Е.С.Вентцель ЛАОвчаров
Теория
случайных
процессов
и ее инженерные
приложения
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
SI
Москва
«Высшая школа» 2000

УДК 519.21
ББК 22.171
В 29
Рецензент: директор Института проблем передачи информации РАН
академик Н.А. Кузнецов
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
В 29 Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения. — Учеб. пособие для втузов. — 2-е
изд., стер. — М.: Высш. шк., 2000. — 383 с: ил.
ISBN 5-06-003831-9
В книге дается систематическое изложение основ теории слу-
случайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная
математика, автоматизированные системы управления и перера-
переработки информации, автоматизация технологических процессов,
транспорт и т. п. Она является логическим продолжением книги
тех же авторов «Теория вероятностей и ее инженерные приложе-
приложения».
Первое издание вышло в 1991 г.
Для студентов высших технических учебных заведений.
Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным
работникам разных профилей, которые в своей практической де-
деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать
задачи, связанные с анализом случайных процессов.
УДК 519.21
ББК 22.171
ISBN 5-06-003831-9 © ГУП издательство «Высшая школа»,
2000
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства
«Высшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без
согласия издательства запрещается.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга представляет собой продолжение книги аз-
торов «Теория вероятностей и ее инженерные прило-
приложения» (М.: Высшая школа, 2000) и является си-
систематическим изложением основ теории случайных
процессов под углом зрения их практических прило-
приложений в различных областях инженерной практики.
Отбор материала, а также стиль его изложения про-
проводится прежде всего исходя из этих приложений.
Этому способствует разбор многочисленных задач и
примеров, помещенных в книге и относящихся к раз-
различным областям инженерной деятельности: автома-
автоматизированные системы управления, автоматизация
технологических процессов и производств, прикладная
математика, вычислительная техника, транспорт, связь
и т. п. Все инженерные приложения теории случайных
процессов излагаются с одинаковых методических по-
позиций, основанных на единой системе подходов. Это
дает возможность показать, как с помощью одной и
той же математической модели можно исследовать н
pemaf^ различные задачи, встречающиеся в инженер-
инженерных приложениях.
Книга написана на базе лекций, читанных авто-
авторами в различных втузах на протяжении последних
десятилетий по специальностям «Прикладная мате-
математика», «Автоматизированные системы обработки ин-
информации и управления», «Автоматизация технологи-
технологических процессов» и др. Она прежде всего предназ-
предназначена для инженеров и научных работников разных
специальностей, которые в своей практической дея-
деятельности сталкиваются с задачами, связанными
с воздействием случайных процессов на различные
технические устройства в динамике их функциони-
функционирования. Общетеоретические разделы книги адресо-
адресованы широкому кругу читателей, она также может
быть использована и в учебном процессе студентами
и преподавателями соответствующих специальностей
втузов, и как пособие по самообразованию.
Математический аппарат, используемый в книге,
в основном базируется на обычном втузовском курсе
высшей математики и твердом знании основ теории
вероятностей.
Так как настоящая книга является продолжением
книги авторов «Теория вероятностей и ее инженерные

4 ПРЕДИСЛОВИЕ
приложения» [6], то в ней используются ссылки на
эту книгу, а сами ссылки помечаются звездочкой; на-
например, п. 7.3* означает, что идет ссылка на пункт 7.3
книги [6]; G.3.3)* означает, что идет ссылка на фор-
формулу G.3.3) книги [6].
Как и в первой книге, основное внимание уделяет-
уделяется не тонкостям математического аппарата теории
случайных процессов, а единству методического под-
подхода, иллюстрируемого многочисленными приложе-
приложениями. Наше глубокое убеждение, основанное на мно-
многолетнем опыте преподавания теории случайных про-
процессов во втузах и применении этой теории в научных
исследованиях, состоит в том, что именно такой под-
подход к изучению теории случайных процессов более
всего полезен тем, кто ставит перед собой целью ре-
решение конкретных инженерных задач. (Окончание
решения задачи или примера отмечается в тексте
знаком >.)
Несмотря на такой подход к изложению содержа-
содержания книги, авторы стремились к тому, чтобы это не
влияло на корректность формулировок и должную
строгость применяемого математического аппарата.
В книгу не вошли теория массового обслуживания,
которая является разделом теории случайных процес-
процессов, статистическая обработка случайных процессов,
оптимизация систем, находящихся под воздействием
случайных процессов, и их инженерные приложения.
Такой отбор материала в эту книгу объясняется тем,
что авторы предполагают по каждому из этих разде-
разделов написать отдельное руководство, где, так же как
и здесь, основное внимание будет уделено различным
инженерным приложениям.
Авторы приносят глубокую благодарность акаде-
академикам B.C. Пугачеву и Б.В. Гнеденко, академику РАН
Н.А. Кузнецову, профессору А.Д. Вентцелю за рад
ценных предложений, а также М.А. Овчаровой, оказа-
оказавшей большую помощь авторам при подготовке руко-
рукописи к изданию.
В настоящем втором издании исправлены отдель-
отдельные ошибки и опечатки, допущенные в первом изда-
издании.
Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров

Так ранней утренней порой
Отрывок тучи громовой,
В лазурной тишине чернея.
Один, нигде пристать не смея,
Летит без цели и следа,
Бог весть откуда и куда!
М. Ю. Лермонтов «Демон»
ВВЕДЕНИЕ
Теорией случайных процессов называется матема-
математическая наука, изучающая закономерности случай-
случайных явлений в динамике их развития.
Теория случайных процессов (в другой терминоло-
терминологии — теория случайных функций) представляет собой
сравнительно новый раздел теории вероятностей, осо-
особенно бурно развивающийся в последние десятилетия
в связи со все расширяющимся кругом его практиче-
практических приложений.
При изучении явлений окружающего мира мы
часто сталкиваемся с процессами, течение которых
заранее предсказать в точности невозможно. Эта не-
неопределенность (непредсказуемость) вызвана влия-
влиянием случайных факторов, воздействующих на ход
процесса. Приведем несколько примеров таких про-
процессов.
1. Напряжение в электросети, номинально постоян-
постоянное и равное 220 В, фактически меняется во времени,
колеблется вокруг номинала под влиянием таких слу-
случайных факторов, как количество и вид включенных
в сеть приборов, моменты их включений и выклю-
выключений и т. д.
2. Население города (или области) меняется с те-
течением времени случайным (непредсказуемым) обра-
образом под влиянием таких факторов, как рождаемость,
смертность, миграция и т. д.
3. Уровень воды в реке (или в водохранилище)
меняется во времени случайным образом в зависи-
зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега,
интенсивности оросительных мероприятий и т. д.
4. Частица, совершающая броуновское движение
в поле зрения микроскопа, меняет свое положение
случайным образом в результате соударений с моле-
молекулами жидкости.

6 ВВЕДЕНИЕ
5. Происходит полет космической ракеты, которую
необходимо вывести в заданный момент в заданную
точку пространства с заданными направлением и
абсолютным значением вектора скорости. Фактиче-
Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным из-
за таких случайных факторов, как турбулентность
атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отра-
отработке команд и т. д.
6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом
переходить из состояния в состояние, например:
«I — работает исправно;
s2—имеется неисправность, но она не обнаружена;
sz—неисправность обнаружена, ведется поиск ее
источника;
s« — ремонтируется и т. д.
Переходы из состояния в состояние происходят под
действием случайных факторов, таких как колебания
напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя от-
отдельных элементов, момент обнаружения неисправно-
неисправностей, время их устранения и т. д.
Строго говоря, в природе не существует совер-
совершенно не случайных, в точности детерминированных
процессов, но есть процессы, на ход которых случай-
случайные факторы влияют так слабо, что при изучении яв-
явления ими можно пренебречь (пример: процесс обра-
обращения планет вокруг Солнца). Однако существуют и
такие процессы, где случайность играет основную роль
(пример: вышерассмотренный процесс броуновского
движения частицы). Между двумя крайними слу-
случаями лежит целый спектр процессов, в которых слу-
случайность играет большую или меньшую роль. Учиты-
Учитывать (или не учитывать) случайность процесса зави-
зависит также и от того, какую практическую задачу мы
решаем. Например, при составлении расписания дви-
движения самолетов между двумя пунктами можно счи-
считать их траектории прямолинейными, а движение —
равномерным; те же допущения не подойдут, если
решается задача конструирования автопилота для
управления полетом самолета.
Случайный процесс, протекающий в любой физи-
физической системе S, представляет собой случайные
переходы системы из состояния в состояние. Со-
Состояние системы может быть охарактеризовано с по-
помощью каких-то численных переменных; в про-

ВВЕДЕНИЕ 7
стейшем случае — одной, а в более сложных — не-
нескольких.
Вернемся к рассмотренным выше примерам. В при-
примере 1 процесс описывается одной переменной (на-
(напряжением U), случайным образом меняющейся во
времени, являющейся функцией времени U(t). Ана-
Аналогично, в примере 2 население N меняется случай-
случайным образом во времени: N(t). Так же и в примере 3
случайный процесс характеризуется одной функцией
H(t), где Н — уровень воды в реке. Все эти три функ-
функции являются случайными функциями времени t Об-
Обратим внимание на то, что при фиксированном / каж-
каждая из них превращается в обычную случайную
величину, хорошо известную по книге авторов [6].
В результате опыта (когда он уже произведен) слу-
случайная функция превращается в обычную неслучай-
неслучайную функцию. Например, если в ходе времени непре-
непрерывно измерять напряжение в сети, получится неслу-
неслучайная функция u{t), колеблющаяся вокруг номинала
Wo (рис. 0.1).
Несколько сложнее обстоит дело в примере 4: со-
состояние частицы характеризуется уже не одной,
а двумя случайными функциями X(t) и Y(t)—коор-
Y(t)—координатами частицы в поле зрения микроскопа. Такой
u(t) u(t)
Y(t)
Рис. 0.1
случайный процесс называется векторным, он описы-
описывается переменным случайным вектором, составляю-
составляющие которого X(t), Y{t) меняются с течением вре-
времени. Для фиксированного значения аргумента /
случайный процесс превращается в систему двух слу-
случайных величин X{t), Y(t), изображаемую случайной
точкой (случайным вектором Q(t)) на плоскости хОу
(рис. 0.2). При изменении аргумента t точка Q(t)
будет перемещаться («блуждать») по плоскости О

8 ВВЕДЕНИЕ
так, как показано, например, на рис. 0.3 для момен-
моментов времени tu U, t3, ...
Еще сложнее обстоит дело с примером 5. Состоя-
Состояние ракеты в момент времени t характеризуется не
только тремя координатами X(t), Y(t), Z(t) центра
массы ракеты, но и тремя составляющими ее скорости
(не будем вводить для них специальных обозначений),
тремя углами ориентации ракеты, угловыми скоро-
скоростями движения вокруг цен-
центра массы, запасом топли-
топлива и т. п. Здесь перед на-
нами — пример многомерного
случайного процесса; блуж-
блуждание точки, описывающей
состояние системы в момент
времени t, происходит в
многомерном пространстве.
я Сложности, связанные с
изучением таких процессов,
с увеличением размерности
растут в огромной степени.
В этой книге мы почти не будем касаться многомер-
многомерных процессов.
Особое положение среди рассмотренных выше за-
занимает пример 6. В этом примере состояние системы
не характеризуется какой-либо численной величиной
(или вектором), он описывается словами («каче-
(«качественно»), а случайный процесс сводится к «блужда-
«блужданию по состояниям». Разумеется, можно искусственно
свести этот процесс к процессу случайного изменения
одного параметра X, приписав ему (чисто условно)
численное значение, равное номеру состояния: 1, 2,
3, ...; но искусственность такого приема сразу бро-
бросается в глаза: ведь состояния можно пронумеровать
в произвольном порядке, и сведение процесса к такой
численной форме вовсе не обязательно. В дальнейшем
мы часто будем встречаться с такого типа случайными
процессами (процессы с «качественными состоя-
состояниями») и выработаем для них специальные приемы
описания и анализа.
При фиксированном значении аргумента i случай-
случайное состояние системы превращается в некоторый
аналог случайного события — одно из возможных со-
состояний, в котором система может находиться в мо-

ВВЕДЕНИЕ О
мент времени t. Как правило, множество таких со-
состояний дискретно (конечно или счетно).
Теория случайных процессов имеет широкое поле
инженерных приложений. По мере углубления и уточ-
уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере
усложнения технических устройств все большее число
процессов приходится рассматривать как случайные,
учитывая не только их поведение «в среднем», но и
случайные отклонения от этого среднего. Соответ-
Соответственно все большее значение приобретает теория
случайных процессов. Дл-я современного периода раз-
развития техники характерно широкое применение
компьютеров (ЭВМ), автоматизированное управление
производственными процессами, а также автома-
автоматизированные и автоматические системы управления.
Работа любой такой системы связана со случайными
вариациями протекающих в ней процессов, т. е. с воз-
возникновением в ней случайного процесса. Разумное
проектирование таких систем и анализ их работы тре-
требуют от инженера знания основ теории случайных
процессов.
В настоящее время практически нет таких обла-
областей инженерной деятельности, которые не были бы
связаны со случайными процессами и необходимостью
их изучения. Любое работающее техническое устрой-
устройство находится под влиянием случайных факторов,
в большей или меньшей степени влияющих на режим
его работы.
Все без исключения метеорологические характери-
характеристики (температура, давление, влажность, скорость
ветра, его направление и т. д.) представляют собой
случайные процессы. Развитие и взаимодействие раз-
различных биологических популяций также носят черты
случайных процессов.
Все виды хозяйственной деятельности человека
тоже зависят от случайных факторов (погода, случай-
случайные колебания спроса и предложения, количество лю-
людей, которых можно вовлечь в производство и т. п.)
и, значит, описываются с помощью тех либо других
случайных процессов. Работа любой автоматизиро-
автоматизированной системы управления (АСУ) представляет со-
собой случайный процесс, обусловленный случайными
моментами поступления информации и запросов, слу-
случайными моментами возникновения отказов элементов

10 ВВЕДЕНИЕ
комплекса технических средств, ошибками опера-
операторов и т. п. Рост народонаселения, учет которого
необходим при проектировании новых жилых масси-
массивов, также представляет собой случайный процесс.
Из этого не следует, что теория случайных про-
процессов— единственный математический аппарат, при-
пригодный для изучения таких явлений. Наряду с ним
может применяться и обычный, «детерминистский»
аппарат, в котором случайные факторы не учиты-
учитываются. Но, пользуясь им, нельзя забывать, что он
дает только приближенное, схематичное описание
процесса, некоторое его «среднее» протекание, относи-
относительно которого возможны отклонения. При углуб-
углубленном изучении процесса такие отклонения, как пра-
правило, приходится учитывать, для чего прибегают к ап-
аппарату теории случайных процессов.
До сих пор мы говорили только о случайных функ-
функциях времени t. В ряде задач практики встречаются
случайные функции, зависящие не от времени, а от
другого аргумента. Например, давление Р газа в газо-
газопроводе может меняться случайным образом с изме-
изменением расстояния / до
точки, где измеряется
давление, от источника,
питающего газопровод, и
представляет собой слу-
случайную функцию аргу-
аргумента /. Давление Р{1) с
увеличением / имеет тен-
тенденцию уменьшаться (на-
(например, как показано на
рис. 0.4). Под влиянием
случайных факторов (за-
(засорение газопровода, неровности его внутренней по-
поверхности, различный температурный режим на раз-
разных участках) давление будет меняться в зависи-
зависимости от / случайным, нерегулярным образом. Дру-
Другой пример: прочностные характеристики стержня
представляют собой случайные функции абсциссы х
сечения стержня.
Строго говоря, случайным процессом следовало бы
называть только случайную функцию, зависящую от
времени t; понятие «случайной функции» шире, чем
понятие «случайного процесса». Мы такого разделе-

ВВЕДЕНИЕ П
ния проводить не будем. Для простоты во есех слу-
случаях будем пользоваться термином «случайный про-
процесс» безотносительно к физической природе аргу-
аргумента, обозначенного буквой t. В большинстве прак-
практических задач аргументом фигурирующих в них слу-
случайных функций является именно время.
В некоторых задачах практики могут встретиться
случайные функции, зависящие не от одного, а от
нескольких аргументов.

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Определение случайного процесса.
Классификация случайных процессов
Понятие случайного процесса (с. п.) в общих чер-
чертах было уже освещено во Введении. Здесь мы уточ-
уточним это понятие и дадим ему математическую фор-
формулировку. Ограничимся пока одномерными с. п., про-
протекание которых сводится к одному числовому парамет-
параметру X(t), меняющемуся во времени случайным образом.
Понятие случайного процесса представляет собой
обобщение понятия случайной величины {с. в), кото-
которое уже известно из книги [6].
Напомним, как там определялась случайная «ели-
чина (см. п. 3.1*). Под случайной величиной пони-
понимается величина, которая в результате опыта со слу-
случайным исходом принимает то или иное значение.
Далее дается формальное, теоретико-множествен-
теоретико-множественное определение с. в. как функции элементарного со-
события со, осуществляющегося в результате опыта и
входящего в пространство элементарных событий
Q(coeQ). При этом возможные значения х св. X
принадлежат множеству S(*e S).
Дадим теперь определение случайного процесса.
Случайным процессом X(t) называется процесс, зна-
значение которого при любом фиксированном t — to яв-
является случайной величиной X(toI).
Случайная величина X(to), в которую обращается
с. п. при t — t0, называется сечением случайного про-
процесса, соответствующим данному значению аргу-
аргумента t. В дальнейшем, говоря о сечении с. п., мы не
всегда будем отмечать нулевым индексом то значение
аргумента t, которому оно соответствует, а будем по
') Для процесса с «качественными состояниями» роль слу-
случайной величины играет «случайное состояние снстемю, в кото-
которой протекает процесс, т. е. одно из множества возможных в мо-
момент / состояний.

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ 13
мере надобности говорить об одном и том же выра-
выражении то как о случайном процессе (при перемен-
переменном t), то как о случайной величине (при фиксиро-
фиксированном /).
Аналогично тому, как мы записывали с. в. в виде
функции элементарного события со, появляющегося
в результате опыта, можно и с. п. зависать в виде
функции двух аргументов —времени t и элементар-
элементарного события <о:
* (О = Ф ('.»), caeEQ, /е=Г, X(/)eS, (I.1.1)
где о) — элементарное событие, Q — пространство эле-
элементарных событий, Т — область (множество) значе-
значений аргумента / функции X(t), Е— множество воз-
возможных значений случайного процесса X(t).
Предположим, что опыт, в ходе которого с. п. про-
протекает так или иначе, уже произведен, т. е. про-
произошло элементарное событие о> <е Q. Это значит, что
с. п. уже не случаен, и зависимость его от t приняла
вполне определенный
вид: это уже обычная, х^
неслучайная функция
аргумента t. Мы бу-
будем ее называть реа-
реализацией случайного
процесса X(t) в дан-
данном опыте.
Итак, реализацией Рис. l.l.i
случайного процесса
X(t) называется неслучайная функция x(t), в кото-
которую превращается случайный процесс X(t) в резуль-
результате опыта; другими словами, конкретный вид,
принятый с.п. X(t), который наблюдался на каком-то
отрезке времени от 0 до г (рис I.1.II).
Пользуясь формулой A.1.1), можно записать реа-
реализацию как функцию ф от аргумента tt изменяюще-
изменяющегося в пределах множества Т, при фиксированном
элементарном событии 0) = <0(ь
(t<=T). A.1.2)
') Мы здесь сохраняем принятую в книге [6] систему обо-
обозначений, в которой случайные величины обозначаются, как пра-
правило, большими буквами, а неслучайные — малыми буквами ла-
латинского алфавита.

14 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Реализации с. п. на каждом шагу встречаются на
практике. Любая реализация случайного процесса
x{t) принадлежит множеству S возможных значений
случайного процесса X{t): x(Oe S.
Например, записывая с помощью какого-то при-
прибора напряжение V питания ЭВМ в зависимости от
времени t на участке @, т), получим реализацию u{t)
i/CO
t t
Рис. п.2
/2
Рис. 1 1.3
c.n. U(t) (см. рис. 1.1.2, где и0— номинальное напря-
напряжение питания). Записывая температуру воздуха в
в зависимости от времени t в течение суток, получим
реализацию О(/) с. п. B(t) (рис. 1.1.3). Вообще, лю-
любая запись прибора-самописца представляет собой
реализацию того или другого с. п.
Если произведен не один опыт, а несколько, в ре-
результате каждого из которых наблюдена какая-то
реализация с. п. Xi(t) (t —
номер опыта), то получим
несколько различных реа-
реализаций случайного про-
процесса: Xi(t), X2{t), ...
.... xt(t), ... или семейство
реализаций (рис. 1.1.4).
Семейство реализаций
случайного процесса — ос-
основной экспериментальный
материал, на основе которого можно получить харак-
характеристики с. п. — какие, мы увидим в дальнейшем.
Семейство реализаций с. п. аналогично совокупности
наблюденных значений с. в. X, с той разницей, что
здесь наблюдаются не числовые значения, а функции.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих
введенные понятия.
Рис. 1.1.4

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ
15
v(t>
"'('0>1
t t
Рис. 1.1.5
1) Производится п опытов, в каждом из которых
непрерывно измеряется входное напряжение U{t), по-
подаваемое на ЭВМ, в течение времени г, напряжение
U(t) с номинальным значением ц0 фактически пред-
ставляет собой случайный процесс. Для любого фик-
фиксированного момента времени t = to напряжение пред-
представляет собой случайную величину U(to) — сечение
случайного процесса при
t = tQ. Результат п опы-
опытов — семейство реализаций
«i@. «2@ МО. •••
..., Unit), показанное на
рис. 1.1.5. Сечение U{to)
с.п. U(t) при t = tQ пред-
представляет собой случайную
величину, наблюденные зна-
значения которой отмечены точ-
точками на вертикальной пря-
прямой, проведенной через точку fo: Ui(to), .... и*(*о), ...
.... ua(t0).
2) Производится п опытов, в каждом из которых
регистрируется число X(t) отказов (сбоев) ЭВМ от
начала работы до момента времени t. Наблюдения
проводятся на участке времени от 0 до т. Случайный
процесс X(t) принимает це-
целочисленные значения 0, 1,
2, 3, ..., сохраняя их в про-
промежутках между скачками,
происходящими в моменты,
когда происходит очеред-
очередной отказ; его сечение X(t)
при любом фиксирован-
фиксированном t — дискретная слу-
случайная величина, множе-
множество возможных значений
которой S= {0, 1, 2,3, ...}.
Реализация Xi{t) случайного процесса X(t) в i-м
опыте представляет собой неслучайную ступенча-
ступенчатую функцию, скачки которой единичной величины
происходят в моменты времени tn, t^, ti3,... (рис. 1.1.6).
Реализации Xi(t), лг2@, •••• **@> ••-. *д@ Раз"
личны между собой (моменты скачков в общем слу-
случае не совпадают); изобразить на одном графике
семейство реализаций трудно (читателю предлагается
i I
iU ttl ti3 * b
Рис. 1.1.6
t f

16 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
мысленно наложить друг на друга п ступенчатых
кривых типа изображенной на рис. 1.1.6, различаю-
различающихся моментами скачков, но не их величиной, всегда
равной единице).
3) Производится п опытов, в каждом из которых
измеряется температура воздуха в(Л) на высоте h
над данной точкой земной поверхности, в фиксирован-
фиксированный момент времени суток tQ (например, в 19 часов).
В данном примере аргументом случайной функции
в (Л) является не время, а высота А; но никакой прин-
принципиальной разницы с предыдущими примерами нет.
Сечение функции 6 (Л) при фиксированном h0 пред-
представляет собой непрерывную случайную величину. На
Рис. 1.1.7-
рис. 1.1.7 представлено семейство реализаций случай-
случайной функции 6(h): Oi(/i),O2(/i), .... О,(Л), .... О„(Л).
Вообще, с возрастанием h температура имеет тенден-
тенденцию понижаться, но бывает, что ока и повышается
(так называемые «инверсии»). >
Теперь вернемся к самому понятию случайного
процесса и дадим некоторые пояснения.
Мы уже знаем, что с. п. X(t) представляет собой
функцию, которая при любом t является случайной
величиной (сечением случайного процесса). Понятие
случайного процесса является обобщением понятия
случайной величины на случай, когда условия опыта
не постоянны, а меняются (в частности, время t «те-
«течет»). Случайная величина X соответствует случай-
случайному явлению как бы «в статике» (в неизменных
условиях опыта), а случайный процесс X(t)—«в ди-
динамике» (в изменяющихся условиях опыта). Каждое
сечение с. п. X{t) при заданном t есть св., а совокуп-
совокупность всех сечений при всевозможных / и есть с. п.
X(t). Значит, случайный процесс представляет собой

I
!
! i i i : i i I
* * J к
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ 17
не что иное, как систему случайных величин — всех
сечений этого процесса.
Сколько же существует сечений? В общем слу-
случае— бесконечное (несчетное) множество. Рассмат-
Рассматривать в совокупности такую систему с. в. очень труд-
трудно, если не невозможно. Естественно как-то ограни-
ограничить себя, чтобы сделать задачу обозримой. Мы
знаем, что любую функцию f{t) аргумента / (из встре-
встречающихся в реальной практике, а не в специально
придуманных примерах) можно приближенно пред-
представить последовательностью ее значений в точках
ti, h h: /(*,), /(*,), ...
..., fih) (рис. 1.1.8). Чем
больше количество k точек t\,
*2, • • • t tie, тем точнее будет
замена функции f(t) последо-
последовательностью значений f(ti),
Д'а), • ., f(tk). Аналогично
будет обстоять дело и со с. п.
X(t). Его можно приближен- р ...
но заменить совокупностью ис
(системой) случайных вели-
величин X(ti), X(t2) X(tk)— его сечений в точках
t\, U /.*• Чем больше сечений будет рассматри-
рассматриваться, тем более подробное представление о случай-
случайном процессе мы получим. В пределе число сечений
(число случайных величин в системе, или число со-
составляющих случайного вектора) должно быть беско-
бесконечным. Изучение систем бесконечного (несчетного)
числа случайных величин — задача непомерной труд-
трудности; на практике всегда приходится ее упрощать,
заменяя более доступной. Примеры таких упрощений
встретятся нам в дальнейшем. Нужно стараться при
изучении интересующих нас свойств случайного про-
процесса обойтись как можно меньшим числом сечений.
В теории случайных процессов принято классифи-
классифицировать их по тем или другим признакам, учитывая
плавность или скачкообразность реализации, фикси-
рованность или случайность моментов, в которые мо-
могут происходить скачки и т. д., вид закона распреде-
распределения отдельного сечения процесса или совокупности
его сечений и т. д. Познакомимся с самой элементар-
элементарной классификацией случайных процессов — «по вре-
времени» и «по состояниям».

18 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Случайный процесс X(t) называется процессом
с дискретным временем, если система, в которой он
протекает, может менять свои состояния только в мо-
моменты /i, t% tj, .... число которых конечно или
счетно. Множество Т является дискретным.
Примеры процессов с дискретным временем: 1) про-
процесс работы ЭВМ, которая может менять свои со-
состояния в моменты ti, h t/ определяемые
тактом работы машины; 2) процесс работы техниче-
технического устройства, которое осматривается в моменты
t\, ht ... и переводится в результате осмотра из од-
одной категории в другую; 3) процесс обстрела цели
А моменты t\, h, .... в ходе которого цель может
менять свои состояния (не повреждена, частично вы-
выведена из строя, перестала функционировать, пол-
полностью разрушена и т. п.). Если рассматривается
одномерный случайный процесс X(t) с дискретным
временем (моменты t\t t2, ...), то его сечения в эти
моменты образуют последовательность случайных ве-
величин: X(t\), X{h), ... В качестве аргумента после-
последовательности может быть выбран номер значения
момента перехода: XA), XB), ...
Случайный процесс X(t) называется процессом
с непрерывным временем, если переходы системы из
состояния в состояние могут происходить в любой мо-
момент t наблюдаемого периода т.
Для процесса с непрерывным временем множество
Т моментов, когда система меняет свое состояние, не-
несчетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый
участок оси абсцисс). Примеры случайных процес-
процессов с непрерывным временем: 1) X(t) — число отказов
технического устройства от начала работы до мо-
момента t; 2) броуновское движение частицы в поле
зрения микроскопа; 3) число N(t) заболевших в дан-
данном городе в ходе развития эпидемии к моменту t.
Одномерный случайный процесс X(t) называется
процессом с непрерывными состояниями, если его се-
сечение в любой момент / представляет собой не ди-
дискретную, а непрерывную (или смешанную) случай-
случайную величину и, значит, множество ее значе-
значений S несчетно. Аналогично, многомерный
(векторный) случайный процесс называется процессом
с непрерывными состояниями, если при любом t мно-
множество возможных значений случайного вектора, on-

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ 19
ределяющего состояние системы S, в которой проте-
протекает процесс, несчетно. Примеры с. п. с непрерывными
состояниями: 1) напряжение U(t) питания ЭВМ в мо-
момент /; 2) давление газа P(t) в заданном резервуаре
в момент t; 3) координаты частицы, совершающей
броуновское движение X(t), Y(t), в момент t (дву-
(двумерный случайный процесс с непрерывными состоя-
состояниями); 4) параметры, характеризующие в момент t
состояние космической ракеты, выводимой на орбиту
(многомерный случайный процесс с непрерывными со-
состояниями).
Случайный процесс, протекающий в системе S, на-
называется процессом с дискретными состояниями, если
в любой момент времени t множество его состояний S
конечно или счетно; другими словами, если его сече-
сечение в любой момент t характеризуется дискретной
случайной величиной X(t) (в многомерном случае —
несколькими дискретными случайными величинами).
Разумеется, все случайные процессы с «качествен-
«качественными» состояниями относятся к категории процессов
с дискретными состояниями; сечение такого процесса
представляет собой случайное событие — аналог ди-
дискретной случайной величины (см. Введение).
Таким образом, в зависимости от характера мно-
множества Т значений аргумента /, в которые возможны
переходы системы из состояния в состояние, а также
множества S самих состояний все случайные процес-
процессы можно разделить на четыре класса:
1а. Процессы с дискретными состояниями и ди-
дискретным временем.
16. Процессы с дискретными состояниями и не-
непрерывным временем.
2а. Процессы с непрерывными состояниями и ди-
дискретным временем.
26. Процессы с непрерывными состояниями и не-
непрерывным временем.
Примеры процессов разных типов
1а. Некто купил m билетов выигрышного займа,
которые могут выигрывать и погашаться в заранее
известные моменты тиражей *i, h, ... Случайный
процесс X(t)—число билетов, выигравших до мо-
момента t.
16. Техническое устройство состоит из п узлов, ко-
которые могут в ходе работы устройства отказывать

20 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
(выходить из строя). Случайный процесс X(t)—число
узлов, отказавших до момента t.
Еще пример процесса типа 16: техническое устрой-
устройство может под действием случайных факторов нахо-
находиться в одном из состояний: S\— работает исправно;
S2 — работает с перебоями; s3—остановлено, ведется
поиск неисправности; s4—ремонтируется; «s — окон-
окончательно вышло из строя, списано. Сечение такого
процесса представляет собой, как для каждого про-
процесса с «качественными состояниями», обобщенную
случайную величину дискретного типа, «возможные
значения» которой описываются не численно, а сло-
словесно.
2а. В определенные моменты времени t\, *2, ¦ • ¦ ре-
регистрируется температура воздуха 6(/) в заданной
точке пространства. Последовательность значений этой
величины — случайный процесс 6@ с непрерывными
состояниями и дискретным временем.
26. Процесс изменения напряжения U(t) в элек-
электросети питания ЭВМ представляет собой случайный
процесс с непрерывными состояниями и непрерывным
временем.
Для различных типов случайных процессов разра-
разработаны различные методы их изучения и описания,
с которыми мы познакомимся в дальнейшем.
В ряде задач случайные процессы бывает удобно
выражать через простейшие (или «элементарные»)
случайные функции. Элементарной случайной функ-
функцией (э. с. ф.) будем называть такую функцию аргу-
аргумента t, где зависимость от / представлена обычной,
неслучайной функцией, в которую в качестве парамет-
параметров входят одна или несколько обычных, не завися-
зависящих от / случайных величин.
Рассмотрим ряд примеров э. с. ф. Для каждого из
них построим семейство реализаций, приписывая фи-
фигурирующей в примере случайной величине (или слу-
случайному вектору) ряд значений. В каждом из при-
примеров э. с. ф. обозначена Y(t), ее реализации — yi(t),
Пример 1. Э. с. ф. имеет вид
где X — непрерывная случайная величина, распреде-
распределенная равномерно в интервале (—1, 1).

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ
21
Семейство реализаций э. с. ф. Y(t) показано на
рис. 1.1.9; каждая из них представляет собой показа-
показательную кривую с ординатами, пропорциональными
ординатам кривой е~' (жирная линия); отдельные
реализации (тонкие линии) различаются между собой
Vt<*>
Рис. 1.1.9
Рис. 1.1.10
масштабом по оси ординат. Когда с. в. X принимает
отрицательное значение, соответствующая реализация
лежит ниже оси абсцисс.
Пример 2. Э. с. ф. имеет вид
Y(t) = e'tx (t>0), A.1.3)
где X — случайная величина, принимающая только по-
положительные значения. Семейство реализаций э. с. ф.
A.1.3) показано на рис. 1.1.10. Каждая из этих реа-
реализаций представляет собой показательную кривую,
проходящую через точку с координатами @, 1); раз-
различаются они между собой скоростью стремления
к нулю при /~->-оо.
Пример 3. Y(t)= at -j- X, где X — случайная
величина, а — неслучайная величина. Каждая реали-
реализация (рис. 1.1.11) представляет собой прямую с угло-
угловым коэффициентом а, параллельную прямой y = at,
различаются реализации начальными ординатами.
Пример 4. Y(t) = X-t -j- а, где X — случайная
величина, а — неслучайная величина. Каждая из реа-
реализаций— прямая линия, проходящая через точку
@, а) (рис. 1.1.12). Реализации различаются угловыми
коэффициентами.
Пример 5. Y(t) = X cos at, где X — случайная
величина, а — неслучайная величина. Семейство реа-
реализаций показано на рис. 1.1.13; каждая из них —

22
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
косинусоида, ординаты которой умножены на тот или
другой случайный коэффициент. Реализации разли-
различаются между собой амплитудой, т. е. масштабом по
оси ординат.
Рис. 1.1.13
Пример 6. Y{t) = cos Ut, где U — случайная
величина, принимающая положительные значения. Се-
Рис. 1.1.14
мейство реализаций показано на рис. 1.1.14; каждая
«з них проходит через точку @, 1). Реализация раз-
различаются между собой по частоте.

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИИ
23
Пример 7. Y(t)= cos(o>* -j- X), где X — случай-
случайная фаза колебаний, распределенная равномерно
в интервале (—л; л;). Семейство реализаций э.с. ф. по-
показано на рис. 1.1.15.
-1 -
Рис. 1.1.15
Пример 8. Y(t)= U cos at + V sin at, где (U, V) —
система случайных величин, а — неслучайная вели-
величина. Семейство реализаций представлено на
рис. 1.1.16. Каждая реализация представляет собой
Рис. 1.1.16
гармоническое колебание на частоте а со случайной
амплитудой и случайной фазой.
Пример 9. Y(t)=a + Ut+ Vt*, где (U, V) — си-
система двух случайных величин, а —неслучайная вели-
величина. Семейство реализаций показано на рис. 1.1.17.
Каждая реализация проходит через точку @, а). >
В крайнем случае э. с. ф. может выродиться в не-
неслучайную функцию y(t) = ^{t) (рис. 1.1.18) (тогда

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
все ее реализации совпадают между собой и с функ-
функцией \J>@) или даже вообще превращаются в неслу-
Рис. 1.1.17
Рис. 1.1.18
чайную величину а: у — а\ все реализации в этом
случае совпадают с прямой а.
1.2. Законы распределения и основные
характеристики случайных процессов
Мы знаем (см. гл. 3* в 16]), что полной, исчерпы-
исчерпывающей характеристикой случайной величины яв-
является ее закон распределения. Для дискретной св.
он может быть задан рядом распределения, для не-
непрерывной св. — плотностью распределения (п. р.).
Универсальной исчерпывающей характеристикой лю-
любой св. X— дискретной, непрерывной или смешан-
смешанной— является ее функция распределения (ф. р.)
F(x) = Р {X < х}, т. е. вероятность того, что св. X
примет значение, меньшее заданного х.
Пусть имеется с. п. X(t). Мы знаем, что сечение
с.п. X{t) при любом фиксированном значении аргу-
аргумента t представляет собой случайную величину, ко-
которая имеет закон распределения
F(t,
A.2.1)
Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых,
от значения t, для которого берется сечение; во-вто-
во-вторых, от значения х, меньше которого должна быть
св. X(t) (рис.- 1.2.1). Функция A.2.1) называется
одномерным законом распределения с.п. X(t).

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
25
х(О
Итак, перед нами функция двух аргументов A.2.1).
Является ли функция A.2.1) полной, исчерпывающей
характеристикой случайного процесса Л" (/)? Очевидно,
нет. Эта функция характеризует только свойства од-
одного отдельно взятого сечения с. п. X(t), но не дает
понятия о совместном рас-
распределении двух (или бо-
более) сечений с. п. В самом ее
деле, можно представить
себе два случайных процес-
процесса с одинаковым распреде-
распределением в каждом сечении, О
но совершенно различных
по своей структуре. Пер-
Первый представлен совокуп-
совокупностью своих реализаций на рис. 1.2.2, второй —
на рис. 1.2.3. Первый процесс имеет плавный харак-
характер, второй — более резкий, «нервный». Для первого
процесса характерна более тесная зависимость между
x(t)
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2
Рис. 1.2.3
сечениями с. п.; для второго эта зависимость затухает
довольно быстро с увеличением расстояния между се-
сечениями. Очевидно, одномерный закон распределения
A.2.1) не может служить полной, исчерпывающей
характеристикой с. п. X(t). Очевидно также, что более
полной (но все еще не исчерпывающей) характери-
характеристикой будет двумерный закон распределения, пред-
представленный совместной функцией распределения двух
сечений с. п., взятых соответственно для моментов
t\ и /2:
F(tut2,xu дс*) = Р {*(/,)<*„ X(t2)<x2). A.2.2)
Это функция уже не двух, а четырех аргументов: двух
моментов времени, для которых берутся сечения, и

26 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
двух значений х\ и х2 (рис. 1.2.4). Функция четырех
аргументов — это уже неприятно! Однако и двумерный
закон распределения A.2.2) еще не является исчерпы-
исчерпывающей характеристикой с. п. X(t); еще более полной
характеристикой будет трехмерный закон
- Р {X (*,) <хи X (t2)
х3)
и т.д.
Очевидно, теоретически можно неограниченно уве-
увеличивать число сечений и получать при этом все более
полную характеристику с. п. Однако оперировать со
X<t)
Рис. 1.2.4
столь громоздкими характеристиками, зависящими от
многих аргументов, крайне неудобно; к тому же объем
экспериментального материала, необходимого для их
получения, с увеличением числа сечений растет чрез-
чрезвычайно быстро. Поэтому на практике более чем дву-
двумерные законы распределения применяются крайне
редко. В инженерных приложениях обычно ограничи-
ограничиваются одномерным, иногда — двумерным законом
распределения с. п. Нередко этого оказывается и до-
достаточно.
Во многих случаях инженерной практики проте-
протекающие в системах процессы можно (точно или при-
приближенно) представлять как марковские (или «про-
«процессы без последействия», см. гл. 4, 5). Для таких
процессов исчерпывающей характеристикой будет дву-
двумерный закон A.2.2). Существует большой класс
процессов — так называемые нормальные, или гаус-
совские случайные процессы — в которых двумерный
закон распределения A.2.2) будет также исчерпываю-

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 27
щей характеристикой. Но чаще всего при исследова-
исследовании случайных процессов для практических целей
вообще отказываются от законов распределения с. п.,
а пользуются его основными характеристиками, опи-
описывающими с.п. не полностью, а частично.
Мы знаем (см. гл. 8*), что многие задачи теории
вероятностей можно решать, совсем не прибегая к за-
законам распределения случайных величин, а пользуясь
только их числовыми характеристиками,
такими, как математическое ожидание (и.о.), дис-
дисперсия, ковариация, начальные и центральные мо-
моменты разных порядков и т. д. Аналогично обстоит
дело и со случайными процессами, только для них
основные характеристики будут уже не числами,
а функциями аргумента t, от которого зависит с.п.
X(t), или же двух (обыч-
(обычно не больше) значений ,^
этого аргумента.
Первой и важнейшей
характеристикой с.п. X(t)
является его математическое
ожидание, т. е. «средняя»
функция, вокруг которой L
происходит разброс реали-
реализаций с. п. (см. жирную ли- Рис- ' 25
нию mx(t) на рис. 1.2.5,
где тонкими линиями даны реализации с.п.). Заме-
Заметим, что эта функция, характеризующая «среднее»
значение случайного процесса, является сама уже не-
неслучайной. Обозначим ее mx{t). Итак, математиче-
математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется
неслучайная функция mx(t), которая при любом зна-
значении аргумента t равна математическому ожиданию
соответствующего сечения случайного процесса
. A.2.3)
Зная одномерный закон распределения с.п. X(t),
всегда можно найти mx(t) для любого сечения и уста-
установить его зависимость от t. Как находится математи-
математическое ожидание по закону распределения, мы уже
знаем из книги [6] (см. гл. 4*): если с. в. X дискретна,
') Будем исходить из допушеняя, что м. о. случайного про-
процесса существует, не оговаривая это специально каждый раз.

28 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ее м. о. находится как сумма произведений ее воз-
возможных значений на их вероятности:
m, =
если она непрерывна и имеет плотность f{x)—м.о.
вычисляется как интеграл:
= \ xf(x)dx.
Математическое ожидание смешанной с. в. X нахо-
находится как сумма произведений значений с. в., обла-
обладающих отличными от нуля вероятностями, на эти
вероятности плюс интеграл, распространенный на
участки непрерывности функции распределения F(x)
(см. D.1.4)*).
Совершенно аналогично, зафиксировав t и пере-
переходя от случайного процесса к случайной величине
(его сечению), можно вычислить м.о. этого процесса.
Например, если сечение с. п. X(t) при данном t
представляет собой дискретную с. в. с рядом распре-
распределения
*i(Q|*s(O| ••• |*i@j
/МО I Pa (Oh- U@
то его м.о. может быть вычислено по формуле
тя @ = МI* @1 «Е МО Pi (О- A.2.4)
i
Здесь *|@, *г@ х>'@. ••"• — первое, вто-
второе i-e, ... значения, которые может принимать
случайная величина X(t) — сечение с. п. при данном t\
Pi(/), Рй(О. •••• Pt(t)> ••• —соответствующие ве-
вероятности: Pi(t)=P{X (*)=**, @) Pi{t)=P{X(t)=
(t)}
}
Очень часто встречается случай, когда значения
св. X(t) не зависят от t, а зависят от t только их
вероятности; в этом случае ряд распределения имеет
вид
X(t):
*2
Рг@:

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 29
В тех примерах случайных процессов с дискрет
ными состояниями, которые мы приводили в п. 1.1,
значения х\, Х2, ..., хи ••¦ не зависели от t и просто
были целыми числами 0, 1, 2, ..., i, ...
Если сечение с. п. X(t) при данном t представляет
собой непрерывную св. с плотностью f{t,x), его м.о.
может быть вычислено по формуле
оо
тх (/) = М [X @1 = J xf (Л х) dx. A.2.5)
— оо
Для случая смешанной случайной величины X(t)
м.о., как обычно, вычисляется как сумма плюс ин-
интеграл (см. 4.1.4)*); соответствующих формул здесь
не будем выписывать, ввиду их сравнительной гро-
громоздкости. Размерность функции mx(t) равна размер-
размерности с.п. X{t). На практике чаще всего математиче-
математическое ожидание mx(t) с.п. вычисляется не по его
одномерному закону распределения, а заменяется при-
приближенной оценкой, которую можно найти по опытным
данным (см. п. 11.6*).
Введем понятие центрированного случайного про-
процесса; оно аналогично понятию центрированной с. в.
(см. D.2.6)*).
О
Центрированным случайным процессом X(t) на-
называется процесс, который получится, если из с.п.
X(t) вычесть его м.о.
X (/) = X @ - mx (t). A.2.6)
Из определения A.2.4), A.2.5) математического
ожидания с.п. следует, что м.о. центрированного с.п.
О
X (/) тождественно равно нулю, т. е.
M[X(t)) = M[X(t))-mx(t^0. A.2.7)
о о
Реализации xt (/) центрированного с. п. X (/) представ-
представляют собой отклонения с.п. X(t) от его математиче-
математического ожидания; эти отклонения имеют как положи-
положительные, так и отрицательные значения, а в среднем
равны нулю (рис. 1.2.6).
Кроме м. о. в теории случайных процессов рас-
рассматриваются и другие их характеристики, аналогич-
аналогичные числовым характеристикам св. (с той разницей,

30 ГЛАВА 1, ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
что они будут уже не числами, а функциями): началь-
начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайного
процесса X(t) называется м. о. k-fi степени соответ-
соответствующего сечения с. п.:
1, A.2.8)
а центральным моментом k-го порядка—м. о. /г-й сте-
степени центрированного с. п.:
ц, @ = М [(X (/))*] = М [(X @ - пгх @)*]. A.2.9)
Из начальных моментов, кроме математического
ожидания (первого начального момента) чаще всего
Рис. 1.2.6
применяется второй начальный момент: [(())]
(в иной записи: М[ЛГ2(/)]); из центральных — второй
центральный момент, иначе — дисперсия случайного
процесса, которая при каждом / равна дисперсии
соответствующего сечения случайного процесса:
Dx @ = D [X {/)] = М \{Х (ОJ). A.2.10)
Вспомним, как выражается дисперсия св. через
ее второй начальный момент (см. D.2.17)*): D(-X] =
= М [X2] — гп?х, т. е. дисперсия случайной величины
равна математическому ожиданию ее квадрата минус
квадрат математического ожидания. Совершенно та-
такое же соотношение связывает дисперсию с. п. с его
вторым начальным моментом:
Dx @ = D [X (/)] = М [X2 (t)] - ml (/). A.2.11)
Следовательно, дисперсией с. п. X(t) называется не-
неслучайная функция Dx(t), которая при любом значе-
значении аргумента t равна дисперсии соответствующего
сечения случайного процесса X(t).

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 31
Зная закон распределения любого сечения с. п.
X(t) (одномерный закон распределения), можно по
известным правилам найти дисперсию с. п. X(t).
Если сечение X(t) представляет собой дискретную
св. с рядом распределения (•*), то дисперсия с. п.
находится по формуле
Dx (/) - D [X (t)) = I (*, - тх (t)f Pt (/), A.2.12)
где ( — номер возможного значения с, в. X(t) при дан-
данном /, pi,(t)—вероятность этого значения, или же, че-
через второй начальный момент,
/>x(r) = Dl*@]=Z*?M/)-m2@. A.2-13)
Если сечение X{t) представляет собой непрерыв-
непрерывную св. с плотностью f(t,x), то дисперсия с п. может
быть вычислена по формуле
Dx(t)= \ [x-mx(t)}2f(t, x)dx A.2.14)
— 00
или же через второй начальный момент')
00
Dx(t)= J //(/, x)dx-ml(t). A.2.15)
Таким образом, как м. о., так и дисперсия с. п. X{t)
определяются его одномерным законом распреде-
распределения.
Если м.о. mx{t) с.п. X{t) представляет собой не-
некоторую неслучайную «среднюю функцию», около
которой варьируются реализации случайного процесса,
то дисперсия с.п. Dx(t) представляет собой неслучай-
неслучайную неотрицательную функцию, характеризующую
степень разброса реализаций с.п. X(t) около его м.о.
mx(t), т. е. степень разброса реализаций центриро-
О
ванного случайного процесса X(t).
Средним квадратическим отклонением (с к. о.)
ax(t) с.п. X(t) называется арифметическое значение
1) Случай смешанной св. X(t), как и выше, опускаем ввиду
сравнительной громоздкости соответствующих формул.

32
ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
корня квадратного из дисперсии Dx(t):
ох @ - а IX @1 =
A.2.16)
Размерность функции ox(t) равна размерности
с.п. X(t).
Введенные нами характеристики с.п. X(t): м.о.
mx{t), дисперсия Dx(t) и с. к.о. oK{t)—являются
весьма важными, но отнюдь не исчерпывающими, так
как определяются только одномерным законом рас-
распределения. Например, у с.п. X\(t) и Xi(t), изобра-
изображенных на рис. 1.2.7 и 1.2.8, примерно одинаковые
Рис 1.2.7
Рис. 1.2.8
м.о. и дисперсии: mx,(t) « mXi{t), DXl(t) « DXi(t). Од-
Однако внутренняя структура этих процессов резко раз-
различна. Случайный процесс X\(t) имеет плавно ме-
меняющиеся реализации, тогда как с.п. X2{t) имеет
резко выраженную колебательную структуру. Для
процесса Xi(t) характерна большая предсказуемость
реализаций: если реализация процесса X\(t) была
в какой-то момент / больше его м.о. mXl(t), то с боль-
большой вероятностью можно ожидать, что и ее продол-
продолжение будет лежать выше кривой тхДО- Другими
словами, для с.п. Xi(t) характерна сильная вероят-
вероятностная зависимость между двумя его сечениями X\(t)
и Х,(О (см. рис. 1.2.7).
Это утверждение не справедливо для с.п. X2(t),
который характеризуется неправильными, беспорядоч-
беспорядочными колебаниями. Между его сечениями X2{t) и
X2(t') (см. рис. 1.2.8) практически нет вероятностной
зависимости при достаточном удалении сечений (эта
вероятностная зависимость быстро уменьшается по
мере увеличения разности (? — t)).
Известно, что степень линейной зависимости (свя-
(связи) между двумя случайными величинами X и Y on-

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 33
ределяется их ковариацией:
КЯ9 = М [(А' - тх) (Y ~ ту)) = М [XY} - тхти. A.2.17)
Аналогичная характеристика вводится и для с. п.
Рассмотрим две с. в.—два сечения с. п. для мо-
моментов t и t'\ X(t) и X(f). Для этих двух св. можно
найти ковариацию (обозначим ее Kx(tt ?)):
(n\-mx(t)mx(n- A.2.18)
Функция A.2.18) называется корреляционной функ-
функцией с.п. X(t). Повторим это определение словами:
корреляционной функцией с.п. X{t) называется не-
неслучайная функция Kx(ttt') двух аргументов t и ?,
которая при каждой паре значений аргументов tut'
равна ковариации соответствующих сечений случай-
случайного процесса: X(t) и X(t').
Очевидно, что у с.п. Xi(t) и X2{t), реализации
которых изображены на рис 1.2.7, 1.2.8, корреляцион-
корреляционные функции различны; а именно: корреляционная
функция KxAt, t') с. п. Xi(t) убывает по мере уве-
увеличения разности (?—t) гораздо медленнее, чем
корреляционная функция /(*,(/, t') с. п. X2{t).
Рассмотрим основные свойства корреляционной
функции (к.ф.) Kx(t, О сп. X(t).
1. При равенстве аргументов (t = tf)'
к. ф. равна дисперсии с. п. Действительно (см.
A.2.10)),
Kx(t, t) = M[X(t)X(t)) = M[(X(t)?] = Dx{t). A.2.19)
2. Корреляционная функция Kx(t, t')
симметрична относительно своих аргу-
аргументов:
KAt,t') = Kx{t',t). A.2,20)
Это свойство непосредственно вытекает из определе-
определения A.2.18) и аналогично свойству симметричности
ковариационной матрицы системы с в. относительно
главкой диагонали (см. G.8,17)*).
На рис. 1.2.9 показан вид поверхности, изобра-
изображающей к.ф. Kxit,?), Поверхность Kx(t,f) сим-
симметрична относительно вертикальной плоскости Я,

34 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
проходящей через биссектрису координатного угла
tot'.
Линия пересечения плоскости Н с поверхностью
Kx{t, t') лежит не ниже плоскости Ш', так
ее аппликата равна
= Kx(t,t). При 1Ф
\Kxti,t')
(t)
Рис.
, как эта
дисперсии с. п. X{t): Dx{t) =
ковариация может быть как
положительной, так и отрица-
тельной, поэтому поверхность
Kx{t,f) может лежать как
выше плоскости tOf, так и
ниже ее.
3. Корреляцией ная
функция Kx{t,t') явля-
является положительно оп-
определенной, т. е.
A.2.21)
где а (г)—произвольная функция аргумента t, В —
произвольное подмножество множества 7, на котором
определен с. п. X{t). Это свойство аналогично свойству
положительной определенности корреляционной мат-
матрицы 11^11 системы с. в. (Xt, ..., Хп) (см. 8.2.14)*)
п п
A.2.22)
справедливому для любых чисел al5 a2, ..., а„. Послед-
Последнее неравенство вытекает из условия, что дисперсия
я
линейной функции случайных величин ]Г а.ЛГ, не может
быть отрицательной (см. (8.2.14)*):
При увеличении числа сечений п с. п. X{t) кор-
корреляционная матрица ||ХУ|| в пределе переходит в к. ф.
Kx(t, t% последовательности чисел а( — в функцию
a(t), a двойная сумма A.2.22) — в двойной интеграл.
Корреляционная функция Kx(t, t') может быть как
положительной, так и отрицательной, она характеризу-
характеризует не только степень тесноты линейной зависимости ме-

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 35
жду двумя сечениями X(t) и X(t') с. п., но и разброс
этих сечений относительно м.о. mx(t). Тесноту ли-
линейной зависимости двух с. в. X и Y характеризует
коэффициент корреляции: гху = Кху/ (<Ух<Уу) ¦ Анало-
Аналогичная характеристика вводится и для с. п. X(t).
Нормированной корреляционной функцией (н. к. ф.)
rx(t,t') случайного процесса X(t) называется функ-
функция, полученная делением корреляционной функции
Kx{t,f) на произведение с. к. о. ax(t), ox(f)'-
@ ox
Л
Свойства нормированой корреляционной функции
rx(t, t1) вытекают из ее определения.
1) При равенстве аргументов (t=t') н. к. ф. равна
единице:
rx(t,t') = \. A.2.24)
2) Нормированная корреляционная функция rx(t, /')
симметрична относительно своих аргументов:
rx(t,t')=rx(t',t). A-2.25)
3) Нормированная корреляционная функция по мо-
модулю не превосходит единицу:
|г,(г.01<1- A.2.26)
4) | J a(t)a(Orx(t, O<rAt)ax(t')dtdt'>0.
Чтобы найти к. ф. Kx(t,tf) с.п. X(t) (и его н. к. ф.
rx(t,t')), недостаточно знать одномерный закон рас-
распределения с.п. X{t); в общем случае требуется зна-
знание его двумерного закона распределения для двух
сечений X(t), X(t'). Если этот закон распределения
известен, можно для любой пары значений t, V найти
корреляционный момент
= М [(X @ - тх @) (X (О - тх (О)]. A 2.27)
Или выражая его через смешанный первый начальный
момент:
Кх (/. О = М [X @ X @1 - «. (<) тх (О. A -2.28)

36 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Например, если известна совместная плотность
распределения двух сечений с. п. X(t): /{/, Г, ж, *'), то
формулы A.2.27) и A.2.28) примут вид
Kx{tj')=^{x-mx{t)){x'-mx){t'))f{t,t',x,x')dxdx',
A.2.29)
Kx(t,t')=fjxx'f(t,t',x,x')dxdx'-mx(t)mx(t').
A.2.30)
Сравнительно просто можно находить характери-
характеристики элементарных случайных функций (см. п. 1.1).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Элементарная случайная функция
(э. с. ф.) имеет вид
Y(t)=Xe~' (/>0),
где X — с. в., распределенная по нормальному закону
с параметрами т и ст. Найти характеристики э. с. ф.
Y(t): м. о. my(t), дисперсию Dy(i), к. ф. Kx(t, t'\ а также
н. к. ф. г,(/,Г')ип. p.f(t,y).
Решение: Пользуясь правилами нахожения число-
числовых характеристик линейных функций с. в. (см. п. 8.2*),
находим:
ту @ = М [Хе'г] = е~г М [X] =те~\
Извлекая из Dy{t) корень квадратный, находим с. к. о.
y()
Найдем к. ф. Центрированный с. п.
f(t)= ГЦ)-туф =
откуда
Ky(t, t') = Nl[f(t) #(/')] =
Деля к. ф. на oy(t)oy(t'), получим н. к. ф.
ае ае

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 37
Пример 2. Э. с. ф. У (/) имеет вид
-XI
где X — с. в., распределенная по показательному за-
закону с плотностью f(x)= "ке-** (х > ОД > 0). Найти
характеристики э.с.ф.: mv(t)t Dy\t), ay(t), Ky(t,t'),
ry(t,t').
Решение. Пользуясь правилами нахождения
м.о. функции (см. (8.1.10)*), находим:
my(t) =
1У
«г
— oo О
Рассмотрим произведение Y(t)-Y(t'):
Y (t) Y (tf) = e-xte~xt> = е~х<^^ (t > 0, f > 0).
Следовательно,
')] =
откуда к. ф. будет равна
Ки (t, П = М [К (О Y @1 - ту @ ту (О =
(* + f -ь я> (/
Найдем дисперсию и с. к. о.
Р.О-М'.О-са + ^ + ц. С>0).
Следовательно, н. к. ф.
I It + X ¦ V2/' + Я,
r*v> t} oy(t)oy{t') * t' + t + k ¦ V-
Можно убедиться в том, что ru(t,t)=l, \ry(t,f)\<. I
(/>0, *'>()).
Пример 3. Э. с. ф. имеет вид
где Л —с. в., распределенная по нормальному закону
с параметрами т, <т; а — неслучайная величина. Найти
характеристики э. с. ф. Y{t).

38 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Решение. ту(() = аМ[Х] + t = ат + /, Y(t) =
Ky(t,t') =
= М [Y (t) Y (t')] = M taX • aX) = aV, Du (f) = Ky {t, t) =
Пример 4. Э. с. ф. Y(t) имеет вид
Y(t) = Xt + a,
где X — св., распределенная по закону равномерной
плотности на участке (a, p), a — неслучайная вели-
величина. Найти характеристики э. с. ф. Y(t).
Решение. ти (t) = M [Xt -f a] = mxt -f а, где mx =
==(a + P)/2. Y(t) = Xj + a-mxt-a = Xt, Ky(t,t') =
= M \ht)Y(t')\ = M [ЫП = D^', гдеОх = (a - |SJ/12,
Du @ « /Cf it, t) = D/, av @ - / л/пх, ru (t, О =
Пример 5. Э. с. ф. Y(t) имеет вид
Y(t) = Ucostal + V sin at,
где U, V— некоррелированные св. с характеристи-
характеристиками ти = то = 0, о« = <ь = о, «о — неслучайная ве-
величина. Найти характеристики э. с. ф. У{/).
О
Решение, m^it) —mucos(at + mosin<ot = 0, Y(t) —
« У @, ff, (/, /') = М [(U cos <о/ + V sin со*) (f/ cos at' +
+ l^ sin wp] — M [^2cosarf cosarf' -f UV (sin со/ cos <at' +
-j- cos erf sin cor') + V2 sin Ы sin arf'J.
По условию примера M [U • V] = Кив = 0, откуда
Ки (t, f) = M [U2\ cos erf cos ft)/' + M [V2] sin <*rf sin of' =
^ K@*»(O) = cos(o(/-/')• A.2.32)
Пример 6. Э. с. ф. У{/) имеет вид
где св. tt^ имеет характеристики т» и с»; св. t/ рас-
распределена равномерно в интервале @, а) (а > 0); св.

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 39
W и U независимы. Найти характеристики э. с. ф.
Y(t).
Решение. Обозначим e~ui = Z{t). Принимая во
внимание, что св. U распределена в интервале @,а)
с постоянной плотностью 1/а, получим
- mw A - eat)/(ai) (t > 0).
Найдем к. ф.
К„ (t, П == М \(WZ (t) - тттг @) {WZ (/') - mwmz (f))] =
-WZ(t) mwmz (?) + т\тг (t) тг «')] =
= К + О М [2 (/) Z (/')] - т\тг (f) тг (?).
По условию:
ss. \' + п . A.2.33)
Следовательно,
откуда
Пример 7. Найти характеристики э. с. ф.
где V и в независимые св.; св. V имеет характе
ристики т0 и <7V; с. в. в распределена равномерно
в интервале @,2л); ф — неслучайный параметр.

40 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Решение. Представим э. с. ф. в виде
/(/)=!/ cos (i|rf — в) = V cos в cos ty 4- V sin в sin tyi.
Найдем числовые характеристики следующих функ-
функций случайной величины ©, распределенной равно-
равномерно в интервале @, 2л) :
2я
М [cos в] = ~ J cos Ъ йЪ¦ = ~
„
2я
1 Г 1
М [sin 6] = -^- \ sin О dQ = — ~-
cos ? ~ 0,
2я
D [cos 0] = Ы [cos2 в] = ^- J cos2 О db =
о
Y M [sin в cos в] = 0.
Принимая во внимание независимость св. V и в,
получим:
mj> (/) = М [V cos 0 cos ф -f V sin в sin $/] = 0, {1.2.35)
К у it, О = М [(К cos в cos ф + V sin в sin i|>/) X
X (V cos в Cos ф*' 4- V sin в sin ^Z')] =
= M | V2} {M (cos2 6J cos ф cos \i?/' -f
4- M [sin в cos в] sin ф cos $tf + M [cos в sin в] X
X cos qt sin ¦$? -f M [sin2в] sin t|j/ sin г|з/'} =
O/2, 0-2.36)
= cos«</ - f).
A.2.37)
Если св. V подчинена закону Рэлея с параметром о
(см. G.9.26)*), то К4-т?)/2 = а (см. G.9.27)* и
G.9.29)*) и m,(/) = 0, Ky(t, t') = o2cost|)(f -/'),
0,@ = 0», г,(/,/') = cos¦(/-/')•
Таким образом, э. с. ф. Y(t)= Vcos(tyt — в) имеет
постоянные м.о. и дисперсию [равные mu(t)=09
Z),@ = -^~2—- 1 .а к.ф. зависит только от разности
аргументов ( н f, т. е. от расстояния по времени

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 41
между сечениями с. п. Обратим особое внимание на
то, что последнее утверждение не зависит от за-
закона распределения с. в. V—амплитуды
колебаний.
Случайный процесс X(t), у которого м.о. постоян-
постоянно (mx{t) = const), а к.ф. зависит только от разности
аргументов (Kx(t, /') = Kx(t — tr)=-kx{-z), где т =
—/'— t), будем называть стационарным, точнее, ста-
стационарным в широком смысле (подробнее см. гл. 7).
Пример 8. Найти одномерный закон распределе-
распределения э. с. ф.
где V—случайная величина, распределенная нор-
нормально с параметрами mv, <ь-
Решение. Так как св. V распределена нор-
нормально, то для любого фиксированного момента вре-
времени t с. в. Y(t) будет тоже распределена нормально
(как линейная функция нормально распределенной
св. V) с характеристиками my{t)= mvt + a, oy{t) =
= av\t\. Одномерный закон распределения э.с.ф.
Y(t) нормален и имеет вид
Щ ехр
Пример 9. Найти одномерный закон распределе-
распределения э. с. ф.
где св. V и в независимы; с, в. V распределена нор-
нормально с характеристиками mv и av, Ч> — неслучайный
параметр, с. в. в распределена равномерно в интер-
интервале @, 2я).
Решение. Для нахождения закона распределе-
распределения сечения э. с ф. Y(t) воспользуемся интегральной
формулой полной вероятности (см. (8.1.26)*). Рас-
Рассмотрим гипотезу, состоящую в том, что с. в. в попа-
попадает на элементарный участок (О, O + d$). Так как
с. в. в распределена равномерно в интервале @,2л),то
вероятность этой гипотезы равна отношению длины
элементарного участка rfO к длине всего участка 2я:
@<*

42 ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Для фиксированного момента времени t, в предполо-
предположении, что указанная гипотеза имела место, с. в.
Уф(/)= У cos (if/— #) будет иметь нормальное рас-
распределение, так как является линейной функцией нор-
нормально распределенной св. с условными характери-
характеристиками
М [Y (/) | в = d] = mv cos Ш - Ь),
a[Y(t)\€> = b) = ov\cosW-b)\
откуда
(х - mv cos Opt -
f.(t. »ie-«)—\
Следовательно, безусловная одномерная плотность
распределения э. с. ф. У @ будет
2я
Отметим, что полученный закон распределения не яв-
является нормальным.
Пример 10. Найти одномерный и двумерный за-
законы распределения э. с. ф.
Y (/) = * cosW -в).
Случайная величина X распределена по закону Рэлея
с параметром а (см. G.9.26)*), ее п. р. будет
-х'ЦЪР)
<*>0)
Случайная величина 9 распределена равномерно
в интервале @,2я). Случайные величины X и 0 не-
независимы. Величина ^ неслучайна.
Решение. Запишем э.с.ф. Y(t) в виде
Y (/) = X cos в cos ф/ + X sin в sin ф/.
Обозначим X cos 9 = V, X sin 9 = V. Найдем закон
распределения с. в. V, для чего рассмотрим гипотезу,
состоящую в том, что с. в. X попала на элементарный
участок dx, примыкающий к х: Хе(х,лг+d*). Ве-
Вероятность этой гипотезы Р {X е (х, х + dx)} *» g (x)dx.
В предположении, что эта гипотеза имела место,
найдем условную плотность распределения с. в. V:

I Л. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 43
fu(u\x). Нетрудно убедиться в том, что /и(и|ж) =
= l/(n Vх2 — и2) (| и |< х); это совпадает с плотностью
распределения св. jcsinB. Тогда безусловная п. р. бу-
будет определяться по интегральной формуле полной ве-
вероятности (см. (8.1.26)*)
7 7 1 yp *7Bог)
у dy
о
1г<
п\х2 — и2 °
О
_ ? ехр (- (у3 + Ц2)/Bа*)> у dy ^
J
«'/B01) p _ v „*» , _
л/2яа J
так как последний интеграл равен 1/2 (как интеграл
от нормальной п. р. с параметрами т = 0 и а, взятый
по области положительного значения аргумента).
Следовательно, с. в. U распределена по нормаль-
нормальному закону с параметрами mu = 0, au = а. С по-
помощью такого же приема можно показать, что с. в. V
тоже распределена нормально с параметрами mv =0,
a0 = о. (Можно доказать, что совместное распреде-
распределение величин U, V тоже нормально.)
Случайные величины V и U не коррелированы.
Действительно, так как случайные величины X, в
независимы, то
Kuv = М [UV] = М \Х cos 6Х sin в] =
Но в примере 7 было показано, что М[cos в sin в] =f
= 0. Следовательно, Кио = 0. Так как совместное
распределение случайных величин V и V нормально
и они не коррелированы, то они и независимы (см.
п. 7.9*). При фиксированном значении / случайная
величина Y{t) = V cos ty -f- V sin if/ представляет со-
собой линейную функцию нормально распределенных
независимых с. в., которая так же будет распределена
нормально с параметрами тв (t) = M [U cos $t] -t-
+ М [V sin ^1 = 0,
Dv {t) = D [U cos ty] + D [V sin $t] = (cos $tJ D [U\ -f
+ (sin t|rfJ D \V\ = cos2 t|)/a2 + sin2 i|)/aa = of*.

44 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Таким образом, получаем выражение для одномер-
одномерной плотности распределения э. с. ф. Y{t):
f(t, у) = е "<*•>/(№о).
Для нахождения двумерного закона распределения
э. с. ф. Y{t) достаточно найти к. ф. Ky{t,t'), которая
в соответствии с формулой A.2.36) будет равна
Kv(t, tf) = о2 cos у {t-t')\
так как с. в. X, распределенная по закону Рэлея с па-
параметром а, имеет характеристики (см. G.9.27),
G.9.30))
М [X] = а л/ф, D [X] = D - л) а2/2,
то
{D [X] + (М [ВД/2 = а2.
Нормированная корреляционная функция ry{t, /') =
= cost|>(/ — /')• Двумерный закон распределения
э. с. ф. Y(t) будет тоже нормальным:
(t, t\ У, У')= X
X ехр {
sin3\ {t _ Г) [У2 -2cos*(t-1')уу' +
(У'J}}.
До сих пор в данном пункте мы рассматривали
только характеристики одного (скалярного) с. п. X(t).
Рассмотрим теперь векторный с. п., у которого имеется
k составляющих:
{Xl(t)t X2(t), .... Xk(t)). A.2.38)
Пусть с.п. Xt{t) имеет характеристики mi(t) и
Ki(t,V) (i—1,2, .... k). Эти характеристики в ка-
какой-то степени описывают поведение только отдель-
отдельного en. Xt(t) {i= 1,2, .... k) и не определяют
«взаимных характеристик», зависимости между со-
-*•
ставляющнми векторного с.п. X{t). В качестве такой
характеристики рассматривается взаимная корреля-
корреляционная функция Ru(t,t') двух случайных (скаляр-
(скалярных) процессов: Xi(t) и X)
A-2.39)

1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
45
Таким образом, взаимной корреляционной функ-
функцией Ri,(tJ') двух случайных процессов Xi(i) и Xj(f)
называется неслучайная функция двух аргументов t
и t\ которая при каж-
каждой паре значений t, f
равна ковариации двух
сечений случайных про-
процессов Xt(t) и Xf(t').
Эти сечения на рис.
1.2.10 изображены ус-
условно точкой A) и точ-
Xt(t),Xj(t>
X,(t)
кой B).
Из определения сле-
следуют свойства вза- Рис. 1.2.10
имной корреляционной
функции (в. к. ф.):
1. Взаимная корреляционная функция Rit(t, t')=*
=sfA[Xl{t)Xl(t/)] в общем случае не равна в. к. ф.
О
Rii(t\ t) — fA[Xl{t')Xj(t)], так как ковариация между
сечениями Xi(t) и Х/(?) (точки (i) и B) на
рис. 1.2.10) в общем случае не, равна ковариации
между сечениями Xt(tr) и Xf(t) (точки D) и C) на
рис. 1.2.10):
К«С О*¦*!/<*'. О- 0-2.40)
2. При одновременной перемене мест индексов н
аргументов в. к. ф. не меняется:
Rii (Л П = */< С. 0.
Действительно,
*i/ (Л П = М [I @X, (/')] - М [X/ (О I (t)] = Rti (t\ t).
A.2.41)
3. При равенстве индексов j — i в. к. ф. равна кор-
корреляционной функции с.п. Xi(t):
Rait, O«Mfi|@fi(OI«^«(/. f) A.2.42)
(см. точки (I) и D) на рис. 1.2.10).
Нормированная взаимная корреляционная функ
ция определяется по формуле
rtlif.f)-
0-2.43)

46 ГЛАВА I. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
где ot (/) = Vflf jt) — V/Cj (t, t) — с. к. о. случайного
процесса Х{Ц)\ в/ (t) = л/1Щ = V/C/ (*, /) - с. к. о.
случайного процесса Я/(/). Из свойств A.2.41) —
A.2.43) вытекают свойства нормированной взаимной
корреляционной функции
t).
П 2 441
2. Гн^.О-М'.О- U '
•>
Итак, в качестве характеристик векторного с. п. Х(/) =
= {Х|@, Я2(*). •••. Я*@) рассматриваются:
1. Математическое ожидание векторного с. п. — не-
неслучайный вектор, зависящий от t:
тх (t) - {m, @. m2 (/), ..., mt (t), ..., mk (/)}. A.2.45)
составляющие которого равны м.о. соответствующих
mt (t) = М [*, (/)] (/=1,2,...,*). A.2.46)
2. Квадратная матрица (размерности * X k) вза-
взаимных корреляционных функций векторного с. п. X{t)
011 =
12 ,/ «
(Л П ^ (/. /') ... *2/ (f. *') ... ft2fc (/, П
RiX{t,t') Rt2(t,tr) ... *„</,<') ... Л1А(/.О
Rkl V, П Rki«. П ... Rkl{t, П ... Rkk{t, П
Элемент этой матрицы — Rijit,?) определяется фор-
формулой A.2.39). В общем случае матрица A.2.47) не
симметрична,т. е. #,/(*»О?= Ra{t, ?). По главной диа-
диагонали матрицы A.2.47) стоят k корреляционных
функций соответствующих случайных процессов:
*„(/. O-*ifc П^ЩХ^ХЛП). A2.48)
Случайные процессы Xi(t) и Xj(t) называются не-
некоррелированными, если их в. к. ф. Rij{tyt') равна
нулю при любых значениях аргументов t, f для i*jbj.
Векторный случайный процесс X(t) называется
процессом с некоррелированными составляющими,
если матрица в. к. ф. является диагональной, т. е.
( О ¦« 0 при 1ф\.

ГЛАВА 2
ПОТОКИ СОБЫТИЙ, ИХ СВОЙСТВА
И КЛАССИФИКАЦИЯ
2.1. Потоки событий
Одним из важных понятий теории случайных про-
процессов является понятие потока событий.
Потоком событий называется последовательность
однородных событий, появляющихся одно за другим
в случайные моменты времени. Примеры: поток вы-
вызовов на телефонной станции, поток автомашин, подъ-
подъезжающих на заправочную станцию, поток заболева-
заболеваний гриппом в зимний сезон, поток забитых шайб при
игре в хоккей, поток заявок на ремонт, поступающих
в ремонтную организацию, поток отказов (сбоев)
ЭВМ в ходе ее работы, поток электронов, вылетаю-
вылетающих с катода радиолампы, поток электрических им-
пульсов, поступающих от мозга в мышцу для ее воз-
возбуждения, и т. п.
События, образующие ноток, в общем случае мо-
могут быть и неоднородными, например если в потоке
автомашин, прибывающих на заправку, различать лег-
легковые и грузовые.
Заметим, что термин «событие» в понятии поток
событий совершенно отличен по смыслу от широко
применяемого в теории вероятностей понятия случай-
случайное событие (см. гл. 1*), под которым разумеется
«всякий факт, который в опыте со случайным исхо-
исходом может произойти или не произойти». О событиях,
образующих поток, так говорить нельзя. В частности,
не имеет смысла говорить о вероятностях событий,
образующих поток (например, о вероятности вызова
на телефонной станции; ясно, что рано или поздно вы-
вызов придет, и не один).
С потоком событий можно связывать различные
случайные события, например: Л={в течение вре*
мени от to до to + x придет хотя бы один вызов на
телефонную станцию) или В={в течение того же
времени придет ровно два вызова на телефонную

4g ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
станцию) и т. д. Вероятности таких событий можно
вычислять.
«Поток событий» представляет собой в общем слу-
случае просто последовательность случайных точек 8lt
0
9„_, 6„ впЧ t
Рис. 2.1.1
в2, ..., в„, ... на оси времени (К (рис. 2.1.1) с раз-
разделяющими их случайными интервалами Гь Г2, •••
..., 7„_!, Тп, .... так что
Потоки событий различаются между собой по их
внутренней структуре: по законам распределения ин-
интервалов Гь 7*2, ... между событиями, их взаимной
зависимости или независимости и т. д.
С потоком однородных событий можно связать
случайный процесс их накопления. Обозначим X(t)
число событий потока, появившихся до момента вре-
времени t Каждая реализация xt{t) с. п. X(t) представ-
представляет собой ступенчатую
ломаную линию, под-
подскакивающую на еди-
единицу в момент появле-
появления очередного собы-
события и сохраняющую
свое значение до появ-
появления следующего со-
Рис. 2.1.2 бытия в потоке {рис.
2.1.2); здесь моменты
появления событий уже не случайны и обозна-
обозначены &1, да, ... Для определенности будем считать,
что в точках разрыва процесс X(t) и его реализация
xi(t) сохраняют значение, которое было у них слева
от точки разрыва (про такую функцию говорят, что
она непрерывна слева). На рис. 2.1.2 значения, прини-
принимаемые функцией xi{t) в точках разрыва, отмечены
точками.
С первого взгляда наиболее простым представ-
представляется поток событий, в котором интервалы между

2.1. ПОТОКИ СОБЫТИЯ 49
событиями строго одинаковы и равны определенной
неслучайной величине т (рис. 2.1.3). Такой поток со-
событий называется регулярным. Примеры регулярных
(вернее, практически регулярных) потоков представ-
представляют собой поток изменений минутной цифры на вок-
вокзальных электронных часах, поток изменений состоя-
состояний ЭВМ, определяемый тактом ее работы, и т. п.
в6
Рис. 2.1.3
Регулярный поток событий довольно редко встре-
встречается на практике; он представляет определенный
интерес как предельный случай для других потоков
{см. далее п. 2.3). Однако несмотря на свою видимую
простоту, регулярный поток не имеет преимуществ
при математическом анализе, так как намного усту-
уступает по простоте проведения расчетов другим типам
потоков (в чем мы убедимся в дальнейшем).
В п. 5.2* в связи с законом Пуассона уже дава-
давалось понятие потока событий и формулировались не-
некоторые их свойства. Напомним их.
1. Ординарность. Поток событий называется
ординарным, если события в нем появляются пооди-
поодиночке, а не «пачками» по 2, 3 и т. д. Дадим этому
At
О t t+At t
Рис. 2.1.4
свойству математическую формулировку. Рассмотрим
элементарный участок А/, примыкающий к точке t
(рис. 2.1.4). Ординарность потока означает, что ве-
вероятность попадания на участок Д/
двух или более событий пренебрежимо
мала по сравнению с вероятностью по-
попадания на него ровно одного события,
т. е. при Л/-»-0 эта вероятность представляет собой
бесконечно малую высшего порядка. Обозначим
Pi{t,M) вероятность попадания на участок (t,t-\-&t)

50 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ, ИХ СВОЙСТВА
ровно одного события, />о(/, АО—вероятность непопа-
непопадания на него нн одного события, р>1 (/, ДО — вероят-
вероятность попадания на него двух или более событий. Оче-
Очевидно, для любого А/ (большого или малого)
pQ(t, ДО + М'. Ы) + Р>1 (t, ДО-1, B.1.1)
как сумма вероятностей полной группы несовместных
событий. Из этих вероятностей, очевидно, при малом
Af вероятность po(f, АО самая большая. Для орди-
ординарного потока событий вероятность p^,(f, ДО пре-
пренебрежимо мала по сравнению с другими слагаемыми:
Р>1 «.&!) = о(Pl(t, Д/)). B.1.2)
В математике символом о (лс) обозначается бесконечно
малая высшего порядка по сравнению с той, которая
стоит в скобках, т. е. формула B.1.2) означает, что
о.
Для ординарного потока можно пренебречь возмож-
возможностью совмещения на элементарном участке Д* двух
или более событий, в частности, возможностью одно-
одновременного появления двух или более событий. При-
Примерами ординарных потоков событий могут служить
поток деталей, поступающих на конвейер для сборки,
поток отказов технического устройства, поток автома-
автомашин, прибывающих на станцию техобслуживания.
Примером неординарного потока может служить по-
поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный
этаж. Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь
ординарные потоки событий.
Введем новое важное понятие — интенсив-
интенсивность потока. Рассмотрим ординарный поток со-
событий. Обозначим X(t,bt) случайное число событий,
попадающих на элементарный участок (/, f-f-ДО
(рис. 2.1.4). Ряд распределения этой случайной вели-
величины имеет вид
1
*(/, ДО:
Po(t, АО
Pi U, АО
где в столбце с проставленными многоточиями стоят
сверху значения 2, 3, ...» а внизу — соответствующие
им вероятности (напомним, что они пренебрежимо

2.1. ПОТОКИ СОБЫТИЯ 51
малы по сравнению с pi(t,At)). Найдем математиче-
математическое ожидание св. X(t,At) (будем считать, что м.о.
существует). Можно написать;
ЩХЦ, А/)] = 0 . pQ{t, Д0+ 1 • р,(/, &*) + аР>1 (/, Л/),
где а — сколь угодно большая, но не стремящаяся
к бесконечности при Л/-»-0 величина. Найдем предел
отношения M[X(t, At)] к длине участка At:
M[X{t,bt))
= Jim i rr
д*-»о1 *'
,
Так как при Д/-»-0 вероятность p>t (t, At) стремится
к нулю быстрее, чем p\(t,At), вторым слагаемым под
знаком предела можно пренебречь, откуда
щжш Bл>3)
Если этот предел существует (а в инженерных при-
приложениях естественно предположить» что это именно
так), то он называется интенсивностью (плотностью)
ординарного потока событий в момент /,
B.1.4)
Физический смысл интенсивности h(t) потока со-
событий -— это среднее число событий, при-
приходящееся на единицу времени, для эле-
элементарного участка At, примыкающего к /.
г
Интенсивность потока событий к (t) может быть
любой неотрицательной функцией времени: Х(/)^0 и
имеет размерность Г 1.
Очевидно, среднее число событий ординарного по-
потока, приходящееся на интервал времени ?, примы-
примыкающий к точке / (рис. 2.1.5), равно
t)dt. B.1.5)

52
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
В частности, при постоянной интенснвности потока
t+x
М [X (t, х)] = J X dt = Ят. B.1.6)
2. Отсутствие последействия. Поток со-
событий называется потоком без последействия, если
для любых неперекрывающихся участков времени
Т], Тз, -••, Тл (рИС. 2.1.6) ЧИСЛа СОбЫТИЙ Х\ =eJf(/|,tl),
Настоящее:
Рис 2.1.6
), .... Х„=гХ{1я,и)> попадающих на эти
участки, представляют собой независимые случайные
величины, т. е. вероятность попадания любого числа
событий на один из участ-
участков не зависит от того,
сколько их попало на дру-
другие (см. п. 7.5*).
Отсутствие последей-
последействия в потоке означает,
что для любого момента
времени to будущие мо-
Рис. 2. и менты наступления собы-
событий потока (при t > /о)
не зависят от того, в какие моменты наступали собы-
события в прошлом (при /</о, см. рис. 2.1.7). В п. 5.2*
было доказано, что если поток без последействия,
ординарен и имеет постоянную интенсивность X, то
число событий X(t,i), попадающих на участок вре-
времени длины т (рис. 2.1.8), имеет распределение
Пуассона с параметром а = \х:
(* = 0, 1, 2, ...). B.1.7)
о
Можно доказать (см. J8J), что и при непостоянной
интенсивности потока \{t) число событий X(t,x), по-
попадающих на участок времени т, примыкающий к мо-
моменту I, также распределено по закону Пуассона
B.1.7), но в нем параметр а зависит не только от

2.1. ПОТОКИ СОБЫТИЯ 53
длины участка т, но и от того, где этот участок рас-
расположен:
a = fl(/, t)= \ X(t)dt, B.1.8)
так что распределение случайной величины X{t, x)—
числа событий на участке {t, t + x)—имеет вид
B.1.9)
Ординарный поток событий, в котором отсутствует
последействие, называется пуассрновским потоком.
Его связь с распределением Пуассона ясна из формул
О t X(t,f) t
Рис; 2.1.8
B.1.7), B.1.9). В дальнейшем, имея дело с пуассонов-
скими потоками, мы часто будем встречаться с пуас-
соновскими распределениями тех или других с. в.
3. Стационарность. Поток событий называет-
называется стационарным, если все его вероятностные харак-
характеристики не меняются со временем. В частности, для
стационарного потока событий вероятность попада-
попадания того или иного числа событий иа участок длины т
О t, X,U1ft) t2 X3(tvf) t
Рис. 2.1.9
зависит только от длины этого участка и не зависит
от того, где именно на оси времени 0/ этот участок
расположен. Это значит, что числа событий X\{tux) и
Xidttt), попадающих на два участка одинаковой дли-
длины х (рис. 2.1.9), будут иметь одинаковое распреде-
распределение. Отсюда следует, в частности, что для с т а -
ционарногопотока событий его интен-
сивностьЛ@ постоянна:
Х = const.

54 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
Поток событий, обладающий всеми тремя свой-
свойствами, т. е. ординарный, стационарный и
без последействия, называется простейшим
(или стационарным пуассоновским) потоком. Для
простейшего потока событий вероятность того, что на
участке времени длины х наступит ровно k событий,
определяется по формуле B.1.7), где а^л/г, X, — ин-
интенсивность потока.
Простейшим этот поток назван потому, что
исследование систем, находящихся под воздействием
простейших потоков, проводится самым простым об-
образом, в чем мы убедимся в дальнейшем (см. гл. 4 и 5).
Следующей ступенью сложности по сравнению
с простейшим является поток с ограниченным после-
последействием. Будем так называть поток, у которого
случайные интервалы Г,; Т9, .... Г„, ... (рис. 2.1.1)
между соседними по времени событиями представляют
собой независимые случайные величины. Иногда поток
с ограниченным последействием называют рекуррент-
рекуррентным; это связано с тем, что при его моделировании
применяется рекуррентная (последовательная) про-
процедура: сначала разыгрывается величина 7*1, затем
Тг и т.д.
Стационарный поток с ограниченным последей-
последействием называется потоком Пальма. Для такого по-
потока интервалы 7\, Га» • • ¦ между событиями представ-
представляют собой последовательность, независимых одина-
одинаково распределенных с. в.
Докажем, что простейший (стационарный пуассо-
новский) поток является потоком Пальма. Найдем
закон распределения интервала времени Т между лю-
любыми двумя соседними событиями (рис. 2.1.10). Най-
Найдем сначала функцию распределения F(t) св. Т. По
определению (см. п. 3.2*)
Р{Г<'Ь B.1.10)

2.1. ПОТОКИ СОБЫТИЯ 55
Для выполнения условия B.1.10) надо» чтобы интер-
интервал Т принял значение меньшее, чем t (как показано
на рис. 2.1.10); а для этого нужно, чтобы на участке
времени длиной t появилось хотя бы одно событие
потока. Введем в рассмотрение событие А = {хотя бы
одно событие наступило на участке t). Найдем ве-
вероятность противоположного события: A»{ни одного
события не наступило на участке t). Но мы знаем, что
число событий л(/), попадающих на интервал t (где
бы он ни находился), распределен по закону Пуас-
Пуассона B.1.7), т. е. Р {X @ = k\ = aV7*!, где а *= W,
т. е.
P{X{t) = k} = W)ke-M/k\ (Л = 0, 1, 2, ...). B.1.11)
Полагая в формуле B.1.11) Л=0 и учитывая, что
01 = 1, получим Р(Л) = Р {^@ = 0} *=егм, откуда
F@ = PD)=l —Я(А)=~ 1—<гЧ Итак, ф.р. интер-
интервала Т между соседними событиями в простейшем
потоке равна
F@=l-e-x' (*>0). B.1.12)
Дифференцируя B.1.12), найдем плотность распреде-
распределения св.
f(t)~*dF{t)/dt = XeJ* {t>0). B.ЫЗ)
Это распределение нам уже известно из книги {6],
оно называется показательным распределением (см.
п. 6.2*). График плотности B.1.13) дан на рис. 2.1.11.
Мы убедились, что интервалы времени Т\, Т2. • • • ме-
между соседними событиями простейшего потока рас-
распределены одинаково с плотностью B.1.13). Незави-
Независимость величин Т\, Тг, ... следует из отсутствия по-
последействия в простейшем потоке.
Таким образом, интервалы времени между сосед-
соседними событиями простейшего потока распреде-
распределены одинаково по показательному за-
закону B.1.13) и независимы между собой; значит,
простейший поток представляет собой
поток Пальма. Поток Пальма, отличный от про-
простейшего, получится, если интервал между соседними
событиями представляет собой неотрицательную
случайную величину с отличным от показательного

56
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
распределением (например, представленном на
рис. 2.1.12). Последействие в таком потоке имеется,
потому что условный закон распределения оставшейся
части времени до появления ближайшего следующего
„-Xt
Рис. 2.1.П
О
события зависит от того, какое время т; уже прошло;
в этом мы убедимся в дальнейшем.
2.2. Некоторые свойства потоков Пальма
Рассмотрим на оси 0/ поток Пальма, у которого
интервалы между соседними событиями представляют
собой независимые, непрерывные св. 7\, Т?, ...
.... Тк, .... распределенные одинаково с ф.p. F(t)
(и, значит, с п. р, f@— F'U))-
Предположим, что на ось О/ случайным образом
(никак не связанным с потоком событий) падает
точка J (ptfc. 2.2.1). Например, пассажир выходит на
Рис, 2.2.1
автобусную остановку в момент времени ?, никак не
связанный с расписанием, а моменты прихода автобу-
автобусов на остановку образуют поток Пальма, где интер-
интервал Т между соседними событиями —непрерывная
случайная величина с ф. p. F(t) и плотностью f(t)=**
=sF'{t). Другой пример: работает какой-то элемент
технического устройства (скажем, большая интеграль-
интегральная схема), при отказе элемент мгновенно заменяется

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 57
другим путем переключения. Поток отказов представ-
представляет собой поток Пальма; осмотр элемента и снятие
его параметров производится в случайный момент 7,
никак не связанный с потоком отказов. Еще пример:
промежутки времени исправной работы ЭВМ, если
наложить их на ось времени непосредственно друг за
другом (исключая времена ликвидации неисправности
или считая, что неисправность ликвидируется мгновен-
мгновенно с помощью программных средств),образуют поток
Пальма; решение задачи на ЭВМ начинается в момент
7, никак не связанный с потоком (в литературе слу-
случайную точку, падающую на ось времени в неожи-
неожиданный момент, иногда называют «инспектором»).
Решим следующую задачу: поток событий пред-
представляет собой поток Пальма; точка 7 случайно па-
падает на какой-то интервал Т* между событиями по-
потока (рис. 2.2.1). Требуется найти закон распределе-
распределения интервала Т*.
С первого взгляда может показаться, что закон
распределения интервала 7**—такой же, как и закон
распределения любого другого интервала Т в потоке
Пальма. Но это не так: тот факт, что случайная точка
7 попала на интервал Т*, меняет его закон распреде-
распределения.
Действительно, рассмотрим простейший пример.
Пусть с. в. Т дискретна и имеет только два возможных
значения 1 и 9, которые она принимает с вероятностью
1/2; ряд распределения с. в. Т имеет вид
B.2.1)
Найдем м.о. случайной величины Т: М[Г)= 1 A/2) +
+ 9 A/2) = 5.
Теперь представим себе: известно, что случайная
точка попала на какой-то интервал Т*. Так как уча-
участки длиной в единицу и в 9 единиц времени на оси
Of встречаются с одинаковой вероятностью, то при до-
достаточно большом общем времени наблюдения (на от-
отрезке оси Of) участки длиной 9 и I будут встречаться
примерно одинаково часто. В общей протяженности
оси участки длиной 9 будут занимать долю 0,9, а уча-
участки длиной 1 —долю 0,1. Точка 7 падает на ось Of
совершенно случайно, «не разбирая», где какой
1
1/2
9
1/2

58 ГЛАВА 2 ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
участок. Значит, с вероятностью 0,9 интервал Г\ на
который попала точка ?, будет иметь длину 9, а с ве-
вероятностью 0,1—длину 1. Ряд распределения св. Т*
будет иметь вид
1 | 9
Г;
0,1 0,9
B.2.2)
Мы видим, что ряд распределения B.2.2) существенно
отличается от B.2.1). В частности, м. о. случайной
величины Г будет: М \Т*] — 1 0,1 -f 9-0,9 = 8,2; оно
существенно отличается от м. о. величины 7, равного 5.
Этот элементарный пример убеждает нас в том,
что факт попадания случайной точки I на один из ин-
интервалов между событиями потока Пальма в общем
случае меняет его закон распределения.
Решим поставленную задачу в общем виде. Пусть
непрерывная св. Т—интервал между соседними со-
событиями потока Пальма имеет п. р. /(/). Найдем п. р.
ft*(t) того интервала Т*, на который попала случай-
случайная точка ?. Найдем для этого интервала элемент
вероятности: ft, (/) dt « Р {Т* е (/, / -f- dt)}. Эта вероят-
вероятность приближенно равна отношению суммы длин
всех интервалов между событиями, длина которых
заключена в элементарном промежутке (t,t-\-dt),
к общей длине т достаточно большого участка оси Of.
Допустим, что на этом большом участке времени
уложилось всего п интервалов между событиями. Ма-
Математическое ожидание числа интервалов, длина ко-
которых лежит в пределах (t,t + dt), равна nj{t)dt,
а средняя суммарная длина всех таких интервалов
приближенно равна t-nf(t)dt. Средняя же общая
длина всех п интервалов на большом участке т оси
абсцисс равна n-mt, где mt~M[T]—\tf{t)dt, Раз-
о
делив одно на другое, получим;
Это равенство становится точным при т-*-оо, п—»-оо.
Отсюда находим
/,ло = ~г (/>0)- B>2-3)

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 69
Найдем числовые характеристики св. Т:
= М = ,( + А, B.2.4,
где Dt — дисперсия св. Т. Так как м. о. неотрица-
неотрицательной с. в. Т всегда больше нуля, а ее дисперсия
неотрицательна, то
М[Г)^М[Т] = ти B.2.5)
т. е. факт попадания случайной точки 7 на интервал
Т* увеличивает его среднюю длину по сравнению
с априорной (до получения сведений о том, что точка
7 попала на интервал). Неравенство B.2.5) превра-
превращается в равенство только тогда, когда Dt = О, т. е.
интервал 7—неслучайная величина, а поток—регу-
поток—регулярный.
Найдем дисперсию случайной величины Г*:
О[Г]=М[(Г)г]-(М[П)г =
и»)\ B.2.6)
Интеграл в формуле B.2.6) есть не что иное, как тре-
тий начальный момент ай[Т] с. в. Т: аз [Г] = t flf{t) dt
см. п. 4.2*).
Итак, дисперсия интервала Г*, на который попала,
случайная точка 7, равна:
О[1 \= I mt Н 1 —2.
B.2.7)
Рассмотрим более подробно интервал T*t на кото-
который попала случайная точка 7 (рис. 2.2.2). Эта точка
делит интервал Т* на два участка: Q — от ближай-
ближайшего предыдущего события до точки 1 и R — от точки
7 до ближайшего последующего события. Найдем за-
закон распределения и числовые характеристики систе-
системы случайных величин (Q,R). Рассмотрим гипотезу,

60 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
состоящую в том, что с. в. Г* попала на элементар-
элементарный участок (t,t-{-dt). Вероятность этой гипотезы
есть элемент вероятности: Р {Т* е (/, t + dt)} « ft,(t)dt.
Обозначим условную плотность распределения
случайной величины Q при этой гипотезе fq(q\t). Так
как точка I «бросается» на ось Of совершенно слу-
случайно, безотносительно к событиям потока, то при
1
0
т*
ч* |
R
t
Рис. 2.2 2
этой гипотезе она будет иметь равномерное распреде-
распределение на участке @, t):
fq(q\t)=\/t при 0 <q<t, t>0. B.2.8)
По интегральной формуле полной вероятности (см.
(8.1.26)*) находим
оо
\
о
Но так как fq(q\t) отлична от нуля только при д < t,
то
00
fq(Q)=\ft.(t)dt/t (g>0).
Q
Но по формуле B.2.3) ft.(t) = tf(t)/mt; следовательно,
оо с»
!щ (Я) = 5 // (/) dt/itmt) = ~ \ f (/) dt. B.2.9)
я я
Интеграл в B.2.9) представляет собой не что иное,
как вероятность события {Т > q}\ Р {Т > q} = I —
— F(q), так как* с. в. Т имеет ф. p. F(t), откуда плот-
плотность распределения с. в. Q равна
Поскольку вид п. р. не зависит от обозначения аргу-
аргумента,
/, (/) „-ЦШ. B.2.10)

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 61
Рассуждая аналогично для случайной величины /?,
получим ту же плотность распределения
B.2.11)
Найдем м.о. и дисперсии с. в. Q и R и их коварна-
цию. Из равенства
r = Q + R B.2.12)
(рис. 2.2.2) находим, что М [Г] = М [Q] + М [R], но
с. в. Q и R распределены одинаково, следовательно,
M[Q] = M[/?], откуда (см. B.2.4))
М [Q] = М [/?] = М [Г]/2 = М [T2\j{2mt). B.2.13)
Для нахождения дисперсий D[Q] = D[/?] пользуемся
формулой D[Q] = M[($~<M[Q]J. Имеем:
М [Q2] = \ t2U (О Л = \ /2 ' ~/{t) dt.
Представим t2dt в виде df-r-/3] и воспользуемся ин-
интегрированием по частям:
(ев аа
(
/3A-
о о
оо
1
так как lim ^(l — F(t)) = 0, если существует третий
начальный момент с. в. Т. Значит,
х J-. B.2.14)

62 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
Что касается ковариации Кяг, то ее находим, исполь-
используя формулу D [Q + /?] = D [Q] + D [R] + 2Kqn и учи-
учитывая, что Q + R = Г', получим (см. B.2.7) и B.2.14))
, _ а3[Т) + (М
3/п 4
B2M)
Найдем условный закон распределения с. в. R при
условии, что с. в. Q приняла значение q. Условная
функция распределения св. R при условии, что св.
Q попала на элементарный интервал {q, q d)
будет:
p {<? + *<? + ': q<Q<q + dg) _
\ uf{u)dudqmtju \ f{u)du
I _^ F(q + r)~F (q)
^J I ^
mt(\-F(q))dq 1 - F (q) 1 - F (g)
Следовательно, условную плотность распределения
fr (r| q) найдем из выражения
4^Г B2Л6)
Для получения выражения для условной плотности
U(9\r) достаточно поменять местами буквы г и q
в выражении B.2.16): fq(q\r) = f(r + q)/(l—F(r)).
Теперь осталось показать, что условные плотности
в последних выражениях обладают необходимыми
двумя свойствами:
1) Ы<?!г)^0 (эт0 следует из того, что
^0, (\-F(r)) ^0).
2)
о
Аналогичные выражения можно получить и для
условной плотности fr{f\q)-

а.г. некоторые свойства потоков пальма 63
Таким образом, условные законы распределения
случайных величин Q и /? определяются формулами
B.2.16).
С помощью аналогичного приема найдем условную
плотность распределения ft*(t\q) св. Г* при усло-
условии, что св. Q приняла определенное значение q:
ft; я it, q) = fr (О • fq {q \t) = fq (q) ¦ ft- (t I q),
откуда
f
Воспользуемся формулами B.2.3), B.2.8) и B.2.10):
B.2.17)
Аналогично, имеем
h(t\r)= ^f^ npuO<r<t. B.2.18)
Напомним, что в формулах B.2.16) — B.2.18)
функции f(t) и F(t) соответственно—плотность и
функция распределения случайной величины Г—ин-
Г—интервала между событиями в потоке Пальма.
Применим выведенные формулы для распределе-
распределений отрезков Г*, Q, R и их характеристик к случаю,
когда поток событий — простейший с интенсив-
интенсивностью X.
По формуле B.2.3), учитывая, что rrtt = 1 /К на-
находим плотность распределения св. Т*.
Ki (/>0), B.2.19)
а это есть не что иное, как закон Эрланга 2-го по-
порядка (см. F.4.8)*), т. е. закон распределения сум-
суммы двух независимых св., распределенных по по-
показательным законам с параметром %. Отсюда
М [Г] = 2М [Т] = 2Д, D [Г] = 2D [Т] = 2/Я2.
Это дает тот же результат, что формулы B.2.4) и
B.2.7). Находим плотность fg(t) св. Q (такой же бу-
будет и плотность fr{t) св. R) по формуле B.2.10):
/, @ = h @ = [1 ~ (I - е м)\ ¦ ^ = kr" (t > 0);
B.2.20)

64 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
следовательно, случайные величины Q и R распреде-
распределены каждая по показательному закону с парамет-
параметром X. Их характеристики равны соответственно:
М [Q] = М [R] = I A, D [Q] = D [/?] = 1 А2,
что согласуется с результатами расчетов по форму-
формулам B.2.13), B.2.14).
В силу отсутствия последействия случайные вели-
величины Q и R независимы (первая из них относится
к прошлому, до момента времени 1, вторая — к буду-
будущему). Покажем, что ]q{q\r) = f(,(q) = 'ke-Xl> (q >
>0). По формуле B.2.16) имеем
Независимость с. в. Q и R подтвержается и тем, что по
формуле B.2.15) A^
Решим более общую задачу: интервал Т между
последовательными событиями потока Пальма имеет
распределение Эрланга fc-ro порядка с параметром
к (см. п. 6.4*):
f(t)=f{k)(t) = X(Xt)k~le~X'l(k-\)\ (t>0). B.2.21)
Найдем п. р. и характеристики с. в. Т*, Q, R. По
формуле B.2.1) находим (M[7]=fe/A=U~1):
l. B.2.22)
m,
Таким образом, св. Т* тоже распределена по закону
Эрланга, но уже (А:+1)-го порядка. Следовательно,
B.2.23)
Функция распределения F(t) с. в. Г имеет вид (см.
F.4.10)*):
я-0 "¦
т
или, пользуясь функцией R(m, а)= ? ае In!:
I
п~0
\t)=l~R(k-\,Xt). B.2.24)

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 65
По формуле B.2.10) находим п.р. каждой из св.
Q и /?:
if @ = /'*>(t) = A - F{k)(t))fmt = XR(k-l, U)jk.
B.2.25)
При k > 1 это уже не закон Эрланга, а вероятностная
смесь ft законов Эрланга порядков A,2, ..., /п, ...,&)
с вероятностями I/ft (см. п. 9.8*):
Математическое ожидание
М [Q] = М [/?] = М [Г]/2 = (ft + 1)/BЯ). B.2.26)
Чтобы найти D[/?] = D[Q] и Kqr по формулам
B.2.14), B.2.15), нужно найти третий начальный мо-
момент а.ъ\Т)\
Отсюда
(fe (fe +1)
= -^-А,-2, B.2.28)
откуда коэффициент корреляции
гвг = -7=2?==г= —-!^-. B.2.29)
Из формулы B.2.28) видно, что при ft > 1 кова-
ризция Kqr (и коэффициент корреляции rqr) отрица-
отрицательны. При k—»-oo rgr-^*—I.

Б5 глава г. потоки событий, их свойства
Пример 1. Интервал 7 между последователь-
последовательными сбоями ЭВМ, устраняемыми практически мгно-
мгновенно с помощью программных средств, имеет распре-
распределение Эрланга 3-го порядка с параметром А, =
= 0,5 A/час). Для решения задачи требуется работа
ЭВМ без сбоев в течение двух часов. Задачу начи-
начинают решать в произвольный момент 7, никак не свя-
связанный с потоком сбоев. Найти вероятность события
А = {задача будет решена с первого раза).
Решение. Событие А состоит в том, что св./? —
время, оставшееся до очередного сбоя, примет значе-
значение, большее двух часов:
оо
р (Д) = р {/? > 2} - \ frk)@ dt. B.2.30)
2
По формуле B.2.25) при k = 3 получим
". B-2.31)
rt-0
Подставляя это выражение в формулу B.2.30), полу-
получаем
2
2 л-О
В п. 6.4* было показано (см. F.4.11)*), что
^e-xdx = R(n, a). B.2.33)
Сделаем в интеграле B.2.32) замену переменных
0,5/= х и воспользуемся формулой B.2.33):
2 »
л-0
Но
#@, 1) =

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 67
откуда
р (Л) = 1 [е-1 + 2е~ • + 5е~ '/2] = -^- е~' « 0,675.
Пример 2. Для условий предыдущего примера
найти вероятность решения задачи с первого раза,
если с момента предыдущего сбоя в ЭВМ до момента
начала решения задачи прошел 1 час.
Решение. В данном примере событие А = {за-
{задача будет решена с первого раза} состоит в том, что
св. R — время, оставшееся до очередного сбоя, при-
примет значение, большее 2 часов, при условии, что с. в.
Q — время от предыдущего сбоя до начала решения
задачи, приняло значение q = 1 час. По формулам
B.2.16), B.2.21) и B.2.24) имеем
f (
Ш±11
l_F{g)~ (ft - 1I JJ (ft - I,
В рассматриваемом случае Jfe = 3, q=l (час), к =
= 0,5 A/час)
~ 0,0385 (r + IJ vu (r > 0).
Искомая условная вероятность события А будет опре-
определяться по формуле
= 0,0385 J (г + Ife-^dr « 0,821.
г
Замечание. Отметим, что условная вероятность
P(A\Q*=q) может быть как больше вероятности
Р (А), так и меньше ее:
Это зависит от того, какое значение q взять. Оче-
Очевидно, что если <7 = 0 (задачу начали решать на ЭВМ

68 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
сразу после очередного сбоя), то Р(Л| Q = 0) будет
достигать своего максимального значения:
2
о
В рассматриваемом случае имеем (см. B.2.24))
P(^fQ = O)= 1 — FB)=l — A —/?C— 1; 0,5-2)) =
= RB,\)~ 0,920.
Если взять q = 20 ч, то
f,{r| q = 20) « 0,00103(г + 20Jе~и (г > 0).
В этом случае
оо
Р (А\ Q = 20) = J 0,00103 (г + 20Jб"^ dr « 0,440.
2
Чем больше величина q, тем меньше будет условная
вероятность P(A\Q = q). >
Потоки Пальма широко применяются в теории
восстановления — разделе теории надежности техни-
технических устройств. В теории восстановления {131 рас-
рассматривается следующая вероятностная задача. Имеет-
Имеется неограниченное количество одинаковых по своим
Рис. 2.2.3
характеристикам элементов. Первый элемент вклю-
включается в работу в момент /=0 и работает случайное
время Г], после чего выходит из строя (отказывает).
В момент отказа первого элемента он мгновенно за-
заменяется (восстанавливается) вторым, который рабо-
работает случайное время Т$, после чего заменяется (вос-
(восстанавливается) третьим, работающим случайное вре-
время Tz, и т. д. (рис. 2.2.3). Такой процесс восстанов-
восстановления элементов продолжается неограниченно, причем

2.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ПАЛЬМА 69
каждый отказавший элемент немедленно заменяется
новым.
Если случайные величины Ти 7*2, ... независимы
и одинаково распределены, то поток отказов (он же
поток восстановлений) представляет собой поток
Пальма (начало координат t = О не считается вос-
восстановлением). Образующийся при этом случайный
процесс называется простым процессом восстановле-
восстановления. В теории восстановления [13] обычно рассмат-
рассматриваются следующие характеристики процесса:
1. Продолжительность времени от начала *=0
(момент включения первого элемента) до k-ro от-
отказа (восстановления)
2. Число восстановлений X(t), имевших место на
участке времени @, t).
3. Функция восстановления Л(*)—математическое
ожидание случайного процесса X(t):
Л (/) = М [X <*)].
4. Плотность восстановления Х@- определяемая
как
Д<0 Ы at
5. «Возраст» элемента Q, достигнутый им в произ-
произвольный момент времени I, никак не связанный с по-
потоком восстановлений (если процесс длился доста-
достаточно долгое время). Случайная величина Q, как мы
показали, имеет плотность распределения B.2.10).
6. «Остаточное время жизни» элемента R, остаю*
щееся ему в момент I до отказа (при том же предпо-
предположении о достаточной длительности процесса вос-
восстановления); св. R имеет то же распределение,
что и Q.
Как видно, все решенные выше задачи находят
прямое инженерное приложение в теории восстанов-
восстановления.
Наиболее простой разновидностью потока Пальма
является простейший (стационарный пуассоновский)
поток. Мы уже знаем (см. B.1.13)), что у такого
потока плотность распределения интервала Т между

70 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
соседними событиями представляет собой показатель-
показательный закон f(t) = Хе-*-' (/>0).
Легко показать, пользуясь формулой B.2.10), что
точно таково же распределение каждой из случайных
величин Q и R:
Это и естественно: отсутствие последействия в про-
простейшем потоке говорит о том, что распределение
времени, оставшегося до ближайшего события по-
потока, такое же, как и распределение времени между
событиями потока; наличие очередного события в на-
начале отсчета промежутка никак не влияет на остав-
оставшуюся его длину. По этой же причине (отсутствие
последействия) случайные величины Q и R для про-
простейшего потока независимы. Действительно, в про-
простейшем потоке любая сколь угодно подробная ин-
информация о том, как вел себя поток в прошлом (до
произвольного момента ?), не дает никаких сведений
о том, как этот процесс должен протекать в будущем
(после момента I). Это — основная причина того, что
различные инженерные задачи, связанные со случай-
случайными процессами, проще всего решаются, когда изме-
изменения состояния физической системы S, в которой
протекает случайный процесс, происходят под дей-
действием простейших потоков событий. Несколько слож-
сложнее, но все же сравнительно просто решаются задачи
исследования случайных процессов в том случае, когда
фигурирующие в них потоки событий являются не-
нестационарными пуассоновскими (с переменной интен-
интенсивностью МО)» самое важное свойство — отсутствие
последействия — при этом сохраняется. Исследуя про-
процесс на участке времени, следующем за моментом /о
(будущее), мы можем учитывать только состояние
системы в момент t=t$ (настоящее) и не заботиться
о том, как он протекал при t<.t0 (в прошлом).
2.3. Потоки Эрланга
Потоком Эрланга k-го порядка с параметром Я
называется поток Пальма, у которого интервалы ме-
между событиями распределены по закону Эрланга k-vo
порядка (?=2, 3, ...). Поток Эрланга &-го порядка
может быть получен из простейшего с помощью его

2.3. ПОТОКИ ЭРЛАНГА 71
«просеивания» (или «разрежения»); при этом в про-
простейшем потоке сохраняется каждое 6-е событие, а все
промежуточные отбрасываются. Например, если в про-
простейшем потоке с интенсивностью X сохранять каж-
каждое второе событие, а промежуточное — выбрасывать,
то получится поток Эрланга 2-го порядка; на рис. 2.3.1
ТB>
Рис. 2.3.1
показана процедура формирования этого потока из
простейшего; кружками отмечены сохраняемые в по-
потоке события, обычными точками — отбрасываемые.
Очевидно, что интервал П2> между двумя событиями
в просеянном таким образом потоке есть сумма двух
независимых с. в., имеющих показательное распреде-
распределение с параметром X, равным интенсивности исход-
исходного простейшего потока: 7B) = Tt + TV На рис. 2.3.2
-*-<•} * * Wh+
Рис. 2.3.2
показана схема преобразования простейшего потока
в поток Эрланга 3-го порядка. Случайная величина
1П3) — интервал между соседними событиями в потоке
Эрланга 3-го порядка есть сумма трех независимых
св., имеющих показательное распределение с пара-
параметром Я.:
ГР) = Г, + Г2 + Г3.
Очевидно, для потока Эрланга /fe-ro порядка, в кото-
котором из простейшего потока сохранено только каждое
А-е событие, а промежуточные отброшены, интервал
времени Г(А> между соседними событиями можно

72
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
представить в виде суммы k независимых св., распре-
распределенных по показательному закону с параметром X:
Pt. B.3.1)
где Tt — св., имеющая показательное распределение
с параметром X.
Заметим, что простейший поток представляет со-
собой поток Эрланга 1-го порядка (k=\). В книге
[6] (п. 6.4*) было показано, что п. р. /<*>(*) св. Л*)
имеет вид
- 1I (*>0), B.3.2)
а это есть не что иное, как закон Эрланга fc-го по-
порядка с параметром Я. Пользуясь функцией Р(гп,а) =
= ame~a/m\i можно записать плотность B.3.2) в виде
= XP(k-\, Xt) (/>0, ?=1,2, ...), B.3.3)
а ф. р. выразить через функцию R(m, a)
Fik)(t)=\-R(k-\, Xt) (/>0, /г
Таблицы значений функций P{m,a) и Я
дены в приложении [5].
X ake~a(k\:
, 2, ...).
B.3.4)
, а) приве-
привеQ
,<*)
><
Рис. 2.3.3
Числовые характеристики св. 7*<*> (см. B.3.1))
равны:
B.3.5)
Рассмотрим случайный момент i (никак не связанный
с потоком) и найдем законы распределения случай-
случайных величин Г*1*>, Q<*\ #<*> (см. рис. 2.3.3), как мы

2.3. ПОТОКИ ЭРЛАНГА 73
это делали в п. 2.2 для потока Пальма. По формулам
B.2.3) и B.3.3) имеем
It* v) == TkT~ == I — » ' == ^ » '»
m^ к/к
B.3.6)
а это есть не что иное, как закон Эрланга (ft + 1)-го
порядка (на единицу большего, чем порядок исход-
исходного эрланговского потока) с параметром %. Следо-
Следовательно (см. B.3.5)),
М [Т*т] = (ft + 1)А, D [f{ky] = (ft + 1)А2. B.3.7)
По формулам B.2.10) и B.2.11) находим п. р. случай-
случайных величин Qik) и #<*? (они, естественно, одина-
одинаковы) :
где Я*>(/)—ф. р. закона Эрланга ft-го порядка (см.
B.3.4)); отсюда
/?}<<) = [1 -<1 -R{k - 1, Щ) ¦ ? = ! R{k- I, W).
Такова же и плотность распределения с. в. R:
f»@ = frk)(f) = KR{k-l, U)(k (t > 0). B.3.8)
Заметим, что п.р. Д**@ представляет собой вероят-
вероятностную смесь k законов Эрланга порядков 1, 2, ...
.... т> ..., k (см. п. 9.8*), взятых с равными вероят-
вероятностями I/ft. Действительно,
~lL (m- 1)! ^ ~Т
где P'nHt) = \(U)m-le-M/{m— 1I — закон Эрланга
m-го порядка с параметром X (m = 1, 2, ..., ft). По
формуле B.2.13) находим м. о. каждой из величин
Q<*> и /?<*>:
М [Q<*>] = М [/?<*>] = М [Г* <й)]/2 = (ft Ч-1)/B^). B.3.9)

74 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
Пользуясь формулами B.2.13) и B.2.14), можно убе-
убедиться» что
D [Q(*>] = D [Rm] =
_М[(Г<*>K1 М[(Г<»>J] _ (* + !)<* +Б)
"" <*> (<*>J *~ 2
12Я.2
По формуле B.2.15) найдем ковариацию К$ слу-
случайных величин Q(*> и /?<*>;
=м
Заметим, что порядок потока Эрланга k представ-
представляет собой целочисленную величину (k=\, 2, ...);
поэтому ковариация К{$ для k > 1 всегда отрица-
отрицательна, а при k = 1, когда поток Эрланга становится
простейшим, она, естественно, обращается в нуль.
Деля/Ci? на of о1? = D [Q'*] = D Щ найдем коэф-
коэффициент корреляции с. в. Q<*> и Rlk):
т_ /С^ ^ (k +D(l- ft) 12Й,2 _ А - 1
— 12Я2 '(*+l)(ft + 5)~ ft + 5"
B.3.12)
Отметим, что при увеличении порядка k потока Зр-
ланга (?-»-оо) коэффициент корреляции г^' стре-
стремится к —1; это означает, что при неограниченном
увеличении k связь между Q<*> и /?<*> приближается
к линейной функциональной с отрицательным коэф-
коэффициентом.
Некоторое неудобство пользования потоками Эр-
Эрланга Л-го порядка связано с тем, что с увеличением
k интенсивность потока уменьшается (за счет его
«прореживания»). Действительно, интенсивность по-
потока Эрланга Л-го порядка, возникшего из простей-
простейшего потока с интенсивностью К равна
кт = 1/М [T(k)] = Цк. B.3.13)
Чтобы интенсивность потока Эрланга не уменьша-
уменьшалась с увеличением k, а оставалась неизменной и рав-
равной интенсивности исходного простейшего потока, бу-

2.3. ПОТОКИ ЭРЛАНГА 75
дем сопровождать «прореживание» потока одновре-
одновременным уменьшением масштаба по оси Of, уменьшая
его в k раз при формировании потока Эрланга ?-го
порядка. Для этого достаточно интервал времени
Л*> между соседними событиями потока Эрлянга
й-го порядка разделить на k. Полученный таким об-
образом поток будем называть нормированным пото-
потоком Эрланга 6-го порядка. В этом потоке интервал
времени между двумя соседними событиями равен
(см. B.3.1))
k
i ? „ B.3.14)
откуда (см. B.3.5))
М [f(A)] = M [tk}]/k = IД, D [Р>] = \!{k%% B.3.15)
Плотность распределения J{k>(t) св. f<fe> получим как
плотность линейной функции от св. 7<*> (см. (9.1.10)*
и (9.5.22)*):
f<fe)(t) = kfw(tk) = KkP(k~l, Ш) =
B.3.16)
где P(m,a) — распределение Пуассона с парамет-
параметром а,
кХ. B.3.17)
Отсюда видно, что с. в. f<*> будет также распределена
по закону Эрланга &-го порядка, но с параметром
&(*) = k%. Интенсивность Я<*> нормированного потока
Зрланга А-го порядка не зависит от А; и при любом k
равна интенсивности исходного простейшего потока
(для чего мы и проделывали нормирование):
i(k)=l/M\f(k)]^K. B.3.18)
Посмотрим, как изменяется распределение интер-
интервала времени f(*> между соседними событиями нор-
нормированного потока Эрланга &-го порядка при уве-
увеличении k.
Во-первых, это распределение с увеличением k
приближается к нормальному: величина Т<*> получена

'/б ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
в результате суммирования k независимых случай-
случайных величин, распределенных по показательному за-
закону с параметром X и последующего деления на k
(см. B.3.14)):
к
Z.W 1
1 -^
Из центральной предельной теоремы для одинаково
распределенных слагаемых (см. п. 10.2*) известно,
k
что при достаточно большом k сулша ? Tt будет
распределена по закону, сколь угодно близкому
к нормальному, а его линейная функция B.3.14) —
также приблизительно по нормальному закону; пара-
параметры этого закона равны: м. о. интервала f<fe>
B.3.19)
и с. к. о.
а =Л/Ъ [Т{к)] = Vl/(^2) = 1/(У?л), B.3.20)
Математическое ожидание, как мы уже отмечали, при
увеличении k не меняется; что касается среднего квад-
ратического отклонения, то оно с увеличением k
уменьшается обратно пропорционально Vk.
Опыт расчетов показывает, что даже при умеренно
больших значениях к (порядка 10 -г 20) с достаточ-
достаточной для практики точностью можно считать закон рас-
распределения интервала между соседними событиями
в нормированном потоке Эрланга нормальным с пара-
параметрами m = l/K or= 1/(V^)-
Во-вторых, одновременно с «нормализацией» зако-
закона распределения интервала при возрастании k его
с. к. о. с стремится к нулю, т. е. интервал становится
все менее и менее случайным, приближаясь (сходясь
по вероятности) к своему м. о. 1Д, а сам поток при-
приближается к регулярному потоку с ин-
интервалом между событиями, равным 1Д.
Таким образом, с помощью нормированного по-
потока Эрланга можно смоделировать потоки Пальма
с различным последействием. При k = 1 получаем
простейший поток (в котором нет последействия),

2.3. ПОТОКИ ЭР Л АН ГА
77
при увеличении k (k = 10 -~ 20) получаем поток
Пальма, у которого интервалы между событиями
распределены практически по нормальному закону.
При очень больших значениях k (в пределе при
k-*-oo) получаем регулярный поток, в котором имеет-
имеется полная функциональная зависимость между собы-
событиями в потоке. Найдем законы распределения и чис-
числовые характеристики случайных величин f*(*\ Q{k),
/?<*> (см. рис. 2.3.4) в нормированном потоке Эрланга
k-го порядка: применяя формулы B.3.15), B.3.16),
Рис. 2.3.4
B.2.3), B.2.4). B.2.6), B.2.10), B.2.13). B.2.14),
B.2.15), справедливые для любого потока Пальма,
получим:
B.3.21)
В справедливости формул B.3.21) читатель может
убедиться самостоятельно.
Обратим внимание на то, что при к-*-оо закон
распределения случайных величин Q(k> и R(k) будет
приближаться (сходиться по вероятности) к закону
равномерной плотности на интервале (ОД) с и.о.
Jim
= Hm
Пт
2Я.

78 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
и дисперсией
1imD[Q(t)]=limM[«(t)] =
При этом
lim г{$ = Нт - (k - 1)/(й + 5) = - I.
Получающиеся при таком предельном переходе св.
Q= lim Q<k>, # = Hm /?(ft> будут одинаково распре-
делены и связаны функциональной зависимостью
Q-\~R=l/%,. При таком предельном переходе св.
f* = Hm ?*(** = f= lim Остановится с вероятностью
к-Ню fc-+oo
единица равными неслучайной величине 1/Х.
Определенный инженерный интерес представляет
поток Пальма, у которого интервалы между собы-
событиями имеют гамма-распределение с параметрами
X > 0 и k > 0 (см. п. 6.4*) :
где
S
— гамма-функция.
Такой поток будем называть гамма-потоком с па-
параметрами Я, и k. Параметры Я, и k могут быть лю-
любыми неотрицательными числами.
В п. 6.4* было показано, что при целом положи-
положительном k гамма-распределение превращается в рас-
распределение Эрланга k-то порядка.
2.4. Предельные теоремы теории потоков
В книге [6] мы знакомили читателя с централь-
центральной предельной теоремой, которая утверждает, что
если складывать достаточно большое число незави-
независимых св., то при определенных условиях их сумма
будет распределена приблизительно нормально. По-
Поэтому нормальный закон распределения довольно ши-

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 79
роко распространен в природе и часто встречается
в инженерной практике.
При решении различных инженерных задач, а
также в других областях человеческой деятельности
часто пользуются допущением о том, что потоки со-
событий, определяющие различные с. п., являются пуас-
соновскими. Делается такое допущение не только по-
потому, что при этом упрощаются исследования, но и
главным образом потому, что во многих случаях оно
близко к истине. Дело в том, что пуассоновские по-
потоки в определенном смысле являются предельными
для различных потоков событий. Например, если по*
ток получается в результате «сложения» (или взаим-
взаимного наложения) достаточно большого числа потоков
различной структуры, то суммарный поток в весьма
широком диапазоне условий будет близок к пуассо-
новскому. Часто бывает, что техническое устройство
состоит из многих элементов, работа каждого из ко-
которых безусловно необходима для работы всего
устройства. В этом случае поток отказов технического
устройства будет складываться из потоков отказов
его отдельных элементов. Поэтому часто поток отка-
отказов технического устройства будет близок к пуассо-
новскому.
С другой стороны, если взять произвольный поток
Пальма и разрежать его случайным образом («вы-
(«выбрасывать» из этого потока с определенной вероят-
вероятностью каждое событие), то такой преобразованный
поток будет также приближаться к пуассоновскому.
Например, поток космических частиц, проходя через
атмосферу Земли, разрежается, поэтому поток частиц
у поверхности Земли будет близок к пуассоновскому,.
В инженерных приложениях довольно часто имеет
место как сложение потоков, так и их случайное раз-
разрежение. По этой причине при решении различных
прикладных задач широко используется допущение
о том, что потоки событий являются пуассоновскими.
Предельная теорема для суммарного
потока
Предельная теорема для суммарного потока опре-
определяет условия, при которых сумма независи-
независимых, ординарных, стационарных пото-
потоков событий сходится к пуассоновско-

80
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
му стационарному (простейшему) по-
потоку1). При этом условия, налагаемые на сумми-
суммируемые потоки, приблизительно аналогичны условиям,
накладываемым на слагаемые в центральной пре-
предельной теореме: складываемые потоки должны ока-
оказывать приблизительно одинаковое влияние на сум-
суммарный поток. Другими словами, среди суммируемых
потоков событий не должно быть потоков как с очень
большой интенсивностью, так и с исчезающе малой
интенсивностью. Надо отметить, что сходимость сум-
суммарного потока к пуассоновскому с увеличением чис-
числа складываемых потоков осуществляется довольно
быстро. В инженерной практике можно рекомендо-
рекомендовать считать сумму 5-^-7 потоков за пуассоновский
поток, если интенсивности этих потоков имеют одина-
одинаковый порядок и потоки независимы.
Уточним понятие сложения потоков событий. Сум-
Суммой двух потоков П\ и Пг будем называть поток Я(*\
п.
т—г
т
т~г
! I
Т Т Т
1 I1
I I
.4 U U
Рис. 2.4.1
в котором моменты появления событий состоят из мо-
моментов появления событий в потоках П\ и П% (см.
рис. 2.4.1).
Очевидно, что если складывают два стационарных
потока событий П\ и /73, то суммарный поток событий
/7<*> тоже будет стационарным; его интенсивность бу-
будет равна сумме интенсивностей складываемых по-
потоков:
ЛB)=Л1 + Я2. B.4.1)
Сумма любого числа стационарных потоков дает
стационарный поток с интенсивностью, равной сумме
интенсивностей слагаемых потоков.
1) Мы не приводим сравнительно сложное доказательство
этой теоремы, имеющейся в [8J.

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 81
Покажем, что при сложении ординарных потоков
событий суммарный поток тоже будет ординарным.
Например, при многорядном движении машин по
шоссе суммарный поток автомашин, подходящих
к данному пункту, будет ординарным. Другой при-
пример: поток отказов сложного технического устройства,
состоящего из нескольких элементов. Поток отказов
каждого элемента ординарен, поэтому поток отказов
всего технического устройства тоже будет орди-
ординарным.
На первый взгляд это может показаться не совсем
верным, так как возможен одновременный отказ не-
нескольких элементов (или одновременное пересечение
какой-то условной линии несколькими автомашинами
при многорядном их движении на шоссе). Однако ве-
вероятность такого события при сложении независимых
ординарных стационарных потоков Пальма равна
нулю, если интервалы времени между событиями
представляют непрерывные случайные величины. Мы
знаем (см. п. 3.2*), что вероятность каждого отдель-
отдельного значения непрерывной с. в. равна нулю; равна
нулю и вероятность точного совпадения значений,
принятых двумя независимыми непрерывными случай-
случайными величинами, из чего следует ординарность сум-
суммарного потока событий.
Очевидно, что при сложении любого числа п не-
независимых стационарных ординарных потоков будет
получаться снова стационарный ординарный поток,
интенсивность которого равна сумме интенсивностей
складываемых потоков:
B.4.2)
(-1
где X; — интенсивность t-ro потока Пи
Остановимся несколько подробнее на понятии «не-
«независимости потоков». Рассмотрим два участка вре-
времени ti и Т2, примыкающих к моментам U и /2
(рис. 2.4.2). Обозначим Xx(t\yxx) случайное число со-
событий, попадающих на участок \\\ А^/а.тг)—случай-
А^/а.тг)—случайное число событий, попадающих на участок т2. По-
Потоки #, и #2 называются независимыми, если слу-
случайные величины Xi(t\,x\) и Xz{t2, т2) независимы
при любых U, t2, ti, т2. Другими словами, два потока

82
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
независимы, если закон распределения числа собы-
событий, попадающих на любой участок времени в одном
из потоков, не зависит от того, сколько событий по-
попало на любой участок в другом потоке.
0
t
2 2 2 > 2'
Рис. 2.4.2
Пример 1. Рассматривается сумма двух неза-
независимых потоков Эрланга 2-го порядка с одинаковыми
параметрами Я.
Найти закон распределения и числовые характе-
характеристики интервала Л2> между соседними событиями
суммарного потока.
Решение. На рис. 2.4.3 показана схема сложе-
сложения потоков П\. и Я2. Событие в суммарном потоке
Рис. 2.4.3
Я(8> = П\ -f Я2 может быть получено переносом его
либо из потока Яь либо из потока П2; вероятность
каждой из этих гипотез равна 1/2, ибо Я, и Яа оди-
одинаковы по своим вероятностным характеристикам.
Предположим, что какое-то событие суммарного
потока, отмеченное кружком на рис. 2.4.3, совпадает

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 83
с событием потока Я2 и появляется в момент ?, никак
не связанный с потоком П\. Каков будет интервал
времени 7<2> между этим моментом и моментом при-
прихода следующего события суммарного потока? Это
зависит от того, какое событие придет раньше (см.
рис. 2.4.3): очередное событие из того же потока Я2
(до его прихода остается время Т2) или же событие
из потока /7| (до его прихода остается время R\).
Очевидно, интервал Л2) равен минимальной из этих
двух случайных величин:
ГB) = гшп{Г2, /?,}. B.4.3)
Если предположить, что начальная точка 1 интервала
7"(г> есть момент прихода события из первого потока,
получим равносильную B.4.3) формулу
Ti2) = min{Tu R2), B.4.4)
ничем не отличающуюся от B.4.3), так как величины
Т\(Т2), R\{R2) распределены одинаково и независимы.
Возьмем первую из этих формул B.4.3) и найдем
плотность распределения /<2)@ случайной величины
Г*2). В книге [6J (см. (9.6.4)*) мы нашли ф. р. мини-
минимальной из двух независимых с. в.:
G (у) = F, (у) + FM - Fx(у)F2(y). B.4.5)
Отсюда
F{2)</) = F2 (t) + /v, (/) - F2(/) /v, (t), B.4.6)
где F2)@—Ф-Р- интервала между событиями в сум-
суммарном потоке; F2(t)—ф. р. интервала между собы-
событиями в потоке Я2; Ffx (t) — ф. р. «остаточной части»
/?i, интервала в потоке П\, на который попала точка ?.
В рассматриваемом примере функция распределения
св. Т2 имеет вид (см. B.3.4))
F2@=l-ЯО, «). B.4.7)
я
где /?(«, Ai)=S {U)ke~ulk\— функция, связанная
к -О
с распределением Пуассона. Плотность распределения
св./?, будет (см. B.3.8))
М0

34 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
откуда
t
FrM)^\ МО* = i-[l -/?@, W)+ 1 - /?(I, Щ.
B.4.9)
Следовательно,
,-2M
= 1 - -^g- [2 + 3Xt + Wf], B.4.10)
откуда
^«-!". B.4.11)
Таким образом, закон распределения интервала вре-
времени Т<2) в потоке ЯB) будет представлять собой ве-
вероятностную смесь трех законов распределения:
/{2) @ = Р.Ф, @ + Р2ф2 (t) + р3фз it),
где ф|@= 2Яе-ш — показательный закон (закон
Эрланга 1-го порядка) с параметром 2Я,; ф2(^) =
= BЯJ^е~2Х' — закон Эрланга 2-го порядка с пара-
параметром 2Х; Фз @ = ^~ '2e~2W — закон Эрланга 3-го
порядка с параметром 2Х;
Л = 7- Рг^у. Рз = -4" (Pi +Ра + Л по-
последовательно,
= 4г = Р,М [Г(
~4Л"ГТ"'2Т"Г4 2Х ~ А *
Этот результат можно было получить и проще. Из ра-
равенства B.4.2) имеем
Лш * I» — i " __ 1
— Ai-f-Aj — " "•" * —

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 85
Найдем второй начальный момент
М
откуда
D [гB)] = М [(ГB>J] - (М 1Г<2)]J = -А-.
На рис. 2.4.4 показан график плотности Р>@ при
Рис. 2.4.4
Второй метод решения этой задачи может быть
следующий (он нам пригодится в дальнейшем).
Рис. 2.4.5
Рассмотрим произвольную точку I на оси времени,
не совпадающую ни с одним событием в потоке ЯB)
(см. рис. 2.4.5). Из этого рисунка следует, что
Rm = min{Ru R2).
Следовательно, FfB) (i) = Fri (t) + Fr%(t) - Ffy (t) Fri (t),
но /7,@ = ^,@ = 4-11-Я@.

86 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
откуда
Frm@ = 2Fri(t)- (Fri(t)f = 1 -
t {t\—p> <t\ —
fr{%) V) = rrv) {t) =
где
<ЩИ =1/2, Я2 =
Следовательно, закон распределения случайной вели-
величины RW представляет собой вероятностную смесь за-
законов распределения Эрланга 1-го, 2-го и 3-го поряд-
порядков с параметром 2Я, и с вероятностями щ, яг, яз.
В соответствии с формулой B.2.11) имеем
откуда
Величина M(rw]f очевидно, равна 1/К, так как
интенсивность потока событий Я<2> равна
^1 + h = 2" + -J ~ *"
Следовательно,
Можно убедиться в том, что эта формула совпадает
с формулой B.4.11).
Пример 2. Рассматривается сумма п независи-
независимых потоков Пальма П\, П2 П„, у которых ин-
интервалы между событиями имеют функции распреде-
распределения F\(t), F2(t), ..., Fn(t) соответственно. Тре-
Требуется найти закон распределения интервала времени
Ля) между событиями в суммарном потоке Я'"' —

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ
87
Решение. Рассмотрим произвольную точку t, не
совпадающую ни с одним из событий в суммарном
потоке /7<"> (см. рис. 2.4.6). Очевидно, что остаток
Рис. 2.4.6
времени R{n) в суммарном потоке Я<л) будет равен ми-
минимальному из остатков времени до наступления оче-
очередного события в суммируемых потоках:
#(n) = min{/?,, R2, ..., /?„},
В предыдущем примере мы складывали два потока и
получили формулу #B> = min{fli,#2}. Так как потоки
независимы, то и св. Ru R2, .... Rn тоже незави-
независимы. В соответствии с формулой B.2.11) имеем
где mt — М [Tt] — математическое ожидание интер-
интервала между событиями в потоке Л,:
Следовательно,
В книге [6] было показано, что ф. р. минимальной из
п независимых с. в. определяется по формуле (см.
(9.6.6)»)

88 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ, ИХ СВОЙСТВА
Чтобы доказать предельную теорему для суммарного
потока, когда суммируются потоки Пальма, доста-
достаточно доказать (мы этого делать не будем) сходи-
сходимость закона распределения случайной величины #<">
к показательному закону. Если суммируемые потоки
имеют одинаковые вероятностные характеристики
F,t(t) = F,(t) (i = l, 2 п), то
FfM(t)=l-(l-Fr(t))n.
Зная функцию распределения Fr(n)(/), можно
найти функцию распределения интервала времени Лл>
между событиями в потоке /7<"> по формуле
где
Величина т(п) находится из следующего условия:
откуда
Величину т<а> можно найти из другого условия:
откуда
1<л> а
В инженерной практике иногда имеют место усло-
условия, когда суммируемые стационарные ординарные
потоки событий являются слабозависимыми. Модели-
Моделирование суммы большого числа таких потоков, про-

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 89
веденное методом статистических испытаний, пока-
показало, что и в этом случае суммарный поток будет
практически простейшим (стационарным пуассонов-
ским).
Многократные исследования, проведенные методом
статистических испытаний, показали, что все, что
было сказано о стационарных ординарных потоках,
справедливо и для нестационарных потоков. Если
суммировать достаточно большое число ординарных
независимых (или слабозависимых) потоков с при-
примерно соизмеримыми интенсивностями, то суммар-
суммарный поток событий будет близок к пуассоновскому
с интенсивностью
>t(t), B.4.12)
где ki(t)—интенсивность потока /7(.
Предельная теорема для суммарного потока дает
теоретическое обоснование для широкого использова-
использования в инженерной практике предположения о том, что
фигурирующие в задаче потоки событий являются
пуассоновскими (стационарными или нестационар-
нестационарными):
— Поток автомашин, движущихся по шоссе, так
как он состоит из отдельных машин, выезжающих на
это шоссе в случайные мо-
моменты времени; этот поток
будет нестационарен; его
интенсивность зависит от
времени суток, дня недели,
месяца, года.
— Поток отказов техни-
технического устройства (ЭВМ, *' i
компрессора для перекачки Рис. 2.4.7
газа, самолета, ракеты, ко-
корабля, атомного реактора и т. д.), так как любое
техническое устройство состоит из многих элементов,
порождающих суммарный поток отказов. В общем
случае поток отказов технического устройства не ста-
стационарен; его интенсивность k(t) имеет вид, сходный
с показанным на рис. 2.4.7. На участке от оси (О, U)
интенсивность отказов технического устройства k{t)
уменьшается: новое техническое устройство «при-
«прирабатывается», в нем выявляются и устраняются

90
ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
различные дефекты, проходит период «обкатки». За-
Затем на участке (t\, h) наступает период «стабильной»
работы технического устройства, когда можно считать,
что Ц0 = const. Затем, по мере «старения» техниче-
технического устройства (участок времени t>U), интенсив-
интенсивность отказов снова возрастает.
(Аналогичная картина имеет место и для различ-
различных биологических объектов: в «детстве» они болеют
о
X7<t,T)
7<t,
щ *
Xt(t,f)
"t
"п
Рис. 2.4.8
(«выходят из строя») чаще, по мере взросления ин-
интенсивность заболеваний падает, а к «старости» ин-
интенсивность заболеваний снова возрастает).
— Поток самолетов, приземляющихся на аэродром
с интенсивным движением самолетов, так как этот по-
поток состоит из многих самолетов, прибывающих с раз-
различных пунктов назначения. Несмотря на то, что по-
поток приземлений самолетов на аэродром стремятся
сделать регулярным («самолеты должны приземлять-
приземляться строго по расписанию»), эта регулярность нару-
нарушается по различным независимым причинам. По
этой же причине поток судов, заходящих в данный
порт, тоже можно считать пуассоновским.
— Поток доз информации, поступающей для обра-
обработки в вычислительный центр, часто близок к пуас-
соновскому, так как порождается различными неза-
независимыми источниками, откуда эта информация по-
поступает.

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 91
— Поток деталей, изготовляемых в цехе со мно-
многими станками, также является приближенно пуас-
соиовским.
Отметим особо, что складывая независимые пуас-
соновские потоки событий (стационарные или неста-
нестационарные), мы снова получим пуассоновский поток.
Докажем это.
Рассмотрим я пуассоновских потоков и для каж-
каждого из них интервал времени т, примыкающий к мо-
моменту времени t (рис. 2.4.8).
Так как все потоки пуассоновские, то число собы-
событий Xt(t,x) в i-м потоке распределено по закону Пуас-
Пуассона с параметром
at (t, т) = \ Xt @ di.
t
Очевидно, что при суммировании п потоков в сум-
суммарном потоке П^У (рис. 2.4.8) число событий, попав-
попавших на участок т, примыкающий к точке /, будет
складываться из чисел событий, попадающих на тот
же участок в складываемых потоках: Xin)(t, т) =
R
— Z Xt(t, т). т- е- будет представлять собой сумму
независимых случайных величин, распределенных по
закону Пуассона. В пункте 9.4* было доказано, что
сумма л независимых случайных величин, распреде-
распределенных по закону Пуассона, тоже распределена по за-
закону Пуассона с параметром
п л t+x f+т n
a(BV,T) = 5>C, *) = ? $ М*)Я« $ 2>'M*'
i-\ i-i t t i-\
Обозначим, как и прежде, интенсивность потока, по-
получающегося в результате суммирования п потоком,
Отсюда
a(n)(t, т)= J Ktai(t)dt.
Таким образом, мы показали, что при суммирова-
суммировании п независимых пуассоновских потоков получаем

92 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ИХ СВОЙСТВА
снова пуассоновский поток, интенсивность которого
равна сумме интенсивностей складываемых потоков.
Если складывать простейшие (стационарные пуассо-
новские) потоки, получим простейший поток.
Другими словами, пуассоновский поток обладает
свойством устойчивости к операции суммирова-
суммирования: сумма независимых пуассоновских потоков яв-
является также пуассоновским потоком. Это свойство
широко используется при решении различных при-
прикладных инженерных задач, оно нам потребуется
в дальнейшем.
Предельная теорема для редеющих
потоков
Потоки событий, встречающиеся в различных об-
областях человеческой деятельности и в природе, иногда
подвергаются операции «случайного разрежения»,
\P \P 4 P 4 \P
i i ! !
•P
Рис. 2.4.9
когда некоторые события из потока отсеиваются. На-
Например, поток готовых изделий получается в резуль-
результате многократного контроля и выбраковки на раз-
различных операциях; поток космических частиц, дости-
достигающих Земли, редеет за счет столкновения этих
частиц с частицами атмосферы; поток самолетов, пре-
преодолевших систему противовоздушной обороны, ре-
редеет за счет того, что некоторые из них оказываются
сбитыми.
Обратим внимание на то, что в приведенных выше
примерах разрежение потока проходит случайным об-
образом, а не строго закономерно, как это делалось
в п. 2.3 при получении потока Эрланга fe-ro порядка,
когда в потоке оставалось лишь каждое ke событие.
Рассмотрим такое случайное разрежение более
подробно. Возьмем поток Пальма с произвольной
плотностью распределения f(t) интервала времени Т
между событиями (рис. 2.4.9) и применим к нему

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 93
следующее преобразование. Каждое событие исход-
исходного потока П (независимо от других событий) оста-
остается в этом потоке с вероятностью q и исключается
из него с вероятностью р. При этом рассматривается
другой поток Пр, составленный из событий, исключен-
исключенных из потока П.
Такую операцию случайного разрежения потока
событий обозначим /?р{/7):
ПР = ЯР{П). B.4.14)
Очевидно, что интервал времени Тр в разреженном
потоке Пр будет представлять собой сумму случай-
случайного числа случайных слагаемых:
Г,= 1Х B.4.15)
где 7*1, Т2, ... — система независимых одинаково рас-
распределенных с. в., имеющих плотность распределения
f(t), а случайная величина У имеет «геометриче-
«геометрическое -f 1» распределение (см. п. 5.3*):
P{Y = k} = pqk-A (ft-1, 2, ...; p + q=\).
B.4.16)
В п. 8.9* было показано, что в этом случае харак-
характеристическая функция с. в. Тр имеет вид
ЧгЗ&Г- <2-417)
где
*t (x) = J
e-itxf(t)dt B.4.18)
— характеристическая функция св. Т—интервала
времени в исходном потоке П.
В п. 8.5* было показано, что М [Г.] = М [Г] X
ХМ [К]. Но МИ—1А, М[П=1/р, где Л-интен-
Л-интенсивность исходного потока событий 77. Следовательно,
интенсивность потока Пр будет
*,-1/М[Г,]-*р, B.4.19)
где
ЩТ,]=*Щ\р). B.4.20)

04 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
Если подвергать исходный поток событий Я мно-
многократному /^-преобразованию, то интенсивность ре-
результирующего потока будет стремиться к нулю. По-
Поэтому введем новое преобразование йр потока Я, со-
состоящее в том, что поток Я сначала подвергается
преобразованию Rp, а затем «сжимаетсяэ так, чтобы
интенсивность потока Пр была равна интенсивности
исходного потока Я. Для этого достаточно случайную
величину Тр умножить на величину р:
Тр = Тр-р. B.4.21)
Легко убедиться в том, что
М[ТР] = М[Т]=Щ. B.4.22)
В соответствии со свойствами характеристической
функции, приведенными в п. 8.9*, характеристическая
функция интервала времени Тр в потоке Пр = кр{П)
будет иметь вид
\(х) = рЪ (рх)/[ 1 - qb{px)\. B.4.23)
После этих предварительных замечаний можно пе-
перейти к предельной теореме для редеющих потоков,
которую можно сформулировать следующим обра-
образом. Если стационарный поток Пальма с интенсив-
интенсивностью X подвергать последовательно независимым
преобразованиям /?Р], RPi, ..., RPn, .... то при
п->оо результирующий поток будет простейшим с ин-
интенсивностью К').
Для доказательства этой теоремы сначала пока-
покажем, что два последовательных преобразования RPi и
RPl потока Я эквивалентны одному преобразова-
преобразованию Rpfp,'.
&&,{&, {Л». B-4.24)
В соответствии с B.4.23) преобразование RPt дает
характеристическую функцию с. в. Тр„ имеющую вид
~ Ях* (Pt*)\- B-4.25)
') Точнее, он будет сходиться по вероятности к простейшему
потоку.

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 95
Следовательно, в результате двойного последова-
последовательного преобразования Rp, и Rp, получим характе-
характеристическую функцию интервала fPlPt между собы-
событиями в виде
= PiP2O (PiPiX)/[ I - A - Р1Р2) О (PiP2x)]. B.4.26)
В результате п последовательных преобразований
RPl, RPi /?ря получим выражение характеристи-
характеристической функции для интервала Гр<я» времени между
событиями:
где
Р(Л)=П^- B.4.28)
В книге [6] было показано, что при 0 < р, < 1
(| = 1,2, ...)
Ь (х) = lim #(п) (х) = Т-Ц-. B.4.29)
Выражение B.4.29) представляет собой характе-
характеристическую функцию случайной величины, распре-
распределенной по показательному закону с параметром X.
Так как исходный поток был потоком Пальма и вся-
всякое Rp -преобразование оставляет его потоком Паль-
Пальма (интервалы между событиями остаются независи-
независимыми одинаково распределенными величинами), то
предельный поток будет также потоком Пальма с по-
показательно распределенными интервалами. А это и
есть простейший поток.
Обратим внимание на то, что если Rp преобразо-
преобразованию подвергать простейший поток с параметром X,
то получится тоже простейший поток с параметром
"кр. Действительно, подвергнем характеристическую
функцию исходного интервала времени Т между со-
событиями B.4.29) Rp преобразованию (см. B.4.17)):
— JX) _ Кр /„

96 ГЛАВА 2. ПОТОКИ СОБЫТИИ. ИХ СВОЙСТВА
Мы получили характеристическую функцию показа-
показательно распределенной случайной величины с пара-
параметром Хр; следовательно, полученный в результате
/^-преобразования поток будет простейшим с интен-
интенсивностью Кр.
Пример 3. В бригаде k станочников, производя-
производящих однородные детали. Производительность в смену
/-го станочника X,,, вероятность того, что деталь, про-
произведенная /-м станочником, не будет забракована,
равна pi. Найти вероятность того, что бригада за
смену выполнит план—произведет не менее N неза-
незабракованных деталей. Найти м. о. и дисперсию числа
X—незабракованных деталей и числа У забракован-
забракованных деталей, произведенных бригадой в смену.
Решение. Интенсивность производства незабра-
незабракованных деталей i-м станочником в смену будет
hPi. Следовательно, интенсивность Л„ производства
незабракованных деталей бригадой в смену равна
К= Z
t-i
В соответствии с предельными теоремами теории
потоков можно с достаточной для практики точ-
точностью считать, что число X незабракованных дета-
деталей, произведенных бригадой в смену, будет распре-
распределено по закону Пуассона с параметром Х„. Отсюда
найдем вероятность выполнения бригадой плана за
смену:
= 1 - Z O
«=o
где R{m, a)— X ame~a/ml — функция, связанная
с распределением Пуассона.
Далее, М [Х] = D [Х] = Я.н. По той же причине
случайная величина Y распределена по закону Пуас-
Пуассона с параметром Я3, поэтому М [У] = D [К] = Я,3, где
Хз — интенсивность производства забракованных дета-
деталей бригадой в смену:
k
к = Е kqi=ь-к (яг = 1 - рд.

2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОТОКОВ 97
X — общая интенсивность производства деталей (за-
(забракованных и незабракованных) бригадой в смену:
2j V
Например, если в бригаде 5 станочников с произ-
производительностью к\ =4, Я,2 = 4, Я-з = 6, Х4 = 5, Хь = 4
(деталей в смену), вероятность выпуска брака равна
<7i=0,l; <72 = 0,2; (/з = 0,3; ?4 = 0,2; ^ = 0,25, а план
бригады равен Л/" = 14 деталей, то получим следую-
следующий результат (см. приложение 2 в [5J):
s
= 4 • 0,1 + 4 ¦ 0,2 + 6 ¦ 0,3 + 5 ¦ 0,2 +
4 - 0,25 = 5 (деталей в смену);
5
X = ? Х( = 23 (детали в смену);
I—\
ЛН = Л — Л3=18 (деталей в смену);
Р{*>14}=1-/?A3, 18)^0,8574;
1 D[^T]= 18 (деталей в смену);
[] = 4,243;M[K] = D[K] = 5 (деталей в смену);
o[Y)** 2,236.
Обратим внимаййе на то, что хотя в смену в сред-
среднем производится 18 незабракованных деталей, что
намного больше плана A4 деталей), тем не менее
вероятность того, что план будет выполнен, равна
только 0,8574. Это объясняется тем, что имеется боль-
большой разброс числа произведенных незабракованных
деталей {о{Х)=4, 243).
Заметим, что если случайные величины X и У рас-
распределены по закону Пуассона, то общее число де-
деталей Z = X -f Y, произведенных в смену» будет тоже
распределено по закону Пуассона; при этом случай-
случайные величины X и Y будут независимы. Это было до-
доказано в п. 9.8 *. >

ГЛАВА 3
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ.
МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
3.1. Граф состояний. Классификация состояний.
Вероятности состояний
Рассмотрим физическую систему S, в которой про-
протекает случайный процесс с дискретными состоя-
состояниями:
«1, *2 S[t ..., C.1.1)
число которых конечно (или счетно). Состояния si,
s2, ... могут быть качественными (т. е. описываться
словами) или же каждое из них характеризуется слу-
случайной величиной (либо случайным вектором).
Прежде всего рассмотрим множество состояний
C.1.1) с точки зрения его структуры — возможности
системы S переходить из состояния s,- в данное со-
состояние 5/ непосредственно или через другие состоя-
состояния. Для этого удобно пользоваться наглядной схе-
схемой, так называемым графом состояний. Здесь
и далее мы будем отчасти пользоваться терминоло-
терминологией теории графов [17J. Имеется две основные раз-
разновидности графов: неориентированные и ориентиро-
ориентированные. Неориентированный граф — совокупность то-
точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из
них отрезками (ребрами графа). Ориентированный
граф — это совокупность точек (вершин) с соединяю-
соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками
(стрелками). При изложении теории с.п. с дискрет-
дискретными состояниями мы будем пользоваться только
ориентированными графами. Вершины графа будут
соответствовать состояниям системы. Вершину будем
изображать прямоугольником, в который впи-
вписано обозначение состояния; стрелка, ведущая из
вершины Si в вершину st, будет обозначать возмож-
возможность перехода системы S из состояния s, в состоя-
состояние S/ непосредственно, минуя другие состоя-
состояния. Стрелки графа могут изображаться не только

3.1. ГРАФ, КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ
99
прямолинейными, но и криволинейными отрезками
{рис. 3.1.1). Сам граф системы S будем обозначать
буквой G.
Нередко при изложении теории случайных процес-
процессов кроме стрелок, связывающих различные состоя-
состояния Si, si AФ /), проставляют также обратные стрел-
стрелки, возвращающие систему из состояния si в то же
состояние Si (рис. 3.1.2). Переход по стрелке, веду-
ведущей из состояния si в него же, означает задержку
Рис. 3.1.1
Рис. 3.1.2
Рис. 3.1.3
системы в состоянии Si. Мы «обратных стрелок» про-
проставлять на графе не будем, так как все расчеты
можно вести и без них.
Пример 1. Система S представляет собой тех-
техническое устройство (ТУ), а его возможные состоя-
состояния: sx — ТУ работает исправно; s2 — ТУ неисправно,
но это не обнаружено; s3 — неисправность обнару-
обнаружена, ведется поиск ее источника; Sa—источник не-
неисправности найден, ведется ремонт ТУ; ss— прово-
проводится послеремонтный осмотр (после этого осмотра,
если ТУ восстановлено в прежнем виде, оно возвра-
возвращается в состояние si, если нет — признается негод-
негодным и списывается); s« — ТУ списано за негодностью;
s-j — ведется профилактический осмотр ТУ (если об-
обнаружена неисправность, ТУ направляется в ремонт).
Граф состояний ТУ показан на рис. 3.1.3. В дальней-
дальнейшем мы всегда будем считать (не оговаривая это

100
ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
каждый раз отдельно), что переход («перескок») си-
системы S из состояния Si в другое состояние Sj осу-
осуществляется мгновенно и что в любой момент вре-
времени система может находиться только в одном из
своих состояний. >
Проведем некоторую необходимую для дальней-
дальнейшего классификацию состояний. Состояние S/ назы-
называется источником, если система S может выйти
из этого состояния, но попасть в него
обратно уже не может, т. е, на графе G со-
состояний в состояние s,- не ведет ни одна стрелка. На
рис. 3.1.4 состояния s\ и s2 являются источниками.
Рис. 3.1.4
Рис. 3.1.5
Состояние si называется концевым (или погло-
поглощающим), если система S может попасть в это со-
состояние, но выйти из него уже не может. Для графа
состояний это означает, что из состояния s< не ведет
ни одна стрелка (для графа, изображенного на
рис. 3.1.5, состояния st и s7 — поглощающие; для
графа состояний ТУ, изображенного на рис. 3.1.3,
состояние s6 (ТУ списано) поглощающее; у графа,
построенного ка рис. 3.1.4, поглощающих состояний
нет).
Если система S может непосредственно перейти
из состояния S/ в состояние S/, то состояние S/ назы-
называется соседним по отношению к состоянию s,. Если
система S может непосредственно перейти из состоя-
состояния Si в состояние Sj и из состояния S/ в состояние sit
то состояния Si, S/ называются соседними. Для графа
состояний ТУ (рис. 3.1.3) состояние s3 является со-
соседним по отношению к состоянию sa, а состояния sit
St — нет, так как на графе нет стрелок, непосред-
непосредственно связывающих эти состояния с состоянием s2.
На этом же графе состояния S\ и s7 являются сосед-
соседними.

3.1. ГРАФ. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ
101
Состояние Si называется транзитивным, если си-
система S может войти в это состояние и выйти из
него, т. е. на графе состояний есть хотя бы одна
стрелка, ведущая в s,, и хотя бы одна стрелка, веду-
ведущая из S{. На рис. 3.1.3 все состояния, кроме погло-
поглощающего s6, являются транзитивными; на рис. 3.1.5
все состояния, кроме источников si, s^ н поглощающих
Si, s7, транзитивны.
Для полноты картины можно рассматривать также
и «изолированные> состояния. Состояние si называет-
называется изолированным, если из него нельзя попасть ни
в одно из других состояний
и в него нельзя попасть ни
из какого другого состоя-
состояния. На графе состояний
изолированное состояние Si
не связано стрелкой ии с
Рис. 3.1.6
Рис. 3.1.7
каким другим (рис. 3.1.6). Прикладного значения изо-
изолированные состояния не имеют; с некоторой на-
натяжкой их можно примысливать к другим. Например,
если система S представляет собой ТУ, рассмотрен-
рассмотренное в примере 1, то можно к состояниям s\, ..., s7t
изображенным на графе, прибавить еще изолирован-
изолированное состояние: se — ТУ находится на стенде постоян-
постоянной выставки, предположив, что ТУ попадает в это
состояние еще до начала эксплуатации (рис. 3.1.7).
В дальнейшем изолированные состояния будем
рассматривать довольно редко.
Наряду с отдельными состояниями системы S
в ряде задач практически бывает нужно рассматри-
рассматривать подмножества ее состояний (см. п. 2.1*).
Обозначим W множество всех состояний системы
S (конечное или бесконечное, но счетное) и рас-
рассмотрим его подмножество VczflP. Подмножество V

102
ГЛАВА 3 МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
называется замкнутым (концевым), если система S,
попав в одно (или находясь в одном) из состояний
Si&. V, не может выйти из этого подмножества со-
состояний. Например, на рис. 3.1.5 подмножества со-
состояний Vi ={S3, S4} К V-i = {S2f S5, S6, S7) ЯВЛЯЮТСЯ
Рис. 3.1.8
концевыми. Концевое подмножество состояний может
включать в себя поглощающее состояние, а может и
не включать. На рис. 3.1.8 подмножества V\ = {s2, «з, $4}
и У2={«5, ^б} являются концевыми, но ни одно из
них не включает поглощающего
состояния.
Подмножество состояний V с:
d W называется связным или зр-
годическим, если из любого со-
состояния, входящего в него, мож-
можно попасть в любое другое со-
состояние, принадлежащее этому
подмножеству. На рис. 3.1.8 оба
концевых подмножества Vi а Уз
являются эргодическими. Эрго-
дическим может быть и все мно-
множество W состояний системы S
(см., например, рис. 3.1.1 и 3.1.9). В эргодическом
множестве состояний нет ни источников, ни погло-
поглощающих состояний.
Подмножество состояний V называется транзи-
транзитивным, если система S может войти в это подмно-
подмножество и выйти из него, т. е. из любого состояния
$i e V можно (за то или другое число перескоков)
выйти из этого подмножества.
Рис. 3.1.9

3.1. ГРАФ. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ ЮЗ
Случайный процесс, протекающий в системе S,
можно трактовать как процесс блуждания системы по
множеству состояний W. Если подмножество VczW
является концевым, то, попав в него, система будет
продолжать блуждание уже по этому подмножеству
состояний V. Если все множество W эргодично, то
блуждание будет происходить по всем его состояниям.
На практике очень часто встречаются системы, со-
состояния которых образуют цепь (рис. 3.1.10), в кото-
которой каждое состояние st (кроме двух крайних sq и sn)
связано прямой и обратной связью с двумя соседними
Рис. 3.U0
5/_ь $f+i, а каждое из двух крайних связано прямой
и обратной связью только с одним соседним.
Такая схема случайного процесса называется схе-
схемой гибели и размножения, а сам процесс — процес-
процессом гибели и размножения.
Пример 2. Техническое устройство (ТУ) состоит
из п одинаковых узлов. Каждый из узлов может
в момент / быть исправным или неисправным; если
узел неисправен, его ремонтируют. Состояния s,- си-
системы S (ТУ) могут быть перенумерованы по числу
неисправных узлов:
«о — в ТУ нет неисправных узлов;
St — в ТУ один неисправный узел (какой — не-
неважно);
s, —в ТУ t неисправных узлов @<i<n);
sa— в ТУ все п узлов неисправны.
Состояния «о. • •. sn организованы по схеме гибели и
размножения (рис. 3.1.10); стрелки, идущие слева
направо, отвечают увеличению числа неисправных
увлов; перемещения системы S по этим стрелкам про-
происходят под влиянием отказов узлов, т. е. перехода
какого-то узла из исправного состояния в неисправ-
неисправное; стрелки, идущие справа налево — под влиянием

104 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
ремонтов (восстановлений) узлов. Считаем, что «пе-
«перескок» системы S из состояния s, не в соседнее
с ним состояние Sj_i или s,-+i, а в какое-то другое из
связанных с 5,- состояний, практически невозможен
(ниже, в гл. 4, мы увидим, что это связано с орди-
ординарностью потоков отказов и восстановлений). Очень
многие случайные процессы (в частности, процессы,
протекающие в системах массового обслуживания
[15], [8], [1]) организованы по схеме гибели и раз-
размножения. Специально процессы гибели и размноже-
размножения будут рассмотрены в этой и в других главах дан-
данной книги. >
Термин «процесс гибели и размножения» ведет на-
начало от биологических задач, где такими процессами
описывается изменение численности биологических
популяций; стрелки, ведущие слева направо, соответ-
соответствуют увеличению численности (размножению) по-
популяции, а справа налево—гибели входящих в нее
особей. Однако применение схемы гибели и размно-
размножения далеко выходит за пределы биологических
задач.
Если на графе состояний системы S стрелки, ве-
ведущие справа налево, отсутствуют, то говорят о про-
процессе «чистого размножения» (рис. 3.1.11,о), в проти-
противоположном случае — о процессе «чистой гибели»
6
Рис. 3.1.11
(рис. 3.1.11,6). Меняя нумерацию состояний на об-
обратную, можно каждую из этих схем свести к дру-
другой. «Процесс чистого размножения» получится в ус-
условиях примера 2, если предположить, что узлы, со-
составляющие ТУ, не восстанавливаются после выхода
из строя.
Процесс гибели и размножения может в некоторых
случаях иметь не конечное число состояний; so, S\, ...

3.1. ГРАФ. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ Ю5
-.., sit ..., sn, а бесконечное (счетное): s0, s\, ...
..., Si, ...; с примерами таких процессов мы встре-
встретимся в дальнейшем.
При анализе случайных процессов, протекающих
в системах с дискретными состояниями, важную роль
играют вероятности состояний.
Обозначим S(t) состояние системы S в момент /.
Вероятностью 1-го состояния в момент t называется
вероятность события, состоящего в том, что в момент
/ система S будет в состоянии 5,-: обозначим ее pi(t):
Л (/) = P{S (/) = *}, C.1.2)
где S(/) — случайное состояние системы S в мо-
момент t.
Очевидно, что для системы с дискретными состоя-
состояниями Si, 52, .... Si, ... в любой момент t сумма ве-
вероятностей состояний равна единице:
Е/М0=1, C.1.3)
как сумма вероятностей полной группы несовместных
событий.
В ряде задач практики нас интересует так назы-
называемый установившийся или стационарный режим ра-
работы системы, который в ней устанавливается, когда
от начала процесса прошло
достаточно большое время
т. Например, процесс изме-
изменения напряжения в сети
питания технического уст-
устройства, пройдя сразу после
включения через ряд коле-
баний, по прошествии вре- ис' ' '
меви устанавливается (см. рис. 3.1.12). Аналогично
этому и в некоторых случайных процессах по
прошествии достаточно большого времени т устанав-
устанавливается стационарный режим, во время которого со-
состояния системы хотя и меняются случайным обра-
образом, но их вероятности pi{t) (i = I, 2, ...) остаются
постоянными. Обозначим эти постоянные вероят-
вероятности р,:
Pi= Hrofttf). C.1-4)
f-»oo
Вероятности pt (i=l, 2, ...), если они существуют,

106 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
называются финальными (предельными) вероятно-
вероятностями состояний. Финальную вероятность pi можно
истолковать как среднюю долю времени, которую
в стационарном режиме проводит система S в со-
состоянии Si. В дальнейшем будет показано, при каких
условиях финальные вероятности существуют и ка-
какими они могут быть для разных состояний и подмно-
подмножеств состояний.
Введем очень важное для дальнейшего понятие
марковского случайного процесса.
Случайный процесс, протекающий в системе S
с дискретными состояниями sb s2, ..., s/, ..., назы-
называется марковским, е с л и для л юбого м о м ен та
времени to вероятность каждого из со-
состояний системы в будущем (при t > t0)
зависит только от ее состояния в на-
настоящем (при t — t0) и не зависит от того,
когда и как она пришла в это состоя-
состояние; т. е. не зависит от ее поведения
в прошлом (при/</о).
В главе 2 мы уже упоминали об аналогичном свой-
свойстве некоторых потоков событий (отсутствии после-
последействия). Не надо понимать марковское свойство
случайного процесса как полную независимость «бу-
«будущего» от «прошлого»; нет, в общем случае «буду-
«будущее» зависит от «настоящего», т. е. вероятности pt(t)
при t > t0 зависят от того, в каком состоянии s/ на-
находится система в настоящем (при t = to)\ само же
это «настоящее» зависит от «прошлого», от того, как
вела себя система S при / < t0. Это можно сформу-
сформулировать следующим образом:для марковского
случайного процесса «будущее» зави-
зависит от «прошлого» только через «на-
«настоящее (рис. 3.1.13). При фиксированном «на-
«настоящем» условные вероятности всех состояний си-
системы в «будущем» не зависят от предыстории про-
процесса, т. е. от того, когда и как система S к моменту
*о пришла в состояние st.
«Настоящее» может быть задано не одним каким-
то состоянием sit а целым подмножеством состояний
VczW, где W — множество всех возможных состоя-
состояний системы.
Подчеркнем также, что «настоящее» может быть
задано не только одним состоянием системы S в мо-

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 107
мент ta в него при желании можно включить и те
элементы из «прошлого», от которых, при заданном
«настоящем», зависит будущее. Например, вероятно-
вероятности состояний в «будущем» могут зависеть не только
от состояния Si системы в настоящем, но и от того,
из какого состояния S/ система перешла к моменту /0
в состояние s,-; в этом случае настоящее характери-
характеризуется не только состоянием s«, в которое система
перешла к моменту /0,
но и состоянием S/, нз
которого она перешла
в Si. Вводя в состав па-
параметров, характери-
характеризующих настоящее со- 0 ta
стояние системы, те па- Настоящее
раметры из прошлого,
от которых зависит бу-
дущее, можно, как го-
говорится, «марковизировать» многие немарковские
случайные процессы, но, как правило, это приводит
к сильному усложнению математического аппарата.
Простейшие примеры «марковизации» встретятся
нам в дальнейшем (см. гл. 5).
3.2. Марковские случайные процессы
с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепи Маркова)
Пусть имеется система S с дискретными состоя-
состояниями Si, s%, •••. su ..., sn. Предположим, что слу-
случайные переходы («перескоки») системы из состоя-
состояния в состояние могут происходить только в опреде-
определенные моменты времени to, t\, ht ... Эти моменты
мы будем называть шагами процесса; /0=0 —его
началом. Сам процесс представляет собой случайное
блуждание системы S по состояниям. После первого
шага система может оказаться в одном (и только
в одном) из своих возможных состояний: s*,1*, 4f>> • • •
.... в*Д .... s*Bu; на втором шаге — s*2>, s*?>, ...
..., s{p s?>; на k-ьл шаге — s^, 4*1» • • •» 4*'»
..., s{?] (число состояний в общем случае может быть
бесконечным, но счетным; с такими примерами мы
встретимся в дальнейшем. Здесь же для простоты
ограничимся конечным числом п состояний).

108
ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Предположим, что граф состояний системы S
имеет вид, представленный на рис. 3,2.1. Процесс
блуждания системы S по состояниям можно пред-
представить как последовательность или «цепь» событий,
состоящих в том, что в начальный момент to—О си-
система находится в одном из состояний (например,
в состоянии s*,0*); в момент первого шага перешла из
него скачком в состояние sip, из которого на втором
шаге перешла в sj*', на третьем шаге перешла в s?)
и т. д. «Траектория» системы, блуждающей по со-
состояниям S|, 55, 5з, «2.
показана на рис. 3.2.1
жирными линиями. На
каких-то шагах систе-
система может задерживать-
задерживаться в том или другом
из своих состояний,
^*)__s(*+i) (это показа-
показано «возвратной стрел-
стрелкой» на рис. 3.2.1)
или же вернуться в
него после ряда шагов.
«Траектория» блуждания системы по графу состоя-
состояний, изображенная на рис. 3.2.1 жирными линиями,
представляет собой не что иное, как реализацию слу-
случайного процесса, полученную в результате одного
опыта. При повторении опыта, естественно, реализа-
реализации в общем случае не совпадают.
Пример 1. Рассматривается следующий процесс:
система представляет собой техническое устройство
(ТУ), которое осматривается в определенные моменты
времени (скажем, через сутки), и ее состояние реги-
регистрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр
с регистрацией представляет собой «шаг» процесса.
Возможные состояния ТУ следующие:
«i — полностью исправно;
s2 — частично неисправно, требует наладки;
sb — обнаружена серьезная неисправность, требует
ремонта;
s4— признано непригодным, списано.
Допустим, что как наладка, так и ремонт продол-
продолжаются менее суток и после их выполнения ТУ воз-
возвращается в состояние sx (полностью исправно) или
Рис 3.2.1

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
109
Рис. 3.2.2
списывается. Граф состояний ТУ имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 3.2.2. Очевидно, состояние S* на
рис. 3.2.2 поглощающее. Если известно, что в началь-
начальный моментТУ полностью исправно, то Р {S@) = 5!} =
= 1; в дальнейшем процесс протекает случайным
образом: после каждого шага (осмотра, контроля) ТУ
с какой-то вероятностью может
оказаться в одном из своих
состояний.
Реализация случайного про-
процесса блуждания системы по
состояниям может иметь, на-
например, такой вид:
ар», ук 42)> ^ 44)> «Г «Р»
что означает, что ТУ в на-
начальный момент исправно; при
первом осмотре — также ис-
исправно; при втором — частично
исправно, требует наладки;
при третьем исправно; при четвертом — обнаружена
серьезная неисправность, требует ремонта; при пя-
пятом — скова исправно; прн шестом — признано неис-
неисправным, списано (дальнейшее развитие процесса
невозможно, так как он дошел до поглощающего со-
состояния $4,). >
Рассмотренный в примере процесс несколько идеа-
идеализирован (предполагается, что в результате наладки
или ремонта ТУ полностью восстанавливает свое со-
состояние), но как иллюстративный он уместен.
Рассмотрим общий случай. Пусть происходит слу-
случайный процесс в системе S с дискретными состоя-
состояниями Si, sa, ..., Si, ..., sn, которые она может при-
принимать в последовательности шагов с номерами 0, 1,
2, .... К ...
Случайный процесс представляет собой последо-
последовательность событий вида {3(А) = »|) (»—1, 2, ...
...,n; Jk=O, 1, 2, ...). Эта последовательность
(«цепь») событий подлежит нашему изучению. Наи-
Наиболее важной ее характеристикой являются вероят
ности состояний системы
=1. 2 Ъ
, 2, ...),
C.2,1)

ПО ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
где Р {S (?) = st) — вероятность того, что на k-u шаге
система S будет находиться в состоянии Si.
Распределение вероятностей C.2.1) представляет
собой не что иное, как одномерный закон распреде-
распределения случайного процесса S(/), протекающего в си-
системе S с скачественными» дискретными состояниями
и дискретным временем *0, U, h, ¦¦-, tk, ¦¦¦
Процесс, протекающий в такой системе S, назы-
называется марковским процессом с дискретными состоя-
состояниями и дискретным временем (или, короче, марков-
марковской цепью), если выполняется условие, сформулиро-
сформулированное в п. 3.1: для любого фиксированного момента
времени (любого шага &0) условные вероятности со-
состояний системы- в будущем (при k > k0) зависят
только от состояния системы в настоя-
настоящем (при k = k0) ине зависят оттого, когда
(на каком шаге, при k < ko) и откуда система
пришла в это состояние. Марковская цепь
представляет собой разновидность марковского про-
процесса, в котором будущее зависит от прошлого только
через настоящее').
Понятие «настоящего» может быть сформулиро-
сформулировано по-разному; например, «на &о-м шаге система на-
находится в состоянии ?{», если вероятности состояний
системы на последующих шагах зависят только от sit
а не от предыдущих состояний системы. Если же эта
вероятность зависит еще и от того, откуда (из какого
состояния Sj) система пришла в состояние st, можно
включить это состояние sj в описание «настоящего».
Цепь, в которой условные вероятности состояний
в будущем зависят только от состояния на данном,
последнем, шаге и не зависят от предыдущих, иногда
называют простой цепью Маркова, в отличие от та-
такой, где будущее зависит от состояний системы не
только в настоящем на данном шаге, но и от ее со-
состояний на нескольких предыдущих шагах; такую
цепь называют сложной цепью Маркова. Сам
А. А. Марков рассматривал сложные цепи, построен-
построенные на материале буквенных последовательностей,
взятых из текста пушкинского «Евгения Онегина».
') Названия «марковская цепь>, «марковский процесо свя-
связаны с именем А. А. Маркова, который еще в начале 20-го века
дервым стал исследовать такие процессы.

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ |||
Если в качестве системы, в которой происходит слу-
случайный процесс, рассмотреть букву, входящую в текст,
которой могут быть: а, б, в щ, ъ, ы, ь, э, ю, я,
«пробел», то сразу ясно, что вероятность последую-
последующей буквы быть той или другой зависит от того, ка-
какова была предыдущая (например, последователь-
последовательности букв «яы» или«эь» в русском языке исклю-
исключены); не так очевидно, но все же ясно, что эта
вероятность зависит на только от предыдущей буквы,
но и от других, ей предшествовавших (например, по-
последовательность букв «ттт» в русском языке если не
исключена, то практически невозможна, тогда как
последовательность «тт» встречается довольно ча-
часто). Мы в данном элементарном изложении будем
рассматривать только простые цепи Маркова и вы-
вычислять для них вероятности состояний.
Из определения марковской цепи следует, что для
нее вероятность перехода системы S
в состояние S/ на (? + 1)-м шаге зависит
только от того, в каком состоянии 5/ на-
находилась система на предыдущем k-u
шаге и не зависит от того, как она вела
себя до этого й-го шага.
Основной задачей исследования марковской цепи
является нахождение безусловных вероятностей на-
нахождения системы S на любом (й-м) шаге в состоя-
состоянии Sj; обозначим эту вероятность pi(k):
Pl{k)=P{S{k) = Sl} (/=!, 2 п; k = 0t I, ...).
C.2.2)
Для нахождения этих вероятностей необходимо знать
условные вероятности перехода систе-
системы S на k-u шаге в состояние s}, если
известно, что на предыдущем (k— 1)-м
шаге она была в состоянии s{. Обозначим
эту вероятность
Ptf(k)= P{$(k)=~st\$(k - \) = st) (/. /= 1, 2 п).
C.2.3)
Вероятности pif{k) называются переходными вероят-
вероятностями марковской цепи на k-м шаге. Вероятность
Pn(k) есть вероятность того, что на &-м шаге система
задержится (останется) в состоянии s*.

112 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Переходные вероятности pif(k) можно записать
в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности
\\Рц(к)\\ =
n(fe) Pn{k) ... Pi/ (k) ... pln(k)
Pti (k) p22 (ft) ... p2l (ft) ... p2n (ft)
Pil{k) Pt2{k) ...pt}{k) ...рт^ v* Of l' 2> "••)•
Pm («) Pn% (*) ... Pn{ (*) ... Pnn (« .
C.2.4)
По главной диагонали матрицы C.2.4) стоят ве-
вероятности задержки системы в данном состоя-
состоянии s/ (/= 1, -.., п) на k-u шаге.
Ри(&)» ^22(^I • • •» P/t(k) Рпп{Щ- C.2.5)
Так как на каждом шаге система S может нахо-
находиться только в одном из взаимно исключающих со-
состояний, то для любой (-и строки матрицы C.2.4)
сумма всех стоящих в ней вероятностей рц(к) равна
единице:
II Р« (*)«=*. C.2.6)
Матрица, обладающая таким свойством, называется
стохастической. Естественно, что все элементы стоха-
стохастической матрицы отвечают условию 0 ^рц{к)^ 1.
В силу условия C.2.6) можно в матрице C.2.4) не
задавать вероятности задержки, а получать их как
дополнения до единицы всех остальных членов строки:
C.2.7)
(этим свойством мы будем широко пользоваться в
дальнейшем). Чтобы найти безусловные вероятности
Pi{k), недостаточно знать матрицу переходных ве-
вероятностей C.2.4); нужно еше знать начальное рас-
распределение вероятностей, т. е. вероятности состоя-
состояний pi{Q), соответствующие началу процесса — мо-
моменту *о = 0:
Pi @), р2 @) Pt @) рп@), C.2.8)

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
в сумме образующие единицу:
113
C.2.9)
Если известно, что в начальный момент система S на-
находится во вполне определенном состоянии s,, то ве-
вероятность р/{0) этого состояния в формуле C.2.9)
равна единице, а все остальные — нулю:
«= Pi + i@) =...«= А, @). C.2.10)
Цепь Маркова называется однородной, если пере-
переходные вероятности Pi/{k) не зависят от номера шага
k: Pii{k)=pij. Матрица переходных вероятностей для
однородной цепи Маркова имеет вид
Pll Р\2 • ¦ ¦ Pi/ ¦•¦ Pitl
Р21 Р« • ¦ ¦ Рг/ ¦ ¦ • Рал
Pl\ PI2
РЦ ••• Pin
Рп\
Pnf
Рпп
C.2.11)
При выводе формул для вероятностей состояний мы
в целях простоты записи будем рассматривать только
однородные цепи Маркова (в случае, когда цепь не-
неоднородна, можно все переходные вероятности в фор-
формулах просто положить зависящими от номера
шага к).
При нахождении вероятностей состояний марков-
марковской цепи на k-м шаге pi(k) (k = 1, 2, ...) удобно
бывает пользоваться так называемым размеченным
графом состояний системы S, где возле каждой
стрелки, ведущей из состояния si в состояние s/, про-
проставлена переходная вероятность pi/; вероятности за-
задержки на размеченном графе не проставляются,
а просто получаются дополнением до единицы суммы
вероятностей, стоящих у всех стрелок, ведущих из
данного состояния s,. Образец такого размеченного
графа состояний показан на рис. 3.2.3. Для этого
графа состояний вероятности задержек равны:
+ Р24). Рзз ~ 1 ~ Рзь
Ри = 1 —
Ртз. = I —

114 ГЛАВА У МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
(на размеченном графе эти вероятности для простоты
не проставляются).
Если состояние st является поглощающим (на
графе из него не идет ни одной стрелки), то вероят-
вероятность задержки в этом состоянии ри = 1. Теперь по-
покажем, как найти для од-
однородной цепи Маркова
безусловную вероятность на-
нахождения системы S на
&-м шаге в состоянии S/ (/ =
= 1,2 л):
если задана матрица пере-
Рис 3.2.3 ходных вероятностей \рц\
(или, что равнозначно, раз-
размеченный граф состояний) и начальное распределение
вероятностей
Л@) 0=1, 2, .... п), ?р,<0)=1. C.2ЛЗ)
t-i
Сделаем гипотезу, состоящую в том, что в началь-
начальный момент (? —0) система находилась в состоянии
st. Вероятность этой гипотезы известна из C.2.13) и
равнарi (G) = Р {S (G) = s,}. В предположении, что эта
гипотеза имеет место, условная "вероятность того, что
система S на первом шаге будет в состоянии $j, рав-
равна переходной вероятности рц = Р {S(I) — st |S@) =
}
лучим
По формуле полной вероятности (см. B.5.2)*) по-
поим
- t PitP* @> 0=1,2 «>, C.2.14)
Таким образом, мы нашли распределение вероятно-
вероятностей системы S на первом шаге. Теперь у нас есть
все необходимое для того, чтобы найти распределение
вероятностей на втором шаге, которое для цепи Мар-
Маркова зависит только от распределения вероятностей
на первом шаге и матрицы переходных вероятностей.
Опять сделаем гипотезу, состоящую в том, что на
первом шаге система находится в состоянии s<; ве-

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
115
роятность этой гипотезы нам уже известна и равна
ftO)-P{3(l)-s,} 0 = 1, 2 п) (см.C.2.14)).
При этой гипотезе условная вероятность того, что на
втором шаге система S будет в состоянии sj, равна
По формуле полной вероятности находим
|, </-1, 2, ...,«). C.2.15)
C.2.17)
Таким образом, мы выразили распределение вероят-
вероятностей C.2.15) на втором шаге через распределение
вероятностей на первом шаге и матрицу \\рц\\. Пере-
Переходя таким же способом от к — 2 к k — 3 и т. д., по-
получим рекуррентную формулу'):
P/(*)-X!Pi(fc-l)Pi/ (*=1,2,...; / = 1,2 п).
'"' C.2.16)
Пример 2. В условиях примера 1 задана мат-
матрица переходных вероятностей
0,7 0,1 0,1 0,1
0,2 0,6 0 0,21
0,2 0 0,5 0.31
0 0 0 1
Этой матрице соответствует размеченный граф со-
состояний ТУ, изображенный на рис. 3.2.4. В началь-
начальный момент (*о = 0) ТУ на-
находится в состоянии s\ (ис-
(исправно). Найти распреде- Р21~0,2у
ление вероятностей состоя-
состояний ТУ для первых четырех
шагов F—1, 2, 3, 4); убе-
убедиться, что вероятность
поглощающего состояния
р*(Л) с увеличением k рас-
растет.
Решение. Так как в
начальный момент (fo — 0)
ТУ заведомо находится в состоянии s\, то pi@)=I,
= р3@) = р4@) = 0. По формуле C.2.16), пола-
Рис. 3.2.4
>) Рекуррентной называется всякая формула, выражающая
каждый член последовательности через предыдущие члены этой
последовательности. - -

116 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
гая в ней k=\, получим р!A) = 0,7; р2A) == О,I;
рзA) = О,1; р4A)=0,1. Снова применяя формулу
C.2.16), находим вероятности состояний на втором
шаге: р,B) = 0,70,7 + 0,1-0,2 + 0,1 0,2 +0,1 -0 = 0,53;
р2B) — 0,70,1 + 0,1 0,6 + 0,1 0+0,1 0=0,13; р3B) =
= 0,7.0,1 +0,1-0 + 0,1.0,5 + 0,1- 0 = 0,12; р«B) =
— 1— PiB) — р2B) — рзB) = 0,22. Далее получим:
р,C) = 0,53-0,7 + 0,13-0,2 + 0,12-0,2 = 0,421; р2C) =
= 0,530,1+0,130,6 = 0,131; р3C) = 0,53-0,1+0,12-
•0,5 = 0,113; р4C) - 1 -(р,C) +р*C) + р3C)) =
= 0,335; р,D) =0,421 0,7+ 0,131 0,2 + 0,1130,2 =
= 0,3435; р2D) = 0,4210,1 + 0,131 0,6 = 0,1207;
РзD) = 0,421 0,1 + 0,113-0,5 = 0,0986; рД4) =
— 1—(pjD) + p2D) + p3D))=0,4372. Мы убедились
в том, что с возрастанием к вероятность поглощаю-
поглощающего состояния pi(k) растет, тогда как вероятность
p\{k) состояния s\ убывает. >
Если рассматривается неоднородная цель Мар-
Маркова, то переходные вероятности будут зависеть от
номера шага k (см. C.2.3))
</, /=1, 2, ...,«; fc-1, 2, ...).
Для нахождения распределения вероятностей состоя-
состояний системы на &-м шаге нужно знать начальное рас-
распределение вероятностей р*@) (t=l, 2, ..., п) и k
матриц переходных вероятностей ||pi/(l)|l, llp*/B)||, ...
.... ||р</(А)||. Однако рассуждения при выводе фор-
формул для вероятностей состояний р/A), р/B),...
..., p/(fe), ... (/ = 1, .... п) остаются прежними. По-
Поэтому
t
= ?putt)pt@) (/=1,2 л), C.2.1S)
а рекуррентные формулы C.2.16), определяющие рас-
распределение вероятностей на ?-м шаге для неоднород-
неоднородной цепн Маркова, принимают вид
(А==1,2 я; /=1,2 я). C.2.19)

3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА Ц7
В инженерной практике сравнительно редко встре-
встречаются марковские случайные процессы с дискрет-
дискретными состояниями и дискретным временем (марков-
(марковские цепи); гораздо чаще переходы системы из
состояния в состояние происходят не в строго опреде-
определенные, а в случайные моменты времени (процессы
с дискретными состояниями и непрерывным временем,
о которых будет идти речь в гл. 4). Однако при мо-
моделировании таких процессов на ЭВМ иногда бы-
бывает удобно приближенно представлять их как мар-
марковские цепи. Как это делается, будет рассказано
в п. 4.1.
3.3. Стационарный режим для цепи Маркова
При некоторых условиях в цепи Маркова с возрас-
возрастанием k (номера шага) устанавливается стационар-
стационарный режим, в котором система S продолжает блуж-
блуждать по состояниям, но вероятности этих состояний
уже от номера шага не зависят.
Такие вероятности называются пре-
предельными (или финальными) ве-
вероятностями цепи Маркова.
Например, если рассматривать Ря*0*
ЭВМ в двух состояниях: S\ — ис- Рис 3.3.1
правна, s2 — не исправна (размечен-
(размеченный граф ЭВМ показан на рис. 3.3.1), то имеет место
следующая динамика изменения вероятностей (при
начальных условиях pi@) = 1, р2@) = 0: pi(l) = 0,7;
PiB) = 0,61; p, C) = 0,583; Pl D) = 0,5749. Ниже мы
покажем, что в этом случае р{ = lim р, (k) = 0,4/@,4 -f
-j-0,3) = 0,5714. Таким образом, в рассматриваемой
системе стационарный режим наступит практически
через четыре шага.
Можно убедиться в том, что в этом примере фи-
финальные вероятности не зависят от начальных
условий.
Сформулируем условия существования стационар-
стационарного режима для системы S с конечным числом со-
состояний л, в которой протекает марковский случай-
случайный процесс с дискретными состояниями и дискрет-
дискретным временем (цепь Маркова):
1. Множество всех состояний W системы S должно
быть эргоднческнм (см. п. 3.1).

118 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
2. Цепь Маркова должна быть однородной (см.
C.2.11)):
Puib)*~Pir C.3.I)
3. Цепь Маркова должна быть «достаточно хо-
хорошо перемешиваемой» (не должна быть «цикличе-
«циклической»).
Цепи Маркова, отвечающие этим условиям, будем
называть эргодическими цепями Маркова.
Поясним эти условия. Первое условие означает,
что из любого состояния si e W можно перейти в лю-
любое другое состояние s/^ W и вернуться из состоя-
состояния Sj в состояние s, (/,/=1,2, ..., п). При этом
состояния Si и $/ не обязательно должны быть со-
соседними. Другими словами, при блуждании системы
по своим состояниям она рано или поздно попадет
в любое состояние $/ е W, выйдет из него и вновь
в него вернется.
Если все условия существования стационарного ре-
режима выполняются, то финальные вероятности не за-
зависят от того, каково было состояние системы S в мо-
момент f0 = 0 или каковым было распределение вероят-
вероятностей в момент to — 0.
Условия наличия стационарного режима можно
представить наглядно в виде размеченного графа
G(S) системы S. Первое условие состоит в том, что
размеченный граф G(S) системы должен иметь все
состояния и все группы состояний транзитивными.
Второе условие: все переходные вероятности должны
быть постоянными: pif(k)== p(/. Третье условие со-
состоит в том, что моменты попадания в отдельные со-
состояния или в группы состояний не были бы равны
определенным (не случайным) промежуткам времени,
кратным величине шага. Другими словами, необхо-
необходимо, чтобы моменты попадания в отдельные состоя-
состояния или в группы состояний не образовывали циклов
(периодов). Например, граф, изображенный на
рис. 3.3.2, соответствует первым двум условиям, но
третье условие не выполняется.
Если /?i@)=l, то при k нечетном pt(A) —0,
p2(k)=l, а при k четном p\{k)=\, р2(Аг) = 0. Мат-
Матрица переходных вероятностей для графа, изображен-
изображенного на рис. 3.3.2, имеет вид Цр(/|| = (, 0|- Таким

3.3 СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА
[19
образом, в общем случае стационарного режима не
будет.
В общем случае не будет стационарного режима
и у системы, размеченный граф которой показан на
Рис. 3.3.3
рис. 3,3.3, несмотря на то, что первые два условия вы-
выполняются. Действительно, если, например, pi {0L-
4-/М0)= 1, то при к нечетном система S будет на-
находиться в подмножестве состояний {53, s4}, а при к
четном — в подмножестве состояния {$i,s2}:
Pt F) + Ра(&) =
Рч (^)= 1 при ft нечетном,
Рз(АL-Р4(*)яв0 при /г четном.
0
0
Pi\
0
0
PZ2
Din
Pss
Pti
0
0
Pi*
Pu
0
0
Матрица переходных вероятностей, соответствую-
соответствующая графу, изображенному на рис 3.3 2, имеет вид
I! Ри И =
При этом выполняется условие; все переходные ве-
вероятности, указанные на размеренном графе
(рнс. 3.3.3), отличны от нуля и единицы. В дальней-
дальнейшем при рассмотрении стационарных режимов пред-
предполагается, что третье условие выполняется.
Будем считать, что условия существования фи-
финальных вероятностей выполнены, и пределы
р,= lim
(f=l, 2 л)
C.3.2)
существуют и не зависят от начальных условий. По-
Покажем, как найти эти вероятности.
Если цепь Маркова однородна, т. е. pSj(k) = рц, то
для стационарного режима (достигаемого при jfe~-*-oo)

120 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
вероятность р} состояния s/ на {k-\- 1)-м шаге должна
быть такой же, как на k-м:
n
Pi (k + 1) = ? Pi (k) pit = Pj,
где pj уже не зависит от k; отсюда
л
Pi = Е Р«Л/- C.3.3)
Е
Сумма в правой части C.3.3) распространяется на
все значения номера состояния /, включая i = /, при
этом рн — вероятность задержки системы в состоянии
st. Разделим эту сумму на две части: в первой сумми-
суммирование производится по всем значениям i кроме
»=/; во второй стоит всего один член, отвечающий
условию i = j. Тогда
E
откуда при любом j получаем для pt линейное ал-
алгебраическое уравнение вида
п
Е PiPi# + P|(p,j—1) = 0. C.3.4)
Е
Придавая в формуле C.3.4) индексу / значения 1,
2 п, получим для п финальных вероятностей
Р\, р^ ря систему л линейных однородных алгеб-
алгебраических уравнений
t PiPit + PiiPu - 1)- 0 (/ = 'I, 2, .. •, л). C.3.5)
Как известно из алгебры, такая система уравнений
имеет бесчисленное множество решений. В рассмат-
рассматриваемом случае решение становится единственным,
если добавить к системе C.3.5) нормировочное
условие
,= 1, C3.6)

3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА 121
взамен которого можно из системы C.3.5) устранить
любое, например первое; получим систему п уже не-
неоднородных линейных уравнений с п неизвестными
Е Р|/ Р/(Р//-1) = 0 0 = 2, 3 п),
Ер/=1. C.3.7)
В курсе линейной алгебры (см., например, [22]) до-
доказывается, что такая система имеет единственное ре-
решение, т. е. однозначно определяет финальные ве-
вероятности ри pi, ..., рп, дающие в сумме единицу.
При составлении системы линейных уравнений
C.3.7) для финальных вероятностей pit pi рп
удобно пользоваться понятием «потока вероятности».
Назовем произведение рхрц потоком вероятности, пе-
переводящим систему S из состояния s, в состояние S/.
Полная вероятность перехода системы S в состояние
S/ откуда бы то ни было равна сумме всех по-
потоков вероятности, переводящих системы в это со-
состояние, т. е. вероятность прийти в состояние S/ от-
откуда бы то ни было равна
n
/?,pipil
'])-
Аналогично, сумма всех потоков вероятности, вы-
выводящих систему из состояния S/ куда бы то ни было,
равна
tpiPtt = Pitp,i- C.3.8)
ЧФ1)
Очевидно, что в стационарном режиме вероятность
войти в любое состояние должна быть равна вероят-
вероятности из него выйти .(иначе режим не был бы стацио-
стационарным). Уравнения для финальных вероятностей
можно записать, исходя из мнемонического правила:
для стационарного режима суммарный поток вероят-
вероятности, переводящий систему S в состояние S/ из дру-
других состояний, равен суммарному потоку вероятности.

122 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
выводящему систему из состояния s(:
п п
I PiPh -= Pi I Рп {/=1,2 я). C.3.9)
Условие C.3.9) назовем балансовым условием для со-
состояния S/. К этим п уравнениям (условиям) надо
прибавить нормировочное условие
C.3.10)
отбросив зато любое (одно) из уравнений C.3.9);
полученная система п уравнений с п неизвестными
имеет единственное решение. Эту систему из (п— 1)
уравнений вида C.3.9) и одного уравнения C.3.10)
можно затем решать любым из известных методов.
Опыт показывает, что при сколько-нибудь значитель-
но&5 числе п решать эту систему удобнее не в буквен-
буквенном, а в численном виде, задаваясь численными зна-
значениями переходных вероятностей рц. Программы ре-
решения уравнений C.3.9), C.3.10) имеются в пакетах
прикладных программ различных ЭВМ.
В инженерной практике для того, чтобы убедиться
в существовании финальных вероятностей и даже
Рис. 3 3.4
Рис. 3.3.5
предсказать, каковы они будут, нередко достаточно
взглянуть на граф состояний. Например система, граф
состояний которой изображен на рис. 3.3.4, имеет одно
погловдаю1аее состояние s4'» без специального доказа-
доказательства ясно, что где бы ни находилась система S
в начальный момент /os=O» рано или поздно она

3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА 123
«катится» в состояние s4 и останется в нем; финаль-
финальные вероятности будут:
Равным образом, для цепи Маркова, граф состоя-
состояний которой изображен на рис. 3.3.5 и содержит два
источника si и s2; без специального доказательства
ясно, что каково бы ни было начальное распределе-
распределение вероятностей, система 8 рано или поздно выйдет
из состояния Si (или s2), если она в нем находилась,
и начнет блуждать по подмножеству состояний V =
= {s3, s4, S5, s6}. В возможности сразу судить о суще-
существовании финальных вероятностей — одно из преиму-
преимуществ графа состояний перед матрицей переходных
вероятностей.
Пример I. Рассматривается система S— станок
с числовым программным управлением (ЧПУ), кото-
который может быть в следующих состояниях:
S\ — исправен и работает;
s2—неисправен; неисправность не обнаружена;
s3—неисправен, проводится средний ремонт;
Si—не работает, находится на профилактике;
s$— неисправен, проводится капитальный ремонт.
Размеченный граф состояний станка с ЧПУ пока-
показан на рис. 3.3.6. Составить уравнения и найти пре-
предельные вероятности состоя-
состояний станка с ЧПУ.
Решение. Рассмотрим
состояние sb на графе. В это р11Я
состояние направлено две ^'
стрелки, следовательно, в
левой части уравнения
C.3.9)' для / = 5 (состоя-
(состояние Sb) будет два слагае-
слагаемых. Из этого состояния
выходит одна стрелка, еле- рис Ззб
довательно, в правой части
уравнения C.3.9) для / = 5 (состояние Ss) будет одно
слагаемое. Таким образом, используя балансовое
условие C.3.9), получаем первое уравнение:
Р2Р25 + Р4Р45 = Рбр51-

1 24 ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Аналогично запишем еще три уравнения:
PlPl2 = Pi (P23 + Pib), Р2РП + Р*РЫ
PlPl4 — Pi (Pil + Р43 + P4b)-
В качестве пятого уравнения возьмем нормировоч-
нормировочное условие
Р\ +ft-fPa + P4 + Pss=l-
Перепишем полученную систему уравнений в таком
виде:
2) р2 = P\P[J{P23 + P25).
3) Рз = (РгРгз + Р4Р4з)/Рз1,
4) Р4 = PlPu/(P4l + Р4Э
5) Pi + Р2 + Рз + Р4 + Ps= 1.
Решим эту систему уравнений. Из 2) находим
p2 = ?hP\, где Ог =
Из 4) имеем
P4 = a4Pi. где ак = /?14/(/?4i -f-
Из 3) найдем
Рз == («гРгз + «4Р*з) Pi/P3i —
где а3 = (а2р2з+а4р4з)/рз1- Из 1) находим
Рз — (ОгР25 + «4Р45) Pi/Psi — <*ьР\>
где а5 =
Подставляя соответствующие значения вероятно-
вероятностей, приведенные на графе G (S) (рис. 3.3.7), получим:
02 = 0,1 @,6 + 0,1)= 1/7,
а, = 0,1/@,7 + 0,1 +0,1) =1/9,
аз = @,6/7 + 0,1/9)/0,8 = 61/504,
В соответствии с равенством 5) имеем
16
63
,1 .61 ,1 ,16 .
Pi + 7"Pi ~т~~5мР1 "+"Т^' "•" 63"^ ™ '

3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА
125
откуда
Р
р2 =
р4 =
504+72 + 61 + 56+ 128
821
821
56
821
0,0877, р3 == а3р{ =
0,0743,
if
0,0682, р6 = ад =b=4if- ^ 0.1559-
821
Заметим, что для решения этого примера нам потребо-
потребовались только те вероятности, которые приведены на
размеченном графе G(S) (рис. 3.3.7) (нам не потребо-
потребовались «вероятности задержки» рц, р22, р3з, ри, ръь)-
Пример 2. Система S представляет собой вы-
вычислительный центр (ВЦ), в котором имеется три
ЭВМ. В определенные мо-
моменты времени, разделен-
разделенные промежутком т, все
ЭВМ осматриваются, в ре-
результате чего каждая при-
признается либо исправной и
продолжает работать, либо
признается неисправной и
направляется в ремонт. Ве-
Вероятность того, что исправ-
исправная ЭВМ за время т выйдет
из строя, не зависит от того,
какое время она уже рабо-
работала (от «предыстории» про-
процесса), и равна г. Вероятность того, что ремонти-
ремонтируемая ЭВМ за время % будет приведена в исправ-
исправность, не зависит от того, сколько времени уже про-
продолжался ремонт и сколько ЭВМ ремонтируется, и
равна ц. Процессы выхода ЭВМ из строя и их восста-
восстановлений протекают независимо друг от друга. По-
Построить размеченный граф состояний ВЦ, нумеруя их
по числу неисправных ЭВМ:
s0— все три ЭВМ исправны;
S| — одна ЭВМ неисправна, остальные две рабо-
работают;
s2 —две ЭВМ неисправны, одна работает;
s3 — все три ЭВМ неисправны.
Полагая г «* 0,2; q = 0,3, построить размеченный
граф состояний ВЦ и найти финальные вероятности.
Рис. 3.3.7

126
ГЛАВА 3. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Решение. Размеченный граф состояний имеет
вид, показанный на рис. 3.3.8. Вычислим переходные
вероятности рц.
Чтобы система перешла из состояния s0 в состоя-
состояние $и нужно, чтобы одна из трех ЭВМ за время т
Роз
Pm
...
\р'2 >|
3
< I
Ря
Рве. 3.3.8
вышла из строя. Эта вероятность, согласно биноми-
биномиальному распределению (см. п. 5.1*), равна: р01»
*=С?гA — rf. Аналогично находим
*A -г)Р.
Можно убедиться в том, что
Чтобы система из состояния g\ перешла в состоя-
состояние so, нужно, чтобы неисправная ЭВМ за время т
была отремонтирована, а другие две исправные ЭВМ
не вышли из строя: Рю = ?A—гJ; аналогично на-
находим:
Рассуждая подобным образом, определяем:

ЗА СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА 127
При г
Poi*
Рю*1
Раз**
= 0,2 и
0,384;
0,192;
0,098;
= 0,441;
0SS
PCS'
Рй!
Р21!
Pz\
0,3 имеем:
«0,096;
«0,236;
« 0,354;
= 0,189;
ро»=*
Pis88»
Рзо =
0,008;
0,028;
0,072;
0,027,
р«,« 0,512;
ри» 0,544;
раа — 0,476;
Рзз ** 0,343.
Для рассматриваемого лрнмера система уравнений
C.3.9) с учетом нормировочного условия C.3.10) мо-
может быть записана в таком виде:
0,488ро - 0,192р, - 0,072ра - 0,027р»« 0;
-0,384р0 + 0,456р, - 0,354р2 - 0,189рз « 0;
- 0,236р, + 0,524ра - 0,441рз — 0;
й>+ Pi 4- Ps+ Ра^-
полученную систему линейных неоднород-
неоднородных уравнений одним из известных методов [22], по-
получаем: ро « 0,216; pi & 0,432; р% » 0,288, р» & 0,064.

ГЛАВА 4
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
И НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
4.1. Описание марковского процесса
с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Уравнения Колмогорова
Рассмотренные в гл. 3 марковские процессы с ди-
дискретными состояниями и дискретным временем
(марковские цепи) имеют сравнительно мало инже-
инженерных приложений, так как довольно редко на прак-
практике моменты возможных переходов системы S из
состояния в состояние заранее известны и фиксиро-
фиксированы. Гораздо типичнее случай, когда переходы си-
системы из состояния в состояние (например, отказ ка-
какого-либо элемента, окончание его ремонта и т. п.)
могут происходить не в фиксированные моменты /о,
li> h, ¦•-, а в случайные моменты. В этой главе мы
будем рассматривать именно такие задачи.
Случайный процесс с дискретными состояниями и
непрерывным временем называется марковским, если
для любого момента времени t условные вероятности
всех состояний системы S в будущем (при / > to)
зависят только от того, в каком состоя-
состоянии S/ находится система S в настоя-
настоящем (при t = to), но не зависит от того,
когда и каким образом она пришла
в это состояние (т. е. каковы были состояния
системы а прошлом (при t <. to)). Другими словами,
в марковском процессе будущее зависит от прошлого
только через настоящее (см. аналогичное определение
марковского случайного процесса в п. 3.1). На прак-
практике довольно редко встречаются марковские про-
процессы в чистом виде, но довольно часто — процессы,
которые с тем или иным приближением можно счи-
считать марковскими. Это допущение позволяет пользо-
пользоваться сравнительно простым математическим аппа-
аппаратом, к описанию которого мы и приступаем.

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 129
Нам будет удобно считать, что переходы («пере-
(«перескоки») системы S из состояния в состояние проис-
происходят под воздействием каких-то потоков собы-
событий* (например, «поток отказов», «поток восстанов-
восстановлений» и т. д.); как только произошло первое после
момента t0 событие, переход из состояния в состоя-
состояние осуществляется (последующие события потока не
учитываются никак).
Теорию марковских случайных процессов с дискрет-
дискретными состояниями и непрерывным временем мы бу-
будем излагать, предполагая, что переходы из состоя-
состояния в состояние происходят под воздействием пуас-
соновских потоков событий (не обязательно стацио-
стационарных).
Отсутствие последействия в пуассоновском потоке
позволит нам при фиксированном настоящем (состоя-
(состояние Si системы в момент t) не заботиться о том, когда
и как система оказалась в этом состоянии.
Пусть на графе состояний системы S- существует
стрелка, ведущая из состояния st в одно из соседних
состояний S/ (рис. 4.1.1).
Будем считать, что переход системы из состояния
Si в состояние S/ осуществляется под воздействием
At
О t t+At t
Рис. 4.1.1 Рис. 4.1.2
пуассоновского потока событий с интенсивностью
hi{t). Переход из st в S/ происходит в момент, когда
наступает первое событие потока.
Рассмотрим на оси Ot элементарный участок вре-
времени А/, примыкающий к t (рис. 4.1.2), и найдем ве-
вероятность того, что за время А/ система S перейдет
из состояния Si в состояние S/ (в предположении, что
в момент времени t система S находилась в состоя-
состоянии Si). Эта вероятность, с точностью до бесконечно
малых величин высших порядков, равна Xn(t)At (см.
п. 2.1); действительно, случайная величина X{t, Af),
равная числу событий потока, попадающих на эле-
элементарный участок Af, имеет математическое ожида-
ожидание kii(t)&t и с точностью до бесконечно малых выс-
высших порядков равна вероятности р% попадания на

130 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
элементарный участок одного (а значит, и хотя бы од-
одного) события (вероятностью попадания иа участок
(/,/-(-ДО более чем одного события пренебрегаем).
Итак, вероятность перехода системы S
из состояния St, в котором она находи-
находилась в момент t, в состояние S/ за эле-
элементарный промежуток времени Д*,
непосредственно примыкающий к /, при-
приближенно равна \цЦ)Ы, где Xu(t)— интен-
интенсивность пуассоновского потока собы-
событий, переводящего систему из st в s/.
Можно доказать, что если все потоки событий,
переводящие систему из состояния в состояние,—
пуассоноаские и независимые, то процесс, протекаю-
протекающий в системе S, будет марковским.
Если известны все интенсивности пуассоновских
потоков событий, переводящих систему из состояния
в состояние, то можно составить дифференциальные
уравнения для вероятностей состояний.
Рассмотрим систему S, имеющую п возможных со-
состояний: S|, s2, •••» sit .... s/, ..., sn. Пусть для лю-
любой пары состояний s,-, Sj известна интенсивность
А"/@ пуассоновского потока событий, переводящего
систему S из любого состояния sj в любое другое
состояние s/(i =/=/); будем полагать эту интенсивность
равной нулю, если непосредственный переход из со-
состояния Si в состояние 5/ невозможен. Обозначим
pi(t)—вероятность того, что в момент t система нахо-
находится в состоянии s,(i=l,2, ..., п). Теперь прида-
придадим t приращение Д/ и найдем вероятность р,- (t + At)
того, что в момент / -f А* система будет находиться
в состоянии Si. Обозначим это событие A: A = {$(t-\-
)
) )
Спросим себя, как это событие может произойти?
Двумя способами: либо произойдет событие В, со-
состоящее в том, что в момент t система уже
была в состоянии s, и за время Л/ не
вышла из этого состояния; либо произойдет
событие С, состоящее в том, что в момент t система
была в одном из соседних состояний S/, из которых
возможен переход в 5<(А./*@#0), и за вре-
время Д/ перешла из состояния s/ в s,-.
Очевидно, А = В + С. Найдем вероятности собы-
событий ВиС. Согласно правилу умножения вероятностей

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 131
(см. п. 2.3*) вероятность события В равна вероятности
pi(t) того, что система в момент t была в состоянии
si, умноженной на условную вероятность того, что за
время Af она не выйдет из этого состояния, т. е.
в суммарном потоке событий, выводящих систему из
состояния st, не появится ни одного собы-
события. Так как суммарный поток событий, выводящий
систему из состояния 5/, как и все его слагаемые —
пуассоновский с интенсивностью, равной сумме ин-
тенсивностей слагаемых потоков:
то условная вероятность того, что на участке времени
Af появится хотя бы одно событие, равна (прибли-
(приближенно)
а условная вероятность противоположного события
равна I — Е *ч/ (О Ы* Таким образом,
Найдем теперь вероятность события С. Представим
его в виде суммы несовместных вариантов
Л D.1.2),
где суммирование распространяется на все состояния
$it из которых возможен непосредственный переход
в st (т. е. для которых А./,-(/)#0). События С/, в силу
ординарности потоков, можно считать несовместными.
По правилу сложения вероятностей
P(C)=EP(Ci). D.L3)
') Здесь и далее для простоты мы будем приближенные ра-
равенства, становящиеся точными при Д/-»-0, писать просто как
равенства, не оговаривая их приближенность.

132 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
По правилу умножения вероятностей
Р (С,) = МО М
откуда
Е DЛ.4)
следовательно,
= Л @ [ * - Z hi (О Л*] + Z Р/ @ */, @ *-
Таким образом,
Pi (* + ДО = Pi @ [ 1 - Z Л,/ (О А/] + t Pi @ *„ (О Ы.
D.1.5)
Вычитая нз D.1.5) р»@> получим приращение функ-
функции на участке {tt 1-f АО
Pi (/ + АО - Л @ = Е Р/ @ hi @ ^ ~ ?,А'/ <0 upi W;
деля приращение функции на приращение аргумента
А< и устремляя &t к нулю, получим в пределе произ-
производную функции Pi(t):
t
=Z р/ (о ^ (о - р/ (о t ht (о
(/=1, 2 /г). D.1.6)
Первая сумма в правой части формулы D.1.6) рас-
распространяется на те значения /, для которых возмо-
возможен непосредственный переход из состояния S/ в S;
(т. е. для которых кц(ЦФО), а вторая — иа те зна-
значения /, для которых возможен иепосредствеииый пе-
переход из Si в s, (т. е. Хц (t) Ф 0).
Таким образом, мы получили для вероятностей
Pi(t) систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений D.1.6) с переменными (в общем случае) коэф-
коэффициентами. Эти уравнения называются уравнениями
Колмогорова (по имени академика А. Н. Колмого-
Колмогорова, предложившего такой метод анализа марков-
марковских процессов с дискретными состояниями и непре-
непрерывным временем).

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ C3
Систему дифференциальных уравнений D.1.6) ре-
решают при начальных условиях, задающих вероят-
вероятности состояний в начальный момент при /=0
Р.@), />2@) рп@), D.1.7)
причем для любого момента времени t выполняется
нормировочное условие
t-l
Это следует из того, что в любой момент t события
{S(O-*ib {S (/) = «,} {S (/) = *„}
образуют полную группу несовместных событий. Нор-
Нормировочное условие D.1.8) можно использовать вме-
вместо одного (любого) из дифферен-
дифференциальных уравнений D.1.6). A(t)
При составлении системы диф- | Si \^ - >|
фереициальных уравнений D.1.6)
удобно пользоваться размечен- ^*VbV
ным графом состояний си- рИС413
стемы, где возле каждой стрелки,
ведущей из состояния Si в состоя-
состояние S/, стоит интенсивность kn(t) пуассоновского по-
потока событий, переводящего систему из состояния Si
в s/. Если Х//@ = 0, ни стрелка, ни соответствующая
интенсивность на размеченном графе не ставятся.
Пример 1. Система S представляет собой тех-
техническое устройство (ТУ), которое может находиться
в одном из двух состояний:
Si—ТУ исправно (работает);
s2 — ТУ неисправно (находится в ремонте).
На ТУ, находящееся в состоянии S\, действует поток
отказов с интенсивностью X{t), переводящий ТУ в со-
состояние s2. На ТУ, находящееся в состоянии s2. дей-
действует поток восстановлений с интенсивностью ]i{t)
(рис. 4.1.3); оба потока — пуассоиовские, независи-
независимые. Написать уравнение Колмогорова для вероят-
вероятностей состояний и решить их, считая, что в началь-
начальный момент при t =0 ТУ исправно.

134 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Решение. Уравнения Колмогорова D.1.6) для
условий примера имеют вид
dp, (t)ldt - р2 @ ц (/) - р, @ к (/),
Pi (О Я @ - р2 @1& @- 1 '
Нормировочное условие: Pi(f) + РПО —1» откуда
1-Р.@. D.1.10)
Подставим выражение D.1.10) вместо p2(t) в первое
из уравнений D.1.9) (второе отбросим). Получится
одно дифференциальное уравнение с одной неизве-
неизвестной функцией pi {t):
dp, (t)Jdt - [ 1 - ft (/)] и @ - p, @ Я @
или
*Pi (W + I*. @ + И @1 P. @ - И @- D.1.П)
Решая это лииейиое дифференциальное уравнение
с переменными коэффициентами известным в матема-
математике методом при начальном условии pi@)=l, по-
получим:
1
Г т
l- о
J
о
D.1.12)
Заметим, что решение дифференциального уравне-
уравнения в квадратурах, подобное D.1.12), иа практике
обычно не имеет преимуществ перед непосредствен-
непосредственным численным решением самого дифференциального
уравнения на ЭВМ (ведь квадратуры тоже надо вы-
вычислять, что при произвольных зависимостях X (t),
\i(t) не всегда просто).
Рассмотрим частный случай, когда интенсивности
МО. I*W не зависят от времени:
X (t) = X = const, ц(/) = ц = const. D.1.13)
Не будем обращаться к общей формуле D.1.12);
проще будет решить линейное дифференциальное
уравнение, в которое превратится уравнение D.1.11)
при Я@ =Я, ц@=|А при начальном условии
@)l

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 135
получим:
Pi(O = TXTT + Tlhr*-(X+tl)'> <4-114)
откуда
р2@=1-р,@ =
. D.1.15)
Графики зависимостей />! (/) и рг (/) (/х>А) показаны
на рис. 4.1.4. Отметим, что при /-юо в системе устанав-
устанавливается стационарный режим, для которого
вероятности pit p2 уже не
зависят от времени и рав-
равны (рис. 4.1.4):

0,5
t-*oo
D.1.16) о
Рис. 4.1.4
В стационарном режиме
ТУ будет менять свое со-
состояние, переходя из si в s2 и обратно, но вероятности
этих состояний уже не зависят от времени. Их можно
истолковать, как среднее относительное вре-
м я пребывания ТУ в соответствующих состояниях
5j И S2. >
При составлении уравнений Колмогорова по графу
состояний удобно (аналогично тому, как мы делали
в п. 3.3 для марковских цепей) ввести понятие «по-
«поток вероятности». Будем называть потоком вероят-
вероятности, переводящим систему из состояния s, в состоя-
состояние S,; произведение вероятности pi(t) состояния sit
из которого исходит стрелка, на интенсивность h/it)
потока событий, переводящего систему по этой
стрелке.
Уравнения Колмогорова D.1.6) составляются по
следующему мнемоническому правилу: производная
вероятности любого состояния равна сумме потоков
вероятности, переводящих систему в это состояние,
минус сумма всех потоков вероятности, выводящих
систему из этого состояния.

136
ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Все интенсивности hi(t) в уравнении D.1.6)
можно записать в виде квадратной матрицы:
(О
... Л,/ (о ...
D.1.17)
(О яп4 @ ... К] (О ... О
где &,,(*)== О (i=l, 2, ..., п). По главной диаго-
диагонали этой матрицы размерности п X п стоят нули,
а на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит функ-
функция %n(t)—интенсивность пуассоновского потока со-
событий, переводящего систему S из состояния Si в со-
состояние S/.
Матрицу интенсивностей D.1.17) удобно иллюстри-
иллюстрировать с помощью размеченного графа состояний си-
системы S, на котором указываются только те реб-
ребра .между состояниями $, и s/, для которых
соответствующие интенсивности не равны нулю,
а около каждого ребра
проставляется соответ-
соответствующая интенсив-
интенсивность потока событий
(рис. 4.1.5). Между
матрицей интенсивно-
интенсивностей D.1.17) и разме-
размеченным графом состоя-
^v ний системы G(S) cy-
4 ществует однозначное
соответствие.
Зная размеченный
граф состояний систе-
системы G(S) (или мат-
матрицу интенсивностей ||Xs(OII)i можно, воспользовав-
воспользовавшись мнемоническим правилом, записать систему диф-
дифференциальных уравнений для вероятностей состоя-
состояний системы D.1.6).
Если все интенсивности потоков %ii(t) не зависят
от аргумента t{Xi((t)=%i(), то марковский процесс
называется однородным. Если хотя бы одна из интен-
2Г*
Рис. 4.1.5

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 137
сивностей в матрице D.1.17) зависит от времени, то
такой марковский процесс называется неоднородным.
У однородного марковского случайного процесса коэф-
коэффициенты в системе дифференциальных уравнений
D.1.6) являются постоянными.
Таким образом, для исследования марковского слу-
случайного процесса нужно знать: 1) матрицу интенсив-
ностей U8(/)|| D.1.17) (или раз-
размеченный граф состояний систе-
системы G (S)) и 2) начальные усло-
условия
Р.@), /72(О), .... рп@), D.1.18)
=1, pt@)>0
1/
(i=l, 2 п). DЛ.19)
Пример 2. Размеченный
граф состояний системы имеет Рис 4.1.6
вид, показанный на рис. 4.1.6.
Написать уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний и указать, при каких начальных условиях
их нужно решать, если в начальный момент система
S с вероятностью 1/2 находится в состоянии s\ и
с вероятностью 1/2 — в состоянии s2.
Решение. Уравнения Колмогорова имеют вид
Pi @ = р1 @ я|2 + р4 (t) я42 - Р2 (о я21,
Рз @ = Pi @ Я,,з + Р4 (О Я« - ръ (О (ЯМ + Я35), (*)
Ра @ = Рз @ Яз4 + Рь @ ^« ~ Ра (О (Я« + Я«),
где Pl) Pi)/
Любое из этих уравнений может быть отброшено,
а соответствующая ему вероятность pi(t) (i = 1, 2, 3,
4, 5) выражена через остальные с помощью нормиро-
нормировочного условия:
Р, @ + Рг И) + Рз @ + Ра @ + Рь @ = 1. <**)
Начальные условия, при которых надо будет решать
систему дифференциальных уравнений, будут:
= 0. <¦**)

133 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Уравнения (*) как при постоянных, так и переменных
ннтенсивностях ki/ (совместно с нормировочным усло-
условием (•*)), можно решать на ЭВМ при начальных
условиях (**#) любым из численных методов.
Пример 3. Техническая система S — вычисли-
вычислительный центр (ВЦ), состоящий из трех ЭВМ: I, II
и III. Каждая из ЭВМ выходит из строя (отказывает)
независимо от других. Потоки отказов ЭВМ — пуассо-
новские с переменными интенсивностями, равными
МО» МО- После отказа каждая ЭВМ восста-
восстанавливается; потоки восстановлений — пуассоновские
с интенсивностями \ii{t), ц-а(О» Цз@; потоки восста-
восстановлений тоже независимы. Рассматриваются следую-
следующие состояния системы:
Sj — все ЭВМ исправны;
s2— ЭВМ I отказала, ЭВМ II и ЭВМ III исправны;
s3 — ЭВМ II отказала, ЭВМ I и ЭВМ III исправны;
s4 —ЭВМ III отказала, ЭВМ I и ЭВМ II исправны;
s& —ЭВМ I и ЭВМ И отказали, ЭВМ III исправна;
se —ЭВМ I и ЭВМ III отказали, ЭВМ II исправна;
57_ЭВМ И и ЭВМ III отказали, ЭВМ I исправна;
s8 — все ЭВМ отказали.
Построить размеченный граф состояний ВЦ. Соста-
Составить уравнения Колмогорова для вероятностей состоя-
состояний pi(t)f ..., Рв(О- Записать нормировочное усло-
условие, позволяющее указать, при каких начальных уело-

4.1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 139
виях надо решать эту систему дифференциальных
уравнений, если известно, что в начальный момент
t = 0 все ЭВМ исправны.
Решение. Размеченный граф состояний системы
S показан на рис. 4.1.7. По мнемоническому правилу
составляем систему уравнений Колмогорова D.1.6).
Для сокращения записи обозначим: pi(t) = pit kt(t) =
-»>*, \ii(t) — уц.
1) Pi — HtP2 + H2P3 + V-зР* — (A-i + *2 + k,) Pi.
2) p2 = Л,р, + |*2p5 + |i3p6 — (|*, + Я2 + k3) p2,
3) Pz — **Pi + P1P5 + МзРт — (M2 + К + >-з) Рз,
4) p4 = Л.З/?! + Ц,/?6 + Ц2Р7 — (^3 + >-! + ^2) P4.
5) Рб = ^Р2 + *|РЗ + ЙЗР8 — ((*2 + 1*1 + ^з) Р5.
6) Ре =
7) р7 = Я3рз + Л-2Р4 "Г"
8) р8 = Я3р5 + Ягр6 + Я,р7 — (ц3
К этим уравнениям можно прибавить нормировочное
условие: для любого t
Это условие дает возможность уменьшить число урав-
уравнений (») на единицу. Начальные условия, при кото-
которых надо решать систему уравнений (•) при f —0:
Pi@)=l, Рг<0) = рз@)= ... =р8@) = 0. >
Заметим, что марковский случайный процесс с ди-
дискретными состояниями и непрерывным временем
можно при достаточно малом промежутке времени
Д1 между шагами приближенно рассматривать как
марковскую цепь, т. е. процесс с дискретными со-
состояниями и. дискретным временем, изменения состоя-
состояний которого происходят в моменты t = 0; t = Af,
/ = 2Д/, ... (например, определяемые тактом работы
ЭВМ). Граф состояний системы остается тем же; не-
необходимо найти переходные вероятности pn(t,At)
того, что за элементарный промежуток времени S.U
примыкающий к моменту t, система S, находящаяся
в состоянии st, перейдет в состояние S/.
Обозначим faj{t) интенсивность пуассоновского
потока событий, переводящего систему из состояния

140 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Si в S/. Найдем вероятность /?,/(/, Af) того, что си-
система S, находясь в момент t в состоянии st, перей-
перейдет на участке (t,t-\-At) в состояние S]. Эта вероят-
вероятность равна вероятности того, что на участке (tt t +
-j- Af) появится хотя бы одно событие в потоке с ин-
интенсивностью Xn(t). Эту вероятность дополняет до
единицы вероятность противоположного события:
А = {в потоке не появится ни одного события}.
Мы знаем, что св. X(t,Af)— число событий пуассо-
новского потока, попадающих на участок (f, f
распределена по закону Пуассона с параметром
Следовательно,
t+м
J \tf{x)dx
Это выражение при малом Ы приближенно равно
откуда
это н будет переходной вероятностью для марковской
цепи с шагом по времени АЛ
Таким образом, можно сформулировать следующее
правило перехода от марковского процесса с дискрет-
дискретными состояниями и непрерывным временем к мар-
марковской цепи:
1. Задаться достаточно малым шагом А/ марков-
марковской цепи — настолько малым, чтобы за время А/ был
практически невозможен переход системы не в сосед-
соседнее состояние, а в одно из других, и чтобы ни в одном
иэ пуассоновских потоков, действующих на систему,
практически не могло за время А/ появиться более
одного события.
2. Подсчитать для каждой пары состояний (s/, S/),
между которыми возможен переход Si-*-S/, переход-
переходную вероятность Pij{t, Д<)= Pn\k)\ составить матрицу
этих переходных вероятностей (или, что равносильно,
проставить их у стрелок размеченного графа состоя-

О. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ J41
ний), а далее поступать так, как рекомендовано
в п. 3.2, для марковских цепей, т. е. занумеровать
шаги и найти все вероятности Pi(k), где k — номер
шага, k = 1, 2, ... по рекуррентным формулам C.2.19).
Такой прием часто применяется при моделировании
случайных процессов с дискретными состояниями и
непрерывным временем на ЭВМ.
Заметим, что если марковский случайный процесс
не является однородным (интенсивности X,/= Х.Д/)),
то на каждом шаге нужно составлять матрицу
\\pi,(k)\l
Очевидно, чем меньше будет величина шага ЛЛ
тем точнее будет решение, но тем больше будет за-
затрачено машинного времени на решение задачи. Ве-
Величину Л; можно брать зависимой от номера шага
так, чтобы максимальное приращение вероятности
pi(k) ((=1,2, ..., п) не превышало по модулю за-
заданной величины е, которой определяется точность
вычислений, выбираемая из практических соображе-
соображений, как точность каждого приближенного вычисле-
вычисления. Вычисления можно начинать при произвольном
значении Л/; если максимальное по модулю прираще-
приращение вероятностей р»(/+Af)—pi{t) оказывается боль-
больше е, размер шага Af следует уменьшить, подбирая
его пробами до тех пор, пока не будет выполнено
условие
4.2. Однородные марковские случайные процессы
с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Стационарный режим, уравнения ,
для предельных вероятностей состояний
Остановимся подробнее на исследовании однород-
однородных марковских случайных процессов с дискретными
состояниями и непрерывным временем, у которых эле-
элементы матрицы интенсивностей D.1.17) не зависят
от времени:
Х(, = const (?, /—1, 2, ...,л). D.2.1)
Другими словами, все потоки, переводящие систему
S из одного состояния в другое, являются простей-
простейшими (стационарными пуассоновскими). Системы,

142 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
в которых происходит такой процесс, будем называть
простейшими системами.
Для простейшей системы вероятности состояний
определяются уравнениями Колмогорова с по-
постоянными коэффициентами (см. D.1.6)). Для ре-
решения этих уравнений в инженерной практике широко
применяется преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа от функции f(t) (t ^s 0;
при / < 0 f(t)« 0) имеет вид [9]
в-*</(/)dt. D.2.2)
Обратное преобразование Лапласа определяется по
формуле
¦ .¦¦¦¦¦¦¦¦ ^ш я *~ ш я
' D.2.3)
где / = У—1.
Функция f(l) называется оригиналом, а функция
F(jc)—изображением. Переход от оригинала к изо-
изображению и обратно будем обозначать следующим
образом:
/(О о—-•FU).
Перечислим основные свойства преобразования
Лапласа, которые нам потребуются в дальнейшем.
1. Изображение производной функции df(t)/dt
равно изображению функции F(x), умноженной на х,
минус значение функции при t = 0:
xF(x)-/(P). D.2.4)
2. Изображение постоянной а равно этой постоян-
постоянной, деленной на х
ао та/х. D.2.5)
3. Изображение суммы функций равно сумме изо-
изображений этих функций:
tfi(t)o
i-i

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 143
4. Изображение произведения постоянной а на
функцию f(t) равно произведению постоянной а на
изображение функции F{x):
а] (О О • aF {х). D.2.7)
5. Если изображение функции имеет вид
1-1
где at — различные корни полинома ра(х)— Д (х—at)t
то оригинал имеет вид
где
п
п п Л (ом-ац)
t-i я А-l
Таким образом,
- • оУ-4т. D.2.10)
La p tan
(-1
6. Из соотношения D.2.10) можно вывести еще два
полезных соотношения:
1 1
1 . у *'
i0) '-a^(a')'
xPnix) *gc—i) Pni0) '-^()
D.2.11)
Если g(x) = xm + Pm-ixm-1 + ... + pix + Po и m < n,
TO
П (*

144 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
7. Если существует предел Um / (/), то
\im f(t)=\im xF(x) (f(t)O 9F(x)). D.2.12)
t-+oo 0
Применим преобразование Лапласа к решению си-
системы уравнений Колмогорова D.1.6). Обозначим изо-
изображение вероятности состояния pi(t) функцией
()
pt{t)O #М*). D.2.13)
Тогда системе уравнений D.1.6) для вероятностей со-
состояний будет соответствовать система уравнений для
их изображений:
п п
xnt (х) = ? 11{п} {х) — ? Xlfnt (x) 4- Pi @)
откуда
IT
П1\Л)
где
0 =
Х/|Л/ (х) -\- pi
x + ki
1, 2,
@)
. . .
('¦=
, п),
= 1.
Я,= Еа,;. D.2.15)
Таким образом, вместо системы однородных диф-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами D.1.6) для вероятностей состояний мы по-
получили систему однородных алгебраических уравне-
уравнений с постоянными коэффициентами для изображений
вероятностей состояний D.2.14). Эту систему нужно
решать с учетом нормировочного условия:
ЕР/(О=1 @<р,(/)<1; *>0). D.2.16)
i-l
Следовательно, одно из уравнений D.2.14) можно за-
заменить на более простое:
?,(х) = 4-' D.2.17)
t-i x
которое является изображением нормировочного усло-
условия D.2.16).

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 145
Пример 1. В автохозяйстве имеется п автома-
автомашин. Каждая из этих автомашин (независимо от дру-
других) может выходить из строя; интенсивность простей-
простейшего потока отказов автомашины равна X. Отказав-
Отказавшая автомашина становится на стоянку и ожидает
начала ремонта. Время ожидания начала ремонта ав-
автомашины распределено по показательному закону
с параметром у. Время ремонта автомашины распре-
распределено по показательному закону с параметром ц. Оп-
Определить вероятности состояний автомашины, если
в начальный момент она была исправна.
Решение. Состояния автомашины следующие:
51 — автомашина исправна,
52 — автомашина ожидает ремонта,
s3—автомашина ремонтируется.
Размеченный граф состояний автомашины пока-
показан на рис. 4.2.1.
В соответствии с этим графом и мнемоническим
правилом, сформулированным в п. 4.1, составим си-
систему дифференциальных уравне-
уравнений для вероятностей состояний
Рг У) — YP2 @ — ИРз @- Рис. 4 2.1
Вместо первого дифференциального уравнения исполь-
используем нормировочное условие
В рассматриваемом примере начальные условия сле-
следующие:
Исходя из этого, можно выписать следующие уравне-
уравнения для изображений:
хщ (дг) = Ля, (х) — ущ (х), хя3 (х) =

146 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Решая эту систему алгебраических уравнений, по*
лучим
х
Введем обозначение
= *2 + Схх + Со,
где % + ц + у = Си X\i + Яу + уц — ^о- Детерминант
уравнения jp(x) = O равен
Для положительных Х.>0, ц>0, у>0 детерми-
детерминант D может быть как положительным или отрица-
отрицательным, так и равным нулю. Например, при ^ = v =
= 1 детерминант D > 0 при 0<Я<4, ?> = 0 при
Л = 4 и ?>< 0 при X > 4.
Рассмотрим для простоты случай, когда детерми-
детерминант D <? 0. В этом случае существуют два различ-
различных отрицательных корня уравнения р{х) — 0:
где
-С, + д/С\ - 4С0 -С, - д/с? - 4С0
ttj = , сц = g ,
о,-а2 = С0, а, +О2=— Ct.
С учетом принятых обозначений изображение яз(*).
примет вид
По формуле D.2.11) получим
Далее,
( ea>t
xp (x)
h)
P
1
1
(a8 - a4)
*p(x) '

АЛ, ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Следовательно,
147
а, —
«Ма.-а*) + 0,@,-0.) )
Вероятность pi (/) найдем из нормировочного усло-
ВИЯ
Графики функций pi@, Рг(О и рэ(/) для у = ц=1,
Х- = 5 показаны на рис. 4.2.2.
p,(t),pz(t)lP/t)
п 0,4 Oft },2 1f 2,0 2,U 2,5 t
Рис. 4.2.2
На ЭВМ можно непосредственно строить графики
функций pi{t).
Заметим, что при t-^-oo функции p2(t) и рз@
имеют одну и ту же асимптоту <p(f)~ 5/11, а функ-
функция pi(t) имеет асимптоту i|> (t) = 1/11:
lim ps@3s№s
Mm p3(/) = p3 =
lim
= p, = 1/11 (см. рис. 4.2.2). >
Вернемся к анализу однородных марковских слу-
случайных процессов с дискретными состояниями н не-
непрерывным временем. Рассмотрим теперь процесс,
протекающий в системе S, все множество состояний
которой является эргодическим. Напомним, что мно-
множество состояний W всей системы S называется

148 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
эргодическим, если из любого состояния st можно пе-
перейти в любое другое состояние S/. Другими словами,
если число состояний системы S конечно и равно п
(что вполне достаточно для инженерных приложе»
ний), то система, выйдя из состояния st, через неко-
некоторое время попадет в состояние s/ и затем через не-
некоторое время снова вернется в состояние si. Следо-
Следовательно, любое состояние s,- и любое подмножество
состоянии V с W системы S являются транзитив-
транзитивными, т. е. для любой пары состояний st и s/ (i, j —
= 1, 2, ..., п) найдется такое г>0, при котором
выполняется неравенство
= 5j>O. D.2.18)
Назовем процесс, протекающий в системе S, эрго-
дическим, если существует предел
lim pif(t0, x) = p/ = P{S = 5/}>0 (/, /=1 п).
D.2.19)
Для эргодического процесса по истечении доста-
достаточно большого промежутка времени т вероят-
вероятность того, что система S будет в со-
состоянии Sj 0=1, 2,..., п), не зависит от
того, в каком состоянии s, (*'—1, 2 п)
система была в начальный момент /о — О
и не зависит от величины т. Очевидно, что
транзитивность процесса (существование «маршрута»
между любыми двумя состояниями Si и Sj системы S)
является необходимым условием существования пре-
предела D.2.19). Действительно, если процесс, протекаю-
протекающий в системе, не транзитивен, то рано или поздно
система окажется в одном из замкнутых подмножеств
состояний или в одном из концевых состояний, и
тогда возврат из этих подмножеств состояний (или
из концевых состояний) будет невозможен.
Чтобы процесс, протекающий в системе S, был
эргодическим, нужно, чтобы процесс был не только
транзитивным, но и однородным, т. е. чтобы вероят-
вероятность перехода из состояния s, в состояние s-, за время
т не зависела от того, в какой момент времени t0 си-
система находилась в состоянии sit а зависела лишь от
величины т:
. D.2.20)

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 149
Будем называть марковский случайный процесс
с дискретными состояниями и непрерывным временем
однородным, если выполняется равенство D.2.20).
Очевидно, чтобы марковский процесс был однород-
однородным, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие
систему из состояния в состояние, были стационар-
стационарными пуассоновскими (простейшими) потоками, т. е.
система S была простейшей.
Теорема Маркова (мы здесь ее не доказываем)
утверждает, что любой транзитивный однородный
марковский процесс с конечным числом состояний п
обладает эргодическим свойством:
Ига Pi, (t0, т) = lim pi} (т) = р, > 0 (*. / = 1, 2 п).
х-*» г->~ D.2.21)
Следовательно, по истечении достаточно большого
времени т функционирования системы S вероятность
того, что она будет в состоянии s,-, не зависит от того,
в каком состоянии s, она находилась в начальный мо-
момент времени /0. а вероятность состояния sf будет не
зависящей от времени и является постоянной вели-
величиной pj Ц = 1, 2, .... л).
Режим функционирования системы S, когда ве-
вероятности состояний р, (/ = 1, 2, .... п) не зависят
от времени, будем называть стационарным режимом,
а вероятности D.2.21) — финальными (предельными)
вероятностями. Любой марковский процесс с конеч-
конечным числом состояний, обладающий эргодическим
свойством, имеет стационарный режим, ко-
который обязательно наступит после до-
достаточного времени функционирования
системы.
Таким образом, чтобы марковский процесс, проте-
протекающий в системе S с конечным числом состояний
п, обладал эргодическим свойством, необходимо вы-
выполнение двух условий'):
1. Граф состояний системы S не должен иметь ни
одного состояния и ни одного подмножества состоя-
состояний без выхода и без входа (множество всех состоя-
состояний W системы S должно быть эргодическим).
2. Все потоки событий, переводящие систему из
состояния в состояние, должны быть простейшими
') Заметим, что эти условия примерно те же, что и для
цепи Маркова (см. п. 3.3).

150 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
с постоянными интенсивностями (марковский процесс
должен быть однородным).
Системы, в которых протекает эргодический мар-
марковский случайный процесс, будем называть простей-
простейшими эргодическими системами.
Время функционирования такой системы можно
разбить условно на два интервала @,/п), {tn,°°)
Переходный peonuif Стационарный, режим
функционирования функционирования
систвпы системы
Рис. 4.2.3
(рис. 4.2.3). Участок времени @, tn) называется уча-
участком переходного режима функционирования си-
системы, а участок времени (*п, <»)— участком стацио-
стационарного режима функционирования системы. Для лю-
любого момента времени fe(fn, oo) выполняется усло-
условие
1Р/@-Р/1<е (/=1, 2 я). D.2.22)
где величина е выбирается достаточно малой. Чем
меньше величина е, тем больше в общем случае бу-
будет время U переходного режима функционирования
системы.
Проанализируем подробнее стационарный режим
функционирования системы S Так как при стацио-
стационарном режиме предельные вероятности постоянны
(не зависят от времени), то их производные равны
нулю:
D.2.23)
Следовательно, для стационарного режима функцио-
функционирования системы S дифференциальные уравнения
Колмогорова превращаются в систему однородных
алгебраических уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами (см. D.1.24)):
О = ? kjipl — р( ?

4.3. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 151
которую можно переписать в виде:
л п
Pi I hi = ? hiPi 0=1,2 п). D.2.24)
/-1 1-Х
Эту формулу можно интерпретировать следующим
образом: если простейшая эргодическая система на-
находится в стационарном режиме, то сумма всех пото-
потоков вероятности, переводящих систему S из других
состояний в состояние sit равна сумме всех потоков
вероятности, переводящих систему S из состояния st
в другие. Другими словами, для любого состояния st
сумма всех входящих потоков вероятности должна
быть равна сумме всех выходящих потоков.
Уравнение D.2.24) можно привести к более про-
простому виду
где
Pt = JZ4r, (f- I, 2. .... л* D.2.25)
D.2.26)
Е
— интенсивность суммарного простейшего потока, пе-
переводящего систему из состояния si в другие.
Чтобы решить систему алгебраических уравнений
D.2.25), нужно одно (любое) из этих уравнений за-
заменить нормировочным условием
Ift-I. D-2.27)
При мер 2. Определить, является ли система, рас-
рассмотренная в примере I, простейшей эргодической си-
системой. Если да, то найти предельные вероятности
состояний этой системы при ja = у = 1, Я. — 5.
Решение. Система, граф которой изображен иа
рис. 4.2.1, является простейшей эргодической, так как
все потоки, переводящие систему из состояния в со-
состояние, являются простейшими, а все состояния —
транзитивными. Уравнения D.2.25) для предельных
вероятностей имеют вид
Pi — ИРаА, ft = A-Pi/Y, Рь

152 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Заменяя последнее равенство на нормировочное усло-
3
вие 2 Pi — U получим систему уравнений
1-Х
Pi = ИРаЛ. Р* -= bP\h, Р\ + Рч + Ръ = I,
откуда
Следовательно,
Л + у Pi + -jf Pi = Pi ^ =
откуда
71* J_ _А. _
Рх~~ yii + яцч-xv ~ и ' ^2~ ji Pl—
Можно убедиться в том, что пределы вероятностей
состояний (при *-*->оо), полученные в примере 1,
равны полученным в этом примере финальным (пре-
(предельным) вероятностям. Действительно,
Предельная вероятность состояния р, для марков-
марковского случайного процесса с дискретными состоя-
состояниями и непрерывным временем имеет смысл, ана-
аналогичный предельным вероятностям для однородной
цепи Маркова:
pt = tjxtt D.2.28)
где h—математическое ожидание времени однократ-
однократного пребывания системы S в состоянии Si, X{—ма-
X{—математическое ожидание времени цикла блуждания
системы S относительно состояния s,.
Формулу D.2.28) можно записать и в другом виде
(см. 2.7.11)):
р,-.-^ D.2.29)
где Ф,— математическое ожидание времени однократ-
однократного пребывания системы S вне состояния si.

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 153
Следовательно, финальная вероятность р, пребы-
пребывания простейшей эргодической системы S в состоя-
состоянии Si равна отношению математического ожидания lt
времени однократного пребывания системы S в со-
состоянии Si к сумме этого математического ожидания
и математического ожидания Ъг времени однократного
пребывания системы S вне состояния s<.
Из равенства D.2.29) следует, что
^ D-2.30)
D.2-31)
Покажем, что для простейших систем математиче-
математическое ожидание времени h однократного пребывания
системы S в любом не концевом состоянии s,- распре-
распределено по показательному закону с параметром fa,
определяемым по формуле D.2.26). Действительно,
параметр А.,- равен интенсивности суммарного потока
событий, выводящего систему S из состояния S;,
а этот поток, как сумма простейших потоков, также
простейший (см. п. 2.4). Следовательно, поток собы-
событий, переводящий систему S из не концевого состоя-
состояния Si, является простейшим с интенсивностью Я.,-.
В п. 2.2 было показано, что интервал времени
(рис. 2.2.2) от любой точки на оси времени ? до бли-
ближайшего события в простейшем потоке распределен
по показательному закону с параметром, равным ин-
интенсивности этого потока, что доказывает наше
утверждение. Следовательно,
Ь = -Ц' D>2'32)
Специально отметим, что время однократного пре-
пребывания системы S в неконцевом состоянии s< рас-
распределено по показательному закону для любой
простейшей системы: не эргодической или
эргодической; эргодическая система может находить-
находиться как в стационарном, так и в переходном режиме.
Но формулы D.2.30) и D.2.31) справедливы тол ько
для простейшей эргодической системы,
находящейся в стационарном режиме.
Выше отмечалось, что время переходного режима
tn зависит от выбора начальных усло-
условий. Действительно, если в момент t =0 вероятности

154
ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
pi@) (* — 1, 2, ..., л) уже равны предельным ве-
вероятностям {pi(Q) — pi (i = l,2, .... ft)), то время пе-
переходного режима будет равно нулю; если эти ве-
вероятности далеки от предельных, переходный режим
будет продолжительным.
Пример 3. Для условий примера 2 при у=*
-»-1 (^)'_я = 5(-^г) найти В*ЛИЧИ!Ш '" *<•
Решение. /j = l/A, = l/5 (суток), *2 = /3 = 1/ц =
=* I (суТКИ),
*i = h A - Pi)IP\ = 2 (суток),
Ь2 = F2 A - р2)//>2 = 6/5 (суток),
63 = U A — 0з)/Рз == 6/5 (суток).
Пример 4. Размеченный граф состояний ЭВМ
показан на рис. 4.2.4. Возможные состояния ЭВМ
следующие:
«1 — исправна, решает задачу,
52 —исправна, не решает задачу,
5з—неисправна, факт неисправности не уста-
установлен,
«4 — факт неисправности установлен: ведется поиск
неисправности,
«5 — ремонтируется,
«6 —профилактический осмотр ЭВМ,
s7 — профилактический ремонт.
Рнс. 4.2.4
Все потоки событий — простейшие. Найти предельные
вероятности состояний ЭВМ и математическое ожи-
ожидание $1 времени, в течение которого ЭВМ не решает

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 155
задачу, независимо от того, исправна она или нет,
находится на профилактике или нет.
Решение. По формулам D.2.25) находим пре*
дельные вероятности:
Pi = ^
+ Я52Р5 + Я62рв -f
+ *2зР2)Аз4» Ра
Pb = ^45^4/^-52. Рб = ^2бР2/(^в2 + ^67)» Pi =
Выразим все вероятности pi (i = 2, 3, ...) через ве-
вероятность р\, а второе уравнение (как самое громозд-
громоздкое) заменим на нормировочное условие:
P2 =
P4 — M&PxIUb = ОД»
Рб =
P7 =
n
11 Pi —pi + <hP\ + ад + ад + ад + ад + ад =
откуда ,
с3
В соответствии с формулой D.2.32) находим м. о. вре-
времени, в течение которого ЭВМ однократно решает
задачу:
По формуле D.2.31) находим м. о. времени <h, в тече-
течение которого ЭВМ однократно не решает задачу:
Рассмотрим численный пример (все значения вели-
величин выражены в сутках):
— среднее время наработки ЭВМ на отказ равно
20 суткам: !/&»— 1А23 = 20>

156 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
— среднее время решения задачи равно 6 часам:
1А,2 = 1/4,
— среднее время простоя исправной ЭВМ равно
0,5 часа: 1Дл = 1/48,
— среднее время установления факта неисправ-
неисправности ЭВМ равно 0,5 часа: 1Д34=1/48,
— среднее время поиска неисправности равно
1 часу: 1Д45 = 1/24,
— среднее время устранения неисправности равно
2 часам: 1/Х,52== 1/12,
— профилактический осмотр проводится в сред-
среднем раз в 30 суток: 1Д26 = 30,
— профилактический осмотр в среднем длится
3 часа: 1/Хб2 = 1/Я67 ~ 1/8,
— профилактический ремонт длится в среднем
4 часа: 1/Х72 = 1/6. Следовательно,
% = (Ьи + Л-isV^i = 0,084375,
<h = (*13 + *23О2)Л34 = 0,001 130,
а4 = Хз4аз/А,45 = °»00225^
= 0,004518,
0,000176,
щ — К&Оь/к12 — 0,000234.
Теперь найдем вероятности состояний
= 0,915171,
р2 == озр, = 0,077218, р3 = «з/>1 = 0,001034,
рА = афх = 0,002067, р5 = fl5Pi — 0,004135,
р6 = ОД = 0,000161, р7 = а7рх = 0,000214.
Величина 1\ — м. о. времени, в течение которого ЭВМ
однократно решает задачу, равна
tt = 1/(А,,2 -f- А,,3) = 0,2469 (суток) = 5,926 (часов).
Следовательно, величина <Ь — м.о. времени, в тече-
течение которого ЭВМ однократно не решает задачу (при
этом ЭВМ может быть либо исправной, либо неис-
неисправной, либо находится на профилактике), будет:
*i=Ml —Pi)/Pi = 0,5493 (часа) = 32,96 (минуты).

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ M7
Заметим, что если бы ЭВМ была абсолютно на-
надежной и не требовала проведения профилактического
осмотра и ремонта, то размеченный граф состояний
имел бы вид» показанный на рис. 4.2.5. В этом случае
Рх -ЛадЛАя + Ли)- 0,923077,
/, = 1/Л12 = 0,25 (суток) = 6 (часов),
= 0,02083 (суток) = 0,5 (часа).
Мы вндим, что вероятностные и временные харак-
характеристики работы ЭВМ изменились незначительно: ве-
вероятность р\ возросла с 0,915171 до 0,923077, время ?t
увеличилось с 5,926 (часа) до 6 (часов), а время Ъ\
уменьшилось: было 0,5493 (часа), а ста-
стало 0,5 (часа). Это свидетельствует о том,
что ЭВМ обладает достаточно хоро-
хорошими эксплуатационными характеристи-
характеристиками. ^
Продолжим анализ однородных мар-
марковских случайных процессов с дискрет-
дискретными состояниями и непрерывным вре-
временем с конечным числом состояний п. Рнс. 4.2.5
Можно показать, что для таких процес-
процессов при произвольном графе состояний, который не
обладает свойством эргодичности, тоже существуют
предельные вероятности состояний, но эти предель-
предельные вероятности будут зависеть от начальных условий.
В качестве иллюстрации рассмотрим простой при-
пример. Пусть множество состояний W системы S со-,
стоит из трех непересекающихся подмножеств:
При этом, если система S находится в подмножестве
W\, то она может перейти как в подмножество W\u
так и в подмножество Wu\. Если система S нахо-
находится в подмножестве Ww, то она из него выйти не
может; аналогично и с подмножеством Wu\\ система
S, попав в него, из него выйти не может. Все сказан-
сказанное условно изображено на рис. 4.2.6.
Если в начальный момент времени / = 0 система
находилась в подмножестве W}, то по истечении до-
достаточно большого времени / (теоретически при

Г58
ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
t-*- oo) система S перейдет либо в подмножество
Wu, либо в подмножество W
Iim pt @ =
Iim p/(^) =
J-»OD
Ит pk(t) =
И?,),
При этом
Если система S в начальный момент времени 1=0
была в подмножестве 1Гц, то она так и останется
в этом подмножестве
Iim р, (/) = Pi = 0 (* е UFi),
f
Следовательно,
Рис. 4.2.6
/ ' ' Т
Аналогично, если система $ в начальный момент
времени *=0 находилась в подмножестве Wm, то
Будем считать, что подмножества Wu и Wm обла-
обладают свойством эргодичности: система S, попав
в одно из подмножеств Wu (или №щ), будет все
время блуждать по всем состояниям этого подмно-
подмножества.
Естественно, что нас будет интересовать только
случай, когда блуждания процесса начинаются из со-
состояний подмножества Wx. Как в этом случае найти
предельные вероятности? Можно, конечно, постудить
так: составить систему дифференциальных уравнений
для всех состояний системы W =W\-\-Wu-\-WXn,
решить эту систему и найти пределы полученных ре-
решений при t-^-oo. Но можно поступить гораздо проще.

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 159
Если найти вероятность Ри — попадания системы
в подмножество состояний Wu и вероятность Яши
= 1 — Ри попадания системы в подмножество Win, то
можно ограничиться рассмотрением стационарных ре-
режимов, протекающих в подмножествах Wn и Wnu
В предположении, что система S перешла из под-
подмножества W\ в подмножество Wn, можно найти пре-
предельные вероятности состояний системы S — p{tll).
Тогда по формуле полной вероятности р} = pljU)Pu
(s. e 1Г„). Если предположить, что система S пере-
перешла из подмножества W\ в подмножество W\n (ве-
(вероятность этой гипотезы равна Рш=\— Рп), то
найдем предельные вероятности системы S — руп>.
Опять, применяя формулы полной вероятности, нахо-
Таким образом, задача сводится сначала к отыска-
отысканию вероятности Pi \ — попадания системы S в под-
подмножество состояний W\\ и вероятности Рщ = 1 —
— Рп — попадания в подмножество состояний Wm-
Для нахождения этих вероятностей выделим в со-
составе подмножеств Wn и Wui те состояния, в кото-
которые система S непосредственно попадает
из подмножества Wu Назовем эти состояния подмно-
подмножества входными состояниями подмножества Wn и
будем их обозначать S/B). Все такие состояния со-
составляют входное подмножество Wn* (S/B) K
WiV^Wn). He исключается и случай, когда
= lFniT. e. когда система S может непосредственно
попасть в любое состояние подмножества Wn. Ана-
Аналогичные понятия вводятся и для подмножества Wmi
входные состояния подмножества Wm обозначим s*B>,
все такие состояния составляют входное подмноже-
подмножество W\fi (sf* e ХР\*\, Wln\ е Fm). Все это схематично
изображено на рнс. 4.2.7.
Преобразуем размеченный граф состояний системы
следующим образом: сделаем все входные состояния
S/B> (принадлежащие входному подмножеству Wn})
и все входные состояния s*B> (принадлежащие вход-
входному подмножеству ^п!) поглощающими. Преобра-
Преобразованные подмножества показаны на рис. 4.2.8 (они
помечены сверху знаком «~»). Для преобразован-

160 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ной так системы S составляется размеченный граф
состояний и находятся предельные вероятности
Рис. 4.2.7
Рис. 4.2.8
^(/ejriP) и pk(sk(=W{fiD.TaK как при^оо си-
система S попадает либо в подмножество W\*\ либо
в подмножество W*u\, то
п = Е Pi (Si e W^),
„
D.2.33)
= !. D.2.34)
Пример 5. Размеченный граф состояний системы
показан на рис. 4.2.9. Найтн предельные вероятности
Рис. 4.2.9
состояний системы для начальных условий:
Решение. Состав подмножеств W\, Wn, Wln сле-
следующий:
Wi = {su s2}, tt^,i = {s3, s4, s5}, Wm = {ss, s7, s8, se}.

4.2. ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 161
входные состояния для подмножества Wn ~ $з и s4»
для подмножества Wm ~ s6.
Следовательно, входные подмножества будут
Преобразованный граф состояний имеет вид, пока-
показанный на рис. 4.2Л0. Для нахождения предельных
Рис. 4.2.10
вероятностей р3. р* и р6 воспользуемся седьмым свой-
свойством преобразования Лапласа D.2.12):
рх = Hm pi (t)O • Urn x&t (x),
где pt (t)О • Hi (x) (I = 3, 4, 6).
Составим алгебраические уравнения для изобра-
изображений вероятностей состояний, соответствующих пре-
преобразованному графу состояний, изображенному на
рис. 4.2.10. Для этого воспользуемся формулами
D.2.14) и D.2.17):
я2 (х) = (Л.гя, (х) + р
«4 (X) = К24П2 (Х)/Х, Щ {X) = Я.26Я2 (Х)/Х,
я, (д:) + я2 (д:) + яз (д:) + я4 + я* (д:) = 1/х.
Решим полученную систему алгебраических урав-
уравнений относительно изображения я\(х):
1
"tT*

162 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
откуда
1 - "* @) Гтхтг + 7
1 хл1>
* т „ _|_ » г л13 т "~П— • 7
Следовательно,
я /л\ i:m - й„\ Да — Р» @) (^ai +
Я1 \°) = ||ГП Я[ (ДС) = -т——j—'
0
Из равенства
получаем
откуда
Заметим, что
= fc = lim pa(/) =
it*)-
Далее, из равенства
получим
Следовательно,
j54 = lim р4 (/) = lim jtft4 (x) — А24 lim я„ (д:) = Лмл2 @).
lim хя! (лс) == lim xn2 (x) = 0.
*0 +0
Теперь найдем предельные вероятности для эрго-
дического процесса блуждания системы по состоя-
состояниям подмножеств №ц и Wn\. Для этого составим два
размеченных графа состояний, показанных иа
рис. 4.2.11. Так как это второе преобразование графа
системы S изображенной на рис. 4,2.9, то состояние
системы пометим знаком «.

4.2- ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ |63
Предельные вероятности для системы, граф кото-
которой представлен на рис, 4.2.11, а, были найдены в при-
примере 2, так как этот граф с точностью до обозначе-
i
1
S3
6
ний совпадает с графом, изображенным на рис. 4.2.1.
Следовательно,
Р4
Предельные вероятности состояний для графа, изо-
изображенного на рис. 4.2.11,6, найдем по формулам
D.2.25) —D.2.27);
Решим эту систему уравнений относительно вероят-
ности р7:
откуда
+ ^7*^89^97 + ^.78^67^97 +
Таким образом, получаем окончательные формулы
для предельных вероятностей состояний системы, граф
которой изображен на рис. 4.2.9:
?? Я? 2?
Pi =P2~ 0, 0з =

164 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим в качестве иллюстрации численный
пример, в котором для простоты расчетов все интен-
интенсивности потоков для графа, изображенного на
рис. 4.2.9, равны единице, а начальные условия та-
таковы:
рМ = Pi@) =1/2.
В этом случае
_ 3 - A/2) ¦ B) _ 2 . m 3~A/2)-2_ 2
Рз ~ з+1 + l — Т» Я' 1U> ~~ 3 + 1 + 1 "" 5 *
2/5^1/2=-^. р4= 1-3/10 = 3/10,
= 1-2/5 = 3/10 = 3/10, Яп =
Яш=1-Я„ =
Окончательно получим значения предельных ве-
вероятностей:
Pi = P2 = 0, P3 = p4 = Ps= 1/3 -7/10 = 7/30,
/?6=р7 = р8 = р9= 1/4-3/10 = 3/40,
дающие в сумме единицу.
Предельные вероятности зависят от начальных ус-
условий. Так, если в начальный момент система нахо-
находится в состоянии si, т. е. pi@)= 1, получим
= 3/5, МО) =1/5. Л=
рв =1/5, Яп = & + р4 = 4/5, Я,„=1/5,
Р> = Р2 = 0.
Если в начальный момент система находится в со-
состоянии 52. т. е. рг@)= 1, то
Рз=1/5, я,@)=1/5( МО) «2/5, & =
р6 = 2/5, Яп == j53 -f Pt = 3/5, Яш = 2/5,
Таким образом, мы убедились в том, что для раз-
различных начальных условий у системы 8, граф ко-

4.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 165
торой изображен на рис. 4.2.9, существуют предель-
предельные вероятности, но эти вероятности существенно за-
зависят от начальных условий. >
4.3. Закон распределения и числовые
характеристики времени однократного
пребывания марковского случайного процесса
с непрерывным временем и дискретными
состояниями в произвольном подмножестве
состояний U
Вначале рассмотрим самый простой случай, когда
подмножество состояний U состоит из одного состоя-
состояния s,: U = {«<}. Очевидно, что случай, когда состоя-
состояние Si является концевым (поглощающим), рассмат-
рассматривать нет смысла, так как, попав в это состояние,
система остается в нем навсегда. Следовательно, не-
нетривиальным является случай, когда состояние Si яв-
является либо начальным (источником), либо транзи-
транзитивным (см. п. 3.1).
Допустим, что в начальный момент t = Q система
S с конечным числом состояний п попала (или на-
находилась) в начальном или транзитивном состоянии
Si. Рассмотрим случайную величину Ti — время одно-
однократного нахождения системы S в состоянии s<, от-
отсчитываемое от момента t = 0. Если интенсивность
суммарного потока событий, выводящего систему S
из состояния Si, не зависит от времени:
Xt (t) = X К/ У) = ^ = const, D.3.1)
то случайная величина 7\ будет иметь показательный
закон распределения с параметром fa (это было по-
показано в п. B.2)):
ГО при f<0,
'*'~"ll— а"**' при ^>0,
ft(t) = Kte'klt (t>0). D.3.2)
Заметим, что такой закон распределения случай-
случайной величины Г, будет иметь место как в случае, если
интенсивности Я// = const(/ = 1, 2 п), так и
в случае, если fai(t)=? const, но их сумма D.3.1) по-
постоянна.

J66 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда
сумма D.3.1) зависит от времени:
h @ = Z hi (О Ф const. D.3.3)
/-i
Найдем вероятность события {Г* > t} (рис. 4.3.1).
Система покинет состояние sit как только в пуассо-
Tt новском потоке событий с
кинтенсивностью %i.(t) иасту-
г- пит первое событие. Следо-
Следовательно, вероятность собы-
Рис. 4.3.1 тия {Ti > 0 равна вероят-
вероятности события: {в пуассо-
новском потоке событий с интенсивностью \i{t) на
интервале @,/) не наступит ни одного события}.
Таким образом,
Р {Г, >/} = <> * (/>0), D.3.4)
откуда
Введем
1-
обозначение
0
t
t
при
при
if
/>0,
>о).
D.3.5)
D.3.6)
D.3.7)
Тогда
Г 0 при /<0,
^){ 4 />0> D.3.8)
0). D.3.9)
Очевидно, если Х|(/)=Я< = const, из D.3.9) полу-
получится показательный закон распределения.

4.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 167
Таким образом, зная интенсивность пуассоновского
потока событий ki(t), выводящего систему из состоя-
состояния si, можно по формулам D.3.8) найти ф. р. Л (О
св. Ti — времени однократного пребывания системы
в состоянии st при условии, что в момент / = 0 си-
система находилась в этом состоянии.
Можно решить и обратную задачу: допустим, что
нам известна ф.p. Fi{t) неотрицательной св. 7\; ка-
какой должна быть интенсивность пуассоновского по-
потока событий Xi{tO Из уравнения D.3.8) имеем
t
(г) dx
Найдем отсюда функцию U{t):
t
-InO-F,
i
о
Дифференцируя последнее выражение по t, получим
*. /«к
D.3.10)
Формула D.3.10) позволяет найти соответствие между
заданным законом распределения св. Г; и интенсив-
интенсивностью потока событий МО-
Пример 1. Интенсивность пуассоновского потока
событий, выводящего систему из состояния Si, M0 =
= at 4~ Ь\ найти закон распределения случайной ве-
величины Ti — времени однократного пребывания си-
системы в состоянии Si(a > О, Ь > 0).
Решение. По формулам D.3.8) и D.3.9) полу-
получаем
{0 при t < 0,
l-exp{-af72-W} при *>0,
При 6 = 0 /i@«a*exp{—аР/2) (/>0) полу-
получаем закон Рэлея (см. 7.9.26)*) с параметром 0 =
¦¦ l/Va; при fl — 0 МО^Ьехр^*'}. т. е. когда ин-
интенсивность не зависит от времени, естественно, полу-
получим показательный закон с параметром U — Ь.

168 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 2. Интенсивность пуассонсвского потока
событий, выводящего систему из состояния si, равна
Xi(t). Найти закон распределения сб. Ti при условии,
что система попала в состояние Si в момент времени
т>0.
Решение. Применяя тот же прием, что в пре-
предыдущем примере, получим:
Fl{t\x)=l-P{Tl>t\x} =
О при / < т,
f Г 1
1— exp s — \ kt(x)dx( прн / > т,
' 1 } )
- J Я,
J ,
Если fa(t)— at + b, то получила
{
1-
О при t <%,
при t>x,
При b = 0 получаем «сдвинутый» закон Рэлея с па-
параметром or=l/Ya:
2)} (/ > х),
при a — 0 получаем «сдвинутый» на величину т пока-
показательный закон с параметром Х= Ь (рис. 4.3.2):
ft(t\x) = bexp{-b(t-x)} (t>x).
Пример 3. Какова должна быть интенсивность
пуассоновского потока событий fa(t), если св. Tt рас-
распределена по закону Эрланга 2-го порядка, а система
S в момент времени t = 0 находилась в состоянии ?

4.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 169
Решение. fi(t) —
Следовательно,
(>>0),
О при / < О,
(I-hit) при *>0.
График этой функции показан на рис. 4.3.3.
Можно применить и несколько иной подход к оп-
определению закона распределения св. Ti — времени
однократного пребывания в состоянии st. Это время
Рис. 4.3.2
Рис. 4.3.3
будет определяться моментом первого попадания си-
системы S в одно из соседних (по отношению к состоя-
состоянию Si) СОСТОЯНИЙ.
Множество всех соседних состояний по отношению
К СОСТОЯНИЮ Si Обозначим Wi={Si, S2, .... S(, ... t Sk).
<*>
Рис. 4.3.4
Преобразуем систему S таким образом, что все
соседние по отношению к состоянию Si состояния сде-
сделаем концевыми (поглощающими) (рис. 4.3.4).Тогда
очевидно, что функция распределения с. в. Tt будет
определяться из выражения
.... +0/СО+ ... +А0Х МЛ!)

170 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
где /5/@ —вероятность того, что система, описывае-
описываемая графом G, изображенным на рис. 4.3.4, в момент
времени / будет в состоянии S/, если в момент вре-
времени f = 0 она была в состоянии st (/=1,2 k).
В соответствии с нормировочным условием для этого
графа G имеем
ЕМ01. D.3.12)
откуда
ЛЮ-1-Л@. 0.3.13)
Для системы, граф G которой изображен на рис. 4.3.4,
можно записать следующее дифференциальное урав-
уравнение:
— ао[Еч
L/-i
Все интенсивности "кц(г) (j = ft-f I, .... п) равны
нулю, так как состояния 5*+ь . • •, sn не являются со-
соседними по отношению к состоянию s<. Следовательно,
- - А @1 К, СО.
В соответствии с формулой D.3.3) последнее уравне-
уравнение можно записать в виде
-A<fl*i<0. D-314)
Решение этого дифференциальиого уравнения при
начальном условии р,@)= 1 имеет вид
I о
Подставляя его в D.3.13), получим
О при / < О,
—expj — ^Xt(t)dx >
1—expj — ^Xt(t)dx > при />0.

4.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 171
Полученное выражение для функции распределения
Fi(t) совпадает с выражением D.3.8).
Этот прием мы будем использовать в дальнейшем.
Найдем вероятность Рц перехода из состояния S/
в состояние S/, соседнее по отношению к sl% при усло-
условии, что в начальный момент / = 0 система находится
в состоянии Si (т. е. при р,@)—1). Эта вероятность
определяется по формуле
p,{t) (/= I, 2 k), D.3Л5)
f-ЮО
k
при этом Yi Рц — 1 •
Вероятность pf(t) может быть получена в резуль-
результате решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу О, изображен-
изображенному на рис. 4.3.4, при начальном условии
=1, Р/@) = 0 (/-1, 2 k).
Если все интенсивности постоянны, т. е.
hi @ = hi = const 0* = 1. 2, ..., k),
то вероятность Рц равна отношению интенсивности
hi к суммарной интенсивности всех потоков событий,
выводящих систему из состояния sr.
,* D.3.16)
Теперь рассмотрим произвольное незамкнутое под-
подмножество состояний U = {si, .., sit ..., sn). Так
как множество U не замкнуто, то система S попав
(или находясь) в момент времени *=0 в подмноже-
подмножестве состояний U, рано или поздно покинет его. В на-
начальный момент времени / =0 система S была в од-
одном из состояний множества U, следовательно,
?л@)-1. D.3.17)
i-i
Очевидно, что время Ти однократного пребывания си-
системы S в подмножестве состояний V будет равно
времени, в течение которого система попадает в одно

172
ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
из входных состояний подмножества Z, являющегося
дополнением подмножества U (рис. 4.3.5):
W = [] А- 7 f4 3 18Ъ
Обозначим &ь-\ s/, ..., s/_i входные состоя-
бия подмножества Z. Тогда входное подмножество Z(B)
Рис. 4.3.5
можно определить следующим образом:
Схема разбиения множества состояний W на подмно-
подмножества показана на рис. 4.3.6.
,СВ)
Рис. 4.3.6
Преобразуем нашу систему так, чтобы все вход-
вые состояния подмножества Z были концевыми (по-
(поглощающими). Преобразованные таким образом под-
подмножества состояний изображены на рис. 4.3.7 (преоб-
(преобразованные подмножества помечены сверху тильдой).
Если для преобразованных подмножеств состояний
и-\-&в) составить преобразованный размеченный
граф состояний G (S) и найти для начальных условий
Pi @) = I вероятность
?_
ж ^Л I
D.3.19)

«.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 173
то ф. р. времени пребывания системы S в подмноже-
подмножестве состояний U определяется из выражения
Fu{t) = P~zW«)- D-3.20)
Найдем п, р. случайной величины Ти, для чего про-
продифференцируем левую и правую части равенства
D.3.20) (см. D.3.19)):
/«(о=fи (о=Pw (о=,.$_, dh wdt- <4-3-21>
Так как все состояния 5/ (/ = k— 1, ..., /— 1) яв-
являются концевыми, то
D.3.22)
Следовательно,
/«@ = | jC ( tt К, @ J5, (/)• D.3.23)
Таким образом, для отыскания закона распределения
времени блуждания процесса в незамкнутом подмно-
подмножестве состояний U={si, ...
..-, s,, .... sn} до первого вы-
хода за пределы этого подмно-
жества необходимо:
1. Определить подмноже-
подмножество входных состояний 2(В) = рис 4.3.7
= {**-1, S*, .... 5/, .... $/_|},
в которое система S может непосредственно попасть
из подмножества U.
2. Преобразовать систему S таким образом, чтобы
все состояния подмножества Z<B>={sft_i, sft, ...
.... s/, .... si—1} стали концевыми, т. е. нужно по-
положить
*„(/)¦¦ 0 (j = k-\, k, .... /-1; i=l, 2, ...,n).
D.3.24)
3. Для таким образом преобразованной системы S»
состоящей из подмножеств состояний U и Z(B), соста-
составить размеченный граф состояний 5C) и записать
систему дифференциальных уравнений, которую нужно

174 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
решать при начальных условиях р*@), pYn(O), ...
.... /МО), причем
D.3.25)
4. Решив эту систему уравнений, найти п. р. слу-
случайной величины Ти по формуле D.3.23).
Обратим особое внимание на то, что указанный
способ нахождения п. р. времени Ти однократного пре-
пребывания в незамкнутом
подмножестве состоянии U
может применяться как в
случае однородного, так и
неоднородного марковского
процесса.
Пример 4. Для усло-
условий примера 5 п. 4.2 найти
закон распределения вре-
времени пребывания в подмно-
{sus2} (см. рис. 4.2.9) при на-
р,@)>0, р2@)>0.
Решение. Подмножество состояний Z<B> состоит
из состояний 53, s4, ss. Преобразованный граф состоя-
состояний системы S будет иметь вид, показанный на
рис. 4.3.8.
Решение дифференциальных уравнений будем ис-
искать с помощью преобразования Лапласа, так как
рассматриваемый марковский процесс однороден:
Рас. 4.3.8
жестве состояний V
чальных условиях
- (Я»»| W + р,
) iK =
откуда
X,,
щ[х)
р, @)
ГДе С\ —~ Aj + Aj, Cq — А[Ад — А12А21.
Найдем корни уравнения хг + Схх + Со = 0:

#Л ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ 175
Допустим, что С\ > 4С<? тогда в соответствии со свой-
свойством 6 преобразования Лапласа имеем (см. п. 4.2):
А @ - [Я2« + (Ам + Я*)р, @) + о,р, @)] еа''/Bо, + С,)+
+ 1(Я21 h^4+ Я*) р, @) + a2Pl @)] ^7B% + С,).
Аналогичное решение получим и для вероятности
Ш
¦¦» + >чаРа @) + *Ра @)
где Ci = Л,1 -+- X*, Со = XiXa — ЛцХц. Следовательно,
2а, 4- С,
По формуле D.3.23) лолучим выражение для п. р.
случайной величины Tv:
Для наглядности рассмотрим простой числовой при-
пример:
Найдем величины
A, = i-fl=r2, Лз = 1 И- I Н-1 = 3,
-в, = (-5 + V25 — 4 • 5 )/2 м — 1,382, вц» — 3,618,
Рх @ - Аив^'дав, + с,) + Ям^лгоз + с,) -
р2(/)« (О^
Следовательно,
(в
l,618e-MIW).
hit) » [в-1ли-в-«
V5
e-wu e в—' + e"ait (< > 0)

176 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Нетрудно убедиться в том, что функция fu(t) об-
обладает необходимыми свойствами плотности распре-
распределения:
со
Запишем полученную плотность распределения в
несколько ином виде: положим —oti = а.\ > 0, —аг =
= аг>0; тогда fu(t) = — axe~ait -\ а^~аг*. Заме-
Заметим, что \/ах + 1/а2 — 1, 1/fli > 0, \/а2 > 0. Следо-
Следовательно, полученная плотность fu{t) представляет со-
собой вероятностную смесь (см. гл. 9*) двух показатель-
показательных законов распределения /, {i) = axe~axt, f2 (t)=aie-a>i
с вероятностями pi = 1/ai, p2= l/a2:
Можно убедиться в том, что последняя формула
для п. р. случайной величины Ти справедлива для лю-
любых начальных условий и любых постоянных поло-
положительных интенсивностей hlit X2|, Xi3, X24, Хгв- Это
следует из того, что всегда существуют два различ-
различных действительных отрицательных корня at и а.%
уравнения
х2 + (А,, + Л2) х + А,Я2 — КпХг1 = 0,
которые не зависят от начальных условий.
По формулам (9.8.3)*—(9.8.5)* найдем М1ГН] и
D [Ти]:
а\
4
О,
0,444.

ГЛАВА 5
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ
И РАЗМНОЖЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
5.1. Определение марковского процесса гибели
и размножения с непрерывным временем,
его размеченный граф состояний, условия
существования стационарного режима,
предельные вероятности состояний
Ранее (п. 3.1) мы уже сталкивались с процессами
гибели и размножения для цепи Маркова. Как и
в том случае, с состоянием s, связана неслучайная
величина *,: если система S в момент времени /
находится в состоянии s,, то дискретная случайная
величина X(t), связанная с функционированием си-
системы, принимает значение i. Таким образом, полу-
получаем с.п. X(t), который в случайные, заранее неиз-
неизвестные моменты времени скачком изменяет свое со-
состояние. Одномерный закон распределения с.п. X(t)
определяется равенством
P{X(t) = i} = P{S(t) = sl} = pl(t) d = 0, 1,2,...).
E.1.1)
Если в процессе гибели и размножения для цепи
Маркова скачки функции X(t) могли происходить
в строго определенные моменты времени tx, t%> ..., tk,
то в марковском процессе гибели и размножения с не-
непрерывным временем скачки функции X(t) могут про-
происходить в любой момент времени t.
Таким образом, марковским процессом гибели и
размножения с непрерывным временем назовем такой
случайный процесс, который может принимать толь-
только целые неотрицательные значения;
изменения этого процесса могут происходить в лю-
любой момент времени t, при этом в любой момент вре-
времени он может либо увеличиться на единицу, либо
уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.
Коротко такой процесс будем называть процессом ги-
гибели и размножения.

178 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Размеченный граф состояний G(S) процесса ги-
гибели и размножения показан на рис. 5.1.1. Интен-
Интенсивности пуассоновских потоков событий, ведущих
к увеличению функции X{t) («размножению»), обо-
обозначены МО» гДе индекс i соответствует индексу
того состояния si, из которого выходит стрелка
лаа). A,(t>
(рис. 5.1.1). Интенсивности пуассоновских потоков со-
событий, ведущих к уменьшению функции X(t) («ги-
(«гибели»), обозначены ц,@> гДе индекс i также соответ-
соответствует индексу того состояния St, из которого выхо-
выходит стрелка. Пуассоновские потоки событий, ведущие
к «размножению» процесса X(t) (интенсивности ко-
которых обозначены буквой Я, с индексом), будем назы-
называть потоками размножения. Пуассоновские потоки
событий, ведущие к «гибели» процесса X{t) (интен-
(интенсивности которых обозначены буквой р, с индексом),
будем называть потоками гибели.
Очевидно, что одномерный закон распределения
процесса гибели и размножения X(t) можно опреде-
определить с помзщью системы уравнений Колмогорова для
графа G(S), изображенного на рис. 5.1.1:
dp, (t)/dt - ц, (t) p, @ - Хх @ Ро @.
i@- EL2)
0 iPi0 -». 2, 3. ...),
где
Л@«Р{3@~«|}-Р<*<0«4 0 = 0. t, 2, ...).
E.1.3)
Систему уравнений E.1.2) нужно решать прн началь-
начальных условиях Pi(Q)^0 (/«=0,1,2, ...), при этом
E.1.4)

Б.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
179
В инженерных приложениях обычно имеют дело
с процессами гибели и размножения с ограниченным
числом состояний, когда 0 ^ X(t)^ п. У такого про-
процесса п+1 состояний; размеченный граф состояний
• • • to
Рис. 5.1.2
показан на рис. 5.1.2. Система уравнений Колмого-
Колмогорова для процесса гибели и размножения с ограни-
ограниченным числом состояний имеет вид
dpQ (t)/dt - ц, @ Pi CO - V> @ Ро @.
dp( (t)/dt = Х,_, (/) />,_,(/) + |iJ + 1 (/)pul (t) -
М0 (/-1» 2 л-1), E.1.5)
n W/dt = K-iPn-x @ - Ц„(О Рп@.
Систему уравнений E.1.5) нужно решать при началь-
начальных условиях pi(Q)^iO (/ = 0,1,2 п), при этом
E.1.6)
Иногда в инженерной практике встречаются про-
процессы «чистого» размножения. Процессом чистого
размножения называется такой процесс гибели и раз-
размножения, у которого интенсивности всех потоков ги-
гибели равны нулю. Размеченный граф состояний та-
такого процесса без ограничения на число состояний
показан на рис. 5.1.3, а. Система уравнений Колмого-
Колмогорова для таких процессов может быть получена из
системы уравнений E.1.2), в которой нужно положить
все интенсивности потоков гибели равными нулю:
МО^О (f-1,2, ...).
Размеченный граф состояний процесса чистого раз-
размножения с конечным числом состояний п + 1 пока-
показан на рис. 5.1.3,6.
Система уравнений Колмогорова для процесса чи-
чистого размножения с конечным числом состояний

180
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
может быть получена из системы уравнений E.1.5),
если в ней положить |х«@—0 (<— I, 2, .... п).
Аналогично вводится понятие процесса «чистой» ги-
гибели. Процессом чистой гибели называется такой про-
процесс гибели и размножения, у которого интенсивности
всех потоков размножения равны нулю. Размеченный
граф состояний такого процесса с конечным числом
состояний показан на рис. 5.1.4, Система уравнений
ju.Ct)
Рис. 5.1.4
Колмогорова для процесса чистой гибели может быть
получена из системы уравнений E.1.5), если в ней
положить Xi(/)s= 0 (i = 0, 1, ..., п— 1).
Процессы гибели и размножения (однородные и
неоднородные), т. е. с постоянными или переменными
интенсивностями потоков, находят широкое примене-
применение в инженерной практике при исследовании различ-
различных технических систем. Процессы, происходящие
в различных системах массового обслуживания, также
относятся к процессам гибели и размножения1).
Пример 1. Рассматривается производство авто-
автомашин на автозаводе. Считая поток производимых
J) Исследованием систем массового обслуживания зани-
занимается специальная теория массового обслуживания; авторы
предполагают посвятить ей отдельную книгу, в которой будут
освещены различные инженерные приложения этой теории.

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 181
автомашин пуассоновским с интенсивностью K(t),
найти одномерный закон распределения случайного
процесса X(t)~~ числа выпущенных машин к моменту
времени t, если в момент t=Q начат выпуск авто-
автомашин.
Решение. Очевидно, что здесь процесс чистого
размножения без ограничения на число состояний,
при этом Ki(t)=K(t), так как интенсивность выпуска
автомашин не зависит от того, сколько их уже выпу-
выпущено. Граф состояний такого процесса показан на
ЛИ)
Z(t) A(t)
ЯШ
Ait)
Рис. 5.1.5
рис. 5.1.5. Одномерный закон распределения случай-
случайного процесса X(t) для графа, изображенного на
рис. 5.1.5, определяется системой уравнений Колмо-
Колмогорова:
dPo(t)/dt=-X(t)po(l),
dPl (t)ldt = - Л @ Pl (/) + К (/) р,_, @ (i = 1, 2, ...)
E.1.7)
Так как число выпущенных автомашин X(t) на лю-
любой фиксированный момент времени t распределено
по закону Пуассона с параметром
E.1.8)
то
-a @.
, 1.2....),
E.1.9)
Можно непосредственно убедиться, что вероятности
E.1.9) удовлетворяют системе дифференциальных
авнений E.1.7) при начальном условии ро@)=1.

182 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Действительно, по формуле E.1.9) получим:
о
t
а это есть первое уравнение системы E.1.7). Далее,
_ X @ *- ТО - X (/)a @ е-* = Я (/) р0 (/) - к (t) px (/).
Мы получили второе уравнение системы E.1.7). Та-
Таким же образом можно получить 1-е уравнение си-
системы E.1.7).
Следовательно, в данном случае для нахождения
одномерного закона распределения случайного про-
процесса X(t) нет необходимости решать систему диф-
дифференциальных уравнений E.1.7).
Для фиксированного момента времени / числовые
характеристики случайной величины X(t) будут:
t
M[X(t)]=*D[X(t)]=a(t)= $Л(О<0. E.1.10) >
Рассмотренный в этом примере процесс X(t) назы-
называется неоднородным процессом Пуассона. Процесс
X(t) представляет собой скачкообразную неубываю-
неубывающую целочисленную функцию, скачки которой могут
принимать только значение «+1»<
Если интенсивность X(t) = k = const, то получим
однородный процесс Пуассона или просто процесс

S.t. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
183
Пуассона. Для такого процесса при ро(О)= 1, Р;@) =
= 0 (t>0)
E.1.11)
Характеристики процесса Пуассона будут
M[X(t)] = O[X{t)] = kt. E.1.12)
Очевидно, что процесс Пуассона является процессом
восстановления (см. п. 2.2), у которого срок службы
элемента распределен по показательному закону с па-
параметром "К.
хт
Рис. 5.1.6
Случайный процесс X(t) называется процессом
с независимыми приращениями, если для любых зна-
значений аргументов U < tz < f8 . • • U < tt+i . • • слу-
случайные величины — приращения процесса X(t) —
независимы (см. рис. 5.1.6, где с. п. показан в виде
непрерывной кривой).
Процесс Пуассона X{t) (как однородный, так и
неоднородный) является процессом с независимыми
приращениями, так как его приращение на любом
участке времени (/, t -f t) есть число событий, появив-
появившихся на этом участке, а для пуассоновского потока
числа событий, попадающие на непересекающиеся
участки времени, являются независимыми (см. п. 2.1).

184 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Пример 2. В условиях предыдущего примера
производство автомашин длится лишь до тех пор, пока
их не будет произведено п штук, после чего завод
переходит на производство других автомашин. Опре-
Определить закон распределения случайного процесса
X(t) — числа выпущенных машин на момент времени
t, если в момент времени * = 0 начат выпуск авто-
автомашин.
Решение. В этом примере мы имеем дело с про-
процессом чистого размножения с ограниченным числом
состояний: 0 ^ ^{0^ п. Однако для отыскания одно-
одномерного закона распределения такого процесса опять
.ЯШ
Рис. 5.1.7
нет необходимости решать систему уравнений Кол-
Колмогорова, соответствующую размеченному графу, изо-
изображенному на рис. 5.1.7.
Действительно, так как до состояния sn-i графы
на рис. 5.1.7 и 5.1.5 совпадают, то должны совпадать
и соответствующие вероятности:
Р {* @ =«} = МО =-
(* = 0, 1, 2 п-1), E.1.13)
где
t
a(t)=\k(t)dt. E.1.14)
о
Но для любого момента времени t должно выполнять-
выполняться нормированное условие
?/>,(/)= 1- E.1.15)
Следовательно,
^K E.1.16)

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 185
Числовые характеристики случайного процесса X(t)
определяются по формулам
М [X (/)] = Е iPi (О + прп (/). E.1.17)
г-о
М [X2 @1 = IE ?Pi О + n*pn </), E.1.18)
1-0
E.1.19)
Очевидно, что при неограниченном увеличении вре-
времени'if
lim М[#@] = л, E.1.20)
lim D{X @1 = 0. E.1.21)
t
Если интенсивность производства автомашин постоян-
постоянная k(t) = X, то формулы для одномерного закона
распределения несколько упрощаются:
-u(i = Q, 1, 2 п-1),
E.1.22)
Р {*@ = «} - рп @ = 1 - 2 ^- е-". E.1.23)
Отсюда (см. E.2.7)*, E.2.9)*)
^ п[1 - R(n- I, Щ,
E
i-0
= (W)8 i? (n - 3, Л0 + MR (n - 2,
На рис. 5.1.8 (n>2) показаны графики функций
M[*@1 и о [X @1 = VM [ХЩ] - (М [X @1J •
Пример 3. Рассматривается процесс эксплуата-
эксплуатации однотипных автомашин в большом автохозяйстве.
На момент времени / = 0 в автохозяйстве имелось п
таких автомашин, новых машин в автохозяйство не

186
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
поступает. Интенсивность потока списания (снятия
с эксплуатации) каждой автомашины данного типа
постоянная и равна ц. Это значит, что срок службы
каждой автомашины есть
случайная величина, распре-
распределенная по показательному
закону с параметром ц.
Рассматривается случайный
процесс X(t)— число одно-
однотипных автомашин, находя-
находящихся в эксплуатации. Най-
Найти одномерный закон рас-
распределения этого процесса,
если автохозяйство не по-
пополняется данным типом
автомашин.
Решение. Процесс
X(t) есть процесс чистой ги-
гибели, размеченный граф
G (S) состояний которого
представлен на рис. 5.1.9. На этом графе in=i\i, так
как в состоянии s,-, в эксплуатации находится i авто-
автомашин, а каждая машина порождает поток списаний
с интенсивностью ц, следовательно, суммарный поток,
ifi ФП/i
Рис. 5.1.9
Рис. 5.1.8
переводящий систему из состояния st в состояние s/_i,
будет равен ? ц=*/ц (х«л, л — 1, ..., 1). Система
уравнений Колмогорова для процесса X(t) имеет вид
<*р„(О/Я--«№<*). EЛ.24)
Эту систему уравнений нужно решать при начальных
условиях
Р»@)-1. Pi<0)-0 (t-0. I, .... л-И. E.1.25)

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 187
Решение системы уравнений будем искать с по-
помощью преобразований Лапласа (см. п. 4.2):
хл{ (х) — (/ + 1) ця,+1 (х) — фя, (x)
(««1,2 п-1), E.1.26)
*пп (х) = — п\1яп {х) + 1.
Из последнего уравнения получаем
я„ (х) = 1/(х + пц).
Следовательно (см. D.2.8) и D.2.9)),
Рп«) = е-»*. E.1.27)
Это также следует из того, что закон распределения
времени пребывания в состоянии sn является показа-
показательным с параметром пц. Убеждаемся в том, что
р„@)= 1. Далее, из уравнения xnn-i {x) — n\inn(x) —
— (n—\)iuin-\(x) находим
я„_1 (х) = п\тп (х)/(х + (л - 1) ц) —
Следовательно (см. D.2.8) и D.2.9)),
Рв-1 @ = «\е-(п'Х) * — е
Нетрудно установить, что
_ (n~l+l)(n-i + 2) ...(п-\)пц1
(-1
Дс + u-ort JO
(/ = 0, 1 л-1). E.1.28)
Изображение лп-\{х) представляет собой выраже-
выражение, подобное D.2.8), следовательно, решение будем
искать в виде D.2.9).
Обозначим
/-о

188 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
полином степени i, который имеет (* + 1) различных
корней:
Оо=— лц, а, — — (л—1)ц, ...
... ak = — (n — k)ii at — - (п — I) и.
Найдем производную этого полинома
drt (x)jdx _ ? П Шх + (« - 0 Ii)
и ее значение при х = а* = —(п — й)ц (й=0, 1, ...
....0:
dr( (х)
их
X" -in-
(л-01*
i i
L, Ц (* - 0 ~ Li й {ft - /) =
= |i > г j '1 (R = U, 1, ?, ..., I).
Следовательно (см. D.2.10)),
i-0
V ; ft-Q
(i = 0, I /i-l). E.1.29)
Так, при t = 2 получим
Д
fc-0 ' L/-0 h-0
п (*
') Полагаем f[ (Jfe - A)/(* - /) ~ jj (ft ~ А) П (* - m).
A-0 Л-0 /п-Г+1

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ БРЕМЕНЕМ 189
Вероятность po(t) найдем из нормировочного условия
A>@=l-I Pn-iU). E.1.30)
Характеристики процесса X(t) определим по фор-
формулам
E.1.31)
<=i
D[X(t)} = M[X2(t)} -(M[X(t)]f =
t2(tf E.1.32)
t
г=1
Пример 4. Рассматривается эксплуатация одно-
однотипных автомашин в большом автохозяйстве. Интен-
Интенсивность поступления таких автомашин в автохозяй-
автохозяйство равна K(t). Каждая поступившая в автохозяй-
автохозяйство автомашина списывается (снимается с эксплуа-
эксплуатации) через случайное время Т, распределенное по
показательному закону с параметром ц. Рассматри-
Рассматривается случайный процесс X(t)—число автомашин
данного типа, находящихся в эксплуатации в момент
времени /. Найти одномерный закон распределения
случайного процесса X(t), если 1) нет ограничений
на число эксплуатируемых машин, 2) в автохозяйстве
может эксплуатироваться не более п автомашин.
Решение. 1) Очевидно, что если нет ограни-
ограничений на число эксплуатируемых автомашин, то слу-
случайный процесс X(t) есть процесс гибели и размно-
размножения, размеченный граф которого представлен на
рис. 5.1.10.
Система уравнений Колмогорова, соответствующая
этому графу, будет иметь вид
0 ~ *<(О А>('),
/ = 1,2, ...) E.1.33)
Если в начальный момент времени / = 0в автохозяй-
автохозяйстве не было ни одной машины, то решать эту систему
уравнений нужно при начальных условиях ро(О)= 1,

190
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
= 0 (/=1,2, ...). Если при / = 0 в автохозяй-
автохозяйстве было k автомашин {к =1,2, ...). то начальные
условия будут иметь вид
= 0, 1, 2
Можно эту систему решать и при произвольных на-
начальных условиях: р,@)^0 (i=0, 1, 2, ...)» но при
00
этом должно выполняться условие У, рДО)= 1.
A(t)
лт яш
S, • • 5*7
/t iju (i+t)/t
Рис. 5.1.10
2) Если в автохозяйстве может эксплуатироваться
не более п автомашин данного типа, то имеет место
процесс гибели и размножения X(t) с ограниченным
Рис. 5.1.11
числом состояний п, размеченный граф которого пред-
представлен на рис. 5.1.11.
Система уравнений Колмогорова для размечен-
размеченного графа, изображенного на рис. 5.1.11, имеет вид
dpQ
dpt (t)fdt =
-x @ + {I + 1) |iPi+i <0 -
E.1.34)
dpn (t)/dt = X (t) ря_г (t) - niipn(t).

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 191
Эту систему необходимо решать при начальных усло-
условиях, рассмотренных выше. В любом случае
Z
Отыскание решения системы E.1.34) и тем паче
E.1.33) в общем виде и при произвольной функции
X(t) представляет значительные трудности и не имеет
практических приложений. Дело в том, что при реше-
решении различных инженерных задач нужно знать ха-
характеристики процесса X(t): M[X(t)], D[X(t)], а од-
одномерный закон распределения pi(t)*= Р{Х@ — i} яв-
является промежуточным звеном в таком исследовании.
Ниже, в этой же главе, будет указан способ состав-
составления уравнений непосредственно для характеристик
процесса гибели и размножения X(t) (без привлече-
привлечения одномерного закона распределения pj(/)). >
Продолжим исследования процессов гибели и раз-
размножения. При постоянных интенсивностях потоков
гибели и размножения и конечном числе состояний
п -f- 1 будет существовать стационарный режим. Это
вытекает из того, что множество W всех состояний
процесса гибели и размножения является эр годи че-
чески м: все его состояния и все подмножества состояний
являются транзитивными (см. п. 3.1). Следовательно,
система S с конечным числом состояний п~\-1, в ко-
которой протекает процесс гибели и размножения с по-
постоянными интенсивностями потоков гибели и размно-
размножения, является простейшей эргодической системой
(см. п. 4.2).
Для простейшей эргодической системы гибели и
размножения с конечным числом состояний размечен-
размеченный граф состояний показан на рис. 5.1.12.
Предельные вероятности состояний для простей-
простейшего эргодического процесса гибели и размножения,
находящегося в стационарном режиме, могут быть по*
лучены из системы уравнений E.1.5), в которой

I 92 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
нужно все интенсивности потоков взять постоянными,
а все производные вероятностей состояний положить
равными нулю:
(/=1,2 n-l),
Найдем решение этой системы однородных алгеб-
алгебраических уравнений. Из первого уравнения получим:
Из второго уравнения имеем:
но ХоРо = Pip и следовательно,
Далее
но Xipi = \i2p2, откуда
Рг — РгРч. =
и т. д. Проводя такую рекуррентную процедуру,
можно доказать, что
H</>i=-*i-iP<-i (/ = 1. 2, .... п). E.1.36)
Подставляя равенство E.1.36) в любое уравнение
системы E.1.35), можно убедиться в его справедли-
справедливости.
Равенство E.1.36) можно сформулировать в виде
правила: для простейшей схемы гибели и размноже-
размножения, находящейся в стационарном режиме, потоки ве-
вероятности между любыми двумя соседними состоя-
состояниями равны. Советуем запомнить это правило, им мы
будем пользоваться в дальнейшем.

S.I. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 193
Из равенства E.1.36) получаем
ji ,i ,2 о
Pi= Pi-\ = ' ••• —Ро =
14 t*i Mi-! Mi
1 Л
-т± (i=l n>- El37)
к-1 *
Таким образом, любую предельную вероятность
Pi (i=l,2, .... п) можно выразить через предель-
предельную вероятность ро- Вероятность р0 можно найти из
нормировочного условия
откуда
Ро = гЧ • E.1.38)
1 + Z П h-
i k1
П
k-1
Формулы E.1.36) и E.1.38) дают возможность вычис-
вычислить предельные вероятности состояний простейшего
процесса гибели и размножения, находящегося в ста-
стационарном режиме при конечном числе состояний.
В инженерных приложениях иногда приходится
сталкиваться с простейшими схемами гибели и раз-
размножения, у которых практически нет ограничений на
число состояний п -\- 1. Например, рассматривая про-
процесс ввода в эксплуатацию, саму эксплуатацию и за-
закрытие буровых скважин по добыче нефти, которых
насчитывается в СССР несколько сотен тысяч, как
процесс гибели и размножения, можно практически
считать, что число состояний такого процесса ничем
не ограничено (л-»-оо).
В этом случае (при л-*-оо) нужно более детально
рассмотреть условие существования стационарного ре-
режима. Из равенства E.1.38) следует, что стационар-
стационарный режим будет существовать, если сумма, стоящая
в правой части формулы E.1.38), при п-*-оо сходится
к некоторому конечному числу. Можно доказать, что

194 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
для существования стационарного режима процесса
гибели и размножения при п-*-оо достаточно сходи-
сходимости ряда
E.1.39)
При этом ряд
V ТТ "*
Ь И к .
(-1 *-1 *-'
должен расходиться. Очевидно, что условие E.1.39)
будет выполняться, если начиная с некоторого i будет
справедливо неравенство
E.1.40)
Этому неравенству можно дать простое и нагляд-
наглядное инженерное толкование: начиная с некоторого со-
состояния Si и для всех последующих состояний интен-
интенсивность потока размножения должна быть меньше
интенсивности потока гибели.
Пример 5. В условиях предыдущего примера
найти предельные вероятности состояний системы для
стационарного режима (если он существует), если ин-
интенсивность поступления автомашин в автохозяйстве
постоянная "К(t) = k = const.
Решение. 1) Если нет ограничений на число
автомашин в автохозяйстве, то условие E.1.40) будет
иметь вид
?<*<'¦
так как в рассматриваемом примере ?w = A, (i =
= 0, 1,2, ...), рц = щ. Очевидно, что при любых по-
положительных (конечных) значениях интенсивностей X
и ц найдется такое значение /, при котором неравен-
неравенство E.1.40) выполняется. Это неравенство будет
выполняться и для всех последующих состояний

Б.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 195
sf U > 0* Найдем предел
п I п
X . X
___ ? ^ е |х е
00 -—
так как V .^ е u = 1 как сумма всех вероят-
(-0
ностей распределения Пуассона с параметром Я/ц.
Следовательно (см. E.138)),
{-1 k-i
Обозначим
E 142)
Из
Pi*
формул E.1.37), E.1.41), E.
Ро I 1 .. Ро 1 ь,. Ро'
XX I*/, XX R\l
1.
а'
42)
• = ¦
получаем,
а'
E.1
что
>а),
.43)
где P(i, а) = ate-v/iX A = 0, 1, ...) — распределение
Пуассона.
Таким образом, мы получили интересный резуль-
результат: число автомашин, находящихся в эксплуатации
в стационарном режиме (при отсутствии ограничений
на общее их число), распределено по закону Пуас-
Пуассона с параметром а, равным отношению интенсив-
интенсивности потока поступления автомашин в автохозяй-
автохозяйство X к интенсивности потока списаний каждой
автомашины ц. Этот вывод естественно может быть

196 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
распространен на эксплуатацию любых однотипных
технических устройств (ЭВМ, самолетов, станков, неф-
нефтедобывающих скважин, машин, танков, ракет, кораб-
кораблей и т. д.).
Из того что число эксплуатируемых машин рас-
распределено по закону Пуассона, следует, что м. о. числа
эксплуатируемых автомашин равно его дисперсии:
2) Если в автохозяйстве может быть не более п
автомашин данного типа, то (см. E.1.38)):
е~а
л i
Ро=
= />@, a)/R(n, a),
где Р (k, a) = аке-<*/к\ (k = 0,1, ...) — распределение
Пуассона,
R(n, a)=?p{k, a).
ft-o
Следовательно (см. E.1.37)),
i i i
a
П
(i = 0, 1, 2, ...,«). E.1.44)
Назовем распределение предельных вероятностей
E.1.44) усеченным законом Пуассона; этот закон за-
зависит от двух параметров а и п. Таким образом, число
автомашин, находящихся в эксплуатации в стационар-
стационарном режиме при условии, что их общее число не мо-
может быть больше л, распределено по усечен-
усеченному закону Пуассона с параметрами
а и п, где параметр а равен отношению
интенсивности потока поступлений ав-
автомашин в автохозяйство X к интенсив-
интенсивности потока списания каждой автома-
автомашины м-

51. процессы с непрерывным временем 197
Найдем м. о. числа эксплуатируемых автомашин
в стационарном режиме:
? IP (i. а)
1—9
п
п я
1 у* . а' _а 1 у* а* _а
(я, а) Zj * Л в ~ R (п, о) Zj (i -\)\e ~
l\ /I
<"L
о V"* о __ aR (n — 1, о) *(. .
"* R(n, о) Z» (i-l)! e = R(п, о) * ^5Л-
Из формулы E.1.45), в частности, следует
н п
T,iP{i, a)=?tP(t, a)=aR(n—l, a) (rt=l,2 ).
n
i-0
E.1.46)
Эта формула пригодится при исследовании систем
массового обслуживания.
Для вычисления дисперсии числа эксплуатируемых
машин найдем второй начальный момент:
i-0 i-0
n . n
a' n l V* . о' „
i\e R{n,a) L,1 i~\ *
R{n,a) R{,)
\Y(j I) c | у
R (n, a) I Zj U ^ (t - 1)! e ^ Zj (* - 1I
Lfl i-l

198 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
откуда
D [X </)] = М [X* @1 - (М [X (О!J =
Легко видеть, что при л-» с© М [X(/)] = D(X(/)] = a,
так как Hm R (k, a) = 1.
Формулы E.1.44) называют формулами Эрланга;
в теории массового обслуживания их обычно записы-
записывают в виде
F (t = 0« l* 2 п)- E
fe-o
Они были получены шведским ученым Эрлангом при
исследовании п канальной системы массового обслу-
обслуживания с отказами, с интенсивностью потока поступ-
поступления заявок на обслуживание Я. и интенсивностью
потока обслуживания каждой заявки \i. Вероятность
pt равна вероятности того, что в системе будет ровно
i заявок в стационарном режиме. Подробный анализ
различных систем массового обслуживания будет про-
проведен в следующей книге авторов. >
Рассмотрим более подробно процесс гибели и раз-
размножения, когда ряд E.1.39) расходится и неравен-
неравенство E.1.40) не выполняется ни для какого i. В этом
случае стационарного режима не существует. Более
того, при возрастании t
limpi@ = 0 (/ = 0, 1, 2, ...),
f
т. е. система будет все время сдвигаться в среднем
вправо», в сторону большего номера состояния, а с. п.
X(t) будет иметь тенденцию все время в среднем воз-
возрастать, его м. о. будет все время увеличиваться.
Если рассматриваются процессы чистого размно-
размножения, то нормировочное условие

5.1. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 199
будет выполняться только в случае когда ряд
W
L ХГ
fe-0
расходится.
Если же ряд
fe-0
сходится, то
/-0
откуда
i-0
Последнее неравенство означает, что за конечное
время t имеется вероятность p(t) того, что значение
процесса чистого размножения X(t) будет больше
сколь угодно большого значения п. Такие процессы
имеют место при рассмотрении явлений типа свзры-
свзрыва» и находят широкое применение при ядерных ис-
исследованиях.
Пример 6. Рассматривается процесс чистого раз-
размножения, у которого интенсивность Xi = а% где а —
безразмерная величина. Определить условия, при ко-
которых будет наблюдаться явление «взрыва».
Решение. Исследуем ряд
00 ОО С*
У JL = V _L_ JL у 1
к *< к *1к * к«'
Очевидно, что при а > I ряд ? — сходится (беско-
(бесконечная геометрическая прогрессия) и, следовательно,
будет наблюдаться явление «взрыва». >

200 ГЛАВА 5 ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
5.2. Закон распределения и числовые
характеристики времени нахождения
процесса гибели и размножения
в произвольном подмножестве состояний
В главе 4 (п. 4.3 и 4.4) были рассмотрены общие
приемы определения закона распределения и число-
числовых характеристик времени Ти нахождения марков-
марковского случайного процесса с дискретными состояниями
и непрерывным временем в произвольном подмноже-
подмножестве состояний U, которые могут быть применены и
для марковских процессов гибели и размножения. Од-
Однако особенности графа процессов гибели и размноже-
размножения во многом упрощают нахождение законов распре-
распределения и числовых характеристик с. в. Ти.
ПодпножестВо Z(fl
Лодпноэщес/лва Z;
Лодпножестбо II
Рис. 5.2.1
Как правило, в различных инженерных приложе-
приложениях рассматривается подмножество V соседних со-
состояний (рис. 5.2.1):
U = {sit si+b ...,«/} (*</; ?=*=0, 1, 2 п;
; = 0, 1, 2, ...,«). E.2.1)
Когда / = /, то подмножество содержит одно состоя-
состояние s,: U ={si).
Обозначим Г,-,,- время однократного пребывания
процесса гибели и размножения в подмножестве U =
= {«,, ..., Sf). Для нахождения закона распределе-
распределения времени Г,.,- составим преобразованный разме-
размеченный граф состояния <5(S), показанный на
рис. 5.2.2. На этом графе состояния s,_i и §1+х яв-
являются концевыми (поглощающими), так как эти со-
состояния образуют входное подмножество Z(B) (см.
рис. 5.2.1):
2(B)={s,_,, e/+ib E.2.2)

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
201
В свою очередь, входное подмножество Z(B) принад-
принадлежит подмножеству Z, являющемуся дополнением
к подмножеству U (см. рис. 5.2.1):
=Фо si-i> si+b • • •. sa). E.2.3)
Согласно правилу нахождения закона распределе-
распределения случайной величины Tit jt изложенному в п. 4.3,
нужно составить систему дифференциальных уравне-
уравнений для вероятностей состояний для системы с гра-
графом, изображенным на рис. 5.2.2, и решить их при
Подмножество
i лхп лк /
*) л
Подпножестдо ff
Рис. 5.2.2
начальных условиях р*@), удовлетворяющих огра-
ограничениям
_
= 1, Pk@)>0.
E.2.4)
Эти начальные условия соответствуют тому, что при
t = 0 система S находилась в одном из состояний
подмножества U={s;, ..., s/}.
Система дифференциальных уравнений для нахож-
нахождения закона распределения времени 7\/ имеет вид
(см. граф на рис. 5.2.2)
dp; (t)/dl =- ц|+,jBl+1 (/) - (Ъ (t) + ц, (/)) pt it),
dpk (t)/dt = \ik+lpk+l {t) + **_, @ p,_, @ - E.2.5)
= л,.,^,., @ - (X; (/) -f- ц^ @) p/ @.

202 ГЛАВА Б. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Функция распределения Ftt j(t) = P {Tlt t < /}
равна вероятности того, что к моменту времени t си-
система S уйдет из подмножества состояний О
(рис. 5.2.2) и окажется в подмножестве состояний
Z(B> —{5/_|, s/+1}, т. е. либо в состоянии si-u либо
в s/+i. Следовательно,
Ft, t@ = Pt-x @ + P,+i (О (' > 0). F.2.6)
где вероятности состояний pi-\ (t) и pj+\ {t) вычисляют-
вычисляются в результате решения системы уравнений E.2.5)
при начальных условиях E.2.4), откуда (см. E.2.6) и
E.2.5)) п. р. случайной величины Ti, / будет:
-m<0 Л @ + ^@^/@. E.2.7)
Таким образом, для отыскания закона распределе-
распределения св. Ti,i — времени пребывания процесса гибели
и размножения в произвольном подмножестве U =
= \st, ..., s/} — нужно:
1) Определить подмножество состояний Z(B), в ко-
которое система S может непосредственно попасть из
подмножества U:
Z^-is^, sf+i) (*>1, /<я-1). E.2.8)
2) Преобразовать систему S так, чтобы все со-
состояния подмножества Z<B> были поглощающими (см.
рис. 5.2.1):
К-1 @ = H,-i @ = h+x W = И/+1 @ = 0. E.2.9)
3) Для таким образом преобразованной системы
S, состоящей из подмножеств О и Z<B) (рис. 5.2.2),
составить размеченный граф состояний G(S) и запи-
записать систему дифференциальных уравнений, которую
нужно решать при начальных условиях E.2.4).
4) Решив эту систему уравнений, найти плотность
распределения св. Ти по формуле E.2.7).
Рассмотрим частный случай, когда одно из состоя-
состояний Si или Sj является граничным (si — s0 или 5/ =
= sn). Для случая, когда Si = s0, размеченный граф
состояний системы S имеет вид, показанный на
рис 5.2.3.

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 203
В этом случае (при si = s0) система дифферен-
дифференциальных уравнений для определения плотности
/ будет иметь вид
dp0 №t = ц, @ ft @ - А, @ р0 @
_, it) + щ+1 @ft+J (/) - E.2.10)
<0 (*=L 2, ...,/-1),
= A,.,p,_, @ - (л) @ + ^/ @) /»/ W.
Решив систему E.2.10) при начальных условиях
?-1, E.2.11)
( . /), ?
найдем плотность распределения с. в. То, / по формуле
Аналогично определяется и плотность распределе-
распределения с. в. Tt, я, когда s/ = sa. В этом случае граф
Подмножество If
Рис. 5.2.3
преобразований системы § показан на рис. 5.2.4. Си-
Система дифференциальных уравнений имеет вид
dpt it)/dt = (il+1 @ ft+I @ - (Я, (/) + ц, @) ft (/),
dpk\t)tdt« Vao jBI*_'i @ + lH+i @ P*+i @ ~ E-2.13)
- яя_, (о ря_, (/) - fin (О Рп (/).
Решив систему E.2.13) прн начальных условиях
(*«*, 1+1, ....я), g(j5fc@)=l, E.2.14)

204 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
найдем плотность распределения с. в. Tt, „ по формуле
//,„(>) = МО МО ('><>)• E2.15)
Зная плотность распределения св. Ti,t, можно
найти ее числовые характеристики: м.о.
о
ею
- J А/ (О Р/ @ dt + J /и, @ pt (О Л, E.2.16)
о о
о о
второй начальный момент
= J t% (О Р, (О Л + J t% @ а (О Л E.2.17)
о о
и дисперсию
til]J. E.2.18)
Пример 1. В вычислительном центре (ВЦ)
имеется три однотипных ЭВМ. На каждую ЭВМ дей-
действует пуассоновский поток отказов с интенсивностью
Подтожество U
Рис. 5.2.4
k(t) и пуассоновский поток ремонта (восстановле-
(восстановления) ЭВМ с интенсивностью ц@- Найти выражение
для п.p. /i.2@ св. 7*1,2 —времени, в течение кото-
которого в ВЦ будет работать одна или две ЭВМ, если
в начальный момент времени /==0 работала одна
ЭВМ, все ЭВМ работают независимо.

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 205
Решение. Состояния ВЦ следующие:
So—не работает ни одна ЭВМ (все три ЭВМ вос-
восстанавливаются),
Si — работает одна ЭВМ, две восстанавливаются,
Sa — работают две ЭВМ, одна ЭВМ восстанавли-
восстанавливается,
5» — работают все три ЭВМ.
Граф состояний ВЦ имеет вид, показанный иа
рис. 5.2.5, Подмножество ?/={si, s2}, подмножество
Z<B> ={so,s3}. Преобразованный граф d(S) показан
на рис. 5.2.6.
2Mt)
Рис. 5.2.6
Система дифференциальных уравнений, соответ-
соответствующая графу G(S):
E.2.19)
Эту систему нужно решать при начальных усло-
условиях
М0)=1. А@) = 0 (/ = 0, 2, 3).
dPx (t)/dl = 2k (t) p2 @ - (X @ + 2ц (l))p, @,
dp2 U)ldt = 2ji (t) p, @ - B к @ + ji @) A @,
При переменных интенсивностях k(t) и ц(/) решать
систему E.2.19) можно любым численным методом

206 ГЛАВА Б. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
на ЭВМ. Для иллюстрации рассмотрим случай, когда
А,@= Я —const, ц(/) = ц = const. Система уравнений
для изображений по Лапласу вероятностей состояний
будет:
хщ {х) = 2ЯД2 (х) - (Я + 2ц) пх (х) + 1,
хп2 (х) = 2|1л, (*) - B* + ц) я
Решая эту систему, получим
*&?.¦ E.2.21)
где
С, = ЗХ + Зц, С„ = 2А,2 + Яц + 2ц2. E.2.22)
Корнями уравнения р(лс) = л* + С\х + С0 = 0 будут
— С. ± л/С? — 4Cft
О,. 2 = !—V ~ ' <5-
Оба эти корня действительные, отрицательные и раз*
личные, следовательно,
где
Чз = - BЯ + ц).
Применяя формулы D.2.8) —D.2.11), получим
E.2.25)
откуда
.ait
[.ait att -г
По формуле E.2.7) находим плотность распределения
св. Tli2:
/1,2@ = ^@+^2@ =
), E.2.28)

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 207
где
*~ (а,-«*)<-«.) • ^~ (а1-«2)а2 ' I5'
Выражение E.2.28) представляет собой вероятно-
вероятностную смесь (см. п. 9.8*) двух показательных зако-
законов распределения с параметрами (—&|) и (—ое2) и
с вероятностями qi и q2 соответственно (<7i + <72— 1)-
Следовательно (см. п. 9.8*),
^ % E.2.30)
а, а2
Рассмотрим численные примеры:
а) X — ц = I. В этом случае fi,z(t) ~ er* (t > 0),
так как из каждого состояния подмножества I) ==*
= {si, s2} можно перейти в одно из состояний подмно-
подмножества Z = {so, «з} и при этом интенсивность потоков
событий, переводящих систему из подмножества U =*
= {si,s2} в подмножество Z= {so, s3}t постоянная н
равна единице (см. граф на рис. 5.2.5). Можно убе-
убедиться в том, что в этом случае
-6 + V36-20 , -6-V36-20
2 .5=—1, U2 2
—2X-|i—3. gi-
= И-5 + 3) + 2
б) X = 2, p. = 1. В этом случае
С, =9, С0=12, а, = —1,628, 02 = — 7,372, Оз=-5,
<7t = 0,9351, </2 = 0,0649, а [Г1>2] = 0,2413,
ft 2 (/) = 1,522е -1-628' + 0,478е-7-372' (/ > 0),
М [Г|.2] = 0,6832. >
Рассмотрим простейший процесс гибели и размно-
размножения (все интенсивности пуассоновских потоков
постоянны), находящийся в стационарном режиме.

208 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Блуждание процесса по подмножеству состояний U
может начаться только из состояний s, или sf
(рис. 5.2.1). Следовательно, начальные условия для
решения системы уравнений E.2.5) будут удовлетво-
удовлетворять соотношениям
К '
Для стационарного режима функционирования си-
системы S, граф которой представлен на рис. 5.2.1, эти
начальные условия определяются по формуле Бейеса
(см. п. 2.6*):
А@)- А • E.2.32)
где
А = Ё Pi E.2.33)
/=¦0
— вероятность того, что система S (рис. 5.2.1) в ста-
стационарном режиме будет находиться в подмножестве
состояний Z, ={so, Si, ... Si-i), a
Pi- I Рь E.2.34)
представляют собой вероятности того, что система S
в стационарном режиме будет находиться в подмно-
подмножестве СОСТОЯНИЙ Zj={Sj+\, .... Sn-i,Sn}.
В формулах E.2.33) и E.2.34) вероятности pi (/ =в
= 0, 1, ...,/—1) и pk (ft = /-fl п) опреде-
определяются как предельные вероятности состояний си-
системы S, граф которой изображен на рис. 5.2.1 при
Xi(t)==Ki, {ij(/)= M". Решая систему уравнений E.2.10)
при начальных условиях E.2.5) и E.2.6), можно
найти закон распределения с. в. 7",, \ — времени одно-
однократного пребывания системы S в подмножестве со-
состояний U—{si, ..., sf) в стационарном режиме.
Если требуется определить только математическое
ожидание времени 7V, / пребывания системы S в ста-
стационарном режиме в подмножестве состояний 1/==
= {s,, ..., S/}, то можно обойтись и без решения си-
системы дифференциальных уравнений E.2.10).

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 209
Покажем, как это делается. Введем обозначения
7 ___ М [Т 1 f j— М fT 1 7 ггг М [Т* 1
E.2.35)
Тогда на основании эргодического свойства системы
S, находящейся в стационарном режиме, можно
записать равеиство
Pi,, = ттт^" • E-236)
где
LPi ('</; <=0, 1 л—I; / = 4,2 л),
E.2.37)
xi,} — м. о. времени пребывания системы S вне под-
подмножества U={st, ..., Sj} в стационарном режиме.
Очевидно, что на основании формулы полной ве-
вероятности (см. п. 2.5*)
где pz — вероятность того, что система S в стацио-
стационарном режиме, выйдя из подмножества V, попадет
в подмножество Zt (см. рис. 5.2.1); pz — вероятность
того, что система S в стационарном режиме, выйдя
из подмножества V, попадет в подмножество Zy;
Р^ + Р*,-!- <5-2-39)
На основании формулы Бейеса (см. п. 2.6*) получим
E.2.40)
Если i — О, то pz =0, pz =l (/' < п), если j = n, то
Pz.= l> Pz =° ('>°)-
• ft

ГЛАВА 8. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
На основании эргодического свойства можно запи-
записать следующие равенства:
i ll -"Au-i. E-2-41)
= &+1,п. E.2.42)
Из этих равенств
" " '"l E.2.43)
Следовательно (см. E.2.36)),
^.^-Ai-Tf,. E.2.44)
Таким образом, для отыскания ^#/ = М[Г//] нужно
определить величины f0>,_, и f
Рассмотрим граф состояний подсистемы ${, изо-
изображенный на рис. 5.2.7. Очевидно, закон распреде-
распределения времени пребывания в подмножестве Z, сис-
системы Si (рис. 5.2.7) и в подмножестве Z, системы S
(рис. 5.2.1) в стационарном режиме будет оди-
одинаковым, так как для обеих систем начальные усло-
условия блуждания одинаковы: pf_i @) = pf_i @) = 1,
а сами подмножества Z, и 2, одинаковы: Zi = Zi =
= {$о,Si, •••! 5,_i}. Для графа, изображенного на
рис. 5.2.7, на основании эргодического свойства имеем
к /-i/(?o. /-1 -f h, t) = ро, 1-й E.2.45)

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ 211
где
E.2.46)
-0
— вероятность того, что система $it граф состояний
которой G(Si) изображен на рис. 5.2.7, в стационар-
стационарном режиме будет находиться в подмножестве состоя-
состояний Z, (рис. 5.2.7);
fi.i-Mir,,!]-^ E.2.47)
—математическое ожидание времени однократного
нахождения системы S/ в состоянии s,- (для стацио-
стационарного режима); мы знаем, что оно распределено по
показательному закону с параметром щ.
Для нахождения предельных вероятностей /5; нуж-
нужно решить систему алгебраических уравнении, соот-
соответствующих размеченному графу состояний, изобра-
изображенному на рис. 5.2.7 (см. E.1.37) и E.1.38)),
i
Pi - РоП WM* (/«1. 2, ...,9.
"' I vi E-2.48)
Из формулы E.2.45) получаем
'о, f-i='MpOii_i/(l ~Po,l-\)~ ~ Po.i-iA1 — Po,i~\)-
Щ E.2.49)
Аналогичным образом поступаем и для отыскания ве-
величины ?/+i, „. Вводится в рассмотрение граф подси-
подсистемы §/, изображенный на рис. 5.2.8. Для подси-
подсистемы §/ имеем
'/+1_;" =рж,„ E.2.50)
где
E/ E.2.51)
— вероятность того, что система S/, граф состояний
которой изображен на рис. 5.2.8, в стационарном ре-

212
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
жиме будет находиться в подмножестве Zj~{Si+u ...
.... $л). Вероятность pi находим по формулам
= }-hi П),
E-2.52)
откуда
hi =i14
E.2.53)
3/+1>д). E.2.54)
Если одно из состояний множества U является гра-
граничным (Si = $о или sf = sn (рис. 5.2.1)), то задача
Рис. 5.2.8
о К-
Рис. 5.2.9
упрощается. При s< = so(/ < n) размеченный граф со-
состояний системы S/ будет иметь вид, показанный на
рис. 5.2.9. В этом случае имеем
'о. I = -— Ра, //A — Ре, t)>
-1
E.2.55)
Po,/=Z,oP/=l-

5.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
213
При si = sn {i > 0) размеченный граф состояний
системы §j будет иметь вид, показанный на рис. 5.2.10.
В этом случае получим
ii.»s=-r-pi,n/(l-Pi,n),
Pf,«= I — Pi-\,
E.2.56)
-t
Все сказанное в данном пункте можно распростра-
распространить и на случай, когда п не ограничено, но при этом
должны соблюдаться условия существования стацио-
стационарного режима, изложенные в предыдущем пункте.
Рис. 5.2.10
Пример 2. Для условий примера 5 из п. 5.1 найти
м. о. времени 7V, в течение которого для стационар-
стационарного режима в автохозяйстве находится не менее i
автомашин при условии, что нет практических огра-
ограничений на число автомашин.
Решение. Для отыскания закона распределения
св. Г, составим граф состояний, изображенный на
рис. 5.2.11. По формулам E.2.56) находим

214 ГЛАВА 8. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Введем обозначение Х/ц = а; тогда
-I
= _| 1 . *-о | _ P(t-t,q)
где Р (&, а) = аке-*-Ц& — распределение Пуассона,
/?(л, а) =?/>(?, а). В данном случае я=оо. От-
сюда (см. E.2.26) при Ai_i = Я получим
Я _1_й — 1 P(t-1, а) _ \-RU~], а)
Pi.oo ' Pi-\ — * i_^(i_2, а) "~ 1-^0-2, а) '
м [т 1 ._ 1 1 - * (i - U а) ^
m l/ fJ ~ Л /? (/ - 1, а) -/?(/- 2, о)' w
5.3. Метод псевдосостояний
Рассмотрим простой процесс восстановления (см.
п. 2.2), когда элемент выходит из строя и мгновенно
заменяется другим. Последовательные моменты вы-
выходов из строя (они же моменты восстановления)
разделены случайными интервалами 7*1, Т2> .... кото-
которые независимы и одинаково распределены с плот-
плотностью /(/). Так, например, процесс Пуассона (или
процесс чистого размножения с параметром А,—
= const), рассмотренный в п. 5.1, представляет со-
собой простой процесс восстановления, где случайные
величины Т\, Т2, ... независимы и распределены оди-
одинаково по показательному закону с параметром X:
Встает задача: можно ли с помощью марковского
случайного процесса с непрерывным временем и ди-
дискретными состояниями составить модель простого
процесса восстановления, у которого закон распреде-
распределения времени между восстановлениями не был бы
показательным. Эту задачу можно решить с помощью
метода псевдосостояний. Покажем, как это
делается.
Рассмотрим процесс чистого размножения с конеч-
конечным числом состояний п + 1, размеченный граф со-
состояний которого представлен на рис. 5.3.1. Найдем
для этого процесса чистого размножения закон рас-
распределения времени Ти пребывания в подмножестве

5.3. МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИЙ
215
состояний t/ —{s0,si, ..., sn~i) (см. рис. 5.3.1) при
условии, что в момент t = 0 система S находилась
в состоянии s2. Очевидно, что с. в. Ти представляет
собой сумму времен пребывания в состояниях s&,
L
i=-0
E.3.1)
где Ti — время однократного пребывания системы
в состоянии si (/ = 0, 1 п— 1).
Мы знаем, что время однократного пребывания
в транзитивном состоянии si (/ = 0,1, ..., я— 1) для
Рис 5.3.1
однородного марковского случайного процесса распре-
распределено по показательному закону с параметром fa.
Следовательно, случайная величина Гу будет иметь
обобщенный закон распределения Эрланга n-го по-
порядка (см. (9.5.15)*)
/-о П (X,
Это распределение можно представить в виде
f «i О - Z a, V~M (/ > 0),
<.o
где
п-1
1гг= П xk~xr
*-о
1-0
E.3.2)
E.3.3)
E.3.4)
Отметим, что величины щ могут быть как положитель-
положительными, так и отрицательными. В [13] показано, что

216
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
с помощью обобщенного закона Эрланга n-го порядка
можно с достаточной степенью точности аппрокси-
аппроксимировать произвольную плотность распределения не-
неотрицательной случайной величины.
Назовем подмножество состояний U псевдосостоя-
псевдосостоянием и рассмотрим процесс чистого размножения, со-
состоящий из таких псевдосостояний Uo, U\, V2, •••
Uf
Рис. 5.3.2
(рис. 5.3.2). Процесс чистого размножения, состоя-
состоящий из псевдосостояний Uo, U\, ?/2, • .., не будет
марковским процессом, однако его можно
моделировать с помощью марковского процесса блуж-
блуждания по состояниям.^ (/ = 0, 1, 2, .... я— 1; / = 0,
I, 2, ...)•
Таким образом, с помощью системы S, граф ко-
которой изображен на рис. 5.3.2, можно моделировать
простой процесс восстановления с достаточно произ-
произвольной п. p. f(t) времени между восстановлениями.
Псевдосостояние U может иметь самую различную
структуру, однако структура, изображенная на
рис, 5.3.1, является достаточно простой для проведе-
проведения различного моделирования немарковских про-
процессов.
Другая достаточно простая структура псевдосо-
псевдосостояния U={so, s\, .... Si<, .... sn~\} показана на
рис. 5.3.3. Очевидно, что с вероятностью
\k
E.3.5)
закон распределения случайной величины Ти будет
представлять обобщенный закон Эрланга 2-го порядка

5.3. МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИЙ
217
с параметрами ko, < и U,n- Следовательно, безуслов-
безусловный закон распределения случайной величины Ти бу-
будет представлять собой вероятностную' смесь (см.
п. 9.8*) обобщенных законов Эрланга 2-го порядка:
я-1
. E.3.6)
Пример 1. Рассматривается процесс эксплуата-
эксплуатации ЭВМ. Время безотказной работы ЭВМ распре-
распределено по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка
Рис. 5.3.3
Рис. 5.3.4
с параметрами "к\, Xz', время ремонта ЭВМ распреде-
распределено по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка
с параметрами ць ц2- Определить вероятность того,
что ЭВМ будет в момент времени t работать, если
в момент / = 0 она была отремонтирована и начала
работать. Найти предельную вероятность того, что
ЭВМ работает.
Решение. Очевидно, что ЭВМ может находиться
в двух псевдосостояниях: Uo—ЭВМ работает, U\ —
ЭВМ ремонтируется. Размеченный граф состояний, из
которых состоят псевдосостояния, показан на
рис. 5.3.4 (?/0 = {^°>, sf>}, Ux = %K j")

218 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Система дифференциальных уравнений Колмого-
Колмогорова для вероятностей состояний, входящих в псевдо-
псевдосостояния, будет иметь вид
pS» @ + р? (О + рЬ" (О + рР> @=1-
Решение будем искать с помощью преобразования
Лапласа при начальном условии р<0°>@)= 1, jO)(O)
— Pi1» @) — pj»> @) — 0:
4 < «if) (x) + rtj» (x)
Решая эту систему уравнений, получим
где
В зависимости от значений параметров К\, Яг, ць цг
уравнение р(х) = 0 может иметь те или другие корни.
Рассмотрим для простоты случай, когда все корни
этого уравнения различные и отрицательные:
р (х) = (х — а{) (х — ог) (х —
Тогда
где
2) -f

5.3. МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИЙ 219
следовательно (си. п. 4.2),
"У 4- У e
а*»' (а*) ^ Z, р'
e<V
p @) '• U a*p' (a*) ' La p' (oft)
/I | r»@) /rf
Далее,
! _@) _
А» о —
= хР(х) • Р(х)
где
<р (X) = <' + ¦¦¦) U + -,)
откуда
t
Аналогично получаем
xp(jc)
^ 2
^(,,
k-1
Вероятность того, что ЭВМ будет исправна в момент
времени t, найдем по формуле:
р {$ (о с uQ} = г0 (о - рр» (о + р?> (о -
3 a (
?V
р@)

220 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Вероятность того, что ЭВМ будет ремонтироваться
в момент времени t, равна:
При t-*-oo существует стационарный режим. Пре-
Предельные вероятности можно найти по формулам
р @) «*
откуда
0
Если требуется найти только предельную вероят-
вероятность го, то сделать это можно из следующих сообра-
соображений. Обозначим ?о, h — среднее время однократного
пребывания в подмножестве UQ и Ui соответственно
(в стационарном режиме). Тогда
-г
—гх.
Очевидно, что ?0 = 1 Ai + 1 /%2, h — 1/щ + I/цг, от-
откуда
_L . JL
г - Xl к*
' П ¦"^~ 1 did -*--¦
Пример 2. Рассматривается эксплуатация оди-
одинаковых технических устройств (ТУ) на предприятии
(например, станков или ЭВМ, или компрессоров). По-
Поток поступлений новых ТУ на предприятие представ-
представляет собой поток Пальма; интервал времени между
событиями в этом потоке распределен по обобщен-
обобщенному закону Эрланга (k + 1)"го порядка с парамет-
параметрами Ко, Я|, .... >.*. Время эксплуатации ТУ распре-
распределено по показательному закону с параметром f*.
Найти для стационарного режима числовые характе-
характеристики числа эксплуатируемых ТУ при условии, что

6.». МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИИ
221
на предприятии может одновременно эксплуатиро-
эксплуатироваться не более п ТУ и что это условие снято (л-*-оо).
Решение. Рассмотрим псевдосостояние Um, граф
которого показан на рис. 5.3.5. Тогда размеченный
Рис. 5.3.5
граф состояний рассматриваемой системы S при
п-*-оо будет иметь вид, показанный на рис. 5.3.6. Оче-
Очевидно, что у такой системы S с псевдосостояниями
"m
Рис. 5.3.6
будет иметься стационарный режим. Допустим, что
решая систему алгебраических уравнений для пре-
предельных вероятностей, соответствующих размеченному
графу состояний, изображенному на рис. 5.3.6, мы
нашли вероятности р0, Р\ Рт, ... пребывания си-
системы S в состояниях s0, $х $т, ... (р„ = Р {S =
=sm), m = 0, 1, 2, ...).

222 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Теперь рассмотрим систему алгебраических урав-
уравнений для предельных вероятностей подмножества Um
в стационарном режиме (см. рис. 5.3.5 и 5.3.6):
Я,
где
pU)===p{S = s<fl} 0 = 1,2 Л; m = 0, 1,2, ...).
Решая эту систему, получим
=,1±О пB) — 1 A D
№ т;тМт;т (т=о,1,2,...).
E.3.7)
Обозначим Гщ вероятность того, что система S
в стационарном режиме находится в псевдосостоя-
псевдосостоянии Um:
rm = P {S cz Um) (m = 0, 1,2,...).
Очевидно, что эта вероятность будет равна (см.
рис. 5.3.5):
i-l l-l l 1-0
Введем обозначение
откуда
rm = pma (m = 0, 1, 2, ...). E.3.9)
Найдем предельные вероятности pm (m = 0,1,2, ...)
из следующей системы алгебраических уравнений, со*

8.3. МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИИ 223
ставленных для состояний s0, stf\ s,, s*,**, ...,
sj*>, ... (см. граф состояний на рис. 5.3.6):
ш»
E.3.10)
, 3, ...).
Воспользуемся равенством pj?> = VWA.A (m = 0, 1,
2, ...). Тогда уравнения E.3.10) примут вид
E.3.11)
(т=1,2, ...).
Подобную систему уравнений мы уже решали (см.
примеры 4 и 5 из п. 5.1). Обозначим
-^- = а; E.3.12)
тогда
= ?гРо (т = 0, 1,2, ...). E.3.13)
Для нахождения вероятности р0 нельзя воспользо-
00
ваться условием "?, рт= 1,так как указанная сумма
т»0
меньше единицы. Действительно, единице должна
быть равна сумма всех вероятностей пребывания
в псевдосостояниях ?/0, Ut Um, ¦ • •
Л гт = 1 •
т—О
Воспользуемся формулами E.3.9) и E.3.13)
т-0 т-0 т-0

224 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
откуда
pQ = S~tt Рт= -2-_е-«. E.3.14)
Следовательно (см. E.3.9)),
E.3.15)
где Р (т, а) = атв~а/т! — распределение Пуассона.
Сравнивая это распределение вероятностей с рас-
распределением E.1.43) из примера 5 п. 5.1, убеждаемся
в том, что они совпадают. Таким образом, получили
Рис. 5.3.7
интересный результат: вероятности того, что система
S будет в стационарном режиме находиться в псев-
псевдосостояниях Vo, Uu ..., ит, ¦¦., распределены по
закону Пуассона. Этот вывод не зависит от того,
каким образом распределены интер-
интервалы между событиями в потоке Паль-
Пальма поступающих на предприятие ТУ, т. е.
не зависит от Хи к2, ..., Кп, так как с помощью обоб-
обобщенных законов Эрланга можно с достаточной точ-
точностью аппроксимировать практически любую плот-
плотность распределения неотрицательной случайной ве-
величины.

5.3. МЕТОД ПСЕВДОСОСТОЯНИИ 225
В случае, если на предприятии может быть в эксп-
эксплуатации не больше п ТУ (см. граф на рис. 5.3.7),
уравнения E.3.11) примут вид
E.3.16)
(т= 1, 2, ..., п — 1),
Решая эту систему уравнений, получим
^
= 0, 1, 2, .... я).
Обратим внимание на то, что на рис. 5.3.7 подмно-
подмножество Un содержит одно состояние: Un = {sn}, по-
поэтому
ат
гт ~ ~^Т Ро° ("* = 0> 1, •••» Я— 1).
E-3.17)
Гп^Рп=-^ Ро-
Следовательно,
п-1 п-1
/п=0 «—О
откуда
Ро - !/?^ , E.3.18)
Zi^La-— t — a
ml и! а
т—О
ат/т\ Р (т. а)
Л """ «, л, 1-е
V -2^- + ~ ' ~а ^п> а* + ^П> °^ а—
Z-» mf а( а
т-0
(fft=== 0, 1, ..., я — 1),
ja^ ^ l-а Л (я, а) + Р (п, а) -~^-
mt fit а
E.3.19)

226 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Математическое ожидание и дисперсию случайного
процесса X(t)—числа ТУ на предприятии, находя-
находящихся в эксплуатации в стационарном режиме при
ограниченном числе п, найдем (см. E.1.45), E.1.47)
и E.1.48)) по формулам
п-1
лш rv /j\i V i of (n — 2, a) + nP i
M [X @1 = 2_,mrm + ПГп = * —¦
m-0 ' ' a
Напомним, что
n
p (я, a) = -^-e"a, R(n, a) = ^Г Я(fe, a),
A-0
n-t
M [A @1 =
a/?(n — 2, a) + a1/? (n — 3, a) + n*P (n, a)/a
При «-*оо (limР{п, а) = 0, lim R(n, а)=1) получим
5.4. Дифференциальные уравнения
для характеристик марковского процесса
гибели и размножения
без ограничения на число состояний
Анализируя марковские процессы гибели и раз-
размножения, мы до сих лор основное внимание обра-
обращали на определение одномерного закона распреде-
распределения случайного процесса X{t)—числа «живых»
единиц, а также его различных временных характе-
характеристик.
В инженерной практике нас чаще всего интере-
интересуют характеристики этого процесса: математическое
ожиданиел1х<0=М[Х@], дисперсия Dx (/) == D [* (t)),
а также корреляционная функция Kx(t, t') =
= М[Х {t)X (Г)] (см. п. 1.2).
Задачу определения характеристик случайного
процесса X(t) можно решать следующим образом.

5.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 227
1. Решив систему п дифференциальных уравнений
Колмогорова, найти вероятности состояний этого про-
процесса: pt (t) = Р {X (/) = i) (i = 0, 1, 2, .... п), т. е.
найти одномерный закон распределения.
2. Найти характеристики процесса X(t) по фор-
формулам:
tPi(),
Dx @ - D [X (t) I = М [(X (Г) - тх (ОJ] =
= Е (/ - тх (ОJ Pi (/) = Е ?Pi (t)-(t iPt (
Затем найти предел lim mx(t) и Hm Dx{t). Заметим,
что отыскание одномерного закона распределения
Pi(t){i = O, I, ..., п) случайного процесса X(t) тре-
требуется в качестве промежуточной операции. Встает
вопрос: а может быть, можно найти характеристики
случайного процесса X(t) и без нахождения одномер-
одномерного закона распределения? Да, такая возможность
имеется. Покажем, как это делается.
Рассмотрим первоначально процесс гибели и раз-
размножения с неограниченным числом состояний
(л-»-оо), для которого уравнения Колмогорова пред-
представлены формулами E.1.2).
Умножим левую и правую части t-ro уравнения
системы E.1.2) на величину г (/ = 0, 1, 2, ...):
0 • dp0 {t)ldt» 0 • ц. (/) р, @ - 0 • Хо (t) р0 @,
dpt @/Л = i - *,_, @ Pi-v @ + Фш @ Pi+i @ ~
0 tf>0). E.4.1)
Сложим левые и правые части полученных уравнений
(первое уравнение вносить в сумму нет необходи-
необходимости, так как обе его части равны нулю):
? / dPi {t)/dt = E [bi-iPi-i @ +
@ Рш @ -' (*< @ +1*< @) Pi

228 ГЛАВА 5 • ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Обратим внимание на то, что в левой части уравне-
уравнения E.4.2) стоит производная математического ожи-
ожидания mx(t) (если оно существует). Действительно,
Проведем ряд простых преобразований правой части
равенства E.4.2):
л,_, @ п-1 @ - I »1 @ л @ + I ф<+. (О л+1 @ -
/1 <1
- Е ф< @ л @ - ? <* + О л, @ л @ - Z «-I (О Р/ @+
1-1 /-0 /-0
+ S а - и № (о pi (о - Е ф* (о Pi (о=
/-0 l-\
>i(t) E.4.4)
(так как цо@ = °)-
Следовательно,
dmx (t)
—Tt— ~ ft* @ ~
t-o
С помощью такого же приема найдем производную
второго начального момента случайного процесса
X(t) (если этот момент существует). Для этого умно-
умножим левую и правую части /-го уравнения системы
E.1.2) на величину i2:
). E.4.6)

54. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ 229
Теперь сложим левые и правые части полученных
уравнений:
-. (О — Ё
оо
- »)*-fl м< (О РАО -
(А« @+1*1 @ + 2/ (Я, @ - |i, @I Pi @- E.4.7)
i-0
Известно, что
D [X @1 ¦= о, 1ДГ (/)] — »Й С*)-
Продифференцируем обе части этого равенства и вос-
воспользуемся формулами E.4.7) и E.4.5):
dD[X(t)} dDx(t) da2[XV)}
._ = —^— = _
(-0
л' w+1*«{/)+2 (i! ~ m
<0
E.4.8)
Воспользуемся формулой A.2.18) и найдем корреля-
корреляционную функцию Kx{t,f) процесса гибели и раз-
размножения X(t). Будем для определенности считать
/' >¦ t. Введем обозначение

230 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
По теореме .умножения вероятностей получим
Pi. / it П = I
где
С.О. E-4.10)
t') = j} E.4.11)
— вероятность того, что с. п. X(t) ') в момент t равен
/, а в момент времени ? ра-
равен / (рис. 5.4.1);
^. 0» E-4.12)
- р
— условная вероятность то-
того, что с.п. X(t') в момент
времени V равен j, вычис-
вычисленная при условии, что в
¦ момент времени t с.п. X{t)
равен i (рис 5.4.1).
С учетом формул E.4.10) — E.4.12) запишем вы-
выражение для первого смешанного начального момента
с. п.
E.4.13)
оо
Выражение ]?/р/м(/', 0 представляет собой ус-
условное м. о. случайной величины X(t'), вычисленное
при условии, что в момент времени t < t' с.п. X{t)
был равен i(Xit) = i).
Обозначим это математическое ожидание
Для нахождения этого условного м. о. нужно интег-
интегрировать уравнение E.4.5) на участке времени (t, f)
') Случайный процесс X(t) ступенчатый, на рис. 5.4.1 он
для простоты изображен в виде непрерывной кривой.

5.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 231
при условии, что в момент времени t математическое
ожидание mx(t)~i. Следовательно,
М [X (() X (OJ = Е ipt @ тх,. t (/, t'). E.4.15)
По формуле A.2.18) находим корреляционную функ-
функцию случайного процесса X(t):
Кх (t, /') = М[Х (t) X (t')] - тх @ тх Ц'). E.4.16)
Пример 1. Рассматривается процесс эксплуата-
эксплуатации одинаковых технических устройств (ТУ) на пред-
предприятии. Пуассоновский поток поступлений ТУ на
предприятие имеет интенсивность X(t), пуассоновский
поток списаний каждого ТУ—интенсивность ц@.
Найти характеристики — м. о. и дисперсию — случай-
случайного процесса X(t)—числа ТУ, эксплуатируемых на
предприятии в момент времени /, если нет практиче-
практических ограничений на число ТУ на предприятии и в на-
начальный момент Х@) = 0.
A(t) Ait) ЛО)
¦^1
,^ZZ1 Si Urnsj*,
Рис. 5.4.2
Решение. Размеченный граф состояний этого
процесса показан на рис. 5.4.2. Имеем
М0 = М/), И<(О = *М(О- E-4.17)
Уравнение E.4.5) для м.о. mx{t) процесса X{t)
примет вид
= Л @ - ix @ ? ipt (t) = Я @ - ix (/) ms (i). E.4.18)
Общее решение уравнения E.4.18) при начальном
условии тх@) будет
X
. E.4.19)
Г
= ео I
L0

232 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
В соответствии с условием примера решать уравне-
уравнение E.4.18) нужно при начальном условии
тх@) = *@) = 0. E.4.20)
Поэтому в данном примере выражение для tnx{t) при-
примет вид
t х
mx{t) = e s \ M*)e° dx. E.4.21)
При постоянных ннтенсивностях А, = const нц= const
решение уравнения E.4.19) будет
? , (О)*-*. E4.22)
а при начальном условии тх@) = 0 получим
mx(t) = j(l-e-»<). E.4.23)
Найдем по формуле E.4.8) уравнение для диспер-
дисперсии случайного процесса X(t):
2 С ~ ^ @) (* @ -
dt
i-0
- Ф @)] Pi @ = МО + м @ ««@ 4- 2Я (/) wx @ -
- 2Я @ тх (/) - 2ц @ а2 [X (/)] + 2fi (/) m» (/) -
= Л @ + й @ тх @ - 2ц @ D, @- E.4.24)
Общее решение уравнения E.4.24) при начальном
условии DX(Q) имеет вид
E.4.25)

5Л. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЯ 233
В соответствии с условиями примера решать уравне-
уравнение E.4.24) нужно при начальном условии
?>х@) = О[Х@I = О[0] = 0. E.4.26)
Поэтому в данном примере выражение для Dx(t) при-
примет вид
dx.
E.4.27)
При постоянных К = const н ц = const и начальных
условиях Dx @) = тх @) = 0 получим
АЛО ~?<1-«-*)-«,«).. E.4.28)
т. е. м. о. случайного процесса равно его дисперсии.
В примере 5 из п. 5.1 было показано, что в стацио-
стационарном режиме (при f—»-оо) вероятность того, что
анализируемый случайный процесс X{t) примет значе-
значение i, определяется по формуле (см. 5.1.43)
где а = Х/ц. Другими словами, в стационарном ре-
режиме одномерный закон распределения случайного
процесса X(t) представляет собой закон Пуассона
с параметром а = X/\i, для которого, как известно,
математическое ожидание равно дисперсии.
На нашем примере можно убедиться, что и для
нестационарного режима одномерный закон распреде-
распределения случайного процесса X(t) является тоже зако-
законом Пуассона с параметром «*(/) = — A —е~*г)
(при начальных условиях E.4.20) и E.4.26) и при
постоянных Л = const н A = const). Покажем, что это
так. Если
e-"«w. E.4.29)

234 ГЛАВА Б. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
ТО
[«,№]'
(f- 1I в df П
= ft-i @—ft Pi (t)
= (pi-y(t)~ Pi {t))—§r- <«- I. 2. • ¦ •)¦ E.4.30)
Далее,
7
E.4.31)
С учетом выражения E.4.31) получим
= Pt-i @ (»- - т. it) V) ~ Pi @ № - «* @1») -
_mje<o . ..
e xU-XPi(t) +
x()[x()] -mx@_
= bpi-x @ + (/ + i) MPi+1'@ - *Л @ - Wi @- E.4.32)
Это уравнение полностью совпадает с уравнением для
производной вероятности pi(t), полученным для раз-
размеченного графа состояний, изображенного на
рис. 5.4.2. Следовательно, выражение E.4.29) соот-
соответствует решению системы дифференциальных урав-
уравнений для вероятностен состояний, получаемых на
основе графа, изображенного на рис. 5.4.2.
Мы показали, что одномерный закон распределе-
распределения случайного процесса X{t) при постоянных Л,=
= const и ц== const и начальном условии Х@)=0
представляет собой закон Пуассона с параметром
mx{t), определяемым равенством E.4.23). Покажем,
что необходимым условием того, чтобы одномерный
закон распределения с. п. X(t) был законом Пуассона,

5.4. ПРОЦЕССЫ ВЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 235
является условие Х@) = 0. Другими словами, одно-
одномерный закон распределения с. п. X(t) является за-
законом Пуассона и при переменных интенсивностях
Я(t) и \i{t) лишь бы в начальный момент времени
при f = 0 J@) = 0. В этом случае mx{t) определяется
равенством E.4.21). Найдем производную левой и
правой частей этого равенства:
dm
X
Следовательно, если
Pt\4=a—J]—е х (» = 0, 1, 2, ...),
то (см. E.4.30))
dp t U) _ dmx (t) ^ dmx </) _
e/ at at
*@ (/=1,2....).
Получили уравнение E,4.32) и для переменных вн-
тенсивностей, что и требовалось показать.
Следовательно, и для переменных интенсивностей
МО и ц@ имеют место равенства
»*1 (/ = 0,1,2, .. .>r
mx(t) = Dx(t), Pi®=.e
которые определяются тем» что одномерный закон
распределения с п. X{t) является законом Пуассона.
Можно доказать и более общее утверждение: не-
необходимым и достаточным условием того, чтобы одно-
одномерный закон распределения с п. X(t) был законом
Пуассона, является условие, чтобы начальное распре-
распределение с.п. X{t) было распределением Пуассона:
, I,,..)- E.4.33)

236 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Нетрудно убедиться в том, что начальное условие
Х@) = 0, при котором тх@) = Dx@) = 0, ро@)=1,
Pi@) = 0 (t = 1, 2, ...), является частным случаем
этого условия E.4.33).
Для нахождения корреляционной функции случай-
случайного процесса X(t) найдем сначала условное м. о.
mX']i(t',t), которое можно получить из равенства
E.4.19) в виде
E.4.34)
Следовательно (см. E.4,15)),
оо
М [X (t) X (*')] = ? lPi @ тх> 11 С. О =
/-о
E.4.35)
где mx@ определяется из уравнения E.4.21), a
Дисперсия Dx{i) может быть найдена из уравне-
уравнения E.4.27).
Корреляционную функцию Kx(t,t') найдем по фор-
формуле E.4.16). Если интенсивность потоков постоянна,
k(t) = Я, — const, \i(t) = \i = const,то формулы E.4.34)
и E.4.35) примут вид
, 0 = 7 <2 ~
E.4.36)
). E.4.37)

6.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 237
Если в начальный момент времени при t = 0 имеем
Х@) = 0 (mx@)=Dx@) = 0), то формулы E.4.36) и
E.4.37) примут вид
*-111). E.4.38)
«Ч1* @1 = ? О - е-*) [? ]2
откуда
Кх (/, О = М [X @ X (/')] - "»* @ «х (О «
=- A - в-**)«-•»«''-'» (Г > 0- E.4.39)
Так как *,(*, О = ^(Л 0. то
Kxit.O^jd-e-^e-»*-*1* «>?). E.4.40)
Формулы E.4.39) и E.4.40) можно объединить в одну:
Kx(t, O = -(l-e-*Imln('-l'M)e-»H*-'4. E.4.41)
В пределе (при t-+-ao n tf—*-.ao) получим стационар-
стационарный режим, для которого
m(t) D(t) D
Замечание. При достаточно большом mx(t)
(mx(t)> 20) одномерный закон распределения с. п.
X(t) можно приближенно считать нормальным, так
как
Р {X @ < п} - t [nx @1* e~m* {t)lk\ -
= R («, тх@) « Ф ((ft - mx @)/VmlW) + О-5»
где Ф(*) = —• \ е-'1'2 Л — функция Лапласа.
У2я J
J
Это замечание справедливо как для постоянных
интенсивностей Я, = const, ц — const, так и для пере-
переменных интенсивностей; как для стационарного» так
и для нестационарного режимов. |»>

338
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Можно доказать и более общее утверждение: нор-
нормальный случайный процесс X(t) с характеристиками
mx(t) и Kx{t,tr) является марковским. Нормальный
с. п. полностью описывается двумя характеристиками:
и.о. гпх@ ик.ф. Kx(t,f).
Пример 2. Рассматривается процесс эксплуата-
эксплуатации нефтяных скважин. Интенсивность ввода нефтя-
нефтяных скважин в эксплуатацию k{t) — at. Интенсив-
Интенсивность потока выходов из строя каждой скважины
о
/
при a=ju=1
д t
Рис. 5.4.3
ц = const. Найти характеристики с. п. X(t)—числа
нефтяных скважин, находящихся в эксплуатации на
момент времени t, если Х@) = 0.
Решение. В соответствии с решением предыду-
предыдущего примера имеем (см. E.4.21), E.4.33)):
mx @ =
axe** dx = -^ [\xt —
]. E.4.43)
График зависимости mx(t) показан на рис. 5.4.3 при
в=1, ц—1. Кривая mK(f) имеет асимптоту
Таким образом, по истечении времени х « 3/ц нач-
начнется практически линейный рост числа эксплуати-
эксплуатируемых нефтяных скважин:

Б.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 239
Одномерный закон распределения с. п. X(t) по-
прежнему будет законом Пуассона:
Р {X @ = t} = pt @ = [тх.{{)]' е~т*@. E.4.44)
Для нахождения условного м.о. mX'\i(t', t) найдем
общее решение уравнения E.4.5) при начальном ус-
условии тх{0) — i\ U(t) — at; \i(t) = i\i:
*' X
\
+ i
Следовательно (см. E.4.15)):
M [X @ Jf (tf)] = 2 ^i W mf i i
f - I - е-^'^Ы - 1I m,@ +
+ e-»^»m,@(l+m,@) C>0. E-4.45)
откуда
Kx (t, П = М[Х @ X @1 - m, @ mx (f). >
Пример З. В условиях примера 2 (X(l)=a/,
I* = const) известно, что на начало года (на момент
fi > 0) в эксплуатации было п\ нефтяных скважин.
По плану к концу года на момент ^ (*2 > U) в экс-
эксплуатации должно быть п% нефтяных скважин. Опре-
Определить вероятность выполнения плана.
Решение. Математическое ожидание числа сква-
скважин, эксплуатируемых на конец года, будет опреде-
определяться по формуле, аналогичной E.4.19) (см. также
E.4.44)):
Sm* I {' $м* I
'¦ I I axeu dx-\-nx 1 =
-4 E.4.46)

240 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Дисперсию числа скважин, эксплуатируемых на ко-
конец года, найдем по формуле, аналогичной E.4.27)
(при Dx(ti) = Q, так как в момент U число скважин
X{ti)= пи где п\ неслучайное число):
и *
- 1)] -
*,)). E.4.47)
При большом значении mx(h) и при условии
*Пх Сг) — 3 л/Ас ('2) > 0 можно с достаточной точ-
точностью считать, что св. X{tz) распределена нор-
нормально. Следовательно, вероятность выполнения пла-
плана можно найти по фдрмуле
Р {X(t2) > щ) = 1 - Р {X(t2) < п,) =
Замечание. При большом значении fa (когда
— ^i)>-3 и [itz > 10) имеет место приближенное
равенство
тх (/2) « Dx (t2) «* p- (nt2 — 1).
В этом случае закон распределения случайной вели-
величины Х(/2) будет «приближаться» к закону Пуассона
с параметром m*(f2). >
Пример 4. Рассматривается производство и
эксплуатация однотипных ЭВМ. Интенсивность пуас-
соновского потока производимых ЭВМ имеет вид
{at
о/,
О
{ при
о/, при /, </</2, E.4.48)
при t > t2.
На рис. 5.4.4 показан график зависимости Х(/). На
участке @, /,i) происходит развертывание производ-
производства ЭВМ; на участке {ti.ti) ЭВМ производятся с по-

5.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ 241
стоянной интенсивностью, а в момент ti — снимаются
с производства. Каждая произведенная ЭВМ эксплуа-
эксплуатируется в течение случайного времени Т, распреде-
распределенного по показательно- лш
му закону с параметром
р. Определить м. о. mx{t) at
и дисперсию Dx{t) числа
ЭВМ, находящихся в экс-
эксплуатации, если на мо-
момент начала производ-
производства f = 0 данного типа °
ЭВМ в эксплуатации не Рис 54 4
было (т*@)=О*@)=0).
Решение. В соответствии с решением примера 2
имеем (см. E.4.43)):
F{ixtl+e-»t) @</</,). E.4.49)
Для нахождения характеристик mx(t) = Dx{t) при
/i < / </г достаточно ввести переменную t = /-^/i,
при этом начальное условие для решения уравнения
E.4.18) на этом участке будет иметь вид
mx i т -о = Dx | т-о = a {\it{ - 1 + е-*')/\12. E.4.50)
Так как на участке т > 0 интенсивности потоков X и
ц постоянны, то можно воспользоваться ранее найден-
найденным решением (см. E.4.22)):
Следовательно,
тх (/) = Dx Ц) =
^1-е-^)е-»«-" (t{<t<t2). E.4.51)
I* г*
На участке времени t ~> t% имеет место процесс ги-
гибели (Х = 0), следовательно (см. E.4.22)),
т,(О~0я(О«тя (*,)«-•»<*-« V>t& E.4.52)
где
«. (« =-^ --р-0 -e-i*)«-H'"-4 E.4.53)

242
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
График зависимости mx(t)= Dx(t) при /i=3 (года),
t2 = 6 (лет), а =1000 A/год2) 1/ц = 4 (года) пока-
показан на рис. 5.4.5. При т*(/)>20 можно с достаточ-
достаточной точностью считать, что одномерный закон распре-
распределения случайного процесса X(t)— числа ЭВМ, на-
находящихся в эксплуатации, — будет нормальным
10000
8000
6000
J/000
2000
4 6 8.
Рис. 5.4.5
10 tdofa)
с найденными характеристиками. На основании «пра-
«правила трех сигма» можно утверждать, что практически
возможные значения числа эксплуатируемых ЭВМ
будут находиться в пределах
Так, например, если в эксплуатации находится
в среднем тх(/) = 4900 ЭВМ, то для фактического
числа эксплуатируемых ЭВМ получаем следующие
границы:
4900 (\ ± ~-tLJ\ = 4900 ±211.
V V4900/
Таким образом, практически все возможные зна-
значения числа эксплуатируемых ЭВМ колеблются в пре-
пределах 4 % их среднего числа. При этом чем большее
значение имеет м. о., тем меньше относительное коле-
колебание у с. п. X (/). >
Представляет определенный интерес рассмотренне
характеристик процесса «чистого» размножения, когда
@ = 0 0 = 1,2, ...).

Б.4. ПРОЦЕССЫ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 243
В этом случае получим следующие дифференци-
дифференциальные уравнения для характеристик процесса «чи-
стого> размножения (см. E.4.5), E.4.8)):
tt), E.4.54)
dDx(t)/dt = Z ^i(Ofl +2(/ — mx(t)))Pt(')• E.4.55)
i-0
Если hi(t) = k(t) и в начальный момент времени
/ = 0 распределение вероятностей pi@) (i = 0, 1, 2,..)
представляет собой распределение Пуассона с пара-
параметром тх{0):
Pi @) = \тх @)]' е-т* {0)/il (i = 0, 1, 2, ...), E.4.56)
то одномерный закон распределения с. п. X{t) пред-
представляет собой закон Пуассона с параметром mx{t),
определяемым решением уравнения
dmx (t)!dt = Z * (t) Pi @ = * @. E.4.57)
откуда
i
mx(t)=\l(t)dt-\-mx@). E.4.58)
о
При этом выполняются равенства
mx(t) = Dx{t), p,@ = ['n*@lVm*(')A! E.4.59)
Заметим, что равенства E.4.58) и E.4.59) будут вы-
выполняться также и в случае, если тх{0) = 0, так как
в этом случае имеет место «вырожденное» распреде-
распределение Пуассона и равенства E.4.56) справедливы.
При постоянной интенсивности А,(/) = А, и т*@) =
= 0 получаем
тх @ = Dx (/) = U, pt it) = (ItI e-ulR {i = 0, 1,...).
E.4.60)
Корреляционную функцию процесса «чистого» раз-
размножения при "К = const можно получить из выраже-
выражения E.4.41) при ц-*-0:
Kx(tt O=Iim

244 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Раскрывая полученную неопределенность по правилу
Лопиталя, получим
Kx(t, t') = Яmin(/, О- E.4.61)
Пример 5. В условиях предыдущего примера
определить вероятность того, что за все время произ-
производства (за 6 лет) будет произведено не менее
13 200 ЭВМ.
Решение. Используя зависимость E.4.48), най-
найдем по формуле E.4.58) величину м.о. общего числа
произведенных ЭВМ при условии, что т*@) = 0:
» и
тх (оо) = J * @ dt = J * @ dt —
о о
t, /, 2
= J at dt + J atxdt = -^- + atx (t2 — /,). E.4.62)
0 t;
Подставляя в это выражение данные предыдущего
примера: а= 1000 (год)-2, /,=3 (года); *2 = 6 (лет),
получаем
тх(оо) =тх (t2)= 1000 • 9/2 + 1000 • 3 • 3= 13500 (ЭВМ).
Так как в нашем случае выполняются условия пуас-
соновского распределения с. п. X(t) (m* @) — D* @) =
= 0, ро(О)= 1), то mx{h) = Dx(t3)= 13500, откуда
= V 13500= 116,2 (ЭВМ).
Известно, что при /п*(^)> 20 можно с достаточ-
достаточной для практики точностью считать, что св. Х(^),
распределенная по закону Пуассона, распределена по
нормальному закону с параметрами тх(*2)= 13500
(ЭВМ), ax(t2)= 116,2 (ЭВМ). Следовательно, иско-
искомая вероятность
Р {X (/2) > 13200} = 0,5 - Ф {132(Х;^3500} = 0,995.
Заметим, что если по «правилу трех сигма» прак-
практически возможное число произведенных ЭВМ опре-
определяется из условия
тх (/2) ± 3<т* (/2) = 13500 ± 348,6,

5.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 245
т. е. колеблется в пределах 13 152 < X(t2) < 13 848, то
максимальное число ЭВМ, находящихся в эксплуата-
эксплуатации (см. предыдущий пример), будет колебаться
в пределах
8012 ±268,5. >
5.5. Дифференциальные уравнения
для характеристик марковского процесса
гибели и размножения
при ограниченном числе состояний
Рассмотрим случай, когда с. п. X(t) не может
превышать значения п (O^X(t)^n). Граф состоя-
состояний такого процесса показан на рис. 5.5.1. Система
/h<0
дифференциальных уравнений для вероятностей со-
состояний такой системы имеет вид
dp, (t)/dt = ц, @ р{ @ - Ао @ р0 (/),
dPl {t)/dt = ц(+1 @ pi + { (/) + ^., @ Pl_x @ -
- (kt (t) + |i, @) pt @ @ < / < «),
dpn (tydt = kn_{ (t) pn_{ (t) - ц„ @ pn @-
Умножим левую и правую части i-ro уравнения на i
(t = 0, I, 2, .... п) и сложим все эти уравнения по-
почленно так, как это делали в п. 5.4. После выполне-
выполнения ряда простых преобразований получим уравне-
уравнение для математического ожидания с. п. X(t):
dmx (t)/dt =t(bi @ - V4 @) Pi @- E-5.1)
<-o
В этом выражении
Яп@ = цо@ = 0. E.5.2)
Мы видим, что при п-*-оо уравнение E.5.1) перехо-
переходит в уравнение E.4.5).

246 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Проведя преобразования, аналогичные тем, кото-
которые были проведены в п. 5.4, получим дифференци-
дифференциальное уравнение для дисперсии с. п. X(t):
0Zl0
1-0
+ 2(i-mx @) (К (I) - fit (t))} Pi it). E.5.3)
При решении уравнения E.5.3) необходимо учитывать
ограничения E.5.2).
Корреляционную функцию К*(*,/') с. п. X(t) най-
найдем по формулам E.4.9) — E.4.16), в которых верх-
верхний предел сумм нужно брать равным п.
Рассмотрим один частный случай, когда
М0 = (*-0М0 0=0, 1 п),
*,(*)« МО (i-o. 1, .... я). E'54)
Обратим внимание на то, что для выражений E.5.4)
Xn(f)= цо(/)эз= 0. В этом случае формулы E.5.1) и
E.5.3) примут вид
йтх {t)\di = riK @ - (ц @ + X @) тх (/), E.5.5)
dDx(t)jdt = «Я@ + (ц@ - Я@)тх@ -
0. E.5.6)
Размеченный граф .состояний для случая, когда
показан на рис. 5.5.2.
Рис. 5.5.2
Рассматриваемый случай имеет следующее до-
довольно распространенное инженерное приложение.
Имеется система, состоящая из п однородных (оди-
(одинаковых) технических устройств (ЭВМ, станков, ком-
компрессоров, автомашин и т. п.). Любое техническое
устройство (ТУ) (например, t-e) может находиться
в двух состояниях s^> н s[", размеченный граф со-
состояний t-ro технического устройства показан на
рис. 5.5.3. Например, состояние s^° — i-e ТУ неис-

Б.Б. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 247
правно и ремонтируется, состояние s\l) — /*-е ТУ ис-
исправно и находится в эксплуатации. В этом случае
X(t)—интенсивность пуассоновского потока восста-
восстановления ТУ, ц@—интенсивность пуассоновского по-
потока отказов ТУ. При этом предпола-
предполагается, что любое техническое устрой-
устройство переходит из состояния в состояние
независимо от того, в каком состоянии
находятся другие ТУ, и все ТУ «ведут
себя» статистически одинаково. Поэто-
Поэтому размеченный граф состояний, изобра-
изображенный на рис. 5.5.3, описывает поведение произволь-
произвольного t-ro ТУ.
Случайный процесс Zi{t)—блуждание i-ro ТУ по
своим двум состояниям — определим следующим об-
образом:
1, если в момент времени /
*-е ТУ находится в состоянии s\l)\
Z (t) К
'0, если в момент времени t
i-e ТУ находится в состоянии s%K
Следовательно, общее число ТУ, находящихся
в «первом» состоянии,
X(t)=t,Zt(f). E.5.7)
Введем обозначения
Эти вероятности не зависят от индекса i, так как
каждое ТУ (из общего числа п) «ведет себя» стати-
статистически одинаково и независимо от других ТУ. Та-
Таким образом, одномерный закон распреде-
распределения случайного процесса X(t) будет биномиаль-
биномиальным с параметрами п, n\(t).
Найдем м.о. процесса X(t), определяемого равен-
равенством E.5.7). С учетом принятых обозначений E.5.8)
имеем
El(@]rt«i@- E-5.9)

248 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
В соответствии с размеченным графом состояний,
изображенным на рис. 5.5.3, получим:
йщ (о/л = * (/) я0 (О - а (/) я» @ - я @ A - щ @) -
- ц (/) щ @ = МО - (и W + л @) щ @.
Умножим левую и правую части этих равенств на п;
с учетом E.5.9)
п йщ @/Л = d (пщ (t))/dt = dmx (t)/dt = nK (t) -
- (ц (о + к @) «л, (о = л* (о - (и @ + л- W)«. @-
E.5.10)
Это выражение в точности совпадает с E.5.5).
Так как одномерный закон распределения с. п.
X(t) является биномиальным с параметрами n,ni(t),
то
Dx @ - пя1 @A- nt @) = «Я| @ ~ «я? @ =
= тх @ - т= @/п = тя @ A - тя @/п). E.5.11)
В рассматриваемом случае нет необходимости ре-
решать дифференциальное уравнение E.5.6) для нахож-
нахождения дисперсии. Достаточно найти решение уравне-
уравнения E.5.5) и затем по формуле E.5.11) определить
дисперсию.
Покажем, что выражение E.5.11) удовлетворяет
уравнению E.5.6). Действительно,
- 2 (ц @ + Я. @) тх @A- тх @/п) =
= dmx @/Л - [2т, @/п] dmx @/Л, E.5.12)
где
1Я @/Л - [2т, @/п] dm, @/Л =
._ <*Р« (О
Если в равенство E.5.12) вместо производной
dmx(t)/dt подставить выражение, определяемое пра-
правой частью равенства E.5.5), то получится тождество,
в чем читателю предлагается убедиться самостоя-
самостоятельно.

6.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 249
Из равенства E.5.7) следует, что
= Е Zt(t) - М Г t Zi (/)] = t hit), E.5.
13)
где Zt(i) = Zt(t)~[{()]
Найдем корреляционную функцию с. п. X(t):
кх(/, О = м[°х(/)х</')] = м [t z,(о Z zy(о].
Так как с.п. Zi(t) и Zj(t) независимы при %Ф\,
то
tbA[Z{(t)Zt(t% E.5.14)
Введем обозначение
о о
Kzt (t, tf) = М [Z, @ Z, @1 = Кг {t, ?). E.5,15)
С учетом этого получим
Кх (t, П = Е Кг{ (/, /') = пКг (/, П. E.5.16)
Запишем корреляционную функцию /(*(/, /') в виде:
Кг (t, Г) = М [Z, (О Z, (<01 - тЖ{ (/) тг. (^')
(/= 1, 2, /t). E.5.17)
На рис. 5.5.4 показана одна из возможных реа-
реализаций Zt(t) с.п. Zi(t). Ряд распределения сечения
с.п. Zi(t) имеет вид
О
1 —«i(Ol«i(O

250
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Произведение Zi{t)Zi{f) (рис. 5.5.4) может прини-
принимать только два значения: 0 и 1; поэтому ряд распре-
I I I
I I I
I I 1
Рис. 5.5.4
деления св. Zi(t)Zi(t') для фиксированных значений
t n f имеет вид
О
1
1 - Я1 (/, f) | Я1 (t, О
где
Следовательно,
E.5.18)
E.5.19)
E.5.20)
На основании правила умножения вероятностей (см.
п. 2.3*) получаем
«1С О = Щ @ *, i (/', 0. С > 0. E-5.21)
где nm(f,t)—условная вероятность того, что с. п.
2,(^)== 1 при условии, что сп. Zt(t)= 1:
пи 1 if, t) - Р {Z, (О = 11 Z{ (/) = 1} {f > t) E.5.22)
(рис 5.5.4). В соответствии с размеченным графом,
изображенным на рис. 5.5.3, вероятность m(t) будет
определяться следующим образом:
МО-
где
.0
E.5.23)

6.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 251
Следовательно, для нахождения условной вероят-
вероятности щ\{{^, t) нужно проинтегрировать систему диф-
дифференциальных уравнений, соответствующую разме-
размеченному графу состояний, изображенному на
рис. 5.5.3, в интервале времени от t до ? (/' > /) при
условии, что в момент времени / система находилась
в состоянии s[l):
v
ящ (Л 0 =
L (
if>
dx + 1
E.5.24)
Таким образом, по формулам E.5.23) и E.5.24)
находим
откуда при tf > t получим:
Кх (t, t') — tun (t) m |, (/', о -
(t) m if) =
). E.5.25)
Пример 1. Рассматривается эксплуатация п оди-
одинаковых станков на машиностроительном заводе. Ин-
Интенсивность пуассоновского потока отказов каждого
станка ц = const; интенсивность пуассоновского по-
потока восстановлений каждого станка Я. = const. В на-
начальный момент времени t = 0 все станки были ис-
исправны (тх@) = п, ?М0)=0, Я1 @)= 1). Определить
характеристики с. п. X(t)—числа исправных станков.
Решение. В этом случае выражения E.5.23) и
E.5.24) примут вид
nt(t) = e •
J Яе° dx + 1
й) +
), E.5.26)
Г *
dx+l
) {t'>t). E.5.27)

252 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Следовательно (см. E.5.9), E.5.11), E.5.25)),
ц) + пце-<^>7(А. + и) (* > 0),
E.5.28)
ц) + гц1е-^»Ч{к + ц)] -^A - е
E.5.29)
Кх (t, П - т, @ (я,, | (/', 0 - я, (С)) =
(Г > t). E.5.30)
Если t' <C t, то в выражении E.5.30) нужно аргу-
аргументы t и f поменять местами:
|^!L?
ЙТ".
Поэтому выражение для Kx(t.t') может быть запи-
записано в виде
X —?-r-(e-<H+*>M ~t'\ — е-(ц+Х)тах«, П). E.5.31)
В данном примере система обладает эргодическим
свойством (МО = (п — *)Л == const, \it(t) = i \i =
= const, число состояний конечно), поэтому для нее
будет существовать стационарный режим, для кото-
которого
тх = lim tnx (t) = nX/(l -f ц) = пщ {щ = 1/A
Dx = lim Dx (t) = nlii/(l + цJ = пл! A - rtt), E.5.32)
/CSC, 0=
Пример 2. Цех, работающий круглосуточно
(в три смены), имеет 100 одинаковых станков с ЧПУ
(числовым программным управлением), среднее вре-
время безотказной работы каждого станка 10 суток,

5.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ 253
среднее время ремонта станка 0,5 суток. Определить
характеристики с. п, X(t) — числа исправных станков
в стационарном режиме, считая, что потоки отказов
и восстановлений каждого станка — простейшие и все
станки работают независимо друг от друга.
Решение. В соответствии с условиями примера
имеем:
), Я l/0,5 2f
сутки / ' * \ сутки
Следовательно,
тх = nl/(K + ц) = 100 • 2/B + 0,1) « 95,24 (станка),
Dx = n\\i/{l + цJ = 100 • 2 • 0,1/B + 0,1J « 4,51,
Ox — VAe*** 2,12 (станка),
Kx(tt 0 = ?>хе-о*+х»"-'Ч«4,51е-2-Ч<-<'1.
Вероятность того, что произвольно выбранный ста-
станок в данный момент времени / будет в ремонте (не-
(неисправен),
, 100 — 95,24 п плта W.
ло = 1 - щ = щ = 0,0476. >
Пример 3. Рассматривается работа вычислитель-
вычислительного центра (ВЦ), с которым соединено п дисплеев,
работающих в режиме «on line» круглосуточно. Каж-
Каждый дисплей включается в работу с ВЦ в среднем X
раз в сутки независимо от работы других дисплеев.
Каждое включение дисплея на работу с ВЦ длится
случайное время, распределенное по показательному
закону с параметром (а, независимо от того, сколько
дисплеев работает. Считая поток включений каждого
дисплея простейшим с параметром К, определить ха-
характеристики с.п. X(t)—числа включенных дисплеев
в момент времени t, если в момент времени t =0 ни
один из дисплеев не работал.
Решение. Вероятность того, что дисплей (лю-
(любой из л) будет включен в работу с ВЦ, определяется
по формуле E.5.23) npnni@) = 0:
E.5.33)

254 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Следовательно (см. 5.5.9), E.5.11), E.5.25)):
tnx(t) = nk(l-e-i*+»*)((\L+X) (/>0), E.5.34)
Dx @ = пКц A - e-fc+M') (l + ? е~ <*+»')/0* + ЯJ,
E.5.35)
X (в-***+*»1*'-*1 — — e-(Ji+X)max(f.nV E.5.36)
В условиях данного примера существует стацио-
стационарный режим, для которого
тх @ = тх = nty((i + Я), Дх (/) = DX = nXp/bi + ЯJ,
E.5.37)
Кх (t, t') =
Например, если «=100, Л = 2о(—-—V и =
г г ' V сутки / ^
= 288 f —i— ), - = 5 (мин), то
V сутки ) ц
т 100 20 _ -n n 100-20.288 е 1Л
™ 650 D 610
Kx(t, O^
Таким образом, в стационарном режиме с ВЦ будут
«общаться» в среднем 6,5 дисплея. ^
Пример 4. В условиях предыдущего примера оп-
определить вероятность того, что число «общающихся»
с ВЦ дисплеев будет больше величины к; определить
закон распределения времени Тк, в течение которого
число «общающихся» с ВЦ дисплеев будет больше к.
Эта задача имеет большое практическое значение
при проектировании ВЦ, работающего со многими
терминалами (дисплеями). Допустим, что ВЦ спроек-
спроектирован таким образом, что если обращения посту-
поступают не более чем от k дисплеев, то все эти обраще-
обращения обеспечиваются вычислительными ресурсами, в
противном случае (когда обращения поступают от
/ >* k дисплеев) k дисплеев обеспечиваются вычисли-
вычислительными ресурсами, а (/ — к) дисплеев ожидают.
Решение. В соответствии с результатами дан-
данного пункта случайная величина X(t)—сеченне про-

5.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 255
цесса в момент времени t — распределена по бино-
биномиальному закону с параметрами п и m(t) (см.
E.5.33)). Следовательно,
Р{*@>*}=1 - Е СппТ@A -Jti(/))"~m. E.5.38)
Например, если k = 10, то для стационарного режима
приЧ = 20(—— V A = 288 (—*—Л получим (щ =
г V сутан) ^ V сутки / J K '
= m*/n = 6,50/100 = 0,065):
Р {*(/)> Ю}= 1 — Р {*(*)< 10} =
ю
= 1 - Z Л • 0,065й • 0,935ltx)~m.
Так как величина щ мала, а п велико, то с достаточ-
достаточной для инженерной практики точностью можно счи-
считать, что св. X(t) (при фиксированном /) распреде-
распределена по закону Пуассона с параметром а = т* =*=
= 6,5- Тогда
Р{ЛЧ/) > *} ~ 1 - R(k, mx), E.5.39)
где R (m, a) — ]? ake~a/k\ — функция, связанная с
ft-О
распределением Пуассона.
В нашем случае
Р{ДГ(О> Ю} = 1-Я(Ю; 6,5).
По таблице (см., например, J5]) находим Р {X (t) >
> 10} «* 0,0670.
Если величина т*@>20 и тх (/) — 3 *jDx(t) > 0,
то с достаточной для инженерной практики точностью
можно считать, что св. ХЦ) (при фиксированном t)
распределена по нормальному закону с параметрами
mx{t) и Dx{t), следовательно,
(ЦУрЛ E.5.40)
х
где Ф(дс) = —Х=- \ e~viidt — функция Лапласа.
У2я J

256
ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Например, если в условиях предыдущего примера
считать я =400, то в стационарном режиме получим:
тх = 400 • 20/B88 + 20) « 26,
Dx = 400 • 20 • 288/B88 + 20J « 24,4,
а* = yZ^t ~ 4,94, гпх — За, = 26— 14,82= 11,18 > 0
и в этом случае (при k =40)
Р {X (t) > k) « 0,5 - Ф ([40 - 26]/4,94) ~ 0,00233. >
Перейдем теперь к определению закона распреде-
распределения времени Tk, в течение которого с. п. X(t) будет
больше k. На рис. 5.5.5 изображена реализация с. п.
X(t). Для простоты эта реализация изображена в виде
Рис. 5.5.5
непрерывной кривой, в то время как на самом деле
эта кривая имеет скачкообразный характер, со скач-
скачками, равными ±1 при включении или выключении
одного из п дисплеев.
Поясним рис. 5.5.5. В случайный момент времени
7"i произошло первое пересечение случайным процес-
процессом X(t) уровня k «снизу вверх». Процесс X{t) пре-
превышал уровень k в течение случайного времени Tk\
после чего в случайный момент времени Г2 он пересек
уровень k «сверху вниз». Далее процесс X(t) не пре-
превышал уровня k в течение случайного времени бУ\
после чего в случайный момент времени Г3 он вновь
пересек уровень k «снизу вверх» и находился выше
уровня k в течение случайного времени Т^* и т. д.
Очевидно, что случайные величины Г*1*, ТТ, А3), ...
в стационарном режиме будут распределены одина-
одинаково и независимы.

6.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИИ 257
Для нахождения закона распределения случайной
величины Тк воспользуемся приемом, изложенным
в п. 4.3. Закон распределения времени Тк найдем с по-
помощью преобразованного графа состояний, изобра-
изображенного на рис. 5.5.6 (см. также рис. 5.5.2).
(п-к-ПЛ
Рис. 5.5.6
Плотность распределения случайной величины Тк
определяется по формуле
,@. E.5.41)
где вероятность p*+i@ определяется в результате
решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу состояний
(рис. 5.5.6), интегрируемых при начальном условии:
P*+i@)=l, /?,@) = 0 (i^A-J-l). Заметим, что та-
таким же образом можно получать закон распределе-
распределения случайной величины Тк и для нестационарного
(неоднородного) случая, когда интенсивности потоков
событий зависят от времени [X(t), \i(t)].
Если интенсивности потоков постоянные (К, ц), то
для нахождения математического ожидания случай-
случайной величины Тк в стационарном режиме нет необхо-
необходимости решать систему дифференциальных уравне-
уравнений, а можно воспользоваться приемом, описанным
в п. 4.4.
Рассмотрим преобразованный граф состояний
(рис. 5.5.7). Для системы с таким графом существует
стационарный режим; предельные вероятности pi
имеют вид
А ~* P* « = *.*+! »). E-
* . <5.5.43)
где

258 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
Для системы с графом, изображенным на рис. 5.5.7,
м.о. времени Н* пребывания в состоянии 5*' равно
так как св. Н* распределена по показательному за-
закону с параметром (n — k)\. На основании формулы
(A*/)/* (h*2)/i л/i
Рис. 5.5.7
D.2.29) получим
откуда
E.5.46)
Так, для случая, когда Л= 10, л= 100,
W ^У11*)°'0133 <часа>
(п-к)х " Wao
= 0,8 (мнн) = 48 (сек).
Далее
i - Z ФУ-'
Эту вероятность можно определять по приближенной
формуле, заменяя биномиальное распределение пуас-
соновским с параметром гпх:
m __ Р(к, шх)
1 -
1-0

5.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЯ 259
где
Я,) « 6,5.
По таблицам, приведенным в [5], получим:
РA0; 6,5) = 0,055792; 1-/?(9; 6,5) ~ 0,122781;
pk « 0,4544.
Отсюда
пак = М [Ы ~ 48 1 ~^44 = 57,63 (сек).
Расчеты показывают, что с достаточной для инже-
инженерной практики точностью можно приближенно по-
полагать, что случайная величина Tk распределена по
показательному закону с найденным математическим
ожиданием:
Fk (t) = P {Tk < t) ~ 1 - e~tfmt* (t > 0). E.5.47)
Следовательно,
D [Tk] « m\ « 3322, a [Tk\ « mffc *« 57 ,63 (сек). >
Пример 5. Для условий предыдущих двух при-
примеров определить закон распределения времени Qk
(n-i+ПЛ (л-Ш in-h+ПЛ (л-Ш
l/i U*fyt hju
Рис. 5.5.8
(см. рис. 5.5.5), в течение которого число «общающих-
«общающихся* с ВЦ дисплеев будет не больше k (в стационар-
стационарном режиме).
Решение. Размеченный граф состояний системы
для определения закона распределения с в. Q* пред-
представлен на рис. 5.5.8. Плотность распределения св.
Q* определяется из выражения (см. п. 4.3)
gk(t) = (n-k)Kpk{t), E.5.48)
где вероятность pk(t) определяется в результате
решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу состояний

260 ГЛАВА 5. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
(рис. 5.5,8), интегрируемых при начальном условии:
@I @) 0 Aк)
При постоянных интенсивностях потоков (Я, ц.)
математическое ожидание случайной величины Q*
(п-ЬЯ (л-к*т (п-к)Л
Рис. 5.5.9
определяется с помощью размеченного графа состоя-
состояний, показанного на рис. 5.5.9. Для этого случая м. о.
времени Wk+i пребывания в состоянии $k+\.
E.5.49)
так как с. в. ^А+1 распределена по показательному за-
закону с параметром (й+1)ц. Следовательно,
Pk+i - М [ч/л+1]/(М [47fe+1] + M [Q*]),
откуда
E.5.50)
Например, при А =10; п=100; Л = 20 Г—-J—);
\ сутки /
,сутки
получим
• ю-4
~ 7,576 • 1<Г3 (часа) = 0,4545 (мин) = 27,27 (сек).
Решая систему алгебраических уравнений, соответ-
соответствующих графу, изображенному на рис. 5.5.9, найдем
предельные вероятности
" (' = °'''2 *+'>• E.5.5,,

6.5. ПРОЦЕССЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ЧИСЛО СОСТОЯНИЯ 261
Отсюда
cft + l * + l n-(* + f)
Я " и ч л
Рк+1— *+i . Р— ц i Х »
Фу'
Заменяя бииомиальиое распределение пуассоновским,
найдем *
V(fe + 1I _ Р (к + 1, wx)
_m
По таблицам, приведенным в {5], получим:
Р(П; 6,5)=0,03345, /г(П; 6,5)=0,96606, р4+1 «0,0342,
откуда
М[QJ - М [ЧЧ,,] -Ц^ м 27,27-
770,1 (сек) = 12,83 (мин). >

ГЛАВА 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
6.1. Канонические разложения и интегральные
канонические представления случайных
процессов
Известно, что неслучайную функцию x(t), отве-
отвечающую определенным условиям'), можно в интер-
интервале [—Т; Т] изменения аргумента разложить в ряд
Фурье:
X(t) = -Si _j_ ? (Cik COs ш + bk sin Ш) (-Т <t<T),
где
г
2 Г
а* = у \ х (/) cos к cot dt,
, I, 2, ...).
В. С. Пугачевым [18} была предложена и развита
идея представления с. п. X{t) в виде его разложения
-i
(где Vk — случайные величины, <р*@—неслучайные
функции), т. е. в виде суммы элементарных случай-
случайных функций (э. с. ф.).
Как будет показано в дальнейшем, представление
с.п. в виде разложения F.1.1) дает возможность про-
проводить довольно просто различные преобразования
с. п. — как линейные, так и нелинейные, определение
которым будет дано ниже, в п. 6.2. Это объясняется
тем, что разложение F.1.1) для фиксированного мо-
') Точнее, условиям Дирихле.

в.1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 263
мента времени t представляет собой линейную функ-
функцию с. в. Vk, что намного облегчает нахождение ха-
характеристик св. X{t), С другой стороны, вся зави-
зависимость от времени сосредоточена в функциях ф*.@.
которые являются неслучайными функциями времени.
В. С. Пугачев показал [18], что для любого слу-
случайного процесса X(t) можно построить его разло-
разложение вида F.1.1); при этом можно предложить
много способов такого построения.
В пункте 1.1. было введено понятие элементарной
случайной функции. Очевидно, что с. л. вида
Х(О = К-Ф(О F.1.2)
(где V — обычная центрированная св. с характери-
характеристиками /Пг=0, DV; ф@ — обычная (неслучайная)
функция времени) является э. с. ф.
В дальнейшем произведение центрированной слу-
случайной величины V на неслучайную функцию фA) бу-
будем называть элементарным случайным процессом
(э.сп.). Вся случайность сосредоточена в св. V, за-
зависимость от времени t — ъ неслучайной функции
<р@- На закон распределения св. V не наклады-
накладывается каких-либо ограничений, кроме того, что
M[V] 0
] o
Найдем характеристики э.сп. F.1.2). Для этого
зафиксируем аргумент / и рассмотрим св. X(t) =
— V'(p(t); она представляет собой линейную функ-
функцию св. V, следовательно (см. п. 8.2*),
F.1.3)
F-1.4)
Для нахождения корреляционной функции э. с п.
зафиксируем моменты времени t и f и рассмотрим
две центрированные св.: X(t) и X{f). Найдем их ко-
вариацию: это и есть корреляционная функция с. п.
X(t):
К* (*. П = ЬА[Х (/) X (О) -
- Ф (О Ф (О М [V2] == ф @ ф (О D [V] - ф (О Ф (О D,.
F.1.5)

264 ГЛАВА е. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Положив в выражении F.1.5) t — t't получим дис-
дисперсию случайного процесса F.1.4). Нормированная
корреляционная функция э. с. п. имеет вид
rx(t, f) =
(оdx(Г)
F.1.6)
Пример 1. Рассматриваются элементарные слу-
случайные процессы:
Y(t)=V-a, Z(t)=Vcos4, U(t)=Vt2,
где V—нормально распределенная св. с характери-
характеристиками то = 0, о0, а—неслучайная величина. Найти
характеристики (м.о., дисперсию и корреляционную"
функцию) каждого из этих процессов и построить для
каждого нз них семейство реализаций.
Решение. По формулам F.1.2)—F.1.5) имеем:
ти (/) = тг (/) = ти (t) = 0, Ку (t, t') == аЧ\ = Dy (/),
Кг (/, О = cos2 / cos2 t'al, Пг @ = Кг (U 0 = cos< to\,
Ки (t, О = t2 НУ a2, Du(t) = Ки it, t) = to*.
Семейства реализаций рассматриваемых э. с. п. пока-
показаны на рис. 6.1.1—6.1.3. Для всех рассматриваемых
y(t)=va
О
Рис. 6.I.I
Рис. 6.1.2
э. с.п. ось Ot представляет собой математическое ожи-
ожидание этих процессов. >
Каноническим разложением случайного процесса
X(t) называется выражение вида
X @ =
I
(О-
F.1.7)

6.1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ
265
В этом выражении тх (/) = М [Л" (t)] представляет
собой м.о. случайного процесса X{t)\ Vu ,.., Vk,...—
некоррелированные, центрированные с. 8. с диспер-
дисперсиями Di Dk, ... ; <pi(/)»•••» фл(t) — неслучай-
неслучайные функции аргумента t.
Выражение F.1.7) мож- u(t)-vt2
но переписать в виде
где
F.1.8)
— центрированный с. п., а
выражение F.1.8) представ-
представляет собой каноническое
разложение
о
центрирован-
Рис. 6.1.3
ного с. п. X (/).
Случайные величины Уь ..., Vk, ... будем назы-
называть коэффициентами канонического разложения, а не-
неслучайные функции (f\{t),..., <p*(f). ... — координат-
координатными функциями канонического разложения. Канони-
Каноническое разложение F.1.7) может содержать как ко-
конечное число членов разложения, так и бесконечное
(счетное) число членов.
Найдем характеристики с. п. X(t), заданного своим
каноническим разложением. При фиксированном ар-
аргументе t выражение F.1.7) представляет собой ли-
линейную функцию св. Vi, ..., Ун, • • ¦, следовательно.
=«я <о+Z
*•=!
Но по условию с. в. Vk центрирована (М [Vk] = 0),
поэтому
] mx(t). F.1.9)
Зафиксируем два момента времени t и F и найдем
ковариацию св. X(t) и X(t'), т. е. корреляционную
функцию с. п. X(t),

263 ГЛАЕЛ 6. ПРВОБРАЗОЕАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Подставим s это выражение разложение центриро-
Егнного с.п. F.3.8):
п = м[е ф*@vk
По теореме сложения м. о. знак суммы и знак м.о.
можно менять местами, а неслучайные множители
ф*@ и фй(О можно вынести за знак м.о.:
к* (л о = Е Е <р* (о фл (О
л-1 й-1
Но M[VkVh] = 0 при А^А, так как св. Vit V2, ...
не коррелированы; при одинаковых значениях индек-
индексов (k = h) получим
Следовательно, корреляционная функция с.п. X(i)t
заданного своим каноническим разложением F.1.7),
имеет вид
оо
к* (t, О = Е ф* (о ф* if) Dh. (в. i. ю)
ft-1
Выражение F.1.10) называется каноническим разло-
разложением корреляционной функции с.п. X(t); оно пред-
представляет собой сумму произведений координатных
функций (при аргументах / и /') и дисперсий Dk-
Таким образом, мы доказали, что если с. п. пред-
представлен своим каноническим разложением F.1.7), то
его корреляционная функция выражается канониче-
каноническим разложением корреляционной функции F.1.10).
Можно доказать и обратное утверждение (мы этого
делать не будем): если корреляционная функция слу-
случайного процесса X(t) представлена своим канони-
каноническим разложением F.1.10), то центрированный слу-
о
чайный процесс X(t) может быть представлен кано-
каноническим разложением F.1.8).
Дисперсия с.п. X(t), заданного своим канониче-
каноническим разложением F.1.7), равна значению корреля-

6.1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 267
ционной функции при равенстве ее аргументов:
*. F.1.11-
Выражение F.1.11) будем называть каноническим
разложением дисперсии с. п. X(t), оно представляет
собой сумму произведений квадратов координатных
функций и дисперсий Dk.
В соответствии с формулой A.2.23) нормирован-
нормированная корреляционная функция с. п. X{t), представлен-
представленного своим каноническим разложением F.1.7), будет
иметь вид (см. F.1.10) и F.1.11))
F.1.12)
W *)?(JC
Таковы основные характеристики с. п., представ-
представленного своим каноническим разложением F.1.7).
Особо отметим три обстоятельства, связанные с ка-
каноническими разложениями.
Во-первых, каноническое разложение с. п. X(t)
можно получать множеством способов. Известно, что
функцию x(t) можно разложить в обобщенный ряд
Фурье
где на функции tyk(t) накладываются определенные
ограничения (они должны быть ортогональны и нор-
нормированы). Но такие функции $*(*) можно получить
различным образом.
Во-вторых, каноническое разложение F.1.7) ни-
ничего не говорит о том, какой одномерный, двумер-
двумерный, ..., 6-мерный закон распределения имеет с.п.
X(t). Одно и то же каноническое разложение может
иметь различные законы распределения, так как св.
V\, Vit ..., Vk, ... могут быть распределены по раз-
разным законам.

268 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В-третьих, практические способы построения кано-
канонического разложения F.1.7) должны основываться
на статистических данных об с. п. Обрабатывая такие
статистические данные, получаем оценки для м. о. и
корреляционной функции с. п. X{t): mx(t), Rx(t,t').
Имея эти оценки, можно найти аналитическое прибли-
приближение к. ф. К{?(t, О « Kx{t, О-
По аналитическому приближению можно функцию
двух аргументов /С*а>(Л О разложить в двойной ряд
Фурье и найти координатные функции и дисперсии
коэффициентов канонического разложения. Этим прие-
приемом мы воспользуемся в гл. 7 при нахождении кано-
канонического разложения стационарного с. п.
Пример 2. Случайный процесс X{t) задан своим
каноническим разложением
o 2o
4-1
где с. в. Vk распределены нормально с характе-
характеристиками М [Vk\ = О, D [Vk] = Dk (k — 1, 2 я),
M[VkVm] = Q Aгфт) (с. в. Vu V2t ..., Vn не кор-
релированы).
Найти одномерный, двумерный и /-мерный законы
распределения с. п. X(t).
Решение. Для фиксированного момента t св.
п
X @ — т, (/) -+• У\ К*фь (/) будет представлять собой
4-1
линейную функцию некоррелированных, нормально
распределенных св. Vit V2, .... Vn. Следовательно
(см. п. 9.7*), случайная величина X(t) будет распре-
распределена нормально с характеристиками (см. F.1.11))
тх (() = ЩХ @1, Dx @ = D [X @1 = ftS <P? @ Dk.
Одномерный закон распределения будет иметь вид
f{it х)=—7-1 ехр(- I*~w«Wf 1. F.1.13)
М> ' V2nO@ Fl 2Dx{t) i
По этим же причинам двумерный закон распреде-
распределения рассматриваемого с. п. также нормальный с

6.1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 269
характеристиками mx(t), mK{tr), Dx{t), Dx(t') и
_ /л л/\ Л» (»¦ t )
VO, (О DX <*')
Е
Е tie»
Следовательно,
l
2nA/Dx(t)Dx(t')(l -r\{t,t'
к — тх
X
х (/, tf) (х - тх (/)) (х' - тх (t')) . (х' - т
^Dx(t)Dx(tf) ^ Dx(t')
F.1.14)
Аналогично, /-мерный закон распределения с. п. X(t),
взятый для сечений t\, t2, ..., U, будет нормальным
с математическими ожиданиями mx{t\), mx(tz), ...
..., mx(ti) и корреляционной матрицей \\Kx(U,tj)\\,
где
/С, (th tt) = t% Ф* (ft) Ф* (t,) Dk (/,/=1,2 0.
Замечание. Особо отметим, что двумерный за-
закон распределения нормального с. п. X(t) является его
исчерпывающей характеристикой, так
как все характеристики /-мерного закона распределе-
распределения A = 2, 3, ...) зависят только от двух функций
mx(t) и Kx(t,f). Кроме того, с. п. X(t) будет марков-
марковским. >
До сих пор рассматривалось каноническое разло-
разложение случайного процесса, которое можно построить
для ряда дискретных точек, получаемых при разло-
разложении случайного процесса на конечном интервале
(—Г, Г). Если Т-*оо, то этот ряд дискретных точек
сольется в прямую. При этом каноническое разложе-
разложение случайного процесса X(t) перейдет в интегральное

270 ГЛАВА в. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
каноническое представление. Покажем, как это проис-
происходит.
Запишем каноническое разложение с. п. X(t) в виде
F.1.15)
Пусть А— действительная переменная, принадлежа-
принадлежащая некоторой области Л (^еЛ); обозначим ДА —
длину каждого нз элементарных участков, на которые
равномерно разбивается область Л. Тогда выражение
F.1.15) можно переписать в виде
Очевидно, что при неограниченном увеличении интер-
интервала Т, на котором рассматривалось каноническое
разложение F.1.15) (Т-*-оо), величина ДА стремится
к нулю, а отношение Vx/ДА будет представлять собой
некоторую случайную функцию') непрерывного аргу-
аргумента А:
Iim VJM = Z(K) (Ае=Л). F.1.17)
дло
При этом функция <р*@ двух аргументов (дискрет-
(дискретного А и непрерывного /) станет функцией двух непре-
непрерывных аргументов Аи/:
Iim <М0 = ф(*, 0. F.1.18)
ДХ0
а сумма в F.1.16) преобразуется в интеграл по об-
области Л
mx(t)+ J 2(А)ф(А, t)d\. F.1.19)
(А)
Последнее выражение называется интегральным ка-
каноническим представлением случайного процесса X(t).
Каноническому разложению F.1.15) соответствует
каноническое разложение корреляционной функции
cn.X(t)
К* V. П = хЕ Фх @ Чк (П Dk. F.1.20)
1) Здесь мы говорим о случайной функции, так как аргу-
аргумент А не является временен.

«1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 271
Так как отношение Dx/ДЯ представляет собой ту
часть дисперсии, которая приходится на значение Я,
отнесенное к длине элементарного интервала АЯ, то
формулу F.1.20) можно переписать в виде
кли о-Х^ОлЮ-й-д*. <6|21>
Введем обозначение
G{K)= lim DJtsX. F.1.22)
дяо
Функция G(X) называется плотностью дисперсии.
Тогда при ДЯ->-0 (Т-*~оо) сумма F.1.21) перейдет
в интеграл по области Л, и мы получим выражение
для корреляционной функции с. п. X(t):
Кх (/. О = \ Ф (Я, t) Ф (Я, П G (Я) dk. F.1.23)
(А)
Осталось выяснить, какими свойствами обладает
случайная функция Z(K) в F.1.17). Очевидно, что
случайная функция Z(X) является центрированной:
М[2(Я)] = 0. F.1.24)
Это вытекает из того, что для любой сколь угодно
малой величины АЯ случайная величина Ух/АЯ яв-
является центрированной.
Корреляционная функция Кг(К V) случайной функ-
функции 2(Я) при Я Ф Я' должна быть равна нулю:
Кг (К Я') = 0 (Я ,* Я'). F.1.25)
Это следует из того, что случайные величины К*,/АЯ
и Vx'/АЯ не коррелированы при любом сколь угодно
малом значении величины АЯ и %Ф Я'.
Покажем, что корреляционная функция /Сг(Я,Я')
определяется из выражения
Кг = (Я, Я') = G (Я) б (Я - Я'), F.1.26)
где С (Я)—плотность дисперсии (см. 6.1.22), б(х)—
дельта-функция (см. приложение 6 в [5]).
Для доказательства этого утверждения достаточно
показать справедливость формулы F.1.23) при усло-
условии, что корреляционная функция случайной функции
2(Я) определяется по формуле F.1.26).

272 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
По определению КХ(К О = M[X[t)X(/')]• В соот-
соответствии с равенством F.1.19) центрированный с. п.
о
X (/)' может быть записан в виде
$, t)dk,
<А>
откуда
\zi\)q>{\, t)dk)X
(Л) /
Так как области интегрирования одинаковые, то по-
последнее выражение можно переписать в виде
Kx{t, O=MJ J J<p(X, t)y{k't t')Z{k)Z{k')dkdk'~[.
L <\) (A) J
Допустим, что двумерный закон распределения
fx(zty, к,к') случайной функции Z{h) известен;
тогда
\\ \ \, t')zz'dXdk'\x
-оо 1{Л) (А) )
Переменим порядок интегрирования:
(Л) (А)
z7,B, z't I, k')dzdz'"\dkdkr.
Внутренний интеграл по определению представ-
представляет собой корреляционную функцию Кг(к,к') слу<-

6.1. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 273
чайной функции Z{\). Воспользуемся для этой функ-
функции выражением F.1.26); получим
Кх (/, О = \ \ ф (Я., О ф (А/, /') G (к) о (X — к') dk dXf =
(Л) (Л)
ф (к, /) G (к) I \ф(Л,/N(А, — к ) dk' I аЯ,.
(Л) L (Л) J
В соответствии со свойством 4 дельта-функции (см.
приложение 6 в [5])
(Л)
следовательно,
Кх (tt t')= \ ф (Л, /) ф (к, t') G (к) dk,
(Л)
что совпадает с выражением F.1.23). Таким образом,
мы показали, что выражение F.1.26) удовлетворяет
свойствам корреляционной функции случайной функ-
функции Z{k).
Дисперсию сп. X(t), заданного своим интеграль-
интегральным каноническим представлением, найдем, положив
в формуле F.1.23) / = /':
Dx (t) = Кх (t, t)= U2 (k, t) G (k) dk. F.1.27)
Приведенное построение интегрального канониче-
канонического представления не является математическим до-
доказательством возможности построения такого пред-
представления для любого случайного процесса, однако
они расширяют наши знания о структуре процесса.
В главе 7 будет показано, как получать интегральные
канонические представления для одного важного клас-
класса случайных процессов — стационарных случайных
процессов.
Случайная функция Z(X), у которой корреляцион-
корреляционная функция равна произведению неслучайной функ-
функции С? (Я.) на дельта-функцию разности аргументов X
и V {Kz(kb')=G(l)&(X — \r))t называется неста-
нестационарным «белым шумом*. Если функция G(X.) не

274 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
зависит от X l(G(A,)= С =const), то /С(Я,Я') =
= Сб(Х — к'), и случайная функция называется ста-
стационарным «белым шумом». Для случайного про-
процесса, представляющего собой «белый шум» (ста-
(стационарный или нестационарный), характерно сле-
следующее:
f 0 при кфк',
( оо при Я —Я/.
Это вытекает из свойств дельта-функции. Более под-
подробно о «белом шуме» мы расскажем в гл. 7.
6.2. Линейные и нелинейные преобразования
случайных процессов
В инженерной практике часто возникает следую-
следующая задача. На вход системы S подается с. п. X(i)—
«входной сигнал» или «входное воздействие»
(рис. 6.2.1). Система S осуществляет преобразование
X(t)
Система
S
Y(t)
Рвапиия
систепы
Входное
Воздействие
на систвпу
сигнал)
Рис. 6.2.1
входного сигнала X(t), в результате чего на выходе
системы S получается с. п. Y(t), называемый «реак-
«реакцией системы» S (или «выходным сигналом» си-
системы S).
Например, при полете самолета в качестве вход-
входного воздействия X(t)na самолет (систему S) можно
рассматривать колебания плотности атмосферы, а в
качестве выходного сигнала Y(t)—колебания само-
самолета относительно его центра массы.
Другой пример: рассматривается система S, в ко-
которой проводится эксплуатация однородных техниче-
технических устройств (ТУ) (например автомашин). В каче-
качестве входного воздействия X(t) рассматривается чис-
число введенных (на момент времени t) в эксплуатацию
ТУ, а в качестве реакции системы Y(t)—число
эксплуатируемых в момент t технических устройств
(X(t) ^ Y(t), так как часть ТУ может выйти из строя).

«. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 275
При эксплуатации ЭВМ в качестве входного воз-
воздействия можно рассматривать напряжение силового
питания X{t), подаваемого иа вход стабилизатора
напряжения, а в качестве выходного сигнала Y(t)—
напряжение на выходе стабилизатора.
В общем случае в качестве входного воздействия
на систему S может рассматриваться векторный с. п.
*X{t)={Xx(t), X8@ Xn(t)}, когда на вход си-
системы S подается п с. п. (см. рис. 6.2.2), на выходе
X,(t)
Рве. 6.2.2
системы S получают тоже векторный случайный про-
процесс У(/) = {К,(О, Yi(t) МО) Размерности
векторных случайных процессов X(t) и Y(t) могут и
не совпадать (кФп).
Символически преобразование случайного пр'
цесса X(t), поступающего на вход системы S
(рис. 6.2.1), в выходной сигнал Y(t) можно записать
в виде
Y(t)=*At{X(t)}, F.2.1)
где At — оператор системы S.
Индекс t означает, что этот оператор осуществляет
преобразование случайного процесса по аргументу t,
обычно имеющему смысл времени.
Заметим, что понятие оператора At системы S зна-
значительно шире понятия функции. Например, запись
у — f(x) {у есть функция х) означает, что каждому
значению аргумента х (из области его возможных
значений) по определенному правилу (алгоритму)
ставится в соответствие значение функции у. Таким
образом, число х преобразуется в число у.
Понятие оператора At несколько иное. Запись
y(t) = At{x(t)} (функция у(t) является результатом
преобразования функции x(t) оператором At) озна-
означает, что каждой функции x(t) по определенному
правилу (алгоритму) ставится в соответствие функ-
функция у (t).

276 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Например: x(t)= cos<at; оператор At является опе-
оператором дифференцирования Аг = ~7г* тогда
у (t) = At {cos <at} = -jjj- cos<o/ — — (sin <Ы)со.
Ниже будут рассматриваться различные опера-
операторы: оператор интегрирования, оператор решения
дифференциальных уравнений, оператор возведения
в квадрат, оператор суммирования, оператор умноже-
умножения и др.
При исследовании преобразования F.2.1) в инже-
инженерной практике могут иметь место две задачи: пря-
прямая и обратная.
Прямая задача ставится так: известны характери-
характеристики (или законы распределения) с.п. X(t) на входе
в систему S, известен оператор At системы S; тре-
требуется определить характеристики (или законы рас-
распределения) с.п. Y(i) на выходе системы S.
Обратная задача ставится несколько иначе: из-
известны характеристики (или законы распределения)
с.п. X(t) на входе в систему S; заданы требования
к характеристикам (или законам распределения) с.п.
Y(t) на выходе системы S; требуется определить вид
оператора At системы S, наилучшим образом удов-
удовлетворяющий заданным требованиям к с.п. Y(t).
Необходимо отметить, что решение прямой задачи
намного проще, чем обратной. Решение обратной за-
задачи находит широкое применение при проектирова-
проектировании различных технических устройств, так как оно
дает возможность обосновать требования к оператору
At системы S. Другими словами, решение обратной
задачи дает возможность сформулировать требования
к проектируемому техническому устройству.
В соотношении F.2.1) есть три элемента: вход-
входное воздействие на систему X(t), оператор At и реак-
реакция системы Y{t). Если известны какие-либо два эле-
элемента, можно определить третий: 1) зная характери-
характеристики входного воздействия X(t) и оператор системы
At, можно определить характеристики реакции си-
системы Y(t) (прямая задача); 2) зная характеристики
входного воздействия X{t) и требования к характе-
характеристикам реакции системы Y{t), можно определить
оператор системы At (обратная задача)

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 277
Иногда в инженерной практике возникает и третья
задача: зная характеристики реакции системы Y(t) и
оператор системы Аи определить характеристики вход-
входного воздействия X{t). Примером третьей задачи мо-
может быть следующая инженерная проблема: с. п.
X(t) изучается (измеряется) с помощью оператора
системы Аи который нам известен. Результат такого
измерения Y(t) также известен. Требуется определить
характеристики с. п. X{t).
Модификацией обратной задачи является задача
идентификации оператора системы At, которая ста-
ставится следующим образом: зная характеристики вход-
входного воздействия X(t) и характеристики реакции си-
системы Y(t), определить оператор системы At, т. е.
найти различные параметры, определяющие оператор
системы At.
->
Преобразование векторного с. п. X{t) размерности
п можно символически записать так (см. рис. 6.2.2):
у, <0=
(/-1.2 k). F.2.2)
Другими словами, i-я составляющая У,(/) векторного
с. п. Y(t) получается в результате преобразования
оператором А\1) векторного с. п. X(t) (t=l, 2, .... k).
Пример такого преобразования может быть сле-
следующий:
Yl(t) = t */'(<)*,@ + *">@ A-U 2 k). .
F.2.3)
Перейдем к анализу различных операторов. Все
множество операторов А можно разделить на два не-
непересекающихся подмножества L и N(A = L + N;
L-N = 0). Подмножество L состоит из линейных
операторов, а подмножество N — из нелинейных опе-
операторов. В свою очередь, подмножество линейных
операторов L можно разделить на два непересекаю-
непересекающихся подмножества: Lo — линейных однородных опе-
операторов и LH — линейных неоднородных операторов
(рис. 6.2.3).

278 ГЛАВА в. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Оператор Lo называется линейным однородным,
если он обладает следующими двумя свойствами:
1°. Линейный однородный оператор от суммы
функций равен сумме линейных однородных опера-
операторов от каждой функции, входящей в сумму:
Lo \ Z *1 @ } = Е Lo {xt (/)}. F.2.4)
Другими словами, знак линейного однородного опера-
оператора Lo и знак суммы ?] можно менять местами.
L
? Ж V Al ¦"
'линейные од-1 линейные 1 _
v народные {неоднород- \ нелинейные
[операторы \нывопара- 1 операторы
2°. Постоянную величину (не зависящую от пере-
переменной, по которой проводится преобразование) мож-
можно выносить за знак оператора Lo:
F.2.5)
Из этих двух свойств следует, что
Lo \ t 4*1 @ } « t atLo {xt (ft). F.2.6)
в частности, если п= \ и ai = 0. то
Lo {0} = 0, F.2.7)
т, е. если входное воздействие отсут-
отсутствует, то и реакция.системы равна
нулю.
Оператор L» называется линейным неоднородным,
если он состоит из линейного однородного оператора

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 279
и некоторой вполне определенной неслучайной функ-
функции ф(/):
Пример 1. Указать, к какому виду относятся
следующие операторы:
1) y{t) = a (t) *dt (оператор дифференцирования),
t
2) y(t) = a(t) \ x(x)dx (оператор интегрирования),
о
t
3) у {t) — \ fy (т) х (т) dt (оператор интегрирования
с определенным «весом»
4) у @ = a* **«L + fll ^L + aox (t) {оператор диф-
дифференциального уравнения второго порядка с постоян-
постоянными коэффициентами),
t
о
Решение. Операторы I)—4) являются линей-
линейными однородными, так как оба свойства F.2.4),
F.2.5) выполняются. Например, оператор 4) может
применяться к сумме почленно:
/,. . d2x2 (t) , dxi it)
@ + <h H + « j1
не зависящую от / величину с можно вынести за знак
оператора:
d*{cx(t)) . d(cx(t)) , ,л
02 vrff + a, d/ + (hex @

280 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Отметим, что если в операторе 4) коэффициенты
будут зависеть от времени: a2(t), <*i(t), ao(t), то опе-
оператор остается линейным однородным.
Операторы 5), 6), 7) являются линейными неодно-
неоднородными, так как они содержат слагаемые <pi@>
<Ра(О. фз@ соответственно. Если эти слагаемые по-
положить равными нулю, то операторы 5), 6), 7) станут
линейными однородными.
Пример 2. Указать, к какому виду относятся
следующие операторы:
2) y(t) = a
3) 0@ =
4) y(t) = e~*
Решение. Все указанные операторы являются
нелинейными, так как не выполняются ни условия
F.2.4), F.2.5), ни условие F.2.8). >
Будем называть систему нелинейной и обозначать
ее Sjv, если оператор этой системы является нели-
нелинейным (N). Если оператор
VW ^. системы линейный (L), то
систему будем называть ли-
линейной и обозначать S^.
Линейные системы SL
играют значительную роль
в инженерных приложениях.
Оператор системы S во мно-
многих случаях может быть
л либо строго линейным, либо
линеаризуемым. На рис. 6.2.4
показана зависимость ско-
скорости вращения вала турбо-
турбореактивного двигателя в зависимости от количества
подаваемого топлива х. В диапазоне «рабочих» зна-
значений величины jce(fl,6) функция у(х) может быть
линеаризована или представлена рядом прямых (ло-
(ломаной). Как увидим в дальнейшем, анализ линейных
систем намного легче, чем анализ нелинейных систем.
Здесь имеется определенная аналогия с функция-
функциями случайных величин. Известно (см. п. 8.2*), что чис-
числовые характеристики линейной функции случайных
Рис. 6.2.4

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 281
величин определяются через числовые характеристики
аргументов. Если случайная величина
ТО
К =
М [Y] = ти =
H- До,
n n
S
о о
где Я1| = МЩ, /C^^MI
В п. 6.1 было указано, что с. п. Я(/) может быть
с достаточной точностью представлен своим канони-
каноническим разложением
F.2.9)
X
А-1
Этот с.п. подается на вход линейной системы S^,
имеющей линейный неоднородный оператор LH{}
Рис. 6.2.5
(рис. 6.2.5). Следовательно, с.п. X(t) подвергнется
линейному неоднородному преобразованию F.2.8):
У (t) = LH {X (/)} - Lo {X (()) + Ф @ =
F.2.10)
В соответствии с первым свойством линейного одно-
однородного оператора F.2.4) получаем:
оо
Y @ = LH {X (/)} = Lo [mx (t)} + ? Z.
+ <Р (О-

282 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Так как с. в. V* не зависит от времени /, по которому
проводится линейное однородное преобразование, то
эту с. в. можно вынести за знак линейного однород-
однородного оператора:
У @ - *-. {X «)} - U {тх (/)} + ? VkLo
Обозначим
МФ»(О)-¦»(') (*=1. 2, ...), F.2.11)
М«*<0) «*»(')• F.2.12)
Тогда получим
Y if) = LH {X (*)> = ф0 {t) + <р @ + JC V*^, (/). F.2.13)
Выражение F.2.13) представляет собой канониче-
каноническое разложение с. п. Y(t),y которого
1) математическое ожидание
ту if) = М [Y (/)]» *0 @ + <р @ = Ц {тх (/)} + <р <*) -
F.2.14)
2) координатные функции определяются из выра-
выражения F.2.11),
3) коэффициенты разложения V* (?=1,2,...)
остались без изменения; следовательно,
У @ = LH {X @) - т„ @ + ^Е Клфл @. F.2.15)
Таким образом, можно сформулировать следую-
следующее правило неоднородного линейного преобразова-
преобразования с. п., заданного своим каноническим разложением
F.2.9) (см. рис. 6.2.5). Если случайный процесс, за-
заданный своим каноническим разложением X(t) =
п
= тх (/) -f Y* У*Ф* @. подвергнут линейному неодно-
4-1
родному преобразованию ?.„{•}, то получится случай-
случайный процесс тоже в виде канонического разложения:
У (/) - LH {X (t)} - mu (t)
при этом математическое ожидание с. п. Y(t) полу-
получается в результате того же линейного неоднородного

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 283
преобразования математического ожидания случай-
случайного процесса X(t):
а координатные функции канонического разложения
случайного процесса Y(t) получаются в результате
соответствующего линейного однородного преобразо-
преобразования координатных функций канонического разложе-
разложения случайного процесса X(t): tyk(t) = L0{q>k(t)}
(коэффициенты канонического разложения с. п. Y(t)
остаются теми же, что коэффициенты канонического
разложения с. п. X{t)).
Так как с. п. Y(t) представлен своим канониче-
каноническим разложением F.2.15), то его корреляционная
функция может быть также представлена канониче-
каноническим разложением (см. F.1.10))
* , «. П = Е, Ч>* @ Ч>* (П Ok. F.2.16)
Но в соответствии с равенствами F.2.11) выраже-
выражение F.2.16) можно записать в виде
Ку (t, П = ? Lot (/) {ф* (/)} Lot. {cp* «')} Dk. F.2.17)
В этом выражении LO( {ф*,@} означает, что линейный
однородный оператор Lo{-} берется по аргументу /,
a LOf (ф* (О) ~~ по аргументу f.
Применяя к выражению F.2.17) первое свойство
линейного однородного оператора F.2.4), получим
К у (t, f) - Lot { Lot, •[ лЕ Ф* (t) <f>k <П
Выражение, стоящее под знаком суммы, представ-
представляет собой корреляционную функцию с. п. X{t), сле-
следовательно,
*„('. О = ML<.,<(**(', О}}-
Так как к. ф. симметрична относительно своих аргу-
аргументов, то
Kv{t, О = MV{**(','')}} =
F.2.18)

ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Таким образом, корреляционную функцию /Cji(f, О
случайного процесса Y(t), полученного в результате
линейного неоднородного преобразования случайного
процесса X(t): Y(t)= LH{X(t)}, можно найти в ре-
результате соответствующего двойного линейного одно-
однородного преобразования корреляционной функции
Kx{t,t') случайного процесса X{t), взятого сначала
по аргументу t, а затем —по ? (или наоборот).
Так как дисперсия Dy(t) с. п. Y(t) равна его к. ф.
при равенстве аргументов, то
ot{or{KAt, О)}. F.2.19)
Следовательно, дисперсия Dy(t) случайного процесса
Y(y), полученного в результате линейного неоднород-
неоднородного преобразования случайного процесса X(t):
У(*)= LH{X(t)}, получается в результате двукратного
применения соответствующего линейного однородного
преобразования к к.ф. Kx{t,t') и затем нахождения
предела полученного выражения при t-*-f.
Таким образом, схема решения задачи линейного
преобразования с. п. X(t) следующая: даны характе-
характеристики преобразуемого с. п. X(t) (м. о. mx(t) и к.ф.
Kx(t,t')), задано линейное неоднородное преобразо-
преобразование
Требуется найти характеристики с. п. Y(t) (м.о.
my(t) и к.ф./Ctf(<,''))•
В соответствии с равенствами F.2.14) и F.2.18)
получаем
К @ = М* @) = М* @) + Ф О,
Щ@ = 1ы ("** @) - LQ {mx «)} + Ф @. F.2.20)
Ky(t, t') = LQ
Схема решения этой задачи изображена на
рис. 6.2.5.
Особо отметим, что указанная схема имеет место
как для случая, когда с. п. X(t) задан своим кано-
каноническим разложением, так и для случая, когда не-
неизвестно каноническое разложение с. п. X{t). Это сле-
следует из того, что практически любой с. п. может быть

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 285
с достаточной точностью представлен своим канони-
каноническим разложением.
Задача 1. Дифференцирование слу-
случайного процесса. Даны характеристики с.п,
X(t): mx(t) и Kx(t,t'); с.п. X{t) подвергается диффе-
дифференцированию:
Y(t) = -^X{t). F.2.21)
Требуется найти характеристики процесса Y(t).
Решение. Операция дифференцирования яв-
является линейной однородной, следовательно,
щ (/) = *™*Р-, К ц, t') = -jy Kx (t, t'), F.2.22)
Пример 3. Найти характеристики производной
с.п. X (О — Vt-\- a> рассмотренного в примере 4 из
л. 1.2 (где введены несколько иные обозначения).
Решение. В примере 4 из п. 1.2 были найдены
характеристики с. п. X{t): тх (/) = tnj + а, Кх (t, t') =
= o\tt', где mp = М [V], ^ = М [К2].
Случайный процесс Y(t) есть производная с. п.
X(t): Y(t)=-^X(t), значит,
mu = -jLmy.(t) = -^ (mj + а) = m0 = const,
Kv it, t') = -~^p- aW = al = const,
Dy @ = lim Ky (t, t') = al = const.
f
Таким образом, с.п. Y(t)= V. Это следует и непо-
непосредственно из того, что
Пример 4. Найти характеристики производной
с.п. X(t)= We",где св. W распределена нормально
с параметрами mw, ow, а с. в. V распределена равно-
равномерно в интервале @, a); t > 0, а > 0, св. W, V
независимы.

2&6 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Решение. Найдем характеристики с.п. X{t)
mw
о
К,(г. О =
Отсюда
~at
mw \—e~at(\+at)
Находим корреляционную функцию производной;
- С + /')
')s
mj A-
_а2а, + < ГаУа((+П 2
~ а \ t + Г (/ + /'K Х
2
— q3 л" 2 (o/e-af -f- e~at — \)(at'e-at' + e"' — I).
Полагая i-+f, найдем
}
"*~ a (. B/K "г 2/
Пример 5. Найти производную с. п. X(t) =
= Kcos(\J>/ + 0), где св. Y распределена по закону
Рэлея с параметром а, а с. в. в распределена равно-

ЬХ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 287
мерно в интервале @,2л), $ —неслучайный пара-
параметр, св. К и в независимы.
Решение. В примере 7 из п. 1.2 было показано,
что en. X(t) имеет характеристики mx(t) = 0,
Кх С — f) = о* cos tf (/ — t'), следовательно,
- *?г ** ('• '') - в**1 cos * <> -
С,,
Задача 2. Интегрирование случай-
случайного процесса. Даны характеристики с.п. X(t):
mt(t) и Дх(/, О- Случайный процесс К@ получается
в результате интегрирования с п. X(t):
Требуется найти характеристики с. п. Y{t).
Решение. Операция интегрирования является
линейной однородной, поэтому
t t . t* .
Щ (/) = \ тх (т) dx, Ка (/, О - J П #ГЖ (т, т') rft' J Л,
F.2.23)
Пример 6. С.п. X(t) задан в виде своего кано-
канонического разложения
где Vk — центрированные некоррелированные св.
с дисперсиями Dk (k = 1, 2, ..., n), a* > 0 (А =
= 1, 2, ..., и), сп. Y(t) = \ X(т)dv, определить его
о
характеристики (t > 0).

188 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПР0ЦЕСС03
Решение. Применим формулы F.2.23)
t t
ти (t) = J тх (т) dx = $ т2 dx = t3fi (t > 0).
о о
Найдем корреляционную функцию с. п. X{t). По фор-
формуле F.1.10) получим
п
KxV, t)= l^e * Dk.
Найдем двойной интеграл
о
0 > 0, f > 0).
Тогда
t
Каноническое разложение с. п. Y(t) будет иметь вид
»-¦
Перейдем к анализу нелинейного преобразования с. п.
X(t), заданного своим каноническим разложением:
Y (/) = Nt {X (t)} = Nt | mx @ +
jE П 9k@ >.
где Nt{X(t)} — нелинейный оператор от функции X(t)'
по аргументу it.

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 289
Нелинейные операторы Nt{X(t)} не обладают об-
общими свойствами, которыми обладают линейные
операторы Lt{X(t)} (см. F.2.4) — F.2.8)). Каждый не-
нелинейный оператор Nt{X(t)} обладает своими свой-
свойствами. Поэтому общих правил нахождения харак-
характеристик с. п., полученного в результате преобразо-
преобразования с. п. X(t) нелинейной системой S*, нет.
Однако и в этом случае можно утверждать, что
с.п. Y{t) на выходе нелинейной системы Sw тоже
можно представить в виде канонического разложения,
параметры которого: м. о. my(t)t координатные функ-
функции tyk{t) и коэффициенты разложения будут зави-
зависеть от параметров канонического разложения слу-
случайной функции X{t), подаваемой на вход нелиней-
нелинейной системы Sjv и оператора этой системы Nt{X(t)}.
Это утверждение следует из того, что с достаточной
точностью любой случайный процесс можно предста-
представить в виде канонического разложения. Покажем
справедливость этого утверждения для некоторых не-
нелинейных операторов.
Задача 3. Квадратичное преобразо-
преобразование с. п. X(t), заданного своим каноническим раз-
разложением
Требуется найти характеристики с.п. Y(t) = (X{t)J.
На случайные величины Vk (k=\, 2, .... п) на-
накладываются дополнительные ограничения: любые че-
четыре из этих величин независимы (также независимы
любая тройка и пара), а распределения этих величин
симметричны относительно математического ожида-
ожидания (например, нормальный закон, закон равнобед-
равнобедренного треугольника, равномерное распределение
при условии, что м.о. равно нулю).
Решение. В соответствии с условиями задачи
имеем:
Y(t) = X (О2 = (>«* @ + t VkVk (О) =
= m» @ + 2 t Vh<pk {t) mx (t) + t VWk (t) +
vw<h@4Pi@. F-2-24)

290 ГЛАВА б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Найдем м.о. случайного процесса Y{t):
ти @ = М \Y 0)Г= М 1(тх (/) + X (t)f] = m* (t) +
+ 2тх (t) M [X @1 + М [X* @1 - m| (/) + Dx (t)
Так как с. п. X(t) задан своим каноническим разло-
разложением, то
т„ (/) = т\ @ + Dx (/) = т\ (t) + t ?>кф| @- F.2.25)
Вычтем из выражения F.2.24) математическое ожи-
ожидание, определяемое по формуле F.2.25):
Y @ - Y @ - т, @ = ^Е Vk2mx (t) Фл (/) +
+ fc?, (И* ~ D») ф*(/) + ,5, И^2ф* W фх <0- F.2.26)
Введем обозначения
2тхФл @ - ^л (Г). ф| @ = vA @, 2Фй @ Ф^ @ = <РЛ.! (/),
F.2.27)
V\ -Dk = Ukt VkVt = Wktl.
С учетом принятых обозначений получим:
у (о = t vrfk (о+аЕ f/*v* (о + Ez »v 1Ф», i @-
F.2.28)
Покажем, что выражение F.2.28) представляет
собой каноническое разложение центрированного с. п.
У@ (см. F.1.8)).
Для этого достаточно показать, что с. в. Vb, Uk,
Wk, i (k = 1, 2, .... n), k ф t, являются центрирован-
центрированными и некоррелированными
по условию задачи;
2) M[Uk] = bA[vl
М [UhU,] - М [{Vl -

6.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 291
так как случайные величины V* и Vt независимы;
3) М [Wkl] = M [VbVi] = 0 по условию задачи;
4) M[VkUi]=M[Vk{V2t-Dl)] = 0,
так как случайные величины Vk и Vi независимы;
5)
так как закон распределения св. Vk симметричен от-
относительно м. о. (в этом случае все нечетные цен-
центральные моменты равны нулю);
6) M[VkWkJ] = M[vlVl]=0 или U[VkWiti\ =
так как св. Vk (k=l, 2, .... п) независимы;
7) M[UkV?kil]=M[{Vl-Dk)VkVl\ = O или
M[UkWlJ] = Ml{Vl-Dk)VlVl]=O, так как любые
три или две с. в. Vk (k= I, 2, ..., h) независимы;
8) М[ГЛ)/Г,>У] = М[КЛК,У^У] = О, так как лю-
любые четыре с в. с разными индексами независимы.
Следовательно, корреляционная функция с п. Y(t)
может быть представлена своим каноническим раз-
разложением:
К у (/, П = t Д*Ф* (О Ф* (О + ? DukVk (О Y* (П +
где
Dk = D [Vk\,
DUk = D [Uk] = D [Vl - Dk] = F.2.29)
= M [(Vl - DkV] = M [Vi\ - D\ = ц<4» - Dl
(так как случайные величины Vk и Vt независимы).
Пример 7. На вход квадратичного детектора по-
подается сп. X{t)=Vcosyt+U sintyt, где V и V не-
некоррелированные, центрированные, нормально рас-
распределенные с. в. с дисперсиями D [V] = D [U]» о8

292 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
(см. пример 10 из п. 1.2). На выходе детектора полу-
получается с. п.
Найти характеристики с. п, Y(t).
Решение. В данном случае
A = D2 = a2, DUi=DM2 = M[(V2-o2J] =
= M{<t/2-o2J]=n4-o«.
Для нормального закона четвертый центральный
момент будет равен щ = За4 (см. F.3.13)*), следо-
следовательно, DU( = Dua = 2а4, Dwt a — DiD2 = a4. Далее
(см. F.2.27)):
Ь @ = ^2 @ = 0, v, @ = cos2 ty, v2 @ = sin2 -ф/.
Фа, i @ = 4>i, 2 @ = 2 cos ty sin $t.
о
Следовательно, каноническое разложение с. п. Y (/) бу-
будет иметь вид
у (t) = С/, cos2 ty + I/, sin2 ф @ + JFif 22 cos i|>/ sin ф,
откуда
/Ctf (/, /') = 2a4 cos2 if/ cos2 tfc>/' +
+ 2a4 sin2 Ф* sin2 ijrf' + 4a4 cos г|з/ sin ty' =
= 2a4 (cos ty cos $t* + sin if/ sin p'f =
= 2a4 cos2 ф (/ - О = 2 (/С, (/, i')J,
так как /(*(/,/')= a2 cos t})(/ — t') (см. пример 7 из
п. 1.2);
В соответствии с формулой F.2.25)
ти (/) = Dx = a2.
Приме{ 8 На вход квадратичного детектора по-
подается с. п.
п
*(')=? (V* cos ^ + Uk sin ^0.
где Vb и L/ft некоррелированные, центрированные,
нормально распределенные с. в. с дисперсиями

62. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 293
[Vk] = D [Uk] = Dk = а*. Найти характеристики с, п.
() = (X(t)J на выходе детектора.
Решение. В соответствии с решением предыду-
предыдущего примера имеем центрированный с. п.
+ 2VkUk sin $kt cos i|>*/ -f (f/* - a|) si
sin2
который представлен своим каноническим разложе-
разложением; следовательно,
К, V. П = 2 J; ^ cos tS>| (/ - П Dy (/) = ^
Если с. п. X(f) = mx{t) + gi(VkcosM + Uksin$kt),
то каноническое разложение центрированного с. п.
о
Y (/) будет иметь вид (см. F.2.27) и F.2.28)
У @ = 2тх (О Е (Ил cos ^/ + Uh sin
*i
п
+ Е [(^* ~ al) cos2 ^ -f 2VkUk sin ^ cos
+ (Ul - a!) si
Следовательно,
iC, (/, О = 2mx @ «x (O E cr| cos ^4 (Г - tf
fei
Л

294 ГЛАВА в. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
6.3. Линейная форма векторного
случайного процесса.
Сложение случайных процессов
В п. 6.2 были рассмотрены линейные и нелиней-
нелинейные преобразования скалярного с. п. В этом пункте
будет рассмотрено преобразование векторного с. п.:
X(t) = {Xx(t), X2{t) -МО}-
Неоднородной линейной формой векторного слу-
случайного процесса X(t) называется выражение
М0= S МО *< «) + <*<> (О- F-3.1)
Если cto(OsO, то получаем однородную линейную
форму векторного с. п. X(t):
Го (')=?>< @ *<(')• F.3.2)
Известны характеристики векторного с. п. X (t):
1. Математическое ожидание векторного с. п. X(t)
mx @ = {m, @, m2 @, ..., пц @), F.3.3)
где
ntt (t) = M [X, (t)) A=1,2,...,*). F.3.4)
2. Квадратная матрица размерности (&Х&) вза-
взаимных корреляционных функций векторного с. п. X(t)
WRtjit.ni F.3.5)
где
Д„ (/, О - М [Xt (t) X, (О] (/,/=1,2 k). F.3.6)
Требуется найти характеристики с.п. YH(t) и Уо@,
определяемых по формулам F.3.1) и F.3.2) соответ-
соответственно.
Заметим, что для фиксированного момента вре-
времени t выражение F.3.1) является линейной функ-
функцией системы случайных величин (X\(t)t ..., Xk(t)).

6.3. ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА 295
Следовательно, в соответствии с формулами (8.2.9)*,
(8.2.13)* получаем
М [Кн (/)] = тКи @ = Е а( @ т, @ + Оо@, F.3.7)
|^С„(О. F-3.8)
где
0,@ = 01*! @1 = ^(^0. F.3.9)
F.3.10)
Но в соответствии со свойствами взаимной корре-
корреляционной функции, приведенными в п. 1.2 (см.
A.2.40) —A.2.42)),
Kt (t, 0 = М [X, @1, <0] = Я« (/, 0. F-3.11)
Ki,(t) = Ru(t,t). F.3.12)
Следовательно,
Ei@e/@«,,(/. 0- F3.13)
Короче, выражение F.3.13) можно записать так:
DIM01-E Е «»1 @в/@/М'. 0- <63Л4)
Если составляющие векторного случайного процесса
X(t) не коррелированы G?у(/, О33^ ПРИ '^/Ь то
D [У. @1 = Е а? @ /?« (Л 0 = Е ^ @ Ь @- F.3.15)

296 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПроЦЕССОВ
Для отыскания корреляционной функьми с. п. YM(t)
о
найдем центрированный с. п. Уи (/) (см. F.3.1) и
F.3.7)):
?. W = Ун И) - щя И) = Е а, @ Xt Ц) + а0 @ -
- Е «i (/) mi @ - а„ @ = Е а* (О L it), F.3.16)
где JTj = Xt it) — nti {t) (i = 1, 2 &).
По определению корреляционной функции
к9я it. n = м [К it) у„ in] =
= м [ Е«/ (О Д (О Е ву in х, in] =
Г k k n
- M [ E E «i @ <*; (O Jfi @ ^;
Для фиксированных моментов I и I' получаем сумму
с. в., к которой применяем теорему сложения матема-
математических ожиданий:
Ква it. П = Е Е а, @ а, (О М [X, @ X, @1 =
= Е Е «/ @ а/ (О Rij И, П = Е at it) а, (О /?„ (t, f
k
+ E ^ @ ay (/') /?„ (/, Г) = E ei @ a* (O ^* (^,
+ J a, M a, (fl *i, (f./')• F.3.17)
->•
Если составляющие с. п. Х{/) не коррелированы,
то
Ку№ it. П - t «I @ «' (О *i tf. О- F-3.18)
Математическое ожидание с. п. Ко(О. определяе-
определяемого формулой F.3.2),
М [К. @1 - Щл it) = Е «* @ «I @- F-3.19)

6.3. ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА 297
Корреляционная функция
**„ с о=к*н с''>• <6-3-20)
Частным случаем линейной формы векторного с. п.
X(t) является сумма его составляющих:
Y @ - t *i @- F-3.21)
В этом случае характеристики случайного процесса
Y(t) будут (см. F.3.7) и F.3.17)) равны:
* к к
ту @ = Е тг (О, Ку «, П = Е Е( Я</ ^, О. F3.22)
т. е. м.о. my(t) равно сумме и.о., составляющих век-
векторного с.п. X(t), а корреляционная функция — сумме
всех элементов взаимной корреляционной матрицы
этого векторного с. п. X(t).
Если составляющие векторного с.п. X(t) не корре-
лированы, то (см. F.3.18))
Кя (t, П = Е Ki (t, П F.3.23)
т. е. корреляционная функция суммы некоррелирован-
некоррелированных случайных процессов равна сумме корреляцион-
корреляционных функций этих случайных процессов.
Пример 1. «Производственная функция» отрасли
(предприятия) может быть представлена приближен-
приближенной формулой
Y{t)=tal(t)Xi(t), F.3.24).
где Y(t)—количество выпускаемой отраслью продук-
продукции на момент времени /, Х\ (/)— трудовые ресурсы
отрасли на момент времени t, X2U) — основные фонды
отрасли на момент времени / и т. д., ai{t), «2@» •••
..., uk(t)— переменные коэффициенты, которые из-
известны. Известны также характеристики с.п. X\{t),
X2(t), .... Xb{t): mx(t), m2{t), .... mk(t) и взаимная
корреляционная матрица \\Rn{t, f)\\. Требуется опре-
определить характеристики случайного процесса Y(t).
Решение. Производственная функция отрасли
представляет собой линейную форму векторного с.п.

298 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
X{t), составляющие которого ^i(/), -^2@» •••• Xn(t)
представляют различного вида ресурсы, имеющиеся
в распоряжении отрасли.
Следовательно, по формулам F.3.19), F.3.20),
''F.3.7) и F.3.17) находим
М [Y @1 = ту @ = Е a, (t) mt [t), F.3.25)
k k
Kv (*, П = g ? at (t) a, @ #„ (*, О- F-3.26)
Пример 2. Плановое задание для отрасли по
выпуску продукции за год установлено уп. Опреде-
Определить вероятность выполнения плана отраслью в конце
года (на момент времени *к) при условии, что в на-
начале года /о выпуск составлял у0, а двумерный закон
распределения с. п. У(t)— нормальный с характери-
характеристиками F.3.25) и F.3.26).
Решение. По условию в начале года (в момент
*о) св. Y(t0) равна уо.
В п. 1.2 было указано, что двумерный закон рас-
распределения нормального случайного процесса являет-
является его исчерпывающей характеристикой. Это озна-
означает, что для определения вероятности выполнения
плана Р {Y (tK) > уп) достаточно знать состояние про-
процесса в момент времени t0. Указанная вероятность не
будет зависеть от того, как процесс развивался до
момента *0 (напомним, что такие процессы называют-
называются марковскими, они были подробно рассмотрены
в гл. 3, 4, 5).
Таким образом, безусловный двумерный закон
распределения с. п. Y(t) в точках to и /к (для слу-
случайных величин У(t0) и Y{tK)) будет нормальный
с тремя параметрами
Kff (to, Q - E E a, (t0) a, (Q Ri} {t0, tK).
Зная двумерный закон распределения, можно найти
условный одномерный закон распределения св.

6.3. ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА 299
Y{t%)~YKt вычисленной при условии, что св. Y(to)
равна уо- Известно (см. G.9.15)*), что этот закон
тоже будет нормальным с параметрами
#0
'?),==/) A-г2 ),
К I 0 К \ К 0У
где
Следовательно, искомая вероятность выполнения от-
отраслью плана при условии, что в момент to выпуск
составлял у о, будет
) >yB\Y (t0) = yQ} = 0,5 - Ф
где Ф(дс) — функция Лапласа (см. F.3.15)*).
Рассмотрим численный пример. Пусть средний
выпуск ЭВМ отраслью определяется по формуле
ти @ = 1000/ -f Ю000
(где / измеряется в годах), а к.ф. Ky{t,if) выпуска
ЭВМ—по формуле
Найти вероятность выполнения пятилетнего плана
уа = 15000 ЭВМ, если к концу четвертого года пяти-
пятилетки было выпущено у0 = 14850 ЭВМ. Для этих
условий получим:
,к = Щ E) = 15000 (ЭВМ),
mUo = ту D) = 14000 (ЭВМ),
= D, E) = 106, оУк = о„0 = 103 (ЭВМ),
Ку('о,<к)=в_о<35

300 ГЛАВА в. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
«, 1 сплл i °>7' 1р3 (»4850 - 14000) щеле/ъпмч
ту \у = 15000Н ^—rjrs « 15595 (ЭВМ),
-О,72) = 714 (ЭВМ),
= 0,5 + Ф @,834) ~ 0,5 + 0,3 ~ 0,8.
Заметим, что безусловная вероятность выполнения
плана на конец пятилетки определяется по одно-
одномерному закону распределения, который будет нор-
нормальным с характеристиками т.у(Ъ)= 15000 (ЭВМ)
и aj,E)=1000 (ЭВМ), а вероятность выполнения
плана Р0Ч5)>#п) = 0,5.
Пример 3. Рассматривается процесс X(t)
эксплуатации одинаковых технических устройств (ТУ)
на предприятии при интенсивности поступления ТУ
М0= const и Х@) = 0 (см. п. 5.4). Случайный про-
процесс Y(t) — число списанных (вышедших из строя)
ТУ к моменту времени *(УЧО) = О); с. п. Z(/) — число
поступивших в эксплуатацию ТУ к моменту времени
t(Z(O) = O). Считая поток поступлений ТУ в эксплуа-
эксплуатацию простейшим с параметром Я, а время работы
каждого ТУ распределенным по показательному за-
закону с параметром ц, найти характеристики случай-
случайных процессов X(t), Y(t) и Z{t).
Решение. Очевидно, что Z(t)==X{t) + Y(t). Ха-
Характеристики с.п. X(t) и У@ для начальных усло-
условий A^@)=Z@) = 0 были найдены в п. 5.4:
тх @ = Dx(i) = у A -е-*), тг (t) = Dz(/) = Xtt
В п. 5.4 было показано, что для условий данного
примера одномерный закон распределения случай-
случайного процесса чистого размножения Z(t) с парамет-
параметром % представляет собой закон Пуассона с пара-
параметром mz(t) и одномерный закон распределения
случайного процесса гибели и размножения X(t) с па-
параметрами ц и X является также законом Пуассона
с параметром mx(t).
В п. 9.8* было показано, что если сумма двух
неотрицательных случайных величин распределена по

6.4. КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
301
закону Пуассона и одно из слагаемых распределено
тоже по закону Пуассона, то и другое слагаемое
также распределено по закону Пуассона, при этом
сами слагаемые независимы. Следовательно, с. п. Y(t)
г-
имеет пуассоновский одномерный закон распределения
с параметром
На рис. 6.3.1 показаны зависимости mx{t), m#{t) и
mz(t) при Я = ц= 1.
6.4. Комплексные случайные процессы
При исследовании стационарных с. п. мы будем
широко использовать выражения тригонометрических
функций через комплексные функции, в связи с чем
нам необходимо будет пользоваться комплекс-
комплексными СП.
Комплексным случайным процессом называется
с. п, вида
т </)« *» со + аг, (/), F.4.1)
где X\(t)t Xiit)— действительные случайные процес-
процессы, i — V~i" — мнимая единица. Таким образом,

302 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
комплексный с. п. представляет собой линейную форму
двух действительных с. п. {см. п. 6.3).
Для фиксированного момента времени t комп-
комплексный с.п. X(t) превращается в комплексную св.;
случайная величина Xi(t)—его действительная часть,
ХъA) — его мнимая часть. Пользуясь определениями
для комплексной с в., приведенными в п. 8.8*, най-
найдем характеристики комплексного с.п. X(t). Матема-
Математическое сжиданне комплексного с.п. F.4.1) разно:
mXtit). F.4.2)
где
т* (О =М №(/)]. тл@=-М №,</)]. F.4.3)
о
Обозначим X{t) — центрированный комплексный с п.:
X{t) = X (t) - тх @ = Xt (/) + iX2 (/), F.4.4)
1,@ = ^,@-^@. X2(t)-=X2{t)~-mxAt). F.4.5)
Корреляционная функция комплексного с. п. опре-
определяется по формуле
Kx(t,?)=M[X{t)X(t% F.4.6)
где
iXAt') F-4.7)
— комплексный с. п., сопряженный комплексному слу-
о
чайному процессу X(lf).
Дисперсия комплексного с.п. X(t) определяется
через его к. ф. следующим образом:
« М [| X (О И = D, (t) + D% @, F.4.8)
где
A @-D №(/)], ft@«Dft@] F.4.9)
— дисперсии действительной и мнимой частей комп-
комплексного с. п. X(t).
Корреляционная функция комплексного с. п. мо-
может быть выражена через корреляционные функции

в.4. КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 303
его действительной и мнимой части и через их вза-
взаимные к. ф.
Kx(t,t')=M[X(t)X(t')) =
= м [<х, (о + tx2 @) (i {?) - tx2 (О)] =
= /С, (/, t') + /C2 (f, О + i [/?12 (/', 0 - #12 (Л 01 F.4.10)
где
Ki(*,O=M[?@*i(O] F.4.11)
— к. ф. действительной составляющей комплексного
с.ц.Х@;
/С2 (/, /') = М [Х2 @ Jf8 @1 F.4.12)
— к. ф. мнимой составляющей комплексного с. п. X(i)\
/?i2«. О = М [?, @ Л:2 (OJ F.4.13)
— в. к. ф. действительной и мнимой составляющих
комплексного с.п. X(t).
Отметим, что математическое ожидание mx{t)
комплексного случайного процесса X(t) F.4.2) пред-
представляет собой неслучайную комплексную функцию
аргумента t; дисперсия Dx(t) комплексного случай-
случайного процесса X(t) F.4.8) представляет собой неот-
неотрицательную неслучайную действительную функцию
аргумента t, корреляционная функция Kx{t,t') комп-
комплексного случайного процесса F.4.10) может быть
как действительной, так и комплексной неслучайной
функцией двух аргументов t и f. Корреляционная
функция Kx(t,О будет действительной либо когда
действительная и мнимая части случайного процесса
X(t) не коррелированы (Rwit, Os 0), либо когда их
взаимная корреляционная функция симметрична от-
относительно t и f: (RuU, f) = Rl2(fJ)).
Комплексный с. п. X{t) можно записать через по-
полярные координаты случайной точки Xi(t) и Xi{t) на
комплексной плоскости:
X (/) = R (/) cos в @ + iR @ sin e @, F.4.14)

304 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
где
F.4.15)
= X2(t)fXl(t), F.4.16)
arctg(X2@/^@). F-4.17)
Пользуясь формулами Эйлера, выражение F.4.14)
можно записать в виде:
Действительный с. п. R (t) называется модулем
(или абсолютной величиной) комплексного с. п. X(t);
действительный с. п. в(*) называется аргументом
комплексного с. п. X (t).

ГЛАВА 7
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
7.1. Определение стационарного случайного
процесса, эргодическое свойство
Выше (см. гл. 3, 4, 5) мы уже сталкивались с с. п.,
протекающими однородно во времени, когда насту-
наступает стационарный режим функционирования си-
системы. Такие режимы были проанализированы при
исследовании цепей Маркова (гл. 3), марковских с. п.
с непрерывным временем и дискретными состояниями
{гл. 4) и марковских процессов гибели и размноже-
размножения с непрерывным временем и дискретными состоя-
состояниями (гл. 5). В этой главе мы рассмотрим общие
свойства таких случайных процессов.
В качестве примеров стационарных с. п. можно
рассмотреть следующие
— колебание напряжения, подаваемого в качестве
силового питания ЭВМ;
— колебания числа эксплуатируемых технических
устройств (ТУ), если поток вводимых в эксплуата-
эксплуатацию ТУ является стационарным и каждое ТУ эксплуа-
эксплуатируется в среднем одно и то же время;
— давление газа в газопроводе и др.
Очевидно, что у стационарного с. п. X(t) все ве-
вероятностные характеристики не должны зависеть от
времени.
Рассмотрим одномерную п. р. стационарного с. п.
f(t,xI). Так как эта плотность не зависит от того, где
взято сечение t, то имеет место равенство
G.1.1)
') Для простоты будем считать, что сечение случайного про-
процесса является непрерывной случайной величиной.

306
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Зная одномерную плотность стационарного с. п. X(t),
можно найти его м. о. и дисперсию:
М [X (t)] = J xf (t, x)dx= J xf (x) dx = mx = const,
— CO — OO
G.1.2)
QO
D[X(t)}= \ (x-mxff{t,x)dx =
= J {x - mxf f (x) dx = Dx = const. G.1.3)
Таким образом, у стационарного с. п. математическое
ожидание и дисперсия являются постоянными величи-
величинами, не зависящими от времени.
X(t)
tj t,+T
*n V* *
Рис. 7.1.1
Рассмотрим п сечений стационарного с.п. X(t),
взятых в моменты времени t\, /2, • ¦ •. tn (см.
рис. 7.1.1); л-мерную плотность распределения с. п-
K{t) можна записать в виде
fn (h, h, ¦ • •, tH; xu x2 xn). G.1.4)
Очевидно, что если с. п. является стационарным,
то эта n-мерная п. р. ие изменится при сдвиге всех
аргументов времени на одинаковую величину t
(см. рис. 7.1.1):
In (*ti *2» • • •» *п» *1» • • • i хп) ==
= fn(ti+v. 's + т tn + x; xx хп). G.1.5)
Таким образом, приходим к следующему опреде-
определению стационарного с.п.: случайный процесс X{t)
называется стационарным в узком смысле, если его
n-мерная плотность распределения не изменяется при
сдвиге всех его временных аргументов на одинако-
одинаковую произвольную величину т.

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
307
Таким образом, n-мерная п. р. стационарного с. п.
не зависит от того, в какие моменты времени t\, U, ...
..., tn рассматриваются сечения этого процесса, а за-
зависят лишь от сдвигов xt, т2, .... in-\ между этими
сечениями (рис. 7.1.2).
X(t)
Следовательно, двумерная п. р. стационарного с. п.
X{t) ~ h(U, h, Xi,x2) будет зависеть не от аргумен-
аргументов t\ и t2, а только от аргумента т промежутка между
сечениями (рис. 7.1.3). Очевидно, что эта п. р. не
должна зависеть от того, каким образом занумеро-
занумерованы сечения, другими словами, двумерная п. р. долж-
должна зависеть лишь от разности между аргументами:
hit и t2, х„ х2) =
X(t)
-.*,= т.
G.1.6)
Обозначим
Тогда
/2 VI. ^2» х\> Х2) ==
-f2<T, *,. xj. G.1.7)
Найдем корреляционную функцию стационарного с. п.:
= J J (х, — тх) (х2 — тх) f2 (/,, t2t xx, x2) dxx dx2 =
— оо
оо
= \ \ ^' ~ т
-Мт). G-1.8)
Так как величина х определяется равенством
G.1.6), то к. ф. стационарного с. п. обладает следую-
следующим свойством:
Мт)«М-т), G.1.9)

308 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
т. е. корреляционная функция стационарного с. п. есть
четная функция сдвига т между двумя сечениями
этого процесса (см. рис. 7.1.3).
Случайный процесс называется стационарным
в широком смысле, если его математическое ожида-
ожидание постоянно (гпх = const), а корреляционная функ-
функция есть функция сдвига между аргументами:
Kx{tuU)=kx(t).
Очевидно, что если с. п. является стационарным
в узком смысле, то он является стационарным и
в широком смысле. Обратное же утверждение не
всегда может быть справедливым: если с. п. является
стационарным в широком смысле,
то он не обязательно будет стацио-
стационарным в узком смысле.
Обозначим Wat множество всех
стационарных в широком смыс-
смысле процессов и Wy — множество
всех стационарных в узком смыс-
Рнс 7.1.4 ле процессов. Между этими множе-
множествами существуют следующие со-
соотношения: Wy с Wm, Wy fl Wm = Wy, которые про-
проиллюстрированы на рис. 7.1.4.
Так как дисперсия равна корреляционной функ-
функции при равенстве аргументов: Dx{t)= Kx(ttt), то
имеет место равенство
Dx = Кх(/, 0 = kx{t-1) = kx@). G.1.10)
Так как Dx ^0, то и
М0)>0. G.1.11)
Кроме свойств G.1.9) —G.1.11) к. ф. стационар-
стационарного с. п. должна обладать свойством
1М*)КМ0) G.1.12)
и свойством положительной определенности
К (t -1') q> it) ф it') dt df >0, G.1.13)
(В) (Я)
условия выполнения которого будут даны в п. 7.2.
В выражении G.1.13) ф(/) —любая функция аргу-
аргумента t, а область В—-любая область изменения ар-
аргумента t.

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 309
Помимо корреляционной функции вводится в рас-
рассмотрение еще одна характеристика: нормированная
корреляционная функция (н. к. ф.) стационарного с. п.
гх <т) = kx (x)/Dx = kx (i)lkx @). G.1.14)
Она обладает практически теми же свойствами, что
и корреляционная функция, у которой изменен ма-
масштаб по оси ординат. Тем не менее выпишем эти
свойства:
(В) (В)
Из неравенства {^(т)!^ 1 следует неравенство
|М*01<МО) (см. G.1.12)).
Стационарные с. п. могут обладать или не обла-
обладать эргодическим свойством. При рассмотрении мар-
марковских процессов с дискретными состояниями мы
вводили понятие эргодического множества состояний
(см. гл. 3 и 4). Если процесс протекает однородно и
множество состояний конечно и обладает эргодиче-
эргодическим свойством, то в нем устанавливается стацио-
стационарный режим функционирования, характеризующий-
характеризующийся тем, что любая реализация этого процесса рано
или поздно пройдет через любое состояние незави-
независимо от того, в каком состоянии находился этот
процесс в начальный момент времени. Другими сло-
словами, эргодическое свойство состоит в том, что любая
реализация эргодического стационарного с. п, доста-
достаточной продолжительности является как бы «полно-
«полномочным представителем» всей совокупности реали-
реализаций стационарного с. п.
Для эргодического стационарного с. п. X(t) м.о.
может быть определено из выражения
т
,nx = M[X(t))= lim 4r \ x^dL <7ЛЛ6)
Достаточным условием выполнения равенства
G.1.16)—эргодичности стационарного с. п. X(t) по
математическому ожиданию — является
Мт) = 0. G.1.17)

310 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Дисперсия эргодического с. п. может быть найдена по
формуле
Dx = D[X(t)] = litn -±r ( (X(t)-mxfdt. G.1.18)
Достаточным условием выполнения равенства
G.1.18) — эргодичности стационарного с. п. X(t) по
дисперсии — является
ШпЛ,<т) = 0, G.1.19)
где ky(i)— к. ф, стационарного с. п.,
G.1.20)
Корреляционная функция эргодического стационар-
стационарного с п. может быть определена по формуле
кл (т) = lim -jL \ (А (/) - тх) (X (t - т) - тх) dt.
G.1.21)
Достаточным условием выполнения равенства
G.1.21)—эргодичности стационарного с. п. X(t) по
к. ф. — является
Пт?г(т) = 0, G.1.22)
Т-»оо
где kz{%)—корреляционная функция с. п.,
Z (/, О) = X @ X (t + О). G.1.23)
Обычно стационарный с. п. бывает неэргодическим,
когда он протекает неоднородно. В частности, неэр-
неэргодичность с.п. X{t) может быть вызвана тем, что
в качестве слагаемого с.п. рассматривается св. На-
Например, случайный процесс
U(t) = X(t) + V G.1.24)
будет неэргодическим, если V — св. с характеристи-
характеристиками mv и Dv, a X{t) — эргодический с. п. Действи-
Действительно, в соответствии с результатами, полученными
в п. 6.3, имеем, если с. п. X(t) и с. в. V независимы,.
ma(t) = mx~rm{l, ku (т) = kx (т) + Z>0. G.1.25)

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 311
В этом случае
lim ku (т) = lim (kx (т) + DV) =
Х-»оо Т-*со
= lim kx(*)+ lim DV = DV. G.1.26)
t-*oo
Следовательно, с. п. U{t) является неэргодическим.
Пример 1. Рассматривается неслучайная вели-
величина а как частный случай с. п.: X(t)=a; найти ее
характеристики; определить, является ли этот про-
процесс стационарным и обладает ли он свойством эрго-
эргодичности?
Решение. М [*(/)] = a=const, Dx{t)= Kx(t,t) =
= ftjc(O) = O, c.n. X(t)=a стационарен и обладает
эргодическим свойством.
Пример 2. Рассматривается св. V как частный
случай сп.: X(t)= V; найти его характеристики, оп-
определить, является ли этот процесс стационарным и
обладает ли он свойством эргодичности.
Решение. М[Х (/)] = М [V] = mv, Kx (/, О =
= M[X(t)X(t')}=Ml(V -mv)(V -mv)) = D[V) = Dv =
= kx(x). Случайный процесс X(t)—V стационарен,
но не обладает эргодическим свойством, так как
lim кх{х)Ф0. >
Многие стационарные с п. возникают в результате
преобразования стационарного пуассоновского про-
процесса (стационарного пуассоновского (простейшего)
потока).
Пример 3. Случайная телеграфная волна. Слу-
Случайный процесс X(t) — случайная телеграфная вол-
волна— возникает следующим образом. На оси Of
имеется простейший поток событий с интенсивностью
X. Случайный процесс X(t) попеременно принимает
значения а и —а; при наступлении очередного собы-
события в простейшем потоке с. п. X(t) скачком меняет
свое состояние с +а на —а или наоборот (рис 7.1.5).
Найти характеристики с п. X(t).
Решение. Одномерный закон распределения с. п.
X(t), очевидно, имеет вид
-а|+а

312 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Действительно, так как моменты перемен знака ни-
никак не связаны со значением с. п. X(t), то нет ника-
никаких оснований считать какое-либо из значений (+а
или —а) вероятнее другого. Следовательно,
тх (/) = — а • 0,5 + а • 0,5 = 0;
Dx (/) = (-аJ ¦ 0,5 + (+аJ ¦ 0,5 = а2. G.1.27)
Рассмотрим два произвольных сечения с. п. X(t) и
X(f) и найдем м. о. их произведения:
Кх (t, П =М[Х (/) X (П] = М[Х @ X (О].
Произведение X(t)X(t') может принимать два значе-
значения: —а2, если в интервале (t,f) в простейшем по-
потоке произошло нечетное число событий; +а2, если
I 1
I 1 t I
I III
¦4 Ы—+
i ill
t lit
Ряс. 7.1.5
в этом потоке произошло четное число событий. Сле-
Следовательно, вероятность того, что на интервале т =
= f—t{f > /) произойдет четное число событий
в потоке, будет
Р™ = ?{Х @ X (О = а2} = ? СКх)ш е-Bт)! =
т—0
= e~u E (A,TJm/Bm)f = e'u ch Ят =
т—0
откуда
чет

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 313
Следовательно,
К* (*. ?) = К (т) =
1+ е
— а*
1 -
2 ~ = а2е~2* (т>0).
Аналогично, при t'<Lt и т = *' —<<0 получим:
/С, (/, t') = kx (т) = а2е~* «-*> (т < 0).
Объединяя последние две формулы в одну, получаем
kx(x) = a2e-2K^l G.1.28)
График этой функции пока-
показан на рис. 7.1.6. Следова-
Следовательно, с.п. X{t) стациона-
стационарен и эргодичен.
Пример 4. Обобщен-
Обобщенная случайная телеграфная
волна. Как и в предыдущем
примере, на оси 0/ имеется
простейший поток событий с интенсивностью X. В мо-
момент наступления t-ro события с.п. X(t) прини-
принимает случайное значение Xi (i= 0, 2, ...), сохраняя
X(t)
Рис. 7.1.6
Рис. 7.1.7
его до следующего события в потоке (рис. 7.1.7). В на-
начальный момент времени t = Q Х@) — Х0. Случайные
величины Хо, Х\, Х2, .... Xi, ... независимы и рас-
распределены одинаково с плотностью /(*). Найти ха-
характеристики с.п. X{t).

314 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Решение. Очевидно, что одномерная плотность
распределения с. п. X(t) равна f(x). Следовательно,
тх @ = М [X (/)] = М [Х{] = J xf (х) dx = тх,
~" G-1.29)
Dx @ = D [X (/)] = D [X{] = [ (x - mxf f (x) dx - Dx.
Рассмотрим два сечения с. п. X(t) и X(t'), разде-
разделенные интервалом т = if — t, т > 0. Если между
точками / и /' не появится ни одного события в про-
0 О О
стейшем потоке, то X{t) = X(t') - Хх (см. рис. 7.1.7).
Если между точками t и f появится хотя бы одно
0 0 0 0
событие в простейшем потоке, то X(t) = X{, X{t/) = XI
(i Ф j). Следовательно,
0_. . . . ,00
Кх (t, П = kx (т) = e~uM [h\ + A - е -*) М [XtX,\ =
= Dxe~u (т > 0),
так как случайные величины Xt и Xt независимы при
i Ф /. Аналогично, для т < 0 получаем
Объединяя последние две формулы, имеем
kx{x) = Dxe~^V {7.I.30)
Следовательно, рассматриваемый с. и. является ста-
стационарным и эргодическим.
Рассмотрим случай, когда случайные величины Xq,
Xi, Яг, ... представляют собой систему одинаково
распределенных нормальных, независимых случай-
случайных величин. Будет ли в этом случае с. п. X(t) нор-
нормальным? Нет, несмотря на то, что одномерный за-
закон распределения нормален. Дело в том, что закон
распределения двух сечений с. п. X(t) не является
нормальным, так как эти сечения с отличной от нуля
вероятностью совпадают: Р {X @ = X (t')} — е~к (''~'J
(г >• t). Вероятность же расгяства двух случай-
случайных величин, распределенных по нормальному за-
закону, должна быть равна нулю.

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
315
Рассмотрим еще один случай, когда с. в. Xt (i =
0, 1, 2, ...) дискретна и имеет ряд распределения
0,5 0,5
В этом случае
тх @ = тх = М [Х{] = 0, Dx - О [X,] = Dx (t),
Одна из реализаций такого процесса показана на
рис. 7.1.8.
Замечание. Процессы, изображенные на
рис. 7.1.7 и 7.1.8, имеют различный вид, однако их
Х(О
Рис. 7.1.8
характеристики полностью совпадают. Отсюда сле-
следует, что равенство м. о., дисперсии и корреляцион-
корреляционной функции с. п. еще не означает равенства законов
распределения этих процессов, что вполне есте-
естественно.
Пример 5. Процесс с независимыми сечениями.
Рассматривается с.п. X(t), описанный в предыдущем
примере, при неограниченном увеличении интенсив-
интенсивности простейшего потока (Л-*-оо). Найти характе-
характеристики такого предельного процесса Y (/)= lim X (t).
считая, что этот предел существует.
Решение. Математическое ожидание пгх и дис-
дисперсия Dx с.п. X(t) не зависят от интенсивности К,
и поэтому они остаются неизменными: ту == тх,
Dy = Dx. Найдем к. ф. предельного с.п. Y(t):
ku (т) = lim kx (т) = lim Dxe~*-"' • = Dx lim e~*»'" =
G.1.31)
Dx при т =
0 при т^*|

3|6 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Так как по условию предыдущего примера при Я,->-оо
все сечения с. п. X(t) независимы, то получим модель
с. п. У (/), для которого любые два сколь угод-
угодно близкие сечения независимы. Такой
процесс будем называть процессом с независимыми
сечениями. Случайный процесс с независимыми сече-
сечениями не имеет ни одной точки непрерывности.
Пример 6. Стационарный белый шум. Иссле-
Исследуем предельное поведение с. п. X{t), рассмотренного
в примере 4, при условии, что интенсивность простей-
простейшего потока X неограниченно увеличивается (Х-*-оо),
дисперсия сечения этого процесса тоже неограниченно
увеличивается (Djc->oo), но при этом отношение
Dx/X остается постоянным: lim DJX — C.
D
Найти характеристики с. п.
Z@= fim X(t).
x
Dxfk-c
Решение. Преобразуем корреляционную функ-
функцию с.п. X(t) (см. G.1.30)) с учетом равенства
Dx/X = с:
fe* (*) =/V~M х' = 4^ ^-ы * I
Следовательно, корреляционная функция с. и. Z(t)
будет
Под знаком предела стоит плотность распределе-
распределения с. в. U, распределенной по закону Лапласа (см.
(8.9.19)*), симметричному относительно начала коор-
координат, у которого м. о. равно нулю, а с. к. о. равно
¦\2/Х. Следовательно,
lim 4-<ГЫч = 6(т),
к-*ео г
где б(т)—дельта-функция. Таким образом,
. G.1.32)
Мы убедились в том, что с. п. Z(t) представляет со-
собой стационарный белый шум (см. п. 6.1), и по-
построили модель такого шума. Следовательно, белый

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
317
шум можно представить как предельный случай по-
последовательности очень коротких импульсов, ампли-
амплитуда которых представляет собой независимые слу-
случайные величины с очень большой дисперсией, при
этом отношение дисперсии этих импульсов к частоте
их появления является постоянной (конечной) вели-
величиной. Такие процессы (или весьма близкие к ним)
встречаются на практике при рассмотрении различ-
различных естественных помех в каналах связи, «теплового
шума» в электронных устройствах, «дробового эф-
эффекта» в электронных лампах и кинескопах. Подроб-
Подробнее о белом шуме будет сказано ниже.
Пример 7. Модель электронного потока в ра-
радиолампе {кинескопе). Поток электронов, направляю-
направляющихся от катода к аноду радиолампы, представляет
собой простейший поток событий с параметром К.
При попадании электрона на анод его напряжение
X{t) возрастает на единицу и затем убывает по экспо-
экспоненциальному закону с параметром а, зависящим от
7 —
Т, t
Рис. 7.1.9
характеристик электронной схемы (рис. 7.1.9). Еди-
Единичный скачок напряжения от поглощения очередного
электрона анодом суммируется с остаточным напря-
напряжением на аноде. Найти характеристики с. п. X(t) на-
напряжения на аноде.
Решение. Напряжение Xj(t) от воздействия /-го
электрона, поступившего на анод в момент времени
Т„ будет иметь вид
*<<» =
t-Tt)
при
при
t<T,
G.1.33)

318
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАИШЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
где И (t) — единичная функция (см. приложение 6
в E]), t >0, Тг > 0. Так как поток электронов про-
простейший, то к моменту времени t на анод поступит
случайное число У электронов, распределенное по за-
закону Пуассона с параметром М. Следовательно, на-
напряжение на аноде будет представлять собой случай-
случайное число Y случайных слагаемых Xi(t);
= Z *< @-
i
G.1.34)
Известно (см. задачу 8.80 в [51}, что пуассонов-
ский поток событий на интервале @, /) можно с до-
достаточной точностью представить как совокупность
в,
t t
Ржг. 7.1.10
точек на этом интервале, координата каждой из ко-
которых в(е@,/) распределена равномерно в этом ин-
интервале (см. рис. 7.1.10) и не зависит от координат
других точек. В этом случае выражение G.1.34) при-
примет вид
G.1.35)
где все с. в, в, независимы и распределены равно-
равномерно в интервале @,0; с-в- У не зависит от св.
в, (/=1, 2, ..). Следовательно (см. п. 8.5*),
Так как случайная величина Y распределена по за-
закону Пуассона с параметром М, то М [У] = D [Y] = Я/,

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 319
Далее, с. в. 6, распределена равномерно в интервале
(О, /), следовательно,
Поэтому
МЕ^@] = ^-Ц^ = ^A-г«'), G.1.36)
D [X (/)] = « {D [в'а <'" •*>] + (м \е~а <'-в<>]J} =
GЛ.37)
Рассмотрим два сечения с. п. X(t) в моменты вре-
времени t и f(/'>/) (рис. 7.1.9). Случайный процесс
X{V) будет равен напряжению X{t), умноженному из
экспоненту е-°«'-« плюс напряжение U(i' — t), ко-
которое получается в результате поступления электро-
электронов на анод (в интервале времени (t,f):
X {t') =*X(t)e ¦« «''-'> + U (f - 0. G.1.38)
Случайные величины X(t) и i/(^—t) независимы,
так как они получались в результате поступления на
анод электронов в различные непересекающиеся ин-
интервалы времени @,0 и (ttf). Поэтому при t'> t
- V{tr-t))\ =
M[i{t)U{t-t')\ =
= Dx(t)e—*t'~t>. G.1.39)
При t~> f получим
/tx(/, /') = /),</')e-«<'-*•> (/>/')• G.1.40)
Следовательно,
O)e-tt"-''i G.1.41)

320 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим предельное поведение процесса X(t) при
\lmDx{t)- Um ±(l -
t-Kx> t-Kx> M
lim
t, c->
= lim Dx{min{t, t'))e'a ' <-<'! = ¦?-«-«' 4 G.1.42)
При К/а = тх> 20 с. п. можно считать нормальным.
Таким образом, с. п. X{t) при f-»-oo (практически
при / > 3/а) будет стационарным и эргодическим.
Если предположить, что напряжение на аноде не
затухает (а-^0), то с. п. X(t) будет представлять
собой процесс Пуассона (процесс чистого размноже-
размножения с интенсивностью К == const), характеристики ко-
которого были найдены в п. 5.4.
Действительно, при а—>-0
lim т% @ = lim Я (I - e~at)/a = X lim te~at = It,
й 0 а>0
lim Dx(t) = lim I (I — e-™)/Ba) = It,
0 0
= X min (t, /')•
Полученные выражения совпадают с формулами
E.4.60), E.4.61).
Пример 8. Модель функционирования линейного
детектора. В условиях предыдущего примера поло-
положим, что электроны поступают на анод «пачками»,
при этом моменты поступления пачек образуют про-
простейший поток событий с интенсивностью К, а число
электронов в i-й пачке — св. №,, имеющая функцию
распределения F{w) с числовыми характеристиками
mw и Dw. Случайные величины W\, W2, .... Wit ...
независимы и не зависят от числа поступивших пачек.
Такая схема имеет место при работе линейного
детектора, когда на его вход в случайные моменты

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
321
времени, определяемые пуассоновским потоком, по-
подаются положительные импульсы случайной вели-
величины Wi, а в период между импульсами напряжение
убывает по экспоненциальному закону (рис. 7.1.11).
Скачок напряжения от прихода очередной пачки элек-
электронов суммируется с остаточным напряжением на
Рис. 7.1.П
аноде. Требуется найти характеристики с. п. X(t)—
напряжение на аноде.
Решение. Очевидна, что процесс X{t) может
быть записан в виде формулы, аналогичной G.1.35):
G.1.43)
где св. У — число пачек электронов, поступивших на
анод к моменту времени t\ Wi — число электронов
в t-Й пачке, 0* — момент поступления i-й пачки. Слу-
Случайные величины К, Wit в„ взаимно независимы. Обо-
Обозначим
alt-*ll G.I.44)
тогда (см. п. 8.5*)
М [Xt {t)) = М[Wt] М [е~*
= mw (l
'at
,-ш
)/(ai),
G.1.45)
G.1.46)

322 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Следовательно,
= М [Y] M [Xt @J = Шш l=f^-, G.1.47)
= М [Г] D {*< (/)! + D [К] (М [X, (О]J
а). G.1.48)
Проводя преобразования, аналогичные тем, которые
были проведены в предыдущем примере, получим
Кх(/, О = Dx(min(/, ?))е~а>'"''>- G.1.49)
При f -»- оо, ?-+ оо и f — / = т получим
lim mx (/) = mx — Xn^fa,
«->оо
@ = Dx = Я (?). + <)/Ba), G.1.50)
lim Kx(t,n = kx(T)=Dxe-*W.
<->oo, «'-»¦<»
Таким образом, при t-*-oo напряжение X(t) пред-
представляет собой стационарный эргодический случай-
случайный процесс.
Рассмотрим предельное поведение процесса X{t),
когда неограниченно увеличиваются
а) интенсивность простейшего потока событий X,
порождающего «пачки» электронов (Х-^оо);
б) дисперсия числа электронов в каждой пачке
(Д^-оо);
в) параметр a (a-*-oo).
Неограниченное увеличение параметра а означает,
что напряжение от каждой пачки электронов очень
быстро падает до нуля; в пределе при а-*-<х> пло-
площадь импульса (рис. 7.1.11) будет стремиться к нулю.
При этом имеют место равенства
Л/а = ft,, DJa = k2. G.1.51)

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 323
В этом случае выражения G.1.50) примут такой вид:
lim mx= lim
lim Ах(т)= lim ( +)
), G.1.52)
где 6(т) — дельта-функция.
Таким образом, в пределе получаем стационарный
белый шум, который образуется в результате беско-
бесконечно частой последовательности пачек электронов,
имеющих конечное м.о. и бесконечную дисперсию
числа электронов в пачке, а
также бесконечно малую дли-
длительность импульса от воздей-
воздействия пачки электронов.
К,
I
I
Пример 9. Импульсный
дробовой эффект. Рассматри-
Рассматривается напряжение в цепи X (t),
порождаемое импульсами на- 1
пряжеия, имеющими прямо- ри _ j 12
угольную форму (рис. 7.1.12).
Высота /-го импульса Wt, про-
продолжительность Ki. Моменты появления импуль-
импульсов 7*1, Г2, ..., Ti, ... образуют простейший поток
событий с интенсивностью К. Напряжение Xi(t) от
i-го импульса суммируется с напряжением от других
импульсов. Случайные величины Wi, К* и Т{ взаимно
независимы и имеют характеристики mw = lA[Wi\t
Dw = D[Wi], mx = M[KJ, DM = D[KiJ. Требуется
найти характеристики процесса X{t).
Решение. На участке @,0 с.п. X(t) может
быть представлен формулой
Y Y
X(t)=Z Х( (t) = ? W& (t, Qh Kt), G.1.53)
где с. в. Y распределена по закону Пуассона с пара-
параметром Ы, с. в. 9, распределена равномерно в интер-
интервале (О,/), функция <р(/, Qh K,) = H(f — ef)*1<e,+
+К4 — t) — импульс, начало которого приходится на
момент времени 9«е@, t), длительность его равна
Kt, а высота—единице (рис. 7.1.13).

324 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Введем в рассмотрение гипотезу о том, что св.
К, принадлежит элементарному интервалу (x;x-f
H-dx): К* е (и, и-f dx). Вероятность такой гипотезы
будет
Р {К* €= (х, х + d-к)} ~ fx(x)dx,
где f*(x)—плотность распределения св. К*.
Рис. 7.1.13
Тогда условное м.о. функции <p(f, в,-, Kf) (при ука-
указанной выше гипотезе) будет
Интеграл представляет собой площадь прямоуголь-
прямоугольного импульса, высота которого равна единице, а дли-
длина — ч. Следовательно,
Безусловное м.о. будет
М [Ф (/, е{, Кд] = М [KJt] = mjt. G.1.54)
Аналогично находим
t
но [D(/-i/Il(i/ + >t-0]2 = 1l('-yIl(i/ + >t-^ сле-
следовательно, М[ф(/, в^, К( = хJ] = хА, откуда
М1ф(/, в„ К, = хJ] = mjt. G.1.55)

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 325
Таким образом,
/, в,,
= м [w*] м [ф (/, в, Kt)Y = (Оа>+Г
М [* @1 = М [ ? Xt (о] = М Щ М [Xt @1 = Ьтютх,
G.1.56)
D [X @1 - D [ S *, (О] = М [Y] D [Xi (t)] +
+ D [Y] (M [*, (О]J = Л (Ов + ml) mK. G.1.57)
Рассмотрим с.п. X(t), когда Wi=\ (mw=l, D» =
^0), а св. К,- распределена по показательному за-
закону с параметром ц(тк = 1/|А). В этом случае им-
импульсный дробовый эффект превращается в процесс
гибели и размножения с неограниченным числом со-
состояний с параметрами A,i(f)=A,, M0='V (CM*
п. 5.4). Его характеристики при f->oo, f-^oo, if —
— t = x будут (см. E.4.42), G.1.56), G.1.57)):
lim mx @ = тх =
lim Dx (t) = Dx = l(Dw + ml) mK = I @ + 12)/ц -
f->oo, Г-оо И И
Случайный процесс гибели и размножения при
f-*oo будет стационарным и эргодическим.
Пример 10. Случайный процесс X(t) в любой
точке t может иметь значение -fa или —а с одина-
одинаковой вероятностью, равной 0,5. Изменения процесса
X(t) могут происходить только в моменты времени
f = 0, 1, 2, ... Таким образом, процесс X(t) постоя-
постоянен на любом участке (л—1,п), где п — натураль-
натуральное число, а на границе каждого нового участка не-
независимо от предыдущего значения принимает одно
из значений -fa или —а с вероятностью 0,5. Реализа-
Реализация процесса X(t) показана на рис 7.1.14. Найти
характеристики процесса ХA).

326
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Решение. Очевидно, что тх@= Шх = а*0,5—
— 0.0,5 = 0, Dx{t) = D* = a*-0,5 + (—aJ-0,5 = а*.
Если точки t и f принадлежат одному и тому же ин-
интервалу (я— 1,я), то /G (*,*')= Ь* = а2. Если точки
a
0
-a
X(t)
_
b(t)
i
i
i
r
it 51
I 1 .
'|6 '7 8
Lj
i
!8
i—
i
°W 11 t
J
Рис. 7.1.14
/ и f принадлежат разным интервалам, то Кх(/, 0 =
==0. Следовательно,
а* при | т | < 1 - Ь [min (t, t%
0 при |т|>1 — &[min(/,/')].
G.1.58)
где b[z] — целая часть числа z (см. рис. 7.1.14).
Несмотря на то, что пгх = 0 — const, Dx = a2 =
= const, с.п. А @ не является стационарным, так как
к. ф. Kx(t,t') зависит не
только от т = t — t\ но от
того, где на оси 0/ находит-
находится участок (t, t').
Поверхность Kx{t,f) вы-
выглядит как ряд прямоуголь-
прямоугольных параллелепипедов, осно-
t вание каждого из которых
представляет собой квад-
квадрат со сторонами, равными
единице, а высота равна а2.
Эти параллелепипеды по-
поставлены на плоскости tOt'
вдоль биссектрисы пер-
первого координатного угла,
на которой t = f, так,
что диагонали оснований совпадают с биссектрисой
(рис. 7.1.15).
Пример 11. Телеграфная волна. Случайный про-
процесс X(t) формируется так, как и в предыдущем при-
примере, с той лишь разницей, что начало координат
Рис. 7.1.15

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
327
распределено равномерно в пределах между момен-
моментами возможного изменения значения с. п. X(t)
(рис. 7.1.16). Найти характеристики процесса X(t).
Решение. Как и в предыдущем примере, тх =0,
Dx — а2. Возьмем произвольную точку t на оси О/
X(t)
0,
-а
I I
Рис. 7.1.16
(рис. 7.1.16). Очевидно, что эта точка t будет отстоять
на расстоянии Т до ближайшей точки возможной пе-
перемены знака процесса X(t), где Т — случайная ве-
величина, распределенная равномерно на интервале
@,1). При f>t и t = t' — t к.ф. /Сх(*,О = а2 при
т < Т и к. ф. Kx(t, О = 0 при %>Т. Следовательно,
при те@, 1) к.ф.
Kx(t, ?) = <?? {Т > т} + 0 • Р {Т < т} =
Прите(—1,0) получим
при |т|> 1
Таким образом,
f (l-ft|)a2 при |т|< 1,
МТ)~1 0 при |
= а2A-|т|IA-|т|). G.1.59)
Рассмотренный в этом примере процесс X(t) является
стационарным и эргодическим. График к. ф. kx{i) по-
показан на рис. 7.1.17.

328
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 12. Обобщенная телеграфная волна.
Случайный процесс X(t) формируется так же, как и
в предыдущем примере, с той лишь разницей, что
в моменты, разделенные
единичным интервалом,
процесс X(t) принимает
случайные значения Ui
независимо от предыду-
предыдущих и последующих зна-
значений с.п. X(t), реализа-
реализация которого показана на
рис. 7.1.18. Случайная ве-
рис- 7117 личина Ui имеет харак-
характеристики fA[U{] = /Пи,
\ = DU. Найти характеристики процесса X(t).
-t
isi
JL JL
Рис. 7.1.18
Решение. В соответствии с решением предыду-
предыдущего примера имеем
АЛ1-М) при |т|<1,
0
при |т|>1
-|т|). G.1.60)
Пример 13. Рассматривается с.п. X(t), задан-
заданный своим каноническим разложением:
оо
X @ = тх + 2 (Vk cos wfc/ + Vk sin щО, G.1.61)
4^0

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО 329
где
М [UkVk\ = М [VtV,\ - М [U{U}] = М [UtV(] = О A + /).
Показать, что этот процесс является стационарным.
Решение. Найдем математическое ожидание
с.п.
т* @ - М [тх] +
+ М [ Е (?/fc cos щ1 + Vfc sin (ofc 01 = mx. G.1.62)
Обозначим
Хк (t) = Uk cos Ofc/ + Vfc sin <akt. G.1.63)
о
Случайный процесс Хк (^) будем называть элементар-
элементарным стационарным случайным процессом. Следова-
Следовательно,
о il о
Е
-0
В примере 5 из п. 1.2 было показано, что
Ко <*, О = М & @ jf* (О! = Dk cos <0*т, G.1.64)
*k
где j = t — tf.
о о
Так как с. п. Xt(t) и А/(/) не коррелированы, то
KAU 0= Z Ко (t, t')= f ?>*cos@fcT = ftx (т). G.1.65)
ft-0 J(fc *—0
Таким образом, мы показали, что с. п. X{t) является
стационарным.
Пример 14. Рассматривается произведение двух
независимых стационарных процессов: X(t) = Xi{t)'X
Х^а@> где Xi(t) — случайная телеграфная волна
(пример 3), X2{t)—элементарный стационарный с. п.
с характеристиками Db и соА (пример 13). Найти ха-
характеристики процесса X(t).

330 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Решение. Так как тх, it) — m,,@ = 0. то тх \
*=тх=*0. Далее (см.G.1.28) и G.1.65))
К*(t.
m°X(t) X{t')] = М [X, (t)X, it) I if)X2it')]-
= M [Xt it) I itf)) M {°X2 it) °X2 it')] =
, G.1.66)
где Dx
Процесс X(t) является стационарным и эргодиче-
ским. На рис. 7.1.19 показаны возможные реализа-
реализации случайных процессов X\it), Хг(О> Xit)
Рис. 7.1.19
Обобщая этот пример на произвольное число п
независимых стационарных с.п. Xx(t), Xi[t), ...
..., ХЯЦ), имеющих м.о. mXl = тХ2=... =тХп = 0 и
к. ф. Jfei(x), fe2(T) *я(т). можно показать, что
п
характеристики с. п. X (/) = П Xt it) будут:
ii
П

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 331
7.2. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса. Спектральная плотность
В п. 7.1 мы указали, что стационарный с. п. может
быть представлен своим каноническим разложением
ofc/ + Uk sin ю*/). G.2.1)
а его к. ф. — каноническим разложением корреля-
корреляционной функции:
Dk (cos (ukt cos <aktr -f- sin <okt sin ®kt') =
i
CO
= E Dk cos <ufcT = Jfex (t), G.2.2)
где
Координатными функциями канонического разложе-
разложения стационарного с. п. являются косинусы и синусы
различных частот.
Каноническое разложение G.2.1) называется спек-
спектральным разложением стационарного с. п. Спек-
Спектральное разложение G.2.1) может быть представ^
лено в виде (см. примеры 5 и 7 из п. 1.2)
X @ = mx + S Zk cos Ы - €>k), G.2.3)
*о
где в* — фаза гармонического колебания элементар-
элементарного стационарного с. п. — случайная величина, рас-
распределенная равномерно в интервале @,2я); Z% —
амплитуда гармонического колебания элементарного
стационарного с. п. — тоже с. в.
Случайные величины Zo, Z\ Zk, ..., во, вь ...
..., вй, ... зависимы. Между случайными величинами
Zk, Qk и Vft, Uk имеют место соотношения
Zk cos 6k = Vk, Zk sin 6fc = Uk. G.2.4)

332 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В соответствии с решением примера 7 из п. 1.2
между числовыми характеристиками св. Zk и число-
числовыми характеристиками св. Vk и Vk имеет место
следующее равенство:
{D [ZJ + (М [Zft])?}/2 = D [У4] = D \Uk\ = D». G.2.5)
Таким образом, стационарный с. п. может быть
представлен в виде суммы гармонических колебаний
(см. G.2.3)) со случайными амплитудами Zk и слу-
случайными фазами Вк на различных неслучайных ча-
частотах <о*. Заметим, что даже если амплитуды ко-
колебаний Zk являются неслучайными (D [Zk] =0),
a М[2«]^0, то все равно будет иметь место ста-
стационарный процесс за счет случайного сдвига фазы
колебания 9fe на частоте о>*.
Очевидно, что коэффициенты канонического раз-
разложения к. ф. kx(x) и набор различных частот
©ft (k=0, 1, 2, ...) в формуле G.2.2) должны зави-
зависеть от конкретного вида к. ф. &*(т). Эту зависимость
можно получить различными способами, разлагая к. ф.
в ряд. Так как к. ф. стационарного с. п. X(t) является
четной функцией своего аргумента т(?х(т) = Лх(—т)),
то ее на интервале (—Т, Т) можно разложить в ряд
Фурье по четным (косинусным) гармоникам
E**, G.2.6)
где
щ = Ы, ©i = 2я/BГ) = л/Т, G.2.7)
т г
A
~т -г
Можно доказать, что коэффициенты Do, D\ Dk,...
являются неотрицательными величинами для любой
корреляционной функции kx{i) стационарного с п.
X(t).
Таким образом, зная вид к. ф. /гх(т), можно по-
получить значения (дисперсии) коэффициентов канони-
канонического разложения (Vk, Uk) и частоты <ак стацио-
стационарного сп. X{t).
Дисперсию стационарного с п. X(t), представлен-
представленного своим каноническим разложением G.2,1), найдем

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 333
по формуле (см. G.2.2))
со оо
Dx = kx @) = ? Dk cos щО = ? Dft. G.2.9)
Таким образом, дисперсия стационарного с.п., пред-
представленного своим каноническим разложением G.2.1),
равна сумме дисперсий всех гармоник его спектраль-
спектрального разложения. На рис. 7.2.1 показан «спектр дис-
дисперсий» стационарного с.п., представленного своим
Рис. 7.2.1
спектральным разложением, на котором ю* =
= 0,1,2, ...). Очевидно, что разложение к.ф. kx(j)
в ряд G.2.6) будет тем точнее, чем больший интер-
интервал разложения Т будет взят. Рассмотрим разложе-
разложение G.2.6) на интервале (—Г, Г), где Г = 27\
В этом случае в/к = Ы\, ю( = -^г = ^-, где ©, = у.
Далее,
Т' 2Г
-Г' -2Т
Г'
?>^ = -р- \ /гл (т) cos <й^т dx = -^- \ kx (т) cos ю^т dj,
Г* 27"
На рис. 7.2.2 показаны спектры дисперсий ста-
стационарных с.п., представленных своими разложе-
разложениями на интервале @, Т) и @, 7"') (Г/ = 2Г). Так как
в>,=2ю(, то спектр дисперсии разложения с.п. Я@
на интервале @, V) содержит в 2 раза больше со-
составляющих. Однако сумма всех этих составляющих
как для разложения на интервале @, Т), так и для

334 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
разложения на интервале @,70, должна быть оди-
одинаковой:
Это следует из условия G.2.9).
При неограниченном увеличении периода разло-
разложения корреляционной функции (Г-*-оо) коэффи-
коэффициенты разложения к. ф. G.2.6) будут неограниченно
Рис. 7.2.2
уменьшаться (О*-*-0), а число их в сумме G.2.9) не-
неограниченно увеличиваться. При этом величина Д<о =
= <й1 — интервал между соседними частотами — будет
также стремиться к нулю.
Запишем выражение G.2.6) в несколько ином виде,
имея в виду, что
оо оо
kx (т) = ? Dk cos щх = ? ¦&. (cos k& шт) Дш. G.2.10)
*-0 ft—0
Введем обозначение
G-2.11)
Величина 5ж(а)А)Дй> = 1)к представляет собой ту часть
общей дисперсии стационарного с. п. X(t), которая
приходится на k-ю гармонику. На рис. 7.2.3 пока-
показаны зависимости Sx (©fc) и 5^(©fc) при ©,==2ю(.
Мы видим, что с увеличением периода разложения
G-»-ао) ступенчатая функция S*(e>ft) будет неогра-
неограниченно приближаться к плавной кривой Sx(at), кото-
которая представляет собой плотность распределения дис-
дисперсий по частотам непрерывного спектра.

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
335
Таким образом,
lim
До)-» О
G.2.12)
Функция Sx(co) называется спектральной плот-
плотностью стационарного случайного процесса X(t).
Рис. 7.2.3
В этом случае выражение G.2.10) примет вид
оо
я(^)= Hm J] -^(cosМит)Л© =
\ Sx (©) cos ют rfe>. G.2.13)
о
Таким образом, к. ф. и спектральная плотность
стационарного с. п. связаны между собой косинус-
преобразованием Фурье. Следовательно, спектраль-
спектральная плотность выражается через к. ф. стационарного
с. п. следующим образом:
Sx (<») = -| J kx (т) cos (ox dr.
G.2.14)
Последнее выражение можно получить предельным
переходом при Дсо-^О (см. G.2.11), G.2.8) и G.2.6)):
= Hm x*-= Hm -gfr =
Ай Г-»» Я/Г
cos W*T

336 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Так как подынтегральная функция kx{T:)costitkx чет-
четная, то
т
SK (©) = lim ~ • 2 { kx (t) cos %т dx. G.2.15)
При Г-»-оо to*-»-» и получим выражение G.2.14).
Спектральная плотность Sx(e>) стационарного с.п.
обладает следующими свойствами:
1°. Она является неотрицательной функцией ча-
частоты ©:
Sx (ш) > 0.
Это следует из выражения G.2.12), так как предел
отношения двух неотрицательных
(а)у величин Dk ^ 0 и Дю > 0 не мо-
жет быть отрицательным.
2°. Интеграл от спектральной
плотности в пределах от 0 до <ю
равен дисперсии стационарного
с. п.:
Рис. 7.2.4 D*=S S,(«)«fa. G.2.16)
О
Это следует из равенства G.2.13):
оо оо
Dx = kx @) = J Sx (ю) (cos a • 0) da> = J 5X (©) rfoa.
Графически эти два свойства спектральной плот-
плотности отображены на рис. 7.2.4. Кривая Sx((n) рас-
расположена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограни-
ограниченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и
осью ординат слева, равна дисперсии Dx (заштрихо-
(заштрихованная фигура на рис. 7.2.4).
По аналогии с нормированной корреляционной
функцией
гх (т) - kx {x)jkx @) = kx {x)jDx G.2.17)
вводится в рассмотрение нормированная спектральная
плотность стационарного с. п.:

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 337
Нормированная к. ф. и нормированная спектральная
плотность связаны между собой преобразованием
Фурье:
гх (т) = \ sx (со) cos сот dco,
о
G.2.19)
2 Г
=— \ rx{x)C0S(HX dx.
Рассмотрим, как будет преобразовываться спек-
спектральное разложение G.2.1) при неограниченном уве-
увеличении интервала разложения (Т->~оо). Перепишем
разложение G.2.1) в таком виде:
ft-0
-r^-(sin feAcoOAto.
ft-0
Рассмотрим предел этого выражения при Д<о—»-0.
Введем обозначения:
Тогда при Т-*-оо (Ди-кО и feAw-»-©) получим ин-
интегральное каноническое представление стационар-
стационарного с.п. (см. F.1.19)):
оо оо
X (/) = шх -|- \ V (©) cos Ы d(a + \ [/ (о) sin <a* do»,
о о
G.2.22)
где V(w) и и{ы)—случайные функции непрерывного
аргумента w-частоты.
Как было показано в п. 6.1, случайные функции
V(u>) и С(©) представляют собой белый шум с ха-
характеристиками
М [V (©)] = М {?/(«)] = О,
Ко (со, и') = УС„ (w, со') = Sx (to) 6 (© - to'), G.2.23)
где Sjc(<i))—спектральная плотность стационарного
с.п. X(t), б(х) — дельта-функция.

338 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Так как случайные величины Vk и Uk не были
коррелированы для любых k, то взаимная корреля-
корреляционная функция случайных функций К (со) и U(<a)
равна нулю при любых значениях аргументов:
Яш, (<*, <*') = М [V (со) U (ш')] = 0. G.2.24)
С помощью формул Эйлера для комплексных чи-
чисел.
eiz = cos г + i sin г, е~|г = cos г — * sin z,
где i = V— * —мнимая единица, элементарный ста-
стационарный с. п. X(t) может быть записан в виде
Хк @ — Vk cos mht + Uk sin co*f =
Обозначим
— "' ' '" G.2.26)
где Wfc—комплексная св. (см. п. 8.8*); Wk — св.,
комплексно сопряженная со с. в. Wk.
Следовательно, элементарный стационарный с. п.
в комплексной форме имеет вид
b'. G.2.27)
Покажем, что выражение G.2.27) представляет
собой каноническое разложение элементарного ста-
стационарного с. п. в комплексной форме. Действительно
(см. G.2.26)),
м [wk] = м [(vk - ад/2] = |(м [vk] - /м [uk]) = о,
так как М [Vk] = M [Uk] — 0. Аналогично получим:
вд/2] = 1 (м [к*] + /м [ад=о.

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 339
Покажем, что с. в. Wk и Wk не коррелированы (см.
п. 8.8*):
/C»fe#fc - М [Wk(?7)] = М [WkWk] =
- М [(Vk + rt
так как М [V\] = М [ЦЦ = DA, M [Vfc?/J = tf^ = 0.
Найдем дисперсию с. в. Wk (см. п. 8.8*):
D [Wk] = М [WkWk\ = М [(К* - Й/л) (К* + /С/*У4] =
= т м I^2* + flWk - ^*^* - /2?/*1 =
=м[^ + (/]=
Аналогично,
D [Wh] = М ir»(f7)] = M [Wht Wk\ = О»/2. G.2.29)
Корреляционная функция элементарного стацио-
стационарного с.п. Xk{t)= VkCosoikt + f/ftsincoft/ имеет
вид
но cos a>fcT = (е'"* + е~(й>*г)/2, поэтому
*«*(т)—^-(в'-Ч-в15). G.2.30)
Выражение G.2.30) представляет собой разложе-
разложение корреляционной функции элементарного стацио-
стационарного с, п. в комплексной форме.
Следовательно, спектральное разложение стацио-
стационарного с.п. G.2.1) в комплексной форме имеет вид
_ _ . G-2.31)
Л--ОО
а его корреляционная функция
00
~ ¦ \ G.2.32)
ft-0 ft--oo

340
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В выражениях G.2.31) и G.2.32) UP_ft = №*, ia>-k =
= —wo*. Зависимость G.2.13) можно переписать в та-
таком виде:
оо
kx (т) = \ Sx (<о) cos шт rf© —
о
-$ Sx(<»)(ei°x
= J Sx (ю) etm tfo/2 + J Sx (©) е-'ш* dco/2. G.2.33)
о о
Введем в рассмотрение новую функцию 5* (и), ко-
которую определим следующим образом:
S' (и) = Sx (и)/2 при © > 0,
S;(<s>) = S,(-cu)/2 при ю<0. G-2-34)
Таким образом, функция 5* (и) является четной функ-
функцией аргумента ш и определена для любых значений
<*t
этого аргумента — как положительных, так и отри-
отрицательных.
На рис. 7.2.5 показаны графики функций Sx(©)
и 5* (и). Значения функции 5*(©) при положитель-
положительных значениях ш в два раза меньше значений спек-
спектральной плотности Sx(w) при тех же значениях аргу-
аргумента @.
Функция 5*(©) называется спектральной плот-
плотностью стационарного случайного процесса в комп-
комплексной форме. Она обладает тремя свойствами:
1°. 5*(od)^o ПРИ —оо < © < оо (неотрицатель-
(неотрицательная функция);

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 341
2°. \ S* (се) dot = Dx (т. е. интеграл от спектраль-
— оо
ной плотности в бесконечных пределах равен диспер-
дисперсии с. п.);
3°. S* (оэ) = S*x (—at) (четная функция)
С учетом G.2.34) выражение для kx(x) G.2.33)
примет вид
Sx(<a)e^d<a, G.2.35)
Заменяя в выражении G.2.14) cos сот на {eiey% -f-
-f- e-f««) /2t получим
о
OO
_
(x)ef«'rfT
J
[0 oo
-oo 0 J
o о
0 oo
Деля левую и правую части этого равенства на 2 и
полагая аргумент со принадлежащим всей числовой
оси, получим
=sx и/2 ^-к \ К w e
G.2.36)

342 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Выражения G.2.35) и G.2.36) представляют собой
преобразование Фурье спектральной плотности 5*(о»)
и к. ф. kx(x) в комплексной форме
В п. 7.1 было указано, что к. ф. kx(x) должна
обладать свойством положительной определенности
G.1.13). Покажем, что это свойство выполняется при
условии, что спектральная плотность S*(<u)^0.
По формуле G.2.13) имеем
kx (*) == \ Sx (со) cos cord© =
о
оо ее
= \ Sx (со) cos &t cos&t'dat -{¦ \ Sx (со) sin ca^ sin со/'da».
где т = t — f.
В этом случае формула G.1.13) примет вид
w
(В) (В)
-О Ф(ОФ «')**'-
{оо
\ Sx (со) cos со/ cos со/'ф (/) <р (/') da -f-
0
Sx (со) sin со/ sin со/'ф (/) ф (/') da IЛЛ7 =
О
оо
— \ Sx (») / J cos со^ф (/) Л t cos ©^ф (Г') Л7
0 l(B) (B)
5 sin
(В)
J sin
(В)
где (В)—любая область интегрирования, принадле-
принадлежащая интервалу @, оо); ф(/)— любая функция ар-
аргумента t. Введем обозначения
cos со/ф (/) <// = Xi (to, (В)), \ sin со/ф (/)d/ = Хг(®» О^))-
<B) (B)

73. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 343
Тогда условие положительной определенности G.1.13)
примет вид
W E)
М'-Оф@фС)сШ' =
о»
= 5 Sx (со) {[х, (©, (В))]2 + 1х2 (со, (б))]2} da > О,
о
так как подынтегральная функция неотрицательна.
Можно доказать (мы этого делать не будем), что
условие Sjc(o))^0 является не только достаточным,
но и необходимым для того, чтобы корреляционная
функция была положительно определенной.
Таким образом» с помощью преобразования Фурье
в комплексной форме устанавливается однозначное
соответствие между к. ф. kx(t) стационарного с. п. и
его спектральной плотностью 5*(©) (см. G.3.35)) и
спектральной плотностью S* (со) стационарного с. п. и
его к. ф. (см. G.3.36)). В приложении 1 дана таблица
таких соответствий для некоторых стационарных с. п.,
встречающихся в инженерной практике.
Пример 1. Найти спектральную плотность S*fc(to)
элементарного стационарного с. п. Я*(/)= Vk cos (D*f -f-
-f- Uk sin mkt.
Решение. Корреляционная функция kXk (т) имеет
вид
kXk (т) = Dk cos со*т,
Покажем, что искомая спектральная плотность
Sxk (g>) определяется выражением
SXk (со) = Dkb (со -со*), G.2.37)
где б(х) — дельта-функция.
Действительно, в соответствии с формулой G.2.13)
ео се
kXk (т) = \ SXk (со) cos сотЛй = \ Dhb (со — coA)cos coxdce;

344 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
в соответствии со свойствами дельта-функции (см.
приложение 6 в [5])
kXk (т) = Dk V Ь (со — cofe) cos era/© = Dk cos ©*т.
Так как преобразование Фурье определяет спектраль-
спектральную плотность и корреляционную функцию взаимно
однозначно, то выражение G.2.37) является искомой
спектральной плотностью элементарного стационар-
стационарного с. п.
Найдем спектральную плотность элементарного
стационарного с. п. в комплексной форме. В соответ-
соответствии с G.2.34) имеем:
„ Dk Dk
Можно убедиться в том, что это выражение для
спектральной плотности соответствует заданной кор-
корреляционной функции (см. G.2.35)):
V б (со -f- о>л) eimd® -f- \ б (о — щ) eimd(a
-шь е
что и требовалось доказать.
Пример 2. Найти спектральную плотность ста-
стационарного с.п., заданную своим спектральным раз-
разложением G.2.1).
Решение. Имеем (см. G.2.2) и решение пре-
предыдущего примера):
оо оо
Sx(at) = — (У Dkcosщхcos(axdx =
0 *-0
оо оо
Z SDcos w*t cos wTdT=
к-0 0 fc-0
G.2.39)

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 346
Спектральная плотность в комплексной форме будет
(см. G.2.38)):
оо
А («) =!/)*[«(«) + Щ) + * (в - <о*)]/2. G.2.40)
/Г^о
Пример 3. Найти спектральную плотность вы-
вырожденного стационарного случайного процесса X(t)
(когда X(t)= V, где V —с. в. (см. пример 2 из п. 7.1)),
у которого kx{x) = Dv = D[V].
Решение. Рассматриваемый случай является
частным случаем примера 1 при <о* = 0 и Dk = Dv.
Действительно,
kx{x) = Dv— lim D* cos <олт = D*.
"ft"*0
Следовательно (см. G.2.38)),
S; (со) = Jimo •% [б (со + ©fc) + б (со - <ofc)] =
= Dt6(a») = D06((o). G.2.41)
Можно убедиться в том, что равенство kx{x) =
оо
= \ S* (w) e/etd(o выполняется. Действительно,
ks{x)=
При Do = 1 получаем
оо
^ J 6((о). G.2.42)
Эта формула может служить «аналитическим> выра-
выражением дельта-функции.
В частном случае, когда с. в. является не случай-
случайной, а постоянной: V = а = const, получим:
Пример 4. Найти корреляционную функцию ста-
стационарного en. X(t), если ее спектральная плот-
плотность 5х(сэ) постоянна на интервале (wi,ws) и равна

348 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
с, а вне этого интервала равна нулю.
(с при <ое=(а>,, ©г),
(О при со <?(©,, щ).
Решение. По формуле G.2.13)
да
kx (т) = \ Sx (<о) cos coxdco —
Ml
\ с cos andat = ¦?¦ fsin а^т — sin <nxx) =
„ Ц. cos (^±SL т) sin (S^ZSL T). G.2.43)
о
Ml
Дисперсия рассматриваемого случайного процесса
X(t) будет
о О,
?)х ^ \ Sx (os) dee == \ с d<a = с (©g — св|),
о ш,
откуда
©J —©I
Следовательно,
+ ©1 \ .
т—т)si
G.2.44)
sin (^TJ г
Рассмотрим предел этого выражения при
= Dxcosffl,T lim sin
Таким образом, при (о2 —*-o>i мы получили случай, рас-
рассмотренный в примере 1, когда с. п. является элемен-
элементарным стационарным случайным процессом — слу-
случайные колебания на частоте шь
Пример 5. Найти спектральную плотность с. п.
X(t), представляющего собой случайную телеграф-
телеграфную волну (см. пример 3 из п. 7.1): кх(х) = аге™**К

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
347
Решение.
L -
[о
J
-о
_?1
2я
_
2Я— I©
1
-«их j г
dx+ j
о
-2k - to J
-2ii-ian
2л 12Х — «» * 2А, + /о
а2
2я
4 Pi
a?
я
G.2.45)
График S*(<o) показан на рис. 7.2.6.
Пример 6. Показать, что стационарный белый
шум X(t) имеет постоянную спектральную плотность.
Решение. У стационарного белого шума (см.
пример 6 из п. 7.1) корреляционная функция может
быть записана в виде
,2
откуда
2л"
с
~2я "
Рис. 7.2.6
Величина с называется интенсивностью белого шума.
Таким образом, стационарный белый шум представ-
представляет собой случайные колебания на всех частотах,
при этом дисперсия этих колебаний, приходящихся на
элементарный участок Дш, остается постоянной и не
зависит от частоты колебаний о>. Действительно, эта
дисперсия будет приближенно равна
« S\ (ю) Д@ = 7?
и не зависит от частоты о.

348
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 7. Найти спектральную плотность ста-
стационарного случайного процесса X(t), представляю-
представляющего собой телеграфную волну (см. пример 11 из
п. 7.1): Мт) = а2A-МН0-|т|).
Решение.
—x) cos a>xdx
[I t
f C0SC9T _, If
) © ©* J
0 0
flOT COS
]
2a2
2a* 1 — cos
График спектральной плотности Sx{<n) показан на
рис. 7.2.7.
л 2rt 3rt Urt
Рис. 7.2.7
Если корреляционная функция имеет вид
*¦«-*(! -J?)«(l-J?).
где то > 0, то
о / ^ 2а2 1 — cos штр 2т0й2 t — cos ©т0
* W п То<02 п ' /,.чг.\2
— т0а2 ( sin (©то)/2 \2
"" я V wto/2 / *
wto/2
Пример 8. Определить, при каких положитель-
положительных параметрах a, JJ и Dx функция
G.2.46)
обладает свойствами корреляционной функции.

7.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 349
Решение. Первое свойство kx @) = Dx > 0, оче-
очевидно, выполняется.
Второе свойство kx(x)=kx(—т) (четность корре-
корреляционной функции) тоже выполняется.
Третье свойство \ kx (т) | < kx@) = Dx. Так как
kx(x)—функция четная, достаточно исследовать ее
при т ^ 0. В этом случае
f " 0}
Выражение в фигурных скобках по модулю не должно
превышать единицы. Это условие будет выполняться
только в случае, когда а ^ р.
Четвертое свойство S*x(<u)^0. Найдем спектраль-
спектральную плотность
f ,
— я [(a - pK + «o2j [(a + pK +
где Re{jc}—действительная часть комплексного
числа х.
Анализ полученного выражения показывает, что
5*(<о)>О при a > р. При а = р спектральная плот-
плотность S*x (со) пропорциональна дельта-функции:5* (со) =
= Dx6(a>).
Таким образом, при a ^ p, a>0 и р>0 корре-
корреляционная функция G.2.46) обладает всеми четырьмя
свойствами корреляционной функции стационарного
с.п. Заметим, что при a = jj с. п. X(t) превращается
в св. (см. пример 3). В этом случае (при а — р)

350 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
На рис. 7.2.8 показаны графики зависимостейkx(x) и
5; («).
При а-*р график к. ф. kx(x) будет «выпрямлять-
«выпрямляться» и приближаться к прямой, параллельной оси
абсцисс Ог и отстоящей от нее на величину Dx (см.
пунктирную линию на рис. 7.2.8,а), а график спек-
спектральной плотности S*(co) будет вытягиваться вверх
в точке ш=0 и более круто падать вниз, сохраняя
2ctBx
ш
Рис. 7.2.8
неизменной площадь, ограниченную кривой-5* (©) и
осью абсцисс 0о> (см. площадь, заштрихованную на
рис. 7.2.8,6). Эта площадь равна дисперсии Dx. В пре-
пределе при а = р спектральная плотность будет про-
пропорциональна дельта-функции: S* (ю) == DX6 (©) (см.
G.2.47)).
7.3. Линейные преобразования стационарных
случайных процессов
В п. 7.2 мы показали, что стационарный с. п. X(t)
можно с необходимой для инженерной практики точ-
точностью представить своим каноническим разложением
G.2.1). Для этого достаточно корреляционную функ-
функцию Ыт) разложить в ряд Фурье на интервале
(_7\ Т), при этом получаем дисперсии коэффициен-
коэффициентов разложения Dk и частоты гармонических колеба-
колебаний о* (k = 0, 1, 2, ...). Чем больше будет интервал
разложения, тем точнее можно представить с. п. своим
спектральным разложением G.2.1).
Рассмотрим линейное однородное преобразование
стационарного с. п. X (t):
= LOt{X(t)}.
G.3.1)

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 361
В соответствии с формулой F.2.14) м.о. случай-
случайного процесса Y(t) будет:
ту @ = М [Y (Г)] = Ut {mx}, G.3.2)
а его к. ф. определяется по формуле F.2.18):
Kv(t, t') = LOt,{Lot{Kx(t, f))}.
Но корреляционная функция Kx(t,f) стационарного
с. п., заданного своим спектральным разложением, оп-
определяется по формуле G.2.2). Следовательно,
- о}} =
= Z DkLot,{LOi {cosсо*/ • cos<o*f' + sin ©*/ • sin со//}}.
Введем обозначения:
Lo^cosa»^} —
Ц {sin <о*0 =
Тогда
Kf (/, О - J?o DkLo, {<f к (t) cos mf + ^* @ sin mf) -
= E Dk [q>k (t) Фк (О + 4* (Г) i|>* (Г')] =
^ я* Ф* @ ** П G.3.4)
Получили каноническое разложение корреляцион-
корреляционной функции с.п. К(/).
Если рассматривается линейное неоднородное
преобразование F.2.8)
У @ = Ц {* @) = Ut {X (t)} + Ф @. G.3.5)
то формула для математического ожидания с.п. X(t)
примет вид
ту @ = М [Y @1 = Ц {тЛ + Ф @, G.3.6)
а формулы G.3.3) и G.3.4) для определения к.ф.
остаются теми же и для линейного однородного пре-
преобразования.

352 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Чтобы с.п. Y(t) был стационарен по математиче-
математическому ожиданию, необходимо выполнение условия
ту (/) = mv = LOt {пгх} + Ф @ = const. G.3.7)
Чтобы с. п. Y(t) был стационарен по корреляцион-
корреляционной функции, достаточно выполнения условий (см.
G.3.3))
Lo {cos <о*/} = a* cos ш*/,
г ( • ,> о • , G.3.8)
LOf {Sin fHkt) = Pft Sin (ukt
или наоборот
Lo, {cos ®kt} = dk sin
G 3 9)
причем
<t\ = ft. G.3.9')
Рассмотрим несколько примеров линейных преоб-
преобразований стационарного с.п. X(t), считая при этом
известными тх и kx(x).
1. Дифференцирование
Y{t) = dX(t)/dt. G.3.10)
В этом случае по формуле F.2.22) получаем
0, G.3.11)
Lot {cos mkt} = -^ cos со*/ = — се* sin <о** = <р* (/),
LOt {sin (Oft^ = -j-t sin to*/ = ш* cos ©fc/ = ч|з* (/).
Условия G.3.7) — G.3.9') выполняются, следовательно,
с.п. Y(t) = dX(t)/dt будет стационарен по математи-
математическому ожиданию и по корреляционной функции,
которую найдем по формуле F.2.22):
M''>*.('-O. G>ЗЛ2>
Обозначим х = / — f, тогда
^Мт)=-^Мт). G.3.13)
Используя метод полной индукции, можно по-
показать, что k-я производная стационарного с.п. X(t)
Yh(t)^dkX{t)ldtk G.3.14)

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 353
является стационарным с. п. с характеристиками
о.
G.3.15)
Кроме того, можно показать, что если стационар-
стационарный с.п. X(t) является нормальным, то его k-я про-
производная Yk(t) = dhX{t)fdtk является также нормаль-
нормальным с.п. с характеристиками G.3.15).
Найдем спектральную плотность с.п. Y{t) —
= dX(t)/dt. В соответствии с формулами G.2.35),
G.2.36) и G.3.13) спектральная плотность с.п. Y{t)
©2
ife, (t) etmdx =
X
oo
Таким образом, если с.п. Y(t) = dX(t)/dt и спект-
спектральная плотность с.п. X(t) равна STX(&), то спект-
спектральная плотность с.п. Y(t) определяется по формуле
S;(w) = (i>2S;(e>). G.3.I6)
Ввиду важности формулы G.3.16) запишем ее
в виде правила: спектральная плотность производной
стационарного с. п. равна произведению спектраль-
спектральной плотности этого с. п. на са2.
Если с п. Yk{t)*=dkX{t)/dt* (см. G.3.14)) и спект-
спектральная плотность с.п. X(t) равна S*x(<a), то
a)). G.3.17)
Формулу G.3.17) можно получить из формулы
G.3.16), применяя метод математической индукции.

354 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 1. Найти характеристики производной
с.п. X(t), который представляет собой случайную те-
телеграфную волну (см. пример 3 из п. 7.1): тх = 0,
Решение. ту — dmjdt = О,
В приложении 6 в [5] показано, что
(Р\х\
26 (т),
следовательно,
ft,<х) «
(- 2Х)
[26 (т) - 2к (sign тJ].
Наличие слагаемого 26(т) показывает» что в составе
стационарного с. п. Y{t) есть белый шум. Найдем
спектральную плотность
>а«о> SUio) (см. G.2.45)):
а22Л
2
аа2Д, оа
— я ' BЯK + ©» *
На рис. 7.3.1 показан гра-
график зависимости S* (со).
Так как с. п. Y(t) содержит белый шум, то
lim \ S^(co)rf©-»-oo.3To значит, что площадь, ограни-
ченная кривой 5*(о>)и осью абсцисс на рис. 7.3.1, то-
тоже стремится к бесконечности.
Пример 2. Найти в. к. ф. стационарного с. п.
X(t) и его производной Y(t)=dX(t)/dL
Решение. По определению
kx (г).

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 355
где т = if — t, следовательно,
С другой стороны,
4t
Таким образом,
**,(*)«=-.¦?*«<*)• G.3.18)
Другими словами, стационарный с. п. X{t) и его про-
производная Y{t) = dX(t)/dt «стационарно коррелнро-
ваны», так как Rx.\s,{x) есть функция только сдвига т.
Покажем, что стационарные процессы X(t) и Y(t)
в одной точке t не коррелированы. Действительно,
при ? = t x = f— t = 0, следовательно,
Пример 3. Рассматривается линейное неодно-
неоднородное преобразование стационарного ел. X(t)
Z (/) = оо (/) + а, (/) dX {t)ldt. G.3.19)
Процесс X(t) имеет характеристики тх и kx{x). Тре-
Требуется найти характерстики с. п. Z(t).
Решение. Обозначим
) dX(t)Jdt.
Тогда
Z(t) = ao(t)+al(t)Y(t), G.3.20)
что является линейной формой с. п. Y(t) (см. п. 6.3).
Следовательно,
Но my(t) =0 (см. G.3.12)). Тогда
«,(/)-<% (^ G-3.21)
Корреляционная функция процесса Z(t) определяется
по формуле F.3.18) при k= 1:
G.3.22)

356 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Таким образом, с. п. Z{t) в общем случае не будет
стационарным. Если коэффициенты в уравнении
G.3.19) будут постоянными:
ах @ = а, = const, а2 @ = щ = const, G.3.23)
то с.п. Z(t) будет стационарным с характеристиками
(см. G.1.13))
Если с.п. 2к@ определяется по формуле
«,@^-+ ...+<*, <о ^
х*-. G-3.25)
где X(t)—стационарный с.п. с характеристиками тх
и *,(*). то (см. F.3.7))
тч (t) = М [Zk @1 = оо @ + t а, @ М [Yt @1,
где У,(/) = ^'^(/)/Л'. В соответствии с формулой
G.3.15) M[Yi(t)] = 0, поэтому
m2ft@ = Oo@. G.3.26)
Введем обозначения
КШ1 (Л /') = М [?, @ У, @1 = -?г {^г k*« -
G.3.27)
> О = М [Г, @ У7 (/')] = —- [~^ kx (t ~ /}
(i Ф /). G.3.28)
Тогда в соответствии с формулой F.3.17) получим
к
O- G3.29)
Таким образом, при переменных коэффициентах а<>@.
а,@. .... а*@ с.п. 2А@ (см. G.3.25)) не будет
стационарным.

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 357
При постоянных коэффициентах а0, ах, .... ак по-
получим (см. G.3.15))
m (f) = aOf G.3.30)
l+/ G.3.31)
Следовательно, при постоянных коэффициентах at
(i— 1,2, .... А) в выражении G.3.25) с. п. Zk(t) бу-
будет стационарным. Если процесс X(t) был нормаль-
нормальным, то и процесс Z{t) тоже будет нормальным при
любых коэффициентах в выражении G.3.25)—как
постоянных, так и переменных. >
В дальнейшем будем называть оператор At (см.
п. 6.2) стационарным оператором и обозначать его
Atc, если этот оператор преобразует стационарный
с.п. X(t) в стационарный с. п. Y(t). Таким образом,
линейный неоднородный оператор
*4r (?-з-з2)
является стационарным оператором.
2. Интегрирование, Рассмотрим линейное однород-
однородное преобразование—интегрирование стационарного
с. п. X(t) в пределах от 0 до t:
G.3.33)
Так как оператор интегрирования является линейным
однородным, то
mu{t) = J mxdt = tmx, G.3.34)
о
11'
Kv (/, о - $ $ ** if - О лл*. G-
о о

358 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Мы видим, что преобразование G.3.33) не являет-
является стационарным по математическому ожиданию.
Чтобы исследовать функцию Ky{t,t'), рассмотрим
более подробно преобразование G.3.33), считая, что
процесс X(t) представлен своим спектральным раз-
разложением G.2.1):
к<0 = $ "**+? (К* cos <»**+?/» sin <M) Л*=
+ ?, [Vk sin юл//а>к -f- Uk(l — cosofeOM. G.3.36)
Мы видим, что выражение G.3.36) представляет со-
собой каноническое разложение, однако оно не является
спектральным и с.п. Y(t) не является стационарным.
Следовательно, каноническое разложение к. ф. будет
иметь вид
Ky(t, f) = ? -% [sin ®kt sin <d/ +
+ A - cos mkt) A - cos to*/')] G.3.37)
и дисперсия с.п. Y(t) будет определяться по формуле
Dy (/) =Х„ С О * J) $"lsin2 Wfe'+ (! ~ cos (u*°21 =
ов
= 2 У -% (I - cos щ(). G.3.38)
*—« col
Рассмотрим еще одно линейное однородное преоб-
преобразование стационарного с.п. X(t). связанное с ин-
интегрированием:
JT(O*. <7.3.39)
Считая, что процесс X(t) задан своим спектральным
разложением G.2.1), получим (см. G.3.36)):
= тх + Е^ [V* sin w*</W) + Vk A - cos
G.3.40)

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 369
Выражение G.3.40) является каноническим разложе-
разложением, но не спектральным; поэтому с. п. Z{t) не яв-
является стационарным процессом. Его к. ф. будет иметь
вид
Л Г sin (ttfef Sin
D*|—s7
, A — созвцОП — cos
+ 5?
а дисперсию найдем по формуле
со3 •*< У! _ о V Л '-gQS'M n q
ft-0
Рассмотрим частный случай для формул G.3.40).
G.3.42), когда соо — 0 и А, > 0. В этом случае спек-
спектральное разложение с. л. X(t) примет вид
X (t) = тх + Vo + ? (Кл cos (M + t/k sin ю^), G.3.43)
а для процесса 2@ получим такое выражение:
Sin<ttpf ... .. 1 — COS titpi t
ft/ I ff 1 — COS (flfef
k-l
- G.3.44)
В рассматриваемом случае (при о*о = 0) в составе
канонического разложения Z(t) присутствует св.

360 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Следовательно,
тг (/) = тг = тх, G.3.45)
KAt, 0 = ^0+2,^ ^ +
Dz (/) = Do + 2 ^ -^r (i - cos со,/). G.3.47)
Мы видим, что
limD,(/) = J?0. G.3.48)
Линейное однородное преобразованне G.3.39) ис-
используют для получения оценки м. о. тх стационар-
стационарного с.п. X(t) (см. п. 11.6*). Эта оценка является
несмещенной, так как М [Z (t)]~mx, но дисперсия
этой оценки будет зависеть от величии ?>0 и t- Если
в составе стационарного с.п. X(t) нет слагаемых
в виде случайной величины (Vo = O), а есть только
слагаемые в виде случайных колебаний на различ-
различных частотах, то в этом случае оценка G.3.39) будет
асимптотически состоятельной, так как
lim Dz (t) = 0. G.3.49)
Таким образом, преобразованне G.3.39) может
быть использовано для оценки м. о. пгх стационарного
с.п. X{t), если его к.ф. kx(i) обладает свойством
:х(т) = 0. G.3.50)
3. Сумма двух стационарных случайных процес-
процессов. Рассматривается процесс Z(t), равный сумме
двух стационарных с.п. X(t) и Y{t): •
Z(t) = X(t) + Y(t). G.3.51)
Даны характеристики процессов X(t) и Y{t): пгя,
kx{r), mM, Ау(т), а также их взаимная к.ф. (см.
о. 1.2):

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 361
Случайные процессы X(t) и Y(t) называются стацио-
стационарно связанными, если выполняется условие
Rxy{t, t') = Rxy{x), G,3.53)
где т = t — tr.
Из свойства G.3.53) следует, что для стационарно
связанных процессов выполняется равенство
Rxy(x)=Rgx(-%). G.3.54)
Найдем характеристики с. п. Z(t). В соответствии
с формулой F.3.7), F.3.13), F.3.17) имеем
пгг (t) = тг~ тх -f mu = const, G.3.55)
Kz (/, f) -*,(/- О + *,(/- П + Л„ (Л П + *,* (Л а
G.3.56)
D* @ = ^х @) + ft, @) + 2RIy (t, t) =
= Dx + /}tf + 2/?xtf (/, 0. G.3.57)
Мы видим, что м. о. суммы двух стационарных
с.п. есть постоянная величина, равная сумме матема-
математических ожиданий слагаемых.
Корреляционная функция суммы двух стационар-
стационарных с. п. в общем случае будет функцией двух аргу-
аргументов / и ?. Если с.п. X(t) и Y(t) стационарно свя-
связаны, то с.п. Z(t) = X(t)-f- Y{t) будет стационарным:
Кш (Л П - К (т) = fe, (т) + k9 (т) + Rxy (т) + /?уя (t).
G.3.58)
D2 = DX + DV + 2Rxy @). G.3.59)
Если стационарные с.п. X(t) и Y(t) не коррелиро-
ваны: /?,,(/, t') = Q, то
и с. п. Z(t) будет стационарным.
Пример 4. Рассматривается сумма двух элемен-
элементарных стационарных с.п. Z(t)=*X{t)~\-Y(t), где
X (t) = U cos со,/ + V sin «>,/, Y (/) = (/ sin ю,Г — V cos «ч*.
Случайные величины U и V центрированы н не кор-
релированы с одинаковыми дисперсиями Dn = Du —
= D. Требуется найти характеристики с. п. Z{t).
Решение. Можно убедиться в том, что
тх = т9 = 0, k% (т) = ky (т) = D cos ©it (t = t? — t).

362 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Найдем в. к. ф. процессов X{t) и Y{t):
= М [(U cos a>,f + V sin ©,/) (U sin ш,/' — V cos ©,/')] =
~ M [IP cos ©,/ sin a>,/' — K2 sin сох/ cos to,/' +
4- UV (sin a»!/ sin щ? — cos ©^ cos щ(')] =
= /) (cos e>,f sin ©,<' — sin toyt cos co^') =
=s D sin со, (/ — /') = /) sin co,t = Rxy (т).
По формуле G.3.58) находим (см. G.3.54)):
С — i/)=tD [cos OjT + cos ю^ -f sin a>iT +
4- sin ш, (-t)I = kx (t) 4- К (т) = kz (x).
Мы видим, что процесс Z(t) представляет собой
элементарный стационарный с. п. вида.
Z @ = Wx cos <V 4- ^2 sin со,/,
где l^i и W% центрированные некоррелированные с. в.
с одинаковыми дисперсиями DWl •== DWi = 2D. Слу-
Случайные величины W\ и W выражаются через св. V
и V следующим образом:
Z(t) — l) cos со,/ 4- V" sin (Oj/ 4- V sin ю^ — V cos a>,/ =
= (U — V) cos (V 4- (U 4- V) sin ©,/,
откуда Г, = i/- V, Wi=V+ V.
Можно убедиться в том, что
W2} = 0. >
Найдем в общем случае спектральную плотность
стационарного с.п. Z(t)=X(t)+ Y(t), если процессы
X(t) и У@ стационарно связаны (см. G.3.58)):
. G.3.6I)

7.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 363
где Si (ш), Si (со) — спектральные плотности стацио-
стационарных с. п. X(t) и Y(t) соответственно,
<х>
Sly (•) = -^ $ Rxy (т) е~ш dx G.3.62)
—оо
— взаимная спектральная плотность двух стационар-
стационарно связанных с. п. Из G.3.62) следует, что
В соответствии с равенством G.3.54) между вза-
взаимными плотностями S'xu{a>) и S^(a>) существует сле-
следующее равенство:
оо
^^ $ *„(*)*'-*. G.3.64)
Тогда формулу G.3.61) можно записать в виде
S* (a>) = Si (a>) + S; (оо) + 2 Re {S^ (a>)}, G.3.65)
где Re {a}—действительная часть комплексного
числа а.
Если случайные процессы Х{1) и Y(t) не корре-
лированы, то
Si (©) = Si (о) + S^ (ш). G.3.66)
Из общих свойств спектральной плотности, приве-
приведенных в п. 7.2, следует, что Re {Sly (©)} является чет-
четной неотрицательной функцией о>.
Пример 5. Найти взаимную спектральную плот-
плотность S»tf(<o) элементарных стационарных случайных
процессов X(t) и Y(t), рассмотренных в предыдущем
примере.
Решение. По формуле G.3.62) имеем
— о»
2?
е
-L J .-'

364 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Применяя формулу G.2.42), получим
Sly (а>) = — -у- [6 (» — Щ) — б (й> + «,)}.
Мы видим, что действительная часть спектральной
плотности ?ху(<о) равна нулю. Поэтому в примере 4
корреляционная функция с.п. Z(t) = X{t)+Y(t) оп-
определяется по формуле kz{x) = kx{*)-\- ku{%). Таким
образом, стационарные случайные процессы X(t) и
Y(t) могут быть стационарно связанными (Кху(т)Ф
ФО), тем не менее спектральная плотность их суммы
будет определяться по формуле G.3.65), если дей-
действительная часть их взаимной спектральной плот-
плотности равна нулю (Re {Sxy(со)} sO).
Пример 6. Даны к. ф. двух стационарных с. п.
X(t) и У(/):
Ы , а>0),
(Dl>>0, xo>O)
и их взаимная спектральная плотность
КУЧ - Р/[(°>2 - Y2J + ш4] № > 0).
Требуется найти спектральную плотность с.п. Z(/)==
Х<0+Г<0
Решение. Преобразуем выражения для 5х«(ш):
тт—L-T
(о* — v ) ¦+¦
V2J - ">Ч =
откуда
Следовательно (см. примеры 5 и 7 из п. 7.2),
5; («>) = Si («>) 4- S*y (ф) 4- Re {Sxg (©)} =
я а' + й! т я I <ото I * (©2 — у2L + «4 '
\ 2 /

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 365
7.4. Преобразование стационарного случайного
процесса стационарной линейной системой
Рассмотрим преобразование стационарного с. п.
стационарной линейной системой, описываемой линей-
линейным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами
^ G.4.1)
Этому дифференциальному уравнению можно дать
следующую инженерную трактовку. На вход стацио-
стационарной линейной системы Lc поступает стационарный
с.п. X(t), имеющий ха-
характеристики: м. о. — тх,
к.ф.-Ыт) (или с„е«т;
))
На выходе систем ы/,с Рис. 7.4.1
в установившемся
режиме будет иметь место стационарный с.п. Y(i).
Требуется найти характеристики этого с.п.: м.о.—
ту\ к. ф. — ky(x) (или спектральную плотность S*u(©)).
Из теории дифференциальных уравнений известно,
что решение уравнения G.4.1) (где вместо с.п. X(t)
нужно взять реализацию x(t), а вместо с.п. Y(t)—>
реализацию y(t)) будет содержать два слагаемых
У @ - Ус @ + У* (О-
Слагаемое yc{t) представляет так называемые соб-
собственные колебания системы, если она выведена из
равновесия. Если система Lc устойчива (а такие си-
системы чаще всего и рассматриваются в инженерной
практике), то собственные колебания в системе со
временем затухают. Будем в дальнейшем считать, что
система Lc устойчива.
Слагаемое yB(t) представляет собой вынужденные
колебания системы Lc, которые она совершает под

366 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
воздействием входного сигнала — реализации x{t)
с.п. X(t). Поэтому если рассматривать участок вре-
времени, достаточно удаленный от начала воздействия
с.п. X(t) на систему Lc, когда практически все пе-
переходные процессы в ней затухнут, то можно рас-
рассматривать только вынужденные колебания системы,
чем мы и будем заниматься в дальнейшем.
Применим к уравнению G.4.1) преобразование
Лапласа (см. п. 4.2) и обозначим изображение реа-
реализации входного процесса *@~x(u)» a изображе-
изображение реализации выходного сигнала y(t) ~ <р(и):
*<00 •*(«), У (О О #Ф(«). G.4.2)
Так как вынужденные колебания устойчивой си-
системы Le в установившемся режиме происходят в си-
системе спустя достаточно продолжительное время
после начала воздействия входного сигнала, то на-
начальные условия уже не будут оказывть воздействия.
Поэтому уравнение G.4.1) для изображений реали-
реализаций с.п. x(t) и y{t) будут иметь вид (см. D.2.4))
(ana"+ «„_,»-' +
==F^ + 6^,
Обозначим
4. (и) =
* • *
/#fft'
n
akuk,
t + flo)^
••+*!
5«(«)
p(«) =
« + &o)
X
(«)-
G.4.3)
G.4.4)
ft-о
Тогда уравнение G.4.3) можно переписать в виде
Введем еще одно обозначение
An{u) — "W ^^*w'
откуда
Ф («) = G («) x («)• G.4.7)
Функция G{u) называется передаточной функцией
стационарной линейной системы. Таким образом, мы
получим в пространстве изображений простую фор-
формулу: изображение выходного сигнала ф(и) на вы-
выходе стационарной линейной системы в установив-
установившемся режиме равно произведению передаточной

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 367
функции этой системы на изображение входного воз-
воздействия %(и). Символически это можно изобразить
в виде схемы (рис. 7.4.2).
(Ни)
Рис. 7.4.2
Воспользовавшись свойствами преобразований
Лапласа [9], можно записать выражение, связываю-
связывающее реализацию y(t) стационарного с. п. Y(t) на вы-
выходе стационарной линейной системы Lc с реализа-
реализацией x(t) стационарного с. п. X(t), подаваемого на
вход этой системы:
y{t)^\g{x)x{t-x)dx, G.4.8)
^\
где g(t)-~ оригинал изображения G(u):
g (/) о • G («).
Функция g(t) называется весовой функцией1) ста-
стационарной линейной системы. Выражение типа G.4.8)
называется сверткой функций g{t) и x{t) и уже встре-
встречалось в п. 9.4* при рассмотрении композиции двух
случайных величин: плотность распределения суммы
двух независимых св. Х\ и Хл равна свертке плот-
плотностей распределения этих с. в. Операция G.4.8) сим-
символически записывалась в п. 9.4* так:
t
U @ = \
о
х (f - т) Л = * @ • * @. G.4.9)
Следовательно, имеет место соотношение (см. G.4.7))
У @ = g (t) * х (t) О • <р (а) - G (и) х (и), G.4.10)
которое связывает выходной сигнал (или его изобра-
изображение) со входным сигналом (или его изображе-
изображением).
Из теории автоматического управления [14, 18]
известно, что если имеются две последовательно
') Иногда весовую функцию g(t) называют функцией Грина.

368 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
соединенные стационарные линейные системы
(рис. 7.4.3) с передаточными функциями G\(u) и
X(t)
Г
—Н
УМ)
1Г2
Рис. 7.4.3
Gi(u), то передаточная функция всей системы Lc
будет
G(K) = G,(tt)G2(«). G.4.11)
Этому соответствует схема, изображенная на
рис. 7.4.4.
Х(и>
Gf(u)-G3(u)
Рнс. 7.4.4
Если имеется система, охваченная отрицательной
Обратной связью (рис. 7.4.5), то этой системе соот-
соответствует схема в изображениях (рис. 7,4.6). Если об-
обратная связь положительная (рис. 7.4.7), то этой си-
системе соответствует схема в изображениях (рис. 7.4.8).
X(V)
pcuy
Ршс. 7.4.6
Следовательно, изображение выходного сигнала на
выходе системы (рис. 7.4.5) будет иметь вид
_/.л_ <М«) _ X(tt)> G.4.I2)
а на выходе системы, изображенной на рис. 7.4.7,
будет определяться так:
Ф (») ~ i _ г. \.л п. /.л X (ц)- G.4.13)

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 369
Таким образом, если известна передаточная функ-
функция линейной системы G(u), то можно найти изобра-
изображение выходного сигнала, зная изображение вход-
входного сигнала (в установившемся режиме).
В п. 7.2 было показано, что стационарный с. п.
представляет собой спектральное разложение типа
G.2.31), т. е. сумму гармонических колебаний со
случайной амплитудой и неслучайной частотой. По-
Поэтому рассмотрим реакцию системы Lc на гармони-
гармоническое колебание еш и найдем выходной сигнал y(t).
va> wo
*-—*?}~->»
Y2(t) I L-J Y(t)
Рнс. 7.4.7 Рис. 7.4.8
Очевидно, что выходной сигнал в установившемся ре-
режиме тоже будет представлять гармоническое коле-
колебание той же частоты (а. Покажем, что это колеба-
колебание будет определяться по формуле
y{t) = G (too) еш, G.4.14)
где G(ito)— передаточная функция, у которой аргу-
аргумент равен ко. Для этого в уравнение G.4.1) вместо
Y(t) подставим у{t) = G(йо)еш, а вместо X{t)~— со-
соответственно *{<)=* е'ы и будем иметь в виду, что
еш. Тогда
[ая (/«>)* + ая_, («оГ1 + ... + а,/« + а<>] G (/ш) еш
вш.
Сокращая левую и правую части равенства на еш,
получаем
*-о

370 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учитывая обозначения G.4.4), имеем
Таким образом, мы доказали справедливость равен*
ства G.4.14).
Функция G(ia>) (где / — мнимая единица, а ю —
круговая частота) называется частотной характери-
характеристикой стационарной линейной системы; она равна
передаточной функции G(u) этой системы (см.
G.4.6)), в которой в качестве аргумента взято про-
произведение *'Хо>. Частотная характеристика стацио-
стационарной линейной системы определяет степень усиле-
усиления (или ослабления) амплитуды гармонического ко-
колебания е*?' на выходе этой системы.
Следовательно, равенство G.4.8) можно записать
в виде
t
y(t) = G (/ш) еш - J g (т) е"» «~'> dx. G.4.16)
о
Тогда, если на вход стационарной линейной си-
системы подать элементарный стационарный с. п. в комп-
комплексной форме (см. G.2.27)) JTfc (/)»WV1"*', то по-
получаем (см. G.4.16)):
- Wk \ g @ е*ь lt'%)dx - WkG A
о
Обозначим
G.4.17)
поэтому
Yk (/) = ?*
Следовательно, подавая на вход стационарной ли-
линейной системы стационарный с п. в виде спектраль-
спектрального разложения G.2.31), на выходе этой системы
получим стационарный с. п. тоже в виде спектраль-
спектрального разложения
e^, G.4,18)

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 371
где ^ — комплексная св. (Wk = W_k, D[Wk] =
= D [W_k] = Dk, M [Wk] - M [W.k] = 0).
В этом выражении величина ты определяется по
формуле
т, = ^тх = О@)тх. G.4.19)
Формула G.4.19) может быть получена в результате
подстановки в уравнение G.4.1) вместо Y(t) вели-
величины nty, а вместо X{t)—величины тх.
Найдем дисперсию комплексной св. Ц
(см. G.2.28), (8.8.7)*):
D [WkG (to*)] = M [WkG (i<*k)WkG Цщ)] =
= G04) СЙОМ[WkWk] = Dk\GЦщ) f, G.4.20)
так как М [Wk]« M [Wk] = 0, D[Wk] = Dk.
Следовательно, корреляционная функция стацио-
стационарного с. п. на выходе стационарной линейной си-
системы, имеющей частотную характеристику G{m),
будет иметь вид
Мт>= ? AHGPttftJPe'V G.4.21)
Таким образом, при преобразовании стационар-
стационарного с. п. стационарной линейной системой каждая из
кооординат ее спектра умножается на квадрат модуля
частотной характеристики для соответствующей ча-
частоты.
Величина jG(i(dft)|2 может быть как больше еди-
единицы, так и меньше. Таким образом, с. п. Y(t) иа вы-
выходе линейной системы претерпевает определенные
изменения: все те частоты колебаний со*, которые
имелись во входном воздействии X{t), остаются в с. п.
Y(t), однако дисперсия амплитуд этих колебаний
может либо возрастать, либо уменьшаться. Таким об-
образом, некоторые колебания усиливаются, в то время
как другие ослабляются (отфильтровываются).
Так же, как это мы делали в п. 7.2, перейдем от
дискретного спектра (при разложении к. ф. на конеч-
конечном интервале 7") к спектральной плотности (когда
интервал разложения к. ф. Г-»-оо). Очевидно, что
в этом случае спектральная плотность S*y (со) будет
равна спектральной плотности S*x (<«>), умноженной на

372 ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
квадрат модуля частотной характеристики |G(/co)|2:
SI (to) = | G (ко) |2 SH©). G.4.22)
Таким образом, получаем довольно простое пра-
правило: спектральная плотность стационарного с. п. Y(t)
на выходе стационарной линейной системы равна про-
произведению спектральной плотности стационарного
с. л. X (/), подаваемого на вход системы, на квадрат
модуля частотной характеристики этой системы1).
Следовательно, задачу, сформулированную в на-
начале этого пункта, нужно ставить и решать следую-
следующим образом.
Даны:
1) частотная характеристика G(ia>) (или переда-
передаточная функция G(и)) стационарной линейной си-
системы Lc, т. е. задана система постоянных чисел
а0, аи .... an\ bo, bu .... bm, определяющих вид диф-
дифференциального уравнения G,4.1) (см. G.4,4) и
G.4.6));
2) характеристики стационарного с. п. X(t): mXt
Г
kx(x) I или Sx(to) = -r- \ кх{х)е"Шх dx }, подавае-
мого на вход системы Lc.
Требуется найти характеристики с. п. Y(t) на вы-
выходе системы Lc: my, S*y (©), ky (*).
Последовательно находим:
1) математическое ожидание шу:
mu = ^mx = G®)mx; G.4.23)
2) квадрат модуля частотной характеристики (см.
G.4.6)):
| G (ш) |2 = G {iat) G (-/to) =
_ | Bm (ito) |a _ Bm (Ш) Bm (-to) . /7
3) спектральную плотность Sl((a) с. п. Y(t) (см.
G.4.22)):
Si (©) = | G (ш) f S'x (ffi>); G.4.25)
') Обратим внимание еще раз на то, что это правило спра-
справедливо для установившегося режима работы устойчивой ста-
стационарной линейной системы.

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 373
4) корреляционную функцию ku(x) с. п. Y(t):
j G.4.26)
— 00
и дисперсию с.п. Y(t):
00 00
Dy = ky @) = J S*y (a>) da> = 2 J S,, (/a>) rfa>, G.4.27)
О
так как функция S*y(<a) четная.
Можно доказать [18], что если на вход линей-
линейной стационарной системы Lc поступает стационарный
с.п. X{t), обладающий эргодическим свойством, то и
с. п. Y(t) будет обладать эргодическим свойством.
Пример 1. На вход стационарной линейной си-
системы Z-c, имеющей частотную характеристику G(ia>),
подается стационарный белый шум X(t) (см. примеры
6 из п. 7.1 и 7.2) с характеристиками S*x {<•>) = с/Bя),
kx (т) = сЬ (т), где 6(т)— дельта-функция. Требуется
найти характеристики с.п. Y(t) на выходе системы Lc.
Решение. По формулам G.4.23) —G.4.27) имеем:
my = G @) тх> S*g (to) = | G (ш) f с/Bл),
G.4.28)
Может показаться, что такая задача имеет неболь-
небольшое значение в инженерных приложениях, так как бе-
белый шум (колебания одинаковой интенсивности на
всех частотах) практически не имеет места. На самом
деле это не так. Рассмотрим случай, когда система
Lc описывается следующим образом:
a, dY (t)/dt + ОоГ (/) = К @, G.4.29)
откуда
L|С/ю)р = 4" S"- G.4.30)
4 l+(«>/a)

374
ГЛАВА 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
На вход такой системы Lc поступает с. п. X(t), имею-
имеющий спектральную плотность G.2.45):
<:* ( \ UL 2Я. а2 1
4*v»/— „ BkK+ W я2Л 1 + [©/BЯ.)]2 '
если 1Д2Л) <a,/a0 и 1/ajj = а2/(я2А,), то графики
S* (©) и | С? (ta>) |2 будут иметь вид, показанный на
рис. 7.4.9. Мы видим, что
в пределах «полосы про-
пропускания» (—©„, <*>„) си-
системы Lc спектраль-
спектральная плотность Si (<•>) ос-
остается практически по-
постоянной. Полоса пропу-
пропускания (—(йп,(о„) в дан-
данном случае определяется
из условия |G(io)n)|2= е,
ш где е—достаточно малая
величина. Для рассмат-
рассматриваемого примера мож-
можно с достаточной для инженерных приложений точ-
точностью считать, что (см. G.4.45))
С* /,^\ 1 a2 a2 Qo/ai
вд-Ьв1© Я2Л. я2Л,а,а0 (ao/ai) +«»
откуда (см. пример 5 из п. 7.2)
Пример 2. В результате статистической обра-
обработки с.п. X{t) и Y(t) на входе и выходе линейной
системы Lc определены оценки тх, kx (т), S*x (a>), thy,
fe(r(T). SK**)' Счвтая полученные оценки прибли-
приближенно равными соответствующим характеристикам,
найти приближенно параметры системы Lc.
Решение. Имеем следующие равенства:
Допустим, что в результате обработки получены
оценки
т„ = 0, тХУ kx(^) = Oxe~al%\
alt| (cos {h - [a sin ft| x Q/f» (a > p).

7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 376
В соответствии с приложением (п. 5 и 9)
с* (,-л D*a 1
а8
Следовательно, оценку частотной характеристики
С (ко) можно найти из выражения
V Dxa
2 (/«а) (а + /©)
(/«о)* + V2" о/© + а* + Р*
VDya • 2 (—/to) (a — /©)
—ТГ7. 1 7= : Z-
*Ax<* (—itu) — -y 2 cu'co -f- о -f- p
Таким образом, оценка передаточной функции си-
системы имеет вид
^2Dya а* + -y/2Dya аи
'у/^а и* + ^2Оха он + л/йха (о8 + р
откуда (см. G.4.4) и G.4.6))
Ьо = 0, 6, = л/Щаа, В2 = V2ZV*,
с0 = V^« (a2 + Р2)» «1 = V2/>x« a, fi2 =
а дифференциальное уравнение, описывающее работу
системы, таково:
г dY{t) я d*X{t) , , dX(t)
Pl df =«2—^ Ml—3j
В п. 7.2 были перечислены задачи, решаемые при про*
хождении с. п. X(/) через систему S, в результате
чего на выходе этой системы получается с. п. Y(t).
Для стационарных линейных систем, работающих
в установившемся режиме, при условии, что с. п. X(t)
и Y(t) стационарны, решение всех этих задач намного
облегчается простой связью G.4.22) между спектраль-
спектральными плотностями с.п. X(t) и с.п. Y(t). Тем не менее
само решение этих задач требует изложения значи-
значительного по объему материала, что выходит за рамки
данной книги.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица соответствий корреляционных фунхций кх (т)
и спектральных плотностей 5^(«)
() ()
дельта-функция
2. D
3. D cos fix
4. ? D/ cos p/т
5.De-°lT| (a>0)
6. J]
7.
8.
(a > 0, p > 0)
9. ?>«-°'T
- j sin p | т
10. Dra |T| fch
D6(co)
D, [6 (© + Pf) + б (а -
D a
я о2 + <as
ft »
a2 + p2 4-
я [а2 + (р - соJ) (аг + (Р + <
Do 2 (аМ-рг)
"я"
Da
2 (a2 - p2)
Р)а

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
377
П родолжение
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
D(l-|t|)t<l-|T|),
где Ц (х) — единичная
функция
0е-а|*|A+а|т| +
+ а2т2/3)
- 2а2т2 + а31 т |3/3)
2а sin (рЧ)/т
(а > 0, р > 0)
2а2Bсозрт-1)-^-^
Л—14 [24 (т)-
— а (sign тJ)
D
2я
D
я
Da
я
Do
я
(°
V 0
D
Da
я
*;
/ sin (ш/2)
V ю/2
2а4
(а2 + ш2J
а*
3 (а2 + и2)
16а3©4
(а2 + со2L
1 — S ш |/р")
при 0 <
при Р <
при 2р <
> evn f
о2 + и8
J
3
ИКР,
М<2р,
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
в. к. ф. — взаимная корреляционная функция
к. ф. —корреляционная функция
м. о. — математическое ожидание
н. к. ф.-— нормированная корреляционная функция
п. р. — плотность распределения
св. —случайная величина
с. к. о. —среднее квадратическое отклонение
с.п. —случайный процесс
ф. р. — функция распределения
э. с. п. — элементарный случайный процесс
э. с. ф.— элементарная случайная функция

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Б.С. Исследование операций. — М.: Сов. радио,
1972. — 550 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М: Высшая школа,
1999. — 576 с.
3. Вентцель Е.С. Определение вероятностей состояний в дина-
динамике боя многочисленных групп.//Морской сб. — 1962,
№ 10. — С. 12—21.
4. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Теория вероятностей. — М.:
Наука, 1973. — 368 с.
5. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. При*ладные задачи теории
вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.
6. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее
инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с.
7. Володин Б. Г. н др. Сборник задач по теории вероятно-
вероятностей, математической статистике н теории случайных функ-
функций. — М.: Наука. 1970.—656 с.
8. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию
массового обслуживания.—М.: Наука, 1987.— 336 с.
9. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобра-
преобразования Лапласа и Z-преобраэования: Пер. с англ.—М.:
Наука, 1971.— 288 с.
10. Динер И. Я- О некоторых направлениях развития исследо-
исследования операций.//Морской сб.— 1970, № 1. — С. 9—18.
11. Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с
англ. —М.: Мир, 197!.—536 с.
12. Кеиени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова: Пер.
с англ. —М.: Наука, 1970.— 271 с.
13. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления: Пер. с англ.—
М.: Сов. радио, 1967. —300 с.
14. Лэнинг Дж. X., Бэтти и Р. Г. Случайные процессы в за-
задачах автоматического уравнения: Пер. с англ. — М.: ИЛ,
1958. —381 с.
15. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового об-
обслуживания. — М.: Машиностроение, 1969. — 324 с.
16. Овчаров Л. А., Селетков С. Н. Автоматизированные
банки данных. — М.: Финансы и статистика, 1982.— 263 с.
17. О ре О. Теория графов: Пер. с фр. — М.: Наука, 1968. —
352 с.
18. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее примене-
применение к задачам автоматического управления. — М.: Гостехиз-
дат, 1957. —659 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 379
19. Романов В. Г. К вопросу о методике динамики момен-
TOB.//Problems of Control and Information Theory. Buda-
Budapest.— 1976. —V. 5, No 5—6 — P. 437^*48.
20. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций —М.: Наука, 1968.— 463 с.
21 Тараканов К. В., Овчаров Л. А., Тырышкин А. Н.
Аналитические методы исследования систем.—М.: Сов. ра-
радио, 1974.— 240 с.
22. Фаддеев Д. К.., Фаддеев а В. Н. Вычислительные ме-
методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963.— 735 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Балансовое условие стационарного
режиме марковского процесса 151
процесса гибели и раа-
Множения 192
цепи Маркова 122
Вероятность задержки 112
— 1-го состояния 105
Весовая функция 367
Взаимная корреляционная функ-
функция 45
— спектральная плотность 363
Гамма-поток 78
Двумерный закон распределения
с. а. 25
Дисперсия с. п. 30
Дифференцирование с. п. 285
Замкнутое (концевое) подмножест-
подмножество состояний 102
Изолированное состояние 101
Импульсный дробовой эффект 323
Интегральное каноническое пред-
представление стационарного с. п. 270,
337
Интегрирование с. п. 287
Интенсивность потока события S0
Марковская цепь ПО
Марковский с. п. 106
— — — гибели и размножения с
непрерывным временем 177
— с непрерывным временем
128
Математическое ожидание с. п. 27
Матрица ннтенснвностей 136
•—стохастическая 112
Метод псевдосостояннй 2L
Мнемоническое правило составле-
составления уравнений Колмогорова 135
Модель линейного детектора 320
1— электронного потока в радио-
радиолампе 317
Начальное распределение вероят
ностей 112
— состояние (источник) 100
Начальный момент «-го порядка
с. п. 30
Некоррелированные с. п. 46
Нелинейный оператор системы 277
Неоднородная линейная форма век-
векторного с. п. 294
Неоднородный процесс Пуассона
182
Нестационарный «белый шум» 273
Нормированная взаимная к. ф. 45
— к. ф. 35
— — — стационарного с. п. 309
— спектральная плотность стацио-
стационарного с. п. 336
Нормированный поток Эрланга 76
Каноническое разложение диспер-
дисперсии с. п. 267
корреляционной функции с. п.
266
с.п. 264
центрированного с. п. 265
Квадратичное преобразование с. п.
289
Концевое (поглощающее) состоя ¦
нне 100
Корреляционная функция с. п. 33
Коэффициенты канонического раз-
разложения с п. 265
Линейный неоднородный оператор
системы 278
— однородный оператор системы
276
— оператор системы 277
Обобщенная случайная телеграф-
телеграфная волна 313
— телеграфная волна 328
Одномерный закон распределения
с. п. 24
Однородная линейная форма вел-
торного с. п. 294
— цепь Маркова 113
Однородный марковский с. п. 136
— процесс Пуассона 182
Оператор системы 275
Ординарный поток событий 49
Передаточная функция 366
Переходная вероятность марков-
марковской цепи til
Плотность дисперсии с. п. 271
Поглощающее (концевое) состоя-
состояние 100

предметный указатель
381
Поток вероятности для марковско-
марковского процесса с непрерывным вре-
временем 135
— ——> марковской цепи 121
— гибели 178
— Пальма 54
— размножения 176
— событий 47
без последействия 52
— — с ограниченным последейст-
последействием 54
— Эрланга 70
Предельная вероятность 117
— теорема для редеющих потоков
92
— — — суммарного потока 79
Преобразование Лапласа 142
Простейшая система 142
— эргоднческая система 150
Простейший (стационарный пуас-
соновскнй) поток событий 54
Простой процесс восстановления
69
Процесс гибели и размножения 103
— «чистого» размножения 104, 179
— «чистой» гибели 104, 180
Псевдосостоянне 216
Пуассоновскнй поток событий 53
Разложение с. п. 262
Реализация с. п. 13
Рекуррентный поток событий 54
Связное (эргоднческое) подмно-
подмножество состояний 102
Семейство реализаций с. п. 14
Сечение с. л. 12
Случайная телеграфная волна 311
Случайный процесс 12
с дискретным временем 18
— непрерывным временем 18
Соседнее состояние 100
Состояние — источник 100
Спектральная плотность стационар-
стационарного с. п. 335
Спектральное разложение стацио-
стационарного с. п. 331
Среднее квадратическое отклоне-
отклонение с. п. 3)
Стационарный «белый шум» 274
— в узком смысле с. п. 306
-широком смысле СП, 308
— поток событий 53
— пуассоновскнй (простейший) по-
поток событий 54
— режим марковского с. п. 149
Стохастическая матрица 112
Сумма независимых пуассоновских
потоков 92
— потоков 80
Телеграфная волна 326
Теория восстановления 68
— случайных процессов 5
Транзитивное подмножество состоя-
состояний 102
—- состояние 101
Уравнения Колмогорова 132
Усеченный закон Пуассона 196
Финальная (предельная) вероят-
вероятность 106
Формулы Эрланга 198
Центральный момент *-го порядка
с.п. 30
Центрированный с. п. 29
Частотная характеристика 370
Элементарная случайная функция
20
Элементарный с. п. 263
— стационарный с. п. 329
Эргодические цепи Маркова 118
Эргоднческий стационарный с. п,
309
Эргоднческое (связное) подмно-
подмножество состояний 102

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение . . 5
Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов 12
1.1. Определение случайного процесса. Классификация
случайных процессов 12
1.2. Законы распределения и основные характеристики
случайных процессов 24
Глава 2. Потоки событий, их свойства и классификация 47
2.1. Потоки событий 47
2.2. Некоторые свойства потоков Пальма 56
2.3. Потоки Эрланга 70
2.4. Предельные теоремы теории потоков ...... 78
Глава 3. Марковские процессы с дискретными состойни-
ими. Марковские цепи 98
3.1. Граф состояний. Классификация состояний. Вероят-
Вероятности состояний Э8
3.2. Марковские случайные процессы с дискретными со-
состояниями и дискретным временем (цепи Маркова) 107
3.3. Стационарный режим для цепи Маркова 117
Глава 4. Марковские процессы с дискретными состояни-
состояниями и непрерывным временем ....... 128
4.1. Описание марковского процесса с дискретными со-
состояниями и непрерывным временем. Уравнения
Колмогорова 128
4.2. Однородные марковские случайные процессы с дис-
дискретными состояниями и непрерывным временем.
Стационарный режим, уравнения для предельных ве-
вероятностей 141
4.3. Закон распределения и числовые характеристики
времени однократного пребывания марковского про-
процесса с непрерывным временем и дискретными со-
состояниями в произвольном подмножестве состояний U 165
Глава 5. Марковские процессы гибели и размножения с
непрерывным временем 177
5.1. Определение марковского процесса гибели и размно-
размножения с непрерывным временем, его размеченный
граф состояний, условия существования стационар-
стационарного режима, предельные вероятности состоянии . . 177

ОГЛАВЛЕНИЕ 383
5.2. Закон распределения и числовые характеристики
времени нахождения процесса гибели и размножения
в произвольном подмножестве состоянии 200
5.3. Метод псевдосостояний 214
5.4. Дифференциальные уравнения для характеристик
марковского процесса гибели и размножения без
ограничения на число состояний 226
5.5. Дифференциальные уравнения для характеристик
марковского процесса гибели и размножения при
ограниченном числе состояний 245
Глава 6. Преобразования случайных процессов .... 262
6.1. Канонические разложения и интегральные канониче-
канонические представления случайных процессов 262
6.2. Линейные и нелинейные преобразования случайных
процессов 274
6.3. Линейная форма векторного случайного процесса.
Сложение случайных процессов 294
6.4. Комплексные случайные процессы 301
Глава 7. Стационарные случайные процессы . . . 305
7.1. Определение стационарного случайного процесса, эр*
годическое свойство . 305
7.2. Спектральное разложение стационарного случайного
процесса. Спектральная плотность .331
7.3. Линейные преобразования стационарных случайных
процессов 350
7.4. Преобразование стационарного случайного процесса
стационарной линейной системой 365
Приложение 376
Основные сокращения 377
Список литературы 378
Предметный указатель 380

Учебное издание
Вевтцель Елена Сергеевна
Овчаров Лев Александрович
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Редактор Ж.И. Яковлева
Художественный редактор Ю.Э. Иванова
Технический редактор Л.А. Овчинникова
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-206. Сдано в набор и подп. в печать
02.02.2000. Формат 60x88 {/\ь. Бум. газеты. Гарнитура обыкновенная
Печать офсетная. Объем: 23,52 усл. печ. л., 23,52 усл. кр.-отт., 19,72 уч.-изд. л.
Тираж 8000 экз. Заказ № 692
ГУП издательство «Высшая школа», 101430. Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано в ГУП ИПК "Ульяновский Дом печати"
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14