Данное занятие является первым в теме "Случайные вели-
чины? Целью его является знакомство с наиболее простым ви-
дом случайных величин - дискретными случайными величинами.
К занятию студенту необходимо знать:
I/ понятие случайной величины, виды случайных величин;
2/ законы распределения дискретных случайных величин / ряд
распределения, многоугольник распределения, биномиаль-
ный закон распределения/;
3/ числовые характеристики дискретных случайных величин
/математическое ожидание, дисперсия, среднее квадрати-
ческое отклонение, начальный и центральный моменты по-
рядка Л / и их свойства.
К занятию студенту необходимо повторить метод нахожде-
ния вероятности появления некоторого события ровно л раз
при п> независимых испытаниях /формула Бернулли/.
При подготовке к занятию следует разобрать теоретичес-
кий материал по конспекту лекций и по одному из учебников:
I.	В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая
статистика."Высшая школа", М., 1977 г. Гл.6,§1-4; гл.7,
§1-5; гл.8, §1-7, 10.
2.	Л.З.Румшиский. Элементы теории вероятностей. "Наука’,'М.,
1976 г. Гл.2,§2.1, 2.3; гл.4, §4.1, 4.3, 4.4, 4.7.
3.	li.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчис-
ления. "Наука", М., 1970 г., том 2. Гл.XX, §7-10.
Вопросы для самопроверки
1.	Какая величина называется случайной? Два вида случайных
величин. Приведите примеры.
2.	Что понимается под распределением случайной величина?
Как задается распределение дискретной случайной величины?
3.	Как составить таблицу распределения для суммы и произве-
дения двух дискретных случайных величин? Приведите приме-
ры.
2
4.	Что называется математическим ожиданием дискретной
случайной величины?
5.	Перечислите и докажите свойства математического ожи-
дания»
6.	Что называется дисперсией дискретной случайной величины?
7» Перечислите и докажите свойства дисперсии.
8.	Что называется средним квадратическим отклонением?
9.	Чему равны числовые характеристики числа появления
события в независимых испытаниях? /Выведите формулу/.
10.	Что называется начальным /центральным/ моментом поряд-
ка / ?
ЗАДАЧИ
I. Дискретная случайная величина Л задана законом
распределения:
а/ .	X: 1	3	6	8
	р:	°Л		
б/	X: 2.	*	5	6
	pt о,з		0,1	в*
в/	X: Ю		15	20
	Р: °,*		0,7	0,2.
Построить многоугольник распределения.
у 2. Устройство состоит из трех независимо работающих эле-
ментов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опы-
те равна 0,1. Составить закон распределения числа отказав-
ших элементов в одном опыте.
3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны
четыре детали. Написать биномиальный закон распределе-
ния дискретной случайной величины X - числа нестандарт-
3
ных деталей среди четырех отобранных,и построить много-
угольник полученного распределения.
4. Написать биномиальный закон распределения дискретной
случайной величины Jf - числа появлений "герба” при
двух бросаниях монеты.
5» Две игральные кости одновременно бросают два раза. На-
писать биномиальный закон распределения дискретной слу-
чайной величины X - числа выпадения четного числа оч-
ков на двух игральных костях.
6.	В партии из десяти деталей имеется восемь стандартных.
Наудачу отобраны две детали. Составить закон распреде-
ления числа стандартных деталей среди отобранных.
7.	В партии из шести деталей имеется четыре стандартных.
Наудачу отобраны три детали. Составить закон распреде-
ления дискретной случайной величины X - числа стандарт-
ных деталей среди отобранных.
8.	В лотерее на 1000 билетов разыгрываются три вещи, стои-
мости которых 210, 60 и 30 рублей. Составить закон
распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один
билет.
9.	Два стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероят-
ность попадания в неё первым стрелком равна 0,5 ,
вторым - 0,4. Составить закон распределения числа
по падкий в мишень,
L). Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
орудия равна 0,4. Производится шесть выстрелов.
Составить закон распределения числа: а/попаданий;
б/непопаданий в цель.
IT. Найти математическое ожидание дискретной случайной
величины X > заданной законом распределения:
а/ х 9	- 4	6	1О
р:	°Д	о,3>	0,5-
б/ X*	О,2Л	0,54	0,01
Р:		0,5-	0,4
- 4 -
12. Найти математическое ожидание случайной величины, если
известны математические ожидания Хи У :
./Z-X^z, Л/Х)^5, мт=3-,
Z = ЗХ+4Ч, М(Х)‘2, ЛКЧ)=е.
W 13. Дискретная случайная величина X принимает три воз-
можных значения: Хл = 4 с вероятностью р3~ О}5~ ;
а*2 я £ с вероятностью д = Ot 3 и с вероят-
ностью р3 . Найти я? и р , зная, что
М(К)=8.
il 14. Дан перечень возможных значений дискретной случайной
величины X : х3- ~i • xt в	~	•
а также известны математические ожидания этой вели-
чины и её квадрата: МСХ)*О,1. Л(Х‘^Ц9 .
Найти вероятности /J , р^ , р3 , соответствующие
возможным значениям Л^9	.
15.	Дан перечень возможных значений дискретной случайной
величины X:	= 1 ,	2^^ 2	,	= 3	,
а также известны математические ожидания этой вели-
чины и её квадрата:	•
Найти вероятности, соответствующие возможным значе-
ниям X
16.	В партии из 10 деталей содержится три нестандартных.
Наудачу отобраны две детали. Найти математическое
ожидание дискретной случайной величины X - числа
нестандартных деталей среди двух отобранных.
17.	Найти математическое ожидание дискретной случайной
величины X “ числа таких бросаний пяти игральных
костей,в каждом из которых на двух костях появится по
одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
18.	Устройство состоит из /ъ элементов. Вероятность отказа
любого элемента за время опыта равна р . Найти мате-
матическое ожидание числа таких опытов, в каждом из
которых откажет ровно ПЪ элементов, если всего
произведено опытов. Предполагается, что опыты не за-
- 5 -
19.
20.
21.
22.
23.
24.
W 25.
висимы один от другого.
Бросают /ь игральных костей. Найти математическое
ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых
внпадет ровно frt' шестёрок, если общее число бросаний
равно *4^ .
Бросают Z2- игральных костей. Найти математическое
ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех
гранях.
Отдел технического контроля проверяет изделия ва
стандартность. Вероятность того, что изделие стандарт-
но, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изде-
лий. Найти математическое ожидание дискретной случай-
ной величины X - числа партий, в каждой из которых
окажется ровно четыре стандартных изделия, - еслд
проверке подлежит 50 партий.
Используя свойства математического ожидания, доказать,
что: а/ М(Х~ У)	1
6/ математическое ожидание отклонения Х-Л(Х)
равно нулю.
Доказать, что математическое ожидание числа появлений
события А в одном испытании равно вероятности
появления события .
Доказать, что математическое ожидание дискретной слу-
чайной величины X - числа появлений события J9 в
/г. независимых испытаниях, в каждом из которых верогт-
ность появления события равна - равно произведе-
нию числа испытаний на вероятность появления события
в одном испытании.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отжлонеиве
дискретной случайной величины X • заданной законом
распределения:				
а/ X:	- S'	2.	3	4
р-	0^	0>Ъ	0>*	0,2
6/ X:		К		
Р!	0,1	<?з	О)5~	
- 6 -
в/ X f ГМ Ш 160	4£О
pi 0,05	0,1	0,25	0,6
26.	Случайные величины X И У независимы. Найти диспер-
сия случайной величины 2= ЗХ » если известно,
что	, 3)697-6 .
27.	Случайные величины X и независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z = 2X+3U • если
известно, что ЯЬ(Х) **4- , &)(¥)- 5~ .
28,	Дискретная случайная величина X имеет только два
возможных значения и , причем равновероятных.
Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату
полуразности возможных значений.
29.	Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа
появлений события А в пяти независимых испытаниях, ес-
ли вероятность появления события А 'в каждом испытании
равна. 0,2.
30.	Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа
отказов элемента некоторого устройства в десяти независи-
мых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом
опыте равна 0,9.
31.	Найти дисперсию дискретной случайной величины X - чис-
ла появлений события А в двух независимых испытаниях,
если вероятности появления события в этих испытаниях оди-
наковы и известно, что мю-.1,г.
32.	Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа
появлений события А в двух независимых испытаниях, ес-
ли вероятности появления события в этих испытаниях одина-
ковы и известно, что Л4(Х)~ 0,9*
33.	Производятся независимые испытания с одинаковой вероят-
ностью появления события А в каждом испытании. Найти
вероятность появления события А » если дисперсия числа
появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
xj 34. Дискретная случайная величина X имеет только два воз-
можных значения и , причем	. Вероят-
ность того, что X примет значение Х±т рчвна 0,0.
Найти закон распределения величины X , если математичес-
п
кое ожидание и дисперсия известны:	1,4 ;
35.	Дискретная случайная величина X имеет только два воз-
можных значения <СЛ и 2С2 , причем	Вероят-
ность того, что X примет значение , равна 0,2.
Найти закон распределения X , зная математическое ожи-
дание Л1(Х) =2,6 и среднее квадратическое отклонение
36.	Дискретная случайная величина Л имеет только три воз-
можных значения: 0^ =1, и , причем де4^ха<Х3.
Вероятности того, что JX примет значения и
соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределе-
ния величины X • зная её математическое ожидание лао-
=2,2 и дисперсию Я(Х) =0,76.
37.	Брошены ft,- игральных костей. Найти дисперсию суммы
числа очков, которые могут появиться на всех выпавших
гранях.
38.	Дискретная случайная величина X задана законом рас-
пределения:
X:	I 3
р :	0,4	0,6
Найти начальные моменты первого, второго й третьего по-
рядков.
39.	Дискретная случайная величина задана законом рас-
пределения:
X :	2	.3	5
р :	0,1	0,4	0,5
Найти начальные момента первого, второго й третьего по-
рядков.
40.	Дискретная случайная величина X задана законом рас-
пределения:
X :	I 2	4
р :	0,1	0,3	0,6
Найти центральные моменты первого, второго, третьего н
четвертого порядков.