ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ МЕХМАТ МГУ, 1979 Г.
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ.
1. на основании АВ трапеции abcd задана точка к. построить на основании cd такую точку м,чтобы площадь четырехугольника, получающегося при пересечении треугольников амв и cdk, была наибольшей. (Эта задача предлагалась на специальном туре для фмш г. Москвы Физико-математической олимпиады МФТИ 1973 г.) 2. может ди Фигура иметь в пространстве ровно 6 осей симметрии? 3. ЧТО больше 60* или 2+Vz Д_ ГД£------Г' уО k I '-тг L К' 1Й И OF CI ilJ .
4.	Три данные окружности 01, 02, оз попарно пересекаются: 01 и 02 в точках А и В, 02 и 03 -в точках cud, оз и 01 в точках Е и F . доказать ,что прямые Ав, CD, ef пересекаются в одной точке.
5.	В основании некоторого тетраэдра берется точка х и через эту точку проводятся прямые, параллельные боковым рёбрам тетраэдра, до пересечения с его боковыми гранями в точках У,Т,К. Найти положение точки х, при котором объём тетраэдра ХУТК максимален.
6.	В выпуклом четырехугольнике АВСД стороны АВ и сд равны, середины диагоналей ас и вд - различные точки, через эти точки проводится прямая. Доказать, что эта прямая образует с пряными АВ и СД равные углы.
7.	Вписать в треугольник прямоугольник с заданной диагональю. Провести полное исследование.
8.	Решить неравенство: 2 ху 1п(х/у) < х1- у4 .
9.	Решить систему уравнений:
£ у ( х4 - у3 ) -7	..
10.	длины последовательных сторон выпуклого четырёхугольника а,в,с,д. Площадь этого четыр хугольника п. доказать неравенство: П < (ас+вд)/2.
11.	В основании пирамиды мавс лежит правильный треугольник АВС, углы мав,мвс,мса равны, доказать, что мавс - правильная пирамида.
12.	построить выпуклый четырехугольник по его углам и диагоналям. провести полное исследование.
13.	доказать неравенство: х cos х < 0,71 при хе10?п/2Л.
14.	решить в целых числах: х(Зу-5)=у2+1.
15.	Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в,с,е многочлена х +вх +сх+е для того, чтобы из отрезков, длины которых равны корням этого многочлена, можно было составить треугольник? 16. можно ли разрезать произвольно два квадрата на многоугольники, из которых можно сложить квадрат?
17.	Построить треугольник АВС по радиусу описанного круга, хорде ад этого круга, проходящей через центр вписанного круга, и отрезку АО этой хорды от вершины А треугольника до центра о вписанного круга.
18.	дана прямая сд и две точки А и в, не лежащие на ней. найти на данной прямой точку м такую, что амс=2 вмд.
19.	периметр треугольника АВС равен 2р. рассматривается заключенный внутри треугольника отрезок касательной к вписанной в авс окружности, параллельной вс. Существует ли среди всех таких отрезков наибольший по длине?
20а) доказать, что в числе (б+4з7) первые 999 цифр после запятой - НУЛИ.	,од
а') То же для (6+J35)	, но девятки.	____-
в> Пусть п - целое число, для которого п < (45+41975?	. п+1.
Доказать, что п - нечётно.
с) пусть <>:> - дробная часть числа х. Найти Jim <(2-»{3)*' j. 21а> даны три сферы попарно неравных радиусов,л”ни одна из них не ежит внутри другой. Доказать, что общие внешние касательные к
двум из этих сфер пересекаются в одной точке, в) доказать, что полученные таким образом три точки лежат на одной прямой.
22.	точка □ лежит на основании треугольной пирамиды мавс. доказать, что сумма углов, образованных прямой ом с ребрами на,мв,нс, менее суммы плоских углов при вершине и и более половины этой суммы.
< Указание: проведем через точки А, м и О. Из свойств плоских углов трехгранного угла можно написать 4 неравенства:
Z AMO+4DMO дАМС+ZCMD
LАМО+ дОМО<LАМВ ' LBMD д СМО-д DMO</. CMD ZBMO-cDMOQBMD почленное сложение этих неравенств даёт: 2ДАМ0-К. ВМО+Д CMO<z AMC+2Z ВМС+Д АМВ. напишем ещё два аналогичных неравенства (их вывод такой же) и сложим почленно эти три неравенства. После сокращения на 4 получим искомое соотношение. >
23.	a,b,c,d - последовательные стороны выпуклого четыр хугольни-ка, П -его площадь, доказать неравенство:
П < (J7a+b) ^Ь+С) (c+d) (d+a?)/4.
24.	доказать, что любое сечение произвольной треугольной пирамиды по площади меньше хоть одной из её граней.
тетраэдре авсд двхдс и основание перпендикуляра, проведенного через точку д к плоскости треугольника АВС, совпадает с ортоцентром этого треугольника. Докажите, что ( IABJ + IBCI + I ACI £ 6( lADl* 1 4 IBDI1+ICDI2 3-) . для каких тетраэдров имеет место неравенство?
НА РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНАТОРЫ ДАВАЛИ АБИТУРИЕНТАМ НЕ БОЛЬШЕ ДВАДЦАТИ МИНУТ.
РЕШЕНИЯ.
1. Пусть АК=а, вк=ь, dm=x, СМ=у, S - площадь треугольника вкс. тогда искомая площадь равна сумме площадей треугольников, полученных делением четырехугольника прямой км» равна
Зха/ ( ( хт-у) ( ат-х ) ) т-Syb/ ( (х+у) ( b4-y ) ) =S (ах / (а+х) т-by / ( Ьт-у) )/(х+у) . нужно .найти х,при котором достигается максимум этой функции.
Возьмём производную по х и приравняем её’ к нулю, получим
а*/(ал-х)* =ЬХ/(Ь-; у)1- , то есть х/у»а/Ь, то есть прямые AD, КМ и ВС пересекаются в одной точке. Действительно, при таком х достигается максимум, т.к. если х/у < а/b, то производная больше нуля, а если х/у > а/b, то производная меньше нуля.
2. Заметим, что если движение F и осевая симметрия s относительно прямой 1 переводят Фигуру в себя, то композиция F«S*F
L г	- симметрия относительно оси г(1), т.е. она также пе-
реводит фигуру в себя.
Рассмотрим одну осевую симметрию, для любой другой оси есть симметричная ей ocb.JCM. выше). число осей, не совпадающих с симметричными себе, чётно (т.к. они разбиваются на пары симметричных осей), число осей, симметричных себе, также чётно, т.к. это - прямые, пересекающие первую ось и перпендикулярные ей, а их можно разбить на пары пересекающихся под прямым углом прямых (подумайте, почему), следовательно, общее число осей нечетно или бесконечно. А т.к. число 6 чётно, то Фигура не может иметь в пространстве ровно 6 осей симметрии.
3. возведём обе части в куб, обозначим 4» корень кубический из семи. Осталось сравнить el+2e-22»S с нулём, т.е. сравнить поломит
дельный корень b=-l+j23,5 с а, для чего достаточно сравнить разность их кубов с нулем: разность кубов =-2Ьг+22,5b-7 = 4b 45 + * 22,5b	7 = 26,5b	52 = 26,5^23 ,*5 - 78,5 > 25-4	100	= О.
Следовательно, первое число больше второго.
4.	пусть 01,02,03 - центры соответствующих окружностей, о - точка пересечения АВ и сд, точки а,с,е для определ нности лежат вне треуг. 01 02 03 (Рисуя чертеж, ТОЧКИ B,D,F,E не отмечайте,чтобы не загромождать чертёж), опустим из о перпендикуляр на 01 03 и на его продолжении отметим точки El, Е2 так, чтобы 01 Е1 = 01 А, оз Е2 » оз с. пусть K,L,M - точки пересечения отрезков 01 02 и АО, 02 03 и СО, 03 01 и ЕО соответственно. Обозначим длины отрезков числами: 1»KD1, 2=К02, 3=L02, 4=L03, 5=М03, 6=М01,	7«АК,
8=С1_,	9=МЕ1,	10=МЕ2, 11=001, 12=002, 13=003. ИСПОЛЬЗУЯ теорему
Пифагора и то, что AO1=D1 El, А02=С02, С03=03 Е2, запишем систему:	Г 12г-21=1 1г-1‘
I 131-4г=12г-3г
) 11г-61 =13»-51
К	+7г
] 71+2г=Зг+8г
I Вг + 4* =5х + 10г .
сложив все 6 уравнений, получим 9г=10г, т.е. Е1=Е2=Е, т.е. о принадлежит ЕР, что и требовалось доказать.
8.	докажите, что ху>0, и разделите обе части неравенства на ху. докажите, если а=х/у, то производная функции -f(a) = а- 21п а -1/а больше или равна О (равна нулю только при а=1). Заметьте, что -F (1)=0.
10.	Проведём диагональ и построим треугольник, симметричный од ному из образовавшихся треугольников относительно серединного перпендикуляра этой диагонали. Если площади треугольников, разделённых диагональю, А и в, то, очевидно, п=А+В=(ас sin(a~b))/2+ + (bd sin (b;-d) )/2	(ac+bd)/2.
11.	От противного: пусть не выполняется равенство МА=МВ=МС, то есть, например, МА>МВ. тогда в треугольнике мав MA>a/2cos-L; M8>a^c^ai_ N/4gfa=AB). Следовательно, в треугольнике МВС МВ МС>а/2соь«с,следова тельно, в треугольнике MAC MC >MA>a/2cos * , т. е. мв>МА-противоре-чие.
13.	докажите, что х cos х = х sin(0/2 - х> 4 х<П/2 - х) 4 <П/4) < < (10/3 4) < 0,7 < 0,71, причем П < 10/3, Т.Н. П < 10 tq(H/10), a tg(П/10)=(4о - 1)/(JT1O + 2J5S) < 1/3 (найдите «1л(П/10> из рисунка).