Н. И. АХИЕЗЕР
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ

АППРОКСИМАЦИИ
ИЗДАНИЕ 2-Е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

517.2
А 95
УДК 517.5

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 8
ГЛАВА I
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Постановка основной задачи теории аппроксимации 9
2. Метрическое пространство
3. Линейное нормированное пространство 10
4. Примеры линейных нормированных пространств 10
5. Неравенства Гельдера и Минковского 12
6. Дальнейшие примеры линейных нормированных
пространств 15
7. Пространство Гильберта 16
8. Основная теорема аппроксимации в линейном
нормированном пространстве 17
9. Строго нормированные пространства 19
10. Пример в пространстве L& 20
11. Геометрическая интерпретация 21
12. Понятие о сепарабельном и полном пространствах 22
13. Теоремы аппроксимации в пространстве Я .... 23
14. Пример 28
15. Снова о проблеме аппроксимации в пространстве Н 30
16. Ортонормированные системы векторов в Я .... 32
17. Ортогонализация системы векторов 33
18. Бесконечные ортонормированные системы .... 34
19. Пример несепарабельного пространства 38
20. Первая теорема Вейерштрасса 39
21. Вторая теорема Вейерштрасса 41
22. Сепарабельность пространства С 42
23. Сепарабельность пространства Lp 43
24. Обобщение теоремы Вейерштрасса на пространство LP 46
25. Полнота пространства L.P 48
26. Примеры полных ортонормированных систем в L2 50
27. Теорема Мюнца 53
28. Линейный функционал 56
29. Теорема Ф. Рисса 57
30. Критерий замкнутости множества векторов в про-
«извальном, линейном нормированном пространстве 60

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА II
КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
31. Постановка вопроса 62
32. Обобщенная теорема Валле-Пуссена 63
33. Теорема существования 64
34. Теорема Чебышева 66
35. Случай аппроксимации многочленами 69
36. Полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от
нуля 69
37. Дальнейший пример на теорему Чебышева .... 70
38. Пример на применение теоремы Валле-Пуссена . 72
39. Пример на применение общей теоремы Чебышева 73
40. Переход к периодическим функциям 76
41. Пример 78.
42. Функция Вейерштрасса 78
43. Проблема Хаара 79
44. Доказательство теоремы Хаара 80
45. Пример 83
46. Обобщение теоремы Чебышева 85
47. Обобщение теоремы Чебышева на комплекснознач-
ные функции 88
48. Обобщение теоремы Хаара на комплекснозначные
функции 89
49. Об одном вопросе аппроксимации непрерывной
функции в метрике пространства L 91
50. Теорема А. Маркова 96
51. Частные случаи 99
ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
52. Простейшие факты относительно рядов Фурье . . 104
53. Ряды Фурье функций ограниченной вариации . \ 108
54 Равенство Парсеваля для рядов Фурье 111
55. Примеры рядов Фурье ИЗ
56. Лемма Боаса 115
57. Тригонометрическое интерполирование 117
58. Тригонометрические интегралы 120
59. Пример 122
60. Теорема Римана — Лебега 124
61. Теория Планшереля 124
62. Теорема Ватсона 127
63. Теорема Планшереля 130
64. Примеры 133
65. Преобразование Ганкеля 135
66. Пример 136
67. Суммационная формула Пуассона 137
68. Теорема Харди — Юнга .... 141
69. Теорема Фейера 142
70. Интегральные операторы с ядром типа Фейера . . 145
71. Примеры ядер типа Фейера 149
72. Преобразование Фурье интегрируемой функции . 150
73. Свертка двух функций » 155

&ЛЕНИЕ
74. Функция Стеклова 156
75. Теорема Винера — Леви 157
76. Теорема аппроксимации Винера 162
77. Кратно монотонные функции 167
78. Интегралы дробного порядка от периодических
функций 169
79. Сопряженные функции 170
ГЛАВА IV
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ
СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
80. Целые функции экспоненциального типа 174
81. Преобразование Бореля 176
82. Теорема Винера — Пэли 179
83. Целые функции экспоненциального типа,
ограниченные на вещественной оси, и неравенство Берн-
штейна 182
84. Доказательство неравенства Бернштейна 186
85. Полиномы Левитана 193
86. Аппроксимация функции класса W*p посредством
ее полинома Левитана 195
87. Аналог теоремы А. Маркова в классе целых функций
экспоненциального типа 199
88. Критерий С.-Надя 203
89. Явление интерференции целых функций 207
глава v
ВОПРОСЫ НАИЛУЧШЕЙ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ФУНКЦИЙ
90. Предмет главы 212
91. Модуль непрерывности 213
92. Обобщение на пространство LP (р > 1) 215
93. Пример 217
94. Некоторые оценки дляt констант Фурье 221
95. Снова о функции Стеклова 224
96. Две леммы о периодических функциях 226
97. Снова о свертке 228
98. Теоремы Д. Джексона 230
99. Прямая задача гармонической аппроксимации . . 231
100. Классы функций, определяемые интегральными
операторами 235
101. Применение к дифференцируемым функциям . . . 237
102 Обобщение на пространство L& (р > 1) 242
103. Непосредственное рассмотрение периодических
функций 245
104. Неравенство Бора и его обобщения 251
105. Аппроксимация непрерывно дифференцируемых
функций . 251

ОГЛАВЛЕНИЕ
106. Обобщенный метод Фейера 253
107. Теоремы Бернштейна 258
108. Теорема Привалова 262
109. Обобщение теорем Бернштейна на пространство LP
(Р > 1) 264
ПО. Наилучшая гармоническая «аппроксимация
аналитических функций 267
111. Другая форма результата предыдущего п° . . . . 271
112. Обратная теорема Бернштейна 274
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
I. Экстремальные свойства некоторых элементарных
функций и некоторые критерии полноты 277
II. Представления и неравенства для целых функций
экспоненциального типа 328
III. Различные теоремы о приближении для
функциональных классов и отдельных функций 365
Примечания в 397
Алфавитный указатель * 404

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке настоящего издания я подверг ряду
изменений основной текст и полностью переработал последний раздел
«Дополнения и задачи». В этом разделе я счел возможным не
придерживаться единого стиля: в одних параграфах *) я даю полные
доказательства фактов, а в других только формулировки и
литературные указания.
За годы, прошедшие после выхода первого издания, наша
математическая литература пополнилась превосходными курсами
и монографиями по теории функций и функциональному анализу.
Это позволило мне изъять из первого издания ряд примеча-.
ний и литературных указаний. Дальнейшее сокращение числа
примечаний достигнуто за счет того, что работы П. Л. Чебы-
шева, Е. И. Золотарева и С. Н. Бернштейна я цитирую по
академическим изданиям их сочинений (вышедшим соответственно
в 1944 — 1951, 1931 — 1932 и 1952—1964 годах), указывая в
фигурных скобках том и страницы или том и номер статьи. Кроме
того, я ссылаюсь непосредственно в тексте на следующие книги:
1) С. Н. Бернштейн, Экстремальные свойства полиномов,
Л.—М, 1937 (цитируется: {Э. С.}).
2) С. Н. Бе рнштейн, Legons sur les proprietes extremales et
la meileure approximation des fonctions analytiques d'une variable
reelle, Paris, 1926 (цитируется: {Р. Е.}).
3) Г. Н. В am сон, Теория бесселевых функций, М, 1949.
4) Б. Я- Левин, Распределение корней целых функций, Л4М
1956.
В работе над рукописью этого издания мне помогли
своими замечаниями Б. Я- Левин, И. В. Островский и Ф. С. Рофе-
Бекетов. Особенно большую помощь мне оказал Ф. С. Рофе-Бекетов.
Он очень внимательно прочел всю рукопись и обнаружил ряд
недосмотров и погрешностей, которые мне благодаря этому
удалось устранить. Всем им я очень признателен. Выражаю также
благодарность Л. Я» Цлафу за проделанную им большую работу.
*) Параграфы Дополнений отмечаются при ссылках буквой Д и номером.
Н. Ахиезер
Харьков
1 ноября 1964 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга возникла из лекций, которые я читал в
Харьковском университете в 1937—1939 годах и которые были
изданы в 1940 году на правах рукописи тиражом в 75 экземпляров.
Я сохранил прежнее название, но настоящая книга не может
рассматриваться как второе издание книжки 1940 года, так
как большая часть книги написана заново и объем книги
увеличился в два с половиною раза.
Не останавливаясь на содержании книги, представление о
котором дает оглавление, отмечу, что к полноте я не стремился;
например, вопросы аппроксимации в комплексной области в
книге не рассматриваются.
Академик С. Н. Бернштейн проявил интерес к книге и,
ознакомившись с рукописью, сделал мне несколько замечаний. Я
пользуюсь случаем, чтобы принести ему еще раз мою признательность.
Особую благодарность я хотел бы выразить моему другу
М. Г. Крейну, некоторые беседы с которым нашли в книге свое
отражение.
Наконец, приятным долгом я считаю поблагодарить Д. А. Рай-
кова, который внимательно прочел рукопись и которому я
обязан некоторыми ее улучшениями.
Н. Ахиезер
Москва,
октябрь 1946 г.

ГЛАВА I
ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Постановка основной задачи теории аппроксимации. Основную
задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим
образом: на некотором точечном множестве ^5 в пространстве
произвольного числа измерений заданы две функции f (P)nF(P; Ль Л2, ...
..., Ап) от точки Р?$> из которых вторая зависит еще
от некоторого числа параметров Аи А2, ..., Ап; эти параметры
требуется определить так, чтобы уклонение в ф функции F (Р; Аи А2,..
..., Ап) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно,
должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или,
как еще принято говорить, под расстоянием между F и /.
Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то
в качестве расстояния между двумя функциями можно взять
верхнюю грань в $ модуля их разности. При таком определении
расстояния для совокупности всех ограниченных в 5K функций
оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем
для точек обычного трехмерного пространства.
Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится
сталкиваться в математике при рассмотрении других классов
функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к
созданию весьма важного понятия о метрическом пространстве.
2. Метрическое пространство. Множество Е каких-то
элементов х, у, г, ... называется метрическим пространством, а самые
элементы — точками пространства, если каждым двум элементам х, у
сопоставляется некоторое неотрицательное число D [х, у],
которое называется расстоянием между точками х, у и
удовлетворяет следующим условиям:
A. D [*,*] = О,
B. D [х, y] = D [у, х]>0 (если х Ф у),
C. D [х, z] <?> [х, y]+D [у, z] (неравенство треугольника).
Например, множество всех числовых (вообще говоря,
комплексных) последовательностей
х={Хи *2, ...} = {**}, У={Уи Уг,- .•} = {#*}> •-.
образует метрическое пространство, если принять, что х = у
тогда и только тогда, когда Xk = yk (k=l, 2, ...), и определить

10 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
расстояние с помощью формулы
О[х,У]~ 2}-W l + \xk-yh\ '
то, что условие С выполняется, вытекает из легко проверяемого
неравенства
3. Линейное нормированное пространство. Среди метрических
пространств особенно важными являются так называемые
линейные нормированные пространства.
Множество Е элементов х, у, z, ... называется линейным нор-
жированным пространством, а сами элементы—точками или
векторами, если:
1) в Е определена операция, называемая сложением и
обозначаемая знаком +, относительно которой Е является абелевой
группой (нулевой элемент группы Е мы будем обозначать 0);
2) определено умножение элементов множества Е на числа
(вещественные или невещественные) а, р, у, причем
а(х + у) = ах + ш/, а фх) = (с*Р) х,
(а + Р) х = ах + $х, 1-х = х;
3) каждому элементу х?Е отвечает некоторое
неотрицательное число ||л;||, которое называется нормой элемента х и
удовлетворяет таким условиям:
|| х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0,
\\ах\\ = \а\\\х\\,
Векторы Xi, #2, ..., хп называются линейно независимыми,
если из соотношения #iXi + ct2-*:2+ • • • -\-^пХп = 0 следуют равенства
Линейное нормированное пространство становится метрическим
пространством, если положить D[x, у] = \\х — у\\ (элемент х—у
группы равен, в силу 2) линейной комбинации х + ( — 1)у).
4. Примеры линейных нормированных пространств*).
Пространство С. Совокупность всех непрерывных функций х = х (Р)
от точки Р в ограниченном замкнутом множестве 5E евклидова
*) Если противное не оговорено, то все числа и функции считаются
комплексными.

4. ПРИМЕРЫ И
пространства любого числа измерений есть линейное нормированное
пространство (пространство С), если положить
х = у при х(Р) = у(Р)
и если сложение и умножение на число понимать в обычном
смысле, а норму определить равенством
||х|| = ||х||с = тах|*(Р)|.
Особенно важное значение имеет случай, когда $ есть конечный
интервал числовой оси. Так как при помощи преобразования
можно перейти от этого интервала к любому конечному
интервалу, то обычно берут интервал [0, 1] или [—1, 1].
В тех же случаях, когда рассматриваются только периодические
функции, обычно берут интервал [—я, я] или какой-нибудь другой
интервал длины 2л и считают его концы за одну точку.
От пространства непрерывных периодических функций с
помощью замены переменной
можно перейти к пространству непрерывных на всей оси функций
х = х(и), для которых существуют конечные и равные между
собою пределы
lim x(u), lim x{u).
Это пространство мы будем обозначать через С*,.
При рассмотрении пространства &» точки ±оо считаются
за одну точку.
Подобным образом, отправляясь от пространства С @,1) всех
(а не только периодических) непрерывных в интервале [0, 1]
функций, можно с помощью надлежащей замены переменной прийти
к пространствам С@, оо) и С ( — со, оо) непрерывных функций
в замкнутых интервалах [0,оо] и [ — оо, оо].
Пространство С( — оо, оо) есть совокупность всех
непрерывных функций x(t) ( —оо<^<оо), для которых существуют
конечные пределы
lim x(t), \imx(t);
t-+—co t-+co
однако эти пределы могут быть различными, и это
обстоятельство отличает С(— оо, оо) от С».

12 гл. i. вопросы аппроксимации
Пространство Lv (р > 1). Под Lv понимают совокупность
всех измеримых функций в (конечном или бесконечном)
интервале*) (а, 6), р-я степень модуля которых интегрируема в смысле
Лебега, причем сложение и умножение на число понимаются в
обычном смысле, два элемента x = x(t), y = y(t)?Lp считаются
тождественными, если почти всюду в (а, Ь) имеет место равенство
x(t) = y(t)j а норма определяется равенством
ь \/р
$}
Если встречается необходимость в указании интервала,
пользуются записью Lv (a,b) вместо Lv. Вместо L1 пишут просто L.
Займемся проверкой того, что Lv есть линейное
нормированное пространство.
Поскольку сумма двух измеримых функций есть функция
измеримая, а с другой стороны, имеет место очевидное неравенство**)
|(М-Р|*<2р(|а|р + |РГ)> тоизхб/Л уЩ> следует (х + у)ар.
Нулевым элементом является функция, равная нулю почти
всюду.
Если x?Lp и а —произвольное число, то ax?Lv.
Таким образом, остается доказать неравенство
которое носит название неравенства Минковского.
5. Неравенства Гельдера и Минковского. Пусть а>0, Р>0г
р>1, —|— = 1 (так что д>1). Рассмотрим кривую ОАВ с
уравнением
или, что то же, с уравнением
*) Вместо интервала в качестве области определения функций может
быть взято любое измеримое множество (конечной или бесконечной меры)
на числовой оси или в евклидовом пространстве большего числа измерений.
**) Заметим, что справедливо неравенство
для доказательста которого достаточно найти минимум АР-+-ВР при условиях
A + B=lt A>0, Я^О

5. НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО
13
Из рис. 1*) ясно, что сумма площадей S и Т не меньше,
чем ар, причем равенство достигается тогда и только тогда,
когда сливаются точки Л, В, т. е. когда ар = ра; таким образом,
Заметим, что при р = 2 (и значит, q = 2) найденное неравенство
переходит в элементарное неравенство
2ар < а2 + р2.
Возьмем теперь две функции
и (t) 6 Lv, v (t) ? Lq, нормы которых
>0. Положим р
\u(t)
р
_ \v(t)\
и применим неравенство A); мы получим
\u(t)v(t)\ ^ 1 | и (/) |Р , 1 \v(t)\Q
Так как правая часть интегрируема, то интегрируема левая
часть, и интеграл от левой части не превосходит интеграла от
правой части, т. е. не превосходит
Мы получили неравенство Гельдера:
ь ь ъ
^\u(t)v(t)\dt<{ l\u(t)\*>y
B)
в этом соотношении знак = достигается, как легко видеть,
тогда и только тогда, когда почти всюду в (а, Ь)
где А и Б —константы.
В случае p = q = 2 неравенство B) обычно называют
неравенством Шварца—Буняковского.
Чтобы получить неравенство Минковского, заметим вначале,
что из
*) Соответствующего случаю, когда р > 2 и р > аР-1.

14 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
вытекает
{
+ 1
7 7
Применяя неравенство Гельдера к каждому члену правой
части тождества
мы получим, что
Ь
¦<
откуда и вытекает неравенство Минковского для р > 1. Это
неравенство при р = 1 очевидно.
Легко видеть, что в неравенстве Минковского для р>1
знак = достигается тогда и только тогда, когда почти всюду
y(t) = O или x(t) = Cy(t), где константа С>0.
Заметим, что таким же образом получаются неравенства
Гельдера и Минковского для рядов*), а именно:
{}{
Впрочем, нетрудно видеть, что эти неравенства являются
частными случаями уже дЪказанных неравенств Гельдера и
Минковского для интегралов.
В дальнейшем мы будем иногда применять так называемое
обобщенное неравенство Минковского для интегралов, которое
имеет вид
Ь
Оно может быть получено обычным в теории интеграла переходом
*) Первое из них при р = 2 было известно еще Коши.

6. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 15
от функции, принимающей лишь конечное число значений
(вначале — всего два значения), к произвольной измеримой в
прямоугольной области R(a<lx<:b, с<у<.д) функции ф(л;, у)>
для которой правая часть имеет смысл.
Частный случай этого неравенства, когда р=1, примыкает
к теореме Фубини, которая утверждает, что если
д Ъ
, y)\dx}dy«x>,
с а
ТО
Ь д д Ь
J cp(P)dP = J {$Ф(*. y)dy]dx= \ {$<Р(*, y)dx)dy.
R ас с а
6. Дальнейшие примеры линейных нормированных пространств»
Пространства т и с. Множество т всех ограниченных и
множество с всех сходящихся последовательностей чисел
x = {xk}, y={yh}, .-.
образуют линейные нормированные пространства, если положить
Пространство 1р(р>1). Так называют множество всех
последовательностей
для которых сходятся ряды
1Р становится линейным нормированным пространством, если
положить
ах = {axk}
При этом нужно принять во внимание неравенство Минковского
для рядов.

16 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
7. Пространство Гильберта. Пространством Гильберта
(пространством Н) называется линейное пространство (это значит, что
выполняются первые два условия п° 3), в котором каждым двум
векторам х, у сопоставляется некоторое (комплексное) число (х, у),
называемое скалярным произведением векторов х, у и
удовлетворяющее таким условиям:
a) (У, *) = (*, у),
b) (aix1 + a2x2, y) = ai(xu y) + a2(x2, у),
c) (х,х)>0,
d) (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
Векторы х, у называются ортогональными, если (л:, #) = 0.
Легко указать примеры конкретной реализации условий,
которыми мы аксиоматически определили пространство Гильберта Я
(естественно поэтому назвать Н абстрактным пространством
Гильберта).
Такую конкретную реализацию дает, например, пространство Р,
если мы положим
оо
, (*> У) = 2 Xh УЬ
/1=1
где
x={xk], y={yh}-
Другим примером является пространство L2, если положить
и
(x,y)=\x{t)jjjt)dt.
Докажем, что скалярное произведение (х, у) обладает
следующими свойствами:
Г. (си, ах) = \ а |2 (х, х).
2°. \(x,
(обобщенное неравенство Шварца — Буняковского).
3°. V(x + y, x + y) kV(x> х) +У(У, У), причем, если уф О,
то в соотношении 2° знак = достигается только при х = at/,
а в соотношении 3° —только при х = ау и а>0 (при у = 0 мы
приходим к тривиальным равенствам).
Свойство 1° очевидно:
(ад:, ал:) = a (jc, ах) = а (ах, х) = аа (х, х).
Чтобы доказать свойство 2°, мы можем принять, что (л:, у)Ф0.
Полагая
а _ (^» У)
\{х,у)\ '

8. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АППРОКСИМАЦИИ 17
найдем, что при любом вещественном Я
\у)\ + {х, х);
корни этого трехчлена относительно к должны быть
невещественными или равными, что и доказывает неравенство 2°. Знак =
достигается, очевидно, тогда и только тогда, когда при некотором Я
Докажем свойство 3°. Имеем
(х + у, х + у) =
= (*, х) + (х, у) + {у, х) + (у, у)<(х, х) + 2\(х,у)\ + (у, у),
и на основании 2°
{х + у% x + y)<\V(x,x)+V(y7]fiJ.
Знак = достигается тогда и только тогда, когда
Как мы знаем, для этого, если у Ф О, в первую очередь
необходимо, чтобы х~ау, но при выполнении этого условия
(х, у) = (ш/, у) = а(у, у)
и, значит,
к, х)
У, У)
>0.
В силу условий, которыми определяется скалярное
произведение, и его свойств 1°, 3°, пространство Гильберта становится
линейным нормированным пространством, если положить
8. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном
пространстве. Пусть Е — произвольное нормированное
пространство, и пусть
— п линейно независимых элементов из Е. Основную задачу
аппроксимации применительно к рассматриваемому нами «линейному
случаю» можно сформулировать следующим образом: дан элемент
х?Е; требуется определить числа %и Я2,...,ХП так, чтобы
величина
получила наименьшее значение.

18
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В этом параграфе мы докажем, что требуемые значения
чисел Ки Я2, ..., К существуют.
Предварительно заметим, чтоф(Я4, А,2, ...,ЯД) есть
непрерывная функция своих аргументов. Действительно, в силу
неравенства треугольника,
I ф (К,
К) | =
3l||1Ы
1 k
Введем теперь вторую непрерывную функцию
На «сфере»
которая является ограниченным замкнутым множеством точек в
конечномерном евклидовом пространстве, функция г|? по
известной теореме Вейерштрасса имеет некоторый минимум ц.
Неотрицательное число \i не может равняться нулю, так как
векторы gu g2, ..., gn линейно независимы; следовательно, (х>0.
Обозначим далее через q(>0) нижнюю грань значений
функции ф.
Если
то
п
2
1
2
Г"
>у 2l^l2nHI*il
Поэтому, желая найти минимум функции ф(^, Я2, ..., К),
мы можем ограничиться рассмотрением только таких значений Khf
для которых
т. е. рассмотрением функции ф(А,ь Х2, ..., Кп) в ограниченной
замкнутой области, а в такой области непрерывная функция имеет
минимум.

9. СТРОГО НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
19
Итак, существование линейной комбинации h1giJrX2g2Jr • • ¦
... + hngn, дающей наилучшую аппроксимацию элемента х,
доказано.
9. Строго нормированные пространства. Возникает вопрос: когда
«полином» ^ig"i + ^2g2+ •. • +Kgn, дающий наилучшую
аппроксимацию элемента х, будет единственным для всякого х?Е?
Указанная единственность во всяком случае имеет место тогда,
когда пространство Е строго нормировано, т. е. когда в
неравенстве
к\\х\
(х ф 0, у ф 0)
знак = достигается только при у = ох, где а>0.
В самом деле, допуская, что пространство Е строго
нормировано, предположим, что некоторый элемент х имеет два
полинома
• • • + Kgn,
. . . + [ingn
наилучшего приближения (причем gu g2, ..-ign линейно
независимы). Поскольку, по условию (см. п° 8),
п п
I * - 2 bhgk II = II *- 2
1 ' 1
I = Q,
где, как легко видеть, можно принять, что q Ф 0, и поскольку
v
то
и, значит,
1
\х
1
1 1 1
Следовательно, в силу строгой нормированности пространства,
п
—2 **g*=a U—
1
В этом соотношении а должно равняться единице, так как
в противном случае элемент х был бы линейной комбинацией
2*

20 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
элементов gu g2, ..., gn и, значит, было бы q = 0. Но если а= 1,
то
S(bA
1
и, следовательно,
так как элементы gi, #г» • ••» gn линейно независимы. Таким
образом, рассматриваемые полиномы тождественны.
Примером строго нормированного пространства является
пространство Я, а также Lp при р > 1, но пространства С и L
не являются строго нормированными.
Действительно, возьмем интервал [ — 1,1] и две линейно
независимые функции х (/) 6 С, у (t) 6 С, модули которых принимают
свои максимальные значения в одной и той же точке т интервала,
причем
argx(T)
Тогда, очевидно,
Чтобы доказать, что L также не есть строго нормированное
пространство, достаточно взять х(t) = 1» при t >0 ид;(/) = 0 при t <0,
а 1/@ = 1—х@-
10, Пример*) в пространстве Lp. В качестве примера поставим
задачу: найти среди всех тригонометрических сумм вида
Fn (9) = a cos яЭ + Р sin nQ + an-i ccs (n— 1) 9 +
1sin(n— 1)9+ ... +
где аир зафиксированы, ту, для которой интеграл
2л
имеет наименьшее значение. Примем вначале, что р > 1 , и
воспользуемся тем, что при этом условии пространство Lv есть
строго нормированное пространство. Так как, в силу
периодичности,
2я 2я-Ьф 2я
5 J
*) С. Н. Бернштейн {II, 51}.

П. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 21
при всяком (вещественном) ф, то, беря ф = — и замечая, что
icos(/i— 1)9 +
мы приходим на основании строгой нормированности пространства
к выводу, что для искомой тригонометрической суммы
и, следовательно,
Последнее соотношение показывает, что Fn(Q) имеет период
и, значит,
an_i = 6n-i = ... = ui = b\ = 0,
а первое соотношение приводит к равенству
Таким образом, единственное решение данной задачи при р > 1
есть
Fn (9) = a cos n9 + р sin я9.
Это же выражение, как легко видеть из соображений
непрерывности, будет решением также при р = 1 (и притом единственным,
в силу общих предложений п° 49).
11. Геометрическая интерпретация. Проблема, существование
решения которой мы доказали в п° 8, допускает полезную
геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек
вида
где зафиксированные элементы gu g2, ..., gn принадлежат Е и
линейно независимы, а аи а2, ..., а71 пробегают всевозможные
комплексные числа, представляет некоторое линейное
многообразие GczE в том смысле, что из g>'? G, g G следует, чтоиа'^'-Ь
+ a"g"?G при произвольных комплексных а', а". Это линейное
многообразие, очевидно, является пространством (для Е оно
подпространство). При п= \ мы получаем «прямую», при п = 2 —
«плоскость», а вообще —«n-мерную плоскость».
Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки
конечномерного подпространства G пространства Е, которая от

22 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
заданной точки х?Е находится на кратчайшем расстоянии (в
метрике пространства Е). В п° 8 мы доказали, что такая точка в G
существует.
Если само пространство Е не является конечномерным, т. е.
если в нем имеется сколько угодно линейно независимых между
собой векторов, то Е содержит бесконечномерные
подпространства. Пусть G — такое подпространство.
Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее
удаленная от заданной точки х?Е. В п° 15 мы дадим на этот вопрос
положительный ответ, если Е есть полное гильбертово
пространство. Здесь же заметим, что если пространство Е строго
нормировано, то в G во всяком случае не может существовать более
одной точки, наименее удаленной от данной точки х?Е. Этот
факт доказывается так же, как его частный случай,
рассмотренный в п° 9. Действительно, если для точки x^G существуют
в G две наименее удаленные точки g', g", то наименее удаленной
будет также точка -n-(g' -\-g"), и мы получим равенство
откуда благодаря строгой нормированности пространства следует,
что
где а может равняться только 1, а это означает, что g' = g".
12. Понятие о сепарабельном и полном пространствах. Пусть ЯК
есть некоторое точечное множество в метрическом пространстве
?. Точку #о?? называют предельной точкой множества 5Щ, если
во всякой «сфере»
D[x, xo]<q
(с «центром» х0 и «радиусом» q) содержится бесчисленное
множество точек, принадлежащих ЯК; при этом сама точка х0 может
и не принадлежать ЯК. Множество ЯК называется замкнутым,
если оно содержит все свои предельные точки. Если множество
ЯК не замкнуто, то, присоединяя к нему все его предельные
точки, мы получим замыкание множества ЯК, которое обозначают
символом ЯК.
Множество ЯК называется плотным в ?, если Ш-=Е.
Пусть, например, Е есть совокупность всех вещественных
чисел; совокупность всех рациональных чисел есть тогда
множество, плотное в Е. Это следует из того, что всякое вещественное
число является пределом последовательности рациональных чисел.

13. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ 23
Пространство Е называется сепарабельным, если оно
содержит плотное в нем счетное множество точек.
Например, указанное пространство всех вещественных чисел
сепарабельно; это следует из того, что множество рациональных
чисел счетно.
Последовательность {хп} точек из Е называется сходящейся
к точке х, если
HmD [х, хп] = 0. A)
Это обстоятельство записывают так:
Хп -^ X.
Из A), в силу неравенства треугольника, очевидно, следует,
что
HmDfc, *л] = 0. B)
т->оо
п-*оо
Обратное, однако, вообще говоря, несправедливо, т. е. из
соотношения B) или, как принято говорить, из сходимости
последовательности в смысле Коши еще не следует, что в Е существует
элемент, к которому последовательность сходится.
Метрическое пространство Е называется полным, если в нем
всякая последовательность, сходящаяся в смысле Коши, сходится
к некоторому элементу из Е.
Например, С есть полное пространство, так как сходимость
в нем есть равномерная сходимость, а из курса анализа известно,
что последовательность непрерывных функций, равномерно
сходящаяся в смысле Коши, сходится равномерно к некоторой
непрерывной функции.
13. Теоремы аппроксимации в пространстве //. Пусть G —
некоторое подпространство пространства Гильберта Я, и пусть точка
х ? Н не принадлежит G. Если в G существует точка у,
наименее удаленная от х, то вектор х — у ортогонален к каждому
вектору g из G, т. е.
(х-у* g)=o (geo).
Чтобы доказать это утверждение, предположим, что в G
существует вектор f, для которого
и рассмотрим вектор

24
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Имеем
— I
и, значит,
= ij jc—i/ II2 — -
(/, л
а это противоречит предположению, что у есть наименее
удаленная от х точка подпространства G.
Вектор у из G, обладающий тем свойством, что разность х — у
ортогональна к G, естественно назвать проекцией х на G.
В том случае, когда подпространство конечномерно и
образовано линейно независимыми векторами
gu ft» • • •» gn>
мы можем, пользуясь доказанным предложением, фактически
найти вектор
наименее уклоняющийся от вектора х (существование этого
вектора следует из теоремы п° 8).
Действительно, вектор у есть проекция х на G, и значит, он
должен удовлетворять уравнениям
(x-y,gh) = 0 (?=1,2, ...,n), A)
которые в подробной записи имеют вид
l. ft) + ^2 (ft, ft) + • • • + К (gn, ft) = (*, ft), B)
2» gn) + • • • + К {gn, gn) = (X, gn)
и представляют систему линейных уравнений для нахождения
коэффициентов Хд.
Детерминант этой системы, т. е.
- (gn, gl)
(gug2)(g2,g2) ... (gn, ft)
(gl>gn)(g2,gn) ... (g-zi, gn)

13. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ
25
носит название детерминанта Г рама системы векторов gu
Так как пространство И строго нормировано, а векторы
линейно независимы, то при любом векторе х система B) имеет
одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант
Грама линейно независимых векторов всегда не равен нулю.
Найдем еще выражение для квадрата погрешности, с которой
вектор у аппроксимирует вектор дс, т. е. для величины
62 = (x —у, х — у).
В силу A), имеем равенство
Ь* = (х — У, х) — (х — У, У) = (х — У* х) = (х, х) — {у, х)
или
Присоединяя это уравнение к системе B) и исключая ки Я2, ..., К,
найдем, что
(ft* gi) • • • ten. gi) (x, gi)
tei. &) • • • (ft. ft) (x, gi)
(ft, ft) - - • fen, ft) (X, gn)
tei» x)... (ft, •*>(*, *)—б2
= 0,
откуда
Итак, мы нашли:
g2, ...,
mm
!__ G(X, gj, g2, • •-, gn)
G(gl> g2» • • •» #7l)
• C)
Из этого соотношения и из того, что
вытекает, что детерминант Грама всегда > 0, причем он
обращается в нуль тогда и только тогда, когда между векторами
существует линейная зависимость (в частности, когда один из
векторов равен нулю).
Этот результат можно рассматривать как обобщение неравенства
Шварца-БуняковскогО, которое в гильбертовом пространстве
тождественно с неравенством
Gfei, ft)>0.
Пусть m<n, и пусть векторы
go, gu ?2» • • •, gn

26 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
линейно независимы. Тогда
min\\gk — ak+igk+l— ...— angn|| <
<min\\gk-$h+igk+i-... — Pmfiinll D0
(ft = 0, 1, 2, ...,/n-l)
и
min || gm — ctm+ife+i — ... - angn || < || gm \\. D2)
a
Отсюда, на основании C),
G(gk,gk+l, .-.,gn) ^G(gk,gk+l, "--.gm) th — п I 9 m П
\ ^ 7Г7 \ lК — *A ^ » ^> • • • i ill 1 )
ИЛИ
p> gb »»m gn) ^ Gjgu g2> -•¦> gn) < ^ G(gm, gm+i, ..., gn)
Полученные неравенства показывают, что
G(go, gu ...,fo)<C(go, ?ь • • •, gm) G(gm+1, ^m+2, ..., gn). E)
Докажем, что знак = в соотношении E) (при линейной
независимости векторов gOi gu ..., gn) имеет место тогда и только тогда,
когда каждый из векторов g0, gi, ...,gm ортогонален каждому
из векторов gm+i, gm+2> • • •» gn- Действительно, в силу наших
рассмотрений, знак = в соотношении E) имеет место тогда и только
тогда, когда все неравенства D^, D2) превращаются в равенства:
min || gk — ak+i gk+i — ... — angn |Г=
||g
, ...,m-l,),
l— . . • —V<ngn || = || gm ||-
a
Последнее соотношение возможно только при
(gm, gt) = O (i = m+l, ...,n),
а предыдущие соотношения для k = m—1, т—2, ..., 1, 0
последовательно дают
(gk, gt) = O (f = m+l, m + 2, ..., л).
Таким образом, наше утверждение доказано.

3. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ
27
Из E) вытекает далее, что
О (go, ft, ..., gn)<(go, go)(gi, gi) • • • (gn, gn) F)
и знак = здесь достигается тогда и только тогда, когда
Неравенство F) содержит как частный случай классическую
теорему Адамара о детерминантах.
Пусть
ап ai2 ... ain
&2i ^22 • • • &2п
где Щи — любые комплексные числа. Имеем
1
n
2
2 aihdik... 2
i i
n n _
S
l i l
. gi)(?i> ft) ¦•• (ft.
ft) ••• (ft> gn)
n, ft) («Гц, &) ... (gn, gn)
где gfe есть вектор с компонентами ahu ak2, ..., ahn в п-мерном
пространстве.
На основании F),
|^|2<|]|alft|2|]|a2A|2... j\\ank\\ G)
i i i
причем знак равенства будет иметь место только в том случае,
когда
^ = 0 (*,=?*= ц).
Неравенство G) и есть неравенство Адамара.

28
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Если
то, в силу G),
14. Пример. Даны числа
\aik\<M,
Мп.
среди которых нет равных и вещественная часть каждого из
которых больше — V2. Требуется найти
1
б2 = min \ \ tq - Ait* - A2t** - ... - Anfn |2 dt.
A о
Мы имеем здесь дело с гильбертовым пространством L2@,l). На
основании п°13
, ^ t*\ ..., А)
а так как
то
1, tv*, ..., А)
1
Рп+Рп+\
1
q + q+l
1
1
Pl+Pl+I
1
Pi + P/i+1
P/i+Pi+i

14. ПРИМЕР
29
Вычислим детерминант
D
1 1 1
ai + bi «i + b2 •'• а, + Ьт
1 1 1
Мы замечаем прежде всего, что
1
ах + Ь»
т
1
П
X,
где Рт — многочлен от аь а2, ..., ат, Ьь Ь2, ..., Ьш и притом
степени т2 — т. С другой стороны, Рт обращается в нуль, если
а^^а^ или b% = b[l при ХФ\1. Поэтому Рт делится на АтВт, где
Но Ат, Вт—многочлены степени m ^~~ ' ; значит,
гш =
где ат от величин аи а2, ..., ат, 6i, 62» ...» *т не зависит.
Легко видеть, что ат=1. Действительно, а4 = 1, а с другой
стороны, умножая последнюю строку определителя Dm на ат
и полагая ат —> оо, а потом &w —> оо, мы найдем, что
и в то же время
lim
(aj-ak)(bj-bk)
П
{aj—ak){bj—bk)
m—1
откуда и вытекает, что а|Я = ат_1.
Итак,
Беря
П

30
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
найдем, что
П
П
и аналогично
Я,,
([\Я-Рк\*
^—Рл Iя
[J
Поэтому
п
15. Снова о проблеме аппроксимации в пространстве //- Будем
рассматривать полное гильбертово пространство Н и положим,
что в нем дано замкнутое подпространство G (уже не
обязательно конечномерное; последнее
всегда замкнуто). Докажем, что для
любого вектора х?Н существует (и,
в силу строгой нормированности
пространства Я, конечно, только один)
вектор у g G, который из всех векторов
подпространства G дает наилучшую
аппроксимацию вектора х.
С этой целью обозначим через d
величину
* d = mi\\x—g\\
Рис. 2. ё&
и, в первую очередь, докажем, что
для любых двух векторов g'6<5, g"?G имеет место неравенство
Это неравенство носит название обобщенного неравенства Беппо
Леей и в случае обычного трехмерного пространства вытекает из
теоремы Пифагора (рис. 2).
Для доказательства неравенства Беппо Леви заметим, что
при любом Х(Ф — 1) (мы предположим X вещественным). Поэтому

15. СНОВА О ПРОБЛЕМЕ АППРОКСИМАЦИИ 31
и, значит,
или
^{||*~?"II2-<*} + 2А{Я(*?, xg)d}
+ {\\x-g'\\2-d*}>0.
Так как Я произвольно, то должно быть
{Ш(х-§\ x-g')-dr<{\\x-g'\[>-d*}{\\x-g"\\*-d>}.
Следовательно,
= \\x-g'\\*-2%(x-g', x-g")
= {\\x-g'\\2-d*}-2{$i(x-g', x-^)-
и неравенство Беппо Леви доказано.
Выделим теперь в G последовательность
gu g2, ?з, ... A)
так, чтобы
lim \\x — gn\\ = d.
?г->оо
Тогда, в силу неравенства Беппо Леви,
lim \\gn—gm || = О,
n->oo
т. е. последовательность A) сходится в смысле Коши, а так как
U — полное пространство, то существует вектор у ? Я, к которому
указанная последовательность сходится. Этот вектор у
принадлежит G, так как, по условию, G замкнуто.
Докажем, что
\\x-y\\ = d.
Действительно,
\\x — y\\<\\x — gn\\ + \\y-gn\\
и, следовательно,
\\x-y\\<d;
но y?G и, значит,
\\x-y\\>d;

32 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
отсюда и вытекает, что
||*-jf|| = d,
а вместе с тем и подлежащее доказательству утверждение.
16. Ортонормированные системы векторов в Н. Припомним
содержание п° 13, чтобы установить, что правило построения агрегата
наименее уклоняющегося от вектора х, данное вп°13, становится
особенно простым, когда векторы gt удовлетворяют соотношениям
(О (I ф k),
[ ( *12 )
или, как принято говорить, образуют ортонормированную систему.
Действительно, данная в п° 13 система уравнений для определе
ния коэффициентов Хг примет теперь вид
Mgft» gk) = (x, gk) (k=l, 2, ..., п),
и мы получим, следовательно, что
** = (*, gk) (*=1, 2, ..., /г),
т. е. каждый коэффициент Xk вычисляется независимо от
остальных и к тому же по весьма простому правилу.
Мы видим, что если ортонормированную систему векторов
gugn .'-,gn A)
можно расширить до ортонормированной системы
gli g2i • • ч gnj gn+li
то новый агрегат наилучшего приближения получится
прибавлением к старому еще одного* члена:
(*» gn+l) gn+U
без изменения коэффициентов старого агрегата.
В случае, когда система A) ортонормирована, квадрат
погрешности наилучшего приближения всякого вектора х принимает
очень простой вид. Действительно,
2(^ gk) gk) —{l]
1 1
B)

17. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ BF.KTOPOB 33
17. Ортогонализация системы векторов. Две системы векторов
gu gz, • • • 1 gn, g'i, g'2i • • •» gn
будем называть эквивалентными, если каждый вектор одной из
этих систем можно представить как линейную комбинацию
векторов другой системы. Для этого, как легко видеть, необходимо
и достаточно, чтобы
2k§2 + • • • + ankgn (k = 1, 2, . . ., П)
а11 а12 . . . а1п
Ф 0.
^7г1 ^7г2 . . . ^пд
Ясно, что в вопросах аппроксимации, которые нас интересуют,
одну из эквивалентных систем всегда можно заменить другой.
Предыдущий п°, естественно, приводит нас к такому вопросу:
в Н заданы линейно независимые векторы
gu #2, -..,?*; A)
нельзя ли найти эквивалентную этой системе ортонормированную
систему векторов
иначе говоря, нельзя ли ортогонализировапгь систему A)?
Оказывается, что ортогонализация всегда возможна.
Простой метод для ее осуществления указал Э. Шмидт, а также
Н. Сонин. Покажем, в чем состоит этот метод. Положим
I/ft I
помня, что || gi || Ф 0, в силу линейной независимости векторов A).
Ясно, что || ?j || = 1. Возьмем далее вектор
5*2 — ?г — ^i^i-
Легко определить А,4 так, чтобы вектор g'2 был ортогонален к е1в
Это произойдет при
Итак,
причем UgjII^O, так как в противном случае векторы g2 и еи
а значит, и векторы g2 и gi были бы линейно зависимы, что, по
условию, невозможно.
3 Н. И. Ахиезер

34
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Теперь положим
Ясно, что
Далее строим вектор
— (ft, e2) е2,
ортогональный векторам еи е2 и, очевидно, отличный от нуля,
и полагаем
Ясно, что
Вообще будет
IIfill "
eh =
ИЛИ '
Ортонормированная система еи е2, ..., еп, очевидно,
эквивалентна системе A), так как
= «12^1 + «22^2,
аккф0 (k=l, 2, ...,л).
Читатель легко проверит, что явное выражение векторов е
дается формулами
(gu gi) (ft. gi) ... (gh, gi)
i. ft) te, ft) ... (ft, ft)
1» gk-i) (ft, gk-i) ... {gh, gk-i)
gi #2 gft
G0=l, Gh =
18. Бесконечные ортонормированные системы. В трехмерном
евклидовом пространстве всякий вектор, ортогональный к каждому
из трех векторов, образующих ортонормированную систему,
обязательно равен нулю, иначе говоря, ортонормированную систему,

18. БЕСКОНЕЧНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ 35
содержащую три вектора, уже расширить нельзя; она является
полной.
Будем называть ортонормированную систему в Н полной, если
не существует вектора, отличного от нуля, который был бы
ортогонален к каждому вектору рассматриваемой системы.
Покажем, что в сепарабельном пространстве Гильберта
векторы каждой ортонормированнои системы можно перенумеровать,
т. е. их либо конечное, либо счетное множество.
Пусть {Xk} есть счетное, плотное в Н множество. Возьмем
два различных вектора е и е" из нашей ортонормированнои системы
и отнесем каждому из них по элементу из {xk}, так, чтобы
последний уклонялся от соответствующего вектора менее чем на -^]/2;
пусть
\\хк—е'\\<±У2, \\хк.-е'\\<±у'2.
Если мы докажем, что к! Ф k", то каждому элементу
множества {хк} будет соответствовать не более одного вектора
ортонормированнои системы, и наше утверждение будет доказано.
Итак, допустим, что k' = k" = k. Тогда, с одной стороны, в силу
неравенства треугольника,
\\е'-еГ\\<\\е'-хк\\+\\еГ-хк\\<}/2,
а с другой стороны,
||е'_е"[|2==(е'_е", в'-О = ||в'|Р + ||е'Н1 = 2,
что абсурдно. Следовательно, утверждение доказано.
Имея бесконечную ортонормированную последовательность
векторов
?ь ^2> ?з>
в пространстве Н (сепарабельном или нет), мы можем отнести
каждому вектору х ? Н ряд
оо
??(х,ек)ек, A)
т. е. последовательность векторов
п
2(*. ek)ek (л=1, 2, 3, ... )•
Так как, в силу формулы B) п° 16,
3*

36 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
то ряд
2 I (*, ek) |2
сходится, и мы имеем неравенство
со
2 |(*. eh)\*<(x,x). B)
По аналогии с тригонометрическими рядами назовем ряд A)
рядом Фурье для х, записывая это в виде
оо
*~ 2 (х, ен)ек,
1
а формулу B) назовем неравенством Бесселя.
Из выражения B) п° 16 для квадрата погрешности
наилучшего приближения вытекает, что вектор х ? Н тогда и только
тогда можно с любой степенью точности аппроксимировать
линейными комбинациями вида
... +апеп,
когда для вектора х неравенство Бесселя переходит в равенство
|)
которое мы назовем равенством Парсеваля (снова по аналогии
с тригонометрическими рядами).
Теорема. Для того чтобы ортонормированная
последовательность
еи е2, е3, ... C)
была полной в //, достаточно, а в случае полноты пространства
Н — и необходимо, чтобы для каждого вектора х ? Н имело место
равенство Парсеваля
(*, *) = 2|(х,еЛ)|2.
1
Доказательство. Допустим, что последовательность C)
не является полной в Я, т. е. существует вектор х6 Н такой, что
||*|| = 1, (*,**) = 0 (*=1,2, 3, ...).
Тогда
и значит, равенство Парсеваля имеет место не для всякого
вектора. Достаточность доказана.

18. БЕСКОНЕЧНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ 37
Предположим теперь, что пространство Н полно и что C) есть
полная в нем ортонормированная последовательность. Мы должны
доказать, что для всякого вектора х ? Н имеет место равенство
Парсеваля. Допустим противное и возьмем вектор х, для которого
(*> х) > § | (*, ek) |2.
1
Рассмотрим последовательность векторов
71
Xn=*2(x,ek)eh (п-1,2,3, ... ). D)
1
Так как при т—>оо, п—> со
п
|'i *n — *т ||2 = 2 1 {*, eh) |2 —> <Л
k=m+l
то последовательность {л:?г} сходится в смысле Коши, а значит
(пространство Н предполагается полным!), существует вектор
х'?Н, для которого
lim И*' —*n || = 0. E)
П-»оо
В силу неравенства Шварца — Буняковского
lim (хе —хп, ek) = 0.
п->оо
Но при n>k
(х' — хп, ek) = (х\ ек) — (х, ek).
Отсюда видно, что
(х\ек) = (х,ек) (*=1, 2, 3, ... )¦ F)
Возьмем вектор у=^х — х'. В силу F), он ортогонален к
каждому из векторов последовательности C) и, следовательно, должен
равняться нулю, так как система C), по условию, полная. Но это
невозможно, ибо
оо
II У II2 "^> У 1 (У ?>Л I2
II х || .-> Zj I \Xf ?k) I i
в то время как, в силу D), E),
II *Т = 21 (*,**) Iя,
и значит,

38 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
В заключение покажем, что выполнение равенства Парсеваля
для каждого вектора х ? Н влечет за собою выполнение
обобщенного равенства Парсеваля
(*, У) = S (*, гк) (ек, у) G)
для каждой пары векторов х?Н, у ? Я.
Действительно, применяя равенство Парсеваля к вектору
Х найдем, что
= 2 I (*. eh) I2 + Я 2 (У, <?*) {eh, x) +
(х,
^, eh)\\
откуда
со со
X (у, х) +1 (х, у) = Я2 (У, eh) (eh, х) +1 S (x, eh) (ek, у),
1 1
и, беря вначале Л=1, а затем A, = i, мы и получим требуемое
соотношение G).
19. Пример несепарабельного пространства. Совокупность всех
почти периодических функций Бора x(i),y{t), ... образует
некоторое пространство Гильберта, если скалярное произведение
определить формулой
т
(х, у)^\{ш±г \ x(t)W)dt.
То, что из (х, х) = 0 следует x(t) = O, составляет содержание
одной из основных теорем теории Бора.
Рассматриваемое пространство не сепарабельно. Это следует
из того, что в нем существует континуум линейно независимых
ортонормированных векторов. В самом деле, этим свойством
обладают функции
где а — любое вещественное число. Каждая из этих функций
является чисто периодической и, значит, принадлежит
пространству, а с другой стороны,
т
О (а*Р),
-т

20. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 39
20. Первая теорема Вейерштрасса. Из теоремы п° 8 в применении
к пространству С вытекает следующий факт: пусть f (х)—
непрерывная функция в конечном интервале [а, Ь]; тогда при любом п
существует многочлен
Рп (X) = РоХП + PiX71-1 + . . . + Рп,
который среди всех многочленов п-й степени наименее уклоняется
от f(x) в том смысле, что
q* = max \f{x) — Pn(x)\< max |f (x) — Qn(x) |,
где Qn (x) — произвольный многочлен п-й степени.
ЯСНО, ЧТО Qn+i<Qn-
Теперь мы докажем, что дп—>0 при п—>оо. Это
утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса A885),
которая гласит: если f (х) непрерывна в конечном замкнутом
интервале [а, 6], то всякому е>0 можно сопоставить
многочлен Рп(х) степени п = п(г), для которого во всем
интервале [a, b] имеет место неравенство
Не нарушая общности, примем, что а = 0, 6=1. Мы
приведем доказательство С. Н. Бернштейна.
Для этого построим многочлен
h=0
(п>1) и докажем, что равномерно во всем интервале [0, 1]
п->со
Напишем тождества:
h=Q
k=0
k=0
из которых последние два получаются дифференцированием по р

40
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
соотношения
h=0
Из написанных тождеств вытекает, что
fe=0
-х)
B)
Умножая A) на f (х) и отнимая Вп(х), получим, что
где суммирование в 2' распространено на те значения k, для
которых
х
< -?-?=» а суммирование в 2/; — на остальные
у п
значения /е.
Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0, 1]и,
значит, ограничена, |jP(a:)j<M во всем этом интервале, то
| 2" |
хк A -
хк A -
а это выражение на основании B) равняется
_L 71 _ <" М
3/2 ,2 Уп '
С другой стороны,
I x v1—x/
где
en = max
и, значит, еп—>0 при л—>оэ,

21. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 41
Окончательно
что и доказывает теорему Вейерштрасса.
Заметим, что если Рп (х) равномерно стремится к / (х) при
п~->оо, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд
f (х) = Р, (х) + {Р2 (х) - Л (х)} +...+ {Рп (х) - Pn-i (х)}+...
Поэтому теорема Вейерштрасса состоит также в том, что
всякая непрерывная в конечном замкнутом интервале [а, Ь]
функция f (х) может быть разложена в равномерно сходящийся при
ряд, члены которого суть многочлены.
21. Вторая теорема Вейерштрасса относится к периодическим
непрерывным функциям. Она гласит: если F(t)—непрерывная
функция с периодом 2я, то, каково бы ни было число е>0,
существует тригонометрическая сумма
= п(&)\, которая для всех t удовлетворяет неравенству
\F(t)-Sn(t)\<*.
Для доказательства рассмотрим две функции:
— t) , ,,ч F(t) — F( — t) . .
—}- , i|) (t) = —K) 2 —L sint.
Это — четные непрерывные функции с периодом 2я. Полагая
* = cos/, будем рассматривать для t интервал [0, я], а значит,
для х интервал [ — 1, 1]. Мы найдем, что
суть непрерывные функции от х в интервале [ — 1, 1]. Поэтому,
в силу первой теоремы Вейерштрасса, существуют такие
многочлены Р(х), Q(x), что
|/(*)_Р(х)|<!, |g(*)_Q (*)|<-L (-1<*<1)
или
Вначале мы получаем эти неравенства для интервала 0 < t < я,
но так как все входящие в них функции являются
периодическими и четными, то эти неравенства справедливы для всех t.

42
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Замечая, что
мы находим, что для всех t
где
\F(t)sint-U(t)\<±,
U {t)r=Q (cos t) + P (cos/) sin t
A)
есть некоторая тригонометрическая сумма.
Если бы мы применили те же рассуждения к функции
т-/], то аналогично получили бы, что
где V (t) — некоторая вторая тригонометрическая сумма.
Заменяя в последнем неравенстве -=—t на t, перепишем его
в виде
Из A) и B) вытекает, что
F (t) cos*/—V ( -S--M cost
откуда
F (t) — U(t)sint —
¦- t) cost
и следовательно, тригонометрическая сумма
удовлетворяет всем требованиям.
22. Сепарабельность пространства С. Покажем, что
пространство С относительно конечного интервала сепарабельно.
По теореме Вейерштрасса множество всех многочленов плотно
в С, а с другой стороны, заменяя коэффициенты (вообще говоря,
комплексные) какого-нибудь многочлена достаточно близкими
к ним числами, которые имеют рациональные вещественную и
мнимую части (коротко будем называть такие числа рациональными
комплексными), мы получим многочлен, который достаточно мало
уклоняется от исходного.

23. СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА Lp 43
Поэтому совокупность всех многочленов с рациональными
комплексными коэффициентами также плотна в С. Но легко видеть,
что множество многочленов с рациональными комплексными
коэффициентами счетно; это следует из того, что каждому такому
многочлену можно отнести в качестве «веса» число
где п — степень многочлена, целое положительное число q —
общий знаменатель коэффициентов, a ph + ipk— числитель
коэффициента при k-н степени (после приведения коэффициентов
к общему знаменателю), иметь же заданный вес может только
конечное число многочленов.
Так как замкнутый бесконечный интервал можно отобразить
взаимно однозначно и непрерывно на замкнутый конечный
интервал, то пространство С относительно замкнутого бесконечного
интервала также сепарабельно.
23* Сепарабельность пространства Lp. В теории интеграла Лебега
доказываются следующие факты:
а) если функция х (t) интегрируема в (а, Ь) и
(t)dt (a<t<b),
то почти всюду в (а, Ь)
z'(t) = x(t);
b) если измеримые функции xn(t) (п = 1, 2, 3...) равномерно
ограничены в конечном интервале (а, Ь) и если почти всюду
lim xn(t) = x(t},
71->OO
ТО
и и
lim \xn{t)dt= \x(t)dt;
с) если x(t)?Lv (/?>1), то x(t)?L (интервал предполагается
конечным).
Последнее утверждение доказывается очень просто.
Действительно, положим

44 ГЛ I ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
где
х (t), если ) x(t) | > 1,
О, если | х (t) | < 1.
Тогда функция x2(t) интегрируема, так как |х2(/)|<1, а
Функция х[ (t) интегрируема, так как
Приступая к доказательству сепарабельности пространства Lp
(р^>1), примем, что интервал интегрирования есть [0, 1], и
обозначим через / полузамкнутый интервал [0, 1).
Далее положим
<т*„, 1 1 ПРИ 4<<"
I 0 в оставшейся части /
(г = 0, 1, ..., п-1; л=1, 2, 3, ...)•
Множество функций
2j Kn и" (t)?Lp (n = l, 2, ...) A)
r=0
с рациональными комплексными коэффициентами )Srn\ очевидно,
счетно. Докажем, что оно плотно в Lp. Для этого достаточно
показать, что в Lv плотно множество функций A) с
произвольными комплексными Х{гг'\
Пусть x(t)?Lp. Положим
п — 1 п
r=0
причем интеграл в правой части существует в силу
утверждения с). Для любого t?l, очевидно, будет
sn(t) = n \ х (т) dx
где
| = \ х (т) dx.
о

23. СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА Lp 45
На основании утверждения а) почти всюду в /
/^40
откуда вытекает, что почти всюду в /
Предположим сначала, что х (t) — ограниченная функция,
\x(t)\<M. Тогда
x(t)dt
и значит,
\x(t)-sn(t)\<2M.
Поэтому, в силу утверждения Ь),
1
lim \ \x(t)-sn
n->oo J
т. е. при достаточно большом п
Предположим теперь, что функция x(t) не ограничена. Пусть
й есть то множество точек интервала /, в котором \x(t)\>k
=l, 2, 3, ...). Положим
Тогда
а правая часть стремится к нулю при k —> оо. Это
обстоятельство сводит рассмотрение неограниченной функции x(t) к
рассмотрению при достаточно большом k ограниченной функции Xk(t).
Таким образом, мы доказали, что пространство Lp@, 1) сепа-
рабельно.
От пространства Lv @, 1) легко перейти к пространству Lp(a, b)
при любых конечных или бесконечных а, Ь. Так как Lv (—оо, оо)
содержит всякое Lp (a, b) в качестве подпространства [если

46 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
каждую функцию / (t) ? Lv (a, b) определить на всей числовой оси,
полагая ее равной нулю вне интервала (а, Ь)], то достаточно
рассмотреть Lv (— оо, оо). Пусть
t = -i- + -^ arctg и (— оо < и < со)
Если f(t)?Lp(O, l),jro g(u)?Lp(— оо, оо), и обратно; при этом
со 1
Следовательно, из плотности в Lv @, 1) последовательности {/а (<)}
вытекает плотность в Lp(-oo, оо) последовательности (?а(ы)}.
24. Обобщение теоремы Вейерштрасса на пространство Lv'.
Теорема. ?сл?/ ^ (i) g Lp (а, Ь), г<5^ (а, Ь) — конечный интервалу
а р > 1, то, каково бы ни было число г > 0, существует
многочлен P(t), для которого
ь 1
Примем для простоты, что интервалом (а, Ь) является @, 1),
и заметим, что на основании предыдущего п° достаточно
рассмотреть тот случай, когда
0 в оставшейся части интервала / = [0, 1].
Построим непрерывную функцию y(t), которая равна 1 при
нулю при 0<*<а —Г-j-eV и Г^
и которая линейна в оставшихся частях интервала / (тут
предположено, что a >f-^г j , 1— Р ^> СТв У ; если это Условие
не выполняется, то необходимо в построение функции у (t) ввести
небольшое очевидное изменение). Имеем
1
о
а так как у (t) непрерывна, то по теореме Вейерштрасса

24. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА 47
существует многочлен Р (t), для которого
\y(t)-P(t)\<±* @
Поэтому, в силу неравенства Минковского,
1
<"8+ 2"
Следствие. Если f(t)?Lv(— оо, оо) (/?>1), то
lim
В самом деле, зададимся произвольным б>0и найдем столь
большое N, чтобы
5
Тогда при 0 < h < 1
со
\ \f{t + h)-f(t)\*dt<
-N
Построим теперь многочлен Р (t) так, чтобы
1
N
iV-i
Следовательно,
n In
-'N -N
1 N 1
<
"i" "T~ "^ч ^ !
BNf max \P(t + h)-P(t)\.

48 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
А так как
lim
равномерно в интервале —Л/</<Л/, то
N
.1
-N
и, значит,
lim | {
— оо
Легко проверить, что справедливо также такое утверждение:
если x(t)?Lp (/>> 1) относительно интервала [0,2я], то для
всякого е > 0 существует такая тригонометрическая сумма S (/), что
25. Полнота пространства Lp. Проведем доказательство полноты
пространства Lp(p>l), следуя Нейману.
Пусть последовательность функций хп (t) б Lv (п = 1, 2, ...)
сходится в смысле Коши:
оо
lim f" | v а\ v
т-ьсо
n->oo _v
Это значит, что для всякого в>0 существует такое N = N(&),
что при т, n>N справедливо неравенство
*п@-*т@|рЛ<е.
Построим бесконечную последовательность возрастающих
натуральных чисел Nr(r=l, 2, 3, ...), так, чтобы Nr>N (
тогда
Поэтому множество тех точек интервала / = ( — оо, оо), в
которых

25. ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА Lp 49
имеет меру, меньшую чем -^ . Значит, неравенства
одновременно выполняются на точечном множестве /г,
дополнение которого до интервала / имеет меру
mesG-/r)<2i ~& =-&=!•
Замечая, что /rd/r+iCI ..., мы находим,' что существует
lim /г = /*, причем mes(/ — /*) = 0.
Последовательность {%Nk (t)}Z=i сх°Дится равномерно в 1Г при
любом г. Действительно, в 1Т имеем
п-1 п-1
h+ih 2 i^
k=m k=m
(n>m>r).
Значит, последовательность {^Nk(t)}^=:l сходится в/*. Полагая
г lim xN (t) (tel%
x(t) = \ n-*°°
I o
и принимая во внимание неравенства
I \xm(t)-xNr(t)\vdt<
Ik(a)
(m, Nt>N(b)),
где ./й (a) — пересечение Ih с интервалом [ — а, а], мы получим,
делая предельный переход в Ik (а) (где сходимость
последовательности {xn (t)} равномерна), неравенство
J \xm(t)-x(t)\*dt<e.
Ik\a)
При а —> со левая часть не убывает. Поэтому
J \xm(t)-x(t)\"dt<e,
4 Н. И. Ахиезер

50 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
где m>N(e), a k произвольно. Так как Ikdh+ii то, полагая
k—> оо, в силу тех же соображений, найдем, что интеграл
I \xm(t)-x(t)\pdt
существует и не превосходит е, если /п>Л/(е).
Отсюда вытекает, что (хт— x)?Lp, а значит, и x?Lp, и
теорема доказана.
Отметим, что в процессе доказательства нами показано, что
если последовательность {хп (t)}™ сходится к х (t) no норме
пространства Lp, т, ё.
оо J
lim { \ }
то эта последовательность содержит подпоследовательность
WlfcLi' которая сходится к x(t) почти всюду.
26. Примеры полных ортонормированных систем в ZA Функции
1 1 ^1-^1 см 1 • cw /1\
А_ , -T^zrcos^, —T^rSin^, —^r=cos2^ —¦/=: sin 2^, ... A)
образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2
относительно интервала длины 2я. Действительно,
ортогональность и нормированной проверяются непосредственно:
" cosktsinmtdt = 0 (fe = 0, 1, 2, ...; m=l, 2, 3, ...),
о
2я
ill / d —+~ m i
, m=l, 2, 3, ...),
2Я
f cos kt cos mt dt =
r 0 (k Ф m),
= 0, 1, 2).
Полнота вытекает из сказанного в n° 18 (стр. 33), поскольку,
как указано в п° 24; совокупность всех тригонометрических сумм
есть множество, плотное в L2@, 2я).
Исторически тригонометрическая система A) была первой орто-
нормированной системой, встретившейся в анализе. Фурье первый
применил тригонометрические ряды к решению задач
математической физики, и читатель еще из элементов анализа знает, что

26. ПРИМЕРЫ 51
рядом Фурье (в узком смысле) называют именно
тригонометрический ряд, который можно сопоставить каждой интегрируемой
функции f(t):
оо
f (о ~ -у-+2 (а*cos kt+bk sin kt^
полагая
2л
aft = -^- J f (t) cos ktdt,
(ft = 0, 1,2, ...).
На основании формулы G) n° 18 из f(t)(:JL2, g(t)?L2 и
oo
~ -f-+2 (c*cos kt+d*sin
следует равенство (обобщенное равенство Парсеваля в узком
смысле)
2л __ оо
~ I f(t) gU) dt = If- + 2 (a*c* + MA).
0 fe=l
В частности, при g(t) = f(t) получаем
Далее, непосредственным следствием полноты пространства
L2 является следующее предложение, носящее название теоремы
Рисса—• Фишера: если ряд
I «о I
¦+2
сходится, то существует функция f{t)?L2 с коэффициентами

52 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Фурье ah, bh(k = O, 1, 2, ...), т. е. удовлетворяющая равенствам
2я 2я
аА = -^- J f (t) cos ktdt, 6л = 4" ^ f(t)sinktdt
о о
(* = о, 1,2,...);
эта функция с точностью до ее значений на множестве меры
нуль определяется однозначно.
Действительно, последовательность функций
п
nft0 (л = 0, 1,2,...)
сходится в смысле Коши, так как
2я п
JL Г s (t) sn(t)\2dt— У,
О ft=m+l
поэтому (пространство L2 полно!) существует функция f(t), для
которой
2я
?™ S 1/(<)-МО18л = о,
п-)-оо ^
и эта функция, очевидно, имеет коэффициенты Фурье а&, 6^
(й = 0, 1, 2, ...).
В пространстве L2^ относительно интервала [0, я] полную орто-
нормированную систему образуют функции
т/А cos ^, т/А cos 2/, ...
г я ' г я
Действительно, предположим, что существует функция f (t) g L2,
для которой
я я
J |/@1*Л=1, Jf(OcosWdf = 0 F = 0,1,2,...).
о о
Продолжая ее в интервал [ — я, 0] с помощью равенства
f)
найдем, что
я я я
[•\f(t)\*dt = 2, \f(t)cosktdt= [f(t)smktdt = O
tj <3 и «
—я —я —я
(k = 0, 1, 2,...),
а это невозможно в силу полноты ранее рассмотренной системы.

27. ТЕОРЕМА МЮНЦА 53
Аналогично доказывается полнота в L2@, я) ортонормирован-
ной системы
Полиномы Лежандра
dtk (* = 0' 1.2,...)
образуют полную ортогональную (но не нормированную) систему
в L2(—1, 1). Полнота устанавливается с помощью тех же
соображений, что и в начале этого параграфа для случая
тригонометрических функций. Ортогональность проверяется
интегрированием по частям:
2mfnm!n! \ Xm(t)Xn(t)dt =
1 1
dtm
dtm+l
-1 -1
1
_l)n
выражение
=h 2, ...,n)
при t= ± 1, очевидно, равно нулю; поэтому, если п>т, то,
продолжая процесс интегрирования по частям, мы получим в конце
концов
1
п ^п~т-1(/2_1)я ^2т+1(/2—1)т
— j dtn~m~x dt2m+1 '
-1
что равняется нулю.
27. Теорема Мюнца [1]. Найдем условия, которым должна
удовлетворять последовательность различных чисел
Ри Рг, Рз, ... ( Pi > — -«г» I™ p4 — оо
чтобы множество функций вида
г->-со

54
ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
где аи а2, ..., а^ — произвольные числа, а п=1, 2, 3, ..., было
плотным в L2 или С относительно интервала [0,1], или, как
принято говорить, чтобы система функций
была замкнута в пространстве L2 или С. Ясно, что при
рассмотрении пространства С те tPi, для которых р*<0, нужно
отбросить.
Начнем с нахождения условий замкнутости в ZA Поскольку
max
it;
то условия, необходимые для замкнутости в L2, являются
необходимыми для замкнутости в С.
Так как множество многочленов плотно в L2, то для
замкнутости системы {*p*}iLi в L2 необходимо и достаточно, чтобы при
любом целом q>0 и любом е>0 существовал полином
1=1
удовлетворяющий неравенству
На основании п° 14 для этого необходимо и достаточно, чтобы
для любого целого q>0 имело место соотношение
Urn
( ?~
A)
(мы можем считать, что g не совпадает ни с одним из pi). Наше
условие можно переписать в виде
где штрих означает пропуск возможного pi =
Отсюда уже легко усмотреть, что A) будет иметь место в том
и только том случа'е, когда ряд
2'
77

27. ТЕОРЕМА МЮНЦА
55
расходится. Действительно, в случае сходимости этого ряда
каждое из произведений
nYi—*Л nYi+—
11 V^ Pi4/ " \ ' Pi
имеет конечный и отличный от нуля предел при п —> оо. Если же
СО,
то первое произведение стремится к 0, а второе —к
бесконечности. Итак, замкнутость в L2 имеет место тогда и только тогда,
когда ряд
г=1
Pi
расходится.
Перейдем к пространству С. Предполагая п целым
положительным числом и выбрасывая из системы {pi} все
отрицательные числа и число 0, найдем, что при 0 < t < 1
т t m
г=1
г=1
т
г=1
г=1
B)
Так как одновременно с
Pi -
будет также
Л—1 -~>
>• 2-Ь-
ОО
то при достаточно большом т и надлежащим образом
выбранных \\,г правая часть в B) станет как угодно малой.
Итак, можно сделать как угодно малой величину
max
Г-^ KtVi
для всякого целого числа я>0.

56 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Поэтому, если среди показателей pt есть также число 0, то
система функций {tVi}t=i (pt>0, lim/?i = oo), для которой
= ОО.
Pi '
будет замкнута в пространстве С.
Эти два условия, однако, не только достаточны, но и
необходимы. Действительно, необходимость условия
вытекает из того, что это условие, как мы доказали, необходимо
для замкнутости в L2. Что же касается условия, что при
некотором /
то его необходимость очевидна. В самом деле, предполагая, что
все рг>0, мы найдем, что всякий полином
г=1
равен 0 при ? = 0, а потому погрешность приближения функции
х (t) ~ 1 будет всегда > 1, что противоречит замкнутости
системы.
Заметим, что указанные условия выполняются, например,
тогда, когда последовательность {рг} образована всеми простыми
числами и числом 0.
28. Линейный функционал. Пусть Е — некоторое линейное
нормированное пространство, a G— некоторое подпространство в нем.
Линейным функционалом в G называется определенная для всех
x?G функция ф = ф(х), значениями которой являются числа и
которая удовлетворяет следующим условиям:
а) для любых чисел а, р и любых х ? G, у ? G
Ф (ах + рг/) = аф (х) + Рф (у);
Ъ) существует константа М, для которой
если || х || < 1 и x?G.
Величина
sup |ф(л;)|,

29. ТЕОРЕМА Ф. РИССА 57
которая в силу Ь) не превосходит М, носит название нормы
функционала ф и обозначается символом || Ф ||с» а если G = E, то
просто ||ф||.
Если х ? G, то, по определению нормы,
Ф
или
Отсюда вытекает непрерывность линейного функционала: пусть
xn?G (az=1, 2, ...) и *6G, в таком случае из
Игл !|хЛ-х[| = 0 A)
следует
lim<p(*n) = <p(*). B)
п-кэо
Если элемент х и последовательность элементов {хп} из G
таковы, что для любого линейного функционала ф в G имеет место
соотношение B), то говорят, что последовательность {хп} слабо
сходится к х в G. В связи с введением этого термина
сходимость по норме, выражаемую соотношением A), часто называют
сильной сходимостью. Таким образом, сильная сходимость влечет
слабую. Обратное неверно.
Пусть G2 и GiCZG2 — два линейных подпространства в ?,
и пусть ф! (л:) и ф2 (х) — линейные функционалы в Gx и G2. Если
ф1(х) = ф2(х) для любого x?Gu то ф2(л;) называется
расширением функционала yi{x) на подпространство G2.
В курсах функционального анализа доказывается весьма
важная
Теорема Хана — Банаха. Всякий линейный функционал
Ф (х), заданный в GCZE, можно расширить на все пространство Е
и притом без увеличения нормы, иначе говоря, в Е
существует линейный функционал ty(x) такой, что
;= V g
29. Теорема Ф. Рисса гласит: всякий линейный функционал в
полном гильбертовом пространстве Н имеет вид
где f — некоторый элемент из Н, однозначно определяемый
функционалом ф; при этом ||ф|| =

58 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Для доказательства рассмотрим множество G всех тех
элементов у из //, для которых
В силу линейности функционала, G есть некоторое
подпространство в Н. Это подпространство замкнуто, так как функционал
непрерывен. Если G = #, то функционал всюду равняется нулю,
и теорема Рисса будет доказана, если взять / = 0. Положим
поэтому, что вфН, и пусть /* —элемент из //, для которого
Согласно п° 15, в G существует элемент у* (и притом только
один), для которого
\\r-!f\\ = d.
Пусть
/о = |(Г-У*)-
Тогда
(fo,y)
при любом y?G. Пусть, далее,
Тогда, если х — произвольный элемент из Я, то элемент
Ф(*) t
Х
обращает ф в нуль и, следовательно, принадлежит G; значит,
ft v ф(*) f Л
откуда
/f уЧ Ф('У) /f f\
V/Oi -У)= —тт-г (/0> /О)
ф(/о)
или
т. е.
Докажем единственность элемента /. Пусть для любого

29. ТЕОРЕМА Ф. РИССА 59
где f Ф?'. Беря # = /'-—/", найдем, что
откуда
(Г-f", f-f) = o,
что противоречит предположению.
Остается доказать, что
1!ф11 = !1/[1-
Но
1ф(*)КШ 11*11
по свойству скалярного произведения. Значит,
С другой стороны,
1
так что
Тем самым теорема Рисса полностью доказана.
На основании этой теоремы линейный функционал в L2(a, b)
имеет вид
где f = f(t)?L*(a,b) и
I Ф
= 11/112
Можно доказать, что линейный функционал в Lp(a, b) (p> 1)
имеет такой же вид, но / = /@6 Lq (a, b) и
Далее, тот же вид имеет линейный функционал в L, но f = f{t)
есть теперь измеримая функция, для которой
vraimax
При этом
vraimax |f@ i = inf sup 1/@1»
J*
где / есть интервал (а, 6), a /* —множество меры нуль на нем,
так что vrai max есть то наименьшее значение верхней грани,
которое может быть получено за счет удаления множества меры
нуль из интервала.

60 ГЛ. I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
Наконец, в пространстве С@, 1) линейный функционал
имеет вид
1
где о (t) — функция ограниченной вариации, интеграл понимается
в смысле Стилтьеса и
]|ф||= var a(t).
Oti
30. Критерий замкнутости множества векторов в произвольном
линейном нормированном пространстве. Множество Ш векторов
линейного нормированного пространства Е называется замкнутым
в Е, если любой вектор х?Е можно с любой степенью точности
аппроксимировать вектором вида
«101 + 0202+ ...+Оп0п, A)
где уг 6 Ш.
Для того чтобы множество Ш было замкнуто в ?, необходимо
и достаточно, чтобы всякий линейный функционал ф (х) в Е,
обращающийся в нуль на любом векторе у ? 5Ш, равнялся нулю
тождественно.
В самом деле, пусть Ш замкнуто в ?, и пусть линейный
функционал ф (а:) обращается в нуль на любом векторе у ? 9К.
Если х — произвольный вектор из Е, то при любом s>0 найдется
вектор вида A), для которого
И* — «101 — 0202— •• • — «дУп||
А так как
— aiyi — a2y2—... —ОпУп)\<
то
и, следовательно, ф(я) = О, поскольку г произвольно.
Необходимость доказана.
Чтобы доказать достаточность, допустим, что существует
вектор хо?Е, для которого
inf \}x0 — ai0i — a2t/2— ... — anyn\\ =
Обозначим через G линейное подпространство в Е, элементами
которого являются векторы вида
Oi0i + а2у2 + ... + апуп + p*0 (ух ? Ш). B>

30. КРИТЕРИЙ ЗАМКНУТОСТИ 61
Определим в G линейный функционал, полагая
Ф(*) = Р.
если х имеет вид B).
Это определение корректно, так как вектор x?G не может
иметь двух представлений вида B) с различными [3.
Так как
а2у2+ ...+ апуп + р*о || > | Р | d,
то норма функционала ц>(х) в G не превосходит -г.
С другой стороны, если
lim
fe~>oo
где
то из
1 = I ф (*o — zA) I < || q>
вытекает, что
11ф|к>7-
Следовательно, || ф ||G = — .
Расширив функционал ф на все пространство Е с помощью
теоремы Хана —Банаха, мы будем иметь функционал в ?\
который не равен тождественно нулю и обращается в нуль на
каждом векторе у?Ш. Таким образом, условие является также
достаточным.

ГЛАВА II
КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
31. Постановка вопроса. Пусть даны замкнутый (конечный или
бесконечный) интервал [а, Ь\ числовой оси и две вещественные
непрерывные в [а, Ь] функции f(x) и s(x). Составим выражение
где m, n заданы, и поставим задачу найти вещественные
параметры Р(ь ри ...» Рш\ <7о> Qu •... Чп так, чтобы уклонение
HQ= max
Q(x) от /(x) было наименьшим.
В частном случае, когда s(x) = l, m — 0 и интервал [a, b]
конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем
приближении в пространстве С заданной функции с помощью
многочлена степени п.
К нахождению минимума величины HQ, как это следует из
рассмотрений п°4 и более подробно будет показано в п°40,
сводится также задача о наилучшем приближении заданной
непрерывной периодической функции с помощью тригонометрической
суммы порядка п.
Относительно функции s (x) мы предположим, что она не
обращается в нуль внутри интервала (a, b), а если интервал [a, b]
конечен, то и на концах. Если же интервал [a, b] бесконечен,
то возможность обращения в нуль функции s(x) на его
бесконечно удаленном конце мы исключать не будем; вместо этого
потребуем в этом случае, чтобы при некотором целом k>0
произведение
s(x)xh
стремилось к конечному, отличному от нуля пределу, когда х
приближается к указанному концу, и будем предполагать, что
пг — п — k.
Кроме того, если интервалом [а, Ь] является вся числовая ось,

32. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 63
мы будем предполагать, что
lim s(x)xk= lim s(x)xk
X->oo X->—oo
(откуда следует, что число k в этом случае должно быть четным),
и будем рассматривать только такие функции f(x), для которых
lim f(x)= lim f(x).
Я»оо я-»—оо
Таким образом, в этом последнем случае предметом нашего
рассмотрения будет пространство Со, и точки ± оо удобно считать
за одну точку.
Далее, поскольку всякий вещественный многочлен нечетной
степени имеет по крайней мере один вещественный корень, то
в случае, когда [а, Ь] есть вся числовая ось, число т мы будем
считать четным (иначе число параметров pt с самого начала
уменьшается на единицу).
В дальнейшем мы будем считать все перечисленные здесь
условия выполненными, не оговаривая это каждый раз особо.
32* Обобщенная теорема Валле-Пуссена [2] гласит: если
многочлены
где 0<|x<m, 0<v</z, ао Ф 0, не имеют общего делителя
а выражение
в интервале [а, Ь] остается конечным и если разность
f(x)-R(x)
принимает в последовательных точках
Xi<X2< ... <XN A)
интервааа [а, Ь] отличные от нуля значения
^ь —^2» • • •» (— 1) ^n
с чередующимися знаками (для определенности можно принять,
что ?ч>0), причем*) N = m + n — d + 2, где й=-тт{\л, v}, то
*) Если интервалом [а, Ь] является вся числовая ось, то, на основании
сделанных для этого случая предположений, число N может быть только
четным. Поэтому в этом случае можно говорить о последовательных точках A)
полузамкнутого интервала [— оо, оо), что эквивалентно рассмотрению точек
f в качестве одной точки.

64 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
для каждой функции Q (х) вида (Т) имеет место неравенство
Это же неравенство имеет место, если R(x)^O и N = n + 2.
Для доказательства допустим, что некоторая функция Q(x)
этого вида удовлетворяет неравенству
HQ<min{X1, X2, ..., %N).
Составим разность
А (х) = Q (х) - Я (*) = [f (x) - R (x)] - [f (x) - Q (x)].
Очевидно, что числа
отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки. А так как Д (х)
в интервале [а, Ь] непрерывна, то отсюда следует, что Д (х) имеет
по крайней мере N~ 1=т + м+1—d нулей в открытом
интервале (а, 6). Но это невозможно, ибо
где второй из многочленов U(x), V (х) имеет степень <Л/ — 2.
Таким образом, теорема доказана.
Значение этой теоремы состоит в том, что она дает
возможность получить для погрешности наилучшего приближения
некоторую оценку снизу.
33. Теорема существования. Докажем, что среди функций (Т)
существует по крайней мере одна, для которой HQ имеет
наименьшее значение.
Пусть #>0 есть нижняя грань множества всех HQ.
Следовательно, по определению, существует бесконечная
последовательность функций Qt(x) (i' = l, 2, 3, ...), для которой
Пронормируем функции Qt(x) так, чтобы
+---+P?m=1 («-=1,2,3,...).
Покажем, что при таком нормировании все qtj также будут
ограничены.
Действительно, пусть
HQi<G (/=1,2,3, ...),
и пусть 1и ?г» -••> ?n+i — некоторые фиксированные и различные

33. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 65
точки внутри интервала (а, 6); тогда
\Hy\\
где g — любая из точек ?7-, и значит,
Если же значения многочленов qiQxn+ QnXn~1-}- ... + qtn в n+ 1
фиксированных точках ограничены, то ограничены и все
коэффициенты этих многочленов.
Воспользуемся теперь ограниченностью чисел
и выберем из последовательности {Qt(x)} некоторую
подпоследовательность, которую мы можем снова обозначить через {Q
так, чтобы существовали пределы
ij = ah \im qih = bk.
Мы придем тогда к функции вида (Т):
P(X)-S(X) bo
*-i+... +ат '
относительно которой докажем, что
НР= max \f(x) — P{x)\ = H.
Исключим из интервала [а, Ь] конечную совокупность точек C,
образованную корнями многочлена аохт + а^хш~г + ... -f am и
бесконечно удаленной точкой (если интервал [а, Ь] бесконечен). В
каждой точке 1?[а, 6], не принадлежащей ©, очевидно, будет
()
г->-оо
откуда
< max
где 8j—>0 при i->oo.
Следовательно, всюду в [а, 6], за возможным исключением
конечного числа точек, а значит, везде в этом интервале
\P(x)\<M=maxb\f(x)\+G.
Поэтому
Qt(x)-+P(x)
5 Н. И. Ахиезер

66 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
равномерно в каждом замкнутом множестве ЗЛсЩа, &]» не
содержащем точек из ®. Но в таком случае
откуда вытекает, что
max\f(x) — P(x)\<H
и,
то
и
значит,
А так
теорема
а
как
доказана.
НР>Н,
и и
Пр = Г1,
34. Теорема Чебышева гласит*): функция Р(х), которая из всех
функций вида (Т) (п°31) наименее уклоняется в [а, Ь] от
функции f (x), единственна. (Мы не считаем различными две дроби,
которые после сокращения совпадают.)
Эта функция вполне характеризуется таким своим
свойством: если она приведена к виду
V"i+...+^-v _ , v В (X)
где 0<|л<т, 0<v<n, ао Ф 0 и дробь А ; : несократима, то
число N последовательных точек**) интервала [а, 6], в которых
разность f(x) — P(x) принимает с чередующимися знаками
значение ЯР, не менее чем m + n — d + 2, где d = min{|x, v}, а если
) то N>n + 2.
Доказательство. То, что при N>m + n — d + 2 функция
Р (х) наименее уклоняется от / (л:) среди всех функций вида (Г),
вытекает из обобщенной теоремы Валле-Пуссена (п°32), если
в последней положить
Допустим теперь, что указанное в формулировке теоремы число
«точек уклонения» в интервале [а, Ь] есть ***)
*) См. П. Л Чебышев {II, стр. 151—235}.
**) Если интервалом [а, Ь] является вся числовая ось, то точки
считаются за одну точку.
***) При Р (х) == 0 в этом неравенстве d = m.

34. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА 67
и докажем, что в этом случае Р(х) не является наименее
уклоняющейся от f(x) функцией вида (Г).
Из сделанного предположения следует, что интервал [а, Ь]
можно так разбить на Л/' подынтервалов
[a, Si], Ни Ы, ...,[!n'-i, 6], A)
что в каждом из этих подынтервалов по очереди будет
выполняться одно из таких двух неравенств:
-Hp<f(x)-P(x)<HP—a, -//РН-а</(х)--Р(х)<//р, B)
где а —некоторое положительное число. Введем в рассмотрение
функцию
Так как многочлены А (х) и В (х) не имеют общего делителя, то
можно найти многочлены ф (х) и i|? (x) степени тип
соответственно так, чтобы
Теперь построим функцию вида (Г) по формуле:
где со —вещественный параметр, a Q(x) —многочлен степени
который мы в дальнейшем надлежащим образом определим.
Мы можем написать, что
Числитель последнего члена правой части меняет свой знак в
ЛГ — 1 точках:
Если мы докажем, что многочлен Q (х) можно подобрать так,
чтобы для всех достаточно малых | со! знаменатель
был положителен в интервале [а, Ь], а дробь
А(х)[А(хI2(х)-щ(х)]
была ограничена, то наше утверждение будет непосредственным
следствием неравенств B), которые поочередно выполняются
в интервалах A). Итак, укажем, как подобрать многочлен Q(x).
Если интервал [а, Ь] конечен, можно положить Q(x)= 1.
5*

68 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Если интервал [а, Ь] бесконечен, то, как мы приняли,
m = n — k (см. конец п° 31). Поэтому в этом случае |ji<v и,
значит, \i = d. В качестве Q(x) следует взять какой-нибудь
многочлен точно степени fx, положительный в интервале [а, Ь]. При
этом, если интервалом [а, Ь\ является вся числовая ось и, значит,
т есть число четное (см. п° 31), нужно принять во внимание, что
[х--также четное число.
Таким образом, характерное свойство функции наименьшего
уклонения доказано.
Нам остается только доказать единственность этой функции.
Доказательство будем вести от противного. Допустим, что кроме
функции Р (х) существует вторая функция Q (х) вида (Г), для
которой
Hq = Нр = Н.
Пусть для Q(x) числа ЛГ, \i\ v', d' играют ту же роль, что
и числа N, fi, v, d для Р (х), причем
Для определенности примем, что N'>N. Пусть
Pi» ?2» • • • > Рл"
суть точки уклонения для Q(x). Составим разность
-Q(x) = [f(x)-Q(x)]-lf(x)-P(x)l
которая в некоторых из точек р^ может обращаться в нуль;
однако если
то, как легко видеть,
sign If ф;) - Q (р,)] = sign А (р,). C)
Пусть, например,
Д (р,_,) Ф О, А (рО = A (pi+i) = ... = Д (&+*) = О, A ®Hh+i) Ф 0. D)
Так как
(-1I1/(pi-*)—Q(P«-i)l. (- l)i+fe+11/(Pi+*«)-Q(Pi+k+i)l
имеют одинаковые знаки, то, в силу C), одинаковые знаки имеют
числа
Поэтому число нулей разности А (х) в интервале [р^,
имеет ту же четность, что и число k; на основании D), это число
нулей есть по крайней мере k-\-2.

36. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 69
Повторяя эти соображения, мы найдем, что А (х) имеет в
интервале (а, Ь) по крайней мере Л/' —1 нулей; но это абсурдно,
так как
Л / Ч / Ч V M
A(x) = s(x)vy),
а из многочленов U (х), V (х) второй имеет степень
max {т + п — [x' — v, m + n— [х — v'}<JV/ — 2,
если Р^О, Q=?0,
я — v'<A/' — 2, если Р==0,
n — v<N — 2<Л/'--2, если Q = 0.
Таким образом, теорема полностью доказана.
35. Случай аппроксимации многочленами. Особенно важным
является уже отмеченный в п° 31 частный случай, когда s(x) = 1,
m = 0 и интервал [а, 6] конечен. В этом случае мы получаем
теорему: многочлен п-й степени Р(х), который наименее
уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной
функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что
число последовательных точек интервала [а, 6], в которых
разность f(x) — P(x) принимает с чередующимися знаками значение
max \f(x) — P(x)l не меньше, чем п + 2.
36. Полиномы Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля. Как
пример на применение теоремы Чебышева рассмотрим задачу:
среди всех многочленов п-й степени со старшим коэффициентом,
равным 1, найти тот, максимум модуля которого в интервале
[ — 1, 1] имеет наименьшее значение. Чтобы применить общую
теорему, мы должны искать многочлен степени п—1, который
наименее уклоняется от функции f(x) = xv\ Поэтому по теореме
Чебышева (п° 35) искомый многочлен
вполне характеризуется тем, что число последовательных точек
интервала [—1, 1], в которых Тп(х) принимает с чередующимися
знаками значение max 1^(^I, не меньше, чем n-f 1.
Покажем, что
Тп (х) = ~ \(х + У1?=\ )п + (х -1/3?±1 )п) .
То, что Тп (х) — многочлен степени п, очевидно. То, что старший

70 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
коэффициент Тп(х) есть 1, следует из формулы
Полагая # = cos0 (О<0<я), получим, что
Поэтому
' = nil=l C0Sn®-
jnax^ \Тп(х)\= фт.
Возьмем точки
Так как
Тп(xk) = ^zicos(n—k)n= (~2nl\ (k = 0, 1, 2, ...,n),
то в точках
— I = Xo <C X\ <Z X2 <Z . . . < #n-i < A^n = 1
Tn (я) принимает с чередующимися знаками свое максимальное
значение ^щ и^ значит, действительно представляет решение
поставленной задачи. Тп(х) называется полиномом Чебышева
степени /г, наименее уклоняющимся от нуля.
37. Дальнейший пример на теорему Чебышева. В качестве
второго примера на теорему Чебышева п° 35 рассмотрим такую
задачу [3]: найти погрешность наилучшего приближения в
интервале [— 1, 1] функции
1
где а>1, при помощи многочлена степени п.
Рассмотрим функцию
где
Так как Ф(х) есть рациональная функция от v, которая не
меняется при замене v на — , то Ф (х) есть рациональная
функция от х.

37. ПРИМЕР НА ТЕОРЕМУ ЧЕБЫШЕВА 71
Замечая, что
М lim {v~a) ^"
--2-mn ^
2аи а — v 4ап+2
•л.—г и. и —-г\м
мы заключаем, что при
A—а2J
функция Ф(х) примет вид
__А_ р (Y\ (O\
где Рп (х) — многочлен степени я с вещественными
коэффициентами.
Когда точка х описывает интервал [ — 1, 1] от правого конца
к левому, точка v описывает в положительном направлении
верхнюю половину окружности |и|=1. Из формулы A) следует, что
Ф(л:) в интервале [ — 1, 1] численно не превышает М, ибо при
\ — av
Более того, мы замечаем, что Ф(х) принимает значение Af, если
>п rz~f = 0 (mod 2я),
и значение —М, если
Так как функция
I— av
имеет в круге | v \ < 1 n-кратный нуль в точке 0 и простой нуль
в точке а, то легко видеть, что
arg
увеличивается от я до (п + 2) л, когда точка v описывает верхнюю
половину окружности 11> | = 1 в положительном направлении.
Поэтому функция Ф(лг) принимает с чередующимися знаками
значение М в п + 2 последовательных точках интервала [ —1, 1].
Следовательно, из всех многочленов n-й степени многочлен Рп (#),
определяемый формулами A), B), наименее уклоняется от
х — а
в интервале [— 1, 1].

72 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Искомая погрешность наилучшего приближения, таким
образом, равняется
М— 4аП+2 — (а —У Д^ГГ)П
A—а2J"~ а2_1
38. Пример на применение теоремы Валле-Пуссена. Рассмотрим
тот же вопрос, что и в предыдущем параграфе, но относительно
функции
f/уч_ Л(а2—1J Л'(д2-1)
вместо функции ^з^"' предполагая, что Д Л' и а">1— данные
вещественные числа. Сохраняя предыдущие значения величин v
и а, рассмотрим функцию
причем радикал считать определенным так, что
то после несложных преобразований мы получим, что
1J Л-(а2-!) р
где Рп (х) — многочлен степени л.
Так же, как и в предыдущем примере, мы найдем, что
максимальным численным значением функции Ф (х) в интервале [ — 1, 1 ]
является число |L|, причем Ф(х) принимает это значение с
чередующимися знаками в п-\-2 последовательных точках интервала
[-1, П.
С другой стороны, нетрудно показать, что при
2Л Yd*^
AY
имеем неравенство
max

"9. ПРИМЕР НА ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА 73
где
4 a—I
Поэтому при достаточно большом п разность
принимает в п-\-2 последовательных точках интервала
попеременно положительные и отрицательные значения, абсолютная
величина которых превышает
На основании частного случая теоремы Валле-Пуссена,
s(a;)=e1, m = 0, погрешность наилучшего приближения, которую
мы ищем, не меньше, чем
а с другой стороны, эта погрешность не больше чем
|L|(l + |i).
Обозначая искомую погрешность через En{f], мы получим, что
Л С-1J 1 Л'(а2-!) 1
(х_аJ + х__а J -
\А\Уа*—\
п-\
2а А —А'
2аА — А' \2
где
а—\ Г , 2аА — А' \2
А У а*— 1
и, значит,
lim 8д = 0.
71->ОО
39. Пример на применение общей теоремы Чебышева. Для
примера, который мы рассмотрим в этом параграфе, воспользуемся
эллиптическими функциями. Вначале сформулируем задачу:
определить рациональную дробь, числитель и знаменатель которой
имеют степень т, так, чтобы максимум модуля относительной

74 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
погрешности, с которой она аппроксимирует функцию
1
в интервале [0, 1], был наименьшим, причем заданное число k
удовлетворяет неравенству
Мы имеем тут, очевидно, тот случай общей задачи п° 31, когда
Напомним теперь некоторые свойства эллиптических функций.
Функция Якоби l = sn(u; k) определяется из соотношения
dt
Функция dn(u; k) определяется формулами
(u;k), dn@; fe) = l.
Если положить
„_ Р dt
\ /A-/2)A_
x = sn2(u; k),
то при возрастании и от 0 до К величина х будет возрастать
от 0 до 1.
2/С есть период функции sn2(u; k), т. е.
$п2(и + 2К; &) = sn2(u; k).
k называется модулем рассматриваемых функций, К —полным
эллиптическим интегралом первого рода для модуля k.
Эти факты общеизвестны. За область элементарных фактов
выходит соотношение
которое принадлежит так называемой теории преобразования
эллиптических функций.

39. ПРИМЕР НА ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА 75
В соотношении A) величины X и М определяются такими
формулами:
m
г=1
т
^2т
причем полный эллиптический интеграл первого рода L, который
соответствует модулю X, равняется
г _ К
Ь~~Bт+\)М •
Поэтому формула A) дает так называемое деление на 2т + 1
периода (первого периода) функции dn(a; k).
В этом отношении мы имеем тут аналогию с формулами
1 г/
COS ф = #,
которые выражают теорему деления на п периода 2я функции
СО$ф.
Полагая
x = sn2(u; k),
рассмотрим функцию
2
г=1
Заставим и возрастать от 0 до /С, или, что то же самое,
от 0 до Bm+l)ML; при этом х будет меняться от 0 до 1,
a dn ( -^-; X ), согласно с ранее отмеченным, будет все время
заключаться между 1 и |Л— А,2, так что у будет заключаться
между
_ i_]/TZl2 __
1 i лГ~\ л~о

76 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
При этом у будет иметь значение 1 —J— fx в точках и — О, 2ML,
4ML, ..., 2mML и значение 1 — ц в точках и = ML, 3/WL, ...
..., {2m+\)ML. Поэтому в последовательных точках
интервала [0, 1] разность
принимает с чередующимися знаками свое максимальное в [0, 1]
значение |л.
На основании общей теоремы Чебышева, поскольку в данном
случае
и, значит,
у(х) есть функция, которая наименее уклоняется от 1 в
интервале [0, 1] среди всех функций вида
Следовательно, искомая минимальная относительная
погрешность равна
1
1
где
т
Заметим, что рассмотренная в этом параграфе задача,
которая впервые была решена Золотаревым и Чебышевым [4], имеет
значение в теории электрических фильтров (см. работы Кауэра [5]).
40. Переход к периодическим функциям. Допустим теперь, что
/(9) есть непрерывная периодическая функция с периодом 2зт,
которую нужно наилучшим способом аппроксимировать на всей
оси при помощи тригонометрической суммы
Sn (Э) = Ло + А! cos 9 + Bi sin 6 + ... + Ап cos nQ + Bn sin nQ
порядка п.
Сделаем замену переменной

40. ПЕРЕХОД К ПЕРИОДИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ 77
так что интервалу —я<9<я будет соответствовать интервал
— оо<л:< оо.
Так как
и так как cos &9, sins. ~Z ' суть многочлены степени k от cos 9,
то после преобразования мы получим
-г+ ... +р2п
Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в
интервале [ —оо, оо]) приближению функции
при помощи выражения вида
^2П (X) -
Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай
выражения (Т) п° 31, если положить m = 0, 5 (х) = п ^2 .
Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебы-
шева теперь *) гласит: тригонометрическая сумма п-го порядка
Sn(Q), которая наименее уклоняется на всей оси от заданной
непрерывной периодической функции, единственна и вполне
характеризуется тем, что число последовательных точек интервала
— я < 9 ^ я (или какого-нибудь полуоткрытого интервала длины 2я),
в которых разность f (9) — Sn (9) принимает с чередующимися
знаками значение max | f (Э) — Sn(Q) j, не меньше, чем 2п-\-2.
Приведем еще формулировку теоремы Валле-Пуссена: если
разность f (9) — Sn (9) принимает в 2п + 2 последовательных
точках интервала — я < 8 < я (или какого-нибудь полуоткрытого
интервала длины 2я) значения
^li — ^2> ^3» • • • 1 — ^271+2»
где все Х& больше нуля, то погрешность наилучшего
приближения функции f (9) с помощью тригонометрической суммы порядка п
не меньше, чем
min {>w1? A,2, .. ., ^}
х) Эту теорему легко доказать также непосредственно, что мы и
рекомендуем читателю.

78 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
41. Пример. В качестве первого примера рассмотрим задачу:
найти тригонометрическую сумму
^-iCos (n— 1) 0 + fcn-i sin (n— 1H + ... +ао,
где аир заданы, которая имеет наименьший максимум модуля.
Мы имеем тут задачу о наилучшем приближении при помощи
тригонометрической суммы порядка п—\ функции
f (в) = a cos л0 + р sin пд = |Ax2 + p2cos п (9 - 0О).
В силу теоремы п°40 искомая тригонометрическая сумма
(л—1)-го порядка есть тождественный нуль, ибо разность / @) — О
принимает свое максимальное значение |Лх2 + р2 с чередующимися
знаками в 2п последовательных точках
%+~ (* = 1, 2, 3, ...,2л)
интервала 0о<0<0о + 2я.
Наименьшее уклонение равняется, таким образом, |Лх2 + Р2.
42. Функция Вейерштрасса. В качестве дальнейшего примера *)
рассмотрим функцию Вейерштрасса
/@)= § a!ncos(^l0),
m=0
где а — положительное число, меньшее 1, а Ъ — целое нечетное
число, большее 1. Так как ряд, определяющий функцию /@),
равномерно сходится, то /@) есть непрерывная функция, которая,
очевидно, имеет период 2я.
Задавшись произвольным натуральным числом п, определим
натуральное число ?+1 так, чтобы
bk<n<bk+1,
и рассмотрим выражение
Sn@)= 2 alcosFnl9),
m=Q
которое является тригонометрической суммой порядка <п.
Уклонение Sn(Q) от /@) есть
оо
max |f (в) — 5n@)| = max| 2 amcos(fcm6)| =
m=ft+l
V Л™ ah+1 I
m=h+i
*) С. Н. Бернштейн {Э. С}.

43. ПРОБЛЕМА ХААРА 79
Легко видеть, что разность / @) — Sn @) принимает с
чередующимися знаками значение Ln в 2bh+1 последовательных точках
т
интервала О<0^2я. А так как 26/m>2n + 2, то, в силу
теоремы п° 40, Sn(Q) есть тригонометрическая сумма, которая
наименее уклоняется от / @) среди всех тригонометрических сумм
порядка п. Мы видим, что отрезки тригонометрического ряда,
который определяет функцию /@), являются для произвольного п
тригонометрическими суммами наилучшего приближения для /@).
Можно указать и другие примеры, где имеет место это редкое
явление.
Отметим, что в рассмотренном примере
L _^<_J_±
п 1 —а ч1-о„«'
где
а = In-: In b.
а
Это следует из того, что
L==/,-o(ft+i)<r-_L.
В дальнейшем у нас еще будет повод вернуться к этой оценке.
43. Проблема Хаара. К кругу идей Чебышева принадлежит одна
интересная общая проблема, которая была поставлена и решена
А. Хааром [6] и которую мы теперь рассмотрим.
Пусть дано некоторое ограниченное замкнутое точечное
множество 501 в пространстве конечного числа измерений (или, более
общо, некоторый компакт Ш). Пусть на Ш заданы линейно
независимые непрерывные вещественные функции
В том случае, когда Ш состоит из конечного числа точек, это
число должно быть более п. Будем рассматривать всевозможные
«полиномы»
F (Р; х) = XiU (Р) + x2f2 (P)+...+ xnfn (P)
и назовем уклонением полинома F(P\x) от некоторой
непрерывной в Ш функции f(P) величину
L(x) = L(x;f)= max \f(P)-F(P;x)\.
pea»

80
ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Так как совокупность всех непрерывных в Ш функций при
принятом нами здесь определении расстояния есть линейное
нормированное пространство (пространство С), то на основании п°8
для каждой функции f (P) существует полином F(P; Я), который
наименее уклоняется от /(Р).
Проблема Хаара заключается в отыскании необходимых и
достаточных условий, которым должны удовлетворять функции
/а(Р), чтобы для каждой функции f (P) полином наименьшего
уклонения был единственным.
Теорема Хаара гласит: единственность полинома
наименьшего уклонения для каждой функции f (P) будет тогда
и только тогда, когда каждый полином F (Р; х)фО имеет в Ш
не более п—1 различных нулей.
Это условие, очевидно, эквивалентно условию, что
fi(Pt)h(Pi)..-fn(Pi)
:0
A)
МЛОМЛО-.-ЫР»).
при любых различных точках Ри Р2, ..., Рп?Ш.
44. Доказательство теоремы Хаара. Для доказательства
необходимости предположим, что в Ш имеется п различных точек
РА, Р2, ..., Р7г, удовлетворяющих соотношению
fl(Pi)h(Pi)---fn{Pl)
Из этого предположения следует, что существует «нетривиальная»
система чисел си с2, ..., сп, для которой
cjk (Pi) + c2fh (P2) + ... + cnfk (Pn) = 0 (k = 1, 2, ..., n),
а отсюда вытекает, что для каждого полинома F (Р; х)
i; x) + c2F(P2; x)+... +cnF(Pn; x) = 0. A)
Кроме того, из сделанного предположения следует, что
существует нетривиальный полином F (Р; а), обращающийся в 0 в каждой
из точек Ри Р2, ..., Рп. Определим для него число % так, чтобы
max \XF(P; а)|<1,
Р?<т
и пусть g (P) — какая-нибудь непрерывная в Ж функция, для
которой
\g(P)\<i (Pern)

44. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХААРА 81
И
g (Pt) = sign си если ct Ф 0 (/ = 1, 2, ..., л).
Теми же свойствами, очевидно, - обладает и функция
Докажем, что функция f(P) имеет бесконечное множество
полиномов наименьшего уклонения. Действительно, каковы бы
ни были числа хА, д:2, ..., хП1 величина L(x; f) не меньше, чем 1,
ибо в противном случае на основании равенств
f(Pt) = signси если сгф0 (i = 1, 2, ..., п)
должны были бы иметь место равенства
sign F (Ри х) = sign / (РО = sign ct
для всех си отличных от нуля, что невозможно благодаря
соотношению A).
С другой стороны, при | е К 1
так что eXF(P', а) для всякого г ( — 1^е<1) есть полином
наименьшего уклонения для f (P) (так как уклонение равно 1).
Таким образом, необходимость условия Хаара доказана.
Доказательству достаточности предпошлем одно
вспомогательное предложение.
Лемма. Пусть условие Хаара выполнено, и пусть число
точек множества ЯК, где
\f(P)-F(P;x)\ = L(x), B)
меньше, чем м+1. В таком случае F(P\x) не есть полином,
наименее уклоняющийся от /(Р).
Доказательство леммы. Пусть Рь Р2, ..., Pm(m<n)—все
различные точки 2Л, в которых имеет место B). Дополнив
как-нибудь, если m<Ln. эту систему точек до системы различных п
точек Р1,Р2,...,Рп и воспользовавшись неравенством нулю
детерминанта
fl(Pn).-.fn(Pn)
6 Н. И. Ахиезер

82 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
решим систему уравнений
U (Pk) Si + h (Pk) S2 + ... + /n (Ph) In = / (Ph) - F (Ph; x)
(?=1,2, .... л)
относительно Si» S2» • • •* Sn- Мы получим некоторый полином
F(P\ I), который в точках Ри Р2, ..., Рто принимает те же
значения, что и функция
R(P) = f(P)-F(P;x).
После этого мы построим полином
где, следовательно, xi = Xi + eli (/ = 1, 2, ..., /1), и покажем, что
при достаточно малых е>0
C)
Тем самым лемма будет доказана.
С этой целью выберем прежде всего для каждой из точек
Ph (k = 1, 2, ..., т) столь малую окрестность 30U, чтобы на
множестве У1 = Ш\ + % + • • • + З&т имели место неравенства
>0, min \F (P; I) | >-^L(x).
Пусть, далее, 2Л* = 9Л—5Л и
N= max \F(P] S)|, M = max | F(P; S)|, L*(x)= max \R(P)\.
Очевидно, что
и легко видеть, что для справедливости неравенства C)
достаточно, чтобы
Действительно,
P)-
откуда
если P?9l, и
| f (P)-F(Р; х')|<|/?(Р)| + 81F(Р;1) |<L* (х) + гМ<L(х),
если Р ? Ш*. Лемма доказана.

45. ПРИМЕР 83
Теперь уже нетрудно доказать достаточность условия Хаара.
Пусть условие Хаара выполнено, но вопреки теореме некоторая
функция f (P) имеет два различных полинома наименьшего
уклонения
F(P;x), F(P;y).
Так как
то этим же свойством будет обладать полином F
В силу леммы, уравнение
где L =
~- j =L(x) = L(y) имеет по крайней мере п
различных нулей Ри Р2, ...,РП в Ш. Но для того чтобы имело место
равенство
/ \гг)—
необходимо выполнение равенства
f(Pt)-F(Pt; x) = f(Pi)-F(Pu y)=±L.
Следовательно, из сделанного нами допущения вытекает, что
нетривиальный полином
F(P;x-y)
имеет в ЯК п различных нулей, а так как это невозможно, то
достаточность условия Хаара доказана.
45. Пример [7]. Рассмотрим бесконечную (счетную или
несчетную) систему линейных уравнений с п неизвестными:
= U
а[хх + а'2х2 + ... f апхп = V,
Г, A)
у которой коэффициенты и правые части ограничены и
вещественны.
Допустим, что уравнения несовместны. Тогда нельзя ставить
вопрос о точном решении системы A), но можно поставить вопрос
6*

84 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
о ее приближенном решении; например, можно искать величины
#i, хъ ..., хп из условия, чтобы уклонение
L(x) = sup \IW- j]aia)xh\
(a) fe«i
было наименьшим.
Эта задача включается в общую проблему Хаара.
Действительно, будем рассматривать числа
nW „(а) „(а) ;(а)
как координаты некоторой точки Р, Они являются непрерывными
функциями от Р. Поэтому систему A) можно переписать в виде
Xif 1 (Р) + X2f2 (P)+...+ Xnfn (Р) = f (Р).
Если соответственно уравнениям A) точка Р пробегает
множество Ш, которое, по предположению, ограничено, то речь идет
об отыскании х% из условия, чтобы величина
!(*)= sup |f(P)- %xkfk(P)\ B)
Р?Ж fci
была наименьшей.
Очевидно, что L(x) не изменится, если мы множество Ш
замкнем. Следовательно, с самого начала можно считать, что 931 —
замкнутое ограниченное множество, а поэтому B) можно
заменить на
-2 xhfh{P)\.
Мы знаем, что существует система значений хи которая
минимизирует величину L(x), и, на основании теоремы Хаара,
эта система будет единственной для любой системы чисел /<а>,
п
если при произвольных ?* B ?1 > 0) полином
имеет в 50i не больше п—1 разных корней, т. е. если не
существует нетривиальной системы ?lf ^2»--ч ?п? для которой обращаются
в нуль более чем п—1 линейных форм:
Яг fa,

46. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА
85
иначе говоря, если не равен нулю ни один из детерминантов
46. Обобщение теоремы Чебышева. Рассмотрим систему
вещественных непрерывных функций
(S) h(x), /2(*), ...,М*)
в конечном или бесконечном интервале [я, ft], которые
удовлетворяют условию Хаара в одном из интервалов [я, ft], (a, ft),
(а, ft] или [а, ft). Следуя Бернштейну {Э. С.}-, будем называть
всякую такую систему системой Чебышева относительно
соответствующего интервала.
В настоящем п° примем, что (S) есть система Чебышева
относительно интервала [a, ft].
Лемма. Пусть х^ х2, ..., xn_i — произвольно взятые
различные точки из интервала [a, ft]. В таком случае существует
(и с точностью до постоянного множителя только один)
нетривиальный полином
F(x; Я) = XJ1 (х) + X2f2(x)+,.,+ Kfn(*),
который имеет своими нулями эти точки. Других нулей у этого
полинома нет, и если точка xk лежит внутри (a, ft), то при
переходе через нее полином F (х; Я) меняет знак.
Подлежит доказательству только последнее утверждение. Оно
следует из того, что полином F (х, Я) представим в виде
F (х; Я) = CD (х; хи хг, ..., хП-д,
где С—константа, и
Ш h(x)...fn(x)
D\
и так как при произвольных
A)
имеет место неравенство
D (х0; хи х2, ..., xn_i) ф О,
то при условии A) детерминант
D (х0; Х\, х2, ,,,, хп__\)
будет иметь всегда один и тот же знак.

86 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Отсюда и следует, что для точки хи, которая лежит внутри
интервала (a, fe), числа
D(xk — e; хи х2, ..., хп_х), D(xk + e; хи х2, ..., хп_г)
при достаточно малом е>0 имеют всегда различные знаки.
Лемма доказана.
Обобщение теоремы Чебышева (п°35), о котором будет речь
в настоящем п°, состоит в следующем: если (S) есть система
Чебышева относительно интервала [а, 6], a f(x) — произвольная
непрерывная в [а, Ь] вещественная функция, то полином F (х\ а).
который в метрике пространства С наименее уклоняется в [а, Ь]
от f (х) (существование и единственность этого полинома
доказаны*) нами раньше), вполне определяется тем, что разность
f(x)—F(x; а) принимает с чередующимися знаками свое
максимальное значение по крайней мере в п+l последовательных
точках интервала [а, Ь].
Предположим, что разность /(*) — F(x;a) принимает с
чередующимися знаками значение L— max \f(x) — F(x; a)\
последовательных точках
интервала [а, Ь].
Мы можем, очевидно, всегда разбить интервал [а, Ь] на q
интервалов
[a, *i], [хи х2], ...» [%л» Ь], A)
причем
a<yi<xi< ... <yq.i<xq_l<yq<b,
таким образом, чтобы в интервалах A) по очереди выполнялось
одно из двух неравенств:
-I</(*)-F(x; aXI-ii, —L + ii<f(x)-F(x, a)<L,
где 0 < |i < ^ * и чт°бы
f (Xq-i) = F {Xq^; a).
Между точками xq_\ и yq возьмем точку X так, чтобы в
интервале
[*g-i, X] B)
имело место неравенство
f (x) — F (x; a)<L-fx,
*) Мы рекомендуем читателю провести доказательство непосредственно
для данного случая и убедиться, что предположение о конечности интервала
[а, Ь] несущественно.

46. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА 87
и выберем в интервале (xq_i, X) произвольные точки
Xq < Xq+i < . . . < Xq+2m-li
гдет= Г п~д 1 и, значит, q + 2т— 1 равняется п—1 или л — 2.
Построим полином
F (х; Р) = F (*; а) + eD (*; хи х2, ..., *n_i),
где xn_i = b, если <7 + 2т — 1=я — 2.
Величину е выберем так, чтобы
max I eD (*; хи х2, ..., хп_г) | < \х.
Мы можем, очевидно, выбрать е таким образом, чтобы в
интервале [a, Xi\ выполнялось условие
sign {f (r/O — Z7 (г/i; а)} = sign eD (*; xu x2, ..., xn-i).
Тогда по лемме настоящего п°
sign eD (x; xu x2, ..., xn.i) = sign {/ {yk} — F (yk; a)}
при xk_iKx<xk для k=l, 2, ..., <7—1, где xo = a.
Отсюда вытекает, что в интервале [a, xq_\\ имеет место
неравенство
С другой стороны, это же неравенство, очевидно, мы будем
иметь в интервале [xq_u 6], если q-\-2m— l=/z— 1. Значит, для
этого случая доказано, что Т7 (л:; а) не есть полином, наименее
уклоняющийся от f(x).
Если же q-\-2m—\=п—2, то мы получим, что
во всяком случае при а < х < 6, тогда как
Если в этом неравенстве имеем знак <, то F (х\ р) дает
лучшее приближение, чем ^(^а).
Если же
\f(P)-F(b;f,)\=L,
то достаточно взять какой-нибудь полином/7^; у), для которого*)
F(b;i)lf(b)-F(b;t)]>O,
*) Нужно принять во внимание, что все функции fk(x) (?=1» 2, . .., п)
не могут обращаться в нуль при х = Ь, так как мы имеем систему Чебышева
относительно замкнутого интервала [а, 6].

88 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
чтобы получить при некотором б > 0 неравенство
\f(x)-F(x]$)-6F(x;y)\<L
для всего интервала а<л;<6.
Таким образом, необходимость признака, который дает теорема,
доказана. Доказательство достаточности просто, и мы оставляем
его читателю.
Кроме этого предоставляем читателю обобщить в
рассмотренном здесь направлении теорему Валле-Пуссена*).
47. Обобщение теоремы Чебышева на комплекснозначные
функции. Сохраним предположение п° 43 о множестве Ш и о
рассматриваемых на нем функциях, за исключением предположения
о вещественности. Таким образом, все функции могут принимать
любые комплексные значения. В частности, это относится
и к коэффициентам х% полинома
F(P;x) = xth (Р) + x2h (P) + ... + xnfn (P).
Теорема (А. Н. Колмогоров [6]). Полином F(P;x),
наименее уклоняющийся в Ш от функции /(Р), вполне характеризуется
следующим свойством: если Шх есть множество точек Р ? 5Ш,
для которых
то, каков бы ни был полином F(P; ?),
minfft {F(P; l)[F(P; x)-f (P)]}<0. A)
Доказательство. Принимая, что условие A) выполнено,
возьмем произвольный полином F(P\ х'), отличный от F (Р; х),
и применим A) к разности F(P; x)—F(P;x') = F(P;x — x') =
= F(P; Ю-
В силу условия A), найдется такая точка РобЗЯх» что
l) If (Po) -F (Ро; х)]} > 0.
Поэтому
| f (Ро) - F (Ро; х') | = | / (Ро) -F(P0ix)+F (Ро; I) \ =
)-F (Ро; х) |2+23i {F (Ро; I) [f (Po)-F (Ро; х)]}+\ F(P0; Q
>\f(Po)-F(Po\x)\ =
и, значит,
L(x')>L(x).
*) См. С. Н. Берн штейн {Э. С.}.

48. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХААРА 89
Итак, если условие A) выполнено, то F (Р\ х) наименее
уклоняется от f(P).
Допустим теперь, что условие A) не выполнено, т. е.
существует полином F (Р; ?), для которого всюду в ffix
Vt{F(P;l)[F(P]x)-f(P)}}>0.
Тогда полином F(Р; х'), где х[ = хг — е^ (/= 1, 2, . ..,я), при
достаточно малом 8>0 будет уклоняться от f (P) менее, чем
полином F{P\x). Это доказывается с помощью надлежащего
обобщения построений, использованных при доказательстве
леммы п° 44. Действительно, так как множество Шх замкнуто,
то существует такое v > 0 и такое открытое множество #1 Z) УЯХ,
что для всех Р?91
9t{F(Pil)[F(P;x)-f(P)]}>v.
Положим Ш* = Ш — Ш и обозначим
F(P;*)|, H = max\F(P;l)\.
Р?Ж
Так как множество Ш* замкнуто и на нем
\f(P)-F(P;x)\<L(x),
ТО |Ll>0.
Для окончания доказательства остается подчинить число е
неравенству
0<e<min{-p-, -ж}-
В самом деле, из тождества
\f(P)-F(P;x')\*=\f(P)-F(P;x)\*+B*\F(P;t)\*-
-2sVt{Fj!\?)[F(Pix)-f(P)]}
следует, что при Р?%1
\f(P)-F (Р; х')\ < VlL(x)]2 + s2H*-2ev < V[L(x)f-&v< L (x),
а при Р б Ш*
\f(P)-F (Р; х') | < Y\L (х) - ц]* + гШ* + 2гН [L (х) -ц] =
48. Обобщение теоремы Хаара на комплекснозначные функции.
Теорема Хаара, как показал А. Н, Колмогоров [6], остается
в силе и для комплекснозначных функций, а именно и в

90
ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
комплексном случае единственность полинома наилучшего
приближения
F (Р; х) = Xifi (Р) + x2f2 (P)+...+ xnfn (Р)
для любой непрерывной на Ш функции имеет место в том и только
том случае, когда всякий нетривиальный полином F (Р; х)
обращается в 0 не более чем в п—1 точках множества.
Чтобы доказать необходимость условия Хаара, допустим, что
для некоторой системы из п различных точек Рь Р2, ..., Рп
fl(Pl) .../n(P
fl(Pn)...fn(Pn)
= 0.
Как и в п°44, найдем нетривиальную систему уже комплексных
чисел си съ ..., сп, при которых равенство A)п°44 имеет место
для любого полинома F (Р; х), а также найдем нетривиальный
полином F(P; а), обращающийся в нуль в точках Pi, Р2, ..., Рп-
Затем построим непрерывную функцию g(P), для которой
если
= l, 2, ...,я),
и, наконец, возьмем функцию
f(P)=g(P){\-\kF(P;a)\},
где X выбирается так, чтобы
\XF(P; о)|<1 (Р?ЯЛ).
Если |е|<1, то уклонение от f(P) полинома eXF(P; а)
равно 1. Остается проверить, что не существует полинома F (Р; л:),
для которого
L(x)=max|jR(P)|<l,
где
R(P) = f(P)-f(p.x)m
Допуская противное, найдем, что при сьфО
Ж {ckF (Рл; х)} = Ъ\ {chf (Рл) - cft7? (PA)} >
>|cA|-|^(Pft)|>|^|{l-LW}>0.
Следовательно,
9i S ^F(PA;x)>0,

49. ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ АППРОКСИМАЦИИ 91
что противоречит указанному выше свойству чисел си с2, ..., сп
(равенству A)п°44).
Для доказательства достаточности условия Хаара нужно
распространить на комплексный случай лемму п° 44. Это делается
с помощью критерия А. Н. Колмогорова, содержащегося в
теореме п° 47. Действительно, пусть для некоторого полинома F(P; x)
равенство
\f(P)-F(P;x)\ = L(x) A)
достигается лишь в m<n точках Р4, Р2, ..., Рт. Дополнив эту
систему до системы различных точек Ръ Р2, . ..,РП, решим, как
и в п° 44, систему уравнений
П (Ph) 6i + h (Ph) h + ¦ • • + fn (Pk) ln = F (РЛ; x) - f (Pk)
(* = 1, 2, ..., n)
относительно ?ь |2» •••? Sn. Соответствующий этому решению
полином F(P;l) не удовлетворяет условию A) теоремы п°47,
откуда следует, что полином F (Р; х) не является полиномом
наилучшего приближения для /(Р).
Тем самым упомянутая лемма перенесена на комплексный
случай.
49. Об одном вопросе аппроксимации непрерывной функции
в метрике пространства L. Пусть
fix), Ш, Ь(Х), ..., fn(x)
— данные вещественные непрерывные функции в конечном
интервале [а, Ь]. Мы знаем, что существует полином
F (х; к) = Vi (х) + Чг М+..
для которого интеграл
ъ
/[/;«]= \\f(x)-F(x;a)\dx
а
принимает свое наименьшее значение /[/].
Теорема. Если функции
Ы*). h{x), ..., fn(x) A)
образуют систему Чебышева относительно (а, 6), то полином
F (х; к) наилучшего приближения в метрике L (а, Ь) единственен
для каждой непрерывной функции f (х).
Эта теорема впервые была доказана Джексоном [8], но частные
ее случаи были известны еще Чебышеву.
Вначале докажем две леммы.

92 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Лемма 1. Если некоторая {непрерывная) функция f (х)
имеет два полинома наилучшего (в метрике L) приближения:
то в каждой точке интервала (а, Ь) выполняется неравенство
{f{x)-F(x\b)){f(x)-F(x; -А
Доказательство. Каково бы ни было число t>О,
очевидно, имеем
А так как, по определению величины / [/],
ТО
при произвольном t > 0.
Следовательно, при произвольном />0 вместе с полиномами
F(x\ X), F(x; |x) дает наилучшее приближение функции f(x)
также полином F (x; ^\ j. Поэтому, полагая а =. ^t t
получим
и, значит, в каждой точке интервала (а, Ь) имеют одинаковый
знак разности
R(x\ A.) = f (*)-F(x; A,). R(x\ o)=f(x)-F(x; a).
Лемма 2. Если F(х; X) есть полином наилучшего
приближения для функции f (x) и если разность R (х; К) меняет свой
знак в р>п точках интервала (а, 6), то F(х; X) является
единственным полиномом наилучшего приближения для f (x).
Доказательство. Предполагая противное и обозначая
указанные точки через
хх<х2< ... <хр (а< хи хр<Ь), B)
мы получим по лемме 1, что выражение R(x;\i), составленное

49. ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ АППРОКСИМАЦИИ 93
для второго полинома наилучшего приближения, также меняет
знак в точках B).
Следовательно, в этих точках
т. е. нетривиальный полином F (x; X — \i) имеет р>я нулей B)
в (а, 6), что абсурдно, ибо A) есть система Чебышева
относительно интервала (а, Ь).
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы
Джексона.
Пусть f(x) имеет два различных полинома наилучшего
приближения F (х; X) и F {x\ fx), и пусть в соответствии с леммами 1
и 2 разности R(x;X), ^(л:;^) меняют свой знак в q<^n— 1
точках интервала (а, Ь) (одних и тех же для обеих разностей).
Мы обозначим эти точки через
и возьмем интервал
\Ь-ЬЬ) C)
настолько малый, чтобы
b-b>xq.
В интервале C) выберем произвольные точки
и построим полином
F (х; а) = CD (х; хи х2, ..., xn_i),
где С возьмем так, чтобы
max \F (x; а) | = 1,
sign F(x; a)= sign R(x; X).
a<x<xi a<x<xi
Тогда всюду в (a, xq+i) будет
sign F (х; а) = sign /? (х; X) = sign 7? (х; |х).
Возьмем произвольное число е>0 и обозначим через rs, se, ше
множества тех точек интервала [а, 6], в которых выполняются
соответственно такие неравенства:
(a»e)

94
ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Очевидно, что сумма этих множеств дает весь интервал и что
мера множества гюг не превосходит б, так как множество we
содержится в интервале C).
Имеем соотношения:
Отсюда вытекает, что
Так как
ь
dx<
dx<
dx
dx-B J \F(x; a) | dx,
(jc; a) | d*
то, следовательно,
и, значит,
D)
В силу общих соображений п° 8 существует такая
постоянная М, что из соотношения
b
j | F (x; P) | djc = 1

49. ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ АППРОКСИМАЦИИ 95
вытекают неравенства *)
\fo\<M (/=1, 2, ..., п)
и, значит, неравенство
max \F(x;
где N есть наибольший из максимумов модулей функций /^ (х).
Таким образом, наше неравенство D) дает
G < 2nMNG (б + mes s?)
или
1
2nMN
(если положить
ь
G =
E)
так что | aj | < MG и, значит, max | F (х; а) \ < nMNG).
Так как от точек xq+l, ..., Хп^ величины М, N "не зависят,
а зависит только G, которое в E) не входит, то можно выбрать б
настолько малым, чтобы
б /г>°
*) В самом деле, на сфере
величина
и
I I р (*; y) I
dx
имеет некоторый минимум /п>0. Значит, для произвольных р1? р2»
справедливо неравенство
ь
Поэтому из равенства
ъ
J F(x;P)\dx = l
а
вытекает, что
|р,|<-1 = Л* (/ = 1, 2 п).

96 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Таким образом,
messe>h.
Приближая е к нулю, мы получим
где s — множество точек интервала [а, 6], в которых
Так как для произвольного t>0 мера множества s не меньше,
чем h, то существуют два разных значения t, для которых
соответствующие множества имеют общую часть положительной
меры; иначе говоря, для некоторых Г>0, Г>0 (tf Ф t") имеет
место равенство
на множестве положительной меры. Но это абсурдно, ибо
полином
не может в (а, Ь) иметь больше, чем лг — 1 нулей.
50. Теорема А. Маркова. Пусть
B) Ы*), f2(x), ...,-М*) (п<со)
— данные вещественные непрерывные функции в конечном
интервале [а, 6]. Будем говорить, что B) есть система функций Маркова
относительно интервала (а, 6), если при любом (конечном) &<я
функции
образуют систему Чебышева относительно интервала (а, &).
Как мы знаем, при любом k<.n существует и притом только
один полином
(х) = а^ (х) + ak2f2 (х) + ... + akkfk (x),
наименее уклоняющийся от fk+i (x) в метрике пространства L.
Положим
Qk (x) = h (x) - /•*-, (д:) F = 2,3,...).
Легко показать, что полином Qk (x) меняет свой знак точно k — l
раз внутри интервала (а, Ь). Относительно полинома Q4 (я) это

50. ТЕОРЕМА А. МАРКОВА 97
очевидно. Обратимся к Qk (х) при k > 1. Пусть Qk (x) меняет знак
в у точках
xt < х2 < ... < xj
интервала (а, Ь). По свойству системы Чебышева /-<&—1. Мы
можем принять для определенности, что
Ih=[\Qh(x)\dx= J Qh(x)dx- jj Qh(x)dx+...+(-iy
a a xi
В силу экстремального свойства полинома Fu-\ (x) имеют место
равенства
Выполняя дифференцирование, получаем
XI Х2 Ь
(r=l, 2 k-\).
Эти соотношения можно представить в виде
ь
\fr(x)signQk(x)dx = O (r=l, 2, ..., k-l). A)
а
Допустим, что /<&—2. Тогда по лемме п° 46 существует полином
G (х) = Х,/, (*) + X2f2 (*)+...+ Xj+ifJ+1 (x)t
который меняет свой знак в точках
и только в этих точках. Поэтому
ъ
что на основании A) невозможно.
Построим теперь полиномы
Pk (х) = h.h (х) + IW2 (х) -f • •
(*=1, 2, 3, ...),
7 Н. И. Ахиезер

98 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
удовлетворяющие следующим соотношениям ортогональности:
ъ
p*(x)signQr(x)dx = O (r=l, 2, .... *-1),
B)
а
Нетрудно видеть, что условиями B) полином Рд (х) определяется
однозначно.
Соотношения ортогональности A) и B) можно объединить:
JPfc(*)signQP(*)?fc=| ° j*^' C)
(ft, r=l, 2, 3,...).
В соответствии с установившейся терминологией мы можем
сказать, что последовательности полиномов Ph(x) и функций
signQA(x) образуют биортогональную систему. Построенная биор-
тогональная система позволяет сопоставить каждой (интегрируемой)
функции g(x) ряд по полиномам Р(
где
ь
Ak= ^ g(x) sign Qh(x)dx.
a
Отрезки этого ряда можно использовать для приближенного
представления функции g(x).
Впервые подобные разложения рассматривал Чебышев [9].
Не останавливаясь на этом вопросе (см. Д23, Д24, Д25), перейдем
к теореме А. Маркова [10], которая гласит: пусть f (x) —
непрерывная функция в интервале [а, 6], и пусть коэффициенты полинома
Fk (х; I) - Kfi (х) + A2f 2 (x)+...+ Xhfh (x)
определены из условия, что
f(xr)-Fk{xr; Я) = 0 (г=1, 2, ..., fe),
где хг?(а, Ь) — нули полинома Qh+i(x); если разность
f(x)-Fk(x; К)
меняет знак в точках хТ (г = 1, 2, ..., k) и только в этих точках,
то полином Fk (х; X) среди всех полиномов Fk (x; |i) наименее

51. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
99
уклоняется от f(x) в метрике пространства L(a, b); при этом
ъ
min [ \f(x) — Fh(x; p)\dx =
i
b b
= J I f (x) - FA (x; A,) | dx = | J / (дс) sign Qk+l (x) d^
a a
Доказательство. Так как
b b
f(xj-Fh(x; \i)\dx> [ {f(x)-Fk(x; |ut)> signQft+1 (x)dx
то, в силу соотношений A),
b b
J \f(x)-Fh(x; v)\dx>\ J / (x) sign Qft+1 (x) dx
a a
С другой стороны,
ъ
^\f(x)-Fk(x;X)\dx =
а
b b
{f (x) - Fh (x; X)} sign Qk+i (x) dx | = | J / (x) sign QA+1 (jc) djc
и теорема доказана.
Для применения этой теоремы необходимо знать полиномы
Qk(x). Поэтому полезно отметить следующий вытекающий из наших
рассмотрений факт: если полином
F (х) = h (х) + «if i (x)+...+ аь-jk-i (х)
удовлетворяет соотношениям
fT(х)signF(x)dx = 0 (r=l, 2, ..., fe-1),
я?о ^(x) = Qa(a:), m. e. F(x) наименее уклоняется от нуля в метрике
пространства L(a, b) среди всех полиномов вида
Ы*) + Ш*) + • • • + P*-i/fc-i М-
51. Частные случаи. Начнем с одного замечания. Пусть
интегрируемая функция F (х) удовлетворяет соотношению
F(x+n)=-F(x)
7*

100 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
(и, значит, имеет период 2я). Пусть т, п — целые числа и
отношение — не есть нечетное число. Тогда
я
[ eimxF(nx)dx = 0.
—я
Действительно, в силу периодичности,
л я+а
/ = J ei!nxF {nx) dx = j eVnxF (nx) dx
—я —я+а
и полагая а = -^-, мы получим
гттс
что и доказывает ваше утверждение.
В частности, беря Т7 (я) = sign cos л:, получаем, что
я
\ cosmxsigncos«A:djc = 0 (m = 0, 1, ..., п— I). A)
о
Аналогично найдем, что
?
\ sin тл: sign sin лх dx = 0 (т=1,2, ...,п—1). B)
о
Рассмотрим последовательность функций
1, cos х, cos 2a:, ... C)
Она образует систему Маркова относительно интервала @, я).
Принимая во внимание соотношение A), мы заключаем на основании
замечания, сделанного в конце предыдущего п°, что
cos(k-l)x (fc=l, 2, 3, ...).
Отсюда вытекает: если / (х) непрерывна в интервале [0, л] и если
тригонометрическая сумма
Sn-i (х) = а0 -+ сц cos х + ... + an-i cos (n — 1) х
такова, что разность
f(x)-Sn-i(x)

51. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ \Q\
меняет свой знак в корнях функции cosnx
и только в этих точках интервала @, я), то
я
min \ \f (x) — A0 — Ai cos x — ... — Ап-г cos (n — 1) х | dx =
я я
= r\ I / (х) — sn-i (x) \ dx= jj / (x) sign cos nx dx
о о
Легко видеть, как изменяется данное здесь правило, если вместо
функций C) взять функции
sinx, sin2x, sin3x, ...,
которые также образуют систему Маркова относительно
интервала @, я). Тут минимум-проблема просто решается в том случае,
когда существует тригонометрическая сумма
Sn (х) = b{ sin х + b2 sin 2x + ... + bn sin nx,
для которой разность
f(x)-Sn(x)
меняет свой знак в тех и только тех внутренних точках
интервала @, я), где меняет свой знак функция sin(n+l)x, т. е.
в точках
^ F=1,2, ..., л).
Мы получим, что
min
в
in \ |/(x)—¦BiSinx — B2sin2x— ... —?nsinnx[dx =
я я
= \ \f(x) — Sn(x)\dx= \ f (x) sign sin (n+l)xdx\.
о о
Мы имеем в существенном этот случай, взяв функции
1 , Л, Л , ...»
которые образуют систему Маркова относительно произвольного
интервала; мы примем интервал (—1, 1).

102 ГЛ. II. КРУГ ИДЕЙ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
Предположим, что для функции / (х) существует многочлен
Рп-1 (X) = С0 + dX + . . . + Cn-iX71-1
такой, что разность
Г(х)-Рп.х(х)
меняет свой знак в точках
-cos^ (*=1, 2, .... л)
и нигде больше в интервале ( — 1, 1); это будет, например, тогда,
когда fW(x) существует и не обращается в нуль нигде в
интервале (— 1, 1).
Полагая x = coscp и замечая, что Sln\~r )*P есть многочлен
т ' sin ф
k-й степени от х (со старшим коэффициентом 2fe), представим
произвольный многочлен (п — 1 )-й степени в виде
Мы можем написать
1 я
x= К |sin<p/(cosq>) — en{<p)\dq>
о
и получим
1
min \ \f(x)-Rn-i(x)\dx= [ \f(x)-Pn-i(x)\dx =
п
= \ sin ф/(cos ф) sign sin (п+1)ф^ф =
о
1
^f(x)signUn(x)dx
тде
В частности, если
, - sin /2ф

51. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЮЗ
ТО
я
sin ф / (cos ф) sign sin (n + 1) Ф dtp =
О
я я
~ К sin(AH- l)<psignsin(n + l)<pdq> = ^ ^ \ sin(n+
о о
(п-\-1)тт я
о
Следовательно,
1
mm
in \ \xl + Cixn'
k i
Этот результат*) принадлежит Коркину и Золотареву.
*) В скрытой форме он содержится уже у Чебышева [9]

ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
52. Простейшие факты относительно рядов Фурье. Пусть f (х)
(О < х < 2я) — интегрируемая функция и
оо
*Т""+ (akcoskx-r bhS'mkx)
ее ряд Фурье. Если функция f (x) не предполагается вещественной,
то этот ряд удобнее писать в так называемой комплексной форме
оэ
/(*)- 2 cheikx,
k= — оо
где
2я
В дальнейшем всегда будем предполагать, что f (х) продолжена
за пределы интервала [0, 2я) при помощи равенства
f(x-+2n) = f(x) (- оо < х < со);
поэтому
каково бы ни было вещественное число а.
Непосредственно из определения ряда Фурье вытекает, что:
1°. Если
и Л, В —(комплексные) константы, то
оо
Af (х) + БФ (х) - 2 (Л<* + fiYft) eikx

52. ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО РЯДОВ ФУРЬЕ 105
2°. Если f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд
то этот ряд является рядом Фурье для f(x).
3°. Если
и / — вещественное число, то
g (*) = /(*+*)- %ckeiMeih*.
— со
Отметим ряд дальнейших свойств:
4°. Если
то выражение
п
которое называют суммой Фурье порядка п функции f(x), равняется
5Ш^ ,2^ -dt,
о sin— (t — х)
причем вместо пределов интегрирования 0, 2я можно взять пределы
а, 2я + а, где а — произвольное вещественное число.
5°. Если / (х) — периодическая абсолютно непрерывная функция,
то из
следует, что
6°. Если
то

106 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
есть периодическая абсолютно непрерывная функция и
(штрих означает, что при суммировании
7°. Если
2 <***"*. q>(*)~2Y*elftje
— оо —оо
*(O, 2я), cp(x)eL2@, 2я),
то
2я
$ = 2
О —оо
причем ряд справа сходится абсолютно и равномерно.
8°. Две (интегрируемые) функции, все коэффициенты Фурье
которых соответственно равны между собой, тождественны почти
всюду.
9°. Для всякой (интегрируемой) функции lim сь = О.
|fe|-wo
Приведем краткие доказательства. Утверждение 4 следует
из* того, что
N~i ikv ег<п+1^ — е-{п0 Sin П~*~ л
2j в =~
fe=-n Sin-=
В связи с определением сумм Фурье заметим, что в случае,
когда /(x)gL2@, 2я), справедливо неравенство
2я 2 я п
f(x)-
k=-n
dx,
О О
если числа А^ не тождественны с числами си (см. п° 16).
Утверждение 5° следует из того, что при k Ф О
2я
о
2я 2я
f(x)e
— ikx
2я
О
Утверждение 6° вытекает из 5°.

52. ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО РЯДОВ ФУРЬЕ Ю7
Утверждение 7° следует из равенства Парсеваля (п° 26)
в силу 3°.
Докажем утверждение 8°, которое называется теоремой
единственности. Достаточно доказать, что из f(x)?L@, 2jt) и
2я
J f(x)e-ikxdx = 0 (±* = 0,1, 2, ...)
о
следует, что почти всюду f(x) = O.
Положим
оо
F{x)= [f(x)dx~ %Ckeik*.
— оо
В силу 6°,
Ck = 0 (±k=U 2, 3, ...)• A)
Так как функция
F(x)-C0
непрерывна и, значит, ? L2@, 2я), то из A) (в силу равенства
Парсеваля) вытекает, что
Но производная от F (х) почти Есюду равна f (x), и наше
утверждение доказано.
Остается доказать утверждение 9°, которое носит название
теоремы Римана —Лебега. Взяв произвольное е>0, построим,
опираясь на теорему п° 24, такую тригонометрическую сумму о(х),
чтобы
2л
^5 \f(x)-o(x)\dx<B.
о
Тогда
2л
О
А так как
2я
Ск==~ы1 f(*)e-ihxdx =
О
2я 2л

J08 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
и второй член правой части равен нулю при \k \>N, где N —
порядок тригонометрической суммы а (х), то для | k | > N
кА|<е,
что и доказывает наше утверждение.
53. Ряды Фурье функций ограниченной вариации. Пусть f{x)—
вещественная или невещественная периодическая функция,
имеющая в замкнутом интервале длины 2я ограниченную вариацию
(которую обозначим через V), причем в каждой точке х
/ W =2
Пусть
2 ckeihx
— со
— ряд Фурье функции f(x).
Покажем прежде всего, что при k Ф О
Действительно, интегрируя по частям, мы находим, что
2я 2я
откуда
2rt
" 2л I ft l •
Обратимся теперь к сумме Фурье функции /(#), которую
возьмем в виде
sin ( п-\-— ) t
f(x+t)—V X2J dt.
sin — t
2
Докажем, что
зх
где
M = sup\f(x)\.

53. РЯДЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 109
Для этого представим sn (x) в виде
п
о (у\ "V ruPikX
k=-n
п п
jLml V f\ J tl +~ ' '
k==—n k=—n
n
— Gn\X)-rn 2л
k ——r
Отсюда вытекает, что
и остается доказать, что
\ап(х)\<М.
Это неравенство, с которым мы еще встретимся ниже (см.
п° 69), доказывается очень просто. Действительно,
a /хч V fi Ш)Л^-- \f(x + t) V f 1-^i
ft=—n —Я fe=—n
А так как*)
sin -
2 A-шу«=4 —H о)
k=-n L sin у J
и, значит, сумма под знаком интеграла всегда >0, то
—я k=—n
*) Тождество A) проверяется с помощью суммирования функции
cos/W —Sln Н+
i- sin-i
от k = 0 до k = n —

ПО ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Переходим к доказательству следующего важного
предложения, принадлежащего Жордану:
Теорема. Если f (х) есть интегрируемая функция, имеющая
ограниченную вариацию в некотором интервале а<х<Ь, то в
каждой точке х0 этого интервала ряд Фурье функции f (x)
сходится и притом к значению функции в этой точке, т. е.
2
Доказательство. Положим для краткости
и возьмем разность
sn(xo)-f(x0)=j-
где
—{ < б < л.
По условию, ij) (t) имеет ограниченную вариацию в некотором
интервале [О, А]. Для упрощения мы можем принять, что if)(t)
есть неубывающая функция в этом интервале, так как всякая
функция ограниченной вариации является линейной комбинацией
не более чем четырех таких функций. Затем мы можем, задавшись
числом е > 0, найти такое 6 — 8 (е), что
при 0 << t < б. При таком выборе числа б
я
:±-!L \
0 "я

54. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ
111
Далее,
sin
. 1
Sin -pr
dv L я —
U I
sin
y ) v
. 1
я I 0 sln IT*
do Г dip @,
откуда
так как
1 sin
y )<>
t dv <^r.
max
sin
0 Sln "о" !
dv
2я
Наконец, при фиксированном б
lim/s = 0,
n->oo
так как /3 в существенном равняется коэффициенту Фурье
интегрируемой функции
ф@=.
О в оставшейся части интервала.
Таким образом,
lim j sn (xo) — f (х0) | < е
П-»оэ
и теорема доказана, так как е > 0 произвольно.
54. Равенство Парсеваля для рядов Фурье. Равенство
2я п
-Ч
2я .)
2я ;
:= lim
п->оо,
A)

112 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
где
доказано выше (см. п° 52) для случая, когда f (х) и ф (х)
принадлежат L2@, 2я). Однако это равенство справедливо не только
в этом случае. Юнгу принадлежит следующая
Теорема. Если f(x)?L (О, 2я), а ф (х) — функция
ограниченной вариации, то равенство A) имеет место.
Доказательство. Возьмем сумму Фурье порядка я
функции ф(х):
Фд(*)= 2 Укв1к*.
h=-n
Как показано в п° 53, существует такая константа Л, что для
всех х и п
Следовательно, для всех х и п
\f(x)vJfi\<A\f(x)\,
а так как почти всюду
lim фп(л:) = ф(х),
n-voo
то по теореме Лебега
2rt 2я
2Я в
Остается принять во внимание, что
2я
Заметим, что в силу доказанного имеет место более общее
равенство *)
2я п
*) Иногда полезна следующая формула:
2я
-7L[f(t-x)<p(x)dx=\im
2Я J п-юо
о

55. ПРИМЕРЫ РЯДОВ ФУРЬЕ ИЗ
55. Примеры рядов Фурье. Рассмотрим периодическую функцию
cpi(t), заданную в интервале — л<^<я формулой
Эта функция имеет ограниченную вариацию. Ее коэффициенты
Фурье равны
Поэтому
оо
Ф1 (о = 2'
ИЛИ
При помощи повторного интегрирования введем функции
фг@ (г = 2, 3, ...):
cos ( kt — Щ-
Так как
то фг@ в интервале — я<?<я есть многочлен степени г.
В качестве второго примера рассмотрим функцию
Она интегрируема и имеет ограниченную вариацию в интервале
( — я+ 8, я — е) при любом 8>0 (е<я). Для нее
1 ? f t\ *',
-я
я
у-К ) COS kt dt = С-ъ.
Отсюда, в силу известной из интегрального исчисления
формулы, находим, что со = О. Ас другой стороны, при 1гф0, после
8 Н. И. Ахиезер

114 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
интегрирования по частям, найдем, что
1 ? sinkt_^dL
Эта формула дает, во-первых,
—I
и, во-вторых,
я
Таким образом,
и значит,
Jsin^y^siny^0 F = 2, 3, ...)¦
По аналогии с функциями фг@ введем функции
(г=1, 2, ...),
так что
В качестве дальнейшего примера рекомендуем читателю
проверить разложения
А— 1
оо
nsinXt чл / t\fe ksinkt
2 sin Ял "" fJv '
где Л не есть целое число.

56. ЛЕММА БОАСА П5
Первая из этих формул показывает, что
откуда
причем ||г|<1, —
Соединяя эти разложения, получим, что
$^ | фз @ + • • •
Отсюда следует, что многочлены (fk(t) в существенном
совпадают с полиномами Бернулли, которые определяются
разложением
а именно:
при —:
Наконец, рассмотрим функцию
sign sin t,
которая у нас уже встретилась в п° 51.
Так как
я я
~2лГ
—я
ТО
Замена f на -^—^ дает
А=0
56. Лемма Боаса [11]. Пусть
eutf(t)~ |j ch(s)eikt
k= — CXD
8*

116 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
где s — вещественный параметр. Если
2 |cfc(s)|<oo
h=—co
для двух значений параметра s, разность которых не равна
оо
целому числу, то 2 I ck (s) | есть ограниченная функция от
ft=—эо
S ( ОО <S< ОО).
Доказательство. Так как
я
—я
я
то можно предположить, что значения параметра s4 и s2, о
которых идет речь, удовлетворяют неравенству
0<51<52<1.
По той же причине достаточно доказать ограниченность функции
оо
2 \ch(s) \ при 0 < s < 1.
fe=-oo
Запишем cn(s) в виде
—я
и заменим произведение eisitf(t) его абсолютно и равномерно
сходящимся разложением
оо
2 ck(si)ellt.
После почленного интегрирования получим, что
и, в частности,
Умножая первое равенство на sinjt(s2 — sO, а второе —на

57. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Ц7
sinfl(si—-s) и складывая, придем к соотношению
sin л (s2 — s^ cn (s) + sin л (si — s) cn (s2) =
CO
s — s2 >n / i \n-k ( \ sin я (s2—5i)sinJt(Si— s)
fce—OO
откуда следует, что
sin л (s2 — sA) | cn (s) | < | sin я (St — s) j | cn (s2) | +
, |s—-s2| >n i л /„ \ i ! sin rc(s2—Si) 11 sin я (sj —
• ^— 2a
и,
sin
значит,
л (s2 — Si
oo
) 2
n=—oo
+
|sinrt(s2 —si) |J sinn fa—s) I
|52_5l__m||S-Sl_m|
A
так как
со
=—со
х 1J
)—Si—m 11
<v
s — s
CO
f(si — s)| ^
л-т\ ^
sin» я (s2-s4)
(s2_Sl-mJ
CO
1/2
m=—00
8in»n(e-Sl)
(s — sj — mJ
то из нашего неравенства A) вытекает, что
оэ со оэ
S |^>|<5тж-51){ S ic«(soi+ 2 1^
и утверждение доказано.
57. Тригонометрическое интерполирование. Мы выведем в этом
п° три формулы тригонометрического интерполирования, принимая
каждый раз, что узлами интерполирования являются
равноотстоящие точки интервала [0, 2эт).
Задача 1. Построить тригонометрическую сумму порядка
<п, принимающую в точках tr= 2п+\ значения У г (г =
-О, 1, ...,2л).

118 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Решение. Функция
(г = 0, 1, ...,2л)
является тригонометрической суммой порядка п. Она принимает
в точке tT значение 1, а в точках th при k Ф г значение 0. Отсюда
следует, что сумма
2n Sin(n + \ \t-tr)
2yr ^ Ц A)
представляет решение рассматриваемой задачи.
Это решение единственно, что можно доказать следующим
образом: искомая тригонометрическая сумма имеет 2п +1
подлежащих нахождению коэффициентов, для которых по данным
задачи получается некоторая линейная алгебраическая система
из 2я+1 уравнений; так как эта линейная система разрешима
при любых правых частях (у0, уи ..., у2п), то она разрешима
однозначно.
Это доказательство единственности распространяется и на две
дальнейшие задачи.
Задача 2. Построить тригонометрическую сумму вида
n-i
ао+ 2 (ukcoskt + bkS\nkt) + Oncosnt^ B)
принимающую в точках tr = — значенияyr(г = 0, 1, ..., 2л—1).
Подчеркнем, что и здесь число условий равно числу неизвестных
коэффициентов.
Функция
sin f(t-t
sin Qi-^yt-
2/г . _ „ 4
sin -~-(t — t
= 0, 1, ..., 2п— 1)

57. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 119
является тригонометрической суммой вида B). При этом
Поэтому искомая тригонометрическая сумма равна
sin (п—
sin (п4Л(**г) ,
5@- 2 Уг—s у( +^ 2 (-о-уг. C)
г==0 2л sin у (t — tr) r=0
Из вида правой части вытекает, что тригонометрическая
kit
сумма порядка <п—-1, принимающая в точках fA = —
значения yh (k = 0, 1, ..., 2я— 1), существует в том и только в том
случае, когда
2 (-i)r«/r=o.
Задала 3. Построить тригонометрическую сумму вида
п-1
2 (ahcoskt + bksinkt) + bnsinnt, D)
fei
которая в точках tT = -^ принимает значения уТ, а производная
которой принимает значения уТ (г = 0, 1, ..., п— 1).
Введем функции
sin
л sin—^- l " fe==1
каждая из которых является тригонометрической суммой вида D).
При этом легко проверить, что
(т, г = 0, 1, ..., п—1).

120 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Отсюда следует, что искомая тригонометрическая сумма равна
t— tJ\ 1*
n-l о sin я
r=o л2 sin —2— г=о
Как видим, тригонометрическая сумма S(t) порядка </г —1,
удовлетворяющая условиям
yA (? = 0, 1, ..., я-1),
существует в том и только в том случае, когда
п-1
yk = v.
h=0
58. Тригонометрические интегралы. Тригонометрическими
интегралами называют интегралы вида
оо оо оо
C(u)eiliXduf [ A(u)cosuxduy [B(u)sinuxdu, A)
—со 0 0
где л; — вещественная переменная. При этом, конечно, должно
быть указано, как понимается интеграл.
Простейшим случаем является тот, когда C(u)?L( — оо, оо),
соответственно, А (и) и B(u)?L@, оо). В этом случае интегралы
A) являются интегралами Лебега в узком смысле и представляют,
как легко видеть, непрерывные функции от х.
Мы получим более общий случай, если предположим, что
C(u)?L(a, b) при любых конечных а, 6 и интеграл
ь
стремится к пределу при а—> — оо, Ъ—>со. Этот предел,
являющийся несобственным интегралом в смысле Коши, также
понимают под символом
оо
^ С(и)еЫхйи, B)
— СО
а в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что речь идет

58. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 121
не об интеграле Лебега в узком смысле, применяют для
обозначения указанного предела символ
-+0О
C(u)eiuxdu. C)
Однако может случиться, что fa,b(x) не имеет обычного
предела, но существует такая функция f(x)?L2( — оо, оо), что
со
lim \ \f(x)-fa,b(x)\*dx = O.
а->—со
Ь->оэ -
В этом случае функцию / (я), которая, конечно,, может быть
определена лишь с точностью до значений на множестве меры нуль
и которая называется пределом в среднем *) (limes in medio)
функции fa,b(x), также понимают под интегралом B) и применяют
обозначение
о
f(x) = l.l.m. \c(u)eiuxdu,
D)
а-*—оо
b-+oo
если без этих указаний возможны недоразумения.
Аналогично определяются интегралы
-*оо ->со
\ А (и) cos их du, \ В (и) sin их du,
о 6
ь ъ
1. i. m. \ А (и) cos их du, 1. i.m. \ В (и) sin их du,
Ь-юо V Ь->оо *)
которые легко сводятся к интегралам C), D).
Мы увидим в дальнейшем, что целесообразно вводить в
тригонометрический интеграл, взятый по всей оси, множитель -j=
I /ТП
1а в интеграл, взятый по полуоси, — множитель у — \, т. е.
вместо B) рассматривать интеграл
к J
*) Можно рассматривать предел в среднем, кладя в основу вместо
?2 (—оо, оо) пространство LP (—со, оо) при каком-нибудь р !> 1.

122 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Функцию h(x), определяемую этим интегралом для всех или
почти всех #, называют преобразованием Фурье функции g(x)
и пишут
*(*) = »*<*)
или
Если gi(x) и g2{x) принадлежат L(—-оо, со), а аь а2 —две
произвольные константы, то
E)
Можно указать и другие линейные многообразия функций,
элементы которых обладают преобразованием Фурье и для которых
выполняется равенство E).
Это равенство выражает линейный характер (однородность
и аддитивность) оператора Фурье $ на каждом таком
многообразии. При этом следует иметь в виду, что на различных
многообразиях оператор g определяется различными построениями (лишь
в L( —оо, оо) —с помощью интеграла Лебега в узком смысле!),
и в соответствии с этим весьма различны те совокупности функ-
I— ций, в которые оператор g переводит элементы того
I ^4sv или иного многообразия.
1л
59. Пример. Рассмотрим тригонометрический интеграл
о я c(t)= J х?-*еи*<1х,
Рис. 3. °
где а, 0<<х<1, заданное число, а гфО — вещест-.
венный параметр. Если ?>0, то, интегрируя функцию za^ieitz
по [представленному на рис. 3 контуру и применяя известную
лемму Жордана, найдем, что
\ х«-1еихйх= lim \
Jtia Jtig
lim \ х«-1еихйх= lim \ e 2 y*-ier*vdy = е 2 Г°Г(а).
Таким образом, при
nia
c(t) = e2 ГаГ(а),
и легко видеть, что при ^
c(t) =

59. ПРИМЕР 123
Возьмем теперь в качестве t натуральное число п. В таком
случае
2яЛГ ЛГ-1 2(Д+1)Я
с (п) = lim \ ха-{е1пхс1х= lim 2
2nN-l
2Я 2V-1 a
= lim \ {*«-» + Г 2 (x+2to)a-' - — BЯ)"1) einx dx.
U A— 1
Выражение в квадратных скобках при 0<л:<2зх равномерно
стремится к некоторому пределу, когда N—>оо. Это следует
из равномерной сходимости в интервале [0, 2я] ряда
2 l(
fei
и существования конечного предела у последовательности чисел
2V-1
Таким образом, мы можем ввести функцию
Фа (х) = Mm j^- { 2 (* + 2Ая)-* - BяГ1 4"} @ < х < 2я),
которая, очевидно, суммируема. Из наших рассмотрений следует,
что ее коэффициенты Фурье равны
яга
с_п = с{п) = -^-е 2 ,
J 2яв (л= 1,2,3,...).
Докажем еще, что со = О. Действительно,
2Я N-1
a j =0'
А=0

124 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Теперь мы можем написать ряд Фурье функции Фа{х):
cos ( пх —- J
60. Теорема Римана—Лебега *) гласит: преобразование Фурье
функции из L( — оо, оо) стремится к нулю при х—> ± оо.
Пусть g{x)?L(— оо, оо) и
оо
, / ч 1
Взяв произвольное е>0, найдем такое Л>0, что
\g(u)\du<±.
\и\>А
Тогда
А
\
Далее, в силу теоремы п° 24, можно построить такой многочлен
Р(и\ что
l
Следовательно,
А
h(x) -^-[ P(u)e-iaxdu <e (-oo<jc<oo).
У 2л JA
Остается доказать, что при х —> ± оо стремится к нулю функция
А
jj P{u)e-iuxdu,
-А
но это получается немедленно с помощью интегрирования по
частям:
J P(u)
А
—А —А
61. Теория Планшереля. Будем рассматривать пространство
L2( — oo, оо). Если g(x)?L2( — оо, оо), то g{x)?L(a,b) при
*) Частный случай этой теоремы у нас уже встретился в п° 52.

61. ТЕОРИЯ ПЛАНШЕРЕЛЯ 125
любых конечных а, Ь. Поэтому интеграл
ь
а
существует при любых конечных а, Ь.
Планшерель [12] впервые доказал, что этот интеграл имеет
предел в среднем, и, таким образом, построил оператор Фурье
в пространстве L2( — оо, со).
Положим
ь
ё{и)е-™хйи. A)
а-*-оо
Ь-»оо а
Теория Планшереля утверждает, что
ь
g(x)=l\.i.m. \h(u)eiuxdu, B)
y 2Л а->-со J
Ь->оо
а также, что
\g(X)\*dx= 5 |AW|*rfx. C)
—СО
Приведенные формулы показывают, что введение множителя
=- действительно целесообразно. Формулы A) и B) являются
обращением одна другой. Поэтому, записывая A) в виде h = %g,
естественно B) писать в виде^ = ^~1/г. Таким образом, оператор g,
обратный оператору %, отличается от § только знаком при / в
множителе eiax.
Рассматривая формулу B) как континуальный аналог ряда
Фурье, мы должны формулу A) рассматривать как- аналог для
выражения коэффициентов Фурье раскладываемой функции. При
этом соотношение C), очевидно, является аналогом равенства
Парсеваля; его обычно и называют этим именем.
Мы видим, что в теории Планшереля имеется полное
равноправие между раскладываемой в тригонометрический интеграл
функцией и континуальным аналогом последовательности констант
Фурье — преобразованием Фурье этой функции.
Заметим также, что из обращения в нуль почти всюду
преобразования Фурье функции из L2( —оо, оо) вытекает, что сама
функция равна нулю почти всюду.
Из равенства Парсеваля C) можно ранее применявшимся нами
приемом (см. п° 18) получить обобщенное равенство Парсеваля

126 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
для пары функций. Приведем результат без доказательства: пусть
?i6?2(— о°, оо), &€?8( —°°. со) и Ai = 3fclf A2 = ffg2;
тогда
Это равенство допускает дальнейшее обобщение.
Действительно, пусть g(x) = g2(t — x), где / — некоторая фиксированная
величина. Легко видеть, что
Поэтому, применяя равенство Dlis) к паре функций gu g, мы
получим, что
оо
J Й! (х)\h (х) eilx dx=^gt (х) g2 (t -x) dx. E)
—CO —CO
Правая часть этой формулы носит название свертки функций gu
g2. Легко видеть, что она представляет непрерывную функцию
от t, стремящуюся к нулю при t—> ± оо.
Будем рассматривать L2(—оо, оо) как гильбертово
пространство, в котором скалярное произведение элементов'ф, г|?
определяется формулой
(ф, 1|з)= J ц>(х)$(х)dx.
— СО
Тогда соотношение C4lts) можно переписать в виде
tei. ft) =
Однородный и аддитивный оператор U, определенный во всем
пространстве Гильберта Н и отображающий его на все
пространство Я, называется унитарным, если
для любого /6 Н.
Поэтому указанные выше утверждения теории Планшереля
сводятся к тому, что оператор Фурье в пространстве L2( — оо, оо)
есть оператор унитарный.
Ватсону принадлежит простое и интересное обобщение теории
Планшереля. В п° 62 мы дадим теорему Ватсона и ее
доказательство, а затем получим из нее теорему Планшереля.

62. ТЕОРЕМА ВАТСОНА 127
62. Теорема Ватсона [13] (в несколько обобщенной форме):
Пусть вещественная функция со (х) (х > 0) такова, что при
любых а>0, р>0
о
где v>—1 — фиксированное число; тогда, какова бы ни была
функция g(x)?L2@, со), для почти всех х>0 существует
и также принадлежит L2@, со) функция
при этом почти всюду
^if^W* C)
=\\g(x)\*dx, D)
говоря, оператор в L2@, со), определяемый формулой B),
унитарен и совпадает со своим обратным оператором*).
Обозначим через Ш множество всех непрерывно
дифференцируемых на полуоси л;>0 функций, равных нулю в
некоторой окрестности точки х = 0, а также для всех достаточно
больших х.
Пусть g(jt)?9Jh Положим
Тогда при x>0 функция
о t 2 о
имеет производную, а функция h(x), определяемая формулой B),
*) У Ватсона v = —-«-• Тот же случай рассматривает и Титчмарш. Наше
доказательство является почти дословным повторением доказательства Титчмарша.

128 ГЛ. Ш. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
равна
*(*) =
at v+
л; 2 о л; f
Пользуясь этим представлением, покажем, что h(x)
удовлетворяет соотношению D) и поэтому принадлежит L2 (О, оо):
l^L^^
du
о и1 2 о v" 2
и
и v
2 о
Изменение порядка интегрирования, как легко видеть, законно.
Благодаря свойству A) функции и>(х) выражение в фигурных
скобках можно представить в виде
Поэтому
V 2
v+ -
<2V+2 d
} 2(v+l) dt
О
t2v+l

62. ТЕОРЕМА ВАТСОНА 129
Далее, снова на основании представления E) получаем
оо со оо
С СО (XZ) . , ч j С СО
о г z о о t z
оо оо
>-dz =
X ОО
0 t 2 0
- \>2(v+X)dt v+l- . „
и, значит,
1 d f со (л:г) * , ч «
л: 2 0 z 2
Таким образом, теорема доказана, если g(x)?y$l.
Заметим теперь, что множество 501 плотно в L2@, со), т. е.
для каждой функции g (х) ? L2 @, со) найдется последовательность
fen(*)}CI2R, сходящаяся к g(jc) в среднем:
lim
n->oo
В силу уже доказанного, каждой функции gn(x) принадлежит
некоторая функция hn(x), удовлетворяющая соотношениям вида
B), C), D). На основании D)
оо оо
\ \hn(x)-hm(x)\*dx= \ \gn(x)-gm(x)\*dx.
о о
Поэтому последовательность {hn(x)} сходится в среднем к
некоторой функции h(x)?L2(Q, со) и
о о
А так как при gn(*)€3№i согласно E),
и, в силу F),
9 H. И. Ахнезер
о ° г 2

130 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТО*)
х _1_ х 1
\ и 2 h (и) du = 1 im \ и 2 hn(u) du =
о гг~>о° о
и
\ i^g @ * = lim f ^+^n @ dt =
t) П->СО V
CO
-W-An (г) йг= \ -^-f- Л (г) dz.
Но это означает, что теорема верна для функции g(x), т. е.
для любой функции из L2@, оо).
63. Теорема Планшереля. В качестве функции со (я) предыдущего
п° можно взять при v= —1/2 каждую из функций
= |/ — sinx, o)s(x)= |/ — A — cosx).
Действительно, при а>0 и C>0
со о
2 f sin а^ sin р/ л/ _ J_ С
о о
_ J_ С cos (а — Р) ^ — cos (а + Р) t А4. __
о
"*) Возможность предельных переходов следует из того, что при
фиксированном х интегралы
X , 1 со
0 0 uV+-2"
являются линейными функционалами в пространстве L2 (см. п° 29) от / (и).

63. ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ 131
2 Г [I— cosa/] [I — cosfit] ,, _
И
2 Г
"IT J
о
_ 1 p 2 — 2 cos a/ —2 cos ft* + cos (a — ft) ; + cos (a + P) * w/ __
0
[2
0
Из общей теоремы Ватсона поэтому вытекают следующие
факты:
1°. Оператор в пространстве L2 @, оо), определяемый формулой
унитарен и совпадает со своим обратным.
2°. Оператор в пространстве L2@, oo), определяемый
формулой
h (х) = Ы (х) =/±4г\ '-^P^g @ dt, B)
О
унитарен и совпадает со своим обратным.
Рассмотрим теперь пространство L2( — оо, оо) и в нем
оператор, определяемый формулой
Полагая
*(') = & @+ &
где
а /
найдем после разбиения правой части равенства C) на два
слагаемых, что
1г(х) = кх(х) — Ш2(х),
где четная функция hi(x) и нечетная функция h2(x)
определяются при лг>0 следующими равенствами:
hi (x) = $cgi (x), h2 (x) = %ag2 (x).
9*

132 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Отсюда уже нетрудно заключить, что
а также, что
оо оо
[ \g(x)\2dx = [ \h(x)\2dx.
—оо —оо
Таким образом, доказано, что
3°. Оператор в пространстве L2(— оо, оо), определяемый
формулой C), унитарен; обратный оператор определяется формулой D).
Покажем теперь, что формулы C) и D) можно представить
соответственно в виде
ь
ft(x)=-7L^l. i. m. \ g(t)e-itxdt = %g(x) C')
= * 1. i. m. С Л^в^-Л-Г^^). D')
У 2л а->-оо J
Ь->оо
Отсюда уже Гполучатся следующие представления правых
частей формул (l)ji B):
9cg(x)= l/^-l. i- m. \ g(t) cos {tx)dt, (Г)
to(tx)dtt B')
которые оправдывают введенные обозначения $с, gs и название
этих операторов: $с —косинус-преобразование, %s —
синус-преобразование.
Очевидно, достаточно доказать формулу C'). С этой целью
рассмотрим наряду с функцией g(x)?L2(— оо, оо) функцию
g(x) (а<х<Ь),
[О (вне интервала [а, Ь]).
Эта функция принадлежит не только L2(— оо, оо), hohL( — оо, оо).
Поэтому в формуле

64. ПРИМЕРЫ 133
можно дифференцирование по х внести под знак интеграла
и, следовательно,
ь
С другой стороны, по уже доказанному,
\h(x)-ha,b(X)\*dx=
= \\g(x)\*dx+\[g(x)}*dx,
—оо Ь
а правая часть стремится к нулю при а —> оо, Ь —> оо, т. е.
А(*) = 1. i. m. Аа>ь(л:),
а->—оо
Ь-^оо
и наше утверждение доказано.1
64. Примеры* В этом п° мы рассмотрим некоторые интегралы.,
содержащие бесселевы функции.
Нам понадобятся следующие формулы *):
1 -t2)~^cos (zt)dt
(/2-1) ^2
(z)
vB). D)
Из формулы A) на основании соотношения C) получается
равенство
*) См. монографию Ватсона, стр. 60, 187, 57.

134
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
откуда после замены v на v-j-1:
, 1
. E)
Равным образом из формулы B) следует, что при а > 0:
1
. F)
Положим
мо=
о
о
1
@<'<1),
л*±
Если число v удовлетворяет неравенству —j-<v<0, то обе
функции fi(t) и f2{t) принадлежат L2@, оо), а потому левые
части равенств E) и F) можно рассматривать как
синус-преобразования некоторых функций из L2@, оо). Но в таком случае,
на основании равенства Парсеваля,
о
JLr(-l— v)r(-|-+v) J
Таким образом,
С помощью замены переменной этому равенству можно придать
более общий вид:
Jv(ax) dx

65. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАНКЕЛЯ 135
Интегрируя это равенство по Ъ от Ь>а до со и пользуясь
соотношением C), получаем
оо
\ Jv+i (Ьх) Jv(ax) dx __ 1 а*
J
Отсюда, дифференцируя по а и снова применяя C), приходим к
следующей формуле:
I Jv+1(at) jv+1(WLi = 2FTT)(y)V+1 @«*<Ь). (8)
О
Это равенство, равно как и равенство G), выведено нами при
— ^t-<v<0. Однако легко видеть, что оба они справедливы
при 9tv > — 1. Действительно, интегралы в равенствах G) и (8)
сходятся абсолютно и равномерно в каждой замкнутой части
полуплоскости 9iv > — 1. Следовательно, они представляют
аналитические функции от v в этой полуплоскости. Правые части
равенств G) и (8) в полуплоскости 9h>> — 1 также аналитичны.
Поэтому из справедливости равенств G) и (8) при — -j < v < 0
вытекает их справедливость всюду в рассматриваемой полуплоскости.
65. Преобразование Ганкеля. Из формулы (8) п° 64 следует,
что при любом v>—1 в общей формуле Ватсона (п° 62) можно
положить
Оператор, к которому мы приходим, определяется формулой
Этот унитарный и совпадающий со своим обратным оператор
называется преобразованием Ганкеля.
Покажем, что его можно определить (для любого v>—1)
с помощью формулы
п
h(x) = \.i.m. [VxiJv{xt)g{t)dt. B)
Так как во всяком случае
Ц
П~>оо v+ -
X 2

136 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
то для этого достаточно установить, что при любых х>О, п>0
справедливо равенство
п х п
\ *v+* Jv+i (xt) ^-Ш dt = ^ dz \ zv+* yv (zt) Vt g (t) dt. C)
0 ' * 0 0
Но при
n
Y l\g(t)\*dt]/ ]t\ Jv{t)fdt.
Поэтому к правой части равенства C) применима теорема Фубини,
т. е. в ней можно изменить порядок интегрирования. Сделавши
это, мы должны будем еще воспользоваться соотношением D)
п° 64.
В заключение заметим, что преобразование Ганкеля
превращается в косинус-преобразование при v= — у и в
синус-преобразование при v = у .
66. Пример. Применим преобразование B) предыдущего п° к
функции g{t) = -j-{t — [t]}, где [t] означает, как всегда, целую
часть числа ?>0. В качестве v возьмем 3/2.
На основании общей формулы A) п°64
\ 1 / 2 si
sin x — л: cos*
Поэтому речь идет о вычислении при л:>0 интеграла
A(jc) = 1. i. m.
?г->оо
О
Нетрудно видеть, что здесь вместо 1. i. m. можно написать lim.

67. СУММАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА 137
Поэтому
/1=1
-/¦И-{'-!-».<«-*>}•
где ф! (t) — введенная в п° 55 периодическая функция, равная
-n-t в интервале — я<?<я. Теперь уже нетрудно усмотреть,
что
Наш результат, таким образом, состоит в том, что
или
—^ = 2л \ yxt J,/t Bnxt) -=F- dt. A)
0
67. Суммационная формула Пуассона. Так называют следующее
равенство:
A)
_L
Мы докажем, что для его справедливости достаточно, чтобы
функция ф (л:) (— оо < х<. оо) имела ограниченную вариацию на
всей оси и принадлежала L( —оо, оо).
Лемма Хард и. Если <p(jc)?L(— оо, оо) и вариация ц> (х)
на всей оси ограничена, то ряд
оо
2 <р(* + 2ля) B)
п=—оо
сходится в интервале [0, 2я] абсолютно и равномерно и
представляет в этом интервале функцию ограниченной вариации.

138 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Доказательство. Положим
л:+2(п+1)Я
х-\-2пп
Тогда
fe+?n х+2 (k+m+i)n
и так как cp(x)?L( — со, оо), то ряд
2|Ы*I
— оо
сходится в интервале [0, 2л] равномерно. С другой стороны,
х+2 (п+1)я
ф (Х + 2пп) - % (х) - ± J {ф (х + 2пп) - Ф @} dt
и, значит,
| Ф (л: + 2njt) | <
где
гп(х)= Var
+2&
Поскольку, в силу условия леммы, ряд
оо
— оо
сходится равномерно в каждом конечном интервале, то ряд B)
сходится равномерно и абсолютно в интервале [0, 2тс]. Обозначим
его сумму Ф(#). В таком случае
2|Ф(гу-)-Ф(юI<2 2 |ф(*; + 2*я)-ф@, + 2*я)|;
j j k=—QQ
откуда следует, что вариация функции Ф(х) в интервале [0, 2я]
не превосходит вариации ф(л:) на всей оси и, значит, ограничена.
Тем самым лемма доказана.
Теперь уже нетрудно доказать формулу Пуассона A).
Действительно, построим функцию Ф(х) @<#<2я) и применим
к ней для точки х = 0 теорему Жордана о рядах Фурье. Мы получим
равенство

67. СУММАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА 139
где
2я
Ah=±-^ O(x)coskxdx (k--=0, 1, 2, ...).
о
Так как
то остается заметить, что
со 2(п+1)Я
Аи = — 5j \ у (х) cos kx dx = — \ ф (х) cos kx dx =
п=—оо 2njt -»•—oo
oo
= — \ (f(x)coskxdx.
—oo
Формуле A) часто придают более общий вид, заменяя ф(д:)
на ф ( ^- j , где а — произвольно выбранное положительное число:
оо N oo 2hnit
9(fca + 0) + 9(to-0) = lim ^ 1 С ф@Г^-Л. C)
Приведем еще один вариант суммационной формулы Пуассона,
а именно [14]:
N N N
= Нт {2
n==l 0 n=l
где
g(x) = 2 \ f(t) cos Bnxt)dt. E)
Докажем, что для справедливости этого равенства, а также
для существования интеграла, стоящего в правой части
формулы E), достаточно, чтобы функция f(x) @<л:<оо) была
абсолютно непрерывна в каждом конечном интервале [а, E],
а>0, и чтобы обе функции f(x) и xf (х) принадлежали L2@, oo).
С этой целью заметим прежде всего, что из тождества
t=a a

140 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
и сходимости к конечным пределам обоих входящих в него
интегралов при а —> 0 и р —> оо следует, что ]/7/ (t) имеет конечный
предел при t—>0, a также при t—>оо. Замечая, далее, что
F)
@<а<р<оо),
где первый член правой части стремится к нулю при а—>0
и р~>оо, а функция
sin Bnxt).
2nxt
]tf'{t)
при каждом л:>0 принадлежит L@, оо), заключаем, что левая
часть равенства F) имеет предел при а—>0 и |5—>оо.
Следовательно, формула E) имеет смысл и определяет
функцию g(x). Более того, функция g (x) в каждом конечном
интервале [а, р], а>0, абсолютно непрерывна, а функция [xg(x)Y
принадлежит L2@, оо). Действительно, с одной стороны, из
формулы F) следует, что
о
а, с другой стороны, функция из L2@, оо)
п
ft(x) = l. i. m. \ cos Bnxt)tf'(t)dt (8)
может быть представлена в виде
Таким образом,
± (8')
и наше утверждение доказано.
Теперь для обоснования равенства D) остается установить,
что
п
1. i. m. 2я^ Vxf J3/2Bnxt)tf'(t)dt = xg'(x). (9)
n->oo

68. ТЕОРЕМА ХАРДИ — ЮНГА 141
Действительно, на основании этого равенства и соотношения A),
полученного в конце п° 66, можно, в силу обобщенного равенства
Парсеваля, утверждать, что
\ xg' (x)^^-dx = \ tr(t)*=&-dt,
t) л «J *¦
откуда следует, что
->оо -юо
I g(x)d{x-[x]} = \ f(t)d{t-[t]},
т. е. равенство D).
Чтобы доказать (9), нужно воспользоваться формулами G),
(8), (8'):
71
1. i. т.2я \ Y~xt Js/2{2nxt)tf'(t)dt =
оо n
= —[ s[n{2,nxt)tf'(t)dt-2 1. i. m.\ cos Bnxt) if (t)dt =
68. Теорема Харди—Юнга, С помощью леммы Харди,
рассмотренной в начале п° 67, легко доказывается следующее важное
предложение: пусть f(x) есть интегрируемая функция с периодом
2я; если <p(x)?L( — оо, оо) и имеет ограниченную вариацию на
всей оси, то интеграл
существует и равен
П оо
lim У, ck \ (p(x)eikxdx,
пюо «3
где ck(±k = 0, 1, 2, ...) —коэффициенты Фурье функции f (х).
Обозначим, как и в предыдущем п°, через Ф(л:) сумму ряда
2 A)
й=-оо
Так как Ф(х) имеет ограниченную вариацию в интервале [0, 2я],

142 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
то к паре функции f(x) и Ф(х) применима теорема Юнга (п° 54),
т. е. справедливо равенство Парсеваля
2я п 2л
\f(x)O (x) dx = lim J\ ck\<D (x) eikx dx.
Но ряд A) по лемме Харди сходится равномерно. Поэтому
2л п 2я
m-v—оо,
n~>oo &
\ f(x)<b(x)dx = lh
о я—m О
2(» . ....
\ f(x)y(x)dx= \ f{x)<f(x)dx
2(п+1)я
2Я *->оо оо
j Ф (х) eihx dx = \ <f(x)eikxdx= ^ y(x)eikx dx,
О ~+—оо —оо
откуда уже следует справедливость теоремы.
69, Теорема Фейера. Согласно второй теореме Вейерштрасса, для
всякой непрерывной функции f(t), имеющей период 2я,
существует последовательность тригонометрических сумм, которая
равномерно сходится к /(/).
Среди тригонометрических сумм, которые вообще можно
сопоставить данной функции f(t), наиболее важными являются,
несомненно, суммы Фурье sn(t) (см. п° 52). Однако одной
непрерывности функции f(t) еще недостаточно, чтобы sn(t) стремилась
к /(/) при п—> оо.
В связи с этим весьма замечательным является открытие
Фейера [15], доказавшего, что тригонометрическая сумма
которая представляет среднее арифметическое первых п сумм
Фурье функции f(t) и которая получила название суммы Фейера,
равномерно стремится к f(t) при п~»оо, если /(<) есть
непрерывная функция с периодом 2я*).
Не делая пока предположения о непрерывности f(t),
положим, что
оо
*) Тем самым получается новое доказательство второй теоремы
Вейерштрасса.

69. ТЕОРЕМА ФЕЙЕРА 143
и, значит,
Из вида тригонометрической суммы on(t) следует, что слагаемое
Ckelkt войдет в нее через посредство членов числителя s\h\ (t),
Sifei+i^)* ..., sn-i(t), а следовательно, будет иметь коэффициент
— (п — \k\). Таким образом,
п
М0 = 2 A-^)с6еш. A)
k——n
Как было показано в п° 53, an(t) можно представить в виде
2я
ап (t)= \ f(t-\- и) Фп (и) du, B)
6
где
71 v ' 2лп . 2 и
Функцию Фп(и) часто называют ядром Фейера. Важным
свойством ядра Фейера является его положительность. Далее, если
/(f)==l, то sn(t)=l (n = 0, 1, 2, ...), а значит, и on(t)=l (n =
= 1, 2, ...). Поэтому
2я
5 <Dn(a)dtt=l. B')
о
Это равенство в соединении с положительностью ядра Фейера
показывает, что для вещественной функции /(/)
Jnf f (t) < an (t) < sup / @,
а вообще
\an(t)\< sup |f@1 .
Валле-Пуссен [16] дал другое выражение для суммы Фейера,
которое может быть получено, если взять разложение
со
1 -s ¦ '
sin2 г

144 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Из этого разложения следует, что
. 2 пи
ф @)_ 1 S1" ~ = 2 у
2лп . о и Tin ^J
пи _ . о пи
°° Sn2 —
причем последний ряд сходится равномерно в каждом конечном
интервале оси —оо<а<оо. Так как
°n(t)=\ f(t + u)On(u)du,
то
пи
BЛ+1)я sin2
ЯП J '
— 00
откуда
m — J- T f(t-\-^u^ sin2"
—oo
Отметим, что в силу формулы B')
Интеграл
имеет смысл при более общих предположениях, чем те, которые
были нами сделаны. Во-первых, нет надобности предполагать,
что f(t) имеет период 2л;. Достаточно принять, что функция f (t)
*) В п° 63 мы уже применяли формулу C').

70. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 145
( — оо<^<оо) измерима и
/W(_oof оо).
Во-вторых, нет надобности предполагать, что X есть натуральное
число. Условимся называть интеграл D) при этих общих
предположениях относительно f(t) интегралом Фейера для/(?). Говорят
также об операторе Фейера, а выражение
называют ядром Фейера.
Возникает вопрос о поведении интеграла Фейера при к—>оо.
Изучение этого вопроса, которому посвящен п° 70, приведет нас
к некоторым общим результатам, которые, в частности, содержат
упомянутую в начале настоящего п° теорему Фейера
относительно непрерывных периодических функций.
70. Интегральные операторы с ядром типа Фейера. Вместо
оператора Фейера рассмотрим более общий оператор
оо
= *- I f(u)K(l(x-u))du (А,>0) A)
с ядром К(х). Это ядро назовем ядром типа Фейера, если
а) К(-х) = К()
b) ^ K{x)dx=l,
—oo
c) К(х) ограничено в интервале — 1<я<1,
d) x2K(x) ограничено на всей оси.
Ясно, что интеграл A) при выполнении этих условий
существует для любого Х^>0, если f(x) (— oo<x<<cx>) есть
измеримая функция и
""-ец-оо, оо). B)
Теорема. Пусть f(x) удовлетворяет условию B), и пусть
fix; X) = l
C)
где Кг—оператор с ядром типа Фейера. Тогда:
1) если (А>0)
f{x+t) + f(x-t)
lim-г- \
h->0 h J
10 н. И. Ахиезер

146
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
то
lim f(x; h) = s;
а,-» со
2) если f(x) непрерывна в конечном интервале а
\imf(x; b) = f{x)
, то
равномерно в любом замкнутом подынтервале интервала (а, р).
Доказательство. В силу свойств а) и Ь) функции К(х),
каково бы ни было s,
оо
f(x; K)-s = k \ {f{u)-s}K(k(x-u))du =
Полагая б > О, X > -у , представим это выражение в виде
О
б оо
1/Х в
1/Х
Пусть, в соответствии с условиями с), d),
sup \K(x)\ = A, sup х*\К(х)\=В.
l^^l —оо<д:<оо
Положим, кроме того,
Тогда
= <p(t; х, s) = -j-
x-u)
— s
du.
2В
1
2В
: к
/2 —
б б
1 1А
Ф@
/2
D)
sup | ф@1.

70. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 147
Далее,
I / I г2В 1
Зададимся произвольным е>0. Если для некоторых х и s имеет
место соотношение C), то можно указать такое 6 = 6 (е), что при
08
Взяв это б, будем иметь, на основании D),
а, с другой стороны, если 8 фиксировано, то, в силу E),
lim/з-О.
Поэтому
lim | f(x\ Я) —s |<е,
откуда и вытекает утверждение 1).
Допустим теперь, что f(x) непрерывна в некотором конечном
интервале (а, Р), и пусть Д —некоторый замкнутый подынтервал
этого интервала. Тогда можно указать такое 6 = 8(е), что при
О < t < б для любого х ? Д
/(*) < 2Л + 6Б
и, следовательно, при 0<^<6 для любого л:?Д
если взять s = f(x). Зафиксировав таким образом б, мы будем на
основании соотношений D) иметь неравенство
/i | +1 h I < е
для любого х?А. А так как при фиксированном б
lim/3 = 0
равномерно относительно д:^Д, то равномерно относительно л:?Д
|/( )
Я,->со
чем доказано утверждение 2).

148 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Что касается соотношения C), то оно, очевидно, имеет место
во всякой точке непрерывности функции f(x), если положить
s = f(x). Но оно выполняется также и в точках разрыва первого
рода, если положить
Лебегу принадлежит важное предложение, в силу которого
соотношение C) справедливо для почти всех х, если f(x) —
интегрируемая в каждом конечном интервале функция и s = f(x).
Теорема Лебега. Если f(x)?L(a, 6), то почти всюду в (а, Ь)
h
lim w\ l/(*+0—/WI<H=o.
Доказательство. При фиксированном а, на основании теоремы
Лебега о производной от неопределенного интеграла, почти всюду в (а, Ь)
имеет место равенство
h x+h
1 Р
Обозначим через еа r~ (a, b) то множество меры нуль, на котором
соотношение F) не выполняется. Заставим а пробегать множество всех комплексных
рациональных чисел. Это множество счетно, а потому сумма е всех еа также
имеет меру нуль.
Пусть х\е. Возьмем какое-нибудь 8 >0, и пусть комплексное
рациональное число р таково, что
Тогда
и
2h J
I/W-PK-I"-
-h -h
h
-h
откуда
h
что и доказывает теорему.

71. ПРИМЕРЫ ЯДЕР ТИПА ФЕЙЕРА 149
71. Примеры ядер типа Фейера. В различных вопросах анализа
встречаются частного вида интегральные операторы с ядром типа
Фейера, замечательные в том или ином отношении. Обычно
функция К(х) кроме свойств, перечисленных в п° 70, имеет еще одно
свойство, а именно, является функцией с ограниченной вариацией
на всей оси. Допустим, что это условие выполнено.
Введем функцию
оо
= J K(x)e-itxdx,
которая с точностью до числового множителя представляет
преобразование Фурье функции К {х).
В силу условия, что
K(x)dx=l,
>
имеет место равенство ф@)=1. Рассмотрим интеграл
со
/(г, Х) = К J f(u)K(k(x-u))du
—оо
где
Посмотрим, какой вид можно придать функции /(#; Я) в двух
случаях:
a) f(x) имеет период 2я;
b) /(х)еР(-аэ, оо).
В случае а), полагая, что
и применяя теорему Харди —Юнга (см. п° 68), мы находим, что
п оо
\
k=—n fe=—со
Таким образом, f(#; X) получается из ряда Фурье для f(x) вве-
дением «множителя ф ( -у- гт

150
ГЛ III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В случае Ь) результат аналогичен. Применяя теорему о
свертке двух функций из L2 (а легко видеть, что, в силу условий,
которым К(х) удовлетворяет, K(x)?L2), мы найдем, что
если С(х) — преобразование Фурье функции f(x). Таким образом,
теперь f{x\ X) получается введением «множителя» в интеграл
Фурье для функции f(x).
Вот небольшой перечень наиболее замечательных ядер:
к<*>
1 а
л а2 + *2
(а>0)
1 е 4а
2}/"па
(а>0)
2sin2-^
Я^2
12 sin*-|-
ЧИх)
е-а\х\
е-ах>
1-1*1 A«1<0,
0 (\х\>\)
Ъх* 3|х|»
2 ' 4
(М<1),
1B-1 Jt|)« A<|х|<2),
0 <|*|>2)
Ядро
Абеля — Пуассона
Вейерштрасса
Фейера
Джексона — Валле-
Пуссена
72. Преобразование Фурье интегрируемой функции. В
пространстве L2( —оо, оо) вопрос об обращении интеграла Фурье
решается, как мы видели, просто. В настоящем п° мы приведем
некоторые относящиеся к этому вопросу теоремы для других
пространств.

72. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 151
Теорема 1. Пусть f (t) ? L ( — оо, оо) и
—оо
Если в некотором интервале I вариация f (t) ограничена, то
в каждой точке х ? / справедливо равенство
т
y[f{x + 0) + f(x — 0)] = lim —fLr- [ g(t)e-itxdt.
Теорема является континуальным аналогом теоремы Жордана
о тригонометрических рядах (см. п° 53) и, как мы сейчас
покажем, сводится к этой последней.
Для этого заметим, что в силу теоремы Римана — Лебега
разность
т т
^g(t)e-iixdt- J g(t)e-itxdt
-т -V
равномерно стремится к нулю при Г—> оо, если величина \Т — 7" |
при этом остается ограниченной. Поэтому мы можем принять
Т~п-\--ъ , где п — число натуральное. Далее, мы можем принять,
не нарушая общности, что интервалом / является ( —т » "Т у •
Теперь представим интеграл
-Т
в следующем виде (
ч
и—х
+4- \f(u)sinT(u-x)\j=r-„. LU+
*L 12 sin —рг— !
• ^/ ч 1 л Sin Я + -7Г (U Х)
, sin Г (в-х) ,,„_,_!_ С w.a V 2) dlL
sin^-(M — x)
Последний член совпадает с суммой Фурье функции f(u)

152 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
( — Jt<a<jt)? и к нему применима упомянутая теорема п° 53,
а сумма первых трех членов есть
4- \ fx(v) sin (Tv)dv
—оо
и при Т —> оо стремится к нулю по теореме Римана — Лебега,
которая здесь применима, так как функция
при каждом фиксированном х?1 принадлежит L(— <x», оо).
Теорема 2. Если f(x)?L(a,b) при любых конечных а, Ь
и если интеграл
->00
*(*) = т=- J №***du A)
сходится равномерно в каждом конечном интервале оси х, то
почти всюду и во всех точках непрерывности функции f(x):
Заметим, что условие теоремы, очевидно, выполнено, если
f(*Nl(-co, со).
Доказательство. Докажем вначале, что, в силу условия
теоремы, из соотношения A) вытекает равенство
9sin2— (г Л
д B)
Действительно,
—~ Л
in2
-а,

72. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 153
причем изменение порядка интегрирования дозволено, в силу
равномерной сходимости интеграла A).
Положим
Так как интеграл A) сходится при х — 0, то функция F (t)
ограничена:
\F{t)\<M (-oo<*<co).
Теперь, взяв Т>\х\, представим правую часть равенства B)
в виде
4- S f{t)
-Т
Мы докажем, что при достаточно большом Т для всех
будут сколь угодно малы интегралы /i и /3. После этого
останется применить теорему п° 70 к интегралу /2, который является
интегралом Фейера для функции
0 {\t\>T).
Достаточно рассмотреть /3:
оо
+
оэ 4Sin2A(*_2
Отсюда
2М , М Г сЦ 4М
т
4М
v\2 "T"

154 ГП- Ш. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
а правая часть, действительно, может быть сделана для всех
Я>1 сколь угодно малой, если Т взято достаточно большим.
Из теоремы 2 вытекает следующая элементарная «теорема
единственности»: если
f(x)eL(a,b)
при любых конечных а, Ь и если равномерно в каждом конечном
интервале оси х
J f(u)eiuxdu = 0,
то почти всюду
Теорема 2 допускает различные обобщения. Вот формулировка одного из
них: если f(x)?L(a, b) при любых конечных a, b и если функция
lim -
Ь->со у 2я
всюду конечна и принадлежит L(a, b) при любых конечных а, 6, то почти
всюду
f(x)=\xm-l=. \ (\-1-^
Л^со у 2л Д V Л
Эта теорема принадлежит Оффорду [17]. Из нее вытекает следующая
теорема единственности: есл« f(x)?L(ayb) при любых конечных
a, b и если
г»
lim \ f(u)eiuxdu = 0
^лл каждого х, то почти всюду /(х) = 0.
Оффорду принадлежит еще одна весьма замечательная теорема
единственности: если f (x)^L(a, b) при любых конечных a, b и если для
каждого х
lim [(i-\^l)f(u)ei^du = 0J C)
то почти всюду f(x) = 0.
Эта теорема в том смысле является наилучшей, что требование о
выполнении соотношения C) всюду нельзя ослабить. В самом деле, для
функции
соотношение C) выполнено для всех

73. СВЕРТКА ДВУХ ФУНКЦИЙ 155
73. Свертка двух функций. Выше (см. п° 61) мы определили
свертку двух функций gi(x), g2{x) из L2(—оо, со), как интеграл
со
\ gi{x)gi(t-x)dx, A)
— сю
и показали, что она равна
hl(x)h2(x)eilxdx.
Второй из написанных интегралов есть с точностью до множителя
обратное преобразование Фурье функции h1(x)h2{x)?
6L( — оо, оо). Условимся свертку двух функций gu g2
обозначать символом
Ясно, что
gl*g2 = g2*gi-
Указанный выше результат можно представить в виде формулы
Положим теперь, что gi(x)^L(—оо, оо), g2(x)?L( — оо, оэ).
Так как интеграл
оо оо
I \gi(x)\dx \ \gt(t-x)\dt
—оо
существует, то по теореме Фубини интеграл A) существует для
почти всех / и представляет функцию из L(— оо, оо).
Таким образом, и в этом случае можно говорить о свертке,
которая теперь определена для почти всех t. Найдем ее
преобразование Фурье:
=- I e-lt»dt J gi(x)g2{t-x)dx =
— оо
= у= \ e-Uxgi(x)dx
Таким образом, мы имеем для пространства L(— оо, оо)
соотношение

156 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
74. Функция Стеклова. Пусть дана функция f(t) (— оо<:?<оо),
принадлежащая L(a, b) при любых конечных а, 6. При
произвольно взятом h > О построим функцию
^ 2 Л/2
Ы0 = тг \ f(u)du = -r~ [ f(t-\-v)dv,
h_ -Л/2
2
которую называют функцией Стеклова для функции f(^).
Согласно теореме Лебега, функция /л(/) имеет почти всюду
производную
Если f(/) есть функция периодическая, то тот же период
имеет fh (t). Положим, что f(t) имеет период 2я, и пусть
Покажем, как получить ряд Фурье для fh (t). Мы знаем (п° 52), что
А так как
то, по теореме Жордана,
2 „ ЛШ /1 bis\
Если /(<) принадлежит пространству Lp(—оо, сю) при каком-
нибудь р>1, то тому же пространству принадлежит и /л (О»
причем
11ЫК1
что следует из обобщенного неравенства Минковского для'
интегралов.
С другой стороны, применяя неравенство Гельдера, находим,
что функция Стеклова всегда ограничена:
\fh(t)\<h"i\\f\\ (-с

75. ТЕОРЕМА ВИНЕРА—ЛЕВИ 157
Комбинируя эти два факта, получим, что при любом г>р (> 1)
с» JL J L °° А
{$ \fh(t)\'dt}r <hr P {\\f(t)\pdty.
—оо —со
Примем теперь, что f (t)dL( — оо, оо) или L2(—оо, оо). Пусть
ф @=8/@. B)
Так как функцию fh(t) можно рассматривать как свертку
функций f(t) и
=1
1
h I "" 2 <Г< 2
и так как
Л/2 о sin
1 Р 1 1
то, в силу теоремы о свертке,
ЧУ)-^г-=ШЪ Bbis)
Обращая это равенство, находим, что
2sin-^-
Здесь при f(/)gL2( — оо, оо) интеграл сходится абсолютно, так
как .в этом случае <p(t)?L2( — оо, оо). Если же f(t)^L( — оо, оо),
то интеграл следует понимать в смысле главного значения
по Коши, так как теперь к fh(t) применима теорема 1 п° 72.
75. Теорема Винера —Леви [18]. Условимся в настоящем п°
рассматривать преобразование Фурье в L( —оо, оо) без множителя
и будем применять для него обозначение
Далее, условимся под 91* понимать совокупность, которую
пробегает /*, если f пробегает совокупность 9? с L. В частности,
91 может совпасть с L, и тогда мы получим линейное
пространство L*dCoo. А так дак двум различным функциям f?L, g?L

158 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
отвечают всегда различные функции /*, g* (см. п° 72), то мы
можем ввести в L* норму
оо
f(t)\dt = \\f\\L.
Легко видеть, что нормированное таким образом пространство L*
полно.
Определение. Полное линейное нормированное
пространство К называется нормированным кольцом, если в К определено
«умножение» элементов, удовлетворяющее следующим требованиям:
h 6 К; X, |i —числа);
2) (fg)h = f(gh);
3) HfelKllfllllsll.
Пространство L является нормированным кольцом, если под
произведением двух элементов понимать их свертку.
Действительно, свойство 3) сводится к соотношению
оо
IINflkHI \ f(»)g(t-»)du ,<||/||l||я||ь,
II «J -^
— со
а остальные свойства очевидны.
Пространство L* есть также нормированное кольцо, если под
произведением понимать обычное алгебраическое произведение.
Действительно, если f*?L*, g*?L*, то (см. п° 73)
и, следовательно,
Из сказанного следует, что многочлен с постоянными
коэффициентами от функции /*(О6^*> не имеющий свободного члена,
всегда принадлежит L*. Весьма важное и далеко идущее
обобщение этого алгебраического факта представляет
Теорема Винера —Лев и. Если f*(t)?L*, а
Ф(г)—аналитическая функция, регулярная в некоторой области, содержащей
кривую z = f* (t) (— оо < t < оо), причем Ф@) = 0, то Ф [f* (t)] 6 L*.
Доказательство*) основано на двух простых леммах, которые
мы вначале лишь сформулируем, а в конце настоящего п°
докажем.
*) Приводимое доказательство принадлежит В« И. Мацаеву, с любезного
разрешения которого оно здесь впервые публикуется.

75. ТЕОРЕМА ВИНЕРА — ЛЕВИ 159
Лемма 1. Пусть y(t) (— оо </< оо) — дважды непрерывно
дифференцируемая функция, отличная от нуля лишь в
некотором конечном интервале, так что ф (?)??*• Если также
Ф"(О6^Л то
где символ {ср} определяется формулой
{ф}= max |ф@|+ max |q>'(/)|,
а N — длина упомянутого интервала.
Лемма 2. Для всякой функции f* (t) ? L*, при любом г > О,
можно указать функцию ф (t) ? L*, удовлетворяюшую следующим
условиям:
a) ф(/) дважды непрерывно дифференцируема и равна нулю
вне некоторого конечного интервала,
b) <р* (/)€?•
и
c) выполняется неравенство
По условию теоремы Винера —Леви можно указать такое
q>0, что всякий круг радиуса q с центром на кривой
2 = ПО
будет целиком лежать в области @, где функция Ф(г) регулярна.
Построим для функции f*(t) при е = -|- функцию ф(/) леммы 2
и положим, что N есть длина интервала, вне которого y(t) = O.
Затем напишем для любого вещественного t разложение в ряд
Тейлора
Функция Ф(/?)[ф@] (k = 0, 1,2, ...) также равна 0 вне
упомянутого интервала длины N и, кроме того, дважды непрерывно
дифференцируема:
-|L ф*> [Ф (/)] = ф*+1> [Ф (/)] ф" (/) + ф^+» [Ф (t)] [Ф'
Поэтому Ф('о[ф@1' а значит, и каждый член

160 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ряда A) принадлежит L*. Для оценки нормы %{t) воспользуемся
леммой 1 и неравенствами
^ (« = 0,1,2, ...),
где М = max | Ф (г) |. Мы найдем, что
k\ (k+\)\ {k + 2)\ \
где А от fe не зависит.
Из этой оценки вытекает, что правая часть A) есть ряд,
сходящийся по норме кольца L*. Но отсюда следует, что его
сумма принадлежит L*, а это и составляет утверждение теоремы
Винера — Леви.
Остается доказать леммы.
В силу условия леммы 1,
Ч>@= \ g(u)e-iuldu,
— СЮ
где (l + u2)g(u)?L. Значит,
a+N
если (а, а + N) — тот интервал, вне которого ф (t) — 0. Отсюда
неравенство
из которого и следует, что
Чтобы доказать лемму 2, положим

75. ТЕОРЕМА ВИНЕРА —ЛЕВИ
161
Эта функция принадлежит L, и из п°п° 71, 72 известно, что
О
Теперь покажем, что в качестве q>(t) можно взять повторную
функцию Стеклова
4-— 4-—
dz \ g* (t) dt
h h
при достаточно большом Х>0 и достаточно малом h>0.
В самом деле, во-первых, ф(х) = 0 при x>% + h и д:< —
во-вторых,
—ft,
и, наконец, по свойству функции Стеклова
ф(*)=
Благодаря последней формуле
4 sin2
hx
f(x)-g(x)
oo
1 ? sin2u , ?
—oo
T
4 sin2-
sin2?
dv
-T
4 sin2
hx
dx +
Второе слагаемое при достаточно большом Т будет сколь угодно
11 Н. И. Ахиезер

162 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
мало. С другой стороны, первое слагаемое не превосходит
т с
4- I ^ 5
1 -
dx +
-T -С
Т со -С
4 J ^1dv{\\f(x)\dx+ 5 \f(x)\dx}
-т с
т
-т
Взяв достаточно большое С, можем сделать второй член сколь
угодно малым. После этого, беря достаточно малое h > 0, сделаем
сколь угодно малым первый член. Наконец, на основании
следствия п° 24, сделаем сколь угодно малым последний член, беря
надлежащее X.
Тем самым лемма 2 также доказана.
76. Теорема аппроксимации Винера [18]. Пусть задано некоторое
множество функций 501 в пространстве L( — со, со). Рассмотрим
всевозможные конечные суммы
2 Wa( + W» ()
а, |3
где са$ — произвольные числа, Ха$ — произвольные вещественные
числа, fa —функции из УЛ. Каждая сумма A) принадлежит L,
а совокупность всех таких сумм есть некоторое линейное
многообразие в пространстве L. Замыкание этого многообразия мы
обозначим /эд.
Проблема Винера гласит: найти необходимые и достаточные
условия для множества Ш, чтобы /g^ = L. Иначе говоря, найти
условия, при которых для любой функцииg(xNL и любого е>0
существует такая функция h(x) вида A), что
\ \g(x)-h(x)\dx<*.
Результат Винера формулируется очень просто: /g^ = L в том
и только том случае, когда не существует ни одной точки
Хо (_ со < х0 < °°), в которой равняются нулю преобразования
Фурье всех функций из 9К.
Если от многообразий 991, /эд, L перейти к 501*, /?$, L* (см.
предыдущий п°), то теорему Винера можно сформулировать еще

76. ТЕОРЕМА АППРОКСИМАЦИИ ВИНЕРА
163
следующим образом: I^ — L* в том и только том случае, когда
нет ни одной точки х0 ( — оо < хо< со), в которой равны нулю
все функции из 501*.
Доказательству теоремы Винера предпошлем два
вспомогательных предложения, из которых второе докажем в конце п°.
Лемма 1. Если f*6% u ?*е*Л то /*(*)g*(*N%
При доказательстве леммы можно ограничиться случаем, когда
g(x) равняется нулю вне некоторого конечного интервала, так
как множество таких функций плотно в /., а совокупность %, по
определению, замкнута.
Итак, пусть g (х) = О при х^>А их< — А, а / (a:) ? /^. Нужно
доказать, что функция
А
/,(*) = \ f(x-t)g(t)dt
-А
д
принадлежит %. Полагая /г = —, где я— натуральное число,
напишем следующее неравенство:
f(x-t)g(t)dt- 2 f(x-kh) \ g{t)dt
-A fe=-n llh
rc-1 (k+l)h
Jmm^ «3
n-1 (k-\-i)h
S \ \g(t)\dt \ \f(x-t)-f(x-kh)\dx<
i=-n kh
CO
<||g||max ^ |/(х + б)-/(х)Илг.
На основании следствия п° 24, правую часть этого неравенства
можно сделать меньше любого е>0, выбирая достаточно
большое п. Но тогда
А г* —1
\ f(x-t)g(t)dt- 2 ckf(x-kh)
-A k=-n
где
м

164
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
и, снова учитывая замкнутость /эд, находим, что f± (x)
принадлежит /эд.
Лемма 2. Если g*(t) (— оо</<аэ) отлична от нуля лишь
в конечном интервале и если для каждой конечной точки и
числовой оси можно указать такую окрестность Ги и такую функцию
то g*(t)el$x.
В наших построениях будет играть некоторую роль одна
принадлежащая L* кусочно линейная функция частного вида, а именно
с» Г 1, если — 1 < t < 1,
* /л\ С COS* — COS 2X -{vft Jo i^i 1 ^ i л ^ о
^ W = J мЯ еш dx=\2 — \t\, если 1< 11 \ < 2,
[О, если \t\>2.
На рис. 4 представлен график функции \i* ( ~и j (e>0).
Займемся доказательством теоремы Винера.
Необходимость условия этой теоремы почти очевидна. В самом
деле, пусть существует такая точка хо( — оо <*о< °°)> что для
любой функции /406 531
Возьмем какую-нибудь функцию g (/)?/,, для которой
оо
\ g(t)e-itx<>dt=l.
—оо
Тогда при любых са$ и любых вещественных Хар
оо
J {g @ - 2 <W« (t + Kv)} e~ixot dt =
и, значит,
a,
т. e. g(t) не принадлежит %.
Перейдем к доказательству достаточности условия теоремы
Винера.

76. ТЕОРЕМА АППРОКСИМАЦИИ ВИНЕРА 165
Поэтому предположим, что условие Винера выполнено, т. е. ни
в одной конечной точке и не обращаются в нуль одновременно
все функции множества 5Ш*. Мы должны доказать, что любая
функция из L* принадлежит /эд. Достаточно доказать это для
функций, отличных от нуля лишь
в конечных интервалах, так как
множество таких функций плотно
в L*, что является одним из след-
ж
ствий леммы 2 предыдущего n° u-2e w-s и u+e
Пусть g* (t) 6 L* — такая функция Рис. 4.
и [ — с, с]—интервал, вне которого
она равна нулю. Возьмем произвольную точку и?[ — с, с]. По
условию, существует такая функция f (t) ? 9tt, для которой /* (и) Ф 0.
Напишем тождество
первый член правой части которого, очевидно, принадлежит 1щ. Мы
должны доказать, что этим свойством обладает и второй член.
Но для всех t
f<0
• («)
v) h4t)
v ' \ + h*(t)
где
Так как
то, на основании леммы 1, все будет доказано, если мы
проверим, что
l + h*(t) ^
при достаточно малом г > 0.
Возьмем 8 > 0 настолько малым, чтобы для всех t имело место
неравенство
|А*@1<

166 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тогда функция
регулярна на кривой z = h*(t) и равна нулю при z = 0. Поэтому,
на основании теоремы Винера — Леви,
h~W = ф \h* (t)] с L*
и доказательство теоремы закончено.
Остается доказать лемму 2. С этой целью возьмем, опираясь
на теорему Гейне — Бореля, конечное число интервалов Ги,
покрывающих интервал [ —?, с], вне которого функция g* (t) ? L* равна
/i i iУ« ! «\
/ ! ' «/ ^ 1—I—X.
Рис. 5.
нулю. Мы можем принять, что ими являются интервалы TUk = [a&, bk\¦
uk == ak~^ k {k=\, 2, ..., n), имеющие одну и ту же длину 4/
и расположенные так, что
В каждом из интервалов TUk построим непрерывную кусочно ли-*
нейную функцию, а именно
li*
Таким образом,
71
1 при ^6 [ — ^7 с],
О при t>c + l и ?< —с — 1.
Отсюда следует, что
fc=i
Замечая же, что \i* ( —^ ) есть нуль там, где, по условию
леммы, (ou (t) может не равняться g* (t), заключаем, что последнее

77. КРАТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 167
равенство можно переписать в виде
Г
Но в сумме, стоящей справа, каждый член принадлежит Лэд, ибо
<*>uk{t)?l$ft по условию. Следовательно, принадлежит /^ вся сумма,
что и требовалось доказать.
77. Кратно монотонные функции. Будем говорить, что функция
ф(л:), a<x<oo, r-кратно монотонна, если она г раз
дифференцируема и
(-l)V'°(*)>0 (а<х<оэ; 6-0, 1, ..., г). A)
Обычно в определении кратной монотонности дифференцируемость
функции а priori не предполагают, а вместо производных берут
конечные разности соответствующих порядков (с произвольным
шагом /i), но для наших дальнейших приложений это обобщение
не будет иметь значения.
При рассмотрении функций в интервале — оо < х < b
/--кратную монотонность определяют неравенствами
^k)(x)>0 (-оэ<х<Ь; Л = 07 1 г). B)
Это же определение принимается и для функций,
рассматриваемых в конечном интервале.
Наконец, функцию ср(%), а<х<оо (соответственно функцию
ф (х), — оо << х < 6), называют абсолютно монотонной, если
неравенства A) (соответственно B)) выполняются при любом
натуральном г.
Докажем следующее предложение: если ф (х), 0 < х < оо,
ограничена и двукратно монотонна и если Пгаф(л:) = 0, то для
х-»оо
всех х Ф 0 существует интеграл
->оо
f(x)= у — \ ф(^) cos xu&u;
о
функция f(x) непрерывна при хфО, принадлежит L@,oo)
и неотрицательна; для всех а>0 имеет место равенство

168 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Доказательство. При х Ф О, интегрируя по частям, найдем,
что
а # а
\ ф (и) cos хи du =sln * ф (Л) \ 9'(u)sin joidu.
о о
Так как ф'(я), в силу условий, очевидно, принадлежит L@, оо)
(а также L2@, оо), что будет использовано позже), то интеграл
А
\ у (и) cos xu du
о
при А —> сю стремится к пределу, и притом равномерно, в каждом
интервале оси х, не содержащем точки 0.
Таким образом, f(x) при х Ф 0 существует и непрерывна.
Далее, формула
— xf(x)=y^ J ф'(a) sin хи da C)
о
показывает, что xf (x)g L2@, оо). Поэтому f (jc)gL(a, оо) при
любом а>0. Беря х>0, мы можем представить /(я) в виде
flx)= л/ ±у
n=0 0
V * )
Выражение в фигурных скобках, в силу двукратной монотонности
функции ф(х), неотрицательно. Следовательно, f(x)>0.
Из C), на основании теоремы Планшереля, вытекает, что
/Тс
ф@) — ф(а:)= ]/ ~\ (I-cos xu)f (и) du. D)
о
Отсюда
оо
Ф @) — ф (х) > |/-| \ A — cos xu) f (и) du,
8
каково бы ни было е > 0. Полагая х -> оо при фиксированном е,
находим, в силу условия и теоремы Римана — Лебега, что

78. ИНТЕГРАЛЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 169
Отсюда, приближая е к 0, мы и получаем, что f(x)?L@, со).
Следовательно, снова, в силу D) и теоремы Римана —Лебега,
«> _ со
Ф(О)= j/4 J f(u)du и <f(x)= y/\ \ f(u)cosxudu.
О О
Теорема доказана.
78. Интегралы дробного порядка от периодических функций.
Если f(x)—интегрируемая функция в конечном интервале (а, Ь)>
то формула
представляет оператор, который при натуральном а является
а-кратным интегралом от f(x), взятым от а до х. При любом
нецелом а>0 этот оператор может быть принят за определение
интеграла нецелого порядка. Необходимое для корректности этого
определения условие
проверяется без всякого труда. Этот способ введения интегралов
нецелого порядка восходит к Риману и Лиувиллю.
Другой способ, более удобный при рассмотрении
периодических функций, принадлежит Вейлю. Теперь кроме
интегрируемости / (х) приходится требовать, чтобы ее ряд Фурье не содержал
свободного члена:
со 2Я
Сохраняя прежнее обозначение для оператора, полагаем при
любом а > 0:
Этот оператор при натуральном а также представляет а-кратный
интеграл от }(х), но иначе нормированный, а именно требованием,
чтобы функция /«/(я) имела период и чтобы ее среднее
значение по периоду равнялось нулю. Интегральное представление
оператора теперь имеет вид
2я
I«f(*) = ^\ <»a(X-t)f(t)dt,

170 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
где
00 cos( пх —
П=1
При целом положительном а функция
была нами введена еще в п°55. Заметим также, что при 0<а< 1,
как показано в п° 59,
Лг-1
{{^} @<х<2п).
79. Сопряженные функции. Часто приходится вместе с
тригонометрическим рядом
оо
-f- + 2 {akcoskt + bhsinkt) (I)
рассматривать так называемый сопряженный ряд
оо
-^+2 {bkcoskt-ahsmkt). B)
fe=i
При этом константа Ьо остается произвольной.
Пусть A) есть ряд Фурье некоторой функции f(t). Если B)
также является рядом Фурье некоторой функции, то ее называют
сопряженной*) с f(t) и обозначают через f(t). Например, из
рассмотрений п° 55 следует, что
где
ф1 @ = 4" (
Простейшим случаем является тот, когда
2(|ft|H*|)
1
В этом случае ряды A), B) являются рядами Фурье функций из
*) Иногда говорят о тригонометрически сопряженной функции, чтобы
подчеркнуть» что речь идет не о комплексно сопряженной функции f(t).

79. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ 171
L2@, 2л), и если Ь0 = а0, то
т. е. мы имеем некоторый унитарный оператор, переводящий f(t)
в /(о-
Переходя от функций в конечном интервале к функциям
на всей оси, мы предположим с самого начала, что/ (t) ?L2(— оо, оо).
Пусть ф(/) есть преобразование Фурье функции f(t), так что
ъ
f @ = l.i. m. -±=\<p(u)eiludu. C)
а-> —оо У 2Л О
Ь->оо а
Мы назовем сопряженной с / (/) функцию
ъ
J(t)=\A.m. -)= \ у (и) i sign и eitlldu. D)
Ясно, что
Это определение аналогично определению для рядов, так как если
п п
\ y(u)eitudu= [ {А (и) cos tu +В (и) sin tujdu,
-п О
ТО
п п
\ ф (и) i sign и eitudu= \ {В (и) cos tu — А (и) sintu] du.
С помощью надлежащего обобщения [19] можно ввести
понятие о сопряженной функции и для других классов функций.
Мы ограничимся важным для дальнейшего классом W2 всех
измеримых функций f(t), — oo</<oo, для которых [20]
TZT7T ?^2(~ °°> °°)-
Пусть / (t) ? W2. Введем преобразование Фурье г|) (/) функции
Таким образом,
-L=].i.m. \
У 2Я «-> — оо «3
E)

172 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
После этого полагаем, по определению,
ь
J(t) = (t-i) -I l.i.m. \ Ц (и) i sign и eitudu. F)
b->oo a
Мы имеем здесь дело снова с некоторым оператором, который
в том смысле унитарен, что
Всякая периодическая функция f(t)?L2@, 2я) принадлежит W2.
Равным образом принадлежит W2 всякая функция / (t) ? L2 (— оо, оо).
Поэтому необходимо проверить, что сопряженная функция в
обобщенном смысле, определяемая формулами E), F), в
существенном совпадает (т. е. с точностью до аддитивной константы почти
всюду совпадает) с сопряженной функцией в первоначальном
смысле, если f(t) периодична и 6L2@, 2я) или f(t)?L2( — оо, оо).
Переходя к этой проверке, заметим, что
0
Пусть f(t)(iL2(— оо, оо). Введем соответственно формулам C),
E) функции ф(/), ty(t), из которых вторая, очевидно, непрерывна
на всей оси, и обозначим через fo(t), f(t) сопряженные с f(t)
функции, определяемые соответственно с помощью формул D) и F).
На основании теоремы о свертке
Подобным образом
—оо
Если t>0, то, следовательно,
со (*) =
Пусть /<0, тогда
t о

79. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ 173
Так как
b
J0(t) = (t — i) —L, l. i.m. [ <u(u)eiiudu,
У 2Я a->-oo J
b->oo a
то, следовательно,
о
b
— 0 -т=\. i.m.
2
ИЛИ
и наше утверждение доказано.
Случай периодической функции f(t)?L2@, 2я) трактуется
аналогично.
В заключение заметим, что вместо у^ можно было бы
с самого начала исходить из t_ , где С и у — какие-нибудь
константы, для которых это отношение принадлежит L2(—оо, оо);
при этом сопряженная функция изменится лишь на аддитивную
константу.

ГЛАВА IV
НЕКОТОРЫЕ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
80. Целые функции экспоненциального типа. Так называют
целые функции f (z), которые при любом z удовлетворяют
неравенству вида
|/(z)|<A?*i*i, A)
где числа Л, В от г не зависят. В нашей литературе употребляется
также термин С. Н. Бернштейна — целые трансцендентные
функции конечной степени.
Точная нижняя грань значений константы В, при которых
имеет место неравенство A) (с зависящим от В коэффициентом Л)г
носит название типа функции /(г). Тип находится по формуле
\z Иоо I г I
Действительно, по определению верхнего предела, это равенство
означает, что при любом е > 0 для всех г с достаточно большим
модулем, \z\>R(e):
1/(г) |<*<"+*> 1*1, B)
а для некоторых г со сколь угодно большим модулем:
К этому нужно добавить, что если неравенство B) выполняется
лишь при \z\>R(e), то неравенство
с достаточно большим коэффициентом Ае будет уже иметь место
для всех г.
Совокупность всех целых функций экспоненциального типа < а
обозначим Еа. Функции класса Ео будем также называть
функциями минимального экспоненциального типа.
Вот несколько функций экспоненциального типа а:
Р B) ew, e°Z~l Р (г), Р (z) cos (аг + а), Р (г) cos (а
через Р (z) здесь обозначен произвольный многочлен от z.

80 ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА 175
Пусть целая функция задана своим разложением в ряд Мак-
лорена:
Докажем, что одно из неравенств
ПШ i^ C)
|z|-»oo lzl
^у^\='Ш^ШЩ<а D)
n-»oo n-*oo
влечет другое. Отсюда будет следовать, что f(z)?Ea и тип ее
в точности равен о в том и только том случае, когда
lim
=а.
Чтобы доказать, что C) влечет D), возьмем неравенства Коши
\Сп\<^Р- (п = 0, 1, 2, ...).
где
М (г) = max |/B)|,
\z\=r
и положим г = —^ , где е — произвольно взятое положительное
число. Так как, на основании C), для всех достаточно больших
\z\ имеет место неравенство B) и, следовательно, неравенство
М (г) < е<а+8> %
то для всех n>N(e) мы будем иметь неравенство
, еп(с + г)«
\сп <> пп »
откуда и вытекает D).
Докажем, что D) влечет C). С этой целью будем исходить
из неравенства
В силу D), для всех n>N(e)
\Сп\<
и поэтому
M{r)< S
ft=0

176 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
откуда для всех r>R(e)
и, значит,
что и доказывает C).
Из доказанной теоремы, между прочим, вытекает, что при
дифференцировании функции f(z)?EG ее тип сохраняется.
Отметим также, что, в силу самого определения, сумма и
произведение двух функций экспоненциального типа являются также
функциями экспоненциального типа, причем тип суммы не
превосходит наибольшего из типов складываемых функций, а тип
произведения не превосходит суммы типов перемножаемых функций.
Тип характеризует рост функции на бесконечности «в целом».
Однако часто приходится учитывать рост по тому или иному лучу.
Это делается с помощью так называемого индикатора роста,
который был введен для различных классов функций Фрагменом
и Линделефом. В случае функций экспоненциального типа
индикатор определяется формулой
81. Преобразование^Бореля. Пусть дана функция
f(z) = a0 + ^-z + %z*+... A)
экспоненциального типа а>0. Таким образом,
а это значит, что радиус расходимости степенного ряда
f f f B)
равен а. Обратно, если мы возьмем степенный ряд g(t) вида B)
с радиусом расходимости а и по его коэффициентам построим
ряд A), то этот ряд представит целую функцию
экспоненциального типа а.
Формулы A), B) можно рассматривать как параметрическое
представление зависимости между целой функцией
экспоненциального типа f(z) и ассоциированной с ней функцией g(Q. Эта
зависимость допускает и явное представление с помощью некоторых
интегральных операторов.

81. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БОРЕЛЯ 177
Действительно, при любом R>o и любом г интеграл
имеет смысл и может быть вычислен с помощью почленного
интегрирования после замены в нем функции g(t) ее разложением B).
А так как
то, следовательно,
ТЮ = Ш Ф e™g(w)dw. C)
\w\=R
Теперь займемся обращением этой формулы, т. е.
представлением функции g(t) через функцию f(z). Мы получим требуемое
представление в виде интеграла, пригодное для всех ? из
полуплоскости, где gd) регулярна. Каждая такая полуплоскость
ограничена касательной к окружности | ? | = а и может быть задана
неравенством
81 (?e-ie) = I cos 9 + г] sin 6 > о. D)
Итак, зададимся числом 0, 0<6<2я, и условимся символом
оо(-е)
J F{z)dz
обозначать интеграл, взятый по лучу z = re-iQ @<r<oo). Пусть
E)
где 8>0, поскольку условие D) предполагается выполненным.
Возьмем в формуле C) R = а + -п-^' умножим обе части этой
формулы на е~& и проинтегрируем по прямой z = re~iQ от /* = 0 до
у = оо:
оо(-6) оо(-9)
О 0,1.
2
Так как ? удовлетворяет соотношению E), то на окружности
—-гд
|?-z(?-i0)g (йу)|^? 2 |g(oj)|.
12 Н. И Ахиезер

178 ГЛ. IV ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Отсюда следует, что интеграл в правой части формулы F) (а
значит, и интеграл в левой части) имеет смысл, а также, что при
вычислении повторного интеграла можно воспользоваться
изменением порядка интегрирования. При этом правая часть примет вид
-и Ф S^*-
так как вычет подынтегральной функции относительно точки
w = оо равен нулю.
Таким образом,
00 (-0)
?@= I e-*f{z)dz. G)
о
Это и есть представление функции g(t) через функцию f(z).
Правая часть носит название преобразования Бореля функции f(z)
для полуплоскости D).
Вспомним определение индикатора роста /г(ср) функции /(г)
и покажем, что преобразование Бореля G) имеет смысл, если
точка ? принадлежит полуплоскости Де, определяемой
неравенством
31 (?*-«)> А (-6).
Так как h(— 6)<а, то эта полуплоскость может содержать
полуплоскость D) в качестве правильной части. Мы покажем даже,
что в каждой замкнутой области D, лежащей внутри
полуплоскости Де, преобразование Бореля представляет голоморфную
функцию. Отсюда будет следовать, что если полуплоскость D)
является правильной частью полуплоскости Де, то
преобразование Бореля дает некоторое аналитическое продолжение функции
g(?), заданной первоначально в области |?|>а. В этом и состоит
смысл этого преобразования.
Итак, пусть замкнутая область D лежит внутри
полуплоскости Де, так что расстояние всякой точки ??D от границы этой
полуплоскости не меньше некоторой величины 6 > 0:
С другой стороны, по определению индикатора роста, существует
такая константа С = СF), что для всех г>0
Поэтому на прямой z==re~ie при

82. ТЕОРЕМА ВИНЕРА — ПЭЛИ 179
откуда следует, что при ??D интеграл
оо(-в)
J f(z)e~*dz
о
сходится равномерно и абсолютно и, следовательно, представляет
голоморфную функцию.
82. Теорема Винера —Пэли. Обозначим через Wa совокупность
всех целых функций f(z) экспоненциального типа <а, для которых
Винер и Пэли [21] доказали, что класс Wa совпадает с
множеством функций /(г), допускающих представление
a
f(z) = -pL= J eizuq>(u)du, A)
—or
где (p(u)?L2( — a, a).
To, что всякая функция вида A), где y(u)?L2( — a, a),
принадлежит классу Wa, доказывается очень просто. Действительно,
если <p(u)?L2( — a, a), то функция
G
1
]/я
— и
непрерывна в каждой точке z комплексной плоскости и имеет
непрерывную производную
о
кг I ^w»-
Следовательно, /(г) —целая функция. При этом, если z = x-\-iy, то
f(z) = =, \ eev<t(u)du
—О
и, в силу неравенства Шварца —Буняковского,
| / (г) | < -±=г у J | ф (и) |2 du у
-о ~а
12*

180 ^Л. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Наконец, на основании равенства Парсеваля,
Сложнее доказывается, что всякая функция / (г) ? Wa допускает
представление A). Изящное доказательство принадлежит План-
шерелю и Полна [22]; его мы и воспроизведем здесь.
Задача состоит в доказательстве того, что условие f (z) ? W
влечет обращение в нуль преобразования Фурье ф (х) функции / (х)
для почти всех х>а и почти всех x<i — а. Действительно, если
Ф (х) == 0 для почти всех х > а и почти всех х < — а, .то
a
Но тогда целая функция
—а
совпадает с f (z) при z = дс, — оо < а: < оо, и, следовательно,
тождественна с f(z).
Итак, пусть функция f(z) принадлежит Wa. Возьмем ее
преобразование Бореля для полуплоскости 0
\ B)
о
и для полуплоскости л:<0:
оо 0
g_ (x + iy) = - J е«*+{у>/ ( — t)dt=— J е-«(*-и»)/ (t) dt. C)
0 оо
Так как / (t)?L2( — 00, оо), то, применяя неравенство Шварца —
Буняковского, мы сразу получаем, что эти интегралы сходятся
равномерно и абсолютно соответственно при х > г > 0 и при х < — е.
Отсюда следует, что ассоциированная с f(z) функция g(z)
регулярна (а значит, и однозначна) во всей плоскости, разрезанной
вдоль отрезка мнимой оси от точки — ia до точки + ia. Поэтому
при у>а и у< — о существуют и равны g(iy) пределы
g+ ^У + 0) = lim g+ (iy + e),
O
8->0

82. ТЕОРЕМА ВИНЕРА—ПЭЛИ 181
Но, в силу B), g+(iy + s) есть с точностью до множителя .—
преобразование Фурье функции
О
которая принадлежит L2. При этом
стремится к нулю при е->0. Следовательно,
оо
1
lim [
е->0 J
где
n
Ф+ (у) = 1. i. m. . \ / (x) e~
n->oo У 2Я «J
0
А так. как, по доказанному выше, для у>а и */<•— а функция
g+D/ + g) имеет обычный предел при е—>0, то для почти всех
|/>аи почти всех у< — а
Аналогично доказывается, что (в том же смысле)
4MS(iy0)
где
—П
Следовательно, для почти всех у > а и почти всех у < — а
ь
= 1. i. m. -pU W (x) е-**» dx = Ф+ (у) + Ф_ (у) =
У 2Я J
и теорема доказана.

182 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
83. Целые функции экспоненциального типа, ограниченные на
вещественной оси, и неравенство Бернштейна. Условимся
обозначать через Ва совокупность всех целых функций f(z)
экспоненциального типа < а, для которых sup | / (х) | < оо.
— оо<х<оо
Примером функции из Ва является
а
[ eizud(x>(u), A)
—а
где со (и) есть функция ограниченной вариации; в частности,
классу Ва принадлежат суммы
где
2)cft|< оо,
к
и интегралы
0
eizuc(u)du, B)
—a
где
a
\c(u)\du<co,
а следовательно, и все функции из Wa.
Впервые на класс Ва обратил внимание С. Н. Бернштейн {I, 22},
и ему принадлежит одна замечательная теорема относительно
этого класса, на которой мы в дальнейшем остановимся и которая
играет существенную роль в вопросах аппроксимации
непрерывных функций.
Если / (г) 6 Ва, то функция
очевидно, принадлежит классу Wo. Отсюда, на основании
теоремы Винера —Пэли, вытекает, что всякая функция f(z)?B0
допускает представление
— О
где i|;(a)?L2( — a, о). Это представление и рассмотрения п° 79

83. НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНА 183
позволяют сопоставить функции f (г) ? Ва сопряженную функцию *)
^isignup(u)du,
которая также является целой функцией экспоненциального
типа < а; однако мы не можем утверждать, что она принадлежит
классу Ва. В дальнейшем мы будем часто рассматривать вместе
с функцией / (z) ? Ва также и функцию f (z).
Упомянутая выше теорема Бернштейна гласит: если f(z)? Ва, то
sup |П*)|<а SUP I/MI>
и это неравенство в том смысле точно, что существуют функции
/0(г)бВо, для которых в нем достигается знак = (например,
«экстремальными» функциями fo(z) являются aeiGZ + be-ioz, где
а, Ь — комплексные константы, и cos (a J/z2 + X2), где X —
вещественная константа).
Из сформулированного предложения, которое часто называют
неравенством Бернштейна, вытекает, что для функции f(z)?Ba
при любом натуральном k
sup \fW{x)\<ok sup |/(*)|.
Нетрудно видеть, что справедливо следующее обратное
предложение: если f(x) (— оо < х < оо) неограниченное число раз
дифференцируема и
sup |/«0(*)|<aM* (ft = O, 1,2, ... ),
- —со<х<оо
то существует функция /(z)?Ba, которая совпадает с f(x) при
z = x (—оо<л;<ос).
Действительно, ряд Маклорена
сходится для любого z и на вещественной оси представляет /(х),
а его сумма по модулю не превосходит
оо
М 2 -fJ
k=0
*) Неопределенность в определении сопряженной функции устранена здесь
благодаря «нормировке» 7(^) = 0.

184 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Можно показать даже несколько больше, а именно для любого
z = x + iy
If (z)|<Afe*M. C)
Действительно,
fc=0
и значит,
откуда уже следует, что
\f'(z)\<Mo0>M. D)
Неравенства C) и D) показывают, что если мы имеем семейство
функций Ш ? Ва, ограниченных на вещественной оси одной и той же
константой, то функции этого семейства равномерно ограничены
и равностепенно непрерывны в каждой конечной части
комплексной плоскости. Следовательно, по известной теореме анализа
всякая бесконечная последовательность функций из этого семейства
содержит подпоследовательность, которая сходится равномерно
в каждой конечной части плоскости. Этим свойством, которое
называют компактностью, мы в дальнейшем воспользуемся.
Заметим, что предельная функция, удовлетворяя всюду неравенству C),
будет также принадлежать Ва.
Другим следствием неравенства Бернштейна является,тот факт,
что целая функция экспоненциального типа, принадлежащая на
вещественной оси пространству L, ограничена на этой оси.
Действительно, пусть
\f{x)\dx =
Введем целую функцию
Xq
того же экспоненциального типа а, что и f(z). Нижний предел
я0, — оо <xo< оо, выберем так, чтобы

83. НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНА 185
В таком случае
| F (х) | <у М (— оо < х < со)
и благодаря неравенству Бернштейна
\$(х)\ = \Р'(х)\-^-7гМ (—оо <сх< °°)*)«
Свое неравенство С. Н. Бернштейн первоначально доказал {I, 3)
для случая тригонометрических сумм и лишь впоследствии {I, 22}
для любой функции g Ва [24].
Сеге [25] принадлежит важное обобщение неравенства
Бернштейна для тригонометрических сумм. Оно связано со следующей
проблемой:
Пусть ©Л означает совокупность всех тригонометрических сумм
п
f(z)= 2 ckeikz,
для которых
max |/(л:)|< 1.
Пусть, далее, дана последовательность вещественных или
невещественных чисел ЯА (± fe = O, 1, 2, ..., ri), с помощью которой
каждой тригонометрической сумме /(г)?@л сопоставляется
тригонометрическая сумма
/л (z)= 2 W*2
fc=-n
— ^-преобразование тригонометрической суммы / (г). Требуется
найти
sup max | f x (x)\ = [хя
и определить те тригонометрические суммы, если они существуют,
на которых этот supremum достигается.
Задача Бернштейна является частным случаем этой общей
«проблемы множителей», а теорема Бернштейна состоит в
утверждении, что при %k = Ik (± k = 0, 1,2, ..., п) величина (Ля равна п
и единственной экстремальной функцией является
*) Коревар [23] доказал, что
однако неизвестно, является ли это неравенство наилучшим.

186 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Аналогичная постановка проблемы множителей возможна также
и в континуальном случае, когда вместо тригонометрических
сумм рассматриваются интегралы вида A) или вида B).
84. Доказательство неравенства Бернштейна. Докажем две
теоремы, каждая из которых содержит неравенство Бернштейна
в качестве частного случая.
Теорема 1. Если /(z)(jBa, то при любом вещественном а
и любом вещественном х
| sina/'(x)—acosa/(x)|<a sup \f(x)\,
—oo <x<oo
причем знак равенства хотя бы в одной точке достигается лишь
в том случае, когда
f (z) = aeiGZ + be-iGZ,
где а и Ь — комплексные константы.
Теорема 2. Если f(z)?Bo, то при любом вещественном а
и любом вещественном х
| sin a /' (х) + cos a /' (х) | < a sup | f (x) |,
—оо<х<оо
причем знак равенства хотя бы в одной точке достигается лишь
тогда, когда он достигается в неравенстве теоремы 1.
Доказательство. Пусть
A)
и значит,
G
= —Lr- [ i sign и eizuty (и) du-
у 2я J
а
=-у= \^^Уш (si§n"ei2U)du' (П
—а
где iJ)(a)?ZA Интересующие нас выражения
Ui (х) = sin а /' (х) — а cos а / (л:),
U2 (х) = sin а f (х) + cos а /' (х),

84. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА 187
следовательно, можно представить в виде
а
U1 (х)= — а cos а / @) + —Д=- ^ г|> (и) -^ {eixu (и sin а + t'a cos a)} da,
—а
о
Uг (х) = у=- $ Ч> (и) ^ {*<*" (u sin а + i | и | cos a)} da.
—а
Разложим функции
гдц
Vi(m)=—te a (a sin a+ ia cos a),
i5!L (-a<
^2 M = —ie a (usina-\-i\u\ cos a)
в ряды Фурье. Эти ряды имеют вид
sin2 —^т— \ikn_
k=—оо
Вводя их в выражения функций (Л(л;), U2(x), получаем, в силу A):
t/1(jc)=—acosa/@) +
/hn—a.
1(
k=—оо
"/@)} =
= asin2a У, i=i
jlj (a —
так как
оо
( — l)k d 1 cosa
чл (-1)" _ __
ZJ Га — knV
(a—kriJ da sin a sin2 a ?

188 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
-^S ¦*¦>¦?-{ 2 (-
. „a — kit
sin2—=—
ft=-oo
k=—со
так как
. oa—kn
sin2—x—
Итак, мы доказали следующие «интерполяционные» формулы *)
для функций ?Ва:
2cin'a~fejt
(I) sinaf'M-JS
k=—оо
(II) sinaf (x) + cosaf(x) =
Теперь уже нетрудно закончить доказательство.
Пусть
sup \f(x)\ = M.
—oo<x<oo
Тогда, в силу (I):
оэ
(It) |sinaf'(x)-acosa/(*)|<aM 2 (а-Ы)* =аМ
Й=—оо
и, в силу (II):
(ПО | sin a f (x) + cos af (д) \<оМ % (a_^2 = aM.
*) Первая из этих формул имеется в книге Полна—Сеге, Задачи и
теоремы из анализа, том I, стр. 145 —146, перевод 1956 г.

84. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА 189
Чтобы имел место знак = в формуле (Ii) или (Hi) хотя бы в
одной точке х0, необходимо и достаточно выполнение равенств
(±Л = 0, 1, 2, ...),
где |3 —некоторая вещественная константа. Но если эти
равенства имеют место, то, заменяя в тождестве A)а на а + о(х — х0),
где х произвольно, получим соотношение
— sin a (x — 0 + ^jf() +
sin2 or ( х — *о
которое является дифференциальным уравнением относительно
экстремальной функции.
Интегрирование этого уравнения дает
где С —постоянная интегрирования.
Мы видим, что экстремальная функция в обеих теоремах
имеет вид
где а и Ъ — комплексные константы; эти константы должны
удовлетворять равенству
так как
max |
—оо<эс<оо
а в остальном они произвольны.
Отметим, что в случае, когда f(x) ( — оо<л;<;оо)
вещественна, утверждения доказанных теорем можно представить в
виде неравенств
sup \f(x)\,
—оо<х<оо
f( sup |/(дс)|,
—оо<л<оо
где —оо<л:<;оо, причем экстремальные функции имеют
тот же вид, что и в теоремах 1 и 2. Далее, из теоремы 2
вытекает, что если f (z) g Вст, то f (z) g Ba.

190 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
В заключение отметим несколько более общую формулировку
неравенств Бернштейна, которая получается немедленно из
интерполяционных формул (I), (II).
Теорема 3. Пусть Е— некоторое линейное
нормированное пространство функций g (х) (— оо < х < оо), в котором
норма инвариантна относительно операции сдвига, т. е. при
любом вещественном t
и пусть f(z)?Ba, a f(x)?E. В таком случае f (x)? E, ~f' (x)? E и
\\U1(x)\\^\\smar(x)-acosjxf(x)\\<a\\f(x)l
\\
Особого внимания заслуживают:
1° пространство Е с нормой
sup
2° пространство Lp( —оо, оо) (р)
В каждом из этих пространств для справедливости
утверждения теоремы 3 достаточно, чтобы f(z)?Ea и f(x)?E.
Это вытекает из леммы, которую мы докажем в конце
настоящего п°.
В случае Г функция eiKx( — a<?t<a) принадлежит
пространству. Поэтому в этом случае в неравенствах B) знак =
достигается на функции
fo(x) = aei
для которой
Однако и в случае 2° неравенства B) являются точными в том
смысле, что замена правых частей величиной
при Э<1 невозможна.
Действительно, возьмем функцию
\ (=^)d0 @<h<a),
G-h
где ф(лг), 0<х<1, непрерывно дифференцируема и
удовлетворяет соотношениям

84. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА 191
Легко видеть, что fh(x)?Lp ( — оо, оо), р>1, а также, что
где
1
С ф (а) <Г** 4 dw 6 ?р (— оо, оо)
Поэтому
f/j (л;) = — oe~ia fh (x) — ih sin a eiorx -ф (Ах),
?/2 (x) = /е-*а Д W = — oe-ia fh (x) + he~iaeiGX ф (Ах).
Замечая еще, что
можем написать неравенства
Но в каждом конечном интервале равномерно
1
lim fh(x) = eiax [ (p(t)dt.
Поэтому
lim ||/Л(х) || = 00
и, следовательно, для любого е>0 при достаточно малом А
\\Uk(x)\\>(e-E)\\fh(x)\\ (Л=1, 2),
что и требовалось доказать.
Упомянутая выше лемма гласит:
Если f (z) ? Ест (о > 0) и если пра некотором р > 1 выполнено
неравенство
sup \ \ \f (x)\p dx\p<iA, C)
— co<s<oo v. •» J
соответственно неравенство
l.
D)

192
ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
то в каждой точке вещественной оси
соответственно
7р
Пусть выполнено неравенство C). Возьмем число е>0 и
параметр t, —оо<^<оо, и рассмотрим целую функцию
экспоненциального типа
— Л 2
\П*)\
2 sin
оо BЬ+1)Я
' Bft-l) я
1 оо
. Для нее
1 1
Благодаря сделанному в предыдущем п° замечанию отсюда
следует, что
и, значит (при x = t),
где / принимает любые вещественные значения. Теперь остается
положить е=1, если а<1, и е = а, если а>1.

85. ПОЛИНОМЫ ЛЕВИТАНА 193
Если вместо C) выполнено неравенство D), доказательство
еще проще, так как
OX
2Q
откуда и следует, что
85. Полиномы Левитана [26]. Б. М. Левитан доказал весьма
важную теорему о том, что для каждой целой функции f(z)
экспоненциального типа, ограниченной на вещественной оси, можно
построить бесконечную последовательность периодических
тригонометрических сумм Sn(z) = Sn(f; z) {n— 1,2, ...),
ограниченных на вещественной оси той же константой, что и f(z),
которая сходится к f(z) равномерно в каждой конечной части
комплексной плоскости. С помощью этой теоремы многие
свойства периодических тригонометрических сумм переносятся на
произвольные целые функции экспоненциального типа,
ограниченные на вещественной оси. Б. М. Левитан строит упомянутые
тригонометрические суммы следующим образом: пусть /(г)?Ва;
положим h = -^-, где п — натуральное число, и
(-°o<x<oo),
тогда Sn (/; z) имеет вид
Sn(hz)= 2
Обозначим через W^r) (<x>0, r = 0, 1, 2, ...) совокупность
всех целых функций f(z) экспоненциального типа <а, для которых
Таким образом, Bac:W^0) и W^r)CWS"+1). Как и выше, возьмем
h = -j и положим
13 Н. И. Ахиезер

194 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
обобщая тем самым конструкцию функции Eh(x). Заметим прежде
всего, что этот интеграл равен нулю при x>o-\-h(r +1) и
х < —G — h(r+l). Действительно,
есть целая функция экспоненциального типа <а + Л(г-г1),
которая, очевидно, принадлежит на вещественной оси как L2, так и L,
откуда и вытекает сделанное замечание. Заметим еще, что fn (z)
принадлежит также и L2 и L на всякой прямой, параллельной
вещественной оси.
Теперь положим
(f) Y )^. A)
Это и есть (обобщенный) полином Левитана. При г = 0 сумма
Snr)(/;z) превращается в Sn(f; г).
Из формулы A) видно, что тип целых функций, которыми
являются полиномы Левитана, для всех достаточно больших п
сколь угодно мало отличается от типа а функции /(г), a при г = 0
даже совпадает с а для всех п.
Так как E(h)(kh) = 0 при ±k = n + r+l9 n + r + 2, ..., то
Применим теперь к функции g(t) = fh B + ~^ ) суммационную
формулу Пуассона (см. C), п° 67), беря а = 2я. Так как fh(z)
непрерывна и принадлежит L(-—oo, oo) на прямых,
параллельных вещественной оси, то достаточно проверить (с помощью
теоремы Винера —Пэли), что fn(z) также принадлежит L( —оо, оо)
на тех же прямых. В результате мы получим следующее
нужное нам представление*) полиномов Левитана:
/ . hz \2r+2
оо I 2 sin i
ft=-oo
Из этого представления вытекает ряд свойств полиномов
Левитана:
1°. Если f(x) ( —оо<х<оо) вещественна, то и полиномы
Левитана Sn^f; x) ( —oo<x<oo) вещественны.
*) Это представление при г = 0 получил также Л. Хёрмандер [27].

86. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ КЛАССА W<_r) I95
2°. Если f{x)>0( — oo<:x<oo), то S(?(/;х)>0 ( — оо <
<Х<оо).
3°. Если f(z) = 1, то S{?}(/; z)= 1.
4°. Если /(z)-z2^(z), где Y(^NW(a0), то
I 2$1П ~9 \
s{»№z) = \—ir-} s<n0)(Y;2)f
так что, в частности, в силу 3°, если /(z) = z2r, то
sin \
j
5°. Если |/(x)|</l + ?|V|s ( —oo<A:<oci), где 0<5<2rf
()
то |S(nr)(/;*)|<,4 + B|x|* (-oo<x<oo).
Первые два свойства очевидны. Свойство 3° есть следствие
тождества
Свойство 4° вытекает из B).
Доказательство 5° также не представляет труда.
Действительно, при |/(х)\< А + В\ х\* ( —оо<л:<оо), где 0<s<2r,
справедливо на всей оси — оо < х < оо неравенство
hx \2r+2 _
k=—со fe= —со
k = — CO
86. Аппроксимация функции класса W^r) посредством ее
полинома Левитана. Мы можем ограничиться функциями f(z)?W(J\
которые удовлетворяют одному из следующих двух условий:
а) на вещественной оси
Ъ) f (г) имеет представление
-а
где ф (t) 6 L2 (— а, а).
13*

196 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
В самом деле, если F (г) — произвольная функция класса Vv(J\
то, полагая
мы найдем, что
F(z) = P (z) + G(z), S? (F; z) = S(nr) (P; z) + S^ (G; 2),
где G(z), очевидно, удовлетворяет условию b), a P(z), как
многочлен степени 2г, удовлетворяет условию а).
Теорема 1. Если f B) 6 W^r) (a > 0) и \f (x) |< А + Вх2Г
( —оо<х<оо), то*)
\f(x)-SP(f; x)\<(r + 2) (A + Bx") (l -
Доказательство. Беря представление B) п° 85, можем
написать равенство
. hx \2r+2 / . hx \2r+2
Ш /2s'«|
где штрих у знака суммы означает пропуск члена, для ^которого
& = 0. Из написанного тождества вытекает, что
* У]
2
k=—00
Но второе слагаемое не превосходит
2 , / „ . hx V
2smT\
J —™{L \ hx
*) Здесь использовано грубое неравенство

86. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ КЛАССА W^r) 197
а третье слагаемое равно
Собирая эти оценки, мы приходим к нужному результату.
Теорема 2. Если
где q>(t)(iL2(--а, а), то
?2r+2l Ф(*)|Д (-со
—а
Доказательство. Введем наряду с g(z) функцию
Y(z) = zjj eM<p(t)dt,
— О
которая принадлежит Wc). Таким образом,
g(z) = z*'y(z),
и поэтому (см. п° 85, свойство 4°)
/о • hz \2r
I 2 sin -«- \
Чтобы выразить Sn} (у, z) через функцию ф (t), найдем сначала
для функции у (г) интеграл Е^ (х):
Мы имеем здесь интеграл Фурье от произведения двух функций
от ы, принадлежащих ZA На основании теоремы о свертке (см.
п°73) найдем, что
x+h х
Е^(Х) = -^ \ <р(/)Л_-±- \ <p(t)dt,
х x—h

198
ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
если примем, что ф (t) определена на всей оси, но равна нулю
вне интервала [ — а, а]. Теперь с помощью представления A)
п° 85 при г = 0 получим для Sn} (у; г) следующее выражение:
z)= 2 -jr
k=-n
(k+l)h kh
\ <t(t)dt-
kh
(k-l)h
hz_eikhz
k=-n
f
kh
ft=-n
Поэтому
h=-n
С другой стороны, g (z) можно представить в виде
n-l ft
g (z) = г2г+1 ^ J ei (t+kh) Z4> (t H- fe*) dt.
fe=-n 0
Следовательно,
Отсюда при — oo < л: <; oo
2sin
2г+1
\
i(t—^-\x
| Ф
Теперь остается учесть, что коэффициент при интеграле в правой

87. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ А. МАРКОВА
199
части не превосходит *)
<?+Л±х™ sup
filbu
(г+ 2H 2г+2
kz X
2/i
2г+1
87. Аналог теоремы А. Маркова в классе целых функций
экспоненциального типа**). Пусть дана непрерывная вещественная
функция G (х), — оо < х < оо, удовлетворяющая неравенству
^ И = const).
Таким образом, G(x)?L(— оо, оо). Пусть требуется
аппроксимировать эту функцию в метрике L( — оо, оо) при помощи целой
функции экспоненциального типа <Г(Г>0). Построим
аппроксимирующую функций GT(x) по интерполяционной формуле
GT(z) =
smT(z —
2 (-»)*
G a+^-
z — a —
т. е. из условия равенства функций G (х) и GT (x) во всех корнях
целой функции sin Г (г —а). Так как ряд сходится абсолютно
и равномерно в каждой конечной части плоскости г, то GT (z) во
всяком случае целая функция.
Введем вспомогательную функцию
ф(') = S (
\
которая непрерывна в силу равномерной сходимости ряда.
1
*) Действительно, при 0 <J 6
2r+l
, —оо<«<оо:
sinu
sinu —
1 _ е\Ьи
и
\и\
\и\
**) Имеется в виду теорема А. Маркова, которой посвящен п° 50.
Построения настоящего п° в существенном принадлежат М. Г. Крейну [28].

200 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
С помощью почленного интегрирования находим, что
Т ОО / Ьтт \
2Т ) Ь и[^а+ 7
- т Ь \
Таким образом,
т
QT(z)z=— \ e~tztcp(t)dt, A)
-т
откуда следует, что GT(z)?ET, a GT(x)?L2( — оо, оо). Нам же
необходимо, чтобы GT(яNL(—-оо, оо). При произвольном а это
может не иметь места, однако всегда может быть достигнуто
надлежащим выбором а, а именно, как мы скоро докажем, для
этого достаточно, чтобы
со
2 (-l)*G(a + ^) = 0. B)
fe=-oo
Убедимся сначала в том, что число а, удовлетворяющее этому
условию, существует. С этой целью возьмем непрерывно
дифференцируемую функцию
, кк
G (t) dt (— оо
которая удовлетворяет соотношению
и, следовательно, обладает периодом -^. Поэтому в интервале
Го, -^-1 найдется точка, где она достигает абсолютного
максимума, и точка, где она достигает абсолютного минимума. В
каждой из этих точек обращается в нуль производная
оо
FT(x) = 2 2 (-l)h (*)
fc=-co

87. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ А. МАРКОВА 201
Таким образом, число а, удовлетворяющее условию B),
существует. Взяв в качестве а именно это число, найдем, что
А так как благодаря сходимости ряда
к=—оо
функция ф(/) абсолютно непрерывна и ее производная ty(t) = y'(t)
принадлежит L2(—7\ Г), то с помощью интегрирования по
частям можно A) представить в виде
т
\e~*"W)dt C)
Из этого представления следует, что xGT(x)?L2( — оо, оо) и,
значит, GT(x)?L( — оо, оо).
Заметим, что в случае, когда G{x) — нечетная функция, можно
взять а = 0, а в случае, когда она четная, условие B)
выполняется при а = ^р •
Иногда полезно выражение целой функции GT(z) через
преобразование Фурье функции G(x), которое обозначим*)
оо
5(*)= J eixuG(u)du.
—оо
Такое выражение легко получить в том случае, когда к
функции от х
J {G (а + v) е{ <а+у)г + G (а — v) el ^-^'} cos vx dv =
о
= у
применима суммационная формула Пуассона, которая здесь
примет вид
оо
¦?¦ U @ + S I
= 2 ei(o+^)'<«+^)=<P@. D)
*) Мы пишем его без множителя —т^=:.
/2л

202 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Для справедливости этого равенства достаточно также, чтобы
ряд, стоящий в левой части, сходился при 0</<Г равномерно
и после умножения на е~ш представлял функцию, разложимую
в ряд Фурье.
Равенства A), D) позволяют выразить GT(x) через ?(/).
Теорема. Пусть для рассматриваемой функции G (х) при
некотором Т>0 найдено число а и построена функция GT(x).
Если произведение
[G(x)—Gr(x)]sinT{x — a) E)
не меняет своего знака на всей вещественной оси, то среди всех
целых функций экспоненциального типа < Т единственной,
наименее уклоняющейся от G(x) в метрике пространства L( — со, оо)
является функция GT(x) и величина ее уклонения равна
\G(x)-GT(x)\dx= \ G(x)signslnT(x—a)dx =
F)
k=0
Доказательство. Пусть целая функция g(z)
экспоненциального типа принадлежит на вещественной оси пространству
L{ — оо, оо). В таком случае она на вещественной оси
ограничена по модулю (см. п° 83), а значит, принадлежит и L2( — оо, оо).
Поэтому, если ее тип <7\ то она представима в виде
= \eizud(u)du,
где Q(u) непрерывна и 9(±Т') = 0. Но это значит, что
оо
при и>Т и « < —-Г. А так как при п —> оо
п
4 >п sinBk + \)T(x—а)
k=0
где левая часть ограничена (см. п° 53) для всех п и х, то

88. КРИТЕРИЙ С.-НАДЯ 203
следовательно,
{G {x)— g(x)} sign sin T(x — a)dx =
= lim ± J {G(*)-*(*)}2
n~KX) -"со fe=0
CO П
~lZ^ 5 G( ^
— CO /1=0
n
= lim IT 2 S
77-VOO Jt
~ k=0
fe=O
Теперь остается заметить, что
оо
[ \G(x) — g(x)\dx> [ {G(x)—g(x)}signsmT(x — a)
—оо —со
причем знак = имеет место лишь при g(x) == GT{x).
В формуле F) а как-то зависит от 7\ однако иногда
приходится рассматривать правую часть этой формулы как функцию
от двух независимых переменных а, Т. Имея это в виду, введем
обозначение
оо
2
88. Критерий С.-Надя [29]. Чтобы применить результат
предыдущего п° к той или иной функции G(x), необходимо проверить,
что произведение
[G (х) — Gr (x)] sin T (х — а)
не меняет знака на всей оси. Для этой проверки часто бывают
полезны следующие теоремы С.-Надя:
I. Если G (х) — нечетная функция из L(—оо, оо), а
= \ G(x)smtxdx

204 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
дважды непрерывно дифференцируема и при некотором Т > 0
для t>T
то произведение
GT(x)]sinTx
не меняет своего знака на всей оси.
II. Если G(x) —четная функция из L(—оэ, оо), а
оо
49 = [ G{x) cos txdx
—оо
трижды дифференцируема и при некотором Т>0 для t>T
то произведение
[G(x)-GT(x))cosTx
не меняет своего знака на всей оси.
Доказательство. Кратная монотонность функции X(t)
позволяет в обоих случаях установить, во-первых, неравенство
и, во-вторых, справедливость формулы D) предыдущего п°: при
а = 0, t>(t) = ik(t), если G (х) нечетная, и при a = ^r, ? (t) = Jt(^),
если G(x) — четная функция.
Например, в первом случае левая часть упомянутой
формулы D) равна
¦?{*•(')-2 lbBkT-t)-XBkT + t)]} . A)
h=i
В силу двукратной монотонности функции X(t) можем написать
для 0<^<Т следующие неравенства (& = 1, 2, 3, ...):
BЬ-М)Т
Bk-i)T
2kT
J X'{u)du.

88. КРИТЕРИЙ С.-НАДЯ 205
А так как благодаря монотонному стремлению к 0 величины X (t)
при t —¦» оо интеграл
абсолютно сходится, то ряд A) и ряд, получаемый его
почленным дифференцированием, сходятся равномерно в интервале
0<?<7\ Замечая еще, что на концах этого интервала сумма
ряда A) равна 0, мы и приходим к выводу о разложимости этой
суммы в ряд Фурье и тем самым о справедливости равенства D)
п° 87, из которого следует, что
Поэтому в первом случае
G(*)-Gr(*) =
Т оо
Т 0 k^l
и так как
lim
то
G(
где
Т N
О h=i
Вводя затем функцию
&N К}) — / 1
fe=0
убеждаемся с помощью простого счета в том, что
n(x) = — J {а^(|Т—о Г) —ог^ (Г + v)} sin ojcdt; = sin TxSN(x),

206 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
где
—>оо
2 (*
SN(x) = — \ gn (и) cos их du.
Так как oN(u) двукратно монотонна в интервале [0, оо), то
(см. п° 77) SN(x)>0 в любой точке оси х. При этом N может
быть любым натуральным числом. Отсюда следует, что при
любом х, — оо<д:<оо,
sin Tx [G (х) — GT (x)] = lim sin2 Tx SN (x) > 0.
iV->oo
Во втором случае введем функцию
оо
q@= 2(-i)ft4' + [2*-i]r).
которая при t>0 двукратно монотонна.
С помощью некоторых преобразований находим, что при
-*оо Т
G(x) — GT(x) = ± [ l{t)costxdt+— [ Q(t + T)costxdt =
л $ л Л
->оо Т
~>оо
= — cosTjc \ q (и) cos xu duy
о
откуда
-»оо
cos Tx [G (x) — GT (x)] = — cos2 Tx \ q (u) cos xu du.
0
После этого остается снова принять во внимание предложение
п° 77 о кратно монотонных функциях.
" В заключение отметим, что в двух рассмотренных нами теперь
случаях величина
оэ
J \G(x)-GT(x)\dx
— оо
равна (см. предыдущий п°):
4
—
fc=0

89. ЯВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 207
если G(x) нечетная, и
оо
j2 1
если G(x) — четная функция.
89. Явление интерференции целых функций. Если /(г) —целая
функция экспоненциального типа, равного я (а не меньшего!),
то из ограниченности последовательности {/(я)}^°=_оо
ограниченность функции на всей вещественной оси не следует (простейший
пример —функция г sin яг). Однако иногда можно утверждать,
что для линейной комбинации
4 {/(*+*о) ±/(*-*<>)} A)
такая ограниченность будет иметь место. Это значит, что при
х | —> со рост одного из слагаемых гасится другим слагаемым.
Впервые это явление было обнаружено С. Н. Бернштейном {II, 96},
который назвал его явлением интерференции *). Результат
С. Н. Бернштейна гласит: если целая функция f(z)
экспоненциального типа я удовлетворяет условиям
|/(яI<1 (±л = 0, 1, 2, ...),
то всюду на вещественной оси
J_
2
это неравенство является точным, и знак = достигается в нем
уже в классе функций, ограниченных на вещественной оси, а именно
на функции
2 sin яг
cos яг.
яг
Мы будем рассматривать целые функции f(z)
экспоненциального типа я, удовлетворяющие условиям
sup | /(я) | < оо (±п = 0, 1, 2, ...) B)
и
lim -тШ- = 0, C)
±Х->оо Л
*) Другие авторы [30] рассматривали вместо A) иные (линейные)
образования.

208 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
где т — какое-нибудь целое положительное число, и прежде всего
докажем, что каждая такая функция допускает (и притом
единственное) представление
я
f{z) = f @) + Р (г) sin яг + Czm sin яг+-?- \ eiz\ (t) dt, D)
где С —какая-то постоянная, Р (z) — многочлен степени <т,
равный нулю при z = 0, а (p(t) принадлежит L2( — я, я). Из этого
представления между прочим следует, что для каждой
функции f(z) рассматриваемого класса существуют следующие пределы:
lim V J^ = С, lim V JJ- = - С E)
Для доказательства представления D) рассмотрим отношение
т
f(z) -/@) -sin яг 2 Ah*
т
где 2 Ah*k — отрезок ряда Маклорена функции *l~Jz
о
что g(z) — целая функция экспоненциального типа я, которая
на вещественной оси принадлежит пространству L2, в силу
условия C). Поэтому к ?(г) применима теорема Винера—%Пэли:
я
8 &
Рассмотрим коэффициенты Фурье сп функции г|? (/).
Непосредственно из E) следует, что
г а( п\ /(-»)-/(Q)
^n^gi П)= (_л)т+2 •
Поэтому благодаря условию B)
sup | ят+2сл | < оо (±п=1, 2, 3, ...).
Но это означает, что ty(t) имеет абсолютно непрерывную
производную порядка т, а также, что г|)(т+1) (^) ^ L2 (— я, я) и о|)(/г) (я) =
= ^>(_Я) (fe = 0, 1, 2, ...,т).

89. ЯВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 209
На основании сказанного
/sinяг fttB) Г (я) г|)'"»(я)
и поэтому
2 cikzk j sin яг + Czm sin яг +
i
я
-я
где
(t) = яЛ0 + /^V1^1' @. С - Лт + -L ф (я).
Остается убедиться в том, что я|)(я) = 0. Но это следует из C),
так как
B«)m+1 •
Введем теперь в классе рассматриваемых функций линейные
операторы ^, которые мы назовем интерференционными
операторами и среди которых содержится (при т=\) также оператор
С. Н. Бернштейна, переводящий функцию f(x) в полусумму
т{^(*~'~т)"^(;с~~т)}# Каждый оператор f порождается
некоторой функцией X(t) ( —л<^<л;), имеющей непрерывную
производную порядка т и удовлетворяющей условиям
Задается этот оператор на функциях от z (с параметром t)
следующими формулами:
а дальше по линейности. Поэтому если функция f(z) имеет
Н Н. И. Ахиезер

210 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
вид D), то
t {f (г)} = МО) / @) + 2-?n {^(
Произведение K(t)eltz разлагается в абсолютно сходящийся ряд
Фурье *)
e"*= 2 ск{г)еш. G)
На основании леммы Боаса (п°56),
оо
sup 2
Так как q>(t)?L2( — я, я) и тем же свойством обладает при любом
фиксированном z функция ^r[k(t)eltz], то интеграл в правой
части формулы F) можно вычислить с помощью равенства
Парсеваля, что в конечном счете сводится к тому, что ряд G)
дифференцируют по t, результат подставляют в F) и выполняют
почленное интегрирование. Таким путем мы придем к равенству
f (/ (г)} = МО) / @) + gsm {^<m) (*)еШ - Кт) (- я) *-i«} +
ft = — 00 —Я%
Учитывая это представление, а также подстрочное примечание,
находим, что
оо
?{f(z)}= 2 ск(гI(к) + ^{^(П)е^-Х1т(-п)е-^}.
к=—со
Отсюда
Теорема. Если целая функция f (z) экспоненциального типа я
удовлетворяет условиям B), C), a "f — определенный выше
оператор, то при любом вещественном х
*)
f
Заметим
{f(x)}\
, что
<L
sup|f(n)|-
У Ck (г
+ M
) = X
n->oo
@).
f{
nm

89. ЯВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
211
где
со
1= sup 2 \ck(x)\, M== max i
Не мешает заметить, что величину
lim
можно оценить сверху через sup j f(n) \ и модуль некоторой частной
комбинации значений функции f(x) в нескольких
«дополнительных» узлах.
Рассмотрим два частных случая.
1°. Число т = 2р+1 нечетно,
В этом случае, отправляясь от формулы F), находим, что
2р+1
и, в частности, при р = 0 мы получаем оператор С. Н. Бернштейна.
На вычислении L мы в общем случае не остановимся. Если же
/? = 0, то
1
COS Я*
(*-*)«-¦J-
1 cos nx
1
2°. m=l,
В этом случае мы получаем оператор
и константы*)
= sup —
^(jc — k) cosnx—^sin jia:
а выражаемый нашей теоремой факт встречается у Макинтайра [30].
*) Грубый подсчет показывает, что
4л2 16л2
О О
14*

ГЛАВА V
ВОПРОСЫ НАИЛУЧШЕЙ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ
АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
90. Предмет главы. Мы знаем, что для всякой непрерывной
периодической функции f(x) при любом натуральном п
существует вполне определенная тригонометрическая сумма, назовем
ее ^"n-i(x; f)> которая среди всех тригонометрических сумм
порядка <я наименее уклоняется от f(x). Величина уклонения
Qn= max
представляет некоторый зависящий от п функционал от f(#),
и на основании теоремы Вейерштрасса
Hm Qn = 0.
Однако теорема Вейерштрасса ничего не утверждает
относительно быстроты, с которой Qn стремится к нулю при п—>оо.
Естественно ожидать, что эта быстрота зависит от дифференциальных
свойств функции f(x), например, таких, как наличие
ограниченной производной того или иного порядка, аналитичность и т. д.
Первую относящуюся сюда проблему поставили Лебег и Валле-
Пуссен [31]. Эта проблема, в которой речь шла об аппроксимации
многочленами, а не тригонометрическими суммами,
сформулирована Валле-Пуссеном следующим образом: «Было бы интересно
знать, возможно или невозможно приближенно представить
ординату ломаной линии при помощи многочлена степени п с
погрешностью более высокого порядка, чем —». Исчерпывающий ответ
на вопрос Валле-Пуссена дал С. Н. Бернштейн {I, 3}.
В настоящее время, благодаря работам Д. Джексона [32]
и С. Н. Бернштейна {I, 3, 9; Р. Е.}, связь между
дифференциальными свойствами функции f(x) и быстротою убывания величины Qn
исследована весьма полно.
Аналогичные во-просы возникают при аппроксимации в других
пространствах, например в Lp@, 2я).
Можнр не ограничиваться одними периодическими функциями,
а рассматривать также более широкие совокупности функций,
определенных на всей числовой оси, например совокупности огра-

91. МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ 213
ничейных функций, совокупности функций из Lv (—оо, оо) и
другие. При таком расширении класса аппроксимируемых функций
класс тригонометрических сумм порядка <Т в качестве класса
аппроксимирующих функций уже непригоден и его естественно
заменить более обширным классом Ет всех целых функций
экспоненциального типа <Т (см. Бернштейн {И, 82})*).
Так как в классе Ет центральные места занимают функции
вида
т т
[ eixu<p(и)du, С-х[ eix^(и)du,
-т -т
т. е. тригонометрические интегралы, то мы имеем право говорить
о гармонической аппроксимации (в обычном или обобщенном
смысле), теория которой может рассматриваться как глава общего
гармонического анализа. Мы начнем эту главу с некоторых
предварительных теоретико-функциональных рассмотрений и лишь
затем займемся проблемами аппроксимации.
91. Модуль непрерывности. Пусть f(x) есть равномерно
непрерывная функция в конечном или бесконечном интервале /. Ее
модулем непрерывности называют
со (б) = со (б; /) = sup | f (*") - f (xf) | (*', x" 6 /).
I x"-x' |^6
Очевидно, что со (б) есть неубывающая непрерывная функция от б,
стремящаяся к нулю при б—>0.
Из равенства
m-l
f(x + mh)-f(x)= 2
2
следует, что при целом т>0
со(тб)<тсо(б).
Далее, каково бы ни было число к > О,
Действительно, пусть целое число т удовлетворяет неравенству
т— 1<Х<т;
тогда
со {Щ< со(тб)< тсо (б)< (к + 1) со (б).
*) Иногда рассматривается класс целых функций экспоненциального типа
< Г; его мы будем обозначать Ет_0.

214 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Докажем еще, что если
то f(x) есть постоянная.
В самом деле, в силу доказанного выше,
\т ) 6i \ l m
Поэтому если
,. со Fi) ~
lim —^- = 0,
то со (б) = 0 при любом б > 0, а это невозможно, если / (х) не есть
постоянная.
Говорят, что функция f(x) удовлетворяет условию Липшица
порядка а, и пишут f(x)?Lipa, если со(б)<УИба @<а<1)
(а не может быть больше 1, если f(x) не есть постоянная).
Далее, если
lim со (б) 1п-«- = 0,
6->0 °
то говорят, что f(x) удовлетворяет условию Дини—Липшица.
Вместо функции со (б) часто представляется более
целесообразным рассматривать функцию
со* (б) = со* (б; f) =
= sup
| хГ-х' 1
- 2/
Следуя Зигмунду [33], будем говорить, что f(x)
удовлетворяет условию Л* (соответственно Я*), и писать / (х) 6 Л*
(соответственно / (х) 6 Я*), если со* (б)< УИб (соответственно limto д =0 ) .
Если /(*)?Lipl, то /(хNЛ*, но обратное неверно (см. ниже
п°93).
Функции, равномерно непрерывные в бесконечном интервале, растут при
удалении на бесконечность не быстрее, чем |*|. Действительно, для таких
функций по доказанному выше
Более общий класс образуют функции / (*), равномерно непрерывные
в каждом конечном интервале и растущие при удалении на бесконечность
не быстрее, чем некоторая степень аргумента, скажем, | х \°. Для таких
функций можно ввести обобщенный модуль непрерывности
\f(x + h)-f{x)\
Qa(ft;/)= sup

92. ОБОБЩЕНИЕ НА ПРОСТРАНСТВО Lv 215
Нетрудно проверить, что при любом X > О
Действительно, при любом натуральном т и
m
откуда следует, что
Переход от натурального т к произвольному X > 0 делается так же, как
и в случае обычного модуля непрерывности, поскольку для этого перехода
нужно лишь, чтобы модуль не убывал при возрастании 6.
92. Обобщение на пространство Lp (р>1). Если f(x)?Lp
положим
оо 1
o)pF) = «p(S;/)= sup {
так что сор(б) есть неубывающая функция от 6.
Из рассмотрений конца п°24 вытекает, что
Птсор(8) = 0. A)
б-* о
Отсюда, благодаря неравенству Минковского, следует, что сор(б)
есть непрерывная функция от б. Ее называют модулем
непрерывности функции f(x) в Lv(— оо, оо).
Положим теперь, что рассматривается пространство Lv
относительно конечного интервала. Мы можем принять, что этот
интервал имеет длину 2я. В этом случае будем продолжать
функцию за пределы интервала с помощью равенства
f(x+ 2*) = f(x).
Обозначая обобщенный модуль непрерывности прежним символом,
определим его теперь формулой
2Я 1
F) (Sf)= sup {\\Hx + h)-f(x)\*dx}*.
Равенство A) справедливо и в этом случае и доказывается
даже проще.

216 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Заметим далее, что в обоих случаях
где т — целое положительное число.
Отсюда, как и выше (п°91), вытекает, что равенство
6-0
влечет за собою тождество
сорF)==О.
Покажем, что это возможно только в том случае, когда f(x)
есть константа почти всюду.
В самом деле, для произвольных конечных х\ х"(х' <.х")
х"
х"
\ \
X'
где —+ —=1; отсюда
i
X'
-
+ h)-f{x)}dx <{xn-x'}<Kup(h),
xr
и, следовательно, из сорF)==0 вытекает, что
X"
ИЛИ
x'+h
-| J
при произвольных h, x\ x". Зафиксировав х' так, чтобы
x'-\-h
1
мы найдем, что для всех х" существует lim -^ j f(t)dt. Так
~* х"

93. ПРИМЕР 217
как этот предел для почти всех х" равен f(x"), то,
следовательно, для почти всех х"
-j- [ f(t) dt = f {x') = const.
Если сор(б)</Иба @<а<1), будем писать f (x) ? Lip (a, p)
и говорить, что / (х) удовлетворяет условию Липшица в метрике ZA
Вместо обобщенного модуля непрерывности ©рF) можно
рассматривать величину
©? F) = ©? F; /) =
которая не превосходит 2сор ( о") •
Следуя Зигмунду [33], будем писать f (х)?Л$ (соответственно
/ СО* (б)
f 0*0 6 ^*)> если ®р F) < Mb ( соответственно lim -Л— = О
93. Пример [34]. Рассмотрим функцию Вейерштрасса
где 0<а<1 и b — нечетное число, которое превосходит 1
(см. n°42); f(x) есть непрерывная функция с периодом 2я.
Исследуем модуль непрерывности функции f(x), причем
положим для простоты, что Ь = 4v + 1. При ab < 1 функция / (х) имеет
непрерывную производную. Мы примем, что ab>l.
Задавшись произвольным числом А, 0 < /г < 1, определим
натуральное число /г+1 так, чтобы
A)
и напишем равенство
оо
/(* + А)-/(х-А)=-2 2 «ftsin(bkh)sinF^) = P + Q,
fc=i
где*)
P=-2 %акsin (bkh) sin (bkx), Q= ~2 2 aftsinFfeA)sin (&ftx).
ftl fefl
*) Если л = 0, то P = 0.

218 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Отсюда
оо
IQI<2 2в*в"т=?'
С другой стороны,
|Р|<2А 23 ahbh
и, значит,
!2nh (если ab= 1),
2abh . ~ < иа , (если а6>1).
Полагая
а = 1п—:1пЬ, B)
так что а = 1 при ab = l и 0<а<1 при а6>1, и припоминая
A), мы найдем, что
Поэтому при ab > 1
|f(
и при аЬ = 1
Следовательно, при ab> 1
|/(* + Л)-/(*)|
и при ab — \
\f{x + h)-f{x)\<M'h\n±
где УИ и М' от а: и h не зависят.
Мы видим, что при ab>\ функция Вейерштрасса
удовлетворяет условию Липшица порядка а, определяемого формулой B),
тогда как при ab = 1 ее модуль непрерывности со F)
удовлетворяет неравенству
coF)<M'61n|

93. ПРИМЕР 219
Покажем, что наши оценки — точные в том смысле, что в
любом сколь угодно малом интервале можно найти точки х' и х",
для которых
\f(x")-f(x')\>m\x»-x'\a,
если аЬ > 1, и
\f(x'>)-f(x')\>m'\x''-x'\\nlx,,^x,l ,
если а6=1, где т и т! суть две положительные константы.
При этом мы воспользуемся тем, что число Ъ имеет вид 4v +1
(до сих пор мы этим условием не пользовались).
Как бы мал ни был заданный интервал, в нем всегда можно
найти точки
рпс
где с — целое число вида 4fi + 1, а г — целое положительное
число. Далее, можно взять целое число п>г настолько
большим, чтобы обе точки
где
также лежали внутри данного интервала. Мы примем, кроме
того, что число п удовлетворяет неравенству
если аЪ > 1, и неравенству
D —я
если аЬ =1.
Вычислим f(x") — f(x'). Имеем
ОО П—1
= -2 2 ак sin (bk%) sin (bkh) = - 2 2 <*h sin (bkl) sin (bhh),
так как при
Положим
где
r-i n-1

220 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Очевидно,
а так как
что
sin л:;
S=-2
]
*2
> — *, если
0<д
sin (b
hh),
, то
n-i
и, значит,
1Г аЬ—\ (еСЛИ пЬ > 1 )*
^-(п—r) (если аЬ=\).
С другой стороны,
r-l
и, значит,
-— 1) (если а6= 1).
Принимая во внимание наш выбор числа л, мы получим
отсюда, что при ab > 1
и значит,
с другой стороны, при аЬ = 1
ft In -т-
и значит,
Таким образом, наше утверждение доказано.

94, НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ КОНСТАНТ ФУРЬЕ 221
Мы видим, что при ab= 1 функция f(x) не принадлежит Lip 1.
Вместе с тем рассмотрения, аналогичные проведенным выше,
показывают, что "йри ab =¦ 1
f(x-h)+fjx+h)-2f(x) I 5
h l^ 1-я '
и значит, f(x)?A*.
Таким образом, функция может удбвлетворять условию Л*
и не удовдетворять условию Липшица порядка 1.
94. Некоторые оценки для констант Фурье. Пусть f(x) —
интегрируемая периодическая функция и
2я 2я+а
2я
— ее константы Фурье. Принимая, что k^O, положим в
написанной формуле « = -?-• Мы получим
2Я
Поэтому
2я
(±* = 1.2, 3, .,.) A)
Отсюда, если f(x) непрерывна и имеет модуль непрерывности
со (б),
Если f(x)?Lv (р>1) и Ор (б) —ее модуль непрерывности b4L*\
то, снова в силу A),
i 2я i
\
= 1,2,3,...).
I
2 Bя)р

222 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Допустим теперь, что f(x) имеет интегрируемую производную
порядка г. В этом случае, на основании рассмотрений пр 52,
если fir)(x) непрерывна и имеет модуль непрерывности со(Г)(б), и
если fin(x) 6 Lp (р>1) и имеет обобщенный модуль
непрерывности ©?>F).
Связь между дифференциальными свойствами функции f(x)
и быстротою убывания ее констант Фурье, которая нашла свое
отражение в полученных нами оценках, в некоторых случаях
может быть представлена во вполне законченной форме. Вот
простейшее из относящихся сюда предложений.
Теорема 1. Пусть f (x)?L2@9 2я) и
Если
f(x)eLip(a,2) @<a<l), B)
то
2 | <*|2< const -^ (п>1), C)
и обратно.
Эта теорема имеет континуальный аналог:
Теорема 2. Пусть /(xNL2( — оо, оо) и
а->—со У
b~>oo a
/(д:) 6 Lip (а, 2) @<а<1),
то
и обратно.
Ограничимся доказательством первого предложения.

94. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ КОНСТАНТ ФУРЬЕ 223
Так как
со
' z f | ' ^^ ^\ z f nh \ су • ^wl tbx ' kzih
ТО
2л оо
2я \ f\x+~f)~~f\x Tj\dx=:z4: S I^Psin2-^-. D)
Если /(jc)?Lip(a, 2) @<a<l), то, в силу равенства D),
4 2 kft|2sin2-^-<2CA2a,
где С от А не зависит. Отсюда
2 k*|2<CA2a,
и значит,
S ^Й- (г = 0, 1, 2, ...)•
Складывая эти неравенства, найдем, что
и следовательно, B) влечет C).
Теперь допустим, что имеет место соотношение C), и
обозначим через С4 константу, входящую в его правую часть. Тогда,
на основании этого соотношения при п= Г-т- 1 +1 и равенства D):
2Л
5
?
и нам остается оценить
Положим

224 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
так что
Представим //, в виде
Отсюда
П-1 П-1
где С2 от А не зависит.
Таким образом,
ихтеорема доказана.
Заметим, что
2л . п-1
2я
г=-п+1
dx,
т. е. представляет квадрат, погрешности наилучшего в метрике L2
приближения функции f{x)c помощью тригонометрической суммы
порядка <.п. Обозначая эту погрешность через J^l/l» мы можем
сформулировать теорему 1 следующим образом: если
(о* (б; /) < const ба @ < а < 1),
то при любом натуральном п
Jk2)l/]< const -^,
и обратно.
Аналогичную формулировку допускает теорема 2.
Мы имеем здесь, таким образом, некоторую иллюстрацию на
пространстве L2 общих .соображений п° 90.
95. Снова о функции Стеклова. Докажем некоторые свойства
функции Стеклова (см. п°74), в которых участвует модуль
непрерывности функции. Пусть дана интегрируемая в каждом

95. СНОВА О ФУНКЦИИ СТЕКЛОВА 225
конечном интервале функция f(x) ( —оо <#<;оо), и пусть
h
2
f(x + t)dt A)
\
2
— ее функция Стеклова.
В силу этого определения,
h
2
\f(*)-fh(x)\<±l \f(x)-f(x + t)\dt. B)
"~2
Далее, снова в силу A), для почти всех х
Из B) и C) вытекает, что:
а) если f(x) равномерно непрерывна на всей оси, то
sup |/(*)-ы*)|«оD;О«
со<я<оо
sup |/»(*)|< 4-
Ь) если f(x)?Lp( — со, со) (р>1) или /(*) имеет, период
и ?Ьр(-я, п) (р>1), то
Наименее тривиальным из написанных неравенств является
неравенство
Чтобы получить его из B), необходимо воспользоваться
обобщенным неравенством Минковского (см. п° 5).
15 Н. И. Ахиезер

226 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Усредняя функцию Стеклова fh(x), мы приходим к функции
h
2
h
~2
которая почти всюду имеет вторую производную
Кроме того, легко проверяется, что
h h
2 2
— f(x — s — t)}dsdt.
С помощью этих соотношений получаются следующие оценки:
а+) если f(x) равномерно непрерывна на всей оси, то
sup |/(Jc)-fwk(x)|<-g-©'BA;f),
sup \nh(x)\<±<o*Bh;f);
—-оо<зс<оо
Ь+) если f (x)?Lp( — оо, оо) (р>1) или /(г) имеет период 2эт
и б^р(-л, я) (р>1), то
96. Две леммы о периодических функциях
Лемма 1. Если, Ф (г) имеет период I > 0 w ееть целая
функция экспоненциального типа <7\ то Ф (г) —
тригонометрическая сумма вида
п 2nikz
где
»<[§]¦

96. ДВЕ ЛЕММЫ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
227
Доказательство. Функция Ф(г), очевидно, ограничена
на вещественной оси и, следовательно, принадлежит Вг.
Поэтому, в силу неравенства Бернштейна,
(т = 0, 1, 2, ...),
max \ФШ)(х)\<МТ
—оо<зс<оо
где
Пусть
М= max |Ф(х)|.
— 00<Я<ОО
оэ 2nikx
Тогда при
откуда
2nihx
|cft|<M
77
77
Это неравенство и показывает, что Си = 0 при |&|>-2^~-
Лемма 2. Если f(x) есть непрерывная функция с периодом
/>0 и если существует такая функция W(гNЕг_0,.что
sup |f(x)-4r(*)|<e,
—oo<ac<oo
то существует тригонометрическая сумма вида
п 2nikx
Ф(х) = 2 съ? 1 >
где
77
A)
для которой также
sup |/(х)-.Ф(*)|<в.
—оо<зс<оо
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то
функция ?(г), в силу A), ограничена на вещественной оси, т. е-
V (z) ? Ва при некотором а < Т. Полагая
N
15*

228 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
мы найдем, снова в силу A), что
sup |/(*)-Ф*(*)|<в (# = 0, 1,2, ...). B)
—оо<ас<оо
С другой стороны, функции Ф^ (z) (N = 0, 1, ...) образуют
последовательность равномерно ограниченных на вещественной
оси функций из Ва. В силу компактности этого семейства
(см. п°83) существует подпоследовательность {Ф#. (г)}, которая
сходится равномерно в каждой конечной части плоскости.
Предельная функция Ф(г) принадлежит Ва и, очевидно, имеет
период U Кроме того, в силу B),
sup |/(*)-Ф(*)|<в.
—оо<лс<оо
После этого остается применить лемму 1.
97. Снова о свертке. Пусть
т
I
—т
где у (и) абсолютно непрерывна, у( — Т) = у(Т) = 0 и \>'(«)€
6Z-2( — Т, Т), и пусть функция h(x) удовлетворяет одному
из следующих условий:
a) h(x)eW, т. е.
b) h(x)?W, т. е.
В таком случае свертка
со со
<р(л;) = \ g(x-±-t)h(t)dt = \ g(t)h(x — t)dt
— оо —оо
принадлежит Ет, а также W2.
Доказательство. Полагая
представим ф(х) в виде

97. СНОВА О СВЕРТКЕ 229
а) Пусть hi{x)?L2{ — оо, оо), так что
ь
о-»—со у 2Я
Ь-юо
где Q(t)?L2( — оо, оо). Так как в силу условий, наложенных
на у (и), обе функции g(*), Я?(л;) принадлежат L2( — оо, оо), то,
по теореме о свертке двух функций из L2(—оо, оо),
т т
<р (*) = (*_/) f eixtQ(t)y(t)dt-i \ eixtQ(t)yr (t)dt,
Л
чем и доказано утверждение теоремы для случая а).
Ь) Пусть hi (х) ? L (— оо, оо). Положим
00 ОО
<Pi(*)= \ я(*-9*i(ОЯ. <h(*)= \ (*-*)*(*-0М*)Я.
—оо —оо
так что
ф (X) = (X - I) ф! (*) ~ ф2 (*).
На основании теоремы Фубини ф!(л:)^Ь( — оо/оо). Докажем
теперь, что каждая из функций ф4 (я), ф2(л:) представляет
значения на вещественной оси функции из Вг. Тем самым
утверждение теоремы будет доказано и для случая Ь).
Функция zg(z) принадлежит Вг. Поэтому, в силу неравенства
Бернштейна,
sup
—оо<х<оо
где
М= sup \xg(x)\.
—оэ<ас<оо
Следовательно,
оо
sup | <}?•) (дс) \<МГ \ |At @ \dt (г - О, 1, 2, ...),
— оо<л<оо v
— со
откуда (см. п° 83) и вытекает, что ф2(я) представляет значения
на вещественной оси функции ф2(г)бВг. Точно так же
доказывается, ЧТО ф1B)?Вг.
Замечание 1. По крайней мере одно из условий а), Ь)
выполняется, если h (х) ограничена или принадлежит Lv (— оо,оо) (/?> 1);
в первом случае <р(х) также ограничена, а во втором —
принадлежит тому же Lv(— оо, оо), как это следует из обобщенного
неравенства Минковского.

230 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Замечание 2. ц(х) превращается в тригонометрическую
сумму, если h (x) имеет период, и в этом случае нет
надобности предполагать, что h(x)?W*; теорема Харди —Юнга
(см. п° 68) позволяет это утверждать при единственном условии,
что h (х) 6 L (— л, я). Действительно,
т
g>(x)=-^=-^ eix4ty(t)dt,
откуда вытекает, что
(l + \x\)g'(x)eL*(-<*>, оо)
и, следовательно,
g'(x)eL(-*>, оо),
в силу чего g(x) имеет ограниченную вариацию на всей оси.
98. Теоремы Д. Джексона [32] гласят:
А. Если периодическая функция f(x) имеет производную
порядка r(r>l)*J, удовлетворяющую неравенству
A)
то при любом натуральном п можно построить
тригонометрическую сумму еРп_1 (х) порядка < п, удовлетворяющую неравенству
где Аг зависит только от г.
В. Если периодическая функция f(x) имеет непрерывную
производную порядка г(г>0) с модулем непрерывности со (б; р>),
то при любом натуральном п можно построить
тригонометрическую сумму tfn_\ (х) порядка < я, удовлетворяющую неравенству
где Вг зависит только от г.
Не мешает заметить, что первая теорема вытекает из второй.
Действительно, если производная f<r> (х) порядка г > 1
удовлетворяет неравенству A), то производная р'^Цх) порядка г— 1 >0
имеет модуль непрерывности ю(б; ^г~1>)<6 (т. е. удовлетворяет
условию Липшица порядка 1).
*) Говоря о функции, имеющей r-ю (г!>1) производную /(г) (х), мы
будем всегда иметь в виду функцию, обладающую абсолютно непрерывной
производной (г — 1)-го порядка, которая является интегралом от/(г) (л). Здесь
и всюду далее, если противное не оговорено, порядок производной есть
число целое.

09. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА 231
Нахождение погрешности наилучшего приближения при
помощи тригонометрической суммы порядка <я для заданной
«индивидуальной» функции f(x), удовлетворяющей условию
теоремы А или теоремы В, есть очень трудная чебышевская задача.
Поэтому приходится довольствоваться оценками этой
погрешности, которые здесь выражаются с помощью констант Лг, Вг.
Но в таком случае естественно поставить задачу об определении
наилучших оценок этого рода. Эта задача также может
рассматриваться, как задача нахождения наилучшего приближения, но
не для отдельно взятой функции, а для некоторого класса в
целом.
В следующем п° мы приведем достаточно общую постановку
этой задачи. Затем мы займемся ее исследованием, в результате
которого будут доказаны не только сформулированные выше
теоремы Д. Джексона, но и далеко идущие их обобщения *).
99. Прямая задача гармонической аппроксимации. Зададимся
прежде всего некоторым линейным нормированным
пространством Е, элементами которого являются функции на всей
числовой оси. Возьмем, далее, некоторое множество Ш функций f(x)
{— сю <#< оо), которые могут и не принадлежать Е. Каждой
функции 1(х)?Ш сопоставим множество всех тех целых
функций F(x) экспоненциального типа < Т (Т >0), для которых f(x) —
—F (х) ? Е. Это множество обозначим 9fy и положим
г оо, если 91/ пусто,
} inf || f—F\\, если Wf не пусто.
При увеличении Т уклонение QTlf], очевидно, не возрастает.
Поэтому существуют пределы бт±о[Л и
Qr+o[/]<Qr[f]<Qr-o[fJ-
Заметим, что мы могли бы определить Qt_o[/] непосредственно,
если бы в качестве 9tf взяли множество целых функций F(x)
экспоненциального типа <Т(а не <Т).
Теперь положим
Ят {5Ш} = SUp QT[f]
и задачу нахождения этой величины назовем прямой задачей
гармонической аппроксимации в метрике пространства Е для
класса Ш.
*) Доказательство самого Джексона, усовершенствованное позже Балле-
Пуссеном [16], использует интегральные операторы с некоторыми ядрами
типа Фейера., Этим методом доказываются я*акже аналогичные теоремы о
приближении в других метриках (см. Д89, Д90, Д91, Д92).

232 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В дальнейшем в качестве Е будет принято одно из
следующих трех пространств:
1° пространство С непрерывных ограниченных функций (всех
или только периодических);
2° пространство Lp(— оо, оо) (р>1);
3° пространство Lp( —я, я) (р>Л), элементы которого
периодически продолжены на всю числовую ось. Из целых функций
экспоненциального типа этому пространству принадлежат только
тригонометрические суммы периода 2я.
Всякое множество целых функций экспоненциального типа
Г, принадлежащих какому-либо из „трех перечисленных-
пространств и равномерно ограниченных по его норме, компактно
в смысле равномерной сходимости в каждой конечной части
комплексной плоскости. Для первого из пространств это —уже
отмеченный ранее факт, а для остальных следует из него благодаря
лемме п° 84. В силу этого обстоятельства нетрудно доказать,
что всякий раз, когда для функции ?(х)?Ш имеет место
неравенство QT[/]<°°» обязательно найдется такая функция F(x)?
?5К/, что
Для рассматриваемых трех пространств будем вместо qt писать
соответственно^(илиМт), ^(т\ 3$\ опуская значок /?, если он
равен 1.
Лемма 1. Если ^тр)[/]< °° (р>1), то при любом Т>т
и при любом Т>%
Лемма 2. Если &х [f] < °°> то при любом Т > т
и если, сверх того,
lim sup
6-И — а><Ос<оо
то при любом Т>%
По условию леммы 1, существует функция g(xNET, для
которой

99. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА
233
Беря эту функцию и полагая /ч =
бом 7>т
—g, найдем, что при
люА так как fl(x)?Lp( — оо, оо), то можно, что мы и сделаем,
с самого начала предположить, что f(x)?Lp(— оо, оо). Пусть
Т>т, и пусть g(x) — та функция из Ег, для которой
Зададимся числом 8, 0 <г<-х- Т, и рассмотрим функцию
*} 6Ег_в- Ясное дело, что
] f{x)-g(I=*-x)\Pdx}T<
-А
Беря вначале достаточно большое Л, а затем достаточно
малое в, найдем, что
где 6 сколь угодно мало. Отсюда следует, что
Чтобы доказать непрерывность справа, возьмем
последовательность {Тк}^ = {Т + гк}^, где Т>т, eft>0, Нтел = 0, а также
fe->oo
последовательность функций gk(x)?ETk, для которых
В силу компактности семейства {gk(z)}™, найдется
последовательность {ghj {z)}JL\7 равномерно сходящаяся в каждой
конечной части плоскости. Предельная функция g(z), очевидно,

234 ГЛ. V НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
принадлежит Ет. Так как в соотношении
N 1
можно сделать предельный переход, то
N
\№-g(x)\>dx}
I
Увеличивая N до оо, найдем, что
\f(x)-g(x)rdx}
—оо
откуда следует равенство
т. е. непрерывность справа также доказана.
Что касается леммы 2, то мы ограничимся доказательством
второго* ее утверждения. С этой целью допустим, что
lim sup | - / <в jc) — f ( jc) | = О
6-И —оо<дс<оо
и что вопреки утверждению леммы
Т
Затем положим G = -^г и заметим, что
Поэтому
0<^т-0 lf(x)l—&
= \imAT[f(&x)]-#Tlf(x)]< lim &T[f(Qx)-f{x)h
что абсурдно, так как
*т[/(вдс)-/(дс)]< sup \f(Qx)-f(x)\.
—ОО<5С<0О
В дальнейшем нам придется часто иметь дело с величиной
&T-olf], которая в согласии с леммой 2 может отличаться от
,#T[f]. В этих случаях полезно специальное обозначение
Наибольший интерес представляет величина &Т{Ш}. Для
многих важных классов она вычислена точно [35], для других
классов имеются лишь некоторые оценки этой величины. Аналогич-

:юо. классы функций 235
ные оценки получаются для соответствующих классов в
пространствах Lp.
Точное нахождение величины &Т{Ш} удается для тех
классов функций, которые допускают особые интегральные
представления.
100. Классы функций, определяемые интегральными операторами.
Будем рассматривать функции, представимые в виде
оо
f(x) = J G(x-t)h(t)dt (—oo<x<oo), A)
где ядро G (х) удовлетворяет условиям теоремы п° 87 при любом
Т>Т0>0, т. е.
и при любом Т^>Т0 имеется вещественное число а и целая
функция GT(x)?L { — со, со) экспоненциального типа <7\ для
которых произведение
[G (х) — GT (x)] sinT(x — a)
не меняет своего знака на всей вещественной оси. Условимся
называть такие ядра G(x) ядрами М. Г. Крейна.
Теорема 1. Если М есть класс функций, представи-
мых через ядро Крейна G(t) no формуле A), где h(t) пробегает
совокупность всех -измеримых функций, для которых
то при любом Т>Т'о
Для доказательства возьмем какое-нибудь г,
удовлетворяющее неравенству Т0<т<Т, и положим
F(x) = jj Gx(x — t)h(t)dt.
—оо
В силу замечания 1 п° 97, F(z)?bx и, следовательно, F(x)
допустима в качестве аппроксимирующей функции для f(x).
Из равенства
оэ
f(x)-F(x)= [ [G(x-t)-Gx(x-t)]h(t)dl

236 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
мы заключаем, что
оо
sup \f(x)-F(x)\< \ \Q(t)-Gx(t)\dt = fx[G].
—оо<#<оо «
—оо
Отсюда следует, что
а так как это верно для всех функций f(x)?M, то
9т{М}<Гх№\.
Приближая ткГ, получаем, что
где значение а определяется числом 7\ a Qr (а) — функция,
введенная в п° 87.
Теперь докажем, что в этом соотношении имеет место знак = .
С этой целью рассмотрим принадлежащую М функцию
fo(x)= J G(x-t)sigasinT(xo-t)dt =
(x — t) — GT(x — t)}signsinT(x0-t)dt,
где х0 — произвольно выбранное число. В согласии с замечанием
в -конце п° 87 эта функция может быть записана в виде
При этом
max
— О0<Х<0О
где, при данном 7\ а имеет вполне определенное значение. Так
как /о (х) обладает периодом -^-, то, в силу леммы 2 п° 96,
величина Шт[!о\ равна погрешности наилучшего приближения
функции fo(x) с помощью тригонометрической суммы
п
—п
порядка п < 1, т. е. с помощью константы. Но Qr (x — х0)
принимает в точках '

101. ПРИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ФУНКЦИЯМ 237
свое максимальное значение QT(a) с-разными знаками;
следовательно, эта константа есть нуль и, значит,
»T[foI=Qr(a) = ?T[G].
Теорема 2. Если функция f (х) имеет вид A), где G(x)
есть ядро Крейна, a h(x)?Lp ( — 00, сю), р>1, то при любом
Т2> Т
Доказательство. В силу теоремы п° 97 и сделанного к ней
замечания 1, функция
F(x)= \ Gx(t)h(x-t)dt G<t<T)
—oo
принадлежит Ет. Применяя к разности
оо
f(x)-F(x)= I {G(t)-Gx{t)}h{x-t)dt
— СО
обобщенное неравенство Минковского, получаем, что
оо ч
|!f-F||P<||% j \G(t)-Gx(t)\dt,
—оо
откуда так же, как и при доказательстве теоремы 1, следует,
что
f(TP)[f]<QT(a)\\h\\p.
Аналогично доказывается
Теорема 3. Если функция f (x) с периодом 2я имеет вид A),
где О(х) — ядро Крейна, a h (х) — периодическая функция из
Lp( — я, я) (р>1), то при любом 71>Г0
101. Применение к дифференцируемым функциям. Возьмем сколь
угодно малое число оО и какую-нибудь вещественную чет»
ную функцию p(t), —оо<с?<оо, удовлетворяющую следующим
условиям:
1) p(t) = l при (>си« —с;
2) p(t) имеет непрерывную производную второго порядка;
3) отношения
P(t) P'(t) P"(t)
fr+2 » jr+l > pr
при заданном целом г>0в точке t = 0 не обращаются в оо.

238 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Далее, положим
'{ity
и построим функцию
оо
где при г = 1 интеграл понимается, как главное значение
в смысле Коши. Таким образом,
г оо
Фг(х) = (-1)TJ^JpJ?_ cos txdt (r = 2,4,...),
О
о
Введем также сопряженную функцию
^ (/- = 2,4,...),
о
г—1
фР(*) = (—1) 2 JL V tL^LC0Stxdt (г=1,3, ...).
о
Интегрируя по частям, находим, что
sup A + х2) | Фг (*) | < оо, sup A + *2) | Фг (х) | < оо.
—оо<х<оэ — оо<л<со
Критерий С.-Надя применим к обеим функциям Фг(х),Фг(х)
при любом Г>с, так что обе эти функции являются ядрами
Крейна. Простые вычисления, которые мы можем опустить, пока-
зывают, что при любом Т>с:
оо
Bk +
{2k + l)r+1 "" W * ' '
Положим теперь, что функция f(x), — оо<л:<оо, имеет
производную порядка г:

101. ПРИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ФУНКЦИЯМ 239
принадлежащую W2, и докажем, что в таком случае f(x)
допускает представление
f(x)= J Or(x-t)h(t)dt+Fc(x), C)
—оо
где Fc(x)?Ec. С этой целью введем функцию
M*) = ^.6L2(--oo, оо)
и обозначим через tyi(t) ее преобразование Фурье. Так как
Q>r(x-t)h(t)dt =
то, в силу теоремы о свертке двух функций из L2(—оо, оо),
t. D)
Из этого представления функции / (х) видно, что она непрерывно
дифференцируема г—1 раз, а также, что
оо
Покажем, что /(г~1)(я) абсолютно непрерывна и имеет почти
всюду производную
ь
У 2,% а->-оо
Ь->оо
--^J («)'«**« Я'@*1 (О Л. E)

240 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Действительно,
—СО
есть непрерывная функция и справедливо равенство
Функция
принадлежит L2( — оо, оо), и поэтому на основании теоремы
Планшереля разность q(x) — q@) абсолютно непрерывна и имеет
почти всюду производную
ь
У 2Я а~>—со О
-±=
У 2Я
Ь^со а
Теперь доказательство формулы E) уже не представляет труда.
Заметим, что эта формула может быть представлена в виде
с
1(г) (х) = h (х) - ^= I еш р' (О Ь @ dt +
где gc 0*06 Ее, откуда
Мы видим, что f(x) — I(x) есть r-кратный интеграл от gc(x),
а значит, также равняется некоторой функции из Ес. Тем самым
формула C) доказана.
Правая часть формулы D) меняет только знак при замене
МО» *М0 соответственно на i sign tX(t), i sign /%(/). Поэтому,
в силу определения сопряженной функции,
со
I(x)=-[ Or(x-t)h(t)dt,

101. ПРИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ФУНКЦИЯМ 241
и значит, вместе с C) имеет место формула
оо
/ (х) = - 5 Фг (х -1) %(t) dt + Fe (x). F)
Воспользуемся теперь общей теоремой 1 предыдущего п°.
Мы получим следующий результат:
Теорема 1. Пусть МТ и Afr(r>l) обозначают
совокупности всех функций f(x) ( — cx)<x<oo), для которых
соответственно
vraimax ]й(л:)|< 1, vraimax]Ъ(х)\< 1,
• —сх><ас<оо —оо<зс<оо
где h(x) = fW(x). Тогда для любого 7>0
Действительно, мы можем применить упомянутую теорему
предыдущего п° к функции
Ф*(х-*)Й(*)Я,
—оо
соответственно
оо
- [ $r(x-t)Ti(t)dt,
выбрав предварительно положительное число с<Т, а каждая
из этих функций отличается от f (x) на функцию из Ес, которую
всегда можно прибавить к аппроксимирующей функции из Ег,
если Т>с.
При доказательстве общей теоремы 1 п° 100 в качестве
экстремальной функции fo(x), т. е. функции класса М, для которой
2я
была получена периодическая функция с периодом у-. Если в
качестве Т взять натуральное число щ то функция fo(x) будет
иметь и подавно период 2я. Поэтому, пользуясь лишь леммой 2°
п° 96, мы можем вывести из только что доказанной теоремы
следующее предложение:
Теорема 2. Пусть М$ и М$(г>\) ^обозначают
совокупности всех периодических функций (с периодом 2я) из Мг и
16 Н. И. Ахиезер

242 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
соответственно МТ. В таком случае при любом натуральном п
Первое из этих утверждений есть не что иное, как первая
теорема Джексона (см. п° 98) с точным значением константы Аг.
Ниже мы приведем непосредственное доказательство теоремы
2, основанное на той же идее, что и приведенное в настоящем пд
доказательство теоремы 1, но не требующее почти никаких
предварительных рассмотрений. Здесь же сделаем некоторые
замечания о константах Кг и КТ-
Заметим прежде всего, что равенства
справедливы также при г = 0 (/Со=1), если всюду, а не только
почти всюду
Далее, отметим, что, как видно из A) и B),
Поэтому ^ является общей верхней гранью для введенных
констант*
102. Обобщение на пространство Lp (р>1). Докажем, что
представление C) предыдущего п° справедливо для почти всех х,
если функция h (х) = /(г) (х) удовлетворяет следующим двум
условиям:
а) при любых конечных а, E (а<Р)
а
где М, N от а, р не зависят;
X
Ъ) J A@^ = f(f-1)(x)-/(r-1)@)€V».
о

102. ОБОБЩЕНИЕ НА ПРОСТРАНСТВО L*> 243
Оба эти условия, очевидно, выполняются, если h(x)?Lp( — я, л)
и f(x) имеет период, а также если*) h(x)?Lp ( — 00,00) при
1<р<2. В самом деле, в первом случае /(Г~1)(Л:) ограничена,
а во втором случае, в силу неравенства Гельдера,
J |AW|dx<(P-a)?|
что и доказывает утверждение, так как 7
Итак, допустим, что условия а), Ь) выполняются. Бозьмем
функцию
о
которая имеет производную порядка г
принадлежащую W2. Для этой функции представление C) п° 101
справедливо; поэтому
X ОО
\f(t)dt = \ <S>r(t)lfir-l>(>
О —оо
Отсюда
X +оо
Г» Г»
<) »J
0 -оо 0
В силу абсолютной сходимости интегралов, здесь применима
теорема Фубини о перемене порядка интегрирования. Поэтому
X X ОО
\f(t)dt=^ds J фг
0 0 —оо
*) Если A(x)^LP(—00, с») при р>2, то h(x) принадлежит!^2. При
р=2 это очевидно, а при р>2 вытекает из неравенства Гельдера
где s=—зо>2. Следовательно, при /z (д?) € Ь^ (—оо, оо) (р>2)
представления C) и F) п° 101 в доказательстве не нуждаются.
16*

244 ГЛ. v- НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
и по теореме Лебега почти всюду
оо
= 5 OT(t)h(x-t)di+Fc(x),
что и требовалось доказать.
Аналогичное обобщение допускает формула F) п° 101.
А именно положим, как и выше, что
и примем, что сопряженная с <р(х) функция <р(л;) имеет вид
причем
а
для любых конечных а, р (Р>а). В таком случае почти всюду
f(x)=- ^
—оо
что и является обобщением равенства F) п° 101.
Если h (х) = /<r> (x) g W2, что, наверное, имеет место *) при
h(x)?Lp( — оо, оо) (р>2), то ^>(х) есть функция, сопряженная
с h(x) в смысле п° 79.
Теперь мы можем сформулировать теоремы аппроксимации,
вытекающие из теорем 2 и 3 п° 100 и формул A), B) п° 101.
Теорема 1. Если
5 (р>1, г>0),
—оо
то при любом
*) См. сноску на стр. 243.

103. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245
Если функция р-^{х) (г>1) имеет сопряженную функцию
х
то для любого Г>0
Теорема 2. Если f(x) есть периодическая функция, для
которой
п
5 \fW(x)\*dx<l (Р>1, г>0),
то лри любом натуральном п
J
« гели г > 1, то
/у(Р) rfl ^^Г
При р=1, как это было показано С. М. Никольским [35],
последние два неравенства являются точными, т. е. существуют
функции рассматриваемого класса, для которых в этих
неравенствах достигается знак =.
103. Непосредственное рассмотрение периодических функций.
Возьмем вещественную периодическую функцию К (*)?/,( — л, я),
непрерывную в открытом интервале ( —я,,зт), и обозначим
символом М* класс всех функций
п
/(*)=$ K{x-t)h(t)dt,t A)
—я
для,которых почти всюду в интервале (^-л, я) выполнено
неравенство
Теорема. Если для натурального числа п и некоторого
Y6 [о, •? j тригонометрическая сумма Wn^(t) порядка <л— 1,

246 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
определяемая условиями
+ ^) (±m = 0, 1,2,...,/i-l),
обладает тем свойством, что произведение
[К (t)-Wn-i (t)] sin n(t-у)
не меняет своего знака в открытом интервале ( — я, л), то
$n{M*} = Jn[Kl
Повторяя дословно рассмотрения А. А. Маркова (п°п° 50, 51),
мы прежде всего устанавливаем, что
я
я
Jn[K] = |J К (t) sign sin n(t-у) dt\. B)
—Я
Действительно, с одной стороны,
я
*(*)-1Рл-1@|Л=|$ {К (t) - Wn-i (t)} sign sin n(t-у) dt =
-я
я
J |, C)
а с другой стороны, для произвольной тригонометрической суммы
Sn-i(t) порядка <я— 1
—Я
И
я я
J \K(t)-Sn-i(t)\di>^ {К{t)-Sn-X(tfrsignsinn(t-у)dt
Sn-i @sign sin n{t — y)dt = 0.
Следующий шаг — получение неравенства
D)
Это делается с помощью тривиальной оценки разности между
произвольной функцией f (x) вида {1) и тригонометрической
суммой порядка < п — 1:
я
где /г@ то же, что и в представлении функции f(x).

103. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 247
И, наконец,- остается доказать, что знак < в неравенстве D)
должен бцть отброшен. Для этого вводится принадлежащая
классу М* функция
л
fo(x)= \ K(x — t) sign sin n (t + у) dt =
-я
Я
= — ^ К (t) sign sin n (t — у — х) dt.
—п
В 2п последовательных точках
интервала [ — я, я) эта функция принимает с чередующимися
знаками свое максимальное по модулю значение Jn[K]. Поэтому
тригонометрическая сумма, равная тождественно 0, наименее
уклоняется от Д>(*) в метрике С среди всех тригонометрических
сумм порядка < п — 1. Иначе говоря,
Тем самым теорема доказана.
Теперь можно обратиться к определенным в п° 101 классам М*
и Mr дифференцируемых периодических функций f(x), для которых
vraimax [ f^\x) \ < 1,
соответственно
vraimax|7(r)WI<l-
С помощью простых вычислений нетрудно получить следующие
интегральные представления:
п
/(д) = Со—-LJ ф,(х-о/<')(«+0Л (/И*),
—я
Jt
= со + -^ J tr (* - /) ^г> (я + 0 Л (Я*),
—Л
где фг(*), i|5rW~ функции, введенные в п° 55.
Напомним, что

248 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
± фг+1 @ = Фг (<), ± yr+i (t) - % (/),
а также, что каждая из функций фг (t), i|?r (t) является либо
нечетной, либо четной. Сейчас мы докажем лемму, из которой будет
следовать, что условия теоремы для рассматриваемых функций
всегда выполняются и притом с у = 0в нечетном случае иу = г
в четном. После этого для доказательства теоремы 2 п° 101
останется произвести элементарное интегрирование, чем. мы заниматься
уже не будем.
Лемма. Разность между нечетной из функций <рг@» Фг@
и нечетной тригонометрической суммой Un_i(t) имеет в
интервале ( — я, я) не более 2л—1 корней, а разность между четной
из этих функций и четной тригонометрической суммой Vn-t(t)
имеет в том же интервале не более 2л корней*).
Доказательство основано на теореме Ролля.
1°. Число корней**) разности
в интервале ( — я, я) не превосходит 2л—1.
Допуская противное, приходим к выводу, что функция
4
1
при каких-то аи имеет в интервале ( — я, я) по крайней мере
2п— 1 корней.
Но, полагая tg -j^x, найдем, что
П' (f\ 0.2П-2 (*)
где Qui-2(*) — многочлен степени <2л —2. Мы пришли к абсурду,
так как /?'(*), а значит, и О.гп-г{х) не есть тождественный нуль.
2°* Число корней разности
в интервале ( — я, я) не превосходит 2л.
Допуская противное, найдем, что производная
n-i
*) Все тригонометрические суммы можно считать вещественными.
**) При подсчете корней учитываются их кратности.

103. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249
при каких-то bk имеет по крайней мере 2п корней в интервале
( — я, я), но это абсурдно, так как после подстановки tgy—x
получаем
ТУ' /Л __ х _L Q23 (*) Q21 (*)
3°. Теперь применим индукцию. Поэтому допустим, что наше
утверждение уже доказано для обеих функций фг(*)> ^г@ при
каком-нибудь г > 1, и докажем, что оно в таком случае верно
для <pr+i(tf), i|v+i@-
Примем для определенности, что г—число нечетное.
Утверждается, что разность
имеет в интервале ( — я, я) не более 2тг корней. Допуская
противное, получим, что в том же интервале функция
Я'(') = фг(*)-2 bhsinkt
имеет при каких-то bk более 2п— 1 корней, что абсурдно, так
как для cpr(f) наше утверждение, по условию, верно.
Допустим теперь, что разность
имеет в интервале (— я, я) более'2п— 1 корней. Так как #(±я)= 0,
то в интервале [ — я, я] R(t) имеет более 2п+1 корней. Поэтому
функция
R'(t) = \pr(t)- S ahcoskt
i
при каких-то пъ имеет в интервале ( — я, я) более 2и корней,
что также противоречит условию.
Лемма доказана.
Наши рассмотрения позволяют при любом п фактически
построить тригонометрическую сумму порядка <п— 1, которая
дает приближение в метрике С функции класса М* или M?f
наилучшее в классе при данном п. Для построения этой
тригонометрической суммы нужно знать те тригонометрические суммы
n-i n-l
(
m=l
которые наилучшим образом аппроксимируют функции q>r@
и i|v(*) в метрике L. Коэффициенты 1т> г\т этих тригонометри-

250 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
ческих сумм зависят, конечно, от г и п. Их вычисление не
представляет труда, но мы.на нем не остановимся.
Пусть периодическая функция f(x), имеющая интегрируемую
производную порядка г > 1, разложена в ряд Фурье
h=—со..
Введем ее сопряженную функцию
оо
7(*)= 2 is
и примем, чем общность не нарушается, что
Построим тригонометрические суммы
"% те1тх-с-те-г™]. F)
Применяя равенство Парсеваля, мы находим, что
n-i
- ]/j \m cos ( mt—g- j у f^ (x + я — t) dt, G)
m=l
я n—1
= — \ -j ifr (^) — ^j T|w sin ( tnt —o~- ) г f^ (х-\-я>—t) dt.
—Я rn=l
Отсюда уже видно, что при
vraimax|/<'>(x)|<l (8)
^n-i(x) и <&n-i(x) и являются теми тригонометрическими суммами -
порядка < п, которые дают наилучшее приближение в. классе М?
функции / (х) и наилучшее приближение в классе М* функции J(x):
max \f(x)- ?Сп_, (х) |< -§-, max | f (х) - У п^ (х) |< § . (9)
Если вместо (8) принять, что /<r) (x)?Lv( — я, я) (р>1), то
из соотношений G) с помощью обобщенного неравенства

105. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 251
Минковского будут следовать неравенства
при этом первое неравенство верно и для г = 0.
104. Неравенство Бора и его обобщения* Из результатов
предыдущего п° вытекает следующий факт: если
Г(х)=У ckeikx
и если при некотором г > 1 почти всюду
то
причем уточнить эти неравенства нельзя.
Первое из этих неравенств (для г = Г) было установлено
впервые Г. Бором [36].
Для доказательства достаточно воспользоваться
неравенством (9) предыдущего п° и заметить, во-первых, что суммы &n-i (х),
2^-i (х) тождественно равны нулю, если равны нулю
коэффициенты ch (±k = 0, 1, ..., п — 1), и, во-вторых, что у
экстремальных функций
я я
— { фг (t) sign sin n(x — t) dt, -~- ^ 'Фг (t) sign sin n(x — t) dt
—я —я
все эти коэффициенты также равны нулю.
Полезно сравнить неравенство Бора с неравенством С. Н. Берн-
штейна для тригонометрических сумм. У С. Н. Бернштейна речь
идет о функциях, спектр которых (т. е. множество показателей
Фурье) лежит в конечном интервале. У Бора же спектр лежит
вне конечного интервала. Если функция в обоих случаях
ограничена, то неравенство С. Н. Бернштейна устанавливает верхнюю
грань для производной, а неравенство Бора — для интеграла.
Весьма интересное обобщение неравенства Бора принадлежит
Хёрмандеру [27] (см. Д102).
105. Аппроксимация непрерывно дифференцируемых функций.
Пусть функция f (х) ( — оо <я< оо) имеет производную /<г> (#)
порядка г>0, интегрируемую в каждом конечном интервале.
Беря ft = -~-, T>0, построим функцию Стеклова fh{x) и

252 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
представим f (x) в виде
f{x) = {f(x)-fh(x)} + fh(x) = OH(x) + fh(x).
Если /(г)(х) равномерно непрерывна на всей оси, то (см. п° 95)
Поэтому, на основании теоремы 1 п° 101, для любого Т>0
Далее, если /<г)(я) имеет равномерно непрерывную сопряженную
функцию f(r)(*), tq при г>1 для любого Т>0
Для функции / (х) с периодом 2я отсюда, на основании
леммы 2 п° 96, следует, что при любом натуральном п
существует тригонометрическая сумма <5V_i (x) = J?n_i (x\ /, г) порядка
<п—1, для которой
max |/(*)_JV4(х)|<АвA; /(г)Л . A)
Если г > 1, то существует вторая тригонометрическая сумма
^n-iW = ^n.iD /i 0» Для которой
max
Пользуясь введенными в п° 103 обозначениями, можно, например,
положить
#n-i(x) = &*-t(x; Фл,
^iW = *Mte Фа,
причем
^n.i(Jc; Фл, 0) = 0.
Неравенство A) выражает вторую теорему Д. Джексона.
Легко видеть, что аналогичные оценки имеют место при
аппроксимации периодических функций в Lp( —я, я) (р>1):

|06. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ФЕЙЕРА 253
Отметим также, что в силу теоремы 1 п° 102 для любого Г>0
^(пР)[Л<^«р(т' f
если f(r4x)eLp(— со, оо), р>1, и
гФт<тг*ь(
если f^-^(x) (г>1) имеет сопряженную функцию
для которой я|) (#) ? II (— оа, оо).
Вместо функции Стеклова /л (*) можно использовать функцию
fhh(x), которую мы ввели в п° 95. Полагая.
мы получаем благодаря неравенствам а+) п° 95 следующий
результат: для любого Г>0
если функция f(x) имеет производную порядка г>0, и
где г>1, если f(r>(x) имеет сопряженную функцию fi()
Аналогичные оценки справедливы при аппроксимации в
метрике U.
106. Обобщенный метод Фейера. Из наших доказательств теоремы
об аппроксимации дифференцируемых функций получаются
некоторые приемы для фактического построения приближений.
Например, в периодическом случае эти приемы состоят в том, что
в коэффициенты суммы Фурье рассматриваемой функции вводятся
некоторые множители. Эти множители зависят не только от
порядка аппроксимирующей тригонометрической суммы, но и от
степени гладкости аппроксимируемой функции, т. е. от числа г.
Поэтому при изменении информации о функции; благодаря
которому число г надлежит взять другим, приходится строить
приближенное выражение заново.
Мы покажем теперь, что для введенных выше классов
дифференцируемых функций существуют регулярные методы
аппроксимации, которые, не имея указанного недостатка, дают приближение

254 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
того же порядка, что и рассмотренные методы, но с несколько
большими числовыми коэффициентами в выражениях для верхней
грани погрешности. Такой метод получается, например, с помощью
некоторой модификации метода Фейера [37].
Возьмем какое-нибудь число в, 0<8<1, и рассмотрим инте-'
грал
от(х; /, 6)= !
оо
= 9Г J f(A:-y)O(977y)dt), A)
—оо
где
A—9)ы w
COS тг2 COS -тг
Функция Ф (и) является ядром типа Фейера, а при 9 = 1
превращается в классическое ядро Фейера.
Заметим, что если норма инвариантна относительно сдвига, то
где
ОО
Х(в) = 2 [\Ф(и; Q)\du, B)
в частности,
sup \aT(x; f, 9) |<К(9) sup ]/(*)|.
<< <<
Грубую оценку для X(Q) можно получить, разбивая интеграл
2ft 9ft
на три интеграла: от 0 до 2_Q , от 2__Q до 2 и от 2 до оо,
а затем заменяя величину
е
26
в первом интеграле на -?>§-и2, во втором —на а, а в третьем —
на 2. Таким путем мы найдем, что

106. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ФЕЙЕРА 255
Однако с помощью элементарных подсчетов получается*)
следующая довольно точная оценка:
Ядра Ф(и) можно представить в виде
оо
ф(и) = _к V ф (Щ cos (uv) dv9
—оо
где
1 при Jf|<l — в,
-g-(l-|'l) При 1-в<|*|<1, C)
О при \t\>U
Обратился к обобщенному интегралу Фейера A) и
перечислим некоторые его свойства.
Г. Если f (x) e W'2 или W1, то ат (х; /, G) g Ег. Это есть
следствие теоремы п° 97.
2°. Если /(jcNEt при т<ГA-9) и если f(x)?W\ то
от(х; /, 9) == f (х).
Действительно,- в рассматриваемом случае
t
(х) m f(x)xZfi(l) = \
*) Для этого можно воспользоваться разложением
оо
16 V m + nx—\m—nx\
т, п=1
которое получается с помощью формулы

256 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
где i|? (t) ? L2. Замечая же, что
оо
ат(х; /, 6) = 67 J f(x—v)Q>(Wv)do =
—со
мы, на основании теоремы о свертке, получаем
от(х; /, 6) =
X X
= f(i) + (x-i) J ф(|-) ^{t).eMdt-^- \ ^'^^
и, в силу C),»
X
ат(х; U Q) = f(i) + (x-i) J eixty(t)dt = f (x).
3°. Если f(x) — интегрируемая функция с периодом 2я и
—оо
ТО
f8)= 2 Ф G)
I ft |<т
Это есть следствие общих фактов, приведенных в п°71.
4°. Если л—-натуральное число, то при условиях
предложения 3°
есть сумма Фурье порядка п— 1 функции /(я).
Перейдем к оценке погрешности приближения
дифференцируемой функции с помощью обобщенного интеграла Фейера. Мы
примем, что f{x)?W2. При тех предположениях, которые мы
делаем относительно /(г)(*)> это условие не является
ограничением общности. Действительно, мы имеем представление C) п° 101,
а это представление показывает, что всякая рассматриваемая
функция является суммой некоторой функции из W2 и некоторой
функции из Ес (при сколь угодно малом с > 0) и, следовательно,
при Т>с подлежит аппроксимации только первое слагаемое.

106. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ФЕЙЕРА 257
Пусть функция f(x)^W2 имеет производную /(r)(*)>
удовлетворяющую условиям какой-нибудь из теорем п° п° 101 и 102.
В таком случае при любом е>0 и любом т>0 существует
функция F(x)?Ex-Of также принадлежащая W%, для которой
При этом будем предполагать, что норма инвариантна
относительно сдвига аргумента функции.
Взяв положительное число. 9<1, положим т = ГA— Э).
Тогда, в силу свойства 2° обобщенного интеграла Фейера,
/(*)_aT(*;/f B) = f(x)-F(x)-eT(x; f-F, 9),
откуда
\\f(x)-oT(x; U e)||<||f-F|| + |IM*; f-F,
Замечая, что
получаем
Поэтому, поскольку 8>0 произвольно,
|| f (х)-ат(х; /, в)||<[ 1 + XF)]6г [/]. D)
Мы рассматривали выше случаи, когда выполнялось одно из
следующих двух неравенств:
где Q (б) — неубывающая функция, для которой при любом
0(цв)<(ц+1H(в):
Из D) вытекает, что в этих случаях соответственно
||/(*)-«гг(дг. Л «Ж2/1^^
Таким образом, применяя обобщенный интеграл Фейера, мы
получаем прежний порядок погрешности приближения и лишь
несколько большие числовые коэффициенты в выражении для
погрешности.
Заканчивая настоящий п°, отметим некоторые, примыкающие
к нашим рассмотрениям факты относительно погрешности
17 н. И. Ахиезер

258 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
приближения (в метрике пространства С) непрерывной
периодической функции / (х) с помощью ее суммы Фурье sn_i (x).
а) Если почти всюду
\f(*)\<U
то
где С —абсолютная константа <3. Это —теорему Лебега. Для
доказательства достаточно использовать свойства 4°
обобщенного интеграла Фейера и неравенство
Ь) Если / (л:) имеет производную порядка г > 0 и
1/(г)(*)|<1> E)
то
К этому, также принадлежащему Лебегу неравенству примыкает
интересный результат А. Н. Колмогорова, относящийся к
тридцатым годам [38]: если М* есть класс всех функций с периодом
2я, для которых выполнено неравенство E), то
где limen = 0.
n-*oo
с) Если f(x) имеет производную порядка г>0 с модулем
непрерывности ю<г)(8), то
6©<Г>
d) Если г>1, то те же оценки, что и в Ь) и с), имеют
место для величины
Из с) при г = 0 вытекает, что если функция f(x)
удовлетворяет условию Дини —Липшица (см. п° 91), то ее ряд Фурье
сходится равномерно.
107. Теоремы Бернштейна {1,33}, обратные теоремам
Джексона, дают ответ на вопросы, являющиеся типичными для
«обратной проблемы» гармонической аппроксимации.

107. ТЕОРЕМЫ БЕРНШТЕЙНА 259
Теорема 1. Если для каждого Т>То>0 существует
функция FT (х)?ЕТ,'удовлетворяющая неравенству
sup [/Ю-^МК-* A)
где А, целое число г>0 и а, 0<а<1, от Т не зависят, то
где <р(х) есть ограниченная на всей оси функция, имеющая
ограниченную производную порядка г, принадлежащую Lip а.
Доказательство. Полагая
Tk = 2kT0 (ft=l, 2, 3,,..),
рассмотрим ряд
FTo (x)+ {FTl (х) - FTo (x)} + {Ft, (x) - FTl (x)} + ... s
который, очевидно, сходится к f(x) равномерно на всей
числовой оси.
Так как gk (x) = FTfi (х) — FTk^ (х) ? ETft (k = 1, 2, ...) и, в
силу A),
sup |**(х)|< SUP \f(x)-FT (x)\ +
—оо<х<оо —оо<х<оо п
то, на основании неравенства Бернштейна,
sup
Следовательно, равномерно на всей оси сходятся ряды
оо оо
А так как функция gk{x), принадлежа Вт^, равномерно
непрерывна на всей оси, то ограниченная функция
имеет ограниченную и равномерно, непрерывную на всей оси.
производную
порядка /.
17*

260 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Задавшись произвольным числом 6>0, которое мы можем
считать достаточно малым, определим натуральное число т из
условия
2m-x<~-<2m
и положим
k=i
Тогда
С другой стороны, если |й|<б, то, снова в силу неравенства
Бернштейна,
m-l
\P(x + h)-P(x)\<b 2 sup
Таким образом, если |А|<6, то
I Ф<г) (x + h)- ф('> (д:) | < BCt + C2) 8«,
что и доказывает теорему.
Из приведенных в доказательстве оценок следует, что при
1
Отсюда
Теорема 2. ?сла для каждого Т>Т0>0 существует
функция FT(x)?ET, удовлетворяющая неравенству
sup \Пх)-РТ(х)\<^9 B)
Л а целое число г>0 от Т не зависят, то

107. ТЕОРЕМЫ БЕРНШТЕЙНА 261
где ц>(х) есть ограниченная на всей оси функция, имеющая
ограниченную производную порядка г с модулем непрерывности
Отметим, что при г>1 ограничена не только функция <р(г>(я),
но и сопряженная с ней функция. Это относится, конечно,
к обеим теоремам и вытекает из аналогичных приведенным выше
мажораций с применением неравенства, выражаемого второй
теоремой п° 84.
Теорема 1 является полным обращением соответствующего
предложения Джексона. Иначе обстоит дело с теоремой 2, так
как в оценку, которую дает теорема 2, входит множителе
In у. Покажем, однако, на примере, что теорему 2 уточнить
нельзя.
Мы рассмотрим периодический случай и возьмем функцию
Вейерштрасса
Ы*)= 2 a* cos (&**),
где Ь > 1 есть нечетное число вида 4v +1 и а = у. Мы знаем
(см. п° 93), что эта функция имеет модуль непрерывности
Мб In 4-.
о
С другой стороны, в nq42 было показано, что при
произвольном п погрешность наилучшего приближения функции fo(x) при
помощи тригонометрической суммы порядка п равна
1 1
1—а п
Таким образом, при а = 1 логарифмический множитель
появляется по сути дела, а не в результате грубости подсчета.
Чтобы получить законченный результат в случае а=1,
необходимо, как это ^первые заметил Зигмунд [33], перейти от
класса Lip 1 к классу Л*.
Теорема 3. При условиях теоремы 2
где у(х) есть ограниченная на всей оси функция, имеющая
ограниченную производную порядка г, удовлетворяющую
условию А*'.

262 ГЛ. V- НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Доказательство вначале ничем не отличается от
доказательства теоремы 1. После того,, как представление
и неравенство
\Q(x)\<Ct6
получены, надлежит рассмотреть выражение
- 2
В силу неравенства Бернштейна, полагая |ft|<6, будем иметь
m—i m—i
< 2
и теорема доказана.
Сопоставление теоремы 3 с соответствующей прямой теоремой
(п°101) приводит к следующему результату: для справедливости
при любом 7>Г0>0 оценки
необходимо и достаточно, чтобы
где FTq(x)€Et0, а ф(л:) есть ограниченная функция, имеющая
ограниченную производную порядка г, удовлетворяющую
условию Л*.
Если бы мы заменили неравенство C) соотношением
Т-к»
то условие ф<г> (х) ? Л* пришлось бы заменить условием ф(г> (х) € А,*.
Из доказанных нами теорем вытекает, что если ограниченная
функция ф(я) удовлетворяет условию Л*, то
со (б; ф)<Л461п у .
108* Теорема Привалова [39]. В качестве простого приложения
полученных результатов можно доказать теорему И. И.
Привалова, которая гласит: если f(x) есть периодическая функция

108. ТЕОРЕМА ПРИВАЛОВА 263
и f(jt)GLipa, mo*f(x)?Lipa при 0<а<1 и f(x) имеет модуль
непрерывности < Mb In -j- при а = 1.
Докажем несколько более общее предложение: пусть
функция f (х) (— оо < х < оо) ограничена *) и принадлежит либо
Lip a @ < a <; 1), либо? Л*; пусть, кроме того, существует
такая константа С, что функция
также ограничена; тогда и функция f(x) ограничена и в первом
случае ?Lipa, а во втором случае ?Л*.
Возьмем функцию
где С —указанная в формулировке теоремы константа. Так как
/i.(*) имеет производную,' сопряженная с которой функция 6 Lip a
(соответственно *g Л*), то, в силу прямой теоремы п°101, при
любом 7>0
соответственно
Шт [/1] ^ j^" •
Поэтому, на основании обратных теорем п° 107,
где F (x) g Ei (мы полагаем То=1), а ф(л:) есть ограниченная
функция, имеющая ограниченную производную <р'(х), которая
в первом случае 6 Lip a, а во втором случае ?Л*.
Так как fi(x) ограничена по условию, то и F(#) ограничена;
следовательно, F(x)?Bi и тем же свойством обладает F'(х).
Итак,
Отсюда и вытекает утверждение теоремы, так как ^'(л;), имея
ограниченную производную, принадлежит Lip 1.
*) Следовательно, J(x) существует и принадлежит W2.

264 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
109. Обобщение теорем Бернштейна на пространство Lp{p>\).
Будем понимать под Lp либо пространство Lp (— со, оо), либо
пространство Lp ( — я, я) периодических функций. Пусть для
любого Т>Т07>0 существует такая функция*) FT(x)?ETi что
где Л, целое число г>0 и а@<а<1) от Т не зависят. В
таком случае
где <f(x) принадлежит Lp и имеет производную ф(г)(лс), также
принадлежащую Lp; при этом <p<r> (x)? Lip (а, р), если 0 < а < 1, и
если а = 1.
Для доказательства положим, как и в п° 107,
Tk = 2kT0 (*=1, 2f ...)
и рассмотрим ряд
(x)-FTq
который в силу условия сходится к f(x) в метрике Lp.
Как и в п° 107, имеем неравенства
Ik Jk
для fe=l, 2, 3,...
Второе из этих неравенств доказывает, что в метрике Lp
сходится ряд
т. е. существует функция g{x)^Lp., для которой
Ига Н*-23*11 = 0. A)
П-+0О ft=i
Припоминая представление C) п°101, мы можем написать
оо
gk(x)= J 0r(x-t)g(kr)(t)dt + eh(x), B)
где 9л(х)бЕс при некотором фиксированном с<70.
*) В периодическом случае Ft(x)—тригонометрическая сумма.

109. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ БЕРНШТЕЙНА 265
Так как
то ряд
сходится. Поэтому существует функция Q(x)?Lp, для которой
|3o. (З)
|||3
Заметим также, что, в силу обобщенного неравенства Бернштей-
на, сходится ряд
Так как
lim||f-FT,-2«r*llp = 0,
П-+СО fc=i
то, на основании A), B), C), почта всюду
f(x)-FTo(x)=
Положим
где
оо
J a>r(t)g(x-t)dt.
Нахождение обобщенных модулей непрерывности функций 9 х)9
ty() должно привести доказательство теоремы к концу.
Так как
то

266 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
и, следовательно,
||в(дс+А)-в(х)||,<|Л|Д||вл||р = Св|Л|,
т. е. 0(xNLip(l, p).
С другой стороны,
(ор(б; ¦>!>)<юр(8; g) J \OT(t)\dt.
—с»
Задавшись произвольным, не превосходящим единицы, числом
б>0, как и в п° 107, найдем натуральное число т из условия
и положим
т—1 т—1
Р (х) = 2 «ip> (if), Q(x) = g (x) - -S
Тогда
и, значит, при | h | < б
|
А оценка величины
аналогичная той, которая сделана в п° 107, дает
!С26« (если 0<а<1),
^2б1пу(если а=1).
Таким образом, g(x)?L\\>(a> p), если 0<а<1» и
если а=1, что и требовалось доказать.
Для примера, в некоторой степени аналогичного приведенному
в п° 107, возьмем непрерывную периодическую функцию
и положим р = 2.

110. АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 267
Так как в L2( — л, я) суммы Фурье дают наилучшее
приближение, то возьмем
Тогда
k—П 1
Вместе с тем при
и, значит, рассматриваемая функция не принадлежит Lip A, 2).
Заметим, что и другие результаты п° 107 без труда
переносятся на пространство Lp. Это же относится и к теореме
Привалова. При этом вместо класса Lip(l, р) будет
фигурировать Лр (а также Яр).
110» Наилучшая гармоническая аппроксимация аналитических
функций. Обозначим через 91 совокупность всех аналитических
функций F (w) (w = t + ш), которые
a) на вещественной оси (и = 0) вещественны,
b) в полосе
— 8<а<б A)
регулярны и удовлетворяют неравенству
Если F(w)?yi, то функция
имеет при и —>± б предел для почти всех ?, причем
\im h(t, «)= Hi
Этот предел обозначим через h(t).
\\mh(t, «)= lim h(t, и).
w~>6 u->—б

268 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Нетрудно выразить величину F(t) ( — oo<;tf<oo) в виде
интеграла от функции h(s). Для этого надлежит с помощью
формулы
отобразить полосу A) на полуплоскость, а затем применить
формулу Шварца для полуплоскости. Таким путем мы получим,
что
Заставляя h(s) пробегать совокупность всех вещественных
измеримых функций, для которых
vraimax | h (s) j < 1,
—oo<s<oo
мы получим класс % всех функций вещественного аргумента
t (— оо< t <оо), каждая из которых представляет значения
на вещественной оси некоторой функции класса Ш.
Найдем величину §Т{ЭДО} (см- п° 100),
В интегральном представлении B) ядром является функция
1 1
Так как функция
о»
costv
для достаточно больших t трехкратно монотонна, то применим
критерий С.-Надя (см. п° 88), и мы находим без труда, что для
любого достаточно большого Т
оо
В действительности этот результат справедлив для любого Т > 0
(см. Д85).
Если F(t) принадлежит 2t0 и имеет период 2я, то, в силу
доказанного, для достаточно больших п погрешность
наилучшего приближения в метрике С функции F (t) с помощью тригоно-

ПО. АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКВДЙ 269
метрической суммы порядка < п -г 1 равна
Этот результат допускает простое непосредственное
доказательство, из которого, между прочим, следует, что он справедлив
при любом п[40],
С этой целью отобразим полосу A) оу-плоскости на кольцо
q
2-плоскости, полагая
Функция
F( A-
в этом кольце регулярна и, в силу предполагаемой теперь
периодичности функции F (w), очевидно, однозначна. Разлагая ее в ряд
Лорана
2 Cm*™,
мы найдем без труда, что
ст = с.т = JL ^
Поэтому
2Л
=i Н1+4 2
О 1
Заметим, что представление C) можно было бы получить
непосредственно из B), учитывая периодичность функции h(s) в
рассматриваемом случае.
В теории эллиптических функций выводятся формулы
m=l

270
ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В силу формулы D), представлению C) можно придать вид
2л
о
Отсюда, каковы бы ни были константы С*:
2Л П-1
—р [ h(t + v) jdn^- — 2 Smcosmo} dv =
n-l
2 Em (a™ cos mt + pin sin mOJ ,
где ат, pm—константы Фурье функции ft(8).
Так как
n-l n-l
2 Cm cos mo = 2 z
и почти, всюду
то
max
w-1
2 ?m(a
m=l
и значит,
zm
Я2
О
n-l
n—i
m=0
^- 2
do.
На основании рассмотрений п° 51, мы сможем .утверждать,
что правая часть равна
если, только удастся обнаружить, что при надлежащем выборе
коэффициентов zm разность
dn^-2 *»«*«"»-!¦ F)
m=0

111. ДРУГАЯ ФОРМА РЕЗУЛЬТАТА ПРЕДЫДУЩЕГО п° 271
меняет знак только в тех точках, в которых меняет знак
функция cosnv. Но мы докажем, что разность F) ни при каком
выборе коэффициентов zm не может менять знак более п раз
в интервале 0<у<л.
В самом деле, в силу E),
Поэтому все производные от функции dn ~^- по переменной
cos2-н-положительны. Следовательно, положительна производная
порядка п от функций F) по переменной cos2-|-, что и
доказывает наше утверждение.
То, что в оценке величины Qn знак = достигается, показывает
«экстремальная» функция F0(w), для которой
ho(t)=* sign cos nt.
Отметим, что, в силу найденного нами результата,
4<Л G)
111. Другая форма результата предыдущего п°. Пусть f(z)(z =
z=x + iy) есть аналитическая функция, которая
а) регулярна внутри эллипса с фокусами в точках ±1
и полусуммой осей— ;
Р) вещественна на большой оси этого эллипса;
у) внутри эллипса удовлетворяет неравенству
Делая преобразование
z = cos w,
мы получаем четную функцию от w:
которая принадлежит классу 21 предыдущего п° и имеет период
2зт, причем
а отрезку [—1, 1] плоскости z отвечает действительная ось
плоскости w. Так как указанное преобразование переводит много-

272 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
член (п— 1)-й степени от я в четную тригонометрическую сумму
порядка п — 1 от ?, то мы получаем следующую теорему:' если
функция f(z) удовлетворяет условиям а), Р), у), то погрешность
Еп-1 [f] наилучшего приближения функции f (xy в интервале
[ —1, 1] с помощью многочлена степени /г—1 удовлетворяет
неравенству
F т<- 8 V ( 1Vn" 1
l> 2in+\
и это' неравенство уточнить нельзя, если о функции f(z) больше
ничего не известно.
В такой формулировке полученный нами результат является
уточнением важной теоремы Бернштейна ,{1, 9}, которая
утверждает, что
lim/En[f}<q.
Легко видеть, что это неравенство справедливо и в том
случае, когда условия р), у) не выполнены.
Действительно, беря меньший софокусный эллипс с
полусуммой осей — (г > q) и расщепляя / (г) по формуле
f(*) = fi(z) + if2{z),
где обе функции fiB), f2(*) удовлетворяют условиям а), Р),
мы получим, в силу формулы G) п° ПО, что
Еп-1 W < En-i [fi] + En-i [f2] < A rn {M, (r
где Mk(г) есть максимум абсолютного значения 9ifь.(z) (k=l, 2)
в меньшем эллипсе. Поэтому
а так как г можно взять сколь угодно близко к ?, то
Подобным образом из результата п° 110 может быть выведено
следующее предложение: если функцию F (t) можно представить
в виде
где. Ф (t) ? Ет, а <р (w) (w = t + iu) в полосе

111. ДРУГАЯ ФОРМА РЕЗУЛЬТАТА ПРЕДЫДУЩЕГО п° 273
регулярна и в каждой внутренней полосе
-8'<«<8' @<8'<8)
ограничена, то >
j.
lim {gT[F]}T<e-b.
Т-*оо
Чтобы пояснить эти теоремы на примере, припомним
п°п° 37,38. Там было доказано, что при а>1
\A\ V~a*-l
2_1 )п
— А*
), B)
где limen = O. Обе функции
— h
х —а * (х—аJ * х—а
удовлетворяют условиям а), Р), если положить
1
Действительно, эллипс регулярности
а2 "Г Ь2 - 2
с фокусами в точках ±1 имеет полусумму осей
а + Ь = а + ]/ а2— 1.
В силу полученных нами в настоящем п° оценок мы можем
утверждать лишь, что
Мы видим, что найденные в п°п° 37, 38 соотношения A), B)
являются несравненнЬ более точными.
18 н. И. Ахиезер ,

274 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
112. Обратная теорема Бернштейна {I, 9; II, 82} гласит: если
F (t) — определенная на всей числовой оси функция, для которой
Пй> F>0), A)
то F(t) можно представить в виде
F(t) = <S>(f) +
где Ф(*)?ЕТ, a <p(w) (w = t-\-iu) в полосе
регулярна и в каждой внутренней пЬлосе
-6'<и<6' @<6'<6)
ограничена.
Эта теорема в соединении с предложением' предыдущего п°
дает возможность определить размеры полосы регулярности
функции Е (w) через ШтЛР] и напоминает теорему Коши—Адамара,
позволяющую определить радиус сходимости степенного ряда по
коэффициентам, а именно: полуширина полосы регулярности
равна
1
In
\im{%T[F\}
Т~->оо
Подобным образом полусумма осей эллипса регулярности равна
П5
П-+СО
Для доказательства обратной теоремы возьмем какое-нибудь
положительное число б±<; б ив соответствии с условием A)
определим такое т, чтобы при любом Т>х существовала функция
ФГ(*)?ЕГ, удовлетворяющая неравенству
sup |F@ —Фг@1<«"тв1- B)
—оо<?<оо t
Полагая .
Ф (t) = Фх (t), щ (t) = <Sx+k @ - Ф^-i (t) (k - 1, 2, ...),
мы получаем, в-силу B), равномерно сходящееся разложение

112. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА БЕРНШТЕЙНА 275
На основании B) . ,
sup |<p*(*)l<2e-<*+*-!*i,
.—oo<f<oo
т. е. функция Фа1(ш) на вещественной оси ограничена и, значит,
принадлежит Вт+а.
Как было показано в п° 83, отсюда следует, что для любого
w = t-\-iu .
| <ph (w) | < 2e-<T+fc-t)«ie(t+fc)M.
Поэтому ряд
*И • . C)
сходится равномерно и абсолютно в полосе
-Ь'<и<6Г D)
при любом положительном б'<б1в Сумма ряда C) есть,
следовательно, функция, назовем ее ф (w), регулярная в полосе
6±. E)
Во всякой внутренней полосе D) эта функция ограничена:
Покажем теперь, что функция ф(ш) регулярна не только
в полосе E), но и в полосе
-6<и<6 F)
и ограничена в полосе D) не только при б' <бь но и при любом
6' < б.
С этой целью возьмем произвольное б*, удовлетворяющее
неравенству
Повторяя для б* проведенные построения, получим лредставле-
ние
где Ф*(*)€Ет*> a (f*(w) регулярна в полосе
G)
18»

276 ГЛ. V. НАИЛУЧШАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
и ограничена в полосе D) при любом б' < б*. Так как
Ф*(О + Ф*(О = Ф(') + Ф(О (-po<t<oo)9
то функция
ф (W) = ф* (W) + {Ф* (W) —- Ф (W)}
регулярна также в полосе G), а значит, и в полосе F),
поскольку б* можно взять сколько угодно близким к б.
Далее, в силу ограниченности на всей оси разности ф*(*) —
— ф(?), функция Ф*(до) — Ф(ш) принадлежит классу Ва, где а =
= тах{т, т*}. Поэтому функция Ф*(т) — Ф(ш) ограничена в
любой полосе, параллельной вещественной оси. Следовательно,
функция ф (w) ограничена в полосе D) при любом б7 < б*, а
значит, при любом б'<;б.
Теорема доказана.

ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
И НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ ПОЛНОТЫ
1. Пусть точки z4, z2, ..., Zfc лежат в области |г|>1, а точки
..., zn — в области |г|<1. Тогда при #!>п
а> mA
b) при любом р>0
min
2я ]
причем минимизирующим многочленом
во всех случаях является
Надлежит доказать, что для любого многочлена Q(z) ф Р (г) степени
с равным единице старшим коэффициентом имеют место неравенства
а) шах
111
Q{z)
со (г)
>max
Wl
Я (г)
b)-L Г
2я \
1*1=1
2л \
(Р
где
Так как
о (?)=(z— 2i) (z—г2).. .(г—zn).
max
I * I.
то а) вытекает из b).
Чтобы доказать b), обозначим через а4, а2, ..., а^ те из нулей-
многочлена Q(z)> которые лежат в области *| z | << 1, и положим
^(г-аО (z-a2) ... (z-ag) S (z),

278
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
где, следовательно,
Функция
A —Hiz) A — агг) ... A — aqz)S(z)
(*—*i) (*—*2> ... (г—zft) A —
... A —znz)
регулярна и отлична от нуля в области | z |< 1 и, очевидно, можно принять,
что она непрерывна в круге | z |< 1. Теми же свойствами обладает функция
[R(z)]p. Следовательно,
А так как при | г | = 1
то
1
!«<*)! =
1*1-1
\zlZ2...zk\
I *1*2 • ¦ • *k I
и легко убедиться, что по крайней мере один из двух знаков ;> должен быть
заменен на >, если Q(z)& Р (г). ч
2. Дана последовательность чисел гд (&=1, 2, 3, ...), среди которых нет
равных и которые удовлетворяют условию \zk\ ф 1. Доказать, что
последовательность функций
замкнута в пространстве LP@, 2л) (р> 1), а также в пространстве
непрерывных функций с периодом 2зг тогда и только тогда, когда
: СО,
причем
Достаточно доказать, что выполнение указанных в задаче условий влечет
замкнутость рассматриваемой последовательности функций в пространстве
непрерывных периодических функций и что эти условия необходимы для
^замкнутости в пространстве L@, 2л).
Пусть последовательность функций

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
279
замкнута в L@, 2л). Тогда величина (см. предыдущий п°)
2я п
min
==min
(z—zx) ... (г—zn)
и, следовательно, ряд
должна стремиться к нулю при
должен расходиться.
Не нарушая общности, мы можем принять, что z& Ф О (& = 1, 2, 3, ...).
Тогда - ' ¦
min
e~lf—-Ло—
= min
Так как эта величина должна стремиться к нулю при п —*- оо, то ряд
B)
также должен расходиться.
Допустим теперь, что оба указанных ряда расходятся. На основании
утверждения а) теоремы Д1,
min max
zw--
=2.li
(m=0, I, 2, ...)
и, если снова принять, что z^ Ф 0 (fe=l, 2, 3, -..)>
min max I ^i- —i- _ _ — Л„ У±!
=min max z*1 —
-Вц —
1
Zn
*=U 2,

280
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Отсюда, полагая последовательно т=0, 1, 2, ...; ji=l, 2, 3, ..., находим,
что каждая из функций
\,屫,屙, ... C)
с любой степенью точности аппроксимируется комбинациями заданных
функций, и остается принять во внимание (вторая теорема Вейерштрасса), что
множество C) замкнуто в пространстве периодических непрерывных функций.
3. Числа Сф с±, ..., сп невещественны. Доказать, что
a) min max
Аъ — оо<#<со
• 1
X—Cq
X — Ci
х—сп
It,
ОС
b) min \
A, «5
« —о
— C0 X —
2я fjr со-сь *y9
kn— Cn I irA Cn — Cb J
с) при любом p > О
CO
min \
A. J
л —CO
—C0
—A*--
Л»
p dx
2я
it
{п 2-5ь I ¦
Для доказательства проще всего воспользоваться конформным
отображением полуплоскости на круг
благодаря чему вопрос сводится к рассмотренному в Д1.
4. Дана последовательность чисел сд (k = 1, 2, ...), среди которых нет
равных и которые удовлетворяют неравенству gc^ Ф 0.
Доказать, что последовательность функций
1,
1
1
-с± х-с2 '
замкнута в пространстве Со© тогда и только тогдат когда оба ряда
У' &к угу"
Zj |' Z
расходятся, причем в ^' суммирование распространено на те k, для которых
0, а в 2"—на остальные k. To же условие необходимо и достаточно

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
281
для замкнутости последовательности функций
в пространстве LP(—оо, оо) при любом р>1.
В несколько менее полной форме рассматриваемая теорема указана
С. Н. Бернштейном {Р. Е.}.
Прежде всего заметим, что расходимость приведенных рядов есть
необходимое и достаточное условие для того, чтобы
lim
c—ck
—ck
= 0
при любом невещественном с.
Чтобы доказать это утверждение, примем для определенности, что
причем, конечно, с
(k=± 1, 2, 3, ...), и рассмотрим произведение
п
с—са
с — са
где а пробегает те k < я, для которых $ch > 0. Это произведение стремится
к нулю тогда и только тогда, когда
c—ck
и ; остается, заметить, что при Зс > 0 существуют *) такие т = \
и М~М (с) >т (с), что из Qy ^> 0 следует
m
3Y
,
с—у
12 #
Теперь обратимся к нашей задаче.
Рассмотрим вначале пространство Соо.
Если f(x)€Coo, то g(t) = f ( tg-g- J есть непрерывная функция в
интервале [—я, л], для которой g( — n) — g(n). Поэтому с помощью
преобразования
. t
которое переводит функции
в функции
1— ix
x—ck
const ¦
*) Например, можно положить
?

282
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
вопрос сводится к рассмотренному в Д2, на основании которого для
замкнутости необходимо и достаточно, чтобы
Эти же условия, в силу сделанного нами выше замечания, эквивалентны тем,
которые фигурируют в формулировке предложения.
Перейдем к пространству LP( — оо, оо) (р > 1). Докажем, что условия
достаточны. Пусть / (х) g LP. При любом е > 0 существует непрерывная
функция /е(*), равная нулю вне некоторого конечного интервала, для которой
\f(*)-h(x)\pdx<0. . A)
)
Возьмем точку с4 из нашей последовательности и рассмотрим функцию
которая также принадлежит (?«>. Тогда существуют такие
N
что
max
и, значит,
или
откуда
N
X—Ci
ft W-^-
Ak
— qX* — Cft)
(—co<*<oo)
|/.м-2 T=^-h
что в соединении с A) доказывает достаточность условий.
Докажем необходимость. Возьмем функцию , где $с ф 0 и с ф
которая принадлежит L*3. Пусть
со п
8.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
283
Так как
X — С
—оо k—i
v dx
\х-с\^]с
ОО
— С|2 J
то, на основании утверждения с) теоремы ДЗ,
п
2я
с—с
fe=i
48
С с 12
Ak
— Ck
dx,
и остается принять во внимание наше вводное замечание.
5. Числа pk(k — \9 2, 3, ...), среди которых нет равных, удовлетворяют
неравенству №pk>—к-* Доказать, что последовательность функций {xP
замкнута в 12@, 1) тогда и только тогда, когда
, Теорема принадлежит Сасу [1] и является обобщением одного из
утверждений теоремы Мюнца п° 27.
6. Числа Cfc(? = l, 2, 3, ...), среди которых нет равных, удовлетворяют
неравенству jgc^ > 0. Доказать, что последовательность {е k j^L^ замкнута
в L2 @, со) тогда и только тогда, когда
2
1 + 1
С помощью замены х—е"г теорема сводится к предыдущей.
7. Числа сд(&=1, 2, 3, ...)» среди которых нет равных, удовлетворяют
следующим условиям: gc^ >0и
ck
-=оо.
В таком случае (см. Д4) последовательность функций 1- у
Кх — ск ) 1
не замкнута в L2(—оо, оо). Обозначим через G то подпространство, которое
порождается в L2 (—оо, оо) этой последовательностью.
Доказать, что F (x) ?G в том и только том случае, если почти всюду
на вещественной оси
= lim F(x + iy),
A)

284 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
где F (z) регулярна в полуплоскости gz < 0 и
оо
sup [ \F(x + iy)\*kdx<co. B)
—оо
Указание. ^ Функция F (х) удовлетворяет условиям A), B) в том
и только том случае, когда
п
!1 и m. [ e-ixif(t)dt,
п-+со о
где / (t) ? L2'(О, оо). Поэтому подлежащее доказательству утверждение
является следствием теоремы Д6 и равенств
оо
1 С er^e^dt (k = l, 2, 3, ...).
x—ck
8. Числа ч ck C3c&>0, k=\, 2, 3, ...), среди которых нет равных,
удовлетворяют условию
г<со.
Поэтому (см. Д6) последовательность функций {excht}^si не замкнута
в L2 @, оо) и, следовательно, порождает некоторое подпространство ?, не
совпадающее с L2 @, со). Свойства этого подпространства зависят от
последовательности {сд}^°.
Условимся называть подпространство <2с?2@, со) внутренне
компактным, если всякая слабо сходящаяся в L2 @, оо) последовательность функций
из G является при любом h > О сильно, сходящейся последовательностью
в L*(A, оо).
В таком случае справедливо следующее предложение (Кузис и Лаке [41]):
Для внутренней компактности подпространства Е необходимо и
достаточно, чтобы
оо
ftlim|Cft|=oo, lim 2 , }^l ,.=0.
9. Дан многочлен
п
Рп (х) =Рп @) Ц A - ±.) Ccft ф 0).
Доказать, что при любых вещественных Л, В и любом
п-1
a) min max
Сь -о
- 2

1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 285
b) min max , п . ч
Ck -оо<х<оо \Рп(Х)\ л--г л- —^
X f In I Pn (x) | . I
—оо
Указание. Не нарушая общности, можно п]ринять, что
5 = 1, 2, ..., п).
Для доказательства утверждения а) рассмотреть функцию
где L>0, б — вещественно. Ее уклонение от 0 на всей оси равно L.
Определить параметры L, 6 так, чтобы
Y^TW (A+Bx
( }~ \Рп(х)\ \^+^~
после чего применить теорему П. Л. Чебышева.
Доказательство утверждения Ь) аналогично.
10. Если многочлен Р (г) удовлетворяет неравенствам
\Р(х)\>1 (-оо<х<оо) A)
, 2 f In 1 Р @ |
то в каждой точке комплексной плоскости
|Р(г)|<е*<|г1+2>. C)
Доказательство. Если у = Qz ф 0, то на основании интеграла
Пуассона
Заметим теперь, что при любом вещественном t
^ (t-x)*+y* ^ у*
Поэтому
sun
Отсюда вытекает, что функция

286 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
регулярная в полосе —1<!82<^1» удовлетворяет на границе этой полосы
неравенству
По принципу Фрагмена—Линделефа это неравенство верно и внутри нее.
Следовательно, в рассматриваемой полосе
1
\Р(г)\<е2
и, значит, в квадрате —1<!х<;1, —1
\P(z)\^e2K. E)
Рассмотрим теперь продолжения диагоналей этого квадрата, т. е. лучи
у — ±*A*1!>1)- Из неравенства D) следует, что на них
к{±+\у\)
В соединении с неравенством E), верным на самих диагоналях, находим, что
на биссектрисах всех четырех квадрантов
В силу принципа Фрагмена—Линделефа, это неравенство верно во всей
плоскости.
11. Если многочлен Р (г) удовлетворяет неравенству
l<|PWl<i/(jt) (—оо<х<оо) . A)
и если
оо
f \пН(х) . ^
J-dx<co,
то при любом 8>0в каждой точке комплексной плоскости
I Р 1у\ I << Мее Izl (9\
гдеМ зависит только от sir функции Я (х).
4 Таким образом, если целое семейство многочленов Р (г) удовлетворяет
неравенству A), то для всего семейства выполняется неравенство B) с одним
и тем же коэффициентом М. .
Доказательство использует неравенство
—оо
и тот факт, что
равномерно в углах
при любом б < -jr-.
lim
I2H00
± a

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 287
Для проверки этого факта, т. е. соотношения C), разобьем интеграл на
два слагаемых
In Я (О Л4
-А \\\>А
Так как
In Ж
где область D$ определяется неравенствами
2
то при любом 8 > 0 можно взять столь большое Л, чтобы в области Dq было
/2<8.
При зафиксированном. Л интеграл /j стремится к нулю равномерно по arg z,
когда | г | —> оо.
Дальнейший ход доказательства теоремы такой же, как и в
предыдущем л°.
12. Будем понимать под Сф линейное пространство непрерывных
функций /(х) (—оо<*<оо), удовлетворяющих соотношению
Ит
Ф(х)
где Ф (х)—фиксированная функция, для которой
inf Ф
—ОО<ДС<00
Нормируем Сф, полагая
11/Нф= «up
—оо<эс<ос?
Потребуем еще, чтобы пространство Сф содержало все многочлены, иначе
говоря, чтобы Ф (#) росла при ±х —> оо быстрее любого многочлена, и
назовем, следуя С. Н. Бернштейну {II, 102}, Ф(х) весовой функцией, если
множество всех многочленов, плотно в Сф. Еще в 1923 году Бернштейн поставил
задачу о нахождении необходимых и достаточных условий для того, чтобы
Ф (х) была весовой функцией. Тогда же он получил некоторые только
достаточные и некоторые только необходимые условия. В настоящее время
проблема Бернштейна полностью исследована [42].
Введем вместе с Ф (х) функцию 4е (*) = !/Ч + *2Ф(я) и обозначим
символом ЗЙф совокупность всех многочленов Q (х), удовлетворяющих неравенству
(-о6<*<оо).

288 дополнения и задачи
Теорема. Функция Ф (х) является весовой в том и только том
случае, когда
Доказательство. Не нарушая общности, можно принять, что
inf ?(х)>1. A)
—оо<я<оо
Далее, каков бы ни был многочлен Q (г), всегда можно найти многочлен Р (г)
'С корнями в полуплоскости 3z<0 так, чтобы
\ + Q(z)Q(z) = P(z)P(z); B)
если Q (х) ? 2}?^., то благодаря A)
1 < I Р (*) |< 1 + | Q (х) | < 1+Т (х) < 2W W (-оо<*<со). C)
Наконец, нетрудно доказать, что множество всех непрерывных функций,
стремящихся к нулю при ^ х -> сю, плотно в Сф, а для каждой такой функции
при любом е > 0 существует (см. теорему Д4) рациональная дробь
удовлетворяющая неравенству
|/W-SW|<e (-oo<x<oo),
из которого следует, что
-Поэтому теорема 1 будет доказана, если будут доказаны следующие два
факта: 1) из соотношения ^%Г[Чг]=схэ вытекает, что при любом Я>1 и любых
вещественных Л, В величина
п-1
п, Ф L T2J~V2 I s "I10 SUP XV /y\ v2J_V2 — ZJ CA^
-'ft
стремится к 0, когда п —> оо; 2) если б%Г [^] < оо, то
Итак, пусть <РГ[Чр] = сю. Если Рп(х) — многочлен ^степени п,
удовлетворяющий условию C), то
А + Вх -] /" ^
J

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 289
и поэтому, используя результат Д9, найдем, что при
В силу условия доказываемой теоремы, правая часть этого неравенства
может быть сделана сколь угодно малой.
Для доказательства второго факта предположим, что при любом 8.>0
существует многочлен S (#), для которого
1
1
X — I
<8 (— ОО<*<ОО),
Ф(х)
откуда
Ц—-^— <*F (*) (—оо<х<оо).
Следовательно, многочлен
принадлежит SQ?^. Но Q(/) = —; поэтому
что для достаточно малого е явно абсурдно, если &С [Ч?] < сю.
Итак, теорема доказана.
13. (Продолжение). С. Н. Жергеляну [42] принадлежит следующая теорема:
Функция Ф (х) является весовой в том и только том случае, когда
где
?•(*)= sup
Ясно, что ^*(jc)>1 (—оо<д:<со).
Так как
то второе утверждение теоремы есть следствие теоремы предыдущего <п°
19 Н. И. Ахиезер

290 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
За доказательством первого утверждения отсылаем читателя к статье Мерге-
ляна [42].
Можно поставить вопрос о том, какие функции f(x) допускают сколь
угодно хорошую аппроксимацию в Сф многочленами в том случае, когда Ф (х)
не является весовой функцией. Покажем, следуя Мергеляну, что f(x)
должна в этом случае совпадать с целой функцией минимального
экспоненциального типа во всех тех точках х, где Ф (х) конечна.
Действительно, примем, не нарушая общности, что f(x) вещественна,
и возьмем последовательность (также вещественных) многочленов Qn(z),
для которых
ll'/-Q»llfl>-*0 (я->оо). A)
Ясно, что при некоторой константе А
и значит,
\Qn(*)\<AV(x) (-оо<х<со).
Определим по формуле B) Д12 многочлены Pn(z):
Для них
l<\P
и так как
—оо
то по теореме Д11 в любой точке г при любом е>0 для всех п
Значит, существует подпоследовательность {Рп (z)}?Llf которая сходится
равномерно в каждой конечной части плоскости к некоторой целой функции
минимального экспоненциального типа. Тем же свойством благодаря равенству
обладает последовательность {±Qn.(z)}iLi- Пустьg(z) — предельная функция
этой последовательности. В таком случае, в силу A), в каждой точке х>
где Ф(х) конечна, должно иметь место равенство
14. Дан многочлен *)
O
*) Степень со(^) будет нечетная Bq—1), если
a2q = co, \ah\<oo(k = \t 2, ...,2?—1).

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
291
положительный в замкнутом интервале [ —1, 1]. Пусть
Тогда
где натуральное число m
старшим коэффициентом.
Доказать, что
a)min max
есть многочлен степени m от х с равным 1
u
причем экстремальным многочленом является Тт (х; со),
Ь)
(rn—q, q-\-\> .. .)¦
1
c) II 0+4)=e
В приведенной общей формулировке теоремы настоящего и следующего
п°п° принадлежат С. Н. Бернштейну {1,42}.
Некоторые* частные случаи рассматривались раньше [43].
Чтобы доказать утверждение а), достаточно воспользоваться общей
теоремой Чебышева п° 34 и проследить за изменением аргумента функции
Q
v2Q-m.
Q(v)
19*

292
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
когда точка v описывает верхнюю половину окружности | v | = 11 подобно
тому, как это было сделано в п° 37.
Доказательство утверждения Ь) получается из соотношения
1
С xk
\ Тт(х; &)———=== dx=
~~~ ok+i 11
1 V
()
vm—2q
простым применением теоремы о вычетах.
15. (Продолжение). Доказать, что
a) Um (x; <*) =
Of —
/со(*)
V
где натуральное число m >> q, есть многочлен степени т с равным 1 старшим
коэффициентом,
О F=0, 1, 2, .... т—1),
,<7+2, ...),
X
с) min \
... + Am)
I Г2
г 4-
каково бы ни было число р > 1.
Утверждение Ь) доказывается точно так же, как и соответствующее
утверждение теоремы Д14. Утверждение с) при р = 2 вытекает из Ь).
Докажем с) для p=sl. Так как при v=e%®

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 293
где Ф вещественно, и значит,
/ г sin Ф /*^ ... /i\
Um(x\ (j>) = ^m+iy (a(x)-^—^ (—1<*<1), A)
то
4 ysinBr+l)q>
r=0
sign Um (x; consign sin Ф= — 2
А с другой стороны,
1
|ar+i
1
V
и, следовательно, в силу свойства Ь), при ?=0, 1, 2, ..., т—1:
1
I г \ 7
i ' - -
Поэтому
и вообще
[ cos 2пФ sign Um(x;®)-??M==0 C)
J У со (х)
(Л=0, 1, ...tm— 1; л=0, 1, 2, ...).
После того, как соотношения C') получены, остается почти дословно
повторить соответствующие рассуждения п° 50. !
Приведем теперь доказательство утверждения с) для любого р>1.
Поскольку при р > 1 экстремальный полином единственен, в силу строгой нор-
мированности пространства, то, на основании элементарных условий
экстремума, достаточно доказать при любом р > 1 следующие соотношения:
-1
(ft=0, 1, ...,m-l).
р-1 xk fix
sign Um (x; ©) = 0 D)

294 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Но при любом q > О имеет место равномерно сходящееся разложение
| sin Ф |Р=4Р)+4Р) cos 2Ф+4Р) cos 4Ф+ ... E)
Поэтому соотношения D) вытекают из равенств C).
Нам остается найти значение интеграла
-=s
dx
С этой целью заметим, что благодаря A) и E)
-1
так как
шМ-
и поэтому
1
(г=1, 2, 3, ...).
z i ^ * — х*
С другой же стороны, непосредственно из E) следует, что
я
/<п\ 1 ?
пк' = -— \ БШРФ^Ф.
Л «)
О
Поэтому
Замечание. Доказанная в настоящем п° теорема, очевидно, остается
в силе при ослабленных предположениях, а именно, когда многочлен со (х),
положительный внутри интервала'(—1, 1), может иметь один или оба конца
этого интервала в качестве простых корней.
16. Пусть дана последовательность чисел alf a2, аз, ..., среди которых
нет равных и которые лежат вне интервала [—1, 1] вещественной оси
комплексной плоскости.
Доказать, что последовательность функций

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
295
замкнута в пространстве С или LP(p]>l) относительно интервала [ — 1, 1]
тогда и только тогда, когда
где
2
(|сл|<1, *=1, 2, 3, ...)*).
Достаточно доказать, что расходимость ряда
оо
SO-1'fcl) B)
влечет замкнутость последовательности функций^ 1) в пространстве С и
необходима для замкнутости в пространстве L.
Пусть ряд B) расходится. Тогда, в силу утверждения а) теоремы Д14,
при любом целом г > 0
min max
Ak -
xr—j
=min max
xn+r+BiXn+r-l+
—ад (х—а2) ••
—an)
П H+41
Мы видим, что последовательность A) замкнута в пространстве всех
многочленов, а значит, последовательность A) замкнута в С. Отсюда
вытекает, что величина
d*=T 5 \(х-а1)(х-
*—ап)
dx
стремится к нулю при л->оо.
Но, в силу утверждения с) теоремы Д15 (при р=1),
^ 2
... ап\
откуда следует, что ряд B) расходится.
*) Эта террема была сообщена автору М. Г. Крейном. Приводимое
доказательство отличается от доказательства М. Г. Крейна.

296 дополнения и задачи
17. Числа 0ft=aft+/Pfc (k=0, 1, 2, ..., п) удовлетворяют неравенству
I Ра |< у • Доказать, что
оо п
min f Ip**o*_V AJ°k*
Ah
—оо
in \ | **«<>* _V Aj
cos po -11 ^ ch (ад—
2 cos po cos pfe
Здесь можно применить метод п° 14.
18. Дана последовательность чисел а1? Сг, 03i • • • > среди которых нет
равных и которые удовлетворяют неравенству
-J (*=1, 2, 3, ...)
Доказать, что для замкнутости в L2(—х>, оо) последовательности функций
необходимо и достаточно, чтобы
soo.
Теорема содержится в книге Винера—Пэли [21].
Доказательство получается немедленно из результата п° Д17, если
заметить, что последовательность A) замкнута в L2(—оо, оо) в том и только
том случае, когда замкнута последовательность
19. Пусть дана интегрируемая функция а» (?)>() (—я<!^^я), для
которой
я
w{t)dt>0.
—я
Следуя Г. Сеге [44], назовем средним геометрическим функции w(t)
величину
я
ехР 1 о^ \ 1п а; @ ^ г » если ln w @ € ^>
l2i J
если

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 297
Сеге доказал, что
я
limmin^-r \ \zn+Ai*n~i + .. .+Ап \Pw(t)dt = <& {w} (z = e%
каково бы ни было р>0.
20. Пусть o(t) (—я^*<<я) — неубывающая функция ограниченной
вариации. Обозначим через Lv (do; — я, я), где р>1, совокупность всех
функций /(*), для которых
п
—я
fP (do; —я, я) есть линейное нормированное пространство, если положить
я 1
Н/Н = { \ 1/@1
—я
Доказать, что для замкнутости в Lv (do; —я, я) последовательйости функций
1 pit P2it (\\
необходимо и достаточно, чтобы
я
| In a' (t) |-d/=со,
—я
где а' (t) есть производная от абсолютно непрерывной части функции о (t).
При р — 2 теорема впервые доказана А. Н. Колмогоровым, а затем
в более общей форме —М. Г. Крейном [45].
Для доказательства примем вначале, что о (t) есть абсолютно
непрерывная функция, т. е. будем рассматривать пространство LP(wdt; —я, я),
которое для простоты обозначим символом L^(—я, я). Если
я
|lnw(*)|d*<oo,
—я
то, на основании теоремы Сеге,
im min -лтг \
п-»оо Ат. ^п v
lim
e-M—Ai—Atf1*—.. .—Ant
Vw(t)dt--
я
= lim min -я—
n->oo Ak ZJt_j
и поэтому функцию e~"lt^Lp (—л» я) нельзя аппроксимировать сколь угодно
точно с помощью линейной комбинации функций A) и, значит, необходимость
условия доказана.

298 дополнения и задачи
Допустим теперь, что
я
* \\nw(t)\dt=oo.
I
В этом случае, на основании теоремы Сеге, любую из функций
e-in% (п=\, 2, 3, ...) можно как угодно точно аппроксимировать с помощью
линейных комбинаций функций A), и остается принять во внимание, что
множество функций
1 е±и e±2ii
1, е , е , . ..
в L%j(—я, я) замкнуто.
Теперь покажем, что критерий замкнутости остается прежним в общем
случае, когда a (t) есть произвольная неубывающая функция ограниченной
вариации, a w(t) означает производную от ее абсолютно непрерывной части,
так что
da (t)=w (t) dt+daul8C (t)+dasing (t).
Необходимость условия очевидна, поскольку
я я
\f(t)\p<to(t)> J \f(t)\pW(t)dt.
—Я
Чтобы доказать достаточность, допустим, что система A) не замкнута
в LP(da; —я, я). Тогда, предполагая для определенности, что р>1, мы
найдем такую функцию
g(t)ZL*(da; -я, я) {j + ~f =
что
я
\ g(t)eiht da (tf) = 0 (& = 0, 1, 2, ...)
—я
или
я
) = 0 (* = 0, 1, 2, ...), B)
-я
где
¦@= $*(')<*« (О-
—я
В этом месте воспользуемся одной теоремой Рисса [46], в силу которой
соотношения B) возможны только тогда, когда о* (t) есть, абсолютно
непрерывная функция, т. е.
t
~я

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
299
Значит, равенства B) имеют вид
я»
\ eiktg(t)w(t)dt = 0 (fc = O, I, 2, ...),
—л
откуда вытекает, что последовательность A) не замкнута также и в l? ( — я, л),
и теорема доказана.
21. (Продолжение). Доказать, что множество функций
eio*(ct>0)
замкнуто в LP (da; —оо, оо), где а(х)—неубывающая функция
ограниченной вариации, а р>1, тогда и только тогда, когда
При р = 2 теорема доказана М. Г. Крейном [47].
Если / (х) € LP (da; —оо, оо), то
c — t \k
Af(x) =
fc=0
Поэтому последовательность функций
1,
1
1
A)
замкнута в IP (da; —оо, оо) тогда и только тогда, когда замкнута в
LP(da±; —m, л), где ai(t) = a ( tg -^- ), последовательность
На основании результата Д20, условие
эквивалентное условию
B)
ln0i(OI«tt=co,
следовательно, необходимо и достаточно для замкнутости в LP (da; —оо, оо)
последовательности A).

300 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Возьмем теперь разложения
оо
TF-idur S «n-leiU
о
S
о
Задавшись произвольным в>0, найдем такое #>0, чтобы
N
—^1—г
2{ I do(x)Y
откуда
оо
|
—оо
Полагая
(у)" •
\tl 1)! е)
m—i ьлг bj\r
() mm
мы замечаем, что
|ф(^)-ФтМ1<1+^ (-oo<x<oo; m=lf 2,
и, значит,
—со
где К от т не зависит. А так как для любого х
lim
m-xx>
ТО
lim
m->co
—со
Следовательно, можно указать такое М, чтобы

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ „ 301
Отсюда, учитывая C), получаем, что
оо
V
\
da (х) < е*>.
А так как ум(х) есть линейная комбинация функций
то любой «полином»
2 Ak (x+
fc0
iax (a>0) . D)
fc=0
можно с любой степенью точности аппроксимировать в LP(da, —оо, оо)
линейной комбинацией функций D). Поэтому из замкнутости
последовательности A) в LP(do\ —оо, оо) вытекает замкнутость множества D), т. е.
условие B) достаточно для замкнутости множества D).
Остается доказать необходимость этого условия.
Примем для определенности, что р>1. Пусть
—ОО
Тогда существует такая функция g (х) € 1Я (da\ —оо, оо), где 1 = 1,
что
оо
I l=0 («=0,1,2,,..). E)
—ОО
Из E) следует, что
для любого ? из верхней полуплоскости. Это соотношение можно переписать
в виде
" g(x)da(x)
> о
или
На основании формулы обращения для интеграла Фурье, следовательно,
почти всюду на полуоси а ]> 0

302 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
а так как левая часть непрерывна, то это равенство имеет место для
всех <х > 0, откуда вытекает, что множество функций D) не замкнуто в
LP(do;-— оо, оо).
22. Пусть s(x)—непрерывная положительная функция в интервале [— 1, 1] а
_таХ< \s(x)(x"+Ai*n-*+...+An)\.
Тогда
1 f тв(дс)
— i — .... аде
С. Ц. Бернштейн {II, 51}.
23. Доказать, что каждая из последовательностей функций
{sign sin AOjJli. {sign cos «}?-o
замкнута в L2@, я).
Приведем доказательство для первой последовательности. Достаточна
доказать, что из / (t) ? L2 @, я) и равенств
я
С /@ sign sin ktdt = Q (Л=1, 2, 3, ...) A>
вытекают равенства са=0 (&=1, 2, 3, ...), где
. • я
.Ck=~ \ f (t)sinktdt.
о
Так как / (t) ? L* @, я), то
00
С другой стороны, на основании разложений
sign sin ftf=^2j °"'?+Г'" (* = 1, 2, 3, ...)
г==0
и соотношений A), имеют место равенства
fc=l, 2, 3, ...). C)
«бг -г 1
г=0
Таким образом, надлежит доказать, что соотношения B) и C) возможны
только при сд = О (?=1, 2, 3, ...)•
Допуская противное, предположим, что сп Ф 0.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 303
Из совокупности всех соотношений C) обратим внимание на-те, для
которых k = nBs+\) (s—0, 1, 2, ...)» и представим эти соотношения в виде
оо
Cn<2s+V <2r+D _0 /С_П 1 О Ч (А\
2s+l)Br+l)~ ( ' ' ' т")т ( '
Обозначим через т (т) число, делителей числа т.
Как известно [48], при любом е>0
lim
Поэтому из B) вытекает, что ряд
т
7П=1
сходится абсолютно. -Значит, и двойной ряд
оо
Ik
сходится абсолютно.
Тем же свойством обладает, следовательно, ряд
г, s=0
где \i(a) есть функция Мёбиуса, т. е. |хA)=1, |х(а)=0, если а делится
на квадрат, отличный от единицы, ji (a)=( — l)v, если а не делится на квадрат,
отличный от единицы, причем v означает число простых делителей числа а
(к простым делителям 1 не относится).
В силу сказанного, из D) вытекает, что
ОО
Cn<2g+l>Br+l> _ V f V (dA CnBnH-l>
0
2m+l '
s=0 r=0 * . ' * ' m=0 "d|2m+i
где d пробегает совокупность всех делителей числа 2m +1. А так как
ТО
и утверждение доказано.
24. (Продолжение.) Пусть
Vk @=sign sin k

304 ДОПОЛНЕНИИЯ И ЗАДАЧИ
где di пробегает совокупность всех нечетных делителей числа k, a \i (а) есть
функция Мёбиуса. Доказать, что
Мы имеем здесь биортогональную систему П. Л. Чебышева [9].
25, (Продолжение.) Пусть
v0 @= If vk (/) = sign cos kt,
dL\k
где ^ пробегает совокупность всех нечетных делителей числа k, не
содержащих квадратных множителей (единица к квадратным множителям не
относится), a h есть число простых множителей вида 4/и+1, входящих в d4.
Доказать, что
Это—биортогональная. система А. А. Маркова [10].
26. Доказать, что всякая последовательность, Содержащая бесчисленное
множество полиномов Бернулли Вп(х) четной степени и в том числе B(I
замкнута в пространстве С ( 0, — ) •
Эта теорема принадлежит Мюнцу и доказывается [49] с помощью
разложений п° 55 и следующего замечания: пусть
и пусть / (х) € L2 ( 0, -^ J ; тогда функция
где
l
2
сд = \ / (x) sin 2йяд: ^a:,
о
обязательно отлична от нуля для всех достаточно больших Q, если не все
равны нулю.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 305
27. Доказать [49], что всякая последовательность, содержащая
бесчисленное множество полиномов Бернулли четной степени, а также бесчисленное
множество полиномов Бернулли нечетной степени, и в том числе Во (*), В± (х),
замкнута в пространстве С@, 1).
28. Пусть /Ср(р=О, 1, 2, ...) означает совокупность всех аналитических
функций / (z), которые в круге | г I < 1 регулярны, за возможным
исключением некоторых лежащих в области | z |< 1 полюсов, правильно (т. е. с учетом
кратности) сосчитанное число которых не превышает р.
Пусть
Тогда величина
не может равняться нулю.
Допустим, что существует такая рациональная функция <р(г), регулярная
в точке г=0 и имеющая в области | z |< 1 точно р полюсов, что
где т<я и >
Доказать, что при этих условиях
Так как
щах \F(z)—<p(z)|=A
U|=l
и ф (z) принадлежит классу КТ при г^ р, то
Поэтому достаточно доказать, что для всякой функции f (z)€Kp+n-m
max \F(z) -f(z)\>%. A)
| г |=1
Итак, пусть / (г) € Kp+n-m- Положим
:
., • +aozm
и
zn+i {F (z)_f B)}=z™ {F (г)~-Ф B)}+^+i{Ф (z)-f (z)}=R (г) + ф (г).
Обозначим через or и t соответственно число полюсов и число нулей функции
t|5(z) в области |z|<l. Легко видеть, что
0<(Т<2р+л—т—/, Т>/г+1—/,
где / @ < / < р + я — т) есть кратность (возможного) полюса г= 0 функции / (z).
, Так как функция R(z) имеет в области |z|< 1 точно р полюсов, а ее
модуль на окружности | z | = 1 постоянен, то число нулей функции R (г) в
области | г К 1 не превосходит m—р.
20 н. И. Ахиезер

306
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Допустим вначале, что
Когда г описывает один раз окружность | z | = 1 в положительном направлении,
arg#(z) и arg^(z)
увеличиваются соответственно на 2яа и 2яр, где, в силу сказанного выше,
а<т—р—р = т—2р, Р=Т — а> 1+т—2р.
Так как
то на окружности |z| = l найдется по крайней мере одна точка ?, в которой
arg/?(C)=argi|>(E).
Следовательно,
-/@1=1 Л(С)++(С) 1=1 «(С) 1 + 1
и значит, для этого случая неравенство A) доказано.
Допустим теперь, что на окружности |z|=l имеются точки, в которых
•ф(г)=О. Так как, по условию, рассматриваемые функции на окружности
| яг | ===== 1 регулярны, то существует такое Q, 0<q< 1, что i|)(z), R(z) в
области q < | z |< 1 регулярны и отличны от нуля.
Взяв некоторое г, удовлетворяющее неравенству Q<r< 1» и делая обход
окружности \z\ = r, мы, как и прежде, найдем на ней па крайней мере одну
точку ?г, в которой
| = 1), в которой
и, значит, неравенство A) справедливо также и в этом случае.
~ ~ е.)Пу
Приближая г к единице, придем к некоторой точке
29. (Продолжение.) Пусть
Z Z
Положим
X О
О X
... О с0
...О О
(с0 ф 0).
Cl ••• Сп
0
со
Ci
0
0
со
... X
... 0
... 0
0
X
0
0
0
X
...с0
... 0
... 0
л cn—i ... Cq 0 0 ... X
Все корни этого многочлена вещественны, попарно симметричны и отличны
от нуля. Пусть положительные корни
X0>X1>...>Xq
многочлена Dn (X) имеют кратности
v0, vlt ..., vq

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 307
Доказать, что ( v
где индекс / определяется из неравенств
. . . +V/_4 < р < V0+ Vt+ . . . + V/,
причем / — 0, если p-<v0—1.
На основании Д28, естественно искать дроби вида
(Jt>0). A)
которые в окрестности точки z=0 допускают разложение
R (z) = Co + CiZ+ ... +cnzn+yn+izn+i + Yn+2*n+2 + •.. B)
Это приводит к системе уравнений
C)
п^Ъп-х + ... + coaOi
которая показывает, что X должно быть корнем многочлена Dn (X).
Пусть Х*>0 есть корень. многочлена Dn(X). Этому корню отвечает
некоторая совокупность решений системы C), а следовательно, и некоторая
совокупность рациональных дробей вида A). Но будут ли указанные дроби
иметь в окрестности точки z==0 разложение вида B)?
Покажем, что при выполнении некоторого условия ответ на
поставленный вопрос положителен. А именно, докажем, что если %* есть корень
многочлена Dn (К) и если Drt_i (X*) Ф 0, то существует дробь
^ ; ()
...+aozn
которая имеет разложение B) и притом несократима.
Действительно, в силу условия, что Dn_i (К*) Ф 0, матрица, отвечающая
системе C), имеет при Я = Х* ранг 2я+1. Поэтому совокупность решений
системы C) при Х = К* дается формулами
ak = ca* (k = 0, I, ..., л),
где or—произвольная вещественная-величина, а а| (& = 0, 1, ...,
л)—алгебраические дополнения элементов ^первой строки детерминанта Dn (Я*). Для
нас важно, что
вй=я*
и, следовательно,
Поэтому дробь R* (z), отвечающая решению системы C) для Х — Х*, имеет
вид D), причем а0 Ф 0, апФ 0. Раскладывая эту дробь в ряд по степеням z,
мы найдем, что первые л+1 коэффициентов этого разложения, связаны
с числами X*, «о» • • •» ап уравнениями, тождественными с уравнениями C),.
Поэтому разложение дроби jR* (z) лшеет вид B).
2<Р

308 дополнения и задачи
Если бы дробь R* (г) была сократима, то ее можно было бы
представить в виде
где b0 ф 0, 6Л_-! =? 0. Сравнивая ее с разложением B), мы нашли бы, что
откуда следовало бы, что Dn_4 (К*) — 0.
Приступая - к доказательству утверждения нашей теоремы, допустим
вначале, что все корни многочлена Dn(X) — простые и что\ ни один из них
не является корнем многочлена ?л-1 (Я). Возьмем положительные корни
многочлена Dn (л):
На основании доказанного^ каждому корню Хд отвечает несократимая
рациональная дробь Rk(z) вида A), имеющая разложение B). В силу результата
Д28, число полюсов дроби Rk+l (г) в области | г |< 1 должно превышать
число полюсов дроби Rk (z). Поэтому Rh (z) имеет в области | г |< 1 точно k
полюсов и, значит,
** = 1**[Л (^ = 0, 1, .... л).'
Перейдем к рассмотрению исключенного случая. Нетрудно видеть, что всегда
можно построить такие непрерывные функции с% (е) (/=1, 2, ..., п) от
параметра 8>0, что, во-первых, ц@) = с% и, во-вторых, при е>0 многочлен
&п (К в) имеет только простые корни, и притом не обращающие в нуль
многочлен Dn^i (к; е). Положительные корни
*о (в) > А* «>...> Me)
многочлена Dn (к; г) при е —>- 0 удовлетворяют соотношениям
где
vo + v4+ ... +vj-i<P< vo+vt-f-... + v>, E)
причем /==0, если p<!v0—1.
Положим
Тогда
- max | Pn^ (z; e) |<p,{FelГ
откуда
^p (e)— max | Pn-i(z; e) |<ap[F]<Яр (e)+ max | Pn-i (z; e) |,
I 2 HI/ | 2 | = 1

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 30&
и значит,
где / определяется из E). Таким образом, утверждение полностью доказано.
Полезно заметить, что Dn (к) есть дискриминант эрмитовой формы
30. Отправляясь от результата предыдущего п°, получить решение сле-
дующей проблемы Каратеодори—Фейера [50]:
Даны числа
со, си ..., сп;
среди всех функций.
регулярных в области | г |< 1, найти ту, для которой
sup \g(z)\
имеет наименьшее значение, и определить
ix = min sup [g(z)\.
\z\<l
Положим
Мы знаем, что
inf max
12 i=i
есть наибольший корень многочлена Dn (Я). Покажем, что для этого
(наибольшего) корня Ко существует рациональная дробь
A)
++azn
Если Ко есть простой корень Dn (к) и 1>л-1 (Яо) ф 0, это обстоятельство уже
доказано ранее. Не делая этого предположения, мы можем, как и выше,
ввести функции с% (г) от параметра е. Для каждого е > 0 будем иметь
рациональную дробь Ro (z; в) с коэффициентами ад (в) и максимумом модуля
Х0(е).
Мы можем принять, что
2 I «А (8) |=1.
Тогда найдется последовательность значений е$—»-0, для которой
ак(в{)-^ак (fc = 0, 1, ...,л).
В пределе мы получим рациональную функцию Ro (z) с постоянным на
окружности | z | = 1 модулем Xq, регулярную в круге | z К -1 и имеющую
разложение
CQ + CIZ+ .. .

310 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Пусть g(z)—какая-нибудь функция, регулярная в области | z | < 1
и имеющая разложение
g(z) = co + ciz+...+cnzn+... B)
Докажем, что
sup \g(z)\> max | Ro (z) \ = X0
\z\<i I г |=1 .
и что знак = имеет место только при g (z) = R0(z). Отсюда будет следовать,
что экстремальной функцией Каратеодори—Фейера является рациональная
функция Z?o(z)> a также, что величина р, -есть наибольший корень
многочлена Dn(k).
Составим произведение
Ф С*) = g (z) (an+an^z +...+ aozn).
Эта функция регулярна в области | z |< 1 и, в силу A), B), имеет
разложение
Ф Cz) = X0 (ао+сцг+ ... +
При 0 < q < 1 будем иметь
2я
Отсюда
^e 2 i«Ai2Q2fe+^ 2 i^i2Q2fe<^ 2
k=0 Й+1 ft0
если
sup Iff (г) | = O.
UI<1
Мы видим, что если не все ^А равны нулю, то G наверное .превосходит
Утверждение доказано.
31. Доказать теорему И. Шура [51]: для того чтобы степенной ряд
представлял функциюч g(z), удовлетворяющую в круге |z|<l неравенству
\g(*)\<h
необходимо и достаточно, чтобы эрмитова форма
п+1 п+1
Нп= 2 I xk I2" 2 I cO^ + ^A+i+ • • • +Cn+l-kXn+l I2
fc«i fc=i
была неотрицательна при любом /г.
Указанное в формулировке задачи условие состоит в том, что наибольшее
собственное значение формы
п+1
2 I Wb + ciXk+i + ... +<?п+1_Ахл+11»,
ftl

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 311
т. е. квадрат наибольшего корня многочлена Dn(X), при любом п не
превосходит 1.
Если это условие выполнено, то при любом п существует функция
' Яо <*; п)=со+с,г+ ... + cnzn+Y(;;I^+i+Y^)/n+2 +
регулярная в круге |г|< 1 и не превосходящая единицы по модулю. Из
последовательности функций /?о(г; я) (/г=0, 1, 2, ...) можно выделить райномерно
сходящуюся в каждой внутренней части области | г|< 1
подпоследовательность, предельная функция которой, очевидно, имеет разложение
и модуль которой в области \z\<C 1 не превосходит 1.
Необходимость условия доказывается еще проще.
Действительно, если функция
удовлетворяет в области | z | < 1 неравенству
то при любом п в силу результата ДЗО наибольший корень Dn (X) не
превосходит единицы.
32. Доказать следующую теорему Кона [52]: если эрмитова форма
где а0 ф 0, апф 0, имеет ранг п и сигнатуру 2щ—п, то уравнение
00 + ^1*4-. • • +ctnzn=O
имеет точно т корней в области lzl<l и точно п—т корней в области
М>1.
Для доказательства рассмотрим систему уравнении
ао=соапу
и определим пд числам at числа сг-.
Полагая
находим, что
п
^п +«ft-1*71+1
= 1, 2,,..., п+1),
п+1 п+1
Al ftl

312
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
В связи с новой формой и величинами с% (/=0, 1, ..., п) рассмотрим
функцию
Возьмем многочлен Dn(X); он имеет корень Х=1. Пусть положительные корни
этого многочлена суть
Квадраты этих чисел являются собственными значениями формы
Поэтому в силу условия теоремы,
^л—m+i <С 1 — ^71—7» <С ^л—т—1-
Отсюда, на основании результата Д29,
inf max
I z |=i
zn+l
тогда как
[i7] > 1,
[i7] < 1.
Поэтому, в силу результата п° Д28, дробь R (z) несократима и имеет точно
п—т полюсов в области |z|<l. Так как дробь R(z) несократима, то ее
знаменатель не обращается в нуль на окружности |г|=1, а потому имеет
точно т нулей в области | z \ >\.
Остается принять во внимание, что нули числителя и знаменателя
расположены зеркально относительно окружности |z| = l.
33. Пусть даны вещественные числа а0 ф 0, а±, а2, ..., ап и целое число
n. Доказать, что
min max
2ДГ-1
где Х есть наименьший по модулю корень многочлена
Cfo~~ К Cji—\ ... Cj Cq
Cq О
... —X О
... О —X
причем

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 313
В рассматриваемой задаче, которая восходит к Чебышеву [53], речь идет
о наилучшем приближении в интервале [ — 1, 1] заданной функции
с помощью рациональной дроби
* К'~ РО*П+-.-+Рп
На основании общей теоремы Чебышева (см. п° 34), экстремальная дробь;
приведенная (после возможного сокращения) к простейшему виду
характеризуется тем, что разность
y=f(x)-R0(x)
принимает с чередующимися знаками свое максимальное численное значение L
в интервале {—1, 1] по крайней мере N+n—d+1 раз, где d=min {а, т}.
Рассмотрим функцию
y*-lfi A)
которая имеет точно 2(N-{-n— а) нулей.
Для того чтобы выполнялось указанное выше и характеризующее функцию у
условие, все нули функции A) должны лежать в интервале [ — 1, 1]. При
этом —1, 1 должны быть простыми нулями этой функции, а остальные
2(N+n — o—l) нулей должны быть попарно равными, образуя в своей
совокупности N+n—а — 1 двойных нулей, которые и будут лежащими внутри
интервала ( — 1, 1) точками-уклонения (отсюда, между прочим, видно, что
d=a). Возьмем теперь функцию
4 = y+Vy2—?2i B)
которая в интервале [ — 1, 1] по модулю равна L, так как в интервале [¦—1, 1]
имеет место неравенство —L^y^L. Каждая ветвь функции Ц однозначна
в разрезанной вдоль отрезка [—1, 1] плоскости х. Это вытекает из того, что
все полюсы функции A) имеют четную кратность, а все нули, число которых
четное, лежат в интервале [—1, 1]. Мы возьмем ту ветвь, которая обращается
в бесконечность при х= со.
Отобразим теперь разрезанную ^-плоскость на единичный круг z-плоско-
сти, полагая
Величина х\ как функция от z обладает следующими свойствами: г\(г)
однозначна в круге | г | < 1, | т) (г) | равняется L на окружности | г | = 1, в точке
2=0 функция т| (г) имеет полюс с главной частью
№-1 \2N
Ci
где числа ct определяются по числам at указанными в формулировке задачи
соотношениями.
Обозначим через / (/<[я—а) правильно подсчитанное число полюсов
функции r\(z), лежащих в области |z|< 1 и отличных от полюса z=0. Ясно,
что п—а—/ представляет правильно подсчитанное число нулей функции ц(г)

314 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
в области |z|<l. Когда точка z описывает окружность |г| = 1, аргумент
функции r)(z) изменяется, следовательно, на
(п—в—/)—2я/~-2nN.
Поэтому число точек уклонения функции у в интервале [ — 1, 1] не превосходит
Отсюда вытекает, что /=и—а, и значит, функция г\(г) не имеет нулей
в области |z|< 1* Применяя принцип симметрии Шварца, мы заключаем на
основании сказанного, что
-L l An-Gzn-a+...+A0_ I (c0
Так как все полюсы функции y\(z) лежат в области |г|<1, то, в силу
результата Д28,
где
и, следовательно, на основании результата Д29 L-2N~l есть наименьший
положительный корень многочлена Dn (Я). Остается принять во внимание, что,
в силу вещественности чисел с$,
Dn <*)=(- 1)П+1АЛ (к) Ап (-Х),
где Ап(к) есть определитель, фигурирующий в формулировке задачи.
34. Первая задача Е. И. Золотарева {II, стр. 1—59} гласит: среди всех
многочленов вида '
где а—заданное вещественное число, найти тот, который в интервале [—1,1]
наименее уклоняется от нуля.
Эта задача является обобщением задачи П. Чебышева, рассмотренной
в п° 36.
Для ее решения мы обобщим [54] надлежащим образом метод *),
примененный в п°п° 37, 38. Можно ограничиться случаем, когда а > 0, так как
*) Сам Е. И. Золотарев сводил свою задачу к дифференциальному
уравнению, рассматривая несколько случаев, которые здесь могут представиться.
Например, если искомый многочлен у принимает с чередующимися знаками
свое максимальное значение L вл-2 внутренних точках интервала ( —1, 1)
(назовем их *t, х2, ..., #п-2) и еще на концах интервала ( — 1, 1), то у' (х)
можно представить в виде
yf (x)=n(x-~xi) (х—хг) ... (х—хп-.2) (х—с),
а разность L2—у2 в виде
Из этих равенств и получается дифференциальное уравнение
Уг __ п(х—с)
YTJ—y* /A--*2)(х2+рд; + ,7)
для определения искомого многочлена у, уклонения L и параметров с, р, д.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
315
из решения F^x) для случая а=а решение F2(x) для а=-—а получается
по формуле
Обозначим искомое решение через у, а его уклонение через L. На основании
теоремы П. Чебышева (см. п° 35), многочлен у принимает с чередующимися
знаками значение ^L по крайней мере в п точках интервала [ — 1, 1].
Простейшим многочленом этого рода является
при
2/г'
где (ср. п°36)
Тп (*)= 2^=Г cos n arccos x-
Величина уклонения равна
Таким образом, мы имеем решение, если
на
0<c<tg2^.
График многочлена, у^ изображен схематически для нечетного п при двух
крайних и одном промежуточном значении а на рис. 6—8.
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.
При а > 0 число точек уклонения равно п. Если а <; tg2 ^~ , то из этих
точек
первая является простым, а остальные являются двойными корнями
уравнения
y2—L*=:0. A)
Заставим а увеличиваться, начиная со значения tg2 ^- . Так как решение у

316
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧА
при этом будет изменяться непрерывно, то должны постоянно иметь место*
равенства
Х± = 1, X п = 1J
но хп уже будет простым корнем уравнения A) и, следовательно, появится
еще один корень <хA<а<§) этого уравнения. На основании сказанного-
график функции у будет иметь вид, схематически представленный на рис. 9.
Таким образом, при а > tg2 — решение у обладает следующими
свойствами: уравнение A) имеет п—2 двойных корня в открытом интервале
(— 1, 1J и простые корни —1, 1, а, р, где
1<а<р, причем в интервалах [ —1,^1]^
[а, Р] имеет место неравенство
а в остальных точках вещественной оси
Чтобы найти у по этим свойствам, обот
значим через <$ разрезанную вдоль отрезков"
[-1, 1], [а, р]
комплексную х-плоскость и рассмотрим в ней функцию
Рис. 9.
~
где знак радикала выбран так, что т| обращается в бесконечность вместе
с у. Функция tj:
1° по модулю равна 1 на границе области ($;
2° внутри ф отлична от нуля и имеет полюс п-то порядка на бесконечности;
3° внутри ф однозначна.
Отсюда видно, что tj может
быть выражена через комплексную
функцию Грина для области ©. Ч 7 ос В
С этой целью отобразим конформно ' i i V д \
область ® на некоторое кольцо А В С Л
(назовем его Г)
r<\v\<\
Рис. 10.
^-плоскости и притом так, чтобы
бесконечно удаленная точка
области % перешла в некоторую (пока неизвестную) точку v=s
положительной вещественной полуоси плоскости v. Это отображение дается формулами
Л
iCMns
я
причем модуль эллиптических функций х равен
/а—1р + 1
а радиус г равен
B)
C)
яК
г=е

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 317
Параметры а, р (которые пока неизвестны) связаны с параметрами х, М
формулами C) и
J=|, D)
которые эквивалентны следующим:
2M a
сп*М ' E)
Соответствие границ при произведенном отображении понятно из рис. 10.
Комплексная функция Грина для кольца Г относительно точки s имеет
вид
где
лК'
Поэтому, в силу свойств 1°, 2°, функция г\ должна иметь вид
где константа \i по модулю равна 1.
Так как т) однозначна в Г, то
Но, как известно,
ПК' niu
Н (и+2?К') = е-л* е к е к Н (w). F)
Следовательно,
где m—целое число и —я<т<0.
Так как у не меняется при изменении и на —и, то ji = ± 1.
Чтобы определить т, нужно учесть, что «/ принимает в интервале
(— 1, 1 ] значение fL с чередующимися знаками точно п раз.
Когда х изменяется от —1 до +Ь величина и пробегает отрезок мни-
ыой оси от точки 0 до точки //С'. При этом аргумент функции
изменяется монотонно от 0 до некоторого отрицательного значения, численно
не превосходящего я. А так как, согласно формуле F),
Н(М—i

318
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ТО
Таким образом, аргумент функции
L Я(М-и)
равный 0 при и = 0, обращается при u=iK' в
l+ir)'
Но г/ принимает в интервале [—1, 1] значение ±L с чередующимися
знаками п раз. Поэтому аргумент функции G) при u = iK/ должен равняться
^ (п—1) я. Отсюда мы находим, что т= — 1, а значит,
Следовательно, при
решение дается формулами
П
Xz=z
и так как старший коэффициент многочлена уч равен 1, то*)
2п
_ 1 Г У*е?(О) Уп
•¦^1-чD)Ч4)] '
лучается выражение
'-4 [ ¦ 44)
сп — dn —- sn 6 ( ~^-
п пуп \ п J
Далее, для а получается выражение
*) Тэта-функция Н (и) определена выше. Дальнейшими тэта-функциям»
являются

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 319
Можно непосредственно проверить, что при изменении и-от 0 до 1 эта
величина растет от tg2 -^ до оо. Таким образом, имея а > tg2 -?-, можно найти
х @<х<1) и тем самым вполне определить искомый многочлен.
35. Пусть дана положительная правильная дробь х. Среди всех дробей
где Ф(*), г|) (лс) — многочлены степени п, требуется найти ту, которая в
интервалах
[-1, -х], [к, 1]
наименее уклоняется от функции
sign х.
, Эта задача в существенном совпадает с четвертой задачей Е. И
Золотарева {II, стр. 1—59}.
Нетрудно доказать, что если
Ф (*)
есть решение задачи, а % @<cS?<l)—величина уклонения, то
a) в интервале (—х, х) может иметь корни только одно из уравнений
Ф (*)=(), ¦(*) = <>;
b) функция
также является решением задачи.
На основании сказанного можно ограничиться нахождением решения,
которое в интервале (—х, х) не обращается в бесконечность. Это решение
вполне характеризуется тем, что разность
у—sign*
на множестве Е, состоящем из интервалов
[-1, -х], [х, 1],
принимает значение J? с чередующимися знаками в 2я + 2 последовательных
точках.
В параметрической форме решение дается формулами
u, х),
Iff If ^
r f Д , Д /n\
tiM. * N1
где /С, L — полные эллиптические интегралы первого рода для модулей х, Я,,.
а /С', ?' — для дополнительных модулей.
Равенства A), B) показывают, что решение связано с тем случаем преоб*
разования эллиптических функций, при котором второй период делится на

320 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
целое число п (transformatio real is secunda). На выводе приведенных
формул мы не остановимся, что же касается проверки решения, то она труда
не представляет. Действительно, в силу формул A), B),
2Х х Й
У~\ + Х Мх 1.1
1-f-
X2 tn2
и значит,
* ¦(*)'
где при л нечетном числитель—степени п, а знаменатель — степени /г—1,
а при /г четном знаменатель—степени /г, а числитель—степени п—1, так как
1 i
Полагая
где v пробегает интервал [0, К% мы заставим х пробегать интервал [и, 1].
При этом
(^ ^ , Я,),
где шг пробегает интервал [0, nV\. Поэтому у изменяется в интервале
[1 — J?, l + «5f] и принимает попеременно значения 1—J?\ 1 + J«? в л+1
точках
ю=0, I', 2L'f ...,nL%
которым отвечают
и=0, , , ..., .
Рассмотренная задача эквивалентна нахождению рациональной дроби,
числитель и знаменатель которой имеют данную степень и которая
аппроксимирует в интервале [х2, 1] функцию—^г так, что максимум модуля относитель-
Ух
ной погрешности имеет наименьшее значение. Этой задачей занимался также
П. Чебышев {Ш, стр. 240—255}. Аналогичная задача рассмотрена в п° 39.
36. Среди всех многочленов степени п с равным 1 старшим
коэффициентом найти тот, который наименее уклоняется от нуля на интервалах
[_1, _а], [а, 1].
Если степень многочлена есть число четное (я=2т), задача реп/ается
элементарно. Искомый многочлен имеет вид
2x2— 1 — а*
а минимальное уклонение равно

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
321
При нечетной степени п=2т—1>1 решение может быть выражено
в эллиптических функциях [54]:
|/ а2 — sn2 и
<*=1при«=0),
У—
причем
— ~ ^
«4
а минимальное уклонение равно
, 1 г
Можно показать, что при т —*- оо .
Если л=1, то у—х.
37, Пусть 5Ш—ограниченное замкнутое точечное множество в плоскости
комплексного переменного х. Пусть
xn+Aixn~1+ .. .
Тогда существует
Величина т (Щ называется трансфинитным диаметром множества
и равна
где Vn есть наибольшее значение, принимаемое модулем определителя Вандер-
монда
^ ^2, . . ., Хп),
когда точки xif x2, ..., хп пробегают ЗЕИ.
Эта теорема принадлежит М. Фекете [55]. На основании результата
предыдущего п° трансфинитный диаметр точечного множества, состоящего
из интервалов
[-1, -a], .[a, l]t
равен
1 _г- =
21 Н. И. Ахиезер

322 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
38. Пусть Е означает точечное множество, состоящее из двух интервалов
[-!,<*], [Р, И (-1<а<Р<1),
и пусть
/ 1
Тогда трансфинитный диаметр множества Е равен
1 Г 9@N1@) у
2 L в(е)91(е) J •
Пусть, далее, дана положительная и непрерывная на множестве Е
функция s(x), и пусть
Хп [s (*)]=min max | s (x)(xn+AiX»-i+ ... +4.) |.
Положим
T-tt.o ^e ^)
Y a + ^ dnQ 6(Q) •
Тогда имеют место [56] следующие факты:
1) Если число
иррационально, то при любом со, удовлетворяющем неравенству
—/С < со < 0,
существует бесконечная последовательность показателей л$, для которой
± Г
я J
2) Если число R рационально и после сокращения имеет вид
р
то существует Q величин
а@>, а*1*, .,., o^Q"*1),
удовлетворяющих неравенству
-/С<сг<0,
которые, таким образом соответствуют классам вычетов по модулю Q, что
для всякой последовательности сравнимых между собою по модулю Q
показателей п имеет место одно из асимптотических равенств
Приведенное предложение является обобщением теоремы С. Н. Б ер -
штейна, относящейся к одному интервалу (см. Д22). '
39. (Продолжение.) Если
Bm+2)QsO (mod К),

I.- ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВбЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
323
го
min \ | х*т-
— 2 min max
р. х?В
U + Pi*2m+ •. • +P2m+il dx
{x2m+l+piX2m+ +p2n
=2 min max | x*m
УA-хг)(а-х)ф-х)
l+1/ x—у
+2 + Pi*2w+1 + .. . + P2m+2i
=4T2m+2-
40. Если многочлен P (x) степени < n удовлетворяет при — 1 < x < 1
неравенству
то его k-я производная удовлетворяет неравенству
где
ЬЗ-5 ... BЛ—1)
< 1; ft = l, 2, .
(х) = cos n arccos x
(здесь отклонение от обычного обозначения, см. п° 36). Знак = в неравен-
стве B) достигается только на многочлене уТп (х), где у» IY I == *» — константа.
Эта теорема при &=1 принадлежит А. А. Маркову, а при &=2, 3, ...
его брату В. А. Маркову [57].
Как доказали Даффин и Шэффер [58], теорема братьев Марковых
допускает следующее усиление:
Для справедливости неравенства B) во всем интервале [ —1, 1]
достаточно, чтобы многочлен Р (х) удовлетворял неравенству A) лишь вл+1
точках
kit.
fA = cos-^ (k = 0, 1, 2 л).
Если же совокупность точек t0, tit ..., tn заменить каким-нибудь
замкнутым точечным множеством Ed[ — 1,1], не содержащим хотя бы одной из точек
этой совокупности, утверждение теоремы братьев Марковых уже не
справедливо.
41. Если Р(х) — нечетный многочлен степени < л, то при 0<*<;1
и знак равенства достигается лишь на многочлене
CsinBfc+1H, х = sine.
С. Н. Бернштейн {Э. С}.
42. Если .многочлен
удовлетворяет неравенству
\Р(х)\<М
(-*<*<*),
21*

324 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
то*)
М (?)* (й=0, 1, 2 п).
С. Н. Бернштейн {Э. С.}.
Доказательство. Введем два новых многочлена:
*(t)=P{x)-px(-x)= 2
fc=0
где /=дс2. Таким образом,
max |Q(f)|<Af
и, на основании теоремы предыдущего п°
max
Применяя теорему В. А. Маркова, находим, что
, ¦ |Q<ft>@)| ^/ 2 у М У2у< _ М
1 2ftl fe! ^V^2/ kl 1-3 ...Bfe— 1) ~
Bfe— 1) ~ Bk)\
43. Если Р (д:) — вещественный многочлен степени <; /г, монотонный
в интервале [ — 1, 1], и
max |P(*)|=1,
то в каждой точке интервала [ —1,1]
' при нечетном п,
—^-?—- при четном п.
Люкач [59].
*) Эти оценки не являются точными.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 325'
44. При п —>¦ оо имеют место следующие асимптотические формулы,
доказанные С. Н. Бернштейном:
<•>¦¦«*
Формула а) при натуральном s легко доказывается методом п°п° 37, 38,
где, между прочим, она была доказана для s=l, 2.
По поводу обоснования формул а) и Ь) в полном объеме отошлем
читателя к монографии С. Н. Бернштейна {Э. С.} и ограничимся здесь лишь*случаем
О < s < 1 формулы а), однако для этого случая докажем несколько больше,
а именно, что*) ~- *
Г 1
ГE)Г(п+2) f±i
(«2-D 2
где 6Л (а) при любом а > 1 удовлетворяет неравенству
если только его правая часть < 1.
Возьмем многочлен Рп (х, t) степени п от х, который наименее уклоняется
от ——т- на интервале [ — 1, 1] при ?>1. Мы можем воспользоваться
готовыми формулами п°37:
—i Рп(х, t) = M(x)(&(v, т), A)
где
Умножая обе части A) на
dt
(t — ay ~~ (a—t)*(l —
где 0<a<l, a = -2"f aH J , и интегрируя по t от оо до а, получим
a
Q W
lEniT E=^r S (a~T)"8 T{Vt x) dx>
где
*) Заметим, что эта формула верна также при s=0 и s=l.

326
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
а Qn(x)—многочлен степени п. Правую часть равенства B) обозначим I (и)
и проинтегрируем по частям:
dx
Дифференцируя C) по х и учитывая, что при | v | = 1 (т. е. при — 1 <; #•< 1)
имеют место неравенства | Ф (vt x) |< 1,
дФ (v, х)
дх
1
, находим, что
дх
<М=1.0<т<а).
Следовательно,
Г(п + 2)
С Другой стороны, в точках максимального уклонения разности
B—s) _
—
±
-Рп(х, в) = А1(а)Ф(о, а)
величина
принимает с чередующимися знаками значение
Г(п+2)
Г(п+2)
Поэтому
и, значит,
где
<> Ln(a) - (n+2)(l_a2)
если правая часть последней формулы < 1.
45. Пусть Jn [/(*)] означает погрешность наилучшего приближения
в пространстве L(—-1, 1) функции /(*) с помощью многочлена степени п.

I. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
327
Доказать, что
оо
-{s}) J <'-"> 8 ^]Iri
где а>1, s>0;
где a> 1, n>s>—1;
0 Jn[in(«-,)]=2 J ta
-L±_L_±rл,
где а> 1.
Здесь можно применить соображения п° 51, так как производная любого
порядка каждой из рассматриваемых функций f(x) не меняет знака в
интервале (—1,1).
Кроме того, следует принять во внимание, что
1
Ssign sin i
a Lu—x
-i)h — ,
где и > 1, x = cosq>.
Докажем, например, с). Пусть &>а>1. Производная любого порядка
функции
du
i — х
сохраняет знак в интервале (— 1, 1). Поэтому
1
-i
du'
А так как
1 i
i ln

328 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ТО
ln
Легко видеть, что этот результат остается в силе при а—\,
46. (Продолжение,) Сохраняя обозначения предыдущего п6, доказать, что
а) при
я &-
р) при п—>сх>
j гп xV} 2|sinns|rB.+2)
j к1; j
Г 1 1 4л«-1
-1 (а—т
\ ЕГ
2
II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
47. Пусть / (г)—целая функция экспоненциального типа а, и пусть
всюду на вещественной оси
/М>о.
В таком случае для представимости / (г) в виде
где Ф (г) — целая функция экспоненциального типа а/2 без корней
в полуплоскости З2 < 0, необходимо и достаточно, чтобы
Эта теорема является обобщением [60] известной теоремы Фейера-Рисса
о представимости тригонометрической суммы
@<*<2я)

IK ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
329
в виде
Заметим, что условию A) удовлетворяет всякая функция класса Во.
48. Если / (г) — целая функция экспоненциального типа и Zk
(k=l, 2, ...) — ее отличные от 0 корни, то неравенство A) предыдущего
п° эквивалентно неравенству
оо
1
s
i
<оо.
Если / (г) удовлетворяет условию нормировки
И0)=1
и ее тип равен а, то справедливы следующие неравенства:
оо R
In!
If In !/(*)/(-*) I
R>0 n
Второе из этих неравенств доказывается очень просто. А именно, из раз-
ложения / (х) в бесконечное произведение следует, что
<—2*2q| cos 29ft
ft=l
}¦
откуда
In 1
x* — 2x2q| cos 20a
где Qfe = |2ft|, 0A=arg Zfc. Это равенство можно интегрировать почленно от
О до любого конечного ?>0, так что
ini/(*)/(-
оо R
COS 26ft
Q%
Остается принять во внимание, что функция
, , € .А—2х^ cos 201
- In
при больших х положительна и на полуоси х > 0 меняет знак самое большее

330 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
один раз. Действительно, отсюда следует, что при любом R > 0
dx
<
1 Р .Г x4
~*t J l1+
0
1 ?. f x*—2x*q* cos 29 1 dx | sin 9 |
<2я J In\I+ Q1 /'«5"==~С~#
0
49. Пусть / (г) — целая функция типа *) о порядка V2» Для которой
/ (х) > 0 при 0 < х < со и
В таком случае /(г) допускает представление
/(*)=[Х (*)!•+* [*(*)]«,
где Л (г) й /?(z)—две вещественные целые функции типа а/2 порядка х/г
и притом такие, что
A(z)+iY~zB(z)
имеет корни лишь на одном листе двухлистной римановой поверхности с
положительной половиной вещественной оси в качестве линии перехода.
50. Доказать, что полиномы Левитана для функции / (z) € W?y допускают
следующее «интерполяционное» представление:
5<?> (/; *)=/ @)+ sinT*2 г @)+
TCOS —
hz . ™ . hkst
sinTZ ~, sin-—
Sln
где т=а + "п-=[ л+y Jft. С помощь-о предельного перехода (я—>-оо)
получить отсюда известную интерполяционную формулу
2' (-
*) Это значит, что
lim —у =а.
Таким образом, / (г2) есть целая функция экспоненциального типа о\

П. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 331
Доказательство. Положим
f(z)=
Тогда
^ „_ sin
s<o>(/,.2)==/(o)+ * 2 ()
Acos^-
Здесь благодаря суммационной формуле Пуассона
—со
Вторичное применение формулы Пуассона дает
оо оо оо
„ . ч sin hx .. xi
F(X) —e-thmxdx== у
=— OO —OO
При этом дважды используется, что преобразование Фурье функции
равно нулю вне интервала [ — ст — h, a-\-h\.
51. Пусть последовательность
...<bi<bi+i<h+2<-.. (±i=0, 1,2,...)
представляет совокупность всех и притом простых корней некоторой
вещественной целой функции Q (г) экспоненциального типа о.
В таком случае справедлива следующая теорема [61]:
Если f(z)—целая функция экспоненциального типа, для которой
выполняется неравенство
S<oo,
, * ~Т~ I 'VA I / I йй \пь 1
fe=-OO
и если при некотором 6 в углах
iy—argz <6
имеет место соотношение
lira Щ
| г Коо Q (г)

332 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ТО
Правая часть представляет интерполяционный ряд Лагранжа с заданными
неравноотстоящими .узлами.
Иногда полезен следующий упрощенный критерий:
Если /(г) — целая функция экспоненциального типа, для которой
выполнено условие A) нашей теоремы, и если при некотором положительном е
> о
ita
Л 1111 -^ . щ Ч
у^со Q (ty)
то заключение теоремы остается в силе.
52. Пусть f(x)?L (—oo, со) и
Доказать, что для справедливости равенства
х lim
а-юо
а
необходимо и достаточно, чтобы существовала целая ^функция
экспоненциального типа, совпадающая с / (х) почти всюду на вещественной оси.
Теорема принадлежит Коберу [62].
53. Обозначим через Va класс функций вида
/(г)= j ««*»(*), О)
где © (t) пробегает совокупность всех, вообще говоря комплексных, функций
ограниченной вариации. Каждая из функций A), очевидно, целая и к тому же
экспоненциального типа <; а. При этом
Зафиксируем теперь функцию K(t) ( —ff< *< а), допускающую представление
со
X (t) = 8 \ e~iaueitudQ(u), B)

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 333
где Q (и) —неубывающая функция ограниченной вариации, а е —константа,
причем |е| = 1. Таким образом,
|А,@)|= max
С помощью функции К (t) определим в классе Va оператор ^, полагая *)
a
—a
В таком случае справедливо неравенство
I f {/ (*)} \< I Я (о) I sup | / (х) | (-00 <* < оо),
<<
где знак — всегда достигается на функции / (z) = const eloz, и эта
экстремальная функция будет единственной, если Q (и) не является чистой функцией
скачков, расположенных в корнях некоторой функции G (z) € Вст.
М. Г. Крейн [26].
Пользуясь представлением B), находим, что
e-iauf(x+u)du(u),
—CO
откуда
CO
~ \fif(x)}\< sup | /(jc)| [ dQ(u).
—CO<3C<CO 0
—OO<3C<OO
—oo
Функция / (г) будет экстремальной, если при некотором х (назовем его х0)
произведение
принимает во всех точках роста функции Q (и) одно и то же значение,
притом по модулю равное
sup \f(x)\ = M.
—оо<х<оо
Это всегда выполняется в «тривиальном» случае, когда / (z) = const eiaz. Чтобы
имел место нетривиальный случай, необходимо, в силу аналитичности
функции ф (а), чтобы Q {и) была чистой функцией скачков. При этом ее скачки
должны быть корнями функции
Функция F (г), очевидно, принадлежит В2а, а так как
0</Чи)<Л12 (—оо<а<оо),
то
F(z) = G(z)G(z),
где G (z) С Ва, и утверждение доказано.
*) То есть вводя множитель k(t) в выражение интеграла A).
Применительно к тригонометрическим суммам об этом шла речь в п° 83, в обозначениях
которого T{f(z)} = fx(z). Принятзе зде:ь обозначение соответствует п° 89.

334 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Хорошую иллюстрацию приведенных здесь рассмотрений мы находим
в доказательстве неравенства Бернштеина (см. п°84), где мы получили для
функций Vi (t), V% (t) представления вида B), в каждом из которых Q (и) есть
чистая функция скачков указанного здесь рода.
54. Если /(г)—целая функция экспоненциального типа < о, ограниченная
на вещественной оси:
|/(*)|<1 (-сх><*<оо),
то при любом вещественном ю
I / (х + iy) e~i(»+f (x—iy) eia|<2 Ус№ oy-sin* со.
Это неравенство принадлежит Боасу [69] и доказано с помощью
интерполяционной формулы
примененной к функции F (z) = /(z+x—s), где параметр определен так, чтобы
sin a (s+ iy) е~ш + sin a (s—iy) ei(» = 0.
55. Пусть f (z)—целая функция экспоненциального типа <; а. В таком
случае:
а) при p>Q
оо оо
J \f(x)\r>dx;
—оо —оо Ч
Ь) при р > 1
оо оэ
где
с) при а < я,
где, например,
Р>
оо
—оо
1
1 / (х) \р dx
<В(о, Р)
h
оо
:==—оо
4j
4 , я

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
335
d) при f(x)?LP(—оо, оо), р> 1, справедливо равенство
lim /(*) = 0.
Планшерель и Полна [22].
Ограничимся доказательством утверждения с).
Выберем 8>0 так, чтобы а + е<я, и составим произведение
/<*)
sine(g—г)
Это—целая функция экспоненциального типа <Jt с параметром ?, которую
можно представить в виде
(t-z) - ZJ
fe
sin e (?—&) sin к (z — k)
fe=-oo
откуда при g =
sin б (г —
:—k)
fe=-oo<
A)
p
¦p-1
Если р>1 и q— я , , то, в силу тождества A) и утверждения Ь),
оо Р.
sin я (x—k)
n(x—k)
< 2
я (л:—
sin е (а:—n)
s(x—n)
P CO
sine*
* 2.
Интегрируя это неравенство, мы и получим, что
оо оо
где
p оо
sinitx
sine*
причем здесь можно положить e = jt —o\
Если р=1, то непосредственно из A) следует неравенство
|/(х)|Лс<
—оо —оо
sin et sin nt
' ent2
/wi.

336 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
56. Целая функция © (z) экспоненциального типа а называется
мажорантой, точнее, а-мажорантой, -если для всякой целой функции / (г)
экспоненциального типа <! а, удовлетворяющей неравенству
©(*)| (-oo<*<oo),
выполняется неравенство
I/WKNWI <3*>0). A)
Отсюда, между прочим, уже следует, что при Qte <ч 0 будет выполняться
неравенство
Например, а-мажорантой является функция е~гаг.
Вот два свойства мажоранты, непосредственно вытекающие из ее
определения:
1°. Мажоранта экспоненциального типа не может иметь корней в
полуплоскости 32>0-
2°. Если о (г)—мажоранта экспоненциального типа, то при gz
довыполняется неравенство
o(z)
Оказывается, что условия 1° и 2° не только необходимы, но и достаточны,
чтобы целая функция экспоненциального типа (о (г) была мажорантой. Эта
важная теоргма принадлежит Б. Я. Левину, и читатель найдет ее вместе
с полным доказательством и литературными указаниями в монографии этого
автора.
Примем, не нарушая общности, что ю@) = 1, и пусть 2ACzA<0, &=1,
2, 3,...)—корни cd(z), расположенные в порядке неубывания их модулей.
Так как эта функция экспоненциального типа, то, в силу одной теоремы
Линделефа (см. монографию Б. Я. Левина, стр. 42),
те
lim ^ — <оо.
Значит,
оо
и потому w(z) допускает следующее представление в виде бесконечного
произведения:
где а, Ь—вещественные числа. Здесь весьма существенно, что Ь>0. Дока-
, зательство этого факта основано на том, что функция
П
2ft

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
337
в полуплоскости 32 > 0 регулярна и удовлетворяет неравенству
(в силу свойства 2° мажоранты). Действительно, отсюда на основании
элементарного принципа максимума модуля следует, что при любом п в каждой
точке полуплоскости gz > О
п !_i.
После предельного перехода по я это неравенство дает
Функция F (z) на вещественной оси регулярна и по модулю равна 1.
Полагая F (х) = е21ф*х* (—оо<*<оо), найдем, что
где ah — ipk = zh, Ра>
Если мажоранта вещественна, то 6=0 и все ее корни вещественны, а
потому для нее F (z) == 1.
Если F(г) ф\ и, значит, по принципу максимума модуля всюду в
полуплоскости $j2>0
то мажоранту назовем нормальной.
В дальнейшем нам понадобится следующее предложение: пусть <о0 (г) —
вещественная целая функция экспоненциального типа а, имеющая лишь ее-
щественные корни, и пусть целая функция f (г) экспоненциального типа < а
удовлетворяет неравенству'.
1/W.KIffloWI (-oo<x<cx>)f
B)
в таком случае
где с —константа, \ с \ < 1.
Действительно, благодаря теореме Б. {Я. Левина щ(г) есть а-мажоран-
та. А так как соо(г)—вещественная функция, то неравенство A) влечет
неравенство
/М
верное во всей плоскости.. Из него по теореме Лиувилля и следует, что
(оо (г)
В заключение п° приведем некоторые дальнейшие свойства мажорант
экспоненциального типа:
I. Если последовательность {(йд (г)}?° мажорант экспоненциального
типа сходится к целой функции со (г) экспоненциального типа и сходимость
22 н. И. Ахиезер

338 . дополнения и задачи
равномерна в каждой ограниченной области, то предельная функция со (г)
является также мажорантой экспоненциального типа.
II. Производная от а-мажоранты со (z) есть также ст-мажоранта. Принтом
со' (z) является нормальной мажорантой, если мажоранта со (г) нормальна.
III. Если со (z) есть а-мажоранта и б>0, то при Qz>0
IV. Если со (г) есть ст-мажоранта, то при любом б > 0 функция
co6(z)=co(z+i6)
также является ст-мажорантой.
Свойство III вытекает из разложения
со (z+/6)
co(z)
Свойство IV есть следствие получаемого с помощью простых
тождественных преобразований представления
ад 1
где
57. Дана мажоранта экспоненциального типа
4
1 П (\ ^Vai+p2
без вещественных корней, так что рд>0 (k= 1, 2, ...), &>0, а a ^0, и пусть
выполнены следующие условия:
оо
+У
Построим целую функцию
где y—произвольно взятая вещественная постоянная, и положим *)
Ф W=arg {ю (х) е-^} (— оо < х < со),
*) В обозначениях предыдущего п° у(х) — Ф(х)—у.

И. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 339
так что
Функция Q(z) имеет только вещественные и только простые корни
(J^==0, 1, 2, ...)• Они находятся из уравнений
и поэтому удовлетворяют неравенствам
JIL = 0, 1,2,...),
Используя эти неравенства, доказать следующую теорему [64]:
Если f(z)—целая функция экспоненциального типа, для которой при
каком-нибудь 8>0 .
и если для всех k (±& = 0, 1, 2, ...)
|/<А*) К
то яа всей вещественной оси
г^ константа С зависит лишь от отношений -^ , — .
Эта теорема является некоторым обобщением теоремы М. Картрайт [65],
которая получается при со (z) = e~~tnz, y = — , Q (z) = sin яг и гласит: если
целая функция / (г) экспоненциального типа т < я удовлетворяет неравенствам
I/WK1 (±А = 0, 1,2, ...),
* то на всей вещественной оси
где К зависит лишь от типа т функции / (z) и, как показал С. Н. Бернштейн,
при приближении т к я удовлетворяет асимптотическому соотношению
я я—т
Указание. Функцию
(e—то же, что и в формулировке) разложить в интерполяционный ряд Лагранжа
Д51 с узлами {^д}^ и затем положить ? = z.
22*

340 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
В качестве константы С можно взять
| cos ф (лг) | |sine(x—Xft)| 2M( 1 М
о |
Д= —СО
58. Пусть со (г) —нормальная а-мажоранта, К — вещественное число и
Теорема [66]. Если вещественная целая функция f (г)
экспоненциального типа <! а удовлетворяет неравенству
|f(*)|<l©(*)| (-оо<х<оо),
то разность
G (г; *)-/(*)
либо равна тождественно нулю, либо имеет только вещественные корни,
и эти корни простые, за возможным исключением тех из них, в которых
/()±|(I
)±|ю(I
Доказательство. Зададимся числом б>0 и положим (ср. Д56)
) ( + /6). Затем возьмем число е, 0<е<1, и введем функции
r e >)
так что при —оо<*<со
l/eWI<O-e)l»WKI«eWI. A)
Ближайшей нашей задачей будет построение контуров Cn(N), пригодных
для применения теоремы Руше.
С этой целью прежде всего возьмем прямые 82 = ±N» ПРИ достаточно
большом N > 0 на них будет иметь место неравенство
Затем рассмотрим полосу | §г | <; -^ , в которой функции щ (г), щ (г),
очевидно, не имеют корней. Поэтому функция
в этой полосе однозначна, если как-то выбрано ее значение в точке г=0.
Из разложения щ(г) в бесконечное произведение (ср. Д56) следует, что
в рассматриваемой полосе
^Фб(*, у\ 8) =
Поэтому при каждом фиксированном г/, — ~2-<^<у, функция Фб(^, у; е)

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 341
непрерывно и строго монотонно растет от —оо до со, когда х пробегает
интервал (—со, со). Обозначим хп = хп(е, 6) (±л = 0, 1, 2, ...) ту точку
вещественной оси, в которой Ф&(х, 0; е) принимает значение пл. Затем
построим дугу Yn = Yn(s, б), лежащую в полосе IS^K-k-, на которой
Фб(*> у; e)=/wt.
Точку пересечения дуги уп с горизонталью у=у обозначим ?n = gn(8 б))/
Так как в каждой конечной части полосы | у | <; -у колебание функции
б (*> У> 8) ограничено, то кривая уп равномерно удаляется на бесконечность
вправо при п~)-оо и влево при п—>•—со. Теперь мы можем построить
«верхнюю» половину C+(tf) контура Cn(N). А именно от точки хп вдоль уп
до точки ?п, затем вдоль прямой х—%п до встречи с прямой y = N, далее
по этой прямой до встречи с прямой * = ?_п, затем по прямой х = |_Л до
точки ?_Л и, наконец, по кривой Y-n Д° точки х^п. Нижняя половина
С~(#) контура строится аналогично. Для достаточно большого п на всем
контуре Сп (N) выполняется неравенство
Действительно, на куске yndC+(N) справедливы неравенства
Qe (г, е, к) | = у { | щ (z) | е«"+1 «6 B) I
а на прямой х=%п ( -^ 6 < у < N ) — неравенства
; е, X)J >у | ^
На остальных сторонах оценки аналогичны.
Отсюда, на основании теоремы Руше, заключаем, что функции
z; e, X)-/e(z), Q6B; 8, X)
имеют одинаковое число корней внутри контура Cn(N), а так как N можно
взять сколь угодно большим, то рассматриваемые функции имеют одинаковое
число корней и во всей полосе Сп, которая получится при #—>-со.
Примем теперь во внимание, что
(D6 (s)
е
| 1/ +\ _
\щ(х)\ -2\У щ(х)е ^V щ(х) J
= cos06(x; 0, е), B)
причем Фь(х; 0, е) изменяется от kn до (^+1) л, когда х пробегает интервал
а ^ фб (*; °» е) > 0 (—со < х < оо). Отсюда следует, что Qa (z; e; Я)

342 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
имеет в каждом интервале (*&, *ft+i) точно один корень и что этим
исчерпываются все корни Qa (z; e, Я). Так как функция
Q6(z; в, Я)-/8(г) C)
также имеет по крайней мере один корень в каждом интервале (хд,
поскольку
^ \щ(*к)\ ^ '
то функция C) (в силу сделанного выше на основании теоремы Руше
заключения) имеет только вещественные корни, и они расположены по одному
в каждом из интервалов {х^, хд+i). Теперь будем приближать к нулю
параметры 6, е, сначала первый, а затем второй.
Если мы примем, что разность
Q(z;X)-f(z) D)
не есть тождественный нуль, то по теореме Гурвица найдем, что эта разность
имеет только вещественные корни.
Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.
При доказательстве второго утверждения можно ограничиться теми корнями
разности D), которые не являются одновременно корнями функции со (z),
так как в вещественных корнях этой функции обращается в нуль также и / (*),
а значит, имеет место равенство /(*) = :t |•<«>(*) |. Следовательно, второе
утверждение сводится к тому, что если Q(г; Л)—/(г) ?0 и некоторая точка
является кратным корнем разности
причем в ней со (х) Ф 0, то в этой точке
Для доказательства этого факта возьмем разность
F)
Ую (z) ©(z) lAo(z)(u(z) '
которая согласно вышедоказанному имеет при 0 < 8 < 1 только вещественные
корни. Так же, как й при рассмотрении выражения C), убеждаемся в том»
что все корни разности F) простые и лежат по одному в каждом из
интервалов (tk, tk+i), где tk = tk(e) означает точку, в которой
Появление кратного корня у функции E), которая получается в результате
предельного перехода по 8 из функции F), возможно лишь в елучае
слияния при 8 -> 0 двух соседних корней разности F). Если эти корни лежат

И. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 343
в интервалах (/д_1, /&), (*ft> *fc+i)> то они могут слиться лишь в предельном
положении *) Sft точки t^. Но тогда
/(*)
1©(*I
Тем самым второе утверждение теоремы также доказано.
59. Если вещественная целая функция / (г) экспоненциального типа < а
удовлетворяет неравенству
|/(*)|<|'ю(*)| (-оо<><оо), A)
где со (г) — нормальная а-мажоранта, то для любого комплексного г
причем знак = хотя бы в одной невещественной точке достигается лишь
в том случае, когда при некотором вещественном Хо
/(г) = О(г, Хо). B)
Доказательство. Пусть при некотором z0, ;gz0>0,
^\(zo)\}. C)
Так как arg Q (z0, к) увеличивается на 2я, когда X изменяется от 0 до 2я,
то существует Яо, 0 <1 к0 <[ 2л, при котором '
arg Q (г0; Яо) s arg / (z0) (mod. 2л). -
Поэтому благодаря C) найдется такое 0, 0<9<; 1, что
К вещественной функции 0/ (г) применима теорема предыдущего п°, в силу
которой
0/ (г) = Q (z; Хо). D)
Замечая далее, что
Q(x; Хо)_
где Ф (х) увеличивается по крайней мере на я при изменении х от —оо
до оо, заключаем, что найдется вещественное ?, для которого
I w Vfe) I
Поэтому, в силу D),
*) Заметим, что точки s^ можно определить непосредственно с помощью
уравнения
Число этих точек может быть конечным.

344 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Так как при 9< 1 это противоречит A), то знак > в неравенстве C)
невозможен, а знак = возможен лишь при 6=1 и приводит, в силу D), к
тождеству B).
60. Теорема. (Обобщение неравенства С. Н. Бернштейна). Если целая
функция f (z) экспоненциального типа < а удовлетворяет неравенству
1/(*I<|ю(*I (-со<*<оо), A)
где со(г)—-нормальная о-мажоранта, то в каждой вещественной точке х
|/'(*) К I ©'(*)!. B)
и если хотя бы в одной вещественной точке х0
1/'(*о)Ы©'(*оI. C)
тогда как
со (*о) ф 0, D)
то
где А и В—постоянные числа и \ А | + | В \ = 1.
Доказательство. Предположим вначале, что f(г) вещественна.
Возьмем произвольную вещественную точку х0, в которой выполнено
условие D), и рассмотрим систему уравнений относительно Л, В:
Лео (*0) + Ясо (х0) = f (*o), m
Ее определитель:
со (х0) <о {х0)
со' (х0) со' (*о)
«так как
Следовательно, система разрешима, и мы получим
2=~Le
Теперь равенства E) можно представить в виде
/ (хо) = Ш (х0; Ло), /' (хо) = LQ
" Допустим, что L> 1. Тогда функция
удовлетворяет неравенству A), а также остальным условиям теоремы п° Д58.
При этом уравнение
имеет, в силу F), двойной вещественный корень х0. На основании упомянутой
теоремы Д58, либо
GCz; I*), G)

И. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 345
либо
(8)
В обоих этих случаях неравенство L > 1 невозможно. Отсюда уже вытекает
справедливость первого утверждения теоремы *). Для доказательства второго
утверждения примем, что имеет место C) или, что то же,
. C')
Так как при этом обязательно L = l, то мы будем еще иметь соотношения
/ (*0) = п (х0; Яо); /' (*о) = ^' (*о5 *о) (б'>
и одно из соотношений
G')
(8')
Но равенства C')» F'), (8') несовместны, так как из них следует, что отношение
вещественно, а это противоречит неравенству Ф' (*0) > 0. Так как
соотношение (8') отпало, то остается G'), и тем самым для вещественной
функции f (z) теорема доказана.
Переходя к общему случаю, положим / (z) = и (z)-\-iv B), где и (г) и v B) —
вещественные функции. Следовательно, при любом вещественном а справедлива
неравенство
| и (x)cosa—v(x) sin a |<; | a> (x) | ( — 00 < *<\oo),
и значит, по уже доказанному,
\u'(x)cosa—v'(x)sin a|<|a>'(*)| ( —oo<jc<oo), (9)
откуда вытекает, что
'WI (-oo<a:<cxd).
Остается рассмотреть случай, когда в последнем неравенстве достигается
знак = в некоторой точке х0. Но тогда в неравенстве (9) достигается знак =
при х — х0 и
Следовательно, по уже доказанному, при этом значении а и каком-то Я имеет
место тождество
и (*)cosa — v(x) sina = Q (x\ к),
которое можно представить в виде
$t[f (х) ега) = Ж[«> (х) eiK].
А так как на всей вещественной оси
*) Нужно иметь в виду, что если w (*0)=0, то неравенство | /' (х0) |< | со'
тривиально.

346
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
то, следовательно,
или
(-со<*<оо)
I и (x) sin a + v (x) cos a | <
Отсюда следует (см. Д56), что
f ^\
ч 2 / *
где с —константа, —1<с< 1. Итак, мы имеем два равенства
и (z) cos a — v(z) sina=Q (z; X),
ч 2 / '
откуда вытекает, что
где
61. (Продолжение.) Теорема. Если вещественная целая функция /(г)
экспоненциального типа <^ а удовлетворяет неравенству
|/(*)|<| <*>(*) I (-—оо<х<оо), A)
где co(z)—нормальная а-мажоранта, то в каждой вещественной точке х>
не являющейся корнем функции со (л:), имеет место неравенство
d f(x)
dx IfflU)
/(*)
B)
котором
в одной точке х0, где*) | f (x) |< | со(^) |, неравенство B)
переходит в равенство, то найдется такое вещественное Хо, что
/B) =0B5 Яо).
Доказательство. Возьмем функцию
где X—произвольная вещественная постоянная. Эту функцию можно
/(Л
*) Точки, в которых отношение
обращается в ±1, являются
точками экстремума для этого отношения. В них неравенство B) превращается
в равенство тривиальным образом.

И. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 347
представить в виде
где
Следовательно,
Из C) и D) получаем тождество
С другой стороны, как было показано при доказательстве теоремы
предыдущего п°, для любого рассматриваемого х найдутся такие L, O<L^1
и X, 0<Я,<2я, что
X), f'(x) = LQ'(x, X). F)
Поэтому
и уравнение E) можно переписать в виде
Г' /
L ^ | ©
откуда и следует неравенство B).
Если при х=х0 неравенство B) превращается в равенство, tqL=1h
представления F) дают
откуда следует, что уравнение
/B)~Q(z; X0)=0
имеет двойной корень х0. Так как | / (х0) | =^ | со (д:0) |, то по теореме Д58
62. Пока в наших обобщениях неравенства Бернштейна рассматривались
только целые функции экспоненциального типа с определенными
ограничениями роста на вещественной оси. Теперь мы обратимся к иным обобщениям [67].
В них речь будет о других классах аналитических функций и о неравенствах
не на всей вещественной оси, а лишь на некоторых расположенных на ней
точечных множествах. Эти два объекта (класс функций и точечное
множество) не независимы, а определенным образом связаны между собой. А именно
каждому совершенному точечному множеству ?d(—оо, оо),
удовлетворяющему довольно естественным условиям, а в остальном произвольному,
принадлежит свой класс аналитических функций Ке- Чтобы его описать,
требуются некоторые конформные отображения и предельные переходы. Для
упрощения построений примем здесь, что Е состоит из конечного числа

348
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
непересекающихся интервалов. Например, это может быть один конечный
интервал [ — 1, 1], один полубесконечный интервал [0, оо), пара полубеско-.
нечных интервалов (—оо, —1], [1, оо), и, ясное дело, не исключается вся
вещественная ось в плоскости z. * '
Упомянутое конформное отображение
должно переводить верхнюю половину плоскости z на полуполосу в
плоскости ? (конечной, полубесконечной или бесконечной ширины) с основанием на
вещественной оси и некоторыми перпендикулярными к ней надрезами. При этом
множество Е должно перейти в основание, а промежутки между интервалами
множества Е в двухбереговые надрезы. На нижеприведенных рисунках
представлены для простейших примеров как области, так и отображающие функции.
Случай, когда Е=(—оо, оо), тривиален.
J
'//////////////////////S/////A
Рис. 11.
Рис. 12.
Рис. 13.
Надрезов нет, шири- Надрезов нет, шири- Один надрез, ширина
бескона равна ц. на полубесконечна. нечна.
Интеграл Шварца—Кристофеля позволяет построить отображающую функцию,
каково бы ни было конечное число интервалов, образующих множество Е.
Ясно, что функция ф (z) не единственна. Например, ее можно умножить
на любое положительное число. Но для дальнейшего совершенно безразлично,
какая из возможных функций выбрана.
Если множество Е не совпадает со всей вещественной осью, то, разрезая
плоскость z вдоль Е, мы получим некоторую область G, на которую функция
Ф (г) ^ продолжается с помощью принципа симметрии Римана —Шварца до
какой-то, вообще говоря, неоднозначной функции—ее мы также будем
обозначать ф (г). Мнимая часть функции ф (г) в области G однозначна и
положительна. Поэтому модуль функции
со (*)=*
в G однозначен-и > 1. Оказывается, что отношение
всегда стремится к конечному пределу, когда | z | ->oc (z б G). Будем говорить,
что имеет место случай (а), если этот предел > 0, и случай (Р), если он=0.
Так, в примере C) мы имеем случай (а), а в примерах A), B) —случай (р).
Теперь уже можно определить класс функций КЕ- Это—совокупность всех
аналитических в области G функций, вообще говоря, многозначных, которые
удовлетворяют следующим условиям:

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 349
a) любая ветвь функции / (г) € Ке должна иметь на Е предельные
значения, обозначим их /(#), и при этом
I/WK1 (*6?); A)
b) для каждой функции f(z)?KE должна существовать на универсальной
накрывающейЪ области G регулярная функция f (z), принимающая во всех
граничных точках значения, сопряженные тем, которые принимает / B);
c) если {/ (z)} обозначает верхнюю грань в точке г ? G всех
значений | / (г) | и \f (г) |, то в случае (а) должно иметь место неравенство
lim
а в случае (р) — равенство
Ш
\г\
Как видим, класс Ке содержит в случае (а) совокупность всех целых функций
экспоненциального типа, удовлетворяющих условию A) *), а в случае ф) —
лишь тех, тип которых = 0.
Обобщение неравенства Бернштейна на класс Кш дается следующим
предложением:
Если / (г) ? Ке и при некотором о !> 0 для любого е > 0
Иш
и если в некоторой точке х 6 Е существуют производные /' (х) и (о'(х), то
Знак = хотя бы в одной точке х?Е достигается в том и только том случае,
когда
/(г) sc^uWl' + ca[©<*)]-«
где Ci и с2—комплексные константы, для которых \с±\ + |с2| —1.
63. (Продолжение.) Полезно сформулировать теоремы для простейших
множеств ?, которые были рассмотрены в начале предыдущего п°.
1°. Пусть f(z) — аналитическая функция в открытой плоскости z,
разрезанной вдоль отрезка [ —1,1], на котором предельные значения каждой ее
ветви существуют и удовлетворяют неравенству
I/WK1.
Если
Ul->oo \г\
и если при некотором а ]> О для любого е > О
lim-
у->оо
то в каждой точке л: интервала ( — 1,1), где / (х) обладает производной,
*) При ? = (—оо, оо) эта совокупность совпадает с К е-

350 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
имеет место неравенство
|/'(*)|< Jl_
и знак = хотя бы в одной точке этого интервала достигается в том и только
том случае, когда
/ (г) = ск
где q, С4 — постоянные, причем | с± | +1 с21 = 1 •
Заметим, что в рассмотренном случае классу Ке принадлежат все
многочлены, а также их произведения на >^1—г2.
2°. Пусть / (z) — аналитическая функция в плоскости г, разрезанной вдоль'
полуоси [0, оо), на которой ее предельные значения существуют и удов лет*
воряют неравенству
I/WK1.
Если
lim ln j
lim j^ =о
I г 1-* оо | Z |
и при некотором а !> 0 для любого 8 > 0
Umf(±iy)e V* =0,
у-> оо
го в каждой точке *>0, где f(x) обладает производной, имеет место
неравенство
и знак = хотя бы в одной точке достигается лишь на функции
3°. Если / (г) — аналитическая функция в плоскости 2, разрезанной
вдоль лучей (—оо, — 1], [1, оо), на которых ее предельные значения
существуют и удовлетворяют неравенству
I/WK1,
и если при некотором а > 0 для любого е > 0
Нш /(zh/У) =0
у-уоо (<*+е)у
а вообще в разрезанной плоскости
ш
то в каждой точке х(л:2>1), где / (х) имеет производную,
х
|/'(*)!<с
2— 1

П. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
351
и знак = хотя бьг в одной такой точке достигается лишь на функции
/ (г) ее Cie-io ^^W 1Г^='1 (I 4| +1 C21 = 1).
64. (Продолжение.) Пусть множество Е образовано двумя интервалами
(-оо,-1), A,оо).
1°, Если для целой функции / (z) экспоненциального типа < а
то в каждой точке х?Е выполняется неравенство
X
I /' (х) К а
где знак = достигается лишь на функции
и притом лишь в точках
(я—1, 2, 6, ...).
2°. Если целая функция g(z) экспоненциального типа <J а такова, что
sup
то в каждой точке а: ^ ?" выполняется неравенство
«—1
где -знак = достигается лишь на функции
и притом лишь в точках
/
(Y=const, | у |=
=0, 1, 2, ...)•
65. Пусть / (г) — целая трансцендентная функция типа < а порядка
и пусть при любом х ^ О
В таком случае
> *=1, 2, 3, ...)
и знак = достигается лишь на функции
и притом лишь в точке *=0.
Это предложение принадлежит С. Н. Бернштейну {II, 99} и является
аналогом теоремы братьев Марковых для многочленов.

352 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Доказательство довольно просто. Действительно, положим
где / (г) пробегает совокупность всех целых функций типа <; а порядка 1/2,
удовлетворяющих неравенству
A)
а д;0>а. Так как при замене г на z-\-c функция f (г) останется функцией
типа <; а порядка 1/2, то
Mk (аг0, a) = Mk (О, а—х0).
Но при 6<<0
Mh@, *)<МА@, 0),
так как класс функций, удовлетворяющих неравенству A), расширяется при
увеличении числа а.
Таким образом,
Mh (*0. а) < Mk @, 0) (*0 > ^.
Что же касается величины М^ @, 0), то она представляет максимум модуля
коэффициента а^ в разложении
Поскольку же
есть целая функция экспоненциального типа<; а, удовлетворяющая неравенству
|FW|<1 (
то по теореме С. Н. Бернштейна
Окончание доказательства ясно.
66. Пусть Е означает точечное множество, образованное интервалами
(-ОО, -1), A, СО),
а Ga~ совокупность всех целых функций f (г) экспоненциального типа < а,
удовлетворяющих неравенству т
I/WKI <
Теорема [67]. Если а > Уъ и f (г) € Ga, то в каждой точке х ? Е
имеет место неравенство
В этом неравенстве знак = достигается, а именно на функции
fa (z)=cos a /iaZTT

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 353
в точках x=jz 1, и притом только в этом случае, если отвлечься от
постоянного множителя, равного 1 по модулю.
Эта теорема является некоторым аналогом теоремы А. А. Маркова.
Если положить
Af@)= sup |/'(*)|.
/?<>„
то при любом а > 0 можно получить следующие оценки:
Первая из них показывает, что по крайней мере при
равенство М (a)=a2 невозможно.
67* Пусть F (х) ( —оо<х<оо) — некоторая ограниченная вещественная
функция, а
sup | F (x) |
<<
—ее уклонение от нуля. Если F (х) принимает лютя бы по одному разу оба
значения ± Lp, to можно ввести в рассмотрение конечные или бесконечные
последовательности точек
...<*/<*i+i<*/+2<.- (±/=0,1, 2,...),
в которых F (х) поочередно принимает значения Lp и —Lp. Каждую такую
последовательность точек назовем чебышевским мпооюеством функции F (х),
Чебышевское множество функции F (х) называется максимальным, если оно
не является правильной частью какого-нибудь другого чебышевского
множества этой функции *).
Следующая задача является аналогом чебышевских задач в классе целых
функций экспоненциального типа [68]:
Даны вещественные непрерывные функции Ф (х) > 1, s (х) > 0, / (х)
(—оо<*<оо); ищется в классе всех целых функций G (х)
экспоненциального типа <^а та, для которой величина
LG= sup \f(x)-a(x)Q(x)\
-оо<а:<оо Ф (X)
имеет наименьшее значение.
*) Функция может не иметь максимального чебышевского множества.
Вот пример:
1
¦\
Sin-j
23 н. И. Ахиезер

354 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Сделаем следующие дополнительные предположения о функциях Ф {х)
и s (х):
a) Ф (х) удовлетворяет неравенству
Ф(*)<|а>(*)| (-оо<*<ос),
где со (г) — некоторая мажоранта экспоненциального типа о;
b) s (х) есть целая функция минимального экспоненциального типа и
удовлетворяет неравенству
Заметим, что в силу сделанных предположений функция s (г) представима
в виде
где 6 (г)—целая функция минимального типа, не имеющая корней в
полуплоскости $z>0.
Теорема. Пусть g(x)—вещественная целая функция
экспоненциального типа <; 0, для которой
U= sup
и пусть функция
f(x)-s(x)g(x)
Ф(х)
имеет чебышевское множество *), совпадающее с совокупностью корней
вещественной целой функции экспоненциального типа Q(z). Если
lim
и если значения отношения
fix)
Ф (X)
в вещественных корнях функции s (x) отличны от Lgi то для всякой целой
функции G(x) экспоненциального типа <<г, отличной от g(x), имеет место
неравенство LQ>Lg.
68. Среди всех целых функций F (z) экспоненциального типа <^ ст,
удовлетворяющих условиям
где число />0 и вещественные числа g, т] заданы, найти ту, которая
наименее уклоняется от нуля на вещественной оси.
Так как F (х) можно представить в виде
t
*) Не обязательно максимальное.

„ . ч ? cos ax risina
F°{X)= chat + shot
J
II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 355
где G(x)— целая функция экспоненциального типа <; а, то мы имеем здесь
частный случай задачи предыдущего п°, когда
s(x) = x2 + t*7 Q(x)=x + it, Ф(*) = 1, (o(z)=e-ioz.
Решением задачи является функция
ее уклонение —
>а функция Q (z) здесь равна cos а (г—у)» гДе Y — некоторая вещественная
постоянная.
В предельном случае, когда ?=0, вместо A) будут следующие условия:
F@) = a, F'(O) = b,
а решение примет вид
Fo (x)=a cos ox-\— sin ax.
Заметим, что попутно решен следующий вопрос:
Рассматривается совокупность всех вещественных 'целых функций / (г)
экспоненциального типажа, удовлетворяющих неравенству
Какова область значений, принимаемых функциями этой совокупности в
заданной точке it (t > 0)?
Полагая
находим, что искомая область ограничена эллипсом
При этом каждой внутренней точке отвечает бесчисленное множество
функций f (z)t а каждой граничной—только одна.
69. Даны комплексное число Л, положительное число с и натуральное
число п. Доказать, что при любом Г>0
"
Указание. Применить общую теорему Д67, беря
—с/
Экстремальная целая функция g(x) находится из равенства
*(*) _^
23*

356 ___ __ ДОПОЛНЕЦИЯ И ЗАДАЧИ
где параметры L > О и 6^0 определяются уравнением
~~есТ-*B1сГ=А.
При этом
Q (г)= (г+с/)»пв"<Г2в—(г—я')*п
70. Даны комплексное число Л, положительное число с и натуральное
число п. Опираясь на результат предыдущего п°, доказать, что
Ь) при Т->0 и /г>2
1 1 г
(x-ci)n ^ (x + ci)n J ^ с (п-\)\ е '
Обозначая через а, р два вещественных числа, можно представить
написанные соотношения в виде
b') при Г-»-оо и п>2
г ал:+Р 1 |/g2c2+p2 r^i
е~°т.
Формула а) указана С. Н. Бернштейном {II, 82}.
Докажем утверждение Ь). С этой целью возьмем выражение
где Lfc—положительные, а Ьи—вещественные параметры. Определим эти
параметры, так, чтобы
где g(x)—целая функция. Для этого мы должны решить следующую систему
уравнений:
2 * ~я"
П
^г\ ~"^ь 1 d ~~г
(г=/г —1, «—2, ..., 1).
Полагая
(k=l, 2, .... я),

П. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 357
приведем указанную систему к виду
где е^' = 0 [f~J • К0ГДа ~">°°*
Решение этой системы, как легко убедиться, имеет вид
Поэтому
Полагая
^Nfe -JTjc-i6A S x — Ci\k '
(/5=1, 2, ..., Я),
причем ЛЛ=Л, можем написать, что
откуда ч
*И |< S 9т \fkWK
и остается принять во внимание, что, в силу рассмотрений предыдущего, п°,
71. Дана конечная система узловых точек ? и в каждой из них
некоторое интерполяционное условие(
F(?)=Yo, l"(O-Vi. -.., f<r-1'(?)=Yr-i,
кратность которого г для каждой узловой точки своя. При этом
невещественные узлы и соответствующие интерполяционные условия являются попарно
сопряженными, а при вещественном ? соответствующие числа у вещественны

358 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
и кратность г—число четное. Класс всех целых функций F (z)
экспоненциального типа <; а, удовлетворяющих перечисленным условиям, назовем К°.
Требуется в классе Ка найти те функции, для которых уклонение
Lp= sup 1^(^I
—оо<эс<оо
имеет наименьшее значение [69].
Класс К° совпадает с совокупностью всех функций F(z), имеющих вид
FB)=Q(z)+P(z)Q(z)9 '
где G(z) пробегает совокупность всех целых функций экспоненциального
типа <; о, а Р (z)y Q (z) — некоторые многочлены, соответственно степеней
2/+ 2 и2/+1* вполне определяемые интерполяционными условиями, причем
Р(х)>0 (--оо<л:<аэ).
Задача всегда имеет решение. В том случае, когда минимальное
уклонение L превосходит значения \Q(z)\ в вещественных корнях Р (z), решение
единственно. Это решение, а также одно из решений, если единственности нет,
представимо в виде
где g(z)—многочлен степени 2h^2t, a p(z)—многочлен степени 'Ah.
72. Пусть сг>0, а>0л k—наименьшее целое число !>—. Если/7 (г)—
вещественная целая функция экспоненциального типа
-1<F(*)<1 (-oo<*<oo),
то разность
cos]/Aa2z2+a2—F(z) f N
либо тождественно равна 0, либо имеет по одному корню в каждом интервале
вещественной оси, в котором cos |^a2x2+aa изменяется между —1 и +1,
и, сверх того, самое большее 2k корней.
Хёрмандер [70]. '
Указание. Применить теорему Руше к разности
где0<8<1и8~>0 (см. Д58).
73. Пусть F (z)—вещественная целая функция экспоненциального типа
<! а, для которой
-1<F(*)<1 (
а) Если
где 0 < t < —, то при
и
справедливо неравенство

П. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 359
Ь) Если
F@)=cosc
то уравнение
не имеет ни одного корня в круге
и радиус этого круга нельзя заменить большим*).
Хёрмандер [70].
74. Линейный функционал ф определяется равенством
где хь и cffi—заданные вещественные числа, причем все х\ различны между
собою, a c?k Ф 0. Рассматривается совокупность К^ всех целых функций
F (г) экспоненциального типа <; а, для которых .
Ф[/7]=1С.
Требуется найти
L = min .sup |F(^>|f. - ' . .. . .
va — oo<x-<oo
а также функции^ на которых этот экстремум достигается.
Задача изучена в работе Боаса и Шэффера [69]. Основной результат
состоит в том, ч,то экстремальная функция существует и может быть
представлена в виде
где q(z), p(z)—многочлены степени h и 2Л, причем
771
Показать, что этот результат может быть получен из результата Д71.
75. Если целая функция f(z) экспоненциального типа'^я удовлетворяет
неравенству
I/WK1 (-со<^<оо),
то для всех вещественных х - : ' /
п
| ^ (п=0, 1, 2, ...)
т
Боас--Шэффер [69]. .
*) Последнее видно на примере функции
которая принимает значение 1 в точке zo=

360 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Доказательство. Возьмем интерполяционную формулу A) п° 84
при а=-н-» сг = л:
оо
п*>-4'2 <-*-ja
h——oo
Из этой формулы следует равенство
m=0
где
оэ
-5-2
Легко проверяется, что ^
(~\Yh{r)>0.
Поэтому равенство A) можно представить в виде
«1=0 fee—со
В частности, при четном я, полагая /(x^sin я#, найдем с помощью этого
равенства, что
Но в таком случае при любом п
п /
Можно показать, что при нечетном п в этом неравенстве знак = не
достигается.
76. Функция w=fg(z; a, k) (a>0, 0</5< 1) определяется в
параметрической форме через якобиевы функции:
спи
z~ а w~—со
snu
Доказать [71], что %{z\ a, k) есть четная целая трансцендентная
функция экспоненциального типа
_2/С'

IL ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 361
а также, что
%(г\ а, &)==1 —
Функция %{г\ а, ?) находит применение при решении следующей задачи
(С.^Н. Бернштейн {И, 99}):
Среди всех целых функций F (г) экспоненциального типа < а,
удовлетворяющих условиям
где Оо, а2—заданные вещественные числа, найти ту, которая наименее
уклоняется от нуля на вещественной оси.
Если выполнено одно из неравенств
то экстремальная функция имеет вид
Mcos}
где Мис@<с<я) определяются из условий
Mcosc=a0, —Ma2 ==«2»
с
так что для с получается известное уравнение
4 Если
то имеется очевидная экстремальная функция
a0cosTZ, A)
где
а0 .
тип которой < а. Таким образом, при а2 = О имеются две экстремальные
функции * ..
/lB)=-
Оказывается, что при
экстремальная функция также не единственна. А именно наряду с A)
экстремальной функцией, и притом точно типа о, является в этом случае также
функция ад %{z\ a, k), где k должно быть найдено из уравнения .
i
иЛ 1 _ Г — ——— —т г- • \ _ /"tt ггт—. r-rz =-!• ш, а

362 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
после чего а определится по формуле
2К'
а=-
а
* 77. Функция w~S(z) а, k) (а>0, 0<?<1) определяется формулами
z = a-
sn и dn и '
Доказать [71], что S (z; a, k) есть нечетная целая трансцендентная функ-
дия экспоненциального типа
^ К' . '
а '
а также, что
где
ф(Л) = 2/С' + 2A—2^2)B?/— /С') + BЯ'— /С'K-
Функция «f (г; а, ?) находит применение при решении следующей задачи:
Среди всех целых функций F (г) экспоненциального ^типа <; 0,
удовлетворяющих условиям "
F@)=0, F'@)=Af F"@) = 0
где а4, а3—заданные вещественные числа, найти ту, которая наименее
уклоняется от нуля на вещественной оси. »
Экстремальной функцией здесь является
MS (z;af к),
где параметры М, a, k находятся из условий'
78. Функция ш=§(г; a, fe) @<a</C; 0<&<l) определяется
мулами
_sn24cn2«+cn2asn2 и
~~ sn2 a — sn2 w '
^ = COSt^ + /C L H
Доказать [61], что *§(z\ a, k) есть целая функция экспоненциального типа
К' dn a
sn a cn a
Она обладает следующим экстремальным свойством:
Обозначим через Е точечное множество, образованное интервалами
(-со,.-1Ь [1, оо).
ов а и i
r, a;k)
Пусть при некоторых значениях параметров анЬ некоторой вещественной
константе М целая функция . • ' -

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 363
принимает в точках х±, х2 ( — 1<*i<*2<1) значения |ь g2- в таком*
случае для любой целой функции F (z) экспоненциального типа <; т,
удовлетворяющей условиям F(xj) = %i, F(x2) = ?,2i имеет место неравенство
p|
х?Е
где знак = достигается лишь при F (z) s / (г).
79. (Продолжение). Аналог задачи Е. И. Золотарева, относящейся к
многочленам [61]:
Среди всех целых функций F (г) экспоненциального типа < а,
удовлетворяющих условиям
\F(Q)=:cosa, /7'@) = sina,
где а—заданное вещественное число, найти ту, которая наименее уклоняется
от 0 на множестве ?."
Мы примем, что* ' "
л
так как при 2~<;а<0 достаточно заменить г на —г.
Экстремальную функцию обозначим / (г).
I. Если '
О<0<-|- и 0<tga<atgo A)
или
B)
то
. . " cosa
^ cosa Y(z-
где параметр % определяется из уравнения *)
C)
Не мешает*заметить, что, в силу этого уравнения, v
cosa . , sin a
*) Левая часть уравнения C) в случае A) изменяется ют Q-До atga при
убывании % от 1 до —1, а в случае B) — от Т) до .
когда Я убывает от 1 до 1 — -g^ .

/364 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Поэтому при а = -дг > а = -н- функция / (г) превращается в
2 л nz
П. Если
О<0<~2- и tga><rtga,
то
i oz
/(z)=cosacos0*+sina
III. Если
3t Я2
-y и t>
то
/(г)-MS(г; a, k),
где параметры a, k, M определяются из уравнений
0; a, fc)=cosa, M$'z@; a, /fe) =
_ К' dn a
tf sn a en a *
80. Теорема Винера —Пэли допускает следующее обобщение [72]: Для
представимости функции g(z) в виде
2 1
«) v г-
где or>0, v>0t h(t)?L?, необходимо и достаточно, чтобы
1) g(z) была четной целой функцией экспоненциального типа < ст;
•' 2) V. .
При этЪм
Если v = 0 или 1, получаются частные случаи теоремы Винера — Пэли.
81. Пусть f(z)—вещественная целая функция экспоненциального типа
< а, монотонная на вещественной оси и удовлетворяющая неравенству
sup I/WK1.
— СО<5С<ОО
В таком случае
-? (-оо<*<оо),
и знак = может достигаться лишь в однрй точке. Если ею является точка

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 365
* = 0, то экстремальная функция равна
Oz
2 Р 1—cost •
С. Н. Бернштейн {И, 85}.
82. Пусть f(z)—вещественная целая функция типа <! о порядка х/2»
монотонно возрастающая на полуоси 0<;#<оо и удовлетворяющая
неравенству
sup
Доказать, что в таком случае
где знак = достигается лишь в точке * = 0 и притом лишь на функции
1
Указание. Воспользоваться теоремами Д49 и Д80.
III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ
ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ
И ОТДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
83. Условимся применять обозначение En[f(x); X] (Ь>0)для
погрешности наилучшего чебыщевского приближения функции f(x) на интервале
[ — Я, Л] посредством многочлена степени п. Таким образом, E\f(x); X] =
= Enlf(kx); \) = En[f(Kx)].
Далее, обозначим через у (^ 1, 51 ...) корень уравнения
Теорема. Если т>уо*, су>0, то для любой функции g(z)?Ea
справедливо соотношение
\']O, A)
и это соотношение для всякой функции g (г) б Е^ (о^ > 0) иметь места не
будет, если 0<т<уо\
При g(z)?ba для справедливости A) достаточно более слабого
неравенства х > о\
С. Н. Бернштейн {11,91}.
Для доказательства заметим, что
En[g(x); X] = g*
А так как
оо
g (К cos в) = -^- + 2 ck cos Ш,

366 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ТО
Благодаря четности, периодичности и аналитичности функции g (к cos 9)
я
*n+ite(*cose)]< 2 1**1-
сА = — W(^cose)
я я
— ~^Г \ g (^ cos 0) eihddB = -zr \ ? (Я, cos [0 + /Л]) eift@+ift)d9, B)
—я —я
где h > 0 пока произвольно.
Под знаком последнего интеграла мы имеем ?(?), где
С = Я cos @ + ^Л) = X cos 6 ch Л—Л sin 0 sh h.
Если g(?) на вещественной оси ограничена, скажем, числом М, то
I - /?\ j ^ ^gXcjsin 9jsh h ^ Mgko sh Л
и мы получим для с^ оценку
В общем случае
Iff @1
= А (г) e^a+e) VbWfc-iime <
где е—произвольное положительное число, и для с& получается оценка
| ck |< 2Л (е) eA'@f+8>ch Ле-^л. D)
Соответствующие оценки величины Еп [g (x); Я] имеют вид
(У)
Еп [*g (х); к] < 2Л (в»*<в+в)ch Л^^ . D')
В формуле C') положим Я = —г где т>аив остальном произвольно,
а h > 0 выберем столь малым, чтобы
Тогда C') примет вид

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 367
В формуле D') положим Я = —, где х>ув. Затем выберем е>0так,
чтобы имело место неравенство
5= < 1,
и, наконец, положим h = \п(Уу2 + 1 + Y)» после чего формула D') примет вид
e-n(i-6)h
п 1 e
]<2Л()
Из этих рассмотрений вытекает справедливость первого и третьего
утверждений теоремы. • •
Чтобы завершить доказательство, остается привести пример целой
функции экспоненциального типа а, для которой при любом т <[ yd соотношение
A) не имеет места. Полагая для упрощения письма 0=1, покажем, что
такой функцией является g (z) = ez. Для этого рассмотрим интеграл
я . л п
. JL J ^coseei(n+i)ede=_^ J ^oo.e _ ^ A*co$M
—Я — Jt ft0
где Лд—произвольные числа. Левая часть есть бесселева функция порядка
я+1 от мнимого аргумента, а именно:
г=0
а правая часть, очевидно, не превосходит по модулю величины
Поэтому, беря произвольное положительное т < у и полагая X = — , мы
получим, что
Если выбрать какое-нибудь q между т и у, то для достаточно больших
п будет справедливо неравенство
In+l \ ~
и мы сможем воспользоваться асимптотической формулой *)
Величина
¦) См. монографию Ватсойа, стр. 254.

368 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
обращается в 1 при х = у и >Л, если 0<*<у. Отсюда и следует, что
llm E
П-юо
84. (Продолжение). С. Н. Бернштейну {11,84} принадлежит следующая
Предельная теорема. Пусть f(x) непрерывна на всей оси,
—оо<л;<оо, и пусть при некотором а]>0 величина Ma[f(x)\ конечна.
В таком случае для любого х^>уа справедливы неравенства *).
т Еп Г/(х); -^1 < "Ш5 Еп Г/(дс); ~1 <*ТН>[/<*>]. A)
оо L * J П-»оо L l J
Следовательно, если исключить не более чем счетное множество
значений т>уо% то для всех остальных х>уо
и, значит, ••)
gT[/] = UmEn Г f(x)\ -^ I . B)
Доказательство. Обозначим g*a(дг) существующую, в силу
условия, функцию класса Еа, для которой
sup |/(*)-*,(*)|<оо.
Затем положим F (x) — f(x)—ga (x) и покажем прежде всего, что тоорема
относительно / (х) эквивалентна теореме относительно F (х). Действительно, с одной
стороны,
Еп[Р(хУЛ]-Еп[ёа(х); %]<En[f(x);
*) Если / (х), сверх того, ограничена, то вместо неравенства х > уа
достаточно неравенство т>о\
Заметим также, что из неравенств A) вытекают следующие соотношения
0)
'lim lim Еп Г / (*);. -^—
/W; —^r-1 =lim lim ?„ Гf(x); ~~
8->0 n^y
**) В частности, это равенство справедливо для всех без исключения
9 если функция }(х) кроме непрерывности удовлетворяет соотношению
Ит sup |/(e*)-/(*)l=O.
6-И — оо<х<оо
Действительно, в этом случае, согласно лемме 2п° 99,

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 369
и поэтому в силу предыдущего п° при любом
ТЕ En[F(x)\ 1=ШЕп[Г(х);
n->oo L J n->oo L
En !>(*); -^1 = lim En [ f(x); ±
lim
n-»oo
а с другой стороны, при любом т > а
Доказанная эквивалентность приводит к тому, что исходную функцию / (х)
можно считать ограниченной:
11 / (х) 1 < М (— оо < х < со).
Возьмем многочлен
п
для которого
may I f / у>\ р ( г\\ — F
п п
где т > ст. Этот многочлен, очевидно, удовлетворяет неравенству
Поэтому, см. Д42, его коэффициенты допускают следующие оценки:
| <4") К 2Л1, | 4n) I < -^yj- tfe <*==1, 2 »).
Обозначим Е^ совокупность всех функций
2
о
коэффициенты которых удовлетворяют- того же вида неравенствам
j
^сно, что EfcEf Кроме того, для каждой функции
Поэтому совокупность Е^ компактна и замкнута. Так как введенные выше
многочлены Рп(г) принадлежат E^t то при любом п
я? [/W;^]<^»[/W; ~], О)
где, по определению, М^ [f (х)\ X] (X > 0) есть погрешность наилучшего
чебышевского приближения в интервале [—Я, %) функции /(*) посредством
функции из Е^. Заметим, далее, что при любом % > 0
Л?tfM; M<¦**[/<*)],
24 н. И. Ахиезер

370 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
где правая часть <оо, так как т>о\ Поэтому левая часть, которая при
возрастании % не убывает, имеет при X -> оо конечный предел. Этот предел
не может быть меньше, чем Mx[f(x)]. Действительно, допустим, что он
<^ [/(*)]— 8> гДе е—какое-то положительное число. Возьмем
последовательность функций gk(?) из Е^, для которых
I/<*)-**(*)!<<*? [/(*); ^1
где ^д—>-оо. Из этой последовательности выберем подпоследовательность
{?fc.}iLi» равномерно сходящуюся в каждой конечной части плоскости; для
предельной функции g (z) мы будем иметь в каждой точке х ? (— оо, оо)
неравенство
\f()gk^)\^
{->оо г i-юо
что, конечно, абсурдно.
Из неравенства C), таким образом, следует, что
Чтобы доказать второе из неравенств A), возьмем при выбранном т>0 какое-
нибудь q, заключенное между а и т, и функцию gp(z) из Ер, для которой
sup \f(x)—gf>(x)\ = Mp[f(x)].
—оо<зс<оо
Заметим, что функция gQ(x) на вещественной оси ограничена; поэтому, на
основании теоремы предыдущего п°,
lim En Гgp(x)\ ^-1=0.
Но мы можем написать неравенство
; т] •
где первый член правой части, очевидно, не превосходит Mp[f(x)]. Поэтому
и, приближая Q к т, мы получим второе из неравенств A).
85, Пусть Ш (см. п° ПО)—совокупность всех аналитических функций
F(z) (z=x+iy), которые
a) на вещественной оси вещественны,
b) в полосе —6<#<6 регулярны и удовлетворяют неравенству
Доказать, что при любом Т > 0 для любой функции F (z) б Щ
оо
а также, что в 31 существует функция (она оказывается периодической,
с периодом 2я/Г), для которой в написанном неравенстве достигается знак
равенства.

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 371
Указание. Воспользоваться результатом n° 111, в силу которого
оо
1 -A v
где
и применить неравенство
в,
из предельной теоремы С. Н. Бернштейна.
86, Доказать, что при Г-^оо имеет место следующая асимптотическая
формула:
Г 1 1 Г»-1 е~сТ
Т L (a:2 + c2)s J 2s 1 Г (s) I c*+i »
каковы бы ни были с > 0 и s ^ О
С. Н. Бернштейн {11,87}.
Ограничимся случаем 0<s<l. Вначале заметим, что*)
' • Ii-i.^Yb, Г—!— 1-
где
Теперь воспользуемся результатом а) Д44 для случая 0<s<;i. Мы
найдем, что
Г 1 2rtl-
j
СГ\ 2
«2 "Г
где
¦) Чтобы перейти от первого выражения ко второму, нужно сделать замену
/— Т
а для перехода от второго выражения к третьему—замену
х=2*2__1.
24*

372 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
если только правая часть последнего неравенства < 1, но это требование
будет выполнено для всех натуральных п при условии, что Т достаточно
велико, скажем, Т>Т0.
В таком случае для всех Т>Г0
' T J^2T(s) <*« [_!+ 2сТ
2п 1 > 7*~1 «~CT
«~CT Г1 5A-?)-|
Поэтому, на основании предельной теоремы С. Н. Бернштейна, для всех
Т>Т0
i i
i 5A—
2СГ
Остается воспользоваться тем, что при s > 0
¦*Г [ (X2 + C2)S J
есть непрерывная функция от Т, так как
(см. лемму 2 п° 99 и второе подстрочное примечание на стр. 368).
87. Обозначим через $Яр совокупность всех ломаных линий, вершины
которых имеют заданные абсциссы
A)
и крайние ординаты которых одинаковы. Пусть, далее, ЗОД^сЗЯ^ состоит из
тех ломаных, угловые коэффициенты звеньев которых численно не превосходят
числа /С>0.
Может случиться, что несколько последовательных звеньев ломаной лежат
на одной прямой. В таком случае они образуют одно «фактическое» звено.
Если некоторая ломаная 31==ЛоЛ1... Ар принадлежит 3J?p, но не
принадлежит 5Ш^, то можно искать в совокупности Ш^ ту ломаную 95 = B0Bi... Вру
которая наименее уклоняется от I в метрике С Существование этой
экстремальной ломаной 93 € $Яр очевидно.
Введем уравнения ломаных Щ и 93:
В таком случае уклонение 93 от Щ определяется как
L= max |/(*)-*(*) |
0^<2я
и, очевидно, равно
max \f(xm)—g(Xm)\.
m=0, i, .. ., p

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 373
Условимся еще считать все ломаные периодически продолженными вправо
и влево.
Теорема. Среди фактических звеньев аппроксимирующей ломаной $8
существует по крайней мере одно, скажем, BrBs @<s—г<р), для которого
g(Xs)-g(Xr)=±K(Xs-Xr) B)
и
f (x8)—g <*.)= ± L, f (xr)-g (xr)= =F L% C)
где верхний знак в равенствах C) соответствует верхнему знаку в равенстве
B), а нижний—нижнему.
Н. П. Корнейчук [73].
Так как из B) и C) следует, что
то погрешность наилучшего приближения функции / (х) ? $ЯР посредством
функции из множества УЛ^ удовлетворяет неравенству
L= min max \f(x)-g(x)\ = ±-{\f(xs)-f(xr)\-K\x8-xr\}*C
< max \i\f(x*)-f(x')\-K{xr-x')}. D)
88. Если F (x) — функция с периодом 2я, удовлетворяющая условию
Липшица
|F(*")-^(*')KI*"-*T @<а<1), A)
то при любом п > 1 существует тригонометрическая сумма Sn_4 (x) порядка
< я, для которой
max
и знак равенства здесь не может быть отброшен.
. Н. П. Корнейчук [73]*).
Последнее обстоятельство доказывается совсем просто. Действительно,'
возьмем функцию Fq(x), определяемую равенствами
которая, очевидно, удовлетворяет условию A). Так как разность
принимает свое максимальное значение -^- f — J с чередующимися знаками
*) Самому Н. П. Корнейчуку, а также А. Ф. Тиману [74] принадлежат
различные обобщения сформулированного здесь результата.

374 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
в 2/г точках интервала [0, 2я), а именно в точках
» п_ 2я Bя—1) дт
U' л ' л ' "•' п
постоянная -^- f — J есть для Fo (*) наименее уклоняющаяся тригоно-
1 / л \а
метрическая сумма порядка < л, а величина -рг ( — ) есть наименьшее
уклонение.
Чтобы доказать первое утверждение, т. е. неравенство B), впишем
в кривую
то
ломаную
y=fp(x) C)
класса ЗИр. Затем положим /С=а ( — J и найдем в классе SER^ ломаную
наименее уклоняющуюся от ломаной C). Так как fp(xm) =
(т=0, 1, ..., р), то, в силу неравенства D) предыдущего п°,
L= max \fp(x)-gp(x)\^ max -i{| F(x")-F (x')\-K (*"-
Но функция gp(x) абсолютно непрерывна и ее производная почти всюду
удовлетворяет неравенству
Поэтому (см. п° 103) найдется тригонометрическая сумма ,SCn-^ {x\ порядка
<л, удовлетворяющая неравенству
max I
а в таком случае
Будем теперь неограниченно увеличивать р, .выбирая точки xm—xffi так,
чтобы диаметр разбиения интервала [0, 2я] стремился к нулю при р—>-оо.
При этом fp(x) будет равномерно стремиться к F(x). Тригонометрическая
сумма S/n-i(x\ очевидно, зависит от р, но из совокупности всех этих сумм
можно выбрать последовательность, равномерно сходящуюся к некоторой
тригонометрической сумме, которую обозначим Sn^i (x). Делая в соотношении
D) предельный переход, мы и получим требуемое неравенство B).

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ
375
89. Свои теоремы об аппроксимации дифференцируемых функций
Д. Джексон доказал, оперируя аналогичным фейеровскому интегралом
i\fix+t)
nt
; г
Я Sill у
dt,
где
dt.
Валле-Пуссен ввел в рассмотрение родственный интеграл
5 '0+W*
о котором мы упомянули в п° 71. С этим интегралом связан «множитель
сходимости»
D(a)=
1
О (а>2). * -
Если f(x)—периодическая функция с модулем непрерывности ©(б), то
где
есть ряд Фурье функции /(*).
Для функции, удовлетворяющей условию Липшица, оценка A) в четыре
раза хуже наилучшей, как это следует из Д88.
Доказательство A) получается с помощью представления
Это представление позволяет получить для

376 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
оценку, в которой вместо модуля непрерывности <оF) фигурирует величина
а>* F). В частности, неравенство
1/М-М*) |<const-?•
имеет место, если / (х) удовлетворяет условию Л*, а не только при / (х) € Lip 1.
В связи с этим см. [33].
Положим
2п-1
Если f(x) имеет непрерывную производную порядка г> 1, то
90. Метод Джексона применим также к функциям, неограйиченно
растущим при ± х —> со. Нужно лишь, чтобы ядро К (х) интегрального оператора
со
Knf(x)=R J f(u)K(R(x-u))du
достаточно быстро убывало на бесконечности. Кроме того, ядро К (х) должно
быть целой функцией экспоненциального типа.; Чтобы построить такое ядро,
убывающее при ± х —> оо быстрее, чем единица, деленная на любой
многочлен, зададимся, следуя С. Н. Бернштейну, последовательностью t\ > 0
(А=1, 2, . . .), для которой
и положим
" sin2 ( -тг
где
Таким образом, Bn(z) есть целая функция экспоненциального типа
l
Последовательность функций Bn(z) (я=1, 2, 3, . . .) равномерно
ограничена на вещественной оси и равномерно сходится в каждом конечном
интервале этой оси. Поэтому она сходится равномерно в каждой конечной части

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 377,
плоскости и предел есть целая функция экспоненциального типа < 1. Этот
предел не будет тождественным нулем, так как Яп@)=1 при любом /г.
Вводя множитель С для нормировки
J B(x)dx=l,
—со '
ПОЛОЖИМ
и назовем В(х) ядром С. Н. Бернштейна.
Теперь при любом R > 0 и любом натуральном s построим интегральный
оператор типа Фейера, определяемый равенством
V
8
= I
h—1
и имеющий смысл во всяком случае на всех измеримых функциях, растущих
не быстрее многочлена.
Отметим некоторые свойства оператора /Сд, 5. С этой целью положим
Эта функция ? Ед, причем
1°. Если при некотором а>0
A + 1-
то при любом R^> 1
|g(*)l
-<А8,аМ (-
где ASiG зависит лишь от указанных параметров, и можно, например,
положить
2°. Если f(x) есть многочлен степени <s, то g(x)f()
91. С помощью введенного в предыдущем п° оператора доказать
следующее предложение:
Если функция /(*)(—со<#<оо) имеет непрерывную производную
порядка г, растущую не быстрее, чем A + |*|)а, а>0, то при любом
найдется целая функция g(x) экспоненциального типа <[i? такая, что
' <C WQ (т ; /СГ)) (°о<х<сю) A)

378 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
где Qa ( -jT; /(Г) ) — обобщенный модуль непрерывности функции /(Г> (*),
а Сг, а—константа, зависящая только от написанных параметров.
Указание. Взять g (х) = KRt 8f (х) с каким-нибудь s > г. При этом для
CTi а получится оценка (см. предыдущий п°):
г» s^s. г\ * лз, а+г+1*
92« Конструкция ядра С. И. Бернштейна (Д90) содержит произвол,
связанный с выбором последовательности {tk}™. Этот произвол может быть
использован с помощью одного построения В. А. Марченко [75]. А именно,
можно задаться произвольной четной непрерывной функцией Р(*)
(—оо<х<оо), Э@) = 1, монотонно и неограниченно возрастающей при
j х \ —> оо, лишь бы
а затем с помощью упомянутого построения по этой функции определить
последовательность {^]
соответствующее ядро i
летворяло неравенству
последовательность {^}J° так, чтобы при любом б > 0 и любом натуральном s
соответствующее ядро В(х), его назовем ядром Бернштейна—Марченко, удов-
^ ^^ <-СО<*<00),
где CsF) при возрастании б не возрастает. Благодаря этому результату
можно дополнить теорему предыдущего п° следующим образом: если ядро
В(х)у с помощью которого в указанном п° строится целая функция g(x)=
=KR,sf(x)i есть ядро Бернштейна—Марченко, и если f(x) совпадает в
некотором интервале
(— со<а, (
с многочленом степени < т, то при s > max {г, m} в каждом замкнутом
подынтервале
+&—в
будет выполняться для любого /?>- 1 неравенство [76]
где
М= sup
| х\)х '
, 8 (s) зависит только от указанных параметров.
93. Теорема. Ест функция К(х) имеет при —оэ<я<зт абсолютно
монотонную *) производную /С' (х) и если тригонометрическая сумма S (х)
*) См. определение в п° 77.

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 379
порядка <п с периодом 2я удовлетворяет условиям
К(хг) = 8(хг) (/=1,2, ..., 2/г —1),
еде
то произведение
{
не меняет своего знака в интервале (—я, я).
В. К. Дзядык [77].
Важное свойство функций, абсолютно монотонных, в интервале —оо<
<*<я, установленное С. Н. Бернштейном {1,35}, состоит в том, что для
каждой такой функции / (х) можно построить бесконечную последовательность
экспоненциальных полиномов
т
А + 2 VA* (Л > 0, Ak >0, ak >0), A)
равномерно сходящуюся к f (х) в любом интервале (—-со,ч а—е], 8>0.
Благодаря этому свойству можно ограничиться доказательством теоремы
Дзядыка для функций вида
— т
^^Аье"**. (V)
Действительно, если последовательность экспоненциальных полиномов A)
сходится согласно теореме Бернштейна к К' (х) в интервале (—со, я), то
последовательность функций A') при подходящих свободных членах будет
равномерно сходиться к К (х) в любом замкнутом интервале,
принадлежащем полуоси (—со, я).
Основою доказательства является следующая
Лемма. Пусть F (х) (—оо < х < а)—монотонно возрастающая
функция с монотонно возрастающей производной F' (*), а Т (х)—вещественная
конечная тригонометрическая сумма с периодом 2я, и пусть подсчитанное
с учетом кратностей число корней разности
в интервале (Ь—2я, 6], &<а, равно N. В таком случае в некотором
интервале (pi—2я, bi), где &!<!&, функция
O'(x)=F'(x)—T'(x)
имеет по крайней мере N корней.
С помощью повторного применения леммы получаем такое
Следствие. Пусть F(х)—вещественная функция с абсолютно
монотонной производной на полуоси —оэ<;х<а, а Т(х)—вещественная
конечная тригонометрическая сумма с периодом 2я. Пусть, далее, известно, что
разность
F(x)-T(x)
имеет N корней в некотором интервале (Ь — 2я, 6], Ь<а. В таком случае
при любом натуральном г найдется такое бг > 0, 6г+1 !> бг, что в том же
интервале F —2я, Ь] имеет по крайней мере N корней разность
—бг).

380 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Чтобы доказать теорему Дзядыка в ее редуцированной форме, положим
40 5* 0, ЛА>0, аА>0, ? = 1,2, ...,т).
Пусть Г (х)—тригонометрическая сумма, с периодом 2я, порядок которой
точно п—\ (л> 1). Мы докажем, что число корней разности
.К(х)-Т(х)
в любом интервале Bя—а, а] не превосходит 2/г—1. Тем самым мы докажем
даже больше того, что нам доказать надлежит.
Итак, допустим, что упомянутое число корней > 2/г. На основании
следствия леммы найдем бесконечную последовательность функций
К<п(*_вГ)-Г<п(*_вГ) (г= 1, 2, ...), B)
каждая из которых имеет в интервале Bл:—а, а] по крайней мере 2/г корней.
Разделим разность B) на
и полученную функцию обозначим Fr(x); она имеет вид
Здесь
если принять, что исходная тригонометрическая сумма имеет вид
где, по условию, В Ф 0.
m
Так как все Я^ (/ = 0, 1, ..., т) положительны и ^ ^jr^=b то из
последовательности {Fr(x)}™ можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность {Frk(x)}<^=:i таким образом, что предельная функция
будет иметь в замкнутом интервале [а—2я, а] по крайней мере 2/г корней.
При этом
Ao + *i+...+Xm=l. *J>0 (/=0, 1, ..., m).
Этот результат явно абсурден при Я0 = 0, а также при Яо =^= 0,
Я1=Я2=.. .=^=0. Он абсурден и в последнем возможном случае,

Ill, РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 1 381
когда Xq Ф 0 и А1 + Х2+ ... + Ат =? 0, в яем можно убедиться, рассматривая
дуги кривой
y=BK0cos[(n— \)х+у],
лежащие в интервале [а—2я, а] над осью абсцисс, и пересечение каждой
такой дуги с графиком функции, положительной вместе с двумя своими
первыми производными во всем интервале [а—2я, а].
94. Пусть /С (t) есть т >- 1 раз непрерывно дифференцируемая
периодическая функция, для которой
л;
J
-я
и пусть Kim)(t) продолжается из интервала [—я, я) на полуось (—оо, я)
до функции k (/), имеющей абсолютно монотонную производную k' (t).
Обозначим через М класс функций f(x), представимых в виде
)= \ K(x-t)h(t)dt,
—я
где
vraimax |/*(*)!< l'
В таком случае при любом натуральном п найдется такое у € [0, я),
что
я
) sign sin (nt-y)dt
\ K(t) si
95. Обозначим через Ms (s > 0) совокупность всех периодических
функций /(*)> имеющих производную fiS)(x) в смысле Вейля, удовлетворяющую
неравенству
vrai max | /<s> (x) |< 1.
Это значит (см. п° 78), что
я
f(x)= —S" I 4s(*-t)h{t)dt,
— Я
где
В таком случае при любом натуральном п
4 sin-у

382
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
\ Ф« @ sign sin (я*—y)dt
— л
nns
sin
где у € [0» it) и удовлетворяет уравнению
m=0
В. К. Дзядык [77].
Эта теорема полностью решает задачу, поставленную в 1937 году
Ж. Фаваром [78], и доказывается с помощью общей теоремы предыдущего.
Для этого нужно воспользоваться представлением (см. 78)
верным при — я<^<я и 0<s<l.
Из этого представления и формулы
следует, что при 0 < s < 1 производная от — — ф« (— /) продолжается из
интервала — я< ^< я на полуось (—со, я) до абсолютно монотонной функции»
При 0 < s < 1 эта абсолютно монотонная функция имеет вид
^-i [Bk+\)n—t]*~s •
ft—0
Если s>l, то нужно еще воспользоваться тождеством
dm
где m<s.
96. Пусть /г (г, ф) в круге 0<;г<1 гармонична и удовлетворяет
неравенству
\h(r, Ф)|<1 @<ф<2я).
Пусть, кроме того,
h(r,
=0, 1, 2, ..., я-1).

IIL РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ
383
Доказать, что в таком случае
I *'('. Ф) I < ^ arctg гП> I ^ (г, ф) |< |- In yfc^ ,
и найти экстремальные функции (ft (г, ф) тригонометрически сопряжена
с h (г, ф), как функция от <р).
М. Г. Крейн [79] и С.-Надь [29].
При я= 1 первое из этих неравенств было найдено Шварцем, а второе
Кобе.
d
97. Полагая D = -^-, рассмотрим дифференциальные операторы
L=(D*+a±)
где 04, а2, ..., аг—вещественные числа, для простоты различные между
собою.
Пусть f(t) и g (t) — периодические функции с периодом 2jt такие, что
1) функции a(t)=Lf, b(t)=Mg определены почти всюду и
vraimax | a (t) [< 1, vrai max \b (t) \< 1;
2) имеют место равенства
f(t)eik*dt =
=0, 1, 2,
П-1).
Доказать, что в таком случае при
лз > max {04, <х2, ..., аг}
имеют место неравенства *) у
г
i/(oi< S
2 sin2
4/г
' (ал)
\g(t)\<
у
где
(о(г)=B--а1)B—а2) ... B—аГ), QB) = 2
и найти экстремальные функции.
*) Эти неравенства [80] можно рассматривать как обобщение неравенств
Бора.
Здесь оператор L содержит производные только четного порядка, а
оператор М только нечетного.
Для дифференциальных операторов общего вида с постоянными
коэффициентами аналогичный, но несколько менее полный результат получил
М. Г. Крейн [79].
Обобщению неравенств Бора в другом направлении посвящен Д102.

384 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
98. Пусть К (t) удовлетворяет тем же условиям, что и в п° 103.
Обозначим через V класс функций
я
/(*)= ^K(x-t)dh(t),
—Я
где h (t) пробегает совокупность всех вещественных функций, подчиненных
условию
я
Var h(t)= [ |?to(*)|< 1.
—я
я
Введем также подкласс V°CZV, для элементов которого \ dh(t)=O.
—я
Будем рассматривать задачи о приближении в метрике L( — я, я) при
дополнительном требовании, чтобы тригонометрическая сумма была всюду
не меньше, соответственно не больше, аппроксимируемой функции [81]. В
обозначениях соответствующих погрешностей мы будем это отмечать знаком +,
соответственно —; например,
fftvi fiiV}, f-n{v°}.
Аналогично теореме п° 103 доказывается следующая
Теорема. Пусть ядро К (t) обладает следующими свойствами:
a) 'J K(t)dt=O;
— Я
Ь) при некотором у € I 0, —^ I существует тригонометрическая сумма
n—i(t) порядка <; п—1, удовлетворяющая соотношениям
где *)
2я
w такая, что разность
меняет своего знака в интервале (— я, я).
В таком случае
п-1 п-1
r==0
*) Ядро K(t) предполагается заданным в открытом интервале (—я, я).
Поэтому, если y = 0> то п°Д ^C(Yo) понимается /С(—я + 0). Аналогичное
2я
замечание должно быть сделано относительно К (Yn~i) ПРИ Y ^ ~7Г -

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 385
п-1 п-1
r=0 r=0 - .
99. (Продолжение.) Пусть ядро K(t) удовлетворяет условиям теоремы
[2л ~|
О, ~-^~ , причем
п-1
г=0
г=0
В таком случае
Jt{V}=Jn{V}=max{A9 В},
1
Доказательство. Произвольную функцию g(x)$V можно
ставить в виде
Я Л Л
g(x)= 5 K(x-t)dh(t)= J X(x-/)dA+(i)- J K(x-t)dh~(t),.
где fc+@ и Л"" (/)—неубывающие функции такие, что
J ал+ @=вь J dA- @=в2,
—Л -Л
и если g(*NV0, то 01=в2<-2"
Обозначим тригонометрическую сумму ^7l_i(^) предыдущего п°, отве-
щую числам а, р, соответственно Un-i(t)t Vn^i(t)t так что
чающую
я
r+[tf]=jj {Un-iW-KWdt^A,
—я
я
Затем построим новую тригонометрическую сумму порядка <^п 1
—п —Я
1 25 Н. И. Ахиезер

386 : :' * .. дополнения и задачи
и составим разность
п
¦ - + J {K(x-t) - Кп_! (х - t)} dh~ (t),
•-•' ' , — я
которая, очевидно, ]>0. Поэтому
\
—я
Отсюда следует, Что
B)
¦ C)
Такие же неравенства получаются для &n{V} n У^ {V<>}.
Теперь докажем, что в этих соотношениях знак < надлежит отбросить.
. Применительно к B) это озевидно'Г так как каждая из функций ± К(х)
принадлежит V, и наряду с равенствами A) справедливы также равенства
Обращаясь к соотношению C); возьмем в классе V0 функцию
для которой
Пусть тригонометрическая сумма Sn-i(x) порядка </г—1 удовлетворяет
неравенству
Sn-.i{x)-g0(x)>0.
Свободный член 5n_i (x) равен
)
Поэтому
и следовательно, знак < в -неравенстве C) невозможен.
100. Доказать, что:
1°. Для ядра

II. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕ НИИ 387
существуют оба числа а, Р теоремы предыдующего n°, a именно а =—,
Р = 0; при этом
2°. Для ядра
существует число а, а именно а= —; при этом
n-i
А=— у. ln^sin^^tlrt^— 1п2=—
л ^J V 2п , J п п
101. Рассмотрим классы дифференцируемых функций
(V?) /W=4" J
*r+i (*-*><» (о,
где .
—rt —rt
При r >¦ 1 можно проинтегрировать по частям:
я
—я
я
Следовательно, V? и V?(rJ>l) представляют совокупности г—1 раз
дифференцируемых периодических функций /(*), для которых /<г~1>(^),
соответственно J^""* (*)> ^ть интеграл от периодической функции, имеющей
на интервале периодичности полную вариацию <; 1.
Доказать, что к классам V$, tf$ применимы теоремы Д99, и получить
выражение для погрешностей наилучшего приближения: * 1 ч^
-1. 2. 3. ..,)
25»

388 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
где
Hr = max фг+1 @ -min фг+1 (*) < -^-,
ЛГГ = max "фг-н @—min ipr+1 @ < ^ •
102. Пусть вещественная периодическая функция /(*) удовлетворяет
следующим условиям:
а) при ±k = 0, 1, 2, ..., л—1
—л
b) /(jc) является (г — 1)-кратным интегралом от функции /<r-i> (x),
имеющей ограниченную вариацию в интервале длины 2я (при этом /<г"~2> (л:)
в точках разрыва определяется как среднее арифметическое из предельных
значений справа и слева, г — число натуральное);
c) при — <<<
иначе говоря, разность /<г~1>(*)—д: есть невозрастающая функция в
интервале [—л, я).
В таком случае *)
A inf Фг @ < / (х) < Jr sup Фг @ A)
и эти неравенства являются точными.
Доказательство. По условию,
-Л
Так как, кроме того,
л
*) Не мешает напомнить, что
inf ф! @ = —y 9 sup ф1 № = Т
inf % @ = —сю, sup % @ = In 2.

Ill, РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 389
ТО
я
/(*)=—5"
-я
я
\ ~
-я
где
А(*)»=*
и, значит,
h(y)-h{x)>0 (-
Возьмем теперь тригонометрическую сумму Wn^i(t) так, чтобы
выполнялось неравенство
Тогда
я
~J [Vn_i(x-< + n)-1>r <*-< + *)]<»<<)< 0.
—я
й значит,
я
/(*)<4" J ^"-i@~фг(<)]dL
—я
При наилучшем выборе тригонометрической суммы Wn-i(t) получим, что
Но (см. формулы A) Д99)
где ! = /ш — rt. Из определения числа а и соотношения ф^ (/) = фг-1 (t)
вытекает, что Фт-(!) = 8ирфг (t), если /*>2; это, однако, остается в силе и при
/• = 1, как было отмечено в Д100.
Остальные неравенства доказываются аналогично.
2
Для функции Ы*)=—гФг(л*) оба неравенства A), B) нельзя улучшить.
Эти неравенства представляют обобщение неравенства Бора. Первое из них
принадлежит Хёрмандеру [27].
103. В пространстве L(—оо, со) дано некоторое множество ЗЯ,
обладающее тем свойством, что, какова бы ни была точка и (—оо<и<оо), в ffi

390
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
найдется по крайней мере одна функция, преобразование Фурье которой
в точке и не равно нулю. Пусть, далее, для некоторой измеримой
ограниченной функции a(s), -roo<s<oo, имеет место равенство
при любой функции [/
Нт [ f(T—s)a(s)ds==;A [ f(t)dt
Г J J
, где Л —некоторая константа. В таком случае
lim \ g(T—s)a(s)ds =
T-+00 J
—oo
g(t)dt
при любой функции g(s)?L(— оо, оо).
Это —так называемая общая тауберова теорема Винера [82].
Доказательство; Щяъ, произвольное число е>0, мы можем
на основании винеровои 'теоремы аппроксимации (п° 76) выбрать такие
функций fi?$Jl и такие с^, Xti, что ~
g @ -
Поэтому
{ft
<е
A)
< sup I a (s) |
Следовательно, Л
, , Tim
—-00
Отсюда, в силу A),
- lim -
ik -оо
ift
ik -OO
-A^ g(t)dt
<6-sup[a(s)|.
<esup|a(s)
<в(вир|а(*)| + |Л|).
А так как е > 0 произвольно, то левая часть равна нулю, что и требовалось
доказать, ...... .

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 391
104. Функцию а ($) (sq < s <oo) называют слабо убывающей, если она
вещественна и
lim
Такова, например, функция s+ctfss+cos(lns).
Пусть a(s) слабо убывает и
Hm a(s)>6>0 (соответственно lima(s)< — б<0).
Доказать, что существует бесконечная последовательность интервалов
(%> *п+б), ^лт->оо, фиксированной длины е, в которых
а(s)>"о" ( соответственно a(s)< s- J .
105. Пусть множество $RdL(—со, оо) удовлетворяет условию Д 103,
а a(s)( — оо < s <оо) — некоторая ограниченная слабо убывающая функция.
Если . *
со оо
lim \ f(T—s)a(8)ds = A [f(t)dt A)
—оо —оо
для каждой функции /^ЗЯ, где А—константа, то
lim a(T) = A.
Т -? СО
Питт [83]. ¦
Доказательство. Положим
где
а А,— произвольное положительное число. На основании тауберовой теоремы
Винера из условия A) следует, что при'любом ?>0
Г -> оо
—оо
ИЛИ
со
Kh(KT—Xs)a(s)ds=A
. lim X \ {a(s)—Л}^5=0. - B)
Полагая
мы должны доказать, что
lim 6(Г)=0.
Т->оо .

392 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Для этого достаточно доказать, что
и
S-+CQ 8-*- 00
Чтобы доказать первое утверждение, допустим, что
Um 6(s)>6>0.
8 -> оо
Так как b(s) слабо убывает (вместе с a(s)), то, в силу предыдущего п°,
существуют интервалы (хп, *л+е), %->оо, в которых 6 (s) > -^. Поэтому
Т («=1.2,...),
что противоречит равенству B) при Я=— .
Таким образом, первое из неравенств C) доказано, и аналогично
доказывается второе.
106. Пусть ф(х), 0<!*<оо —неотрицательная неубывающая функция»
Если интеграл Стилтьеса
оо
/ (s) = \ e-sudq> (и) (s=а+it)
сходится при о > 1 и если существует такая константа Л, что разность
А
*<*)=/<«)—
s—1
при 0->1 + О стремится к конечному пределу равномерно в каждом
конечном интервале прямой <т=1, то
т-»оо е
Теорема принадлежит Икеара [84].
Доказательство* Прежде всего заметим, что
f(s)—s \ e~suy(u)du—ф@).
Действительно, при любом
JV
О
откуда видно, что существуют как

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 393
так и
lim e~aNq>(N)
и этот последний предел, очевидно, может равняться только нулю, так как
иначе предыдущий интеграл расходился бы.
На основании сделанного замечания* мы можем с самого начала исходить
из интеграла
F(s)=f е~™ <p(u)du A)
о
и разности
G(s) = F(s)-T^T. B)
Пусть е>0, Т—вещественный параметр, п — натуральное число.
Вспоминая формулы, относящиеся к ядру Фей ера, нетрудно получить на
основании A) и B) следующее соотношение:
п
А_ Р /\ | у\
2я J V n
г cos vT + v slnvT
В этом соотношении совершим предельный переход по 8.
Легко видеть, что указанный предельный переход можно произвести
под знаками интегралов. Во втором интеграле правой части это очевидно,
в левой части —на основании условия теоремы и, наконец, в первом члене
правой части потому, что при е -> 0 подынтегральное выражение не убывает.
Итак,
sin2— (T и)
2
о
пТ
А А Г sin*
На основании теоремы Римана—Лебега, левая часть стремится к 0 при Г—>¦ со»
Последние три члена правой части в пределе дают—А. Поэтому
' » sini-f (Г-и)
r!?oo«ij (Г=7О2 Ф(«)е-ий« = >1 (п = 1, 2, 3, ...)• C)
26 н. И. Ахиезер

394 • ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Покажем, что на основании этого соотношения функция
°(S) \ 0 „ <s<0)
ограничена и слабо убывает.
Действительно, в силу C) для п = 1 существует такое Го, что при Т > То
1 J
а значит, и подавно
1
— \ a(T + 2v) Sm2V dv<A+\ (T>T0).
О
Л так как
то, следовательно,
1
1а(Г) [ e-**2^d0<A+\ (Г>Т0),
откуда при Г>Г0
Таким образом, a(s) ограничена. С другой стороны, при
Второй множитель правой части стремится к нулю вместе с t—s, а
первый множитель, по доказанному, ограничен; отсюда следует, что a(s) слабо
убывает. "
Теперь уже легко закончить доказательство теоремы Икеара. Равенства C)
имеют вид
оо
lim \ fn(T-s)a(s)ds=A (n-=l, 2, 3, ...),
—схэ
где
Здесь a(s) —ограниченная слабо убывающая функция, а последовательность
{/л(s)}i° образует множество $RaL(—со, оо). Так как
(|я|>л),

III. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ 395
то не существует ни одной конечной точки, в которой равны нулю
преобразования Фурье всех функций из 3D1?. Тауберова теорема предыдущего п°
применима, и значит,
lim a(T) = A,
Т-> оо
lim
т->оо ет .
Таким образом, теорема Икеара доказана. Заметим, что
эта теорема играет важную роль в аналитической теории
чисел. С ее помощью на основании элементарных
свойств дзета-функции Римана легко доказывается
знаменитая асимптотическая формула
х Рис. 14.
~ In х
для числа простых чисел натурального ряда, которые не превосходят х.
107. Пусть о (и), l<w<oo, неубывающая положительная функция,
и пусть интеграл Стилтьеса
h(x)=[ dG(u)
l
существует при #>0; если
, , ч Н\пх . А . , .
h (х)=—-~ +— + g (х)ч A)
где Н и А—константы, и
$
ТО
Карлеман [85].
Доказательство. Возьмем комплексное число s, для которого
1 < Ш < 2, и вычислим интеграл
а
где 0<а< 1. Легко видеть, что
оо оо оо а
? h(x) , ? da(u) f f dx (
\ —^T" "X— \ < \ —(—-j-—г—^=— \
J a I Ms~1sinn(s—1) J (« + x)a;8-i
1 0
1
С другой стороны, с помощью контурного интегрирования (рис. 14) мы находиму
26*

396 ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
что
- .. а
dx a*~senU р е*вB-«)
J ( + ) "" 2sinjt(s—
0
и, в силу A),
p F lnx , A
dx
На основании написанных соотношений,
где G(s)—некоторая функция; которая при 9is->l стремится к конечному
пределу равномерно в каждом конечном интервале прямой fRs= 1. Так как
1*^=1 е-'dole'),
t О
то, в силу теоремы Икеара,
lim 2ЙЭ=Я
или
Теорема Карлемана доказана. Заметим, что эта теорема играет
существенную роль при нахождении асимптотического поведения собственных значений
дифференциальных операторов в частных производных методом, который
в тридцатых годах был предложен и разработан Карлеманом.

ПРИМЕЧАНИЯ
11] М ц n t z} Ueber den Approximationssatz von Weierstrass (Schwarz —
Festschrift, 1914). Обобщение на случай невещественных pk принадлежит
Сасу: О. S z a s z, Ober die Approximation stetiger Funktionen durch
lineare Aggregate von Potenzen (Math. Ann., 77, 1916); по этому поводу
см. Д5.
[2] Vallee-Poussin, Sur les polynomes d'approximation et la
representation approchee d'un angle (Bui. Ac. Belgique, 1910). Там
рассматривается аппроксимация многочленами и тригонометрическими
суммами. Обобщение теоремы Валле-Пуссена в другом направлении дал
С. Н. Бернштейн {Э. С.}.
[3] П. Л. Ч е б ы ш е в {III, стр. 363—372}. См. также Н. И. Ахи.езе pi,
Ueber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von
Null abweichen (Известия Казанского физ.-мат. общества, 1928).
[4) Е. И. 3 о л о т а р е в {II, стр. 1—59}, П. Л. Чебышев {III, стр. 240—
255}. См. также Н. И. Ахиезер,. Ueber eine extremale Eigenschaft
rationaler Funktionen (Сообщ. Харьк. мат. общ., 1933)«и Bemerkungen
uber extremale Eigenschaften einiger Bruche (там же* 1935).
[5] W. С a u e r, Ein Interpolationsproblem fur Funktionen mit positivem
Reellteil (Math. Zeitschr., 38). См. также W.Cauer, Theorie der linea-
ren Wechselstromschaltungen. (Akademie Verlag, $erlin, 1954). . ;
[6] A. H a a r, Die Minkowskische Geometrie und die Annajierung -a^n stetige
Funktionen (Math. Ann., 78). При доказательстве достаточности своего
условия А. Хаар пользуется теорией выпуклых тел. В пр 44 дано
доказательство, которое основывается на идеях П. Чебышева и
А. Маркова. , • *
А. Н. Колмогоров перенес теорему Хаара на комплексные функции;
см. его статью «Замечание по поводу многочленов П. Л. Чебышева,
наименее уклоняющихся, от заданной функции» (Успехи матем. наук,
вып. 23, 1948). Относящимся сюда результатам А. Н. Колмогорова
посвящены п°п° 47, 48. По поводу проблемы Хаара см. также: С. И. 3 ух о-
вицкийиМ. Г. Крейн, Замечание об одном возможном обобщении
теорем А. Хаара и А. Н. Колмогорова (Успехи матем. наук, вып. 35,
1950),
[7] На связь задачи п° 45 с проблемой А. Хаара внимание автора-обратил
М. Г. Крейн. По поводу некоторых других проблем,, связагнныхс
системами п° 45, см. статью М. Крейна «I-проблема в абстрактном линейном
нормированном пространстве» (Н. АхиезериМ. Крейн, О
некоторых вопросах теории моментов, ДНТВУ, 1938) и Е. Ремез,
Про методи найкращого в розумшш П. Чебишева наближеного
представления функщй (АН УССР, 1935). См. также фундаментальный труд:
Е.Ремез, Общие вычислительные методы чебышевского
приближения. Задачи с линейно входящими вещественными параметрами
(АН УССР, 1957). s ' ^

398 ПРИМЕЧАНИЯ
18] D. Jackson, A general class of problems in approximation (Amer.
Journ. of Math., 46, 1924).
Джексон рассматривал случай, когда f\(x) =* х*-1 (/ = 1,2,..., /г).
Приведенное в тексте доказательство является легкой модификацией
доказательства Джексона. Другое доказательство читатель найдет
в статье М. Г. Крейна, цитированной в [7]. См. также статью: V. Р t а к,
ь
On approximation of continuous fonctions in the metric \ \x (t)\dt (Cas.
v a
pro pest, mat., 83, 1958, Praha).
{9] П. Л. Ч е б ы ш е в {II, стр; 244—313} и комментарий в том же томе,
стр. 507—514.
См. также А. А. Киселев и Л. А. Онуфриев а, Применение
биортогональных систем Чебышева и Маркова для приближения
функций (Исследования по современным проблемам конструктивной теории
функций, Физматгиз, 1961).
Статья А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева включена в собрание
сочинений Е. И. Золотарева, см. {I, стр. 138—153}.
[10] А. А. М а р к о в, О предельных величинах интегралов в связи с
интерполированием (Зап. Академии наук, VIII серия, т. VI, 1898).
[11] R. P. Boas, Ir., Interference phenomena for entire functions (Michigan
Math. Journal, 3, 1955—56).
[12] Plancherel, Contribution a Tetude de la representation d'une fon-
ction arbitraire par des integrates definies (Rend. Palermo, 1910).
[13] Watson, General transforms (Proc. Lond. Math. Soc, 1933); T i t с fa-
mar s h, A proof of a theorem of Watson (Journ. Lond. Math. Soc, 8,
1933).
[14] A. P. G u i n a n d, On Poisson's summation formula (Annals of Math.,
42, № 3, 4941).
[15] F e j ё r, Untersuchungen uber Fouriersche Reihen (Math. Ann., Bd. 58).
[16] Vallee-Poussin, Lecons sur Tapproximation des fonctions d'une
variable reelle A919).
{17] О f f о г d, On the uniqueness of the representation of a function by a
trigonometric integral (Proc. Lond. Math. Soc, 1937) и Note on the uniqueness
of the. representation of a function by a trigonometric integral (Journ.
Lond. Math. Soc, 1936).
[18] Cm. H. Винер, Интеграл Фурье и некоторые его приложения (М.,
1963). Это — перевод книги 1933 года, вышедшей в Кембридже. Здесь
содержатся указания на предшествовавшие статьи ныне покойного
знаменитого американского математика.
P. L ё v у, Sur la convergence absolue des series de Fourier (Compos.
Math., /, 1934).
119] HL И. A x и е з е p» О некоторых свойствах целых трансцендентных
функций экспоненциального типа (Изв. АН СССР, сер. мат., 10, 194§). См.
также S. К о i z u m i, On the Hilbert Transform I (Journ. of the Faculty
of Science, Hokkaido University, Vol. XIV, 1959).
[20] Обозначение W2 в честь Винера, в обобщенном гармоническом анализе
которого рассматриваемый класс играет важную роль. См. Н.
Винер [18].
[21] Р а 1 е у and Wiener, Fourier transforms in the complex domain
A934).
[22] Plancherel et Poly a, Fonctions entieres et integrates de Fourier
multiples (Comm. Helv., 9 et 10).
[23] J. К о г е v a a r, An inequality of entire functions of exponential type,
Nieuw Arch. Wiskunde B), 23 A949), 55—62.

ПРИМЕЧАНИЯ 399
[24] Из различных доказательств неравенства С. Н. Бернштейна для
тригонометрических сумм особого внимания заслуживает доказательство М. Рис-
са. См, М. R i e s z, Formule d'interpolation pour la derivee d'un
polynome trigonometrique (C. R., 158, 1914) и Eine trigonometrische Interpo-
lationsformel und einige Ungleichungen fur Polynome (Jahresber. der
D. M. V., 1914).
[25] S z e g 6, Ober einen Satz des Herrn Bernstein (Schriften Konigl. Gel.
Ges., 1928); см. также С. Н. Бернштейн {II, 62}.
[26] Б. М. Л е в и т а н, Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна
и Н. Bohr'a (ДАН, 15, 1937). Название (полиномы Левитана) ввел
М. Г. Крейн в статье «О представлении функций интегралами Фурье —
Стилтьеса» (Уч. зап. Куйбышевского педаг. инст., 1943). Он дал новое
доказательство теоремы Б. М. Левитана, которое позволило ему
получить оценку быстроты сходимости полинома Левитана Sn (/; z) к
функции / (z).
Несколько позже построения Б. М. Левитана были распространены
на некоторые классы целых трансцендентных функций
экспоненциального типа, которые не удовлетворяют требованию ограниченности на
вещественной оси. См. Н. И. А х и е з е р, О полиномах Б. М. Левитана
(ДАН, 54, 1946). Эти рассмотрения были продолжены в статье: Н.И. А х и -
езери В. А. Марченко, О некоторых вопросах аппроксимации
на всей вещественной оси, II (Сообщ. Харьковского мат. общ., 21, 1949),
где дано новое представление полиномов Левитана и получены новые
оценки быстроты их сходимости.
[27] L. Hormander, A new proof and a generalization of an inequality
of Bohr (Math-. Scand., 2, 1954).
[28] M, Г. К р е й н, О наилучшей, аппроксимации непрерывных"
дифференцируемых функций на всей вещественной оси (ДАН, 18, 1938).
[29] S.-N a g у, Ober gewisse Extremalfragen bei transformer ten trigonometris-
chen Entwicklungen. I. Periodischer Fall (Leipz. Ber., 90, 1938), II.
Nichtperiodischer Fall (там же, 91, 1939).
[30] Macintyre, Laplace's transformation and integral functions (Proc.
Lond. Math. Soc, 45, 1938); А. Ф. Т и м а н, О явлениях интерференции
в поведении целых функций конечной степени (ДАН, 89, 1953);
R. P. Boas, Jr. [11]; R. Р. В о a s, Jr., and А. С. S с h a e f f e r, New
inequalities for entire functions (Journ. of Math, and Mech., 7, 1958).
Содержание n° 89 является обобщением построений Боаса [II]. <
[31]Lebesgue, Sur la representation approchee des fonctions (Rend.
Palermo, 1908); Vallee-Poussin, Note sur ^'approximation par un polynome d'une
fonction dont la derivee est a variation bornee (Bull. Acad. Belgique,
1908).
[32] D. J а с k s о n, Ueber die.Genauigkeiider Annaherung stetiger Funcktio-
nen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und
trigonometrische Summen gegebener Ordnung (Diss. Gottingen, 1911).
См. также позднейшую монографию: The theory of approximation, 1930.
[33] Z у g m u n d, Smooth, functions (Duke Math. Journ., 12, 1945).
[34] Hardy, Weierstrass's non-differentiable function (Trans. Amer.,Math.
Soc, 17, 1916).
[35] Из относящихся сюда работ хронологически первыми были: J. F a v a r d,
Sur les meilleurs procedes d'approximation... (Bull. Sc. Math., 61, 1937);
H. Ахиезе'р и М. Крейн, О наилучшем приближении
периодических функций (ДАН, 15, 1937); S.-Nagy [29]. В них рассматривалась
аппроксимация в метрике С. Исследование тех же вопросов в
пространстве L начал С. М. Никольский в статье «Приближение функций
тригонометрическими полиномами в среднем» (Изв. АН СССР, сер.
мат., 10, 1946).

400 ПРИМЕЧАНИЯ
-[36] Н. Ro h г, Un theoreme generate sur Tintegration d'un polynome
trigonometric (C. R., 200, 1935). Неравенство для f (x) при r > 1, n = 1
установил С. Н. Бернштейн {II, 61}. В общем случае неравенство для
/ (х) дал Ж- Фавар в статье «Application de la formule sommatoire d'Euler
a la demonstration de quelques proprietes extremales des integrates des
fonctions periodiques et presque-periodiques» (Mat.,Tidskr., 1936), а для
T(x) H. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [35]. Интересные обобщения
принадлежат Б. М. Левитану [26].
[37] Н. И. Ахиезер и Б. М. Левитан, Об одном применении
неравенства Г. Бора и Ж. Фавара (ДАН, 14, 1937).
[38] А.Н.Колмогоров, Zur Grossenordnung des Restgliedes Fourierscher
Reihen differenzierbarer Functionen (Ann. of Math., 36, 1935).
Дальнейшие результаты этого рода принадлежат С. М. Никольскому.
См. С. М. Никольский, Приближение периодических функций
тригонометрическими многочленами (Труды Матем. инст. им. В. А. Сте-
клова, 15, 1945).
[39] И. И. Привалов, Sur les fonctions conjuguees (Bull. Soc. Math.
Fr., 44, 1916).
[40] Н.И. Ахиезер, О наилучшем приближении аналитических функций
(ДАН, 18, 1938).
[41] Р. К о о s i s, Interior compact spaces of functions on a half-line (Com.
pure and appl. Math., 10, 1957); P. D. L a x, Remarks on the preceeding
paper (там же).
[42] См. обзорные статьи: Н. И. Ахиезер, О взвешенном приближении
непрерывных функций на всей числовой оси (Успехи матем. наук, 70,
1956); С. Н. М е р г е л я н, Весовые приближения многочленами
(Успехи матем. наук, 71, 1956). Первая из этих статей написана.на основе
относящихся сюда работ С. Н. Бернштейна, начиная с самой первой
и заканчивая заметкой С. Н. Бернштейна и автора «Обобщение теоремы
о весовых функциях и применение к проблеме моментов» (ДАН, 92, 1953),
где впервые доказана теорема Д12. Приведенное в Д12
доказательство необходимости принадлежит Мергеляну — оно проще
первоначального.
f43] A. A. M а р к о в, Определение некоторой функции по условию наименее
уклоняться от нуля (Сообщ. Харьк. матем. общ., 1884).
[44] Эта теорема Г. Сеге относится к 20-м годам. Читатель найдет ее в
монографии: Г. С е г е, Ортогональные многочлены (М., 1962),
представляющей перевод второго американского издания (первое вышло в 1939 году).
[45] А. Н. Колмогоров, Стационарные последовательности в гильберто- •
вом пространстве (Бюлл. МГУ, т. II, вып. 6, 1941); М. Г. Крейн,
Об одном обобщении исследований G. Szego, В. И. Смирнова
и А. Н. Колмогорова (ДАН, 46, 1945); Н. И. А х и е з е р, Об
одном предложении А. Н. Колмогорова и одном предложении
М. Г. Крейна(ДАН, 50, 1945).
[46] См., например, И. И. Привалов^ Граничные свойства однозначных
аналитических функций, стр. 108 (изд.'МГУ., 1941).
[47] М. Г. К р е й н, Об одной экстраполяционной проблеме А. Н.
Колмогорова. (ДАН, 46, 1945).
[48] См., например, И. М. Виноградов, Основы теории чисел, изд.
4, стр. 28 A944).
[49] О. S z a s z, Ueber Approximation stetiger Functionen durch Bernoul-
lische Polynome (Journ. f. Math., 148).
[50] Caratheodory-Fejer, Ueber den Zusammenhang der Extremen
von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und tiber den
Picard — Landauschen Satz (Rend. Palermo, 1911); F e j ё r, Ueber gewisse
Minimumprobleme der Funktionentheorie (Math. Ann., 97).

ПРИМЕЧАНИЯ 401
Л51] J.Sch ur, Ueber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises be-
schrankt sind (Journ. f. Math., 147, 148).
[52] A. Cohn, Ueber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung
in einem Kreise (Math. Zeitschr., 14).
[53] См. П. Л. Чебышев {II, стр. 151—235}; Н.И. Ахиезер, Ueber ein
. Tschebyscheffsches Extremumproblem (Math. Ann., 104); см. также
A. T a 1 b о t, On the class of Tchebysheffian approximation problems
solvable algebraically (Proc. of Cambr. philosoph. Soc, 55, part 2, 1962).
[54] H. И. Ахиезер [3].
[55] M. F e k e t e, Ueber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen
Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten (Math. Zeitschr., 17).
[56] H. И. Ахиезер, Ueber einige Funktionen, welche in zwei gege-
benen Intervallen am wenigsten von Null abweichen (Изв. АН СССР,
1932—1933).
[57] A. A.Map ков, Об одном вопросе Менделеева (Изв. Акад. наук, 1889);
B. А, М а р к о в, О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в
данном промежутке (СПб, 1892).
[58] R. J. D u f i i n and А. С. Schaeffer,A refinement of an inequality
of the brothers Markoff (Trans. Amer. Math. Soc, 50, 1941).
[59] F. L u k а с s, Verscharfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrech-
nung fur rationale Polynome (Math. Zeitschr., 2, 1918).
[60] Первое обобщение теоремы Фейера — Рисса принадлежит М. Г. Крейну
[26], который предполагал, что / (z) на вещественной оси
ограничена. По этому вопросу см. монографию Б. Я. Левина.
[61] Н. И. А х и е з е р, Об одном семействе целых функций конечной степени
и одной чебышевской задаче (Изв. АН СССР, сер. мат., 16, 1952).
[62] Н. К о b e r, On Dirichlet's singular integral and Fourier transforms
(Quart. Journ. Math., Oxford, 12, 1941).
[63] R. P. Boas, Jr., Inequalities for functions of exponential type (Math.
Scand., 4, 1956).
[64] H. И. Ахиезер, О целых трансцендентных функциях конечной
степени, имеющих майоранту на последовательности вещественных точек
(Изв. АН СССР, сер. мат,, 16, 1952). В этой статье вместо условий A),
B) на корни со (z) наложены более жесткие ограничения. В
неопубликованной работе И. В. Островского тот же метод применен в более
общих случаях и, в частности, при тех предположениях, которые
сделаны в Д57.
[65] Работа М. Картрайт относится к 1936 году. См. М. L. С а г t w r i g h t,
On certain integral fonctions of order one (Quart. J. of Math., Oxf. ser., 7),.
Имеются дальнейшие обобщения теоремы Картрайт. См. S. A g m о п,
Functions of exponential type in an angle and singularities of Taylor
series (Trans. Amer. Math. Soc, 70, 1951); H. И. Ахиезер и
Б. Я. Левин, Об интерполировании целых трансцендентных
функций конечной степени (Сообщ. Харьк. мат. оби*., 23, 1952); Б. Я. Л е-
в и н, Обобщение теоремы Картрайт о целой функции конечной
степени, ограниченной на последовательности точек (Изв. АН СССР, сер.
мат., 21, 1957).
[66] См. Н. И. Ахиезер [19]. Теорема Д58 представляет обобщение одной
статьи Даффина и Шэффера, относящейся к 1938 году. См. R. J. Duf-
f i n and A. C. S с h a e f f e r, Some properties of functions of expon.
type (Bull. Amer. Math. Soc, 1938). В этой статье © (z) = е~*<». С
помощью теоремы Д58 в дальнейших п°п° обобщается неравенство С.Н. Берн-
штейна. Другой путь для получения этих, а также некоторых дальше •
идущих обобщений .принадлежит Б. Я. Левину, в монографии которого
читатель найдет подробное изложение, а также указания на другие
работы, имеющие сюда отношение.

402 ПРИМЕЧАНИЯ
[67] Н. И. АхиезериБ.Я. Левин, Обобщение неравенства С. Н. Берн-
штейна для производных от целых функций (Исследования по
современным проблемам теории функций комплексного переменного, Физматгиз,
1960).
[68] Н. И. А х и е з е р, О целых функциях конечной степени, наименее
уклоняющихся от нуля (Мат. сб., 31 G3), № 2, 1952); О наилучшем
взвешенном приближении на всей оси посредством целых функций конечной
степени (ДАН, 94i 1954).
[69] По поводу постановки ^задачи и частных случаев см. Н. И. Ахиезер
[68]. Общий результат Д67— в статье Н. И. Ахиезера «Экстремальные
свойства целых функций экспоненциального типа» (Сб. Теория функций,
функциональный анализ и их применение, Харьков, /, 1965). По
своему методу эта статья примыкает к статье: R. Р. В о i s, Jr., and
А. С. S с h a e f f e г, Variational methods- in entire functions (Amer.
Journ. Math., 79, 1957). Для интерполяционной задачи F@) =
=a0, ^'@) = a1,...,/;>Bm-1) @) = 02m_i результат Д67 иным путем
получил Н. Н. Мейман; см. его статью «Решение основных задач теории
полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля» (Тр. Моск.
матем. общ., 9, 1960, стр. 507—535).
[70] L. Hormander, Some inequalities for functions of exponential type
(Math. Scand., 3, 1955).
[71] Первая из статей [68].
[72] При целом v у В. В. Сташевской в статье «Об обратной задаче
спектрального анализа для дифференциального оператора с особенностью в нуле»
(Сообщ. Харьк. мат. общ., 25, 1957). Для любого v > 0 см.: Н. И. Ах и-
е з е р, К теории спаренных интегральных уравнений (там же).
[73] Н. П. Корнейчук, О наилучшем равномерном приближении на
некоторых классах непрерывных функций (ДАН, 1401 1961).
[74] А. Ф. Т и м а н, Об одной геометрической задаче в теории
аппроксимаций (ДАН, 140, 1961). См. также обзорную статью А. Ф. Тимана
«Деформация метрических пространств и некоторые связанные с ней вопросы
теории функций» (Успехи матем. наук, вып. 122, 1965), где содержатся
дальнейшие оригинальные и глубокие результаты, которые этот автор
получил своим методом.
[75] В. А. Марченко, О некоторых вопросах аппроксимации
непрерывных функций на всей вещественной оси. III (Сообщ. Харьк. мат. общ.,
XXII, 1950); О. И. ИноземцевиВ. А. Марченко, О
мажорантах нулевого рода (Успехи матем. наук, вып. 68, 1956).
[76] Первый результат этого рода принадлежит С. Бохнеру. См. S. В о с h-
п е г, Localization of best approximation (Ann. of Math. Studies, N 25,
1950). Его случай проще, а утверждение сильнее, а именно: у Бохнера
функция p(i?) удовлетворяет единственному условию, что ^ р (R)
при R-+co стремится к нулю (как угодно слабо); зато у него г = 0, т. е.
идет речь о функциях, которые в тех или иных интервалах имеют
постоянные значения (а не равны многочленам).
[77] В. К. Дзядык, О наилучшем приближении на классах периодических
функций, определяемых ядрами, являющимися интегралами от
абсолютно монотонных функций (Изв. АН СССР, сер. мат., 23, 1959).
[78] J. F a v а г d, Sur les meilleurs procedes d'approximation de certaines
classes de fonctions par des polyndmes trigonometric(ues (Bull, de Sci.
Math., 61, 1937).
[79] M. Г. К р е й н, К теории наилучшего приближения периодических
функций (ДАН, 18, 1938).
[80] Н. И. А х и е з е р, О наилучшем приближении одного класса
непрерывных периодических функций (ДАН, 17, 1937).

ПРИМЕЧАНИЯ ч 403
[81] Односторонним приближениям посредством тригонометрических сумм
в метрике L посвящена работа: Т. G a n e I i u s, Ober einseitige
Approximation durch trigonometrische Polynome (Math. Scand., 4, 1956). В n°n°
Д98— Д102 излагаются результаты этой работы и некоторое их
обобщение.
[82] См. Н. Винер [18]; W i d d е г, The Laplace transform (Princeton Univ.
Press, 1941), а также Т. С а г 1 e m a n, L'integrale de Fourier et questions
qui s'y rattachent (Uppsala, 1944).
[83]. H. R. P i t t, Ceneral Tauberian theorems (Proc. of the Lond. Math. Soc,
44, 1938).
[84] Ikehara, An extension of Landau's theorem in the analytic theory
of numbers (Journ. of Math, and Phys., Massach. Inst. Techn., 10, 1931),
а также Н. Винер [18].
[85]. С a r 1 e m a n, Proprietes asymptotiques des fonctions fondamentales
des membranes vibrantes (Skand. Matematikerkongressen, 1934),

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 150
Лдамар 27, 274
Аппроксимация, основная задача 9
— гармоническая наилучшая
аналитических функций 267
— непрерывно дифференцируемых
функций 251
Банах 57, 61
Бернулли 115, 304, 305
Бернштейн 39, 78, 85, 88, 174, 181—
186, 190, 207, 211, 212, 213, 227,
229, 251, 258, 259, 260, 262, 264,
281, 287, 291, 322—325, 334, 339,
344, 347, 349, 351, 352, 356, 365,
368, 371, 376, 377
Бессель 36
Боас 115, 210, 359
Бор 38, 251
Борель 176, 180
Буняковский 13
Валле-Пуссен 63, 66, 72, 73, 88, 143,
150, 212, 231, 375
Батсон 126, 131, 135, 367
Бейерштрасс 18, 39, 41, 42, 46, 150,
212, 217
Бейль 169, 381
Бинер 157—160, 162—166, 179, 182,
194, 208, 296, 364, 390
Ганкель 135
Гельдер 12
Грам 25
Даффин 323
Детерминант Грама 25
Джексон 91, 93, 150, 212, 230, 231,
242,261,375,376
Дзядык 379, 382
Жордан ПО, 122, 138, 151, 156
Задача Золотарева первая 314
, аналог 363
четвертая 319
— Фавара 382
Зигмунд 214, 217
Золотарев 76, 103, 314, 363
Икеара 392, 396
Индикатор роста 176
Интеграл дробного порядка 169
— Лебега 43, 121
— Стилтьеса 392
— тригонометрический 120
— Фейера 145
— Шварца — Кристофеля 348
— эллиптический полный первого
рода 74
Интерполирование
тригонометрическое 117
Интерференция целых функций 207
Каратеодори 309, 310
Карлеман 395, 396
Картрайт 339
Кауэр 76
Класс функций Вст 182
Еа 174
№2 171
Wa 179
W(ar) J93
Кобе 383
Кобер 332
Колмогоров 88, 89, 91, 258, 297
Компактность системы функций 184
Кон 311
'Коревар 185
Коркин 103
Корнейчук 373

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
405
Косинус-преобразование 132
Крейн 199, 235, 295, 297,-299, 333,
337, 382
Кристофель 348
Критерий замкнутости множества
векторов 60
Критерий С.-Надя 203
Кузис 284
Лаке 284
Лебег 112, 120, 121, 122, 124, 258
Леей Б. 30
Леей Я. 157, 158, 159, 160, 166
Левин 336, 337
Левитан 193, 330
Лемма Боаса 115
— Жордана 122
— Харди 137
Линделеф 176, 286
Лиувилль 169
Люкач 324
А-преобразование
тригонометрической суммы 185
Мажоранта нормальная 337
— а 336
Макинтайр 211
Марков А. 96, 98, 100, 101, 199, 246,
304, 323, 351, 353
Марков В. 323, 324, 351
Марченко 378
Мацаев 158
Мебиус 303
Мергелян 289, 290
Минковский 12
Множество чебышевское 353
максимальное 353
Модуль непрерывности 213
— функций Якоби 74
Мюн% 53, 283
Ладь С. 203, 238, 383
Нейман Дж. 48
Неравенство Адамара 27
— Бернштейна 181
, обобщение 344
— Бесселя 36
— Боаса 34
— Бора 251
, обобщение 383, 389
— Гельдера 13
— Минковского 13
— Леви (Беппо) 30
Неравенство Шварца—Буняковского
13
Никольский 245
Оператор Бернштейна 209
— интерференционный 209
— унитарный 126
— Фейера 145
Ортогональность векторов 16
Оффорд 154
Парсеваль 36
Питт 391
Планшерель 124, 125, 130, 168, 180,
335
Подпространство внутренне
компактное 284
Полиа 180, 188, 335
Полиномы Бернулли 115
— Левитана 193
— Лежандра 53
— Чебышева 69
Предел в среднем 121
Преобразование Бо.реля 176
— Ганкеля 135
— Фурье 122
Привалов 262, 267
Принцип симметрии Шварца 314
Проблема Каратеодори — Фейера
309
— множителей 185
— Хаара 79
Производная в смысле Вейля 381
Пространство Гильберта 16
— линейное нормированное 1:0
— метрическое 9
— полное 23
— сепарабельное 23
— строго нормированное 19
— функциональное:
— С, Соо, С @, оо), С (—оо, оо) 11
— с 15
— L*> 11
— IP, m 15 '
Пуассон 137, 139, 150, 331
Пэли 179, 182, 194, 208, 296, 364
Равенство Парсеваля 36, 111
Риман 169
РиссФ. 51, 57, 298, 328
Ряд Лагранжа интерполяционный
339
— Фурье 36

406
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд Фурье функции ограниченной
вариации 108
Свертка функций 126, 155
-Сеге 188
Сепарабельность пространств С и
LP 42-43
Синус-преобразовайие 132
Система векторов
ортонормированная 32
— — — полная 35
— функций биортогональная 98
Маркова 96 ;
биортогональная 304
Чебышева 85
Скалярное произведение векторов 16
Сонин 33
Сопряженные функции 170
Стеклов 156, 161, 224, 225
Сумма Фейера 142
— Фурье 105
Сходимость сильная 87
— слабая 87
Теорема Адамара о детерминантах 27
-г- Бернштейна 258, 291
— —, обобщение 264
, обратная 274
предельная 368
— Валле-Пуссена обобщенная 63
— Ватсона 127
— Вейерштрасса о минимуме 18
первая и вторая 39, 41, 42'
, обобщение на IP 46
— Винера аппроксимационная 162
общая тауберова 390
— Винера — Леви 157
— Винера —¦ Пэли 179
— Винера — Пэли, обобщение
364
— Гейне — Бореля 166
— Гурвица 342
— Джексона 91
первая и вторая' 230
— Жордана 110
— Икеара 392
— Карлемана 395
— Картрайт, обобщение 339
— Кобера 332
— Кона 311
— Коши — Адамара 274
— Крейна 297
— Кузиса и Лакса 284
— Лебега 148
Теорема Левина 336
— Маркова А. 96
, аналог 199, 353
— Марковых А. и В. 323
f аналог 351
— Мергеля на 289
— Мюнца 53, 283
— Надя 203
— Оффорда 154
— Планшереля 130
— Привалова 263
— Римана — Лебега 107, 124
— Рисса о линейном функционале 57
— Рисса 298
— Рисса — Фейера 328
— Рисса — Фишера 51
— Руше 340
— Саса 283
— Фейера 142
— Фекете 321
— Фубини 136
— Хаара 80
, обобщение 89
— Хана — Банаха 87
— Харди — Юнга 141
— Чебышева 66
• , обобщение 85
— Шура 310
— Юнга 112
Тиман 373
Тип функции 174
Титнмарш 127
Трансфинитный диаметр 321
Условие Дини — Липшица 214
— Липшица 214
фавар 382
Фейер 142, 143, 145, 148, 149, 150,
153, 231, 253, 254, 255, 309, 310
Фекете 321
Фильтры электрические 76
Фишер 51
Формула Пуассона суммационная
137
— Шварца 268 ~
Фрагмен 176, 286
Фубини 136, 155, 243
Функционал линейный 70
Функция абсолютно монотонная 167
— ассоциированная 176
— Бесселя 133
— Вейерштрасса 78
— весовая 287

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
407
Функция Грина комплексная 316
— кратно-монотонная 167
— Мебиуса 303
— почти периодическая Бора 38
— Рима на ? (дзета-функция) 395
— слабо убывающая 391
— Стеклова 156
— целая трансцендентная конечной
степени 174
— экспоненциального и
минимального экспоненциального типа 174
типа, ограниченная на
вещественной оси 181
— Якоби sn (щ k)t dn (и; k) 74
Н (и), Hi (и), 6 (и), Q^u) (тета-
функции) 318
Хаар 79, 80, 81, 85, 89, 91
Хан 57, 6Ь
Харди 137, 141, 142, 149, 230
Хермандер 251, 358, 359
Чебышев 62, 69, 70, 73, 85—88, 91,
97, 98, 103, 285, 304, 313, 314, 315,
320
Шварц 268, 314, 348
Шмидт 33
Шур 310
Шэффер 323, 359
Юнг 112, 141, 149, 230
Ядро Абеля — Пуассона 150
— Бернштейна 377
— Бернштейна — Марченко 378
— Вейерштрасса 150
— Джексона — Валле-Пуссена 150
— Крейна 235
— Фей ера 143
— фейерова типа 145

Наум Ильич Ахиезер
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
АППРОКСИМАЦИИ
М., 1965 г., 408 стр. с илл.
Редактор Цлаф JI. Я.
Художник Соколов Ю. И.
Художественный редактор Румянцев И. И.
Техн. редактор Шкляр С. #.
Корректор Автонеева 3. В.
Сдано в набор 30/Ш 1965 г. Подписано к печати
6/VII 1965 г. Бумага 60x901/ie- Физ. печ. л. 25,5.
Условн. печ. л. 25,5. Уч.-изд. л. 22,4.
Тираж 10500 экз. Т-10206. Цена книги 1 р. 38 к.
Заказ № 934
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография № 16
Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати *
Москва, Трехпрудный пер., 9