МВ. Федотов, ЕНХайлов
Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ
ЗАДАЧИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
3-е изд, перераб. И доп. - М.: факультет ВМиК МГУ, 2000 - 132 с.
Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факультета
вычислительной математики И кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова. Может
быть полезно абитуриентам при подготовке К поступлению как на факультет
ВМиК, так И на другие факультеты 1\/П`У, где есть устный экзамен по математике.
Содержание
Часть 1. Задачи по алгебре
§ 1 Действительные числа 7
п. 1.1. Целые числа. Делимость 7
п. 1.2. Рациональные и иррациональные числа 12
п. 1.3. Сравнение чисел 15
§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета 18
§3. Тригонометрические задачи 23
§4. Логарифмические и показательные задачи 26
§5. Решение уравнений и неравенств 27
п. 5.1. Рациональные уравнения и неравенства 29
п. 5.2. Иррациональные уравнения и неравенства 34
п. 5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства 37
п. 5.4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства 49
п. 5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах 45
§6. Решение систем уравнений и неравенств 50
§7. Доказательства неравенств и тождеств 57
§8. Задачи на арифметические и геометрические прогрессии 62
§9. Функции и их графики 63
§10. Изображение множества точек на плоскости 72
§ 1 1. Многочлены 75
§12. Задачи последних лет 75
п. 12.1. Факультет ВМиК 1\/П`У (1997 - 1999 гг.) 76
п. 12. 2. Геологический факультет МГУ (1997 - 1999 гг.) 78
п. 12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998- 1999гг.) 80
Ответы 1 1 1
Часть П. Задачи по геометрии
§1. Задачи, связанные с треугольниками 82
§2. Задачи, связанные с четырехугольниками 90
§3. Задачи, связанные с окружностью 94
§4. Площади фигур 99
§5. Задачи на построение 105
Ответы 127

Настоящее пособие составлено для подготовительныш курсов фа-
культета вычислительной математики и кибернетики МГУ
им. М.В.Ломоносова. Может быть полезно абитуриентам. при nod-
готовке к поступлению как на факультет ВМиК‚ так и на другие
факультеты МГУ, где есть устный экзамен по математике.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
§6.
§7.
§8.
§9.
Содержание.
Часть 1
Задачи по алгебре
Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
п.1.1. Целые числа. Делимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
п.1.2. Рациональные и иррациональные числа. . . . . . . . . . . ..12
11.1.3. Сравнение чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. .. . . . 18
Тригонометрические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
Логарифмические и показательные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Решение уравнений и неравенств. ‚у . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
11.5.1. Рациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . 29
11.5.2. Иррациональные уравнения и неравенства. . . . . . . . ..34
11.5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства. .. . . . 37
п.5.4. Логарифмические и показательные уравнения
и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
11.5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах. . .45
Решение систем уравнений и неравенств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Доказательства неравенств и тождеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..57
Задачи на арифметические и геометрические прогрессии. . 62
Функции и их графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..63

§10. Изображение множества точек на плоскости. . . . . . . . . . . . .. 72
§11. Многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..75
§12. Задачи последних лет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..75
п.12.1. Факультет ВМиК МГУ (1997 - 1999 гг.) . . . . . . . . . ..76
п.12.2. Геологический факультет МГУ (1997 — 1999 гг.) .. 78
п.12.3. Механико-математический факультет МГУ
(1998-1999гг.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „80
Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ЧЕСТЬ П
Задачи по геометрии
§1. Задачи, связанные с треугольниками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..82
§2. Задачи, связанные с четырехугольниками. . . . . . . . . . . . . . . . „90
§3. Задачи, связанные с окружностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§4. Площади фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
§5. Задачи на построение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..105
ОТВЕТЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Часть 1
Задачи по алгебре
При составлении предлагаемыш ниже задач была использована сле-
дующая литература:
1 В.В.Рождественский‚ Е.В.Панкратьев, И.И.Мельников,
В.В.Вавилов. Математический тренинг. М., 1997.
2 Г.В.Дорофеев‚ М:К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие по математи-
ке для поступающиш в вузы. М., 1976.
3 В.М.Говоров, П.Т.Дыбов‚ Н.В.Миронин, С.Ф.Смирнова. Сборник
конкурсньш‘ задач по математике. М., 1986.
4 В.В.Ткачук. Математика - абитуриенту. М., 1995.
5 А.Б.Будак‚ Б.М.Щедрин. Элементарная математика. Руковод-
ство для поступающиш в вузы. М., 1997.
б Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ
(1994 г.).- М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1994.
7 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ
(1995 2.). M., Мешанико-математический факультет МГУ, 1995.
8 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ
(1996 P�h� М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1996.
9 Варианты вступительньш: экзаменов no математике в МГУ
(1997 2.). М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1997.
10 О. С.Игудисман. Математика на устном экэамене. М., 1995.
11 В.Г.Чирский‚ Е.Т.Шавгулидэе. Уравнения элементарной мате-
матики. М., 1992.
12 М.К.Потапов, С.Н.Оле1:ник, Ю.В.Нестеренко. Конкурсные эада-
nu no математике. М., 1992.
13 Варианты вступительньш: экзаменов no математике в МГУ
(1998 2.). M., Мешанико-математический факультет МГУ, 1998.

I4 Варианты вступительныа: экзаменов по математике в МГУ
(1999 г. М.‚ Машинка-математический факультет МГУ, 1999.
15 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ
(1997- 1998 гг.). М.‚ факультет ВМиК МГУ, 1999.
16 Варианты вступительныш экзаменов по математике в МГУ
(1999 2.). М.‚ факультет ВМиК МГУ, 1999.

§1. Действительные числа. 7
§1. Действительные числа.
п.1.1. Целые числа. Делимость.
ДЛЯ успешного решения задач О ЧИСЛЭДС ИЗ ЭТОГО пункта необходимо
знать следующие факты. Bo-nepabxx, любое НЗТУРЗЛЬНОЕ ЧИСЛО m может
бЫТЬ СДИНСТВЕННЫМ образом представлено В виде ПРОИЗВСДСНИЯ степеней
ПРОСТЫХ ЧИССЛ
_ "1 _ "2 _ _ П:
m—P1 P2 ���� PI»
где п; - натуральные числа, а р, - различные простые числа. Во-вторых,
при делении натурального числа р на натуральное число q возможны
q различных остатков 0,1, 2, . . ., (q — 1). Полезно также помнить, что
происходит с квадратами чисел. Например, при делении числа п на 3
возможны остатки 0, 1, 2, а при делении n2 на 3 возможны остатки 0 и
1. В-третьих, признаки делимости натуральных чисел, записанные как
признаки величины остатков от деления на заданные числа:
о число при делении на 3 и на 9 дает такой остаток, какой дает
сумма его цифр. Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9,
то и само число делится на 3 или на 9;
о число при делении на 5 и на 10 дает такой же остаток, как и
последняя его цифра;
о число при делении на 4, 25, 50 и на 100 дает такой же остаток, как
и число, записанное последними двумя цифрами.
Наконец, при изучении делимости чисел достаточно работать не с са-
мими числами, а с остатками от деления этих чисел. Следует помнить,
что все арифметические действия с остатками, кроме деления, повторя-
ют действия с числами. А именно, при сложении чисел складываются
остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся остатки и
т.д.
Перечислим теперь наиболее характерные типы задач этого пункта.
О Требуется УСТЗНОВИТЬ, ЧТО какое-то выражение, зависящее ОТ на-
ТУРЗЛЬНОГО ЧИСЛЭ. П, ДСПИТСЯ ИЛИ не ДСЛИТСЯ ПРИ всех Tl на 38.-
ДЗННОС Ha.Typ3.J'II:H08 ЧИСЛО ИЛИ На, aaancxmee ОТ Tl выражение. Ре-
ШСНИВ осуществляется ЛИБО применением МВТОДЭ. математической

8 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА‘.
индукции, описанного в параграфе 7, либо разложением исходно-
го выражения на сумму слагаемых, которые по разным причинам
будут делиться или не делиться на заданное число или выраже-
ние при всех n. При этом часто используется следующий факт:
произведение /c последовательных натуральных чисел делится на
k.
о Задачи, связанные с исследованием сократимости или несократи-
мости дробей, зависящих от целого п. При их решении предпола-
гается сократимость дроби на натуральное q, q 79 1. После чего,
этот факт переписывается в виде двух равенств для числителя и
знаменателя. Затем исключается исходная переменная п, получа-
ется равенство для q. Анализируя последнее, находят возможные
значения q. Отсюда делают выводы, диктуемые условием задачи.
о Задачи, связанные с поиском целого числа п, при котором задан-
а п)
Wt)
задачи сначала выделяют целую часть таким образом, чтобы
a(n) d
___ : C-(n) _+_ __._
И") И"),
где а(п), b(n), c(n)— выражения от п, а d — целое число. После
чего отыскивают п, при которых b(n) является делителем числа
d. Эти значения п и требуются.
является также целым числом. При решении этой
ная дробь
о Задачи, связанные с натуральными числами, состоящими из оди-
наковых цифр. При их решении полезно следующее преобразова-
ние таких чисел:
п цифр
г-4‘-—\
mm m_m'11 1__т_ 99...9 __ _10"—1
`y+� _ �k�� _ —————9 _m ————~9 .
n Цифр п Цифр
Другие задачи на целые и натуральные числа приведены в пункте 5
параграфа 5.
1.[1] Найти НОД (а, Ь) :
а) а : 144, b : 120; б) а = 372,1) =156;
в) а, 333, b : 243; г) а = 1О0001‚Ь= 9999; .
д) a=2332,b=2233; e) a 25-252,b=43~352.
О

§1. Действительные числа. 9
2.[1] Найти наименьшее общее кратное (НОК (а, b)) :
a)a=48,b=36; 6)a=35,b:25; B)a=23-32,b=22-33.
3.
[1] Доказать, что HO)I(n1,n2) -HOK(n1, TL2) : Tl1'Tl2.
4.[1] Пусть НОД (а, с) : 1 и а-Ь делится на с. Доказать, что b делится
на с.
5. [4] Цифры трехзначного числа переписаны в обратном порядке. До-
казать, что разность между исходным и полученным числом де-
лится на 9.
6.[1] Доказать, что признак делимости на 11: ”Число n кратно 11
тогда и только тогда, когда сумма его цифр с чередующимися
знаками кратна 11”.
7.[1] Доказать, что число 11 . . .1 делится на 81.
\_‚_/
81
8.[10] При каких п число М : 1313. . . 13 делится на 63?
ъ._.`‚.___/
2n цифр
9.[10] При каких п число М : 1717.. .17 делится на 33?
»._.§,._._/
2n цифр
10.[1] Остатки от деления на 3 чисел т и п равны 1 и 2 соответствен-
но. Каковы остатки от деления на 3:
а) суммы т + п;
б) произведения т - n?
[1 Ha какую цифру оканчивается число 21995?
11,
12.[2 Найти последнюю цифру числа 31975.
13
31995 на 5;
1
1
] Найти остаток от деления:
)
) 21995 на 7.
019273
14.[10] Какой остаток при делении на 7 дает число 33"?
15.[10] Найдите остаток от деления на 7 числа 222555 — 555222.
16.[4] Делится ли на 7 число 19911917 +19171991?
\

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
10
17.[10] Докажите, что 4343 — 1717 делится на 10.
18.[1 Доказать, что число 115 — п делится на 30.
'19.[1 Доказать, что n2 + 1 не делится на 3 ни при каких целых п.
[
20. 1] Сумма k2 + т“) + n2 делится на 4. Доказать, что числа k, m, n —
четные.
21.[1] Сумма т2 + n2 делится на 3. Доказать, что она делится на 9.
22.[2] Доказать, что при любом натуральном п число п?’ + 2n делится
на 3.
23.[4] Доказать, что 1:3 + 5k делится на 3 для любого k Е Z.
24.[10] Доказать, что n3 + 6712 — 4n + 3 делится на 3 при любом нату-
ральном п.
25.[4] Числа р и q - простые, р, q > 3. Доказать, что р2 — q2 делится
на 24.
26.[4] Найти все натуральные п, при которых число п - 2" + 1 делится
на 3.
27.[5] Доказать, что сумма кубов трех последовательных чисел делит-
ся на 9.
28.[1] Определить р, если р‚р + l0,p + 14 - простые числа.
29.[3] Пусть р и q - два последовательных простых числа. Может ли
их сумма быть простым числом?
30.[1] Доказать, что если число п не является степенью двойки, то
число k" + l" - составное (п, k,l - натуральные числа).
231995 + ����
31. 1 Доказать, что - составное число.
1
3 1] При каких натуральных п число п‘ + 4 простое?
1
1
3 1 Доказать, что число n4 -+5 64 составное при любом п E N.
2.
3.
34.
[
[
[
1 Доказать что следующие дроби несократимы ни при каком п :
2 ’ 2
2 — 1 — 1
а, д„_, б) 1.2;
п + 1 n2 + 1

§1. Действительные числа. 11
35.[1] При каких 12 сократимы дроби
n2+2n+4 n3—n2—3n
а) ———-—:—; 6) ——-:——-—'.7
п’ + п + 3 122 — 12 + 3
36. [3] Докажите, что дробь fig несократима. n Е Z.
37.[4] Найти все числа, на которые может быть сократима дробь pө� : S
при целых значениях 1.
38.[10] При’ каких натуральных п дробь 2 1 несократима?
д _
39.[10] Найти все целые 12, при которых дробь п сократима.
2612 + 4
ЯВЛЯСТСЯ целым ЧИСЛОМ?
3 2
40.[10] При каких n E Z выражение П +
41.[4] Доказать, что если две положительные несократимые дроби в
сумме равны 1, то их знаменатели равны.
42. [5] Доказать, что для всех натуральных п выражение (123 +3712 +2n)
делится на 6.
т 1122 1123
43.[10] Доказать, что если т - целое число, то число 3- + Т + Т
также является целым.
. 1 Доказать, что число 123 —- 712 делится на 6.
. 1 Доказать, что число n(n + 1)(n + 2)(n + 3) делится на 24.
44[ 1
45[ 1
46.[1] При каких n число 124 + 2123 ~ 122 — 212 не делится на 120?
47.[1] Доказать, что 129 — 6127 + 9125 — 4123 делится на 8640.
48 [ 0
. 1 ] При каких целых q существует целое решение уравнения
1:3 + 2111: + 1 : 0?
49.[1] Доказать, что число п“ + 2123 + 2122 + 212 + 1 ни при каком нату-
ральном 12 не является точным квадратом.
5О.[1] Доказать, что число 12(п + 1)(п + 2)('n. + 3) + 1 является точным
квадратом при любом натуральном п.

12 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
51.[2] Доказать, что удвоенная сумма квадратов двух натуральных
чисел есть также сумма квадратов двух натуральных чисел.
52. [3] Покажите, что всякое нечетное число можно представить в виде
разности квадратов двух целых чисел.
53.[4] Известно, что а, Ь,с - целые числа, и а + b : c. Доказать, что
а“ + I24 + с“ есть удвоенный квадрат целого числа.
54.[l] Показать, что число, состоящее из п (n > 1) одинаковых цифр,
нс является точным квадратом.
55.[l0] Является ли полным квадратом число М : `11 . . .1 — 22.. .2’?
TI’ Tr’
211 Цифр п Цифр
Г
делится на 7.
57.[1] Доказать, ‘ITO
a) из + 3122 — п — 3 делится на 48 при нечетном п;
б) 7" + 12n + 17 делится на 18;
в) 5" — 3" + 2n делится на 4.
58.[l] Пусть а - действительное число, причем а + 1/a — целое. Дока-
зать, что при любом натуральном п число а," + 1/a" также целое.
п.1.2. Рациональные и иррациональные числа.
При решении 3a11a‘I данного ПУНКТЭ. СЛСДУСТ ПОМНИТЬ определения
РЕЪЦИОНЕЛЬНОГО И иррационального ЧИССП. Именно, рациональным ЧИС-
„ P P
ЛОМ называется деиствительное число, представимое в виде —, где — -
несократимая дробь, р - целое число, q - натуральное число. Собственно,
иррациональным числом называется действительное число, непредста-
вимое в виде —.
Необходимо напомнить, что ‘любое рациональное число представля-
ется также B виде бесконечной периодической десятичной дроби, а любое
иррациональное число - в виде бесконечной непериодической десятичной
дроби.
o6.[5] Доказать, что для всех натуральных п выражение (82"‘1 — 1)‘

§1. Действительные числа. 13
Кроме ТОГО, сумма, разность, ПРОИЗВЕДЕНИЕ И частное рациональных
ЧИСЕЛ ЕСТЬ всегда рациональное ЧИСЛО. ПОДОбНОЕ НЕЛЬЗЯ сказать Об Hp-
рациональных числах.
ПрИ обосновании факта, ЧТО какое-то ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ иррациональ-
ным, часто ИСПОЛЬЗУЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ прием. Предполагается ПРОТИВ-
НОЕ, ТО ЕСТЬ, ЧТО ИССЛЕДУЕМОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ рациональным. Получает
СЯ НЕКОТОРОЕ выражение. ПОСЛЕ ЧЕГО, ПУТЕМ НЕСЛОЖНЫХ алгебраических
преобразований это выражение приводится к противоречивому виду.
Особо следует рассмотреть ситуацию, когда изучается тригонометри-
ческое выражение. Подобным образом предполагается противное, после
чего, используя различные тригонометрические формулы, выражение
ОТНОСИТЕЛЬНО ИСХОДНОГОГ угла ПрИВОДИТСЯ K выражению ОТНОСИТЕЛЬНО
в’ 4’ 3‘
ность последнего, получается требуемое противоречие.
ИЗВЕСТНЫХ УГЛОВ Учитывая рациональность ИЛИ иррациональ-
l.[2] а) Может ли сумма двух рациональных чисел быть иррацио-
нальной? б) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть
рациональной?
2.[l] Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть
рациональным?
3.[l] Доказать, что между любыми двумя различными действитель-
ными числами есть как рациональные, так и иррациональные.
4.[1] При каких натуральных а и b число loga b рационально, а при
каких иррационально?
5.[10] Могут ли числа ll, 12, 13 быть членами, не обязательно по-
следовательными, одной геометрической прогрессии?
6.[l] Доказать иррациональность чисел:
а) х/241; 5)f—x/1?; В) 6/§+x/5; r) {F4/5.
7.[l0] Доказать, что числа \/5 + \5/3 и у? + 6/3 иррациональные.
8.[8] Является ли рациональным число:
а) tg5°; 6) sin 25°;
B) \/::\/4+\/1_§+\/3+\/4—x/E?
9.[4] Доказать, что cos 10° иррационально.

14 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
10.[4] Доказать, что sin 10° иррационально.
11.[10] Доказать, что cos 1° и sin 1° есть иррациональные числа.
12.[5] Определить первый знак после запятой у числа sin 80°.
l3.[5] Определить первые 4 знака после запятой у числа P���
14.[5 Указать хотя бы одно рациональное число а такое, что
|
sin81° — а! < 0, 01.
15.[5] Указать хотя бы одно рациональное число а такое, что
7:1_07-17*“ (Лука
l6.[2] Вычислить без помощи таблиц:
а) 1051/„(81/5); 5) внаём; в) 0001152; Г) 3‘°s%“+2%»o£..,4.
l7.[l] Проверить равенство \5/ 45 + 29x/— — \a/ 45 —— 29х/— = 2\/i.
18.[4] Известно, что �� � 3 + \/§ +\3/10 + 6\/— — \/- -
ЦЕЛОЕ ЧИСЛО. Найти ЭТО ЧИСЛО.
а) < 0,1; б) < 1.
l9.[l] Пусть р и q - рациональные числа, причем 92 = 16р2 + 12р9.
Доказать, что р : 9 = 0.
20.[10] Один из корней уравнения 1:2 +p:B +q 2 0 равен 1+ 1�� Найти
р и q, если известно, что они рациональные.
21.[10] Доказать, что уравнение 1:3 + $211 + уз = 0 не имеет ненулевых
рациональных решений.
22.[10] Существуют ли такие иррациональные числа р и 9, что оба
корня уравнения :22 + рт + q = 0 различны и
а) рациональные;
б) иррациональные?
2З.[11] Решить в рациональных числах уравнение: 2’ == 3“.
24.[l1] Решить в рациональных числах уравнение: (:1: + yx/§)2 + (z +
t\/if = 5 + �3��

§1. Действительные числа. 15
11.1 .3. Сравнение чисел.
В задачах этого пункта требуется уметь сравнивать различные чи-
словые выражения. Возможно использование следующих приемов.
о В случае сравнения однотипных числовых выражений следует ал-
гебраическими преобразованиями (возведение в соответствующую
степень, выравнивание оснований логарифмов с последующим их
отбрасыванием и т.д.) привести исходную задачу к сравнению
двух целых чисел.
о Используя особенности сравниваемых числовых выражений следу-
ет ввести некоторую вспомогательную функцию f и заменить
исходную задачу сравнения на сравнение значений функции f
при заданных значениях аргумента. Последняя задача решается
исследованием функции f на возрастание и убывание.
о При сравнении разнотипных числовых выражений а. и b подбира-
ют такое число с, которое сравнимо и с а и с b. Например, для
обоснования неравенства а > b находят число c такое, что а > c и
c > b. Тогда уже делается вывод о соотношении между числами а
и b.
o Для сравнения числовых выражений могут быть использованы
следующие известные неравенства:
а) 1}“ 2 \/‘~73! ПРИ д у 2 0;
б) (1+1:)"21+п1: при :с>—1 и n€N;
B) sin:::<:n<tg:n при 0<гв<7т/2.
[1] Доказать, что
а)\/Ё+\/Ё<\/Й; б)Ё/Ё+\74Ё<2Ё/Ё-
1.
2.Щ Что больше:
а)т+1илит; б)\7ё+3илит?
3.[10] Доказать, что 1/1993 + «/1994 > «/1992 + \/1995.
4.[10] Сравнить числа: ж/’7+ т и х/Ё + �\��
‚ 11
5.[1o] Сравнить числа: у/ЗЗ + 17x/.3 и у/ 9 + 4x/5 + -1-666.

16 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
615] Какое из чисел больше: \/2со$2 + 4со$1 + —— 2 со$1 или ё?
7110] Сравнить числа: x‘/6-0 И 2 + �R��
8110] Сравнить числа: 10g310 + 4lg3 и 4.
9. [4 Определить знак числа $111 2 -со$ 3 -sin 5.
0 [
1
] Положительно или отрицательно число:
) $111 100; б) cos 100/19; в) $111 355
7r : 3‚1415926... - все Цифры верные)?
11110] Раположить в порядке возрастания числа:
$11110°,со$275°, tg190" и ctgl00°.
1211] Найти наименьшее натуральное k, для которого выполнены не-
равенства
sink < sin(k +1) < sin(k + 2) < sin(k + 3).
1311] Что больше:
а) со$1 или со$(3/2); 6) sin3 или sin 3°;
в) $111 cos 1° или со$ sin Г’; г) $111со$ 1 или со$ $1111?
1412] Что больше:
а) со$3 или 0; б) sinl или sin 1°; в) tgl или arctgl?
1 5
1514] Что больше Ё или агсгд; + агсгдё?
1615] Расположить в порядке возрастания числа:
2 _ 71 71
5; $111 7; tgg.
1714] Какой знак имеет число 1g(arctg2)?
18110] Сравнить числа: tg55° И 1.4.
19110] Сравнить числа: $11131° и tg30°.
2012] Сравнить числа: l01°59'3 и 71°54 2.
2115] Сравнить числа 3400 и 4300.
2215] Сравнить числа: 3500 и 440°.

§1. Действительные числа. 17
2300 3200_
23. [10] Сравнить числа:
1 1/6 1 1/5 *
24.[10]Сравнить числа: �n�� и ��w� .
И
25.[1] Что больше: �c�� или т?
2614] Что больше 2`/5 или ЗЛ?
27.11] Выяснить, что больше:
а) {73 или x5/5; 6) ’\°/30 или "33/50; в) 340 или 430; I
r)3344 или 4433; Д) 10‘/H или 11‘/T5; e) (10”1)10_2 или (9’1)9Ч?
2811] Что больше:
а) (1,1)1° или 2; б) т 2 или 1, 01?
29. 10] Сравнить числа: т 2 и 1.006.
30. 10] Сравнить числа: 1052 1т +1о5„ 2 и 2.
31. 10] Сравнить Числа: 19901991 и 19911990.
а) 10525 и \/5; 6) 10523 и х/Ё;
в) 105214 и т; г) 1052 240 и �-��
3 [5] Имеет ли смысл выражение 1о5д(\/2 — 1053 5)?
3.
34.12 Что больше:
а) 1052 3 или 1053 2; б) 1054 7 или 1051/3 2; в) 1052 5 или 1053 5?
35.[10] Сравнить числа: 10511 119 и 10515 227.
36.11] Что больше:
а) 1053 4 или 1052 3; б) 105.1 5 или 1051/21/3?
37.11] Сравнить логарифмы:
а) 1052 3 и 1053 5; б) 1052 5 и 1055 32;
в) 1052 3 и 1055 28; г) 1052 3 и 1055 8.
38.[5] Имеет ли смысл выражение:
а 1052 3 — 1055 11; б) arcsin \/32sin -1 Ё’
11

18 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
39.[10] Сравнить числа: 1033 7 и 1037 27.
40.[10] Сравнить числа: 1031891323 и 10363 147.
4l.[4] Что больше: log” 12 или 1031213?
42.[5] Расположить в порядке возрастания числа:
6 1 ‘/5 1
31108910? Е; 1811; 5) �kE� ё й; \/0» 1-
43.[4] Сравнить два числа: и 1.
21о335-1о337-...-1о3379
§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета.
Квадратным трехчленом называется выражение у = amz + bx +
с, а 79 0, а графиком этой функции является парабола, ветви кото-
рой направлены вверх при а > 0, вниз при а < 0.
Из тождества
2
2 Ь 122 — 4ас
y:a.:c +b:c+c=a :c+~— ~—j———
2a 4a
следует, что график квадратного трехчлена получается из графика функ-
ции у = (11: путем параллельного переноса, при котором вершина па-
раболы смещается в точку
b b2 -— 4ас
170=‘5;1‘› 1/0:‘ 4a
Если дискриминант D : b2 — 4ас > 0, то график функции пересекает
ось Х в двух точках. Это означает, что соответствующее квадратное
уравнение (1:22 + b1: + с = 0 имеет два действительных корня:
—Ь — х/В -—Ь — х/В
ш = -—————— гс = ————-—.
1 2a I ’ 2 2a
B случае, когда D = 0, график функции касается оси Х, а квадратное
уравнение 0,22 + bx + c = 0 имеет ровно один корень то. Наконец, если
D < 0, то график функции лежит выше оси Х при а > 0 ИЛИ НИЖе ОСИ X

§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виста. 19
при а < 0. Значит, корней у соответствующего квадратного уравнения
нет, и функция знакопостоянна (ее знак совпадает со знаком а).
При решении ряда задач будет полезно помнить теорему Виета.
Теорема 1. Пусть 21, 22 - корни квадратного уравнения 1122 +b:2 +c :
0, a ф 0. Тогда D 2 0 и справедливы соотношения:
-'B1+$2=——; -'l71'-'l‘«2=--
a а
Значит, применяя формулы сокращенного умножения, можно получить
полезные выражения для различных комбинаций корней:
2% + 2% : (21 + 22)2 — 22122 : Ё; —— 2%;
2% + 2% : (21 + 22) ((21 + 22)2 — 32122) :: —g (3-2 — 3%);
2
:2‘{+:2§: ((:21+:2g)2—2:21:22)2—2(:21:22)2: (%—— ���� —2:—:.
При решении многих задач с параметрами важно знать утверждение
о расположении корней квадратного трехчлена.
Теорема 2. Для того, чтобы оба корня 21, 22 квадратного трехчлена
были меньше некоторого числа М, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
при а>0: D>0; :2g<M; y(M)>0;
при а<0: D>0; :2o<M; y(M)<0.
Теорема 3. Для того, чтобы некоторое число М лежало между кор-
нями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение сле-
дующих условий:
при а>0: у(М) <0;
при а<0: y(M)>0.
Теорема 4. Для того, чтобы оба корня 21, 22 квадратного трехчлена
были больше некоторого числа М, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
при а>0: D>0; :20>M; y(M)>0;
npn'a<0: D>0; mo>M; y(M)<0.
1.[1] Найти необходимое и достаточное условие на параметры р и q
для того, чтобы уравнение :22 +р2 +q = 0 имело ровно один корень.

20 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
2.[l0] Составить уравнение с целыми коэффициентами, одним из кор-
ней которого является число \/_ — ���
3.[3] Докажите, что корни квадратных уравнений 1222 + bx + с : 0 и
cxz + bx + a : 0 взаимно обратны.
4.[10] При каких значениях q уравнение x2 —-px +q : 0 имеет решение
при любом р?
5.[1] Найти все такие b, что при любом а уравнение x2 + ax + b : 0
имеет два действительных корня.
6.[1] Ha. координатной плоскости Oab найти множество точек (а, Ь),
для которых уравнения x2 + ax + b : 0 и аш2 + x + b : 0 имеют
равное число корней.
7.[1] Доказать, что при любых допустимых значениях а, р, q уравнение
1 1 1
+ : — имеет вещественные корни.
x — p x — q a
8.[3] Найти наименьшее значение, принимаемое 2, если z : x2+2xy+
3y2+21:+6y+4.
9.[l] Известно, что для квадратного трехчлена у : axz +bx +c имеют
место неравенства у(-—2) > 1, у(2) < —1. Определить знак коэффи-
циента b.
l0.[3] Известно, что для у = а1г2 + bx + с имеет место у(—1) > —4,
у(1) < 0, у(3) > 5. Определите знак коффициента а.
11. ]
e
[1 ПУСТЬ 4а + 2b + C > 0 и уравнение а1г2 + bx + c : 0 не имеет
д йствительных корней. Каков знак с?
12.[1] Как выглядит график функции у = аш2 + bx + с, если
a+b+c> 0,ac> 0‚0< Ь<2\/ас?
13.[1] Ha. плоскости (р, q) изобразить множество точек таких, что урав-
нение x2 + px + q : 0 имеет одним из корней фиксированное число
а. ,
. 2
l4.[l] Найти коэффициенты квадратного трехчлена x + px + q, ес-
ли известно, что р и q — Целые числа и 1 + х/Ё - корень данного
трехчлена.

§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. 21
15.[1] Коэффициенты р и q квадратного трехчлена $2 +р$ +q нечетны.
Доказать, что он не может иметь целых корней.
l6.[3] Докажите, что если значение квадратного трехчлена 0.22 — b2 +c
является целым числом при $1 = 0, 22 = 1 и $3 : 2, то при любом
целом $ значение данного трехчлена является целым числом.
l7.[l0] Докажите, что если значение квадратного трехчлена a.22+b2+c
является целым числом при всех целых $‚ то а, b,c есть целые
числа.
l8.[1] При каких значениях а один из корней уравнения
222+(3a.—1)2+(a2—4a+4) 2: 0
вдвое больше другого?
19.[4] При каких значениях k корни уравнения 22 — (2k + l)2 + k2 : 0
относятся как 1:4?
20.[10] При каких значениях а корни уравнения 22 — 62 + a : 0 удов-
летворяют условию $Ё = 22?
2l.[l] Дано уравнение 22 + p2 + q = 0. Составить квадратное уравне-
Hue, корнями которого являются сумма квадратов и сумма кубов
корней данного уравнения.
22.[1] Составить квадратное уравнение, корни которого равны кубам
корней уравнения (122 + b2 + c = 0.
23.[1] Пусть $1 и 22 - корни уравнения 322 — 52 — 4 = 0. Найти:
а) $Ё$2 + 212;; 6) 2:322 + 2123.
24.[1] РЕШИТЬ уравнение $2 + р$ + 35 = 0 при условии, что сумма
квадратов корней равна 74.
2
25.[5] Пусть 21,22 - корни квадратного уравнения $ +р$ —- q : 0.
Найти $3 + $3 не вычисляя этих ко ней.
1 23
2
26.[5] ПУСТЬ :21, 22 — корни квадратного уравнения $ + р$ -— q : 0.
Найти гс? + $3, не вычисляя этих корней.
27.[10] При каких а сумма корней уравнения: 22 — 2:12 + (2/a — 1) : О
равна сумме квадратов корней?

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА’.
28.[10] Пусть :21 и :22 - корни уравнения :22 -}‘— р2 + q = 0.
Найти г: + Ё, :1::i”+ 2%, :2‘1‘+ 2%.
2+у=а‚
$4 + yq : b4. Найти my.
29.[4] Известно, что {
30.[1] Для квадратного трехчлена у = (1:22 + Ь2 + c известно, что оба
корня больше единицы и что а, + b + c > О. Определить знак коэф-
фициентов.
31.[1] Известно, что корни :21 и 22 уравнения (1:22 + b:2 + c : О удовле-
творяют неравенству 21 < -1 < :22. Доказать, что a2 + ac < ab.
32.[l] При каких а уравнение 4:22 — 2:2 +a : 0 имеет два корня, причем
$1 < 1, $2 > �D\�
33.[10] При каких значениях а один из корней уравнения (a2 + a +
1):22 + (2a — 3):2 + (a — 5): 0 больше 1, а другой меньше 1?
34.[l0] При каких значениях а оба корня уравнения (2 — a):22 ~ 3a:2 +
2a = 0 больше 1/2?
35.[l0] Найти все значения а, при которых оба корня уравнения
(а. +1):22 — 3a:2 + 4a = 0 больше 1.
36.[1] На координатной плоскости Oab найти множество точек (а, Ь),
для которых уравнение :22 + a.:2 + b = 0 :
а) не имеет корней;
б) имеет два положительных корня;
в) имеет два корня на отрезке [—l; 1];
r) имеет два корня, причем 21 < —1,:22 > 1.
37.[10] Найти все значения т, при которых неравенство m:22 — 4:2 +
(3m + 1) > 0 выполняется для всех 2 > 0.
38.[l0] При каком положительном значении р уравнения:
3:22 — 4р2 + 9 = 0 и :22 — 2р2 + 5 = 0 имеют общий корень?
39.[1] При каком целом р уравнения 3:22 — 4:2 + р — 2 : 0 и
:22 — 2р2 + 5 = 0 имеют общий корень?
40.[10] При каких а уравнения: :22 + a:2 + 8 = 0 и :22 + 2 + а = 0
имеют общий корень?

§3. Тригонометрические задачи. 23
§3. Тригонометрические задачи.
При решении задач этого параграфа важно помнить следующие фор-
мулы тригонометрических преобразований:
cos ш 1
. 2 2 _ _ $1П$ _
sm ac+cosz_1, tgz_ , ctz_ _ :——,
cosz smz tgz
sin 2x : 2 sin av-cos ш, cos 2x : cosz z—sin2 ш = 2 cosz av~1 = 1-2 sinz ас,
.2 1—cos2:z 2 1+cos2z
s1n av=—j——, cos z:———:,
2 2
sin(:c:i:y) = sinz-cosyztcosz-siny, cos(z:§:y) = coszc-cosyipsinx-siny,
t zit y
tg($ i P�j� : 7
1: tgw ' tgy
. 2t 1—t 2 2t
s1n 2:: :\ ё, со$2ш : ——~g—2—x, tg2:z : ё,
1+tg2 1+tg:n 1—tg:z
1+tg2:B= 1 ‚ 1+ctg2:z:: ,
C0S2.’B sinzz
. . . :1: . -
smzztslny : 2s1n Ц-соз ш ч: у, cos2+cosy = 2cos ш +y -s1n x y,
2 2 2 2
. . — . . 1
cos:c——cosy = -2 sln 3:1}-sln ш 2 , s1n ш-вшу = §(cos(:z—y)—cos(:t+y)),
(sin(av+y)+sin(z—y)).
l\7I|—I
1 .
cos av-cosy = §(cos(:n+y)+cos(:z—y)), s1n av-cosy =
Полезно также знать формулы приведения.
Кроме того, необходимо помнить свойства и вид графиков тригоно-
метрических функций у = sin ас, у = cos ш, у = tgz, у = ctgz.
Важно знать свойства и вид графиков обратных тригонометричес-
ких функций у : arcsin ас, у = агссовш, у = arctgz, у = arcctgz, a
также следующие формулы обратных тригонометрических преобразо-
вании:
arcsin av + arccos ш : 1г/2, |z| 5 1, arctgz + arcctgz : 1r/2,
cos(arccos ас) = ас, sin(arcsin аз) = av, ]z| 5 1,
tg(arctga:) = аз, ctg(arcctgz) = аз,
cos(arcsin аз) = \/1 — 2:2, sin(a.rccos ас) = \/1- 3:7, ш g 1,
tg(a.rcsin аз) = 7557, Ix] < 1,
tg(arccos аз) = дЕЕ, |:c| g 1, а: 75 0.
1'

24 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
Для получения в конкретных задачах подобных формул следует ком-
бинировать необходимые формулы из первой и второй групп.
Также особо следует выделить свойства и графики функций
у : arcsin(sin 1:), у = a.rccos(cos 2:), у : arctg(tgx), у = arcctg(ctg:c),
которые легко выводятся из свойств тригонометрических функций:
у = sin аз, у : cosz, у = tgz, у : ctga: и им обратных у : arcsin ш,
у : агссов :13, у = arctgzc, у : arcctgzc.
1
ЦЦ Вычислить: sin (arccos ��M� .
2.[1] Вычислить: sin(arctg3).
3.[1} Вычислить: sin(2arctg6).
4.[1] Вычислить: cos (2a.rctg(—5)) .
1
5.[1] Вычислить: cos (arcsin �%;� + a.rctg(—2)) .
. 5 1
6.[5] Вычислить: cos arcsm Е + arccos -5 .
_ 1
7.[l] Вычислить: sm <arcc0s �>� — arctg2) .
1 . 1 1
8.[2} Вычислить: а) tg (arccos ��]� ; б) s1n (arctgg — агссоз pjO� .
57г _ 57г
9.[1] Вычислить: а) агссоз сов? ; б) arccos s1n—4— .
. . 87r
10.[3} Вычислить: arcsm s1n 7 .
87г
ll.[3] Вычислить: агссоз cos -7- .
I
81r
12.[3] Вычислить: arctg tg7 .

§3. Тригонометрические задачи. 25
13.[1] Вычислить: arccos (cos 10) .
14.[4] Найти: a.rccos(cos 13).
100
15.[1] Определить знак числа cos п.
19
16.[3] Выяснить, какое число больше: sin 1980° или cos 1980°?
17.[3} ВЫЯСНИТЬ, какое число больше: sin 2 или cos 3?
7 1
18. [4] Что больше E или arcsin 5 + агссоз Е?
1
19.[1} Доказать, что агсгзё < p"G�
20.[1} Вычислить: cos 20° - cos 40° -cos 80°.
21.[1] Доказать, что
. . 27г . 47г . 67г . 87г
s1na+s1n a-kg +s1n а-Ъ? +s1n a+—5— +s1n 01+? =0.
1
22.[1] Доказать, что cos ё + cos Ё: : `�@�
57г 1
23.[1] Доказать равенство: cos g - cos Д: - cos — :: ��B�
7 7
21r 41r 67r 1
24.[1] Показать равенство: cos — + cos — + cos —— : ——.
7 7 7 2
25.Ш Дано tga: + ctgzc = 3. Найти tg3a: + ctg3a:.
26.[1} Найти наибольшее значение cos z+cos y, если :c+y : 1; ш, у > 0.
2
27.[2] Найти tga, если sin 2a + cos 2a : ��<�
28.[2} При каких значениях а и В справедливо равенство
sin a + sinfi : sin(a + ��;�
29.[4] Известно, что агсгвл- 1 = E, где п - натуральное число.
х/Ё +1 п
Найти п.

26 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
30.[l] Доказать, что 2arctg% + arctg2l3 : � �
3l.[1] Доказать, что \/0 + tgi1—r2- : 2.
7r _\/0+\/2'
32.[1] Доказать, что cos -
12 _ 4
2 . o __ 2 о
33.[1] Доказать. что é————-———CO§ 49 COS О = х/Ё.
sin 20°
2 .
34.[1} Доказать, что sin(7r + a) -sin ���� + а) -sin �?�� + а) : Sm43a.
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° _
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° —
36.[1} Доказать, что если 0 5 ш g 1, то zcsinzc + cosz _>_ 1.
35.[1} Доказать равенство
37.[5] При всех значениях а 96 12-, (k : О; :Ь1;:Ь2; . . доказать не-
равенство: 3(tg2a + ctgza) — 8(tga + еще) + 10 2 0.
k
38. [5] При всех значениях В ф 1%, (k : 0: 3&1; :t2; . . @O�� доказать нера-
венство:
.2
3(l—i~cqos 2fi) _ . +5>0‘
sln‘ Zfi sm 25 ’
. . 1 . 109
39.[9] Зная. что sina > 0 и s1n За > Z, доказать, что sxna > ����
§4. Логарифмические и показательные задачи.
При решении задач этого параграфа следует помнить формулы для
степеней и логарифмов:
а _ Ьд : aa+[3 aloga b : b
a
Ё: : a°‘"° logo b + logo c = logo bc
(a°)° :: a"‘° log“ b — logo c = logo g
а“ - b°‘ : (ab)°‘ logo b‘ : c - та, b
an a G _ lo ‘
г: (г) 1°8а’>— �y��

§5. Решение уравнений И неравенств. 27
Также необходимо знать свойства и вид графиков логарифмической
и показательной функций.
111] При каких значениях ш определено выражение:
(..,((1ogaz:)l°g“’)...)log°I?
213] Упростите выражение 15 $53” ~ lg tg6° - lg tg9" - ...-1gtg87",
311] Упростить Zgfilzf.
411] Вычислить без таблиц число 4V log‘ 5 — 5 V1035 4.
5.[1] Доказать, что при целом k > 1 n : — logk logk k
?:‘
(n корней).
611] Найти log”; u, если log, u : а, logy u = Ь, log, u : c.
711] Дано 152 : а. Найти 15(1/80).
811] Дано 1052 20 : а. Найти 1055 4.
915] Известно, что 1053 18 = а, 1055 15 = Ь. Вычислить 1052 10.
1011] Дано 152 = а. Найти:
а) 1054 20; б) 105125 50; в) 1о52ь5к(2'"-5").
1111] Найти все натуральные п, для которых
1052 п < V 15 <1о52(п +1).
§5. Решение уравнений и неравенств.
П и сшении авнений и не авенств соб анных в этом па аг а-
9
фе, помимо стандартных методов, например замены переменной, могут
использоваться и следующие приемы.
о Область определения уравнения или неравенства разбивается на
подобласти, на каждой из которых анализ исходной задачи проще,
чем на всей области определения в целом.

28
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
о Может быть использовано графическое решение уравнения или не-
равенства, заключающееся в том, что исходная задача трактует‘-
ся как задача поиска либо точек пересечения графиков некоторых
вспомогательных функций, либо областей, где график одной функ-
ции лежит выше графика другой. При этом широко используются
свойства введенных вспомогательных функций, описанные в пара-
графе 9.
При решении уравнения f ( 1:) : 0 полезно бывает домножить его на
некоторую вспомогательную функцию у(а:) для того, чтобы новое
уравнение у(ш) Ў�� : О стало проще исходного. При этом следует
помнить, что если у(ш) знакопостоянна, то уравнение у(ш)-Дш) : 0
равносильно исходному. Если же в некоторых точках функция 9(ш)
обращается в нуль, то уравнение у(а:) - Дш) = 0 наряду с корнями
уравнения �W� : 0 обладает еще и корнями уравнения 9(ш) : 0.
Поэтому, после решения уравнения 9(а:) - Дав) = 0 следует среди
его корней отобрать те, для которых f = 0.
Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свой-
ством монотонной функции. Суть этого приема состоит в том, что
если надо решить уравнение Дш) = 9(а:) и при этом Дав) является
возрастающей функцией, а у(ш) - убывющей функцией, то при на-
личии решения а: = то оно единственное. При этом корень то легко
подбирается, например, из вида графиков. Кроме того, в качестве
одной из функций может выступать и функция у : const. Наконец,
описанный подход применяется и при решении неравенств.
Для решения некоторых уравнений привлекаются оценки левой и
правой части. Пусть имеется уравнение : g(a:) и оно стан-
дартными приемами не решается. Тогда может оказаться, что
Дав) S cl, а у(:с) 2 C2. При этом, если cl = C2, то исходное уравне-
ние может иметь решение - корень уравнения f (av) = cl, который
должен быть и корнем уравнения g(z) : с1. Если же ст < C2, то у
исходного уравнения корней нет. Таким образом, решение исход-
ной задачи сводится {доказательству некоторых неравенств. Этот
процесс может основываться либо на свойствах ограниченности
входящих в уравнение функций, либо на применении Известных

§5. Решение уравнений и неравенств. 29
неравенств:
Чд Z «Е, 30,112 0 и равенство достигается при а: = у;
Ix + ��/� 2 2, а: gé О и равенство достигается при ��9� : 1;
Ш Z Ш I501 2 -т;
sin:c<:n<tgq:, zE(0;§);
|sinz] S av.
ЗЗМСТИМ, ЧТО ЭТОТ прием ПРИМЕНЯЕТСЯ И при решении неравенств.
0 ОТДЕЛЬНО ВЫДСЛИМ однородные уравнения:
до (1‘(Ф))"+а1 (1'(Ф))"_1*9(Ф)+- - -+ап—х1’(т)'(у(т))п_1+ап (9($))" = 0.
где f(:c) и у(а:) - произвольные выражения от ш, а a0,a1,...a,, -
заданные целые числа. Сначала рассматривается система
{ ПФ) =3.
и отыскиваются ее решения, являющиеся решениями исходного
уравнения. Затем уравнение делится на (у(а:))" и выполняется за-
f (т)
9(:v)
aoz" + alz + . . . + a,,_1z + an : О, методы решения которого
описаны в пункте 1 этого параграфа. Отыскиваются корни этого
уравнения, затем возвращаются к исходной переменной.
мена переменной z : . Получается рациональное уравнение
п—1
п.5.1. Рациональные уравнения и неравенства.
Большинство собранных в этом пункте задач связаны с нахождением
корней уравнения вида
y(z) : 110.13" +a1z"“1 + . . . + a,,_1a: + an = 0,
где п E N, щ; gé 0 и ад, a1, . . .a,, - целые числа. Выражение в левой
части равенства называется многочленом. Само уравнение называется
рациональным. Поскольку при п = 1 получается линейное уравнение
111
aoz + a1 : 0, имеющее решение то = ————, а при п : 2 - квадратное
ao

30 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.’
уравнение вот’ + alas + (1.2 = 0, подробно описанное в параграфе 2; под-
робно следует остановиться на случае п Z 3 И напомнить следующее.
Во-первых, у многочлена нечетной степени один корень существует
всегда. Во-вторых, прежде чем заняться непосредственным отыскани-
ем корней многочлена, следует изучить вопрос их наличия. Для этого
достаточно подбором найти два значения 1:1, 1:2, 3:1 < 1:2, для которых
y($1)~1/(HI2) < 0-
Теперь кратко изложим процедуры нахождения корней исходного
многочлена.
о Для поиска целого корня то следует выписать все делители числа
an, a затем по очереди проверить их, подставив в многочлен. Если
для какого-то делителя подстановка обратилась в нуль, то корень
то найден. Необходимо поделить исходный многочлен на (а: — то),
получить многочлен степени на единицу меньше и продолжить
поиск других корней. Если же ни один делитель ад не обратил
подстановку в нуль, то данный многочлен целых корней не имеет.
о Для поиска рационального корня хо следует выписать все "делите-
ли чисел ао и ад, а затем сформировать всевозможные дроби вида
Р
—, где р - делитель ад, q - делитель ао, и дробь а - несократи-
мая. После чего по очереди проверить их, подставив в многочлен.
. P
Если для какои-то дроби — подстановка обратилась в нуль, то ко-
Ч
P . -
рень то = — наиден. Необходимо поделить исходный многочлен на
(цап-р) и далее искать корни многочлена степени на единицу мень-
- P
шеи. Если же ни одна дробь — не обратила подстановку в нуль, то
Ч
данный многочлен рациональных корней не имеет.
Следует помнить, что в случае ао : 1 все рациональные корни
многочлена являются исключительно целыми числами; а в случае
an : 1 все рациональные корни многочлена имеют вид то : Ё, где
q - делитель ао.
о Наконец, для поиска иррационального корня шо следует восполь-
зоваться методом неопределенных коэффициентов, который про-
демонстрируем для п f 4. Будем искать разложение исходного
многочлена в виде:
a0:c4+a1z3+a2x2 +a3$+a4 = (50262 + 5111+ 52) ' (C012 + 61$ + C2),

§5. Решение уравнений И неравенств. 31
где bo,b1,b2 и c0,c1,c2 - неизвестные, а а0‚а1,а2,а3‚а4 - за-
данные целые числа. Раскрывая скобки в правой части тождества
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1:, нахо-
дим систему равенств:
boco = Go,
boo; + blco : (11,
5002 + 5161 + bzco = 112,
5162 + 5261 = 113,
bgcg Z (14.
B системе следует рассмотреть первое и последнее уравнения как
уравнения в целых числах. Перебрать всевозможные пары (Ьо, со)
и (b2,c2), дающие в произведении ао и щ соответственно.
При этих значениях решить в целых числах оставшиеся уравне-
ния системы. Если в результате таких рассуждений не нашлись
целые числа Ьо, b1, b2 и со, c1,c2, то необходимо искать иррацио-
нальные корни исходного многочлена каким-либо другим спосо-
бом. Здесь имеет смысл попытаться разложить его на множители
либо путем добавления и вычитания некоторого слагаемого, с по-
следующим применением формул сокращенного умножения, либо
путем почленного деления на какое-то определенное выражение,
либо путем упрощения с помощью замены переменных.
Paunonanbnme уравнения решаются также И ПрИ ПОМОЩИ замены пе-
ременных. ОПИШЕМ некоторые ИЗ НИХ.
о (ш + a)4 + (а: + fi)4 : с, где a,fl,c — заданные числа. Пусть
а + -
d = ��]� Замена переменнои имеет вид у : ac + d. Уравнение
приобретает симметричный вид (у + d)4 + (y — d)4 : с или, после
преобразований, 2y4 +12d2y2 + (2d4 — с) = 0. Последнее уравнение
является биквадратным и легко решается.
o(:1: —a) - (ш-В) - (:c—'y) - (:c—6) : A, где a,,8,'y,6,A - заданные
числа, удовлетворяющие соотношениям а < В < ‘у < 6 и В —
a+fl+7+5
4
y Z $13 — d И также СВОДИТ ИХОДНОС уравнение X биквадратному.
а = 6 — ‘у. Пусть d = . Замена переменной имеет вид
о ((1:22 +b1:z+c) - (azz +b2:c+c) : Azz, где а, (п, b2, c, A -
заданные числа, удовлетворяющие неравенству bl ф bg. Уравнение

32
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
__ С
ДЕЛИТСЯ на $132, ПОСЛЕ ЧЕГО замена ПЕрЕМЕННОИ у Z (1:13 + —’ ПРИВОДИТ
его к квадратному уравнению вида (у + bl) - (y + b2) : А.
(ш - а) - (ас —В) - (ш — 7) - (ш — б) = Аш2, где a,fl,'y,6,A - задан-
ные числа, удовлетворяющие равенству afl : '76 # 0. Уравнение
приводится к виду ($2 — (а —+-‚Н):с+аН) - (132 — (7 +6);c +76) : Анд,
после чего решается приемом из пункта 3.
‘1(C$2+P1$+(1)2+b(C$2+P2$+'I)2 : Axzy где ‘1»b»C»P1yP2y‘ZyA
- заданные числа, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ НЕРЗВЕНСТВУ pl f pg. Уравне-
НИЕ делится на 132, ПОСЛЕ ЧЕГО замена ПЕрЕМЕННОЙ у Z 6113+ — l'IpPIBO-
$1!
дит его к квадратному уравнению вида а(у +p1)2 + b(y + p2)2 : A.
Возвратное уравнение вида 111:4 + b:c3 + C132 + ba: + a = 0, гдеа, Ь, с -
заданные числа, решается следующим образом. Уравнение делит-
ся на 1:2, после чего преобразуется к виду
2 1 1 1
а. а: +? +b z+; +c=0.'3aMeHanepeMeHHmxy:a:+;c
учетом 1:2 + x—2 = у2 -— 2 приводит исходное уравнение к квадрат-
ному уравнению вида ayz + by + (с — 211) = О. Подобные рассужде-
ния могут быть проделаны для любого рационального уравнения
четной степени с указанным выше свойством коэффициентов. Воз-
вратное уравнение нечетной степени вида 111:3 +ba:2 + bar: +a : 0 пу-
тем преобразований приводится к виду (ш+1)(аш2+(Ь-—а)ш+а) : О.
Значит, один корень а: : —1‚ а оставшееся уравнение является
возвратным степени на единицу меньшей, и потому решается опи-
санным выше способом. Аналогичное проделывается с любым воз-
вратным уравнением нечетной степени.
К рациональным уравнениям ОТНОСЯТ также И УРЗВНЕНИЯ, содержа-
ЩИЕ раЦИОНаЛЬНЫЕ Bmpaxennx С МОДУЛСМ. ПОЭТОМУ ПРИ РЕШЕНИИ таких
ЗЗДЗЧ важно ПОМНИТЬ, ЧТО
'_ ш, при а: Z 0,
‚а: _ —:с, при а: < 0.
а также |шТ2 0 и I~ av] = 0>��
1.[1] РСЩИТЬ уравнение: �=�� — 1{ — 2{ — 1{ = 1.

§5. Решение уравнений и неравенств. 33
2.[1] РСШИТЬ уравнение: [$3 — $ + 1| : :3.
3.[1] Решить неравенство: [$3 — $ + 1| < $ + 1.
4.[4] РЕШИТЬ уравнение: [$13 + [$ — 1|3 = 9.
. 1
5 [7 Сколько корней имеет уравнение
1 3
3—2]m—-1]:2( -5)?
$ — — — $ + —
6.[7] Сколько корней имеет уравнение ‘$2 — 2}$] + Ц = 3}2 — ш) —- 1?
4
4
7.[10] Сколько корней имеет уравнение: 1 + $ — $2 = P<��
2$
$2+1'
4
9.[1] Решить неравенство: -7 _>_ — — :32.
$ $
8.[1] Решить неравенство: $3 >
10.[10] При всех значениях а решить уравнение: am‘ — $3+а2$ —a : 0.
11.[10] При всех значениях а решить уравнение: $4 — 2а$2 + $ + а? : 0.
12.[1] РСШИТЬ уравнение $4 — 3$2($ + 1) + 2($ +1)Z : О.
1 Z 2
13.[1] Решить неравенство: (x + `��� > $2 : 1.
2 _
14.[1] Решить неравенство: $2 +1 + :32 — 5$ + 6 < 0.
$2
15.[10] Решить уравнение: $2 + т : 1
81$2
16.[10] Решить уравнение: $2 + W 2 40.
1 1
17.[10] РЕШИТЬ уравнение: 7 (m + ��� — 2 ($2 + 0[�� : 9.
18.[1] Решить уравнение (:1: + 3)‘ + ($ + 5)“ = 4.

34 ‚ Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
9 43 7
19.[4] Решить уравнение: $3 — fizz + 3:1: + 5 = О.
20. [4] Решить уравнение: mu —— $9 + $4 —- а: + 1 : 0,
21.[10] Рехпить неравенство: $12 — $9 + $6 — $3 + 1 Z О.
1
"H" >0
22. 1 Р: : Z ————:— .
[ ] (ШИТЬ неравенство $ + $2 + ш + 1
23.[1] Решить уравнение 6$4 — 13$3 +1232 — 13:1: + 6 : О.
24.[1] РЕШИТЬ уравнение $4 — 52:3 + 6x2 — 5$ + 1 = О.
25.[1] РЕШИТЬ уравнение 2134 + 3$3 + 2$2 + 32: + 2 : 0.
26.[1] Решить уравнение ($2 —16)(::: —— 3)2 + 9x2 : О.
27.[1] Решить уравнение $4 — 4$3 — 10$2 + 37$ — 14 = О.
а 1
28.[1] Решить уравнение: ~—— — : 1.
$ $ — 1
1 — 1
29.[1l)] При всех а решить неравенство: i + ш > ш + .
2a 6 8a
3(J.[10} Для всех и, решить неравенство: an: > —.
$
31.[2] При каких значениях а неравенство а$2 — �W�� S О справедливо
для всех $ g О?
п.5.2. Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений и неравенств следует, преж-
де всего, помнить об области определения корня, присутствующего в
уравнении или неравенстве. Именно, для 2\"/1‘($) имеем 1'($) Z О.
Кроме того, следует не забывать и о следующих фактах:
371%) Z 0,
ЖРИ) = !1‘(т)1‚

§5. Решение уравнений и неравенств. 35
_ (шит) п жиге.
т) "‘”)‘{ -\9Г‹ш›1’2‹э=› „Е: x(z)<o.
A также, что избавление от корня осуществляется возведением обеих
частей уравнения или неравенства в эту степень. При этом в случае
корня четной степени обе части уравнения или неравенства должны
быть неотрицательны.
Полезно также помнить и о том, что решение уравнения вида
\/1'(ш) = 9(ш) сводится к решению равносильной системы:
{ f(2=) ;g.2($),
Аналогичный подход применяется и в уравнении \/}(ш) : \/9(ш). Рав-
посильная система имеет вид:
т) (ж). f(w)= ш,
{копьё “”“{а‹ш>2Ё‚
VII
В зависимости от того, какое неравенство легче решить.
Следует не забывать и о замене переменной в иррациональном урав-
нении или неравенстве, которая упрощает исходную задачу.
. ешить авнение: :3 —:——— : ——.
1 ш P + ш 35
YP 1:2 _ 1 12
1 — х/ 1 — 8 2
2.[1] РЕШИТЬ неравенство: т; < 1.
а:
З.[1] Решить неравенство: \/E + \/ :32 + 3:3 > 3.
4.[1] Решить неравенство: 9 — 9/:3 < :3 — на: — 9/:3.
1 1
5.[4] Решить уравнение: :2: + E = 5.
— 2\/ 1
6. [4] Решить неравенство: > 0.
:32 — 5:3 + 6
7_[4] Решить уравнение: V :37 + 1 + 1 — $5 : 8.
Найти все :3 > О, для которых \/ :32 + 2 + $2 — 3 = 5 + \/?— ж.

‘Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
9.[4] Решить уравнение: \/1: + 3 — 4x/571+ 1; + 8 — fix/x—:_1 : 1,
10.[10] РЕШИТЬ уравнение: {AT + Д? : 3. ’
11.[10] Решить уравнение: д + х/ЁЁ : $2 — 6$ + 7.
12.[10] РСШИТЬ уравнение: `��� = $2 — 7 при $ > 0.
13.[10] РЕШИТЬ уравнение: \°/1:-—§ + ДЕ = 3.
14.[10] Решить уравнение: \°/$ — 1+ \/$ + 2 : 3.
12
15.[10] Решить неравенство: 25 — $2 f —.
$
17.[0] Решить уравнение: (1: + $ : а.
18.[1] Решить уравнение: $2 -— и : \/(I3 + a.
19.[1} РСШИТЬ уравнение: $2 + 2а$ + а = \/ $ + 112.
2Щ1] Решить уравнение: $2 — 2 = ]$ — а].
21.[1] При каких а уравнение \/$ — 1 = $ + а имеет решение?
22.[1] Найти Все значения u.‘ при которых уравнение V $2 — 1 : 2ш — а
имеет единственное решение.
23.[1] Решить неравенство: т Z $.
24.[1] РЕШИТЬ неравенство: Д: 2 am.
25.[1] Решить неравенство: 1 —— $2 < $ + а.
26.[1] Решить неравенство: $ — $(а —- $) > 1.
27.[10] Для всех значений а решить уравнение: \/1Ё—- \/$ — 1 : a.
G
n.5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства.

§5. Решение уравнений и неравенств. 37
При решении уравнений и неравенств этого пункта следует пом-
нить свойства и графики тригонометрических функций у = sin 1:, у :
созш, у = tgx, y : ctgx; свойства и графики обратных тригоно-
метрических функций у = arcsin 1:, у : агссоз 1:, у : arCtg:1:, y :
arcctgx. Важно также знать тригонометрические формулы, которые при-
ведены в параграфе З.
Необходимо рассмотреть следующие приемы решения тригономет-
рических уравнений.
о а(1:) 51:11:+Ь(1:)со51: : с(1:), где а(1:)‚ b(:3), с(ш)-выражения
от переменной :3 и с(1:) 2 О. Вводим вспомогательный угол ‹‚о(1:)
так, чтобы:
, со5‹‚о(ш) : —Щ#——.
sin ‹‚о(1:) 2 a2($) + bl“)
Получается уравнение вида а2(1:) + b2(1:)sin(z: + : ����
Тогда, если �G�� > \/a2(z:) + b2(1: , то уравнение не имеет реше-
ний. B случае 2 \/а2(1:) + b2 ж) возникает система:
(
|SiI1($ + <P(1'))|=1»
Шт) + WI) = lc($)|»
которая В КОНКРЕТНЫХ задачах ЛЕГКО РСШЗСТСЯ.
о sink :3+cos"‘ 1: = 1, где k и т- заданные натуральные числа.
Нетрудно понять, что решение достаточно искать среди тех ж, для
которых sin 1: 2 0 и со5 1: 2 О. В этом случае используются неравен-
ства sink :3 2 sin’ :3 при k > l И со5” 1: 2 со5” 1: при т >
п, в которых равенство достигается при sin 1: = О, sin :3 : 1, cos 1: :
О, созш = 1 и основное тригонометрическое тождество 51:12 1: +
со52ш : 1.После чего sin 1: и со5"'1: сравниваютсяс 51:121с
и со52 1:. Возникают неравенства вида либо 1 = sink 1:+со5”‘ 1: g
sinz 1: + C032 13 = 1 либо 1 : sink 1: + со5” 1: 2 51:12 1: + со52 1: : 1. Ра-
венство возможно при уже указанных значениях 51:11: и со5 1:,
которые проверяются в исходном уравнении. добавляются случаи
sin :1: : -1 или созш = —1, когда одна из степеней или обе чет-
ные. B противном случае уравнение решений не имеет.
1
1,[10] Решить уравнение: со5 :3 - cos 2:3 - cos 41: - со5 81: : ����

38
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. д
2. [1] Решить уравнение:
3.[1] РСШИТЬ уравнение:
4.[1] Решить уравнение:
5.[0] Решить уравнение:
6.[1] РЕШИТЬ уравнение:
7.[1] РЕШИТЬ уравнение:
8.[1] РЕШИТЬ уравнение:
9.[1] Решить уравнение:
10.Щ Решить уравнение:
11.[1] Решить уравнение:
12.[2} Решить уравнение:
13. [3] Решить уравнение:
l4.[3] Сколько корней уравнения соз2 1: +
sin(cos 3:3) = О.
sin(3 sin 7r:3) = О, 5.
x/5
2
4sin:3 -sin51: : 1.
x/5
cosx
(tg:L_)sin1: : (Ctg:L_)cosz I
з111(со51:) =
1
sinm'
8sin:3:
| sin 1:|°‘52‘ : 1.
3
3 ш.
4з1пш—со5" ж: 4со5ш—51п'
. . . 1 .
sin 1: - 511121: - s1n3:3 : E sm 41:.
tg2a: + : ctga: +
sin 1: sin 51: '
tg21: cos Зш + sin 3m + \/§sin 51: = 0.
sin 3m + cos 41 — 4511171: : cos 101: + sin 171:.
\/3+1. ы/Ё
2
SlX1IE—‘—4—‘—1:0
лежит в отрезке [—7г; 7r]?
15.[10] Имеет ли решение уравнение: cos(sin 71:)
16
17
18.
19 Решить уравнение
20
[1
Н
и
-[4]
Н
-[1
21 1 Решить уравнение:
. 1 Решить уравнение:
. 1 Решить уравнение:
1 Решить уравнение:
. 1 Решить уравнение:
— 7
U\|=i
sin(sin ж) : sin(cos �?��
sin(cos ж) : cos(sin �-��
cos(sin ж) : соз(соз �i}�
sin(sin :3) : cos(cos ��
coscos 1: : 51112 :3.
tg(— cos ж) — sin(7r + cos @���

§5. Решение уравнений и неравенств.
39
22.[10] Решить уравнение: sin(7r cos ж) = соз(7г sin ���
23.[1] Решить уравнение:
24.[1] Решить уравнение:
25.[1] Решить уравнение:
26.[1]
7. 1
2 [1 Решить уравнение:
28.[1] Решить уравнение:
29.[1] Решить уравнение:
30.[3] Решить уравнение:
31.[0] Решить уравнение:
32.[1 Решить уравнение:
33 [1 Решить уравнение:
34 [1 РЕШИТЬ уравнение:
1
35. 1
36 [5 Решить уравнение:
37
38.
39.[1] Решить уравнение:
4О.[1] Решить уравнение:
41.[1] Решить уравнение:
42.[1] Решить уравнение:
Решить уравнение:
]
I
]
] Решить уравнение:
1
PZ�� Решить уравнение:
]
[1 Решить уравнение:
sin 2, 51: + cos 2:3 = 2.
cosy: + cos 7r:3 : 2.
sinx + sin 7:3 : 2.
cosz :3 + cosz \/Ea: : 2.
cos‘ 2m + sin4 :3 = 2.
cos �� � + cos :3 : 2.
5cos2m—3sin31:=5.
cos 31: + sin (21: — ���� : —-2.
cos 6:3 + sin Ё; = 2.
5
sin41: + cos а: = 1.
з1п5ш+соз3ш :1.
51п11ш+соз5ш : —1.
sins,-+\/<_:<—)s—E: 1.
sin3:3 — cos7z = 1.
sin5:3+cos”x = —1.
sin’; :3 - сове :3 = 0,4.
5
s1n1°:3-coss ж : —.
б
_ 1
51:15 а: - сове а: : ——.
31
в 10
‚ 7
sin :3-cos xzg.
sin |:3| = |sin1:|.

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
43.[1] Решить уравнение:
fsinxl : fcoszf.
44.[3] Решить уравнение tg|1:| : [шт].
45. {О} РЕШИТЬ уравнение:
46.[1] Решить уравнение:
47.[1] РСШИТЬ уравнение:
48.[1] Решить уравнение:
49.[1] РЕШИТЬ уравнение:
50.[1] Решить уравнение:
5l.[1] РеШИТЬ уравнение:
52.[3] Решить уравнение:
53.[5] Решить уравнение:
54.[5] Решить уравнение:
451пш _
3)2 + |s1na:I = 0.
г
2соз Ё : 2‘ + 2".
созш : $2 +1.
cos2z:0,5<m+ 1+a:2).
2sin2r + 2cos’z : 1‘5(tg$ + свеж)
\/1+51пш+\/1+со5ш: \/4+2\/Ё.
1: arcs а :
Zarct + in 2x
g 1 + 1:2 П.
21тс0зш: |1:|— |:c—7r[.
x2+3$+2:0.
\/$2—5$+4:1.
sin2(7m:) +
c0s2(71'x) —
. . 3
55.[10] Решить уравнение: s1n 9ш - s1n а: + cos ш = ё
56.[10] Решить уравнение: 53,11 7ш - cos 2x + sin 2m : ��N�
57.[10] РСШИТЬ уравнение: sins а: + соз5 а: 2 2 — 51:12 ж.
58.[1] Решить неравенство: 1/COSIE + x/sinz > 1.
59.[2] РеШИТЬ неравенство
60.Ш Решить неравенство:
6l.[1] Решить неравенство: 1
|sin:I:| + |cos:c| 2 1.
сова: - cos 21: Z
nK>|*"‘
3sinm
2+cos:1:
ё
S

§5. Решение уравнений и неравенств. 41
2
62.Щ Решить неравенство: |tg31:]+ |ctg31:[ g 2 — (ш — ��� .
63.[1] Решить неравенство: tg3m + ctg3x + tg4:c + <:tg4m 2 0.
_ 1 _ 1 . 1 _
64.[1] Решить неравенство: s1n а: + — sin Зш + — s1115m + И sin 7:5 Z 0.
2 4
65.[1] Решить неравенство: 251” + 2”” > 21")?
_ 3
66.110] Решить неравенство: x2+(x+1)-s111W—6$— 2 Ёж при а: E [-2; 2].
67.[10] Решить неравенство: со5(1: + 3tgx) + (tgz: — tg21:)2 5 ——1.
1 1-
68.[l0] Решить неравенство: ш g sin 7r (ш Ё Э -sin7r ( 3 ж)
при 1: E П); 1].
1
69.[1] Решить неравенство: cos(sin ж) > 0��
70.[1 Решить неравенство: COS(COSI13) > О.
71. 1 Решить неравенство: со5(созш) > 0, 5.
\I
1
1
2. 1] Решить неравенство: со5(з1пЩ) > siu(cos
73 [1]
1
1
РЕШИТЬ неравенство: arcsin(sina:) < агссоз(соз
74 [1 Решить неравенство: arcsin а: < агссов ж.
75.[1 Решить неравенство: arctga: 2 arcctgx.
2
76.[1] При каких а уравнение 1 + sin аж : созш имеет единственное
решение?
77.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых
разрешимо уравнение: sinm — sin аж : 2.
78.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых
разрешимо уравнение: sin а: — sin ax : -2.
79.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых
разрешимо уравнение: |з1пш + sin a1:| : 2.

42 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
80.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых
разрешимо уравнение: [sinz — sin ax] : 2.
8l.[10] При каких значениях а уравнение 1 + sing ax сова: имеет
единственное решение?
п.5.4. Логарифмические и показательные уравнения и
неравенства.
При решении уравнений и неравенств этого пункта следует помнить
свойства и графики логарифмической и показательной функций, а также
формулы, связанные с погарифмами и степенями, которые приведены в
параграфе 4.
1.[1] Решить уравнение: 31°52 I = x1°52 3.
2.[1] РСШИТЬ уравнение: 515’ = 50 —— $155.
3.[1] РЕШИТЬ уравнение: 3’ - 8=+2 = 6.
4.[1] РЕШИТЬ уравнение: 5’ -8:1 : 500.
5.[1] Решить уравнение: ml" : 1:2.
гл :: vm‘.
21°ga(I— 1) = 51°s2(I- 1)_
6.[1] Решить уравнение:
7. [1] РЕШИТЬ уравнение:
8.[1] Решить уравнение:
9.[1] Решить уравнение:
10.[1] Решить уравнение:
11.[1] Решить уравнение:
12.[1] Решить уравнение
13. [2] Решить уравнение
. C И
21053 +22'=—a1 = 31°52 4?2=—a1 _
2со52 .1: + 251п2 1' =
3.
1og3 8’"1 - logz 27 : а: + 7.
logcosx 2 ' logcosza: 3 : 1°82 @���
:(\/9+2\/§)z+
(logsim cos :c)2 : 1.
(y/9—2\/if = 18.

ё 5. Решение уравнений и неравенств. 43
14.[3] Решить уравнение: |:c — 1|l52’"l5’2 : |:c — 1|3.
15.[5] Решить уравнение: 1g(arcsin 1:) = 0.
16 ]
.[5 Решить уравнение:
а) Ig(arccos 1:) = 0; 6) arccos(7rlog3 tg1:) = 0.
1] Решить уравнение: 1+ 31/2 : 21.
1] Решить уравнение: 2’ = 3 — 1:.
1] РЕШИТЬ уравнение: an - 2’ : 8.
1
1 Решить уравнение: б’ —— 3’ : 3.
1
21.[1] Решить уравнение: In1: + П : 2 - sin(1: + 7r/4).
n
22.[1] Решить уравнение: 1о3ш„(2 cos 1: — 1) = 2.
23.[1] Решить уравнение: 5’ + 12’ : 13’.
5
24.[10] РСШИТЬ уравнение: 9’ + 4’ : 56’.
25.[1] Решить уравнение: ( 2 — ��6� + (V 2 + @�7� = 2’.
26.[10] Решить уравнение: ( 4 — \/1-5 + (V4 + �]$� : (2\/§)I-
27.[3] Решить уравнение: 3’ + 1 —— |3’ — 1| : 2log5 |6 — p32�
28.[3] Решить уравнение: 13(2’ + 1: — 41) : :с(1 —— lg 5).
29. [3] Сколко корней имеет уравнение Зш |2 — P�0� = 1?
30.[ ]
3 Сколко корней имеет уравнение 1:2 — 21: — Iogz |1 — ж] = 3?
31.[10] Решить уравнение: 21"" = 1:2 + 1+ $2 +1.
32.[10] Решить уравнение: (2 + 1:)’ = 1.
33.[10] Решить уравнение: 2log1+1 4 2 1: + 3.

44 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
34.[1] Решить неравенство: (1:2 — 41: + 3)’2"6’+4 5 1.
35.[1] Решить неравенство: ($2 + 31: — 4)’2’1 2 1.
36.[1] Решить неравенство: 5l°g= 8_=:~£:_: > 25.
37.[3] Решите неравенство |1: — 2]l°g‘(1+2)_l°g?1 < 1.
38.[10] РСШИТЬ неравенство: ($2 — 41: + 3)12'5I+4 g 1.
1; 12-51-6
39.[10] РЕШИТЬ неравенство: ‚1032 З- < 1.
40.[10] РЕШИТЬ неравенство: (1: — 2)’2_6I+8 > 1.
41.[1] РЕШИТЬ неравенство: 1:’ > 2’.
42.[1] Решить неравенство: Iog(I2_1)ctg1: f 0.
43.[1] Решить неравенство: Iogm”(\/§sin1: — 1) f 1.
44.[1] Решить неравенство: Iogl cos“ ��^� < 0.
45.[2] РСШИТЬ неравенство Iogsinx cos 11 < 0.
46.[5] РЕШИТЬ неравенство: log3(Iog1/5 av) _<_ 0.
47.[5] Решить неравенство: logl/4(Iog cc) 2 0.
$2+1:
av+4
48.[10] Решить неравенство: 1033/101036 < 0.
I
49.[10] Решить неравенство: 32’/3 ~sin 1: > \/é при Щ E [Д .
50.[10] Решить неравенство: 2"”_2' log2(41: — 1:2 к 2) _>_ 1.
51.[10] Решить неравенство: cos2(1: + 1) Ig(9 — 21: — 1:2) 2 1.
52.[1] Найти число решений уравнения log“ 1: : а’ в зависимости от
а.
53.[1] При каких значениях а уравнение lg arc : 2 Ig(1: + 1) имеет един-
ственное решение?

§5. Решение уравнений и неравенств. 45
54.[1] Решить неравенство: 1032 1: + log, 2 + 2 cosa 5 0.
55. [3] При каких а уравнение 31: lg 1: = 1 + alga: имеет:
а) одно решение; б) два решения?
5б.[3] Решите неравенство: 1о3„(1 — 1:2) Z 1.
57.[10] При всех значениях а решить уравнение:
‚Нов, аа: ~1og,, an = -\/§-
58.[10] При всех а решить неравенство:
1
> 1.
loga an
59.[1] Доказать, что уравнение (1/16)’ : 1031/1621: имеет ровно три
решения.
60.[3] Решите систему неравенств
1031/2 cos 1: < 1031/2 tg1:,
0 g гс f 7r.
61.[3] Сколько корней имеет уравнение 1о35„/2 ш = сов 1:?
62.[6] Доказать, что уравнение 2”; - 3" : 5 не имеет решений.
п.5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах.
В данном пункте собраны уравнения вида f (гс, у, z) = 0, решения ко-
торых являются целыми числами. Приведем некоторые основные прие-
мы и методы их решения.
О РЗЗЛОЖСНИВ на МНОЖИТСЛИ.
Пусть каким-либо образом, например, с помощью разложения на
множители или формул сокращенного умножения, удалось полу-
чить представление исходного уравнения в виде
1°1(1г‚у‚г) ' f2(17ay»Z) = <1,

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
где d — некоторое целое число. После этого следует перебрать все-
возможные пары целых чисел (d1,d2) такие, что d1 ~ dz : d и
для каждой такой пары решить систему уравнений
{f1(177l/all : dla
f2(1:1yazl г‘ d2-
Предполагается, что каждое уравнение системы проще исходного
уравнения.
Рассмотрим наиболее типичные преобразования к требуемому ви-
ДУ-
1. Пусть f = (a1:)2 — (by)2 — d. Тогда формула разности квадра-
тов приводит к искомому равенству (arc + by) - (arc — by) : d.
2. ПУСТЬ f : a:c2+b1:y+cy2 —d и квадратный трехчлен 11112 +bt+c
раскладывается на множители с целыми коэффициентами.
Это означает, что соответствующий дискриминант является
полным квадратом. Тогда легко выписать требуемое пред-
ставление
((1111 + �Z�� ' (0.211 + �A� Z P���
B этих рассуждениях а, b, с, d - целые числа.
Иногда для решения или доказательства отсутствия решения у
исходного уравнения f (муж) = 0 прибегают к следующему его
представлению:
. : k . . . + b,
где k и Ь - натуральные числа и b < k. Данное соотношение рас-
сматривается как деление выражения левой части, обычно зави-
сящее лишь от одной переменной, на k c остатком b. После чего
проверяют возможность такого факта. Для этого переменную ле-
вой части выражения заставляют пробегать все целые значения
в зависимости от деления на k, т.е. kl, kl +1,..., kl + (k — 1).
Из анализа такой проверки и делается окончательный вывод для
исходного уравнения.
Рассматривается уравнение a1:2 + bray + cyz : d, B котором дис-
криминант квадратного трехчлена atz + bt + c не является полным
квадратом. Оно переписывается в виде a1:2 + bray + (C112 — d) = 0.
Далее, соответствующий дискриминант представляется как D :

§5. Решение уравнений и неравенств. 47
(b2 — 4c)y2 + 4d = t2, t > 0. Здесь t - новая целая переменная.
Решается последнее вспомогательное уравнение относительно у и
t. Если оно имеет целые решения (yo, to), то отвечающее им целое
значение 1:0 определяется из равенства
—b it
110: чуда О.
о Рассматривается уравнение f1(17, у, г) + f2(y, z) + f3(z) : d,
где Д, f2, у‘; - заданные неотрицательные выражения, d -
натуральное число. Из уравнения легко получить неравенство:
0 S f3(z) = d- f1(17,y,Z) — f2(y,z) S d,
откуда определяются возможные значения z. Возьмем одно из них
го. При таком 20 имеем уравнение
f1(17:yaZ0) + f2(y, го) = d ‘ f3(Zo)-
ДЛЯ него аналогичным образом получается неравенство:
0 S [Луз Z0) 5 d — 13(30):
откуда для данного 20 находятся возможные значения у. Возьмем
одно из них yo. При таких (yo, го) имеем уравнение
f1($,y0aZ0) = <1 — f2(?Jo,Zo) — f3(/Z0),
откуда находятся целые значения 1:0, отвечающие (y0,zg), либо
делается заключение об отсутствии при данных (yo, Z0) решений.
Перебирая возможные пары (yo, го), находится ответ задачи.
О При РЕШЕНИИ ИСХОДНОГО уравнения В ЦЕЛЫХ числах ВОЗМОЖНО ИС-
ПОЛЬЗОВЗНИС ИЗВЕСТНЫХ НСРЗВЕНСТВ, Hanpnmep:
т’ + yz 2 2171/,
1
11+; 22, 1:950,
”'2”’2\/F, 17,920-

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
о При решении исходного уравнения в целых числах возможно ис-
пользование свойств входящих в уравнение функций.
1.[1] Имеют ли решения в целых числах уравнения:
а) 21:+3y:6; 6) 41:+18y-:7; В) 71:—11y:17?
2.[4] РВШИТЬ в целых числах уравнение 19ж3 — 84у2 : 1984,
3.[10] Решить уравнение: 12 : 3y2 + 2 B Целых числах.
4.111] РЕШИТЬ в целых числах уравнение: 11:13 + 7y : 3.
ш
5 11 Доказать, что уравнение: 1:2 —— 2y2 + 82 = 3 не имеет решений
в целых числах.
6.[11] Решить в целых числах уравнение: 31: + 5y г. 8.
7. [5] Найти все пары натуральных чисел р и q, для которых
4р2 = 42 — 9.
8. 11 Решить в целых числах уравнение: any : av + y.
9. 11 Решить в целых числах уравнение: my + 1 : 1: + y.
10. 11 Решить в целых числах уравнение: 1512 -— 111:y + 2y2 : 7.
. 12 Решить в целых числах уравнение: $2 — Зшу + 2112 : 3.
1 1
1 1
1 1
11.[11] Решить в целых числах уравнение: 121:2 — 171:y + 6y2 : 3.
1 1
13.[11] Решить в целых числах уравнение: 2123 + my — 7 : 0.
1 1
15.[4] Решить в целых числах уравнение 3 - 2’ + 1 : у2.
16.[11] Решить в натуральных числах уравнение: 32’ — 2“ : 1.
17.[11] РеШИТЬ в натуральных числах уравнения:
а) 2I—3y=1; 6) 31—2y:1.
18.[10] РСШИТЬ в натуральных числах уравнение: 2:cy = 1:2 + 2y.
19.[11] Решить в целых числах уравнение: :с(:с + 1) = у2.

§5. Решение уравнений и неравенств. 49
20. [4] Решить в целых числах уравнение 21:2 + my —— yz — 71 — 4y : 1.
21.[11] Решить в целых числах уравнение: 1:2 : у2 + 2у + 13.
I 1 I 1
22.[11] РеШИТЬ в целых числах уравнение: 1: — 5 + у — E : �\M�
23.[11] Решить в целых числах уравнение: 61:2 + 5y2 : 74.
24.[11] Решить в целых числах уравнение: 191:2 + 28y2 : 729.
25.[11] РСШИТЬ в Целых числах уравнение: \/E + Д = 3.
26.[12] Решить в целых числах уравнение:
3(:с - 3)? + ау? + 222 + 3y2z2 = 33.
27.[12] Решить в целых числах уравнение: 21:2 + yz + 722 + 21:21,/2 —
422 + 33 = 0.
10 Решить в натуральных числах уравнение: 1:2 + 4у : ушг + 2211.
1
10] Решить в натуральных числах уравнение: 3шу+92 = 9z1;2+zy2.
1
32.
33. 11 Решить в натуральных числах уравнение: 1: + y + z : туг.
34. 1] Решить в целых числах уравнения:
а) 2‘+1:y2; .6) 3”:1+1:2;B) 2v=3I—1; r)1:3—9]_::
д) y2—1:2 =21; е) 1:2+7 =у3; Ж) 6132-}—5y2 :74;3) yz =1:3 +
35.[10] Доказать, что следующие уравнения
а) 1:2 — yz = 1982; б) 1:2 = 3y2 +17;
B)y2:51:+6; r)2'—1=y2. 17>1
не имеют решений в целых числах.
36.[4] Решить в целых числах уравнение
Э
1:+ 1:+ 1:+--- :y.
\:.....T,.___.___4
1992
уз:
1.

00 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
37.[4] Решить в целых числах уравнение 1:2 + yz + 22 : 2myz.
38. Найти все целые числа 1: и у, которые удовлетворяют условиям:
—1<:с—у<2,
2<2у+ш<‘5.
39.[1] Доказать, что следующие уравнения не имеют решения в целых
числах: а) 1:2 — 9у2 = 23; 6) 91: : yz — 2.
§6. Решение систем уравнений и неравенств.
В этом параграфе собраны системы уравнений и неравенств. Помимо
стандартных приемов их решения, таких, как замена переменных, сло-
жение и вычитание уравнений, умножение и деление уравнений, могут
быть использованы и необычные приемы, описанные в параграфе 5, как
то: построение графиков, метод оценок, свойство монотонной функции.
Следует привести еще ряд систем и методов их решения.
{ 111:2 +b1:y+cy2 = 0,
f(-ray) : �D��
Первое уравнение однородное, поэтому проверяется, f(0,0) = 0
или нет. Если да, то (0;0) - решение системы. Далее, в первом
_‚ ll!
уравнении ВЫПОЛНЯСТСЯ деление на yz И замена IICPCMCHI-[OM Z I —.
у
Если у уравнения 1122 + bz + c = 0 есть корни, то система сводится
__ О
к однои или двум системам вида
1'
_ : Z
y Оа
{(171 у) = 01
Где Z0 - корень СООТВеТСТВУЮЩСГО квадратноГо Уравнения. В ПРО-
ТИВНОМ случае Система. решений не “MEET.
(11122 + (711331 + cl:/2 = d1,
(12122 + bzfcy + C292 = dz,

§6. Решение систем уравнений и неравенств. 51
где d1, dz 75 0. Умножается первое уравнение на dz, a второе на d1
И вычитается из одного другое. Получается система
110172 + 5017?; + C092 = 07
01172 + 5113?; + €1,742 = дм
решение которой описано в пункте 1.
{ Р(1:‚ у)
Шт, у)
где функции Р и Q обладают следующим свойством: P(an, y) :
P(y, av) и Q(1:, у) = Q(y,1:) Для решения исходной системы при-
меняется замена переменных 12 + у Z и, (By Z 1). После ее ВЫПОЛ-
нения ИСХОДНЗЯ система СИЛЬНО упрощается.
0‚
0‚
{aav2+bavy+cy2+dav+ey+f:0,
f(w,y)=0-
Для решения такой системы рассмотрим первое уравнение как
квадратное по ж. Тогда выписывается соответствующий дискри-
минант, зависящий от у. Возможны следующие два варианта. Во-
первых, D(y) g 0. Тогда из уравнения 0o!� = 0 находятся зна-
чения yo. Отвечающие им величины 1:0 определяются из формул
корней квадратного уравнения при равном нулю дискриминанте.
Найденные пары (1:0,y0) затем подставляются во второе уравне-
ние. Во-вторых, D(y) является полным квадратом некоторого вы-
ражения от у. Исходная система расщепляется на две, в которых
присутствует второе уравнение f (av, у) = 0 и формулы корней со-
ответствующего квадартного уравнения, то есть зависимости ш
через у. Последние легко решаются.
1.[1] Решить систему:
1:+у:1,
1:"+y3=1.
2. [1] Решить систему:
1:+у=1,
(1:—2)4+y4:1.

52 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. д
3. [1] РСШИТЬ систему:
:c+y+z:6,
:cy+yz+z:c=12,
1:yz:8.
4.[1] РСШИТЬ систему:
1:2+y2+z2=:cy+yz+zaL-,
2:c+3y—6z—1==0.
5.[1] РЕШИТЬ систему:
$2 + 3:cy : 54,
my + 4у2 = 115.
6.[1] Решить систему:
7.[1] Решить систему:
8. [1] РСШИТЬ систему:
avy+yz=8,
yz+z:c:9,
с z1:+1:y:5.
9.[1] РСШИТЬ систему:
1
1‘ 2y
1:2 + 4y —
10. [4] Сколько решений имеет система уравнений
1:2+у=5‚
:c+y2=3?

§6. Решение систем уравнений и неравенств. 53
11.[4] Решить систему
{ 23 — ���� : 13
|1:[ + 2y : 4.
12.[1О] Решить систему уравнений:
10(=v“ + у“) = -17(т3у + туз)»
1:2 + у2 = 5.
13.[1О] Решить систему уравнений:
1:2 + 2y2 : 17,
1:2 —- 21:y = -3.
14.[10] Решить систему уравнений:
1:+y+1:y:7,
1:2+1:y+y2=13.
15.[10] Решить систему уравнений:
1:2 +3:vy+y2 =11,
1:2 +21:y— 2y2 = 6.
16.[10] Решить систему уравнений:
2|т—у|+у=2‚
|т—у!—2у=б-
17.[10] Решить систему уравнений:
{
18.[1()] Решить систему уравнений:
$2—у2+3у=0›
1:2+3:1:у+2у2+2:1:+4у=0.
юпчнъю
Н
+
+
<=IuuI<
II
7
Nico OJ

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
19.[2] РеШИТЬ систему уравнений:
1+1:34’
14Ё’‚ь_23„_ь_
Л Л“ т‘
20.[2] Решить систему уравнений
{ x/E+\/-1./~+<1‘:1,
\/:1:+1+`/д=1.
21.[3] Решите систему уравнений
(3112 + y)I_-'1 : ,
“д 324 : 181:2 +12шу + 2y2.
22.[4] Решить систему уравнений
{ x/5(y- 1)+x/§(-'6-1)=x/5-“By.
yx/:z:—1+1:\/y—l::cy.
23.[l] При каких а и b система
1:+3y:8,
a.'1:+by:4
имеет более одного решения?
24.[Ц При каких а и b система
a1:—y:b,
a:z+3y=1o
имеет единственное решение?
25.[1] Найти все а, для которых система
21:+y:a:1:,
51:~2y=ay
ИМееТ единственное реШеНИС.

.§ б. Решение систем уравненийи неравенств. 55
26. 1 Найти значения п и кото LIX система:
Pa P P
:1:—2y=a,
a1:+3y=p
HMCCT решение ДЛЯ ЛЮбОГО П).
27. [1] Решить систему:
у = (гс +1)?
у +1: a:z:.
28.[1] Решить систему:
(и: + у = (12,
а: + ау : 1.
29.[1] При каких а система:
�C��
1:2+1:y+y2:a
имеет решение?
30.[1] При каких b система:
-“£2 = 142,
:12 — b)2 + yz : 2
имеет решение?
31.[1] При каких а система:
{ $2 142,
(:1: — (1)2 + yz : 3
имеет ровно три решения?
32.[1] При каких а система:
ш2+у2:2’
1:+y+z=a
имеет единственное решение?

56 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
33. [1] Решить систему:
Ч
м:
Ч Ч
0 Q
+
9-1,,‘
{—”+ = +
m—y+:ny: -_�
34.[l] Решить систему:
(:1; + а)’ : :1: + a.
(а: ——a)2 :: 12-12.
35.[2] Исследовать систему уравнений
2:1: — ау = 5,
Зу — 6:1: : -15.
36.[3] Сколько решений имеет система уравнений
{ 1Ш|+!у|=1›
ш2+у2 =a2?
37.[3] При каких значениях а система уравнений
=»—y=~1+wy),
2+:1:+g, -:cy:0
имеет только одно решение?
38.[10] Найти, при каких k система уравнений:
3:1:+(/с—-1)у:1с+1,
(1с+1):1:+у=3
имеет хотя бы одно решение.
39.[10] Найти все 0;, при которых имеет решение система уравнений:
ш2+у2:1‚
1,-2+:1:y+y2:a.

§7. Доказательства неравенств и тождеств. 57
2 .
40.[l] Решить уравнение: $542 — 2Ь52ш + 2 = — arcsln y.
1Г
41.[1] РОШИТЬ уравнение: 2sin а: = у + �y�
42.[1] РОШИТЬ уравнение: :32 + 41: cos(:1:y) + 4 = 0.
43.[3] Решите систему уравнений
ш+у+г=0,
2:L'y—z2:4.
44.[4] Найти все решения системы
ш5+у5:1’
ш6+у6:1.
45.[l0] Решить систему уравнений:
:1:+у:2,
:cy—z2:
46.[10} PCHIHTB неравенство: созш — у2 — у/у — :32 — 1 2 0.
47.[l0] Решить неравенство: 1гу — 2 - arcsin(:B2 + y) 2 21г.
48.[10] Решить неравенство: (3 — со$2 :1: — 2 sin r) - (lgz у+ 2 lg y+4) g 3.
т: .
49.[l0] РСШИТЬ неравенство: 1 — $5? + агссо5(:в + |51п у|) g 0.
1
50.[10] PGIJIHTB неравенство: у ц: \/ 1 — у — IE2 2 0.
_ lcoszcl —
§7. ДОКВЗВТСЛЬСТВВ НОРВВОНСТВ И ТОЖДОСТВ.
При ДОКЗЗЗТСЛЬСТВС неравенств ИЗ ЭТОГО параграфа ПОЛСЗНО ПОМНИТЬ
следующие ОСНОВНЫС HCPELBCHCTBELZ

58 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
la + ��� 2 2, а ф 0; равенство справедливо при Ia] : 1.
Ё“ 2 ,/:3y для 1:, y 2 0; равенство справедливо при :3 : y.
Отсюда следует, что :32 + yz 2 2шу.
[т] + |у| 2 |ш + �\�� для произвольных :3, y:
равенство достигается, когда :3 - y 2 0.
о (1 + p\�� 2 1+ пас, :3 > -1 И п Е N. Это неравенство Бернулли.
Кроме того, при доказательствах неравенств и тождеств применяет-
ся и метод математической индукции, который заключается в следую-
щем. Пусть есть некое утверждение, зависящее от п, п Е N. Проверя-
ется его справедливость при п : 1. Предполагается истинность этого
утверждения при п : k И на основании этой информации доказывает-
ся выполнение утверждения при п = k + 1. Тогда данное утверждение
справедливо при всех п, п Е N.
Наконец, ряд задач на доказательство неравенств и тождеств реша-
ется путем введения некоторой вспомогательной функции f После
чего исходная задача переформулируется уже либо как задача изучения
функции f( на возрастание или убывание, либо как задача исследова-
ния функции f на наибольшее или наименьшее значения.
1.[1] Доказать равенство
(а: х/Б: \/(a+ \/(12 _ b)/2) :1: ша - \/(12 - b)/2.
2.[2] Доказать, что 12 + 22 + . . . + n2 : n(n+1)(2n + 1)/6.
3.[3] Докажите, что для любого натурального п
1 1 1 1 1
1-- 1-- 1-— 1——, :"+.
4 9 16 „ п- 2п
4.[3] Докажите, что для любого натурального п
1 1 1 1 п
Ii“2+'2f§+iz+“‘+"‘”“n.(n+1)=n+1-
5.[3] Доказать тождество
1 1 1
sin4ozcos2a : -1- -— —cos2a — —cos4a+ -—cos6a.
16 32 16 32
6.[3] Доказать тождество
2(51п6а + созб а) — 3(51п4 а + со54 а) + 1: 0.

§7. Доказательства неравенств и тождеств. 59
7.[1] Докаэать‚что при любом натуральном п выполняется неравен-
ство:п" >1-3-5-7-...-(2n—1).
8.[1] ,HOKa.3a.Tb,‘{’I‘O при любом натуральном п выполняется неравен-
1 1
c'rBo:l+—+...+—> .
Л л Л
9.Ш Цоказатычто при любом натуральном п выполняется неравен-
ство:1-2-3-...-п< �:��
2
1 1 1 99
1 . 4 : — —— —-— +
0[ ]I[oxa3aT1. неравенство 22 + 32 + + 1002 < 100
1 1 3 5 99 1
1. » :— —-—-—-...-— —.
1 [4} Доказать неравенство 15 < 2 4 6 100 < 10
12.[l] Цоказать‚что для положительных значений переменных выпол-
1
няется неравенство: ш + у + — Z 3.
ш
13.[l] I[0xa.3a.'rL.,q'ro Для положительных значений переменных выпол-
1
няется неравенство: $2 + у2 + — Z 2\/5.
ту
14.[1] I[0xa3a.'rb,q'r0 Для положительных значений переменных выпол-
`/б + x/E + \/E < a + b + с
3 _ 3 '
НЯСТСЯ H6pa.B€I-ICTBOZ
15.[l] Цоказать‚что для положительных значений переменных выпол-
няется неравенство: (р + 2)(q + 2)(p + q) 2 16pq.
16.[l] Цоказатычто для положительных значений переменных выпол-
няется неравенство: <1+ Е) <1 + у) (1 + Е) > 8.
у z Ш ”'
17.[l] Доказать, что для любых а ф 0, b ф 0 выполняется неравенство:
2 1 2 b2 1 2
а + 5 - < + 5 > 15.
a b
18.[l] Доказать‚что для положительных значений переменных выпол-
Щ + G2 + (13
3
няется неравенство: ‚’/а1а2а3 g

60 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
19.[1] Докаэать,что для положительных значений переменных выпол-
‘II П Tn Tn
няется неравенство: П ���� 2 "“/ -1-2%; (n > m).
20.[l] Доказать неравенство :12“ - уд _<_ am: + Ну при условии, что
oz+fi: 1,a> 0,fi > 0,:1:> 0,3/>0.
2l.[1] Пусть а, b _>_ 0. a+b = 1. Доказать, что а" +b" g 2(a"+l+b"+1).
22.[1] ПУСТЬ а + b : 2. Доказать, что а4 + Ь4 2 2.
23.Ш Доказать, что если I1: — a] + ly — Ь] < с, то
17811 — ад! < (M + lb] + |Cl)C~
24.[1] Доказать, что, если 4:12 + b2 : , то ab g
vii-I)-‘
1
25.[l] Доказать, что если а + b + c = 1, то (12 + b2 + cz 2 p~��
26.[5] Доказать, что для любых трех положительных действительных
1 1
чисел а, Ь, с выполняется неравенство (а+Ь+с)- Е + — + Pc�� 2 9
b
И указать, В Ka.KOM случае ВЫПОЛНЯСТСЯ равенство.
27. [5] Доказать, что для любых четырех положительных действитель-
ных чисел а, Ь, с, d выполняется неравенство
1 1 1 1
(‹1+Ь+С+С1)'(—+—+—+—)21б
а Ь с d
И yxa3a'rb, B каком случае ВЫПОЛНЯСТСЯ равенство.
28.[10] Доказать неравенство: \/a2 + b2+\/cz + dz 2 \/(а + с)2 + (Ь + с1)2
для произвольных чисел а, Ь, с, d. ›
29.[l0] Доказать, что: (а + Ь) - (Ь + с) - (с + а.) 2 8abc при а 2 О,
Ь 2 0, с 2 0.
1 1 1 9
30.[10] Доказать, что: Е+ - >
b+Z_fiHPHa>0a b>0, C>0.
сом-ь
3l.[10] Доказать, что если а + Ь 2 1, то а‘ + Ь4 2

§7. Доказательства неравенств и тождеств. 61
32.[10] Доказать, что: (ab + bc + ca)2 2 3abc(a + b + c).
33.[10] Доказать, что если my + yz + 2:1: : 1, то :1: + y + z 21.
34.[10] Доказать, что если а2 + 122 = 1 и с2 + dz = 1, то [ac — bd| g 1.
. 10] Доказать, что если 2:2 + у: g 2, то |:1: + yl 5 2.
35[
36.[10] Доказать, что при а 2 0, b 2 0, с 2 0
a+b+c2x/c1—b+\/bE+\/(Tc.
37.[10] Доказать, что ‹14 + 124 + с4 2 abc(a + b + c).
$3
38.[l] Доказать, что :1: — F < sin:1: < :1: при 0 < :1: <
39.[1] Доказать, что :1: < tg:1: при 0 < :1: < `}<�
40.[1] Пусть 0 f :1:,y,z 5 1г. Доказать, что
_ :1:+y+z sin1:+siny+sinz
5111 3 2 3 .
41.[1] Пусть 0 Ё 1:,y,z g �{<� Доказать, что 1512;}! _<_ p�,�
7Г . .
42.[1] Доказать, что если 0 < :1: < Е, то cos cos :1: > 51115111 1:.
2
_ 1r
43. [5] Доказать справедливость неравенства а1с5111 :1: - arccos :1: g Ё и
указать при каких значениях 1: выполняется равенство.
1 .
44.110] Доказать, что: sin a В 2 §(sina + 51115)
при05а51г, 056511.
1 .
45.110] Доказать, что: Z g 51116 :1: + со56 :1: 5 1.
2
46.[10] Доказать, что при ш > 0 cos:1: > 1 — �4�
47.[1] Доказать неравенство: 158 - 1512 < 1.
1 1 1
+ — + —-——
log, 1r 1055 1r logw 1r
48.[10] Доказать, что: > 4.

62 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
3
49.[10] Доказать, что 105% 1: + 21og3 1: -1og3 — g 1.
1:
50.[l] Цоказать‚что для любого значения переменной 1: выполняется
неравенство: 1:12 —- 1:9 + 1:6 — $3 +1 > 0.
51.[l] Цоказать,что для любого значения переменной 1: выполняется
неравенство: 2’ > ш.
52.[1] Что больше при а > 1 и при 1: > 0: (1+ 1:)“ или 1 + от?
53.[l] Сравнить 21-1 + 2”_1 и V2’+9.
§8. Задачи на арифметические и геометрические прогрессии.
При решении задач этого параграфа следует помнить определения
арифметической {an} и геометрической {bu} прогрессий, формулы об-
Щего члена и сумм п последовательных членов этих прогрессий:
щ, :а1+ё(п—1), b,.:b1-q"'1,
5” = $41, 5” = шага’
_ 2a1+djn—1!_ _ Ь1- q"—1
S 2 п, 5,, _ q_1 ,
п _
d 96 0 - разность прогрессии q ф 1 - знаменатель прогрессии.
Кроме того, полезно знать условие, при котором три числа ад, Ь, c
образуют в указанном порядке три последовательных члена арифме-
тической прогрессии: 2b : a + с, соответственно, для геометрической
прогрессии: b2 : a - c. Последующее решение задач можно проводить,
применяя рассуждения предыдущих параграфов.
1.[1] B арифметической прогрессии Sm == Sn (m ф п). Найти Sm+n.
2.[1] B арифметической прогрессии для любых т и п имеет место
т2
Sm
равенство — : —.
Sn n2
am 2m — 1
Доказать, что — : —~——.
an 2n — 1
3.[1] Пусть а,Ь,с - различные простые числа, каждое из которых
больше 3. Доказать, что они не могут быть последовательными
членами арифметической прогрессии.

§9. Функции и их графики. 63
4.[3] Числа (12, b2, c2 образуют арифмЁтическую прогрессию. До-
кажите, что числа Ь ‚ ___‚ также образуют ариф-
с с + а а + b
метическую прогрессию.
5.[4] Второй член арифметической прогрессии равен 4, а десятый -
-4. Найти число членов этой прогрессии, сумма которых равна 12.
6.[1] Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у ко-
торой первые десять членов - целые числа, а остальные - не целые?
7.[1] Пусть a,b,c - попарно взаимно простые числа, причем а gé 1.
Доказать, что они не могут быть членами одной геометрической
прогрессии.
8.[1] Могут ли различные числа ау, am и ад быть одноименными чле-
нами как арифметической, так и геометрической прогрессий?
§9. Функции и их графики.
В данном параграфе собраны задачи, связанные с исследованием раз-
личных" свойств функций, а также с построением графиков функций.
Следует напомнить некоторые основные понятия.
Функцией называется отображение числового множества Х на чи-
словое множество Y, при котором каждому значению ш из множества Х,
называемого областью определения, ставится в соответствие единствен-
ное значение у из множества Y, называемого множеством значений. Для
обозначения функции используется у = �?,�
Функция у = f называется четной, если для всех ш Е X ВЫПОЛНЯ-
ется соотношение (-—‚1с) E X и равенство p?�� : ��+�
ФункЦИЯ у = f(:r:) называется нечетной, если для всех ш Е X имеет
место соотношение (-53) E X И равенство �_'� :: —f(—:r;).
Функция у = f называется периодической, если существует такое
число Т > 0. ЧТО для всех п: Е X выполняются соотношения (а: + T) Е
Х, (ас —Т) E X и равенства f(:c —— Т) = f(:c) = Дав +Т). При этом
число Т называется периодом функции.
Функция у = f называется возрастающей на множества D C X,
если для произвольных 1:1, 2:2 Е D, :31 < $2 выполняется неравенст-
во f(1:1) <‘f(‘”§)-

64 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
Функция у : f называется убывающей на множества D C X, если
для произвольных 1:1, 1:2 Е D, 1:1 < 1:2 выполняется неравенство
/($1)> f($2)-
Точка 1:0 Е X называется точкой максимума функции у :: f (пс), если
существует числоб > 0, такое, что (1:o-6; 1:o+£) C X И для всех 1: Е
(220 — Е; mo + г) выполняется неравенство f(:c) 5 f(1:o).
Точка $0 E X называется точкой минимума функции у = f (ac), если
существует число б > 0, такое, что (mo — Е; 1:0 + е) С X И для всех
ш Е (mg —— б; mo + б) выполняется неравенство f(1;) 2 f(1:0).
Далее, функцию можно изобразить геометрически с помощью графи-
ка. Графическое изображение функции дает наглядное представление об
ее основных особенностях.
График функции у = f — ЭТО множество точек плоскости с коор-
динатами (ac, y), у которых 1: Е Х - допустимые значения аргумента,
а у : �7�� Е Y - соответствующие им знчения функции.
Тогда уже нетрудно понять, что график четной функции симмет-
ричен относительно оси у, а график нечетной функции центральносим-
метричен относительно начала координат.
Кроме того, важно помнить, как выглядят перечисленные выше свой-
ства и графики для основных элементарных функций:
у=1с:с+Ь, у=а', a>0, agél,
y:a1:2+b1:+1;, a;£0,
y:1;", nEZ, yzlogaa; a>0, a;£1,
y:sin1:, y:tg1;,
у = cos1:, у : ctgzc,
у : arcsin 1:, у : arctgm,
у = агссоз 1:, у : arcctgx.
Наконец, при построении графиков полезно будет знать основные прие-
мы преобразования графиков функции.
о График функции у = f(:c zt а), а > О получается из графика
функции у = f(:c) сдвигом вдоль оси пс на а единиц влево для
f(1: + a) И на а единиц вправо для f(1; — a).
о График функции у : f(lc1:) получается из графика функции у =
f деформацией исходного графика у г. f(2) вдоль оси ш : сжа-
тием в ���� раз при > 1 или растяжением в —- раз при [kl < 1.
Щ
При этом, если k < 0, то предварительно необходимо симметрично

§9. Функции и их графики. 65
отобразить график у = f относительно оси у, а затем осущест-
вить необходимую деформацию этого графика.
Отсюда следует, что если у = f(:z:) - периодическая функция с
периодом Т, то функция у = f(kz:) - периодическая функция с
периодом Т1 = �
Ь
о График функции у : f(k$ + b) : f (1: [$+ � строится как
комбинация первых двух пунктов. Именно, f ( 2;) сначала деформи-
руется в In раз, а затем переносится на E В нужную сторону.
о График функции у : f(:I:) i а, а > 0 получается из графика
функции у : 0��� сдвигом его вдоль оси у на а единиц вверх для
f(:r;) + a И на а. единиц вниз для f(:r:) — a.
о График функции у : kf(a:) получается из графика функции у :
�k�� деформацией исходного графика у : f(:r:) вдоль оси у : растя-
жением враз при |kI > 1 или сжатием в |—k—| раз при ���� < 1. При
этом, если k = —1, то происходит просто симметричное отражение
графика у : f(:r:) относительно оси 1:, а при k < 0 и In 7% -1 про-
исходит отражение сначала относительно оси ш с последующим
необходимым деформированием этого графика.
о График функции у : ���� получается из графика функции у =
f(:c) следующим образом: часть графика, лежащая над осью 1:,
остается без изменения, а часть графика, находящаяся под осью
ac, отражается симметрично относительно оси ас. Таким образом,
ниже оси ш графика нет.
о Пусть функция у = @P�� является обратной для функции у = �N��
Это означает, что а: = f(g(:c)) для всех an E X или у : f(g(y))
для всех у E Y. Тогда важно помнить, что графики этих функций
симметричны относительно прямой у = ш.
о Пусть заданы функции у = g(z) И z : ��� Тогда функция у :
F = g(f называется сложной функцией. Для построения ее
графика следует исследовать свойства и построить графики вспо-
могательных функции у = g(z) И z : f(:I:), после чего, используя
их, осуществить построение графика у = F

66 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
Следует напомнить и особые приемы построения графиков.
о Метод сложения графиков, который заключается в следующем.
Чтобы построить график у = 1101:) + 1201:), сначала нужно постро-
ить вспомогательные графики функций у = 1101:), у : 1201:), а
затем складывать соответствующие значения у для этих функций
в каждой точке 1:. При этом следует помнить, что число точек, в
которых необходимо провести сложение графиков, выбирается та-
ким образом, чтобы получить достаточно полное представление о
графике функции у = 1101:) + 1201:), используя необходимые зако-
номерности поведения функций у = 11 и у : 1201:).
о Метод умножения графиков, который заключается в следующем.
Чтобы построить график у = 1101:) - 1201:), сначала необходимо
построить вспомогательные графики функций у = 110с), у =
1201), а затем перемножить соответствующие значения у для этих
функций в каждой точке 51:.
о Метод деления графиков, который заключается в следующем. Что-
7100)
Шт)
вспомогательные графики функций у : 1101:), у : 1201:), а за-
тем поделить соответствующие значения у для этих функций в
каждой точке т. При этом нужно соблюдать следующие правила.
Во-первых, через точки 51:, где 1201:) = 0, проходят вертикальные
асимптоты - прямые, к которым график приближается, но не пе-
ресекает их. Поэтому в окрестностях таких точек функция стре-
мится к 25:00, в зависимости от знаков у : 1101:) и у = 1201:). Во-
f1($)
f2($)
бы построить график у = , сначала необходимо построить
вторых, там, где у = 1201:) стремится к 25:00, функция у =
стремится к нулю.
Наконец, отметим ряд важных свойств возрастающих и убываю-
щих функций. Во-первых, сумма возрастающих и убывающих функций
есть снова возрастающая или убывающая функция. Во-вторых, сложная
функция из возрастающих или убывающих функций есть снова возрас-
тающая или убывающая функция. В-третьих, произведение неотрица-
тельных возрастающих или убывающих функций снова есть возрастаю-
щая или убывающая функция. В-четвертых, если положительная функ-
ция y = f(:c) возрастает, то функция у = убывает, и наоборот.

§9. Функции и их графики. 67
Все перечисленные выше факты позволяют не только эффективно
строить графики функций, но и на их основе делать выводы о свойствах
этих функций.
Следует заметить лишь, что обоснование непериодичности функции
у : f ( ac) происходит от противного. Записываются равенства из опреде-
ления периодичности, а затем, исходя из особенностей рассматриваемой
функции, подбираются значения ш таким образом, чтобы добиться про-
тиворечия.
1.[1] Найти область определения функции:
+ arcsin —.
у = агссоз �Y��
сов vrlga: ш
2.[1] Найти область определения функции: у = logs-m,(cos э: + sin ����
3.[1] Найти область определения функции: у 2 lg cos mt: + \/ 9 — $2.
4.[1] Найти область определения функции:
2 агссоз ш
у : arcsin{arcsin 1:) + агссоз 2
7r ——
5.[5] Найти область определения функции: у : \/1о53(51п 21:).
6.[5] Найти область определения функции: у = \/1о57(со$ 21:).
1:2 + 1
7. 1 О н ж зн ий и : : -—-———.
[ ] пределить м о ество ачен функц и у ш2+ш+1
8.[1] Определить множество значений функции: у : V а: — 1:2.
9.[1] Определить множество значений функции: у : \/5+ 1 — 1:.
10.[1] Определить множество значений функции: у : \/1:2 — 1 — ac.
_ sins:
11.[1] Определить множество значений функции: : _———.
s1n п: + 1
_ 1
12.[1] Определить множество значений функции: у : arccos —.
э:
13.[1] Определить множество значений функции: у : 1og2(:r: — 1:2).
14.[1] Определить множество значений функции: у = 24/12.

Задачи устного эхвамена. АЛГЕБРА.
:z:—1
z+1'
15.[1] Исследовать на. четность функцию: у = 1052
16.[5] Является ли функция f(:z:) -_— (2 + \/§)1/I — (2 — \/§)1/’ четной,
нечетной или ни той, ни другой?
17.[5] Является ли функция f(:z:) :: (2 + д)”: + (х/Ё- 2)”: четной,
нечетной или ни той, ни другой?
18.[1] Найти наименьший положительный период функции:
у : созп: + 2cos3:r:.
19.[1] Найти наименьший положительный период функции:
у: sing: +cos:r:+sin:r;cos:r:.
20.[1] Найти наименьший положительный период функции:
у = sin 22: + sing 31:.
21.[1] Доказать, что функция у = sin 2’ не является периодической.
22.[1] Доказать, что функция у = cos ш + cos т: не является периоди-
ческой.
23.[1] Доказать, что функция у = sin:z:sin x/5:1; не является периоди-
ческой.
24.[1] Исследовать на периодичность функцию: у : sin(7r + cos ��M�
25.[1] Исследовать на. периодичность функцию: у = sin(7r:z: + cos ��>�
26.[1] Исследовать на. периодичность функцию: у : $1п1о52 p�)�
27.[2] Является ли периодической функция: у = cos(:r;x/5)?
28.[10] Доказать периодичность функции у : п: — �_>� и построить ее
график. Здесь [а] - есть целая часть числа а.
29.[10] Доказать непериодичность функции у = sin 1:3.
30.[10] Найти наименьший положительный период функций:
а) у = sin 22: + cos Зап; б) у = sine 1: + cos“ 1:; в) у =tg1r:z:;
г) 'y=tg%; д) y=s1n7’;-

§9. Функции и их графики. 69
31.[10] Доказать непериодичность функций:
. 1
а)у=соз\/Ё; 6)y=tgz:2; B)y=SlIl;.
32.[2] Выяснить, есть ли наибольшее или наименьшее значение у функ-
ций:
2
а) у = (tga: + съезду; б) у = $11;
в) у = sin(sin 1:); г) у = 2|‘““".
33.[4] Найти наибольшее значение функции: у = 3 51п2 ш + 2 со$2 1:.
34.[4] Найти наименьшее значение выражения:
Ix — у! + х/(т — 3)” +(z/+1)”.
35.[4] Найти максимальное значение выражения:
Щх/1б — у’ + |у1\/4-Ш’-
36.[4] Найти наименьшее значение функции: у = la: — ll + la: — 3‘.
Построить график функции:
2 -4
37.[1] y = :_1
| —2
38.[1] у: |:'+ ‘ц.
+3
39.[1] у: %:'l—4.
40.[3] y = I222 — 31: + |:r; —1||.
— 1
41.[3} y: '—:_—1'(z’+3).
2 |—1
42.[3] y: LB_ 3 .

70 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
44.[1] y = \/ 1:2 — 21: + 3.
45.[1] у = \/ 21' — 1:2.
. 1 :' .
46[] drctgxz -1
_ [sinus]
47.[3] у _ Sing; .
cos �� � + д)
4 . : ——-———2——.
8 [з] у sin а:
49.[1] у = 2*“
50.[1] у = log, 2
51.[1] у = 1/‘S’
52.[3] у : 2(lI|+T)/I
53.[3] у = 2'1-*1
54.[3] у = 2|‘°w|
55-1313! I |1°81/4($/4)|-
56.[3] у : log, p���
57.[3] у : 15 ���� — 15ш2.
58.[3] у = 1052011: — 1:2).
Z 11082591
logzaf
2:r:—1
:v+1
59.[3] у
60-131 у =10g1/2
а) у = |10g1/4($2 - 4)l; б) = (1/2)‘/’;
51-[2] B)y:sin2:r:—\/§cos2:r;; r)y:\/sin2:z:+1—2sin:r:;-
д) у : 1Og[sinr| �z �
62.[3] у = 15 $51: + 15 ctgm.

§9. Функции и их графики. 71
4’ — 1, если ш < 0,
63'[3] y :{ V41: — 1:2, если ш Z 0.
1—\/1——1:2, если mg 1,
1+1og1/21:, если ш > 1.
64.[3] у = {
sin ш 1
——————+, B) у .
\/1—sin2 �T�
а) у = |$ — д; б) у = т’ + 7lwl + 10; В) у = 3‘°5¢3““2);
65-[5]a)y=|I+1l-l$—3i; б)у=
66'[5] г) у: M11; 11)y:1—\/W; e) y=3cos2:c.
67.[10] Построить графики функций:
а) у:[1:2+51:—6|; 6)y::I:2+5[$]—6; B)y=—3sin2):r;|;
г) у:1Ё51п$Ё д у: 9:1; е) y:1O_g|sin:t[1/2;
ж) у = 1:.+ sin 1:; 3) у :1о55д„ cos 1:; и) у = Ё;Ц;
к) у : 25"”; л) у : ;,—_—t1;zfi; M) у = arcsin(sin:r;);
H) у : агссо5(со$ 1:);
) _ Ё, если ш 5 О,
О у ц 1о51/2(1: +1), если ш > 0.
68.[5] Определить, в какой четверти координатной плоскости нахо-
- 3 3
дится точка пересечения графиков функции: у : 51: — 5 и у :
1052 31 — 1055 8.
69.[5] Определить, в какой четверти координатной плоскости нахо-
дится точка пересечения графиков функций:
. 3
а) y::r:s1n226°—log23 И y::r:cos137°—§;
57r 9:3
6 : ' -——— 51/7 =—— 21/3.
) у 125111 12 + И у 10 +
70.[6] Для каждого а > 0 найти наибольшее значение величины |1: —2а|
при условии 2|:c| + [ac —— 3a| g 9a.
71.[6] Для каждого а > 0 найти наименьшее значение величины 1:2 -
|1: — а} + ш — а на отрезке [—3; 3].

72 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
72.[6] Для каждого а > 0 найти уравнения всех прямых, проходящих
через начало координат и имеющих ровно две общие точки с гра-
фиком функции у = :1: - Ia; + 2a| + (12.
§10. Изображение множества точек на плоскости.
Для решения задач этого параграфа следует путем алгебраических
преобразований привести исходную задачу к одной или нескольким сис-
темам равенств и неравенств вида:
В конкретных задачах какие-то группы равенств или неравенств мо-
гут и отсутствовать. Знаки нестрогих неравенств могут быть заменены
на строгие. После этого в системе координат (т, у) необходимо изобра-
зить множество [a;b] И на нем графики всех функций у : f,-(w),y :
g,-(13) И у : h,-(:3). ОНИ разбивают координатную плоскость (т, у) на
подобласти, на каждой из которых строятся соответствующие множес-
тва точек или графики, удовлетворяющие системе. В случае наличия
нескольких подобных систем в конце найденные множества точек объ-
СДИНЯЮТСЯ.
Изобразить на ПЛОСКОСТИ MHO)I(eCTB8 ТОЧСК, КООРДИНЗТЫ КОТО-
РЫХ УДОВЛСТВОРЯЮТ УСЛОВИЯМ:
1-[lllr —y| + |ш+у| = 1.
2-[1}||wl—1l=||y!—1I-

§I0. Изображение множества точек на плоскости.
73
3[1}% > 1
4[1]zy+1> 0
эш ш = p���
6.[1] $2 + у’ = 1:.
7-[1] l(r—2)(r-4)|+lyJ =1-
8.[1 1:2 - |у — acl = 23,-.
9.[1 Iy—1I:Iz:2—I3:1:—2H.
10-[1 Ку! = Hr’ — 4| - ll-
11
1
]
1
1] 1:2 + y? = 1223,12 +1.
1] 2:2 — 2|:1:[ + yz — 2|у| < а.
]
-[
12.[
13.[1y1:2—(y2+1)-:I:+y>0.
14.[1] 112- (3,/+%)z+1>0.
15-[3] (Iv — [I02 + (у — |yl)2 S 4-
y _<_ 21‘,
16.[5] 2y ~ ac 2 О,
my S 2.
17.[5}a) |y—1|+|x+3|=2; б) |z—4|+ly+2|:3.
1s.[1] ,/I + у > 1:.
05ш51‚
19'[5]{1~—:1:§y§v1—:1:2.
20.[1] у = |у — sin:1:|.
21.[1] |у| = |y—sin
22.[1] sina: > sin y.

74 3a.z1anm устно1*о экзамена. АЛГЕБРА.
23.[1] [sin у| = $111:1:.
24.[1] cos ���� + $111|у| : 0.
25.[1] sinac : cos(ac + y).
26.[1] tgactgy : 1.
27.[1] швам + sin y) : 0.
28.[1] arcsin ac : arccos y.
29.[3] c0s(ac + у) = с0$(:1: — у).
30.[3] sin 216 = sin 2y.
31.[1]:1:” > 1.
32.[l] log, y < 0.
33.[1] logI+y(2:1: + 3y) > 1.
34-111 lyt =1og1/zllw + 2l—1|-
35-[3]10g(|z1—0,5)(-T2 + 3/2) S10g(|z[—0.5)4-
36.[6]1og(,_y)(m + у) 2 1.
37.11] 111111(:в. у) : 1.
38.[1] |у| > max <:c,:c2, .
а) I2/I = sin И; б) lyl = Рт’ + 5w - 6};
39_[10] B) 1/y ��� _ т) :1 Г) lyl = 2/—1g|wI;
д) { 0 f :1: 5 1. 1
40.[2] a) logy :1: < О; б) у > $111
vspa.ce5mm
§1 1 . Многочлены.

§ 1 1. Многочлены. 75
многочленом называется выражение вида
- 1
аош" + a1:1:" + ...+ a,,-1:1: +0.“,
где п E N, 0.0 ф 0 и ад, (11,...а„ - Целые числа. Поскольку при п. = 1
имеем многочлен аош+а1, свойства которого хорошо известны, а при п :
2 имеем квадартный многочлен, свойства которого описаны в параграфе
2, то считаем далее п 2 3. Большинство задач данного параграфа так
или иначе связаны с исследованием корней многочлена. Этот вопрос
подробно излагается в пункте 1 параграфа 5.
1.[1] Пусть а и В - корни многочлена P(:1:) : :1:3+pac+q. Найти третий
корень, если известно, что а + В + ozfi : 0.
2.[1] Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень
т=\/Ё+\/Ё.
3.[ Разложить на множители многочлен: (:1: + 1)(ac + 3)(ac + 5)(ac +
P��� Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после
раскрьхтия скобок и приведения подобных членов в выражении
(1 — Зш + 3ac2)743 - (1 + 3:1: — 3:1:2)744.
9.[3] Докажите, что у многочлена P(ac) : (юз + b:1:2 + c:1: + d не могут
быть все корни Целыми, если Р(0) и Р(—1) нечетные.
§12. Задачи последних лет.
В этом параграфе приведены задачи, которые предлагались на уст-
ном экзамене по математике в последние годы на трех факультетах МГУ
им, М.В.П0моносова., на которых есть устный экзамен по математике.
п.12.1. Факультет ВМиК МГУ (1997 - 1999 гг.)

76 (Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
1.[15] Доказать, что n2+3n+5 не делится на 121 ни при каком целом
п.
2.[15] Доказать, что уравнение 1:2 —5у2 : 3 не имеет решений в целых
числах.
3.[15] Найти все пары натуральных чисел (1:, y), при которых
ш2—:1:у—2:1:+3у= 10.
4.[15] Найти все целые значения а, при которых 1:2 —— (а. + 5)ac + 5a +1
можно разложить в произведение (1:+ Ь) (1: +c) двух сомножителей
c целыми Ь и с .
5.[15] Сравнить числа 1820 И 6313.
6.[15] Сравнить числа cos 5 и ���
9 I 1
7.[15] Сравнить числа 3/1053 3 + ‘/loga 5 + ё и -2- V 14 .
8.[15] Доказать, что при а Z 1 имеет место неравенство
$Е<уи+ —vu——1.
9.[15] РСШИТЬ неравенство log: (1: + y) + log: (1:y) 5 1052 (1: + y) — 1.
10.[15] Решить уравнение
агсзйп(:1:3+:с2—2)+ 6:1:—:1:2—5=О.
11.[15] Решить уравнение шах (21:; 3 ~ 1:) : min (5 + 2:13; 61:).
12.[15] Решить систему уравнений
$3+у3:1’
$4+y4:1
13.[15] При каких значениях а система
ш4+у4:а’
cos(1:——y)+1:y=1
имеет единственное решение �i��

§12. Задачи последних лет. 77
14.[15] Действительные :1:, y, a таковы, что
1:+у=а—1‚
1:-у=а2—7а+14
При каких а сумма 1:2 + у2 принимает наибольшее значение ?
15.[15] Найти наибольшее значение функции у = sins :1: + cos”:1: .
16.[15] Найти при :1: < 0 наибольшее значение функции
1r
y = 4:1: + E ~— cos(4:1:2).
17.[15] Найти минимальное и максимальное значение функции
у:а-сов21:+2Ь-$1п1:-соз1:+с-$1п21:.
18.[15] Существует ли линейная функция у = f (:1:), удовлетворяющая
для всех 1: соотношению 2 f(:1: + 2) + f(4 — :1:) = 21: + 5 ?
19.[15] Существует ли квадратичная функция у = f (:1:), удовлетворя-
ющая для всех 1: соотношению � � + 1) + f(2 -— 1:): (1: +1)2 ?
20.[15] Вычислить: a.1'ctg(3 + 2ж/2) — агсгвё .
21.[15] Вычислить: a.1'csin(cos arcsin 1:) + a.rccos(sin arccos @�o�
22.[15] Изобразить множество всех точек на плоскости, координаты
которых (1:‚у) удовлетворяют неравенству 2у2 S logz :1: - (3Iy[ -
2 l0g4 re).
23.[15] Построить множество всех точек на плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенству ]з1п1:| + Isin у| < 2.
24. [15] Построить на плоскости ОаЬ геометрическое место точек (а, Ь),
при которых уравнение a:1:2 + 2(b — 1):1: — a — 6 = О имеет:
а) два решения разных знаков; б) два положительных решения; в)
два отрицательных решения.
3
25.[16] Доказать, что число п — п. + 3 составное для любого натураль-
ного n > 1.
26.[16] Целое число кратно 7 И при делении на 4 дает в остатке 3.
Найти остаток от деления этого числа на 28.

78 Задачи устноно экзамена. АЛГЕБРА.
27.[16] Доказать, что если а+ Ь+с делится нацело на 6‘, то и 0.3 + b3 +с3
делится нацело на 6 ( а, Ь, с — целые числа.)
28.[16] РСШИТЬ в целых числах уравнение 9’ = 4у + 1.
29.[16] Сравнить числа а и Ь, если известно, что 5(а — 1) = (12 + b.
30.[16] Имеет ли смысл выражение ,/logz 3 — 10g5 11 ?
-[
31 16] Изобразить на плоскости геометрическое место точек, удовле-
творяющих равенству [у — :1:l + [у — $21 = 2.
32.[16] Построить график функции y(ac) : a.rcsin(| sin
33.[16] Решить уравнение sin :1: - sin Зав : 2 со$2 ас — со$ 2:1:.
1
34.[16] Решить уравнение P� � + у; : sin :1: + cos :1:.
35.[16] При каких а уравнение sin ш + c0s:1: + sin :1: - Cos :1: : a имеет
решения?
36.[16] Найти наибольшее и наименьшее значение функции
���� = arcsin :1: -arccos а: + 1.
37.[16] Решить неравенство 1og2(\/5+ 1) -1og3(:1: + 2) S 1.
n.12.2. Геологический факультет МГУ (1997 — 1999 rr.)
1 15 Решить уравнение Ь3(:1:2) : —ctg30°.
2 15 Решить уравнение ctg5:1: : ctg:1:.
[ 1
[ 1
3.[15] Решить уравнение ctg2:1: = tg4.
4.[15] Решить уравнение 1+ 7 + 13 + . . . + :1: : 280.
5-[ 1
15 Решить неравенство 1о31__3,э(2:с2) > 1.
6.[15] Решить неравенство 74’ < 7”’.
7. [15] Решить неравенство ($2 + 2:1: + 2)’ Z 1.

§I2. Задачи последних лет. 79
1
8.[15] Вычислить tg(a.rcsin(—§)).
_ 1
9.[15] Вычислить s2n(2a.1'ctg§).
10.[15] Вычислить c0s(2a.1'ctg(—4)).
11.[15] Построить график функции у = sin [ш + 1т|.
12.[15] Построить график функции у = |соз 2(£B + 1r/2)].
13.[15] Построить график функции у : (:1:2)1°5\/52.
14.[15] Построить график функции у : $2 + ���� — 6.
15.[15] Изобразить множество всех точек плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют уравнению у = |у| cos :1:.
16.[15] Изобразить множество всех точек плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют уравнению у = |у — sin � ��
/ cos а:
17.[16] Решить уравнение сова: = logtgz —m .
18.[16] Решить уравнение sin(:1: — 1) = sinzz: —— sin 1.
19.[16] Решить уравнение ctg �C�� : ctg 1:.
20.[16] Для всех значений а решить уравнение
\/:1:2—:1:—\/Ё+\/Г:Ё:а.
1 “ 1 Л
21.[16] Решить неравенство (—) 5 pz�� .
1 ’ 1 д
22.[16]Решить неравенство �z�� Z �ݶ� .
23.[16] Решить неравенство 1:3 Z 35+1°5\/53.
24.[16] Решить неравенство а: I
25.[16] Построить график функции у = Isin .'z:| ctg:1:.

Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.
26.[16] Построить график функции у = (sin [ml + cos |:z:|)2 .
27.[16] Построить график функции у = 1:‘ l°5= 2'.
28.[16] Найти сумму цифр в десятичной записи числа
N :10’999 т 1999 .
п.12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998 —
1999 rr.)
1.[13] СКОЛЬКО различных целочисленных пар (аду) удовлетворяют
уравнению 2:2 = 43,12 + 20025 ?
2.[13] Доказать, что для любого простого числа, р > 5 число
p4 — 50122 + 49 делится нацело на 2880.
3.[13] При каких значениях а график функции
у(:с) = (1:+а)(|:с+ l—a|+[.'z:—3|)—2I+4a
имеет центр симметрии ?
4.[13] Найти количество трехзначных чисел, делящихся на 5 или 7
(возможно, одновременно), но не делящихся на 3.
1 3 _ _
5.[13] Для каждого значения а E —-—; ё наити количество корнеи
х/ё
а
уравнения 0��� — ё = log, —. Здесь j�� означает дробную
часть числа гс. 3
6.[14] Найти все значения параметра а, при которых неравенство
|a:1:+2y—5I+a|:1:+2ay—2|S 3a
задает на координатной плоскости параллелограмм с внутреннос-
тью.
7.[14] Изобразить на координатной плоскости все точки (p,q), для
каждой из которых уравнение 1:2 — pa: +q : 0 имеет на промежутке
[——1; 1) ровно одно решение.
19 3
8.[14] Вычислить a.1-ctg8 + амеб + arctg Е�� .

§I2. 3a1ra.nm последних лет. 81
Часть П
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
При составлении предлагаемыа: ниже задач была использована сле-
дующая литература:
1 В.В.Рождественский, Е.В.Панкратов‚ И.И.Мельников‚ В.В.Вавилов
Математический тренинг. М.‚ 1997.
2 Г.В.Дорофеев‚ М.К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие no математи-
ке для поступающиш в вузы. М.‚ 1970.
3 В.М.Говоров‚ П.Т.Дыбов, Н.В.Миронин‚ С.Ф.Смирнова. Сборник
конкурсныш задач no математике. М.‚ 1980.
4 В‚В.Ткачук. Математика - абитуриенту. М.. 1995.
5 А.Б.Будак, Б.М.Щедрин. Элементарная математика. Руковод-
ство для поступающиа: в вузы. М.‚ 1997.
б О. С.Игудисман. Математика на устном экзамене. М.‚ 1995.
7 Е.В.Якушева, А.В.Попов, А.Г.Якушев‚ 2000 задач и упражнений
по математике. М.‚ 1998.
8 О.Ю.Черкасов. Планиметрия на вступительном экзамене. М..
1996.
9 Варианты вступительныа: экзаменов по математике в МГУ
(1995 2.). M., 1995.
10 Варианты вступительным экзаменов по математике в МГУ
(1996 2.). М.‚ 1996‘.
11 Варианты вступительным экзаменов по математике в МГУ
(шум). М.‚ 1997.

82 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
§1. Задачи, связанные с треугольниками.
При решении задач, связанных с треугольниками, необходимо знать
следующие формулы и теоремы. 7
Условие существования треугольника: если даны три отрезка с
длинами а, Ь. с, то для того, чтобы существовал треугольник со сторона-
ми а. Ь, с. необходимо и достаточно выполнение следующих требований:
а+Ь>с.а+с>Ь,Ь+с> а.
Здесь и ниже а, Ь, с - стороны треугольника, (дБ, 7 - соответствую-
щис противоположные им углы.
Монотонно-возрастающая зависимость сторон от углов: если да-
ны стороны треугольника а, Ь, с, то для того, чтобы они удовлетворяли
неравенствам а 2 Ь 2 с. необходимо и достаточно выполнение нера-
венств а Z Б 2 7.
Теорема о сумме углов треугольника: для углов треугольника а, В. 7
справедливо равенство а + ‚В + 7 = 1r.
Теорема о биссектрисаш: все биссектрисы треугольника пересека-
Ются в одной точке. Эта точка есть центр вписанной окружности.
Теорема о медианаш: все медианы треугольника пересекаются в од-
ной точке и делятся ею в соотношении 2:1, считая от вершины.
Теорема о высоташ: все высоты треугольника пересекаются в одной
точке,
Теорема о срединныр перпендикуляраш: все срединные перпендику-
ляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка
есть центр описанной окружности.
Теорема косинусов: для сторон и углов треугольника имеет место
равенство:
а2 : Ь2 +с2 — Zbc-cosa.
Теорема синусов: для сторон и углов треугольника имеют „место ра-
венства:
а Ь с
. . . = ZR,
sm oz sm Б s1n 7
где R - радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Теорема о биссектрисе: биссектриса угла. а треугольника делит
противолежащую сторону а на прилежащие K сторонам b И С отрезки
щ, И ас, которые пропорциональны Ь И С :
(lb b
ac с

§1. Задачи, связанные с треугольниками. 83
Приведем теперь формулы для биссектрисы la, медианы ma и высо-
ты ha, проведенные к стороне а. Именно:
1а= lZ=bc—a;,-ac, mazi 2b2+2c2—a2, hazéfsina.
b+c 2 а.
7
Здесь 0.(,,(1c - отрезки из теоремы о биссектрисе.
Следует также напомнить признаки подобия треугольников. Именно,
два треугольника подобны по двум углам, по двум сторонам и углу меж—
ду ними, по трем сторонам. Особенно важен тот факт, что в подобных
треугольниках отношение длин соответствующих сторон, биссектрис,
медиан, высот равно k - коэффициенту подобия. Отношение площадей
подобных треугольников равно k2.
Наконец, сформулируем следующее часто используемое утвержде-
ние.
Теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложены равные меж-
ду собой отрезки и через них проведены параллельные прямые до пе-
ресечения с другой стороной угла, то на этой стороне отложатся также
равные между собой отрезки.
1.[1] Пусть а.,8,*у - углы треугольника. Доказать, что: sina - sin,B -
3
sin'y 5 �К� .
2.[1] Пусть A.B, C - углы остроугольного треугольника. Доказать.
что:
(2052 А + cosz B + cosz д + 2созЙсозЁ cos д = 1.
3.[1] Пусть а, Ь, с - длины сторон треугольника. Доказать, что:
2 ((12112 + bzcz + czaz) > a4 + b4 + C4.
4.[2] Доказать, что сумма медиан треугольника больше 3/4Р, но
меньше Р, где Р - периметр треугольника.
5.[4] Дан треугольник ABC. Доказать, что cos X-r cos Ё + (:os б f
l\J)OJ
6.[6] Доказать, что для любого треугольника справедливы неравен-
ства:
а) ma+m;,+m¢ >р;
) h,,<\/P(P—<1);
) (p—a)-(p—b)-(p—c)£§abc'
) p—.‘—.,+fi+ 1 (%+s
O1
О:
"1
р-с

84 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
7. [6] Какого вида треугольник со сторонами 2, 3, 4?
8.[6] Какого вида треугольник, у которого:
а) высоты 3, 4 и 5; б) медианы 3, 4 и 5?
9.[7] Есть ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны
10, 14 и 17?
10.[7] ЕСТЬ ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны 7,
9 и 12?
1l.[6] Существует ли треугольник с углами
1
arctg2. arcsin �a�� , агссоэ (-53%)?
12.[1] B прямоугольном треугольнике длины сторон - натуральные
взаимно простые числа. Доказать, что длина гипотенузы - нечет-
ное число, а длины катетов имеют разную четность.
13.[1] Пусть длины сторон прямоугольного треугольника - натураль-
ные числа. Доказать, что: а) длина одного из катетов кратна трем;
б) длина одной из сторон кратна пяти.
14.[3] Найдите острый угол между медианами равнобедренного пря-
моугольного треугольника‚ проведенными из вершин его острых
углов.
15.[4] B треугольнике ABC угол А - прямой. Из вершины А проведены
медиана АМ. высота АН и биссектриса AL. Доказать, что AL -
биссектриса в треугольнике АМН.
16. [4] Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8. Может
ли его гипотенуза равняться 5?
17.[5] Показать, что все прямоугольные треугольники, стороны кото-
рых образуют арифметическую прогрессию, подобны ”египетско-
My" треугольнику (длины его сторон равны З, 4, 5).
18.[5] Доказать, что в прямоугольном треугольнике длины всех его
сторон не могут быть нечетными числами.
19.[7] Определите углы прямоугольного треугольника, гипотенуза ко-
торого вдвое больше одного из катетов.

§1. Задачи, связанные с треугольниками. 85
20.[7] Стороны прямоугольного тругольника выражаются целыми чис-
лами, не превосходящими 10, и составляют арифметическую про-
грессию. Найдите сумму длин сторон этого треугольника.
21.[7] В прямоугольном треугольнике отношение произведения длин
биссектрис внутренних острых углов к квадрату длины гипоте-
нузы равно 1 / 2. Найти острые углы треугольника.
22.[7] Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипоте-
нузе, делит его на два треугольника C периметрами pl И pg. Найти
стороны треугольника.
23.[6] Доказать, что если медиана и высота, проведенные из одной
вершины треугольника, делят его угол на три равные части, то
треугольник - прямоугольный.
24.[2] Доказать, что если в треугольнике две высоты равны, то он
равнобедренный.
25.[2] Доказать, что если в треугольнике справедлива зависимость
а : cos A = b с cosB, то он равнобедренный.
26.[4] Медиана треугольника совпадает с его биссектрисой. Доказать,
что этот треугольник равнобедренный.
27. [4] Две биссектрисы у треугольника равны. Доказать, что он рав-
нобедренный.
28.[4] Пусть равнобедренный треугольник ABC имеет углы В и C
равные 80°. На отрезке AC взята точка D, a Ha отрезке АВ -
точка Е так, что D/B70 = 60° и E/C‘\B : 50°. Найти угол EDB.
29.[6] Доказать, что в равнобедренном треугольнике сумма расстоя-
ний от любой точки основания до боковых сторон равна боковой
высоте.
30.[6] Доказать, что если у треугольника равны две биссектрисы или
две медианы, или две высоты, то он равнобедренный.
31.[3] Докажите, что отношение суммы квадратов длин медиан три-
угольника к сумме квадратов ДЛИН eI‘0 Сторон равно 3/4.
32. [3] Докажите, что площадь ‘ГРВУГОЛЬНИКЭ Меньше единицы, ВСЛИ
длины всех биссектрис меньше единицы.

86 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
33.[3] Определите длины сторон треугольника, если они выражаются
целыми числами, образуют арифметическую прогрессию, а пери-
метр треугольника равен 15.
34. [4] B треугольнике стороны составляют геометрическую прогрес-
сию. Доказать, что его высоты тоже составляют геометрическую
прогрессию.
35.[5] B треугольнике ABC известны длины сторон ВС : а,АС : b
И величина угла между ними ACB = 7. Вывести формулу длины
биссектрисы угла АСВ этого треугольника.
36.[5] Стороны треугольника образуют возрастающую геометричес-
кую прогрессию. Что больше, знаменатель q этой прогрессии или
ЧИСЛО 2?
37. [6] B треугольнике дано: a.,,B, 7. Найти все элементы треугольника.
38.[6] B треугольнике дано: b, c, a. Найти все элементы треугольника.
39. [6] B треугольнике дано: а, b, с. Найти все элементы треугольника.
40.[6] B треугольнике одна сторона равна 5,3, а другая - 0,7. Найти
третью сторону, если известно, что она является целым числом.
41.[7] Зная угол а при вершине треугольника, определите острый угол
между биссектрисами двух других углов треугольника.
42.[7] Зная угльх а и д при основании треугольника, определите угол
между высотой и биссектрисой, проведенными из угла, противо-
лежащего основанию.
43.[7] Зная острые углы а и д прямоугольного треугольника, опреде-
лите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины
прямого угла.
44. [7] Докажите, что в неравнобедренном прямоугольном треугольни-
ке биссектриса прямого угла делит пополам угол между Высотой
и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
45.[7] Дан треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите угол, лежа.
Щий против его наибольшей стороны.

§1. Задачи, связанные с треугольниками. 87
46. [7] В треугольнике ABC медианы AD И ВЕ пересекаются под пря-
мым углом. Известно, что АС : 3,ВС = 4. Найти сторону АВ
этого треугольника.
47. [7] В треугольнике ABC ИЗ вершин к противоположным сторонам
проведены отрезки AM,BN И СР(М - точка на отрезке BC,N -
Ha АС и Р - на АВ) так, что ВТМ : ЁВТС, CBN : §C/B\A,
A/C\P : %A/C\B. Найти длины сторон ВС и СА, если АВ : 1, а
получившийся в пересечении отрезков AN, BN, И СР треугольник
правильный.
48.[7] Внутри треугольника АВС взята точка Р, являющаяся началом
лучей, пересекающих стороны АВ и ВС в точках Q И R. Известно,
что: 102371 = 1400, 10750 = 1300, Я = 600, д = 800. Найти 6171:.
49. [7] B треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Q так,
что АР < AQ. Прямые ВР и BQ делят медиану АМ на три рав-
ньхе части. Известно, что длина PQ = 3. Найти АС.
50.[7] B треугольнике АВС высота, опущенная из вершины угла А на
сторону ВС, равна стороне BC. Угол А равен а. Найдите углы В
и С, считая, что B 2 �E�� Исследуйте, при каких значениях угла а
задача имеет решение.
51.[7] B треугольнике АВС длина стороны ВС равна среднему ариф-
метическому длин сторон АВ и АС. Угол А равен а. Найдите углы
В и С, считая, что B 2 �O�� Исследуйте, при каких значениях угла
а задача имеет решение.
52.[7] B треугольнике АВС из вершины угла А на сторону ВС опуще-
на медиана, квадрат длины которой равен площади треугольника
АВС. Угол А равен а. Найдите углы A1 И A2, Ha которые меди-
ана делит угол А, считая, что А: 2 � �� Исследуйте, при каких
значениях угла а задача имеет решение.
53.[7] B треугольнике АВС из вершины угла А на сторону BC ony-
щена медиана, длина которой равна половине среднего арифмети-
ческого длин сторон АВ и АС. Угол А равен а. Найдите угльх
A1 И A2, Ha которые медиана делит угол А, считая, что A1 2 A2.
Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение.

88 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
54. [7] В треугольнике ABC сторона БС служит основанием полукру-
га, площадь которого равна площади треугольника ABC. Угол А
равен а. Найдите углы Б и C, считая, что Б Z 0m�� Исследуйте,
при каких значениях угла а задача имеет решение.
55. [7] Внутри треугольника ABC взята точка D. Прямые AD, BD и
CD пересекают стороны треугольника в точках Е, F и G соответ-
ственно. Найти соотношение CF : FA, если известно, что
AG BE
GB Z р И Ёб
56.[7] Стороны треугольника равны 5, 7 И 4. Наибольшая сторона по-
добного треугольника равна 21. Найдите остальные стороны тре-
угольника.
:q_
57. [7] Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне АС этого
треугольника взята точка D Tax, что AD : Ё - АС. Найти угол
БАС, если известно, что прямая BD разбивает треугольник АБС
на два подобных треугольника.
58.[7] B треугольнике АБС дано: АС : 2x/§, AB : x/?,BC : 1. Вне
треугольника взята точка K так, что отрезок КС пересекает от-
резок АБ в точке, отличной от B, И треугольник с вершинами
К, A и С подобен исходному. Найти угол AK C, если известно, что
угол КАС - тупой.
59.[7] B треугольнике АБС даны углы В и С. Биссектриса внутрен-
него угла БАС пересекает сторонуБС в точке D, a окружность,
описанную около треугольника АБС, в точке Е. Найти соотноше-
ние АЕ : DE.
60.[7] B треугольнике АБС биссектриса ВЕ и медиана AD перпен-
дикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны
треугольника АБС.
61.[6] B треугольнике АБС отрезок CD есть медиана. На стороне DC
взята точка E Tax, что BE : EC : 1 2 2. Точка 0 является точкой
пересечения АЕ и CD. Известно, что АСС = 120°, АЕ = 5, 0C =
4. Найти сторону АБ.
62. [6] B треугольнике АБС сторона АБ = 3. Из вершины С проведена
высота CD. Известно, что CD : \/§ И AD = BC. Найти сторону
АС.

§1- Задачи, связанные с треугольниками. 89
63. [6] Доказать, что если в треугольнике из одной вершины проведе-
ны медиана, биссектриса и высота, то биссектриса лежит между
медианой и высотой.
64. [6] Стороны треугольника удовлетворяют соотношениям а,‘ + bk :
с". При каких k это остроугольный треугольник?
65.[6] Доказать, что треугольники с равными периметрами и соответ-
ственно равными углами равны.
66.[6] B остроугольном треугольнике ABC проведены две высоты CD
И АЕ'. Найти длину высоты АЕ, если известно, что AD : BC =
4, AB : 6.
67.[6] B прямоугольном треугольнике ABC известны катеты а. и b.
Найти длину биссектрисы прямого угла.
68. [6] B треугольнике ABC даны стороны b И с. Угол а вдвое больше
угла Н. Найти сторону а.
69. [6] Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответ-
ствует меньшая биссектриса.
70. [6] Из всех треугольников, имеющих данный угол, заключенный
между сторонами, сумма которых постоянна, найти тот, который
имеет наименьший периметр.
71.[6] доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внут-
ри (или на стороне) треугольника, до трех его сторон заключена
между наибольшей и наименьшей его высотами. Найти точку в
треугольнике, сумма расстояний от которой до сторон наиболь-
шая.
72.[6] Доказать, что если в треугольнике соединить основания всех
высот, то в полученном треугольнике высоты будут биссектри-
сами, и образующиеся при этом треугольники, примыкающие к
вершинам исходного, подобны ему.
73.[6] B треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис про-
ведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая сто-
роны АВ и AC соответственно в точках B1 И C1. Доказать, что
B1C1 : BB1 + CC1.

90 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
к
74.[6] Среди всех треугольников с данным основанием а и данным
углом а найти треугольник с наибольшей площадью S.
75. [5] B треугольнике известны длины двух его сторон 6 и 3. Полусум-
ма длин высот, опущенных на эти стороны. равна длине третьей
высоты. Найти длину его третьей стороны,
§2. Задачи, связанные с четырехугольниками.
При решении задач, связанных с четырехугольниками, полезны бу-
дут следующие утверждения и формулы.
Для параллелограмма:
о во всяком параллелограмме противоположные стороны равны, про-
тивоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной
стороне, равна л;
о если в четырехугольнике или противоположные стороны равны
между собой, или две противоположные стороны равны и парал-
лельны. то такой четырехугольник является параллелограммом;
о для того, чтобы произвольный четырехугольник был параллело-
граммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой
пересечения делились пополам;
2 2 2
о имеет место равенство: di + dz : 2(a + b ), где a,b - стороны
параллелограмма, d1, dz - его диагонали.
Для трапеции:
О средняя ЛИНИЯ трапеции ПРОХОДИТ через СВРЕДИНЫ ее бОКОВЫХ СТО-
рон. параллельна основаниям и длина ее равна §(a. + b), где а, b -
основания трапеции;
о в произвольной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой сто-
роне, равна п.
Для ромба:
о диагонали ромба являются биссектрисами соответствующих углов
и перпендикулярны друг другу.

§2. Задачи, связанные с четырехугольниками. 91
Для прямоугольника:
о диагонали прямоугольника равны между собой.
Для квадрата:
о диагонали квадрата равны между собой и перпендикулярны друг
другу.
Наконец, напомним, что сумма углов в произвольном четырехугольнике
равна 2тг.
1.[3] Доказать, что если соединить середины сторон выпуклого четы-
рехугольника, то получится Параллелограмм. Когда этот парал-
лелограмм будет ромбом? квадратом?
2. [3] Найдите углы ромба, в котором диагональ равна стороне.
3.[З] Имеется квадрат и равновеликий ему круг. Что больше, длина
окружности или периметр квадрата?
4.[7] Доказать, что из всех прямоугольников с данной диагональю
наибольшую площадь имеет квадрат.
5.[7] B ромбе ABCD угол при вершине А равен 7r/3. Точка N делит
сторону АВ в отношении AN : BN : 2 : 1. Определить тангенс
угла DNC.
6.[6] Доказать, что если в четырехугольнике соединить середины сто-
рон, то получится параллелограмм с периметром, равным d1 + dz.
7. [6] Доказать, что если каждая из диагоналей выпуклого четырех-
угольника делит его на равновеликие треугольники, то этот че-
тырехугольник - параллелограмм.
8.[4] Доказать, что если в трапеции точка пересечения диагоналей
равноудалена от боковых сторон, то трапеция равнобочная.
9.[5] B трапеции АВСЕ AB||C'E,AB := 6, CE : 4. Прямая, парал-
лельная основаниям и проходящая через точку пересечения диа-
гоналей, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и K
COOTBBTCTBBHHO. Найти длину отрезка МК.

92 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
10.[5] B трапеции ABCD с острыми углами при основании AD про-
ведена диагональ AC, которая разбивает его на два подобных тре-
угольника. Длина основания AD равна а, а длина основания BC
равна b. Вычислить длину диагонали AC.
11.[7] B трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину б и
является биссектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция
быть равнобедренной?
12.[7] B равнобедренной трапеции диагональ имеет длину 8 и является
биссектрисой одного из углов. Может ли одно из оснований этой
трапеции быть меньше 4, а другое равно 5?
13. По основаниям а, b трапеции определить отношение, в котором
ее диагонали делят друг друга.
14.[7] B равнобочной трапеции ABCD основания AD : 12, BC = 6,
BbI(I0’I‘a. равна 4. Диагональ AC делит угол BAD трапеции на две
части. Какая из них больше?
15.[7] Доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения диагона-
лей и точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции,
делит основания пополам.
16.[7] B равнобочной трапеции ABC D боковая сторона равна 10, боль-
шее основание 24, а высота 8. Определить, что пересекает биссек-
триса острого угла трапеции: меньшее основание или его продол-
жение?
17. [7] Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше длины впи-
санной окружности. Найти угол при основании трапеции.
18.[6] Основания трапеции равны а. и b. Найти длину отрезка, соеди-
няющего середины диагоналей.
19.[6] Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями а.
и b проведена прямая, параллельная основаниям. Найти ее отрезок,
заключенный между боковыми сторонами.
20.[6] Доказать, что если отрезок, соединяющий середины двух про-
тивоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полу-
сумме двух других сторон, то этот четырехугольник - трапеция.

§2. Задачи, связанные с четырехугольниками. 93
21.[б] Доказать, что биссектрисы углов, прилежащих к ОДНОЙ из не-
параллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом
в точке, лежащей на средней линии трапеции.
22.[6] Доказать, что трапеция равнобочная, если: а) диагонали трапе-
Ции равны; б) точка пересечения диагоналей трапеции находится
на равном расстоянии от боковых сторон.
23. [6] Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований тра-
пеции, у которой сумма углов при основании равна 90", равен По‘
луразности оснований.
24. [5] В выпуклом четырехугольнике ABCD c диагоналями AC и B D
на стороны CD и АВ опущены соответственно высоты AE И DF-
Известно, что АЕ 2 BD,DF 2 AC, AD : 2 - АВ. НаЙТИ Меры
углов четырехугольника АВСВ.
25.[5] B выпуклом четырехугольнике K LM N с диагоналями LN И
KM на стороны MN и KL опущены соответственно ВЫСОТЫ KP
и NQ. Известно, что KP 2 LN,NQ 2 KM,KL : 3,KN = 5-
Найти K M.
26. [7] Два противолежащих угла четырехугольника - прямЫе- длина
диагонали, проходящей через два другие угла, равна d. yKa>KPIT€a
B каких пределах может изменяться площадь четырехугольника-
27.[7] По углам четырехугольника определите углы:
а) между биссектрисами двух соседних углов;
б) между биссектрисами двух противоположных углов;
в) между биссектрисами двух углов, образуемых парами проти-
воположных сторон, продолженных до пересечения (если таковое
существует).
28.[7] Какой четырехугольник с диагоналями d1 и dz имеет Макси-
мальную площадь?
29. [7] В выпуклом четырехугольнике АВС D длина отрезка, соединя-
ющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соедиНЯЮЩеШ
середины сторон AD и BC. Найти величину угла, образованного
продолжением сторон АВ и C D.
30.[7] B выпуклом четырехугольнике ABC D длина отрезка, Соединя-
ющего середины сторон AB И CD равна 1. Если стороны ВС и

94 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
AD продолжить до их пересечения, то угол, образованный этими
прямыми, будет равен 90". Найти длину отрезка, соединяющего
середины диагоналей.
31.[6] Внутри выпуклого четырехугольника найти точку, сумма рас-
стояний от которой до вершин четырехугольника минимальна.
§3. Задачи, связанные с окружностью.
При решении задач, связанных с окружностями, необходимо знать
следующие факты и утверждения.
Центральный угол равен по величине мере дуги окружности, на ко-
торую он опирается.
Вписанный угол равен по величине половине меры дуги окружности,
на которую он опирается.
Угол, составленный секущими к окружности, равен полуразности
мер дуг, на которые он опирается.
Угол, составленный пересекающимися лордами, равен полусумме
мер дуг, на которые он опирается.
Угол, составленный касательной и шордой, измеряется половиной
меры дуги, стягиваемой этой хордой.
Приведем некоторые полезные следствия приведенных выше утвержде-
ний:
о вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
о вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду (или на
равные хорды), равны;
о вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является
прямым;
о если вписанный угол, является прямым, то он опирается на диа-
метр окружности.
Необходимо упомянуть и еще ряд важных утверждений:
О ПрОИЗВВДСНИЯ ДЛИН 0'I‘p€3KOB ДВУХ пересекающихся ХОрД равны;

§3. Задачи, связанные с окружностью.
95
отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки,
равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту
точку и центр окружности;
квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины
отрезка секущей на длину ее внешней части;
произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части
есть величина постоянная для всех секущих, проведенных из одной
точки.
Наконец, приведем еще несколько фактов, касающихся взаимного распо-
ложения окружности и треугольника, окружности и четырехугольника:
1.
2.
произвольный треугольник можно вписать в окружность, центром
которой является точка пересечения срединных перпендикуляров
к сторонам треугольника; '
B произвольный треугольник можно вписать окружность, центром
которой является точка пересечения биссектрис треугольника;
для того, чтобы четырехугольник можно было вписать в окруж-
ность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных
углов были равны 7r;
для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окруж-
ность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противопо-
ложных сторон были равны;
в ромб можно вписать окружность, центром которой является точ-
ка пересечения диагоналей;
для того, чтобы вокруг трапеции можно было описать окружность,
необходимо и достаточно, чтобы эта трапеция была равнобочной.
[3] Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин ка-
тетов равна сумме длин диаметров вписанной и описанной окруж-
ностей.
4 Точка касания ок жности вписанной в п ямо гольный т е-
7
угольник, разбивает один из его катетов на отрезки длины т и п,
причем т < п. Найти длину другого катета.

96 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
3.[5] Радиусы описанной около прямоугольного треугольника и впи-
санного в этот прямоугольный треугольник окружностей соответ-
ственно равны R и т. Найти периметр этого треугольника.
4.[7] B прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины
прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найти
радиус вписанной в треугольник окружности.
5.[5] B равнобедренном треугольнике с величиной угла при вершине
120° длина боковой стороны равна 2. Найти радиус вписанной в
него окружности.
6.[6] Найти расстояние между центрами окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник, и окружности, описанной около не-
го, если основание треугольника а, боковая сторона b.
7.[3] Найдите углы треугольника, в котором Центры вписанной и опи-
санной окружностей симметричны относительно одной из сторон
треугольника.
8.[7] B треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и ВЕ, пере-
секающиеся в точке О. Известно, что отрезок ОЕ имеет длину
1, а Вершина C лежит на окружности, проходящей через точки
Е, D, О. Найти стороны и углы треугольника EDO.
9.[7] B треугольник со сторонами АВ = 8,ВС = 6,АС :: 4 вписана
окружность. Найти длину отрезка DE, где D и Е - точки касания
этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.
10.[7] Через вершины вписанного в окружность треугольника прове-
дены касательные к этой окружности. Определить углы треуголь-
ника, образованного этими касательными, через углы вписанного
треугольника.
ll.[6] Около треугольника ABC описана окружность. Медиана АМ
проведена до пересечения в точке D c окружностью, и АВ = 1,
BD : 1. Найти длину BC.
12. [б] Может ли у треугольника со сторонами меньше 1 радиус опи-
санной окружности быть больше 100?
13.[6] Доказать, что, если из вершины А треугольника ABC проведе-
на биссектриса, а из середины ВС восстановлен перпендикуляр,

§3. Задачи, связанные с окружностью. 97
то их точка пересечения лежит на окружности, описанной вокруг
треугольника ABC.
14.[7] Окружность проходит Через вершины В, C И D трапеции ABCD
и касается стороны АВ в точке В. Найти длину диагонали BD,
если длины оснований трапеции равны а и b.
15.[3] B круг вписаны две трапеции с соответственно параллельными
сторонами, Докажите, что диагонали этих трапеций равны.
16.[3] Вычислите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота
равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности
под углом а.
17.[7] Выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого вза-
имно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры‚
опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагона-
ли АС и BD в точках Е и F соответственно. Отрезок BC равен
1. Найти EF.
18.[5] B выпуклом четырехугольнике MNPQ с диагоналями МР и
NQ на стороны PQ и MN опущены соответственно высоты МК
и QL. Известно, что МК Z NQ, QL 2 МР, MQ = 4. Найти радиус
окружности, описанной около четырехугольника M N PQ.
19.[7] По углам между противоположными сторонами вписанного че-
тырехугольника определить углы этого четырехугольника.
20.[6] Доказать, что во вписанном четырехугольнике произведение
диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
(теорема Птолемея).
21.[6] Даны углы а и В между противоположными сторонами впи—
санного в окружность выпуклого четырехугольника. Определить
углы этого четырехугольника.
22.[6] Окружность высекает на всех сторонах четырехугольника рав-
ные хорды. Доказать, что в этот четырехугольник можно вписать
окружность.
23.[2] Даны две окружности одного и того же радиуса R. причем рас-
стояние между их центрами также равно R. B лунку, полученную
при пересечении этих окружностей, вписан квадрат. Найти его
сторону.

98 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
24.[7] B какой параллелограмм можно вписать окружность?
25.[6] B ромб вписан круг. Каждая сторона ромба в точке касания
делится на отрезки, длина которых а и b. Найти площадь круга.
26.[7] Найти величину угла между касательными, проведенными к
окружности из точки, кратчайшее расстояние от которой до окруж-
ности равно радиусу этой окружности.
27. [7] Доказать, что расстояние от точки окружности до хорды кру-
га есть среднее пропорциональное между расстояниями от концов
хорды до касательной к окружности в этой точке.
28.[7] Окружность пересекает одну из сторон угла на расстояниях а и
b от вершины и касается другой стороны. Определить расстояние
от точки касания до вершины.
29. [7] Доказать, что касательные к двум пересекающимся окружнос-
тям, проведенные из всякой точки продолжения их общей хорды,
равны между собой.
30.[6] Найти радиус окружности, касающейся двух окружностей ра-
диусов т и R и их общей касательной.
31.[6] K двум непересекающимся окружностям проведены две внешние
касательные и внутренняя. Точки М и N - точки касания внеш-
ней касательной с окружностями, а Р и Q — точки пересечения
внутренней касательной с внешними. Доказать, что MN : PQ.
32.[6] Через пересечения двух окружностей Р1 и P2 проводятся про-
извольные прямые, пересекающие окружности. Через точки пере-
сечения этих прямых с окружностями проводятся прямые l1 и lg.
Доказать, что l1f[l2.
33.[6] K двум окружностям с центрами 01 и 02, касающимся извне в
точке А, проведена общая касательная BC (B и C’ - точки касания).
Доказать, что угол ВАС - прямой.
34.[6] B окружности проведены равные пересекаюЩНеся хорды. До-
казать, что соответствующие части этих хорд, на которые они
делятся точкой пересечения, равны.

§4. Площади фигур. 99
§4. Площади фигур.
При решении задач, связанных с площадями, необходимо знать сле-
дующие формулы и факты.
Различные формулы площади треугольника:
1 1 . b
S:§a-ha, S:§a-b-suvy, Szp-‘r, S:a—€
ЗДЕСЬ и ниже а, Ь, с - стороны треугольника, oz,fi,'y - соответствующие
противоположные им углы, ha, hb, hc - ВЫСОТЫ, проведенные к сторонам,
р - полупериметр треугольника, т - радиус вписанной в треугольник
окружности, R — радиус описанной около треугольника окружности.
Из первой формулы вытекают равенства:
согласно которым стороны треугольника обратно пропорциональны вы-
сотам.
Кроме того, отметим также, что отношение площадей подобных тре-
угольников равно /c2, где lc - коэффициент подобия.
Формула площади произвольного четырехугольника:
_1
S 2
d1 - dz - $1п‹р,
где d1, dz - длины диагоналей четырехугольника, а <p - угол между ними.
Формулы площади параллелограмма:
5:а-Ь„, S:a-6-sin'y,
где а, b - стороны параллелограмма, 7 - угол, образованный сторонами
а, Ь, ha — высота, проведенная к стороне а.
Формула площади трапеции:
s=§<a+b>-h,
где а, Ь - длины оснований трапеции, а h - ee высота.

100 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
1.[2] Определить стороны прямоугольного треугольника, зная его пе-
риметр Р и площадь S.
2.[7] Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, опущен-
ные из вершины прямого угла, равны соответственно 3 и 4. Найти
площадь треугольника.
3.[7] B прямоугольном треугольнике ABC угол А равен а, сторона
АБ равна а. Из вершины прямого угла Б опущена высота BE. B
треугольнике БЕА проведена медиана ED. Найти площадь тре-
угольника AED.
4.[7] B прямоугольном треугольнике ABC угол B прямой, А : а,
АБ : с. На продолжении гипотенузы AC (в сторону точки С)
взята точка D Tax, что AD : т. Найти площадь треугольника
BCD.
5.[6] Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и
данным углом при вершине равнобедренный треугольник имеет:
���� наибольшую площадь; б) наибольший периметр.
6.[3] Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его пло-
щадь пополам. В каком отношении она делит его боковые стороны?
7. [3] Существует ли треугольник, все высоты которого меньше 1, а
площадь больше или равна 10?
8.[4] Дан треугольник АБС. Из двух вершин проведены медианы
длиной 4 и 6. Известно, ЧТО площадь треугольника равна 16. Най-
ти угол между вышеупомянутыми медианами.
9.[4] Про треугольники ABC и А1Б1С1 известно, что: АБ > А1Б1‚
AC > A1C1. BC > B1C1. Верно ли, что площадь треугольника
АБС непременно больше площади треугольника А1Б1С1?
10.[5] B треугольнике АБС проведены биссектриса СЕ и медиана BD,
которые пересекаются в точке О. Длина стороны БС в два раза
больше длины стороны АС. Найти отношение длины отрезка БО
к длине отрезка OD и отношение площади треугольника DOC к
площади треугольника ВОС.
11.[5] B остроугольном треугольнике длины двух его сторон соответ-
ственно равны 4 и б, а его площадь равна бх/Ё. Найти длину треть-
ей стороны.

§4. Площади фигур. 101
12. [5] B треугольнике ABC заданы длины двух его сторон а и b. Дока-
2 2
а + b
зать, что для его площади S справедливо неравенство S _<_ ———:.
B Ka.KOM случае это неравенство обращается в равенство?
13.[6] Дан треугольник ABC. Через точку Р проведены прямые, na-
раллельные сторонам. Известны площади треугольников - 51, 52, $3.
Найти площадь S треугольника ABC.
14.[7] B TyIIOyI‘0.TIbHOM треугольнике наибольшая сторона равна 4, а
наименьшая - 2. Может ли площадь треугольника быть больше.
чем 2\/§?
15.[7] B треугольнике ABC на стороне АБ взята точка K так, что
AK : BK : 1 : 2, а на стороне BC взята точка L так, что
CL : BL : 2 : 1. Пусть Q - ТОЧКЭ. пересечения прямых AL и
CK. Найти площадь треугольника АБС, если дано, что площадь
треугольника BQC равна 1.
16.[7] Найти площадь треугольника АБС, если AC : 3,BC = 4, а
медианы AK и BL взаимно перпендикулярны.
l7.[7] B остроугольном треугольнике ABC дано: ВТС = а‚В/С`А =
у, проведенная из вершины В медиана равна т. Найти площадь
треугольника ABC.
18.[7] B остроугольном треугольнике АБС проведена биссектриса уг-
ла Б, равная т,
ВАС = а, ВСА = у. Найти площадь треугольника ABC.
19.[7] B OCTpOyI‘O.IIbHOM треугольнике АБС дано: БАС : oz, AC :
Ь, проведенная из вершины Б медиана равна т. Найти площадь
треугольника АБС.
20.[6] Может ли уменьшиться площадь треугольника при увеличении
длин всех его сторон?
21.[б] Существует ли треугольник, у которого:
а) все высоты меньше 1, а площадь больше 100;
б) две высоты больше 100, а площадь меньше 1?
22.[б] Найти отношение площади треугольника ABC к площади ДРУ-
гого треугольника, образованного из медиан треугольника ABC.

102 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
23.[9] B треугольнике ABC известно, что: АВ :: б,ВС = 9, АС = 10.
Биссектриса угла В пересекает сторону AC B точке М. На отрезке
ВМ взята точка О так, что ВО : ОМ = 3 : 1. Площадь какого из
треугольников: АВО, ВСО или АСО является наименьшей?
24.[9] B треугольнике ABC известно, что: АВ : 10‚ВС = 12, AC : 8.
Ha отрезке АВ взята точка K Tax, что АК : KB = 2 : 3, а на
стороне BC — ТОЧКЭ. М так, что BM : MC = 2 : 1. На отрезке
КМ взята точка О так, что КО : ОМ : 4 : 5. Площадь какого из
треугольников: АВО, ВСО или АСО является наименьшей?
25.[3] Квадрат со стороной а повернут вокруг центра на 45°. Найдите
площадь общей части ”старого” и ”нового” квадратов.
26.[5] Периметр ромба равен 20, a сумма длин его диагоналей равна
14. Найти площадь ромба.
27.[5] Дан параллелограмм ABCD. Ha стороне BC выбрана точка Е
так, что ВЕ : EC = 3 : 1, a На стороне AD - ТОЧКЭ. F Tax, что
AF : FD : 4 : 1. Ha сколько процентов площадь треугольника
АВЕ больше площади треугольника FCD? Ha сколько процен-
тов площадь треугольника FCD меньше площади треугольника
ABE?
28.[5] Определить величины углов ромба, если его площадь равна 8,
a площадь вписанного в него круга равна 7г.
29.[5] Дан параллелограмм АВСВ. На его сторонах BC, AD, AB, CD,
соответственно выбраны точки E,H,F,G Tax, что ВЕ : EC :
4:5,AH:HD=8:3,AF:FB:1:3,CG:GD:2:7.Ha
сколько процентов площадь треугольника BFE больше площади
треугольника GDH? Ha сколько процентов площадь треугольника
GDH меньше площади треугольника BFE?
30.[7] B параллелограмме даны острый угол а и расстояния т и р от
точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определите
диагонали и площадь параллелограмма.
31.[7] Дан параллелограмм ABCD со сторонами АВ : 2 и ВС = 3.
Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что диа-
гональ АС перпендиклярна отрезку BE, соединяющему вершину
В C серединой отрезка AD.

§4. Площади фигур. 103
32.[4] Известно, что ABC D — трапеция с основаниями AD И BC. Пусть
О - точка пересечения диагоналей АС и ВВ. Известно, что пло-
Щадь треугольника АВО равна 2, а площадь треугольника AOD
равна 3. Найти площадь трапеции.
33. [4] Найти высоту равнобочной трапеции, если ее площадь равна S,
а острый угол между диагоналями равен 20:.
34. [7] B равнобочной трапеци ABCD задана длина а диагонали АС,
CAD : oz. Найти площадь трапеции.
35.[7] B трапеции длины диагоналей равны 2x/6—1n 3\/H, а длины
оснований 10 и 15. Найти площадь трапеции. Можно ли в эту
трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции
описать окружность?
36.[6] B трапеции проведены диагонали и площади треугольников,
примыкающих к основаниям, равны $1 и $2. Найти площадь тра-
пеции.
37. [11] Точка E лежит на диагонали АС трапеции ABCD с основания-
ми BC и AD. Найти отношение BC z AD, если $ААВБ : SAADE =
1 : 2.
38. [4] Все стороны выпуклого четырехугольника меньше 7. Доказать,
что его площадь строго меньше 50.
39. [5] B выпуклом четырехугольнике ABC D известно, что: АВ = а,
BC : b, CD : c, DA = d. Доказать, что для его площади $ имеет
1
место неравенство 5' 5 §(ab+cd). B каких случаях это неравенство
обращается в равенство?
40. [6] Пусть а, b,c,d - последовательные стороны произвольного вы-
пуклого четырехугольника. Доказать, что его площадь $ 5 E (ac+
bd).
41. [6] B четырехугольнике проведены диагонали. Известны площади
трех треугольников $1, $2, $3, образованных этими диагоналя-
ми. Найти площадь четвертого треугольника.

104 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
42.[11] В выпуклом четырехугольнике АБ CD диагонали пересекаются
в точке E. Расстояние от точки Б до прямой AD втрое больше, чем
расстояние от точки С до прямой AD; Найти отношение площадей
треугольников ABE И CDE, если АЕ : ЕС = 3 : 2.
43.[3] Найдите радиус сектора, если его площадь равна 144, а дуга
содержит 4/9 радиана.
44.[3] Периметр кругового сектора равен l. Найдите величину цен-
трального угла сектора, при котором его площадь будет наиболь-
Шей.
45.[7] B треугольник со сторонами АБ = 4, BC : 2, AC : 3 вписана
окружность. Найти площадь треугольника AMN, где М и N -
точки касания этой окружности со сторонами АБ и AC соответ-
ственно.
46.[7] На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диа-
метре построена окружность. Она пересекает сторону АС в точке
Р, а сторону АБ - в точке Q. Найти отношение площади треуголь-
ника APQ к площади треугольника ABC, если B/A\C : а.
47.[7] На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построе-
на окружность, пересекающая стороны АС и БС в точках D и E
соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника АБС
пополам и образует с прямой АБ угол 15°. Найти меры углов тре-
угольника АБС.
48.[7] B остроугольном треугольнике АБС проведены высоты CH и
АН1. Известно, что АС = 2, площадь круга, описанного около
треугольника НБН1‚ равна 7т/3. Найти угол между высотой СН
и стороной BC.
49.[7] Хорда АБ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С
лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АБ. При этом
AD : 2, BD : 1, DC : Найти площадь треугольника АБС.
50.[6] Периметр треугольника АБС равен 2р. В него вписана окруж-
ность. K окружности проведены касательные, отсекающие от тре-
угольника АБС треугольники $1, $2 и $3. Найти сумму перимет-
ров трех треугольников $1, S2 и S3.

§5. Задачи на построение. 105
§5. Задачи на построение.
При решении задач на построение из этого параграфа следует пом-
нить следующее. Обычно построение геометрических фигур проводит-
ся с помощью циркуля и линейки. линейкой можно проводить только
прямые (соединять две заданные точки). Циркулем можно откладывать
длины отрезков в виде дуги (взять раствор циркуля, равный длине дан-
ного отрезка).
Общая схема решения задач на построение такова.
о Анализ - считаем, что искомая фигура построена, рисуем ее, смот-
рим и пытаемся придумать, как бы можно было ее построить.
о Построение ~ после успешного проведения анализа указываем по-
следовательность действий, дающих искомую фигуру.
о Доказательство - иногда оно необходимо для обоснования того, что
построено то, что требовалось. Хотя, как правило, из построения
все бывает ясно.
о Исследование - возможно, что по исходным данным или при неко-
тором их сочетании существуют две или несколько фигур.
Общая схема решения задач на построение выглядит громоздко, од-
нако на практике достаточно провести анализ и построение.
1.[7] Дан отрезок длины 0��� С помощью циркуля и линейки постро-
ить отрезок длины 1.
2.[7] Дан отрезок длины 7. С помощью циркуля и линейки построить
отрезок длинь1 \/i
3.[3] Даны отрезки а, b. Построить отрезок а: : х/аЬ.
4.[6] Даны отрезки а, b, c, d. Построить отрезок а: : 4 abcd.
1995
5.[6] Даны отрезки а, b. Построить отрезок св : $553.
3 b3
6.[6] Дань! отрезки а, b. Построить отрезок а: = LL.
а’ + b2
7. [6] Даны отрезок а. Построить отрезок :1: = а - y/H (n E N).

106 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
8.[6] Даны отрезок а. Построить отрезок 1: = а- ����
9.[6] Даны отрезки а, Ь, с. Построить отрезок а: : V a.’ + b2 + C2.
10.[10] Даны два отрезка: длины 1 и длины а. С помощью циркуля и
линейки построить отрезки длины:
2
а —— 9 4
а ———: 6 \/a3 — 4a’ + 3a.
) a3 + a — 2 )
11. [3] Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте,
опущенной на гипотенузу.
12.[6] Внутри угла даны точки А и В. Построить равнобедренный
треугольник, основание которого лежит на стороне угла, а боковые
стороны проходят через точки А и В.
13. [6] Построить равносторонний треугольник, вершины которого ле-
жат на. трех данных параллельных прямых.
14.[2] Построить треугольник по стороне, высоте, опущенной на эту
сторону, и медиане другой стороны.
15.[2] Построить треугольник по периметру Р и двум углам а и ‚В.
6.
1 [3] Построить треугольник по двум сторонам и медиане, выходящей
из общей вершины данных сторон.
l7.[5] Построить треугольник по заданным отрезкам медианы, бис-
сектрисы и высоты, проведенных из одной вершины.
l8.[5] Построить треугольник по заданной стороне, противолезкащему
ей углу и проведенной к ней высоте.
19.[5] Построить треугольник по двум углам и биссектрисе третьего
угла.
20.[5] Построить треугольник по заданной стороне, противолежащему
ей углу и проведенной к ней медиане.
21. [5] Построить треугольник по двум углам и: а) высоте, проведенной
из третьего угла; б) медиане, проведенной из третьего угла.
22. [6] Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной
на одну из этих сторон.

§5. Задачи на построение. 107
23.[6] Построить треугольник по трем его медианам.
24.[6] Построить треугольник по следующим данным:
а’) as ‚На �K�� ���� av bi Q; B) а» hbv mb;
г) as ha: та? д) ha: ‚ИЛ ha; е) Ola ha: la?
ж) P7 av ha; з) I87 71 та: и) а: аз г;
к а, т, R; л) а, ha, b2 — c2; M) а, а, b : c;
H а, ma, b : с.
)
)
25.[6] Построить треугольник по
а) а, ‚В а+/ъ„; б) а, b:a, c—-ha; в) а, В, г.
26.[6] Построить треугольник ABC, если известна биссектриса BD И
отрезки AD И DC, на которые она делит противоположную сто-
рону.
27.[9] C помощью циркуля и линейки по трем данным отрезкам а, h,
и т построить треугольник ABC со стороной BC : а, высотой
ВН = h и медианой ВМ : т.
28.[9] C помощью циркуля и линейки по трем данным отрезкам а, h.
и т построить треугольник ABC co стороной ВС : а, высотой
ВН = h и медианой АМ = т.
29.[2] Построить окружность, касающуюся данной прямой l и прохо-
дящую через две фиксированные точки А и В.
30.[3] Дана окружность C и точка А, лежащая вне круга, ограничен-
ного окружностью С. Построить прямые, проходящие через точку
А, касательные к окружности C.
31.[4] При помощи циркуля и линейки построить окружность, касаю-
щуюся сторон данного угла и проходящую через заданную внутри
него точку.
32.[4] Даны три точки. Построить окружности, попарно касающиеся
в этих точках.
33.[4] При помощи циркуля и линейки построить окружность, прохо-
дящую через две данные точки и отсекающую от данной окруж-
ности хорду данной длины.
34.[6] Даны прямая и окружность. Построить окружность, касающу-
юся данной окружности и прямой в данной точке.

108 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
35.[6] Дан угол в 19", построить угол в 1°.
36.[6] Провести общую внешнюю касательную к двум данным окруж-
ностям (т.е. даны их центры и радиусы).
37.[б] Провести через точку В пересечения двух окружностей и пря-
мую, высекающую из окружностей равные хорды.
38. [4] Найти геометрическое место центров равносторонних треуголь-
ников, описанных около данного произвольного треугольника.
39.[6] По данной дуге окружности ”бегает” точка М. Хорда АВ -
фиксирована. Какие кривые при этом пробегают в треугольнике
AM B :
точка пересечения биссектрис треугольника; б) точка пересече-
ния высот;
в) точка пересечения медиан треугольника?
40.[6] По окружности ”бегает” дуга данной длины CD, хорда АБ -
задана, CD < AB. Найти геометрическое место точек пересечения
прямых АС и ВВ.
41.[6] По сторонам прямого угла скользит отрезок заданной длинаы
а. Какую кривую при этом описывает середина этого отрезка?
42.[6] По сторонам прямого угла скользит прямоугольный треуголь-
ник. Найти геометрическое место вершин прямого угла этого тре-
угольника.
43.[6] На сторонах угла даны два отрезка АВ и CD и точка М внутри
угла. Найти геометрическое место точек N таких, что SAABN +
SACND = SAABM + SACMD-
44.[6] Через точку А внутри окружности проводятся всевозможные
хорды. Найти геометрическое место середин этих хорд.
45.[6] Дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от нее. Найти
на прямой l точку Х такую, что сумма расстояний АХ и ВХ
минимальна.
46.[6] Внутри угла дана точка А. Найти такое положение точек Х
и Y на сторонах угла, чтобы периметр треугольника AX Y был
минимальным.

§5. Задачи на построение. 109
47. [6] B треугольнике найти точку, сумма расстояний от которой до
вершин минимальна.
48.[6] Найти внутри угла точку, из которой данный отрезок АБ виден
под наибольшим углом.
49.[6] Прямая l пересекает отрезок АБ в точке C. Найти на l такую
точку М, чтобы АМС = БМС.
50. [6] Дана прямая l и две точки А и Б по одну сторону от нее. Найти
на! такую точку Х, чтобы АХ составлял с l угол, вдвое больший,
чем с BX.
51.[10] Дан угол в 45° с вершиной О и треугольник АБС, в котором
АБ = 6, AC = 3. Вершины А и Б треугольника скользят по сто-
ронам угла так, что токи О и C находятся относительно прямой
АБ : /\
а) по разные стороны, причем АСБ = 135°;
б) по одну сторону, причем АСБ : 45°.
Какое множество точек пробегает при этом вершина С?
52.[11] На плоскости дан угол в 60° c вершиной А. Рассматриваются
такие треугольники ABC, что вершины Б, C лежат на. сторонах
угла и 4 5 БС g 9. Указать геометрическое место центров окруж-
ностей, описанных около треугольников ABC.
53. [4] Даны три точки А,Б и C, не лежащие на одной прямой. Про-
вести с помощью циркуля и линейки прямую, пересекающую от-
резок AC B точке X, а отрезок BC - В точке Y таким образом, что
АХ = X Y : YB.
54.[4] Дан треугольник ABC со сторонами АБ = 5, БС = б, АС : 7.
Построить с помощью циркуля и линейки точку A1 на стороне BC,
точку B1 на стороне АС и точку C1 на стороне АБ так, чтобы
треугольник A1B1C1 был равносторонним.
55.[4] ‚Пан равносторонний треугольник АБС со стороной 1. Через
вершину А с помощью циркуля и линейки провести такую прямую,
что сумма расстояний от точек Б и С до этой прямой равна �|A�
56.[6] Через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую,
которая делит его площадь пополам.

110 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ.
57.[6] B данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей
диагональю (одна сторона прямоугольника лежит на основании
треугольника).
58.[6] Через точку А внутри угла провести прямую так, чтобы отре-
зок, заключенный между сторонами, делился точкой А пополам.
59.[6] Даны три параллельные прямые 11,12, и 13. Построить квадрат,
три вершины которого лежат на этих прямых.
60. [6] Через точку А внутри угла провести прямую, отсекающую от
угла треугольник минимального периметра.
61. [б] Построить квадрат по четырем точкам, лежащим на его сторо-
нах (на каждой стороне лежит одна точка).

Ответы к §1. Действительные числа.
111
Ответы к §1. Действительные
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
26.
28.
29.
32.
35.
37.
38.
ЧИСЛЕ.
п.1.1. Целые числа.
Делимость.
. а) 24; б) 12; в) 9; г) 11;
д) 22 - 32; е) 25 - 52.
. а) 144; б) 175; в) 23 - 33.
. п : 9k, k E Z.
. n = 33k,k E Z.
а) О; б) 2.
8.
1.
а) 2; 6)1
2.
5.
Нет, не делится.
n=6k+1,n=6k+2,kEZ.
р: 3.
Да, если одно из них - число
2.
п: 1.
а) n:3k+2,kEZ;
6)n:3k,n=3k+1,kEZ.
На 13.
n=3k; n:3k+2, kEZ.
39
40
46
48
55
.n=5k+1, kEZ.
.-4; 0; 2; 6.
.n=5k+2, k:0,1.2....
.—1;0.
‚Да.
п.1 .2. Рациональные и
иррациональные числа.
1.
2.
4.
5.
8.
12.
13.
14.
15.
16.
18.
20.
22.
23
24.
а) Не может; б) может.
‚Па.
Рационально, если b = от”,
иначе - иррационально.
Нет.
а) нет; б) нет; в) нет.
9.
Все знаки - девятки.
а. = О, 99, например.
а)а‚:83,7; 6)a=2.
a)—9; 6):/S; 3);; r)41% +41%.
1.
= -2, q = -2.
a) нет; б) да.
. (0;0).
(д.
п.1.3. Сравнение чисел.

112 Задачи устного экзамена.
2. a) второе число; б) второе чис- 20. Первое число больше.
”°’ 21. 3“°° > 430°.
4. fi+ ‘/10 < x/§+ «19. 22 350., < 440.,
5. \°/38 +171/5 < \/9 + 4‘/5 + 23. 230° < 32°“.
11 1/6 1/5
1000. 24. ��I� > `fT� .
_ ,/ _
6 12 COS 2 + 4cos 1 + 3 2 cos 1 > 25‘ Первое Число‘
2‘ 26. 2*/5 < з”.
7‘ з‘ 60 > 2 + `VB� 27. а) первое число; б) первое; в)
8_ 1Og310+ 41g3 > 4_ 1I)epBoe; r) первое; д) первое;
е первое.
9. sin 2 - cos 3 - sin 5 > 0. 28‘ а) Первое; б) Второе.
10. a) отрицательно; 6) положи- 20.,
тельно; в) отрицательно. 29’ л < 1`006`
11. ctg100° < cos275° < sin 10° < 3°'1°g2 " +1°g" 2 > 2‘
tg190°. 31. 19901991 > 19911990.
12. Is: : 5. 32. а) первое число больше;
б) второе число больше;
13- а) Первое ЧИСЛО? б) первое? в) второе число больше;
В) Второе? г) 3T°P°e- г) второе число больше.
14- д C05 3 < О; б) S1111 > Sill 10; 33. Выражение смысла не имеет.
в) tgl > arctgl.
34. а) 1052 3 > 1og3 2;
1 5 6) log 7 > log 2'
15. Ё t — t —. 4 1/3 *
4 <‘“°g4+‘“°g3 B) log25>1og35.
2 35. 1 119 1 22 .
16. Sin: < \[:<tgg_ og11 < 0515 7
7 7 36. a) второе; б) второе.
17` 1g(arCtg2) > 0’ 37. a) первое число больше;
18_ tg55o > 1_4_ 6) первое число больше;
в) второе Число больше;
19. sin 31° < tg30°. I‘) первое число больше.

Ответы к §2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета.113
38.
39.
40.
41.
42.
а.) имеет; б) не имеет.
log3 7 > log-, 27.
loglsg 1323 > log53147.
log” 12 > log” 13.
б
а) lgll < logg 10 < -5;
log34-log36-...-log380
21og35-10g37-...-log379 >
1.
Ответы к §2. Квадратный
трехчлен и его свойства.
Теорема Виета.
1.p2—4q_-:0.
11.
13.
14.
18.
Фосфиды:
.a;4—16:1:2+4:0.
.(—oc;0].
b<0.
.zHanM:1npn a::0,y=—1.
.b<0.
10.
a > 0.
с > О.
Прямая q : —ap — 0.2.
р: —2»q : _1'
а = 7/6.
1
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
32.
33.
34.
35.
37.
38.
39.
40.
k : 2,/c: —%.
-27; 8.
$2 —(p2-2q-p3+3pq)1'-
(pg - 2q)(p" — 3194) = 0-
a.31:2 + (b3 — 3a.bc) -:1: + C3 = 0.
а) -1220/81; 6) ~196/27.
щ :5,а:2:7или
ш; : —5,:1:2 = -7.
—p(p2+3q) при р2+4ч 2 0-
(p2+2q)2~2q2 при p2+4q 2 0-
1/2; 1.
р2—2‹1
; 31%: —p3;
If’ - 41224 + 242-
4 д;
:1:y=a2:i: а: .
а.>0‚Ь<0‚с>0.
а.<—2.
(-2-\/Г;-2+\/П).
а е (16/17; 2).
(-16/7; -1).
(1;+oo).
3.

114
Ответы к §3.
Тригонометрические задачи.
2\/5
3 .
.31.
. V/T6.
3.12/37
4.-12/13
2„/54-2
зх/5 '
_12+5v§
26 '
2x/§+2
зх/5 '
10. ——
11.
12.
13. 47г -10.
14. 13 — 47г.
15. Знак "минус”.
16. sin 1980”.
Задачи устного экзамена.
17. sin 2.
18 п <arcsi 1 2
.4 n§+arccos3.
20.1/8.
27
2.——.
511
2в.„/5.
3 И 1
.——-— ли———-.
х/74-2 м/74-2
28. а : 21rn,;6 = 27rk,
a+fi=27rm; m,n,kEZ.
27
29. 12.
Ответы к §4.
Логарифмические и
показательные задачи.
1.EcIm0<a<1,To0<z<1;
ec.rma>1,'roa:>1.
2. 0.
3. 5.
4. О.
abc
6.—————%
ab+bc+ac
1175 0,0750;
0npna:b:c=0.
при а #0,
7. —1~3a..
2
(1-2.

Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств. 110
1
9. 1 —?——————. 11. Н ' ——;
+ (a — 2)(b - 1) ет решен” “р”: < 4
1 a.+1_6 2—a. “”=‘§“P““="2;*
(м) 2a ‚ )3_3а Ш:—1:{:\/1+_4а.
_в та. + п — па. 2
’ нам-ш‘ „р„_%<„<3;
ll. n = 14. 3 1
$:—'2—, $:§I'IpPIU.:Z;
Ш _ -121: x/1+ 40.
_ ТЖ ‚
Ответы к §5. Решение 1: : L '40-3 при а, > �9y�
уравнений и неравенств. 2 4
1
12. 1:2`/5;1:Ь\/3.
n.5.1. Рациональные
уравнения и неравенства. 13- ('00? +00)-
4. Н '.
1‘ _3;_1;1;3;5‘ 1 ет решении
2 — 1 :1: 2 2 — 1
2 Г „м 15. [__.„Г[„__
. ‚ 2 . Г
16. 1:i: 19.
3. (О; � x�
17. 1/2; 2.
4. —1;2.
5Д 18.—4;Ь\/—3+\/Й.
. ва.
7 1
6. Два. 19‘ Е’ —§'
7. Два" 20. Нет решений.
з. (~1-0) u (1-+00). 21‘ (‘°°‘+°°)'
22. (—oo;+oo).
9. (нос; О) U (О; +00). 3 2
10.a:=0npna=0; 23'
1 а е
г=;‚т=- arIpHa¢0~ 24.2i:\/5.

116 Задачи устного экзамена.
25. -1. `�,� 1: : �J5�
26.—1j:\/7. 9.532310.
27 5i‘/17_—1:{:\/29 10-2-
2 2 11. з.
28. Если а E [0:2), ТО решений /-
нст. 12. 1+ 29.
иначе 1: : а :Ь \/0.2 — 20.. 2
2ЭТ>З—4ЦПИЦЕ(О`Ё)' 13.3.
" 9_4„ р ’4’ 14.2.
1I<3—4a1IpY!U.E(—OO;0)U 15 [3-4]
9 9-40. ' ’
—: ; — 2 V 2 — 4
(4 +00) 9 16.Приа50 ш=_1 +2“ а‘;
z—mo6oenpna:E. a__2i,/a2_4a
приа 2 4 ш = ———é——-——~—;
1 1 ' .
30. z E (-7-; О) U (т; +00) Иначе решении нет
а ‚———
при и > О; 17_ Если а Z О, то д; : Щ,
Щ E (-00; О) при а’ < О; иначе решений нет. 2
нет решений при а = 0.
18. При а < —1/4 решений нет;
31.ag0. Hp“_1/43030
11.5.2. Иррациональные Ш : 13: \/1+ 4“;
уравнения и неравенства. 2
1+ x/1+ 4
1. 5/3:5/4. “p“0<“<”: 2 а‘
__ 1+ \/1+ 4а
1 1 npna21ar:..——j—————nnn
2. -——;0 U 0;— . 2
2\/5 3 —1-\/4(1—3
гс : ——-———:.
3. (1;эс). 2
19. Указание: свести задачу к пре-
4. [3; 00). дыдущей_
6 >6 20.Hpna2\/§z=———————2+a;
_ 1;{:\/9-40.
7. Нет решений. пр“ а S ‘л ш : т‘?

Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств. 117
иначе Ш Z 2
1- Мёд
2
21. а 3 —3/4.
22. а. E (—оо; —2]U{\/§}U[2; +00).
23. Если а < 0. то ш : О;
ecIm03a<1,To:c30;
если а 2 1, то ш- любое.
24. Если а 2 1, то ш 3 -1;
если а E [0;1], то а; 3 —1 или
>н2
Ш’\/1—а2
если а 3 -1, ТО а: 21;
если а. E (—1;0), ТО а: 21 или
\/1—и‚2'
1:3-
25. Если а < —1. то решений нет;
если а > х/ё, то p�h� 3 1;
ecnnae [—1;1]
v2—a.2—a
ТОШ E �Ub� ,
иначе :1: E -1: 4
(—а+\/2—а.2 J
илишЕ ——т—-——;1 .
26. Если а, 3 1. то решений нет,
иначе
4
3:30..
2 2
+1
27. а: : (а 2“ ) при
0<a.<1;
~l + \/9+ 4a
ее или
—а—\/2—а.2
а+2+\/а.2+4а‚—4
<
нет решений при а 3 О и
а. 2 1.
п.5.3. Тригонометрические
уравнения и неравенства.
n7E15k+l5:
m;é17l+8.
1 7r
—— n__ I г.
3. 1) Warcsm 18 +71} U
{(—1)"%arcsin%-kn},
n EZ.
4. {факсов ё + 27rk:}./c E Z.
7r 7r/c 7r
. — — — k-k .
5:i:12+2,:i:6+7r, EZ
6. g-4-7rlc, arcctg(—\/§i2)+7rk:
ICEZ.
7.{g+7rk}.k:EZ.
k
8.{g+:r§-},k€Z.
71'
9.{Z+7r/c},/CEZ.
7rk 7r 7rk
10.{—2——}U{§+T},lcEZ.
7r 7rk 7r 27rk
”~ 5+? U г“? ~
kEZ.

118 Задачи устного экзамена.
k
12. ;t:3%r+7rlc,k:EZ. 31-"+47'k-
т ЛИНЗ) 32. {27rk}U{g+7rk},keZ.
13. T§—T~. ’l’L,kEZ.
7r
И 4_ 33. {27rk}U{§+27rk},kEZ.
15. Нет. 34. {7r + 27rk} u ъ; + 27rk},
_16.{g+7rk}, kez. "63-
7r
17. Нет решений. 35’ {zwk} U �Il� + 27rk} ’ k E Z"
7r 7r 7r
18.{Z+§k}.keZ. 36.x:Z§+27m, :1:_7r+27rn,
19. Решений нет. п E ‘W
7r 37.1::—~+27m,
2 . — k . 2
0{2+7r}’kEZ z:7r+27rn, nEZ.
21. `�f� + wk} , к е Z. 33. Нет решений.
‚г п _ 1 39. Нет решений.
22. —Z + (-1) arcsm X7: + 7m,
2 40. Нет решений.
п E Z;
-37-:tarccos -—1—+27r/c,k E Z. 41- Нет решений‘
4 2/5
42. ��c� E [27rk, 7r + 27rk],
23.7rn, n:4k+1,kEZ. k:0,1‘2_H_
24°‘ 43.{§+g/3}, keZ.
25. Нет решений.
26.0. 44. <:Г%Ёд;—7г1с] U
27. Нет решений. [Wig 7'(2k2+ 1)) ;k E Z.
28.0.
45. 7rk,k E Z; 5.
29. {7rk},k: E Z.
(sk +1) 46.0.
7T .
30. {Тиши}. 47.0.

Ответы к §5. Решение уравнений И неравенств.
48.
49.
50.
51.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62
63.
0.
Нет решений.
{:+27rk}, keZ.
4
[1;+°°)-
27r_ 7г_ 27r(3n:F1)_
7“ ); n,keN
3
а: : —1, а: : ——2
а: :1 J: = 4.
Нет решений.
Нет решений.
%+27%, kez.
7r
(27%; 5 + 27%) ,k E Z.
(~00; +00).
[— arccos ф + 27%;
arccos ф + 27%] U
[arccos lffé + 27rk; 27" + 27rlc] U
[955 + 27%;
27г — arccos 1—“f§ + 27rk] ,
k: E Z.
(—00;+00).
. {7r/4}.
(ЗА; г“: +1)),k e Z.
119
64. [27%; 7г + 27%], /с E Z.
65. а: - любое.
66. [—2;—1]U[1;2].
67. 7r+ 27%, lc E Z.
68. [0; 1/2].
69. а: - любое.
70. а: ~ любое.
71. :1: - любое.
72. а: - любое.
73. ���� + 27%; 27r(k_+ 1)) ‚к E z.
74. [а Е] .
2
75. [1;+оо).
76. При иррациональном а.
77.a.:4k—1,kEZ.
78.a:4lc—1,l<:EZ.
79.a:4k+1,kEZ.
80.0.-.:4k—1,kEZ.
81. При иррациональных.
п.5.4. Логарифмические и
показательные уравнения и
неравенства.
1. (О; +00).
2. 100.

120 Задачи устного экзамена.
3. 1, —2‚ ~—1og3 4. 25. 2.
4. 3, — logs 2. 26. 2.
5. О, 1. 27.1;11.
6. 1, 4. 28. 41.
7. 2. 29. 4.
8. 2 —1032 3. 30. 4.
k . .
9.{%—},kEZ. 31°
32. -1; О.
10. 2.
33. 1.
11. Н т ре ений.
е Ш 34. [2—\/Ё; 3—\/5]ы[2+х/Ё; 3+\/5].
12. -2, 2.
к 35. (-00; -4) U [1;+oo).
13. Z + 21rk, k: E Z. 36- (2, 6).
14. 1/10: 2; 1000. 37_ (1;2) U (3;+oo)_
15- Sin1- 33.[ —\/2;1]U[2+\/2;4].
16- а) C0531/K 39. (0;3/2)U{6}.
6) arctg3 + 7m,
n:0;j:1;:{:2;.... 40- (2;3)U(4;+oo).
17. 2. 41- (2;+oo)~
18.1. 42. [§+7r1c;%'.+7rk) \ �*�
19. 2. k E Z-
7r 7r
20.1. 43. Ь + 27rl<:; 5 + тыс) ,l<: e Z.
21. Нет решений. 7r
44. }$]>11»11:;£—/c, kEZ.
22. Нет решений. 2
23_ 2_ 45. (27rn; 2 + 27гп) , п E Z.
24. ;{:1og3/2 2. 46. 1/5§:z:< 1.

Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств.
47.1<zg7.
48. (-4; -3) U (8; +00).
49. -3 .
[д з]
50. 2.
51. -1.
52. Одно решение при О < а < 1;
нет решений при а > 1 и а 5
О.
53.а‚<0илиа:4.
54. Если cosa = -1, TO а: = 2;
если cosa : 1, то 1: : 1/2;
иначе 0 < а: < 1.
55. а.) при всех а Е (—оо; О];
6) при всех а Е (О; +00).
56. (-1; —\/1 — a)U(\/1- a; 1) при
а. Е (О; 1);
НЕТ РЕШЕНИЙ при ОСТЭЛЬНЫХ 0..
G951;
1
u7.a::—2—npna.>0,
a
нет решений при остальных а.
58. а: Е (1;a) при а > 1;
а: Е (а; 1) при а. Е (0; 1).
«5-1
2 .
n.5.5. Решение уравнений и
неравенств в целых числах.
60. (О; arcsin
61. Три.
1. а.) да; б) нет; в) да.
121
2. Нет решений.
3. Нет решений.
lcEZ.
эд-
.(6+ 7k;—9+11k),
.(1+5k,1+3k), ВЕЗ.
.p:2,q=5.
(
)
5) ( 3;—5), (т), (—7;—9).
;2)» (-5;-3)» (-1;-3): (1:2)-
(
О
(
15. ( -
(
16. (
17. a.) (2; 1),
18. (2;2).
19. (от), (—1;0).
б) (1;1)» (2;3)-
20. Нет решений.
`�G� �D#� (4;'3)з (`4Ё1)7 (`4;‘3)‘
22. (1;2), (2;1).
�:� �H;� ('3;2)7 (3;‘2); ('3;'2)'
24. Нет решений.

Задачи устного экзамена.
3. (2;2;2).
4. (-1;—1;-1).
5. (3;5), (-3;-5), (36; -23/2), (-36;
23/2).
7. (—3;—2), (-2; -3), (3;2), (2;3).
8. (1;2;3), (—1;—2;-3).
9. (1/2;1/2),(-1;-1/4).
10. 4 решения.
11. (2; 1).
35- (9;0)» (0;9), (1:4), (4;1)~
35- (6;1;0)»(6;-1;0),(0;1;0), (0;-1;0)-
27. (1;0;1), (-1;0;1), (1;0;5), (-1;0;5).
28- (1;5;0)» (1;—5;0)a (-1;5;0),
(-1;-5;0).
29. (1;4;3), (1;4;_3), (-1;4;3),
(-1;4;-3).
30. (2; 1; 1), (1; 1; 2).
31. (2;2;1), (1;2;2), (2;1;2).
32. (1;1;3), (1;3;1).
33- (1;2;3): (1;3;2)» (2;1;3)a (2;3;1),
(
10/)1
5
7 1
. 2
)) v - cal
5 30.» х) ход (м 1_9
Bx \|./ 1n ..$ \I.l \I/ (к
0 1 а
_ ), „ы „д ( з, �O� )
‚32 пи Iv хм Их Q. 1_9
1 _ а а 2 у з
_ „щ U U _ Ы Ш ;5
_ ‚а 4: a а 1 2
(Р В О (.\ Q Ю /\
3. 4 5. 6. 7 oo 9.
1 1 1 1 1 1 1
342 2 e
2 y5)u L.» T
(I—|\0 _ С
71 /|\ и
1)). .‚ С
732 7 \I/
. u а е
)4 а“ 37 „Ш
. /‘\
7/l\\IN е
:0 .1): Ш
0,341 Ю2 е
(5 .513 110% \../ Р
.$\1 .l.\ 1
6/K (.7/K V) .7 ‘L
7 ч; ) ч;
хгпхп/х/хппохп/Ш/О ) тих „З
352a01..2a31..a 0 a K
1/
mww.,a\m,u,U(( 0 0 U ы
х) э 3
).Um,H\0a,x...w Ю Ю U ш
6 7. & B
3 3 3 T
122
уравнений и неравенств.
20. (О; О).
1. (0;1), (1;0). 21. (—1/4; —9/14)‚ (5/4;—3/4).
2. (ДО), (2; -1). 22. (2; 2). r

Ответы к §6. Решение систем уравнений и неравенств.
23. а: 1/2, b:3/2.
24. a¢ -4/3, b— любое.
25.a¢:{:1.
26.p=9/4.
27. Еслиа22+х/Ёилиа52—
x/5,
a—2iva2—4a—4
"ro:c=:————-—2——~—%n
y=a:v—1;
при оста‚льнь1х а решений НеТ.
28. Если а : 1, то (t; 1 —- г),
t€ R;
если а = —1, то решений нет;
если а 79 3:1, то
(11235111 __ a ����
a+1
11+]. ’
29. Ia! g 3/2.
30. [bl g 2.
la|==\/§-
a = —1/2.
31.
32.
2ас_ 2ас 2 _ 2
c—a’c+a ’ c—a’c+a ’
2a 2с 2с
(га. .
1—ac’1+ac ’ ac-—1’ac+1 '
34. а; 2 la].
33.
2
36. Нет, если la] < Т или
la! > 1;
четыре, если [а] = Т или
123
lal = 1;
2
восемь, если T < [Щ < 1.
37. а = 4:1, a = ы/х/Б.
38. k ф -2.
39. [1/2;3/2].
40. (
+gk,1),k€Z.
41
N13 “>13
.( +2nk,1),kezmm
(—g + 27¢, -1) ,k e z.
42. (—2,7rk), k E Z или
(2‚%+7г1с) ,k e z.
43. Решений нет.
44. (
45. (1;1;0).
46. (
47. (

124
Ответы к §7. Доказательства
неравенств и тождеств.
26. Данное неравенство обраща-
ется в равенство только в слу-
чае a = b : с.
27.a:b:c::d.
43. 3..
х/Ё
52. Первое число больше.
53. Если а; = у, то числа равны,
иначе первое число больше.
Ответы к §8. Задачи на
арифметические и
геометрические прогрессии.
1. О.
5. п:3,4,5‚б,7,8.
б. Да, например, и; : 29,9 :
3/2.
8. Нет.
Ответы к §9. Функции и их
графики.
1.11: 210%, :1: :101+2",
k20,n>0, k,nEZ.
2. (27r'n., +27r'n.) U
<:2r-+27rn;3T7r+27rn),nEZ.
Сад
S”
O0-\IC>
12
13
14
15.
16.
17.
18.
19.
20.
24.
25.
26.
27.
30.
Задачи устного экзамена.
‚а: E {—2;0;2}.
‚а: =sin1.
1r
:z:=—+1rn, n€Z.
4
‚а: : 7гп, п е z.
.[2/3; 2].
‚ю; 1/2].
-[1;fl]-
—1;0)U[1;+o0)-
-o0;1/3]-
[
(
[вникает
.(—оо;—2].
. (О; 1).
Нечетная функция.
Нечетная функция.
Четная функция.
27r.
27r.
7Г.
Непериодическая.
Непериодическая.
Является.
7" 2
a.) 21r; 6) E; в) 1; г) 7r;
д) 21r\/7_r.
Периодическая с периодом 27г.

Ответы к §12. Задачи последних лет. 125
32. a)ym;,, : 4, ушах : +00; Ответы к §12. Задачи
6)ym;,, : О, ушах = 1; последних лет.
3):‘/min : д Sin 19 ушах = Sin 1;
F)!/min : 1: ушах : ��E�
33 3 п.12.1. Факультет ВМиК
` ' МГУ
34. щ/ё. (1997 - 1999 гг.)
35. 8. 3. (2,10); (10,10).
36.2. 4.11 : 3; 7.
68. в ш четверти. 5. 1820 > 63"’.
69- а) В IV ЧЕТВЕРТИ; б. Первое число меньше.
б) в 1 четверти.
7. Первое число больше.
70. 4a.
_ 9.(2+\/§;2—\/3):
71. m1n(—1;—2a). ( __ Л; 2+ @�S�
72.y:0;y=—;:c; y:4a:c. 10-1.
3
11. `hV�
Ответы к §11. Многочлены. 12 (До), (Од) _
13. =
1. afi. a
14. = 5
2.:c4—~10:c2+1:0. а
15.1
3. (:c+2)-(:c+6)-(:c+4+\/6)-
(q;+4—\/6)_
4.(:L2——x/§:v+1)-(:L2+x/§:c+1). a+c a—c 2 ‚
17- 3/min д: 2 "' 2 + b"
5. (:r2 — 21+ 1)({L‘2+I.C-I-1).
6. (a2—2ab+2b2)-(a2+2ab+2b2). ушах = 5'-¥;~C+ C‘ ; с) + b3.
8. 1.
1
18. у = 2:1) — L

126 Задачи устного экзамена.
7гп
19. Не существует. 2. а; : T, n е Z,n ф 4k,
20. E. U‘ E Z)‘
7r
21.1. 3.:c:Z(2n+1)—2,nEZ.
2 4. а: = 55.
23. Искомое множество - плоскость 1 1
с выколотыми точками 5_ д, E (__, О) U (0 p�!�
7r 7r =
(:c.y):<§+7rn,~2-+7rm), Л \/5
1L,mE Z. 5_ д; E (-2, 0) U (2, +oo)_
26. 7. 7. а: E {-1} U [0, +00).
9* — 1
28. к; ,k:0.1,2,.... Л
8- -"'41.
29. а > b. 3
9. —.
30. Имеет. 5
u 15
33. Решении нет. 10. —fi.
7r
34' Z + 27rk’ k E Z‘ 15. Множество образовано пря-
мой у = О и
35_ а E [_1: 1 + ���� полупрямыми ��� = 27rn, n E
2 Z; y > 0}
2 n{:c:7r+27rn,nEZ;y<
36.1ninf(1:) : 1- W3, Щ‘
Шах Дж) Z 1 + 0��� 16. I1:/II)1::I):::TBo состоит из полу-
_ {:с:7гп‚пЕ2;у20}
37‘ Ш E Ю‘ 1]‘ И частей синусоиды
п.12.2. Геологический
факультет МГУ (1997 - 1999
1.
гг.)
:I;:::1:1/—§+7rk, k:1,2,...
17.
18.
19.
1 . .
5511123, у 5 s1n
{y
2
—-—§7r~+27rn, пе Z.
27r'n.,n€Z;1+27rk,kEZ.
(1+\/1+7rn)2, 'n.=0,1,2,...

Ответы. 127
20. При а = 1 а; = 0; Ответы к §1. Задачи,
при а = -1 а; = 1; связанные с треугольниками.
при других значениях а ре-
шений нет.
7. Треугольник тупоугольный.
21. 0.
8. а) треугольник тупоугольный;
22‘ а’ E [03 4]‘ 6) треугольник тупоугольный.
23. [3'%; 1) u[9; +55). 9. Нет.
24. (о; 5%] U(1; 5]. 1°‘ Em"
11. C .
28. 17964. ymecTByeT
14. a.rccos(4/5).
16. He может.
n.12.3.
Механико-математический
факультет МГУ (1998 - 1999
19. 30°, 60° И 90°.
20.12 или 24.
гг.)
А 1 1
21. А = Е — ——- ,
1. 30. 4 з; arccos <4 + �'��
2 ^ 7r 1 1
——. В = — — ——- .
3 3 4:}:а.гссоз(4+`/ё>
4. 188.
22- 2P1P2 " P2; 2P1P2 - P1:
5. 2. pl + P2 — ‘/Zplpg.
6. a E (0; 1) U (1; +00). 23_ 30°_
8‘ Ё: 33. 3,5,7; 4,5,6; 5,5,5.
2
_ Zub cos 5%
35. 1.. а + b
36. 2 > q.
40.
41.
мы Р‘
|
юл:

128 Задачи устного экзамена.
42_ ]a;'6l_ 53.§:%;{:a.rccos (2cos%);
п „
43.|а—Ш. г5а<т
45.90”. 54_д=7';°‘+
46. ��� arccos P{�� sinoz ~— cos o:)_
2 _ о _ 2 ’
47.AC=V_-§s11148, ,),:7"2O‘__
BC Z _‘/2__3_ Sin 720’ агссоз �q�� sin a — cos oz)‘
2 7
2
Sin48o_ x/§(\/5——1)+\/10+2x/5 0<ag2a.rctg;r-.
_ .._.———_——.—...__..8 ‚
1
_ о 10 + 2‘/5 55. _
511172 : ���� pq
,,\ 56. 15 и 12.
48. QPR : 230°. A
57. BAC = 30°.
49. AC : 10. ‚х
а 58. AKC : 30°.
/\ 7r —-
503: ‘Г 23-6 2B+C
arccos(2sina — cosa)_ 59- C05 2 -зес 2 .
2 7
д _ vr - a _ 60. \/13,2\/E, 3\/5-).
Й 2
arc(:os(2si11a -— cos a) _ 51- 2‘/f.
,, 2 62. «/f.
— < a < 2a.rcsin——.
4’ ‘ \/5 64.k<0,k>2.
51, Ё : W ‘ a +arccos (2 sin Ё); бб- ЗЛ-
^ 7r — а а ‘1
—— __ ‘ _ - . 2.
C _ arccos (25111 2) , 67 а + b\/—
U < oz 5 7r/3.
68. а : \/b2 + bc.
их а arccos(sin a + cos а)
52° A1-3 : 5 _""—‘"§——“5 70. Равнобедренный треугольник.
7r
'2' Ё 0‘ < 7" 74. Равнобедренный треугольник.

Ответы.
129
75. 4.
1.
10.
11.
12.
13.
14.
16.
17.
18.
19.
24.
Ответы к §2. Задачи,
связанные с
четырехугольниками.
Ромб, когда диагонали исход-
ного четырехугольника пер-
пендикулярны. Квадрат, ког-
да они вдобавок равны.
7r 27r
. 3, 3 .
. Периметр квадрата.
9/5
11 '
. MK : 4, 8.
AC = x/E5.
Нет.
Нет.
Диагонали трапеции делят друг
друга в отношении оснований.
1570 > ОТВ.
Меньшее основание.
о: = a.rcsin(2/7r).
a — b
2 .
Zab '
a + b.
X: 13: 60°,§: д=12о°.
25. KM:4.
dz
p��� (о, д.
27. а) Угол между биссектриса-
ми двух соседних углов равен
полусумме этих углов;
б) Угол между биссектриса-
МИ ДВУХ ПРОТИВОПОПОЖНЫХ уГ-
лов равен полуразности двух
других углов;
в) Пары вертикальных углов,
заключенных между биссек-
трисами углов, образуемых про-
должениями противоположных
сторон, равны полусуммам про-
тивоположных углов четырех-
угольника.
28. Четырехугольник, у которо-
го диагонали перпендикуляр-
ны друг другу.
29. 90°.
30. 1.
31. Точка пересечения диагона-
лей.
Ответы к §3. Задачи,
связанные с окружностью.
2
2; т".
n—m
3. p = 2(т+ 212).
4.5.

130 Задачи устного экзамена.
5'Т=2‘/3“3° Ё=%(2+и)=90°+%д—%7;
б blb — а] где А, В, C’, D— углы четырех-
` 4д2 _ „г“ угольника;
о о о а, ‚Н, 7- углы между диагона-
7‘ 36 тзб а 108 - лями и между противополож-
8. 1, 1,\/§;30°,30°, 120°. “Ы” °"°"°“‘°"“"
cc, y,z,u— — стягиваемые сто-
9 3 /-10 ронами четырехугольника ду-
- `��� ги.
1о‚щ:2.(900_}1`)„ 21.2:f=g+a_B,§=7r—AA,
y:2-(90°—B), А 7r oz+B»~
^ C = —— —— ,D = —— AC.
z:2-(90°~C), 2 2 7'
где А,В, C - УГЛЫ исходного `/_
треугольника, а. ш, у, z— иско- 23_ 7 _ 1 _ R_
мые углы. 2
11 Л 24. Необходимо и достаточно, что-
' ` бы этот параллелограмм был
12. Может. P°M6°M-
14. BD = x/E5. 25- Mb-
16. h.2ctg(o:/2). 26- 60°-
17. 1. 28. x/E5.
18. R = 2 30_ _fl.__§_
19.:z;=o:+fi,y—o:—fi, ����
90——fi—§7. 1 1
(y+z) = 9o°—§/a+§7,
(:1;+z):
Н
R3lt—‘l\>|r-—=
ъ-л
1
1“ -1 -,
9( +2/+27
1.
Ответы к §4. Площади фигур.
1
а = —(r А: \/т2 — 4q),
2
1
b: §(r={I\/1'2 —4q),
rneq=2S, т: -P—22-‘f,3§-
_ P’—4s
C— :--2}, .
ё

Ответы.
131
2.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
$°9°.“.°‘
72.
аз sin 20:
8
c-tgo:-(rcoso:~—c)
2
(\/§~ 1) : 1.
Да.
90°.
Нет.
ВО : OD = 4,
БАСОВ I SABOC = 1 14-
2Л.
Равенство выполняется в слу-
чае, когда стороны, длины ко-
торых заданы, являются ка-
тетами равнобедренного пря-
моугольного треугольника.
5=(\/Е+\/5Ё+ 5'3)2
Нет.
7/4.
SAABC : \/11.
т51:12 0:51:17 51:1(о: + 7)
451:12 о: 51:12 7 + sin2(o: —— 7) 1
т а — 7
2 (ctgo: + ctgy) .
b 51112а+2Ь sin av т? — 122 51:12 .
Может.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
31.
32.
33.
34.
36
37
а.) существует;
б) не существует.
4/3.
ААСО.
ААВО.
ил - 1)а2.
24.
Больше на 275%,
меньше на. 73%%.
30°, 150°.
4
Больше на ————%‚
400
меньше на -П—%.
2\/т2 +122 j: 2mpcosa_
д 31:10: ’
4mp
sinof
x/R.
1
83.
\/Stgoz.
a2 _
——- 51:12о:.
2
. 150. Можно. Нельзя.
PT+�
.1:2.

132 Задачи устного экзамена.
39. §:13=90°.
41.
42. 6.
43. 18x/2.
44. 2 рад.
25
— 15.
64
45.
46. со52 а.
47. 45", 60°, 75°.
48. 30°.
3 2
49. SAABC : ����
50. 2p.
ИП Ne 00510 OT 01.12.99
Подписано в печать 25.12.2000 Формат 60><881/16
Печать офсетная Бумага газетная
Печ. л. 8,25 Тираж 1000 экз. Заказ 7689
ООО “МАКС Пресс”
107066, г. Москва, Елоховский пр. д. 3, стр. 2
Тел. 939-38-90, 939-38-91, 928-10-42. Тет/факс 939-38-91
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ,
140010, г. Люберцы, Московской обл.‚ Октябрьский пр-т, 403.
Ten. 554-21-86