/
Текст
Цена 30 коп.
МОСКОВСКИЙ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ФИЗИКО ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ,
предлагавшиеся на вступительных экзаменах
в 1974 — 76 годах.
Москва — 1977
J
МОСКОВСКИЙ '
ОРДЕНА ТРУДОВОГО- КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
, ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ . ;
ЗАДАЧИ J ••
: то и физике,
Д ••••. • • >. - 7 ' - • • " ‘ ‘ 5Л ’ 1
V... • . . • . : 2 ;
предлагавшиеся на вступительных экзаменах
' в 1974—76 годах f
Москва —• 1977.
Л
’к\ 1
<мПнНям
Ь 1 ” •* ”f
Московский физико-технический институт публикует у
Латавшихся абитуриентам на письменных экзаменах по м
1974-1976 годах.
-...-JBcejsttma снабжены ответами.
Приложение содержит решения двух вариантов 1976 года пйад
1 двух— по физике.
На выполнение каждой письменной работы давалось пять часовь.
Задачи по математике подготовили к печати .Никольский Ю. С., Фед^'*
Ч^ов задачи по физике подготовили Козел С. М» Белонуц-
.л
— 1976 год —.—
МАТЕМАТИКА
Билет № 1
1. Решить уравнение
. К2х-{-8 ==К2х-4 4-2j/3x-3 .
Ответ: х—2.
2. Решить неравенство
log*U2—4х4-4)4-2х>2 — (х4-1) log J (2— х).
' Т •
Ответ:—оо<х<--2,1<х<2.
3, Две окружности внутренне касаются. Прямая, проходящая
через центр меньшей окружности, пересекает большую в точках
А и D, а меньшую — в точках В и С. Найти отношение радиусов
окружностей, если АВ: ВС: CD=2:4:3.
Ответ: 3. '
4. Решить систему уравнений
13tg -i-4- 6sin х=2 sin О'—хК
tg у- —2sinx=6sin(y+x).
Ответ: /агссов—-4~2’гЛ; — — 4*2«л
• V- ’ j
^—arccos
Л;л==0, ± 1, ±2,,.,
вейХ ВысотИВР пирамиды'ивляЙ^ребром правильного тетра-
эдра SPQR, ллоскостъАграниРф/? которогоперпендикулярна рев-
ЙSC. Найти объем обртей части эТих цирамид.
" 3/2S2.V ~л"
Ответ: ———
Билет № 2
>
г
С Прямой,
I-
потенузы АВ и>пересек^ет катет ВС п/юрке Р так» что BP: PC*
--- ^Решить уравнение • .
У8+2х + УГ3 -2х ₽=х.
. Ответ: х—4. ,
2. Решить неравенство ;
- 5 log,_2 6 +log-x+2 б > logr_2 6.logr+a &
Ответ: 2< х <.3.]Л10 < х < -}-оо. -'••
3. В прямоугольном треугольнике АВС угол
АС:АВ=4:5 Окружность-с центром на катете АО Касается -ги-
потенузы АВ и>пересек^ет катет ВС в тачке Р так» что BP: PC «*<
2:3.ТЙйти отношение радиуса окружности к катету ВС.
Ответ: ' ' ' '
й>
4..Решить^,Систему уравнений .А
.. \ x+ceeyslnx«»»coa2y, .
I cos 2х4*8?п^У’=8^У4-3 cos ysinx
Ответ: /(-rl)e (-—г—+
, \ у 4 / -4 ; ,! \'1'
sir^arctg aKtgi~-4-«^»
• ' , • й, л?«*(Х i 1. ± 2,
?’• 5: Точки А» В/ С/ Ь, '1 -г вёрщйн«.ййжнегр основания яра^
вН^ьйдЖ (иё^Йуймь^ЬЙ призмы, тонки М; 1С Р, Q, R, S — середаж,
ны сторон t верхнего осноЙиия, точ^цО и Ot -* соответственна^
центры ишнегОлИ верхнего оснований.Ж<йти объей об'шёй частий
пирамид OiABCDEF. и OMNPQRS, объем цризмы равен У.
Ответ: ' ,1
, 14 ' - V • . -1
Л
5 22- I
; &
&
гз
Билет М 3
1. Решить уравнение
< /12-х =»/х-2 +/2*4-6 •
Ответ: х=2. ' •
2i Решить неравенство ч
/ о \
2* “ ( 2 1OS_L<X“!) <7 ~!о^(^’-2х + IX
. ------- -. -.... 8 '
Ответ: 1 <х< ~, 10<х<4-
X-
3. Две окружности внутренне касаются. Прямая, проходящая
черев центр большей окружности, пересекает ее в точках А и О,
а меньшую окружность — в точках В и С. Найти отношение ра-
диусов окружностей, если 4В: ВС: CD=3:7:2.
_ 3
Отиет: _
4. Решить систему уравнений
z ’ lOsipу|cos 5cos x==cos (x-}-y),
2 sin у |.cos -y| 4- cos x *= — 5 cos (x—y).
Ответ: (—4-лА;кл
\ 2 ,
' . ^arccos 4- 2* fc ± "у + 2« гау»
Ь,п~Ъ± 1,±2»....
5. Высота SO правильной четырехугольной пирамиды SABCD
образует с боковым ребром угол а, объем этой пирамиды равен
КТЗерршра, второй ЦраадьноЙчеИ-ырТйугсйцнЬй пирамид^нахо-
дится в ^очке 3, в^трр^о^шя — р трчйй С, а одна из верш?
вейомйй ЛеАйт йа ЬрямрЙ Зо^ЯаЙ^тн'ббзЛй общей .части этих
пирамид. f L "
Ответ:
Л Wf“cu 2(1 +«».)
Ь
igr .
* < '
K№U%ii «Л < г
V
ъ
Билет № 4
1. Решить уравнение'
j/l+2x - /б-х = 2.
Ответ: х=4,
2. Решить неравенство
logz+34 + logx-34> 21°£г+з4 ’ 10gx-34.
Ответ: 3<х<4, 5<х<+°°.
3. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой,
ЛС:ЛВ=3:5. Окружность с центром на продолжении катета АС
за точку С касается продолжения гипотенузы АВ за точку В и
пересекает катет ВС в точке Р так, что ВР: РС=\А. Найти отно-
шение радиуса окружности к катету ВС.
37
Ответ: —.
15
4. Решить,систему уравнений
2sin2y4-sin2y=cos (х+у),
cos’ х4- 2 sin 2у 4-sin’ у == cos (х — у)
Ответ: (—— -|-я k", я и), 4- я (2й 4- й); —— 4- я л),
\ 2 / . \ 4 4 /
— arctg2-H (2k + n\,~arctg 24-яп),
k,n=0. ± 1, ± 2.......
5. Точки О и Oi — соответственно центры оснований ABCD и
AtBtCiDi правильной четырехугольной призмы. Правильный
восьмиугольник, четыре вершины которого совпадают с середина-
ми сторон квадрата ABCD, служит основанием пирамиды с вер-
шиной в точке Оь Найти объем общей части этой пирамиды и пи-
рамиды О, AiB|C|Db если объем призмы равен V.
Ответ: — V,
6
6
Билет № 5
1. Решить систему уравнений
| х’ + 3у3=7,
I ху+У3=3.
Ответ: (2; l),f—; —V (-2,-1), (——: —-
\2 2 / ' 2 2
2. Решить уравнение
ctg 2х — ctg х=2 ctg 4х.
Ответ: х= ± — + "«, «=0, + 1, + 2.......
3. Равнобедренные треугольники АВС (АВ = ВС) и AjB^i
(А^ = В1С1) подобны и АС: А[01 = 5: 3 .Вершины А\ и Bt рас
положены соответственно на сторонах АС и ВС, а вершина С\ —
па продолжении стороны АВ за точку В, причем AjBjXBC. Опре-
делить угол АВС.
„ 2г. ,
Ответ: —•.
3
4. На боковых ребрах AAt, ВВ} и СС[ Треугольной призмы
ABCAtBtCi расположены соответственно точки М, N и Р так, чтд
AM : AAt — BtN : BBt — CyP : СС|=3:4. На отрезках СМ и A\N рас-
положены соответственно точки Е и F так, что EF\\B}P. Опреде-
лить отношение ЕР:В{Р.
о 1
Ответ: —.
3
5. Из пункта А в пункт В сплавляют по реке плоты, отправ-
ляя их через равные промежутки вреценн. Скорости всех плотов
относительно берега реки постоянны и равны между собой. Пеше-
ход, идущий из А в В по берегу реки, прошел треть пути от А до
В к моменту отплытия первого плота. Дойдя до В, пешеход сразу
отправился в А и встретил первый плот, пройдя более ^Лз пути от
В До А, а последний плот он встретил, пройдя более 5 * * * 9/ю пути от
В до А. Пешеход в пункт А и седьмой плот в пункт В прибыли од-
новременно. Из пункта А пешеход сразу вышел в В и прибыл ту-
да одновременно с последним плотом. Скорость пешехода посто-
янна, участок реки от А до В — прямолинейный. Сколько плотов
отправлено из А в В?
Ответ: 20.
7
Билет М А
1. Решить систему уравнений -
|,-2л+у==Зл3,
I *+2у=Зу».
Ответ:
2. Решить уравнение ,4 .
2 ctg 2х — ctg х ==sin 2х -J- 3 sin х.
ч Ответ: х— + — -j-2itn, п=0, + I, + 2,.
'' 3
3. Равнобедренные треугольники АВС (АВ = ВС) и A^iC,
(AjBi^BjCj) подобны и ВС:В|С1 = 4:3. Вершина В[ расположе-
на .да стороне АС, вершины At и Ct — соответственно на продол-
жениях стороны ВА за точку А и стороны СВ за точку В, причем
4(CjJ_BC. Определить угол АВС.
2
Ответ: 2агссо5 —.
3
4. В треугольной призме ABCAtBiCi точка М — середина бо-
кового ребра АА[. На диагоналях ABt и BCt боковых граней рас-
положены Соответственно точки Е н F так, что ВВЦ СМ Опреде-
лять отношение EF: СМ.
„ 2
Ответ: —.
5
- 5. Несколько самосвалов загружаются поочередно в пункте А
(время загрузки одно и то же для всех машин) и отвозят груз в
пункт В, там мгновенно разгружаются и возвращаются в А. Ско-
рости машин одинаковы, скорость груженой машины составляет
3 4 скорости порожней. Первым выехал из Л водитель Петров. На
обратном пути через 56 минут после выезда из А он встретил во-
дителя Иванова, выехавшего из А последним. Прибыв в А, Пет-
ров сразу же приступил к загрузке, а по окончании ее выехал в В
и встретил Иванова второй раз через 40 минут после первой
встречи. Петров прибыл в В после возвращения Иванова в А, но
не позже, чем через 28 минут, после возвращения Иванова в А,
Определить время загрузки.
Ответ: 7мин.
8
Билет № 7
1. Решить систему уравнений
х’~ ху=6,
ху+у’=4.
Ответ: (3; 1), (- 3; - -2^) ,(-1^2; 2 J/7).
2. Решить уравнение
tg х 4- ctg 2х=2 ctg 4х.
Ответ: х— л=0, ± 1, +2,....
3. Равнобедренные треугольники АВС (АВ=ВС) и Л1В1С1
= равны. Вершины Аь Bt н С\ расположены соответ-
ственно на продолжениях стороны ВС за точку С, стороны ВА
за точку А, стороны АС за точку С, причем BtCi-LBC. Опреде-
лить угол АВС.
4. В треугольной призме ABCAiB^Ci точки М и N — середины
боковых ребер AAt и СС\ соответственно. На отрезках СМ и ABt
расположены соответственно точки Е и F так, что EF\]BN. Опре-
делить отношение EF: BN.
_ 1
Ответ:
4
5. Из пункта А в пункт В сплавляют по реке плоты, отправляя
их через равные промежутки времени. Скорости всех плотов от-
носительно берега реки постоянны, и равны между собой. Пеше-
ход, идущий из А в В по берегу реки, прошел четверть пути от А
до В к моменту отплытия первого плота. Этот плот поравнялся с
пешеходом, проплыв более 6/11 пути от А до В. Пешеход, прибыв
в В одновременно с четвертым плотом, сразу отправился в А.
Пройдя более 9/14 пути от В до А, он встретил последний плот и
прибыл в А одновременно с прибытием этого плота в В. Скорость
пешехода постоянна, участок реки от А до В — прямолинейный.
Сколько плотов отправлено из А в В?
О т в е т: 19.
2 Зак. 838 ' 9
Билет № 8
1. Решить систему уравнений
{х — ху3 = 7,
ху2 —ху=3.
л /I 'а\ /27. 1\
Ответ! —;-3 , .
\ 4 / \ 4 О /
2. Решить уравнение
tg х-|*2 ctg 2х = cos x-J-sin 2х.
Ответ: х=(— 1)" п=0, ± 1, ± 2,....
3. Равнобедренные треугольники АВС (АВ —ВС) и AiB^i
(А,В, = В 1С[) подобны и АВ: 4^ = 2. Вершины Аь В, и Ci рас-
положены соответственно на сторонах СА, АВ и ВС, причем
AiBj-кДС. Определить угол АВС.
Ответ: arccos —.
8
4. На диагоналях АВ{ и СА\ боковых граней треугольной
призмы ABCAiB1CI расположены соответственно точки Е п F
так, что Ef||BC|. Определить отношение EF:BC[.
5. . Несколько самосвалов загружаются поочередно в пункте
А (время загрузки одно и то же для всех машин) и отвозят груз
в пункт В, там они мгновенно разгружаются и возвращаются в
А. Скорости машин одинаковы, скорость груженой машины со-
ставляет 6/7 скорости порожней. Первым выехал из А водитель
Петров. На обратном пути он встретил водителя Иванова, вы-
ехавшего из А последним, и прибыл в А через 6 минут после
встречи. Здесь Петров сразу же приступил к загрузке, а по окон-
чании ее выехал в В и встретил Иванова второй раз через 40 ми-
нут после первой встречи. От места второй встречи до А Иванов
ехал не менее 16 минут, но не более 19 минут. Определить время
загрузки.
Ответ: 13 мин.
10
Билет № 9
1. Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Чис-
ла, равные произведениям первого члена этой прогрессии на вто-
рой, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в
указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаме-
натель.
Ответ: —2.
2. Решить систему уравнений
: 1g3-^-=3 Ig’x-J-lg3 у,
. 1g3(У — 3x)-Hgx • Igy =0.
Ответ: (1; 4),f-1—;2
3. Решить уравнение
2 sin Зх--—=2 cos Зх -4—-—.
sin х cos Я
Ответ: х= ±х=(-+
/1=0, ± 1, ± 2,....
4. В трапеции ABCD (AD||BC) на диагонали ВО расположена
точка К так, что В К: KD = \ :2. Найти углы треугольника АКС,
если AC=AD—2ВС, Z.CAD = a.
Ответ:
’ arctS
sin а
2 + COS а
arctg
Sin а
2 + COS а
71 *4" Л
2
5. Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены
так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина М лежит на
высоте АО первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит чере^
центр грани АВС и середину ребра BD. Найти отношение длий
ребер тетраэдров.
Ответ:
4 + 3 1^6
19
Билет № 10
1. Три различных числа х, у, г образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию, а числа х-^-у, y-\-z, z-\-x образуют в
2* i 1
'казанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знамена-
ель геометрической лрогрессии.
Ответ: —2.
2. Решить систему уравнений
1о& у -f-
log4y log4x
Iog,
У log»*
Ответ: (4;2),(——
\2r 2 /
3. Решить уравнение
cos 4x4*5 cos 2x-|-3=sin3x.
Ответ: x= + — 4-1tх^—~Аг2кп, я=0, + 1, ±2,.,.,
3 2
4. Точка E лежит иа продолжении стороны АС правильного
треугольника АВС за точку С. Точка К — середина отрезка СЕ.
Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно АВ, и пря-
мая, проходящая через точку Е перпендикулярно ВС, пересека-
ются в точке D. Найти углы треугольника BKD.
О тс тс тс
т в е т: — , — , — .
2 3-6
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав-
на? }/"б см, а высота — 3 см. Вершина А куба ABCDAiBiCiDi
находится в центре основания пирамиды, вершина С| — на высо-
те пирамиды, а ребро CD лежит в плоскости одной из боковых
граней. Найти длину ребра куба.
Ответ: ^-(2/2 - |/з) см
Билет № 11
I 1. Второй, первый и третий члены арифметической прогрес-
сии, разность которой отлична от нуля, образуют в указанном по-
рядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Ответ: —2.
12
2/решить систему уравнений
( lg3x=lg’y + lg’(xy),
I ig’(*— y) + *g* • igy==o.
Ответ: (2; 1),
BAD равен а,
CD такая, что
Sin а
3. Решить уравнение
cos Зх — cos 2x=sin Зх.
Ответ! x—— + 2~n,x=2itn,
2
х = ——Ч-ir/z, х= — + (— 1)л arcsin
4 4 2/2
«=0, ±1, ±2....
4. В трапеции ABCD (ADflBC) угол
AB=2BCA-AD, К — точка боковой стороны
СК: KD= 1:2. Найти углы треугольника АВК.
гу. л—а sin« л + а .
i Ответ: ------. arctg------. —1--arctg
2 .2+ cose 2 5 2 + cose
5. Сторона основания правильной треугольной призмы
ABCAiBiCi равна 3 см, а высота —4 J/"3 см. Вершина правильно*
го тетраэдра лежит иа отрезке, срединяющемцентры граней АВС.
и AiBtCt. Плоскость основания этого тетраэдра совпадает с пло-
скостью основания АВС призмы, а плоскость одной из боковых
граней тетраэдра проходит через диагональ АВ} боковой грани
призмы. Найти длину ребра тетраэдра.
Ответ: (з|/"2 ±/з) см.
Билет № 12
1. Три различных числа х, у, г образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию, а числа х, 2у, За образуют-» указан-
ном порядке арифметическую прогрессию^ Найти знаменатель
геометрической прогрессии.
Ответ: —.
3
13
2. Решить систему уравнений /
‘ • log* У log** ’ /
log*(xy)+log*x • log4y=a /
Ответ!
3. Решить уравнение
14-3 cos 2х—cos 4x=3sin3x.
Ответ: х~ ±х~*г'+2^п,
V *
-2-4-тсл,л=0,± 1, ± 2,...;
о
4. Точка Е лежит на стороне АС правильного треугольника
АВС, точка К — середина отрезка АЕ. Прямая, проходящая че-
рез точку Е перпендикулярно АВ, и прямая, проходящая через
точку С перпендикулярно ВС, пересекаются в точке D. Найти уг-
лы треугольника BKD.
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав-
на 2 см, а высота — 3 см. Вершина А куба ABCDAtBiCtDt на-
ходится в Центре основания пирамиды, вершина С — на высоте
пирамиды, а отрезок ВС\ лежит в плоскости одной из боковых
граней пирамиды. Найти длину ребра куба.
Ответ: -/L ем.
4
ФИЗИКА
Билет № I
.1, Цирковой гимнаст падает с высоты Н = 1,5 .ч па туго натя-
нутую упругую предохранительную сетку. Каково будет макси-
мальное провисание гимнаста в сетке, если в случае спокойно
лежащего в сетке гимнаста провисание /=0',1 Л1?
Ответ: х=/ + К/7+2^=0>66 я.
2. \В проточном калориметре наследуемый газ пропускают по
трубопроводу с нагревателем (см. рис. 1). Газ поступает в кало-
риметру при температуре Л =
=20°С. \
При мощности нагревателя
й^1 = 1от\и расходе газа
Мi = 540 кг/чцс температура его
t3 за нагрева^лем оказалась
такой же, как при мощности
нагревателя 1Г2Ч=2 кет и рас-
ходе газа Af2=72h ка/час. Най-
ти температуру газа t2, если его
теплоемкость при постоянном
объеме 21 дж/молъ-К, а моле-
кулярная масса равна 29. Дав-
Рис. 1
ление воздуха в трубопроводе
принят? неизменным.
Ответ:
(Сг, + Н1)
; t2« 39,8°С.
3. Оценить по порядку величины, на каких частотах начинает
проявляться инерционность электронов при усилении высокоча-
стотных электрических сигналов с помощью ламповых усилите^
лей. Расстояние между электродами лампы , принять равным
d=0,l см. Разность потенциалов между электродами (7=200 В.
Отношение заряда электрона к его массе е/т = 1,76-10” кул/кг.
Ответ: * ~ —=2 I09 гц.
4. Расстояние по оси между предметом п его прямым изобрач
жением, даваемым тонкой линзой, равно 5 см. Увеличение 0=0,5,
Определить фокусное расстояние линзы.
ОГвет: f=—10 см.
Билет № 2
1. Человек скатывается на санях под уклон, составляющий
угол а=6° с горизонтом. Масса саней М в два раза больше мас-
сы человека т. Коэффициент трения саней о поверхность склона
fe=0,2. Как должен двигаться человек относительно саней, чтобы
сани двигались под уклон равномерно?
Ответ: Человек должен двигаться по саням вверх с ускоре-
нием а=3 м/сек2.
15
2. В цилиндре под легким норшнем находится 14 г азота при
27°С. Какое количество тепла необходимо ему сообщить при изо-
термическом увеличении объема на 4%? Молекулярная/ масса
азота равна 28. /
Указание. При небольших изменениях объел^й
- - . . . /. , д/\~1 1 ди
воспользоваться приближенной формулой II 3=1-----и
I
Ответ: Q = - “W88 •
I* *о\ ‘•'о/
3. Поток проводящей жидкости (расплавленный металл) те-
.чет по керамической трубке. Для измерения скорости жидкости
трубу помещают в однородное магнит-
ное поле, перпендикулярное оси трубы,
а в трубе закрепляют два электрода,
образующие плоский конденсатор
(см. рис. 2)г Измеряется разность по-
тенциалов между электродами. Опре-
делить скорость потока, если магнит-
ная индукция поля 5=0,01 гл, рассто-
янии между электродами d=2 см, из-
меренная разность потенциалов (7=
0,4 мВ.'
Рис. 2
Ответ:
V— — = 2 —.
dB сек
4. В ’равнобедренной пря-
моугольной стеклянной призме
,(рис. 3) основание АВ и боко-
вая грань ВС гладкие, а грань
АС — матовая. Призма стоит
на газете. Наблюдатель, смот-
рящий через грань ВС, видит
часть текста, находящегося под Л
основанием АВ, равную " —
=0,895 (по площади),
показатель преломления
ла?
Рис. 3
Ответ: п == 1,5;
> а—
Каков
стек-
,^(2а-1Г+1
(2а-1?
16.
Билет № 3
..* 1, В большом городе автомобиль вынужден часто останавли-
ваться у светофоров. Например: такси в Москве на каждые
100 км пробега совершает до 50 остановок. Допустим, что после ,
каждой остановки такси развивает скорость V = 72 км/час. Со-
противление движению автомобиля при этом мало зависит от
скорости и равно F=300 м. Во сколько раз расход бензина в
г. Л1оскве больше, чем на загородном маршруте, где остановки
практически отсутствуют? Масса такси М = 1,5 т, а К. П. Д. дви-
гателя не зависит от скорости.
Ответ: 1
лМУ2
2Л/
-2. В проточном калоримет-
ре исследуемый газ пропуска-
ют по трубопроводу и нагрева-
ют. его электронагревателем
(см. рис. 4). При этом измеря-
ют количество газа, пропуска-
емое через трубопровод в еди-
ницу времени, и температуру
газа перед и за электронагре-
вателем. Определить мощность
нагревателя, если при проду-
вании воздуха в. калориметре
температура за нагревателем
оказалась на .5 градусов выше, р
чем перед нагревателем. Рас- ис*
ход воздуха 720 кг/час. Считать, что все тепло, выделяемое элек*
тронагревателем, отдается газу. Теплоемкость воздуха при по«
сюянном объеме принять равно 21 дж/моль. К, молекулярную!
массу 29. Давление воздуха в трубопроводе принять неизменным*
Ответ: ^ — (Cv + R) kt gss 1 кет
3. Между пластинами плоского конденсатора расположена!
диэлектрическая пластина (е = 3), заполняющая весь объем конч
деисатора. Конденсатор через
сопротивление подключен к бач
тарее с постоянной Э.Д.С. Е=«
100 В (см. рис. 5). Пластину
быстро выдергивают, так, что
заряд на конденсаторе не успеч
вает измениться. Какая эпер«
гпя выделится в цепи в виде
1У
3 Зак. 838
джоулева тепла? Емкость пустого конденсатора С0= ЮО мкф.
Ответ: Q = (е»~ 1)3=2 дж. /
4. Расстояние по оси между предметом и его прямым изобра-
жением, даваемым тонкой линзой, равно 50 см. Увеличение
₽=2. Определить фокусное расстояние линзы.
Ответ: f = 100 см.
Билет № 4
1. Человек скатывается на санях под уклон, составляющий
угол а=30° с горизонтом. Масса человека М в два раза больше
массы саней т, коэффициент трения саней о поверхность склона
равен k=0,3. Как должен двигаться человек относительно саней,
.чтобы сани двигались под уклон равномерно?
Отв ет: Человек должен двигаться по саням вниз с ускорени-
ем а^3,5 м!сек2.
2. В цилиндре под легким поршнем находятся 58 г воздуха
при О°С. Внешнее давление равно 760 мм рт. ст. Какую работу
надо совершить, надавливая на поршень, чтобы изотермически
изменйть объем воздуха на 1%. Молекулярную массу воздуха
принять равной 29.
4
У к а з а н и е. При небольших изменениях объема 1)
воспользоваться приближенной формулой f 1 1 1----—
Ответ: А=—№¥=0,23 дж.
. 3. Конденсатор емкости С=0,04 мкф с помощью ключа (см,
рис. 6) периодически с частотой Л — 50 раз в секунду заряжается
18
от источника с Э.Д.С. Е==
100 В и внутренним сопротив-
лениёмг и разряжается через
сопротивление нагрузки R. Оп-
ределить мощность, выделяе-
мую в нагрузке R и К.ПД. та-
кого устройства. Считать, что
время замыкания контактов
ключа достаточно, чтобы кон-
денсатор успел полностью за-
рядиться (положение 1) и пол-
ностью разрядиться (положе-
ние 2).
Ответ: Г = = 10"2 вт., К.ПД.=0,5.
4. Для обращения изображения часто используют так назы-
ваемую призму Дове (см.
~ . 2^2п*-1
Од в е т: L —п — — ---
К 2и2 -1 -1
рис. 7), представляющую собой
усеченную прямоугольную рав-
нобедренную призму. Опреде-
лить длину основания призмы,
если ее высота "72=2,11 см, а
показатель преломления стек-
ла п = 1,41. Призма должна
оборачивать пучок максималь-
ного сечения и не содержать
«неработающего» стекла.
« 10 см.
Билет №5
1. а-частица, имеющая скорость 1000 м]сек, налетает на
атом углерода, который двигался до соударения в том же нап-
равлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой скоростью
перемещается центр масс соударяющихся атомов?
_ tncvc + т0 va
Ответ: V=---------------=625 «/сек.
тс + та
2. В цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, находится
з* ' ia
к >
Рис. 8
Рис. 9
разреженный газ, все молеку/
лы которого имеют равные по.
абсолютной величине скорости;
У=200 м/сек. Первоначально;
поршень находится на расстоД
ян!н1 /7 = 50 см от дна сосуда
(см. рис. 8). Затем его быстро, t
со скоростью (7=25 м/сек, сме-/-
3 •
щают направо на расстояние — Н. Определить, в каком пнтер- 7
О
вале будут находиться скорости молекул газа. Столкновения мо-
лекул со стенками и поршнем считать абсолютно упругими. '
Ответ: 100<У<200 м/сек.
3. Плоский воздушный, конденсатор с расстоянием между пла-
стинами d—2 см подключен к источнику с Э.Д.С. Е= 1000 В ,
[(рис. 9).
В середине конденсатора параллельно его
пластинам в на равном расстоянии от них рас-
положена металлическая заряженная плита
толщиной d1=-y- = 1 см. Заряд на плите
,Q = 10~9 кул. Предполагая, что пластины кон-
денсатора жестко скреплены, определить сум-
марную электростатическую силу, действую-
щую на конденсатор.
Ответ: F = —5^-=10 дну.
d — di
Л1
Рис. 10
- стояние между линзами А = 30
- 4. С помощью системы из
. двух тонких положительных
- линз рассматривают стену, на-
ходящуюся на расстоянии
«=100 м от передней линзы.
л Задний фокус первой линзы и
передний фокус второй линзы
совпадают (см. рис. 10). Рас/
см. Линейное увеличение системы
Р=1/2. В фокальной плоскости первой линзы установлена диаф-
рагма диаметром d=4 мм. Каковы размеры области на стене,
видимой через систему?
v а(1 ~Ь 1
Ответ: д =. --=1 м.
20
Билет № 6
1. При захвате нейтрона ядром Li6 происходит ядерная реак-
ци я
Т-\-Не*
в которой выделяется энергия Q=4,8 Мэв. Найти распределение
энергии между продуктами реакции, считая кинетическую энер-
гию исходных частиц пренебрежимо малой.
Ответ: Ет =-----—-----Q=2,74 Мэв.
тш+тт
ЕНе = 2,06 Мэв.
2. В герметичном сосуде объемом V = 11,2 л содержится воз-*
дух йод давлением р = 760 мм рт. ст. Какое количество тепла нё*
обходимо сообщить воздуху, чтобы давление в сосуде увеличи-
лось в 3 раза? Молярную теплоемкость воздуха при постоянном
объеме принять равной 21 дж/моль. К.
Ответ: -£(-£ - 1) =5470 дж.
(Ро, Vo — нормальные давление и объем).
3. Плоский воздушный конденсатор подключен через гальва-
нометр к источнику с постоян-
ной Э.Д.С. В конденсатор па-
раллельно его пластинам
вставлена металлическая заря-
женная плита, несущая заряд
Q = 2-10~8 кул. Геометрические
размеры, указаны на рис. 11.
При этом заряд конденсатора
оказался равным </=10~8 кул.
Какой заряд протекает через
гальванометр, если в результа-
те пробоя произойдет короткое
замыкание между плитой и
правой пластиной конденсато-
ра?
Ответ: Д<7 = 0. Рис. 11
4. Система тонких линз, положительной Лi и отрицательной
Л2 (рис. 12), имеет линейное увеличение 0 = 1/25. Задний фокус
линзы Лj совпадает с передним фокусом линзы Л2. Через эту си-
стему свет от звезды понадает на фотоприемник, расположенный
21
непосредственно за линзой Яг. Каков должен быть диаметр лин*
зы Л], чтобы была полностью засвечена чувствительная пло|
щадка фотоприемнпка, имеющая диаметр d=4 мм? |
Ответ: D-—=10 см.
Р
Билет № 7
М
1. Бусинке массы т = 1 г сообщают скорость 1/о=10 мУсекя
направленную вдоль горизонтальной спицы (см. рис. 13). По оба
стороны от бусинки на ту же синцу надеты две гири массьа
Л4 = 10кг. . 1
Бусинка поочередно упругой
отражается от них и приводит!
их в движение. Найти скорости
гирь после того, как столкно^
вения прекратятся, если
ние при движении всех
тел пренебрежимо мало.
тр<
тр«
Рис. 13
Ответ: « U2 ss 6 —
сек
^-^=0,1—.
сек
•Ji
2. В цилиндрической трубке^ заполненной кислородом, содер»?
жатся М =75 мг магния. Один конец трубки запаян, а другой!
опущен в сосуд с водой (рнс. 14). j
22
На какую высоту поднимется вода в
трубке, если весь магний окислится
(Mg-j-Oa->MgO). Объемом магния и его
окиси пренебречь. Внешнее давление
принять равным Ро=1О5 н/м2, температу-
ру /=27°С. Сечение трубки S= 4 см2. Мо-
лекулярная масса магния 24.
Указание. При решении задачи
давление водяного столба считать прене-
брежимо малым по сравнению с атмос- ®
ферным. Изменением уровня воды в со-
суде пренебречь.
tec
Рис. 15
Ответ: А = —- = 9,7 см.
2[х PQS .
3. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между
пластинами г/=3 см подключен к источ-
нику с Э.Д.С. Е=900 В. В конденсатор
параллельно его пластинам вставлена
металлическая заряженная плита тол-
щиной ^=-— = 1,5 см так, что зазоры
слева й справа от плиты оказцваются
одинаковыми (рис. 15). Заряд на плите
Q=10~9 кул. Определить электростати-
ческую силу, действующую иа плиту. ,
Ответ: F = ^S-=Q- 10~5 Н.
d~dx
4. Крупнейший в мире телескоп Специальной астрофизиче-
ской обсерватории Академии Наук СССР имеет фокусное рас-
стояние около 300 метров. Каков максимально допустимый угол
качания главного зеркала, обусловленный тряской фундамента
обсерватории, при котором еще полностью используется разре-
шающая способность пленки при фотографировании астрономш
ческих объектов. Пленка расположена в фокальной плоскости !
зеркала телескопа. Ее разрешающая способность 50 линий/мм.
Отв ет: -ф~7-10~8 рад.
Билет № 8
1. При слиянии дейтона с ядром Li6 происходит ядерная реак«
ция L^+d-^n+Be7, в которой выделяется энергия Q=3,37 Мэв.
Считая кинетическую энергию исходных частиц пренебрежимо
23
малой, найти распределение энергии между продуктами реак-
«ИИ. ’ •
Ответ: Е„ = 2,95 Мэв, ЕЬе=0,42 Мэв.
2. В герметичном сосуде объемом К=5,6 л содержится воздуз
при давлении Р=760лл рт. ст. Какое давление установится в со-
суде, если воздуху сообщить Q = 1430 дж тепла? Молярную тещ
лоемкость воздуха при постоянном объеме принять равно{
21 дж]молъ.К..
Ответ:
Рис. 16
Р /1 4- ~ 1520 мм fig.
Д 'cvVT )
3. Плоский воздушный кон
денсатор подключен чере;
гальванометр к источнику <
постоянной Э.Д.С. При этой
заряд на конденсаторе q=
10~9 кул. Параллельно пласти
нам вводится металлически]
заряженная плита, заряд кото
рой Q = 4-10-9 кул. Геометри
ческие размеры указаны н<
рис. 16. Какой заряд проте-
чет через гальванометр?
Ответ: Дд=10~9 кул.
- 4. Атом вещества с атом-,
ным весом А, жестко закреп-,
ленный в кристаллической ре*1
шетке, поглощает свет с часто--
той v. При какой частоте будет
наблюдаться поглощение в этом веществе, находящемся в газо-^
образном состоянии? Масса протона равна тр.
/1 > Av„ \
v=v0 1-------а—-1.
0 2Ат0 С3 /
лено к центру.
24
Рис. 17.
2. Запаянный сосуд с газом взвешен дважды — при темпера-
турах в помещении tj —0°С и /2 = 17°С. Различие в результатах
взвешивания оказалось равным Д/п«=0,1 г. Определить объем
сосуда. Взвешивания проводились при нормальном атмосферном
давлении. Тепловым расширением сосуда пренебречь.
' Ответ: а 1,3 л,(Vo = 22,4 л,/?г0=29).
то (1— Jilh)
3. По участку цепи пока-
занному на верхнем рис. 18,
протекает пульсирующий ток, в
результате чего напряжение
на сопротивлении /?2 периоди-
чески изменяется от нулевого
значения до значения Uo, как
показано на нижнем графике.
Определить среднее значение
напряжения на конденсаторе
С, если известно, что парамет-
ры схемы (/?[, /?2 и С) подоб-
р~аны' так, что это напряжение
практически можно считать по-
стоянным (мало изменяющим-
ся во времени).
Рис. 18 .
Ответ: Ux = 1 -.
J?2 (Ч + Ч)
4. Из стекла с показателем
преломления /г=1,5 изготовлена1
. линза с фокусным расстоянием f =—10 см. Затем на одну из:
сторон линзы наносят тонкий полупрозрачный слой серебра. С)
помощью такой линзы, одновременно получают два одинаковых!
’изображения предмета, причем размер изображений не зависим
от того, какой стороной к предмету обращена линза. Определит^
радиусы кривизны поверхностей линзы.
Ответ: Ri =—4 см., /?2 = 20 см.
Билет № 10
1. Гладкий диск радиуса R, плоскость которого горизонталь^
на, вращается вокруг своей оси. От поверхности диска отрыва^
ется небольшое тело, которое затем без" трения скользит по ди$
ску. На каком расстоянии от оси оторвалось тело, если за время|
пока оно соскользнуло с диска, диск сделал полный оборот?
Ответ: г=——— = 0,15/?.
У Зак. 838
25
-^гггттггггтггг^Ш^гггггггггтггг^
Рис. 19
2. В сосуде длиной 21=2
поршень соединен с днища*
пружинами жесткостью £
1493 н/м каждая (рис. 19). Вв
чале в сосуде вакуум, пружин
в ненапряженном состояни
На какое расстояние перем
стится поршень, если в одну ?
частей сосуда ввести 28 г-азота? Температура поддерживает)
равной Т=273°К.
3. Определить среднее значение напряжения на конденсат
ре С в схеме, показанной на
рис. 20, если параметры схемы
(сопротивления Ri, и R2 и ем-
кость С) подобраны такими,
.что при периодическом замы-
кании и размыкании ключа k
напряжение на конденсаторе
С практически не изменяется
(изменяется очень мало).
Ключ замыкает цепь на время
Ti и размыкает на время тг.
Э.Д.С. батареи Е.
Ответ:
Ц ;__ Е -С, /?1_
х~~
4. С помощью тонкой лип
зы получено изображение
очень маленького предмета^
(рис. 21). Толщина изображен
ния h' оказалась вчетверо боль-^
ше, чем толщина предмета fcj
Найти поперечное увеличение?
Каким будет изображение..—*
прямым или перевернутым?
Ответ: р = ±2.
Билет № 11
1. Обруч радиуса г скатил
ся без проскальзывания с гор
кп высоты h (см. рис. 22). Най
дпте скорость и ускорение точ
кп А обода' Трением пренеб
речь.
гу. h
Ответ: a=g — направ
лено к центру обруча.
2. Баллончик для приготовления газированной воды имеет
объем V=5 см3 и содержит углекислый газ под давлением
р = 15 атм. Можно ли на технических весах с точностью взвешп-:
ванйя 10 мг заметить разницу в весе полного и «пустого» баллон-
чиков?
3. По участку цепи, показан-
ному .на верхнем р'ис. 23, про-
текает пульсирующий ток, пе-
риодически изменяющийся от
нулевого значения до значения
/о, как показано на нижнем
графике. Параметры схемы
и R) подобраны так, что ток в
катушке индуктивности (а,
следовательно, и магнитный
поток) практически не изменя-
ется во времени (меняется
очень мало)..Определите сред-
нее значение этого тока.
О.твет: 1Х~1О —у— •
4. Из стекла с показателем преломления /г=,1,5 изготовлена
линза с фокусным равстоянием [ = 5 см. Затем на одну из сторон
линзы наносят тонкий слой серебра, пропускающий половину па-
дающего на него света, а половину отражающий. С помощью та-
кой линзы получают одновременно два одинаковых изображения
предмета, причем размер изображений не зависит от того, какой
стороной к предмету обращена линза. Определить радиусы кри-
визны поверхностей линзы.
Ответ: —2 см, =—Ю см. г
4*
27
-------------------------- -------------
Билет № 12 1
1. Гладкий диск радиуса R, плоскость которого горизонталь-!
на, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ш =40об/лшн.|
От поверхности диска на расстоянии R/2 от оси отрывается не-а
большое тело, которое затем, без трения скользит по диску. Че-1
рез какое время оно соскользнет с диска? ;
Ответ: t=2,5 сек. ;
2. Цилиндрический сосуд разделен на две части теплоизоли-
рующим поршнем, связанным с каждым днищем пружиной.;
Вначале азот, заполняющий левую часть сосуда, и гелий, запол-";
няющий правую часть, находятся при одинаковой температуре^
То. При этом поршень делит сосуд пополам, а обе пружины на-1
ходятся в ненапряженном состоянии. Когда азот нагрели до тем-.<
пературы Т\, он занял 3/4 сосуда. При какой температуре Тх -
азот займет 7/8 сосуда? Температура гелия поддерживается равч
ной То. ’ :
Ответ: Тх =-^-(7'1+ То).
4
. 3. На рисунке 24 показан про-
. стейший выпрямитель с иде-'
Ц-И 1 1 к: альным выпрямляющим эле-
I / ментом (при одном направле-
22.0 6,50 Щ । нии тока его сопротивление
j Т равно нулю, при другом — бес-
I I "Г конечно велико). Выпрямитель
подключен к сети переменного
Рис. 24 тока (7=220 В с частотой f = 50
герц. Определите, во сколько
изменится мощность, рассеиваемая на сопротивлении при замы
канин ключа k, если известно, что за период переменного тока
7=0,02 сек. конденсатор практически не успевает разряжаться
.через сопротивление. Какому условию должны подчиняться па-
раметры цепи?
О т в е т; Возрастет в 4 раза.
28
4. Две концентрические полусферы изготовлены из стекла ’с
различными показателями преломления (см. рис. 25). Построить'
Рис. 25
ход луча АВ, если отношение радиусов сфер равно отношению
показателей преломления.
Ответ: AB = CD.
------------ 1975 год---—------
--------- МАТЕМАТИКА -----‘----
Билет № 1
1. Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии на 2 больше суммы первых трех членов этой прогрессии. Сум-
ма первых шести членов равна 3. Найти S.
Ответ: S=4.
2. Решить уравнение _
ctg’x —tg3x=32 cos32x.
1
_ X . । IT TC.TE/I a, a • О
Ответ: x — + — ..x = — — ;fl=0, ±1, ±2,....
4 2 10 о
3. Катеты AB и AC прямоугольного треугольника расположе-
ны соответственно в гранях Р и Q острого двугранного угла вели-
чины <р. Катет АВ образует с ребром двугранного угла острый
угол а. Определить угол между этим ребром и катетом АС.
Ответ: arcctg(tga-costp).
4. Решить систему уравнений
• log2^ x+Jog^ у — log^ (х + у) —1, .
3 3 3
1оКз х ' 1о?з_ У + 1О££(х+У)=0. -
2 2 2
п / 3 1 \ I 1 . 3 V
' Ответ:
5. Площадь трапеции ABCD равна S, отношений оснований
AD: ВС<=3. На прямой, пересекающей продолжение основания
AD за точку, £>, расположен отрезок EF так, что AE\\DF, BE\\CF
Определить площадь треугольника EFD (найти все решения).
„ \ S 9 с
Ответ: —,—о.
4 20
Билет № 2
1. Сумма первых.трех .членов бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии равна 7, произведение этих членов'равно 8.
Найти сумму всех членов прогрессии,-
Ответ: 8.
2. Решить уравнение
tg 2х + ctg х=8 cos2 х.
Ответ: х = —4~т:п,х=(—1)п —4-—,и = 0, + 1, +-2,
3. Стороны 4В и АС равностороннего треугольника располо-
жены соответственно в гранях Р н Q острого двугранного угла
величины <р. Сторона АВ образует с ребром двугранного угла ост-
рый угол а. Определить угол между плоскостью АВС и гранью Q,
_ . 2 sin a- sin ф
Ответ: arcsin-----------.
УГз”
А- Решить систему уравнений
3.1og3x • Iog3y=log‘X-]-2 lOg2~x + 4>'.,
log t х • log , y=3 log2 —- log2, y.
—— — ил 4V ——
' 3 3 3 -3
Ответ: (16; 4),.
►
5. Площадь трапеции ABCD равна S, отношение оснований
AD: BC=2. Отрезок MN расположен так, что он параллелен ди-
агонали BD, пересекает диагональ АС, а отрезок AM параллелен
отрезку CN. Определить площадь четырехугольника AMND, ес-
ли- CN:AM = 3, BD:MN=6 (найти все решения).
~ 5 с S
Ответ: —о,-—.
24 8
31
/
Билет №. 3
1. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии на 1 больше суммы следующих трех членов
и на 6 меньше суммы всех членов. Найти сумму всех членов про-
грессии.
Ответ: 9.
2. Решить уравнение
о
sin22x2-tg2x=—cos 2х.
- 2
Ответ: х = х~ ± ~ + ~/г>/г = 0, ± 1, +2.
• 4 о
3. Катеты ДВ и ДС прямоугольного треугольника расположе- :•
ны соответственно в гранях Р и Q острого двугранного угла и об-
разуют с ребром этого двугранного угла острые углы а и р coot- J
ветственно. Определить величину двугранного угла. Т
• Ответ: arccos(ctga-ctgP).
4. Решить систему уравнений
’ log23 (х + У) + loSV (х ~ log 1 2х =
2 2 2
log2 (x-j-y) • log2 (х —у) —log2 2х = 0.
IT Т з
ГХ /. 1 \ Л. 1 \
Ответ: ---2~г
5. Площадь трапеции ABCD равна S, отношение оснований
rAD: ВС=3. На прямой, пересекающей отрезок AD, расположен
отрезок EF тйк, что AE\\DF, BE\\CF и DF: АЕ = ВЕ : CF = 2. Оп-
ределить площадь треугольника EFD (найти все решения).
О т в е т: — S, — S.
10 2
Билет № 4
1. Все члены бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии положительны. Сумма первых трех членов равна 39,’а сумма
обратных величин этих членов равна Найти сумму прогрес-
сии.
~ 81
Ответ: —. -
2
62
2.-Решить уравнение
sin 2х — tg x=2sin 4х.
Ответ: х=кп, х= ——V —,х=± arccos—J-----------kirn,
4 2 2/2
«=0, ± 1, ± 2, ....
3. Стороны АВ и АС равностороннего треугольника располо-
жены соответственно в гранях Р и Q острого двугранного угла.
Сторона АВ образует с ребром двугранного угла острый угол а.
Плоскость треугольника образует с гранью Q острый двугран-
ный угол величины р. Определить величину угла между граня-
ми Р и Q.
_ . КГ sin 3
Ответ: arcsin —--------.
2 sin а
4. Решить систему уравнений
logfx—31og2x • log2у4-2 о,
3(у — х)
log* У + 10ga У • 10g2 X - 3 10g2 = 0.
\У "Г
Ответ: М-; -j-V (1^2 ; 2 У~2 ).
\ 4 2 /
5. Площадь трапеции ABCD равна 3, отношение оснований
AD : ВС=3. Отрезок MN расположен так, что он параллелен сто-
роне CD, пересекает сторону АВ, а отрезок AM параллелен от-
резку BN. Определить площадь треугольника BNC, если
AM : BN = 3:2, MN: CD = 1:3 (найти все решения).
л 2 с 1 с
Ответ: —о, — о.
15 15
Билет № 5
1. Решить уравнение
-----sln 4*-=]/2 (sinx-{- cosx).
sin (х —
\ 4 /
те / 1\П4-1 те । те П
Ответа Х=—-—H«,x= (—1) +
4 1 AZ Z
П=0, + 1> ± 2,
g Зак, 838
33
2. Решить неравенство
logs х tog2 2х
loga 4х
<~~1б£<8х.
и
' — 6
Ответ: 0 < х < —, 2 5 < х < 2.
4
3. В параллелограмме ABCD острый угол BAD равен а. 'J
Пусть Oh Ог, Оз, О4 — центры окружностей, описанных соответ-
ственно около треугольников DAB, DAC, DBC, АВС. Определить
отношение площади четырехугольника О1О2ОзО4 к площади па- '
раллелограмма ABCD.
Ответ: ctg2a.
4. Три пешехода одновременно вышли в путь, каждый по сво-
ему маршруту. Через t часов второму пешеходу осталось идти в
полтора раза больше того, что прошел первый, а первому оста- |
лось идти втрое больше того, что прошел третий. Через 2t ча- 1
сов после выхода первому осталось идти вдвое меньше того, что 1
прошел второй, а третий пешеход прошел столько, сколько оста- s
лось идти первому и второму вместе. За.какое время первый и |
второй пешеходы прошли свои маршруты (скорость каждого пе- q
шехода постоянна). »
~ 13 , 11 , -i
Ответ: —г,—г.
4 5
5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания s
равна а, угол между апофемой и боковой гранью равен Оп«
ределить высоту пирамиды.
п аУб аУб
Ответ! •
г Билет № 6
1. Решить уравнение
cos Зх • tg5x=sin7x.
Ответ: х=7г-лг,х=п=0, ±1, ±2,....
34
2. Решить неравенство
iog3(3*-l) t
х — 1
Ответ: 0 <х < log3 -у, х > I.
3. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке
М, и угол между ними равен а. Пусть Оь Оъ Оз, О4 — центры
окружностей, описанных соответственно около треугольников
ABM, BCM, CDM, DAM. Определить отношение площадей четы-
рехугольников ABCD и OiOzOsOt.
Ответ: 2sin2a.
4. Два пешехода вышли одновременно: Первый — из Л в В,
второй — из В в Л. Когда расстояние между ними сократилось в
шесть раз, из В в Л выехал велосипедист. Первый пешеход ветре-
. 4
тился с ним в тот момент, когда второй прошел — расстояния
между В и Л. Велосипедист в пункт А и первый пешеход в пункт
В прибыли одновременно. Определить отношение скоростей пе-
шеходов к скорости велосипедиста, считая эти скорости постоян-
ными.
О т в ет: 1:2, 1:3.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD угол
между боковым ребром ВЛ и плоскостью основания ABCD равен
углу между ребром ВЛ и плоскостью грани SBC.- Определить
этот угол.
Ответ: arc cos 1/
Билет № 7
1. Решить уравнение
cos2 2х „к
---------------------------- COS X— cos —.
it------------4
COS X + COS—
4
Отйет: x= ± ~ 4-2*«, x==± -J-irn, n-=0, ± 1, ± 2,
4 о
6*
35
2. Решить неравенство
log3x-log39x <31Qg 27
log3 Зх x
_ 9_
Ответ: 0 < x < 3 7, < x < 3.
«5
3. В четырехугольнике ABCD острый угол между диагоналя-
ми равен а. Через каждую вершину проведена прямая, перпенди-
кулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Определить
отношение площади четырехугольника, ограниченного этими пря-
мыми, к площади четырехугольника ABCD.
Ответ: 2ctg2 * *a.
4. Три насоса одновременно начали выкачивать воду, каждый
из своего резервуара. Когда третий насос опорожнил a-ю часть
л И
объема своего резервуара (a< —I, второму оставалось качать
столько, сколько выкачал первый; когда третьему оставалось
опорожнить (1—а)-ю часть объема, первому оставалось столько,-
сколько выкачал второй. Первый насос опорожняет второй резер-
вуар за то же время, за какое второй насос опорожняет первый
резервуар. Какой из насосов работал дольше'других и во сколько
раз (производительность каждого насоса постоянна)? Исследо-
вать зависимость решения от величины а.
Ответ: Пусть (i=l, 2, 3)Z- время опорожнения i-м пасо-
мом своего резервуара. Тогда ТХ>Т^>Т2, причем
7?7?Л = (1 + 1/«):1:а(1 +/Q если a <-?-~/5-
a 1 — a Z
2
5. Через боковое ребро SC правильной треугольной пирамиды
SABC проведена плоскость, параллельная стороне АВ основа-
ния. Боковое ребро ЗЛ образует с этой плоскостью угол, равный
- И2
arcsin-----
3
Определить угол между боковым ребром и плоско-
стью основания пирамиды.
Ответ? 1)"arcsin
- z \ У
J-itn 1, п—0,1.
36
Билет № 8
1. Решить уравнение
sinx • ctg3x=cos 5х.
Ответ: х=-^-|-ял, х=-^-|-у,л=О,± 1, ± 2,...
2. Решить неравенство
logs (3 • У-1 - 1) > L
' X
Ответ: log3 -|- < х < 0, х > 1.
3. В Параллелограмме ABCD угол BAD равен а. Пусть О —
произвольная точка внутри параллелограмма, О,, Ог, Оз, О4 —
точки, симметричные точке О относительно прямых АВ, ВС, CD,
AD соответственно. Определить отношение площади . четырех-
угольника О1О^О3О4 к площади параллелограмма.
Ответ: 2sin2a.
4. Два пешехода вышли одновременно: первый из А в В, вто-
рой — из В в А. В момент их встречи из В в А вышел третий пе-
шеход. Когда он прошел -i- часть пути от В до А, первому пе-
6
шеходу оставалось идти вдвое меньше того, что прошел второй. В
пункт А второй и третий пешеходы прибыли одновременно. Опре-
делить отношение скоростей пешеходов, считая эти скорости по-
стоянными.
Ответ: 9:6:10.
5. В правильной четырехугольной‘пирамиде SABCD боковое
ребро ЗЛ и диагональ BD основания, образуют равные углы с
плоскостью боковой грани SBC. Определить угол между ребром
ЗЛ и плоскостью SBC.
f.
Ответ': arcsin 1/
Билет № 9
1. Решить уравнение
д'023'1-2*’ = 5х'!-5.
Ответ: х = —2 —j/'lO.
37
2. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Пло-
щадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна
площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Оп-
ределить угол в осевом сечении конуса.
Ответ: arc cos (j/~5 — 2).
3. Бассейн был наполнен несколькими насосами, которые
включались один за другим через некоторые промежутки време-
ни. Большую часть времени насосы работали все вместе и вторую
половину бассейна наполнили на’г! часов быстрее первой. На ?
сколько быстрее будет заполнен бассейн, если промежутки меж-
ду включениями насосов уменьшить в п раз при той же последо-
вательности включения (производительность каждого насоса по- •
стоянка)?
Ответ: —— t.
п — 1
4. Через вершины А и С треугольника АВС проведена окруж-;
ность К, центр которой лежит на окружности, описанной около
треугольника АВС. Окружность К пересекает продолжение сто-
роны В А (за точку А) в точке М. Найти угол ВСА, если,
МА :ДВ = 2:5, a Z.ABC =arcsin —. '
5
Ответ:—.
4
5. Найти все общие корни уравнений
2 cos ——--R4 cos тс х 4-1=0,
х
2 cos — 4-2sinTCX—2 cos тсх— 1 =0.
X
' Л 3 „ 15
Ответ: х—------—, ---%"
« Билет № 10
1. Решить уравнение
<OJ з (3-5х)
3 —8х3 / 2 \ 2
1 + Зх \ 3 / 2 ’
Ответ: х = —2—j/*7.
38
2. Две сферы с центрами О] и О2 пересечены плоскостью Pt
перпендикулярной отрезку О]О2 и проходящей через его середи-
ну, Плоскость Р делит площадь поверхности первой сферы в от-
ношении т: 1, а площадь поверхности второй сферы в отношении
п : 1 (m>l, n> 1). Найти отношение радиусов этих сфер.
3. Бассейн был наполнен несколькими насосами одинаковой
производительности, которые включались один за другим через
равные промежутки времени. Последний насос перекачал V л во-
ды. Сколько воды перекачал первый насос, если известно, что
при уменьшении производительности каждого насоса на 10%’
(при таких же промежутках между включениями) время напол-
нения увеличится на 10%?
О т в е т: V.
4
4. В треугольнике АВС угол АВС равен а, угол ВСА равен
2а. Окружность, проходящая через точки Л, С и центр описанной
около треугольника АВС окружности, пересекает сторону АВ в
точке М. Определить отношение AM к АВ.
„ 1
Ответ: -—— .
4 cos3 а
5. Найти все общие корни уравнений
sin — — cos — — 2 cos 5it x—0,
X X
1/” 3 sin lOitx — 3 cos 10 л x—sin —=0.
*
2 11
Ответ: x——— ,x=— — ,x = —.
О 10 Q
Билет №11
1. Решись уравнение
4lO22(1“^==2x3-f-2x-5.
Ответ: x=—2 —
2. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Пло-
щадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса, равна нло-
. " 39
щади основания конуса. Определить угол в осевом сечении кону-
са.
Ответ:
arc cos (/5-2).
3. Бассейн наполнялся несколькими насосами одинаково®
производительности, которые включались один за другим через
равные промежутки времени. К моменту включения последнего
насоса была заполнена — часть бассейна. В другой раз при на-
полпенни этого бассейна производительность каждого насоса бы-
ла уменьшена на 10%, а промежутки между включениями оста-
лись прежними. Какую часть бассейна наполнят насосы в этот
раз за первую половину всего времени работы?
„ 17
Ответ: —. ,
40
4. Через вершины А "и С треугольника АВС проведена окружи
ность К, центр которой лежит на окружности, описанной около
треугольника АВС. Окружность К пересекает сторону АВ в точ-
ке М. Найти угол ВАС, если AM : АВ = 2:7, a Z4BC=arcsin —*
J . . 5
Ответ: —
4
5. Найти все общие корни уравнений
, о . 14 л 1 п
• cos л х 4- 2 sin--=0,
х 2
. лх 14л . 14г. , 1 А
sin ——cos-------sin-------= 0.
2 х х 2
„ 1 7
Ответ: х = —х —--------—.
и
Билет № 12
1. Решить уравнение
log 4 (6-5x1
4 —Зх; /_3\ 3 а= j
х + 2 \ 4 )
г Ответ: х = ~ 1 — 1^5.
40
2. Две сферы пересечены плоскостью, параллельной их линии
центров. Эта плоскость делит площадь поверхности одной сферы
в отношении т: 1, а площадь поверхности другой — в отношении
п : 1 (т>1, п>1). Найти отношение радиусов сфер.
(>я 4-1) (п — 1) .
(п + 1)(/я — 1)
Ответ:
3. Бассейн был наполнен водой несколькими насосами одина-
ковой производительности, которые включались в работу одни за
другим через равные промежутки времени. Первый насос перека-
чал на V л больше последнего. Если промежутки времени между
включениями насосов уменьшить втрое, то время наполнения
уменьшится на 10 % • Какой объем воды перекачает каждый на-
сос при наполнении бассейна, если одновременно включить все
насосы?
17 v
Ответ: — V.
6
4. В треугольнике АВС угол ВСА равен а, а угол АВС равен
2а. Окружность, проходящая через точки А, С и центр описанной
около треугольника АВС окружности, пересекает продолжение
стороны АВ (за точку Л) в точке М. Определить отношение AM
к АВ.
„ 1
Ответ: -----—.
2 COS 2а
5. Найти все общие корни уравнений
5 те
sin 5-я х 4- cos 5 к x 4- 2 sin —=0,
4x
Ответ:
l/^sin — 4-3 cos —4-sin40ttx=0.
r 2x 2x
15 3 -3
----, x=-----, x =-.
2 0 2
ФИЗИКА
Билет №.l
1. Однородная палочка, концы которой могут скользить без
трения по горизонтальной плоскости и вертикальной стенке дву-
гранного угла, удерживается в положении равновесия натяжени-
ем нити, закрепленной в вершине угла и наклоненной к горизон-
0 Зак. 838 41
тальной плоскости под углом р. Палочка наклонена к горизон-
тальной плоскости под углом а. Найти натяжение нити Т, если
вес палочки равен Р.
„ „ Р COS а _ $
Ответ: Т = --- ---- .4
2 Sin (а -*• ₽)
2. Одной из причин понижения температуры в атмосфере с «
высотой является расширение воздуха в восходящих потоках без ж
теплообмена с окружающей средой. Считая воздух идеальным га- Ж
зом, найти понижение температуры на каждые 100 м высоты.
При расчете изменением давления в атмосфере на 100 м высоты
пренебречь. Молярную темплоемкость воздуха при постоянном.
объеме принять равной Cv=21 ^оль Молекулярную мао W
су воздуха считать равной 29.
Ответ: ДГ«—ГС.
3. Имеется нелинейный проводник, для которого не выполни- .W
ется закон Ома и сила тока 7 связана с приложенным напряже- Ж
нием V соотношением 7=0,01 V2 (7 — в амперах, V — в вольтах), g
Этот проводник последовательно с сопротивлением R = 100 ом w
подключен к батарее с электродвижущей силой Е= 15,75 вольта.
Пренебрегая внутренним сопротивлением батареи, найти джоу- 3®
лево тепло, выделяющееся на нелинейном проводнике. 3g
Ответ: W=0,43 вт. Ж
4. Две одинаковые прямоугольные призмы с углом при верши-.
не <р имеют несколько отличаю* Ж
щпеся показатели преломле-;®
иия. Призмы приложены друг.»
к другу своими гипотенузны-^^
ми гранями (см. рис. 26). При Ж
освещении системы пучком све-.Ж
та, падающим нормально на Ж
переднюю грань, оказалось, что Ж
выходящий пучок отклонился Ж
Рис- 26 от первоначального направле-
ния распространения на угол а. Найти разность показателей пре- Й
ломления Ди. Углы ф и « считать достаточно малыми, так что си- J
нусы и тангенсы этихугловприблвжепно можно заменять самими *
углами. '
Ответ: Дл=и,
а
Ф
42
Билет № 2
1. На какое максимальное расстояние от Солнца удаляется
комета Галлея? Период обращения ее вокруг Солнца равен 76 го-
дам, минимальное расстояние, на котором она проходит от Солн-
ца равно 1.8-10® км. Радиус орбиты Земли равен 1,5-10® км.
Ответ: rma)i s5,2 • 109 км.
2. В расположенном горизонтально теплоизолированном ци-.
линдре может перемещаться поршень, слева от которого нахо^
дится идеальный газ, а справа
— вакуум (рис. 27). Между
поршнем н дном цилиндра
расположена пружина. В на-
чальный момент поршень за-
креплен, а пружина находит-,
ся в недеформированном со-
стоянии. Затем поршень осво-
бождают. После установления
равновесия объем, занимаемый рпс 27
газом, оказался в 2 раза боль-
ше начального, а температура равной 10/11 от началь-
ной. Определить молярную темплоемкость газа при постоянном
объеме С*. Универсальная газовая постоянная R—мол^град
Ответ: Со=5/?/2 =±21 дж/м град.
Рис. 28
3. В одно из плеч моста Уит-
стона включено нелинейное со-
противление, для которого за-
кон Ома не справедлив, и зави-
симость тока I (в амперах) от
приложенного напряжения Vl
(в вольтах) имеет вид / =
0,01 И3. В остальные плечи мо-
ста включены одинаковые соп-
ротивления R = 4 ома (рис. 28),
При каком токе через батарею
мост окажется сбалансирован-
ным?
Ответ: /И(:т=2,5а.
- 4. С помощью положительной линзы с фокусным,расстоянием
F получено объёмное действительное изображение кубика, ребра
которого, имеющие длину I, сделаны из тонкой проволоки. Изо-
е- 43
Сражение ближней к линзе грани кубика находится на расстоя-
нии 2F от линзы. Найти объем полученного изображения.
Ответ:
J_Z3_t_ri4__£_+_ZL_l
3 ЛЧ-zL F + l (F + 03 J
Билет Я» 3
1. Лестница длиной Л = 3 м стоит упираясь верхним закруглен- .
ным концом в гладкую стену, а нижним — в пол. Угол наклона
лестницы а=60°, ее масса /п=15 кг. На лестнице на расстоянии ?
а — 1 м от ее верхнего конца стоит человек весом Р=60 кГ. Опре-
делить, с какой силой давит на пол нижний конец лестницы, и как •
направлена эта сила.
Ответ: Л=60 кГ, р=20°.
2. Два сосуда заполнены одинаковым газом и сообщаются
при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов
п= (У|/И2) =2. Первоначально газ в большем из сосудов имел
температуру T'i=300°K. В результате перемешивания пронсхо- ?
дпт выравнивание температур. Найти первоначальную темпера- .
туру газа во втором сосуде, если конечная температура Т'=350°К.
Теплообменом со стенками пренебречь. ?
Ответ: 72=:525ОК.
3. В схеме, изображенной на рис. 29, батарея Е2 имеет электро- j 4
движущую силу 4 вольта, con- J»'
ротивлеиие /? = 50 ом. В схеме Ж
имеется нелинейный провод-
ник X, для которого закон Ома
не выполняется и сила тока I
связана с приложенным напря- В
жением V соотношением ®
/ — 0,02V2 (/ — в амперах, V— Ж
в вольтах). 'Ц
Схема сбалансирована, то ж
есть гальванометр Г дает нуле- ж
вое показание. Определить 'я|
мощность, развиваемую бата- ”
реей Е|, пренебрегая ее внут-
ренним сопротивлением. $
Ответ: 1^бат.^8,3 вт.
4. Для определения показателя преломления жидкости ее по-
дмешают в кювету, имеющую вид равнобедренной призмы с углом
при вершине ф. Призма освещается параллельным пучком света
44
таким образом, что лучи внутри жидкости идут параллельно ос-
нованию, Оказалось, что угол отклонения вышедшего пучка ог
первоначального направления распространения равен S. Найти
показатель преломления жидкости.
. <р + s
Sin
Ответ: и — —:.
sin ср/2
Билет № 4
1. Один из спутников Юпитера движется по орбите радиусом
/?1=4,22- 10s км и совершает полный оборот за 7\ = 1,77 дня. Во
сколько раз масса Юпитера больше массы Земли? Известно, что
Луна движется по орбите радиуса R2—3;8-105 км с периодом
Т2 = 27,3 дня.
О т в е т: Мю'/М3=320.
2. В расположенном вертикально эвакуированном теплоизо-
лированном цилиндре может перемещаться массивный поршень.
В начальный момент поршень закрепляют и нижнюю часть ци-
линдра заполняют идеальным газом. Затем поршень освобож-
дается. После установления равновесия объем, занимаемый га-
зом, оказался в 2 раза меньше первоначального. Во сколько раз
изменилась температура газа? Молярную теплоемкость газа при
постоянном . объеме С» принять равной — R, где R — уни-
версальная газовая постоянная.
„ Ti 5
Ответ: .
7\ 3
3. На рис. 30 изображена схема мостика Уитстона, в которой
R = 5 ом, Г1—2 ома, г2=4 ома, а X —
нелинейное сопротивление, для кото-
рого не выполняется закон Ома и сила
тока / пропорциональна квадрату при-
ложенного напряж-ения: 1—aV2. Опре-
делить коэффициент пропорционально-
сти а, если известно, что мостик ока-
зывается сбалансированным при нап-
ряжении внешней батареи £ = 12 вольт.
Ответ: а =0,0125—^.
аллып*
45
4. С помощью отрицательной линзы с фокусным расстоянием
F получено изображение па*
раллелепипеда длиной l—Fi,
ребра которого сделаны из
тонкой проволоки. Основание
параллелепипеда — небольшой
квадрат со стороной а. Одним
из оснований параллелепипед
прижат к поверхности линзы
(см. рисунок 31). Найти объем
полученного изображения.
Ответ: У= — Fa\
24
Билет № 5
1. На высоте h—2 м над широким сосудом открывают на
tv=2 сек. кран, из которого вниз бьет струя «воды с расходом
<7=200 г]сек. Площадь отверстия крана 5=1 см. Найти измене-
ние силы давления сосуда на подставку и нарисовать график
этой силы, как функцию времени. Вода из сосуда не вытекает.
Ответ: см. рис. 32.
Рис. 32
46
2. Газовый термометр представляет собой измерительный
.баллон объемом 1Л = 100 см3, соединенный тонкой трубкой с ма-
нометром, объем рабочего пространства которого К2=10 с.и3.
Термометр заполнен изотопом гелия —Не3. При температуре
/=27°С манометр показывает давление Ро=ЗОО,лглг рт. ст. Изме-
рительный объем погружают в жидкий гелий. Найти температу-
ру жидкого гелия, если манометр показывает давление Р = 3,3
мм рт. ст. Манометр остается при комнатной температуре.
Ответ: Т^З°К.
3. Сферический конденсатор имеет емкость С = 10~10 фарады.
Конденсатор заполняется слабопроводящей жидкостью с удель-
ным сопротивлением q=104 ом-метр. Найти электрическое соп^
ротивлеНйе между обкладками конденсатора. Электрическая по-
стоянная ео=8,85-10~12 (единиц СИ).
Ответ; R = 885 ом. '
4. Плосковыпуклая толстая линза (см. рисунок 33) с радиусом
кривизны выпуклой , части
R = 2.5 см изготовлена из стек-
ла с показателем преломления _______
п = 1,5. Где находится фокус ________
такой линзы? Углы преломле- ------ - -
ния считать малыми, так что
их тангенсы можно прнбли-
женно заменить синусами.
5
Ответ: X— — см от зад-
О
ней грани.
---5см
Рис. 33
Билет № 6
1. Третья ступень ракеты состоит пз ракеты-носителя массой
М = 50 кг и головного защитного конуса массой т = 10 кг. Конус
сбрасывается вперед сжатой пружиной. При испытаниях на Зем-
ле с закрепленной ракетой пружина сообщала конусу скорость
V =5,1 м/сек. Какова будет относительная скорость конуса и ра-
кеты, если их разделение произойдет на орбите?
Ответ: Кк=4,6 м/сек.’, КОтн. = 5.5 м/сек. .
2. Воздушный резиновый шарик надувают в комнате ртом при
температуре 22°С. Насколько изменится объем шарика, если вы-
нести его на улицу, где температура 1°С. Считать, что водяной
пар в воздушном шарике находится в насыщенном состоянии.
47
Давление насыщенного пара при температуре 22°С —
20 мм рт. ст., при температуре 1°С — 5 ло: рт. ст. Внешнее давле-
ние 760 мм рт. ст. Давлением резиновых стенок шарика пренеб-
речь.
Ответ: УЦУ\—0,91.
3. Пробой в воздухе наступает в электрическом поле с напря-
женностью Етах = 3-104 вольт/см. Имеется сферический конден-
сатор с воздушным зазором, наружная оболочка которого имеет
радиус Р=4 см., а радиус внутренней оболочки подбирается та-
ким, чтобы конденсатор не пробивался при возможно большем
значении разности потенциалов. Определите эту максимальную
разность потенциалов.
Ответ: A<pmax=3-104 вольт.
4Л Две тонкие плосковыпуклые линзы, будучи сложены пло-
скими сторонами, образуют лннзу'с фокусным расстоянием Ft.
Найти фокусное расстояние F2 линзы, которая получится, если
сложить эти линзы выпуклыми сторонами, а пространство меж-
ду ними заполнить водой. Показатель преломления стекла
п=1,66, воды — пв =1,33.
। Ответ: F2=2Fi.
Билет № 7
1. Над широким сосудом, уравновешенным иа весах, на время
/ = 5 сек открывают кран, расположенный на высоте Я=0,5 м
над сосудом. Весы показали максимальное увеличение веса со-
суда на Pj —1,65 кГ, а после того, как кран закрыли и все успо-
коилось, на Рг=1,5 кГ. Определите, с какой скоростью вода вы-,
текала из крана.
Ответ: Vo=3,7 м/сек.
2. Газовый термометр представляет собой измерительный
баллон объемом Vi=0,l л, соединенный тонкой трубкой с мано-
метром, объем рабочего пространства которого И2=0,02 л. Тер-
мометр заполнен водородом. При температуре /]=27°С манометр
показывает давление Pi =200 мм рт. ст. Измерительный объем
погружают в жидкий азот, температура которого t2=—196°С;
Определить показание манометра. Манометр остается при ком-
натной температуре.
О т-в е т: р—58,7 мм рт. ст.
3. Внутренняя обкладка сферического конденсатора, имею-
щая радиус г = 2 см, окружена сферическим слоем диэлектрика |
48 -
проницаемостью е = 2. Внешний радиус диэлектрического слоя
/? = 4 см. Остальная часть конденсатора заполнена воздухом. Оп-
ределить, какой максимальный заряд можно сообщить такому
конденсатору, если электрическая прочность воздуха и диэлек-
трика одинаковы п равны £'тах=30 кв/см. Электрическая посто-
янная Ео = 8,85-10-12 (единиц СИ).
Примечание. Электрической прочностью принято назы-
вать напряженность электрического поля, при которой происхо-
дит пробой диэлектрика.
Ответ: Qmax = 2,7-10*7 к.
4. Плосковогпутая толстая линза толщиной Z = 6 см (см. ри-
сунок 34) с радиусом кривизны вогнутой части Д = 3 см изготов-
лена из стекла с показателем
преломления п=1,5. На каком
расстоянии от плоской поверх-
ности находится фокус такой
линзы? Углы преломления счи-
тать малыми, так что их тан-
генсы можно приближенно за-
менить синусами.
Рис. 34
Ответ: Х — 4 см от задней грани.
Билет № 8
1. Станина с укрепленной на ней пушкой начинает соскальзы-
вать с наклонной плоскости, имеющей угол наклона а. Коэффи-
циент трения равен к. В момент времени t из пушки производит-
ся выстрел в направлении, перпендикулярном наклонной пло-
скости. Определить, чему должна быть равна начальная скорость
снаряда, чтобы произошла кратковременная остановка пушки?
Масса снаряда т, станины с пушкой М, причем
Ответ: Успар. > — gt cosa/-^p-— 1V
н т \ k ]
2. Воздух, выдыхаемый человеком, содержит такое количество
влаги, что при температуре 22°С водяной пар в нем становится
насыщенным. Воздушный шарик надувают в комнате ртом при
температуре 22°С. Какая доля водяного пара, содержащегося в
шарике, сконденсируется, если шарик вынести на улицу, где тем-
пература воздуха 1°С. Внешнее давление 760 мм рт. ст. Давле-
ние насыщенных паров воды при Температуре 22°С—20 мм рт. ст.,
а при ГС — 5 мм рт. ст. Давлением стенок шарика пренебречь.
Ответ; =0,245.
49
3. Сферический конденсатор с воздушным зазором имеет обо-
лочка радиусов г—3 см и R — 9 см. При подключении этого кон-
денсатора к источнику высокого напряжения, он пробивается пни
разности потенциалов (7 = 40 кв. Определите - электрйчесцую
прочность воздуха в условиях опыта. '
Примечание. Электрической прочностью называют напря-
женность электрического поля, при которой происходит пробой
в диэлектрике.
Ответ: fmax=20 кв/см.
‘ 4. Две тонкие плосковогиутые линзы, будучи сложены плоски-
ми сторонами, образуют линзу с фокусным расстоянием F. Найти
фокусное расстояние линзы, которая получится, если сложить
эти линзы вогнутыми сторонами, а пространство между ними за-
полнить водой. Показатель преломления стекла п = 1,66, воды —•
пв = 1,33.
Ответ: F2 = 2Fl.
Билет № 9
1. Тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити длиной
Z=1 м, отклоняют от’вертикали на 90° и затем толчком отпуска-
ют с некоторой начальной скоростью Vo. Нить обрывается в мо-
мент, когда она составляет с вертикалью угол а = 60°. Найти ско-
рость Vo, если известно, что при движении шарика без толчка
нить обрывается в нижней точке траектории?
Ответ: Vo^3,8 м/сек.
2. Два .сообщающихся сосуда заполнены до высоты h жидко-
стью с плотностью q. Правый сосуд имеет постоянное сечение S,
а левый сосуд до уровня h име-
ет сечение 2S, а выше этого
уровпя — S (см. рис. 35).
«•— Температура жидкости в пра-
вом сосуде поддерживается не-
изменной. В левом сосуде
те?лпературу
величину т.
вый уровень жидкости в ира-
, вом сосуде. Коэффициент объ-
емного расширения жидкости
0 Расширением сосудов и объ-
емом соединительной трубки
Рис. 35
S
на
В левом
повысили
Определить но-
50
енебречь. Поверхностное натяжение не учитывать.
Ответ:
3. Пылинка массы /п=1О-10 г падает между вертикальными
пластинами плоского Конденсатора на одинаковом расстоянии от
них. Из-за сонротивлёния воздуха скорость пылинки постоянна и
равна К=0,1 см/сек. Конденсатор подключают к источнику вы-
сокого напряжения (7=490 вольт, и через время /=10 сек пылин-
ка достигает одной из пластин. Определить заряд пылинки. Рас-,
стояние между пластинами конденсатора d=\ см. Силу сопро-
тивления считать пропорциональной скорости пылинки.
Ответ: q= 10 17k
4. На биссектрисе бизеркала, угол раствора которого 120°, по-
мещен точечный источник света.
В местах пересечения нормалей,
опущенных из точки расположе-
ния источника на зеркальные
плоскости, помещены два малых
экрана А и Б. Экран А располо-
жен перпендикулярно поверхно-
сти зеркала, а экран Б — в пло-
скости зеркала (см. рисунок 36).
Определить отношение осве-
щенностей экранов А и Б.
Ответ: ——.
3
Билет № 10
1. Чтобы пассажиры .самолетов не .испытывали неприятных
ощущений, их вес в полете не должен увеличиваться более, чем
вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете
допускает это условие?
Ответ: a=g|/T.
2. Какое количество тепла необходимо подвести молю иде-
ального газа при нагревании его на 1°С в тепловом процессе, в
котором давление р и объем газа V связаны соотношением
p=aV, где а — некоторая постоянная. Молярную теплоемкость
51
газа при постоянном объеме принять равной ~ R (R — универа
сальная газовая постоянная). ' ’
Ответ: Д Q— ^Си4- Д/ =; 25 дж.
3. Какова максимальная сила взаимодействия между двумя
протонами с энергией №==106 электронвольт, летящими во .»
встречных пучках? Электрическая постоянная ео=8,85-Ю-18
(единиц СИ). . • ।
Примечание. Потенциал поля точечного заряда q выра-
жается соотношением <р = —-—• —, где г—расстояние до
4ite0 Г
заряда.
Ответ: F^45 'кГ.
4. Две тонкие положительные линзы с фокусными расстояни-
ями fi и fi расположены на одной оси. С помощью'этой системы
линз получают изображение предмета, причем оказалось, что
размер изображения не зависит от расстояния от предмета до
системы линз.
Найти расстояние I между линзами.
Ответ: Z=fi4-f2 система телескопическая.
. Билет №11
1. Шарик массой т = 1 кг подвешивают на тонкой нити, от-
клоняют нить от вертикали на 90° и отпускают толчком, сообщая
шарику некоторую начальную скорость. Нить обрывается, когда .
она составляет с вертикалью угол а = 30°. Если повторить опыт,
подвесив шарик на сдвоенной нити такой же длины и сообщив
ему тот же начальный толчок, нить обрывается в нижней точке
траектории. Определить прочность нити.
Ответ: 7^8,6 н.
2. Два сообщающихся сосуда заполнены до высоты Л жидко-
стью с плотностью р. Правый сосуд имеет постоянное сечение^,
52
левый сосуд до уровня h имеет
сечение S/2, а выше этого уров-
ня— S (см. рис. 37). Темпера-
тура жидкости в правом сосу-
де поддерживается неизмен-
ной. В левом сосуде температу-
ру повысили
Определить
жидкости в правом сосуде.
Коэффициент объемного рас-
ширения жидкости р. Расши-
рением сосудов и объемом соединительной трубки пренебречь.
Поверхностное натяжение не учитывать.
на величину т.
новый уровень
Рис. 37
Ответ: hx=h(\ —
3. Внутри незаряженного плоского конденсатора, пластины
г которого расположены горизонтально на расстоянии d = l см
друг от друга, находится пылинка. Вследствие сопротивления
воздуха пылинка падает с постоянной скоростью так, что путь от
верхней пластины до нижней она проходит за время t =10 сек!
Когда пылинка находится у нижней пластины, на конденсатор
подается напряжение U=980 вольт. Через время 7=5 сек после
этого пылинка достигает верхней пластины. Считая силу сопро-
тивления' пропорциональной скорости, определите отношение за-
ряда пылинки к ее массе.
Отвёт: JL = 3.
'т. ' кг
4. Под поверхностью воды помещены два точечных источника
света Si и S2. Источник S| находится на глубине /7 под поверх-
ностью воды, а источник S2— вблизи поверхности, на глубине, го-
раздо меньшей И. Расстояние между источниками по горизонта-
ли равно 4/7. В вертикальной плоскости, содержащей оба источ-
ника, на глубине /7 на расстоянии 8/ЗН от источника S;, помеще-
на небольшая матовая пластинка А. Пластинка расположена в
вертикальной плоскости, нормаль к поверхности пластинки нап-
равлена на источник Оказалось, что освещенность обеих сто-
рон пластинки одинакова. Определить отношение сил света
источников Itjl2. Показатель преломления воды 1,33. Поглощение
в воде не учитывать.
Ответ: — 2,7.
41
53
!
Билет № 12
1. Длина взлетной полосы самолета L — 1 км, скорость при
взлете V=200 км/час. Какую перегрузку испытывает пассажир в
этом самолете, если разгон происходит равномерно?
Ответ: 1,02 mg.
2. В закрытом баке объемом ^=10 л содержится небольшое
количество бензина (то=О,1 г). Вычислить давление в баке пос-
ле быстрого сгорания бензина, если первоначальное давление-и
температура в баке равны соответственно 1 атм и 300°К. Тепло-
емкость газов в баке после сгорания 5 кал/моль-град. Теплотвор-
ная способность бензина ^=104 кал/г. Универсальная газовая по-
стоянная
/?=2
кал
моль град
Ответ: р~2,7 ат.
ь
О
3. В устройстве для определения изотопного состава (масс-
спектрографе) однозарядные ионы калия с атомными весами
Ц1=39 и ц2=41 сначала ускоряются в электрическом поле, а за-
тем попадают в однородное магнитное поле, перпендикулярное
направлению их движения (см. рис,
I 38). В процессе опыта из-за несовер-
/л шенства аппаратуры ускоряющий по-
тенциал меняется около среднего зна-
чения Uo на величину ±Д(/. С какой .
относительной точностью (&U/UQ)
нужно поддерживать значение ускоря-
ющего потенциала, чтобы пучки изото-
пов калия не перекрывались?
1-^
Ответ: ------—
и0-
I I
0
О
Г»1
т5
Рис. 38
4. Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки сущест-
венно больше диаметра кднала. Показатель преломления стекла
п=4/3. Видимый через боковую поверхность трубки диаметр ка-
нала d=2,66 мм. Определить истинный диаметр канала.
Ответ: d&2 мм.
1974 год
-------- МАТЕМАТИКА --------
Билет № 1
1. Решить уравнение
log3 (log2 х — 9)=2 4- log3 (1—4 log.v 4).
Ответ: x==2i2.
2. Решить уравнение
cos х cos 5 x о • . <i
---------------— 8 Sin X • sin 3 X.
cos 3 x cos x
Ответ: x=—x~nn, n—0, + 1, ±2,...
8 4
3. Равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС
(AD>BC) описана около окружности, которая касается сторо-
ны CD в точке М. Отрезок AM пересекает окружность в точке AZ,
AD /дг '
Определить отношение , если ——=k.
' z ВС NM
Ответ: 8k—1.
4. Решить систему уравнений
( 5r+1 cosy-j-5,-rsin y4-2==5*+1siny — 51-А’ cosy,
1 5'r+Isiny —2 -1 51-Л cosy-[-4—51-Arsiny4-2 • 51 + r cosy.
Ответ: arctg2-(-2~(—i-; — arctg22т:nj,
/г=0, ± 1, ± 2......
5. В основании прямой призмы ABCA^jCi лежит прямо-
уюльный треугольник с катетами АВ=8 дм и ВС=6 дм. Гипоте-
55
нуза АС является диаметром основания прямого кругового кону-
са, вершина которого расположена на ребре AiBj. Боковая по-
верхность конуса пересекает ребро АВ в точке М так, что
ДЛ4 = 5 дм. Определить объем конуса.
Ответ: 25 я д.и3.
Билет № 2
1. Решить неравенство
5 • 4*4-2 • 25*>7 . 10*.
Ответ: х<0, х>1.
2. Решить уравнение
_cosx----c£L3^+2cos2x==0.
COS 3 X COS X
Ответ: x—«=0> ±1. ±2,...
3. Около окружности описана равнобедренная трапеция с ос-
нованиями AD и ВС (AD>BC). Прямая, параллельная диагона-
ли АС, пересекает стороны AD и CD соответственно в точках М
и N и касается окружности в точке Р. Определить углы трапеции,
если1). /
1__£
Ответ: острый угол трапеции равен arc cos—
/ / [А3 +1
4. Решить систему уравнений
2 *4-2*cos2 у + cosy—О,
2~х—2*sin2y—siny—0.
Ответ: 4- 2-д'),
' п=0, ±1, ±2......
5. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной
1,5 м, боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и
равно 1,75 м. Точки S, В и D лежат на боковой поверхности пря-
мого кругового конуса с вершиной в точке А, а точка С — в пло-
56 ’
скости основания этого конуса. Определить площадь боковой по,
верхностп конуса.
г* ЗОл ui
Ответ: _ м.
У~22
Билет № 3
1. Решить уравнение
log2 (log2 х) = 1 + log, (1 + log^ 16).
Ответ: х= 16.
2. Решить уравнение
_________5-----4-------1----+________L__
cos х • cos 2х cos 2х cos Зх cos Зх cos 4х
Ответ: х~ +—4-it/i, я—0. ± 1, + 2,... .
—~ 3
3. В ромбе ABCD угол BAD — острый. Окружность, вписан-
ная в этот ромб, касается сторон АВ и CD соответственно в точ-
ках М и Л/ и пересекает отрезок .СЛ1 в точке Р, а отрезок BN — в
ВО СР 9
точке Q. Определить отношение —— , если--------=—.
н QK РМ 16
О т в е т: 1:9.
4. Решить систему уравнений
( 2vsiny + 2“'r cosy=2 + 2 х • cosy —2-rsiny,
I 21+ rcosy + 2‘"'siny=4 —2xsin y-j-21-' cosy.
Ответ: ^log, 2 + 1); arc cos y- + 2~ n ,
(log3(K 2—1); — arccos-i-4-(2«4-l)irj,
n=0, ±1, ± 2,... .
5. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды
Уз
SABC равна а, боковое - ребро равно—-—а. Вершина прямого
кругового конуса находится в центре основания пирамиды. Точка
Си середины ребер.54 и SB лежат па боковой поверхности кону-
' 57
са, а вершина S пирамиды — в плоскости его основания. Опреде-
лить площадь боковой поверхности конуса.
Ответ:
16 т. а3
3К2Г
Билет № 4
1. Решить неравенство
<4.
4*—3Л
Ответ: х<0,х>1.
2. Решить уравнение
sin Зх j cos 3 х _ 2
cos 2 х sin 2x sin 3 x *
Ответ: x— ± — ti—0, ±1, ±2,...;
6
3. В ромб A BCD вписана окружность. Прямая, касающаяся
этой окружности в точке Р, пересекает стороны АВ, ВС и про-
должение стороны AD соответственно в точках N, Q и М так, что
MN:NP: PQ==7:l:2. Определить углы ромба.
Ответ:
острый угол ромба равен 2 arctg -у-.
u 4. Решить систему уравнений
2xcos2y-]- cosy-f-2siny—2.2-ЛГ=0,
2xsin2y4-siny—2cosy-|-2 . 2-Л=0.
t Ответ: (0; 2irn), f-|-; -^-w+2tc/iY n=0, ±1, ±2,..?;
5. Основанием пирамиды SABCD служит квадрат ABCD co
стороной 4 дм, боковое ребро SB перпендикулярно плоскости ос-
нования и равно 3 дм. Точки А, В, С лежат на боковой поверхно-
сти прямого кругового конуса с вершиной в точке S, а точка D
лежит в плоскости основания этого конуса. Определить площадь
боковой поверхности конуса.
49
Ответ:------к ом2.
Кз
58
Билет № 5
1. Решить уравнение
(lg3 х) • 1g, (х - 3) 4-1 = 1g, (х2 — Зх).
Ответ: х=5.
2. Две арифметические прогрессии содержат одинаковое чис-
ло членов. Отношение последнего члена первой прогрессии к пер-
вому члену второй равно отношению последнего члена второй
прогрессии к первому члену первой и равно 4. Отношение суммы
первой прогрессии к сумме второй равно 2. Определить отноше-
ние разностей этих прогрессий.
Ответ: 26.
3. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через се-
редину стороны АВ, пересекает продолжение стороны ВС в точке
М так, что-^-=-Д~. Перпендикуляр, проходящий через середи-
ну стороны ВС, пересекает сторону АС в точке N так, что
== —
~ 2 '
Определить углы треугольника АВС.
Ответ: Z-A = arctg2, zB = arctg3, z.C==~.
4. Сторона основания АВС правильной призмы ABCAiBiCi
равна а. Точки М и N являются соответственно серединами ребер
АС и Л]В1. Проекция отрезка Л4Л/ на прямую ВАГравна
------. Определить высоту призмы (найти все решения).
2 Кб
Л а а
Ответ:
V2 2 И 6
5. Решить систему уравнений
8 cos (х — у)4 cos (х + у) —”3,
8 cos (у — г) 4- 4 cos (у 4- z)=3,
' 2cos(z—x)4-10cos(z4-x)= —3.
50
Ответ:
—-H(2£ + ;n); + ± ( — l)'+marcsin-^-4-тс/; +—.4-
к— 3 / 3 4 1 3
4-Tt/nV /±arccosf——'j4-тс(k + /п); + arc cos—4-тс (A 4-/п) 4-
/ \ \ 4 / 4
iz(k — (тс(А4-/п); ± arccos-i-4-it(A —т)-|-2тс/;
+ arc cos I-—4- тс (k — m)).
\ 4 / /
Во всех формулах одновременно берутся либо верхние, либо
нижние знаки; k, I, /п=0, ±l, ±2,...
Билет № 6
1. Решить уравнение
з 6
— 2х 4- = 2
’(радикалы понимаются в арифметическом смысле).
Ответ: х=4.
2. Сумма членов и разность арифметической прогрессии поло-
жительны. Если увеличить разность прогрессии на 2, не меняя ее
первого члена, то сумма ее членов увеличится в 3 раза. Если же
разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза, не меняя пер-
вого члена, то сумма членов прогрессии увеличится в 5 раз. Оп-
ределить разность исходной прогрессии.
г, 4
Ответ: — •.
□
3. Сторона основания правильной треугольной призмы
ЛВСД1В1&1 равна а, точки О и Oi являются центрами оснований
АВС и AiBjCj соответственно. Проекция отрезка AOi на пря-
5
мую BtO равна ~^~а- Определить высоту призмы.
Л / 2
Ответ: а |/ —.
г *5
4. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через се-
редину стороны АВ, пересекает прямую АС в точке Л4, а перпен-
дикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает
60
прямую АВ в точке N. Известно, что MN=BC и прямая MN пер-
пендикулярна прямой ВС. Определить углы треугольника АВС.
Ответ: Z.A = -^, Z.B=~~, ZC=~;
о lz lz
/Л = -, ZB=—, ZC = —.
3 12 ’ 12
5. Решить систему уравнений
, a sin z . п tg х • tg у= f- 3, cos X • cos у . . sin х г- tgy tgz = 5, cosy • cos z tgz-tgx = 3. COS z • cos X
Ответ: s
v + + + -2L +
\ 6 3 о /\о о
+ *l\ -^-ф-(2и1 — I — k-\- 1)^, k, I, m=Q, + 1, ± 2,....
О /
Билет № 7
1. Решить уравнение
(lg(x-10)) • lg(x-f- 10) = lg(x2-100)-1.
Ответ: x = 20.
2, Две арифметические прогрессии содержат одинаковое
число членов. Отношение последнего члена второй прогрессии к
первому члену первой равно 2, отношение суммы членов первой
прогрессии к сумме членов второй также равно 2, а отношение
разности первой прогрессии к разности второй равно 3. Опреде-
лить отношение первых членов этих прогрессий.
Ответ: 5:4.
3. В треугольнике ЛВС перпендикуляр, проходящий через се-
редину стороны АВ, пересекает сторону ЛС в точке М. так, что
-^-=3. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны
АС, пересекает сторону АВ в точке N так, что ^- = 2.
61
Определить углы треугольника АВС.
Ответ: ZA=—> Z5 = arctg2, zC = arctg3.
4
4. Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
ABCAiBtCt равна а. Точки М и N являются соответственно сере-
динами ребер AiBi'H ААь Проекция отрезка ВМ на прямую CiM
равна —. Определить высоту призмы (найти все решения)
2/5
Л
Ответ: а, ---
2 /5
5. Решить систему уравнений
' 9sin(x—y4-3sin(x4-y) = — 4,
9 sin (у—z) — 3 sin (у 4-z)=4,
. cos(z —x)4-7cos(z-}-x)=2.
Ответ: ,
i/"? 1
( ± arc cos --- + it k\ ( — l)fe+' arcsin ~+arccos
-H A + 2irmV (± arccos -1- 4~-H(A4-/n); ± arc cos ~ 4-
/ \ О А, О
4-it (k4*m)4-2it/; -2- 4-л (A— nii
4-it(A—m)4-2ir/; + arccos4-к (A 4-яг) У
Во всех формулах одновременно берутся либо верхние, либо
нижние знаки; k, I, т=0, ±1, ±2,...
(75 1
——Н(£4-ю),± arccos —4~
2 о
Билет № 8
1. Решить уравнение
5 1° _
2 ]/~х^ к 4- 2]Ах"ь=1.
(радикалы понимаются в арифметическом смысле).
Ответ: х=-~
4
2. Сумма членов арифметической прогрессии и ее первый член
положительны. Если увеличить разность этой прогрессии на 3, не
«2
меняя первого члена, то сумма ее членов увеличится в 2 раза. Ес-
ли же первой член исходной прогрессии увеличить в 4 раза, не
меняя ее разности, то сумма членов увеличится также в 2 раза.
Определить разность исходной прогрессии.
Ответ: 2.
3. Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
ABCAjB^i равна а. Точки М, N, Р и Q являются серединами
ребер АВ, AC, AtCi и C]Bi соответственно. Проекция отрезка
МР на прямую NQ равна — а. Определить высоту призмы.
4
Ответ:
д У 5
4
4. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через се-
редину стороны АС, пересекает сторону ВС в точке М, а перпен-
дикуляр, проходящий черезг середину стороны ВС, пересекает
сторону АС в точке N. Прямая перпендикулярна АВ и
MN— —АВ Определить углы треугольника АВС.
Уз
Ответ: ZA = -^-, Z.B = ~, ZC=-^-;
ООО
ZA=-^, Z5=~,ZC=-£-.
6 3 6
5. Решить систему уравнений
ctgx • ctgy= cos z sin X • sin у + 5,
ctg у • ctg 2= COS X sin у • sin z -11.
ctg г ctg x= cos у sin z • sin x -7.
Ответ:
(± —+ arctg2-}-tcZ; + arctg3-J-тс(k + /)-J-(2m -f- 1)тИ.
\ 4 /
Одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки;
k, I, т=0, ±1, ±2,...,
63
Билет № -9
1. Решить уравнение
cos (х 4- -7-)+ cosfx —^l=-|-cos2x.
\ 4/ \ 4/3
/ у 2 \ -
Ответ: x=±arccos(----------)-$-п, п = 0, ±1, ±2,...;
\ 4 /
2. На продолжении (за точку А) стороны АС правильного -
треугольника АВС взята точка М п около треугольников АВМ и
МВС описаны окружности. Точка А делит дугу МАВ в отноше-
нии МА •. АВ = п. Определить, в каком отношении точка С делиг .
дугу МСВ.
Ответ: \jMC : oC,B=2n4~l-
3. Решить систему уравнений
| • 6Г • 2V4- 6 . 12'= О,
♦ ( 2 • Зу4-4 • 6-v - 2r —12Л=0.
„ / 1 . И
Ответ: . —— •
4. Расстояние между пунктами А и В, расположенными на бе-
регу реки, равно 25 км. Из А в В отправились одновременно ка-
тер и лодка. Катер безостановочно курсирует между А и В. Че- <
рез некоторое время из В в А отправилась вторая лодка, прибыв- ;
шая в А одновременно с десятым выходом оттуда катера. При
движении от А до В -девятый раз катер встретил вторую лодку,
пройдя 3 к'м, а первую догнал, пройдя 24 км от А. Определить
расстояния, пройденные лодками до их встречи (скорости лодок •
и катера относительно воды, а также скорость реки постоянны).
Ответ: 13,5 км, 11,5 км.
5. Основанием прямой призмы ABCDA1BICiD1 служит равно-
бочная трапеция ABCD, в которой ADflBC, AD : ВС=п>1. Па-:
раллельно диагонали BjD проведены плоскость через ребро AAj
и плоскость через ребро ВС; параллельно диагонали AfC прове*
дены плоскость через ребро DDi и плоскость через ребро В1С(,
Определить отношение объема треугольной пирамиды, ограни*
чепной этими четырьмя плоскостями, к объему призмы.
_ 1 /5п + 3\з
Ответ: —- -—г .
64
Билет № 10
1. Peiniify уравнение
4sin3% +sin5х — 2sinx • cos2x = 0.
Ответ: , n=0, ± 1, ± 2,... .
\
1
2. Первая из двух окружностей проходит через центр второй и
пересекает ее в точках Л и В. Касательная к первой окружности,
проходящая через точку А, делит вторую окружность в отноше-
нии т:п (пг<п). В каком отношении вторая окружность делит
первую?
„ п — т
Ответ: ——.
2т
3. Решить систему уравнений
j 2 v-y —2 - 6Х-У - 6~2у = 0, '
| 2-т”у —2 • 3t+y-’-3 • 9v-~=0. •
„ / 1 1
Ответ:-------, — .
\ 2 2/
4. Вдоль дороги последовательно расположены пункты А, В,
С. Четыре пешехода выходят одновременно: первый и второй из
А в С, третий из В в С, четвертый из С в А. Второй пешеход
обогнал третьего в том же месте дороги, где встретились первый
п четвертый пешеходы; первый пешеход обогнал третьего в том
же месте, где встретились второй и четвертый пешеходы. Третий
пешеход шел в п раз медленнее четвертого, первый й второй шли
с разными скоростями. Определить отношение расстояния от
А до В к расстоянию от В до С (скорости пешеходов постоянны).
/ч 1
Ответ: ------.
п — 1
5. Основанием призмы ABCDAtBiC^Dt служит трапеция
ABCD, в которой АВЦСО и CD: АВ = п<1. Диагональ ACj пере-
секает диагонали AtC и D[B соответственно в точках М и N, а
диагональ DB\ пересекает диагонали А{С и D\B соответственно
в точках Q и Р. Известно, что MNPQ — правильный тетраэдр.
Определить отношение объема тетраэдра к объему призмы.
• 1 /1 - п \*
Ответ:
65
Билет № 11
я \
— = smx.
з /
1. Решить уравнение
' sin ^х 4- • sin ^х —
' Ответ: х=(-1)в+'4т*О=0,' ± i
6 Г"
2. На стороне АС правильного треугольника АВС взята точка
М, и около треугольников АВМ и МВС описаны окружности.
Точка С делит дугу МСВ в отношении -^-=ц. Определить, в ка-
СВ
ком отношении точка А делит дугу МАВ.
Ответ: С^МА : \^>АВ= (1—п) : (Зп-]-1).
3. Решить систему уравнений
. ' 2 • Зх+У • 2~3у 4- 6 • З’у . 2-г-у = 9х • 8~у,
2 • Зх-У . 2-у — 6 • Зу • 2У-Л=3 • 2~у.*
Ответ: (1; 0).
4. Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А и В од-
новременно отправляются катер и лодка. Катер курсирует безос-
тановочно между А и В. Через некоторое время из Л в В выходит
вторая лодка и приходит в В одновременно с десятым прибытием
туда катера. При движении от В до Л девятый раз катер встре-
2
тил вторую лодку, пройдя — расстояния от В до А, а^ первую
лодку — пройдя расстояния от В до А. Определить, какую
и
часть расстояния между А и В прошли лодки до того момента,
когда они поравнялись (скорости лодок и катера относительно
воды, а тйкже скорость реки постоянны).
Ответ: расстояния от А до В.
5. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
ABCDAiBiCiDi отношение сторон АВ и А|В( нижнего и верхне-
го оснований равно т<_1. Параллельно диагонали B{D проведе-
ны плоскость через ребро АВ и плоскость через ребро AiDi; па-
раллельно диагонали BD\ проведеньГплоскость через ребро CD
и "плоскость через ребро BiCi. Определить отношение объема
Б6
треугольной пирамиды, ограниченной этими четырьмя плоскостя-
ми, к объе^ усеченной пирамиды.
~ . 4(т + 1)2
От^ет: -—-——-—.
Di2 + т + 1
Билет № 12
1. Решить уравнение
3cosx-f-2cos5x-f-4cos3x ; cos4x = 0.
Ответ: х = —-Ртг/г, /г=0, ±1, +2.......
2
2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Первая ок-
ружность проходит, через центр второй. Хорда BD первой окруж-
ности пересекает вторую окружность в точке С, которая делит
дугу АСВ в отношении АС: СВ = п. В каком отношении точка D
делит дугу ADB?
Ответ: <^AD : ^DB = n: (n-]-2).
3. Решить систему уравнений
2 • 15y = 5v • 3~у.
2 • Зг-У - 5У-Х=3 • 9<
„ / 1 1 'i ‘
Ответ: (——-j.
4. Вдоль дороги последовательно расположены пункты А, В,
С. Четыре пешехода выходят одновременно: первый из А вС,
второй и третий из С в А, четвертый из В в С. Первый пешеход
со вторым, а третий с четвертым- встретились в одном и том же,
месте дороги.-Первый с третьим и второй с четвертым встрети-
лись одновременно. Первый пешеход шел в п раз быстрее второ-
го, а второй и третий шли с разными скоростями. Определить от-
ношение расстояния от А до В к расстоянию от В до С (скорость
каждого пешехода постоянна).
Ответ: п—1.
5. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. На ребрах
АВ, ВС, CD\ DA соответственно взяты пары точек М и Mt N и
h'lt Р и Р\ Q и Qi так, что AM=AQ = CN = CP=~ а, ВМ{= •
» о
BNl = DPl= а.
67
Определить объем треугольной пирамиды, вершинами кото-
рой служат точки пересечения отрезков Л!/3, и М{Р с/отрезками
A'Qj uW(Q.
Ответ:
675
ФИЗИКА
Билет № 1
1. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты
Н по гладкой доске, наклоненной под углом а = 60° к горизонту.
После спуска мешок попадает на горизонтальный пол. Коэффи-
циент трения мешка о пол К = 0,7.
Где остановится мешок? ,
Ответ: Мешок сразу остановится.
2. Цилиндр, закрытый сверху поршнем, соединен короткой
тонкой трубкой с откачанным сосудом (см. рис. 39).
У/МШШШ
-miZL
При закрытом кране под поршень вводится некото-
рое количество газа. Объем, занимаемый этим га-
зом в цилиндре, равен объему нижнего сосуда. Ка-
кая часть газа останется в цилиндре после того, как
кран открыли?
Температура газа в цилиндре поддерживается
равной —173°С, а в сосуде+127°С.
Ответ: —— =—.
М 4
3. С помощью камеры Вильсона, помещенной
' в магнитное поле с индукцией В, наблюдают упру-
Рис. 39 гое рассеяние а-частиц па ядрах дейтерия. Найти
начальную энергию а-частицы, если радиусы
кривизны начальных участков траекторий ядра отдачи и
рассеянной а-частицы оказались одинаковыми и равными г. Обе
траектории лежат в плоскости, перпендикулярной линиям индук-
ции магнитного поля. Заряд протона е, его масса — М.
~ пт ' 3 e2B~r2'
Ответ: W——•—-—.
4 М
68
4. На рисунке 40 изображена схема опыта Френеля по наблю-
дению интерференции. Два одинаковых плоских зеркала образу-
ют угол 2а=0,1 рад. Точечный источник S находится на биссект-
рисе угла на расстоянии d = 20 см от линии пересечения зеркал.
При каком минимальном размере зеркал а на удаленном экране
Э могут наблюдаться интерференционные полосы? Прямые лучи
' от источника на экран не попадают.
I
Ответ: а^2 см.
Билет
1. Гладкий желоб состоит из
горизонтальной части АВ и ду-
ги окружности ВС с углом а =
= 45° (см. рис.41). Радиус ок-
ружности /?=1 м. Тело, имею-
щее скорость V=10 м/сек,
скользит без трения по жело-
бу. Определить величину и на-
правление ускорения тела в
точке С.
Ответ: а = 80 м/сек? под уг-
лом р = 48° к вертикали.
2. В сосуде объема У=1 л находится 1 г трития (изотопа во'
дорода с атомным весом Д = 3). За 12 лет половина ядер трития
превращается в ядра гелия. Найти давление в сосуде в конце
этого срока. Температура газа поддерживается равной / = 27°С,
Ответ: р = 6,15атлг.
3. Для регулирования напряжения на нагрузке собрана схр-
ма, изображенная на рисунке.
42. Сопротивления нагрузки и
регулировочного реостата рав-
ны /?. Нагрузка подключена к
половине реостата. Как изме-
нится напряжение на нагрузке,
если ее сопротивление увели-
чить вдвое?
Ответ: O^Ux == 10/9.
4. Собирающую линзу с фокусным расстоянием / = 50 см
диаметром D=5 см разрезали
по диаметру пополам и поло-
винки раздвинули на расстоя-
ние^d = 5 мм (см. рис.43). То-
чечный источник света S рас-
положен на расстоянии а=1м
от линзы. На каком минималь-
ном расстоянии от линзы мож-
но наблюдать интерференцион-
ную картину? Щель между по-
ловинками линзы закрыта.
Ответ: 122 см.
Рис. 43
Билет № 3
1. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты
/7=2 м по доске, наклоненной под.углом а =45° к горизонту. Пос-
ле спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Ко-
эффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность
равен К=0,5. На каком расстоянии от конца доски остановится
мешок? ;
Ответ: /=0,25м.
2. Цилиндр, закрытый поршнем, соединен короткой тонкой
,70
трубкой с откаченным сосудом (см. рис. 44). Объем
сосуда — V. Под поршень при закрытом кране вво-,
днтся га?, занимающий объем V/2. Затем кран от-
крывают, и половина газа переходит в сосуд. Найти
отношение температур газа в цилиндре и в сосуде.
Ответ: 7’ц/7’с = 4.
3. Начальные участки траекторий двух протонов,
один из которых покоился, после соударения имеют
радиусы кривизны г и R. Траектории лежат в пло-
скости, перпендикулярной магнитному полю с ин-
дукцией В. Какую энергию имел до соударения дви-
гавшийся протон? Заряд протона равен е, его мас-
са — М.
Рис. 44
Ответ: W = (г2 + А?2)-
ZA1
4. На рисунке 45 изображена схема интерференционного опы-
та Ллойда. Точечный источник света S расположен на расстоя-
нии & = 20 см от плоского зеркада 3 на высоте.а = 10 см над пло-
Рис. 45
скостью зеркала. Длина зеркала d—10 см. На росстоянии L-»
= 1 л! от источника расположен экран Э. Определить вертикаль-
ный размер интерференционной картины на экране.
Ответ: Л#= 16,6 см.
71
Билет № 4
1. Конечный участок горы разгона' на лыжном трамплине
представляет собой часть окружности
радиуса У?=15 м (см. рис. 46). Полная
высота горы Н = 50 м. Найти величину
полного ускорения прыгуна в точке С,
если угол ВОС а = 30°. Считать, что
лыжник спускается из точки А без на-
чальной скорости; трением пренеб-
речь.
Ответ: а = 66 л/сек* 2 3 4
2. В откачанном сосуде емкостью
У=1 л находится 1 г гидрида урана
UH3. При нагреве до температуры
/ = 400°С гидрид полностью разлагает-
ся на уран и водород. Найти давление
-водорода в сосуде при этой температу-
ре. Атомный вес урана А =238.
Рис. 46
Ответ: р = 0,35 атм.
Рис. 47
3. Для регулирования напряжения па нагрузке собрана схе-
ма, приведенная на рисунке 47.
Сопротивления нагрузки и ре-
гулирующего реостата равны
R. Нагрузка подключена к по-
ловине реостата. К какой ча-
сти реостата следует подклю-
чить нагрузку, чтобы напряже-
ние на пей возросло в два раза?
Ответ: г=— R.
8
Рис. 48
4. Из собирающей
линзы с фокусным
расстоянием f=50 см
диаметром 0 = 5 см
вырезана полоса ши-
риной <7=5 мм, а
оставшиеся - части
сдвинуты вплотную
(см. рис. 48). На
расстоянии а=75 см
от линзы распо-
ложен точечный ис-
сточник света 3.
На каком максимальном расстоянии от линзы можно наблюдать
интерференционную картину?
Ответ: 112,5 см.
Билет № 5
1. Два тела с массами т п 3m движутся по взаимно перпен-
дикулярным направлениям (см. рис.49). По-
сле соударения тело массы т остановилось, р . '
Какую часть его энергии составляет выде- i
лившееся при ударе тепло? - 171 |
2. В настоящее время представляется воз- ~
можным достижение давлений (например, с Рис. 49
помощью специальным образом сфокуси-
рованного лазерного излучения), при которых все линейные раз-
меры твердых тел можно уменьшить в 10 раз.
Во сколько раз у такого «сверхплотного» вещества критиче-
ская масса меньше, чем у обычного?
В критическом состоянии, когда начинается цепная реакция,
число вторичных нейтронов, рождающихся в веществе, равно
числу нейтронов, покидающих его через,поверхность. (Вторичны-
ми называют нейтроны, возникающие при взаимодействии с де-
лящимся веществом'уже имеющихся в нем нейтронов).
Ответ:—= 10 е. ,
т0
3. Плоский алюмйпиевый электрод освещается ультрафиоле-
товым светом с длиной волны Х = 8,30-10~8 м. На какое макси-
мальное расстояние от поверхности электрода может удалиться
фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее элек-
трическое поле напряженности Е=’7,5 в/см!
Красная граница фотоэффекта для алюминия соответствует
длине волны Х=33,2-10-8 м. Постоянная Планка h —
6,6- IO-34 дж-сек, заряд электрона е= 1,6-10~19 кул.
Ответ: х^1,5 см.
4. Радиус кривизны выпуклого сферического зеркала равен
/?=40 см. Какую линзу следует приставить вплотную к зеркалу,
чтобы получившаяся оптическая система давала прямое мнимое
изображение предметов в натуральную величину?
Ответ: f=-J-40 см.
73
Билет № 6
1. В центр шара массы A4t = 300 г, лежащего на краю стола,
попадает горизонтально летящая пуля массы М2=10 г и проби-
вает его насквозь. Шар падает на расстоянии Sj=6 м от столаГа
пуля — на расстоянии S2 = 15 м. Высота стола Н — 1 м. Опреде-
лить первоначальную скорость пули.
Ответ: V=435 м/сек.
2. Электрический утюг с терморегулятором, установленным в
положение «шерсть», нагревается до температуры ^ = 140°С. При
этом в установившемся режиме регулятор включает утюг на
время т=30 сек. через промежутки времени Tt=5 мин. В поло-,
жении «лен» утюг включается на те же 30 сек. через более корот-
кие промежутки времени Г2 = 3 мин. Определить температуру
утюга при регуляторе, установленном в положение «лен». Тем*-
пературной зависимостью сопротивления нагревателя пренеб-
речь. Температура в комнате f=20°C.
Ответ: f2=220°C.
3. В одной из моделей молекулярного иона водорода
полагается, что электрон движется по круговой орбите, лежащей
в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей протоны.
Расстояние между протонами /?, заряд элекртона е, его масса —
т. Найти скорость, с которой движется электрон.
Ответ: I/1,23е/|/"тУ?.
4. Одна из поверхностей тонкой линзы посеребрена. На рас-
стоянии а=28 см от линзы на ее оси находится точечный источ-
ник света. Если линза обращена к источнику посеребренной
стороной, то расстояние между источником и его мнимым изо-
бражением оказывается равным 56 см. Если линза повернута к
источнику другой стороной, 'то она дает параллельный пучок лу-
чей. Определить фокусное расстояние несеребренной линзы.
О т в е т: f=4-56 см.
74
Билет № 7
M.P/Z
1. Две частицы с массами М и 2М, имеющие импульсы р и
р/2, движутся по взаимно перпенди-,
кулярпым направлениям. После соуда-
рения частицы обмениваются импуль-
сами (см. рис. 50). Определить выде-
лившееся при ударе тепло).
_2bi,p
~ о 3 Р2
Ответ: Q=----------
16 м
2H,P/Z
Рис. 50
2. В настоящее время представля-
ется возможным получение, давлений
’(например, с помощью специальным образом сфокусированного
лазерного излучения), при которых все линейные размеры твер-
дых тел могут уменьшится в 10 раз.
Во сколько раз у такого «сверхплотного» вещества критиче-
ский объем меньше, чем у обычного?
В критическом состоянии, когда начинается цепная реакция,
число вторичных нейтронов, рождающихся в веществе, равно чи-
слу нейтронов, покидающих его через поверхность. (Вторичные
нейтроны возникают при взаимодействии с делящимся вещест-
вом уже имеющихся-в нем нейтронов).
Ответ: —— = 10-а.
К,
3. Излучение аргонового лазера с длиной волны % = 5-10-7 м,
сфокусировано на фотокатоде в пятно диаметра d=0,l мм. Ра-
бота выхода фотокатода W=2 эв. На анод, расположенный на
расстоянии 1=30 мм от катода, подано ускоряющее напряжение
/7=4 кв. Найти диаметр пятна на аноде, на которое попадают
фотоэлектроны. Постоянная Планка А = 6,6-10_34 дж-сек, заряд
электрона е= 1,6-10~19 кул.
Ответ: 0 = 1,1 мм._
4. Радиус кривизны вогнутого сферического зеркала равен
/? = 60 см. Какую тонкую линзу следует приставить вплотную к
зеркалу, чтобы получившаяся система давала прямое мнимое
изображение предметов в натуральную величину?
Ответ: £=—60 ,
75
Билёт № 8
1. Пуля массы ш = 10 г, летящая горизонтально со скоростью
Г=300 М/сек, пробивает насквозь шар массы Л4=100 г, лежащий
на краю стола. Шар падает на пол на расстоянии Si =5 м от края
' стола. На каком_расстоянии от края стола упадет пуля? Высота
стола Н — \м.
О т в е т: Z—85 м.
2. Электрический утюг с терморегулятором нагревается до
температуры-Л =180?С, когда регулятор установлен в положение
«„хлопок». При этом регулятор включает утюг на время;Г1 = 30сек
через промежутки времени Ti = 4 мин. При положении*регулято-
ра «капрон» утюг включается на время т2=Ю сек. Через какие
промежутки времени Т2 происходит включение, если известно,
что температура утюга в этом случае равна /2=80°С? Темпера-
турной зависимостью сопротивления нагревателя пренебречь.
Температура в комнате Zo=2O°C.
Ответ: Та —3,5 мин.
3. В одной из моделей молекулярного иона водорода
предполагается, что электрон движется по круговой орбите, ле-
.жащей в плоскости, перпендикулярной к линии, соединяющей
протоны. Скорость электрона на орбите V. Определить расстоя-
ние между протонами. Заряд в и массу tn электрона считать из-
вестными.
«2
Ответ: Z=l,52——. •
. 4. Одна из поверхностей тонкой линзы посеребрена. На рас-
стоянии а = 34 см от линзы на ее оси расположен точечный источ-
ник света. Оказалось, что линза дает параллельный пучок лучей
независимо от того, какой стороной она обращена к источнику.
Определить фокусное расстояние линзы (до серебрения).
Ответ: /=Н-34 см.
Билет Ks 9
1. Небольшое тело скользит со скоростью Г=10 м]сек. по го-
ризонтальной плоскости, приближаясь к щели. Щель образована
Двумя отвесными параллельными стенками, находящимися па
расстоянии d=5 см друг от друга. Глубина щели Н= \ м. Опре-
76 '
делить, сколько раз ударится тело о стенки, прежде чем упадет
па дно. Удар о стенку считать абсолютно упругим.
О т в е т: У=89.
2. В цилиндре объема V под невесомым поршнем находится
п молен одноатомного идеального газа. На поршень положили
груз массы Л4, в результате чего поршень переместился на рас-
стояние Н. Определить температуру газа, установившуюся после
перемещения поршня. Атмосферное давление равно р0, стенки
цилиндра п поршень теплонепроницаемы. Сечение цилиндра S.
Ответ: Т=—---------------------.
nR
3. Тонкий пучок электронов, ускоренный разностью потенциа-
лов U, проходит последова- . • -
тельно электрические поля ______— —____и_
двух небольших конденсаторов — —•
(см. рис. 51), отстоящих друг от
друга на расстояние L. Коп- _____________ у
денсаторы соединены парал- "
лельно и присоединены к ис-
точнику переменной Э.Д.С. При Рис. 51
частоте изменения поля / пучок
после прохождения обоих конденсаторов движется параллельно
первоначальному направлению. Определить -отношение заряда
электрона к его массе.
е I? Р 1
Ответ:*'— = —-— -----------, где п — целое число.
m 2U (п +.1/2)
4. Н.а расстоянии 2F от собирающей линзы Л1 с фокусным
расстоянием F находится светящийся предмет. Освещенность
четкого изображения предмета па экране при этСгм равна Ео,
Между экраном и линзой Лi поместили рассеивающую линзу Лг
того же диаметра с фокусным расстоянием — 2F. .Для получения
четкого изображения экран пришлось передвинуть на расстоя-
ние, равное F. Определить освещенность изображения во втором
случае.
Ответ: Е=Е0'/4.
Билет № 1(К
Изогнутая трубка длины А=1 м вращаётся вокруг верти-
кальной оси 00' с угловой скоростью (о=0,1 рад[сек (см. рис. 52).
77
Рис. 52
Открытый конец трубки направ-
лен вертикально вниз, и из неге
вытекает вода практически бе>
начальной скорости относительно
трубки. На расстоянии // = 10 м
ниже отверстия расположена го-
ризонтальная плоскость. Найти
радиус окружности, которую опи-
шет след струи воды на этой пло-
скости.
Ответ: /? = 101 см.
2. Один моль идеального газа, первоначально находившийся
при нормальных условиях, переводят в состояние с вдвое боль-
шими объемом и давлением. Процесс перевода слагается из двух
участков — изобары и изохоры. Какое количество тепла подведе-
но к газу? Теплоемкость газа С»=21 дж/мо'ль-град.
Ответ: Q = 20 кдж.
3. Два небольших проводящих шара радиуса г расположены
на расстоянии R друг от друга. Шары поочередно на некоторое
время заземляют. Определить заряд, оставшийся на шаре, кото-
рый был заземлен вторым, если первоначально потенциалы ша-
ров равны <р.
<р Г3 <р г3
Ответ: ?=ад+7>“ТГ' .
4. Оптическая система состоит из двух тонких линз, имеющих
фокусные расстояния fi =+5 см и /2 = — 5 см, раздвинутых на
расстояние d=5 см. При каких положениях предмета (со сторо-
ны Л1) эта система будет давать мнимое изображение?
Ответ: а^Ю см.
Билет №11
1. Космический аппарат, имеющий форму конуса с высотой
// = 10 см и углом при вершине а=120°, движется со скоростью
V=10 км]сек острием вперед в* верхних слоях атмосферы. Опре-
делить энергию, передаваемую аппаратом молекулам воздуха в
секунду. Концентрация молекул п = 105 см~ъ\ масса молекулы
/п=4,5-10-23 г; молекулы можно считать покоящимися, а столкно-
вения их с аппаратом — абсолютно упругими.
Ответ; 1Г=6-10~4дж,
78
2. В интервале температур между 20 и 30° давление насыщен-
ных паров воды меняется на 6% на-каждом градусе. На сколько
градусов должна понизиться температура в указанном интерва-
ле, чтобы выпала роса, если влажность воздуха составляет 96%.
Ответ: А/=0,66°.
3. Селектор скоростей заряженных частиц представляет со-
бой устройство со взаимно перпендикулярными электрическим и
магнитным полями. При некоторых величинах полей"через селек-
тор прямолинейно проходят электроны с энергией То- Протоны
какой энергии пройдут прямолинейно через селектор?
Ответ: 7=1836То.
4. На расстояний 2F от собирающей линзы Л] с фокусным
расстоянием F находится светящийся предмет. Освещенность
четкого изображения предмета на экране при этом равна Ео.
Между линзой Л] и экраном поместили собирающую линзу Лг
того же диаметра с фокусным расстоянием 2F. Для получения
четкого изображения экран пришлось передвинуть на расстоя-
ние 7/6. Определить освещенность изображения во втором слу-
чае.
р— 16 р
Ответ: &—
9
Билет № 12
1. С помощью линзы получено изображение Солнца. Диаметр
изображения равен d=3 мм, а расположено оно на расстоянии
1=32 см от линзы. Известно, что расстояние от Земли до Солнца
равно R = 150 млн. км, а продолжительность земного года
Т=365 сут. Вычислить с помощью этих данных ускорение сво-
бодного падения у поверхности Солнца.
Ответ: g=270 м/сек2.
2. Один моль идеального газа переводят из состояния 1 в со-
стояние 3 по изохоре 1—2 и за-
тем по изобаре 2—3 (см.
рис. 53). На изохоре газу сооб-
щается такое же количество
тепла Q = 3675 дж, какое выде-
ляется на изобаре. Найти ко-
нечную температуру газа, если
его начальная температура
/=27°С. Теплоемкость газа
С®=21 дж/моль-град.
Ответ: 1=77°С.
3. Два небольших проводящих шара радиуса т расположены
на расстоянии /? друг от друга. Шары поочередно на некоторое
время заземляют. Определить потенциал шара, который был за-
землен первым, если первоначально каждый шар имел заряд q.
Ответ: <р=—<7//?(1—г2//?2)а;—q/R. /
4. Оптическая система состоит из двух линз, имеющих фокус-
ное расстояния Л =—10 см и /г = + 10 см, раздвинутых на рас-
стояние d — Ъ см. При каких положениях предмета (со стороны
Л1) эта система будет давать действительное изображение?
Ответ: а 10 см.
ПРИЛОЖЕНИЕ
МАТЕМАТИКА
Билет № 3
1. Возведя обе части данного уравнения в квадрат и упростив
полученное выражение, находим 4 —2х— ]/2х3-Н2х-12. Пос-
ле повторного возведения в квадрат приходим к уравнению
х-—9x4-14=0, откуда xt = 2, х2 = 7. Проверка показывает, что ре-
шением исходного уравнения является только х1=2.
Ответ: х=2.
2. Левая часть определена лишь при х>1, поэтому
lcg3(x2—2x4-1) =21og3(x—1). Замечая еще, что log t (х—1)==
з
*—log3(x—1), после преобразований получим
(7 \
[log3(x-l)-2] <0.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем нера-
венств:
—— х > 0,
2
0<х —1 <9.
7
2 Х
<0,
х-1 >9.
Решениями этих систем являются соответственно:
1 < х х > Ю.
Ответ: 1 < х < , 10 < х < 4*
81
Рис. 54
выражения, получим
3. Из сравнения длин отрез ков [ХВ],
[ВС], [CD] легко видеть, что порядок
расположения точек А, В, С, D возможен
только тот, какой указан на рис/54. Обоз-
начим R и г — радиусы окружностей,
|ЛВ|=Зх. Тогда |BC|=7xf |CD| = 2x,
/?=6х, |О1О2[=/?—Проведем
[O2E]J_(XD), тогда |£С|Х— х, |BOi|="
/ 2
=/? — НацЛем ]ВО2|2 по те-
ореме Пифагора в прямоугольных треу-
гольниках С£и2 и OiEOi. Приравняв эти
Г2 —«
4
х2=(6х —г)3 —
п Q
откуда г=4х, то есть -—
„ 3
Ответ: —.
. 2
4. Перемножив уравнения почленно, и применив формулы
cos(x-|-y) = cosxcosy —sin х sin у,
cos(x — у) = cosxcosy -[-sin x sin y,
получим
4sin2ycos3 — cos2x= — cos2 x cos2 у-[-sin3 x sin3 y.
2
Замечая, что cos2t/ = l—sin2t/, последнее уравнение запишем в
виде
4 sin2 у cos2 -^-=sin2y.
Это уравнение имеет три серии решений:
a) y=icn, б) y=-^-4-2ir«, в) у=—^-4-2кя,
о 3
(/1=0, ±1, ±2,...).
Каждое из найденных значений у подставим в оба уравнения
исходной системы. Для у=пп получим cosx=0,
82
.). В случае в) подстановка дает
9cosx — у 3sinx=5|/ 3,
3cosx — о]/' 3 sinx= 3 ,
откуда
sinx=—
7
cosx=---
7
4V 3
X=arc cos ——
{-2ic/ra, (m=0, ±1, ±2,,.,).
В случае в) получим
9cosx 4- jAlTsin х= — 5
3cosx4-5 3sinx=— 3 ,
откуда
i sinx——,
1 7
4У"з
cosx —--------,
7
f 4 V 3
x=arccosf-------—(m—0, ±1, ±2,...).
Ответ:
4/? , n 2л . n
arc cos----p 2тг m,---f- n
.7 3
( 4 V 3 \ I о 2л , n
arccosl-------4-2лт, ———-4-2тг/г
\ 7 J 3 1
m, n=Q, ±1, ± 2,... .
5. Пусть SKMNP — вторая пирамида (рис. 55). Из условия
задачи следует, что (MP)J_(SC) и (MP)_L(C/<), поэтому
(MP)A-(SCK). Очевидно, что и (/?£>)_!_(SCK) ((BD)J_(SO),
(BD)_L(4C)). Следовательно, прямые (МР) и (BD) параллель-
ны, как перпендикуляры к одной плоскости, и прямая (МР) ле-
жит в плоскости (4BCD).
83
Рис. 55
Общей частью данных пирамид является пирамида SOQCR
(Q=(OP) f) (CD), R=(OM) f] (СВ)). Она имеет общую высо-
ту [SO] с пирамидой SABCD. Значит, если Vo — объем пирами-
ды SOQCR, то
Vo :V=Soqcr'. Sabcd- . (1)
Прямоугольные треугольники РСО и МСО конгруэнтны (по
двум катетам), следовательно, РОС = МОС . Треугольники
OQC и ORC конгруэнтны по стороне [ОС] и прилежащим углам.
Следовательно, Soqcr —2-Soqc- Обозначим |CD|=a, [CQ|=x,
тогда SAtiCD=a\ S0<jC=— |CO| \CQ\ • sin—= — , S0(jC7?=± — .
Теперь из (1) «олучаем
Vo: V=x:2a, (2)
В ЬСОК имеем CKO = ~i, КСО=ч, \СК\=-^~.
2 cos a
Из подобия AODQcokPCQ получаем |QD|:|CQ|*-
»|ОО|:|СР|, Подставляя сюда |CQ|=x, ]QD|=a— х, ]OD| =
в]СО|, |СР| = |СК|, найдем х: a= 1 : (1+cosa).
Теперь из (2) имеем Vo: V=1:2(1-}-cosa).
Ответ: -----------.
2(1 4- cos а)
84 ' •
Билет № 11
1. Пусть соответственно а\, а2, аз — первый, второй и третий
члены арифметической' прогрессии, q — знаменатель геометриче-
ской прогрессии.' Тогда q— — (а, =/= О по смыслу задачи) и
j? г
Ц_ .
Исключив, а3, /находим Щ==а2(2а? —а^,. Деля последнее
уравнение на Йодучим <Р+у—2 = 0, откуда ql = —2, ф®?!- По
условию задачи возможно только Д[ = —2.
Ответ: q=—2.
2. Очевидно, нужно'рассматривать только х>0 и г/>0. По-
этому первое уравнение системы можно записать в виде
(Jgx—lgy) (lgx+\gy) = (\gx+\gy)\
откуда либо у=1, либо ху=1.
Подставляя z/=l во второе уравнение системы, находим
х = 2. После подстановки во второе уравнение системы у= —
и простых преобразований получим
lg2(*2—1)—2lgx-lg(x2—1) =0.
Отсюда х —1/~2 а значит у=—1^-.
/ 2
Ответ: (2: 1)- 2
3. Пользуясь формулами сложения
cos3x=cos2xcosx-rsin2xsinx,
s in3x=sin2xcosx-|-cos2xs i nx,
перепишем уравнение в виде
cOs2x(cosx—sinx—1)—sin2x(sinx+cosx) =0.
Замечая, далее, что cos2x=cos2x—sin2x= (cosx-|-sinx) (cosx—
—sinx), a sin2x= 1 —(cosx—sinx)2= (1—cosx+sinx) (1-f-cosx—
— sinx), разложим левую часть на множители? В результате
приходим к уравнению
(sinx-f-cosx) (sinx—cosx-j-l) f2sinx—2cosx—1)=0.
85
Приравнивая поочередно каждый множитель нулю, получаем
решения исходного уравнения.
Второе решение. Положи» . После очевидных
4
преобразований получим
sin 2/=|/" 2 cos3/.
Выражая sin2/ и cos3/ через sin/ и cos/, приходим к уравнению
cost (4sin’/-f- j/^sin/— 1 )=0,
откуда
cos/=0, sin/=——, sin/=---------J-.
Г? 2 ГТ
Ответ: ^=-7-+-=-+’'«• ~+<~ 1)"+1 -г+*Л,
4 Z 4 4
*»=—+(—1)” arcsin-----Tzr- + 5'«»
4 2Г2
(«=0, ± 1, ± 2,...).
4. Пусть В[=(ВК) П (Ath (рис. 56). Из подобия ЛВС Кео
соЛВ1Ьк имеем |BiD| :JBC| = |D/<|: |СК|=2:1, т. е. IBiDI —
*=2|ВС|. Тогда |ASi| = |AD|+2|BC|, значит, ]ABi| = ]АВ[, откуда
АВ^=А^1Л'= ”~а . Обозначим ВАК=х, тогда КABt = а — х.
По теореме синусов пз треугольников АВК и АВ^ соотвехст;
венно находим
\ВК\= s-x- |А5|, О,|=-8,'п(я~Л) IA5J,
sin АКВ sin АКВ,
Отсюда, учитывая; что lAB^lAZJj, \КВ,\ — 2 \ВК\ (ЬВСК^ъ
t^>^BlDK), sin A/<B=sin AKBt, получаем 2sinx = sin (a—x). Решив
„ . sin a
уравнение, нандем x—arctg ------.
1 -J- cos a
86
Рис. 56
„ X — а , sin а
Ответ: -------, arctg-------,
2 2 + cos а
5. Пусть М—вершина тетраэд-
ра, лежащая на [OOi] (рис. 57).
Проведем (МВ А до пересечения
с (ОВ) в точке Р (случай, когда
(MBt) || (ОВ), т. е. Л4 = ОЬ рас-
смотрим позже). Точки А и Р
принадлежат плоскости (АВС)
основания тетраэдра, а также
плоскости (4Л1В|) его боковой
грани. Отсюда получаем, что
(АР) = (ABC) f) (AMBt). Следо-
вательно, одна из сторон основа-
ния тетраэдра лежит на прямой
(ДР). Из центра О основания
опустим перпендикуляр [OQ] на
эту сторону, т. е. на прямую
(АР).
Рис. 57
длина ребра тетраэдра
Обозначим |А1О| через х. Тогда
о-хт/А, „ 1001 = 2-оК1.=-^=. (1)
Выразим через х длины сторон ААРО. По условию имеем
Д0Р= " |Д0|= j/i
3
(2)
87
Из подобия APOMcsoABjO^ находим *
' / |р°|=|ад| 1Ж=тЙт7-. <3>
Тогда по теореме косинусов
|ЛР|г=|ЛО|24-|О/’|3-|ЛО||ОР|. (4)
Для площади АЛОВ имеем два выражения
А А0Р =4- lApl l°Ql= т !Л°1 l°plsln
£ Л
Подставив в это равенство значения длин отрезков из (1),
(2), (3) и (4), получим уравнение х2 — 4]/" 3x4-10=0,
откуда ‘ х=2|/з + ]/~ 2. Для обоих значений х условие
AfetOO,], т. е. 0<х<4|Лз. очевидно выполнено. Таким
образом, а=3]/Г2±уГ3.
Рассмотрим случай M — Oh Высота тетраэдра равна IOOJ »
=4^3, следовательно, длина ребра а=6]/2, и расстояние
от центра О основания тетраэдра до стороны основания равно
1 а V 3 1 /"д'
-г-• —-— = К о. С другой стороны, линия пересечения плос-
3 2
кости грани (ЛО^О тетраэдра с плоскостью (ЛВС), его основа-
ния параллельна (0^), а значит и ОВ, поэтому расстояние
от точки О до этой линии пересечения равно _ 3
Поскольку > рассматриваемый случай невозможен.
Ответ: см.
ФИЗИКА
Билет № 7
1. Соударений не будет, если скорость бусинки v после со-
ударений будет меньше или равна скорости гири uf v^.Ui. В ре-
88
зультате одного столкновения с бусинкой скорости всех трех- тел
будут при этом приблизительно равны: v^Ui^u2=w- Так как
потерь нет, то после всех соударений должны выполняться зако-
ны сохранения энергии и импульса:
mva=MU. — MUt — mv
mvg Mui Mu] mv3
- : — 22 I-—-
Ho
mv<^MU; —
Поэтому
zz = t1/ — ^6 см'сек
V , 2M
u2 — «,=-^- = 0,1 см1сек (u2 — ii\ <^u\
M
2. Пользуясь уравнением состояния идеального газа, найдем
объем кислорода до и после сгорания:
m,.RT
V = J!^L,
Так как давление водяного столба пренебрежимо мало по
сравнению с атмосферным, то конечное давление-считаем рав-
ным ро.
изменение массы кислорода
•2.
Высота h, на которую поднимется вода, равна
ь V„ - V М RT „„
fl —----_ “ =--------- -----— Q 7 f> и
S 2^ PbS У’1СМ‘
3. Поскольку внутри плиты напряженность поля равна О
(металл!), напряженность поля зарядов, находящихся па пла-
стинах конденсатора
89
Плита находится в этом поле, следовательно, на нее действует
сила
EQ g . юз , ю~9 г
F=£Q=-----—- = - - —= 6 • 10~5 н.
d-di 1,5 Ю-2
4. Изображение не должно смещаться больше, чем на 6=*
0,02 мм. Угол качания <р
. в 2 • 10-2 1Л_7
tg®==—=--------= 0,66- 10 ;
& т f 3 • 10' ’
<Р = 7 • 10-8 рад.
Билет № 12
1. Так как трения нет, скорость тела после отрыва не изме-
няется и, относительно неподвижной системы координат, тело
Движется по прямой с постоянной скоростью. Скорость тела в
момент отрыва f=w/?/2, пройденный путь 5—J//?3 — (/?f2)3 -
- ЯИЗ/2. Тело покинет диск через время
i=Sl V = ]/з /<о s 2,5 сек.
2. Пусть I— длина сосуда; S — сечение его; AZ — перемеще-
ние поршня; k\, k2 — жесткости пружин. Число молей газов оди-
наково, п^—п^—п.
При nRT р' nRTn ’ г 1 Tzs
4 т-
р’ р' 4 nRTj л < 3 IS 4nRTa IS 4о (1)
При
8 nRTx 8/?Г0 = ^‘ + ^8 S (2)
Р* Р' 7 IS IS
Из уравнений (1) и (2) найдем Тх:
_£ Л-470=.| 7Л-87О), 7,= 2 (7.+ 70).
90
3. При разомкнутом ключе, если бы диода не было, на сопро-
п г nv <?эфф
тивленип к выделялась бы мощность w 5 =-----: здесь
R
изфф =^= и0- амплитудное значение напряжения. Так
V 2
как диод пропускает ток только половину времени, мощность
уменьшается в два раза: .
' 2R 4R '
При замкнутом ключе на сопротивлении R имеем постоянное на-
пряжение, равное амплитудному значению ]/r2Ua^,рассеиваемая
на сопротивлении мощность и7,= — Таким образом рассеива-
емая мощность вырастает в 4 раза. Когда на конденсаторе нап-
ряжение U, ток через R равен U/R, за период Г протекает заряд
Д <7 — 1 Отсюда имеем условие для параметров цепи: \q<^.q-=*
R
*=CU, RC^>T.
4. BC=rsini (г —OB, R=OD)
(см. рис. 58).
DE—Rsml'
ВС _ г sin I г
DE R sin i“ R
п..
ih
1,
BC = Di.
91