множество {Т < +°°}"
Следовательно, Р{Т < -f°o} = P*[p(H)]. Но из теоремы 17.
вытекает, что для любого е<Р*[р(Я)] найдется измеримое
совершенное случайное множество F6, для которого
множество p{Fe), совпадающее с n{Fe), имеет вероятность ^е.
Так как а-алгебра $Г полна, то р (Я) принадлежит а-алгеб-
ре 9r. U
Теперь определим понятие дебюта, связанное с
рассмотрением несчетных сечений.
021. Определение. Пусть Я —- множество в R+X&-
Моментом существенного проникновения в Я называется
функция Г, определенная следующим образом:
Т (со) = inf {t: [О, t] П Я (со) несчетно}.
Справедлива теорема об измеримости момента
существенного проникновения.
Т22. Теорема. Пусть Я — прогрессивно измеримое
множество. Момент Т существенного проникновения в Я является
моментом остановки.

168 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
Доказательство. При любом t множество {Г</}
совпадает с существенной проекцией множества Н* = Я П [0, t[.
Поскольку Я прогрессивно измеримо, И1 принадлежит а-ал-
гебре ^( [0, t]) ® yt; поэтому {Т < t) содержится в $Гг в
соответствии с теоремой 20, примененной к (У-алгебре #" = #%. П
Итак, момент Т существенного проникновения в
прогрессивно измеримое множество Я совпадает с ^-дебютом этого
множества.
23. Мы называем множество в R+ X Q редким, если его
существенная проекция пуста, т. е. если момент существенного
проникновения в него бесконечен. Если задано множество Я
в R+ X &> назовем густой частью множества Я такое
множество, сечение которого, соответствующее любому ©ей,
совпадает с множеством точек конденсации множества Я (со),
принадлежащих Я (со), и назовем редкой частью множества Я
разность множества Я и его густой части (ср. П-2, пример 2).
Ясно, что редкая часть множества Я является редким
множеством. С другой стороны, момент существенного
проникновения в Я равен (обычному) дебюту густой части Я. Если
Я—замкнутое случайное множество, его густая часть
совпадает с его совершенным ядром.
Т24. Теорема. Пусть Я —прогрессивно измеримое {соотв.
вполне измеримое) множество. Густая и редкая части Н
прогрессивно измеримы (соотв. вполне измеримы).
Доказательство. Пусть Тг — момент существенного
проникновения в Hf[[r, + <*>[, где г—любое положительное
рациональное число. По теореме 4 замыкание F объединения
U [Тг] является вполне измеримым совершенным случайным
г
множеством. Теперь утверждение теоремы вытекает из того
факта, что густая (соотв. редкая часть) множества Я равна
H[\F (соотв. H—(H[\F)). □
В следующем параграфе мы увидим, что любое вполне
измеримое редкое множество является объединением
последовательности графиков моментов остановки. Мы завершаем
этот параграф одним вариантом теоремы 17 для /-системы ^,
который представляет собой обобщение на случайные
множества теоремы Александрова—Хаусдорфа, сформулированной
в II-T4.
Т25. Теорема. Пусть Я —измеримое множество в R+X&.
Существует такое измеримое совершенное случайное множе-

4. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕДКИХ МНОЖЕСТВ 169
ство /С, содержащееся в Я, что существенная проекция Н
совпадает с проекцией К на Q.
Доказательство. Положим Н{ = Я, и пустьК\ — такое
измеримое совершенное случайное множество, содержащееся
в IIь что Я[я(/С1)]^Р[р(Я1)]/2 (такое совершенное
множество существует в силу теоремы 17). Пусть Н2 = Н{ —
— (R+ X Jt(Ki)). Тем же способом определим такое измеримое
совершенное случайное множество /С2, содержащееся в Я2,
что Р[я(/С2)]^^[р(Я2)]/2. По индукции построим последовав
тельность (Кп) содержащихся в Я измеримых совершенных
случайных множеств, проекции которых попарно не
пересекаются и таких, что
tp[n(Kn)]>(l-2-k).P[9(H)].
1
Тогда множество К= U Кп оказывается совершенным случай*
ным множеством, содержащимся в Я, и таким, что п (К)
совпадает с р(Я) с точностью до пренебрежимого множества.
Чтобы добиться полного совпадения, достаточно присоединить
к К множества вида L X {со}, где со пробегает пренебрежимое
множество р(Я) —я(/С), a L — совершенное множество,
содержащееся в борелевском несчетном множестве Я (со).
Полученное при этом множество представляет собой совершенное
случайное множество, неотличимое от некоторого измеримого,
и, стало быть, оно само измеримо. □
26. Замечание. Используя замечание 18, получаем
следующую модификацию последнего результата: если Я—
достижимое множество, то при любом е > 0 найдется такое
вполне измеримое совершенное случайное множество /С8,
лежащее в Я, что
Я[р(Я)]<Р[я(/Се)] + 8.
Как и в теоремах о сечениях, в общем случае нельзя
получить этот результат при 8 = 0.
4. Исследование редких множеств
_ Мы применим результаты из § 2 к /-системе ®*, состав^
ленной из множеств пространства R+ X Q> каждое из
которых не содержится ни в каком счетном объединении
графиков положительных случайных величин.
В этой главе мы назвали редкими множествами те
множества в R+ X Q> сечения которых, отвечающие любым ©ей,
конечны или счетны. Следующая теорема, которая будет
уточнена в конце этого параграфа, показывает, что приме-

170 ГЛ. VL СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
няемая здесь терминология совпадает с принятой в п. П-27
для случая измеримых множеств в R+ X &•
Т27. Теорема. Всякое измеримое редкое множество в R+ X й
является объединением последовательности графиков
положительных случайных величин.
Доказательство. Пусть Я — измеримое редкое
множество. По теореме IV-T17 (примененной к семейству (@~t)
с tFf^tF) достаточно показать, что Я неотличимо от
некоторого измеримого множества, содержащегося в счетном
объединении графиков, а это, разумеется, означает, что
^-дебют множества Я п. н. равен + °°- Однако если ^-дебют
множества Я с положительной вероятностью принимает
конечные значения, то из теоремы 17, примененной к /-системе
Я?8, вытекает, что Я содержит совершенное случайное
множество, не являющееся несущественным. Это невозможно,
поскольку сечения множества Я конечны или счетны. □
Разложение множества на густую и редкую части является
обобщением разложения замкнутого случайного множества
в сумму совершенного ядра и дополнения к нему.
Следующая теорема обобщает теорему 11.
Т28. Теорема. Пусть Я— измеримое множество в R+XQ>
и пусть (Яа) — произвольное семейство попарно не
пересекающихся измеримых множеств пространства R+ X &>
содержащихся в Я. Если L — густая часть множества Я, то
совокупность таких индексов а, что множество На — L не является
несущественным, не более чем счетна.
Доказательство. Доказательство сходно с додаза-
тельством теоремы 11. По предыдущей теореме редкая часть
множества Я является объединением графиков
последовательности (Zn) случайных величин ^0. Определим на R+XQ
ограниченную меру \i, полагая для любого положительного
измеримого процесса X = (Xt)
Измеримое множество, содержащееся в редкой части
множества Я, ^-пренебрежимо в том и только том случае, если
оно несущественно. С другой стороны, так как мера \i
ограничена, множество {а: [х(Яа —L)>0} конечно или счетно.
Следовательно, совокупность таких а, что Яа — L не является
несущественным, конечна или счетна. Q

4% ИССЛЕДОВАНИЕ РЕДКИХ МНОЖЕСТВ 171
Приложения к теории меры
Интуитивно ясно, что если в ^"-измеримом множестве
пространства Q разместить несчетное семейство ^"-измеримых
непренебрежимых множеств, то значительная часть точек
этого множества окажется покрытой несчетное множество раз.
Следующие утверждения представляют собой вариации на эту
тему.
Так как существенная проекция любого множества
пространства R+ X й совпадает с проекцией его густой части,
можно предложить следующую формулировку теоремы 28:
Т29. Теорема. Пусть Н — измеримое множество
пространства R+ X й, и пусть (На) — произвольное семейство попарно
не пересекающихся измеримых множеств пространства R+XQ,
содержащихся в Н. Множество индексов а, для которых
я(#а) — р(Н) непренебрежимо, является конечным или
счетным.
При тех же предположениях получаем такое следствие:
ТЗО. Теорема. Если при некотором е > О множество
{а: Р[тс(На)]>е] несчетно, то существенная проекция
множества Н имеет вероятность >е.
Доказательство. Действительно, по предыдущей
теореме существует хотя бы один индекс а, такой, что Р[л(На)]>г
и множество л (На) — р (Я) пренебрежимо. □
31. Сформулируем второе следствие, аналогичное лемме Фату.
Пусть Г — некоторое множество и f- отображение
множества Г в R+. Мы называем сильным верхним пределом
отображения / и обозначаем1) символом s-limsupf верхнюю
грань тех xgR+) для которых множество {y^T: /(y)>*}
несчетно (если это множество не более чем счетно при всех х>
сильный верхний предел равен нулю). Таким же образом
определяется сильный верхний предел семейства
отображений или множеств, «занумерованных» с помощью индексов,
пробегающих Г2).
1) В ориги! але вместо s-lim sup используется символ lim sup forte. —
Прим. перев.
2) Поясним эту фразу. Пусть функции f (у, ю) задают семейство
отображений (fy)y(=Y пространства Q в R+. Отображение F. Q->R+
принимается за s-lim sup(fY), если F (g>) = s-lim sup/(•, а>) при любом © е Q.
Для множества Ау cz Q(y е Г) множество s-lim sup (Ay), по определению,
имеет индикатор, равный s-lim sup (lA \ так что его элементами служат
те и только те ©, для которых несчетно множество {у: со е Ау]. — Прим.
перев.

172 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
Т32. Теорема. Пусть (Ау)у^г — семейство элементов
а-алеебры 9~, где Г — борелевское множество в R+. Допустим,
что это семейство измеримо (т. е. измеримо отображение
(у, со)->/л (со) множества ГХ& в [0, 1]).
Множество s-lim sup Ау принадлежит а-алгебре $Г и
Р {s-lim sup Ay] > s-lim sup P {Ay).
Доказательство. Пусть Я = {(y, со): со е Ау); по
предположению, Я — измеримое множество в R+ X Q- Поскольку
s-lim sup Ay совпадает с существенной проекцией множества Я,
достаточно лишь применить предыдущее следствие к семейству
множеств Ну = {у} X Ау. □
Вполне измеримые редкие множества
Следующая теорема уточняет теорему 27 и дополняет
теорему IV-T17.
ТЗЗ. Теорема. Пусть Я — вполне измеримое множество
в R+ X &> все сечения которого, отвечающие любым coeQ,
не более чем счетны. Множество Я является объединением
конечного или счетного набора попарно не пересекающихся
графиков моментов остановки. Эти моменты остановки
достижимы, если Я достижимо, и могут быть выбраны
предсказуемыми, если Я предсказуемо.
Доказательство. В силу теоремы IV-T17 достаточно
показать, что Я неотличимо от некоторого вполне измеримого
множества, содержащегося в счетном объединении моментов
остановки. Обозначим через 3 множество конечных или
счетных трансфинитных чисел и допустим, что Я не является
неотличимым от какого бы то ни было счетного объединения
моментов остановки. С помощью трансфинитной индукции мы
построим такую трансфинитную последовательность (Tt)
моментов остановки, для которой графики моментов Т{ попарно
не пересекаются, содержатся в Я и не являются
несущественными множествами. Так как 3 несчетно, из теоремы 28
будет следовать, что существенная проекция множества Я
непренебрежима, и тем самым ввиду полученного
противоречия теорема окажется доказанной. Положим Я0 = Я; так как
Я0 не является несущественным множеством, по теореме о
сечениях (см. IV-T10) найдется момент остановки Т0, не равный
+ °° с положительной вероятностью, график которого
содержится в Я0. Пусть /g3, и будем считать уже определенными
множества Я/ и моменты остановки Tj при всех j<L
Полагаем Hi = H — U 1^/1 и, так как, по предположению, Ht не

5. НОСИТЕЛЬ ВОЗРАСТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА 173
является несущественным, находим момент остановки Th
который с положительной вероятностью отличен от + оо и
график которого лежит в Ht. Понятно, что тем самым мы
получаем трансфинитную последовательность (Tt) моментов
остановки, удовлетворяющую ранее указанным условиям. □
5. Носитель возрастающего процесса
34. Пусть Л = (Л/) —возрастающий процесс. Мы говорим, что
процесс А сосредоточен на измеримом множестве Н
пространства R+ X й, если на Н сосредоточена мера, порожденная
процессом Л, т. е.
*[(V**)J-o.
Точка {ty со) из R+ X й служит точкой роста процесса Л, если
^*+е (со) — At (со) > 0 или At (со) — At-e (со) > 0 при любом е > 0.
Множество F точек роста процесса А называется носителем
возрастающего процесса Ау поскольку при любом со сечение
F(co) служит носителем меры, отвечающей функции
распределения А( •, со). Носитель F является замкнутым случайным
множеством; это множество совершенно, если возрастающий
процесс А непрерывен. Мы увидим, что носитель измерим, и
потому он оказывается наименьшим (с точностью до
несущественных множеств) из измеримых замкнутых случайных
множеств, на которых сосредоточен процесс А.
Т35. Теорема. Пусть А = (At) — согласованный
возрастающий процесс. Его носитель является вполне измеримым
замкнутым случайным множеством.
Доказательство. Пусть Тг при любом
положительном рациональном г является дебютом вполне измеримого
множества
{(At - Аг) • /[г§ +оо[ > 0} = {(*, со): At (со) - Аг (со) > 0}.
Носитель процесса А равен замыканию объединения U[7VL
г
и, таким образом, в силу теоремы 4 он измерим. □
Однако носитель предсказуемого и непрерывного
возрастающего процесса может не быть предсказуемым (ср. ТЗЗ).
Теперь мы будем интересоваться обращением этой
теоремы: отправляясь от измеримого множества пространства
R+ X й, построим возрастающий (не являющийся
несущественным) процесс, сосредоточенный на этом множестве, с
носителем, удовлетворяющим некоторым условиям. Мы будем
заниматься исключительно непрерывными возрастающими про-

174 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
цессами, потому что аналогичные задачи, связанные с вполне
разрывными возрастающими процессами, легко разрешаются
с помощью теорем о сечениях.
Непрерывный возрастающий процесс
с заданным носителем
Мы покажем, что любое совершенное случайное
множество служит носителем некоторого непрерывного
возрастающего процесса. Для этого мы используем следующую лемму:
Т36. Теорема. Пусть F —измеримое замкнутое случайное
множество, содержащее [1, +оо[Х2. При любом co^Q
обозначим через ]S(co), Г(со)[ самый левый из наибольших
смежных интервалов сечения F (со)1). Так определенные
функции S и Т являются случайными величинами.
Доказательство. Пусть при любом t > О интервал
] St> Tt [ является первым из смежных интервалов множества
F, длина которых строго больше t (см. п. 1). Из теоремы 2
(примененной к семейству (#",) с #% = #~) вытекает, что St
и Tt — случайные величины. Таким способом заданные при
/>0 процессы (St) и (Tt) имеют возрастающие и
непрерывные справа траектории, которые определяются при ^ = 0 по
непрерывности. Пусть f/ —дебют множества {(t, со): 5/(со) =
= + °°}; так как это множество измеримо, функция U
является случайной величиной. Теперь теорема следует из
равенства S = Su- и Т=Тц-. П
Т37. Теорема. Всякое измеримое совершенное случайное
множество служит носителем некоторого ограниченного и
непрерывного возрастающего процесса.
Доказательство. Поскольку множества R+ и ly, lj
гомеоморфны, мы ограничимся случаем, когда измеримое
совершенное случайное множество F содержится в Гу, 1JXQ-
Положим _
Л = А р2 = Г=Тх.
Из теоремы 2 вытекает, что Fx и F2 измеримы; при этом
F{ — измеримое совершенное случайное множество, равное
замыканию своей внутренности, тогда как F2 — измеримое со-
1) Более точно, поскольку интервал [0,1] является компактом,
существуют смежные интервалы наибольшей длины и их число конечно. Если
такие интервалы пусты, то 5 (со) = Т (о) = 0; если же они непусты, то
JS(o), Г(оэ)[ представляет собой первый из этих интервалов.

б. НОСИТЕЛЬ ВОЗРАСТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА 175
вершенное случайное множество с пустой внутренностью. Так
как F совпадает с объединением F{ и F2, возрастающий
процесс, равный сумме двух возрастающих процессов с
носителями F{ и F2 соответственно, допускает множество F в
качестве своего носителя. Таким образом, случай, когда F
совпадает с замыканием своей внутренности, и случай, когда
внутренность множества F пуста, можно рассмотреть отдельно.
(а) Множество F совпадает с замыканием своей
внутренности.
При каждом со множество F(®) является замыканием
счетного объединения открытых интервалов. Следовательно,
множество F служит носителем ограниченного, возрастающего
и непрерывного процесса А = (At), определенного равенством 1)
t
At (со) = \ e~sIP {s, со) ds.
о
(б) Множество F имеет пустую внутренность.
Пусть D —множество двоично-рациональных чисел из [0, 1],
записываемых в виде двоичных дробей. Мы говорим, что число
k
d&D имеет ранг <!&, если d=YjZ~nan (где ап = 0 или 1).
о
При фиксированном co^Q, таком, что F((a) непусто,
определим биективное отображение Фю множества D на
совокупность смежных интервалов множества ^(со), удовлетворяющих
следующему условию: если dx < d2, то правый конец
интервала Ф(о(^1) строго меньше левого конца интервала (^&{d2)
(последнее свойство условимся записывать короче: <Da(rfi) <
<Ф«№))-
Мы начинаем, полагая
Ф(0(0) = [0, infF(co)[, Oe(l) = ]supF(©)f +oo[
и приравнивая Ф(0(0, 1) к самому левому из наибольших
смежных интервалов, лежащих между Ф(0(0) и Ф<о(1) (этот
интервал существует, потому что F (со) — непустое совершенное
множество с пустой внутренностью).
Ясно, что Ф(о(0) < Ф^(О, 1)<ФЮ(1). Продолжаем
построение по индукции следующим образом. Предположим, что
интервалы Ф© (•) построены для всех двоично-рациональных
чисел ранга ^k, и пусть d^D имеет ранг £+1.
Обозначим через dx (соотв. d2) наилучшее приближение ранга k с
недостатком (соотв. с избытком) числа rf. Интервалом Ф&№)
тогда будет служить самый левый из наибольших смежных
*) Если, как это сделано в оригинале, опустить здесь множитель e~s,
то соответствующий процесс может оказаться неограниченным. — Прим.
перее.

176 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
интервалов, заключенных между Ow(rfi) и Ф^^) (этот
интервал существует, потому что F (со) — непустое совершенное
множество с пустой внутренностью). Ясно, что Ф(й{йх)<
< Фю(^) < Ф<а№)> и без труда проверяется, что так
определенное отображение Ф удовлетворяет сформулированному
выше условию. При любом (t, со) е R+ X Q положим
At (со) = 0, если F (со) = 0,
At (со) = sup {d <= Z): sup Фю (d) < /}, если F (со) Ф 0.
При фиксированном со функция А (• , со) возрастает,
заключена между 0 и 1, обращается в нуль при / = 0 и
сохраняет постоянное значение на каждом смежном интервале
множества F(u>).
Любое t ^ F (и>) служит пределом последовательности
попарно различных концов смежных интервалов, и, таким
образом, множество ^(со) оказывается носителем меры,
отвечающей функции распределения Л (•,©). Наконец, отображение
d->sup<b&(d) является строго возрастающим, а отсюда сразу
вытекает непрерывность функции А (• , со). Чтобы показать,
что A = (At) — непрерывный возрастающий процесс с
носителем F, остается только установить, что при фиксированном t
функция At представляет собой случайную величину.
Обозначим через Sd{(o) (соотв. 7^(со)) левый (соотв. правый) конец
интервала 0&{d), и пусть Sd(co) = 7^(со) = + оо, если F(®)
пусто. При всяком d^D имеем равенство
{со: At((u)>d} = {(i>: 7* (©)<*}.
Покажем, что Sd и Td измеримы при любом d, чем и
завершается доказательство теоремы. Ясно, что 50, TQ, S{ и Тх—
случайные величины: момент Т0 равен дебюту множества F,
а момент S{ — левому концу смежного интервала множества F
длины > 1. Пусть Dk — совокупность двоично-рациональных
чисел ранга ^ k\ будем считать уже доказанным, что Sd и Td —
случайные величины при любом d^Dk. Если dr имеет ранг
k+ 1, величина Sd' (соотв. 7» равна левому (соотв. правому)
концу самого левого из наибольших смежных интервалов
измеримого замкнутого случайного множества F[)( \J [Sd, Td\\
\d^Dk )
и потому, в силу теоремы 36, Sd' и Т# являются случайными
величинами. □
Т38. Теорема. Всякое вполне измеримое совершенное
случайное множество служит носителем ограниченного и
непрерывного предсказуемого, возрастающего процесса.
Доказательство. Пусть В = (Bt) — непрерывный и
ограниченный возрастающий процесс, имеющий своим носи-

5. НОСИТЕЛЬ ВОЗРАСТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА 177
телем вполне измеримое совершенное случайное множество F.
Дуальная проекция В1 = (в]) процесса В на а-алгебру вполне
измеримых множеств является таким единственным (с
точностью до неотличимости) согласованным возрастающим
процессом, что
E[(X*B)J = E[(X*B*)J
для любого положительного вполне измеримого процесса X,
В качестве процесса X возьмем сначала индикатор дополнения
носителя процесса В1 (который по теореме 35 вполне измерим),
а затем —индикатор дополнения носителя F процесса В. Тогда
из предыдущего равенства вытекает, что процесс В
сосредоточен на носителе процесса В1, а В1 — на носителе процесса В.
Следовательно, оба эти носителя неотличимы. Так как &~0
содержит пренебрежимые множества, а всякое совершенное
множество пространства R+ служит носителем непрерывной меры
(это утверждение — частный случай теоремы 37, когда Q
сводится к единственной точке), можно считать F носителем В1.
Наконец, процесс В1 интегрируем, потому что В ограничен,
и, кроме того, В1 согласован и непрерывен, а потому и
предсказуем (см. V-T34). Итак, возрастающий процесс A = e~Bl • В{
является непрерывным, ограниченным и предсказуемым, a F
служит его носителем. □
В случае произвольных вполне измеримых множеств имеем
следующую теорему существования:
Т39. Теорема. Пусть Н — вполне измеримое множество.
Существует непрерывный и ограниченный предсказуемый
возрастающий процесс А = (At\ удовлетворяющий следующим
условиям:
(а) возрастающий процесс А сосредоточен на множестве Я;
(б) носитель А совпадает с замыканием густой части
множества Я.
Доказательство. Ограничимся доказательством этой
теоремы в случае, когда семейство (#"*) состоит из а-алгебр
^==#" (общий случай выводится из этого, если, как и в
предыдущем доказательстве, ввести в рассмотрение проекцию
процесса). В соответствии с теоремами 25 и 37 на всяком
измеримом множестве, густая часть которого не является
несущественной, сосредоточен некоторый непрерывный и ограниченный
возрастающий процесс, также не являющийся
несущественным. Пусть 3 — множество конечных или счетных
трансфинитных чисел. В силу предыдущего с помощью
трансфинитной индукции можно построить трансфинитную
последовательность {А1)ш% непрерывных возрастающих процессов, таких,

178 ГЛ. VI. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА
что их значения не превышают 1, а носитель S/ процесса А
содержится в множестве Я — ( (J Sf\ и не является
несущественным, если такова же и густая часть этого множества. Пусть
Ft — замыкание множества U S/ при любом /^3- Тогда се-
мейство {Fi) оказывается возрастающей трансфинитной
последовательностью измеримых совершенных случайных множеств.
При любом / е= 3 и любом положительном рациональном г
обозначим через Т[ дебют множества ЛП [г> + °°[- При
фиксированном г величина Рг убывает, когда / возрастает, и,
стало быть, существует конечное или счетное
трансфинитное число k, такое, что РГ=Т$ п. н. при всех i^k и всех
рациональных г (см. доказательство теоремы 7). Так как Ft
совпадает с замыканием множества Щ^П» множества Ft и F^
неотличимы при всех i^k. Таким образом, множество Sk+]
и густая часть разности Н—(\J Sf\ несущественны. Пусть
теперь трансфинитные числа ^ k расположены в
последовательность (1п) и
Ясно, что Л — непрерывный и ограниченный возрастающий
процесс, сосредоточенный на Я, носитель которого неотличим
от густой части множества Я. В частности, на всяком боре-
левском множестве в R+ сосредоточена непрерывная мера,
носитель которой совпадает с замыканием совокупности точек
конденсации этого множества (в этом случае Q сводится
к одной точке). Так как #~0 содержит пренебрежимые
множества, можно считать носитель процесса А равным густой
части множества Я. □
Как следствие получаем следующее описание вполне
измеримых редких множеств:
Т40. Т еорем а. Вполне измеримое множество неотличимо
от некоторого редкого множества в том и только том случае,
если любая мера, порожденная непрерывным и ограниченным
предсказуемым возрастающим процессом^ сопоставляет ему
нулевую массу.

КОММЕНТАРИИ К ЧАСТИ Б
1) Главы III, IV и V. Мы не останавливаемся на
происхождении основных понятий: главный их источник — работы
Дуба по теории мартингалов. Систематическое изучение
моментов остановки и связанных с ними а-алгебр осуществлено
Чжуном и Дубом [38]. Интерес к а-алгебрам типа «FT~»,
однако, не возникал до тех пор, пока Мейер [25] не выявил
их связей с предсказуемыми процессами. Ныне эти а-алгебры
приобрели права гражданства в теории марковских процессов
(условные математические ожидания относительно строгой
предыстории процесса см. у М. Вейля [3]; обращение времени
и умеренное марковское свойство см. у Чжуна и Уолша [39]).
В работе Куррежа и Приоре [23] можно найти весьма
тонкие свойства моментов остановки. Эти не изложенные
здесь результаты играют основную роль в задачах о
склеивании процессов.
Костяк общей теории процессов (классификация моментов
остановки, определения а-алгебр 3~и теоремы о сечениях и
проекциях) создан Мейером (см. [24] и [25]). Основное
содержание гл. III, IV и V представляет собой развернутое
изложение «Серого путеводителя» («Guide gris») [25]. Однако
форма изложения и доказательства часто отличаются от
принятых в этой работе. В частности, мы систематически
используем понятие а-алгебры «Ft-» и два эквивалентных определения
достижимых моментов остановки.
Мы не утруждаем себя перечислением результатов,
которые здесь публикуются впервые, но тем не менее, переходя
к рассмотрению основных тем, стремимся воздать «кесарю
кесарево».
Классификация моментов остановки впервые возникла при
изучении разрывов мартингалов и марковских процессов.
Понятие предсказуемого момента остановки — наиболее
простое и, несомненно, наиболее полезное — было последним из
выделенных Мейером родственных этому понятий. Принятое
нами определение достижимого момента остановки восходит
к Мейеру [27]. Пример, рассмотренный в конце гл. III (и гл. V),
заимствован из работы Деллашери [8].

180 КОММЕНТАРИИ К ЧАСТИ Б
Первоначальные доказательства теорем Мейера о сечениях
(см. [24], [25]) были очень сложными; позднее их упростили
Корня и Лича [21]. Приведенные здесь унифицированные
доказательства принадлежат Деллашери [7].
Теоремы о сечениях очень скоро стали мощным средством
теории марковских процессов. Теоремы о проекциях недавно
нашли применение в одной статье Азема 1)*
Теорема IV-T24 (соотв. IV-T28) о непрерывности слева
(соотв. справа) предсказуемого (соотв. вполне измеримого)
процесса и следствие V-T20 относительно непрерывности
проекций заимствованы из работы Мейера [28]. Однако
независимо и в близкой форме они были доказаны Мертенсом [29]
и Рао [31]. Открытие тождественности классов
«натуральных» (в терминологии Мейера [24]) возрастающих
процессов и предсказуемых возрастающих процессов принадлежит
Долеан [13]. Понятие дуальных проекций возрастающего
процесса введены здесь впервые. Тем не менее понятие дуальной
предсказуемой проекции восходит к Долеан [14].
Мы не стремились дать систематическое изложение
теорем о разложении супермартингалов; в настоящий момент
известно, что всякий супермартингал единственным образом
разлагается в сумму «локального» мартингала и
предсказуемого возрастающего процесса. Ныне имеются три
доказательства этой теоремы в ее классической форме (т. е. теоремы
о разложении супермартингалов класса (/))). Первое из них,
основанное на рассмотрении приближенных лапласианов2),
принадлежит Мейеру [24]. Более позднее доказательство,
предложенное М. Рао [30], использует переход от дискретного
случая к непрерывному; это, без сомнения, самое
элементарное доказательство. Здесь же мы решили воспроизвести
доказательство Долеан [14], учитывая его связи с общей
теорией процессов.
2) Глава VI. Теорема VI-T2 и пример прогрессивно
измеримого множества, не являющегося вполне измеримым,
восходит к Мейеру [25]. Остальное в основном принадлежит
Деллашери [5], [6], но, вообще говоря, здесь приведены новые
доказательства. В топологическом случае теоремы VI-T20 и
VI-T27 имеют намного более точные варианты, принадлежа-
1) Azema J., Une remarque sur les temps de retour, trois applications,
Seminaire de probabilites, VI, Universite de Strasbourg, Lecture Notes
Math., v. 258, Springer, 1972, p. 35—50.
2) Впервые приближенные лапласианы при построении одного класса
возрастающих процессов (а именно класса непрерывных аддитивных
функционалов от марковских процессов) были введены Волконским
(см. Волконский В. А., Аддитивные функционалы от марковских
процессов, Тр. Моск. матем. об-ва, 9 (1960), 143—189). — Прим. перев.

КОММЕНТАРИИ К ЧАСТИ Б 181
щие соответственно Мазуркевичу — Серпинскому и Лузину
(мы использовали эти теоремы в работе [5]; их
доказательства можно найти в [10]). Идея доказательства теоремы
VI-T37 имеет длинную историю (см. Сакс [32]). Приведенная
нами формулировка этой теоремы близка к формулировке,
предложенной Янгом [43], но мы с большей тщательностью
пытались доказать измеримость полученного возрастающего
процесса.
Мы воспользовались теоремой VI-T37 в теории
марковских процессов для доказательства следующего результата
(см. [4]). Пусть (Pt) — строго марковская полугруппа,
удовлетворяющая предположению об абсолютной непрерывности.
Тогда всякое множество, совершенное в тонкой топологии,
является тонким носителем некоторой меры, сопоставляющей
нулевую массу полуполярным множествам, а также тонким
носителем некоторого аддитивного непрерывного функционала
в предположении существования подходящего двойственного
процесса. Как недавно показал Азема в цитированной выше
статье, теорема VI-T38 позволяет установить, что всякое
совершенное в тонкой топологии множество является тонким
носителем некоторого аддитивного непрерывного функционала,
если соответствующая полугруппа является полугруппой
Ханта и удовлетворяет предположению об абсолютной
непрерывности. При этом не нужно требовать существования
двойственной полугруппы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блюменталь, Гетур (Blumenthal R. M., Getoor R. К), Markov
processes and potential theory, New York, Academic Press, 1968.
2. Бурбаки (Bourbaki N.), Elements de Mathematique, Livre III, Topolo-
gie generale, 3-е edition, Paris, Hermann, 1973, ch. 9.
3. Вейль (Weil M.), Conditionnement par rapport au passe strict, Semi-
naire de probabilites V, Lectures Notes in Mathematics, Vol. 191,
Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1971, p. 362—372.
4. Деллашери (Dellacherie C), Ensembles epais; applications aux
processus de Markov, С R. Acad. Sci. Paris, 266 (1968), 1258—1261.
5. Деллашери (Dellacherie C), Ensembles aleatoires, I, Seminaire de
probabilites III, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 88, Berlin-Heidelberg-
New York, Springer, 1969, p. 97—114.
6. Деллашери (Dellacherie C.), Ensembles aleatoires, II, ibid., p. 115—136.
7. Деллашери (Dellacherie C), Un theoreme generale de section, С R. Acad.
Sci. Paris, 268 (1969), 814—816.
8. Деллашери (Dellacherie C), Un exemple de la theorie generale des pro-
sessus, Seminaire de probabilites IV, Lecture Notes in Mathematics,
Vol. 124, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1970, p. 60—72.
9. Деллашери (Dellacherie C), Ensembles minces associes a une capacite,
Seminaire de theorie du potentiel, dirige par M. Brelot, G. Choquet et
J. Deny, Institut H. Poincare, Paris, 13-e annee, 19 pages, 1969/70.
10. Деллашери (Dellacherie C), Les theoremes de Mazurkiewicz-Sierpinski
et de Lusin, Seminaire de probabilites V, Lecture Notes in Mathematics,
Vol. 191, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1971, p. 87—102.
И. Деллашери (Dellacherie C), Ensembles paves et rabotages, ibid.,
p. 103—126.
12. Деллашери, Долеан (Dellacherie С, Doleans С), Un contre-exemple au
probleme des laplaciens approches, ibid., p. 127—137.
13. Долеан (Doleans C), Processus croissants naturels et processus
croissants tres bien mesurables, С R. Acad. Sci. Paris, 264 (1967), 874—876.
14. Долеан (Doleans C.) Existence du processus croissant naturel associe a
un potentiel de la classe (D), Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 9 (1967),
309-314.
15. Дэвис (Davies R. O.), Subsets of finite measure in analytic sets, Indag.
Math., 14 (1952), 488—489.
16. Дэвис (Davies R. O.), Non a-finite closed subsets of analytic sets, Proc.
Phil. Soc. Cambridge, 52 (1956), 174—177.
17. Дэвис (Davies R. O.), A theorem on the existence of non a-finite
subsets, Mathematika, 15 (1968), 60—62.
18. Дэвис (Davies R. O.), Measures of Hausdorff type, /. London Math.
Soc, 1 (1969), 30—34.
19. Дэвис, Роджерс (Davies R. O., Rogers С A.). The problem of subsets
of finite positive measure, Bull. London Math. Soc, 1 (1969), 47—54.
20. Карлесон (Carleson L.), Selected problems on exceptional sets,
Princeton, van Nostrand, 1967. (Русский перевод: Карлесон Л., Избранные
проблемы теории исключительных множеств, «Мир», М., 1971.)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 183
21. Корня, Лнча (Cornea A., Licea G.), Une demonstration unifiee des
theoremes de section de P. A. Meyer, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 10
(1968), 198-202.
22. Куратовский (Kuratowski C), Topologie, Vol. 2., 3-е edition, Warszawa,
Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1961. (Русский перевод 4-го издэ-
ния: Куратовский К., Топология, т. 2, «Мир», М., 1969.)
23. Курреж, Приоре (Courrege P., Priouret P.), Temps d'arret d'une fonc-
tion aleatoire, Publ. Inst. Stat Univ Paris, 14 (1965), 245—274.
24. Мейер (Meyer P. A.), Probabilites et potentiel, Paris, Hermann, 1966.
(Русский перевод: Мейер П. А., Вероятность и потенциалы, «Мир», М.,
1973.)
25. Мейер (Meyer P. A.), Guide detaille de la theorie «generate» des
processus, Seminaire de probabilites II, Lecture Notes in Mathematics,
Vol. 51, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1968, p. 140—165.
26. Мейер (Meyer P. A.), Un lemme de theorie des martingales, Seminaire
de probabilites III, Lecture Notes in Mathematics, vol. 88,
Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1969, p. 143.
27. Мейер (Meyer P. A.), Un resultat elementaire sur les temps d'arret,
ibid., p. 152—154.
28. Мейер (Meyer P. A.), Le retournement du temps d'apres Chung et
Walsh. Appendice, Seminaire de probabilites V, Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 191, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1971, p. 232—
236.
29. Мертенс (Mertens J. F.), Sur la theorie des processus stochastiques,
С R. Acad. Sci. Paris, 268 (1969), 495—496.
30. Pao (Rao M.), On decomposition theorems of Meyer, Math. Scand., 24
(1969), 66-78.
31. Pao (Rao M.), On modification theorems, Preprint series, Aarhus
University, 1970.
32. Сакс (Saks S.), Theory of the integral, 2-е ed., Monographic Materna-
tyczne, no 7, Warszawa, 1937. (Русский перевод: Сакс С, Теория
интеграла, ИЛ, М., 1949.)
33. Серпинский (Sierpinski W.), Sur la puissance des ensembles mesurab-
les (B), Fund. Math., 5 (1924), 166—171.
34. Сион (Sion M.), On capacitability and measurability, Ann. Inst. Fourier,
Grenoble, 13 (1963), 88—99.
35. Сион, Сьерв (Sion M., Sjerve D.), Approximation properties of measures
generated by continuous set functions, Mathematika, 9 (1962), 145—
156.
36. Федерер (Federer H.), Geometric measure theoiy, Grundlehren der ma-
themat. Wissenschaften, Vol. 153, Berlin-Heidelberg-New York, Springer,
1969.
37. Халмош (Halmos P R.), Measure theory, New York, van Nostrand, 1950.
(Русский перевод: Халмош П., Теория меры, ИЛ, М., 1953.)
38. Чжун, Дуб (Chung К. L., Doob J. L.), Fields, optionality and
measurability, Amer. J of Moth., 87 (1965), 397—424.
39. Чжун, Уолш (Chung К. L., Walsch J. В.), То reverse a Markov
process, Acta Math., 123 (1970), 225—251.
40. Шоке (Choquet G.), Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, Grenoble,
5 (1955), 131—295.
41. Шоке (Choquet G), Sur les fon dements de la theorie fine du potentiel,
Seminaire de theory du potentiel, dirige par M. Brelot, G. Choquet et
J. Deny, Institut H. Poincare, Paris, 1-е annee, 10 pages, 1957.
42. Шоке (Choquet G.), Forme abstraite du theoreme de capacitabilite, Ann.
Inst. Fourier, Grenoble, 9 (1959), 83—89.
43. Янг (Young L. C), Note on the theory of measure, Proc. Phil Sop.
Cambridge, 26 (1930), 88—93.

ФРАНЦУЗСКО-АНГЛО-РУССКИЙ СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
Здесь мы предлагаем перевод основных терминов, не имеющих еще
установившихся эквивалентов в английском или русском языках. В
некоторых случаях в скобках можно найти уже употребляемые их варианты.
accessible — accessible — достижимый
annoncer — to foretell — предвещать
arret (temps de) см. temps d'arret
bien-mesurable — optional (well measurable) — вполне измеримый
debut — debut — дебют
englober — to embrace — огибать
epais — thick — густой
epuiser — to exhaust — исчерпывать
evanescent — evanescent — несущественный
inaccessible (totalement)—totally inaccessible — вполне недостижимый
indistinguable — indistinguishable — неотличимый
lisse — smooth — гладкий
mince — scanty — редкий (английский термин «thin» и эквивалентный ему
русский «тонкий» имеют в теории потенциала иное назначение)
mosalque — mosaic — мозаика
pavage — paving — покрытие
penetration (temps de) — penetrating time — момент существенного
проникновения
previsible — predictable — предсказуемый
progressif — progressive (progressively measurable) — прогрессивно
измеримый
rabotage — scraper — скрепер
scissipare (capacitance)—dichotomic capacitance — дихотомическая
/-система
temps d'arret — optional random variable (stopping time) — момент
остановки (марковский момент)
temps d'arret accessible — accessible random value (accessible stopping
time) — достижимый момент остановки
temps d'arret previsible — predictable random value (predictable stopping
time) — предсказуемый момент остановки

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ *)
<?Г — покрытие (1-1, стр. 13)
8 ® Т — произведение двух покрытий (1-1, стр. 13)
^ — мозаика, порожденная покрытием (1-2, стр. 13)
^Г®^ — мозаика, порожденная произведением покрытий
и произведение двух а-алгебр (1-2, стр. 13 и
примечание на стр. 13)
Н(х) — сечение подмножества произведения двух
множеств, отвечающее элементу одного из
сомножителей (I-T7, стр. 14)
^ — /-система (1-013, стр. 17)
F = (fn) — скрепер (1-015, стр. 18)
/ — емкость (1-028, стр. 23)
Р * — внешняя вероятность (1-29(2), стр. 24)
DA — Дебют множества (1-35, стр. 26)
Фо> ^1 ~ см. определение дихотомической емкости (П-01,
стр. 33)
^ — ограничение /-системы (Н-01, стр. 33)
т, ц — двоичные слова (II, стр. 34)
Dnf Dqo — множества двоичных слов (II, стр. 34—35)
Jf — совокупность пренебрежимых множеств (Н-8,
стр. 38)
Ж — орда (П-011, стр. 40)
Л^, Лл — обозначения хаусдорфовой меры (11-15(3), стр. 43)
X = (Xt)- процесс (Ш-2, стр. 59)
$ (R+) ® & — произведение а-алгебр $ (R+) и ZF (III-3, стр. 59)
(ZFf) — семейство а-алгебр (III-7, стр. 60)
&Ь ^"оо> &~t+y &~t- ~ cr-алгебры (Ш-7, стр. 60)
Т — момент остановки (III-012, стр. 62)
&"т — а-алгебра событий, предшествующих моменту Т
(III-015, стр. 63)
[S, Т [ и т. п. — стохастический интервал (III-17, стр. 64)
[Т] — график момента остановки (III-17, стр. 64)
Хн — значение процесса в момент Н (111-19, стр. 65)
DA — дебют множества (III-022, стр. 66)
DnA> DA — я-дебют, со-дебют множества (111-24, стр. 66)
Л (со) — сечение множества /4cR+X^, отвечающее со е Q
(Ш-24, стр. 66)
^г_-—а-алгебра событий, строго предшествующих
моменту Т (Ш-027, стр. 68)
ТА — сужение момента остановки (111-40, стр. 75)
$Р (Т) — множество возрастающих последовательностей
моментов остановки, мажорируемых моментом Т
(Ш-43, стр. 76)
1) Обозначения в указателе располагаются в порядке их первого
появления в тексте.

136 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
К [{Sn)\ ~ множество, связанное с (Sn) е= 9 (Т) (111-43, стр. 76)
ft — булевы алгебры, связанные со стохастическими
интервалами (IV-1, стр. 85)
Ti — а-алгебры множеств, являющихся вполне измеримыми
(i=l), достижимыми (/ = 2), предсказуемыми (/ = 3)
(IV-02, стр. 85) v ;
£./,„ т. — элементарный процесс (IV-5, стр. 87)
д __ (At) — возрастающий процесс (IV-ОЗЗ, стр. 108)
Л» "" финальное значение возрастающего процесса (IV-033
стр. 108) '
Ас — непрерывная составляющая возрастающего пооиеооа
(IV-T37, стр. 109) у д
Ad — вполне разрывная составляющая возрастающего ппо-
цесса (IV-T37, стр. 110) Н Р
L1 (А) — совокупность процессов, интегрируемых по
возрастающему процессу (IV-39, стр. 111)
ь
— интеграл, распространенный на ]а, b] (IV-39, примечание
а
на стр. 111)
Д*Л = ((Х*Л)/) —процесс, получаемый в результате интегрирования
некоторого процесса по возрастающему процессу (IV-39,
стр. 112)
ц — мера на R+ X Q> порожденная возрастающим процессом
(1V-40, стр. 113)
Хоо — финальная величина супермартингала (V-T6, стр. 120)
iy(i = 1» 2, 3) — вполне измеримая, достижимая, предсказуемая проекция
процесса (V-T14, стр. 123)
А1 (/ = 1, 2, 3) — дуальная, вполне измеримая, достижимая, предсказуемая
проекции возрастающего процесса (V-T28, стр. 134)
Ah — приближенный лапласиан порядка h (V-53, стр. 150)
Н, Н — замыкание, открытое ядро случайного множества
(VI-1, стр. 156)
Hd, H8 — замыкание справа, замыкание слева случайного
множества (VI-1, стр. 156)
\SBn, Г^[—«-Й смежный интервал длины >е (VI-1, стр. 156)
g — множество конечных или счетных трансфинитных чисел
(VI-5, стр. 160)
(Fi) — трансфинитный набор последовательных производных
множеств случайного множества (VI-5, стр. 160)
& (Л), 5 (Л) — семейство случайных величин и ^-дебют, связанные
с некоторой /-системой (VI-12, стр. 163—164)
««, ^-/-системы на R+X ^ (VI-14, стр. 164)
я (#)> Р Ш) — проекция и существенная проекция (VI-19, стр. 167)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно непрерывный возрастающий процесс (V-32, стр. 136)
а-алгебра вполне измеримых, достижимых или предсказуемых событий
(IV-02, стр. 85)
— прогрессивно измеримых событий (II1-10, стр. 61)
— событий, строго предшествующих моменту остановки Т (III-027, стр. 68)
строго предшествующих постоянному моменту t (ITI-7, стр. 61)
Аналитическое множество 28
Внешняя вероятность (1-29(2), стр. 24)
Возрастающее семейство а-алгебр (III-7, стр. 60)
Возрастающий процесс (IV-ОЗЗ, стр. 108)
вполне разрывный (IV-36, стр. 109)
интегрируемый (IV-ОЗЗ, стр. 108)
, связанный с другим процессом (V-035), стр. 137)
элементарный (IV-35, стр. 109)
Вполне измеримая дуальная проекция (V-T28, стр. 134)
проекция (V-T14, стр. 123)
— измеримое множество (IV-02, стр 85)
— измеримый процесс (IV-02, стр. 85)
— недостижимая часть (III-T41, стр. 75)
— недостижимый момент остановки (II1-039, стр. 74)
— разрывный возрастающий процесс (IV-36, стр. 109)
Гладкое множество (1-019, стр. 19)
График (1-33, стр. 25; II1-17, стр. 64)
Густая часть (VI-23, стр. 168)
Густое множество (11-09, стр. 38)
Дебют множества (1-35, стр. 26; Ш-022, стр. 66)
#-дебют (VI-12, стр. 164)
я-дебют, оо-дебют (II1-24, стр. 66)
Действительный процесс (III-4, стр. 59)
Дихотомическая /-система (Н-01, стр. 33)
Достижимая дуальная проекция (V-T28, стр. 134)
— проекция (V-T14, стр. 123)
— часть момента остановки (III-T41, стр. 75)
Достижимое множество (IV-02, стр. 85)
Достижимый момент остановки (III-039, стр. 74)
— процесс (IV-02, стр. 85)
Дуальная проекция (V-T28, стр. 134)
Емкость (1-028, стр. 23)
<— регулярная (И-7, стр, 37)

188 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Замена времени (IV-45, стр. 116)
Замкнутое случайное множество (IV-1, стр. 156)
Замыкание относительно покрытия (1-11, стр. 15)
— слева, справа (VI-1, стр. 156)
Значение процесса в некоторый момент (III-T19, стр. 65)
/-измеримое множество (I-O30, стр. 24)
Измеримый график (1-33, стр. 25)
— процесс (II1-3, стр. 59)
Интегрируемый возрастающий процесс (IV-ОЗЗ, стр. 108)
Интервал стохастический (III-17, стр. 64)
Исчерпывающая скачки последовательность (IV-29, стр. 106)
Квазинепрерывное слева семейство б-алгебр (II1-038, стр. 73)
Квазинепрерывный слева процесс (IV-T32, стр. 107)
Интервал стохастический (III-17, стр. 64)
Класс (D) супермартингалов (V-013, стр. 122)
Компактное покрытие (1-06, стр. 14)
Компактный класс (1-5, стр. 14)
б-конечное относительно емкости множество (11-013, стр. 40)
Конечный действительный процесс (III-4, стр. 59)
Лапласиан приближенный (V-53, стр. 150)
Левая топология (VI-1, стр. 156)
Мартингал (V-01, стр. 119)
Мера, порожденная возрастающим процессом (IV-40, стр. 113)
— хаусдорфова (11-15(3), стр. 43)
Множество, на котором сосредоточен возрастающий процесс (VI-34,
стр. 173)
Модификация процесса (II1-5, стр. 60)
Мозаика (1-2, стр. 13)
Момент остановки (III-012, стр. 62)
вполне недостижимый (II1-039, стр. 74)
достижимый (II1-039, стр. 74)
предсказуемый (II1-036, стр. 72)
Момент, предшествующий другому моменту (II1-1, стр. 59)
— существенного проникновения (VI-021, стр. 167)
Непрерывное слева семейство а-алгебр (III-7, стр. 60)
Непрерывный процесс (II1-2, стр. 59)
— слева процесс (III-2, стр. 59)
— справа процесс (III-2, стр. 59)
Неотличимые процессы (III-5, стр. 60)
Несущественное множество (II1-5, стр. 60)
Несущественный процесс (II1-5, стр. 60)
Носитель возрастающего процесса (VI-34, стр, 173 J

ПРЕДМЕТНЫЙ
Обычные условия (II1-26, стр. 67)
Огибающая (1-08, стр. 15)
— последовательности марковских моментов (III-039, стр. 74)
Ограничение /-системы (11-01, стр. 33)
Ограниченный процесс (II1-4, стр. 59)
Орда (Н-011, стр. 40)
Основное пространство (II1-1, стр. 59)
Покрытие (1-1, стр. 13)
Потенциал (V-011, стр. 122)
— класса (D) (V-013, стр. 122)
— порожденный возрастающим процессом (V-45, стр. 142)
Правая топология (VI-1, стр. 156)
Предвещающая последовательность (II1-036, стр. 72)
Пределы слева процесса (II1-2, стр. 59)
Предсказуемая дуальная проекция (V-T28, стр. 134)
— проекция (V-T14, стр. 123)
Предсказуемое множество (IV-02, стр. 85)
Предсказуемый момент остановки (III-036, стр. 72)
— процесс (IV-02, стр. 85)
Предъемкость (1-14(3), стр. 17)
— ассоциированная с ордой (И-24, стр. 51)
— регулярная (Н-7, стр. 37)
Пренебрежимое относительно емкости множество (Н-8, стр. 38)
Приближенный лапласиан (V-53, стр. 150)
Прогрессивно измеримое множество (III-09, стр. 61)
— измеримый процесс (III-09, стр. 61)
Проекция дуальная (V-T28, стр. 134)
— процесса (V-T14, стр. 123)
Произведение покрытий (1-1, стр. 13)
Производное множество (VI-5, стр. 160)
Пространство состояний (II1-1, стр. 59)
— с покрытием (I—1, стр. 13)
Процесс, нагружающий момент остановки (IV-29, стр. 106)
Равномерная интегрируемость (V-2, стр. 119)
Разложение Дуба (V-48, стр. 144)
— Рисса (V-T12, стр. 122)
Регулярная емкость (Н-7, стр. 37)
— предъемкость (Н-7, стр. 37)
Регулярный супермартингал (V-051, стр. 148)
Редкая часть (VI-23, стр. 168)
Редкое множество (И-09, стр. 38)
Связанные возрастающие процессы (V-035, стр. 137)
Семейство а-алгебр возрастающее (III-7, стр. 60)
без моментов разрыва (III-T51, стр. 80)
квазинепрерывное слева (II1-038, стр. 73)
непрерывное справа (III-7, стр. 60)
Сглаженная последовательность множеств (1-017, стр. 18)
«- •« порожденная некоторым множеством (1-13, стр. 18)

190 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сильный верхний предел (VI-31, стр. 171)
/-система (1-013, стр. 17)
— дихотомическая (Н-01, стр. 33)
Скачок процесса (IV-29, стр. 106)
Скрепер (1-015, стр. 18)
— совместимый с множеством (1-019, стр. 18)
Случайное множество (VI-1, стр. 156)
Смежный интервал (VI-1, стр. 156)
Смесь скреперов (1-25, стр. 21)
Событие, предшествующее моменту / (II1-7, стр. 60)
остановки Т (Ш-027, стр. 68)
—, в строгом смысле предшествующее моменту / (III-7, стр. 61)
Совершенное ядро (VI-5, стр. 160)
Согласованный процесс (III-08, стр. 61)
Сужение момента остановки (II1-40, стр. 75)
Существенная проекция (VI-19, стр, 167)
Топология левая, правая (VI-1, стр. 156)
Точка конденсации (11-2(2), стр. 33)
— роста (VI-34, стр. 173)
Траектория (II1-2, стр. 59)
Элементарный возрастающий процесс (IV-35, стр. 109)
— процесс (IV-5, стр. 86)
Этажная случайная величина (III-16, стр. 64)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора , 5
Введение 7
ЧАСТЬ А. ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИИ СНИЗУ И
Глава I. Емкости и скреперы 11
1. Пространства с покрытиями 13
Общие понятия 13
Компактные покрытия 14
Огибающие 15
2. Скреперы 17
/-системы 17
Скреперы 18
Гладкие множества 18
Формулировка теоремы о скреперах. Приложения . . . 19
Доказательство теоремы 21 21
3. Емкости 23
Приложения к теории меры 25
Добавление .................. 28
Аналитические множества 28
Скреперы и аналитические множества 29
Глава II. Множества, редкие относительно емкости 31
1. Дихотомические /-системы 33
Доказательство теоремы 3 34
2. Редкие множества (топологический случай) ♦ .... 37
Редкие множества 38
Примеры 42
Изучение орд редких множеств 44
Доказательство теоремы 18 46
3. Редкие множества (абстрактный случай) 50
Изучение орд редких множеств 51
Добавление .....,,,,........« 54
Дихотомические /-системы и аналитические множества . 54
Комментарии к части А 57
ЧАСТЬ Б. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ 59
Глава III. Случайные процессы и моменты остановки 59
1. Общая терминология 59
2. Прогрессивно измеримые процессы и моменты остановки 61
Моменты остановки. Стохастические интервалы .... 62
Прогрессивно измеримые процессы и моменты остановки 65
Измеримость дебютов 66
3. а-алгебры, сопоставляемые моментам остановки ... 68
Сравнение а-алгебр 70
Предсказуемые моменты остановки. Квазинепрерывность
слева 72

192 ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Классификация моментов остановки 74
Операции, сохраняющие различные свойства моментов
остановки 77
Пример 81
Глава IV. Три фундаментальные (Т-алгебры 84
1. Определения а-алгебр ,,«.....,,..., 85
2. Теоремы о сечениях 88
Приложения 92
3. Приложения к изучению процессов 96
Предсказуемые процессы и а-алгебры строго
предшествующих событий 97
Процессы, непрерывные слева 99
Процессы, непрерывные справа 101
4. Возрастающие процессы 108
Интегрирование по возрастающему процессу 111
Замена времени 114
Глава V. Теоремы о проекциях 118
1. Некоторые сведения из теории мартингалов 119
Регулярность траекторий 119
Теорема сходимости и теорема об остановке 120
Разложение Рисса. Супермартингалы класса (D) , , .122
2. Проекции процессов 123
Теоремы о модификации 127
3. Проекции и возрастающие процессы 129
Дуальные проекции возрастающего процесса 133
4. Приложения к теории мартингалов ......... 137
Связанные возрастающие процессы 137
Скачки мартингалов и классификация моментов
остановки 140
Потенциал, порожденный интегрируемым возрастающим
процессом 142
5. Теорема о разложении супермартингалов 144
Регулярные супермартингалы 148
Аппроксимация посредством приближенных лапласианов 149
Пример 152
Глава VI. Случайные множества 155
1. Замкнутые случайные множества 156
Совершенное ядро замкнутого случайного множества . .. 159
2. Построение дихотомических /-систем 163
3. Момент существенного проникновения 166
4. Исследование редких множеств 169
^ Приложения к теории меры 171
Вполне измеримые редкие множества 172
5. Носитель возрастающего процесса 173
Непрерывный возрастающий процесс с заданным
носителем ...««.,.. 174
Комментарии к части Б 179
Список литературы 182
Французско-англо-русский словарь основных терминов ....... 184
Указатель обозначений ..,,..«, 185
Предметный указатель 187