ТВ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
мс
Ж.ЖАКОДАН. ШИРЯЕВ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Том 1
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
19Э4

ББК 22.17 Издание выполнено при финансовой
Ж 22 поддержке Российского фонда
УДК 519.21 фундаментальных исследований
(грант N 94-01-0019$)""
и авторов
Серия "Теория вероятностей и математическая статистика"
издается с 1959 года
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Главный редактор Ю.В.Прохоров
Заместитель главного редактора Ю.А.Розанов
Заместитель главного редактора Б.А.Севастьянов
Ответственный секретарь А.В.Прохоров
ЧЛЕНЫ РЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ
А.П.Баева, А.А.Боровков, Б.В.Гнеденко,
И.А.Ибрагимов, В.В.Сазонов, А.В.Скороход,
В.А.Статулявичус, А.Н.Ширяев
Ж а. к о д Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для
случайных процессов: Пер. с англ. — М.: Физматлит, 1994. — 544с. — (Теория
вероятностей и математическая статистика. Вып. 47). — ISBN 5-02-014122-4.
ISBN 5-02-015152-1 (т. I). В двух томах (том 1 — гл. I-VI, том 2 — гл. VII-X).
Содержится систематическое изложение теории функциональных и
конечномерных предельных теорем для классов случайных процессов семимартингального вида,
включающих процессы с независимыми приращениями, диффузионные, точечные,
образованные суммами случайных величин в случайном числе и др. Даются
применения к статистике случайных процессов. Необходимый для функциональных
предельных теорем аппарат включает представляющий и самостоятельный интерес
материал о стохастическом исчислении для семимартингалов, проблемы
мартингалов, контигуальности вероятностных мер и др.
Для научных работников, аспирантов и студентов, интересующихся теорией
случайных процессов, предельными теоремами и их применениями.
Том 1
Перевод с английского СЕ. Кузнецова
ISBN 5-02-014122-4
ISBN 5-02-015152-1 (т. 1)
@111прингер, 1987
(с)Ж,Жакод, А.НЖиряев^ 1994
©Перевод на русский язык. С.Е.Кузнецов, 1994

Оглавление
Том 1
Введение 15
Глава I. Общая теория случайных процессов, семимар-
тингалы и стохастические интегралы 20
1. Стохастический базис, моменты остановки, опциональная а-
алгебра, мартингалы 21
§ 1а. Стохастический базис 21
§ lb. Моменты остановки 24
§ 1с. Опциональная ст-алгебра 26
§ Id. Локализация 32
§ 1е. Мартингалы 34
§ If. Дискретный случай 38
2. Предсказуемая а-алгебра, предсказуемые моменты 43
§ 2а. Предсказуемая ст-алгебра 43
§ 2Ь. Предсказуемые моменты 44
§ 2с. Вполне недостижимые моменты остановки 49
§ 2d. Предсказуемая проекция 53
§ 2е. Дискретный случай 57

4 Оглавление
3. Возрастающие процессы 60
§ За. Основные свойства 60
§ЗЬ. Разложение Дуба-Мейера и компенсаторы
возрастающих процессов 67
§ Зс. Свойство доминирования Ленгляра 72
§ 3d. Дискретный случай 74
4. Семимартингалы и стохастические интегралы 76
§ 4а. Локально квадратично интегрируемые мартингалы 77
§ 4Ь. Разложения локальных мартингалов 80
§ 4с. Семимартингалы 84
§ 4d. Построение стохастического интеграла 89
§ 4е. Квадратическая вариация семимартингалов и формула
Ито 98
§ 4f. Экспоненциальная формула Долеан-Дэд 109
§ 4g. Дискретный случай 113
Г^ава II. Характеристики семимартингалов и процессы
с независимыми приращениями 116
1. Случайные меры 117
§ 1а. Случайные меры 117
§ lb. Целочисленные случайные меры 122
§ 1с. Важнейший пример: пуассоновские меры 126
§ Id. Стохастический интеграл по случайной мере 127
2. Характеристики семимартингалов 133
§ 2а. Определение характеристик семимартингалов 134
§2Ь. Интегрируемость и характеристики
семимартингалов 142

Оглавление 5
§ 2с. Каноническое представление семимартингалов 146
§ 2d. Характеристики и экспоненциальная формула 148
3. Примеры 156
§ За. Дискретный случай 157
§ ЗЬ. Еще о дискретном случае 158
§ Зс. "Одноточечный" точечный процесс и эмпирические
процессы 165
4. Семимартингалы с независимыми приращениями 171
§ 4а. Винеровские процессы 172
§ 4Ь. Пуассоновские процессы и пуассоновские случайные
меры 173
§ 4с. Процессы с независимыми приращениями и
семимартингалы 178
§ 4d. Гауссовские мартингалы 186
5. Процессы с независимыми приращениями, не являющиеся
семимартингалами 189
§ 5а. Результаты 190
§ 5Ь. Доказательства 193
6. Процессы с условно независимыми приращениями 206
Глава III. Мартингальные проблемы и замены мер .. 213
1. Мартингальные проблемы и точечные процессы 215
§ 1а. Общие мартингальные проблемы 215
§ lb. Мартингальные проблемы и случайные меры 216
§ 1с. Точечные процессы и мультивариантные точечные
процессы 219

6 Оглавление
2. Мартингальные проблемы и семимартингалы 227 1
§ 2а. Формулировка проблемы 227 I
§2Ь. Пример: процессы с независимыми приращениями 231 I
§ 2с. Диффузионные процессы и диффузионные процессы со I
скачками 233 ]
§ 2d. Локальная единственность 239 I
3. Абсолютно непрерывная замена мер 249 I
§ За. Процесс плотности 249 1
§ ЗЬ. Теорема Гирсанова для локальных мартингалов... 253 I
§ Зс. Теорема Гирсанова для случайных мер 256 1
§ 3d. Теорема Гирсанова для семимартингалов 260 I
§ Зе. Случай дискретного времени 267 |
4. Теорема о представлении для мартингалов 269 1
§ 4а. Стохастические интегралы по векторному непрерывно- |
му локальному мартингалу 270 I
§4Ь. Проекция локального мартингала на случайную |1
меру 275 |
§ 4с. Свойство представления 279
§ 4d. Фундаментальная теорема о представлении 282 |
5. Абсолютно непрерывная замена мер: явная формула для I
процесса плотности 288 |
§ 5а. Все Р-мартингалы обладают свойством представления
относительно X 289 |
§5Ь. Мера Р' обладает свойством локальной единственно- ?!
сти 295 J
§ 5с. Примеры 301
\

Оглавление 7
Глава IV, Процессы Хеллингера, абсолютная
непрерывность и сингулярность мер 307
1. Интегралы Хеллингера и процессы Хеллингера 309
§ 1а. Расстояние Какутани-Хеллингера и интегралы
Хеллингера 309
§ lb. Процессы Хеллингера 312
§ 1с. Вычисление процессов Хеллингера в терминах
процесса плотности 318
§ Id. Другие интересные процессы 322
§ 1е. Дискретное время 328
2. Предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и
сингулярности 333
§ 2а. Формулировка результатов 333
§ 2Ь. Доказательства 338
§ 2с. Дискретный случай 344
3. Процессы Хеллингера для решений мартингальных
проблем 347
§ За. Общая постановка 348
§ ЗЬ. Случай существования доминирующей меры для Р и
Р', обладающей свойством мартингального
представления 352
§ Зс. Случай локальной единственности 364
4. Примеры 372
§ 4а. Точечные процессы и мультивариантные точечные
процессы 373
§ 4Ь. Обобщенные диффузионные процессы 377
§ 4с. Процессы с независимыми приращениями 380

8
Оглавление
Глава V. Контигуальность, полная асимптотическая
разделимость, сходимость по вариации 391
1. Контигуальность и полная асимптотическая
разделимость 392
§ 1а. Общие факты 392
§ lb. Контигуальность и фильтрация 400
2. Предсказуемые критерии контигуальности и полной
асимптотической разделимости 402
§ 2а. Формулировка результатов 402
§ 2Ь. Доказательства 405
§ 2с. Случай дискретного времени 415
3. Примеры 419
§ За. Точечные процессы 420
§ ЗЬ. Обобщенные диффузионные процессы 421
§ Зс. Процессы с независимыми приращениями 422
4. Расстояние по вариации 428
§ 4а. Расстояние по вариации и интегралы Хеллингера . 428
§4Ь. Расстояние по вариации и процессы Хеллингера.. .432
§ 4с. Примеры: точечные процессы и мультивариантные
точечные процессы 440
§ 4d. Пример: обобщенные диффузионные процессы 445
Глава VI. Топология Скорохода и сходимость
процессов 447
1. Топология Скорохода 448
§ 1а. Введение и обозначения 448

Оглавление 9
§ lb. Топология Скорохода. Определения и основные
результаты 452
§ 1с. Доказательство теоремы 1.14 455
2. Непрерывность в топологии Скорохода 465
§ 2а. Непрерывность некоторых функций 466
§ 2Ь. Возрастающие функции и топология Скорохода ... 474
3. Слабая сходимость 480
§ За. Слабая сходимость вероятностных мер 481
§ЗЬ. Приложение к процессам, непрерывным справа и
имеющим пределы слева 483
4. Критерии плотности: случай квазинепрерывности слева493
§ 4а. Критерий плотности Альдуса 495
§4Ь. Приложения к мартингалам и семимартингалам.. .498
5. Критерии плотности: общий случай 503
§ 5а. Критерии для семимартингалов 503
§ 5Ь. Вспомогательный результат 507
§ 5с. Доказательство теоремы 5.17 511
6. Сходимость и квадратическая вариация 524
Библиографический комментарий 534

10
Оглавление
Том 2
Глава VII. Сходимость процессов с независимыми
приращениями 8
1. Введение в функциональные предельные теоремы 10
2. Слабая сходимость конечномерных распределений 15
§ 2а. Сходимость безгранично делимых распределений... 16
§ 2Ь. Некоторые леммы о характеристических функциях. 21
§ 2с. Сходимость схем серий из независимых величин 25
§ 2d. Слабая сходимость конечномерных распределений се-
мнмартингалов с независимыми приращениями к
процессу с независимыми приращениями без
фиксированных моментов разрыва 35
3. Функциональная сходимость и характеристики 41
§ За. Результаты \2
§ЗЬ. Достаточное условие сходимости в предположении
2.48 48
§ Зс. Необходимое условие сходимости 4$
§ 3d. Достаточное условие сходимости 58
4. Некоторые обобщения 63
§ 4а. Сходимость в неинфинитезимальной схеме серий ... 63
§ 4Ь. Слабая сходимость конечномерных распределений для
общих процессов с независимыми приращениями ... 74
§4с. Другое необходимое и достаточное условие
функциональной сходимости 79

Оглавление 11
5. Центральная предельная теорема 86
§ 5а. Теорема Линдеберга-Феллера 86
§ 5Ь. Теоремы типа Золотарева 88
§ 5с. Слабая сходимость конечномерных распределений
процессов с независимыми приращениями к гауссовскому
мартингалу 94
§ 5d. Функциональная сходимость процессов с независимыми
приращениями к гауссовскому мартингалу 96
Глава VIII. Сходимость к процессу с независимыми
приращениями 102
1. Слабая сходимость конечномерных распределений. Общая
теорема 103
§ 1а. Постановка проблем 103
§ lb. Основная теорема -. 105
§ 1с. Замечания и комментарии 107
2. Сходимость к процессу с независимыми приращениями без
фиксированных моментов разрыва 109
§ 2а. Слабая сходимость конечномерных распределений Л10
§ 2Ь. Функциональная сходимость 1Ц
§ 2с. Применение к схеме серий 117
§ 2d. Другие условия сходимости 119
3. Приложения 123
§3а. Центральная предельная теорема: необходимые и
достаточные условия 123
§ ЗЬ. Центральная предельная теорема: мартингальный
случай 128
§ Зс. Центральная предельная теорема для схемы серий 135
§ 3d. Сходимость точечных процессов 136

12 Оглавление
§ Зе. Нормированные суммы независимых одинаково
распределенных семимартингалов ЦО
§ 3f. Предельные теоремы для функционалов от марковских
процессов Ц7
§3g. Предельные теоремы для стационарных процессов 153
4. Сходимость к общему процессу с независимыми
приращениями 16 7
§ 4а. Доказательство теоремы 4 Л в случае, когда
характеристическая функция Xt почти всюду отлична от
нуля 169
§ 4Ь. Сходимость точечных процессов 172
§ 4с. Сходимость к гауссовскому мартингалу 173
5. Сходимость к смеси процессов с независимыми
приращениями, устойчивая сходимость и сходимость с
перемешиванием 176
§ 5а. Сходимость к смеси процессов с независимыми
приращениями 116
§5Ь. Еще о сходимости к смеси процессов с независимыми
приращениями 183
§ 5с. Устойчивая сходимость 185
§ 5d. Сходимость с перемешиванием 195
§ 5е. Применение к стационарным процессам 196
Глава IX, Сходимость к семимартингалу 199
1. Пределы мартингалов 200
§ 1а. Ограниченный случай 200
§ lb. Неограниченный случай 204
2. Идентификация предела 208
§ 2а. Вводные замечания 208
§ 2Ь. Идентификация предела: основной результат 212

Оглавление 13
§ 2с. Идентификация предела с помощью сходимости
характеристик 216
§ 2d. Применение: существование решений некоторых мар-
тингальных проблем 219
3. Предельные теоремы для семимартингалов 227
§ За. Плотность последовательности (Хп) 228
§ ЗЬ. Предельные теоремы: ограниченный случай 235
§3с. Предельные теоремы: локально ограниченный
случай 241
4. Применения 247
§4а. Сходимость диффузионных процессов со скачками 247
§ 4Ь. Сходимость ступенчатых марковских процессов к
диффузионным 252
§ 4с. Эмпирические распределения и броуновский мост . 255
§ 4d. Сходимость к непрерывному семимартингалу:
необходимые и достаточные условия 258
5. Сходимость стохастических интегралов 261
§ 5а. Характеристики и стохастические интегралы 262
§ 5Ь. Формулировка результатов 267
§ 5с. Доказательства 270
Глава X. Предельные теоремы, процессы плотности и
контигуальность 280
1. Сходимость процесса плотности к непрерывному
процессу 282
§ 1а. Введение. Формулировка основных результатов ... 282
§ lb. Вспомогательные вычисления 287
§ 1с. Доказательство теорем 1.12 и 1.16 295

14
Оглавление
§ld. Сходимость к экспоненте от непрерывного
мартингала 299
§ 1е. Условия сходимости в терминах процессов Хеллин-
гера 304
2. Сходимость логарифма отношения правдоподобия к
процессу с независимыми приращениями 307
§ 2а. Введение. Формулировка основных результатов ... 307
§ 2Ь. Доказательство теоремы 2.12 312
§ 2с. Пример: точечные процессы 318
3. Статистический принцип инвариантности 320
§ За. Общие результаты 321
§ ЗЬ. Сходимость к гауссовскому мартингалу 324
Библиографический комментарий 332
Библиография 340
Указатель обозначений 355
Указатель терминологии 358
Предметный указатель 364
Указатель условий в предельных теоремах 367

Нашим сыновьям
Венсену, Оливье и Андрею
Введение
Предельные теоремы в этой книге принадлежат теории слабой
сходимости вероятностных мер на метрических пространствах.
Более точно, наша основная цель — дать систематическое
изложение теории сходимости по распределению стохастических
процессов, являющихся семимартингалами.
Выбор класса семимартингалов как основного объекта
изучения имеет две причины. Одна из них состоит в том, что этот
класс достаточно широк и включает в себя наиболее
распространенные процессы: процессы с дискретным временем,
диффузионные процессы, многие марковские процессы, точечные процессы,
решения стохастических дифференциальных уравнений, ...
Вторая причина состоит в том, что в наших руках имеется очень
мощный инструмент для изучения этих процессов, а именно —
стохастическое исчисление. Поскольку теория семимартингалов
и материал^ посвященный случайным мерам, обычно не
связываются с предельными теоремами, мы решили написать
достаточно полный обзор этой теории, который содержится в первых
двух главах. В частности, мы отводим много места аккуратному
и подробному изложению понятия характеристик семимартинга-
ла, которое обобщает хорошо известное понятие "триплета Леви-
Хинчина" для процессов с независимыми приращениями (снос,
дисперсия гауссовской составляющей, мера Леви), и играет
исключительно важную роль в предельных теоремах.
Что следует понимать под сходимостью Хп —► X
(последовательность процессов (Хп) сходится к процессу X по
распределению)? Первая, вполне естественная мысль — понимать это как

16
Введение
"сходимость конечномерных распределений", означающую, что
для любой последовательности моментов времени fх,..., tp
последовательность векторов (A7J,..., X") сходится по распределению
к вектору (Xtl,. ..,Xtj,)- Этот вид сходимости не является
удовлетворительным, поскольку нельзя быть уверенным в
сходимости по распределению таких простых функционалов как mf(t :
Xtn > а) и supt<x X", и т.д. После знаменитой статьи [199]
Прохорова традиционным видом сходимости является сходимость
распределений процессов, рассматриваемых в качестве случайных
элементов некоторого функционального пространства.
Поскольку семимартингалы являются непрерывными справа и имеющими
пределы слева процессами, для них фундаментальным
функциональным пространством всегда будет "пространство Скорохода"
D, определенное Скороходом в [223]. Это пространство можно
снабдить топологией, превращающей его в полное сепарабель-
ное метрическое пространство, и запись Хп -*• X всегда будет
обозначать слабую сходимость распределений относительно этой
топологии.
Как же доказать, что Хп -+Х,ив каких терминах выразить
условия сходимости? Предложенный Прохоровым метод
предписывает следующее:
(О
плотность
последовательности
(Х«)
00
сходимость
конечно-мерных
распределений
+
(Ш)
характеризация X по
конечномерным
распределениям
Хп^Х
(на самом деле, имеет место даже эквивалентность условий (i)-
(Ш) и сходимости Хп -» X; и (iii) в сущности тривиально).

Введение 17
Иногда мы будем использовать этот метод. Однако,
хотелось бы отметить, что очень часто (ii) весьма трудно (или
просто невозможно) установить (за исключением того
замечательного случая, когда предельный процесс имеет независимые
приращения). Этот факт породил развитие других стратегий
доказательства. Отметим, например, метод, опирающийся на
"теорему погружения" Скорохода, или "методы аппроксимации и <т-
топологических пространств" Боровкова, которые позволяют
доказать слабую сходимость для широкого класса функционалов,
и которые отчасти опираются на (ii). В данной книге мы
излагаем стратегию доказательства, названную "мартингальным
методом", предложенную Струком и Вараданом, которая
предписывает следующее:
(У)
О) +
сходимость
триплетов
характеристик
(ш')
характеризация
X по триплету
характеристик
Хп Д X.
В этой стратегии трудным шагом является (Ш'). В связи с
этим мы посвящаем большую часть главы III подробной
постановке этой проблемы (названной "мартингальной проблемой") и
некоторым частным ее решениям.
В случае обеих стратегий нам необходимо установить (i).
Глава VI посвящена различным критериям плотности,
приспособленным к семимартингалам. Мы также используем этот удобный
случай, чтобы изложить элементарные и менее элементарные
факты о топологии Скорохода, в частности, для процессов, у
которых временной параметр пробегает полупрямую R+.
Сами предельные теоремы представлены в главах VII, VIII
и IX (читатель может также обратиться к [166], если он захочет
познакомиться с другими аспектами той же теории). Условия,
гарантирующие сходимость, всегда имеют схожий вид, как для
простых ситуаций (сходимость процессов с независимыми
приращениями), так и для более сложных (сходимость семимартин-

18 Введение
галов к семимартингалу). Грубо говоря, эти условия состоят в
сходимости триплета характеристик Хп к триплету
характеристик X. По сути, эти условия являются простым обобщением
двух классов результатов, которые, на первый взгляд, сильно
отличаются друг от друга: тех, которые относятся к сходимости в
схеме серий из независимых случайных величин, как в книге [65]
Гнеденко и Колмогорова, и тех, которые связаны со сходимостью
марковских процессов (и, в особенности, диффузионных
процессов в терминах их коэффициентов), как в книге [223] Струка и
Варадана.
Наряду с предельными теоремами читатель найдет и
разрозненные, как может показаться, результаты, посвященные
абсолютной непрерывности пары мер, заданных на пространстве с
фильтрацией, и контигуальности последовательности таких пар.
В действительности, одной из причин для включения этого
материала было наше желание дать некоторые статистически
ориентированные приложения предельных теорем (другая причина
состоит в том, что по нашему мнению, этот материал интересен
сам по себе). Такие приложения даны в главе X, где мы
изучаем сходимость процесса отношения правдоподобия (в частности,
асимптотическую нормальность) и, так называемый,
"статистический принцип инвариантности", который позволяет получить
предельные теоремы при контигуальных альтернативах.
Чтобы подготовиться к этим результатам, необходимо глубже
изучить проблему контигуальности. Это сделано в главе V, где
широко используется интеграл Хеллингера и процесс, который
будем называть "процессом Хеллингера". Процесс Хеллингера
введен в главе IV, которая также содержит необходимые и
достаточные условия абсолютной непрерывности и сингулярности
в терминах, описывающих поведение процессов Хеллингера.
Наконец, упомянем, что в главе V также содержится материал о
сходимости мер по вариации.
Внутри каждой главы нумерация следующая: 3.4 означает
утверждение 4 в разделе 3. Когда делается ссылка на
утверждение предшествующей главы, скажем главы II, то пишем И.3.4.
В дополнение к обычному указателю (указатель символов, ука-

Введение
19
затель терминов) читатель найдет в предметном указателе
ссылки на все места этой книги, где мы пишем о конкретных
объектах: например, читателю, интересующемуся только
точечными процессами, необходимо сначала обратиться к предметному
указателю. Наконец, все условия на триплеты характеристик,
появляющиеся в предельных теоремах, содержатся в списке
указателя условий для предельных теорем.
Части этой работы были подготовлены в то время, когда
авторы имели удовольствие быть гостеприимно принятыми в
Математическом институте им. В. А. Стеклова и Университете им.
Пьера и Марии Кюри, Париж VI. Мы благодарны за
гостеприимство и предоставленные нам возможности.
Париж и Москва Жан Жакод
июнь 1987 Альберт Ширяев

Глава I
Общая теория случайных
процессов, семимартингалы
и стохастические интегралы
Вопреки своему названию, "общая теория случайных
процессов" — это довольно узкий раздел теории случайных процессов с
временным параметром, пробегающим R+. Однако, в ее рамках
излагаются глубокие результаты, связанные с порядковой
структурой в R+; центральную роль в теории играют мартингалы.
В настоящее время существует несколько книг, содержащих
более или менее полное изложение теории: основополагающая
книга Деллашери [33] (которая, однако, вовсе не затрагивает
стохастических интегралов), очень полная книга Деллашери и Мейе-
ра [36], или же книга Метивье [180]... Эти книги содержат
огромный материал для тех, кто ранее совсем не был знаком с этой
теорией, как, по-видимому, и многие из потенциальных читателей
настоящей книги. Последнее послужило причиной, по которой мы
сочли необходимым привести своего рода "резюме", содержащее
все факты, необходимые для предельных теорем и изложенные
кратчайшим и, надеемся, наиболее безболезненным образом (хотя
этот путь изложения несколько старомоден, особенно для
изложения теории семимартингалов и стохастических интегралов).
Так как нам хотелось сделать изложение по-возможности за-

J. Стохастический базис, моменты остановки
21
мкнутым, мы привели почти все доказательства, за немногими
исключениями, относящимися в основном к теории мартингалов
(регулярность траекторий, неравенство Дуба, теорема Дуба об
остановке). Не доказываются также два трудных, но довольно
хорошо известных результата: разложение Дуба-Мейера для
субмартингалов, и теорема о сечении, по поводу которой мы
рекомендуем обратиться к [33] или [36].
Однако, несмотря на присутствие доказательств, эта глава
написана в духе резюме, а не вводного курса; в частности, здесь
почти нет примеров. Поэтому мы предлагаем читателю
просмотреть утверждения (чтобы освежить в памяти обозначения
и определения) и затем переходить к следующей главе.
1. Стохастический базис, моменты остановки,
опциональная сг-алгебра, мартингалы
Приведем ряд стандартных обозначений, которые будут
использоваться во всей книге. Если (ft, J17, P) — вероятностное
пространство, то Е(Х) обозначает математическое ожидание любой
интегрируемой случайной величины Х\ если в отношении меры
Р имеется какая-либо неопределенность, мы пишем Ер(Х).
Пространство Lp = Zp(fi, Т, Р) для р 6 [1, оо) — это
пространство всех действительных случайных величин X, для которых
величина \Х\Р интегрируема, с обычным отождествлением любых
двух случайных величин, равных между собой почти наверное
(п.н.). Аналогично, L°°(il^!FyT) — совокупность всех
существенно ограниченных по мере Р действительных случайных величин.
Соответствующие нормы обозначаются ЦХЦ^р.
Пусть Q — <т-алгебра, содержащаяся в Т\ Если случайная
величина X интегрируема, или же неотрицательна или
неположительна, то условное математическое ожидание X
относительно Q корректно определено, и мы обозначаем Е(Х|(7) любую его
версию. Очень удобно также использовать понятие обобщенного
условного математического ожидания, определенного для всех
случайных величин формулой

22 Гл. I. Общая теория случайных процессов
E(X\G) = { Е(Х+1£) " Е(х~~№) на множестве Е(|Х||£) < оо,
\ +оо в остальных случаях.
Как правило, запись X = Y (или X < У, и т.д.) означает X = Y
п.н. (почти наверное), или X < Y п.н., и т.д.
§1а. Стохастический базис
Читатель немедленно заметит, что основные наши интересы
сосредоточены в области случайных процессов с непрерывным
временем, для которых временной параметр пробегает R+, или,
быть может, интервал в R+. В этом случае в основе теории лежит
хорошо известное понятие стохастического базиса, которое будет
приведено ниже. Однако, иногда мы будем иметь дело с
процессами с дискретным временем, параметрическим множеством для
которых является N. Чтобы помочь читателю установить связь
между двумя постановками, в конце каждого раздела этой главы
мы будем приводить независимое изложение для случая
дискретного времени. В частности, §lf этого раздела содержит
дискретный вариант излагаемого ниже.
1.2. Определение. Стохастическим базисом
называется вероятностное пространство (П,^,Р), снабженное
фильтрацией F = №)*еК 5 здесь под фильтрацией понимается
возрастающее и непрерывное справа семейство под-<т-алгебр Т (другими
словами, Т9 С Тх при s < t и Т% = ns>t!Fs).
Мы также считаем, что Т^ — Т и Т^- = У$€ц T9. □
Стохастический базис В = (Q,^",F,P) называют также
вероятностным пространством с фильтрацией. Во многих случаях
(но, как мы увидим, не всегда) можно считать выполненым также
свойство полноты, даваемое в следующем определении.
1.3. Определение. Стохастический базис (Q,^,F,P)
называют полным, или, что то же самое, говорят, что он
удовлетворяет обычным условиям, если а-алгебра Т полна по мере Р

J. Стохастический базис, моменты остановки
23
и каждая из а-алгебр Т% содержит все множества Р-меры нуль
из Т. □
Данный стохастический базис (ft,.F,F,P) всегда можно
пополнить следующим образом:
1.4. Обозначим через Tv пополнение <т-алгебры Т по мере Р и
через Л/1* совокупность всех множеств Р-меры нуль из Tv. Пусть
Tf — наименьшая а-алгебра, содержащая Т\ и Af*. Легко
проверяется, что (ft,.Fp,Fp = (^tP)t€R^?P) — новый стохастический
базис, называемый пополнением (fy^F, P). □
Введем необходимую терминологию.
1.5. Случайным множеством называется подмножество
И х R+. □
1.6. Процессом (или процессом со значениями в Е)
называется семейство X = (-У«)<€ц отображений пространства ft в
некоторое множество Е. Если не оговорено противное, множество Е
является подмножеством Ж* для некоторого d G N*. □
Процесс может и часто будет рассматриваться как
отображение пространства ft x 3R+ в J5, задаваемое следующим образом:
1.7. {u,t)~>X{u,t) = Xt{u).
Мы будем употреблять обозначения: процесс X, или процесс
(Xt), или процесс (^G)t€]R как эквивалентные. Каждое
отображение t -* Xt(u) для любого фиксированного и G ft называют
траекторией процесса X.
Например, индикаторная функция 1А случайного множества А
является процессом; его траектории — это индикаторные
функции сечений {t : (w,<) G А} множества А.
Процесс X называют непрерывным справа (соответственно,
непрерывным слева; непрерывным справа с пределами слева),
если все его траектории непрерывны справа (соответственно
непрерывны слева, непрерывны справа и имеют пределы слева).
Для непрерывного справа и имеющего пределы слева процесса X

24 Гл. I. Общая теория случайных процессов
можно определить два новых процесса Х_ = №-)t€jr и АХ =
= (A^t)<€j> по формулам
Г Х0- = Х0, Х,_ = lim,tT< X, для t > О,
\ДХ, = Х,-Х,_
(тем самым, АХ0 — О, что отличается от иногда употребляемых
обозначений, например, в [183]).
Пусть X — некоторый процесс и Г — отображение $1 ~> R+.
Определим процесс, "остановленный в момент" Т (мы будем
обозначать его Хт)у как
1.9. Xj = XTM.
1.10. Случайное множество А называют пренебрежимым, если
множество {и: B/GR+ такое, что (а;, /) Е А} имеет Р-меру нуль;
два процесса X и У со значениями в Е называют неразличимыми,
или неотличимыми, или же версиями друг друга, если случайное
множество {X ф У} = {(<*>, 0: Xt(w) Ф Yt(u)} пренебрежимо, т.е.
если почти все траектории процессов X и У совпадают. □
Заметим, что если процессы X и У неразличимы, то Xt = Yt
п.н. для любого t Е R+, но обратное неверно. Однако, обратное
утверждение верно, если оба процесса X и У непрерывны справа
или же слева.
Как и для случайных величин, в большинстве случаев запись
X = У (или X < У, и т.д.) для случайных процессов означает "с
точностью до пренебрежимого множества'1.
§lb. Моменты остановки
Пусть (Q.jfjF,!?) — стохастический базис.
1.11. Определения. а) Моментом остановки
называется отображение Т: SI —► R+, такое, что {Т <t} Е Т% для всех
JGR+.
Ь) Пусть Т — момент остановки. Через Тт обозначается
совокупность всех множеств А Е Т, таких, что А П {Т < t} Е Т%
при всех t Е R+.

J. Стохастический базяс, моменты остановки
25
с) Пусть Г — момент остановки. Через Тт- обозначается <т-
алгебра, порожденная TQ и всеми множествами вида А П {Г < <},
где t е R+ и А 6 Тх. П
Легко проверить, что Тт — а-алгебра. Если t 6 R+ и Т(о>) = J,
то Г — момент остановки и Тт — Tt (напомним, что Т^ = Т в
силу 1.2); таким образом, обозначение ,FT не приводит к
двусмысленностям. Аналогично, для Т = t имеем Тт- = Fo ПРИ * = 0 и
^*т_ = V9<tT9 при J > 0; в соответствии с этим обозначим
i- = I Vs<tTs
T0j если t = 0,
1.12. ^ = <( Ув<Л при * 6 (0,оо]
(сравни с обозначением Тж- из 1.2).
а-алгебру ^ обычно интерпретируют как совокупность всех
событий, происшедших до момента t включительно; если Т —
момент остановки, то аналогично а-алгебра Тт (соответственно
Тт-) интерпретируется как совокупность событий, происшедших
до момента Г включительно (соответственно, строго до момента
Г).
Приведем перечень хорошо известных и очень полезных
свойств моментов остановки. Все доказательства читатель
легко проведет сам, или же их можно найти в любом стандартном
учебнике.
1.13. Если Т — момент остановки и £ € R+, то Г + £ — также
момент остановки. □
1.14. Если Т — момент остановки, то Тт- С Тт и величина
Т является ^--измеримой. □
1.15. Если Г — момент остановки и А Е Тт, то
Та(">-\+оо при ш ф А,
также момент остановки. □

26 Гл. I. Общая теория случайных процессов
1.16. Отображение Г: ft —► R+ является моментом
остановки тогда и только тогда, когда {Т < t} 6 Т% для всех < G R+;
при этом множество А £ Т принадлежит Т? тогда и только
тогда, когда А П {Т < t} 6 Т\ при всех t 6 R+ ( в этом свойстве
существенную роль играет непрерывность справа фильтрации
F). □
1.17. Если 5,Т — два момента остановки и A Е Ts* TO -А П
п{5 < т} е т?% An{S = т} е тт и An{S < т} е т?-. п
1.18. Если (Гп) — последовательность моментов остановки, то
5 = ЛГП иГ= VTn — также моменты остановки, причем Ts —
= OFTm. П
1.19. Лемма. Любой момент остановки Т на
пополненном стохастическом базисе (ft,.Fp,Fp,P) п.н. совпадает с
моментом остановки на (ft,.F,F,P).
Доказательство. Для каждого t £ R+ найдется
событие А% е Тх такое, что Ах = {Т < t} п.н. (см. 1.4). Тогда
Т'(и) = inf(s 6 Q+: и 6 As) является моментом остановки
относительно F, так как событие {Т1 < t} = Ue€Q+je<tA, принадлежит
Т% и V = Г п.н., (поскольку {Г < *} = Ue€Q+>e<< {Г < s} п.н.
совпадает с множеством {Т1 < i) для всех t Е R+. П
§1с. Опциональная сг-алгебр а
Снова зафиксируем некоторый стохастический базис
(J2,JF,F,P).
1.20. Определение, а) Процесс X согласован с
фильтрацией F (или, короче, согласован), если величина Xt является
^-измеримой для любого <ER+.
b) Опциональной а-алгеброй называется а-алгебра О в
пространстве ft х R+, порожденная всеми согласованными
непрерывными справа и имеющими пределы слева процессами
(рассматриваемыми как отображения, определенные на ft x R+). D
Процесс или случайное множество, являющиеся С7-измеримы-
ми, называют опциональными.

1. Стохастический базис, моменты остановки 27
1.21. Предложение. Пусть X — опциональный про-
цесс. Процесс X, рассматриваемый как отображение,
определенное на пространстве ft x R+, является Т ® И+-измеримым.
Более того, если Т — момент остановки, то
a) величина Хг1{т«х>} является Тт-измеримой (в частности,
процесс X согласован)/
b) остановленный процесс ХТ также опционален.
Доказательство. Совокупность всех процессов,
являющихся Т % 7£+-измеримыми и обладающих свойствами а) и
Ь) для любого момента остановки, очевидно, является векторной
решеткой и замкнута относительно операции поточечной
сходимости. Тем самым, в силу определения 1.20 и теоремы о
монотонных классах, достаточно доказать, что каждый согласованный
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс обладает
требуемыми свойствами.
Определим для п Е N* новый процесс Хп, полагая X? = Л*/2»
при te[(k- l)/2n,ifc/2n], где к G N*. Так как
{Хп еВ}= [j[{u: Хк/2»(и>) еВ}х [(к - 1)/2", */2"]],
то {Хп е В} е Т ® 7£+ для любого борелевского множества В, и
следовательно, процесс Хп является Т® 7£+-измеримым. Так как
процесс X непрерывен справа, последовательность (Хп) сходится
поточечно к X, и процесс X также Т ® 7£+-измерим.
Пусть Г — момент остановки. Положим Тп = оо на множестве
{Г = оо} и Г„ = к/2п на множестве {(к - 1)/2п < Т < к/2п}.
Очевидно, каждый момент Тп является моментом остановки, и Т
— предел убывающей последовательности (Тп). Так как событие
{хт. eB}n{Tn<t}= (J [{хк/2. ев}п {тп = к/2п}]
*€N*,*/2»<t
принадлежит Т%, мы видим, что величина Хтп1{тп<оо}
является ТТп -измеримой. Так как процесс X непрерывен справа,
последовательность ХТл1{тп<оо} сходится к Хт1{т«х>}- Тем самым
из 1.18 следуют ^-Измеримость величины XTl{T<OQ} и свойство
(а). Наконец, поскольку по построению процесс Хт также
является непрерывным справа с пределами слева, и так как XJ =

28 Гл. I. Общая теория случайных процессов
= X|l{t<r} + Хг1{т<*}> то из вышесказанного вытекает
согласованность Хт. Тем самым Хт опционален, и мы доказали
утверждение (Ь). □
Существует другое описание опциональной <г-алгебры,
отличное от 1.20 и проясняющее внутреннее содержание этого понятия.
Для этого дадим сначала определение стохастического
интервала. Для двух моментов остановки 5, Т можно определить
стохастические интервалы четырех типов как следующие случайные
множества:
( №,Т\ = {(u,t): t £ R+,SH < * < T(w)},
! oo J ЕйГ[= {(".'): ' e «+.%>) < * < Пи)},
I 15,Г] = {(uyt): t € R+,5H < * < ГН),
I 1£T[= {(a;,*): « € R+,5(w) < t < T(u)}.
Вместо |[Г,Г] будем писать [Т]: тем самым, |[TJ есть
пересечение графика отображения Т: ft —* R+ с множеством fi x R+, и
для простоты мы будем называть |[TJ графиком случайного
момента Т.
Процесс 1j0,t|[ непрерывен справа и имеет пределы слева.
Очевидно, он согласован тогда и только тогда, когда Г — момент
остановки. Отсюда в силу 1.20 |[0,Т([Е О для любого момента
остановки Т. Вообще, имеет место следующее утверждение.
1.23. Предложение. Если 5, Г — два момента
остановки и случайная величина Y является Т$-измеримой, то все
процессы yijs,Tj, Y^is,Tif YI}s,ti> ^IWi опциональны.
Доказательство. Достаточно проверить
утверждение для случая, когда У — индикаторная функция некоторого
множества Л 6 Т$- Рассмотрим для примера процесс X = 1a1[s,t[
Процесс X является поточечным пределом процессов Хп =
= 1а1]|5п,тл1 1 где Sn = S + 1/п и Тп — Т + I /п. Процессы Хп
по построению являются непрерывными справа и имеют пределы
слева. Воспользовавшись 1.17 и тем, что А Е Ts С Fsni легко
проверить, что Хп — согласованные процессы. Итак,
процессы Хп, а следовательно, и X, опциональны. Для стохастических
интервалов другого вида доказательство аналогично. □

1. Стохастический базис, моменты остановки 29
1.24. Предложение. Если процесс X непрерывен
слева и согласован, то он опционален.
Доказательство. Для ngN* определим новый
процесс Хп формулой
ХП = 2_, ^*/2»1[*/2*,(*+1)/2Л1-
Jb€N
В силу предложения 1.23 процесс Хп опционален. Поскольку
процесс X непрерывен слева, последовательность (Хп) сходится
поточечно к X. Отсюда X также опционален. D
Пусть процесс X непрерывен справа, имеет пределы слева и
согласован. Очевидно, процесс Х- также согласован. Отсюда и
из 1.24 вытекает
1.25. Следствие. Пусть процесс X согласован,
непрерывен справа и имеет пределы слева. Тогда процессы Х_ и АХ
являются опциональными (напомним, что АХ = X — Х_).
1.26. Замечание. Можно доказать также следующие
более сильные утверждения, которые не используются в этой книге:
(a) Любой непрерывный справа согласованный процесс
опционален.
(b) а-алгебра О совпадает с а-алгеброй, порожденной
стохастическими интервалами вида ([О, Г|[, где Т — произвольный
момент остановки. D
Перейдем к изучению моментов достижения. Во-первых,
имеет место весьма общий (и трудный) результат Ханта; хотя он и
не используется в данной книге, мы приводим его (без
доказательства — см., например, [33]) ввиду его теоретического значения.
1.27. Теорема. Пусть А — опциональное случайное
множество. Его дебют Т(и) = inf(J: (u,t) G А) является
моментом остановки относительно определенной в 1.4
пополненной фильтрации Fp (или, что в силу леммы 1.19 эквивалентно,
Т(и) п.н. совпадает с некоторым моментом остановки
относительно исходной фильтрации F).

30 Гл. I. Общая теория случайных процессов
В частности, если X — опциональный процесс со значениями
bR^hB — борелевское множество в Rd, то Т = inf(/: Xt G В)
— момент остановки относительно пополненной фильтрации Fp
(нужно применить 1.27 к опциональному случайному множеству
Л = {1Е В}).
Этот результат не понадобится в полном объеме. Вместо
этого, мы будем пользоваться весьма частным и простым случаем,
а именно следующим.
1.28. Предложение. а) Пусть X — согласованный
процесс со значениями в Rd, непрерывный справа и имеющий
пределы слева, и пусть В — открытое множество в Rd. Тогда
момент Т = mf(t: Xt G В) является моментом остановки.
Ь) Пусть X — согласованный непрерывный справа процесс со
значениями в R, имеющий неубывающие траектории, и пусть
a G R. Тогда момент Т = mf(t: Xt > а) является моментом
остановки.
(В отличие от 1.27 здесь нет необходимости пополнять
фильтрацию.)
Доказательство, а) Поскольку множество В
открыто, а процесс X непрерывен справа, имеем
1.29. {Г<*}= U №бЯ}.
Но так как X согласован, правая часть этого равенства
принадлежит Т%, и остается воспользоваться 1.16.
Ь) Если X — неубывающий непрерывный справа процесс, то
{Т < t} = {Xt > а}, и это событие принадлежит Т% ввиду
согласованности X, что и требовалось доказать. □
Мы закончим этот параграф несколькими простыми
утверждениями о структуре скачков непрерывного справа и имеющего
пределы слева согласованного процесса.
1.30. Определение. Случайное множество А
называется тонким, если оно имеет вид А = и[Гп]|, где (Тп) —
последовательность моментов остановки. Если, кроме того,
последовательность (Гп) такова, что |[ГП]| П |[Гт]] = 0 при всех п ф

J. Стохастический базис, моменты остановки
31
тп, то ее называют исчерпывающей последовательностью
множества А. О
Конечно, тонкое множество опционально и все его сечения
{t: (о;,/) Е А} не более чем счетны. В свою очередь, можно
доказать, что любое опциональное множество, сечения которого не
более чем счетны, является тонким в смысле 1.30; это —
трудный результат, который не будет использоваться в этой книге
(см. [33]).
1.31. Лемма. Для любого тонкого случайного множества
существует исчерпывающая последовательность моментов
остановки.
Доказательство. Пусть А = и([Гп]|, где (Гп)п€де —
последовательность моментов остановки. Множество
Сп = Г\о<т<п-ЛТт ф Тп} в силу 1.17 принадлежит ТТп,
откуда ввиду 1.15 Sn = (Тп)сп — моменты остановки. Как легко
видеть, последовательность (5П) является исчерпывающей
последовательностью для А. □
1.32. Предложение. Если процесс X согласован,
непрерывен справа и имеет пределы слева, то случайное
множество {АХ ф 0} является тонким.
Исчерпывающую последовательность для множества {АХ ф
Ф 0} называют последовательностью, исчерпывающей скачки X.
Доказательство. Пусть п Е N*. Положим 5(п, 0) =
= 0 и определим по индукции
5(п,р+ 1) = inf(* > S(n,p): \Xt - XS(n,p)| > 2"n).
Для любых фиксированных п, р имеем S(nyp+ 1) = inf(t: \Yt\ >
>2-n), где
Y = (X - -У5(п|р))1[5(п|р)|оо[-
Процесс Y непрерывен справа, имеет пределы слева и
согласован в силу 1.23. Отсюда и из 1.28 S(n,p) — момент
остановки. Далее, ввиду 1.21 и 1.25 множество А(п,р) = {S(nyp) < оо,
^XS(niP) ф 0} принадлежит ^Fs(ntP)- Следовательно, в силу 1.15

32 Гл. I. Общая теория случайных процессов
момент Т(пур) = 5(п,р)>|(П)р) также является моментом
остановки. Но так как процесс X непрерывен справа и не имеет разрывов
второго рода, то, очевидно, limpToo t S(nyp) = оо. Отсюда легко
вывести, что {АХ ф 0} = Unp€fl*[[T(n,p|, что и требовалось
доказать. □
§ld. Локализация
В этом коротком параграфе мы опишем процедуру,
применяемую на каждом шагу.
1.33. Определение. Пусть С — некоторый класс
процессов. Обозначим Cioc локальный класс, определяемый
следующим образом: процесс X принадлежит С\ос тогда и только .уогда,
когда найдется возрастающая последовательность (Тп) моментов
остановки (зависящая от X) такая, что lim(n) Тп = оо п.н. и любой
остановленный процесс ХТп принадлежит С. Последовательность
(Тп) называется локализующей последовательностью для X (по
отношению к С). □
Например, если С — класс всех ограниченных процессов, С\ос
— так называемый класс локально ограниченных процессов.
Забегая вперед, скажем, что для класса С всех субмартингалов класс
С\ос — является классом так называемых локальных
субмартингалов.
Конечно, С С С\ос. Локализация наиболее полезна для классов,
обладающих следующим свойством (все классы, встречающиеся
в этой книге, обладают этим свойством!).
1.34. Определение. Класс процессов С называется
замкнутым относительно остановки, если для любого X Е С и
любого момента остановки Г, остановленный процесс ХТ также
принадлежит С. D
1.35. Лемма. Пусть С и С — два класса процессов,
замкнутые относительно остановки. Тогда
(a) С\ос замкнут относительно остановки, и (Cioc)ioc = C\oc,
(Ь)(СпС%с = С1осПС'1ос.

1. Стохастический базис, моменты остановки
33
Доказательство, (а) Замкнутость С\ос
относительно остановки очевидна. Пусть X € (Cioc)ioc и (^п) —
локализующая последовательность, такая, что ХТя Е С\ос. Для каждого п Е
Е N найдется локализующая последовательность (T(n,p)) €до,
такая, что (XTn)T(n,p) E С, и найдется такой номер рп, что
Р(Т(п,рп)<ГпЛп)<2-".
Положим Sn = Гп Л [Лт>„Т(га,рп)]. Каждый момент 5П
является моментом остановки, и так как последовательность (Тп) —
возрастающая, то и последовательность (Sn) возрастает. Имеем:
Р(5П < Тп Л п) < ]Г Р(Г(т, л,) < Тп Л п) <
т>п
< ]Г ПП™,Рт) <ГтЛт)<^2-га = 2-<"-1>.
т>п т>п
Поскольку lim(n)Tn = оо п.н., то и lirri(n)Sn = оо п.н., и стало
быть, (Sn) — локализующая последовательность. Наконец,
Xs- = ((ХТл)т(п^)5%
и, так как С замкнут относительно остановки, то Х5я Е С.
Следовательно, X Е Cioc-
(b) Включение (СГ\С')\ос С С\осПС{ос очевидно. Обратно, пусть
X Е С\ос П С[ос и пусть (Гп) и (Т" ) — локализующие
последовательности для X, такие, что ХТя Е С и XTn E С. Положим
Sn = Тп Л Т^ . Последовательность (5П) является возрастающей,
и liiri(n) 5n = оо п.н. Но так как С ж С замкнуты
относительно остановки, то Х5п = (ХТя)т* Е С и, аналогично, X5n E С
Следовательно, X £ (С П С')\ос. D
Первое из приведенных выше свойств означает, что нельзя,
итерируя процедуру локализации, получать все более и более
широкие классы процессов. Типичной ситуацией, в которой
работает приведенная лемма, является следующая:
"Теорема". Пусть С, С*', С" — три класса, замкнутых
относительно остановки. Предположим, что с каждым X Е
C\0q П С[ос связан новый процесс Y = а(Х) так, что #(ХТ) =
(а(Х))т для любого момента остановки. Тогда, если а(Х) Е C"OQ
для каждого X еС ПС, то а(Х) Е С,"с для всех X Е Cioc П С,'ос.
2. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

34 Гл. I. Общая теория случайных процессов
"М етод доказательства": Применить 1.35. В
"настоящем" доказательстве, когда нам будет встречаться
ситуация такого типа, мы будем писать магическую фразу: используя
локализацию, мы можем считать, что X G С П С.
§1е. Мартингалы
В этом параграфе дадим обзор многочисленных свойств
мартингалов, субмартингалов и супермартингалов, в основном
принадлежащих Дубу. Они приводятся здесь без доказательств (за
исключением последнего). Доказательства можно найти в
большинстве стандартных руководств ( см., например, [33, 43]).
1.36. Определение. Мартингалом (соответственно,
субмартингалом, супермартингалом) называется согласованный
процесс X на стохастическом базисе (П, Ту F, Р), Р-почти все
траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева, и
такой, что все величины Xt интегрируемы, и для s < t
Xs = E(Xt\Ts)
(соответственно, Xs < E(Xt\fs), Xs > Е(Хг\?3)). □
1.37. Замечание. Мы несколько отступили в этом
определении от стандарта; а именно, не предполагается полнота
стохастического базиса. Тем не менее, все приводимые ниже
свойства сохраняют силу, в чем читатель может легко убедиться сам
(это очень просто), благодаря следующему свойству: если X —
субмартингал на полном базисе ($1, Tv, Fp, P), то найдутся такой
процесс X', Р-неотличимый от X, согласованный с (непополнен-
ной) фильтрацией F, и такой момент остановки Т
относительно F, что при всех и траектории Х(и>) непрерывны справа и
имеют пределы слова всюду, кроме, быть может, Т(и>), причем
Р(Г < оо) = 0. D
1.38. Скажем, что процесс X имеет предельное значение Х^,
если Xt п.н. сходится к пределу Х^ при 11 оо; в этом случае
переменную Хт можно определить с точностью до п.н. для любого
момента остановки Г, полагая Хт = Хоо на {Т = оо}.

J. Стохастический базис, моменты остановки
35
1.39. Теорема. Пусть для супермартингала X найдется
интегрируемая случайная величина Y, такая, что Xt > E(Y\Tt)
при всех t £ И+. Тогда
a) (Т е о р е м а сходимости Д у б a) Xt сходится
п.н. к конечному пределу Х^.
b) (Т е о р е м а Дуба об остановке) Пусть S,
Т — два момента остановки. Тогда случайные величины Xs и
Хт являются интегрируемыми, и Xs > E(Xt\J7s) w<* множестве
{S < Т}, В частности, ХТ также является
супермартингалом.
Введем два следующих класса мартингалов.
1.40. Определение. Обозначим М класс всех
равномерно интегрируемых мартингалов, т.е. всех мартингалов X,
для которых семейство случайных величин (Xt)t£^ равномерно
интегрируемо. □
1.41. Определение. Обозначим V2 класс всех
квадратично интегрируемых мартингалов, т.е. всех мартингалов X,
для которых supt€j£ Е(Х?) < oo. D
Очевидно, Н2 С М. Из следующей теоремы вытекает, в
частности, что и М, и Н2 являются замкнутыми относительно
остановки. D
1.42. Теорема, а) Пусть X — равномерно
интегрируемый мартингал. Тогда Xt сходится п.н. и в L1 к предельной
величине Х^, и ХТ = Е(Х00\7гт) для всех моментов остановки
Т. Более того, мартингал X является квадратично
интегрируемым тогда и только тогда, когда величина Х^ квадратично
интегрируема, и в этом случае сходимость Xt —► Хоо имеет
место и в L2.
Ь) Пусть Y — интегрируемая случайная величина.
Существует (единственный с точностью до пренебрежимого
множества) равномерно интегрируемый мартингал X, такой, что
Xt = E(Y\Tt) для всех t G R+. Более того, Х^ = Е(У|^оо.).
(Заметим, что пополнения фильтрации здесь не требуется.)
2*

36 Гл. I. Общая теория случайных процессов
1.43. Теорема (неравенство Дуба). Для квадратично
интегрируемого мартингала X
Е( sup X2t) < 4 sup E(Xt2) = 4E(JO
Существует другая, весьма полезная характеризация процессов
из М.
1.44. Лемма. Пусть X — согласованный процесс,
непрерывный справа и имеющий пределы слева, с предельным
значением Хм. Процесс X является равномерно интегрируемым
мартингалом тогда и только тогда, когда для любого момента
остановки Т случайная величина Хт интегрируема и Е(ХТ) =
= ЦХ0).
Доказательство. Необходимость немедленно
следует из L42. Для доказательства достаточности заметим,
во-первых, что в условиях леммы величина Xoq интегрируема. Для t E
Е R+ и A Е Tt определим момент остановки Т, полагая Т = t на А
и Т = оо на дополнении Ас. Имеем Е(Хг) = E(XtlA) + E(X0OlAc),
и Е(Хоо) = E(XoolA) + E(XoolAc). По предположению, Е(Хг) =
= Е(Хоо), откуда Е(ХДА) = Е(Хоо1д). Это равенство
выполнено для всех A Е Tt, и следовательно, Xt = Е(Хоо|^). Отсюда с
помощью 1.42 легко показать, что X Е М. □
1.45. Определение. Локальным мартингалом
(соответственно, локально квадратично интегрируемым
мартингалом) называется процесс, принадлежащий локальному классу М\ос
(соответственно, Hfoc)j построенному по М (соответственно, Н2)
в соответствии с 1.33. □
1.46. Определение. Процесс X принадлежит классу
(D), если семейство случайных величин {ХТ: Т — конечный
момент остановки} равномерно интегрируемо. □
1.47. Предложение, а) Каждый мартингал является
локальным мартингалом (следовательно, A^ioc является также и

1. Стохастический базис, моменты остановки 37
локальным классом, полученным с помощью 1.33 из класса
мартингалов).
b) Равномерно интегрируемые мартингалы являются
процессами класса (D).
c) Локальный мартингал является равномерно
интегрируемым мартингалом тогда и только тогда, когда он является
процессом класса (D).
Доказательство, а) Пусть X — некоторый
мартингал. Положим Тп = п. Тогда Xjn = Е(ХП|^) для всех t E R+, и
ХТп е М ввиду 1.42.
b) Утверждение следует из 1.42 и известного факта
равномерной интегрируемости для Y Е L1 семейства случайных величин
{E(Y|(/): Q — произвольная а-алгебра, содержащаяся в Т}.
c) Остается доказать лишь достаточность. Пусть X Е М\ос
принадлежит классу (D), и пусть Тп — локализующая
последовательность для X, Если s < 2, то
(1) Х,лт„ = XJ- = ЦХ?-\Г.) = ЦХ„Тш\Г.).
Так как X принадлежит классу (£>), последовательности
(Х,лТп)п€де и (^tATn)n€N являются равномерно интегрируемыми.
Но ввиду равенства liiri(n) Tn = оо п.н. они сходятся п.н. к Х9 и
Xt соответственно. Следовательно, сходимость имеет место и в
I1, и в (1) можно перейти к пределу под знаком условного
математического ожидания. Итак, получаем Xs = E(Xt\Ts), т.е. X
— мартингал. Наконец, так как X принадлежит классу (J9), он
равномерно интегрируем. □
Мы завершим этот параграф демонстрацией на двух примерах
различия между понятиями равномерно интегрируемого
мартингала, мартингала и локального мартингала.
1.48. Пример. Пусть (#п)п€эд# — последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин с
P(Zn = 1) = P(Zn = -1) = 1/2. Положим Тх = a(Zp: p Е N*,
Р < t) и Xt = J2i<P<[t] %р-> г#е ['] — целая часть числа t £ R+.
Очевидно, Xt — мартингал, но по центральной предельной
теореме Xt не имеет предела п.н. при t f оо. Следовательно, X не
является равномерно интегрируемым. □

38 Гл. I. Общая теория случайных процессов
1.49. Пример. Пусть (^п)п€де* — измеримое разбиение
пространства Я с Т(АП) = 2"п, и пусть (^n)n6N* —
последовательность случайных величин, не зависимых от Ап и таких, что
P{Zn = 2П} = P{Zn = -2П} = 1/2. Положим Тх = <r(Zn: n e N*)
при J G [0,1) и Т% = <т(Ап, Zn: n Е N*) при t E [1,оо). Положим
также
1<р<п
= ГО при* 6 [0,1),
* lYoo при «G [l,oo),
т _f +oo на множестве Ui<p<nAp,
п ~~ \ 0 в остальных случаях.
Очевидно, (Тп) — неубывающая последовательность моментов
остановки, стремящаяся к +оо. Процесс ХТп равен 0
(соответственно Yn) на |0,1[ (соответственно, |1,оо|[), и Yn —
ограниченная величина, не зависящая от а-алгебры Т\-. Следовательно,
ХТп бМ,и1 — локальный мартингал. Однако это не
мартингал, так как величина Xi = Y^ не интегрируема. □
§lf. Дискретный случай
В случае, когда временной параметр пробегает N, а не R+,
возникает теория, сходная с описанной выше, но значительно
более простая. Мы очень кратко набросаем эту теорию и покажем
ее отличия от случая "непрерывного времени".
1. Выясним сначала, во что превращается в этой постановке
понятие стохастического базиса.
1.50. Определение. Дискретным стохастическим
базисом называется вероятностное пространство (Я, Т, Р),
снабженное фильтрацией F = («^п)п€^*5 ЗДесь П°Д фильтрацией
подразумевается возрастающее семейство под-а-алгебр Т (т.е. Тп С
С Тт при п < т). Отметим, что непрерывность справа здесь не
имеет смысла. □
Случайное множество — это подмножество (IxN. Процесс
— это семейство X = (-^n)n€N отображений пространства Q, в

1. Стохастический базис, моменты остановки 39
некоторое множество Е. Его можно также рассматривать как
отображение из ft х N в £, а именно,
(w,n) -» X{u,n) = Хп(и).
Понятия непрерывных справа, непрерывных слева,
непрерывных справа и имеющих пределы слева процессов здесь не имеют
смысла. Однако, аналогично 1.8, мы можем связать с процессом
X два процесса Х_ = (-Уп_) и АХ = (АХп) по формулам
ГХ0- = Х0, Хп_ = Xn_i, при п > 1;
L5i' \АХп = Хп-Хп_.
Для процесса X и отображения Т: ft —► N мы определяем процесс
Хт, "остановленный в момент Г", равенством Х% = Хрлп-
Момент остановки Г и связанные с ним <т-алгебры Тт и J*T-
определяются в точности так же, как в 1.11, за исключением того,
что здесь Г является отображением из ft в N, и R+ заменяется
на N. Свойства 1.13 - 1.18, конечно, сохраняются. Более того,
справедливо очевидное и полезное дополнительное свойство:
1.52. Отображение Т: ft -» N является моментом остановки
тогда и только тогда, когда {Г = п} Е Тп для любого п Е N; в
этом случае множество А Е Т принадлежит Тт тогда и только
тогда, когда А П {Т = п} Е Тп для любого п Е N . D
Понятие опциональности здесь гораздо проще.
1.53. Определение. Опциональной а-алгеброй
называется <т-алгебра О в ft x N, порожденная всеми согласованными
процессами, т.е. всеми процессами X такими, что Хп является
^п-измеримым для любого п Е N. □
Большинство результатов §1с в дискретном случае не имеет
интересных аналогов. Упомянем, однако, совйства 1.21 (которое
Доказывается гораздо проще по сравнению с непрерывным случа-
ем)> 1.25, которое тривиально, и 1.27, которое можно с легкостью
Доказать здесь:

40 Гл. L Общая теория случайных процессов
1.54. Теорема. Пусть А — опциональное случайное
множество. Его дебют Т(и>) = inf(n G N: (а;, п) G А) является
моментом остановки (никаких пополнений здесь не требуется).
Доказательство. По условию, процесс X = 1А
согласован, и нужное утверждение вытекает из равенства
{Т<п}= (J {Xp = l}. D
0<р<п
Наконец, понятие локализации и все определения и теоремы
§1е о мартингалах сохраняются без изменений (за исключением
того, что R+ и R+ всюду заменяются на N и N, и, конечно, можно
опустить условие непрерывности справа и существования
пределов слева в определении 1.36). Отметим, что даже в дискретном
случае надо различать понятия равномерно интегрируемого
мартингала, мартингала и локального мартингала. Примеры 1.48 и
1.49 можно легко перенести на дискретный случай и показать, что
мартингал может не быть равномерно интегрируемым, а
локальный мартингал может не быть мартингалом (см. также 1.64).
2. Мы покажем теперь, как дискретную ситуацию можно явно
свести к частному случаю общей. Для этого рассмотрим
дискретный стохастический базис В = (П,/", F = C^n)n€N»P)-
Свяжем с В "непрерывный" стохастический базис В1
следующим образом:
1.55. В' = (fi,-F,F - (^бЕ+,Р),где^ = Тп при * е [п,п + 1).
В частности, имеем:
1.56. Гп = Тп при п G N, Гп_ = Гп_х = Тп при п G N*.
1.57. Лемма. Любой момент остановки Т относительно
В является и моментом остановки относительно В', причем
Т'Т — Тт и Т'т_ — Тт--
Доказательство. Для любого А £ J7 имеем АП{Т <
< t} = АП {Г < п} при* G [п,п+1). Отсюда в силу 1.56 А П {Т <
< t} G Т[ для всех t G R+ тогда и только тогда, когда А П {Г <
< n) G Тп для всех n G N; мы доказали тем самым, что момент

J. Стохастический базис, моменты остановки
41
остановки Т относительно В является и моментом остановки
относительно В\ и что Т[ = Тт-
Пусть теперь A Е Т% и t Е [п, п + 1). Имеем А 6 Тп и Л П {J <
< J1} = Л П {п < Г}; так как ^ = ^о» отсюда следует, что
/£_ с /г-- Обратное включение проверяется аналогично. D
1.58. Лемма. Пусть Т' — момент остановки
относительно В'. Положим Т = п при п < Т' < п + 1, Г = оо при
Т' = оо. Тогда Т — момент остановки относительно В,
причем Т'Т, = Тт и Т*т,_ С /г-- D
(Заметим, что, вообще говоря, равенство Т'т,^ = ^т- неверно;
доказательство аналогично доказательству 1.57 и
предоставляется читателю.)
Пусть теперь X — процесс на базисе В. Свяжем с ним процесс
X' на В' формулой:
1.59. Х[ = Хп при te[n,n+ 1).
Отметим, что процесс X' непрерывен справа и имеет пределы
слева. Следующие утвеждения очевидны:
1.60. Процесс X согласован с F тогда и только тогда, когда
X' согласован с F'.
1.61. Если моменты остановки Г и Гл связаны между собой
так же, как в 1.58, то (Хт)' = Х,г.
1-62. Процесс X принадлежит классу (D) по отношению к В
тогда и только тогда, когда X1 принадлежит классу (D) по
отношению к В'.
1.63. Процесс X является мартингалом (соответственно,
супермартингалом, равномерно интегрируемым мартингалом,
локальным мартингалом) по отношению к В тогда и только тогда,
когда X' является мартингалом (соответственно,
супермартингалом, равномерно интегрируемым мартингалом) по отношению к

42 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Эти утверждения позволяют понять, почему дискретный
случай действительно "вкладывается" в непрерывный. Например,
1.60 и свойство непрерывности справа и существования пределов
слева процесса Х\ заданного формулой 1.59, объясняют, почему
"опциональность" и "согласованность" на базисе /?' не
различаются.
3. Исключением является следующий факт, который не
сводится к какому-либо свойству в непрерывном времени.
1.64. Предложение. Пусть X — согласованный
процесс на базисе 5. Процесс X является локальным мартингалом
тогда и только тогда когда:
(i) значение Х0 интегрируемо, и
(ii) для любого n G N* E(|Xn||^n_i) < оо п.«. и Е(Хп|^п_х) =
= Хп-х.
Напомним, что Е(-|^7П_1) — "обобщенное" условное
математическое ожидание. Поэтому в (ii) из равенства E(Xn| J"„_i) = Xn_i
автоматически следует E(|Xn||/"n_i) < оо (для ясности мы
предпочитаем явно сформулировать оба условия). Но из равенства
E(Xn\!Fn^i) = Xn-i не следует интегрируемость Хп\ на самом
деле, интегрируемость всех Хп и равенство Е(ХП|^7П_1) = Хп-Х
при всех n G N* являются необходимыми и достаточными для
того, чтобы процесс X был мартингалом.
Доказательство. а)Н еобходимость. Пусть
(Тп) — локализующая последовательность моментов остановки
для локального мартингала X. Тогда Х0 = Х^п интегрируемо, и
E(XJ"\TP-X) = Хр2х при всех р G N\ Тем самым, Е(ХР\ТР-Х) =
— Хр_х на Тр-\-измеримом множестве {Тп > р — 1}, и так как
ип{Гп > р - 1} = ft, то отсюда вытекает (и).
Ь) Достаточность. Пусть выполнены (i) и (ii).
Положим Тп - inf(p: J2i<k<P+i ^(l^W^k-i) > и)- Тогда событие
{Тп > р}, очевидно, принадлежит Тр-\ и стало быть, Тп —
момент остановки. Более того,
Е(|Хрт"|) = Е(|ХТ.А,|) < Е(|ЗД + п < оо,
а так как {Тп > р} G J>-i, то из (ii) имеем E(Xju\Tp-i) = Х^2\-

2. Предсказуемая сг-алгебра., предсказуемые моменты 43
Следовательно, ХТп — мартингал, а X — локальный мартингал,
ибо Тп Т оо при n T оо ввиду (ii). D
2. Предсказуемая сг-алгебра, предсказуемые
моменты
§2а. Предсказуемая а-алгебра
Смысл вводимого здесь понятия "предсказуемой а-алгебры",
возможно, будет ясен не сразу, но ниже в $ 2е мы совершенно
отчетливо увидим, к чему оно сводится в дискретном случае. Сейчас
мы начнем со случая непрерывного времени и стохастического
базиса (Я, ^,F,P).
2.1. Определение. Предсказуемой а-алгеброй
называется <т-алгебра V в П х R+, порожденная всеми непрерывными
слева согласованными процессами (рассматриваемыми как
отображения пространства ft x R+). □
В силу предложения 1.24 V С О. Р-измеримые процессы и
случайные множества называются предсказуемыми.
2.2. Теорема. Предсказуемая а-алгебра порождается
также любым из следующих наборов случайных множеств:
(i) А х {0}, где А 6 Т0, и |[0,Г], где Т момент остановки;
(ii) А х {0}, где Ае То, и Ах (syi\, где s <t, Ae Ts-
Доказательство. Обозначим через V и V"
соответственно <т-алгебры, порожденные множествами (i) и (ii).
Так как индикаторы множеств в (i) являются согласованными
и непрерывными слева процессами, то V С V.
Пусть Л £ 7, к s < t. В соответствии с обозначением 1.15,
А х (s,i\ =^sAjtAJ где sA и tA — моменты остановки.
Следовательно pA,tA] = 10,^1\[0,зл] G V, откуда V" С V9.
Пусть теперь X — непрерывный слева согласованный
процесс. Для п е N* положим
ХП = ^ol[0] + 2^ ^*/2л1]|*/2л)(* + 1)/2я]|-

44 Гл. L Общая теория случайных процессов
Очевидно, процессы Хп являются ^''-измеримыми и
последовательность (Хп) сходится поточечно к процессу X ввиду его
непрерывности слева. Следовательно, процесс X является
^"-измеримым, откуда V С Vм. □
2.3. Замечание. Можно также доказать, что а-алгебра
V порождается всеми согласованными процессами с
непрерывными траекториями (здесь этот факт не используется). □
2.4. Предложение. Пусть процесс X предсказуем, а
Т — момент остановки. Тогда:
a) величина Хт1{т<оо} является Тт_-измеримой;
b) остановленный процесс ХТ также предсказуем.
Доказательство. Совокупность всех процессов,
удовлетворяющих (а) и (Ь), образует векторную решетку и замкнута
относительно поточечной сходимости. С другой стороны,
совокупность всех случайных множеств из 2.2(H) образует булеву
алгебру. Следовательно, в силу 2.2 и теоремы о монотонных
классах, достаточно доказать справедливость (а) и (Ь) для
индикатора любого множества из 2.2(H), что очевидно. □
2.5. Предложение. Пусть S,T — моменты
остановки и случайная величина YTs -измерима. Тогда процесс Yljs/rj
предсказуем (это — немедленное следствие определения, так как
указанный процесс согласован и непрерывен слева).
2.6. Предложение. Пусть процесс X согласован,
непрерывен справа и имеет пределы слева. Тогда процесс Х-
предсказуем. Если, кроме того, X предсказуем, то и процесс АХ
предсказуем (это снова немедленное следствие определений,
так как процесс Х- согласован и непрерывен слева).
§2Ь. Предсказуемые моменты
2.7. Определение. Предсказуемым моментом
называется такое отображение Т: Q, —> R+, для которого стохастический
интервал [[0,Т[[ предсказуем. □

2. Предсказуемая сг-алгебра, предсказуемые моменты 45
Всякий предсказуемый момент является моментом
остановки. Действительно, ЦТ, оо[€ V С О, и стало быть, непрерывный
справа без разрывов второго рода процесс X = 1[т,оо[
согласован, а {Т < i) = {Xt = 1}. Отметим также, что если Т —
предсказуемый момент, то |[TJ 6 V (воспользуйтесь равенством
\Г\ = [[О, Т\ \ ([О, Т\ и теоремой 2.2). Более того, если Г — момент
остановки и \Г\ Е Р, то Г — предсказуемый момент
(воспользуйтесь равенством [0,Г[= Ц0,Г] \ ЦТ] и теоремой 2.2).
Приведем перечень свойств предсказуемых моментов, которые
полезно сравнить со свойствами 1.13 - 1.18 моментов остановки.
2.8. Пусть Г — момент остановки и t > 0. Тогда Т + t —
предсказуемый момент, так как [[0,Г+ <([= U(n)|[0,r+ Sjfi<] £
G V (напомним, что Т — t, вообще говоря, даже не момент
остановки). □
2.9. Предложение. Пусть (Тп) —
последовательность предсказуемых моментов. Тогда
a) Т = VTn — предсказуемый момент.
b) Если S = ЛТП и Un{5 = Гп} = ft, mo момент S
предсказуем.
Доказательство, (а) Имеем |0,Г[[= Un|[0,Tn|[ и по
условию это множество предсказуемо. Следовательно, Т —
предсказуемый момент.
(Ь) Из условия Un{S = Тп} = Q следует равенство ЦО,^^
= Пп[[0,Тп[[, и множество в правой части предсказуемо.
Следовательно, момент S предсказуем. □
В утверждении 2.9(b) свойства S = ЛТП недостаточно для
предсказуемости S. Пусть, например, S — момент остановки,
не являющийся предсказуемым (мы увидим ниже, что такие
моменты действительно существуют). Тогда моменты Тп = S + 1/n
предсказуемы ввиду 2.8, и S = ЛГ„.
2.10. Предложение. Пусть Т — предсказуемый
момент и A G ^т-- Момент ТА, определенный в 1.15, предсказуем.
Доказательство. Заметим, что ТЛиВ = ТА Л Тв и
ТЛпв = ТАУТВ. Отсюда и из 2.9 семейство множеств А = {А Е Т\

46 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Та — предсказуемый момент} замкнуто относительно операций
счетного объединения и счетного пересечения. Если A G -4, то
jT,rA|[G V. Но, так как [0,ГАс|[= 10,оо[\[Г,Т4, то момент ТАС
также предсказуем. Следовательно, А — а-алгебра.
Остается доказать, что А содержит Т§ и все множества вида
А = BD{t<T} с В eft. Если A G Т0, то Ц0,Г4= Ц0,Г([и(Лс х
xR+), а это множество принадлежит V. Стало быть, A G А.
Пусть теперь А = В П {t < Г}, где В G Т%. Тогда A G f« и
[[О* ГасЕ= [0, Т[[и( Л X (/, оо)), и это множество также принадлежит
V. Стало быть, Ас G -4, а с ним и A G -4, что и требовалось. □
2.11. Предложение. Пусть S — предсказуемый
моменту A G Ts- иТ — момент остановки. Тогда А П {5 < Г} G
G^t-.
Доказательство. Имеем Л П {S < Т} = {SA <T<
< оо}и(ЛП{Г = оо}). В силу 2.10 процесс X = 1|[Sa,ooI
предсказуем, и следовательно множество {Sa <Т< оо} = {Хт1{т<оо} = 1}
принадлежит Тт- в силу 2.4.
Остается проверить, что Л П {Т = оо} G ^т-- Так как Л G
G .Foo-> достаточно проверить справедливость этого включения
для событий Л G T%, t G R+. Но в этом случае Л П {Т = оо} = Л П
fl{f < Т}П{Т = оо}, и это событие принадлежит Тт- в силу 1.11
и 1.14. □
В качестве простого следствия изложенных результатов
выведем следующее дополнение к предложению 2.5:
2.12. Предложение. Пусть S, Т — моменты
остановки и Y — случайная величина. Тогда
a) Если Т предсказуем и YFs-измерима, то процесс У1]5,т|
предсказуем;
b) Если S предсказуем и YТ$--измерима, то процесс Yl[s/rj
предсказуем;
c) Если S, Т предсказуемы и YFs- -измерима, то процесс
Yljs/rj предсказуем.
Доказательство, (а) вытекает из 2.5 и того, что
YIjsji — (yi]|s,T]j)l|[o,T[ • Аналогично из (Ь) выводится (с).

2. Предсказуемая а- алгебра, предсказуемые моменты 47
Остается доказать (Ь). Достаточно проверить утверждение
для случая, когда У — индикатор события A Е «7\s-- Но тогда
Yl\sp\ = 4sa,t\ и множество \SA,T\ = [О,Г) \ [0,$л|[
предсказуемо в силу 2.10.
2.13. Предложение. Пусть момент остановки Т
является дебютом предсказуемого случайного множества А:
T(lj) = inf(t: (u,t) Е А). Если ЦТ] С А, то Т —
предсказуемый момент.
Доказательство. Из условия |[Т]] С А вытекает, что
[Т] = А П [[0, Г] и это множество предсказуемо, поскольку А Е Р,
аГ — момент остановки. Следовательно, Г — предсказуемый
момент (см. комментарии к определению 2.7). □
Полезно сопоставить это утверждение с 1.27 или 1.28. Оно
обычно неверно, когда ДТ| не содержится в А; например,
любой момент остановки является дебютом предсказуемого
случайного множества ])Г,оо[, хотя сам момент Т вовсе не обязательно
является предсказуемым. В случае, когда стохастический базис
является полным, дебют множества А автоматически
оказывается моментом остановки (см. 1.27).
Сформулируем два трудных, тесно связанных между собой
результата, которые можно найти в [33].
2.14. Теорема (о предсказуемом сечении). Пусть
стохастический базис полон и А — предсказуемое множество. Для
любого е > 0 найдется такой предсказуемый момент Г, что [Г]6 С А
и
Р(и>: Т(и>) = оо и (uyt) € А для некоторого t Е R+) < е.
2.15. Теорема. а) Пусть возрастающая
последовательность моментов остановки (Тп) и ее предел Т таковы, что
Тп < Т на множестве {Т > 0}. Тогда Т — предсказуемый
момент (эта часть утверждения тривиальна, поскольку в наших
предположениях ]0,Г[[= ип]0,Г„];.

48 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Ь) Предположим, что стохастический базис полон. Пусть Т
— предсказуемый момент. Существует возрастающая
последовательность моментов остановки Тп с пределом Т, такая,
что Тп <Т на множестве {Т > 0}.
Утверждение (Ь) неверно, если базис не полон. Однако, с
помощью 1.19 можно вывести отсюда следующее утверждение, не
зависящее от полноты базиса.
2.16. Пусть Т — предсказуемый момент. Найдется
возрастающая последовательность (Гп) моментов остановки, такая, что
Тп < Т п.н. на множестве {Т > 0} и limn Тп = Т п.н.
Последовательность (Тп) называется предвещающей последовательностью
для Т. D
Сформулированные утверждения приводят нас к
необходимости более полно исследовать соотношение между стохастическим
базисом и его пополнением (см. 1.4). Следующая лемма
дополняет лемму 1.19.
2.17. Лемма, а) Предсказуемый момент Т на
пополненном стохастическом базисе (О,,?*^9,]?) п.н. совпадает с
некоторым предсказуемым моментом относительно исходного
базиса.
Ь) Любой процесс X, предсказуемый относительно Fp,
неотличим от процесса, предсказуемого относительно F.
Доказательство, а) Воспроизведем доказательство
из книги [36]. Пусть (Тп) — последовательность моментов
остановки относительно Fp, таких, что Тп | Г и Тп < Т на {Г > 0}
(см. 2.15). Рассмотрим моменты остановки Т'п относительно F,
такие, что Т'п - Тп п.н. (см. 1.19). Положим Т'п - supT£,
Ап = {0 < Г ф TJ}, Тп = (Т^)Ап и Sn = п Л supm<n7;'. В
силу 1.15, 1.17 и 1.18 моменты Sn являются моментами остановки
относительно F. Очевидно, (Sn) — возрастающая
последовательность, имеющая некоторый предел 5, и по построению Sn < S на
{S > 0}. Следовательно, S — предсказуемый момент
относительно F. Кроме того, так как Тп < Т на {Т >,0}, то Р(АП) = 0,
откуда ТЦ = Тп п.н., Sn = п АТп п.н. и, наконец, S = Т п.н.

2. Предсказуемая а-алгебра, предсказуемые моменты 49
Ь) Достаточно доказать утверждение для случая, когда X =
= \в — индикатор некоторого случайного множества. Если
случайное множество В имеет вид 2.2(H), результат очевиден, так
как любое множество из Т? п.н. совпадает с некоторым
множеством из Тх. Остается воспользоваться теоремой о монотонных
классах. □
Типичным применением теоремы о сечении может служить
следующее предложение:
2.18. Предложение, а) Пусть А — предсказуемое
случайное множество. Если любой предсказуемый момент Т,
такой, что [Г]] С А, п.н. бесконечен, то А пренебрежимо.
Ь) Если два предсказуемых процесса X и Y таковы, что
ХТ = Yt п.н. на множестве {Т < оо} для любого
предсказуемого момента Т, то X и Y неразличимы.
Доказательство. Утверждение (Ь) следует из (а),
примененного к множеству А = {X ф Y}. Чтобы доказать (а),
предположим, что множество А не является пренебрежимым.
Тогда е = Р{(о>,<) Е А для некоторого t} положительно, и в силу
2.14 найдется предсказуемый относительно Fp момент Г, такой,
что [Г] С А и Р(Г < оо) > г/2. В соответствии с 2.17,
найдется такой предсказуемый момент S относительно F, что Т = S
п.н. Событие В = {и: (и> S(u>)) E А} принадлежит fs- по 2.4, и
ввиду 2.10 момент S' = Sb снова является предсказуемым
относительно F. Но |[5']] С Л по построению, и следовательно, 5' = оо
п.н. Но так как S = Т п.н., то ?(ВС) = 0, откуда S' = Т п.н. и
Р(£' < оо) > г/2, что противоречит предположению е > 0. □
2.19. Замечание. В действительности теорема 2.14
справедлива и в случае, когда стохастический базис не
является полным (см. [36]). □
§2с. Вполне недостижимые моменты остановки
Введем класс моментов остановки, в определенном смысле
"ортогональных" всем предсказуемым моментам.

50 Гл. I. Общая теория случайных процессов
2.20. Определение. Момент остановки Г называется
вполне недостижимым, если Р(Г = S < оо) = 0 для любого
предсказуемого момента 5. □
2.21. Если Г — вполне недостижимый момент остановки и
S — такой момент остановки, что J*?]] С [[Г] (т.е. S = Г на
множестве {S < оо}), то S также вполне недостижим (очевидное
свойство). □
2.22. Теорема. Пусть Г — момент остановки. Су-
ществует последовательность (Sn) предсказуемых моментов и
единственное (с точностью до множества Р~меры 0) Тт-изме-
римое подмножество А множества {Г < оо}; такие, что
момент остановки ТА вполне недостижим, а момент остановки
Где таков, что [[ГдсЦ С U[[5n].
Момент ТА называют вполне недостижимой частью Г, а Где
- достижимой частью. Они определены однозначно с точностью
до множества Р-меры нуль. Последовательность (5П), конечно же,
определена неоднозначно, и ее можно, как мы позднее увидим,
выбрать так, чтобы графики моментов Sn попарно не пересекались.
Если момент Г вполне недостижим (соответственно
предсказуем), то его вполне недостижимая часть равна Г (соответственно,
+оо), а его достижимая часть равна +оо (соответственно, Г).
Доказательство. Для любого конечного набора {Si}
предсказуемых моментов положим В ({Si}) = иг{Г = Si < оо}.
Тогда В ({Si}) £ Тт, и класс В всех событий вида J9({5J)
замкнут по отношению к операциям конечного объединения и
конечного пересечения. Обозначим через В версию существенного
супремума класса б, и положим А = {Г < оо}\В.
Как известно, событие В является объединением счетного
числа элементов В. Следовательно, существует двупараметриче-
ское семейство ({S(n,i)}i<Pn) ^ предсказуемых моментов,
такое, что В = Un€N Ui<Pn {f = S(n,i) < оо}, и 1ТАе} = ЦГв] С
Остается доказать, что момент Гд вполне недостижим. Если
бы это было не так, нашелся бы такой предсказуемый момент 5.

2. Предсказуемая сг-алгебра., предсказуемые моменты 51
что ?(ТА = S < оо) > 0. Но тогда Р(ЯС П 5({5})) = Р(Л Г) {Т =
= 5 < оо}) = Р(Тд = 5 < оо) > 0, а это неравенство
противоречит тому, что В — существенный супремум В.
Единственность А очевидна. □
В качестве первого применения этой теоремы установим
некоторые свойства тонких множеств (см. 1.30), являющихся
предсказуемыми.
2.23. Лемма, а) Пусть А — предсказуемое тонкое
множество. Найдется последовательность (Тп) предсказуемых
моментов с попарно непересекающимися графиками, таких, что
[Тп]| С А, и множество А\ Un [Tn]| пренебрежимо.
Ь) Если, кроме того, стохастический базис полон, мы
можем выбрать моменты Тп так, чтобы А = Un[[Tn]| (другими
словами, для А существует исчерпывающая последовательность
предсказуемых моментов).
Доказательство, (i) Пусть (Тп) —
последовательность моментов остановки, исчерпывающая тонкое множество А.
Обозначим соответственно Т'п и ТЦ достижимую и вполне
недостижимую части момента Тп. В силу 2.22 найдется
последовательность (5(п,р)) €де предсказуемых моментов, такая, что
К! С UPlS(n,p)l. Обозначим А! = АП(иП|Р|[5(п,р)]). Очевидно,
A'eV.
Пусть S — предсказуемый момент, такой, что |[5]] С А\А\
откуда, [5] С и„|[Г^]|. Из определения 2.20 следует, что S =
= оо п.н. Но тогда в силу теоремы сечения 2.18 множество А\А'
пренебрежимо.
(ii) Перенумеруем двойную последовательность {5(п,р)}пр в
последовательность (Rn)n>i- Положим С„ = fli<m<„_i{.Sm ф Rn}
и Dn = СпГ) {и: (и>, Дп(и>)) G Л}. Тогда Dn G ^д~- в силу 2.4 и
2.11, к R'n = (Rn)Dn — также предсказуемые моменты. Но,
очевидно, А! = Un^iJ^]] и графики [Д^]] попарно не пересекаются.
Итак, а) доказано.
(ш) Чтобы доказать Ь), достаточно показать, что для
полного базиса момент остановки, п.н. равный бесконечности,
является предсказуемым. Действительно, тогда, так как ТЦ = оо

52 Гл. I. Общая теория случайных процессов
п.н. в силу (i), каждый момент ТЦ является предсказуемым, и
последовательность (Т„) исчерпывает множество А\А'.
Учитывая также (ii), получаем нужный результат. Положим поэтому
Sn = п Л (Т — 1/п)+ и заметим, что событие {5„ < t} для любого
t принадлежит а-алгебре То = Т*. Тем самым Sn — моменты
остановки, по построению предвещающие Т. Следовательно, Т
— предсказуемый момент. □
2.24. Предложение. Пусть предсказуемый процесс X
непрерывен справа и имеет пределы слева. Найдется
последовательность предсказуемых моментов, исчерпывающая скачки X.
Более того, АХт = 0 п.н. на множестве {Т < оо} для любого
вполне недостижимого момента Т.
Доказательство. Пусть (Тп) — последовательность
моментов остановки, исчерпывающая скачки X (см. 1.32). Для
m G N положим Вт = [^_, £] (где \ = оо), и Cn,m = {|ДХг.| е
G Вт}. Тогда C„,m e Ттп, откуда S(nym) = (Tn)Cn>m — момент
остановки и Y(m) = ]£ l[5(n,m),oo[ — согласованный непрерывный
справа без разрывов второго рода процесс (принимающий целые
значения, так как X не имеет разрывов второго рода). Но
тогда в силу 1.30 R(myq) := inf(t: Y(m)t > q) (q £ N*) — момент
остановки. Кроме того, Д(га, q) — дебют предсказуемого
множества JJ?(m,9 - 1),оо[[П{|ДХ| G Bm} (с Д(т,0) = 0), и, очевидно,
р2(га, g)J содержится в этом множестве. Следовательно, ввиду
2.13 момент R(m,q) предсказуем. Очевидно, последовательность
{Д(га, 9)}m6N gN* исчеРпывает скачки X.
Наконец, (АХТ ф 0,Г < оо} = Um>?{T = R(m,q) < оо}, и
последнее утверждение следует из определения 2.20. D
2.25. Определение. Непрерывный справа и имеющий
пределы слева процесс X называется квазинепрерывным слева,
если АХт = 0 п.н. на множестве {Г < оо} для любого
предсказуемого момента Т. D
2.26. Предложение. Пусть Л согласованный
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс.
Следующие условия эквивалентны:

2. Предсказуемая сг-алгебра., предсказуемые моменты 53
(a) X квазинепрерывен слева.
(b) Существует последовательность вполне недостижимых
моментов остановки, исчерпывающая скачки X.
(c) Для любой возрастающей последовательности (Тп)
моментов остановки с пределом Т, имеет место соотношение
]1тХтп = Хт п.н. на множестве {Т < оо}.
Доказательство. Поскольку существует
последовательность моментов остановки, исчерпывающая скачки X,
эквивалентность (а) <Ф (Ь) немедленно следует из 2.21 и 2.25.
Предположим, что процесс X не является квазинепрерывным
слева. Тогда найдется предсказуемый момент Т, предвещаемый
последовательностью (Гп), такой, что Р(ДХг ф О, Г < оо) > 0.
Но lim Хтп = Хт- п.н. на {0 < Т < оо}, следовательно lim Хтп ф
ф Хт п.н. на множестве {ДХр ф 0,Г < оо}, что противоречит
(с). Итак, мы доказали импликацию (с) =Ф> (а).
Обратно, пусть свойство (с) не выполнено для некоторой
последовательности (Гп). Положим Sn = (Тп){Тж<Т) и S = Гд, где
А = П{Тп < Г}. Момент 5 является предсказуемым — он
предвещается последовательностью (5П). Кроме того, по построению
{limXTn ф ХТуТ < оо} = {AXS ф 0,5 < оо}. Итак, из
нашего предположения следует неравенство Р(AXs Ф 0, S < оо) > 0,
которое противоречит (а). Следовательно, доказана импликация
(а) =» (с). □
§2d. Предсказуемая проекция
На протяжении этого параграфа мы снова считаем
фиксированным стохастический базис.
2.27. Лемма. Пусть X — локальный мартингал. Тогда
E(-Yt|^t-) = Хт- на множестве {Т < оо} для любого
предсказуемого момента Т (величина Хт не обязательно интегрируема,
но мы используем здесь обобщенные условные ожидания — см.
l.i).
Доказательство. Пусть (Гп) — локализующая
последовательность для процесса X. Поскольку в силу 1.17 {Т <
^ Тп} Е ТТ-, то на множестве {Т < Тп} мы имеем Е(Хт\^т-) =

54 Гл. I. Общая теория случайных процессов
= Е((ХТп)т\ТТ-) и Хт- = (ХТп)т_. Следовательно, достаточно
доказать утверждение для всех остановленных процессов ХТп.
Другими словами, мы можем и будем предполагать, что X Е
G М. Предсказуемый момент Г предвещается некоторой
последовательностью моментов остановки (Sn). Поскольку Sn < Г,
то из 1.39 или 1.42 имеем XSn = Е(Хт|^5п)- Применяя
теорему сходимости 1.42а к равномерно интегрируемому мартингалу
с дискретным временем (-Xs^-Fs*)» мы убеждаемся, что XSn -»
-+E(XT|Vn^5n)n.H.
Далее, Sn < Т на множестве {Т > 0}, и из 1.17 Tsn С ^т-- С
другой стороны, из определения Тт_ и равенства А П {t < Т} =
= ип[Л П {< < 5П}] п.н. на Г > 0 следует, что ТТ- С V„7*5n с
точностью до множеств Р-меры нуль. Итак, Тт- = Vn.Fsn,
также с точностью до множеств Р-меры нуль. Таким образом, мы
доказали что Xsn -» Е(Хт\Рт-) п-н- Но так как
последовательность (Sn) предвещает Г, то XSn -» Хг- п.н. на {Г < оо}, откуда
следует нужное нам утверждение. D
2.28. Теорема, а) Пусть X — Т ® Т1+-измеримый
процесс со значениями в R. Существует процесс со значениями
в (—оо, оо], называемый предсказуемой проекцией процесса X и
обозначаемый РХ, который однозначно определяется с
точностью до пренебрежимого множества следующими двумя
условиями:
(i) PX предсказуем;
(И) (рХ)т = ¥j(Xt\Ft-) «о множестве {Т < оо} для любого
предсказуемого момента Т.
b) Более того, для любого момента остановки Т
2.29. '{Хт) = (pX)1io,tj + *t1it»1-
c) Если, кроме того, процесс РХ принимает конечные
значения, а X' — предсказуемый процесс со значениями в (—оо,оо],
то
2.30. Р{ХХ') = Х,р{Х).
Предсказуемую проекцию обычно определяют только для
ограниченных, или же неотрицательных, измеримых процессов (см.,

2. Предсказуемая сг-алгебра., предсказуемые моменты 55
например, [33]). Введенное выше понятие в действительности
является обобщенной предсказуемой проекцией, связанной таким
же образом с обычной предсказуемой проекцией, как обобщенное
условное математическое ожидание — с обычным условным
математическим ожиданием.
Доказательство. 1) Единственность с точностью до
пренебрежимого множества немедленно следует из предложения
2.18.
2) Для доказательства существования, рассмотрим сначала
случай ограниченных процессов. Обозначим через Н
совокупность всех Т ® 7£+-измеримых ограниченных процессов X, для
которых существует процесс РХ, удовлетворяющий (i) и (ii).
Очевидно, Н — векторное пространство, замкнутое относительно
поточечной сходимости ограниченных в совокупности процессов;
действительно, если Х(п) — такая последовательность, то
процесс РХ = limn supp Х(п) удовлетворяет (i) и (И) по отношению
к предельному процессу X = lim X{n). Следовательно, по
теореме о монотонных классах, достаточно доказать утверждение для
процессов X вида Xt(u) = 1л(и;)1[и)г;)(0> А 6 Т, О < и < v.
Пусть процесс X имеет такую структуру. Рассмотрим
ограниченный мартингал М, определяемый соотношением Mt =
— Е(1л|^). Тогда процесс РХ := М_1[и>„[ предсказуем и в
силу 2.27 для любого предсказуемого момента Т
(рХ)т = Мт_1{и<т<„} = E(MT\rT-)l{u<T<v} =
- Е(1Л|7*Т-)1{и<Т<г;} = Е(ХТ|7*Т_)
на {Г < оо}. Стало быть, X принадлежит W, и мы доказали, что
в действительности Н совпадает с множеством всех
ограниченных измеримых процессов.
Наконец, для процесса X £ Н утверждения (Ь) и (с) очевидны.
3) Предположим теперь, что Т ® 7£+-измеримый процесс X
неотрицателен. Положим Х(п) = X Л п. В силу п. 2),
проекция рХ(п) существует и удовлетворяет (i) и (ii). Далее, Х(п) <
< Х(п + 1) и из единственности следует, что процесс рХ(п) V
УрХ(п + 1) также является версией предсказуемой проекции
процесса Х(п + 1). Другими словами, можно выбрать версии про-

56 Гл. I. Общая теория случайных процессов
екций рХ(п) так, чтобы рХ(п) < рХ(п + 1). Положив теперь
РХ = limn | рХ(п), можно непосредственно проверить, что РХ
обладает свойствами (i) и (ii), а также (Ь) и (с).
4) Рассмотрим теперь общий случай процесса X со
значениями в R. Определенный нижеследующим образом процесс,
очевидно, обладает свойствами (i), (ii), (b) и (с):
р у_ Г Р(Х+) - Р(Х~~) на случайном множестве {Р\Х\ < оо},
\ +оо в остальных случаях.
Поскольку для согласованного непрерывного справа и
имеющего пределы слева процесса X, процесс Х_ предсказуем, можно
переформулировать утверждение леммы 2.27 следующим
образом:
2.31. Следствие. Если X — локальный мартингал, то
Р(Х) = Х_ и Р(АХ) = 0. □
В завершение параграфа введем одно вспомогательное
понятие.
2.32. Определение. Предсказуемым носителем
измеримого случайного множества А называется предсказуемое
множество А' = {р(1л) > 0}> определенное с точностью до пренебре-
жимого множества. □
2.33. Ввиду 2.28, множество А' можно охарактеризовать
также следующим образом: это — единственное (с точностью до пре-
небрежимого множества) предсказуемое множество, такое, что
для любого предсказуемого момента Т множество А П [Г]
пренебрежимо тогда и только тогда, когда пренебрежимо множество
А' п [Г]. а
Рассмотрим для примера ситуацию теоремы 2.22 и положим
В = [TJ. Тогда предсказуемый носитель В1 множества В — это
наименьшее предсказуемое множество, удовлетворяющее условию
\ТАс\ С В'. Вообще, имеет место
2.34. Предложение. Предсказуемый носитель тонко-
го опционального случайного множества также является
тонким случайным множеством.

2. Предсказуемая сг- алгебра, предсказуемые моменты 57
Доказательство. Пусть А = и[Гп]|, где (Гп) —
последовательность моментов остановки. Пусть Т'п —
достижимая часть Тп, и (S(nyp)) €де — такая последовательность
предсказуемых моментов, что |Г^]| С Up€jy[[S(n,p)]. Пусть, далее,
А' — версия предсказуемого носителя А. Положим В(п,р) =
- {и: (u>,S(n,p)(u;)) g Л'} (в силу 2.4 B(n,p) G Fs(nlP)-), и
рассмотрим моменты S'(nyp) = £(п,р)в(п,р)> предсказуемые ввиду
2.10. Наконец, рассмотрим предсказуемое тонкое множество А" =
= UniP[5/(n,p)J.
По построению, Л" С А'. Наоборот, пусть S — предсказуемый
момент и Щ С А'\А". Тогда
Р(5 < оо) = P((pU)s > 0,5 < оо) = P((U)5 > 0,5 < оо) <
< ^ Р(5 = Тп < оо) = J] Р(5 = 2J < оо) <
< ]Г Р(5 = 5(п,р)<оо) = 0
n,p€N
(последнее неравенство вытекает из включения J5J С А'\Л").
Следовательно, в силу 2.18 множество А"\А' пренебрежимо,
откуда А" также является версией предсказуемого носителя Л. □
2.35. Предложение. Пусть X — согласованный
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс. Тогда
процесс X квазинепрерывен слева тогда и только тогда, когда
предсказуемый носитель случайного множества {АХ ф 0} пре-
небрежим. В этом случае РХ — Х_, (это утверждение —
немедленное следствие определения 2.25).
§2е. Дискретный случай
Исследуем, во что превращается понятие предсказуемости в
случае дискретного времени, описанном в § If.
1. Пусть задан дискретный стохастический базис (£l,T,F =
= (^n)n€pjf,P)- Конечно, понятие непрерывного слева процесса
здесь отсутствует, и определение 2.1 нельзя просто перенести на
дискретный случай. Однако, характеризация 2.2(H) уже
допускает такой перенос:

58 Гл. I. Общая теория случайных процессов
2.36. Определение. Предсказуемой а-алгеброй
называется <т-алгебра V в пространстве Q X N, порожденная всеми
процессами X, такими, что величина Х0 измерима относительно
То, и для любого n Е N* величина Хп измерима относительно
Предложение 2.4 доказывается просто, а предложение 2.6
совершенно тривиально и выглядит следующим образом: если
процесс X согласован, то процесс Х_ (определенный в 1.51)
предсказуем; если кроме того X предсказуем, то и процесс АХ
предсказуем.
Перейдем к предсказуемым моментам. Можно было бы начать
с определения 2.7, но проще заметить, что если Т — случайный
момент и X = 1[о,т|[> то Хп = 1{т>п}- Поэтому можно дать
следующее определение, эквивалентное в дискретной ситуации
определению 2.7:
2.37. Определение. Предсказуемым моментом
называется такое отображение Т : Я —* N, что {Т = 0} Е Т0 и
{Т <п} е Тп-1 для всех n Е N*. □
Ясно, что предсказуемый момент является моментом
остановки. Свойства 2.8-2.11, конечно, справедливы (и легко
доказываются); заметим также, что в 2.9(b) условие Un{5 = Tn} = Q,
выполнено всегда, так что нижняя грань любой последовательности
предсказуемых моментов — снова предсказуемый момент.
Интересно отметить также, что момент Т предсказуем тогда
и только тогда, когда он является моментом остановки для новой
фильтрации F", определяемой как То = То и Т~ = Tn-i при
Следующая теорема одновременно обобщает теорему 2.13 и
теорему о сечении 2.14:
2.38. Теорема. Пусть А — предсказуемое случайное
множество. Его дебют Т(и) = inf(n Е N: (o;,n) Е А) является
предсказуемым моментом и удовлетворяет условию [TJ С А
(т.е. Т удовлетворяет условиям теоремы 2.14 с е = 0).
Доказательство. Включение [Т] С А очевидно.

2. Предсказуемая <т-алгебра, предсказуемые моменты 59
Предсказуемость Т следует из равенства {Т < n} = U0<p<n{(l>i)p =
= 1}. □
Теорема 2.15 в дискретном случае неверна, так как если
последовательность (Гп) возрастает, Т = limTn и величины Тп и Т
принимают значения из N, то Тп = Г для достаточно больших
л - n(u) на множестве {Т < оо}. Естественным аналогом
теоремы 2.15 в дискретном случае является следующее очевидное
утверждение:
2.39. Теорема. Случайный момент Т предсказуем тогда
и только тогда, когда {Т = 0} Е Т§ и момент S = (Т — 1)+
является моментом остановки.
Момент остановки S играет здесь ту же роль, что и
предвещающая последовательность (Тп) в 2.15.
Понятия, введенные в §1с, здесь не представляют интереса.
Например, если мы определим вполне недостижимые моменты
остановки с помощью 2.20, то окажется, что
2.40. Единственным вполне недостижимым моментом
остановки является момент Т = оо.
Аналогично, если определить квазинепрерывные слева
процессы с помощью 2.25, то окажется, что
2.41. Процесс X квазинепрерывен слева тогда и только тогда,
когда Хп = Xq п.н. для всех п Е N.
Понятие предсказуемой проекции здесь очень просто. А
именно, справедлива теорема 2.28 и ее доказательство тривиально.
Нужно только заметить, что имеет место следующее свойство:
2.42. Пусть X — согласованный процесс. Определим процесс
РХ как
('Х)о = Хо, (рХ)п = ЦХп\Гп-1) при neN*
(в смысле обобщенных условных математических ожиданий,
введенных в 1.1). Тогда РХ удовлетворяет условиям
2.28(i), (И). □

60 Гл. I. Общая теория слученных процессов
Следствие 2.31 также верно, а его доказательство тривиально
(нужно воспользоваться 2.42). Наконец, понятие предсказуемого
носителя случайного множества не представляет интереса.
2. Покажем теперь, как свести дискретный случай к
непрерывной ситуации. Свяжем с дискретным стохастическим базисом
В "непрерывный" стохастический базис В' как в 1.55. Тогда:
2.43. Момент остановки Т относительно В предсказуем
относительно В тогда и только тогда, когда он предсказуем
относительно В' и предвещается последовательностью Тп = (Т - 1/п)+
при Т < п и Тп = п при Т > п (ср. с 1.57).
2.44. Процесс X на стохастическом базисе В предсказуем
тогда и только тогда, когда соответствующий ему (по формуле 1.59)
процесс X' предсказуем относительно В'. Для любого процесса X
на В выполнено равенство (РХ)' = Р(Х').
Используя эти утверждения, читатель может проверить, что
утверждения для базиса #, кратко изложенные выше, являются
следствиями соответствующих результатов для базиса В'.
3. Возрастающие процессы
§3а. Основные свойства
Начнем с нескольких обозначений. Всюду предполагается
фиксированным некоторый стохастический базис (ft, T, F, Р).
3.1. Определение. Обозначим через V+
(соответственно, V) совокупность всех числовых процессов А, являющихся
непрерывными справа, имеющими пределы слева,
согласованными и такими, что А0 = 0 и любая траектория t ~+ At(u>) является
неубывающей (соответственно, имеет конечную вариацию на
любом конечном интервале [0, £]). D
Мы будем кратко называть процессы из класса V+
(соответственно, V) согласованными возрастающими процессами
(соответственно, согласованными процессами ограниченной вариации;

3. Возрастающие процессы 61
термины "ограниченная вариация" и "конечная вариация"
используются далее как синонимы). Заметим, что процесс A Е V+
имеет предельное значение Аоо (смотри 1.38), принадлежащее R+:
3.2. i4oo=limAt.
«Too
Пусть A Е V. Обозначим через Var(A) процесс-вариацию А, т.е.
такой процесс, что значение Уы(А)г(и) равно полной вариации
функции s —> А3(и>) на интервале [О,*]. Конечно, Var(A) = А для
AEV+.
3.3. Предложение. Пусть А Е V. Существует
единственная пара (В, С) согласованных возрастающих процессов,
таких, что А = В —С и Var(A) = В+С (следовательно, Var(A) Е
Е V+ и V = V+ 0 V+). Более того, если А предсказуем, то В,
С и Var(A) также предсказуемы.
Доказательство. Рассматривая каждую
траекторию отдельно, можно установить существование единственной
пары процессов (В,С), BQ = Со = О, с неубывающими
траекториями, непрерывных справа, имеющих пределы слева и таких,
что Л = В-Си Var(A) = В + С. А именно, следует положить
Б = (А + Var(A))/2 и С = В - Л. Остается лишь доказать, что
процесс Var(A) согласован (соответственно, предсказуем, если А
предсказуем).
По определению процесса Уаг(Л) имеем
Var(A)«(u;) = lim ]Г \Atk/n(uj) - At((jk_1)/n)(u;)|,
(П) 1<*<п
и это выражение, очевидно, ^-измеримо. Итак, процесс Var(A)
согласован.
Предположим теперь, что процесс А предсказуем. Процесс
Уаг(Л)_ непрерывен слева и согласован и стало быть,
предсказуем. Процесс скачков A[Var(A)] также предсказуем, ибо
равен |ДЛ|. Итак, процесс Уаг(Л) = Уаг(Л)_ + Д[Уаг(Л)]
предсказуем. □

62 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Пусть снова Л 6 V. При каждом u £ ft траектория t —► At(u;)
является функцией распределения некоторой меры со знаком (для
возрастающего процесса А — положительной меры) на R+,
конечной на любом интервале [0,/], и конечной на R+ тогда и только
тогда, когда Уаг(Л)оо(и;) < оо. Обозначим эту меру dAt(u>).
Скажем, что dA <С сШ, где А, В £ V, если мера dAt(u>)
абсолютно непрерывна относительно меры dBt(u) для почти всех
и £ О.
Пусть A £ V и Н — опциональный процесс. В силу 1.21,
функция t —> Ht(u) является борелевской. Следовательно, можно
определить интегральный процесс или процесс-интеграл от
процесса Н по процессу А, обозначаемый далее Н • Л или /0 HsdAs,
как процесс, задаваемый формулой
3.4.
H-At{u,)=[fiH'MdA'M> если/J |Я,ИИУаг(А)ЬИ < оо,
I +оо в остальных случаях.
3.5. Предложение. Пусть А £ V (соответственно,
V+) и пусть процесс Н опционален (соответственно,
опционален и неотрицателен) и таков, что процесс В = Н • А конечен.
Тогда В £ V (соответственно, В £ V+) и dB <C dA. Если,
кроме того, А и Н предсказуемы, то и В предсказуем.
Доказательство. Если процесс В конечен, то он,
очевидно, непрерывен справа, имеет пределы слева, и его
траектории имеют конечную вариацию на конечных интервалах.
Кроме того, В0 = 0. Остается доказать, что процесс В согласован.
Зафиксируем t £ R+. Полагая n(u,ds) = dAs(u)l{s<t}, мы
получаем для каждого и меру fi(u,-) на [0,2], такую, что величина
/*(-,/) ^-измерима для любого интервала /. С другой стороны,
отображение (u;,s) —» Hs(u) является Tt ® б([0,/])-измеримым на
$7 х [0,2]. Применяя теперь теорему Фубини для переходных мер,
мы получаем ^-измеримость величины Bt.
Очевидно, dB < dA, и В £ V+ для возрастающего процесса А
и неотрицательного Н. Предположим, наконец, что процессы А и
Н предсказуемы. Тогда процесс АВ = НАА также предсказуем,
а с ним и В = В. + АВ. □

3. Возрастающие процессы 63
Справедливо и обратное утверждение, которое из-за
требований измеримости, удивительно трудно доказывается; мы
приводим его в конце параграфа (смотри предложение 3.13).
3.6. Обозначим через А* совокупность всех процессов А Е
£ V+, являющихся интегрируемыми: Е(Лоо) < оо.
3.7. Через А обозначается класс всех процессов A Е V,
имеющих интегрируемую вариацию: E(Var(A)oo) < оо. В силу 3.3
А = А+0А+.
3.8. Через Ate и А\ос обозначим локальные классы,
построенные по Л+ и А (смотри 1.33). Процессы из класса Ate
(соответственно Аос) называются локально интегрируемыми
согласованными возрастающими процессами (соответственно,
согласованными процессами с локально интегрируемой вариацией).
Отметим, что классы V, Vй", А А+ замкнуты относительно
остановки, и что локальные классы Vioc и V£c совпадают с V и
V+. Справедливы также следующие очевидные включения:
з.9. A>c=Atc e Ate, Л+ с Ate с v+, Ac Аос с V.
3.10. Лемма. Пусть предсказуемый процесс А
принадлежит V. Найдется локализующая последовательность (Sn)
моментов остановки, такая, что Уаг(Л)5л < п п.н. В частности,
А е Аос-
Доказательство. Процесс В = Уаг(Л) предсказуем
ввиду 3.3. Положим Тп = inf(*: Bt > п). Момент Тп
предсказуем по тем же причинам, что и в следующей ниже лемме
3.12. Пусть {5(п,р)} 6де — последовательность моментов
остановки, предвещающая Тп (см. 2.16). Найдется целое число рп,
такое, что P(S(n,pn) < Тп - 1) < 2"п. Окончательно, положим
Sn = supm<n5(m,pm). Тогда Sn < supm<n Tm = Tn п.н., откуда
&sn < n п.н. Кроме того, limn Tn = оо, и легко проверить, что
возрастающая последовательность (Sn) стремится п.н. к +<х>. П

64 Гл. I. Общая теория случайных процессов
3.11. Лемма. Любой локальный мартингал,
принадлежащий V, принадлежит также Л\ос.
Доказательство. Используя локализацию,
достаточно доказать, что, любой процесс X £ М П V принадлежит
А\ос- Положим Тп = mf(t: Var(X)t > n). Моменты
остановки Гп, возрастая, стремятся к +<х>. Для любого ( G R+ имеем
|*i-| < Var(X)t_ и A[Var(X)]< = \AXt\ < \Xt-\ + \Xt\. Отсюда
Уаг(Х)тл < 2п + |*тл|> и, так как величина Хтп интегрируема в
силу 1.42, то величина Уаг(Х)тЛ также интегрируема. Отсюда
следует, что процесс Var(X) £ -4£с, а с ним и X £ *4ioc-
3.12. Лемма. Пусть А £ А, М — ограниченный
мартингал и Т — момент остановки. Тогда Е(МтАт) = Е(М -
Ат)- Если, кроме того, процесс А предсказуем, то Е(МтАт) =
= Е(М_ЛТ).
Доказательство. В силу 3.3 можно представить
процесс А в виде А = В — С, где процессы Я, С £ -4+ (и
предсказуемы, если Л предсказуем). Если утверждение справедливо для
В и Су оно очевидно выполнено и для А, т.е. мы можем и будем
предполагать, что А £ Л+.
Пусть Cf = inf (s: As > t). В силу 1.28 Ct — момент остановки.
Кроме того, Ct — дебют случайного множества {А > t} и [С*]] С
С {А > £}; поэтому для предсказуемого процесса А момент С\ II
также предсказуем (см. 2.13). Кроме того, {Ct < s} = {Л5 > *}, *
и поэтому
с» с»
(1) /л.И <М. И = J Hc.(w)Uc.M<oo)ds
О О
для любой функции 5 —► Hs(u) вида Hs(u) = l[o,t](^)- С помощью
теоремы о монотонных классах, (1) проверяется для всех
ограниченных измеримых функций s —> Н9{и), или, что то же самое,
для всех ограниченных измеримых процессов. Отсюда
оо оо
Е(МТАТ) = е(|мт1{,<т}<М,) (=} Е^Мт1{с.<то}1{с.<т}^) (=
J.

3. Возрастающие процессы
65
(2) (=} JdsE(MTl{c.<oo]l{c.<T}) = JdsE(Mc.l{c.<oo}l{c.<T}) =>
СО
Е( IМс,1{сш<оо}Цс,<т} ds) =
о
со
(3) (=} e(JmsI{,<t} dA,) = Е(М • Ат),
О
где мы последовательно воспользовались (а) — соотношением (1)
для Hs = Мт1{3<т}у (Ь) — теоремой Фубини, (с) — теоремой об
остановке 1.42, примененной к моментам остановки Т, С8 и к
мартингалу М € M) (d) — снова теоремой Фубини, и наконец, (е) —
снова соотношением (1) для Н8 = Мт1{8<т}- Итак, мы доказали
утверждение для опционального процесса А. Пусть теперь
процесс А предсказуем. Тогда момент С8 предсказуем, и пользуясь
2.27 (вместо 1.42), мы можем заменить в (2) Мс, на М(С.)~-
Тогда вместо равенства (3), применяя соотношение (1) к процессу
Hs = Ms_\{8<t), мы получаем
со
Е(МТАТ) = • • • = ъПм8Л{8<т)<1А8\ = Е(М_ • Ат). D
3.13. Предложение. Пусть процессы Л, В £ V
{соответственно, V+) таковы, что dB < dA. Найдется
опциональный (соответственно, опциональный неотрицательный)
процесс Н, такой, что В = Н • А с точностью до пренебре-
жимого множества. Если процессы А и В предсказуемы, то и
Н можно выбрать предсказуемым.
Доказательство, (i) Докажем сначала нужное
утверждение для случая, когда А и В принадлежат А4". Для любого
ограниченного опционального процесса Н положим
(1) т(Н) = Е(Я - А*), т\И) = Е(Я • £«,).
3- Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

66 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Мы ввели тем самым две положительные конечные меры га и-т'
на (Я х R+,0). Если для множества D Е О имеет место
равенство m(D) = 0, то 1р • Лоо = 0 п.н., и следовательно, lD • Д» = О
п.н., так как dB <C dA. В свою очередь, отсюда m'{D) = 0 и
мера га' абсолютно непрерывна относительно га. Обозначим через
Н неотрицательный опциональный процесс, являющийся
версией производной Радона-Никодима меры га' по мере га. Положим
В1 = Н • А. Докажем теперь, что процессы В к В* неразличимы,
что и требуется доказать в опциональном случае.
Для этого ввиду непрерывности справа процессов В к В'
достаточно показать, что В[ = Вх п.н. для любого t£R+- В свою
очередь, ввиду согласованности В и В' последнее свойство
эквивалентно соотношению E(B'tlF) = E(BtlF) для любых / G К+,
F G Tt. Пусть М — такой процесс из класса Л4, что М8 =
= E(1^|J"3) при s Е R+. Процесс М ограничен, и пользуясь 3.12
и определением Я, имеем
(2) E(BtlF) = E(MtBt) = E(M • Bt) = ЩНМ) • At) =
= Е(М - В[) = Е{МВ[) = E(B'tlF)y
что и требовалось.
(ii) Предположим теперь, что процессы Л,5Е -4+
предсказуемы. В этом случае нужно видоизменить предыдущее рассуждение
следующим образом: определить га и га' в (1) для всех
ограниченных предсказуемых процессов и ввести тем самым меры га,
га' на (Q х R+,7^). В этом случае производная Радона-Никодима
Н предсказуема, и процесс В' = Н • А также предсказуем. Тогда
ввиду 3.12 и определения Н можно заменить в (2) Е(М • Bt) на
Е(М_ • В«), и Е((НМ) • At) на Е((ЯМ). - At) = Е(М_ - В[), откуда
в силу 3.12 вытекает нужное утверждение.
(Ш) Пусть теперь A,fiE V+. Положим Tn = mf{t: At + Bt >
> гс} и
Моменты Тп являются моментами остановки. Они
предсказуемы, если А и В предсказуемы. Тогда процессы Л(п), B(n) Е Л+,

3. Возрастающие процессы
67
и эти процессы предсказуемы, если А и В предсказуемы. Кроме
того, очевидно, dB(n) < dA(n). По доказанному найдется
опциональный неотрицательный процесс Я(п), предсказуемый, если
предсказуемы А и В, и такой, что процессы Н(п) • А(п) и В(п)
неразличимы. Тогда процесс Н = ]С#(га)1[тЛ-1,Тп1
неотрицателен, опционален (соответственно, предсказуем) и В = Н • А с
точностью до пренебрежимого множества.
(iv) Предположим, наконец, что А,5 е V. Пусть процессы
А', А", В', В" G V+ удовлетворяют соотношениям А = А' — Л",
Var(A) = Л' + А", В = В' - В", Var(B) = 5' + В", и
предсказуемы, если предсказуемы А и В. Тогда меры cL4', dA", dB\
dB" абсолютно непрерывны по отношению к мере d[Var(A)] и в
силу (Hi) существуют неотрицательные конечные процессы Я',
#", К\ К", предсказуемые, если предсказуемы А и Я, и
такие, что А' = Н' • Var(A), A!' = Я" • Var(A), Я' = К1 • Var(A),
Я" = .йГ" • Var(A), с точностью до пренебрежимого множества.
Более того, мы можем выбрать версии Я' и Я" так, чтобы
процесс Я' — Я" принимал лишь значения +1 и -1. Тогда
процесс Я = {К1 — #")/(#' — Я") удовлетворяет требованиям
теоремы. □
3.14. Предложение, а) Пусть A Е А\ос « пусть
локальный мартингал М является локально ограниченным. Тогда
процесс МА - М • А является локальным мартингалом.
Ь) Если, кроме того, процесс А предсказуем, то процесс
МА — М_ • А также является локальным мартингалом.
Доказательство. Используя локализацию, мы
можем считать, что А € А, М G «М, и процесс М ограничен.
Нужное нам утверждение выводится теперь из 1.44 и 3.12. П
§ЗЬ. Разложение Дуба-Мейера и компенсаторы
возрастающих процессов
1. Во-первых, приведем без доказательства (см. [33,36])
следующий результат, принадлежащий Мейеру и известный как
"разложение Дуба-Мейера для субмартингалов".
з*

68 Гл. I. Общая теория случайных процессов
3.15. Теорема. Если X — субмартингал класса (D) (см.
1.46), то существует единственный (с точностью до
неразличимости) возрастающий интегрируемый предсказуемый процесс А
с А0 = 0, такой, что процесс X — А — равномерно
интегрируемый мартингал.
3.16. Следствие. Любой предсказуемый локальный
мартингал, принадлежащий V, равен 0 (с точностью до пре-
небрежимого множества).
Доказательство. Используя локализацию,
достаточно доказать, что если процесс X Е М Л Л предсказуем, то
X = 0 с точностью до пренебрежимого множества (напомним,
что Alloc Л V С Лос в силу 3.11). Ввиду 3.3 X = А - В, где
процессы Л, В 6 -4+ предсказуемы. Так как А € -4+ — субмартингал
класса (D), из 3.15 вытекает существование единственного с
точностью до пренебрежимого множества процесса Л' G Л+, такого,
что А — А! 6 М. Но оба процесса Л' = А и Л' = В
удовлетворяют этим условиям, откуда процесс X = Л — В равен нулю с
точностью до пренебрежимого множества. □
2. Сформулируем еще одно очень важное следствие.
3.17. Теорема. Пусть A Е Л£с. Существует
единственный с точностью до пренебрежимого множества процесс,
называемый компенсатором А и обозначаемый Ар, являющийся
предсказуемым процессом из класса А\ос, обладающим любым из
следующих трех эквивалентных свойств:
(i) Л — АР — локальный мартингал;
(ii) Е(Л^) = Е(АТ) для всех моментов остановки Т;
(ш) Е[(Я • Лр)оо] = Е[(# • Л)оо] для всех неотрицательных
предсказуемых процессов Н.
Иногда Ар называют "предсказуемым компенсатором" крон' <
са Л, или "дуальной предсказуемой проекцией" Л.
Доказательство. Имеем (Ш) => (ii) (достаточно
положить Н = 1[o,ti ) и 00 => (ui) (по теореме о монотонных
классах, используя 2.2 и равенство А0 = А% = 0). Для доказательства
эквивалентности (i) <& (ii) рассмотрим локализующую последова-

3. Возрастающие процессы
69
тельность (Тп), такую, что АТп и (Ар)Тп принадлежат Л+.
Тогда свойство (i) эквивалентно принадлежности (А - Ap)Tn G М
для всех п, что в силу 1.44 эквивалентно равенству Е(Атлтп) =
= Е(Л^лТл) для всех п и любого момента остановки Г, что в
свою очередь эквивалентно (ii), ибо limn | Е(ЛтлтЛ) = Е(Ат) и
ит„ТЕ(Л5-АТ.) = Е(Л5.).
Если найдутся два предсказуемых процесса из -4£с,
удовлетворяющие (i), их разность будет предсказуемым локальным
мартингалом из класса V, и из 3.16 вытекает единственность.
Остается доказать существование предсказуемого процесса
Ар G A*QCJ удовлетворяющего (i). Пусть (Тп) — локализующая
последовательность, такая, что ATn G -4+; процессы АТп
являются субмартингалами класса (D). Из 3.15 следует существование
предсказуемого процесса B(n) G А+ такого, что АТя — B(n) G М,
а ввиду единственности В(п + 1)Тп = В(п). Таким образом,
процесс Ар = J2n ^(n)l]Tn.lfTni предсказуем, атак как (Ap)Tn = В(п),
то Ар G А?ос и А - Ар G Alloc- □
Приведем очевидное, но менее известное обобщение этой
теоремы.
3.18. Теорема. Пусть A G -4ioc- Существует
единственный с точностью до пренебрежимого множества процесс,
также называемый компенсатором А и обозначаемый АР,
являющийся предсказуемым процессом из класса A\OCf таким, что
А — АР — локальный мартингал.
Более того, для любого предсказуемого процесса Н, такого,
что Н • A G А\ОС9 процесс Н • Ар также принадлежит А\ос и
Н • Ар = (Н • А)р, и в частности, П • А — Н • АР — локальный
мартингал.
Доказательство. Ввиду 3.3 имеем А = В - С, где
В,С G А+ос, (ибо В + С = Уаг(Л) G А+ос по предположению).
Тогда процесс АР = 2?р — Ср является предсказуемым процессом из
-4ioc, и А — АР G Alloc- Если найдутся два процесса,
удовлетворяющих нужным требованиям, их разность будет предсказуемым
локальным мартингалом, принадлежащим А\ОСу и в силу 3.16
будет равна 0 с точностью до пренебрежимого множества.

70 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Пусть Я — предсказуемый процесс, такой, что Я • A Е А\ос-
Тогда Я+ • В Е А*ос и в силу 3.5 Я+ • Вр — предсказуемый
процесс, принадлежащий классу Л£с. Для любого другого
неотрицательного предсказуемого процесса К имеем Е[(1ГЯ+) • 2?£j =
= E[(M+)-Д*] в силу 3.17(ш). Но (КН+)В = К-(Н+В);
аналогичное соотношение справедливо и для Вр. Поэтому из 3.17(ш)
следует, что Я+ • Вр = (Я+ • В)р. Аналогично проверяется, что
Я" Вр = (Я" • В)р, Н* Ср = (Н± • С)р и все эти процессы
принадлежат А*ос. Второе утверждение теоремы следует теперь
из равенств:
НА = Н+В + Н-С-Н~В-Н+С,
Я • Ар = Я+ • Вр + Я" - Ср - Я" - Вр - Я+ • Ср. П
Приведем другие очевидные свойства компенсаторов:
3.19. Если процесс А Е А\ос предсказуем, то Ар = А.
3.20. Если процесс А Е ,Д1ос и Г — момент остановки, то
(Ат)р = (Ар)т.
3.21. Если процесс A Е -4ioc? то Р(ДЛ) = А(Ар)
(воспользуйтесь 2.31 и принадлежностью А - Ар £ М\ос)-
3.22. Если процесс А Е А\ос> то А — локальный мартингал
тогда и только тогда, когда Ар = 0.
3.23. Если процесс A G Mioc П V и Я — предсказуемый
процесс, такой, что Я • А Е -4ioc, то процесс НА — локальный мл^-
тингал (поскольку (Я • А)р = Н • Ар и Ар = 0 ввиду
3.22). □
Подчеркнем, что компенсатор Ар процесса А Е А\ос обычно не
совпадает с предсказуемой проекцией рА (смотри пример после
доказательства утверждения 3.27).
3. Фундаментальный пример: точечные процессы и пуас-
соновский процесс. По определению, согласованным точечным
процессом называется процесс N Е V+ со значениями из N,
скачки которого равны 1 (т.е. процесс скачков AN принимает только

3. Возрастающие процессы
71
значения 0 или 1). Иногда такой процесс называют "простым"
точечным процессом, имея ввиду указанное выше предположение,
что AN — О или 1; если Nt интерпретируется как число
"событий", появившихся на интервале (0,2], то это предположение
означает, что два или более события не могут появиться
одновременно.
Свяжем с точечным процессом N последовательность
моментов остановки
3.24. Tn=mf(t: Nt = n).
Заметим, что Т0 = 0, Тп < Тп+1 на множестве {Тп < оо} и
limn Tn = оо. В свою очередь, последовательность (Тп) полностью
определяет процесс 7V, ибо
3.25. N = £ 1р..|0о1.
Наконец, заметим, что любой согласованный точечный процесс
является локально интегрируемым, и даже локально
ограниченным, ибо Nrn < п.
3.26. Определение, а) Общим пуассоновским
процессом на (ft,.F, F,P) (или, относительно F) называется
согласованный точечный процесс N такой, что
(i) E(Nt) < оо для любого t E R+;
(ii) Nt — Ns не зависит от а-алгебры Ts для любых 0 < s < t.
b) Функция a(t) = E(7Vt) называется интенсивностью
процесса N. Если эта функция непрерывна, мы называем процесс N
пуассоновским; если a(t) = tf, мы говорим, что N —
стандартный пуассоновский процесс.
Позднее мы покажем, что для пуассоновского процесса N
величина Nt — Ns имеет пуассоновское распределение со средним
a(t) - a(s). Сейчас займемся вычислением компенсатора.
3.27. Предложение. Пусть N — общий
пуассоновский процесс на (ft, J",F,P) с интенсивностью а(-).
(а) Компенсатор процесса N равен N? = a(t).

72 Гл. I. Общая теория случайных процессов
(Ь) Процесс N квазинепрерывен слева тогда и только тогда,
когда он является пуассоновским (позднее мы докажем
утверждение, обратное к (а)).
Доказательство. Из определения общего
пуассоновского процесса немедленно получаем, что E(Nt - N^J7,) = a(t) -
-a(s) для s < t. Стало быть, Xt = Nt — a(t) — мартингал и
At = a(t) — предсказуемый (ввиду неслучайности) процесс из
класса Л^с. Итак, мы доказали (а).
Ввиду 3.21, имеем для всех предсказуемых моментов Т:
3.28. Р(Д7\ГТ ф О, Г < оо) = Е(Д7\Гт1{т<оо}) =
= Е{£(ДЛГТ|^Т_)1{Т<00)} = Е(Д<Г)1{т<оо}).
Поэтому, если функция a(t) непрерывна, то из 3.28 следует
равенство Р(ДЛгт ф О, Г < оо) = 0 для любого предсказуемого
момента Г, что в свою очередь означает квазинепрерывность слева
процесса N. Обратно, если функция a(t) имеет разрыв в точке £,
то из 3.28 P(ANt ф 0) = Aa(t) > 0, и следовательно, процесс N
не является квазинепрерывным слева. Итак, доказано и свойство
(Ъ). D
Заметим, что, воспользовавшись 2.35, мы можем установить
для пуассоновского процесса равенство PN = i\L. Тем самым, мы
построили пример, когда PN ф Np.
§3с. Свойство доминирования Ленгляра
Введем принадлежащее Ленгляру отношение
"доминирования" между процессами, приводящее к нескольким весьма
полезным неравенствам.
3.29. Определение. Пусть процессы ХиУ
опциональны. Скажем, что процесс У L-доминирует процесс X (или:
процесс X L-доминируется процессом У), если Е(|Хр|) < Е(|Уг|)
для любого ограниченного момента остановки Г.
3.30. Лемма. Пусть X — непрерывный справа и
имеющий пределы слева согласованный процесс, и пусть
возрастающий процесс А L-доминирует процесс X. Пусть Т — момент
остановки и е,г) > 0. Тогда:

3. Возрастающие процессы
73
a) если процесс А предсказуем, то
3.31. Р(8пр|Х.|>е)<- + Р(Лт>?);
*<Т 5
b) если процесс А согласован, то
3.32. Р(sup \Xg\ >е)< -[т/+Е( sup АА9)] + Р(ЛТ > т/).
*<Т £ *<Т
Доказательство. Поскольку P(sup,<T \Х8\ > е) =
= Um„P(sup5<T \Х8\ > е - 1/га), то достаточно доказать 3.31 и
3.32 с заменой левой части на величину P(sup,<T \XS\ > e).
Пусть Тп = Т Л п. Тогда
lim J P( sup \XS\ >e) = P(sup|X,| > г),
п s<Tn з<Т
]im1?(ATn>ri)<V(AT>Ti)\
n
lim|E( sup AAS) = E( sup ДА,),
n s<Tn s<Tn
и поэтому достаточно доказать утверждения для моментов Гп.
Другими словами, мы можем считать момент Г ограниченным.
Положим R = mf(s: \Х8\ > е) и S = inf(,s: A8 > rj). Момент R
является моментом остановки, а момент S — момент остановки
в случае (Ь) и предсказуемый момент в случае (а), ввиду 1.28 и
2.13. Кроме того, {supe<T \Xa\ > е} С {Ат > т/} U {R < Т < 5},
откуда
3.33. Р( sup \XS\ >e)<?(R<T<S) + Р(ЛТ > rj).
8<Т
а) Пусть процесс А предсказуем. Тогда момент 5 предвещается
последовательностью (Sn) моментов остановки, и
Р(Д < Т < S) < ШпР(Д < Г < 5n) < 1ппР(|ХЛлТл5я| > е) <
п п
3-34. < ~итЕ(ЛЯлтл5л)
е п
Имеется в виду, что, возможно, Р(Т = оо) > 0.

74 Гл. 1. Общая теория случайных процессов
в силу 3.29. Кроме того, Sn < S п.н. на {S > 0}, откуда
Aratas« < ASn < Ц п.н., и 3.31 следует теперь из 3.33 и 3.34.
Ь) Пусть теперь А согласован. Тогда, как и выше,
Р(Д < Г < 5) < Р(|Хядтд5| > е) < ^Е(Лядтл5)
и A^aTas < *? + sup5<T ДА5. Нужный результат следует теперь
из 3.33. " D
§3d. Дискретный случай
Пусть теперь В = (fl,^", F = (^п)п€^?Р) — дискретный
стохастический базис. Проследим, как введенные понятия
видоизменяются в этой простой ситуации.
1. Во-первых, понятие процесса с ограниченной вариацией
предельно упрощается: любой процесс с дискретным временем
имеет конечную вариацию. Точнее, определение 3.1
преобразуется следующим образом:
3.35. Определения. а) Множество V+ согласованных
возрастающих процессов определяется как множество всех
согласованных процессов А с А0 = 0, таких, что Ап < Лп+1 для всех
п G N.
Ь) Множество V согласованных процессов с ограниченной
вариацией определяется как множество всех согласованных
процессов А с А0 = 0.
Если A G V, его вариация Уаг(Л) — это процесс,
определяемый формулой
3.36. Var(A)n= £ |ДЛР|= £ \АР-Ар.г\.
0<р<п 1<Р<п
Предложение 3.3 тривиально: нужно взять Вп = Y^o<p<n(AAp)+
иСп = Ео<Р<п(Н)"-
Скажем, что dB < cL4, если ДВП = 0 п.н. на множестве
{ААп = 0}, для любого п G N. Определим интеграл Н • А как
процесс, задаваемый соотношением
3.37. НАп= J2 НРААР= £ НР(АР-Ар.г).
0<р<п 1<р<п

3. Возрастающие процессы
75
Предложение 3.5 также тривиально, а для доказательства 3.13
можно непосредственно показать, что процесс
Вп - Вп^х
нп - -j ^ 1{«>i)1{^n^n-i}
обладает нужными свойствами.
Определения Л, Лос, *4+> А*ос аналогичны определениям
§3а, а утверждения 3.10, 3.11 и 3.14 сохраняют силу
(доказательства утверждений 3.10 и 3.11 в основном такие же, как и в общем
случае, а доказательство 3.14 тривиально, с точностью до
локализации).
2. Обратимся теперь к разложению Дуба, которое, как мы
сейчас покажем, сохраняется и в дискретном случае.
3.38. Теорема. Пусть X — субмартингал класса (D).
Существует предсказуемый возрастающий интегрируемый
процесс А такощ что X — А Е М. Если А1 — другой процесс с
этими свойствами, то А'п = Ап п.н. для любого п Е N.
Доказательство. Предположим сначала, что
процесс А удовлетворяет всем необходимым требованиям. Тогда
ввиду предсказуемости
0 = Е[(Х - Л)п+1 - (X - А)п\Тп] = Е(Хп+1 - Хп\Тп) - (Лп+1 - Ап)
и тем самым величина Лп+1 — Ап = Е(Хп+1 — Хп\Тп)
однозначно определена с точностью до множества Р-меры нуль. Так как
А0 = 0, отсюда следует единственность. Для доказательства
существования, определим предсказуемый возрастающий процесс
Л, полагая А0 = 0 и
Ап= £ Е(Хр+1 - Xp|JTp).
0<р<п-1
Вычисления, аналогичные проделанным выше, показывают, что
X - А — мартингал. Кроме того, Е(ЛП) = Е(Хп) - Е(Х0), и
так как X принадлежит классу (D), то Е(Лоо) = supE(An) < оо,
т-е. А е А*. Равномерная интегрируемость процесса X — А
очевидна. □
Следствие 3.16 очевидно, и может быть сформулировано
следующим образом:

76 Гл. I. Общая теория случайных процессов
3.39. Следствие. Любой локальный мартингал X,
являющийся предсказуемым, удовлетворяет условию Хп — Х0
п.н. для любого п Е N.
Теоремы 3.17 и 3.18 и свойства 3.19 и 3.23 сохраняют силу. Все
они доказываются очень просто, если заметить, что следующая
формула дает точное выражение для компенсатора процесса А Е
3.40. (А')я= £ [E^I^O-Vi]
1<р<п
(условные ожидания понимаются в обобщенном смысле).
3. Как обычно, свяжем с дискретным базисом В непрерывный
базис В' по формуле 1.55, и с любым процессом X на базисе В —
процесс X' на базисе В'. Тогда:
3.41. Процесс X — субмартингал класса (D) по отношению к
В тогда и только тогда, когда X' обладает тем же свойством по
отношению к В'\ процесс А связан с процессом X как в теореме
3.38 тогда и только тогда, когда А' связан с X', как в 3.15. П
3.42. Процесс А принадлежит А\ос{В) тогда и только тогда,
когда А' Е А\ос(В') (обозначения очевидны), и в этом случае
(AJ = (А*)'. □
4. Семимартингалы и стохастические интегралы
Мы уже готовы к изложению большинства "классических"
результатов о семимартингалах. Мы введем также стохастические
интегралы от локально ограниченных процессов; время от
времени они будут использоваться в этой книге. Они являются также
важным инструментом при построении квадратической вариации
семимартингалов и работе с их "характеристиками".
Мы будем вести изложение кратчайшим возможным путем,
оставляя в стороне значительное число интересных свойств
(важнейшее из них — характеризация семимартингалов как наиболее
общего класса процессов, по которому возможно стохастическое

4. Семи мартингалы и стохастические интегралы 77
интегрирование). Отметим также, что существуют и другие
изложения этого материала; здесь мы следуем довольно близко
книге Деллашери и Мейера [36] (включая и доказательства).
§4а. Локально квадратично интегрируемые
мартингалы
В этом разделе считается фиксированным некоторый
стохастический базис (ft,.F,F,P). Напомним, что через И2
обозначается совокупность всех квадратично интегрируемых
мартингалов, а через Н2ос — соответствующий локальный класс (так
называемые "локально квадратично интегрируемые мартингалы").
Следующее утверждение очевидно:
4.1. Если для локального мартингала М величина М0 6 L2 и
процесс ДМ локально ограничен, то М Е Н2ос.
4.2. Теорема. С любой парой (М, N) локально
квадратично интегрируемых мартингалов можно связать
предсказуемый процесс {М, N) £ V, единственный с точностью до прене-
брежимого множества, такой, что процесс MN — (М, N)
является локальным мартингалом. Кроме того,
4.3. (М, N) = ^((М + N,M + N)-(M-N,M- TV)),
и если MyN е Н2, то (M,N) Е А и MN - (MyN) G М.
Более того, процесс (М, М) является неубывающим, он обладает
непрерывной версией тогда и только тогда, когда процесс М
квазинепрерывен слева.
Процесс (MjN) называется предсказуемой квадратической
ковариацией (причина этого станет ясна в §4с), или
квадратической характеристикой, или угловой скобкой для пары (M,N).
Заметим, что
4.4. (M,N) = {M-M0,N-N0).

78 Гл. L Общая теория случайных процессов
Доказательство. Единственность немедленно
вытекает из равенства нулю любого предсказуемого локального
мартингала из класса V (см. 3.16). В свою очередь, 4.3 следует из
единственности и равенства MN = [(М + N)2 — (М — 7V)2]/4.
Ввиду 4.3 достаточно доказать существование для случая
М = N, и, используя локализацию, мы можем считать, что М Е
Н2. В этом случае величина sup, М2 интегрируема в силу 1.43,
откуда следует, что процесс X = М2 принадлежит классу (D).
Кроме того, X — субмартингал ввиду неравенства Йенсена.
Воспользовавшись разложением Дуба-Мейера (теорема 3.15) для
процесса X, мы устанавливаем существование предсказуемого
процесса (МУМ) G -4+, удовлетворяющего условию М2 - {М,М) Е
М.
Остается доказать утверждение, связанное с
квазинепрерывностью слева процесса М. Простые вычисления показывают, что
Д(М2) = (ДМ)2 - 2М_ДМ. Но тогда из 2.31 и того, что М2 -
(МУМ) G М\осу следует соотношение Д((М, М}) = Р[Д(М2)] =
= Р[(ДМ)2]. Из определения предсказуемой проекции
непосредственно следует, что множества {р(1{дм*о}) > 0} и {Р[(ДМ)2] >
0} совпадают с точностью до пренебрежимого множества.
Нужный результат следует теперь из 2.35. □
Между элементами М пространства Н2 и их предельными
значениями Моо существует взаимно-однозначное соответствие.
Поэтому естественно снабдить Н2 структурой гильбертова
пространства, определяя для элементов MyN EH2 скалярное
произведение и норму соотношениями
4.5. (M,N)H, = E(M0ONeo), \\М\\„ = ||МТО||£3.
Пространство Н2 при этом действительно становится
гильбертовым пространством: если последовательность (Мп) есть
последовательность Коши в норме || • ||#з, то последовательность (М£)
есть последовательность Коши в i2(Q, J"00_,P), и, стало быть,
имеет в этом пространстве предел Моо. Пусть М —
(единственный) мартингал с предельным значением М^, тогда процесс М
принадлежит Н2 и ||МП - М\\н* -» 0.

4. Сем и мартингалы и стохастические интегралы 79
Ввиду предыдущей теоремы имеем
4.6. (М, N)H2 = Е((М, ЛГ)оо) + E(MoTVo).
4.7. Лемма. Если Мп сходится к М в Н2, то sup5€]^ |M5n-
-м,|-о б!2.
Доказательство. Это утверждение немедленно
следует из неравенства Дуба 1.43. □
4.8. Следствие. Множество всех непрерывных
элементов V? является замкнутым подпространством И2.
Фундаментальный пример — винеровский процесс.
4.9. Определения. а) Винеровским процессом на
(ft, T, F, Р) (или — по отношению к F) называется непрерывный
согласованный процесс W, такой, что W0 = 0и
(i) Ij(W2) < do для всех iEl+и E(Wt) = 0 для всех t e И+;
(ii) Wt - Ws не зависит от а-алгебры !F8 для всех 0 < s < t.
b) Функция cr2(t) = E(W2) называется дисперсией
(рассеянием) процесса W. Если cr2(t) = t, мы называем W
стандартным винеровским процессом (вместо термина "винеровский
процесс" широко употребляется также термин "броуновское
движение"). □
Если сравнить это определение с определением пуассоновского
процесса (см. 3.26), то можно заметить, что мы не вводим
понятия "общего" винеровского процесса. Конечно, хорошо
известно, (и будет доказано ниже), что винеровский процесс является
гауссовским, и мы позднее изучим все гауссовские мартингалы
(в том числе и разрывные). Заметим, что приведенное
определение является лишь одним из многих возможных определений
винеровского процесса (вместо этого, мы могли бы определить W
как гауссовский процесс с непрерывной функцией cr2(t),
удовлетворяющий условию (ii); отсюда будет следовать существование
версии с непрерывными траекториями).
Сейчас мы докажем следующее утверждение, позднее для него
будет доказано обратное.
!ЧГ-

80 Гл. I. Общая теория случайных процессов
4.10. Предложение. Винеров ский процесс W
является непрерывным мартингалом, и его угловая скобка (W, W)
определяется соотношением (W, W)t(u) = o2(t), где <т2(-) — функция
вариации.
Доказательство. Первое утверждение очевидно
(воспользуйтесь 4.9Н и равенством E(Wt) = 0). Заметим, что
<т2(-) — непрерывная функция, равная нулю при t = 0 и
возрастающая, так как в силу неравенства Йенсена W2 — субмартингал.
Таким образом, остается доказать, что процесс Xt = W? — <г2(0
— мартингал. Вычисления показывают, что
Xt-X. = (Wt - W,)2 - [<r2(t) - <r2(s)} + 2W,(Wt - W.);
теперь ввиду 4.9Н и определения а2, имеем E(Xt — Х3\Т9) = 0 при
s < t, что и требовалось доказать. □
§4Ь. Разложения локальных мартингалов
1. Введем дополнительные
4.11. Определения. а) Два локальных мартингала
М и N называются ортогональными, если их произведение MN
является локальным мартингалом (терминология будет
объяснена ниже).
Ь) Локальный мартингал X называется чисто разрывным
локальным мартингалом, если Х0 = 0 и X ортогонален всем
непрерывным локальным мартингалам. □
4.12. Комментарии. Терминология не должна ввести
читателя в заблуждение: термин "чисто разрывный" означает
в некотором смысле "ортогональный" к "непрерывному". Чисто
разрывный локальный мартингал, как правило, не является
суммой своих скачков: во-первых, ряд £#<« ДХв обычно расходится,
а даже если он сходится, эта сумма в большинстве случаев
отличается от Xt.
Например, мы увидим далее, что для пуассоновского процесса
N с интенсивностью а(-) процесс Mt = Nt- a(t) — чисто
разрывный локальный мартингал (напомним, что функция a(t) непре-

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 81
рывна). Как мы видим, в этом случае £*<* AMS = Nt ф Mt.
Мартингалы такого типа являются прототипами всех чисто
разрывных локальных мартингалов; этим объясняется то, что во
многих случаях последние называют компенсированными суммами
скачков. D
4.13. Лемма, а) Локальный мартингал М ортогонален
сам себе тогда и только тогда, когда значение М0
квадратично интегрируемо и М = Мо с точностью до пренебрежимого
множества.
b) Чисто разрывный локальный мартингал, являющийся
непрерывным, п.н. равен 0.
c) Пусть М, N — два ортогональных локальных мартингала.
Для любых моментов остановки S, Т остановленные локальные
мартингалы Ms и NT также ортогональны.
Доказательство, а) Достаточность очевидна.
Обратно, пусть М ортогонален самому себе. Тогда, очевидно,
М0 G I2. Используя локализацию мы можем считать, что М
и М2 принадлежат М, так что М £Н2. Тогда E(Mt) = E(M0) и
E(Mt2) = E(Mq), откуда Mt = M0 п.н. (напомним, что
MQ = E(Aft|^70))? что и требовалось.
b) Это — тривиальное следствие (а).
c) Ясно, что достаточно рассмотреть случай Т — оо, что мы
далее и предполагаем. Пусть (Тп) — локализующая
последовательность, такая, что МТл, NTn, (MN)Tn принадлежат М. Тогда
для любого момента остановки R
E((MSN)TR") = E((MiV)£AS) + E(Mj-(iVl» - JVJ-)1{,<J4) =
= Е(М0ЛГ0) + E[MJ-1{s<r}E(N£ ~ NH^s)} = E(MoiVo)
по теореме об остановке. Отсюда и из леммы 1.44 процесс (MsN)Tn
принадлежит М для всех п, откуда вытекает нужное
утверждение. D
4.14. Лемм а. а) Локальный мартингал М с М0 = 0 чисто
разрывен тогда и только тогда, когда он ортогонален всем
непрерывным ограниченным мартингалам с NQ = 0.

82 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Ь) Локальный мартингал, принадлежащий классу V,
является чисто разрывным.
Доказательство, а) Только достаточность
нуждается в доказательстве. Так как М0 = 0, процесс М ортогонален
N тогда и только тогда, когда М ортогонален к N - N0. Более
того, если процесс N непрерывен, то процесс N — NQ локально
ограничен, и нужное утверждение вытекает с помощью
локализации.
Ь) Пусть М е V П М\ос- Как мы знаем, М Е А\ос (см. 3.11).
Если N — непрерывный ограниченный мартингал, то в силу 3.14
процесс MN — N • М также локальный мартингал. Кроме того,
N • М — также локальный мартингал в силу 3.23, так что MN
— локальный мартингал, и остается принять во внимание
утверждение (а). □
Наконец, следующее утверждение объяснит термин
"ортогональность".
4.15. Предложение. Пусть М,7V £ Н2. Следующие
свойства эквивалентны:
a) М и N ортогональны в смысле 4.11.
b) <M,JV) = 0.
c) Для любого момента остановки ТУМТ и N — N0
ортогональны в смысле гильбертова пространства И2.
Доказательство. Эквивалентность (а) <& (Ь)
следует из теоремы 4.2. Если М и N ортогональны в смысле
определения 4.11, то процессы МТ и N - N0 также обладают этим
свойством (Т — произвольный момент остановки). Следовательно,
EWKN^ - N0)) = E(M0T(iVo - N0)) = 0 и процесс Мт
ортогонален процессу N - No в Н2. Обратно, если выполнено (с) и Г —
момент остановки, то по теореме об остановке
E(MTNT) = EWtNco) =
= EiMliN^ - No)) + E(MTN0) = 0 + E(M0N0).
Отсюда ввиду леммы 1.44 MN G M и выполнено (a). D

4. Семимлртингалы и стохастические интегралы 83
4.16. Следствие. Множество H2,d всех чисто
разрывных мартингалов в Н2 является подпространством
гильбертова пространства Н2, ортогональным множеству Н2,с всех
непрерывных элементов Н2 (заметим, что ввиду 4.8 Н2,с —
замкнутое подпространство Н2).
Доказательство. Пусть М 6 Н2'с и N G H2,d (так
что N0 = 0). Воспользовавшись определением 4.lib и
импликацией (а) =*► (с) теоремы 4.15 (для Г = оо), мы видим, что М и N
ортогональны в И2.
Обратно, пусть процесс N ортогонален подпространству Н2,е
в Н2. Во-первых, для любого У £ £2(ft, То, P) можно рассмотреть
(тривиальный) непрерывный мартингал Mt = У при всех t.
Тогда E(NqY) = E(N0Moo) = E(NOQMOQ) = 0 по предположению, и
ввиду произвольности У имеем N0 = 0 п.н. (напомним, что
величина Nq является ^-измеримой). Во-вторых, если М Е Н2,е
и Г — момент остановки, то МТ Е Н2с и, стало быть, процесс
Мт ортогонален процессу N = N — N0 в W2. Отсюда ввиду 4.15
процессы М и N ортогональны в смысле 4.11, и в соответствии с
4.11b М е H2d. D
2. Обратимся теперь к разложению локальных мартингалов.
Первое разложение элементарно.
4.17. Предложение. Пусть а > 0. Любой локальный
мартингал М допускает (не единственное) разложение М =
= М0 + М1 + М", где М1 и М" — локальные мартингалы с
Mq = М" = 0, М' имеет конечную вариацию, а |ДМ"| < а (и
следовательно, М" G Н2ос).
Доказательство. Используя локализацию,
достаточно доказать это утверждение для процесса М Е М. Положим
Ь = а/2. Так как процесс М непрерывен справа и имеет пределы
слева, он имеет на любом конечном интервале лишь конечное
число скачков, больших по величине чем 6. Следовательно, процесс
А = £5< ДМД{|дм.|>&} корректно определен и принадлежит V.
Положим Тп = mf(t: Var(A)t > n или \Mt\ > n). Имеем
Var(A)Tn < п + |ДМТл|, откуда Уаг(Л)Тл < 2п + |МТл|, и так как
то величина Уаг(Л)тЛ интегрируема. Поэтому процесс

84 Гл. I. Общая теория случайных процессов
А принадлежит А\ос, и имеет компенсатор Ар. 1
Остается показать, что процессы М' = А — Ар и М" = М — I
—М' — М0 обладают нужными свойствами. Имеем М' £ М\ос П V I
по построению. Пусть X = ДМ1{|Дм|<ь}- Тогда ДА = ДМ - X, |
откуда ввиду 3.21 и 2.31 Д(ЛР) = Р(АА) = -РХ, и непосредствен- 1
ное вычисление показывает, что ДМ" = ДМ - А А + А(АР) =
X - рХ. Так как \Х\ < 6, то \РХ\ < Ь и |ДМ"| < 26 = а. □ ?
Второе разложение существенно глубже. 5
4.18. Теорема. Любой локальный мартингал М
допускает единственное (с точностью до неразличимости) разложение
М = М0 + Мс + Md,
где Mq = Mg = О, МС — непрерывный локальный мартингал, а
Md — чисто разрывный локальный мартингал.
Процесс Мс называется непрерывной частью М, a Md — его
чисто разрывной частью.
Доказательство. Единственность следует из 4.13Ь.
Чтобы доказать существование, разложим М в соответствии с
теоремой 4.17. Воспользовавшись 4.14Ь и локализацией, мы видим,
что достаточно рассмотреть случай М €Н2.
Но ввиду 4.16 пространствоН2 есть прямая суммаН2,с и H2d.
Поэтому М = Мс + Md с Мс е Н2с и Md G K2'd, что и
требовалось доказать. D
4.19. Следствие. Пусть М и N — два чисто
разрывных локальных мартингала, имеющих одинаковые скачки AM =
= AN (с точностью до пренебрежимого множества). Тогда
процессы М и N неразличимы (нужно применить 4.18 к М - N).
§4с. Семимартингалы
1. Начнем с обозначений и определений.
4.20. Обозначим через С множество всех локальных
мартингалов М, таких, что М0 = 0.

4. Семим&ртинггшы и стохастические интегралы 85
4.21. Определения. а) Семимаргпингалом
называется процесс Ху представимый в виде X = Х0 + М + А, где Х0 —
конечная То — измеримая величина, М Е С и А € V.
Пространство всех семимартингалов обозначается через S.
Ь) Специальным семимаргпингалом называется семимартин-
гал X, допускающий указанное выше разложение X = Х0 + М + А
с предсказуемым процессом А. Пространство всех специальных
семимартингалов обозначается через Sp. □
Ясно, что -Mioc С Sp и V С S. Все семимартингалы
являются согласованными, непрерывными справа и имеющими пределы
слева процессами. Разложение Х = Х0 + М + Ав 4.21а, конечно,
неединственно. Однако, ввиду 3.16, существует не более чем одно
такое разложение (с точностью до пренебрежимого множества) с
предсказуемым процессом А, и можно дать следующее
4.22. Определение. Пусть X — специальный семи-
мартингал. Единственное разложение X = Х0 + М + А, в
котором М 6 С и А — предсказуемый процесс из класса V, называется
каноническим, разложением X. □
Хотя это и не вполне ясно из приведенного определения,
пространство семимартингалов является очень хорошим: оно
устойчиво по отношению к широкому набору преобразований —
остановке (это очевидно), локализации (мы увидим это позднее), при
"замене времени", "абсолютно непрерывной замене меры",
"замене фильтрации". Главное свойство этого пространства таково.
Оно является наиболее широким возможным классом процессов,
по отношению к которому возможно "разумным образом"
интегрировать все ограниченные предсказуемые процессы (см. [35, 10,
36, 98]). К несчастью, здесь нет достаточного места для полного
изучения класса семимартингалов.
^•23. Предложение. Пусть X — семимартингал.
Следующие свойства эквивалентны:
(i) X — специальный семимартингал;
(Н) существует разложение Х = Х0 + М + АсА€ А\ос;
(ш) для любого разложения X = Х0 + М + А процесс A € А\ос;

86 Гл. I. Общая теория случайных процессов
(iv) процесс Yt = sup5<t \XS — Х0| принадлежит Л£с. I
Доказательство. Импликация (Ш) => (ii) очевидна. 1
Пусть выполнено (Н), т.е. Х = Х0 + М + АсА& А\ос- Положим II
А' = Ар и М' = М + А - А'. Тогда М1 G С и А' — предска-1
зуемый процесс из класса V, и стало быть, X = Х0 + М' + А1 §1
— специальный семимартингал. Таким образом, доказано, что е|
(и) =► со. \
Если A G А\ос) то возрастающий непрерывный справа процесс I
sup5< \A8\ также принадлежит .4ioc, так как он не превосходит J
Уаг(Л). Поэтому, чтобы доказать импликацию (i) => (iv), бу- I
дет достаточно проверить, что если М G £, то процесс М* = I
= supe<t \MS\ принадлежит ^ioc. Пусть (Гп) — локализующая по- I
следователыюсть, такая, что MTn G М. Положим Sn = inf(tf: t > I
Tn или \Mt\ > n). Тогда Sn T oo и M$n < n + |М5л|, где величина I
справа интегрируема, так как MTn G М. Стало быть, М* G -4ioc- I
Предположим, наконец, что выполнено (iv). Пусть X = Х0 + I
+М + А — произвольное разложение вида 4.21. По предполо- I
жению, У G А\ос, и мы только что показали, что М* G А\ос> I
следовательно, процесс А\ = supe<t \AS\ также принадлежит А\ос- I
Поскольку Уаг(Л) < Var(A)_ + 2Л* и процесс Var(A)_ локально I
ограничен (ибо он непрерывен слева, возрастает и имеет конеч- I
ные значения), то Var(A) G -4ioc- Тем самым доказано включение I
(iv) =^ (Hi). D I
Следующая лемма тесно связана с 4.17. I
4.24. Лемма. Пусть семимартингал X удовлетворяет I
условию \АХ\ < а. Тогда X — специальный семимартингал и I
его каноническое разложение X = Х0 + М + А удовлетворяет I
условию |АЛ| < а и |ДМ| < 2а (в частности, если X непрерывен, I
то М и А непрерывны). I
Доказательство. Положим Sn = mf(t: \Xt - Х0\ > I
> п). Тогда Sn | оо при п | оо и sup5<5n \Х8 — Х0| < п + а. I
Следовательно, семимартингал X обладает свойством 4.23(iv) и I
стало быть, является специальным. Если Х = Х0 + М + А— I
его каноническое разложение, то из 2.31 имеем р(АХ) = Р(АМ) + I
+Р(АА) = АА. Стало быть, из неравенства \АХ\ < а имеем I

4. Семим&ртингалы и стохастические интегралы 87
|дд| < *>(|ДХ|) < а, откуда, вычитая, получаем |ДМ| < 2а. П
4.25. Предложение, а) Пространства S u Sp
замкнуты относительно остановки.
b)Sloc = S u(Sp\oc = Sp.
с) Для того, чтобы процесс X принадлежал S, достаточно,
чтобы нашлась локализующая последовательность (Тп)
моментов остановки и последовательность семимартингалов (У(п)),
такие, что X = Y(n) на каждом из интервалов Ц0,Т„|[.
Доказательство. Утверждение (а) тривиально.
с) Так как последовательность (Гп) возрастает и стремится
к +оо, то процесс X непрерывен справа, имеет пределы слева и
согласован. Положим
Z(n) = Y(n)T" + (Хт„ - У(п)Тя)11т„10о1.
Процесс Z(n) принадлежит S как сумма остановленного семи-
мартингала и процесса из класса V. Рассмотрим его разложение
Z(n) = Х0 + М{п) + А(п); заметим, что ХТя = Z(n). Тогда
X = Х0 + М + А, где М = £М(п)1,Тл_1)Тп, и А = X - Х0 - М.
Так как
Мт- = £ 1М(Р)Т' - М(р)т'-1),
1<р<п
(где Г0 = 0), то М Е £. Аналогично проверяется, что А Е V.
Следовательно, X £ С.
Ь) Первое утверждение следует из (с). Используя это
утверждение, свойство 4.23(iv) и тот факт, что (-4ioc)ioc = A\oc, мы
немедленно получаем нужное равенство (Sp)\oc = Sp. D
2. Так как классы V и М\ос содержатся в «S, примеры
семимартингалов весьма многочисленны. Разложение Дуба-Мейера
показывает, что любой субмартингал (и супермартингал) класса
(D) является специальным семимартингалом. Используя
локализацию, можно в действительности показать (см. [98]), что:
4.26. Согласованный процесс X является специальным семи-
мартингалом тогда и только тогда, когда X — Х0 есть
разность двух локальных субмартингалов (или супермартингалов).
Этот результат в дальнейшем не используется. □

88 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Теперь, используя разложение теоремы 4.18 (в том числе его!
единственность) и утверждение 4.14Ь, мы получаем следующее!
утверждение. I
4.27. Предложение. Пусть X — семимартингал. !
Существует единственный (с точностью до неразличимости) «е- §
прерывный локальный мартингал Xе с Х$ = 0, такой, что для i
любого разложения X = Х0 + М + А вида 4.21 справедливо
соотношение Мс = Xе (также с точностью до неразличимости).
Процесс Xе называется непрерывной мартингальной соста- ;
вляющей X.
Интересно и полезно описать все "детерминированные"
процессы, являющиеся семимартингалами.
4.28. Предложение. Пусть f — действительная
функция на R+. Процесс Xt(u>) = f(t) будет семимартингалом %
тогда и только тогда, когда f непрерывна справа, имеет пре- I
делы слева и имеет конечную вариацию на любом конечном ин- I
тервале. |
Доказательство. Достаточность очевидна. Обрат- |
но, пусть X G S. Тогда функция / является непрерывной спра- ?:
ва и имеет пределы слева, и следовательно она локально огра- :
ничена. Поэтому процесс X удовлетворяет 4.23(iv) и
является специальным семимартингалом. Рассмотрим его разложение
X = /(0) + М + А и локализующую последовательность (Гп) та- *
кую, что МТя G М и АТп G Л (ибо X G Sp). Обозначим также
через Fn(dx) распределение Гп; это — вероятностная мера на R+.
Имеем:
9n(t) := jFn(ds)f(s At) = E(XtATn) =
= /(0) + E(M,T") + E(AJ') = /(0) + E(Af-).
Итак, функция gn имеет конечную вариацию. Но справедливо
также равенство
Fn((t, oo])f(t) = gn{t) - j f(s)Fn (ds)
[<M]

4. Семим&ртингалы и стохастические интегралы 89
й последний член в правой части также имеет конечную вариацию
как функция от t. Итак, функция / имеет конечную вариацию на
любом конечном интервале, таком, что Fn((t, оо]) > 0. Но, так как
linin^n = °°> Для любого t G R+ найдется столь большое п, что
pn((t,oo]) > 0, откуда следует нужное утверждение. □
§4d. Построение стохастического интеграла
В этом параграфе мы осуществим построение стохастического
интеграла от локально ограниченного предсказуемого процесса по
семимартингалу.
1. Пусть X 6 V и Н — ограниченный процесс. Мы уже
определили в п.3.4 интеграл HXt = SoH,dX,. Сейчас нам необходимо
определить интеграл в ситуации, когда процесс X не
принадлежит V, а является только лишь семимартингалом, и траектории
X (и) не определяют меру dX8(u>) на R+ (например, если X —
винеровский процесс, то почти все траектории t —* Xt(u) имеют
бесконечную вариацию на любом конечном интервале).
Когда процесс Н достаточно просто устроен, сделать это
совсем просто. Точнее, обозначим через £ совокупность всех
процессов Н вида
4.29.
Н = У1[о1, величина Y ограничена и ^-измерима, или же
Н = У1|Г5|, г < 5, величина Y ограничена и ^.-измерима.
Для таких процессов Я, интеграл Н - Xt = JQ HsdXs =
= /(0 tj H8dX8 можно определить лишь одним "естественным"
образом (даже если dX8 не имеет смысла), а именно, полагая
4.30. H.Xt = l°Y(Y у , *>* * = $]**
{ Y(X9M - ХгМ) при Н = YlJrj5j.
4.31. Теорема. Пусть X — семимартингал.
Отображение Н —> Н-Х, определенное для Н £ Z формулой 4.30, можно
продолжить (сохраняя обозначение Н —► Н • X; и называя
процесс Н • X называется стохастическим интегралом процесса
# по процессу X) на пространство всех локально ограниченных
предсказуемых процессов Н таким образом, чтобы выполнялись
следующие свойства:

90 Гл. I. Общая теория случайных процессов
(i) Процесс Н -X согласован, непрерывен справа и имеет пре- I
делы слева; 1
(ii) Отображение Н -» Н • X линейно, с точностью до не-1
различимости (т.е., процессы (аН + К) - X и аН • X + К • X щ
неразличимы); 1
(Ш) если последовательность (Нп) предсказуемых процессов 1
сходится поточечно к пределу Н, и если \Нп\ < К, где К — I
локально ограниченный предсказуемый процесс, то Нп • Xt —* §
—> Н - Xt по вероятности для всех t G R+- J
Более того, это продолжение единственно с точностью до ц
неразличимости (т.е., если Н -* а(#) — другое продолжение с
теми же свойствами, то процессы а(#) и Н -X неразличимы), и в
свойстве (Ш) процессы Нп X сходятся к Н X по вероятности
равномерно на конечных интервалах: supe<t \Hn-X8-H-X8\ -♦ 0.
4.32. Замечание. С помощью 4.30 можно определить
интеграл для процессов Н вида 4.29 без условий измеримости
величины У, т.е. для простых процессов, не являющихся
предсказуемыми. Однако построение продолжения возможно только
для предсказуемых процессов.
Аналогично, формула 4.30 имеет смысл для процессов X, не
обязательно являющихся семимартингалами. Но продолжение
возможно только если X — семимартингал: как уже
упоминалось, это — фундаментальный результат Бихтелера, Деллашери
и Мокободски, который проясняет значение класса семимартин-
галов. D
Доказательство теоремы будет проведено ниже, в пункте 2
этого параграфа. Сначала мы установим различные свойства
стохастических интегралов; в них всюду X обозначает
семимартингал, а Я, К — локальные ограниченные предсказуемые
процессы. Все равенства (и другие утверждения) выполняются с
точностью до неразличимости.
4.33. Отображение X —► Н • X линейно.
4.34. (а) Процесс Н * X — семимартингал.

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 91
(b) Если X — локальный мартингал, то и Я -X также
локальный мартингал.
(c) Если Хб V, тоН-Х£\?иН-Х совпадает с процессом,
определенным формулой 3.4 (интеграл Стильтьеса).
4.35. (Н-Х)о=0 % НХ = Н(Х-Хо).
4.36. А(Н-Х) = НАХ.
4.37. Хт = Х0 + 1Р|л • X и (Н.Х)Т = (Н110}П)-Х
для любого момента остановки Г. Вообще, К (Н X) = (КН)-Х.
4.38. Если Г — предсказуемый момент остановки и У —
Тт- -измеримая случайная величина со значениями в R, то
(У l|Tj) • X = УДХг1[т,оо[ (заметим, что У1[т] обязательно
является локально ограниченным предсказуемым процессом).
Мы можем несколько расширить класс интегрируемых
процессов, включив в него некоторые процессы, не являющиеся
локально ограниченными. Это трудно сделать для произвольных
семимартингалов, однако для процессов X Е W2oc, как мы сейчас
увидим, это сделать достаточно просто.
Свяжем с процессом X Е Н?ос следующие классы процессов.
4.39. Пространство L2(X) (соответственно, Цос(Х))
определяется как совокупность всех предсказуемых процессов Я, таких,
что процесс Я2 • (Х,Х) интегрируем (соответственно, локально
интегрируем). □
Заметим, что все локально ограниченные предсказуемые
процессы принадлежат Цос(Х), ибо, как мы знаем, (Х,Х) Е Л£с.
4.40. Теорема. Пусть X Е Н,2ос. Отображение Я —►
""* Я X (определенное либо на £ формулой 4.30, либо для всех
локально ограниченных предсказуемых Я по теореме 4.31) можно
продолжить на пространство Цос(Х) (это продолжение также
^означается как Н -* Н • X), с сохранением свойств 4.31 (i,ii),
4 дополнительным свойством

m
92 Гл. I. Общая теория случайных процессов я
(ш') если последовательность (Нп) предсказуемых процессовщ
сходится поточечно к пределу Н и \Нп\ < К для некоторого^
К G Цос(Х), то sup,<t \Hn -Xs — H-Xs\~+Qno вероятности дляЧ
всех t £ R+. Я
Кроме того, это продолжение единственно (с точностью до I
неразличимости), и имеют место следующие свойства: I
а)я-хенрос.
b) Н • X G V? тогда и только тогда, когда И G L2(X). I
c) Для процессов Н G Цос(Х) и К G Цос(Н -X) выполняются А
свойства 4.33, 4.35, 4.36, 4.37. I
d) Если X,Ye H2oc, H G Цос{Х) и К G Цос(У), то
4.41. (Н .X,K-Y) = (НК) • (X,Y). I
2. Займемся доказательством сформулированных выше утвер- I
ждений. Наше изложение весьма близко к книге Деллашери и I
Мейера [36], и, конечно, эту часть можно пропустить. I
(a) Предположим сначала, что X G V, и для локально ограни- I
ченного предсказуемого Н определим процесс Н • X формулой 3.4 I
(т.е. как интеграл Стильтьеса). Понятно, что это — единствен- I
ное продолжение интеграла 4.30, обладающее свойствами (i,ii,iii) I
из 4.31 (в силу теоремы Лебега), и для этого продолжения выпол- I
няется и последнее утверждение теоремы 4.31, а также свойства I
4.34-4.37 (единственное неочевидное свойство, а именно, 4.34b, I
было доказано в 3.23). I
(b) Предположим теперь, что X G И2. Обозначим через m I
положительную конечную меру на (ft x R+,V), определив ее по I
формуле т(В) = Е(1в • (Х^Х)^). Таким образом, пространство I
L2(X) является в точности гильбертовым пространством i2(ft X I
xR+,7>,m). I
Обозначим через £' векторное пространство, натянутое на £. I
Произвольный элемент Н G £' может быть по-разному предста- I
влен в виде суммы элементов Е, скажем, Н = Y^{%)^% = H(j)H3 I
(суммы конечны), но из 4.30 легко следует, что Yl{%) К% • X - I
= J2(j) Hj • X. Поэтому Н • X := ^(о К* • X — линейное продол- I
жение отображения # —> # • X с £ на £'. |
J

4. Семи мартингалы и стохастические интегралы 93
Пусть Я 6 £'. Среди его различных представлений найдется
одно представление вида
Я=У01[0]+ ^ 1*11«и«*-и1»
1<1<П
где о = *о < • • • < *n+i < оо, а величины 1* ограничены и
^ -измеримы. Тогда процесс
(1) НХ= £ Yi{XU+l-Xu)
1<1<П
принадлежит W2, и процесс
(Н-Х?-Н2-(Х,Х) = 2 J2 YiYj(Xu+l - Х**)(Х'*+1 - Х**)+
l<i<j<n
+ Е ^[(*ti+,)2-(*>*r+'-(*'о2+
1<«<п
очевидно, мартингал. Так как Я2 • (X, X) — предсказуемый
процесс, из единственности угловой скобки имеем
(2) (НХ,НХ) = Н2-(Х,Х).
По построению, (Я • Х)0 = 0. Поэтому из (2) при помощи 4.6
имеем ||Я - Х\\н* = Е(Я2 • (Х.Х)^) = ш(Я2). Поэтому
отображение Н -> Н • X — изометрия подпространства £' гильбертова
пространства L2(il x R+,P,m) в гильбертово пространство W2.
Поскольку Г плотно в L2(Q xR+,V,m) - L2(X) (смотри 2.2),
это отображение имеет единственное непрерывное продолжение
До отображения из L2(X) в W2, также являющегося изометрией.
Это продолжение мы также обозначаем Я —► Н>Х. Из 4.7 следует
(3) Если Яп -> Я в I2(0xR+,^,m) (например, если Нп -> Н
поточечно и |ЯП| < A' е L2(X)), то Яп - X -> Я - X в Н2, и в
частности, sup, |ЯП • Х5 - Я - Х9\-+ О в I2.
(с) Докажем теперь, что построенное в (Ь) продолжение
обладает свойствами (2), 4.35, 4.36, 4.37. Справедливость свойства

94 Гл. I. Общая теория случайных процессов
4.35 очевидна. Для любого Я Е L2(X) найдутся процессы Яп 6 ||
G £', сходящиеся к Я в L2(ii х R+,P, m). Но в силу (3) ||
(Нп • X)2 -> (Я - X2) в I1, тогда как (Яп)2 - (Х,Х) -+ 1
—> (Я)2 • (Х,Х) в Z1 по условию. Отсюда, поскольку ввиду (2) §1
процессы (Яп -X)2 - (Яп)2 • (Х,Х) являются мартингалами, то и 1
процесс (Я • X)2 - (Я)2 • (X, X) также мартингал. Таким образом, f
ввиду определения угловой скобки, (2) действительно выполнено
для всех Я £ Z2(X). 1
Обозначим через Н совокупность всех ограниченных предска- 1
зуемых процессов Я, для которых справедливо 4.36. Очевид- t
но, Н — линейное пространство, содержащее векторную решет- I
ку £'; кроме того, Н замкнуто относительно поточечной
сходимости равномерно ограниченных последовательностей ввиду (3).
Отсюда по теореме о монотонных классах Н содержит все
ограниченные предсказуемые процессы. Пусть, далее, Я Е L2(X). |
Положим Яп = Я1{|я|<п}- Тогда Яп —► Я как поточечно (и
следовательно, ЯПДХ —► ЯДХ), так и в L2(£t x R+,7:>,m), откуда в
силу (3) Д(ЯП -X) -» Д(Я • X) равномерно на конечных
интервалах в L2. Итак, процессы Д(Я • X) и НАХ неразличимы, т.е.
справедливо 4.36.
Пусть А', Я Е £'. В этом случае равенство К • (Я • X) =
= (КН) • X тривиально. Пусть К £ Г, Яб L2(X) и Яп -> Я
в i2(ft х R+,7>,ro), Яп Е Г. Тогда Яп - X ~* Я-ХвН2,
и из "явного вида" (1) для интегралов от функции А Е £' по
любому элементу W2 нетрудно вывести, что К • (Яп • X)t —►
-» if • (Я -X)t в I2. Кроме того, КНП -> А'Я в L2(il x R+,7>,ro),
откуда снова в силу (3) имеем (КНП) • X -» (А'Я) -X bW2.
Таким образом, мы показали, что К • (Я • X) = (КН) • X для
A' Е £', Я Е L2(X). Наконец, аналогичные соображения
аппроксимации, примененные к А, показывают справедливость
равенства К- (Я - X) = (А'Я) ■ X для всех Я Е L2(X) и А Е £2(Я - X).
Пусть Г — момент остановки. Положим Tn = k/2n при
(к - 1)/2п < Т < к/2п и к < п2п и Гп = п при Г > п. Тогда Гп -
момент остановки, l[ofTni £ £' и, очевидно, ХТп = Х0 + 1|в,т»1' %•
Устремляя п | оо и снова пользуясь (3), получаем равенство
Хт = Х0 + 1[o,ti ' ^- Наконец, второе утверждение в 4.37 еле-

4. Семим&ртинггшы и стохастические интегралы 95
дует из первого и третьего, примененного к К = 1|о,т] •
(d) Локализуем полученные утверждения. Пусть X £ Н2ос и
Я б Цос(Х)- Существует локализующая последовательность Тп,
такая, что ХТп eW2 и Я £ L2(XTn). Тогда по доказанному выше
утверждению 4.37 имеем (Н-ХТя+1)Тя = Н1^ТпуХт^ = НХТя.
Стало быть, найдется единственный процесс Я • X £ Wfoc, такой,
что
(Я - Х)т" = Я - Хт" для всех n £ N\
Более того, свойства (i,ii,iii') теоремы 4.40, а также свойства 4.35,
4.36, 4.37 и (2) сохраняются при локализации (с К £ Цос{Н • X)
в 4.37).
К настоящему моменту мы уже доказали существование
продолжения из теоремы 4.40 и установили свойства (а), (с), (d) этой
теоремы (свойство 4.41 следует из (2)). Единственность
этого разложения очевидна (снова через локализацию). Чтобы
закончить доказательство теоремы 4.40, остается проверить 4.40Ь.
Пусть НХ еН2. Тогда ввиду 4.41 и 4.2 имеем Я2 • (Х,Х) £ Л+,
так что Я £ L2(X). Обратно, пусть Я £ L2(X). Тогда, если Тп
— локализующая последовательность для Я • X £ W2oc, то в силу
неравенства Дуба (см. 1.43)
Е( sup \H • Х8\2) = lim |E( sup \H - Х3\2) <
(О п *<Тп
< 41ш1|Е[(Я -ХТп)2] = 4lim |Е(Я2- (Х9Х)Тя) =
п п
= 4Е(Я2.(Х,Х)00)<оо,
и стало быть, Я • X принадлежит И2.
(e) В качестве заключительного шага, докажем теорему 4.31
и свойства 4.33-4.38. Пусть X е S. В соответствии с 4.17 и 4.21,
(4) Х = Х0 + М + А, M£W2oc, AeV.
Для любого локально ограниченного предсказуемого процесса Я
Сложим
НХ = Н-М + Н.А.

96 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Ввиду единственности продолжений, построенных в п. (а) и (d) I
доказательства, процесс Н • X не зависит от разложения (4) (ко- щ
нечно, с точностью до неразличимости), и выполняются свойства J
4.35, 4.36, 4.37. Более того, это — продолжение определенного в 'А
4.30 отображения Н —► Н • X, удовлетворяющее условиям (i,ii,iii) ;
и последнему из утверждений теоремы 4.31. Далее, снова ввиду
единственности продолжений из пп. (а) и (d), это продолжение
единственно с точностью до неразличимости.
Поскольку для всех Н £ £' отображение X —► Я • X, очевидно,
линейно, свойство 4.33 — очевидное следствие доказанной выше
единственности.
Далее, 4.34а тривиально, 4.34с вытекает из п.(a), a 4.34b
доказывается следующим образом: пусть процесс X £ М\ос
представлен в виде (4); тогда Н • М £ 7tfoc (см. (d)), и А £ V П £, так
что Н • А £ С в силу (а), откуда Н X £ С.
В заключение остается доказать 4.38. Во-первых,
возрастающий процесс |У|1|[т,оо1 предсказуем и конечен, и
следовательно, локально ограничен (см. 3.10), а процесс Н ~ ^1|[tj тем
более локально ограничен. Воспользуемся еще раз теоремой о
монотонных классах, опираясь на 4.31(ш). Мы увидим, что
достаточно доказать это утверждение для случая, когда Y
принимает лишь конечное число значений, и даже для случая, когда
Y — \А для некоторого А £ Тт-- Заменяя момент Т на ТЛ
(равный 0 на А и оо на Ас), и замечая, что момент ТА также
предсказуем (см. 2.10), мы видим, что остается доказать равенство
1рч # X = AXt1jt,oo|[ Для любого предсказуемого момента Т. Но
тогда, если (Тп) — п.н. предвещающая последовательность для Т
(см. 2.16), то ljrn,T] —» lpi поточечно вне пренебрежимого
множества, и ljTniT]' X = Хт — ХТп в силу 4.37. Итак, из последнего
утверждения в 4.31 следует, что X — ХТп сходится к Ijtj • X при
п | оо по вероятности равномерно на любом конечном
интервале. Но, кроме того, эта величина (как функция (t,u)) сходится к
ДХт 1|[т,оо1 поточечно вне пренебрежимого множества. Итак, мы
доказали 4.38. □
3. В завершение этого параграфа мы покажем, что
стохастический интеграл от непрерывного слева процесса можно аппрок-

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 97
симировать римановыми суммами. Мы приведем этот результат
в несколько усложненном виде — для удобства дальнейшего
применения.
Назовем согласованным разбиением последовательность
г = (^n)n€N моментов остановки, такую, что Г0 = 0 и
Тп < ^«+1 на множестве {Тп < оо} (разбиение называется
детерминированным, если все моменты Тп — константы)' Римановой
г-аппроксимацией процесса Н • X называется процесс т(Н • X),
определяемый формулой
4.42. т(Н -*),= £ #Тл(ХТл+1Л, - ХТлМ).
4.43. Последовательность (rn = (T(n, ^))m€N)n€N
согласованных разбиений называется римановой последовательностью, если
supm€j^[T(n,m + 1) Л t - Г(п, т) Л t] -► 0 для всех < Gl+ (т.е.,
величина максимального шага для ограничений разбиений тп на
любой интервал [0,<] стремится к 0).
4.44. Предложение. Пусть X — семимартингал, Н
— непрерывный слева согласованный процесс, и (тп) —риманова
последовательность согласованных разбиений. Тогда римановы
тп-аппроксимации тп(Н • X) сходятся к Н • X по вероятности
равномерно на каждом компактном интервале.
Доказательство. Для разбиения тп — (Т(п, т))т€щ
положим
НП = 22 Нт(п,т)Цт(п,т-1)}Т(П1т)1-
Процессы Нп предсказуемы и сходятся к Н поточечно ввиду
непрерывности Н слева. Далее, процесс Kt = sup5<J#e|
согласован, непрерывен слева, локально ограничен и \Нп\ < К. Поэтому
нужное утверждение следует из 4.31 и легко проверяемого
свойства тп(Н -X) = Нп X. U
4.Ж.Жакод, А.Н.Ширяев Т.1

98 Гл. I. Общая теория случайных процессов
§4е. Квадратическая вариация семимартингалов и
формула Ито
1. Начнем с определения квадратической вариации.
4.45. • Определение. Квадратической ковариацией
двух семимартингалов X и У (или квадратической вариацией
X, если X = У) называется процесс
[Х,У] = ХУ - Х0Уо - Х_ - У - У_ - X.
(Этот процесс определен однозначно, с точностью до пренебре-
жимого множества.) □
Следующая теорема прояснит происхождение термина
"квадратическая вариация". Предварительно, приведем очевидные
свойства:
4.46. ' [X>Y]o = °' [X>Y] = [Х " *°'У " Го]'
{
[Х,У] = ±([Х + У,Х + У]-[Х-У,Х-У]).
4.47. Теорема. Пусть X uY — два семимартингала.
а) Дл# любой римановой последовательности (тп =
= (2Xn>m))m€N)n€N согласованмых разбиений (см. 4.43),
процессы 5Тп(Х, У), определяемые формулой
4.48.
•SV»(^\y)t — / v(^T(ntm+l)At ~ ^T(n,m)At)(^T(n,m+l)At "" Ут(п,т)л<)7
т>1
сходятся к процессу [Х,У] по вероятности равномерно на
любом компактном интервале.
b) [I,y]EVti[I,I]EV+.
c) A[X,Y] = AXAY.
Доказательство. Ввиду 4.45 и очевидных
разложений ST(X9Y) = \[ST(X + Y,X + Y)-ST(X-YyX-Y)] и АХ AY =
= ^[(АХ + ДУ)2 - (АХ - ДУ)2] достаточно доказать нужное
утверждение для случая Y = X.
Так как (х - у)2 = х2 - у2 - 2у(х - у), из 4.42 и 4.48 нетрудно
вывести, что STn(XyX) = X2 - Х$ - 2тп(Х_ • X), и (а) вытекает
из 4.44.

4. Семимлртингалы и стохастические интегралы 99
Процесс STn(XyX) возрастает, и следовательно ввиду (а)
процесс [Х,Х] также является возрастающим; а поскольку он
непрерывен справа, имеет пределы слева, согласован и [X, Х]0 =
О, то [Х,Х] G Vй", и мы доказали (Ь). Далее, из определения
4.45 и свойства 4.36 имеем Д[Х,Х] = Д(Х2) - 2Х_ДХ, и так
как Д(Х2) = (ДХ)2 + 2Х_ДХ, то Д[Х,Х] = (ДХ)2, и
доказано (с). □
Мы приведем позднее (в 4.52) своего рода "явную" формулу
для квадратической ковариации, дополняющую (с). Но прежде
мы исследуем разнообразные полезные свойства квадратической
ковариации.
4.49. Предложение. Пусть X G S uY 6 V.
a) [X,Y] = AX-Y uXY = У_Х + ХУ.
b) Если Y предсказуем, то [X, Y] = AY • X и XY = Y • X +
+x_-r.
c) Если Y предсказуем и X — локальный мартингал, то
[X,Y] — локальный мартингал.
d) Если Y или X непрерывен, то [X, У] = 0.
Доказательство, а) Введем сначала риманову
последовательность тп следующим образом:
Г(п,0) = 0,
T(n, m + 1) = inf (t > Г(п, m): \Xt - XT(n,m)| > i
\ n
или t>T(nym)+±).
Тогда supT(nm)0<T(nm+1) \XS - XT(n>m)| < 1/n, и следовательно,
для всех t G R+, таких, что \AXt\ > 2/п, найдется такое га G N*,
что t = T{n,m) (конечно, m зависит от и). В свою очередь, если
1д^*(п,т+1)1 < 2/п, то |ХТ(П)т+1)-ХТ(п,т)| < 3/п. Следовательно,
3
\ХТ(п,т+1) - ХТ(п>т) - ДХТ(п,т+1)1{|ДЛ^(»>т+1)1>2/п}| < ~-
Тем самым для процесса Ап = (АХ1{\ьХ\>2/п}) • Y,
принадлежащего V, имеем
|5г„(Х,УХ-ЛГ|<^Уаг(У),.
4*

100 Гл. I. Общая теория случайных процессов
Устремляя п | оо, ввиду теоремы Лебега о мажорируемой
сходимости получаем, что А" —► АХ • Yt; теперь из 4.47а имеем
[Х,У] = ДХ • У, откуда ввиду определения 4.45, в свою очередь
вытекает равенство XX = У1 • X + X • У.
b) Процесс У локально ограничен (см. 3.10), и следовательно
интегралы У • X и AY • X определены. Пусть (Тп) —
последовательность предсказуемых моментов, исчерпывающая скачки У
(см. 2.24). Тогда ввиду 4.38 имеем
{уЕЧтЛ Х = ЕД^,ДХг,11Т,>ео1 = Ux£ 11ТЛ• у.
^ Р<п ' р<п ^ р<п '
При п | оо левая часть этого равенства стремится к ДУ • X,
а правая часть — к интегралу ДХ1{Ду^0} ■ У» равному также
ДХ -У (это — тривиальное свойство интеграла Стильтьеса:
множество {ДХ ^ 0} — тонкое, поэтому ДХ • У = £в<. ДХвДУв).
Следовательно, ДУ • X = ДХ • У и первое утверждение
следует из (а). Кроме того, X Y = Х- Y + АХ Y (ибо У G V) и
У_ • X = У • X — ДУ • X (так как процесс У предсказуем), и второе
утвеждение также следует из (а) и равенства ДУ • X = ДХ • У.
c) Это тривиальное следствие (Ь) и 4.34Ь.
d) Это утверждение следует из (Ь). □
4.50. Предложение. Пусть X uY — локальные
мартингалы.
a) Процесс XY — X0Y0 - [Х,У] — локальный мартингал.
b) Если Х,У G Л?ос, то процесс [Х,У] принадлежит Л\ос и
его компенсатор равен (Х,У); если, кроме того, X,Y € Н2, то
XY — [X, У] принадлежит М.
c) Процесс X принадлежит Н2 {соответственно, Н2ос)
тогда и только тогда, когда [Х,Х] принадлежит А
(соответственно, Л\ос) и величина Х0 квадратично интегрируема.
d) X = Х0 п.н. тогда и только тогда, когда [X, X] = 0.
Доказательство, (а) непосредственно следует из
определения 4.45 процесса [Х,У] и из 4.34Ь. Мы докажем
утверждения (Ь) и (с) вместе. Ввиду свойства 4.46 мы можем считать
в (Ь) У = X. Используя локализацию, достаточно рассмотреть
случай X еН2, или [Х,Х] £ А

4. Семим&ртингалы и стохастические интегралы 101
Предположим сначала, что X € Н2. Тогда, очевидно, Х0 Е L2.
Далее, оба процесса Х2-Х$-[Х> X] (в силу (а)) и Х2-Л^-(Х, X)
(в силу 4.2) принадлежат £, следовательно [X, X] - (X, X) € £ПУ,
откуда [Х,Х] G Аос и {Х,Х) — компенсатор [Х,Х]. Мы также
имеем Е([Х,Х]оо) = Е((Х,Х)оо), т.е. в действительности [Х,Х] 6
.4, откуда [Х,Х] - (Х,Х) G Л4, и ввиду 4.2 имеем также X2 -
[Х,х]ем.
Предположим, наоборот, что [X, Х]е АъХ0 £ L2. Пусть (Тп)
— локализующая последовательность для локального мартингала
Х*-Х1-[Х,Х\. Тогда
supE(X2) = suplim T E[(XMTJ2] =
t t n
= suplimTE(X2 + [X,X]TftAt) < oo,
t n
откуда X eH2.
В утверждении (d) необходимость очевидна, а достаточность
следует из 4.13а, если заметить, что из равенства [X,X] = 0 в
силу (а) вытекает принадлежность X2 — XI 6 £, и стало быть,
процесс X - Х0 ортогонален самому себе. □
4.51. Лемма. Пусть X — чисто разрывный мартингал
(см. 4.11), принадлежащий Н2. Тогда [X,X]t = £в<,(ДХв)2
(позднее мы увидим, что этот результат справедлив и тогда,
когда X — чисто разрывный локальный мартингал).
Доказательство. Положим Н = АХ. Ввиду 4.47с,
£(в)(#в)2 < [Х,Х]оо, и величина в правой части интегрируема
ввиду 4.50с. Кроме того, предсказуемая проекция РН процесса Н
равна 0 ввиду 2.31, и Я0 = 0.
а) Для дальнейших ссылок на время забудем о том, что
процесс Н образован скачками процесса X. Введем моменты
остановки R(n,m), полагая Д(п,0) = 0 и J?(n,ra + 1) = inf(< > R(n,m):
\Ht\ > l/n). Так как J2(s)(H$)2 < oo п.н., тонкое опциональное
множество D = Unjfn|[#(n,m)J (смотри 1.30) совпадает с
множеством {Н ф 0} с точностью до пренебрежимого множества.
Обозначим через 3 предсказуемый носитель D: ввиду 2.34 это
— тонкое предсказуемое множество. Тогда в силу 1.31 и 2.34

102 Гл. I. Общая теория случайных процессов
найдутся моменты остановки (Sn)n>i и предсказуемые моменты
(Гп)„>1, такие, что D\J = U„[[5n]| и J = ип[[Гп]], с точностью до
пренебрежимого множества, и графики (|[5п]|,[Гт]|)П|т>1 попарно
не пересекаются. В частности, {Н ф 0} С (Un|[Sn]|) U (и„[[Гп]|)
с точностью до пренебрежимого множества, и по определению J
все моменты Sn являются вполне недостижимыми.
Положим An = #s№l|[sn,oo[, этот процесс принадлежит А.
Пусть Ап>р — его компенсатор, тогда процесс Мп = Ап — Ап,р —
мартингал. Кроме того, в силу 3.21 ААП,Р = Р(ДЛП) =
= p(HSnlisnj) = 0, так как момент Sn вполне недостижим,
откуда ДМП = ААП.
Положим теперь Nn = ЯтЛ1[тЛ|оо|[- Для любого момента
остановки Г имеем
E(N?) = Е(ЯТл1{Тп<00,Тл<т}) = Е((рЯ)Тп1{Тл<00>Тя<т}) = 0
(второе равенство следует из принадлежности {Тп < оо,Гп <
< Т} G Ртп- и из определения РН). Стало быть, в силу 1.44
Nn является (квадратично интегрируемым) мартингалом.
Положим теперь Bn = Ux<m<n([[SmJ U [Гт]|) и Уп =
= Ei<m<n(^m + ^т)- Тогда Yn е С П V и ДУ = Н1Вл. Тем
самым, ввиду 4.49а при р < п имеем
[у« _ Y",Yn - Y>]t = £(Я,)21ВЛВ»,
8<t
и этот процесс принадлежит Л, в том числе и для р = 0 (ввиду
соглашения У0 = 0 и В0 = 0). Следовательно, из 4.50с,Ь имеем
Yn е п2 и
\\Yn - YP\\2H2 = E[(Y£ - У£)2] = E([Yn - У, У - УЫ =
= е(^(Н8)21ВЛВр(з)).
4 (•) 7
Это выражение стремится к 0 при п,р | оо, ибо E(^2^(HS)2) < оо.
Итак, при п | оо последовательность Уп сходится в гильбертовом
пространстве Н2 к мартингалу У, и в частности, ДУП —> ДУ в
L2 равномерно на конечных интервалах (см. лемму 4.7).
Следовательно, поскольку {Н ф 0} С U„5n, то ДУ = Я.

4. Семимартиигалы и стохастические интегралы 103
Ь) В дополнение к предыдущему, процессы (Уп)2 - [УП,УП]
являются мартингалами и сходятся в L1 для любого момента /
к Y2 - Y!,8<t(H8)2; следовательно, процесс У2 - ]С,<.(Д*)2 также
мартингал. Более того, ввиду 4.14Ь каждый мартингал Уп чисто
разрывен, и следовательно, ввиду 4.16 мартингал У также чисто
разрывен.
Возвратимся теперь к утверждению леммы. Процессы X и У
являются чисто разрывными мартингалами, и АХ = ДУ = Н
с точностью до пренебрежимого множества. Следовательно, в
силу 4.19 X = У с точностью до пренебрежимого множества. В
частности, X2~Y<8< №)2 € С С другой стороны, Х2-[Х,Х] £ £
в силу 4.50а, и следовательно, С = [Х,Х] - ]С«<(^)2 € £• Но
ввиду 4.47с процесс С непрерывен и, так как С G V, то по 3.16
процесс С равен 0 (с точностью до пренебрежимого множества),
что и требовалось. □
4.52. Теорема. Пусть X, У — семимартингалы и Xе,
Ус — их непрерывные мартингальные составляющие. Тогда
4.53. [X,Y]t = <Х%Ус), + £ДХвДУв.
8<t
Доказательство. Ввиду 4.46 достаточно
рассмотреть случай У = X. Процесс X допускает представление
X = Х0 + Xе + М + Л, где Л Е V и М Е Wi2oc, и используя
локализацию, мы можем предполагать, что М £Н2. Тогда
(1)
[X, X) = [Xе, Xе] + 2[ХС, М] + 2[ХС, Л] + [М, М] + 2[М, Л] + [Л, Л].
Во-первых, процесс [Xе, Xе] непрерывен в силу 4.47с, и из 4.50Ь
[Xе,Xе] = (Xе,Xе). Во-вторых, по предыдущей лемме [М, М] =
£5<.(ДМ5)2, тогда как ввиду 4.49а [Л, Л] = £в<.(д^*)2 и [М,А] =
= Т28< АМ8АА8. Следовательно, сумма последних трех членов
в (1) равна £в<.(ДХ5)2. Остается доказать, что [Xе, А] = 0 (это
следует снова из 4.49а), и что [Xе, М] = 0. Но Xе и М ортогональ-
НЬ1, так как по определению процесса Xе локальный мартингал
М чисто разрывен, и поэтому (Xе, М) — 0 (см. 4.2 или 4.15). Но

104 Гл. I. Общая теория случайных процессов
процесс [Xе, М], будучи непрерывным в силу 4.47с, равен (Xе, М)
ввиду 4.50Ь. Теорема доказана. □
В заключение установим несколько простых следствий.
4.54. Если X, У — семимартингалы иД — локально
ограниченный предсказуемый процесс, то [Я • Х,!У] = Я • [Х,У] (это
следет из 4.53, 4.36 и 4.41).
4.55. Следствие. Пусть X, У — локальные
мартингалы.
a) Процесс [Х,Х]^2 принадлежит Л\ос-
b) Если X непрерывен, а У чисто разрывен, то [X, У] =z 0.
c) Если X и У непрерывны и ортогональны, то [Х,У] =
= (X,Y) = 0.
d) Если X — непрерывный (соответственно, чисто
разрывный) и Я — локально ограниченный предсказуемый процесс, то
Я -X также непрерывный (соответственно, чисто разрывный)
локальный мартингал.
Доказательство, а) Рассмотрим разложение X =
= Х0 + X' + X'1 вида 4.17 с X' е Щс и X" G А*, и пусть
(Тп) — локализующая последовательность как для X', так и для
X" (так что Х,т* бИ2и Х"т» G Л). Положим Sn = inf(i: * > Тп
или [X, X]t > п), так что Sn | оо при п | оо. Тогда
[Х,Х]У„2 < ^+ |ДХ5„| < у^+ |ДХ£| + |ДХ£-|,
и как |ДХ^П|, так и |ДХ^П| интегрируемы по построению. Стало
быть, величина [Х,Х]^2 интегрируема.
Ь) С очевидностью следует из 4.53 (ибо Ус = 0 и X = 0),
ас) — из 4.53 и 4.15. Первое утверждение в d) очевидно (см.
4.36), а второе вытекает из 4.53 и 4.54 (если X чисто разрывен,
то ((Я - Х)с, (Я - Х)с) = 0, откуда (Я - Х)с = 0). □
2. Процессы скачков локальных мартингалов. Для
дальнейшего применения опишем структуру "процесса скачков" ДХ
локального мартингала.

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 105
4.56. Теорема. Пусть Я — опциональный процесс с
Яо = 0-
a) Для существования квадратично интегрируемого
мартингала {соответственно, локально квадратично
интегрируемого мартингала) X, такого, что процессы АХ и Я
неразличимы, необходимо и достаточно, чтобы предсказуемая проекция
р# была равна 0 и возрастающий процесс £,<.(#,)2 был
интегрируем {соответственно, локально интегрируем).
b) Для существования локального мартингала X Е А\ос
(соответственно, А), такого, что процессы АХ и Я
неразличимы, необходимо и достаточно, чтобы РН = 0 и £5<. \HS\ Е .Д£с
{соответственно, Л+).
c) Для существования локального мартингала X, такого,
что процессы АХ и Я неразличимы, необходимо и
достаточно, чтобы рН = 0и [£5<.(Я,)2]1/2 G А+с.
Доказательство, а) Пусть X Е Н2 (соответственно,
Щс) иН = АХ. Тогда РН = 0 ввиду 2.31 и £,<,(Яв)2 < [X,X]t
ввиду 4.53, так что £в<*(Яв)2 принадлежит А (соответственно,
А\ос) в силу 4.50с.
Обратно, пусть РН = 0 и £в<(Яв)2 Е А. Тогда из части (а)
доказательства леммы 4.51 следует существование такого
процесса Y бН2, что Я = AY с точностью до пренебрежимого
множества. Случай £в<(Яв)2 Е -4ioc рассматривается при помощи
локализации.
b) Пусть X Е СП А (соответственно, £n^ioc) иЯ = АХ. То-
гда'Я = 0 ввиду 2.31 и £,<. \HS\ < Var(X), т.е. процесс £,<. \И9\
принадлежит А (соответственно, А\0с)- Обратно, пусть РН = 0
и £«<. \HS\ Е А (соответственно, А\ос)- Положим At = £в<<Яв,
этот процесс также принадлежит А (соответственно, A\oc)i и
рассмотрим процесс X = А - Ар, где Ар — компенсатор А. Тогда
X Е С П А (соответственно, С П Лос), и &Х = АА - ААР =
= Я -Нр = Я ввиду 3.21.
c) Пусть X Е М\ос и Я = АХ. Тогда снова в силу 2.31
РЯ = 0, и 52s<t(H*)2 < [-^-ЭД ввиду 4.53, так что из 4.55а имеем
Обратно, пусть Я — опциональный процесс, такой, что

106 Гл. I. Общая теория случайных процессов
*>Н = 0 и A1'2 G Л£о где At = £,<<(#,)2. Положим А' =
= #1{,я|>1},#" = #-р# и Я' = Н-Н", так что'Я' = *Я" = 0.
Введем также в рассмотрение процесс Bt = J2s<t I-K#l> очевидно,
принадлежащий V+. Так как ДЯ < |ДЛ|1/2, то из
принадлежности А1/2 G А^с следует, что В G -4£с. Кроме того, ^ |р#в| < Яр
(в силу 3.21), и этот процесс также принадлежит Л£с. Итак,
£*< \Н"\ G -4,tc и в силу (Ь) найдется процесс X" G М\ос^ такой,
что~ДХ" = Я".
Так как |Я'|2 < 2|Я|2 + 2|Я"|2, справедливо неравенство Сх :=
:= Е.<. |Я,'|2 < 2At + 2E.<. 1#,Т> так что С, < оо при t G R+.
Кроме того, так как РН = 0, имеем РК = -р(Я1{|я|<1}), так
что |PJT| < 1. Но |Я'| < 2 по построению; итак, ACt < 4, и
мы доказали, что С G -4£с. Ввиду (а) существует локальный
мартингал X', такой, что ДХ' = Я'. Следовательно, процесс
X = X1 + X" удовлетворяет нужным условиям. □
3. Обратимся теперь к формуле Ито. В дальнейшем, Д/ и
Д,/ обозначают частные производные df/dx% и д2//дх*дх*.
4.57. Теорема. Пусть X = (X1,..., Xd) — d-мерный се-
мимартингаЛу и f — функция класса С2 на Rd. Тогда f(X) —
семимартингал, и
f(xt) = f(x0) + £ддх_)■ хЧ 5 E А,/(*-)• <**■',*'•«>+
4.58. + £ /№)- /(*._)-£Д/(Х._)ДХ,'
3<t L t<<*
Конечно, подразумевается, что все члены в этой формуле
имеют смысл. В частности, два последних слагаемых яаляются
процессами с конечной вариацией (первый из них непрерывен, а
второй — "чисто разрывный").
Формула 4.58 сохраняет силу и для комплексно-значных
функций /: необходимо рассмотреть отдельно действительную и
мнимую части.

4. Семимлртингалы и стохастические интегралы 107
Доказательство. Чтобы упростить обозначения,
свяжем с каждой функцией / на Rd класса С2 новую функцию
/ на Rd X Rd класса С1 по формуле
/(*,у) = /(*) - f(y) - £Я;/(у)(*'' - у>),
где xj обозначает j-ую координату х.
(i) Докажем сначала утверждение для случая, когда / —
многочлен на Rd. Достаточно рассмотреть одночлены; используя
индукцию по степени и тот факт, что результат тривиален для
функций, равных константе, будет достаточно доказать
следующее: если для функции g процесс g(X) Е S и справедлива фор-
мула 4.58, то функция f(x) = xkg(x) также обладает этими
свойствами.
Так как g(X) Е S и Xk Е «S, то из 4.47Ь и 4.45 имеем f(X) E 5,
и, кроме того, f(X) = f(X0)+Xk_.g(X)+g(X_yXk+[Xk,g(X)). Но
процесс д(Х) представим в виде 4.58, откуда (используя несколько
раз 4.36 и 4.37) получаем
(1) ДХ«) = f(X0) + Y,{Xk-Di9{X_)) • Х'+
+ l'E(X-D49(X-))-(XiW)+
i,j<d
+ 5]ЗДД.-) + №-) Xk + [Xk,g(X)).
Далее, если A E V, то в силу 4.49a [Xky A] = £e<. AXkAA8. Ho
два последних слагаемых в формуле 4.58 для д принадлежат V,
и, используя 4.49 и 4.54, имеем
(2) [X\g(X)} = J2Dig(X-)-[X\X<) + J2^Xkg(X„X,.) =
i<d з<
= £ Di9(X-) • <**•%*«■') + £ *Хк(д(Х.) - д(Х..)).
i<d S<
Теперь, объединяя вместе (1) и (2), мы видим, что /
удовлетворяет 4.58; нужно лишь заметить, что f(xyy) = укд(х,у) + (хк -

108 Гл. I. Общая теория случайных процессов
-Ук)(9(х) ■" я{у))-> и что ПРИ % Ф к ти j ф к выполнены
равенства Dif = xkDiQ, Dkf = д + xkDkgy Dijf = хкВцд, Dikf =
= Dig + xkDikg и Dkkf = 2D*$( + xkDkkg.
(ii) Перейдем к общему случаю. Пусть Tn = inf(J: |Xt| > n).
Для любого n G N можно найти последовательность многочленов
(<7nm)m€N> сходящуюся вместе со своими частными
производными первого и второго порядка к функции / и ее соответствующим
частным производным равномерно на шаре {х: \х\ < п}.
Найдется постоянная #п, такая, что
\xl\y\<n=>\f(x,y)\<Kn\x-y\2 и \дПт(х,у)\<Кя\х-у\2.
Используя эти неравенства, следующую из 4.47 конечность
J29<t \АХ*\2 < °° ПРИ всех *> сходимость дПт(х,у) -► f(x,y) при
т | оо для |х|, \у\ < п, и применяя теорему Лебега о
мажорируемой сходимости, получаем, что
(З)если* < Tn,To£e<J/(Xe,Xe_)| < оои£,<в$пт(Х,,Х,_)-►
~+ Hs<tf(Xs>Xs-) ПРИ ™> Т 00.
Аналогично,
(4) 0nm(Xf) -» /(Xt) при m Т оо, для t < Тп.
(5) Dignm(X-) • XJ -» Dif{XJ) • X/ по вероятности при га | оо
на множестве {t < Тп} (нужно применить 4.31 к процессам Нт =
= Д-5пт(Х_)1[0,тл1, сходящимся к A/(-X-)l[o,T.l)-
(6) Оцдпт(Х-).(Х<'<9Х*>% - Д^/(Х_) . (Х<*,Х**)г при
m f оо, на множестве {t < Тп} (нужно применить теорему
Лебега о мажорируемой сходимости).
Напомним, 4Tolimn Tn = оо. Ввиду (3) процесс £*< f(X8,Xs-)
принадлежит V. Поскольку остальные члены в правой части
формулы 4.58 корректно определены и являются семимартингалами,
правая часть 4.58 определяет процесс, являющийся семимартин-
галом. Наконец, из (i) мы знаем, что каждая из функций gnm
удовлетворяет соотношению 4.58. Следовательно, ввиду (3), (4),
(5) и (6) функция / также удовлетворяет 4.58 для всех t < Тп
и любого n G N. Следовательно, / удовлетворяет 4.58 всюду, и
теорема доказана. D

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 109
§4f. Экспоненциальная формула Долеан-Дэд
В этом параграфе мы дадим первое применение формулы Ито.
рассмотрим уравнение
4.59. У = 1 + У_-Х (или: dY = Y.dX и У0 = 1),
где X — заданный семимартингал, а У — неизвестный
непрерывный справа и имеющий пределы слева согласованный
процесс. По аналогии с обыкновенным дифференциальным
уравнением |£ = у, мы будем называть решение У экспонентной
процесса X. Мы столкнемся с этим уравнением в двух различных
ситуациях:
1) когда X — локальный мартингал (с действительными
значениями),
2) когда X — комплекснозначный процесс с конечной
вариацией, в этом случае уравнение 4.59 решается потраекторно, т.е.
для каждого и рассматривается детерминированное уравнение
Чтобы унифицировать изложение, мы сразу будем считать,
что X — комплекснозначный семимартингал, т.е. X = X' + iX",
где X' и X" — два семимартингала с действительными
значениями. В этом случае 4.59 должно рассматриваться как система из
двух "действительных" уравнений, а именно
4fin ГУ' = 1 + У:.Х'-У".Х",
4'DU- \ Y" = YH • X1 + YL • Xй
иУ = УЧ гУ".
4.61. Теорема. Пусть X = X1 + iX" —
комплекснозначный семимартингал. Уравнение 4.59 имеет одно и только одно
(с точностью до неразличимости) непрерывное справа с преде-
лами слева согласованное решение. Это решение —
семимартингал, оно обозначается £(Х) и имеет вид
£{Х\ = {ехр(Х« - Х0 - \(X*,X»)t + \(X"%X'")t-
4-62. -i(X",X'*)t)} х ПК1 + ЬХ,)е~АХ-],
$<t

110 Гл. I. Общая теория случайных процессов
где (возможно, бесконечное) произведение абсолютно сходится.
Более того,
a) Если процесс X имеет конечную вариацию, то таков и
процесс £(Х).
b) Если X — локальный мартингал, то таков и процесс
£{Х).
c) Положим Т = M(t\ AXt = -1). Тогда £(Х) ф 0 на
интервале [0,Г[, £{Х) ф 0 на интервале [О, Г] и £(Х) = 0 на
интервале ЦТ, оо[.
В частности, если X имеет конечную вариацию, то из 4.53
имеем
4.63. £{X)t = ех'-х° J][(l + AXs)e-AX'}.
Если X — действительный мартингал, то
4.64. £(X)t = е*<-*о-1/2рг«,*<Ь JJ[(1 + ^х9)е'АХ'].
*<*
Доказательство, (i) Применяя 4.47с к X1 и X",
получаем, что Yls<t |АХ^'|2 < оо п.н. для t G R+. Следовательно,
поскольку \AXS\ > 1/2 лишь для конечного числа моментов s на
интервале [0,J], и так как |1п(1 + х) — х| < С\х\2 для всех х Е С,
таких, что |х| < 1/2 (С — некоторая постоянная), ясно, что, быть
может, бесконечное произведение
(1) V^IIKI + A*.)*-**-]
8<t
абсолютно сходится п.н. Более того, (1) задает согласованный
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс V с
конечной вариацией, и V0 = 1.
(ii) Положим Z = X-Xn-\(X'c,X'c)+\(X"\X"c)-i(X,c,X"c)
и U = Vez (т.е., U = £(Х) в соответствии с формулой 4.62).
Положим Z = Z1 + iZ" и V = V + iV", так что {/ = /(Z', Z", V, V")»
где функция / на R4 задается формулой /(х, у, гг, v) = ex+*y(u+iv).
Стало быть, по теореме 4.57 процесс U — семимартингал, и
(2) Ut = \^U^'Z[^iU^^Z[,^ez-'V;^iez-'V;,^U^'{Z,\Z'c)t-'

4. Семимартингалы и стохастические интегралы 111
—и. ■ (z"e, z"% + w- ■ (z'e, z"e >, +
+ £[Д£Г. - U,.(AZ'a + iAZ'J) - ez-(AV: + iAV;%
3<t
ибо Vе = V"c = 0. Более того, по определению Z имеем Zle = Xlc
и Z"c = X"c, так что
(3) Z' + iZ" + \(Z'% Z'c) - i{Z,,c, Z"c) + t(Z'% Z"c) = X - X0.
Из (1) легко следует, что
(4) ez- • V/ + tez- - К' = E ez-Д Vf.
Кроме того,
(5) AU8 = ez-+AZ-Vf.(l + AXf)e-Ajr- - ez-V.. = U-bZ„
ибо AZ = ДХ. Таким образом, подставляя (3), (4) и (5) в (2),
получаем
U = 1 + U--(X-X0) = 1 + U--X.
(iii) Обратно, пусть У = Y' + iY" — непрерывное справа с
пределами слева, согласованное решение уравнения 4.59 (или,
эквивалентного ему 4.60). Ввиду 4.34 это семимартингал. Положим
W = Ye~z и применим формулу Ито к функции на R4, равной
/(х, у, u, v) = е~(*+|'у)(и + iv). Имеем
(в)
W = l-W. Z'-iW- -Z" + e-z- -Y' + ie-z- .yu + hv. ■{Z,\Z'C)-
-\w. ■ (Z"e,Z"e) + iW. • {Z'e,Z"e} - e~z- ■ {Z'e,Y'e)-
-ie~z- • (Z'e,Y"c) - ie~z~ ■ (Z"e,Y'e) + e~z~ ■ {Z"e,Y"e)+
+ £[AW. + WS.(AZ'S + iAZ'J) - ez-(AY; + гДУ/')].
8<
Поскольку Y — решение 4.59, имеем AY = Y_AX и
(7)
AW, = e-z--*z-(Ya_+AY,)-e-z-Y,_ = Ж,_[е-дх-(1+ДХ,)-1],

112 Гл. I. Общая теория случайных процессов
ибо AZ = ДХ. Более того, из 4.60, 4.53 и 4.41 имеем
{Z'e,Y'e-) = YL • (Z'eyX'e) - Y4 ■ {Z'%X"C) = YL • (Z'e, Z'e)-
-YLL-(Z'e,Z"e).
Аналогично проверяется, что
(Z'e,Y"c) = YL • (Z'% Z"e) + Y4 ■ {Z'e, Z'e),
{Z"\Y,e) = YL • {Z"\ Z'e) - YL' • {Z"e,Z"e),
(Z"\Y"e) = YL • (Z"% Z"e) + YLL • {Z"%Z'e),
и стало быть,
. . {Z'e, Y'e) + i(Z'% Y"e) + i(Z"e, Y,e) - (Z"e, У"е) =
W = YL • ((Z'e, Z") - {Z"e, Z"e) + 2i(Z'c, Z"e)).
Подставляя теперь (7), (8), (3) и равенство ДУ = У_ДХ = Y-AZ
в (6), получаем
(9)
W = 1 - W_ • X + e'z- • Y+
<
= 1 - W_ • X + W. • X + Y,[W9-e-AX'(l + AX8) - 1] =
<
= 1 + ИОА,
где А% = Se<t[e_A^*(l + Д-Х"#)~~ 1] — комплекснозначный процесс
с конечной вариацией (ибо YL*<t |Д^*|2 < оо и \е~х{1 + х) - 1| <
< С|х|2 для всех х Е С, таких, что |х| < 1/2, где С — некоторая
константа).
Из части (и) доказательства следует, что У = U — решение
уравнения 4.59, и в этом случае W = e~zU = V. Следовательно,
V = 1 + VL • А. Если теперь У — другое решение уравнения,
W = e-zY и И' = W - V, то из (9) имеем
t
(10) W, = Jw.-dA,.
о

4. Свмимартингалы я стохастические интегралы 113
Пусть S = inf(<: Wt ф 0). Из уравнения (10) Ws = 0 на {S < оо}.
Более того, найдется момент 5' > 5, такой, что {5 < оо} С {S' >
> 5} и /(55/] МА,| < 1/2. Из (10) для t > S имеем
Wt = Ws+ J W^ dA9 = У И^_ <L4„
(5,t] (5,1]
откуда
snp|Wi|<5enp|Wi|
t<S' * t<S'
по определению S'. Следовательно, supt<5, |И^| = 0, и так как
5' > S на {5 < оо}, то S = +оо. Другими словами, Wt = 0 для
всех f, т.е. W = V, и У = ezW = ezV = {Л Итак, мы доказали,
что U = £(Х) — единственное решение 4.59.
(iv) Утверждения (а) и (Ь) немедленно следуют из 4.59 и
свойств 4.34. Наконец, из (1) ясно, что V ф 0 на Ц0,Г[, VL ф 0 на
[0,Г] и V = 0 на ЦГ,ооЦ. Так как £(Х) = Vez, отсюда следует
(с). D
4.65. Замечание. В случае действительного семимар-
тингала формула 4.62 носит название "экспоненциальной
формулы Долеан-Дэд".
§4g. Дискретный случай
1. О дискретных семимартингалах можно сказать совсем
немного. Зададимся дискретным стохастическим базисом В = (ft, /",
^ = С^п)п6ц>Р). Мы видели в §3d, что любой согласованный
процесс X с Xq = 0 принадлежит V. Следовательно,
"естественный" класс семимартингалов в дискретном случае таков: процесс
является семимартингалом тогда и только тогда, когда он
согласован.
Что касается специальных семимартингалов, проще всего
использовать для их определения характеризацию 4.23(Ш), которая
ЗДесь выглядит следующим образом: процесс X является специ-
альным семимартингалом тогда и только тогда, когда величина
^о является ^-измеримой, и процесс X — Х0 принадлежит А\ос

114 Гл. I. Общая теория случайных процессов
(см. §3dl). Каноническое разложение Х = Х0 + М + Ав этом
случае дается формулами
А къ I Ап = ^<р<п Е(*р "" Xp-i\fP-i)>
Если X и У — два (локально) квадратично интегрируемых
мартингала, то их угловая скобка определяется формулой
4.66. (X,Y)n = £ ЕрГ, - Хр-xXYp - Ур-01/р-г].
1<р<п
(Теорема 4.2 в этом случае тривиальна.)
Понятие стохастического интеграла элементарно, ибо все
процессы - "простые" в смысле 4.29, и кроме того, все они имеют
конечную вариацию! Поэтому, для произвольного предсказуемого
процесса Н стохастический интеграл Н • X определяется
формулой
4.67. НХП= £ Нр(Хр-Хр_г)= £ НРАХР,
1<р<п 1<Р<"
и все свойства 4.33-4.38 очевидны (мы можем, конечно,
определить Н • X для любых двух процессов Н и X, без каких-либо
условий измеримости; однако, например, в свойстве 4.34
потребуется предсказуемость Н).
»Квадратическая вариация естественным образом
определяется как
4.68. [Х,У]„= £ (Xp-X,.l)(XP-Y,.1)= £ ДХРДУР,
1<р<п 1<Р<«
(ср. с 4.47а), и все утверждения §4е1 очевидны либо элементарны
(здесь Xе = Yc = 0). Наконец, формула Ито 4.58 выглядит так:
/(хп) = /(х0)+ £ ^Адхр-ос*;-*;_!)+
1<р<п i<d
+ £ [/(Xp)-/(xP-i)-£A/(*p-i)(x;-*;_!)
— тривиальное тождество!

4. Семим&ртингалы и стохастические интегралы 115
2. Как обычно, свяжем с базисом В базис В1 с непрерывным
временем по формуле 1.55, и с каждым процессом X на В —
процесс X1 на В1 по формуле 1.59. Тогда:
— если X согласован, то X1 — семимартингал. X —
специальный семимартингал на В тогда и только тогда, когда X1 —
специальный семимартингал на /?', и в этом случае канонические
разложения X и X1 связаны друг с другом формулой 1.59.
— в очевидных обозначениях, [A^Y]' = [Х',У], и (X,Y)' =
= (X',Y') для локально квадратично интегрируемых
мартингалов X и У. Кроме того, (Я • X)1 = Н* • X1.

Глава II
Характеристики
семимартингалов и процессы
с независимыми
приращениями
Продолжим осуществление нашей программы изложения
общей теории процессов. В этой главе мы коснемся несколько иного
аспекта этой теории, менее известного по сравнению с
содержанием первой главы. Излагаемый здесь аппарат наиболее
непосредственно используется при доказательстве предельных теорем.
В некотором смысле содержание главы сконцентрировано
вокруг процессов с независимыми приращениями, хотя в явном виде
это проявляется только в параграфе 4.6. Если в качестве
примера рассмотреть процессы со стационарными независимыми
приращениями, то как известно, эти процессы характеризуются
тремя величинами, именно, "сносом", "коэффициентом диффузии"
и "мерой Леви". Сходимость таких процессов также полностью
определяется сходимостью в соответствующем смысле трех этих
величин.
Нашей целью является обобщение этих понятий на случай
семимартингалов. После вступительного раздела, посвященного
случайным мерам, эта задача решается в разделе 2, а в разделе 3
рассматриваются некоторые примеры.

J. Случайные меры
117
Затем мы займемся изучением процессов с независимыми при-
рашениями. Основные факты собраны в разделе 4, где изучаются
процессы с независимыми приращениями, являющиеся семимар-
тингалами. Чтение главы можно на этом закончить. Раздел 5
посвящен изучению процессов с независимыми приращениями, не
являющихся семимартингалами. Это довольно сложный матери-
ал^ в особенности — конец раздела, где доказывается, что
произвольный процесс с независимыми приращениями представим
как сумма процесса с независимыми приращениями,
являющегося семимартингалом, и детерминированной функции. Наконец,
в разделе б рассматриваются процессы с условно независимыми
приращениями. Этот класс процессов является очень простым
обобщением процессов с независимыми приращениями, но часто
встречается в приложениях (например, процессы Кокса и т.д.).
1. Случайные меры
Случайная мера является еще одним фундаментальным
понятием, которое вполне могло быть приведено и в главе 1, хотя
оно и не столь хорошо известно, как, например, понятие семи-
мартингала. Понятие случайной меры является весьма полезным
для наших целей, ибо позволяет в удобном виде описать скачки
непрерывных справа и имеющих пределы слева процессов.
Мы изложим здесь теорию случайных мер очень подробно.
Тем не менее, нужно иметь в виду, что содержание этого раздела
— не что иное как непосредственное обобщение понятий
возрастающего процесса и его компенсатора.
§1а. Случайные меры
1. Как и в главе 1, будем считать заданным (непрерывный)
стохастический базис В = (fi,7",F = (.^)*€1,Р). Напомним, что
полнота а-алгебр не предполагается.
Рассмотрим также вспомогательное измеримое пространство
(£,£), являющееся пространством Блэкуэлла (см. [36, 59]).
Читатель, не знакомый с пространствами Блэкуэлла, не должен
беспокоиться: фактически, в дальнейшем Е — это Ж или Ж*,

118 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
или, самое большее — польское пространство с борелевской <т-
алгеброй. Будут использоваться лишь два следующих свойства
пространств Блэкуэлла:
1.1. а-алгебра £ в пространстве Блэкуэлла является сепара-
бельнощ т.е. она порождается счетной алгеброй.
Перед формулировкой второго свойства напомним, что
переходное ядро (или — переходная функция) а(а, •) из измеримого
пространства (Л, Л) в другое измеримое пространство (В, В) —
это семейство (а(а,-): а £ А) положительных мер на (В,В)У
таких, что функция а(-,С) является Л-измеримой для любого
Сев.
1.2. Пусть ((?,(/) — произвольное измеримое пространство.
Если га — положительная конечная мера на (G x EyG ® £) и m
— маргинальная мера на пространстве G: m(A) = га(А х £?), то
существует переходное ядро a(y,dx) из (G, Q) в (Е,£) такое, что
тп(В) = /rh(dg) f a(</,dx) • 1в(<Ь#) для всех В £ G®£] будем
также писать m(dgydx) = m(dg)a(gydx). Заметим, что это свойство
дезинтегрирования меры эквивалентно следующему: для любой
случайной величины Z на любом вероятностном пространстве
(ft, Т, Р) со значениями в (Еу £) и любой а-подалгебры Т' С Т
величина Z имеет регулярное условное распределение относительно
Г.
Дадим определение случайной меры (рассматриваются только
неотрицательные случайные меры).
1.3. Определение. Случайной мерой на R+ х Е
называется семейство \i = (fi(u\dt^dx): и £ О,) неотрицательных мер
на (К+ х Е,Т1+ ® £), удовлетворяющих условию fi(u; {0} х Е) — О
для любого и £ ft. О
Введем в рассмотрение
1.4. Пространство ft = ft х 1+ х Еу и <т-алгебры 6 = О ® £ й
fi = V®£.
(9-измеримая функция W на ft (соответственно, Р-измеримая)
называется опциональной (соответственно, предсказуемой) функ-

1. Случайные меры
119
цией. Если W — функция на ft и Я — процесс, то запись WH
или HW обозначает функцию (u,tyx) -» H(uyt) - W{u,t,x).
Пусть fi — случайная мера и W — опциональная функция на
(2. Так как функция (J, х) —► W(u, t, x) является #+®£-измеримой
для каждого и Е ft, то можно определить интеграл W * \i как
процесс
1.5.
/ W(u,syx)f;i(u]ds,dx), если интеграл
1 [Oft]xE
W*Pt{w)= i
I \W(uysyx)\fi(u;dSydx) конечен,
[Ott]xE
К +оо в остальных случаях
1.6. Определения. а) Случайная мера \х
называется опциональной (предсказуемой), если процесс W * \i является
опциональным (предсказуемым) для каждой опциональной
(предсказуемой) функции W.
b) Опциональная мера /х называется интегрируемой, если
случайная величина 1 */ioo = А*(*>К+ X Е) интегрируема (или, что то
же самое, если 1 * \i Е -4+);
c) Опциональная мера \i называется V-o-конечной, если
найдется строго положительная предсказуемая функция V на ft,
такая, что случайная величина V*^ интегрируема (или, что то же
самое, V * /i Е Л+). Это свойство эквивалентно существованию
Р-измеримого разбиения (Ап) множества ft, такого, что каждая
из величин (1Лл * /х)оо интегрируема. □
1-7." Пример. Пусть А 6 V+. Можно связать с процессом
А случайную меру \i на R+ х {1}, полагая \i{u\ dt x {1}) = dAt(u>).
Тогда
(i) мера \i опциональна; она предсказуема тогда и только
тогда, когда предсказуем процесс А;
(ii) мера fi интегрируема тогда и только тогда, когда
интегрируем процесс А (т.е. А Е А4");
(ш) если А Е -4£с, то /i является Р-а-конечной (пусть (Гп)
~"~ локализующая последовательность для процесса А, такая, что

120 Гл. II. Характеристики семимартиигалов
АТп G «4; возьмите следующее предсказуемое разбиение
множества ft = ftxl+x {1}: А0 = [0] х {1}, Ап =1Тп-иТп1 х {1}).
Однако, следует заметить, что если \i — случайная мера на
R+ х {1} (даже 7>-<т-конечная), то не всегда можно связать с ней
процесс из V+ (или .Д£с), так как величина /х(и; [0,/] X {1}) может
быть бесконечна для всех t > 0. Q
2. Компенсатор случайной меры. Основным результатом
этого пункта является следующее обобщение теоремы 1.3.18:
1.8. Теорема. Пусть ц — опциональная V-a-конечнаж
случайная мера. Существует случайная мера, называемая ком-*
пенсатором \i и обозначаемая \iv, которая единственна с
точностью до Р-неразличимости и является предсказуемой случайной
мерой, удовлетворяющей любому из двух эквивалентных
условий:
(i) E[(W * /ip)oo] = E(W * z^oo) для любой неотрицательной
V-измеримой функции W на U.
(ii) Для любой Р-измеримой функции W на & такой, что
\W\ * /л € Л,*с, процесс \W\ * \iv принадлежит Л£с и процесс
W *fip является компенсатором процесса W */х (или, что
эквивалентно, процесс (W * fip — W * fi) — локальный мартингал).
Более того, существует предсказуемый процесс A G А+ и
переходное ядро K(u,t;dx) из (Q, х К+,Р) в (Е,£) такое, что
1.9. fip(u; dt, dx) = dAt(u>)K(u), t; dx).
Иногда p? называют также предсказуемым компенсатором или
дуальной предсказуемой проекцией меры ц. Конечно, разложение
1.9 не единственно.
Доказательство. Пусть V — строго положительная
предсказуемая функция на Cl такая, что V*/jl G A+. Заметим, что
как из (i), так и из (и) следует, что V * \iv G A+.
а) Докажем импликацию (i) => (ii). Пусть W —
предсказуемая функция такая, что \W\ * /i G -4£с, и (Тп) — локализующая
последовательность: (\W\ */г)Тп G -4+. Применяя условие (i) к
каждой из функций (И'Ццо.Тп!* получим, что \W\ * рр £ А\ос- Пусть
Т — момент остановки. Применив (i) к функциям W+1|0,tat„] й

J. Случайные меры 121
¥Г"11о.тлт.1> получим равенство E(W*/4atJ = Е(И^*/хТлтЛ). Но
тогда из 1.1.44 вытекает, что (W * \l — W * рр)Тя принадлежит М,
и следовательно, W * /х - W * /хр — локальный мартингал.
b) Докажем теперь импликацию (ii) => (i). Если 0 < W < riV
й функция W предсказуема, то W * /х 6 А+ и ввиду (и) и 1.3.17
имеем E(W * /х^) = E(W * /х,»). Если W — любая
предсказуемая неотрицательная функция, то применяя приведенные выше
рассуждения к функциям W(n) = Wl{W<nV} и устремляя п | оо,
получим (i).
c) Докажем единственность. Пусть £0 — счетная алгебра,
порождающая £ и пусть fip и /хр удовлетворяют (ii) Тогда для
каждого A G £q процессы (V1A) * /хр и (Vl^) * /хр неразличимы.
Поэтому множество
jV = [J {и: 3t с (V1A) * /х? (а;) ф (V1A) * /if (а;) для некоторого i)
A£So
имеет Р-меру нуль, а на его дополнении Nc имеем /хр(о>; •) =
d) Докажем, наконец, существование компенсатора и
разложение 1.9. Пусть А = (V * /х)р. Полагая m(W) = E[(VW) * /х*,] для
любой ограниченной Р-измеримой функции Wy мы определяем
положительную конечную меру га на (UyV). Рассмотрим также
положительную конечную меру тна(йх!+,Р), определенную
как m(dujydt) = P(du;)<L4t(u;), т.е. га(В) = Е(1в • А^) для В eV.
Если В eV, то, очевидно, (VIb) */J = 1в(^* А4)? откуда согласно
U.18 [(V1B) * fi]P = 1в . Л и m(JB) = E[(V1B) * /Хоо] = т(В X Я).
Поэтому можно воспользоваться свойством 1.2, получая при
этом переходное ядро а из (ftxl+,7>) в (2?,£), такое, что m{du,dt,
«*) = m(duy <ft)a(u;, f; cte). Положим /f (a;, <; cte) = a(a;, J; dx)v, г<а,ч;
тем самым К является переходным ядром из (Q х Ж+, Р) в (2?, £),
определенным как K(u>,t;B) = fB<x(V)t;dx)v(Jtx) для всех В G
£• Если W — неотрицательная Р-измеримая функция, то процесс
\KW)t(u) = /^ Ar(a;,<;dar)W(a;,<,ar), очевидно, является предска-
3Уемым.
Определим теперь случайную меру /хр формулой 1.9. Если W
^отрицательна и Р-измерима, то процесс W * /хр =

122 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
I
= (KW) • А предсказуем, и следовательно, fip — предсказуемая
случайная мера. Кроме того, для неотрицательной ^-измеримой
функции W
V(u,t,x)
откуда следует (i). □
Приведем несколько простых свойств компенсатора.
E(W * fa) = Jm(dw,dt,dx)^f^ = E(W * //<„),
1.10. Если fi — предсказуемая Р-а-конечная мера, то fip = fi.
1.11. Пусть fi — опциональная V-o-конечная мера и W —
неотрицательная предсказуемая функция на £2. Тогда для каждого
предсказуемого случайного момента Т
1>
fip({T}xdx)W(T,x) =
Е
= Е( ffi({T} х dx)W(T,x)\TT- ) на множестве {Т < оо}.
Е
(Здесь под W(Tyx) имеется в виду W(uyT(u>),x)y аналогично и
для fi). Это свойство вытекает из 1.3.21, примененного к процессу
А = (WIjtj) * №, Для которого Ар = (W1(t]) * fip - О
1.12. Пример. Вернемся к примеру 1.7, предположив, что
A Е *4£с. Тогда дуальная предсказуемая проекция fip меры fi
равна fip(u]dt х dx) = dAp(u>) ® £i(dx), где Ар — дуальная
предсказуемая проекция А. О
§1Ь. Целочисленные случайные меры
1.13. Определение. Случайная мера fi называется
целочисленной, если
(i) fi(u>; {t} x E) < 1 для всех wGft, t Е Ж+;
(ii) для любого А Е 7£+ ® £ величина /i(-, А) принимает
значения из N;
(iii) fi опциональна и а-конечна. □
Отметим, что требование (Ш) включено в определение лишь
во избежание повторений в последующих формулировках.

1. Случайные меры 123
2Д4. Предложение. Если \i — целочисленная
случайная мера, то существуют тонкое случайное множество D (см.
определение тонкого множества в 7.1.30) и опциональный процесс
А со значениями в Е такие, что
/a(u] dt, dx) = Yj Ы^, s)e(>>P.(»))(dt> dx)y
5>0
где га — мера Дирака, сосредоточенная в точке а. Заметим,
что если (Тп) — последовательность моментов остановок,
исчерпывающая тонкое множество D, то для любой
неотрицательной опциональной функции W
1.15. W*pt={
J^W(Tn^Tn)l{Tn<th
£ W(s9fi9)lD(s).
0<s<t
Заметим также, что имеет место и обратное утверждение:
если рь определена как в 1.14, где D — тонкое множество и /3
— опциональный процесс со значениями из £, то // является
целочисленной случайной мерой при условии ее Р-а-конечности
(опциональность /х вытекает из 1.15,1.1.21 и 7.1.24).
Доказательство 1.14. Положим D = {(u>,t):
/*(<*>; {*} X Е) = 1}. Из определения 1.13 следует, что /i имеет
требуемый вид для некоторого процесса /3 со значениями из Е.
Остается только доказать, что процесс /3 опционален, a D —
тонкое множество.
Пусть (Ап) — такое Р-измеримое разбиение ft, что 1Ал *//G
*4+ 'и (S(n,p))p€$ — последовательность моментов скачков
процесса 1Лл */г, которая согласно 1.13 является точечным процессом
в смысле 1.3.25. Итак, D = U(„jP)|[5(n,p)] — тонкое множество.
Пусть (Тп) — последовательность моментов остановки,
исчерпывающая D. Так как мера \i опциональна, то для любых
t £ 1+ и С Е £, случайная величина 1с(/?тп)1{тп<о = (IpTnJxc)*^*
является .Frизмеримой. Поэтому величины /3Тп являются ТТш-
измеримыми, и поскольку вне множества D можно положить /3

124 Гл. П. Характеристики семимартингалов
равным произвольному фиксированному значению, скажем, а, то
мы получаем опциональный процесс /?. Q
Отметим, что целочисленную случайную меру можно
рассматривать как "считающую меру", связанную с точечным процес*
сом в 1+ х £, "точками" которого являются (Тп,/?тЛ) из 1.15; но
этот точечный процесс имеет специальную структуру, так как
две "точки" не могут относиться к одному и тому же моменту
времени.
Полезный пример целочисленной случайной меры дается
следующим предложением:
1.16. Предложение. Пусть X — согласованный
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс со
значениями из Ж*. Формула
fix(u; dt,dx) = 22 l{bx,(w)*o}£(sAX.(»))(dt>dx)
s
определяет целочисленную случайную меру на Ж+ х Rd (и в
представлении 1.14 нужно положить D = {АХ ф 0} и /3 = АХ).
Доказательство. Из предложения 1.14 и
комментариев к нему вытекает, что нужно доказать лишь Р-а-конечность
\ix. Определим моменты остановки 5(п,р), полагая S(n,0) = 0 и
5(п,р+ 1) = inf(* > 5(n,p): \Xt - Xs(ntP)\ > 2"n).
Положим А(п,р) = |[0,S(n,p)J X {x G Ж*: \x\ > 2"n}, Л(0) =
ftxl+x{0} иУ = l^(o)+En,p€N* 1а(п|Р)2"п"р. Функция V является
V-измеримой и строго положительной (так как S(n,p) | оо при
р | оо). Кроме того, любой скачок процесса X величиной > 2~п
происходит одновременно с одним из моментов остановки 5(п,р).
Отсюда и из определения \ix вытекает, что 1Л(0)*/х* = 0 и 1л(п,р)*
/г* < р. Следовательно, V*^ < £П)Р€н* р2~п~р, что и завершает
доказательство. □
1.17. Предложение. Пусть \i — целочисленная
случайная мера, v = у? — ее компенсатор и J = {(u,t): v{u\ {t} X
E) > 0}.

i. Случайные меры
125
a) Множество J является предсказуемым носителем
множества D из 1.14, и для любого предсказуемого случайного
момента Т и неотрицательного предсказуемого процесса W
1.18.
jW(T,x)^{T}xdx) = E[W(T^)lD(T)\TT^] на {Т < ос}.
Е
Ь) Существует такая версия vy для которой i/(oj, {t} X Е) < 1
для всех (u>t) 6 ft ХЖ+, и соответствующее тонкое множество
J исчерпывается последовательностью предсказуемых
моментов.
Доказательство, а) Формула 1.18 — это в точности
1.11. В частности, at = v({i) x E) является предсказуемой
проекцией процесса 1х>, так что первое утверждение вытекает
непосредственно из определения предсказуемого носителя множества
D.
b) Ввиду 1.2.23 найдется последовательность (Тп)
предсказуемых моментов, графики которых попарно не пересекаются, и
если J' = и([Гп]|, то J1 С J и множество J\J* пренебрежимо.
Из (а) вытекает, что атп < 1 п.н. Кроме того, процесс а
предсказуем. Следовательно, если Ап = {аТп < 1}, Т*п = (Тп)ап
и J" = Up^]], tol каждый случайный момент Vn предсказуем,
J" С J и J\J" — пренебрежимое множество. Таким образом,
мера v"(u\ dt x dx) = v{u; dt x dx)l(j\jny(u, t) п.н. совпадает с и и
предсказуема. Поэтому v11 является версией меры /гр,
удовлетворяющей требованиям (Ь). □
Воспользовавшись 1.2.35, получаем отсюда
1.19. Следствие. Пусть X — согласованный непрерыв-
ньгй справа и имеющий пределы слева процесс и fix — мера
скачков X из 1.16. Процесс X квазинепрерывен слева тогда и только
тогда, когда существует версия компенсатора (цх)р, для кото-
Рой тождественно (т.е. для всех (о;, t)) выполняется равенство
№)p(u;{t}xE) = 0.

126 iTn. II. Характеристики семимьртингалов
§1с. Важнейший пример: пуассоновские меры
В качестве обобщения определения 1.3.26 введем следующие
1.20. Определения. а) Общей пуассоновской мерой
на R+ х Е относительно фильтрации F называется
целочисленная случайная мера /г, такая что
(i) положительная мера га, определенная на R+ X Е равенством
т(А) = Е[/г(А)], является а-конечной;
(и) для любых б 6 1+ и Л 6 71+ ® £, таких, что А С (з, оо) х Е
и т(А) < оо, случайная величина /г(-, А) не зависит от а-алгебры
Тш.
b) Мера га называется мерой интенсивности fi.
c) Если для любого t Е R+ra({<} х Е) = 0, то ц называется
пуассоновской мерой] если т имеет вид m{dt,dx) = dtxF(dx)y где
F — положительная а-конечная мера на (£\£), то \х называется
однородной пуассоновской мерой. D
Пусть, например, N — точечный процесс и рь — мера,
связанная с ним в соответствии с 1.7 (где Е = {1}); тогда рь
является общей пуассоновской (соответственно, пуассоновской,
однородной пуассоновской) мерой тогда и только тогда, когда N
является обобщенным пуассоновским (соответственно, пуассоновским,,
стандартным пуассоновским) процессом.
В дальнейшем будет доказано, что пуассоновская мера
является считающей мерой "обычного" пуассоновского процесса на
R+ х Е. Это означает, что если (Л») — последовательность
попарно не пересекающихся подмножеств Ж+ х Е с га(А,) < оо, то
случайные величины (/г(Л,)) независимы, и fi(Ai) имеет пуассо-
новское распределение со средним га(Л,). Сейчас же мы
ограничимся вычислением компенсатора пуассоновской меры.
1.21. Предложение. Пусть \i — общая пуассоновская
мера на Ж+ X Е относительно фильтрации F с мерой интенсив-
ности т. Тогда ее компенсатор равен /гр(и>, •) = га(-).
(В 4.8 будет доказано обратное утверждение.)
Доказательство. Положим /ip(tt>,•) = m(#)- Эта
"случайная" мера является предсказуемой (вследствие детерми*

J. Случайные меры
127
яированности). Необходимо доказать 1.8(i). Ввиду 1.2.2 и
теоремы о монотонных классах достаточно доказать 1.8(i) для функций
вида W = 1а1вх(*Ахс, где 0 < s < t, В 6 Т„ С G S и множество
д б 7£+ ® £ удовлетворяет условию тп(А) < оо. По
предположению, случайные величины 1в и //(•, Л П ((М] X С)) независимы и
интегрируемы, откуда
E(W * /ioo) = E(lB|i(Л п ((^, *] х С)) = P(JB)m(Л п ((*, t] х С)) =
= E(W*fiQ). □
§ld. Стохастический интеграл по случайной мере
В этом параграфе строится стохастический интеграл по
"компенсированной" целочисленной случайной мере. Прежде всего
отметим, что в главе I был определен интеграл по семимартингалу
X, но только для (локально) ограниченных процессов; для
"наиболее общих" процессов интеграл был определен только в том
случае, когда X Е Н?ос (и только для тех процессов, интегралы от
которых также принадлежат Wpoc). Конечно, можно определить
стохастический интеграл и для других "разумных" процессов, не
являющихся локально ограниченными; см., например, [98,180].
Здесь мы сразу дадим наиболее общее определение интеграла,
отчасти потому, что понятие "локальной ограниченности" здесь
смысла не имеет.
Пусть задана целочисленная случайная мера /i на 1+ х £, где
(£,£) — пространство Блэкуэлла (см. §1а; для всех наших
практических целей Е = Rd). Согласно предложению 1.14, fi имеет
вид
L22. fi(u;dt,dx) = J^ ^D{^,s)e{8iPt{u})){dt,dx),
*>о
где X) — опциональное тонкое множество такое, что (о;, 0) ^ Z?, а
Р — опциональный процесс со значениями из Е.

128 Гл. II, Характеристики семимлртингалов
Обозначим v "хорошую" версию дуальной предсказуемой
проекции /х, построенную в 1.17, и положим
(at(u) = v(u;{t}xE),
J = {a> 0},
(Тп) — исчерпывающая J
1.23. { последовательность предсказуемых
случайных моментов,
vc(u>;dt,dx) =
[ = v(u;dtydx)ljc(oj,t).
Напомним, что U = QxR+x E иР = V®£. Свяжем с измеримой
функцией W на U процесс
1.24. Wt(u>) = <
[ I W(uy f, x, )v(u; {t} x dx)y
E
если / |W(u>y t, xy )\v(a;; {t} x dx) < oo,
+oo в противном случае.
1.25. Лемма. Если процесс W является V-предсказуемым,
то процесс W предсказуем и является версией предсказуемой
проекции процесса (u;,/) —► W{u,t,(}t(u))\D{u,i).
В частности, для любого предсказуемого момента Т
1.26. WT = Е[ЦГ(Т,0т)1п(Т)\ТТ-] на множестве {Т < оо}.
Доказательство. В силу 1.24 и определений
обобщенного условного математического ожидания 1.1.1 и обобщенной
предсказуемой проекции 1.2.28 достаточно рассмотреть отдельно
W+ и W~, или, другими словами, предположить, что W > 0.
Тогда WTn = YPn> где процесс Yn = (lprjW) * и является
предсказуемым. Следовательно, величина Wrn .Т^-измерима и
процесс W = Х2п^тл1|[Тп] предсказуем по 1.2.12. Кроме того, 1.26
совпадает с 1.11, что и доказывает второе утверждение. D
1.27. Определения. а) Обозначим через G\oc{li) класс
всех таких ^-измеримых действительных функций W на Й, для

1. Случайные меры 129
которых процесс Wt(v) = W(u,t,fit(u))lD(u,t) - Wt(u)
удовлетворяет условию [£,<Л)2]1/2 е Ate-
b) Для Ж G Gfioc(/x) будем называть стохастическим
интегралом процесса W по мере до — i/ и обозначать W * (до — и) любой
чисто разрывный мартингал X такой, что процессы АХ и W
неразличимы. П
Для обоснования этого определения отметим, что если W G
Giodf1), то из 1-25 P(W) = 0 и согласно 1.4.56 существует такой
локальный мартингал М, что процессы AM и W неразличимы;
тогда чисто разрывная часть X = Md (см. 1.4.18) является
версией интеграла W * (до — i/), и по 1.4.19 любая другая версия
неразличима с процессом X.
Очевидно, что С?)ОС(до) является линейным пространством, и
отображение W —► Ж * (до — г/) также линейно (с точностью до
неразличимости) на G\oc(fi).
Следующее утверждение объясняет название "стохастический
интеграл по до — vn для процесса W * (до — и).
1.28. Предложение. Пусть предсказуемая функция W
на U такова, что |W|*/i G Л£с (или, что эквивалентно, \W\*t/ G
Л^с). Тогда W G £1ос(до) и
1.29. Ж*(до-1/) = Иг*до-Иг*1/.
Доказательство. Процесс W * до — PF * v
принадлежит С П V и в силу 1.4.14 он является чисто разрывным
локальным мартингалом. Непосредственное вычисление
показывает, что АХ = W. О
1.30. Предложение, а) Пусть Т — момент
остановки и W G G\oc(fi). Тогда процесс WIjotj принадлежит G\oc(fi) и
(W4p,Ti) * (/* - ") = iw * (^ - ")>Т-
Ь) Пусть Н — локально ограниченный предсказуемый
процесс и W G С?|ОС(до). Гог(?а Я1У принадлежит (?10с(до) и (HW) *
(до-*/) = #.{W* (до-*/)}.
Доказательство, (а) — частный случай (Ь) с Я =
1|o,tj. Для доказательства (Ь) отметим, что процесс W = #W
5. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев ТЛ

130 Гл. II. Характеристики семи мартингалов
Р-измерим иГ = HWy W = HW, откуда W G Gloc(fi). Поэто-
му (НW) * (/i — v) и Н • [W * (fi - v)] являются чисто разрывными
локальными мартингалами (для последнего процесса это следует
из I.4.55d) с совпадающими скачками. D
Для использования в дальнейшем охарактеризуем свойство
W G G\oc(n) через интегрируемость подходящих возрастающих
предсказуемых процессов. С любой предсказуемой функцией W
на Cl свяжем два возрастающих (возможно бесконечных)
предсказуемых процесса:
1.31. C(W)t = (W- W)2 * vt + 5^(1 - a,)(W,)\
8<t
1.32. C(W)t = \W-W\*ist + ^(1 - at)\W.\.
8<t
1.33. Теорема. Пусть W — предсказуемая функция на
й.
a) W G G\oc(fi) и W * (р - v) G Н2 (соответственно, Н\ос)
тогда и только тогда, когда C(W) G -4+ (соответственно,
А^с), и в этом случае
1.34. (W*(/i- v), W*(ii-v)) = C(W).
b) W G G\oc(fi) и W * (fi — v) £ А (соответственно, А\ос)
тогда и только тогда, когда C(W) G Л+ (соответственно,
Аос)' _
c) W G G\oc(n) тогда и только тогда, когда C(W')+C(W") G
А\ос9 где
1 35 (W' = (W- W)l{lw.*\<1} + ИЧ{|Й,,<1},
\ W" = (W - И01{|и,_*,>1> + ^1{|*|>i>-
d) Дополнительно предположим, что W > — 1
тождественно. Тогда W < 1 на множестве {а < 1} с точностью до прене-
брежимого множества uW E G\oc(fi) тогда и только тогда,
когда возрастающий предсказуемый процесс C'(W) принадлежит

1. Случайные меры 131
A+ocf гдв
1.36. C\W\ = (l-yjl + W - ^)2**/,+S(l-af)(l->/l - ^)2.
Доказательство, а) Из определения VF следует, что
возрастающий процесс At = ]£#<t(We)2 Равен
Л = (W - ТУ)2 * /i + £ 1|».(Г.Х*гт.)81|г..со1
п
(см. 1.23). Далее, процесс 1—а является предсказуемой проекцией
процесса 1£>с (см. 1.25) и из 1.8 следует, что для любого момента
остановки S
1.37. E(As) = E[(W-W)2*ps]+
+ ЕЕ[(^)2Е(Ьс(ГЛ)|^Тл_)1{Тл<5} =
п
= E[(W - Wf *vs) + £ E((lVTJ*(l - ат„)1{Тп<5} = E[C(W)S].
П
Таким образом, А £ Л+ (соответственно, -4£с) тогда и только
тогда, когда C(W0 Е -4+ (соответственно, -4£c), так что
необходимость и достаточность вытекают из 1.4.56а. Кроме того, если
C(W) G -4£с, то для процесса X, = W*(/x — и) выполнено свойство
[Х,Х] = А, и ввиду 1.37 C(W) является компенсатором А. Таким
образом, 1.34 следует из 1.4.50.
Ь) Возрастающий процесс At = Yls<t 1^*1 имеет вид
А = \W - W\ * Ц + £ lD'(Tn)\WTJllTat0ol.
п
Точно так же, как и в (а), получаем, что для любого момента
остановки 5
1.38. Е(Л5) = E(C(W)S).
Таким образом, A Е А+ (соответственно, А*ос) тогда и только
тогда, когда C{W) Е Л+ (соответственно, ,4£с), и нужное
утверждение следует из 1.4.56Ь.
5*

132 Гл. II. Характеристики семимартингалов
c) Поскольку W = W + W"y то достаточность следует из
(а) и (Ь). Обратно, предположим, что W G G\oc(fi). Положим
М = W * (^ - и), А = £,<. ДМД{|ДА/,|>1}. Тогда Л G V и в силу
1.4.23 A G -4ioc- Простые вычисления показывают, что
А = W" */х - S WV.l{|ilrrJ>i}1IT..ooI-
n
Ввиду 1.25 процесс скачков компенсатора Ар имеет вид ААР =
W" — ^^{\W\>\y Поэтому для процесса М" = А — АР имеем
ДМ" = W". Таким образом, из 1.4.56 получаем, что W" G G\oc(n)
и, так как М" G -4ioc, то ввиду (b) C{W") G Д£с. Более того,
процесс W = W — W" также принадлежит О\ос(р) и,
поскольку, очевидно, \W'\ < 4 (так как \W'\ < 2), то W * (/г-*/) G 47{QC.
Следовательно, из (а) следует, что C(W) G Л^с.
d) Согласно 1.27 W G G\oc(fi) тогда и только тогда, когда
(Л$< (^)2)1уГ2 £ *4£с- Но это равносильно принадлежности A! G
1.39. Л' = В^)21{|ЙМ<1> + Е 1^|1{|*.|>Ц- *
Из неравенства 1У > — 1 вытекает, что
WTnlDc(Tn) < lDc(Tn) на {Гп<оо}.
Переходя к предсказуемым проекциям, получаем, что
WTn(l - аТя) < 1 - аТп на {Тп < оо}.
Следовательно, 1У < 1 на множестве {а < 1} с точностью до
пренебрежимого множества. Кроме того, если х > — 1, то
(i - vT+T)2 < x2i{W<1} + |x|i{W>1} < (1_^)2(i - vfTl)2-
Следовательно, если W7 > — 1 тождественно, то А" < А' <
< А"/(1 - ч/2)2, где
A"=(l-\/l + ^-^)2*M + ^lDc(rn)(l-A/l-^T„)2llr„,oo[>

2. Характеристики семимартингалов 133
а А' определено в 1.39. Таким образом, имеет место
эквивалентность А" е Ate О A! G Л£с О W e G\oc(fi). Точно так же, как
и в (а), проверяем, что Е(А§) = E(C"(W)5) для любого момента
остановки 5. Таким образом, А" е А+ос О C"(W) € Л£с, что
завершает доказательство. □
2. Характеристики семимартингалов
Понятие "характеристик" семимартингала предназначено для
замены (или, вернее, обобщения) трех понятий: сноса, дисперсии
гауссовской части и меры Леви, которые характеризуют
распределение процесса с независимыми приращениями.
Хотя изучению процессов с независимыми приращениями
посвящены разделы 4 и 5, мы немного опередим события и коснемся
этой темы, чтобы дать некоторое представление о понятии
характеристик семимартингала.
Пусть X — процесс (скажем, действительный) с
независимыми приращениями, с Х0 = 0, не имеющий фиксированных
моментов разрыва. Как известно, распределение Xt является
безгранично делимым и его характеристическая функция имеет вид
Е(ехршХ^) = ехр^(м), где
2.1. фг(п) = iubt - |с, + f(eiux - 1 - iuh(x))Ft(dx)
(формула Леви-Хинчина) и bt Е Ж, с, G 1+, Ft — положительная
мера, по которой интегрируема функция 1 Л #2, a h — любая бо-
релевская функция с компактным носителем, которая "ведет себя
как я" в окрестности нуля. Кроме того, из независимости
приращений процесса X немедленно вытекает, что
2-2. Процесс exp(iuXt)/ exp фг{и) — мартингал.
Идея обобщения заключается в следующем: если X — семи-
^артингал, то следует найти такие процессы (Bt), (Ct) и
случайную меру t>, что для процесса фг(и), определенного формулой
^•1> в которой bt (соответственно, с<, Ft(dx)) заменено на Bt (co-
°тветственно, С*, f([0,t] x dx)), справедливо свойство 2.2. Ко-
йехШо, невозможно найти детерминированный триплет (B,C,v)

134 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
(если только X не является семимартингалом с независимыми
приращениями ), но можно найти один и только один триплет,
который обладает требуемыми свойствами и является
предсказуемым. Этот триплет называется характеристиками процесса
X.
§2а. Определение характеристик семимартингала
В этом параграфе рассматривается d-мерный семимартингал
X = (X1,..., Xd), определенный на стохастическом базисе (ft, Ttbm
F, Р) (обозначение: X G Sd).
В 2.1 участвует до некоторой степени произвольная функция
h. Формализуем этот класс функций.
2.3. Определение. Обозначим Cf (t — от английского
truncate — усекать) класс всех ограниченных функций h: Rd -»
Rd с компактным носителем, таких, что h(x) = x в окрестности
0. D
Пусть h e Cf. Тогда AXs-h(AXs) ф 0, только если \АХ,\ > 6
для некоторого b > 0, и формулы
2.4. \ s<t
{ X(h) = X - X(h),
определяют d-мерный процесс X(h) из Vd (т.е. его компоненты
принадлежат V) и d-мерный семимартингал X(h). Кроме того,
процесс AX(h) = h(AX) ограничен и в силу 1.2.24 X(h) является
специальным семимартингалом (т.е. его компоненты
принадлежат Sp). Рассмотрим его каноническое разложение:
2.5.
X(h) = X0+M(h)+B(h), M(h) e Cd, B{h) e Vd и предсказуем.
2.6. Определение. Пусть h — фиксированная функция
из Cf. Характеристиками семимартингала X (или
характеристиками, отвечающими Л, в случае возможности двусмысленного
толкования) называется триплет (J5,C, г/), в котором
(i) В = (-#*);<<* — предсказуемый процесс из Vd, а именно
процесс B(h)y входящий в разложение 2.5.

2. Характеристики семимартингалов 135
/jj) С = (Cij)ij<d — непрерывный процесс из Vdxd, а именно
Cij = (АХ*'е,Х*>е)
(Xе — непрерывная мартингальная составляющая X — см. L4.18).
(iii) v — предсказуемая случайная мера на Ж+ X Rd, а именно
компенсатор меры скачков \хх процесса X (см. 1.16). □
2.7. Замечание. Как видно из определения, С и v не
зависят от выбора функции Л, а В = 2?(А) зависит. Это согласуется
с таким хорошо известным фактом: если в формуле 2.1 заменить
Л другой функцией, то изменится только bt, a ct и Ft сохранятся.
В дальнейшем Л будет произвольной, но фиксированной
функцией из С* (если не оговорено противное). Первоначально
функцию h выбирали в виде h(x) = sl{|x|<i} (что является в некотором
смысле каноническим видом; см. [106]). Но при изучении
предельных теорем из технических соображений удобнее выбирать
непрерывные функции h. О
2.8. Замечание. Из определения 2.6 следует, что
характеристики семимартингала единственны с точностью до Р-
неразличимости (ибо разложение 2.5, процессы Xе, (Xi,c,XjtC) и
компенсатор меры \ix единственны только с точностью до
неразличимости).
Поэтому иногда удобно также называть характеристиками
семимартингала любой триплет (В1, С", и'), состоящий из
процесса В' со значениями из Rd, процесса С" со значениями из Rd ® Rd,
и случайной меры i/ таких, что
(5,И,С.^),^;0) = (^И,С,И,К^;0) Для всех u#Ny
где N — множество Р-меры нуль.
Это условие не содержит в себе предсказуемости триплета
\В',C',v') (если только стохастический базис не полон), а также,
например, того факта, что В1 имеет конечную вариацию и везде
^прерывен справа и имеет пределы слева. Такое (слабое!) рас-
Ширение понятия характеристик семимартингала окажется
полным в следующей главе, при изучении мартингальных
прочем, п

136 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Всюду в дальнейшем используется обозначение *, введенное в
1.5. Здесь Е = Rd, и если / — функция на Ж**, то запись / * и
означает, что функция W(u,t,x) = f(x) интегрируется по мере
v\ если / — векторная функция, то интегрирование производится
покомпонентно и интеграл является векторным процессом; если /
имеет аналитический вид, например, f(x) = \х\2 Л1, то мы также
пишем (\х\2 Л 1) * и.
Неединственность, упомянутая в замечании 2.8, позволяет
выбрать хорошую версию характеристик:
2.9. Предложение. Существует версия
характеристик (B,C,v) семимартингала X, имеющая следующий вид
( В{ = Ь* • А,
2.10. I Cij = &* • А,
{ v(u>;dt,dx) = <1А^и)Кш^(<1х),
где:
(i) A — предсказуемый процесс из А^с, который можно
выбрать непрерывным если и только если X квазинепрерывен
слева;
(и) Ь = (bx)i<d — d-мерный предсказуемый процесс;
(ш) с = (c^)ij<d — предсказуемый процесс со значениями из
множества симметрических неотрицательно определенных
матриц размерности d x d;
(iv) KWti(dx) — переходное ядро из (ПхЖ+,7^) в (Rd,Ud),
удовлетворяющее следующим требованиям:
{ А'„,,({0}) = 0, j Kw<t(dx)(\x\2 Л 1) < 1,
2-1L \ AAt(u) > 0 =► Bt(u) = J KUtt(dx)h(x),
{ AAt(u)KUtt(Rd) < 1.
Из (Hi) и 2.11 вытекает, что "хорошая" версия (B,C,v)
тождественно удовлетворяет соотношениям:
2.12. s < t => (С? — C*J)ij<d — симметрическая,
неотрицательно определенная матрица;
2.13. (|х|2 Л 1) * I/G А,с;

2. Характеристики семимлртингалов 137
2.14. ДЯ* = h(x)v({t} х dx).
Доказательство, (а) В силу теоремы 1.4.47 процесс
£5< \АХ8\2 е V. Тогда процесс (|х|2 Л1)*^= £,< (|АХ|2 Л
д1) локально интегрируем, так как его скачки ограничены, и из
определения v получаем существование версии f,
удовлетворяющей 2.13. Более того, в силу 2.17 и того, что по построению
/хх(Ж+ X {0}) = 0, можно выбрать такую версию, что
2.15. v({t] X Ж*) < 1, i/(R+ X {0}) = 0.
(b) Пусть В и С — любые версии первых двух характеристик,
и v определена в п. (а). Формула
А = ]Г Var(B') + £ Var(C'*') + (М2 Л 1) * v
i<d i,j<d
задает предсказуемый процесс А 6 А*ос. Тогда dB{ < dA и
dCij < dA, Следовательно, из 1.3.13 вытекает существование
предсказуемых процессов 6* и с*-7 таких, что В1 = Ьх-А и CtJ = с1*-А
с точностью до неразличимости.
Если А' = (|х|2 Л 1) * v, то А! = V * v, где V(u,t,ж) = |х|2 Л 1 +
1{о}(х) — строго положительная Р-измеримая функция на £2.
Следовательно, в силу 1.8 существует переходное ядро K'{u,t\dx) из
(ft X R+,P) в (HLd,Tld) такое, что i/(a;;<ft,cfe) = dA'^K'lu^dx).
Кроме того, dA1 < t/Л, и следовательно, существует
предсказуемый процесс Н такой, что А1 = НА с точностью до
неразличимости. Тогда KWtt(dx) = Ht(u)K'{u,V,dx) является предсказуемым
переходным ядром и v(u>; dt, dx) = dAt(u)KWit(dx) Р-п.н.
Положим at(u) = / KWtt(dx)\x\2A 1. Из предыдущих
рассуждений следует, что А1 = a • А. Процесс А — А! является
возрастающим по построению и поэтому (1 — а) • А — также возрастающий
процесс. Следовательно, для предсказуемого множества F = {а >
> 1} справедливо соотношение If • А = 0. Таким образом, если
вменить KWtt(-) на 0 при (w,t) Е F, то все равно будет выполнено
соотношение v(u]dt,dx) = dAt{u)KU)ii{dx) Р-п.н., но, кроме того,
будет также выполнено неравенство at{u) < 1 для всех о>, /.
Аналогичные рассуждения позволяют вывести из 2.15 существование
такого ядра А\ что KWft({0}) = 0 и AAt(u)KWft(Rd) < 1.

138 Гл. II. Характеристики семимартингалов
(c) Пусть u 6 Qd. Введем в рассмотрение предсказуемый
процесс au = £t. .^u'V'V, предсказуемое множество F(u) =
{au < 0} и семимартингал У = £и'Х\ Так как Cij = cij • А
и Yc = J2ul'A'f',c, из 1.4.41 вытекает, что
" lF{uy(Y\Yc) = lF{u)a«.A
с точностью до неразличимости. Правая сторона этого
равенства неположительна, а левая — неотрицательна, что возможно
только тогда, когда 1f(«) • А = 0 с точностью до неразличимости.
Поэтому, если заменить ctj на 0 на множестве F = Uu£^dF(u)y то
все равно будут выполнены соотношения С*-7 =с,;'-Ап.н.,а новые
множества F(u) будут пусты для любого u £ Qd. Из равенства
C*i = Cj следует, что все матрицы (c*J)*,j<d симметрические и
неотрицательно определенные.
(d) Из разложения 2.5 вытекает, что AX(h) = ДМ(Л) + ДЯ,
и в силу 1.2.31 АВ = p(AX(h)). С другой стороны, АХ (К) =
Л(ДХ), и из 1.18 следует, что процесс p(AX(h)) совпадает с
процессом (/ h(x)v({t} X dx))t>o, который тем самым неотличим от
АВ. Поэтому, если заменить Ь\ на /Л'Х^ЖО) х dx) для тех *>
для которых AAt > 0, а в остальных точках оставить 6* без
изменения, то новый процесс (6* • A)i<d по-прежнему будет версией
первой характеристики семимартингала X.
(e) Осталось только доказать, что А может быть выбран
непрерывным тогда и только тогда, когда X квазинепрерывен
слева. Это утверждение немедленно вытекает из 1.19, последней
формулы в 2.10 и уже доказанной в п. (d) формулы 2.14. П
Чтобы создать фундамент для изложения предельных теорем,
введем следующее
2.16. Определение. Пусть h £ Cf. Предсказуемый
процесс С Е Vdxd, определяемый как
&* = (M(h)\M(hy),
где локальный мартингал M(h) определен в 2.5, называется
модифицированной второй характеристикой семимартингала X
(отвечающей функции К) (заметим, что AX(h) = h(AX) и
функция h ограничена, поэтому величина AM(h) также ограничена*

2. Характеристики семимлртингалов 139
Следовательно, каждая компонента M{h)% является локально
квадратично интегрируемым мартингалом и процесс Cij корректно
оПределен). Триплет (l?,C,t>) называется триплетом
модифицированных характеристик семимартингала X. О
Конечно, С зависит от ft, и поэтому мы иногда будем писать
£(ft), чтобы подчеркнуть эту зависимость. Замечание 2.8 также
относится к С. Из приведенной ниже формулы 2.18 видно, что
характеристики (В, С, и) можно вычислить по (В, С, и) и
наоборот.
2.17. Предложение, а) С точностью до пренебрежи-
мого множества
2.18. Cij =Ci5 + {titi)*v-
-]Г ( lti{x)v({s) x dx)\ ( fhj(x)v({s} x dx)\ =
= Cij + (ft*ft'') * v - ^ AB\AB{.
b) Если (jP, C, i/) — "хорошая" версия характеристик из 2.9,
то можно положить С1* = с*-7 • А, где с = (c,,7)»,j<<* —
предсказуемый процесс со значениями из множества симметрических
неотрицательно определенных матриц размерности dx d,
задаваемый формулой
${и) = с?(и)+[кш^х)(КМ)(х)-
Доказательство. (Ь) вытекает из (а) и 2.10, а
равенство между двумя правыми частями в 2.18 следует из 2.14. В
силу 1.4.49 £,<. АВ\АВ{ = [В*, В'], но в то же время существу-
ет такая константа fc, что \Н*Ы(х)\ < к(\х\2 Л 1). Следовательно,
согласно 2.13 правые части 2.18 имеют смысл и (ft*ft') * fi e A\oc-
Так как М := M(ft) = X(h) - Х0 — 2?, непосредственное
вычищение показывает, что
[М',М*] = [X(hy,X(hy] - [&,В>] - [М*,В*] - [М^ В*].

140 Гл. II. Характеристики семимлртингашов
Далее, [Mj, В*] еСв силу 1.4.49с, [В\В>] предсказуем, а (М\ АР)
является компенсатором процесса [М*,ЛР]. Итак,
(М',М')= ([X(h)\X(hy])p - [В\В>].
Для завершения доказательства следует заметить, что
[X(h)\X(h)j]=Cij +Y,^X(hy$AX(hys = Cij + (ftW) * ji*
в силу 1.4.53 и определения ^*, и воспользоваться определением
v и тем, что (h%jhf) * \ix 6 -4ioc- П
Из определения 2.6 ясно, что триплет (В, С, г/)
характеризуется в терминах мартингалов. Однако, для дальнейшего
использования в теоремах сходимости сформулируем это свойством более
удобной форме.
С одной стороны, пусть задан согласованный справа и
имеющий пределы слева процесс X = (X')t<rf. С другой стороны,
пусть задан триплет (1?,С, t/), являющийся кандидатом на
триплет характеристик X, связанный с некоторой фиксированной
h Е Cf. Это значит, что выбраны предсказуемый d-мерный
процесс В е Vd, непрерывный матричный процесс С Е Vdxd, и
предсказуемая случайная мера v на R+ х Ж* такие, что выполняются
2.12, 2.13 и 2.14. Определим также процесс С формулой 2.18.
Наконец, введем следующее множество функций:
2.20. C+(Rd) — любое семейство ограниченных борелевских
функций на Ж4, равных нулю в некоторой окрестности 0,
обладающее следующим свойством: если для любых двух
положительных мер г) и г)1 на Ж* таких, что *?({()}) = ^'({0}) = 0 и
г)(х\ \х\ > е) < +оо, г)'(х: \х\ > е) < +оо для любого е > О, имеет
место равенство r](f) = ff(f) для любого / Е C+(Ed), то rj = rf
(существует много подобных семейств; в частности,
существуют семейства, которые счетны и содержат только непрерывные
функции или даже функции из класса С00). □
2.21. Теорема. Во введенных выше обозначениях следу-
ющие утверждения эквивалентны:

2. Характеристики семимартингалов
141
a) X - семимаргпингал с характеристиками (f?,C, f).
b) Следующие процессы являются локальными
мартингалами:
(i) M(h) = X(h) -B-X0 (X(h) определен в 2.4);
(ii) M(hYM(hy - С*> при ij < d;
(Hi) g*\ix - g*v для g e C+(Rd).
Доказательство, (a) => (b): (i) является
определением первой характеристики f?, a (ii) вытекает из 2.16 и 2.17.
Кроме того, д*рх — возрастающий локально ограниченный
процесс (поскольку g ограничена, и X имеет конечное число скачков
на любом интервале [0,2], лежащих в носителе функции </), так
что (ш) следует из определения третьей характеристики и.
(Ь) => (а): Из (i) ясно, что X = Х0 + X(h) + M(h) + В является
семимартингалом, причем В — его первая характеристика. Если
(Тп) — локализующая последовательность для локально
интегрируемых процессов g * цх и g * и (где g G C+(Rd)), и Г — любой
момент остановки, то в силу (Hi)
2.22. Е(5
Устремляя п | оо, для любой функции W вида W(u,t,x) =
= g(x)l[otT(w)](t), где g 6 C+(Rd) и Т — момент остановки,
получим
2.23. E(W*m£) = E(W*i/co).
Тогда из 2.20 и теоремы о монотонных классах следует, что 2.23
выполняется для всех предсказуемых неотрицательных функций
на U = Я х Ж+ X Ж* (нужно вспомнить 1.2.2 и равенство /х*({0} х
Xld) = v({0} X Rd) = 0). Таким образом, v — третья
характеристика X.
Но тогда в силу (ii) С — вторая модифицированная
характеристика X, и сравнение с 2.17 показывает, что С — вторая
характеристика. □
В завершение параграфа покажем, как же в действительности
процессы В = B(h) иС = C(h) зависят от функции h.

142 Гл. II. Характеристики семимлртингллов
2.24. Теорема. Пусть Л, Ы € Cf. Тогда с точностью до
пренебрежимого множества
2.25. B{h)-B{ti) = {h-h')*v,
2.26. C(h)ij - C{h'f = (W - hfih'j) * v-
- fhH(x)u({s] x dx)jh'i{x)v{{s} x <fe)l.
Доказательство. 2.26 непосредственно вытекает из
2.18. Докажем соотношение 2.25. Вспомним сначала, что процесс
X(h) - X(hf) принадлежит Vd (см. 2.4) и его скачки ограничены,
так что его компоненты принадлежат ^ioc; в силу определения
fix этот процесс имеет вид
X(h)-X(ti) = (h-h')*nx.
Согласно теореме 1.8 (h — h!) * v G Vd и процесс X(h) - X(h') -
(h — h!) * v является d-мерным локальным мартингалом.
Искомый результат следует теперь из единственности канонического
разложения специального семимартингала X(h) — X(h'). О
§2Ь. Интегрируемость и характеристики семимартин-
галов
Этот параграф в основном посвящен доказательству того, что
в действительности по характеристикам семимартингала
можно сказать, является ли он специальным или (локально)
квадратично интегрируемым. При первом прочтении данный параграф
можно опустить. Начнем со следующего определения:
2.27. Определение. Семимартингал (d-мерный) Х
называется локально квадратично интегрируемым, если он
является специальным семимартингалом с каноническим разложением
X = Xo + N + А, в котором N — локально квадратично
интегрируемый (d-мерный) мартингал (т.е. его компоненты принадлежат
Ко)- □
Как видно из следующего утверждения, в 2.27 слегка искажена
терминология:

2. Характеристики семимлртиигалов 143
2.28. Лемма. Семимартингал X является локально
квадратично интегрируемым (в смысле 2.27) тогда и только то-
гда, когда возрастающий процесс Yt = sup,<t \XS — Xq\2 локально
интегрируем.
Доказательство. Предположим сначала, что X —
локально квадратично интегрируем и! = Хо + N + А — его
каноническое разложение. Тогда
>
Yt <2sup|7Ve|2 + 2sup|A,|2.
3<t 3<t
Существует такая локализующая последовательность (Тп)> что
NTn £ Н2 и величина Уаг(Л)тл ограничена (нужно
воспользоваться 1.3.10). Тогда величина YTn интегрируема.
Докажем обратное. Предположим, что процесс Y является
локально интегрируемым. Тогда в силу 1.4.23 семимартингал X ]
является специальным; пусть X = XQ + N + A — его каноническое)
разложение. Пусть (Гп) — локализующая последовательность/
такая, что Е(Утл) < оо, Уаг(А)тл < п. Тогда величина
sup \NT»\2 = sup \NS\2 < 2YTn + 2Var(A)T
* s<Tn
интегрируема, откуда NTn GW2. □
2.29. Предложение. Пусть X — семимартингал с
характеристиками (B(h),C,v) по отношению к функции h £ Cf.
ъ) X — специальный семимартингал тогда и только тогда,
когда (|х|2Л|ж|)*1/ £ .4ioc- В этом случае его каноническое
разложение X — Х0 + N + А удовлетворяет соотношениям:
230 (A = B(h) + (x-h(x))*v,
\ АА = fxv({t} x dx).
b) X является локально квадратично интегрируемым семи-
мартингалом тогда и только тогда, когда \х\2 * v £ *4i0c- В*
этом случае его каноническое разложение X = Х0 + N + А удо-

2.31. (N\Nj) = I
144 Гл. П. Характеристики семимартингалов
влегпворяегп 2.30 и
(Cij + (s'V)*i/-
-]Г /a;V({s} x dx) xji/({s} x dx)y
Cij + (s*V) * v - £ AA*BAAjs.
»<
Доказательство, а) Будем пользоваться
обозначениями 2.4 и 2.5. Поскольку X{h) является специальным, то X —
специальный семимартингал только одновременно с X(h). Но
так как X(h) G Vd, то в силу 1.4.23 X(h) является
специальным тогда и только тогда, когда X(h) G (A\oc)d- По
определению, X(h) = (х - Л(ж)) * fix, и следовательно, в силу 1.3.20
последнее включение имеет место тогда и только тогда, когда
\х - h(x)\ * v G -4ioc- Наконец, найдется такая константа с > 0,
что |х - h(x)\ < с(\х\2 Л \х\) и (|х|2 Л |я|) < с\х - Л(я?)|, откуда
получаются требуемые необходимые и достаточные условия.
Если X = Xq + N + A — каноническое разложение X, то из 2.4
и 2.5 имеем X{h) = N + A — M(h) — B(h). Отсюда вытекает, что
А - B(h) — компенсатор процесса Х{Н) = (х - h(x)) * \ix. Таким
образом, доказано первое равенство из 2.30. Второе равенство
выводится из 2.14.
Ь) Предположим сначала, что \х\2 *i/g А\ос- Тогда из (а)
следует, что X является специальным семимартингалом. Пусть
X = Х0 + N + А — его каноническое разложение. Из
сделанного предположения следует, что правые части 2.31 определены и
равны между собой в силу 2.30. Вычисления, аналогичные
проведенным при доказательстве 2.17 (M(h) и B(h) заменяются на
N ти А)у показывают, что
(1) [N\Nj] = Cij + (*V) * px - [A\ Aj] - [A\ Nj] - [Aj,N%
Далее, Cij G А*, [А',А>] G Aloc (в силу 1.3.10), (x'V) * \ix 6
G Лос по предположению, [A\Nj] и [Aj, TV*] принадлежат А[ОСПС
(см. 1.3.11 и 1.4.49с). Следовательно, [N\ Nj] G Лос и ввиду
1.4.50c имеет место принадлежность N* G Н\ОС) т.е. выполнено
2.27. Кроме того,
{N\ Nj) = ([N\ Nj]f = Cij + (x'V) * v - [A\ Aj],

2. Характеристики семимартингллов 145
откуда следует 2.31.
Предположим обратное. Пусть X — локально квадратично
интегрируемый семимартингал. Тогда [N\Nj] € А\ос, и из (1)
следует, что (х*)2 * fix 6 Лос, поэтому (я*)2 * v 6 Лос (см. 1.3.20),
и, следовательно, |х|2 * v е Лос- П
2.32. Предложение. Пусть X — семимартингал с
характеристиками (Ву Су и), отвечающими функции усечения h.
Тогда семимартингал X' = X — В имеет следующие
характеристики (В',С',и'), соответствующие той dice функции усечения:
\ B't = Е /"(W х dx)[AB8 + h(x - АВ8) - Л(*)],
С' = С,
t
v'([0,t] xA) = jj lA(s,x- AB,)l{tjlAB,^(ds,dx)+
о д<*
+ EI1 " К{«> X К*)]1{дв.#о}Ы*,-ДД.).
2.33.
8<t
Доказательство. Равенство С — С следует из
равенства Х1С = Xе (см. 1.4.27). Обозначим \ix и \ix меры скачков
процессов X и X', определенные в 1.16. Пусть функция W
неотрицательна и V ® ^-измерима. Положим W'(u;,f,£) =
= W(u,t,x - ДВ,(и>))1{^дв<(и,)}. Так как АХ' = АХ - ДЯ, то
W * £ = W * ^ + £ WU -ДВ5)1{дв.^дх.=о}.
*>0
По определению меры f, E(W * /i*) = Е(1У * и^). Пусть D =
{Д* ^0}, J = {(о;, t): и(ш; {t} X Г*) > 0} и at(u>) = i/(o;; {*} X Rd).
В силу 1.17 множество J является предсказуемым носителем
тонкого опционального множества D. Следовательно, ввиду 1.2.23
существует последовательность (Тр) предсказуемых моментов,
исчерпывающая D с точностью до пренебрежимого множества.
Тогда в силу 1.17Ь
E(W*A*i#) = E(W^oo)+

146 Гл. II. Характеристики семимартингалов
= E(W'*ueo)+
р>0
+ £ ЧЩТР, -Д5Тр)1{ДВг^0}(1 - ат,)1{т,<оо}],
и если мера v1 определена по формуле 2.33, то это выражение
равно E(W * v). Таким образом, v' — третья характеристика X1.
Положим W(u, t, x) = ABt(u) + h(x - ABt(u)) - h(x).
Используя обозначения 2.4 и 2.5, имеем
x\h)t = x[ - £[дх; - h(AX'8)] =
= х'0 + M(h)t + Ддх. - мах) - ах; + л(дх;)] =
= X'0 + M(h)t + W*tf.
Компоненты интеграла W * рх принадлежат V. Так как X'(h)
является специальным семимартингалом, то в силу 1.4.23
компоненты W*fix принадлежат А\ос- Следовательно, W*px-W*v —
локальный мартингал. Из определения процесса В1 = B'{h) (см.
2.5) вытекает, что В1 = W * v; тем самым установлена первая из
формул 2.33. D
§2с. Каноническое представление семимартингалов
В этом параграфе описывается каноническое представление
многомерных семимартингалов, основанное на введенном в §ld
понятии стохастического интеграла. Не следует путать
каноническое представление с каноническим разложением 1.4.21 для
специальных семимартингалов.
2.34. Теорема. Пусть X — d-мерный семимартингал с
характеристиками (В, С, и), отвечающими функции усечения h,
и fix — мера его скачков (см. 1.16). Тогда функция W%(u,t,x) =
hx(x) принадлежит G\oc(nx) для всех i < d, и имеет место
следующее представление:
2.35. X = Х0 + Xе + h * (fix - и) + (х - h(x)) * /х* + В.

2. Характеристики семим&ртингалов 147
формула 2.35 называется каноническим представлением се-
1димартингала X.
Стохастический интеграл h * (рх - v) является d-мерным, и
его следует интерпретировать покомпонентно. Сравним
указанное представление с 2.4 и 2.5. Имеем Х{К) = (# - ft(s)) * /г* по
определению Х{К) и /i*. Поэтому
2.36. M(h) = Xе + Л * (/гх - */),
или, другими словами, чисто разрывная часть d-мерного
локального мартингала M{h) равна M{h)d = /i * (ji* - t>).
Доказательство. Нам нужно показать лишь, что
M(h)d = h*(fix - и). Имеем AM(h) = Л(ДХ) - ДЯ, но если
W{(uj,t,x) = А*'(а:), то ввиду 2.14 ДВ* = Й"' (обозначения из 1.24).
Если вспомнить, что D = {ДХ ^ 0} и /? = ДХ для \l = ^, то
мы увидим, что ДМ(Л)' = И" (см. 1.27). Опираясь на 1.4.56,
можно заключить, что W* 6 G\oc(iax), но два чисто разрывных
локальных мартингала M{hy и W1' * (цх - f), имеющие
одинаковые скачки, неразличимы. □
2.37. Замечание. На основе предыдущего результата
можно дать другое доказательство формулы 2.18. Для этого надо
использовать равенство 1.34 (доказательства 1.33а и 2.17 в
действительности очень похожи). □
Приводимое ниже следствие дополняет 2.29а:
2.38. Следствие. Пусть X — d-мерный специальный
семимартингал с характеристиками (5,(7, и) и /лх — мера его
скачков из 1.16. Тогда функция \¥*(и,Ъх) = ж* принадлежит
G\oc(lJ,x), и если X = Х0 + N + А — каноническое разложение
семимартингала X, то
2.39. X = Х0 + Xе + х * (рх - v) + А.
Доказательство. Из 2.29а следует, что \х - h(x)\ *ч
*" € Лос, откуда в силу 1.28 х( - h((x) g Gloc(fix), и из 2.34
вЬ1текает, что х* G G\oc(fix). Равенство 2.39 следует теперь из
2>35 и 2.30. □

148 Гл. П. Характеристики семимлртингалов
§2d. Характеристики и экспоненциальная формула
1. В этом параграфе уточняется ряд замечаний, приведенных
во введении и особенно в п. 2:2.
Как и в рассуждениях, предшествующих теореме 2.21, пусть
с одной стороны, задан d-мерный согласованный процесс X =
= (Х%<4.
С другой стороны, пусть задан триплет (1?, С, f),
являющийся кандидатом на триплет характеристик X (отвечающий
некоторой фиксированной функции h 6 С/), т.е. заданы
предсказуемый d-мерный процесс В = (2?')»<<* из Vd, непрерывный
процесс С = (C*j)itj<d из Vdxd и предсказуемая случайная мера v на
Е+ ® Ж*. Будем предполагать, что выполняются соотношения
2.12, 2.13, 2.14 (или, другими словами, 1?, С, ^ заданы
соотношениями 2.10, где А, 6, с, Аг удовлетворяют всем требованиям
2.9).
Свяжем с триплетом (2?, С, ^) процесс, играющий ту же роль,
что и функция фг в 2.1. Для этой цели введем сначала обозначение
для обычного скалярного произведения: если и, х Е Rd, то w • а; =
= £)»<<* w*x*> такой же смысл будут иметь обозначения и • В или.
w • X для процессов 2?, X. Аналогично, если z = (2,,7)*,j<d —
матрица, то через u-z-u обозначается число u-z-u = ]C»,j<<* u*z,JV;
если С - матричный процесс, то обозначение и- С -и понимается
в том же смысле.
Поскольку найдется константа а, для которой \ехих — 1 — ш •
h{x)\ < а(|х|2Л1), то в силу предположения (|x|2Al)*f Е V можно
положить
2.40. A(u)t = iu-Bt--u-Ct-u + f(eiux-l-iu-h(x))i>([0,t]xdx).
Определенный таким образом комплекснозначный процесс А(и)
является предсказуемым процессом ограниченной вариацией
(т.е. его действительная и мнимая части принадлежат V). Для
первого и третьего членов в правой части 2.40 это очевидно, а
взятый со знаком минус второй член согласно 2.12 является
непрерывным возрастающим процессом. Заметим, что в силу 2.25
А(и) не зависит от h.

2. Характеристики сем и мартингалов 149
Используя обозначения 2.10, равенство 2.40 можно переписать
в виде
{A(u) = a(u) • А,
a(u) = ш • 6 - it» • с • it + /(с*" - 1 - и* • Л(х))# (Жг).
2.42. Теорема. С учетом введенных обозначений,
следующие утверждения эквивалентны:
a) X — семимартингал с характеристиками (l?,C,f).
b) Для любого и £Rd процесс eiu х - (eiu'x-) • А(и) является
комплекснозначным локальным мартингалом.
c) Для любой ограниченной функции f на Ж* из класса С2
процесс
2.43.
f(X) - f(XQ) - Е,<,Л,/(Х.) ■ & - \ Zjik<dDjkf(X_) • С'*-
-{/(*_ + х) - дх_>- Ei<^i/(^-)^(^)} *"
— локгальмый мартингал.
Начнем со следующей леммы (см. Гнеденко и Колмогоров
[65]).
2.44. Лемма. Пусть Ь G Ж*, с — симметрическая,
неотрицательно определенная матрица размерности d x d, F —
положительная мера на Rd, такая, что по ней интегрируема
функция (|х|2 Л 1), и F({0}) = 0. Тогда функция
2.45. ф(и) = iu-b-^u-c-u + f(eiux - 1 - ги • h(x))F(dx)
допускает единственное представление в форме 2.45.
Доказательство. Пусть w £ Rd\{0}. Определим
Функцию <pw(u) равенством <pw(u) = ф(и) — \$_х ф(и + sw) ds.
Несложные вычисления показывают, что

150 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
Следовательно, функция <рю(и) является характеристической
функцией меры
^ /, ч 1 /, ч Л sinu; • ж\ „, , ч
Gw(dx) = -w • с • wso(dx) + (1 J F(dx).
6 v/\ w *х '
Поэтому каждая мера Gw однозначно определяется функцией <pw,
а с ней и функцией ф. С другой стороны, множество мер (Gw: w £
Ш*\{0}) полностью определяет матрицу с и меру F (вспомним,
что ^({0}) = 0). Наконец, Ь легко восстанавливается по с, F и
функции ср. О
Доказательство теоремы 2.42. (а) =»> (с): Рассмотрим
разложения 2.4 и 2.5 с В = B(h) и для простоты обозначим М = M(h).
Тогда из формулы И то имеем
f(x)-/(x0) = j2Dif(x-)-Mi + EDif(x-)-Bi+
j<d j<d
+ Ё£А-/№-)-(Д^-л''(дх,))+
s< j<d
j,k<d
+ E [/№) - /(*-) " E D,f(X.-)AXl
где W(t,*) = /(Xt_ + *) -/(*,-)- Zi<dDjf(Xt-)h?(x).
Рассмотрим правую часть в приведенном выше соотношении: первый
член принадлежит £, второй и третий члены - предсказуемые
процессы из класса V, последний член также принадлежит V. Но
из ограниченности функции / следует, что f(X) специальный се-
мимартингал, и ввиду 1.4.23 последний член в действительности
принадлежит А\ос- Поэтому W * v — W * цх G £ и утверждение
доказано.
(с) => (Ь): Нужно лишь применить свойство (с) к функции
I

2. Характеристики сем и мартингалов 151
t(x} = eiux и заметить, что Djf = iuj/, i?;t/ = — tVt«*/, и
/(X-+*)-/(*0-£^/(*-)^
(b) => (а): По предположению, процесс e*u * является комплекс-
нозначным семимартингалом для любого и 6 Ж*. Следовательно,
процесс sin aXj принадлежит S для любого a Е Ж. Найдется такая
функция / на Ж из класса С2, что /(sin д?) = х для |g| < |.
Следовательно, если Гп = inf(t: |X/| > п/2), то процесс XJ совпадает
с семимартингалом n/(sin(XJ/n)) на стохастическом интервале
[0,TJ и в силу 1.4.25 X' G 5.
Пусть (B'yC'yi/') — хорошая версия характеристик процесса
X, удовлетворяющая всем условиям 2.9. Для любого и €Ж*
свяжем с (2?',С",1/) процесс А1 {и) по формуле 2.40. Так как мы «уже
доказали импликацию (а) => (Ь), то процесс ехиХ — (etu х~) • А'(и)
является локальным мартингалом. Из сделанного предположения
и единственности канонического разложения специального семи-
мартингала eiuX вытекает, что (eiuX-) • А(и) = (eiu х~) - А1 {и)
с точностью до неразличимости. Интегрируя процесс eiu x-,
получим отсюда неразличимость процессов А(и) и А'(и). Поэтому
множество N тех о;, для которых существуют такие и Е Qd и
t € Q+, что A(u)t(u) ф A!{u)t{u>), имеет Р-меру нуль.
Заметим теперь, что функция ф% определенная формулой 2.45,
является непрерывной, и, следовательно, полностью
определяется своими значениями на Qd. Воспользовавшись леммой 2.44, мы
увидим, что В\ = Bt, C't = Ct и i>'([0,i] X •) = f([0,t] x •) вне
множества N для любого t G Q+, а в силу непрерывности справа —
и для любого t Е Ж+. Поэтому триплет (5,(7,1/) также является
версией локальных характеристик X. □
2. Оставшуюся часть параграфа §2d при первом чтении
можно опустить.
2.46. Определение. Пусть Т — предсказуемый
момент с предвещающей последовательностью (Тп). Процесс М
называется локальным мартингалом на интервале Ц0,Г[, если
яюбой остановленный процесс МТп является локальным
мартингалом. □

152 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Очевидно, что это понятие не зависит от выбора
предвещающей последовательности, и эту последовательность можно
выбрать так, чтобы каждый процесс МТп являлся равномерно
интегрируемым. Отметим также, что значения М вне интервала
|[0,Т[[ несущественны, так что достаточно определить процесс М
на интервале |[0, Т[[.
Следующая теорема обобщает 2.2:
2.47. Теорема. Пусть X — d-мерный семимартингал с
характеристиками (B,Cyi/) и процесс А(и) определен формулой
2.40. Пусть Т(и) = inf(i: AA(u)t = -1) и G(u) = S[A{u)) (Это
обозначение введено в /.4.63). Тогда
a) Т{и) — предсказуемый момент, Т{и) = inf (t: G{u)t = 0), и
процесс (e*w */<j?(u))l[0>T(ti)[ — локальный мартингал на
интервале |[0,r(ti)[.
b) Если G1 — другой комплекснозначный предсказуемый
процесс с ограниченной вариацией, такой, что Gf0 = 1 и процесс
(eiu'x/G')liotT'i — локальный мартингал на интервале |[0,Г'[[;
где Т(и) = inf(J: G't = 0), mo V < Т(и) п.н. и G' = G{u) на
интервале [[0,Т'([ с точностью до пренебрежимого множества.
Доказательство. Зафиксируем и Е Ж* и положим
А = А(и), G = G(u)9 Т = T(t*), Y = eiu х и Z = (У/<У)1[0,т1 -
а) Точно так же, как и в доказательстве теоремы 1.2.24^
можно показать, что Т — момент остановки (даже если базис не
полон): в обозначениях 1.2.24 нужно взять X = А, Вт = {-1}, так
что Т = Д(т, 1). Кроме того, |[TJ содержится в предсказуемом
множестве {ДА = —1} и тем самым согласно 1.2.13 Т является
предсказуемым моментом.
Далее, в 1.4.63 содержится явное выражение для G, и после
взятия модуля имеем:
\Gt\ = ехр - -и- Ct • и - (1 - cos u • х) *t/J JJ |1 + АА8\
(напомним, что процесс А = А(и) определен формулой 2.40).
Кроме того, из 2.40 легко выводится, что |1 + АА8\ < 1.
Следовательно, предсказуемый процесс |G| является убывающим. Стало

2. Характеристики семи мартингалов 153
быть, Rn = inf(t: \Gt\ < 1/n) — предсказуемый момент (нуж-
jio воспользоваться 1.1.28 и 1.2.13). Так как Rn > О,
существует такой момент остановки 5П, что Sn < Rn п.н. и Р(5П <
Rn — Vn) ^ 2"?. Окончательно положим Тп = supm<fl5m.
Согласно 1.4.61с limn | Дп = Г = inf(J: G< = 0). Легко проверить,
что limn t Г„ = Г п.н. и |G| > 1/п на интервале |[0,ТП|[.
Мы должны доказать, что для каждого п процесс Z7*
является (комплекснозначным) локальным мартингалом. Поскольку
процесс А(и)Тп связан с ХТп так же, как и процесс А(и) — с
процессом X, и так как GTn = £(АТп), то заменив X на ХТл, мы
должны будем доказать, что процесс Z — локальный мартингал,
если всюду выполняется неравенство |С?| > 1/п.
В соответствии с этим в дальнейших рассуждениях будем
считать, что \G\ > 1/п. Зафиксируем какую-либо функцию на Ж4 из
класса С2, такую, что /(х, у, u,v) = |j*jj при \u + iv\ > 1/п. Из
формулы Ито имеем
(1) Z = l + ^-.y-|^.G + X:(A^-^ + |^AG,).
Напомним, что N = Y - У_ • А — локальный мартингал (см. 2.42)
и G = 1 + GL • А по определению G. Кроме того, длинные, но
простые выкладки показывают, что AZ - AY/G- + Z-AG/G- =
~ANAA/(l + ДА). Отсюда и из (1) имеем
(2) Z = 1 + ±.(N + Y„.A)+^(G-.A) + ^^Al =
= l + ~-N+ , * Л +Yi&N,AA).
С 1 + АА *-? ' '
Итак, процессы N и £,<. AN8AAS являются локальными
мартингалами (для доказательства последнего воспользуйтесь 1.4.49с и
представлениями N = Nf + iN" и А = А' + iA", где N', JV", А', А!'
процессы с действительными значениями). Кроме того, так
как |G| > 1/п, то процессы 1/G_ и 1/(1 + ДА) локально
ограничены, откуда Т = оо и 1 + АА ф 0 всюду. Поэтому из (2)
вЬ1текает, что Z — также локальный мартингал, что и
требовалось доказать.

154 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
Ь) Пусть G' удовлетворяет предположениям (Ь) и Z1 =
= (y/G')l[o,T'i- Точно так же, как и в (а), можно выбрать такую
последовательность (7^), предвещающую момент Г', что \G'\ >
l/п на интервале |[0,Г]|. Положим А'(п) = ф- • G*7"». Так как
G'0 = 1, то G< = 1 + G'_ • А'(п)9 и следовательно, G< = £[А'(п)]. *
Имеем У7» = Z<G< и по предположению —
локальный мартингал. Применяя 1.4.49с (отдельно к действительной и
мнимой части ), получим, что процесс Ут» — Z'__ • С7"* = Ут» —
У_ • А'(п) является локальным мартингалом. В силу 2.42 Ут» -
У_ • Ат» также локальный мартингал и из единственности
канонического разложения специального семимартингала У7»
вытекает, что У_ • А'(п) = У_ • Ат*. Следовательно, А'(п) = АТп и
G^* = £[А'(п)] = GT'n в силу определения G. Поэтому G' = G на
1 [О, Т'|. Ввиду определения Г и Г' это в свою очередь означает, что
V < Г. D
i 2.48. Следствие. 5 условиях теоремы 2.42 при
дополнительном условии, что АА(и) ф -1 тождественно (или, что
эквивалентно, что процесс (?(м) = £[А(и)] никогда не обращается
в нуль) для всех и Е Rd, следующие утверждения эквивалентны:
(a) X — семимартингал с характеристиками (В, С, и);
(b) Для любого и £ Rd процесс eiu x/G(u) — локальный
мартингал.
Доказательство. (&)=>► (Ь) в силу 2.47. Наоборот,
предположим, что верно (Ь) и пусть М(и) = eiu x/G(u). Тогда
из ограниченности вариации процесса G(u) следует, что eiu x =
= G(u)M(u) — семимартингал и ввиду I.4.49b
eiux = eiux0 + G(u)M(u) + М(«)_ -G{u) =
= e<u*° + G(t«)Af(t«) + [M(ti)_G(u)_] • A(u)
по определению G(w). Тогда процесс eiuX — (e,4i *-) • A(u) —
локальный мартингал, и (а) следует из 2.42. D
Если процесс G(u) обращается в нуль, свойство 2.47(a) не
может вообще говоря полностью определять (jB,C, f), так как не
затрагивает интервала jT(u),oo[[, и может случиться так, что
слишком многие из моментов Т(и) будут слишком малы!
ЖР

2. Характеристики семимлртингалов
155
Тем не менее, характеризацию такого типа (и даже две
несколько отличающиеся характеризации) можно получить. Эти
характеризации обобщают теорему 2.47, но менее важны и далее
не используются. Сформулируем следующую теорему без
доказательства (оно в основном аналогично доказательству теоремы
2.47). Пусть задан триплет (В, C,f) и процессы А(и) определены
формулой 2.40. Положим
Г0(«) = 0, Гя+1(«) = inf(t > Tn(u): AA(u)t = -1),
ЛГ(гг) = {АЛ(г.) = -1} =
п>1
Х\и) = X - ^2 Д^Т«(и)1|[Т„(и),оо|[,
п>1
А1 (и) = А(и) - Y, Д^(«)ад11г.(|.),оо[ = А(и) - 1к(и) - А{и),
T(u,t) = inf(s > t: AA(u)8 = -1).
Все моменты Тп(и) и Т(и,р) являются предсказуемыми. Имеет
место равенство Т(м,0) = Тх(и). По построению, АА'(и) ф —1
всюду, и следовательно, £[А'(м)] никогда не обращается в нуль.
Кроме того, из 1.4.63 вытекает, что £[А(и) — А(м)*] равно 1 на
J0,<J, и не обращается в нуль на |[0,Т(и,<)|[. Тем самым, все
составляющие следующей теоремы имеют смысл.
2.49. Теорема. Во введенных выше обозначениях,
следующие условия эквивалентны:
a) X — семимартингал с характеристиками (В,С,и).
b) Для всех wel^, n e N*
2.50. Процесс eiu'x'^/E[A'(u)] — локальный мартингал.
2.51. Е(ехрш.ДХтя(и)|^гЛн-) = 0 на {Тп(и) < оо}.
c) Для всех и £ Rd и всех t из плотного подмножества D С
С Е+> содержащего 0.

156 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
2.52. Процесс {е™<х-х')/£[А(и) - A(uy]}ll0iT(utt)i ~
локальный мартингал на интервале ЦО,Т(и,/)[.
2.53. Е(ехр ш • AXTiUit)\TT(Utt)-) = О на {T(u,t) < оо}.
Кроме того, из этих условий вытекает справедливость 2.52 и
2.53 для всех t G Ж+.
Априори неожиданные условия 2.51 и 2.53 возникают из
следующей леммы, представляющей и самостоятельный интерес.
2.54. Лемма. Если X — семимартингал с
характеристиками (В, С, v) uT — предсказуемый момент, то
Е(ехр iu • АХТ\Тт_) = 1 + АА(и)т на {Т < оо}.
Доказательство. Применяя 1.18 к W{u, tf, x) = eiu x -
1, имеем
Е(е{иАХт - 1|^г_) = f(eiux - l)v({T} x dx)
на {Г < оо}, и ввиду 2.14 правая часть этого выражения равна
АА{и)т. U
3. Примеры
Прототип класса семимартингалов — процессы с
независимыми приращениями — изучается в следующем разделе. Другие,
более содержательные примеры (такие, как диффузионные
процессы и т.д.) будут рассматриваться в третьей главе. Однако,
представляется уместным по мере возможности привести
некоторые "элементарные" (и не совсем элементарные) примеры.
Первый пример (§3а) является переложением результатов
раздела 2 на случай дискретного времени. Содержание этого
параграфа очень просто и во многом схоже с параграфами из главы
1, посвященными "дискретному случаю". §ЗЬ также посвящен
дискретной ситуации; он существенно более сложен и
содержателен. Затем мы будем иметь дело с "одноточечными" точечными
процессами, главным образом с целью вычисления характеристик
эмпирических процессов, связанных с последовательностями
независимых, одинаково распределенных величин.

3. Примеры 157
53а* Дискретный случай
Пусть задан дискретный стохастический базис В = (£2, Т,¥ =
/^rn)n€N,P). Как мы видели в §1.4g, относительно этого базиса
семимартингал — это просто согласованный процесс.
Итак, пусть задан d-мерный согласованный процесс X =
= (Х*)»<<*- Процесс С и непрерывная часть Вс = В - £в<. ДБ,
процесса В являются "непрерывными", что в дискретном случае
означает независимость от времени; поскольку В0 = 0 и С0 = О,
получаем, что Вс = 0 и С = 0. С другой стороны, из 2.14 видно,
что процесс Bd = В — Вс = В полностью описывается мерой и.
Поэтому мы приходим к следующему определению.
3.1. Определение. Дискретной характеристикой се-
мимартингала X называется предсказуемая случайная мера v на
N X Md, такая, что
(i) i/({0} х -) = 0,
(ii) для п > 1, мера v(•; {п} х Жг) является регулярным
условным распределением переменной АХп = Xn - Xn_i относительно
Отметим, что условие 2.13 заменяется следующим: каждая из
мер v({n} х •) является вероятностной.
Эквивалентом процесса А(м), определенного формулой 2.40,
является здесь процесс
3.2. Л(«)о = 0, А(и)п= £ /(е*- - 1>(0>} X «fa).
1<Р<«
Теорема 2.42 превращается в следующее тривиальное
утверждение.
3-3. Теорема. Для того, чтобы предсказуемая
случайная мера v на N X Ж* была дискретной характеристикой
процесса X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось уело-
6ие 3.1(1), а также, чтобы для любого и £ Rd процесс М(и) =
е%и х - eiuX- • А(и) являлся мартингалом. Здесь процесс А(и)
определен условием 3.2, а обозначение *•" введено в /.3.37, так

158 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
что
M(u)n = eiuX°+
+ £ [e^e'-*'-* - eiu'x'-*(A(u)p - A(u)p_x))
l<p<n
Переформулируем теперь часть (а) теоремы 2.47. Пусть v -^
дискретная характеристика X. Положим
ОДо = 1,
G(u)n = JJ feiu'*v({p} X dx) при п > 1,
Rp = M(n: \G(u)n\<±).
Согласно 1.2.37 величины Rp являются предсказуемыми
моментами, и ввиду 1.2.39 R'p = (Rp — 1)+ — момент остановки. Отсюда
легко получить ^справедливость следующей теоремы:
3.4. Теорема. В приведенных выше обозначениях, дм
любого р G N* процесс ([ехрш • XnARi]/G(u)nAR* )n€N является
мартингалом.
Переформулирование части (Ь) теоремы 2.47, а также теоремы
2.49 для дискретного случая мы оставляем читателю.
Сейчас мы рассмотрим более важный по сравнению с
изложенным выше вопрос о том, как свести дискретную ситуацию к
непрерывной. Вместо того, чтобы связывать с В и X "обычный"
базис В1 и процесс X1 с непрерывным временем с помощью 1.1.55 и
1.1.59, мы рассмотрим в следующем параграфе более общий
подход.
§ЗЬ. Еще о дискретном случае
Начнем снова с дискретного стохастического базиса В — (ft,/>
(^n)n€N?P)? и рассмотрим на этом базисе согласованный процесс
X = (Xn)n€N, приращения которого равны Un = АХп = Xn-Xn-i
(и и0 = Х0).
В предельных теоремах довольно часто приходится осуп#*
ствлять "нормализацию" процесса X во времени. Точнее,
рассматривается процесс Y с непрерывным временем, определяемы^

3. Примеры 159
как
0<*<<7<
где <т< — подходящий возрастающий процесс со значениями из N
или N (в последнем случае, конечно, в приведенной формуле
может появиться проблема сходимости ряда). Естественно, процесс
ах должен обладать некоторыми хорошими свойствами,
собранными в следующем определении:
3.5. Определение. Заменой времени на базисе В
называется такое семейство а = (a<)t>o, что:
(i) каждая из величин at — момент остановки относительно
В;
(И) ст0 = 0;
(ш) каждая из траекторий t —► at является возрастающей,
непрерывной справа со скачками, равными 1. □
Свяжем с этим объектом следующий базис с непрерывным
временем:
3.6. e = (fi,^,G = (6)f>o,P), где Gt = Tc
Of
В соответствии с 3.5(ш) и 1.1.18 G — фильтрация в смысле 1.1.2.
Заметим, что а — согласованный точечный процесс на В в смысле
§1.3Ь за исключением того, что он может принимать и значение
+оо. Заметим также, что если ах = [t] — целая часть <, то мы
снова приходим к базису В', определенному в 1.1.55.
Положим
3.7. Ti=inf(t: at > fc), к G N.
Начнем со следующей вспомогательной леммы.
3-8. Лемма, а) г0 = 0 и Q0 = 5"0.
b) Каждая из величин т* — предсказуемый момент
относительно В.
c) Следы а-алгебр Тк и QTk на множестве {тк < оо} совпада-
Югпу равно как и следы а-алгебр Тк-\ и G(Tk)-.

160 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Доказательство, (а) тривиально. Пусть к > ^
Если A Е Тк, то в силу 3.7 имеем
[ЛП{гк<0]Л{<г, = т} = {^Ь = тЬ
если тп < ку
если т > к,
и это множество в обоих случаях принадлежит Тт.
Следовательно, в силу 1.1.52 и определения Qt множество АП {тк < t} Е Qu
Отсюда тк — момент остановки относительно базиса В (нужно
положить А = ft), и Тк С GTk-
Пусть, далее, А € QTk. Тогда множество At := А П {тк < t <
r*+i} принадлежит ^t, и из равенства At П {сг, = к} = At следует,
что At Е .?>. В свою очередь, так как Л П {г^ < оо} = Ut€Q+At,
то Л П {г* < оо} Е Тк. Поэтому следы Тк и QTk на множестве
{г* < оо} совпадают.
Имеем {тк > t} = {<rt < к - 1} е Тк_х С QTk^-
Следовательно, величина тк является GTk^-измеримой, и тк > тк_х при
Ль_1 < оо. Нетрудно показать, что тк — предсказуемый
момент, предвещаемый последовательностью моментов остановки
fab-i + (тк - т*-1 - l/n)+] ^ и относительно фильтрации G. Если
А Е Tk-U то А П {г* < оо} Е Тк-\ С ^rfc_!, откуда в силу 1.1.17
АП {тк < оо} Е 0(тк)-- Наконец, если А е Gu то АГ\ {t < тк} =;
Л П {at < fc - 1} Е ^*-i- Отсюда ввиду (а) и определения G(Tk)~
следует, что !Fk С (7(т*)-' что и завершает доказательство. D
Возвратимся к согласованному "процессу приращений"
(Un)n>0' Если Gt < оо для всех / Е Е+, то положим
3.9. У<= £ ^=£^W)-
l<Jk<<7« Jb>l
Понятно, что это - согласованный процесс с ограниченной
вариацией на базисе В. Если же crt принимает значения из N, то
положим
у?= Е ик= £ uki{Tk<_t}
O.lU. < 1<*<<7<лп 1<*<п
Yt = Р - lini(n) Уп* (предел по вероятности),
если этот предел существует.

3. Примеры
161
З.Ц. Теорема. Пусть h 6 Cf — произвольная функция
усечения.
a) Формула 3.10 задает семимартингал относительно базиса
0 тогда и только тогда, когда для любого t G K+
3.12. £ |E(ft(^)l^-i)l < оо п.н.,
1<*<<7|
3.13. £ Е(|^|2Л1|^_1)<оо п.н.
\<k<ot
(Эти условия, так же как и свойство семимартингальности,
очевидно, выполнены в случае, когда ах < оо п.н. для любого t £
b) Яри этих условиях характеристики (В,С,и) процесса У,
связанные с функцией h, равны
(Bt= £ E(ft(W*-i),
3.14. < Ct = 0,
где g > О — борелевская функция.
Заметим, что последняя формула полностью определяет меру
0; было бы достаточно проверить эту формулу для
значительно более узкого класса функций #, например, для совокупности
ограниченных функций на Rd класса С°°, равных нулю в
окрестности нуля. С другой стороны, для любой неотрицательной V-
измеримой функции W на U = Q, x ft+ х ^ чмеем по теорбе о
монотонных классах:
3.15. W*vt= £ E(%.P»)liM)№-i)-
Из этой формулы видно также, что на множестве {т* < оо} мера
3-1б. i/(w; {г*И} X <fc) + [1 - К"; 0*И) X 1<*)Ы<**)
является регулярным условным распределением С/* относительно
6-Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

162 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
Доказательство. Предположим сначала, что У —
семимартингал с характеристиками (l?,C,t>). Положим
J = U*>i|[rfc]). Это множество является тонким предсказуемым
случайным множеством на В. Из 2.6 ясно, что первые две
характеристики семимартингала 1/ • Y равны 1 j • В и 1 j • С; но так как
Y = 1/ • У по построению, то В = 1/ • В и С = lj-C. Из
последнего равенства следует, что С = 0, а первое равенство показывает,
что первая формула в 3.14 следует из последней и 2.14.
Чтобы установить последнюю формулу в 3.14, рассмотрим
неотрицательную борелевскую функцию </, такую, что процесс
д * liY принадлежит Л£с. В силу 3.10 имеем
в то время как из 3.8 следует, что возрастающий процесс
предсказуем по отношению к /?. Поэтому из 1.2.11 для любого
момента остановки Г имеем
Е(Л<) = 5>(1{Тк<т)Е(0({/4)1{^О}|^-1)) =
= Y. E(l{rk<T}9(Uk)l{Uk^0}) = Цд * *#)•
Jfc>l
Отсюда ввиду теоремы 1.3.17 Agt = f([0,J] X д) п.н.
Наконец, 3.12 следует из 3.14, а 3.13 — из 2.13 и 3.14.
Наоборот, предположим, что выполнены условия 3.12 и 3.13.
Для доказательства достаточности в п.(а) достаточно показать,
что формула 3.10 определяет семимартингал для любой из
следующих последовательностей:
Uk = E(h(Uk)\Tk^), U'k = Uk- h(Uk),
Vk = h(Uk)-E(h(Uk)\Tk-1).
Для U'k это тривиально (нужно воспользоваться 3.12). Для
остальных последовательностей заметим сначала, что левая часть 3.13

3. Примеры
163
определяет предсказуемый возрастающий процесс, и, используя
локализацию (эта процедура не влияет на справедливость 3.10),
мы можем считать, что
е(Е1^12л1) = е(Ее(1^12л11^-о)
< 00.
Тогда ]£*>i l{|t/fc|>a} < оо п.н. для любого а > 0 и так как для
достаточно малого а имеем Uk = 0 при \Uk\ < а, то формула 3.10
для последовательности (Щ') определяет семимартингал. Отсюда
также следует, что
e(£w2)<;e(£I№)I2)
< 00,
так как \h(x)\ < с(|я|2Л1) для некоторой постоянной с. В силу 3.8
величина Vk является .7>к-измеримой и Е(У*|-?>*-) = 0.
Применяя часть (а) доказательства 1.4.51, получаем, что процессы Уп
(определенные соотношением 3.10 с (V*) вместо ({/*)) являются
мартингалами на /?, сходящимися bW2k некоторому
квадратично интегрируемому мартингалу У. Таким образом, соотношение
3.10, примененное к последовательности (V*), определяет
мартингал на В, и достаточность в (а) доказана. □
3.17. Замечание. Полезно сейчас сравнить 3.11 с
теоремой Колмогорова о трех рядах. Предположим, что величины
Uk одномерны и независимы, так что в 3.12 и 3.13 вместо
условных ожиданий стоят просто математические ожидания.
Предположим также, например, что ах = оо, и возьмем в качестве h
функцию h(x) = я1{|*|<1}- Тогда условия 3.12 и 3.13, очевидно,
эквивалентны условиям
(1)
f£|E(tf*l{,i,fc|<i})|<oo,
к
£Е(1^1{|см<1})<оо,
£P(|t/*|>l)<oo.
к
6*

164 Гл. II. Характеристики семим&ртингаиюв
В свою очередь, теорема о трех рядах гласит, что ряд Ylk Uk
сходится п.н. тогда и только тогда, когда
[ Ряд Yl E(Ukl{\uk\<i}) сходится,
к
(2) { Е E(Ukl{\uk\<i}) ~ Е(С/*1{КМ<1})2] < оо,
£Р(|СЫ>1)<оо.
, к
Условие (1), конечно, более жесткое, чем (2). Другими словами,
формула 3.10 может корректно определять процесс Y при всех t,
однако этот процесс может не быть семимартингалом D
Предположим теперь, что 3.12 и 3.13 выполняются. В
соответствии с 3.14 и 2.18, модифицированная вторая характеристика
процесса Y равна
3.18. C\j =
l<k<at
в то время как процессы А(и) и G(u), связанные с У по формулам
2.40 и 2.47, равны
3.19.
A{u)t= £ Е(е*^ - 1^),
l<k<at
l<k<at
Пример. Нормированные независимые, одинаково
распределенные случайные величины. Рассмотрим
последовательность
(%k)k>i скалярных независимых, одинаково распределенных
случайных величин. Предположим, что crt = [nt], и положим
У/* = ап J2 Zk.
к<[Ш]

3. Примеры
165
3.20.
Это соответствует формуле 3.10 при Uk = anZk- Конечно, 3.12 и
3.13 выполнены, и характеристики процесса Yn равны
( В? = [nt]E(h(anZ),
Сп = 0
С?-•' ='[n«]{E(fcW(anZ)) - E(^(a„Z))E(^(c„Z))},
U"([0,t]x«7) = HE(«/(a„Z)).
В частности^ если величины Zk центрированы и имеют конечную
дисперсию, и ап = 1/\/й> то Уп — локально квадратично
интегрируемый мартингал, и
3.21. (Yn,Yn)t = ME(Z2)
п
(используйте 2.29Ь). Конечно, эти утверждения намного проще
доказать непосредственно, чем с помощью 3.11!
§3с. "Одноточечный" точечный процесс и
эмпирические процессы
1. Начнем с элементарного замечания. Предположим, что
X = N — точечный процесс (в смысле §1.3Ь) на некотором
стохастическом базисе (fi,f,F,P),H Л — его компенсатор.
Тогда X, очевидно, семимартингал. Более того, его
характеристики можно легко выразить через процесс А. А именно, пусть
ft E С/ — функция усечения. Тогда ввиду 2.4 X(h) = Л(1)Х, ибо
ДХ равно либо 0, либо 1. По той же причине для любой функции
д на Ж имеем g*fix = д(1)Х. Отсюда характеристики (В(Л), С, и)
процесса X равны
(B(h) = h(l)A,
3.22. I С = 0,
I v(dt, dx) = dAt ® e^dx) ($i — мера Дирака в точке 1).
Конечно, имеет смысл выбрать h так, чтобы /i(l) = 0. Тогда
B(h) = 0.
2. Рассмотрим теперь одноточечный процесс:
3-23. N = 1р.,оо[,
где т — случайная величина на вероятностном пространстве
W.FjP) со значениями из интервала (0,оо].

166 Гл. II. Характеристики семимартинг&лов
3.24. Лемма. Фильтрация F = (Tt)t€i+, порожденная про.
цессом N (т.е. наименьшая фильтрация, с которой согласовав
процесс N, или же, что эквивалентно, наименьшая фильтрация,
относительно которой Т — момент остановки) имеет следующий
вид: для любого t а-алгебра Тх — это совокупность всех
множеств вида А = {Т Е В}, где В — такое борелевское
подмножество интервала (0,оо], что или (J, оо] С В или (tyoo]r\B = 0.
Доказательство. Определим Т% описанным выше
способом. Очевидно, что Т% — а-алгебра и Т8 С Т% при s < t.
Покажем теперь, что фильтрация F непрерывна справа.
Пусть А = П,>^. Для s > t существует такое борелевское
множество В8, что А = {Т Е В8} и или (s, оо] С В8, или (s, 00] П Bs =
= 0. Положим В = lim5jjtjinfe€Q B8. Тогда множество В —
борелевское и, очевидно, А = {Т Е В}. Предположим, что (/, оо] П
В ф 0. Тогда множество (J,oo] П 5 содержит некоторую точку
и > t, и для всех рациональных s в некотором интервале (*,«],
где v < w, точка w должна принадлежать Д, (по определению В).
Но тогда (5, оо] П В8 ^ 0 для этих s, откуда следует включение
(s, 00] С Я*. Снова воспользовавшись определением #, мы видим,
что (2, оо] С -В, или, другими словами, A Е .7^, и утверждение
доказано.
Далее, {Г < t} Е ^ по определению Ти так что Г —
момент остановки. Наконец, пусть G = (&)*€1+ — любая
другая фильтрация, для которой Т — момент остановки. Пусть
А = {Т Е В} Е Tt. Если (*, оо]ПЯ = 0, то А = {Т Е В}П{Т < t} я
принадлежит Qu так как Т является моментом остановки
относительно G. Если же (*, оо] С В, то А = [{Г Е Я}П{Г < t}]U{T > t}
и также принадлежит Qt. Следовательно, Т% С Gt- О
Перейдем теперь к вычислению компенсатора процесса N-
Обозначим через F распределение случайной величины Г; это
— вероятностная мера на (0, оо]. Определим также
возрастающую непрерывную справа и имеющую пределы слева функцию я
формулой
*«)=/
(<М]

3. Примеры 167
Если р = sup(,s: jF([,s,oo]) > 0), то a(t) < оо при t < р, a(t) =
- а(* Л />), а(/>) < оо, если F({p}) > 0 и а(р-) = оо, если
/({/>}) = О-
3.26. Теорема. С учетом введенных обозначений, если F
— фильтрация, порожденная процессом N (см. 3.24), то
компенсатор процесса N равен
3.27. А, = а(*ЛГ).
Доказательство. Процесс А является
возрастающим, предсказуемым, непрерывным справа и имеющим пределы
слева процессом, причем Aq = 0. Этот процесс п.н. конечен, ибо
Т < р п.н., и Т < р п.н., если F({p}) = 0. Остается доказать,
что N - А — мартингал. В свою очередь, для этого достаточно
проверить, что для любых s < tf, В Е Т9
(1) E(lB(Nt-Ns-At + As)) = 0.
Если Т < 5, то Nt — N8 — At + А8 = О, так что левая часть (1)
равна
(2) E(lBl{T>.}(Nt-N.-At + A.)).
Далее, из 3.24 событие В П {Т > s} есть либо 0, либо {Т > s}. В
первом случае выражение (2), очевидно, равно 0. Во втором же
случае (2) равно
4UT>,)(Nt-N,-At+A,)) =Е(1{.<т<«}-1{т>,}(а(«ЛГ)-а(*))) =
= F(M)-/W/^L-
(М] (•,«]
_ /f(((u)/^L =
■ад-/?й/'(л)-
(М] (»,«]

168 Гл. II. Характеристики семимартингалов
- jx(..*i) - / г^и*х[-.-1) - ••
(Ml
что и требовалось доказать. Q
3.28. Пример. Если Т имеет экспоненциальное
распределение с параметром 1, то At = t Л Т.
3.29. Пример. Если Т имеет равномерное распределение
на (0,1], то At = - 1п(1 - t Л Г).
3. Эмпирические процессы. Очень важный класс
предельных теорем относится к эмпирическим процессам с различными
нормировками. Чтобы подготовиться к этому, вычислим
характеристики некоторых из них.
Пусть имеется последовательность (Zn)n>i независимых
одинаково распределенных случайных величин с общим
распределением G. Будем предполагать, что мера G сосредоточена на
множестве (0, оо^ и имеет плотность g (второе предположение
несущественно, но позволяет упростить обозначения; однако
существенно отсутствие у G атомов).
В дальнейшем мы рассмотрим ряд процессов. Чтобы
избежать длинных повторений, введем следующие обозначения:
3.30. Если X — непрерывный справа и имеющий пределы
слева процесс, то через Fx обозначается наименьшая фильтрация, с
которой согласован процесс X. О
Назовем эмпирическим процессом объема п процесс
3.31. X? = - ]Г l{Zi<t}-
1<*<п
Процесс пХп п.н. является точечным процессом в смысле §1.3b,
так как P(Z,- = Zj) = 0 для всех i ф j, и имеет место следующее

3. Примеры 169
3.32. Предложение. Компенсатор точечного
процесса Yn = пХп относительно фильтрации Fy* имеет следующий
вид:
о
Доказательство. Обозначим ЛГ* = l[zi)00i • Так как
hs<tAZi} = (1 — ^*-)1{в<,}, то. по теореме 3.26 компенсатор А\
процесса N* относительно фильтрации F^' есть
t
(1) М = /(1 - N1)
^ds.
G([s,oo))
Пусть F — наименьшая фильтрация, содержащая все FN* при
г < щ как очевидно, Т% = ^\<л<пТ^\ Кроме того, для всех t о-
алгебры Т^% взаимно независимы (ибо этим свойством обладают
величины Zi). Поэтому, если s < /, .В,- 6 Т*1* и5 = ГЬ <,<„!?;, то
E(iB(iv;-iv;-i' + ii)) =
(2) = [Utznj* р(^)]е(1в<(лг/ - Ni - i; + ij)) = о.
Из теоремы о монотонных классах вытекает, что левая часть (2)
равна 0 для всех В € !Р8,щ следовательно, JV* - А* — мартингал
относительно фильтрации F.
Далее, Yn = £,<n N', и из 3.33 и (1) Ап = Е,<ПА*. Сле-
довательно, Уп — Ап — мартингал относительно фильтрации F.
Кроме того, процесс Ап предсказуем по отношению к Fy", а
процесс Уп - Ап согласован с Fy ". Следовательно, процесс Уп - Лп
является мартингалом относительно Fy", что и требовалось
доказать. □
^•34. Следствие. Компенсатор точечного процесса
и = пХ?/п по отношению к фильтрации Fy" имеет вид
' i[ s)G((±,oo))dS

170 Гл. II. Характеристики семимьртингалов
Доказательство. В обозначениях 3.32 имеем Tl[n =
Т^п, так что А"/п — компенсатор Yt"n относительно фильтрации
Fy". Заменяя переменные в 3.33, мы видим, что A"jn = A?. О
В дальнейшем мы увидим, что процесс Yn из леммы 3.34 при
п | оо сходится к пуассоновскому процессу. В другой известной
нормировке возникает сходимость к броуновскому мосту. В
качестве подготовки к этому утверждению рассмотрим процесс
3.35.
V? = v/W-G((0,*])).
3.36. Предложение. Характеристики (l?n,Cn,fn) и
модифицированная вторая характеристика Сп процесса Vn no
отношению к фильтрации Fyn и любой функции усечения h E С]
такой, что h(x) = х при \х\ < 1, равны:
3.37.
9(s)
ds,
С" = 0,
G([s,oo])
СГ = /[1-
V?
y/HG([s,oo})
]g(s)ds,
vn(u>;dt,dx) = n — y/n
v/V)
G([t,oo))
g(t)dt®e1/Vz(dx).
Доказательство. Во-первых, заметим, что (в
обозначениях 3.32)
(1) V? = М— - G((0,t))\ УГ = \^Vtn + п(7((0,ф.
п
Следовательно, Fyn = Fyn. Во-вторых, процесс Vn имеет
ограниченную вариацию, так что Сп = 0.
Далее, |ДУП| < l/y/п (напомним, что отображение t -» G((0>t])
непрерывно). Тогда в обозначениях 2.4 имеем Vn(h) = Vn, так
как h(x) = х при |х| < 1. Кроме того, в соответствии с 3.32 Уп—Ап
— мартингал, откуда в силу (1) Vtn - А"/у/п + y/nG((0,t]) также
мартингал. Итак, мы доказали, что процесс
(2)
J9(" = A7/v^-V^G((0,<])

4. Сем и мартингалы с независимыми приращениями 171
является версией первой характеристики Vn. Несложные
выкладки с использованием (1) показывают, что процесс (2) в точности
совпадает с первым процессом из 3.37.
Пусть д — произвольная ограниченная борелевская функция
на R такая, что д(0) = 0. Так как скачки процесса Yn равны 1
(кроме, быть может, множества меры нуль), из (1) следует, что
п.н.
*«/• = £»Ф = &(^К,-=,=^«.
Следовательно, g(l/y/n)An — компенсатор процесса д * fiyn.
Далее, пусть мера vn определена формулой 3.37. Еще раз
воспользовавшись (1), можно показать, что g(\ly/n)An = j*i/n. Поэтому
vn — версия третьей характеристики процесса Vn.
Наконец, из 2.18 находим, что процесс Сп имеет в точности
тот вид, как указано в 3.37. □
4. Семимартингалы с независимыми приращениями
Следующие два раздела посвящены изучению
фундаментального примера — процессов с независимыми приращениями.
4.1. Определение, а) Процессом с независимыми
приращениями на (fy^F,?) (или, относительно фильтрации F)
называется непрерывный справа и имеющий пределы слева
согласованный процесс со значениями в Rd, такой, что Х0 = 0 и
Для любых 0 < s < t случайная величина Xt — X9 не зависит от
о-алгебры Ts.
b) Однородным процессом с независимыми приращениями
(или процессом со стационарными, независимыми
приращениями) на (fi,^",F,P) называется такой процесс с независимыми
приращениями, для которого распределение случайной величины
Xt - Xs зависит только от разности t - s.
c) Момент / Е Ж+ называется фиксированным моментом
разрыва процесса X, если Р(ДХ* ф 0) > 0. □

172 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Общий пуассоновский процесс и винеровский процесс (см.
1.3.26 и 1.4.9) являются процессами с независимыми
приращениями. Стандартный пуассоновский процесс и стандартный
винеровский процесс являются однородными процессами с независимыми
приращениями.
Заметим, что если (Тп) — последовательность моментов
остановки, исчерпывающая скачки процесса X, то множество Dn всех
моментов ty для которых P(Tn = t) > О не более чем счетно, а
множество фиксированных моментов разрыва совпадает с UDn.
Отсюда имеем:
4.2. Множество фиксированных моментов разрыва не более
чем счетно (это свойство выполняется для всех непрерывных
справа и имеющих пределы слева процессов). □
Если X — однородный процесс с независимыми
приращениями, то распределение переменной AXt = lim5f jt(Xt — Xs) не
зависит от t. Поэтому из 4.2 следует, что
4.3. Однородные процессы с независимыми приращениями не
имеют фиксированных моментов разрыва. О
Прежде чем начать изучение общих процессов с
независимыми приращениями, рассмотрим отдельно два примера — винеров-
ские процессы и пуассоновские процессы — так как они по своим
свойствам гораздо проще общих процессов с независимыми
приращениями и очень часто встречаются. Тем самым, первые два
параграфа могут служить введением для §4с. С другой
стороны, их содержание является следствием результатов §4с, поэтому
читатель, интересующийся только общим случаем, может
пропустить §4а и §4Ь.
§4а. Винеровские процессы
Следующая теорема, принадлежащая Леви, дополняет
предложение 1.4.10.
4.4. Теорема. Непрерывный локальный мартингал W с
Wq = 0 является винеровским процессом тогда и только тогда.

4. Семим&ртингалы с независимыми приращениями 173
когда его угловая скобка {W, W) является детерминированной,
скажем, (W, W) = <r2(t), где <т2(-) — некоторая возрастающая
непрерывная функция. Функция <72(-) является функцией
вариации процесса W (см. 7.4.9), и для любых 0 < s < t случайная
величина Wt — Ws является гауссовской центрированной с
дисперсией a2(i) - o2(s).
Доказательство. Необходимость в точности
совпадает с предложением 1.4.10. Обратно, предположим, что W —
непрерывный локальный мартингал с W0 = 0 и (W, W)t = cr2(t).
Положим Yt = ехр(шИ^+у<т(<)). Применяя формулу Ито к
функции f(xy у) - ехр(шя - у), видим, что
Y = 1 + iuY. • W9
следовательно Y — локальный мартингал и даже (комплексно-
значный) равномерно интегрируемый мартингал, так как он
ограничен единицей. Пусть s < t и A Е Ts. Тогда
E(lAexpiu(Wt-W,)) = E[lA^exP(-±u\a2(t)-<r2(s)))\ =
= P(A)exp(-\u*(a\t)-e\s))),
откуда одновременно следуют свойство 1.4.9ii и то, что Wt — W8
— гауссовская центрированная .случайная величина с дисперсией
(r2(t) - cr2(s). Условие I.4.9i выполняется автоматически, и
доказательство закончено. □
§4Ь. Пуассоновские процессы и пуассоновские
случайные меры
Рассмотрим сначала пуассоновские процессы (см.
определение 1.3.26). Если а: Ж+ —► Е — непрерывная справа и имеющая
пределы слева возрастающая функция, то через ас будем
обозначать ее непрерывную часть:
a'(t) = a(t)- £ Дф).
0<*<t

174 Гл. II. Характеристики семимартингалов
4.5. Теорема, а) Точечный процесс N является общим
пуассоновским процессом на (П,^7, F,P) тогда и только тогда,
когда его компенсатор Np является детерминированным
процессом, скажем, N? = a(t) для некоторой возрастающей
функции а.
Ь) В этом случае момент t является фиксированным
моментом разрыва тогда и только тогда, когда Aa(t) ф О, и для
любых и € К, 0 < s <t справедливо равенство
ty€iu(Nt-N.)j _
4'6' = [ехр(е<« - 1)К(*) - а<(*))}
П (1 + (cfa - l)Aa(r))
L8<T<t
Этот результат включает в себя все утверждения,
сформулированные после определения 1.3.27 и оставленные без
доказательства. В частности:
— когда N — пуассоновский процесс, или, другими словами,
когда функция а непрерывна, распределение Nt — N8 является
пуассоновским со средним a(t) - a(s).
— из 1.3.27b следует, что для общего пуассоновского процесса
"квазинепрерывность слева" и "отсутствие фиксированных
моментов разрыва" являются синонимами. В дальнейшем мы
увидим, что это свойство справедливо для любых процессов с
независимыми приращениями.
Можно рассмотреть структуру общего пуассоновского
процесса более детально. Обозначим J = {t: Aa(t) > 0} и положим
t
Nf = flj(s) dN„ Nc = N- Nd.
о
Тогда Nc и Nd — два независимых общих пуассоновских
процесса (это — прямое следствие 1.3.26(H)). Их компенсаторы равны
соответственно ac(t) и a(t) — ac(t). Отсюда процесс Nc в
действительности является пуассоновским процессом, и из 4.6 имеем
s<t,s£j

4. Семим&ртингалы с независимыми приращениями 175
где (Y8)8£j — последовательность независимых случайных
величин, принимающих два значения 0 и 1, причем Р(У, = 1) = Aa(s).
Доказательство теоремы 4.5. Необходимость
в утверждении (а) следует из 1.3.27. Докажем достаточность.
Предположим, что N? — a(t) для некоторой возрастающей
функции а. Тогда E(Nt) = a(f), откуда следует I.3.26L
Пусть иЕ1. Элементарные вычисления показывают, что
eiuN = 1 + (eiu - l)eiuN- • N.
Тогда по определению компенсатора Np = а процесс
t
Mt = eiuNi - 1 - f(eiu - l)eiuN- da(s)
о
является (комплекснозначным) локальным мартингалом, и даже
мартингалом, так как Mt ограничено величиной 2(1+а(<)). Пусть
A Е Тл и Р(А) > 0. Из приведенной выше формулы при t > s
имеем
t
lA€iu(Nt-N.) = iA + iA€-™".(Mt-M8) + (eiu-l) IV11*"'—"•> da(r).
s
Положим f(t) = E(lAexp(iu(Nt - N8)))/P(A). Тогда из
предыдущего соотношения, пользуясь теоремой Фубини и тем фактом,
что М — мартингал, получаем равенство
t
f(t)=l + Jf(r-)(eiv-l)da(r), t>s.
3
Отсюда в соответствии с 1.4.61 f(t) = £(а'), где функция а'
определяется равенством a'{r) = (etu — l)[a(r) — а(г Л s)]. Далее, в
силу 1.4.63 и определения ас величина f(t) равна правой части 4.6
(обозначим ее g8tt(u)), откуда при s < t
E(lAexp(iu(Nt - N9))) = P(A)gs>t(u).
Отсюда следует справедливость 1.3.26i и формулы 4.6.

176 Гл. II. Характеристики семимартингалов
В свою очередь, из 4.6 вытекает равенство E(exj>(iuANt)) ^
1 + (eiu - l)Aa(t) (нужно устремить в 4.6 s tt ')•
Следовательно, t является фиксированным моментом разрыва тогда и только
тогда, когда Aa(t) ф 0. □
Рассмотрим теперь пуассоновские случайные меры. Эта
тематика находится слегка в стороне от основного содержания книги и
ее можно пропустить без всякого ущерба. Будут использоваться
обозначения из §1Ь; в частности, Е — произвольное пространство
Блэкуэлла.
Для положительной а-конечной меры га на пространстве (Ж+х
хЕ, 7£+ ® £) положим
4.7.
{
J = {t: m({t} xE)> 0},
md(dt, dx) = ra(cft, dx)\ j(t, #), rac = m — md.
Множество J не более чем счетно. Если Е состоит из одной точки,
например, Е = {1}, и ra(eft,{l}) = da(t) для некоторой возрастал
ющей функции а, то гас соответствует непрерывной части ае.
4.8. Теорема, а) Целочисленная случайная мера \i
является общей пуассоновской случайной мерой на (ft,.F,F,P) тогда
и только тогда, когда ее компенсатор fip — детерминированная
мера, т.е. /хр(о;,-) = га(-), где т — некоторая положительная
а-конечная мера на (Ж+ х Е> 11+®£), такая, что m({t} хЕ) < I.
Ъ) В этом случае для любого семейства (А;);<<* попарно
непересекающихся измеримых множеств в (1+ хЕ,И+®£) таких,
что m(Aj) < oo, имеем
4.9. *л
Е(ехр5>,М(Л,)) = | ехр5>*" - 1)те(Л,-)
)
X J] Г1 + £(с'"' - l)m({s} xEHAj
Если \i — пуассоновская случайная мера, т.е. если т = шс?
то бесконечное произведение в приведенной формуле исчезает и
из 4.9 следует, что:

4. Семимартингалы с независимыми приращениями 177
4.10. Величины fi(Aj) являются независимыми случайными
величинами, распределение величины fi(Aj) является пуассонов-
ским со средним m(Aj).
В общем случае свяжем с общей пуассоновской мерой \i две
новые меры:
/^(u;; eft, dx) = ц(и\ eft,dx)\j(<), /xc = /i - /zd
(или, что эквивалентно: если множество D и функция /9 связаны
с мерой \i как в 1.14, то множество D П J (соответственно D П Jc)
и та же функция /3 таким же образом связаны с мерой \id
(соответственно /гс)). Тогда 4.9 означает, что меры \ic и \id
независимы, fic — пуассоновская случайная мера с мерой интенсивности
гас, и случайные величины (/ЗДг>(з))в€/, полностью
определяющие fid в силу 1.14, независимы и имеют следующее
распределение: P(s G D,/38 6 А) = m({s} х А) для любых s 6 «7, Л Е £. Эти
утверждения являются обобщением утверждений, приведенных в
качестве комментариев к теореме 4.5.
Доказательство теоремы 4.8.
Необходимость в части (а) следует из 1.21. Наоборот, предположим, что
/ip = га, где га — некоторая мера. Тогда Е(/г(Л)) = га(Л), откуда
следует I.20(i). Кроме того, /х({0} X Е) = 0 (это свойство входит
в определение случайной меры). Поэтому, чтобы доказать
достаточность в части (а) и свойство (Ь), достаточно для произвольных
5б1+, В € Т9 и любого конечного измеримого разбиения {Aj)j<d
множества (s,oo) x E, такого, что rn(Aj) < oo, доказать, что
4.11.
1вехр]Гш,1Л> *рв
3<d
= Р(В)
exp£(eiw; - 1)гас(Л, П (*,*] х Е)] =
= П fi + E^-^^Wx^n^)]
Для любых t > s.
Положим Y = ехр(г^<^;1^)*/* Ицг = Yl^Y-U^-1).
Процессы У и 1 + W*fi имеют ограниченную вариацию, являются

178 Гл. II. Характеристики семимяртингалов
чисто разрывными, и принимают при t = О значение I. Кроме
того, элементарные вычисления показывают, что ДУ = A(W*fi).
Следовательно, У = 1 + W * \i.
Тогда по определению \iv процесс М = У — W * рр является
комплекснозначным локальным мартингалом, и даже
мартингалом, так как он ограничен величиной 1 + 2£т(А;) (напомним,
что |У| = 1 и цр = га). Так как У, = 1 и W^*/i, = 0 в силу
определения W и включения Aj С (s, оо) х Е, то имеем
4.12. lBYt = 1B + lB(Mt - М,)+
t
+1в /Кг- /Е(е<"' - l)Wr,*)m(rfr,AO.
Положим /(<) = Е(1ВУ«)/Р(Я) и
t
°(0 = //E(e'Ui - l)Wr,x)ro(<fr,AO.
Взяв в 4.12 математическое ожидание, воспользовавшись
теоремой Фубини и тем, что М — мартингал, имеем при t > s
t
f(t) = l + Jf(r-)da(r).
Отсюда в силу 1.4.61 f(t) = £(a)t, t > s. Остается заметить,
что £(a)t¥(B) совпадает с правой частью 4.11. Итак,' доказано
равенство 4.11, а с цим и теорема. D
§4с. Процессы с независимыми приращениями и
семимартингалы
Для начала отметим, что процессы с независимыми
приращениями не обязательно являются семимартингалами: например,
любой детерминированный непрерывный справа и имеющий
пределы слева процесс, равный нулю в точке 0, является процессом с
независимыми приращениями, но не является семимартингалом,
если его вариация бесконечна (см. 1.4.28). Мы опишем весь класс

4. Семим&ртингалы с независимыми приращениями 179
процессов с независимыми цриращениями и их характеристики
в разделе 5. В этом параграфе будут рассматриваться только
процессы с независимыми приращениями, являющиеся семимар-
хингалами. Начнем с обозначения
4.13. д{и\ = Е(ехр iu • Xt), t G Ж+, u 6 Ж*.
Очевидно, g(u)0 = 1 и все функции t -* g(u)t непрерывны справа
и имеют пределы слева.
4.14. Теорема. Пусть X — d-мерный процесс с
независимыми приращениями. Процесс X является семимартинга-
лом тогда и только тогда, когда для любого и Е Ж* функция
t -+ g{u)t имеет конечную вариацию на любом конечном
интервале.
Эта теорема будет доказана одновременно со следующей
теоремой, описывающей характеристики семимартингалов с
независимыми приращениями.
4.15. Теорема. Пусть X — d-мерный семимартингал с
Х0 = 0. Он является процессом с независимыми приращениями
тогда и только тогда, когда существует версия его
характеристик (.В,С, и), являющаяся детерминированной.
Более того, в этом случае множество всех
детерминированных моментов разрыва есть J = {t: v({i) x Rd) > 0}, и для
любых s <t, и £ Ж* имеем:
Е(ехрш • (Xt - Xs)) =
4.16.
= exp [it* - (Bt - Bs) - i« - (Ct - C.) • u+
t
+ f k*iu" - 1 - «* • h(x))ljc(r) i>(dr, Ar)l x
П {e-'ttWl+ f(eiux-l)v({r}xdx)\).
8<r<t ^ L J J^
5 l*
X
В частности, g(u)t равно правой части 4.16 при s = 0, а рас-
пРеделение случайной величины AXt имеет вид
4-17. !/({*} х dx) + [1 - !/({*} X Ed)]£0(rfx).

180 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
Формула 4.16 и независимость приращений процесса X
позволяют легко найти распределение любого набора (Xtl,..., Xtn);
таким образом, распределение процесса X полностью описывается
(детерминированными) характеристиками X. Мы формализуем
это утверждение в конце параграфа (см. теорему 4.25).
Заметим, что следствием приведенной теоремы являются как
теорема 4.4 (с Ct = 02(t) и В = 0, v = 0), так и теорема 4.5 (с
С = 0, v(dt,dx) = da(t)ei(dx) и Bt = h(l)a(t)).
Объединяя предыдущую теорему с 1.19, получаем
4.18. Следствие. Семимартингал с независимыми
приращениями квйзинепрерывен слева тогда и только тогда,
когда он не имеет фиксированных моментов разрыва (позже мы
увидим, что аналогичное утверждение верно и тогда, когда
процесс с независимыми приращениями не является семимартинга-
лом).
Перед доказательством теорем 4.14 и 4.15 мы рассмотрим
специальный, очень важный класс однородных процессов с
независимыми приращениями.
4.19. Следствие, d-мерный процесс X является
однородным процессом с независимыми приращениями тогда и
только тогда, когда он является семимартингалом и существует
версия его характеристик (5, С, и), имеющая вид
4.20. Bt(u) = Ы, Ct{u) = ct, v(u; dtydx) = dtK(dx),
где b 6 Ж*, с — симметрическая, неотрицательно определенная
матрица размерности dx d, К — положительная мера на Ж* с
#({0}) = 0, по которой интегрируема функция (\х\2 Л 1). Более
того, для любых <Е1+ и и ЕЖ* имеем
Е(еад) =
4.21.
= expt
\iu • b - ^ • с • и + f(eiux - 1 - iu • h(x)) K(dx)}.
Итак, мы доказали формулу Леви-Хинчина (хотя и не самым
простым способом).

4. Семим&ртингллы с независимыми приращениями 181
Доказательство следствия 4.19.
Достаточность следует из 4.15; в частности, так как триплет (В, С, v)
имеет вид 4.20, то из 4.16 вытекает, что Е(ехр iu • (Xt — Х$)) зависит
только отииот^-5. Это означает стационарность приращений
процесса X.
Предположим теперь, что X — однородный процесс с
Независимыми приращениями. Тогда g(u)t+s = g(u)tg(u)„
следовательно, g(u)t- имеет вид g(u)t — expf^M и> в частности, функция
t -*• g(v>)t имеет ограниченную вариацию. Поэтому в
соответствии с 4.14 процесс X — семимартингал. Следовательно, в силу
4.15 можно выбрать версию (B>C>v) характеристик,
являющуюся детерминированной; в силу 4.3 J = 0, и из 4.16
гф(и) = iu-Bt- -u-Ct-u+ f(eiux - 1 - iu • h(x)) f ([0, t] X dx).
Если теперь положить 6 = Biy с = C\ и K{dx) = j/([0, 1] X dx), то
из леммы 2.38 о единственности следует 4.20. D
Доказательство теорем 4.14и4.15. а)Докажем
сначала несколько вспомогательных утверждений. Обозначим
S{u) = inf(«: g(u)t = 0),
h(u)S)t = E(expiu • (Xt — X8)) при s < t.
Каждая из функций h(u)8t непрерывна справа и имеет пределы
слева по s и t. Докажем, что если X — процесс с независимыми
приращениями, то
4.22. Функция t -» |<KW)*I является убывающей и
g(u)S(u)- ф 0, если S(u) < оо (в частности, g(u)t = 0 при t > S(u)).
Из независимости приращений немедленно следует, что g(u)t =
- 9(u)sh(u)s,t ПРИ « < <. Так как |/i(u)e),| < 1, отсюда следует
первая часть 4.22 и равенство g(u)t = 0 при t > S(u). Кроме
т°го, ff(w)«- = g{u)sh{u)sj_ при s < t, поэтому, если S(u) < оо
и #(u)s(ti)- = 0, то было бы выполнено равенство h(u)8iS(u)- = 0
Для всех s < S(u), что противоречит соотношению й(и)м_ =
= Е(ехр iu-(Xt- —Х8))-> 1 при s ТТ '• Следовательно, выполнено
Утверждение 4.22.

182 Гл. II. Характеристики семимартингашов
Положим также
Z(u) _ / exP(iu " xt)/9(u)o если ' < S(u),
^ }t \ ехр(ш • XS(u)-))lg{u)s(u)-y если t > S(u).
В силу 4.22 этот процесс ограничен. Рассмотрим процесс X1 =
= XliotS(u)i + X5(u)_l[5(u),ooi • Очевидно, X1 — также процесс с
независимыми приращениями, и по соответствующей ему
формуле 4.13 функция имеет вид </'(u)t = g(u)t при t < S(u)y g'{u)t =
g(u)s(u)- при t > S(u). По определению Z(u) при s < t имеем
и ввиду независимости приращений X1 немедленно получаем
отсюда, что
4.23. Процесс Z(u) — мартингал, и а < \Z(u)\ < 1 для
некоторого а > О (последнее свойство вытекает из 4.22 и определения
ад).
b) Докажем необходимость в теореме 4.14.
Предположим, что X — процесс с независимыми
приращениями, являющийся семимартингалом. Тогда, применяя
формулу Ито к некоторой функции / класса С2 на Rd+2, такой, что
/(x,y,z) = e~tux/(y + iz) при \у + iz\ > а (где а — константа
из 4.23), мы увидим, что процесс e",u x/Z(u) — семимартингал.
Так как g(u)t = [eiuXt/Z(u)t]l{t<s(u)}j то процесс t -» g(u)t также
семимартингал, и следовательно в силу 1.4.28 он имеет конечную
вариацию.
c) Докажем достаточность в теореме 4,14.
Предположим, что каждая функция t -» g(u)t имеет конечную вариацию.
Пусть <6l+. Так как g(u)t -» 1 при и -» 0, то найдется такое
Ь > О, что |s(w)t| > 0 при \и\ < 6, и следовательно, при \и\ < Ь
справедливо равенство ехр ги • Х8 = Z(u)8g(u)8 при s < ty в
котором как Z(u), так и (д(и)8)8>0 являются семимартингалами (в
силу 4.23 и сделанного предположения). Поэтому из 1.4.57
процесс ехргм • Xх — семимартингал. Если же \и\ > 6, то найдется
такое п Е N, что |^| < 6, и так как ехр ги • X = [ехр 11|- • Х]п, то
снова из 1.4.57 процесс ехр ги • Х% — семимартингал.

4. Семимлртингалы с независимыми приращениями 183
Далее, последнее свойство верно для любого * G Ж+. Поэтому
в силу 1.4.25 процесс exp iu • X является семимартингалом для
любого u Е Ж**, и из доказательства теоремы 2.42 следует, что и
процесс X — семимартингал.
d) Докажем теперь необходимость в теореме 4.15.
Предположим, что X — процесс с независимыми приращениями,
являющийся семимартингалом. Обозначим через (В,С, v) его
характеристики и через А{и) процесс, заданный формулой 2.40. Согласно
части (Ь) доказательства, процесс t -* g(u)t имеет ограниченную
вариацию, и воспользовавшись утверждением о единственности
из теоремы 2.47, мы установим, что процессы £[А(м)] и д(и)
неразличимы на [0, S(u)l.
Вообще, пусть s Е R+. Тогда процесс X — Xs является
процессом с независимыми приращениями с соответствующей ему
функцией "g(u)t", равной t —> h(u)Stt, а также семимартингалом с
соответствующим процессом "A(v,y\ равным A(u)-A(u)8. Те же
рассуждения, что и выше, показывают, что £[А(и) — Л(м)5] = h(u)8
п.н. при всех t > 5, t < inf(r > s: h(u)8r = 0).
Далее, процесс £[A(u) — A(u)*]t{uj) непрерывен по и и
непрерывен справа по s, t при всех и Е ft. Изменив (2?, С, v) и А(и) на
множестве Р-меры нуль, можно считать, что £[A(u)-A(u)8]t = h(u)8ft
тождественно при всех u Е Ed, s < t < inf(r > s: h(u)8r = 0).
Если b = £(a) для некоторой комплекснозначной функции а с
ограниченной вариацией, такой, что а(0) = 0, то a(t) =
= f0b(s—)db(s) при b(t) ф 0. Поэтому из предыдущих
рассуждений следует, что величины A(u)t — A(u)tA8 являются
детерминированными для всех t < inf(r > s: AA(u)r = —1). Отсюда легко
следует, что A(u)t(u>) = a(u)t тождественно для некоторой
функции а(м), и из леммы 2.44 о единственности следует, что Б, С, v
не зависят от и.
e) Наконец, предположим, что X — семимартингал, Х0 = 0
и его характеристики (ВУС, и) являются детерминированными.
Процессы А(и) из формулы 2.40 также являются
детерминированными. Обозначим через М(и) = е%и х -eiu х- -А(и) локальный
мартингал, введенный в 2.42(b); в действительности, |M(w)t| <
< 1 + Var[A(u)]t, и следовательно, М(и) — мартингал.

184 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Зафиксируем s Е Ж+ и множество F Е Ть, такое, что P(F) > 0.
При t > s имеем
t
= lF + lFe~iuX-(M(u)t-M(u)9)+ flFeiu^Xr—x')dA(u)r__t
в
Следовательно, если f(t) = E(lpexptw • (Xt - X9))/P(F) при t >
s и f(t) = 1 при t < s, то, беря математическое ожидание и
пользуясь теоремой Фубини, получим:
t
f(t) = l + Jf(r-)d[A(u)-A(uy)(r)
О
(напомним еще раз, что процесс А(и) — детерминированный).
Итак, из 1.4.61 следует, что f(t) = £[A(u) — A(u)8]t, т.е. при t > s
E(lFe,4"(*<-*->) = ?(F)S[A(u) -A(u)8]t.
Так как это равенство выполнено для всех F Е Тш, отсюда
следует, что Xt - X, не зависит от Ts. В силу 1.4.63 и 2.40, £[А{и) -
-A(u)s]t равно правой части 4.16. Итак, формула 4.16 также
следует из приведенных выше рассуждений.
Далее, из 4.16 при s f| t получаем:
Е(ехр in • AXt) = 1 + f(eiux - 1) v({t} x dx),
и это выражение равно 1 при всех и £ Ж* тогда и только тогда,
когда i/({t}xMd) = 0. Поэтому множество J = {t: i/({t}xRd) > 0}
совпадает с множеством фиксированных моментов разрыва
процесса X. Из приведенной формулы также следует, что
распределение AXt имеет вид 4.17, что завершает доказательство теоремы
4.15. D
Придадим точный смысл замечанию после теоремы 4.15 о том,
что распределение семимартингала с независимыми
приращениями полностью определяется его характеристиками.

4. Семимартинталы с независимыми приращениями 185
С этой целью предположим, что X — заданный d-мерный
процесс, непрерывный справа и имеющий пределы слева,
определенный на пространстве Q. Пусть Н — некоторая а-алгебра.
рассмотрим фильтрацию
А0А /Л = П#>«<?.° и <7 = V(,)fc,
4^4' \где G* = HVa(Xr:r<3).
4.25. Теорема. Пусть Р u Q — две вероятностные меры
на (П, Q), такие, что:
(i) Р и Q совпадают на а-алгебре Н;
(и) Х0 = 0 Р-п.н. w Q-п.н.;
(iii) Jf — семимартингал с одинаковыми
детерминированными характеристиками на двух стохастическиих базисах
(n,e,G,p)ti(fl,e,G,Q).
Тогда Р = Q.
(Заметим, что в (iii) можно заменить любой из стохастических
базисов его пополнением (1.1.4) с сохранением утверждения).
Доказательство. Согласно 4.15 процесс X имеет
независимые приращения относительно любого из базисов.
Поскольку характеристики процесса X относительно базисов совпадают,
из 4.16 следует, что математические ожидания по мерам Р и Q
величины lFexp{t J];<п"и'№,- ~" -**;-! )> где ° = *о < *i < • - - < *п
и F G Н, совпадают. Но так как фильтрация Q порождена Н и
переменными Xt - Xs и Х0, то Р = Q. П
В завершение параграфа приведем один известный и
весьма полезный результат. Здесь мы формулируем его для семи-
мартингалов с независимыми приращениями, но, как мы
увидим позже (см. предложение 5.29), он сохраняется и для
произвольных процессов с независимыми приращениями. Обозначим
»({t}xg) = fv({t}xdx)g(x).
4.26. Предложение. Пусть X — семимартингал с
независимыми приращениями и (В, С, и) — его характеристики.
Пусть g — неотрицательная борелевская функция на Ж*}
обращающаяся в ноль в окрестности 0. Тогда процесс Х[ = д*ц* =

186 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
Y^8<tg(AXs) является процессом с независимыми
приращениями, и
Е(е"х') = ехр{-(1 - с-')1,. * щ + J>(1 - „({*} х (1 - е"'))}.
*<*
Доказательство. Величина Х[—Х[ = ]£в<г<< 9(&ХГ\
очевидно, не зависит от Т8, откуда следует первое утверждение.
Далее, если Z = ехр{—X'}, то по формуле Ито
4.27. Z = 1 - Z_ • (д *»х) + £Z,_[e-'<Ajr-> - 1 + g(AXs)] =
= 1 - Z_(l - е"') * ji* = 1 - M - Z_(l - e~') * v,
где М — локальный мартингал: М = Z_(l — е~') * \ix — Z_(l -
-е-*) * i/. Так как 0 < Z < 1, то
E[Z_(1 - e"f) * /xf ] = E[Z_(1 - e-f) * i*] < (1 - e~') * */< < oo,
и, следовательно, в действительности, М — мартингал. Поэтому,
если z(t) — E(Zt), то из 4.27 и теоремы Фубини (поскольку мера
и детерминирована) имеем
t
z(t) = l- Jz(s-)dA„
о
где А = (1 - е~~9) * и. Поэтому из 1.4.63 z(t) = £(—At), откуда
легко следует нужное утверждение. D
§4d. Гауссовские мартингалы
В качестве первого приложения теоремы 4.15, выясним
структуру произвольного гауссовского мартингала.
4.28. Определение. Гауссовским мартингалом
называется такой мартингал со значениями в Rd, для которого
(О *о = 0;
(и) распределение любого конечного набора (Xtl, - - -^Xtn)
является гауссовским. D
Положим
4.29. е«(«) = ВД'Х/), c(t) = (*'(0XW

4. Семимартингалы с независимыми приращениями 187
4.30. Предложение. Пусть X — гауссовский
мартингал. Для любых s < t матрица c(t) - c(s) является
неотрицательно определенной симметрической матрицей, и при любом
иеш*
4.31. Е(е'"(*<-**>) = exp[-itt(c(*) - c(s))u].
Доказательство. Симметричность очевидна. Пусть
и € Kd, a(t) = и • c(t) -и и У = и- X. Тогда a(t) = E(Yt2) и при
s<t
Yt2 - Y? = (Yt - У,)2 + 2ВД - Y8).
Беря математическое ожидание и учитывая то, что X, а с ним и
Y — мартингалы, имеем a(t) — a(s) = Е((У< — У,)2) > 0;
следовательно, разность c(t) - c(s) неотрицательно определена. Кроме
того, мы показали, что дисперсия центрированной гауссовскои
величины Yt — Y8 есть a(t) - a(s), откуда следует 4.31. □
В действительности, доказано следующее более сильное
утверждение: гауссовский мартингал является центрированным
гауссовским процессом с ковариационной функцией
ЦХ*Х*) = с{к при s<t
(это следует непосредственно из мартингального свойства).
Следовательно, распределение X полностью определяется
функцией с. Это утверждение можно получить и другим путем:
из мартингального свойства следует, что величина Xt - Х8 некор-
релирована с величинами (Xr,r < s); отсюда в силу гауссовости
X величина Xt — Х9 не зависит от величин Хг при г < s.
Следовательно, в силу 4.31 при любых 0 = t0 < tx < ... < tn и Uj € Ж*
имеем
4.32.
Elexp^^^-I^)) =expU-2wi.(c(<i)-c(^_1))-wi
Из этой формулы также следует, что с полностью определяет
распределение процесса X.
Может случиться, что а-алгебра Т8 содержит нетривиальные
множества, неизмеримые относительно a(Xr\r < s). Поэтому

188 Гл. II. Характеристики семимартиигалов
разность Xt — Х9 может оказаться зависящей от Т9, и процесс X
не будет процессом с независимыми приращениями по отношению
к базису (n,^,F,P) в смысле определения 4.1. Поэтому введем в
рассмотрение новую фильтрацию
4.33. ft = n9>tGl где д°й = <т(Хг: г < в).
Введем также дополнительные обозначения. Во-первых,
положим
4.34. J = {t> 0: c(t) ф c(t - )}.
Если t 6 «7, то матрица Ac(t) = c(t) — c(t—) согласно 4.30 является
симметрической и неотрицательно определенной, и Ac(t) ф 0.
Поэтому существует единственная (гауссовская)
вероятностная мера Kt на Ж**, такая, что
4.35. feiux Kt(dx) = exp { - |и • Ac(t) • u}.
4.36. Теорема. Пусть X — гауссовский мартингал, и
с, G = (Qt)t>of J и Kt определены как выше. Тогда:
a) X является процессом с независимыми приращениями на
стохастическом базисе (Q, J", G,P) с характеристиками:
[в,= £ fh{x)K.(dx),
v(dt,dx) = ^£e(rf^)iire(dar).
b) J является множеством фиксированных моментов
разрыва процесса X; если t E J, то P(AXt ф 0) = 1 и К% —
распределение AXt; почти все траектории X непрерывны вне множества
J.
c) X является винеровским процессом (в смысле 1.4.9) тогда
и только тогда, когда «7 = 0.
Доказательство, (а) Пусть s < г < t. Как мы уже
видели (см., например, 4.32), величина Xt - Xs не зависит от
4.37.

5. Процессы, не являющиеся семимартингалами 189
дОв Отсюда, Xt - Х8 = ]imru$(Xt — Хг) не зависит от <т-алгебры
pr>,£7° = Qs- Итак, X — процесс с независимыми приращениями
на стохастическом базисе (ft, J",G,P).
Определим триплет (В, С, i/) формулой 4.37. Простая
выкладка показывает, что правые части 4.16 и 4.31 совпадают. Поэтому
достаточно доказать, что совокупность правых частей 4.16 при
всевозможных u E Ша и s < t однозначно определяет (l?,C,f).
Ввиду 2.44 эта совокупность однозначно определяет Вс, С и
i/(ds,dx)ljc(syx), а также интегралы f(eiux - l)u({r} x dx} при
всех г £ J. Стало быть, она однозначно определяет меры v({r} x
dx) при г 6 J, а с ними и меру i/. Наконец, В также однозначно
определяется, поскольку Bt = В\ + ^29<t f h(x)v({s} X dx) в силу
2.14.
(b) Два первых утверждения следуют из равенства Е(ехр(ги •
AXt) = ехр[-|м-Дс(*)-и], которое в свою очередь непосредственно
следует из 4.31. Кроме того, ljc*i/ = 0 в силу 4.37. В свою очередь,
Е(1/с * /х*) = Е(1/с * foo), ибо v — компенсатор \ix. Поэтому
последнее утверждение следует из того, что на множестве {1/с *
д* = 0} процесс X непрерывен в каждой точке t £ Jc.
(c) Является непосредственным следствием (Ь). □
В качестве тривиального следствия приведем выражения
для непрерывной и чисто разрывной частей X:
4.38. Xc = X-Xd, Xd= ]Г ДХ„
где задающий Xd ряд сходится в L2. Процессы Xе и Xd являются
независимыми гауссовскими мартингалами, и Xе — винеровский
процесс.
5. Процессы с независимыми приращениями,
^ не являющиеся семимартингалами
Мы уже видели, что существуют процессы с независимыми
приращениями, не являющиеся семимартингалами. Однако, как
будет доказано ниже, они не могут сильно отличаться от се-
^имартингалов. Помимо теоретического интереса приводимые

190 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
здесь результаты полезны при доказательстве достаточных
условий сходимости процессов с независимыми приращениями (см.
главу VII).
Тем не менее, этот раздел имеет второстепенное значение; в
любом случае, мы советуем читателю просмотреть только §5а,
где сформулированы все результаты, и, быть может, еще
последнее утверждение раздела (предложение 5.29).
§5а. Результаты
Пусть X = (Xl)i<d — d-мерный непрерывный справа и
имеющий пределы слева процесс с Х0 = 0, определенный на заданном
стохастическом базисе (0,,Т,¥,Р).
5.1. Теорема. Процесс X является процессом с
независимыми приращениями тогда и только тогда, когда он
представим в виде X = Y + А, где
(i) У — семимартингал с независимыми приращениями
(и) А = (At)t>o — детерминированная функция, непрерывная
справа и имеющая пределы слева: Ж+ ~~* ^d> с А0 = 0.
Существуют два способа введения характеристик семимар-
тингалов с независимыми приращениями: либо через мартин-
гальные свойства и определение 2.6 (или теорему 2.21), либо через
формулу 4.16. Ниже мы определим характеристики общего
процесса с независимыми приращениями, сначала при помощи 4.16.
5.2. Теорема. Пусть h 6 Cf — функция усечения.
а) Пусть X — процесс с независимыми приращениями на
стохастическом базисе (ft, J*,F,P). Существует единственный
триплет (Л, С, и), где В зависит от h, такой, что
5.3. В = (B%)i<d — непрерывная справа и имеющая пределы
слева функция из Ж+ в ^d с Во = 0 (не обязательно имеющая
конечную вариацию на конечных интервалах).
5.4. С = (Cjk)jik<d — непрерывная функция из Ж+ в Ж* X Ж*
с Со = 0, такая, что Ct — Cs является симметрической
неотрицательно определенной матрицей для всех s < t.

5. Процессы, не являющиеся семямлртингаллми 191
5.5. v — положительная мера на Ж+ X Kd, такая, что:
(i) v({0} X Ж*) = 0, i/(R+ X {0}) = 0, и([0, t] X {х: \х\ > е}) < оо
для любого е > 0;
(и) v{{t} х Ж*) < 1;
(Hi) Д/к l*(* - ABs)\>v{ds,dx) + £,«(1 - "(W х Г*)) х
х|Л(-Д55)|2<оо;
(iv) E.<*IJM* - AftMW x <fe) + (1 - KM x Ж4)) х
*h(-AB,)\ <оо;
(v) AJ9* = i/(0}xft)(= /Л(а>({*}хЖг));и,если J = {*: i/({«}x
xMd) > 0}, то формула 4.16 справедлива для всех s < t, u G Md.
Кроме того, для всех < G 1+ распределение AXt задается
формулой 4.17, г/ J — множество фиксированных моментов
разрыва X.
Ъ) Обратно, если триплет (J9,C, v) удовлетворяет условиям
5.3, 5.4 и 5.5, то правая часть 4.16 имеет смысл и существует
процесс с независимыми приращениями X (в частности,
подразумеваются непрерывность справа и наличие пределов слева) на
некотором пространстве (12,^,Р), удовлетворяющий 4.16. Более
того, распределение С(Х) полностью определяется триплетом
(В, С, и).
Несмотря на то, что процесс В не обязательно имеет
конечную вариацию, естественно назвать (J9,C, v) характеристиками
X, и писать B(h), если требуется подчеркнуть зависимость от h.
Отметим, что (Ш) и (iv) не зависят от Л, если только ДБ
задается формулой 5.5v (это не очевидно, но следует из утверждения
теоремй).
Теперь дадим характеризацию (В, С, и) аналогичную 2.21.
Для этого потребуется определить "модифицированную вторую
характеристику". Заметим, что формула 2.18 может и не иметь
смысла, так как интеграл \h\2 * v% может оказаться бесконечным.
Тем не менее найдется такое г > 0, что h(x) = х при \х\ < 2е;
следовательно, h(x - АВ) = h{x) - АВ при \х\ < е и |ДВ| < е.
Более того, существует лишь конечное число s < t таких, что

192 Гл. П. Характеристики семимлртингалов
|ДД,| > е. Поэтому из 5.5i,iii,iv легко видеть, что
t
5.6. f f\h(x)- &B9\2v{ds,dx) + Y}1 -"(W X Ж*)]|ДЯв|2 < оо.
о w '^*
Теперь мы можем определить следующие функции
г
С? = С? + I J[ti(x) - АВ)][Н(х) - АВ{] u(ds, dx)+
5.7. о в*
+ Et1 - КМ х ж"))ав:ав{.
Конечно, если В имеет ограниченную вариацию и (|#|2 Л 1) * v% <
< оо, то 5.7 сводится к 2.18 (в действительности можно доказать,
что неравенство (|ж|2 Л 1) * v% < оо следует из ограниченности
вариации В). Если процесс X не имеет фиксированных моментов
разрыва, то функция В является непрерывной, а 5.5Ш
превращается в условие |/&(#)|2 * vt < оо, и 5.7 сводится к соотношению
5.8. Cij = Cij +(tihj)*v.
В любом случае мы имеем
5.9. &Ctij=v({t} X (Л'ЛО) + АВ\АВ{,
и С% — С8 является при s < t симметрической неотрицательно
определенной матрицей.
5.10. Теорема. Пусть (В, С, и) удовлетворяют
условиям 5.3, 5.4 и 5.5 для некоторой функции h 6 Cf. Определим С
формулой 5.7, X(h) — формулой 2.4 и fix — формулой 1.16.
Следующие утверждения эквивалентны:
a) Процесс X является процессом с независимыми
приращениями с характеристиками (J3,C, и).
b) Каждый из нижеследующих процессов — локальный
мартингал:
(i) M(h) = X(h) - В;
(ii) M(hyM(h)j - Cij(iJ < d);

5. Процессы, не являющиеся семнмартяягаламя 193
(ш) 9 * А** ~ 9 * ^ (здесь # е C+(Ed), где С+(Ж<*) — любое
семейство, удовлетворяющее 2.20).
с) Все процессы из (i), (ii), (Ш) являются мартингалами.
Кроме того, условия (Ь) или (с) полностью определяют
триплет (5,С, f) и означают, что мера v — компенсатор меры
pXt и что С»' = (M(hy>c,M(hy>c).
Так как X = X(h) + Х(А), и процесс X(h) всегда является
семимартингалом, то из 5.10 и 1.4.28 имеем
5.11. Следствие. Процесс с независимыми
приращениями является семимартингалом тогда и только тогда, когда
его первая характеристика имеет конечную вариацию на любом
конечном интервале.
Учитывая, что J — множество фиксированных моментов
разрыва X, и что мера v — компенсатор меры /гх, из 1.19 получаем
следующий аналог утверждения 4.18:
5.12. Следствие. Процесс с независимыми
приращениями квазинепрерывен слева тогда и только тогда, когда он не
имеет фиксированных моментов разрыва.
Наконец, воспользовавшись 5.10 и рассуждая, как при
доказательстве 2.24, получаем
5.13. Следствие. Если X — процесс с независимыми
приращениями и h и h1 — две функции усечения, то
соответствующие им первые характеристики B(h) и B{h') связаны
соотношением 2.25.
§5Ь. Доказательства
Разобьем доказательство теорем 5.1, 5.2 и 5.10 на отдельные
Шаги. Всюду считаем фиксированной функцию h E Cf.
5.14. Лемма. Пусть процесс X имеет вид X = Y + А,
где процессы Y и А удовлетворяют условиям 5.1(i,ii). Тогда X
является процессом с независимыми приращениями. Он
обладает всеми свойствами, сформулированными в 5.2а, а также
свойством 5.10Ь.
7 Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

194 Гл. II. Характеристики семимартингалов
Доказательство, а) То, что X — процесс с
независимыми приращениями, очевидно (напомним, что процесс А
детермин ирован).
Ь) В этом пункте вычислим компенсатор меры \ix. Обозначим
через (Bf,C',v') характеристики У, и положим a\ = v'({t} X Md).
Если д G C+(ld), то
9 * Р? = ^2g(AYs + AAS) = д(х + АА) * fi + ^g(AAs)l{bY,=o}.
Как мы знаем, [д(х + АЛ) * fiY]p = д(х + АЛ) * i/. Рассмотрим
процесс F = £5<. (7(ДАв)1{дуж=0} и обозначим через (sn)
последовательность моментов, исчерпывающую скачки А. Тогда для
любого момента остановки Г
ВДг) = £<7(ДА,)Р(*П < Г, ДУ,„ = 0) =
= Х>(ДА,)Е[1{,п<т}Р(ДУ,п = 0|/(..)_)] =
п
= Х>(ДЛ)Е(1К<Т}(1 - a'5J) = е( £ 5(АЛ,)(1 - <))
(для доказательства третьего равенства воспользуйтесь 1.17).
Следовательно, Fp = Yls< ff(A^)(l — а',)> откуда
(g*lix)p = g(x + AA)*v' + Y,9(&As)(l-a's).
Определим теперь положительную меру v на Ж+ х Md формулой
t
1/([0,*]хЯ) = JJlH\{o}(x + AAs)^(ds,dx)+
5.15. о i<i
+ 2(1-а;)1яио}(д^).
Сравнивая с предыдущим, видим, что (д * цх)р = ff * ^. Тем
самым доказано 5.10Ь(Ш), и стало быть, i/ — компенсатор fix

5. Процессы, не являющиеся семямартянгаламя 195
(см. доказательство 2.21). Для простоты записи в дальнейшем
полагаем at = v({i) x Rd).
c) Построим теперь первую характеристику В процесса X и
докажем справедливость 5.10b(i). Как известно, M'(h) = Y(h) —
-В1 является локальным мартингалом. В то же время
Y = M\h) + B + £[ДУ, - Л(ДУ,)],
»<
X(h) = У + А - £[ДУ, + д^ - *(ДУ. + д^)1 =
5<
= M\h) + А + В1 + 5>(ДУ, + ДА5) - АА, - h(AYs)} =
*<
= M\h) + A + В1 + [h(x + АА) -АА- h(x)] * /iv +
5.16. + £>(ДА5) - ДА5]1{ДУ,=0}.
Далее, h(x) = x при достаточно малом |я|, и функция h
ограничена, а процесс АА локально ограничен и равен h(AA) всюду,
кроме локально конечного множества. Отсюда ясно, что процессы
F = [h(x + АА)-AA-h(x)]*tiY и G = £5<.[МД^ЬДА5]1{Ду.=0}
имеют локально ограниченную вариацию и детерминированные
компенсаторы, определяемые формулой
Г Я> = [h(x + АА) -АА- h(x)] * i/,
\G*> = Zs<[h(AAs)-AAs}(l-a>3)
(последнее равенство доказывается как выше в п.(Ь)). Сравнение
с 5.16 показывает, что X(h) = M(h) + -В, где M(h) — локальный
мартингал и
5 18 Г M(h) = M'(h) + F-Fp + G-G^
\в = А + В' + F*> + GP.
Отсюда следует 5.10b(i).
d) Докажем теперь, что выполняется условие 5.5. Для (i) и
(и) это очевидно. Вспоминая, что AB't = v'({i} x fe), из 5.17 и 5.18
в силу 5.15 имеем
ABt = AAt + АВ[ + fi/({t) x dx)h(x + AAt) - AAta't - AB't +

196 Гл. II. Характеристики семимартингалов
+[h(AAt)-AAt](l-a't) =
= h'{{i) X dx)h(x + ДА,) + (1 -* a't)h(AAt) = v({t} x h).
Следовательно, верно 5.5(v).
Положим Z = X - В. Тогда Z = Y - В' - F? -Gp и является
семимартингалом с независимыми приращениями с
характеристиками (В", С"\v"). Повторяя доказательство (Ь), получим
/([0,*]хЯ) = j jl„\{a}(x-AB,)v{ds,dx)+
5.19. о в*
+ £(1-а,)1я\{о}(-Д£,).
Величина \h\2 * v" конечна (поскольку Z — семимартингал), и
вследствие 5.19 равна левой части 5.5(Ш), так что условие 5.5(Ш)
выполняется. Наконец,
ДВ," = !/"({*} х К) = fh(x - ABt)u({t] x dx) + (1 - а,)Л(-ДВ,),
и так как J2s<t \^B"\ < оо (поскольку процесс В" имеет конечную
вариацию на [0,2]), то условие 5.5(iv) также выполнено.
е) Докажем оставшиеся утверждения из 5.2а. Как обычно,
положим vc = 1/с • t>, а также v/с = 1//с • t/', где J1 = {t: a\ > 0}.
Из 5.15 видно, что vc = vlc и
5.20.1 + u{{r) x (eiux - 1)) = 1 + v'{{r) x (e'«*+«« ^ _ X))+
+(1 - <)(е'" ДА' - 1) = eiuAA'[l + i/({r} x (с*11'* - 1))].
Поэтому, если gu(x) = eiux - 1 — iu • h(x), то применяя формулу
4.16 к процессу У, имеем
5.21. E(eiu №-*•>) = ехр{ш • (At - Аш) + iu - (J?; - JJi)-
-\"-(C't-Ce).u + i/<((s9t]xgu)}x
х П е-^[1 + ^({г}х(Г-1))] =

5. Процессы, не являющиеся семямартингалами 197
= ехр{ш • (Л, - А,) + iu ■ (B't - В',)-
-±u.(C't-C't)-u + ve((s,t)xgu)}x
х П e-<u (ДД'+АВ^[1 + KW X (e,ux - 1))].
s<r<t
Процессы Fp и Gp (см. 5.17) являются чисто разрывными со
скачками в моменты разрыва sn функции А, и имеют конечную
вариацию. Поэтому
exp[iu.(F?-F* + Gpt-Gp)] J] exp(-iu • (AF? + AGpr) = /.
»<г<«
Подставляя это равенство в 5.21 и воспользовавшись
соотношением В = А + В' + Р> + Gp, получим
E(€,V(X,-X.)) _
= ехр{(ш • (Я, - В,) - ±« • (С? - С',) ■ u + v*((s,t] x gu)}x
х Д е-'"-<АВ'>[1 + i/({r} х (е'м-- 1))].
8<r<t
Иначе говоря, для процесса X доказано равенство 4.16, при
условии, что С = С'.
Докажем теперь, что 2?, С и v однозначно определяются
равенством 4.16. Во-первых, переходя в 4.16 к пределу при s || J,
мы находим распределение AXtJ а именно
5.22. E(eiu *Xt) = 1 + v({t) X (е'" * - 1)).
Так как i/(E+ x {0}) = 0, отсюда однозначно определяются
меры v({i) х •) для любого t. Ввиду 5.5(v) каждый из членов
бесконечного произведения в 4.16 однозначно определен, и
следовательно, экспонента в 4.16 также однозначно определена. Теперь,
воспользовавшись леммой 2.44 о единственности и равенством
"с(К+х{0}) = 0, получаем, что Bt-B8y Ct-Cs и ve((s,t]x-) также
однозначно определены. Итак, нужное утверждение доказано.
Наконец, 4.17 вытекает из 5.22, а то, что J — множество
фиксированных моментов разрыва процесса X, тривиально.

198 Гл. II. Характеристики семимартингалов
f) Остается доказать лишь 5.10b(ii). Из 5.18 следует, что
М(Л)*'е = M'W, откуда (М(Л)''е,М(ЛУ»е> = Cij (= С">). Кро-
ме того, AM(h) = h(AX) - АВ и выполняется 5.5(v). Поэтому
в точности так же, как и при доказательстве 2.34, получаем, что
hx 6 G\oc(iix) и M{h)d = h * (/х* - v). Поэтому из 1.33а имеем
5.23.
(М(Л)'^М(ЛУ^) = (ti -АВ')(М -АВ*)хи+^(1-а9)АВ'8АВ1.
«<
Поскольку (7\Г,7\Г) = {NcyNe) + (Nd,Nd) для любого N G Н?ос
(см. 1.4.15), то определяемый формулой 5.7 процесс Cij является
версией процесса (M(/i),,M(/i);). Лемма доказана. □
Доказательство теоремы 5.1. Единственное,
что осталось доказать — это то, что процесс X с независимыми
приращениями представим в виде X = Y + Л, где процессы Y и
А удовлетворяют условиям 5.1(i,ii).
a) Основная идея доказательства состоит в следующем. Пусть
X1 — независимая копия процесса X, и пусть X = X - X1.
Очевидно, X — также процесс с независимыми приращениями, и
E(eiuXt)=\E(eiu'Xt)\2.
Мы уже видели (например, при доказательстве 4.14), что
функция t -* |Е(е*" Xi)\ невозрастающая, и, следовательно, имеет
ограниченную вариацию. Поэтому из теоремы 4.14 вытекает, что X
— семимартингал, к которому можно применить, например,
теорему 4.15. Итак, остается только разобраться с техническими
деталями.
b) Обозначим через v компенсатор меры \ix. Для любой
неотрицательной огрниченной борелевской функции #, равной 0 в
окрестности 0, величина
9 * tf - 9 * tf = J2 9{ЬХГ)
s<r<t
не зависит от а-алгебры T8J так что д * \ix является
возрастающим локально ограниченным процессом с независимыми
приращениями. Поэтому согласно теореме 4.15 его компенсатор д * V

5. Процессы, не являющиеся семима,ртингала,ми 199
детерминирован. Так как мера v полностью определяется
процессами д * I/, где д пробегает C+(Rd) (см. 2.20), то мера v
детерминирована.
Кроме того, если А Е Hd, то из 1.17
v{{t) х А) = ?(AXt е Л\{0}|^_) = ?(AXt е А\{0}),
так что выполнено 4.17, и J = {t: v({t} X Md) > 0} является
множеством фиксированных моментов разрыва процесса X.
с) Пусть (Гп) — последовательность моментов остановки,
исчерпывающая скачки X. Для любого п имеет место равенство
Р(Д^„ ф 0,Г„ £ J) = /р(<М1ИГ„И)Р(ДХад(.) 5* 0) = 0,
так как множества фиксированных моментов разрыва у1и!'
совпадают. Поэтому X и X' п.н. не имеют общих скачков вне
J, и следовательно, |/i(x)|2ljc * fix < \h\2 * fix. Далее, если i/ —
третья характеристика X, то Е(|Л|2 * ^*) < \h\2 * vt < oo при
любом t < oo, откуда следует, что
5.24. |/i(x)|2ljc * ^t = Е(|Л|21/С * tf) < \h\2 * щ < oo.
Положим Уп = /i(x)ljcl{jx|>1/n} */r*. Процесс Уп является
процессом с независимыми приращениями, его вариация конечна, а
компенсатор имеет вид Уп,р = h(x)ljcl[\x\>x/n} * v, т.е.
является детерминированной и непрерывной функцией (последнее
следует из определения J). Поэтому, если Мп = Yn — Уп,р, то
&Мп = h(AX)ljd^bx\>i/n} и ПРИ га > и из 1.4.53 имеем
[Мт-< - Мп\Мт< - М"'«] = И*)|21.гЛ{1/т<и<1/п} * lix.
Тогда из неравенства Дуба (1.1.43) и 1.4.50Ь
E(sup|M,m-M,n|2) < 4У)Е[(АГ,т'' - М?<)2] =
•& 7?*
= 4 ^Е([Мт''' - Мп'\ Мт'{ - АГ •*'],) =
= 4|Л| lj«l{l/m<|x|<l/n} *»t,

200 Гл. II. Характеристики семимартингалов
и в силу 5.24 при га, n | оо правая часть стремится к нулю.
Поэтому (Мп) сходится в L2 равномерно на каждом
интервале [0,/] к некоторому пределу М. Следовательно, М является
непрорывным справа и имеющим пределы слева мартингалом с
ДА/ = h(AX)lJC; кроме того, используя обозначения Х(К) и X(h)
из 2.4, точно так же, как и в (Ь), доказывается, что X(h) — Уп,а
с ним и X(h) - Мп — процессы с независимыми приращениями.
Следовательно,
5.25.
Z = X(h) - М — процесс с независимыми приращениями,
X - Z = X{h) + М — семимартингал,
AZ = h(AX)lj (в частности, процесс \AZ\ ограничен).
d) Повторим процедуру из (а): возьмем независимую копию
Z* процесса Z и положим Z = Z — Z'. Тогда процесс Z является
семимартингалом с независимыми приращениями, и если v —
его третья характеристика, то |х|2 * v% < оо (ибо \х\2 Л 1 *vx < оо
и мера £([0,£] X •) сосредоточена на ограниченном подмножестве
Md). Применяя 4.17 к Z, получаем неравенство £e<t E(jAZ,|2) <
< \х\2 * v% < оо.
Обозначим U,_= AZS - Е(ДЯД Тогда Е(|Д2,|2) = 2E(\U8\2)
по определению Z, откуда
5.26. £Е(|ДС/в|2)<оо.
Положим теперь N? = Х^<*)в€/Л ^«> где ^п — возрастающая
последовательность конечных множеств, составляющих в сумме J
(J = UJn). Так каь Z — процесс с независимыми приращениями,
то JVn, очевидно, мартингал, и при тп> п
[N™,i _ Nn^ Nm,i _ Nnti]t = £ ({/;f.
s<t,s€Jm\Jn
Отсюда точно так же, как и в (с), имеем
E(sup|iVr»-^|2)<4 £ E(|tM2), ч
*-' »<«,«6/m\Jn

5. Процессы, не являющиеся семимартингал ами 201
й правая часть в силу 5.26 стремится к нулю при m,n | оо.
Поэтому, снова как и в (с), последовательность (Nn) сходится в L2
к некоторому пределу равномерно на каждом интервале [0,*], ее
предел N — мартингал, AN, = U, при s 6 *7, и процесс Z - N
является процессом с независимыми приращениями. Ввиду 5.25
имеем
{W = Z — N — процесс с независимыми приращениями,
X - W = X(h) + М + N — семимартингал,
ДИ^ = lj(t)E[h(AXt)].
е) Еще раз повторим процедуру (а): возьмем независимую
копию W процесса W и положим W = W - W. Тогда W является
семимартингалом с независимыми приращениями. Кроме того,
процесс W непрерывен, так как ДИ^ = ДИ^ — AW( = 0 согласно
5.27. Поэтому, применяя 4.16 к Ж (где v = 0 в силу
непрерывности W), мы видим, что все случайные величины Wt являются
гауссовскими. Следовательно, величина Wt = Wt — W[ , а с ней
и Wu квадратично интегрируемы. Положим Ft = Е(И^). Тогда
процесс N = W - F является процессом с независимыми
приращениями, и E(Nt - N8\T8) = 0 при s < t. Следовательно, процесс
N имеет версию, непрерывную справа и имеющую пределы слева.
Так как процесс W непрерывен справа и имеет пределы слева, то
и функция F непрерывна справа и имеет пределы слева. Наконец,
ввиду 5.27 имеем:
X — F = N + X(h) + М + N — семимартингал,
F — непрерывная справа и
имеющая пределы слева функция с F0 = 0.
Тогда и процесс Y = X — F, конечно, также является процессом
с независимыми приращениями. Теорема доказана. □
Доказательство теоремы 5.2. Ввиду 5.1 и
5.14 часть (а) уже доказана. Докажем (Ь). Пусть (-0,(7, v)
удовлетворяют 5.3, 5.4 и 5.5.
Во-первых, если J = {t: v({i) X Rd) > 0}, то из 5.5 (i,iii) имеем
(N2 Л l)ljc * vx < оо при всех t. Поэтому, если gu(x) = eiux -

202 Гл. II. Характеристики семи мартингалов
— 1 - iu • /г(х), то |(7u|1jc * vt < оо , и функция
h(u)sj = ехр{ш • (Bt - В9) - \и • (Ct -C8)-u+
t
+ / 9u(x)ljc(s) v{ds, dx)}
корректно определена и является характеристической функцией
безгранично делимого распределения на Ж* (формула Леви-Хин-
чина). Далее, определим и" по формуле 5.19. Мера и" связана с
v так же, как мера v — ci/'в доказательстве леммы 5.14 (с —ДВ
вместо ДА). Поэтому 5.20 принимает вид
a(u,r) :=e-iuAB'[l + v({r}x(eiu x-l))] = l + /({r}x(eiur-l)) =
= 1 + i/'(M х Л) - t« V({r} x Л),
и функция и —► а(иуг) является характеристической функцией
некоторой случайной величины; следовательно, тем же свойством
обладает любое конечное произведение и -* Yli<n а(и, г,-).
Кроме того, из 5.19 и 5.5(i,iii,iv) вытекает, что (|х|2 Л 1) * v" <
00 и Yls<t \u"({s} х ^)1 < °°- Следовательно, для любого в > 0
найдется такая константа С$, что Ylr<t \a(ui r)~~ *l < С$ ПРИ М <
< С$. Поэтому, быть может бесконечное, произведение
h'(v>)s,t= П аКг)= П <*(и>г)
8<r<t 3<r<t.r£j
сходится и определяет непрерывную функцию h'(-)8tt, которая,
таким образом, также является характеристической функцией.
Поэтому можно заключить, что правая часть 4.16, а именно g(u)Sit =
h(u)sthf(u)8t корректно определена и является
характеристической функцией. Кроме того, функция #(м)м, очевидно,
непрерывна справа и имеет пределы слева пози/ при s < t.
Далее, по теореме Колмогорова о продолжении меры
существует случайный процесс X' на некотором пространстве (Я, J", P),
такой, что Xq = 0 и при 0 = t0 < ... < tfp, щ; Е Ж* выполнено
(1) E[expi £ ur (X'ti - X't.J] = J] *(«Д,-,.«г
1<i <p i<i<p

5. Процессы, не являющиеся семимлртингаллми 203
Заметим, что по построению приращения процесса X1
независимы. Пусть Т* = cr(X: s < *), Тх = П9>г2*. Положим Т{ч) =
= inf(^: g(u)ott = 0). Тогда 5(w)0j5 ф 0 для любого 5 < Т(и).
Поэтому из (1) и теоремы о монотонных классах легко
следует, что процесс Zf(u)t = [ekpiu • Х[]1д(и)ъ}1, определенный для
t < T(u)y при s < t < T(u) удовлетворяет условию E(Z'(u)f |/J) =
= Z'{u)s. Ввиду свойств регулярности траекторий мартингалов
найдется непрерывный справа и имеющий пределы слева
мартингал (Z(u)t)o<t<T(u) относительно пополненной фильтрации Fp,
такой, что Z(u)t = Я(и)х п.н.
С другой стороны, для любого N G N* существует такое
6N > 0, что g(u)0yN Ф 0 при |tt| < 0N, и следовательно, T(u) > N
при \u\ < 0N. Поэтому, если П0 = П^€н*{^: Z'(u)t(u) = Z(u)t(u)
для всех t e QD [0, JV] и всех u G Qd с |u| < 0N}, то P(fi0) =-1-
При u $ fi0 положим Xt(u>) = 0 для любого tf. Если и Е ^о,
то, поскольку функция t -» ff(w)0jt непрерывна справа и имеет
пределы слева,* очевидно, найдется непрерывная справа и
имеющая пределы слева функция Х.(и), такая, что expzu • Xt(u) —
= g0lt(u)Z(u)t(u) при всех t < N и всех u E Qd с \и\ < 9N, и
такая, что Xt(u>) = Xt'(u;) при всех t Е Q+. Итак, построен
непрерывный справа и имеющий пределы слева процесс X с Х0 = 0,
согласованный с Fp и такой, что Xt = Х[ п.н. для любого t Е Q+.
В частности, если tj Е Q+, то равенство (1) остается
справедливым при замене X1 на X. Если же tj G 1+, то найдутся
последовательности tj G Q+, такие, что J? | tj при n | оо.
Непрерывность справа процесса Xt и функции g(u)8t в точках з и
t позволяет перейти к пределу в (1) и доказать, что при замене
X1 на X равенство (1) выполняется для всех tj £ 1+. В свою
очередь, это означает, что процесс X является процессом с
независимыми приращениями в смысле 4.1, удовлетворяющим 4.16.
Теорема доказана. □
Доказательство теоремы 5.10. Ввиду 5.1 и
5.14 мы уже знаем, что (а) =>• (Ь). Тот факт, что условие (Ь)
полностью определяет триплет (5, С, f), вытекает из того, что
Детерминированный мартингал является константой. Поэтому
и процессы ВуС,д * v однозначно определяются условием (Ь), и,

204 Гл. II. Характеристики семи мартингалов
следовательно, мера v единственна (см. доказательство 2.21); в
частности, v является компенсатором \ix. Наконец, если
известны В, С, v, то из 5.7 можно найти С.
Покажем теперь, что из (Ь) следует (а). Во-первых, в силу
(b,i) процесс X1 — X — В является семимартингалом с
некоторыми характеристиками (B',C'>i/). Если внимательно
проанализировать доказательство 2.32, то можно заметить, что при
вычислении В' и v1 мы не пользуемся тем, что процесс X — се-
мимартингал, а используем лишь свойство 2.21(i,iii); но в нашей
ситуации эти условия в точности совпадают с (b)(i,iii), так что
проводя аналогичные вычисления, убеждаемся, что В1 и i/
выражаются через В и v с помощью соотношений 2.33 (это также
было установлено в пунктах (Ь) и (с) доказательства леммы 5.14
для (Х,У,-А) вместо (Х',Х,В)).
Докажем теперь, что С = С. Используя обозначения 2.4 и 2.5,
по аналогии с частью (с) доказательства леммы 5.14 получим:
M'{h)-M{h) = X'(h) - X(h) - В1 + В =
= Х-Я-£[ДХв-ДЯ5-Л(ДХв-ДЯв)]-
- X + £[ДХ, -/*(ДХ^] - Я'+ Я =
= -я' + 5>(дхв-дяв) + дя,-дх5],
и это выражение имеет конечную вариацию; следовательно,
M'{h)c = M(h)c. Кроме того, AM(h) = h(AX) -Д5и ввиду
b(iii) мера v является компенсатором \ix. Поэтому точно так же,
как и в пункте (f) доказательства леммы 5.14, заключаем, что
M(h)d = h*([ix — v) и верно 5.23. Сопоставив это с определением
5.7 процесса С, получаем равенство
{M(hf\M{hfc) = (M(h)\M(h)j) - (M(hfd,M(h)jtd) = С*',
так как С*> = (M(h)\M(hY) в силу (b.ii). Из равенства M\h)c ~
= M(h)c и определения С" имеем С" = С.
Другими словами, характеристики (В'^С1,»1) определяются
по формулам 2.33, и в частности являются
детерминированными. Поэтому из теоремы 4.15 вытекает, что процесс Х\ а с ним и

5. Процессы, не являющиеся семимлртингаллми 205
процесс X, является процессом с независимыми приращениями.
Наконец, так как импликация (а) =>• (Ь) была уже доказана, то
характеристики процесса X совпадают с (J9,C,i/).
Осталось доказать эквивалентность (Ь) и (с). Импликация
/с) =^ (Ь) очевидна. Докажем обратное. Пусть верно (Ь).
Тогда в силу (b.ii) процесс С" является компенсатором процесса
[M(h)\M(h)% и поэтому E([M(h)\ М(к)%) = С? < оо при всех
tt Ввиду 1.4.50с это означает, что каждый остановленный
локальный мартингал (М(/&)*)' в действительности принадлежит Н2 и,
стало быть, является мартингалом, так что верно (c.i) и процесс
M(h)*M{hy — Cij также мартингал, т.е. верно и (c.ii).
Аналогично, если д Е C+(Ed), то ввиду (b.iii) процесс д * v — компенсатор
процесса д * /г*, так что Е(д * ц*) = д * i/t < оо и величина
sup5<t \g *М*| является интегрируемой. Отсюда легко выводится
(с.Ш). П
В заключение параграфа приведем два дополнительных
результата, которые будут использоваться в дальнейшем. Первый
из них был уже установлен в ходе доказательства теоремы 5.10,
но представляет самостоятельный интерес.
5.28. Предложение. Пусть X — процесс с
независимыми приращениями с характеристиками (J?, С, и); тогда X1 =
= X — В является семимартингалом с независимыми
приращениями с характеристиками (В'^С^и1), определенными в 2.33.
5.29. Предложение. Пусть X — процесс с
независимыми приращениями^ с характеристиками (5,C,f), и пусть g
— борелевская неотрицательная функция на Rdf обращающаяся
в ноль в окрестности 0. Тогда процесс X1 = g * \ix является
процессом с независимыми приращениями и
Е(е"
хО = ехр{^(1-е-01/с*^+Х)М1~КМх(1--б-0))}.
Доказательство проводится аналогично доказательству 4.26,
поскольку в последнем использовалось лишь свойство v =
= (»ху. □

206 Гл. II. Характеристики семимлртингалов
6. Процессы с условно независимыми
приращениями
В этом разделе вводится класс процессов, несколько более
общий по сравнению с классом процессов с независимыми
приращениями. Эти процессы будут использоваться только при изучении
слабой сходимости случайных величин (соответственно,
процессов) к смеси безгранично делимых случайных величин
(соответственно, процессов с независимыми приращениями). Таким
образом, этот раздел можно пропустить без ущерба для понимания
большей части дальнейшего материала.
Как обычно, считаем заданным стохастический базис
(Q,^,F,P). Напомним, что случайная величина Y и сг-алгебра
И называются условно независимыми относительно о-алгебры
Q, если
6.1. E(/(Y)Z|<7) = E(f(Y)\g)E(Z\Q).
для любой ограниченной измеримой функции / и любой
ограниченной, W-измеримой случайной величины Z (на самом деле,
достаточно проверить 6.1, когда / и Z — индикаторные функции).
6.2. Определение. Пусть Н — а-подалгебра Fq.
Процессом с Н-условно независимыми приращениями называется
непрерывный справа и имеющий пределы слева согласованный
процесс X со значениями из Ж* такой, что Х0 = 0 и для любых
0 < s < t случайная величина Xt - Xs и а-алгебра Т9 условно
независимы относительно Н. □
Заметим, что процесс с независимыми приращениями
является процессом с W-условно независимыми приращениями для
любой а-подалгебры Н а-алгебры Т0-
Все, что говорилось в §4с о процессах с независимыми
приращениями, остается справедливым и для процессов с W-условно
независимыми приращениями. Нужно только везде заменить
слово "детерминированный" на слово "W-измеримый". Для большей
точности сформулируем обобщения теорем 4.14 и 4.15. Для этого
введем в рассмотрение процессы
6.3. G(u)t = Е(ехр ги • Xt\H), uGKd, t Е Ж+,

б. Процессы с условно независимыми приращениями 207
и сформулируем следующие
6.4. Предположения. (i) Существует переходная
вероятность R = R{u,du') из (fi,W) в (1),/*), являющаяся
регулярной условной вероятностью относительно Н.
(и) Существует возрастающее семейство ((/t°)t€i+ сепарабель-
ных ст-алгебр, таких, что Т% = ne>t(W V (?°). D
6.5. Теорема. Пусть выполнено 6.4. Пусть X — d-
мерный процесс с Н-условно независимыми приращениями.
Процесс X является семимартингалом тогда и только тогда, когда
для любого и £ Ж* можно найти такую версию процесса G(u),
которая непрерывна справа, имеет пределы слева и имеет
конечную вариацию на компактных множествах.
6.6. Теорема. Пусть выполнено 6.4. Пусть X — d-
мерный семимартингал с Х0 = 0, и пусть h G Cf — функция
усечения. Процесс X является процессом с Н-условно
независимыми приращениями тогда и только тогда, когда существует
Н-измеримая версия (5, С, и) его характеристик.
Более того, в этом случае для любых и 6 Md, s <t:
E(expiu-(Xt - Х9)\Н) =
= ехр[ш - (Bt - Bs) - \u • (Ct - C.) • u+
t
6J- + //(eiur - l-i«-h(x))lj.(r)i/(dr,dx)x
X П {e-'u-AB'fl+/(feta*-l)nMX(fc)|},
8<r<t ^ L J *'
где J = {(w,t): i/(u;; {t} x Rd) > 0}. В частности, G(u)t равно
правой части 6.7 для s = 0.
Заметим, что теоремы 4.14 и 4.15 в самом деле являются
частными случаями сформулированных теорем, по крайней мере при
Условии 6.4(H), если взять в качестве Н тривиальную <т-алгебру.

208 Гл. 77. Характеристики семимартингалов
6.8. Замечание. Мы ограничились процессами с
условно независимыми приращениями, являющимися семимартингала-
ми. Нужно сказать, что и теоремы 5.1, 5.2 и 5.10 имеют
аналогичные обобщения на случай процессов с условно независимыми
приращениями. Q
6.9. Замечание. Теоремы 6.5 и 6.6 сохраняют силу и
без условия 6.4. Однако в этом случае вместо непосредственного
использования теорем 4.14 и 4.15 необходимо полностью
переработать их доказательства. D
Несмотря на это замечание, мы решили привести здесь
доказательства приведенных теорем лишь при условии 6.4, поскольку
это предположение на*самом деле довольно слабое, как
показывает следующая лемма.
6.10. Лемма. Пусть У — непрерывный справа и
имеющий пределы слева n-мерный процесс. Пусть F — наименьшая
фильтрация, с которой согласован процесс Y, и пусть Л С То
и Т = ^оо~. Тогда выполнено 6.4.
Доказательство. Если Q^ = a(Ys: s < 2), то 6.4(H)
очевидно. В главе VI будет показано, что пространство Р(ЕП)
всех непрерывных справа и имеющих пределы слева функций у:
Ш+ —► Жп можно снабдить тополргией (топологией Скорохода), в
которой оно является польским пространством, причем борелев-
ская сг-алгебра Т>(Шп) в нем совпадает с сг-алгеброй, порожденной
отображениями: у —► j/(t), t 6 К+.
Тогда У отображает ft в Ю)(ЕП), и Т - Н V G^, где G^ —
прообраз ст-алгебры V(Rn) при отображении У. Поэтому (П,^7)
как пространство с мерой изоморфно подмножеству пространства
(il,H)®(^Rn),V(Rn)). Так как Ю)(1п), в частности, является про-
странством Блэкуэлла (см. 1.2), то отсюда немедленно следует
6.4(i). D
Прежде чем доказывать теоремы 6.5 и 6.6, приведем
некоторые применения. Во-первых, заметим, что если X является
процессом с Н-условно независимыми приращениями, то в силу 6.7
распределение X полностью определяется сужением меры Р на

6. Процессы с условно независимыми приращениями 209
Н и его характеристиками (B,C,v). Отсюда вытекает
следующий результат, доказывающийся так же, как и 4.25 (заметим, что
вводимая ниже фильтрация G имеет такую же структуру, какая
была описана в лемме 6.10, так что 6.4 справедливо для Р и Q).
6.11. Теорема. Используя обозначения 4.24,
рассмотрим две вероятностные меры Р и Q на (0,(7), такие, что:
(i) Р и Q совпадают на а-алгебре Н;
(ii) Х0 = 0 Р-п.н. и Q-п.н.;
(Hi) X — семимартингал с одинаковыми Н-измеримыми
характеристиками на двух стохастических базисах (ft,(/,G,P) и
(ft,G,G,Q);
Тогда Р = Q.
6.12. Пример. Процессы Кокса. Классическое
определение процесса Кокса таково. Это — точечный процесс N = (ATt)t>0,
определенный на (ft, ^Г,Р)У причем найдется непрерывный
возрастающий процесс А (обычно вида At = /0 Xsds или даже At = tA)
такой, что если Н — а-алгебра, порожденная случайными
величинами At, то точечный процесс N является "условно относительно
УС пуассоновским процессом с интенсивностью dAt(u).
Сравнив это определение с 4.5 и 6.5, мы видим, что точечный
процесс является процессом Кокса тогда и только тогда, когда
для некоторой а-подалгебры Н С То он является процессом с Н-
условно независимыми приращениями и квазинепрерывен слева.
D
Приступим к доказательству теорем 6.5 и 6.6. Основным
инструментом являются две следующие леммы.
6.13. Лемма. Пусть выполнено 6.4. Процесс X
является процессом с Н-условно независимыми приращениями тогда и
только тогда, когде для Р-почти всех и процесс X является
процессом с независимыми приращениями по отношению к мере
Доказательство. Пусть (/° — счетная алгебра,
порождающая (7°. Пусть также C+(Rd) — счетное семейство функ-

210
Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
ций, удовлетворяющее 2.20. Обозначим По множество всех ш
таких, что
(1) jR(u,du/)lA(u/)f[(Xt - Х.)(«/)] =
= R{u,A)JR{u,fa')f[{Xt - X9)(u/)]
для всех / G C+(Kd), A G </°, 5 < *, s,J G Q+.
a) Докажем сначала, что X — процесс с независимыми
приращениями по отношению к мере R(u,-) тогда и только тогда,
когда и G П0. Необходимость этого условия очевидна. Обратно,
пусть и G По- По теореме о монотонных классах (1) выполняется
для всех s < t, syt G Q+, / G C+(Rd) и A G (75°. Поскольку
а-алгебра W тривиальна по отношению к мере R(u>, •), (1) верно
и для всех Л G Н V 5,°. Далее, если 5,<Gl+, 5 < £, то, записав
(1) для s',t' G Q+, где s1 > s и t1 > t, и устремив a' J, а и *' j *,
мы видим, что (1) справедливо для всех A G fV>e(W V (7°/) = Т8.
Наконец, еще раз пользуясь теоремой о монотонных классах,
получаем (1) для всех s < J, i£f,H ограниченной борелевской
функции / (нужно вспомнить 2.20). Следовательн'о, Хх — Х3 не
зависит от Т8 по отношению к мере R(u>y •).
b) Осталось доказать, что X является процессом с W-условно
независимыми приращениями тогда и только тогда, когда
Р(П0) = 1. Для этого заметим, что
(2)
Г левая часть (1) является версией E[lAf(Xt - XS)\H),
\ правая часть (1) является версиейР(А|7^)Е(/(Х< - Xs)\7i).
Поэтому, если X — процесс с ft-условно независимыми
приращениями, то для любых Л,/,s < t равенство (1) выполнено Р-п.н.
Так как П0 является счетным пересечением множеств,
определяемых как множества, на которых выполнено (1), то Р(П0) = 1.
Наоборот, пусть Р(П0) = 1. Как мы уже показали в п. (а),
при ш G П0 равенство (1) выполнено для всех s < J, ограниченных
борелевских f и А £ Т9. Поэтому из (2) следует, что ^,и1(-Х$
условно независимы относительно W, что и требовалось. □

6. Процессы с условно независимыми приращениями 211
6.14. Лемма. Пусть выполняется 6.4. Пусть М — не-
прерывный справа и имеющий пределы слева согласованный
ограниченный процесс. Процесс М является мартингалом
относительно меры Р тогда и только тогда, когда для Р-почти всех
о; он является мартингалом относительно R{u, •).
Доказательство. Рассуждения аналогичны
доказательству 6.13. Используем то же обозначение </t°; через П0
обозначается множество всех иу для которых
(1) JR{u, du')lA(u')(Mt - М8)(и') = О
для всех А G (/°, s < t, syt,E Q+.
к) Процесс М — мартингал по мере J?(u;,-), если и только
если и G fto- Необходимость очевидна. Обратно, если и G fto> то
аналогично 6.13 можно показать, что (1) верно для любых s < J,
AG^, откуда следует нужное утверждение.
Ь) Заметим, что левая часть (1) является версией E(lA(Mt -
MS)\H), так что если М — мартингал по мере Р, то (1)
выполняется Р-п.н. Так как множество fi0 определено через счетное число
условий (1), то Р(Яо) = 1- Докажем обратное. Пусть P(fio) = 1-
При и £ il0 равенство (1) в действительности выполнено для всех
s < f, Ag/,,h, беря математические ожидания от обеих частей,
получаем, что E(lA(Mt — М8)) = О, и стало быть М — мартингал.
D
6.15. Следствие. Пусть выполнено 6.4. Непрерывный
справа и имеющий пределы слева согласованный процесс X
является семимартингалом с характеристиками (1?, С, и) по
отношению к мере Р тогда и только тогда, когда для Р —
почти всех и он является семимартингалом с характеристиками
(5, С, и) по отношению к мере i?(u>, •).
Доказательство. Тот факт, что X — семимартин-
гал с характеристиками (2?,С, f), эквивалентен условиям (i,ii,iii)
из 2.21 для некоторого счетного семейства C+(Md). Кроме того,
участвующие в 2.21 локальные мартингалы являются локально
ограниченными по построению. Поэтому X является
семимартингалом с характеристиками (2?, С, v) тогда и только тогда, ко-

212 Гл. II. Характеристики семим&ртингалов
гда заданное счетное семейство процессов состоит только из
локально ограниченных локальных мартингалов.
Далее, используя локализацию, видим, что 6.14 остается вер.
ным и для локально ограниченных локальных мартингалов;
следовательно, наше утверждение непосредственно вытекает из
этого обобщения 6.14.
Доказательства теорем 6.5. и 6.6. Заметим,
что G(u)t допускает версию вида
G(u)t(u) = fR(u>,du>')expiu-Xt(u').
Поэтому 6.5 легко выводится из 4.14, 6.13 и 6.15. Аналогично, 6.6
следует из 4.15, 6.13 и 6.15, если заметить, что характеристики X
являются W-измеримыми тогда и только тогда, когда они i2(u;, •)-
п.н. детерминированы для Р-почти всех и. D

Глава III
Мартингальные проблемы
и замены мер
Для доказательства предельных теорем нужно уметь
характеризовать распределения процессов, в особенности — предельного
процесса. Хорошо известно, что распределение процесса
характеризуется семейством "конечномерных" распределений.
Однако очень редко удается получить явный вид этих конечномерных
распределений, за исключением, разве что, процессов с
независимыми приращениями. С другой стороны, многие часто
встречающиеся процессы являются семимартингалами, для изучения
которых в гл. II введен естественный инструмент — их
характеристики, обладающие хотя бы тем достоинством, что они часто
легко вычислимы.
Первый вопрос, рассматриваемый в данной главе, может быть
сформулирован примерно следующим образом: действительно ли
характеристики семимартингала характеризуют его
распределение? Ответ может быть положительным, так как для процессов с
независимыми приращениями, например (мы это видели в
теореме П.4.15), или "довольно часто" — для диффузионных процессов.
В общем случае ответ, однако, отрицателен.
Характеристики семимартингала можно определить с
помощью условия, чтобы некоторые процессы были локальными
мартингалами (теорема П.2.21), поэтому поставленный выше вопрос

214 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
допускает следующую формулировку: каковы все те
вероятностные меры на данном пространстве с фильтрацией (И,Т,¥), для
которых все представители данного семейства X процессов
являются локальными мартингалами? — задача такого рода
называется марттшнгальной проблемой. Мартингальные проблемы для
семимартингалов и их характеристик вводятся в разделе 2, там
же дается большое число примеров. В разделе 1 мы вводим
"общие" мартингальные проблемы, а также мартингальные
проблемы, относящиеся к точечным процессам, мультивариантным
точечным процессам и случайным мерам - это является хорошей
подготовкой к разд. 2, так как рассмотрение здесь проще; в то же
время данный материал представляет и самостоятельный
интерес, так как не сводится (формально) к мартингальным
проблемам для семимартингалов. Однако, те читатели, кто
интересуется только семимартингалами, могут начать сразу с разд. 2.
В разд. 3, 5 мы приступаем к исследованию проблемы, которая
очень важна для статистики процессов (дальнейшее
рассмотрение проводится в главах IV, V). Более конкретно, мы изучаем, что
происходит с мартингалом, семимартингалом или случайной
мерой, если первоначальная вероятностная мера Р заменяется
другой вероятностной мерой Р', являющейся абсолютно
непрерывной относительно меры Р. Часть результатов представляет собой
различные варианты "теоремы Гирсанова", все они основаны на
рассмотрении "процессов плотности" Р' по отношению к Р; эти
результаты представлены в разд. 3. Остальные результаты,
излагаемые в разд. 5, состоят в непосредственном вычислении этого
процесса плотности.
В разд. 4 мы изучаем задачу, связанную как с теоремой
Гирсанова, так и с мартингальной проблемой: можем ли мы
представить все локальные мартингалы, заданные на некотором
стохастическом базисе как стохастические интегралы по некоторым
"базовым" локальным мартингалам или случайным мерам.
Формулировки результатов не зависят ни от теоремы Гирсанова, ни
от содержания разд. 3 (чего нельзя сказать о доказательствах). С
другой стороны, эти результаты о представлении
фундаментальны для разд. 5.

1. Мартингальные проблемы и точечные процессы 215
\. Мартингальные проблемы и точечные процессы
§1а. Общие мартингальные проблемы
Этот параграф является, своего рода, общим введением в
главу: мы даем определение "общей" мартингальной проблемы.
Изначально заданы:
1.1. (ft, F = (^t)t€]B+? f) — пространство с фильтрацией (без
меры пока), Н — под-а-алгебра Т0, называемая начальной а-
алгеброй.
1.2. X — семейство опциональных процессов на (fyF,.?7), со
значениями в R.
1.3. Определение. Пусть Р# — вероятностная мера
на (ft,W) (называемая начальным условием). Тогда
вероятностная мера Р на (ft,/*) есть решение мартингальной проблемы,
связанной с Л* и Ря, если выполнены условия:
(i) сужение P|w меры Р на Н совпадает с Р#;
(ii) любой процесс X 6 X является локальным мартингалом
на стохастическом базисе (ft,F, ^",Р).
Приведенная формулировка позволяет понять, почему в гл. I
мы работали с неполными стохастическими базисами: в
рассматриваемом случае нельзя говорить о полной фильтрации,
поскольку мера Р заранее не известна, и мартингальная проблема может
иметь много решений.
Ранее мы уже встречали примеры мартингальных проблем:
1-4. Пример. Стандартный винеровский процесс.
Пусть W — непрерывный согласованный процесс, определенный
на (ft, F, Т). Тогда из теоремы П.4.4 следует, что W —
стандартный винеровский процесс относительно меры Р тогда и только
тогда, когда Р есть решение мартингальной проблемы,
связанной с
(-Н = <r(W0)9 Ря — такая мера, что ?H(W0 = 0) = 1,
\-X = {W,Y}, Yt = W?-t.

216 Гл. III. Мартиягальяые проблемы и замены мер
1.5. Пример. Стандартный пуассоновский процесс.
Пусть N — согласованный точечный процесс на (0,,¥,Т). Тогда
в силу теоремы П.4.5 Р есть стандартный пуассоновский процесс
относительно меры Р тогда и только тогда, когда Р является
решением мартингальной проблемы, связанной с
{-ft = a{ft,0}, РЯ — тривиальная вероятностная мера
на (ft, ft),
-X = {X}, Xt = Nt- t.
1.6. Замечания. 1) В большинстве случаев все
элементы семейства X принимают значения из R, непрерывны справа
с пределами слева. Однако, есть примеры (иногда они
встречаются и в этой книге), для которых это условие не выполняется.
Кроме того, оно нисколько не упрощает рассмотрения.
2) Напротив, можно было бы даже ослабить условие
согласованности элементов X, но это значительно усложнило бы
конструкцию, не дав нам никаких преимуществ.
§lb. Мартингальные проблемы и случайные меры
Здесь мы рассматриваем наиболее простой из двух классов
мартингальных проблем, встречающихся в книге. Заданы
пространство с фильтрацией (ft,F,.F) и начальная а-алгебра ft —
как и в 1.1.
Пусть также (Е,£) — вспомогательное пространство Блэку-
элла (см. §11.1а: для всех практических целей Е = Ж* или Е =
R ). Рассматривается целочисленная случайная мера /л на R+ хЕ
в смысле раздела П.1.13: т.е. /х есть опциональная случайная
мера, принимающая значения из N и такая, что для всех a;, t
выполнено fi(u;{t} х Е) < 1. Отличие от раздела П.1.13
состоит в том, что мы не можем заранее наложить требование "V-
а-конечности", так как вероятностная мера не введена. Тем не
менее, мы требуем от \i выполнения следующего условия:
1.7. Существует строго положительная ^-измеримая функция
УнаЙ = ПхК+х£ (напомним, что V = V ® £) такая, что V *

J. Мартингальные проблемы и точечные процессы 217
роо(и) < °° для всех u (У*Месть процесс "интеграла Стильтьеса
от процесса V по мере /i"; см. И.1.5).
Очевидно, выше можно заменить функцию V на функцию V А
1? тогда если Tn = inf(* : V * \ix > п), то Тп(ш) | °о Для всех
а; при п | оо и V * /хТя < п + 1. Следовательно, функция V =
^n>12""^Fl[0,TRix£; является Р-измеримой и строго
положительной, и обладает свойством: V */*«> < 5Zn>i(n+ 1)2~п. Поэтому
1.7 влечет:
1.8. Существует строго положительная Р-измеримая функция
V на & такая, что случайная величина V * //«> ограничена.
В частности, отсюда следует, что мера /z является Р-а-конеч-
ной по отношению ко всем вероятностным мерам на (ft,^7).
1.9. Определение. Пусть выполнено 1.1 и мера \i
удовлетворяет 1.7. Пусть Р# — некоторое начальное условие (т.е.
вероятностная мера на (ft,W)), v — некоторая предсказуемая
случайная мера на R+ x E. Тогда решением мартингальной
проблемы, связанной с (Н,ц) и (P#,i/), называется вероятностная
мера Р на (П,^*) такая, что
(i) сужение Р|^ меры Р на Н совпадает с Р#; (И) и есть
компенсатор /х на стохастическом базисе (fi,^,F,P).
Мы обозначаем множество всех решений через «S(W,/x|P#,^).
1.10. Предложение. Мера Р принадлежит S{H,
/г|Ря,^) тогда и только тогда, когда она является решением
мартингальной проблемы 1.3, для которой семейство X
состоит из процессов вида
1.11. X = (WV) * \i - (WV) * I/,
где W пробегает множество всех неотрицательных Р-измери-
мых ограниченных функций, а функция V введена в 1.8.
Доказательство. Заметим, что каждый из
процессов в 1.11 корректно определен (со значениями в [-оо,оо]).
Пусть сначала Р G S(Hyfi\FH,i/). Тогда WV * /х € А+ и по
определению компенсатора (см. П.1.8 (ii)) WV * ц - WV *v € М.

218 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Обратно, предположим, что все введенные выше процессы X
являются локальными мартингалами на (П, ,F,F,P) для
некоторой меры Р. Тогда для всех ограниченных неотрицательных V-
измеримых функций W Yj{WV * //«,) = E(WF * v^) (так как
WV * v является в этом случае компенсатором WV * //), и по
теореме о монотонном предельном переходе это равенство имеет
место для всех неотрицательных Р-измеримых функций W, как
ограниченных, так и неограниченных. Поэтому v есть
компенсатор // на (П,^*,Г,Р), и доказательство закончено.
1.12. Замечание. В приведенном выше определении
семейства X нет необходимости рассматривать все возможные
функции W. Можно было бы ограничиться функциями вида
W(u,t,x) = <jf(x), где д пробегает множество всех ограниченных
неотрицательных измеримых функций на (22, £) или даже еще
меньшее подмножество, как например класс C+(Rd),
определенный в II.2.20 — для случая Е = Rd.
1.13. Предложение. Множество S(H,i.l\Yh,v) —
выпуклое.
Доказательство. Пусть Р,Р' £ S(H,p\PhiV) и Q =
аР + (1-а)Р',гдеа€(0,1). Тогда Q\n = aP* + (l-a)P'|*j= P*
и для всех неотрицательных Р-измеримых функций W на &
VQ(W * //со) = aEP(W * //ео) + (1 - a)EP,(W * ji*,) =
= aEP(W * iO + (1 - a)EP,(W * *«,) = EQ(W * !/„),
так что i/ является Q-компенсатором меры /х, т.е. компенсатором
относительно меры Q.
В качестве первого примера мы рассматриваем (общие) пуас-
соновские меры (см. §11.1.с). Теорему П.4.8 можно
переформулировать так:
1.14. ^ Теорема. Предположим, что в 1.9 мера v
детерминирована (т.е. i/(a;, •) = га(-) для некоторой меры т).
а) Вероятностная мера Р принадлежит S(H^\PH^u)f тогда
и только тогда, когда /z является общей пуассоновской мерой
на (n,^*,F,P) с мерой интенсивности v.

J. Млртингальные проблемы я точечные процессы 219
Ь) Предположим дополнительно, что Т = ^оо- « F является
наименьшей фильтрацией такой, что мера \i опциональна и И С
f0. Тогда множество 5(?^,^|Ря,^) содержит не более одного
элемента.
Доказательство, (а) совпадает с П.4.8а. Более
того, из теоремы II.4.8 следует, что если мера Р — решение мар-
тингальной проблемы, то Е(1вехр[£\<4««^(А;-)]), где В 6 W,
Uj Е К, Aj 6 £ зависит только от v и Р(5) = Ря(#). Так как
f = Ji v tf(^(A): A G £), то мера Р единственна.
Данная теорема является теоремой единственности. Имеет
место и утверждение о существовании, но для этого
пространство (ft, Т) должно быть достаточно велико, чтобы содержать все
возможные "траектории" целочисленной случайной меры. Дадим
вольную формулировку результата: предположим, что ft есть
каноническое пространство всех целочисленных случайных мер на
R+ X £", через /х обозначим каноническую случайную меру на ft,
фильтрацию F определим как наименьшую фильтрацию, для
которой /х опциональна, а^ = ^оо-- Наконец, пусть Н —
тривиальная а-алгебра {0,0} с тривиальной мерой Р*. Тогда:
1.15. Если т — любая положительная а-конечная мера на
R+ хJ5, для которой m({t}xЕ) < 1 при всех J, и если i/(u;, •) = га(-),
то множество <S(ft,/x|P#,i/) содержит одно и только одно
решение.
(Доказательство см., напр., в [98]). Разумеется, существует
вариант утверждения 1.15 с нетривиальным начальным
условием.
§1с. Точечные процессы и мультивариантные точечные
процессы
1. Мы снова исходим из 1.1 и предполагаем, что на (ft,.F,F)
задан согласованный точечный процесс N (см. §1.3Ь): напомним,
что если (Гп)п>! есть последовательность моментов скачков
процесса N и Г0 = 0, тогда Тп < Гп+1 при Тп < оо, и
п>1

220 Гл. III. Мартяягальяые проблемы и замены мер
Мы также рассматриваем начальное условие Р# на (ft,W) и
возрастающий, непрерывный справа с пределами слева,
предсказуемый процесс А с А0 = 0. Нас интересуют те меры Р, для которых
А есть компенсатор N и Р|^ = Р#•
Эта задача вкладывается в постановку предыдущего
параграфа следующим образом: возьмем Е = {1}. Тогда процесс N
можно рассматривать как "функцию распределения" некоторой
целочисленной случайной меры \х на R+ х {1}, а именно (см.
пример И.1.7):
1.17. ii(dt, dx) = Y^ !{Tn<oo} X e(Tn,i)(dt X dx)
n>l
(эта мера, очевидно, удовлетворяет 1.7 — можно взять, скажем,
V = Yln>i2*"nl[o,Tni X {!})• Аналогично процесс А есть функция
распределения некоторой предсказуемой случайной меры v\
t/(dtydx) = dAaSi(dx).
Более того (см. П.1.12):
1.19. Вероятностная мера Р принадлежит множеству <S(7i,
//|P#,i/) тогда и только тогда, когда Р|^ = Р# и А есть
компенсатор N на (£l,!F,F,F). Будем предполагать выполненным
следующее условие:
1.20. Т = .Foo- и F есть наименьшая фильтрация, с которой
согласован процесс N и такая, что Н С Т§, т.е. Т% = П5>^5°,
^ = W V a(Nr :r<s).
Мы хотим доказать следующий результат о единственности:
1.21. Теорема. В сделанных предположениях и
обозначениях (в частности 1.20) существует не более одной
вероятностной меры Р такой, что Р|^ = Р# и что А есть
компенсатор N на (flj^FjP) (иными словами, 5(К,^|Ря?^) содержит
не более одного решения).

1. Млртингальиые проблемы и точечные процессы 221
1.22. Замечание. Здесь мы снова сформулировали
только результат о единственности. Иначе обстоит дело с
существованием.
1) Можно надеяться, что решение существует, только если
пространство Q достаточно богато: например, если это
каноническое пространство всех точечных процессов.
2) Даже в этом случае существование нам не гарантировано,
так как компенсатор может оказаться таким, что точечный
процесс "взорвется" за конечное время.
Как оказывается, можно доказать существование и
единственность, если Q есть множество всех N-значных считающих
функций (они имеют вид 1.16, но limn | Тп может быть как
конечным, так и бесконечным): см. [94].
2. На самом деле, теорема 1.21 есть частный случай
аналогичного утверждения для мультивариантных точечных
процессов, которые мы сейчас введем; предположение 1.1 по-прежнему
предполагается выполненным.
1.23. Определение. Пусть (£,£) — пространство
Блэкуэлла. Мультивариантным точечным процессом со
значениями из Е называется целочисленная случайная мера // на R+ x E
такая, что fi(u; [О,/] X Е) < оо для всех u,t G R+.
Введем моменты остановки Тп = inf(tf : j/([0,*] X Е) > п).
Тогда Тп < Тп+1, если Тп < оо, и Тп | оо при п | оо, и
согласно П. 1.14 существуют Т?ж -измеримые случайные величины Zn со
значениями из Е такие, что
1.24. tx(dtydx) = J2 l{Tn<oo}£Tnizn)(dt,dx).
п>1
Заметим, что /i удовлетворяет 1.7 (с V = ]£n>i 2~п1[о,тл|Хе, на~
пример). Мы также считаем заданными некоторое начальное
условие Р# на (£2, Н) и предсказуемую случайную меру и на R+ х
Е. Наконец мы предполагаем выполненным следующее свойство:
1.25. Т — Т<ъ- и Т есть наименьшая фильтрация, для которой
М опциональна иИс^о (т.е. Т% = П5><^г,°,
T° = HV a(/i([0, r]xB):r<$,B <£).

222 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Поскольку точечный процесс можно рассматривать как муль-
тивариантный точечный процесс со значениями из £, для
которого пространство Е состоит из одной точки (в этом случае 1.25
сводится к 1.20), следующее утверждение, очевидно, обобщает
1.21:
1.26. Теорема. В сделанных выше предположениях (в
частности, что /х — мультивариантный точечный процесс и
выполнено свойство 1.25) множество <5(7/,//|Ря^) содержит
не более одного элемента.
1.27. Замечания. 1) Теорема 1.26 обычно неверна,
когда д — некоторая целочисленная случайная мера, а не
мультивариантный точечный процесс (мы видели, однако, что для пуас-
соновских случайных мер теорема верна).
2) Для точечный процессов результат о существовании можно
найти в [94].
3. Доказательство 1.26 разбивается на несколько шагов,
причем два первых являются несложными обобщениями результатов
из §И.Зс.2. Для п 6 N* положим
1.28. 0(0) = «, g(n) = HVa(TuZuT7,Z2j...,TnjZn).
1.29. Лемма.. Предположим, что имеет место 1.25.
a) Произвольное множество В принадлежит Тх тогда и
только тогда, когда для каждого п € N существует
множество Вп £ Q(n) такое, что
В П 0 < Тп+г} = ВпП {t < Тп+1}.
b) Произвольный процесс Н является предсказуемым тогда
и только тогда, когда величина Н0 Т^-измерима и для каждого
п € N существует G(n) ®V+-измеримый процесс П(п) такой,
что
1.30. Я = Яо + £я(п)11Тп,т„+11.

1. Мартин г гшьные проблемы и точечные процессы 223
Доказательство, а) Обозначим через К% семейство
всех множеств 2?, обладающих указанным свойством; очевидно,
это есть (т-алгебра.
Если В П {t < Tn+i} = Bn{t < Тп+1}, где Bn e G(n) для всех
n, то В = Un[5n П {* < Tn+1} П {Tn < *}] и так как 0(п) С ТТп
(тривиально), то получаем, что Kt Е Т%.
Пусть 5 < *, pGN, AGbB = М[М] X Л) = р}. Тогда
множество Bn := {Ei<t<n U(£t)l[o,*]№) = р} принадлежит £(п)
и BC\{t < ^n+i} = Bn n{t < Tn+1} для всех п € N. Следовательно,
В £ ICt. Более того, очевидно, Н = {/(0) С /Ct, поэтому в силу 1.25
Я с Kt.
Пусть В е ns>tzK;,- Для всех s > /, n € N существует
множество 5n>, G £(и), удовлетворяющее соотношению Bf]{s < Tn+1.} =
Вп,8 П {s < Тп+1}. Тогда множество 5n = lim,€g sup,u< 5n>5
принадлежит (?(п) и Bf){t < Tn+1} = Bnn{t < Tn+i} и, следовательно,
Beict. x
Пока мы показали, что Т% С /Ct С /|, П,></С5 С Kt. В то же
время Т* = ng>tJ^ по определению, и мы заключаем, что К% = Т%.
Ь) Поскольку £(п) С ТтШ1 достаточное условие вытекает из
1.2.12: возьмем сначала Н(п) = У(п)Ци^у где Y(n) = {/(п) —
измеримая случайная величина, затем используем линейность и
теорему о монотонных классах. Докажем обратное. Теорема о
монотонных классах снова позволяет ограничиться случаями Н =
1вх{о}, В е Т0 (тогда утверждение очевидно) иЯ = 1вх[*,ф
В G Tt\ пусть Вп связано с В как в (а); тогда Н имеет вид 1.30,
где Н(п)= 1втх(1,.]- П
1.31. Замечание. Можно доказать более точные
результаты, которые не будут здесь использоваться (см. [98, 128]),
например: Т% = Т% и. ТТш = G{n). □
Следующий результат представляет самостоятельный
интерес. Пусть Р — вероятностная мера на (И,Т). Обозначим
1.32. G'n(u;ds,dx) — регулярное условное распределение
(rn+1,Zn+i) относительно G{n) (таким образом, носителем
меры Gn(u;; •) является множество (Тп(ад),оо] X Е или множество

224 Гл. III. Мартииггтьные проблемы и замены мер
{оо} х Е).
1.33. Теорема. При выполнении 1.25 версией
компенсатора мультивариантного точечного процесса /z, принимающего
значения из Е, является мера
1.34. v(dt, dx) = ]Г гл^т.-и^п^*, <**)
п>1 ^nU^jOOj X £)
В частности, если Fn(dt) = Gn{dt X 2?), то точечный процесс
N = £п>11[тЛ>оо[ имеет компенсатор At = p([0,t] х £7) равный
Это обобщает теорему Н.3.26.
Доказательство. Определим меру v соотношением
1.34. Мы должны доказать, что для всех неотрицательных V-
измеримых функций W
1) процесс W * v предсказуем,
2) E(W*v00) = E(W */*<»).
В силу теоремы о монотонных классах эти утверждения
достаточно доказать для W = Н ® #, гДе В — предсказуемый
неотрицательный процесс, а д — неотрицательная измеримая функция
на (£,£)• Тогда Н имеет представление 1.30, так что W * v =
Еп>1^(п)11Тл>Тп+11,где
ВД' = 0<?, / С,[|,,1)кг)Д*^^
(Tn,t]xE
(напомним, что G>([0,Tp] х Е) = 0, если Тр < оо). Тогда
величина if (га) £(га) ® 7^-измерима по определению Gp, поэтому L29
означает, что процесс W * ^ предсказуем.
Далее, мы покажем, что E(WljTn>Tn+1j * !/«>) = Е(И^11Тп,Тп+1] *
//оо), отсюда, суммируя по п G N, получим 2). Снова можно
предположить, что W = Н ® <jr, гДе -Я" дается формулой 1.30, так что

1. Мартяягальные проблемы и точечные процессы 225
WljTniTn+ii = ^(n)ff(ar)l1Tfk>Tm+ll, где величина #(n) £(n) ® V+-
измерима. Поэтому
(Т.,Т.+,1П(Т.,оо)В
-е(/С.(*х*, / /-^fcjfeL^*,*)
Тп.оо] Тл,«]П(Тт,оо)£?
(из 1.32)
V У б?„([л,оо]х JS)
Тп.оо)
/ Gn(du х Е)) (теорема Фубини)
[*,оо]
= Е( J H(n),g(x)G„(ds,dx)\
Tn,oo)xE
= Е(Я(п)Тп+1(7(^п+1)1{Тп+1<00} (из 1.32)
= Е(Ш[Тт,Тт+1, * /Хоо (из 1.24)
Доказательство закончено. D
Доказательство теоремы 1.26. Пусть
вероятностные меры Р1 и Р2 принадлежат S(1i,ii\YH,v). Обозначим
G%n(u); ds х dx) — регулярное условное распределение (Гп+Ь 2„+i)
относительно Q{n) по мере Р\ Идея доказательства следующая:
1.34 выполняется Р* — п.н., если мы заменим Gn на G{n;
поэтому "G^ = G2" и так как Р1 = Р2 на (/(0), индукция по п
показывает, что Р1 = Р2. К сожалению, само доказательство более
замысловато, поскольку условные распределения G*n определены
только с точностью до множеств Р* меры нуль.
Предположение индукции состоит в том, что Р1 = Р2 на G(n):
оно выполнено для п = 0, поскольку Р'|^ = Ря и <?(0) = Н. Мы
Докажем, что Р1=Р2на(?(п+1), откуда по индукции Р1 = Р2
на V (?(га), что совпадает с/в силу 1.25.
С этого момента число n G N будем считать фиксированным.
Пусть £р — некоторая счетная алгебра, порождающая сг-алгебру
8 Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

226 Гл. III. Мартин г альные проблемы и замены мер
£. Для каждого множества А 6 £0 процесс X* = v((TnM, t]x A) —
предсказуемый и возрастающий, поэтому мы заключаем из 1.29,
что существует (7(п)®Р+-измеримый возрастающий процесс Хл
такой, что Xf(u>) = Xf(u>) для всех t < Tn+i(u).
Для i = 1,2 и А 6 Со полагаем
[0,t]xA
что является ^(п)®7>+"измеРимым процессом. Более того, явный
вид компенсатора, даваемый предыдущей теоремой, показывает,
что Х\^п^х = ХДТп+1Р* — п.н. Следовательно, обозначая SA =
inf(< : Х\'А ф Xf), мы получаем, что Р'(5^ < Гп+1) = 0. Далее,
величина SXA (/(п)-измерима, так что по определению Gxn
E(l{5,<oo}G*n((5i,oo] x E)) = V{S\ < ос, S\ < Гп+1) = 0.
Поэтому, обозначая Ix(u>) = {t G R+ : (?„(['> °°] x E) > 0}, мы
заключаем, что
1.37. P'(^ 6 Г) = 0.
Используем теперь предположение индукции. Множество {а;:
SxA(u) 6 1*(и)} принадлежит (7(те), поэтому в силу 1.37 Р*(£д 6
J») = 0 для г, j = 1,2. Иными слоами,
1.38. Р*(Х<М = Х?'л для всех t е Iх П /2 и всех Л е £0) = 1»
i = 1,2.
Пусть U\ = G^((s, оо]х£); применяя 1.36 для Л = Е, получаем
df/j = —Ui_dX%s'E. В тоже время ЭД = 1. Следовательно, 1.4.61
означает, что IIх = £(-Хх,Е) (экспонента Долеан-Дэд), и из 1.38
рад = U2 для всех s е Iх П I2) = 1, г = 1,2.
Теперь, если {// = {/52 для всех s Е J1 П J2, то мы также имеем
С// = {/2 для всех s Е R+ (в силу того, что процесс Vх убывает,
неотрицателен, и Ux8 = 0, если s — правый конец /'). Так как
Iх = {s : U\ > 0}, мы заключаем:
1.39. ?%(IX = J2, Gxn(- xE) = G2n(- х Е)) = 1.

2. Мартингальные проблемы и семимартингашы 227
Наконец, еще раз применяя 1.36, получаем Gn{ds х А) =
= #;1/*(*К^,А- Поэтому ввиду 1.38 и 1.39
Р'*(С£(. х А) = G2(- х А) для всех ie^0)= 1,
я мы заключаем (поскольку алгебра £0 порождает а-алгебру £),
что G\ = G2n Р'-п.н. для % = 1,2. Так как Р1 = Р2 на Q(n) и
Q(n + 1) = Q(n) V a(Tn+i,Zn+1), легко получаем из определений
G\ и G\, что Р1 = Р2 на (?(п + 1). Доказательство закончено. □
2. Мартингальные проблемы и семимартингалы
Сейчас мы вводим второй и наиболее важный класс мартин-
гальных проблем, а именно — связанных с характеристиками се-
мимартингалов. Затем будет дано несколько примеров, а в
последнем параграфе представлено понятие "локальной
единственности" — технической, но очень полезной конструкции. При
первом чтении этот последний параграф может быть пропущен.
§2а. Формулировка проблемы
На протяжении всего раздела мы исходим из пространства с
фильтрацией (fi,^",F), начальной а-алгебры Н (см. 1.1), а также
из начального условия Ря (которое есть вероятностная мера на
(ft,W)). Еще раз заметим, что у нас пока нет меры на (П,^").
Другой основной составляющей является наш
фундаментальный процесс:
2.1. X = (X{)i<d — d-мерный, согласованный, непрерывный
справа с пределами слева процесс на (fi,^,F). Процессу X
предстоит быть семимартингалом, поэтому мы фиксируем:
2.2. h eCf — функцию усечения (см. И.2.3);
2.3. триплет (ByC,v) (кандидата для характеристик X), где
(i) В = (-/?')*<<* является предсказуемым относительно F
процессом, имеющим конечную вариацию на конечных интервалах, и
Во = 0;
8*

228 Гл. III. Мартаягальяые проблемы ж замены мер
(и) С = (Cij)itj<d является предсказуемым относительно F
матричнозначным процессом, непрерывным, С0 = 0 и С% — С, —
неотрицательно определенная, симметрическая d x d-матрица при
s<t;
(Hi) v является предсказуемой относительно F случайной
мерой на R+ х Rd, не нагружающей ни {0} х Rd, ни R+х Е{0} и
такой, что (|ж|2 Л 1) * vt(w) < oo, JV(o>; {t} X dx) h(x) = ДВ,(о;) и
j/(o>; {<} x Rd) < 1 тождественно.
Эти свойства являются в точности свойствами "хорошей"
версии характеристик, построенной в предложении II.2.9).
2.4. Определение. Решением мартингальной
проблемы, связанной с {Х^Х) и (Ря;5,С,^), является вероятностная
мера Р на (И,Т) такая, что
(i) сужение Р|^ меры Р на Н совпадает с Р#;
(и) X является семимартингалом на базисе (Q, T, F, Р) с
характеристиками {B,C,v) относительно функции урезания h.
Мы обозначаем через <S(W,X\YH\B,C,v) множество всех
решений Р.1
Хотя название "семимартингальная проблема" может
показаться здесь более подходящим, принято, однако, использовать
термин "мартингальная проблема", поскольку она
действительно сводится, как будет видно, к проблеме типа 1.3.
Напомним определения следующих непрерывных справа с
пределами слева процессов (см. И.2.4, И.2.5 и И.2.18):
2.5. I X(h) = X- X(h),
[ M(h) = X(h) -Xo-B.
2.6. Cij = Cij + (tih*) * v - YL AB\ ABi •
Заметим, что С удовлетворяет 2.3 (ii) за исключением того, что
он непрерывен справа, имеет пределы слева и не обязательно не-
аЭто же обозначение используется ниже и для самой мартингальной
проблемы.

2. М&ртинг&льные проблемы и семимартиягалы 229
прерывен. Как обычно, fix — случайная мера, связанная со
скачками X соотношением II. 1.16.
Следующее утверждение является просто переформулировкой
теоремы Н.2.21:
2.7. Теорема. Вероятностная мера Р принадлежит
S{H,X\Yh\B,C,v) тогда и только тогда, когда она является
решением мартингальной проблемы 1.3, связанной с Р# и семей-
ством X, которое состоит из следующих процессов:
(i) M(hy, г < d,
(ii) M(hYM9hy - Cij, ij < d,
(Hi) g*vx -g*v, ge C+(Rd) (см. II.2.20J.
2.8. Следствие. Множество S{H,X\¥H\B,C,v)
является выпуклым.
Доказательство. Пусть Р, Р' — два решения, и Q =
рР + (1 - Ь)Р' — их выпуклая комбинация, 6 G [0,1]. Равенство
Q|?i = Ря очевидно.
Пусть У — любой из процессов в 2.7. Тогда У0 = 0 и процесс
|ДУ| ограничен по построению. Если Тп = inf(* : \Yt\ > n), то
(Тп) есть последовательность моментов остановки, возрастающая
к +оо и процесс YTn ограничен. Тогда в силу 1.1.47, YTn есть
равномерно интегрируемый мартингал относительно мер РиР'
и для любого момента остановки S мы имеем Ер (У/*) = 0. Таким
образом,
ЕЧ(ПТ") = №р(У,т") + (1 - 6)ЕР(У,Т«) = О
и мы получаем из 1.1.44, что YTn — Q-мартингал. Следовательно,
У — Q-локальный мартингал, и ввиду 2.7
QeS(H,X\?H;B,C,v). □
2.9. Замечания. 1)В некоторых случаях (как в §2с
ниже) предположения в 2.1 и 2.3 являются слишком сильными и

230 Гл. III. М&ртингальные проблемы и замены мер
должны быть заменены на:
2.10. _
( процесс X согласован и принимает значения из (R)d,
I процесс В предсказуем и принимает значения из (R)d>
] процесс С предсказуем и принимает значения из (R)dxd,
I мера v — предсказуемая случайная мера на R+ х Rd.
Тогда в определении 2.4 условие (Н) следует заменить на
(И') X неотличим от некоторого семимартингала на
(fi, J",F, P), чьи характеристики неотличимы от (l?,C,f).
Разумеется, если вероятностная мера Р есть решение мартин-
гальной проблемы, то процесс X — Р-п.н. непрерывен справа,
имеет пределы слева и принимает значения из Rd, и триплет
(В, С, v) удовлетворяет 2.3, если отбросить множество Р —
меры нуль. В этом случае утверждения 2.7 и 2.8 остаются, как
легко видеть, справедливыми, при условии, что мы полагаем в
2.6 С*> = +оо всякий раз, когда правая часть не определена, и в
2.7 добавляем условие:
2.11. В имеет Р — почти наверное конечную вариацию на
конечных интервалах.
2) Можно даже пойти дальше, исключив требования
согласованности или предсказуемости из 2.20. Тогда если Р —
решение мартингальной проблемы, то X, 2?, С, v согласованы или
предсказуемы по отношению лишь к пополненной фильтрации Fp.
Это делает сравнение между решениями трудным, и, например,
2.8 перестает быть верным.
В заключение параграфа введем дополнительные
предположения, которые являются естественным дополнением 1.1 и 2.1. До
сих пор пространство с фильтрацией (ft,.F,F) было произвольно
— единственное ограничение состояло в том, что процесс X
согласован. Однако, за исключением очень специальных случаев,
мы не можем ожидать единственности решения мартингальной
проблемы S(H, X\PH; 5, С, г/), если не потребуем выполнения
следующего свойства:

2. Мартяягальяые проблемы и семим&ртингалы 231
2.12. Фильтрация F порождена I и W, т.е.
(О ^ = П^°' F? = HV<r(Xr:r<s)
(иными словами, F есть наименьшая фильтрация такая, что
процесс X согласован и И С /о);
(и) т = ^оо- (=у Tt).
Мы уже встречали предположение 2.12 в §1с. Что касается
существования решения нашей мартингальнои проблемы, нам нужна
большая структурированность пространства SI. Типичная
ситуация следующая:
2.13. Каноническая постановка. VI есть "канонической
пространство" (которое также обозначается B(Rd)) всех
непрерывных справа с пределами слева функций u;: R+ —*• Rd; X есть
"канонический процесс", определенный как Xt{u) = u(t)\ H = ог(Х0);
наконец фильтрация F порождена ХиИв смысле 2.12.
В канонической постановке или более общо, когда Н = <г(Х0),
мы можем отождествить начальную меру Ря с распределением
Х0 ъЖ :
2.14. Если Н = <г(Х0) и если г/ есть вероятностная мера на
R , мы также обозначаем через г/ меру на (fi,W), определенную
равенством г}(Х0 G А) = г}(А).
§2Ь. Пример: процессы с независимыми приращениями
Мы уже встречали и, по существу, решили в главе II ряд
Мартингальных проблем, связанных с процессами с (условно)
независимыми приращениями. Например, если Ря — произвольная
ьероятностная мера на (ft, H), мы можем переформулировать
теорему П.4.4 следующим образом:

232 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
2.15. Теорема. Пусть d = 1 и предположим, что Х0 =
0. Пусть а2 — непрерывная возрастающая функция, <т2(0) = 0.
Тогда вероятностная мера Р принадлежит множеству
<S(W,X|P#;0,<72,0) тогда и только тогда, когда X (с
точностью до неразличимости) является винеровским процессом с
дисперсией а2 на (ft,.F,F,P).
(Это утверждение, по сути, совпадает с примером 1.4).
Более общим образом, мы можем сформулировать теоремы
И.4.15, П.4.25 и И.5.2Ь в нашей теперешней постановке:
2.16. Теорема. Пусть триплет (В,С,и) удовлетворяет
2.3 и является детерминированным.
a) Вероятностная мера Р принадлежит множеству
S(HjX\T?H;B,Cyv) тогда и только тогда, когда P|W = Р# и
X — Х0 является процессом с независимыми приращениями на
(П,^",Г,Р), распределение которого дается соотношением
/7.4.16.
b) Предположим дополнительно, что фильтрация F
порождена X иН (см. 2.12). Тогда множество <S(W,X|P#; 2?,C,i/)
содержит не более одного элемента Р.
c) Предположим дополнительно, что имеет место
каноническая постановка. Тогда для любой вероятностной меры rj на
Ж* множество <S(W, Х|Р#;2?,С, и) содержит одно и только
одно решение.
Соответствующие результаты справедливы для процессов с
условно независимыми приращениями. Приведем аналоги
вышеприведенных утверждений (а) и (Ь) (они являются
переформулировками П.6.6 и И.6.11; отметим, что 2.12 влечет
предположение И.6.4).
2.17. Теорема. Предположим, что фильтрация F
порождена X иН (см. 2.12) и пусть триплет (/?, С, f)
удовлетворяет 2.3 и является Н-измеримым. Тогда множество
S(H)X\T?Hm,B,C)i>) содержит не более одного элемента Р. В
этом случае X — Х0 является процессом с Н-условно
независимыми приращениями на (ft,.F,F,P).

2. Мартинглльные проблемы и семим&ртингалы 233
§2с. Диффузионные процессы и диффузионные
процессы со скачками
Диффузионные процессы и диффузионные процессы со скач- •
ками относятся к числу наиболее важных. Так, например,
многие марковские процессы являются диффузионными процессами
со скачками (их называют еще "процессами И то"); эти
процессы также являются решениями широкого класса стохастических
дифференциальных уравнений и, следовательно, полезны в
применениях. Наконец, они дают примеры нетривиальных
мартингал ьных проблем.
Конечно, сколько-нибудь значительное развитие теории
диффузионных процессов не входит в предмет данной книги. Здесь
мы просто приводим некоторые из их основных свойств в связи
с мартингальными проблемами. Для справок можно
использовать книги: Струк и Варадан [232], Дынкин [47], Липцер и
Ширяев [158] или Гихман и Скороход [61, 62], а также статью [231]
или [98, главы XIII и XIV] — в части, касающейся диффузионных
процессов со скачками.
На протяжении всего подраздела мы принимаем каноническую
постановку 2.13.
2.18. Определение. Пусть Р — вероятностная мера на
(Л,^7). Тогда процесс X называется диффузионным процессом со
скачками на (ft,.F,F,P), если он является семимартингалом со
следующими характеристиками (напомним, что функция
усечения h фиксирована):
2.19.
!B{(u;) = /0*b'(s, X8(u>))ds (+oo, если интеграл расходится)
Cltj((jj) = /0*c*J(s,Xe(u>))ds (+oo, если интеграл расходится)
vu,dt х dx) = dt X Kt(Xt(u),dx),

234 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
где
[ Ь: R+ х Rd —► Rd — борелевская функция,
с: R+ х Rd -» Rd x Rd — борелевская функция,
c(syx) — симметрическая, неотрицательно
определенная матрица,
Kt(xy dy) — борелевское переходное ядро
из R+xRS Rd,
причем Kt(x, {0}) = 0.
Кроме того,
a) если v = 0, то X называется диффузионным процессом
(тогда он п.н. непрерывен);
b) если b(s, #), c(s,x), K9(x,dy) не зависят от s, то X
называется однородным диффузионным процессом (со скачками).
Заметим, что триплет (В, С, и) может не удовлетворять всем
условиям в 2.3, но он безусловно удовлетворяет более слабым
условиям, сформулированным в замечании 2.9. Поэтому, если г/
есть распределение С(Х0) относительно меры Р, мы по-прежнему
будем писать Р Е <S(W,X|P#; B>C,v) (напомним, что Н = сг(Х0))
и мы отождествляем меру на Rd с ее прообразом на (fi,W)) при
отображении Х0).
Теперь мы приступаем к установлению связи изложенного
выше со стохастическими дифференциальными уравнениями. Для
этого введем V'a = (ft'^^F'jP') — другой стохастический базис,
снабженный:
2.20. Ведущими членами:
(i) W = (Wl)i<m — m-мерный стандартный винеровский
процесс (т.е. каждая компонента W1 есть стандартный винеровский
процесс, и процессы W* независимы);
(и) р — пуассоновская случайная мера на R+ х Е с мерой
интенсивности q(dtydx) = dt ® F(dx); здесь (Е,£) —
произвольное пространство Блэкуэлла (при желании можно всегда брать
Е = R) и F — положительная а-конечная мера на (Е,£). О
Пусть также заданы:

2. Маргинальные проблемы и семим&ртингалы 235
2.21. Коэффициенты:
( /3 = (/?*),•<<* — борелевская функция: R+ х Rd —► Rd,
) >у = (7,J)«,i<d — борелевская функция: R+ X Rd —► Rd ® Rm,
I # = (#*),<<* — борелевская функция: R+ X Rd X Е —► Rd.
2.22. Начальное значение: это ^-измеримая случайная
величина f со значениями из Rd.
Напомним, что h — функция усечения. Положим h'(x) = х —
ft(x). Рассмотрим следующее стохастическое дифферециальное
уравнение:
I dYt = /3(t,Yt)dt + j(t,Yt)dWt+
{ +h о S(t, Y«_, z)(p[dt, dz) - q(dt, dz) + h' о £(<, Y,_, z))p(dt, dz),
(следовательно, если р имеет "скачок" в точке (t, z), то ДУ, =
2.24. Определение. а) Решением-процессом (или
сг/льньш решением) уравнения 2.23 на базисе В1 по отношению
к ведущим членам (W,p) называется согласованный,
непрерывный справа с пределами слева процесс Y такой, что для каждого
i<d
Y*= f+/JlW-' + Ei<m7w(lr-)-Wri +
+ti о 6(Y. )*(p-q) + hfio 6(Y_ ) * p.
Конечно, подразумевается, что интегралы выше имеют смысл:
функция (3l(syY8) интегрируема по Стильтьесу по ds, *yij(s,Y8) G
Llc(wj)> hi ° 6(8>Y9-9z) 6 G{oc(p), и функция ti* о 6(s,Y8_,z))
интегрируема по Стильтьесу по отношению к р.
Ь) Решением-мерой (или слабым решением) уравнения 2.23 с
начальным условием rj (вероятностной мерой на Rd)
называется вероятностная мера Р на (fi,^7) (каноническом пространстве)
со следующим свойством: существует стохастический базис В'
с заданными на нем ведущими членами (Wyp),
удовлетворяющими 2.20, ^-измеримой величиной £, для которой £(£) = 7/,

236 Гл. III. Мартин г альные проблемы и замены мер
и решением-процессом У таким, что Р является
распределением У (т.е. мера Р является образом меры Р' при отображении:
и/ е ft' ~»У(о/) е ft).
Теперь мы перечислим некоторые из основных свойств (см.,
напр., [98]).
2.26. Теорема. Пусть г) — начальное условие
{вероятность на Rd), и /3, 7,6 — коэффициенты (см. 2.21).
Множество всех решений-мер уравнения 2.23 с начальным
условием т/ совпадает с множеством <S(W,X|P#;jP, С, t>) всех
решений некоторой мартингальной проблемы на каноническим
пространстве. При этом триплет (ByCyv) имеет вид2.19, где
2.27.
Ь = /?, с = 77Т Ке. с«> = £к*<те 7'V*)
Kt(yyA) = Jla\W(6(t,y,z))F(dz).
2.28. Замечание. 1) Пусть У — решение-процесс.
Тогда 2.25 дает каноническое представление П.2.35 для У, а именно
Го = е, ^ = £ 7Ч(У-)'^, Мм1--*) = Л°*(У_)*(р-9),
(ж - />(*)) */iV = ti о £(У_) *р, В = /3(У). *,
(проверяется непосредственно).
2) То, что решение-мера принадлежит «S(W, Х\ц\ В, С, f),
устанавливается легко: действительно, если У — решение-процесс,
из замечания 1) выше следует, что его характеристики даются
соотношениями 2.19, где X заменено на У, а 6, с, К указаны в
2.27. После этого остается перенести характеристики на ft, что
нетрудно.
3) Соотношение 2.27 выражает (6, с, if) через (/3,7,^).
Достаточно часто бывает так, что изначально задан диффузионный
процесс со скачками в смысле 2.18, т.е. решение из множества
<S(W,X|77;2?,C,f), для которого известна тройка (ЬусуК).
Существуют ли тогда коэффициенты (/3,7,^) также, что выполнено
2.27? Ответ: да. Существование функции 7? удовлетворяющей
соотношению с = 77Т> хорошо известно (при условии, что т> d,

2. Мартяягальяые проблемы и семимлртингалы 237
или, по крайней мере, если га не меньше максимального ранга
матрицы c(s,y)). Утверждение о существовании функции 6 также
является "классическим" в предположении, что мера F
бесконечна и не имеет атомов; см. [49, 70, 98, 225].
2.29. Замечание. Очень часто рассматривают
уравнение 2.23 с h(x) = я, так что h'(x) = 0, и последний член исчезает.
Конечно, h не является тогда функцией усечения. Тем не менее,
множество всех мер-решений уравнения
2.30. I dYt = /?(t,Yt) dt + 7(t,Yt.) dWt+
{ +6(t,Yt.yz)(p(dtydz)- u(dt,dz)),
где £ — случайная величина с заданным распределением т/,
совпадает с <S(W, Х\т)\ Ву С, I/), где триплет (2?,С, v) задается
соотношениями 2.19при условии, что си К вычисляются по формулам 2.27
и
2.31. 6(t, у) = /?(*, у) = уЛГ,(у, dj/'W) - У*),
(это вытекает из П.2.29а).
Следующее утверждение является классическим результатом
о существовании решения -процесса для случая липшицевых
коэффициентов.
2.32. Теорема. Предположим, что выполнены
следующие два условия:
(i) Локально липшицевы коэффициенты. Для каждого п £ N*
существуют константа вп и функция рп: Е -» R+,
i{Pn(z))2 F(dz) < оо, такие, что для t < п, \у\ < п, \у'\ < п
\Р(з,у))-в(з,у')\<0п\у-у'1
h(s,y))-i(s,y')\<$n\y-y'\,
\h о 6(s, y,z)-ho 6(s, y\ z)\ < p„{z)\y - y'\,
\h' о S(s, y, z)-h'o 6(s, y', z)\ < {pn{z)f\y - y'\.

238 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
(и) Линейный рост. Для каждого п 6 N* существуют
константы вп и функция рп, удовлетворяющая приведенным выше
условиями, такие, что для всех t < п и всех у Е Rd
\P(s,y)\ < вя(1 + \у\), |7(а,у)| < вя(1 + |у|),
\ho6(s,y,z)\<pn(z)(l + \y\),
W о *(«, у, z)\ < [{Pn(z)f Л М*))4](1 + |у|).
Тогда на любом стохастическом базисе В1 с ведущими
членами (W,p), удовлетворяющими 2.20, уравнение 2.23 имеет,
причем единственное (с точностью до неразличимости) решение-
процесс Y.
В вышеприведенном случае имеет место также
единственность решения-меры, как вытекает из следующего результата:
2.33. Теорема. Предположим, что на любом
стохастическом базисе В* с ведущими членами (W,p) (как в 2.20)
существует не более одного решения-процесса (с точностью до
неразличимости). Тогда, если существует решение-мера с
данным начальным условием, то это решение-мера единственно.
Наконец, мы формулируем результат (не являющийся,
впрочем, самым общим) о существовании и единственности.
2.34. Теорема. Предположим, что функция Ь
ограничена, функция с ограничена и непрерывна на R+ х Rd и всюду
обратима, функции (t,y) ^ /а(Н2 Л l)Kt(y,dz) ограничены и
непрерывны для всех A G Vd.
Тогда существует переходное ядро PXt1.(du) из (RdxR+,Vd®
V+) в (ft,.F) (каноническое пространство) со следующим
свойством:
для всех (х,г) Рхг — единственная вероятностная мера,
относительно которой канонический процесс X является
диффузионным процессом со скачками, таким, что PXir(X0 = х) = 1
и характеристики X определяются соотношениями 2.19, где
b(syy), c(s,y), K8(y,dy') заменены на b((r + s,y), c(r + s,y),
Kr+8(yydy').

2. Мартяягальяые проблемы и сем и мартингалы 239
В частности, вероятностная мера РГ)0 является
единственным решением S{H,X\ex\ -В, С, v), где триплет (2?, С, f)
указан в 2.19.
Условия на (6, с, А') в теореме 2.34, в действительности,
гораздо слабее, чем условия в теореме 2.32 (мы говорим "в
действительности" потому, что в 2.34 от коэффициентов требуется
равномерная ограниченность — это требование может быть ослаблено
до условия "линейного роста" как в 2.32 (ii)), если не учитывать
одно очень важное обстоятельство, именно — то, что
матричная функция с невырождена (в то время как в 2.32 допускается
7 = 0 и с = 0). Поэтому соединение 2.32 и 2.33 дает результат
существования и единственности, который, конечно, отличается
от 2.34.
§2d. Локальная единственность
1. По "техническим" причинам, связанным с использованием
в предельных теоремах, а также с изучением вопросов абсолютной
непрерывности или сингулярности, нам нужна такая форма
единственности для мартингальных проблем, которая сильнее, чем
"простая" единственность решения S(H,X\?h\B,C,v).
Мы рассматриваем ту же постановку, что и в §2а, и
дополнительно предполагаем, что фильтрация F порождается 1иН
(2.12). В последующем центральное место занимают моменты
остановки по отношению к "фильтрации" (^°)t€R - Чтобы
подчеркнуть то обстоятельство, что (Т?) не является
фильтрацией в обычном нашем смысле (вообще говоря, она не непрерывна
справа), мы даем в этом случае специальное название моментам
остановки.
2.35. Определение. Строгим моментом остановки
(или моментом остановки относительно (^°)е>о) называется
отображение Г: Q -» R+ такое, что {Т < t} G Т* для всех «GR+.
Если Т есть строгий момент остановки, то через Т? обозначается
^-алгебра всех множеств А Е Т таких, что А Г) {Т < t}
принадлежит Т* для всех <ER+.
Поскольку Т%- С Т* С Tt для t > 0, то легко получаем:

240 Гл. III. Мартин г альные проблемы и замены мер
2.36. Строгий момент остановки является моментом оста,
новки; Tj> С Тт и ^т_ С Т? на множестве {Т > 0}.
Предсказуемый момент является строгим моментом оста*
новки, если {Г = 0} G ^"о •
Пусть (BjCju) — триплет вида 2.3. Если Г — момент
остановки, то определены остановленные процессы Хт, В\ С7, и мы
определяем "остановленную случайную меру" vT соотношением
vT(w,ds,dx) = v(w;ds,dx)l{s<T(w)}
(таким образом, W * vT = (W * v)T).
2.37. Определение. В предположениях 2.12 скажем,
что для мартингальной проблемы 2.4 имеет место локальная
единственность, если для любого строгого момента остановки Т
любые два решения РиР' "остановленной" мартингальной
проблемы S{H,X\Yh\Bt, С7,vt) совпадают на а-алгебре Т?.
(Локальная единственность влечет единственность — надо
взять Г = оо).
2. Общий результат. Из самого определения ясно,
что установить локальную единственность будет не просто, если
мы не сможем доказать, что она вытекает из единственности. В
общей ситуации на это нельзя рассчитывать. Однако, это
верно, когда мартингальная проблема является в некотором смысле
"марковской". Приведем соответствующие формулировки.
Будем предполагать, что (ft, T, F) есть каноническое
пространство с каноническим процессом X иН = Т% (см. 2.13). Ясно, что
для каждого t G R+ существует отображение ("сдвиг"):
2.38. вг: Я -» П, определяемое равенством
Х3 о et(Lj) = Xi+,(w) Vs > 0, Vu; € ft.
Будем считать заданным триплет {В, С, и), удовлетворяющий
свойствам 2.3, и для каждого <GR+ также триплет {ptB,ptC,ptp)t
удовлетворяющий 2.3 и такой, что

2. Млртингальмые проблемы и семим&ртннгалы 241
2.39. 0) отображения (u,t) ~> (ptB)9(u>), (u,t) — (ptC)s(u>)
(для s е R+), (u,t) ~> (ptv(u,A) (для А 6 V+ ® Vd) — являются
f ® ^-измеримыми;
(ii) для всех u; E fi, 5ER+, A €Vd выполнены соотношения
(лС)Д^о;) = С^И-^И>
ОИЛ^СМ] X А) = i/(u;;(M + *] X Л),
(в частности, р0В = 1?, р0С = С, р0^ = v).
2.40. Теорема. В дополнение к сделанным
предположениям (а именно, 2.13 и 2.39), предположим, что существует
переходное ядро Fxt(du) из (Rd xR+,Vd®V+) в (0,5") такое, что
для всех (xyt) вероятностная мера T?xt является решением мар-
тингальной проблемы S(H)X\ex;ptB,ptCiPtv)'
Если, кроме того, проблема SCH,X\ex\B,C,v) имеет
единственное решение (которое с необходимостью есть P*,o!)> m<>
для этой проблемы имеет место и локальная еднственность.
Прежде, чем приступить к доказательству, приведем два
примера.
2.41. Следствие. (Диффузия со скачками): В
предположениях 2.34 имеют место существование и локальная
единственность.
Доказательство. Достаточно заметить, что
триплет
*
(PtB),(u) = jb(t+r,Xr(u))dr,
о
5
(лС),и = ус(* + г,хгИ)А-,
о
(ptu)(u;dsydy) = dsKt+s(Xs(u),dy)
Удовлетворяет 2.39. □

242 Гл. III. М&ртингальные проблемы и замены мер
2.42. Следствие. Если характеристики (J?,С,v)
детерминированы, то имеют место существование и локальная
единственность.
Доказательство. Полагаем
(PtB)8 = J?t+, - Bty (PtC)8 = Ct+, - Ct,
(м)([0,5]хЛ) = 1/((М + 5]х4
так что триплет {ptB,ptC,ptv) детерминирован и, очевидно,
удовлетворяет 2.39. В силу 2.16 мартингальная проблема
S(HjX\ex;ptBJptCJptj/) допускает единственное решение Prt, для
которого Х—Х0 есть процесс с независимыми приращениями.
Более того, пусть h(u)8tt — правая часть П.4.16 и EXjt обозначает
математическое ожидание по отношению к Fxt. Тогда из П.4.16
следует, что для 0 = s0 < ... < spj up £Rd :
EXtt exp t{ w0 • X0 + J2 иГ №i - *«i-i)
= exp(iu0-x) Y[ hMt+tj-iS+tr
i<i<p
Выражение в правой части является борелевски измеримой
функцией (x,t); отсюда легко видно, что FXit(du) — ядро, и нужное
утверждение следует из 2.16 и 2.40. □
3. Доказательство теоремы 2.40 разбивается на несколько
этапов, и его идея состоит в следующем. Пусть Г — строгий момент
остановки и Р — решение остановленной проблемы. Обозначим
через Q распределение процесса X, который получается
склеиванием в момент Т процесса Хт, рассматриваемого
относительно меры Р, и процесса Ху рассматриваемого относительно
меры РхТ)т- Докажем, что Q является (единственным) решением
мартингальной проблемы S{H1X\ex;BJC^u). Тогда сужение Р
на Tt-i которое совпадает с сужением Q на Тт-, определяется
однозначно. Этот прием хорошо известен в теории марковских
процессов. Первые две леммы ниже первоначально были
предназначены для марковских процессов.

2. Мартяягальяые проблемы и семимлртингллы 243
2.43. Лемма, а) Пусть A G Т. Тогда А принадлежит F*
тогда и только тогда, когда для любой пары (и, и') такой, что
Х,(о>) = Х9(и/), Vs < t, имеет место эквивалентность:
(a; G А) <=> {и' G А).
b) Пусть Т — F-измеримое отображение: О, —► R+. Тогда Т
является строгим моментом остановки тогда и только тогда,
когда для любой пары (а;, а/) такой, что Х8(и) = Х8{и') Vs <
Т(и), выполнено равенство Т(&) = T(uf).
c) Пусть Т — строгий момент остановки и А G Т.
Множество А принадлежит Т? тогда и только тогда, когда для
каждой пары (а;,а;') такой, что Х8(и) = Х8(и'), Vs < Т(и) (=
Т(и') в силу Ь)), выполнено соотношение (и G А) <=> (u/ G А).
d) Пусть Н — предсказуемый процесс. Если для некоторого
t > О и некоторой пары (и, а;') выполнено равенство Х8(и) =
Х8(и') Vs < t, то Ht(u') = Ht(u).
Доказательство, а) Определим отображение at:
Q -» ft, полагая Х8 о at(u>) = X8M(u) для всех s ("оператор
остановки"). Для всех s величина Х8 о at — /^-измерима; для
s < t величина Х8 = Х8 о at — aj"1 (^-измерима. Следовательно
JF° = аТ\Т).
Если множество A G Т удовлетворяет сформулированному
условию, то \А = 1л о at, и поэтому A G ^°. Обратно, если
A G ^°, то в силу предыдущего имеем, что для некоторого
множества В G Т \а = 1в ° Oi и мы заключаем, что Л удовлетворяет
сформулированному условию.
(Ь, с) Предположим сначала, что Г — строгий момент
остановки, и пусть пара (о;,о/) такова, что Х8(и) = X5(u/), Vs <
T(a;). Пусть J = Т(и). Если * = оо, то и/ = а; и Т(и') = оо. Если
t < оо, то a; G {Т = t} G Т* и, следовательно, a;' G {Г = *} в
силу (а) и тем самым снова Т(и') = Т(и>). Таким образом, мы
Доказали необходимость в (Ь). Более того, пусть A G Т? и и G Л,
тогда и; £ Л П {Т = <} 6 ft° и, следовательно, у'бЛв силу (а).
Обратно, пусть множество A G Т удовлетворяет
сформулированному в (с) свойству. Положим А% = АГ){Т < i). Если пара (и,о/)
такова, что Х8(и) = Х8(и'), Vs < t и и G Аи то ХДо;) = Х5(а>')

244 Гл. III. Мартингальные проблемы я замены мер
Vs < T(u>). Следовательно, о/ £ At в силу равенства Т{и') = Т(ш)
и сделанного относительно А предположения. Итак, из (а)
следует, что At £ Т* и, таким образом, Aefy.
Остается доказать достаточность в (Ь). Пусть t > О и пара
(о;,о/) такова, что Х9(и) = Х,(а/) Vs < <. Если и £ {Т < <},
то Х8(и) = X8(u') \/s < Т(и); следовательно, Т(и') = Т(и) и
u/ G {Г < /} по предположению. Таким образом, из (а) вытекает,
что {Т < t} £ Т%, и мы заключаем, что Г — строгий момент
остановки.
d) В силу 1.2.2 достаточно рассмотреть два случая:
(1) Н = 1ах{о}(А £ То), тогда Ht = 0; (2) Н = 1ax<«,.i(A G ^)
— тогда #< = 0, если t £ (и, v]; если же г* < t < v, то Ht = 1,4 и
Л G ^°. Таким образом, нужное утверждение следует из (а).
2.44. Лемма. Пусть Т — строгий момент остановки.
Тогда:
a) Величина X? является Tj.-измеримой.
b) Следы {Т < оо}Г1 Т и {Т < оо}Г)(^ У9^\Т)) совпадают.
c) Если S — другой строгий момент остановки, то
существует Tj> ® F-измеримое отображение V: ft X ft -» R+ такое,
что V(u>, •) — строгий момент остановки для всех и £ О, и
S(u) V Т(и) = Т(и) + V(u,0T(u) на множестве {Т < оо}.
Доказательство, а) Немедленно следует из 2.43с.
b) Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда для всех
и G ft Т(и) < оо. Включение Т% С Т очевидно. Если A G Vd,
то в силу (а) в^1(Х9 G А) = {Хт+9 £ А} £ Рт+$- Таким образом,
От\Т) С Т.
Для доказательства противоположного включения возьмем A G
Vd. Тогда {Xt G А} = {Xt G Л,Г > t} U {Xt G Л,Г < t].
Принадлежность {Xt £ А,Т > t} £ J7? очевидна. Множество
В = {(w,u;') : Т(и) < t,X,_T(u;)(u/) G А} принадлежит Т% ® ^
и {Xt G Л, Г < *} = {и : (u;,0Tu;) £ В} £ Т^У В?1 {Г). Таким
образом, {Xt £ А} £ Tj>\t в^.1{Т) и, поскольку 2 произвольно, мы
заключаем, что Т С Т? V ^(.Т7).
c) Достаточно рассмотреть опять случай Г(о;) < оо, ш £ ft
и S > Т. Величина (5 - Т) — ^"-измерима, следовательно, (Ь)

2. Мартингальные проблемы и семимартингалы 245
влечет равенство 5(о;) - Т(и) = V(w90jw), где V — Тт ® Т-
измеримое отображение: ft х ft -» R+. В силу (а) множество В =
{(о;,u;'): Xr(u>) = X0(u')} принадлежит Т?®?, так что мы можем
заменить V на V1B, не нарушая ни измеримости, ни равенства
S(u>) = T(u>) + V{lj,Ot(u>).
Зафиксируем o?,o?J,a;2 такие, что X,(u;J) = jf,(u£), Vs <
< У(<*>,о;£). Ввиду 2.43Ь остается доказать, что V(v,u>[) =
= У(о;,Ц).
Если X0(u;i) ^ Хг(о>), то ^(Ц) ^ Хг(<*>) и V(u>u[) =
= ^(u;,^) = 0 (поскольку V = V\b)- Теперь предположим, что
Хо(ч') = -^т(^) Для * = 1?2. Определим о;,- G ft соотношением
у /,-, ч _ / **И> если * ^ ГИ»
лди^ - | X,.T(w)(u;0, если * > Г(о;).
Тогда X9{ui) = Х,(£2) = Х(^) Для 5 < Г(а?), и fij. ®
^-измеримость V позволяет заключить, что V{uu •) = V(u>2j •) = V(u>, •). В
то же время, в силу 2.43Ь Т(ш) = T(u>i) = Г(а>2). Следовательно,
0Tu>t. = и[ и, таким образом,
2.45. S(ui) = Г(Я<) + У(£,-,0тй) = Г(о>) + Г(^,ч')-
Поэтому, ввиду предположений относительно о/,а4, имеем
Х,^) = X,(u>2)» Vs < S(u>i). Таким образом, из 2.43Ь
вытекает, что S(u2) = S(u>i), и из 2.45 получаем V(u;,u>2) = F(u;,u;£),
что и требовалось. □
В следующей лемме Р — вероятностная мера на (ft, T), PXtt(dw)
— переходная вероятностная мера из (Rd х R+,Vd х V+) в (ft,F)
такая, что TXjt(X0 = х) = 1 и Г — строгий момент остановки. В
силу 2.44 с каждым множеством Л G J7 можно связать множество
А€ «F£®.Fтакое, что ЛП{Г < оо} = {и>: Г(и>) < оо,(u>,0Tu>) G i}
(Л не обязательно единственно). Положим
2.46.
Q(4) = ?(АП{Т = oo})+yP(cL;)PJ,т(w),т(w)(cL;Ol{т(w)<oo}l>l(^,a;,).
2-47. Лемма. Формула 2.46 задает вероятностную меру
«*(П,Л-

246 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Доказательство. Поскольку
Q(A) = J?(du)?XHw)iT{w)(du;').
l{T(u;)<oo}lx(<*>V)>
очевидно, задает меру на (ft x ft,/£ ® /*) с массой Q(ft X ft) =
Р(Т < оо), то достаточно доказать, что 2.46 задает Q(A)
однозначно, или, что эквивалентно, что Q(A) = 0 если множество
А = {и : Т(и) < oo,(uy$Tu) 6 А} пусто.
Пусть А — то же, что выше, и А = 0. Если Q(A) > О, то
найдутся и,и' такие, что (u;, u/) G Л, Т(а;) < оо, Хо(и) = Хт(и/)
(поскольку РГ)<(Х0 = х) = 1)). Определим о> Е ft так, что
Хггл _ / Х*И> если ' ^ ТИ>
)(<*/), если * > Т(и).
Точно так же, как при доказательстве 2.44с получаем, что Т(и) =
Т(и) и 0тй) = ь>'> (^5^0 G Л. Таким образом, (о), 0т(£) € Л и А
содержит а), что противоречит предположению Л = 0. □
2.48. Лемма. Дополнительно к предположениям в 2.47
рассмотрим семейство непрерывных справа с пределами слева
процессов N и ptN(t G R+) таких, что (i) JV0 = (ptN)o = 0;
величины Na и (ptN)8 Т^-измеримы;
(ii) отображение (а;,/) ~* (ptN)s(u) T®Т+-измеримо;
(ш) \AN\ < а, |A(ptiV)| < а для некоторой константы а.
Тогда, если N есть F-локальный мартингал и ptN есть РГ|<-
локальный мартингал для всех (ж,<), то следующее выражение
определяет Q — локальный мартингал:
2 49 ЙЛи) - { ^(а,)' €СЛи ' < Г(а,)'
У- Д ^ " I JVr(w) + (PT(u,)iV)t_T(w)(0Tu;), если * > Т(и/).
Доказательство. Процесс N непрерывен справа,
имеет пределы слева и N0 = 0. В силу 2.43b Nt — /"-измеримо.
Пусть о;,о;7, таковы, что Х3(и) = X,(u/) Vs < tf. Тогда в силу (i)
N8(u) = Ns(u') и (prN)9(u) = (prN)8(u') для всех s < t, r G R+.

2. Мартяягальяьге проблемы и семима.ртингалы 1А7
Тогда NT{u) = JVT(u/) и T(lj) = T(u/), если Т(и) < t (таким
образом, величина NT — ^-измерима) и Nt(u;) = Л^(и/). Поэтому,
применяя 2.43, мы заключаем, что величина Nt — ^-измерима.
Положим Тр = inf(f : |JVt| > р). Это — момент остановки
относительно F. Пусть
Rn = lim Tn_i/m,
туоо
что также равно inf(< : \Nt\ > п или \Nt„\ > n). Тем самым,
если Xs(u) = Xs{uj') для всех s < Rn(v), то Ns(v) = Ns(v') для
всех 5 < Rn(u;) и, таким образом, i?n(^) = Rn(v')- Поэтому Rn
— строгий момент остановки, а, следовательно, и 5„ = п Л Rn
— строгий момент остановки. Обозначим: Vn — отображение,
связанное с 5„ (как в 2.44с).
Пусть S — другой строгий момент остановки, и У —
связанное с ним отображение из 2.44с. Если через Eq и EXtt обозначить
математические ожидания по отношению к Q и Fxi, то
EQ(7Vf" = EQ(iV5A5ft) = Ед(ЛГ5лТл5п) + EQ(7V5A5n - NSATASn) =
= 0 + Ед(1{5л5л>Т}(РГ^)к( .^T)AVn(^) ° *г)
(поскольку NSnAT — ограниченный Р-мартингал и в силу
определений V и Vn)
(поскольку {Sn A S > Т} Е Т? и в силу 2.46). Наконец, поскольку
(ptN)Vn^^ — ограниченный Р^-мартингал для всех (x,f) и всех
wGft, мы заключаем, что приведенное выше выражение равно 0.
Если теперь S — произвольный момент остановки, то S + 1/п
— строгий момент остановки (см. 2.36) и так как процесс NSn
ограничен и непрерывен справа с пределами слева, мы получаем,
что
EQ(iV|-) = limEQ(iV|;1/m) = 0.
В силу 1.1.44 это означает, что NSn — Q-мартингал (напомним,
что Sn < n). Поскольку £„ f оо при n | оо, мы получаем
требуемое утверждение.

248 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Доказательство теоремы 2.40. Пусть мера Р
— решение остановленной проблемы S(H,XT\ex;BT,CT,i/T), где
Т — строгий момент остановки. Пусть мера Q определена
соотношением 2.46, где мера Fxt — та же, что в предположениях
теоремы. Мы докажем, что Q € S(H,X\ex; J9,C,i/) и,
следовательно, Q = Рг0 в силу предположения о единственности. Итак,
если A G Т?, то множество А = АхО,&Тт®Т удовлетворяет
равенству А = {и : Т(и) < ос, (u;, 0Tu) G Л}, и из 2.46 немедленно
следует, что Q(A) = Р(А). Поэтому Р = FxQ на (ft,T%). Другими
словами, имеет место локальная единственность.
Остается доказать, что Q G S(H,X\ex; J9,C,^). Для этого
заметим сначала, что по построению Q = ех на (ft,H). Далее,
пусть N — любой из следующих процессов (обозначения взяты
из 2.7):
N* = [М(Л)Т,
Nij = [M{hyM{hy - С"']т,
7V' = (/*/^-/**,f,
а процесс ptN соответственно задается соотношениями
ptNi* = (j>tNi)(ptN')-i>t&i,
ptNf = f*fix -f*(Ptv)
(процесс ptC определяется соотношением 2.6, исходя из ptB, ptC,
Ptf)- Тогда в силу 2.39 (i) N и ptN удовлетворяют всем
условиям (i)-(iii) леммы 2.48 (заметим, что предсказуемый процесс,
равный 0 в начальный момент, согласован с {??)). Более того,
каждый процесс N является Р-локальным мартингалом в силу
нашего предположения, что Р — решение остановленной
проблемы (см. 2.7) и аналогично каждый процесс ptN — РгГлокальный
мартингал.
Свяжем с каждым семейством (N,ptN) процесс N
соотношениями 2.49. Этот процесс N — Q-локальный мартингал. Простое
вычисление, использующее 2.39 (ii) и соотношения (X(h)8 —Х0)о

3. Абсолютно непрерывная замена мер 249
0Т = X{h)8+t-X{h)t, (/*/i*),o0t = /*//f+t-/*//*, показывает,
что
N* = М(Л)\
JVtf = М(Л)'М(ЛУ-(?',
Таким образом, теорема 2.7 позволяет сделать вывод, что
QeS(H,X\e.;B,C,v). П
3. Абсолютно непрерывная замена мер
В этом параграфе рассматриваются две вероятностные
меры Р и Р, заданные на измеримом пространстве с фильтрацией
(ft,^7, F). При этом предполагается, что Р' абсолютно
непрерывна относительно Р (обозначение: Р' < Р) или что выполнено
несколько более слабое условие "локальной" абсолютной
непрерывности Р' относительно Р (см. далее 3.2).
Основная цель этого раздела состоит в вычислении
характеристик семимартингала X относительно Р' по его характеристикам
относительно Р. Эти преобразования для мартингалов и
случайных мер носят название "теорем Гирсанова". Центральное место
в них занимает процесс плотности Р' относительно Р, т.е.
мартингал Z на (ft,^,F) такой, что для каждого t 6 R+ Zt
является производной Радона-Никодима d?^T /dP\^t сужений Р' и Р на
(п, я).
§3а. Процесс плотности
Прежде всего введем обозначения Е и Е' для математических
ожиданий по мерам Р и Р\ Для каждого момента остановки Т
обозначим
Рт — сужение Р на Т?,
Рт_ — сужение Р на Тт-
и аналогично для Р'т = Р'|^т, Рт- = Р'|^т—

250 Гл. III. М&ртингальные проблемы и замены мер
3.2. Определение. Говорят, что мера Р' локально
абсолютно непрерывна относительно меры Р и пишут Р<Р, если
PJ < Р, для всех t e R+.
Обычно "локализация" осуществляется с привлечением
моментов остановки (см. §l.ld). Введенное выше понятие, как
показано в следующей лемме, в действительности удовлетворяет
этому же правилу.
3.3. Лемма. Локальная абсолютная непрерывность Р'
относительно Р (Р; < Р) имеет место тогда и только тогда,
когда существует возрастающая последовательность (Тп)
моментов остановки такая, что
P'(lim | Гп = оо) = 1, Р^<РТл для всех п е N*.
Доказательство. Необходимость очевидна. Чтобы
доказать достаточность, выберем множество A G Т% с Р(А) = 0.
Тогда
Р'(А) = lim Р'(А П {Гп > «}) = 0,
п
поскольку А П {Тп >t} € Тп и ?'Тп < РТп. Значит Р{ < Pt. П
1ос
3.4. Теорема. Предположим, что Р' < Р.
Существует единственный (с точностью до Р' и Р-неразличимости) Р-
мартингал Z такой, что Zt = dP'JdPt (производная Радона-
Никодима) для всех t G R+. Более того,
(i) можно выбрать Z > 0 тождественно;
(и) если Т — момент остановки, то при сужении на
множество {Т < оо} FT < Рт и ZT = d?'Tld?T;
(Ш) если Т — предсказуемый момент остановки, то при су-
жении на множество {Т < оо} Р£._ < Рт- и %т- — йРт-/^Рт--
Процесс Z, являющийся Р-мартингалом, называется
процессом плотности Р' относительно Р. Заметим, что E(Zt) = 1 для
любого t G R+.
Доказательство. Положим Un = dP'n/dPn и
заметим, что Un e Ьг(Л9Т9Р). Определим Р-мартингал Yn таким
образом, что Ytn = E(Un\Tt), если t < п, и Ytn = £/п, если * > n

3. Абсолютно непрерывная замена мер 251
(см. 1.1.42). Ясно, что можно взять версию Yn > 0. Положим
Z = £n>i^nl[n-i,n[- Процесс Z является согласованным,
непрерывным справа, имеющим предел слева и Z > 0. Пусть Г —
момент остановки и А € Т?. Тогда
Е(1д1{т<оо}^т) = ^Е(1д1{п«1<т<п}Уу) = 53Е(1л1{п^1<т<п}[7п =
п>1 п>1
= J] Р'(А П {п - 1 < Г < п» = Р'(Л П {Г < оо».
Установим (ii). Беря А € Т% и Г = t (соответственно Т = s > t)
получаем, что E(lAZt) = Р'(А) = E(lAZs)y т.е. Z является Р-
мартингалом.
Если Г — предсказуемый момент остановки и А € Тт-, то в
силу 1.2.27
Р'(А П {Г < оо}) = E(lAl{T<oo)ZT) = E(lAl{T<oo)ZT-)
и, значит, (iii) имеет место. Наконец, производная Радона-Ни-
кодима dP'JdPt определяется единственным образом Р- и Р'-п.н.
Поэтому процесс Z также определяется единственным
образом. □
Приведем теперь некоторые простые свойства процесса
плотности.
1ос
3.5. Предложение. Предположим, что Р' < Р и Z —
процесс плотности.
a) Имеет место соотношение P'(inft Zt > 0) = 1.
b) Следующие условия являются эквивалентными:
(i)P'ee-<Poo-;
(ii) P'(supf Zt < оо) = 1;
(iii) Процесс Z является Р-равномерно интегрируемым
мартингалом.
Доказательство.
а) Пусть Тп = inf(t: Zt < ±). Тогда в силу 3.4 (ii)
Р'(Г„<оо) = Е(2тт1{т.<оо})<^

252 Гл. III. Мартннгальные проблемы и замены мер
и, значит, Р(ПП{ГП < оо}) = 0, т.е. имеет место требуемое
утверждение.
b) (i) => (ii). По теореме 1.1.39 (теорема Дуба) Zt сходится Р-
п.н. к конечному пределу при 11 оо. В силу (i) та же сходимость
имеет место и Р'-п.н., т.е. имеет место (ii).
(ii) => (iii). Поскольку E(Z,l{z#>n}) = P'(Z, > n) < P'(suptZ, >
n) —► 0 при n —► оо, то семейство (Z«),6r является Р-равномерно
интегрируемым.
(iii) =» (i). Если выполнено (iii), то Zt -» Z^ в £*($), .F, Р). В
то же время для каждого А € Т% имеем Р'(А) = El^Z* = El^Z^.
Применяя теорему о монотонных классах, получаем, что Р'(А) =
El^Zoo для всех A G ^"оо-? т.е. имеет место (i). D
3.6. Лемма. Пусть Z — неотрицательный Y-супермар-
тингал (например, процесс плотности в случае Р; < Р). Тогда
Т = inf(J: Zt = 0 или Zt„ = 0) является моментом остановки и
Z = 0 Р-п.н. на [Г,оо[.
Доказательство. Пусть Тп = inf(t: Zt < 1/п).
Ясно, что Тп — момент остановки иГ = limn Tn. По теореме Дуба
об остановке 1.1.39 Е(2т|^тж) < ^тл < 1/л на {Тп < оо} и, значит,
E(Zt1{t<oo}) < 1/л для всех п, т.е. ZT = 0 Р-п.н. на {Г < оо}.
Теперь, если Sn = inf(J > Т: Zt > 1/п), то 5П — момент
остановки и E(Zsn\frr) < ZT = 0 на {Г < оо}. Отсюда следует, что
Sn = оо Р-п.н. и, следовательно, Z = О Р-п.н. [Г, оо[. D
1ос
3.7. Лемма. Предположим, что Р' < Р « 2 является
процессом плотности. Пусть X uY — два предсказуемых про-
цесса. Тогда X является Р*-неразличимым с Y, если и только
если Р-неразличимыми являются процессы Xl{Z->o} и У1{я_>о}-
В частности, если X и Y — предсказуемые процессы конечной
вариации на конечных интервалах, то они являются Р'-неразли-
чимыми, если и только если 1{z„>q}-X и l{z_>o}'Y являются Р-не-
различимыми процессами. Это следует из структуры множества
{Z_ > 0}, описанной в лемме 3.6.
Доказательство. Требуемое утверждение является
простым следствием варианта 1.2.18 теоремы о предсказуемом се-

3. Абсолютно непрерывны замена мер 253
чении, согласно которому для предсказуемого момента остановки
5 В СИЛУ 3.3 (ffi) Р'(Х, / У„ 5 < ОС) = Е(1{х5#у5,5<во}Я5_). □
§3b. Теорема Гирсанова для локальных мартингалов
1. Приведем сначала один общий результат.
3.8. Предложение. Предположим, что Р' < Р и Z —
процесс плотности. Пусть М1 — согласованный процесс с
непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями.
a) Процесс M'Z является Р-мартингалом, если и только
если процесс М1 — Р'-мартингал.
b) Если M'Z является F-локальным мартингалом, то М' —
Р'-локальный мартингал.
c) Если М1 является Р'-локальным мартингалом с
локализующей последовательностью (Тп) с P(limn | Тп = оо) = 1, то
M'Z — Р-локальный мартингал.
Заметим, что утверждение а) эквивалентно следующему
хорошо известному факту: если Y — ограниченная (или Р'-интегри-
руемая) случайная величина, являющаяся ^-измеримой, то при
* < s
3.9. E'(Y\Ft)=±-E(YZ,\Ft).
Доказательство, а) Пусть A G Т%. Тогда
Е'(1ЛМ/) = E(\AZtM't). Следовательно, Е'(М/ - M'S\TS) = 0 (для
5 < 0> если и только если E(ZtMl — ZSM'S\TS) = 0, т.е. имеет
место требуемая эквивалентность.
b) Пусть (Тп) — локализующая последовательность для Р-
локального мартингала M'Z и Т = lim„ | Тп. Тогда в силу 3.4
Р'(Т < оо) = EZtI{t<oo] = 0, поскольку Г = оо Р-п.н. Более
того, процесс M'TnZ = (M'Z)Tn + M^n(Z - ZTn)l|[Tn,ooi, очевидно,
является Р-мартингалом и, следовательно, требуемое
утверждение выводится из а).
c) Процесс M'TnZ является Р-мартингалом в силу а) и,
следовательно, (M'Z)Tn = M'TnZ - M'Tit{Z - ZTn 1[тл,оо[ также является
Р-мартингалом. D

254 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
3.10. Следствие. Пусть выполнены предположения 3.8.
Положим Тп = inf(<: Zt < 1/п). Если процесс (M*Z)Tn — Р-
локальный мартингал для всех п > 1, то М1 является Р'-ло-
калъным мартингалом.
Доказательство. Очевидно, что M'TnZ = (M'Z)Tn+
Mj>n(Z — ^тп)1[тп,оо[ является Р-локальным мартингалом.
Следовательно, М'Тп является Р'-локальным мартингалом в силу 3.8Ь
и того факта, что Тп | оо Р'-п.н. в соответствии с 3.5. D
2. Сформулируем теперь "классическую" теорему Гирсанова.
~ 1ос
3.11. Теорема. Предположим, что Р' < Р « Z —
процесс плотности. Пусть М является Т*-локальным
мартингалом с М0 = 0 таким, что Р — квадратичная ковариация [М, Z]
имеет Р-локально интегрируемую вариацию. Пусть (M,Z) ее
Р-компенсатор (ср. с 1.4.50). Тогда процесс
3.12. М* = M--±--{MyZ)
б—
определен Р'-п.н. и является Р'-локальным мартингалом.
Более того, Р-квадратичная характеристика (МСУМС)
непрерывной компоненты Мс (относительно Р) локального мартингала
М является также версией Р'}-квадратической
характеристики непрерывной части (относительно Р') локального
мартингала Mf.
Доказательство, а) Положим Тп = inf(<: Zt < 1/п)
иА = (1/Z_) • (М, Z). Процесс А очевидно определен для каждого
интервала |[0,ГП]. Поскольку в силу 3.5 Тп | оо Р'-п.н., процессы
Am M' определены Р'-п.н.
Ь) В силу того, что MZ = М- - Z + Z- • М + [Z,M], процесс
(MZ)Tn - (M,Z)Tn является Р-локальным мартингалом.
Процесс АТп является предсказуемым процессом конечной вариации.
Поэтому в соответствии с I.4.49b (AZ)Tn = A • ZTn + Z_ • АТп.
Следовательно, (AZ)Tn — Z • АТп также является Р-локальным
мартингалом. Более того, из определения А вытекает, что Z_ •
АТп = (Му Z)Tn. Отсюда получаем, что (M'Z)Tn — разность двух
Р-локальных мартингалов, т.е. (M'Z)Tn является Р-локальным

3. Абсолютно непрерывная замена мер 255
мартингалом. Тем самым, в силу 3.10 М' является Р'-локальным
мартингалом.
с) Из Ь) вытекает, что М является Р'-семимартингалом (с
каноническим разложением М = М1 + А). Заметим, что
"римановская сумма" STn{M,M), определенная в 1.4.48, не зависит от
вероятностной меры и, значит, в силу 1.4.47а квадратическая
вариация [М,М] одна и та же для Р и Р'. Последнее утверждение
теоремы имеет место, поскольку в силу 1.4.53 квадратическая
вариация непрерывной мартингальной части семимартингала
является в то же самое время "непрерывной частью" квадратической
вариации семимартингала. □
Следствием этого результата является
1ос
3.13. Теорема. Предположим, что Р' < Р. Любой Р-
семимартингал X является также семимартингалом
относительно Р'. Квадратическая вариация [Х,Х] относительно Р
является также версией квадратической вариации
относительно?'.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется
подготовительная лемма.
3.14. Лемма. Пусть Z и М — локальные мартингалы и
\АМ\ < а для некоторой константы а. Тогда процесс [M,Z]
имеет локально интегрируемую вариацию.
Доказательство. Имея в виду 1.4.55, можно
предположить, используя, если это необходимо, локализацию, что U =
Е,(Д£*)2Р'2 — интегрируемый процесс. Обозначим через А
вариацию процесса [М, Z] (которая, как известно, принадлежит
V). Положим Тп = inf(J: At > n). Тогда Атп < п + ААТп =
п + \AMTnAZTn\ < п + а|Д£Тп| < п + aU на множестве {Тп < оо}.
Тем самым ЕАТп < оо.
Доказательство теоремы 3.13. Рассмотрим раз
ложение X = Х0 + М + А, где А £ V, М является Р-локальным
мартингалом с ограниченными скачками. Ясно, что А является
Р'-семимартингалом. Из 3.11 и 3.14 вытекает, что М и, значит,
X являются Р'-семимартингалами. Наконец, утверждение о ква-

256
Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
дратической вариации выводится также, как в части с)
доказательства теоремы 3.11. □
§3с. Теорема Гирсанова для случайных мер
Пусть (Е, £) — вспомогательное пространство Блэкуэлла (см.
§II.la), fi — случайная мера на R+ х Е, определенная на
стохастическом базисе (П,^", F, Р). Свяжем с ней меру МJ в соответствии
со следующим определением.
3.15. Положительная мера М£ — это мера на (П,^7 ® V+ ®
£), определяемая соотношением M*(W) = E(W * /^оо) для всех
измеримых неотрицательных функций W. D
Предположим, что \i является Р-<7-конечной мерой на
(ft,.F,F,P), или, эквивалентно, что ограничение меры М£ на
Ф,Р) является <т-конечной мерой. В этом случае можно
определить "условное математическое ожидание по мере М£" при
условии а-алгебры Р. Именно, для каждой неотрицательной и
измеримой функции W "условное математическое ожидание" W =
M£(W|7^) есть (по определению) М^-п.н. единственная Р-изме-
римая функция такая, что
3.16. M*(WU) = M*(W'U) для всех неотрицательных и Р-
измеримых функций U.
Более того, точно также как в 1.1.1, можно определить и
"обобщенное условное математическое ожидание" M*(Wp) для всех
измеримых функций W.
1ос
3.17. Теорема. Предположим, что Р' < Р и Z —
процесс плотности. Пусть \i — целочисленная мера на R+ х Е,
определенная на стохастическом базисе (П, J",F, P) (это
означает, в частности, что она является Р-а-конечной по мере Р)
и v — ее Р-компенсатор.
a) Мера \i является также Р-о-конечной по мере Р'.
b) Пусть Y — Р-измеримая неотрицательная функция на U
uv1 — версия Y1-компенсатора fi.
Имеет место эквивалентность утверждений:

3. Абсолютно непрерывная замена, мер 257
(i) i/ = Y-i/ Р'-п.м. {sdeY-v(u-,dt,dx) = v{u\dt,dx)Y(u-,t,x));
(ii) l{z.>o} • t/ = yi{z_>o} • у P-n.w.;
(Hi) YZ — является версией условного математического
ожидания Ml(Z\V).
ролее того, любая неотрицательная версия Y условного
математического ожидания M£(^-1{Z_>0}|P) обладает указанными
выше свойствами.
с) Существует версия v1', удовлетворяющая тождественно
соотношениям:
3.18.
v1 — Yv для некоторой V-измеримой
неотрицательной функции У,
!/((*;; {t}xE) = l => v'(u; {*} X £) = 1.
3.19. Замечание. За исключением последнего
утверждения в 3.18, все остальные утверждения остаются верными для
любой Р-а-конечной случайной меры на (ft,.F,F,P) независимо
от того, является ли она целочисленной или нет (однако, только
случай целочисленных мер представляет для нас интерес).
Доказательство. Установим сначала некоторые
вспомогательные факты. В силу сделанных предположений
существует строго положительная ^-измеримая функция V с V * /*<» £
11(И,Т9Р) и, следовательно, V * и«, Е i1(ft,/',P). Можно
всегда считать, что V < 1 (если это не так, заменим V на V Л 1).
Определим моменты остановки:
Тп = inf (t: t > п, или У * /jt > п, или V *vt>n, или Z* > п)
и положим Л = ипЦ0,Гп]], Т = limn | Г„. Тогда Р(Г < оо) = 0.
Более того,
3.20. У*цТп<п + 1, V * vTn < n + 1.
Кроме того, остановленный Р-мартингал Zn является равномерно
интегрируемым и, следовательно, Zxn = (£п)тЛ (напомним, что
Тп < п) является Р-интегрируемым. Поэтому
3.21. sup Z8< n + ZTne 1г(П,Г,?).
s<Tn
^Ж.Ждкод, А.Н.Ширяев T.1

258 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Перейдем теперь к доказательству теоремы.
a) Заметим, что Р'(Т < оо) = E(Zt1{t<oo}) = 0> поскольку
Р(Г < оо) = 0. Поэтому для Р-измеримой, строго
положительной функции V9 = lAcxE + £n>i2-nV4|o,Tnixs имеем V * ц^ =
Yln>i 2"ПК * Цтп < J2n>i(n + 1)2~п Р'-п.н., т.е. имеет место
требуемое утверждение.
b) Пусть У — неотрицательная версия условного
математического ожидания M£(^-1{Z_>0}|P). Тогда в силу 3.6 YZ„ =
M£(Z1(Z_ > 0)\V = M*(Z\V) и, значит, имеет место (Ш).
Покажем эквивалентность (i), (ii), (iii).
(iii) => (i): Предположим, что У удовлетворяет (iii).
Случайная мера У • */, очевидно, является предсказуемой и W * (Yv) =
(WY) * v. Тем самым, если доказать, что
3.22. E'(W * jioo) = E'((WY) * i/oo)
для всех неотрицательных ^-измеримых функций W, то
утверждение (i) будет следовать из И.1.8. Действительно, используя
теорему о монотонной сходимости, достаточно установить 3.22 в
следующих трех случаях:
(1) 0 < W < Vl{Y<q}lio}TnixE для некоторых q,n G N*,
(2) 0 < W < Vl{Y=oo}ho,Tn}xE Для некоторого n G N*,
(3) 0 < W < VlAcxE.
В случае (3) соотношение 3.22 тривиально, поскольку
множество Ас является Р-пренебрежимым в силу а). Если функция
W является ^-измеримой и неотрицательной, предположение (iii)
для У приводит к соотношениям:
3 23
'E['(Z,W0*/iTJ = Ml(ZWll0}TnixE) = M*(Z_YW1[0,tjx*) =
= E[(Z_ Wy) * /iTn] = E[(Z„WY) * */TJ.
(последнее равенство следует из определения и).
Применим 3.23 к W = ^1{т=оо}- В силу 3.20 и 3.21 левая
часть равенства 3.23 не превосходит конечной величины (п +
l)E(sup5<Tn Zs). С другой стороны, случайные величины
Z„Vl{Y=oo] * №тп равны 0 или оо, и та же альтернатива имеет
место в случае замены // на v. Следовательно, эти случайные

3. Абсолютно непрерывная замена, мер 259
величины должны быть равны нулю Р-п.н.; поскольку они
являются Тп-измеримыми (напомним, что Тп < п) и Р^ < Р„, то они
также равны нулю также Р'-п.н., или другими словами, /i и и
Р'-п.н. не нагружают множества {У = оо} П |[0,ТП]| П {Z_ > 0}.
Поскольку P'(inft Zt > 0) = 1, то меры ц и и Р'-п.н. не
нагружают множества {У = оо} П [0,ТП]|. Тем самым, если функция W
такая же, как в (2), то обе части равенства 3.22 равны нулю.
Наконец, пусть функция W такая же, как в (1). Пусть G =
(W * fi)Tn иВ = [(WY) * f]Tn. Процессы G и В являются
возрастающими и ограниченными в силу 3.20, а процесс В является
также предсказуемым. Тогда, в силу 3.21, процессы GZTn — Z G
и BZTn -Z--B принадлежат классу (D) относительно Р и в то же
время, в соответствии с 1.4.49, они являются Р-локальными
мартингалами, т.е. в действительности они являются Р-равнойерно
интегрируемыми мартингалами. Таким образом, по теореме об
остановке
E'(W * /ioo) = E'(GTJ = E(ZTnGTn) = E(Z • GTJ = E[(ZW) * /iTJ,
E'(WY * i/oo) = E'(BTn) = E(ZTnBTn) =
= E(Z_.BTn) = E[(Z„WY)*vTn],
Применяя 3.23, убеждаемся в справедливости 3.22.
(i) =Ф- (ii). Эта импликация легко следует из 3.22.
(И) =* (ш). Пусть У удовлетворяет (Н) и Y' = M£(frl{z_>o}|^)-
Поскольку Y' удовлетворяет (in), то в силу доказанного выше У
удовлетворяет также (i) и (ii). Следовательно, У1{^_>о} ' v =
Y'l{z->o} • v Р-п.н. Множество А = {У ф Y\Z^ > 0} является
^-измеримым и для него 1Л * и^ = 0 Р-п.н. Поэтому М£(А) =
Е(1л * /ioo) = Е(\А * i/oo) = 0 и, следовательно, YZ„ = У'£_ М£-
п.н. Отсюда, в силу того, что У удовлетворяет (Ш), У также
удовлетворяет (Hi).
с) Пусть v1 = У • v является версией Р'-компенсатора /z, где
Функция У введена выше. Положим at(u) = i/(u; {t} x E) и
aj(u>) = *>'(u;; {t} х £"). Существует последовательность (Sn)
предсказуемых моментов такая, что {а = 1} = U^] с точностью до
Р-пренебрежимого множества. Пусть D = {(<*;, J): /i(^>; {*} X Е) =
1}.
9*

260 Гл. III. Мартянгальные проблемы и замены мер
В силу П. 1.18, с W = 1 получаем, что 1 = aSn = Р(5П 6
D\Tsn-) на множестве {Sn < oo}. Следовательно, P(5n < oo,5n g
1ос
J9) = 0. Поскольку Р' < Р, то P'(Sn < oo, Sn $ D) = 0. Значит,
снова в силу И. 1.18 a'Sn = Р'(5П G Х?|^5Л-) Р'-п.н. на множестве
{Sn < oo}. Тем самым, если
с
У(о;,<,г) при а*(<*>) ^ 1
v' — Y1 -V с Y'(u;,t,z) = ^ или at(u) = aj(a;) = 1,
при a{(a;) ^ 1 = at(u)y
то *>' = i/ Р'-п.н. и 3.18 имеет место для меры *>'. D
§3d. Теорема Гирсанова для семимартингалов
1. В этом разделе рассматривается d~мерный семимартингал
X = (X*)i<d на стохастическом базисе (Л, J",F,P) с
характеристиками (B,C,v) относительно данной функции усечения h.
Обозначим Xе непрерывную мартингальную составляющую
X относительно Р. Пусть А — возрастающий предсказуемый
процесс такой, что Cij = &* А (см. П.2.10).
1ос
3.24. Теорема. Предположим, что Р' < Р « пусть X
— введенный выше семимартингал. Существуют V-измеримая
неотрицательная функция Y и предсказуемый процесс
/3 = (/?'),<d, удовлетворяющие условиям
3.25. \KX)(Y - 1)1 * "t < °° Р'-п.н. для t € R+,
3.26.
^с*!р\ • А < oo ti ( Y, Рс*крк) • At < oo
Р'-п.н. <?л* <eR+,
u такие, что версией характеристик X относительно Р'
являются
О - Л + /i*'(x)(Y - 1) * I/,
3.27.
Г В" = # + (£,« *W
U' = у. I/.

3. Абсолютно непрерывная замена, мер 261
Кроме того, Y и /3 удовлетворяют всем приведенным выше
условиям, если и только если
4 28 (yZ-=M£x(Z|n
(с точностью до множеств Р-нулевой меры), где Z — процесс
плотности, Zc — его непрерывная мартингальная составляю-
щая относительно Р и (Z%X,,C) — квадратическая ковариация
относительно Р {совпадающая с [Z,Xie]). Функцию У можно
выбрать такой, чтобы
3.29.
и(и\ {*} X Rd) = 1 =► t/(u; {t} x Rd) = /V (w, t, *)i/(a;; {<} X Ar) = 1.
Заметим, что в силу 3.25 и 3.26 процессы, определенные в 3.27,
являются Р'-п.н. конечными.
Доказательству теоремы предпошлем лемму,
представляющую самостоятельный интерес, для формулировки которой
введем следующие объекты. Пусть У = (У*)»<<* — непрерывный
локальный мартингал, определенный на стохастическом базисе
(ft, Т, F, Р), А — возрастающий процесс и с = c*J)*\i<<*- —
предсказуемый процесс со значениями в множестве всех
симметрических неотрицательно определенных матриц размера d x d таких,
что
3.30. (Y\Yj) = cij -А.
3.31. Лемма. В дополнение к определенным выше
объектам рассмотрим непрерывный локальный мартингал U на
(ft,/", F, Р). Тогда существует предсказуемый процесс
Н = (Я1 )i<rf такой, что для г = 1,..., d
3.32. (и,У*)= Г^с^яЛ-А.
Кроме того, для любого такого процесса Я возрастающий
прочесе (Ylij<dHlcljHj) • А является локально интегрируемым на
(n,-F,F,P5.

262 Г л III. Мартянгальные проблемы и замены мер
Доказательство. Рассмотрим (й + 1)-мерный
непрерывный локальный мартингал Y = (У, U). Поскольку
утверждение леммы не зависит от выбора пары (Л, с), удовлетворяющей
3.30, то можно выбрать А таким образом, чтобы (Y\Yj) = clj • А
для всех iyj < d + 1 с предсказуемым процессом с = (c'J)»,j<<*+i
со значениями в множестве неотрицательно опредленных
симметричных матриц размера (d+ 1) х (d+ 1). Кроме того, матрица
с представима в виде
"(«Т т)'
где 7 — предсказуемый процесс со значениями в R, а —
предсказуемый процесс со значениями в Rd, aT обозначает
транспонирование а. С учетом сказанного достаточно показать, что а = сН
для некоторого предсказуемого процесса Н со значениями в Rd
(это доказывает 3.22), и, что НтсН < 7 (это доказывает
последнее утверждение леммы, поскольку 7 • А = ({/, {/)).
Эти факты, вытекающие из элементарных свойств
симметрических матриц, могут быть установлены следующим образом.
Существуют два предсказуемых процесса П и Л, принимающие
значения соответственно в множествах ортогональных и
диагональных матриц размера d x d такие, что с = П^ЛП. Если
Л является диагональной матрицей с элементами равными или
А" = (Л")"1, если Л" > 0, или Л" = 0, если Л" = 0, то
положим Н = 11~1АТ[а. Ясно, что Н -предсказуемый процесс. Кроме
того, пусть П = ( ) — матрица размера (d + 1) х (d + 1).
Тогда ПсЙ""1 = ( т 1 является симметрической
неотрицательно определенной матрицей и значит (Па)* = 0, если Л" = 0.
Поскольку сН = сП^ЛПа = Л"1ЛАПа, то отсюда вытекает, что
сН = П^ЛПа = П-1ЛЛПа и, значит, первое утверждение имеет
место.
Наконец, пусть процесс Н такой, что сН = а. Тогда с =
с а\
т ^ 1 является симметрической и неотрицательно определен-

3. Абсолютно непрерывная замена, мер
263
йой матрицей,, и для всех wER
ПтсН + 2иНтсН + «27 = (Ят,^)сР) > 0.
Тем самым Н7сН ч 7, т.е. имеет место второе утверждение. П
Доказательство теоремы 3.24. На
протяжении доказательства все стохастические интегралы, скобки и т.д.
определены относительно меры Р.
a) В силу 3.13 А' является Р'-семимартянгалом и процесс ква-
дратической ковариации [Х\Х"] является одним и тем же
относительно Р и Р'. Поскольку С%3 является '"непрерывной
компонентой" [Х\Х*\, то С — С также нвляегся версией второй
характеристики X относительно Р'.
b) Положим Y = M*(j-l{z->o}\'P), где \i = рх — мера скачков
X (см. II.1.16). Тогда в силу 3.17 и' =■ Y • v является версией
третьей характеристики X относительно Р'иУ удовлетворяет
первому равенству в 3.28.
c) Определим чисто разрывный локальный мартингал М = h*
(ц — v). Тогда процесс [М, Z], принимающий значения в Rd,
определяется формулой [М, Z] = J2s<- AMSAZS. Пусть Тп —
последовательность предсказуемых моментов, исчерпывающая
предсказуемое тонкое множество J = {(u;,/): v(u>;{t} х Rd) > 0}. В силу
П.2.14 процесс АВ является Р-неотличимым от v{{i) X h).
Поэтому в соответствии с определнием П. 1.27 стохастического
интеграла h * (fi — v) имеем
3.33. [М, Z] = (h(x)AZljc) * fi+
+ £ AZru(h(bXTu) - АЯТп)11Тя(001 =
n
= (h(x)&Z)*ii-[Z9B].
Процесс [Z, В] является локальным мартингалом конечной
вариации (см. 1.4.49) и, следовательно, — локально интегрируемой
вариацией (по мере Р). Поскольку М имеет скачки ограниченного
размера, процесс [М, Z] в силу 3.14 является процессом локально

264 Гл. III. Мартяягальяые проблемы и замены мер
интегрируемой вариации. Следовательно, из 3.33 вытекает
существование локализующей последовательности (Sn) такой, что
3.34. E(\h(x)AZ\ *ftSn)< oo.
В силу определения Y имеем 2L(Y — 1) = M*(AZ\fi) (напомним,
что согласно 3.6 AZ = О, если Z_ = 0). Тогда Z-\Y - 1| <
M£(|AZ||:P) и величина
E(\h(z)Z-(Y - 1)| * 1/5. = E(\h(x)Z.(Y - 1)| * ,15.) =
= Ml(\h(z)Z-(Y - l)l|df5j|) < Mj(|fc(*)AZV5j|) =
= E(|fc(*)AZ|*J*5.)
является конечной в соответствии с 3.34. Тем самым Z„\h(x)(Y-
1)| * v принадлежит -4ioc(P)- Поскольку в силу 3.5 1/Z_ является
Р'-локально ограниченным процессом, то имеет место свойство
3.25.
Пусть 5 — момент остановки, S < Sn для некоторого n E N.
Те же самые аргументы позволяют установить равенства
E[(h(x)Z.(Y - 1)) * us) = E((h(x)Z-(Y - 1) * Ы =
= Mj(|fc(x)Z-(lr-l)llolsil) =
= Ul(h(x)AZll0tsi) = E((h(x)AZ)*tiS).
Тем самым h(x)Z-(Y - 1) * v является Р-компенсатором
процесса h(x)AZ * fi. Используя снова тот факт, что [Z,B] является
Р-локальным мартингалом, получаем из 3.33, что компенсатор
[М, Z] задается формулой (Af, Z) = 2L • (Л(х)(У - 1) * i/).
Следовательно, в соответствии с 3.11
3.35. М - h{x)(Y — 1) * v — Р'-локальный мартингал.
d) Лемма 3.31 позволяет указать предсказуемый процесс Я =
(#<)><<* такой, что (ZC,X''C) = (£,<,<*#')■ А и (£ifi<d#'c*'#'>
A Е -4ioc(P)- Тогда, если
Р - ^~l{z_>o},
то процесс /3 = (fll)i<d удовлетворяет 3.26, поскольку 1/£_ —
Р'-локально ограниченный процесс. Кроме того, по построению
(Hj<dcijPj)' А = (1/2L) • (ZC,X'>C). Следовательно, в силу 3.11

3. Абсолютно непрерывная замена, мер 265
3.36. Х*>е - (52j<dcijfij)' А — Р'-локальный мартингал.
Процесс Х(Л), определенный в 11.24, равен Х0 + Xе + М +
#. Из 3.25 и 3.26 немедленно следует, что если В1 — процесс,
определенный в 3.27, то X(h) — Х0 — В является Р'-локальным
мартингалом, т.е. В' является версией первой характеристики X
относительно Р'.
е) По определению У и /3 удовлетворяют 3.28. Пусть У и /?'
удовлетворяют 3.25, 3.26 и 3.27. В силу 3.17 l{y^y,z_>o} * «'ею = О
Р-п.н. и, значит, l{y?£y>z_>o}*Aioo = 0 Р-п.н. Далее, Y2L = Y'Z-
М^-п.н. Следовательно, У удовлетворяет 3.27.
Поскольку первая характеристика является единственной Р'-
п.н. и У . v = У • v Р'-п.н., то (£,<*с''/?') • А = (£,<„<*/?") ■ Л
Р'-п.н. и в силу 3.7 (Ej<dCijVZ-)' ^ = (£,<^7?'2_). л Р-п.н.,
т.е. /?' удовлетворяет 3.27.
Наконец, последнее утверждение следует из 3.17с. □
2. Предположим теперь, что Р является выпуклой
комбинацией двух вероятностных мер Р' и Р" на (fi,^7), а именно
3.37. Р = а'Р' + а"Р", а', а" > 0 и а' + а" = 1.
3.38. Лемма. Меры Р' и Р" абсолютно непрерывны
относительно Р(Р' < Р,Р" < Р). Существует версия Z'
(соответственно Z") процесса плотности меры Р' (соответственно Р")
относительно Р такая, что тождественно
3.39. a'Z' + a"Z" = 1, 0 < Z' < 1/a', 0 < Z" < 1/a".
Доказательство. Меры Р' и Р", очевидно,
абсолютно непрерывны относительно Р. Пусть Z1 и Z" — процессы
плотностей мер Р' и Р" относительно Р. Если A Е Т%, то
Р(Л) = а'Р'(А) + а"Р"(А) = Е[1А(а%' + а'%")].
Поэтому a!Z[ + a"Z" = 1 Р-п.н. Отсюда следует, что можно
выбрать версии Z' и Z" такие, что соотношения a'Z' + a"Z" = 1
и ^' > 0> £" > 0 выполнены тождественно (по и) и, значит, 3.39
имеет место. □

266 Гл. ill. М&ртингальные проблемы и замены мер
3.40. Теорема. Пусть выполнено 3.37 u Z', Z"
определены в 3.38. Пусть X — d-мерный семимартингал на (И^^¥,РГ)
и на (ft,.F,F,P") с характеристиками (B',C',v') и (B",C'\v")
соответственно относительно одной и той же функции ycev(
ния h.
Тогда X является семимартингалом на (fi,^, F,P) со
следующими характеристиками относительно h:
<B = <x'Z'_B, + a"Z4_B",
3.41. \ С = a'Z'__ • С + ol"Z'L • С",
В частности, этот результат указывает на тот факт, что если
X — согласованный процесс с непрерывными справа и
имеющими пределы слева траекториями, то множество всех
вероятностных мер, относительно которых X является семимартингалом,
выпукло.
3.42. Замечание. В определении характеристик II.2.6
(скажем, относительно Р') процесс В' имеет конечную вариацию
на конечных интервалах. Однако, любой процесс В',
являющийся Р'-неразличимым с В', можно использовать в качестве первой
характеристики, хотя он может иметь бесконечную вариацию на
конечном интервале (очевидно, на множестве Р'-меры нуль, не
обязательно являющимся множеством Р-меры нуль). Тем не ме
нее, в силу 3.7 процесс В' является Р-неразличимым с В' на
случайном множестве {Z'_ > 0} и, следовательно, процесс Z_ • В'
Р-п,н. корректно определен и Р-неразличим с Z_ • В'. То же
самое замечание, очевидно, относится и к процессу С".
Отсюда следует, что представления 3.41 имеют смысл Р-пл;.
для любой, даже "неудачной", версии характеристик ( В\ С", */') и
(В", С",*/"). 3
Доказательство, В соответствии с приведенными
выше аргументами выберем "хорошие" версии характеристик
(B',C',i<') и (В",С",и") такие, как в И.2.9.
Докажем прежде всего, что X является Р-семимартингалом.
В соответствии с обозначением И.2.4 процесс X(h) имеет конеч-

3. Абсолютно непрерывная замена мер 267
ную вариацию и, естественно, является Р-семимартингалом.
Далее, имеем X(h) - Х(0) = М' + В' = М" + В". Процессы М'
и М" имеют ограниченные скачки, непрерывны справа и имеют
пределы слева, и являются Р' и Р"-локальными мартингалами
соответственно с одной и той же локализующейся
последовательностью Sn = mf(t: \M[\ > п или \М"\ > п), удовлетворяющей
условию limn Sn(u>) = 00 для всех и. Имеем
X(h) -XQ = a'Z'(X(h) - Х0) + a"Z"{X{h) - Х0) =
= olZ'B1 + a"Z"B" + at ЯМ1 + a"Z"M".
Из 3.8с вытекает, что N = a'Z'M' + a"Z"M" является Р-локаль-
ным мартингалом. По формуле Ито ol'Z'B' + a!'Z"B" — В + JV,
где В определяется в 3.41, а N = a'jB' • Z' + a"i?" * Zf является Р-
локальным мартингалом. Таким образом, X(h) — X0 = B + N + N,
т.е. X(/i) — Р-семимартингал и, значит, X — Р-семимартингал
к В — его первая характеристика относительно Р,
Обозначим С вторую характеристику X относительно Р. В
силу 3.24 С = С Р-п.н. и, в соответствии с 3.7 a'Zl -С = a'Z'_ -С
Р-п.н. Аналогично a"Z" • С = a"Z" • С" Р-п.н. Суммирование
этих соотношений с учетом 3.39 приводит к равенству С = С
Р-п.н., где процесс С определен в 3.41.
Обозначим v третью характеристику X относительно Р. По
лежим также У = M^Jfl{zi>o>|£), У" = M*x(^l{z>1>0}\V.
Поскольку M%X(Z'\P) = Z'JY' и Mjx(Z"|P) = £'^У", то a'Z'_Y' +
a"Z"Y" = 1 М^х-п.н. и, значит, с точностью до значений
У и У" на множествах Mjx-нулевой меры можно считать, что
a'Z^y + a"Z'lY" = 1 тождественно.
В силу 3.17Ь (и) Z1 • и* = Я^У • i/ Р-п.н. и Z^ -i/" = Z'lY" • i>
Р-п.н.. Следовательно, ^ := a'Zl. • v' + a'Z^ i/' = v Р-п.н.
Доказательство закончено. D
§3е. Случай дискретного времени
Рассмотрим, как теорема Гирсанова выхляцит в том случае,
когда фильтрация с непрерывным временем заменяется на
фильтрацию с дискретным временем. Это тем более интересяо, что

268 Гл. III. Мартяягальяые проблемы и замены мер
несмотря на то, что дискретный случай сводится к
непрерывному (см. 1.1.55), доказательства в дискретном случае являются
намного более элементарными!
Пусть (fl,.F,F = (^п)п6ц) — измеримое пространство с
дискретной фильтрацией, на котором заданы две вероятностные ме-
1ос
ры Р и Р'. Предположим, что Р' < Р (Р^ < Рп для всех n e N,
ср. с 3.2). Точно так же, как в 3.4, определяется процесс
плотности Z = (Zn)n€fl, являющийся Р-мартингалом и имеют место
соотношения 3.4 i, ii, Ш. В частности,
dP'
Z. - £.
Проверка того факта, что процесс, определенный в 3.43,
является Р-мартингалом, в данном случае элементарна (много прОще,
чем в 3.4), а аналог З.б выглядит следующим образом:
3.44. Zn+i = 0 Р-п.н. на множестве {Zn = 0}, поскольку
Zn = E(Zn+1\Fn)*Z>Q.
В 3.12 или 3.15 центральную роль играет процесс Z|Z_. В
данной постановке этот процесс заменяется на
3.45. an = ^JL-l{zn_1>o}.
3.46. Теорема. В дополнение к вышесказанному пусть
М — локальный мартингал на (fi,^",F, P) такой, что М0 = 0 и
3.47. Е(|Мр - Mp-ilapl^O < oo Vp e N*.
Тогда процесс
3.48. М'п = Мп- J2 Е(аР(Мр - МР_,)\ТР.Х)
\<р<п
является F'-локальным мартингалом.
Читатель должен распознать в этом утверждении теорему 3.11:
процесс [MrZ] определяется следующим образом
[M,z\n = £ (mp - mp-i)ViK -1)
1<р<п

4. Теорема, о представлении для мартингалов 269
й) следовательно, его Р-компенсатор задается формулой
(M,Z)n= £ ViE((^-<Mp-iHI*>-i)
1<р<п
(заметим, что в силу 1.1.64 E(|Afp-Afp_i||/"p_1) < oo). Тем самым
3.48 и есть в точности 3.12.
Доказательство. По определению М0 = 0. Кроме
того, для любой ^„-измеримой случайной величины Y с учетом
определения Z и а имеем
Е'(У|Л-х) = ^-E(yZn|^„-i) = ЩУопрп-г)
(см. 3.44). Отсюда с использованием 3.47 получаем, что
E'(Mn\Tn-X) = E(Mnan|^-i) = Е(ап(Мп - Mn^)l^n-i)+
+Е(Мп_1ап|^п_1) = Е(ап(Мп - МП^)\ТП^) + МЛ_Ь
(E(an|J"n_i) = 1 поскольку Z — Р-мартингал). В частности, это
влечет за собой неравенство Е^-МпЦ^-х) < оо. Если теперь
обратиться к 3.48, то нетрудно видеть, что E'dM^H^n-i) < оо и
№(М'п\Тп-1) — ^n-i и требуемый результат следует теперь из
1.1.64. □
Имеется также версия теоремы 3.24 о характеристиках семи-
мартингала X на (ft, J",F,P) (см. И.3.11), которая не очень
часто используется. Ее формулировка и доказательство
оставляется читателю в виде (легкого) упражнения.
4. Теорема о представлении для мартингалов
В этом разделе рассматривается следующая задача. Пусть X
— d-мерный семимартингал, заданный на стохастическом базисе
(ft,.F,F, P) с характеристиками (В, (7,1/), непрерывной
мартингал ьной составляющей Xе и \i = \ix — мерой скачков X,
определенной в П.1.16. Представим ли каждый локальный мартингал
в виде суммы стохастических интегралов по локальному
мартингалу Xе и мартингальной мере \i — vl Интересное само по себе,
это свойство (если оно имеет место) позволяет явно вычислить

270 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
процесс плотности любой другой меры Р' локально абсолютно
1ос
непрерывной относительно Р' такой, что Р' < Р.
Мы начнем с изложения некоторого материала, который
можно рассматривать как дополнение к главе I (§4а) и к главе Ц
(§4Ь). Например будет выяснено, как понимать стохастический
интеграл по векторному локальному мартингалу Xе.
§4а. Стохастические интегралы по векторному
непрерывному локальному мартингалу
Этот параграф дополняет §I.4d, из которого заимствованы все
обозначения. Стохастический базис (ft, T, F, Р) и непрерывный d-
мерный локальный мартингал X = (-Х"1')»'<<* считаются
фиксированными.
В теореме 1.4.40 введены наиболее общие стохастические
интегралы по каждой компоненте Х{ отдельно, а именно, интегралы
от процессов из Цос(Х*). Следовательно, если требуется
интегрировать по X, то на первый взгляд представляется естественным
поступить следующим образом. Пусть Н = (#')»<<* ~~
предсказуемый процесс с #' € Цос(Х{) для всех i < d. Тогда естественно
было бы положить по определению
4.1. НХ = Т^Н{Х\
i<d
Однако, как будет видно в дальнейшем, такое определение не
задает наиболее общего стохастического интеграла от d-мерного
процесса по X.
Чтобы дать обобщение "определения" 4.1, рассмотрим
факторизацию вида
4.2. (Х*,Х*) = c'J • А, где (cij)itj<d — предсказуемый процесс,
принимающий значения в множестве всех неотрицательно
определенных симметрических матриц размера d x d, A —
предсказуемый возрастающий процесс. (Имеется много таких
факторизации: см. доказательство И.2.9). Для каждого предсказуемого
процесса Н обозначим:
Н-С-Н= £ H{cijHj

4. Теорема, о представлении для мартингалов 271
И
4.3. ^2(Х) (соответственно L2oc(X)) — множество всех
предсказуемых процессов Н таких, что возрастающий процесс (Н с-
Н) • А является интегрируемым (соответственно локально
интегрируемым); сравни с 1.4.39.
Для формулировки следующей теоремы нам потребуются
дополнительные факты. Пусть У Е Wfoc. Тогда d(Y,X*)t <
< d(XiJXi)t. Действительно, если Z1 = Х\ Z2 = У, то
существует факторизация (Z*,ZJ) = с*М, аналогичная 4.2, с с12 = О
при с11 =0, что является следствием неотрицательной
определенности матрицы с. Таким образом, d(Zl,Z2)t < d(Z1yZl)t или,
эквивалентно, d(YyXl)t < c\3dAt < dAt. Поэтому существует
предсказуемый процесс cYi такой, что
4.4. (У, X') = cYi • A, cYi = 0, если с" = 0.
4.5. Теорема. Пусть X = (Х*)^<^ — непрерывный
локальный мартингал и Н 6 £?ос(Х).
a) Если Н(п) = Н1{\щ<п}, то стохастические интегралы
Н(п) • X, определенные по правилу 4-U сходятся при п -4 оо
равномерно по вероятности на каждом компактном интервале
к пределу, обозначаемому Н • X.
b) Предельный процесс Н • X характеризуется следующим
образом: Н -X является (с точностью до пренебрежимого
множества) непрерывным локальным мартингалом равным нулю при
t = 0 и таким, что
4.6. (#.Х,У)= (^Н{с¥>)-А
для ecexY e Н2Хос.
c) ЕслиН,КеЦос(Х), то
4.7. (Н-Х,К-Х) = (Н-с- К) • Л.
d) Процесс Н • X принадлежит Н2, если и только если
н е L2(X).
e) Отображение Н -w H • X является линейным (с
точностью до пренебрежимых множеств) на L2oc(X) и

272 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
4.8. для всех моментов остановки Т
#1[о,т] е Цос(Х), (Я110,Т1) • х = (я • xf.
4.9. Если К — предсказуемый локально ограниченный
процесс со значениями в R, mo KH G Ц^Х) и (КН)-Х = К-(НХ).
Доказательство, а) Предположим сначала, что Я g
12(Х). Положим Мп := Я(п) • X, понимая стохастический
интеграл в смысле 4.1. Тогда в силу 4.2 и 1.4.41 для га < n имеем:
(МП - М"\ МП - М"% = (Н-С- Я)1{ГО<|Я|<„} • Л».
Правая часть этого равенства стремится к нулю в L1 при
п, га ] оо. В то же время в силу 1.4.6 математическое ожидание от
левой части этого равенства совпадает с \\Мп - Мт||#2, т.е. Мп
принадлежит W2, и последовательность Мп, п > 1 сходится к
некоторому предельному процессу М (который также обозначается
Я • X) в гильбертовом пространстве И2. Более того, предельный
процесс Я • X является непрерывным в силу 1.4.8. Поскольку в
силу 1.4.37 Я(п)1[0|тг-^ = {Н{п)-Х)Т для всех п и всех моментов
остановки Т, то при предельном переходе при п ] оо получаем 4.8.
Теперь предположим, что Я Е ifoc(X), и пусть (Гп) —
локализуемая последовательность такая, что Я1[0,тл1 £ ^2(-^0- Тогда
в соответствии с предшествующим результатом Я1|0)тЛ1 ' ^ =
(Я1[0|тл+11 • Х)Тп и, склеивая процессы Я1[0)тЛ| " ^> п > 1 по-1
лучаем непрерывный процесс Н - X £ Wfoc, который обладает
требуемыми свойствами и удовлетворяет 4.8.
Ь) Сначала покажем, что Я • X удовлетворяет 4.6. Для этого,
применяя локализацию и используя 4.8, достаточно рассмотреть
случай, когда Я £ L2(X) и Y Е W2. Тогда согласно 1.4.41 процесс
Мп = Н(п) - X обладает следующим свойством
(см. 4.4). Последнее выражение сходится bIiK C<<^'cVi) • At
для каждого t > О при п ~+ оо. С другой стороны, MtnYi -*
(Я • Xt)Yt в Z1 при п -» оо, поскольку Мп^Мв ft2. В тоже

4. Теорема, о представлении для мартингалов 273
время процесс MnY — (Mn,Y) является мартингалом при каждом
п. Поэтому процесс (Я • X)Y — (Yli<d H{cYi) • А является
мартингалом. Требуемое утверждение 4.6 следует из того факта, что
(Х*<<* H{cYi)- A — непрерывный процесс и из определения
процесса (Я - X, У) (см. 1.4.2).
Пусть теперь М* е Н2Хос с JI/J = 0 и (M\Y) = (£,<,#'сУ0 • Л
для любого процесса У Е Н2ос. В соответствии с 4.4 имеем сх',к =
с>*. Следовательно, см»' = X^^'V* и> значит, (AT, Af') = (Н -с-
Н)-А. В частности, М = Н -X имеет квадратическую вариацию
(М.М) = (Н - с • Н) - А. То же самое доказательство приводит к
равенству (М,АГ) = (НсН)-А. Поэтому (М- М', М- М') = О,
т.е. процесс М — М1 ортогонален самому себе (см. 1.4.15). Отсюда
в соответствии с 1.4.13 М = М'.
c) При К — Я утверждение 4.7 уже доказано. Общий случай
сводится к этому с помощью соотношений 1.4.46.
d) Это утверждение вытекает из с) по той же схеме
доказательства, как в I.4.40b.
e) Первое утверждение очевидно, 4.8 уже доказано. Первое
утверждение в 4.9 также очевидно. Наконец, если У 6 W2oc, то из
4.6 и 1.4.41 получаем, что
(K-(H.X),Y) = K-(H-X,Y) = (kY^H'cA-A = (^ГКН{су\а
и равенство (KH) • X = К • (Я • X) вытекает тогда из b). D
4.10. Пример. Покажем, что конструкция интеграла в 4.5
является более общей, чем в 4.1.
Пусть У и Z — два независимых стандартных винеровских
процесса на (ft,/",F,Р). Следовательно, {Y,Y)t = {Z,Z)t = t и
(У, Z) = 0. Пусть А' — предсказуемый процесс, принимающий
значения в интервале (0,1). Положим Х' = УиХ2 = Я-У + (1 —
К) • Z. Легко проверить, что 4.2 имеет место с с11 = 1, с12 = if,
At = <ис22 = К2 + (1-К)2.
Теперь возьмем двумерный процесс Я = (Я*,Я2)с
компонентами Я1 = -А7(1 - К) и Я2 = 1/(1 - AT). Тогда Я • с ■ Я = 1 и,
значит, Я G £2ос(Х). Однако, Я1 Е £2ос(Х) тогда и только тогда,

274 Гл. III. Мартиягальные проблемы и замены мер
когда
\2
Л ds < ос п.н. V* G R+.
о
Это свойство очевидно нарушается для К8 = 1 — s при s E (0? j).
В соответствии с понятием ортогональности, определенном
в 1.4.11, "спроецируем" произвольный локальный мартингал на
X.
4.11. Теорема. Пусть X = (^')*<^ — непрерывный
локальный мартингал и Z — произвольный локальный мартингал.
Имеют место следующие утверждения, использующие
обозначения 4.2.
a) Существует предсказуемый процесс Я = (Я*).<^ такой,
что
4.12. [Z9X{] = {Z\XX) = (ХУ'Я0 "Л-
b) Любой предсказуемый процесс, удовлетворяющий 4.12,
принадлежит Цос{Х); стохастический интеграл Н X не
зависит от выбранной версии Н, процесс Y = Z — H-X ортогонален
всем компонентам X и
4.13. [У,Х']==(УС,Х') = 0.
Доказательство. Утверждение а) и первое
утверждение Ь) являются не более чем утверждениями леммы 3.31, если
заметить, что в силу непрерывности Xх [Z,XX] = (ZC,X*) (так
же как [У,Х«'] = (УС,Х*) в 4.13) (см. 1.4.53).
Справедливость равенства 4.13 для У = Z — Я • X вытекает
из 4.6 и 4.12, а ортогональность процессов Y к Xх тогда имеет
место в силу 1.4.15.
Наконец, пусть Я' — другой процесс, удовлетворяющий 4.12
и У = Z - Я' • Z. Тогда процесс У - У = (Я' - Я) • X
ортогонален всем Х\ и, используя обозначения 4.4, получаем отсюда, что
cY-Y!*-A = О для всех г. Поэтому ввиду 2.6 (У-У, (Я'-Я)-Х) = О
и, следовательно, процесс Y — Y1 сам себе ортогонален и У0 = У0' =
0. Поэтому У = У' и стохастический интеграл Я • X не зависит
от выбранной версии Я.
/(

4. Теорема, о представлении для мартингалов 275
4.14. Замечание. Эта теорема частично объясняет,
почему £?ос(^0 является наибольшим множеством предсказуемых
процессов, интегрируемых по X. А именно, потому, что
локальный мартингал, ортогональный к X, естественно не должен быть
стохастическим интегралом по X! На самом деле, точно такую
же процедуру можно применить, если мартингал X не
является непрерывным, но X* € Wj*oc для всех •". Но тогда не удается
получить наиболее общие стохастические интегралы, поскольку
интеграл Н • X может быть разрывным, если X разрывен, т.е.
процесс Н • X не обязан принадлежать *Щос. D
§4b. Проекция локального мартингала на случайную
меру
В этом разделе рассматриваются объекты и используются
обозначения из раздела II. 1. Мы считаем заданной целочисленную
случайную меру \i на R+ X Е, определенную на стохастическом
базисе (f),^", F,P), где (Е,£) — некоторое вспомогательное
пространство Блэкуэлла. Напомним, что U = QxR+xl? жТ = V®£.
Напомним также некоторые факты. Во-первых, //
определяется формулой
4.15. fi(u; dt, dx) = ^ lD{u\ s)s{8ip,(w))(dt, dx),
где D — опциональное тонкое множество и /3 является
опциональным процессом со значениями в Е. Обозначим v "хорошую""
версию компенсатора /i, так что, если
4.16. at(u) = i/(o/; {t} X Е),
то a < 1 тождественно. Кроме того, в соответствии с П. 1.24 для
каждой измеримой функции W на О положим
4.17.
{fE W(u, t,x)v{<jj', {t} x dx), если этот интеграл
сходится,
+оо, в остальных случаях.
В силу И.1.25 имеют место следующие утверждения.

276 Гл, III, Мартингальные проблемы и замены мер
4.18. (i) Если W является ^-измеримой и неотрицательной
функцией, то W является версией предсказуемой проекции
процесса lD(t)W(t,(3t) или, эквивалентно, Wt = E(W(T,/3T) X
х1х)(Г)|Яг-) на множестве {Т < оо}, где Т — предсказуемый
момент остановки.
(и) Процесс а является предсказуемой проекцией 1^. D
Наконец, напомним, что в 3.15 была определена мера MJ и
введено понятие МJ -условного математического ожидания
относительно V. Имеет место следующее обобщение 4.18.
4.19. Лемм а. Пусть W является Т ® V+ ® £-измеримой
функцией на Cl и пусть W1 = M*(W\V). Тогда для любого
предсказуемого момента Т
Щ = Е[ЧГ(Т,Рт)1,>(Т)\Гт-) на {Т < оо}.
Доказательство. В соответствии с определением
обобщенного условного математического ожидания достаточно
рассмотреть случай W > 0. Пусть А е ^т-« Тогда
E(WjUn{T<eo}) = Е(и^'(Г,/?т)Ь(Г)) (в силу 4.18)
= M*{W' 1ita}xe) (по определению Mj)
= M*(W1ITa1xE) (поскольку 1Тл1хЕ 6 V)
= E(lAW(T,Pr)lD(T)) (по определению AfJ)
Требуемый результат получается отсюда очевидным образом.
4.20. Теорема. Пусть X — локальный мартингал uU =
M*(AX\V) (здесь АХ рассматривается как функция на U:
ДХ(о;,*,х) = AXt(u>)).
a) Существует версия U такая, что {а = 1} С {U = 0}.
b) Пусть W = U + i^l{a<i}. Тогда W е Gloc(fi). Если Y =
W*(n-v) и Z = X-Y,mo M*(AZ\V) = 0.
Равенство М*(AZ\V) = 0 может интерпретироваться как
"ортогональность" Z по отношению к //. Следовательно, Y является
как бы вариантом проекции Хна/i (или, точнее, на пространство
всех интегралов вида V * (р, — и)).

4. Теорема о представлении для мартингалов 277
Доказательство, а) Применим теорему о
предсказуемом сечении в варианте 1.2.18 к предсказуемому случайному
множеству А = {а = 1} П {U ф 0}. Пусть Г — предсказуемый
момент такой, что |Т] С А. Из 4.18 вытекает, что
1 = ат = E(1D(T)\TT„) на {Т < оо}
и, следовательно, 1я(Т) = 1 Р-п.н. на {Г < оо}. Тогда,
используя 1.2.27 и 4.19 получаем, что на множестве {Т < оо}
UT = E(AXT1D(T)\FT-) = Е(АХТ\ТТ-) = 0.
Поскольку |Г]| С {U Ф 0}, то Т = оо Р-п.н. и, значит, А является
пренебрежимым множеством. Следовательно, если заменить U на
UIaxe, соотношение U = M*(AX\V) сохранится, в то же время
U = 0 тождественно на множестве {а = 1}.
Ь) Предположим сначала, что требуемое утверждение верно
для некоторой версии U. Пусть U* — другая версия условного
математического ожидания М*(АХ\Р) и W - U'+[U' /(l—a)]l{a<iy.
Тогда U = U' Mj-п.н. и, следовательно, l{u*w} * Moo = 0 Р-п.н.
Отсюда вытекает, что 1{и*и'} * ^оо = 0 Р-п.н. и, значит,
функции W и W', определенные в П. 1.27, являются неразличимыми.
Тогда W Е G\oc(fi) и процесс Z1 — X — W * (// — и) неразличим
с процессом Z. Тем самым M*{AZ'\P) - 0 и функция U'
также удовлетворяет требуемым свойствам. Таким образом, чтобы
доказать утверждение Ь), можно использовать версию U,
удовлетворяющую утверждению а) теоремы. В этом случае, полагая
0/0 = 0, имеем
W = U + -?-, W = j^—y Wi = U(tJfii)lD(t)^T^-lD.(t).
1 — а 1 — а 1 — at
Далее, требуемые свойства являются "линейными" по X. А
именно, принимая во внимание 1.4.17 с точностью до локализации,
достаточно установить требуемый результат отдельно для двух
случаев: Х££пАи.ХйН2. Пусть (Г„) — последовательность
предсказуемых моментов, исчерпывающая предсказуемое тонкое
множество {а < 0}.

278 Гл. III. Мартиягальяые проблемы и замены мер
Предположим сначала, что X € СП Л. Тогда в силу 4.19, 4.21
и II. 1.32
Е(С(ИОоо) = Е(\Щ * М + £ E(|*7TJ1{T„<TO}) = М?(\и\)+
П
+ £E(|t/TJl{T„<TO}) < <(|Д*|) + Mj(|AXTJl{T.<co}) <
i(£|ax|)
<2Е( 2JIAJT.I1 <оо.
Тем самым ИЛ.ЗЗЬ приводит к соотношению W £ Gfioc(/i).
Предположим теперь, что X G Ч7. Принимая во внимание
4.21 и И. 1.31, имеем (с учетом 4.19)
Е[С(И%] = Е(Г/2 * Voo) + £ E(r^-(f/rJ2l{r„<co}) =
= Е(«2 * /!„) + £е[—i— 1{Тп<00}Е(ДХТп10(Г„)|/-Тп_)2] =
„ L1 - «т. J
= Mj(t/2) + ^Е(1-~-1{Тп<оо}Е(ДХТпЬс(Г„)|^Тп_)2),
П J n
(поскольку Е(ДХтп|^гтп-) = 0 на множестве {Гп < оо}). Поэтому
E(C(W%] < Mj((AX)2)+
+ 2IE(l-^r-1m<oo}E((AA-Ti.)2|^T._)E(li,c(Tn)l^r._)) =
= М?((АХ?) + Х:Е(1{т„<со}Е((ДХт,Л2|^_)) =
= Е
<2Щ[Х,Х]ои)<оо.
-£(AX,flD(s) + £ 1{Гп<со}(ДХТп)2
•5>0 П
Таким образом, C(W) Е .4+ и в соответствии с ПЛ.ЗЗа W €
Объединяя эти два результата, получаем, что W £ G[oc{fi)
для любого локального мартингала X. Наконец, если Z — X -
W * (ц - И, то AZ = АХ - W vlW = U Mj-п.н. (поскольку
по определению M*(DC х Е) = 0). Таким образом M*(AZ\V) =
М*(Д-У|Р) - [/ = 0. О

4. Теорема о представлении для мартингалов 279
54с. Свойство представления
На протяжении этого раздела фиксируется стохастический
базис (ft, T, F, Р), на котором определен семимартингал X = (^*)*<<*
с характеристиками {B,C,v) относительно некоторой функции
усечения Л, с непрерывной мартингальной составляющей Xе и с
мерой /i = iix, где /лх определяется в П. 1.16.
4.22. Определение. Говорят, что локальный
мартингал М обладает свойством представления относительно X,
если он имеет вид:
4.23. М = М0 + Н • Xе + W * (/а - и),
где Я = (#*)*<<* принадлежит Цос(Х) (см. 4.3) и W G Gioc(/i) (см.
И.1.27). D
Со многих точек зрения было бы более естественно
отказаться от семимартингала, заданного каноническим представлением.
В этом случае Xе заменяется на произвольный непрерывный
локальный мартингал и /i = /лх — на произвольную целочисленную
случайную меру /х с компенсатором и. При этом приводимые
ниже результаты останутся в силе.
4.24. Лемма. Каждый локальный мартингал М
допускает разложение.
4.25. М = Я • Xе + W * (/i - и) + N,
где Н е ЦЛХ% W е GU») «
4.26. (Nc, (XJ) = О Vi < d, . M*(&N\V) = 0.
Более того, это разложение единственно с точностью до
неразличимости {хотя Н uW не обязательно единственные
функции!).
Доказательство, а) Существование разложения
4.25 вытекает непосредственно из теорем 4.11 и 4.20. В
частности, Мг = Н • Xе + № и единственность этого разложения для
Ме также следует из 4.11.

280 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Чтобы установить единственность разложения 4.25, осталось
показать, что любой чисто разрывный локальный мартингал М
вида М = W * (/х — и) с МJ(AM\Р) = 0, неотличим от нуля.
Воспользуемся обозначением at = t/({t} x Rd) (см. 4.16) и напомним,
что а является предсказуемой проекцией р(1{дх?о}) случайного
процесса 1{дх#о}- В то же самое время, как можно увидеть из
доказательства 4.20, {а = 1} С {АХ ф 0} с точностью до пренебре-
жимого множества. По определению стохастического интеграла
W*(fi—и) имеем AMt = W(t, AXt)l{^xt^o} — Wt и, следовательно,
AM = W - W Mj-п.н., т.е. W - W = Mj(AM|P) = 0 Mj-п.н.,
где последнее равенство имеет место по предположению. Таким
образом, имеет место равенство AM = И^1{дх=о} (с точностью
до пренебрежимого множества), или, с учетом включения {а =
1} С {АХ ф 0}, более точное равенство AM = -И^1{дх=о}1{а<1}.
Поэтому *(ДМ) = -Wl{a<l}(l - а). В силу 1.2.31 Р(АМ) = 0
и, значит, W = 0 на множестве {а < 1}, что влечет равенство
ДМ = 0 и, в силу 1.4.19, М = 0.
4.27. Следствие. Следующие утверждения
эквивалентны:
(i) все локальные мартингалы обладают свойством
представления;
(ii) все локальные мартингалы, удовлетворяющие условиям
4.26, являются тривиальными (локальный мартингал N
называется тривиальным, если Nt = N0 F-п.н. для всех t G R+);
(iii) все ограниченные мартингалы, удовлетворяющие
условиям 4.28, являются тривиальными.
Доказательство. Эквивалентность (i) о (и)
вытекает непосредственно из предшествующей леммы, а импликация
(ii) & (iii) очевидна. Остается доказать, что если не выполнено
(И), то не выполнено и (iii).
Поэтому предположим, что (ii) не выполняется, т.е.
существует нетривиальный локальный мартингал У,
удовлетворяющий условиям 4.26. Мы предъявим нетривиальный локальный
мартингал М с М0 = 0 и ограниченными скачками,
удовлетворяющий условиям 4.26. Тогда, если Тп = mf(t: \Mt\ > п), то МТп

4. Теорема, о представлении для мартингалов 281
является ограниченным мартингалом, удовлетворяющим
условиям 4.26, и нетривиальным при достаточно больших значениях п.
Это докажет требуемое утверждение.
Если Ус — нетривиальный локальный мартингал, то М = Ус
очевидно обладает указанными свойствами. Поэтому
предположим далее, что У — чисто разрывный локальный мартингал.
Выделим два случая.
a) Пусть М£(ДУ ф 0) > 0. Поскольку M*(AY\V) = 0, то
пополнения cr-алгебр О ® 1Zd и V = V % TZd на U различны.
Следовательно, существует множество А € О ® Kd такое, что
МЦА) < оо и M*(V ф 0) > 0, где V = 1А - М*(1Л\Р).
Процесс М = У * /х является согласованным с непрерывным справа и
имеющими предел слева траекториями интегрируемой вариации.
При этом М0 — 0. Для любого момента остановки Г:
Е(МТ) = М,р(У1[0,т1) = О,
поскольку по построению M*(V\V) = 0. Тем самым М является
нетривиальным мартингалом (см. 1.1.44) с |ДМ| < 1, для
которого по построению выполнено 4.26.
b) Пусть М£(ДУ ф 0) = 0. Это означает, что скачки
процессов X и Y не .совпадают Р-п.н. Предположим сначала, что
4.28. ДУТ ф 0 на множестве {Г < оо} для некоторого вполне
недостижимого момента остановки Т с Р(Т < оо) > 0.
Положим А = 1р\оо] и обозначим Ар — компенсатор процесса
А. Пусть М = А-Ар. Тогда М — нетривиальный, чисто
разрывный локальный мартингал, М0 = О, |ДМ| < 1 и ДМ = ДА = О
на множестве {АХ ф 0}, т.е. для N выполнены условия 4.26.
Наконец предположим, что 4.28 не выполняется. Напомним,
что {ДУ ф 0} П {АХ /О} = 0и{а=1}С {АХ ф 0} с
точностью до пренебрежимого множества (at = v({t} X Pd) — см.
Доказательство 4.24). Поскольку У — нетривиальный
мартингал, существует предсказуемый момент Т и две константы a > 0,
0 G (0,1) такие, что Р(Л) > 0, где А = {Т < оо,|ДУт| > а}, и

282 Га. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Р1 С {а < /?}. Положим М = tfliT,oo[ с
п-л У(А\?т-).
V — 1л : 1{дл-т=о}-
1 — fly
Процесс М ограничен, поскольку \U\ < 1 + -—г*. Более того,
е(^.)=р(л|^.)[1-р'д^;^-']=.
на множестве {Т < оо}. Отсюда нетрудно вывести, что М
является мартингалом. Наконец, АХт = 0 на множестве А, и,
следовательно, ДМТ = 0, если АХТ ф О, Т < оо. Тогда ДМ = О
А/Т-п.н. и имеет место 4.26. Q
/i
§4d. Фундаментальная теорема о представлении
1. Как уже отмечалось, свойство представления для
локальных мартингалов тесно связано с проблемой мартингалов.
Чтобы использовать определение 2.4, добавим начальное условие к
предшествующей постановке (см. §4с). А именно, пусть Н —
под-<7-алгебра Тъ и Р# = Р|7* — сужение меры Р на Н.
В частности, исходная мера Р является решением мартингаль-
ной проблемы S(H,X\FH;B,Cj*/), введенной в 2.4.
4.29. Теорема. В дополнение к вышесказанному
предположим, что Т = ^оо-- Тогда следующие утверждения
эквивалентны.
(i) Все локальные мартингалы обладают свойством
представления относительно X; более того, о-алгебра Т0
включается в о-алгебру, порожденную Н и множествами из Т нулевой
меры Р.
(и) Мера Р является крайней точкой выпуклого множестве
S{H,X\?H;B,C,v).
loc
(Ш) Если Р' € S(H,X\PH;B,C,v) и Р < Р, то Р' = Р.
(iv) Если Р' е S(H,X\?H;B,C,v) и Р' < Р, то Р' = Р.

4. Теорема, о представлении для м&ртиягалов 283
4.30. Замечание. Утверждение (i) тесно связано с
фильтрацией F и тем самым зависит только от сужения меры
р на ^оо-- Наоборот, утверждения (ii)-(iv) используют
"полную" меру Р на (ft, T). Это объясняет предположение о равенстве
/ = Яоо-.
Если включение Т^- С Т является строгим, то любое из
утверждений (ii), (iii), (iv) влечет за собой (i).
Доказательство. Импликация (iii) => (iv) очевидна.
(iv) =^ (ii): Предположим, что мера Р является выпуклой
комбинацией Р = аР'+(1 —а)Р" двух других решений Р' и Р"
мартингал ьной проблемы и 0 < a < 1. Очевидно, что Р' < Р, Р" < Р.
Согласно (iv) Р' = Р" = Р, т.е. Р — крайняя точка всех решений
мартингальной проблемы.
(ii) => (i): Пусть свойство представления не имеет места. В
силу 4.27 существует нетривиальный ограниченный мартингал
М с М0 = 0, удовлетворяющий 4.26. Можно предположить, без
потери общности, что \М\ < 1. Если вторая часть утверждения
(i) не выполнена, то существует множество А € То такое, что на
множестве положительной меры Р(А\Н) ф 1л- Положим Mt =
1А - Р(А\Н) для всех /. Тогда М — мартингал с \М\ < 1, для
которого выполнено 4.26.
Тем самым, если (i) не имеет места, то можно определить
мартингал Z = 1 + МсО < Z < 2и E(Zt) = 1, t G R+
для которого выполнено 4.26 и P(Z00 = 1) < 1. Следовательно,
P'(du;) = P(du)Z00(u) определяет новую вероятностную меру Р'
на (ft, J7), и соотношения 3.28 выполнены сУ=1и/3 = 0.
Поэтому в силу 3.24 процесс X является Р'-семимартингалом с
характеристиками (Б, С,*/). Более того, по определению E(ZOQ\H) =
E(Zo|ft) = 1. Поэтому сужение меры Р' на Н совпадает с Р#,
и, значит, Р' G S{4,X\VH\B,C,v). Наконец, Р' ф Р, поскольку
P(Z0o = 1) < 1.
Аналогичным образом, если Z' = 1 — М, то Y{du) =
== P(du)Zfco(u) определяет вероятностную меру Р' Е S(H^X\PH;
^С,|/)иР'^Р. Поскольку Z1 + Z = 2, то для любого А € J7
Р'(А) + Г (А) = E(ZoolA) + E(Z^U) = 2Р(Л)

284 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
и, следовательно, Р = j(P' + Р')> что противоречит (ii).
loc
(i) =*► (Ш): Пусть P' 6 S{U,X\¥H\B,C,v) и P' < P.
Обозначим Z процесс плотности P' относительно Р.
Меры РиР' совпадают на Н и, значит, E(Z0|W) = 1.
Поскольку случайная величина Z0 совпадает Р-п.н. с некоторой W-
измеримой случайной величиной, то Z0 = 1 Р-п.н.
Теперь применим теорему 3.24. По предположению имеет
место соотношение 3.27 с/3 = 0иУ = 1. Обращаясь к 3.28,
убеждаемся, что Z удовлетворяет соотношениям 4.26. Тогда, принимая
во внимание свойство представления, получаем в силу 4.27, что
Z — тривиальный локальный мартингал, т.е. Zt = 1 Р-п.н. для
любого < G R+. Отсюда вытекает, что РиР совпадают на <т-
алгебре Т% для любого < G R+. Поскольку Т = Т^-, то имеет
место равенство Р = Р'.
Второе утверждение в (i) включено для того, чтобы связать
свойство представления с мартингальной проблемой S(H,X\PH;
J9, С, у), но оно никоим образом не отражает наших основных
интересов.
Приведем простое следствие к теореме 4.29, получающееся при
Л = f0 (тогда второе утверждение (i) автоматически
выполняется). Напомним, что Р0 — сужение Р на Т0.
4.31. Следствие. Предположим, что Т = Т^- •
Следующие утверждения эквивалентны:
(i) Все локальные мартингалы допускают интегральное
представление относительно X.
loc
(ii) Если Р' < Р, Pq = Р0 и X имеет Р'-характеристики
{В,С,и), шоР' = Р.
(ш) Если Р' < Р, Pq = Р0 и X имеет Р'-характеристики
(Я, С», moP' = Р.
Второе свойство в 4.29 (i) подобно "закону 0 или 1" (это и в
самом деле закон 0 или 1, если Н — тривиальная а-алгебра). К
этому же роду результатов относится следующее не столь важное
свойство.
4.32. Предложение. Предположим, что фильтрация

4. Теорема, о представлении для мартингалов 285
F порождается X u H (см. 2.12). Тогда, если все локальные
мартингалы обладают свойством представления
относительно Xf то при каждом t G R+ о-алгебра Т% содержится в о-
алгебре, порожденной Т* и всеми множествами из Т нулевой
меры Р.
Доказательство. Пусть А 6 Т%. Определим
ограниченный мартингал М с предельным значением М^ = 1^ (тем
самым Ms = 1л Р-п.н. при s > t). По предположению существуют
Я € Цос(Хс) mW e Gtocbi) такие, что М = Mo+H-Xc+W*((i-v).
Поэтому 1^ = Mt = Mt+W(t, АХ^1{ьх&о}~~Wt Р-п.н. Процессы
М- и W являются предсказуемыми и, значит, Mt_ - Wt - Т%- —
измеримая и, следовательно, Т* — измеримая случайная
величина. Функция W является Р-измеримой, a AXt — J^-измеримая
случайная величина. Следовательно, \¥^,АХг)1{ьХ&о} — ^?-
измеримая случайная величина. Отсюда следует требуемое
утверждение. □
2. Приведем теперь некоторые примеры. В этих примерах
использован тот факт, что мера Р, являющаяся единственным
решением мартингальной проблемы, очевидно является крайней
точкой множества S(H,X\?h\B, С, и)\ Следовательно, все
случаи единственного решения мартингальной проблемы приводят
к свойству представления.
Прежде всего, из 2.15 (или 2.16) и 4.29 выведем классический
результат о представлении мартингалов относительно винеров-
ского процесса.
4.33. Теорема. Пусть выполнено 2.12 и X является ви-
неровским процессом на (ft,/",F,P). Тогда
a) каждый локальный мартингал М имеет вид М = М0 + Я ■
X для некоторого процесса Н Е Цос(Х) (в частности, каждый
локальный мартингал является непрерывным);
b) если И — тривиальная е-алгебра или, если Н = ст(Х0), то
каждое множество из Тъ имеет меру 0 или 1 (закон О или 1), в
частности в утверждении а) М0 является константой Р-п.н.
Из 2.17 можно получить следующий более общий результат.

286 Гл. III Мартингальные проблемы и замены мер
4.34. Теорема. Пусть выполнено 2.17 и X является про-
цессом с Н — условно независимыми приращениями на
(ft,^,F,P). Тогда
a) каждый локальный мартингал имеет вид М = М0+Н*ХС+
W * (/х - v) для некоторых Н = (#*)|<<* € Цос(Хе) и W £ G\oc(ii);
b) если W — тривиальна* о-алгебра или Н = о(Х0), то
каждое множество из Т§ имеет меру О или 1 (в зтом случае X
является процессом с независимыми приращениями).
Читателю предлагается самостоятельно получить
результаты о представлении для диффузионных процессов и
диффузионных процессов со скачками, используя .2.34 ил 2.32 и 2.33.
3. Такого же типа результаты имеют место для мартингаль-
ной проблемы, введенной в §1Ь.
А именно, забудем о процессе X и предположим, что на
(Q,^*,F,P) задана целочисленная случайная мера /х на R+ х Е
((£,£) — вспомогательное пространство Блэкуэлла) с
компенсатором v. Имеются также некоторая начальная <т-алгебра Н С То
и сужение Ря меры Р на Н. Тогда все результаты §4с и данного
параграфа остаются справедливыми при условии, что
упоминание об "X" всюду опускается. Например, свойство представления
выглядит следующим образом.
4.35. Локальный мартингал М обладает свойством
представления относительно //, если М имеет вид М = М0 + W *
(fi — v) для некоторой функции W G G\oc(fi).
В этом случае основная теорема 4.29 справедлива с "//"
вместо "X" в утверждении (i) и с <S(W,//|P#,i/) в утверждениях (ii,
iii, iv). Разумеется каждый результат о единственности решения
мартингальной проблемы влечет за собой свойство
представления. Например, из 1.26 вытекает такой результат.
4.36. Если /х является мультивариантным точечным
процессом и имеет место 1.25, то все локальные мартингалы имеют вид
М = М0 + W * (fi — и) для некоторой функции W € G\oc(fi). □
Априори, интеграл W*(/i—v) в 4.36 является стохастическим
интегралом, хотя fi — v — конечная мера в сужении на каждое

4. Теорема, о представлении для мартингалов 287
множество [0, t] X Е (напомним, что // является мультивариант-
ным точечным процессом). Следующий результат показывает,
что данный интеграл в действительности является и
интегралом Стилтьеса.
4.37. Теорема. Предположим, что \i — мультивари-
йнтный точечный процессу и что имеет место 1.25. Тогда все
локальные мартингалы имеют вид М = М0 + W * ц — W * v,
где W является V-измеримой функцией такой, что \W\ *// —
локально интегрируемый процесс.
Это замечательный результат, который, в частности,
показывает, что все локальные мартингалы имеют конечную вариацию,
если /х — мультивариантный точечный процесс и выполнено 1.25.
Например, если N — точечный процесс с компенсатором А и
имеет место 1.20, то все мартингалы имеют вид
М = М0+ #.#-#• А,
где Н — предсказуемый процесс, интегрируемый по Стильтьесу
относительно Nn A.
Доказательство. Используем обозначение из §4Ь (в
частности, для а .— 4.16, для W — 4.17). Пусть М Е М\ос.
Применим теорему 4.20. Положим U = M*(AM\V) и W = U +
&1{в<1}. Тогда W Е Gloc(/i) и М = М0 + W * (р - у) + N
с M*(AN\V) = 0. Согласно 4.36 и 4.27 получаем, что N = 0.
Теперь осталось только показать, что \W\ *^G Л\ос.
Поскольку // имеет вид 1.24, то с точностью до локализации
можно предположить, что
МО = £ l{Tn<oo}£(TniZn)(')
1<п<р
Для некоторого р Е N. Процесс sup5< [(I - fl«)"1]l{e.<i}
является возрастающим, предсказуемым и конечным, поэтому (с
точностью до локализации) можно предположить, что
4-39. Р = sup _i{ee(u0<1} < оо.
5,w 1 — QS[*J J

288 Гл. III. М&ртингальные проблемы я замены мер
Более того, как уже было показано, (например, в начале
доказательства 3.17), процесс sup,<. \M9\ является локально
интегрируемым. Значит, с точностью до локализации можно предположить,
что
4.40. Величина sup, \MS\ — интегрируема.
По определению U и из 4.40 получаем, что
4.41. МЦ\и\) < <(|ДМ|) = е( £ 1{Тп<оо}|ДМт„|) < оо.
Пусть (Sq) — последовательность предсказуемых моментов,
исчерпывающая тонкое предсказуемое множество {а > 0}. Тогда
{U ф 0} С иДЗД и в силу 4.18
Е ^Tjl{T.<oo})<pEE(|&5t|l{5t<«>})<
1<п<р q
<РЕЕ( £ W(Tn,Zn)\l{Sq=Tn<oo})<
Я 1<"<Р
<ре( £ \u(Tn,zn)\i{Tn<oo}) =Рм^(\и\).
Тем самым, с использованием 4.39 и 4.42, имеем
Е(|ИЧ */!«,)< J2 E(l{TK<oo}[|^(Tn,Zn)| + I^Ll{OTn<1}])<
1<П<Р s **
< £ E(l{T„<00}^(Tn,Zn)|) + ^MMP(|^|),
1<Л<Р
где, в силу 4.41, последний член в правой части равен конечной
величине (1 + 0p)M*(\U\). О
5. Абсолютно непрерывная замена мер. Явная
формула для процесса плотности
В этом разделе используются те же объекты, что и в
разделе 4. Пусть (Q,/*,F,P) — стохастический базис, на котором

5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 289
определен d-мерный семимартинГал X = (Xf)t<d с
характеристиками (2?,C,i/) относительно некоторой функции усечения Л, с
непрерывной мартингальной составляющей Xе и /х = цх — мерой
скачков X (см. 11.1.16). Далее используются обозначения
5.1. at(u>) = v(u;{t}xRd),
5.2.
если этот интеграл сходится,
в остальных случаях
(см. 4.17). Выберем также "хорошую версию" С, которая
обладает следующим свойством:
D.Z.
Щ^ = / W^i {О X dx)W(u;,*,a;),
5.3. Cij = c,JA, где А — непрерывный возрастающий процесс,
с = (c,J)»\i<<* — предсказуемый процесс со значениями в
множестве симметрических неотрицательно определенных матриц
размера d х d. Рассмотрим другую вероятностную меру Р',
относительно которой X является семимартингалом с
характеристиками (Б', С, i/) для той же самой функции усечения h. Далее будем
1ос
предполагать, что Р' < Р и явно вычислим процесс плотности Z
меры Р' относительно Р в терминах (B,C,v) и (B\C\uf).
§5а. Все Р-мартингалы обладают свойством
представления относительно X
1ос
Поскольку Р' < Р, то по теореме Гирсанова 3.24 можно
определить
5.4.
/3 = (f3%)i<d — предсказуемый процесс,
У — Р-измеримую неотрицательную функцию
на О = ft х R х Rd (напомним, что V = V ® £)
такие, что с точностью до множества Р;-меры нуль
5.5.
[ Bfi = Bi + (]Гс|;7?Л ■ А + ti(x)(Y - 1) * i/,
(В'% = оо, если хотя бы один из интегралов расходится),
С" = С,
\i/ = Y • и.
10. Ж.Жакпл. А.НЛПипоев T 1

290 Гл. III. Мартяягальяые проблемы и замены мер
Покажем, что процесс плотности Z является экспонентой До-
леан-Дэд от некоторого локального мартингала JV, который мы
сейчас построим. Положим
5.6! a = inf(/: либо Yt > 1, либо at = 1 и Yt < 1).
Очевидно, a — предсказуемый момент, о > 0 и, в силу 3.17,
Р'(<т = оо) = 1.
Положим
Н = (/? ■ с • fi)llQtal ■ А + (1 - VF)2lt(W * u+
Процесс Н является предсказуемым, принимает значение в R+,
имеет неубывающие траектории и Я0 = 0. Однако, он не
обязательно является "возрастающим процессом" в смысле §1.3а,
поскольку он может принимать значение +оо и не быть
непрерывным справа. Имея в виду важность этого процесса в последующем
изложении, дадим ему специальное название.
5.8. Определения. (i) Процесс Н назовем
обобщенным возрастающим процессом, если он обладает следующими
свойствами: Н принимает значения в R+, Н0 = 0, траектории
Н являются неубывающими и если Т = inf(£: Ht = оо), то Н
является непрерывным справа на Ц0,Г[[ (и, конечно, на ЦТ,оо[[);
однако может быть, что Нт < оо, Ят+ = оо при Т < оо.
(ii) Говорят, что обобщенный возрастающий процесс Н не
уходит скачком на бесконечность, если #т_ = оо на {Т < оо}. В
этом случае траектории Н непрерывны справа.
Итак, процесс Я, определенный в 5.7, является обобщенным
возрастающим процессом, поскольку интегралы в 5.7 могут
расходиться в любой момент времени Г, в то время как в случае
возрастающего процесса соответствующие интегралы сходятся на
замкнутом интервале [0,Г]. Положим Т — inf(f: Ht = оо) и
5.9. Тп = inf(t: Ht > п), Д = [0,<r[n(Un[0,Tn]|).
Заметим, что Тп является моментом остановки, но
возможно непредсказуемым (1.2.13 здесь неприменимо, поскольку может

5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 291
быть Hfn < п при Тп = Т). Случайный интервал Д является
предсказуемым и ЦОД С А.
5.10. Предложение. Существует процесс N,
определенный единственным образом (с точностью до
Р-неразличимости) на множестве Д, такой, что для каждого момента
остановки S с [0,S| С Д остановленный процесс Ns
является Р-локальным мартингалом вида
5.11. Ns = (/JlIO|si) ■ Xе + (Y - 1 + ^^i{e<1})lIOjS, * (^ - „).
x a
Расширяя определение II.2.46, можно показать, что N
является "локальным мартингалом на предсказуемом случайном
интервале Д". Очевидно, что представление 5.11 неявно требует
выполнения условий:
,12 pil0,sieLlc(x%
°- ■ Vlio.51 € СосМ, где V = {Y-l + ^fl{a<1]}ll0i^.
Доказательство. Пусть V из 5.12. Полагая 0\0 = 0,
имеем V = ^fy на |[0, <т[[. Поэтому
5.13. Vt = Г(У(«, AXt) - 1)1{Дх1#0} - т——l{Ajr,=o}l l{t<.}
тождественно удовлетворяет неравенству V > —1. Используя
обозначения из И. 1.36, замечаем, что
5Л4. Я = (/3.с./3)1юЛ.Л + С'(П
Теперь при ЦО,^]] С Д величина Я5 < оо, поскольку
предсказуемый (остановленный) процесс Я5 принадлежит Л£с. Из ИЛ.13
и 4.3 вытекает 5.12 и, значит, правая часть соотношения 5.11
определяет Р-локальный мартингал. Если 5' — другой момент
остановки с [[О,,?'] С Д, то правые части 5.11, определенные для
S и 5', совпадают на [0, S A S'J с точностью до Р-пренебрежимого
множества. Существование и единственность процесса N с
требуемыми свойствами вытекает из того факта, что можно взять
ю*

292 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
А = Un([0, Snl для некоторой последовательности моментов
остановки (5П), которая определяется следующим, например,
способом: Sn = crn Л Гп, где (<тп) — Р-п.н. предвещающая
последовательность для предсказуемого момента а (см. 1.2.16).
С этого момента и до конца настоящего параграфа будем пред-
1ос
полагать, что Р' < Р, Z — процесс плотности Р' относительно
Р,
5.15. Rn = inf(t: Zt < 1/n),
и, значит, в силу 3.6
5.16. {Z_ > 0}fl]]0,oo[[= Un[[0,i2n|[ с точностью до Р-пренебре-
жимого множества.
1ос
5.17. Лемм а. Предположим, что Р' < Р и определим А
так же, как в 5.9.
a) Процесс плотности Z задается формулой
5.18.
Z =Zo + (Z_/3).Xc + Z_(y~l + ^l{a<i})*(/i-^) + ^ =
= Z0 + (Z_/3) • Xе + (Z_V) * (/x - v) + Z',
где V определяется в 5.12 и процесс Z1 является ^-локальным
мартингалом с Z'0 = 0 и (Z'C,X*,C) = 0 для г = l,...,d и
M*(AZ'\P) = 0.
b) С точностью до Р -пренебрежимого множества
иЛо.ДпЦсД.
Доказательство. Имея в виду 5.5 по теореме 3.24,
получаем, что /3 и Y удовлетворяют 3.28, в частности,
M*(AZ\V) = Z-(Y — 1). Поэтому первая формула в 5.16
получается в силу теорем 4.11 и 4.20.
Кроме того, по теореме 3.24 Р'(<т < оо) = 0. Поскольку о
— предсказуемый момент, то Za_ = (ГР'а_1<1Ра_ на множестве
{<т < оо} (см. 3.4(Ш)). Следовательно, Za- = 0 Р-п.н. на
множестве {а < оо}. Тем самым, Z_l[0)<7|[ = Z_ и имеет место
последнее равенство в 5.18. Используя 5.16, выводим также, что
с точностью до Р-пренебрежимого множества Un|[0,i2n]] С [[0,<j|.
Далее, (l/Z-)liQ>Rnj<n и из принадлежностей Z_/? G Цос{Хс) и

5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 293
Z-V e GiocM выводим, что /31[о.ял]€£?ое(л-с) и vho,Rnl e Gioc(//).
Тогда из 4.3 и П. 1.33 с учетом V > — 1 (см. 5.13)), вытекает,
что #ялл* < оо Р-п.н. для всех t < oo. Отсюда, очевидно, с
точностью до пренебрежимого множества [0,i2n]| С Up[0,Tp]), т.е.
имеет место последнее утверждение. □
1ос
5.19. Теорема. Предположим, что Р' < Р « все Р-
локальные мартингалы обладают свойством представления
относительно X. Тогда процесс плотности Z удовлетворяет со-
отношению
5.20. Z = Z0 + (2L0) - Xе + Z_(Y - 1 + ^-^1{а<1}) * (a* - *)■
Кроме того, если интервал Д и процесс N определяются
5.9« 5.11, то
' 1.Г2:оехр(ЛГ,-^.с./3).Л,)П.<«(1 + АЛГ,)е-ДЛГ., *€ А,
z,-\o, " <*д.
Доказательство, а) Справедливость представления
5.20 следует непосредственно из леммы 5.17 (утверждение а)) и
из эквивалентности (i) ^ (ii) в 4.27.
Ь) В соответствии с 5.17 Zt = 0, если t $ Д. Более того,
поскольку Ц0,#п5 С Д, то, сравнивая 5.20 и 5.11, получаем, что
ZR« = Z0 + Z_-NR\
Поэтому процесс Z(n) = ZRn/Zo 0/0 = 0 допускает
представление Z{n) = 1 + Z_(n) • NRn и, в соответствии с 1.4.61, Z(n) =
= £(NRn). Тем самым ZRn = ZQ£(NRn). Поскольку в силу 4.7
((ЛГя-)%(ЛГя-)в> = (/?.с./?)10|Ят1-Л,
то согласно 1.4.64 получаем, что ZRn = Zt вычисляется по
формуле 5.21 при t < Rn.
Обозначим правую часть равенства 5.21 через Zt. Осталось
показать, что при t Е Д и t > Rn для всех п Zt = 0. Положим
R = limn | Rn и S = inf(J: Zt = 0 или Zt- = 0). По определению
Z имеем Z = 0 на |[5, оо[. Тогда возможны два случая.

294 Гл. III. М&рггингальные проблемы и замены мер
1) Для некоторого n Rn = R. Тогда ZR = ZRn = ZRn = ZR =
О, т.е. S = R и Zt = 0, поскольку t > S.
2) Для всех п Rn < R. Тогда ZR_ = limn ZRn = limn Z^n =
Z*_ = 0, т.е. S = R и Z* = 0. D
5.22. Следствие. Пусть выполнены предположения из
5.19 u aromjflr бы одно из следующих трех условий:
(i) для всех <GR+ Zt > 0 Р-п.н.,
(ii) T < сг и обобщенный возрастающий процесс Н не уходит
скачком на бесконечность (см. 5.8),
(Ш) <?л# Р-почти всех и существует t c(u,i) G A u A7Vt(o;) =
= -1.
Тогда
5.23. Zt = Z0 exp(7\Tt -!(/?. c . /J). А,)П5<<(1 + AJV,)e-Aisr*.
Доказательство. Очевидно, что требуемое
утверждение имеет место при выполнении (i) или (Ш). Предположим
теперь, что выполнено (и), т.е. Нт- = оо на {Г < оо} и Т < (т.
Следовательно, Тп < Т для всех п на множестве {Т < оо} и
Д -= [0,Г|[. Поскольку Un|[0,J?n]| С Д, имеем Rn < Т на {Г < оо}
и, значит, limtT7\t<T Z< = 0 на {Г < оо}. Поэтому 5.23 следует
непосредственно из 5.21. D
Приведем одно интересное следствие. Пусть Н — "начальная
<т-алгебра" (под- а- алгебр а Т0)у Р# и Р'я — сужения Р и Р' на Н.
1ос
5.24. Теорема. Предположим, что Р' <С Р.
a) Если все Р-локальные мартингалы обладают свойством
представления относительно X, то все Р'-локальные
мартингалы (на стохастическом базисе (ft, J",F,P') также обладают
свойством представления относительно X.
b) Если Р — крайняя точка множества S(Ti,X|P#; B,C,v)
и Т = ^"оо-? ям Р' — крайняя точка множества S(H,X\P'H;
В', С, и').
Доказательство. В соответствии с 4.29
утверждение а) является частным случаем утверждения Ь),
установленного при Н = Tq.

5. Абсолютно непрерывная замена мер. 295
Предположим, что Р — крайняя точка множества «S(W, X|P#;
5, С, f) и пусть Р' е <S(ft, Х|Р'Я; В', С", •), причем Р' < Р'. Тогда
~ 1ос ~ ~
р' < Р. Определим процесс плотности Z меры Р' относительно
Р.
Случайная величина Ep(Z0\7i) = EP(Z0|W) является
плотностью dP'H/dP#. Тогда из второго свойства в 4.29 (i) следует,
Что Z0 = Z0 Р-п.н. Применим теперь теорему 5.19. Поскольку
Zq = Zq Р-п.н. и Zt, Zt задаются Р-п.н. одной и той же
формулой 5.21, то Zt = Zt Р-п.н. и, следовательно, сужения Р'иР
на а-алгебру Т% совпадают при каждом t. Поскольку Т = ^"оо-?
то отсюда следует, что Р' = Р'. Тем самым, мера Р'
удовлетворяет 4.29 (iv) и, значит, Р' является крайней точкой множества
S(H,X\?>H;B',C',v'). D
5.25. Замечание. Лемма 5.17 и теорема 5.19 содержат в
себе тот замечательный факт, что, Z0_ — О на {а < оо}.
Действительно, если Z определяется формулой 5.21, то априори неясно,
почему Za^ должно равняться нулю при а < оо (за исключением
множества {На- = оо}). Это свойство вытекает в
действительности из того "неявного" предположения о (B',C',i/)j что они
являются характеристиками семимартингала X по мере Р' такой, что
р' < р. □
§5Ь. Мера Р' обладает свойством локальной
единственности
Изложение в этом разделе мы начнем с формулировки
некоторого общего результата. Будем считать, что объекты /3 и Y
такие же, как в 5.4, <т, Н и Д определены в 5.6, 5.7 и 5.9, процесс
N введен в 5.10. Положим
■0)М()П.<«(1 + Д*.)еААГ-,
5.26. Zt
rZoexp(JVe-f(/?-c-,
\ если t € Д,
I 0, если t £ Д,
где Z0 является .^-измеримой случайной величиной, Z0 > 0 и
E(Z0) = 1.

296 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
Поскольку AN = V > -1 (см. 5.13), то Z > 0. Более того,
если S — момент остановки и [0,5] 6 Д, то можно показать как
при доказательстве теоремы 5.19, что Zs = Z0£(NS) и, значит,
Zs является Р-локальным мартингалом.
Далее, предположим, что B'{u), C\u), v'{u) задаются
формулами 5.5 для всех и (а не только Р'-п.н.). Это предположение
является существенным для следующей леммы, в которой
конструируется другая мера Р', не имеющая априори ничего общего
с мерой Р'.
5.27. Лемма. Пусть S такой момент остановки, что
[[0,5]| С А, и Zs является Р-равномерно интегрируемым
мартингалом. Тогда относительно меры Р' с P'(du>) = P(du>)Zs(u>)
процесс Xs является семимартингалом с характеристиками
(5'5,C"V5) (определение v,s дано в 2.36).
Доказательство. Как было показано выше, Zs =
Z0£(NS). Следовательно, в силу 5.11 имеем
5.28. Zs = Z0 + (Zf /31[0,5i) ■ Xе + (Zf V ll0,sj) * (j* - v),
где функция определена в 5.12. Тогда соотношение 4.6 влечет за
собой равенство
((Z5)^X*>) = (Zf(2^)lIO,5i)^.
Более того, из 5.13 вытекает, что AZS = Zi(Y - l)l[ofsj Mj-п.н.
и правая часть этого равенства является Р-измеримой
функцией. Поэтому M*(AZS\V) = Zt(Y — l)l[o,sj и легко проверить,
что 3.28 имеет место для Xs и Zs (относительно (Б5, С5, г/5)
и (2?'5,С5,*/5)). Поскольку Zs является процессом плотности
меры Р' относительно Р, требуемый результат выводится из
теоремы 3.24.
Ниже будем предполагать локальную единственность
(см. 2.37) мартингальной проблемы с решением Р'. Пусть Wc^o
(Н — начальная а-алгебра), Р# и Р'я —- сужения мер Р и Р' на W.
Предположим, что фильтрация F порождается X и Н (см. 2.12).
Напомним, что строгий момент остановки определен в 2.35.

3
5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 297
5.29. Предположение. С точностью до Р-пренебрежимог
множества А = Un|[0,anJ, где (<тп) — последовательность
строгих моментов остановки.
Заметим, что А всегда имеет вид Un|[0,<rn| для некоторой
последовательности моментов остановки (<тп). Возьмем, например,
ап = ^ Л Гп, где Тп определяется аналогичным 5.9 образом, а
(а'п) — предвещающая последовательность для положительного
предсказуемого момента а. Определенный таким образом момент
остановки ап не обязательно является строгим моментом
остановки.
Тем не менее, 5.29 имеет место, когда Н не уходит скачком
на бесконечность (см. определение 5.8) и а > limnTn
(= inf(/: Ht = оо), поскольку в этом случае каждый момент
остановки Тп является предсказуемым (этот факт проверяется с
помощью 1.2.13), положительным и, значит, в силу 2.36 строгим;
кроме того, А = 11Я|[0,ТП]|.
5.30. Лемма. Пусть 2.12 и 5.29 имеют место. Тогда
существует последовательность (Sn) строгих моментов
остановки такая, что А = Un[0,5n]| Р-п.н. и ZSn является Р-
равномерно интегрируемым мартингалом при каждом п.
Доказательство, а) Предположим сначала, что А =
ftxR+. Тогда а = оо и Н принимает только конечные значения
и является "обычным" непрерывным справа возрастающим
процессом.
Пусть У-функция, определенная в 5.12. Свяжем с ней функции
V' и V" по правилу П.1.35. Положим
K = (/3.C.p).A + C(V') + C(V"),
к1 = (i + z_ + (iL)2)-A\
В соответствии с 5.14 и П. 1.33 процессы К и К1 являются
предсказуемыми и принадлежат Лье-
Пусть 5„ = mf(t: К\ > п). В силу 1.2.13 5П является
предсказуемым моментом Sn > 0, Sn | оо при п t оо. Осталось показать,
что ZSn является Р-равномерным интегрируемым мартингалом.

298 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
Для упрощения обозначений пусть S = 5„. В соответствии с
5.28 Z8 является Р-локальным мартингалом. Таков же и процесс
Zs~~ := Z0 + l[o,s[ • Zs для предсказуемого момента 5. Из 5.28
вытекает, что
Z5- = Z0 + (Z_/?1I0,5[) • Xе + (Z_V'll0,sl) * (М - *•)+
Кроме того, по построению Kfs_ < п. Поэтому из определения К1
следует, что
CiZ-V'l^si)^ = Zl -C(V')s- < n,
C(Z.V"lIOl5[)oo = £._■(?(V'V < fl.
Тогда 4.5d влечет за собой то, что (iL/Jljo.si)-^ £ ft2, 11.1.33a =>
(z_ v'1,0,51) *(/^:^и2й пл.ззь =► (zLv'Vsi) *(/*-^л
Следовательно, Z0 является Р-интегрируемой случайной
величиной и, значит, в силу 5.31 Zs~ — Р-равномерно интегрируемый
мартингал.
Заметим, что Zs = Zs~~ + AZslis^i- Поэтому осталось
показать, что AZsl{s<oo} является Р-интегрируемой случайной
величиной. Имеем AZs = Zs-ANS на множестве {S < оо}. Выше уже
отмечалось, что Zs- является Р-интегрируемой случайной
величиной. Следовательно, достаточно показать, что
E(|A7V5||J5-)l{5<oo} является ограниченной случайной
величиной. Имея в виду 5.13 для V = AN и неравенства a < 1, У < 1
получаем, что на множестве {S < оо}
\ANS\ < 1 + Y(S,AXs)l{*Xs*o} + т^— 1{дх5=о}
и, с учетом предсказуемости 5, что
E(\ANS\\TS-) < 1 + Ys + —2—Р(ДХ5 = 0|^5-j = a. + 3 < 4.
1 - as
b) Обратимся теперь к общему случаю. Зафиксируем р Е N*
и остановим все процессы в момент времени <гр. Тогда,
используя часть (а), возьмем последовательность (SntP)n>i
положительных предсказуемых и, следовательно, строгих моментов
остановки таких, что Я X R+ = U„[[0,5n]] и процесс (Z°*)SntP является
Р-равномерно интегрируемым мартингалом.

5. Абсолютно непрерывная замена мер. 299
Тогда S'ntP = SntPh<7p является также строгим моментом
остановки, А = иП|Р[[0,S'npl и ZS*'P является Р-равномерно
интегрируемым мартингалом. Требуемый результат получается отсюда
при соответствующей перенумерации последовательности
Теперь приведем наш основной результат (ср. с теоремой
5.19). Будем предполагать локальную единственность для мар-
тингальной проблемы S(H>X\F'H;B\C\v'), решением (и,
стало быть, единственным) которой является мера Р'. В теореме
5.19 предполагалось выполненным свойство представления для
всех локальных мартингалов. Однако, на практике
справедливость этого предположения может быть проверена только в
случае единственности решения мартингальной проблемы S(Hy
Х|РЯ;Я,С».
5.32. Теорема. Предположим, что триплет (2?',С",*/)
определяется соотношениями 5.5 всюду, где (/3yY)
удовлетворяют 5.4. Предположим, что фильтрация F порождается X
и ?{ (см. 2.12), имеет место 5.29 и мартингальная проблема
S(H>X\F'H] В',С,1/'), решением которой является мера Р',
обладает свойством локальной единственности.
1ос
Тогда при Р' < Р процесс плотности Z меры Р'
относительно меры Р задается представлением 5.21 (или 5.23, если
хотя бы одно из дополнительных предположений в 5.22
имеет место), где Z0 совпадает Р-п.н. с производной Радона-
Никодима Zh = с?Р#/с?Ря.
5.33. Замечание. Предположение, что триплет
(Б', С", и1) определяется соотношениями 5.5. всюду является очень
существенным. Оно же использовано в лемме 5.27, играющей
фундаментальную роль при доказательстве 5.32.
Очень часто мера Р' считается заданной и имеется много
версий Р'-характеристик X. В такой ситуации требуется выбрать
версию, удовлетворяющую 5.5, а локальная единственность
должна иметь место относительно этой выбранной версии
(В1 ,C',v'). Проиллюстрируем это замечание примером. Пусть

300 Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
И = {1,2} Р(1) = Р(2) = 1/2 и Р'(1) = 1. Отсюда следует, что
Р' < Р. Пусть семимартингал X определен следующим образом
Xt(l) = 0, Х,(2) = (t- 1)+
и фильтрация F задается как в 2.12 (W— тривиальная а-алгебра).
Тогда В = Ху C = 0,i/ = 0 суть Р-характеристики X и процесс
плотности задается следующим образом: Zt(u) = 1 для t < 1;
Zt(l) = 2 и Zt(2) = 0 для t > 2. Поскольку N = 0 (так как ^ = 0
и Xе = 0), то Z не имеет вида 5.21. Однако, естественными
характеристиками для X относительно Р' является набор В' = 0,
С = 0, v' = 0, для которого локальная единственность, очевидно,
имеет место. Но этот набор характеристик не удовлетворяет 5.5.
На самом же деле, единственным набором характеристик,
удовлетворяющих 5.5, здесь является триплет (jP',C",i/) = (2?,С, f)
и все вероятностные меры на Q, являются решениями
соответствующей мартингальной проблемы. □
Доказательство 5.32. Определим Z по формуле
(5.26), где Z0 = ZH := с?Р#/с?Р# и рассмотрим
последовательность (5П) из леммы 5.30. Тогда 5.27 влечет, что мера Р/п с
F'n(du) — Zsn(u)P(dv) является решением остановленной
мартингальной проблемы <S (W, XSn|Р'Я; B'Sn, ClSn, v'Sn) (заметим, что
P'0" = ZH • Ро и, значит, Pg = Р'я).
Используем теперь свойство локальной единственности.
Случайный момент Sn является строгим моментом остановки.
Поэтому Р/п = Р' на Tg и, тем более, на сужении ^(so- на
множестве {Sn > 0}. Следовательно, F'tn = PJ на множестве {Sn > t}.
Отсюда получаем, что Z = Z на U„[[0,Sn|[. В силу 5.17 и 5.26
имеем также равенство Z = Z = 0 на Дс. Теперь осталось
выяснить, что происходит в момент времени S на множестве
Un{5n = S < оо}. Поскольку Z — непрерывный справа
процесс, то Z8 = 0 на этом множестве, в то время как Zs > 0 и,
следовательно,
Zs" - Zs" = Z5l{5=5n<oo}lI5j0o|[ > 0.
Поэтому для каждого <GR+ процесс М(пЛ) = ZSnAt — ZSn*\
который является Р-мартингалом, неотрицателен и Ep(M(n,tf)0) = 0.

5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 301
Следовательно, M(nyt) = 0 Р-п.н. и Zs = 0 Р-п.н. на
множестве {S = Sn < t}. Отсюда Zs = 0 Р-п.н. на множестве
Un{5 = Sn < оо}.
Последний результат относится, в сущности, к следующей
главе. Однако, он естественным образом подходит к данному
месту изложения. □
5.34. Теорема. Предположим, что триплет (jP',C",j/)
задается формулами 5.5 всюду, фильтрация F порождается X
и Н, выполнено 5.29 и имеет место свойство локальной един-
ственности для мартингальной проблемы <S(W,X|P#; 2?',С",г/)
с единственным решением Р'.
Тогда если Р'я < Ря u F'(Ht < оо) = 1 для всех t G R+,
то имеет место локальная абсолютная непрерывность Р' <ki
Р и процесс плотности Z меры Р' относительно Р задается
формулой 5.21, где ZQ = ^Р#/с?Р#.
Доказательство. Обозначим ZH = dP#/dP# и
определим Z по формуле 5.26 с Z0 = Z#. Далее, повторим
доказательство 5.32 до того момента, когда устанавливается
равенство Р/п = Р' на сужении {0 < Sn} П ^sw-- По предположению
Р'(£п > 0 Т 1 при п | оо для всех t G R+. Если A G Ти то
А П {5„ > <} G ^5П-- Если также Р(Л) = 0, то в силу
соотношения Р/п < Р имеем
Р'(А) = lim Р'(Л П {5П > 0) = Km Р,П(Л П {£„ > *}) = 0.
и п
Отсюда выводим, что PJ < Pt и, следовательно, Р' < Р.
Наконец, последнее утверждение следует из 5.32.
§5с. Примеры
В этом разделе приводятся примеры "явного" вычисления
процесса плотности и другие применения предшествующих
результатов. Если не оговорено противное, то будет предполагаться,
что мы имеем дело с канонической постановкой 2.13.
1. Процессы с независимыми приращениями. Предположим,
что канонический процесс X является процессом с независимыми

302
Гл. III. Мартингальные проблемы и замены мер
I
приращениями относительно РиР'с характеристиками (5,(7,1/)
и (В\С',1/) соответственно. Эти характеристики являются
детерминированными. Поэтому будем предполагать, что 5.5 имеет
место с детерминированными функциями /3 и Y. Тогда процесс
Н детерминирован. Детерминированными являются объекты а
и Д (см. 5.6 и 5.9). В частности, предположение 5.29, очевидно,
имеет место.
5.35. Теорема. В дополнение к приведенным выше пред-
1ос
положениям будем считать, что Р' < Р. Тогда процесс
плотности Z меры Р' относительно Р задается формулой 5.21, о
процесс N = (Nt)teb является процессом с независимыми
приращениями на (fi,^",F,P) с временным параметром из интервала
А.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из
теоремы 5.19*(с использованием 4.34) или из теоремы 5.32 (с
использованием 2.42).
Для доказательства второго утверждения необходимо
показать, что при s G Д остановленный процесс N* является
процессом с независимыми приращениями. Для этого воспользуемся
явным видом 5.11. При г < t имеем
n; - щ = /и(гЛ • XI + (У -1 + у£^1{.<1})1(гЛ * (м - *)..
Поскольку подынтегральные выражения являются
детерминированными, то приращение JV/ — 7Vr5, очевидно, измеримо
относительно а-алгебры, порожденной приращениями X* — X* для и > г
и случайными величинами /г((г,м] х А) для и > г и A Е Rd.
Данная а-алгебра сама содержится в а-алгебре сг(Хи — Хг : и > г)
(в действительности, эти а-алгебры совпадают). Тогда из
свойства независимости приращений X следует, что
рассматриваемая <т-алгебра не зависит от а-алгебры ТТ относительно меры Р
и, следовательно, N9 является процессом с независимыми
приращениями на стохастическом базисе (fi,^,F,P). D
2. Обобщенный диффузионный процесс. Ради простоты
изложения рассмотрим скалярный случай d = 1. Предположим, что

5. Абсолютно непрерывная замена, мер. 303
имеет место каноническая постановка. Будем считать, что
относительно меры Р процесс X является стандартным винеровским
процессом и, следовательно, 5 = 0, С% = 2, v = 0, а относительно
меры Р' процесс X — семимартингал с характеристиками
t
5.36. В\ = 1ъ'ш ds, C[ = *, v1 = 0
о
и с Р'(Х0 = 0) = 1. Заметим, что
5.37. X = В' + W, W — стандартный винеровский процесс
на (Я, J*,F,P'). (5.37) имеет место, поскольку W = X - В —
непрерывный локальный мартингал с W0 = 0 и квадратической
вариацией (VT,W)t = С[ = t. Процесс X называется
обобщенным диффузионным процессом относительно Р'. Действительно,
X устроен так же, как диффузионный процесс (с коэффициентом
диффузии с = 1) за исключением того, что bs(u) является
произвольным (предсказуемым) процессом вместо b8(u) = &(s,X5_(u>)),
как для "обычного" диффузионного процесса.
Приведенный ниже результат является прототдпом ряда
результатов, предлагаемых в следующей главе:
5.38. Теорема. Предположим, что выполнено все
вышесказанное, и пусть Т = inf(tf: /0(Ь,)2 ds = оо).
1ос
a) Если Р' < Р, то Р'(Т = оо) = 1 и процесс плотности X
меры Р' относительно Р задается формулой
5.39. Zt = J exp [/*• dX> " 2 fa9? H' вСЛи ' < Т)
I о о
( 0, если t > Т.
1ос
b) Локальная абсолютная непрерывность Р < Р' имеет
место, если и только если Р(Г = оо) = 1. В этом случае процесс

304
Гл. III. Мартлягальяые проблемы и замены мер
4
плотности Z' меры Р относительно Р' задается формулой
5.40.
Zt' =
t t
exj>[-Jb',dW,-±J(Kfds} =
о о
= exV[-JKdX9 + y(b'Byds
I О,
, если t <T,
если t > Т.
c) Если Р'(Г = оо) = Р(Г = оо) = 1, то меры Р и Р' являются
локально эквивалентными (т.е. Р' < Р « Р < Р').
d) Если Т = оо тождественно, то имеет место локальная
единственность (и, очевидно, единственность) решения мар-
тингальной проблемы S(H,X\eq\ В1 ,С,и').
Априори стохастические интегралы в 5.39 (соответственно в
5.40) определены относительно меры Р (соответственно меры Р').
Однако, можно показать, что всегда существует версия этих
стохастических интегралов относительно обеих мер Р и Р'.
Естественно, если выполнено предположение с), то справедливы 5.39
и 5.40 и, как это и должно быть, ZZ1 = 1.
Вопрос о существовании решения мартингальной проблемы
S(Hj X\sq] В1 ,С",*/) здесь не возникал, поскольку это было
заложено в исходных предположениях. Если же заранее неизвестно,
что эта проблема имеет решение Р', то можно установить
следующие факты. Если Т = оо тождественно, то мартингальная
проблема допускает решение PJ на каждой а-алгебре Ти и PJ
совпадает с Р'5 на Т9 при s < t. Используя технику предельных
теорем (см. доказательство Х.1.4 в главе X, явно
эксплуатирующее каноническую постановку) можно показать, что семейство Р{
единственным образом продолжается до вероятностной меры Р'
на (Л,/"), которая тем самым является единственным решением
мартингальной проблемы <S(W,Х\е0; В', С", и').
Доказательство, а) Применим теорему 5.19,
используя тот факт, что все Р-локальные мартингалы обладают
свойством представления относительно X (см. 4.33). Тогда
имеет место 5.5 с /3 = V и, следовательно, Ht = Jq(K)2(^s- Зна-

5. Абсолютно непрерывная замена, мер, 305
чит, 5.39 сводится к 5.21. Более того, в силу 5.39 Р'(Г < t) =
Ер(ЯД{т<«}) = 0. Отсюда Р'(Г < оо) = 0.
b) "Поменяем" Р и Р' местами. Тогда 5.5 выполнено с /?' = —6'
и #t' = /0(Ь'в)2 ^5- Кроме того, свойство локальной единственности
имеет место для мартингальной проблемы «S(W, Х\е0; -В, С, f) (см.
2.41 или 2.42). Таким образом, достаточность вытекает и з 5.34.
1ос
Докажем необходимость. Предположим, что Р < Р'. Тогда 5.40
следует из 5.32. Равенство Р(Г < оо) = 0 доказывается так же,
как это сделано в а).
c) Предположим, что Р'(Т = оо) = Р(Т = оо) = 1. Тогда в
1ос
силу Ь) Р < Р' и Z1 задается формулой 5.40. Поскольку Р'(Т =
1ос
оо) = 0, то P'(Zt' = 0) = 0 и, следовательно, Р' < Р.
d) Пусть 5 — строгий момент остановки и Q — решение
остановленной мартингальной проблемы S(H>Xs\e0; BlS, С"5, i/5).
Поскольку Т = оо тождественно, то точно так же, как при
доказательстве теоремы 5.43, устанавливается, что P5At << Qsm и
процесс плотности Z's меры Р относительно Q на стохастическом
интервале |[0, SJ снова задается формулой 5.40. Используя еще раз
тот факт, что Т = оо, получаем неравенство Z[s > 0 Q-п.н. на
{t < 5}. Следовательно, Р5л* ~ Qs*t и процессом плотности
меры Q относительно Р является процесс Z, задаваемый формулой
5.39 на интервале [0,5]. Тем самым получаем, что Q5 = Р'5 и
имеет место требуемое утверждение.
3. Точечные процессы и мулыпивариантные точечные
процессы. Очевидно, что так же, как и в разделе 4, все результаты
настоящего раздела с необходимыми изменениями остаются
верными, если заменить семимартингал X на некоторую случайную
меру /х на R+ х Е вспомогательным пространством Блэкуэлла
(Е, £). Обозначим и и v' компенсаторы \i относительно Р и Р'.
Тогда в 5.4 остается только У, соотношение 5.5 имеет вид v1 = Y • v
Р-п.н., определение а не изменяется, Н задается формулой:
5.41. Я = (1 - ^У)21[ол * v + £ (>/Т=1Гш- ^/l-f,)2l{f<,}.

306 Гл. III. Млртингальные проблемы и замены мер
Множество Д, по-прежнему,-определяется 5.9, а 5.11 имеет вид
5.42. Ns = (У - 1 + 1Л^1{0<1})110|5, * (ц - и).
х. a
Тогда из 5.19 и 4.37 вытекает
5.43. Теорема. Предположим, что fi является мулъти-
вариантным точечным процессом со значениями в Ef и что вы-
1ос
полнено 1.25. Если Р' << Р, то процесс плотности меры Р'
относительно Р задается формулой 5.21, где N определяется в
5.42.
В частности, этот результат приложим к точечным
процессам (в этом случае Е состоит только из одной точки). Имея в
вмду этот случай, предположим, что X — точечный процесс с
компенсаторами Ли А! относительно Р и Р' и, что
5.44. А1 = у • А, у — неотрицательная предсказуемая
функция. Если А — непрерывный процесс (т.е. X — квазинепрерывен
слева), то формула для Z оказывается очень простой.
5.45. Теорема. Предположим, что выполнены 1.20, 5.44
и А — непрерывный компенсатор. Пусть (Tn)n>i — моменты
1ос
скачков X. Если Р' < Р, то процесс плотности Z меры Р
относительно Р задается формулой
5.46.
= Г e<»-iM П„: Tn<t уТ„ если t<T:= inf(<: у ■ At = оо),
' I 0, если t > Т.

Глава IV
Процессы Хеллингера,
абсолютная непрерывность
и сингулярность мер
Вопрос об абсолютной непрерывности и сингулярности двух
вероятностных мер был исследован достаточно давно,
поскольку он представляет интерес как с теоретической точки зрения,
так и для приложений к математической статистике. Какута-
ни в работе 1948 г., [125], первым решил проблему абсолютной
непрерывности и сингулярности для двух мер Р и Р',
являющихся (возможно бесконечными) продакт-мерами: Р = /^ ® /х2 ® ... и
Р' = ii[®fA'2®..., где рьп ~ /а'п (рп и /а'п — эквивалентные меры) при
каждом п > 1. Он установил замечательный результат,
названный "альтернативой Какутани", который гласит: любо Р ~ Р',
либо Р±Р' (меры Р и Р' являются взаимно сингулярными).
Десять лет спустя Гаек [80] и Фельдман [53] установили подобную
альтернативу для гауссовских мер, а несколько других авторов
сформулировали эффективные критерии в терминах
корреляционных функций или спектральных характеристик для
распределений двух гауссовских процессов.
По мере развития теории мартингалов и стохастического
исчисления изучение проблемы абсолютной непрерывности и
сингулярности стало возможным для широкого класса стохастиче-

308 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
ских процессов: диффузионных процессов, точечных процессов,
семимартингалов,... Полученные результаты каждый раз
иллюстрировали мощность общей теории стохастических процессов и
стохастической теории интегрирования.
В этой главе изучается проблема абсолютной непрерывности
и сингулярности для двух мер Р и Р', определенных на измеримом
пространстве с фильтрацией (ft,.F,F). Мы стремимся получить,
так называемый, "предсказуемый критерий" (т.е. критерий,
выраженный в терминах предсказуемых процессов). Это связано с
тем, что для мер Р и Р', являющихся распределениями
семимартингалов, предсказуемые критерии часто можно выразить в
терминах характеристик этих двух процессов (например, если
процессы являются решениями стохастических дифференциальных
уравнений, то предсказуемый критерий выражается в терминах
коэффициентов этих уравнений).
В разделе 1 приводится основной математический аппарат,
используемый впоследствии. Напомним, что проблема
абсолютной непрерывности и сингулярности может исследоваться
(весьма элементарным способом) с помощью "метрики Какутани-Хел-
лингера" и "интегралов Хеллингера". Поскольку в нашем случае
рассматривается пространство с фильтрацией, то вводится
семейство предсказуемых процессов, названных "процессами
Хеллингера", которые позволяют представить поведение интегралов
Хеллингера как функций времени (т.е. интегралы Хеллингера от
сужений двух мер на а-алгебру Т%).
Раздел 2 посвящен формулировке и доказательству
центрального "общего" результата. В связи с этим первые два раздела
существенно используют элементы стохастического исчисления,
введенного в главах I и II. За исключением простых разделов
§§ Ш.За, материал главы III здесь не используется.
В разделах 3 и 4 показывается, как можно явно вычислить
процесс Хеллингера в конкретных ситуациях, например, при
решении мартингальной проблемы, сформулированной в § Ш.2.
Приводятся некоторые примеры подобных вычислений и критерий
абсолютной непрерывности и сингулярности для точечных
процессов и процессов с независимыми приращениями.

1. Интегралы Хеллингера, и процессы Хеллингера 309
1. Интегралы Хеллингера и процессы Хеллингера
§1а. Расстояние Какутани-Хеллингера и интегралы
Хеллингера
Пусть (И^Т) — измеримое пространство, на котором заданы
две вероятностные меры РиР'и третья вероятностная мера Q
такая, что
1.1. Р < Q, Р' < Q.
Рассмотрим производные Радона-Никодима
L2' Z~dW * ~ dQ'
Математическое ожидание относительно P, P', Q будем
обозначать Ер, Ер/, Eq.
Расстоянием Какутани-Хеллингера /)(Р,Р') между Р и Р'
называется неотрицательное число, квадрат которого определяется
следующим образом:
1.3. />2(P,P') = i/(\/dP-\/5F)2,
что есть краткая запись для
n f f
(формула 1.3, как будет видно ниже, поясняет, что /)(Р,Р') не
зависит от меры Q, удовлетворяющей 1.1). Поэтому
1.5. ' />2(Р,Р') = 1-Я(Р,Р'),
где #(Р,Р') — интеграл Хеллингера для Р и Р', определенный
по формуле
1-6. #(P,P') = EQ(v£F)

310 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
или с учетом "обозначения" 1.3: Я(Р,Р') = fVdFdF'. По при-
п
чинам технического характера (и в первую очередь для
решения "проблемы абсолютной непрерывности-сингулярности")
введем также интеграл Хеллингера порядка а
1.7. Я(а;Р,Р,) = Ед(гаг,1-а),
где а 6 (0,1). Тогда Я(Р,Р') = Я(§;Р,Р').
1.8. Лемма. а) Интеграл Хеллингера порядка а,
определенный в 1.7, не зависит от меры Q, удовлетворяющей 1.1
(значит, р(Р,Р') также не зависит от Q).
Ь) Расстояние Какутани-Хеллингера, определенное в 1.3 (или
1.4), является расстоянием на множестве всех вероятностных
мер на (fi,^7).
Мы увидим в главе V, что топология, определяемая
расстоянием р, является топологией сходимости по вариации.
Доказательство. а) Достаточно показать, что если
Q удовлетворяет 1.1 и Q — другая вероятностная мера со
свойством Q <C Q (следовательно Q удовлетворяет 1.1), то
EQ(zQzn-Q) = E^t1'0), где z = dF/сЩ и z' = d?'/dQ.
Положим Z = dQ/dQ. Тогда J = Zz и г* = Zzf и, следовательно,
EQ(zazn~a) = E^ZsV1-") = EqO^V1-*).
b) Если p(P,P') = 0, то z = *' Q-п.н. и, значит, Р' = P.
Пусть P, P', P" — три вероятностные меры на (ft,^7) и Q —
другая вероятностная мера такая, что Р < Q, Р' < Q, Р" < Q.
Обозначим z = dP/dQ, 2/ = dP'/dQ, 2" = dF"/dQ. Применяя
неравенство треугольника в £2(Q) имеем
[EQ(^-v^)2]1/2<
< [EQ(v/F- v/у)2]1'2 + [Eq(>/?- v^7)2]172,
так что
Kp,p")</>(p,p') + />(p',p"). D

1. Интегралы Хеллингера и процессы Хеллингера 311
В частности, при вычислении #(а; Р,Р') можно использовать
меру
1.9. Q = I(P + P'),
которая, очевидно, удовлетворяет 1.1. В этом случае существуют
версии z и z' такие, что
1.10. z + z' = 2.
1.11. Лемма. Пусть выполнено 1.1. Тогда
a) следующие условия эквивалентны:
0) Р' < Р,
(И) Р'(* > 0) = 1,
(iii) #(а;Р,Р')-> 1 при а | 0;
b) следующие условия эквивалентны:
(i) P'J_P (т.е. Р и Р' — сингулярные меры),
(ii) Р'(* > 0) = 0,
(iii) Я(а;Р,Р') -> 0 при а | 0,
(iv) Я(а; Р, Р') = 0 для всех a Е (0,1),
(v) Н(а; Р,Р') = 0 для некоторого a Е (0,1).
Доказательство. По определению z и z' имеем
Р(* = 0) = EQ(zl{,=0}) = 0, Р'М П {z > 0}) =
= Ес^г'^гфх)}) = Eq^'-l^nfoO}] = Ер^ — 1дп{*>0}]
для Л G/. Эквивалентность (i) О (ii) легко проверяется в
обоих случаях а) и Ь). Кроме того, zQzn"Q —► z'l{z>o} при а [ 0 и
0 < zQzn~Q < olz + (1 — a)z', где правая часть этого неравенства
является Q-интегрируемой. Отсюда по теореме Лебега о
мажорируемой сходимости
ШпЯ(а;Р,Р') = EQ(2'1{2>0}) = Р'(* > 0),
и, следовательно, эквивалентность (ii) О (iii) имеет место в обоих
случаях а) и Ь).
Наконец, #(а;Р,Р') = EF,[(z/z')al{z>0}) и P'(z' > 0) = 1.
Поэтому для каждого a E (0,1) имеет место эквивалентность P'(z >
0) = 0 & Н(а; Р,Р') = 0. Отсюда вытекает, что
(ii) & (iv) <£> (V) в утверждении Ь). П

312 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
§1Ь. Процессы Хеллингера
1. В этом разделе рассматривается измеримое пространство
с фильтрацией (Q, J",F), T = J*oo-5 на котором заданы две
фиксированные вероятностные меры РиР'.
Пусть Q — другая вероятностная мера на (П, F). Для целей,
которые выявятся позднее, вместо 1.1 введем условие (см. III.3.2)
1.12. Р < Q, Р' < Q.
Обозначим z и z1 процессы плотности РиР' относительно Q
(см. III.3.4). Эти процессы являются Q-мартингалами и
обладают следующими свойствами:
Г Т — момент остановки =$► Zt = </PT/dQT и
zL = dP'T/dQT на {Г < оо},
1.13. {
I Г — предсказуемый момент => гт_ = dPT_/dQT- и
( 4- = d?'T_/dQT_ на {Т < оо},
где Рт, Рт> Qt (соответственно Рт-, Рт-> Qt-) — сужения Р, Р',
Q на JV (соответственно на J*t-)-
Более того, имеет место и такое свойство.
1.14. Если выполнено 1.1, то z и zf являются Q-равномерно
интегрируемыми мартингалами и 1.13 выполняется на всем ft,
а не только на множестве {Г < оо} (поскольку z^ = z^^ и
{Г = оо} П Тт- = {Т = оо} П Тт = {Т = оо} П Т). D
Положим
1.15.
{Rn = inf(i: zt < 1/n), R = Um | Дп, Г = иДО, Д»1,
Д; = inf(<: z[ < 1/n), R* = Um | J£, Г = иДО, KJ,
5n = Rn A R'n, S = ЯЛ Я' = Um | Sn, Г = ГП Г = иД0,5Д,
n
и, принимая во внимание Ш.3.6, заметим, что с точностью до
Q-пренебрежимого множества
1.16. Г = {*_ > 0} U [0J, [0, Я[= {z > 0};
Г = {z'_ > 0} U [0J, [0, Д'[= {z' > 0}.

i. Интегралы Хеллингера и процессы Хеллингера 313
1.17. Лемма. Пусть а Е (0,1). Тогда процесс Y(a) =
= zazn~a является Q-супермартингалом. Остановленный
процесс У(а)г принадлежит классу (D) для всех < G R+. Если к
тому же имеет место 1.1, то Y(a) принадлежит классу (%D).
Доказательство. В силу неравенств 0 < Y(a) <
< az + (1 - a)z' и того факта, что для всех <GK+ остановленные
Q-мартингалы zx и zn принадлежат классу (D) (соответственно,
z и z1 принадлежат классу (D) при условии 1.1), процесс Y(a)
обладает теми же свойствами.
Далее, функция (и, v) -^ uavl~a на R2 выпукла вниз. Поэтому
по неравенству Иенсена при s < t (см. [188], П.6.1) имеем
EqO*^1-" | Г.) < Eq(zt | ^)aEQ(^ | ^)1-a = z*X~*. П
1.18. Теорема. Пусть а 6 (0,1) и Y(a) = zazn~a.
Тогда существует предсказуемый возрастающий процесс h(a) со
значениями в R+ и с h0(a) = 0, определенный с точностью до
Q-неразличимости и удовлетворяющий двум условиям
1.19. h(a) = 1г» • h(a).
1.20. М(а) = Y{a) + Y(a)„ • h(a) является (^-мартингалом.
Если к тому же 1.1 выполнено, то М(а) является (^-равномерно
интегрируемым мартингалом.
Доказательство. В силу 1.3.13, применяя
локализацию с фиксированными моментами времени, получаем Q-мар-
тингал М(а) и возрастающий конечный предсказуемый процесс
Л(а) с А(а)0 = 0 такой, что М(а) = Y(a) + А(а) (разложение
Дуба-Мейера). Более того, при выполнении 1.1 мартингал Y(a)
и, значит, мартингал М(а) принадлежат классу (D).
На [5,оо[ Y(a) = 0 и Y(a)Sn -» 0 при п | оо на ПП{5П < 5}.
Отсюда получаем, что процесс 1р"с • Y(a), являющийся пределом
процессов ljsn,oo]j • Y(a) = Y(a) - Y(a)Sn, равен нулю. Таким

314 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
образом, 1Г//С • М(а) = 1г»с • А(а) и поскольку предсказуемый
локальный мартингал с траекториями конечной вариации является
константой (см. 1.3.16), имеем
1.21. 1г»с -А(а) = 0 Q-п.н.
Далее, У (а)- > ОнаГ"П]]0,оо[[. Тогда процесс h(a) = (уп?г1г")х
X А(а) обладает всеми требуемыми свойствами (свойство 1.20
вытекает из равенства А(а) = У(а_) • Л(а), которое получается из
1.21).
Наконец, единственность h(a) вытекает из единственности
разложения Дуба-Мейера, 1.19 и того факта, что У (а)- > 0 на
Г"П]|0,оо[[. D
1.22. Теорема. Процесс h(a), определенный в теореме
1.18, не зависит от меры Q, удовлетворяющей 1.12 в следующем
смысле: если Q — другая мера и Q «С Q (т.е. Q удовлетворяет
1.12) и h(a) и h(a) — процессы^ определенные относительно Q
и Q, то h(a) и h(a) являются (^-неразличимыми.
В частности, неважно, какая мера Q выбрана, поскольку h(a)
является единственным процессом с точностью до Р- и Р'-прене-
брежимого множества (стоит заметить, что введенные выше
процессы h(a) и h(a) не обязательно Q-неразличимы).
Доказательство. Пусть Z — процесс плотности
меры Q относительно Q, a J и 2* — процессы плотности мер Р и
Р' относительно Q. Тогда I = Zz и ? = Z1? и F(a^:= S"?^-" =
= ^У(а). Положим А(а) = Y(a)_ . ft(a), A(a) = У(а)_ • Л(а) и
М(а) = Y(a) + М(а).
Процесс А(а) является предсказуемым и возрастающим.
Следовательно, по формуле Ито (1.4.49с) получаем (относительно
меры Q), что A(a)Z = А{а) • Z + Z_ • A(a) и
Y(a) = ZM(a) - ZA(a) = ZM(a) - A(a) Z - Z_ - Л(а).
Заметим теперь, что процесс A(a)-Z является Q-локальным
мартингалом. Процесс ZM(a) в силу III.3.8а также является Q*
мартингалом, и Z_ • А(а) = У(а)- • ft(a). Таким образом, У (а) +
+У(а)_ -Л(а), а также У(a)+Y(a)_ -fr(a) являются Q-локальныМй

i. Интегралы Хеллингера. и процессы Хеллингера. 315
мартингалами. Единственность канонического разложения Y(а)
для меры Q приводит к равенству
1.23. 7(a)- • h(a) = Y(a). • h(a) Q-п.н.
Кроме того, Q(inf5<t Z8 > 0) = 1 для всех t < ос. Поэтому
{F(a)~ > 0} D Г"П])0, ос[ с точностью до Q-пренебрежимого
множества. Интегрируя Y(a)Zllr" по возрастающим процессам из
правой и левой части равенства 1.23, получаем n(a) = h(a) с
точностью до Q-пренебрежимого множества. D
1.24. Определение, а) Возрастающий предсказуемый
(единственный Р- и Р'-п.н.) процесс h(a)j определенный в 1.18,
называется процессом Хеллингера в узком смысле порядка а для
мер Р и F.
Ь) Процессом Хеллингера порядка а для мер Р и Р'
называется любой возрастающий процесс h'(a) такой, что 1Г//Л'(а) и
lrnh(a) (или экйивалентно, 1Г// * h(a) и 1г" • h'(a)) являются Р- и
Р'-неразличимыми процессами.
Чтобы отразить несимметричную роль мер Р и Р', для
обозначения процессов Хеллингера будем использовать запись Л(а; Р, Р').
1.25. За м е ч а н и е. Как будет видно в § Зс, для
канонического пространства (£2,.F,F) и канонического d-мерного процесса
X с непрерывными справа и имеющими пределы слева
траекториями (см. "каноническую постановку" в Ш.2.13) и мерами Р и
Р', относительно которых Xявляется процессом с независимыми
приращениями, существует детерминированная версия процесса
Хеллингера Л(а;Р,Р'). Вообще говоря, это не легкий результат.
Тем не менее, в качестве следствия к теореме 1.22 приведем схему
простого доказательства этого факта для частного случая локаль-
„ loc loc
нои взаимной эквивалентности мер РиР' (т.е. Р; < Р и Р < Р').
В этом случай процесс плотности Z меры Р' относительно
Р обладает тем свойством, что Z > 0 всюду. Следовательно, по
^ореме Ш.5.35 Z задается формулой Ш.5.23, где А —
детерминированная функция, N — процесс с независимыми приращениями
относительно Р. Нетрудно проверить, что при s < t случайная
ветчина Zt/Zs является Р-независимой от Т*. Теперь, принимая во

316 Гл. IV. Процессы Хелляягера
внимание 1.22 и используя меру Q = Р для вычисления h{a\ Р, Р')
получаем, что z = 1 и z1 = Z, a Y(a) = Z1"* (обозначение из
1.18). Кроме того, интеграл Хеллингера H(a)t = Н(а; P*,PJ)
равен EP(Zt1_or). Следовательно, функция t ~> H(a)t является не.
возрастающей, положительной, непрерывной справа и имеющей
предел слева с Я(а)0 = 1. Более того, если N = Y(a)/H(a), то
для s < t
Н(о), 1 р r/Z«\i— ,_«l _
<N-S$M(|rN-S$M(fn-'
и, следовательно, N является Р-мартингалом. Кроме того, по
формуле Ито (1.4.49с) имеем
Y(a) = NH(a) = Н(а) • N + N-• Н(а).
Сравнивая это представление с 1.20 и принимая во внимание, что
в данном случае Г;/ = fixR+, получаем равенство Y(a)_ • h(a) =
= — iV_ • Н(а) и, следовательно,
1.26. Л(а) = __1_.Я(а),
т.е. имеет место требуемое утверждение. D
2. Предшествующее замечание и название "процесс
Хеллингера" наводят на мысль о связи Л(а;Р,Р') и интегралов
Хеллингера.
1.27. Предложение. Пусть h(a) — любая версия
Л(а;Р,Р') и Y(a) = zQzn-<*. Тогда:
1.28. Т — момент остановки => #(а; Рт> Рт) = Н{а\ Р0, Р'о)-~
-Eq(Y(a)_.h(a)T),

J. Интегралы Хеллингера, и процессы Хеллингера, 317
129. Т — предсказуемый момент => Я(а;Рт_,Р^_) =
= Я(а;Р0,Р{,)-Ед(У(а).Л(а)т-).
Доказательство. Правые части равенств в 1.28 и
1.29 зависят от сужения h(a) на Г", т.е. можно считать, что
процесс h(a) определен в 1.18.
Предположим сначала, что Т — ограниченный момент
остановки. Тогда в силу 1.13 #(а;Рт,Рт) = EQ(y(a)T).
Следовательно, 1.28 вытекает из 1.20. Аналогично, Н(а;РТ_,Р^_) =
= Ед(У(а)т_), и 1.29 вытекает из 1.20 и свойства EQ(M(а)т-) =
= Eq(M(a)T) в случае ограниченного и предсказуемого момента
остановки Т.
Рассмотрим теперь общий случай. Для ТАп 1.28 имеет место
и EQ[y(a)_ -h(a)TAn] | Ед[У(а)_ •/i(a)T]. С другой стороны, если
Q=^,TO
#(а;РТЛп,Р^Лп) = Ед[У(а)ТЛп] J Ед[У(а)т] = #(а;Рт,Р^),
и 1.28 имеет место для Т. Аналогично доказывается 1.29. □
Установим теперь один технический результат,
1.30. Лемма. Пусть h(a) — версия ft(a;P,P'). Тогда с
точностью до множества Q-меры нуль
a) Ah(a) < 1 на Г", Ah(a) < 1 на Ц0,5[[;
b) если Т — предсказуемый момент иТ > S, mo Ah(a)x = 1
на множестве Un{T = Sn < оо}.
Доказательство. Без потери общности можно
предположить, что h(a) — процесс Хеллингера в узком смысле.
а) Пусть Г — предсказуемый момент. Тогда в силу 1.2.27 и
1.18 на {Т < оо}
1.31. 0 = EQ[AM(a)T|^T_] =
= Ед[У(а)т | Тт_] - У(а)т.[1 - Ah(a)T].
Поскольку У (а) > 0 и У(а)_ > 0 на Г"Г)])0,оо[[, имеем Ah(a)T < 1
(напомним, что Ah(a) = 0 вне множества Г"). Тот факт, что
A/i(a) < 1 с точностью до Q-пренебрежимого множества следует
из теоремы о предсказуемом сечении 1.2.18.

318 Гл. IV. Процессы Хеллингера
Пусть теперь Т = inf(* : Aht(a) = 1) является
предсказуемым моментом. В силу 1.31 Ед[У(а)т | ^т-] = 0 на {Г < оо}
и, следовательно, У(а)т = 0 Q-п.н. на {Т < оо}. Тем самым,
Т > S Q-п.н. и доказательство утверждения (а) закончено.
Ь) Пусть Т — предсказуемый момент и Г > 5. Тогда Y(а)т =
= 0 на {Г < оо} и, значит, в силу 1.31 Y(a)T_[l - Ah(a)T] = О на
{Г < оо}. Поскольку У(а)т_ > 0 на множестве U„{T = Sn < оо},
то ДЛ(а)т = 1 Q-п.н. на этом множестве. D
В частности, этот результат показывает, что множества
{Aft(a; Р,Р') = 1} П Г" совпадают Q-п.н. для всех a € (0,1) (эти
множества совпадают с "наибольшим предсказуемым случайным
множеством", включенным в J5J П Г").
§1с. Вычисление процессов Хеллингера в терминах
процесса плотности
Свойства процесса Хеллингера h(a) установлены в 1.18.
Однако, в 1.18 не дается "явное" представление для него. В этом
разделе приводится способ вычисления Л(а) в терминах
"характеристик" процессов плотности z и z1 мер Р и Р' относительно Q
без каких-либо условий на Р и Р'.
В следующем разделе вводятся некоторые ограничения на Р
и Р' (Р и Р' являются единственными решениями мартингаль-
ных проблем). В этом случае устанавливается более конкретная
форма для /i(a).
Основные предположения в этом параграфе такие же, как в
§ lb. В частности, если не оговаривается противное,
предполагается выполненным только 1.12 (относительно Q). Определим
функцию (pQ : R+ —► R+ (a € (0,1)) формулой
1.32. <Pa{u,v) = an + (1 - a)v - uavl~a.
1.33. Теорема. Обозначим zc и z,c непрерывные мартин-
гальные составляющие z и zf относительно Q и i/(z'z) —
третью (^-характеристику двумерного процесса (z,zf).
а) Мера и^г>г) нагружает только V ® 1¥-измеримое
множество Л = {(о;, *,я,2/) : t > О, х > -2t_(u;), x = 0 при
zt-(w) = 0, у > -*J_(u;), у = О при z't_(u) = 0}.

1. Интегралы Хеллиягера и процессы Хеллингера. 319
Ь) Версия процесса Хеллингера ft(a;P,P') задается формулой
1.34. h(a) = ^^{ Jr • (*'>*') ~ ^Г • <*•,*">+
Последний интеграл в 1.34 в развернутом виде есть (0/0 = 0)
t
[ La{\ + —, 1 + -f-)!/<*•*'> (<fc X (rfx.rfy)).
0 IE3
Доказательство. а) Поскольку Az + z_ > 0,
Az = 0 при 2_ = 0, и аналогично, Дз' + 2;_ > 0, Дз' = 0 при
z'__ = 0, то случайная мера //(*>*') скачков двумерного процесса
(z, г') нагружает только множество Л. Это свойство переносится
и на i/*»*) в силу того, что Л — предсказуемое множество.
Ь) Зафиксируем п Е N*. Пусть / — функция из класса С2 на
R2 такая, что /(х,у) = хау1~а для х > 1/п, у > 1/п. Отсюда
Y(a) = /(г, z1) на [0, Sn\ и в силу формулы Ито
(1) Д*5",**") = У(а)0 + a^bi. г5„ + (1 _ а)Щк .у5.+
a(a-l)Y(a)_ . _ Л4с ,„ чУ(а)_ . _ /Л.с
+ 2 г2 '{Z%Z) + a(1 ~ а)Т^~ "<г '* }
а(1-а)У(а). 5
- 2 г1? \z >* I +
5< Л5п 5" *"
При 5 < 5п имеем с учетом 1.32
Y(a), - У(в)._ - а^^Д*. - (1 - а)^^ДУ. =
Z3- ZS-
«Дг. \а/ Дг'ч*-» Дг, , v Дг' ^
l + -^)(> + ^) -l-a-i-(l-.)-^}-

320 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
z$— zs-
Для простоты записи обозначим
*(<*) = ^^{^ ' <*Ve> - -2j_ • (z',z'<) + ± • {z\ *">}.
Тогда в силу (1) при t < 5„
(2) ¥{<*)?- = У(в)0 + «^^ • *f" + (1 - а)^^ • ^5»-
-У(о)_ • *(a)f- - У(а)_110,5.,^(1 + f, 1 + j) * /4''°.
Приведенная выше формула для Y(a)s показывает, что скачки
процесса У(а)5п и скачки процесса в правой части равенства (2)
совпадают. Поскольку (2) справедливо на [[0,5П[[, то (2)
справедливо при всех <GR+.
Рассмотрим теперь (2). В силу 1.18 Y(a)Sn является
специальным семимартингалом. Два первых стохастических интеграла в
(2) являются Q-локальными мартингалами, процесс k(a)Sn
принадлежит AfoC (относительно Q) и, следовательно, таким же
является процесс Y(a)„ -k(a)Sn. Поэтому последний процесс в правой
части (2) (с траекториями конечной вариации) в силу 1.4.23
должен принадлежать к .4ioc- Следовательно, в соответствии с П.1.7
Q-компенсатором этого процесса является процесс y(a)_l[0jsni X
X^a(l + jK 1 + ~jfr) * ^z,z *• С учетом этого получаем, что процесс
У (а)5» + У(<*)_ • k(a)s" + y(a)_l|0|s„iW,(l + j-, 1 + |-) * ^
является Q-локальным мартингалом. Сравнение с 1.20
показывает, что процесс /i(a), определенный в 1.34, совпадает с процессом
Хеллингера на каждом интервале Ц0, 5П]]. Требуемый результат
имеет место, поскольку Г" = ипЦ0,5п|. О
1.35. Следствие. Предположим, что Q = |(Р + Р')*
Обозначим vz третью (^-характеристику z. Тогда процессом
Хеллингера порядка а в узком смысле является процесс
1.36. h(a)= К 2 ;(- + ^г) ■{ze,z<) + <pa(l + -,l-—)*S,

1. Интегралы Хеллингера. и процессы Хеллингера 321
где z' = 2 - z.
Доказательство. Поскольку z + z' = 2, имеем
f -f z,c = О, что влечет за собой равенства (z,c,z,c) = (zc,zc) —
- — (zc,z/c). Более того, Azf = — Az и, значит, если ц2 — мера
скачков z, то
t
JJw(u;, s, (x, y)W"> (w; <tf X (efe, dy)) =
О Ш2
t
— / W(u>,s,(x,—x))iiz (u>;dsydx)
О Ш2
и это равенство остается верным с заменой fi^z,z ) и ^* на i/*,z ) и
vz для предсказуемых функций W. Поэтому 1.34 в данном случае
имеет форму 1.36.
Чтобы увидеть, что процесс h(a) действительно является
процессом Хеллингера в узком смысле, заметим, что 1Г"с • z = О
и, следовательно, ни {zc,zc), ни vz не нагружают Г//с. Поэтому
h(a) = 1Г// -h(a). □
1ос
1.37. Следствие. Предположим, что Р' < Р « Z —
процесс локальной плотности Р' относительно Р. Обозначим
Zc — непрерывную мартингальную составляющую Z
относительно Р и vz — третью Р-характеристику Z. Тогда процесс
Хеллингера порядка а в узком смысле определяется следующим
образом
1.38. ft(o)= 2(1^12.. (г%г«)+
w, e частности.
П.Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

322 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
Доказательство. Выберем Q = Р. Тогда
z = 1, z1 = Z и (zc,zc) = (zcyz,c) = 0. Если \lz — мера
скачков Z, то
t
j' JW{U, s, (x, y))/*<*•*'> (ui; <fc X (At, if»)) =
0 №
t
0 A
и это равенство остается верным с заменой //г,г) и /xz на iA*»*) и
i/z для предсказуемых функций W. Тем самым, 1.34 имеет форму
1.38, а тот факт, что h(a) является процессом Хеллингера в-узком
смысле, устанавливается так же как в 1.35. D
§ld. Другие интересные процессы
Этот параграф имеет технический характер. В нем
определяется семейство процессов, "похожих по поведению на процесс
Хеллингера". Некоторые из них используются (также как и
процесс Хеллингера) для изучения абсолютной непрерывности и кон-
тигуальности, а также в главе X.
Основные предположения и обозначения в этом параграфе
такие же, как в § lb и, в частности, имеют место 1.12, 1.13, 1.15.
Рассмотрим функцию ф : R+ -» R+ с таким свойством:
ф(х)
1.40. -j |2 ' -г является ограниченной функцией (от-
сюда, в частности, следует, что ^(1) = 0 и ^ — локально
ограниченная функция). Кроме того, положим ф(оо) = 0. Далее,
по договоренности будем считать, что 0/0 = 0 и а/0 = сю для
а G (0, сю]. Следующая формула определяет "обобщенный
возрастающий процесс" в смысле III.5.8:

1. Интегралы Хеллингера и процессы Хеллингера 323
1.42. Предложение. Пусть ф — определенная выше
функция. Тогда существует единственный (с точностью до
Q-неразличимости) предсказуемый возрастающий процесс 1{ф)
с г(^)о = 0, принимающий значения в R+, такой, что
1.43. W = 1г» ■ t'(tf);
1.44. процесс ](ФУП — г{фУп является Q-локальным
мартингалом для любого п Е N*.
Доказательство. а) Сначала покажем, что каждый
остановленный процесс ](ФУП является Q-локально
интегрируемым. С этой целью зафиксируем п из N* и обозначим К =
= sup, ф(х)/(\х - 1|2 Л \х - 1|). Пусть В = {\Az\ < ^} П {|Дг'| <
—•}. Тогда имеет место разложение j^)Sn = F + G, где
?■ - £ ь(ф(^),
а, = £ мф(^).
На множестве В П [0,5„]] имеет место неравенство z'/zl > 1/2.
Следовательно,
* ,,,(*/г-\ < г' ( zlz- _ ,\2 _ TAbz/z.-Az'/z'_)2
z'_W\z'/zL) ~ г'.Уг'/г1. > z'/*-
Поэтому jFt < 4А'п2(1в-[г,г]|+1в-[г/,г/]<). Значит, F — конечный
возрастающий процесс с равномерно ограниченными (константой
2К) скачками, т.е. F является Q-локально интегрируемым.
С другой стороны, из 1.4.56 легко вывести, что
возрастающие процессы At = sup5<t|A25| и A!t = sup5<t |A^| являются
Q-локально интегрируемыми. Использование свойства 1.40
позволяет установить на [[О, S„J соотношение:
zlz- \ ^ v z' I zlz-
Az Az1
z ,/z/z-\ ^rj,z\zz- j TA^Z £±z \ ^ /i * . .a /in
11*

324 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
Таким образом, при Т0 = 0,..., Тр = inf(t > Tp_i : t G Яс), р > 1
имеет место оценка бтрл* ^ #np(At + А{) и, следовательно,
остановленный процесс G7* является Q-локально интегрируемым.
Заметим теперь, что множество Вс является "дискретным" и,
значит, Гр | оо при р | оо. Отсюда вытекает, что процесс G является
Q-локально интегрируемым. Из Q-локально интегрируемости F
и G следует Q-локальная интегрируемость ]{$)Sn.
Ь) В силу Q-локальной интегрируемости возрастающего
процесса ](ФУп у него имеется Q-компенсатор, обозначаемый г(ф,п)
и являющийся константой на |[5П, оо[[. Очевидно также, что в
силу единственности определения компенсатора ((ф,п + 1) = 1{Ф,п)
Q-п.н. на [0,5„]|, откуда следует, что процесс
п>1
имеет требуемые свойства. □
Приведенный выше результат является аналогом теоремы
1.18. Теорема 1.22 имеет также свой аналог с мало
отличающимся доказательством.
1.45. Предложение. Процесс г{ф), определенный в
1.42, не зависит от меры Q, удовлетворяющей 1.12, в следу-
—.— 1ос —
ющем смысле: если Q — другая мера с Q <С Q и г{ф), г{ф) —
процессы, отвечающие мерам Q, Q, то г{ф) и 1{ф) являются
(^-неразличимыми.
Доказательство. Обозначим Z, J, 2* процессы
плотности Q, Р, Р' относительно Q. Тогда Т = zZ, ~z* = z'Z.
Определим ]{ф) и ]{ф) в соответствии с 1.41. Далее, используем
обозначение из 1.15 для Sn и Г", Sn и Г . Поскольку inf( Zt > О Q-п.н.,
то Г" = Г Q-п.н. _и, следовательно, достаточно показать, что
i(^)5nA5"/ = i(V>)5nA5n' Q-п.н. для каждых n, n' E N*. После
остановки всех процессов в момент времени Sn Л 5П/, можно считать,
что Sn = 5„/.= оо для некоторых n, n' Е N*. В частности, это
влечет за собой эквивалентность мер QhQ(Q~Q).
Положим А = z'_ • ]{ф) и В = z'_ • {(ф). Тогда в силу 1.43 и
условия Sn = оо процесс М — А — В является Q-локальным
мартингалом с некоторой локализующей последовательностью (Тр)

I. Интегралы Хеллингера, и процессы Хеллингера. 325
(относительно меры Q). Поскольку Q ~ Q, то Тр | °о Q-п.н.
при р Т оо и, значит, в силу Ш.3.8с МZ является Q-локальным
мартингалом. По формуле Ито
ZA = Z - А + Л_ • Z, ZB = Z_ • В + В • Z
и, следовательно,
Z • Л = ZM - А_ • Z + BZ + Z_ • В.
Но процесс ZM - А_ • Z + В - Z является Q-локальным
мартингалом. Таким образом, 2L • В является Q-дуальной предсказуемой
проекцией процесса Z • Л. Кроме того, в силу 1.41 Z - А = 21 • j(V0
и Sn, = оо. Тогда ввиду характеризации 1.42 процесса 1{ф) имеем
j!_ . г(^) = 2L • В = г! • г(^) Q-п.н. Используя снова тот факт, что
Sn> = оо получаем 1{ф) = КФ) Q-п.н. □
1.46. Определение. Пусть ф — функция,
удовлетворяющая свойству 1.40. Обозначим через г(^;Р,Р')
произвольный возрастающий процесс 1\ф) такой, что процессы lr''*'(V0 и
\г,,г{ф) (или, эквивалентно, процессы 1Г» • г\ф) и 1р» • г(ф))
являются (Р + Р'^неразличимыми, где г{ф) — процесс из 1.42.
В силу 1.45 это определение имеет смысл и процесс
1г" • КФ] Р, Р') задается единственным образом с точностью до
(Р + Р')-пренебрежимого множества независимо от
доминирующей меры Q. Процесс г(^;Р,Р') можно вычислять по формулам,
аналогичным 1.34 или 1.36 или 1.38.
1.47. Предложение. Пусть функция ф
удовлетворяет 1.40 (напомним, что по соглашению ф(оо) = 0).
а) Если i>(z,z) обозначает третью (^-характеристику
двумерного процесса (z,z'), то версия г(^;Р,Р') задается формулой
ад=(1 + Х)ф(1±£^).^»
или, подробнее,
ад<=II (1+^МЩ/^) * и(г'г>) {ds x е*^»)-
0 12 ^

326 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
b) Если Q = Е±£- и vz обозначает третью (^-характеристику
процесса z, то версия процесса i(^;P,P') задается формулой
1.49. ад_(1 + Л.),(1±££).,,.
1ос
c) Если Р' < Р и Z — процесс плотности меры Р
относительно Р, vz — третья Р-характеристика Z, то версия
г(^;Р,Р') задается формулой
1.50. W=(1+|-)^(_i_),H.
Доказательство. а) Используя обозначение //*'*')
для меры скачков процесса (z,z;) (см. доказательство 1.33),
выводим из 1.41 представление
^Ml+zMЩ7t^''<""',•
и, значит, 1.48 следует из 1.42.
Утверждения (Ь) и (с) выводятся из (а) точно так же, как это
сделано в 1.35 и 1.37. □
Интересный частный случай связан с функцией
1П ,/ ч I х, если х = 0,
4 ' ! п если # > 0.
■С:
1.52. Определение, а) Назовем процессом Хеллингера
порядка 0 между мерами Р и Р' (обозначение /&(0;Р,Р')) любую
версию процесса г(^;Р,Р') с функцией Ф, определенной в 1.51.
Ь) Процессом Хеллингера порядка 0 в узком смысле
называется версия h(0) процесса Л(0; Р,Р') такая, что h(0) = 1Г" • МО)
(эта версия единственная с точностью до (Р + Р/)'пРенебрежимого
множества). О
Другими словами, Л(0;Р,Р') — любой возрастающий процесс
такой, что 1Г" • /i(0;P,P') является Q-компенсатором процесса
1.53. $^1г''(<*):т"1{*.=о} = -r~l{o<s<oof*5=o<*s_}lis,oo|[.

i. Интегралы Хеллингера. и процессы Хеллингера. 327
Причина, по которой процесс Л(0;Р,Р') будем называть
"процессом Хеллингера порядка 0", становится ясной из приводимого
ниже следствия к 1.47, где используется функция
1.54. Mu,v) := *>!{*=<>} = W>(-) = Vjmo<pa(UjV).
1.55. Следствие, а) Если i/(z,z) — третья
(^-характеристика двумерного процесса (z,z')f то версия процесса
/г(0;Р,Р') задается формулой
1.56. Л(0;Р.П = (i + 7-)1(«+.-=о>"<''*') =
b) Если Q = |(Р+Р') w ия обозначает третью
(^-характеристику z, то версия Л(0;Р,Р') задается формулой
1.57. Л(0;Р,Р')= (l-|")l{«+,_=o}*^=Vo(l + |-,l-|-)*^.
loc
c) Если Р' < Р, mo Л(0;Р,Р') = 0 и этот "нулевой" процесс
является процессом Хеллингера порядка О в узком смысле.
1.58. Замечание. Представление 1.56 показывает, что
формально /г(0;Р,Р') является процессом /&(а;Р,Р') для а = О
(ср. с 1.34). Более того, У(0) := z'l{z>0y совпадает с Цтац0У(оО
(определение Y(a) дано в 1.18) и, следовательно, является
Q-супермартингалом. Однако, соотношение 1.20, вообще
говоря, нарушается при а = 0. Действительно,У(0)5л = z'Sn -+ z's
при п —► оо на множестве C\n{Sn < S}. Поэтому 1(г»)с • Y(0) не
всегда равно нулю. □
Наконец, приведем второстепенный результат, аналогичный
1-30 (заметим, что функция Ф, определенная в 1.51, удовлетворяет
требованиям сформулированной ниже леммы).

328 Гл. IV. Процессы Хеллиигера.
1.59. Лемма. Пусть ф — функция, удовлетворяющая
условию 1.40, такая, что ф(х) < ф(0) для всех х > 0. Пусть
1{ф) — любая версия г(^;Р,Р')- Тогда с точностью до
множества Q-меры нуль
a) А1(ф) < ф(0) на Г" и А1(ф) < ф(0) на [0,S|[;
b) если Т — предсказуемый момент и Т > S, то А1(ф)т =
= ф(0) Q-п.н. на множестве l)n{Sn = Т < оо}.
Доказательство. Без потери общности можно
предположить, что г{ф) = 1Г"-г(ф) является процессом, определенным
в 1.42. Положим 7 = ^(0).
a) Пусть Т — предсказуемый момент. Тогда в силу 1.42 на
множестве Un{T < Sn} имеем
1.60. А1{ф)т = Ея(АЛф)т | JTT_) < 7EQ(4/4- I *т-) = 7,
поскольку ф < 7 и Ед(г^ | Ft-) — zt~- Кроме того, А1(ф)т = 0 на
множестве ПП{5П < Т < оо}. Поэтому по теореме 1.2.18 о
предсказуемом сечении А((ф) < 7 с точностью до Q-пренебрежимого
множества.
Кроме того, Т = in£(/ : Аг{ф) = 7) — предсказуемый
момент. Далее, имеем ф(х) < 7 для х > 0, в то время как 1.60
влечет за собой равенство А](ф)т = 7-47z'T__ Q-п.н. на множестве
{Т < оо}. Поэтому ZZTjzT~ = 0 Q-п.н. на множестве {Г < оо,
z'T > 0} и, значит, zT = 0 Q-п.н. на множестве {Т < оо, zip > 0}.
Отсюда получаем, что Q(T > S) = 1.
b) Пусть Т — предсказуемый момент и Т > 5. Тогда на
множестве {Т < оо} имеем либо z'T = 0, либо zT = 0, z'T > 0. В
последнем случае Ф(*г7/J~) = 7- Поэтому в обоих случаях А]{ф)т =
= lzfT/z'T__. Таким образом, А1(ф)т — Eq^^t/^t- 1-^т-) = 7 на
множестве Un{T = Sn < 00}. D
§1е. Дискретное время
1. Рассмотрим измеримое пространство с фильтрацией в
дискретном времени (ft, J",F = («Т^Опен)» на котором заданы две
вероятностные меры Р и Р'. Пусть Q удовлетворяет 1.12 й

i. Интегралы Хеллингера. и процессы Хеллингера. 329
z = ('2:n)n€N? *' = (^n)«€N — процессы плотностей Р и Р'
относительно Q (см. § Ш.Зе). Следуя Ш.3.45, положим
1.61. д, = -*Ц ft = -£-,
считая 0/0 = 0 (напомним, что zn = 0, если zn_i = 0). Для a Е
(0,1) любая версия процесса Хеллингера А(а; Р, Р'), скажем, /&(а),
определяется с помощью соотношения 1.20, которое при переходе
к дискретному времени выглядит следующим образом:
1.62. (i) n ~+ h(a)n — неубывающее отображение,
h(a)o = 0, h(a)n — ^*п_1-измеримая случайная величина;
(И) процесс M(a)n = *-;#- - Ei<p<„#-i#-T[M«)p "
/i(a)p_i] является Q-мартингалом. ч П
Эта трактовка позволяет легко выразить h(a) в терминах
двух процессов (/?п) и (/%), определенных в 1.61.
1.63. Предложение. Пусть a E (0,1). Следующие
формулы задают две версии процесса /i(a;P,P'):
1.64.
f h(a)n= £ EQ(l-/?;/3;1^|^1),
l<p<n
h(a)n= £ ЕдЫ/Зр,/?;)|^_г].
l<p<n
Эти две версии процесса h(a; P, Р'), вообще говоря, являются
различными. Они также не всегда совпадают с процессом
Хеллингера в узком смысле.
Доказательство. Имеем Eq(/3p | Тр-\) = 1{^р_ж>о}
и Eq(/?p | ^>-i) = l^'^x)}- Тогда в силу вогнутости функции
{u,v) <~+ t^t;1"" на R+ получаем, что
EqC/W^I^p-i) ^ 1W,-i>ol/9;.1>o} < 1,
и> следовательно, оба процесса /i(a), определенные в 1.64,
удовлетворяют 1.62(i). Кроме того, из определения М(а) и из 1.61
втекает, что Eg[M(a)n - М(а)п-Х | Тп-\] = 0, т.е. имеет место
1.62(H). □

330 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
Читатель легко распознает 1.34 во второй формуле 1.64 (в
случае дискретного времени zc = zlc = 0 и можно воспользоваться
П.3.1). Аналогично, если ф — функция, удовлетворяющая 1.40,
то версия 1(ф) задается формулами
1.65. г(ф)п= £ Eq(/?;V>0W)I^p-i),
1<р<п
1.66. Л(0;Р,Р')„= £ EQ(/rpl{/,F=0}|J>-i)
1<р<п
(формула 1.64 имеет место и для а = 0). Действительно,
формула 1.65 непосредственно следует из определения процесса з(ф\
который в данном случае имеет вид (см. 1.41)
яф)п = Е /W/#)-
1<р<п
Кроме того, если вспомнить, что для любой ^-измеримой
неотрицательной величины Y
ЕР,(У | JTp_l} = -?-EQ(Yz'p | Т,-г) = Ед(У/?; | Т,-г)
zP-i
на множестве {z1 x > 0}, то представление 1.65 имеет вид
1.67. 1(ф)п= £ Ер.(ф(^)\^1).
Наконец, предположим, что Р' < Р и Z — процесс плотности Р'
относительно Р. Обозначим
1.68. an = Zn/Zn-X
(считаем 0/0 = 0). Тогда 1.64 и 1.65 принимают вид
( h(a)n= £ Ер(1-Ы1-в1^-1),
169 < х<р<п
] h(a)n= Y, ЕР(^(1,ар)|/р_1)дляае[0,1),

i. Интегралы Хеллингера. и процессы Хеллингера. 331
1.70. i(tf)»= £ Ер(^(^-)|^1).
1<р<п UP
2. Случай независимых случайных величин. Приведем теперь
конкретную конструкцию мер Р и Р'. А именно, будем
предполагать, что Р (соответственно Р') является распределением
последовательности независимых случайных величин. Это
предположение формализуется следующим образом
1.71.
( П = (К*)Н\
Р = ® Рп,
£п(и>) = n-я координата
(в Rd) элемента и Е $1
То — тривиальная а-алгебра,
к = <7(б,...,бо, п> 1,
р' = ® л,
где рп к р'п — вероятностные меры на Rd. Тогда по мере Р
(соответственно Р') "канонические" случайные величины fn являются
независимыми и имеют распределение рп (соответственно рп).
Для каждого п Е N* рассмотрим меру "рп такую, что рп <С ~рп и
р'п < рп. Обозначим r/n = dpn/dpn и^ = dpn/dpn — производные
Радона-Никодима (они являются неотрицательными борелевски-
ми функциями на Rd). Тогда, если Q = ® р»п, то очевидно, что
тч ^°С IOC
P«QhP'<Qh
1.72.
( 1, если п = 0,
пен*
г„ = <
П ^(^р)' если п ^ *'
1<р<п
*1 =
1, если п = 0,
П *£(&)> если п ^ *>
1<р<п
и> в частности, в обозначениях 1.61 /Зп = ?/n(^n)l{2n-.1>o}
(аналогичное представление имеет место для /З'п).
*-?3. Предложение, а) Ясли а Е (0,1), то при
каждом п Е N* интеграл Хеллингера Я(а;РП,Р^), где Рп- и
"п-сужения Р « Р' на а-алгебру Тп {следовательно, ¥<*> = Р,

332 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
Р^ = Р'), задается формулой
1.74. Я(а;Рп,Р:)=ПЯ(а;/)р,р;).
p=i
b) Если а G (0,1), то версия процесса Хеллингера /&(а;Р,Р')
задается формулой
1.75. Л(а)„= £ [1-Я(а;/>р,/>;)].
1<Р<п
c) Если функция ф удовлетворяет 1.40, то версия процесса
г(^;Р,Р') задается формулой
1.76. ад„= ^ [рр№)ф(г,р(х)/т,р(х)).
1<Р<"
В частности, Л(а) и г(^) — детерминированные функции.
Доказательство. а) В силу 1.7 и 1.72, а также
независимости величин £р относительно Q, имеем
F(a;P„,P^) = EQ(zn41-°) = EQ( П %&)4&)1_в) =
М<р<п '
р=1J р=1
Ь) Используя 1.64 и тот факт, что h(a)n можно выбрать
произвольным образом на множестве {zn_i = 0} U {z,n_1 = 0}, а
величины /Зп и /З'п задаются формулами, следующими после 1.72, и
кроме того, используя независимость величин fn относительно Q,
получаем, что
h(a)n = £ EQ(! " г}Р(ЫЧ(ЬУ-а I *f-i) =
l<p<n
= £ /^(^)[i-*(«)4(«)1_i.
i<p<«
где последний член совпадает с правой частью 1.75.
Представление 1.76 доказывается аналогично с использованием 1.67. D
В частности, если ф(и) = 1{«=о}, то из 1.76 вытекает, что
1.77. Л(0)я = £ р'п({* • Ъ(*) = 0})-
1<р<п

2. Предсказуемые критерии 333
2. Предсказуемые критерии абсолютной
непрерывности и сингулярности
§2а. Формулировка результатов
В этом разделе рассматриваются две вероятностные меры Р
и Р' на измеримом пространстве с фильтрацией (П, J",F). При
этом предполагается, во избежание неинтересных усложнений,
что Т — Too- = Vt^t- Как это уже принято, Рт и Р^
обозначают сужения мер Р и Р' на (f),^), где Т — момент
остановки. Цель этого раздела — описать в "предсказуемых терминах"
условия, при которых Ру < Рт или Ру±Рт, или, более точно, в
терминах процессов Хеллингера различного порядка, введенных
в предшествующем разделе.
В действительности, существует много эквивалентных
формулировок, и мы не будем опасаться избыточности. Наш
первый (и возможно основной) результат посвящен абсолютной
непрерывности (все доказательства даны в § 2Ь).
2.1. Теорема. Предположим, что Т = Т^-. Пусть Т —
момент остановки, h(a) — любая версия процесса Хеллингера
ft(a;P,P') порядка a, a Е [0,1) (см. 1.24 для а > 0 и 1.52 для
а = 0). Следующие условия эквивалентны:
0) ?>Т < рт,
(и) PJ < Ро и Р'(Л(1/2)т < оо) = 1 и Р'(Л(0)т = 0) = 1,
(Ш) Р0 < Ро и Л(а)т ^ 0 при а || О
(запись "—►" означает сходимость по вероятности относительно
меры Р').
Очевидно, что в этой и во всех последующих теоремах этого
раздела h(l/2) можно заменить на h(/3) для любого
фиксированного значения /3 Е (0,1).
Как это и должно быть, поведение в момент времени 0 играет
специфическую (впрочем, довольно тривиальную) роль. Чтобы
Условия теорем выглядели более однородными, введем множество
G0, которое (Р + Р')-единственно определяется следующим обра-

334 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
зом:
2.2. GoE/o и
\р;
~ Р0 на Go,
-LP0 на (G0)c.
Множество G0 может быть сконструировано таким образом.
loc loc
Пусть Q — произвольная мера такая, что Р < Q, Р' < Q.
Обозначим z и z1 процессы плотности РиР' относительно Q. Тогда
Go = {z0 > О, 4 > 0} (Р + Р')-п-н.
. и, следовательно,
2 3 К
G0 = {z0> 0} Р'-п.н.
Go = {*£ > 0} Р-п.н.
(напомним, что ?'(z'0 > 0) = 1, Р(*0 > 0) = 1).
Из леммы 1.11 выводим, что
2.4. (Р°«'
1 P'o-LPo
Ро & P'(Go) = 1 & P'(*o > 0) = 1
& P'(G0) = 0 ^ Р'(г0 > 0) = 0.
Введем также следующие два множества (Г — момент
остановки, h(a) — версия Л(а;Р,Р')):
2.5.
( GT = Go П {/>(i)T < oo} П {h(0)T = 0},
GT = Go П {limsup к(а)т = 0}
<*w
(если Г = 0, то Gt = Gr = G0, в соответствии с 2.2).
Следующая теорема включает в себя эквивалентность
(i) <ФФ- (ii) из 2.1. В ней также отражается некоторая симметрия
между проблемами абсолютной непрерывности и сингулярности.
2.6. Теорема. Предположим, что Т = Т<х>-> Пусть Т
— момент остановки и Gt, Gt определены в 2.5.
а) Следующие условия эквивалентны:
(i) р^ < рт,
(ii) P'(GT) = 1,
(Hi) P'(GT) = 1.

2. Предсказуемые критерии 335
b) Сингулярность мер Р^, Рт (P^J-Pt) влечет за собой со-
отношения P'(GT) = О, Р'(<5Т) = О.
c) Если либо P'o-LPo (О P'(Go) = 0), либо Р'(А(1/2)Т < оо) =
= 0, то Р^±РТ.
Приведем два следствия. Первое из них является
переформулировкой 2.6 при Т = оо.
2.7. Следствие. Предположим, что Т = /"оо--
a) Следующие условия эквивалентны:
(i) Р' < Р,
(ii) P'(Goo) = l,
(Hi) P/(G00) = 1.
b) Сингулярность мер Р', Р (Р'±Р) влечет за собой
соотношения P'(Goo) =.0, Р'(^оо) = 0.
c) Если P'o-LPo «ли ?'(h(l/2)OQ < оо) = 0, то Р'±Р.
2.8. Следствие. Предположим, что Т = Т^- «
1ос
Р'<Р. ГогЛ*
а)Р'«Ро Р'(Л(1/2)оо < оо) = 1,
Ь) Р'±Р & Р'(Л(1/2)оо < оо) = 0.
Доказательство. Очевидно, что Р'0 < Ро и,
значит, P'(G0) = 1. Кроме того, в силу 1.55 процесс h(0) = 0
является версией процесса Л(0;Р,Р'). Следовательно, утверждение (а)
(соответственно (Ь)) вытекает из 2.7а) (соответственно 2.7Ь,с).П
Приведенные выше различные критерии для Р^ С Рт
называются предсказуемыми, поскольку процессы h(a) являются (или
могут быть выбраны) предсказуемыми. Нам неизвестно, можно
ли вывести предсказуемый критерий (необходимые и
достаточные условия) для Ру±Рт. Однако, как это показано ниже,
условия P'(Gt) = 0 или Р'(С?т) = 0 не являются достаточными для
P'lP.
2.9. Пример. Пусть <тут — независимые случайные
величины на (ft, /\Q), где Q(<r = 1) = Q(a = -1) = 1/2 и г имеет

336 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
экспоненциальное распределение с параметром 1. Положим
Zt
1, если t < т или t > т > 1,
2, если t > г, т < 1, а = 1,
О, если < > г, г < 1, а = —1,
г' = 2 — 2, ^*t = cr{zs, s < t}. Тогда семейство F = (^)*>о
является фильтрацией. Можно предположить, обедняя Т, если
это необходимо, что Т = ^оо-- Более того, z и z1 являются
ограниченными неотрицательными мартингалами на (И,Т,Т,0)
с z0 = zf0 = 1 и, следовательно, z, z' — процессы плотности мер
Р = *оо • Q, Р' = <о • Q.
Кроме того, в обозначениях 1.35
vz{dt,dx) = -Цо^лфЩе^х) + e-xidx)]
и, значит, в силу 1.36 и 1.57 h(a)t = t Л г Л 1 для а 6 [0,1). Тем
самым Р'((?оо) = P'(Goo) = 0. Однако, меры Р и Р' не являются
взаимно сингулярными, поскольку они совпадают на множестве
{г>1}. □
Пусть Q — вероятностная мера, удовлетворяющая 1.12 (т.е.
1ос 1ос
Р < Q, Р; < Q). Будем использовать стандартные обозначения:
z, z1 (процессы плотностей), S = inf(tf : zt = 0 или z't = 0), Г" —
= {z_ > 0 и z'__ > 0} U |[0j. Мы знаем, что для каждого момента
остановки Т
Г Рт < Рт ^ П*г > 0) = 1,
\ Pt-LPt & Р'(*г > 0) = 0,
в то время как множество {zT > 0} может быть представлено в
виде пересечения трех множеств
( {zT > 0} = {z0 > 0} П Ат П #г, где
2.11. i Лт = {0 < S < Т, zs- = 0}с,
I Вт = {0 < S < Г, 5 < оо, 25_ > *s = 0}с
и {z^ = 0} является объединением непересекающихся множеств
{z0 = 0}> (^т)с и (Вт)с- Обращаясь к формулировке теоремы 2.6

2. Предсказуемые критерии 337
й сравнивая 2.10 с 2.5, заманчиво записать следующие равенства:
(i) Go = {z0 > 0} Р'-п.н.,
(ii) {h(l/2)T < оо} = Ат Р'-п.н.,
(iii) {h(0)T = 0} = Вт Р'-п.н..
равенство (i) является верным (см. 2.3). Равенства (ii) и (iii) не
могут быть верными одновременно, поскольку, если бы они были
верными, то импликация в 2.6Ь имела бы место в обе стороны.
Однако, имеется возможность получить свойства того же
характера, что (ii) и (iii), хорошо интерпретирующие предшествующие
теоремы.
2.12. Лемма. Предположим, что Q = *Цр-. Пусть /&'(а) =
= 1Г' -h(a) — процесс Хеллингера порядка а в узком смысле.
Тогда
a) АТ С {h'(l/2)T < оо} Р'-п.н.,
b) Р'(ВТ) = 1 & Р'(Л'(0)т = 0) = 1,
c) на множестве {Л'(1/2)т < оо} имеет место равенство
fc'(0)T = limaUO h'(a)T,
d) {h'(l/2)T <оо}П {/i'(0)T = 0} С АТ П Вт Р'-п.к.
Набор этих результатов заканчивается формулировкой двух
других критериев, тесно связанных с предшествующими и иногда
являющихся полезными. Первый из них улучшает 2.6а,Ь.
2.13. Теорема. Предположим, что Т = Т^-. Пусть Т
—- момент остановки, множества Gt и Gt определены в 2.5 и
FefT.
a) Если P'(F) = P'(FnGT) или P'(F) = Р'(Г*5Т), то Р^ < Рт
при сужении на множество F.
b) Если Ру±Рт при сужении на множество F, то
P,(^nGT) = P'(FflG'T) = 0.
Последний результат содержит в себе два "непредсказуемых"
Критерия абсолютной непрерывности Р'Т <С Рт? для
формулировки которых введем два процесса со значениями в [0, оо] (полагая

338 Гл. IV. Процессы Хеллингера
2/0 = +оо):
2.14. Zt = -Ц at = <
f Zt/Zt_, если 0 < Zt_ < оо,
О, если Zt_ = О,
[ +оо, если Zt_ = +оо.
2.15. Теорема. Предположим, что Т — Т^-- Пусть Т
— момент остановки. Следующие условия эквивалентны:
0) Р^ < Рт,
(U) Р£ < Р0, Р'(Л(1/2)Т < оо) = 1, Р'(#т) = 0 (определение
ВТ дано в 2.11),
(ш) Р'0 < Р0, Р'(Л(1/2)Т < оо) = 1, P'(sup,<Tat < оо) = 1.
§2Ь. Доказательства
Основной результат содержится в лемме 2.12, а все остальные
утверждения являются скорее простыми его следствиями. В
связи с этим начнем именно с этой леммы, доказательство которой
состоит из ряда этапов.
Всегда будем предполагать, что Т — Т^-. Пусть Q = ^f--
Далее будем использовать обычные обозначения г, z', Sny S, Г"
(см. § 1а), h(a) (версия /i(a;P,P')), h'(a) = lp» • h(a) (процесс
Хеллингера в узком смысле).
2.16. Лемма. Имеет место утверждение 2.12а: At С
С {h'(l/2)r < оо} Р'-п.н.
Доказательство. Поскольку 1.1 имеет место, то из
1.18 следует, что Eq(y/z-Zf_ • /i'(l/2)0O) < оо и, значит, y/z_zL X
x/i'(l/2)00 < оо Q-п.н. В силу того, что y/z_zf_ > 1/гс на
интервале |0,5П]|, имеем
2.17. h'(l-) < оо Q-п.н.
Но на At имеются только три возможности (см. 2.11):
1) Т < Sn для некоторого п G N* и в этом случае /i'(l/2)j ^
Л'(1/2)5„
2) 5 = 0 и в этом случае /*'(1/2)т = О,

2. Предсказуемые критерии 339
3) Т > Sn для любого п и zS- > 0; при этом z's_ > 0
р'-п.н., поскольку inf, z's > 0 Р'-п.н., и, следовательно,
существует Р'-п.н. целое число п (зависящее от и) такое, что Sn = S и,
значит, h'(l/2)T = h'{l/2)Sn.
Требуемое утверждение следует из 2.17. □
2.18. Лемма. Имеет место утверждение 2.12Ь: Р'(Дг) =
= 1 о Р'(Ь'(о)т = о) = 1.
Доказательство. Поскольку z' — ограниченный
процесс, то из 1.3.12 получаем, что
ЕР.(й'(0)тл5п) = Eq(-O'(0)tasJ = EQ(*1 • Л'(0)тл5.),
где последнее математическое ожидание в силу 1.42 совпадает с
Eq(^ • JTASn)i a j — процесс, определенный в 1.53. При
предельном переходе п | оо получаем h'(0)TAsn T h'(0)Tj поскольку
1Г// • /i'(0) = /i'(0). В то же время из 1.53 нетрудно вывести, что
*1 ' JTASn T ^1 * Jt- Таким образом, вновь используя 1.53, имеем
ЕР-(Л'(0)т) = Eq(z'_ -jT) = Eq(4 W) = Г((ВТУ)
(при доказательстве справедливости последнего равенства
используется 1.14 и тот факт, что Вт G Тт)- Требуемое утверждение
получается отсюда очевидным образом. □
Приведем некоторые свойства функции <ра, определенной в
1.32 и 1.54 для a G [0,1) формулой
/ ч Г аи + (1 - a)v — u0ft;1~a для a G (0,1),
^av y [ vl{u=o} Для a = 0.
2.19. Лемма. Пусть a G (0,1). Тогда
a) <pa < 8<p1/2,
b) существует константа 7a такая, что (рг/2 < 7a^a;
c) <pa(u,t;) < 8a(lVlniV)<p1/2(u,t;) для всех N > 1, 0 < t; < JVu.
Доказательство. Поскольку <pa(0, v) = (1 — a)v, то
все утверждения являются очевидными для и = 0, t; > 0 (при
7ог > ^-^ в утверждении Ь)). Если и > 0, имеем
2-20. <ра(и, v) = и<ра (l, -) = ufa (-),

340
Гл. IV. Процессы Хеллингера.
где fa(x) = а + (1 - а)х — х1_ог. В силу того, что
—-(я) = 1 - х + xx~Qlnar < 1 — ar + ^lnar,
da
имеем Д(х) < а(1 - х + xlnx). Нетрудно проверить, что 1 - х +
+х In х < 4(1 - у/х)2 для х 6 [0,4]. Если N > 4 и # Е [4, iV], имеют
место следующие соотношения
1 - х + xlnx < 1 - х + xlnTV < zlniV < 4(ln7V)(l - у/х)2.
Использование этих оценок и равенства /1/2(2) = 1/2(1 — у/х)2
приводят к неравенству
/*(*) < 8а(1 V In N)f1/2(x) для 0 < х < N9 N > 1.
Отсюда, принимая во внимание 2.20, получаем утверждение
с). Кроме того, <pa(u,v) < 8<^i/2(w,t;) для v < u (полагаем
TV = 1). Поскольку <pa(u,v) = <pX-Q(vyu)y то <pa(u,v) < 8<pi/2(u,v)
для u < v. Тек самым, имеет место утверждение а).
Итак, осталось установить утверждение Ь). Для всех х G
G R+\{1} имеет место неравенство Д(х) > 0. Следовательно,
функция ga = fi/i/fa является непрерывной на множестве R+\{1}.
Кроме того, /а(х) ~ а^а\х - I)2 при х-41и Л(я) ~ (1 - <*)я
при х | оо. Поэтому <7а(#) -* 1/[4а(1 — а)] при х -» 1 и <7а(:г) -+
1/[2(1 — а)] при ar | оо. Таким образом, функция да ограничена
константой, скажем 7а и неравенство <рх/2 < Уа^а вытекает из
2.20. D
2.21. Следствие, a) h\a) < 8Л'(1/2) для a G (0,1);
Ь) для каждого a G (0,1) существует константа jQ такая>
что /&'(1/2) < iah!(a); с) имеет место утверждение 2.12с:
на множестве {h,(l/2)r < 00} справедливо равенство Л'(0)т =
= Цтац0Л'(а)т-
Доказательство. Напомним, что в обозначениях 1.35
2.22. *■(«)= «Q^i.+i-jV.^+^ + i, ,-i).,,.
Тогда утверждения (а) и (Ь) следуют из 2.19 (замечая, что
а(х-а) < 1/8 для всех а и беря 7<* = 7<* v wi-a))' Кроме того,

2. Предсказуемые критерии 341
Фа •""* ^о поточечно при а -» 0. Следовательно, утверждение (с)
также вытекает из 2.19 по теореме Лебега о мажорируемой
сходимости. D
2.23. Лемма. Имеет место утверждение 2.12 :
{/*'(-) < оо} П {h'(0)T = 0} С АТ П Вт Р'-п.м.
Доказательство. Обозначим Ст = {h'(l/2)T <
< оо} П {й'(0)т = 0} и для N > е положим
K(N) = 8y>1/2(l + ^-,1 ~ |~)l{isr(i+*/*-)<i-*/^} * ^
(здесь используются такие же обозначения как в
предшествующем доказательстве). Поскольку In N > 1 и a\l~Q) < а, то в силу
2.22 и 2.19 получаем, что
2.24. h'(a) < 8a(ln N)h'(^ + K(N).
Далее, имеем <pi/2(u, v)l{Nu<v} -* <Pi/2(v>yv)l{uzz0<v} = l/2(^0(w,t;)
при TV | оо. Следовательно, из определения множества Ст можно
вывести, что на Ст K(N)T | 0 при N -* оо (теорема Лебега о
мажорируемой сходимости). Поэтому, если фиксирована величина
г) > 0, то существует N > е такое, что
2.25. Р'(ст П {h'(l)T > N или K(N)T > г/}) < г/.
По построению процессы /&'(1/2) и K(N) являются
предсказуемыми, возрастающими и непрерывными справа (они являются
"обобщенными возрастающими процессами, не уходящими
скачком на бесконечность", в смысле Ш.5.8). Следовательно, V =
= inf(2 : /i'(l/2)i > N или K(N)t > rj) является предсказуемым
Моментом (см. 1.2.13) и 2.25 влечет за собой неравенство
2.26. Р'(СТ П D) < г/, где D = {V < Г, V < оо}.
Напомним, что по теореме 1.18 процесс Y(a) = zazn~Q
является Q-супермартингалом, и Y(a) — Y(a)_ • h\a) является Q-
Равномерно интегрируемым мартингалом для а Е (0,1).
Поскольку V является предсказуемым моментом и 0 < Y(a) < 2,

342
Гл. IV. Процессы Хеллингера.
ТО
Ед(У(а)0 - Y(a)v-) = Ед(У(а)_ . h'(a)V-) <
< 2Ед(Л'(а)„-) < 16a(ln7V)7V + 2т/,
где последнее неравенство вытекает из 2.24 и определения V.
Пусть теперь а Ц 0. Тогда Y(a) —► zfl{z>0) и, значит, в
соответствии с установленным выше неравенством и 1.14
2.27. Р'(*0 > 0)-P'(*V- > 0) = Eq(^1{jo>0} -z'v_l{zv_>0}) < 2r/.
Теперь можно записать (в силу 2.26 и 2.27)
Р'(Ст) = Р'(СТ П {*о = 0}) + Р'(Ст П {*о > 0}) <
< Р'(СТ П {г0 = 0}) + Р'(Ст П {zv- > 0}) + 2г/ <
< Р'(СТ П {z0 = 0}) + Р'(Ст П {zv- > 0} П Dc) + Зт?.
Но по определению De П {zv- > 0} С {*т > 0}. Поэтому
Р'(СТ) < Р'(Ст П {г0 = 0}) + Р'(СТ П {zT > 0}) + З77.
В силу произвольности 7] > 0 имеем Су = Су П {z0 = 0 или
zT > 0} Р'-п.н. Кроме того, с учетом 2.11 имеем {z0 = 0 или
zT > 0} = АтПВт Р'-п.н. Требуемое утверждение следует отсюда
очевидным образом. □
Перейдем теперь к доказательству теорем 2.1, 2.6, 2.13 и 2.14.
Напомним, что множества Gt и Gt определены в 2.25.
Подобным образом с заменой h(a) на процесс Хеллингера в узком
смысле ft'(a) определим множества G'T, G'T. Имеют место очевидные
включения
2.28. Gt С С?у, Gt С Gj.
Доказательство теоремы 2.13. Принимая во
внимание 2.12Ь,с, имеем G'T = G'T, в то время как в силу 2.5, 2.11
и 2.12d G'T С {zT > 0} Р'-п.н.
Если F € Тт и P'(F) = P'(jPfl GT) (соответственно P'(F) =
= P'(FflGT)), то F С GT (соответственно F С GT) Р'-п.н.
Следовательно, 2.28 влечет за собой F С G'T Р'-п.н. или, эквивалентно,

2. Предсказуемые критерии 343
F С {*т > 0} Р'-п.н. Отсюда утверждение а) следует очевидным
образом.
Пусть Ру±Рт при сужении на F. Тогда z? = 0 Р'-п.н. на F.
Поэтому Ff)G'T = FC\G'T = 0 Р'-п.н. Утверждение Ь) следует из
2.28. □
Доказательство теоремы 2.6. Утверждение
Ь) вытекает из 2.13Ь) при F = ft. Импликации (ii) => (i) и (Hi) =>
=^ (i) следуют из 2.13а) при F = ft.
Если Pq-LPq, то сингулярность Р^±РТ очевидна.
Предположим, что P'(/i(1/2)t < оо). По построению имеем
229 |х/- v )тна{гт>0,4>0},
Г Л(а)т = Л'(а)т
1 Н4 > 0) = 1.
Следовательно, {/i'(l/2)T < оо, h(l/2)T = оо} С {zT = 0} Р'-п.н.
Кроме того, в силу 2.11 и 2.12а {zT > 0} С Ат С {h'(l/2)T <
< оо} Р'-п.н. Поэтому {h(l/2)T = оо} С {zT = 0} Р'-п.н. и в
соответствии со сделанными предположениями P'(zt = 0) = 1,
что влечет сингулярность P^-LPt- Тем самым утверждение с)
доказано.
Предположим, наконец, что Ру < Рт> так что Р'(гт > 0) =
1. Тогда из 2.29 нетрудно вывести, что Л(а)т = h'{a)T Р'-п.н.
для всех а g [0,1). Кроме того, Р'((70) = Р'(ЛТ) = Р'(ВТ) = 1.
Поэтому в силу 2.12а),Ь)х) Р'(Л'(1/2)Т < оо) = 1, Р'(Л'(0)т =
0) - 1 и P'(limaUo sup ft'(a)T = 0) = 1. Поскольку ti{a) можно
заменить на /i(a), то вспоминая определение 2.5 для От и <$т>
получаем Р'((?т) = Р'(Фг) = 1 и, значит, (i) => (ii) и (i) => (Hi) в
утверждении а). Теорема доказана. □
Доказательство теоремы 2.1. Импликации
(i) О (ii) => (iii) следуют из 2.6а. Предположим теперь, что име-
ет место (Hi). Поскольку тогда h'(a)T ^ 0 при а || 0, то в силу
2.21b Л'(1/2)т < оо Р'-п.н. Поэтому в силу 2.12с) Л'(0)т = 0
Р'-п.н. Другими словами, Y'(G'T) = 1. Тогда 2.6а) (с
использованием процесса Хеллингера в узком смысле) приводит к абсолют-
Ной непрерывности ¥'т < Рт. D
Доказательство теоремы 2.15. Эквивалентность
0) <$> (ii) следует из 2.12Ь) и из эквивалентности (i) <$ (ii) в 2.1.

344
Гл. IV. Процессы Хеллингера,
Пусть выполнено (i). Чтобы установить (Ш) достаточно,
принимая во внимание 2.1, показать, что sup1<T at < оо Р'-п.н. С этой
целью заметим, что inf* zT > 0 Р-п.н. Следовательно, Р^ < Рт
влечет за собой неравенство supt<T Zt < оо Р'-п.н. Также имеет
место неравенство inft z\ > 0 Р'-п.н. Следовательно, inft<x Zt >
О Р'-п.н. (напомним, что z+z' = 2). Тем самым supt<Tat < оо Р'-
п.н. Отсюда получаем, что (i) =>► (Ш).
На множестве (Вт)с имеют место неравенства S < Г, S <
< оо и zS- > zs = 0. Следовательно, Zs = оо, в то время как
0 < ZS- < оо. Поэтому supt<Tat = оо на (Вт)с и, значит,
поскольку P'(supt<T at < оо) = 1, имеет место равенство Р'(2?т) = 1.
Тем самым (ш) =Ф (и). D
2.30. Замечание. Метод доказательства, предложенный
выше, не является простейшим для теорем 2.1 и 2.6. Это,
главным образом, связано с тем, что мы хотим использовать единый
метод для установления как абсолютной непрерывности, так и
сингулярности. Более того, этот подход позволяет установить
также теорему 2.13 и лемму 2.12, представляющие интерес. В
главе V будет приведено несколько отличающееся и в чем-то
более простое доказательство, относящееся к задаче "контигуаль-
ности последовательности мер".
§2с. Дискретный случай
1. В этом разделе предшествующие результаты
переформулируются для случая дискретного времени. Как и в § 1е,
предполагается, что на измеримом пространстве с дискретной
фильтрацией (Q,T,F = (^гп)п€н) заданы две меры Р и Р'. Пусть мера
Q удовлетворяет 1.12 и z = (zn)n^, z' = «)n<=N — процессы
плотности мер Р и Р' относительно меры Q. Обозначим
fin = *n/*n-l, fin = *n/*n-l
(где 0/0 = 0). Предположим, что Т = Т^-. = VnТп. Пусть Т -—
момент остановки. Напомним, что 9i/2(w,v) = l/2(y/u - y/v)2. С
учетом 1.63 и 1.66 из теоремы 2.6 вытекает

2. Предсказуемые критерии 345
2.31. Теорема, а) Абсолютная непрерывность FfT < Рт
имеет место тогда и только тогда, когда Pq <C Р0 и
2.32. £ Ед[(Ж-^)2|^п-1]<оо Р'-п.н.,
1<п<Т
2.33. J2 Ед(^1{/,.=о} I Я-i) = 0 Р'-п.м.
1<п<Т
b) £Ъш Ру±Рт, то с Р'-вероятностью единица выполнено
хотя бы одно из условий: z0 = 0, или
£ EQ(/rnl{/,.»0} 1^.-0 = 0.
c) ^сл^ ¥'0±Р0 или Ei<n<TEQ[(v^:~ V^)2l^n-i] = оо
Р'-п.н., mo P^±PT.
Переформулировка 2.15 на случай дискретного времени
представляет также некоторый интерес. Предположим, что Q = ^~
и обозначим (считая 2/0 = оо)
; ( Zn/Zn-U если 0 < Zn_x < оо,
2.34. Zn = ^-, ап = { 0, если Zn^ = О,
V +оо, если Zn_i = +oo.
2.35. Теорема. Абсолютная непрерывность ¥'Т <С Рт
имеет место, если и только если Р'0 < Р0, выполнено 2.32 и
P'(SUPl<n<Tan < ОО) = 1.
1ос
Предположим теперь, что Р' < Р. Обозначим Z процесс
плотности меры Р' относительно Р и пусть ап = Zn/Zn_i (где
°/0 = 0). Заметим, что Zn и ап в точности такие же, как в 2.34.
Тогда из 2.8 вытекает

346 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
2.36. Теорема. Пусть Р' < Р. Тогда
a) Р^ < Р, если и только если J2i<n<T Ер[(1 — у/&^)2 \ fn-i] <
< оо P'-n.w.;
b) Р^.±РТ, если и только если J2i<n<T Ер[(1 — у/&^)2 | ^Vi-i] =
= оо Р'-гс.н.
2. Будем считать, что РиР' — распределения
последовательности независимых случайных величин.
2.37. Теорема. Пусть имеют место предположения 1.71.
Тогда
a) Р' <С Р, если и только если выполнены условия:
0)Еп[1-Щ1/2;/»„,Ю]<оо,
(ii) р'п <С рп для всех п £ N*.
b) Р'_1_Р, если и только если выполнено хотя бы одно из
следующих двух условий:
0')Е„[1-Я(1/2;Рп,р')] = оо|
(ii') существует п Е N* такое, что р'п±.рп.
Доказательство. а) Если Р' <С Р, то (ii),
очевидно, выполнено и Л(1/2)„ = Ei<P<n[! ~ Н(1/2;рр,р'р)] в силу 1.73
является версией /*(1/2; Р,Р'). Таким образом, утверждение (i)
вытекает из 2.1.
Предположим теперь, что выполнены (i) и (ii). Тогда в силу
1ос
(ii) Р' < Ри абсолютная непрерывность Р' < Р имеет место в
силу (i) и 2.8.
Ь) В силу 2.6с справедлива импликация (Г) =>• Р'±Р.
Импликация (ii') => P'J_P является тривиальной.
Для доказательства обратного утверждения предположим, что
(i'), (ii') не выполняются. Тогда в силу 1.11b H(l/2;pn,p'n) > О
для всех п и, следовательно, сходимость ряда £)[1 — #(1/2; рп, р'п)]
влечет за собой сходимость бесконечного произведения
П Н(1/2;рп,р,п) к положительному пределу. Поэтому в
соответствии с 1.74 #(1/2; Р,Р') > 0 и утверждение 1.11b противоречит
сингулярности P'J_P. □
Таким образом, мы приходим к интересному результату,
известному под названием альтернатива Какутани.

3. Процессы Хеллингера, для решений мартяягальных проблем 347
2.38. Следствие. Пусть имеет место 1.71 и pn ~ р'п
для всех п. Тогда либо Р' ~ Р, либо P'J-P.
Доказательство. Если ^2П[1 — #(l/2;pn,p(J] < оо,
то в силу 2.37а Р' ~ Р. В противном случае в силу 2.37b
Р'ХР. □
2.39. Замечание. 1)В 2.37 наряду с критерием
абсолютной непрерывности содержится критерий сингулярности,
чего нет в общем случае (см. 2.9). Причина этого — в специфике
рассматриваемой задачи. Такого же типа результат будет
справедлив в непрерывном времени, т.е. для распределений процессов
с независимыми приращениями (см. 4.33).
2) Существует прямое доказательство 2.37(a) и
достаточности в 2.37(b), использующие 1.11 и 1.74 (как при доказательстве
необходимости в 2.37(b)).
3. Процессы Хеллингера для решений
мартингальных проблем
В этом разделе вычисляются версии процесса Хеллингера
/i(a;P,P') и процессов i(^;P,P'), определенных в § Id, когда
меры Р и Р' являются решениями мартингальных проблем в смысле
определения из § Ш.2 для некоторого фундаментального процесса
X. При этом указанные версии даются в терминах только
характеристик X относительно Р и Р'.
Постановка задачи и обозначения приводятся в § За. В § 3
содержится анализ общей задачи и приводятся явные формулы для
h(a; Р, Р') и г(ф\ Р, Р') в том случае, когда меры РиР' абсолютно
непрерывны относительно некоторой меры Q, при которой имеет
место мартингальное представление. Последнее предположение в
большинстве случаев очень трудно проверить. Однако, оно имеет
Место в ряде случаев, например, для точечных процессов. В §3с
вычисляются /i(a;P,P') и г(^;Р,Р') в предположении локальной
единственности (см. III.2d) для мартингальных проблем,
связанных с мерами РиР'.

348 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
§3а. Общая постановка
На пространстве с фильтрацией (fy^F) задается d-мерный
процесс X = (Х*)^ с непрерывными справа и имеющими
пределы слева траекториями и под-а-алгеброй Н такими, что (см.
Ш.2.12)
3.1. Тх =П •*?> r^e ^? = W V o{Xs : 5<<}и/= ?„_.
Обозначим ц = /л* случайную меру на R+ x Rd скачков процесса
X.
Зафиксируем функцию усечения h eCd (см. Н.2.3) и два три-
плета (В, С, v) и (B',C',vf) с теми же свойствами, что в 111,2.3,
а именно
3.2. (i) В ж В1 — предсказуемые векторные процессы
размерности d с траекториями конечной вариации на любом конечном
интервале и В0 = В'0 = 0;
(и) С = (Ctj)ij<d и С = (C'%i)ij<d — непрерывные
согласованные процессы с Со = С0 = 0 и такие, что Ct - Cs и CJ - CJ
являются симметрическими неотрицательно определенными
матрицами размера d x d при всех s < t;
(iii) v является предсказуемой случайной мерой на
R+ х Rd не нагружающей множества {0} х Rd, R+ x {0} и такой,
что |х|2 Л 1 * vt{uj) < оо,
at(u) := v{u)\ {t} x Rd) < 1,
ABt(u) = fi/(u; {t} X dx)h(x);
мера v1 обладает теми же свойствами с заменой В на В1 и а\{и) =
= г/'(о;; {«} х R*).
Рассмотрим две вероятностные меры Р и Р' на (fl,^*),
являющиеся решениями мартингальных проблем S{H,X | Р#; i^C,*')'
S('HyX | Р#; B\C',vf) соответственно. Это означает, что Р# и
Р# являются сужениями мер Р и Р' на а-алгебру Н и, что X
является семимартингалом с характеристиками (5, С, v)
(соответственно (В*, С",v')) относительно Р (соответственно Р').

3. Процессы Хеллингера, для решений м&ртингальных проблем 349
Свяжем теперь с этими двумя триплетами несколько
случайных множеств и процессов.
Во-первых, ввиду 1.3.13 легко найти возрастающий
предсказуемый процесс A j принимающий конечные значения и два
процесса с и с' со значениями во множестве симметрических
неотрицательно определенных матриц размера d x d, элементы которых
являются предсказуемыми процессами, такие, что
3.3. С = с-А, С — с1-А с точностью до (Р+Р')-пренебрежимого
множества.
Во-вторых, пусть А — предсказуемая случайная мера на
R+ X Rd такая, что \х\2 Л 1 * At < оо для всех Коои
3.4. v < A, v1 < A
(например, А = v + v'). Используя обозначения из III.3.15,
получаем из 3.4, что если Q = ±(Р+Р'),тоМ? < MAQHa(ft,T®n+®1ld).
Следовательно, существует Р-измеримая неотрицательная
функция U такая, что при сужении на (ft,^). Тогда
для всех неотрицательных предсказуемых функций W
Eq(W * (U • А)^) = Eq((WU) * Аоо) =
= M?(WU) = M?(W) = Eq(W * i/oo).
Поскольку v и U • А являются предсказуемыми мерами, то в силу
И.1.8 U • А = v Q-п.н. Тем самым, мы получили предсказуемую
Функцию Р на ft, и аналогично — функцию U' с теми же
свойствами, такие, что
3.5. v = U • A, v1 = V • А (Р + Р')-п.н.
(Замечание. Теорема Дуба об "измеримых
производных Радона-Никодима" [36] позволяет определить Т ® 11+ ® 1Zd-
^меримую функцию U такую, что v — U • А тождественно; в то
*£ время вопрос о тождественном равенстве v = U • А с
предсказуемой функцией U остается открытым.)

\
350 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
В-третьих, определим предсказуемое случайное множество £
и предсказуемый процесс В = (Д')«<<* на Е по формуле
Г Е = {(с;,0 : |A(*)(ff - ff')l * А<И < ~},
\ Bt = Д - В\ - Л(ж)(# - #') * А< для * e E.
Заметим, что процесс К = |й(ж)(С/' - С/7)! * А является
предсказуемым и обобщенным возрастающим процессом в смысле Ш.5.8.
Кроме того, с точностью до (Р + Р')-пренебрежимого множества
at = JU(t,x)\({t} x dx) < 1 (аналогичное соотношение имеет
место с U'). Поскольку h — ограниченная функция, то вели-
чины К% — Kt_ являются ограниченными. Поэтому при оп =:
= inf(tf : Kt > п) имеет место неравенство К0п < оо и Е =
U„[0,an]|
(Р + Р')-п.н. Более того, В является непрерывным процессом на
Е с точностью до (Р + Р')-пренебрежимого множества.
Наконец, существует разложение
3.7. &: = ( Y, с" ДЛ • А + Ь* • А + В" (Р + Р')-п.н.
на Е, где
(i) /3, Ь — предсказуемые процессы, В' — непрерывный
предсказуемый процесс конечной вариации на компактных
подмножествах Е;
(ii) dB'j и dAt являются (Р + Р')-п.н. взаимно сингулярными
на Е;
(iii) для всех (o;,tf) G Е вектор bt{u)) является ортогональным
к образу Rd при линейном отображении, связанным с матрицей
*(*). _ _ □
Заметим, что /3 и Ь определяются неоднозначно, но разложение
3.7 единственно с точностью до (Р + Р')-пренебрежимого
множества на Е. Для того, чтобы убедиться в том, что разложение
3.7 существует, рассмотрим сначала (Р + Р')-п.н. единственное
(потраекторное) разложение Лебега на Е меры dB\ относительно
меры dAt: dB\ = dB'tx +b'tldAt. Предсказуемость процессов В' и Ь
обеспечивается предложением 1.3.13. Теперь осталось разложить
V по формуле У = с/3 + Ь с определенными выше /3 и 6.

3. Процессы Хеллингера для решений мартингальиых проблем 351
Зададим также момент остановки
3.8. г = inf(J : либо t £ Е, либо Сх ф С[, либо J £ Е и
bAt + ЩфО).
Очевидно, что в дальнейшем можно предполага, что с = с' на
10, г].
Мы закончим этот длинный список обозначений
определением нескольких процессов, которые предназначены быть версиями
процессов h(a; Р, Р') или 1{ф\ Р, Р'). Далее a £ (0,1), и ф —
функция, удовлетворяющая свойству 1.40. Полагаем
3.9. h°(a) = ±а(1 - a)0 • с • /3)1Е . А+
ЗЛО. Л°(0) = tf'l{t/=0} * А + 2(1 - <)1{а#=1},
5<
3.11. ,*(*) = 17'*(£) * А + £(1 - e>(if£)
(напомним, что 0/0 = 0 и а/0 = оо для а > 0). Заметим, что 3.10
совпадает с 3.9 при a = 0. Для a = 1/2 имеем
3.12. h° (1) = |(Д • с • Д)1Е • А + i(x/tF - y/lPf * А+
3.13. Замечание. Если vt(uj) и v[{u) являются
сужениями мер i/(w; •) и i/(a;; •) на [0,*] X Rd, то 1/2(\/£Г - V^7)2 * А, =
^ p2(i/t, i/J), где /) является расстоянием Хеллингера,
определенным в 1.5.

352 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
3.14. Замечание. Очевидно, что изменение Л, £/, U*
приводит к изменению ЕиВ лишь на (Р + Р')-пренебрежимоод
множестве (если только представления 3.5 остаются
справедливым). Аналогично (/? • с • /?)ls • А не зависит от выбора /3 в 3.7,
Кроме того, поскольку (pa(ub,vb) = Ь<ра(и,у), то, очевидно, что
h°(a) и 1°(ф) определены единственным образом (Р + Р')-п.н.
независимо от выбора A, U, U1, /3. □
§3b. Случай существования доминирующей меры
для РиР', обладающей свойством мартингалького
представления
1. В этом разделе будем предполагать, что Q — вероятност-
loc loc
ная мера на (fi,j^) такая, что P<QhP'<QhI
является Q-семимартингалом. Обозначим (jE?,C,F) Q-характеристики
X, Без потери общности можно предположить, что С = с • А
Q-п.н., где с = (с*7 )*,;<<* — предсказуемый матричнозначный
процесс и Л — процесс из 3.3 (поскольку в 3.3 А можно заменить на
сумму А и некоторого возрастающего процесса).
Обозначим z и z' процессы плотности Р и Р' относительно
Q. Заметим, что справедливы соотношения 1.13. Далее будут
использоваться обозначения Г, Г', Г", i?n, J?^, 5n, S из 1.15.
По теоремам III.3.24 и Ш.3.7 существуют два предсказуемых
процесса /3 = (/?')*<<* и /3' = (/?"),<<* и две неотрицательные
^-измеримые функции Y и У на & = Q, х R+ х Rd (напомним,
что V = V ® lZd) такие, что
3.15.
\ (z',(xiy)=(z-'E&/}i)-A, (A(^t)=(^E^'j)-^
( Mf(Az | р) = z-Y, M*(Az' | P) = z'JY'
(zc, z,c, (X%)c — непрерывные мартингальные составляющие
относительно Q) и
Г \h(x)(Y - 1)| *I7t < оо Q-п.н. на {* е Г},
\ \h(x)(Y' - 1)| * Vt < оо Q-п.н. на {* е Г},

I
3. Процессы Хеллиягера для решений мартнигальиых проблем 353
3.17.
Bi: = В +
A + ti(x)(Y-l)*V,
С = С, v = Y V Q-п.н. на Г,
Вн = В +
л + лч^)(^-1)*^
С = C,v* = Г F Q-п.н. на Г,
3.18. {а = 1} П Г С {а = 1}, {1=1}пГс {а' = 1} Q-п.н.,
где а, = v{{i) X Rd). Очевидно, можно предположить, что
с = с! = с на [0, гД П Г", где г определяется в 3.8.
3.19. Лемма. С точностью do Q-пренебрежимого
множества справедливо следующее включение Г" С £П|[0,г]|. Версией
J3 на Г" является процесс 01Гн = (/? - /?')1г"-
Доказательство. В силу 3.17 и 3.5 имеем Y • V =
С/ • А и Y1 • V — U' • А Q-п.н. на Г" х Rd. Поэтому на множестве
{t e Г"} Q-п.н.
\h(x)(U - W)\ * А< = \h(x)(Y - Y')\ * vt <
< \h(x)(Y - 1)| * Vt + \h(x)(Y' - 1)| * 17, < oo,
и, следовательно, Г" CSc точностью до Q-пренебрежимого
множества. Аналогично, в силу 3.17 Q-п.н. на {t G Г"}
Bt=Bt- B[ - h(x)(Y - Y')*Vt =
= Bt - Л(я:)(У - 1) *F, - JBt' + h(x)(Y' - 1) *F« =
и опять-таки в силу 3.17 Ct = С[ = Ct Q-п.н. на {* G Г"}.
Сравнивая эти соотношения с 3.7, получаем, что Г" С [[0, г]] с точностью
До Q-пренебрежимого множества /3 — /3' является версией /3 на
Г". □
12.Ж.Жакод, А.Н.Ширяев Т.1

354 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
3.20. Теорема. Предположим, что процессы плотности
z uz1 допускают следующие представления (напомним 3.18 и
равенство 0/0 = 0, т.е. приводимые формулы являются не более,
чем формулами Ш.5.20 для z и z') :
( z = z* + {z_(5)- Xе + zJy - 1 + ^,) *{» -V),
3.21. { а'-а
z' = z'0 + (z'_P').Xc + zi(Y'-l + ?^)*(ti-17).
к \ 1 — а'
a) Если а £ [0,1), то процесс Л°(а), определенный в 3.9 или
3.10, является версией процесса Хеллингера /&(а;Р,Р').
b) Если функция ф удовлетворяет свойству 1.40, то процесс
1°(ф), определенный в 3.11, является версией процесса t(^;P,P')
из 1.46.
Начнем со следующей леммы.
3.22. Лемма. Пусть имеет место 3.21. Обозначим i>(z'z)
третью (^-характеристику двумерного процесса (z,z'). Тогда
для всех V ®TZ2-измеримых неотрицательных функций W на Я х
XR/+ х R2 с W(u>,t,0,0) = 0 имеем
3.23. W * !/<*»*'> = W(-, г_(У - 1), 2'_(Г - 1)) * F+
+Bi-*.)w(»,*.-^,*:-^).
Доказательство. Формула 3.23 определяет
предсказуемую случайную меру. Поэтому по определению г/*»*')
достаточно доказать, что для всех определенных выше функций W
3.24. Eq ( ^2 W(s, Azsy Az's)) равняется математическому ожи-
данию по мере Q от правой части 3.23 в момент времени +оо.
Теперь из 3.21 легко вывести (например, аналогично
доказательству III.5.10), что вне Q-пренебрежимого множества
Azt = zt. [(Y(t,AXt) - 1)1^*0} + у5^1{Дх,=о}].

3. Процессы Хеллингера. для решений мартингальных проблем 355
Аналогичная формула имеет место для Д*{. Пусть (Тп) —
последовательность предсказуемых моментов, исчерпывающая Q-п.н.
предсказуемое тонкое множество {а > 0}. Тогда левая часть
равенства 3.24 имеет вид
Е<, [Щ-, z.(Y - 1), гЦГ - 1)). /1„+
+Ew-,n'(r.,*.-b^.4.-b^)].
п Ч 1~аТя 1~аТя /J
Используя определение V {у — Q-компенсатор \i) и свойство
1 — атя = Q(AXr№ = 0 | ^Tn-)> a также тот факт, что величина
W(Tny...) является ^(тЛ-)-измеримой, получаем представление
для левой части 3.24
EQ[^(.,z.(y-l),2L(y'-l))*F00 +
+ Di-^(W^,4._^)].
которое, очевидно, равно математическому ожиданию по мере Q
от правой части 3.23 в момент времени +оо. Доказательство
закончено. D
Доказательство теоремы 3.20. В замечании
3.14 было показано, что h°(a) и 1°(ф) не зависят от Л, £/, (/',
/3, если только выполнены соотношения 3.5 и 3.7. Значит, если
заменить Л на 1р" -V+ 1г»с • А, то в соответствии с 3.17 соотношение
3.5 остается справедливым при замене U и U' на У1г» + Ulr»c и
K'lr" + U'lr»c соответственно.
Напомним также, что Л(а; Р, Р') и %{ф\ Р, Р') определяются
однозначно только на Г". Таким образом, если сравнить 1.34 и 3.9
(соответственно 1.48 и 3.11) и учесть, что в силу 3.19 Г" С Е,
то достаточно доказать справедливость следующих соотношений
(напомним, что У = {/, У = {/', А = V на Г", и, что Л°(0) = г\ф)
для ф(и) = 1{и=0}):
3.25. (^с.Д).Л=^.(Л^>-^.(Л,'с) + ^.(Л^>наГ,
Z__ Z— Z__ Z
12*

356 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
3.26. ¥>«(У,Г) **+ ЕМ1 - а.,1 - «О =
»<
= <^(l + ^,l + X)* „(*.*') на Г",
3.27. yV(f)*F+E(l-«'.)4f^) =
В силу 3.21 и III.4.5, на Г" имеем
(z%ze) = zl(/3-c-/3)-A,
{z%z") = z-z'_(P-c-0')-A,
(z'e,z,e) = z?(p'-c.p')-A
(напомним, что с = с' = с на [0, г] и Г" С [0, тД). Представление
3.25 имеет место поскольку в силу 3.19 /? = /3 - /?' на Г".
Далее, в силу 3.23
v„(1 + i,1 + i)„(..o =
= V«(lr,lr')*F + j;^e(l-af,l-a'f)lw<1},
поскольку b<pQ(u/byv/b) = <pQ(u,v). Отсюда, из 3.18 и равенства
у>а(0,0) = 0 получаем 3.26. Наконец, из 3.23, 3.18 и равенства
^(1) = 0, вытекающего из 1.40, получаем 3.27. D
Свойство 3.21 особенно трудно проверить, если не сделать
(довольно сильных) дополнительных предположений относительно
Q или Р и Р'. Ниже приводятся два примера.
2..Первый пример касается того случая, когда все
Q-локальные мартингалы обладают свойством представления
относительно X в смысле Ш.4.22.

3. Процессы Хеллингера, для решений мартингальных проблем 357
loc loc
3.28. Теорема. В дополнение к Р < Q, Р' < Q и
предположению, что X является Q-семимартингалом, будем
считать, что все локальные мартингалы на базисе (£1,Р, F,Q)
обладают свойством представления относительно X. Тогда
a) если а Е [0,1), то процесс h°(a), определенный в 3.9 или
3.10, является версией процесса Хеллингера Л(а;Р,Р');
b) если ф удовлетворяет 1.40, то процесс г°(ф),
определенный в 3.11, является версией процесса i(V>;P?P') из 1.46.
Доказательство. По теореме Ш.5.19 процессы z и
г' допускают представление 3.21. Требуемое утверждение
вытекает из 3.20. □
Еще раз отметим, что требуемое свойство представления
трудно установить, поскольку априори неизвестен простой способ
выбора "подходящей" меры Q, доминирующей меры Р и Р'. Тем не
менее, существуют несколько случаев, когда это возможно. Мы
приводим такой пример (для точечных процессов) в разделе 4.
3. Случай Р' < Р. В дополнение к предположениям §3а с
этого момента и до конца данного параграфа будем считать, что
loc
Р' < Р. Тогда
3.29.
В" = В{ + ( J2с°>) • А + К(х)(У - 1) * v,
v1 = Y • v
с точностью до Р'-пренебрежимого множества, где /? = (/?*),-<<*
является предсказуемым процессом, Y — неотрицательная
^-измеримая функция на U.
Обозначим Z процесс плотности меры Р' относительно меры
Ри
3.30. тп = inf(*: Zt < 1/n).
Напомним также, что в Ш.5.10 введен процесс N, заданный на
случайном множестве Д, содержащем U„|0,r„J (см. Ш.5.9) такой,
что
3.31. ЛГ- = (/?1ю,г.1) • Xе + (У - 1 + yf^l{«<1}) ll0'r"1 * (// " v)'

358 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
где стохастические интегралы определены относительно меры Р.
Более того, мы указали два условия (теоремы Ш.5.19 и III.5.32),
при которых
Z0exp(iVt-i(/3.c./3).^)n(l + A^K^%
* ~~ ] если t < тп для некоторого п Е N*,
О, в остальных случаях.
1ос
3.33. Теорема. Предположим, что Р' < Р и имеет
место представление 3.32.
a) Если а 6 (0,1), то версией Л(а;Р,Р') является процесс
3.34. h(a) = а(12"а)(/3 - с • /3) - А + у>а(1, У) * i/+
В частности,
3-35- Л® = 5^'с' ^ •л + 5(1" ^)2 * "+
b) Если функция ф удовлетворяет свойству 1.40, то версией
процесса i(^;P,P') является процесс
3.36. ,•(*) = Уф(±) *и + £(1 - О^(^)
(напомним, что в данном случае в силу 1.55с h(0; Р,Р') = 0).
Доказательство. Положим Q = Р. Тогда
z = 1, z1 = Z. Очевидно, что z удовлетворяет 3.21 с /? = 0
и У = 1. Кроме того, в силу 3.31 и 3.32 и того факта, что
{а = 1}Г){ип[[0,гп]]} С {а' = 1} с точностью до Р-пренебрежимого
множества, имеем (0/0 = 0)
z'T- = z'0 + (z'_pil0tTnl) • Xе + z'_ (У - 1 + jZl) lIO,r„i * (/i - v).

3. Процессы Хеллингера. для решений м&ртингальных проблем 359
Поскольку z'_ = 0 вне множества U„|[0, rnJ, то z1 удовлетворяет
3.21 с/ЗиУ вместо /?' и У. Поэтому применима теорема 3.20.
Теперь в 3.4 возьмем А = 1/и воспользуемся 3.29.
Соотношения 3.5 имеют место с [7 = 1 и С/7 = У, а соотношение 3.7 — с
/3 = —/?; в то же время множество Un[[0,rn| (совпадающее с Г")
содержится в Е. Таким образом, правые части 3.34 и 3.9
(соответственно 3.36 и 3.11) совпадают на Г". Этого достаточно для
доказательства требуемых свойств. □
3.37. Замечание. В Ш.5.7 был введен процесс Я
"сравнимый" с процессом Л(1/2). Действительно, как было показано в
IIL5.17 U„|[0,rn]) С |[0,<7[[, где a = inf(*: at = 1 и a!t < 1) и, значит,
/i'(l/2) = l[o,<7i' Ml/2) является еще одной версией Л(1/2;Р,Р') и
при выполнении 3.32
2Л'(|)<Я<8Л'ф. П
Это замечание показывает, что теорема Ш.5.34 тесно связана
со следствием 2.8. Действительно, имеет место
3.38. Теорема. Предположим, что соотношение 3.29
выполнено тождественно, имеют место III.5.29 и 3.1, выполнено
свойство локальной единственности для мартингалъной
проблемы <S(W, X | Р'н; В*у С", и'), с единственным решением Р'. Пред-
1ос
положим далее, что Р; «С Р, и определим Н в соответствии с
Ш.5.7. Тогда Р' < Р, если и только если Р'(#оо < оо) = 1.
Доказательство. Из Ш.5.34 вытекает
достаточность. Поскольку в силу теоремы Ш.5.32 имеет место
представление 3.32, то 2h'(l/2) < Н < 8Л'(1/2); как необходимое, так и
достаточные условия вытекают из 2.8. □
4. В общем случае процесс Л°(а), определенный в 3.9, не
является версией /&(а;Р,Р'). Однако, без каких-либо предположений
(но, конечно, в пределах постановки § За) имеет место следующая
3.39. Теорема, а) Если а Е [0,1), то существует
версия h(a) процесса Л(а;Р,Р') такая, что h(a) — h°(a) является
возрастающим неотрицательным процессом.

360 Гл. IV. Процессы Хеллиягера.
Ь) Если ф удовлетворяет свойству 1.40 и является выпуклой
функцией, то существует версия г(ф) процесса г(^;Р,Р') такая,
что г(ф)—Р(ф) является возрастающим неотрицательным
процессом.
Доказательство. (i) Пусть Q — произвольная ме- *
loc loc
ра такая, что PcQhP'CQhJT является Q-семимартингалом
(например, Q = |(Р + Р')). Далее будут использоваться все
обозначения, приведенные в начале настоящего параграфа. Положим
J = {а > 0}. Пусть (Тп) — последовательность предсказуемых^
моментов, исчерпывающая Q-п.н. тонкое предсказуемое
множество J. Выберем Л таким же, как при доказательстве 3.20, т.е.
А = V и U = Y, V* = У на Г" и выберем также Д = /? - /?' на Г".
(ii) Утверждения (а) и (Ь) будем доказывать одновременно.
Процесс А°(а) (соответственно i°(V0) обозначим /Г, а для
процесса, определенного формулой 1.34 (соответственно 1.48),
используем обозначение Д. Достаточно показать, что 1р« • Н — 1р" • К
является неотрицательным возрастающим процессом.
Положим в(и, v) = <pa(u,v) для утверждения (а) и 0(и, v) =
= уф(и/у) для утверждения (Ь). Функция в является выпуклой
на R2. Принимая во внимание 3.9 и 3.11, имеем
ir„. к = ^LzSUKi + х2 + £ kip..,**
п
где К1 = ф • с • /3)1г» • А (соответственно = 0) в случае а),
(соответственно Ь))
Z2 = ^(y,r)lr,nJc*F,
К = lr»(Tn)[j4{Tn} X dx)d{YX){Tn,x) + 0(1 - aTn, 1 - a'TJ
Аналогично, в силу 1.34 и 1.48 имеем
1Г" Н = Я1 +Я2 + 5^Лп11гЖ|оо[»
где
Я1 = 1Г„ . {± ■ (z',z<) - Л- ■ (z',z«) + ij • (z>\z'<)}

3. Процессы Хеллингера. для решений мартингальных проблем 361
(соответственно = 0) в случае а), (соответственно Ь)),
Я2 = ^(1 + -,1 + 4)1г"п/с*^Л
К = 1г<<(Гп) [^z>zX{Tn},dx,dy)e(l + —^ + ^).
Достаточно доказать, что Я* — Кх — возрастающий
неотрицательный процесс для % = 1,2 и, что kn < hn Q-п.н. на {Тп < оо}.
(iii) В общем случае представление 3.21 не имеет места. Но из
Ш.5.17а следует, что (напомним 3.18 и соглашение 0/0 = 0)
3.40.
| z = z0 + (*-/?) • Xе + z_ (У - 1 + f-^) * (ji - F) + 5,
\ z' = z'0 + (z'_f3')-Xe + z'_(Y'-l + ^^)*(fi-T7) + z',
где гиг' являются Q-локальными мартингалами с
3.41.
(Г, (Х')с> = {z'% (ХГ) = 0, М?(Д51 £) = М?(Д5' | Р) = 0.
(iv) Те же вычисления, которые позволили установить 3.25,
позволяют теперь с учетом 3.41 получить представление
Я1 = К> + 1Г„ • {i- • <*%*«) - -1- . <*%*"> + -jj • <*'%*">} =
= A* + [M,Jlf],
где /? = /? — /3'иМ= ~-1Г// -ic — р-1г" *^/с является "Q-локальным
мартингалом на Г"". Отсюда следует, что Я1 — А'1 —
возрастающий неотрицательный процесс.
(v) Теперь покажем, что для каждого неотрицательного
предсказуемого процесса L
3.42. Eq(X • Kl) < EQ(L • Н*,).
Поскольку Я2 и К2 являются предсказуемыми и возрастающими
процессами, то, очевидно, что Я2 - К2 — возрастающий
неотрицательный процесс

362 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
Точно так же, как при доказательстве 3.22, из 3.40 выводим
3.43. Azt = zt_ \(Y(t,AXt) - 1)W<?£0} + t^W<=o}1 + A~z<>
и такую же формулу для Az't. Тогда из определений i/1»*') и Я2
вытекают следующие соотношения
Eq(L • Я£) = EQ(J2 lr»nMs)La${l + Д*./*.-, 1 + Az'Jz's_)) >
> EJ^lr..njo(s)L9l{&x.*o}<>(l + Л**/**-, 1 + A^/O) >
V(*) J
> M*(lr,nJcL9{Y + Az/z^X + Az'lz'_)).
Поскольку в — выпуклая функция, то применение неравенства
Йенсена дает на Г" неравенство
M*(0(Y + Az/z-X + Az'lz'_) | V) >
> o(y + j-M^Az' | V)X + jrM?(Az' | V)),
где правая часть в силу 3.41 совпадает с 0(У,У) (напомним, что
J, Z, У, У, Г" являются предсказуемыми объектами). Поэтому
с учетом определений V и К2 имеем
EQ(L • Hi) > M?(lr,.nJCLe(YX)) =
Ч(«) '
= Ед(Х1Г»п^^,Г)) ♦Foo) = EQ(Z • Kl).
Итак, неравенство 3.42 установлено.
(vi) Осталось показать, что hn > kn. Для простоты записи
положим Т = Тп и
3.44. <
8 = У(Г, AXT)l{T<00tAXT*o} + i——1{т<оо, дл>=о}>
1 — fly
1 — а'
§' = У'(Г, ДХг)1{Т<оо, ДЛ^О} + ^ —1{Т<оо, ДЛ-т=0}?
к 1 — а>т
-*кГ **■«*.> ,i№.

3. Процессы Хеллингера для решений м&ртингальных проблем 363 ,-
а также Q = ^т- V <т(АХт). Из П.1.18, определения Лп, 3.43 и?
аналогичной формулы для Дг', (/-измеримости 6 и £' выводим/
что на ^--измеримом множестве {Т Е Г"} в силу выпуклости в
3.45. Л„ = EQ[0(1 + Azt/zt-, 1 + Д4А4-) I ^r-] =
= Eq{Eq[0(1 + A^t/^.,1 + A4/4-)I^]I^t-}>
Теперь воспользуемся тем, что любая (/-измеримая случайная
величина L имеет следующую структуру: L(u>) = L(u>, AXT(u)),
где L является Тт_ ® 7^-измеримой функцией на 12 х Rd.
Тогда W(uj,t2x) = I(u,x)l{t=Ti„)} и W'(u,t,x) = I(u;,0)l{t==T(u;)}
являются Р-измеримыми функциями, и с учетом 3.41 и равенства
Eq(Azt | Тт-) = 0 имеем
Ед(Д5т1Л{т<оо}) = Eq[AzTl{T<00tAXTto}(L(-, Д*т) -1(-,0))]+
+^q(A^t1{T<oo} Z(-,0)) =
= M?(Az(W - W)) + EQ(AfTl{T<TO}I(.,0)) = 0.
Поэтому Eq(Azt\Q) = 0 и аналогично Eq(Az'T \ Q) = 0 на
{T < 00}. Таким образом, в силу 3.45
Л„>Ед(0(М')|^Т-)на{ГеГ"}.
Теперь, используя 3.44 и свойство Eq(V(T, АХт) х
х1{дхг9«о}|^т-) = fV(T,x)17({T} х Же) на {Г < оо} для всех
Р-измеримых функций V, получим, что на множестве {Г € Г"}
К > Ед[^(У,У')(Г,ДХт)1{дх^о} \Гт-]+
41 — ах 1 — о>т'
= jv{{T) х dx)0(Y,Y')(T,x) + (1 - ^(j^fjI.IziJL),
гДе последний член равен fcn, поскольку b9(u/byv/b) = 0(u,v) при
Ь > 0 в обоих случаях а) и Ь), и имеет место 3.18. Доказательство
закончено. □

364
Гл. IV. Процессы Уеллингера,
§3с. Случай локальной единственности
В предшествующем разделе ключевым являлось свойство
представления 3.21. Оно обеспечивается свойством представления для
Q-локальных мартингалов как в теореме 3.28. Однако и теорема
Ш.5.32 в принципе позволяет установить представление типа 3.21
при условии локальной единственности мартингальных проблем
S(H, X | Ря; Я, С, и) и S(H, X | Р'я; В\ С, i/). Это предположение
является более естественным, чем свойство представления для
Q-локальных мартингалов.
Мы обращали внимание в Ш.5.33 на то, что при применении
Ш.5.32 равенства 3.17 должны выполняться везде (а не только на
Г или Г'). Поэтому нельзя использовать произвольную меру Q,
доминирующую меры Р и Р'. Так, в примере Ш.5.33 /&(а;Р,Р')
не совпадает с h°(a) из 3.9, поскольку h°(a) = О!
В этом разделе мы применим другой подход. Введем
следующие характеристики
з.46. , = £±», ?=Ц£1,
Эти объекты, очевидно, удовлетворяют 3.2, С = с • А с тем же
процессом А из 3.3, с = (с + с')/2 и at := v({t} x Rd) = (at + a't)/2.
Вспомним, что имеет место 3.1, и дополнительно
предположим, что
3.47. а(Х0) СП (^ Т% = W).
3.48. Предположение. Пусть QH = (Ря + Р'я)/2
(напомним, что Ря и Р^ — сужения мер Р и Р' на К). Тогда
мартингальная проблема S(H,X | Q#; J?, (7,17) имеет по крайней
мере одно решение. D
На первый взгляд кажется, что и это предположение
трудно проверить. В действительности ниже будет показано, что во
многих случаях оно выполняется.
Далее нам также потребуется одно техническое
3.49. Предположение. Пусть Е, г и h°(l/2)
определены в 3.6, 3.8 и 3.12. Предсказуемый случайный интервал

3. Процессы Хеллингера. для решений м&ртингальных проблем 365
£' = Е П {Л°(1/2) < оо} П JO, rJ может быть представлен в виде
5У = U„[[0, гп]| с точностью до (Р + Р')-пренебрежимого
множества для некоторой последовательности (гп) моментов остановки,
являющихся строгими (см. Ш.2.35) и предсказуемыми. □
Напомним, что предсказуемый и положительный момент
остановки является строгим моментом остановки. Читатель может
быть удивлен, увидев множество Е П Ц0,г] в определении Е', так
как в силу 3.8 т < inf(* : t £ Е), так что включение. |[0,г[с Е
всегда имеет место. Однако, может случиться, что [0, г] (jL E.
Заметим, что 3.49 имеет место, если Е' — детерминированный
объект, а также при следующем предположении
3.50. "Обобщенные возрастающие процессы" h°(l/2) и К =
= \h(U — U')\ * Л не уходят скачком на бесконечность (см. Ш.5.8)
и момент остановки
=\т-
если г < оо, Кт < оо, h°(l/2)T < оо,
в остальных случаях
является строгим, предсказуемым моментом остановки (в этом
случае 3.49 выполнено с тп = f Л inf(J : Kt + h°(l/2)t > n)). □
Эти предположения позволяют получать явные формулы для
процессов Л(а;Р,Р'), играющих центральную роль в
результатах из раздела 2. При этом мы должны вычислять вероятность
P'(Go), где множество G0 определяется в 2.2, что может
показаться просто пустяковой задачей! Однако, в большинстве случаев
<7-алгебра И строго включена в Т§ (типичный пример Н = Т§ =
= сг(Х0)) и "естетсвенными" исходными данными в момент t = О
являются Р# и Pjy. При этом даже в случае Р'я < Р# не ясно,
имеет ли место Р'0 < Р' (<£► Р'(^о) = 1).
Данный вопрос решается вместе с вычислением Л(а;Р,Р'). С
этой целью, аналогично тому, как это делалось в 2.2, вводится
множество
3.51. *.е«.{&£"
при сужении на Он,
при сужении на (С?я)с>
т.е. Р'я < Ря * Р'я(Ся) = 1 и Р'я-LP* & Р'я(Ся) = 0.

366 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
3.52. Теорема. Положим т' = inf(J : t # £'), где
множество £' определяется в 3.49 {кроме того, имеет место равен-
ство г' = г Л inf(* : h°(l/2)t = оо)).
a) Имеет место включение Go С Gh П {т' > 0} (Р + P')-n.w.
b) Пусть выполнены 3.47, 3.48, и 3.49, а гпакяюе имеет
место локальная единственность для двух мартингальных
проблем S{H,X\YH;B,C,v) и S{H,X |P^;B',CV). Тогда
справедливы утверждения:
(i)Go = GHn{r'>0}(P + P)-n.K,
(ii) Пусть а Е [0,1), ф удовлетворяет 1.40 и ф(х) < ф(0) для
всехх > 0. Если h°(a) и Р(ф) определяются в 3.9, 3.10 и 3.11, то
версиями Л(а;Р,Р') и z(^;P,P') являются следующие процессы
х h(a) = l[ofr'[ • h°(a) + 1{т'<о}1[т',оо|[,
3.53.
{
КФ) = 1[0,т'[ • 1°(Ф) + ^(0)l{r'>0}llr'fool-
3.54. Замечание. Этот результат не противоречит 3.20.
На самом деле, если предположения обеих теорем 3.20 и 3.52Ь
выполнены, то ДЛ°(а)т/ = 1 и Дг°(^)г/ = ф(0) на множестве
{0 < г1 е Г"}. □
3.55. Замечание. Момент остановки т' играет здесь
решающую роль. Мы увидим в доказательстве, что свойство
представления 3.21 (для подходящей меры Q) выполнено на £',
возможно за исключением момента времени г'. Более того, Р и Р'
могут быть эквивалентными на Тг* , но они всегда сингулярны
на У>'п{г;<оо}-
На самом деле можно доказать следующее утверждение,
обобщающее приведенное выше утверждение (i). Для любого t E R+
определим множества (см. 3.1 для Т?)
го е то г! Р~Р'наС?П*?, с _ / Р ~ Р' на GtnFu
**' £ Л \ Р1Р' на (G°Y П JF°, Ui £ А С \ Р1Р' на (Gt)e Л Tt.
Тогда в предположениях 3.52Ь, имеем Gt = G° П {г' > i)
(Р + Р')-п.н. D
Начнем с леммы

3. Процессы Хеллингера, для решений м&ртингальных проблем 367
3.56. Лемма, а) Если Q = (Р + Р')/2 и множество Г" сея-
зано с Р, Р', Q в соответствии с 1.15, то Г" cS'c точностью
до Q-пренебрежимого множества.
b) Go С Gh Л {т' > 0} Q-n.w. (т.е. выполнено 3.52а).
Доказательство. а) По лемме 3.19 уже известно,
что Г" С ЕЛ|[0,rj Q-п.н. В обозначениях 1.15 и 1.18 Q-мартингал
М(1/2) является равномерно интегрируемым и У(1/2)_ > 1/п на
|0,5„]| и тем самым
EQ(/>(l/2;P,P')sJ < nEQ(M(l/2)Sn) < оо.
Поэтому процесс /i(l/2;P,P') принимает Q-п.н. конечные
значения на Г". Поскольку по теореме 3.39 существует версия
Л(1/2;Р,Р'), мажорирующая /&°(1/2), то отсюда следует, что
Г" С {Л°(1/2) < оо} с точностью до Q-пренебрежимого множе- *
ства и, значит, Г" С £'.
Ь) Тот факт, что (GH)C С (G0)c Q-п.н. и, значит, G0 С GH Q- !
п.н., является очевидным. Теперь, если и £ Go, то S(u>) > 0 (
(обозначение 1.15) и, следовательно, [0,г] С Г" для некоторого
е(ш) > 0. Тогда в силу (a) G0 С {г1 > 0} Q-п.н. П \
Доказательство теоремы 3.52. а) При- |
нимая во внимание предшествующую лемму, осталось доказать j
только 3.52Ь. В связи с этим предположим выполненными 3.48 <
и 3.49, а также локальную единственность для мартингальных
проблем, связанных с мерами Р и Р'. Пусть также, как в 3.48
Q G S(H,X | Qh;-B,C,I7). В 3.4 выберем А = 17. Можно всегда !
предполагать, что 3.5 и 3.7 имеют место также Q-п.н. Напомним 1
равенство с = с' = сна|0,г]ив силу 3.7
Я-В' = ^(c>P).A+h(x)(U-U')*V (P+P'+Q)-n.H. на £Л[[0,г]|.
j<d
Кроме того, В + В' = 2В и U + U' = 2 (поскольку v + v' = 2F).
Поэтому, если /3 = /3/2, то
3.57.
f B = B+(j2(c*p)-A + h(x)(U-l)*17,
[ С = С, u = U-V

368 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
(P + Q)-n.H. Всегда можно изменить 5, С, F, U на множестве (Р +
(})-нулевой меры, и, значит, можно считать, что 3.57 выполняется
тождественно на Е П |[0,rj.
Применим результаты анализа из разд. Ш.5 к паре (Q,P)
(вместо пары (Р,Р')). Вспомним, что a < 1 тождественно, и
положим
a = inf (t: at = 1 и at < 1),
H = (p.c. Р)ЦоЛ • A + (1 - y/U)2ll0)ai * F+
+ЕСл/г11^; - y/r=ir$)2i{$<a).
Поскольку a = (a + a')/*} и 0 < a, a' < 1, то отсюда немедленно
получаем: о = оо. В силу 3.12 и свойств U + U' = 2, Д = 2/? имеем
также
3.59. Л°(|) = -(/?• с /3)12.А+^(^2^Г^-^)2*17+
Теперь легко найти константу в такую, что
0<х<2=*(1- у/х)2 < в(у/^х- у/х)2,
О < х, у < 1 =>> (Jl-(x + y)/2-y/T^)2 < 0(>/T^->/l~^i)2.
Поэтому, сравнивая 3.58 и 3.59, получим, что Н < 20/&°(1/2) на
£. Тем самым, если Д = [0,а[П{Я < оо} является множеством,
определенным в Ш.5.9, то £' С Д.
Ь) В соответствии с Ш.5.10 существует процесс JV,
единственный с точностью до Q-пренебрежимого множества на Д, такой,
что для всех моментов остановки 5 с [[0,5] С Д, процесс Ns
является Q-локальным мартингалом следующего вида:
NS = 081[„,si) • Xе + (у - 1 + j5|) l(o,5i *{H-V)
(напомним, что 0/0 = 0; Xе — Q-непрерывная мартингальная
составляющая X).
3.58.

3. Процессы Хеллингера. для решений мартяягальных проблем 369
В соответствии с Ш.5.21 определим Z с Z0 = zH := ^Ря/^я
так, что для всех моментов остановки S с [0,5J С Д
3.60. Z5 = zH + (Zs_pll0tS1)-Xc + Zi (l/ —1 + j5|)l[o,si*(//-F).
Теперь, если просмотреть доказательство леммы Ш.5.30 (см.
часть (Ь)), можно увидеть, что в случае предсказуемых моментов
an в Ш.5.29 предсказуемыми моментами являются и 5П в Ш.5.30.
В нашей ситуации Е' = Un[[0,rn]| С Д, тп — предсказуемый и
строгий момент остановки. Поэтому лемма Ш.5.30,
примененная к Е' вместо Д, позволяет установить, что существует
последовательность (рп) предсказуемых строгих моментов остановки
таких, что Е' = ипЦ0,/>п]| (j-п.н. и
3.61. ZPn является Q-равномерно интегрируемым
неотрицательным мартингалом с E^(ZPn) = 1.
с) Аналогично, характеристики (£', С", i/) удовлетворяют 3.57
с /?' = —/3 и U'. Приведенное выше доказательство позволяет
установить, что существует последовательность предсказуемых,
строгих моментов остановки (р'п) с Е' = U„|[0,/>JJ Q-п.н., и, что
свойство 3.61 выполнено для Z/p% где Z1 — решения уравнения
3.60 с z'H = d?'H/dQH, /?', W вместо zH, P> U.
Положим вп = pnhp'n. Этот момент остановки также является
предсказуемым и строгим моментом остановки и
3.62. Е' = Un|[O,0n] Q-п.н.
Более того, процессы Z0n и Z'0n являются Q-равномерно
интегрируемыми. Тогда 3.57, 3.60 и включение ЦО,0П] С Д позволяют
применить лемму Ш.5.27, согласно которой вероятностные меры
Pn(du;) = Z$n(u)Q(dw) и ?'n(du) = ZJn(u;)Q(du;) являются
решениями остановленных мартингальныхпроблем <S(W,X9n | Р#; В9*,
С$*у*) и S(H,X0» | Р'я; JB'SC"»,!/'-)- Тем самым, в силу
локальной единственности
3.63. Рп = Р и Р,п = Р' на а-алгебре Т*щ.
В частности, Р <; Q и Р' < Q при сужении на Т^п. Поскольку вп
является .F^-измеримой случайной величиной, то 3.62 приводит

370 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
к равенству
3.64. E' = Un[0Al (Р + Р')-п.н.
d) Для каждого п G N определим новую (непрерывную справа)
фильтрацию Gn следующим образом
О? п {еп > 0} = (ъ пт(9шУ) п {0„ > о},
При этом 3.63 влечет за собой Рп = Р < Q и Р/п = Р' < Q при
сужении на (/£>_. Обозначим J(n) и ~z*{n) процессы плотности
Рп = Р и Р,п = Р' относительно Q и фильтрации Gn. В силу
предсказуемости вп и определения Pn J(n) = J(n)^n_ = Z$n_ на
{вп > 0}, в то время как на множестве {вп = 0} 2(71)00 = JH.
Поэтому в соответствии с определением Gn, очевидно, что J(n) =
= Z на [0, 0„[[ и, в частности, в силу 3.60
3.65. J(n) = zH + J(n)_/?l[0^m[ • Хе+
+J(n)_ (С/ - 1 + j5f) lpiM * (p - V)
(изменение фильтрации не оказывает влияния ни на
стохастические интегралы, поскольку подынтегральные выражения равны 0
на Ц0п,оо[[, ни на Q-непрерывную мартингальную составляющую
Xе на [[О,0„[[). Процесс ^(п) удовлетворяет тому же уравнению
3.65 с *;,,/?', С/', а'.
Другими словами, РиР' удовлетворяют предположениям
теоремы 3.20, включая 3.21, относительно Q и фильтрации G".
Заметим, что р = /?-/?' на [[О,0„] и [[О,0П]] С Е. Тогда теорема
3.20 позволяет установить, что версии процессов ft(a;P^n],PL Л
и г*(^;Р[*ЛьР[*п]), где Р[$п] и Р[к] — сужения Р и Р' на ££_,
определяются формулами
3.66. M*;Ppj.pki) = Wni^V),
e) Положим Q = (Р + Р')/2 и обозначим z и г' процессы
плотности РиР' относительно Q (и фильтрации F) и используем
обозначения Г", Snj S из 1.15. Напомним также, что zH = dP#/dQ#

3. Процессы Хеллингера, для решений мартингальных проблем 371
и z'H = dPff/dQH- Поэтому, если z{n) и zf(n) — процессы
плотности РиР; относительно Q и фильтрации Gn, то из 1.14 вытекает
z{n)t = <
z#, если вп = 0 < ty
zu если 0 < t < 0n, z'(n)t = ^
Z0n_, если 0 < 0П < *,
z'H) если 0П = 0 < tf,
z(, если 0 < / < 0П,
z£ _, если 0 < вп < t.
Таким ббразом, из характеризационных соотношений 1.20 и
1.42 (или, что эквивалентно, из явных формул 1.34 и 1.48)
выводим, что процессы 1[о,*п[ • Л(а;Р,Р;) и 1[о,*п[' *№?,¥')
являются версиями процессов h(a;?[$n],P[9n]) и t(^;Ppj,Ppj). Другими
словами, в силу 3.66
Г h°(a
) является версией Л(а;Р,Р') на Un |[О,0„|[,
(ф) является версией г(^;Р,Р') на Un [[О,0„[[.
Следовательно, если h(a) и г(^) определяются в соответствии с
3.53, то h(a) = Л(а;Р,Р') и %{ф) = г(^;Р,Р') на Un[[O,0n[[= |[0,r[
и, в частности, в силу 3.56 на r"\|[S]. Для того, чтобы
получить 3.52b(ii), осталось доказать, что Ah{a)s = АЛ(а;Р,Р')5 и
А((ф)5 = Дг(^;Р,Р')> если S G Г" и £ > 0„ для всех п. В этом
случае S = г' и даже S = Sp = вп для некоторых достаточно
больших п, р (зависящих от а?).
Другими словами, мы должны доказать, что Ah(a)s =
= Ah(a; P, P')s и А((ф)3 = А((ф; Р, Р') на множестве F = Un>p{S =
= т = вп = Sp < оо}. Напомним, что для a = 0, Л(0;Р,Р') =
= *(^;Р,Р') с ф(х) = 1{а;=о} (следовательно, ф удовлетворяет 1.40
и ф(х) < ф(0) = 1 для х > 0). В силу 3.53 имеем Ah(a)s = 1
и А{(ф)3 = ф(0) на F. С другой стороны, т1 = supn r„ является
предсказуемым моментом в силу 1.2.9 и, значит, в соответствии
L2.10 и 1.2.11
К ~ \ ос,
д/ _ / ^) если 0П = г' (или, эквивалентно, вп > г'),
" ~~ в остальных случаях
является предсказуемым моментом и в'п > 5. Поэтому в силу 1.30
и 1.59 A/i(a;P,P')s = 1 и Az(^;P,P')s = ^(0) на UP{SP = т'п <
< оо} = Up{5 = г = вп = 5Р < оо}.
Таким образом, доказательство 3.52b(ii) закончено.

372 Гл. IV. Процессы Хеллиягера,
f) Осталось доказать 3.52b(i). Принимая во внимание 3.56,
необходимо установить только, что G# П {г' > 0} С G0
(Р + Р')-п.н., и даже, что GH П {0п > 0} С G0 (P + Р')-п.н. для
всех те.
Но в силу 3.65 J(n)0 = zH и, аналогично, ^(n)0 = z'H.
Напомним также, что версией G# является множество
GH = W > 0, z'H > 0}. Тогда GH П {0Л > 0} С {г(те)0 >
> 0, ^(те)0 > 0} и То П {0П > 0} = 0J П {вп > 0}. Следовательно,
J(n)0 = dPo/dQo и ^(njo = dP'o/dQo на множестве {0П > 0}.
Отсюда очевидно следует, что Р0 ~ Р{, на множестве (7# П {вп > 0}
и, следовательно, GH П {0Л > 0} С Go (P + Р')-п.н. D
3.68. Следствие. Предположим, что выполнены 3.47,
3.48 и свойство локальной единственности для обеих мартин-
гальных проблем S{H,X\YH;B,C,v) и S{H,X | Р'я; В9,С9 У).
Если процесс h°(l/2) не уходит скачком на бесконечность (см.
Ш.5.8), т = +оо и а 6 (0,1), то процесс h°(a) является версией
Л(«;Р,Р')-
Доказательство. Поскольку К% < оо для всех
/ G R+, то 3.50 влечет за собой выполнение 3.49. Кроме того,
Л°(1/2)г^ = оо на {г1 < оо} по предположению. Следовательно, в
соответствии с 3.9 и леммой 2.19 h°(a)T>_ = 00 на {г' < оо} для
a G (0,1), т.е. процесс /г(а), определенный в 3.53, совпадает с
Л°(а). D
4. Примеры
После достаточно сложного технического раздела 3 покажем,
как можно в действительности вычислить процесс Хеллингера и
вывести результаты об абсолютной непрерывности и
сингулярности, по крайней мере, для наиболее употребительных процессов
таких как:
1) точечные процессы и мультивариантные точечные
процессы — в § 4а;
2) случай, когда Р (соответственно Р') является
распределением винеровского процесса (соответственно, распределением ви-

4. Примеры 373
неровского процесса со (случайным) сносом), очевидно, что
допустимы и более общие модели;
3) случай, когда Р и Р' являются распределениями двух
процессов с независимыми приращениями (здесь вычисляется
процесс Хеллингера, а также интеграл Хеллингера, что весьма
нетипично в общей ситуации).
Затем мы приведем необходимые и достаточные условия
абсолютной непрерывности (этого можно было бы ожидать ввиду
теоремы 2.6), а также сингулярности (на что надеяться было меньше
оснований).
Ради простоты ограничим себя (за исключением случал муль-
тивариантных точечных процессов) канонической постановкой
IIL2.13: Q является каноническим пространством всех К^-значных
непрерывных справа и имеющих пределы слева процессов, с
каноническим процессом X, канонической фильтрацией F
(фильтрацией, порождаемой процессом X), Т = Too- и Н = <т(Х0) = Ffj,
т.е., в частности, выполнены 3.4 и 3.47.
§4а. Точечные процессы и мультивариантные точечные
процессы
1. В нашем первом примере d = 1 и процесс X является почти
наверное точечным процессом (см. § III. 1с) для двух мер Р и Р'.
Обозначим Ли А1 компенсаторы X относительно Р и Р' (Аи А! —
предсказуемые, возрастающие, непрерывные справа и имеющие
пределы слева процессы с А0 = А'0 = 0).
Пусть А произвольный возрастающий, предсказуемый,
непрерывный справа и имеющий предел слева процесс такой, что dA <
< dA и dA* <C dA (например, А = А + А'). Существуют два
неотрицательных предсказуемых процесса д и д1 такие, что
4.1. А = д-А, А' = д'-А, (Р + Р')-п.н.
4.2. Теорема, а) Если а 6 [0,1), то версией Л(а; Р,Р')
является процесс
4.з. л(а) = <ра(д,9') -А+£^а - дл., 1 - да:),
s<

374 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
и, в частности,
4.4. Л(0) = д'1{9=о} -А + Х^1- ДА',)1{ДЛ.=1}.
Ь) Если функция ф удовлетворяет 1.40, то версией i(^;P,P')
является процесс
4.5. ад = д'Ф(±) -л+£а - *4)*(i5££)-
Доказательство. Выберем функцию усечения
h G С} такую, что h(l) = 0, и, значит, характеристиками X
относительно Р и Р' являются
Г В = 0, С = 0, i/(A,Жг) = dAt^cte),
i \ я' = 0, с" = о, i/(A,<fe) = dA{£1(Ar).
Тогда в 3.4 возьмем \(dt,dx) = dAt£i(cte). При этом 3.5
выполнено с U(u,t,x) = gt{u) и U'(u,t,x) = <7{(u>). Кроме того, В = О
и /3 = 0 в 3.6 и 3.7, а = ДА, а' = ДА'. Тем самым, 4.3, 4.4, 4.5
являются не более, чем 3.9, ЗЛО, 3.11.
Осталось проверить, что можно применить теорему 3.28.
Возьмем Q = (Р + Р')/2. Тогда для Q (как и для всякой меры,
относительно которой X является почти наверное точечным
процессом) имеет место свойство мартингального представления (см.
Ш.4.37) и, следовательно, теорема 3.28 применима. D
4.6. Теорема, а) Для того, чтобы Р' < Р, необходимо и
достаточно существования версии А1', удовлетворяющей трем
условиям:
4.7. А! = к • А для некоторого неотрицательного
предсказуемого процесса к,
4.8. AAt = 1 => ДА', = ktAAt = 1, Р^Яоо < оо) = 1, где
4.9. Н = (1 - у/к)2 • А + £(>/1 - ДА, - ^/1-ДА'5)2.

4. Примеры 375
b) В предположении 4.7 Р'(#оо = оо) = 1 влечет за собой
p'J-P.
Доказательство. Утверждения этой теоремы
будут выведены из 2.6а,с. Прежде всего, заметим, что Х0 = О
р-п.н. и Р'-п.н. Кроме того, в силу III. 1.29 сг-алгебра Т0
является Q-тривиальной в случае Q = (Р + Р')/2. Значит, Р0 = Р'0 и
в обозначениях 2.2 Р'((7о) = 1-
Теперь предположим, что 4.7 имеет место. Тогда в 4.1 можно
взять А = A, g = 1, g' = к. Подстановка в 4.3 приводит к
равенству h(l/2) = Н/2. В этом случае Ь) вытекает непосредственно
из 2.6с.
Предположим далее, что в дополнении к 4.7 имеет место 4.8.
Тогда в силу 4.4 Л(0) = 0. Поэтому в обозначениях 2.5 получаем,
что Goo = Go П {Поо < оо} и, значит, достаточность в (а) следует
из 2.6а.
Наконец, предположим, что Р' < Р. Тогда из Ш.3.17
вытекает существование версии А!, удовлетворяющей 4.7 и 4.8. В этом
случае h(l/2) = Я/2, Л(0) = 0, как было показано, и 4.9 следует
из 2.6а. □
1ос
Мы оставляем читателю "локализацию" (условия для Р' < Р)
предшествующего результата.
2. Наш второй пример посвящен мультивариантным
точечным процессам, как в §Ш.1с. Пусть имеется £-значный муль-
тивариантный точечный процесс \i (см. III.1.23) на некотором
пространстве П. Обозначим F наименьшую фильтрацию,
относительно которой fi — опциональный процесс и Т = ^оо-? т.е.
выполнено III.1.25 сН= {0,П}.
Рассмотрим две вероятностные меры Р и Р' на (ft, T) и
обозначим у и v1 "хорошие" версии компенсаторов \i относительно Р
и Р; такие, что а < 1 и а1 < 1 тождественно, где
4.10. ах = i/({t} х Е\ а\ = u\{i] x E).
Мера Р (соответственно мера Р') является решением мартин-
гальной проблемы, связанной с /х и v (соответственно с /х и и1)
в смысле III. 1.9 (здесь начальное условие тривиально,
поскольку 7^ = {0,Я}). Отметим, что результаты разделе 3 формально

376 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
не применимы. Однако, ясно, что можно применить тот же
метод анализа, если ограничиться рассмотрением //, i/, i/. Кроме
того, ключевые моменты, на использование которых опираются
теоремы 4.2 и 4.6, а именно, теоремы Ш.4.47, Ш.1.29 и Ш.3.17,
сохраняют силу для мультивариантного точечного процесса, а
также и для простых точечных процессов. Таким образом,
имеют место следующие обобщения теорем 4.2 и 4.6, приводимые без
формального доказательства.
Сначала рассмотрим произвольную предсказуемую меру А
такую, что v < А и i/ < А (например, А = v + i/'). В этом случае
существуют две неотрицательные предсказуемые функции U и С/7
на U = ft х R+ X Е такие, что
4.11. i/=17-A, j/ = 17'.A, (Р + Р')-п.н.
Имеет место*
4.12. Теорема, а) Если а Е [0,1), то версией h(a; P,P')
является процесс
4.13. h(a) = <pa(U,U')*\ + ^2<pa(l-a„l-<)
% в частности,
4.14. Л(0) = U'l{Usu} * А + 2(1 - <)1{а.=1}.
*<
Ь) Если функция ф удовлетворяет 1.40, то версией г(^;Р,Р')
является процесс
4.15. ,'(*) = и'фф ♦ А + £(1 - <)Ф(\^%) ■
4.16. Теорема, а) Для того, чтобы Р' <; Р, необходимо
и достаточно существование версии v1 со следующими тремя
свойствами:

4. Примеры 377
4.17. i/ = У • v для некоторой неотрицательной
предсказуемой функции Y на Q
4.18. а, = 1 => a't = 1,
Р'(#оо < оо) = 1, где
4.19. Я = (1 - л/У)2 * А + ]Г(^Г^7 - лД^<)2.
Ь) Если выполнено 4.17 и Р'(#оо = оо), то Р'±Р.
§4b. Обобщенные диффузионные процессы
Несмотря на многообещающее название этого параграфа здесь
будет рассматриваться только элементарный случай, легко
допускающий обобщение (детали этого обобщения оставляются
читателю). Пусть снова d = 1. По мере Р, так же как и по мере Р',
X является стандартным винеровским процессом с абсолютно
непрерывным относительно меры Лебега сносом. Чтобы избежать
тривиальных усложнений, предположим, что процесс X выходит
из некоторой точки х еЖ относительно Р и Р'. Другими словами,
пусть
4.20.
Bt = J/39 ds, Ct = *, v = 0, P(X0 = x) = 1,
о
t
B[ = 1рл ds, С; = t, i/ = 0, Р'(Х0 = ж) = 1,
и X имеет характеристики относительно Р и Р', задаваемые в
4.20. В силу этого процесс X допускает представление
относительно РиР':
4.21. °t
Xt = x + Jl39ds + Wu
о
t
X't = x + Jfids + W},

378 Гл. IV. Процессы Хеллингера
где W (соответственно W) — Р-стандартный (соответственно,
Р'-стандартный) винеровский процесс.
Определим три "обобщенных" возрастающих, предсказуемых
процесса (см. Ш.5.8)
t t t
4.22. Kt = J((3s)4s, K't = J(P',)2ds, Kt = ps-p:fds.
4.23. Теорема. Предположим, что процессы К и К'
{следовательно, и К) не уходят скачком на бесконечность.
1ос "
a) Р' < Р => ?'(Kt < оо) = 1 для всех t e R+,
— 1ос
b) T'(K't < оо) = ?'(Kt < оо) = 1 для всех t € R+ => Р' < Р.
c) Если Y{Kt < оо) = ¥'(Щ < оо) для всех t € R+, то процесс
а^1~а'К является версией процесса Хеллингера Л(а;Р,Р') и для
всех моментов остановки Т
(i) Р^. < Рт & P'(#t < оо) = 1,
(И) Р^±РТ & ?'(Kt < оо) = 0.
1ос
Доказательство. а) Предположим, что Р' «С Р.
В этом случае мы оказываемся в условиях раздела Ш.5. При
этом имеет место Ш.5.5 с /?' - /3 вместо /?, а а в Ш.5.6 равно
бесконечности и в соответствии с Ш.5.7 Н = К, т.е. множество
А из Ш.5.9 совпадает с {К < оо} (поскольку К не уходит скачком
на бесконечность). Тогда по лемме III.5.17b {Z_ > 0} = {If < оо}
с точностью до Р-пренебрежимого множества, где Z — процесс
1ос
плотности Р' относительно Р. Поскольку Р' < Р, то {Z_ > 0} =
= {К < оо} с точностью до Р'-пренебрежимого множества, в то
время как inff Zt > 0 Р'-п.н. в силу Ш.3.5. Отсюда получаем
требуемое утверждение.
Ь) Положим Тп = inf (/ : К% + К[ > п) и заметим, что в силу
сделанных предположений с К и К' Тп является строгим
моментом остановки. Для каждого те рассмотрим следующие
Р-локальные мартингалы
N(n) = -/3110,ТпГ(Х-В), Z(n) = £(N(n)) = exp (iV(n)-±KT').

4. Примеры 379
Тогда Z(n)2 = exp(2N(n)-2KT»)exp(KT~) = £(2N(n))exp(KT~),
K^£ < n и в то же время £(2N(n)) является неотрицательным
Р-локальным мартингалом и, следовательно, Р-супермартинга-
лом. Таким образом,
supEP[Z(n)2t] < supEp[£(27V(n))t]en = еп.
t t
Отсюда вытекает, что Z(n) является Р-равномерно
интегрируемым мартингалом. Аналогично, если определить (относительно
р')
JV'(n) = ^Iio.t.1 • (X - В'), Z(n) = exp [N'(n) - ±K'T"},
то Z'(n) будет Р'-равномерно интегрируемым мартингалом.
Теперь определим две другие вероятностные меры
Qn = Z(n)oo-PHQ/n = Z'(n)oo -Р'. По лемме Ш.5.27 обе меры Qn и
Qm являются решениями остановленной мартингальной
проблемы S{H,XT» | Рх;0,Ст%0) (РХ — мера на П такая, что Fx(X0 =
= х) = 1). Локальная единственность для S(%, X \ Fx; О, С, 0)
влечет за собой равенство Qn = Q/n на Tj>n. Кроме того, Z(n) > 0
и Z'(n) > 0. Следовательно, Qn ^ Р и Q'n ~ P' при сужении на
даждую а-алгебру Т% (t < оо). Поэтому Р ~ Р' на J^AT .
Поскольку Тп | оо Р'-п.н. при п | оо по предположению, то отсюда
Р'<р.
с) Обозначим Q ту единственную меру, относительно которой
X - х является стандартным винеровским процессом. Применим
утверждение Ь) к паре (Q,P) вместо пары (Р,Р') (в этом случае
вместо А', К\ К имеем О, К, К). Это приводит к соотноше-
loc loc
ниям Р < Q, Р' < Q. Поскольку все Q-мартингалы обладают
свойством представления относительно X (см. Ш.4.33), то по
теореме 3.28 версией Л(а;Р,Р') является процесс h°(a). Очевидно,
что для a G (0,1) Л°(а) = ^f^-K и /i°(0) = 0. Наконец,
применяя Ш.4.33Ь, получаем, что в представлении 3.21 z0 = Eq(z0) = 1
и z'0 = Eq(zq) = 1. Следовательно, GT = {Кт < оо} (обозначение
2.5) и утверждения (i) и (ii) вытекают из 2.8. □

380 Гл. IV. Процессы Хеллингера,
§4с. Процессы с независимыми приращениями
На протяжении этого параграфа X — Х0 является процессом с
независимыми приращениями относительно мер Р и Р' и,
следовательно, его характеристики (JB,C,//) и (JB',C",i/) могут быть
выбраны детерминированными.
1. Введем обозначения A, U, (/', Е, 2?, /3 из §3а. В нашем
случае эти объекты являются детерминированными (поэтому, в
частности, равенства в 3.5 и 3.7 выполняются всюду).
4.24. Теорема. Пусть a G [0,1), функция ф
удовлетворяет свойству 1.40 и ф(х) < ф(0) для всех х > 0. Тогда процессы
Л(а;Р,Р') и г(^;Р,Р') имеют детерминированные версии,
определяемые формулами 3.53.
Доказательство. Множество Е' = Е П {Л°(1/2) <
< о°} П |0,rj из 3.49 является детерминированным и,
следовательно, 3.49 выполнено. В силу Ш.2.42 локальная единственность
имеет место для обеих мартингальных проблем S(H;X\FH;
В,С,и) и S(H;X\?'H;B\C',v') (напомним, что Н = F%jl Ря-,
Р^-сужения Р, Р' на Н). Кроме того, характеристики (J9,C,F)
из 3.46 также являются детерминированными. Следовательно,
П.5.2Ь влечет за собой предположение 3.48. Поэтому требуемый
результат вытекает из теоремы 3.52. D
Теперь мы попробуем вычислить явно интегралы
Хеллингера #(a;Pt,P't) и #(a;Pt.,P;_) (см. 1.7) для сужения Р<, P; и
Pt_, PJ_ мер Р, Р' на Т% и Тх„. Это возможно в данном случае,
поскольку X - Х0 является процессом с независимыми
приращениями относительно Р и Р'. Заметим, что вычисление
интегралов Хеллингера основано на мультипликативном разложении
для процесса Y(a) из 1.18, которое имеет место и для более
общих процессов. Этот факт будет приведен в следующей главе
(V.4.16).
Здесь и далее а 6 (0,1), h(a) — любая детерминированная
версия Л(а; Р, Р'), являющаяся процессом с непрерывными справа
и имеющими пределы слева траекториями и Ah(a) < 1 всюду
(примером этого может служить версия из 3.53).
Введем следующую функцию, определенную для t Е [0,оо]

4. Примеры
381
(/г(а)го = lim,Too ht(a)):
4.25.
f e-h(o) TT(1 ~ A/»(a),)e-Afc(a>', если /i(a)t < oo,
£[-h(a)]t = I 7<t
{ О, если h(a)t = oo.
Сравнивая эту формулу с 1.4.63, заметим, что £[-h(a)]
является экспонентой Долеан-Дэд от функции (-Л(а)), если
отвлечься от того обстоятельства, что эта функция может принимать
значение +оо в конечный момент времени. Действительно, если
применить 1.4.61 к остановленной функции (—/&(а)*), то
t
4.26. £[~h(a)]t = 1 - l£[-h{a))sdh{a)9, если h(a)t < oo.
о
4.27. Лемма, а) Функция £[-h(a)] является
неотрицательной, невоэрастающей, непрерывной справа и имеющей
пределы слева, принимающей значение 1 в момент времени 0.
Ь) Пусть Т = inf(* : h(a)t = oo) и Т = inf(* : Ah(a)< = 1).
Тогда
(i) €[-h(a)] >0« £[-Л(а)]_ > 0 «а [0,ТЛ Г'];
(ii) €[-h(a)] = 0ка [ГЛ Г',оо);
(Ш) £ [—h(a)]T~ = 0, если и только если Т' < Т или
h(a)T_ = oo.
Доказательство. Для простоты записи используем
обозначение h = Л(а). Утверждение а) и первые два утверждения
в Ь) очевидны. Для (i) используется 1.4.61 и 4.26, а для (И) — 4.25.
Из (и) вытекает, что £(-h)T = 0, если V < Т. Поэтому
предположим далее, что Т" > У. Тогда, если
Л? = £ДЛ„ hc = h-h\
то имеет место равенство £(-h)t = exp(-^)53,<tln(l - Ahs)
при t < Г (напомним, что 0 < Ah9 < 1 для s < Г). Тогда
£(—h)T_ = 0, если и только если выполнено одно из следующих
Двух условий: (1) hcT_ = oo, (2) - ]Г)в<т1п(1 - Ahs) = oo.

382 Гл. IV. Процессы Хеллингера
Поскольку — ^1,<т1п(1 —Д/i,) ^ Лз<т &h8 = fe£_, то ясно, что
при hr- = оо выполнено по крайней мере одно из условий (1) или
(2)-
Обратно, если hT_ < оо, то (1), очевидно, не
выполняется. Более того, h имеет конечное число скачков размера
больше, чем 1/2 на [О, Г), и наибольший размер скачка Ь < 1. Тогда
-£,<тМ1-ДМ < ^т^Е^т АЛ. = !^/4_ < оо и, значит,
(2) также не выполняется. Доказательство закончено. □
При рассмотрении интегралов Хеллингера надо иметь ввиду
и их значения при t = 0. С этой целью напомним, что Т% = Н>
Ря и Р^ являются сужениями мер Р и Р' на Н (следовательно,
они задают распределение Х0 относительно Р и Р'). Следующее
утверждение является обобщением замечания 1.25.
4.28. Теорема. С учетом приведенных выше
обозначений и, полагая г' = г Л inf(tf : h°(l/2)t = оо) (этот момент
времени также детерминированный) интегралы Хеллингера
порядка а € (0,1) задаются следующим образом
4.29.
t)£[-h(a)]t, если г1 > О,
Г Я(а;Ря,Ря]
*е[0,оо]^#(а;Р,,Р;Ы
если т' = О,
■{
4.30. t 6 (0, оо) =► Я(а;Р,_,Р',_) =
#(а;Ря,Ря)£[-Ма)]*-> если г'> О,
О, если т1 = 0.
Понятно, что при t > г' и г' < оо (соответственно t > т') в
4.29 (соответственно в 4.30) также имеет место равенство нулю.
"Версия этого результата с дискретным временем" доказана в
1.73а.
Заметим, что для "стандартных" процессов с независимыми
приращениями Х0 = 0 (Р-п.н. и Р'-п.н.), т.е. Ря = Ря? и? значит,
Я(а;Ря,Р'я)=1-
Доказательство. Пусть Q = (Р + Р')/2. Далее
используются обозначения из 1.18 и, для простоты записи, h(a) = ^
и Y(a) = Y. Положим также Ht = #(a;Pt,PJ). Тогда из 1-7

4. Примеры 383
следует, что Ht = Eg(Yt). Отсюда вытекает, что Н —
непрерывная справа и имеющая пределы слева функция, Ht- = Eg(Yi_) =
= Я(а;Р,_,Р',_).
Теперь, применяя 1.28 и теорему Фубини, получаем
t t
4.31. Ht = H0- EQ( /У,. dhs\ = Я0 - JEQ(Y8-)dh8 =
= #o- JHs_dh8.
о
Пусть также Г = inf(* : /it = оо) и f = inf(< : ДЛ* = 1).
Сравним 4.31 и 4.26. С учетом единственности решения
линейного уравнения 4.31 имеем Ht = H0£(-h)t при t < Т. Поскольку
интеграл Хеллингера Ht убывает с ростом t и является
неотрицательной величиной, то из 4.27Ь выводим, что Ht = HQ£(~h)t
для всех t 6 [0,оо] (напомним, что Н^ := Нт^ Ht совпадает с
Я(а;Р,Р') = Я(а;Рво,Р'ео)).
Осталось подсчитать Н0. Положим zH = dTH/dQH^ z'H =
= d¥'H/dQH и Go = {*o > 0,*J > 0}, G* = {*я > 0,^ > 0}. Если
г' = 0, то в силу 3.52a Q(G0) = 0 и, значит, HQ = Eq^J^"") = 0.
Предположим теперь, что г' > 0. Тогда в силу 3.52b(i) G0 =
GH Q-п.н. Кроме того, по закону нуля и единицы для
процессов с независимыми приращениями (см. III.4.34b) zQ = Z Р-п.н.
для некоторой ^-измеримой случайной величины Z. Поскольку
Р'о ~ Ро на G0, то z0 = Z Q-п.н. на множестве G0 = G#.
Далее, в силу равенства Eq(zQ\H) = zh получаем, что z0 = Z =
= zH Q-п.н. на Gh- Аналогично, z'0 = z'H Q-п.н. на G#. Отсюда
Н0 = EQ(^41"or) = Eq(z%z£-q1Gh) = EQ(^^"alGw) =
= Ед(^4-в) = Я(а;Ря,Р^). □
2. Абсолютная непрерывность и сингулярность. Применим
теперь полученные результаты для вывода критериев
абсолютен непрерывности и сингулярности.

384 Гл. IV. Процессы Хеллиигерл
4.32. Теорема. Для того, чтобы Р' < Р, необходимо
и достаточно выполнения последующих условий: существуют
две борелевские функции У : R+ х R+ —► R и /3 : R+ —► R4
такие, что
0) Р'я < Ря,
(ii) i/ = Y • v,
(Ш) а< = 1 =*• aj = 1 (напо.мни.м, что at = v({t} X Rd),
а; = v'№ х Rd),
(iv) |Л(х)(У — 1)| * vt < oo Ли всея t < oo,
(v) В' = В + h(x)(Y - 1) * v + (£,-<* с'/Р ) • А (напомним, что с
и А удовлетворяют 3.3 и являются здесь детерминированными),
(vi) С = С,
(Vii) Ято < оо, гдеН = (р.сф).А+{у/У-1)Чр^г<{^ГГТ,-
Доказательство. а) Сначала предположим, что
Р' < Р. Тогда (i) очевидно выполнено. В соответствии с III.3.17
можно найти функции У и /3 такие, что (ii)-(vi) имеют место (все
характеристики детерминированные, У и /3 также
детерминированные функции и запись "п.н." не требуется). В этом случае в
§ За можно взять А = */, U = 1, U' = У. Тогда Е = SI X R+, г = oo
и Р = /?. Тем самым 3.53 сводится к равенству h(l/2) = /i°(l/2),
в то время как (мы видели это в 3.37) из 3.12 вытекает, что
2Л°(1/2) < Я < 8Л°(1/2). Тогда (vii) следует из 2.6а.
Ь) Пусть теперь выполнены (i)-(vii). В силу (ii) снова
можно взять А = j/, U = 1, U' = У. Тогда в силу (iv), (v), (vi)
Е = ft x R+, t - oo, /3 = /3. Следовательно, в силу 3.12 h°(l/2) <
< Я/2. Поэтому согласно (vii) /i°(l/2) < oo. В частности, Е' =
= fl х R+ и r' = °° (обозначение 3.52). Следовательно, из 4.24
следует, что процесс h°(a) = h(a) является версией процесса
h(a; Р, Р'). Более того, Л°(0) = 0 поскольку U = 1 и ввиду (iii) и, с
учетом обозначений 2.5, G^ сводится к множеству (70П{й°(1/2) <
< oo} = GV Наконец, как это было показано при доказательстве
4.28, (i) влечет за собой Р'0 < Р0 и, значит, Р'((У0) = 1. Тем
самым P;(Goo) = 1 и в силу 2.6а Р' < P. D
4.33. Теорема. Для того, чтобы Р'±Р, необходимо «

4. Примеры 385
достаточно, чтобы имело место, по крайней мере, одно из
следующих условий:
(ii) г < оо (г определен в 3.8),
(Hi) Л°(1/2)во = оо,
(iv) существует / G R+ такое, что две меры v({t} X •) и
v'{{t) X •) на Rd\{0} являются взаимно сингулярными и хотя бы
одна из них имеет массу 1 (т.е. at = 1 «ли aj = 1).
Доказательство. а) Обозначим i/t, v\, Xt меры
KW х О» "'(W х О. *({'} х •) и ОД = V(t,x), U'(x) = U'(t,x).
Положим г' = rAinf(/: Л°(1/2)< = оо) и предположим, что t < г'.
В силу 3.12
Ah°(l)t = \*\^~^} + £(VT^- n/T=~^)2,
з то время как ut = Ut • А,, ^ = Щ • A,, at = A|(J7«), a't = At(Щ).
Тогда
Д/>° (i)f = 1 - Xt(VujJi) - v/Г^ч/Г^.
Тем самым Ah°(l/2)t = О тогда и только тогда, когда Хг{\ДПЩ) ~
= 0 и vT^^x/T^ = 0. Ясно, что Хг(Л/ЩЩ) = О о ВД' = О
Агп-н. 4^ vtl.v[. Тогда
4.34, Если / < г', то ДЛ°(1/2)« = 1 ^ (iv) имеет место в
момент времени J.
Ь) Обозначим h(a) (детерминированную) версию процесса
h(a\ Р, Р'), приведенную в 3.53. Очевидно, что имеют место ькьи-
валентности
4.35. h(l) =oo*>h°(l) t =oo,
W/ СО VZ' ^ ~
f либо ДЛ°(1/2), = 1 для
I некоторого t < т',
1 для некоторого Z о ч _ „
j либо 0 < г < оо и
{ Л°(1/2)т._ < оо.
4.36.
13.Ж.Жакод, А.Н.Ширяев Т.1

386 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
С другой стороны, Р'±Р Ф> #(1/2; Р,Р') = 0 в силу 1.11b.
Используя 4.29 и 4.27Ь получаем, что Р'±Р тогда и только тогда,
когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:
(1)Я(1/2;Ря,Р'я) = 0,
(2) г' = О,
(3) Ah(l/2)t = 1 для некоторого t 6 R+,
(4) /1(1/2)00 = 00.
В силу 1.11b (1) & (i). Следующие импликации очевидны:
(2) => (и) или (ш), (3) =Ф> (и) или (Ш), или (iV) (для их проверки
используются 4.34, 4.36 и тот факт, что fe°(l/2)r/_ < 00 влечет
за собой h°(l/2) = 00, или г = г'), (4) =* (ш) (в силу 4.35).
Наконец, если ни одно из условий (2), (3) и (4) не выполняется, то
г' > 0 и в соответствии с 4.35 /&°(1/2)г/_ < оо в то время как из
4.36 вытекает, что неравенства 0 < г' < оо и Л°(1/2)г/_ не могут
выполняться вместе. Поэтому г' = оо и, значит, (и) не
выполнено, а 4.36 и 4.34 указывают на несправедливость (iv). Таким
образом, имеем [(2), или (3), или (4)] Ф> [(ii), или (ш), или (iv)].
Доказательство закончено. □
В отличие от того, что было в общем случае (теорема 2.6 и
следствие 2.7), здесь мы имеем "предсказуемый" (в
действительности детерминированный) критерий сингулярности. В § 2с уже
был приведен пример на применение этих теорем. В самом деле,
теорема 2.37 является частным случаем теорем 4.32 и 4.33
(читатель может проверить, что условия в 2.37а и 4.32, в 2.37Ь и 4.33
в случае дискретного времени совпадают).
4.37. Замечание. Аналогичные результаты, очевидно,
возможно получить для сужений Р< и PJ и также для Pt_ и Р{_.
В этом случае имеем те же самые, но "остановленные" в момент
времени t условия (соответственно в момент времени "<—", т.е.
рассматриваются сужения всех процессов на [О,*)). Эти детали
оставляются читателю (заметим только, что
"детерминированный" критерий не получится для сужений Р^ и Р^ для момента
остановки Г, не являющегося детерминированным).
3. Случай процессов с независимыми стационарными
приращениями. В этом разделе предполагается, что Х0 = 0 Р-п.н. и

4. Примеры 387
Р'-п.н. и X является процессом с независимыми
стационарными приращениями относительно Р и Р'. В этом характеристики
имеют следующий вид (см. П.4.19):
Г В% = Ы, Ct = ct, v{dt,dx) = dtK(dx),
4'38' \ B't = b% C't = c% v'(dt,dx) = dtK'{dx).
4.39. Теорема. Предположим, что X является
процессом с независимыми стационарными приращениями с
характеристиками 4.38. Тогда
a) либо Р' = Р, либо Р'±Р;
b) либо для всех t E R+ л*еры Pt u P{ «е являются
сингулярными, либо для всех <GR+ Р*±Р{;
1ос
c) Р' < Р тогда и только тогда, когда выполнены следующие
условия:
(i) К1 = к - К для некоторой борелевской функции
к I К —► я&+,
(и) /|Л(яг)(1 - *(х))| ЯГ(Лг) < оо,
(iii) У = b + fh(x)(k(x)-l)K(dx) + Y^j<dc'jPj для некоторого
fiv) с! — с
(V) Д1 - ^/Щx))2 K(dx) < 00.
Доказательство. а) Из 4.38 вытекает, что в § За
все объекты "однородны по времени", т.е. Е совпадает либо с
[0], либо с П х Rd; в последнем случае Bt = Bt с вектором 5бК
и, следовательно, в 3.7 /? и Ь являются константами иВ{ = B't.
Следовательно, г равно 0 или +оо. Кроме того, h°(l/2)t = 7* Для
некоторой константы 7 6 [0, оо].
Если г = оо и 7 = 0, то с = с', /? = 0 и у?а({/, С/7) * А = 0, что
влечет за собой U = U' = 1 А-п.н. Поэтому К = К' и, значит,
Ь = 6'. Таким образом, Р' = Р. Если г < оо или 7 > 0, то в силу
4.33 Р±Р'.
Ь) Имеем Р# = Р# и at = a't = О для всех t. Если остановить
все характеристики и процессы в момент времени <, то в силу
4.33 P{JLP«, если и только если т < t или й°(1/2) = 00. Тогда из
13*

388 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
свойств "однородности" в а) вытекает, что приведенные условия
не зависят от t E R+.
с) Это утверждение с использованием однородности по
времени легко выводится из теоремы 4.32, примененной к процессам и
характеристикам, остановленным в произвольный момент
времени t. D
4.40. Замечание. Пусть К — положительная мера,
#<Г,#'<7ГиА; = dK/dK, k' = dK'/dK.
Мы оставляем читателю в качестве упражнения проверить,
что первая альтернатива в 4.39b) (P{ и Р* не являются
сингулярными) имеет место тогда и только тогда, когда справедливы
условия:
(i) f\h(x)(k(x) - к'(х))\ T((dx) < оо,
(ii) Ь' = b + lh(x){k\x) - к{х)) T((dx)+
+ ]TVJ/3J для некоторого /3 £ Rd,
j<d
(Hi) \j(y/^)-^fk;(7))2K(dx) = p\K,K')<o0. D
4. Гауссовские процессы с независимыми приращениями
4.41. Теорема. Предположим, что X — гауссовский
процесс и X - Х0 является процессом с независимыми
приращениями относительно Р и Р'. Тогда либо Р' ~ Р, либо Р'±Р.
Доказательство. Предположим, что меры Р' и Р
не являются взаимно сингулярными.
Очевидно, меры Ря и Р'я — (с точностью до изоморфизма)
гауссовские меры на Rd и в силу 4.33 они не являются взаимно
сингулярными. Тогда Ря ~ Ря.
Положим x(t) = Вр(Х< - Х0) и Vt = Xt — Х0 -
-х(2), где последний процесс является гауссовским мартингалом
относительно Р. Тогда из теоремы И.4.36 нетрудно вывести, что
v(dt,dx) = Y,s>ol{at>o]£s(dt)K8(dx), где каждая мера К8
является гауссовской мерой на Rd. Аналогичное представление имеет
место для и' (с К'8). Отсюда следует, что at и а\ равны 0 или 1.

4. Примеры 389
Поскольку по сделанному предположению 4.33(iv) не
выполняется, то должно быть at = 1 ф> a't = 1 и в этом случае Кх ~ К[.
Отсюда i/ ~ v. Возьмем А = t/, U = 1. Имеем i/ = У • i/ с У = {/'.
До этого момента была установлена справедливость
4.32(i,ii,iii). Кроме того, 4.33 влечет за собой г = оо. Поэтому
имеет место 4.32(iv,v,vi). Если Я такой же, как в 4.32(vii), то
Я < 8Л°(1/2) и Яоо < оо, поскольку в силу Л°(1/2)оо < оо. Тогда
согласно 4.32 Р' < Р. Меняя местами Р и Р', получаем Р < Р'.
Теорема доказана. D
5. Этот параграф завершается результатом,
представляющим определенный интерес.
4.42. Предложение. Предположим, что X — Х0
является процессом с независимыми приращениями относительно Р
и Р'. Для того, чтобы существовала вероятностная мера Q
loc loc
такая, что Р < Q u Р' < Q (соответственно Р <С Q и Р' < Q),
и} что X — Х0 является процессом с независимыми
приращениями относительно Q необходимо и достаточно выполнение
условий
(i) т = оо,
(и) Л°(1/2)оо < оо (соответственно h°(l/2)t < оо для всех t G
R+).
Если эти условия выполнены, то можно взять в качестве Q
единственную меру такую, что Q# = (Р# + Р#)/2, и,
^-характеристиками X являются В — (В + В')/2, С = (С +
C')/2uV=(v + i/)/2. _
Доказательство. а) Пусть Q — мера, описанная
выше. Предположим, что г = оо и Л°(1/2)оо < оо. Тогда
применим Ш.5.34 к паре (Q,P) (вместо (Р,Р'))- Процесс Я из Ш.5.7
обладает свойством Я^ < оо (это устанавливается точно так же,
как в начале доказательства 3.52, а именно, поскольку т = оо, то
2 = О х R+, а Я < 20Л°(1/2) на £). Тогда в силу Ш.5.34 Р < Q
и, аналогично, Р' < Q.
Ь) Предположим наоборот, что Р < Q, Р' < Q и X - Х0
^ процесс с независимыми приращениями и характеристиками
(5,С,/>) относительно Q. Применим 4.32 к двум парам (Q,P) и

\
390 Гл. IV. Процессы Хеллингера.
(Q,P'). Обозначим f, Я и f', #' аналоги г, Я в 4.32. В силу
4.32(H) можно взять А = Р. Тогда в соответствии с 4.32(iv,v,vi)
г > f Л т1 = оо. Кроме того, 3.12 влечет за собой неравенство
Л°(1/2) < 2(Я + Я') и, следовательно, в силу 4.32(H) №(112)^ <
00.
Наконец, "локальные" условия получаются при остановке всех
процессов и характеристик в произвольно далекие моменты t. D
л

Глава V
Контигуальность,
полная асимптотическая
разделимость, сходимость
по вариации
В этой главе рассматриваются две, на первый взгляд,
различные задачи. Однако они внутренне связаны, поскольку для
решения обеих задач применяется один и тот же инструмент —
процесс Хеллингера, определенный в предшествующей главе.
Понятие контигуальности двух последовательностей мер (Рп)
и (Рт) было введено Ле Камом в связи с асимптотическими
задачами статистики. Нестрого говоря, последовательность (Рт)
является контигуальной относительно (Рп), если "в пределе"
мера Рт абсолютно непрерывна относительно меры Рп.
Противоположному понятию, связанному с взаимной сингулярностью "в
пределе" Р'п и Рп дается название полной асимптотической
разделимости.
В этой главе мы в основном интересуемся критерием
контигуальности в том случае, когда Р/п и Рп заданы на пространстве
с фильтрацией. Так же как и при исследовании абсолютной
непрерывности, мы пытаемся получить "предсказуемый критерий",
выраженный в терминах процесса Хеллингера (и некоторых
связанных с ним процессов, введенных в § IV.Id). В разд. 1 вводятся

392 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
понятия контигуальности и полной асимптотической
разделимости и доказывается ряд критериев, опирающихся на интегралы
Хеллингера и процессы плотности. Разд. 2 посвящен
предсказуемому критерию, разд. 3 содержит различные примеры (подобные
рассмотренным в предшествующей главе).
В последнем разделе рассматривается проблема сходимости по
вариации. Как хорошо известно, расстояние Хеллингера-Какута-
ни определяет ту же топологию, что и расстояние по вариации.
Следовательно, процесс Хеллингера естественным образом
позволяет изучить свойства расстояния по вариации ||Р — Р'|| между
двумя мерами, определенными на пространстве с фильтрацией.
Точнее, мы получаем оценки сверху и снизу для ||Р — Р'|| в
терминах процесса Хеллингера. Эти оценки позволяют
сформулировать критерий сходимости по вариации. Здесь же приводятся
несколько примеров сходимости по вариации для
(мультипликативных) точечных процессов и диффузионных процессов.
1. Контигуальность и полная асимптотическая
разделимость
§1а. Общие факты
1. Понятия контигуальности и полной асимптотической
разделимости определим сначала для измеримых пространств без
фильтрации. Для каждого п G N* рассмотрим измеримое
пространство (Ип,Тп), снабженное двумя вероятностными мерами
Рп и Р'п. Соответствующие математические ожидания
обозначаются через ЕРп и ЕР/п.
1.1. Определения, а) Говорят, что
последовательность (Р'п) является контигуальной по отношению к
последовательности (Рп) и пишут (Рт) <(РП), если для всех
последовательностей множеств Ап Е Тп таких, что Fn(An) —► 0 при п | оо
имеет место сходимость F'n(An) —► 0.
b) Говорят, что две последовательности (Р/п) и (Рп)
удовлетворяют свойству полной асимптотической разделимости, и
пишут (Р/П)Д(РП), если существуют последовательность nk | оо

1. Контигуальность и полная асимптотическая разделимость 393
при А: | оо и для каждого k € N* множества АПк 6 ТПк такие, что
РПк(АПк) -+ 1 и Р/П*(АП*) -+ 0 при к Т оо. □
Заметим, что понятие полной асимптотической разделимости
обладает свойством симметрии: если (РП)Л(Р/П), то (Р/П)Л(РП).
Приведенные понятия восходят к Ле Каму и обобщают понятия
абсолютной непрерывности и сингулярности. Действительно, в
случае "стационарной последовательности", т.е. в случае
(ftn,Тп) = (Г2,Т) и Рп = Р, Р/п = Р' для всех п очевидно, что
(Р/П)<(РП)^Р'<Р,
(Р/П)Л(РП) & P'J_P.
Понятия плотной и равномерно интегрируемой
последовательности случайных величин хорошо известны. Поскольку здесь
рассматриваются две последовательности мер, то во избежание
путаницы используется следующая терминология.
1.2. Определения. Для каждого п 6 N* пусть £п —
случайная величина со значениями в R, заданная на (ИП,ТП) и
Qn — вероятностная мера на (ftn,.Pl).
a) Последовательность (fn|Qn) называется R- плотной, если
HmJVToolimeupnQfl(|£n| > Ю = 0.
b) Последовательность (fn | Qn) называется равномерно
интегрируемой, если Цтлгтоо8ирпЕдп(|£п|1{|£п|>Лг}) = 0. (или,
эквивалентно, если £n — Qn-интегрируемая случайная величина для
всех п и limtffoo limsupn Едп(|£п|1Шп|>ЛГ}) = 0).
Обозначим также £(fn | Qn) распределение fn относительно
Qn, т.е. образ на R меры Qn при отображении fn. Пользуясь
терминологией следующей главы, заметим, что
последовательность (fn | Qn) является R-плотной, если и только если
последовательность {С(£п | Qn)} является слабо относительно компактной,
и все ее предельные точки являются вероятностными мерами,
нагружающими только R.
2. Чтобы вывести критерии контигуальности и полной
асимптотической разделимости, определим
1.3. Q ___ , С _ С _

394 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Введем также "плотность меры Рт относительно меры Рп"
являющуюся случайной величиной со значениями в [0,оо],
определяемой по формуле (где 2/0 = оо)
1.4. Zn = i_.
Cn
Случайная величина Zn является обычной плотностью dP'n/dPn,
когда Р/п <РП. С введенной "расширенной" плотностью мы уже
сталкивались в § IV.2a.
Заметим, во-первых, что Рп(£п < 1/N) = EQn(Cnl{c*<<i/iv}) <
^ и Zn < 2/(п (напомним, что (п + £'п = 2). Следовательно,
всегда имеет место:
1.5. Последовательности (—-1 Рп) и (Zn | Рп) являются R-плот-
ными.
Приведем несколько критериев контигуальности. Напомним,
что интеграл Хеллиигера порядка а Е (0,1) определен в IV.1.7
по формуле #(а;Рп,Р'п) = EQ»[(CfI)or(Cm)1"er]- Приводимые ниже
импликации (i) <$• (ii) <$• (Ш), расширяют лемму IV.1.11а.
1.6. Лемма. Следующие утверждения являются
эквивалентными:
(i)(F")«(p*).
(и) Последовательность (~|Р/П) является Ж-плотной.
(ii') Последовательность (Zn | Р'п) является Ж-плотной.
(Hi) lim liminf #(a;Pn,Pm) = 1.
Доказательство. (i) => (ii). Если (ii) не выполнено,
то существуют е > 0 и последовательность nk | оо такие, что
Pmk(Cnk < 1/пк) > е. Поскольку РП*(СП* < 1/пк) < 1/пк -> 0 при
А: | оо (см. 1.5), то это противоречит (Рп) < (Р/п).
(и) <$> (ii'). Эти импликации тривиальны. Достаточно
заметить, что Zn = -^ - 1.
(ii) =* (i). Пусть Ап G Тп с ?п(Ап) -► 0 при п | оо. Имеем
Р'"(Ап) < Р'п(С <е) + Едл(Г 1лпП{ся>£}) <
< Pm(Cn < е) + -EQ»(CnU«) = P,n(Cn < е) + -Р"(АП).

1. Контигуалыюсть и полная асимптотическая разделимость 395
Поэтому limsup P/n(An) <limsup P/n(£n < e) для всех е > 0. Но
n n
(ii) эквивалентно limlimsup P/n(£n < e) = 0. Отсюда получаем,
что P/n(An) —► 0 и, значит, имеет место (i).
(ii) => (Ш). Пусть е > 0. Имеем
#(а;РП,Р,П) = Ед-КСТСГ)1""] >
1.7. >EQn[(—J 1{<*>,}1{С'*>о}С/п] =
= Е^Ч(^)а1^)]>(|)>п(сп>^
поскольку С + С" = 2. Таким образом,
liminf liminf H(a; Pn,P'n) >liminf (|Г liminf P,n(Cn > e) =
=liminf P'n(Cn >£)
П
для всех £ > 0. Но в силу (ii) lim liminf P/n(Cn > s) = 1. Поэтому
v ' «но n \* — /
с учетом неравенства #(a;Pn,P/n) < 1 имеет место (iii).
(iii) => (ii). Пусть * G (0,1). Имеем
Л (а; Р",Р»>) = Ед.[(СпГ(Ст)1"в1к-<.}]+
1.8. +^яЛ(СПП1'аЦ^>е^<5})+
+EQn[(Cn)a(Cm)1"0fi{cn>«,c,n>e] ^
. < 2е« + 2^"Л + EQn [С'п(^)\с«>*,С<»>*}] <
< 2еа + 261-* + (^)aPm(Cn > О-
Тем самым
Urn inf liminf P,n(C > e) > (-Y liminf #(a; Pn,P,n) - —6
Для всех a £ (0,1), £ £ (0?1)- Полагая a j 0 и используя (iii),
а затем, полагая 6 j 0, получаем, что lim inf liminf P'n(£n >
e) > 1. Следовательно, возрастающая при убывающем е функция
liminf p/n(£n > е) стремится к единице, т.е. (ii) имеет место. □
Сформулируем теперь критерий полной асимптотической раз-
Делимости, обобщающему IV.1.11b.

396 Гл. V. Контитуалыюсть, разделимость, сходимость по вариации
1.9. Лемма. Следующие утверждения эквивалентны.
(i) (Р,П)Д(РП).
(ii) liminf P,n«n > е) = 0 для всех е > О.
(ii') lim sup Pm(Zn < N) = О Л** всея N € R+.
(Hi) lim" liminf Я(а; Pn,P'n) = 0.
(iv) liminf И (а; Рп, Р/п) = 0 для всех а 6 (0,1).
(v) liminf #(а; Рп,Рт) = 0 для некоторого а € (0,1).
П
Доказательство. (i)=> (И). Предположим, что
(Р'П)А(РП). Пусть nk t оо и АПк 6 Я** такие, что РП*(Л"*) -+ 1
и Р/П*(ЛП») -► 0. Тогда
P'nk(Cnk > е) < Р'"Ч^Пк) + Eg- (Сп^1(д-*)с1{с-к>е}) F
= р'"ЧАпк)+ЕР.» (i=ri(^).i{c-.i.}) < р'пчАп*)+-рпч(лт
поскольку Сп + С/п = 2. Поэтому Р/П*(£п* > е) -+ 0 и, значит,
имеет место (и).
(ii) ^ (i). Если выполнено (ii), то существует
последовательность Пк Т °° такая, что Р'п*(£п* > 1/к) < 1/к -» 0 при к -» оо.
Поскольку Pn*(£n* > 1/fc) > 1 - 1/fc (см. 1.5), то имеет место (i).
(ii) <$ (ii'). Эти импликации тривиальны. Достаточно
заметить, что Zn = 2/(п - 1.
(ii) =Ф> (iv). Эта импликация следует из (ii) и неравенства 1.8,
согласно которому
liminf Я(а;Рп,Р'п) < 2еа + 261"а
п
для произвольных е и 8 из (0,1). Отсюда получается (iv).
Импликации (iv) ^ (Ш) и (iv) => (v) очевидны. Наконец, в
силу 1.7
liminf Р/П(Г > е) < (-)* toninf Я(а;Рп,Р'п).
Тогда (ii) немедленно следует из (v), а также и из (ш), поскольку
(2/е)а -> 1 при а | 0 и е е (О,1). □

1. Контигуальиость и полная асимптотическая разделимость 397
3. Данный раздел заканчивается формулировками некоторых
других критериев контигуальности, которые не будут
использоваться в оставшейся части настоящей главы (некоторые из них
использованы в гл. X).
1.10. Лемма. Следующие утверждения эквивалентны.
0)(Р~)«(Р").
(и) Последовательность (Zn | Рп) является равномерно
интегрируемой и Ffn(Zn = оо) -* 0.
(У) Последовательность (Zn | Рп) является равномерно
интегрируемой и Epn(Zn) -» 1.
(iii) Для любой подпоследовательности (nk) такой, что
(Zn*|Pn*) сходится по распределению, последовательность
(Zn* | Pnfc) равномерно интегрируема и Р/П*(£п* = оо) —> 0.
(iii') Для любой подпоследовательности (га*) такой, что
(Znk | Pnfc) сходится по распределению, предельная случайная
величина имеет математическое ожидание равное единице.
Доказательство. Импликации (и) => (iii) и (и') =>
(iii') очевидны.
(i) => (ii). В силу 1.3 и 1.4
1.11. EPn(Znl{Zn>jv}) = EQn(ZnCnl{<»>o}l{z«>^}) =
= EQn(C,nl{„<Zn<oo}) = ?'n(N <Zn< оо).
Если (i) имеет место, то 1.6 влечет за собой, что
последовательность (Zn | Р/п) является R-плотной. Следовательно,
P'n(Zn = оо) ~» 0 и Urn limsup V'n(N < Zn < оо) = 0.
Поскольку в силу 1.11 EPn(Zn) < 1 для всех п, то из 1.11
выводим, что последовательность (Zn | Рп) является равномерно
интегрируемой и, значит, (и) имеет место.
(iii) => (i). Предположим, что (i) не выполнено. Тогда
существуют е > О, бесконечная подпоследовательность (п') и
множества Ап' е Тп' такие, что ?'п'(Ап') > е для всех п' и РП'(АП') -» О
при п' -» оо. В силу 1.5 последовательность {Zn' | Рп ) является
К-плотной. Следовательно, она содержит подпоследовательность,

398 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
обозначаемую (nk) итакую, что последовательность C(Znk | Рп*)
слабо сходится к вероятностному распределению на R, и из 1.11
выводим, что
pmfc(znfc > N) = EPnk(Zn>4{Znk>N}) + Р"»^* = 00).
Таким образом, (Ш) влечет за собой limlimsup P'n*(Zn* > N) =
= 0. Поэтому последовательность (Zn* | Р/п*) является R-плотной
и в силу 1.6 (Р/П*)«(РП*). Поскольку РП*(АП*) -» 0, то обязательно
Р'П*(АП*) —> 0, что противоречит свойству Р'П*(АП*) > е.
(И) => (ii'). Эта импликация вытекает из 1.11, поскольку при
N = О EPn(Zn) = P,n(Zn < оо).
(Ш) =»> (ш')- Достаточно показать, что, если (Zn | Рп) сходится
по распределению к случайной величине Z, определенной на
некотором вероятностном пространстве (П,^",Р) и E(Z) = 1, то имеет
место (ii). Для каждого N > О такого, что P(Z = TV) = 0 имеем
Ep»(Znl{z»<isr}) -* E(Z1{z<n}) (здесь снова используются
результаты следующей главы, см. также [12]). Пусть е > 0. Поскольку
E(Z) = 1, существует N > О с P(Z = N) = О и E(Zl{z<iV}) > 1-е.
Тогда существует п0 6 N* такое, что Epn(Znl{Z»<isr}) > 1 —2г для
всех п > п0. Поскольку £ — произвольное положительное число
и Ep»(Zn) < 1, то отсюда следует, что
EPn(Zn) -» 1 и lim supEPn(Znl{Zn>Ar}) = 0,
т.е. имеет место свойство (и).
1.12. Следствие. Предположим, что (Zn | Рп)
сходится по распределению к случайной величине Z. Тогда (Р/П)«(РП),
если и только если E(Z) = 1.
Доказательство. Требуемое утверждение
вытекает из (i) & (Hi') в 1.10.
Это следствие носит название "первая лемма Ле Кама" (см.
книгу Гаека и Шидака, [82]). Утверждение, называемое "третьей
леммой Ле Кама", формулируется в следующей лемме.

J. Контигу&льность и полнал асимптотическ&я разделимость 399
1.13. Лемма, а) Следующие утверждения эквивалентны:
(i) последовательность C(Zn | Рп) слабо сходится к
некоторой вероятностной мере г/ на R+ и (Р/П)«(РП).
(ii) последовательность C(Zn | Р/п) слабо сходится к
некоторой вероятностной мере т/' на R+.
Ь) Пусть выполнено одно из условий (i) или (ii) из
утверждения а). Тогда r)'(dx) = xrj(dx). Кроме того, если для каждого
п существует случайная величина Хп на (Пп,^п), принимающая
значения в метрическом пространстве Е, и если C((Zn> Хп) | Рп)
слабо сходится к некоторой вероятностной мере rj на R+ х Ef
то £((Zn,Xn) |P/n) слабо сходится к вероятностной мере rff
где rf(dx,dy) = xrj(dx,dy).
Доказательство. Пусть / непрерывная
ограниченная функция на [0, оо] х Е. Тогда
Ep,.[/(Zn,X")] = Ep,»[/(oo,X")l{z.=oo}]+
1.14. +EQ.[C/n/(£n,*n)l{(«>o}] =
= EP,.[/(oo,Xn)l{z.=oo}] + EQ4CZnf(Zn,Xn)} =
= Ер-.[/(оо,Х")1{г„=то}] + EPn[Znf(Zn,Xn)}.
Предположим, что (P/n)«(Pn) и имеет место слабая сходимость
C((Zn,Xn) | Рп) -* 77, где rj — вероятностная мера на R+x£. В
соответствии с 1.10 P/n(Zn = оо) ~*0и имеет место равномерная
интегрируемость последовательности (Znf(Zn,Xn) | Рп).
Переходя к пределу в 1.14, получаем
ЕР,.[/(2:п,Хп)] -> Jrj(dx,dy)xf(x,y).
Это доказывает справедливость импликации (i) => (ii) в а)
(достаточно взять Хп = 1 и Е = {1}) и утверждение (Ь).
Предположим теперь, что выполнено (ii). Последовательность
(Zn | Р'п) является R-плотной и из 1.6 следует, что (Р/п) < (Рп).
Кроме того, согласно 1.10 из любой подпоследовательности можно
выбрать подпоследовательность C(Znk |РП*), которая слабо
сходится к некоторой вероятностной мере, назовем ее 7/, на R+.
Применяя первую часть доказательства, получаем, что

400 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
rf(dx) = xrj(dx), т.е. мера г\ полностью определяется. Другими
словами, плотная последовательность {C(Zn | Pn)} имеет только
одну предельную точку г) и, значит, она сходится.
1.15. Следствие. Предположим, что C(Zn | Рп) слабо
сходится к некоторой вероятностной мере rj на R+.
a) Если т/({0}) = 0, то (Рп) < (Рт).
b) Если г]({0}) = 0 и C(Zn | Рт) также сходится к
вероятностной мере на R+, то (Рп) < (Рт) < (Рп).
Доказательство, а) В силу сделанных
предположений C(l/Zn | Рп) также слабо сходится к некоторой вероятностной
мере на R+. Поскольку 1/Zn есть плотность Рп относительно
Р/п (см. 1.4), в силу импликации (и') =$► (i) в 1.6 получаем, что
(Р")«(Рт).
b) Контигуальность (Рп) < (Р/п) уже установлена, а
контигуальность (Р'п) < (Рп) вытекает из 1.13. D
§lb. Контигуальность и фильтрация
Теперь предположим, что для каждого п G N* измеримое
пространство (£2n, !Fn) снабжено двумя вероятностными мерами Рп и
Р/п и фильтрацией Fn. Чтобы избежать неинтересных
усложнений предположим далее, что Тп = Т^ =V J^. Напомним, что
РуЛ и Ру» — обозначения для сужений мер Рп и Р/п на сг-алгебру
Т?п, где Тп — момент остановки на (ftn,^7n,Ffl).
Пусть Qn = pn^pn. Обозначим zn и z,n процессы плотностей
рп и рт относительно меры Qn (см. §111.3.1). Рассмотрим также
случайный процесс со значениями в [0, оо]
1.16. Zn = ^ (с 2/0 = оо).
z
Пусть Тп — момент остановки на (fin,J*n,Fn). Все
результаты из § 1а, очевидно, остаются верными для PJ*, Р£п (с (п =
2#n, (,п = z!pn). Имеют место также следующие результаты,
отличающие данную постановку.

1. Контигуальиость и полная асимптотическая разделимость 401
1.17. Лемма. Последовательности (sup, -^ | Рп) и
(supe Z? | Рп) являются Ж-плотными.
Доказательство. Поскольку Zn < 2/zn, то только
первое утверждение нуждается в доказательстве. Пусть N > 0
иГ= inf(* : ztn < 1/N). Тогда Гп — момент остановки и Z%n
является плотностью dP^/dPj.* (см. IV. 1.44). Поэтому
1.18. Wsup-^ > N) = Р"(Г" < -») = Eq.(4.1{t.<to}) < I-
Тем самым liniivtoo supn Pn(sup, 1/г? > TV) = 0. □
1.19. Лемма. Пусть при каждом п Е N* Тп —момент
остановки на (ftn,.P\Fn). Следующие условия эквивалентны:
(0(р?.)<№);
(и) последовательность (supe<Tn ~г | Р/п) является Ж-плот-
ной;
(iii) последовательность (supe<Tn Z? | Р/п) является Ж-плот-
ной.
Доказательство. Импликации (ii) => (i) и (iii) =»►
(i) являются тривиальными следствиями из 1.6. Импликации
(ii) <ФФ- (iii) вытекают из равенства Zn = 2/гп — 1.
Если (ii) не выполнено, то существуют е > 0 и
последовательность пк | оо такие, что P/n*(sup5<T»fc 1/z"* > l/nk) > е. Но
согласно 1.18
Pn* ( sup —>—)< — -> 0,
Чв<Тл* *?* П*' Пк
т.е. (i) не может иметь места. Значит, (i) => (ii). D
1.20. Лемма. Пусть при каждом п Е N* Тп является
моментом остановки на (f)n,^"n,Fn). Следующие условия
эквивалентны:
(i) (Р^)Л(Р^);
(Н) для любого е > 0 liminf P'n(inf,<T« z" > е) = 0;
(и') для всех N € R+ limsup P,n(sup,<T. Znt < N) = 1;
(iii) lim liminf P"*(inf,<T» *," > e) = 0.

402 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Доказательство. Импликации (И) <£> (ii') имеют
место в силу равенства Zn = 2/zn - 1, импликация (i) => (ii)
вытекает непосредственно из 1.19, импликация (и) => (ш) является
тривиальной.
Далее, предположим, что выполнено (ш). Существуют две
последовательности nk | оо и ek J 0 такие, что P/n*(inf5<T«fc z"k >
> £*) < 1/& ~> 0, в то время как в силу 1.18
Pn*( inf z"k >ek)> l-ekj
и тем самым, выполнено (i). D
2. Предсказуемые критерии контигуальности и
полной асимптотической разделимости
§2а. Формулировка результатов
Рассмотрим последовательность пространств с фильтрацией
(dn,^*n,Fn), n G N*, каждое из которых снабжено двумя
вероятностными мерами Рп и Р'п. Ради простоты предположим, что
•г — * оо-*
Подобно тому, как это было сделано в IV.2, будем получать
критерии для (Pjn)«(Pj.n) (контигуальности) и для (Pyn)A(Pj-n)
(полной асимптотической разделимости) в терминах подходящих
возрастающих предсказуемых процессов, где при каждом пТп —
момент остановки на (On,.P\Fn).
Одним из таких предсказуемых процессов является процесс
Хеллингера (или его версия) h(a; Pn, Р/п) порядка a £ (0,1),
определенный в IV. 1.24. Далее везде hn(a) обозначает произвольную
версию /i(a;Pn,Pm).
Кроме того, нам потребуются процессы г(^;Рп,Р'п),
введенные в IV. 1.46. Точнее, для каждого (3 G [0,1) рассматривается
функция
2.1. фр(х) = 1[о,я(*)>
очевидно, удовлетворяющая IV. 1.40. Обозначим in(fi)
произвольную версию t(^,Pn,P/n).

2. Предсказуемые критерии
403
Напомним явную форму представления этих процессов. Пусть
Qn _ (рп _|_ р"»)/2, zn и z,n — процессы плотностей мер Рп и Р'п
относительно Qn (т.е. zn + z'n = 2)r vz* — третья
характеристика 2n, zn° — непрерывная мартингальная составляющая zn
(относительно Qn). Тогда при функции у>а, заданной в IV.1.32,
процессы
2.2. \ +<^(l + ^,l-^J*^\
г'п(/3) = (l - p^)1{i+*/*»<#i-*/*ln)} * Vя ,
являются версиями "в узком смысле" процессов hn(a) и гп(/3)
такими, что для всех других версий hn(a) > h,n(a) и гп(/3) > г'п(/3).
Более того, /&'п(а) и ifn(/3) не зависят от "доминирующей" меры
Qn.
2.3. Теорема. Пусть при каждом п G N* Тп — момент
остановки на (ftn,Jrn,Fn) и Тп = ^2>_. Следующие условия
эквивалентны:
0)(р?.)«(р*.);
(И) (1)(Р-)<(Р-),
(2) lim limsup (Pm(/in(l/2)T« > N)) = 0 (или, что
эквивалентно, (hn(l/2)Tn | Pm) — Ж-плотная последовательность),
(3) lim limsup Р'п(гп(/?)т» > т/) = 0 для всех г) > 0;
(iii)(l)(P^)<(nps),
(2) lim lim sup ?'n(hn(a)Tn > rj) = 0 для всех rj > 0.
Если (Qn,^*n,Fn) = (fi, ^,F) и Pn = P, Pm = P' для всех п
(стационарный случай), то приводимые выше три утверждения
(i,ii,iii) являются в точности утверждениями (i,ii,iii) из IV.2.1. Это
очевидно для (i) и (iii), а для (ii) вытекает из того факта, что г'п(/3)
Убывает при (3 | 0 и сходится к г/п(0) = /i'n(0).
Аналогичным образом нижеследующая теорема в
стационарном случае сводится к IV.2.6b,c.

404 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
2.4. Теорема. Пусть при каждом п € N* Тп — момент
остановки на (nn,^n,Fn) и Tn = /£_.
a) Если (Р'П)Д(РП), то имеют место следующие свойства:
(i) lim limsup Р/П(г£ < e или Лп(1/2)т» > N или in(/?)T» >
>г}) = 1 для всех N > 0, е > 0, /3 6 (0,1);
(и) lim lim inf limsup P/n(2# < e или /in(aWn > 7?) = 1 Лит
всех е > 0;
(Hi) lim limsup F,n(z% < e или кп(а)тп > г?) = 1 для всех
O0,QG (0,1).
b) £сли (Р'0П)Д(Р[>) или если limsup P'n(ftn(l/2)T» > N) = 1
n
Лиг всех N >Q, mo (Р£л)A(PJ«).
loc
-Дополнительное предположение P/n < Pn (при каждом n) не
упрощает предшествующие утверждения, как это происходит в
разд. IV.2 (см. IV.2.8). Мы не знаем также о каких-либо
возможностях обобщения теоремы IV.2.13. Но имеется возможность
сконструировать "непредсказуемый" критерий контигуальности,
подобный теореме IV.2.15. С этой целью рассмотрим процессы
плотностей zn и 2/п, введенные перед соотношениями 2.2 и
положим
m Г Z?/Z?-> если 0 < ZJL < оо,
ЯГ = \, а? = < 0, если 2?_ = 0,
' [ +00, если ZJ!_ = 00.
2.5. Теорема. Пусть при каждом п Е N* Тп — момент
остановки на (fin,^7n,Fn) и Тп = Т^_. Следующие условия
эквивалентны:
0)(р?.)«(р?.);
(и)(1)(Р{г)«(Р5),
(2) HmjvToo limsup Р,П(ЛП(1/2)Т» > N) = 0,
П
(3) Нтлгтоо limsup P"*(supt<T» a? > N) = 0.
n
Приведенные выше соотношения (2) и (3) являются в точности
условиями R-плотности для двух последовательностей
(Л»(1/2)г-|Р'»)н(8ир|<г.а»|Р'»).

2. Предсказуемые критерии 405
2.6. Замечание. В предшествующих утверждениях
можно заменить везде hn(l/2) на hn(/3) для фиксированного (3 €
е(о,1). □
2.7. Замечание. Вместо гп(/3) можно использовать
следующие процессы
являющиеся в некотором смысле более естественными.
Действительно, далее будет видно (см. 2.8), что при и < /3v и
/? < 1 j(l - y/fi)2v < ^1/2(^,1;) < | и, следовательно,
i(i - v^)2n/?) < Го?) < ±I*(/J). п
§2b. Доказательства
Прежде чем переходить к самим доказательствам, отметим,
что в стационарном случае: (fin,^n,Fn,Pn,P/n) = (fi, J",F,P,P')
доказательства оказываются более простыми по сравнению с
§IV.2b (однако, они не позволяют получить ни леммы IV.2.12,
ни теоремы IV.2.13).
Положим Qn = (Рп + Р/п)/2 и используем обозначения,
введенные перед 2.2. Будем по-прежнему считать, что при каждом
п G N* Тп — момент остановки на (fin,.P1,Fn). Обозначим
Yn(a) = (zn)a(z'ny-*y Hn(a)Tn = #(а;Р£»,Р£») и напомним, что
#n(a)Tn = Eqn[Yn(a)Tn]m Начнем с некоторых вспомогательных
лемм.
2.8. Лемма, а) Для всех 0 < и < v ¥>1/г(и, v) < |.
b) <pa(uy v)>(a/3 + l-a- 0*)v для всех a G (0,1), /3 G (0,1),
0 < и < 0v.
Доказательство. а) Это утверждение вытекает
непосредственно из определения <pi/2(u,v) = \{л/и — y/v)2.
b) Заметим, что функция и *** <ра(и, v) убывает при
возрастании и от 0 до v и <pa(Pv, v) = (aft - 1 - а - Pa)v. Q

406 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
2.9. Лемма. Если Rn — момент остановки на (fin, Tn, Fn)
такой, что hn(a)Rn < rj тождественно, то
2.10. 0 < Яп(а)0 - Hn(a)Rn < 2г/.
Доказательство. Поскольку 0 < Yn(a) < 2, то
требуемое утверждение вытекает непосредственно из IV. 1.28. □
2.11. Лемма. Если Rn — момент остановки на (ft",/"",
Fn) такой, что Rn <Tn, то для всех р>0, 6 >0 имеют место
неравенства
2.12. 0 < Hn(a)Rn - Hn(a)Tn <
< Eq«(Yn(a)0l{2S<p}) + 26l-°+ (?)ap/rt(i?n < T\z» > р).
Доказательство. Первое неравенство вытекает из
IV. 1.28. Доказательство второго неравенства в чем-то подобно
1.8. Во-первых, Yn(a) > 0 и, значит,
Hn(a)Rn - #»Tn = Eq«(Yn(a)Rn - У»т») <
< Едп(Уп(а)Лп1{Ял<т»}).
Пусть А = {Rn < Tn,z£ > />}. Тогда
2.13.
#»Лп - Hn(a)Tn < EQn(Yn(a)Rnl{2S<p}) + Eq«(Yn(a)R«lA) <
< EQn(Y"(a)0lw<,}) + EQn(Yn(a)RnlA),
поскольку Fn(a) является <Зп-супермартингалом (IV.1.17). Кроме
того,
Ед.(У"(а)д.и) = EQ.[(4.)0(^)1-aUl{,-.<M]+
+EQ»[(2д„/гд»)az'£n 1Al{z-~n>s}] <
< 26l~a + fyaEq*(z%AA) = 26l-° + 0)>n(A),
поскольку zn < 2 и A Е TRn. Требуемый результат получается
отсюда и из 2.13.

2. Предсказуемые критерии 407
Доказательство 2.4Ь. Если (Роп)Д(Р£), то
утверждение тривиально.
Предположим теперь, что limsup P/n(/in(l/2)xn > N) = 1 для
n
всех N > 0. Положим ££ = inf(*: z1} < 1/k или z'tn < 1/k). Тогда
на [0,5jf]| имеем Yn(l/2)_ > 1/k и, следовательно, для всех N > 0
Pm(/in(i)Tn > JV) < Pm(S? < Tn)+
+P»(K»(I)_.r(I)T.>f)<
oik
< P'"( <>£ < Tn) + —Ед.(У"(1/2). • />n(l/2)Tn) <
< P,n(S£ < Tn) + ±-
(второе неравенство вытекает из неравенства Чебышева и
неравенства P/n < 2Qn; третье неравенство имеет место в силу IV. 1.28
и того факта, что Я(|;Р5,Р'0П) < 1, #(§;Р£ЛР£») > 0). Тогда в
соответствии с нашими предположениями limsup P/n(5'jf <Тп)>
п
> l — 2k/N. Поскольку это неравенство остается верным для всех
N > 0, получаем, что
2.14. limsup P'n(S£ < Тп) = 1.
п
Но
p/n^n < ynj < pm( inf^ zm < ^ + p/»( inf^ ^n < 1yjfcj
и в силу 1.17 lim*Too limsup Pm(inft z'tn < 1/k) = 0. Тем самым,
n
согласно 2.14
Urn Urn sup Pm( inf znt < 1/k) = 0,
*|oo n Г V*<T» < - ' / '
что с учетом 1.20 приводит к заключению, что (Pyn)A(P?.»).
Теперь покажем, что для доказательства 2.3, 2.4а и 2.5 вместо
произвольных версий hn(a) и in(/3) достаточно рассмотреть
процессы "в узком смысле" h'n(a) и i,n(/3) заданные соотношениями

408 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
2.2. Для этого обозначим через (i'),(ii'),(iii') условия, которые
получаются из условий (i),(ii),(iii) перечисленных теорем при замене
в них hn(a) и in(/3) на h'n(a) и i'n(/3).
Поскольку h,n(a) < hn(a) и i'n(f3) < *п(/3), то ясно, что в 2.4
(i') =ф> (i), (ii') =*► (ii) и (iii') =* (iii). Следовательно, в 2.4
достаточно доказать, что (Pj?w)A(Pj.«) влечет за собой (i'),(ii'),(iii').
Аналогично, в 2.3 и 2.5 (ii') =Ф> (ii) и в 2.3 (iii') => (iii).
Предположим теперь, что импликации (i) =Ф- (ii') в 2.3 и 2.5 (i) =»> (iii')
в 2.3 доказаны. Определим 5£ таким же образом, как и в
предшествующем доказательстве, и предположим, что (P'fn) < (Р?»»)-
Согласно 1.17 и 1.19 обе последовательности (supt<Tn 1/*{п | P/n)
и (supt<Tn 1/z"1 Рп) являются R-плотными. Поэтому
2.15. lim Urn sup P'n(S? < Tn) = 0.
*Too n
Кроме того, hn(a) = h'n(a) и in(/3) = г/п(/3) на множестве
U*I0,5J?]|. Тогда
?'n(hn(a)Tn >p)< ?'n(h'n(a)Tn >p) + P'n(S£ < Гп).
Аналогичное соотношение имеет место и для «"(/?).
Следовательно, принимая во внимание 2.15, имеем (ii') => (ii) и (Hi') =»> (iii) в
2.3, 2.5 (при выполнении (i)!).
Таким образом, принимая во внимание изложенное, до
конца этого раздела можно считать, что hn(a) = h,n(a) и in(/3) =
= *•'"(/?)•
2.16. Лемм а. Имеют место импликации:
a) 2.3(H) => 2.3(Ш),
b) 2.4(H) =» 2.4(i).
Доказательство. В IV.2.24 было показано, что для
всех N > е, а € (0,1)
hn(a) <8a(ln N)hnfy +
(X X \ п
1 + ^Г> * _ p^J 1{JV(i+*/z2)<i-r/zl»} * V

2. Предсказуемые критерии 409
и, следовательно, в силу 2.8а и 2.1
2.17. Л-(«) < 8а(1пЛГ)Л«(±) +4t"(l).
a) Предположим, что выполнено 2.3(ii). Пусть е > 0, т/ > 0.
Существует N Е R+ такое, что
Um sup Р,п(Лп(1/2)Тп > N) < |,
i n 2
1 Um sup Р,П(;П(1/ЛГ)Т. > т)/8) < |.
п 2
| Следовательно, в соответствии с 2.17
limsup P"(V(a)T. > ,) <llm.u, P~(*"(l)r. > Jj^)+
+ lh.«ipP-(*'(i)r.>2),
где правая часть этого неравенства меньше £, если только
к^плг > N> те- ПРИ a < lemnN- Значит 2.3(iii) имеет место.
b) Предположим, что выполнено 2.4(H). Поскольку
отображение /3 ~* in(P) задает невозрастающую функцию, ясно, что
достаточно доказать 2.4(i) для /3 = 1/N. Положим
I un(N,r},e) = Р,п(*£ < е или hn(l/2)Tn > N или in(l/N)Tn > 77).
Тогда в силу 2.17 для a 6 (0,1)
2.18. un(N,rj,e)> P,n(*£ < е или hn(a)Tn > 47] + SaN\nN).
Пусть р > 0. Согласно 2.4(H) существуют 0 > 0 и а0 > 0 такие,
что
a 6 (0,a0] ^limsup P'n(2£ < £ или hn(a)Tn > 0) > 1 - />.
n
Если т?о = #/8 и a = a0 Л 16iV*ln N, то в соответствии с 2.18
г? < % =>Hm sup un(N, г),е)>1- p.
п
В силу произвольности р > 0 2.4(i) выполнено. □

410 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
2.19. Лемма. Имеют место импликации:
a) 2.3(iii) => 2.3(ii),
b) 2.4(i) => 2.4(ш).
Доказательство. Принимая во внимание 2.2, 2.8Ь
и IV.2.21b получаем для всех а, /3 6 (0,1)
a) Предположим, что 2.3(ш) выполнено. Пусть е > 0, г/ > 0.
Существует а0 такое, что
2.21. а < <*о =Mimsup Pm(ftn(a)Tn > 77) < е.
п
Тогда в силу 2.20 limsup ?'n(hn(l/2)Tn > N) < е для всех N >
п
> Via и, значит, 2.3(Н.2) выполнено. Согласно 2.20 и 2.21 limsup
P/n(zn(/3)T» > 2т?) < е для всех /3 таких, что а/3 + 1 - a - /3a > 1/2
для некоторого a < a0. Но Цт^цоС^/З + 1—a-/3a) = 1 — а и,
следовательно, limsup Р'п(гп(/3)т» > 2т/) < e для всех достаточно
п
малых значений /3, т.е. имеет место 2.3(Н.З).
b) Предположим, что выполнено 2.4(i). Принимая во внимание
2.20 (с /3 = 1/2), имеем
2.22. Р/п(*£ < е или hn(a)Tn > г/) >
>Р,п(г0п<£или/1пфтп >7п*
Пусть a G (0,1) и р > 0. Существует в > 0 такое, что
Urn sup P/n (*J < £ или /in (|) n > 1 или in (|) ^ > tf) > 1 - p.
Тогда 2.22 влечет за собой
limsup P/n(*£ < £ или hn(a)Tn > т/) > 1 - p,
n
если только r/7a <1ит7<(1-| + 2а)0. Последние неравенства
остаются верными для всех достаточно малых значений г/. Тем
самым, в силу произвольности р > 0 2.4(iii) выполнено. D

2. Предсказуемые критерии 411
2.23. Лемма. Имеет место импликация: 2.3(i) =Ф- 2.3(iii).
Доказательство. Положим 5£ = inf(t : z" < 1/А
или z'tn < l/k). По лемме 1.6 с учетом предположения (Pj?») <
(Pj.n), получаем, что для всех р > О существует ар Е (0,1) такое,
что
а < ар =>limsup [1 - Яп(а)Тп] < р.
п
(Напомним, что Нп(а)Тп = Я(а; Р£», РтО)- Тогда в силу IV.1.28
EQn(Y»_ • Лл(а)Тпл5п) < Едп(У(а)_ . А»^) =
= Яп(а)о - Яп(а)Тп < 1 - Яп(а)тл,
в то время как Yn(a)_ > 1/fc на Ц0,5£]]. Тем самым
а < ар =^limsup EQn(ftn(a)TnA5» > rj) < kp.
n
Используя неравенства Чебышева и P/n < 2Qn, получаем, что при
всех т/ > О
2.24. a < ap =*limsup P,n(/in(a)T»As» > v) < 2—.
Кроме того, как уже было показано, предположение о конти-
гуальности влечет за собой 2.15. Поэтому для е > О существует
к £ N* такое, что limsup Р'п(5£ < Тп) < е. Это неравенство и
п
2.24 приводят к импликации
ко
a < ap =>limsup P,n(/in(a)T» > rj) < 2— + е = 2е,
V
если р = ет)/2к. Таким образом, получается 2.3(ш.2). Условие
2.3(iii.l) является очевидным.
Доказательство теорем 2.3 и 2.4. Принимая
во внимание уже установленные факты, заметим, что осталось
установить импликации 2.3(ш) => (Рт«)«(рт«) и (рт»)д(рт») =*
=► 2.4(H).
Пусть 7/ > 0 и a G (0,1). Поскольку процесс Хеллингера в
узком смысле hn(a) не "уходит скачком на бесконечность" (см.
IIL5.8), то каждый момент остановки Rn(a,r]) = inf(/ : hn(a)t >

412 Гл. V, Контигуальпость, разделимость, сходимость по вариации
> rj) является предсказуемым и, следовательно, существует Qn-
п.н. предвещающая последовательность (-R£(#, f?))P>i моментов
остановки для Rn(a,rj). Имеем
1 - Яп(а)т» = [1 - Нп(а)0] + [Нп(а)0 - Яп(а)л?(а,,)лТпЛ<]+
+[Hn(a)R;(Qiri)ATnAt - Я"(а)т.А|] + [Hn(a)TnAt - Я»т«].
Более того, по построению Лп(а)я»(а,ч)лт»л< < V и, значит,
в силу 2.10 и 2.11 для всех е > 0, S > 0:
1 - Нп(а)т« < 1 - Яя(о)0 + 2iy + Ед»(Уп(а)01{г.<г}) + 2«1"e+
+ (|)°Pm[(UJ(a, т?) Л 0 < (Г" Л <), zn0 >е) + Я"(а)т.Л< - Я"(а)т„.
Заметим, что limpToo | {(^(a,»?) At) < (Тп Л *)} = {Rn(a,rj) <
< t Л Тп} С {Лп(а)т» > »?}, и, что в силу IV.1.28 Яп(а)т.Л, -*
—► Я"(а)т« при 2 | оо. Теперь, переходя к пределу сначала по р |
оо, а затем по t | оо в приведенном выше неравенстве, получаем,
что
2.25. 1-Яп(а)т„ < 1-Я"(а)0+2»?+Ед,(Уп(а)01{гг<£}) + 2^1-а+
+ (|)Рт(Ля(а)т->»?,«> О-
а) Предположим, что выполнено 2.3(ш). Тогда в силу 1.6
1ш1ацо liminf Hn(a)0 = 1. Поэтому применение 2.25 с е = 0
п
(т.е. Yn(a)0l{zn<£} = 0) приводит к соотношениям
lim sup lim sup [1 — #п(а)т«] <
аЦО п
< 2r/+limsup \26l'Q + (?)" lim sup Р,п(Лп(а)т» > rj)} =
= 2т; + 26 + lim lim sup ?'n(hn(a)Tn > rj) = 2r/ + 2tf,
где последнее равенство имеет место в силу 2.3(iii.2).
Поскольку rj и 6 произвольные числа, отсюда следует, что Нтац0 liminf
Нп(а)Тп = 1. Тем самым, (Р£п) < (Р£п) вытекает из 1.6.

2. Предсказуемые критерии 413
b) Предположим, что (Р£Л)Д(Р£П). Если z% > е, то z%/z'Qn > §
# - Y»(a)0 = #[i - «?/# л < 4n [i - (|)e].
Таким образом,
1 - Hn(a)0 + EQ»(yn(a)0lK<e}) =
= 1-Eq.(rn(a)0l{,.>.}) =
= Р'п(г0" < е) + EQ.[(4n - Yn(a)0lUs>t}] <
<PmK<e)+[l-(|)a]EQ.(^)<
<(f)V«<e) + i-(§)",
если только 6 G (0,2). Тогда в силу 2.25
1 - #»т- < 2V + 1 - (£)" + 2*1- + 0)>'n(20n < e)+
+Р'п(Лп(а)т»>т/,го"<£)] =
= 2iy+l- (|)e + 2«1—+
+yVn(*S < е или Лп(а)т» > ?/).
Теперь, применяя 1.9(Ш), получаем, что limalio liminf Hn{a)Tn =
= 0. Отсюда получаем
1 < 2т;+ liminf limsup [l - (|)" + 2*1— + (|)ePm(*|» < £ или
/in(a)T. > »7)] = 2т? + 26+
+ liminf limsup P'"(z£ < е или Лп(о)т» > п).
Поскольку £ является произвольным числом из отрезка (0,2), то
liminflimsup Р'п(г? < е или Лп(а)т. > п) > 1 - 2т?
Для любого Т7 > 0, что, очевидно, влечет 2.4(H). □

414 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Доказательство теоремы 2.5. (i) =»> (И).
Тот факт, что (п.1.2) выполнено, вытекает, из 2.3. Как было
показано в 1.19, последовательность (Un | Р/п), где Un = supt<Tn z*
является R-плотной. Кроме того, имеем Vn := supt<Tn(l/ztn) <
< 2sup<<Tn(l/2:tm) и, следовательно, в силу 1.7
последовательность (Vя | P/n) R-плотна. Поскольку sup<<Tn a? < UnVn, то (и.З)
получается отсюда очевидным образом.
(и) =»► (i). Принимая во внимание теорему 2.3, достаточно
доказать, что (и) =»► 2.3(Н.З). Если N Е R+ и функция ^i/isr
определена в 2.1, зададим возрастающий процесс
Отправляясь от определения а", нетрудно вывести, что
2.26. sup a? > N & А%? > 0.
t<T»
Теперь с учетом обозначений IV.1.41 имеем jn(ipi/N) = {zlnI*'?) •
•An>Ny а in(l/N) является Qn-компенсатором процесса jn(^i/isr)-
Таким образом, используя 1.3.12, получаем, что для всех
моментов остановки Un на (fin,.Pl,Fn)
= EQ.(/n • i"(fc/"M = EQ»(2'" • Anv'?) =
= EQ.(z£A^) = Ер,.(Л^).
Поэтому процесс An>N Z-доминирует процесс in(l/N) (см. § 1.3c)
по мере Р/п. Следовательно, по неравенству Ленгляра 1.3.32 для
всех е > 0, т/ > 0 имеем (с учетом AAn>N < 1)
p,n(l'n (£)т. >') * ^[£+Ep,"(,s<uTp АА"'"я+p/n^" >£) -
< i[e + Р'п(Лт " > 0)] + ?'П(А%? > е).

2. Предсказуемые критерии 415
Переходя в этом неравенстве к пределу по е Ц 0 и учитывая 2.26,
получаем
^И£)т.>')*(; + 1)Р"фв?2*>-
Отсюда импликация (ii) => 2.3(и.З) получается очевидным
образом. □
§2с. Случай дискретного времени
1 • Теперь переформулируем результаты § 2а на случай
дискретного времени. Для каждого п € N* имеем измеримое
пространство с дискретной фильтрацией (ftn, !Fny Fn = (.7>)рен)>
снабженное двумя вероятностными мерами Рп и Р/п. Предположим,
что Тп = /£_. Пусть Qn = (Рп + Р">)/2. Обозначим zn = (^)p€N
и zln = (z^)p^ процессы плотностей мер Рп и Р/п относительно
Qn. Для всех р > 1 положим
(где 0/0 = 0). Ввиду IV.1.63, IV.1.66 теоремы 2.3 и 2.4
приобретают следующий вид.
2.27. Теорема. Пусть при каждом п Е N* Тп — момент
остановки на (!2n,.F\Fn). Следующие условия эквивалентны:
(i)(P?.)«(P?.);
(H)(i)(P'0«)<.(PS),
(2) HmHmsupP'"( £ EQ»((^- ^f \ J*_x) > n) = 0,
(3) Лиг всех г] > 0 имеем
' lim limsup Pm ( X) EQ»(/?^l{^<7/3,»} | ^_г) > •/) = 0;
ч<р<тя
(Ш)(1)(Р*)«(Р»),
(2) для любого rj > 0
limlimsUpP'"( j; EQ.(l-(/3pnr(^)1-«|^_1)>J7)=0.
u° n 4i<p<t- '

416 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
2.28. Замечание. Аналогично замечанию 2.7 можно
заменить (Н.З) на условие
limUmsupP'n( £ EQn((^-^)2^
7U n Xl<v<Tn '
1<P<T
для любого 7/ > О
2.29. Теорема. Пусть для каждого n E N* Тп— момент
остановки на (J"ln,.F\Fn).
а) Если (Р£Л)Д(Р5.Я), то
(i) UmUmsupPm(^ < £
«л« 2 EQ.((J^-v^)2|jF;_1)>iv
1<р<Т»
1<р<Т» '
1?л# любых TV G R+, 7 G (0,1), е > 0.
(И) lim lim inf lim sup P/n { z? < e
X ' НПО oliO „ Г V °
lute 2 Eq.(i-(/^H/^)i-e|j7.1)>,) = i
1<P<T» '
d*jr любого е > 0.
(iii) lim lim sup Pm ( *£ < £
'n Л -s n
или T EQ»a-(^wr)1"ai^i)>^ = 1
l<p<Tn
для любых е > 0, a G (0,1)
b) £Ъш
limsupP'"( 53 EQ.((v^-J^)2|^;_1)>iV4j = l

2. Предсказуемые критерии
417
для любых N G R+, то (Р!рп)А(Р%п).
Наконец, версия теоремы 2.5 выглядит следующим образом.
Положим
z; = C/z;, a; = {
Z;/ZZ_X, если 0 < Z»_x < оо,
О, если Z£_x = О,
+оо, • если Zp_x = +оо.
2.30. Теорема. Пусть при каждом п 6 N* Гп— лоиект
остановки на (J2n,.F\Fn). Лиг (Рт») « (рт») необходимо и до-
статочно, чтобы (Pq1) < (Ро) tt выполнены условия 2.27(ii.2) и
R-плотности последовательности (sup1<p<Tn о£ | Р/п).
2* Рассмотрим теперь случай "независимых случайных
величин", для которого (как и в §IV.2.3) можно дать необходимые и
достаточные условия как для контигуальности, так и для полной
асимптотической разделимости. Предположения здесь такие же,
как и в §IV.le.2. Точнее, предполагается, что
Q = (Rd)H , £р(ы) — р — ая координата
cj G П (т.е. £р е Rd),
У = (7£rf)H ®, То — тривиальная сг-алгебра,
2.31.
■Fp = *(£b"4&)> Р> 1»
Pn = ® р" P,n = ®
p€N* p p€N'
fp 9
где р£, />£* — вероятностные меры на Rd. В данном случае
случайные величины (£р)Р>1 являются независимыми относительно
Рп (соответственно, Р/п) с распределениями р* (соответственно,
р;п).
2.32. Теорема. Пусть выполнено 2.31 и для каждого
neN**„€N={l,2...,+oo}.
а) Для (Р'*") <(Р£„) необходимо и достаточно, чтобы
2.33.
limlimsup £ [1-#(а;р>;")] = 0.
eU0 n i<7<^
14. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев Т.1

418 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Ь) Для (Р]кпл)Л(Р2л) необходимо и достаточно выполнения
следующих условий, по крайней мере, для одного значения а £
(0,1):
2.34.
( (i)limsup £ [1 -Н(а;рпр, #)] = ос
" i<p<*»
или
(И) liminf ^п|4пЯ(а;рпр,р'рп) = 0,
причем, если 2.34 имеет место при одном значении а, то 2.34
выполняется при любом а Е (0,1).
Доказательство. а) Положим а£(а) = 1 - Н(а\
/>£, />£*). Напомним, что согласно IV.1.73 версией h(a; Pn, Р/п)
является детерминированная величина
1<Я<Р
Поскольку Р()П = PJ и PJ — тривиальная вероятностная мера на
Т0у требуемое утверждение следует из импликаций (i) => (iii) в
теореме 2.3.
Заметим также, что (см. IV. 1.74)
2.35. Я(а;Р2л,РГп)= П (!-«?(«)),
1<Р<*п
т.е. требуемое утверждение также можно было бы доказать
(прямым способом) с использованием 1.6.
Ь) Очевидно, что в силу 2.34(H) liminf Я(а; PJn, Р'£) = 0, так
как 1п(1 — х) < -х, то
lirninf Я(а;Р2ш, Р£) < - Urn sup £ а£(а).
П 1<Р<*п
Поэтому из 2.34(i) также вытекает, что liminf #(a;P£n,PJ.nw) = 0
и (Р£)Д(Р£л) следует из 1.9.
Предположим теперь, что (Р'Лпп)Л(Р2п). В этом случае 1.9
влечет за собой lim inf Я(а; P£n, Р£) = 0 для любого а Е (0,1).
Предположим также, что 2.34(H) не выполнено для некоторого а.
Тогда имеется г) < 1 такое, что 0 < a£ (a) < г) для любого р <кп для

3. Примеры 419
всех достаточно больших п. Но существует константа Сп такая,
что 1п(1 — х) > —СцХ для х G [0,г/] и, следовательно, в силу 2.35
limsup £ арп(а)>-^-иттГ1пЯ(а;Ргл,РГп) = +оо.
п 1<р<*п С"
Тем самым, 2.34(i) имеет место.
Этот раздел завершается рассмотрением двух тесно
связанных примеров.
2.36. Пример. Пусть выполнено 2.31 с d = 1 и
pp(dx) = l[0,i](x)d:r, p'p(dx) = l[autl](x)dxj
l — ап
где ап 6 [0,1). Тогда (используя l[0ti](x)dx в качестве
доминирующей меры) с помощью весьма простых вычислений получаем,
что
Н(а]Р;,р'рп) = (1-апу
где а € (0,1). Если к„ = п, то по теореме 2.32 получаем
(напомним, что Н(а; Р,Р') = Я(1 - а; Р, Р'))
a) (рпп) < (pn) ^lim SUP пап < оо (т.е. ап = 0(1/п)),
b) (Р£) < (Р*) <*lim"sup пап = 0 (т.е. ап = о(1/п)),
c) (Р^П)Д(Р^) olim sup nan = оо. П
2.37. Пример. Условия здесь такие же, как и в 2.36, за
исключением того, что p'p{dx) = l[anti+an](x)dx. Тогда Н(а;
pfi p/n\ = 1 _ д и
"' а) (Р«) о (Р») <* (Р«) <. (Р«) olimsup nan = 0,
b) (Р;п)Л(Р^) <3>lim sup nan = оо. " П
п
3. Примеры
Этот раздел является аналогом разд. IV.4, где изучалась
абсолютная непрерывность распределений точечных процессов,
диффузионных процессов и процессов с независимыми
приращениями. Здесь мы рассматриваем вопросы контигуальности и полной
асимптотической разделимости.
14*

420 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Как и в IV.4 ограничимся только канонической постановкой
Ш.2.13: П — каноническое пространство всех непрерывных
справа и имеющих пределы слева функций на R+ со значениями в
Rd, X — канонический процесс, F — каноническая фильтрация
(порождаемая процессом X) и Т — Т^-, Н = F$ = <7(Ло). На
{SlyF) рассматриваются две последовательности вероятностных
мер (РЛ)и (Р,п).
§3а. Точечные процессы
Здесь d = 1 и X является п.н. точечным процессом
относительно каждой из мер Рп и Р/п. Обозначим Ап и А'п компенсаторы
X относительно Рп и Рт соответственно. Пусть А —
произвольный возрастающий предсказуемый процесс такой, что cL4" <C dA^
и dA'tn < dAt и <jfn, g'n — предсказуемые неотрицательные
процессы такие, что
3.1. Ап=дп-Ту А'п=д'п-Т (Рп + Р,п)-п.н.
В соответствии с теоремами 2.3 и IV.4.2 получаем такую
теорему (напомним, что в данном случае Pg = Р'0П).
3.2. Теорема. Пусть при каждом п Е N* Тп — момент
остановки. Тогда (РуО^^т») им^ет место, если и только если
для любого ц > 0
3.3. lim lim sup Pm ({Jjp - уДг)2 - X*+
s<T« '
3.4. lim lim sup P/n(ff/nl{y»</?^»} -^.» +
+ 5Z (1 - ДА/#п)1{1-длг<^(1_а,|;«)} > IJJ = 0.
s<T» '

3. Примеры 421
§3b. Обобщенные диффузионные процессы
Здесь d = 1 и процесс X задается соотношениями
относительно мер Рп и Р/п
3.5.
к
xt = xn+Jp:<is+w?,
о
t
xt = xn + Jp',nds + w;n,
О
где Wn (W'n) — Рп (Р/п)-стандартный винеровский процесс.
Определим следующие обобщенные возрастающие предсказуемые
процессы
t t
3.6.
K? = J(R)***> К? = рТ)2 ds,
о о
t
K? = J(p:-p:n)2ds.
3.7. Теорема. Предположим, что при каждом п Е N*
процессы Кп и К,п {следовательно, и процесс Кп) не уходят
скачком в бесконечность (см. Ш.5.8) и Рп(К? < оо) =
= P'n(K'tn < оо) = 1 для всех t G R+, и Тп — момент оста-
новки. Тогда
a) (Ртл)< (Ртл)? если и только если (К%п | Р/п) — Ж-плотная
последовательность.
b) (Р!рп)А(Р%п), если и только если limsup P'n(A'£n > N) = 1
п
для любого N € R+.
Доказательство. В соответствии с IV.4.23c и
предположениями теоремы Кп/8 является версией процесса
/*(1/2; Рп, Р/п). Кроме того, согласно доказательству IV.4.23
применима теорема IV.3.2& и, следовательно, версия процесса
г(^;Рп,Р/п) задается формулой IV.3.11, т.е. z'(^;Pn,P'n) = 0,
поскольку в данном случае меры и, и\ А из IV.3.11 равны нулю.
Наконец, Р£ = Роп, поскольку Х0 = хп Рп-п.н. и Р/п-п.н. Тем
самым, с учетом обозначений § 2а, Z£ = 1.

422 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Утверждение (а) следует теперь из импликаций (i) Ф> (и) в
теореме 2.3, утверждение (Ь) следует из 2.4(a.i,b). D
§3с. Процессы с независимыми приращениями
Предположим, что X—Х0 является процессом с независимыми
приращениями относительно Р/п и Рп (для всех n £ N*) с
детерминированными характеристиками (i?n,Cn,fn) и (l?/n,C/n,f/n)
соответственно для одной и той же функции усечения.
Пусть Ап — произвольная неотрицательная мера на R+ x Rd
такая, что vn < Лп и vln < Ап и Un = di/n/dXn, Ufn = dv'n/d\n —
производные Радона-Никодима. Обозначим также
3.8. ant = vn{{t) x Rd), a'tn = v,n{{t) x Rd).
Рассмотрим непрерывную возрастающую функцию Ап и боре-
левскую функцию сп на R+, принимающую значения в множестве
всех неотрицательно определенных, симметрических матриц
размера d х d, и предположим, что
3.9. Cn,i = сп° - Ап.
Напомним также, что Р# и Р$ являются сужениями Рп и Р/п на
начальную а-алгебру Н = <г(Х0).
3.10. Теорема. Последовательность мер (Р/п) контигу-
альна относительно последовательности мер (Pn) ((P/n)«(Pn)),
если и только если выполнены следующие условия:
0) (Ря)<(Ря);
(И) lim sup
{y/lF - y/U^f * A^+
< oo;
s
(iii) Km lim sup Ш/п1{^.<^..} * A£>+
+ X](1 ~ a'«n)1{l-ar</3(l-o',»)}
= 0;
(iv) существует n0 G N* такое, что для всех п > п0

3. Примеры 423
(1) C'tn = С? для всех < € R+,
(2) \h(x)(Un - Um)\ * А? < оо для всех t € R+,
(3) существуют борелевские функции 0п : R+ —► Kd такие,
что для всех t £ R+
3.11. #Г - В? = h(x)(Un - U'n) * А? + (Х) с"- '0П-Л • А?,
(4) limsup фп • с" • Дп) • Л^ < оо.
Доказательство. Определим следующие
(детерминированные) моменты времени:
3.12. тп = inf(* : С[п ф С? или |Л(*)(#" - ^m)l * Xt = °°
или не существует функции (5п, для которой величины В" - В[п
имеют вид 3.11).
и возрастающие функции
1.13.
( hn,°(\)t = |(Дя^^)1[о.г.) ■ А? + l^- V^)2l[0lr.) * АГ +
«<«,«<т»
in'°(P)t = U'nl{u»<0V'»}l[o,T») * A"+
S С1 - «D^l-ar^Cl-ai")}-
I, *<«,«<т»
Далее, положим
3.14. г'п = г" Л inf(* : Лп,0(1/2), = оо).
Тогда в силу IV.4.24 следующие функции являются версиями
Л(1/2; Р", Р,п) и г(фр; Р", Р'") {фр определяется в 2.1 с (3 е (О,1)):
i Г Лп(1/2)« = 1[0,т.-) • hn-\l/2)t + 1{г'-<1},
\ *"(/?)« = l[0lT.-) • i°>V)t + 1{г-<«}.
Кроме того, в силу IV.4.28
( Я(а;Р£,Р£), еслиг'п>0,
зле. я(в;р;,р?) = ] / in '
t 0, если г'п = 0.

424 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Поскольку Лп(1/2) и гп(/?) являются детерминированными
функциями, то импликации (i) & (ii) в теореме 2.3 выглядят
следующим образом (применим 2.3 для Тп = оо): (Р/п) < (Рп), если и
только если
(а) та «га,
3.17. (Ь) Нт8ирЛп(1/2)то<оо,
П
(с) limlimsupr^oo = 0.
Теперь после этих предварительных замечаний будем считать
3.17 выполненным. Тогда (с) влечет за собой целое г/п = оо для
всех п > По, где п0 — некоторое число (т.е. (iv 1,2,3) имеет место),
а также влечет за собой (Hi) (в силу 3.13 и 3.15). Поскольку т,п =
оо для га > п0, то (а), 1.6 и 3.16 влекут за собой (i). Более того,
при т/п = оо имеем
3.18. hn (~)t = \фпсрп) - Ant + i(x/t^ - y/W^f * A?+
4Dv/l^-^/lг<г)2■
Тем самым (b) влечет за собой (ii) и (iv.4).
Предположим теперь, что (i)—(iv) выполнены. Тогда (iv. 1,2,3)
влечет за собой тп = оо для га > га0, а в силу 3.13. (ii) и (iv.4)
limsup Лп,0(1/2)оо < оо, т.е. т'п = оо для достаточно больших зна-
п
чений га. Следовательно, 3.17(a) вытекает из 3.16, (i) и 1.6. Более
того, выполнено 3.18 и in(/3) = in,0(/3) для достаточно больших
значений га. Значит, имеет место 3.17(b). Соотношение 3.17(c)
вытекает из (Ш). Поэтому выполнено 3.17 и (Р/п) <(РП). П
3.19. Замечание. Если Рп = Р и Р/п = Р' для всех
га, легко проверить, что 3.10(i-iv) сводится к условиям (i-vii) в
IV.4.32.
3.20. Замечание. Рассмотрим следующие меры на
R+ х Rd:
Xn(dt,dx) = vn(dt,dx)+ £ (1-а;)£(#|0)(Л,Л:),
*:а»>0

3. Примеры 425
X'n(dt, dx) = v,n{dt,dx) +^(1- <C)ff(.fo)(A, At),
Xn(dtJdx) = \n(dt,dx)l{x7t0}+ 5^ e(Bto)(dt,dx).
*:a»>0
Тогда xn < F, X/n < F и производные Сп = <^Хп/^Г,
£m = dx^/dx" задаются формулами
C(tyx) = £/"(<, *)W} + 1{.?*о}(1 ~ <)!{*=<>},
C(t,x) = Utn{t,x)l{xm + lK<Vo}(l - аГ)1{«о}.
Следовательно, если />(xn>Xm) — расстояние Хеллингера, то в
силу IV. 1.4
р2(хп,х'п) = kViF - у/и^у2 * \пх + lJ2(\/^ - nA^)2-
2 (»)
Поэтому имеют место импликации
3.10(H) <S>limsup р2(хп,Х,п) < °°>
П
З.Ю(Ш) & lim limsup X'n(C < PC) = 0.
Последнее условие эквивалентно тому, что последовательность
(Cm/Cn|x/n) является R-плотной. Следовательно, принимая во
внимание 1.6(ii'), можно было бы писать "(х'п) < (хп)" и говорить
"последовательность (х'п) контигуальна относительно
последовательности (хп)" (в действительности это определение контигу-
альности не эквивалентно определению 1.1, поскольку меры хп и
Х'п могут быть бесконечными).
Очевидно, что существует вариант этой теоремы, в котором
формулируются необходимые и достаточные условия контигуаль-
ности (Р{П)«(Р") для любого t 6 R+- Формулировку этих
результатов мы оставляем читателю. Обратимся теперь к проблеме
полной асимптотической разделимости. Подобно тому, как это
сделано в 2.32 (и совсем не так, как в 2.5) можно сформулировать
необходимые и достаточные условия.

426 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
3.21. Теорема. Для (Р/П)Д(РП) — необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
(i) (Pg)A(P&),
(ii) существует последовательность n* t °°> &ля которой,
по крайней мере, одно из условий 3.10(iv) (1,2,3) не выполняется,
(Ш) lim sup \(VU^ - VlP")2 *Х^+
+£(\/гг<-х/гз<г)21=«>>
(«) J
(iv) lim sup inf [/An({*} x dx)yJun(tyx)U'n(t,x)+
= 0,
(v) если выполнено 3.10(iv. 1,2,3), mo
]imsup(pn -cn •/}")• A1^ = 00
Заметим, что ни fXn({t} X dx)y/Un(t, x)Um(t, я), ни (iii) не
зависят от меры Ап, доминирующей vn и vln. Когда Pn = Р и
Р/п = Р' для всех п, сформулированная выше теорема сводится к
IV.4.33.
Доказательство. Определим гп, г/п и hn(l/2)
согласно 3.12, 3.14, 3.15. В соответствии с IV.4.28
я(А;Р-,Р-)-{ Я(?Р"-Р5М-»"(5)Ь «л„г»>0,
2 10, если т'п = О,
где £(—Л"(1/2))0о задается формулой IV.4.25, т.е.
Г с-*-(1/2)« JJ [(i _ дЛп (1) Jc-A*-(i/2).] f
*(~ ^QL = | если Л»(1/2) < оо,
[ 0, если hn(l/2) = оо.
Отсюда легко вывести, что имеет место lim inf #(1/2; Pn, P/n) = в
(это соотношение в силу 1.9 эквивалентно тому, что (Р/П)Д(РП))>

3. Примеры 427
если и только если выполнено хотя бы одно из следующих
условий:
(l)Itoinf*(l/2;P&,Pg) = 0,
(2) тПк < оо для некоторой последовательности пк f oo,
(3) тп = оо для всех достаточно больших значений п и
limsup ftn(l/2)oo = oo,
п
(4) тп = оо для всех достаточно больших значений п и
liminf suptA/in(l/2)t = l.
п
Отметим теперь, что (l)=(i) согласно 1.9, и, очевидно, (2)=(Н).
Если (и) не выполнено, то для всех достаточно больших значений
п справедливо 3.18. Поэтому при невыполнении (и) условие (3)
имеет место, если и только если (Hi) или (v) выполнено. Наконец,
если выполнено 3.18, то для всех <ER+
Ahn{^)t = l- f\n({t}xdx)y/u^
Поэтому при невыполнении (Н) условие (4) имеет место, если и
только если выполнено (iv). Таким образом, (1)-(4) эквивалентны
(i)-(v). Теорема доказана.
3.22. Следствие. Предположим, что для всех Рп и Р/п
X является процессом с однородными независимыми
приращениями (т.е. Х0 = 0 п.н.). Тогда либо Р'п = Рп для всех
достаточно больших значений п, либо (Р/П)Л(РП).
Доказательство. Имеем Р# = Р#. Если
выполнено 3.21(H), то (Р/П)Л(РП). Предположим, что 3.21(H) не
выполнено и существует последовательность щ | оо такая, что
pmfc ф pnfc g силу однородности X относительно Рп и Р/п имеем
(VIF - VU")2 * А? = ant, фп • сп • Рп) • Ant = 7П<
для некоторых неотрицательных констант ап, 7П- Кроме того,
поскольку 3.21(H) не выполнено, то С'п = Сп для всех достаточно
больших значений п и ап = 0, если и только если v,n = i/n, и
7П = 0, если и только если В'п = Вп. Поэтому аПк > О или
7П* > 0 для всех А;, что очевидно влечет за собой 3.21(Ш) или
3.21(v), т.е. (Р">)Д(РП). □

428 Гл. V. Контигугшьность, разделимость, сходимость по вариации
4. Расстояние по вариации
В этом разделе устанавливается связь между полной
вариацией ||Р' - Р|| разности двух вероятностных мер, заданных на
пространстве с фильтрацией, и процессами Хеллингера А(а;Р,Р').
Это позволяет вывести первые предельные теоремы. А именно,
установить условия, при которых ||РП - Р|| —► 0. Естественно,
что условия (некоторые из них являются необходимыми и
достаточными), представляются очень строгими. Поэтому эти
результаты широко не применимы, за исключением, пожалуй,
точечных процессов и "обобщенных диффузионных процессов" в
смысле §ЗЬ. Указанные два примера изучаются в §4c,d, в то время
как в первых двух параграфах приводятся общие результаты.
§4а. Расстояние по вариации и интегралы Хеллингера
1. Пусть (iljT) — измеримое пространство. Если \i —
конечная мера со знаком, полная вариация \\fi\\ меры \i определяется
следующим образом:
||/х|| = sup{|/x(<p)| : <р — .F-измеримая функция на
ft с \<р\ < 1}.
Это определение задает норму в пространстве всех конечных
мер со знаком на (ft,.F). Следующий результат хорошо известен
(его доказательство имеется в учебниках по теории меры).
4.2. Лемма, а) Если \i — положительная мера, то ||/х|| =
= ,1(12).
b) Если fi = fi+ — fi_ — есть разложение Жордана-Хана меры
р, то ||р|| = ||м+|| + ||^|| = М+(П) + /х_(П).
c) ||р|| = sup{£?=1 \ц(А{)\ : (А^х<{<п — ^-измеримое
разбиение П}.
Рассмотрим теперь две вероятностные меры Р и Р' на (ft, Т\
Расстоянием по вариации между Р и Р' назовем ||Р — Р'||. Далее,
пусть Q = |(P + P')- Обозначим ^ = ж й ^ = ^ — производные
Радона-Никодима мер Р и Р' относительно меры Q.

4. Расстояние по вариации
429
4.3. Лемма, а) ||Р - Р'|| = 2вирл€^ |Р(Л) - ?'(А)\,
b)||P-P'|| = EQ(|*-*'|) = 2EQ(|l-2|).
Доказательство. а) Для всех A G Т имеем Р(Л) -
-Р'(Л) = Р'(ЛС) - Р(ЛС). Поэтому с учетом 4.2с
2|Р(Л) - Р'(Л)| = |Р(Л) - Р'(А)| + |Р(Л«) - Р'(А')| < ||Р - Р'||.,
В силу разложения Жордана-Хана Р — Р' = /х+ — /i_, где ц+ =
1Л • i Р - Р'), М- = Uc • (Р - Р') Для некоторого А е Т. Тогда
/ц(1>) = Р(А)-Р'(А) и ^(П) = Р'(АС)-Р(АС). Отсюда выводим,
что||р-р'|| = 2|р(Л)-р'(А)|.
Ь) Для каждой ^-измеримой функции <р с \<р\ < 1, с учетом
определения гиг' имеем
|Ер(у>) - Ер,(9)| = \Ея(ф - z'))\ < EQ(M I* - *'|) < EQ(|* - z'\).
Поэтому для <р = sign (z — г') (где sign a = 1 при о>0и sign a =
= -1 при a < 0) получаем, что |Ер(</?) - ЕР/(у>)| = Eq(J2 - г'|) и,
следовательно, ЦР — Р'Ц = Eq(|z'-z|). Второе равенство вытекает
из соотношения z + zf = 2. D
Теперь напомним, что расстояние Какутани-Хеллингера
р(Р,Р') определено в IV.1.4, а интегралы Хеллингера #(а;Р,Р')
— в IV.1.7 для а 6 (0,1)> а также IV.1.6 для а = 1/2. Будем
писать также Я(Р,Р') = #(1/2; Р,Р').
4.4. Предложение, а) Имеем
4.5. 2[1 - Я(Р, Р')] < ||Р - Р'|| < ^8(1-Я(Р,Р')),
4.6. ||Р - Р'|| < 2^/1-Я(Р,Р')2.
Ь) Если a G (0,1), то существует константа Са G R+ та-
ка*, что
4.7. 2[1 - Я(о; Р, Р')] < ||Р " Р'|| < у/Са(1 - Н(а; Р,Р')).
В частности, с точки зрения IV.1.5 неравенства 4.5 можно
зависать следующим образом
4.8. 2/>2(Р, Р') < ||Р - Р'|| < 2\/2/>(Р, Р')

430 Гл. V. Контигугшьность, разделимость, сходимость по вариации
и тем самым расстояние Какутани-Хеллингера определяет ту же
топологию, что и расстояние по вариации в пространстве всех
вероятностных мер на (ИУТ).
Впоследствии чаще используется 4.5. Однако, 4.6 точнее, чем
второе неравенство в 4.5, поскольку Я(Р,Р') < 1 и 1—х2 < 2(1-я)
для 0 < х < 1.
Доказательство. (i) Рассмотрим функцию
<pa(u,v) = 1 - иаг>1_ог. Поскольку z + z' = 2 и Eq(z) =
Eq(z') = 1, то в соответствии с определением IV.1.7 для #(а; Р, Р')
имеем
4.9. 1 - Я(а; Р, Р') = EQ(v?a(z, 2 - z)).
В силу тривиального неравенства<pQ(z, 2—z) < \z—l\ для z G [0,2]
левые части неравенств 4.5 и 4.7 получаются из 4.3Ь и 4.9.
(и) Как было показано в лемме IV.2.19, <pi/2 < 7а<Ра для
некоторой константы 7« > 0. Следовательно, второе неравенство в
4.7 получается из второго неравенства в 4.5 и из 4.9.
(Ш) Поскольку 1 - Я(Р,Р')2 < 2[1 - Я(Р,Р')], то остается
доказать только 4.6. Используя 4.3Ь, получаем, что
~||Р - Р'|| = Eq(|1 - z\) < д/EqCII - z|») = ^/l-EQ(*(2-*)) =
= ^1 - EQ(**') < ^1 - (EQx/i?)2 = y/l - Я(Р,Р')2. □
Очевидно, что P±P' Ф> ||Р - P'|| = 2. Поэтому 4.5 и 4.7 и
неравенство ||Р — Р'|| < 2 влекут за собой
Р±Р' & Я(Р, Р') = 0 ^ За е (0,1) с #(а; Р, Р') = 0
и, следовательно, получается часть утверждений леммы IV. 1.1 lb.
Приводимое ниже следствие является также очевидным.
4.10. Следствие, а) Если (Pn)n>i «P —
вероятностные меры на (ft, Т)у то при п —» оо
(i) ||РП-Р||~*0^#(Р*,Р)~*1,
(И) ||РП - Р|| - 2 & Я(РП,Р) -> 0.

4. Расстояние по вариации 431
Ь) Если для каждого п Е N* Рп и Р/п — вероятностные меры
на (0,п, Тп)} то при п -* оо
(i) ||РП - Рт|| ~* 0 & Я(РП,Р,П) -> 1,
(ii) ||Pn - Pm|| -> 2 & Я(Рп,Рт) -+ 0.
2. Расстояние по вариации имеет (хорошо известную)
статистическую интерпретацию. Меры Р и Р' могут отвечать
соответственно статистической гипотезе (Я) (нулевая гипотеза) и
альтернативной гипотезе (Я'). Статистический тест определяется
измеримой функцией <р : Q —► [0,1] (<р(и) означает вероятность, с
которой мы отвергаем гипотезу (Я) при наблюдении а;). В этом
случае ошибками являются:
а((р) — ошибка первого рода = вер.(отвергнуть Я, если Я
истинна),
/?(у>) — ошибка второго рода = вер.(принять Я, если Я
ложна).
Если (Я) и (Я') входят в задачу симметрично, то интерес
представляет тест, минимизирующий сумму ot{<p) + /3(<p).
Положим
4.11. £г(Р,Р') = Ы[а(<р) + 13(<р)}.
Тогда при тех же обозначениях,
£Г(Р,Р') = inf Eq(z<p + z\\ - у)) = 1 + inf EQ((z - г1)?),
(inf берется по ^"-измеримым функциям ¥>с0<<р<1). При этом
inf достигается на (р = 1{г'<*}- Поскольку Eq(z - z1) = 0, то
4.12. £Г(Р,Р') = 1 - Ieq(|* - z'\) = 1 - i||P - Р'||.
Тем самым, согласно 4.4 имеем
4.13. i#(P, Р')2 < 1 - ^/1-Я(Р,Р')2 < £Г(Р, Р') < Я(Р,Р').
4.14. Пример. Предположим, что Pn = Qn® и P/n = Q/n®,
где Q и Q' — две вероятностные меры на (fi,^7), т.е. мы имеем п
независимых и одинаково распределенных случайных величин со
значениями в (И,Т) с распределением Q (соответственно Q') при

432 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
гипотезе (Я) (соответственно (#'))• В этом случае IV.1.74 влечет
за собой #(Р",Р"») = #(Q,Q')n = e~An, где А = -ln#(Q,Q') >
/92(Q,Q'). Тогда согласно 4.13
-e~2Xn < £r(Pn,P'n) < е~Ал < e-n^3(Q'Q,). D
§4b. Расстояние по вариации и процессы Хеллингера
1. Предположим, что (ft, T, F) является измеримым
пространством с фильтрацией, снабженным двумя вероятностными
мерами Р и Р'. Положим Q = (Р + Р')/2 и обозначим z и z1 процессы
плотностей мер Р и Р' относительно Q (см. IV. 1.13).
Пусть h(a) любая версия /г(а;Р,Р'). В соответствии с IV.4.25
положим
4.15.
Г е~л<*>' ГТ(1 - Ah(a)s)eAh(a)', если h(a)t < оо,
t[-h{")]t = { Й
( 0, если h(a)t = оо.
Этот процесс является предсказуемым, если /ь(а) является
таковым, и обладает свойствами IV.4.27, если h(a) — непрерывный
справа и имеющий пределы слева процесс и Ah(a) < 1
тождественно (напомним, что лемма IV.2.27 описывает только "тра-
екторные" свойства). Следующий результат является одним из
вариантов обобщения теоремы IV.4.28.
4.16. Предложение. Пусть a € (0,1). Существует
неотрицательный процесс N(a) со следующими свойствами:
a) независимо от того, какая версия h(a) процесса h(a; Р,Р')
выбрана, zazn-a = N(a)€[-h(a)],
b) независимо от того, какая версия h(a) процесса h(a; Р,Р')
выбрана, NT(a) является Q-локальным мартингалом, если Т —
момент остановки, такой, что |[0,TJ С {£(—h(a)) > 0}.
c) N(a) является Q-супермартингалом.
Доказательство. а) Используем обозначение Г", S
из IV.1.15. Все версии h процесса Л(а;Р,Р') совпадают на Г" и
удовлетворяют неравенствам ht < оо для любого t € Г", Aht < 1

4. Расстояние по варяадян 433
для t < S (IVЛ.30), в то время как У = zazn~a на множестве
[[5,оо|[ равно 0. Поэтому, обозначая W = £(—h) и
lo,
если t < 5,
если t> Sy
видим, что N не зависит от версии h процесса А(а; Р, Р'), и
утверждение (а) имеет место с N(a) = N.
b) Пусть h — процесс Хеллингера /i(a;P,P') в узком
смысле, W = £(—/&) и Г — момент остановки такой, что [0,Г]| С
{W > 0}. Процесс h является предсказуемым, непрерывным
справа и имеющим пределы слева с Ah < 1. Следовательно, IV.4.27
влечет за собой ht < оо при <<Ги<<оо, и Aht < 1 при t <Т.
Поэтому в силу IV.4.26
WT = 1 - W. • hT.
По формуле Ито для процессов с конечной вариацией получаем
для V = 1/WT:
417 v = i-JL.ipr+ у- /J L + ^ =
(напомним, что Ah < 1 на J0,TJ). Тогда
AhT VL
4.18. V = VL + Д^ = VL +
WL(1-ДЛ) 1-ДЛт'
С другой стороны, IV. 1.18 дает представление Y = М — У_ -h с
некоторым Q-мартингалом М. Тем самым, применение формулы
Ито к NT = УТУ и предсказуемость процесса V (поскольку h и W
— предсказуемые процессы) позволяет получить представление
NT = N0 + V • YT + У_ • V = 7\Г0 + V • Мт - VTL • /iT + У_ • V =
= TVo + V • Мт - VTL • />т + У" • Лт = (в силу 4.17)

434 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
= N0 + V • Мт (в силу 4.18 и равенства V_ = 1/W. на [О, Г]).
Поэтому NT является Q-локальным мартингалом.
Пусть теперь h1 — другая версия /&(а;Р,Р') и W = £(—/&').
Покажем, что если W8 > 0 для всех s < t, то имеет место
неравенство W{ > 0 (и, следовательно, W, > О при всех s < t).
Установлением этого неравенства завершается доказательство
утверждения (Ь). С этой целью предположим, что W's > О при s < t и
Wt = 0. Тогда в силу 4.15 h!t < оо, и неравенство h < hf влечет за
собой ht < оо. Отсюда следует, что Ahs = 1 для некоторого s < J
(см. IV.4.27). Таким образом, IV.1.30 влечет за собой s < 5, в то
время как h = 1г» • Л, т.е. s = S £ Г". Но Л = Л' на Г" и, значит,
Ah8 = 1. При этом 4.15 очевидно влечет за собой противоречивое
равенство W[ = 0.
с) Пусть опять h обозначает процесс Хеллингера /&(а;Р,Р') в
узком смысле, г = inf(J : Wt = 0) и (тк) Q-п.н. предвещающая
последовательность моментов остановки для предсказуемого
момента г (напомним, что W = £(—h) —предсказуемый процесс).
Имеем {W > 0} = Un[[0,rn][. Следовательно, NTn является Q-
локальным мартингалом с локализующей последовательностью
(Г(п, fc))jt>! моментов остановки. Поскольку 7У>Ои7У = Она
[[г, оо[, то для s < t
EqW I Г.) = EQ(iVtl0<T} | Т.) = Eq( lim ЛГ,т"АТ<п'*>1{|<г} | Г.) <
ntK\OQ
<liminf EQ(JVtT"AT(n,t)l{t<T} \T.) < (лемма Фату)
п,Л|"оо
<lim inf Е<,ГХ"АТ("'%<г} | Ft) =
=liminf ^;*АТ("'*>1ь<г1 = Ns. D
n,Jkfoo J
4.19. Следствие. Пусть 0<а</?<1« Л(а) — любая
версия процесса Хеллингера Л(а;Р,Р') такая, что ДЛ(а) < 1.
Тогда для любого момента остановки Т
4.20. Н(/3;?т,?'т) <

4. Расстояние по вариации
435
(Рт и Ру обозначают сужения Р и Р' на Тт).
Предположение Ah(a) < 1 (не являющееся в
действительности ограничением) вводится для того, чтобы £(-h(a)) > 0. Если
это не так, то в 4.20 следует взять \£(—h(a))\.
Доказательство. Пусть р = £f и?= лГ^> т-е-
J + J = 1. Тогда ^z'1"^ = (3Vi-«)i/Psi/f и в силу 4.16
*£*£-' = JV(a)J./p[f (-ЛСа^)^.]1^.
Далее по неравенству Гельдера
Ы44~") < 1Ъ*т")т)]1,Р\Ёя(£(-Ч<*)тР)*т]1,я <
< [EQ(iV(a)o)]1/p[Ep(5(-Л(«)?•/p]1/,'
(в последнем неравенстве использованы 4.16с и IV.1.14).
Требуемое утверждение следует из представления
N(a)0 = zgzfQ~a и определения IV.1.7. □
2. Теперь мы в состоянии доказать основные оценки для
цр - р'ц.
4.21. Теорема. Пусть h — версия h(a; Р,Р') такая, что
Ah < 1 тождественно. Тогда для любого момента остановки
Т и любого е > 0
2[1 - ^Я(Ро,Р'о)ЕР(ехР(-Лт))] <
4.22. < ||РТ - ?'т\\ < ||Ро - Р'о|| + 4^/Ер(Лт)
4.23. ||РТ - ?'т\\ < |||Ро - P'oll + 3v/27 + 2Р(ЛТ > е).

436 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
4.24. Замечание. Существует много других возможных
оценок. Например Валькейла и Вострикова [239] доказали, что
4.25.
2/>2(Рт, Гт) <4е + 2Р(|1 - v^l > *) + 2^/Р(Лт > г/2),
2Р(|1 - у/^\ > е) + Р(Лт > £/2) < е2 + (1 + 2/e2)V2p(?T, Рт)-
4.
{
Эти неравенства в силу 4.8 определяют другие оценки для
||Рт - Ру||- Существуют также другие (по-видимому, менее
используемые) оценки в терминах меры Q = (Р + Р')/2.
Приведем две леммы.
4.26. Лемма. Пусть {z,z) обозначает предсказуемую
вариацию (^-ограниченного мартингала z. Тогда
a) {z, z) < 2h (h такой же, как в 4.21),
b) \z,z)<4z_-h.
Доказательство. Очевидно, можно предположить,
что h является процессом Хеллингера /&(1/2;Р,Р') в узком
смысле. Тогда в силу IV. 1.36 с помощью элементарных вычислений,
использующих равенство z + z1 — 2, получим
h=Кг+у)2'{z% gt)+W1+x/z- ~^~xlzL? *vZ =
2х2
- (^.(z. + х) + Jz-(zL - iff
* V
В силу zjcz1 = 2 имеем z_z'_ < 1 и JzL(z_ + x) + Jz„(z'_ - х) <2
при — 2_ < # < а/_. Поэтому для процесса
2 ^ ..2
k = (zc, *с) + х2 * I/
справедливо неравенство к < 2/i, а также к < 4г_ • ft (поскольку
z'_ < 2). С другой стороны, можно использовать П.2.9 для X = z
и вычислить (г, г). В этом случае (z, г) задается формулой И.2.31
с vz вместо и. Отсюда, в частности, получаем (г, z) < к. О

4. Расстояние по вариации 437
4.27. Лемма. Имеем
||Рт - К\\ < ||Ро - Pill + 2y/EQ{(z,z)T),
где использованы обозначения из 4.21 и 4.26.
Доказательство. Следующие оценки очевидны
(напомним, что z + z1 = 2)
|*г - 41 ^ 1*о - 41 + Iter - *о) ~ ter - 4)1 < ко - 41 + 2кт - *о|.
Тогда согласно 4.3
||РТ - Р^|| = EQ(|*T - z'T\) < ||Р0 - Р'0|| + 2EQ(|zT - zo\) <
< ||Po - Poll + 2y/EQ((zT - z0y) <
<\\P0-?'0\\ + 2y/Eq((z,z)T).
Доказательство теоремы 4.21. а) Сначала
рассмотрим второе неравенство в 4.22. Всегда можно
предполагать, что h является процессом Хеллингера в узком смысле (это
только уменьшает правую часть). Поэтому, используя
предсказуемость h и 1.3.12 (как это уже делалось несколько раз в данном
контексте), получаем Eq(z_ • hT) = Eq(ztAt) = ЕР(/&т). Тем
самым требуемое неравенство вытекает непосредственно из 4.2бЬ и
4.27. □
b) Для того, чтобы получить первое неравенство в 4.22,
применим 4.20 с а = 1/2 и (3 = 3/4. Тогда
Я(^;РТ,Р^) < Я(Ро,Р,о)1/2{Ер(Д-Л)т)}1/2.
Теперь первое неравенство в 4.7 и тривиальная оценка £(—Л) <
< e~h (справедлива в силу Ah < 1) приводят непосредственным
образом к требуемому результату.
c) Чтобы установить 4.23, докажем сначала вспомогательный
результат. Пусть S — другой момент остановки, S <Т. Тогда
||Рт-Р;|| = Ед(|*г-41) =

438 Гл. V. Коитигуальность, разделимость, сходимость по вариации
= Eq(|2t - z'T\l{T=S}) + Eq(|zt - ■2t|1{s<T}) ^
< EQ(*5 - 4) + 2Q(5 < Г) = ||P5 - P'sll + 2Q(5 < Г),
поскольку \z — z'\ < 2. Кроме того, {S < T} 6 Ts и, значит,
|P(5 < T) - P'(5 < T)\ < 1/2||PS - P's||, а также
2Q(5 < T) = P(5 < T) + ?'(S <T)<
< |P(5 < T) - P'(5 < T)\ + 2P(5 < Г) < i||P5 - P'5|| + 2P(5 < T).
Таким образом,
4.28. ||Рт - Рт|| < |||Р5 - Pi|| + 2Р(5 < Т).
Теперь рассмотрим предсказуемый момент остановки
S = mf(t : (z,z)t > 2e) с Q-предвещающей
последовательностью моментов остановки (Sn). Пусть t E R+. Применяя 4.28 к
5П Л < Л Г и к < Л Г, используя 4.27 и неравенство (г, z)Sn < 2е
получаем
4.29. ||РТА| - PTAt|| < |||Рта5.л« - Ртд5.д,11+
+2Р(5„ Л t < Т Л 0 < §||Р0 - Poll + За/2£ + 2Р(5„ At<T At).
Кроме того, ?(SnAt < ТМ) | Р(5 < ТМ) при п ] оо. Далее, если
S < Т Л J, то (г, z)T > 2г и в силу 4.26а Лт > £. Таким образом,
из 4.29 получаем
||Ртд, - PtmII < fll^o - Poll + Зч/27 + 2Р(ЛТ > £).
Наконец, в силу 4.3 ||Ртл* — Ртл*И = 2Eq(|1 — z?M\) и при t | оо
отсюда следует, что 2Eq(|1 - zT\) = ||РТ - F'T\\. Таким образом
имеет место 4.23. О
3. Впоследствии будут использованы следующие
обозначения. Если при каждом n E N* Рп является мерой на измеримом
пространстве (fin,^7n), на котором задана случайная величина
Vnj принимающая значения в метрическом пространстве (E.d), й
если v Е Е, то

4. Расстояние по вариации
439
4.30. запись Vn —► v означает, что Pn(d(Vn,t>) > е) —► 0 для
любого е > 0.
4.31. Теорема. Пусть (Pn)n>i u P —вероятностные
меры на (il^J7) и при каждом п G N* hn — версия Л(1/2;Р,РП),
удовлетворяющая свойству Ahn < 1 тождественно. Тогда при
п | оо для любого момента остановки Т
(i) ||PJ - PT|| -> О & ||Pg - Poll - 0 « Л? Л 0;
(И) ||Р? - Рг|| -> 0 <* ||PS - Ро|| - 0 « Л? С 0;
(ш) Щ Д +оо (т.е. Р(/# < N) -*■ О Лиг всех 7V < оо) =»-
||Р£-РТ||-2;
(iv) Л£ Д +оо =» ||PJ - РТ|| ~+ 2.
Доказательство. (i) Предположим, что
Нрт - рт|| -► 0. Поскольку #(Р£,Р0) < 1 и ЕР(ехр(-/4)) < 1,
то первое неравенство в 4.22 влечет за собой jy(P{J,P0) —► 1 и,
значит, в силу 4.10а ||P{J - Р0|| —► 0, а также EP(exp(-/iy)) -*■ 1.
р
В силу последнего соотношения ехр(—hj.) ~* 1 и, следовательно,
р
В обратную сторону, если ||Pg - Р0|| -» 0 и Щ -» 0, то из 4.23
немедленно вытекает, что ||Р£ — Рт|| -» 0.
р
(ш) Предположим, что Щ -» +оо. Тогда ЕР(ехр(—Щ)) ~+
—> 0. Поскольку ||PJ — Рт|| < 2, то из первого неравенства в 4.22
получаем ||Р§; - Рт|| -» 2.
Наконец, (Н) и (iv) доказываются аналогично (i) и (iii). D
В частности, если Рп = Р' для всех п, то утверждение (iv)
принимает такой вид: ?(hT = оо) = 1 =» ||РТ - Р^|| = 2 О РтХРу.
Таким образом, мы получили снова IV.2.6с (более сложным
способом).
Возможно, более интересным является случай, когда
сравниваются две последовательности мер (Рп) и (Р/п), т.е. при каждом
п G N* рассматриваются две вероятностные меры Рп и Р/п на
некотором измеримом пространстве с фильтрацией (fin,^rn,Fn).
Обозначим hn версию Л(1/2;РП,Р'П), удовлетворяющую свойству
Д/гп < 1 тождественно. Доказательство, аналогичное
вышеприведенному, позволяет установить следующую теорему.

440 Гл. V. Контнгуальность, разделимость, сходимость по вариации
4.32. Теорема. Пусть в описанной выше постановке для
каждого пТп — момент остановки на (ftn,.Fn,Fn). Тогда при
п —► оо имеем
(i) ||PJ. - Р?.|| -+0О ||PS - Р?|| ^OuhTn^ 0;
(И) Л?. -> +оо => ||Р5>Л - Р3?.|| -+ 2.
§4с. Примеры: точечные процессы и мультивариантные
точечные процессы
1. Предположим, что на пространстве ft задан точечный про-
цесс X, F — наименьшая фильтрация, с которой согласован X и
Т = ?<*>-
Рассмотрим две меры Р и Р' на (ft, T) и обозначим А и А'
компенсаторы X относительно Р и Р'. Напомним, что Var (A — А')
/шляется вариацией процесса А — А! (см. § 1.3а), т.е. в
соответствии с определением 4.1 Var (А - A')t = ||d(A*)e ~ d(A")e||.
4.33. Теорема. Для любого е > 0 и любого момента
остановки Т имеют место оценки
< ||Рт - Prll < VEP(Var(A-,4')r),
4.35. ||РТ - Рт|| < 3\/2ё + 2P(Var (A - А')т > е).
Доказательство. Пусть А = А + А' я g, g' — два
предсказуемых неотрицательных процесса, таких, что А = д • А,
А' = #' • А (Р + Р')-п.н. (см. IV.4.1). Тогда IV.4.3 задает версию
h процесса Л(1/2;Р,Р') с Ah < 1. А именно,
4.36. h = i(V?- V?)2 • Л + \ £(VT^AA, - y/l-AA',)2.
Для х, у > 0 справедливо неравенство (у/х — -y/j/)2 < \х — у\.
Следовательно,

4. Расстояние по вариации 441
Очевидно, что \д - д'\ • А = Var (Л - А') (то же доказательство,
что и в 4.3Ь), и, что J2$<t \&AS - AA'S\ < Var (A - A')t. Значит,
4.37. h < Var (A - A').
С другой стороны имеем
Var(A^AQ = lg-gr^=lVg-V?l(Vg + \/^)^<
< ]j\(V9 ~ V?)2 • V4(5 + if)' A-
Кроме того, (5 + g') • A < (2# + |flf - 5'|) • Л = 2A + Var (Л - A').
Отсюда с учетом 4.36 получаем
4.38. Var (A - А') < Vhy/sA + 4Vax (A - А').
Наконец, как мы уже видели (например, в доказательстве
IV.4.6) Р0 = Р'о и, следовательно, ||Р0 - Р'0|| = 0 и Я(Р0,Ро) = 1.
Поэтому, если неравенства 4.37 и 4.38 подставить в 4.22 и 4.23,
то получим 4.34 и 4.35.
4.39. Следствие. Пусть Р, (Pn)n>i — вероятностные
меры на (П,^). Обозначим А/Ап компенсаторы X
относительно Р, Рп соответственно. Тогда для любого момента
остановки Т при п | оо
a) Var (Ап - А)т Д 0 => ||Р$ - Р|| - 0.
b) ||PJ - Рт|| -> 0 и Р(ЛТ < оо) = 1 =» Var (Ап - А)т Д 0.
Доказательство. а) Требуемое утверждение
получается непосредственно из 4.35.
Ь) Если (IP? - Рт|| -> 0, то в силу 4.34 ЕР(ехр(-Уп)) ->
-» 1, где Yn = Var (Ап - А)$/[8АТ + 4Var (An - А)т]. Отсюда
Kn —► 0. Если Лт < оо Р-п.н., то из определения Yn вытекает,
что Var (Ап - А)т -^ 0. С
Теперь сравним две последовательности мер. При каждом
п G N* рассмотрим точечный процесс Хп, определенный на
пространстве 12п, и наименьшую фильтрацию Fn, с которой
согласован Хп, Тп - Т^_. Пусть Рп и Р/п — две вероятностные меры
на (Пп,Тп) и Лп, А'п — компенсаторы Хп соответственно.

442 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по ва.риа,ции
4.40. Следствие. Пусть при каждом п £ N* Тп —
момент остановки на (fin,.P\Fn). Тогда при п | оо
a) Var (Ап - А'п)Тп С 0 =► ||Pjn - Р§?.|| -> 0;
b) если ||Ру» - Рт*И -* 0 м последовательность (Л£» | Рп)
является Ж-плотной см. 1.2, mo Var (An — А1п)т* —> 0.
Доказательство полностью аналогично
доказательству 4.39 (пара Л, Ап заменяется на пару Лп, Afn). О
2. Применение к эмпирическому процессу. Интересное и очень
простое следствие приведенных результатов связано со
сходимостью при увеличении объема эксперимента подходящим образом
нормированного эмпирического процесса к пуассоновскому
процессу. В постановке § П.Зс.З пусть (Zn)n>i — последовательность
независимых и одинаково распределенных случайных величин,
принимающих значение в (0,оо) с функцией распределения С, до-
пускающей плотность g no мере Лебега. Эмпирическим
процессом объема п называется процесс
1<»<п
Примем за П каноническое пространство всех точечных
процессов с каноническим процессом ЛГ, канонической фильтрацией F и
4.41. Теорема. Пусть Рп — распределение точечного
процесса Yt — пХ^п иР — распределение пуассоновского
процесса с интенсивностью д(0). Если Р" и Pt означают сужения
Рп и Р на а-алгебру Tt} то
4.42. ||Р?-Р«||<
< 4{ JfiMnMsM , ,(,/п) п Лу/'
~ \J \- G(«/n,oo)) lG(e/n,oo)) УК lW )
о
в частности, если д — непрерывная справа в нуле функция, то
Пр" - Р*Н -> ° ^ля любого t е М+ при n | оо.

4. Расстояние по вариации
443
Доказательство. В силу II.3.34 компенсатор N
относительно Рп задается формулой
J V n ' G([s/n> оо))
и At = s(0)J является компенсатором N относительно Р. Кроме
того, EPn(N8/n) = E(X?/n) = G((0,s/n]). Поэтому
- ^(/[ » G(wV«>» + 1с([1/п,Поо)) -^(0)1] Л) =
= /[Ep""^Ga,/n,noo)) + 1^/п,Поо)) " 5(0)U dS =
_ f(G((0,s/n])g(s/n) I g(s/n) _,пЧц J
"Л G([*/n,oo)) +\G([s/n, 00)) 9^\)ds
и 4.42 следует из 4.34.
Наконец, если д непрерывная в нуле функция, то по теореме
Лебега о мажорируемой сходимости получаем, что правая часть
4.42 стремится к нулю при n | оо, т.е. имеет место требуемое
утверждение. □
3. Мультивариантный точечный процесс. Предположим, что
на П задан мультивариантный точечный процесс /х со
значениями в Е (Ш.1.23), F — наименьшая фильтрация, относительно
которой \i является опциональным процессом и Т = J7^--
Рассмотрим две меры Р и Р' на (П,^7) и обозначим и и i/
компенсаторы \i относительно Р и Р'. Обозначим Var [у - v')t
расстояние по вариации между двумя мерами f|[o,t]xE и ^'[o.tjxE'
т.е. Var(j/-i//)t(o;) = sup(|/^(3,a?)(i/-i/)(a;;d5Xrfa:)J: <p — U®£-
йзмеримая функция на R+ X Е такая, что \(р\ < 1 и <p(s, x) = О для
*> t).

444 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по ва.риа.ции
4.43. Теорема. Для любого е > О и любого момента
остановки Т имеем
< ||Рт - Рт1! < 4^ЕР(Уаг(*/--*/)т),
4.45. ||РТ - Р^|| < ЗуДе + 2P(Var [у - v')T > е).
Доказательство. Пусть А = (v + t/)/2 и (/, [/' —
две неотрицательные предсказуемые функции такие, что v = V-\
и' = (/' - А (Р + Р')~п.н. Обозначим также at = i/({t} x E) и
a't = j/({*}xJ5). Тогда IV.4.12 дает версию Л процесса Л(1/2;Р,Р')
с ДЛ < 1. А именно,
Как и в 4.33, получаем
h<\\U-U'\*\ + ^\a'-<\
и \U-U'\*\t = Var (i/-i/)« (какв4.3Ь),Х)в<, k~Xl < Var (i/-i/)t.
Отсюда h < Var (i/ - i/). Начиная с этого местаг ход
доказательства полностью совпадает с ходом доказательства в 4.33. □
Так же, как в 4.39 и 4.40, можно сформулировать такие
следствия.
4.46. Следствие. Пусть Р, (Pn)n>i — вероятностные
меры на (П,/"). Пусть is, vn — соответствующие
компенсаторы (i. Тогда для любого момента остановки Т при n f ос
a) Var (vn -i/)r^0=» ||P£ - Рт|| -+ 0;
b) ||PJ - Рт|| -» 0 ti Р(1/([0,Г] X Е) < оо) = 1 =»
=► Var (t>n - i/)T Д 0.

4. Расстояние по вариации
445
4.47. Следствие. Пусть при каждом п 6 N*
пространство iln снабжено Еп-значным мультивариантным точечным
процессом fin, Fn — фильтрация, порождаемая /лп и Тп = J^.-
Пусть Pn w Р/п — две вероятностные меры на (П"1,^7"), vn и vln
— соответствующие компенсаторы //п. Наконец, пусть Тп —
момент остановки на (fin,.P\Fn). Тогда при п | оо
a) Var (vn - ^,п)т» ^ 0 =► ||Р?.Л - Ррш|| - 0;
b) если ЦРуп - Ру«|| ->0« последовательность (*>n([0,Tn] x
x£n) f Рп) является R-плотной, то Var (i/n - i//n)r» ^ 0.
§4d. Пример: обобщенные диффузионные процессы
Рассмотрим каноническую постановку (П, J",F) с
каноническим процессом X размерности 1 (как в § ЗЬ). Предположим, что
РЛ и Р/п — меры на (ft, T) такие, что 3.5 имеет место:
4.48.
X
Xt = xn+J/3:ds + Wtny
о
г
Xt = xn+J(3'snds + Wln,
где Wn (Wfn) — стандартный винеровский процесс относительно
рп (р"»)# Введем те же процессы, что и в 3.6
% % t
4.49. Теорема* Предположим, что при каждом п Е N*
процессы Кп и Kfn (и, следовательно, Кп) не уходят скачком
на бесконечность и Рп(К? < оо) = ?'n(K'tn < оо) = 1 для всех
t 6 R+. Пусть Тп — момент остановки.
a) ||Р$. ~ Р£>|| - 0 & К£п £ 0.
b) ^ ^ оо => ||PJ. - Р?.|Н 2.
Доказательство. В процессе доказательства
IV.4.23с было показано, что PJJ = Р^п и, значит, ||Pg - Р^|| = 0.

446 Гл. V. Контигуальность, разделимость, сходимость по вариации
Тогда требуемые утверждения следуют из 4.32 и того факта, что
Кп/8 является версией Л(1/2;РП,Р,П) (см. IV.4.23c).
В качестве примера рассмотрим случай "обычных"
диффузионных процессов в смысле § Ш.2с и даже однородный случай!
Более точно, пусть Ьп и Ь — измеримые, локально
ограниченные функции на R. Предположим, что
4.50. /з: = ьп(х.), РГ = КХ.), хп = хек
и все меры Р/п совпадают с одной и той же мерой Р
(следовательно, вместо сравнения двух последовательностей мер мы лишь
изучаем сходимость).
4.51. Следствие. При сделанных предположениях и при
условии, что последовательность функций (Ьп) сходится к
функции Ь на всех компактах из R, имеет место сходимость
||Р? - Р«|| -» 0 для всех t G R+.
Доказательство. Процессы Кп, К,п = К и Кп
являются конечными и, значит, выполнены предположения
теоремы 4.49. Локальная равномерная сходимость Ьп -» b обеспечивает
сходимость
t
J(bn(Xa) - Ь(Х,))2 ds £ 0.
о
Отсюда и из 4.49 получается требуемый результат.
Итак, мы видим, что несмотря на то, что сходимость по
вариации является "сильным" видом сходимости, ее удалось
установить (по крайней мере, на конечном временном интервале) для
диффузионных процессов при относительно слабых
предположениях.
В гл. IX будет установлена слабая сходимость при похожих
предположениях, но с существенным отличием: в данном случая
коэффициенты диффузии одни и те же для всех процессов, в то
время как в гл. IX они могут варьироваться (как здесь
коэффициент — сноса).
!

Глава VI
Топология Скорохода и
сходимость процессов
Эта глава содержит последний краеугольный камень,
необходимый для получения функциональных предельных теорем для
процессов. А именно, мы изучим пространство D(Rd) всех
непрерывных справа с пределами слева функций R+ —► Rd. В этом
пространстве нам необходимо так ввести топологию, чтобы
выполнялись следующие свойства: (1) пространство становится польским
(и таким образом мы сможем применять классические предельные
теоремы для польских пространств); (2) борелевская а-алгебра
совпадает с а-алгеброй, порожденной "координатными"
отображениями (поскольку "распределение" процесса есть в точности
мера на этой а-алгебре).
Для этих целей Скороход ввел топологию, названную им
J\-топологией. Мы напомним ее определение и главные свойства,
следуя, в основном, книге [12] с той лишь разницей, что Скороход
и Биллингсли изучают функции, заданные на конечном
интервале, в то время как для наших целей более естественно
рассматривать функции, определенные на R+. Наше изложение следует
работам Стоуна [230] и Линдвалла [155].
Общепринятым является мнение, что построение топологии
Скорохода и получение для нее критериев плотности достаточно
сложно и утомительно. Мы согласны с этим. Но, по-видимому,

448 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
нельзя построить более простую топологию с указанными
свойствами, несмотря на определенные попытки, предпринимавшиеся
в этом направлении: (локально) равномерная топология слишком
сильна (см. однако вышедшую недавно книгу Полларда [198]);
более слабая топология сходимости по мере (например,
относительно меры Лебега), предложенная Мейером и Зенгом в [185],
обладает тем недостатком, что в ней отсутствуют простые
критерии компактности множеств.
Итак, хотя мы считаем себя обязанными написать данную
главу, нам не хотелось бы утомлять нашего читателя полным
изложением. Мы советуем читать следующие разделы:
— § 1а, содержащий некоторые обозначения, и § lb,
содержащий основные свойства топологии Скорохода (но не § 1с, где
собраны доказательства); раздел 2 используется для ссылок;
— раздел 3, содержащий дополнительные обозначения и
некоторые результаты, касающиеся слабой сходимости
вероятностных мер;
— теорему 4.18 и, возможно §5а, дающие достаточно общий
критерий плотности;
— утверждения 6.1, 6.6 и 6.7.
1. Топология Скорохода
§1а. Введение и обозначения
Первые две части этой главы являются чисто невероятноет-
ными,
1.1. Определение, а) Обозначим через B(Rd)
множество всех непрерывных справа и имеющих пределы слева функций
Ел. —» Ж и будем называть его пространством Скорохода.
b) Для функции а Е D(Rd) будем обозначать через a(t) ее
значение в момент ty через a(J-) — предел слева в момент t (по
определению a(0~) = a(0)) и, наконец, Да(<) = a(t) — a(f-).
c) Обозначим через D°(Rd) a-алгебру, порожденную
отображениями a ~» a(s), s < ty V(Rd) = Vt>0V*(Rd), и Vt(Rd) =

3. Слабая сходимость 481
§3а. Слабая сходимость вероятностных мер
1. Пусть задано польское пространство Е с борелевской сг-
алгеброй £. Обозначим через V(E) пространство всех
вероятностных мер на (Е,£).
Введем на пространстве V(E) слабую топологию; это самая
грубая топология, в которой отображения \i •** fi(f) непрерывны
для всех непрерывных ограниченных функций f на, Е. В этой
топологии V{E) само является польским пространством.
Если fin -+ /z слабо (или в V(E))> то это означает не только,
что fin(f) —► /i(/) для любой непрерывной ограниченной функции
/. А именно:
3.1. Если /гп —► ц в V(E) и F — замкнутое подмножество в Е,
то
limsup/xn(F) </i(F). D
(»)
3.2. Если /in —► /х в V(E) и / — ограниченная, р-ч.к
непрерывная функция на Е, то /хп(/) -* /*(/)• Е
Пусть 22' — другое польское пространство и пусть ft : Е -* Е'~
Обозначим через /х о h"1 образ меры /i € V(E) при отображения
Л; ясно, что /х о /i_1 е V(E'). Тогда
3.3. Отображение ц ~> /ло h~l из Р(2£) в Р(£") непрерывно в
каждой точке /*, для которой функция h /г-п.н. непрерывна- D
Классом, определяющим сходимость, будем называть
множество Н непрерывных ограниченных функция на JB, обладающее
следующим свойством: если //n, /i G ^(-Б) и /in(ft) -+ /i(ft) для
всех ft б W, то /xn -> // в 7>(i5\
3.4. На пространстве i£ существует счетный класс, оарс-дел*
ощий сходимость (например, если Е = Жй, то таковым авл*€-тгн
класс W = {с'и* : и е QJ}.)
Напомним, наконец, что подмножество А пространства Р(Е)
называется плотным, если для любого е > 0 в Е существует
такое компактное подмножество К, что /j,(E\K) < e для всех
МеЛ. Тогда знаменитая Теорема Прохорова утверждает, что
^.Ж.Жакод, А.Н.Ширяев T.1

482 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
3.5. Подмножество А пространства V(E) относительно
компактно (в слабой топологии) тогда и только тогда, когда
оно плотно.
3.6. Замечание. Иногда нам необходимо будет
рассматривать пространство М+(Е) всех положительных конечных мер
на (Е,£). Оно тоже является польским пространством в слабой
топологии, и для него утверждение 3.5 остается верным, если в
определение плотного множества А добавить требование
2. Будем рассматривать теперь случайные величины. Пусть
X — £?-значная случайная величина, заданная не некотором
вероятностном пространстве (f^^P). Тогда мера Р о X'1, образ
меры Р при отображении X, принадлежит V(E); она называется
законом или распределением случайной величины X и
обозначается также С(Х) или С(Х | Р), если есть необходимость
подчеркнуть зависимость от меры Р (что мы уже делали в § 1а).
Рассмотрим последовательность (Хп) £?-значных случайных
величин; они могут быть определены на разных вероятностных
пространствах, скажем, Хп определена на ($1П,.Р\РП).
Естественно, распределение С(Хп) есть С(Хп |РП) = (Рп) о (Хп)"х.
Будем говорить, что последовательность (Хп) сходится по
распределению к X и обозначать
3.7. Хп Л X,
если С(Хп) -» С(Х) слабо в V(E). Это эквивалентно тому, что
EPn(/(Xn)) —► Ер(/(Х)) для любой непрерывной ограниченной
функции / на Е, где символ Ер» означает математическое
ожидание по мере Рп. Очевидным образом можно переформулировать
все предыдущие результаты в терминах случайных величин. К
примеру, аналогами 3.2 и 3.3 являются следующие утверждения:
3.8. Пусть 1пДХи Р(Х G С) = 1, где С — множество
непрерывности функции h : Е —> Е*. Тогда
(i) если Е' = R и функция h ограничена, то EPn(h(Xn)) -+
- Ер(Л(*));

3. Слабая сходимость 483
(П) если пространство Е' польское, то h(Xn) —*• h(X).
(Заметим, что С не обязательно является борелевским
множеством в £, но (возможно, неизмеримое) множество
{ш : Х(и) #• С] должно быть Р-пренебрежимым.) D
Наконец, будем в данной книге говорить, что
последовательность Хп (иди (Хп | Рп) когда в этом возникает необходимость;
см. V.1.2) плотна, если плотной является последовательность
распределений С(Хп) (т.е. если для любого е > 0 существует
компактное подмножество К в пространстве Е такое, что РП(ХП £
& К) < е при всех п). Тогда из утверждения 3.5 вытекает
следующий результат:
3.9. Последовательность {С(Хп)} относительно компактна
в V(E) тогда и только тогда, когда последовательность (Хп)
плотна.
§ЗЬ. Приложение к процессам, непрерывным справа
и имеющим пределы слева
1. В этом параграфе мы будем изучать только R^-значные
процессы, непрерывные справа с пределами слева. Пусть X —
подобный процесс, определенный на некотором вероятностном
пространстве (ft, Т', Р). Его можно рассматривать как случайную
величину, принимающую значения в польском пространстве D(Rd),
наделенном топологией Скорохода. Следовательно,
распределение X есть элемент пространства Т(ЩЖ(1)).
По аналогии с 1.7 и 2.6 определим следующие множества:
3.10.
J(X) = {* > 0 : Р(ДХ, ф 0) > 0},
U(X) = {и > 0 : Р(|ДХ,| = и при некотором t > 0) > 0}.
3.11. TQ(X,u) = 0,...JTp+1(X,u) = mf(t>Tp(X,u): \AXt\>u).
3.12. Лемма. Множества J(X) и U(X) не более чем счет-
ны (обобщение результата IL4.2).
Доказательство. Для каждой R-значной
случайной величины Z множество {/ : P(Z = t) > 0} не более чем

484 Гл. VI. Топология Скороход л и сходимость процессов
счетно. Поэтому требуемый результат вытекает из тождеств
J(X) = U {* : Р(Гр(Х,1/п) = t) > 0},
п,р>1
U(X) = U {и : Р(|АХГ,(ЛГ,1/П)| = «, ТР(Х, 1/п) < оо) > 0}. D
п,р>1
Рассмотрим теперь последовательность (Хп) непрерывных
справа с пределами слева процессов, принимающих значения в
Rd, каждый из которых определен на некотором вероятностном
пространстве (fln,.7rn,Pn). Согласно 3.7 будем писать
если С(Хп) -» С(Х) в пространстве V(B(Rd)). Если D —
подмножество R+, будем также писать
3.13. X" ^ X, если (*»,...,*») Д (Xtl,...,XtJ
Vt,- Gl>,ifeGN*,
обозначая таким образом сходимость конечномерных
распределений на D.
Естественно, почти все утверждения раздела 2 имеют
аналоги в терминах сходимости распределений, которые получаются
использованием 3.8. В качестве иллюстрации сформулируем
четыре наиболее важных результата.
3.14. Предложение. Если Хп Д Х} то Хп ^ X для
D = R+\J(.X) (но, в общем случае, не для D = R+; примените
2.3).
3.15. Предложение. Если Хп —> X, то для всех
и g U(X), k > 1 имеем
(g(Ti(Xn,u),X^XntU),AX^XniU))i<i<k) -»
-> (g(Ti(Xj u), XTl(X,u), &XTt(x,u))i<i<k),
где g — любая непрерывная функция на [0,оо] х Rd X Rd, для
которой д(оо,х,у) = 0. (Примените 2.7.)

3. Сл&бая сходимость 485
3.16. Предложение. Если Хп —► X ид — непрерывная
функция на Kd, обращающаяся в 0 в окрестности нуля, то про-
цесс (XnyJ2s<9(AX?)) сходится по распределению к процессу
№Е|<.?(Д)). (Примените 2.8.)
3.17. Предложение. Если Хп —► X и /3 — непрерыв-
ная R -значная функция на R+, то Хп + /3 —► X + /3 (примените
1.23).
Для разрывной функции /? утверждение может быть неверно.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как доказывать сходимость
Хп —> X. Наиболее общий метод, предложенный Прохоровым,
включает следующие процедуры:
3.18. (i) доказать, что последовательность (Хп) плотна (или
что семейство {С(Хп)} относительно компактно в P(B(Rd))),
(ii) доказать, что С(Х) является единственной предельной
точкой последовательности {С(Хп)}. О
(В действительности, условие 3.18 является необходимым и
достаточным для сходимости Хп -» X.) Для доказательства (ii)
существует несколько различных методов, один из которых
основан на следующем утверждении:
3.19. Лемма. Пусть D — плотное подмножество R+ и
пусть X uY — два непрерывных справа с пределами слева
процесса, удовлетворяющие условию£(Xtl,. ..,Х<л) = C(YtlJ..., Ytn)
для всех U e D,keN*. Тогда С(Х) = £(У).
Доказательство. Поскольку множество D плотно,
то V(Kd) порождается отображениями а **+ a(t) для t G D.
Требуемый результат получается теперь применением теоремы о
монотонных классах. □
Итак, имея в виду 3.18, сходимость Хп —► X можно
устанавливать следующим образом:
3.20. (i) доказать, что последовательность (Хп) плотна;
(ii) доказать, что Хп —у X для некоторого множества
-D, плотного в R+, П

486 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость проце<с<*
что также необходимо и достаточно для сходимости Хп —► Л".
Естественно, (И) не единственный путь нахождения предела: кг
самом деле проверить (И) можно лишь тогда, когда можно гухва
тить" каким-то образом конечномерные распределения, что
бывает далеко не часто! В гл. IX (см^ также VILLI) мы рассмотрим
другой метод, основанный на "мартингальной проблеме".
Обратимся теперь к плотности. Здесь мы выведем несколько
общих критериев; более специальные результаты будут
приведены в разделах 4 и 5.
3.21. Теорема. Последовательность (Хп) плотна
тогда и только тогда, когда
(i) для всех N £ N*, е > О существуют п0 £ N* u К Е R+
такие, что
3.22. п > п0 => Pn(sup \X?\ > К) < е;
t<N
(ii) для всех N£N*f£>0f7]>0 существуют п0 Е N* и в > О
такие, что
3.23. п > п0 =► ?n(w'N(Xn9 в) > г]) < е.
(Отметим следующее обстоятельство: хотя эти условия
выражены в терминах мер Рп, на самом деле они зависят только от
распределений С(Хп)\ напомним также, что величины w'N
определены в 1.8.)
Доказательство. Необходимость. Пусть е > 0. Из
теоремы Прохорова 3.9 вытекает существование такого
компактного подмножества К в пространстве B(Rd), что РП(ХП ^ К) < е
для всех п. Пусть N Е N*, г/ > 0; воспользовавшись
утверждением L14b, получаем, что число К := supt<isr aG£ |or(t)| конечно, и
существует в > 0 с supa6^ м^(а,0) < rj. Таким образом,
3.24 Pn(sup |Xtn| > К) < е, ?n(w'N(Xn, в) > т?) < е
t<N
при всех п, что означает выполнение условий (i) и (ii) с п0 = 1.
Лостаточностъ. Предположим, что имеют место условия (i)
и (ii). Конечное семейство (А"п)1<п<По является плотным, поэтому

3. Слабая сходимость 487
из предыдущих рассуждений следует, что для него выполнены
соотношения 3.24 с некоторыми константами К' < со и в' > 0.
Таким образом, заменяя К на К V К' и в на в Л ^, убеждаемся,
что (i) и (ii) выполнены при п0 = 1.
Зафиксируем е > 0, N £ N*. Пусть числа KNe < х> и 0#et > 0
удовлетворяют соотношениям
sup?n(sup\X?\>KNe)<?-2-N.
(n) f<N ^
supP"^*",^) > 1/fc) < Ь'"-*,
Тогда для множества Л^ = {а£ D(Rd) : sup<<N \a(t)\ < KNt,
w'N{a,QNek) < 1/fc при всех fc 6 N*} при каждом TV справедливы
неравенства
?n(Xn t ANc) < Pn(sup|X("| > KNc)+
+ ^Р"К(Г,0ш) > 1/fc) < £2"".
Значит, для А£ = Г\м>хАх£ выполнено неравенство sup^n)Pn(Xn ^
& А£) < е. С другой стороны, по построению множество А€
удовлетворяет соотношениям 1.16, и. следовательно, оно
относительно компактно в B(Rd). Поскольку это верно при любом е > 0, то
из теоремы Прохорова вытекает плотность,(ХП). □
Приводимое ниже свойство возникает довольно часто и
поэтому заслуживает специального названия.
3.25. Определение. Последовательность процессов
{Хп) называется С-плотной, если она плотна и любая
предельная точка последовательности {С(Хп)} является распределением
непрерывного процесса (иными словами, если
подпоследовательность {С(ХПк)} сходится в V(D(R )) к некоторому пределу Р, то
мера Р сосредоточена на множестве C(Rd)). □

488 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
3.26. Предложение. Следующие утверждения
эквивалентны:
(i) Последовательность (Хп) является С-плотной.
(ii) Выполнено условие 3.21(i) и для всех NEN*,e>0,r)>0
существуют числа п0 G N* и в > О такие, что (напомним, что
величина wN определена в 1.4):
3.27. п > п0 =► ?n(wN(Xny0) >r/)<£.
(Hi) Последовательность (Хп) плотна, и для всех N G N*,
е > 0 выполнено равенство
3.28. lim Pn(sup |AX?\ >е) = 0.
п t<N
Доказательство. 0)=^ (Ш): при выполнении (i)
последовательность (Хп) плотна, поэтому достаточно доказать
3.28 для любой сходящейся подпоследовательности. Итак, можно
считать, что Хп -* X, где X — некоторый непрерывный процесс.
Тогда из 3.8 и 2.4 вытекает, что supt<T |AXtn| -» supt<T|AXt|
при всех Г ^ J(X). Так как X непрерывен, то J(X) = 0 и
supt<T |ДХ<| = 0, и мы получаем 3.28.
(ш) => (ii): эта импликация вытекает из 3.21 и следующего
легко доказываемого неравенства:
3.29. wN(a,в) < 2w^(a, в) + sup | Да(*)|.
t<N
(ii) =Ф> (i): утверждения 1.9 и 3.21 обеспечивают плотность
последовательности (Хп). Остается доказать, что если ее
подпоследовательность (также обозначаемая (Хп)) сходится по
распределению к некоторому процессу X, то последний непрерывен.
Но очевидно, supt<N |Да(<)| < wN(a>9), поэтому из 3.27 следу-
/»
ет, что supt<N |AXtn| —► 0. Кроме того, выше мы установили,
™~ /»
что supt<5 |AXtn| -* supt<, \AXt\ для всех s g J(X). Поэтому
supt<e |AXtn| = 0 п.н. при всех TV G N*, откуда, очевидно,
следует, что процесс X непрерывен п.н. □
2. Выведем теперь критерий плотности; на первый взгляд
он представляется просто техническим результатом, но
является, тем не менее, очень полезным. Исходная ситуация такая же,

3. Слабая сходимость 489
как и раньше: для каждого п задано вероятностное
пространство (ftn,.P*,Pn), все процессы, заданные на этом пространстве,
снабжаются верхним индексом п и являются К^-значными.
Сделаем вначале достаточно простое замечание.
Предположим, что
3.30. VJV > 0, V£ > 0 Urn Pn(sup |Z,n| > е) = 0.
(") t<N
Тогда, очевидно, последовательность (Zn) сходится по
распределению к процессу Z = 0. Имеет место более общий результат:
3.31. Лемма. Если для последовательности (Zn)
выполнено условие 3.30, а последовательность (Уп) плотна
(соответственно, сходится по распределению к У), то
последовательность (Уп + Zn) является плотной (соответственно, сходится
по распределению kY).
Доказательство. Предположим, что утверждение,
касающееся плотности, доказано, и пусть Yn -+ Y. Тогда из
3.14 следует, что Уп ^ У, где D = К+\«7(У), и из условия 3.30
вытекает, что Уп + Zn —► У. Воспользовавшись процедурой
3.20, получаем, что Уп + Zn Д У.
Плотность последовательности (Уп + Zn) легко доказывается
непосредственно; этот факт является также следствием
приводимой ниже леммы при Unq = Уп, Vnq = 0, Wnq = Zn. □
3.32. Лемма. Предположим, что при всехп, q £ N* имеет
место разложение
Хп _ {/"* + уп* + И™,
где
(i) последовательности (Unq)n>i плотны;
(ii) последовательности (Vnq)n>i плотны и существует
последовательность действительных чисел (ая) такая, что
limf а, = 0, limn Pn(sup,<N |ДVfnf | > aq) = 0 V7V € N\
(Hi) Aur любых TV e N*, £ > 0 Hm,HmsupnPfl(supt<Ar \W?q\ >
> е) = 0.

490 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Тогда последовательность (Хп) является плотной.
Доказательство. Очевидно, для
последовательности (Хп) выполнено условие 3.21(i), столь же очевидна
справедливость неравенств
wN(a,0) < 2sup|a(t)|,
t<N
w'N(a + /?, 0) < <K °) + w'n(P> 20).
Тогда из этих неравенств и 3.29 следует, что
w'N(Xn, в) < w'N(Unq + Vnq, в) + wN(Wnqy 20) <
< w'N(Unq, в) + 2w'N(Vnq, 20) + sup \£V?4\ + 2 sup | ДИ?<|.
*<JV t<N
Пусть e > 0, 7/ > 0. Выберем число q так, чтобы выполнялись
следующие условия: limsupn Pn(supKN \W?q\ > г/) < е и aq < г/.
Тогда с помощью 3.21(H) можно найти такие числа п0 £ N* и
9 > 0, что
( ¥n(w'N(Unq, в)>7])< г, ?n(w'N(Vnq, 26) >п)<е,
П > По -=> I pn(gup |и,п,| >ff)< ^ pn(sup |^| > 2г]) < Ел
К t<N t<N
Тогда Рп(ги^(Хп,0) > 7rj) < be при п > щ, откуда следует, что
последовательность (Хп) удовлетворяет условию 3.21(H). D
3.33. Следствие. Пусть (Yn) — С-плотная
последовательность d-мерных процессов и пусть (Zn) — плотная
(соответственно, С-плотная) последовательность d'-мерных
процессов,
a) Если d - d', то последовательность (Yn + Zn) плотна
(соответственно, С-плотна).
b) Последовательность {(Yn,Zn)} d + d'-мерных процессов
является плотной (соответственно, С-плотной).
Доказательство. а) Достаточно воспользоваться
предыдущей леммой при Ung = Zn, Vnq = Yn,aq = l/q, Wnq ~ 0
и применить 3.26.
b) При очевидных обозначениях wN((0, Zn),0) = wN(Zn,0),
w'N((Q,Zn),e) = w'N(Zn,0), поэтому из 3.21 и 3.26 вытекает, что

3. Слабая сходимость 491
последовательность (Zn) плотна (соответственно, С-пцотна), но
тогда тем же свойством обладает м последовательность (d + d')-
мерных процессов {(0, Zn)}. Это же верно для {(ТЛ, 0)}, и
требуемое утверждение получается, если применить (а) к (Yn<Zn) =
-(y\o) + (o,zn). a
3. Возрастающие процессы. Бели ограничиться только
возрастающими процессами, то можно получить простые и красивые
результаты/ Напомним, что понятие "возрастающий процесс"
означает: неотрицательный, неубывающий, непрерывный справа
процесс, равный нулю при t = 0.
3.34. Определение. Пусть X и Y — два
возрастающих процесса, определенных на одном стохастическом базисе.
Будем говорить, что X сильно мажорирует Y и обозначать Y -< X,
если процесс X — Y сам является возрастающим. Отсюда
следует, что dY < dX (абсолютная непрерывность мер**! dY
относительно dX), и на самом деле имеют место более сильные
свойства. О
Как и раньше, будем обозначать Хп и Уп процессы,
определенные на пространстве (£2n,JFn,Pn)r Сравните приводимый
ниже результат с теоремой 2.15d:
3.35. Предложение. Предположим, что для каждого
п € N* процесс Хп возрастает и сильно мажорирует
возрастающий процесс Уп. Если последовательность (Хп) плотна
(соответственно, С-плотна), то и последовательность (Yn)
плотна (С-плотна).
Доказательство. Утверждение немедленно
следует из 3.21 и 3.26, если заметить, что \Ytn\ < \Xn\y w'N(Yn}e) <
< т'„(Хп,в) и w'N(YnJ) < wN(Xn,9). D
3.36. Предложение, а) Пусть (Хп) —
последовательность d-мерных процессов, имеющих конечную вариацию, и
X" = 0. Если последовательность (]Ct<«fVar (ХЛ**)) плотна
(соответственно, каждая последовательность (Var (Хпл)) С-
плотна), то последовательность (Хп) также является
плотной (соответственно, С-плотной).

492 Гл. VI. Топология Скорохода и сходимость процессов
Ь) Пусть (Уп) —последовательность процессов, имеющих
размерность d x d, и таких, что матрица Ytn — У/*
симметрическая и неотрицательно определенная при всех s < t. Если
последовательность (£,-<* Уп'") плотна (соответственно,
каждая последовательность (Уп,,%>1 С-плотна), то
последовательность (Уп) также является плотной (соответственно,
С-плотной).
Доказательство. Утверждение а) доказывается так
же, как и 3.35; при этом с использованием 3.33 сначала
доказывается С-плотность последовательности (£,<<* Var (Xn,%)), если
каждая последовательность (Var (Xn,*))n>i является С-плотной.
Ь) Из свойств Уп вытекает, что Var (Yn>ij) -< 2Ynii + 2УП«".
Поэтому E.fj<dVar (YnM) X (2d- 1)£,-<,,Уя,,\ и требуемый
результат следует из (а). П
Завершим этот раздел теоремой, показывающей, что в
некоторых (очень редких!) ситуациях проблема плотности может быть
легко решена.
3.37. Теорема. Пусть Хп, X — возрастающие процессы
такие, что
a) либо X непрерывен;
b) либо все процессы Хп и X являются точечными (т.е. их
траектории принадлежат множеству V+>1 : см. § 1.3Ь или 2.14).
Тогда если Хп —► X для некоторого подмножества D,
плотного в R+, то Хп -» X.
Доказательство. В силу 3.20 достаточно только
доказать плотность последовательности (Хп). Поскольку Хп воз-
растает и X? -» Xt при всех t € Dy то для (Хп)у очевидно,
выполнено условие 3.21(i). Проверку условия 3.21(H) проведем в два
этапа. Можно, конечно, предполагать, что 0 Е D.
а) Зафиксируем N G N*, е > 0, г/ > 0. Рассмотрим разбиение
0 = t0 < ... < *r_i < N <try для которого U E D и U -U-\ > в для
1 < t < г. Положим А = {х = (#,-)о<»<г Е Rr+1 : #,+i - #,-i < Ц
для 1 < z < г — 1}и определим множество А = {a Е D(R) :

4. Критерии плотности: случай квазинепрерывности слева, 493
(a('f))o<i<r € А}. Легко проверить, что
3.38. а Е V+ П Л => wN(a, 0) < V-
Далее, так как процесс X непрерывен, то нетрудно найти число
в > О и разбиение описанного выше типа такие, что Р(Х £ А) < е.
Тогда {X £ А} = {(Xti)o<,<r £ А}, и аналогичное равенство
имеет место для каждого Хп. Поскольку множество А открыто
в Er+1, то из 3.38 и 3.1 следует, что
limsup ?n(wN(Xn,e) > т?) <limsup Pn(Xn I A) < P(X #A)<e.
(«) (n)
Таким образом, последовательность (Хп) удовлетворяет
условиям 3.26(H) и тем более 3.21(H).
Ь) Доказательство точно такое же с той лишь разницей, что
в качестве А берется множество
А = {(xi)0<i<r e Rr+1 : о?,-+1 - «,•_! < 3/2 для 1 < г < г - 1}.
Тогда в силу особенности структуры множества V+>1, 3.38
заменяется следующей импликацией:
a g V+'1 П Л =► Чг(а,0) < т/, Vr/ > 0.
Наконец, нетрудно найти 0 > 0 и соответствующее разбиение (U)
такие, что F(X £ А) < е. Действительно, пусть Гь..., Тру... —
последовательные моменты скачков процесса Х\ выберем р такое,
чтобы выполнялось неравенство Р(ГР < N + 1) < £/2, затем
выберем в > 0 так, что Р(Г{+1 - Т{ > 40 для г < Р - 1) > 1 - г/2, и,
наконец, выберем числа U из множества D таким образом, чтобы
О < ti■ - ^_i < 20. Окончание доказательства проводится так же,
как и в случае (а) с заменой wN на w'N. П
Эту теорему целесообразно сравнить с 2.14(c).
4. Критерии плотности: случай
квазинепрерывности слева
В этом разделе мы будем предполагать, что нам задана
последовательность (Хп) непрерывных справа с пределами слева

494 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
процессов, принимающих значения в Rd, причем каждый процесс
Xп определен на вероятностном пространстве (ftn,Tn, РЛ). Наша
цель — получить более простые критерии плотности
последовательности (Хп), чем общая теорема 3.21.
Приведем пример такого критерия, взятого из книги Биллинг-
сли [12, с.128].
4.1. Теорема. Предположим, что
(i) последовательность (Х£) плотна (в Kd);
(и) существуют непрерывная возрастающая функция F на
R+ и две константы 7 > 0, а > 1 такие, что
4.2, VA>0, Vs<r<*, VneN*,
Рп(\Х: - Х:\ > А> |Х? - Х?\ > А) < \-'[F(t) - F(s)]°.
Тогда последовательность (Хп) является плотной.
Этот критерий может применяться в достаточно большем
числе случаев: например, он работает, когда Хп — диффузионные
процессы (возможно, со скачками) с параметрами (или
коэффициентами), равномерно по п ограниченными. Однако он имеет
два существенных недостатка, ограничивающих область его
использования:
1) оценка в 4.2 является равномерно по п;
2) оценка 4.2 требует как бы существования
детерминированных границ для приращений процесса Хп.
Ограничение (1) можно ослабить, позволив функции F
зависеть от п (при условии, что будут наложены какие-то условия
сходимости на Fn). Однако ограничение (2) является
существенным для критериев типа 4.1 — во многих случаях (например,
когда Хп являются диффузионными процессами с неограниченными
коэффициентами) нельзя построить детерминированные границы
для приращений процесса.
Именно поэтому сейчас будут приведены более общие
критерии плотности, основанные на идеях Альдуса.

4. Критерии плотности: случая квазинепрерывности слева 495
§4а. Критерий плотности Альдуса
Этот критерий предполагает существование дополнительных
структур на вероятностных пространствах:
4.3. При каждом п задан стохастический базис Вп — ($1П,.Р1,
Fn,Pn) (см. 1.1.1) на котором определен непрерывный справа с
пределами слева процесс Хп. Для N 6 N* обозначим через 7$
множество всех моментов остановки относительно Fn,
ограниченных сверху числом N. □
4.4. Условие. Для всех N Е N*, е > О
lim lim sup sup Pn(|X£ - X£| > e) = 0. □
„■^2:* ^~
4.5. Теорема. Если выполнены условия 3.21(i) и 4.4, mo
последовательность процессов (Хп) является плотной.
4.6. Замечание. Плотность a-priori не связана с
фильтрацией. Поэтому, на первый взгляд, утверждение теоремы
может показаться странным. Однако
1) Чем шире фильтрация Fn, тем более ограничительным
является условие 4.4. Следовательно, целесообразно выбирать Fn как
можно уже, а именно рассматривать фильтрацию, для которой
Т™ Э сг{Х" : s < t} (напомним, что фильтрация непрерывна
справа, поэтому нельзя просто взять Т" = cr{X" : s < i}).
Таким образом, "наиболее слабым" вариантом условия 4.4 является
условие, основанное на самом процессе Хп, и больше ни на чем.
2) Может так случиться, что использование более широкой
фильтрации облегчает вычисления. Это будет
продемонстрировано некоторыми приложениями данной теоремы.
3) Если бы вместо моментов остановки мы рассматривали в
4.4 все "измеримые моменты" (или, что эквивалентно, если бы
Fn была максимально широкой фильтрацией, т.е. Т? = Тп при
всех £), то это условие влекло бы С-плотность. □

496 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
4.7. Замечание. Хотя процессы Хп не
предполагаются квазинепрерывными слева, название этого раздела
оправдывается тем обстоятельством, что если условие 4.4 выполнено, то
процессы Хп "асимптотически квазинепрерывны слева".
Строгое определение этого понятия дано в работе Альдуса [2], но
говоря нестрого, оно означает, что все предельные точки
последовательности {£(ХП)} являются распределениями процессов,
которые квазинепрерывны слева относительно своей естественной
фильтрации.
Для упрощения рассмотрим "стационарный" случай, когда
Вп = В и Хп — X при всех п. Тогда для "последовательности"
(Хп) очевидно выполнено условие 3.21(i), и она удовлетворяет
условию 4.4 тогда и только тогда, когда процесс X кеазине-
прерывен слева. Действительно, предположим, что процесс X не
является квазинепрерывным слева; тогда для некоторого N G N*
существуют предсказуемый момент ГеТ^и числа г/ > 0, е > О,
для которых Р(|ДХг| > 2г/) > Зг. Кроме того, существуют 6 > О
такое, что P(supT_j<5<T \Х9 - Хт-\ > т)) < £, и возрастающая
последовательность моментов остановки (5П), сходящаяся к Г и
5П < Т. Тогда при некотором п Р(5П < Т - 6) < е и
Р(1*(5Л+*)лг - XSn\ >v)> Р(|Д*т| > 2т/,
Sn>T-6y sup \Х8 - Хт_| < tj) > £,
Т-6<8<Т
что противоречит условию 4.4. Обратное утверждение
(квазинепрерывность слева влечет 4.4) доказывается аналогично. D
Доказательство теоремы 4.5. Доказать нужно
лишь то, что при выполнении 4.4 имеет место 3.21(H).
Зафиксируем N G N*,£ > 0,т/ > 0. Тогда из 4.4 вытекает, что для каждого
р > 0 существуют числа 6(р) > 0 и п(р) Е N* такие, что
4.8. п > п(р), 5, Т е 7£, S < Т < S + 6(р) =>
=>¥п(\Х1-Х»\ >!,)</>.
Определим следующие моменты остановки: S% = 0, S£+1 =
= inf(* > 5J : \X? - X%n\ > г/). Применяя 4.8 при р = e,

4. Критерии плотности: случай квазинепрерывности слева 497
S = S£ANy Г = 5^A(5f+6(p))hN и замечая, что |Х£?-Х£п 11 >
г/, если 5£+1 < оо, получаем:
4.9. n>nu k>l=> Pn(S£+1 < N, S£+1 < 5£ + «) < £,
где щ = n(e) и 6 = £(г).
Далее, выберем g G N* так, чтобы gtf > 2N. Рассуждая как и
раньше, выводим, что если 0 = 6(e/q) и п2 = пх V n(e/q), то
4.10. n > n2, fc > 1 =* Pn(5?+1 < TNT, 5£+1 < S£ + 0) < -.
Так как 5£ = J2\<k<q(^k ~~ £*-i)> то ПРИ всех n ^ ni имеем
N?n(S; <N)>EPJj2 W ~ 5?-!)l{s-^}) >
> ]T EP«[(S£ - 5^_1)l{s?<isr,s»-sf_1>^}] >
l<k<q
> Sq?n(S; <N)- 6qe,
при этом последнее неравенство вытекает из 4.9. Так как q6 >
> 27V, то отсюда следует, что
4.11. n>nx^ Pn(5gn < N) < 2е.
Положим теперь An = {S% >N}n [rii<fc<f {5J - S%_x > 0}]. В
силу 4.10 и 4.11 получаем
4.12. п > гс2 =* РП(ЛП) > 1 - Зе.
Зафиксируем и Е Ап и рассмотрим разбиение 0 = tQ < ...
... < tr = N, у которого <,- = S"(o>), если i < г - 1 и г = inf (г :
S?(u) > N). Имеем w{Xn{u)\ [J»_i,t,)) < 2т/ по построению
моментов S" и, кроме того, *г —<ж—i > 0 при z < г —1. Следовательно,
w'N(Xn{u),0) < 27/. Таким образом, из 4.12 получаем
n>n2=> Pn«(Xn,0) > 2т?) < Зе,
и выполнение условия 3.21(H) доказано. □

498 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
§4Ь. Приложения к мартингалам и семимартингалам
1. Будем считать, что исходная ситуация такая же, как и в
4.3, и предположим дополнительно, что процесс Хп — Х$ —
локально квадратично интегрируемый мартингал на Вп (это
означает, что каждая компонента Хп>*' — Х£'3 принадлежит множеству
Н\ос(Вп)) введенному в 1.1.39). Предсказуемая квадратическая ко-
вариация (Xn,J,Xn,J) определена в 1.4.2.
4.13. Теорема. Предположим, что при каждом п
процесс Хп — Xq является локально квадратично интегрируемым
мартингалом на Вп, и введем процесс Gn — Ylj<d(Xn,*iXn*j).
Тогда для того, чтобы последовательность (Хп) была плотной,
достаточно выполнения следующих условий:
(i) последовательность (Xg) плотна (в Rd);
(ii) последовательность (Gn) С-плотна (в D(R)).
Доказательство. Пусть Мп = Хп — Х£. Тогда
процесс (Mn,j)2 Z-доминируется процессом Gn (см. 1.3.29), и из
1.3.30 следует, что при всех а > 0, 6 > 0, JV > 0 выполнено
неравенство
bd2
P"(sup |МЛ > a/d) < — + ?n(GnN > 6).
t<N a1
Таким образом,
4.14. Pn(sup |Xtni > 2a) < Pn(|X0n| > a)+
t<N
+ У" pn(suP \Ml\ > a/d) < Pn(|X0n| > a) + (bd3)/a2 + dPn(GnN > b).
i<d ><"
Поэтому, применяя 3.21i к (Gn), из условий (i) и (ii) получаем,
что (Хп) удовлетворяет условиям 3.21i (сначала надо выбрать 6,
а затем а, чтобы последняя сумма в 4.14 стала как угодно малой).
Аналогично, пусть 5, Т Е 7$ и S < Т. Если обозначить
N? = X" — X?AS и G" = G" - <2?л5> то каждый из процессов
(N?'%)2 i-доминируется процессом (?п, поэтому из 1.3.30 следует,
что для любых е > 0, т\ > 0 выполнены неравенства
4.15. Р"(|Х£ -Xns\ >e)< ^Pn(sup|iV;-'| > §) <

4. Критерии плотности: случая квазинепрерывности слева 499
Из условия (и) и 3.31 вытекает теперь существование таких чисел
пг G N*\0> 0, что
4.16. n>nx=> ?n(wN(Gn,9) > rj) < г/.
Если моменты 5, Т такие же, как и раньше и Г < 5 + й, то
G? — G^ < г) при wN(Gn,e) < г/. Поэтому из 4.15 и 4.16 следует,
что
п > щ => sup Р"(|Х£ - Х£| > г) < г/(^/г2 + <*)-
SfT€7£,S<T<5+*
Поскольку г/ > 0 произвольно, то отсюда вытекает, что
последовательность (Хп) удовлетворяет условиям 4.4. Таким образом,
требуемый результат следует из теоремы 4.5. D
2. Рассмотрим, наконец, случай, когда каждый процесс Хп
является d-мерным семимартингалом; мы существенно будем
использовать характеристики Хп, определение которых дано в
разделе II.2. Зафиксируем функцию усечения из класса Cf,
введенного в П.2.3, и рассмотрим характеристики (Bn = Bn{h),Cn,vn)
процесса Хп, заданного на базисе /?п, связанные с этой функцией.
Введем также модифицированную вторую характеристику
процесса Хп (см. II.2.16 и И.2.18), а именно:
4.17. Cn" = Cn»{h) = Cn" + (tihj) * vn - ]Г АВ?'АВ^.
4.18. Теорема. При введенных выше обозначениях для
плотности последовательности (Хп) достаточно выполнения
следующих условий:
(i) последовательность (Хп) плотна (в Ж*);
(ii) для всех N > О, е > О
4.19. lim limsup Pn[un([OyN] x {x : \х\ > а}) > е] = 0;
аТ<» (П)
(iii) каждая из следующих последовательностей является С-
плотной:
1-(Д"),
2-(С"),
3 - (др * ^")„>i, где др(х) = (р\х\ - 1)+ Л 1 и р 6 N*.

500 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Кроме того, условия (i) и (и) являются необходимыми для
плотности последовательности (Хп).
4.20. Замечание. 1)В силу 3.36b условие (Ш.2)
может быть заменено на такое: каждая последовательность (Сп,%%)
С-плотна.
2) Рассмотрим следующий возрастающий предсказуемый
процесс:
4.21. Fn = £[Var (д».«) + <?».«] + (|х|2 Л 1) * ип.
Тогда из С-плотности последовательности (.Р1) вытекают
условия 4.18(ш). Чтобы установить это, надо заметить, что
Cn,ii •< aFn при некотором а > 0 и gp * i/n -< p2FnJ а затем
применить 3.35 и 3.36.
Докажем вначале две леммы.
4.22. Лемма, а) Для всех N > 0, а > 0 следующие условия
эквивалентны:
(i)]im(n)?n(sups<N\AX?\>a) = 0,
(ii) lim(n)Pn(i/n([0,7V] x {x : \х\ > а}) > е) = 0 при всех е > 0.
Ь) Для всех N > 0 следующие условия эквивалентны:
(i) limaToo lim sup(n) Pn(supf <N |ДХвп| > а) = 0,
(ii) limatoolimsup(n)Pn(t/n([0,7V] x {x : \x\ > a}) > s) = 0 при
всех е > 0.
Доказательство. Это утверждение есть простое
следствие свойства доминирования Ленгляра. Положим
At = ]С 1{|Д^1г>«}»
0<*<t
A? = vn([0,t]x{x: \x\>a}).
Тогда Ап является компенсатором Ап на Вп и поэтому Ап
Z-доминируется процессом Лп, и Лп i-доминируется процессом
Лп. Поэтому из 1.3.30а следует неравенство
PnUnN>l)<e + Pn(AnN>e),

4. Критерии плотности: случай квазинепрерывности слева 501
а так как {А^ > 1} С {sup,^ |ДЛ?| > а}, то отсюда легко
выводим импликации (ii) =Ф- (i) как в (а), так и в (Ь).
Если воспользоваться I.3.30b при т/ = ре, то при всех р > 0,
е > 0 получим неравенство
?n(AnN >e)<p+ -En(sup ДА?) + Fn(AnN > ер).
£ s<N
Но ААП < 1 и {sup^AA? > 0} = {А% > ер Л 1} =
= {sup5<N |Д^,П| > а} и, следовательно,
Pn(i* > e) </>+(- + l)Pn(sup |Д*;| > а).
Поскольку числа е > 0 и р > 0 произвольны, то отсюда следуют
импликации (i) =Ф- (ii) как в (а), так и в (b). D
4.23. Лемма. Условие 4.18(ш) не зависит от выбора
функции h из класса Cf.
Доказательство. Предположим, что условие
4.18(Ш) выполнено при некоторой функции h € С/, и пусть h! —
другая функция из Cf. Существуют две константы а > 0, Ь > 0
такие, что \h\ < a, \h'\ < а, h(x) = h'(x) = х при \х\ < Ь.
Выберем р G N* так, чтобы 2/р < Ь. Тогда \h - h'\ < 2pagp и
(\h\2 - |А'|2) < 2pa2gpj и из 3.35, 3.36 и С-шютности
последовательности (gp*vn) следует, что последовательности {(h — h')*i/n}
и {(\h\2 — \h'\2) * vn} также С-плотны.
Из П.2.25 вытекает, что Bn(h') = Bn(h)+(h'-h)*vn, и поэтому
в силу 3.33 последовательность {Bn(h')} С-плотна. Аналогично,
из И.2.26 следует, что
Cn*»{h!) = Cn>»{h) + [(hj)2 - (h'j)2] * vn + #n'ji,
где
и, значит, последовательность {С"''-7 (/*')} будет С-плотной при
условии, что С-плотной является последовательность {#njJ}. Но
\&Bn(h)\ < а и |AJ?n(/i')| < а, и из П.2.25 вновь получаем:
Var (Я">") -< £ IA W) - Д*Г(>01 [|Д W)l + I^COH -<
8<

502 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
-< 2ad\h - ti\ * vn X 4a2dp(gp * vn),
и требуемый результат следует теперь из 3.36 и 4.20.1. П
Доказательство теоремы 4.18. а) Докажем
сначала достаточность. Пусть функция h Е Cf фиксирована; для
каждого q Е N* положим hq(x) = qh(x/q)<, тогда hq E Cf. Мы
будем применять лемму 3.32 к разложениям Xn = Unq + Vnq +
+Wnq с
Unq = X0n + Mn(/i,), Vn« = Bn{hq), Wnq = Xn(M>
где мы пользуемся обозначениями из IL2.4 и И.2.5.
Во-первых, из 4.23 следует, что последовательность (Vnq)n>\
Сплотна и, значит, она удовлетворяет условию 3.32(H)
(например, при aq = 1/?). Во-вторых, из 4.23 также следует, что
последовательность (X)j<dC'n,J(ug))n>i является С-плотной, поскольку
Cn,j(hq) = (Mn,j(hq),Mn,*(hq))y и поэтому из теоремы 4.13
вытекает, что последовательность (Unq)n>i плотна. В-третьих,
существует такая константа a > 0, что h(x) = х при |х| < а, а значит,
hq{x) = х при |х| < а#, и по определению процесса Xn(hq)
получаем:
Pn(sup \W?*\ > 0) < Pn(sup |AX?\ > aq).
t<N t<N
Тогда из условия 4.18Н (с помощью леммы 4.22Ь) легко
следует, что семейство (Wnq) удовлетворяет условию 3.32Н. Наконец,
применяя лемму 3.32, убеждаемся, что последовательность (Хп)
плотна.
Ь) Обратно, предположим, что последовательность (Хп)
является плотной. Тогда в силу условия 3.21 имеем:
lim lim sup Pn(sup |Xtn| > a) = 0
al°° (n) t<N
при всех N > 0. Таким образом, выполняется (i), а поскольку
2suPa<t l-^TI? TO выполнено и условие (ii) (примените
лемму 4.22Ъ). " D

5. Критерии плотностл: общий случаи 503
5. Критерии плотности: общий случай
§5а. Критерии для семимартингалов
Обозначения и предположения будут такими же, как и в § 4с.
Мы докажем результат, аналогичный теореме 4.18, но при более
слабых условиях. Введем вначале ряд условий, накладываемых
на последовательность (Gn) возрастающих процессов, причем
каждый процесс Gn предполагается заданным на базисе Вп.
5.1. Условие (С1). Последовательность (Gn) сходится по
распределению к детерминированному процессу. □
Это эквивалентно следующему:
5.2. Условие (С"1). Существуют возрастающая,
непрерывная справа функция д на R+ и плотное в R+ подмножество D
такие, что
5.3. t 6 D => j ^ {AG:)2 д ^ Аф)2
( 0<s<t 0<*<t
Эквивалентность этих двух условий немедленно следует из
теоремы 2.15: импликация (С1) =Ф- (С'1) получается при D =
R+\J(<7). Обратно, пусть выполнено (С"1); естественно, можно
считать, что D счетно. Тогда поскольку в случае
детерминированного предела сходимость по распределению и по
вероятности совпадают, то любая подпоследовательность содержит в свою
очередь подпоследовательность, для которой соотношения 5.3
выполнены тождественно за исключением множества меры нуль. Из
2.15 вытекает тогда, что эта подпоследовательность сходится к
д почти наверное в D(R), откуда непосредственно следует
сходимость Gn —► д. □
5.4. Условие (С2). Последовательность (Gn) сходится
по распределению к процессу G, все траектории которого сильно
мажорируются (см. 3.34) одной и той же (детерминированной)
возрастающей, непрерывной справа функцией F. П

504 Гл. VI. Топология Скорохода, я сходимость процессов
5.5. Условие (СЗ). (i) Пусть (Qn,^n,Pn) = (ft,^,P)
при всех п (фильтрации Fn могут быть различными); положим
Tt = П„/?.
(ii) существует процесс G на £1 такой, что последовательность
(Сп) стремится к С rid вероятности в топологии Скорохода;
(Hi) существует F-предсказуемый процесс F, сильно
мажорирующий G. О
Вторичное использование теоремы 2.15 показывает, что (СЗ)
эквивалентно следующему условию:
5.6. Условие (СЗ). Пусть выполнены требования (i) и (in)
условия (СЗ), причем G — возрастающий процесс со следующим
свойством: существует плотное в R+ подмножество D такое, что
teD=>
Gnt Д Gu
£ (АС«)2 Д £ (ДС,)2
)2^
0<8<t 0<S<t
р
(символ -» означает сходимость по вероятности). П
Для формулировки последних необходимых нам условий,
требуется ввести некоторые новые обозначения. Напомним, что
фильтрация D(Rd) определена в 1.1. Для Р Е V(D(Rd)) будем
обозначать через D(Rd)p пополнение фильтрации D(Rd) относительно Р
в смысле 1.1.4. Обозначим также через f канонический процесс на
D(Rd), определяемый равенством &(а) = a(f), t > 0, a G B(Rd).
5.7. Условие (С4). Последовательность {£(СП)}
сходится в ^(I^R)) к некоторому пределу и канонический процесс f
предсказуем относительно фильтрации D(R)P. D
Приведенное выше условие легко формулировать, но трудно
проверять. Поэтому мы введем еще одно условие, которое
очевидным образом обобщает (С4) и встречается гораздо чаще.
5.8. Условие (С5). На каждом базисе Вп определен
дополнительный d-мерный процесс Уп, и мы рассматриваем (d+1)-
мерный процесс (Yn,Gn). Тогда последовательность {£(Yn,Cn)}
сходится в P(D(Rd+1)) к некоторому пределу Р; кроме того, d+1-я

5. Критерии плотности: общий случай 505
компонента £d+1 канонического процесса £ предсказуема
относительно фильтрации D(Rd+1)p. □
Очевидно, имеют место следующие импликации
5.9. (С1) =► (С2), (О) => (С4) => (С5).
Теперь мы можем сформулировать обобщение теоремы 4.18.
Предположения те же самые: при каждом n Е N* процесс Хп
является d-мерным семимартингалом на #п с
характеристиками (2?n, Cn, vn) и модифицированной второй характеристикой СЛ,
представленной в (4.17) (функция усечения h Е С/ фиксирована).
Положим также для р Е N* <7Р(#) = (р|х| - 1)+ Л 1.
5.10. Теорема. Для того, чтобы последовательность
(Хп) была плотна, достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия (в рамках введенных выше обозначений):
(i) последовательность (Х£) плотна (в Rd);
(ii) для всех N > 0, е > 0
lim limsup Pn(i/n([0, JV] x {x : \x\ > a}) > e) = 0;
aT°° (n)
(Hi) последовательность (Вп) плотна;
(iv) Лиг всех n E N*, p E N* существует предсказуемый
возрастающий процесс Gn,p на Вп, сильно мажорирующий
процесс YljKdC"'** + 9р * vn> со следующим свойством: для
каждого р £ N* и для любой подпоследовательности
последовательности (Gn,p)n>\ существует ее подпоследовательность
удовлетворяющая либо (С1), либо (С2), либо (СЗ), либо (С4), либо
(С5).
Мы докажем эту теорему в следующем параграфе. Мы
увидим также, что сформулированные условия не зависят от выбора
функции h в классе Cf.
5.11. Замечание. Теорема 4.18 есть частный случай
данной теоремы — достаточно положить Gn>p = Cn+gp*vn и
заметить, что из С-плотности последовательности (Gn,p)n>i следует,

506 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
что из любой ее подпоследовательности можно извлечь еще
одну подпоследовательность, удовлетворяющую условию (С4)
(поскольку непрерывность и согласованность влекут
предсказуемость). G
5.12. Замечание. Решающее улучшение результата по
сравнению с 4.18 состоит в том, что теперь нет никаких неявных
предположений относительно "асимптотической
квазинепрерывности слева".
Если взять, например, стационарную последовательность
Хп = X, то она удовлетворяет всем условиям теоремы
(достаточно в (iv) взять Gn,p = J2j<dCjj + 9р * v с условием (СЗ)). □
5.13. Замечание. Определим процесс Fn формулой 4.21
и предположим, что для каждого п на Вп существует
возрастающий предсказуемый процесс Сп, сильно мажорирующий Fn,
такой, что из любой подпоследовательности последовательности
(Gn) можно, в свою очередь, извлечь подпоследовательность,
удовлетворяющую одному из условий (Ci). Тогда выполнены
условия (Ш) и (iv); для (Ш) это следует из 3.36, а для того чтобы
установить (iv), достаточно положить Gn,p = pGn. О
5.14. Замечание. Можно обойтись без условий
предсказуемости, накладываемых на процессы Gn>p (за счет
некоторого усложнения и без того запутанного доказательства). Однако
предсказуемость F в (СЗ) или fd+1 в (С5) существенна. □
Приведем один пример. Обозначим через N стандартный пуас-
соновский процесс на базисе В (см. 1.§ З.Ь) и пусть A(a)t = N(t_a)+.
Тогда А(а) является предсказуемым процессом на V+ при каждом
а > 0, и А(0) = N. Положим Хп = N + Л(1/п), Вп = В и
выберем функцию h G С1 так, чтобы h(l) = 0. Простые вычисления
показывают, что Вп = 0, Сп = 0, gp * i/tn = t + A(l/n);
естественно взять теперь С?'р = t + А(1/п). Последовательность (Gn,p)n>i
будет удовлетворять условию (СЗ) с Gt = t + Nt за тем лишь
исключением, что предел G не мажорируется сильно возрастающим
предсказуемым процессом. И последовательность (Хп) не
является плотной, так как каждый процесс Хп имеет скачки только

о Критерии плотности: общий случай 507
величины 1, в то время как все предельные процессы имели бы
такое же распределение, как и процесс 2iV, т.е. скачки только
величины 2.
Этот пример демонстрирует следующие важные
обстоятельства:
1) поточечный предел в топологии Скорохода
последовательности предсказуемых процессов может оказаться
непредсказуемым (факт, который может показаться удивительным);
2) из условия (СЗ) не следуют (С4) или (С5): достаточно взять
Хп = А(1 + 1/п), тогда (СЗ) выполнено, а (С5) нет;
3) плотность каждой последовательности (Вп) и (Сп +
+9р * ^n)n>i плюс условия (i) и (ii) недостаточны для плотности
последовательности (Хп) (в то же время С-шютность достаточна
в силу 4.18).
§5Ь. Вспомогательный результат
Точно так же, как и в разделе 4, нам необходим
вспомогательный результат, аналогичный 4.13. Предположим, что каждый
процесс Хп является локально квадратично интегрируемым се-
мимартингалом (см. И.2.27), т.е. что
5.15. хп = х0п + мп + А", м "■•■ е н2Хос{вп),
Ап>* evnv(#n), м0п = Ai = о,
и свяжем с ним следующий предсказуемый процесс на V+(Bn):
5.16. Gn = £[Var (Лп'0 + (М "»', Мп»*)].
i<d
5.17. Теорема. При сделанных выше предположениях для
того, чтобы последовательность (Хп) была плотной,
достаточно выполнения следующих условий:
(i) последовательность (Х$) плотна (в Rd);
(ii) при каждом п существует возрастающий предсказуемый
процесс Gn на Вп, сильно мажорирующий Gnf такой, что
последовательность (Gn) удовлетворяет либо условию (С1), либо
условию (С2), либо условию (СЗ), либо условию (С4), либо усло-
ьаю (С5).

508 Гл. VI. Топология Скорохода и сходимость процессов
Мы отложим доказательство до следующего раздела, а
сейчас выведем теорему 5.10 из предыдущих результатов. Докажем
вначале следующую лемму:
5.18. Лемма. Если условия 5.10(iii), (iv) выполнены для
некоторой функции h 6 Cf, то они выполнены также для любой
другой функции из Cf.
Доказательство. а) Предположим, что условия
5.10(iii), (iv) выполнены для h 6 Cf, и пусть Вп = Bn(h), Cn =
= C"(h).
Пусть теперь h1 e С* и В'п = Bn(h'), C'n = Cn(h'). Тогда
существуют две константы а > 1, Ь > 0 такие, что \h\ < a,
\Щ < а, h(x) = ft'(x) = х при |я| < 6. Выберем р £ N* так,
чтобы 2/р < Ь. Тогда те же самые аргументы, что были
использованы при доказательстве 4.23, показывают (процесс Нп тот же
самый), что
Y^c,n>» = j^cnjj + (\hf - |л|2) * un + J2nn,jj *
j<d j<d j<d
X Y, CnJJ + 2?«2(1 + 2d)(5p * vn).
Таким образом, поскольку а > 1 и gp < gq (соответственно, > gq)
при р < q (соответственно, > g), то
2pa2(l + 2d)Gn'q, если q > p,
2pa2(l + 2d)Gn'9y если q < p,
и отсюда выводим, что для функции h1 выполнено условие (iv)..
b) Осталось установить, что последовательность (В'п)
плотна. Пусть Ап = В'п - Вп и Hnq = gq *t/n. Так как #n>« -^ Gn>*, то
из 3.35 следует, что каждая последовательность (Hn'q)n>i
является плотной. В самом деле, это вытекает из плотности
последовательности (Gn,q)j что, в свою очередь, вытекает из следующего
факта, связанного с (iv): из любой подпоследовательности
последовательности (Gn,q)n>\ можно извлечь подпоследовательность,
удовлетворяющую одному из условий (Ci) и, значит, сходящуюся
по распределению.

5. Критерии плотности: общий случай 509
Далее, в силу П.2.25 An = {W — h) * vn и, таким образом,
£t<<*Var (An'*) -< 2ра#п,р; поэтому из 3.36 вытекает, что
последовательность (Ап) плотна. Поскольку последовательность (Вп)
также плотна, то отсюда немедленно следует, что (Вп)
удовлетворяет условию 3.21(i). Таким образом, осталось доказать, что
для последовательности (Вп) выполняется условие 3.21(H).
Пусть N G N% е > 0, г/ > 0. Зафиксируем число q Е N* так,
чтобы 2/q < 6Лг/. Имеем \h\ < а и Л(х) = х при |#| < 2/д, поэтому
|Л| < 2/g + agq < rj + agq. Из II.2.11 и П.2.14 следует, что
|ДЯ."|< I jun{{s}xdx)h{x)
<r} + aA(gq*vn).
Поскольку Ап = (Л' - h) * vn и |ft' — /i| < 2a<7p, то имеем также
|ДАП| < 2aA(gp * vn). Вспоминая, что Hnq = gq*vn, получаем:
5.19. |ДВП | < г/ + аД(Яп''), |ДАП| < 2аД(#п'<).
Так как последовательности (Ап), (Яп), (Hn'q)n>i
являются плотными, то из 3.21 вытекает существование таких чисел
п0 G N* и в > 0, что
5.20.
( n > п0 => РП(А'П) > 1 - е, где
1 JT = {^(Лп,^) < г,, ii/N(F\*) < г,, u/N(A»,0) < ф].
Рассмотрим теперь точку и из Кп. В силу 1.12 существует
разбиение 0 = t0 < . - - < tr = TV, для которого 0 < U — и_1 < 29
при 1 < г < г - 1, tr - *,._! < 2в и w(Hn>q\ [ti-uU)) < ц/а. Таким
образом, A(Hn>q) < i)lа на каждом из интервалов (2.-1,2.), и из
5.19 получаем:
5.21. *€(*.■-!,*,•), cue А^^|ДЯ5п|<2г/, |ДА?| < 2ту.
Для этой же точки и Е А'п имеем w'N(Bny0) < ту, поэтому
существует разбиение 0 = s0 < ... < sri - Ny для которого ^ -af-_i > #
при 1 < i < г' - 1 и w(Bn; [si-USi)) < rj. Далее, на каждом из
интервалов [2,_i,2,) может быть самое большее две точки sJ? и,
значит, в силу 5.21 получаем:
w(Bn; [ti-Uti))<ri + 2Ti+ri + 2ri + ri = 7ri.

510 Гл. VI. Тополокия Скорохода, и сходимость процессов
Точно так же убеждаемся в справедливости неравенства
w(An; [<i-i,*i)) < 7г/. Наконец, если мы вспомним, что В'п =
= Вп + Лп, то получим, что w(B'n; [U-uU)) < 14ry. Таким
образом, мы доказали, что
KnC{w'N(B'nJ)<Uri}.
Тогда из 5.20 получаем, что
п > п0 => Pn(u4(B'n,0) > Utj) < е.
Так как числа е > 0 и г/ > 0 произвольны, то последовательность
(Вп) удовлетворяет условию 3.21(H), что и завершает
доказательство. П
Доказательство теоремы 5.10. Пусть
фиксирована функция h E Cf, для каждого Ь > 0 положим hb(x) =
= bh(x/b)y при этом /&&(х) G С*. Применим лемму 3.32 к
разложению Xn = Unq + Vnq + Wnq, где
Unq = X0n + МЯ(Л,) + Бп(^) - Bn(hl/q),
Vnq = Bn(h1/q), Wnq = Xn(hq).
Мы пользуемся здесь обозначениями 1.2.4 и П.2.5, причем q Е N*
(заметим, что это разложение не совпадает в точности с тем, что
было применено при доказательстве 4.18).
Семейство (Wnq) удовлетворяет условию 3.32(Ш) — это
следует из 5.10(H) точно так же, как и в 4.18. В силу 5.18 каждая
последовательность (Vnq)n>i является плотной и (ДУ1*) < aq := a/qy
где a — верхняя граница для |Л|. Поэтому семейство (Vnq)
удовлетворяет условию 3.32(H). Наконец, Unq является процессом типа
5.15, и возрастающий процесс Gnq, связанный с ним формулой
5.16, задается равенством
G»f = J^C»^(fcf)+|fcf-fc1/f|*i^
(воспользуйтесь И.2.25 и И.2.16). Так как разность hq - hi/q
ограничена и равна 0 в окрестности нуля, то из 5.1 следует, что
процесс Gnq сильно мажорируется возрастающим предсказуемым

I
5. Критерии плотности: общий случай 511
процессом Gnqy причем семейство (Gnq) удовлетворяет условию
5.10(iv). Таким образом, применяя теорему 5.17, получаем, что из
любой подпоследовательности последовательности (f7n*)n>i
можно извлечь плотную подпоследовательность. Это, в свою очередь,
означает, что последовательность (Unq)n>i плотна, что и
завершает доказательство. D
§5с. Доказательство теоремы 5.17
1. На протяжении этого раздела мы будем считать, что
выполнены предположения теоремы 5.17. При справедливости
любого из условий {Сг) последовательность (Gn) сходится по
распределению к возрастающему процессу G°°:
5.22. Gn ^ G°°
(при выполнении (С2) или (СЗ) G°° = G). Вспоминая 3.10,
положим
5.23. U = U(G°°)y
Т£(и) = 0, I?+i(tO = inf(t > Т;{ч) : AG? > «), п G N, и > 0,
5.24. Gnt{u) = Gnt - Y* AGt?M1 W(«)<«b n e ^ и > 0,
»>i
X?(u) = Xtn - S ДХтГ(и)1{т»(и)<*}, n e N, и > 0
(причем Gn(oo) = Gn, Xn(oo) = Xn, T;n(oo) = oo для z > 1).
5.25. Лемма. Положим /(г/) = ^ + j- для rj > 0. Тогда
дл# всех £ > 0, г] > 0, w G [0, oo), n G N* и для всех конечных
моментов остановки Sn <Tn на Вп справедливо неравенство
5.26. Ря( sup \X:(u)-X2m(u)\>ri)<
Sn<s<Tn
< 4d[ef(v) + Pn(G?„(u) - Gnsn(u) > e)}.

512
Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Доказательство. а) Рассмотрим вначале
локально квадратично интегрируемый семимартингал X на некотором
базисе В:
Х = Х0 + М + А: М'еН1с(В)у A'eVDViB),
Мо = Ао = 0
и связанный с ним возрастающий процесс (см. 5.16)
5.27. G = £[Var (А*) + <М\ М%
i<d
Зафиксируем е > 0, г) > О и рассмотрим два конечных момента
остановки S < Т на В. Так как для любой скалярной случайной
величины Z справедливо неравенство P(|Z| > a) < b/a + P(|Z| >
> b) (a, b > 0), получаем
p( sup и:-4|>^)<
< — + P(Var (A*)T - Var (A% > е).
Положим далее
N't = Mi - M'tAS, Щ = <M\ M% - (M\ М%А3.
Тогда #' = (N\N{) и процесс (JV*)2 i-доминируется процессом
H\ поэтому из 1.3.30 следует, что
Р( sup \М1 - М|| >£■) = P(sup(iV;)2 > £-) <
Ad2f
< — + ЩМ\М%)Т - (М\ М% > е).
Наконец, если \XS - Xs\ > rj, то |Aj - Ais\ > r)/2d или \М\ - М*3\ >
> 7]/2d по крайней мере для одного значения z < d. Суммируя все
предыдущие результаты, убеждаемся в том, что
5.28. Р( sup |*# - Xs\ >rj)< Hef(v) + P(GT - Gs > e)].
S<s<T

' ' • Г """"":,' ■"■',; l".""""J ' "*" 'J llllIl "' Lh ' 1Ц' hi» м ц^^^вшттшщшятштттщ
5. Кржтержж плотности: общий случай 513
Ь) Вернемся теперь к исходной ситуации. Пусть и € (0, оо] и
Нп(и) = 1 - X)<>i 1ртч«)1(Яп(оо) = !)• ToI*a * "(«О —
предсказуемый нроцесс на В (носкольку процесс Gn9 а, значит, и моменты
Т"(и) предсказуемы), и по построению имеем
СГ(и) = Ип(и) • G", Xn(t*) = Лп(и). JT.
Очевидно, что Jfn(u) также является локально квадратично
интегрируемым семимартингалом, и процесс Gn(u)y связанный с
Хп(и) посредством 5.27, есть (^(и) = Ип(и) -G", где G" задается
равенством 5.16. Поэтому соотношение 5.26 вытекает из 5.28 и
из того факта, что Gn(u) X Gn(u). О
2* Выведем теперь два простых следствия из свойства 5.22.
5.29. Лемма. При всех N > О, и > 0 выполняется
равенство .
Hm limsup P"( {U {!?(«) < N, Т?(и) - 3T-i(«) < '}) = 0.
Доказательство. Из определений w'N и 1^п(^)
вытекает, что
{и {2Г(«) < N, Т?(и) - I7Li(«) < 0) С {«J,+l(6-f #) > «}
для 0 < 1, и требуемый результат следует из 3.21. D
Напомним, что символ Tfi означает множество всех моментов
остановки относительно Fn, ограниченных числом N.
5.30. Лемма. При всех N > 0,и £ U, u> Q имеем
lim limsup sup Рп{<?£+,(и) - GUu) > и + t?} = 0.
$l° (n) seT$
Доказательство. Воспроизведем часть (а)
доказательства теоремы 3.37: так как AG00 < м, то нетрудно
построить разбиение 0 = <0 < ••• < *r-i <N + l<trcti$ J(G°°),
для которого P(G°°(tt) £ A) < е для наперед заданного е. Здесь
использованы следующие обозначения:
А = {а 6 D(R) : (а(*0)о<*<г € А},
17. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев ТЛ

514 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
А = {х = (£,)o<»<r G Rr+ : s*+i ~ Xi-i < w + г/ для 1 < г < г - 1}.
Тогда условие 5.22 и тот факт, что u $ U(G°°)y позволяют
применить 2.7 и получить сходимость Gn(u) -» G°°(u). Так как
множество А открыто в Rr+1 и выполняется условие 3.38 (с заменой
г/ на и + т/), то
limsup ?n(wN+x(Gn(u),e) > и + г?) >
(»)
>lim sup Pn(Gn(w) £ Л) < P(G°° £ А) < е,
где 0 = infi<f-<r(*t - U-i)- Поскольку Gg+^u) - G^u) < u + tj для
любых 0 < 1 и S < TV, wjV+1(Crn(tt),e) <w+r/, а£>0 произвольно,
то получаем требуемый результат. П
3, Вспомогательное условие. Рассмотрим следующее условие:
5.31. У с л-о в и е. Для всех N > О, и £ U> i > 1, е > О
существует целое число J E N* такое, что если 6 > О, то существуют
п0 Е N* и a G (0, £), и для каждого п > п0 — конечное семейство
(R^)i<j<j элементов множества 7^, для которых
?п[Т?(и) < N, Тр(и) $ и1й</(Я; + а, Щ + 6)) <е. П
Это условие означает, что с большой вероятностью для всех
п > щ существует конечное множество моментов остановки Щ
таких, что один из них "равномерно" (по п) близок к Т?(и)
слева, но в то же время "равномерно не слишком близок к Т?(и)".
Заметим, что если Хп = X не зависит от п, то 5.31 выполняется
тривиальным образом (с J = 1), поскольку Т?(и) предсказуем.
Докажем теперь импликации (Ci) => 5.31 при всех z = 1,2,3,
4,5.
5.32. Лемма. Из условия (С2) следует условие 5.31.
Доказательство. Возьмем числа 7V, и, г, £, 6
такими же, как в 5.31. Напомним, что G°° = G -< F, где F —
детерминированная функция. Если мы обозначим через t\,h,...
последовательные моменты, когда AjF > w, то величина Т?°(и)
будет принимать только значения <ь £2> • • •

5. Критерии плотности: общий случай 515
Если tx > TV, то T?°(u) > TV. Но u £ U и поэтому, как было
установлено в 5.15, Т"(м) -» 27°(и) и, следовательно, Pn(T"(w) <
< TV) —> 0 при п | оо, и условие 5.31 тривиально выполнено.
Предположим теперь, что tx < TV, и пусть число J E N*
таково, что tj < N < tj+i (тем самым, «7 зависит только от TV и и).
Вновь воспользовавшись сходимостью Т"(и) —► Г?°(и), получаем,
что существует число n0 G N*, для которого
п > п0 =► Рп(т»(ч) < N, JT(u) *^ (t, - |, I, + *-)) < е
(здесь опять используется тот факт, что Т?°(и) принимает лишь
значения /х,...,//, если Т?°(и) < TV). Тогда условие 5.31
выполняется при a - 6/3 к Щ = tj - 26/3. '" П
5.33. Л е м.м а. Из условия (СЗ) следует условие 5.31.
Доказательство. Возьмем числа TV, w, г, г, 6
такими же, как в 5,31. Напомним, что все процессы определены
на одном и том же вероятностном пространстве (ft, J",P) и что
G°° = G < Fy где F — возрастающий процесс, предсказуемый
относительно фильтрации F = flnFn.
Положим So = О, 5j+i = inf(t > Sj : AF< > и). Эти моменты
предсказуемы. Поэтому каждый момент Sj допускает
предвещающую последовательность, и таким образом, нетрудно найти
момент остановки Rj относительно F такой, что Rj < TV, Rj < Sj
п.н. и P(-Rj < Sj - 6/2, Sj < TV) < £/8J, где J — минимальное
целое число, для которого J > 1 и P(Sj+i < TV) < г/4 (тем самым,
J зависит только от TV, u, е). Поскольку Rj < Sj п,н., можно
также найти такое число в £ (0,^/2), что Р(Д; > 5j - в) < г/8 J
для всех j < J. Следовательно,
5.34. Р( .иу fa $ (Rj+e.Rj + 6/2)} U {5J+1 < JV}) <
< Р(5/+1 < N) + £[Р(Д; <Sj- 6/2,Sj < N)+
+Р(Д, > S, - в)} < i.
17*

516 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Далее, и £ U и поэтому из 2.7 вытекает, что Т?(и) -» Т?°(и).
Кроме того, поскольку G -< F, то [I?°(tt)J С UjmUS,]. Поэтому
существует такое n0 € N*, что
п > по =* P(Tin(w) < JV, |7?(г0 - 5,| Х0/2 при всех j < 1) < г/2.
Из 5.34 тогда вытекает, что при п>щ
Р[l7(tt) < JV, Iftti) ^и7 (Л, + 0/2, Л,- + 0/2 + 6/2)] < е.
Полагая теперь a = 0/2 и -й" = J2,- для всех п > п0, получаем
5.31. D
5.35. Лемма. Из условия (С5) следует условие 5.31.
Доказательство. Возьмем числа N, и, г, е, #
такими же, как в 5.31. Напомним, что £ является каноническим
процессом на D(Ed+1), и положим ((a) = <*(arf+1,ti), где ad+1
— (d + 1)-я компонента процесса а (см. 2.6). Напомним, что
в силу 2.7 отображение a «** C(a) непрерывно на D(Rd+1), если
и $ U(ad^).
Для простоты будем писать D = D(Rd+1) и соответственно
обозначать а-алгебры Z>, Z>t, Vf (последняя есть пополнение по
мере Р в смысле 1.1.4, где Р — предельная мера, участвующая
в условии (С5)). Доказательство будет состоять из нескольких
этапов.
а) Определим положительную меру /х на (D x R+,2> х 7£+)
равенством
КФ) = J P(^)l{<(a)<oo}<^(a,C(o'))-
Обозначим через С^ множество всех положительных
ограниченных функций на D х R+, непрерывных в топологии
произведения и согласованных с (Vt)t>o, когда они рассматриваются как
процессы на В. Докажем, что
5.36. fi(B) = {
8ч?{ц(ф = 0) : ф G С*, {Ф = 0} С В},
М{р(ф > 0): ^ е Си, 5 С {^ > 0}}

5. Критерии плотности: общий случай 517
для любого множества В из предсказуемой а-алгебры V на DxR+,
связанной с фильтрацией Dp. Переход к дополнениям показывает,
что достаточно лишь второе равенство в 5.36.
Так как семейство ({ф > 0} : ф € Cad) замкнуто относительно
конечных пересечений и счетных объединений, то достаточно
доказать 5.36 для полуалгебры, порождающей V. Итак, применим
1.2.2(H): заметив, что А х (s,<] = П(П)Л X (s - l/n,J], получаем,
что V порождается полуалгеброй множеств вида А х {0} (А 6 V%)
или А х (s,t] (r < s < t, A € V?). Поскольку по построению
/x(D(R) х {0}) = 0 (так как ( > 0 тождественно), то достаточно
доказать 5.36 для В = А х (s, *], А е V, и г < s < t.
Воспользуемся утверждением 1.14(c): V* содержится в
пополнении <т-алгебры, порожденной множествами вида {/ > 0}, где
функция / принадлежит классу С, всех V,-измеримых
ограниченных положительных функций, непрерывных в топологии
Скорохода. Так как семейство ({/ > 0} : / 6 С9) замкнуто
относительно конечных пересечений и счетных объединений, то
применяя теорему о монотонных классах, убеждаемся, что
Р(А) = inf(P(/ > 0): / в С„ {/ > 0} Э А).
Пусть (/„) — убывающая последовательность в С8 такая, что
А С {/ > 0} и ?(А) = Ит(п) | Р(/п > 0). Пусть также (hn)
— убывающая последовательность положительных непрерывных
функций на R+ такая, что {hn > 0} = (s,t + 1/п); положим
<f>n(a,v) = fn(a)hn(v). Очевидно, фп 6 Cad, Вс{^>0}и
fi(B) = Urn 1 ц{фп > 0},
К")
что и завершает доказательство 5.36.
Ь) Из условия (С5) вытекает, что процесс f — Ор-предсказуем
и возрастает Р-п.н., следовательно, JCJ € V, где, как обычно,
|[С1 =: {(а>0 : * < оо, J = С(°0}- Воспользовавшись равенством
5.36 с5 = [£], получим функцию ф из Cad, Для которой
5.37. {*> = <>} С [СИ,
5.38. Р(а : ((a) < оо, ф(<*,((а)) > 0) < |.

518 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Так как ф Е Cad, то функция ф(а^) = inf ,<< <£(а, s) также
принадлежит Cad, и, следовательно, 5.38 выполнено и для ф. В силу
5.37 имеем ф(ау s) > 0 для s < С(а)> в то время, как ф(а, ((а)—) =
= 0, если ф(а, С(«)) = 0. Поскольку функция ф(а, •) убывает, то,
как следствие 5.38, существуют числа а > 0 и a Е (0,£) такие,
что
5.39. Р({С < N} П {а : ф(а,((<*) - S) < а или
^(а,С(а)-а)>а})<|.
с) Положим />(а) = inf(< : ф(а^) < а) Л N. Определим
следующие функции на Sln: Rn = p((Yn,Gn)) и Tn = (((Yn,Gn))
(напомним, что (УП,СП) может рассматриваться как
отображение fin —► В). По определению ( имеем Tn = T"(u). Так как
ф е С^ и ф убывает, то {Rn <t} = {u: ф((Уп(и),Сп(и))^) < а}
(соответственно, = Пп) для t < N (соответственно, для t > N);
следовательно, {Rn < t} G J7? и, значит, Rn eTfi.
Поскольку u £ [7, то £(•) Р-п.н. непрерывна, а значит, и
ф(-->((•) — 6) и ^(-,С(') ~ а) также непрерывны Р-п.н. Тогда из
сходимости £(Yn,Gn) -чРи соотношения 5.39 вытекает, что
5.40. limsup Pn[{Tn < N} П {^((УП,СП),ГП - Я) < а или
п
0((У",Сп),Тп-а)>а}]<|.
Из определения Rn и непрерывности и убывания функции ф(ау •)
получаем:
{Tn <N, Rn# (Tn ~6,Tn- а)} С {Тп < N}n
Г|{^((УП,СП),ГП - S) < а или ф{{Уп,вп),Тп -а)> а}.
Это включение вместе с 5.40 обеспечивает выполнение условия
5.31 с J = 1 и J?? = Rn (напомним еще раз, что Tn = T?(u)). □
4, В силу 5.9 три предыдущие леммы показывают, что в
предположениях теоремы 5.17 справедливо 5.31. Перед тем, как
продолжить доказательство 5.17, выведем одно простое следствие из
5.31.

5. Критерии плотности: общий случая 519
5.41. Лемма. Из условия 5.31 вытекает, что для всех
N > О, 7] > О, и $ Uf Sn ETfi выполнено соотношение:
lim lim sup Pn ( U {T?(u) - a < Sn < T?(u) + <r,
Sn ф T?(u), \AXU > t?}) = 0.
Доказательство. Зафиксируем N > 0, г/ > 0,
и $ U, Sn 6 7JJ, и пусть е > 0. В соответствии с 5.29 найдутся
такие числа g, n0 E N*, что
п > п0 =* Рп ( .U {27(*0 < N + 1, Т^и) - ^(ti) < ^^}) < е
и, следовательно,
5.42. п > п0 => Pn(T;(w) < N + 1) < £.
Далее, рассмотрим условие 5.31: свяжем с числами N + 1,
w, г, г/g целое число «/,'(= «7(iV + 1, и, г, £/<?)), определяемое в
5.31, и положим «7 = J2i<i<qJi- Прежде, чем применить 5.31,
выберем и1 £ U меньше, чем и Л [s/8Jdf(7j/2)]. Из 5.29 вытекает
существование чисел в > 0 и щ > п0, для которых
5.43. п>пг=> Рп(Ап) < г, где
Ап = U {ТГМ < ЛГ + 1, 27К) - ITLiK) < 0}.
| Из 5.30 следует теперь, что существуют такие числа в* > 0 и
П2 > Щ, ЧТО
5.44. n > n2, Vn G 7£+1 =>
•p*(fl*-4*M-°w-o>s^)*4b-
Теперь мы можем применить 5.31 сразу для всех i < g с { =
= в Л 0'/2 Л 1. Тогда существуют числа n3 > n2, a G (0,£) и
семейства (R^jkj элементов множества Tfi такие, что
5.45. п > п3| г < ? => Рп(57) < -, где
9

520 Гл. VI. Топология Скорохода и сходимость процессов
В: = {lT(u) < N + 1, 17(11) ty (Щ + <т, Щ + *)}.
Воспользуемся леммой 5.25: применяя неравенство
доминирования 5.26 и соотношение 5.44 к V" = Щ, получаем
5.46. п > n3, i < J =» Рп(ф < у, где
q = { sup |Х>') - X2,(«')l > i|/2}.
R?<s<R*+e' '
Поэтому, если положить
Dn = {t;(u) < л +1}и ап и (.и я?) и ( Uj с;),
то из 5.42, 5.43, 5.5 и 5.46 получается следующее утверждение:
п > п3 => Рп(2?п) < &.
Рассмотрим теперь случай u £ Dn. Предположим, что Т?(и)-
-о < Sn < Тр(и) + о для некоторого г, Sn ф Т?(и) и |ДХ£Л| > г/.
Так как Т£(и) > N +1 и о < 1, то г < q. Поскольку и* < и, то при
некотором к имеем Т?(и) = Т£(и'). Но а < 0 и и 0 ЛЛ, поэтому из
неравенства |5П — T/*(w)| < а следует, что 5П отличается от всех
Тр(и') и, значит ДХ£» = ДХ£Л(г*'). Но тогда и & С" и, кроме
того, |ДХ§Л(и')| > г/ и поэтому Sn не принадлежит ни одному
из интервалов (Щ,Щ + в'}. Однако и £ £{*, поэтому Тр(и) е
6 (Щ + а, Д" + £) при некотором j < J и, таким образом, 5П €
€ (Л", Щ + S + а). Так как # + a < 0', то отсюда получаем, что
Sn € (Щу Щ + 0'], что приводит к противоречию. Поэтому
Нп :=£ {Тр(и) -<j<Sn< Т?(и) + <т, Sn ф Т?(и),
\AXnSn\>rt}cDn,
следовательно, Pn(#n) < 5s, если и > п3. Поскольку £ > 0
произвольно, то получаем требуемый результат. □
4. Доказательство теоремы 5.17. Докажем, что
последовательность (Хп) удовлетворяет условиям теоремы 3.21.
Выведем вначале из 5.25 (си — оо), что при N > 0
Р"(8ир|ХЛ>2а)<Рп(|Х0п|>а)+

5. Критерии плотности: общий случ&й 521
+Pn(sup |Х; - Х0"| > а) < РП(|Х0П| > а) + 4<fe/(a)+
+4rfPn(G£ > e).
Последовательность (Gn) является плотной, поэтому для г\ > О
найдется £ > 0 такое, что Ad?n{G% > е) < т\ при всех n G N*.
Поскольку linietoo f(a) = О, то используя условие 5.17(i), можно t
выбрать такое число а > 0, что 4def(a) < rj и РП(|Х£| > а) < г/
для всех n E N*. Таким образом, '
sup Pn(sup |X,n| > 2а) < 3»7, \
(n) *<ЛГ
и отсюда следует выполнение условия 3.21(i). ]
Остается доказать 3.21(H), что будет сделано в несколько эта- J
пов.
а) Пусть фиксированы N 6 N*, е > 0, г\ > 0. Если u0 g U, то
используя леммы 5.25, 5.30 и тот факт, что Gn(u) -< Gn(u0) для
u < uo, получаем, что I
5.47. lim lim sup sup ?n(\X^(uyX^(u)\ >v)< i
'1° (n) ti€(o,tiO);S,T€T,;fs<T<s+0 1
< 4d inf [pf(tf) + Urn lim sup sup Vn(Gns+B(u0) - Gns(u0) > p)\ < \
/»«o ПО (n) stT£
< 4du0f(ri)- I
Выберем u0 & U так, что u0 < el4df(rj)\ тогда существуют такие ;;
6 > 0, n0 € N*, что (
5.48. !
n>n0=* sup ?n(\X%(u)-X%(u)\ >r})<e.
ti€(0,tiO]; S,T€TjSt S<T<S+B \
Далее, выберем { G N* таким образом, чтобы q6 > 27V, и j
u £ U таким образом, чтобы и < u0 и u < s/4dqf(rj). Положим |
S$ = 0, 5J+1 = inf(* > S? : \X?(u)-X$»(u)\ > г/). Так как u < w0,
то из 5.48 получаем, что *
5.49. n > n0, к > 1 =}> Pn(S£+1 < ЛГ, 5£+1 < 5? + 6) < е.
Аналогично, используя 5.47 и неравенство u < s/4dqf(r})J можно
найти числа пх > п0 и в > 0 такие, что :
5.50. п>пи * > 1 =* Pn(5£+1 < tf,S£+l < S£ + в) < -.
9 (

522 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
Заметим, что 5.49 и 5.50 в точности совпадают с 4.9 и 4.10,
поэтому справедливо соотношение 4.12, имеющее следующий вид:
{пУп^ РП(ЛП) > 1 - 3£, где
ап = {s; >N}n( xn<q {snk - sz_x >e}).
Применим теперь 5.29, чтобы выбрать n2 > П\ и a' > 0 так,
что
n>n2=> Рп(£") < £, где
В" =.U {T?(u) < N, T?(u) - ТР.^п) < а'}.
Воспользуемся, наконец, леммой 5.41 для того, чтобы получить
п3 > п2 и а е (0,0/2 Л <т') такие, что
(n>n3=>Pn(Cn)<£, где
°П -t>i, У<*<, №"(U) " ° < 5* < ^"(U) * *'
SJ ф f?(J),~S? < N, \AXS»\ > г)}.
Объединяя три последних неравенства, получаем:
5.51. п > п3 => ?n(Dn) > 1 - 5е9 где Dn = Ап П (Яп)с П (Сп)с.
Ь) При фиксированном u> € Dn построим разбиение
0 = tQ < ... < tr = TV, для которого U — ^_х > а при г < г — 1 и
5.52. w(Xn(u)] [U-uU)) < 8т/ для г < г.
Отсюда будет следовать, что Dn С {гу^(А'п,а) < 8т/}, и тогда
в силу 5.51 и произвольности е > 0 будут выполнены условия
3.21(H), что и завершит доказательство.
Разбиение состоит из всех точек T?(u) < JV, всех точек
5£ < TV, не принадлежащих ни одному из интервалов (Т?(и) - <т,
Тр(и) + <т), и точки TV, причем все они пронумерованы в
порядке возрастания и тем самым образуют последовательность
0 = t0 < ... < tr = TV. Каждый полученный таким образом
интервал [tp-iytp) принадлежит к одному из следующих классов:
(i) [££, S%+x Л TV) при некотором k < g;

5. Критерии плотности: общий случай 523
(ii) [S^Tp(u) Л TV), и в этом случая S£ + a < T?(u) < Sj?+2
(напомним, что в > 2<7 и и е Ап) и T?(u) - a < 5jf+1;
(iii) [27*(u),S£ Л JV), и в этом случае S£_2 < I? («О < 5? - а и
Sj*+1<I?(tO + (7;
(iv) [T?(u),T?+l(u) Л TV), и в этом случае самое большее две
точки S% и 5£+х находятся внутри интервала, причем каждая
лежит на расстоянии меньше чем а как от Т?(и), так и от Т[^х(и).
Каждый интервал [tp-i>tp) расположен внутри интервала
[Т?_х(и)уТ"(и)) при некотором i, поэтому w{Xn\ [tp-\^tp)) =
= w(Xn(u); [tp-ijtp)). Отсюда и из определения 5^+1 следует,
что в случае (i)
5.53. w(Xn; [tp-utp))<27j.
В ситуации (ii) либо Sj?+1 > T"(u), и тогда выполнено неравенство
5.53, либо Tp(u) -o< 5J+1 < T?(u) и S£+2 > ТУ(и); в последнем
случае \АХ$п | < г/, поскольку о; £ Сп, и, следовательно,
5.54. to(A-"; [<,_ь*,)) < ЦЛ""; [5t",5tn+1)) + rj+
+w(Xn;W+1,Snk+2))<5V.
Нетрудно видеть, что в случае (iii) также выполняется
неравенство w(Xn; [tp-iytp)) < Ъг]. Рассмотрим, наконец, случай (iv).
Тогда либо в интервале нет точки S% и, следовательно,
выполнено неравенство 5.53, либо в интервале только одна такая точка,
и с помощью тех же самых аргументов, что были использованы
выше, получаем 5.54, либо есть две точки T?(u) < S% < T?(u) + a
и Tt\x(u) -a< SJ?+1 < N; тогда |ДХ£»| < rj и \AX%n \ < г/, и с
помощью тех же аргументов получаем, что
w(Xn; [tp-Utp))<w(Xn; [T?(u),Snk)) + T,+
+w(Xn; [5Г,5?+1)) + *+«К*"; W+1,T»+1(u))) <8V.
Итак, во всех случаях выполняется соотношение 5.52, чем и
завершается доказательство. Р

I
524 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
6. Сходимость и квадратическая вариация
В этом разделе мы установим, что если последовательность
семимартингалов (Хп) сходится по распределению к семимартин-
галу Ху то и квадратические вариации [ХП,ХП] при достаточно
слабых предположениях также сходятся к pf,X].
Более точно, при каждом целом п мы имеем d-мерный
семимартингал Хп на стохастическом базисе В" = (fin,/"n,Fn,Pn);
через [Хп, Хп] будем обозначать Rd X К*-значный процесс,
компонентами которого являются квадратические (ко-)вариации
[Xn*)Xn,i] (см. 1.§4е). Будем также рассматривать d-мерный
семимартингал X на базисе jB=(J2,^,F,P)h соответствующий
процесс [Х,Х].
Для функции усечения h € Cf будем обозначать через (Bn(h),
Cn, vп) и (B(h), С, v) характеристики соответствующих
семимартингалов (см. гл. П.2). Наша цель — доказать следующий
результат:
6.1. Теорема. Рассмотрим условия:
(i) Хп Д X.
(ii.h) limnoosupnPn[Var (Bn>j(h)t > b] = -О при всех t > О,
3<d.
Тогда: а) При выполнении (i) условия (ii.h) для всех функций
усечения h 6 Cf эквивалентны.
Ь) Если выполнены условия (i) и (ii.h), то (Хп,[Хп.Хп]) -»
Д (Х,[Х,Х]) в D(Rd х (Rd x Rd)) (и, в частности, [Хп.Хп] Д
Эта теорема основана на следующей конструкции квадратиче-
ской вариации, предложенной в 1.4.47а: пусть г = {0 =
= t0 < ... < tm = t} — (детерминированное) разбиение
отрезка [0,<]. Для каждого d-мерного процесса У положим I
.6.2. 5т(уу*= Т,(К-Ч-г)(К-К->)-
l<q<m I
I
1

6. Сходимость и квадрлтическ&я вариация 525
{
Тогда из 1.4.47 следует
б.З.
Если У — семимартингал, то ST(Y) —► [У, У] по вероятности,
когда диаметр разбиения \т\ = sup (tq - tq-i) стремится к 0.
l<q<m
В силу этого результата утверждение теоремы не кажется
неожиданным: если точки tq не принадлежат J(X), то из условия
(i) следует, что Sr(Xn) —► 5Т(Х). Однако, как показывает
приводимый ниже пример, одного условия (i) недостаточно для
сходимости [хп,хп] Д [х,х].
6.4. Пример. В этом примере все "процессы" являются
детерминированными. Положим
l<*<[f»2t]
Имеем |ХП| < 1/п, поэтому Хп —► X, где X = 0. Имеем также
что сходится к t, в то время, как, конечно же, [Х,Х] = 0. В
данном случае нарушено условие 6.1(H), поскольку Var (Bn(h))t =
= [ri2t]/n для всех достаточно больших п. □
6.5. Замечание. Предположение теоремы о том, что X
является семимартингалом, на самом деле, излишне. В [113]
показано, что при выполнении условий (i) и (ii.h) X — всегда семи-
мартингал (по отношению к порождаемой им фильтрации). Это
неудивительно, так как существование квадратической вариации
(в смысле 6.3) априори никак не связано со свойствами
фильтрации. Существует еще один вариант этой теоремы (см. [100]),
разрешающий допредельным процессам Хп не быть семимартин-
галами при условии, что их квадратические вариации [ХП,ХП]
существуют (в том смысле, что для них имеет место (6.3)). Тогда
предельный процесс X также имеет квадратическую вариацию и
(Х»,[Х»,Х»))±(Х,[Х,Х]).

526 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
6.6. Следствие. Предположим, что все процессы Хп
является локальными мартингалами, для которых с
некоторой константой с тождественно выполнены неравенства
|ДХ"(и;)| < с. Тогда из сходимости Хп -» X вытекает
сходимость (Хп,[Хп,Хп]) Л (Х,[Х,Х]).
Доказательство. Достаточно взять функцию
усечения Л, удовлетворяющую условию h(x) = х при |х| < с; тогда
Bn(h) = 0. D
Приведем более глубокий результат.
6.7. Следствие. Предположим, что все процессы Хп
является локальными мартингалами, для которых
6.8. supEp«(sup|AX5n|) < оо при всех t > 0.
8<t
С
Тогда из сходимости Хп -* X вытекает сходимость (Хп,
[Х»,Х»))Л(Х,[Х,Х]).
Доказательство. Пусть функция h E Cf
непрерывна и удовлетворяет неравенству \h(x)\ < \x\. Воспользуемся
обозначением Xn(h) из П.2.4 и положим
А? = £ |Л(ДЛГ) - АХ:\ = £ |Д*"(Л).|.
3<t 8<t
Так как |Л(х)-х|<2|х|,то если обозначить через Kt левую часть
соотношения 6.8, получим
EPn(supA^)<2/^.
8<t
Далее, в силу И.2.30 имеем Bn(h) = [h(x) - x] *fn, следовательно,
Var (Bn>j(h)) < Ап := \h(x) - x\ * i/n,
и по определению Ап и Лп получаем En(Ay) = En(Aj.) для любого
момента остановки Г. Поэтому из неравенства Ленгляра 1.3.32
следует, что
6.9.
Pn(Var (Bn>j(h))t >b)< ?n(A? >b)< i(r/ + 2Kt) + РП(Л? > rj)

6. Сходимость и квадратическ&я вариация 527
при любом т/ > 0.
Выведем теперь из предположения Хп -* X и 3.16, что
ХП(Л) Л Х(Л) и Ап Л Л, где Л, = £.<• |Д*(*).|- Итак, пусть
заданы числа £ > 0 и t > 0, Из теоремы 3.21 вытекает
существование такого числа rj > 0, что РП(Л" > 77) < £, и, кроме того,
найдется такое Ь > 0, что l/b(rj + 2Kt) < е. Подставляя эти числа
в 6.9, убеждаемся в том, что выполнено условие (ii.h) теоремы
6.1. □
Приступим к доказательству теоремы 6.1. Оно будет
получено с помощью цепочки лемм! Для упрощения обозначений
введем следующее условие, которое будет применяться к
последовательности процессов (Zn), каждый из которых определен на
базисе Вп:
6.10. Условие.
lim sup Pn(sup \Z?\ > 6) = 0
при всех t > 0. □
Оно означает, что при каждом t последовательность
(supe<t \Z?\ |Pn) является Ж-плотной. Значит, условию 6.1(ii.h)
можно придать следующий вид: последовательность процессов
{Var (Bn(h))} удовлетворяет условию 6.10, где Var (Bn(h)) =
= £;.<dVar(B».'(fc)).
6.11. Лемма. Если Хп -* X, то условие 6.1(ii.h) не
зависит от функции усечения h.
Доказательство. Пусть выполнено условие (ii.h) и
пусть h! — другая функция усечения. В силу И.2.25 Bn(h') =
= Bn(h) + (hf - h) * vn, поэтому Var (Bn(h')) < Var (Bn(h)) +
+ (/&' — h\ * vn. Следовательно, достаточно установить, что
последовательность {\hf - h\ * i/n} удовлетворяет условию 6.10.
Существует непрерывная функция h с компактным носителем
в Rd, равная 0 в окрестности 0, и большая, чем \h' —'Л|. Пусть
Ytn = J2s<th(&X") и Yt = £,<,/&( ДХ5). Из предположения лем-
мы и утверждения 3.16 вытекает, что Yn —► У; следовательно,

528 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
теорема 3.21 гарантирует, что последовательность (Уп)
удовлетворяет условию 6.10. Далее, h*vn Z-доминируется процессом Yn
и |ДУП| < К, где К — верхняя граница для функции h. Поэтому
из L3.30b следует, что
Pn(\h' - h\ * v» >b)< i(r/ + К) + Pn(Ytn > ri)
о
при всех 6 > 0, т/ > 0, откуда легко получаем требуемый
результат. □
Зафиксируем теперь непрерывную функцию усечения Л,
удовлетворяющую соотношениям h{x) = х при \х\ < 1/2, h(x) — 0
при \х\ > 1 и |Л| < 1. Для каждого a > 0 обозначим ha(x) =
= аЛ(ж/а), что также является непрерывной функцией усечения.
Будем использовать обозначения Xn(ha)y Mn(ha) и Xn(ha) из
П.2.4 и П.2.5. Воспользуемся, кроме того, обозначениями 2.6:
t°(a,u) = 0, tp+1(a,u) = inf(* > tp(a,u): |Да(*)| > u)
для и > 0. Обозначим через S(t) множество всех разбиений
отрезка [0,t]. Если г = {0 = t0 < ... < tm = t] 6 S(t)n a e D(Rd),
то (как и в 6.2) положим
Sr(*yk= £ (a>«,)-a4<,_i))("*(M -«'(Vi))-
l<f<m
Для г € S(t)y u > 0, а € D(Rd) обозначим через r(a,w) разбиение
отрезка [0,*], точками которого являются:
{
точки разбиения г,
6.12. <
точки Jp(a,u), лежащие внутри отрезка [0,<].
Будем также писать 5r(tl)(a) = 5t(a>tl)(a).
6.13. Лемм а. Пусть t > 0, е > 0, г/ > 0. 5
предположениях теоремы 6.1 существуют числа р > 0, S > 0 такие, что
для всех и €]0,/>] и всех разбиений т £ S(r)f удовлетворяющих
условию \т\ < 6 выполнено неравенство:
6.14. supPn(|5T(u)(Xn) - [Xn,Xn]t\ >s)<r).

б. Сходимость и квлдр&тическал вариация 529
Доказательство. а) Бели sup,<, |ДД?| < а/2, то
Хп = Xn(ha) на [0,/]. Используя последнее утверждение теоремы
4.18 и эквивалентность в 4.22Ь, убеждаемся в том, что существует j
число a > 0 такое, что ;
6.15. !
inf РП(ЛП) > 1 - 2 Где Ап = {Х; = Х,П(Л«) при всех s < t}. \
п 4 i
В дальнейшем число а будет считаться фиксированным.
Положим
f? = Var (В"(Л.)). + sup \M?(ha)\. j
Из 6.11 следует, что последовательность {Var (Bn(ha))} удовле- j
творяет условию 6.10. Функция ha непрерывна, поэтому в силу
определения Xn(ha) и предложения 3.16 условие 6.1(i), очевид- J
но, влечет сходимость Xn(ha) —► X(ha). Из теоремы 3.21 те- j
перь вытекает, что условию 6.10 удовлетворяет также последова- |
тельность {Xn(ha)}, а значит, и последовательность (i*1"). Таким !
образом, существует число Ь > 0, для которого j
6.16. supPn(/;n>6)< J. |
n О )
Положим (
fi17 _# a _ g A £V5 !
/> 3,гдее/ 4d2(6 + 3a)A[128d(b + 2(6 + 3a)2)]1/2, j
Вновь применяя 3.21, получаем, что существуют 6 > 0 и целое ;
N >t такие, что (
6.18. sup Pn«(Xn, 6)>p)<%.
п 8
Ь) Пусть т е S(t), \т\ < 6 и и е]0,р]. Покажем, что выпол- [
няется неравенство 6.14. Обозначим через 0 = Щ < ... < R"n [
(случайные) точки, составляющие разбиение r(Xn,w); при этом;
величина qn также является случайной, и мы будем считать, что i
Щ = t при j > qn. Таким образом, Я£ являются моментами!
остановки на Вп. Воспользовавшись определением 1.4.45 квадра-
тической вариации между моментами Щ и Д£+1 и просуммировав
по р, получим
6.19. ST(u)(Xn)jk = [Xn,Xn]{k + Hnj • X?>k + Hnk • X?J9

530 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
где Нп — предсказуемый, непрерывный слева d-мерный процесс,
определяемый равенством
6.20. Я" = Y1(X?- " ^2;)1{я;<в<я;+1}-
р>0
Положим также
Tn = inf(s : |Явп| > 9 или F? > 6),
Gnjk = (Я"'П10>ТЛ,), Я">*(/>а) + (Я"'*11о,т«1) ■ Bn>i(ha),
Lnjk = (яп'П10>Тп,). М"'*(Ла) + (Яя'*1[0|т.1) • M»J(ha).
Тогда из 6.19 следует, что
6.21. ST(u)(Xn) - [Xn,Xn]t = Gnt+Lnt на An n {Tn > t}.
Из 6.20, определения величин Щ и определения модуля w'N
легко получаем, что |Я"| < 2w'N(Xn, \т\) + и, если s < t. Так как
u < Pi \т\ < 6 к 0 = р + 2/>, то из 6.16 и 6.18 немедленно следует,
что
6.22. supPn(Tn<*)< -.
п 4
с) Рассмотрим квадратично интегрируемый мартингал У с
Уо = 0. Согласно неравенству Дуба 1.1.43 для каждого момента
остановки Т имеем
E(suPy,2) < 4Е(УТ2) = 4Е([У,У]Г) < 4E(supY,2).
8<Т 8<Т
Таким образом, возрастающий процесс sup3<. Y2 i-доминируется
возрастающим процессом 4[У,У], который, в свою очередь, L-
доминируется процессом 4sup5<y52. Локализуя, убеждаемся, что
это свойство остается верным, если У является лишь локально
квадратично интегрируемым мартингалом. Из определения Тп
выводим, что процессы (£?)2 = Y^j,k<d(L"'jk)2 Х-доминируется
процессами 4d02 J^j<d[Mn,j (ha)^ Mn^ (ha)]Tn, которые, в свою
очередь, доминируются процессами 4d02{F^Tn)2. Поскольку AFn <
< За, то скачки процессов 4d02(F"ATn)2 меньше, чем 8d02(b + За)2

6. Сходимость и квлдрлтическая вариация 531
(воспользуйтесь вновь определением величин Тп). Из 1.3.32
получаем, используя 6.16 и 6.17:
6.23. Pn (sup(Z?)2 > j) < ^[Sde2(b + За)2 + 4d92b]+
+?n(4d02(F?)2 > Ы92Ь) < J.
Далее, из определения величин Тп и Fn, а также из того факта,
что F£n < Ь + За, легко получаем, что \Gn\ < 2d29(b + За).
Воспользовавшись 6.17, получаем, что sup,<t|G"| < е/2. Применяя
6.15, 6.21, 6.22 и 6.23, получаем
?n(\ST(u)(Xn) - [Xn,Xn]t >e)< РП(Г> < *)+.
+?п((АпУ) + Р» (sup \G4\ > |) + Р" (sup \Ц\2 > t\ <
Доказательство теоремы 6.1. Утверждение
(а) уже доказано. Воспользуемся обозначениями Ап = [Хп,Хп] и
А = pf,X]. Для каждых и > О и а £ D(Rd) положим
*?■"(*) = £ A^(,)Aa*(5)l{|Aa(s)|>o} =
0<e<t
p>l.t*(a,u)<t
( Ап'« = Ап - Л«(Х») = Л" - £ ДЛ:1ПДХГ|>„],
6'24- | Ап = А- hu(X) = A-J2 Ai.lDAx.|>«]
v »<
(напомним, что AAjk = ДХ* ДА"*, и аналогично для An,jk).
Напомним также обозначения 3.10. Из соотношения Хп —► X
и предложения 3.15 следует, что для всех tj £ J(X), Uj g U(X) и

532 Гл. VI. Топология Скорохода, и сходимость процессов
любого разбиения г, отрезка [0,<j], чьи точки принадлежат D =
= R+\J(A'), имеет место сходимость
с
№"^ri(U,.)(X"),^(^n))i<,
■^ №»^(в>)(^),Л?ДА"))^т.
Так как множества J(X) и ^(Х) (не более чем) счетны, то из
леммы 6.13 легко получить, что при всех tj € D, u £ U(X)
(x»,Atj,h4.(x»))i<m Л №ял^?.ро),-<го.
В частности, (Хп, Ап) —► (Х,А), и остается доказать, что
последовательность (ХПУАП) плотна.
Если матрица х £ Rd x Rd — симметрическая и
неотрицательно определенная, то \х\ < J2j<dx" и> следовательно, |ЛП| <
]£j<<*^n,JJ'. Каждый процесс Ап>33 является неубывающим, A?,3J —►
А" при t 6 D, а последовательность (Хп) плотна. Поэтому
нетрудно понять, что последовательность (ХП>АП) удовлетворяет
условию 3.21(i).
Из 6.24 и 6.25 следует, что
6.26. и $ V(X\ tjeD^ (i^)y<m Д (А^<т.
Пусть N £ N*, е > О, tj > 0. Пусть также t £ D,t> N,u# U(X)
к и2 < £/10. Из 6.24 получаем, что ААи>» = (ДЛГ'")21{|дх|<«},
следовательно, £,-<^Д-А||Л' < и2 < г/10, и, значит, существует
такое 9 > 0, что
6.27. р(ир£(ДЛ;# - ДЛГ'") > 0 < |.
Далее, выберем разбиение г = {0 = t0 < ... < tm = t} так, чтобы
<j 6 D и 0/2 < \т\ < 0. В силу 6.26 и 6.27 существует число
п0 € N*, для которого
6.28. и > п0 =► ?П(ВП) > 1 - ^, где
в» = { sup в^гЛ-^:.Л)<!}-

б. Сходимость и квадр&тическая вариация 533
Имеем также:
sup |ir - i?;u| < J^U" - А?™), '
поэтому
6.29. ^(i"'",^) < |наЯп.
Наконец, поскольку последовательность (Хп) плотна, то су- !
ществуют числа 6 > 0, пг > п0 такие, что
6.30. п>щ±> ?п(Сп) > 1 - J, где Cn = {<(*V) < w Л |}. |
Рассмотрим теперь процессы Уп, Уп,и и Уп,и, принимающие j
значения в Rd x (Rd ® Rd), компонентами которых являются, coot- j
ветственно, (Хп,Ап), (0,in«u) и (ХпуАп - in'u). Имеем: (
wN(Yn'u,9/2) = wN(An>u,0/2). В силу 6.24 процесс An-in'u явля- j
ется постоянным на тех интервалах, где |AXn| < и, поэтому из !
определения w'N следует, что ь)^(Уп'иу6) = и>дг(Хп,£) на множе- \
стве Сп. Наконец, поскольку Уп = Уп>и + Уп>" и ю^(а + /?,/>)< j
< w$v(a, р) + wN(fi, 2/>) (см. доказательство 3.32), то из 6.29 полу- j
чаем, что |
w'N(Yn,6A J) < ^(ХП,Й) + ^(УП»Ы,^) на £Г ПС"\ j
Воспользовавшись теперь 6.28 и 6.30, имеем: 5
п > щ =» РП(^(УП,ЙЛ ~) > г) < т/. j
Это показывает, что последовательность (Хп, Лп) удовлетворяет
условию 3.21U, и доказательство теоремы завершено. □

Библиографический
комментарий
Глава I
Важным шагом в развитии теории вероятностей после
введения аксиоматики Колмогорова явилось понятие фильтрации на
вероятностном пространстве, что привело к возникновению
многих дополнительных структур и позволило получить более
глубокие результаты. Исследования в этом направлении были начаты
Дубом [43] и продолжены, на первых порах для марковских
процессов, а затем и для более общего случая, французской школой
(в широком смысле!) и, прежде всего, П.-А. Мейером.
Первоначальное изложение материала, содержащегося в
данной главе, за прошедшие годы претерпело сильные изменения:
например, понятие "достижимой а-алгебры" практически
исчезло, выяснилось, что "натуральный" возрастающий процесс — то
же самое, что и предсказуемый и т.д.; разумеется, многие
доказательства были значительно упрощены. Для более подробных
исторических справок мы рекомендуем обратиться к книге Дел-
лашери и Мейера [36].
Теорию стохастического интегрирования в настоящее время
можно рассматривать как часть "общей теории", хотя ее
развитие началось раньше в работах Винера [246,247] и, в
особенности, Ито [91,92,93]. Затем она разрабатывалась Курежем [31]
и Кунита и Ватанабэ [136] — для квадратично интегрируемых
мартингалов, Долеан-Дэд и Мейером [39] (где впервые
появляется понятие семимартингала) — для локальных мартингалов и

Библиографический комментарий
535
семимартингалов, и Мейером [183], который ввел наиболее общие
(в пределах здравого смысла) интегралы по локальным
мартингалам. В этой части мы следуем способу изложения, принятому в
работе Долеан-Дэд и Мейера [39], если не считать "леммы Йена"
(предложение 4.17) — см. Мейер [184], Жакод и Мемэн [106].
Существуют также другие способы построения
стохастических интегралов^ которые, в некотором смысле, быстрее
приводят к цели, но требуют использования дополнительных
конструкций: один из них основан на теореме Бихтелера-Деллашери-
Мокободзки (см. Бихтелер [10], Деллашери [35], Кусмоль [139],
Метивье и Пелломай [181]). Еще один способ базируется на
неравенствах Букхольдера-Дэвиса-Ганди (см. Мейер [183]). Третий
способ использует теорему 4.56, которая характеризует скачки
локального мартингала, и принадлежит Чу [29] и Лепэнглю [147]
(см. Жакод [98]).
Мы хотим также особо выделить два понятия, используемые
на протяжении всей книги: одно из них — свойство
доминирования (§ Зс), введенное Ленгляром [146] (вид 3.32 ему придал Ребол-
ледо [202]). Другое важное понятие — экспонента семимартин-
гала (§4f), которое для случая действительнозначных процессов
было введено Долеан-Дэд [38].
Глава II
Случайные меры (для пуассоновского случая, т.е. с
детерминированным компенсатором) и соответствующие интегралы были
введены Ито [93] и подробно изучались Скороходом [225]. Более
общие целочисленные случайные меры и их компенсаторы
рассматривал С.Ватанабэ [244], который называл их "системами Леви"
для марковских процессов (характеризация меры Леви как
компенсатора получена в работе Бенвениста и Жакода [7]). Для
случал, когда нет базового марковского процесса, эти понятия были
введены Григелионисом [70], рассматривавшим абсолютно
непрерывные (по времени) компенсаторы (относительно меры Лебега),
а также Жакодом [94] — в общей ситуации. Соответствующие
стохастические интегралы определены в работе Жакода [95] (в
квазинепрерывном слева случае — см. Григелионис [75]).

536 Библиографический комментарий
Идея введения характеристик семимартингала восходит к И то
[93], изучавшим " локально безгранично делимые процессы" для
марковского случая, хотя ее истоки можно проследить в работах
Колмогорова, Леви, Феллера, а также позднее — у Ватанабэ [244]
и Григелиониса [69]. Для общих процессов это понятие
введено Григелионисом [70,71] (в случае "абсолютно непрерывных" по
времени характеристик), а также Жакодом и Мемэном [106] — в
общей ситуации (относительно многомерного случая — см. Жа-
код [97]). Понятие о модифицированной второй характеристики
возникло в связи с предельными теоремами и впервые появляется
в работе Липцера и Ширяева [158]. Различные варианты теоремы
2.21 известны с момента возникновения понятия характеристик, а
ее частные случаи (такие, как характеризация Леви винеровского
процесса или характеризация Ватанабэ пуассоновского процесса
[244]) — намного раньше. Содержание §2Ь является новым.
Каноническое представление семимартингалов (§2с) введено
Жакодом [95]. Теорема 2.42 в приводимой форме взята из
работы Григелиониса и Микулявичуса [77], но для диффузионных
процессов она была получена Дынкиным [47] и Струком, Вара-
даном [232] (относительно диффузионных процессов со скачками
— см. также Комацу [133], Махно [169], Струк [231]). Теоремы
2.47 и 2.49 впервые доказаны в работе Жакода, Клопотовского и
Мемэна [105], а вариант с "преобразованием Лапласа" для
точечных процессов — в работе Кабанова, Липцера и Ширяева [121],
но опять же эти результаты являются обобщением более ранних
— см. Струк и Варадан [232]. Можно также считать это
обобщением фундаментального тождества Вальда для сумм случайного
числа независимых случайных величин.
Содержание §ЗЬ является новым и мотивировано теоремой
Колмогорова о трех рядах (и ее "условным" вариантом).
Пример "одноточечного" точечного процесса взят у Деллашери [33].
Теорема 4.5, по существу, доказана С.Ватанабэ [244], а ее
обобщение 4.8 получено Жакодом [94]. Имеется также обширная
литература по пуассоновским и более общим случайным мерам,
посвященная случаю, когда время не выделяется в качестве особой
переменной — см., например, фундаментальный результат Кинг-

.Библиографический комментарии 537
мана [127], очень близкий теореме 4.8, или книгу Калленберга
[125]. Существует также не затрагиваемая нами здесь теория
стационарных точечных процессов или мер — см. Неве [189] или
Керстан, Маттес и Мекке [126].
Результаты о структуре процессов с независимыми
приращениями восходят, главным образом, к Леви и Дубу, которые
прежде всего рассматривали процессы без фиксированных моментов
разрыва, т.е. непрерывные по вероятности процессы с
независимыми приращениями (но не тольк$ их). В частности, формула
4.16 для этого случая получена Леви. Дуб изучал также общие
процессы с независимыми приращениями (даже не являющиеся
непрерывными справа, имеющими пределы слева), и в его книге
[43] содержится формула 4.16, включая случай, когда процесс с
независимыми приращениями не является семимартингалом
(теорема 5.2). Характеризация процессов с независимыми
приращениями, являющихся семимартингалами (теорема 5.2), принадлежит
Жакоду [98]. Утверждение о том, что "семимартингал является
процессом с независимыми приращениями тогда и только тогда,
когда его характеристики детерминированы", является "хорошо
известным", его формализация принадлежит Григелионису [76].
Содержание разд. 5 заимствовано у Жакода [101], однако
использованная нами идея доказательства теоремы 5.1 высказана
Лобо [167].
Процессы с условно независимыми приращениями, по крайней
мере, для многих частных случаев (например, процессы Кокса),
были введены сравнительно давно, по большей части, в связи с
различными приложениями. Общая характеризациониая теорема
6.6 получена Григелионисом [74].
Глава III
Первыми примерами того, что называется сейчас мартингаль-
ной проблемой, были характеризация Леви винеровского процесса
(пример 1.4) и характеризация Ватанабэ пуассоновского
точечного процесса (пример L5). Важный шаг к формализации
понятия мартингальной проблемы сделали Струк и Варадан [232] при
доказательстве существования слабых решений стохастических

538 Библиографический комментарий
дифференциальных уравнений диффузионного типа (см. §3с).
Общую формулировку можно найти у Йора [249] и Жакода и Йора
[112].
Изучение точечных процессов мартингальными методами
было начато Ватанабэ [244] и Папангелу [194], систематическое
изучение впервые предпринято Бремо [20,21]. Теоремы
единственности 1.21 и 1.26 приведены в работах Кабанова, Липцера и
Ширяева [118] и Жакода [94]. Там же указан явный вид компенсатора
в теореме 1.33, что на самом деле является очевидным
обобщением результатов Деллашери [33] для "одноточечных" точечных
процессов (И.3.26).
Мартингальные проблемы, связанные с характеристиками се-
мимартингалов, введены Жакодом [96]. В §2с в сжатом виде
изложены результаты разных авторов, за исторической справкой (а
также для ознакомления с более глубокими результатами) мы
рекомендуем обратиться к книгам Липцера и Ширяева [157], Струка
и Варадана [233], Гихмана и Скорохода [61], Жакода [98].
Эквивалентность решения-меры и решения мартингальной проблемы
(теорема 2.26) в случае диффузионных или обобщенных
диффузионных процессов получена Струком и Вараданом [232], а общая
формулировка имеется у Эль-Каруй и Лепельтьера [49] и Жакода
[98]. Теорема 2.32 является "классической" и доказывалась
многими авторами (для различных ситуаций). Теорема 2.33,
главным образом, принадлежит Ямада и Ватанабэ [248].
Фундаментальная теорема 2.34 доказана Струком и Вараданом [232]
(непрерывный случай), а также Струком [231], Комацу [133],
Махно [169]. Понятие локальной единственности введено Жакодом
и Мемэном [106], он необходимо отметить, что для марковских
процессов аналогичный метод давно известен, в частности,
леммы 2.43 и 2.44 см. в работе Куррежа и Приора [32].
Наша первая "теорема Гирсанова" 3.11 является
принадлежащим ван Шупену и Вонгу [240] обобщением хорошо
известного результата Гирсанова [64] (а также Камерона и Мартина
[27] в случае детерминированного сноса), рассматривавшего
вместо произвольного локального мартингала винеровский процесс.
Остальные варианты теоремы Гирсанова — 3.13 и 3.14 — полу-

Библиографический комментарий
539
чены Жакодом [94] и Жакодом и Мемэном [106]. Лемма 3.31 в ]
основном (для локально квадратично интегрируемых мартинга- \
лов, возможно, имеющих скачки) принадлежит Кунита и Вата- j
набэ [136]. Теорема 3.40 заимствована у Коломийца [132].
Конструкция стохастического интеграла по многомерному не- \
прерывному локальному мартингалу предложена Гальчуком [56],
который рассматривал более общий случай локально
квадратично интегрируемых мартингалов. Содержание § 4Ь следует работе \
Жакода [95]. Все понятия и результаты §§ 4c,d основаны на рабо- \
тах Жакода [96], Жакода и Йора [112], а также на идее Деллаше- !
ри [34] (кроме того, теорема 4.34 рассматривалась Григелионисом :
[76], Кабановым [115], а случай диффузионного процесса — Лип- |
цером [155]). Теорема 4.37 заимствована у Жакода [94]. ■
Разд. 5 содержит в переработанном виде результаты Жакода \
и Мемэна [106] и Кабанова, Липцера и Ширяева [120]. Вариант »
теоремы 4.35 для квазинепрерывного слева случая можно найти у \
Скорохода [224]. Теорема 5.38 вбирает в себя результаты многих I
авторов (Кайлат, Закаи, Липцер, Ширяев, Ершов, Вонг,...) — \
см. Липцер и Ширяев [157], где имеется подробный комментарий, j
Теорема 5.45, отчасти, получена Бремо [20]. \
Глава IV j
Первым применил расстояние "Какутани-Хеллингера" к
задачам абсолютной непрерывности и сингулярности Какутани
[124], но соответствующие интегралы введены в анализ Е. Хел-
лингером, их связь с расстоянием по вариации хорошо известна
(см. гл. V). Для исследования случайных процессов интегралы
Хеллингера использовали, например, Льес [150,151,152] и Нью- \
ман [190]. Процессы Хеллингера и их явное представление 1.34
введены Липцером и Ширяевым [162] для изучения контигуаль-
ности, характеризация процессов Хеллингера как компенсаторов
соответствующих процессов предложена Мемэном и Ширяевым
[179] и Жакодом [102]. Материал § Id является новым, и, по-
видимому, может найти широкое применение: например, если
взять ф(х) = 1пх, то получим "процесс Кульбака", связанный
с информацией Кульбака так же, как процесс Хеллингера связан ;

540 Библиографический комментарий
с интегралом Хеллингера.
Задача нахождения необходимых и достаточных условий
абсолютной непрерывности и сингулярности мер, индуцируемых
случайными процессами, имеет давнюю историю, которая
начинается с Какутани. Сначала эта задача была решена для
"независимого случая", для гауссовских и диффузионных процессов
— см. Гаек [80], Фельдман [53], Ибрагимов и Розанов [90] (за
более подробными сведениями исторического характера можно
обратиться к библиографии в книге Липцера и Ширяева [157]).
Развитие стохастического исчисления позволило решить задачу
в общей постановке в предположении локальной абсолютной
непрерывности (см., Жакод и Мемэн [106] — квазинепрерывный
слева случай, Кабанов, Липцер и Ширяев [120] — общий случай,
а также Энгельберт и Ширяев [50], где рассматривался случай
дискретного времени). Общий результат (без предположения о
локальной абсолютной непрерывности) доказан Жакодом [102].
Другое обобщение (без семимартингалов) можно найти у Ферни-
ке [55]. Развитые в данной главе критерии позволяют получить
"детерминированные" критерии для процессов с независимыми
приращениями, естественным образом обобщающие теорему
Какутани 2.38, а также условия на коэффициенты диффузионного
процесса. Приводимые нами доказательства являются новыми и
представляются гораздо более простыми, чем ранее известные.
Элементарное изложение для случая дискретного времени
имеется в учебнике Ширяева [222].
Что касается разд. 3 и 4, то впервые явное вычисление
процессов Хеллингера в терминах характеристик семимартингалов
осуществлено Липцером и Ширяевым [165] и Мемэном и
Ширяевым [179] для процессов с независимыми приращениями (теорема
4.32). Способ изложения, а также общие результаты разд. 3
являются новыми. Теорема 4.6 доказана в работе Кабанова, Липцера
и Ширяева [118], а теорема 4.16 — в работе Кабанова, Липцера
и Ширяева [119]. Теорема 4.23, в другой форме, получена
Липцером и Ширяевым [157]. Содержание §4с в основном заимствовано
у Мемэна и Ширяева [179], однако случай процессов с
независимыми приращениями без фиксированных моментов разрыва рас-

Библиографический комментарий 541
сматривался еще Скороходом [224], см. также Ньюман [190].
Глава V
Понятия контигуальности и полной асимптотической
разделимости принадлежат Ле Каму [142]. Достаточно подробно
свойство контигуальности и его статистические применения (в
особенности, для независимого и марковского случаев) изучаются в
книге Руссаса [217]. Некоторые из основных соотношений
эквивалентности в леммах 1.6 и 1.13 получены в работах Холла и
Лойнеса [85], Липцера, Пукельшейма и Ширяева [156], Иглсона
и Мемэна [48], Гаека и Шидака [82], Жакода [102], Гринвуда и
Ширяева [68].
Первый общий результат о контигуальности в дискретной
постановке (случай независимых величин) принадлежит Остерхофу
и ван Цвету [191], общий критерий получен в работах Липцера,
Пукельшейма и Ширяева [156] и Иглсона и Мемэна [48] (в
последней предполагается локальная абсолютная непрерывность). Для
непрерывного времени эта задача решена Липцером и Ширяевым
[162] (другим методом) и Жакодом [102] (хотя мы приводим
несколько другие критерии).
Соотношения между интегралами Хеллингера различного
порядка и расстоянием по вариации можно найти в работах Крафта
[134] или Матусита [172], см. также Вайда [237]. Предложение
4.16 — это просто упражнение на тему мультипликативного
разложения неотрицательных супермартингалов, его следствие 4.19,
а также оценки 4.21, получены Кабановым, Липцером и
Ширяевым [123]. Вариант теоремы 4.31 в дискретном времени имеется
у Востриковой [241]. По существу, все результаты § 4с
принадлежат Кабанову, Липцеру и Ширяеву [116,117,122], Т.Брауну [26],
Валькейла [238], Мемэну [176]. Случай диффузионных процессов
исследовал Льес [151].
Глава VI
Первые примеры слабой сходимости принадлежат
Колмогорову [130], Эрдешу и Кацу [51], Донскеру [40] и Маруйяма [171].
Основное содержание главы, слабая сходимость и свойства
топологии Скорохода (J\)y берут свое начало в работах Прохорова

542 Библиографический комментарий
[200] и Скорохода [223], этот материал изложен также в книге
Биллингсли [12]. В перечисленных работах авторы
рассматривают процессы с временным параметром, принимающим значения
в отрезке [0,1]. Однако во многих случаях более естественно
рассматривать процессы с временным параметром из R+. Такое
расширение топологии Скорохода было осуществлено Стоуном [230]
и Линдваллом [154], наше изложение следует подходу Линдвалла.
Метрика 6' в замечании 1.27 оцисана Скороходом [223],
Колмогоров [131] показал, что пространство D в соответствующей
топологии является топологически полным, а метрика 6 из 1.26, для
которой В полно, построена Прохоровым [199].
Необходимо подчеркнуть, что теорема Прохорова состоит из
двух частей:
(1) любая относительно компактная последовательность мер
является плотной;
(2) любая плотная последовательность относительно
компактна.
Утверждение (2) справедливо для любого метрического сепа-
рабельного пространства, и оно, разумеется, более полезно для
приложений. В то же время, утверждение (1) предполагает
полноту пространства, это утверждение также находит применение
в данной книге (например, в разд. 6).
Результаты разд. 2, большей частью, "хорошо известны" и
разбросаны по различным источникам — см., например,
Биллингсли [12], Альдус [2], Витт [245], Паже [192]. Содержание §2Ь
заимствовано у Жакода и Мемэна [107].
Критерий Альдуса введен в [1]. Теорема 4.13 принадлежит
Реболледо [202], а теорема 4.18 является модернизированным
вариантом результатов Липцера и Ширяева [158] и Жакода и
Мемэна [107] (см. также Лебедев [141]; идейно близкие результаты
имеются также у Биллингсли [13] и Григелиониса [73]).
Разд. 5 основан на работе Жакода, Мемэна и Метивье [111],
учтено также усовершенствование, предложенное Паже [193]
(условие С5). Материал разд. 6 ведет начало от работы Липцера
и Ширяева [159], а общий случай рассмотрен Жакодом [100].

. ,^^^^.^^^^Ж^^^^^^^й£^^Щ
Научное издание
ЖЛКОДЖан
ШИРЯЕВ Альберт Николаевич
Предельные теоремы для случайных процессов. Том 1
Технический редактор JI.B. Лихачева
Корректор #.#. Журавлева
ИБ № 32678
ЛР№ 020297 от 27.11.91
Сдано в набор 12.11.93. Подписано к печати 25.07.94. Формат 60x90/16. Бумага книжн.-хурн. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 34. Усл. кр.-отт. 34. Уч.-изд. л. 33,14. Тираж 1000 экз. Заказ № 4$&. С-067.
Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
\

Перевод на русский язык осуществлен
с английского издания монографии
Jean Jacod
Albert N. Shiryaev
Limit Theorems
for Stochastic Processes
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg
New York London
Paris Tokyo
1987