Автор: Эйлер Л.
Теги: математика дифференциальное исчисление алгебра математическая литература эйлер алгебраические функции
Год: 1949
Текст
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЯТеревоЪ € лати нского, вступительная статья и примегапия
Я. В ыгод с кого
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИ КО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва- А.О)^-ЛепинграЪ
11-5-4
Редактор 13, А, Калакуцкий* Тех. редактор М, Д, Суховцева,
Подписано к печати 15/IV 1949 г. 36,25 печ. л, 49,83 уч.-издат. л. 54 988 тип. зн. в печ. л. А-04314. Тиране 5000 эка» Цена книги 30 руб. Переплёт 3 руб. Заказ М 1004.
16-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудный пер., 9.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО К «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ» Л. ЭЙЛЕРА
М. Я. Выгодский
1. В 1755 г. Петербургская Академия Наук выпустила в свет одно из самых замечательных произведении математической литературы—-«Дифференциальное исчисление», принадлеясащсс перу члена Петербургской Академии Леонарда Эйлера. Как if большинство научных трудов в эту эпоху, оно было написано на латинском языке. Русский его перевод появляется сейчас впервые. По этому произведению в течение целого столетня учились математики всего мира; особенно сильное влияние оказало око на преподавание и развитие математики в России1). И хотя в наше время труд Эйлера ужо ire может служить учебником дифференциального исчисления, однако и теперь он представляет большой интерес. Богатство содержания, изумительное мастерство приёмов, гениальная изобретательность в решении труднейших вопросов, величавая простота изложения и несравненные педагогические достоинства — всё это делает чтение «Дифференциального исчисления» чрезвычайно поучительным и вместо с тем увлекательным для учащегося и для педагога, для математика и для историка науки.
Сочинения многих классиков математической мысли трудно доступны, особенно читателю, удалённому от эпохи их созидания на столетия. Чтобы разобраться в творениях Ферма, Дока рта, Ньютона. Лойбница, Гаусса, нужно затратить большой труд, для облегчения которого нужны обстоятельные комментарии. Произведения Эйлера не таковы. Ход мысли автора в них всегда ясен; часто, правда, его рассуждения не могут нас убедить, но всегда видно, как думал Эйлер и чего похватает в его рассуждениях. Поэтому «Дифференциальное исчисление» Эйлера почти не нуждается в комментариях, частного характера. Там, где они казались переводчику необходимыми, он их давал в коротких сносках.
Но «Дифференциальное исчисление» представляет большую книгу, чтение которой от начала до конца потребует большого времени. Между тем, многим читателям, которые не будут иметь возможности
!) В рангах агой статьи нет возможности охаракн’рнзовать значение Эйлера в истории математики вообще и в истории русской математики в частности. Мы отсылаем читателя к сборнику «Леопард Эйлер», изданному Ака щмией Паук СССР в 1933 г., и к ".татье A. II. Юшкевича «Л. Эйлер п русская математика г. XVIH в.» («Труды Института истории естествознания», т. III, 1949).
6
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
прочесть это сочинение целиком, будет интересно воспользоваться им как хрестоматией по истории математики в XVIII в., как собранием замечательных образцов аналитического мастерства или с иными целями. Эти читатели нуждаются в общем обзоре произведения. В настоящей статье такой обзор и даётся. Но для того, чтобы читателю — даст ли он себе труд изучить произведение Эйлера полностью или пожелает ограничиться тем, что наиболее его заинтересует—были ясны позиции автора, его отношение к предшественникам и значение его работы для после
дующего развития науки, я сначала постараюсь в кратких чертах охарактеризовать историческую обстановку и отметить отличительные особенности стиля Эйлера.
2. Дифференциальное и интегральное исчисления, если сделать ударение на последнем слове, были созданы Ньютоном и Лейбницем в 70—80-х годах XVII в. К этому времени основные идеи анализа были уже хорошо разработаны. Опираясь на работы древнегреческих математиков, в первую очередь Архимеда, авторы XVII в.—Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Ферма, Паскаль, Валлис и другие — систематически развили процессы интегрирования и дифференцирования. Эти операции не были ещё облечены в отвлечённую форму. Они рассматривались в неразрывной связи с геометрическими и механическими задачами. Но общность этих операций отчётливо сознавалась. Так, задачи спрямления кривой и нахождения центра тяжести тела сводили к задаче квадратуры (определению площади, порождённой движением ординаты данной кривой), а для выполнения квадратур были указаны общие методы, по существу тождественные с методами интегрального исчисления. Правда, эти методы охватывали сравнительно узкий класс кривых, т. е., выражаясь по-современному, до Ньютона и Лейбница математики умели вычислять интегралы сравнительно узкого класса функций. Но это был недостаток техники, над преодолением которого успешно работали.
Понятие производной функции также выступало в геометрической и механической форме: отыскивали скорости по заданному закону движения; находили подкасательную кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Зная длину подкасательной, можно построить касательную. Отношение же ординаты к подкасательной есть не что иное, как производная ординаты относительно абсциссы; хотя это отношение и не привлекало особого внимания предшественников Ньютона и Лейбница, мы всё же вправе сказать, что здесь в геометрической форме выступает понятие производной, ибо ведь принципиально не важ
но, рассматривается ли функция^ или функция дающая длину
подкасательной.
Самое понятие функции в отвлечённой его форме не было ещё высказано. Но уже метод графического представления, который составляет основную идею «Геометрии» Декарта и который систематически применялся задолго до Декарта Галилеем (не говоря о более ранних предвосхищениях),— уже этот метод по существу обнаруживает наличие общего понятия функциональной зависимости.
Задачи дифференцирования и интегрирования рассматривались каждая по отдельности; первая — как задача о касательной, вторая — как задача о площади. Но уже Ферма, как видно из черновых его заметок, понимал взаимно-обратный характер этих задач. Учитель Ньютона Барроу доказал эту взаимную обратность, оставаясь на почве гео
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
7
метрического представления об интегрировании, как о квадратуре, и о дифференцировании, как проведении касательной.
Нельзя на одной-двух страницах дать сколько-нибудь полное представление о своеобразии инфинитезимальных методов XVII в., но уже из изложенного можно видеть, как много ещё оставалось сделать Ньютону и Лейбницу для того, чтобы эти методы получили ту глубину и широту, которой обладает исчисление бесконечно малых. Сейчас будет сказано, что было ими сделано.
3. В шестидесятых годах XVII в. алгебра обладала уже той символикой, которой мы пользуемся и сейчас. Между тем интегрирование и дифференцирование, выполнявшиеся, как сказано, в геометрической форме, не имели ещё никакого или почти никакого алгоритма.
Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, использовали аппарат алгебраической символики и создали такой алгоритм. Обозначения Лейбница стали вскоре общепринятыми. Мы пользуемся ими и сейчас. Обозначения Ньютона были иными. Хотя они несколько уступали лейбницевым, но в общем достигали той же цели: методы интегрирования и дифференцирования были облечены в форму исчисления.
Символическое оформление позволило отвлечь основные инфинитезимальные понятия от их геометрического и механического овеществления. Хотя и Ньютон и Лейбниц постоянно связывают свой алгоритм с геометрической и механической картиной и зачастую существенно опираются на интуицию, но отвлечённые понятия переменного количества и функции (Ньютон говорит «отнесённое количество» и «соотнесённое количество», но наименование не играет, конечно, роли) отчётливо выставлены на первый план.
Человеку нашей эпохи этот шаг или, лучше сказать, скачок, может показаться мало значительным; ведь и алгебраическая символика уже существовала, и основные операции и даже связь между ними были изучены и нашли многообразные применения. Велика ли заслуга объединить эти элементы? К этому можно было бы добавить ещё, что у предшественников Ньютона и Лейбница (ферма, Барроу и др.) уже были попытки облечь в символическую форму операции интегрирования и дифференцирования.
Может быть, и сами творцы нового- исчисления не придавали большого значения этому своему открытию. Но на самом деле это было открытие величайшей важности. А что создание хорошей удобной символики было не столь лёгким делом, видно хотя бы из тех сохранившихся черновых записей Лейбница, где он делал первые попытки создания этой символики. Так, дифференциал функции у Лейбниц обозначал сначала через у, а интеграл её через у. Легко видеть, что эти обозначения не выдерживают никакого сравнения с позднейшими обозначениями Лейбница, ставшими почти немедленно общим достоянием математиков европейского континента.
4. Изобретение алгоритма исчисления бесконечно малых позволило Ньютону, Лейбницу и ученикам Лейбница Якову и Иоганну Бернулли в течение нескольких лет получить поразительно большое число очень важных новых результатов.
Прежде всего техника дифференцирования и интегрирования была развита почти до тех пределов, в которых мы ею владеем теперь. Повторное дифференцирование функций, которое как бы само напрашивалось на перо вычислителя, позволило без труда решать ряд Задач,
8
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
которые представляли прежде большие трудности, как, например, задачу определения радиуса кривизны. Вообще многие задачи геометрии и механики, которые прежде доступны были лишь самым выдающимся математикам, стали теперь посильными для каждого обучившегося новому алгоритму.
В повестку дня был поставлен в общей форме вопрос об интегрировании дифференциальных уравнений, который прежде ставился лишь для очень частных случаев и удовлетворительно решался лишь в единичных случаях. Лейбниц и его ученики сразу применили разделение переменных и ряд подстановок. Как мы теперь знаем, трудности, связанные с решением дифференциальных уравнений с помощью квадратур, носят не технический, а принципиальный характер, и если усилия школы Лейбница были направлены преимущественно на разыскание решений в квадратурах, то Ньютон смело пошёл в лобовую атаку и дал общий метод, сила которого даже при тех ограничениях, которые впоследствии оказалось необходимым на него наложить, была огромной. Я имею в виду метод функциональных (по преимуществу степенных) рядов. Так как этот метод играет особенно большую роль в творчестве Эйлера, остановимся на этом вопросе несколько подробнее.
б. Когда Ньютон начинал свою деятельность, интеграционные методы, созданные его предшественниками, позволяли выполнять квадратуры, равносильные вычислению инте-\ тралов вида
(<?! х™* а2 хт* + .. . -у- ак х™*) dx, (1)
V? где 7П1, т2, .. ,,тк суть любые числа.
В основе этого интегрирования лежало ___]_______ I правило, равносильное формуле
® (• Tm+i
Рис. 1. xmdx = . (2)
Один только случай т — — 1 не укладывался в эту формулу. Задача С С dx
вычисления интеграла \ x^dx — \ — на языке математиков XVII в. формулировалась как задача разыскания площади А, В, С, D (рис. 1), описываемой ординатой гиперболы ху=1.
Ферма, исходя из инфинитезимальных геометрических соображений, заметил, что площадь ABCD растёт в арифметической прогрессии, когда абцисса x = OD растёт в геойетрической прогрессии. Если мы примем во внимание, что в то время это свойство клалось в основу определения и вычисления логарифмов, то будет понятно, что это открытие было равносильно установлению формулы
—- = к 1g х,
(3)
где к— постоянный множитель, величина которого зависит, как мы сказали бы теперь, от основания, по которому берутся логарифмы, т. е. от того числа, которому в упомянутом соответствии двух прогрессий отвечает логарифм, равный 1. Если пользоваться десятичными логарифмами, то к = In 10 2,718 ... Таким образом, имея таблицу
логарифмов, можно было найти квадратуру гиперболы.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
9
Хотя такие таблицы, и притом весьма точные и подробные, были налицо, но техника их составления была чрезвычайно утомительна. Установленная Ферма связь между квадратурой гиперболы и вычислением логарифмов, естественно, вызвала попытки разыскать алгебраическое выражение площади гиперболы, т. е., выражаясь современным языком, найти для интеграла алгебраическое выражение.
Эти попытки оставались бесплодными, пока Николаю Меркатору не пришла в голову простая мысль отнести гиперболу ВС к другой системе координат. Если взять начало в точке А с абсциссой О А = 1, то уравнение гиперболы, как было легко .усмотреть, принимает вид у(ж-|-1) = 1, и задача сводится к определению интеграла
X
Чтобы свести этот интеграл к интегралам от степенных функций, Меркатор выполнил деление 1:(14-ж), иными словами, представил как сумму бесконечной геометрической прогрессии
1 — ж + жа — ж’+ ж4— ... (5)
Суммированием прогрессии постоянно пользовался Ферма, но даже этот величайший математик не догадался использовать обращение этого суммирования так, как сделал это во всех отношениях средний математик Меркатор, который, не смутившись тем, что многочлен (5) имеет бесчисленное множество членов, проинтегрировал его и получил результат, равносильный формуле
In (1+ж)=ж — l.xs + jX3-^X*+ ... (6)
Об этом результате Меркатор упомянул в своей книге «Логарифмо-техника», вышедшей в 1668 г.
Спустя шесть лет, Ньютон писал Лейбницу, что это и многие другие применения бесконечных рядов к интегрированию было ему 'известно ещё в 1665 г., но что, ознакомившись с книгой Меркатора, он потерял интерес к дальнейшим занятиям этими вопросами, предполагая, что либо сам Меркатор знает всё это, «либо другие найдут остальное прежде, чем я окажусь в состоянии написать об этом».
Если даже отнестись, как это сделал Лейбниц и вслед за ним некоторые историки, с недоверием к этому сообщению и заподозрить, что идею применения бесконечных рядов Ньютон заимствовал у Меркатора, то и тогда результаты Ньютона, которые были им сообщены Коллину тотчас после ознакомления с «Логарифмотехникой», поражают своей силой. А через два-три года в своём «Методе флюксий и бесконечных рядов» (напечатано в 1736 г., спустя 9 лет после смерти автора *)) Ньютон дал развёрнутую картину применения рядов к инте-
!) И. Ньютон, Математические работы. Перевод проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского, 1937, стр. 25 —166.
10
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
грированию функций и к решению дифференциальных уравнений вида
У = / (х, у),
где за / (х, у) можно взять любой бесконечный или конечный степенной ряд вида ’^1'^aikxiyk. А так как Ньютон умел разлагать в ряды все «эле-к i
ментарные функции», то практически любое дифференциальное уравнение оказывалось, таким образом, разрешённым. От внимания Ньютона не ускользнуло, что рядами этими можно пользоваться лишь при достаточно малых значениях х, у. Но и за пределами сходимости этих рядов Ньютон находил решение дифференциальных уравнений путём введения новых переменных х~а-\-х', у = Ь + у'. Это, разумеется, равносильно разложению f(x,y) по степеням х — а, у — Ъ.
Ньютон не ставил вопроса об определении радиуса сходимости рядов или хотя бы о доказательстве сходимости данного ряда. Он довольствовался достаточно быстрым убыванием членов ряда. Тем менее склонен был он подвергать сомнению законность почленного дифференцирования и интегрирования рядов. Лейбниц и его ученики уделяли этим вопросам несколько больше внимания. Лейбниц, например, установил признак сходимости знакопеременных рядов, и сейчас носящий его имя. Яков и Иоганн Бернулли обнаружили и доказали поразительный для этой эпохи факт расходимости гармонического ряда и других рядов с неограниченно убывающими членами.
6. Казалось бы, что факт существования рядов с убывающими членами, и всё же расходящихся, должен был бы предостеречь против безоговорочного перенесения па бесконечные ряды свойств многочленов. На самом деле происходит обратное; наиболее существенные открытия конца XVII и начала XVIII вв. в области исчисления бесконечно малых покоились на совершенно некритическом обращении с бесконечными рядами.
Тот же Иоганн Бернулли в поисках наиболее общего метода интегрирования в 1694 г. приходит к формуле, которую в изменённых обозначениях можно представить в виде
у dx = xy
x2 dy , х3 d2y
1 • 2 ~dx + TAT. 3 ~dx2
x‘
d3y
1 • 2 • 3 • 4 ~dx':
(7)
Эту формулу он получает так.
1 (одиптегральное выражение у dx представляется в виде
у dx + xdy-— xdy — X2 d’-y . x2 d2y x3 d3y
1 • 2 dx 1 • 2 dx 1 • 2 • 3 dx2
X3 d3y x4 diy , x* d'y
1 • 2 • 3 dx2 1 • 2 • 3 • 4 dx3 1 1 . 2 • 3 • 4 dx3
(8)
Указывается, что аналогичное выражение можно построить и при большем числе слагаемых. Затем первый и второй, третий и четвёртый и т. д. члены объединяются и представляются в виде
d(xy),
' а \ 1-2 dx J ’ V 1 -2 3 dx2 / ’
Теперь выполняется почленное интегрирование, причём число слагаемых сразу берётся бесконечным, а последний, непарный член.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
11
просто отбрасывается. Спустя 20 лет, в 1714 г., английский математик Брук Тэйлор, ярый сторонник Ньютона в споре о приоритете открытия исчисления бесконечно малых, в своём «Методе приращений» вывел формулу (7) по существу тем же приёмом. Установив с помощью интегрирования по частям (мы снова меняем обозначения), что
Г» , х* dy . С х* d2y ,
\ydx-xy-~^ + \s--s^dx
и что аналогичные формулы имеют место при любом числе членов, он переходит к бесконечному ряду, совершенно не учитывая влияния последнего слагаемого.
В этом же сочинении Тэйлор даёт, имея в виду ту же цель дать общие методы квадратур, разложение функции у в бесконечный степенной ряд вида
। dz . X п d% z .
y = Z + Vte + 2V 7?+-' W
где z есть значение функции у при некотором значении аргумента х, a v есть приращение аргумента, соответствующее вычисляемому значению у.
Этот ряд (он был позднее назван рядом Тэйлора) Тэйлор, не замечая его связи с рядом (7), получает иными, но столь же «наивными» средствами. Он исходит из интерполяционной формулы, данной Ньютоном в 1711 г. *).
Пусть аргумент х получает, начиная со значения х = а, п последовательных приращений, равных Да:, и пусть Д/(а), Д2/(а), Д*/(а) и т. д. суть конечные разности функции f{x), взятые при х—а, т. е.
Д/(а) = / (а +Да:) — /(а), Д/ (аДа:) =/’(а + 2Да:) — / (а)
Д2/ (а) = Д/ (а + Да:) — Д/(а), Д2/ (а-|- Да:) = Д/ (а + 2Да:) — Д/ (а + Да:)
Д3/(а) = Д2/(а-|-Да:) — Д2/(а) .........................'
Тогда согласно формуле Ньютона мы имеем тождественно
/(а + пДа:) = /(а)+пД/ (а) + А2 / (а) +
(п-2)Д3/(а)+...+Дл/(а), (10)
где п есть любое целое положительное число.
Идея Тэйлора состоит в следующем. Положим пДх — h. Тогда
,, , м fl., h V (а) . h (h - Дх) Д2/ (а) h (h - Дх) (Л - 2Дх) Д3/ (а)
/(а + Л) = /(а) + Л^^ + —1Т2--Д5Г- +-----1Т2Т3------'
Эта формула всё ещё содержит конечное число п +1 членов: Тэйлор не выписывает их дальше. Далее Да: предполагается бесконечно малым, a h—фиксированным. Тогда коэффициент h(h— Да:) «обращается» в Л2; h(h — Да:) (Л — 2Да:) — в Л2 и т. д., а величины и т. д.—
df (a) d2/(а)
в производные - , —- и т. д. (&0С ОС
i) Ньютон, Математические работы, пер. Д. Д. Мордухай—Болтовского, ОНТИ, 1937, стр. 210-217.
12
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Отсюда Тэйлор получает формулу, которая в модернизованном виде имеет вид
/(й + й) = /(а) + й^+4^^а)+ ... (11)
и которая совпадает с формулой (9), более близкой к оригиналу по начертанию. Он не смущается тем, что число членов в формуле (11) бесконечно велико, и не даёт себе труда оценить погрешность, появляющуюся в последних членах формулы (10).
Таковы те чудовищные, с нашей точки зрения, приёмы, которые применялись в XVIII в. при выводе наиболее важных результатов анализа. В течение всего XVIII в. никто не попробовал положить в основу вывода ряда Тэйлора оценку совершаемой погрешности. Даже Лагранж, который в 1797 г. впервые поставил вопрос о погрешности, происходящей вследствие замены бесконечного ряда Тэйлора конечным числом его членов, не помыслил о том, чтобы исходить из этой оценки при выводе ряда Тэйлора; этот ряд принимался им за исходный принцип всей его теории функций.
Эйлер не представлял исключения из правила. Напротив, он был смелее, чем все его предшественники.
Его не только не смущала мысль о возможной расходимости ряда, но он оперировал с заведомо расходящимися рядами так, как если бы они были обыкновенными многочленами.
7. Было бы, однако, большой ошибкой полагать, что математики XVIII в., в частности предшественники Эйлера, не придавали значения или не интересовались вопросом обоснования анализа. Напротив, и Ньютон, и Лейбниц, и их последователи не раз обращались к этому вопросу. Но нельзя сказать, чтобы в XVIII в. было найдено такое его решение, которое могло бы считаться достаточным. Недаром ещё на исходе века, 1784 г., Берлинская академия, которую возглавлял в то время Лагранж, объявила конкурс, в котором математикам всего мира было предложено «дать ясную и строгую теорию того, что в математике называется бесконечным».
Здесь нет возможности сколько-нибудь полно осветить различные точки зрения на природу математической бесконечности, которые высказывались предшественниками Эйлера. Мы ограничимся поэтому тем, что нам кажется безусловно необходимым для понимания позиций нашего автора.
Наиболее продуктивной точкой зрения—к ней обращались даже её противники, когда от общих рассуждений они переходили к получению конкретных результатов — была точка зрения, которую мы назовём лейбницевой, так как Лейбниц и его ученики развивали её наиболее последовательно.
В учебнике анализа бесконечно малых, который выпустил в 1696 г. Лопиталь и который, как заявляет автор х), написан под сильным влиянием братьев Бернулли, особенно младшего, Иоганна, бесконечно малая величина определена, выражаясь па современном языке, аксиоматически. Именно выставляется следующий постулат: «Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно
х) Г. Ф. Лопиталь, Анализ бесконечно малых, Перевод Н. В. Леви, под ред. А. П. Юшкевича, ГТТИ, 1935, ст.р. 59.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
13
малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой или (что то же самое) чтобы величина, которая увеличивается или уменьшается лишь на другую величину, бесконечно меньшую, чем она сама, могла быть рассматриваема, как остающаяся той же самой величиной». Второй постулат требует, чтобы кривую линию можно было рассматривать как ломаную с бесконечным числом бесконечно малых звеньев.
Дифференциал Лопиталь определяет как бесконечно малое приращение. Все формулы дифференциального исчисления он получает затем с большой лёгкостью. Так,
d (zy) = (х + dx) (y + dy) — ху = х dy + у dx-\- dxdy = xdy -f- у dx, «ибо dxdy есть величина, бесконечно малая по сравнению с другими членами у dx и xdyi>.
Итак, бесконечно малая величина в этой концепции не есть нуль, но ведёт себя в известных случаях, как обыкновенный пуль.
Па ту же точку зрения иногда становился и Ньютон.
«Так как мы предположили 0 бесконечно малой величиной,— говорит он при выводе соотношения между флюксиями (производными) количества;,?/, связанных соотношением х3 — ах2 4- аху — у3 = 0,— то те члены, которые на неё умножены, можно считать за ничто в сравнении с другими. Поэтому я ими пренебрегаю...»1).
Однако математики XVII —XVJII вв., одни, как Ньютон, в большей, другие, как Лейбниц, в меньшей мере, не были вполне успокоены (почему — скажем ниже) такой концепцией и искали иного выхода. Так, Лейбниц в своём основном мемуаре 1684 г. определяет дифференциал dx независимой переменной, как произвольное количество, а дифференциал dy зависимой переменной как такое количество, отношение которого к dx равно отношению приращения ординаты касательной к приращению абсциссы.
Некоторые историки хотят видеть в этом определении современное определение дифференциала функции как произведения производной па приращение аргумента. Оно было бы таковым, если бы Лейбниц умел дать определение углового коэффициента касательной, и самое важное, если бы он умел вывести формулы дифференциального исчисления, исходя из этого определения. Но эти формулы он получает так же, как это впоследствии сделал Лопиталь.
Если Лейбниц использует геометрическую интерпретацию, то Ньютон, стремясь обеспечить строгость изложения, исходит в «Методе флюксий» из механической картины, определяя «флюксию» (производную) как скорость изменения функции относительно аргумента, которому приписывается роль времени. Однако при выводе основных соотношений между флюксиями он, как мы видели, вынужден пользоваться тем же приёмом, что и Лопиталь.
В «Математических началах натуральной философии» (1687 г.) Ньютон ещё ближе, чем в «Методе флюксий», подходит к идее предела и даже употребляет термин «предел», который, можно сказать, отсюда и ведёт своё происхождение. Это дало основание многим учёным видеть в ньютоновом «методе первых и последних отношений» далеко идущее предвосхищение идей Коши. Академик Н. Н. Лузин
Э Ньютон, Математические работы, стр. 50.
14
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
считает даже, что у Ньютона «теория пределов выполнена с гораздо большей осторожностью, чем у Коши»1). Против такого взгляда можно было бы выставить много возражений. Анализируя рассуждения, проводимые Ньютоном при выводе конкретных результатов, можно
показать, что идея предела не является у него математическим орудием, не является составной частью действующего аппарата. Это потребовало бы, однако, большего места, чем мы располагаем в данной статье. Кроме того, всегда можно было бы ожидать контрвозражения, что Ньютон, отчётливо владея методом пределов, не мог ещё или даже не стремился к тому, чтобы придать ему столь же отчёт
ливое словесное выражение.
Однако если не только в 1687 г., но и четверть века спустя, Ньютон, говоря о принципиальных вопросах обоснования анализа, высказывает суждения, идущие вразрез с концепцией предела у Коши, то мы вправе сказать, что идея предела у Ньютона и не могла быть рабочим орудием анализа. Между тем, в I «Рассуждении о квадратуре кривых», по-явившемся в 1711 г., мы находим именно __________________*£ такие суждения. Ньютон рассматривает । здесь секущую СК и касательную СИ
s'/ • (рис. 2). «Если, — говорит Ньютон2),—
s' /______________t' точки Сие отстоят друг от друга на
какой-нибудь малый промежуток, то пря-
Рчс- 2. мая СК мало отстоит от касательной
СИ. Для того чтобы прямая СК совпала с касательной СИ и нашлись бы последние отношения линий СЕ, Ес и сС, необходимо, чтобы точки С и с сошлись и совершенно совпала 3). В математике не следует оставлять без внимания и самые малые ошибки». Таким образом «последнее отношение» или, что по Ньютону то же, «предел» отношения сЕ : СЕ (в современных обозначениях Ду : Дж) здесь есть не что иное, как значение Ду : Дж в тот момент, когда точки С и с совершенно совпадают, т. е. когда Дж в точности равно
нулю.
Здесь, таким образом, Ньютон решительно отказывается от позиции, занятой им в «Методе флюксий», но вместе с тем вступает в противоречие с заявлением, сделанным им в «Началах»: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств», на которое часто ссылаются как на отчётливую формулировку идеи предела 4). Вместо этого в «квадратуре кривых» высказывается, правда не в достаточно развёрнутой форме, положение, что флюксия (производная) есть отношение нулей.
На эту точку зрения стал в своём «Дифференциальном исчислении» Эйлер.
8. Может показаться очень удивительным, что математическая мысль в течение многих десятилетий после Ньютона не могла стать на путь сколько-нибудь последовательного проведения идеи предела,
') Н. Н. Лузин, Ньютонова теория пределов в сборнике «Исаак Ньютон, АН СССР, 1943, стр. 55.
2) Ньютон, Математические работы, стр. 168.
3) Курсив мой. М. В.
4) Как мы указывали, на самом деле и в «Началах» эта точка зрения не действенна.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
15
которая ныне является предметом элементарного преподавания. Причину этого явления многие видят в том, что «математики полагались на беглость, с которой постепенно приучались выполнять эти операции (операции с -бесконечно малыми величинами), и на очевидную правильность множества полученных результатов и не заботились дальше о принятии нужных мер предосторожности» *). Часто ссылаются на даламберовский совет «Travaillez, et la foi viendra» (работайте, и уверенность появится) и в этом усматривают подтверждение упомянутого объяснения.
Нельзя, конечно, отрицать, что правильность результатов была источником оптимизма, выраженного в даламберовском афоризме и что она давала математикам XVIII в., так сказать, моральную поддержку в их творческой работе.
И всё же упомянутое объяснение представляется мне недостаточным. Действительно, математики XVIII в. прекрасно видели необходимость обеспечить строгость и безупречность результатов, тем более что не всегда была налицо уверенность в их правильности (достаточно, например, вспомнить споры о логарифме отрицательного числа и о задаче звучащей струны). А если бы они и были уверены в правильности результатов, то непрекращавшиеся нападки со стороны критиков от Беркли до Гегеля должны были побуждать, хотя бы в целях самообороны, построить крепость анализа на более солидном фундаменте.
В попытках такого рода и в самом деле .не было недостатка. Однако ни Ньютону, ни Лейбницу, ни Эйлеру, ни Даламберу, у которого современная идея предела была высказана с большой отчётливостью, ни Лагранжу, не говоря о десятках других, менее крупных деятелей науки, не удалось создать действующего аппарата, который мог бы выдержать логическую критику.
Чтобы понять, почему упомянутые попытки не достигали цели, мы должны обратить внимание на то, что математика XVIII в. имела своеобразный идеал строгости.
Этот идеал отнюдь не совпадал с античным, с позиций которого исходила философская критика и на почве которого ещё пытались удержаться некоторые математики XVII века ").
Античная математика опиралась на весьма развитой формальный аппарат; хотя он и являлся продуктом абстракции от наглядных образов, приобретённых из внешнего мира, однако в самом математическом мышлении приобрёл характер абсолютных норм. В тех довольно многочисленных случаях, когда этот аппарат оказывался недостаточным для логической обработки некоторого конкретного материала, античные математики готовы были принести содержание в жертву форме. Так, Евклид совершенно игнорирует задачу спрямления окруж-
) Г. Це й т е и, История математики и ХА I и XVII вв. Перевод П. Новикова, ГТТИ, 1933 г.
То же мнение высказывает Г. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, перевод Б. Лившица и др., 1937, стр. 39. Я бору эти два высказывания наудачу. Число их очень велико.
2) Разумеется, я не утверждаю, что идеал строгости в математике изменился в ночь с 31 декабря 16о9 на 1 января 1700 года; под термином «математика 18 века» я понимаю здесь эпоху, открывающуюся завершением создания исчисления бесконечно малых (70—80-е годы 17 века) и заканчивающуюся в 80—90 годах 18 века; при этом речь идёт не о всех математиках поголовно, а о преобладающей точке зрения.
16
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
ности, задачу квадратуры круга и многие другие проблемы, занимавшие умы его предшественников, потому только, что для их решения традиционный формальный аппарат был недостаточным.
Практическая устремлённость математики XVIII в. не могла мириться с этой прокрустовой манерой древних. Но создание нового формального аппарата, который мог бы охватить новый круг вопросов науки о природе, было в то время делом непосильным: слишком мало было исследовано идейное содержание обширного и каждодневно увеличивающегося материала математических фактов. К тому же на математике не могла не отразиться основная тенденция философии XVIII в. Ведь материализхМ XVIII в. исходил из предпосылки, что содержание всякого мышления и знания происходит из чувственного опыта.
Вот почему формальной критике анализа бесконечно малых математики XVIII в. противопоставляли апелляцию к природе и её законам, разумеется, в том метафизическом понимании последних, которое было присуще этой эпохе.
Таким образом, если античный идеал строгости в математике состоял в согласованности рассуждений с установившимися формальными нормами, то идеал строгости в XVIII в. состоял в согласованности рассуждений с законами природы. Правда, этот идеал, насколько мне известно, никем из математиков .XVIII века не был сформулирован, ибо в то время проблема доказательства, как таковая, ещё не возникала.
Но не случайно Ньютон, Маклорен и другие английские математики вводят в учение о флюксиях понятие механического движения. В апелляции к процессу «течения» они ищут оправдания формальных операций исчисления флюксий. Современная математика идёт обратным путём: формальные операции она стремится положить в основу описания движения.
Но при интуитивном восприятии движения скорость его нелегко представить как предел отношения As : Д£, ибо течение времени необратимо, и стремление Дг к нулю, так сказать, насилует естественную направленность процесса.
Характерно, что когда Ньютон хочет пояснить понятие «последнего отношения» на примере из области механики, он рассматривает не величину c=lim а величину, которую я обозначу через о и которую я обозначу через в и которую Ньютон определяет, как «скорость, которую имело тело ранее, чем оно достигло места, где движение прекращается»1). Эту величину он сравнивает с величиной, которую я обозначу через и0 и которую Ньютон определяет, как «ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается». Величину v Ньютон уподобляет отношению х: у двух бесконечно малых количеств х, у, а величину —пределу этого отношения. Из контекста ясно, что Ньютон рассматривает случай, когда гофО2), т. е. когда тело «на полном ходу» наталкивается на пре
х) Ньютон, Математические начала натуральной философии, пер. А. Н. Крылова, Известия Никол, морск. акад., вып. IV, 1915, стр. 64.
2) Это ясно из того, что в том же абзаце, сопоставляя состояние тела в момент достижения места остановки и состояние его после достижения места остановки, Ньютон говорит, что после остановки у тела «нет скорости», в момент же остановки, как видно из цитированной фразы, у тела, по Ньютону, скорость есть.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
17
пятствие, останавливающее его или, выражаясь иа современном математическом языке, когда скорость и является в рассматриваемой точке разрывной функцией времени1). Таким образом для иллюстрации предельного перехода пример Ньютона является совершенно иепод-ходящим.
Лейбницево понятие дифференциала как постоянной, но неизмеримо малой, величины, при всей его формальной противоречивости, гораздо лучше подходило к фактически применяемому способу определения скорости как отношения достаточно малого пути к соответственному промежутку времени. Этим и нужно, мне кажется, объяснить фактическое преобладание концепции Лейбница. Конечно, для ньютонианцев эта концепция была неприемлема, но даже Ньютон в «Началах», против своего желания, сбивается на путь Лейбница. «Я разумею,— говорит он,— эти количества (произведения двух множителей) как неопределённые и изменяющиеся. . . и как бы возрастающие или убывающие от постоянного движения или течения, и их мгновенные приращения или уменьшения разумею под словом „моменты"». Надо подразумевать, что это суть едва-едва зарождающиеся начала конечных величин '").
Правда, Ньютон тут же оговаривается, что за моменты нельзя принимать конечные частицы. Однако из этого следует лишь то, что он не хочет мыслить лейбпицевыми образами и тем не менее невольно пользуется ими.
Чтобы подтвердить правильность высказанного здесь суждения о математическом идеале XVIII в., приведу ещё несколько примеров.
В 1734 г. знаменитый философ Д. Беркли выступил с развёрнутой критикой ньютоновых методов обоснования анализа 3). Эта критика вскрывала все слабые с формальной точки зрения места ньютонова обоснования. Последователи Ньютона, Робинс и Джюрин, возражали
Э Это обстоятельство я хотел бы особенно подчеркнуть, так как недавно академиком А. И. Колмогоровым как раз в связи с рассматрисвым примером было выси 13то противоположное мнение. Вот что пишет А. Н. Колмогоров в своей статье: «Ньютон и современное математическое мышление» (сборник «Московский Университет—памяти Исаака Ньютона», Издание МГУ, 1946, стр. 35—36):
«Часто Ньютона упрекают в непоследовательности за то, что он нередко говорит о предельном значении отношения Я = х : у при х -> 0, у -> 0, как о значении, к кот>рому отношение Я стремится и которого в конце концов достигает. Часто считают, что он тем самым приходит к определению в духе Лейб-и ща -Эйлера предельного отношения, пак отношения двух бесконечно малых или ещё вульгарнее—двух пулей. В действительности дело объясняется тем, что у Ньютона функция автоматически считается определённой по непрерывности в тех точках, в которых опа имеет определённый предел . . . Так как функции (флюенты) у Ньютона но самому определению непрерывны, то в таком подходе, к делу нет логической ошибки».
Что функции v Ньютона вообще предполагаются непрерывными (только не по определению, а в качестве неявной предпосылки) это верно; но именно это и даёт нам право говорить о непоследовательности Ньютона в данном случае. Кстати сказать А. Н. Колмогоров па стр. 35 упомянутой его статьи сам подчёркивает, что в рассматриваемом примере величину скорости в момент прекращения движения Ньютон считает неравной нулю. Поэтому в данном случае Ньютон и в самом деле «скатывается» на позиции Лейбница (о позиции Эйлера речь будет дальше), хотя трудно сказать, что он «приходит к определению» в духе Лейбница—Эйлера, потому что он хотел бы избежать подобных определений. И это— пе единственный случай (см. ниже в тексте).
2) Ньютон, Математические начала натуральной философии, пер. А. И. Крылова, Известия Никол. Морск. акад., вып. V, 1916, стр. 20.
3) The AnBalyst or A Discourse addressed to an Infidel Mathematician. The Works of G. Berkeley, 1901, t. III.
2 Л. Эйлар
18
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Беркли. Но в понимании ньютоновой концепции предела они разнились, друг с другом. Их разногласие может показаться с современной точки зрения беспредметным. Спор шёл о том, достигает ли переменная величина предела или нет. Но по сути дела, спорили о том, что составляло, как мы видели, камень преткновения для Ньютона: равна ли нулю бесконечно малая величина. Для решения этого вопроса Джюрин рисует такую физическую картину: пусть правильный многоугольник вписан в окружность; затем число его сторон последовательно удваивается. Обратится ли он в окружность или лишь будет неограниченно приближаться к ней? Если первое удвоение совершается,— говорит Джюрин, — за час, второе — за полчаса, третье — за четверть часа и т. д., то через два часа многоугольник обратится в окружность.
Зенон, рассматривая аналогичный пример (Ахилл, догоняющий черепаху), приходил к выводу о невозможности движения, основываясь на логических соображениях. Математик XVIII в. отвергает логические доводы, опираясь на законы движения. В этом сказывается характерная черта математики XVIII в., на которую мы обратили внимание читателя.
Приведём другой пример. В 1696 г. Яков Бернулли, применив меркаторов приём деления ——— = 1 — ж-(-ж’— xz -}-... к случаю х = 1, получает, по его выражению, «изящный парадокс»
1=1-1 + 1-1 . . . (12)
Он даёт тут же и объяснение этого парадокса: при делении полу-чается остаточный член, равный • Отот остаток и дополняет сумму в правой части, которая равна 0 или 1, до половины.
Казалось бы, это исчерпывающее объяснение должно было бы удовлетворить самым строгим требованиям, Однако вокруг этого парадокса вскоре возгорелся оживлённый спор.
В 1703 г. Гранди пытался объяснить равенство
(1-1) ш(1-1)+...=0+0-!-...+0=4,
которое он считал равносильным равенству (12) как символическое выражение всемогущества бога, который сотворил мир из ничего *).
Впрочем, тот же Гранди, чувствуя, видимо, недостаточность своей «интерпретации», прибег позднее к другой: отец оставляет в наследство двум сыновьям дрогоценный камень, который должен один год находиться в обладании одного брата, на следующий год переходить к другому и т. д. Продать его сыновья' не могут. Таким образом, сокровище фактически разделено пополам, тогда как первый из братьев обладает последовательно суммой 1, 1 — 1, 1 —1-J-1 и т. д.
Лейбниц отверг и это объяснение Гранди. Предложенное самим Лейбницем объяснение сводится к тому, что сумма ряда имеет равные шансы быть равной нулю или единице, а потому, по теории вероятностей, она должна быть равна половине. Лейбниц при этом ссылается на объективную основу законов теории вероятностей: в природе, — говорит он, — господствует справедливость; она предписывает вещам
х) М. Cantor, Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik, 2-е изд., т. Ill, стр 365.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
19
«закон непрерывности», и применение этого закона «никогда не приводит к ошибкам, хотя бы оно и не покоилось на строгом доказательстве»1).
Мы видим, что Лейбниц становится здесь на натурфилософскую позицию, хотя математическая сторона дела уже была полностью вскрыта его учеником.
Христиан Волдф в 1710 г., защищая инфинитезимальную концепцию Лейбница, пишет: «Заметьте хорошенько, что бесконечно малая величина только по сравнению с другой может быть принимаема за нуль; сама же по себе она не является нулём. В самом деле, представьте, что вы желаете измерить высоту горы и что во время этой работы ветер сдул песчинку с её вершины. Итак, гора стала ниже на диаметр песчинки. Однако так как измерение горы производится таким образом, что величина высоты окажется одной и той же, лежит ли песчинка на её вершине или сдута ветром, то можно считать песчинку по сравнению с большой горой за ничто и таким образом считать её величину по сравнению с высотой горы за бесконечно. малую»2).
Снова апелляция к прообразам бесконечно малых величин в действительности.
Эйлер полемизирует с Вольфом. Ему нетрудно показать логическую несостоятельность аргументов Вольфа. Вопреки Вольфу, он доказывает, что бесконечно малое количество есть самый настоящий нуль. Но он поступает, как Вольф, когда своё положение стремится, согласовать с физической картиной (бесконечная протяжённость вселенной, бесконечная делимость материи) 3). В этом-то стремлении положить, в основу формальных операций математики внешние моменты и состоит, как я полагаю, причина неудач, которые постигали все попытки обоснования анализа в XVIII в.
Став на эту точку зрения, мы легко поймём, что слабость математики XVIII в. была в то же время её силой. Если бы математики XVIII в. могли стоять на позициях формального обоснования (разумеется, это было исторически невозможно), то исчисление бесконечно малых никогда не было бы создано.
9. Перу Эйлера принадлежит 783 работы по самым различным вопросам математики, механики, астрономии, физики, техники и философии. Но едва ли не наибольшее внимание в течение всей своей долголетней научной деятельности — он начал её двадцатилетним юношей в 1728 г. и интенсивно работал до самой смерти (1783 г.), которая застала его за вычислительной работой, — Эйлер уделял развитию методов анализа бесконечно малых и в первую очередь развитию учения о рядах. Его первые юношеские работы были посвящены решению задачи о геодезических линиях; из этого выросло созданное Эйлером вариационное исчисление, которое он систематически изложил в опубликованной в 1744 г. работе 4).
*) М. Cantor, Vorlesungea йЬнг Geschichte der Matliematlk, 2-е изд. т. III,, стр. 367.
а) Ch. Wolff, Die Anfangsgriinde aller mathematischen Wissenscliaften, 1710. Цитирую по переводу С. Я. Лурье в сборнике «Л. Эйлер» АН. СССР, 1935, стр. 60.
3) См. в «Дифференциальном исчислении», гл. Ш, § 75 — 76.
4) Л. Э й л е р, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. Русский перевод Я. М. Боровского, под ред. чл.-корр. АН СССР И. С. Кошлякова, ГТТИ, 1934.
2
20
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Но ужо с 1730 г. в центре внимания Эйлера оказываются бесконечные ряды и их многообразные приложения. Едва закончив работу над «Методом нахождения кривых», Эйлер составляет план «полного трактата об исчислении бесконечно малых», о котором он пишет в письме к ГолКдба ху 4 июля 1744 г. Выполнение этого плана составило важную часть всей дальнейшей работы Эйлера. В 1748 г. в Лозанне вышло его «Введение в анализ бесконечно малых». Первая часть этого труда имеется в русском переводе '); па неё Эйлер неоднократно ссылается в печатаемой здесь работе. Во второй части излагается аналитическая геометрия и элементы дифференциальной геометрии. На эту часть Эйлер в «Дифференциальном исчислении» совершенно не опирается. Современному читателю нет необходимости для понимания «Дифференциального исчисления» предварительно изучать «Введение», так как в большинстве случаев ссылки Эйлера касаются результатов, которые ныне общеизвестны. Однако многие1 главы «Введения» имеют самостоятельный интерес и дают поучительный материал для чтения. Содержание. «Введения» выходит далеко за пределы того, что необходимо для понимания дальнейших частей эйлерова трактата. Но словам Эйлера, ого целью при составлении «Введения» было заставить читателя «незаметно и как бы сверх ожидания ознакомиться с идеей бесконечного» Но мы не ошибёмся, если добавим, что Эйлер преследовал ещё другую цель: собрать воедино и систематически изложить результаты, полученные в течение почти 20 лет работы, которые, будучи печатаемы в научных журналах, главным образом в «Записках Петербургской академии» (Comnientarii .Academiae Petropolitanae), были мало доступны учащимся.
Главное внимание во «Введении» Эйлер уделяет разложению различных выражений в ряды, суммированию рядов и применению рядов к решению разнообразных вопросов алгебры, тригонометрии и теории чисел.
После сказанного выше мы не должны удивляться тому, что Эйлер не основывает изучение бесконечных рядов па понятии сходимости. Он просто переносит на них все свойства алгебраических выражений и с помощью виртуозных преобразовании получает множество поразительных результатов. Может быть, наиболее замечательной в этом смысле главой является глава XVI, где Эйлер рассматривает теоретико-числовую проблему, и до сих пор не разрешённую до конца.
Операция дифференцирования, естественно, не рассматривается во «Введении», но без бесконечно малых и бесконечно больших величин Эйлер обойтись всё же не может. Мы уже упоминали — и ещё вернёмся к этому вопросу, —что в «Дифференциальном исчислении» Эйлер становится на ту точку зрения, что бесконечно малая величина есть постоянная величина, в точности равная нулю. Во «Введении» он, видимо, старается уклониться от рассмотрения принципиального вопроса о природе бесконечности. Но там, где ему приходится иметь дело с бесконечно малыми, он выражается о них в стиле школы Лейбница.
Так, разложение функции ах по степеням х Эйлер начинает следующим рассуждением *):
ЭЛ. Эйлер, Введение в анализ бесконечномалых, т. I, пер. Е. Л. Паца-повского, под ред. проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, 193G.
2) Цит. соч., стр. 25.
3) «Введение», стр. 115 русского перевода.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
21
«Так как а" — 1 и при возрастании показателя числа а одновременно увеличивается значение степени, если только а есть число, большее единицы, то отсюда следует, что когда показатель бесконечно мало превышает нуль, то сама степень также бесконечно мало превзойдёт единицу. Если <о будет числом бесконечно малым, т. е. столь .чалой дробью, что она только-только не равна нулю'), к> а'° = 1 -г 6, причём 6 будет также числом бесконечно малым».
Здесь с нолnoli определённостью сказано, что бесконечно малая величина не равна нулю. Таким образом, в 1744—1745 гг., когда Эйлер приступил к составлению своего «Введения», он ещё стоял на позициях своего учителя Еюгапна Бернулли. Весьма вероятно, что уже в 1748 г., когда «Введение» появилось в печати, Эйлер ужо изменил свою точку зрения 2).
10. Второй частью энцпклопедпчшко! о труда Эйлера явилось печатаемое здесь «Дифференциальное исчисление». Оно было сдано Эйлером в печать ещё в 1748 г., ио появилось в свет лишь в 1755 г. Хотя Эйлер в ото время (с 1741 по 178(5 г.) жил в Берлине, ио он, как член Петербургской Академии, печатал многие свои работы в России. В Петербурге было издано и «Дифференциальное исчисление». Спустя 15 лет Петербургская Академия закончила печатанием и последнюю часть эйлеровой трилогии, «Интегральное исчисление», в трёх больших томах (1768— 1770 гг.). Дополнительный, четвёртый, том вышел уже после смерти Эйлера в 1794 г. Здесь мы должны ограничиться обзором «Дифференциального исчисления?).
Оно состоит из двух частей. Первая посвящена дифференциальному исчислению в собственном смысле слова. Вторая даёт приложения дифференциального исчисления к теории рядов, к высшей алгебре, к теории максимума и минимума и к другим вопросам анализа. Первоначально Эйлер предполагал посвятить специально геометрическим вопросам третью часть «Дифференциального исчисления»; в конце первой части он говорит, что переходит к изложению приложений дифференциального исчисления к учению о рядах и к геометрии. В последних главах 2-й части, начиная с 11-й, имеются даже ссылки на третью часть, посвящённую геометрическим приложениям3). По в заключительных словах предисловия (из которого видно, что предисловие было написано в последнюю очередь) Эйлер говорит, что он вовсе по касается приложений дифференциального исчисления к геометрии кривых линии. Ясно, что Эйлер, отказавшись в последний момент от намерения включить в книгу третью часть, не имел времени просмотреть написанный текст, чтобы исключить из него ненужные уже ссылки. Тем удивительное, что эта книга представляет собой стройное целое и, несмотря па своп размеры, легко обозрима.
Ей предпослано довольно большое предисловие, написанное, как мы видели, в последнюю очередь. Кроме очень сжатого и схематического исторического очерка, оно содержит мало нового по сравнению с текстом книги. Важно отмстить, что здесь Эйлер после обстоятельно разобранного примера (полёт ядра; это единственный физический
Э ...tantum no i nihil.? “it aequalis. (Курсив мой. —М. В.)
*) См. статью С. Я. Лурье «Эйлер и его исчисление нулей?? в сборнике «Л. Эйлер» ЛЯ СССР, 1У37, стр. 57.
3) Сохранилась незаконченная рукопись этой третьей части. Она была впервые напечатана в 1862 г. в I т. посмертных сочинений Эйлера: Leonard! Euleri opera postuma, т. I. стр. 32'?.
22
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
пример во всей книге!) даёт то общее определение функции, с которого и поныне начинаются все популярные учебники анализа.
Однако это определение так же, как упоминаемое в предисловии понятие предела, у Эйлера почти не действует. В «Дифференциальном исчислении» функция рассматривается преимущественно как «аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Так Эйлер определял функцию во «Введении в анализ». Так определял функцию и его учитель Иоганн Бернулли ещё в 1718 г. Определение, данное в предисловии, навеяно, вероятно, ньютоновским понятием «соотнесённого количества».
Авторы, писавшие до Эйлера общие сочинения по анализу — Ньютон, Лопиталь, Бернулли, Краг, Маклорен, — в большей или меньшей мере связывали основные понятия анализ» с геометрическими или механическими образами. Эйлер впервые поставил себе целью изложить анализ абстрактно. Противопоставляя свою книгу другим сочинениям, где «начальные основы дифференциального исчисления как бы исходят из геометрии», он не без гордости говорит, что в его книге «всё изложение ограничено пределами чистого анализа, так что для изложения всех правил не понадобилось ни одного чертежа».
В этом отношении сочинение Эйлера послужило образцом для многих последующих сочинений по анализу, и в настоящее время, более чем когда-либо прежде, абстрактность изложения анализа является идеалом, к которому стремятся многие авторы. Посмотрим, как осуществляет этот идеал Эйлер.
11. В первых двух главах 1-й части Эйлер строит базу, на которой он, далее, хочет построить учение о дифференциалах. Этой базой служит исчисление конечных разностей. Имеющийся здесь материал не нов. Он содержался в работах Ньютона, Тэйлора, Стирлинга. Однако благодаря доступности изложения и обилию прекрасно подобранных примеров (в том и другом Эйлер показывает себя непревзойдённым мастером на протяжении всей книги) читатель здесь мог впервые найти краткое, связное и ясное изложение основ исчисления конечных разностей. Нужно отметить, что Эйлеру принадлежат и употребляемые здесь обозначения, в частности, общепринятые сейчас обозначения приращения буквой Д, образцом которого послужило ему, очевидно, лейбницево обозначение дифференциала d.
Уже в этих первых главах обнаруживаются особенности изложения, связанные с особенностями математического мышления Эйлера и его эпохи. Мы говорили выше о том, что математики XVIJI в. для оправдания новых понятий и операций привлекали на помощь явления внешнего мира. Это обстоятельство, а также и замечательная сила, которой, как оказалось, обладает математический алгоритм, породили уверенность в том, что математические действия, как и явления природы, подчинены законам, которые, подобно законам природы, даны нам, так сказать, принудительно. Математик XIX в. стремился вывести математическую закономерность; математик XVJII в. стремился её открыть, в уверенности, что она существует вне зависимости от тех или иных соглашений. Так, для математика XIX в. выражение 1 • 2 • 3 •... • п имеет смысл только для целых п, т. е. функция л! определена только для целочисленных значений аргумента. Для остальных значений её можно доопределить с большей или меньшей степенью произвола. Для Эйлера закономерность, определяющая nl
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 23
для целочисленных п, представляется совершенно достаточной для того, чтобы искать значение Ещё до 1730 г. он нашёл1), что
• В примере 1 § 402 второй части настоящей книги читатель найдёт этот вывод.
Совершенно таким же образом Эйлер в §§ 17 и 18 I главы «Дифференциального исчисления» переносит на дробные и отрицательные показатели найденные им для целых показателей формулы конечных разностей. Так действовал и Ньютон, перенося на дробные и отрицательные показатели мультипликативный закон образования биномиальных коэффициентов, обнаруженный для целых показателей. Но и тогда, когда Эйлеру нужно установить какой-либо закон, имеющий место для целочисленных значений аргумента, он поступает не так, как поступил бы математик нашего времени. Он ограничивается наблюдением этого закона для некоторого (притом довольно небольшого) числа значений, подобно тому как естествоиспытатель устанавливает всеобщий закон природы из конечного числа наблюдений.
Так, в § 10 гл. I Эйлер находит непосредственным вычислением формулы, которые мы написали бы в виде
А2/(ж) = / (ж + 2Л) — 2/(ж-f Л) + /(А),
А3/ (ж) = / (ж 4- 3/г) — 3/ (х + 2/г) -|- 3/ (х= h) — / (х).
Приведя ещё две дальнейшие формулы для А4/ (х) и А5/(х), он устанавливает, что «коэффициенты в этих формулах подчинены тому же закону, который наблюдается у степеней бинома». В дальнейшем же он ссылается на тождественность этих коэффициентов с биномиальными для разности любого порядка.
Не нужно думать, что Эйлер не даёт в таких случаях общего доказательства ввиду его трудности или, наоборот, предоставляет проведение лёгкого доказательства читателю. Нет, для него самого «неполная индукция» вполне убедительна. Кто усомнится в этом, пусть прочтёт §§ 13—15 первой главы, где Эйлер устанавливает связь между коэффициентами в выражениях разностей функции хп. Эта связь усматривается Эйлером из таблицы первых семи разностей. Приведённые же Эйлером общие формулы, выражающие эту связь, содержат ошибку. Систематическое её повторение исключает возможность опечатки или описки 2). Если бы Эйлер сделал попытку доказать упомянутый закон связи, он тотчас же обнаружил бы эту ошибку и исправил бы её.
На протяжении всего «Дифференциального исчисления» Эйлер лишь один раз доказывает обнаруженный им по индукции закон, да и то по особым обстоятельствам. Из рекуррентной зависимости, най-дённой им в § 111 2-й части для коэффициентов а, р, у, 8, г, . ..
l) De progressionibus transcendentibus seu quorum termini algebraice dari ciequeunt, Commentarii Academiae Petropolitanae, т. V (1730), стр. 36 — 57.
2) См. примечание к § 15 ч. 1.
24
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
формулы суммирования, он последовательно определяет значения а, р, у, . .. Найдя, что
я = 4 ’ ? = 14 ’ Y = °'
он замечает (§ 112), что «продолжая это вычисление дальше, будем последовательно находить, что члены попеременно исчезают». В другом аналогичном случае это наблюдение показалось бы, вероятно, Эйлеру достаточным для установления общего закона. По в данном случае его вни-мание привлекает тот факт, что первый член а — - представляет исключение из установленного правила.«Вследствие этого, — говорит Эйлер,—представляется, что ряд этих значений вступает в столкновение с законом непрерывности». Вот почему Эйлер считает необходимым «строго доказать, что все нечётные члены, кроме первого, необходимо должны исчезать». С этом целью Эйлер рассматривает ряд
1 + 'J.u + Рн2 + угг3 -ф 4- . .. (13)
Пользуясь исходным рекуррентным законом, связывающим коэффициенты а, р, у, о, Эйлер преобразует (§ 114) этот ряд к виду
«4-
и1 , и1
4*6 ‘ 4 6 • 8 10
(13а)
Так как во втором слагаемом пет нечётных степеней, то в ряд (13), тождественно равный выражению (13а), не входят иикакио другие нечётные степени, кроме первой. Теперь Эйлер имс-еет право утверждать, что из коэффициентов я, у, г... только первый отличен от пуля. И он добавляет: «при этом по нарушается закон непрерывности», что, по сути дела, означает, что найдена построенная по простому закону формула (13а), вполне определяющая ряд чисел а, !3, у, о, ...
Мы сказали, что первые две главы «Дифференциального исчисления» должны, по плану Эйлера, дать ему базу для обоснования дифференциального исчисления. Но материал этих глав значительно выходит за пределы необходимого для этой цели. В первой главе (§§1 — 23) Эйлер находит сначала выражение конечных разностей различных элементарных функций, па которые он при выводе формул дифференциального исчисления не опирается. Конец главы (§§ 24 — 36) посвящён операции, обратной образованию конечной разности, т. е. разысканию по данной разности топ функции, от которой эта разность взята. Эту функцию Эйлер называет суммой и доказывает (§ 25), что она в самом деле даёт сумму данных разностей. Эйлер находит, далее, выражения этой суммы для простейших функций.
Во второй главе Эйлер, следуя Стирлингу, выводит (§ 44) выражение общего члена ряда, у которого конечные разности некоторого порядка обращаются в нуль, через конечные разности. Полученное выражение есть .не что иное, как интерполяционная формула Ньютона, из которой, как мы указывали, Тэйлор получил свой ряд. На возможность применения этой формулы для интерполяции Эйлер указывает в § 52.
вступительной слово
25
Примеров он здесь но рассматривает, так как вопросу об интерполяции рядов посвящена специально XVII, а фактически XVI глава 2-й части. Там рассматриваются наряду с рядами, имеющими постоянную разность, и произвольно построенные ряды.
С § 53 II главы начинается рассмотрение «суммационпого члена» т. е. выражения для суммы сю первых х членов. Так как для ряда суммационпых членов данный ряд есть ряд первых разностей, то суммациоппый член ряда с постоянными разностями находится с помощью интерполяционной формулы Ньютона (§ 57). В общем случае задача сводится (§ '59) к задаче разыскания «суммы» в вышеуказанном смысле, т. е. к обращению разностного дифференцирования. Впрочем, этим методом Эйлер может разыскать суммационный член лишь для узкого класса функций (целые рациональные и факториальные функции). При суммировании ряда степеней натуральных чисел появляются упомянутые берпуллиевы числа, во пока свойства их но рассматриваются и имя Бернулли не упоминается.
12. В следующих двух главах, III и IV, Эйлер рассматривает принципиальные вопросы, связанные с обоснованием дифференциального исчисления. Третью главу «О бесконечных и бесконечно малых» Эйлер начинает сразу с полемики против лейбницианцев, ни разу не указывая, с кем, собственно, он спорит и всегда приводя мнения своих противников в своём собственном изложении. Это, конечно, облегчает задачу разгрома противников. Так как с логической стороны позиция лейбницианцев и сама по себе была легко уязвимой, то не приходится удивляться тому, что ряд силлогизмов 72 — 74) приводит Эйлера к выводу, что «числа, могут до бесконечности увеличиваться» (§ 73) и что «никакого бесконечного количества не может существовать» (§ 74). Можно, напротив, удивляться тому, что Эйлер тотчас же ослабляет свою позицию в этом вопросе. Он начинает § 75 с заявления, что «количество, которое достигается без конца совершаемыми приращениями» ]), всё же можно «должным способом (debito modo) ввести в исчисление». При этом он апеллирует к тому, что даже в природе «существуют или по крайней мере могут мыслиться такие случаи, в которых, казалось бы, в действительности существует бесконечное число». Осторожное слово «казалось бы» позволяет Эйлеру не претендовать на безусловное решение натурфилософских вопросов о бесконечности мира и бесконечной делимости вещества, о которых идёт речь в следующих параграфах. Во всяком случае он не отвергает ни бесконечности вселенной, пи бесконечной делимости материи ив § 77 приходит, напротив, к заключению, что если вселенная бесконечна, то «число тол. составляющих вселенную, ... больше всякого могущего быть заданным числа». Отсюда делается пока лишь тот вывод, что «бесконечное число и число, большое всякого могущего быть заданным * 2), — это синонимы». Хотя существование числа, «которое по может принимать никакого приращения», Эйлер в § 74 отвергал самым категорическим образом, и хотя силлогизмы, к которым Эйлер обнаруживает большое пристрастие, легко привели бы его к тому, что число, «большое всякого могущего быть заданным»,, не может принимать никакого приращения, тем по меное в § 82 Эйлер приходит к выводу, что даже в том случае, если в природе
*) Ad quam increrncntis sine fine congestis pervenitur.
2) Ngmerus omni assignabili inaidr.
26
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
не существовало бы бесконечного числа, в математике всё же необходимо «допустить бесконечное число». Мне представляется совершенно непонятным, как мог Эйлер примириться с таким противоречием; он, который своих противников корит наличием противоречий в их концепции.
.Эйлер ничего не говорит, как можно указанное противоречие устранить, но он, несомненно, чувствует, что почва начинает коле-•баться под его ногами, потому что следующий параграф начинается с заявления, что «это учение о бесконечном станет более понятным, если мы разъясним, что такое бесконечно малое в математике».
13. На этот вопрос Эйлер после нескольких чисто грамматических замечаний сразу отвечает (§ 83) так: «если кто спросит, что такое бесконечно малое количество в математике, то мы ответим, что оно точно равно нулю... Впрочем, сомнения, если таковые остались бы, совершенно исчезнут в дальнейшем, когда мы изложим это исчисление».
В следующих параграфах устанавливаются правила действий с нулями. Если dx есть бесконечно малое количество или, что, по Эйлеру, одно и тоже, нуль, то равенство a-\-dx=a, которое Лопи-таль принимает за постулат, становится травиальным тождеством. Количества 2dx, 3dx и т. д. суть тоже нули, но деление 2dx: dx, 3dx: dx даёт не неопределённый результат, но 2, 3 и т. д. Отношение dx2 :dx равно нулю, а отношение dx:dx2 равно бесконечности, так же как отношение 1 : dx. Теперь (ср. § 92) нам попятно, почему Ойлер вынужден был допустить существование бесконечного числа. Труднее понять, зачем ему понадобилось с самого начала отрицать существование бесконечного числа и корить своих противников указанием на противоречия, вытекающие из этого допущения. Повидимому Эйлер предвидел следующее возражение, которое может быть ему сделано: если со= - - (а, по Эйлеру, это так и есть) и если нуль меньше всякого положительного числа, то число ос должно быть больше всякого положительного числа, менаду тем как, по Эйлеру, с» < 2со (§ 93). В пользу такого предположения говорит уже то, что первый свой удар Эйлер обрушивает на тех противников (существовали ли такие на самом деле, не сражается ли здесь Эйлер сам с собой?), которые якобы утверждали, что существует число, которое нельзя дальше увеличивать. Как бы то ни было, Эйлер обходит молчанием упомянутое внутреннее противоречие его концепции и провозглашает законной операцию деления нулей, которую, как мы видели, Ньютон выполнял, так сказать, украдкой.
Поскольку идея предела по тем или иным причинам (мы выше пытались установить, по каким именно) не была органически воспринята математиками первой половины XVIII в., они должны были смотреть на бесконечно малые количества как на количества постоянные. И кто желал быть последовательным, должен был выбирать между двумя крайностями. Или бесконечно малое количество не равно нулю; тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, почему же оно обладает при сложении с обычными арифметическими количествами свойством нуля. Лейбницианцы искали ответ на этот вопрос в физических сопоставлениях. Или же бесконечно малые количества равны нулю; тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, каким образом из этих «безразличных» нулей получаются определённые результаты. Эйлер, для которого алгоритм всегда стоял на первом плане,
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
27
ащивлёк ею и для разрешения этой трудности. Стоит обозначить нуль через ю, через dx или ещё как-нибудь иначе, и тогда 2ш, 2dx и т. д. тоже будет нулём, но «безразличие» уже исчезнет, действие : <о производится уже не над безразличными, а над определёнными нулями, и получается вполне определённый результат 0:0=2. Для математика XVIII в. эта позиция должна была быть уязвимой не только и не столько тем, что она вступала в противоречие с законами арифметики—сами эти законы не были ещё приведены в стройную логическую систему; отрицательные и иррациональные числа .представляли с логической точки зрения не меньшую загадку, чем бесконечно малые количества. Математик XVIII в. должен был главную трудность позиции Эйлера видеть в наличии явного, так сказать, грубого расхождения между равенством 0:0 = 2 и равенством 0=0. Сомнение этого рода Эйлер пытается устранить (§ 84) путём раздвоения понятия равенства. Он различает равенство «арифметическое» от равенства «геометрического» и утверждает, что два нуля всегда равны между собой арифметически, но вообще пе равны геометрически. В дальнейшем это различение по соблюдается, и за счёт этого Эйлеру удаётся провести свой корабль через подводные камни логических трудностей п вывести на глубокую воду плодотворных математических операций.
Но впереди оставалось ещё одно грозное препятствие. Нужно •было объяснить, как «из ничего» в процессе интегрирования получается конечная величина. Для лсйбницианцев проблема интегрирования не создавала новых трудностей; если бесконечно малое количество ложно уподобить песчинке, которую ветер сдувает с горы, а гора от этого не становится ниже, то, с другой стороны, вся гора состоит из песчинок. Но для Эйлера здесь возникает, по существу, новая трудность. К счастью, он может отложить её разрешение: в «Дифференциальном исчислении» (§§ 1.39 — 141) он имеет дело с интегрированием лишь как с операцией, обратной дифференцированию. Но наступит момент, когда Эйлер должен будет ввести интегрирование в собственном смысле слова. И тогда он, вместо того чтобы найти проход через трудное место, предпочтёт обойти его.
В седьмой главе 1-го тома «Интегрального исчисления» *) Эйлер ставит задачу: «Найти приближённое значение интеграла у — ^Хй»; дополнительно задаётся условие, что при х = а функция у должна иметь значение Ь. Эйлер придаёт аргументу х «очень малые» последовательные приращения и обозначает через а, а', а", а'" и т. д. значения аргумента, через А, А' А", А'" и т. д. соответствующие значения функции X и через Ь, Ь', Ь", Ь'" соответствующие значения функции у. Так как функция X,—говорит он далее, — изменяется мало, напишем ли мы а или a -f- а вместо х, то мы можем считать её как бы постоянной* 2). Рассуждая так же относительно следующих приращений, Эйлер получает выражения:
Ь' — ЬА~ А(а’ —а),
Ь" = Ь+А(а'-а)А-А’ {а" —а"),
Ь"’ — 6 + А (а' — а) + А' (а" — а) + А" (а"’ — а")
*) L. Е u 1 е г i, Institutiones calculi integral is, т. 1. 3-е изд. Petropoli, 1824, стр. 178.
2)...tanquam constantem spectare.
28
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
и т. д. и заканчивает словами: «Следовательно, насколько бы х ни превосходило а, ряд а', а", а"', возрастая, будет продолжен до х, и последняя сумма даст значение у». Теперь мы полностью приведём «схолию». в которой Эйлер перебрасывает мост от первообразной функции, о которой до сих пор только и шла речь, к определённому интегралу.
«Интегрирование,—говорит Эйлер, — обычно определяется так. Говорят, что это есть суммирование всех значений дифференциальной формулы X dx, если переменному х придавать последовательно все отличающиеся друг от друга па разность dx значения от некоторого данного значения а вплоть до д:; разность же эту dx нужно считан, бесконечно малой. Таким образом, этот способ представления интегрирования подобен тому, согласно которому в геометрии линии представляются как совокупности бесчисленных точек. Подобно тому как это последнее представление, если его правильно выразить, может быть допущено, так можно стерпеть и приведённое объяснение интегрирования, когда на помощь ему призваны, как это нами здесь сделано, исти н-ные начала, чтобы можно было отразить всякие нападки. Из изложенного же метода во всяком случае ясно, что интегрирование можно получитьиз суммирования приближённо; точно же его нельзя совершить иначе, как положив,что разности являются бесконечно малыми,т.е. пулями х). Отсюда возникло и наименование «интегрирование», которое называют также «суммированием», и знак интеграла Коль скоро суть дела выяснена, их можно полностью сохранить».
Мы видим, что Эйлер подошёл вплотную к предложению о том,, что значение первообразной функции есть предел «интегральной суммы». Но так как понятие предела ему чуждо, он,вынужден сказать, что точное значение интеграла можно получить, «не иначе как» положив слагаемые нулями. Но можно ли это в самом деле сделать и как тогда представить себе суммирование пулей-—на этот вопрос у Эйлера ответа нет.
14. Конец третьей главы Эйлер посвящает разбору парадоксов, связанных с понятием бесконечно большого числа. Мы остановимся на одном только примере. В § 100 рассматривается ряд чисел
1 1 I f i 1 1
-з ’ -с ’ ’ “о” ’ ’ ~гд- ’ —j •
Поскольку знаменатели непрерывно возрастают, дроби должны непрерывно убывать, и потому «многим казалось, что отрицательные числа можно рассматривать как числа, большие бесконечности»s). Объяснение, которое вслед за тем даёт Эйлер, в сущности, ничего не
1)... neque vcro exacto expediri, nisi differentiae infii ite parvae, hoc est iiullae, statuuntur.
2) И здесь Эйлер умножает число защитников оспариваемого им мнения.. Вряд ли он мог иметь в виду кого-нибудь, кроме Валлиса. П >следний в «Арифметике бесконечных» (1655 г.) получил соотношение .между площадями криволинейных фигур, i; )Ti,p0C п современных об значениях молено представить формулой
СО S СО (п > 0).
п О
Ошибочно распространив эту формулу на случай п<—1, и сопоставив её стем, чгл „ V f х'\ ”1 2 ординаты кривой । при отрицательном п иольше соответствующих
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ с, л о в о
29
разъясняет; он лишь «вышибает клин клином», успокаивая читателя, что «если рассмотреть ряд чисел
1 _ 1 1 1 1
Г1р’ ’ ( + 1р
t 1 то о положительных числах ——— , (— '•$)'' (— жет, что они больше бесконечности».
1 1
(W ’ (W • • • ’
1
(Тду и т- Д- никто вс ска-
Заодно разбираются и парадоксы, связанные с расходящимися бесконечными рядами. .Здесь Эйлер повторяет объяснение Иоганна Бернулли относительно остатка ряда. Однако Эйлер отстаивает за
расходящимися рядами право па их существование.
«Хотя суммы их, — говорит он, (§ 1G9) — и оказываются совершенно несогласными с истиной1, однако они никогда .не приводят к ошибкам; напротив, приняв их, мы получаем множество замечательных вещей, которых мы должны были 61.1 лишиться, если бы пожелали совсем отбросить эти суммирования. По ведь эти суммы, если они были бы ложными, не могли бы всегда приводить пас к истинным результатам, тем более что они уклонялись бы от истины не на .малое, а на бесконечное количество». Выход из этого кажущегося противоречит! (§ 111) Эйлер находит в том, что понятию «сумма рядов» он приписывает расширенный смысл: «Мы скажем, что сумма некоторого бес
конечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд». Эта точка зрения, если её точное сформулировать, является предвосхищением многих плодотворных идей более позднего времени, например идеи аналитического продолжения. Этим заканчивается III глава.
В четвертой главе («О природе дифференциалов любого порядка») вводится понятие дифференциала и интеграла. Дифференциал определяется (§ 114) как бесконечно малая разность. После подробного разъяснения этого определения Эйлер снова полемизирует «с теми, кто полагает, что дифференциалы можно рассматривать как бесконечно малые приращения» (§§112 —123). Далее, вводятся дифференциалы высших порядков. Наконец, вводится интегрирование, как действие, обратное дифференцированию. Изложение здесь, как и всюду у Эйлера, очень подробное и, насколько это возможно при наличии внутренних недочётов системы, очень понятное.
15. Следующие четыре главы посвящены технике дифференцирования. Здесь мы найдём немного материала, который был бы новым для того времени, и очень мало вещей, которые могли бы быть интересными для современного читателя. Мы можем поэтому ограничиться несколькими беглыми замечаниями.
Отметим, прежде всего, что, несмотря на резкое различие в принципиальных установках, техника операций с дифференциалами у
ординат гиперболы — QJ , Валлис пришёл к заключению, что отношение единицы к отрицательнтму числу больше бесконечности. Аналогичного утверждения для отрицательных чисел Валлис не высказывал. Напротив, и в «Арифметике бесконечных» и в «Алгебре» (1685 г.) Валлис считает, что отрицательные числа меньше положительных. Этот вопрос рассмотрен в ещё не опубликованной диссертации Ф. Д. Крамара («Интеграционные методы Валлиса»),
Э Здесь имеется в виду, что ряД, представляющий внутри радиуса сходимости некоторую функцию, не даёт значения её за пределами радиуса сходимости.
30
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Эйлера совершенно не отличается от техники Лейбница и его учеников. Даже выражения Эйлера прямо совпадают с выражениями лейбнн-цианцев. «В этом выражении, —говорит Эйлер в первом же параграфе V главы, — второй член и все следующие исчезают по сравнению' с первым (ргае primo)». Таким образом, разногласия между этими двумя направлениями носят чисто словесный характер и никак по-отражаются на сути рассуждения.
В той же пятой главе (§ 170) устанавливается правило дифференцирования функции от нескольких количеств, которые сами являются функциями некоторого независимого переменного. Здесь это правило установлено по индукции. Эйлер обещает строгое доказательство дать позднее. Обещанное доказательство даётся в §§209—263 гл. VII («О дифференцировании функций, содержащих два или большее число переменных». Как понимал Эйлер «строгость», можно видеть из того, что доказательство опирается на положение, что дифференциал функции многих переменных линейно выражается через дифференциалы аргументов (§ 212). А это положение выводится индуктивно на основании двух тривиальных примеров. В одном из них функция имеет вид X-j-Y-j-Z, где X есть функция от х, Y есть функция от у и Z — функция от z; в другом функция имеет вид XYZ.
Я хотел бы обратить ещё внимание читателя на интересный вывод, теоремы об однородных функциях (§§ 222—225), носящей сейчас название теоремы Эйлера. Замечу, что. однородная функция была определена Эйлером во «Введении» не столь общим образом, как мы её определяем теперь; именно, Эйлер называет целую функцию однородной, когда все её члены имеют одну и ту же степень («Введение», § 84); дробная рациональная функция по определению однородна, если числитель и знаменатель её будут однородными (§ 85). Понятие однородной функции распространяется также на случай функции, содержащей радикал. Более общего случая Эйлер не рассматривает. То свойство, которым мы теперь определяем однородную функцию, выводится Эйлером для рассматриваемых частных случаев, исходя из определений, им данных. Именно на это свойство и ссылается Эйлер при выводе теоремы о частных производных однородной функции. Поэтому по существу эта теорема доказана для самого общего случая.
Остальную часть VII главы (§§ 217—241) составляет теория постного дифференциала, которую интересно прочесть в изложении самого Эйлера. Эйлер устанавливает, что если dV = Pdx~YQdy, т. е. если Pw Q суть частные производные функции и, то функции Р и Q связаны, соотношением обозначениях Эйлера = • 0к
дР (Ю -
упоминает и о том, что условие^-— = но только необходимо, но и достаточно для того, чтобы выражение Pdx~Qdy было полным дифференциалом. Доказательство достаточности даётся в «Интегральном исчислении». Нелишне отметить, что хотя в §§ 226—228 и даётся общее доказательство упомянутой теоремы (идею которого нетрудно усмотреть в современном строгом доказательстве), предварительно Эйлер считает нужным убедиться в справедливости теоремы для частного случая однородной функции. С этой единственной целью он и ввёл в «Дифференциальное исчисление» упомянутую выше теорему об однородных функциях.
Восьмая глава («О повторном дифференцировании дифференциальных выражений») содержит своеобразное изложение вопросов, составляющих
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
отсюда
d2y____ —'2а* + С>а2х2
d~x2 ~ ' (а2 + х2)3 ’
d3y '2ia*x— 24а2х3
dx3 (а2 + х2)4 ’
d*y____‘2кай — '2Wa*x2 4- 120а2х4
dx* (а- + j2)5 ’
d*y — 7'20а2х + 2400а4х3 - 720а2хь Н7£ (а24-ха)« 11 Т‘ Д’
II; Пусть У~~5 тогДа первый и следующие дифференциалы будут:
dy _ ______
<1х (1 - х2)?/2 ’
d2y _ 1 + 2х2
dx2~ (1_x2)J/2 d3y 9х 4- 6z3 dx3~~ (1_х2)7О ’ d*y _ 9 + 72x2 + 24x4 dx4 (| _ /2 ’
d*y _ 225x + GOOx3 + 120x5 dx6 (1 _ x2)41/2 >
d*y '1'17 4- 4050x2 Ц- 5400x4 4~ 72(1xb
Вычисление этих дифференциалов можно легко продолжить дальше; однако закон, по которому члены их следуют друг за другом, усматривается не сразу. Коэффициент высшей степени х всегда есть произведение натуральных чисел от 1 до числа, равного порядку искомого дифференциала. Если продолжить дальше составление этих формул 1 и внимательно рассмотреть их, то можно заметить, что для у = ——==
У 1 — X2 будем иметь следующую общую формулу:
1 п (в-1) „_2 !:! п(п-1)(п-2) (п - 3) „„
2 1-2 2 • 4 ' 1 • 2 • 3 • 4
dny _ 1 • 2 • 3 ... п — —
(1— X2) 2
, 1-3.5 »(»- 1)... (п -5) ,
*" 2 • 4 • 6 1 • 2’ ... 6
Подобного рода примеры полезны не только для приобретения навыка в практике дифференцирования; законы, наблюдаемые при нахождении дифференциалов всех порядков, и сами по себе достойны внимания и могут привести к другим открытиям.
9’
32
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Глава пятая («Разыскание суммы рядов по общему члену») посвящена выводу так называемой формулы Эйлера-Маклорена1). Здесь Ойлер вводит в рассмотрение бернуллиевы числа и рассматривает их свойства. ‘Глава эта представляет собой образчик замечательной виртуозности. Аналитический гений Эйлера проявляется здесь с наибольшей силой. Её непременно нужно прочесть в подлиннике, и потому здесь мы не будем излагать её содержания более подробно.
В шестой главе («О суммировании прогрессий с помощью бесконечных рядов») обшая формула суммирования применяется к многочисленным частным случаям. Получается много поразительных и изящных результатов. Принципиальный интерес представляет пользование асимптотическими рядами, из которых Эйлер определяет значение постоянной, входящей в его формулу. В частности, для гармонического ряда эта постоянная есть так называемая «эйлерова константа». В конце главы Эйлер замечает, что применение его формулы наталкивается на затруднения в том случае, когда входящий в формулу интеграл но поддаётся вычислению. Поэтому он обещает в следующей главе дать другое выражение суммы, которое в таких случаях может быть использовано с большим успехом.
Седьмая глава («Дальнейшее развитие вышеизложенного метода суммирования») действительно содержит формулу суммирования, не страдающую упомянутым недостатком, ибо опа вовсе не содержит интегралов. Если я не ошибаюсь, практическое её значение невелико. По крайней мере результаты, получаемые с её помощью Эйлером, по сути, сводятся к суммированию геометрической прогрессии. Но в связи с ней возникает интересный принципиальный вопрос. С формальной стороны ряд, рассматриваемый Эйлером при выводе первой егб формулы суммирования, получается из ряда, положенного в основу вывода второй формулы, при частном значении входящего во вторую формулу параметра. G другой стороны, обе формулы выводятся совершенно одинаковыми методами. Между тем во второй формуле, которая должна, казалось бы, включать в себя первую как частный случай, вовсе но содержится никакого интеграла, тогда как в первую формулу он входит. Этот парадокс, который имеет то же происхождение, что и факт неприменимости общей формулы суммы геометрической прогрессии к случаю, когда знаменатель её равен единице, или тот факт, что общая формула интегрирования степени неприменима к случаю, когда показатель степени равен —1, Эйлер и старается объяснить в § 178.
В восьмой главе («О применении дифференциального исчисления к образованию рядов») разложение различных функций в ряды
х) Маклорен опубликовал эту формулу в своём «Трактате о флюксиях», вышедшем в 1742 г. Следовательно, он имел бы возможность познакомиться, если не с восьмым томом «Записок Петербургской Академии» (Commeatarii Academiae Petropol itanae), который выщел в 1741 г. и где Эйлер дал вывод своей формулы суммирования, то во всяком случае с шестым томом, где Эйлер привёл свою формулу без доказательства. Есть основания полагать, однако, что Маклорен, цитирующий в своей работе 1, 2, 3 и 5 тт. «Записок», не знал 6-го тома. Следует также заметить, что вывод Маклорена значительно отличается от вывода Эйлера, хотя и Маклорен опирается на ряд Тэйлора. Как вывод Маклорена, так и его запись результата более точны, чем у Эйлера. Поэтому, связывая с формулой суммирования имена обоих этих математиков, мы не совершаем исторической ошибки. Вывод Маклорена изложен у Cantor’a: Vorlesurgen flher Geschichte der Math., т. 3, стр. 683—685. См. также Reiff. Geschichte der unendlichen Reihen, Tiibingen, 1889, стр. 85.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
осуществляется с помощью метода неопределённых коэффициентов, комбинируемого с дифференцированием. Здесь, между прочим, впервые коэффициенты разложения функции sec х в степенной ряд выражены через бернуллиевы числа (§223). Кроме степенных рядов, рассматриваются также разложения более общего типа (§§208—215).
В девятой главе («О применении дифференциального исчисления к решению уравнений») даётся способ получения более точных значений корня уравнения по исходному грубому приближению. Идея, которую здесь использует Эйлер,—представление искомого корня в виде ряда, расположенного по степеням разности между искомым корнем и исходным приближением, была широко использована впервые Ньютоном, а затем его английскими последователями, так что в этой главе мы не находим принципиально новых вещей. Но систематическое применение ряда Тэйлора и большое число примеров выгодно отличают изложение Эйлера от изложения его предшественников.
Десятая глава («О максимумах и минимумах») содержит вывод необходимых и достаточных признаков максимума и минимума функций одно11 переменной. Рассматривается большое количество примеров и даются практические указания, могущие облегчить технику вычислений. И в этой главе не содержится каких-либо принципиально новых методов.
Напротив, одиннадцатая глава («О максимумах и минимумах многозначных функций и функций многих переменных») содержит материал, который в общем виде трактуется впервые. Единственные многозначные функции, с которыми Эйлер здесь имеет дело, это алгебраические выражения, содержащие радикалы. Эйлер различает два вида максимумов и минимумов многозначных функций. Один—это обычные относительные экстремумы, имеющие место па одной из ветвей функции. Они определяются тем же методом, каким находятся экстремумы однозначных функций; другой—это различные типы абсолютных граничных экстремумов, которые могут иметь место в точках ветвления. Для определения их Эйлер подвергает исследованию выражение многозначной функции.
Этот материал механически объединён в одной главе с вопросом о максимумах и минимумах функций многих переменных, к которому Эйлер переходит, начиная с § 286. Установление необходимого признака экстремума (§ 286) совершается, конечно, без труда. Что касается достаточного условия, то Эйлер (см. § 290 и примечание к нему) допускает при выводе его принципиальную ошибку, полагая, что функция двух переменных должна иметь максимум, если она имеет максимум относительно каждого из аргументов при постоянстве другого. Представляется весьма удивительным, что Эйлер не заметил на простейших примерах неверности полученного им критерия.
17. Следующие две главы (гл. XII «О применении дифференциалов к разысканию действительных корней уравнений», гл. XIII «О признаках мнимых корней») содержат оценки числа действительных и мнимых корчей; все эти оценки получаются в конечном счёте из предположения, гласящего, что между двумя корнями уравнения /(ж)=0 должен лежать корень уравнения f'(x)=O. Это почти очевидное положение было применено для оценки числа корней впервые, вероятно, Кемпбеллом. В статье его, опубликованной в 1728 г. в Philosophical Transactions, содержатся, в частности, все результаты, имеющиеся в ХШ главе эйлерова «Дифференциального исчисления». Большинство их было дано
3 Л. Эйлер
34
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
ещё Ньютоном в «Универсальной арифметике» (1707 г.) без доказательства. В одном существенном пункте (см. приложение к § 324), который остался недоказанным у Кемпбелла, Эйлер делает попытку дать доказательство; последнее оказывается, однако, совершенно не убедительным. Эта теорема Ньютона была впервые доказана спустя более чем сто лет Сильвестром.
Четырнадцатая глава («О дифференциалах функций в некоторых особых случаях») рассматривает те случаи, когда по какой-либо причине нельзя, как мы бы теперь сказали, считать приращение функции эквивалентным её дифференциалу. Такой случай имеет прежде всего место, когда производная равна нулю, а также и тогда, когда функция (при данном значении аргумента) недифференцируема.
Эйлер рассматривает оба эти случая. Он вводит понятие «полного» или «истинного» дифференциала (§§ 337—339), который, по сути дела, есть выражение приращения функции. В случае, когда первая производная равна нулю, он из этого выражения выделяет главную часть и считает её дифференциалом функции. Если эта главная часть имеет относительно ириращения аргумента порядок, меньший единицы, то функция недифференцируема. Это, кбнечно, единственный доступный Эйлеру случай недифференцируемости.
Пятнадцатая глава носит характерный заголовок «О значениях функций, которые в некоторых случаях кажутся неопределёнными». Для Эйлера выражение «не может быть неопределённым», даже если Р—0 И Q = Q (§ 355). Оно имеет вполне определённое значение, и нужно лишь устранить кажущуюся неопределённость. Достаточно полно рас-
•• 0 ОО тт ••
смотрены неопределенности вида ^-и —. Неопределенность вида оо—оо рассматривается лишь на частных, и притом нарочито взятых, случаях.
Главы шестнадцатая («О дифференцировании непредставимых функций») и семнадцатая («Об интерполировании рядов») содержат материал, о котором мы уже упоминали в начале п. 10. В примечании к § 368 читатель найдёт обзор этих глав. Поэтому здесь мы ограничимся замечанием, что эти главы очень поучительны как с принципиальной стороны, так и по полученным в них результатам.
Наконец, последняя, восемнадцатая глава («О применении дифференциального исчисления к разложению дробей») даёт основанный на применении дифференцирования метод определения числителей простейших дробей, на которые разлагается рациональная дробь; предполагается, что корни знаменателя известны. Заметим,что ни здесь, ни во «Введении», где вопрос этот решался чисто алгебраическими способами, не даётся доказательства возможности такого разложения.
Таково многообразное содержание «Дифференциального исчисления». Приведённый здесь его краткий обзор мне хотелось бы закончить словами академика А. Н. Крылова, который характеризует «Дифференциальное исчисление» Эйлера в таких выражениях: «В современном смысле слова это сочинение является как бы устарелым; тем не менее оно остаётся в высшей степени поучительным по превосходному подбору примеров, по изяществу многих выводов и преобразований и по оригинальности и богатству содержания».
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К АНАЛИЗУ КОНЕЧНЫХ И К УЧЕНИЮ
О РЯДАХ
INSTITUTIONES CALCULI DIFFERENTIALS
CUM El US VSU
IN ANALYSI FINITORUM
AC
DOCTRINA SERIERUM
AUCTORE
LEONHARDO EULERO
ACAD. REG. SCIENT. ET ELEG. LITT. BORUSS. DIRECTORE PROF. HONOR. ACAD. IMP. SCIENT. PETROP. ET ACADEMIARUM REGtARUM PARISINAE ET LONDINENSIS SOCIO.
IMPBNSTS ACADEMIAE IMPERIALIS SCtENTIARUM PETROPOLITANAE •iff-
ПРЕДИСЛОВИЕ
Трудно объяснить, что такое дифференциальное исчисление и вообще анализ бесконечно малых тому, кто его совсем не знает. Здесь не приходится поступать так, как это делается обычно в других науках, где изучение предмета начинают с его определения. Не то, чтобы вовсе нельзя было бы дать никакого определения этого исчисления; но для того, чтобы уяснить смысл такого определения, нужно обладать понятиями, которые мало употребительны не только в обычной жизни, но даже и в анализе конечных количеств; они развиваются и объясняются обычно лишь при изучении дифференциального исчисления. Вот почему оказывается,что определение дифференциального исчисления можно понять лишь после того, как будут с достаточной ясностью освещены его начальные основы.
Заметим прежде всего, что это исчисление имеет дело с переменными количествами. Хотя всякое количество по самой природе своей может до бесконечности увеличиваться и уменьшаться, однако, пока вычисление направлено к какой-либо определённой цели, мы представляем себе, что одни количества постоянно сохраняют одну и ту же величину, другие же изменяются, проходя все ступени увеличения и уменьшения. Для того, чтобы отметить это различие, первые количества называют постоянными, а вторые переменными, так что это отличие обусловливается не столько природой вещи, сколько характером вопроса, для решения которого производится вычисление.
Чтобы эту разницу между постоянными и переменными количествами уяснить наилучшим образом на примере, рассмотрим полёт ядра, вытолкнутого из орудия силой пороха. Этот пример представляется наиболее удобным для уяснения сути дела. Здесь мы встречаемся с несколькими количествами, взаимную связь которых нужно установить: это, во-первых, количество пороха, во-вторых—угол возвышения орудия над горизонтом, в-третьих—дальность- полёта над горизонтальной плоскостью, в-четвёртых—время, в течение которого летящее ядро находится в воздухе; если же опыты производятся не над одним и тем же орудием, то сверх того нужно принять в расчёт и длину орудия и вес ядра. Чтобы не усложнять задачи, мы здесь отвлечёмся от разнородности орудий. Пусть теперь количество пороха остаётся всегда одним и тем же, угол же возвышения орудия непрерывно меняется, и пусть ищутся дальность полёта и продолжитель-
38
ПРЕДИСЛОВИЕ
ность движения ядра в воздухе. В этой задаче пороховой заряд или сила толчка будет количеством постоянным; угол же возвышения, а также дальность полёта и его продолжительность нужно будет отнести к количествам переменным, если мы желаем определить их для всех степеней возвышения, чтобы узнать отсюда, как изменяются дальность и продолжительность полёта в зависимости от всех изменений угла возвышения. Дело будет обстоять иначе, если угол возвышения орудия будет оставаться одним и тем же, количество же пороха будет непрерывно изменяться, и нужно будет определить те изменения в полёте ядра, которые от этого произойдут. Действительно, здесь возвышение орудия будет количеством постоянным, количество же пороха, а также дальность и продолжительность полёта будут количествами переменными. Теперь видно, каким образом в зависимости от постановки вопроса одно и то же количество можно считать иной раз постоянным, иной же раз — переменным. Вместе с тем — и это заслуживает наибольшего внимания — отсюда становится понятным, каким образом переменные количества могут зависеть одни от других так, что при изменении одного из них и остальные должны претерпеть изменение. Именно, в первом случае, когда количество пороха оставалось одним и тем же, с изменением возвышения орудия изменяются также дальность и продолжительность полёта. Таким образом дальность и продолжительность полёта являются здесь переменными количествами, зависящими от возвышения орудия, и если меняется возвышение, то и они тотчас же претерпевают некоторые определённые изменения. Во втором же случае продолжительность и дальность полёта зависят от количества пороха, изменение которого должно в них произвести определённые изменения.
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер1); оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак, если х обозначает переменное количество, то все количества, которые как-либо зависят от х, т. е. определяются им, называются его функциями; таковыми являются квадрат количества х и все другие его степени, равно как и количества, как угодно составленные из них. Эти количества могут быть и трансцендентными и вообще любыми, если только они так зависят от х, что с увеличением или уменьшением х сами они подвергаются изменениям. Отсюда возникает такой вопрос: пусть количество х увеличивается или уменьшается на данное количество; как тогда изменятся те или иные его функции, т. е. какое они получат приращение или какой ущерб? В простейших случаях этот вопрос решается легко; если количество х увеличивается на количество о>, то его квадрат ж2 вследствие этого получит приращение 2жш-|-и)2 и, значит, приращение х будет относиться к приращению х2, как и к 2.ссо—<х>‘2, т. е. как 1 к 2ж-|-и). Подобным образом и в других случаях рассматривают отношение приращения х к приращению или ущербу, который получает при этом какая-либо его функция. Разыскание этого отношения приращений не только имеет большое значение само ио себе,
J) В оригинале: quae denominatio latissime patet.
ПРЕДИСЛОВИЕ
39
но и служит основой для всего анализа бесконечно малых. Чтобы это стало ясным, возьмём вышерассмотренный пример, где мы имели квадрат ж2. Его приращение 2жш-|-со2, которое он получает, когда количество х увеличивается па приращение со, как мы видели, относится к со, как 2ж~j-со к 1. Отсюда ясно, что чем меньшим берётся приращение со, тем более приближается это отношение к отношению 2х к 1; однако оно полностью переходит в это отношение не ранее, чем приращение со совершенно исчезнет. Отсюда понятно, что если приращение со переменного количества х обращается в нуль, то возникающее при этом приращение его квадрата х2, хотя оно тоже исчезает, однако имеет к со отношение 2х к 1. То, что сказано здесь о квадрате, можно сказать и о всех других функциях количества х. А именно, исчезающие их приращения, которые они принимают, когда само количество х принимает исчезающее приращение, имеют к этому последнему определённое и могущее быть указанным отношение1). Так мы подошли к определению дифференциального исчисления. Это есть метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых какими-либо функциями, когда переменному количеству, функциями которого они являются, даётся исчезающее приращение. Что в этом определении заключена, и притом исчерпывающим образом, истинная суть дифференциального исчисления—это легко усмотрит всякий, кто не является новичком в этом деле.
Итак, дифференциальное исчисление занимается не столько разысканием самих исчезающих приращений, ибо они суть нули, сколько рассмотрением их взаимной зависимости и их отношения, а так как такие отношения выражаются конечными количествами, то нужно считать, что и дифференциальное исчисление занимается конечными величинами. Правда, его правила в той форме, как они обычно даются, могут создать представление, что их назначение состоит в определении самих исчезающих приращений; однако заключения никогда не основываются на исчезающих приращениях, рассматриваемых абсолютно; они исходят всегда из отношения исчезающих количеств. Так же обстоит дело и в интегральном исчислении; мы определим его наиболее подходящим образом, если скажем, что интегральное исчисление есть метод, с помощью которого по известному отношению исчезающих приращений находятся те функции, чьими являются эти приращения.
Чтобы эти отношения можно было легче составлять и вводить в вычисление, эти исчезающие приращения, хотя они и являются нулями, обозначают определёнными знаками; поскольку мы вводим их, ничто не мешает присвоить исчезающим приращениям и определённые наименования. Они называются дифференциалами; так как они лишены количества, они называются также бесконечно малыми. Таким образом название «бесконечно малые» согласно природе этих количеств должно толковаться в том смысле, что мы считаем их за нули в полном смысле2), т. е. за ничто. Например, если количеству х мы дадим приращение о>, так что оно обратится в я-р0? то ег0 квадрат х2 обратится в х2-1-2ллп-4—3 и, значит, получит приращение 2х&-1-о>2. Поэтому приращение ю количества х будет относиться к приращению 2х<я-о? квадрата х2, как 1 к
*) В оригинале: certain el assigi abilem ratiorem. Amnir.o nulla.
40
ПРЕДИСЛОВИЕ
2х-|-<». Это отношение переходит в отношение 1 к 2х лишь тогдаг когда ® исчезает. В самом деле, пусть ®=0; тогда, действительно, отношение исчезающих приращений (а только оно и рассматривается в дифференциальном исчислении) равно отношению! к 2ж; и, обратно, это отношение будет согласно с истиной лишь тогда, если приращение о> на самом деле исчезнет и станет вточности равным нулю. Значит, если этот нуль, обозначенный через ю, представляет приращение количества хг то, так как он относится к приращению квадрата ж2, как 1 к 2х, то приращение квадрата ж2 будет равно 2х® и, значит, тоже будет равно нулю. Вместе с тем отсюда ясно, что обращение в нуль этих приращений не мешает их отношению, которое равно отношению 1 к 2х, быть вполне определённым. Так как тот нуль, который мы выше выразили буквой <и, в дифференциальном исчислении рассматривается как приращение количества х, то он представляется знаком dx и называется дифференциалом количества х; и если вместо ® положить dx, то дифференциал количества х3 будет 2xdx. Подобным образом окажется,. что дифференциал куба Xs будет равен 3x3dx, и вообще дифференциал какой-либо степени а:п будет равен пхп~л dx. И какие бы функции количества х ни были предложены—в дифференциальном исчислении даются правила для нахождения их дифференциалов. Но всегда нужно иметь в виду, что так как эти дифференциалы сами по себе суть нули, то из них нельзя вывести ничего, кроме их взаимных отношений, которые непременно -дают конечные количества. И поскольку начальные основы дифференциального исчисления устанавливаются именно таким, единственно рациональным способом, все возражения, которые обычно выдвигаются против этого исчисления, рушатся сами собой. Они, однако, полностью сохранили бы силу, если бы дифференциалы, т. е. бесконечно малые, не обращались бы точно в нуль.
Однако некоторые авторы, писавшие о дифференциальном исчислении, сочли необходимым ввести различие между дифференциалами и абсолютным нулём и установить особую категорию бесконечно малых величин, которые якобы не полностью исчезают, но сохраняют некоторое количество, которое, однако, меньше, чем всякое могущее быть заданным. Им справедливо делалось возражение, что этим нарушается геометрическая строгость и что выводимые отсюда заключения, по справедливости, внушают сомнения, ибо такого рода бесконечно малыми количествами приходится пренебрегать. Действительно, мы можем считать эти бесконечно малые количества сколь угодно незначительными, но когда мы отбрасываем несколько таких количеств и тем более бесчисленное их множество сразу, то может получиться очень большая ошибка. Напрасно они пытаются опровергнуть это возражение, ссылаясь на те примеры, в которых с помощью дифференциального исчисления получаются те же результаты, что с помощью элементарной геометрии. В самом деле, если бесконечно малые, которыми пренебрегают при вычислении, не являются нулями, то ошибка непременно должна произойти, и притом тем большая, чем в большем числе накопляются бесконечно малые количества. Если же тем не менее этого не случается, то скорее нужно было бы приписать это несовершенству исчисления, в котором одни ошибки компенсируются другими, чем снять с самого исчисления подозрение в ошибочности. Если же такая компенсация происходит без какой-либо новой ошибки, то эти примеры служат очень хорошим доказательством того, что я и хочу доказать, т. е. что
ПРЕДИСЛОВИЕ
41
количества, которыми мы пренебрегаем, мы должны считать совершенно и абсолютно равными нулю и что бесконечно малые, которые рассматриваются в дифференциальном исчислении, не отличаются от абсолютного нуля. Ещё менее устраняются затруднения, когда некоторые говорят, что бесконечно малые нужно уподобить пылинкам по отношению к горе или даже ко всему земному шару. Хотя, конечно, тому, кто стал бы определять величину всего земного шара, можно было бы легко простить ошибку не только в одну, но и в тысячу пылинок, однако геометрическая строгость не терпит даже и столь малой ошибки, и это возражение, если оно имело бы какое-нибудь основание, оставалось бы очень важным. Какую выгоду надеются извлечь те, кто хочет отличать бесконечно малые от нуля, сказать трудно, но боятся они того, что если бесконечно малые считать полностью исчезающими, тогда оказалось бы невозможным их сравнение, к которому, как они понимают, сводится всё дело. Поэтому они и считают необходимым сохранить за бесконечно малыми какую-то величину, чтобы иметь нечто такое, что можно подвергать сравнению. Однако они принуждены считать эту величину столь малой, чтобы её можно было рассматривать так, как если бы она была равна нулю, и без ошибки пренебрегать ею в вычислении. Однако они не осмеливаются назначить какую-нибудь определённую величину, которая была бы нечувствительно малой; ведь если бы они увеличили её вдвое или втрое, то им пришлось бы производить сравнения таким же образом. Из этого ясно, что величина эта не играет никакой роли при сравнении и что, следовательно, сравнение не становится невозможным и в том случае, когда эта величина совершенно исчезает.
Но из вышесказанного ясно, что сравнение, производимое в дифференциальном исчислении, имеет место лишь в том случае, если приращения, о которых мы говорили, полностью исчезают. Действительно, приращение количества х, которое мы в общем случае обозначаем через ш, относится к приращению квадрата ж3, равному 2х® +®2, как 1 к 2ж+ш. Это отношение всегда отличается от отношения 1 к 2 х, если только ш не равно нулю. Если же мы положим о>—0, тогда, в самом деле, мы можем утверждать, что это отношение становится в точности равным отношению 1 к 2 х. Однако вместе с тем ясно, что чем меньше мы возьмём это приращение «, тем ближе подойдём к этому отношению. Поэтому не только позволительно, по, по сути дола, и надлежит считать эти приращения сначала конечными и изображать их на чертежах, когда последние нужны для иллюстрации рассматриваемого вопроса, конечными линиями. Затем нужно мысленно представить, что эти приращения становятся всё меньшими и меньшими, и тогда мы найдём, что их отношение всё более и более приближается к некоторому определённому пределу, которого они достигают, однако, лишь тогда, когда полностью обращаются в нуль. Этот предел, который составляет как бы последнее отношение упомянутых приращений, и является истинным объектом дифференциального исчисления. Следовательно, нужно считать, что первые основания дифференциального исчисления заложил тот, кому впервые пришло на ум рассматривать те последние отношения, к которым приращения переменных количеств, уменьшаясь всё более и более, приближаются и которых они, наконец, достигают, исчезая.
Следы такого рассмотрения мы находим у древних авторов; им поэтому нельзя отказать в наличии некоторого представления об анализе бесконечно малых и в обладании кое-каким знакомством с ним. Мало-
42
ПРЕДИСЛОВИЕ
помалу эта наука делала потом всё большие и большие успехи и не сразу достигла она того состояния, в котором мы её видим ныне; правда, в ней и сейчас гораздо больше тёмных мест, чем освещённых. В самом деле, хотя дифференциальное исчисление охватывает функции любого вида, сколь бы ни были они сложны, однако не сразу стал известен метод взаимного сравнения исчезающих приращений всевозможных функций; это открытие делали постепенно, восходя ко всё более сложным функциям. Что касается рациональных функций, то последнее отношение их исчезающих приращений умели находить задолго до времени Ньютона и Лейбница, так что нужно считать, что дифференциальное исчисление в применении к рациональным функциям было найдено много раньше этого времени. Нет никакого сомнения в том, что открытием той части дифференциального исчисления, которая занимается иррациональными функциями, мы обязаны Ньютону. Он был счастливо приведён к этому замечательной своей теоремой о разложении произвольной степени бинома; этим весьма изящным открытием область дифференциального исчисления была расширена удивительным образом. Не в меньшей степени мы обязаны и Лейбницу тем, что этому исчислению, которое до него рассматривалось лишь как совокупность особых искусных приёмов, он придал форму научной дисциплины, собрал её правила в систему и отчётливо их изложил. В самом деле, таким образом были созданы средства для дальнейшего развития этого исчисления, и стало возможным, исходя из достоверных начал, найти ответ на нерешённые ещё вопросы. Вскоре, действительно, стараниями самого Лейбница, а также братьев Бернулли, которых он к этому привлёк, дифференциальное исчисление было распространено на трансцендентные функции—эта его часть до тех пор оставалась неразработанной. Тем самым была заложена прочная основа интегрального исчисления. Опираясь на неё, авторы, разрабатывавшие впоследствии интегральное исчисление, обогащали его всё новыми и новыми результатами. Так и Ньютон дал очень важные результаты интегрального исчисления1); но когда последнее было впервые открыто, это установить с такой определённостью нельзя, ибо его возникновение вряд ли можно отделить от первого появления дифференциального исчисления. Поскольку же наибольшая часть интегрального исчисления остаётся неразработанной и до сих пор, то на это исчисление и нельзя смотреть как на вполне открытое, и за каждым, кому удаётся внести посильный вклад для его усовершенствования, мы должны будем с благодарностью признать его заслугу. Вот какого мнения следует держаться в вопросе о славе открытия этого исчисления, возбуждавшем, я полагаю, до сих пор так много споров.
Что же касается до различных наименований, которые математики разных стран присваивают этому исчислению, то все они сходны в том отношении, что очень хорошо согласуются с данным здесь определением; действительно, назвать ли исчезающие приращения, отношения которых мы рассматриваем, дифференциалами или флюксиями, всегда нужно считать их равными нулю; таким должно быть истинное понятие о бесконечно малом. Тогда всё то, что было предметом скорее любопытных, чем полезных споров относительно дифференциалов второго и более высоких порядков, становится совершенно ясным, поскольку все эти дифференциалы сами по себе в равной мере исчезают и поскольку никогда они
Ч ... amplissima dederat specimena calculi integralis.
ПРЕДИСЛОВИЕ
43
не берутея сами по себе, а рассматривается лишь их взаимное соотношение. В самом деле, отношение двух исчезающих приращений снова выражается некоторой функцией, поэтому, если исчезающее приращение этой функции сравнивается с другими приращениями, то нужно считать, что мы имеем дело со вторыми разностями. Таким же образом нужно понимать переход к дифференциалам более высоких порядков, так что на самом деле всегда мыслятся конечные количества, а знаки дифференциалов применяются лишь для удобного их представления.
На первый взгляд это воззрение на анализ бесконечно малых может некоторым показаться неосновательным и совершенно бесплодным, хотя упоминавшаяся выше таинственная категория1) бесконечно малых не может обещать большего. На самом же деле, если мы можем точно знать отношения между исчезающими приращениями каких-либо функций, то это знание и само по себе чрезвычайно важно, но, кроме того, оно настолько необходимо при разрешении многих, и притом наиболее трудных, вопросов, что без его помощи в них вообще ничего понять нельзя. Так, например, если ставится вопрос о движении ядра, выброшенного орудием, и при этом нужно учесть сопротивление воздуха, то сразу никак нельзя определить, как будет двигаться ядро на протяжении конечного расстояния, ибо как направление пути, по которому движется ядро, так и скорость его, от которой зависит сопротивление, меняются в каждый момент. Однако чем меньше расстояние, пройденное ядром, тем меньшей будет эта изменчивость и тем легче можно будет приблизиться к познанию истины. Если же это расстояние мы сделаем совершенно исчезающим, то, поскольку тогда уничтожится всякая неравномерность направления пути и скорости, можно будет на основании законов движения точно определить влияние сопротивления и найти изменение движения, возникшее в момент времени2). А зная эти мгновенные изменения или, лучше сказать, их взаимное соотношение (ибо сами они суть нули), мы уже получаем очень большую пользу, и теперь задачей интегрального исчисления является вывести отсюда заключение о движении, меняющемся на протяжении конечного пространства. Я полагаю, однако, что нет нужды показывать дальше пользу дифференциального исчисления и вообще анализа бесконечно малых, ибо сейчас хорошо известно, что, если мы желаем точно решить хотя бы самый простой вопрос, касающийся движения твёрдых или жидких тел, мы не можем обойтись без помощи анализа бесконечно малых и что часто эта наука оказывается даже ещё недостаточно разработанной, чтобы мы могли полностью решить тот или иной вопрос. Можно сказать, что во всех отраслях науки этот высший анализ применяется столь широко, что всё, чего можно достичь, не прибегая к нему, можно считать почти за ничто.
В этой книге я намерен вывести всё дифференциальное исчисление из истинных начал и изложить его столь подробно, чтобы не опустить ни одного из найденных до сих пор результатов, к нему относящихся. Я разделил всё сочинение на две части. В первой из них, введя основные понятия дифференциального исчисления, я изложил метод дифференцирования всевозможных функций и показал, как находить дифференциалы не только первого, но и высших порядков, как для функций одного
;) В оригинале: species ille arcana.
2) В оригинале: puncto temporis, т. е. «в точке времени».
44 ПРЕДИСЛОВИЕ
переменного, так и для функций двух и большего числа переменных. Во второй части я изложил разнообразные применения дифференциального исчисления к анализу конечных количеств и к учению о рядах. Здесь я с особой обстоятельностью изложил теорию максимумов и минимумов. Применения же дифференциального исчисления к геометрии кривых линий я здесь вовсе не касаюсь; в этом не было большой нужды, так как в других сочинениях этот раздел изложен очень подробно, так что даже основные положения дифференциального исчисления как бы выводятся из геометрии, а как только они достаточно развиты, с большим старанием применяются к этой науке. Здесь же всё изложение ограничено пределами чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ,
СОДЕРЖАЩАЯ ПОЛНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ГЛАВА I
О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
1. Из того, что в предшествующей книге1) было сказано о переменных количествах и о функциях, явствует, что когда переменное количество на деле изменяется2), все его функции тоже претерпевают
изменение. Так, если ние w, так что вместо , , а + х
например, аг, я ,
переменное количество х получает прираще-х пишется ж-|-е>, то все функции от х, как, , примут другие значения, а именно, а:2 перей
дёт в 4^2 + 2яш-р w2, х3 перейдёт в х” -ф- Зх2ш -рЗада2 + ы3 и 2
а 4- х 4- а) „
превратится в ——5-7-4—;Такого рода изменение возникает всег-r г а2- 4- х~ 4- 2хо> 4- м
да, кроме случая, когда функция имеет лишь обманчивый вид пере
менного количества, на самом же деле является постоянцым количеством, как, например, х"; такая функция остаётся неизменной как бы ни изменялось количество а;3).
2. Так как об этом говорилось достаточно, подойдём ближе к тем свойствам функций, на которые опирается весь анализ бесконечно малых4). Итак, пусть у есть какая-либо функция переменного коли-
4) Во «Введении в анализ бесконечно малых», гл. I, § 5. Русский перевод Е. Л. Пацановского, под редакцией проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, 1936, стр. 29 и след.
2) В оригинале: actu variatur. Переменное количество, по Эйлеру, «содержит в себе всевозможные определённые значения», т. е. потенциально способно к изменению. Здесь подчёркивается, что изменение должно иметь место и актуально.
3) Во «Введении в анализ» Эйлера (цит. соч., гл. I, § 4) сказано: «функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образам из этого переменного количества и чисел или постоянных величии». Согласно этому определению функция переменного количества может п не быть переменным количеством (ср. «Введение в анализ», гл. I, § 5).
Что же касается понятия «аналитического выражения», то Эйлер нигде его не определяет; по смыслу, в котором этот термин употребляется в различных произведениях Эйлера, можно было бы сказать, что аналитическое выражение составляется с помощью «элементарных» действий, рассматриваемых в алгебре и тригонометрии; эти действия могут производиться в бесконечном множестве. В частности, Эйлер широко пользуется бесконечными степенными рядами. Класс эйлеровых функций очень широк. Он включает в себя все непрерывные (в современном смысле) функции. См. А. Мариушеви ч, Элементы теории аналитических функций. Учпедгиз, 1944, Введение, § 4.
4) Заметим, что Эйлеру не чужда была и более общая точка зрения на функцию, высказанная ещё Ньютоном (см. предисловие Эйлера к настоящему сочинению его).
48
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
чества х; вместо последнего будем подставлять последовательно значения, растущие в арифметической прогрессии, а именно, х, x+w,
х 4- 3<», х + 4w и т. д. Обозначим через у1 значение, которое принимает функция у, если в неё вместо х подставить x-j-w; подобным образом пусть у11 есть значение у, когда вместо х пишется х 4- 2w; равным образом пусть у111, yIV, yv представляют значения у, появляющиеся тогда, когда вместо х мы полагаем x4*3w, х4-4(в, х 4- 5w и т. д., так что эти различные значения х и у соответствуют друг другу следующим образом:
х, х-j-w, х 4-2о), х 4-3w, х-{-4(о, я-рбы и т. д.
у у1 у11 у111 ylv yv и т. д.
3. Так как арифметический ряд х, x-j-w, x-j-2u> и т. д. можно продолжать бесконечно, то ряд у, у1, у11 и т. д., происшедший из функции у, также будет продолжаться бесконечно, и его природа будет зависеть от природы функции у. Так, если будет у=ж или у — ах -\-Ь, то ряд у, у1, у11 и т. д. также будет арифметическим; если будет у = , ряд будет гармоническим, если же у = ах, то будем
иметь геометрический ряд. И нельзя придумать такого ряда, который не мог бы произойти таким образом из некоторой функции1); эта функция от х по отношению к ряду, который из неё происходит, называется его общим членом. И так как каждый ряд, образованный по определённому закону, имеет общий член, то он происходит из определённой функции х. Подробнее это излагается в учении о рядах.
4. Но здесь наше внимание обращено преимущественно на разности, которыми члены ряда у, у1, у11 и т. д. отличаются друг от друга. Чтобы поставить их в связь с дифференциалами, будем обозначать их следующим образом:
у1— у~А.у, у11— у]-— \у]-, уш— уП=д^п и т> д.
Следовательно, Ду представляет приращение, которое принимает функция у, если в ней вместо х положить х4-(м, где w обозначает какое-нибудь по произволу взятое число. В учении о рядах обычно берётся о = 1, но для нашей цели выгодно пользоваться общим значением, которое можно по усмотрению увеличивать или уменьшать. Это приращение Ду функции у называют разностью, на которую последующее значение у1 превосходит первое значение у. Она всегда рассматривается как приращение2), хотя часто она на самом деле представляет ущерб3), признаком чего служит отрицательное её значение.
5. Так как у11 происходит из у, если вместо х написать <г4-2(», то очевидно, что должно произойти то же количество, если сперва вместо х положить х 4- ш, а затем снова поставить х -J- ы вместо х. Значит, у11 произойдёт из у1, если в последнем вместо х написать
Э Это утверждение Эйлер мог бы обосновать лишь ссылкой на свою огромную практику. В его глазах такая ссылка должна была оказаться достаточной. При надлежащем уточнении понятия «аналитическое выражение» (см. предыдущую сноску) это утверждение легко доказывается.
2) Incrementum.
3) Decrementum,
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
49
а;4-«Ч поэтому Ду1 есть приращение количества у1, которое оно принимает, если положить a;-|-w вместо х ; вследствие этого Ду1 подобным же образом называют разностью количества у1. Равным образом ДуИ будет разностью у11, т. е. тем его приращением, которое оно принимает, если вместо х положить хфи; и Ду111 будет разностью, т. е. приращением уш, и т. д. Таким образом, мы из ряда значений у, а именно, у, у1, у11, ут и т. д., получим ряд разностей Ду, Ду1, Ду11 и т. д. Они находятся вычитанием каждого члена первого ряда из следующего члена.
6. Если, после того как найден ряд разностей, снова взять из него разности, вычитая каждый член из следующего, то возникнут разности разностей; они называются вторыми, разностями и всего удобнее представляются символически следующим образом1):
Д2у = Ду1 —Ду,
Д2ут = Ду11 — Ду1,
Д2уп = Ду111 — Ду11, Д2у1Н =Ду1у —Душ.
Итак, Д2у называется второй разностью у, М!у1 — второй разностью у1 и т. д. Подобным же образом из вторых разностей, если снова взять их разности, получаются третьи разности, которые будем записывать так: Д3у, Д3ух и т. д., затем четвёртые разности Д4у, Д4у1 и т. д., сколько будет угодно.
7. Мы представим эти отдельные ряды разностей на схеме, чтобы их связь легче бросалась в глаза.
Арифметическая прогрессия
х, х-\-ш, х z4-4w, х 4-5о) п т. д.
Значения функции
У; У1, У11! У111, yIV, yV И т. д.
Первые разностй
Ду, Ду1, Ду11, Ду1П, Ду1У и т. д.
Вторые разности
Д'-у, A2yJ, Д2уп, Д2у,п и т. д.
Третьи разности
Д3у, Д’у1, А3уп и т. д.
Четвёртые разности
Д4у, Д4у* и т. д.
Пятые разности
Д5У и т. д.
и т. д.
4) У Эйлера вторая разность от у обозначается по большей части через ДДг/ и лишь изредка, при сопоставлении с разностями высших порядков, через Д2г/. Третьи и высшие разности обозначаются всегда через Му, Му и т. д.
4 Л. Эйлер
50
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Любой из этих рядов получается из вышестоящего вычитанием каждого предшествующего числа из последующего. Итак, пусть вместо у подставляется какая-нибудь функция от х. Так как, зная способ её составления, легко образовать значения у1, у11, у111 и т. д., то из них без труда будут найдены' отдельные ряды разностей.
8. Положим, что у = %', тогда будет у1 — х1 = х-ф ш, у11 = х11 = х -ф2ш и т. д. Беря отсюда разности, будем иметь Дх = н>, Дх1 = w, Дх11 = «> и т. д. Поэтому все первые разности х будут постоянны и, значит, вторые разности исчезают1); равным образом исчезают третьи разности и все разности следующих порядков. Так как Дх = ы, то по аналогии вместо буквы w мы можем с удобством употреблять символ Дх. Итак, у переменного количества х, последовательные значения которого х, х1, х11, х1П и т. д., как мы приняли, составляют арифметическую прогрессию, разности Да;, Дх1, Дх11 и т. д. будут постоянны и равны между собой. Вследствие этого Д2я=0, Д3х=0, Д4х = 0 и т. д.
9. Мы приняли здесь, что значения х, которые ему последовательно даются, образуют арифметическую прогрессию, так что первые разности этих значений постоянны, а вторые и все остальные исчезают. Хотя это зависит от нашего произвола, поскольку мы могли бы с равным правом употребить какую-нибудь другую прогрессию, однако арифметической прогрессией пользуются предпочтительно перед всеми остальными как потому, что она наиболее проста и легка для усвоения, так главным образом и потому, что она способна охватить все значения, какие только может принимать х.
Действительно, если давать количеству и» как отрицательные, так и положительные значения, то в ряде значений х содержатся всевозможные действительные количества, которые могут быть подставлены вместо х; напротив, если бы выбрали геометрический ряд, то к отрицательным значениям не открывалось бы никакого доступа. По этой причине об изменении функций у удобнее всего судить по значениям х, которые составляют арифметическую прогрессию.
10. Подобно тому как мы имеем Ду = у1 — у, так и высшие разности можно определить, исходя из членов первого ряда у, у1, у11, у1П и т. д.
В самом деле, так как
Ду1=у11_у1;
то
~ 2ух + у
И
Д2у1 = ут-2уи + у1, поэтому
Д*у = Д2у! — Д2у = у111 — Зу11 + Зу1 — у. Подобным образом
Д4у = yIV = 4уш бу11 — 4 у1 4- у
и
Д6у = у — 5yIV + 10у1П — lOy11 Ч-бу1 — у.
*) В оригинале evanescunt. Мы сохраняем термин, которым пользуется Эйлер, ввиду того значения, которое оно имеет в эйлеровом обосновании анализа (гл. III настоящей работы). Эйлер пользуется и термином «обращается в нуль» (in nihilum bit) как синонимом.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
51
Коэффициенты в этих формулах подчинены тому же закону, который наблюдается у степеней бинома1). Итак, подобно тому как первая разность определяется с помощью двух членов ряда у, у1, у11, уш и т. д., так вторая разность с помощью трёх, третья — четырёх и т. д. Зная же разности всех порядков количества у, мы подобным образом определим разности всех порядков количеств у1, у11 и т. д.
11. Итак, когда предложена какая-нибудь функция у, то можно найти как первую, так и следующие её разности, отвечающие разности w, на которую возрастают значения х. И для этого нет необходимости продолжать дальше ряд значений у2). Действительно, как первая разность ку находится, если в у вместо х написать x-f-w и из полученного значения у1 вычесть самоё функцию у, так вторая разность получится, если в первой разности Ау вместо х положить х-\-ш, так что получится Ду1, и вычесть Ду из Ду1. Подобным образом, если взять разность от второй разности Д2у, вычитая её из значения, которое она принимает, если вместо х положить х + о>, то получится третья разность Д3у и далее таким же образом четвёртая разность Д4у и т. д. Итак, если бы кто-нибудь умел отыскивать первую разность всякой функции, то он тем самым мог бы находить и вторую разность, и третью, и все следующие, ибо вторая разность у есть не что иное, как первая разность от Ду, третья разность у есть не что иное, как первая разность от Д2у, и т. д.
12. Если функция у составлена из двух или нескользких частей, так что у = р + у + у + г + и т. д., то, поскольку у1 = р1 + у14- г1 -f-+ и т. д., разность будет Ду = Ду + Ду Дг Д- и т. д. и подобным образом далее
Д2у = Д2у + Д2у + Д'г+ и т- Д-, так что разыскание разностей немало облегчается, если предложенная функция составлена из частей. Если же функция у есть произведение двух функций р и у, т. е. y = pq, то, поскольку у1 = plqT и
у1 = у + Ду,
у! = у+ Ду,
*) Эйлер не считает необходимым доказывать это утверждение, хотя он мог бы легко применить метод полной индукции, хорошо известный в его время. Вообще, Эйлер не склонен никогда доказывать для общего случая закон, который он установил для ряда частных случаев, если этот закон представляется ему «естественным». Мы вскоре будем иметь случай убедиться в том, что это не только педагогический приём, но и внутреннее убеждение Эйлера.
Конечные разности были впервые введены Ньютоном. Для приближённого выполнения квадратур он применил интерполяционную формулу, носящую сейчас его имя. Об этой формуле Ньютон сообщил в нарочито неясной форме в своём письме к Лейбницу в lr>7G г. Опубликована она в кратком сочинении Ньютона Mettiodus differentialis («Разностный метод»; русский перевод: И. Ньютон. Математические работы. Перевод и комментарии проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского, ОНТИ, 1937, стр. 210 — 217). Стирлинг в своей работе Methodus-differentialis iiewtoniana (Ньютонов разностный метод, 1719 г.) дал более простой вывод Ньютоновой формулы. Для этой цели он установил формулы, отличающиеся только обозначениями от тех, которые здесь даёт Эйлер. Обозначения, употребляемые здесь, введены самим Эйлером.
2) Эйлер хочет сказать, что нет необходимости пользоваться формулами предыдущего параграфа и сразу составлять выражения г/11, t/1*1; разумеется, фактически ряд значений у продолжается.
52
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
будем иметь
р lql = pq+ p±q + q^p + ДуДу, откуда
Ду = уДу 4- уД р-\- Д pkq.
Значит, если р есть постоянное количество, равное а, то, как Да = О, первая разность функции у =- aq будет Ду = аДу; подобным образом вторая разность Д2у=аД2у, третья Д3у = аД3у и т. д.
13. Так как всякая целая рациональная функция есть совокупность 2) нескольких степеней х, то мы сможем находить все разности целых рациональных функций, если будем знать, как представляются разности степеней. Поэтому в нижеследующих примерах мы разыщем разности отдельных степеней х.
Так как х<> — 1, то Az° = 0, ибо х° не изменяется, хотя х и переходит в я? + а>.
Далее, как мы видели, Дж = 0 и Д2а; = О, и вместе с тем исчезают все разности следующих порядков. Так как это уже известно, то мы начнём со второй степени.
Пример 1
Найти разности всех порядков степени х1.
Так как здесь у = х2, то будет у1 = (z + о>)2; поэтому
Ду = 2шх + w2.
Это первая разность. Вследствие постоянства о> будем иметь
Д2у = 2<и2, Д3у - 0. Д4у = 0.и т. д.
Пример 2
Найти разности всех порядков степени х3.
Положим у — х3' так как yi = (я?4-<о)3, то
Ду = Зо>ж2 + Зо>?;г+а>3.
Это первая разность. Затем, поскольку Дж2 = 2ых 4- ш1, будем иметь
Д3<1>я;2 = 6u>-’z-ф 3<»3 и Д3огж = 3о)3 и До>3 = 0.
Сложив это, будем иметь
Д2у = 6о/’ж 4- 6<»3 и Д3у = 6о3.
Следующие же разности исчезают.
Пример 3
Найти разности всех порядков степени х1.
Положим у = х1; так как,у1 = (х4-<и)4, то
Ду = 4ыж3 4* богат 4- ^ш3х 4* °>4-
*) Aggregatum.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
53.
Это первая разность. По предыдущему имеем: Д4шгг3 = 12ш2а;2 + 12ш3ж 4- 4ш4,
Д6ш2а;2 =........12«>3а; + 6ш4,
Д4ш3д; =.................4ш4,
Дш4 =..................0.
Сложив это, будем иметь вторую разность
Д2у --= 12о>гж3 + 24(о3х 4- 14<«4.
Так как, далее,
Д12ш2д;2 = 24ш3а: + 12ш4, Д24ш3а: =......24ш4,
Д14ш4.........0,
то находим третью разность
Д3у = 24ю3а; 4- 36«>4 и, наконец, четвёртую разность
Д4у = 24ш‘.
Так как она постоянна, то разности следующих порядков исчезают.
Пример 4
Найти разности любого порядка степени хп.
Положим у = хп; так как у1 = (х 4- ш)п, у11 = (х 4- 2ш)", г/ш=(ж+Зв>) и т. д., то, развернув степени, получим:
У~хП>
yi = а;л у ид;'1-1 -f- " 9 ш2ж'г~ 4- —^у-у-^Д;—--<|>3ж" 3-{- и т. д.,
yii = д;» 2. . 2юа;'1~1iu>~xn~2 + П —-8<и3д;Г' 3 '- и т. Д.,
yin = a;n + ±. n(in~1~9(uV~3 П(Т- 2)("~2)27(и^П^+ 3 И Т. Д.,
yiv = a;n + 2_ . 4«a;n-14- 16w3xn-2 б^х^1 и т. д.
Взяв отсюда разности, найдём:
Ду = у0>а;"~1 4-—у-До)2У 2 4— t 2 у----ш3хп 4- и т. д.,
Дт/1 = у 4~ -П ,~2г)' ЗоГ2хп~2 4- 2,) 7(,4х" -з + и т. д.л
Дуп = + га <” Т.1?. БшУ-2 4- га (п уИ"—19«)3а:п-34- и т. д.,
Душ = 2.+ 7wy-2 + л ("~ В ^1) 37^-3 + и т. д.
54
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Снова возьмём разности; получится
Д'-’у = п (« - 1) ’3 + 6«)3ж"-3 +
n (п — 1) (п — 2) (п — 3) 14о)4а;П-4 и т. Д.,
1 1 . 2 • 3 4
Ду = П (п - 1) ю2х" -3 + 12ш V'-3 +
п (ге - 1.) (п - 2) (п -3) 50ш4а;п-4 + и т- д
~ 1 . 2 • 3 4
ДУг = n(n-i) «Г-ж-''3 + п - 2) 18«>3жп-3 +
п (п — 1) (п — 2) (п — 3) , п . ,
+ —-----/Д, ,{ ------- 110«> Ж + И Т. Д.
Из этих формул с помощью вычитания найдём, далее,
\3у = п (п - 1) (п - 2) ш^"-3 + "У 36«>4ж"'4 + нт. д.,
ДУ = п(п-1)(п-2)ш3ж'‘-3 б0<»4жп-4+ и т. д.
и далее
&*у — п(п— 1)(га—- 2)(п— 3)«)4жп-44~ и т. д.
14. Чтобы легче усмотреть закон, которому следуют эти разности степени хп, положим, прежде всего, для краткости:
-4~”,
р а (а 1)
„ _ n (п — 1) (п — 2)
' — 1-2-3 ’
г. _ n (п — 1) (п — 2) (гг — 3)
1 " 1-23-4 ~ ’
р n(n— 1) (п — 2) (п — 3) (n — 4)
J = ГТТ73Т4Т5
И т. д.
Затем образуем следующую таблицу, которая послужит для выражения отдельных разностей:
У 1, о, 0, о, о, о, о, о, 0 И т. fl-
~У '0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 и т. fl.
^у 0, о, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254 и т. д.
Д3У о, о, о, 6, 36, 150, 540, 1806, 5796 и т. fl-
Д4г/ 0, о, о, о, 24, 240, 1560, 8400, 40824 и т. д.
^У о, 0, 0, о, о, 120, 1800, 16800, 126 000 и т. д.
Д’у о, о, 0, 0, о, 0, 720, 15120, 191 520 и т. fl-
Д’у о, о, о, 0, о, 0, о, 5040, 141120 и т. fl.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
55
Число, содержащееся в каком-либо ряде этой таблицы, найдётся, если сложить предшествующее число того же ряда с вышестоящим числом и сумму помножить на указатель, стоящий при знаке А. Так, в ряде, отвечающем разности Д5г/, член 16800 найдётся, если предшествующий член 1800 сложить с вышенаписанным 1560 и сумму 3360 помножить на 5.
15. Составив эту таблицу, мы получим отдельные разности степени хп — у следующим образом 4):
Ху == Лсиа:"'1 Вы2хп~2 + Сч>3хп~3 + Лю^”-4 4- и т. д.,
Х2у — 2В‘пъхп~“ 4- 6Cw3a:n'3 -f- 14Z)a>4a;n_4 4- и т. д.,
Х3у = §С«3хп~3-' З^В^хп~^+^Еш3хп-3 4- и т. д.,
Д4у = 24Do»V!-4 4-240E«>5a;n-5 4- 1560F«>‘^‘ 4- и т. д.
Вообще же разность Х™у порядка т степени хп выразится следующим образом:
Пусть
,__ п (п — 1) (п — 2)... (п — т + 1)
1 • 2 • 3 ... т ’
rr п — т Т т п — m — 1 ,, п — т — 2 Т
К =. — - I, L=-------—- К, М =--------Р5— L и т. д.
mJ-1 m-|-2 ’ гп-|-3
Далее, пусть
а = (т 4-1- у тт 4- (т - 1 )т - т - 2)т 4- и т. д.,
Р = (т4-1)п’*1 —™тт+14- —l)m+1 —
т (т — 1) (т— 2) , + i ,
----V ~ (т - 2) 4- И т. д.,
7 = (,п4-1)т“-™ тт'2 —
т (т — 1) (т — 2) , Пчт4.0 .
----—j ,~2 з- (т~- 2) 4- и т. д
Найдя эти значения, будем иметь
Хту = alu>wxn~m -f- pAw”'+1a;n~m-1 4- '[Lts>m’r2xn~m~2 4- и т. д.
То, что это выражение правильно, само собой следует из способа, которым отдельные разности выводятся из значений у, у\ у**, ут 2) и т. д.
*) О том, пак найдены Эйлером коэффициенты при В, С, D, т. е. числа, составляющие таблицу § 14, говорится в следующем примечании.
2) Это выражение неправильно: оно даёт не Хту, а Хту1, что, действительно, следует из способа, установленного в § 10 по неполной индукции. Найдём пра-
вильное выражение по тому же способу. Пользуясь обозначением
G)
ДЛЯ
56
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
коэффициента к-й степени в разложении бинома n-й степени
^так что I=
и т. д. ) , мы напишем формулу § 10 в виде
Дтхп = (хтв)п — ( Их+ (ш-!)<->]« +
[х + (т - 2) <о]« Q з \ [х + (т - 3) <>]”+ . . .
После разложения этого выражения по степеням х коэффициент р™ при Q ) хм будет равен
Р™ = т1 - (ш-1)’’ + (™)(т-2)’‘- ^^(т-3/+ ... (1)
Так как взятие каждой новой разности понижает степень многочлена на единицу, го при I <т это выражение тождественно равно нулю. При значениях i, равных т, т + 1, т-\-2, ... мы имеем:
/’m+2=V = w’Bt2 - (7)(те-1)“+2+ (з) (w-3)”‘ + 1+- •
Формула, данная Эйлером, станет правильной, если виычины a, fj, у заменять величинами a', JJ', у'.
Приведённая Эйлером таблица (§ 14) есть не что иное, как таблица вели-1ин р™. Устанавливаемый им рекуррентный закон представляется формулой
М/’"1”'1 +p7") = p™1.i- (2>
Из неправильной формулы, приведённой в тексте, таблицу § 14 получить гельзя. Подмеченный же Эйлером рекуррентный закон может быть доказан только ia основании формулы, даюшей правильное выражение для коэффициентов.
Таким образом, можно с полной уверенностью сказать, что Эйлер и не 1Ытался доказывать рекуррентный закон, усмотренный им из таблицы.
Справедливость этого закона можно доказать следующим образом: по формуле (1) имеем
I
= (^(^-3)4 •••
Сложим эти выражения, соединяя попарно члены, стоящие в одном и том же гголбце. Так как по известному свойству биномиальных коэффициентов
СТЧГОЧ".-1) <'=*•’.................
о получаем
Р-- + „Т - - (” ;1) (». - О< + (” - *) (». - W - (“ -1) - з/+
+ С"Г1>-5>'-
ГЛ. I О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
57
16. Из этого явствует, что если показатель п будет целым положительным числом, то мы дойдём в конце концов до постоянных разностей и все следующие за ними будут равны нулю. Так, будем иметь:
Да; = оц
Д2а:г = 2а>2,
А3#3 = 6«>3,
А‘ж4 = 24о>4
и, наконец, \пхп 1-2-3.. .пшл.
Итак, всякая целая рациональная функция в конце концов сведётся к постоянной разности, а именно, для функции от х первой степени ах^гЬ постоянна уже первая разность; она равна а<о; для функции второй степени ах2 + bx Т с постоянна вторая разность; она равна 2«о>2. У функции же ' третьей степени постоянной будет третья разность, у четвёртой — четвёртая и т. д.
17. Но способ, которым мы нашли разности степени х11, простирается ещё шире и распространяется также на те степени, у которых показатель п есть отрицательное или дробное или даже иррациональное число. Для большей ясности представим лишь первые разности этих особых степеней, так как закон вторых и следующих разностей усматривается не столь легко; итак, мы будем иметь:
\х = ю,
Дж2 — 2<й:г + со2,
Дт;3 =; Зюа:2 За>2а; + «>3,
Arc* = 4шз;3 4- 6«>2а;2 + 4а>2а; 4- а>4
и т. д.
Подобным же образом будем иметь:
Дж-1 = <0 х* +?- <о3 -4+и т. д.,
Дж2 = 2<о , 3«>2 1 X4 4о>3 . хъ + и т- Д-
Дх'* = 3<’> ( 6<о2 10о>3 , х, + и т- д-
X* Ь хъ
±х* = 4 со . 10(О2 + X3 20«>3 , + И Т. Д
и т. д.
Умножая на т и замечая, что
находим
'«(/’Г-1 +P^) = mt + 1- (m—I)'*1 -i- (™-2)’41- О-3)’+1 + .. .
То же выражение даёт и (2) после замены i на i 4-1. Этим рекуррентный закон, выражаемый формулой (2), доказан.
58
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Равным образом будем иметь:
у
. 9 <0 . (О3
=—L-----у+—у-
2х ~ 8хг 16х ~
(О
Зх*
. » «> , 3<о2 5о>3 ,
Дж =----------зЧ----г--------,- + ит.д„
2х ~ 8х ' 16х '
Дж 3
<о ( 2<о2
i" 2
Зх 9х"
14ш3 ,
~7г + и т- Д-81х3
18. Ясно, что эти разности, если показатель при х не будет целым положительным числом, имеют бесконечное выражение, т. е. состоят из бесконечного числа членов. Между тем те же разности могут быть представлены и конечными выражениями. Действительно, так как при
1 1
у = аг1 = -- имеем у1 = — . то
V X v Л-f- <0 -
Дж'1 =
Д1 = ^_ X X + и>
£ .
X ’
если дробь ~ развернуть в ряд, ткение. Подобным образом
получится вышеприведённое выра-
а для иррациональных степеней будем иметь
— Г----- /----- 11 1
Д1/ ж = 1/ х 4- о) — 1/ х и Д ---—
' у х у х-ш у х
Этй формулы, если их обычным образом выразить рядами, дадут вышеприведённые выражения.
19. Этим способом можно найти также разности дробных или иррациональных функций; так, если ищется первая разность дроби
1 1 г 1
-5-—j , то полагаем у = ;, и так как у1 — --- —-—, , то
а- х3 •’ а-Ц-x- а а3х3 4-2(ох4-<о-
л \ 1
Ду = Д • ------
а- т х-
1 1
а* 4- х3 4- 2<ох 4- о>2 а3 4-х3’
это выражение также может быть обращено в бесконечный ряд. Положим а3+х2 = Р и 2mx-yw2 = Q; будем иметь
1 1 Q , Q2 Q3 ,
Р 4. Q р р2<рл pit « i • М.
И
A Q , Q2 Q* .
А?/= - И Т. Д.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
59
Если подставить вместо Р и Q их значения, то будем иметь
Ду = Л „ * ,t = d а? -р х-
2о)Х + о>2 4и>2х2 + 4о>3х + 'О4
(а3+Т2)2 + "
8<»3х3 + 12<о4х2 -f- 6<osx (а2 4-х2)* 1
+ <>’ , +
И т. д.
Если эти члены расположить по степеням ю, получим
д 1 2<ох
а2 4- (я2 ~L х2)2
<п2(3х2 —а2) 4<»3 (х3 — а2х) ,
+ ' и24-^)2-------(а1 - + и т-Д-
20. Подобными же бесконечными рядами могут быть выражены и разности иррациональных функций.
Пусть предложена функция у = }/а2 ~х'!, тогда
уг = ]/а2 4- + 2<ох 4- <»2.
Положим
а2 + х2 — Р и 2<».т 4-<ч2 --- -();
будем иметь
Ду = \Г Р 4- Q — \/ Р = —7—-4-------— и т. Д-,
2 ]/р 8р]/р 16р2/р
откуда
Ду = Д [/а2 4- х2 —
2<ох 4- «>2
2 а2 4- т2
4а)2х2 4-4а)3х 4-со4 .
------------7--------Ь и т. д
8 (а2 4- х2) ]/а2 4- х‘
или
, <ох а2о>2
Ду = г________4* "-----------Г
у а2 4-х2 2 (а2 4-х2) ]/а2 4-я2
а2ш3х
2 (а2 4- х2)2 |/”а2 4- х2
Отсюда мы видим, что разность какой угодно функции у количества х также можно выразить в этом виде, так что
Ду = /ы> 4* Q<»2 4- Н<»3 4* 5ш* 4- и т. д.,
где Р, Q, R, S и т. д. суть некоторые функции х, которые в каждом случае могут быть определены из функции у.
21. В этом же виде можно представить и разности трансцендентных функций, что будет ясно видно из следующих примеров:
Пример 1
Найти первую разность гиперболического1) логарифма х.
Положим у = \х и так как у1 = 1 (х 4- «>), то будет
Ду = ут - у = 1 {.г, 4-о>) - 1 х = 1 (1 4-Y
*) To-есть натурального. Название «гиперболический логарифм» проистекает из того,.что эта функция представляет площадь, описываемую ординатой гипербо-
1
лы у = —. Эйлер пользуется как термином «гиперболический», так и термином «натуральный логарифм». Обозначение ] Эйлер употребляет для логарйфма, взятого по любому основанию.
60
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Но такого рода логарифм мы выше ’) научились выражать бесконечным рядом; применив его, будем иметь
Ду=Д1а; =------;г^- + .т“з-п +и Т-Д-
у х 2а:2 1 За:3 4а:4 1 "
Пример 2
Найти первую разность показательного количества а~.
t Положив yz=ax, будем иметь у1 — ах~ш— ахат; но выше2) мы показали, что
. о>1 а . <о2 (1 а)2 . ш3 (1 а)3
6 —1 + , +-IV+-iArr + I,T- д-
взяв это значение, будем иметь
, х т . Л1а ахы~ (] а')- , Л3(1а)3 .
Дах = у1- у = Ду = —+ - -^-7 + V2\3 + и т. д.
Пример 3
В круге, радиус которого равен 1, найти разность синуса дуги х. Пусть sin х — у, тогда у1 = sin (х-Ь ш), откуда
Ду = у1 — у = sin (х + ш) — sin х.
Но sin (х 4- ш) == cos ш sin х + sin ш cos х, а с помощью бесконечных рядов мы показали3), что
. <1)2 со4 <ов
cos <0 = 1 - Г2 + + и Т. д.
подставив эти ряды будем иметь
, . <1>2 • Ш3 , <1>4 . , ш6
Д sin х = ш cos а; —т- sin х —- cos я-]- 57 81П х + Гоп cOS х— и т* Д-
Пример 4
В круге, радиус которого равен 1, найти разность косинуса дуги х. Положив у = cos х, поскольку у1 = cos (х + ш), будем иметь
yi = cos о> • cos х — sin ш • sin х и
Ду = cos ш • cos х — sin ш • sin х — cos х.
Применив те же ряды, что выше, получим
, . СО2 , (О3 . , <о4 ш5
Д COS Z = —- Ш sin Ж-2 COS X + g- Sin X г 24 COS X —• Pq sin x — и т. д.
3) «Введение», т. I, гл. VII, § 121.
2) «Введение в анализ»,-ч. 1, гл. VII, § 115.
3) Там же, гл. VIII.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
61
22. Итак, если предложена какая-нибудь функция у от х, будь она алгебраической или трансцендентной, её первая разность может быть представлена в форме
Ау = Ри> 4-()а>2 + + 5o)4-f- и т- Д-,’
если от неё снова возьмём разность, то увидим, что вторая разность у должна иметь следующий вид:
Д2у = рш" Qw3 -f- и т. д.;
подобным же образом третья разность у будет
th.3 у = ры3 4- 4- 7?о>5 4- и т. д.
и т. д.
При этом нужно заметить, что буквы Р, Q, R и т. д. употребляются здесь не для выражения определённых значений; в различных разностях они обозначают различные функции. Я пользуюсь одними и теми же буквами лишь для того, чтобы хватило запаса различных букв.
Эти выражения разностей следует хорошо заметить, так как в анализе бесконечно малых они находят очень широкое применение.
23. Итак, я изложил способ, которым можно для каждой функции найти её первую разность, а также разности следующих порядков, поскольку они находятся из последовательных значений у1, у11, у111, yIV и т. д. количества у. Но и обратно, по данным разностям любого порядка количества у могут быть получены эти изменяющиеся значения у. Действительно, мы имеем:
У1 = У + А/Л
?/п Ч/+ ‘^У + ^'У,
?/ш - у 4. ЗА у 4- ЗД2у + Д’у,
yIV = У + ДДу + 6Д2у 4- 4Д’у 4- Д4у п т. д., где числовые коэффициенты снова являются коэффициентами разложения бинома. Так как у1, у11, у111 и т. д. суть значения у, возникающие, если вместо х последовательно полагать значения х 4- со, ж-|-2о>, х+3« и т. д., то мы можем обозначить через у "Р значение, которое получит у, если вместо х напишем ж-фнш; это значение будет
, п . , — 1) .« , п(п— 1)(п — 2).,
У + Т Ау 1 ( ? th*y + -2-------------А3у 4- и т. д.
Отсюда же можно найти выражение у и тогда, когда п — число отрицательное. Так, если вместо х положить х — <», то функция у примет такой вид:
у — Ьу + ^у — ^у + ^у — и Т. д.;
если же вместо х положить х — 2w, то функция у перейдёт в
у — 2Ду-{-ЗД2у— 4Д’у4-5Д4у—и т. д.
24. Скажем ещё несколько слов об обратном методе, которым должно было бы находить по данной разности ту функцию, разность которой дана. Так как этот вопрос очень трудный и для его решения
62
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
часто требуется применять самый анализ бесконечно малых, то мы изложим здесь лишь некоторые более лёгкие случаи. Прежде всего, если мы найдём разность какой-либо функции, то, идя обратным путём, мы можем найти в свою очередь ту функцию, из которой произошла разность. Так, поскольку разность функции ах-^Ь есть aw, то, если мы будем искать, от какой функции aw является разностью, ответ получаем тотчас же: эта функция есть ах-\-Ь. В неё входит постоянное количество Ь, которое не входило в разность и которое, следовательно, зависит от нашего произвола. И вообще всегда, если разность какой-либо функции Р есть Q, то также и от функции Р -р А, где А обозначает какое-либо постоянное количество, разность будет Q. Значит, если предлагается эта разность Q, то функция, из которой она произошла, будет РА и, следовательно, не имеет определённого значения, поскольку постоянная А зависит от произвола.
25. Искомую функцию, разность которой предлагается, мы будем называть суммой. Это наименование применяется как потому, что обычно сумма противопоставляется разности, так и потому, что искомая функция и на самом деле есть сумма всех предшествующих значений разности. Действительно, мы имели
у' = у + ±у и УП=У + А.У+ A?/'•
Продолжим ряд значений у в обратную сторону и то значение, которое соответствует значению х — «>, обозначим через уи предыдущее значение— через уп, дальше стоящие — через у-т, yix, у\ и т. д. Тогда образуется идущий в обратную сторону ряд
Уч, У,\> Ут, Ут У1 г У
с его разностями
Ayv Ayiv ^Ут A?/n АЗЙ •
Будем иметь у -= Ayt A yi , У1 = A?/n г Ут Уи = А?/ш + Ут и т. д., так что
У = ^У1 + А?/п + АУш + syi\ + А?А + и т. д„
т. е. функция у, разность которой есть Ду, будет суммой всех предшествующих значений разности Ду, которые возникают, если вместо х написать предшествующие значения х — ш, х— 2о>, х — Зш и т. д.
28. Как для обозначения разности мы пользовались знаком Д, так сумму мы будем обозначать знаком У. Если разность функции у есть z, то z= Ду; мы ранее показали, как найти разность z, если дано у. Если же дана разность z, а нужно найти её сумму у, то у = 22-Таким образом, из уравнения г = Ду, обращая его, мы получаем уравнение y = 2z> сюда можно было бы ещё по указанным выше причинам прибавить какое-нибудь постоянное количество; поэтому уравнение z = Ду, если его обратить, даст также y — ^z^-C. Так, поскольку разность количества ау, где а есть постоянное количество, есть «Ду = az, будем иметь 2 az = аУ- А так как Дж = ш, то 2 w ~ х + С и 2 610 = ах + С> вследствие постоянства ш будем также иметь 20)2 —шх С, 2ш8 = = <о2ж ф- С и т. д.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
63
27. Если мы обратим найденные выше выражения разностей степеней х, то будем иметь
и> = а;
и отсюда
21-;-
Затем будем иметь
2 (2(0Ж 4- И2) = х'1,
откуда
2*=?- 2^=г-
Далее,
2 (Зшж2 + Зю2ж + и3) = х3, иди
Зо> у хз ~н Зог 2хш3 2 1 ~ х 3?
следовательно,
2- = £ —2 —:2^
или
X' _ т_’ _ х' ।
ZJ Л 3<0 2 Г Г> •
Подобным образом будем иметь
2*’-£-¥2--^2*-?2*;
если подставить сюда вместо ^х2, и 2^ ранее найденные значения, найдём
Далее, так как
2^4=='£-2ш2ж3-2о/22^-щ32 у2
то после подстановок получим
5 1 . , I з
---------; Ж4 4- ,, WX и> 2 3
1 3
30
Идя далее, найдём подобным же образом
1 3 2
12Ш х
и
2-e-t
1 g . 1 5 1 з о . 1 с
- Xе + - ад - (^х + -rz о х.
2 2 b 42
Эти выражения мы ниже научим находить легче.
64
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
28. Итак, если предложенная разность есть целая рациональная функция от х, то её сумма (т. е. та функция, разностью которой она является) легко находится из этих формул. Действительно, так как в состав разности будет входить несколько степеней количества х, то мы найдём сумму для каждого члена и все такие суммы сложим.
Пример 1
Пусть ищется функция, разность которой есть ах’-j-bx-j-с.
Ищем суммы отдельных членов с помощью прежде найденных формул.
Будем иметь:
аж3 аж2 , ашж
Зю 2 6 '*
Ъх'2 Ьх 2ю 2
сх (О
Собрав эти суммы, будем иметь
У (ах> + Ьх + с) = а- Xs - х- + + х + С.
4 Зю 2ю оо»
Это есть искомая функция, разность которой равна ax' + bx-j-c.
Пример 2
Пусть ищется функция, разность которой есть х‘—-2ш 'х2 -с а>4. Поступая таким же образом, получаем:
.> л 2а> й , , (О3
2(О“ЗГ =.........— — X и- — у £
и
-|- 2 0)4 =.............» • • 0)32:,
следовательно, искомая функция будет
~ ж5 — xi — | <UZ3 + <u2z2 + (U3z 4- С.
Действительно, если здесь вместо х положить х 4- о> и от получившегося количества отнять вышенайденное, то останется предложенная разность z4 — 2«>2а;2 4-<о4.
29. Если мы внимательнее рассмотрим суммы, которые мы нашли для степеней х, то в первых, вторых и третьих членах легко заметим закон, по которому следуют друг за другом отдельные члены; но закон
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
65
образования остальных членов не столь очевиден, чтобы можно было представить сумму степени хп в общем виде. Однако в дальнейшем (§ 132 второй части) мы покажем, что
V „ _ У"1 _ 1ХП , 1 п<° _п-1 _ 1 п(п - 1)(п - 2) о>3 „
2jX ~~ (n + 1) <о 2^2 2-3 б 2- 3-4-5
1 n (п - 1) (п - '2) (п - 3) (п - 4) ОЙ _
6 ’ 2 • 3 • 4 • 5 • о • 7
_ 3^ n(n- 1) ... (п-6)о>7 п-7 ,
10 2 • 3 ... 8 - 9
5 п(п — 1) , , (га - 8) о>9 _
6 2 - 3 ... 10 • 11
691 . п (п — 1) .. . (п — 10) и11 _ „
210 ' 2 • 3 ... 12 • 13 "Г
35 _ п (п — 1) ... (га - 12) о>18 п-1»
2 2 • 3 ... 14 • 15
3617 п (п — 1) , ., (п — 14) <>» „
30 ' 2 - 3 ... 16 • 17
43 867 п (п - 1) . .. (п — 16) о>17
42 ’ 2^3 ... 18 • 19 Х
1 222 277 п (га - 1) .. . (п —18)
110 ' ’ 2 • 3 ... 20 • 21 Х 1
854 513 п(п — 1) .. . (п — 20)ш21~„_21
6 ’ 2 • з ... 22 • 23
1 181 820 455 п (п — 1) ... (п — 22) а»23 „_23
Ь46 2 • 3 . .. 2. « 25
76 977 927 п (п - 1) .. . (п - 24) о>26 п_2Б
2 ' 2 • 3 ... 26 • 27 Х
23 749 461029 п (п - 1) ... (п - 26) ®27 п_27
30 ' 2 • 3 ... 28 29 Х +
8 615 841 276 005 п (п - 1) ... (п - 28) о>2’ п,2, “Г" 462 ‘ 2С 3 ... 30 • 31 Х +
и т. д. +с.
В этой прогрессии особо важное значение имеют численные коэффициенты; как они образуются — здесь ещё не место излагать.
30. Если п не есть целое положительное число, то эта сумма, очевидно, продолжается до бесконечности и таким образом сумма не может быть найдена в конечном виде. Кроме того, здесь нужно заметить, что в выражение суммы входят не все степени, более низкие чем предложенная; действительно, отсутствуют члены хп'2, хп'*, х'1Ъ, хп~* и т. д., т. е их коэффициенты равны нулю; однако коэффициент второго члена хп не следует этому закону; он равен — . С помощью этого
выражения можно представить в бесконечной форме суммы всех степеней, показатели которых суть дробные или отрицательные числа, за исключением одного только случая, когда п = — 1, так как тогда
член
хп^
(п 4-1) о>
делается бесконечным, ибо п + 1 = 0.
Так, если положить
п— —2, будет
V 1 =С— -___-
Zl г3 <ох 2х-
5 о>9
1 (О 1 (О8 1 (0® 3 <07
2 Зя3 6 5х5 6 7х7 10 9х9
691 О»11 _ 35 т13 , 3 617
6 ’ Их11 + 210 13х13 ~2 ' 15х16 1 "зТ ’ 17х17 '
Т. Д.
Ь Л» Эйлер
66
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ. РАЗНОСТЯХ
31. Итак, если предложенная разность будет какой-либо степенью количества х, то всегда можно будет указать её сумму, т. е. выражение функции, разностью которой она является. Если же предложенная функция имеет другой вид, так что её нельзя разбить на части, являющиеся степенями, тогда сумму найти очень трудно, а часто и вовсе невозможно, разве что случайно обнаружится, что она произошла из некоторой функции. Поэтому следует разыскивать разности многообразных функций и хорошо их заметить, чтобы, если когда-нибудь такая функция окажется предложенной, тотчас же можно было представить её сумму, т. е. функцию, из которой она произошла. Кроме того, много правил, с помощью которых нахождение сумм поразительно облегчается, даёт метод бесконечно малых.
32. Искомую сумму можно найти легче, если предложенная разность состоит из простых множителей, составляющих арифметическую прогрессию, разность которой есть само количество о>. Так, пусть предложена функция (х4- <о) (х-[-2и>) и ищется её разность; так как после подстановки х + <и вместо х эта функция переходит в (х~\- 2u>) (x-f-3«j), то её разность будет 2<о (х 4- 2<о). Поэтому, обратно, если предложена разность 2<о(х+2<«), то её сумма будет (х 4-<о) (х 4-2ю). Следовательно, будем иметь
2 (х4-2«))= ~ (х + ш) (х4-2<о).
Подобным образом, если предложена функция (х4-пю) (x4-(«4-1) а>), то, так как её разность есть 2<о (х4- (п-р 1) <о), будем иметь
2 (х 4-(п+ !)«>)= (х + пш) (x-f-(n+l)<o)
II
2 (х + по>)= (х+ (и — 1) ш) (х-ртно).
33. Если функция состоит из большего числа множителей, как, например,
у = (х 4- (п — 1) <о) (х + пы) (х 4- (п 4-1) ю), то, поскольку
у1 = (х 4- пш) (х 4- (п 4-1) о>) (х4- (и + 2) w),
будем иметь
Sy = 3<о (х 4" шо) (х 4- (п 4-1) ш)> так что
2 (®+ п<0) (я + (п 4-1)ш) = (#4- (п— 1) «>) (x-'zzw) (х4- (тг 4-1) <о).
Подобным образом найдём, что
2 (% 4- пи>) (х4- (п 4-1) <о) (х4- (п 4-2) <о) =
= (х4- (п — 1) ю) (х4- пю) (х4- (п 4 1) ю) (х4-(п 4-2) <о).
Отсюда становится само собой ясным закон нахождения суммы, когда разность состоит из нескольких множителей такого рода. Хотя эти
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
67
разности и являются целыми рациональными функциями, однако их суммы этим способом находятся легче, чем предшествующим методом.
34. Отсюда открывается также путь к нахождению сумм дробных разностей. В самом деле, пусть предложена дробь
1
V = —; "> V X -f- П<л)
так как
" X + (п + 1) ш ’
ТО
1__________1 _ _____-ш_______
x + (7l-r l)u> X И п<и (х + тг<о) (х + (п + 1) <о) ’
И поэтому
у __________1______________1_____1__
>—J (X + ПЧ>) (х + (п К 1) ш) О) X 4- Пт Пусть, далее,
___________1________
У (х + Па) (х + (п + 1) ш) ’ так как и ------------------------------------1----------
У (x + (n + l)U))(x + (Ti + 2)<o)’
ТО
д — 2ш_________ __
У (х 4 пш) (х -г (тг 4-1) ш.) (х 4- (га 4- 2) о>) ‘ Поэтому
______________1 — 1___________________ (х 4- пи>) (х 4- (тг 4-1) <°) (х + (п 4- 2) ш)_________2ю (х 4-71о.-)/х 4-(п 4-1) “)'
Подобным образом
У _____________________1_____________________=
(хт тгш) (х 4- (тг 4-1) ш) (х 4- (п 4- 2) ш) (х 4- (п 4- 3) ш)
_ _ ?1__________________1______________
3<о (х 4- пи>) (х 4 (тг 4- 1) о>) (х 4- (п 4- 2) ш) ’
35. Этот метод суммирования следует хорошо усвоить, ибо суммы таких разностей не могут быть найдены предшествующим методом. Если же, сверх того, разность имеет числитель или множители знаменателя следуют друг за другом не в арифметической прогрессии, то надёжнейший способ, разыскания суммы состоит в том, чтобы разложить предложенную разность на её простейшие дроби; если по отдельности их нельзя суммировать, то, соединив их попарно, можно найти их сумму всякий раз, когда это возможно вообще сделать. Нужно только посмотреть, нельзя ли найти сумму с помощью формулы
у_____1_________у 1 _ 1 ’
1 х 4- (п 4-1) io Z-Jx4-n<o х4-?го>’
в самом деле, хотя ни одна из этих двух сумм сама по себе не может быть представлена, однако разность их является известной.
36. Итак, в этих случаях дело сводится к разложению каждой дроби на её простейшие, которое было подробно рассмотрено в предыдущей книге. Как можно с его помощью находить суммы, мы покажем на нескольких примерах.
5’
68
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Пример 1
гт ~ dX Н- 2<о
Пусть ищется сумма, разность которой есть + 2 .
Разложим предложенную разность на её простейшие дроби; получим
со х о) X 4- о) и> х 4- 2о> *
Так как по предыдущей формуле уч 1 _ уч 1_______________1
X + пи> XJ X + (п + 1) (О X 4- Пш ’ то
у - = у 1 1
J X J х+ ш л
Следовательно, искомая сумма будет
1 yi J_ , J_ уч 1 _ А у 1 _ 2 у ____________2 у ___1_____L .
u> jw х со 4—J х 4'Ш 10 х ~t~ 2<о х 4*ш <«> & 4~ 2о> <ох 9
НО
У-J—=у _J_______________1_
XJ х 4~ х 4- 2(0 х 4'ш
значит, искомая сумма будет
1 2 __ — Зх — <о
шх <о (х 4- <") <ох (х + <“) ’
Пример 2
Пусть ищется сумма, разность которой есть % •
1 1
Положив эту разность равной z, будем иметь z =----—5- , и поэтому
X X “р dtt)
х х + Зш х 4 ш х 4- 3u> х
_ yi 1 _ уч 1_______1_1 _ ______ 1_____1_____1
x—i х 4- 2(0 xLi Х4-З10 x x 4- Ш x X 4- Ш х4 2ш
Это есть искомая сумма. Итак, всякий раз как выражения, содержащие знаки суммирования в конце концов взаимно уничтожаются, можно будет найти выражение суммы предложенной разности; если же этого уничтожения не последует, это — признак того, что сумма не может быть найдена.
ГЛАВА П
О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
37. То, что природа рядов выясняется лучше всего с помощью разностей, достаточно известно уже из начальных основ математики. В самом деле, для арифметической прогрессии, которую обычно рассматривают прежде всего, основное свойство состоит в том, что её первые разности равны между собой и, значит, вторые и все остальные разности будут нулями. Затем есть ряды, у которых только вторые разности равны;, они поэтому удачно названы рядами второго порядка, тогда как арифметическая прогрессия называется рядом первою порядка. Дальше будут ряды третьего порядка; у них постоянны третьи разности. К рядам четвёртого и следующих порядков относят те, у которых только четвёртые или высшие разности постоянны.
38. В этом подразделении содержатся бесчисленные роды рядов, однако пе все ряды можно отнести к одному из этих родов. Встречаются бесчисленные ряды, которые при составлении их разностей никогда не приводят к постоянным членам. Таковы, помимо бесчисленных других, геометрические прогрессии; они никогда не дают постоянных разностей, как можно видеть из следующего примера:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д.,
1, 2, 4, 8, 16, 32; 64 и т. д.,
1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д.
В самом деле, так как ряд разностей какого угодно порядка равен самому предложенному ряду, то равенство разностей прямо исключается. Поэтому должны быть установлены многие классы рядов, из которых лишь один можно подразделить на порядки, соответствующие порядкам постоянных разностей. Этот класс мы и будем по преимуществу рассматривать в настоящей главе.
39. Две вещи обычно ищутся для распознания природы ряда: общий член и сумма или суммационный член1). Общий член есть неопределённое выражение, содержащее в себе всякий член ряда и являющееся вследствие этого функцией переменного количества х, которая при х=1 представит первый член ряда; второй оно представит
х) Termii.us summatorius.
70
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
при х = 2, Гтретий при ж = 3 и т. д. Итак, если известен общий член, то найдётся какой угодно член ряда, хотя бы закон, которым связаны отдельные члены ряда, и не был усмотрен. Например, полагая х = 1000, мы тотчас найдём тысячный член. Так, общий член ряда
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120 и т. д.
есть 2ж2— х; действительно, если положить х=1, эта формула даёт первый член 1; если положить а: = 2, получается второй .член; если положить x = 3— третий и т. д.; отсюда ясно, что сотый член этого ряда получится, если положить х = 100; он будет равен 19900.
40. Индексом или показателем в каком-либо ряде называются числа, которые указывают, каков порядок каждого члена. Так, индекс первого члена есть 1, второго 2 и т. д. Индексы отдельных членов ряда обычно надписываются над ними следующим образом:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Члены
А, В, С, D, Е, F, G и т. д.,
откуда тотчас же явствует, что G есть седьмой член предложенного ряда, ибо его индекс есть 7. Таким образом, общий член ряда есть не что иное, как тот член ряда, у которого индекс или показатель есть неопределённое число х. Мы покажем сперва, как нужно находить общий нлен ряда какого-либо порядка, т., е. ряда, у которого либо первые, либо вторые, либо другие последующие разности постоянны. Затем мы перейдём к разысканию суммы.
41. Начнём с рядов первого порядка, т. е. с арифметических прогрессий; их первые разности постоянны. Пусть а есть пер'вый член ряда, а Ь — первый член ряда разностей; ему равны и все остальные, так что ряд составлен следующим образом:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Члены
а, а-\-Ъ, а + 2b, a + 3b, a-i-ib, а + 5Ь и т. д.
Разности
b, b, b-, b, b и т. д.
Отсюда тотчас явствует, что член, индекс которого есть х, будет a + (x—l)b и, следовательно, общий член будет Ьх + а— Ь; он составлен из первого члена самого ряда и первого члена ряда его разностей. Если обозначить через а1 второй член ряда, то так как Ь = а1 — а, общий член ряда будет
(ci — а) х + 2а — а1 = а1 (х — 1) — а (х + 2),
так что общий член арифметической прогрессии можно выразить через её первый и второй члены.
42. Пусть в ряде второго порядка — члены самого ряда а, первых разностей Ь, вторых разностей с; тогда сам ряд, вместе со своими
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 71
разностями, будет составлен так:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Члены
а, а 4- Ъ, а+2Ь-|-с, а4-ЗЬ4~Зс, а-|-4Ь4"6с, а4"5Ь + 10с, а-|-64 + 15с и т. д.
Первые разности
Ь, 6 4-с, 4 + 2с, Ь 4-Зс, Ь 4- 4с, b 5е и т. д.
Вторые разности
С, с, с, с, с и т. д.
Из наблюдения над ним вытекает, что член, индекс которого х, будет
I лк I (х — 1) (х — 2)
я + (ж — 1)^4-----1~^2---С’
это, следовательно, есть общий член предложенного ряда. Обозначим теперь второй член самого ряда через а1, а третий член через a11; Tait как по основному свойству разностей (§ 10)
Ь=а1 — а и с = ап — 2а1-!- а,
то общий член будет
а + (х -1) (Я1 - а) + (Ж-~11)(Ж2~-^ (а11 - 2а1 + а);
его можно привести к такому виду:
а11 (х - 1) (х - 2) 2а1 (х - 1) (х - 3) а (х - 2) (х - 3)
1.2 1-2 + 1-2 ’
или же к такому: „II 9„1 а
(ж_ {х _ 2) _{х _ 1) (х _ 3) + | (х - 2) (х - 3),
или же, наконец, к такому:
1(«-1) (*-2> (х-з) +
так что он выражается через три члена самого ряда.
43. Пусть ряд третьего порядка есть а, а1, а11, а111 и т. д.; его первые разности Ь1, Ъ11, 6Ш и т. д., вторые разности с, с’, с1’, с,п и третьи d, d, d, ибо они постоянны.
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, би т. д.
Члены
a, a), a11, aw, a,v, aN и т. д.
Первые разности
Ь, Ъх, b]i, Ьш, felv и т. д.
Вторые разности
с, с1, с11, с111 и т. д.
Третьи разности
d, d, d и т. д.
72
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
Так как
аг = а + Ь, аи = а + 2Ь4- с, a,n = а 4-36 + Зс +d, a,v = а +46+6с+4d и т. д.,
то общий член, т. е. тот член, индекс которого есть х, будет
л , С®"1) h . С*"1)^-2). ,(*-!)(*-2) (х-3),
а+ —— 6 +-----------с +------------- d,
так образуется общий член из разностей. Так как, далее,
6 = а1—-а, с —а11 — 2а1 +a, d = am — 3aII + 3aI —а, то, если подставить эти значения, общий член примет вид ш (х-1) (х-2)(х-3) _ „ п (х-1)(х-2)(х-4)
1-2-3 “ 1-2-3 “Г
, o„i (*-1) (*-3) (®-4) п (х-2) (х-3) (х-4) .
+ da Г+з а 1-2.3
его можно также представить следующим образом:
(х—1) (х—2) (х — 3) (х—4) / а111 За11 . 3a1 а \
1-2-3 У .г—4 х —3 х—2 х—1/ ’
44. Пусть теперь предложен ряд какого угодно порядка.
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, и т. д.
Члены
а, а1 , «п, aiii, , av и т. д.
Первые разности
6, 61 , 6П, 61П, 6IV и т. д. Вторые разности
с, с1 , си, с1П и т. д.
Третьи разности d, d1, d11, и т. д.
Четвёртые разности
е, е1 и т. д.
Пятые разности
/ и т. д.
Общий член выражается через первый член самого ряда и первые члены разностей 6, с, d, е, f и т. д. следующим образом:
a+ — 6+---------------с+ ---------------^ +
и т д>;
12
1-2-3-4
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
73
пока не дойдём до постоянных разностей. Из этого ясно, что если постоянные разности не появляются никогда, то общий член представляется бесконечным выражением.
45. Так как разности выражаются через члены самого ряда, то, если подставить значения разностей, общий член окажется выраженным в той же форме, в какой мы представили его для рядов первого, второго и третьего порядков. Так, для ряда четвёртого порядка общий член будет
(ж —1) (ж—2) (х —3) (ж —4) (ж —5) /" aIV 4а1П 6а11 4а1 . а \
1-2-3-4 Чж^5 — ж^4 + х-3 ж^2 + ж —1 ) ’
откуда легко усмотреть закон, по которому составляются члены рядов последующих порядков. А из этого явствует, что общий член для любого порядка будет целой рациональной функцией х, в которой наибольшее измерение х совпадает с порядком, к которому относится ряд. Так, общий член рядов первого порядка есть функция первой степени, второго порядка — второй степени и т. д.
46. Разности же,,как мы видели выше, получаются из самих членов ]эяда следующим образом:
Ь=а1 —а, с = ап— 2а1 + a, d — am — За11-{-За1 —а,
у=дп_д1; ci =яш_2аП + д1 , di =aiv—ЗаШ + ЗаИ —а! , = дШ _ ди, сп = fliv_ 2дШ + дп} (]Т1 = аУ- За™ + ЗдШ _ ап,
Прэтому, так как в рядах первого порядка все значения с = 0, будем иметь
aII = 2aI -а," аш = 2ап —а1, а™ = 2а™ — а« и т. д.,
откуда ясно, что эти ряды вместе с тем являются реккурентными и их шкала отношения1) есть 2,-1. Далее, так как для рядов второго порядка значения d— 0, то будем иметь
аш = 3ап — За1 -{-a, а™=За1П— За11-{-а1 и т. д.,
так что и эти ряды будут рекуррентными, и их шкала отношения будет 3, —3, -4-1. Подобным образом можно показать, что и все ряды этого класса, каков бы нп был их порядок, вместе с тем принадлежат к классу рекуррентных рядов, причём шкала отношения состоит из коэффициентов степени бинома, на единицу превышающей порядок, к которому относится ряд.
47. Так как для рядов первого порядка также и все значения d и е и всех последующих разностей равны нулю, то для них будем также иметь
дШ = 3an-3ai + а, aiv=3ain_3an + ai
и т. п., а также
а™ == 4аш = 6a11-{-4a1 —а, av = 4a™ —6аш + 4ап —а1
и т. д.
Шкалой отношения (scala relationis) математики XVIII в. называли; вслед за Моавром, совокупнссть коэффициентов в выражении n-го члена рекуррентной ► ряда через члены низшего порядка.
74 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
Следовательно, эти ряды оказываются принадлежащими к бесчислен, ным видам рекуррентных рядов и их шкалы отношения могут быть 3, -3, +1; 4, -6, +4,-1; 5, -10, +10, -5, +1 и т. д.
Подобным же образом становится понятным, что какой угодно ряд этого изучаемого нами класса вместе с тем является рекуррентным рядом, и притом рекуррентным его можно сделать бесчисленными способами; действительно, шкала отношения будет
* _га(п~1) I п(п-1)(п-2) _ п (п-1) (п-2) (п-3)
1 ’ 1-2 ’ 1-2-3 ’ 1-2-3-4
где п есть целое положительное число, большее чем число, которым указывается порядок. Следовательно, этот ряд возникает также из разложения дроби, знаменатель которой есть (1 — у)п в согласии с тем, что было установлено о рекуррентных рядах в предыдущей книгег).
48. Мы видели, что у всех рядов этого класса, Какого бы порядка они ни были, общий член есть целая рациональная функция х. Ясно, что и обратно, все ряды, общий член которых является такого рода функцией х, относятся к этому классу и в конце концов приводятся к постоянным разностям. При этом, если общий член будет функцией первой степени ах + Ь, то, поскольку возникший из него ряд будет рядом первого порядка, т. е. арифметическим, он будет иметь постоянные первые разности. Если же общий член будет функцией второй степени вида ах1 -\-bx~t- с, тогда ряд, который должен из неё возникнуть, если вместо х подставлять последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., будет второго порядка и будет иметь постоянные вторые разности; подобным образом общий член третьей степени ах3 + bx- + сх + d даст ряд третьего порядка и т. д.
49. Из общего члена можно не только найти все члены ряда, но и вывести ряды разностей как первых, так и последующих. Действительно, если первый член ряда вычесть из второго, получим первый член ряда разностей; второй получится, если второй член самого ряда вычесть из третьего; таким же образом член ряда разностей, индекс которого есть х, получим, если член самого ряда, индекс которого есть х, вычесть из следующего, индекс которого есть х + 1. Поэтому если в общем члене положить х-j-l вместо х и из этого члена вычесть общий член, то остаток даст общий член ряда разностей; таким образом если X будет общий член ряда, то его разность АХ (которая находится по способу, изложенному в предыдущей главе, если положить = 1) будет общим членом ряда первых разностей. Подобным образом Д2Х будет общим членом ряда вторых разностей, Д3Х —третьих и т. д.
50. Если общий член X будет целой рациональной функцией, в которой п есть наибольший показатель степени х, то, как можно заключить из предыдущей главы, её разность ДХ будет функцией, степень которой на единицу ниже, т. е. функцией п—1 степени. Далее Д2Х будет функцией п — 2 степени, Д3Х — функцией п—3 степени и т.д. Поэтому если X будет функцией первой степени ах + Ь, то его разность ДХ будет постоянна и равна а; так как она является общим членом ряда разностей, то мы видим, что ряд, общий член которого X есть функция первой степени, будет арифметическим, т. е. рядом первого порядка.
J) «Введение в анализ бесконечно малых», т. I, гл. 4, §67.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
75
Подобным образом, если общий член ряда будет функцией второй степени, то вследствие постоянства Д2Х ряд, происходящий отсюда, будет иметь постоянные вторые разности и, значит, будет рядом второго порядка; так будет и дальше: какой степени будет функция X, составляющая общий член, такого же порядка будет и ряд, порождённый ею.
51. Поэтому ряды степеней натуральных чисел приводят к постоянным разностям, что видно из следующей схемы:
Первые степени
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и т. д.
Первые разности
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 и т. д.
Вторые степени
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. д.
Первые разности
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и т. д.
Вторые разности
2, 2, 2. 2, 2, 2 и т. д.
Третьи степени
I. 8, 27, 64, 125, 216, 343 и т. д.
Первые разности
7, 19, 37, 61, 91, 127 и т. д.
Вторые разности
12, 18, 24, 30, 36 и т. д.
Третьи разности
6, 6, 6, 6 и т. д.
Четвёртые степени
1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401 и т. д.
Первые разности
15, 65, 175, 369, 671, 1105 и т. д.
Вторые разности
50, 110 194, 302, 434 и т. д.
Третьи разности
60, 84, 108, 132 и т. д.
Четвёртые разности
24, 24, 24 и т. д.
Таким образом, то, что в предыдущей главе было сказано о нахождении разностей любого порядка, здесь послужит для нахождения общих членов каких угодно разностей, порождаемых рядами.
76 ГЛ. 11. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
52. Если будет известен общий член какого-нибудь ряда, то с его помощью можно будет не только найти все его члены до бесконечности '), но и продолжить ряд в обратном направлении. Действительно, подставляя вместо х отрицательные числа, можно представить те его члены, указатели которых отрицательны. Так, если общий член будет га + 3а:
———, то, подставляя вместо ж как положительные, так и отрицательные индексы, мы будем иметь следующий, продолженный в обо стороны ряд:
Индексы
и т. д. — 5, — 4, —3, — 2, ---1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Ряд
и т. д. +5, -J-2, 0,— 1, —1, 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27 и т. д.
Первые разности
и т. д. —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Вторые разности
и т. д. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 и т. д.
Так как из разностей можно образовать общий член, то, исходя и. разностей, можно каждый ряд продолжить в обратном направлении; при этом, если разности в конце концов становятся постоянными, то эти члены могут быть представлены в конечном виде, в противном же случае — через бесконечное выражение. Более того, из общего члена можно определить и те члены, индексы которых суть дроби; в этом и состоит интерполяция рядов.
53. После того, что было выше сказано об общем члене, мы перейдём к разысканию суммы или суммационного члена рядов какого-либо порядка. Если предложен какой-нибудь ряд, то суммационный член есть функция от х, которая равна сумме стольких членов ряда, сколько единиц содержит число х. Таким образом, суммационный член будет составлен так, что если положить ж=1, получится первый член ряда, если же положить ж = 2, получится сумма первого и второго, если же положить ж = 3—сумма первого, второго и третьего и т. д. Если из предложенного ряда образовать новый, первый член которого был бы равен первому члену предложенного ряда, второй —сумме двух членов, третий — сумме трёх и т. д., то этот новый ряд по отношению к предложенному называется суммирующим; общий член этого суммирующего ряда есть суммационный член предложенного ряда; таким образом, нахождение суммационного члена сводится к нахождениню общего члена.
54. Итак, пусть предложенный ряд будет таков:
а, а1, а11, ат, aIV, av и т. д.
а его суммирующий ряд
А, А1, А11, Л1П, Л1У, А* и т. д.
*) Jn infinitum.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
77
По свойству этого ряда, только что отмеченному, будем иметь
А — а,
А1 = а + а1 ,
А11 ~а 4- а1 + а11,
Л111 — а + а1 4- а11 + аш,
Л1У = а 4- а1 4- а114- аш4- alv,
Av = а 4- а1 4- а11 4- а111 4- alv 4- av
и т. д.
Следовательно, разности суммирующего ряда будут
А1 —А —а1, А11 — Л1 — а11, Лш —Лп = ага и т. д.
Значит, предложенный ряд, если отбросить первый его член, будет рядом первых разностей суммирующего ряда. Если же к первому ряду присоединить спереди член, равный нулю, так что будем иметь
О, Л, Л1, Л11, Л1П, А™, Лу и т. д.,
то для этого ряда рядом первых разностей будет сам предложенный ряд
а, а1, а11, аш, aIV, av и т. д.
65. По этой причине первые разности предложенного ряда будут вторыми разностями суммирующего, вторые разности предложенного ряда будут третьими разностями суммирующего, третьи—четвёртыми и т. д. Поэтому, если предложенный ряд в конце концов будет иметь постоянные разности, то и его суммирующий ряд сведётся к постоянным разностям и, следовательно будет рядом той же природы, только порядок его будет на единицу выше. Значит, суммационный член таких рядов всегда может быть представлен конечным выражением. Ибо общий член ряда
О, Л, Л1, Л11, Лш, Л1У и т. д.,
т. е. член, соответствующий индексу х, представит сумму х—1 членов ряда a, a1, a11, a111, aIV и т. д., и если затем вместо х написать х4-1, то получится сумма х членов, т. е. сам суммационный член.
56. Итак, пусть для предложенного ряда
а, а1, а11, аш, а1у, сУ, аУ1 и т. д.
ряд первых разностей есть
b, 61, 6й, 6™, 6ivf ъу 1У1 ит. д., ряд вторых разностей
с, ci, с«, с™, civ, cv cvi и т< ряд третьих разностей
d, d\ dli, dm, dIV, dy, rfvi и т. д.
и т. д., пока не получатся постоянные разности. Образуем затем суммирующий ряд; если впереди в качестве его первого члена поставить 0, то этот ряд, вместе со своими .последовательными разностями,
78
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
будет иметь следующий вид:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Суммирующий ряд
О, А, А1, А11, Лш, HIV, и т. д.
Предложенный ряд
a, a1, a11, a111, alV, aN, aVI и т. д.
Первые- разности
Ь, V, Ь11, 6Ш, 6IV, 6V, bvl и т. д.
Вторые разности
С, С1, С11, СШ, CIV, CV, CVl и т. д.
Третьи разности
d, d1, du, dm, div, dy, <ZVI и т. д.
Общий член суммирующего ряда, т. е. член, соответствующий индексу х, будет
ri । / л \ г (z ~ (х ” 2) , (х — 1) (х — 2) (х — 3)
0+(*-!)« +------~1.--- Ь+ ----iTTTy------------- с + и т- «•
Он представляет вместе с тем сумму х— 1 членов предложенного ряда
a, a1, a11, a111, aIV и т. д.
57. Если же в этой сумме вместо х — 1 написать х, то получится суммационный член, дающий-сумму х членов*
, х(х — 1) , , х(х — 1) (х — 2) х(х— 1) (х — 2) (х — 3) ,
= ^+3-^6+ 1 • 2 • 3 • 4- ^~и Т- Д'
Значит, если за буквами b, с, d, е и т. д. сохранить их прежнее значение, то будем иметь
для ряда
a, a1, a11, a111, aIV, av и т. д.
общий член
/ л\ l (х — 1)(х —2) (х—1)(х — 2)(х— 3) , ,
а + (х — 1) b + --I с j_ v--------21—-> d +
0е ~ В (^~2) (Д-З) (х-4)
1 • 2 3 • 4
И суммационный член
х(х — 1) , , х(х — 1)(х—2) х (х — 1) (х — 2) (х — 3) , ,
ха + -1Т2- ь +• -• 1.-2.3- с + '---d + И т- Д'
Итак, найдя изложенным способом общий член ряда какого-нибудь порядка, мы без труда найдём из него суммационный' член, ибо он образуется из тех же самых разностей.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
79
58. Этот способ нахождения суммационного члена по разностям ряда пригоден прежде всего для тех рядов, которые в конце концов приводят к постоянным разностям; действительно, в других случаях мы не находим конечного выражения. Но если мы внимательно взвесим то, что прежде было сказано об основном свойстве суммационного члена, то перед нами откроется другой способ. Это — способ нахождения суммационного члена непосредственно из общего члена; он имеет гораздо более широкое применение и в бесчисленных случаях приводит к конечным выражениям там, где первый способ даёт выражения бесконечные. Пусть предложен какой-нибудь ряд
а, Ь, с, dt е, / и т. д.,
общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен X; суммационный член его пусть будет равен S. Так как он представляет сумму стольких членов от начала, сколько единиц содержйт число х, то сумма х — 1 членов будет равна S — X. Поэтому количество X будет разностью выражения S — X, ибо оно получается в остатке, если S — X отнять от последующего количества S.
59. Итак, Х=Д(5—X) есть разность, взятая тем способом, который мы изложили в предшествующей главе, с тем только отличием, что здесь у нас постоянное количество о> равно 1. Поэтому, переходя снова к суммам, будем иметь ^X = S — X, так что искомый суммационный член будет
s = 2x+x + c.
Итак, нужно искать сумму функции X методом, изложенным прежде, и к ней прибавить общий член X; в совокупности получим суммирующий член. Поскольку же в суммы, которые нужно брать, входит постоянное количество С, которое следует прибавить или отнять, его нужно будет подобрать в соответствии с данным случаем. Но очевидно, что если положить х = 0 (в этом случае число суммируемых членов равно нулю), то сумма также будет равна нулю; значит, это постоянное количество С должно быть определено так, чтобы, положив х = О, мы имели также 5 = 0. Итак, подставив в уравнение 5=2-Х" + Х-)-С значения 5 = 0 и ж = 0, мы найдём значение С.
60. Так как теперь всё дело сведено к вышепоказанному суммированию функций при <о = 1, то мы используем ранее выполненные суммирования; прежде всего для степеней х будем иметь (§ 27):
2 = 3 1 = х,
S1 2 1
Х = -~Х* -X,
S2 1 3 1 о . 1
х = Хх--Iх х’
У ^’ = Т^4- 4 + т х2,
4 2 4
__1 I _Р_ гу.4 _ л»2
6 Ж 2 12 12® ;
2 6 1 - 1 в 1 5 1« 1
Х ~^Х Т2^5”ё +
80
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
К этим формулам можно присоединить общую формулу для суммы степени хп, данную в § 29; там нужно только всюду написать единицу вместо ад. С помощью этих формул можно легко находить суммацион-ные члены всех тех рядов, общие члены которых суть целые рациональные функции X.
61. Обозначим через 5 • X суммационный член ряда, общий член которого есть X. Как мы видели,
S Х=^Х + Х + С,
причём постоянное С берётся таким, чтобы суммационный член 5 • X исчезал при х — 0. Выразим суммационные члены степенных рядов, т. е. рядов, общие члены которых имеют вид хп. Итак, положим
8 хп = 1 + 2П + Зп + 4П + ... + хп;
тогда будем иметь:
.П+1 । -п I А п ~п-1___________1
2 ^ 2 2-3* 6
п(п-1)(п-2)
2 3 - 4 • 5
8 • х" = —х' пД-1
2. rafo-l) (п-4) n-s _ 3. п (п-1) ... (п-6) п_7 6 ' 2-3...6-7 10 ' 2-3...8.9j
5_ п(п-1) ... (п —8) _ 691 п (п-1) ... (п-10) _1Х
"Г 6 2-3... 10- 11 210 2-3... 12-13
,35 п (п — 1) . . . (п — 12) п-1» 3 617 п (п 1) ... (п 14) n-is ।
+ 2 2-3...14 . 15 30 ‘ 2-3.,.1о-17 '1“
43 867 п (п —1) ... (п — 16) „-I? 1 222 277 п (п — 1) ... (п —18) ~n_lt .
+ ~ХГ ’ 2 • 3 ... 18 • 19 Х ~~ 110 ’ 2 • 3 ... 20 • 21 Х +
,854 513 п (п—1) ... (п —20) ^п-21 1181 820 455 п (п — 1) ... (п —22) ^.п-2» _ц
6 ’ 2 • 3 ... 22 • 23 546 ’ 2 • 3 ... 24 • 25
,76 977 927 п (п -1) ... (п - 24) 5 23749461 029 п (п - 1) . .. (п - 26) п_а,
+ 2 ' 2-3... 26-27 30 ‘ 2-3... 28-29.
И Т. д.
62. Итак, мы получим следующие суммы для различных значений гг.
3 • хй — х,
8 х' = ^хг + ^х,
S • х2 = -|- Xs + -^х2 + ±-х, 3 2 о
8 • х* = ~ х* 4- 4 Xs 4- 4- х2, 4 2 4
5-^=4 + +
117 7 1
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 81
5 - х
S-
S
S •
5 •
С* ft 1 1 о < 1 9 । 3 я в 1 . 3 >
5 • ж* = Гбя ’ + -3’4-__a:«__3;*j_ ?^4-2()ж-,
S - X10 = + X11 + 1 ж” + | X* —- Ж7 4~ ж5 - -12 х3 + X,
= Г2Х +тХ -Г12Х—8:Х + бХ--8Х+Г2Х'’
1 ’ 1 13 1 1 12 f 11 И 9 I 22 7 33 S • Ч 691
: =!з* + т* + * ~ьх + 7 х “Го* + т* - 2730*’ 1» 1 и , 1 is । 13 1, 143 10 , 143 . 143 , ,65 . 691 .
: =r4*U+T* +12* ~ 60 * + 28 * “ 20 * + 12 * “ 4"20 * ’
и 1 is , 1 14 < 7 1» 91 и , 143 0 143 ,, 91 6 691 2 , 7
Х = 15 Х + ¥ Х + 6 Х ~ 3-0Х + ИГ Х ~ 10 *’ + Т Х ~ 90 Х + 6 Х>
is 1 ц . 1 15 , 5 j. 91 I® .^143 те 429 о । 4э5 > 691 » , Зэ
Х = 16* +-2* + Т* “24* + 12~* -16* +12* —24* + Т*
io 1 1, , 1 ю , 4 15 14 и , 52 ,, 143 , , 260 , 1 382 5 ,
* = 17* +т* +з* --3* +т* —:Г* +-3"*-------15-* +
, 140 , 3 617
+ 1Г* - 5ЙГ
и т. д.
Эти суммы, исходя из общей формулы, можно продолжить до суммы двадцать девятых степеней. Можно пойти и ещё дальше, если найти дальнейшие числовые коэффициенты общей формулы.
63- Впрочем, в этих формулах наблюдается некоторый закон, с помощью которого любая из них легко может быть найдена из предшествующей; исключение составляет лишь последний член, если в нём содержится первая степень х, ибо тогда в последующей сумме появляется один лишний член. Если оставить его в стороне, то из формулы
Sxn = ахп*1 + ^хп 4- уж"-1—ожп-1 + гхп 5 — 'ж"-7 + цх" 3 и т. д.
мы будем иметь
5жп+1 = ажп+2 4- ~ рж"+1 4- — уж" - 2жп-3 4-
«4-2 1 re + 1 г п 1 п. — 2 1
+ 71 4~ 1 „—4 Л 4- 1 - пл < И 4“ 1 п й
---ах 4------Х-7 Сж 4-----VX 8 и Т. д.
п— 4 п — 6 1 л — 8
Если п будет чётным числом, то мы получим верное выражение следующей суммы. Если же п будет нечётным числом, то в последующей сумме нужно будет, сверх того, определить последний член, который будет иметь вид ± <рж. Но его можно найти непосредственно из следующих соображений. Если положить ж= 1, то должна получиться сумма одного только члена (т. е. первого члена, который равен единице). Поэтому положим во всех уже найденных членах ж=1, а всю сумму положим равной 1. Тогда мы получим значение <р и, найдя его, сможем итти дальше. Этим приёмом можно было бы найти все вышеприведённые суммы. Например, так как
С 5 ^Sfl>!'^4 1з
Sxy = - Xs 4- — хл 4- X4 — X , b J 1Z и
6
л. Эйлер
82
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
или
8х3 — у х14- у х* 4- у х3 — -i- х3 4- ух.
Положим теперь х=1; получим
1-74-уЧ-у-уЧ-?;
поэтому
1 1 1
? — в 7 — 42 ’
как мы ранее нашли, исходя из общей формулы.
64. С помощью этих суммационных формул можно легко находить суммационные члены всех рядов, общие члены которых суть целые рациональные функции х, и это делается гораздо быстрее, чем с помощью разностей по предыдущему методу.
При ме р 1
Найти общий член ряда 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126 и т. д., общий член которого есть —-— .
Так как общий член состоит из двух слагаемых, то будем искать для каждого из них суммационный член по вышеприведённым формулам; получим
S '^х =iX + {х' + ^х
И
с 1 1 , . 1
У X 2-ртж;
теперь будем иметь
5 • -у— =у ж3 4-^'4-у я=--2- я (я4- 1) .
Это есть искомый суммационный член. Так, если положить х =5, то 5
~ . 63 = 90 будет суммой пяти членов
24-74-154-26 4-40 = 90.
Пример 2
Найти суммационный член ряда 1, 27, 125, 343, 729, 1331 и т. д., который содержит кубы нечётных чисел.
Общий член этого ряда равен
(2х — I)3 = 8я3 - 12гг3 4- 6х — 1.
Следовательно, суммационный член составится следующим образом: 4-8 • 8х3 = 2х* + ^х3 + 2х2 и
— 12 • 5 • х2 = . .. — 4я3 — бог — 2х
4-6 • 5 • х—......4- За;3 4- Зх
и, наконец, — 1 • 5 • х* =...........................——х
Значит искомая сумма = 2х* — х2 = х2(2х3—1).
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 83
Так, если положить x — Q, то 36-71 = 2556 будет суммой шести членов предположенного ряда
1 + 27 + 125 + 343 4- 729 + 1331 = 2556.
65. Если же общий член будет произведением простых множителей, то общий член найдётся легче тем способом, который изложен выше в § 32 и следующих. Действительно, при <о = 1 мы имеем:
2 {х + п) = у (ж + п — 1) (х + л),
У (ж4-/г) (ж + л + 1) = 4 (ж4-л — 1) (ж 4- п) (х + п+ 1),
2 (ж4- п) (ж 4- л J-1) (ж Д- л + 2) = |(ж4-л- 1) (ж + л) (ж 4-л 4-1) (ж 4-л 4- 2) и т. д.
Если к этим суммам мы прибавим общие члены, а также такое постоянное, которое при ж = 0 давало бы исчезающий суммационный член, то получим следующие суммационные формулы:
1 1
S (х 4- л) = — (ж4-л) (ж 4-я 4~ 1) — у л (л 4~ 1),
S • (ж 4- л) (ж л 4-1) =-|- (ж + л) (ж 4-л 4-1) (ж 4- л 4- 2)— у л (л 4- 1)(л 4-2),
S (ж 4- л) (ж 4- л 4-1) (ж 4- л 4- 2) =
= -£- (ж 4" ft) (ж + л 4“ 1) (ж 4~ 4~ 2) (ж л 4~ 3) — л (л 4- 1) (ft 4- 2) (л 4* 3)
и т. д.
Таким образом, если л=0 или л= —1, то постоянное количество в этих суммах исчезает.
66. Итак, суммационный член ряда 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., общий 1
член которого есть ж, будет равен — х (ж 4- 1) и суммирующий ряд будет 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Суммационный член этого последнего ряда будет равен
х (х+ 1) (х + 2)
1-2-3
и суммирующий ряд будет 1, 4, 10, 20, 35 и т. д. Последний в свою очередь имеет суммационный член, равный
х(х+ 1)(ж+2) (х -I- 3) 1 • 2 • 3 • 4 ’
который будет общим членом ряда 1, 5, 15, 35, 70 и т. д., а у этого ряда суммационный член будет равен
ж (ж + 1) (% 4 2) (х + 3) (ж 4- 4)
1 • 2 • 3 • 4 • а
Эти ряды должны быть хорошо замечены предпочтительно перед другими, так как повсюду они имеют очень широкое применение. Ведь из них получаются коэффициенты бинома, возведённого в степени, а Насколько широко применяются эти коэффициенты, прекрасно известно каждому, кто хоть немного имел дело с этими вещами.
6*
84
ГЛ. П. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
67. Отсюда легко найти и те суммационные члены, которые мы прежде получали из разностей. Там1) мы нашли выражение общего члена в следующем виде:
, х — 1 , . (х — 1) (х — 2) (х — 1) (х — 2) (х — 3) ,
а + — Ь + '----------- с +-----£^2ТТ--------------d + и т‘ д'
Если мы найдём суммационный член для каждого слагаемого и все их сложим, то мы получим суммационный член, отвечающий этому общему члену. Так как
S • 1 = х,
S (х — 1) = ^х(х — 1),
S • (х — 1) (х — 2) = у х (х — 1) (х — 2),
5 • (х — 1) (х — 2) (х — 3) = у х (х — 1) (х — 2) (х — 3)
и т. д., то искомый общий член будет
Л г ж(ж-1)(ж-2) х(х-1)(х-2)О-3) ,
Ха + Ь ~ ----С ---------ГГ2ГТГ4--d И Т‘ Д-
Он совпадает с тем, который раньше (§ 57) был получен из разностей.
68. Далее этот способ определения общих членов можно применить и к дробям; действительно, так как выше (§ 34) мы нашли (мы полагаем ,ш = 1), что
У ________1______= - 1 -1-
-£-1 (ж 4- п) (ж 4- п 4-1) х-|- п ’
то
5 . 1___________.... . ( . _1 . , 1
(х+ п) (х -U п -|-1) х 4- п -4- 1 ~г п 4-1
Если, как и црежде, мы к найденным суммам прибавим общий член, или, что то же, если в этих выражениях вместо х положим z-f-1, то мы будем иметь
____________1___________= __1_________________1_ _1______1
(х п) (х 4- п. 4- 1) (о-4- i»4 2) 2 (х (- п 4- 1) (я 4- п -4 2) 2 (п — 1)(п4-2)
И
с .__________________________________
(х 4- п) (х4-п 4-1) -г п -г 2) (ж 4- п 4- 3)'
_ _ J_________________1__ ____ L _1 _1_______
3 (z 4- п -4 1) (х J- п 4- 2)। (ж 4- п 4- 3) ' 3 (п 4-1) (п-4 2) (п 4-3) ‘
Составление этих формул легко продолжать сколь угодно дальше.
69. Так как
(,_________1__________ _ t________
(х -4- п) (х 4- п 4-1) п 4- 1 г 4 п 4- I ’
то будем также иметь „ 1 _ s 1______________________________ 1 1
х-'-п х + п-1-1 п -4- 1 Ж 4- Л 4“ 1 *
Ч В § 56
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
85
Таким образом, хотя ни один из этих двух суммационных членов не может быть представлен сам по себе, однако их разность известна, и вследствие этого во многих случаях мы можем довольно быстро находить суммы рядов; это происходит тогда, когда общий член есть дробь, знаменатель которой разлагается иа простые множители. Тогда вся дробь разлагается па простейшие дроби;'после этого с помощью данной леммы тотчас же выяснится, может ли быть выражен общий член или пет.
При мер 1
и - - . . , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
паапа сумма шпиш член ряда 1 ---------4---б---!—= 4 и
J ‘ 3 ' С 10 ' 1а 21
, 2
общий член которого равен -у—-
ч
Этот общий член, будучи разложен, приводится к виду
Значит, суммационный член равен
1 1
2S - - 25 • —Ц- .
X X ' I
Ио предыдущей лемме он будет равен
•>___. _______—
~ ~ х +1
г 8 111
Так, если х = 4, то будем иметь 7- 1 -<• -у +- - б lv
Пример 2
1 i 1 1 1
Пусто ищется суммационный член ряда — , — , —, , jp и т. д.
общий член которого равен .
Так как знаменатель общего члена имеет множители 2х —1 и 2x4-3, то он разлагается па такие части:
Следовательно.
и
I
Г х + -
1
3 *
Х+2
Восьмая часть этого выражения даст искомый суммационный член, именно
1,1 1 1 х , х х (ix -г 5)
Т ~Г’ 12 8х 4 4 ’ ~ 8X-J-12 — 4х + 2 3(4 х +6) ~ 3(2х р 1)"(2х рЗ) ’
86
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
70. Так кек фигурные числа1), каковыми являются коэффициенты бинома, возведённого в степень, заслуживают быть отмеченными предпочтительно перед дру) ими, то выразим суммы рядов, числители которых равны единице, знаменатели же суть фигурные числа. Это легко сделать на основании § 68. Итак, для ряда, у которого
общин член есть суммационный член будет
_ 1. 2 2__2_
X (х -I 1) ’ 1 X - 1 ’
____• 2 • 3_ 3 1-3
х (х i) (.И 2) ' 2 О а 1) О р2) ’
1 2 3 1 - 2 • 4
(л‘ 4 1) (х г 2) (л* + Л) 3 (д’ -р J) (z + 2) (.г -}~ 3) ’
1 2__- 3 4 • 5 , _ 1 • 2 • 3 5
.г (х Д 1) (х 2) (х 3) (х -] 4) ' i (.с 4 1) (д’+ 2) (х+ 3) (.г+ 4) Д
Отсюда сам co6oii выясняется закол, по которому следуют друг за другом эти выражения. Однако отсюда нельзя получить суммацион-- 1 , ‘ , ного члена, отвечающего оощему члену . ибо он не может быть - X
выражен конечной формулой.
71. Так как суммационный член даёт сумму стольких членов, сколько единиц содержится в индексе х, то, очевидно, мы получим суммы этих рядов, продолженных бесконечно, если индекс х сделаем бесконечным; в этом случае вторые члены только что найденных выражении исчезают вследствие обращения в бесконечность знаменателей.
Значит, эти бесконечные ряды имеют конечные суммы, каковыми будут:
. , 1 . 1 , 1 , 1 2
3 !> 10 13 11 '• д. t .
.1.1,11 3
‘ ~ 10 " 20 г 33 1 11 т’ Д’ — у ’
.1,1,11 4
1 5 1. 3 . : 70 И Т‘ = У ’
.11,1,1
Ь-; + ”Т’Д’ = 7,
1-г^7 и т. Д.=~ и т. д.
Таким образом, положив х = можно найти суммы всех бесконечных рядов, для которых мы знаем суммационные члены, если только суммы конечны; а это имеет место, если в суммациоином члене количество х имеет в числителе столько же измерений, сколько в знаменателе.
)
числа),
Фигурными числам:) называли целые числа
п (п 4-1) вида .
(треугольные
п (п -4-1) (п !-2)
I 2 • 3 '
(четырёхугольные
ные числа) и т. д.
п (п + 1) (п 1-2) (п + 3) , числа), !->— — (пятиуголь-
ГЛАВА III
О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
72. Так как всякое количество, сколь бы пи было оно большим, может увеличиваться и дальше, и ничто не препятствует тому, чтобы к какому-либо данному количеству прибавлять другое количество того же рода, то всякое количество может быть без конца увеличиваемо; действительно, оно никогда не станет столь большим, чтобы к нему ничего больше нельзя было прибавить. Итак, не существует столь большой величины, чтобы нельзя было получить большую, и, значит, вне сомнения находится положение, что всякое количество может быть увеличиваемо до бесконечности ’). Действительно, кто станет это отрицать, тому придётся утверждать, что существует предел, достигнув которого количество не могло бы его превзойти. Стало быть, он должен будет установить такую величину, к которой ничего больше нельзя прибавить. А так как это нелепо и противоречит понятию о величине, то необходимо согласиться с тем, что всякая величина непрестанно может быть увеличиваема без конца, т. е. до бесконечности.
73. Эго становится ещё яснее при рассмотрении отдельных видов количеств. Так, нелегко найти кого-либо, кто стал бы утверждать, что ряд натуральных чисел 1, 2. 4, 5, 6 и т. д. будет где-то иметь
границу, так что дальше не сможет Сыть продолжен. Действительно, нет такого числа, к которому нельзя было бы прибавить ещё одну единицу и таким образом получить следующее, большое число. Значит, ряд натуральных чисел продолжается без конца и никогда не доходит до максимального числа, для которого не существовало бы никакого большого. Подобным образом прямая линия никогда не может быть продолжена настолько, чтобы дальше её больше нельзя было продолжать. Это убеждает нас в том, что как числа могут до бесконечности увеличиваться, так и линии могут до бесконечности быть продолжаемы. А так как числа и линии суть виды количеств, то имеете
‘) В оригинале in iafinitinn. т. <«. «в бесг:онечное». У Эйлера это выражение имеет всегда смысл «безгранично», «бесконечно», по перевести его одним из этих слов я не решился потому, что другие авторы вкладывали в этот термин иной смысл, и ниже Эйлер вступает с ними в полемику, которая потеряла бы смысл при таком переводе. Выражение «до бесконечности» казалось мне наиболее подходящим потому, что оно обычно употребляется именно в смысле «безгранично», но по своей грамматической конструкции может дать повод к представлению, что речь идёт о некотором пределе, го которого способно увеличиваться количество.
88
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
с тем становится понятным, что для всякого количества, сколь бы оно ни было велико, существует ещё большее, для последнего снова есть большее, и так, увеличивая .всё дальше и дальше, можно итти без конца, т. е. до бесконечности.
74. Хотя это столь ясно, что всякий, кто хотел бы это отрицать, должен был бы сам себе противоречить, однако многие, пытавшиеся объяснять это учение о бесконечном, настолько затемнили его и облекли такими трудностями и даже противоречиями, что лишились всякой возможнос ти выпутаться. Из того, что количество может увеличиваться до бесконечности1), некоторые заключили, что и в самом деле существует бесконечное количество, которое, по их описанию, уже не может принимать никакого приращения. Но тем самым, устанавливая такого рода количество, которое не может дальше увеличиваться, они ниспровергают идею количества. Кроме того, те, кто допускает бесконечное, сражаются сами с собой. Действительно, кладя предел приращению, на которое способно количество, они в то же время отрицают, что величина может увеличиваться без конца; следовательно, они отрицают также, что количество может увеличиваться до бесконечности, ибо оба эти выражения совпадают. Таким образом, устанавливая бесконечное количество, они в то же время его отрицают. Действительно, если количество не может увеличиваться без конца, т. е. до бесконечности, то, конечно, не может существовать никакого бесконечного количества.
76. Итак, уже из того, что всякое количество могло бы увеличиваться до бесконечности, казалось бы, следует, что никакого бесконечного количества не существует. Действительно, количество, подвергнутое непрерывному наращению, не станет бесконечным, если прежде не будет нарастать без конца; а что должно совершаться без конца, то нельзя считать как бы уже сделанным. Между тем не только позволительно такого рода количество, которое достигается без конца совершаемыми приращениями, обозначать некоторым символом и таким образом должным способом ввести в исчисление, как вскоре мы подробно покажем,—но и во вселенной существуют или по крайней мере могут мыслиться такие случаи, в которых, казалось бы. в действительности существует бесконечное число. Так, если вещество, как полагают многие философы, делимо до бесконечности, то число частей, из которых состоит некоторый данный кусок вещества, на самом деле будет бесконечным; действительно, если считать его конечным, то вещество заведомо не было бы делимым до бесконечности. Подобным образом, если бы вселенная была бесконечна, как склонны считать многие, то число тел, составляющих мир, бесспорно не могло бы быть конечным, и потому также было бы бесконечным.
76. Казалось бы, эти два положения противоречат друг другу. Однако, рассмотрев их внимательнее, можно освободить их от всяких неудобств. Действительно, кто полагает, что вещество делимо до бесконечности, тот отрицает, что при беспрестанном делении вещества можно когда-либо дойти до столь малых частей, что дальше они не могут делиться. Следовательно, вещество не будет иметь никаких неделимых далее частей, ибо отдельные частицы, к которым мы уже пришли в результате непрестанного деления, способны подразделяться дальше. Итак, кто говорит, что в этом случае число частей бесконечно, тот разумеет последние части, которые неделимы дальше, а так как до них никогда не дойти, к тому же их и нет, то он пытается исчислить те части, которых нет. Действительно,
’) См. предыдущую сноску.
ГЛ. HI. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
89
если вещество может непрестанно без конпа подразделяться, то оно вовсе лишено неделимых, т. е. простых, частей; таким образом, не остаётся ничего, что можно исчислять. Поэтому, кто считает вещество делимым до бесконечности, тот вместе с тем отрицает, что вещество составлено из простых частей.
77. Если же, говоря о частях какого-либо тела или вещества, мы разумели бы не последние или простые части, ибо их нет, а те, которые в действительности производятся делением, тогда, при допущении гипотезы о делимости вещества до бесконечности, не только можно будет любой, хотя бы малейший, кусок вещества рассечь на множество частей, но и невозможно будет назначить никакого числа, столь большого, чтобы нельзя было получить большего числа частей, высеченных из этого куска. Итак, число частей, правда не последних, а таких, которые сами ещё делимы дальше и которые составляют некоторое тело, будет больше всякого могущего быть назначенным числа. Точно так же, если вселенная бесконечна, то число тел, составляющих вселенную, равным образом будет больше всякого могущего быть заданным числа; а так как последнее не может быть конечным, то, следовательно, бесконечное число и число, большее всякого могущего быть заданным,—это синонимы.
78. Итак, кто таким образом смотрит на делимость вещества до бесконечности, тот не подвергает себя никаким неудобствам, которые обычно приписывают этому мнению, и не принуждён утверждать ничего такого, что было бы против здравого смысла. Те же, кто, напротив, отрицают, что вещество делимо до бесконечности, попадают в труднейшее положение, из которого они вообще никак не могут выбраться. Действительно, они принуждены утверждать, что всякое тело делится на определённое число таких частей, что, если дойти до них, никакое дальнейшее деление не может иметь места; эти последние частицы одни называют «атомами-», другие «монадами» и «простыми сущностями». Почему же эти последние частицы не допускают дальше никакого деления? Тому могут быть две причины: одна, что они лишены всякой протяжённости, другая же та, что хотя они и протяжённы, но столь твёрды и так построены, что никакой силы нехватит для их рассечения. В защиту какого бы мнения эти люди ни высказывались, они равным образом запутываются в трудностях.
79. Действительно, пусть последние частицы не имеют никакой протяжённости, так что они вовсе лишены частей; при таком толковании сохраняется лучше всего идея простых сущностей. Но тогда никаким образом нельзя понять, как может тело состоять из конечного числа таких частиц. Положим, что кубический фут вещества состоит из тысячи таких простых сущностей и, значит, может быть в действительности разделён на тысячу частей; если они равны, то они будут кубическими дюймами; если же не равны, то одни будут меньше, а другие больше. Итак, один кубический дюйм был бы простой сущностью и таким образом возникло бы величайшее противоречие, если только они не пожелают сказать, что в кубическом дюйме имеется только одна простая сущность, остальное же пространство пустое. Но таким образом они уничтожили бы непрерывность тел, не говоря уже о том, что эти философы вообще изгоняют пустоту из вселенной. Если бы они возразили, что число простых сущностей, составляющих кубический фут вещества, в тысячу раз больше, они и этим ничего не выгадали бы; действительно, невозможно, чтобы то, что являлось бы следствием числа тысяча, не имело бы места равным образом при любом другом числе, как бы велико оно ни было. Эту трудность хорошо видел остроумнейший Лейбниц, первый изобретатель монад, когда он выставил
ГО
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
утверждение, что материя делима абсолютно до бесконечности. Итак, до монад можно дойти не ранее, чем тело в действительности было бы разделено до бесконечности. Но этим самым он полностью отрицает существование простых сущностей, из которых могли бы состоять тела; ибо тот, кто отрицает, что тела состоят из простых сущностей, и тот, кто утверждает, что тола делимы до бесконечности, выражают одно и то же мнение.
80. Но в большей степени они остаются себе верны, если говорят, что последние частицы протяжённы, ио не могут быть раздроблены на части вследствие величайшей твёрдости. Действительно, коль скоро они допускают протяжённость последних частей, они утверждают, что последние частицы состоят из частей!; могут ли эти части быть друг от друга отделены пли нет—это не имеет большого значения; притом они не могут указать никакой причины, которая могла бы породить такую твёрдость, li вот очень многие из тех, кто отрицают делимость вещества до бесконечности, невидимому, достаточно ясно ощутили это неудобство, ибо они предпочитают придерживаться первоначального представления о последних частицах; трудности же, связанные с ним, они могут ослабить лишь некоторыми, весьма легковесными метафизическими ухищрениями, на? правлеппыми большей частью на то, что мы якобы не можем доверяться заключениям, сделанным согласно математическим началам; и они готовы принять, что размерности должны обладать простыми частями. Но прежде они должны были бы доказать, что эти их последние частицы, из определённого числа которых якобы состоит тело, совершенно пепротяжённы.
81. Итак, не будучи в состоянии найти какой-нибудь выход из этого лабиринта и должным образом отразить возражения, они прибегают к ухищрениям, отвечая, что эти возражения основаны на чувствах и на воображении, между тем как в таком деле надлежит руководствоваться только чистым разумом, чувства же и основанные на них умозаключения очень часто обманывают пас. Чистый разум якобы признаёт возможность того, что тысячная часть кубического фута вещества лишена всякой протяжённости, что представляется воображению нелепым. Что чувства часто нас обманывают, —это, конечно, верно, по такое возражение меньше чем кому-нибудь другому может быть сделано математикам. Водь именно математика в первую очередь защищает пас от обмана чувств п учит, что одно дело - как па самом доле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело — • какими они кажутся; эта наука даёт надёжнейшие правила; кто им следует — тому не опасен обман чувств. Итак, такого рода ответы совершенно недостаточны, и вместо того, чтобы защитить своё учение, метафизики делают его ещё более сомнительным.
82. Но вернёмся к поставленному нами вопросу. Если даже отрицать, что во вселенной действительно существует бесконечное число, то всё же в математических исследованиях часто встречаются вопросы, на которые нельзя ответить, если не допустить бесконечного числа. Так, пусть ищется сумма всех чисел, которые составляют ряд .1 -р 2 +• 3 + 4 -f- 5 4- п т. д.; так как эти числа, возрастая, следуют друг за другом без конца, то их сумма заведомо не может быть конечной; том самым оказывается, что она бесконечна. Вообще, если количество таково, что оно больше всякого конечного количества, то оно но может не быть бесконечным. Для обозначения такого количества математики пользуются знаком со, которым обозначается количество, большее всякого конечного, т. е. могущего быть заданным, количества.
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
91
'Гак, поскольку параболу можно определить, сказав, что она есть бесконечно длинный эллипс, мы будем вправе утверждать, что ось параболы является бесконечной прямой линией.
83. Это учение о бесконечном станет более понятным, если мы разъясним, что такое бесконечно малое в математике. Нет никакого сомнения, что всякое количество может уменьшаться до тех пор, пока совсем не исчезнет и не обратится в ничто. Но количество бесконечно малое есть не что иное, как количество исчезающее, и потому оно точно равно нулю. С этим согласуется и такое определение бесконечно малых, согласно которому они меньше всякого могущего Сыть заданным количества. Действительно, если количество будет столь мало, что оно меньше всякого могущего быть заданным количества, то оно заведомо не может сыть неравным нулю; ибо, если бы оно не было равно нулю, то можно было бы задать количество, равное ему, что противно предположению. Итак, если кто спросит, что такое бесконечно малое количество в математике, то мы ответим, что оно точно равно пулю. Следовательно, в этом понятии не кроется никаких тайн, какие обычно ему приписываются и которые для многих делают исчисление бесконечно малых весьма подозрительным. Впрочем, сомнения, если таковые остались бы, совершенно исчезнут в дальнейшем, когда мы изложим это исчисление.
84. Поскольку мы показали, что бесконечно малое количество есть точно нуль, то прежде всего следует ответить на вопрос, почему бесконечно малые количества мы не всегда обозначаем одним и тем же символом 0, но употребляем для их обозначения различные знаки. Действительно, так как гее нулевые количества равны между собой, то кажется излишним обозначать их разными знаками. Но хотя верно, что два любых нуля равны между собой в том смысле, что их разность есть пуль, однако существует два способа сравнения: одни—арифметический и другой—геометрический; из первого мы усматриваем разность, а из второго — частное, происшедшее от сравнения количеств. И вот арифметическое отношение между какими-либо двумя нулями есть отношение равенства, геометрическое же отношение не является отношением равенства. Легче всего это видно из геометрической пропорции 2:1 = 0: О, в которой четвёртый член равен нулю, так же как и третий. Но по основному свойству пропорции, поскольку первый член вдвое больше чем второй, необходимо, чтобы и третий был вдвое больше чем четвёртый.
85. Эго совершенно ясно из простой арифметики; ведь каждому известно, что нуль, помноженный на какое угодно число, даёт пуль, т. е. что /г-0=0, п потому п: 1=0:0. Отсюда ясно, что два пуля могут иметь друг к другу любое геометрическое отношение;, хотя с арифметической точки зрения их отношение есть отношение равенства. Итак, поскольку между нулями может иметь место любое отношение, то для того, чтобы эти различные отношения выразить, нарочно пользуются различными символами, особенно тогда, когда требуется определить геометрическое отношение двух разных нулей. Но в исчислении бесконечно малых ничего больше и не делается, как находится отношение между различными бесконечно .малыми. Поэтому, если мы не будем пользоваться для их обозначения различными знаками, то получится величайшая путаница, и никак нельзя будет из неё выбраться.
86. Пусть согласно принятому в анализе бесконечно малых способу обозначения dx обозначает бесконечно малое количество. Тогда
92
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО ЧАЛЫХ
как dx — О, так л adx = 0, если а есть какое-нибудь конечное количество. Тем не менее геометрическое отношение adx : dx будет конечным, именно отношением а:1. Поэтому эти два бесконечно малых dx и adx, хотя каждое из них и равно нулю, нельзя смешивать одно с другим, если ищется их отношение. Подобным же образом, если мы имеем различные бесконечно малые dx и dy, то, хотя каждое из них и равно нулю, однако их отношение нулю не равно. В разыскании отношения двух таких бесконечно малых и состоит вся сущность дифференциального исчисления. На первый взгляд может показаться, что польза такого сравнения совершенно ничтожна. Оказывается, однако, что она чрезвычайно педика, и с каждым днём это всё более и более обнаруживается.
87. Так как бесконечно малое есть точно нуль, то, очевидно, конечное количество не увеличится и не уменьшится, если к ному прибавить или от пего отнять бесконечно малое. Пусть а есть конечное количество, a dx — бесконечно малое. Тогда a + dx и а — dx и вообще а ± ndx равно а. Рассматриваем ли мы соотношение между а ± ndx и а арифметически или геометрически, и в том и в другом случае мы получаем отношение равенства. Что арифметическое отношение есть отношение равенства — это совершенно очевидно; действительно. так как ndx = 0. то будет
а ± ndx — а = U,
а что геометрическое отношение есть отношение равенства, ясно ив того, что
а }- nd.с {
—-----’= I .
а
Отсюда вытекает1 следующее, пользующееся очень широким признанием, правило: бесконечно малые уничтожаются относительно конечных и могут быть отбрасываемы при наличии последних. Поэтому само собой отпадает возражение, ставящее в упрёк анализу бесконечно малых пренебрежение геометрической строгостью, ибо то, что отбрасывается, есть не что иное, как подлинный нуль. И потому с полным правом можно утверждать, что и в этой высшей науке столь же тщательно соблюдается величайшая геометрическая строгость, какую мы находим в книгах древних авторов.
88. Так как бесконечно малое количество dx подлинно равно нулю, то и его квадрат dx2, куб dx3 и любая другая степень, имеющая положительный показатель, будет равна нулю и потому будет исчезать относительно конечных количеств. Но бесконечно малое количество dx3 будет, кроме того, исчезать и относительно dx', действительно, dx±dx3 к dx будет находиться в отношении равенства, производится ли арифметическое или геометрическое сравнение. В первом нет никакого сомнения. Сравнивая же геометрически, мы будем иметь
dx -I- dx3: dx = ^-~-^— = 1 ± dx — 1. ах
Равным образом будет dx ± dx3 = dx и вообще dx ± dxn*1 — dx, если п есть число, большое пуля. Следовательно, геометрическое отношение будет dx ± dxn" : dx — 1 ± dxn и вследствие dxn— 0 оно будет отношением равенства. Если подобно тому, как это делается для степеней, мы назовём dx бесконечно малым первого порядка, dx3 — бесконечно
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
93
малым второго порядка, dx3—третьего порядка и т. д. то, очевидно, бесконечно малые высших порядков исчезают относительно бесконечно малых первого порядка.
89. Таким же образом можно показать, что бесконечно малые третьего и более высоких порядков исчезают относительно бесконечно малых второго порядка и вообще, что бесконечно малое какого-либо высшего порядка исчезает относительно бесконечно малого низшего порядка. Таким образом, если т будет числом, меньшим чем п, то будет
adxm + hdxn = adxm,
ибо, по доказанному, dxn исчезает относительно dxm. Это имеет место и для дробных показателей; так, dx исчезает относительно dx, т. е.
£
относительно dx", и будет
a ]/dx bdx = a]/ dx.
Если же показатель степени da; равен 0, то будет dxl>=l, несмотря на то что dx—О. Поэтому степень dxn, будучи равной единице при п~0, из конечного количества сразу становится бесконечно малым, как только показатель п делается большим нуля.
Итак, существует бесчисленное множество бесконечно малых величин различных порядков; хотя все они равны нулю, однако их нужно непременно отличать друг от друга, если наше внимание обращено на то их взаимоотношение, которое выражается геометрическим отношением.
90. Установив понятие бесконечно малого количества, мы легче сможем выяснить природу бесконечных, т. е. бесконечно больших, количеств. Известно, что значение дроби -- оказывается тем большим, чем более уменьшается знаменатель z. Поэтому, если z становится количеством, меньшим любого могущего быть заданным количества, т. е. бесконечно малым, то значение дроби — должно стать большим чем любое могущее быть заданным количество, т. о. бесконечно большим. Поэтому, если единица или какое-либо другое конечное количество делится на бесконечно малое, т. е. на нуль, то частное будет бесконечно большим, т. е. бесконечно большим количеством. Итак, поскольку знак со обозначает бесконечно большое количество, то мы будем иметь равенство
справедливость которого вытекает также из того. что. обратив его, мы будем иметь
- - dx 0. СО
Действительно, чем больше становится знаменатель z дроби -- , тем меньше значение дроби, и если z становится бесконечно большим а
количеством, т. е. z=oo, то значение дроои — неооходимо должно быть бесконечно малым.
94
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
91. Кто не согласился сы с этим выводом, тому придётся попасть в весьма затруднительное положение и притом нарушить достовернейшие основы анализа. Действительно, если кто-нибудь будет утверждать, что значение дроби у конечно, будучи равным, скажем, Ь, то, умножив обе часш этого равенства на 0, он получит а — О-b, так что конечное количество Ь, помноженное па нуль, дало бы конечное количество а, что было бы нелепо. Тем болео значение Ь этой дроби ~ не могло бы равняться нулю, ибо пуль, помноженный на нуль, никак не может в произведении дать количество а. К такому жч нелепому выводу придёт тот, кто станет отрицать, что о „ - а
— = 0; действительно, ему пришлось бы тогда сказать, что у равно конечному количеству Ь; а так как из уравнения ~^=-Ь законно сле-довало бы равенство оо = -^-, то значение дроии , числитель и знаменатель которой суть конечные числа, было бы бесконечным, что, конечно, было бы нелепо. Нельзя также считать значения дробей ~
а , „
и — мнимыми, иоо значение дроои, числитель котором конечный, а знаменатель мнимый, не может быть ни бесконечно большим, ни бесконечно малым.
92. Итак, бесконечно большое количество, к которому пас привело это рассуждение и с которым’мы только и имеем дело в анализе, может быть лучше всего определено, если сказать, что бесконечно большое количество есть частное, возникающее в результате деления конечного количества па бесконечно малое. В свою очередь бескопе1 нэ малое количество есть частное, возникающее в результате деления конечного количества на бесконечно большое. Поэтому имеет место такая геометрическая пропорция: бесконечно малое количество относится к конечному, как конечное к бесконечно большому; действительно, как бесконечное количество в бесконечное число раз больше конечного, так и конечное в бесконечное число раз больше, чем бесконечно малое. Значит, эти обороты речи, которые многим не нравятся, не заслуживают осуждения, ибо они опираются на достовернейшие основы. Из уравнения оо следует далее, что нуль, помноженный на бесконечное количество, может в произведении дать конечное количество, что могло бы показаться несообразным, если бы это не было выведено с полной точностью при помощи правильных рассуждений.
93. Подобно тому как между бесконечно малыми, если их сравнивать между собой с помощью геометрического отношения, обнаруживается огромное различие, так и между бесконечно большими количествами существует ещё большее отличие, ибо они различаются друг от друга не только при геометрическом, но и при арифметическом сравнении. Обозначим через А то бесконечное количество, которое происходит от деления конечного количества а на бесконечно малое dx, так что ~=А. Тогда будет ах
~ = 2А и ~ — пА, ах ах ’
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
95
так как nA есть также бесконечное количество, то, значит, между бесконечными количествами может иметь место какое угодно отношение. Если бесконечное количество умножить или разделить па конечное количество, то получим бесконечное количество. Следовательно, нельзя но согласиться с тем, что бесконечное количество может и дальше быть увеличиваемо. II легко видеть, что если геометрическое отношение двух бесконечных количеств не есть отношение равенства, то тем более не может быть отношением равенства их арифметическое отношение, ибо их разность тогда будет бесконечно велика.
94. Некоторым людям понятие бесконечного, которым мы пользуемся в математике, представляется подозрительным, и они поэтому полагают, что нужно отвергнуть анализ бесконечно малых. Однако без этого понятия мы не можем обойтись даже в элементарных отделах математики. В самом дело, в арифметике, где обычно излагается учение о логарифмах, логарифм пуля считается и отрицательным и бесконечно большим, и никому не приходило в голову заявить, что этот логарифм конечен, а тем более что он равен нулю. В геометрии и тригонометрии мы видим это ещё яснее: кто и когда отрицал, что тангенс или секанс прямого угла есть бесконечно большое количество? А так как произведение тангенса на котангенс равно квадрату радиуса1), а котангенс прямого угла равен нулю, то и в геометрии приходится согласиться с тем. что произведение нуля па бесконечное количество может быть конечным.
95. Так как f есть бесконечное количество А, то, очевидно, концах
А , чество оудет количеством, в оескопечное число раз оольшим чем а а Л .
демствителыю отпошопне dx Равп0 отношению а : А, т. е. отно-шению конечного числа к бесконечно большому. Итак, между бесконечными количествами бывают такие соотношения, что одни могут быть в бесконечное число раз больше других. Так, есть
бесконечное количество, в бесконечно большое число раз большое а а . —• а х! ..
чем j-; действительно, если положить -т-. = А, то будет - 2 . Ьодоб-
dx dx ' a х“ (хх
ным образом бесконечное количество ~ будет в бесконечное число
раз больше чем -Iх-, и. значит, в бесконечное число раз бесконечно dx-
больше чем ~ . Итак, существует бесконечно много ступеней бесконечных количеств, из которых каждая бесконечно больше предыдущей. При этом, если число m хоть сколько-нибудь больше чем п, то будет бесконечным количеством, в бесконечное число раз боль-
, я
шим чем оескопечное количество ах
96. Между бесконечно малыми количествами, как все мы видели, могут не иметь места отношения равенства, тогда как все их арифметические отношения суть отношения равенства. Бесконечно же
’) Здесь, как и всюду, термин sin, cos, tg п т. д. обозначают линии синуса, косинуса, тангенса и т. д. в триго ометрическом круге, радиус которого вообще не принимается за единицу измерения.
96
ГЛ. ш. О БЕСКОНЕЧНЫХ II БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
большие количества могут иметь геометрическое отношение равенства, будучи неравными арифметически. Действительно, если а и Ь обозначают конечные количества, то бесконечные количества 4+6 ’ dr
и имеют геометрическое отношение равенства; в самом деле, частное, проистекающее от деления первого из них на второе, равно 1 ибо dx-О; между тем, если их сравнить арифметически,
их отношение будет отношением неравенства, ибо их разность равна Ь. Подобным образом + к имеет геометрическое отношение равенства, ибо знаменатель отношения равен 1 dx= 1; разность же есть — , так что она бесконечна. Итак, если рассматривать геометрические отношения, то бесконечно большие количества низшего порядка исчезают в сравнении с бесконечно большими высшего порядка.
97. Из того, что выше сказано о порядках бесконечных количеств, тотчас же ясно, что произведение бесконечно большого количества на бесконечно малое может давать не только конечное количество — что это может случиться, мы видели выше — но и бесконечно большое или бесконечно малое. Так, если бесконечное количество помно-жить на бесконечно малое dx, оно даст конечное произведение, равное а; если же 4- помножить на бесконечно малое dx2 или на dx*, ’ dx
или на другое бесконечно малое высшего порядка, то произведение будет adx пли adx2, или adx3 и т. д., т. е. бесконечно малым. Таким же образом убедимся, что если бесконечное количество помно-
жить на бесконечно малое dr, то произведение будет бесконечно большим; и вообще, если помножить па bdxm, то произведение ahdrm~" будет бесконечно малым, если т превосходит п, конечным, если т равно п, и бесконечно большим, если т меньше чем п.
98. Как бесконечно малые, пак и бесконечно большие количества часто встречаются в числовых рядах; так как они чередуются с конечными числами, то становится очень ясно, как совершается переход от конечных количеств к бесконечно большим и бесконечно малым. Рассмотрим сперва ряд натуральных чисел, продолженный также в обратном направлении: и т. д. — 4, — 3, — 2, —1, 4-0, -f-1, 4- 2, + 3, 4-4, и т. д. Итак, числа, непрестанно убывая, дают, наконец, пуль, т. е. бесконечно малое количество, а дальше становятся отрицательными. Отсюда ясно, что от убывающих положительных чисел к возрастающим отрицательным переход совершается через нуль. Если же мы рассмотрим их квадраты, то так как все они положительны
и т. д. 4*16, 4-9, 4*4, 4-1, 4-0, --1, -г 4, 4-9. -16 и т. д., то нуль будет служить также переходом от убывающих положительных чисел к возрастающим положительным. Если же переменить знаки, то нуль окажется также переходом от отрицательных убывающих чисел к отрицательным возрастающим.
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
97
99. Если рассмотреть ряд, общий член которого есть ]/~х, т. е. который, продолженный и в обратном направлении, будет иметь вид
и т. д. 3, +]/— 2, +)/—1, +'0,
+ /1, +/2, +/3, +/4 и т. д.;
то станет ясно, что нуль можно рассматривать как границу, через которую совершается переход от действительных количеств к мнимым.
Если эти члены рассматривать как апликаты кривых, то будет •очевидно, что если они сначала будут положительными и будут убывать до тех пор, пока не исчезнут, то, продолженные дальше, они станут или отрицательными, или снова положительными, или мнимыми. Точно так же, если апликаты сперва будут отрицательными, то они, после того как исчезнут, если продолжать дальше, станут либо положительными, либо отрицательными, либо мнимыми. Многочисленные примеры этих явлений даёт учение о кривых линиях, изложенное в предшествующей книге1).
100. Подобным образом в рядах могут встретиться также бесконечные члены. Так, в гармоническом ряде, общий член которого есть -- , индексу х = 0 будет [отвечать бесконечно большой член 1
- -, и весь ряд имеет таком вид:
I 1 1 1,1,1 1,1
и т. д. —4-, -у, -т, -т, +-, -гт, +_Ит. д.
Если итти справа налево, то члены возрастают, и уже — является бесконечно большим; затем члены становятся отрицательными и убывают. Таким образом, бесконечно .большое количество может рассматриваться как граница, пройдя которую положительные числа становятся отрицательными и обратно. Многим поэтому казалось, что отрицательные числа можно рассматривать как числа, большие чем бесконечное, вледствие того, что в рассмотренном ряде непрестанно возрастающие члены, после того как они достигнут бесконечности, становятся отрицательными. Однако если мы рассмотрим ряд, общий член которого есть , то после перехода через бесконечность мы снова будем иметь положительные члены
И Т. д. 4- + ~£, +-f, -'г-ц, + р и т. д.
о которых, однако, никто не скажет, что они больше бесконечности.
101. Часто также бесконечно большой член ряда образует границу, отделяющую действительные члены от мнимых, как, например, в ряде, общин член которого есть :
" т- «• +й=з’ ’ Нп’ +^’ ’-й’ +ЙИТ-д-’
однако отсюда не следует, что мнимые количества больше бесконечности, так же как из вышеприведённого ряда
и т-Д. -!-}/"— з, + ]/—2, -|-]/" — 1, 4~ 0, Ч j/2, -f-/3 и т. д.
:) Во второй части «Введения в анализ» (русского перевода нет).
7 Л. Эйлер
98
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
не следует, что мнимые количества меньше нуля. Далее, от действительных членов можно перейти к мнимым так, чтобы границей не были ни 0, ни со. Это имеет место, например, если общий член будет 14-]/”х. Однако в этих случаях, так как вследствие иррациональности каждый член имеет двойной знак, граница между действительными и мнимыми членами всегда имеет два равных между собой значения. Но ’коль скоро члены, которые прежде были положительными, стновятся отрицательными, переход всегда совершается либо через бесконечно малое, либо через бесконечно большое. Всё это становится более ясным из закона непрерывности, который мы выявили в кривых линиях.
102. Из суммирования бесконечных рядов также можно заимствовать многое, служащее как для лучшего уяснения этого учения о бесконечном, так и для устранения ряда сомнений, которые обычно возникают в этом деле. Прежде всего, если ряд состоит из равных членов, как, например,
1 + 1 + 1 + 1 -А 1 + 1 и т. д.,
и он продолжается без конца, т. е. до бесконечности, то нет, конечно, никакого сомнения, что сумма всех этих членов больше чем всякое могущее быть заданным число. Поэтому она необходимо должна быть бесконечной. Это подтверждается и происхождением такого ряда; оя возникает из разложения дроби
= 1 + х + X- -г х' + и т. д.
при х—1; следовательно,
= 1 + 1 + 1 + 1 + и т. д.,
и поэтому
сумма равна
1 1
---- = — = иесконс/чности.
1—1 о
103. Хотя здесь но может родиться сомнения, поскольку одно и то же конечное число, взятое бесконечно много раз, должно дать бесконечность, однако самое происхождение из общего ряда
= 1 + х + + + а:3 + z4 + я5 + п т. д.,
невидимому, связано с огромнейшими несообразностями. Действительно, если вместо х мы последовательно будем полагать числа 1,2,3,4 и т. д,, то. получим следующие ряды вместе с их суммами:
.1. . . 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и т. д. = — бесконечности,
В. . .1+2 + 4+ 8 + 16+ и т. д. — 1 ч — — 1,
С...1 + 3 + 9+27 + 81+ и т. д.
D .. . 1 + 4 + 16+ 64 + 256 + и т. д. =-—-
1
-г- И т. д. о
Так как отдельные члены ряда В, кроме первого, больше чем члены ряда А, то сумма ряда В необходимо должна была бы быть много больше чем сумма ряда А. Однако в результате нашего вычисления сумма ряда А оказывается бесконечной, а сумма ряда В отрицатель-
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
99
ной, т. е. меньшей нуля, чего понять нельзя. Ещё меньше можно согласовать с привычными представлениями, что суммы ряда В и следующих рядов С, D и т. д. оказываются отрицательными, тогда как все их их члены положительны.
104. На этом основании многим представляется правдоподобным мнение, которое было упомянуто выше, а именно, что отрицательные числа можно считать как бы большими бесконечности, т. е. более чем бесконечными. А так как и при уменьшении чисел, переходя через нуль, мы приходим к отрицательным числам, то они устанавливают различие между отрицательными числами вида
— 1, — 2, — 3, и т. д. и вида , и т. д.;
говоря, что первые меньше нуля, а вторые больше бесконечности. Однако этот приём не устраняет трудности, создаваемой рядом
1 4- 2х Зд'! + 4т3 4- 5z4 -|- и т. д. = ——~тр-,
из которого происходят следующие ряды:
А. . . 1 4- 2 4- 3 4* 4 5 4- и т. д. = 1 — у = бесконечности,
В. .. 1 4 4 4-12 4- 32 4- 80 4- 11 т. д. = - 1 , = 1.
Так как отдельные члены ряда В, исключая только первые два, больше чем члены ряда А, то па этой основе совершенно невозможно объяснить, каким образом сумма ряда А оказывается бесконечной, а сумма ряда В равной 1, т. е. одному перврму члену.
105. Но так как, если мы пожелали бы отрицать, что
мы опрокинули бы прочнейшие основы анализа, то выше упомянутое объяснение и вообще не может быть допущено. Вместо этого мы должны признать, что неверны те суммы, которые были получены из общих формул. Действительно, так как эти ряды происходят из непрестанного деления, причём остаток делится всё дальше и дальше, но становится тем больше, чем дальше мы идём вперёд,, то мы никогда но можем пренебречь им, и тем более нельзя отбросить последний остаток, т. е. тот, что остаётся после бесконечного числа деления, ибо он бесконечно велик. Так как в вышеприведённых рядах мы этого не соблюдали, ибо по находили никаких остатков, то нет ничего удивительного в том, что эти суммирования привели к нелепости. Этот ответ, так как он- основан на рассмотрении самого происхождения рядов, и является вернейшим и устраняет всякие сомнения.
106. Для большей ясности рассмотрим разложение дроби у—уг > содержащее сперва только конечное число членов. Итак, будем иметь:
1 л , х 1 л . < 1 л , , , я3
1 — X * 1 — X 1 — X ‘ *1 — X ’ 1 — X 1 1 ' 1 — X ’
j-A- = 1 4 х 4- .А 4- х’ + и т. д
7*
100
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
Если кто-нибудь пожелал бы сказать, что сумма конечного ряда 1 4- х + х2 4- х2 есть ’ .то он отклонился бы от истины на коли-1 ‘ 1 — X
х^
честно , а кто захотел, бы утверждать, что сумма ряда
1 + х । х" <- .+ Ь • • • 4- а:1000
1. ^1001
равна р—, тот ошибся бы на количество -----; эта ошибка, если х есть число, большее единицы, была бы очень велика.
107. Из этого ясно, что тот, кто хотел бы утверждать, что сумма того же ряда, продолженного до бесконечности, т. е. сумма ряда
1 + X + + + х3 + ... + Х^,
1 , ^'+1
равна —-, тот отклонился бы от истины па величину х , которая,
если х > 1, будет бесконечно большой. Вместе с тем становится ясно, почему сумма бесконечного ряда 1 + х 4- х2 + х3 + х* + и т. д. действительно равна , если х есть дробь, меньшая единицы. Ведь х''+1
в этом случае погрешность ^_х становится бесконечно малой, т. е. .. 1
нулем, и ею можно спокойно препеоречь; так, цр„х = — , получаем верный результат
14-------Г - 4----Би т. д. =-----— 2.
1 п 2 ~ 4 8 д л 1
2
Точно так же этим способом мы получим истинную сумму и остальных рядов, если х будет дробью, меньшей чем единица.
108. Так же разрешается вопрос о суммах расходящихся рядов с чередующимися знаками -4- и —, которые получаются из той же формулы, если подставлять в неё вместо х отрицательные числа. Действительно, так как, если по брать в расчёт последнего остатка, мы имеем
------------------— 1—х-\-х3—х3 + х1— х3 4- и т. д., то будет
Л ... 1 - 1 + 1 — 1 + 1 — 1 и т. д. <= А ,
В ... i —2 +4 — 8 4-16 — 324- и т. д. = А ,
С .. . 1-34-9-27 + 81-2434- и т. д. = А
И Т. д.
Но ясно, что сумма ряда В не может равняться ибо чем больше членов мы берём, тем более суммы их удаляются от Между тем сумма каждого ряда всегда должна быть пределом, к которому мы тем ближе подходим, чем больше членов складываем.
109. Из этого некоторые заключили, что такие ряды — они называются расходящимися— вообще не имеют никакой определённой суммы, ибо, выполняя сложение членов, мы но имеем приближения к какому-либо пределу, который можно было бы принять за сумму бесконечного ряда. Так как эти суммы ужо потому, что мы пренебрегаем последними остатками, являются, как было показано, ошибоч
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ II БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
101
ными, то это мнение полностью согласуется с истиной. Однако против него можно с полным правом возразить, что упомянутые суммы, хотя они и оказываются совершенно несогласными с истиной, однако никогда не приводят к ошибкам, и что напротив, приняв их, мы получаем множество замечательных вещей, которых мы должны были бы лишиться, если бы пожелали совсем оказаться от этих суммирований. Но ведь эти суммы, если они были бы ложными, не могли бы всегда приводить нас к истинным результатам, тем более, что они уклонялись бы от истины не на малое, а на бесконечное количество, и, следовательно, они должны были бы бесконечно далеко уводить нас от истины. Так как этого, однако, не происходит, то нам остаётся развязать этот труднейший узел.
110. II вот я говорю, что вся трудность кроется в названии «сумма*. Действительно, если под «суммой» ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получать только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определённому значению, чем больше членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают, могут обнаруживать чередование знаков 4- и —, в противном же случае они вообще не будут иметь никаких определённых сумм, если только слово «сумма» понимается в смысле результата сложения всех членов. Но в тех случаях, о которых мы упоминали, из неверных сумм получаются верные результаты но потому, что
1
конечное выражение, скажем ----- , есть сумма ряда 1 4- х + х? 4- х3 4-
и т. д., а потому, что это выражение, если его разложить, даёт именно такой ряд. Таким образом здесь можно было бы вовсе отказаться от наименования «сумма».
111. Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избежим, если мы припишем слову «сумма» значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда ость конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд. В этом смысле у бесконечного ряда 1 4- х 4- х2,4- х3 4“
_ 1 г-
и т. д. истинная его сумма будет равна , ибо этот ряд происходит из разложения этой дроби, какое бы число ни подставлять вместо х. При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова сумма совпадёт с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового наименования не проистечёт никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений.
ГЛАВА IV
О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
112. В первой главе мы видели, что если переменная величина х принимает приращение, равное <о, то происходящее вследствие этого приращение какой-либо функции от х можно выразить в виде Рш -f- (Л»2 +7?и>3 4- и т. д., причём это выражение либо конечно, либо продолжается бесконечно. Следовательно, функция у, если в ней вместо х написать хфт, получит следующее значение:
yJ == у 4- /’<•> 4-(?ю2 -)-7?w34- S<d4+ и т. д.
Если от него отнять первоначальное значение у, то остаток будет разностью функции у и выразится следующим образом:
Ду = Рш + Qf»2 + Rv>3 5о>‘4- и т- Д>
а так как последующее значение х есть хт = х-[-ш, то разность х, т. е. Az, будет равна со. Буквы же Р, Q, R и т. д. обозначают функции х, зависящие от вида функции у; мы показали в первой главе, как они находятся.
113. Таким образом, каково бы ни было приращение «> переменного количества х, мы тотчас же сможем определить приращение, приобретаемое какой-либо функцией у от х, ибо для каждого выражения у мы можем определить функции Р, Q, R и т. д. Но в настоящей главе и во всём анализе бесконечно малых это приращение со, на которое, как мы принимаем, возрастает переменное количество х, мы будет считать бесконечно малым, т. е. исчезающим или равным нулю. Отсюда ясно, что и приращение, т. е. разность функции у, также будет бесконечно мало. А так как при этом предположении отдельные члены выражения
Рш -р Q<u" -f-R<us 5со4 -f- и т. д.
исчезают в сравнении с последующими (§ 88 и следующие), то останется лишь один первый член Рш, и, таким образом, в этом случае, когда с» есть бесконечно малое, разность количества у, т. е. Ду, равна Рш.
114. Таким образом, анализ бесконечно малых, к изложению которого мы здесь приступаем, есть не что иное, как частный случай метода разностей, изложенного, в первой главе. Этот случай насту-
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА ЮЗ
лает тогда, когда разности, которые мы раньше считали конечными, лолагаются бесконечно малыми. Для того чтобы случай, с которым имеет дело анализ бесконечно малых, отличать от метода исчисления разностей, целесообразно воспользоваться для обозначения бесконечно малых разностей как особыми наименованиями, так и особыми символами. Итак, назовём вместе с Лейбницем бесконечно малые разности дифференциалами,и так как в первой главе мы уже установили различные порядки разностей, то теперь нетрудно будет понять, что такое первые, вторые, третьи и т. д. дифференциалы какой-либо функции. Вместо буквы А, которой мы раньше обозначали разности, мы будем теперь пользоваться буквой d, так что dy будет обозначать первый дифференциал от у, d2y — второй дифференциал, d*y — третий и т. д.
115. Так как бесконечно малые разности, которые мы здесь рассматриваем, мы назвали дифференциалами, то и всё исчисление, с помощью которого находятся и применяются дифференциалы, принято называть дифференциальным исчислением. Английские математики, из которых Ньютон эту новую ветвь анализа начал совершенствовать первым, как Лейбниц первым из германских, пользуются как другими наименованиями, так и другими знаками, А именно, бесконечно малые разности, которые мы называем дифференциалами, они предпочитают именовать флюксиями', иногда они их называют также приращениями (incrementa). Эти названия лучше звучат в латинской речи; они также и по смыслу довольно хорошо выражают обозначаемые ими вещи. Действительно, переменная величина, непрестанно возрастая и принимая всё новые и новые значения, может рассматриваться как величина текущая, и потому название «флюксия», которое применялось Ньютоном первоначально для обозначения скорости возрастания, было по аналогии перенесено на бесконечно малые приращения, которые принимает количество, когда оно как бы течёт1).
116. Но, хотя нам не пристало бы спорить с англичанами об использовании наименований и об определениях, и перед лицом судьи мы оказались бы побеждёнными в том, что касается чистоты латинского языка, а также удобства выражений, однако нет никакого сомнения, что мы отняли бы у англичан пальму первенства в отношении обозначений. Действительно, дифференциалы, которые они называют флюксиями, у них принято обозначать точками, которые ставятся над буквами, так что у означает у них первую флюксию у, у — вторую флюксию, у —третью флюксию и т. д. Так как способ обозначения зависит от произвола, то эти обозначения нельзя отвергать, если число точек невелико, так что их легко можно сосчитать. Однако если нужно надписывать много точек, то этот способ создаёт величайшую путаницу и множество неудобств. Действительно, десятый дифференциал или десятую флюксию крайне неудобно обозначать таким образом: у, тогда как наш способ обозначения d10y легко поня-
!) Латинское слово fluxio обозначает «течение». Слово differentiate (дифференциал) придумано Лейбницем, который произвёл его от латинского слова differentia (разность). У Ньютона слово «флюксия» обозначает, собственно, не дифференциал функции, а то, что мы теперь называем производной функцией.
104 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
тен. Бывают же случаи, когда нужно выразить дифференциалы гораздо более высоких и даже неопределённых порядков; в этих случаях способ англичан становится вовсе непригодным.
117. Мы будем пользоваться как нашими наименованиями, так и нашими обозначениями, ибо первые в наших странах уже приняты в употреблении и многим знакомы, вторые же являются и более-удобными. Однако здесь было небесполезно упомянуть о наименованиях и обозначениях англичан, чтобы те, кто раскроют их книги, могли понять и их. Ведь и англичане не настолько упорно привержены к своему обычаю, чтобы они вовсе отвергали и не считали для себя достойным читать то, что написано по нашему способу. Мы также читаем их труды с огромным интересом и извлекаем из них очень-большую пользу; но часто мы замечаем, что и они не без пользы читают произведения наших авторов. Поэтому, хотя всегда очень желательно было бы установить единый способ выражения своих мыслей, однако не так уже трудно и нам и им приобрести навык, требующийся для понимания книг, написанных по чужому способу.
118. Так как буква и до сих пор означала у нас приращение или разность, на которую мыслится возрастающим переменное количество х, то теперь ш будет дифференциалом х и потому согласно-принятому способу обозначения будет w = dx; следовательно, dx будет бесконечно малой разностью, па которую мыслится возрастающим х. Подобным образом дифференциал у будет обозначаться dy, и если у есть какая-либо функция х, то дифференциал dy будет обозначать, приращение, которое принимает функция у, когда х переходит в x-\-dx. Поэтому, если в функции у вместо х всюду подставить x + dx, а результирующее количество положить равным у1, то будет <Zy = yI — у; и таким образом будет найден дифференциал всякой функции. Это ясно относительно первого дифференциала, т. е. дифференциала первого порядка; относительно остальных мы увидим это позднее.
119. Нужно хорошо уяснить, что буква d здесь не обозначает какого-либо количества, но употребляется только в качестве знака., выражающего слово «дифференциал», таким же образом, как в учении о логарифмах буква 1 употребляется как знак логарифма или в алгебре-символ }/" в качестве знака корня. Таким образом, dy не обозна^-чает, как это принято вообще в анализе, произведения количества d на количество у, и нужно произносить: «дифференциал у». Подобным образом, если написано d*y, то двойка не есть показатель степени и (?а не обозначает степени количества d, но служит лишь для удобного и краткого обозначения наименования «второй дифференциал». Так как буква d в дифференциальном исчислении представляет не количество, а только знак, то в вычислениях, где встречается несколько постоянных количеств, во избежание недоразумений нё следует пользоваться буквой d для обозначения одного из них. Таким же образом мы обычно избегаем вводить в вычисление букву Г там, где в то же время встречаются логарифмы. Но было бы желательно выражать эти буквы d и I несколько видоизменёнными знаками, чтобы не смешивать их с буквами алфавита, которыми обычно обозначаются количества. Таким именно образом вместо буквы г, которой; прежде обозначалось слово «корень» (radix), теперь принят искажённый знак [/~ .
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ю5
120. Мы видели, что первый дифференциал у, если у будет функцией х, должен иметь вид Ра>. А так как a> = dx, то будет dy = Pdx. Значит, какой бы функцией х ни являлось количество у, его дифференциал выразится произведением некоторой функции х, которую мы обозначили через Р, на дифференциал х, т. е. на dx. Итак, хотя дифференциалы dy и dx являются подлинно бесконечно малыми количествами и потому равны нулю, однако между собой они имеют конечное отношение, а именно, будет dy : dx — Р : 1. Следовательно, если найдена функция Р, то известно и отношение между дифференциалами dx и dy. И. хотя дифференциальное исчисление состоит в разыскании дифференциалов, в нём разыскивают не столько самые дифференциалы, которые равны нулю и потому находились бы без труда, сколько взаимное их геометрическое отношение.
121. Дифференциалы находятся гораздо легче, чем конечные разности. Действительно, для нахождения конечной разности Ду, на которую возрастает функция у, когда переменное количество х принимает приращение и, недостаточно знать функцию Р\ сверх того, нужно определить функции Q, R, S и т. д., входящие в конечную разность, которую мы положили равной
Рш -f- Qu>2 4- R3 -р и т. д.
Для нахождения же дифференциала у достаточно знать одну только функцию Р. Поэтому, если известна конечная разность какой-либо функции х, то очень легко найти её дифференциал; но, обратно, зная дифференциал функции, ещё нельзя найти её конечную разность'. Ниже, однако, будет показано, как, зная дифференциалы всех порядков, можно найти конечную разность какой-либо предложенной функции. Впрочем, из изложенного здесь ясно, что первый дифференциал dy — Pdx представляет первый член конечной разности, ибо первый член равен Рю.
122. Пусть приращение и, которое получает переменное х, будет очень малым, так что в выражении Р<« 4~ (?<°li4-jRU)3 и Д- члены Q<s>2 и 7?<о3, а тем более остальные становятся столь малыми, что в вычислении, где не требуется очень большая точность, ими можно пренебречь по сравнению с первым членом. Тогда, зная первый дифференциал Р dx, мы знаем, правда приближённо, и первую разность, ибо и опа будет равна Р<о; это даёт немалую пЬльзу во многих случаях, в которых анализ применяется к практическим задачам. Вследствие этого некоторые полагают, что дифференциалы можно рассматривать, как чрезвычайно малые приращения; они не согласны с тем, что дифференциалы точно равны нулю, а считают их лишь неопределённо малыми. Это представление даёт другим возможность обвинять анализ бесконечно малых в том, что с его помощью находятся не истинные количества, но лишь приближённые. Это возражение всегда сохраняло бы некоторую силу, если бы мы не считали бесконечно малые в точности равными нулю.
123. Те, кто отрицает, что бесконечно малые обращаются точно в нуль, желая опровергнуть это возражение, сравнивают дифференциалы с крохотными пылинками, взятыми по отношению ко всей земле. Никто, говорят они, не считался бы неверно измерившим количество земли, если бы он отклонился от истины на одну пылинку. Итак, они хотят, чтобы между конечным количеством и количеством бесконечно малым существовало бы то же отношение, что между всей
106 гл. IV. О ПРИРОДЕ дифференциалов; любого порядка
землёй и мельчайшей пылинкой; если же кому-либо это различие показалось бы недостаточно большим, то они увеличили бы это отношение в тысячу раз или более, чтобы нельзя было представить себе более значительной малости. Всё же они вынуждены бывают признать, что высшая геометрическая строгость здесь немножко страдает. Поэтому, чтобы отразить вышеупомянутое возражение, они берут такие примеры, где решение можно найти как с помощью геометрии, так и с помощью анализа, и из совпадения решений заключают о доброкачественности второго метода. Этот довод, правда, не решает вопроса, ибо часто можно правильный ответ найти неправильными методами, но так как такая ошибка здесь не совершается, то он убеждает нас скорее в том, что количества, которыми пренебрегают в исчислении бесконечно малых, отнюдь не являются нечувствительно малыми, но в точности равны нулю, как мы и принимаем.
124. Перейдём к разъяснению природы дифференциалов второго порядка; они получаются из вторых разностей, о которых говорилось в первой главе, если положить бесконечно малое количество о> равным dx. Положим, что количество х возрастает равными приращениями, так что, если второе значение х1 будет равным x-\-dx, то следующие будут а11 = z + 2z, z111 = х + 3dx и т. д. Тогда вследствие постоянства первых разностей dx вторые разности исчезают, и следовательно, также второй дифференциал х, т. е. d2x, равен нулю. Поэтому также и дальнейшие дифференциалы будут равны нулю, т. е. d3x — Q, й4а; = О, d6z = 0 и т. д. Можно, правда, возразить, что эти дифференциалы, будучи бесконечно малыми, сами по себе равны нулю и что это не является отличительным свойством переменного количества х, приращения которого, по предположению, равны. Но на самом деле это исчезновение нужно истолковывать так, что дифференциалы d2x, d2x и т. д. не только сами по себе суть нули, но также и исчезают по отношению к тем степеням dx, с которыми их можно сравнивать в других случаях.
125. Чтобы лучше это понять, нужно вспомнить, что вторая разность какой-либо функции от х — пусть она будет у — представляется выражением P<d2-|-^u3-|-2?w44- и т. Д- Если же и бесконечно мало, то члены Q<os, Rw* и т. д. исчезают по сравнению с первым членом 7>в>2, так что если положить ш = dx, второй дифференциал у будет равен Pdx2, где dx2 обозначает квадрат дифференциала dx. Поэтвму второй дифференциал у, т. е. d2y, сам по себе равен нулю, однако так как d2y — Pdx2, то он будет иметь к dx2 конечное отношение Р:1. Но если у=х, то Р = 0, Q = 0, R--0 и т. д., так что в этом случае второй дифференциал х исчезает также и относительно dx2 и высших степеней dx. В этом смысле и нужно понимать то, что мы сказали выше, т. е. что d2z = 0, dsx = Q и т. д.
126. Так как вторая разность есть не что иное, как разность первой разности, то второй дифференциал, или, как он часто именуется, дифференцио-дифференциал, есть не что иное, как дифференциал первого дифференциала. Далее, так как постоянное количество не испытывает ни приращения, ни ущерба и не обладает никакими разностями, ибо последние присущи одним переменным количествам, то мы в том же смысле можем сказать, что все дифференциалы любого порядка от постоянных количеств равны нулю, т. е. они исчезают по сравнению со всеми степенями dx. Так как дифференциал от dx, т. е. d2x, равен нулю, то дифференциал dx можно рассматривать как постоянное
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ю7
количество, и всякий раз, как говорят, что дифференциал какого-либо количества равен нулю, нужно считать это количество принимающим равные приращения. А здесь мы принимаем х за то количество, дифференциал которого является постоянным, и, исходя из этого, оцениваем для различных функций изменчивость, которой подвержены их дифференциалы.
127. Положим, что первый дифференциал у равен pdx. Для нахождения его второго дифференциала нужно снова искать дифференциал количества pdx. Но так как dx есть постоянное количество и не изменяется, когда вместо х мы пишем x-{-dx, то необходимо только найти дифференциал конечного количества р; итак, пусть dp = qdx, ибо мы видели, что дифференциалы всех функций х представляются в этом виде. Как мы показали это для конечных разностей, дифференциал пр, если п есть постоянное количество, равен nqdx. Положив dx вместо п, найдём, что дифференциал количества pdx будет равен q dx2. Поэтому, если dy — pdx и dp = qdx, то второй дифференциал d2y будет равен qdx2, и, таким образом, оказывается, что, как мы уже отмечали выше, второй дифференциал у имеет конечное отношение к dx2.
128. В первой главе мы отметили, что вторые и следующие разности можно определить лишь в том случае, если принять, что значения х следуют друг за другом по некоторому определённому закону; так как этот закон является произвольным, то мы берём эти значения в арифметической прогрессии, так как она наиболее проста и удобна. По той же причине и о вторых дифференциалах ничего определённого нельзя сказать, если первые дифференциалы, которыми непрестанно нарастает переменное количество х, не следуют друг за другом по некоторому данному закону. Поэтому мы и полагаем все первые дифференциалы х, т. е. dx, dx1, dx11 и т. д., равными между собой. Отсюда мы получаем вторые дифференциалы
d2x — dxT— dx = 0, d^x1 = dx11 — dx1—® и т. д.
Итак, вторые и высшие дифференциалы зависят от порядка, которому взаимно подчинены дифференциалы переменного количества х, а этот порядок является произвольным. Первые же дифференциалы этим условием не стеснены. Поэтому между дифференциалами первого порядка и дифференциалами последующих порядков в отношении их разыскания существует огромное различие.
129. Если последовательные значения х, х1, х11, х111, х1У и т. д. количества х берутся не в арифметической прогрессии, а подчинены в их следовании друг за другом другому какому-либо закону, тогда первые их дифференциалы dx, dx1, dx11 и т. д. не будут равны между собой, и потому d2x не будет равен пулю. Поэтому вторые дифференциалы каких-либо функций от х примут другой вид. Действительно, если первый дифференциал такой функции будет pdx, то для нахождения её второго дифференциала недостаточно помножить дифференциал количества р па dx, но, кроме того, нужно знать дифференциал количества dx, т. о. d2x. Так как второй дифференциал получается вычитанием pdx из следующего значения этого количества, которое получается, если положить x^dx вместо х и dx + dx2 вместо dx, то положим, что следующее значение р есть р qdx и тогда следующее значение р dx будет
(р -[- q dx) {dx -[- d2x) - p dx4- pd2x -H 7 dx' A qdxd2x.
108 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
Отнимаем от него р dx, и второй дифференциал будет
d~y = рйгх + q dx3 + q dx d-x = pd2x -}- q dx2, ибо qdxd2x исчезает по сравнению c pd2x.
130. Хотя простейшим и удобнейшим отношением, которое можно-приписать приращениям х, есть отношение равенства, однако часто случается, что принимаются равными приращения не того переменного количества х, функцией которого является у, а некоторого другого количества, относительно которого х является некоторой функцией. Более того, часто полагаются равными первые дифференциалы такого другого количества, для которого остаётся неизвестным соотношение х. В первом случае вторые и следующие дифференциалы х будут зависеть от отношения, в котором х находится к тому количеству, которое принимается за равномерно растущее, и их нужно находить тем же способом, который мы здесь дали для определения вторых дифференциалов у по дифференциалам х. Во втором же случае вторые и еле дующие дифференциалы х должны будут рассматриваться как неизвестные, и вместо них нужно будет употреблять знаки d2x, d3x, dix и т. д.
131. Каким образом в этих случаях нужно выполнять дифференцирование, мы ниже покажем подробнее. Здесь же мы будем попреж-пему считать количество х равномерно растущим, так что все первые дифференциалы dx, dt1, d11 и т. д. мы должны считать равными между собой и, следовательно, вторые и следующие дифференциалы равными нулю. Чтобы выразить это условие, говорят, что дифференциал х, т. е. dx, принимается за постоянное. Пусть теперь у есть какая-либо функция от х\ так как она выражается через х и через постоянные, то её первый, второй, третий, четвёртый и т. д. дифференциалы, обозначаемые знаками dy, d2y, d3y, diy и т. д., могут быть выраженьг через х и dx. А именно, если в у вместо х написать x-\-dx и из этого значения вычесть предыдущее, то остаток будет первым дифференциалом;, если в нём вместо х положить х -}- dx, получим dy1 и будет d~y=dyl — dy. Подобным образом, если положить x-\-dx вместо ху получим из d2y d^y1 и d2yl-—d2y даст d3y и т. д. В таких действиях дифференциал всегда рассматривается как постоянное количество, которое уже не имеет никакого дифференциала.
132. Из соотношения, которое определяет функцию у через х, как с помощью метода конечных разностей, так гораздо легче и с помощью-методов, которые будут даны ниже, можно определить значение функции р, которая, будучи помножена на dx, даст первый дифференциал dy. Положим dy—pdx\ тогда дифференциал количества pdx даст второй дифференциал d2y. Поэтому, если будет dp~ qdx, то вследствие постоянства dx получится d~y~qdx-, как было ранее показано. Поступая так же дальше, так как дифференциал второго дифференциала даёт третий дифференциал, положим, что dq—rdx-, тогда будет d3y—rdx3; подобным образом, если будем искать дифференциал этой функции г и найдём, что dr=*sdx, то получим четвёртый дифференциал d*y = sdx3, и т. д., и если мы будем уметь находить первый дифференциал любой функции, то сможем определить и дифференциал любого порядка.
133. Чтобы яснее представить себе вид этих различных дифференциалов и в то же время способ их нахождения, мы составим следующую таблицу.
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА 1Q9
Если у будет какая-либо функция х, то
будет если положить
dy — p dx, dp — q dx,
d*y = q dx*, dq = r dx,
d*y — r dx*, dr = ,s dx,
d*у = s dx*, d:' у = / dx', ds = I dx
и T. Д.
Так как функция p узнаётся из функции у дифференцированием,
и подобным образом из р находится q и далее г, а из него далее я и т. д., то легко найти дифференциалы любого порядка от у, когда дифференциал dx принимается за постоянное количество.
134. Так как р, q, г, s, t и т. д. суть конечные количества, конечно, являющиеся функциями у, то первый дифференциал у будет иметь конечное отношение к первому дифференциалу х, а именно отношение р к 1. Поэтому дифференциалы dx и dy называются однородными. Далее, так как d*y к dx* имеет конечное отношение, именно отношение q к 1, то d2y и dx* будут однородны; таким же образом будут однородны d*y и dx* и точно так же d*y и dx* и т. д. Г1 акпм образом, так же как первые дифференциалы однородны между собой, т. е. имеют друг, к другу конечное отношение, так будут однородны вторые дифференциалы <; квадратами первых, третьи дифференциалы с кубами первых и т. д. И вообще дифференциал у порядка п, который представляется выраженном dny, будет однороден с той степенью дифференциала dx, показатель которой есть п.
135. Таким образом, как по сравнению с dx исчезают все те степени его, показатели которых больше единицы, так по сравнению с dy исчезают также dx*, dx*, dx* и т. д. и дифференциалы высших порядков d*y, d*y, d*y и т. д., которые к этим степеням имеют конечное отношение. Таким же образом по сравнению с d*y, так как он однороден с dx*, исчезают все степени dx, более высокие, чем вторая; исчезают, следовательно, также dx*, dx* и т. д. По сравнению с dsy исчезают dx*, d*y, dx*, d*y и т. д. Таким образом, если будут предложены какие-нибудь выражения, содержащие эти дифференциалы, можно легко узнать, будут ли они однородны или нет. При этом нужно будет обращать внимание только на дифференциалы, конечные же количества можно опускать, так как они не нарушают однородности, а вместо дифференциалов второго и более высоких порядков нужно написать однородные с ними степени dx. Если мы получим и там и здесь то же число измерений, то выражения будут однородны.
136. Так, выражения Pd*y* и Qdy d*y окажутся однородными. Ибо d*y* обозначает квадрат количества d*y, а так как d*y однороден с dx*, то d*y* однородно с dx*. Далее, так как dy однороден с dx и d*y с dx*, то произведение dyd*y однородно с dx*. Из этого следует, что выражения Pd*y* и Qdy d*y однородны между собой, так что они имеют конечное отношение друг к другу. Таким же образом мы придём к заключению, что выражения
Qdpy
dx d2;/ dip
ПО ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
однородны; действительно, подставив вместо dy, d2y, dsy и d3y однородные с ними степени dx, т. е. dx, dx2, dx3 и dx5, мы получим выражения Pdx3 и Qdx3, которые будут однородны между собой.
137. Если же после выполйения такого приведения предложенные выражения не будут содержать равных степеней dx, то они не будут однородны и потому не будут иметь конечного отношения Jjpyr к другу. Одно из них будет либо бесконечно больше, либо бесконечно меньше
другого, так что одно будет исчезать относительно другого. Так, р d^ii Qd^iP
,, • к • будет иметь бесконечно большое отношение; действи-
тельно, первое приводится к Pdx, а второе к Qdx3, так что второе исчезает по сравнению с первым. Поэтому, если в некотором вычислении
встретится сумма двух таких выражений
то второй член по сравнению с первым можно безопасно отбросить.
Pdhi
и удержать в вычислении только первый член -. 2 ; действительно,
U
существует отношение совершенного равенства между выражениями
Pdzy ,. Qd,2y2 Pd3y
dx2 * dy dx2 ’
ибо знаменатель отношения равен
1 _1_ Qdx'id2^ _ 4 и^п Qdz2d2y2 J ’ Pdyd2y ’ И0° Pdyd2y
С помощью этого приёма дифференциальные выражения можно иногда удивительно упростить.
138. В дифференциальном исчислении даются правила, с помощью которых можно найти первый дифференциал любого предложенного количества, а так как вторые дифференциалы находятся из первых, третьи теми же действиями находятся из вторых и т. д. последующие из предыдущих, то дифференциальное исчисление содержит метод нахождения всех дифференциалов любого порядка. От слова «дифференциал», которое обозначает бесконечно малую разность, производятся другие наименования, принятые в употреблении. Так, имеется глагол «дифференцировать», который означает «находить дифференциал», говорят, что количество «дифференцируется», когда находится его дифференциал. Слово же «дифференцирование» означает действие, с помощью которого находятся дифференциалы. Поэтому дифференциальное исчисление называется также методом дифференцирования, ибо оно содержит способ находить дифференциалы.
139. Как в дифференциальном исчислении для каждого количества находится его дифференциал, так, в свою очередь, имеется вид исчисления для нахождения того количества, для которого предложен дифференциал. Оно называется интегральным исчислением. Причина такого наименования состоит в том, что если дифференциал можно рассматривать как бесконечно малую часть количества, на которую оно возрастает, то само это количество по отношению к своей части может рассматриваться как целое (integrum), почему оно и называется его интегралом. Так, если dy есть дифференциал количества у, то, в свою очередь, у будет интегралом количества dy, и так как d2y есть дифференциал от dy, то dy будет интегралом от d2y. Подобным образом
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ш
d2y будет интегралом от d3y и d3y интегралом от dly и т. д. Таким образом, каждое дифференцирование, если его рассматривать обращённо, даст пример интегрирования.
140. Происхождение и природа интегралов, так же как дифференциалов, лучше всего могут быть уяснены па основе учения о конечных разностях. Действительно, после того как было показано, каким образом нужно находить разность каждого количества, мы, идя в обратном направлении, показали также, каким образом, если будет предложена разность, можно найти то количество, разностью которого она является; это количество по отношению к его разности мы назвали её суммой. И как при переходе к бесконечно малым разности обращаются в дифференциалы, так количества, названные там суммами, получают теперь наименование интегралов, и потому нередко и интегралы называют суммами. Англичане, которые называют дифференциалы флюксиями, называют интегралы текущими количествами (quantita tes fluentes), и согласно их словоупотреблению найти флюенту данной флюксии означает те же самое, что мы выражаем словами: найти интеграл данного дифференциала.
141. Как дифференциалы мы обозначаем символом d, так для обозначения интегралов мы пользуемся знаком J*, который, будучи поставлен перед дифференциальным количеством, обозначает то количество, дифференциалом которого является первое количество. Так, если дифференциал у будет р dx, т. е. dy = pdx, то у будет интегралом количества pdx, что записывается так: y=\pdx, ибо J dy. Итак, интеграл количества pdx, который обозначается через J*pdx, есть количество, дифференциал которого равен pdx. Подобным образом, если d‘y= qdx3, то, так как dp = qdx, интеграл количества d2y, т. е. dy, равен pdx и вследствие р = J q dx будет dy — dx § q dx и поэтому у = j dx $ q dx. Если, далее, dq = r dx, то будет <?= j r dx и dp = dx J r dx-, таким образом, если снова употребить знак j, станет р = j dx j г dx, далее, dy — dx У dx У г dx и у — $ dx\ dx\ rdx.
142. T ак как дифференциал dy есть бесконечное малое количество, а его интеграл у — количество конечное и таким же образом второй дифференциал d2y бесконечно меньше, чем его интеграл dy, то очевидно, что дифференциалы исчезают по сравнению со своими интегралами. Чтобы лучше оттенить это обстоятельство, бесконечно малые количества подразделяют на порядки. Бесконечно малыми первого порядка называют те, к числу которых относятся первые дифференциалы dx и dy1); бесконечно малые второго порядка включают дифференциалы второго порядка; последние же однородны с dx2; подобным образом бесконечно малые, однородные с dx3, называются бесконечно малыми третьего порядка; к ним, следовательно, относятся все третьи дифференциалы и т. д. Таким образом, как бесконечно малые первого порядка исчезают по сравнению с конечными количествами, так бесконечно малые второго порядка исчезают по сравнению с бесконечно малыми первого порядка и вообще бесконечно малые любого более высокого порядка исчезают по сравнению с бесконечно малыми низшего порядка.
х) Как ясно из заключительной части фразы, Эйлер хочет здесь сказать, что бесконечно малыми первого порядка называются те бесконечно малые количества, которые однородны с dx и dy.
112 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
143. Теперь, когда бесконечно малые подразделены на порядки, мы можем сказать, что дифференциал конечного количества есть бесконечно малое количество первого порядка, дифференциал бесконечно малого первого порядка есть бесконечно малое второго порядка и т. д. Очевидно, что и обратно, интеграл бесконечно малого первого порядка есть конечное количество, интеграл бесконечно малого второго порядка есть бесконечно малое первого порядка и т. д. Если предложенный дифференциал будет бесконечно малым порядка п, то его интеграл будет бесконечно малым порядка п — 1, так что если при дифференцировании порядок бесконечно малых повышается, то при интегрировании мы переходим к более низким порядкам до тех пор, пока мы не придём к самим конечным количествам. Если же мы захотим снова интегрировать конечные количества, то согласно тому же закону мы придём к бесконечно большим количествам; интегрируя последние, придём к количествам, в бесконечное число раз большим, чем прежние, и, продолжая поступать таким образом, мы будем получать порядки бесконечных количеств, из которых каждое в бесконечное число раз превосходит предшествующее.
144. Нам остаётся ещё сказать в этой главе о принятых нами обозначениях, чтобы не оставалось места ни для каких недоразумений. Прежде всего, знак дифференциала d относится только к непосредственно за ним следующей букве; так, dxy должно обозначать не дифференциал произведения ху, но дифференциал количества, х, умноженный на количество у. А для того, чтобы устранить всякие сомнения, принято писать количество у перед знаком d, так что через ydx обозначается произведение у на dx. Но если у есть количество, перед которым стоит знак радикала или знак логарифма, тогда оно ставится обычно после дифференциала. Так, dx~\/~ а2— х2 обозначает произведение конечного количества \/ а2 — х'2 на дифференциал dx и подобным образом dx ](1-|-ж) есть произведение логарифма количества l-f-a: на dx. На том же основании d2y х выражает произведение второго дифференциала dly на конечное количество Ух.
145. Итак, знак d относится только к непосредственно следующей букве; он не относится даже к показателю степени, если таковой при букве имеется. Так, dx2 обозначает не дифференциал количества х'1, а квадрат дифференциала количества х, так что показатель степени 2 нужно отнести не к х, а к dx. Можно было бы также писать dxdx, подобно тому как произведение дифференциалов dx и dy мы пишем в виде dxdy-, однако первый способ записи dx2 более употребителен, так как он короче. Особенно неудобно было бы многократно повторять dx при обозначениях высших степеней dx. Поэтому куб дифференциала dx обозначается через dx3 и для дифференциалов высшего порядка соблюдается тот же способ. Так, d2y* обозначает четвёртую степень дифференциала второго порядка d2y, a d3y2 ]/ж обозначает, что квадрат дифференциала третьего порядка количества у умножается на У х; если же его нужно было бы помножить на рациональное количество х, запись имела бы вид xd3y\
146. Если же мы хотим, чтобы знак d относился более чем к одной следующей букве, то нужно ввести для этого особое обозначение. В этом случае мы пользуемся по преимуществу скобками, в которые заключается то количество, дифференциал которого нужно обозначить. Так, d (х3 + у1) .обозначает дифференциал количества х2-]-у2. Правда,
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ц;;
если мы хотим обозначить дифференциал степени такого количества, мы вряд ли сможем избежать двусмысленности; действительно, если мы напишем d (х' + у2)2, то это можно также понимать как квадрат количества d(x2 + y2). Мы можем, однако, в этом случае привлечь на помощь точку, так чтобы d- (х2 Д- у2)2 обозначало дифференциал количества (ж2Д-г/!)2. Если же точку опустить, оно будет обозначать квадрат количества d(x2 + y2)2. Таким образом, с помощью точки можно удобно указать, что знак d относится ко всему количеству, следующему за этой точкой. Так d-xdy будет выражать дифференциал количества х dy, a d3 • х dy а2 Д- х2— дифференциал третьего порядка выражения xdy\f а3-\-х2, представляющего произведение конечных количеств х и }/"а2 -\-х2 на дифференциал dy.
147. Тогда как знак дифференцирования d относится только к количеству, непосредственно за ним следующему, если только между ними не стоит точка, подчиняющая этому знаку всё следующее выражение, — знак интеграла, напротив, всегда охватывает целиком всё выражение, перед которым он поставлен. Так, $ydx(a2—х2)п обозначает то количестве, дифференциал которого ость ydxta3— х2)п, а выражение J xdx J* dx I х обозначает количество, дифференциал которого есть xdx^dx\x. Значит, если мы захотим выразить произведение двух интегралов, например интегралов §ydxi/i ^zdx, то мы не должны будем написать его так: J* ydx§ zdx ибо это можно будет понять как интеграл количества у dx У zdx. Для устранения двусмысленности и здесь принято пользоваться точкой, так что J*ydx • J" z dx обозначает произведение интегралов Уydx и Jzdx.
148. Анализ бесконечно малых занимается разысканием как дифференциалов, так и интегралов, и потому он разделяется на две части, из которых одна называется дифференциальным исчислением, другая же — интегральным исчислением. В дифференциальном исчислении излагаются правила, по которым находятся дифференциалы любых количеств; в интегральном же исчислении указывается путь для разыскания интегралов предложенных дифференциалов. И в том и в другом исчислении указываются вместо с тем те очень важные применения, которые они имеют как в самом анализе, так и в высшей геометрии. Вот почему эта часть анализа настолько уже разрослась, что в одном томе умеренных размеров она совершенно не может быть умещена. В особенности в интегральном исчислении, что ни день, открываются новые приёмы интегрирования и новые приложения к решению различного рода задач. Вследствие этих новых открытий, которые следуют непрерывно друг за другом, интегральное исчисление никогда нельзя исчерпать, а тем более в совершенстве изложить. Я постараюсь, однако, изложить в этой книге всё, что до настоящего времени было открыто, или по крайней мере объяснить те методы, с помощью которых всё это легко можно вывести.
149. Часто анализ бесконечно малых подразделяется на несколько частей; кроме дифференциального и интегрального исчисления принято особо рассматривать дифференцио-дпфференциальпое и экспоненциальное исчисление. В дифферепцио-дифферепциальном исчислении излагается обычно метод разыскания дифференциалов второго и высших порядков. Ио так как .я намереваюсь излагать способ нахождения дифференциалов любого порядке, в самом дифференциальном исчисления, 8 Л. Эйлер
114 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ дифференциалов любого порядка
то мы откажемся от этого подразделения, которое, невидимому, сделано было скорее из желания придумать что-нибудь, чем в интересах самого дела. Что же касается экспоненциального исчисления, то знаменитый Иван Бернулли, которому мы навеки обязаны благодарностью за бесчисленное множество важнейших открытий в анализе бесконечно малых, распространил в нём методы дифференцирования и интегрирования на показательные количества. Но так как я решил приспособить как дифференциальное, так и интегральное исчисление к количествам всякого рода, как алгебраическим, так и трансцендентным, то выделять отсюда особую часть было бы излишним и не соответствующим поставленной цели.
150. В этой книге я решил рассмотреть дифференциальное исчисление, и я намереваюсь изложить способ, с помощью которого можно с удобством находить не только первые дифференциалы, но и вторые и более высоких порядков. Сперва я буду рассматривать алгебраичес» кие количества; начну я с функций одного переменного, затем перейду к функциям многих переменных и, наконец, к функциям, которые задаются с помощью уравнений. Потом я распространю нахождение дифференциалов на те неалгебраические количества, с которыми мы можем ознакомиться без помощи интегрального исчисления; таковы лагарифмы и показательные количества, а затем также дуги круга и, обратно, синусы и тангенсы дуг круга. Наконец, я начну дифференцировать количества, составленные из вышеупомянутых каким-либо образом, и на этом будет закончена первая часть дифференциального исчисления, посвящённая методам дифференцирования.
151. Вторая часть посвящена изложению применений дифференциального исчисления к анализу и к высшей геометрии. Общую алгебру дифференциальное исчисление обогащает многими удобными средствами для нахождения корней уравнений, для изучения и суммирования рядов, для определения значений выражений, которые в некоторых случаях кажутся неопределёнными, и для других целей. Высшая геометрия также многое приобретает благодаря дифференциальному исчислению; с его помощью можно определять с изумительной лёгкостью касательные кривых линий и их кривизну и решать многие другие вопросы, как, например, задачу о лучах, отражённых от кривых линий или преломлённых ими. Хотя этим можно было бы заполнить обширнейший трактат, но я постараюсь, несколько это возможно, изложить всё кратко и ясно.
Г Л А В A V
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ
152. Так как дифференциал переменного количества х равен dx. то, переходя к ближайшему значению х, будем иметь х1 — х + dx. Поэтому если у есть какая-либо функция х, то если в ней вместо х положить x-+-dx, она перейдёт в у1 и разность у1 —у даст дифференциал у. Следовательно, если мы положим у = хп, то будет
у1 = (х dx)” -- хп 4- nxn^dx xn~2dx3 + и т. д.
и, следовательно,
dy = у1 — у = nxnldx —у—x"~-dx2 + и т. д.
В этом выражении второй член и все следующие исчезают по сравнению с первым, следовательно, дифференциал от хп будет пхп~Ых. т. е.
dxn — nx”~1dx.
Отсюда, если а есть число, т. с. постоянное количество, то будем иметь d ахп— naxnldx. Итак, дифференциал какой-нибудь степени х находится умножением её на показатель степени, делением на х и умножением получающегося выражения па dx. Это правило легко удержать в памяти.
153. Зная первый дифференциал хп, мы легко найдём из него второй дифференциал; при этом здесь, как всегда, мы будем считать дифференциал dx постоянным. Так как в дифференциале nx^dx множитель ndx является постоянным, то нужно взять дифференциал множителя хп~1, который равен {п — 1) xn~2dx. Умножая это на ndx, мы получим второй дифференциал
d'1 хп = п(п— l)xn~2dx2.
Подобным образом, если дифференциал хп~2, который равен (п — 2) x”~3dxr мы помножим на n(n — l)xn~2dx2, то получим третий дифференциал
d3 • хп = п (п — 1) (п — 2) xn~3dx3.
Далее, четвёртый дифференциал будет
сП . хп = п (п — 1) (и — 2) (п — 3) xn~,dxi
116 гл. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и пятый дифференциал
cl5 хп = п{п —1) {п — 2) (п — 3) (п — 4) z"~5c?z5.
Отсюда очень легко усматривается вид следующих дифференциалов.
154. Всякий раз, как п есть целое положительное число, мы приходим в конце концов к исчезающим дифференциалам; это значит, что они в том смысле равны нулю, что исчезают по сравнению со всеми степенями dx. Приведём здесь простейшие случаи
d- x—dx, d2 х = 0, d3 • х = 0 и т.
d х2 = 2х dx, d • х3 — 3x'2dx, d • x* = ix3dx,
d2 • x2 ~ 2 dx2, d1 x3 — 6z dx2, d2 x*—i2x2dx2.
d3 • x2 — 0, d3 • x3—ttdx3, d3 x* ~ 2ix dx3,
Д-,
dl z2= 0 и т. д., d* • x3 = 0 и т. д., d* • x3 = 24 dx1,
d3-xi=0 и т. д., d • x3 = 5z4 dx, d2 x3 — 20x3dx, d3-x3 = 60x2dx3, d*-x3 = 120xdx*, d3 x° = 120<Zz5, cZ6-z5 = 0 и т. д.
Таким образом, ясно, что если п ость целое положительное число, то дифференциал порядка п степени хп есть постоянное количество, равное 1-2-3. . ,ndxn, дифференциалы же всех более высоких порядков равны нулю.
155. Если п есть отрицательное целое число, то можно взять диф-1 l 1
ференциалы отрицательных степеней х : —, , —3 и т. д., так как
1 1 о 1
~ = х~1, ^ = х~2 и вообще -^ = х~т. Таким образом, если в предшествующей формуле положить п — —i.-t, то первый дифференциал будет
— mdx .. YY m(m-V)dx2 „ Y
равен ,„Y1 , второй дифференциал равен ------------, третий диф-
Y — т (т + 1) (т + 2) d'x°
ференциал равен----------------— и т. д.; надлежит заметить
в первую очередь следующие простейшие случаи:
d-- = X dx d2- 1 4dx- d3 1 - — 6 dx3
x‘ ’ X x3 ’ X xi и 1. Д-,
d- 4 = X" — 2 dx f72. 1 _ 6 dx2 лз 1 - 24 dx2
Xs ’ x- X4 ’ x- и т- Д-
d--3 = X2 — “idx d2- 1 12 dx2 1 d3 • p = — бОбЛг1 7— и т. д. ж6 н
x* ’ X* x5 ’
d- 1 — i dx d'- 1 20 dx2 d3- 1 -- - 120 dx3 7 и т. л X7
x4~ X5 ’ X4 x6 ’ X1
j. * - — 5 dx d2- 1 30 dx2 .7S 1 -210dx3 8 и т. д
x5 XB ’ x1 ’
и т. д.
156. Полагая, далее, вместо п дробные числа, мы получим дифференциалы иррациональных формул. Действительно, если п = 22, и __
то первый дифференциал выражения х~*, т. о. j/”х*, будет равен
ГЛ. V. о ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Ц7
второй дифференциал равен
Отсюда
—у dx~ -• --г— dx2']/ х'2~"'' и т. д
d у' х = dx d’ у х — — dx- ds-\/ x^ l-3dx3
Ч у2 х ' :iX У X ’ 8ж2|/ x
d- у х dx d~-y' х = — Idx- (P- \ / x = 2 • 5 dxs
'У/2 ’ х2 ’ 27х2У x’2
dy'/i dx 7 > 4 /' - <7 - J х ~ - 3dx3 d1 у x = 3-7 dx3
4 у хл 1(5хУх3 ’ (Лх-У x3
Достаточно немного вглядеться в эти выражения, чтобы легко научиться находить дефферепциалы такого рода и без предварительного представления корня в виде степени.
157. Если р равно не 1, а какому-либо другому числу, положительному или отрицательному, то дифференциалы находятся с той же-лёгкостью. А так как дифференциалы второго и высших порядков производятся из первых дифференциалов по тому же закону, по которому последние производятся из самих степеней, то мы приведём здесь в качестве простейших примеров лишь первые дифференциалы:
d-x2]/ х ~-’-xdx\/ х, d- Xs]/ х = ~ x2dx ]/ х и т. д.,
, 1 — 3dx . j 1 — Adx
d- --= =-----, d- -------- —----— и т. д.,
X V х 2ж2 у х - х-У х Чх3 |/ х
d х у х = dxy х, d-x]/х2 = -/-dx]/ х2,
d-x2\/х — /^х dx у х. d хДz х2 = у х dx]/ х2 и т. д.,
158. Теперь можно уже паходить дифференциалы всех алгебраических рациональных функции, так как отдельные их члены суть степени х, а их мы умоем дифференцировать. Действительно, так как количество
д.,
если положить x-ydx вместо х. переходит в
р У dp у q У dq у г У dr У sy da У и т. д., то его дифференциал будет равен dp + dq -ф dr -}- ds -|- и т. д.
Коатому, если мы умеем определить дифференциалы количеств р, q, г. s, то том самым мы знаем и дифференциал их суммы. А так как дифференциал количества, кратного р, есть такое же кратное количества dp, т. е. d ар = adp, то дифференциал количества арybqy сг равен adpybdqycdr. Так как, наконец, дифференциал постоянного
118 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
количества равен нулю, то дифференциал выражения ар + bqcr + f равен adp-]-bdq-]-cdr.
159. Так как отдельные члены целых рациональных функций являются либо постоянными, либо степенями х, то дифференцирование целой рациональной функции легко выполняется по данным выше правилам. Так, будем иметь:
d (а + х) — dx, d(a-\- bx) — bdx, d{a-\-x2) = 2xdx, d (a2— x2) ~—2xdx, d (a + bx + ex2) = bdx + 2cxdx,
d(a+ bx + cx3 4-ex3) — b dx-\-2exdx 4- 3ex2dx,
d^a-^-bx-^ ex2 + ex3 + /ж4) ~ b dx-)-2cx dx -f- Зеж2йж -f- kfx3dx.
Если же показатели степени будут неопределёнными, то будем иметь d (1 — хп) — ~пхп~3 dx, d (1 + хт) = ma;'"-1 dx,
d (а 4- bxm + схп) = mbxm~1dx 4- меж”'1 dx.
160. Так как целые рациональные функции различаются по степеням сообразно наибольшей степени х, то ясно, что если мы будем брать последовательные дифференциалы таких функций, то в конце концов они станут постоянными, а затем обратятся в нуль, если, конечно, дифференциал dx считается постоянным. Так, для функции первой степени а 4- Ьх первый дифференциал b dx является постоянным, а второй и следующие—нулями. Если имеем функцию второй степени а 4- Ьх 4- сх2 = у, то будет
dy = b dx 4- 2сж dx, d2y — 2cdx2, dsy=O.
Подобным образом, если взять функцию третьей степени
а 4- Ьх 4~ сх2 ех3 — у, то будем иметь
dy = b dx 4- 2сж dx 4- 3ex3dx, d2y = 2с dx2 -f- беж dx3, d3y~6edx3 и diy=Q.
Вообще, если какая-либо функция имеет степень п, то её дифференциал порядка п будет постоянным, а все следующие нулями.
161. Дифференцирование не встретит затруднений и в том случае, если среди степеней ж, составляющих такого рода функцию, встретятся такие, у которых показатели степени являются дробными или отрицательными числами. Так,
I. Если
х
то будет
bdx
cdx
II. Если
У =
х — ex,
то будет
, —adx
с dx , —— — е dx
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Ц9
И
,, За dx2 с dx2 d'y =-----—--------=
4х2ух 4,г]/ х
III. Если
то будет и
. — 2b dx , 4с dx
( У l^f~f2 "Г 3x2fx
ь
f
9®2]Г ж2
___ 10b dx- 28с dx2 , Of dx2
( У n.srf’^’ 9х3'^Лх” ’ •г*
Такого рода примеры очень легко решаются по данным выше правилам.
162. Если количество, подлежащее дифференцированию, будет степенью такой функции, дифференциал которой мы умеем находить, то предшествующие правила достаточны для нахождения её первого дифференциала. Действительно, пусть р есть какая-либо функция х, дифференциал которой dp нам известен; тогда первый дифференциал степени рп будет равен пр"-2 dp. Этим способом можно решить следующие примеры:
I. Если у— (а х)п, то будет
dy = п (а x)n~'dx.
II. Если у — (а2 — аг)2, то будет
dy = — 'tx (а2 — х2) dx.
1 III. Если w=——-а а- + х‘
. у — (а2 х-)~ \ то будет
, — ‘2х dx
ЛУ ~ (п^Д-х^\2 ’
IV. Если у — а -\-Ьх-}- сх2, то будет
, Ь dx-f- 2сх dr dy = ---7--:-------.
2 у а Ьх -р сх2
V. Если у— — х*)2, т. е. у = (а‘ — х*)3, то будет
1
J 8 S / 4 4\ ” ^.7 —
а«= —,-х (а1—г4) .
у ' 3fai-xi
1 --
VI. Если у — , т. е. г/ = (1—ж2) 2, то будет
dy = х (1 — х2) ^dx~7 ---- •
VII. Если у=у^ а |/ ъх л_ х , то будет
У Y^bdx : 2^х + dx '[fb~dx+‘2Vх dr 3f (а + у^йух)2 + rr)2
120 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1
VIII. Если ?/ =
—__ , то вследствие
a- — x-
dJ/ а‘-х
— .г dx
(1--
оудет
dy
__ — dx xdx : у' а'г — x-
V а-
xdx — dx V a? - - x2
- 1 a- x')~ V a--x
ИЛИ
IX. Если у
dy =- -' z~ 1. V (2z2 - a"-)=
i-™+iAT-
3
, то положим
вследствие
будет
Но по
предыдущему
dp--
zr ---
= р И | (1-
у = / И—р + чГ
— 3dp 4’ %dq
- (!
2хУ х
, — 'ix dx
и dq = -—г-—г
Подставив
эти значения,
будем иметь
3 dx: 2r V х — 4х dx : ]/' 1
1 -----------------
I/ r 1/ т.
подставляя отдельные буквы вместо более
же образом,
сложных выражений, мы легко найдём дифференциалы всех
Подобным или менее функций такого рода.
163. Если подлежащее дифференцированию количество будет произведением двух или большего числа функций, дифференциалы которых известны, то его дифференциал очень легко найти следующим образом. Пусть р и q суть функции я, дифференциалы которых dp и dq уже известны; так как после подстановки х -ф- dx вместо х р переходит в р + dp, а q—в q-ydq, то произведение pq преобразуется в
(p + dp) (?-J- dq) = pq + pdq + q dp -i-dpdq.
Значит, дифференциал произведения pq будет равен pdq-\- qdp + dpdq-, так как здесь pdq и q dp суть бесконечно малые первого порядка, a dpdq—бесконечно малое второго порядка, то последний член исчезает, и мы будем, следовательно, иметь
d • pq — pdq-f- qdp.
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 121
Итак, дифференциал произведения pq состоит из двух членов, которые мы получим, если каждый сомножитель умножить на дифференциал другого. Отсюда легко вывести правило дифференцирования произведения pqr трёх сомножителей. Действительно, если мы положим qr = z, то будет pqr = pz и d pqr — pdz-\- zdp. Но вследствие z — qr будет dz — qdr -\-r dq. Подставив эти значения вместо z и dz, будем иметь
d • pqr = pq dr + pr dq + qr dp.
Подобным образом, если подлежащее дифференцированию количество-имеет четыре сомножителя, мы будем иметь
d pqrs = pqr ds + pqs dr + prs dq 4- qrs dp-, отсюда каждый легко усмотрит правила дифференцирования для случая большего числа сомножителей.
I. Таким образом, если у = (а 4- х) (Ь— х), то будем иметь
dy — — dx (а — х] -х. dx(b — х) — — a dx 4’ b dx — 2х dx.
Этот дифференциал легко найти также с помощью разложения предложенного количества. Действительно, тогда получаем у = ab — ахЬх — х" и, следовательно, с помощью вышеизложенных правил найдём
dy~ — adx-if-bdx — 2xdx.
II. Если у — -i- |Ла2 — х'~, то положим = р и а! — х1 — q.
Так как , — dr. , — х dr.
то будет dy-pdq+qdp- — у/а- х\ У а2— хг х
После приведения к общему знаменателю это даст
— x2dx — aPdx— x^dx —a2dx х2У a- — x- х2Уа- — х~
Значит, искомый дифференциал будет
, — a2dx dy = " . х2У а2 — х2
III. Если X2 У — - - , то ПОЛОЖИМ у аЛ^х* . 1 х~ = р и == q- Уа* + х*
так как dp — 2xdx и dq = , (а1 + ж4)2
то будет , , , — 2х5 dx , 2ж dx 2а'z dr pdg + gdp- 'з- (a44-z4)2 +
122 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Следовательно, искомый дифференциал будет
, 2а*х dx
а у =------т= •
(а* |- х4) )/ а4 -р х1
IV. Если 7/=----~-= , то положим
х 4- ]/ 1 + х -
Так как dp — dx и
, — dx — х dx : У 1 4- х2 — dx (х 4- 1 4- ж2) — dx
~ (х /1 r'V ~ (х 4- /1 4- х2)2 /1 X- ~ (х 4- /1Дх2) у 1 +“2 ’ то будет
__ — xdx dx _______ dx(y/l + x3 — х)
Q V (х-(-)/1 4-х2) )/Т 4-х2 x+y ix-x2 (х 4- /1 4-х2) У1 4-Х2 ’ следовательно, искомый дифференциал будет dy = dx (/14-ж2 —^)
J (х 4- ]/Т 4-х2) У1 4-х2 ’
Если умножить числитель и знаменатель этой дроби па j/l-j-z3—z, получится
j dx (1 •-2х2— 2хрг14-ж2) dx -}- 2х2 dx .. ,
dy = —2------------------- = ——-------2х dx.
У1 х2 у 14- х2
Тот же дифференциал можно проще найти другим способом: так кап х у —---------------------------------у.-—--
х 4- V 1 4- х 2
то, умножая числитель и знаменатель на j/1 + а;3 — х, мы получим у = х ]/ 1 + х2 — х2 = )/" х2 х* — х2.
Дифференциал этого выражения по первому правилу есть , х dx -!- 2х3 dx ,, , dx -j- 2х2 dx п ,
dy — —---------2xdx = —-..........2х dx.
]/x2rx4 j/l+x2
V. Если у = (a -f- x} (b— x) (x — с), то будет
dy = (a x) (b— x) dx — (a + x) (x — c) dx-{- (b — x) (x— c) dx.
VI. Если у = x (a2 + x2) ]/ a2 — x2, то, так как здесь три сомножителя, найдём
dy — dx (a2 + х2) а2 — х2 -j- 2х2 dx ]/ а2 — х2 — х Л^а_У.х =
У а2 — х2
__dx-(a4 4- a2x2 — 4х4)
Уа^х2
164. Хотя дробь можно представить как произведение, однако для дифференцирования дроби более удобно пользоваться особым правилом.
ГЛ. У. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 12:
Пусть предложена дробь -р- и становке x-\-dx вместо х эта q^dq ‘ < q
нужно найти её дифференциал. При поддробь переходит в
__ _ Р__p dq .dp___dp dq 4) .
q-) q qz"^ q g2 ’
после вычитания самой дроби -у остаётся её дифференциал d - =d-R — p-d'J ч q ч- ’ dp dq . _
так как член исчезает; следовательно., будем иметь
d • - — ч dP ~ р d'! q <г ’
-откуда получается следующее правило для дифференцирования какой-либо дроби:
Из дифференциала числителя, умноженного на знаменатель, нужно вычесть дифференциал знаменателя, помноженный на числитель, и остаток разделить на квадрат знаменателя] частное будет искомым дифференциалом дроби.
Применение этого правила поленится следующими примерами:
I. Если у = а, , то согласно этому правилу
, (a- J- х2) dx — 2х2 dr (а2 — x2)dx
У (а- -г х2)2 (а2 — х2)2
п ]/"а2+х2
II. Если у=—. , то мы находим
, (а- — х2) х dx : '[/'а'- + х2 -У lx dx 1/а2 + х2
dy =---------------------------------
и после упрощений
dy = (3a2 + x2)xdx
Часто лучше бывает пользоваться тем правилом, которое вытекает из первой формулы
р __d_P_ P.lId ' q q q2 ’
и согласно которому дифференциал дроби находится следующим образом: дифференциал числителя делится на знаменатель и из этого вычитается дифференциал знаменателя, помноженный на числитель и разделённый на квадрат знаменателя. Так, например, т,1 т-i а2— &
III. ЕСЛИ у — 77--г-;--то
27 а* а-х2 х1
, — 2xdx (а2 — х2) (2а2х dx Ц-Ьх3 dx)
У а1 + а-х2 -у х* (а4 -|- а2х2 + г4)2
4) Эйлер разлагает выражение dq
в ряд по степеням dq, ограничиваясь
двумя первыми членами. При этом в окончательном результате оказывается опущен-р dq2 dp dq
ным член второго порядка —— , тогда'как член того же порядка--------— сохра-
няется. Поскольку он всё равно должен в дальнейшем быть отброшенным, эта непоследовательность не ведёт к ошибке.
124 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
После приведения к общему знаменателю мы получим , — 2г dx (2а1 + 2а2х2 — .г1) — (а4 + а2х2 фх4)2 •
165. Этого уже достаточно для разыскания дифференциала любой рациональной функции х. Для случая, когда эта функция целая, способ дифференцирования ужо был изложен выше. Пусть теперь предложенная функция является дробной; она всегда может быть приведена к виду
__А Вх Ф Сх2 ])х2 + Ex1 -р Fxr> + и т. д.
У а ф \1х 4- ух2 4 6х2 ф гх1 ф (х6 ф и т. д.
Положим числитель равным р, а знаменатель равным q, так что> у = -у . Тогда будем иметь
Но так как
р = А ф Вх ф Сх~ ф Dx3 ф Их* ф и т. д. и
q = а ф fix 4- yz2 ф az3 ф ez4 ф и т. д.. то
dp = В dx-p2Cx dx ф 3Hz2 dx ф 4Ez3 dxи т. д. и
dq =р dx ф 2yz dx ф 3oz2 dx ф 4sz3 dx ф и т. д.
Отсюда, выполнив умножение, получим:
q dp = 'J.B dx ф 2a.Cxdx ф 3aDz2 dx ф 4ab’z3 dx ф и т. д. ф
Ф QBx dx ф 2pCz2 dx ф cpDz3 dx ф и т. д. ф
ф •(Вх3 dx+ 2-'Сх3 dx ф и т. д. фоТ?£3 dx ф и т. д..
р dq = рЛ dx ф °Вх с/яф $Сх2 dxA P-Dz3 dx ф и т. д. ф
ф 2vАх dx + 2'[Вх2 dx ф 2yCz3 dx ф и т. д. ф
ф 2йАх2 dx ф слЕх3 dx ф и т. д. ф4еЛж3г/жФ и т. д.
Итак, искомый дифференциал будет иметь такой вид:
Ф .W]
Ф ^Е I ф*аГ\ X(xidx и т. д. ф23О 3 , — ЪС (
1 ’.г3 d.;r I
- 2ИВ ( - ЗгВ I
i- Зх/Г
U 2aC 1 . --
-2vJ f -ЗФ1________________________________________
(а ф з.с ф -- й.г? ф гх1 ф (х5 ф ИТ. д.)2
Это выражение очень удобно для быстрого нахождения дифференциала любой рациональной функции. Каким образом числитель дифференциала составлен из коэффициентов числителя и знаменателя предложенной дроби—это тотчас же становится понятным из рассмотрения формулы. Знаменатель же дифференциала есть квадрат знаменателя предложенной функции.
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 125
166. Если числитель или знаменатель предложенной дроби или оба они состоят из множителей, то после выполнения умножения дробь примет тот вид, который мы только что дифференцировали; однако в этих случах лучше пользоваться особым правилом.
Пусть предложенная дробь есть у - . Положим числитель рг
равным Р, тогда
dP- pdr ' г dp.
р
По так как ?/ — то
ч ’
, q dP - Р dq
d u ------7--•
J q-
Нсли сюда подставить вместо Р и dP их выражения, то получим:
I. Если у — — , то его дифференциал
, pq dr + qr dp — pr dq
ay =---------~i-----
Если ?/—^уто, положив qs = Q, будем иметь dQ = q ds Д- s dq
Qdp— pdQ
Поэтому:
II. Если у. P-
У q.s
то будет
Если y = "- to J qs
M
положим pr = P и qs~Q, так что получим у =
QdP -P dQ
А так как
dP = p dr + r d p
и
= Q ds + s’ dq,
то получается следующая формула дифференцирования:
III. Если у = ~-. то будет
, pqsdr -- qrs dр — pqr ds — pre dq У qW
ИЛИ
, r dp . pdr pr d 7 prds ay —------ 4-------- -...4 — --r
qs qs qs qS-
Подобным образом, если числитель и знаменатель предложенной дроби имеют несколько сомножителей, то дифференциалы будут найдены тем же способом, и это не потребует более пространных выкладок. Поэтому я опускаю относящиеся сюда примеры, тем более, что вскоре
126 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
будет изложен общий способ, охватывающий все эти частные методы, дифференцирования.
167. Бывают, однако, случаи, когда дифференциалы произведений, и дробей можно выразить проще, чем с помощью изложенных здесь, общих правил. Это случается тогда, когда множители, составляющие либо самую функцию, либо её числитель и знаменатель, являются, степенями.
Положим, что подлежащая дифференцированию функция есть. y = pmqn-, чтобы найти её дифференциал, положим рт=Р и qn = Q, так. что
y = PQ и dy = P dQ + QdP.
Но так как
dP = mp"'ldp и dQ — nqn 1 dq, то после подстановки этих значений получаем
dy = npmqn~1 dq + mpm lqn dp= prn 'qa l {npdq niq dp'), откуда вытекает следующее правило:
I. Если y = pmqn, то будет
dy= prn ''q” 1 {npdq-\-mq dp).
Подобным образом мы можем найти дифференциал произведения трёх, сомножителей; он выразится следующим образом:
II. Если у = pmqnrk, то будет
dy = pm-iqn-ip-i (mqrdp-{-npr dq-{-kpq dr).
168. Если же будет предложена дробь, числитель или знаменатель которой имеет множитель, представляющий собой степень, то также можно установить частные правила.
гт - рт
Пусть сперва предложенная дрооь есть у — -~; согласно правилу дифференцирования дроби будем иметь
т pm~lq dp — рт d q
Этот дифференциал удобнее выразить так:
рт
I. Если у — ^, то будет у = {mqdp- pdq) J
Пусть теперь у==-^п- согласно тому же правилу имеем
(]у _ <ln dP -прчп^
Если числитель и знаменатель этого выражения разделить па 7П'1, то» будем иметь
, _ qdp-npdq
Поэтому:
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 127
II. Если у—^, то будет qdp-npd^
•> q7trl
Рт
Если же будет предложена дробь у — , то получим
J mpm~lqn dр — npmq'‘l dq
“ ' qin ’
что можно привести к виду
dy dq
Поэтому: рт
III. Если у = , то будет
, _ pm~4mqdp — npdq) аУ qn+i
Наконец, если будет предложена дробь у= ~mqu> т0 по общему правилу дифференцирования дроби будем иметь
pmqn dr — mpm~1qnr dp — npmqn~'lr dq
Так как числитель и знаменатель этого выражения можно разделить на рт-гдп х, то
IV. Если у = , то будет
j _ РЧ dr-mqrdp-nprdq
atJ pW + iqn+i
Если число сомножителей будет больше, то такие же правила, которые было бы излишне формулировать словесно, можно найти без труда для любого случая.
169. Правила дифференцирования, которые мы только что изложили, являются настолько общими, что нельзя придумать никакой алгебраической функции от х, которая не могла бы дифференцироваться с их помощью. Действительно, пусть функция от х будет рациональной, целой или дробной; для первого случая в § 159 был дан способ дифференцирования таких функций, для второго же случая вопрос был рассмотрен в § 155. Точно так же мы указали способ дифференцирования для случая, когда функция содержит множители. Далее мы показали, как дифференцировать иррациональные количества всякого рода. Каким бы образом они ни входили в предложенную функцию (через сложение, через вычитание, через умножение или через деление), всегда мы можем свести дело к уже рассмотренным случаям. Разумеется, это относится к явным функциям; что же касается неявных функций, которые задаются уравнениями, то их уместно будет рассмотреть ниже, после того как мы покажем, как дифференцировать функции двух или большего числа переменных.
170. Если мы внимательно рассмотрим и сравним друг с другом отдельные правила, изложенные здесь, то сможем свести их к одному чрезвычайно общему правилу; строгое его доказательство можно будет дать лишь позднее ’); но и здесь нетрудно будет усмотреть, что оно
*) См. § 214.
128 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
справедливо. Каждая алгебраическая функция состоит из частой, связанных друг с другом сложением, вычитанием, умножением или делением; эти части будут либо рациональными, либо иррациональными. Назовём эти количества, составляющие какую-либо функцию, её частями: Тогда предложенная функция сперва будет дифференцироваться поочерёдно относительно каждой её части так, как если бы лишь одна эта часть была переменной, другие же все части — постоянными. После этого отдельные дифференциалы, полученные из отдельных частей описанным способом, нужно собрать в единую сумму, и таким образом получится дифференциал предложенной функции.
G помощью этого правила можно дифференцировать решительно все функции, не исключая, как ниже будет показано, и трансцендентных.
171. Для пояснения этого правила положим, что функция у состоит из двух частей, связанных сложением или вычитанием, так что
У=Р ± q-
Будем считать сперва только первую часть р переменной, а вторуюq— постоянной; тогда дифференциал будет равен dp-, затем будем считать только вторую часть + q переменной, а первую р — постоянной; тогда дифференциал будет равен i dp. Из этих дифференциалов и составляется искомый дифференциал, так что
dy~dp Д; dq
в полном согласии с тем, что было уже найдено выше. Отсюда тотчас же вытекает, что если функция будет состоять из нескольких частей, друг с другом складываемых или вычитаемых, т. е.
у^р q + г 4- s,
то с помощью этого правила мы должны найти
dy — dp ± dq ± dr ± ds,
т. е. в точности то же самое, что давало полученное прежде правило. 172. Если части умножаются друг на друга, так что
у = pq?
то, считая переменной только часть р, мы, очевидно, получим дифференциал, равный qdp-, если же считать переменной только часть q, то дифференциал будет равен pdq. Эти два дифференциала нужно сложить друг с другом, тогда получится искомый дифференциал
dy = qdp+ pdq,
что нам уже известно из предыдущего. Если умножением будут связаны несколько частей, как, например,
У = pqrs,
то, считая последовательно каждый из них переменной, мы получим такие д и ф ф о р о н циа л ы:
qrsdp, prsdq, pqsdr. pqrds.
Пх сумма даст искомый дифференциал, т. е.
dy = qrs dpd prs dq 4- pqs dr + pqr ds,
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 129
в полном согласии с ранее найденным. Итак, дифференциал- составляется из одного и того же числа частей, как в том случае, когда части, составляющие функцию, прибавляются друг к другу или вычитаются, так и в том случае, когда они помножаются друг на друга.
173. Если части, образующие функцию, связаны друг с другом делением, т. е.
то согласно вышеприведённому правилу будем считать переменной сначала только часть р, и тогда вследствие постоянства q дифференциал будет равен . Затем полагаем переменной только часть q;
так как y = pq~\ то дифференциал будет равен —эти два дифференциала, вместе взятые, дадут дифференциал предложенной функции dy — ~ — pdq = q dP~Pdrl
У q q1 q2 ’
что мы уже нашли раньше, функция есть
Подобным образом, если предложенная
то, считая последовательно отдельные её части р, q, г, s переменными, мы получаем следующие дифференциалы: qdp pdq p<idr „ pqdi!
,---->--------Г ' И---------5" >
rs rs r-s rs-
откуда
, qrs dp + prs <lq — pqs dr — pqr ds
O.1J — .
174. Когда отдельные части, из которых составлена функция, таковы, что мы умеем выразить их дифференциалы, мы сможем также найти дифференциал самой функции. Если части будут рациональными функциями, то их дифференциалы можно найти не только с помощью данных выше правил, но и с помощью того же общего правила. Если же части будут иррациональными, то так как иррациональности сводятся к дробным степеням, то их можно будет продифференцировать по правилу дифференцирования степеней, согласно которому dxn =---= пх"~1 dx. Таким же способом можно осуществить дифференцирование иррациональных формул, когда они, сверх того, содержат другие подкоренные выражения. Отсюда ясно, что если общее правило, которое здесь было дано, а ниже будет доказано, сочетать с правилом дифференцирования степеней, то можно будет выразить дифференциалы всех без исключения алгебраических функций.
175. Из всего вышесказанного с очевидностью следует, что если у есть какая-либо алгебраическая *) функция от х, то её дифференциал dy будет иметь вид dy = р dx, где выражение для р может быть всегда найдено по изложенным здесь правилам. Это выражение р также есть алгебраическая функция х, ибо при её определении не совершается никаких других операций, кроме тех обычных, с помощью которых составляется алгебраическая функция. Поэтому если у есть
*) Слово «алгебраическая» в оригинале отсутствует; очевидно, это описка или опечатка.
9 л. Эйлер
130 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
алгебраическая функция х, то и есть алгебраическая функция х. Точно так же, если z есть алгебраическая функция х и dz=qdx, то так как q есть алгебраическая функция х, то также есть алгебраическая функция х, равная -• . Поэтому, если в некоторое алгебраи-dz
ческое выражение входит выражение вида , это не препятствует тому, чтобы первое выражение было алгебраическим, если только у и z являются алгебраическими функциями.
176. Это заключение мы можем распространить и на дифференциалы вторых и более высоких порядков; действительно, если у есть алгебраическая функция х и если dy = pdx, a dp = qdx, то при постоянстве дифференциала dx, как мы выше видели, будет d2y = q dx2. А так как по вышеизложенным причинам количество q также будет алгебраической функцией х, то и является не только конечным количеством, но, сверх того, и алгебраической функцией х, если только у была такого же рода функцией. Подобным же образом мы увидим, что и и т. д. будут алгебраическими функциями х,
если только у будет алгебраической функцией; и если z также является алгебраической функцией х, то все конечные выражения, которые составляются из дифференциалов любого порядка количеств у, z и dx, d2y d3y dx d*y ~
как, например, и т. д., также будут алгебраи-
ческими функциями X.
177. Тот метод, который был здесь дан для нахождения первого дифференциала х, можно также применить для нахождения дифференциалов второго и более высокого порядков. Действительно если у есть какая-либо алгебраическая функция х, то из её дифференциала dy = pdx мы можем найти выражение для р. Если мы его снова будем дифференцировать и получим dp—qdx, то, считая dx постоянным, мы будем иметь d2y = q dx2 и, таким образом, найдём второй дифференциал. Дифференцируя, далее, q и получив dq — rdx, мы найдём третий дифференциал dsy=-rdx3 и таким же образом будут найдены дифференциалы более высоких порядков, ибо количества р, q, т и т. д. все будут алгебраическими функциями х, и для их дифференцирования достато'чно вышеизложенных правил. Таким образом, вопрос этот можно решить последовательным дифференцированием: опуская dx в выражении дифференциала у, мы получаем выражение для = р-, если это выражение снова продифференцировать и разделить на dx, для чего достаточно повсюду опустить дифференциал dx, то мы получим выражение для q — . Подобным образом найдём, далее, Т — и т. д.
а2
I. Пусть у = и ищутся его дифференциалы первого и последующих порядков.
Дифференцируя и деля на dx, будем иметь
dy__ — 2а2х
dx (аа4-х^)2 ’
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
отсюда d2y_ — 2a* 4- f>a2x2
dx2 (a2 + a2)3 ’
dsy 24a4a — 24a2.z-3
dx3 ~ (a2 + x2^
d^y 24a6 — 240a4.r3 -4- t20a3rr4
dx1 (a- -I- j2)5 ’
dbu — 720a6a + 2400а4а3 - 720а2аь
dx1^ {a2+x-f И T- Д-
П. Пусть У ; тогда первый и следующие дифференциалы
будут:
X
dx (1 — х2//2 ’
d2y 1 + 2х2
dx2 (1-х2)°/2 ’
d3y ‘Jx 4- 6ж3
dx3 (1-х2)7/2 ’
diy 9 4- 72а2 + 24а4
dx* (1_Г2)/2 ’
dby 225а; 4- 600а3 4- 120хь
dxb (1-а2)11/2 ’
4«>/ 225 4- 4050а:2 4- 5400а;4 4-
dx& 13, И Т. Д. (1 —а2)13’2
Вычисление этих дифференциалов можно легко продолжить дальше; однако закон, по которому члены их следуют друг за другом, усматривается не сразу. Коэффициент высшей степени х всегда есть произведение натуральных чисел от 1 до числа, равного порядку искомого дифференциала. Если продолжить дальше составление этих формул и внимательно рассмотреть их, то можно заметить, что для у — будем иметь следующую общую формулу:
dny
dx”
(
I
2 3... n J
n+i
(1-^) 2
I
1 n(n-l) n-2 1 I-3 n(n-l)(n-2)(n-3) 2 1 2 * 2 • 4 1 2 • 3 • 4
, 1-3-5 n (n - 1) ... (n — 5) ~;i_e , + 2'.'4: b' 1ТУ77Г6 x +
1 • 3 • 5 • 7 м (n — 1) ... (n — 7) n 8 i
2 -4 - 6- 8 1-2...8 1
Подобного рода примеры полезны не только для приобретения навыка в практике дифференцирования; законы, наблюдаемые при нахождении дифференциалов всех порядков, и сами по себе достойны внимания и могут привести к другим открытиям.
9'
Г Л А В A VI
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ
178. В интегральном исчислении нам ещё придётся встретиться с бесчисленными видами трансцендентных, т. е. неалгебраических, количеств. Но уже во «Введении в анализ бесконечно малых» мы имели возможность познакомиться с некоторыми наиболее употребительными количествами такого рода; мы встретились с ними в учении о логарифмах и круговых дугах. Свойства этих количеств были изложены с такой ясностью, что вычисления с пими можно производить почти так же легко, как с алгебраическими количествами. В этой главе мы разыщем также их дифференциалы, чтобы свойства и природа этих количеств стали ещё яснее и чтобы, таким образом, был продолжен путь к интегральному исчислению, которое, собственно, и является источником трансцендентных количеств.
179. Прежде всего рассмотрим логарифмические количества, т. о. такие функции от х, которые, кроме алгебраических выражений, содержат также логарифм количества х или какие-либо его функции. Так как для выполнения дифференцирования алгебраические количества нс создают никаких затруднений, то вся трудность состоит в нахождении дифференциала логарифма какой-либо функции от х. Так как есть много разных видов логарифмов, которые, однако, имеют друг к ДРУГУ постоянные отношения, то здесь мы предпочтительно будем рассматривать гиперболические логарифмы; из них легко образуются и все остальные логарифмы. Действительно, если гиперболический логарифм функции р будет равен 1 р, то логарифм той же функции р, взятый из другой системы, будет равен т 1 р, где т есть число, которым выражается отношение этой системы логарифмов к гиперболическим. Таким образом, 1 р здесь всюду будет обозначать гиперболический логарифм количества р.
180. Итак, будем искать дифференциал гиперболического логарифма количества х и положим у — 1х, так что требуется найти значение дифференциала dy. Положим x-{-dx вместо х; тогда у перейдёт в у1 = — y-^-dy, поэтому будем иметь
И
dy=--\(x + dx)-\x .-1(1 + ^;
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 133
ио мы уже выразили раньше ’) гиперболический логарифм выражения 1-j-z с помощью бесконечного ряда и нашли
~2 -3 „1
1 ( 1 4- z) -= Z — — + у — у + и т. д.
,-r dx
Подставив — вместо z, мы получим , dr dx- , dx?‘ , ^ = 7-2.г-з + зР+ 11 Т- Д-
Так как все члены .этого ряда исчезают но сравнению с первым, то будем иметь
d 1 х — dy = у •
Значит, дифференциал какого-либо другого логарифма, отношение которого к гиперболическому есть п : 1, будет равен .
181. Если будет предложен логарифм 1 р какой-либо функции р количества х, то с помощью того же рассуждения мы найдём, что его дифференциал равен ~ ; таким образом, для разыскания дифференциалов лог- рифмов мы получим следующее правило:
Нумсно взять дифференциал количества р, логарифм которого предлагается, и этот дифференциал, разделенный, на самое, количество р, даст искомый дифференциал логарифма.
1°
Это правило вытекает также из выражения е~_-— , к которому в предшествующей книге 2) мы привели логарифм количества р. Пусть 1ш-1
ш = 0; так как 1/э ——-—, то будем иметь
d 1 р= d • у рш = //“"1 dp = ~ ,
так как <в=0. Заметим, что — есть дифференциал гиперболического логарифма р, если же будет предложен обыкновенный логарифм р, то этот дифференциал^ нужно умножить па число 0,434 294 48 и т. д.
182. С помощью этого правила мы можем найти очень легко дифференциал логарифма какой угодно функции количества х. как можно видеть из следующих примеров.
I. Если у=1х, то dy — ^ .
II. Если у~\хп, то положим х“ = р, так что у = 1 р, и будем иметь dy= . Но dp~ пх'"-1 dx, откуда
, п dx du =--- .
J X
Тот же результат мы получим, опираясь на основное свойство логарифмов; действительно, так как 1 хп =nl:r, то будем иметь d • 1 хп
п dx х
= nd-\x —
*) «Введение в анализ,», т. I, гл. VII, § Г23.
а) «Введение в анализ», т. 1, гл. VII.
134 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
III. Если у = I (1 + ж2). то
, 2ж dr dy = т-,—
•’ 1 -f- г-
1 _______________________________ 1
IV. Пусть ?/ == ] —---- ; так как у = — 11/ 1 — х2 —------- 1(1 — ж’),
J/ J - ж2 F 2 v
то найдём
, х dr
7 1 —х2 '
V. Если у—1^==-,то вследствие у==1зг— ~ 1(1 -[-Xs) получим , dx х dx dx
X 1+z3
VI. Если у = I (z + у 1 -ф Xs), то
__ dx-\-r dx 1 4- х2 х dx -f-dx^ 1 + х2
если числитель и то получим
знаменатель этой дроби разделить на х 4- 1 +хг,
, dx
dy^vr.--
Д—— 1 (гг|/х —— Xs), то положим х\/ — l=z.
VII. Если у —
Так как у = I (z ф |/1 -|- z2), то по предыдущему будем иметь V -1 ___
dy—-^=dz'. j/l-J-z2. Поэтому вследствие dz — dx^f — 1 будем иметь
, dx
dy = ^-~-
Итак, хотя предложенный логарифм содержал мнимые количества, однако дифференциал его является действительным.
183. Если количество, логарифм которого предложен, имеет множителей, то сам логарифм разлагается на несколько других логарифмов следующим образом. Пусть предложено у — 1 pqrs~, так как ^ = Ip-|_I(?-j-lr4-Is, то мы будем иметь
, dp , dq , dr , ds dy = — H----------Ф — .
‘ p q r s
Такое разложение имеет место и тогда, когда количество, логарифм которого нужно дифференцировать, является дробью. Действительно, пусть у = 1—; так как у =) р 1г — 1s, то мы будем иметь
dp dq dr ds dy == - -|----- .
P 4 r
He причинят затруднения и степени; действительно, пусть ?/ = 1
так как y = m\p-\-n\q— u 1 г — vis, то мы будем иметь
Рт дп г*
, т, dp , ndq и dr ds dy =------? 4------ — ------V -
'7 l> 4 r
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 135
I. Пусть у = 1 (а 4 х) (Ь 4 х) (с 4 х); так как
у — 1 (а + х) +1 (Ь 4 х) 4-1 (с 4 х),
то искомый дифференциал будет
dy =
dx . dx . dx
a 4- .r b -J- x ' r. 4- x ’
II. Если у = i 1 ГГ? . to
3 2 i — x '
?/~ ^1(14*)- 11(1 ~ X); отсюда 1 , 1 ,
- - dx — dx
> _ 2 2 dx
" 1 4 X l —X 1 — X2
1 'I I X^ -4 — Д7
III. Если у — • 1 X--.— т0 вследствие
у 1 4 x2 - x
?/ = 7, 1 (|/ 1 ' X~ Л' rr) — 4 ( 1 4- X' — X)
будем иметь 1 , 1 ,
dx — dx
,2,2 dx
dy = + ----
у 143"2 j/l 44 ]Л 1 4 xi
To же самое мы найдём легче, если уничтожим иррациональность в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на у/ 1 4х" 4 х; действительно, мы получим
У = 4 1 (И 1 4 х2 4 хУ = 1 (|/ Г-4 х2 + ху,
дифференциал этого количества, как мы раньше видели, есть , dx
]Л 1 ~~х‘
т\г г г 1 У ’ 4_ х 4 1'^1 — х rj
IV. Пусть ?/ = 1 -----; положим числитель этой дроби рав-
у I 1- х-у 1 - X
ным р:
J,/1 _|_ х 4 ]/ 1 — х р,
а знаменатель равным q:
\/1 4'х — V 1 — х — ч',
мы будем иметь
?/=1Г=]р-]? и dy = dj-^.
Но
dp -= (/ Г-Гх - /гз-Т) =*
2 У 14 х 2 У 1 - х 2 у Г-4 2
И
, fix , dx pdx
dq —-= 4------—=- = .
2 У 1 4- x 2yi-x 2 У 1-4
136 ГЛ. VI, О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ
Отсюда dp do — odx pdx —(p--^q2)dx
P 4 'IpT/l-X- 2?j/T-T^ 2pq
Ho p" + q- = 4 и pq — 2x, откуда
dy ==----у.... .
X ]Л1 — ж2
Тот же дифференциал найдётся легче, если предложенный логарифм мы преобразуем следующим образом:
^YL±jOEi‘ = IQ+1/pf).
1 /~ 1
Действительно, положив у + J./ -р — 1= р, мы будем иметь
, dx dx -dx dx — (/ж(1 + yl — x’)
dp—------.------------ =--5------,___=------------------
3|/ 1 I ж21/1 —а2 ж2]Л1 — ж2
I /1 - x3 и, значит, вследствие p— -----—------будем иметь
, dp —dx
dy——-=_________как раньше.
P xy 1 — X3
184. Так как первые дифференциалы логарифмов, если их разделить на dx, являются алгебраическими количествами, то вторые дифференциалы и дифференциалы следующих порядков легко находятся по правилам предыдущей главы; при этом дифференциал dx мы будем считать постоянным. Так, положив y=lz, мы будем иметь:
d<] dx И d у 1 dx X
d'2y -- -dx3 и d3y — 1 dx3 x~
d’y = 2 d x3 X3 и d3y 2 dx3 x3
dty = --ddxi и d*y _ -_G dxi xl
И т. Д.
Точно так же, если р будет алгебраическим количеством и если у = 1 р, то хотя у и ise является алгебраическим количеством, однако dy d1'! d3!! v
—- , и т. д. оудут алгеораическими функциями количества х.
(fх d х" dx
185. После того как мы познакомились с дифференцированием логарифмов, мы легко сможем дифференцировать функции, в которые входят алгебраические выражения и логарифмы. Особенно легко это тогда, когда функции составляются только из логарифмов, что видно из следующих примеров.
I. Пусть y=(lz)2; положим }х — р, тогда вследствие у р~ будем dx
иметь dy = 2pdp. Но dp — . значит, будем иметь
9 (] 'г d,y—~—~ix.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Ц>7
11. Подобным образом, если y=(lz)n, то
<7?/ - (1 х)“~!,
откуда, если у—у 1а?, то вследствие п — — оудем иметь
111. Если р будет какая-либо функция количества х и если у = (1 рУ - т0
ЛУ = ~ V Р)и~[
Так как дифференциал dp можно найти ио предыдущим правилам, то будет известен также и дифференциал количества у.
IV. Если у = I/? I q и если р и q суть какие-либо функции х, то по правилу дифференцирования произведения, приведённому выше, будем иметь
dу <,р- 1 q Д- -- 1 р.
V. Если у = х!х, то по тому же правилу будем иметь
dy -- dx 1 х 4- -у = dx 1 х -f- dx.
VI. Если у х1П 1 х—~ х'", то. дифференцируя но о тдельности части этого выражения, найдём
d • хт I х — mx"'~ldx 1 х +• х"‘~ 'dx и d • ' х™ ~ х"1 dх. т
откуда
dy = //1х"‘~~' dx- 1 х.
VII. Если у — х"' 11 х)‘‘ , то
dy — тхт-' dx (1 х)и 4- П.г" -1 dx (1 х)“~1,
VIII. Может случиться, что встретятся логарифмы логарифмов; если, например, будем иметь у = 11х. то положим I х — р: тогда у — 1 р , dp , dr.
и dy- L ; но dp = откуда
IX. Если же будет
у — 111 х, то, положив 1 л- - р, будем иметь у ~ И р
и по предыдущему примеру получим dy
^.Но dp = -;
р] р Г J
подставив
эти значения, будем иметь
t/у-- ,Л'(|- .
,7 X 1 X • 11 Z
186. Из ложив дифференцирование логарифмов, мы переходим к показательным количествам, т. е. к таким степеням, показатели степени которых суть переменные количества. Дифференциалы таких функций могут быть найдены следующим образом. Пусть ищется дифференциал количества ах ; для разыскания его положим у = ах ; взяв
138 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
логарифмы, будем иметь ly = zla. Теперь возьмём дифференциалы; тогда получим — dxla, откуда dy — у dxla. А так как у — ах, то dy — ах dx 1 а', это и есть дифференциал количества ах. Подобным образом, если р будет какой-либо функцией х, то дифференциал показательной функции ар будет равен dp dpi а.
187. Тот же дифференциал можно получить, непосредственно основываясь на свойстве показательных количеств, изложенном во «Введении». Пусть предложено выражение ар, где р обозначает какую-либо функцию х; если положить х 4- dx вместо х, эта функция перейдёт в р 4- dp. Поэтому, если положить у~ар, то когда х перейдёт в x-$-dx, мы будем иметь у + dy = ар+'1р и, значит,
dy^aPpdp—aP = аР (адр — 1).
Но выше1) мы показали, что показательное количество а- выражается рядом
. , , , . з3(1а)3 ,
1 4- z 1 а 4- —Ч-4- 4- и т. д..
2 о
откуда
adP = l-\- dpla-\ ~2~—f" и т- Д-
и adP — 1 = dp 1 а, так как все следующие члены исчезают по сравнению с dpla. Следовательно, будем иметь
dy^=d-ap = a? dpi а.
Поэтому дифференциал показательного количества ар есть произведение трёх сомножителей: самого показательного количества, дифференциала dp показателя степени и логарифма постоянного количества а, которое возводится в переменную степень.
188. Пусть, е есть число, гиперболический логарифм которого равен 1, так что 1с =1. Тогда дифференциал количества ех будет равен exdx. Если dx, считать постоянным, то дифференциал предыдущего выражения будет равен ех dx"; это есть второй дифференциал количества ех. Подобным образом третий дифференциал будет равен е' dx3. Поэтому, если у = епх, то
и, далее, j—= п" епх, • — п4 епх п т. д. ах3 dx'
Отсюда ясно, что первый, второй и все следующие дифференциалы количества епх образуют геометрическую прогрессию и, значит, дифференциал порядка т количества епх=-у, т. е. dmy, равен nmenxdxm и, dmV следовательно,-----есть постоянное количество, равное пт.
у dxm
189. Если количество, которое возводится в степень, само будет переменным, то дифференциал найдётся подобным же образом. Пусть р и q суть какие-либо функции х и пусть предложено показа-
>) «Введение в анализ», т. I, гл. VII, § 125.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 139
тельное количество у = рч. Взяв логарифмы, будем иметь ly = qlp; продифференцировав, получим
У Р
откуда
dy = у dq} p-\-ytlpP = ~pq dq J p 4- qpq~' dp,
так как y~pq. Итак, этот дифференциал состоит из двух членов, из которых первый pqdq\p получается, если предложенное количество pq продифференцировать так. как если бы р было постоянным количеством и лишь показатель q был бы переменным; другой же член qp,l~l dp получается, если в предложенном количестве pq показатель q рассматривается как постоянное количество и лишь количество р считается переменным. Следовательно, этот дифференциал можно было бы найти по правилу, изложенному выше (§ 170).
190. Дифференциал этого же выражения pq можно найти, исходя из основного свойства показательных количеств. Пусть y = pq', положим x-\-dx вместо х, тогда уdy = {рdp)q^ лч_ Если это выражение мы по известному нам способу разложим в ряд, то получим
у 4- dy — рч ! dq -|- (q 0- dq) pq^dq-ldp — рч-^ч-? d рг 4-
и т. д.; поэтому
cZy = pq 'l1q — pq +(7 4* dq) рч+dq-i dpt
ибо члены, содержащие более высокие степени dp, исчезнут по сравнению с членом {q + dq) рч+лч-* Др. Цо
рч+^ч — рЧ = рЧ (рЛд _ 1) — рЧ (1 щ dq] р 4- — 4- и т. д. — 1) =
;= рч dq 1 р.
Второй же член, если в нём написать q вместо q 4- dq, обратится в qpq~ldp, и значит, как и прежде, мы будем иметь dy = pq dq) p + qp'1^'- dp.
191. Тот же дифференциал можно найти, исходя из основного свойства показательных количеств ещё следующим образом: если обозначить через е число, гиперболический логарифм которого равен 1, то pq =eqlp. Так как логарифм обоих этих количеств есть ql р, то у — еч^р. Поэтому, так как теперь основание степени е является постоянным, то
dy = еч 11> dq ] р + ,
как раньше было указано в правиле § 187. Восстановим снова pq вместо eq ! V, тогда будем иметь
dy = Pq dq} р 4- pq q dp : р~- рч dq) p + qpq-f dp.
Итак, если у—хх, то dy — х1dx 1 х 4- %х dx: отсюда можно определить также и следующие дифференциалы; именно, мы найдём
3=.д(1+1а!)-
и т. д.
140 ГЛ. \ I. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ
192. Из дифференциалов функций, в которые входят показательные количества, в первую очередь нужно отметить в качестве примеров те, которые происходят от дифференцирования выражения ех р-.
dex р — ех dp ех pdx — ех (dp + р dx).
1. Если у — ех х'1, то
dy — ех nx“~l dx -{- ех х“ dx. т. е.
dy = ех dx (пх“ --]-х“).
11. Если у — ех(х — 1), то
dy — с1' «с dx.
III. Если у — ех (х2— 2жД-2), то
dy -- ех х~ dx.
IV. Если у == ех (.г1 — 2 -J- 6.г 6), то
dy = ех xs dx.
193. Если сами показатели будут показательными количествам!!, то дифференцирование выполняется по тем же правилам. Так, пусть требуется дифференцировать количество еех; положим ех = р, так что у — ееХ = е“ .
Мы будем иметь dy — e^dp'. но dp = ех dx, откуда, если у -. то
dy — e'x'exdx- Еслижеу=ее , то
dy — (:е‘ e'xexdx.
Если теперь у = р‘г , т<> положим qr z; будем иметь
</?/ = р" dz 1 р + zpz-i dp и
dz -= qr dr Iq гуг~* dq, откуда
(7у = p'qr dr J p 1 q -J- p:rqr 1 dq 1 p pzqr dp : p.
Поэтому, если у — pqr, то
dy^p^qrQlrlpiq+rd<aP + ^y .
Таким же образом можно будет найти дифференциал любого показательного количества.
194. Перейдём теперь к тем трансцендентным количествам, к знакомству с которыми нас выше привело1) рассмотрение круговых дуг. Пусть в круге, радиус которого мы будем считать равным единице, предложена дуга, синус которой равен х. Эту дугу мы обозначим через arc sin ж и пайдём дифференциал этой дуги, т. е. приращение, которое она принимает, когда синус х возрастает на свой дифференциал dx. Это можно свести к дифференцированию логарифмов, так как во «Введении» (§ 138) мы показали, что выражение arc sin ж можно
*) ('Введение в анализ», т. I, r.i. VIII.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 141
представить логарифмическим выражением
Итак, положим у — arc sin х. Т огда
1(/1 —аД+ж/ — !).
у = 1 (У 1 - 4-х у - i).
После дифференцирования (§ 182 гл. VII) получим
1 z — х dx г — х
—' -----------\-<1х J — 1 ) .__ _
/ - 1 Ц 1 - .7-__________У _ dx (.г ]/ — 1+ у 1 -z2)
)/ { — х2 + х У — I ' ( 1 — X2 4- X У — 1) ]Л 1 — Xs
откуда
195. Дифференциал круговой дуги можно ещё легче найти без помощи логарифмов. Действительно, пусть ?/ = arcsina;; тогда х будет синусом дуги у, т. е. х = sin у. Так ка.к если вместо х положить x-ydx, у перейдёт в y-\-dy, то х Д- dx — sin (у Д- dy); но так как
sin (е Д- b) -- sin а cos b д- cos а sin b. то
sin (у Д- dу) = sin у cos dy Д- cos у sin dy.
Синус же исчезающей дуги dy равен самой дуге, полному синусу ’); поэтому
sin {у Д- dy) — sin у Д- dy cos у,
а косинус равен
и, значит.
х Д- dx = sin у Д- dy cos у.
Но так как sin у — х, то косинус количества у, т. о. cosy, равен ]/ 1- х2. I (осле подстановки этих значений будем иметь dx. = dy у' 1—х’, откуда получим
Итак, дифференциал дуги, синус которой предложен, равняется дифференциалу синуса, разделённому на косинус.
19G. Если р будет какой-либо функцией количества х, а у будет обозначать дугу, синус которой равен р, т. с. у = arc sin р, то дифференциал этой дуги dy = , где у 1 — р" выражает косинус той же
yi — р-
дуги. Поэтому можно найти также и дифференциал дуги, косинус которой предложен. Действительно, пусть у — arc cos х; тогда синус; той же дуги равен j/1 — х" и, значит, у = arc sin |/1 — х . Положив р = у 1 — х'2, будем иметь
, — х dx
dp= /1-Х2
’) To-есть единице, максимальному значению синуса [/’. Л'.] (Это примечание, так же как некоторые, из дальнейших, отмоченные инициалами Г. К., принадлежат Г. Ковалевскому, редактору 10-го тома Полного собрания сочинений Эйлера).
142 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
и
откуда
j/1 — р* = х,
, — dx
dy= —----г.
Итак, дифференциал дуги, косинус которой предложен, равняется дифференциалу косинуса, взятому с обратным знаком и разделённому на синус той же дуги.
Это можно также показать следующим образом. Пусть у = arc cos ж; положим z = arcsinz; тогда dz—-~==^, но дуга у и дуга z, вместе взятые, дают постоянную дугу 90°, так что y-\-z есть постоянное количество и, следовательно, dyd-dz^t), т. е. dy——dz, откуда , — dx
dy = , как и прежде.
Y 1 — х~
197. Пусть требуется найти дифференциал дуги, тангенс которой дан, так что y = arctga;; но синус дуги, тангенс которой есть х, будет равен , а косинус равен . Итак, положим г х.___= р,
/1+А ~/1 + х2 У1+х2
.---- 1
так что |/ 1 — р* = ' . Тогда г/ = агсвт/>; отсюда согласно только
У 1 +х2
что данному правилу будем иметь dy = -~р . Но вследствие
У1 — р-
р — будем иметь dp —------; подставив эти значения, иолу-
ним
dy = iVx2 •
Итак, дифференциал дуги, тангенс которой предложен, равняется дифференциалу тангенса, разделённому на квадрат секанса. ~ тельно, если х есть тангенс, то 1 + х2, есть секанс.
198. Подобным образом, если будет предложена дуга, которой дан, так что y = arcctga;, то так как тангенс той __ 1 ___________ 1
X dy==
Действи-
котангенс же дуги'
, то, положив -^- = р, будем иметь y = arctg/>, и следовательно, dp , , —dx r
. А так как dp= ——, то после подстановки будем
, — dx
<1У=Г^ ’
иметь
т. е. дифференциал котангенса, взятый с обратным знаком и ленный на квадрат косеканса.
Далее, пусть предложено у = arc sec х. Так как
dx
х l/T2 —1
1
И = arc cos — X
разде-
, то
, dx
dy~------
х2 1/ 1
Если же у— arc cosec х, то будем иметь у = агс , — dx
dy=---- .
. 1
sin—и, значит
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ 143
Часто встречается и синус-версус1); пусть предложено y = arcsv^.
Так как у = arc cos (1 — х), а синус этой дуги равен |/2x — х\ то
199. Итак, хотя дуга, для которой дан синус, или косинус, или тангенс, или котангенс, или секанс, или косеканс, или, наконец, синус-версус, есть количество трансцендентное, однако её дифференциал, разделённый па dx, будет алгебраическим количеством и, следовательно, алгебраическими количествами будут также вторые, третьи, четвёртые и т. д. её дифференциалы, если их разделить на соответствующие степени dx- Впрочем, для того чтобы лучше усвоить это дифференцирование, дадим здесь следующие примеры:
I. Пусть у = arc sin 2х У 1. — г2; положим р — 2х )/" l—x2. так что w = arcsin/2, тогда dy= По
V 1 - р-
1 1 2 2z2 dx 2dx(l —24)
dр = 2 dx у 1-х = — 7^=^
Г jA-z2 }A-x2
и
|/ Г-р2 = 1 — 2х2;
подставив эти значения, будем иметь
Это ясно также и из того, что 2х У1—х2 есть синус дуги, вдвое большей чем та, для которой х есть синус; следовательно, будем иметь о • 2 dx
?/ = 2arcsina; и, значит, cz?/ = —
1 —- ” 1 •“
II. Пусть у arc sin —-- ; положим = р, тогда у — \.г dx.
И
1/ 1 — = _ZL_ > 1 Р 1 +х2 •
Так как
dp dy = —---- ,
р 1 - Р2
то будем иметь
, — 2 dx
dy = T+^
х) Синус-версус есть проекция дуги окружности на радиус, проведённый к одному из её концов; при радиусе, равном 1, он равен 1 — cosa, где я —углевая мера дуги.
144 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
тогда
~~~ X
ПОЛОЖИМ
, dp — dx
dv= -7 .. = - 7=^ .
J V I-p1 2 / 1 - xa
откуда
IV. Пусть у = arc tg i-_x, : положив p = ^-—2, будем иметь
1 4- p2
(1 +а.-2)2 (T-z2)2
и
2 dx (1 + z2)
Так как по правилу дифференцирования тангенса (§ 197) то
тг rr t Vl+z2-! yT + z3-t
V. Пусть y = arctg?----; положим р=----------, тогда
2 + х- - 2 )/ 1+ Х2
-----х------>_
. , 2 4- 2ха - 2 /1 + г2 _ 2 (у" ГуТ2 - 1) у" Г+х1
] X р =---------------- —'-------------
И
, —dx , dx dx (]/Т + х'1 — 1) dp =-----r--H------ — ----—
z3 j/T x~ ж" x' у I + xs
Так как dy = , то будем иметь
, dx
аУ = Т^] ’
что ясно также из того, что . i/’t’+’P - 1 I arctg ----------------------------= arc tgx.
VI. Пусть у — earcsin:r; это выражение также можно дифференцировать по вышеизложенным правилам, и мы будем иметь
Л.,_р а гс s j п х _
у
Таким же образом можно будет дифференцировать все функции х, в которые, кроме логарифмов и показательных количеств, входят также круговые дуги.
200. Так как дифференциалы дуг, разделённые на dx, суть количества алгебраические, то их вторые и следующие дифференциалы можно находить по правилам дифференцирования алгебраических
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 145
( n , 1
dn^y = 1 • 2- 3 ... n I x + y d-nrl n+4- ,1-3.5
I + m
функций. Пусть, например, у = arc sin х. Так как dy = —~х— , то у 1 — г2
будем иметь — . Дифференциал этого выражения даст значе-
аа; у — х*
ние если считать dx постоянным. Таким образом, дифференциалы всех порядков количества у выразятся следующим образом:
если у = arc sin z, то
dy___ 1
dx ~ у'1-г2 ’
и если считать dx постоянным, dhj____________________ х
dxi ~ (1-г2)3/з ’ _ 1 + 2а:3 dx3 ~ _г2)5/2 ’
ri4i/_ 9г + 6г3
dx1 ~ (1— г2)7/2 ’
_ 9 + 72г2 + 24г4
dx5 ~ (1 —г2) /з ’
d°y 225г 4- 600г3 + 120xs
ЛХ3~ (1_Х2)Ч/3 ’
и т. д.;
отсюда, как и раньше (§ 177), мы заключаем, что в общем случае будет
п (п-1) „п_г , 1-3 п (п-1) (п-2) (п-3) _п_4 ,
1-2 Х +2”4’ 1*7 2 • 3 • 4 Х +
п(п-1)(п-2)(п-3)(п-4)(п-5) ,
-------1- 2 -3.4.5-6------- Х "Т И T. Д.
201. Остаются количества, которые получаются из обращения вышерассмотренных, т. е. синусы и тангенсы данных дуг. Как их нужно дифференцировать, мы сейчас покажем. Пусть х есть дуга круга и пусть sin а: — её синус, дифференциал которого мы должны найти. Положим у = sin х; подставим х + dx вместо х, у перейдёт в y-\-dy\ мы будем иметь у -j- dy = sin (х + dx) и
dy — sin (x + dx) — sin x.
Ho
sin (x + dx) = sin x cos dx + cos x sin dx
и. как мы показали во «Введении»1), _3 -S
• . Xi
slnz=z_ и т. д„
COSZ=1_— + ——__И Т. д.
Отбросив исчезающие члены, будем иметь cos dx—1 и sindx = dx, откуда
sin (x + dx) = sin x-\-dx cos x.
Поэтому если ?/ = sina:, то dy = dx cos x.
4) Часть I, гл. VIII, § 134.
10 Л. Эйлер
146 гл. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Итак, дифференциал синуса какой-либо дуги равен дифференциалу этой дуги, помноженному на её косинус.
Если р будет какой-либо функцией х, то подобным образом будем иметь
d sin p=dp • cos p.
203. Подобным образом, если требуется найти дифференциал косинуса дуги х, то положим у == co_s z и, подставляя x-^-dx вместо ху получим
у -ф dy — cos (х 4- dx).
Но
cos (х 4- dx) = cos х cos dx— sin x sin dx,
а поскольку, как мы только что видели, cos dx — 1 и sin dx = dx, то
у 4- dy = cos x — dx sin x, откуда
dy — — dx sin x.
Итак, дифференциал косинуса, какой-либо дуги равен дифференциалу этой дуги, взятому с обратным знаком и помноженному на её синус. Так, если р будет какой-либо функцией количества х, то
d • cos с = — dp sin р.
Эти дифференциалы могут быть получены также из предыдущих следующим образом. Пусть y = sinp; тогда р — arc sin у и
dp = dy.... .
У1 - у2
Но вследствие у = sin у будем иметь cosp==|/l— у2; подставив это значение, будем иметь dn — и
’ J 1 COS р
dy — dp cos р,
как прежде. Равным образом, если у — cos р, то 1 — у2 = sin р и р — arc cos у, следовательно,
dp = -Z~L = _dy__
' У 1 _ у sin р
откуда, как и прежде, получаем
dy*= — dp sin р.
303. Если y = tgx, то
dy — tg (х 4- dx) — tg x.
Но
. , , , v tg ж + tg dx
tg (x 4- dx) — ;
° ' 1 ' 1 — tg x • tg dx ’
если от этой дроби отнять тангенс х, то останется
, __ tg Az(l + tgz • tgs)
У~~ l-tgx-tgdx ‘
Но тангенс исчезающей дуги dx равен самой дуге, так что tg dx — dx.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 147
а знаменатель 1—dztga; обращается в единицу; поэтому будем иметь dy = dx(i 4-tg2 х), 1 + tg- х = sec- х = —=- , ' ° cos2 х ’
где cos2 ж обозначает квадрат косинуса количества ж; следовательно, если у = tg х, то
, , 2 dx
dv = dx sec х = —;.
27 COS2 X
Этот дифференциал можно найти также с помощью дифференцирова-sin х ния синусов и косинусов; действительно, так как tgx-.— ——, то
j dx cos2 х -pdzsin2 х dx
, “ cos3 x cos2 x
вследствие
sin2 x + cos2 x = 1.
204. Этот же дифференциал можно найти иначе. Так как y = tgx. то х== arctg у, и по вышеизложенным правилам мы получим
dx = ^.
1 + 2/2
Но так как у —tgx, мы будем иметь 1 + у3 = sec х = . Значит,
dx=dyce>^x и
dx cos2 х ’
как прежде. Итак, дифференциал тангенса какой-либо дуги равняется дифференциалу дуги, разделённому на квадрат косинуса той же дуги. Подобным образом, если y—etgx, то х = arc etg у и
dx = -=fi.
1 +У2 Но
г---- I
У 1 д. «2 = cosec х = —-,
’ 1 27 sin х
откуда ’
dx = — dysin^x и
, —dx
dV=^x-
Итак, дифференциал котангенса какой-либо дуги равняется дифференциалу дуги, взятому с обратным знаком и разделённому на квадрат синуса той же дуги.
Или: так как ctgir = |?^, то, дифференцируя эту дробь, будем иметь
, __ —dx sin2 х — dx cos2 x_ dx
У sin2 x ~ sin2 x ’
как только что было найдено.
10*
148 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
205. Пусть предлагается секанс дуги, так что у — вес х; так как
, dx sin х , .
dy =-------;— = dx tg x sec x.
a cos2 x °
Подобным образом, если у = cosec х, то вследствие у = — будем иметь
sin X
Для этих случаев формулировать специальные правила было бы излишне. Если предлагается синус-версус дуги: у = sva:, то, так как у=1 — cos х, будем иметь dy = dx sin х. Итак, без труда можно выполнить дифференцирование во всех случаях, когда предлагается какая-нибудь прямая линия, отнесённая к дуге, ибо её всегда можно выразить через синус или косинус. По данным правилам можно найти не только первые дифференциалы, но также вторые и следующие. Положим, что у = sin х и z=cosa:ii что dx есть постоянное количество; тогда будем иметь:
у = sin х, dy = dx cos x, d3y — — dx3 sin x, d3y = — dx3 cos x, d*y == dx* sin x
Z = COS X, dz — — da: sin a:, d3z = —dx3 cosx, d3z=dx3sinx, d*z = dx* cos x
и т. д.
и т. д.
206. Подобным образом можно найти дифференциалы всех порядков тангенсов дуги ж. Действительно, пусть у = tg х — и пусть dx COS X постоянно; тогда
sin х
и cos х ’ dy __ 1
dx cos2 X ’ d?y 2 sin x
dx3 cos3 x ’
d3y_ 6 4
dx3 cos4 x cos2 x ’
diy 24 sin x 8 sin x
dx3 cos5 x cos3 x ’
dx3 cos6 x cos4 x ' cos'2 x ’ d*y_____ 720 sin x 480 sin г . 32 sin x
dx6 COS7 X COS5 X ' cos3 X
и T. Д.
207. Итак, любые функции, в которые входят синусы или косинусы дуг, можно дифференцировать по этим правилам, что видно из следующих примеров:
I. Если у = 2 sin х cos х = sin 2а:, то
dy = 2 dx cos2 х — 2dx sin2 x = 2 dx cos 2a:.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 149
Пт, . / 1 — COS X 1
. Если у = у ---------- или у = sin — X, то
г Z Л
, dx sin х
* 2 у
Но так как
2 (1 — cos а:) = 2 sin х и sin х = 2 sin -|- х cos i х,
то будем иметь
, 1 , 1 ау = -~ ах cos -z- х, a 2 2 ’
х 1
что непосредственно следует из формулы j/ = sin-^-а:.
1 1
III. Если у == cos 1 — , то, положив 1 — — р, будем иметь у — cos р и
dy=— dpsin р. dec Но так как ^=11 — 1а:, то будет dp= —— , так что
, dx . , 1 dy~ — sml —. X X
IV. Если ^ = esinq:, то
dy = e^xdx cos а:.
— п
V. Если y = ecosx, то
— п-. ecos хп dx sin х
du —----------_---- .
VI. Пусть ?/ —1
— n
; положим eslnx =вследствие
будем иметь
У = 1(1 = j/ 1 —р)
Но
dy~-------- dp~-—.
2(1-
е51П хп dx cos x dp =----—r-s--------
r sin2 X
подставив это значение, получим
dy =
— п
ne3itl xdx cos x
2 sin2 х
— п
1 _esiiTi
ГЛАВА VII
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА ИЛИ БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО ПЕРЕМЕННЫХ
208. Если два или большее число переменных количеств х, у, z вовсе не зависят друг от друга, то может случиться, что хотя все они являются переменными, однако, когда одна из них возрастает или убывает, остальные остаются неизменными; действительно, поскольку предполагается, что они не имеют между собой никакой связи, изменение одной не влияет на другие. Значит, и дифференциалы количеств у и z не будут зависеть от дифференциала х и, следовательно, когда х возрастёт на свой дифференциал dx, количества у и z могут остаться теми же или измениться любым образом. Итак, если дифференциал количества х мы положим равным dx, то дифференциалы dy и dz остальных количеств останутся неопределёнными и по нашему произволу могут обозначать либо просто нули1), либо бесконечно малые, имеющие к dx какое угодно отношение.
209. Часто, однако, буквы у и z обозначают либо неизвестные функции х, либо такие функции, для которых не» рассматриваются их соотношения с х. В этом случае их дифференциалы dy и dz будут иметь к dx определённое отношение. Но зависят ли у и z от х или не зависят, способ дифференцирования, который мы здесь рассматриваем, остаётся одним и тем же. Мы ищем для функции, как-либо образованной из нескольких переменных х, у и z, дифференциал, который она получает, когда каждое из переменных х, у и z возрастает на свой дифференциал dx, dy и dz. Чтобы найти этот дифференциал, мы должны в предложевной функции повсюду написать вместо количеств х, у, z соответственно x-Ydx, y-\-dy, z-\-dz и от полученного таким образом выражения отнять предложенную функцию. Остаток даст искомый дифференциал, что с очевидностью ясно и из природы дифференциалов.
210. Пусть X есть функция количества х и пусть дифференциал её, т. е. приращение, которое она получает, когда х возрастёт на его дифференциал dx, равен Pdx. Затем пусть Y есть функция у, а дифференциал её равен Q dy, эго приращение получает Y, когда у пере-
х) Prorsus nihil. Здесь Эйлер хочет противопоставить постоянное количество, вовсе не получающее приращения, переменному количеству, принимающему бесконечно малое (т. е., по Эйлеру, равное нулю!) приращение.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 151
ходит в y-\-dy. Пусть Z есть функция z и её дифференциал пусть равен Rdz. Эти дифференциалы Pdx, Qdy, Rdz могут быть найдены с помощью данных выше правил, если известна природа функций X, Y и Z. Если теперь будет предложено количество X + Y-j-Z, которое является, таким образом, функцией трёх переменных х, у и z, то его дифференциал будет равен Р dx ф Q dy ф R dz. Однородны между собой эти три дифференциала или нет — безразлично. Действительно, члены, которые содержат степени dx, исчезают по сравнению с Р dx так, как если бы остальных членов Qdy и Rdz не было. То же самое произойдёт и с членами, которыми мы пренебрегаем при дифференцировании функций Y и Z.
211. Пусть обозначения X, У и Z сохраняют прежний смысл и пусть предложена функция XYZ количеств х, у и z, для которой требуется разыскать дифференциал. Так как, если мы напишем x-\-dx вместо х, y + dy вместо у и z-i-dz вместо z, X перейдёт в X + Pdx. Y — в У + Q dy и Z — в Z-\-Rdz, то сама предложенная функция XYZ перейдёт в
(X ф Р dx) (Y + Q dy) (Z + R dz) =
= XYZ-}-YZP dx ф- XZQ dy 4- XYR dz ф ZPQ dx dy ф- YPR dx dz ф
ф- XQR dy dz ф- PQR dx dy dz.
Но так как dx, dy и dz бесконечно малы, то однородны ли члены между собой или нет, — последний член исчезает по сравнению с любым предшествуювйим. Далее, член ZPQ dxdy исчезает как по сравнению с YZPdx, так и по сравнению с XZQdy. По той же причине исчезают члены YPRdxdz и XQRdydz. Следовательно, отняв предложенную функцию XYZ, мы найдём, что её дифференциал равен
YZP dx Ф- XZQ dy ф- XYR dz.
212. Этих примеров функций трёх переменных х, у и z — к ним можно было бы добавить примеры функций от любого большего числа переменных—достаточно, чтобы показать, что если предложена какая-либо функция трёх переменных х, у и z, то как бы ни были соединены между собой эти переменные, дифференциал её всегда будет иметь вид р dx4- q dy фг dz, где р, q и г будут функциями либо всех трёх переменных х, у и z, либо двух, либо только одной, в зависимости от того, как предложенная функция будет составлена из переменных х, у и z и постоянных количеств. Подобным образом, если предложена функция четырёх или большего числа переменных х, у, z и v, то дифференциал её всегда будет иметь вид
р dx ф- q dy ф г dz ф s dv.
213. Рассмотрим сперва функцию только двух переменных х и у, пусть она равна V. Дифференциал её должен иметь вид
dV — р dx-\-qdy.
Если количество у мы будем считать постоянным, то будет dy=G, значит, дифференциал функции V будет pdx', если же мы положим постоянным х, так что dxто только у останется переменным, и тогда дифференциал количества V окажется равным q dy. А так как, когда оба количества хну считаются переменными, мы имеем dV=pdx-\-qdy, то мы получаем следующее правило для дифференцирования функции V, содержащей два переменных хну.
152 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сперва будем считать переменным только количество х, другое лее количество у будем рассматривать как постоянное и найдём дифференциал количества V, который пусть будет равен pdx. Затем буде и считать переменным только количество у, другое же количество х —постоянным и будем искать дифференциал количества У, который пусть будет равен qdy. Тогда, считая оба количества х и у переменными, мы будем иметь dV = р dx + q dy.
214. Подобным образом так как дифференциал функции трёх переменных х, у, z, которую положим равной V, имеет вид
dV = pdx + qdy -\-r dz, то ясно, что если бы приняли за переменное только количество х. а остальные у и z оставить постоянными, то вследствие dy=-() и dz=O дифференциал количества V оказался бы равным pdx. Равным образом мы нашли бы, что дифференциал количества V равен qdy, если х и z будут постоянными п только у мы будем считать переменным; наконец, если х и у будут считаться постоянными и только z будет предположено переменным, то дифференциал V окажется равным г dz. Поэтому для дифференцирования функций трёх или большего числа переменных нужно поочерёдно каждое из количеств считать переменным и дифференцировать функцию так, как если бы остальные были постоянными; затем отдельные дифференциалы, которые найдены в предположении переменности отдельных количеств, нужно сложить, и их сумма будет искомым дифференциалом предложенной функции.
215. В этом правиле, найденном нами для дифференцирования функции скольких угодно переменных, содержится доказательство общего правила, данного выше (§ 170), с помощью которого можно дифференцировать любую функцию, содержащую одну переменную. Действительно, если вместо отдельных частей, о которых там говорилось, мы поставим различные буквы, то функция примет вид функции стольких же различных переменных и, следовательно, по изложенному здесь способу её можно будет продифференцировать, рассматривая последовательно каждую её часть так, как если бы только она одна была переменной, и соединяя все дифференциалы, которые получаются из отдельных частей, в единую сумму. Эта сумма будет искомым дифференциалом послё того, как в пей будут восстановлены вместо отдельных букв их значения. Таким образом, это правило является чрезвычайно широким и распространяется на функции многих переменных, как бы они ни были составлены. Вследствие этого оно имеет обширное применение повсюду в дифференциальном исчислении.
216. После того как мы нашли общее правило, с помощью которого можно дифференцировать функции какого угодно числа переменных, полезно будет показать его применение на нескольких примерах.
I. Если V = %у, то
dV = х dy + у dx.
II. Если V = — , то
У
ду __dx х dy — У У2 ‘
III. Если V — - - - У-, то
у а2-х2
dy , yxdx
dV = z 4--------jy .
(a2 — x2)3<2
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 153
IV. Если 7=(м: + ^/ + т)т (5я + е?/ + :)п, то
dV — in (ах 4- $у + у)7”'1 (Sz + еу + С)" (а dx + р dy) -f-
4- п (ах + °у + у)т (5^ + sy + Qn-1 (S dx + e dy) или
dV = (ax + $y + y)"’"1 (3x + ey J- Q” ’ X
/4-mao') 4-7??p3'j +wy-£) 4-7WP®') 4-maC'j 4"m₽Q
X Yxdx \%dy ydx I у dy \ dx I dy
\ 4->17.0 J 4-пае J +?/Ro J 4-^®J 4-nyoJ + z?y® J
V. Если V = у 1 x, то
dV = dy 1 x 4- .
VI. Если V = xv, to
dV = yxv~l dx -±xv dyl x.
VII. Если V — arc ts —, to
^y __ X<7y —у rfx x1 + y2
VIII. Если V = sin x cos у, to
dV — dx cos x cos у — dy sin x sin y.
IX. Если V — —, то }/ x~ +?/2
e^ydz 1 ег'(х2 dy — yx dx) }/x24-y2 (x34-y2) )Лх2 + //2
X. Если V = p’ arc sin -—то мы найдём x+ У x2 — у2
7T7 , 7 • х— 1/х2 — у2 , - xydii — ifdx
dV = е2 dz arc sin 4* e ----— x (—----.
x+ ]/x2 —y2 (.r-L у x2 — у1) (x2 — у2) ‘4 ]/ X
217. Мы видели, что если У есть какая-либо функция двух переменных х и у, то её дифференциал будет иметь вид dV — Р dx-\-Q dy, где Р и Q суть функции, зависящие от функции V и определяемые ею. Отсюда следует, что эти два количества Р и Q каким-то определённым образом зависят друг от друга, ибо каждое из них зависит от одной и той же функции 1/.
Какова бы ни была эта связь между конечными количествами Р и Q — эту связь мы впоследствии установим — очевидно, что не все дифференциальные выражения вида Pdx-\-Qdy, в которых Р и Q были бы произвольно образованы из х и у, могут быть дифференциалами некоторой конечной функции V количествх и у. Действительно, если между функциями Р и Q не соблюдается то взаимоотношение, которого требует природа дифференцирования, то дифференциал Pdx + Qdy никак не может произойти от дифференцирования и, значит, не будет иметь интеграла.
218. Таким образом, при интегрировании нам чрезвычайно важно знать это соотношение между количествами Р и Q для того, чтобы можно было отличить те дифференциалы, которые в самом деле произошли из дифференцирования некоторой конечной функции, от тех,
154 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
которые образованы по произволу и не имеют никаких интегралов. Хотя мы пока ещё и не занимаемся интегрированием, однако и для более глубокого изучения свойств действительных дифференциалов полезно установить это соотношение; знакомство с ним необходимо не только в интегральном исчислении, к которому здесь мы подготовляем путь, и в дифференциальном исчислении оно очень многое уясняет. Прежде всего ясно, что если V есть функция двух переменных х и у, то в её дифференциале Pdx-\-Qdy должны содержаться оба дифференциала dx и dy. Не может быть ни Р = 0, ни Q — 0. Поэтому если Р есть функция х и у, то выражение Pdx не может быть дифференциалом никакого конечного количества, т. е. не существует никакого конечного количества, дифференциал которого был бы равен Pdx.
219. Так, например, не существует никакого конечного количества V, алгебраического или трансцендентного, дифференциал которого равнялся бы yxdx, если только у есть переменное количество, не зависящее от х. Действительно, если мы предположим, что такого рода конечное количество V существует, то так как у входит в его дифференциал, необходимо чтобы у входило также и в само количество V; но если бы V содержало у, то вследствие переменности у дифференциал dy необходимо должен был бы входить в дифференциал V. А так как этого нет, то и не может быть, чтобы дифференциал ух dx произошёл из дифференцирования какого-либо конечного количества. Так как теперь ясно, что выражение Р dx -\-Q dy, если Q равно 0, а Р содержит у , не может быть действительным дифференциалом, то ясно, что количество Q не может быть взято по произволу и что оно зависит от значения количества Р.
220. Чтобы найти соотношения между Р и Q в дифференциале dV = Р dx + Q dy, мы положим сначала, что V есть функция нулевого измерения количеств х и у, от частных случаев мы потом поднимемся к общему соотношению1). Если мы положим y = tx, то количество х совершенно исчезнет из функции V, и мы получим функцию одного только Z; пусть она равна Т, а дифференциал её равен 0 dt, где 0 есть функция от t. Положим теперь также и в дифференциале Р dx~ Q dy повсюду y==tx и dy — t dx + x df, тогда мы получим Pdx-\- Qt dx+ Qx dt. Так как dx не должен сюда входить, то необходимо, чтобы Р -\-Qt = Q, Р Рх
т. е. чтобы Q —----—=----т. е. будет
Рх + Qy = О.
Таково соотношение между Р и Q для данного случая. Далее, должно быть 0 = Qx и, значит, Qx должно быть функцией количества t, т. е. функцией нулевого измерения количеств х и у. Точно так же вследствие Q— мы имеем Р = —, и как Рх, так и Qy будут функциями нулевого измерения переменных х и у.
221. Итак, если дифференцируется функция У пулевого измерения количеств х и у, то её дифференциал dV =Р dx-\-’Q dy всегда составлен так, что Рх ф- Qy = 0, т. е. если в дифференциале вместо дифференциалов dx и dy написать х и у, то получатся количества, равные 0, как явствует из следующих примеров.
х) См. вступ. статью (§ 13).
ГЛ. VII/ О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 155
1. Пусть V — * ; тогда
ду___V dx—x d y
У ’
и если положить х вместо dx и у вместо dy, то будем иметь у.г. — ху __ Q
г/2 “
II. Пусть V = — х____ ; тогда
]/ х2-у2
ду - y-dx + yx dy
откуда
— у2х + у2х _ 0
(x2-y2yh -
III. Пусть V = —-----/ _ __; эта функция является функцией нуле-
— у+ V ж24-?/2
вого измерения количеств хну; мы будем иметь
ду 2x2dy — 2xydx
(VХ2 + у2-уУ Ух2 + у2
Это выражение, если вместо dx и dy положить х и у, станет равным нулю.
IV. Пусть V = 1 ; тогда
J Х~У
ду___2х dy — 2y dx
~~ х2 — у2
И
2ху — 2ух q х2 — у2
V. Пусть V = arc sin Д- ; тогда
V х-'гУ
ду Vdx-xdy
(x + y'l'/Zy (х-у) ’
Это выражение обладает тем же свойством.
222. Рассмотрим теперь другие однородные функции и пусть V есть функция п измерений количеств х и у. Поэтому если положить y = tx, то V примет вид Тх11, где Т ость функция t. Пусть dT—Qdf, тогда
dV = хп Qdt + п J'x"1 dx\
таким образом, если мы положим dV = Р dx + Q dy, то вследствие dy = t dx + х dt будем иметь
dV — Р dx + Qt dx + Qx dt.
Так как это выражение должно совпадать с предыдущим, то
P-\-Qt = nTxn-l = ~ ,
так как V=Txn. Вследствие этого и в силу Z=-^- мы имеем
Рх + Qy ~ nV.
156 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Это уравнение определяет соотношение между Р и Q таким образом, что если одно из них известно, то другое легко находится. Так как, далее, Qx = xn&, то Qx, а значит, и Qy и Рх будут функциями п измерений количеств ж и у.
223. Итак, если в дифференциале какой-либо однородной функции от х и у вместо dx и dy положить х и у, то полученное количество будет равняться самой функции, дифференциал которой был найден, помноженной па число измерения.
I. ЕслиУ== |/х'+у-> т0 ” = 1 и вследствие xdz+ydy
V х^ + у2 будем иметь
II. Если V = —то п— 2 и
,Т7 2?/3 cZ?/ —З?/2 х di/-\-3vx2 dx—-xz dx-\-yz dx — x3 dy CL У —-----:--------:----------—--------:----------:
Положим x вместо dx и у вместо dy", получим
2,/4-2у3ж + 2.1/ж3-2л;4 _ 2?/3-|~2я:3 _ (у-хр ~~ у — х ~~
III. Если V = , то п= —4 и
(?/44-х2)-
уу _ 4г/ d?/4-4x dx
~ (?r+^2)3
Если положить ж и у вместо dx и dy, это выражение перейдёт в 4?'3+4*2 _ _ _4у О2+г/2)3
IV. Если У = ж21, то п = 2 и
I/ —Ж
dV = 2 xd X1 .
у — х у* — х~
После упомянутой подстановки получим
2ж21 = 2 У.
У~х
224. То же свойство будет соблюдено и в том случае, когда У будет однородной функцией многих переменных. Пусть У есть функция количеств х, у, z, которые в совокупности всюду дают п измерений. Дифференциал её dV будет иметь вид Pdx4- Qdy-}-Rdz. Теперь положим y — tx и z = sx, так что
dy = t dx 4- х dt и dz —s dxxds.
Тогда функция У примет вид Uxn, где U есть функция двух переменных t и s; следовательно, если положить dU = р dt 4- qds, то будем иметь
dV = хпр dt + хпд ds + nUж”'1 dx.
Первое же выражение dV даст
dV = Р dx Qt dx-j- Qx dt 4- Rsdx-}- Rx ds.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 157
Сопоставив эти выражения, мы получим
7? V
Р + Qt~V Rs = nUxn~r = ~ , откуда
Рх + Qy 4- Rz = nV.
Это же свойство распространяется и на любое большее число переменных.
225. Итак, если будет предложена однородная функция скольких угодно переменных х, у, z, v и т. д., то её дифференциал всегда будет обладать тем свойством, что если вместо дифференциалов dx, dy, dz, dx и т. д. написать соответственно конечные количества х, у, z, и и т. д., то получится сама предложенная функция, умноженная на число измерений. Это правило сохраняет силу и тогда, если V есть однородная функция одного только переменного х. Действительно, в этом случае V будет степенью х и представится выражением V — ахп, которое является однородной функцией п измерений; и, конечно, не существует другой какой-либо функции количества х, кроме степени п, в которой х повсюду имел бы п измерений. Так как теперь dV = naxn~1dx, то, положив х вместо dx, мы получим пахп, т. е. nV. Это замечательное свойство однородных функций нужно хорошо заметить, так как в интегральном исчислении оно принесёт нам большую пользу.
226. Чтобы разыскать теперь общее соотношение, которым связаны количества Р и Q, составляющие дифференциал Р d.т + Q dy какой-либо функции V двух переменных х и у, нужно обратить внимание на следующее. Пусть V есть какая-либо функция ж и у и пусть V переходит в R, если вместо х положить х + dx\ если же положить у 4- dy вместо у, то пусть V переходит в 5; а если одновременно вместо хну написать x-}-dx и y-A-dy, то пусть V изменится в V1. Поскольку R получается из V, если вместо х положить x+dx, то ясно, что если затем в R положить у 4- dy вместо. у, то получится V1; ио то же самое будет и тогда, если в V одновременно положим х 4- dx вместо х и y-Vdy вместо у. Подобным образом, если в S положить х 4- dx вместо ж, то, так как S уже получилось из V после подстановки у 4- dy вместо у, снова получится F1. Это можно яснее усмотреть из следующей схемы:
Количество переходит в если вместо положить
V R X x-\-dx
V S У yA-dy
V VI X У x-\-dx y + dy
R VI У У-Ydy
S VI X x-^dy
158 ГЛ. MI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
227. Итак, пусть V дифференцируется так, что только х рассматривается как переменное, количество же у—как постоянное. Так как при подстановке х dx вместо х функция V переходит в R, то её дифференциал будет равен R — V; по из формулы dV = Р dx + Q dy следует, что тот же дифференциал будет равен Р dx, откуда будем иметь R — V = Р dx. Если же теперь вместо у положить y-\-dy, а х рассматривать как постоянное, то R перейдёт в V1, а V перейдёт в S, так что количество R — V перейдёт в У1 —5 и, значит, дифференциал количества R — V = Р dx, который получается в том случае, если только количество у принимается за переменное, будет равен
V^-R-S + V.
Подобным образом, так как У после подстановки у 4- dy вместо у переходит в S, то дифференциал количества У, если считать только у переменным, будет S—V, и поэтому S — V=Qdy. А так как S при подстановке х ф- dx вместо х переходит в У1 и У переходит в R, то количество S — У перейдёт в У1 — R, и дифференциал количества S — V — Qdy, который получается, если считать только х переменным, будет равен
yi_/?_5 + y,
т. е. в точности совпадает с ранее найденным дифференциалом.
228. Из этого совпадения можно вывести следующее заключение. Пусть дифференциал какой-либо функции У двух переменных х и у будет dV = Pdx + Q dy, тогда дифференциал количества Pdx, который получается, если одно только количество у рассматривается как переменное, а х считается постоянным, будет равен дифференциалу количества Q dy, который получается, если одно только количество у рассматривается как переменное, а х считается постоянным. Пусть, считая переменным только у, мы будем иметь dP = Z dy, тогда дифференциал количества Р dx, взятый в том же предположении, будет равен Zdxdy, а если считать только х переменным, то мы будем иметь также dQ — Zdx; действительно,' только в этом случае дифференциал количества Qdy, взятый указанным образом, также будет равен Zdxdy. Отсюда становится ясным соотношение, связывающее количества Р и Q. Коротко говоря, оно состоит в том, что дифференциал количества Pdx при постоянном х равен дифференциалу количества Qdy при постоянном у.
229. Это замечательное свойство будет более понятным, если иы поясним его несколькими примерами.
I. Пусть У — ух; тогда
dV = у dx 4- х dy, так что
Р — у и Q = x, откуда, считая х постоянным, будем иметь d Р dx — dx dy, а считая у постоянным, будем иметь
d Qdy — dxdy.
Эти два дифференциала равны друг другу.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 159
II. Пусть V = У хА + 2ху; тогда _ х dx -г у dx-\- х dy
так что
Р- • и (? = -—
ух2 + 2ху у х2 4- 2жт/
откуда, считая постоянным х, будем иметь
(х2 t-2xy)S/‘
а считая постоянным у, будем иметь
d Q dy =—у dx dy - .
(х2 + 2.гУ)3/2
III. Пусть V = х sin у 4- у sin х 1), тогда
dV = d'х sin у + х dy cos у + dy sin x -f- у dx, cos x. Поэтому
P dx= dx sin у у dx cos x и
Q dy dy sin x 4- xdy cos y.
Следовательно, при постоянном x будем иметь
d Р dx = dxdy cos уdxdy cos x, а при постоянном у будем иметь
d Q dy — dx dy cos у -\-dxdy cos x.
IV. Пусть V = Xй' тогда
dV = xv dy 1 x 4- yxv~z dx, так что
P dx — уXй"1 dx и
Qdy = xv dy 1 x.
Поэтому при постоянном x буцем иметь
d Р dx = xv~ldx dy 4- yxy~l dx dy 1 x, а при постоянном у будем иметь
d Qdx, = yxy~l • dxdy lx 4- ху~г dx dy.
230. Это свойство можно выразить иным образом, и тогда мы обнаружим весьма изящное свойство всех функций двух переменных. Если какая-либо функция V двух переменных дифференцируется в предположении, что только х переменно, и этот дифференциал снова дифференцируется в предположении, что переменно только у, то после этого двукратного дифференцирования получается тот же результат,
1) В оригинале V = х sin А у А у sin А х, где буква А служит обозначением слова arcus — дуга.
160 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
который мы получили бы, если бы, идя в обратном порядке, сначала дифференцировали функцию V, считая переменным только у, а затем дифференцировали бы этот дифференциал, считая переменным только х; а именно в обоих случаях получится одно и то же выражение вида Zdxdy. Объяснение этой тождественности с очевидностью вытекает из предыдущего свойства. Действительно, если V дифференцируется в предположении, что только х является переменным, то получается Р dx; если же V дифференцируется в предположении, что переменным является только у, то получается Qdy. Но мы раньше доказали, что дифференциалы этих дифференциалов, взятые указанным образом, равны между собой. Впрочем, это свойство непосредственно следует из расчёта, произведённого' в § 227.
231. Соотношение между Р и Q, если Pdx-\-Qdy будет дифференциалом функции V, можно выразить также следующим образом. Поскольку Р и Q суть функции от х и у, продифференцируем обе, считая переменными как х, так и у. Пусть
dP = р dx-\-r dy и
dQ = q dx 4- s dy.
Значит, считая x постоянным, будем иметь
dP = rdy и d't- Pdx = rdx,dy.
Далее, считая у постоянным, будем иметь
dQ = qdx и d-Qdy—qdxdy.
А так как два дифференциала rdxdy и qdxdy равны между собой, то мы заключаем, что
q = r.
Итак, функции Р и Q связаны друг с другом так, что если мы продифференцируем их, как мы это сделали, то количества q и г будут равны между собой. Для краткости нам удобно будет, по крайней мере в этой главе, ввести новые обозначения для количеств г и q. Именно, мы обозначим количество г через в этой записи обо-
значено, что Р дифференцируется таким образом, что только у считается переменным количеством и что дифференциал dP делится на dy; действительно, таким образом мы получаем конечное количество г. Подобным образом будет обозначать конечное количество q,
ибо эта запись обозначает, что функция Q дифференцируется в предположении, что только х переменно, и затем дифференциал dQ делится па dx.
232. Мы будем пользоваться этим способом записи, хотя он и мог бы иной раз внести двусмысленность (здесь она устраняется скобками), для того чтобы избежать многословности при описании условий дифференцирования. Таким образом, мы можем кратко выразить соотношение между Р и Q, записав, что
\ dy / V dx )
Итак, в такого рода дробях знаменатель, кроме общего своего значения, состоящего в том, что числитель нужно разделить на него, указы-
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 161
вает ещё, что дифференциал числителя должен быть вйят таким образом, чтобы переменным считалось только, то количество дифференциал которого стоит в знаменателе. Таким образом, благодаря делению дифференциалы будут вовсе устранены из исчисления, и дроби и будут
выражать конечные количества, которые в данном случае будут равны между собой. Итак, приняв этот способ, мы можем представить также количества р и s в виде
V dP\ f dQ\
При этом, как мы уже отмечали, дифференцирование числителя подчинено условию, накладываемому знаменателем.
233. Это свойство удивительным образом согласуется с тем, которым, как выше было показано, обладают однородные функции. Пусть V есть однородная функция п измерений количеств х и у, положим dV = Р dx, 4- Q dy и докажем, что nV = Рх 4- Qy, т. е. что
_ nV Рх
" У У '
Пусть dP = р dx-\-r dy, тогда
Что это выражение равно > мы докажем следующим образом.
Дифференцируем Q, считая переменным только х~, так как при нашем предположении *)
, _ пР dx Р dx хр dx
” ~ У У У ’ то будем иметь
X = (п - 1) Р _ pz
X dx J у у ’
и должно будет иметь место соотношение
(п —1)Р рх г
У у ’ т. е.
(п — 1)Р = рх + гу.
Справедливость этого равенства очевидна из того, что Р есть однородная функция п — 1 измерений количеств х и у, вследствие чего её дифференциал по свойству однородных функций должен быть составлен так, что
(и — i)P = px-Vry.
234. Свойство, выражаемое равенством ~ > которое,
как мы показали, является общим для всех функций двух перемеп-
„ nV Рх
Ц 1о-есть в предположении 0 =-----пли, что то же, в предположении
У у
nV=Px-]-Qy, которое подлежит доказательству. Как видно из дальнейшего, это «доказательство» состоит в том, что мы приходим к соотношению, справедливость которого Сама носит столь же гипотетический характер.
11 .‘I. Эйлер
162 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
пых, позволяет нам обнаружить свойство функций трёх и большего числа переменных. Пусть V есть какая-либо функция трёх переменных X, у и z. Положим
dV = P[dx = Q dy -f- R dz.
Нели в этом дифференциальном выражении считать количество z постоянным, то мы будем иметь dV = Р dx-\- Q dy, но в этом случае по предыдущему должно быть • Если же считать постоян-
ным количество у, то будет dV — Р dx-\- Rdzw, следовательно, будем иметь Наконец, полагая х постоянным, найдём
Итак, в дифференциале Pdx-\-Qdy+Rdz функции У количества Р, Q, R связаны друг с другом таким образом, что
УУ-У&У (.УЫ^У) "
235. Отсюда вытекает следующее свойство функций, содержащих три или большее число переменных количеств, аналогичное свойству, которое мы выше (§ 230) доказали для функций двух переменных. Если У будет какая-либо функция трёх переменных х, у и z и если её трижды дифференцировать, полагая переменным сначала одно только количество, скажем х, при втором дифференцировании только у и при третьем только z, то мы получим выражение вида Zdxdydz, которое будет одним и тем же, в каком бы другом порядке мы ни взяли количества х, у и z. После трёхкратного дифференцирования мы придём, таким образом, к одному и тому же выражению Zdxdydz шестью различными способами, ибо возможно шестью способами взять количества х, у и z в различном порядке. Но какой бы порядок ни избрать, если функцию У дифференцировать, считая переменным только первое количество, этот дифференциал снова дифференцировать, считая переменным только второе, в дифференциал опять дифференцировать, считая переменным только третье количество,, мы получим одно и то же выражение.
236. Чтобы это свойство стало более ясным, положим, что
dV - Р dx + Q.dy-[-R dz,
и будем дифференцировать количества Р, Q и R-, их дифференциалы, как прежде было доказано, будут составлены следующим образом:
dP = pdxy sdy + t dz, dQ = sdx-'- qdy-\-u dz, dR — tdx-rudy + r dz.
Дифференцируем теперь У, считая переменным только ж; получим Р dx. Этот дифференциал снова дифференцируем, считая переменным только у, тогда получим sdxdy, если мы будем дифференцировать это количество, считая переменным только z, то после деления на dxdydz мы получим . Разместим теперь переменные в порядке у, х, z;
тогда первое дифференцирование даст Qdy, второе Sdydz и третье (после деления на dxdydz) даст , как и раньше. Расположим
переменные в порядке z, у, х\ тогда первое дифференцирование даст
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 163
Rdz, второе и dydz и третье после деления на dxdydz даст
Но так как при постоянном у мы имеем dQ = sdx-]-u dz, то Z ds \ Z du X ,
I _ 1 = 1 _ J , что оыло доказано прежде.
237. Положим, что
V =
и2 — Z2 ’
и продифференцируем эту функцию столько раз трижды, сколькими способами можно расположить переменные х, у, z в различном порядке.
I. . Дифференцируем И, . Дифференцируем III. Дифференцируем
считая переменным только X "Ixy dx а2 — zz только у 2х dx dy а2 — z2 ТОЛЬКО z \xz dx dydz {a2 — z2)2
считая переменным только X 2ху dx а2 -z2 ТОЛЬКО Z kxyz dx dz (a2-z-y2 только у \xz dx dydz (a2-z2y-
считая переменным только у х- dy а- — z- только X 2x dx dz as — z2 ТОЛЬКО s ixZ dx dydz (a2 — z2)2
считая переменным только у х2 dy а2 — z- ТОЛЬКО z 2x2z dy dz (a2 - z~)- только X kxz dx dydz (a2 — z2)2
считая переменным ТОЛЬКО Z 2x2ys dz ТОЛЬКО x ixyz dx dz (a2-z2)2 только у !iXz dx dydz
считак переменным только Z 2x2yz dz (я2--2)2 только у 2x2z dydz la2 ..-)2 только .г ixz dx dy dz (a2 — z'2)2
Из это1 'О примера ясно, что в каком бы порядке ни были ВЗЯТЫ три'
переменные, после трёхкратного дифференцирования поручается одно и то же выражение
ixz dx dy dz •
238. Подобно тому как после трёхкратного дифференцирования мы пришли к одному и тому же выражению, мы можем усмотреть согласованность и в дифференциалах, получаемых после двукратного дифференцирования. Именно, в них каждое выражение встречается дважды, и мы видим, что выражения, в которые входят те же дифференциалы, равны между собой. Точно так же и третьи дифференциалы все равны между собой вследствие того, что в них входят те же дифференциалы dx dy dz. Отсюда мы заключаем, что если V будет функцией скольких угодно переменных х, у, z, и, и и т. д. и если её последовательно дифференцировать несколько раз так, чтобы каждый раз считать переменным только одно переменное количество, то всякий раз, как мы получим выражения, в которые входят одни
11*
164 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
и те же дифференциалы, эти выражения вместе с тем будут равны между собой. Так, после двукратного дифференцирования, если один раз считать переменным только х, а другой раз только у, получится одно и то же выражение вида Zdxdy, вне зависимости от того, какое из двух переменных было взято раньше, а какое потом. Подобным образом шестью различными способами мы придём к одному и тому же выражению вида Zdxdydz и двадцатью четырьмя способами к выражению вида Z dxdy dzdo и т. д.
239. В справедливости этих теорем сможет легко убедиться каждый, кто внимательно отнесётся к вышеразъяснённым основным положениям, и самостоятельное размышление даст для понимания больше чем многословные рассуждения, без которых нельзя было бы провести доказательство. Так как значение этих свойств весьма важно при изучении интегрального исчисления, то начинающим рекомендуется не только тщательно вдуматься в них и убедиться в их справедливости, но и проверить их на многочисленных примерах, чтобы таким образом приобрести навык в этих вещах и впоследствии пожать плоды, которые этим будут порождены. Это мы советуем не только начинающим, но и тем, кто уже знаком с основами дифференциального исчисления, так как почти все руководства по этому разделу анализа вовсе обходят этот вопрос. По большей части авторы их довольствуются изложением правил дифференцирования и их применения к высшей геометрии; они не занимаются исследованием свойств дифференциалов, между тем как эти свойства обогащают интегральное исчисление очень важными вспомогательными средствами. По этой причине нам казалось необходимым в настоящей главе подробно рассмотреть этот почти совершенно новый вопрос, что вместе с тем подготовит почву для выполнения более трудных интегрирований и облегчит работу, которую мы должны будем предпринять в дальнейшем.
240. Познакомившись, таким образом, со свойствами, которыми обладают дифференциалы функций двух и большего числа переменных, мы легко будем в состоянии узнать, может ли предложенное дифференциальное выражение, в которое входят два или большее число переменных, получиться в результате дифференцирования какой-нибудь функции, или это невозможно. Действительно, если в выражении Р dx-\-Qdx не будет иметь места равенство
то мы, наверное, можем утверждать, что не существует пикакой функции количеств х и у, дифференциал которой был бы равен Pdx-\-Qdy, и, следовательно, в интегральном исчислении нельзя разыскивать интеграл такого выражения. Так, поскольку в выражении ух dx + х' dy упомянутое условие не соблюдено, не существует функции, дифференциал которой был бы равен yxdx-^-x* dy. На вопрос же о том, всякий ли раз, когда
выражение Pdx-\-Qdy можно получить дифференцированием некоторой функции,— на этот вопрос надёжный ответ нам смогут дать лишь основные начала интегрирования.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 165
241. Если в предложенном дифференциальном выражении имеются три переменных количества или большее их число, как, например,
Р dx + Q dy 4- R dz, тогда оно никоим образом не может получиться в результате дифференцирования, если не удовлетворены следующие три условия:
,Z dP X С dq X Z dP X Z dR X Z dQ X Z dR X
Если из этих условий хотя бы одно не имеет места, то мы наверное можем утверждать, что не существует никакой функции количеств ач у и z, дифференциал которой был бы равен
Р dx + Q dy + R dz-, следовательно, никак нельзя разыскать интеграл такого дифференциального выражения, и потому говорят, что оно совсем не имеет интеграла. Совершенно ясно, что в интегральном исчислении, раньше чем предпринимать разыскание интеграла, надлежит узнать, могут ли быть интегрированы данные дифференциальные выражения.
ГЛАВА VIII
О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
242. Если имеется одно единственное переменное и его первый дифференциал считается постоянным, то мы можем вышеизложенным методом найти дифференциалы любого порядка. Именно, если дифференциал какой-либо функции снова дифференцировать, то получается её второй дифференциал; снова дифференцируя его, получаем третий дифференциал функции и т. д. То же правило имеет место и тогда, когда функция содержит несколько переменных или только одно, дифференциал которого не считается постоянным. Пусть сначала V есть какая-либо функция количества я, причём dx не является постоянным, а меняется как угодно, так что дифференциал количества dx равен d2x, дифференциал последнего равен d3x и т. д. Будем искать второй и следующий дифференциалы функции V.
243. Положим,, что первый дифференциал функции V равен Pdx, где Р есть какая-либо функция х, вид которой зависит от вида V. Если теперь мы желаем найти второй дифференциал функции V, то нужно снова дифференцировать первый дифференциал Pdx. Он является произведением двух переменных количеств Р и dx- пусть первое из них имеет дифференциал dP~pdx, второе имеет дифференциал d2x. По правилу дифференцирования произведения мы будем иметь второй дифференциал
d‘V = 1 d2x р dx2.
Если затем положить dp~qdx, то, так как дифференциал количества dx" есть 2dxd3x, дифференцируя снова, получаем
d3Y = Р d3x + dP d2x -{-2pdx d2x + dpdx3.
Но вследствие
dP — p dx и dp = qdx будем иметь
d3V == P dsx + 3p dx d2 x + q dx3;
подобным образом найдутся и следующие дифференциалы.
244. Применим это к степеням количества х и найдём дифференциалы их в том случае, когда dx не полагается постоянным.
I. Пусть V = х; тогда
dV = dx; d2V = d!x; d3V = d3x; d*V = d*x и т. д.
ГЛ. УШ. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
167
II. Пусть V = х'2, тогда
dV =- 2х dx,
d2V = 2rd2x-r 2dx2,
d3V 2x d3x -A 6 dx d2x,
d4V = 2x d*x + 8 dx d3x + 6 d2x2,
d3V = 2x d3x 4-10 dx d*x + 20 с72ж d3x.
Ш. Вообще, если V = x", то
dV == nxn^ dx,
d 'V = nxn~2 d2x Ц- л (n — 1) xn 2 dx2,
d3V — nxn~ld3x -\- 3n (n — 1) xn~2 dx d2x + n (n — 1) (zz — 2) xn~3dxs, d4V — nxn '* d*x + \ji (n — 1) xn~2 dx d3x ф- 3n (n — 1) xn~'2 d3x2 ~-
+ 6zz (n — 1) (zz — 2) xn~3 dx2d2x, + n (zz — 1) (zz — 2) (zz — 3) xn '4 dx*.
Если dx будет постоянным и вследствие этого d2x = 0, d3x — 0, d,x—0 и т. д., то мы снова получим то же дифференциалы, которые уже раньше были найдены в этом предположении.
245. Так как дифференциалы любого порядка количества х дифференцируются по тому же закон}7 как конечные количества, то всякое выражение, в которое, кроме конечного количества, входят его дифференциалы, можно будет дифференцировать по вышеизложенным правилам. Так как это иногда приходится делать, то мы приведём здесь несколько примеров.
I. Если то, дифференцируя, будем иметь
,х d-x . d-x 2xd2x~ dV -- --r-г -.----J—,— .
dx~ dx dx3
II. Если to
dx
то, что мы взяли в качестве функции v бесконечно большое количество, не создаёт здесь никакой помехи.
d-x
III. Пусть V х21 j-:;; так как V преобразуется в
x*ld2x — 2х2 Idx,
то, дифференцируя по обычным правилам, будем иметь
dV — 2х dx 1 d"x — 4z dx 1 dx — .
d3x dx
Подобным образом найдутсн и высшие дифференциалы количества V-
246. Если предложенное выражение содержит два переменных количества х и у, то можно принять, что дифференциал одного из них является постоянным либо что ни один из дифференциалов не является постоянным; действительно, мы можем по произволу принять за постоянное любой из двух дифференциалов, ибо от нашего произвола зависит, по какому заколу будут возрастать последовательные значения одного из переменных. Однако мы не можем считать, что дифференциалы обоих переменных постоянны одновременно; действительно, этим мы приняли бы, что между количествами х и у существует
168
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
определённое соотношение, тогда как либо его вовсе нет, либо оно считается неизвестным. В самом деле, если мы считаем, что х возрастает равномерно, и в то же время устанавливаем, что у также принимает равные приращения, то этим самым мы утверждаем, что у = ах 4-6, так что у зависит от х, чего, однако, принять мы не имеем права. Поэтому можно принять либо, что постоянным является только одно переменное, либо, что ни одно не является постоянным. Но если мы будем уметь производить дифференцирование, не считая постоянным ни один из дифференциалов, то тем самым нам будут известны и дифференциалы, получаемые в предположении, что какой-либо один дифференциал является постоянным; для этого достаточно, если, скажем, dx полагается постоянным, повсюду вычеркнуть члены, содержащие <73х, dsx, d*x и т. д.
247. Итак, пусть V есть какая-либо конечная функция количеств х и у и пусть dV^- Pdx—Qdy. Желая найти второй дифференциал количества V, мы будем считать оба дифференциала dx и dy переменными; так как Р и Q суть функции х и у, то положим
dP = pdx-\-q dy, dQ — rdx-Pqdy, ибо, как мы видели,
Теперь будем дифференцировать
dV — Pdx + Qdy
и найдём
= Р d2x + р dx2 2r dx dy - ,- Q d 'y q dy2.
Если дифференциал dx считать постоянным, то
d2V — pdx2 + 2т dx dy + Q d2y + q dy2;
если же считать постоянным дифференциал dy, то
d:V = Р d2x 4- р dx2 4- 2r dx dy -f- q dy2.
248. Итак, если какая-либо функция количеств х и у дифференцируется дважды, причём никакой из дифференциалов не полагается постоянным, то её второй дифференциал всегда имеет вид
d2V = Pd2x + Qd2y + Rdx2 + S dy2 + Т dxdy,
причём количества Р, Q, R, S и Т зависят друг от друга таким образом, что при обозначениях, введённых в предшествующей главе,
и
Т = 2(= 2 .
k dx У Ч dy J
Если из этих условий хотя бы одно не выполняется, то мы можем наверное утверждать, что предложенное выражение не является вторым дифференциалом ни для какой функции. Итак, тотчас же можно будет распознать, является ли выражение подобного вида вторым дифференциалом какого-либо количества или не является.
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
169
249. Подобным образом можно найти третьи и следующие дифференциалы; лучше показать это на частных примерах, чем применять общие формулы.
Пусть V = ху; тогда
dV = у dx + х dy,
d2V = у d'~x-\-2dx dy-\ xdzy,
dzV = у dzx 4- 2>dy d2x + idx d3y -j- x dsy,
= у d*x -J- idy d3x 4- 6d2a: d'2y + kdx day + x diy
и T. Д.
В этом примере числовые коэффициенты следуют друг за другом по тому же закону, что и коэффициенты степени бинома, так что их можно выписать сколько угодно.
Если же V = , то
dV = — —11 dx
___d2y 2dx dy , ‘ly dx:2 yd1.
Xs
_d3y 3 dx d2y ,(>dx2dy 3 dy' d2x &y dx d2x 6 у dx3 у d3x x x2 x2 x2 x3 x* x3
И T. Д.
В этом примере закон следования коэффициентов при дифференциалах усматривается не столь легко, как в предшествующем.
250. Этот метод дифференцирования применим не только к конечным функциям; тем же способом можно найти дифференциалы всякого выражения, которое уже содержит в себе дифференциалы, причём можно принять, что какой-либо один дифференциал является постоянным или что постоянных дифференциалов нет. В самом деле, поскольку каждый дифференциал можно дифференцировать таким же образом и по тому же закону, как дифференцируются конечные количества, правила, изложенные в предшествующих главах, сохраняют силу и должны соблюдаться и здесь. Таким образом, пусть V есть выражение, конечное или бесконечно большое или бесконечно малое, и его нужно дифференцировать. Способ дифференцирования усматривается из следующих примеров.
1. Пусть V = dx'2 dy2, тогда
_ dx d2x-\- dy d2y У dx2 -\-dy2
II. Пусть V > тогда
dV = dx + y-^—y-^y dy dy2
HI. Пусть V — + , тогда
J dxd2y — dyd2x
__ (3dx d2x-\- 3dy d2y) Уdx2 + dy2 (dx2 4- dy2)* (dx day — dy d3x) dx d2y — dy a'2x (dx d2y — dy d2x)2
170
ГЛ.. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Эти дифференциалы взяты в наиболее общем виде, так как никакой из дифференциалов мы не считали постоянным; но отсюда легко найти те дифференциалы, которые получаются, если считать постоянным dx или dy.
251. Если никакой из дифференциалов мы не принимаем за постоянное количество, то мы не устанавливаем никакого закона, по которому следовали бы друг за другом значения переменных. Поэтому вторые и следующие дифференциалы будут неизвестны и не будут обозначать ничего определённого. Выражение, в котором будут содержаться вторые и высшие дифференциалы, не будет иметь никакого определённого значения, пока какой-либо дифференциал не будет предположен постоянным; до этого значение его останется неопределённым и будет меняться, смотря по тому, положим ли мы постоянным тот или другой дифференциал. Однако существуют такие выражения, содержащие вторые дифференциалы, которые даже в том случае, если ни один из дифференциалов мы не будем считать постоянным, всё же будут иметь определённое значение, которое останется одним и тем же, какой бы дифференциал мы ни положили бы постоянным. Свойства таких выражений мы в дальнейшем рассмотрим более обстоятельно и укажем, как отличать их от тех, которые не имеют определённых значений.
252. Чтобы уяснить эту особенность выражений, содержащих вторые или более высокие дифференциалы, мы возьмём сначала выражения, содержащие одно только переменное. Легко видеть, что если в какое-либо выражение входит второй дифференциал d2x переменного количества х и если никакой дифференциал не взят за постоянное, то выражение не может иметь никакого определённого значения. Действительно, если мы положим постоянным дифференциал количества х, то будет d:x = 0; если же мы будем считать постоянным дифференциал количества х2, а значит, и выражение xdx, то так как дифференциал х d^x dx2 количества х dx должен быть равен 0, будем иметь d2x= — • Если же постоянным должен быть дифференциал пхп~х dx
некоторой степени хп, а значит, и выражения xn~l dx, то второй её дифференциал будет равен нулю:
d2x + (п — 1) хп~2 dx2 = 0,
и значит,
X
Мы получим ещё другие значения для d2x, если будем считать постоянными дифференциалы других функций количества х. Ясно, что выражение, в которое входит d2x, будет иметь самые различные значения, । dx2
в зависимости от того, напишем ли мы вместо d2x нуль или-------— ,
(га — 1)й.тг , _ г_,
или — ------- , или другое выражение подобного рода. Так, пусть
будет предложено выражение , которое вследствие однородности бесконечно малых количеств d:x и dx2 должно иметь конечное значение; оно станет равным нулю, если dx считать постоянным; если же постоянным будет d х'1, то оно перейдёт в —х, если постоянным будет d ха, оно перейдёт в — 2х; если постоянным будет d • х*, то оно
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
171
перейдёт в — ?>х и т. д. Итак, оно не может иметь определённого значения, пока не будет указано, какой дифференциал считается постоянным.
253.----Таким же образом мы убедимся в непостоянстве значения какого-либо выражения, содержащего третий дифференциал. Рассмотрим, например, выражение , которое, подобно предыдущему, должно иметь конечное значение. Если дифференциал dx является постоянным, то это выражение переходит в выражениезначение которого вскоре будет найдено. Пусть теперь постоянным будет d х2; тогда --------— , и, дифференцируя снова, будем иметь
,•> 2г/ж d-x , dxs '.idx-
<Г\г----------F . ,
X x^ TS ’
ибо d-x -- —— ; итак, в этом случае предложенное выражение переходит s' 7 П J2 (~ 1) dX"*
.Если же постоянным оудет а . х , то trx ~ v. и значит.
Итак. в этом случае будем иметь d3n (2п — 1) dx
d3x х
x3d3x
dx d2x
(2n — 1) x2,
откуда ясно, что если п = 1, т. е. если dx постоянно, то значение предложенного выражения будет равно —х\ Мы видим отсюда, что если в какую-либо формулу входят дифференциалы третьего или высшего порядка, но при этом не указано, какой дифференциал принимается за постоянное, то формула не имеет никакого определённого значения и потому решительно ничего не выражает; поэтому такого рода выражения не могут встретиться в исчислении.
254. . Подобным образом если формула содержит два или большее число переменных и если в неё входят дифференциалы второго или высших порядков, то она, очевидно, не может иметь определённого значения, пока какой-нибудь дифференциал не будет положен постоянным. Исключение составляют только некоторые случаи, которые мы сейчас разберём. Действительно, если в некоторую формулу входит d2x, то, поскольку значение d2x меняется каждый раз, как тот или иной дифференциал полагается постоянным, не может быть, чтобы формула имела одно определённое значение. То же имеет место и для какого-либо дифференциала высшего порядка количества х, а также для вторых и высших дифференциалов остальных переменных. Однако если в формулу входят вторые дифференциалы двух или большего числа переменных, то может оказаться, что непостоянство, порождаемое одним, уничтожается непостоянством остальных. Вследствие этого и возникает тот упомянутый выше случай, когда такого рода формула, содер
172
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
жащая дифференциалы двух или большего числа переменных, может иметь определённое значение, несмотря на то что ни один из дифференциалов не полагается постоянным.
255. Так, например, формула
у d2x + х d2y dx dy
не может иметь фиксированного значения, пока какой-либо дифференциал не будет положен постоянным. Ибо, если положить постоянным dx,. то получится ; если же положить постоянным dy, то получится
; ясно, однако, что эти выражения не обязательно равны между собой. Ибо, если бы они были обязательно равными, то они должны были бы оставаться равными, какая бы функция количества х ни была подставлена вместо у. Положим, что у = х1; поскольку при постоянном dx будем иметь d2y~2dx2, формула даст 1; если же поло-жить постоянным dy, т. е. 2xdx, то будем иметь d2y= 2хd2x ^2dx2 = О, и значит, d2x=—, так что формула J ?- даст—Так как уже х dx а у 2
в одном случае мы обнаружили расхождение, то тем более в общем! случае при постоянном dx не будет равно при постоянном dy. „ Y yd2x-\-xd2y
Так как, далее, формула ~— не сохраняет неизменного значения, когда постоянным полагается один раз dx, а другой раз dy, то тем более она не сохранит неизменного значения, если постоянным будет положен дифференциал какой-нибудь функции количества х, или количества у, или обоих этих количеств.
256. Отсюда ясно, что значение лишь в того, как вместо 1 в неё кроме х, х, вторые и высшие дифференциалы количества х, т. е.
'х и т. д., совершенно устраняются из вычисления. Действи-пусть после какой-либо такой подстановки в формуле ещё
такого рода формула может иметь опреде-том случае, если она составлена так, что тех переменных у, z и т. д. , которые подставить какие-либо функции коли-
ленное после входят чества d2x, d3. тельно, будет оставаться d2x, или d3x, или d*x и т. д.; так как эти дифференциалы меняют своё значение всякий раз, как мы берём одни или другие постоянные, то и значение этой формулы будет неопределённым. Именно так и составлена формула > которую мы выше рас-
сматривали. Если бы она имела определённое значение, что бы ни обозначало у, она должна была бы иметь определённое значение, когда у есть какая-либо функция х. Однако, уже если посложить у=х, то формула наша обратится в формулу , а эта последняя, безусловно,
является неопределённой, так как в неё входит d2x, и она будет принимать всё новые и новые значения, всякий раз как новые дифференциалы будут полагаться постоянными; это нам хорошо известно из § 252.
257. Может, однако, возникнуть сомнение, существуют ли такие формулы, содержащие два или больше дифференциалов второго или более высокого порядка, которые обладали бы тем свойством, что
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
173
если подставить какие-либо функции одного переменного вместо остальных переменных, дифференциалы второго порядка должны взаимно уничтожиться. Это сомнение мы устраним, указав формулу, которая действительно обладает этим свойством; таким образом, сущность дела выяснится путём проверки. А именно, я утверждаю, что формула
dy d2x— dx d2y
dx3
-обладает упомянутым свойством, т. е. какую бы функцид) количества х ни подставить вместо у, всегда дифференциалы второго порядка совершенно исчезают. Проверим это свойство на следующих примерах:
I. Пусть у — х*-, тогда
dy~2xdx и d*y = 2х d2x Д- 2dx\
,. т dy d2x — dx d2v
Если эти значения подставить в формулу —-----, мы получим
2х dx d2x — lx dx d2x — Idx2_ ?
II. Пусть у — xn‘, тогда
dy = пхп~г dx, d'y = nxn~* d*x -f- n (n — 1) xn~* dx*.
„ dy d2x— dx d2y
Если эти значения подставить в формулу —--, то последняя пре-
образуется следующим образом:
nz”-1 dx d2x — nxn~vdx d2x — n (n — 1) xn~2dx2 . .. n_,
dx2 x '
III. Пусть у = — у 1 — x2; тогда
, х dx xd2x , dx2
dy=—^= и d‘y ==---==--------------------«r .
J /1-z2 У1-Х2 (1 — x2)3'2
и формула
dy d2x — dx d2y dx2
перейдёт в
x d2x xd2x 1 _ — I
dx2 /Г-Д2 dx2Y\~~^ (1 — x2)42 (1-г2)3/2’
Итак, во всех этих примерах вторые дифференциалы dzx взаимно уничтожаются, и так же будет всегда, какие бы другие функции ни подставить вместо у.
258. Хотя уже эти примеры показывают справедливость нашего v dy d-x — dxd2y „ „„
утверждения, что формула —----------- имеет вполне определенное зна-
чение, какой бы дифференциал ни был принят за постоянное количество, однако мы можем без труда доказать это утверждение. Пусть у есть какая-либо функция количества х; пусть её дифференциал есть dy = pdx’, количество р также есть некоторая функция х и, значит, его дифференциал будет иметь вид dp—qdx, где q снова будет функцией х. Так как dy--pdx, то, дифференцируя, будем иметь d2y = = pd'x-Y qdx2 и
dy d‘x — dx d2y pdxd2x—pdxd2x—qdx* = —qdx3.
174
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Так как это выражение не содержит никаких вторых дифференциалов, , ~ dydx^—dxd^y „
то оно будет иметь фиксированное значение и — —— будет равно — q. Итак, какова бы ни была зависимость у от х, вторые дифференциалы взаимно уничтожатся, и потому значение этой формулы, которое при других обстоятельствах было бы неопределённым, становится определённым и фиксированным.
259. ' Хотя здесь мы считали, что у есть функция от х, однако это положение остаётся истинным и в том случае, если у вовсе не зависит от х. Действительно, поскольку мы вместо у подставляли какую угодно функцию от х и не определили, какая это будет функция, мы не приписываем количеству у никакой зависимости от .г.. Впрочем, можно провести доказательство таким образом, чтобы вовсе не упоминать о функции. Действительно, пусть у есть какое-либо-количество, зависящее от х или не зависящее; его дифференциал dy будет однороден с дифференциалом dx, так что будет представлять-конечное количество, дифференциал которого, т. е. приращение, получаемое им, когда х переходит в x-}-dx, а у в y-^-dy, будет фиксированным и не будет зависеть от закона образования вторых дифференциалов. Положим Р’ тогда будем иметь dy = pdx и d2y — pd*x + -j-dpdx, откуда
dxd2y — dyd2x— dpdx2.
Значение этого выражения не является неопределённым, ибо оно содержит только первые дифференциалы и поэтому остаётся одним и тбм же независимо от того, примем ли мы за постоянное количество какой-нибудь дифференциал или никакой дифференциал не будем полагать постоянным.
260. Так как выражение dyd~x — dxd2y, несмотря на то что в него входят вторые дифференциалы (можно считать, что они потенциально взаимно уничтожаются), имеет фиксированное значение, то и всякое выражение, в которое вторые дифференциалы входят только через посредство формулы dyd~x — dxd2y, равным образом будет иметь фиксированное значение. Вообще, если положить dy dxx — dxd2y = <» и если V7 будет количество, составленное из первых дифференциалов dx, dy и <» каким бы то ни было образом, то оно будет иметь фиксированное значение. Действительно, так как на дифференциалы dx и dy не оказывает никакого влияния произвольный закон, по которому мы заставляем расти значения количества х, а в о вторые дифференциалы взаимно уничтожаются, то и количество V будет не неопределённым, а фиксированным. Так выражение
(<Zx2 + di/2)3^ dx d-у — dy d-x
обладает фиксированным значением, хотя и может показаться, что вторые дифференциалы его портят. Сверх того, так как числитель и знаменатель однородны, выражение это имеет конечное значение, разве что случайно оно окажется бесконечно большим или бесконечно' малым.
261. Таким же образом, как доказано, что формула dx d 'y — dy d^r. имеет фиксированное значение, можно доказать, что и формулы
dxd"z— dzd2x и dyd2z — dzd*y
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
175
имеют конечные значения. Следовательно, выражения, которые содержат три переменные х, у и z, если в них не входят никакие другие вторые дифференциалы, кроме здесь указанных, будут иметь фиксированные значения, как если бы в них вовсе не было вторых дифференциалов. Так, выражение
з
(dx2 vdy- ~dz2)^
(dx dz) d~y — (dy — dz) d~x Ц- (dx — dy) d- z
несмотря на наличие вторых дифференциалов, обладает фиксированным значением. Подобным образом можно получить формулы, содержащие большее число переменных, в которых наличие вторых дифференциалов не препятствует тому, чтобы они имели фиксированные значения.
262. За исключением формул такого рода, все остальные формулы, содержащие вторые дифференциалы, имеют неопределённые значения и потому не могут иметь места в исчислении, если только не указан какой-либо дифференциал, который полагается постоянным. Но как только какой-нибудь дифференциал положен постоянным, тотчас же все выражения, сколько бы переменных они ни содержали и какие бы дифференциалы порядка выше первого в них ни входили, получат фиксированные значения, и теперь они могут входить в исчисление. Так, если, например, dx доложен постоянным, то дифференциалы второго и высшего порядков исчезают, и какие бы функции от х ни подставлялись вместо у, z и т. д., их вторые дифференциалы выразятся через dx3, третьи — через dx3 и т. д., и таким образом непостоянство, вызванное наличием вторых дифференциалов, перестаёт иметь место. То же самое происходит в том случае, когда постоянным полагается первый дифференциал другого перомепного или какой-либо функции.
263. Из этого следует, что дифференциалы второго и более высоких порядков на самом деле никогда не входят в исчисление и вследствие неопределённости их значений вообще непригодны для анализа. Действительно, когда вторые дифференциалы, по видимости, имеются налицо, то либо какой-нибудь первый дифференциал полагается постоянным, либо никакой постоянным пе полагается. В первом случае вторые дифференциалы вовсе исчезают из исчисления, поскольку они выражаются через первые. Во втором же случае, если только вторые дифференциалы не уничтожаются взаимно, их значение будет неопределённым, и потому им не место в анализе; если же они взаимно уничтожаются, то их наличие является лишь кажущимся, и нужно считать, что на самом деле есть только конечные величины и их первые дифференциалы. Так как, однако, они часто, хотя и кажущимся образом, используются в исчислении, то мы должны были показать, как с ними обращаться. Сейчас мы покажем, каким образом всегда можно избавиться от вторых и высших дифференциалов.
264. Если выражение содержит только одно переменное количество х и если в него входят высшие дифференциалы d2x, d3x, d*x и т. д., то оно может иметь фиксированное значение лишь в том случае, когда какой-либо первый дифференциал полагается постоянным. Пусть t есть то переменное количество, дифференциал которого полагается постоянным, так что d3t = 0, d3t — 0, d*t = 0 и т. д. Положим dx = pdr, тогда р будет конечное количество, на дифференциал кото
176
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
рого неопределённость вторых дифференциалов не оказывает влияния, и, кроме того, ~ будет конечным количеством. Пусть dp = q dt и подобным образом, далее, dq — rdt, dr = sdt и т. д. Количества q, т, s и т. д. будут конечными и будут иметь фиксированные значения. Так как dx = pdt, то
d x= dpdt~ qdtd, d3x — q dt3 — r dt3, d*x = dr dt3 = s dt6, и т. д.;
если эти значения подставить вместо d3x, d3x, d3x и т. д., то выражение будет содержать только конечные количества и первый дифференциал dt, так что оно уже не будет иметь неопределённого значения.
265. Если х есть функция от t, то таким образом можно совершенно исключить количество х, так что останется только количество t и его дифференциал; если же t ость функция от х, то и обратно, х есть функция от t. Можно, однако, удержать в вычислении количество х и его дифференциал, если повсюду, по выполнении ранее сделанных подстановок, восстановить вместо t и dt их выражения через х и dx. Чтобы пояснить это, положим t равным хп, так что постоянным полагается первый дифференциал количества хп. Так как dt — пхп~3 dx, то
р — —и dp = — - — qdt = nqxn~3 dx,
г пх1 г пхи 1 2
откуда
q — и dq = dx —rptt^n rxn dx.
я п2х-^1 1 zi2a:2'‘
Далее,
_ (n - 1.) (2л - 1) _____(n - 1) (2n - 1) (3n - 1)
И s—
Поэтому, если дифференциал количества хп положить постоянным, то будем иметь
= — ^n~1) dx'~ d3x~ С2”-1)'**3 ,
d*x = — (ra-1) С2”"1) (Зл-1)^«
х3
И Т. Д.
266. Если, выражение содержит два переменных х и у и если дифференциал одного из них, например, дифференциал х, полагается постоянным, то вследствие d~x = 0 из вторых и высших дифференциалов войдут только дифференциалы d2y, d3y и т. д. Их можно устранить тем самым способом, который мы использовали выше, если положим
dy—pdx, dp -qdx, dq ^rdx, dr -sdx и т. д.
Действительно^ тогда будем иметь:
d'y q dx1, d3y ==r dx3, diy xd.rd и т. д.
По выполнении этих подстановок получится выражение, которое, помимо конечных количеств х, у, р. q, г, s и т. д., может содержать
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
177
только первый дифференциал dx. Так, если будет предложено выражение
у dx' Ч- х. dy dsy I- х dly
<*- + У') d-y
и если dx принято за постоянное, то положим
dy — pdx, dp = qdx. dq — rdx и dz — sdx.
После подстановки этих значении предложенное выражение преобразуется в выражение
(у 4- хрг -4- xs) dx'1 (Х^^)7Г ~ ’
которое уже по содержит вторых и высших дифференциалов.
267. Подобным же образом можно устранить вторые и высшие дифференциалы, приняв за постоянное dy. Если же мы будем считать постоянным какой-нибудь другой первый дифференциал dt, то сначала вышеизложенным способом мы устраним из вычисления высшие дифференциалы количества х, полагая
d.x=pdl, dp = qdt. dq - rdt, dr — sdt и т. д., откуда
d^x. — qdt1, d3x--rdt3. d*x — sdt* и т. д.,
а затем таким же образом устраним высшие дифференциалы у, полагая
dy--Pdt, dP—Qdt, dQ—Rdt, dR—S dt и т. д., откуда
o'2// Q dt1. d*y = Rdt3, d.'y—Sdl* и т. д.
Подставив эти значения, получим выражение, которое, помимо конечных количеств х, р, q, г, $ и т. д., у, Р, Q, R, S и т. д., может содержать только дифференциал dt и поэтому но будет иметь неопределённого значения.
268. Зависит ли первый дифференциал, который полагается постоянным, только от х, или только от у, или, наконец, одновременно от х и От у, —нет нужды вводить два ряда количеств р, q, г и т. д. Действительно если dt зависит только от х, то буквы р, q, г и т. д. становятся функциями количества х, и в выражение войдут только буквы Р, Q, R и т. д. То же самое случится, если постоянный дифференциал dt будет .зависеть только от у. Если же dt зависит от обоих переменных, то нужно несколько видоизменить действия. Пусть, например, за постоянное количество принимается дифференциал у dx\ тогда у d‘x -}- dx dy = 0, откуда
d*x = _d*dy .
У
Пусть теперь
dy=pdx, dp —qdx, dq—rdx и т. д. Тогда
У
Л. Эйлер
178
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Дифференцируя ещё раз, получаем
,3 _ qdx3,p2dx3 2pdxd2x
Подставим сюда вместо d2x его значение----— ;
будем иметь
Далее
d*x = —
q dx3 . Зр2 dx3 ~У У^~
г dx* , pq dx* 4pq dx*
У Г У2 У2
и, подставляя
вместо d2x значение
bp'-dx* / Зр2
У3 *“ \ Уг
р dx2
, получим
мрч-^Уах*
'.Г У3 /
У
и т. д. Далее, так как dy = pdx. то
d2y = q dx2 + р d2x = (q— dx-.
Подставляя каждый раз вместо d2x выражение — , будем полу-
чать
и
dzy — +^г)^3
d*y=(s +
J v у у .’/ у У
И т. д.
После подстановки этих значений высших дифференциалов, предложенное выражение примет такой вид, что в нём уже не будет содержаться больше никаких высших дифференциалов, и мы избавляемся от необходимости рассматривать какой-либо дифференциал как постоянное количество. В самом деле, так как после выполнения этого преобразования больше нет вторых дифференциалов, то и пет необходимости вспоминать о том, какой дифференциал прежде был принят за постоянное количество.
269. В приложениях дифференциального исчисления к теории кривых линий часто случается, что за постоянное принимают первый дифференциал ]/ dx2 -\-dy-. Поэтому мы покажем, как нужно в этом случае исключать вторые и высшие дифференциалы. Тем самым станет ясно, как решается такой же вопрос, если нужно будет принять за постоянное какой-нибудь другой дифференциал.
Положим снова
dy = pdx, dp — qdx, dq — rdx, dr = sdx и т. д.;
тогда дифференциал У dx? + dy2 примет вид dx j/ 1 4- p2. Так как он является постоянным, то будем иметь
d*x V Г+Р + = 0.
г г /1 + д2
и значит,
_ __ °? dx2 .
1 --Р2 '
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
179
таким образом, мы имеем значение количества d2x. Далее, будем иметь
,3 __ рг dz3 q* dr3 .2p2q2 dx3 2pqdxd2x
X~ 1 + p- 1+~P2 ‘ (1+p2)2 " 1 + p2
pr dz3 q~ dx3 | 4p2</2 dx3 pr dx3 , (3p3 — 1) i/2 dx3
~ Г+ p2 “ f+pT + 11 p2)2 ' “ “ iTp2" (Г+р-7)2 •
Далее, получим
,4 ps dx* . (10p2 — 3) qr dx* (15p2 — 13) py3 dx4
« — Г+7- H (1 + p2y (Г+ p”2)3 '
Но так как мы положили dy=pdx, то, дифференцируя, будем иметь d'y =qdx2+p d-x •-= <7 dx2 - ,
,з r dx3 2p p dx3 , Iqdxdtx а'У Г+ “(T+pT + ~ 1+p2 ’ откуда js r dx3 \pq~dx3
У 1 + P2 (1 + P2)2 ’ Дифференцируя ещё раз, находим ,4 s dx* 13pq г dz* к (bp2— 1) q3 dxs a у~~1T7 (1 + p2)2'+ (T+pT
Итак, все высшие дифференциалы обеих переменных хну выразятся через конечные количества и через степени dx, и после этих подстановок мы получим выражение, совершенно свободное от вторых дифференциалов.
270. Изложив способ, которым можно освободиться от вторых и высших дифференциален, покажем его применение на нескольких примерах.
I. Пусть предложено выражение , в котором dx положено постоянным. Если положить dy pdx, и dp=qdx, то вследствие d2y = q dx" предложенное выражение перейдёт в конечное выражение xq.
II. Пусть предложено выражение
постоянным dy. Положим dx~pdy, dp=qdy, так как d2.
получится —. Если dy = pdx, dp = qdx, то О = pd2x + dp dx и d2x = — „ .. — р(1 р-
ние перейдет в --—--
dx- + du-
—-Л в котором положено d2x ’
'x=qdy2, то же мы пожелали бы положить, как прежде, вследствие постоянства dy будем иметь qdx2
. следовательно, предложенное выраже-
TTT >, ?/d2x — xd2q
111. Пусть предложено выражение (/г(/у , в котором положено
постоянным ydx. Положим dy — pdx и dp~qdx', согласно § 268 будем
(V сс - d d jc
иметь d2x=——— и d2y = q dx'1— --------- : после этих подстановок
.7 У
г , xq , хр
предложенное выражение преооразуется в выражение —1 —
rr dx24-dy2
IV. Пусть предложено выражение —в котором постоянным а у
положено y/^dx1 + dy1. Снова положим dy = pdx, dp = qdx', по предыду
180
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
щему параграфу будем иметь diy—~-i‘, следовательно, предложенное
„ (1 -Гр2)2
выражение перейдет в —-— .
Из этих примеров становится достаточно ясным, каким образом в каждом представляющемся случае, если какой-нибудь первый дифференциал принимается за постоянное, нужно исключать вторые и высшие дифференциалы.
271. Итак, если указанным образом ввести конечные количества p,q,r,s и т. д., вторые и высшие дифференциалы можно исключить, так что всё данное выражение, помимо конечных количеств х, у, р, q, г, s и т. д., будет содержать только дифференциал dx. Обратно, если предлагается такого рода приведённое выражение, то его снова можно привести к первоначальному виду, введя вместо р, q, г, s и т. д. вторые и высшие дифференциалы. При этом совершенно безразлично, какой именно первый дифференциал принимается за постоянное, тот ли самый, что раньше, или какой-либо другой. Более того, можно не принимать за постоянное никакого дифференциала, и таким образом получатся выражения, содержащие вторые и более высокие дифференциалы, которые, хотя никакой дифференциал и не принимается за постоянное, всё же будут обладать фиксированными значениями. Что такого рода выражения существуют, мы показали выше.
272. В самом деле, пусть предложено какое-нибудь выражение, содержащее конечные количества х, у, p,q,r и т. д. и дифференциал dx, причём
dii dp dq
р— -р-, q — -r> r=j' ПТ. Д-r dx dx 1 dx
Если мы пожелаем исключить буквы p,q,r и т. д. так, чтобы вместо них вошли вторые и высшие дифференциалы количеств х и у и чтобы никакой дифференциал не был принят за постоянное, то будем иметь
, dx d- q — dq d2x dP=~~ dx2
и отсюда
dx d'y — dy d2x Q dx*
Дифференцируя эту формулу, получим
, dx2 d3q — Adx d2x d2y 4- 3cZ v d2x2 — dx dq d-'x dq==-----.-----------------------,
откуда
dx2 d'y — 3dx d'-x d2y + Ady d2x2 — dx dy d3x r — •
Если, сверх того, в выражение входит буква s, обозначающая , то вместо неё нужно подставить значение
__ dx3 d*y — bdx2 d~x d'y — idx2 d2y d3y 4- d2x2 d2y -j- lOdx dy d2x d3x
S----------------------------- '--------------------------t'
, — lody d2x3 — dx2 dy d*x
После подстановки этих значений вместо количеств р, q, r,s и т. д. предложенное выражение преобразуется в другое, содержащее выс
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
181
шие дифференциалы количеств х и у, это выражение, хотя бы никакой дифференциал не принимался за постоянное, всё же будет иметь не неопределённое, а фиксированное значение.
273. Таким образом, всякая формула, содержащая дифференциал высших порядков, в которой некоторый'первый дифференциал предполагается постоянным, может быть преобразована в другую формулу, в которой никакой дифференциал не полагается постоянным и которая, несмотря на это, имеет одно и то же фиксированное значение. А именно, сперва с помощью изложенного выше метода мы исключим высшие дифференциалы, положив dy = р dx, dp = q dx, dq=rdx, dr = sdx п т. д., а затем подставим вместо p, q. r, s и т. д. найденные только что значения. Тогда получится выражение, равное первому и не требующее, чтобы какой-либо дифференциал был принят за постоянное количество. Это преобразование мы поясним следующими примерами:
I. Пусть предложено выражение , в котором dx полагается постоянным. Требуется преобразовать его в другое выражение, в котором никакой дифференциал но принимается за постоянное. Положим dy — pdx, dp — qdx, тогда, как мы видели в § 270, предложенное выражение перейдёт в выражение ух. Подставим теперь вместо q значение, которое оно получает, когда никакой дифференциал нс полагает-di — dii d- j: ....
ся постоянным, т. e. значение q=------~dx3~----’ тогДа изпдем выра-
жение
j d.r d-у - г dy d-x
<h3 ’
равное предложенному и не содержащее никакого постоянного дифференциала.
и тт dx2+dy2 .
11. Пусть предложено выражение —, в котором dy принято за постоянное. Положим dy = pdx и dp—qdx', тогда данное выражение перейдёт в выражение — > положим теперь (§ 270)
dx. d-у — dy d-x .. ..
и <7= ~ ’ тогда мы найдем выражение
dy (dxz-\-dy2)
dy d-.r — dx. d2y
которое имеет фиксированное значение, когда никакой дифференциал не принимается за постоянное, и которое имеет то же значение, что предложенное выражение.
... .. yd'-x — х d*u
111. Пусть предложено выражение ------------, в котором за посто-
(Jd Ц U
янное принят дифференциал ydx. Положим dy = pdx, dp — qdx-, тогда, как мы видели раньше (§ 270), это выражение преобразуется в выра-жепие — 1—+ —, которое, по принимая никакого дифференциала за постоянное, мы преобразуем в выражение
ж dx d-у — xdy d2x * dx dy2 — у dx? d у — yx dx d2y + yx dy d2x
dx2 dy2 ' у dx у dx2 dy ’
rr dx3 -J- dy2
IV. Пусть предложено выражение ——,в котором за постоянное принят дифференциал dxJ -j- dy2. Положим dy — p dx и dp---qdx-,
182 гл. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
(1 + р2)2 гт тогда получится выражение -—. Положим теперь
dy dx d2y— d-и d2x
p ~ и 7 = —; dx 3 dx2
тогда, не принимая никакого дифференциала за постоянное, мы получим выражение
(dx2 d-dy2)2 dx- a-у — ах dy d2x ’
равносильное предложенному.
V. Пусть предложено выражение > в котором дифференциал dx принят за достоянное. Положим dy--pdx. dp~qdx и dq = rdx; тогда вследствие dy = qdx2 и d3y ~ rdx3 предложенная формула перейдёт , rdx2 ...
в формулу -----. 1енерь вместо q и г подставим значения, которые
они получают, когда никакой дифференциал не принимается за постоянное. т. е. значения
dx d2y — dy d2x dr2 d3y -- Зо'.г d2.r d2y 3di/ a'-.r2 — dx dy d3x
dx3 11 Г dx3 ’
.мы получим следующее выражение, равносильное предложенному:
dx2d3y — 3dx d2x d2y -1* 3dy d2x2 + dx dyd3x _dx (dx d3y — dy d3x) $([гх
dx d-y — dy d2x dx, d2y — dy d2x
274. Если мы внимательнее рассмотрим эти преобразования, то мы •сможем установить болею удобный метод их выполнения, при котором не понадобится вводить буквы р, q, г и т. д. Для достижения этой цели применяются различные приёмы, смотря по тому, будет ли тот или иной дифференциал принят в предложенном выражении за постоянное. Положим сперва, что в предложенной дифференциальной формуле постоянным является дифференциал dx; Tait как мы положили pdx вместо dy, а потом снова ~ вместо р, то первые дифференциалы dx и dy всюду, где они входили в предложенное выражение, останутся неизменными. Там же, где встречалось d~y, вместо него мы
, „ dx <i-y — dy d2x
пишем qdx-, а потом вместо q подставляем значение----------------•
Поэтому преобразование будет выполнено, если повсюду вместо d-y dx d2y — dy d2x dy d2x
прямо положить ------dx~ ’’ T’ °’ ---
Пусть, сверх того, в предложенное выражение входит d3y; тогда, поскольку вместо пего полагается rdx3, а затем вместо г подставляется приведённое выше значение, нужно будет всюду вместо d3y написать
3d2xd2y 3dy d2xd dyd3x У dx ‘ dx2 dx ’
после чего предложенное выражение преобразуется в другое, которое не будет содержать никакого постоянного дифференциала. 'Г., « (dx2+dy2y'/2
1ак, если будет предложено выражение ~ , в котором dx
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
183
dy d2х
полагается постоянным, то, положив d?y------— вместо d2y, мы найдём
равное ему выражение
Sdx2+(!у2)3>1 dx d-у — dy d-x ’
не содержащее никакого дифференциала.
275. Теперь легко понять, что если в некотором выражении за постоянное принимается дифференциал dy, то повсюду вместо d2x j, dx d-y ,, 3dx2 dy2 ,
нужно написать d-x-------- и вместо сгх написать d х-----------|-
, 3dx d2y- dxd3y
-|—dy2^— су ’ 11 тогда получится равносильное выражение, в котором никакой дифференциал не полагается постоянным. Если же в предложенном выражении за постоянное будет принят дифференциал у dx, то, так как [§ 268]
ydx- , »г dx2
(ГХ —------ И (/-?/ = (МХ —----,
у у
, 7. dx dy , ,
мы должны оудем повсюду вместо dx написать---------, а вместо d~y
написать d-y— -- более высокие дифференциалы я не рас-
сматриваю, так как они встречаются в таких вопросах очень редко. Если же в предложенном выражении за постоянное будет принят дифференциал dx1dy'1, то, так как мы нашли [§ 269], что
d'x
pq dx2
1 - р2
и d-у =
7 dx-
i Ё7- 1
вместо d2x повсюду нужно
написать
dx2 d~y — dx dy d2x dx2 -j- dy2
dll '/cX1 — dy1
----- - , в котором a2x ’ r
_ dy2 d2x — dx dy d2u
оудет написать ~—у—г-г~г-?——. а вместо d-y Так, если будет предложено выражение ]/ dx1 -f- dy1 принято за постоянное, то оно
преобразуется в выражение
(dx- + dy2) 2
dy d2x — ах d2y ’
в котором никакой дифференциал не принимается за постоянное.
276. Чтобы эти преобразования можно было легче производить на практике, мы собрали их в нижеследующую таблицу.
Итак, каждая дифференциальная формула высшего порядка преобразуется в другую, не содержащую никакого постоянного дифференциала, с помощью следующих подстановок.
I. Если за постоянное принимается дифференциал dx,
вместо j
dSy j
нужно написать
,, dy d'2x
d у-----и, — ,
3 dx
3d-x d-y 3dy d2x2 dy d*x
У dx ‘ dx3 dx
184
ГЛ. VIII. о ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
11. Если за постоянное принимается дифференциал dy,
вместо нужно написать
d2x f/ a:. , (71/
d3x 3d'x (,~У 1 3dx d'2y2 dxd3y J 1 1 О 1 • dV dy~ dy
за постояннее принимается дифференциал ydj:.
нужно написать
Ш. Если вместе, еРх d-y d3x dsy :
dx dy
‘ ydx
IV. Если за постоянное принимается дифференциал y^/x'^-rdy'3,
вместо нужно написать
dlx dу2 d-x — dx d у d"-y dx- + dy- ’
d2y dx2 d-y — dx dy d2x dx2-Js-dy- ’
d3x dy2 d3x — dx dу d3y (dx d*y — dy dzx') (Xdy2 d-y — dx2d'zy -J 4t/.r dy d-;c} dx- -1 dy- (dx- rdyly
d3y dx* dsy — dx dy d3x. (dy d-x — dx d-y} (‘Adx2 d2x — dy2 d2x-(- idxdy d2y) dx2 — dy2 (dx2 4- dy2)2
277. Итак, выражения, не содержащие никакого постоянного дифференциала, будут составлены таким образом, что можно принять за постоянное по произволу какой угодно дифференциал. Исходя из этого, можно, рассматривая дифференциальные выражения, в которых никакой дифференциал не полагается постоянным, установить, является ли их значение неопределённым или фиксированным. Для этого сначала положим какой-нибудь дифференциал, например dx, постоянным; затем по правилу предшествующего параграфа приведём выражение снова к такому виду, в котором никакой дифференциал не предполагается постоянным. Если это выражение совпадёт с предложенным, то последнее будет фиксированным и не будет зависеть от непостоянства вторых дифференциалов; если я^е получится выражение, отличное от предложенного, тогда последнее имеет неопределённое значение. Так, пусть предложено выражение yd2x — xd~y, в котором никакой дифференциал не полагается постоянным; для того чтобы установить, имеет, ли оно фиксированное или неопределённое значение, положим dx постоянным; тогда предложенное выражение перейдёт в — xd2y, теперь по первому правилу предшествующего параграфа вместо d2y положим d~y — ,
и мы найдём выражение —xd2y-\-* , несходство которого с пред-
ложенным указывает на то, что предложенное выражение не имеет фиксированного и определённого значения.
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
185
278. Подобным образом, если будет предложено общее выражение вида
Pdx ф- Qdx dy + Rd-у,
можно установить условие, при котором оно имеет фиксированное значение, когда никакой дифференциал не принят за постоянное. Для этого положим dx постоянным; тогда предложенное выражение перейдёт в выражение Qdxdy -lRd'hy, последнее мы снова преобразуем та*;, чтобы его значение оставалось одним и тем же, хотя бы никакой дифференциал не считался постоянным; мы получим, таким образом, Bujia-жение Qdx dy ф- Rd у , которое совпадёт с предшествующим,
если Pdx-\- Rdy = 0; таким образом, только в этом случае его значение Rd v
будет фиксированным. Если же мы не будем иметь Р—------или,что
Pdx
то же, R=----, то предложенное выражение Pd'x у Qdx. dy ф- Rd-у
не будет иметь фиксированного значения; его значение будет нсопрс-делёиным и будет меняться в зависимости от того, принимается ли за постоянное тот или иной дифференциал.
279. Основываясь па этих началах, легко также будет преобразовать дифференциальное выражение, в котором какой-нибудь дифферен-
циал положен постоянным, к другому виду, где принимается за постоянное другой дифференциал. Для этого нужно сначала привести выражение к такому виду, который не содержит никакого постоянного дифференциала, а затем положить постоянным этот другой дифференциал. Так, если в предложенном выражении дифференциал dx принят за постоянное и требуется преобразовать его в другое выражение, которое содержало бы постоянный дифференциал dy, то в формулах, которые должны быть подставлены вместо d’y и d*y, нужно вследствие постоянства dy положить d’y— 0, ddj = 0, так что вместо d’y нужно dy d’x 3dii d-y- di/d3x
оудет подставить — -"E _. ц вместо «*у подставить "•
(dx- r-di/'-) ,
-, , в котором dx положено постоян-
Таким образом, выражение
(dx- yd ним, преооразуется в выражение
полагается dy.
280. Если, наоборот, выражение, в котором
в котором постоянным
dy полагается постоян-
ным, требуется преобразовать в другое, в которой; постоянным является
7 dxd'-q 73
dx, то вместо d-x нужно подставить-------, а вместо d х выражение
Sdxdy2 dxd^ii . r - - r ...
——у-------д-Р- . Подобным образом, если формулу, в которой постоян-
ным положено dx-y-dy', нужно преобразовать в другую, в которой
, , ,, dxdi/d-ii
постоянным будет dx, то вместо d-x нужно написать —, , ,-л-т и вместо ах- аи
d'-у нужно написать • Если же формулу, в которой dx принято
за постоянное, нужно преобразовать в другую, в которой постоянным будет + dy2, то вследствие постоянства dx2 ф- dy2 имеем
dx d’x 4- dy d’y = 0
186
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
И
d2x = dy d2y . dx
Приняв это значение вместо d'-х, мы должны написать вместо d*y выражение
,, du-d2n (d.r2 r dv2) d-y =----------------d^----
... (dx2 T- dy2} J
I аким образом, выражение------'dxd2^ ’ в K0T0P0M dx ссть постоянное,
преобразуется в другое, в котором постоянным полагается j/"<Za:2 + dyi, а именно в выражение
dx j/" dx2 4- dy2
d2y
Г Л А В А IX
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
281. В этой главе мы ставим себе задачей прежде всего объяснить, как дифференцируются функции количества х, неявно определяемые уравнением, которое содержит в себе соотношение между функцией у и количеством х. После этого мы остановимся на рассмотрении природы дифференциальных уравнений и покажем, каким образом они возникают из конечных уравнений. Поскольку в интегральном исчислении наиболее трудным вопросом является, интегрирование дифференциальных уравнений, т. о. нахождение таких конечных уравнений, которые согласовались бы с дифференциальными уравнениями, мы должны будем здесь внимательно рассмотреть свойства дифференциальных уравнений, вытекающие из их происхождения, и таким образом подготовить путь к изучению интегрального исчисления.
282. Приступая к решению поставленного вопроса, положим, что у есть такая функция количества х, которая определяется квадратным уравнением
У~ + Ру -г Q = О-
Так как выражение у’ + Ру ф- Q равно нулю при любом значении х, оно будет также равно нулю, если вместо х написать x-\-dx; при этом у перейдёт в y-pdy. Если от количества, полученного после этой подстановки, отнять первоначальное количество y~-pPy-pQ, в остатке получится его дифференциал, который в силу сказанного также будет равен пулю. Отсюда ясно, что всегда, если какое-либо выражение будет равно нулю, его дифференциал также будет равен пулю, и если два количества будут равны между собой, то и их дифференциалы будут равны. Таким образом, поскольку у' -р Ру + Q = 0, мы будем иметь также
2 у dy - j - Р dy -j- у dP ц- dQ = 0,
а так как P и Q суть функции x, то их дифференциалы будут иметь вид
dP = pdr, и dQ — qdx, следовательно, будем иметь
2 у dy pPdy — у у dx-p q dx - = 0. откуда
rfy _ ур + ?
dr -2i/ + P
188
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
283. Подобно тому как конечное уравнение
у2 + Ру + <2 = 0
выражает соотношение между у и х, так дифференциальное уравнение выражает соотношение между dx и dy, т. е. отношение между dy и dx. Но так как мы имеем ~ = — ’г'—/;, то это отношение dy.dx будет известно лишь тогда, если будет известна сама функция у. Иначе и быть не может. В самом деле, так как конечное уравнение даёт два значения у, то каждое из них будет иметь свой дифференциал и из выражения —^уУ~р ПОЛУЧИТСЯ как тот, так и другой дифференциал, смотря по тому, подставим ли мы в это выражение то или другое значение у. Подобным образом, если функция у определяется из куби-т dv
ческого уравнения, то функция оудет иметь три значения, соответствующие трём значениям количества у. Если в предложенном конечном уравнении у имело бы четыре или большее число измерений, d у
то столько же значений должно иметь ~ .
284. Функция у может быть, однако, исключена из уравнения, так как мы имеем два уравнения, содержащие у, а именно, конечное уравнение и уравнение дифференциальное. Но тогда дифференциал dy будет иметь столько измерений, сколько прежде их имело у, так что полученное уравнение будет заключать в себе все различные отношения количества dy к dx. В качестве примера возьмём снова уравнение у3 + Ру + <2=0; его дифференциальное уравнение есть 2у dy + Р dy + + у dP + dQ = 0; из последнего находим
У ~ idy h dp •
Подставив это значение вместо у в первое уравнение, получим уравнение
(4<2 - Р2) dy3 + (4<2 - Р2) dPdy + Q dP'2 -PdPdQ + dQ- = 0,
корни которого суть 1 -LpdP-dQ dy^ -LdP + - .
Эти корни дают два дифференциала, соответствующие двум значениям
У= |]/pj-4<2,
получаемым из конечного уравнения.
285. После того как найдено значение dy, можно повторным дифференцированием найти значение d3y, а затем значения dsy, d*y и т. д. А так как они будут неопределёнными, пока какой-либо первый дифференциал не будет принят за постоянное, то мы для большего удобства будем считать постоянным dx. Возьмём в качестве примера уравнение
у3 + х3 = За ху;
дифференцируя его, мы получим
Зу2 dy + Зх2 dx = Зах dy + Зау dx,
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
189
откуда
dy ну — у-
dx у2 — ах
Возьмём снова дифференциалы, положив dx постоянным; мы найдём dhj — ay-dy — а2х dy 4- 'lx2у dy — 2xi/2 dx 4- axy dx. 4- ax' dx dx (y2 — ax)2
.Подставим вместо dy только что найденное ого значение -—
' У“ (IX
и разделим па dx; тогда будем иметь
d~y (ay - г2) (2х2у — ay2 — а2х) , ах2 + а2у — dxy2
dx2 (у2 — ах)3 (у2 — ах)2
или
d2y f<ax2y2 — 2j:4?/ — 2xyl — 2a3xy 2a3xy
dx2 (у2 — ax)3 (у2 — ax)3 ’
так как из коночного уравнения мы имеем 2xiy — 2ху* — 6ах’уг. Таким образом, с помощью конечного уравнения мы можем эти значения преобразовывать к бесчисленным видам.
286. Точно так и:с и первое дифференциальное уравнение можно видоизменять бесчисленными способами, если его комбинировать с конечным уравнением. Так, в предшествующем примере мы нашли дифференциальное уравнение
у2 dy J- х2 dx = ах dy + ay dx;
если его помножить па у, получим
у3 dy + х2у dx = аху dy + ay'dx;
если в это уравнение вместо у3 подставить его выражение 'Заху— Xs, получим новое уравнение
2аху dy — х3 dy-\- х2у dx = ay2 dx;
если его снова помножить на у и затем вместо у3 подставить его выражение, то будем иметь
2аху2 dy — х3у dy 4- х2у2 dx — За2ху dx — ах3 dx.
Вообще, пусть Р, Q, R суть какие-либо функции количеств х и у. Если дифференциальное уравнение помножить на Р, будем иметь
jPy2 dy -f- Рх2 dx = аРх dy 4- аРу dx.
С другой стороны, так как ж3 + у3 — Заху=*О, то будем также иметь (х3ф- у3 — Заху) (Q dx3- Rdy) = 0.
Если эти дифференциальные уравнения сложить, получим общее дифференциальное уравнение, порождаемое предложенным конечным уравнением.
287. Бесчисленное множество дифференциальных уравнений из одного и того же конечного уравнения можно получить также и в результате самого дифференцирования, если прежде чем дифференцировать конечное уравнение мы помножим или разделим его на какое-нибудь количество. Пусть, например, Р есть какая-либо функция х и у, причём dP — pdx + qdy. Если помножить конечное уравнение на Р, а затем дифференцировать, получится общее дифференциальное уравнение.
190
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
которое может иметь бесчисленное множество видов, которые будут различными всякий раз, как за Р мы будем принимать всё новые и новые функции. Множество возрастёт ещё в бесконечное число раз, если к найденному дифференциальному уравнению мы прибавим данное конечное уравнение, помноженное на выражение вида Qdx-^Rdy, где за Q и R можно принять какие угодно функции х и у. Хотя все эти уравнения дают соотношение между dy и dx, связывающее дифференциал функции у, зависимость которой от х определяется конечным уравнением, с dx, однако они имеют гораздо более широкое поле действия и выражают также дифференциалы количества у, определяемые из других конечных уравнений. Причина этого выяснится лучше всего в интегральном исчислении.
288. Не только из одного и того же конечного уравнения можно вывести бесчисленное множество дифференциальных уравнений, но также можно найти много, и притом бесконечно много, конечных уравнений, которые приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Так, два уравнения
у2 - ах + ab
и
у'1 = ах
совершенно отличны друг от друга, ибо в первом уравнении вместо b можно подставить любое постоявное количество. Однако оба эти уравнения после дифференцирования дают одно и то же дифференциальное уравнение
2у dy ----- a dx.
Более того, все уравнения вида у2 = ах, какое бы значение ни приписать количеству а, могут быть охвачены одним дифференциальным уравнением, в которое а не входит. В самом деле, разделим наше уравнение на х, так что будем иметь ^-=н; после дифференцирования это уравнение даст
2х dy — у dx — 0.
Точно так же трансцендентные уравнения и уравнения алгебраические могут приводить к одному и тому же дифференциальному уравнению, как это имеет место для уравнений
у2 — ах~0 и
у2— ах = Ь2 еа .
X
Действительно, если то и другое уравнения разделить на е ° , то получим уравнения
X
е а (у2 — ах) = о
и
X
е ° (у~ — ах)= ь2-
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
191
После дифференцирования любого из них получается одно и то же дифференциальное уравнение
2 у dy — a dx —х (jx __ q_
289. Причина этой, множественности состоит в том, что дифферен-циал постоянного количества равен нулю. Так, если конечное уравнение принести к такому виду, чтобы некоторое постоянное количество стояло бы одиноко и не умножалось или не делилось бы на переменные количества, то дифференцирование даст уравнение, в которое это постоянное количество вовсе не войдёт. Таким образом, любое постоянное количество, входящее н коночное уравнение, может быть устранено с помощью дифференцирования. Так, пусть будет предложено уравнение
х3 + у3 = За ху.
। ^3 |. ^13
Если его разделить на ху, мы получим --^-- = 3я; будучи продифференцировано, это уравнение даст уравнение
2х3у dx + 2ху3 dy — x*dy — у* dx О, в которое постоянное а больше не входит.
290. Если нужно избавиться от нескольких постоянных количеств, входящих в конечное уравнение, то это можно сделать с помощью дифференцирования, повторённого дважды или несколько раз. Таким образом, в конце концов будут получены дифференциальные уравнения высших порядков, совершенно не содержащие этих постоянных количеств. Так, пусть будет предложено уравнение
у3 та2 — пх2
и пусть требуется с помощью дифференцирования избавиться от постоянных количеств та2 и п. Первое из них устраняется после первого дифференцирования, и мы получаем J
у dy + пх dx = 0;
отсюда мы образуем уравнение = которое при постоянном dx
даст после дифференцирования уравнение
ху d2y + х dy2 — y dxdy — О, которое, хотя оно и не содержит никаких постоянных, однако охватывает все уравнения, представленные формулой у3 —та2— пх2, какие бы значения ни были приписаны буквам т, п и а2.
291. С помощью дифференцирования можно устранить не только постоянные, входящие в конечное уравнение, но также и одно из переменных, а именно то, дифференциал которого принят за постоянное. Для этого из предложенного уравнения, связывающего х и у, нужно найти значение х; мы получим х = У, где Y есть некоторая функция количества у; тогда будем иметь dx = dY и, так как dx принято за постоянное, после дифференцирования мы имеем 0 = d2Y. Если же мы будем иметь уравнение
х2 ах -J- b = Y,
то, трижды дифференцируя его, получим 0 = <73У. Уравнение же
X3 ах2 + 6х+ с. = У,
192
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
четырежды дифференцированное, даст 0 = <Z4F. Может показаться, что в эти уравнения входит только одно переменное количество, и тогда оно перестало бы быть переменным, так как ни в каком уравнении переменное не может быть только одно. Однако так как мы приняли, что дифференциал dx является постоянным и так как его отношение должно содержаться в уравнении, то нужно считать, что на самом деле он в уравнение входит. Неудивительно поэтому, что часто встречаются дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, в которые входит, невидимому, только одно переменное.
292. Особенно нужно отметить, что с помощью дифференцирования можно освободиться от иррациональных и трансцендентных количеств, входящих в уравнение. Что касается количеств иррациональных, то, так как иррациональность можно устранить при помощи известных преобразований, после дифференцирования мы получим уравнение, свободное от иррациональности. Но часто удобнее это можно сделать, не прибегая к упомянутым преобразованиям, ибо, сравнивая дифференциальное уравнение с конечным, мы можем исключить иррациональное выражение, если оно имеется в единственном числе. Если же конечное уравнение содержит два или большее число иррациональных членов, то его дифференциальное уравнение нужно снова дифференцировать, и таким образом мы найдём столько дифференциальных уравнений высших порядков, сколько нужно для исключения иррациональных членов. Таким же образом можно устранить неопределённые показатели степени, а также показатели дробные. Так, если будем иметь
у" = (а’-х3)п,
то после дифференцирования получим
тут~' dy= —2п(а*— х2)л~'xdx.
Разделив это уравнение на конечное, найдём уравнение
т dy 2 пх dx
у а2 — х2 ’
в которое больше не входит неопределённый показатель степени. Отсюда ясно, что дифференциальное уравнение, свободное от всякой иррациональности, может произойти из иррационального конечного уравнения и даже из уравнения, содержащего трансцендентные количества.
293. Чтобы стало понятным, каким образом с помощью дифференцирования можно исключить трансцендентные количества, мы начнём с логарифмов. Так как их дифференциалы являются алгебраическими, то вопрос решается без труда. Пусть, например,
у == х 1 х.
Тогда будем иметь откуда, дифференцируя, получаем
х dy — у dx dx х2 х
и, следовательно,
х dy— у dx = х dx.
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
193
Если логарифм входит дважды, то нужно дифференцировать два раза. Пусть, например,
у 1 х = х I у.
Будем иметь —и, дифференцируя,
х dy 1 х + у dx — у dx 1 х _ dy х2 ~ У
Отсюда заключаем, что
1 х _ xi dy — У' dr ух dy — у2 dx
Снова дифференцируем это уравнение, полагая dx постоянным; получим dx х2 d2y 4- 2х dx dy — 2у dx dy । (у2 dx — x2 dy) (yx d2y + x dy2 — у dx dy)
x yx dy — y2 dx (yx dy — y2 dx)2
ИЛИ
dx y3x dx d2y — y2x2 dx d2y-\ 3yx2dxdy2 — y2x dx dy2 + y3 dx2 dy — 2xy2 dx2 dy — x3 dy* x (yx dy — y2 dx)2
Это уравнение после упрощений даст
у3х dx d2y — y2x- dx d2y Д- бух2 dx dy2 — 2xy* dx dy2 -f- 3y3 dx1 dy —
— 2xy2 dx- dy — x3 dy3— 0,
или
y2x2 (y — x) dx d'!y 3yx dx dy (x2 dy + y2 dx) — 2y2x2 dx dy (dx dy) = = x* dy3 + y* dx3.
294. Показательные количества устраняются из уравнения таким же образом, как логарифмы. Пусть, например, предлогкено будет уравнение
где Р и Q суть какие-либо функции х и у; это уравнение можпо преобразовать в логарифмическое уравнение \P=Q. дифференциал кото-рого есть — = dQ или
dP = PdQ.
Ничто не мешает применить этот приём и в том случае, если показательные количества войдут в большем числе. 13 самом деле, если одного дифференцирования окажется недостаточно, вопрос решится с помощью двух или нескольких дифференцирований.
ет 4-
I. Пусть ----------тт ; помножим числитель и знаменатель этой
«/ «7 (>' J '
< т ё2х 4~ 1 у 4-1 , у 4* I
дроои на ех , получим у = t, откуда е- = -- и 2х = г-—1.
Дифференциал этого уравнения есть
У2-1 L-!/2'
f,X д. е- -Т
II. Пусть у -= 1 —; первое дифференцирование даёт dy =
(ех — е~х) dx dy е2Х — 1 dy-^dx „
= -—=------ или -Д = ——, откуда е = . Следовательно,
ех_|_е-х dj. dr—а у ’
13 Л. Эйлер
194
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
2,т = 1 4^-—-4^-. Полагая dx постоянным, будем иметь dx = 4Ж ** У dx — dy J dx* — dy*
или
dx1 —d~y -j- dy2.
295. Таким же образом устранятся из уравнения с помощью дифференцирования трансцендентности, зависящие от круговых функций, что видно из следующих примеров:
I. Пусть у — a arcsin у ; тогда
Птт У Ч ч du —xdu + ydx у
. Пусть ?/ = acos—; тогда —= cos — и ---=--—sin — . Но
х а ха х- х
так как cos , то sin- : подставив это значение, получим
dy (у dx — x dy) V а" — у* а ах* '
ИЛ и
х2 dy = (у dx — х dy) Va2 — у2.
III. Пусть у = т sin х -I- п cos х; после первого дифференцирования получим dy — mdx cos х— ndx sin ж; дифференцируя ещё раз при постоянном dx, будем иметь d2y = —т dx2 sin х — п dx2 cos х.
Это уравнение, разделённое на первое, даёт =—tlx" d"y -4- у dx2 = 0.
или
В этом уравнении не содержатся не только синус и косинус, но также постоянные т и п.
IV. Пусть ?/ = sinla:; тогда arcsin у —1х; с помощью дифференци-dy dx
рования получаем --------- = -- ; возводя в квадрат, получаем уравне-
ние
х2 dy2 = dx2 — у2 dx2;
полагая в последнем dx постоянным и дифференцируя ещё раз, получаем 2х2 dy d2y 2х dx dy2 — — 2 у dx2 dy
или
x2 d2y x dx dy у dx2 = 0.
V. Пусть y = ae"'x sin пх; дифференцируя, будем иметь уравнение dy = maemx dx sva.nx naemx dx cos nx.
Разделив его на предложенное, получим
dy , , п dx cos пх т,7.
- = т ах Н--------= т dx -J- п dx cts пх.
у sin пх °
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
195
Следовательно, . / dy ту
arcctg ( —---------- пх.
\пу dx nJ
Эго уравнение, будучи продифференцировано при постоянном dx. даёт
, п dx dy- — пу dx d2y
У) ПТ —•_________-_____-____—______
т-у~ dx- 4 и-у2 dx'3 — 2ту dx dy 4 dy2 ’
или
(//( ’ Ц- /г) у-dx- — 2ту dx dy ~ — у d~y ’).
Итак, ясно, что хотя бы в дифференциальном уравнении и не было никаких трансцендентных количеств, однако оно может произойти из конечного уравнения, в которое каким-нибудь образом входят трансцендентные количества.
296. Так как дифференциальные уравнения первого и высших порядков, содержащие две переменные х и у, происходят из конечных уравнений, то и дифференциальные уравнения выражают соотношение между этими переменными. А именно, если предложено какое-либо дифференциальное уравнение, содержащее два переменных х и у, то оно обозначает, что между хну существует некоторое соотношение, в силу которого у является какой-то функцией от х. Таким образом, природа дифференциального уравнения будет выяснена, если можно будет представить у в виде такой функции от х, которая указывается дифференциальным уравнением, т. е. которая составлена таким образом, что если повсюду подставить её вместо у, её дифференциал вместо dy, её высшие дифференциалы вместо d2y, d3y и -г. д., то получится тождественное уравнение. Разысканием таких функций и занимается интегральное исчисление, цель которого состоит в том, чтобы по данному дифференциальному уравнению определить ту функцию количества х, которой равно другое переменное у, или, что то же, найти конечное уравнение, дающее соотношение между х и у.
297. Пусть, например, предложено уравнение
-У dy — а dx — -j- xdx = О,
к которому мы пришли раньше (§ 288); оно определяет соотношение между х и у, выражаемое в то же время конечным уравнением
X
у- — ах — Ь‘еа •
'Гак как из этого уравнения мы находим у2 = ах ф- Ь'2еа, то ясно, что
ах ф- Ь2еа у есть та функция от х, которой равно переменное у в силу предложенного уравнения. Ибо, если подставить в уравнение
X
вместо у'2 значение ах-\-Ь2еа и вместо 2у dy его дифференциал
') В первом издании.
, п dx dy2 — nu dx d'2y
ndx----------------12-----------
:— ----I г или (т2 г id) у-dx2--2ту dx dy dy2 — у d2y
т-у- dx- J- п-у2 dx2 — 2ту dx dy
13*
196
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
X
a dx + b— еа dx, то получим тождественное уравнение
* Ъг *
adx -|— еа dx — a dx — xdx-еа dx-\- xdx — 0.
а а '
Таким образом, ясно, что всякое дифференциальное уравнение, так же как и уравнение конечное, выражает определённое соотношение между переменными х и у, однако это соотношение нельзя найти без помощи интегрального исчисления.
298. Чтобы лучше это понять, положим, что нам известна та функция от х, которая равна количеству у в силу какого-нибудь дифференциального уравнения первого или высшего порядка. Пусть
dy = pdx, dp—qdx, dq — rdx и т. д.
Если, кроме того, в дифференциальном уравнении дифференциал dx был принят за постоянное, то будем иметь d2y — qdx‘, d3y — rdx3 и т. д. Когда эти значения будут подставлены в уравнение, все его члены станут однородными, так что от дифференциалов dx мы освободимся с помощью деления. Мы получим тогда уравнение, содержащее только конечные количества х, у, р, q, г и т. д. А так как р, q, г и т. д. суть количества, зависящие от вида функции у, то в действительности предложенное уравнение даёт соотношение только между двумя количествами х и у. Таким образом, всякое дифференциальное уравнение определяет некоторое определённое соотношение между переменными х и у. Поэтому, если, решая какую-нибудь задачу, мы придём к дифференциальному уравнению, связывающему х и у, то нужно считать, что оно таким же образом выражает соотношение между х и у, как если бы мы пришли к конечному уравнению.
299. Итак, указанным способом можно всякое дифференциальное уравнение привести к такому конечному виду, чтобы в нём содержались только конечные количества, дифференциалы же, т. е. количества бесконечно малые, вовсе не входили бы. Действительно, если у есть некоторая функция от х, то, положив dy—pdx, dp — qdx, dq = rdr и т. д., какой бы дифференциал ни был принят за постоянное, мы сможем выразить вторые и высшие дифференциалы через степени количества dx, которые затем совершенно устранятся с помощью деления. Так, пусть предложено уравнение
ху d3y + х~ dy dp/ у2 dx ddy — xy dx3 = 0, в котором dx положено постоянным., Положив dy—pdx, dp=qdx и dq—rdx и разделив всё уравнение па dx3, мы придём к уравнению х уг -4- x3pq + y3q — ху — 0.
Это конечное уравнение и определяет соотношение между х и у.
300. Итак, все дифференциальные уравнения, каков бы ни был их порядок, с помощью подстановок
dy=pdx, dp — qdx, dq = rdx и т. д.
приводятся к уравнениям, содержащим только конечные количества. Если дифференциальное уравнение было первого порядка, так что в него входили только первые дифференциалы, то это преобразование вводит, кроме количеств х и у, ещё количество р. Если дифференциаль
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
197
ное уравнение было второго порядка, т. е. содержало вторые дифференциалы, то вводится, кроме того, количество q; если третьего порядка, то, сверх того, количество г, и т. д. Поскольку, таким образом, дифференциалы вовсе исключаются из вычисления, постоянный дифференциал становится совершенно излишним, и нам больше пет нужды, хотя бы в уравнение входили количества 7, г, возникающие из вторых дифференциалов, указывать, принят ли за постоянное какой-либо дифференциал. В самом деле, теперь безразлично, сочтём ли мы по произволу какой-либо дифференциал постоянным или никакой дифференциал не будем считать постоянным.
301. Если предлагается дифференциальное уравнение второго или высшего порядка и если указано, что в нём никакой дифференциал не принят за постоянное, то тотчас же можно узнать, содержится ли в нём определённое соотношение между х и у или не содержится. В самом деле, так как никакой дифференциал не принимается за постоянное, то от нашего произвола зависит, какой дифференциал положить постоянным. Значит, нужно только рассмотреть, выражает ли уравнение одно и то же соотношение между х и у, если различные дифференциалы полагать постоянными. Если это не имеет места, то мы имеем верный признак того, что уравнение не выражает никакого определённого соотношения и потому не может иметь места при решении какой-либо задачи. Вернейшим же и в то же время самым лёгким способом узнать это является тот самый способ, который мы изложили выше (§ 277) применительно к дифференциальным выражениям и который позволяет узнать, имеют ли они фиксированные значения.
302. Итак, если предложено такое дифференциальное уравнение второго или более высокого порядка, в котором никакой дифференциал не положен постоянным, то нужно сначала принять за постоянное дифференциал dx, затем снова привести это уравнение к такому виду, который соответствует предположению, что никакой дифференциал не принят за постоянное. Как было показано выше (§ 276) применительно к дифференциальным выражениям, для этого нужно положить
«у-----вместо dy
и
,3 ‘3d2z d-ii . 3dyd2x~ dy d3x
d u----j—-4-------------4— вместо dsy
> dx dx2 dx 3
и т. д.
После этого нужно посмотреть, совпадает ли полученное таким образом уравнение с предложенным; если совпадает, то предложенное уравнение выражает определённое соотношение между х и у; если же не совпадает, то уравнение будет неопределённым и не будет выражать определённого соотношения между переменными х и. у, как это было подробно показано выше.
303. Чтобы лучше уяснить это, рассмотрим уравнение
Pd2x + Qd2y + Rdx2 + Sdxdy + Tdy* = O.
Пусть указано, что оно найдено в предположении, что никакой дифференциал не принят за постоянное. Положим, что постоянным является dx; тогда предложенное уравнение перейдёт в уравнение
Q d2y + R dx2 -ф S dxdy + 71 dy2 = 0.
198
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если мы теперь снова откажемся от рассмотрения постоянных дифференциалов, то из этого уравнения мы по вышеизложенному способу получим уравнение
- - Q d 'y -г R dx1 + Sdxdy + Tdy* = 0.
Так как оно отличается от предложенного только тем, что у них первые члены различны, то нужно посмотреть, имеет ли место равенство Р —— ‘ Если да, то предложенное уравнение выражает фиксирован-
ное соотношение' между х л у. Это соотношение найдётся по правилам, которые мы изложим в интегральном исчислении, какой бы первый дифференциал ни был принят за постоянное. Если же не будет иметь
,, Q dy г
места Р = —dx ’ т0 пР°Дложеипое уравнение будет невозможным.
304. Итак, чтобы уравнение
Р d-.r + Q d-y + R dx- + S dx dy T dy2 — 0
не было нелепым, необходимо, чтобы Р dx + Q dy — 0; это может произойти двояким образом: либо в действительности будем иметь Р ————, т. о. уравнение Pdx + Qdy — O будет тождественным, либо Р dx 4- Q dy = 0 будет тем дифференциальным уравнением первого порядка, из дифференцирования которого произошло предложенное уравнение. В этом последнем случае уравнение Pdx + Q dy — 0 будет совпадать с предложенным и выражать то же соотношение между х и у. Тогда это соотношение можно найти без помощи интегрального исчисления. Действительно, так как Р dx -ф Q dy = 0, то, дифференцируя, будем иметь
Р d2x + Q d2y + dP dx + dQ dy = 0.
Если отнять это уравнение от предложенного, в остатке получится
Р dx2 + 5 dxdy -f- Т dy2 — dP dx + dQ dy.
А так как dy =------,
то дифференциалы можно вовсе устранить,
и мы получим конечное уравнение, содержащее х л у, дающее соотношение между ними.
305. Пусть при решении задачи мы, не полагая никакого дифференциала постоянным, пришли к уравнению
x3d2x + х2у d2y — y2 dx2 + х2 dy2 + a2 dx2 = 0.
Так как известно, что это уравнение не является нелепым, то будем иметь
х3 dx -j- x2ydy — 0 или
х dx + у dy — 0.
Дифференциал этого уравнения будет
Xs d2x + х2у d2y 4- Зх2 dx2 + 2ху dx dy -f- х2 dy2 = 0.
Отняв это уравнение от предложенного, будем иметь в остатке
a2 dx2 — у2 dx2 — Зх2 dx2 — 2ху dxdy = 0
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
199
или
й2 dx — у2 dx — Зж2 dx — 2ху dy = 0.
Но так как xdx -ф у dy = 0, то будем иметь
2ху dx -- — 2х2 dx и, следовательно.
a2 dx — у2 dx — x2dx — 0 или
у’ + ж2 — а2.
Это уравнение выражает истинное соотношение между х и у. поскольку оно согласуется с ранее найденным дифференциальным уравнением х dx + у dy — 0. Если такой согласованности не обнаружилось бы, то предложенное уравнение нужно было бы считать невозможным. А так как в данном случае согласованность имеет место, то мы смогли найти конечное уравнение .г2 у2 = а2 без помощи интегрального исчисления.
306. Дадим теперп пример невозможного уравнения. Пусть предложено уравнение
у2 d2x — х2 d2y + у dx2 — х dy2 + a dx dy = 0, в котором никакой дифференциал не принят за постоянное. Тогда мы будем иметь у2 dx — х2 dy — Q и, дифференцируя, получим
у2 d2x — х2 d2y 2у dx dy — 2х dx dy = 0.
Положив это выражение равным предложенному, мы получим у dx2 — х dy2 -\-а dx dy ^2у dxdy — 2х dx dy.
А так как dy~y^, то, освободившись от дифференциалов, мы получим
и* ау- 2у3 2уг
2/ хз xi xz х
ИЛИ
xz — у* + аху = 2ху2 — 2х2у.
Согласуется ли это уравнение с дифференциальным уравнением у2 dx — — x2dy = 0, легко выяснится дифференцированием. Мы будем иметь
Зж2 dx — Зу2 dy + axdy + ay dx = 2y2 dx 4xy dy — 2x2 dy — 4xy dx, t. e.
dy___3z2 + ay 2y2 -h
dx Qy* — axkxy—
Отсюда и следовательно, будем иметь
dx xL *
Зж4 + 4ж3г/ + ax2y — 3г/4 -|- 4xy3 — axy2
или
3v4 + 4zw3 — 4z3« — 3z4 о s । - •> os
axy = ~X - Х'У - 3a: •
x i у
Но прежде из конечного уравнения мы нашли, что
аху = г/3 + 2й;г/2 — 2х2у — ж3.
Вычитая это уравнение из предыдущего, получим уравнение О — 2г/3 — ху2 + х2у — 2ж3,
200
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
которое распадается па уравнения
0 = у — х и
2г/2 -j- ух + 2ж2 = 0.
Первое из них. у = х, хотя и согласуется с дифференциальным уравне-л v2" dx
нием dy — '—^-, однако противоречит прежде наиденному конечному уравнению, если только не положить а == 0 или если не считать оба переменных хну постоянными. Но в этом случае, если dx=Q и dy~Q, удовлетворяется всякое дифференциальное уравнение; поэтому предложенное уравнение не может существовать.
307. Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения, содержащие три переменные х, у и z; они могут быть первого, второго или высшего порядков. Чтобы изучить их природу, нужно заметить, что конечные уравнения, содержащие три переменные, определяют соотношение, которое существует между одной из них и двумя остальными; иными словами, Оно определяет, какой функцией количеств хну является z. Итак, конечное уравнение такого рода будет решено, если мы найдём, какую функцию количеств хну нужно подставить вместо z, чтобы уравнение удовлетворилось. Таким же образом дифференциальное уравнение, содержащее три переменных, будет определять, какова та функция, которая выражает одно переменное через другие;' и нужно считать, что решил дифференциальное уравнение тот, кто указал такую функцию двух переменных хну, которая, подставленная вместо третьего переменного z, удовлетворит уравнению, т. е. сделает его тождественным. Итак, дифференциальное уравнение будет решено, если либо будет определена функция от х и у, выражающая значение количества z, либо будет указано конечное уравнение, выражающее значение, которое должно иметь z.
308. Всякое дифференциальное уравнение, содержащее только два переменных, всегда выражает определённое соотношение между ними. Для уравнений с тремя переменными это имеет место не всегда. Есть такие уравнения, которым ни в каком случае, х^акие бы функции хну ни подставлять вместо z, удовлетворить нельзя. Так, если предложено уравнение
zdy*=y dx,
то, как легко видеть, не существует такой функции количеств хну, которая, будучи подставлена вместо z, даст zdy^-ydx\ действительно, дифференциалы dx и dy никаким образом не уничтожатся. Таким же образом мы убедимся, что нет никакой функции количеств х и z, которая, будучи подставлена вместо у, удовлетворила бы тому же уравнению. Действительно, какую бы функцию х и z мы ни взяли, в её дифференциал будет входить дифференциал dz, который не может уничтожиться, так как его нет в уравнении. Поэтому не может существовать никакого конечного уравнения, связывающего х, у и z, которое соответствовало бы дифференциальному уравнению zdy = у dx.
309. Следовательно, дифференциальные уравнения, содержащие три переменных количества, нужно подразделить на действительные и мнимые. Мнимым или нелепым будет таксе уравнение, которому нельзя удовлетворить никаким конечным уравнением; такоцо, например, урав
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 201
нение zdy = у dx, которое мы только что рассмотрели. Действительным же будет то уравнение, для которого можно найти такое равносильное ему конечное уравнение, которое выражало бы одно из переменных в функции двух других. Таково уравнение
zdy + у dz — х tZz -J- zdx xdy -ф у dx.
Действительно, оно совпадает с конечным уравнением yz = xz ху и даёт z = ^_.
у — х
Это различие между действительными и мнимыми уравнениями надо соблюдать очень тщательно, особенно в интегральном исчислении, ибо было бы смешно искать интеграл какого-нибудь дифференциального уравнения, т. е. конечное уравнение, удовлетворяющее ему, когда такого конечного уравнения вовсе не существует.
ЗЮ. Прежде всего ясно, что все дифференциальные уравнения, содержащие три переменных, в которые, однако, входят только два дифференциала, являются мнимыми’ и нелепыми. Действительно, пусть в уравнение, содержащее z, входят только дифференциалы dx и dy, дифференциал же dz вовсе не входит. Тогда ясно, что нельзя найти никакой функции от х и у, которая, будучи подставлена вместо z, сделала бы уравнение тождественным. Действительно, дифференциалы dx и dy никаким образом не будут уничтожены. Итак, в этих случаях вообще не существует конечного уравнения, удовлетворяющего дифференциальному, разве что случайно окажется возможным задать такое соотношение между х и у, которое могло бы иметь место, каково бы ни было z, как это мы имеем для уравнения
z dy— z dx — у dy — х dx,
которому удовлетворяет уравнение у = х. Однако в каждом случае легко выяснить, может ли это случиться; для этого нужно только сначала найти соотношение между х п у при z = 0, а затем проверить, удовлетворяет ли это соотношение предложенному уравнению при каком угодно значении количества z.
311. Уравнение с тремя переменными может быть нелепым не только в том случае, когда в него входят только два дифференциала, но и тогда, когда в него входят все три дифференциала. Положим, например, что Р и Q суть функции количеств х и у и что мы имеем уравнение
dz — Р dx -{-Q dy.
Если оно не является нелепым, то будет существовать некоторая функция z количеств х и у, дифференциал которой будет равен dz — pdx + + qdy, и будет Р — р и Q = q- Но выше (§ 232) мы доказали, что pdx-^qdy может быть дифференциалом некоторой функции от х и у лишь в том случае, если ’ г^е’ как ®ыл0 РанЬ[Пе условлено,
°б03начает Дифференциал количества р, взятый в предположении, что только у переменно, и разделённый на dy, а есть дифференциал количества q, взятый в предположении, что переменно
202
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
только х, и разделённый на <1 х. Поэтому уравнение dz-= Р dx-\- Qdy может быть действительным лишь в том случае, если
312. Совершенно в таком же положении находится уравнение
dZ = Р dx + Q dy, если в нём Z обозначает какую-либо функцию от z, а Р и Q суть функции х и у, но содержащие третьего переменного z. Действительно, для того чтобы Z могло быть равным функции от х и у, необходимо, чтобы (dP\ Z(!Q\ а
J = ydr )' ^тот критерии позволяет судить относительно всякого уравнения, принадлежащего к рассматриваемому общему виду, является ли оно действительным или нелепым. Так, уравнение zdz = у dx -J- xdy, очевидно, является действительным, ибо вследствие Р = у и Q—x мы имеем
Уравнение же azdz= y2dx-{- x"dy является нелепым; действительно, ("/> 29 „ (= 2г,
\d у J J \dx J
а эти значения не равны.
313. Установим теперь наиболее общий критерий. Пусть Р, Q и R суть какие-либо функции от х, у и z; тогда всякое дифференциальное уравнение первого порядка с тремя переменными будет принадлежать к виду
Р dх -j- Q dy R dz — 0.
Всякий раз, как это уравнение является действительным, z будет равняться некоторой функции количеств х п у, и значит, его дифференциал будет иметь вид dz-= pdx + qdy- Поэтому, если в предложенное уравнение подставить эту функцию количеств х и у вместо z ir pdx-^qdy вместо dz, то необходимо должно получиться тождественное уравнение 0--0. Но из предложенного уравнения мы имеем
Поэтому, если в Р, Q и R подставить вместо Z его значение, то дотжио получиться
Р О
P=~Ti и •
314. Но так как dz = р dx q dy, то но ранее доказанному будем иметь (= QyQ • Поскольку же после подстановки вместо z его выражения через х и у должно быть
мы будем иметь
pdj>\ (— RdP + PdR\ — С-RdQ + QdR
'dyj X. R2dy ) И ) X Rldx
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 203
так что после умножения на R1 получим уравнение
где знаменатели dy и dx попрежиему указывают, что в дифференциалах, стоящих в числителях, нужно считать постоянным только то переменное количество, дифференциал которого стоит в знаменателе. Но дифференциалы dP, dQ, dR будут известны лишь после того, как в самих количествах Р, Q и R вместо z будет подставлено надлежащее значение, а так как оно неизвестно, то нужно поступить следующим образом:
315. Так как Р, Q и R суть функции количеств х, у и z. то положим
dP = zdx + fidy + -'dz.
dQ - Zdx ~r ^dy "dz,
dR = t]dx + ftdy + ’.dz,
где a, p, y, 8, г и т. д. обозначают те функции, которые происходят от дифференцирования. Представим теперь, что вместо z повсюду подставлено его выражение через ж и у, и положим вместо dz значение pdx-\-qdy, тогда будем иметь:
dP = (a 4- ур) dx + (₽ 4- у?) dy, dQ={Z + ^p}dx-^{z + ^q) dy, dR -- (v) 4- i p) dx -j- (6 4-s7) dy.
Из этих выражений будем иметь
G4)=^.
316. Так как для того, чтобы уравнение было действительным, требуется, чтобы
то, подставив сюда найденные значения, будем иметь
Р (6 + щ) - R (Р 4- у?) = Q (т; 4- ip) — R (3 — Ср).
Но раньше мы нашли, что
Р Q
и •
Так как в эти выражения дифференциалы больше не входят, то ими можно пользоваться и без того, чтобы вместо z было подставлено его выражение через хну. Итак, мы будем иметь
РЬ - - яр 4-. Q. = Q-q - - RZ + р:
О = Р(С —f>)-4-—Y) —8).
А так как количества р, о, у, С, & находятся дифференцированием, то при указанном выше способе обозначения м^г будем иметь
о=ЧЙ-в)+<-л)+л(^-©-
204
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если уравнение этим свойством не обладает, оно будет не действительным, а мнимым и нелепым.
317. Хотя это правило получено из рассмотрения переменного z, однако так как в него все количества входят равноправно, то очевидно, что мы получили бы то же выражение и из рассмотрения остальных переменных. Итак, если предложено какое-либо дифференциальное уравнение первого порядка с тремя переменными, тотчас же можно судить, действительное ли оно или мнимое. Для этого нужно сравнить его с уравнением общего вида
Pdx + Qdy + Rdz = 0
и найти значение выражения
Если оно равно нулю, то уравнение будет действительным; если же оно не будет равно нулю, то это — верный признак того, что уравнение является мнимым или нелепым.
318. Предложенное уравнение всегда можно также привести к виду Pdx + Qdy + dz = 0;
так как первоначальное уравнение принимает этот вид при R — 1, то критерий можно выразить проще следующим образом:
^й)-о(й)+ай)-(й>о-
Всякий раз, как это выражение на самом деде оказывается равным нулю, предложенное уравнение является действительным; если же имеет место противное, то уравнение будет мнимым. Последнее утверждение в силу доказанного является безусловно достоверным. Что касается первого, то пока можно было бы усомниться в том, что уравнение является действительным всегда, когда упомянутый критерий указывает irYi это. В данном месте это не может быть доказано со всей полнотой и может быть подтверждено доказательством лишь в интегральном исчислении. Здесь мы ограничимся утверждением этого факта, и если кто-либо склонен был на минуту усомниться в его истинности, то он может не бояться никакой опасности.
319. Из этого критерия прежде всего явствует, что если в уравнении Pdx + Qdy -|- Rdz — 0
Р будет функцией только одного переменного х, Q—-функцией только переменного у и R — функцией только переменного z, то уравнение всегда будет действительным. Действительно, в этол! случае
G-D-O. О?)=о- (й)=о.
так что всё выражение, которое составляет критерий, само собой исчезает.
320. Если Р попрежнему является функцией только переменного х, ^ — функцией только переменного у, a R — какой-либо функцией х, у и z, то уравнение будет действительным, если
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
205
или
Так, пусть будет предложено уравнение
2dx 3dy x-y3dz „
----j. —•—I— -- — — и.
X у зв
Так как здесь
P — -~ , Q = — и R = —-x у z"
и, значит,
/ dK\ 2xy3 f dft\ 3x3y2 {dxj = > ' и ~~Z6~ ’
TO
'•(")=<' (SH?
и, следовательно, предложенное уравнение действительное.
321. Пусть Р и Q будут функциями переменных х и у, a R — функцией только переменного z; так как
(г>0, (ЙМ
то уравнение будет действительным, если ~ • То же самсе
условие имеет место, если Pdx + Qdy должно быть полным дифференциалом, т. е. дифференциалом, происшедшим от дифференцирования какой-то конечной функции количеств х и у. Уже раньше (§ 312) мы заметили, что уравнение dZ — Pdx + Qdy, где Z есть функция только количества z, а Р и Q—функции количеств х и у, может быть действительным лишь в том случае, когда )• Эти случаи пол-
ностью согласуются друг с другом, ибо вместо Rdz, если R есть функция только количества z, можно положить dZ, где Z есть функция только количества z.
322. Чтобы пояснить этот критерий на примере, рассмотрим уравнение
(6zy2z — 5yz3) dx + (bx-yz 4.rz3) dy Qixry' — 6xyz2) dz — 0;
сравнив его с уравнением общего вида, получаем:
P=.6.ry2z-5yz3, (^0 = 12xyz-5z3, = бжу' - 1 byz2,
Q — bx2 yz — ixz3, = ICteyz —4z3, = 5ж2у — 12жг2,
R=\x2y2 — 6xyz2, (J^^=8xy--6yz\ — 8x2y — Gxz2.
После того как эти значения найдены, уравнение, дающее критерий, примет вид
{Qxy-z — 5yz3) ( — Зж’у — бжг2) -|- (5ж’уг — 4zz3) (2жу2 + 9yz2) +
+ (4ж2у2 — 6xyz2) (2xyz — z3) — 0.
206
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если это выражение развернуть, то все члены взаимно уничтожатся, и мы получим 0 = 0; это указывает на то, что предложенное уравнение действительно.
333. Когда же выражение, которое, таким образом, получается из критерия, не исчезает, это есть признак того, что предложенное уравнение мнимое. Так как, однако, критерий даёт конечное уравнение, то, если последнее согласуется с дифференциальным уравнением, оно вместе с тем выражает соотношение между переменными х и у. Таким образом, возникают те случаи, о которых мы уже упоминали выше (§ 310). Так, пусть предложено уравнение
(z — х) dx -f- (у — z)dy~ 0.
Здесь
Р — z — x, Q ~у — z и R—Q.
Далее,
Уравнение, служащее критерием, имеет вид
или
z — x = z — y, откуда
у = ж.
А так как здесь случайно оказывается, что уравнение у — х вместе с тем удовлетворяет дифференциальному уравнению, то предложенное уравнение не означает ничего иного, кроме того, что у~х.
324. Итак, если предложено дифференциальное уравнение, содержащее три переменных
Pdx + Qdy + Rdz — 0,
то нужно различать три случая, к которым может привести уравнение
\dz dy J ' \dx dz J \dy dx J
Первый случай имеет место, если это выражение в самом деле равно нулю. Тогда предложенное уравнение действительно. Если же это конечное выражение не является тождественным, то нужно посмотреть, удовлетворяет ли оно предложенному уравнению. Если удовлетворяет, то мы будем иметь конечное уравнение; это —второй случай. Третий же случай имеет место, если конечное уравнение не совместно с предложенным дифференциальным уравнением, и тогда предложенное уравнение будет мнимым, и нельзя будет найти никакого конечного уравнения, которое удовлетворило бы ему.
325. Первый и третий ейучаи являются сами собой очевидными: второй же, хотя он встречается очень редко, нужно хорошо заметить. Так как в примере, которым мы выше его пояснили, мы имели уравнение, содержавшее лишь два дифференциала, то приведём еще уравнение
(z — у) dx + xdy + (y — z)dz,
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
207
в которое входят все три дифференциала. Мы будем здесь иметь
Р=2-?, с- (")=»
*- (Й>‘-
откуда получаем конечное уравнение, дающее критерии
z — х — у = 0 или
Z = X у.
Подставим это значение вместо с в дифференциальное уравнение; мы будем иметь
х dx 4- х dy — х {dx 4- dy) ~ 0.
Так как это уравнение является тождественным, то отсюда следует, что дифференциальное уравнение не выражает ничего, кроме
Z = X 4- у.
326. Мы сказали, что все дифференциальные уравнения первого порядка с тремя переменными содержатся в уравнении вида
Р dx 4- Q dy 4- R dz = 0.
Однако может возникнуть сомнение относительно таких уравнений. которые содержат вторые или высшие измерения дифференциалов, како вым является, например, уравнение
Р dx'1 4- Q dy'14- R dz'1 — 25 dxdy 4- 2T dx dz 4- 2У dy dz.
Об этих уравнениях нужно заметить, что они ни в каком случае не могут быть действительными, если только они не распадаются на-множителей выше рассмотренного вида; тогда они сводятся к простейшим уравнениям. Действительно, так как наше уравнение даёт
J Т dz ху du ± dz- (Г2 - PR) + -idz dy (TP + RS) + dy* (I2 - QR) az------— - д-
to ясно, что z может быть равным некоторой функции количеств х и у, т. е. dz равным выражению вида pdx^-qdy, лишь в том случае, если иррациональное количество становится рациональным, т. е. если
(Г1 - PR) {V1 - QR) = (TV - RS)1 или
PV* + 2STV + QT*
И~ PQ—S*
Итак, если это конечное уравнение не удовлетворяет предложенному уравнению, то последнее будет мнимым.
327. Мы должны были бы в этой главе остановиться ещё па дифференциальных уравнениях высших порядков и установить случаи, когда они оказываются действительными и когда мнимыми. Но так-как эти критерии оказались бы очень сложными, то мы не станем выполнять этой работы, тем более что эти критерии проистекают из-
208 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
того же источника, которым мы здесь уже пользовались. Впрочем, если в интегральном исчислении нам понадобятся эти критерии, мы легко сможем тогда их найти. По той же причине мы не будем здесь рассматривать и уравнения, содержащие большее число переменных. Они почти никогда не встречаются, а если когда-либо встретятся, то без труда смогут быть рассмотрены, исходя из изложенных здесь основных начал. Поэтому после всего вышеизложенного мы заканчиваем здесь изучение правил дифференциального исчисления и переходим к тем замечательным применениям, которые это исчисление имеет как в самом анализе, так и в высшей геометрии.
ДИФФЕ РЕ НЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ,
СОДЕРЖАЩАЯ ПРИМЕНЕНИЕ ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В АНАЛИЗЕ КОНЕЧНЫХ, А ТАКЖЕ В УЧЕНИИ
О РЯДАХ
ГЛАВА I
О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
1. Так как нам нужно показать применение дифференциального исчисления в общем анализе и в учении о рядах, то здесь придётся привести некоторые вспомогательные сведения из общей алгебры, которые обычно не излагаются. Хотя большая их часть уже рассмотрена нами во «Введении», однако кое-что мы там опустили, отчасти потому, что считали более удобнььм изложить это тогда, когда в этом будет необходимость, а отчасти потому, что нельзя было предвидеть всё, что нам позднее понадобится. Сюда относится преобразование рядов, которому мы посвящаем эту главу и с помощью которого какой-либо ряд можно преобразовать в бесчисленные другие ряды, которые все будут иметь одну и ту же сумму, так что если известна сумма предложенного ряда, то и остальные ряды можно будет тотчас же суммировать. На основе того, что будет изложено в этой главе, мы сможем в дальнейшем с помощью дифференциального и интегрального исчислений расширить учение о рядах.
2. Мы будем рассматривать преимущественно такие ряды, отдельные члены которых содержат множителями последовательные степени некоторого неопределённого количества, ибо такие ряды имеют более широкое применение и приносят большую пользу.
Пусть предложен следующий общий ряд, сумму которого, известна она или нет, мы положим равной S, так что
5 •- ах + Ьх2, -L сх3 -г dx* 4- ?х3 •- и т. д.
Теперь положим х =
_У_
1 + ц
; разложение в бесконечные ряды даёт:
х = У~ У‘ + У*~ У* + у*~у'~г и т. д., х2—у3— 2у3+3у4— 4у5 + 5у6 — бу7-j- и т. д._ ж3 = у3 —Зу44-6у5—10ув + 15у7-21у8-+- и т. д., х* — у* — 4у5 4- 10у' — 20у7 + 35у8 — 5бу9 + и т. д.
и т. д.
Подставив эти значения и расположив ряд по степеням количества у, мы получим
8—ау — ау3 -г ау3 — ау* + ау3 и т. д. —
+ &-2J> + 36 — 46 4-
г с — Зс + 6с 4-
4- d — 4 с? 4-
4 е.
14*
212
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
З.Так как мы положили z = —, то ?/ = ——
1 - у ’ а 1 — х этого значения вместо у предложенный ряд
после подстановки
S = ах + Ьх3 + сх3 + dx* + ех3 4- и т. д.
преобразуется в ряд
S = a~+{b-a)-^^ + {c-2b + a) —^s- 4- и т. д„
в котором коэффициент b — а первого члена есть первая разность количества а, взятая из ряда a, b, с, d, е и т. д.; её мы выше обозначали через Да; коэффициент третьего члена с — 2Ь-\-а есть вторая разность Д2а; коэффициент четвёртого есть третья разность Д’а и т. д. Таким образом, пользуясь последовательными разностями количества а, которые образуются из ряда а, b, с, d, е ти т. д., мы преобразуем предложенный ряд к виду
S = а + * Да + . ж -у- Д2а -f- ? ж Д’а 4- и т. д.
1 — х ' (1 — х)- (1 — ху ' (1 — х4) * "
Следовательно, сумма этого ряда будет известна, если известна сумма предложенного ряда.
4. Если ряд a, b, с, d и т. д. построен таким образом, что в конце концов его разности становятся постоянными, это имеет место в том случае, если его общий член будет целой рациональной функцией, то второй ряд а + + и т. д. в конце концов будет иметь
исчезающие члены и, таким образом, его сумму можно будет представить конечным выражением. Так, если уже первые разности ряда a, b, с, d и т. д. постоянны, то сумма ряда ах + bx1 -р сх3 + dx* 4- ех3 + и т. д. будет равна
X X2
г~—а+-,-. <2-Да.
1-х г (1-х)2
Если постоянными будут вторые разности коэффициентов ряда, то сумма предложенного ряда будет равна
х , х2 . X3 .„
.--а + -гл--гг- Да -j- 7,---г Д’а.
1 — X 1 (1 — х)- 1 (1 — х)3
Таким образом, сумма рядов такого вида легко находится с помощью разностей коэффициентов.
I. Пусть ищется сумма ряда
1х + Заг + 5ж3 + 7х* + 9z6 4- и т. д.
Первые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как первые разности постоянны и так как а = 1 и Да — 2, то сумма предложенного ряда будет равна
х 2х'3 х 1-х2
1 —х ' (1 — х)- (1 —х)2
II. Пусть ищется сумма ряда
1х + 4z2 + 9ж3 + 16ж4 4- 25гс‘ 4- и т. Д-
Первые разности 3, 5, 7, 9 и т. д.
Вторые разности 2, 2, 2 и т. д.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ 213
Так как а — 1, Да — 3, Д2а = 2, то сумма предложенного ряда будет равна х , Зя2 , 2х3 _ х + х2
Г-~х + (1 - ху + (1 - х)3 ~ 1д-ху ‘
III. Пусть ищется сумма ряда
5 = 4ж + 15х'! + 40z3 + 85г4 + 156 ж5 6 + 259жв + и т. д.
Первые разности И, 25, 45, 71, 103 и т. д.
Вторые разности 14, 20, 23, 32 и т. д.
Третьи разности 6, 6, 6 и т. д.
Так как а = 4, Да = 11, Д2а=14, Д3а = 6, то сумма будет а 4х , 11х2 14а.3 6х4
д = 1=~х (1-х)- + ~(Г-х)4
ИЛИ
с 4х— х2 + 4.x3— г4 х (1 -i- х2) (4 — х) д = (1 - ху - (1 —х)4 ‘
5. Этим способом находятся суммы рядов с бесконечным числом членов, по таким же образом эти ряды можно суммировать и вплоть до данного какого-либо члена. Пусть, например, предлагается ряд
S = ах + Ьх1 + сх3 + dx* + . . . 4- охп
и ищется его сумма. Если этот ряд бесконечный, то сумма будет равна г— а + х Уа + — х ДУ а Д- и т. д.
1 — х 1 (1 — ху (1 — ху 1
Рассмотрим теперь члены этого ряда, следующие за членом охп, т. е. члены
рх"*1 -р qxn*3 + гхп':3 +s2n+1 + и т. д.
Сумма последнего ряда, если его предварительно разделить на хп, может быть найдена, как раньше; снова умножив на хп, мы получим
~П^-з
1—^+-(TT7jT^+7izrx)3 д> + и т- Д-
Если эту сумму отнять от суммы ряда продолженного до бесконечности, то останется искомая сумма предложенной части ряда
3 = (а - хПР) + (1*^)3 - Х"ЛР) + (Д2а - + и Т. д.
I. Пусть ищется сумма конечного ряда
S = 1х + 2х2 + Зх3 + 4_с +1.. . + пхп.
Найдём разности его коэффициентов, а также коэффициентов, следующих за последним коэффициентом
1, 2, 3, 4 и т. д. п -f-1, п + 2, п + 3 и т. д.
1, 1, 1 и т. д. 1, 1 и т. д.
Мы будем иметь а = 1, Да = 1, р-- п + 1, Д/э = 1, поэтому искомая сумма есть
5 = (1 - (Л + 1) Л + —^1- (1 - .т’!)
1 — х ' ' 7 ' (1 — ху ' '
14
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
(ЛИ
Q _ X — (п — 1) хп*1 + nzu,t
д (Т^Ту •
II. Пусть ищется сумма конечного ряда
S = х + 4я2 9х3 + 16z4 ri3xn.
Найдём сначала его разности
1, 4, 9, 16 и т. д. (п + 1)2, (п + 2)’, (п + 3)2 и т. д.
3, 5, 7 и т. д. 2п + 3, 2п+5 и т. д.
2, 2 и т. д. 2 и т. д.
Искомая сумма будет
5 = (1 - (п -г 1 )2+) + ур—per (3 - (2п + 3) х”) + (2 - 2х")
или
„__х + ж2 + (п -|- 1)2ж"+1 4- (2п2 + 2п— 1) ж’1*'2 — nixn*3
_____ _ .
6. Если предложенный ряд не имеет таких коэффициентов, для которых разности в конце концов становятся постоянными, тогда для определения его суммы применённое здесь преобразование ничего не даёт. С его помощью даже приближённо определить сумму ряда нельзя будет с большим удобством, чем это можно сделать путём сложения членов предложенного ряда. Действительно, если в ряде ах-\-Ьхг + сх3 + dx* и т. д. будет х<1, а только в этом случае может иметь место, так сказать, собственное суммирование, то будет ~— > х, и следовательно, новый ряд сходится медленнее, чем предложенный. Если же в предложенном ряде будет х — 1, тогда все члены ноього ряда будут бесконечными, так что в этом случае такое преобразование совершенно бесполезно.
7. Рассмотрим ряд, в котором знаки -г и — чередуются и который получается из предыдущего, если х взять отрицательным. Таким образом, пусть имеем ряд
8 = ах — Ьх3 + сх3 — dx* + ex5 —- и т. д.,
который получается, если в предшествующем ряде х взять отрицательным; возьмём, как и раньше, разности Да, Д2а, Д3а и т. д. из ряда коэффициентов а, Ъ, с, d, е и т. д., отнеся знаки только к степеням количества х. Тогда предложенный ряд преобразуется в ряд
с X
Х , Х Д2„______________
W АЯ+ (1 + 1+ А П+*)4
Д3а + и т.
Д.,
и мы видим, что предложенное уравнение можно суммировать в тех же случаях, как и предшествующее, а именно, если ряд а, Ь, с, d, и т. д. в конце концов даёт постоянные разности.
8. Однако в этом случае преобразование позволяет удобнее найти приближённое значение предложенного ряда ах — Ьх3 + сх3 — dx* д- ех3 и т. д.; действительно, каково бы ни было число х, дробь рур, по
степеням которой располагается второй ряд, меньше единицы; если х
X 1 1 ~
равно 1, то = • Если же х < 1, то, положив х——, будем иметь
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
215
, так что ряд, полученный после преобразования, сходится всегда быстрее, чем предложенный. Рассмотрим, прежде всего, случай, когда х — 1, который для суммирования рядов является очень важным. Пусть
S — а — b-r-c-d + e — / + и т. д.
и пусть первые, вторые и следующие разности количества а, которые получаются из прогрессии a, b, с, d, е и т. д., обозначаются через Да, Д2а, Д3а и т. д.; тогда будет
СТ 1 1 » , 1 Л 2 1 , . .
S = — а —г Уа + -д- Да — Д3а -f- и т. д.
Ч о 10
Этот ряд, если он и не оборвётся, легко даст сумму с очень большим приближением.
9. Покажем применение этого последнего преобразования в случае ж=1 на нескольких примерах и, прежде всего, на таких примерах, в которых истинная сумма может быть выражена в конечного виде. Таковыми являются расходящиеся ряды, в которых числа a, b, с, d и т. д. в конце концов дают постоянные разности; так как суммы их в обычном значении этого слова не могут быть собственно говоря, представлены, то термин «сумма» мы здесь будем понимать в том смысле, который мы ему приписали выше (§ 111 1-й части), так что суммой мы будем называть значение того конечного выражения, из разложения которого возникает предложенный ряд.
I. Пусть предложен следующий ряд Лейбница:
5=1 — 1+1 —1+1 — 1 т и т. д.
Так как в нём все члены равны, то все разности равны нулю, и так . е 1 как а = 1, то 5 =—.
II. Пусть предложен ряд
5 = 1—2 + 3—4 + 5 —6+и т. д.
Первые разности 1, 1, 1, 1, 1 и т. д.
Так как а = 1, Да = 1, то
с 1 1 1
д — 2 4 “ 4
III. Пусть предложен ряд
5=1 — 3 + 5 — 7 + 9—и т. д.
Первые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как а = 1 и Да = 2, то
S-+-+0.
IV. Пусть предложен ряд треугольных чисел
5= 1 — 3 + 6—10+15 —21 + и т. д.
Первые разности 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Вторые разности 1, 1, 1 и т. д.
Так как здесь а==1, Да =2 и Д2а = 1, то
5=1_1+1=А.
2 'I 8 8
216
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
V. Пусть предложен ряд квадратов
5 = 1 — 4-19 — 16 + 25 — 36+ и т. д.
Первые разности 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.
Вторые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как а = 1, Да = 3, Д3а = 2, то
d---T + -g -О.
VI. Пусть предложен ряд биквадратов
5 = 1 — 16 + 81— 256 + 625 —1298 +и т. д.
Первые разности 15, 65, 175, 369, 671 и т. д.
Вторые разности 50, 110, 194, 302 и т. д.
Третьи разности 60, 84, 108 и т. д.
Четвёртые разности 24, 24 и т. д.
Следовательно,
с 1 15 50 СО , 24
+ “ 4 + 8 -1++з2 = и-
10. Если ряд расходится в большей степени, чем геометрический ряд и другие подобные последнему, то он тотчас же преобразуется в быстро сходящийся ряд; если же преобразованный ряд ещё недостаточно быстро сходится, то его можно таким же образом превратить в другой, быстрее сходящийся.
1. Пусть предложен геометрический ряд
5 = 1 — 2 + 4 — 8 + 16 — 32+ и т. д.
Первые разности 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.
Вторые разности 1, 2, 4, 8 и т. д.
Третьи разности 1,2,4 и т. д.
Так как во всех разностях первый член равен единице, то сумма ряда выразится следующим образом:
с 1 1,1 1,1 1 ,
2 4 + 8 16 + 32 С4 + И Т' Д‘
1
Сумма последнего ряда равна — . Действительно, ряд этот возникает из разложения дроби —г, тогда как предложенный ряд возникает из 2 -j- 1 разложения дроби •
II. Пусть предложен рекуррентный ряд
5=1 — 2 +5-12 + 29-70+169- и т. д.
Первые разности 1, 3, 7, 17, 41, 99 и т. д.
Вторые разности 2, 4, 10, 24, 58 и т. д.
Третьи разности 2, 6, 14, 34 и т. д.
Четвёртые разности 4, 8, 20 и т. д.
Пятые разности 4, 12 и т. д.
Шестые разности 8 и т. д.
и т. л.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
217
Таким образом, первые члены разностей составляют следующую удвоенную геометрическую прогрессию 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16 и т. д.; следовательно, „ 1 1,2 2 4 4,8
$ 2 4 + 8 16 + 32 64 + 128 и т- Д-
Так как все члены, кроме первого, попарно взаимно уничтожаются, то S = —. Предложенный же ряд происходит из разложения дроби 1 1
+ 2 — 1= Т ’ как мы показали эт0 ПРИ изучении свойств рекуррентных рядов *).
III. Пусть предложен гипергеометрический ряд * 2)
5=1-2 + 6 - 24 + 120 - 720 + 5040 и т. д.
Его последовательные разности нам удобно будет представить следу ющим образом:
Первые разности Вторые разности Третьи разности
1 1 3 11
2 4 14 64
6 18 78 426
24 96 504 3216 и т. д.
120 600 3 720 27 240
720 4 320 30950 256320
5 040 35 280 287 280 2 656 080
40 320 322 560 2 943 360
362 880 3 265 920
3 628 800
вычисление этих разностей, то будем иметь
Если продолжить
1 1 3 11 , 53 309 2119 16 687
д — 2 4^8 16 ~ 32 64 ‘ 128 256
148 329 1 468 457 , 16 019 531 190 899 411
ПГ12 1024~ "т 2048 409,>
* 1
Сложим два первых члена; тогда получим 5 = -^-++, где
. 3 11 , 53 3'19 , 2119
+ “ 8 Гб + 32 64 + 128 ~ И Т- Д>
Если теперь таким же образом взять разности, то будем иметь
3 5 , 21 99 , 615
2« 2»’ ' 2s 210 ! 212
44 01
214 +
, 36 585 342 207 , 3 565 321 40 866 525 ,
1 ТДв ’ 2*^ 2 2 2 И Д'
’) «Введение в анализ», т. I, гл. IV и XIII.
2) Общий член этого ряда есть ( — Г)п 1-2 • 3 . . . п. [Г К.].
118
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
Сложим два начальных члена и будем
7 иметь А = + В,
где
21
”2“"
99
2Ю
И т. д.
В —
1нова взяв разности этого ряда, будем иметь
D 21 15 , 151
/ , " ' * - 1 ~
2» 2U ' 215
429 5241
218
26 283 , 338 835
224 * 1 2-7
2 771 097
230
+ И Т. Д.
Соберём воедино четыре начальных члена и положим
= 1!2 + u
2и г2-’ ’
•де
5241
231
26 283 ~224"'
+ И т. д.
£сли сложить несколько членов этого ряда, то получим приближённо 15 615 60 417
, = ------.,зо - Отсюда мы можег»! заключить, что сумма нредложен-
(ого ряда 5 = 0,400820 55 2 * * * *); однако едва ли это значение может счи-аться точным за пределами трёх или четырёх десятичных знаков, ак как расходимость ряда очень велика; во всяком случае это значите меньше истинного. В другом месте я нашёл, что эта сумма равна >,403 652 407 7, причём все цифры вплоть до последней здесь верны2).
11. В первую очередь это преобразование чрезвычайно полезно (ля преобразования рядов, которые хотя и сходятся, но медленно, i другие ряды, которые сходятся гораздо быстрее. Так как при этом юследующие члены меньше, чем предыдущие, то первые разности >трицательны; поэтому при последующих вычислениях нужно внимательно учитывать знаки.
I. 1 Еусть предложен ряд
5=1-4+4-^ + 4-б-+ит. д.
Первые разности т- Д-
Вторые разности 4 , , 4~5Тби т‘ «•
„ 1 2-3 2-3
Третьи разности - 2.3.-у, -3.4Г57бИ т‘ Д’
тт •• , 1
Четвертые разности +-^и т. д.
и т. д.
следовательно, till 1
5 = + 2- Т + 3^8 + 4Т16 5 • 32 + и т- Д-
1) В оригинале 5 = 0,400 820 38. Исправлено Г. Ковалевским.
С в—d t
а) Истинное значение 5 есть 1— е \ —-— , или, как теперь пишут,
i
. -t-е И гДе И обозначает интегральный логарифм. Если произвести вычисле-
ше точно, пользуясь таблицами интеграпь шх логарифмов, то иайдём, что
> = 0,403 652 6 17 67... Таким образом, четыре п юледиие цифры Эйлера не верны. Эту
ипибку впервые указал Маскерони (i\laschero..ii Adnotatioaes ad Euleri calculum
htegralem, Ticini, 1790) [Г. K.].
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
219
Оба эти ряда, как мы уже нашли во «Введении» 1), представляют гиперболический логарифм двойки.
11. Пусть предложен ряд, из которого определяется длина окружности 2):
11111
5=1-1 + 1-^-1-Г1+ит. д.
Первые разности - ~ , - Д , - и т. д.
Вторые разности +2±,2±,^,^и т. д.
2-4-6 2-4 6
Третьи разности и т. д.
И Т. д.
Следовательно, сумма ряда будет
5 =
1
3-2
1-2
3-5-2
1-2-3
F5-7-2
Д.
или
25=1 +
11-2 , 1-2-3 + +..., з ,
1-2-3-4
3-5-7-"9
Т.
Д.
III. Пусть ищется значение бесконечного ряда
5 = 12 —13+14 —15+16 — 17 +и т. д.
Так как вначале разности очень отличны друг от друга, то сложим первые члены вплоть до 110, взяв их значения из таблиц. Мы найдём, что значение этих членов равно — 0,191 1005, и будем иметь
5 = 0,391105 + 110- 111 + 112- 113 + и т. д.
до бесконечности. Взяв эти логарифмы из таблиц, найдём их разности.
Первые разности Вторые разности Третьи разности Четвёртые разности 1 Гятые разности
110=1,000 000 0 -F- — 4- .— Т
111 = 1,041392 7 413 927 3,6 042
112 = 1,0791812 377 885 30 263 5770 1292
113 = 1,1139432 347 622 25 776 4487 924 368
114=1,146128 0 321816 22 213 3563
115 = 1,166 091 3, 299633
Отсюда найдём
110 — 111 + 112 — 113+ и т. д. =
1,00000 413 927 36 012 5779 1292 _ _ () 489 160 6
2 2 8 16 32 64 ’
*) «Введение», т. I, гл. VII.
те
а) Сумма этого ряда равна —,
т. е. длине восьмой части окружности-
радиуса 1.
220
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
Следовательно, значение предложенного ряда будет
5 = 12-134-14 — 15 + и т. д. = 0,098060 1.
Этому логарифму отвечает число 1,253315.
12. Таким же образом, как эти преобразования мы получили, подставляя в ряд вместо х дробь > мы получим бесчисленное множество других преобразований, если вместо х подставим другие функции количества у. Так, пусть снова предложен ряд
S = ах 4 bx2 + сх3 + dx3, 4 ex3 4 jx3 4 и т. Д.
Положим а; = у(1—у); после этого мы получим ряд
S = ау — ау2 4-
4 by2 — 2by3 4 by3, 4
4 су3 — Зсу3 + гсу3 — су3 4
4 dy3— idy3 4 §dy3 4
4 еу5 — 5еу" 4
4 jy3 4 и т. д.
Если один из этих рядов будет суммируемым, то будет известна также и сумма другого. Так, если
5 = 2 4 я:2 4 я;3 4 z4 4 z5 4 и т. д. = ,
то
S = y— у3~ у4 + у‘ + у7 — У3 — У1а 4-и т. д.
Сумма этого ряда будет равна .
13. Если второй ряд где-нибудь обрывается, тогда сумма первого ряда может быть найдена точно. Положим, что a=i и что в найденном ряде все члены, следующие за первым, исчезают. Тогда 5 = у и вследствие х — у — у2 сумма первого ряда равна у—— х^ . Но так как а—1, то
Ь = 1=А.22, 4
d = 5=да 2-.
л / 1 • 3 • 5 • 7 по
е- 14=4.6.М02’ / 49 1'3 5-7-9 ~10 ’ 2 4-63 10-122 ’
„ _ л QQ_ 1-3 5-7-9-11 ~12
§ 4-6- {-10 12 14 2
И т. д.
, значит, первый ряд имеет вид
S = у——я,) = я+ #2 + 2z3 4 5л:4 4 14z54 42а;в 4 132я:74 и т. Д-
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
221
Этот же ряд мы получим, если иррациональное количество будет разложено в ряд и вычтено из половины.
14. Чтобы получить более общее преобразование, положим х = у (1 + пуУ, тогда предложенный ряд
5 = ах + Ьх3 + сх3 + dxi + и т. д.
преобразуется в следующий:
5 = ау +
+1 ™У' + Л/ + п‘«у‘ + -1-1)1(Г8.У'~3) +
, 1 . , 2’ 1 i , 2Д2’-1) л , 2v(2v-l)(2v-2) 5 ,
+ Ьу + т nby3 + —t- •—7- nby + —------------- п3Ьу +
з,3? 4 3v(3v— 1) 2 5
+ СУ + Т псУ н----^2— п СУ +
+ dy* + ndy3 +
и Т. д.
Если сумма этого ряда будет известна, будет известна и сумма первого, и наоборот. А так как п и v можно взять по произволу, то из одного суммируемого ряда можно, таким образом, получить бесчисленное множество других.
15. Можно произвести преобразование так, чтобы сумма найденного ряда оказалась иррациональной. Это можно сделать следующим образом.
Пусть предложен ряд
5 = ах + Ьх3 + сх3 + dx1 + ex9 + fx11 -f-и т, д. Тогда
Sx = ax' + to4 + сх* + dxs + еж10 + fx13 + и т. д.
Положим теперь
У . & ____
1 — ну2
Тогда х3 = t ге-, , и предложенный ряд преобразуется
в ряд
= ay3 + nay4 4- п3ау3 + п3ау3 + rfay13 + и т. д. У 1 — пуг
+ 5у4 + 2пЬу* + 3n3bif + 4п36у10 + и т. д.
+ су® + Епсу3 + 6п2су1° + и т. д.
4- dy3 + kndy13 + и т. д.
+ еу10 + и т. д.
и т. д.
Таким образом, если сумма 5 будет известна из первого ряда, то мы будем иметь также и сумму ряда
~т= = ау+ (па + 5) у* 4- (п*а + 2пЬ + с) у5 + и т. д.
У 1— пуг
222
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
16. Если полежим п——1, то коэффициенты этого ряда будут последовательными разностями количества а, взятыми из ряда a,bc,d и т. д.; если же в предложением ряде знаки чередуются, тогда коэффициенты будут этими разностями, если положить п = 1. Пусть, таким образом, <-.а, Sa, Sa и т. д. суть первые, вторые, третьи и т. д. разности количества а, взятые из ряда чисел a, b, с, d и т. д. Если
5 = ах-\- Ьх3 + сх3 + dx1 -|-ит. д.,
то, положив х = --У-.— , будем иметь
с
—------ау2 + Дау3-г Say3 4-Saif + и т. д.
У 1+ 1/2
Если же
5 = ах — Ьх3 сх3 — dx3 Д- ех3 — и т. д.,
у <
то, положив х оудем иметь
У 1 — У3
- = ау — Дау3 4- Say3 — Say3 Д- и т. д.
Таким образом, если ряд a, b, с, d и т. д. в конце концов даёт постоянные разности, то оба ряда могут быть точно просуммированы; впрочем, это суммирование вытекает также из изложенного выше.
17. Положим, что коэффициенты a, b, с, d и т. д. образуют ряд
Тогда, как мы раньше (§ 11 ч. 2) видели,
. 2 2-4 ,3 2-4-6
а = 1, Да = —- , Д а = —=, Sa == и т. д.
3 7 3-э З-а-7
Поэтому мы можем просуммировать следующие два ряда:
111
I. Пусть S = x +— х3 + -у х3 + -у х3 + и т. д., тогда
5 = — 1 L+х
2 1 — х ’
Положим теперь х----— у ---, тогда будем иметь
2 у 1+ у2 — у
откуда 1(1< 1+2/3 + «) 2 . , 2 4 . 2-4-6 ,,
У). = у----уЗ+ 5_ 7+ и т> д_
1/ 1 4- о • О О ' ' 7
111
II. Пусть S — x--х3-\--^х3-у-я’+и т. д., тогда
5 = arc tg х.
Положим теперь х = , тогда будем иметь
у
S = arc tg
arc sin у = arc cos 1 — у3.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
22:;
Таким образом, мы сможем выполнить следующее суммирование: arc sin -г/ , 2 3т2-4 . 2-4-6 _ ,
~уг^ = у + ту + —& +т^Уу + и т- д-
18. Вместо х можно подставлять также и трансцендентные функции количества у и, таким образом, произвести другие, более трудные суммирования. Однако для того, чтобы новые ряды не были слишком сложными, нужно выбирать такие функции, степени которых можно легко выразить. Таковыми являются показательные количества еу. Итак, пусть предложен ряд
S = ах + Ьх2 + сх3 + dx1 + ex3 + fx3 + и т. д.
Положим х = епуу. где е есть число, гиперболический логарифм которого равен 1; тогда х2 — е2пу у2, х3 = езпу • у3 и т. д. Но, как известно,
^-1-Г2 + ^ + т47у-г1.2<.4 + И Т- «•
Поэтому предложенный ряд преобразуется в ряд
111
S= ау 4- пау2 4 —- п2ау3 + — п3ау* + п*ау3 + и т. д. +
4- by2 + nby3 4- -у п2Ьу* 4 п3Ьу3 4- и т. д. 4
4- СУ3+ ^псу*+ ~п2су3 4- и т. д. +
4- dy* 4- ndy3 4- и т. д. 4-
4-еу54- и т. д.
и. т. д.
I. Пусть предложен геометрический ряд
S — х 4- х2 4- х3 4- х* 4- х3 4- х3 4- и т. д.;
тогда
6’ = ——
1 — X
Положим теперь п— — 1, так что х = е~уу и
<? = е~Уу = у •
1 — е~Уу e,J — у '
мы найдём тогда сумму
У 1 з 1 4 , 5 5 , 19 ,
~~У4+ 24 у + и т- Д”
однако закон составления этого ряда не усматривается.
224
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
II. Пусть во втором ряду все члены, кроме первого, равны нулю; тогда
3 8
Ь = —па, с = —п2а, d=—п*а, Л о
е = 24 п*а, f——-^-na) и т. д.
А так как S = ау и х — уепу, то
2,3 л а 8 , . , 125 . . 54 . ,
у = X — ПХ2 + — П X*-$ П3Х* + — П*Х*-—П6Хв+ ИТ. Д.
Так как в этих рядах закон их составления не выявляется, то суммирования, получаемые с помощью этой подстановки, приносят мало пользы. Особого nie внимания заслуживают преобразования, происхо-
дящие из подстановки х =
1 + 3/
ибо они дают не только замечатель-
ные суммирования, но также и удобные способы для приближённого нахождения сумм рядов. Теперь, после того как мы предпослали те средства, которые найдены без помощи дифференциального исчисления,
мы переходим к применению этого исчисления к учению о рядах.
х) В оригинале /=—тж’п1>а [Т. JT.J. о и
ГЛАВА II
О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
19. Если будет известна сумма ряда, в члены которого входит неопределённое количество х и который, следовательно, будет функцией от х, то, какое бы значение ни было задано количеству х, всегда можно будет указать сумму ряда. Поэтому, если вместо х положить x-\-dx, то, сумма полученного в результате ряда будет равна сумме первоначального ряда, взятой вместе с её дифференциалом. Отсюда следует, что дифференциал суммы равен дифференциалу ряда. Поскольку, таким образом, как сумма, так и отдельные члены ряда будут помножаться на dx, то, если повсюду разделить на dx, получится новый ряд, сумма которого будет известна. Подобным же образом, если дифференцировать этот новый ряд и его сумму, а затем повсюду произвести деление па dx, получится ещё один ряд вместе с его суммой. Таким образом, из одного суммируемого ряда, содержащего неопределённое количество, последовательным дифференцированием можно получить бесчисленное множество новых рядов, которые также будут суммируемы.
20. Чтобы это стало яснее, рассмотрим неопределённую геометрическую прогрессию, ибо сумма её
= 1 х -|- х2 х3 - х1 -г х* + и т. д.
известна.
Если теперь выполнить дифференцирование, будем иметь dx.
—----— = dx + ‘Lx dx -4- Зж2 dx 4- 4.r3 dx -I- 4ж4 dx + 6ж5 dx 4- и т. д.
(1 — x)2 1 1 1
и после деления па dx получим
1 — 1 4- 2х 4- Зж2 + \х3 4- Зж4 -4- и т. д.
(1 — х)- 1
Если снова дифференцировать и разделить на dx, получится
9
= 2 4- 2 Зх + 3 • Ьх2 + 4 - 5г’ + 5 • 6ж4 + и т. д.
ИЛИ
z. 1 — 1 -j- Зя — 6я3 + 10я3 4- 15я4 + 21х5 -L- и т. д.,
(1 — хг 1 1 ' 1 ’
15 Л. Эйлер
226
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
где коэффициенты суть треугольные числа. Если дифференцировать последний ряд и разделить на dx, получится ряд
-—Цт1-=1 + 4ж+10ж2 + 20ж3 + 35ж4^. и т. д_,
коэффициенты которого суть первые пирамидальные числа. Если пос-
тупать так дальше, будут получаться те же самые ряды, которые мы
уже умеем находить из разложения дроби
1
(1-х)п •
21. Этот метод разыскания рядов получит более широкое развитие.
если, прежде чем выполнять какое-либо дифференцирование, мы помножим сам ряд и его сумму иа какую-либо степень или какую-либо функцию количества х. Так, поскольку
у—/ = 1 -1 х + X2 + X3 + X* + Ж5 -Г и т. д.,
то, помножив повсюду на х'“, будем иметь
— хт 4- xmtl 4- х"1** жт+34~ ж™’4 4- и т. д.
Теперь дифференцируем этот ряд; после деления на dx получим
——7-1 = игхт-1 4- (иг 4-1) хп> 4- (иг 4- 2) хт+14-(иг-|- 3) xm+24- и т. д.
Теперь разделим на хт будем иметь
!^--i57+(r^=m+(m + ^+(m + 2)^ ЙТ- *•
Прежде чем выполнить новое дифференцирование, помножим этот ряд на хп; тогда получим
4- 'Хг = тхП + (т 1) я'"1 + (т + 2) xnti 4- и т. д.
Теперь выполним дифференцирование и разделим на dx; будем иметь тпхп^ (m4 п + 1)хп 2хп*1
1-х * (1 -7)- "т" (1-х)3 —
= тих/'-' 4- (иг 4-1) (и 4- 1) zn 4- (т 4- 2) (п 4- 2) х"*1 -|- и т. д.
Разделив ещё па ж"'1, получим
mn t (т 4- п 4-1) х , 2х2 _
-^у-4 (1 _ ху г —
— тп+ (иг 4- 1) (и. 4- 1) х-\- (т 4- 2) (и 4- 2) х2 4- и т. д.
Так можно будет поступать и дальше, и всегда мы будем находить те же ряды, которые порождаются разложением дробей, составляющих сумму.
22. Так как для первоначально взятой геометрической прогрессии можно найти её сумму вплоть до некоторого члена, то таким образом можно будет найти также сумму ряда, состоящего из конечного числа членов. Так, поскольку
1 + ^ + ^ + ж3+ж44-...+^7
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
227
то, выполнив дифференцирование и разделив члены на dx, будем иметь
1
(п 4- 1) хп — п?'1
(1 - -э2
1 + 2х + Зя;2 4- 4z3 4- пх"~\
Отсюда можно найти суммы натуральных чисел , вплоть до некоторого предела. Помножим теперь этот ряд на х, получим ряд
х — (пХ 1) Xй*1 -I- пхп**
(1-хИ
= х 4- 2а;2 4- За;3 4- ... 4- пх"-
Если его снова дифференцировать и разделить на dx, он даст ряд * *
который, помноженный на х, даст
х-±х‘— (п + I)2 х”+1 + (2п2 + 2п — 1) Хи + 2 — П2Хп+3 • Z » , п 2 , 2 и
—!----2----------4—-т----------------= х -t- 4а:“ 4- 9а; 4- ... 4- пгх ,
а этот ряд после дифференцирования, деления на dx, умножения на х даст ряд
а; 4-8а;2 4-27а;3 4- .. . 4-nV,
сумма которого, таким образом, будет найдена. Подобным же образом можно найти сумму биквадратов и высших степеней.
23. Этот метод может быть приложен ко всем рядам, содержащим неопределённое количество, суммы которых известны. Так как, кроме геометрического ряда, все рекуррентные ряды обладают том преимуществом, что их можно суммировать не только до бесконечности, но и вплоть до некоторого члена, то и из них этим методом можно найти бесчисленное множество других суммируемых рядов. Так как подробное рассмотрение было бы слишком пространным, то мы остановимся только на одном случае.
Именно, пусть предложен ряд
= + 3:2+ 2а;3 4-За;4 4-5а;5 4-8я:в 4-13а;7 4- и т. д.
Дифференцируя его и разделив па dx, мы получим
Ж2)2 ~ 1 + 2а? 4- 6а:2 4- 12а?3 4- 25а;4 4- 48а;5 4-91а;6 4- и т. д.
Легко видеть, что все ряды, получаемые таким образом, будут также рекуррентными, так что их суммы можно найти и из их основного свойства.
24. Вообще, если для ряда, принадлежащего к виду
ах + Ьх2сх3 + dx1и т. д.
будет известна сумма, которую мы положим равной S, то можно найти и сумму ряда, получаемого умножением отдельных членов на члены арифметической прогрессии. Действительно, пусть имеем ряд
S = ах 4- Ьх3 4- сх3 4- dx* -|- ех5 4- и т. д.
Помножим на хт; будем иметь
Sxm — axm¥1 bxm*3 4- схт*3 -j- dxm** ea?m+5 -f- и т. д.
15*
8
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
гфференцируем это уравнение и разделим на dx:
mSx’"^ 4-хт<^.— (1>г + 1) «^"'4- (/и4- 2) 6з",+14- (/«4-3) схт*2 4- и т. д.
13делим на х'“~‘; тогда будем иметь
mS + ~ (/и + ах + (т + 2)6я44~ (,и 4- 3) сх3 и т. д.
зли же мы желали бы найти сумму ряда
aaz 4-(а 4-Р) ta:2 4~ (а 4-2[3) cz3 4~ (а 4-Зр) dz14- и т. д., > нужно будет помножить предыдущий ряд на р и положить Р4-Р = а, так что т =а н; тогда сумма последнего ряда окажется 1ВН0Й
(х-Р)5+^.
25. Можно также найти сумму ряда, получаемого из предложен-ого помножением отдельных его членов на члены ряда второго по-ядка, т. е. ряда, вторые разности которого постоянны. Действительно, ы уже нашли раньше, что
m<S 4- = (т 4-1) ах 4- (т 4- 2) Ьх2 4- (т 4- 3) сх3 4-
[омножим на хп", будем иметь
mSxn 4-х = (m 4- 1) ах”^ 4- (/» 4~ 2) Ьхп*2 4- и
(ифференцируем, считая dx постоянным; после деления
(т х-п1) хп dS , xH¥l d2S
mnSxn~l+ —
т. д
т.
Д.
на
dx получим
т—:
И
(иг 4-1) (и 4-1) яя” 4-(«г 4-2) (« 4-2)6а411 4- и т. д.
’азделим на хп~' и помножим на к, получим:
, (т -Г п 4- 1) кх dS , кх-d2S
mks 4- 4-----_--------4- __ =
= (т 4-1) (п 4-1) кох 4- (т 4- 2) (п 4- 2) kbx2 4- (т 4- 3) (и 4-3) ксх* 4- и т. д.
Сравним теперь этод ряд с тем1); будем иметь
j Первая
разность
Вторая разность
ктп 4- кт Д- кп + к = а 'tmn + 2кт 4- 2кп 4- 4Л = а 4- Р ктп 4- Зкт 4- Зкп 4- 9к = а 4- 2р
следовательно,. 7с = -уу, т-}-п = ~ — Зи
а . 2а 23
тп = ~г — т—п — 1 -----------
« Т Y 4 *
кт 4- кп + Зк — р
кт + кп 4- Ък - р Ц- у
2А = у
2 (a — 4- Y> T
4 To-есть с рядом, получаемым почленным умножением ряда ах 4-4-с. х3 р...
на члены а, а 4-р, а 4-23 4-у,... ряда с постоянными вторыми разностями.
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
229
Значит, сумма предложенного ряда будет
/ От \ С Р? Г) .
(а-р + у)5 + ^-----4
ух2 d2S
2dx2
26. Подобным образом можно найти сумму ряда Аа + ВЬх 4- Сех2 + Ddx3-\- Eexi + и т. д., если известна сумма S ряда
S — а + Ьх 4- сх2 Ц- dx3 + еж4 4- /ж5 -j- и т. д.
и если А, В, С, D и т. д. образуют ряд с постоянными разностями. Действительно, так как предложенный ряд должен быть составлен из рядов предшествующих видов, то положим, что его сумма равна
„ .fix dS |ч ух2 d2S . йх3 d3S ад + ~~dE~ 2<Ы2 "* бТР
ex4 dlS
24 dx4
+ И T. Д.
2<7х2
йхММ 6dx3
ex4 d lS
24 dx1
Чтобы найти теперь а, р, у, 3 и т. д., напишем каждый из рядов в развёрнутом виде; мы будем иметь:
aS = аа abx + асх3 -J- adx3 + аех14- и т. д.,
— $Ьх 4- 2рсжг4- 3fidx3 4- 4реж4 4~ и т. д.,
. . . . '/сх2 Ц- 3ydx3 -j- бус#4 4- и т. д., bdx3 4- 4Веж4 4- и т. д., ..гех1 4- и т. д., и т. д.
Эти ряды, взятые вместе, сравним с предложенным рядом Z — Аа 4- ВЬх 4- Сех3 4- Ddx3 -f- Eexi 4- и т. д.
Сравнение отдельных членов даст:
а = А,
А— В — а = В— А,
'[ = С-2$-а = С-2В + А,
3 = I) - Зу - 33 — а = D - ЗС 4- ЗВ - А и т. д.
После того как эти значения, таким образом, найдены, мы получим искомую сумму
,7 , (B—A)xdS , (С-2В + А)Х2 d2S , (D - ЗС + ЗВ — Л) х3 dsS ,
Z = 4S-p—---------Р---i—--------Р-----Т „ з---------ь И т. д.
1 dx 1 • 2 • dx2 1 • 2 • 3 ах3 1
или, если последовательные разности ряда А; В, С, значить обычным образом, будем иметь
7 _ К , ДЛ ' х dS , A2 Ах2 d2S ДМ • х3 d3S л + ^ TEdV 1Т 2 • <1Х2 + г:’2ТЪ77/х< +
D, Е и т. д. обо-
и Т. д_,
Д.
если, как мы приняли,
S = а 4- Ьх 4- ex2-}- dx3 4- err4 4- jx3 4- и т.
Таким образом, если ряд А, В, С, D в конце концов будет иметь
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
эянные разности, то сумму ряда Z можно будет выразить в конеч-виде.
27. Если через е обозначить число, гиперболический логарифм рого равен 1, то
-р zy»3 *у*4 0*5
^=1 + ^+,—2+Т^Т¥ + Т7Т7Г7д + 1.2.3.4.5+ ИТ. д.
е , то
мём
этот ряд за
первоначальный; так как S =
dS ~ d-S — == — dx ’ dx2
и т. д.
'Ому
сумма ряда . , Вх
Сх-
Ех4
1 1- 2 2 - 3 1 1 •
2-3-4
т. д.
составлен из предшествующего
рый
1зится следующим образом: т / j . хЛЛ , х2Л2Л , х2Д3Л Т
и из ряда
А, В, С, D и т. д.
е~
1-2 ’ 1 • 2 • 3 ’ 1 • 2 • 3-4
х4Д4Л .
{•ИТ
пусть предложен ряд
5х . 10х2 17х3 . 2Gx4 37 х
т+1Т1 + -ГТ2Тт+г:2ЛГГ4 + 1.2.з.4.5+ И Т- Д
авим разности ряда
А, В, С, D, Е и т. д., А = 2, 5, 10, 17, 26 и т. д„ ДЛ = 3, 5, 7, 9 и т. д., Д2Л = 2, 2, 2 и т. д.
эда видно, что сумма ряда
о , Юж2 . 17х3 2 + 5x4-
24х4
6 г 24
И т. д.
т равна
ех (2 + Зх + х2) = ех (1 + х) (2 + х),
впрочем, и само собой ясно. Действительно, мы имеем:
п х о , 2х 2х2 , 2х3 2х4 .
2^ = 2 + т + — + —+ -+и т. д.,
з X , Зх2 Зх3 . Зх4
Зхех — ах + —+ —+ -g- + и т. д., х2ех= ж2 + у. + у+и т. д.
е-(2 + Зх + х2) = 2 + 5х + ^+^ + ^+ и т. д.
28. То, что было выше сказано, относится не только к рядам сконечным числом членов, но и к суммам какого-либо числа их юв; ведь коэффициенты a, b, с, d и т. д. можно либо брать в беско-1ом числе, либо оборвать. Но так как этот случай не требует особого тснения, то мы точнее сформулируем результат, найденный выше, к, пусть предложен какой-либо ряд, отдельные члены которого оят из двух сомножителей. Одни из них пусть образуют ряд, при-[щий к постоянным разностям. Тогда сумма этого ряда может быть
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
231
определена, если после того, как эти множители будут опущены, ряд окажется суммируемым. Именно, пусть предложен ряд
Z = Аа + ВЪх + Сех3 + Ddx3 + Еех* + и т. д., в котором количества А, В, С, D, Е и т. д. составляют такой ряд, который в конце концов сводится к постоянным разностям. Тогда сумма этого ряда может быть получена, если известна сумма S ряда
S = а + Ьх + сх2 dx3 Ц- еж4 + и т- Д. В самом деле, если из ряда А, В, С, D, Е и т. д. мы найдём последовательные разности, как было показано в начале этой книги,
А, В, С, D, Е, F и т. д., ДЛ, Д5, ДС, Д£>, ХЕ и т. д., ДМ, Д25, Д2С, Д2£> ит. д., ДМ, Д35, Д3С ит. д., ДМ, Д4В и т. д., ДМ, то сумма предложенного ряда будет
-7 гт 1 . х dS , х2 d"S л 2 л I х2 d2S , з . .
Z — SA 4- —з—т—. ДМ 4-.—-—5—J—. ДМ 4- И т. д.,
1 1 • dx ' 1 • 2 - ах2 1 1 - 2 - 3 • dx- 1 ’
где в высших дифференциалах количества S дифференциал dx полагается постоянным.
29. Если ряд А, В, С, D и т. д. никогда не приводит к постоянным разностям, то сумма ряда Z выразится через посредство нового ряда, который, однако, может сходиться быстрее, чем предложенный. Таким образом, предложенный ряд преобразуется в другой, равный ему. Пусть, например, предложен ряд
у^+у + т + т + т + ¥+и т’
который, как известно, представляет 1 , так что У =—1(1 — у).
Разделим этот ряд на у и положим у = х и У = yZ, так что
Z = —-i-1 (1 — у) = —! (1 — ж).
Тогда
Z. . X , Xs , X3 . X* . Xs ,
= 1 + ¥ + т + -г+т+- + и т- д-
Сравнив этот ряд с рядом
S = 1 + х + х2 4- х3 -у xi + х3 4- х3 + и т. д. = —
мы получим для ряда А, В, С, D, Е и т. д.
следующие
значения:
1 1
Т ’ Т ’ т
111
ГТ2 ’ “ 2~-~3 ’ 3 • 4 ’
1
И т. д.,
И т. д.,
1.2 1-2 1-2
1.2-3 ’ Т .ЗГТ ’ 3-4-5
1-2.3
1 • 2 • 3 • 4 ’
1-2-3
2 • 3 - 4 • 5
И Т. Д.
и т. д.
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
аким образом, будем иметь
А = 1, АЛ = —, ДМ = -i , ДМ = —и т. д'. 2 о 4
а 1
алее, так как о = -------, то
’ 1 — х ’
dS 1 d-S _ 1 d3S 1
dx ~~ (1-Д)- ’ 1 2 dx2 ~ (1 - x)3 ’ 1 . 2 3 dx3 “ (1 - x)4 И T‘
одставив эти значения, получим сумму
„___ 1 X X2 X3 | X4
z ~ ~ + 30--®)3 ~ 4(1— х)4 1 5(1 —х)5 ~ п т- д-
так как х~у и Y =—1(1 — yj — yZ, то
— 1 (1 - у) = у У - 2 (1 _ (/)2 + -3 ц—- ~Ц1 + и т- д
аким образом, этот ряд выражает I
(^Л-9) = >гД„=-1(4-Л
траведливость чего устанавливается на основании ранее доказанного.
30. Чтобы показать применение этого метода в том случае, когда меются только нечётные степени, а знаки чередуются, рассмотрим
яд
у=з/-т+4-т+4-&1+ и т- «•
1звестио, что Y — arc tg у.
т. Г
Разделим этот ряд на у и положим =Z и у~х, тогда
1сли этот ряд сравнить с рядом
S = 1 — X + X- — X3 4-Z4 — хъ + И т. д.,
е 1
о получим, ЧТО А = ,
что ряд
коэффициентов
А, В, С, D и т. д.
УДет:
А = 1,
J.
3
дл =
дм =
______2
’ 5
2
1
9 И
2
—, п т. д.,
т. Д-,
дм =
2 4
> -5ТУМГ И Т- «•’ 2-4-6
3 - 5 7 • 9 и Т- Д-’
и
1
"5 ’
1
2
4
3 • 5 ’
2 • 4
3 •
5 • 7
дм =
3 • 5 • 7 • 9 и
Т. д.,
и т. д.
т а 1
1о так как о = —— , то 14-х ’
dS______ 1 ___d2_S___________1
dx (1-|-х)а ’ 1 • 2 • dx2 (1 + х)3 ’
d3S
1 • 2 • 3 • dx3
1 (14-х)4
и т. д.
ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
233
Подставив эти значения, мы получим
7 1 , 2х , 2 W , 2 • 4 • 6х3
+ 3(1Н-Д2 + 3 • 5(1+ж)3 3 • 5 • 7(1+х)4 1 и т- д-
Положив снова х = у~ и помножив па у, получим y^arctg^^^-^ и т. д.
31. Рассмотренный выше ряд, которым представляет выражение дуги круга через тангенс, можно преобразовать также и другим способом, сравнивая его с логарифмическим рядом.- Рассмотрим ряд
* 4
¥“!? + 11 т- д
Z=l—1 +
и сравним его с рядом
4-4hi+^).
Тогда значения букв А, В, С, D и т. д. будут:
А,1 =
АМ =
Д8Л =
2 4 6 8
~ , ЧГ , , -о И T. Д.,
.» О J
2 + 2 4-2 4-2
Г ’ 3 5 ’ 5+7 ’ ТТэ и т- Д’’
-2-4 -2-4 -2-4
3-5 ’ 3 5 .7 ’ 5 • 7 • 9 И Т> Д’’
И Т. Д.
1 1
Далее, так как 5 = — — 1 то
dS _ __ 1 d*S _ 1
1 dx 2 (1 4-х) ’ 1 2 dx2 4 (1 + х)2 ’
__ 1 d'S 1
1 • 2 • 3 dx3 — — 6(1 4-x)3’ 1 • 2 • 3 • 4 dx4 — 8\f+¥)4
Следовательно, 5Л = 5у=1, и из остальных выражений получаем
х 2х2 2 • 4х3
3 (1 4- х) — 3 • 5 (1 4- х)2 — 3 5 • 7 (1 4- х)3
Положим теперь х---у2 и помножим на у, будем иметь
y = arctg^-3-^2}
2у5 2 4j/7
3 5 (1 4-у2)2 3 • 5 • 7 (14-у2)3
И т. д.
Таким образом, этому преобразованию не служил помехой бесконечный член -р-, который входил в ряд S. Если же у кого остаётся сомнение, тот пусть разложит отдельные члены ряда, кроме первого, по степеням количества у в ряд; он убедится, что действительно получается первоначально предложенный ряд.
234
ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
32. До сих пор мы рассматривали только такие ряды, в которые входили степени переменного количества. Теперь же мы перейдём к другим рядам, которые содержат в отдельных своих членах одну и ту же степень переменного, как, например, ряд
с 1 , 1 , 1 , 1 ,
^ = аДх + ьТх‘^с‘г‘х + ТдТ+’ И-'Т‘ Д‘
Ц, JD U JD С vC Ct “Т" •*/ f
Если будет известна сумма S этого ряда и если она выражается некоторой функцией количества х, то, дифференцируя и деля на —dx, будем иметь
- dS __ 1 1 1 , 1
~ dx ~ (а Д х)2 + (Ъ Д ж)2 + (с + zP c(d-t-x)2 + ИТ’ Л’
Если мы будем дифференцировать этот ряд и затем разделим на — 2 dx, то найдём ряд кубов
idx2 (аД ж)3 + (1>+х)3 (сДж)3 + (d + х)3 + И Т' Д'
Если этот ряд снова дифференцировать и разделить на —3dx, то получим
— d3S _ 1__________1_____1____________1 _
fidxi (а Д- х)* (Ь-\-х)* (сДх)4 ' (с/Дх)4 ' И Т' Д'
Подобным же образом найдутся суммы всех следующих степеней, если только будет известна сумма первоначального ряда.
33; Подобного рода ряды дробей, содержащие неопределённое количество, мы нашли прежде во «Введении» *), где мы показали, что если обозначить через тс полуокружность круга, радиус которого равен 1, то будет
« 1.1 1 1,1,1
------= L.-----------. —----------------— и т д
. т т п — т п-\-т 2п— т 1 2п + т Зп — т ’
п sin — тс п
. т т п — т' п Д т 2п — т 2лД m Зп — т п sin — тс п
Так как за т и п можно принять любые числа, то положим п = 1 и т = х, чтобы получить ряды, подобные тому, который был предложен в предыдущем параграфе. Тогда будем иметь
тс 1,1 1 1 , 1 , 1
sin тсх х 1 — х 1Дх 2 — х 2Дя 3 — х
тс cos тсх 1 1,1 1,1 1
—-----=-------------------------------------L и т. П.
sin тех х 1 — х 1 1Дх 2 — х 1 2+х 3 — х
Следовательно, с помощью дифференцирований можно найти суммы каких-либо степеней, получаемых из этих дробей.
’) «Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
235
34. Рассмотрим первый ряд и пусть для краткости — = 5; высшие 81П
«го дифференциалы будем брать, полагая dx постоянным. Тогда
с 1 , J_______I____1 t 1 I 1
я. 1 - х 1 + х 2 — х ' 2 + г т 3-х
— dS 1 1 1 4- 1 4- 1 1
dx X2 (1-x)2 (1 4- x)2 1 (2-x)2 ' (2 4x)2 (3 - x)2
d2S 1 1 1 1 1 1 1
2dx2 X3 1 (1-x)3 (1 4-Ж)3 (2 -x)3 (2 + x)3 (3-x)3
-d3S 1 1 1 4- 1 4 1 1
6 dxP — X4 (1-x)4 (1 + X-)4 1 (2 — x)4 1 (2+x)4 (3 - x)4
d*S 1 1 1 1 1 . 1 4- 1
^idx'3 X5 (1 - x)5 (1 + x)' (2 — x)5 1 (2 4- x)“ 1 (3 - x)5
-d3S 1 1 1 4. 1 . 1 1
120 dx2 X8 (1 - X)8 (1 X)8 1 (2 —x)8 1 (2 4 x)8 (3-x)8
И Т. Д.
и Т. д.,
и т. д.,
И т. д.,
И т. д.,
И т. д.,
Заметим, что для чётных степеней знаки подчиняются одному и тому же закону и точно так же для нечётных степеней соблюдается один и тот же закон знаков. Таким образом, суммы всех этих рядов находятся из дифференциалов выражения 5 = .
35. Чтобы проще выразить эти дифференциалы, положим
= р и созкж = д;
тогда
dp — к dx cos г.х — Tzq dx и dq=—ttpdx.
А так как S = — , то P
— dS n2q
dx p2 ’
d2S ___тс3 (p2 4 2g2)_л3 (g2 41)
dx2 p2 p3
так как p' + f
~d3S __ . (5q 6g3 \ _ чс4(д3 + 5д)
dx2 ~ k p2 pi J Pi ’
d2S ___ B / 24g4 28g2 _5 X _ -4 (g4+18g2 + 5)
dx2 77 ' p5 ' p3 p ) p2
-d'S _ e Z120g5 180g3 61gX _ %8 (g54 58g3 4 61g)
dx2 77 x. p8 ' p4 ' p2 / p13 ’
d'S _ 7pj20q3 1320g4 662g2 61\ -4 (g8 4 179g4 4479g2 4 61)
dx6 77 \ p7 ' p5 Pa P ) P7
-d~S _ 8 / 5010g7 10 920g5 7266g3 1385g\ _
dx3 K X. p8 ' P° "f" Pi ' p2 )
= (q7 + 543g5 + 3111g3 + 1385g), d3S __ 9 440 320g3 100 800g8 83 664g4 24 568g2
dx2~ ’ p2 1 p7 I P I p3~
= p(53 + 1636g‘+ 18 270g4+ 19 028g2 4-1385) и т. д.
236
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
Эти выражения легко получать и дальше до какого угодно предела; действительно, если будом иметь
dnS ,1+1 ( zqn , Зд”-2 , 7д^4 , ,
dxn т /‘-з + р”-5 + и т-
то следующий дифференциал после перемены знака будет иметь вид
((»+!) + (n— l)₽)-“ir+ j
/7П + 1С I „П-з I
= + ((п-2)8 + (ц-3)Т)^ + ?.
[ +((B-4)T + (B-5)S)^S+ ИТ.Д.]
36. Отсюда получатся суммы рядов, найденных выше, в § 34.
а именно:
— dS тс2 q dx Ip3’ d^S__^f 2g2 J_X
? dx‘ 2 \ p3 p ) ’
- d3S_и4 Z6g3 । 5g X
6 dx3 6 у pi 1 pl ) ’
d3S _п3 fZiq* 24 dxi 24 у p3
28g2 5 X "T P3 P У
— d3S __ тс8 Z120g5 120 dx3 120 \ p8 '
d3S тс7 Z720g8 1320g4 , 662g2 , 61
720 dx? ~ 720 < p7 + p5 ~p^ *" 7
--d"S = -re3 / 5040g7 10 920g5 , 7266g3 1385g\
5040 dx7 5040 \ ps p8 1 p4 ' p2 у ’
<23У _ it» Z40 320g3 100 800g8 , 83 664g4 , 24 568g2
40 320 dx3~~ 40 320 < ’ p9” p7 ‘ J? ' p3
37. Таким же образом поступим с другим рядом, который мы нашли выше (§ 33):
тс COS тсж _ 1 1,1 1,1 1
sin тсж ж 1 —ж ' 1 + ж 2 — ж"^2]-а: 3 —ж
тт тс cos ТСЖ „
Положив для краткости —.-------==Г, мы получим следующие суммиро-
Sill
вания:
г 1 1 , 1 1,1
ж 1-ж+1 + ж 2-г + ’+ж ИТ. Д.,
- dT _ 1 1 1 ' 1 1
dx ~ ж2 (1 — ж)2 "1” (1ж)2 ' (2 — ж)2 ' (2 х)з+ И т‘ Д”
d3T _ 1 1 1 1 1
2<7ж2 —ж3 (1-ж)з + (1 + ж)3-(2-ж)з + (2п ж)3“ “ Т‘ Д’’
- d3T — 1 . 1 7 1 1 1 1 1 _L
ddx3 — ж4 ' (1 — ж)4 ' (1 4-ж)4 (2 — ж)4 "1” (2 4-ж)4 ' 11 Т’ Д’7
d3T 1 1,1 1,1
24 <2ж4 ж5 (1-ж)5 т(14-ж)5 (2-жрп (2 4-ж)5 м ’
-<75Т_1 1 ’ 1 1 1
120йж5—ж8 ‘ (1-ж)8 ' (14-ж)8 ‘ (2-ж)8 ‘ (2 4-ж)8 *“ Т' Д’’'
И Т. Д.,
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
237
где для чётных степеней все члены положительны, а для нечётных знаки -J- и — чередуются.
38. Чтобы найти значения этих дифференциалов, положим, как и раньше,
sin7ta;=y> и совет = q,
лак что p3-j-q2 = l; тогда
dp = tzqdx и dq-= - ~pdx.
G помощью этих выражений мы будем иметь:
_з <273 , 2дА_2тс3д dx3 ‘ \ р3 ' р J р3 ’ ~d"T _г* и<6д2 2 А
, 16?\
dxi \ р5 о р3 J ’
— d3T ( 120g4 120g2 16 А
dx3 'с < "Г” Рх р2 / ’
d6T Г TiOq3 960g3 272g А
dx3 р’ "г” р3 ~о р3 ) ’
- d-’T____8 Z 5010g8 8100g4 3696g2 272 А
dx1 У р8 ' р8 ~о р4 рз ) ’
d8T _^9 <40 320g’ 80 610g5 48 381g3 7936g А
dxa ~ < p9 + p’ ' p3 "I )
И T. Д.
Эти формулы легко получить и дальше до какого угодно предела. Действительно, если
dxn ' V рп<-1 "Г р'*-1 “о р«-3 то следующее выражение будет dWtlr _ n+2 /(n + l)agn (п - 1) (х 4- 3) qn~‘ dxn^ < р«^ 1 ’ " рП । , S?"~7 . Ь рп-ь + и Т. Д. (п-3)([1-су) g"-* р’*-2
39. Итак, положив sin tzx = суммы рядов, данных в § 37: Т = -к -ЛТ _ dx d2T idx3^^ -d3T (,dx3 dlT Z^dx11 — d3T __ 120 dx5 -p и совет = 2, мы получим следующие . .1 ’ Р ’ 2 _1 Р2 ’ 3_? р3 ’ 4 Г7-4-—^ <р4 1 Зр2> ’ \р3 ' зр3> ’ <р8 1 Зр4 1 15р2 J ’
238
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
dsr __
720dx« Vp’"*-3/>6-,”45р9У ’
— л7т .(yw । n?a , 17 A
5040с!ж7 \/>a ' 3/>° 15/>4 ' 315/>2y 7
dsT i 696 । 673 . 627 \
40390с(ж8 <р9"*‘3/>7“,”5/>6"Г315раУ
и т. д.
40. Помимо этих рядов, мы нашли во «Введении» 2) некоторые другие, из которых с помощью дифференцирования подобным образом можно получить новые ряды.
Так, мы показали, что
1 те 1/ж 1,1,1,! 1
2ж 2ж tg те !— л~4 — ж~9 — ж '16 — х 2 и — х'
Положим, что сумма этого ряда равна S, так что
1 те COS те У X ту X sin те У X
Тогда
dS__ 1 те COS те Ух Да
dx |2х2 4ж Ух sin те УX кх (sill те Ух)2
Следовательно, это выражение представляет сумму ряда
1 I 1 I 1 I 1 । 1
(1 - ж)2 (4 - ж)2 + (9 - ж)2 + (16 - ж)2 + (25 - ж)2 + и т‘ Д*
Далее, мы показали также, что
те е2те/Д+1 1 _ 1 ___L I 1 1______
2 Ух е2-пУх_.1 -х 1-1-ж 4 + ж 9 +ж ' 16 +ж *’ и Т’ Д‘
Если эту сумму положить равной S, то будем иметь
— dS 1 1 1 1 ,
dx ~ (1 + ж)2 (4 + ж)2 ‘ (9 + ж)2 ‘ (16+ж)2 И Т’ Д’
Но
ds — те е2те У* + 1 те2 е2я 1
dx кх Ух Vх _ 1 х (е277 - I)2 2ж2 •
Следовательно, сумма последнего ряда равна
- dS е2теУ^ + 1 д2 е2те Ух f
dx — 4ж Ух ' У* _ 1 ' х (е277 У^ _ t)2 2а;3 ‘
Подобным образом можно с помощью дальнейших дифференцирований найти суммы следующих степеней.
41. Если будет известно значение какого-либо произведения, составленного из множителей, содержащих неопределённую букву, то из него можно будет тем же методом найти бесчисленное множество суммируемых рядов. Так, пусть значение произведения
(1 + аж) (1 + Рж) (1 + ух) (1 4-5х) (1-|-еж) ит. д.
*) «Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. II. Q РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
239
равно S, т. е. некоторой функции количества х. Взяв логарифм, будем иметь
1 S — 1 (1 + лх) +1 (1 + рх) -г 1 (1 + ух) + 1 (1 4-Sa;) + и т. д.
Теперь возьмём дифференциалы; после деления на dx получим
01 . ? , У й
Л dx 1 ф Л.Х ' 1 т рх 1 4- ух 1 4 6х И т‘
Дальнейшим дифференцированием можно найти суммы каких-либо степеней этих дробей, совершенно так же, как мы подробно объяснили в предыдущих примерах.
42. Ьб «Введении» ’) мы нашли некоторые выражения подобного рода; применим к ним этот метод. Если тг есть дуга в 180° круга, радиус которого равен 1, то, как было нами показано,
. т~ тп in2— т2 16п2 — т2 36п2 — т2
81П 2п ~ 2п ' — W ’ 16п2 ’ Збп2 И
тг. п2 — т2 9п2 — т2 25п2 — т2 к9п2 — т2
С08 2п п2 9п2 25п2 49п2
Положим п = 1 и т = 2х, так что
sin tex = tex —— 1 4
9 — х2
16 — х2
Iff
. и т. д.
или
. 1 — х 14-х
sin tex = tex —— —
1 1
2 — х 2-|-х 3 — х 34-х 4 — х
—2------2-----3-----Г . И Т. Д.
И
1 — 4х2 9 — 4х2 25 — 4х2 49 — 4х2
COSirx=^— • —g-----------25-• И т. д.
или
1 — 2х 14- 2х 3 — 2х 3 4-2х 5-2х 5 4-2х
СО8^=—-------;-----------з-з-5-----5-. и т. Д.
Если взять логарифмы этих
выражений, то будем иметь
, . , .Л - х . . 1 4-х , 2 — х, ,24-х. ,3 — х ,
1 sin tex = 1 tex ф- 1 —j-----------|- 1 —j-(-1 —-1-1 —%-f-1 —g—В и т. д.,
, , 1 - 2x , , 1 + 2x , , 3-2г . , 3-|-2x , , 5-2г ,
1 COS tex = 1 —— + 1 - 4- 1 - - 4- 1 —3— 4-1 -r + и т. Д.
1 1 о о о
43. Возьмём теперь дифференциалы этих логарифмических рядов; после того как повсюду будет выполнено деление на dx, первый ряд даст
п COS тех 1 1,1 1,1 1
------=-------------------------1-------------4 и т л
S1.! тех х 1 — х п 1 4-х 2 — х ' 2- х 3-х г
Это тот же самый ряд, который мы рассматривали в § 37. Другой же ряд даст
— те sin тех 2.2 2 2 2
cos тех 1 — 2х 1 14-2х 3—2х ~ 3-1-2х 5—2х
ф «Введение», т. I, гл. IX и X.
!40
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
1оложим 2z=z, так что х = п разделим на —2; Пудом иметь
. 1 л si:> — лз
— -
2 cos - лз
1о так как
1
I н-
т.
д.
. 1
sin 2 кг =
1 — СОЗлз
И
о
1
COS - ~Z =
1 + COS л.
1
1 -
и
о
л у/~ 1 — cos л /Г+ COS Л2
2
2
2
ЁП2
-г- z
т. д
и
3
гли, если написать х вместо z, л j/1 — cos лж _____ 2 2 . 2 2 2
1-р cos лж 1 л 1 + 3 ж 3 + х 5 х
[рибавим этот ряд к первоначально найденному
л COS TtX 1 1,1 11 1
sin лж х 1 —ж 1+ж 2 — х 2-ух 3 — х
-огда мы найдём, что сумма ряда
11 _ 1______1 1 , _1
х *” 1 — х |р ж 2 -ж ' 2 + х ' 3 — ж
л/1 — COS ЛЖ , л COS ЛЖ ут эавна - -7----=- 4-----. По дрооь г
У 1 + cos Г.Х sin У 1 + COS ЛЖ
I знаменатель помножить на |/ 1 — совка;, примет вид
Cos лж
если числитель
1 — cos sin лж
Поэтому
:у.мма ряда будет равна si,^TC3. > эта та же сумма, которую мы нашли 1 § 34; поэтому мы не будем подвергать её дальнейшему рассмотрению.
ГЛАВА III
О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
41. Каким образом из конечных разностей функций легко можно найти их дифференциалы, это мы подробно изложили в начале книги; и именно из этого мы исходили при выводе основных свойств дифференциалов. Действительно, если разности, которые прежде считались конечными, теперь исчезают и обращаются в нуль, то возникают дифференциалы; а так как в этом случае многие, а часто и бесчисленные члены, составляющие конечную разность, отбрасываются, то дифференциалы можно найти гораздо легче и выразить гораздо удобнее и проще, чем конечные разности. Поэтому обратный путь, путь подъёма от дифференциалов к конечным разностям, казалось бы, закрыт. Однако по тому способу, которым мы здесь будем пользоваться, можно будет из дифференциалов всех порядков какой-либо функции определить все её конечные разности.
45. Пусть у есть какая-либо функция от х. Так как она, если положить x-\-dx вместо х, переходит в y-}-dy, то, если снова положить х 4- dx вместо х, значение у + dy возрастёт на свой дифференциал dy -f- d2y и станет равным у-\- 2dy + d2y; таким образом, это значение будет соответствовать значению x-]-2dx количества я. Подобным образом, если мы положим, что количество х непрерывно возрастает на свой дифференциал dx, так что оно принимает последовательно значения x-j-dx, x-}-2dx, x-\-2dx, x-\-kdx и т. д.. то у будет иметь следующие указанные в приводимой таблице соответствующие значения:
пачение количества Соответствующие значения функции
X У
х -j- dx У d!l
х + 2dx у 2dy4-diy
х -|- 3dx у + 2d у J- 3<Z2y + d3y
х л xdx y+'tdyy-Gd'-y +^dsy -rd'ij
х bdx у 4- bdy -i- 10d-y 4- lOd^y bd*y 4- d“y
х + Qdx у -vGdy r lbd2y 4- 20d3y 4~ 15d4у 4- 6<Z5y 4- d*y
и т. д. и т. д.
46. Вообще, если х по рейдёт в x -\-ndx, то функция у примет вид
, п , п(п~ L) ,, п (п — 1) (п — 2) ,3
У + г dy + -Ггз- d У + ~'Тгз—' d У +
п (п — 1) (п — 2) (п — 3) .
4- —-1 ., ---Ld 1у+ и т. д
16 л. Oii.jep
242
ГЛ. Ш. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Хотя в этом выражении каждый член бесконечно меньше, чем предшествующий, но зато мы не опустили ни одного члена для того, чтобы эта формула оказалась пригодной для решения рассматриваемого вопроса. Действительно, мы будем считать п бесконечно большим числом, а так как, как мы раньше указывали, произведение бесконечно большого количества на количество бесконечно малое может равняться конечному количеству, то второй член сможет оказаться однородным с первым, т. е. ndy сможет представлять конечное количество. По этой же причине, хотя в бесконечное число раз меньше чем dy, третий член П (п — 1) 72
—d у сможет выражать конечное количество, так как другой множитель п ~ в бесконечно большее число раз больше чем и; таким образом, если п полагается бесконечным числом, то нельзя будет отбросить никакой из членов этого выражения.
47. Если же п положить бесконечным числом, то какое бы конечное число пи было прибавлено или отнято, результирующее число будет иметь к п отношение равенства, и потому вместо отдельных сомножителю: п — 1, п — 2, и — З, п — 4 п т. д. можно будет повсюду написать и.
А так как —р-, d-y=^n-d~y—^nd-y, то первый член ^n~d-у к последующему ^nd2y будет относиться, как п к 1, так что второй исчезает п (п — Г)
по сравнению с первым; следовательно, вместо ———' можно написать | п2. Подобным образом коэффициент четвёртого члена n можно
П3 -
свести к -g- и равным образом в последующих членах можно пренебречь теми числами, которые вычитаются из и в сомножителях. Поэтому функция у, если в ней вместо х положить х + ndx, где п есть бесконечное число, получит следующее значение:
, ndy , n-d'-y rrd3:i , nidiy , 7i5<25;/
У + ПГ Ь~2 1-2-3 + 1 • 2 - 3 • 4 + f-2” 3-4-5 + И T‘ Д’
48. Поскольку при бесконечно большом п произведение ndx может выражать конечное число, несмотря на то что dx есть бесконечно малое, положим ndx — w, так что п — £; таким образом, п, будучи частным от деления конечного количества о> па бесконечно малое dx, будет числом бесконечным. По с помощью полученного здесь значения п мы найдём, что если переменное количество х возрастёт па некоторое конечное количество о>, т. о. если вместо х мы положим х ш, то какая-либо его функция у примет вид
<о dy at-d2!/ <o3d3y , w4<24?/
У + 1 • dx "* T^Tdx3 "Г 1 • 2 • 3 <2ж3 + 1 • 2 • 3 • 4 <2г4 + И Т’ Дф
В этом выражении отдельные члены могут быть найдены последовательным дифференцированием количества у. Но выше мы показали, что когда у является функцией от х, все эти функции ~ и т- -1-
представляют конечные количества.
49. Когда переменное количество х предполагается возрастающим на конечное количество да, какая-либо его функция у возрастает на первую её разность, которую мы выше обозначали через су, причём мы имели
ГЛ. Ш. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
243
w _ Поэтому можно будет с помощью последовательного дифференцирования найти разность количества у, именно мы будем иметь
mdy •• 2d2y о>М3г/ М‘ц
±У = ~dx + ~Tdx‘ + Jd^ + 24dx* + И T. Д.
ИЛИ
Дх dy Дх2 d2y Дх3 d3y Дх4 d*y
- У dx + ТТх2 + ЗГ Др + 21 dP + и ’• Д-
Таким образом, конечная разность £ у выразится рядом, члены которого расположены по степеням количества Дж. В свою очередь отсюда ясно, что если количество ж возрастает лишь на бесконечно малое, количество, так что Дж становится его дифференциалом dx, то все члены, кроме первого, исчезают, и мы имеем \у = dy, действительно, если сделать yy = dx, то разность / у, по определению, переходит в дифференциал dy.
50. Поскольку, если вместо ж положить ж Д- ю, какая-либо его функция у принимает значение
«>Дг/ M-d2u ui3dy3 u>tdty ~di+ W Tdx< + РДх4 + и т-д-;
справедливость этого выражения можно будет проверить на примерах, в которых высшие диффс| енциалы количества у, в конце концов исчезают; действительно, в этих случаях число членов вышеприведённого выражения станет конечным.
Пример 1
Пусть ищется значение выражения х!~х, села вместо ж положить ж 4-1.
Пслсжим у ~ X' — х\ тёк предполагается, что х переходит в ж-4-1, то ш=1; взяв теперь дифференциалы, будем иметь
g = 2Х-Ь g-2, g-О я ». д. dx ах ах
Значит, функция у —ж2—ж, если положить ж4- 1 вместо ж, перейдёт в ж2-ж4-1 (2а:-1)4- | • 2 = ж24-ж.
Действительно, если в ж2— ж вместо ж мы на самсм деле положим ж -|- 1, то ж2 перейдёт в ж2 4- 2ж 4- 1, X » » ж + 1
следовательно, ж—ж перейдёт в х2 у х
Пример 2
Пусть ищется значение выражения x3-j-x2-j-x, если вместо х положить ж 4-2.
Положим у = ж3 4- ж2 4- ж и <0 = 2; так как теперь
у — Xs + ж2 4- ж, то
g -ЗД- + 2Д+1, 5=6д+2, g-0 .. т. д.
16*-
i
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Отсюда значение функции у = % --р х, если вместо х положить
Г 2, будет
Xя +х2 + х + 2 (Зх- + 2.x ; 1) (6т + 2) + £ 6 = х2 -j- 7х’ л-17 -j- хЛЬ.
.> же значение получится, если па самом деле вместо х подставить + 2.
Приме р 3
Пусть ищется значение выражения х2 4-Зт-|-1, если вместо х положить х—’3.
Здесь, следовательно, о> = —3; положив у — х2 + Зт ф-1, /дом иметь-
— 9r I 3 — 2 —' — 0 и т ч
dx - dr3 -л, dr3 -и И T. Д„
гкуда, если положить х — 3 вместо х, функция х 2-j- 3x4-1 перейдёт в х1 + З.г + 1 — 2 (2 г. + 3) + • 2 = х2 — ?,х -|- 1.
51. - Если за о мы примем отрицательное число, мы найдём значс-не, которое принимает какая-либо функция количества, когда х уменьшится на данное количество о>. Именно, если вместо х положить х— <», к какая-либо функция у от х примет значение
<»>Щ/ <n3day <i>4<74y
dx ‘ dx2 dx' dx"
H T. д.:
тсюда могут быть найдены все тс изменения, которым может подвернуться количество у, когда количество х изменяется каким-либо обра-ом. Если у будет целой рациональной функцией от х, то, так как конце концов мы придём к исчезающим её дифференциалам, изменение её значение представится конечным выражением; если же у не бу-ет функцией этого рода, то изменённое значение выразится бесконеч-ым рядом, сумму которого, следовательно, можно будет представить опечным выражением, ибо, если па самом деле сделать подстановку, вменённое значение легко находится.
52. Так же, как была найдена первая разность, можно представить следующие разности подобными же выражениями. Действительно, усть X принимает последовательно значения х-м. х4-2о>, х + Зоэ, : -|-4(о и т. д. и пусть соответствующие значения у обозначаются через 4. у”, у111, y,v и т. д., как мы положили в начале этой книги. Так как 3, у11, yin, ylv и т. д. суть значения, которые порождает у, если (место х написать соответственно х-Н'Ч ^4-2®, ж4"’’<•>, x-f-do) и т. д., о эти значения количества у, по доказанному, представятся следующим (бразом:
?/=У+ 1/ з <"~d-y (оМ3;/ Midtl) 2dH + Г.Ж- + 2WT4 Н
у п = ?/+ ,ь- 8со3б/3г/ , _1_ 1L тт у г 1 2dx2 ' bdx3 1 24<Ь;4 ' ' ’’
, 9<»2rf2;/ , 27ii>3dsy 81o>4<74?/ 1 2dx- 1 C>dx3 "i- 24dr4 И T’
ТА’’ 1 4''Of/?/ у =?/+ ПЕГ V>«2d'y . Г>4'»3У3)/ 256<o‘1(7,v
и т. д.
ГЛ. HI. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
245
53. Так как, если лу, ^2у, Ру, и т. д. суть первая, вторая, третья, четвёртая и т. д. разности, то
1У = У1 — У,
лгу = уи—‘^у1 + у,
Аяу = у1и — Зу}Ч^/~у,
А*У = Z/1V — + бу" — 4у’ + у
и т. д.,
и эти разности выразятся через дифференциалы следующим образом: &dy M2d2i/ . (О36?3</ txdd^it
W = -dx + -Ь + и т. д„
(22 — 2 • , (23 — 2 - 1)<»3с?3у , (2> - 2 . 1)<оМН/
±~У ~ 2d~ci KdP + 11 '• ;ь-
, (З3-3 • 22 + 3 • l)«3d3v , (З4 — 3 244 -3 • 1)<.>М4,/
д3у= -----------бГЛз—2—---------------------------------: + и т-д”
(44-4 • 34 + 6 • 24 —4 1) и>Ч4у , (45 - 4 • З5 ~ б • 2* - 4 1) ш3<Йу ,
Д4У=---------------------------к---------------------12иЛ;5------------у + п,, д.
и т. д.
54. Само собой ясно, насколько полезны эти выражения разностей в учении о рядах и прогрессиях; в дальнейшем это будет подробно изложено. В этой же главе мы остановимся на тех применениях, которые непосредственно обогащают наши познания о рядах. Хотя обычно принимают, что индексы членов какого-нибудь ряда составляют арифметическую прогрессию, разность которой есть единица, однако для того, чтобы обеспечить возможность более широкого использования и более легкого применения метода, мы положим, что разность равна Таким образом, если общий член, т. е. тот, который соответствует индексу х, будет у, то последующим членам будут отвечать индексы ж-|~о>, x-i- 2<u, x+3<u и т. д. Итак, если этим индексам соответствуют нижеследующие члены ряда
х, х-]-2о>, х-1-Зо>, х -J- 4<о и т. д.,
у, Р, Q, R, S и т. д.,
то эти члены выразятся через образом:
у и через его дифференциалы следующим
o>3 , w4 d^u ,
1^+24^ +и T- «•’
, 8(О3бР(/ 16а)4б/4!/ ,
+ т. д.,
j 27to3d3y
dx T ‘Idx2 1
о ( 4'.o dy 16<d2 d2y , б4о»3 d3y
У dx * 'Idx2
rp । tp&dy 25o)2 d2у
У * dx 2dx-
/> = „4--'^+-^’- + У ' dx 2dx2
Л 2a>dy ^d1;/
D 3w dy 9ш2 d*y
n = y+-^-+ 16cu3 d2
24<7х4
81ш4сИу .
+- и т. д.,
24dz4
б2.5ш4 dty
fid.c'
244-е1'11 т- Д'
24G
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
55. Если эти выражения вычитать друг из друга, количество у больше не войдёт, и мы будем иметь:
_ indy ы-d1)/ м3 d'3y tn* d*y ,
p-y = ~dr+^d^ + -M^+ + И t- д-
„ . <0 dy 3i>- d!y 7.o3<73?/ 15o4d4?/
Q — P =—,-------—4—r, , - 4- -nV, г 4- и т-
v dx Idx1 Gax3 24rfx*
_ _ in dу , 5м2 d 'y , lOoi'd3!/ , G5<o4 d*y ,
R-Q = + -тг, 4- —K-i-3— 4- ~г~туг 4- и т.
v dx 1 Idx- adx3 2 tdx*
7<ii2 dly 37 ->3 d3y 175u>4 d4y 2dx1 Od^~ ' 2 tdx* + И T
9oi- d-ii , 6hi>3d-’!/ 3G.)<o4d4y
------2- J---------1 '-------- -1- и 2dx3 ~ adx3 т 2чЛе4 ~
то в разности
Дм
Дм
dx
iji $______ d у
dx
Дм
д-
S — R
Если эти выражения снова вычитать друг из друга, то взаимно уничтожатся также первые дифференциалы, и мы будем иметь:
<?-27>+у = R-2Q + P = S-2Rr0 = T-2S + R =
d3y G (ч3 d3y 14<о4</4!/
2d г- ' 6dz3 Г 2'tdx* + И т. д.
2-0- d-y Г2 о3 d3y , 50 о4 d*y
2dx3 "Г’ б'/ж3 "Г 2irfx4 4-и т. Дм
2.140/ 110о4 d'y
2d rd kdx'3 24dx4 4- и т. д.
2<o2<727 2l o3d3,/ 114-,>4 d*i
2dx3 ddx1 2idxt Ч-и т. Д
Если же эти выражения вычитать друг из друга, то из выкладки устранятся также вторые дифференциалы:
n on 1 on 6<1>3 dsy . 36'1>4 dly
R _ 3Q + ЗР - у = - 4- -2U-r 4- и т. д.,
5-ЗД + 3(?-Р = -6^ + ^^4-и т. д„ Г-35+ЗЯ-С-Ч’+4ЙЧ „т.
Продолжая вычитание дальше, получим:
9 4 fl ijt S^R + GQ-iP + y^-^J+u т. д., 7’_45 + 6Д-4(? + /’ = ^'^ + и т. д.
Т - 55 -Н 102? - 10(? 4- 5Р - у = + и т. д.
5G. Если у будет целой рациональной функцией количества х, то сё высшие дифференциалы в конце концов исчезнут, и мы, поступая но этому способу, в конце концов придём к исчезающим выражениям. Так как эти выражения суть разности количества у, то мы должны внимательно присмотреться к их виду и к их коэффициентам:
У = У, . w dy , <о2 fl-ч , w3d3;/ , м4 d3y и>3 d3y
~'У = ТйГ + ~2dx^ + ТбС3’ + УййТ 'г Т20 + 11 Т- Д- ’
<t>2 (I1!) ( 3(О3 d3y 7ч0 ^4 |/ t 15'йэ d т 31(0® dsy
У dxz ‘ ‘ 3 ‘ 3 • 4 • 5 • б/.гг> 3*4-5- бс/х3 И Т’ ’
о»3 d3y . Спо4 d^y 25 о5 с?5?/ , 90-ne d9y . 3Ol<07^7?/
“ d, + - + +-11 т- Д-’
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
247
4 dly . 10 о5 cfiy 65<i>” d'1!; 350.o7<77?/ 1701u>’d8(/
Л У = ~~dxP~ + 5<7z'> г' 5 . 5 . 6 . 7^7 + "5~."б • 7 - Sd^~ + И T' Д
, s №r'dr' ii 15<овЛ/ 110o7<77)/ . 1050 о8 d3i/ . G95b->» day
У = ~d^~ "i bdx6 ' G • Idx1 "I" 6 7 8dP~ + 6+ и т- Д- >
., _ <в6<76!/ 21«>7d7(/ 266<оМ’.(/ 26Г>.»М!,;/ , 22 827.01» d^y
У ~ ~d^~~ ~ldii~ + 7 • 8dx3 + *7 • 8 • ddx3 “l’ 7 8 • У • КМТ7» + И Т' Д'
Каким образом в этих рядах следуют друг за другом знаменатели — это ясно. Что касается числителей, то коэффициенты их образуются таким образом, что каждый коэффициент числителя есть сумма коэффициента, стоящего выше и предшествующего коэффициента, помноженного на показатель разности. Так, например, в ряде, выражающем разность Д’у, 2646=1050+6-266.
57. Рассмотрим ещё тот же ряд, продолженный и в обратную сторону; он будет содержать члены, отвечающие индексам
X — 0), х — 2(0, X— 3w и T. Д.
4«, х — 3»> Так как , X - - 2(о, х — о», х, .s\ г, q, р, у, со dy <«>2 d2y x + o>, x + 2(o, x + co), x + 4(o P, Q, R, S и т. Д. шаТч/ , <о4(/4// и т. д.,
Р = -У~ dx 1 2dx2 2.4» d у d2y 6Tra ' 2il.H *Г 4‘ Д’’ 8c»3 d3ii .
? - У dx ' 2dx2 3ady . 9o2d2y dx 2dx3 tk^di/ . 16ci»2 d-y 6<7ra 1 2W/1 11 b Д’’ 27<n2 ТУ/ , 81m4<+/
Z У 6<fcr3 24d.r4 H 64to3 d3y । 256-d4 d*y
$ —- У dx 2dx- 6<£ca 2idz- 11 Г‘ Д’’
то если вычесть эти значения из вышеприведённых значений Р, Q, R, S
и т. д. будем иметь
Р-Р 2 Q-ч 2 И-г (о du о3 d3y , со5 d5u dx б^х3 1 12(Wn 2‘^dy 8<о3 d3y 32<о5 d:,y dx ' Gdx3 1 Г20Тг° ' • A ; Зон/.у , 27<i>3 d3ii 213т>5Т>у
2 5‘ — 5 2 — — - - -J -1 — 4- if t, jr . dx ’ Cidx3 120(7.c* dy G4(o3^37 102i(o5<i3i/ , dx' + ЫТ- + 120^' +И '• -l-
Если же эти члены сложить с вышеприведёнными, то так как здесь
отсутствуют дифференциалы чётных порядков, из выкладки устранятся нечетные дифференциалы. Действительно, мы будем иметь:
Р+р 2 = у + о>2(Г7 idx3 + to4 d*y о)8 d3y t 2,ldx* ' 720Tr6 1 П ' M‘’
<?+ <7 = у 6- W d2y , IGu)4 dly , - - ~ I f>iwsd"ii 720^« T- Д”
2 2dx2 2'tda;1 1
Р. +»г ~-2 — = у + 4>,>i2d2y SlMtdii/ 2dx2 2idx4 729ws<T7 , 720^ T’ Д”
A + s 16(o2 d-y ( 25Gu)4 d4y . 4095«>»de7 । 720^--+ И T- «•
2 - У > 2dx2 1 2’ldxi
58. Так как все вышеприведённые члены ряда могут быть выражены, то мы можем, сложив их, найти суммационный член предложен-
48
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
ого ряда. А именно, пусть первый член соответствует индексу х— им; огда сам первый член будет;
та dy п2ш2 d2y п9м3 d3y . ntu>idly
У dx ‘ 2dx2 ddx3 • ‘ 24rfx4 И Т‘ Д‘
'ак как член, соответствующий индексу х, есть у, а число всех чле-:ов равно « + 1, то сумма всех членов, взятых от первого до послед-его у включительно, т. е. суммационный член, будет равна
(n + 1) у---(1 + 2 + 3 + . .. + п) +
+ ^(1 + 22 + 3‘2+---+«2)-
<о3 dsy .. . пз । пз , । ,,з\ ।
£оё(1 +25 + 35+---+“6И ИТ. д.
59. Но выше (§ 62 первой части) мы выразили суммы содсржа-цихся здесь рядов. Если эти выражения мы подставим сюда, то сумма [ашего предложенного ряда будет равна
, , л \ <о dy Z1 > , 1 А ,
. a>4d47 < 1 5 , 1 4 . 1 3 1 X
+ 24^ П + Т П +“3 П ~^П)~
<,>5 d°y / 1 к . 1 5,5 . 1 »Х
“120TTn +T" +-Щ П -'12П9^П Т- Д”
’де п определится из индекса первого члена, начиная с которого зодсчитывается сумма. Так, если положить <» = 1 и если индекс пер-зого члена равен 1, второго равен 2, а последнего — х, так что тредложенным является ряд
1, 2, 3, 4, ... , х, а, Ь, с, d, .. . , у, го, поскольку х — п=Л и п=х~ 1, сумма этого ряда будет равна
^-й-С4жг-4ж)+
+S^(<ix3-ix'1+ix')-
, dly / 1 . 1 4 , 1 , 1 х
+ 24&г4 \ 5Х 2 Х + jX 30 Х)
__ &У (Ат*___- т5 1 5 г4_1 - г3'') !
120Az» V (> 2 1 12 12
, d^y / 1 , I , , I 5 1 з , 1 А
+ -2Wz4ba; ~ 2х +Ч^~ТХ +тг *;-ит-Д-
60. Так как коэффициенты в этой сумме, если х будет большим числом, будут быстро увеличиваться, то такое её выражение большой пользы учению о рядах не приносит. Однако будет всё же полезно
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 249
отметить некоторые свойства, вытекающие отсюда. Пусть общий член есть у = хп, и обозначим суммационный член через 8 у или 5- хп. Применяя повсюду зто обозначение, будем иметь
1 2 1 С
у ж2 — — х — 8 х — х,
1 я 1 2 1 .. 2 2
— ж3-тт X +— X --- О • X — X,
3 2 6
— ж1— ж8-j--J-ж2 = 5 • Xs — Xs и т. д. i 2 4
1 • 2 • 3
Поэтому из вышеприведённого выражения мы получим
5 ж" = жл+1 — nxn~1S х + пхп + п ~2^~ х'118 ж2 —
ге(ге-1) „п n("-l)(n-2) ~n_sc „3 , n(n-l)(n-2) , .. _ „
1 • 2 Х 1 • 2 • 3 х 1 1-2-3 + 1 Т- Д-
Но так как
(1-1)"= 0=1-И + \ 2.......<---Ч~2^----- +и Т- Д”
то будем иметь
„ n(n-l) , п(п- 1)(п-2)_
П 1 • 2 'г 1 • 2 • 3
1 • 2 • 3
д. = 1;
поэтому, за исключением случая тг=О, когда это выражение равно нулю,
5 • ж” = жл 41 -|- жп — ?гжл~15 ж + ге (" ~ 1 жл-2 S ж2—61 * * * * * * * * * 71 (ге ~ 1^ге ~-2)жп-35-ж3+
1 1 1 • 2 1 • 2 • 3
п(п-1)(п-2)^-3)^^ ж1_и т д
1 • 2 • 3 • 4
61. Чтобы лучше усмотреть как справедливость, так и силу этой формулы, рассмотрим частные случаи. Пусть сначала п = 1; тогда 5-ж = ж24-ж— S х, и поэтому 5 х ——-—, а это хорошо известно. Положим теперь п = 2; тогда будем иметь
5 • ж2 = ж3 4- ж2 — 2ж5 • ж Д- 5 • ж2.
Так как в этом равенстве члены S • ж2, входящие в обе его части, взаимно уничтожаются, то оно даёт то же самое, что предшествующее, а именно, 8 • ж = —у— • Если п — 3, то будем иметь
S • ж8 = ж14- ж3 — Зж25 ж + Зж5 • ж3 — 5 • ж3 и потому
S • ж3 = у xS • ж2 — у х28 х -р у ж3 (ж 1).
Если положим п = 4, получим
5 • ж4 = ж5 4- я4 — 4ж35 • ж 4- 6ж25 • ж2 — 4ж5 - ж3 4- 8 х*, откуда, так как 8 ж1 уничтожится, будем иметь
8 • ж8 = х8 • ж’ — х28 ж 4- у ж3 (ж + 1).
Утроив зто равенство и вычтя удвоенное предыдущее, будем иметь
в остатке
8 хг = у х8 ж2 — у ж3 (ж 4-1).
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
и положить п = 5, то получится
S х3 = х* + х3 — GxlS х 4- 10ж35 • х3 — 10x2S- х3 4- 5xS x3 — S x3
S • Xй = xS • xl — 5arS • x3 + 5x3S x2 —xiS x-f--~ x3 [x-]-1).
i n = 6 получится
S xe — x7 + xe — Gx3S #4" 15xfS x3 — 2Cte3S • x3 + loir 5 • xi —
— GxS • x3 + S x*
S • x3 =~ xS x3 —x2S • ж3 4* v x3S x3 — x3S x 4* x3 (x -f- 1).
62. Отсюда мы заключаем, что вообще, если п = 2т 4-1, то 2т + 1 2/77 + 1 q 2m (2 m, [ 1) 2m „ ,, ‘’m—i
z.2m + i__L__-. Ж m —- 2 r 2 - X'S • X т
. (2m+D 2m. (2m— 1) 3e 2m +1 „„ c , 1 , ..
‘—s—q---------- X S X3m - — . . .---X-mS • X 4-^r- X-ml (Ж 4- 1).
2 * 1 • Z • о 2 2,
и же п = 2т 4- 2, то, так как члены 5 • х2т*г взаимно уничтожаются, цём
„7т + 1 2т + 1 с „2т (2т+1) 2т 2 с „/т-7
С —------2---ХО X-------------X о X -f-
! (2/71 + 1)2777,(2/71—1)
2-узТ4
x3S хзт~3
-х3'" S • X 4- 2 Д— X2т+1 (X -4 1).
Следовательно, суммы нечётных степеней можно двояким образом зделить из сумм низших степеней и из различных комбинаций этих с формул можно образовывать бесчисленные другие.
63. Но гораздо легче находить суммы почётных степеней из пред-твующих сумм; для этого даже достаточно знать только одну пред-твующую сумму чётных степеней. Действительно, из найденных ie (§ 62, ч. 1) выражений сумм известно, что число членов, являющих сумму, возрастает только у чётных степеней, так что ма нечётных степеней состоит из стольких же членов, сколько их зт предшествующая сумма чётных степеней. Так, если сумма чёт-степени xin есть
S • ж2'1 = аж3"’’1 + ^ж2,14"'[х2п~1 — ох’п'3 4-гхзп~5 — и т. д.
видели ведь, что члены, следующие за третьим, через один отсут-ют, а также что знаки чередуются), то из неё можно найти сумму [ующей степени x2ntl, если отдельные члены первой суммы помно-ь соответственно на числа
2п + 1 2/г + 1 2п + I
А----. -С, —-----X.
2п + 2 2п + 1 2п
ь не оставлены без внимания зом, мы будем иметь
21/. + 1 ТГТТ
2п 4- 1
2/г — 2
и т. д.;
и отсутствующие члены. Таким
> 2а+ 1
2п + 1 ,,, , ,
+ И Т- Д'
IM образом, если известна сумма степени х’п, то из неё тотчас же но образовать сумму степени x'inirl.
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
251
64. Этот способ разыскания последующих сумм можно распространить и на чётные степени. Но так как в их суммы входит новый член, то последний с помощью этого метода не определяется. Однако его всегда можно найти, основываясь на том известном свойстве самого ряда, что если положить ж = 1, то и сумма должна стать равной 1. Обратно, если известна сумма какой-либо степени, всегда можно найти суммы предшествующих степеней. Действительно, если
5 • хп = ах”*14* рж” 4* уж”'1 — Zxn~z -j- еп“5 — 4~ и т. д.,
то для предшествующей степени будем иметь
S х —-----а.х -I- ~ Vх 4-----------------ст 4- и т. д.,
п п 1 п ‘ п
п таким же образом можно итти назад дальше, сколько будет угодно.
1 1
Следует при этом отметить, что всегда будем иметь а = 474.4 и^= 2 ’ что ясно из данных выше формул.
65. При некотором внимании станет тотчас же ясным, что сумма степеней ж'!“1 получается, если дифференцировать сумму степеней хп и дифференциал её разделить на ndx 1). Таким образом, d • S • хп — = ndx S • жпл, а так как d • хп — nxn~zdx, то будем иметь
d • S • хп — S • nxn'ydx — S • d хп,
из чего ясно, что дифференциал суммы равен сумме дифференциала. J1 вообще, если общий член какого-либо ряда равен у и S • у есть его суммационный член, то будем также иметь S-dy=d-S-y, т. е. сумма дифференциалов всех членов равняется дифференциалу суммы самих членов. Причину этого равенства легко усмотреть из того, что было сказано выше о дифференцировании рядов. Действительно, так как
S • хп = хп+(х— 1)п 4-(х —2)" 4-(ж —3)п 4-(ж —4)п 4- и т. д., то будем иметь
d'Л,'хП =хп^+(х-1)п~1 + (х-2)п-1 + (х~ 3)^’4- и т. д. = 3-хп~\
Это доказательство применимо и ко всем другим рядам.
66. Вернёмся, однако, к тому, от чего мы сделали отступление, т, е. к разностям функций. О них мы должны сделать ещё несколько замечаний. Мы видели, что если у есть какая-либо функция от х и если вместо х всюду положить х ± ш, то функция у примет следующее значение:
<о du , , M^d"u u->idiy
Idx "* l-2dx2 J- 1 • 2 • 3 dx* 1 • 2 . 3 .'tdx1 1 • 2 • 3 • 4 • И T*
Это выражение будет иметь место независимо от того, будет ли за о> принято какое-либо постоянное количество или количество, зависящее от х. Действительно, после того как с помощью дифференцирования „ ., du d2y d'3u
найдены значения дробей , -т-~, , '3 и т. д., переменность множи-uX (ICC CLX
толей <и, о)2, <и3 и т. д. уже не имеет значения, и потому безразлично, обозначает ли <» постоянное или переменное количество, зависящее от ж.
67. Итак, положим, что ш = х, так что в функции у вместо х пишется х — х. Тогда мы получаем, что если в какой-либо функции у
') Если п есть чётное число, то нужно опустить последний член. (Г. Л*.)
>2
ГЛ. ш. о НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
х повсюду написать 0 вместо х, то функция получит значение xdy . x2d2y x3d3y , xidiy
У ~ Tdx 1 • 2 <7xa — 1 2 • 3 <7x3 ~ 1 • 2 • 3 • \dxl И T# Д’
дедовательно, это выражение всегда представляет то значение, кото-зе получает какая-либо функция у, если в ней положить х = 0. праведливость этого покажут следующие примеры:
II ример 1
Пусть у = х2 + ах4- ab\ найдём значение у при х—0 при этим ранее известно, что оно равно ab.
Так как у — х‘ ах -ф ab, то
ээтому искомое значение окажется равным
х2 4- ах ф- ab — х (2ж-ф а) -ф хх • 1 = ab.
Пример 2
Пусть у = xz — 2ж 4- 3; требует ся
<вестно, что оно равно 3.
Так как у = х2 — 2х -ф 3, то
найти значение у при х — 0;
скомое значение окажется равным
х3 — 2х 3 — х (Зж2 — 2) х2 Зх — х3 = 3.
Пример 3
Пуртъ У — требуется найти значение упри ж = 0; известно,, по оно равно нулю.
Так как w=—то о 1 — х ’
dy 1 d2y ______ 1 d3y _______ 1
dx (1 — x)~ ’ 1-2 dx- (1 — x)3 ’ 1 • 2 • '3dz3 (1 — x)1
ледовательно, искомое значение равно
х х , х2 Xs , х*
1 — х (1 — х)а (1 — х)3 (1 —х)4~ (1 — хр
, слёдовательно, значение этого ряда равно нулю. Это ясно также з того, что этот ряд, если отбросить его первый член, примет вид —-----------{—— и т. д., а это — геометрический ряд и его
умма равна
так что найденное значение будет
авпо
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
25->
требуется найти значение у при х~
г d-'j х
-е , е и т. д.;
dx-
бу.чет равно
] [ р и м е р 4
Пусть у — сх, где е есть число, гиперболический логарифм которого ровен единице, и пусть известно, что оно равно 1.
Так как у = Т, то
Ж/ dx
поэтому искомое значение
„ сх • х , ех х- е' - х4 , в4 • х’
с “ 1 г ГТг ТАГ-Д/ 1.2. за ~ т‘ д' ~
т / . х х- х3 . х4 А
— е QI — y + i.2~Т-23 + 1-2-3-i И Т‘ Д') '
Но выше ’) мы видели, что ряд
. X X- X3 , X4
1----- .----- -4---------И Т. Д.
1^1-2 1-2-3 ' 1-2-ЗА м
выражает значение с~х; следовательно, искомое значение будет равно ех с'х-=-—— 1.
е
11 р и м е р 5
Пусть y=sinx. Ясно, что при а:--О будет у-ЯЦ это покамест и общая формула.
Действительно, так как у = sin х, то
dy dlu d3y d3y .
dx ’ dx- ! dx3 dx1
] 1ри a; =0 значение у будет таково:
sin а:—у cos х — ^sinz-f- у*у cos ж— у у sin а: — и т-
а это равно
51ПЖ(1--Й + Ту;гЧ---у-.уЙ:5т;+ и т. д.)-
Z х х3 х5 х7 . А
— COS X ( ---, --- — - .. - . — . . _ . „ - Д- и т. д. ) .
<1 1-2-3 1-2-3-'»-,> 1-ЗА-э-Ь-7 /
Но из этих рядов первый выражает cos х, второй sin х\ поэтому искомое значение будет равно sinxeosx—cosxsina; = 0.
68. Отсюда ’) мы видим, что и обратно, если у есть такая функция от х, что она исчезает при ж = 0, то
a; dy x3d-y x3d3y . x'dly
У ~ Tdx' + AHdx- 1 A-Sdx3' 1.2-3-Mx4 ” П T‘ Д* ~
Следовательно, это есть общее уравнение всех функций от х, которые, когда х становится равным нулю, в то же время сами исчезают. Поэтому это уравнение обладает том свойством, что какую бы функцию от х, лишь бы она исчезала при исчезающем х, ни подставить вместо у, она всегда будет этому уравнению удовлетворять. Если же у будет такая функция от х, которая при х = 0 получает данное значе-
4) «Введение», т. I, гл. X II.
ГЛ. ш. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
равное А, тогда будем иметь уравнение х dy x2d3y x3d3y xidiy
у ~~ idx 1 2dz3 ~ 1-2-3idxi ~ И T> Д> =
юе охватывает все функции от х, получающие при х--0 значе-1.
19. Если вместо х написать 2х, т. е. х + х, то какая-либо функция которую мы обозначим через у, получит значение
xdy x-d-y x3:l3y xidly
y'Vdx^l-2dx-‘lA2A3dxT^T^2^ild^^' 11 Т’ Д’
же вместо х написать пх, т. е. х-\-(п—1) х, то функция у получит мие
(п — 1) х dy (n ~ 1)2хМ2у . (п — I)3 xzd*y | 1.2d^ Н ’ 11 Т- д-
це же, если вместо х написать t, то в силу t — x-\-t — х какая ю функция у преобразуется к виду
, (t — x)du t (t — x)3 d3y (t—x)3d3y
У+-- № ; 4 +тагУ+ и т- д-
и образом, если v есть такая же функция от I, какой является у то, так как v получается из у, если положить t вместо х, будем
, (t — x)dy , <t—x)2d2y (г— х)'3 d3y
V = y+ -Adx + и т- д-
>аведливости этого можно убедиться на каком угодно пример*'.
Пример
Тустъ у=х! — х; очевидно, что если вместо х положить t, то- иметь v — t2—1\ то лее самое даст и найденное выражение.
[бо вследствие у — х2— х мы будем иметь
^ = 2ж-1 и ^ = 1, dx 2dx*
v = я2 — ж_р (г — ж) (2х— 1) + (z — х)2 = = х2 — х-\- 2tx — 2х2 — 14- х +12 — 2lx-\- х2 — I2 — t.
если у будет такой функцией от х, которая при х — а пере-в А, то вследствие t=a и v = A будем иметь
(a-x)dy (a-x)2d2y (а - х)3 d3y
Л = l-2-З^'+ И *• Д*
щовательпо, этому уравнению удовлетворяют все те функции от х, ые при х=а переходят в Л.
To-есть из формулы, данной в начале иастоящ то параграфа.
ГЛАВА IV
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
70. В предыдущей главе мы отчасти уже показали, как применяются найденные там общие выражения конечных разностей для разыскания рядов, которые выражали бы значение какой-либо функции количества х. В самом деле, если у есть данная функция от х, то значение, которое она принимает при х—0, будет известно; если положить его равным А, то, как мы нашли,
х dy x-d3y "x3d3y жМЪ/ _ .
У dx^ 1.2^ 1.2-ЗЙЖ3 + 1-2-И т’ Д,-Л-
Здесь мы не только имеем ряд, продолжающийся по большей части до бесконечности, сумма которого равняется постоянному количеству А, хотя в отдельные члены его входит переменное количество х, но также и самую функцию у мы можем выразить с помощью ряда. Действительно, мы будем иметь
, xdy хЧ,'-у x3d'y х*й*н
У ~ А Г ~dx l-Zdx1 ~ ’ 1 • 2 Adx3 1 2 3 idx1 И Т' Д‘
Несколько примеров на это уже было приведено.
71. Чтобы для разыскания этих рядов открывался больший простор, положим, что функция у переходит в z, когда вместо у всю?у пишется + так что х есчь такая же функция от х -]«), какой у является от х. Мы показали (§ 48), что
<0 dy M2dzy <tM3y w*d*y
Z ~ У + ~<1Т +Г2<П?+ 1-2-3;/ж3 + 1-2.3-Wx1’ + 11 т‘ Д’
Так как отдельные члены этого ряда можно найти с помошью последовательного дифференцирования количества у, полагая c?rr = const., и так как вместе с тем значение количества z можно фактически выразить подстановкой ж о> вместо z, то этим способом мы всегда получим ряд, равный значению количества z, который, если со будет очень малым количеством, сходится очень быстро и приближённо представит значение z, если взять даже не очень большое число членов. Поэтому эта формула имеет очень широкое применение в приближённых вычислениях.
72. Чтобы при ознакомлении с замечательными применениями этой формулы соблюсти порядок, будем сначала подставлять вместо у алгебраические функции от х. Пусть сперва у — хп'. тогда, если вместо х
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
I положим г J- ч>, будем иметь z = (ж -j- oj)”. А так как
у- = пхп -1, ^-- = п (п — 1) хп~-п (п— 1) (п— 2.)хп~3, ах а X —
dJ = /г (/г ~ 0 (/г — -) (" — хП ’* и т- Д-’
по подстановке этих значений получится
. чп п , 11 , п(п — 1) , п(п — 1) (п — 2) „3 , ,
; Д- о>)" = Хп -j — Х“ 1о> -•£—X1 - (О - -|- —/ ХП - Д. и т_ д
о — хорошо известное ньютоново выражение, с помощью которого эпень бинома (ж + «>)п обращается в ряд. Число членов этого ряда ?гда конечно, если п есть целое положительное число.
73. Отсюда мы можем также найти такой ряд, который выразил значение степени бинома так, чтобы этот ряд обрывался всякий з, как показатель степени будет отрицательным числом ’). Для этого ложим
— их
X + и ’
значит, мы будем иметь
х2п _ п их'1 и п (п— 1) Xй U-(.г + к)” ~ Х ip + lt) ' 1 2(х-\-и)л
зделим всюду па ж'2"; будем иметь
х 4- и)п — х~п
ихп и п(и—1)х пи2
1. (х -г гг V 1-2 (ж + гг)2
п (п—1) (п — 2) хп и3 , 1 • 2 • 3 (х и)3 1
ложим теперь — п = лг; получим
г ,..чт .„т, »>. (»г + 1) (m + 2) жт
К-ргг) X -+-1 +! 1-2 (ж Ди)2 1 2 3(x-i-w)“ 1 д’
от ряд, если т есть целое отрицательное число, будет состоять лз ночного числа членов. Этот ряд, следовательно, будет равняться рвому найденному, если в нём вместо со и п написать и и т, после го он будет иметь вид
. чт гт тхт-3и т(т-1)хт-"-ип- . т (т - 1) (т. - 2) хт~3и3
4-П) —X -г | r 1 2 • 3 -Г и 1. д.
74. Тот же ряд можно получить из выражения, данного в начале 70. Действительно, если у переходит в А при х=0, но мы имеем
xdy x3d2y x3d3ii , x'diy
У dx 1 • 2 dx1 1-2-3 dx3 ’ 1 • 2 • 3 • i dx^
ложим y = (rc4-a)n; тогда A = an и вследствие
J = n (x + “У"1’ ~ 1+ a)n "2>
(и — 2) (x + а)"-' и т. д.
x) Здесь, конечно, подразумевается слово «целым».
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
257
мы получим
(ж + а)п-—р х(х--а)п1+ п 21'> х' (х + я)'1"2 — н т. д. = а".
Разделим на ап (х + а)п; тогда получится
(ж 4- а) " = </
па~п.с п(п — 1)а 11 х2 1 Г2(х + а.у
Если положить вместо х, а и п соответственно и, х'тп.—т, то получится ранее найденный ряд.
75. Если вместо т представлять дробные числа, то оба ряда станут бесконечными; однако если и по сравнению с х будет очень невелико, то ряды будут быстро сходиться к истинному значению. Итак, пусть иг= — и х = аУ; из первого найденного нами ряда по-
лучим
н
{a'1 -|-u) v = а11 (1 + — v а
р(и —•;) и3
\ 2v
;i( ;i — v) ([-1 — 2v)
I 21 3v
A— -t V!’'
И T. Д-),
А ряд, который мы нашли позднее, даст
И
(1+ AIL
V {а + и)
;i (;* + >)
> '1ч (а1 + м)
Iх (1х + A С;1 + 2v)“3
v • 2v • 3v (<L + u)3
И Т. д.).
Этот ряд сходится быстрее, чем первый, так и тогда, если и > , первый же ряд в этом
Если, например, [«. = !, v = 2, то
как его члены убывают
случае расходится.
1 • 3 и- , 1 3 • 5 и3
2 • 4 (а3 -Н<)2 2 • 4 6 (a2 +»)3j
Подобным образом, полагая вместо v числа 3, 4, 5 и т. д. и сохраняя р = 1, мы будем иметь:
з /—:- ,, , lu 1 • 4 и2 1 • 4 7 и3 .
у а3 -- и = а 1 - --.-3 —.7-—3-—гг -1- -V-7—ат-тд-^з ж 11 1 • Д-)>
г к 3 (а3 4- zt) 3 • Ь (а3 4- и)- 3-6-9 (а3 4- и)6 ’
4 г—л-- , л , lu 1 * 5 и2 . 1 • 5 - 9и3 . .
И® t“ = a(1T -^(а‘ + и) 4ALr(A“+^p + 4 • 8 12 (а4 + к)3 1 11 т‘ Д’)’
s;—i, . lu 1 • 6 и2 , 1 • 6 • 11 и3 , .
|7 <Г и = а (1 —--т—<- г.—,-5-r— a + “,?>——а + 11 т- Д-L
' о (л- и) о 10 (а° -f- и)- о • 10 • 1J («’ + и) *
П Т. Д.
76. Из этих формул можно будет легко пайтн корень какой-либо степени из какого угодно предложенного числа. Действительно, пусть предложено какое-нибудь число с. Найдём близкую к этому числу степень, которая может быть либо больше его, либо меньше. В первом случае и будет отрицательным чйслом, во втором случае — положительным. Если окажется, что полученный ряд недостаточно быстро сходится, то мы помножим число с па какую-нибудь степень, скажем на , если нужно извлечь корень степени v, и будем искать корень из числа /vc; разделённый на /, он даст искомый корень из числа с. Чем больше число /, тем быстрее будет сходиться ряд; особенно если некоторая степень аУ по сильно отличается от /''с.
17 л. Эйлер
8
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Пример 1
Пусть ищется квадратный корень из числа 2.
Если без предварительной подготовки положить а~1 и и=1, то (лучится
отя уже этот ряд достаточно быстро сходится, однако предпочтительно >ежде умножить число 2 на какой-нибудь квадрат, например па 25, собы произведение 50 было очень мало отличным от другого квад-тга 49. Поэтому будем искать квадратный корень из 50; разделён-ый на 5, он дасту/2. Мы будем теперь иметь а=-7 и и=1, так что ли
г'? ; м Д_ 1 1 ' 3 ’ 1 ' 3 • 5 -1
V L ~ ' 5 100 ” "100 200 100 • 200 “збо И Т* Д,‘'
Но выражение очень удобно для подсчёта в десятичных дробях. Действительно, мы будем иметь:
7 5 7 1_
5” ' 100
7 I 3
ЗГ Too ' -Too
7 1 3 5
5~ ' 100 ’ 200 ’ 300
1.400000000000 0
140 000000000
2 100000 000
35 000000
цюизведение предыдущего
на40‘б ' 652100
троизведение предыдущего
па д’р. 11 025
о00
цроизведение предыдущего
= 202
произведение предыдущего 13 .,
Hd 700~~
Следовательно,\/ 2=1,414213 562 373 0.
Пример 2
Пусть ищется кубический корень из 3.
Помножим 3 на куб 8 и будем искать кубический корень из 24; в самом деле ^24 = 2 |/3. Положим а==3 и и= —3; тогда
.<24 3(1 1 • 3 е 1 ’ ‘ ’ • 4 ‘ 7 ’ ЗЯ 1 и т. д.)
V 3 . 24 г 3 6 242 3 • 6- О • 24“ Г М ’
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
259
и
1-4 1-4-7 , .
Г—"F ' з.н.и.из ' и «•)
пли
'.'-.s' т¥ !‘ 11 т-
Этот ряд сходится ужо очень быстро, ибо каждый его член более чем в восемь раз превосходит предшествующий. Если же 3 помножить па куб 729, то получим 2187 и |/2187 = |/ 133 —10 — 9 рл3. Так как теперь а — 13 и и. — — 10, то будем иметь
5 13 1-10 1 • 4 • 102 1 - 4 - 7 • 10 > .,
~ 3 62187 г З-ь-2187* Т-Т-дТзТвт»’' и т* л‘ ’
каждый член этого ряда более чем в двести раз превосходит предшествующий.
77. Разложение степени бинома имеет очень широкое применение: оно может охватить все алгебраические функции. Пусть, например, ищется значение функции j/a Д 2 bx Д сх2, выраженное с помощью ряда. Его можно будет получить по предыдущим формулам, рассматривая два члена вместо как один. Далее, это представление можно получить с помощью первого из приведённых нами выражений. Ибо, если положить ]/ а д 2Ьх Д сх2 = у, то так как при х,- 0 будет у — |/п. то Д = |/”а, и так как дифференциалы функции у выражаются фор-мулами
dy _ b-\-cx. d2y ас — Ъ2
dx д 2bx д~сж2 ' (а Д 2&ж Д сж2)3/2 ’
d.'-'y 3 (Ь2 — ас) (Ъ Д сх) d*y 3 (b2 —ас) (ас — 5b2— 8Ъсх — he2 х2)
'Те* (а )-2Ъх-\- сх2) ''2 (а. Д 2Ъх4- сх2)7!2
то из них получим
(Ь сх) х (Ъ2 — ас.) х2 (Ъ'2 — ас) (Ъ Дс»)х3
J/ (Z д 2b X 1-СХ~ а -‘21>х -\-сх2 2 (а Д 2Ьх 4- сх2)3!'2 2 (а Д 2Ьх Д сх2У12
(Ъ2 — ас) (5b2 — ас Д 8дсх Д 4с2 х2) ж4 .
Если везде помножить на |/ a Д 2Ьх-^ сх2, то ряд станет рациональным, и мы будем иметь:
\Г а (а Д 2Ъх Д сх2) — а - г 2Ьх 4 сх2 — (Ь Д сх) х — ;т —
' ' ' ' ’ 2 (а Д 2Ьх Д сх2)
(Ь2 — ас) (Ъ Д сх) х3 (Ъ2— ас) (5b'2 — ас Д 8Ъсх Д 4с2 ж2) ж4
2 (а Д 2&ж — сх2)2 8 (а Д 2Ъх Д сх2)3 '
или
\г а Д 2Ъх Д сх2 —
= 1/а д Ьх_ _ (ь2 - ас) ж2 ~ ас) (Ь -г g4) X3-_и т
]/а 2 (а 4- 25ж Д сх2)^а 2 (а Д 2Ьх Д сх2)2 а
78. Перейдём теперь к трансцендентным функциям и будем подставлять их вместо у. Пусть сперва у = 1х‘ положив жДо> вместо х. будем иметь г=1(з;Дш)- Пусть это какие угодно логарифмы, которые
17*
60
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
меют к гиперболическим отношение, равное п :1 . Для гиперболиче-ких логарифмов п— 1, а для табличных п = 0,434 294 481 903 2. Тогда .ифферопциалы функции у = 1х будут
п ~dx х d2y ’ dx2 п ^3!/ dx3 2п = ~г и T. Д. X3
1з них получается
1 . ft10 П(02 пи>3 п®4 ,
1 (ж 4 о>) =.1x4- 1 X 2^2 ’ 1 За:3 4х4 + И Т- «•
1одобным образом, если ш положить отрицательным, будем
. ч , ПО) ПО'2 П(О3 МО)
(х — ю) -Лх----------—— —— —— и т. д.
v 7 х 2хг 4х4
иметь
5сли этот ряд вычесть из предыдущего, будем (D2
иметь
—----------——р
За;3 ‘ За5 "jx1
79. Если в первом из найденных рядов
.... , , П<о Пю2 , па>3 п<|>4
1 (х - <•>) = 1 X 4------7-7 4- ,
' 7 1 х 2х‘ За:3 4х4
т.
т. д.
1
и
и
положить
х2
<о = ------
и — х
то
и
. их
х 4- ш =-------
и — х
1 / \ 1 I пх
Ци-х) - ~
пх2
и т- «•
. а.’
in-----------
и — х
2 (м — х)2
Пх3
3 (и — х)3
и т. д.
Взяв х отрицательным, получим
1 (и 4- х) = 1 и 4-
пх । пх2
и р х ' 2 (и~ х)2
W3 пх4
3 (и д- х)3 4 (и + ж)4
И т. д.
С помощью этих рядов логарифмы можно находить очень быстро, если ряды хорошо сходятся. Такими будут ряды, которые легко выводятся из предшествующих, а именно
+ й т. д.),
. . ,. , < 1 , 1. , 1 , 1 .
и т. д.).
Так как эти ряды отличаются друг от друга только знаками, то, если ими пользоваться для вычислений, можно с их помощью, не затрачивая лишнего труда, найти логарифмы сразу двух чисел х-]-1 и х—1. Далее, будем иметь ещё такие ряды:
1 (^Ч- 4) = 1 ~1)п.2и(4-4-^4--5^ + ^+ и т. д.);
1(х — 1) = 1х — П (Р + 3 (а: - I)3 ~ 4 (а: - I)4 + И Т> Д0>
1 (х А .1) 1 X. \-П -г- 4' з +~£)3 + 4'(Ж ТI)4 + п Т’ Д0 •
Л. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
261
80. Таким образом, по данному логарифму • числа х можно найти без труда логарифмы соседних чисел х +1 и х — 1; более того, по логарифму числа х — 1 можно отыскать число, на два большее, и обратно. Хотя это подробно было показано во «Введении» 2), мы всё же добавим здесь несколько примеров.
Пример 1
По данному гиперболическому логарифму числа 10, равному 2,302 585 092 994 0, найти гиперболические логарифмы чисел 11 и 9.
Так как здесь ищутся гиперболические логарифмы, то будем иметь п ~ 1 и, следовательно, получим такие ряды:
111 110 г уд - 2~Г(Р + 'з • 103 — 4 - 1 о; + 5~ io* ~ 11 т • д ’ ’
I Q _ 1 If)___1_ I 1 __1 1
10 2 • 1б3 3 • 103 4 • 101 3 • 106 И Г> Д’
Для разыскания сумм этих рядов соберём по отдельности чётные и нечётные члены, будем иметь:
•^ = 0,100 000 000000 0 y4q5- --- 0,000333 333 333 3
= °-000 002 000 000 0
_ ~-7- = 0,000 000 01 i 285 7 |
-0,000 000 000 111 1 '
1 '
11 . 10-1 0,000000 000 000 9
Сумма = 0,100335 347 731 О
Сумма обеих сумм будет Разность их будет
Но | 11
Следовательно. ГР
и 19 ==
Отсюда, далее. 13 ,=
п 1 99 -=
==0,005000 000
2 • 102 ’
= 0,000 025 000 000 0
--1, пй = 0,000 000 166 666 6
-А. : .. (J 000 000 001 250 о 8-10®
__0,000000000010 о
10 • 1010
0,000 000 000 000 1
12 1012
Сумма == 0,005 025 167 926 7
0,105 360 515 657 7
0,095 310179 804 3
- 2,302 585 092 994 О
= 2,397 895 272 798 3
2,197 224 577 336 3.
1,098 612 288668 1
4,595 119 850124 6
При ме р 2
По найденному теперь лога ршфму числа 99 найти логарифм числа 101.
Для этого воспользуемся найденным выше рядом
l(X-L-l) - 1(.Г- I) + ; г Л Л И Т. Д„
’) «Введение», т. I, гл. VII.
>2 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
котором положим х — 100; тогда будем иметь ряд
2 2 2 2
1 101 = 199 -; j-до -Г зТ1001 + 5Поо‘. “ibo’ 11 т‘ Д’’
,'мма которого, определённая из этих его четырёх членов, оказы-(стся равной 0,020000606 706 6; прибавив сё к I 99, получим 1101 — -46151205168412.
Пример
По данному табличному логарифму числа. 10, равному 1, найти >гарифмы чисел 11 и 9.
Так как здесь мы ищем обыкновенные табличные логарифмы, удем иметь
и = 0,434 294 481 903 2:
додовательно, положив .с -10, будем иметь
. , . I . ,ч . /1 п п п 1 10 '2 • 16г гзТ1бг 4 • 101 11 Д" 1 О 11/4 9 '10 ~2Tf(P ' f iir“ Y7ioi_ *’ Д‘
>борём (то отдельности чётные; и почётные члены.
4 = 0,043 129 448 190 3 = 0,002 171 472 409 5 0.000144 764 827 3 = 0,000 010857 362 0 . 0.000 000 868 588 9 -0,000000072 3824 - 0,000 000 001 > 204 2 =-. 0.000 000 000 542 8 / • UP - 10s V710'- “ °’000 000 000 04S 2 tb^ioio - °-000 000 000 004 3 if-И об ; °’000 000 000 000 4 i> ”10й ' °-000 000 000 000 ° Сумма = 0,043 575 087 859 3 Сумма -= 0,002 182 402 701 0 Сумма обеих сумм -0,045 757 490 560 3. Разность их -= 0,041 392 685 158 3, а так как 110 1,000 000 000 000 0, то 111 = 1,041392 685 158 3 и 19 =0,954 242509 439 7'), отсюда 13 = 0,477 121 254 719 8 и 199 = 1.995 635 194 598 ОН.
При м е р 4
По найденному здесь табличному логарифму числа 99 найти табличный логарифм числа 101.
') В первом издании 19-0,951242 509 439 6. [/’. А’.]
2) В нервом издании 199 -1,995 635 194 597 9. [/'. А'.]
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
263
Применив здесь тот же ряд, которым мы пользовались во втором примере, будем иметь
110!,«199
Если в этот ряд подставить значение, которое должно иметь //., то быстро найдём сумму, равную
0,008 686179184 9.
Прибавив сё к
199 = 1.995 635 194 598 0 1), получим
1101 =2,004 321 373 782 9.
81. Пусть теперь в пашем общем выражении у есть показательная функция и пусть у = ах\ положив ж = вместо х, мы будем иметь z = «х+<и; вследствие
V ici dz ч , ,,, Ч/ х/i \s
У=а 1н, , = « (1 я)-. ;= = « (Iff) и т. д.
dx dx- 4 ’ dx' ' ’
будем иметь
Если разделить на ах, получится ряд, выражающий значение показательного количества, который мы нашли уже во «Введении» 2), а именно
«>2 (1 а)2
Т- 2 ~
Подобным образом, взяв о> отрицательным, будем иметь
а -ю _ 4 „ <п] ° , 0)2 О аУ 1 1 • 2
Из сочетания этих рядов получим
--------1 -f —t—2- Од—2тз-^
(I а}3 .
Т~2—3 ” Т- О-
to5 (1 а)6 1-2-3 ”4 • 5 - 6
и т. д,,
а’° - а <0 а> 1 а а>л(1н)л «о5 (1л)5 _ ! Д2 . у’ Ж г . 2 / з . 4
5 + И T. Д.
Напомним, что 1а означает гиперболический логарифм числа а.
82. С помощью этой формулы можно найти по данному логарифму соответствующее ему число. Пусть в какой-нибудь системе логарифмов, в которой логарифм числа а положен равным 1, предложен какой-либо .логарифм х. Найдём в той же системе логарифм, близкий к и, и пусть и = ж-|-<и; число же, соответствующее логарифму х, пусть равно у = ах. Число, отвечающее логарифму ,т+<.'>= и, будет равно ах+»л _ г, и мы будем иметь
f . , <о I а , «>2 (1 а)2 <о3 (1 а)3 «о4 (1а)4 А
; “Г 1-2 1 А .3 : ! .2'3 -4 ; и Д’) •
4) В первом издании повторяется ошибка, указанная в предыдущем примета»
НИИ.
-) «Введение», т. I, гл. VII.
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
от ряд, так как <м ость небольшое число, быстро сходится. Покажем, к пользоваться этим рядом, па следующем примере:
11 р н м с р
Пусть ищется число, равное степени 2'24 числа 2.
'Гак как 2’!4 = 16 777 216, то 2a“4 = 2,(i ’'7г16, и если взять обыкио-нныо логарифмы, то .логарифм этого числа будет равен 16 777 216 1 2. ) так Как
12 = 0,301 029 995 663 981 195 213 738 «9,
логарифм искомого числа будет
5 050445, 259 733 675 932 039 063.
ю характеристика указывает, что искомое число выражается 5 050446 фрами; так как их невозможно найти все, достаточно будет опреде-иь начальные цифры; их нужно найти по мантиссе
0,259 733 675 932 039 063 = и.
! таблиц находим, что число, логарифм которого близко подходит этому, равно 1,818; положим его равным у; его логарифм
х = 0,259 593 878 885 948 644, сюда
<о = 0,000 139 797 046 090 419.
тк как здесь
я = 10,
1 а = 2,302 585 092 994 045 684 017 991 4 w 1 а = 0,000 321 894 594 372400 4).
)лее,
1,818 000 000 000 000 000.
585 204 372 569 023 * 2),
94 187 062 066 3),
10106 102
813
У =
<ч 1 а
— У=
ю2 (1а)2 и~гу^
1,818 585 298 569 738 004 3).
Таковы начальные цифры искомого числа; из них все, за исклю-?нием, может быть, последней, верпы.
83. Рассмотрим круговые трансцендентные количества, и пусть, )к всегда, мы полагаем, радиус круга равен 1 и у есть дуга круга, inyc которого равен х, т. е. ?/= arc sin а?. Положим а? + <и вместо х;
О В первом издании <о 1 а-0,000 321 894 594 372 398. \Г. Б’.]
2) В первом издании последние цифры 0, 4, 0. ГГ. П.'у
3) В первом издании 1 818 585 298 569 737 997. [Г. Л’.]
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
тогда z = arc sin (.г+ <•>). Чтобы выразить его значение, найдём дифференциалы количества у (§ 200 первой части):
(1ц 1 (1-11 .т
dx dx3
d:>i/ 9 :-72.o2- ’-ге'
d3y _ 1- 2xd d'y J.rAGT3 dx' ^(l_y2y/2,
cftii 225z ’ GOOz3 ' 120z5 dxe
II Д.
Из этого находим . <о <о2.г (o:J (1 -- 2z2)
arc sin (x -Г <o) = arc sin x- -- . = -r- — —------=
V 7 pl-.-А 2(l-x=)/s
<o4(9z-' Gx3) T (o5(9 L 72z2 -2't.z4;
21 (I - x-)7!" 120 (1 -
S4. Итак, если известна дуга, синус котором равен х, то с помощью этой формулы можно найти дугу, синус которой есть х — о/, если о> ес-ть весьма малое количество. Нужно найти сумму ряда, и опа выразит дугу в частях радиуса, которые легко перевести в дуговые меры, как это будет видно из следующего примера:
Пример
1
Пусть ищется дуга круга, синус которой равен — = 0,333 333 333 3.
Найдём из таблиц дугу круга, синус которой равен числу, ближайшему меньшему чем — ; она будет равна 19°281. Синус её равен 0,3; 3 258 4. Итак, положим = arc sin х = у, тогда х = 0,333258 4 и <и = 0,000 074 9 и из
Следовательно, искомая
4- , будет равна
О
таблиц находим у 1 — х2 = cos у = 0,942 835 6. дуга z, для которой предложен синус, равный
19°28i + — + м3 Sin X
COS у 2 cos3 у
Это выражение уже является достаточным. Произведя вычисления с помощью логарифмов, будем иметь:
1о> = 5,874 481 8
1 cos г/= 9,974435 9
1 5/900 045 9 —- = 0,000 079 441 2
cos у ’ cosy ’ '
1-^-= 1,800091 8 cos-д ’
1 si“?/ =9.548 345 2 cos у
1,348 437 0
12 = 0,301 030 0
<r=sinj/ 1(у1407 0 = 0 ()00 000 0011
2 cos3// 2 cos3y ’
Сумма = 0,000 079 442 3
ГЛ. IV. о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
есть значение дуги, которую нужно прибавить к 19°281, чтобы >азить её в секундах; возьмём её логарифм, который равен
5,900 051 8,
него вычтем
4,685574 9
1,214 476 9 ’
му логарифму отвечает число
16,38615,
орое является числом секунд; дробную его часть выразим в тер-х. квартах и т. д. и получим, что искомая дуга равна
19О28Г1611 231J110!V 8V 24Vl.
85. Подобным образом найдём выражение и для случая косинуса, южим у = arc cos х. Так как dy -- у —_2 * то ранее найденный ряд
тнется неизменным, только переменятся знаки. Итак, мы будем
ть
ГС COS(х
со) = аге
ч>2Х (1-И^
О>3 (14 2х2) 6 (1 - х2)5/2
о>4 (9х 4- бх3) -,>5 (9 4- 72х2 4- 24х4)
24 (1 - х2)’/з 120(1-х2)9'2
и т. д.
т ряд, как и предыдущий, будет сходиться очень быстро, если из тицы синусов взять углы, близкие к истинным, так что по большей ги достаточно взять один только первый член — . Однако если
у 1 — х2
удет очень близок к 1, т. о. к полному синусу, то вследствие того, знаменатели становятся очень малыми, сходимость ряда ослабе-г ]). Поэтому в тех случаях, когда х лишь немногим меньше чем 1, ту того, что тогда разности становятся очень малыми, удобнее ьзоваться обычной интерполяцией.
86. Положим теперь, что у есть дуга, тангенс которой даётся, есть будет у = arc 1g ж и z = tire tg (х + <«). Тогда
t «> dy w2 d2y । <o3 d3y
У dx 2dx2 6 dx3
И T. Д.
Чтобы найти члены гва у: dy dx
1*у _24х-24.г3 ix* 71 4-х2)4
1
1 4" ‘dC"
d3y
dx3
что
этого ряда,
dly — 2х dx- (1 4- х2)2 ’
24 — 240.4 4-120Н (1 ух2)5
и т. д.,
еда находим,
. . II» и» л,
ГС tg (X 4- <1>) = arc tg X -г 9----; 4- 77—--77
° ' 1 > ъ 14-х2 ’ (14x7
найдём дифференциалы коли-
d3y — 2 — бх2
dx3 (I4-X2)3 '
d3y - 720х 4- 2400х3 - 720xs
44 “ (14- x2)3 ”
С0'
b(l+^(? 2x2 + 5)
“(Т^(ж5-70а;3фж)+ и т- д-
) Ша series convergentiam amittit.
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
267
87. Этот ряд, запоя составления которого не столь очевиден, можно преобразовать к другому виду, где закон следования тотчас же бросается в глаза. С этой целью положим arctg® — 90° — и, так что х
. cos и .... 1 dy 1 .
= ctgu = -—; тогда l-t-or — — , откуда -----------= sm2u. Гак как.
Sin и ’ si..2 и - dx 1-~Ж"
далее, dx ——’ т# ' - dxsinhi. то. беря дальнейшие диффе-
ренциалы, будем иметь
- 2 du sin и cos и —- du sin 2и - —dx sin2u sin 2u,
гак что
d2y ...
_ sin"« sm 2м,
dx2
yj--- ~ — du sin и cos м sin 2u — du sin2u cos 2u = — du sin и sin 3м -----2u,r-
dx sin3 a sin 3u,
та что
1.2£.з ; sin3«sin3«,
-j-du sin2 и (cos и sin 3м - sin и cos '-'u) = du sin2 и sin 4м -
- - - dxsin* и sin 4м,
гак что
d'y • 4 • z
— ---sin1 и sin 4м и т. д.
Отсюда мы заключаем, что
a re tg ( г a ш) —- arc tg х -г “ si п м sin м — “ sin2 a sin 2a -Ь
а sin3 м sin 3a —sin1 м sin 4a -e sin5 a sin 5u — и т. д.: 4
гак как здесь arc tgx -у и
аге tg х — 90° — м, то будем иметь у = 90° -м.
88. Если положить arc etg х -- у и arc etg (х -- <u) = z, то
Z = y + dx Г2 dx2 l-2-3d.r3 + K2-3dx* + и т- Д-
. , — dx
А гак как dy то члены этого ряда, кроме первого, совна
дают, если не считать знаков, с членами ранее найденного ряда. Поэтому положим, как прежде, аге tg х = 90° — и или аге etg х = и, так что и=-у. Тогда
, , , . , <О . . О>2 .
аге etg (ж А о>) аге etg а?— - sin asm и !- vsin" и. sm Zu —
— “ sin3 a sin За+ y sin4 a sin 4м —и т. д.
Эго выражение непосредственно вытекает из предшествующего;' действительно, поскольку
аге etg (х + «>) = 90° — аге tg (х 4 ш)
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
arc etg х = 90° — arc tg х, м иметь
arc etg (х 4- <и) — arc etg х == — arc tg (ж 4- ш) 4- arc tg х.
S9. Из этих выражений вытекают многие важные частные случаи7 чаемые подстановкой различных данных значений вместо х и ок ъ сначала х = 0; так как и =—arc tgx 4- 90°, то и = 90° и sin и = 17 и = 0, sin3w=—1, sin4n = 0, sin5n —1, sin би = 0, sin 7и = — 1 д., откуда получаем
(о <о3 а>5 (о7 <d& to11 ,
arctgw=T-y4-y-y4-y-T1--r и т. д.
есть хорошо известный ряд, выражающий дугу, тангенс которой н о>.
Пусть теперь ж--1; тогда aretgrr -45э; следовательно, и = 45°; да
пи sin2H=l, sin3u-—sin4u=0, sinon —----------
у 2 /2 у 2
sin 6n = — 1, sin lu =-и т. д.
V ‘1
значения дают
с fc И 4- 4^° 4 О) (О“ (л)3 <0^ <0® (!>” со9
2 2-2 1 3-4 5-8 1 6-8 7-16 1 9-32
m10 mlT (013 щ14
10-32 । 11-64 13-128 ' 14-128 ” Г‘ Д
[м образом, если ю=—1, то, поскольку arc tg (14-о>) = 0 и = y , получаем
± ______L J________L - 1 • 1 4-
4 1-2 + 2.2 + 3-22 5-23 6-2-1 7-21"’<J-24 ’ 10-25 ' И Т' Д>
это значение подставить то будем иметь
в предыдущее выражение вместо дуги
. ,, <О 4-1 <О2 — 1
tg (1=0))==—--^-
<i>3 4-1 о>5 4-1
4Г44 У2“~
<ов - 1 ” ‘ <о’ 4-1 6-23 ;.24 ' 1 и т- Д-
ряд очень удобен для отыскания приближённого значения -£• . )0. Так как
* _ 1 1 , 1 1 1 1
4 ~ 1-2г 2-2 г 3-2J 5-23 бД™ J.24 И Т- Д'’
ены, имеющие в знаменателях 2, 6, 10 и т. д., J _ 1 , J___________1 х
2-2 6-23 ' 10-2г- 14-27 1 И Г‘ Д’’
1 , 1
жают —arc tg у, то
гс _ 1.11,1 1 1,1 1
4 — 2 arc tg у 4- jT2 “Г — 5Т$>з— уДГ3 + Г1ДГ6 — и т. д.
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 269.
С другой стороны,, поскольку, если во второй формуле взять отрицательным,
...11,1 1 1 1 , arctg(l °’) —^2 ‘ 2-2"гЗ-2- 5-23 6.2s И Т’ Д‘
(1) (О2 (О3 (О5 (О6 О)7
~ Ь2~ 2^2 — 3~22 5-2? 6-23 + 7 - 21 И Т. Д.,
1
то, если «> — --, оудем иметь
,1 1 , 1 , 1 1 1 1 ,
11 т’ д' “
1 1 1 , 1 _j_ 1 1
1-22 iT'23 3-25' 5-28 6 29 ' 7-211 И Т‘ Д’
Снова взяв члены, которые разделены на 2, 6, 10 и т. д., будем иметь
. 11 ,1,1,1 1 1 , 1 ,
arc tg 2 - 2 агс 2 т1.2^ 3-22 5-2s 7-2‘ 9-25 '~ И Т’ Д‘
1 ,11 1 1,1 1
-уarc tg--T^- —+ —+ —- —- и т. д„ гак что
1,111 1 I ,
-2-aretg- ?-2-+ и т. д,-
1,11 1 1,1 1
-2 arct^7-T7p-3^+y2^ + и т- д-
Если подставить это значение в предыдущий ряд и при этом разло-. 1 „ ••
жить в ряд также и arc tg — , то паидем:
( 4 , 1 1 1 , 1 ,
I ~~ 3 - 21 5-22 7- 23 + 9-24 И Т’ Д‘
7t J 1 11,1 1
4 > 1-22 3-25' 5.28 ' 7-2Ч 9-214 И Т’ Д'
I 1,1 i,i 1 , 1.24^~ 3-210 5-21в~ 7-222 9-228 ~^ И Т‘ Д‘
90а ’). Полагая х ^=1, можно найти ещё много других рядов. Если же положим х — ]/ 3, так что arc tg х = 60°, то
и -.30" и sin и ~ -i-, sin2n-~-^-, sin3w— 1, sin4n = K^-. sinCm—-^» sin6u = 0, sin lu =—\ и т. д.,
откуда
arc tg (/3 + ш) . Ь0 4- ^—24- + +
f (I)5 <n7 3 (О9
3-2® “ 7-28 ‘ 8-29 ’ 9-29 и т- д’
*) В первом издании по ошибке повторён помер 90. [Г. /Г.]
70
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
ели же положить х — '-7-=, так что arc ter х — .',0°, то / 3
«по • Уз . /з . /з
н = Ь0 и вши-—, sin2a = ----, sin.!«-0, sin4w-7—A_
/з . „ n . „ /з
sin эк. —-— , sin би -О, sm nt ~ и т. д.
одставив эти значения, будем иметь
з ,>2 /;f ; 3W/1
-£ 23 2 •
з3«5 , и т. д.
начит, если
t тг
, то, поскольку7 30° ---- — , будем иметь
7С lfl 1
6 /3 = ~
у.-2«'^’т72в + 3.2» и т- д>
91. Вернёмся к найденному общему выражению
arc tg (х + ад) = arc tg х -|- sin и sin и - у sin2 и sin 2и f-
4- -- sm3 a sin3tz - и т. д.
положим со = —х, так что arc tg (х ш) ^0; тогда
arc tg х — у sin и sin и + у sin2 и sin 2и + sin3 и sin Зи -р и т. д.
о так как arc tg® — 90° ~м — —и, то
. cos и х - etg и — .--- .
° S1I1 и
оэтому
• I 1 I
= и + cos и sin » -г — cos2 и sin 2и у cos3 и sin Зы ; — cos4 и sin 'ш и т. д_
гот ряд заслуживает особого внимания потому, что какую бы дугу ы ни взяли вместо и, значение ряда получается всегда одно и тоже;.
ю равно .
Если же о> — - 2®, то, поскольку arc tg (—х) — — arc tg®, получается
2 arctg ® — ySin и sin и + 9- sin" w sin 2и + — sin3 и sin За г и т. д. . Я COS и
так как arc tg х--~—и и® = ——, то
° 2 sin и ’
о , 2 • , 22 , • о , 23 з
7Г = Ли + у COS и Sin И. + у COS“ и sin Ли -1- cos3 и sin Ли д- и т. д.
усть и — 45' — у ; тогда
1
cos и =
/2 ’
1
sin и — Г? 7
V “
sin 2и
1, sin Зн sin4w = О,
/2
n5u —
меть
1 I
•---— , sin бы — 1, sin 7а -------, sin 8ы = 0 и т. д. и будем)
У 2 / 2
т? 1 , 2 , 2 22 23 23 , 24 . 2“ , 25
у — Y + 2 ! з г v + Го 4“ п “.11 т‘ д-
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
271
Этот ряд, хотя он и расходится, достоин внимания вследствие его простоты.
92. Положим в найденном общем выражении
X sin и COS и Вследствие
______________________________ COS и sin и будем иметь
, , f 1 X 1 71
arc tg (х 4- (и) --- arc tg ( —- 1 — — arc tg — — -- -с arc tgrr.
Отсюда получится следующее выражение: тс_____________ sin и sin 2u sin 3u sin 4u
2 1 cos и 2 cos2 и "f" 3 cos3 и ~1’ 4 cos4 и и т. д.
При и =’45° оно даст тот же ряд, который был найден последним. ,, , г\—;—'•> cos и
Если же положить ю = —у 1 + хто вследствие ® = получится
1
ш = — -— Sin и и ___
arc tg (ж — )/1 + х2) = —arc tg ()/1 + х2 — х) —
1 х 1 1 .Л 1
=--2- arctg~= —т —arc tgxj^=--u и
arc tg х = — и.
Поэтому будем иметь
ТС 1 1 . ,1-0, 1-0, 1-,
у — — и + у Sin и Г — 81п2и 4- у 81о3й + у Sin rkU -j- ИТ. Д.
Если дифференцировать это уравнение, будем иметь уравнение
О 4+cos и г cos 2н J-cos Зи 4-cos 4w 4- и т. д., смысл которого уясняется из свойств рекуррентных рядов1).
93. Если подобным образом дифференцировать прежде найденные ряды, получатся новые суммируемые ряды. Прежде всего из ряда
вытекает ряд
1
2 4~ -<0 4~ (°2
1
"o’
2 4 8 "L 8
(О6 (О8
г И Г. Д.. 1»> 3-
который получается разложением дроби
2 — 2(0 4“ (°2 1
4 --L- 2 4” 4“
Далее ряд
4 = и 4- cos и sin и + 4 cos2 и sin и -1- 4 c°s3 м sin За 4- cos4 и sin 4м 4 и т. д.?
Ц Cuius ratio ex natura serierum recurrentium.
2
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
ли его дифференцировать, даст
О = 1 + cos 2и + cos и cos За -j- cos'2 и cos in Д- cos3 и cos о и + и т. д.
скопец, ряд
п _ sin и , sin 2и t sin Зи sin 4м
2 cos и 2 cos2 и ‘ 3 cos3 м 1 4 cos4 и ' И’ Г’ ёт
n 1 cos и cos iii , cos 3м
О —----з---1---,--1----j------— -- и t. Д.
cos-и cos и cos4 и cos4 и
и
„ , cos и , cos Чи cos 3м , cos 4м , cos 5м
0 1 ------------ — -t------; 1 - - -<-- p И T. Д.
cosu cos- U COS3 U COS4 U COS0 M
94. Но в первую очередь найденное общее выражение
arc tg (х о>) — arc tg х J- -’-sin и sin и — sin2 н sin 2и -Д
<|>3 . .. •
-г — sin и sin Зи— и т. д.,
е
х etg а или и —- arc etg х = 90° — aretgap
жет служить для нахождения угла или дуги, отвечающих каждому иному тангенсу. Действительно, пусть предложенный тангенс равен»/, цем в таблицах тангенс, близко к нему подходящий. Пусть он вен х и пусть ему отвечает дуга, равная у. Тогда и = 90° — у. По-жим тогда х -р<и=/, т. о. ш—t — х. и искомая дуга будет равна
«> . . (О2 . о » Сч ,
у + -р sin и sin и—-sin“wsin2u+ и т. д.
о правило особенно полезно, тогда когда предложенный тангенс лик и вследствие этого искомая дуга мало отличается от 90°. Дей-зительно, в этих случаях вследствие быстрого роста тангенсов обыч-й метод интерполяции даёт результат, очень далёкий от истинного, осмотрим следующий пример:
Пример
Пусть ищется дуга, тангенс которой равен 100; радиус пола-тся равным единице.
Дуга, приближённо равная данной, есть 89°25г; тангенс сё есть
х = 98,217943.
читая его из
t = 100,000000,
думаем в остатке
w = 1,782057.
лее, так как ?/ = 89°251, то н = 0°35], 2и Зи = 1°451 и т. д.
идём теперь отдельные члены с помощью логарифмов. К
loi = 0,2509215
дбавим
1 sin и = 8,007 786 7
1 sin и = 8,007 786 7
1 о; sin и sin и = 6,266 494 9
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
273
вычтем
4,685 574 9
1,5809200
Следовательно, sin и sin и = 38,099 56 секунды.
К 1 ш sin3 и = 6,266 494 9
прибавим 1ш =0,250921 5 1 sin 2м = 8,308 794 1 4,826 210 5
вычтем 12 -- 0,301 030 0 1 -i ш2 sin3 и sin 2и 4,525 180 5
вычтем 4,685 574 9
останется 9,839 605 6
Следовательно, о>3 sin2 и sin 2и -= 0,69120 секунды.
Далее, к j <о3 — 0,7 52 764 5
прибавим 1 sin3 и = 4,023 360 1 1 sin3 м = 8,484 847 9 3,260 972 5
вычтем 1 3 = 0,477 121 3 2,783 8512
вычтем 4,685 574 9 8,098 276 3
Следовательно, 4 w’sin3 и sin Зи = 0,01254 секунды.
Наконец, .к U1- 1,003 686 0
прибавим J sin4 и = 2,031146 8 1 sin in = 8,609 734 1
1,644 566 9
18 л. Эйлер
274
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
вычтем
14 = 0,602 0600
1,042 506 9
вычтем
4,689 5749
6,356 932 0
Следовательно,
sin* и sin 4и = 0,00023 секунды.
4
Отсюда
Члены, которые прибавить нужно Члены, которые нужно отнять
38,09956 0,69120
0,01254 0,00023
38,11210 0,69143
отнимем 0,69.143 37,42067 = = 370 25“ IJ41V24V36VI.
Поэтому дуга, тангенс которой в сто раз больше радиуса, будет равна 37п 251П14lv 24v 36vi.
В квартах ошибка содержаться не будет. Она может оказаться лишь в квинтах; таким образом, мы можем сказать, что этот угол равен 89°251 37п 25ш141V. Если будет предложен ещё больший тангенс, то даже если ш будет иметь большее значение, дугу можно бу де г, поскольку и будет ещё меньшим углом, определить с той же быстротой.
95. До сих пор мы подставляли вместо у дугу круга. Теперь будем полагать вместо у обратные функции, каковыми являются sin ж, cos а;, tg etg а: и т. д. Итак, пусть у = sin х; положив х + о) вместо х, будем иметь z = sin Уравнение
, ы dy , <о2 d2y ( <о8 d3y ,
Z==y ' ~dx + 1 • 2 da:2 + 1 2 • 3 da;2 +
И Т. Д.
вследствие
dy d2x . d3y " diy
5i = co8*> аГ2=~81Па:’ d^=~CO3x’ и т. Д.
даст 1*1 1 sin (х + <о) = sin х+ ш cosх—joj’sinz—<u3 сова:0)1 sinж + и т- Д-
Взяв о) отрицательным, будем иметь
111
sin (х — о>) = sin х — oicosx—T<u2sin х 4- - ш3 cos х 4- = ш4 sin х — и т. д. ' ' 2 о 24
Если же положить г/= cos а, то вследствие
dy
-f — —81П X, dx
d2y d3y . diy
2?=-cos^, d^ = Binx’ d^ = C0BX и T’ д-
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
275
будем иметь
. . • 1 1ч- , 1 д
COS (ж + (о) = COS Z — <U Sin X—— (О' COS X Т~ -g ш Sin X + 24 Ш COS X — и т. д.,
а взяв <о отрицательным, будем иметь
1 1-1
cos (х—ш) = cos z4- <о sin x— w-ccsa?—— w3 sin x -r>, o>4 cos x + и т. д. \ / » 2 6 24
96. Эти формулы имеют очень важное значение как для составления таблиц синусов и косинусов, так и для интерполирования их. В самом деле, если будут известны синус и косинус какой-либо дуги х, то с их помощью легко будет найти синус и косинус углов и х — ш, если разность <о будет достаточно мала; действительно, в этом случае найденные ряды сходятся очень быстро. Но необходимо, чтобы дуга ш была выражена в частях радиуса. Так как дуга 180° есть
3,141 592 653 589 793 23846,
то это легко сделать; в самом деле, разделив на 180, будем иметь
дуга Г 0,017 453 292 519 943 295 769,
дуга I1 =0,000 290 888 208665 721 596, дуга 10п = 0,000 048 481 368 110 953 599.
Пример 1
Найти синус и косинус углов 45е!1 и 44°59] по данным синусу и косинусу угла 45°; оба они равны
4-= 0,707 106 781 186 5.
V *
Так как
sin х — cos х = 0,707 106 781 186 5 и
и = 0,000 290 888 208 6,
то, чтобы легче выполнить вычисления, найдём предварительно:
2<о = 0,000 581776 417 3,
3<о = 0,000 872 664 625 9,
4<о = 0,001 163 552 834 6,
5о> = 0,001 454 441043 3*),
6<о = 0,001 745 329 251 9,
7ш = 0,002 036 217 460 6*),
8ш = 0,002 327 105 669 3*),
9(0 = 0,002 617 993 877 9.
*) В нервам издании 5«> = 0,001 454 441 043 2,
7и> = 0,002 036 217 т60 5,
8ш = 0,002 327 105 669 2. [Г. К. j
18*
276
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Теперь о> sin х и ocosz найдутся следующим образом:
7 . 0,000 203 621746 606') 0 7 . 0.000 002 036 217 46 2) 1 . 2 908882 0 . . . 6 . . 174 532 7 . . 20 362 8 . . 2 327 1 . . .29 1 . . .2 8 . .2 6 . . .0
о) sin х — о) cos х — 0,000 205 689 024 883).
Следовательно, J ш cos х = 0,000 102 844 512 444).
Помножим на <»: 1 . 0,000 000029 088 82 0 . 2 . . . 58177 8 . . . 23 271 4 . . . 1 163 4 . . . 116 5 . 11 4 о>1 cos х = 0,000 000 029 916 23 4 cos х = 0,000 000 009 972 08.
Помножаем на <»: 9 . 0,000000 000002 61 9 . 26 7 . 2 4 <»’ cos X = 0,000 000 000 002 89. О
Следовательно, для отыскания sin45°lI к sin х = 0,707 106 781186 5
прибавим wcosx= 2056890249 0,707 312 470 2114
вычтем 4°>2sinz= 299162 0,707 312 440 295 2
г) В первом издания 0,000 203 621746 05. \Г. А’.]
2) В первОхМ издании 0,000 002 036 217 4. [Г. А".]
3) В первом издании 0,000 205 689 024 90. [Г. А\ ]
*) В первом издании 0,000 102 844 512 45. [Г. А’.]
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
277
вычтем
j
-- и8 cos х --- 29
6
sin 45° I1 = 0,707 312 440 292 3 = cos 44°59i.
Для .отыскания же cos 45е!1 от
cos х = 0,707 106 781186 5
вычтем
<о si в х -- 2 056 890 249
0,706 901 092 161 6
вычтем
<»2 cos х = 299 162
0,706 901062 245 4
прибавим
oj3 cos 29
6
cos 45°li -0,706 901 062 248 3 - sin 44с49’
Пример 2
По данным синусу и косинусу дуги 67°301 пашни синус и косинус дуг 67°ЗР и 67°291.
Будем производить это вычисление с точностью до седьмого десятичного знака, с какой обычно составляются таблицы, и тогда с помощью логарифмов работа будет выполнена легко. Так как х = 67°301 и «>=0,000290 888, то
25 9
1 cos х = 9,582 839 7 1 ш = 6,463 725 9
1 <о cos х = 6,046 565 6
1 А <о = 6,162 695 9
1 v 0,2 cos х = 2,209 261 5
, <u cosх = 0,000 ill 32, А <о2 cos z = 0,000 000 01,
cos 67°31J = 0,382414 7, cos = 0,382 952 2.
- 1 , • 1 .
оез членов --or sin х и — а>2 сов х.
1 <» = 6,463 и
1 sin х = 9,965 615 3
1 ш = 6,463 725 9
1 <.о sin х = 6,429 341 2
1 * со = 6,162 695 9
1 А со2 sin х = 2,592 037 1
Следовательно,
до sin х = 0,000 268 74 A о>2 sin х = 0,000 000 04.
откуда
sin 67°311 = 0,923 9908, sin 67°291 = 0,923 7681
Здесь можно было обойтись даже
278
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
97. Комбинируя ряды, которые мы нашли выше-,
sin (x + co) = sin x 4- 0) cos x — I . <u sin x — 1 6' 0)3 COS X+ 1 4 s,-<o1sin ®4-ХЧ и T. д.,
<’OS (x + (o) — cos x — CD sin X — 1 2 2' ® COS X J. 6 <o3 sin x + 1 , ;,4 (01 COS X — и т. д.,
sin (z — <o) = sin x — CD cos x — 1 , - <o" ‘2 sin X -4- 1 6 0>3 COS x + 1 1 CO1 sin®— и Т. д.,
cos (x — o>) = cos® 4- co sin x — 1 . 2 2 ° COS X — J. 6 <n8 si n x 4- 1 . 2^ co4 cos x d- If Т. Д.,
мы находим, что
si-i (х 4- <») ц- sin (,г — ™)_
. 1 1 . 1 .
= sinz— — a>2sin х 4- a>4sin х— о>“ sin х i- и т. д. =sinzcosa>
2 2чс J
и
sin (я + и) — sin (.>
1 1 - 1 ,
.= Ш COS X — -- «> OOS X =- 0)° COS X — тг— 0) COS X + b 12J 0U4U
и т. д. =со8Ж81па>
откуда получаются найденные вышех) ряды для косинусов и синусов: cos а) = 1— у 0,3 +/4 0)4 7^0®"+ и т> д"
д1па) = 0)__ш п т. д.
Эти ряды получаются из рядов, выписанных вначале, если положить ® = 0; действительно, так как cos® —1 и sinz = 0, то первый ряд даст sinai, а второй cos<o.
98. Положим теперь y = tgz, так что z = tg(®4-co); вследствие sin х
у = будем иметь
dp 1 rf2i/ sin х d3p ________ 1 3sin2;r 3 2
dx cos2 ж’ 2dx3 cos3 x ’ 2dx3 cos2 x ' cos* x cos1 a: cos2 x ’
d*p ____3sin.t s.in x d:>p 15 15 r 2
2 • 4 dx* ~ cos5 x cos3 x ’ 2-4 dx- cos3ж cos1 x ‘ cos2 a: ’
откуда следует, что
tg (ж + и) = tg x
cos2 X
<o2 sin x , <o3 co4 sin x
cos3 x cos1 x 1 cos5x 2<i>3 ®4 sin x
3cos~x 3 cos2 x
G помощью этой формулы можно по данному тангенсу некоторого угла найти тангенсы близких углов. Так как ряд, стоящий в верхней строке; является геометрическим, то, собрав его в единую сумму, мы будем иметь
, , ® i-<o2t<JX 2а>3 го1 sin X
tg(® i-«>) = tg®-(------—m--------------------------и т. д.
v । cos„ х _ j cos- х з cos3 х
или
. , , , sin X cos X + <в 2ю3 M4siir
tg (® -- 111) . « .. „..„г „ -> r\OS3 r • • Д-
~“ w O vv5 J-, 0 J'
Эта формула удобнее для применения.
1) «Введение в анализ», ч, I, гл. VII, < 134.
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
279
99. Подобные выражения можно найти также для логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Действительно, если у равен логарифму синуса угла х, что мы обозначим так: у = 1 sin х, тогда z = 1 sin (ж4- ш).
„ dit п cos х _ d3y
Вследствие ------------ будем иметь =
dx sin х dx
откуда
, . . . , , п <о COS X
z = 1 sin (ж-Г 01) = 1 Sin х н-gii| х
п d3y 4- 2racos x
-7—- , ----и т. д.
sin3 х dx3 ””3 ~
sia3 х
п й>3 , П <о3 COS X
й—•—Г- 4" ~п—:—ч---------И Т. Д,
2 sii? х 3 sin3 х *
где п обозначает число, на которое нужно помножить гиперболические логарифмы, чтобы получить предложенные логарифмы. Если же у = 1 tg х и z= 1 tg (ж4-со), то
dy п ______ 2п d* 2y_ 2п cos 2х
dx sin х cos х sin 2x ’ dx2 (sin 2x)2 ’
так что
ltg(z + <o) = ltgz4- —--^—4. и т. д.
С помощью этих формул можно интерполировать логарифмы синусов и косинусов.
100. Пусть у обозначает дугу, для которой логарифм синуса равен х, т. е. пусть у = А-1 sin ж1). Пусть z есть дуга, для которой логарифм синуса равен ж4-со, т. е. z= А-1 sin (ж 4-со), тогда ж=18ту,
dx п cos у dy siu у ’ откуда
dy__ sin у
dx п cos у ’
- d2y dy
Мы будем иметь — = —=
dx sin у . na cos3 у ’
значит,
d2y ___ sini/
dx2 п2 cos3 у ’
Следовательно,
со sin у , <о2 sin у
V 4---------- 4--------—
у п cos у 2п2 cos3 у
4- и т. д.
Подобным образом найдётся выражение, если будет дан логарифм коси-
нуса.
Если же у = А1^ж2) и z^A-ltg (ж4-со), то, так как ж=ltg?/, получим dx п dy sin у cos у sin 2у dy sin у cos у dx п 2п '
Поэтому
d2y__2dy cos 2у dx sin 2y cos 2y
dx 2n 2n2
И
Отсюда
d2y__sin 2y cos 2y sin iy d3y__sin2ycos4y
dx1 2n2 in2 ’ dx3 2n3
<0 sin 2y 2n
co2 sin 2y cos 2y co3 sin 2y cos 4?/ -----------1--------1 ---------------------- 4.
4zi2
12n3
И T. Д.
3) Здесь сохранено обозначение Эйлера, аналогичное его обозначению A sin ж, соответствующему нашему arc sin х. Точка, стоящая перед 1 sin ж, заменяет скобки, в которые заключается это выражение. Эйлерова запись у = A I si.1 х обозначает, что х= 1 si.i у. Аналогично нужно понимать употребляемые данные выражения А-1 tg х.
2) См. предыдущую сноску.
280
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
101. Так как способ пользования этими выражениями при составлении таблиц логарифмов синусов и тангенсов легко понять из вышесказанного, то мы на этом дольше останавливаться не будем. Рассмотрим ещё такое выражение: у — e*sin пх, и пусть z= ех т *° sin/г (х -+ со); так как мы имеем:
= ех (sin пх 4- п cos z),
= ех ((1 — /г2) sin пх -- 2« cos я),
~ ех ((1 — 3n2)sin пх-^-п (3 — п~) cos пх),
j-jt - ех ((1 — 6«2 + и4) sin пх -j- п (4 — 4п2) cos пх),
A-^-eT((i—10п2 + 5??4) sin пх п (5 + 1 On2 4- тг4) cos пх) и т. д.
то, подставив эти значения и разделив на ес, будем иметь:
. • . • , 1 — тг2 . I — Зп2 з .
e“sm п(х+ о>) = sin пхсо sin пх -f- —со- sin пх ~г —— <•> sin пх ---
l — f>7i24-7l4 , . . . 2тг 2
J------------co4sin«z + n т. д. + и со cos no: + jp со4 cosnz
24 *
, тг(3—>is) , , n(i-in-) ,
-1- ------ COS пх н-----2—— СО4 cos ПХ + и т. д.
102. Отсюда можно получить многие частные случаи. Нам доста-
точно будет рассмотреть следующее.
Если z = 0, то будем иметь
2тг , тг(3 — п-) з , т?. (4-4?ts) 4 тг (3 - 10ге2 4-тг4) 5 e,osin «со == «<о 4- - со- J- -'0) ----ш -f------120 'оГ + ит.д.
Если со = — х, то вследствие sin п (х + ш) = 0 будем иметь
tg пх
2п , , 7/. (3—тг2) „ тг (4 — 4тг2)
пх - X- X- _А—-----г ------------X*
И т. д.
1 - Зп2
1 — Зя2 Т. г/4
-----—----- X1 — И т. д.
Если вообще то получим
еш sin (х + со) = sin х J- со — А со3 — е со4 — со5 + и т. д.^ , -
(1111 \
1 + со+ 3 (О4 --со4^--со6-— со’ + и т. я.) .
Если же ?г=0, то вследствие sin п (z-f- со) = п (.г 4- со), 8шпт = тгж и cos7ix=l, после того как всюду разделим на п, получим
111
ew(x ~ со) - х + co# — со2 z -- -- со3 х 4- — со4 х~г и т. д. г
1 1 1
ь (О СО2 -j- - - СО3 — СО4 4-— <0* -Г И T. Д.
Способ составления этого ряда очевиден.
«е
ГЛАВА V
РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
ЮЗ. Пусть общий член какого-либо ряда, равный у, отвечает индексу х, так что у есть некоторая функция от х. Пусть далее Sy есть сумма или суммационный член ряда, выражающий результат сложения всех членов от первого или какого-нибудь иного фиксированного члена до у включительно. Мы будем подсчитывать суммы рядов от первого члена, так что, если х=1, то у даст первый член, и Sy также выразит этот первый член. Если же положить гг = О, то суммационный член должен обратиться в нуль, так как тогда нет никаких суммируемых членов. Таким образом, суммационный член Sy будет такого рода функцией от х, которая исчезает при х — 0.
104. Если общий член у состоит из нескольких частей, так что у = р4-(? + г+ и т. д., тогда сам ряд может рассматриваться как составленный из нескольких других рядов, общие члены которых суть р, q, г и т. д. Поэтому, если будут известны суммы отдельных этих рядов, то вместе с тем можно будет определить сумму предложенного ряда; в самом деле, она будет равна результату сложения отдельных сумм. Поэтому, если y = p + q+r-j- нт. д., .то будем иметь Sy — Sp-^-Sq-, + Sr + и т. д. А так как выше мы определили суммы рядов, общие члены которых суть какие-нибудь степени х, имеющие целые положительные показатели, то можно будет найти суммационный член всякого ряда, общий член которого есть ахл + Ьхй -f- сх'! 4- и т. д., где а, {3, у, и т. д. суть целые' положительные числа, т. е. общий член которого есть целая рациональная функция от х.
106. Пусть в ряде, общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен у, член, предшествующий общему, т. е. отвечающий индексу х—1, равен v. Поскольку о получается из у, если вместо х написать х—1, будем иметь
d3y rf1;/
6rfz3 24rfx4
dy .
v=y~dx + ^
и T. Д.
Если у будет общий член ряда
1 2 3 4 . .. х — 1 х
а 4-6 4-с + d + ... 4- и 4- у
и член этого ряда, отвечающий индексу 0, будет равен А, тон, поскольку оно является функцией от х, будет общим членом ряда
1 2 3 4 5 . . . х,
А 4- а 4-6 4- с 4 d 4~ . . . ~ г.
282
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Поэтому, если Sv есть сумма этого ряда, то Sv=Sy — у + А. Таким образом, при х—0, поскольку Sy = O и у = А, также и Sv исчезает.
106. Так как
dy , d'-y dsy , V = y~ + и Т- Д”
то, по доказанному,
Sv = Sy~ Sd^+ S^A-S^^ и * ах 2ах2 бах3
и вследствие Sv = Sy — у + А будем иметь 4 — S ^-4- — У diy L
У А <1х ° 2rfz2 d 6dz3 L’ 24riz1 1
Таким образом, получится
с У__ ___ а 1 с <hj _ d3y 1 ~ diy
dx У "г 2rfz3 6rfz3 1 24rfz1
т. Д.
и т. д.
И Т. д.
у—.х‘', так как
d2y = (" + 1)" „п-1 rf3V = (п + 1)га(п-1) 2
2rfz3 1-2 л ’ 6rfz3 1-2-3
n + l)n(n- 1) (п-2)
Итак, если известны суммационные члены рядов, общие члены которых d'-y d3y diy „ .. „ -
суть , -т-3, , то из них найдется суммационный член ряда, общий
член которого есть Постоянное же количество А должно быть взято так, чтобы при х~0 суммационный член5^ исчезал, и с помощью этого условия оно определится легче, чем если мы скажем, что оно является членом, соответствующим индексу 0, в ряде, общий член которого равен у.
107. Это даёт возможность найти суммы степеней натуральных чисел. Действительно, пусть
1)ж" ’ diy
1-2-3-4 ~ “ *' ""
то, подставляя эти значения, будем иметь
(га+1)5жп = хп+1 — А 4- Зхп~' — —-5а:п_24- и т. д.;
если обе части равенства разделить на п 4-1, будем иметь
Sxn = --А-i^n+1 +4 Sxn~A Sxn~2 4- и т. д, — const.
Постоянное это должно быть взято так, чтобы при х = 0 весь суммационный член исчезал. Таким образом, с помощью этой формулы из известных уже сумм низших степеней, общие члены которых суть ж’4-1, ж11-2 и т. д., можно найти сумму высших степеней, выражаемых общим членом хп.
108. Если в этом выражении п есть целое положительное число, то число членов будет конечным. Таким образом, сумма низших степеней будет известна с полной точностью. Действительно, если п = 0, то
Sx° = x.
Зная её, можно будет перейти к высшим степеням; в самом деле, полагая п = 1, будем иметь
5 х1 — х- -к A- Sx” = А- ж3 А- х.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СЫТИМЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
283
Если положить п — 2, получим
8х* = у Xя + Sx—'~Sx° = —Xя ! -1 X' -J- ~х, далее,
Sx3 = 1 xi + Sx3 - Sx + | Sx° = 1 xl Д- 4 Xя 4- ~ x'*,
Sxi — -r- Xя L ~ Sx3 — -- Sx,~ Sx-1 Sx",
5 2 2 o'
ИЛИ
‘^=-5^+ik+-h3-4-
Таким же образом и дальше суммы высших степеней будут составляться из сумм низших. Это легче можно сделать следующим образом.
109. Так как выше мы нашли, что
о &У । 1 о ^*7/ 1 с ^ЯУ , 1 о _
S^ = y+2Sd^-lSSd^ + ^Sd^-a Т- Д-’
dy - d2y dz d3y d*z , г,
то если положить т = z, будем иметь 7-4 = 5-, т-~ = т—и т.1 д. По-
аа: ’ dx> £хз ^хз s “>
скольку теперь dy — zdx, то у будет количеством, дифференциал которого равен zdx, что можно обозначить так: у= zdx. Хотя нахождение количества у по данному z требует применения интегрального исчисления, однако здесь мы можем пользоваться формулой zdx, если только мы не будем подставлять вместо z никаких других функций от х, кроме таких, чтобы эта функция, дифференциал которой равен zdx, могла быть получена из известного ранее. Итак, подставив эти зваче-ния, будем иметь
„ С , , 1 ndz 1 c,d*z , 1 „ d3z
Sz=\^zdx + -^ S — ~ S ^ + ^S — и т. д.,
причём нужно прибавить такое постоянное, чтобы при ж = 0 сумма Sz исчезала.
110. Если в первое из этих выражений подставить вместо у букву z, или, что то же, если дифференцировать второе, получится
г, dz , 1 d* z
S-т =z + — S
dx 2 dx*
I ndiz , 1 adiz
S 1~3 dT S л 4 — " т- Я-b dx3 24 dx1
Если же вместо у положить^- , то будем иметь а dx "
„ dz_z dz , 1 у d*z
dx3 dx 2 dx3
1 „ diz , 1 „ dbz ’6 d^~~ 24 d
и т. Д.
Подобным образом, если вместо у последовательно полагать
d2z d3z
V—> И 5—
ax3 dx3
и т. д., найдём
„ d3z d3z 1 „d3z 1 „d^z
dx3 dx* * 2 dx3 6 dx3 ‘
d4 __ ddz d^z _ 1 „ d^z _ dx1 dx3 "i- 2 dx3 6 dx3
1 Q dlz
24 ° dx3
И T. Д.,
и т. д. до бесконечности.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
dz d3z d3z
111. Если теперь эти значения .S’ — , 5-5—, Sи т. д. последе-Cl ШС~ (л. К
ельно подставить в выражение
г. С .,1 dz 1 77 d-z 1 d3z
Sz = \zdx -г- a ----A -j-; 4-s- a 3—• — и т. д.,
J 2 dx 6 dx3 24 dx3 ’
мы найдём для Sz выражение, которое будет состоять из чле-
С , dz d3z d3z , т „
1 \zdx, z, , у— и т. д., коэффициенты которых легко найти
I Ct СО (л/ X (IX
дующим образом. Положим
5z= \zdx--a.z-\-'^dX--у + — и т. д.
J ' 1 dx ‘ dx- dx3
шесто этих членов подставим те их выражения, которые получаются предше ствующих рядов, из которых
zdx ---.Sz-~ \sd,- 2 dx 6 dx- 1_ £3 ,’_1 ' 2Tt dx- ‘ 120 ° </7' ' И T. ,
'J.Z — ^*Sd~x- a of*2- Y d dx3 + a „ d3z -x ., d3z 6 dx3 2 4 dx3 11 T. Д.
, dz dx - > d3z i „ d3z 2 1 dx3 6 dx1 11 т. Д.
d’-z ‘ dx3^^ _ .,d3z у „d^z dx3 ~ 2 dx3^' T. Д.
„ d3z Qd^' ,, d3z 11 dx3 т. Д.
и т. д.
к как эти значения, будучи сложены, должны дать Sz, то ковф-циенты а, В, у, S и т. д. определятся из следующих уравнений:
а — — =~0, р — т + -.г-- -- 0, у — -- ё-— -•> = О,
2 6 ‘ 2 6 24
р _ Y • Р 2 1 - О - — 3 -I а 1 — О °" 2 ’ б’ ' ' 24 120 “ ’ с~ 2 б 24 ' 120 “ 720 ~ •
'_л £_ - 2 • _L -л
‘2 г б 24 ~~ 120 720 5040 ' ° И 1 ‘ Д’
112. Из этих уравнений можно будет последовательно найти знания всех букв а, р, у, о и т. Д.; мы получим
у Э . х 1 1 б у , 3 х , 1
° ~ 2 б 24 120 ' 720 ’ ° 2 ~ ?Г ~г 24 ~ 120 720 — И 1 ’ Д’
родолжая эти вычисления дальше, будем последовательно находить, о члены попеременно исчезают. Именно, члены, стоящие на третьем, 1том, седьмом и т. д. месте, будут равны нулю. Но первый член юдставляет исключение, и вследствие этого представляется, что ряд их значений вступает в столкновение с законом непрерывности. Тем >лее необходимо поэтому строго доказать, что все нечётные члены, юме первого, необходимо должны исчезать.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ПЛЕНУ
285
113. Так как отдельные буквы определяются из предшествующих по их постоянному закону, то они образуют рекуррентный ряд. Чтобы выразить его, рассмотрим ряд
1’-а//,-'- Йн- -'-ун3 4-4/1ги.5 - ''/4- и т. д.
Пусть значение ого равно г. Тогда очевидно, что упомянутый рекуррентный ряд проистекает из разложения дроби
1 - 2 'г2-24М’+П0И‘- Я Т'Д-
II если можно эту дробь другим способом разложить в ряд, расположенный по степеням и, то необходимо должен получиться тот же самый ряд
V = 1 + 'J-ti + ри2 у?г3 4- Zu* - гц° 4- и т. д.
Таким образом, будет найден другой закон, из которого определятся те же значения а, р, у, 2 и т. д.
114. Если в ость число, гиперболический логарифм которого равен единице, то
, 1 • 1 3 . 1 1 1 5 .
(,-И =- 1 — 11 + „ И- — -f- U т 21 " — -ро м Т ИТ. Д.
Поэтому будем иметь
1 - е~и . 1 1 , 1 - , 1 ,
-V” =- 1 ~ V Ч Ж б И' - й « + no U ~ И Т. Д.,
так что
Уничтожим теперь в ряде второй его член ам — - и, так что получится
V — и — I 4-Ви2-гун’ -Зи‘-;г;р л т> д
Тогда будем иметь
V
м = ____________
Помножим числитель
и знаменатель на
оудем
иметь
Разложив количества
в ряды, получим
е - и
1 — U
1
V- ~и
. , и- и- и-
I ---------------1----------- -I- И Т. 7.
1 2-4 ' 2-4-6-8 ' 2-4-6-8-10-12^
(1 U? и* \
“2 + ~2 • Сб + 2*4 • 6 • 8 Л0 И Т‘ Ц‘ )
286
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
или
X — 1 + 2-4 + 2-4-6-8 + 2-4-6-8-10-12+ И Т' Д'
2 U ~ . м2 и4 ив
+4-6 + 4-6-а-10 + 4-6...14+ И Т‘ Д’
115. Так как в этой дроби совершенно отсутствуют нечётные степени, то и в его разложение вовсе не войдут никакие чётные степени. Поэтому, так как V — у и равен ряду
1-Р Ргг2-р угг3 + 8м4 + ец5-р и т. д.,
то коэффициенты нечётных степеней у, г, т], г и т. д. все исчезают. Таким образом, становится очевидна причина, почему в ряде 1-рагг-р|Згг3-р угг3-р 8гг4-р и т. д. члены, занимающие чётные места, все равны нулю, кроме второго, и при этом всё же сохраняет силу закон непрерывности. Итак, будем иметь
U = 1 + у и + ргг2 -г 8гг4 -р ?и,л -р Огг8 -j- и т. д.
Если буквы р, о, 0 будут определены с помощью разложения вышеприведённой дроби, мы получим суммационный член Sz ряда, общий член которого, отвечающий индексу х, равен г, в виде
с С j . 1 , о dz > — d^z £ d^z
5г= Г^+уг + ₽^ + о^+^ + и т-д-
116. Так как ряд 1 -р ргг2 -р Згг* + Сгг“ + Огг8 -р и т. д. происходит из разложения дроби
,, и? гг4 и8
1 -г- •— л- --к-------------1- И Т. П.
2-4] 2 i6-8 ~2t6-81012д
„ , и2 , и.1 м8 ’
1-1-------------------------L И т. д.
~4-6 ' 4 6 8-10 ~4 6-8 10-12 14 ' Д
то буквы р, 8, С, О и т. д. подчинены такому закону:
о Л Р 2.4 4-6’
г = __1____Л_________L__
2-4-6-8 4-6 4-6-8-10’
r_ 1 8 [3 1
ч—2-4...12 4-6 4-6-8-10 4-6...14 ’
е = 1 1________L_ __ 1
2-4...16 4-6 4-6-8-10 4-6...10 4-6...18
И т. д.
Эти значения попеременно положительны и отрицательны.
117. Если мы припишем этим буквам, взятым через одно, отрицательные знаки, так что
с С л , 1 о , •> d3z _ d.bz с d7z
Sz= \ Ztfx-p— z—В T-H-S-j-j — с j-.-Рбд-,— ИТ.Д., J 2 r dx dx3 dx3 dx7
то буквы p, 8, C, 6 и т. д. определятся из дроби
W4 1 2-4+ 2-4.6-8 u® u8 _ и т. Д, 2*4...12 1 2-4.. .16 д
u2 u4 1 1 4-64-6.8-10 ua u3 и T. n. 4-6...14 ' 4-6...18
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
287
если её разложить в ряд
1 + Ргг2 + ом4-j-См" + Он8 + и т. д.
Поэтому будем иметь
1 6 • 't 2 Л’
? = J _ _i _ . _J_____
4-6 4-6-8-10 1 2.4.6-8 ’
г 3 0.1 1
’ Гб ” 4 • 6^8 ^10 г 4-6. ..14 2.477.12 И 1' Д'’
и теперь все члены будут положительны.
118. Положим Р= —А, 8= •— В, С = —С и т. д., так что
с С 1 । л dz dfiz
Sz-=\ z dx — z 4- zl j-В j—. + C -y-т — и т. д.,
j 2 dx аж3 1 аж5 ’
и для определения букв A,B,C,D и т. д. рассмотрим ряд
1 — Аи2 — Ви* — Си3— Dus— и т. д., который происходит из разложения дроби
1 -UI-1---------------1------И т. д.
4-6' 4G-8-10 4-6. . . 14 ~4-6.. . 18 д
Или можно рассмотреть ряд
— —Аи — Ви3 — Си3 — Du1 — Ей3— и т. д. — S, и
который происходит из разложения дроби , а2 а4 а8
1----1_______________+ и т. д.
2-4 * 2*4*6«8 2-4. . .12^ д
$ —-_________________________________ ,
1Z3 U5 U7
“ ~ Гб + 4 6-8-10~ 4-6.. .14 + И Т’ Д'
А так как
1 . а2 и* а8
СО8_и=1_._+______+ ИТ.Д.,
. 1 1J 7/3 7/5 7/7
81П у и = у — 2^76 + аХТТГо — 2.4. ..14 + И Т‘ Д’’
то отсюда следует, что
1 cos и .
7 11
s = —-1— = 2 Ct8^u-
2 sin у а
Т-Г 1
Поэтому, если котангенс дуги и разложить в ряд, члены которого расположены по степеням и, то из этого ряда можно будет найти значения букв А, В, C,D, Е и т. д.
119. Так как s = yctgiu, то у и = arc etg 2s; дифференцируя, 1 Qds
будем иметь ~du= или ids -j- du + is2du — 0 или J 2 14- 4$2
ds
4^ + 1 + 4s2 = 0.
Hu 1 1
288
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Но так как
s ~— Ли — Ви3 — Си:> — и т. д.
то
4^’ = —— 4.4 — 3 £Ви' — 5 • 4Си* — и т. д. du и3
1= 1
4s3 --Д--8Л— 8Ви2— 8Си‘ — 8 Du* — и т. д. и~
+ 4А2гг3 4- 8АВ1В 4- 8АСи* 4- и т. д. д-
j-45zu,4- и т. д.
Приравнивая нулю суммы однородных членов, будем иметь
1 в .1- р 2АВ в_<АС+В2 Е 2AD + 2BC — 12 ’ ’ -j ’ <) ’ — 11 ’
т. 2АЕ \ 21П> - С- „ 1AE+2BE + 2CI)
>' ---- , (., -----—---------и т. д.
13 1о
Уже из этих формул ясно, что эти значения положительны.
120. Так как знаменатели этих дробей очень велики, и это очень мешает при вычислениях, то вместо букв A,B,C,D и т. д. введём следующие новые буквы:
В
1-2-3-4-5 ’
11 т- д-
Тогда найдём, что
а =
2 • аЗ
г = 2
8
2 1-2-3
- i-2-з
14-13-12
, 9 12-11-10 й.
is 4- 2 —------г Во Д-
1-2-3._.5Г ~
14-13-12-11-10 .
уй и
1110-9-8 , ... г>
12-
1-2.. .7
1-2.. .7
т. Д.
121. Удобнее же будет воспользоваться формулами 1 о 4 Г
«-•у, < ;!2
10 , , 10-9-8.
г=;з ЗЛТ^
, 15
!,-= за7>-'
^ja,4
16-15-14 ,
12
Tas
14-13-12 r
1 3-4-5
1 3-4
6 Q , 8 , 8-7-6
--a?, 0-._av4.__ ,
2-11-10 ... , Г2-11-10-9-8 Ys
------Во д-----------
3-4-5 P л 3-4-Л-6-7 2
14-13-12-11-10 „
— Y°, .10
-9-T и T. Д.
12 f'
16.15
Согласно этому закону вычисление совершается без труда, а если найдены будут значения букв а, р, у, 3
какого угодно ряда, общий член которого, соответствующий индексу х, равен z, выразится следующим образом:
с, С „ 1 а dz $d3z , у d3z dd~z ,
i'z “ j z f xT z “* Г-ТТЗх ~ i -2-зТ-а dx3 'r ТгТТТМх’ ”г
e dsz ^d^z
' 4 - 2 ... 1 Vd^ “ ТаА.лПхА' 11 т- д‘
и т. д., то суммационный член
у dAz
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 289
691
’“210
35
7>=2’
fi_3617 е“-зо-
43 867
1 222 277
Буквы же’а, р, у, о, s и т. д., как мы нашли, имеют следующие значения:
а = -у или 1 -2а= 1,
Р = | 1-2-3₽ = 1,
7=6 1-2-3-4т = 4,
3 = ^ 1-2-3-4-58= 36,
е=7- 1-2-3.. .6s = 600,
и 1-2-3...7: = 24-691, 1-2-3...8т) = 20160-35, 1-2-3...96 =12006-3617, 1-2-3.. .10: =86 400-43867, 1-2-3... Их =362 880-1 222 277, 1-2-3.. .12/. = 79833600-854513, О
= 1181^820 455 1,2,3 . ,13[л =11 404 800-1 181820 455,
v=±?222r2 1-2-3.. .14'/ =43589 145 600-76977 927 1),
S = 23 7^461 029 1-2-3.. .15^ = 43589 145 600-23 749 461 029,
К = 8 615 841 27бЛ15 1-2-3.. .16-=45 287 424 000-8615841 276005
452 и т. д.
122. Эти числа имеют очень широкое применение повсюду в учении о рядах. В самом деле, во-первых, из этих чисел можно образовать последние члены в суммах чётных степеней, которые, как выше мы отметили, нельзя, подобно остальным членам, найти из предшествующих сумм. В суммах чётных степеней последние члены содержат произведение х на некоторые числа. Эти числа Для степеней II, IV,
1 111
VI, VIII и т. д. суть — , -г и т. д. с чередующимися зна-
о ои 42 ои
ками. Но эти числа получаются, если вышеиайденные значения а, р, Y, 3 и т. д. разделить соответственно на нечётные числа 3, 5, 7, 9 и т. д., так что эти числа, которые по имени открывшего их Якова Бернулли 2)
х) В первом издании 1 • 2- 3... 14-/ = 109 109 145 600-7 697 792 [Г. К.].
2) Яков Бернулли получил эти числа (он обозначал их через А, В, С, D...) как коэффициенты в найденном им выражении суммы степеней натуральных чисел:
л-=1-+V +... + »• _ + i л,,- + +
с (с — 1) (с — 2) (с — 3)(с —4) о о л а.
1 9 Л. Эйле;-
290
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
называют бернуллиевыми, будут
а 1 Of 1 43 867
"з = 6=5t’ 19 795
2 1 SR х 174 611 ф 283*617
5 30 21 333 330 ’
у 1 гг Л 854 513 q 11*131*593
7 = 4-2 = ®’ 23— И8 2*3*23 ’
3 |х _ 235 564 091 25 ~ 2730 —-У‘’
9 33 ®’
е _ 5 „ v 8 553 103 т 13*657 931
н “ 66 27— 6 ’ Л ~ 6 ’
с =—=s 273J °’ £ 23 749 451 029 _
13 29 — 870
д 15 = | = @, п _ 8 615 8'4 276 005 _ у 31 14 322
0 _3617_« 510
17
123. Таким образом, эти бернуллиевы числа можно найти непо-
средственно из следующих уравнений:
91 = — , " 6 ’
® = г|- Т*’
ф = — . — О + 8'7'6'5 • — 232,
" 1-2 9 + 1-2-3-4 9 ’
v 1-2 11 1-2-3-4 11^ ’
.2 ад® .£^,124140^7 А
о 1.2 13 ^ 1-2-3-4 13^"^ 1-2-3-4-5-6 13 ’
гы 14*13 2 -jq, 14• 13* 12• 11 2 мр. 14*13*12.11*10-9 2
® = Ч7Г ' 15^8+ 1*273*4 •i5%g + ~i*2*3*4*5*6 ‘15^
И Т. д.,
закон составления которых очевиден сам собой; следует только отметить, что там, где входит квадрат какой-либо буквы, коэффициент вдвое меньше, чем он, казалось бы, должен быть по общему правилу. На самом же деле члены, которые содержат произведения неравных букв,
Эта замечательная формула дана в его работе Ars conjectandi («Наука предугадывания», т. е. теория вероятностей), опубликованной после счерти автора в 1713 г. и составленной около 1685 г. Формуле (1) предшествует вывод частных формул для Snc при с= I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 16. Они имеют тот же вид, что формулы § 62 ч. 1 «Дифференциального исчисления» Эйлера. Доказательства сбшзй формулы (1) Бернулли не даёт. Можно думать, что путём сравнения коэффициентов соответствующих членов частных формул Бернулли обнаруживает мультипликативный закон образования третьего, четвёртого и т. д. коэффициента, как это делает Эйлер в § 63 ч. 1. Доказательство формулы (I) в развёрнутом виде впервые дано Эйлером в настоящей книге (§ 132 ч. 2). Так как формула суммирования, из которой исходит Эйлер, была опубликована им в «Записках петербургской Академии» за 1733/34 г. (т. 6) (доказательство дапо несколько позднее в т. 8 тех же «Записок»), то не подлежит сомнению, что уже в начале тридцатых годов Эйлер владел доказательством формулы (1),
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
291
должны считаться входящими дважды; так например, 13 $ = 12 '11 $(g 4- 12 •11 '109 23® '10 ~ 9 ' 8 ' 7 +
u 1-2 I-2-3-4 ,OJyT 1-2-3-4-5-6 n
1-2-3...8 1-2-3...10
124. Те же числа а, р, у, 3 и т. д. входят далее в выражения сумм рядов дробей следующего общего вида:
. , 1 , 1 , 1 , 1 ,
1 + 2и + зН+4й + 5й+ и т- Д-’
если п есть чётное положительное число. Действительно, во «Введении» мы дали выражения этих сумм через степени полуокружности к круга радиуса 1, и можно усмотреть, что в коэффициенты этих степеней входят эти самые числа а, р, у, 8, s и т. д. Но для того чтобы убедиться в том, что это совпадение не является случайным, а должно необходимо иметь место, мы разыщем эти суммы особым способом, благодаря которому легко будет обнаружить закон составления этих сумм. Так как выше (§ 43) мы нашли, что
т. т 1 1,1 1,1 1,
— Ctff — ТГ — — — :— -4- - — —- -4-- • —---------- -+- И Т И
п ° п т п — т 1 п±т In — m' 2n + m Зп — m1 ’ м’’
то, соединяя члены попарно, будем иметь
к т 1 2m 2m |2m 2m
n C ° n m n2 — m2 4n2 — m2 9n2 — m2 16n2 —m2 И T*
откуда заключаем, что
11 1______1 _ 1__к m
n2 — тг "i" 4n2 — m2 9n2 — m2 16n2 — m2 ® т- Д- 2m2 2mn C ° n
Положим теперь n = 1 и вместо т возьмём и, так что
Г^2+4-Лт+<7^+1СТ+ и т- Д-=2^-Гмс18™-
Каждую из этих дробей разложим в ряд
-_1ц/ = 1 4- и2 + и14- и6 + и8 + и т. д.,
____ —---1________I---L--(- И Т
4 — и2 22 ~ 21 ~ 28 “ 2s ~ 210
_1_ = ±+^ + ^+^+^4- и т.
9 - м2 З2 3< З8 h З8 3 -°
1 _ 1 , “2 , “4 , и т
16 - и2' — 42 4* 48 4» 4‘° ’г
Д-,
Д-,
Д.,
и т.
125. Если положить
1 + 2Г + 32 + 4г + ит. д. = й,
1 + 2Г Т 34- + 4Д-+ ИТ. Д.-Ь,
1 + 2«Г + 38 + 4S + и Т. Д. =С,
д-
1 + f’+^+^+ и т- Д' = Ь’ 1++34+41с + и т- д-=е> 1 + 2й + ^ + ^+ И Т- Д’ = ?
И т. д.,
19»
292
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
то вышеприведённый ряд преобразуется в ряд
а Д-Ьн'2 Д-си4 + Ьн6 Д-еи8 Д-fw10 Д- и т. д. = ~ etg ли.
’ 2ил 2и °
Но в § 118 мы нашли, что числа, обозначенные буквами /1, В, С, D и т. д., обладают тем свойством, что, если положить
s— -—АиВ— Си’’ — Du1 — Ей9— п т. д.,
то s—^-ctg-|-u. Поэтому, положив г.и вместо и или 2-м вместо и, получим
-1-etg-м ~ 2Акм — 23ВгАиг — 25Ck5m5 — и т. д., 2 ° 2 г. и 4 ’
откуда, умножая па , оудем иметь
etg пи = — 2.4т:’ — 23Вп*и2 — 2’С~’гг7— 2’Z)it8u‘— и т. д.,
2и ° 2и.2 ’
а отсюда следует, что
etg пи = 2Ап2 д- 23BrAir 2°Сп‘иа 4- 271?г.8кв д- и т. д. 21L 21L
Так как мы только что нашли, что
2^~iuctg™ = (l + bM:_rCfi‘”"bM’11 т- д-’
то необходимо должно быть
ОЛ-2 21 - -221 ,
U »» 1-2-3 “ - 1.2“
ь _-23В-гА 233 ( 23ЭД J
1 • 2 3 1 • о 1-2-3
с ... ОДГт-8 9 5v 25£ ^8
1 • 2 - 3 .. . “ 1 2 . . .
ь = = 27Dns 27а 27® -^8
1 • 2 • 3 ... 9 1 • 2 . . .
с 29Еп10 29г ~ Ь'2 • 3 77 .11 „ю 2»® “ 1 2 ... 10 “
Г- 2‘Ч 2П» 1 «
1 2 • 3 . . . 13 “ 1 2 ... 12 “
и т. д.
126. Это очень простое рассуждение не только позволяет легко суммировать все ряды обратных степеней, которые мы получили в предыдущем параграфе, но в то же время показывает, каким образом эти суммы образуются по известным значениям букв а, [1, у, 5, а и т. д. или из бернуллиевых чисел ЭД, S3, ® и т. д. Так как в § 122 мы
определили пятнадцать таких чисел, то из них можно найти все суммы обратных чётных степеней вплоть до суммы ряда
. , 1 , 1 , 1 , 1 ,
1 + 230 + + 430’ + 530- + и т- Д-
Именно, сумма этого ряда будет равна
22,77 22,'11
1 2 • 3 . . 31 " 1 2 ... 30
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
293
Если же кто захотел бы определять эти суммы дальше, то это будет очень легко сделать, продолжив определение чисел а, р, у, 2 и л. д. или чисел Й, SB, ® и т. д.
12»; Числа а, р, у и т. д. или образованные из них числа ?1, S3, ®, ® и т. д. лучше всего производить из разложения котангенса какого-либо угла в бесконечный ряд. Действительно, так как
4 ctg v и = — — Аи — Ви? —- Си5 — Dll’ Еи° — и т. д.,
2 ° 2 и
ТО
Аи2 + Ви4 + Си* + Dus + и т. д. = 1 — A etgy м;
если теперь вместо коэффициентов А, В, С и т. д. подставить их значения, то мы найдём
’“'аи2 . За4 . угг* , би8 . , и 1
Г. 2.:!+г-т7^ + 17^д7д + г-УГ^9 + и т- =
Пользуясь же бернуллиевыми числами, будем иметь
21гг2 . 53гг« * , ©гг0 . ®гг8 . , и . 1 *
1 • г + 1 2 • 3 • 4 "*"1 • 2 ... б + 1 2 ... 8^"И Т’ Д‘ 2 Ctg 2
Из этих рядов с помощью дифференцирования можно найти бесчисленные другие и, таким образом, суммировать бесчисленные ряды, в которые входят эти весьма замечательные числа.
128. Возьмём первое уравнение и помножцм его на и, так что
аи3 . flit5 . угг7 , Згг9 гг2 1
+ + ГД2Г. ; + ГТТ77Д) + И т- Д-= yCtg у и.
Дифференцируя и деля на du, получим
еггг2
1 2
. ^гг4 ( угг0 . Згг8 ,
' 1 2 • 3 4 * 1 • 2 . . . 6 1”Т2 ... 8 1
т. д. =
И
если дифференцировать
игг , Згг1 угг5 .
Т * i яГз ’ 17Г. ~ б +
1 гг2
= 1 — и ctg у и ч-------;
4 sin2 — гг
гццё раз, будем иметь
и2 COS ' гг
, 1 . и 2
и т. д. = —etgy и + -------------------i—
sin2— 4 sin3-— и
Если же дифференцировать второе уравнение, будем иметь
Я и ЯЗгг3 ©гг5 Фгг7
" 1 '1-2 -з"7** 1-2... а7** 1-2...
1.1, гг
ИТ. Д. = — -у Ctg у и Ч-j-
4 sin2 —- и
Если положить гг = ~, то из этих уравнений, так как ctg— тг=О
• 1 л
и siny=l, получим следующие суммирования:
a те 2 ji-re4 у-л ° $те8
1-2-3 + 1-2-3-4-5 1-2... 7 + 1-2... 9
и 712 _ “7'2 I ртс4 утг» , Зте8
"г 4 1-2 ' 1-2-3-4 ' 1-2... 6 ' 1-2... . 8 + И Г- Д’>
ате . уте5 5те7
к- t +. 1-2-3 ' 1-2.. . 5 ' 1-2...7 + И т. д.
4
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
и
1=а
+ 1-2-3 + 1-2. .. 5 "г
§гс®
Г2ТТ7 + и т- Д-
ли из последнего уравнения вычесть первое, в остатке получится
_ (J - Р), (Р — Т) , 1-2-3 1-2-ЗЛ-5~
1.2... 7 +
И т. д.
чно так же получим
. 91 Г.2 93 Г. * С Г.»
1-2 + 1-2-3-4 + 1-2... 6 + 1-2... 8 + И Т- Д-
ГС 21 ГС ЯЗгс3 ©ГС5 ®гс7
Т = т+г2^ + т1^гг+ 1-2...у+ и т- Д-
и
1 91 ,
Г— 1 + ТсГз+ 1-2...5 +1-2...7+ ИТ-Д-
129. Из таблицы значений а, р, у, 8 и т. д., которые мы нашли ше (§ 121), явствует, что они сначала убывают, а затем возрастают увеличиваются до бесконечности. Поэтому стоит труда исследовать, каком отношении эти числа, после того как они продолжены уже зтаточно далеко, продолжают расти дальше. Пусть <а есть какое-ли-число этого ряда чисел а, р, у, В ит. д., очень далёкое от начала, пусть ф есть следующее из этих чисел. Так как с помощью этих сел определяются суммы обратных степеней, то пусть 2п есть пока-?ель тех степеней, в сумму которых входит число <р; тогда 2п-\-2 дет показатель степени, отвечающий числу б, и число п будет очень 1ико. Из § 125 будем иметь
111 2зп~1а
1-1----1----1----I- ИТ I =--------------тсап,
~Г2^ “ззл^42/‘ Д‘ 1-2-3... (2л + 1) ’
li-li-1 ._L. ит д =_____________________2_3^____
*-1- 22П.2 “Г “Г 42П,2 "Г И 1. Д. 1.2 • 3. .. (2/1 + 3)
ли второе уравнение разделить на первое, будем иметь
. . 1 1
1+ 22,t-2 + 32П'2 +И Т' Д~ _ 4ф-л;2
. , 1 1 (2/1 т- 2) (2/г -j- 3) 9
i + + т. Л.
так как п есть очень большое число, то каждый из рядов при-тжённо равен 1, и мы будем иметь
ф _ (2п + 2) (2/1+ 3) _ п2
<? 4гь2 гс2 ‘
к как п обозначает, какое по порядку место занимает число <р, ш отсчёт вести от первого числа а, то это число /р будет относиться следующему за ним ф, как тг2 к /г3; это отношение будет совершенно ласным с истинным, если п будет бесконечным числом. Так как 1ближённо тс2 =10, то, если положить и =100, сотый член будет 1мерно в тысячу раз меньше следующего за ним. Итак числа а, р, о и т. д., равно как и бернуллиевы числа ?(, 58, ®, © и т. д., сазуют очень сильно расходящийся ряд, который расходится больше, I любая геометрическая прогрессия, члены которой возрастают.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
295
130. После того как найдены значения чисел а, р, у и т. д. или 51, S3, (S и т. д., если предложен ряд, общий член которого z есть какая-либо функция индекса х, то суммационный член Sz этого ряда выразится следующим образом:
с С л , 1 I 1 dz 1 I
Sz— Z dx+ 2 z+ 6 1 2dx 30 1.2.3.4dx» +
1 d5z 1 d’z
42 l-2...6dx3 39 1•2...8 dx’
, 5 d’z 691 duz ,
+ 66 ’ 1-2. . .10 dx9~2730 1-2. ..12dxll +
7 d13z 3617 d,5z
’’T О27.Т1Г510" 1 • 2. .. 16 dx15 '
43867 d17z 174 611 dl9z
+ “79T 1•2... 18 dx1’ 330“ 1-2.. .20dx19 +
, 854 513 dilz 236 364 091 d23z
133 1.2...22dx21 2730 1 • 2.. .24 dx23 +
, 8 553103 d25z 23 749 461 029 d37z
6 1-2...26 dx25 870 1-2. . .28dx2’ +
' 8 615 841 276 005 d29z
+ 14322 l-2...30dx39 И T‘ Д’
Следовательно, если известен интеграл zdx, т. е. то количество, дифференциал которого равен zdx,' то суммационный член найдётся с помощью последовательного дифференцирования. Но постоянно следует помнить, что к этому выражению надлежит всегда прибавлять такое постоянное, чтобы сумма становилась равной нулю, если положить х равным нулю.
131. Если z есть целая рациональная функция от х, то поскольку все её дифференциалы, в конце концов, исчезают, суммационный член выразится конечным выражением. Мы поясним это следующими примерами.
Пример 1
Пусть ищется суммационный член ряда
1 2 3 4 5 х
1 +9 + 25 + 49 + 81+ ... +(2z-l)’.
Так как здесь
z = (2х— I)2 = 4za—4#+ 1,
то
Действительно, дифференцируя это выражение, получаем z dx = 4+ dx—
—ix dx + dx. Далее, с помощью дифференцирования будем иметь
dz о , d-z с, d3z л
— =8х—4, -5—. = 8, т-=0и т. д.
dx dx2 dx3
Значит, искомый суммационный член будет
^-ж3—2х2 + х + 2х2—2я + у+у х—± const.
296
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
1 1
ото постоянное должно уничтожать члены -----------; следовательно,
будем иметь
5 1)а = * х = 4- (2«-1) (2^ + 1).
О о о
Так, при х — 4 сумма четырёх первых членов будет
1 + 9 + 25 + 81-А 7 • 9 = 84.
Пример 2
Пусть ищется суммационный член ряда
1 2 3 4 х
1 + 27 + 125 + 343+ ... +(2ж-1)3.
Так как
z = (2х— I)3 = 8х3—12х3 + 6х— 1,
то
zdx = 2х4 ix3 + Зх3—х,
J-“ = 24z3- 24ж + 6, -Й- = 48ж-24, -Й = 48,
ах 7 ах1 7 ах3 7
следующие дифференциалы исчезают. Поэтому
S (2х~ 1)3 = 2х'— 4ж3+ Зж2— ж +
+ 4ж3 — 6z2 + Зх —i- +
+ 2х3 — 2х + —
1
— Гг ± const..
15 т. е.
S (2х - I)3 = 2ж4 - х3 = х3 {2х3 -1).
Так, при х = 4 будем иметь 1 +27 + 125 + 343 = 496.
132. После того как мы нашли общее выражение для суммационного члена, само собой получается тот суммационный член, который мы дали в первой части (§§ 29 и 61) для степеней натуральных чисел и доказательств которого мы там привести не имели возможности. В самом деле, если положить z = xn, то zc/a; = дифферен-
циалы же выразятся так:
£ = адП-1’
-Й = п (п — 1) (п — 2) (га — 3) (га — 4) х'1'^. %-^=п (п—1). . . (га—6) ж"-7 и т. д. аха ах
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
297
Отсюда мы получаем следующий общему члену хп:
суммационный член, отвечающий
„ „ 1 , 1 „ , 1 п ,, . 1 п(п— 1)(га —2) ,, , ,
Sx = ГТ! х + Т х Т х - зо ~2 з - 4 'х +
, 1 п(п —1)(п-2)(га —3)(п-4, ^„_6 1 п (и - 1) .. . (п - 6)
*" 42 2 • 3 • 4 • 5 • б 30 2 3 ... 8
2. га (га-1) ... (га-8) , _ 691 га(га - 1) (га-10) u
+ 66 2 • 3 . . . 10 2730 2 3 ... 12
, 7 п (п- 1) . . . (га - 12) лз 3617 га (га. — 1) . . . (га — 14) ^п_15 , f6 2-3...14 Л0 2-3... 16 "Г
, 43867 га (га - 1) ... (га - 16) п_1;. 174 611 п (га - 1) . . . (п-18)
+ 798 2 • 3 ... 18 ' 330 2 • 3 ... 20 Г
, 854 513 га. (га — 1) . . . (га — 20) n _2J
Н . s г. .. X
_ 236 364 0Э1 га (га-1)... (га-22) 3
2730 2 3 ... 24 “Г
8 553 103 га (га — 1) ... (га — 24) ~п_25
6 2 • 3 . . . 26 Х
23 749 461 029
870
п(га-1) ... (га-26)
, 8 615 841 276 005 га (га - 1) ... (га - 28) п
' 14 322 ‘ 2^3 . . .’30 Х
Это выражение не отличается от вышевыведенного; только здесь мы ввели бернуллиевы числа ЭД, S3, (5 и т. д., тогда как раньше мы пользовались числами а, р, у и т. д. Впрочем, согласие между обоими выражениями и само собой очевидно. Итак, мы можем получить отсюда суммационные члены для всех степеней вплоть до тридцатой включительно. Если бы мы пошли по другому пути, это можно было бы сделать лишь с помощью очень длинных и скучных вычислений.
133. Выше (§ 59) мы дали почти такое же выражение сумма-ционного члена через общий член. Действительно, оно равным образом содержало последовательные дифференциалы общего члена; но от найденного здесь оно отличалось главным образом тем, что оно не требовало вычисления интеграла zdx, но зато отдельные дифференциалы общего члена помножались там на некоторые функции от х. Сейчас мы снова получим такое же выражение нижеследующим способом, более соответствующим природе рядов; из этого способа станет в то же время более ясным тот закон, согласно которому следуют друг за другом коэффициенты дифференциалов. Итак, пусть общий член ряда z есть какая-либо функция от индекса х и пусть искомый суммационный член есть s; как мы видели, он является такой функцией от х, которая исчезает при х = 0. Согласно доказанному выше (§ 68) свойству этих функций будем иметь
9 idx + 1 • 1 • 2 • Adx3 г 1 • 2 • 3 • 4dz4 •
134. Так как $ есть сумма всех членов ряда от первого до последнего z, то очевидно, что, если в s вместо х положить х—1, то первоначальная сумма лишается своего последнего члена. Значит, мы будем иметь
ds d-s d3x dis
И т. Д., так что ds d-s d3s dis
Z~Tx~ 2d^3 + бГ? ~~ 24^i “ И T‘ Д’
298 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Это уравнение даёт возможность определить общий член по данному суммационному члену, что и само по себе очень легко. Но с помощью удачного сочетания этого уравнения с тем, которое было дано в предыдущем параграфе, можно определить выражение s через х и z. Для этого положим, что
, В dz Cd-z , Dd3z Ediz л
S-Az+-d^--d^+~d^~^+ И T‘ Д- =0’
где А, В, C, D и т. д. суть необходимые коэффициенты, постоянные или переменные. Так как
ds dis d3s d^s d5s
Z = ~dx~~ 2dx3 + — 2'Щх1 ~ И T- Д’’
dz d'z d3z
то, если получаемые отсюда значения z, т-, -r-y, -т-т- и т. д. под-Qi£ CLX dX
ставить в предыдущее уравнение, найдём
s = s — Az — — A ds dx A d2s 2dx3 Л d3s 6dx3 ' 24Tc« Л d3s — 12ЙХ5 + и T - д-
( В dz J , Bd-s В d3s В d*s В d°s т. д-
dx “1 dx3 2dx3 T- <,dx3 2'tdx3 1
C d’-z C d3s C d's C d>s , и т. д-
dx1 dx3 ' 2dx3 6<Zx5 +
Dd3z_ ' dx3 + D dss dx1 Л d3s — '2‘dx3' + и т. д-
E d*s E d3s , и т.
dx1 dx3 1
и т. д.
Таким образом, эти ряды, взятые вместе, будут равны нулю. 135. Так как ранее мы нашли, что
х ds , x3d2s xsd3s , xidis ~dx 21x2 ~ Ых3 T 2Ш1 ~
И T. д.,
то если положить предыдущие уравнения равными последнему, то получатся следующие выражения для букв А, В, С, D и т. д.:
, „ х- А „ х3 В А
А = х, В--~^—C = -^-T-T,
j-y xi С В А р х5 D С В А
U~^~2{ 2 6 ~2i’ Л=120 Г 6~ *24 120 И Т‘ Д‘
После этого как эти значения букв А, В, С, D и т. д. найдены, мы
определим по общему члену z суммационный член s — Sz следующим образом:
„ , В dz С d3z Dd3z Е diz Fd5z
Sz = Az---=--h —r-т- = -5-3- + -рт-л~г+ и т- Д-
dx dx3 dx3 dz3 dx3
136. Так как
A — x, B = ± x1 — ^, С=1-х* — ±х*+±х,
= + и т. Д.,
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
299
то ясно, что эти коэффициенты те же, что мы имели выше (§ 59); таким образом, полученное здесь выражение суммационного члена совпадает с тем, которое мы нашли там, и потому
A=Sx° — Sl, B = Sx' — x,
D = T Sx3~Е = йSx*~ х* и т- д-
Следовательно, будем иметь
л dz —. d“ z п .> d^ z a d^z (~t ц
Sz = xz — T Sx + Sx— .-j-? Sx8 + - , . Sx — и т. д.
dx 2dx* bdx3 1 2iax4
adz x2d3z x3d3z xidiz
+ ~d^ ~ + 6dP - iwi* + и T- Д-
Но если в общем члене z положить z = 0, получится член, отвечающий индексу, равному нулю. Если положить этот член равным а, то будем иметь
так что
a dz x-d-z x3d3z xidiz
~diz>~~2dx3 +• + и т- Д-= Z—«
После подстановки этого значения будем иметь
Sz = (х -р 1) z — а — — 5^4- Sx2 — Sx3 4- Sx1 — и т. д. ' ' dx 1 idx1 мх1 2±dxl
Итак, если известны суммы степеней, то для какого угодно общего члена можно будет найти соответствующий суммационный член.
137. Так как мы нашли выражение суммационного члена Sz в двух видах, и в одном из них содержится интеграл zdx, то если эти два выражения положить равными друг другу, мы получим значение интеграла zdx, представленное с помощью ряда. В самом деле, так как
= (a:4-l)z — а — Sx 4- т4т~> Sx2— --3-Sx3-\- п т- Д-. ' 1 ' dx 1 l-2d.c2 1-2-ЗЛг3 1
ТО
^*=(«+4) =-‘,-е(Л:+'5‘я)+£&’~ ®)+ " т-
где ЭД, 33, 6 и т. д. суть бернуллиевы числа, которые мы получили выше (§ 122).
Пусть, например, z — х2-, тогда а = 0, -^- = 2х и следова-
С4 X ZClrX
тельно, будем иметь
^x2dx= (*4-4) х2 — 2х (4 я2 4-у ж + + 1 (4 х3 +Та;г + тз:) ’
300
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
или х3 dx = у х3; действительно, дифференцируя х3, находим как раз x3dx.
138. Теперь перед нами открывается новый путь для нахождения суммационных членов рядов степеней. Действительно, эти суммацион-пые члены легко образуются из коэффициентов А, В, С и т. д., которые мы ввели выше, а каждый из этих коэффициентов выражается через предыдущие. Поэтому, если в формулы, данные в § 135, подставить вместо этих букв их значения, приведённые в § 136, то будем иметь „ , 1 , 1 Sx — х = -^х~ —^-х,
Sx3 — X1 = у ха — i х — y Sx — ж),
Sx3 — х3 = ^-х4 —\ х —(Sx3 — — ^-7- (Sx — х),
Sx4 — х4 = х3 — ~ х — у (Sx3 — х3) — — ж2) ' 4 ($х —х) и т- Д'
Отсюда, следовательно, суммы высших степеней можно выразить через суммы низших степеней.
139. Если мы внимательно присмотримся к закону, по которому, как мы выше (§ 135) нашли, коэффициенты А, В, С, D и т. д., следуют друг за другом, то увидим, что они образуют рекуррентный ряд. Действительно, если мы разложим дробь
+ и т. д.
Ill 1
1 + Т “ +7Г “2 + 24 “3 + 121 “4 + 11 Т- Д
по степеням и и примем, что получается ряд ’
Л + Ви + Си3 + Du3 4- Ей4 + п т. д.,
то, как ранее мы нашли1),
А—х, 5 = у х3~ 4 А и т. д.
Таким образом, после того как будет найден этот ряд, мы получим суммационные члены рядов степеней. Но дробь, из разложения кото-ехи____________________________________________________
рой получается этот ряд, можно представить в виде -ргуу. А эта дробь, если х будет целым положительным числом, перейдёт в
1 + eu + e2U + ези + ... 4- «.
Так как теперь
1 = 1,
e« — 1 4. A. -p — _4.___________ л.
rlTl-2Tl-2-3 +l-2-3-4 ’
lu , 4u3 8u3 f IGu4
1 ' 1~2 ‘ 1-2-3 1-2.3- 4 +
3u , 27u3 , 81u4 ,
1 Г 1.2
^(x-l) u _ 1 4. .
‘ 1
и-
и3
Д-,
Д-,
1-2-3 1 1-2-3-4
(x-iy-u3 1-2
т.
Д.,
(х — 1)3U3 , (X — 1)4U4 ,
------L-----' ------'----l_ ц т д
1-2-3 т 1-2-3-4 т д
t2u
И
И
и
т
т
*) «Введение», ч. 1, гл. IV.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 301 то
Л — х,.
В — S (х — 1) = Sx —х,
С = 4 5 (х --I)2 = 4 $xs ~ -4-^4
1) = 4-5(Ж-1Г = 45^-4^ и т. д.
Этим полностью подтверждается и доказывается ранее уже обнаруженная связь этих коэффициентов с суммами степеней.
ГЛАВА VI
О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ с помощью БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
140. В предыдущей главе мы нашли для суммационного члена какого-либо ряда, общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен z, выражение
с Г , . 1 .91 dz . Е d5z
5z — z da:+'2 ZT — 1.2.3.4да.з4-1.2 ... И т. д.
•
Оно непосредственно даёт сумму рядов, общие члены которых суть какие-либо целые рациональные функции индекса х, ибо в этих случаях мы, в конце концов, приходим к исчезающим дифференциалам. Если же z не является такого рода функцией от х, тогда дифференциалы её следуют друг за другом до бесконечности, и таким образом получается бесконечный ряд, выражающий сумму предложенного ряда вплоть до члена с данным индексом х. Поэтому сумма предложенного ряда, продолженного до бесконечности, получится, если положить х= оо; с помощью этого приёма мы найдём другой бесконечный ряд, равный первоначальному.
141. Если положить х = 0, то выражение, дающее сумму, должно, как мы уже отмечали, исчезать. Если же это не происходит, то нужно прибавить к сумме или отнять от неё такое постоянное количество, чтобы это условие было удовлетворено. После этого, если положить ж = 1, найденная сумма представит первый член ряда; если положить х~2, она даст совокупность первого и второго члена, если же положить х = 3, получим совокупность трёх первых членов ряда, и т. д. А так как сумма одного, двух, трёх и т. д. членов известна, то будет известно значение бесконечного ряда, которым эта сумма выражается, и этим способом можно суммировать бесчисленные ряды.
142. Если к сумме мы прибавим такое постоянное, что при ж = О сумма исчезает, то и во всех остальных случаях, какие бы числа ни были подставлены вместо х, сумма даёт правильное значение. Поэтому, очевидно, что если к найденной сумме прибавить такое постоянное количество, чтобы сумма давала истинный результат в каком-нибудь одном случае, то и во всех остальных случаях должна получаться истинная сумма. Вследствие этого, если, положив х = 0, нельзя будет выяснить, какое значение получает выражение суммы, и значит, нельзя будет отсюда найти постоянную, которую нужно прибавить, тогда можно
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 303
будет взять за х какое-нибудь другое число и прибавить такое постоянное, чтобы получалась должная сумма. Как это нужно делать — будет лучше видно из следующих примеров.
142а1). Рассмотрим, прежде всего, гармоническую прогрессию
>.1.1.1. .1
1 + т + -з + 7 =
1 1
Так как общий её член равен — , то z= — и суммационный член находится следующим образом. Прежде всего, будем иметь zdx — =
далее найдём дифференциалы
dz____ 1 d2z 1 dsz __________ 1
dx x2 ’ 2dx2 x3 ’ f>dx3 x* ’
d2z 1 d3z 1
24 dx* x3 ’ 120 dx3 x3 M
Таким образом, отсюда будем иметь
s — 1 х -|“ = л—- + 7—г z—j 4" о-з"— и т. д. 4* const. ‘ 2х %Х1 Ьх* 1 6-2Г 1 8#8
Здесь постоянное, которое нужно прибавить, нельзя определить из случая ж = 0. Поэтому положим х = 1, так как теперь s= 1, то будем иметь
. 1 91 , S3 Б , ®
2—^- + т--6~+-8— ИТ' Д- + COnst-’
откуда найдём, что эта постоянная равна
A j_ ®__ ®.
2 + 2 4'6 8
так что искомый общий член будет
_i___5 , к
S 1Х ' 2х 2xi + ix3 6ж» + 8х3
А 4- 5. = 53 । Ф
2 + 2 ~ 4 + 6 8
143. Так как бернуллиевы числа 21, 5В, К, ® и т. д. образуют расходящийся ряд, то это значение постоянного нельзя узнать. Но если вместо х подставить большее число и если фактически найти сумму некоторого числа членов, то значение постоянного легко найдётся. Положим с этой целью х = 0 и, сложив десять первых членов, найдём, что их сумма равна
2,928 968253 968 253 968.
Этому числу должно равняться выражение суммы, если в нём положить ж = 10, так что получим
110 I I 53 d ц Ф S3
1 + 20 — 20Э + 40 000 ~ 6 000 000'1 800 0000Э0— и т- Д-"Г •
*) В первом издании по ошибке повторён номер 142. (Г. К.)
304 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Если вместо 110 взять гиперболический логарифм десяти, а вместо ЭД, S3, 6 и т. д. подставить выше (§ 122) найденные значения, то найдём это постоянное *)
(7 = 0,5 772156 649 015 325.
Следовательно, это число выражает сумму ряда
144. Если вместо х подставлять числа, но слишком большие, то, так-как сумма легко находится непосредственно, мы получим сумму следующего ряда:
2z' 2xJ^4x4 ~6z8 8z8 “Г «Т. Д.-S IX С.
Если же х будет очень большим числом, то тогда, наоборот, легко определяется значение этого бесконечного выражения в десятичных дробях, и этим определяется сумма ряда. Однако ясно, что если ряд продолжить до бесконечности, то его сумма будет бесконечно большой; в самом деле, при х= со бесконечным будет и 1х, хотя отношение 1х к х бесконечно мало. Чтобы можно было удобнее определять сумму любого числа членов ряда, мы выразим значения ЭД, S3, 6 и т. д. в десятичных дробях:
ЭД = 0,166 666 666 666 6,
33 = 0,033 333 333 333 3, (5=0,023 809 523 809 5, © = 0,033 333 333 333 3, (5 = 0,075 757 575 757 5, § = 0,253 113 553 ИЗ 5, @ = 1,166 666 666 666 6, = 7,092 156 862 745 1 и т. д
Следовательно,
# = 0,083 333 333 333 3,
ч
— . = 0,008 333 333 333 3,
# - = 0,003 968 253968 2,
# =0,004166 666 666 6,
о
^- = 0,007 575 757 575 7,
# - = 0,021 092 796 092 8, 12
# - = 0,083 333 333 333 3 и т. д.
14
9 Число С есть так называемая эйлерова постоянная, часто встречающаяся в исчислении конечных разностей. В приводимом здесь её выражении неверен только последний знак. Не лишне отметить, что ряд, из которого её Эйлер здесь получает, является, как легко видеть, расходящимся при всех значениях х; только возрастание членов начинается не сразу, а с члена, номер которого растёт с ростом х. Можно доказать, что частичные суммы убывающих членов этого ряда при х—>оо имеют предел; этот предел и есть эйлерова постоянная. Разумеется, Эйлер не видел никакой надобности в подобном доказательстве.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 305
Пример 1
11111
Найти сумму тысячи членов ряда 1 Д-у Д-у +- ,-Д-= Д-у Д- и т. д. Положим х = 1000, так как
110 ----- 2,302 585 092 994 045 684 0, то
1 я = 6,907 755 278 982 1
const. = 0,577 215 664 901 5
^ = 0,000 500 000 000 0
7.Х
7,485 470 943 883 6 Вычтем
Д = 0,000 000 083 333 3
7,485 470860 550 3
Прибавим
Д = 0,000 000 0000000
Следовательно,
7,485 470 860 550 3
есть искомая сумма тысячи членов; опа не составляет и семи с половиной единиц.
П р и м е р 2
11111
Найти сумму миллионов 'членов ряда 1 У- у Д- -- Д- у Д- = Д- у Д- и т. д. Так как 2 = 1000 000, то 12 = 6110; следовательно,
12 = 13,815 510557 964 2
const. = 0,577 215 664 901 5
^= 0,000 000500000 0
14,392 726 722 865 7 = искомой сумме.
145. Если вместо х положить очень большое число, то сумма найдётся достаточно точно из одного только первого члена 12, если прибавить к нему постоянное С. Отсюда можно вывести важные следствия. Так, пусть 2 есть очень большое число; положим
. , 1 , 1 1,1, 1
1 -J- - • + - -у Д- -е- . -г — = s
2 3 4 5 ’ х
И
так как приближённо s -•= 1 х -j- С и t = 1 (х Д- у) Д- С, то t - • .9 = 1 (2 -у у) — 12 ~ 1 —у^,
и, следовательно, этот логарифм приближённо выразится гармоническим рядом, состоящим из конечного числа членов, следующим 'образом:
1 -г ?/ _. 1 , _1_^ т 1 । , 1
х х у 1 х Ч 2 1 г. у 3 х Д у
20 Л. Эйлер
306 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Этот логарифм выразится точнее, если упомянутые суммы s и t мы возьмём с большей точностью. Так, если взять
4 1 11
S = U + C + И г = 1^ + ^ + С+2(Т+Г)-12(7Т^-
то будем иметь 1 । 1 1 х 2х 1 2 (ж + у)~ 12x2 12(х + у)2 ’
и, значит,
] х + у = 1 _L + 1 . 1_____1_____кд- 1
X х4-1 + х4-2 + ‘ х1гу~1~2х 2(х — у) 12х3 + 12 (х-(-'
Если же х есть столь большое число, что можно отбросить два последних члена, то приближённо будем иметь
1 I 1 | . , 1 j_kfl______1Л
х ж + 1” х 1-2' ' ‘ ~ х 4 у ' 2 \ х х + у J '
145а *). Из того же гармонического ряда можно вывести сумму следующего ряда, в который входят только нечётные числа:
11111 1
Т + ¥ +Т + 7 + ¥ + • • • +27м ’
Действительно, если взять все члены, то
. , 1 , 1 , 1 , ,1 1
1 + у + + 4Г + -’-+2^ + 2х+ 1 ==
лч , , 1 St ,33 е
IJ-f-b +2(2а. + 1) 2 (2хЦ-1)2 + 4 (2х-р I)4 6 (2x4-1)« + И Т‘ Д‘
Сумма же членов, стоящих на чётных местах,
к+А+А+ +1
2'4 6 2ж
будет вдвое меньше, именно
1 r , 1 , ,1,91, 53 S . ®
2 2 т 4х 4x2 ' 8х4 12х« 16Х8
и Т. Д.
Если этот ряд отнять от первого, будем иметь
1 д_ А 4- к 1 4. .. -ь _к— =
~ З1 5 2х +1
_1Г ,2x4-1, 1 91 . ® _
¥°+ +2(2x4-!) 2(2х г1)2 Г 4(2х г1)4 “ Т’ Д‘
1 , 91 93 ,
— 7“+71 о~1 + И Т. Д.
4х 1 4х2 8х4 1
146. С помощью того же общего выражения можно найти также и сумму какого угодно гармонического ряда. Действительно, пусть
1.11. 1
zn + n ' 2m + п Зот -4 п + ’ ' ' + тх4-п S‘
*) В первом издании по ошибке повторён номер 145. (Г. К.)
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 307
1
Так как общий член ость z = — ,— , то тх 4~ л
С , 11/ , . dz т d2z т2
\ zdx —--- 1 (ШХ-} П), -г- = —------, 7Г1-;= ,------гг ,
J т v ’’ dx (mx4-n)2 2dx- (тх-\-п)ь
daz _ m2 4z mi d6z m5
6dx2 (mx-\n)i! 2'idxi (mxJ-n)3’ 120 dx5 (mx-^n)6 и T’
Отсюда находим
1
S^D 1 m"1 (тх+п')
1 91m 93m3
2(mx4-n) 2 (mx + n)2 4 (m.x + n)4
Em5 . ®m7
6 (mx 4- n)e ~ 8 (mx Д n)s
Если положить x = 0, то найдём, что постоянное, которое нужно прибавить, равно
D = - — m
1 . 91m 53m3 i Gm5
2n + 2n2 ~ бИ®' — И T‘
147. Положим п = 0; так как сумма ряда -1- 4- _ + — 4-... + т 2т 3m тх
равна 1 г , 1 , .1 91 , S3 С “1“ 1 4" « 0 2 + 7 4 И Г. Д,, т ‘ т 1тх 2тх2 ътх*
а сумма ряда 1+ 1 ; 1 ;..1+ ! 1 2 ' 3 1 i 5 Гтх
равна г . 1 ,1 91 , 93 С 4-1 тх 4- ,1тх 2тгх2 + 4m4a.4 и г. д.,
то, если от этого ряда отнять первый, взятый т раз, получим ряд
, 1 ,1, , 1 , ,1 .1
1^'2 + •••+ 7У + •••+2т+ •••+3т+ • ’ • + т т т т
т 2т З’п тх '
сумма которого равна
1,1 91 , 33 1 , 91 93 .
1 т -I*, ~ . -4-, — и т. д. ..- 4 * и—а ” 7—j 4* ит. д.
Ъпх lm2x2 4m4x4 2х 2х2 4х4
и, если положить х—со, сумма будет равна (т. Следовательно, полагая вместо т числа 2, 3, 4 и т. д., будем иметь
19 1 1 1 1 1 । 1 1 . 1 1 >
12— ~т + ‘з — 4'Х'5 ~ У ~‘8Х И Г’ Д-’
19 4 , 1 2 , 1 , 1 2,1,1 2,
13=l + y—-+-+y—g ит. д.,
14=14-_ + -_-+у + _ + у-_+ И т. д., и , 1 , 1 , 1 4 . 1 , 1 , 1 , 1 4 ,
15~1 + т + Т + Т~т+б’+7+’8 + 9’~!о+ит- а-’
И т. д.
20*
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
148. Оставив гармонический ряд, перейдём к рассмотрению ряда обратных квадратов. Пусть
s - 1 4- г + g -п- is
1
Так как в этом ряде общий член есть z
- -, то \ z (7з" — — — и диф-
ференциалы количества z будут
dz 1 d'2z 1
2dx хя ’ 2-3rfz2 z*
откуда сумма будет
9 = Г-1+ £- ® ®-
х 2х2 х3 1 х5
d3z 1
F+Wz3 = И Г- Д”
В рей постоянное С, которое должно быть прибавлено, нужно определить из какого-нибудь одного случая, для которого сумма известна. Положим х=1; так как s=l, то мы должны иметь
f = 1 -ь 1 — 2 +51-S3+ +®- и т. д.
Но этот ряд, будучи сильно расходящимся, не даёт значения постоянного С. Но так как выше (§ 125) мы доказали, что сумма этого ряда, продолженного до бесконечности, равна то положим х ~ со ;
тогда <7=”-, ибо все остальные члены исчезают. Следовательно, будем иметь
1+1— — 5B4-S —® + 6— и т. д. = у .
149. Если бы сумма этого ряда не была известна, то значение постоянного С нужно было бы найти из другого какого-нибудь случая, для которого сумма непосредственно найдена. С этой целью можно положить х — 10; выполнив сложение десяти членов, найдём
я = 1,549 767 731 166 540 690.
Тогда
прибавим — -0,1,
вычтем 2 •= 0,005
1,644 767731166 540 690, прибавим
Д- - 0,000 166 666 666 666 666
17644934 397 833 207 356, вычтем
4 0,000 000 333 33.3 333 333
П644 934 064 499874 023, прибавим
-= 0,000 000 002 380 952 381
1,644 934 066 880 826 404,
ГЛ. VI, О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ ЗОЭ
вычтем А = 0,000 000 000 033 333 333 1,644 934 066847 493 071,
прибавим А = 0,000 000 000 000 757 575 1 644 934 066 848 250 646,
вычтем А = 0,000 000 000 000 025 311 1,644 934 066 848 225 335,
прибавим = 0,000 000 000 000 001 166 1,644 934 066848 226 501,
вычтем 4= 71 1,644 934 066 848 226 430 = С.
Это число вместе с п2 тем есть значение выражения что станет ясно
тому, кто произведёт вычисление, исходя из известного значения числа к1). Отсюда вместе с тем мы видим, что хотя ряд 91, 58, и т. д. расходится, однако этот способ даёт истинную сумму. /
150. Пусть теперь z = 75- и
Так как
zdx =
. , 1 , 1 , 1 , ,1
s — 1 + У»- -Г- 33- + + • • • ~Т"
1 dz_________________1 d2z 1
2х2 ’ 1 • 2 • 3 dx 2х4 ’ 1 2 • 3 • 4 dx2 2х6’
d3:____________d*z _ J d^z
1 • 2. . . 5 dx3 2x6 ’ I • 2... 6 dx4 ~~ 2x7 ’ 1 • 2... 7 dxs
1
2--8 И T. Д.
то оудем иметь
3*и 5® 7S
2x4 2zB 2x8 И 1 ‘ Д'
Положим здесь х=1; поскольку тогда s = 1, получим с=1+4-4-+4 15—и т-д-
и это значение С пмесче с тем должно дать сумму предложенного ряда, продолженного до бесконечности. Но так как в отличие от сумм чётных степеней суммы почётных степеней нам не известны, то значение С нужно найти из известной суммы нескольких членов. Пусть, например, х =10; тогда
~ .1 I , 391 5® , 79J
2xJ 2х3 2х4 2х6"'~2х8 и 1- д-
*) Последняя цифра найденного здесь результата неверна: истинное её значение равно не нулю, а шести.
310 гл. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Чтобы легче выполнить вычисления, предварительно найдём
-^ = 0,250000000 000 0
=0,083 333 333 333 3
~ - = 0,083 333 333 333 3
-^ = 0,150000 0000000
^ = 0,416 666 666 666 6
^=1,645 238 095 238 0
А® = 8,750 000 000000 0
1^=60,283 333 333 333 3 и т. д.
Таким образом, члены, которые нужно прибавить к s, будут
Д = 0,005 000 000 000 000 000
2я2
Д = 0,000 025 000 000 000 000
2х4
2® = 0,000 000 000 833 333 333
= 0,000 000 000 000 416 666
g® = о,000 000 000 000 000 875
0,005 025 000 833 750 875~
Члены же, которые нужно вычесть, будут
А = о, 000 500 000 000 000 000
2ж3
^ = 0,000000083333 333333
2я8 ’
2® = 0,000 000 000 015 000 000
2я10
= 0,000 000 000 000 016 452
2я14
= 0,000 000 000 000 000 060
0,000500 083 348 349845
от 0,005025 000833 750875
0,004 524 917 485 401 030
5=1,197 531 985 674193 251
С = 1,202 056 903 159 594 281 х)
J) Истинное значение С есть 1,202 055 903 159 594 285 39... [Г. ff.j
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 311
151. Если таким же образом мы пойдём дальше, то найдём суммы всех рядов обратных степеней, выраженные десятичными дробями.
1 + ^-т^+ ^- + и т. д. = 1,644 934 066 848 2264 - к2,
1 + г 41,- 4- и т. д. = 1,202 056 903 159 594 2,
+ + + k т. д. = 1,082 323 233 711 1381 = к1,
1 +~ + +~ + И т. д. = 1,036 927 755 143 369 9 х),
1 + + /г + и т. д. = 1,017 343 061 984 449 1 = , 2‘® к- к’,
i + ^ + ^ + ^-r и Т. д. = 1,008 349 277 381 9228 2),
1 + А" + чг + т»- + и т- Д- == 1 '00i 077 356 197 944 3 = - -^--я <
1-^2» + + и т’ Д- = 1,002 008 392 826 082 2,
1+^+^о-+^ + и т. д. = 1,000 994 575127 818 0= к1’,
1+зп + Л + Л + и т- Д. = 1,0004941886041194’),
1 + Л + т Д + и т. д. = 1,000 246 086 553 308 0= l2 **’, l-^-^ + ji+^ + H т. д. = 1,000 122 713 347 5784’),
1 + А + бк + А + и т. д. = 1,000061 248 135 058 7 =
1 + Д + и т. д. = 1,000 030 588 236 307 0,
1 + 2хв + Л + Д + и т. д. = 1,0000152822594086 = ^7%
152. Отсюда, обратно, можно найти суммы выше полученных бесконечных рядов, состоящих из бернуллиевых чисел. Именно, будем иметь
1+0-4 + I-®+|-| + и т. д. = 0,57721 и т. д.,
1 + + 83+ ®-®4-и т. д.=2^к2,
. , 1 1 , 391 553 , 7® 9® , , 9П9П
1 + у-у + -2-----2+~2-----2 +и т- Д-= 1,2020 и
т. Д.,
. 1 1 3 - 491 5 -68 7 8g
1+3 2 2 • 3 2 • 3 ' 2 • 3
9 • 10® , +Гз- + И
2293
т- Д- — t . 2 • 3 • 4
9 В первом издании 1,036 927 755106 863 2.
2) В первом издании 1,003 349 277 386 601 8.
3) В первом издании 1,000 494 183 604109 4.
4) В первом издании 1,000122 723 347 585 7.
Г. Л’.] Г. К.1 Г. К.] [Г. К.)
312 гл. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
. 1 1 3 - 4 • 591 5 • 6 - 7SB ' 7 • 8 • 9g 9-10-11®
1 + т - -2- + 4 - . 3 - 4 + 2 -3— 4 - 2.3.4 +
+ и т. д. = 1,0369 и т. д.
. , 1 1 3-4-5-691 5-6- 7-893 7 • 8 • 9 10g 25g
1 + -5- 2 ТжТЗ - 2 - 3~4 3 "2~ 3 - 4 - 5 ~ И Т’ = ГГ..6
И т. д.
Таким образом, стоящие на чётных местах ряды можно суммировать с помощью квадратуры круга; от какого трансцендентного количества зависят остальные ряды — до сих пор не известно; во всяком случае они не могут быть выражены нечётными степенями количества я так, чтобы коэффициенты были рациональными числами. Чтобы по крайней мере приблизительно составить представление, каковы были бы коэффициенты степеней к для нечётных степеней, мы присоединим следующую таблицу:
l + v+4-r у + и т. д. до бесконечности = ” =- оо,
. , 1 , I , I , 1 + у+з^+ 4. : П т. д.
1 23 З3 43 ' Н Т- Д-
I + 24+ 34 + 44 + и т- Д'
1 I 1
i + + n 'г- Д-
1 + у + |в + ув + и т- д-л 1,1 1 ,
! + У7 + -3-7-Г Г7-1-И т. д.
111 ^“|_у“Ь’38_г‘^у4*и т. д. 4,11,1, 1+Г,-гу,+ 4-,4-И Т. д.
= 6,0000 Т0ЧП0’
_ к3
— 25,794 36*
ТС4
— 9У, 000 оУ
тс5
295,1215
приближённо,
точно, приближённо.
= 299^284 ПРиблИЖёНН°9>
9450,000 Т0чН0’
= приближённо
и т. д.
153. Исходя из этого, можно
чисел
г 2 3 4
21, 23, g, ©,
интерполировать
5 6
®, 5, и т. д.,
ряд берпуллиовых
хотя он и представляется неправильным, т. е. можно определить члены, стоящие посредине между какими-нибудь двумя членами этого ряда. Действительно, если член, лежащий посредине между первым членом 21 и вторым S3, т. е. член, отвечающий индексу 1 -1, будет равен р, то будем иметь
i + ^r+^r + M т. д.
23р
1-2-3
Поэтому
2-Ь(1+^-Р^ + и т- Д-) = 0,05815227.
’) В первом издании [Г. 7?.]
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 31;;
Подобным образом, если член, лежащий посредине между 23 и К, о 1
т. е. член, имеющий индекс 2 —, положим равным q, то, поскольку
будем иметь
1 • А 11 т- Д-) = 0,02541327.
Таким образом, если бы можно было найти суммы тех рассмотренных пами рядов, у которых показатели степеней суть нечётные числа, тогда можно было бы также интерполировать ряд берпуллиевых чисел.
154. Положим теперь z = и будем искать сумму ряда
„2 +1 + + 4 + + 9 + ' • ' ’ п2 + х2'
Так как \ zdx— \ -z-,—то будем иметь
J ,) П2Д х-
( J 1 . X
\ zdx — — arctg —.
J п ° п
Положим, arcctg -^-=w; тогда
X . cos и — = etg и — ------------
п ° Sill и
п2 - ж2 1 sin2 и dx
----т,— = , Z — 5— И — п1 sill2 и П2 П
du
sin2 и '
откуда
du —
dx sin2 и п
Дифференциалы количества z найдутся следующим образом:
, ‘Id и sin и cos и dx sin2 и sin 2u dz sin2u-sin22n
dz =-------------=------------j------ и л— =-----------5---
n2 n2 dx n2
d'2z du (sin и cos и sin 2u 4- sin2 и cos 2u) dx sin3 и sin 3n
Idx n* n4
И
d2z sin3 и sin 3u
:>dx2 nl
Подобным образом, как- мы нашли уже раньше (§ 87) для того ж<? случая
d2z sin4 и • sin 4u. d*z sin5 и sin 5и „ „
2 • 3dx3 a5 ’ 2 • 3 • !tdxi ns И 1. Д.
Пз этих значений получится искомая сумма
те и sin2 и 91 sin2u • sin 2u . SB sin4u sin 4u
5 2n n 2n2 2 n3 4 n5
, ® sin8u • sin 8u
-r -g -J
© sin6u • sin 6«
6 n7
и T. Д. + const.
+
Если для того, чтобы определить постоянное, положить здесь х = 0. что даст s = 0, то мы будем иметь ctgn=O, так что угол и будет
314 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
иметь 90°, и поэтому sinw=l, sin2w = 0, sin4м = 0, sin 6м = 0 и т. д. Таким образом, на первый взгляд представляется, что
0 = ъ----т;—Fj-s + t, откуда С==—— .
2/1 2п 2zi2 J 2nz
Однако, нужно заметить, что хотя все остальные члены исчезают, по так как коэффициенты 91, S3, 6 и т. д., в конце концов, становятся бесконечными, то сумма может быть конечной.
155. Для того чтобы надлежащим образом определить это постоянное, положим х— оо. Сумму рассматриваемого ряда, продолженного до бесконечности, мы уже нашли во «Введении» 2) и показали, что она равна
1 -к тс
— - —।— - — —!—-------
2zi2 2п п
Но если положить х~ со, то н==0, так что и sin« = 0; вместе с тем исчезают и синусы всех кратных дуг. А так как в нашем ряде степени sin и возрастают, то расходимость ряда не может помешать тому, чтобы в этом случае значение ряда исчезло. Таким образом, s= ~ -j- С, откуда будем иметь
2zi 2zi2 1 2zi п (е2п71 — 1) 2zi2 ' п(егпп_1)
Поэтому сумма искомого ряда будет
_ it __ и 1 sic2u __ ЭД sin2usin2a
S 2п п 2zi2 2zi2 2 zia
, 53 sin4» • sin 4м (V sin6a • si.i 6u . -n
+v —*------------" '•
Нужно заметить, что если п будет очень большим числом, то последний член ——— сделается столь малым, что им можно пренебречь.
156. Положим, что х ~~п, так что
__ 1 . 1________ 1 _________________1___
zP г п2 г 4 П2-Ь9 1 • • ' п3 + п2
и = 45° —Р . Поэтому получим sin и — ^~=-, sin2u=l, — 1, sin8w = 0, sinlOM=l и т. д. Поэтому будём
Тогда etg и— 1 и sin 4и = 0, sin 6w —
иметь
S —
1,1 ЭД g S
2zi2 ' 4zi2 2 • 2zi3 ' 6 • 8zi4 10 • 25zii:
В это выражение из бернуллиевых чисел входят только числа, стоящие на нечётных местах. Поэтому, если мы сначала найдём с помощью непосредственного подсчёта значение s, то отсюда можно будет определить количество л; действительно, мы будем иметь
, , 1 , ЭД g . ® 4п
л“4ns + n + fzi2 3 22?i6 -Tj,. 24„ю + и т- Д- е2п«_1 •
Хотя в последний член входит л, однако так как он весьма мал, то достаточно иметь' значение л с небольшой точностью.
’) «Введение», ч. 1, гл. X.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 315
Пример
Пусть п = 5; тогда
1 . Д . 1 1 1
~ 26 *" 29 + 34 + 41 + 50 '
Если выполнить сложение, эти члены дадут
s = 0,146 746 305 690 549 494.
Тогда члены ряда будут
4ns = 2,934 926 113 810 989 88,
- = 0,2, п ’ ’
91 0,006 666 666 666 666 66
п*
е
~ 3,141 592 780 477 565 4 ’
_ 0,000 000126 984 126 98
3 • 2- • — 3,141 592 653 493 529 56 ’
S _ 0,000 000 000 096 969 69
5 • 24 • п10 ~ 3,141 592 6*53 590 499 25 ’
® _ 0,000 000 000 000 426 66
7 896 . 592 653 590 072 59 ’
3 2______ 625 _____________
'J . 2’ п1’ 3,141 592 653 590 078 84’
Это значение столь близко подходит к истинному, что удивительно, как можно было столь лёгким вычислением достигнуть этого. Разумеется, это выражение несколько больше истинного; действительно, от него .. 4 к
нужно еще отнять ~ j значение этого выражения, так как при-блаженное значение л- известно, можно найти. С помощью логарифмов мы сделаем это таким образом.
Так как л 1 е = 1,364 376 3538.
1 е2птс = Юл 1
то
е= 13,643 763 5.
А так как
4тс , 4тс
"’-ит. д„
нашего вычисления достаточно взять лишь
то легко видеть, что для
первый член. Увеличим характеристику на 17; так как у нас имеется 17 десятичных знаков, будем иметь
Чл= 17,4971498
14= 0,602 0600
18,0992098
вычитаем
1е2^ = 13,643 763 5
4,455 446 3
Следов ательно,
^ = 28 539.
Вычитая из
3,141 592 653 59007884,
316 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
будем иметь
~ .3,141 592 653 589 79345.
Это выражение отличается от истинного только в предпоследнем десятичном знаке; это неудивительно, ибо мы ещё должны были бы отняты 8
член уу—210—„4Г > который даёт 22, и тогда неверным мог бы быть лишь-последний знак. Ясно, впрочем, что если за п мы возьмём большее число, например, число 10, тогда можно будет без труда найти окружность с точностью до 25 и более знаков.
157. Будем теперь полагать z трансцендентными функциями z, п пусть z=lx. Мы будем брать гиперболические логарифмы, ибо десятичные легко к ним приводятся; пусть
s = 1 1 + 1 2 + ] 3 + ] 4 4 . . . . I х.
Так как теперь z = 1 гг, то
zdx = х 1 х — х]
действительно, дифференциал этого выражения есть dx\x. Далее,
dz_ _ £ d*z ____£ d3z______1 , d*z. _ _ £
dx x ’ dx2 x1 ’ 1 • 2 dxz хл ’ I • 2 • 3 dx* x* 11 T'
Отсюда заключаем, что
i , i, , я аз, е ® ,,
s = xlx-xUlx + Tb-r&^-T^ ит. д. 4-const.
Если положить х= 1, то, поскольку 9=1 1=0, постоянное С пришлось бы
определять из ряда
(S , ®
5-ДГ+ Try- ИТ' «•
91 , 53
1-2 Л 3 • 4
Но этот ряд вследствие сильной его расходимости непригоден даже для приближённого вычисления количества С.
158. Однако мы можем найти не только приближённое, но и точное значение С, если рассмотрим валлисово выражение, найденное для значения л и доказанное во «Введении» х). Это выражение имело вид
к 2 • 2 4 • 4 • 6 б • 8 • 8 • 10 • 10 • 12 и т. д.
2 1 • 3 3 • 5 • 5 • " • 7 • 9 • 9 • 11 • 11 и т. д.
Действительно, логарифмируя, будем иметь
1 те —1 2 = 212 + 2144-216 + 218 + 2110 + 1124- и т. д. -
-11-213-215-217-219-2111 - и т. д.
Положим теперь в рассматриваемом ряде х=ос. 'Гак как
1 1 + 1 2 + 1 3 + 14+... + 1 ж = С+^ + |)1 х-х,
ТО
11+1 2+1 3 + 14 ... +1 2х - С + Qlx +1 2х — 2х
11
1 2 + 14 + 1 6 + 1 8 + ... +1 2х = С+ (х +1) 1 х 4- х1 2-х.
9 «Введение», т. I, гл. XI.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 317
Следовательно,
1 1+1 3 + 1 5 + 1 7 + . .. + 1 (2т — 1) = т1 х + х + 1 2 — х.
Поскольку, таким образом, мы имеем
1 у = 21 2 + 21 4 + 21 6 + . .. + 21 2т — 1 2т-
— 21 1 — 21 3—21 5—... — 21(2т —1),
то, полагая т=ос, получим
1 -"- = 2С+(2т + 1)1 т + 2т1 2-2т- 1 2-1 х — 2т1 х- (2т +1)1 2 +2т, К I
так что 1 2 =2(7—21 2; следовательно, 2С = 1 2~ и G= — 1 2-г, откуда в десятичных дробях найдём
С = 0,9 189 385 332 046 727 417 803 297, и вместе с тем суммируется следующий бесконечный ряд
159. После того как это постоянное С = 1 2тс найдено, можно получить
сумму логарифмов, взятых в любом числе из ряда 11 + 12 + 1 3 + и т. д. В самом деле, если положить
$ = 1 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 х, то будем иметь
1 . „ , < , 1 \ , , ЭД 23 £ Ф
•’ -' Т 1 2г + 1 — J 1 х х- - - 4ж3 г 5 . бя5 7 • «+ + и т- Д-
если, конечно, предложенные логарифмы были гиперболическими; если же предложены были бы обыкновенные логарифмы, тогда в членах -i-1 2к+^т + у^1 х нужно было бы взять вместо 1 2г и 1 х обыкновенные логарифмы; остальные же члены ряда
, % 23
1 • 2т 3 • 4.г’+ И Т‘ Д'
нужно было бы помножить на 0,434 294 481 903 251827 = н. Таким образом, для обыкновенных логарифмов имеем
I т. = 0,497 149 872 694 133 854 351 268
1 2 = 0,301 029 995 663 981 195 213 738
1 2г=”0,798Т79 868 358115^9565 006
| 1 2т. = 0,399 089 934 179 057 524 782 503
Пример
Пусть ищется сумма тысячи табличных логарифмов .4 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 1000.
Следовательно, будем иметь х =1000 и
].т = 3,000 000 000 000 1>,
318 гл. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
откуда
х 1 X 3000,000 000 000 000 0
1,5000000000000
412тг= 0,399 089 934179 0
3001,899 089 934179 0
Вычтем
пх= 434,294 481903 2518
2567,604 608 030927 2 Далее,
-т^-= 0,000036191206 8
1 • 2а?
вычитаем
5-^7= 0,000000 0000012
3 ’ 4а?3 3
0,000036191205 6 прибавляем
2567,604 608030 9272
Искомая сумма
s = 2567,604 644 222 132 8.
Так как з есть логарифм произведения чисел
1-2-3-4-5... 1000,
то ясно, что это произведение, если его вычислить, будет иметь. 2568 знаков; слева его начальные цифры будут 423872, а за ними будет следовать ещё 2561 цифра.
160. С помощью этого суммирования логарифмов можно также найти приближённо произведение какого угодно числа последовательных натуральных чисел. Сюда можно прежде всего отнести задачу об определении среднего, т. е. максимального биномиального коэффициента в разложении какой-либо степени (а 4- Ь)т. Заметим, что если т есть нечётное число, то имеется два средних коэффициента, равных между собой. Взятые вместе, они должны дать средний коэффициент-разложения следующей чётной степени. Так как, следовательно, максимальный коэффициент в разложении какой-либо чётной степени вдвое больше, чем средний коэффициент в разложении нечётной степени, то достаточно определить максимальный средний коэффициент для нечётных степеней. Итак, пусть m = 2n; средний член можно представить, в виде
2га (2га — 1) (2га — 2) (2га — 3) ... (га +1)
1-2-3-4...га
Обозначим этот средний коэффициент через и и представим его в виде
_ 1 • 2 • 3 • 4 ... 2га
“ — (1 - 2 • 3 • 4 ... га)2 "
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 31£
Логарифмируя,, будем иметь
1 и — 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5+...+1 2п —
-2 11-2 12-2 13-2 14-2 15- ... -21п.
161. Возьмём здесь гиперболические логарифмы; будем иметь
11 + 12+13+14+ ...+12п =
= | 1 2к+ (2«+ |)1 п+ (2n + |) 1 2-2п +
91 S3 6
1 • 2 • 2л 3 4 • 22л3 + 5 • 6 • 25л3 И
И
2 11 + 212 + 213 + 214+ ...+2 In =
, о , ,, , о , 291 233 , Ж
= 12к + (2п+1)1п-2п + т-^--г^Гз + г-6-6- и т. д.
Отняв это выражение от предыдущего, получим в остатке
1 W— 2 17Г 2 ln + 2nl2+ t 2 2л — 4 . 22,(з + 5.6. И Т‘ д’
291 ,233 2®
1 . 2л + 3 • 4 • л» 5 . С> л6 + И Г‘ Д’
Собрав эти члены попарно, будем иметь
1 _ 1 22П 391 1533 63g , 255®
U ~ /'ля 1 • 2 • 2л + 3 • 4 • 23л3 5 • б • 25л3 ’г 7 • 8 • 27л7 и 1. Д.
Пусть
391________1593 63С 255©
1 • 2 • 2*л2' 3 - 4 • 2‘п1 ' 5 • 6 2*л“ ~ ^8 • 28п8 ' И Т‘ Д’ ~~
1 (J + 2+2 + 24л4 2’л* + 28л8 "* И ' ’ ’
Тогда
1K = 1 С1 + 2^ +lfe+ 2&« + и Т- Д-)' так что
22П
11 ~ 7 А В А2” ^Г'— ’
t1 + w+w+” т- д-)
Но при 2п = иг будем иметь
А тг
JLa 28zi8 ' ь-А. г т1В
АР mL° ВС
т.
т. Д.—
т. Д. —
С 2влв"
m1 me т8
А2 АВ АС
2пР тв т3
В2 2т3 mi0
I. £ 4. d2? j. 42С Зч1в ' т3 ' т1В
л- тою Ч
А* А3В ime mle , А‘ + 5m10
Т. д. -Г
т. Д,—
т. д.
В
С
и
и
и
и
и
и
320 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Так как это выражение должно быть равным выражению
3?! 1533 63С 255®
1 • 2 m- ’ 3 • 4m4 'Г 5 • 6ms ' 1 8ms Н и т- Д
то получим . 391
4 --
1 • 2 ’
.. А- 1533
А ~ 3 • 4 ’
С ЛВ - ' А +
о э • о
D АС + 4 5s - А-В 4- у- А1 - 4^?- , L 't 7’0
Е = AD 4- ВС - А2С - АВ3 + А3 В - * *- Л5 + и т. д.
162. Так как 21-= 1 , S3-™- ® = ® = Д , ™
6 30 42 30 6Ь ’
Отсюда находим 2-“
U f . ,1 1 ,27 90 031 ~
V^24n2 29 • Зя4 п 213 • 5п° “ - 5 • 7п“ И т’ я J ' пг'
или
,2„/. 1,7 121 , 107489 Y"
k.1-'24nJ ' 2» • За4 2*8 • Зп® 21* • З2 • 5 • 7»8 П Т’ )
'1'---------------------------------------------------
У п~
или, если выполнить возведение в степень, будем иметь приближённо 2-’1
—__ X 1 р р н 77 •
у'пг. ! 1 |-1------------— л - и т. д )
* У 4п 32п2 128/г1 16.12.8n* ' 4 J
Таким образом, средний член в разложении (1 ж 1)2П будет относиться к сумме всех членов 22",
-/’ll 1 1 \
как 1 к I/ пт. ( 1 4- , - 4- - ---- — - .т.п- г и т. д. )
' у 1 4п ' 32п2 128п2 16 128n J
или, если для краткости положить 4и — v, л , л— /.,1,1 1 5 23. \
как 1 к пл 1 4- - 4- — — — — — -г — + и т. д. J .
П р и м е р 1
Пусть ищется средний коэффициент в разложении бинома Известно, что он равен
10 • 9
1 -2
8-7-6
3-4-5 - 2ЭЛ
ГЛ. \1. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 321
Применяя последнюю найденную для и формулу, будем иметь при га = 5:
Д = 0,050 0000
4п
-/ = 0,001250 0
32м-
0,051 2500
Вычтем
0,051 187 5
Вычтем
Следовательно,
1 4- 1 -фит, д. = 1,051 183 6
Его логарифм
= 0,021 678 4 1га = 0,698 9700 I Г. = 0,497 1498
1,217 798 2
1 /га- (1 ф-пТ“д7) = 0,608 899 1;
отнимая от
1 22п = 3,010299 9
1« = 2,401400 8, откуда
и = 252.
Пример 2
Пусть ищется отношение, в котором средний член рсилоисения сотой степени бинома 1 +1 находится к сумме 2100 всех членов.
Воспользуемся для этого ранее найденной формулой
, . 22'1 381 , 1533 63®
1 и = 1 ——--------------------------------Г и т. д.
пп 1 2 • 2« 3 • 4 • 23п3 5 • 6 • 24.»
Положим в ней 2п=т, так что будем иметь степень (1 ф 1)т, и подставим вместо 5(, 53, С, Т и т. д. их значения. Получим
II2”’ 1 । 1 1 17 31 ,
1 и — 1-г _ _ .— Н-77—7--^77—-- 4- 77т——О Т И Т. Д.
Г [ \т 24m3 20/nd ‘ 36m9 1
у
Так как здесь логарифмы являются гиперболическими, то помножим их на
к = 0,434 294 481 903 251
21 Л. Эйлер
322 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
так, чтобы они преобразовались в табличные; тогда , 2т к к к 17* 31* ,
1Н —1 кт'Т' 24m3 20m6 112m7 36m9 ~И Т‘ Д'
у у”1*
Так как средний коэффициент есть и, то искомое отношение будет 2”1: и, так что
9>п Г 1 Ь If If llle Q1 If
12- = 1 /y^ + i-^ + W-l^ + im-9-0 T- *•
Так как показатель m = 100, то
— = 0,004 3429448, —3 = 0,0000004343, к, = 0,00000000. т т3 т3
Поэтому будем иметь
~ = 0,001 085 736 2
-,,Ц = 0,000 0000181 24/п3
0,001 085 7181
Тогда
1к = 0,497 149872 6
1~т = 1,698970 004 3
1 * тик =2,196119 876 9
1 т~ = 1,098 059 938 4
г-----КГ-З + и Т. д. = 0,001 085 718 1
4m 24m3 1
1,099145 656 5= 1 —. и
гл -100
Следовательно, будем иметь = 12,564 51 и, значит, в разложении степени (1 1)100 средний член будет относиться к сумме 21” всех
членов, как 1 к 12,564 51.
163. Пусть теперь общий член z есть показательная функция ах, так что суммировать нужно следующий геометрический ряд:
s = а + а--|- а3 4- а1 .. 4- ах.
Так как он является геометрическим, то его сумма заранее известна; (ах — 1) а тт „
она равна s = . Найдем теперь эту сумму по изложенному
- ах
здесь способу. Так как z — ax, то будем иметь jzdx = j-^; действительно, дифференциал этого выражения есть ах dx\ далее будем иметь
-^- = ах1а, ^4 = ах(1а)2, = ах (1 а)3 и т. д.,
dx ’ dx3 ' ' ’ dx3 ' ' * •
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 323
откуда следует, что
s = aX(ra + ¥ + i~2la-i—(la>3 + —т- Д-) + С-Для определения постоянного С положим х = 0' так как s=0, то будем иметь
п 11 Я 1 , 23 u
С==-П“2—Т7Т1а+ТГУ7Т74(1а) ~ и т- Д-
так что получим
s=(a*_ -г— 1а- — .3-д(1«)3+ рдг- 6 (И6-ит.д.^ .
... (ах -1) а г
1 ак как сумма есть —— , то будем иметь
а 1 । 1 , 91 1 S3 , ,3 (J ,
~~ Га+ 2 + 1 2 1 а 1 2 • 3 4 ^1 • 2 ... 6 — 11 т- д-'
1 — 2cisafl
С другой стороны, будем иметь
\zdx = \ dxsinax--=
где 1а есть гиперболический логарифм количества а; отсюда
(а+1)]а=, 21(1 а;3 23(1 a)* g(la)«
2(a —1) 1-2 1 • 2 • 3 • 4”Г 1 • 2 ... 6 Д’’
и таким образом можно будет определить сумму этого ряда.
164. Пусть общий член есть z = sinax и
s = sin а + sin 2a 4~ sin 3a + • • • + sin ax.
Так как этот ряд является рекуррентным, то его также можно суммировать; мы будем иметь
sin а р sin ах — sin (ах V a) sin а Г (1 — cos a) sin ах — sin a cos ах
2 (1 — cos а)
1
----cos ах а
dz d3z ,
-- = a cos ах, -т— = — a* cos ах, dx ’ dx*
d*z .
= a* cos ах и т. д. /7-у5
Следовательно,
у, 1 , 1 ,21 , 23a3 cos ах
s— С----cos ax -4- — sm ах 4- у—- a cos ах 4-„—=—г—т-
а ‘2 '1-2 1 1 • 2• 3 - 4
, ©a5 cos ax f So’cism t
+ ГТгТзТТТб +1 • 2. з ... s '
и т. д.
Положим х = 0, так что s = 0; тогда
1 21a 23a3 ®a5
— a 1-2 1 2 • 3 • 4 — 1 • 2 . .Тб — и т- «•>
следовательно,
1 • . . ( 1 21a 23a3 Да3
s = -- sin ax -4- (1 — cos ax) (----—-----------------------
2 ~ v \ a 1-2 1-2-3-4 1 • 2 ... 6
Но так как
1 .
s = у sin ax
I (1 — cos ax) sin a
‘ 2 (1 — cos a) ’
21*
324 ГЛ. VI. О ГУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
то получим sin а
2(1 -cos а)
1,1 1
у Ctg у а = -а
91а 93а3 (S'a5
1 г-тГТ2“злТ 1.2... г> ~~ 11 т> д<
Этот же ряд мы получили уже выше (§ 127).
165. Пусть теперь z — cos ах и ряд, который нужно суммировать, есть
s .-= cos a -J- cos 2а cos За 4- ... -р cos ах.
Так как этот ряд является рекуррентным, то сумма его есть
cos а — 1 4-cos аж— cos (ах I- а) 1.1 ,1,1
s =--------.-—s----—----------- = — — -р — cos ах -р ctg -s- a sm ах.
1 — 2 cos а +1 2'2 1 2 ° 2
Чтобы определить сумму по нашему методу, найдём
, Г , 1 •
z ах = \ dx cos ах — -- sin ах ] а
dz
-г- = — a sin axt az
а r> •
з— = « sin ax, dx3
d-z
dx3
— a5 sin ax и т. д.
Следовательно, 1
s — С 4- - - sin ах а
1 91a sin ах 93a3 sin ar
2' C0S aX - —ГТ" - i.flT
11 T. Д.
I
Пусть rc = O; тогда s=0 и C — —, так что будем иметь
s =
Так как
1 , 1
— 4- ,, cos ах
1 . 91a sin ах Sa3 sin ar
- sin ax——-—;------—-—7 И т. д.
a 1-2 1 • 2 • 3 'i
I , 1 , 1 . 1
г COS ax + о dg T a ' sin ax,
то, как мы уже нашли выше (§ 164), будем иметь
11 1 91a 93a3 Ga5
у cts уа " т ~гп>— 1.2 зтт; ~ 1.2 • з... 6
И т. д.
166. Выше (§ 92) мы нашли, что если а есть какая-либо дуга, то
= у + sin а + у sin 2а -р у sin За 4- sin 4a 4- и т. д.
Рассмотрим этот ряд и пусть z — — sin ах, так что
1 1 . 1
s= sin а sin 2а 4- — sin За -р ... 4----sin ах.
1 2 3 х
В этом случае мы имеем
Г , С dx .
\ z dx = \ — sin ах: j J х
этот интеграл нельзя найти. Но мы будем иметь
dz a t d2z а"- . 2a 2 .
— --- — cos ах----sin arc, , ,-=— — si n arc—- ccs ax 4-- 5sin ax,
dx x x- ax- x x- x‘
d3z a3 3a- , fia C>
—------cos arc -1- sin arc 4—s cos arc — , sin arc,
dx3 x x- x3 j1
d'z a1 . , la3 12a2 . 2ia , 21 .
; = — sin arc 4—r cos arc — sm arc--------r ccs arc -;—.sin arc.
dx1 x x- x3 xl x3
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 325
Таким образом, поскольку нельзя пи найти выражения интегральной формулы j zdx, и и выразить достаточно удобно этих дифференциалов, мы не можем определить этим методом суммы данного ряда так, чтобы отсюда можно было вывести какие-либо заключения. С таким же неудобством мы встречаемся во многих других случаях, когда общий член ряда по является достаточно простым для того, чтобы его дифференциалы можно было выразить удобным законом. Поэтому в следующей глав,1 мы выведем другие общие выражения для сумм рядов, у которых общие члены либо имеют слишком сложный вид, либо вовсе не могут быть даны. Эти выражения можно будет использовать с большим успехом. Несовершенство изложенного здесь метода становится особенно очевидным, если переменить знаки членов предложенного ряда. Действительно, тогда, хотя бы общий член и был простым, суммационный член этим методом не может быть удобно выражен.
ГЛАВА VII
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННОГО МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
167. Чтобы восполнить недостаток изложенного выше метода суммирования, мы рассмотрим в этой главе такие ряды, общие члены которых имеют более сложный вид. Так как вышепайденное выражение не может представить истинную сумму геометрической прогрессии конечной формулой, хотя другими методами эту прогрессию можно легко суммировать, то здесь мы прежде всего рассмотрим такие ряды, члены которых суть произведения членов геометрического ряда на члены другого какого-либо ряда. Итак, пусть предложен ряд
1 2 3 4 .т
s=ap + 6p2+c/-|-c?/4-... + УРХ.>
составленный из геометрического ряда р, р2, р3, р' и т. д. и какого-либо другого а -|-6 + сТ^+ ит. д., общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен у, и найдём общее выражение для значения суммы этого ряда s = S-ypx.
168. Будем следовать тому же способу, которым мы пользовались выше, и пусть и есть член, предшествующий члену у в ряде а + 6-|-с-|-с? +
; и т. д. и А — член, предшествующий а, т. е. тот член, который отвечает индексу 0. Тогда нр*-1 будет общин член ряда
1 2 3 4 х
А + ар А- Ьр2 + ср3 4- ... + vpx~'.
Если сумму этого ряда обозначить через 5-крх~г, то будем иметь
5 • vp^ --= Аа • vpx = 5. урх - урх + А.
Ио так как
di/ , d'I/ d3u , d’u
V = У ~ dx "A Adx3 ~ Adx3 A 24di* ““ И T' Д'’
io будем иметь
5 у f- Vlf + A -1 5 yp’ - 1 .S • £ + 1 S g p- -
— A s• Aa px+s • 44 pv ~ и T- 11 •
6p dx3 ' 1 24p dxi 1
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 327
Отсюда
S yPX = ^(yPX"-AP~S-d£:PX + S-^PX~ И Т- Д-)'
Итак, если известны суммационные члены рядов, общие члены которых du т d3y х d3y х „ „
суть р , р , р и т. д., то из пих можно найти суммационный ах ах* ах
член S-yp*.
169. Отсюда можно найти суммы рядов, общие члены которых имеют вид хпрх. Действительно, пусть у = ж"; тогда 4 = 0, если только п не равно нулю; в последнем случае 4 = 1. Так как
<Ру _ П (га —1) П-2
‘Idx3 12
d*y _ n(n-l)(n-2) „3
6<fce3— 1-2-3
И T. Д.,
ТО
[ хпрХ,1 _Ap_nS. жп-1 рХ^ (п -1) s,xn-2pX _ |
5 . Ж V = /74г < - S Х^р* + } .
I и т. д. ।
Если в эту формулу вместо п последовательно подставлять числа 0, 1, 2, 3 и т. д., то мы получим нижеприведённые суммирования; в первом случае, когда п = 0, нужно положить 4=1, в остальных же случаях 4 = 0:
S-x°px = S-px = —Ц-(рх-1 — /?)=-—= Р~Р~ Т 1') • ' ' р— 1 ' г' р — 1 р — 1
Это есть известная сумма геометрической прогрессии.
aS1 • хрх = —Ц- (хрх** — S pF) ~ : р—
г р —1' ' ' ' р-1 (р-1)2
или
v ~^_рхрх р(рж~1) .
Р р-L (р-1)2 ’
5 • Рх = (ПЛ1 - 2S • ХРХ 4- S• рх)
<? -г2 п» - ^Р*'1 — 2хРХ*1 I Р(р + Шрж- О
р — (p_t)2 -Г (р-1)3
Далее,
Sx3px = —L- (Х3рх^1 - 3S • х2рх + 35 • хрх - 5 • рх) или
V X3 д_ ЗСр+1)^1 _ р(р2 + ,»р + 1)(р3!-1) .
р р-1 -(р-1)2^ (р-1)3 (р-1)4
таким же образом, идя дальше, мы сможем определить суммы высших степеней z4p“, хьрх, и т. д. Однако это можно удобнее сделать с помощью общего выражения, которое мы сейчас установим.
170. Так как мы нашли, что
s-ypx = ^{y^~Ap-s TxPXA-s-Shpx- и т- «•)’
328 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
где А есть такое постоянное, что сумма становится равной нулю, если положить х = 0 (ибо в этом случае у = А п урх*г = Ар), то мы можем опустить это постоянное; только нужно всегда помнить, что к сумме необходимо прибавлять такое постоянное, чтобы сумма исчезала при х = О или чтобы она удовлетворяла какому-нибудь другому условию. Подставим теперь z вместо у, будем иметь
е т px*lz t xdz I с d-z.
А • Р Z = ----------- --, А • p -j---h • P j~> —
‘ P ~ 1 P ~~ 1 az 2 (p — 1) ' dx2
1 , 1 с я d2z 1 c x i
e~~t--TV * P ~j—ч i '/-------7V ’ P j~*1 — ГйГ/ - t \ ^ * P 7т—r "I- И T, II.
G (p— 1) 1 dx3 24 (p—I) ' dx2 Г20(р — 1) “ dx2
dz d2z d3z
Далее будем последовательно полагать /- , и т. д. вместо у:,
а Лу а .с '
тогда будем иметь
с, пх _ Р*'1 dz____ с. pxd-z ,________1 с . р- dsz__
Р dx р—1 dx р — 1 dx2 2 (р — 1) dx3 ' Д'
„ pxd2z__рХ21 d’2z I „ pxd3z , 1 <, pxdlz
dx2 p — ^ dx2 p— 1 dx3 д 2 (p — 1) dx1 И 1 ’ Д‘
e pxd3z px+2 d3z I c pxdlz , 1 c pxd3z
A • —j-zr- ~ , • j-, —-; A • —j~r + ---ГГ *-» ’ --и т- Д-
dx3 p—1 az3 p — 1 si* 2 (p — 1) az5
и T. Д.
Если теперь последовательно подставлять эти выражения, то S- p'z представится в следующем виде:
с х рг+1з apx+1 dz 8рж+1 d2z ypXrld3z r1px-1diz spxtl dsz
S-P Z = Ji + 7ДГ1 d^~^T dx3 + ^l (/A 'pVE5 " 11 T- Д-
171. Для того чтобы определить значения буква, у, б, г и т. д.? подставим вместо всех членов найденные для них ряды, а именно
Д 1г ext 1 с р 1 с Р d ’ , 1 С Р d =
---Z 5 • pxz 4------ S —j---trz-п S + ,.Л---ГГ *-» • - J-3 И т. д., р — 1 г р—1 dx 2 (р — 1) dx2 1 Ь(р —1) dx3-у
pX¥1dz ___ „pxdz 1 - pxd2z 1 „pxd2z
(p — l)dz dx ‘ p — 1 dx2 2(p—1) dx3 1 11 *’ Д’’
p-C1-y2z c pxd2z 1 „ pxd3z
(f^TTdx2 ~ S ’ dz3 И T’ Д’’
px^d'z a pxd3z , (p-l)dx3~ S> dx3 +И T' Д’
Тогда мы будем иметь
5 • pxz = S • pxz 4-
, 1 (т pxdz________1 „ pxd2z 1 „ pxd3z 1 „ pxd*z
1 p— 1 dx -2(p—V) dx2 ”^6 (p —11 dx3 (p — I)1 dx2-
6 (P- 1) _ __L_ 2(P-1)
_____,
p-1 T
4-S,
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 329
откуда получим следующие значения коэффициентов а, °, у, 3, а и т. д.:
в т. д.
172. Положим для краткости
тогда будем
иметь
а -9,
by 9 = ?3+Т?’
Y = ?q 4- 4 + 4 Ч = 93 ’Г Ч2 -г I q,
s •= Y? 4- 4 ₽? + 4 ЛЧ + = Ч" + 4 Г Н Ч2 -I 4
г = Zq + 4 Y7 + 4^ + A aq I4o q = f + 2ql 4 q* I q' + li
4» Bl 5 . . 13 « . 3 О 31 «>. I
'~Ч ’r~2q +^4 r~t4 + згдз^'т -^Ч
и т. д.
Это можно выразить ещё следующим образом:
2g2 + 7
~ 1-2 ’
__6g3 -I- 6g2 4- g
1-2-3 ’
_ 24g1 P36g3 г 14/2 - 7
— 1-2-3-4 ’
_ 120/5 t- 210g1 150g3 30 f- 1 7
“ 1ЛЁЗ-4-Э
_ 720-/3 1800g5 + 1560g1 4-54073 l 62g2 e (/
“ ----- утр3.4.5.6 >
5040g7 4- 15Г20дв-1 16800g5 A 8400g1 - 1806g3 4- 126g2 + 7
— 1-2-3-4-O-6-;
И T. Д.,
где какой-либо коэффициент, например 16800, получается, если сумму двух вышестоящих коэффициентов 1560 + 1800 помножить па показатель.
степени количества q, кЬторый здесь равен 5.
173. Восстановим снова вместо q выражение — - . Тогда получим
1
О _ р + 1
н 1-2(^- I)2 ’
р2 4- 4р А 1
= 1-2-3- (р- I)3 ’
330 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
„ _р3 + 11р2 + 11р + 1
° ~ 1-2-3-4 (р- I)4 ’
___ р*-26р3+66р2 + 26р + 1
° 1-2-3-4-J (р — I)5 ’
р5 4-57р4 + 302р3-f-302р24- 57р г 1
1-2• 3-4-5• 6 (р — I)6 ’
р3 4- 120р5 + 1191р4 + 2416р3 +1191р2 + 120р +1
71— 1-2-3-4 а-6• 7 (р — 1)’
Закон составления этих количеств таков: если какой-либо член представить в виде
р«-2+Др"-3-сВр«-4+Ср"-5 + Г’рп-в + и т. д.,
1-2-3 ... (п — 1) (р — I)”-1 то
А = 2П-1 — п,
В = Зп~1-п- 2’1-1 + ,
1 • 2 1 • 2. ' О
D = 5”-1 -п• 4"-1 + З"-1 -
1 1-2
п(п — 1)(га — 2) 91l_, , п (п — 1) (п — 2) (п — 3)
1-2-3 " 1-2-ЗО ‘
Таким образом, отсюда можно продолжать вычисление коэффициентов а, р, у, о и т. д., до какого угодно предела.
174. Если вглядеться в закон, которым связаны между собой эти коэффициенты, то легко обнаруживается, что они составляют рекуррентный ряд и получаются от разложения дроби
_______________________1______________________
, и 11“ и3 и4
1-------------------------------------и т. Д.
р-1 2(р—1) 6(р-1) 24(р —1)
Действительно, оно даст некоторый ряд
1 4-ан+Рн3 + ум3 + он1-j-sw5 + + и т. д.
Положим эту дробь равной V; так как
у =----------г-1-----------------
, и3 и3 U4 ’
то будем иметь
где е есть число, гиперболический логарифм которого равен единице. Если значение V выразить рядом, расположенным по степеням количества и, то получим ряд
V — 1 -|- т + Рн2 + ун3 + он4 4-aw5 + 'н’ 4-и т. д.
коэффициенты которого а, р, у и т. д. будут теми самыми, которые нам нужны в данной задаче. После того как они будут найдены, мы
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 331
получим выражение
с „х, Рх*г („ adz $d3z yd3z д dlz \
о р 2= ----- I Z — ------И -Т-- — 4- - ИТ. Д. + const.,
г р — 1 < ах ' dx2 dx3 1 dx4 )
которое является суммациопным членом ряда ар + Ьр2 + ср* + . . . + jfz,
общий член которого равен pxz.
175. Так как мы нашли, что V = --—, р — еи
е - г - .
то мы будем иметь
Логарифмируя, получим
и = 1 (рс — р 4- 1) — 1 v и, дифференцируя, будем иметь
вследствие этого
А так как
V = 1 ш 4- + YM" + 8п4 + SM'5 т и т. д.,
то
рУг = р4-2арп4-2Рргг34-2ургг34-23/яг44-22ри54- и т. д. 4-4-а2рп2 4-2s.Ppw3 4-2ау/ш4 4-2аорп5 4- и т. д. 4-4-Р2рп4 4-2Вурп5 4- и т. д.
(р-1) F = (р-1)4-« +Is (Т’— 1)“3 + Y(7’— !)«’ + "
4-8 (р —1) w44-e (р—1) и5 4- и т. д., (^=^==(p-l)a + 2(p-l)ptt4-3(?-1)Y«2 + 4(7’-l)S«3 + 4- 5 (р— 1) sm4 4- 6 (р — 1) Zu5 4- и т. д.
Приравняв эти выражения друг другу, мы найдём:
(р—1)а = 1,
2(р — 1) Р = а (р4- 1),
3(р—1)у = Р(р4-1) + а2р,
4 (р-1) 8 = у (р 4-1) 4- 2арр,
5 (р— 1) г = 8 (р 4-1) 4-2аур 4- Р2р,
6 (р— 1); = е (р 4- 1) 4- 2а8р 4- 2Рур,
7 (р—1)т]=С(р4-1) + 2аар4-2В8р4-у*р
И Т. д.
Из этих формул, если за р принять некоторое данное число, значения коэффициентов а, р, у, 8 и т. д. можно определить легче, чем из ранее найденного закона.
176. Прежде чем обратиться к рассмотрению частных значений р, положим, что z = x'1, так что требуется суммировать ряд
s= р4-2пр24-Зпр34-4"р44- ... 4-я"рх.
332 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
С помощью ранее найденного выражения мы получим
f Р Р nr"1 -U + /> тп-2 _1
I . fcV . . . ,у IL '"Т / Л \ '> 4 1 Л/ I
<= пх J Р- 1 ("-И2 Р ] Р3 + '*Р2 + Р 1 (Р -1/ 1 (Р-1/ 1-2 " 1 , с ',<";12<Гг> i"-,+ -т- «4
где С есть постоянное количество, выбираемое так, чтобы s = О' при х = 0.
Подставляя вместо п последовательно числа 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.г будем иметь
х\рх = г,х- Р р р-1 ’
Р р-1
х'рх = пх ( рх р 4 )+<А-’
р < р-1 (р-1/'
Хгрх = р/ р-с2 ^Рх , Р (р + 1) V р(р + 1)
р- 1 (р-1/ 1 (р-1/ ) (р-1/ ’
5 •
5 •
S
S
S •
5 •
S
? ( P*L _ 3РЖ~ L Зр (р + 1)х _ р(р- + 'tp + 1) А р(р* + 4р'+ 1) кр-1 (д-l/ ! (р-1/ (р-1/ (р-1)4
гх С _______4рж3 , 6р(р4-1) + _ 4р (р2 + 4р +1) х ,
кр-1 (р-1/ 1 (р-1/
p_(p3_-L 11р2 + 11р+П\ _ p(p3 + llp2Jrllp + 1) (р-1/ - - ) (р-1/
.5 х _ РТ"Н5 5pv + 4-4 10 (р-|~1)рл>1аЯ_10 (р2+4р + 1)р*+»х2
Р р-1 (р-1/^ (р-1/ ~ (р-1)4
5(Р3 + II/'2 + ПР + 1)РТ+1* __ (р‘/- 26р3 + 66р2 + 26р + Щр^-р)
Г (Р-1/ (Р-1)6
.в х__ РТ41*6__ 6рТ4'1^5 , 15 (р 4- 1)рЖь1х4_20 (р2 4- 4р 4- 1)рх'+1х3 .
— Р-1 (р-1)2 (р-1)3 (р-1/ Г"
15 (р3 + 11р2 + 11р 4-1)рт+1х2 6(р4 4-26р3 4- 66р2 4- 26р4-1)ржых
’ (р-'г (р и/ — -н
l + 57р1 + ЗО2р3 + ЗО2р24-57р4-1)(руы_р) (р-1/
177. Отсюда ясно, что каждый раз, как z будет целой рациональной функцией от х, можно будет найти сумму ряда, общий член которого есть pxz, ибо, беря дифференциалы количества z, мы в конце концов дойдём До исчезающих дифференциалов. Так, если предложен ряд
р + 3/+6р3+104+
то, поскольку
суммационный член будет
8 = Р**1 Х2 , 1 у 2x4-1 р+1 \_____Р / р + 1_______1 \
р-1 <2 -2 2(р-1) ' 2(р-1/> р_1<1(р_1/ 2(р—1)7
или
S = „хы ( . + (Р-З)* , 1 Л _ р
Р <2(р-1)^ 2(р-1/ ^(р-1/7 (р-1/-
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 333
Если иге z не будет целой рациональной функцией, тогда выражение Г 1
суммационного члена станет бесконечным. 1ак, если z— —, так что
суммировать нужно ряд
»=р+у р2+4 р3 + • • ~ 4 рх>
то, поскольку
dz _ I d32 _ _2-:l d'z 2-3-4
dx x- ’ dx- хл ’ dx- xl ’ dx1 x’
мы получим суммационный член
- < 1 _ 1 1 р + 1 . р- + 4р 1
S Р — 1 V х ' (/> — 1) ' — I)2 ?+’ (р — I)3 X1
+ Р1±^±^Р.±Х+ и-т д> + С
Здесь постоянное С нельзя определить из случая ж = 0; для определения этого постоянного положим поэтому х—1- так как тогда
,s- = р, то
г _ п _ + < -t j_1___|_ Р+1 р3+4р+L
T;)_t . (р-1)3 . (р-1)3
и т- д.
178. Отсюда видно, что до тех пор, пока р не обозначает какого-либо определённого числа, мы не получаем большой пользы для приближённого суммирования рядов. Но сразу же ясно, что вместо d нельзя написать 1, ибо тогда все коэффициенты а, 3, у, & и т. д. стали бы бесконечно большими. А так как ряд, который мы сейчас рассматриваем, при р=1 обращается в ряд, который мы уже рассмотрели выше, то удивительно, что этот как будто бы самый лёгкий случай нельзя получить из здесь рассматриваемого. Далее, замечательно также и то, что в случае р=1 суммирование требует вычисления интеграла §zdx, тогда как в общем случае сумма получается без всякого интегрирования. Таким образом, оказывается, что в то время, как все коэффициенты а, р, у и т. д. становятся бесконечными, -появляется это интегральное выражение. При этом случай р=1 является единственным, к которому нельзя применить найденное здесь общее выражение. Впрочем, по следует думать, что в этом случае общая формула даёт неверный результат, ибо, хотя все члены её и становятся бесконечными, однако на самом деле все бесконечности взаимно уничтожаются, и остаётся конечное количество, равное сумме и совпадающее с тем, которое находится по первому методу, что будет подробнее разъяснено ниже.
179. Пусть теперь />=••—1. Тогда в ряде, который подлежит суммированию, знаки чередуются:
1234... х
— а + ft — с -- d -— ... ± z,
где z положительно, если х есть чётное число, и отрицательно, если х есть нечётное число. Итак, положим
“ а ft — с -J- d — ... -j- z= s.
334 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
Тогда будем иметь
± 1 /" a dz , В d2z di2"
yd3z dx3
, $dlz > „
+-^- и т-д-;+^
где верхний знак нужно брать, если х есть число чётное, и нижний — если х есть число нечётное. Переменив знаки, получаем
> , ,, ,, -г- —1 / adz , &d-z yd3z \ , „
а — Ь^-с — d + e — /+ .. - Т- 2= Т—! z----, + ---— и т- Д- )+ С,.
1 ‘ 2 \ dx 1 dx2 dx1 J
где выбор знака совершается по тому же закону.
180. В этом случае коэффициенты могут быть найдены из ранее-полученных выражений, в которые всюду подставляется р = — 1. Однако они легче находятся по формулам, данным выше в § 175, из которых тотчас же усматривается, что эти коэффициенты, взятые через один, исчезают. Действительно, если положить р~ — 1, то эти формулы принимают вид
— 2а =1, —4(3 = 0, — 6у = 0—а2, —83 = 0—2а^,
— 10г = 0—2а,у —р2, —12£ = 0—2ао — 2ру и т. д.,
откуда находим, что так как (J = 0, то также и 8 = 0, далее, С = 0^ 6 = 0 и т. д. Остальные же буквы определяются следующим образом:
а2 2ат 2ае + г2
Y = а = Чо’ ’
__ 2ат; + 2уе
~~ 18
и т. д.
181. Чтобы эти вычисления можно было произвести удобнее, введём: новые буквенные обозначения; пусть
А ________ В _ С
а— 1'2’ ^“1-2-3-4 ’ S~ 1-2-3-4-5-6 ’
D _ Е
\-2-3 ...S’ l~ 1-2-3...10
И Т. д.
Тогда ранее найденная сумма будет
2 V^"l-2dz l-2-3-4dzJ+1-2 ...
И Т. д
Коэффициенты же определятся из следующих формул:
5С
А=1, чд 4'зла 32? = Г2Т’
6'5 л р
1-2 AtS’
ID — 8'1 AC I 8~7'6-5 g2
/Д' 1.2ЛЬ + 1.2-3-4 2 ’
9Е = AD + ВС’
12-11 , 12-11-10-9 Dn , 12-11 -10-9-8-7 С2
11Р = -Г2-Л£+ -1.2:з-4-д2) + -1^з:ГТцГ У
И Т. д.,
1
2 ’
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 335
которые можно представить в более лёгком и удобном для вычисления виде следующим образом:
А = 1,
В —2'^-,
С^ЗАВ,
D = iACA-^^~~ ,
Е = 5AD + 5 • ~ ВС,
F = 6АЕ + 6 BD + 6 • -з°^Йб7' ? ’
С = 1AF + 7 ВЕ + 7 CD
3-4 3•4•о•о
И т. д.
Выполнив эти вычисления, найдём
А = 1,
В=1,
С = 3,
5 = 17,
Е = 155 = 5 • 31,
5 = 2073 =691-3,
G = 38 227 = 7 • 5461 = 7 3~
Я = 929 569 =3617-257, 1 = 28 820619 = 43 867 -9-73
и т. д.
182. Если внимательно рассмотреть эти числа, то наличие в них множителей 691, 3617, 43 867 легко позволит сделать заключение, что эти числа имеют связь с вышенайденными бернуллиевыми числами и могут быть из ношение, тотчас из бернуллиевых
1 - ЗМ
3 • 553
них определены. Тому, кто будет искать это соот-же станет ясно, чисел 51, 53, ®
А = 2 • 5 = 2 • С = 2 • 7 • 9® 5 = 2-15-17® Е = 2.31 • 33® F = 2 • 63 • 65g 6 = 2 • 127 • 129® = 2(214 —1) ®, 5 = 2 • 255- 257^ = 2 (218-1)$ и т. д.
что эти числа можно образовать , б и т. д. следующим образом:
= 2(22 -1)51,
= 2(24 — 1)53,
= 2(2“ -1)®,
= 2 (23 -1)®,
= 2(210 — 1)®,
= 2(212 —l)g,
Так как бернуллиевы числа являются дробными, а наши коэффициенты— целые, то ясно, что эти множители всегда уничтожают дроби;.
336 гл. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
итак, мы будем иметь
А = 1, В = 1, С' З, £> = 17, Е = 5 • 31 = 155, F = 3 • 691 = 2073, G = 7 • 43 127 = 38 227, Н = 257 • 3617=929 569,
Z = 9 • 73 • 43 867 = 28820 619, А = 5 • 31 • 41 • 174 611 = 1 109 652 905, £ = 89 • 683 • 854 513 = 51 943281 731, М = 3 4097 • 236 364 091 = 2 905 151 042 481, 7V--2731 • 8191 • 8 553 103 = 191 329 672 483963
и т. д.
Обратно, из этих целых чисел можно найти бернуллиевы числа.
183. Итак, если бернуллиевы числа использовать для предложенного ряда
1 2 3 4 5 х а — b Т с — (I -ц с — ... Т s,
то его сумма будет
/ 1 , (22
Uz+-4^—
(2* —
1 • 2 ЗА ~dxA
(25 ,
ЧТУТ»- и т- Л-J 4-const.
Легко усмотреть, что эти числа не случайно входят в это выражение. Действительно, поскольку предложенный ряд получается, если из ряда
а Д- Ъ 4- с + d 4- ... 4- z,
гдо все члены имеют знак Д-, отнять дважды взятую сумму членов, стоящих на чётных местах, 6и т. д., постольку и найденное выражение может быть разложено на две части, из которых одна есть сумма всех членов, взятых со знакои +; она будет равна
, 1 , Adz 48d3z ,
2 Ж + 2 Z 1 l-2dz l-2-3-4<£:3 ‘ 1 -2-3-4-5-6 dx*
И T. д.;
сумма же членов, стоящих на чётных местах, находится тем же способом, которым мы пользовались выше. В самом деле, так как последний член z отвечает индексу х, то предпоследний, отвечающий индексу х — 2, будет
2 dz i-d-z 23d3z__________2М4з
Z dx ' 1 • 2 dx- l-2-3dx:! 1 1-2-3-4 dz4 И T‘
Эта формула получается из той, которой ранее выражался предпоследний член, если вместо х написать у . Таким образом, сумма членов, стоящих на нечётных местах, получится, если в сумме всех членов
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 337
заменить повсюду х через у. Следовательно, она равна
Ц , 1 „ , 2St dz 2А8 d3z 26©<Z5z
T J Z ax ' 2 Z ’ 1 • 2dx 1 - 2 3 • bdx3 1 • 2 ... &dx3
Если удвоить эту сумму и вычесть из предыдущей суммы, или если, в случае, когда х есть чётное число, предыдущую сумму вычесть из удвоенной этой суммы, то остаток даст сумму ряда
1 2 3 4 5 х
а — Ъ-\- с — d 4-е— ... Т z,
которая, следовательно, будет равна
т/1 , (22-1)21^ (2‘- l)%d'z >
-Г7Т-Гй7з + » т- Я.) + С.
Это выражение совпадает с только что найденным.
184. Возьмём в качестве z степень хп количества х и найдём сумму ряда
1 — 2"З" — 4" Ч - ... 4= хп.
Так как
то, пользуясь коэффициентами А, В. С, D, найдём, что искомая сумма есть
(хп + у «гсп)
11 В n (п — 1) (п — 2) ц 3 с п (п — Г> (п — 2) (п — 3) {п — 4) „ ,6 I
+ 2’! ~ 4 ~~~Г~2~1 х 0 ТТТ7з-Г.“5 Х [ ’
I n (ZI — 1) ... (п — 6) п , .
I — у- --у—.,-—у-Хп 7 4-И т. д. 4-const. ]
где верхний знак берётся, если х есть чётное число, нижний же — если х есть число нечётное. Постоянное же нужно определить так, чтобы сумма исчезала при х = 0 (в этом случае берётся верхний знак). Подставляя вместо п последовательно числа 0, 1, 2, 3 и т. д., найдём следующие суммирования
I, + + j ,= у 1(1) 4 1 .
Таким образом, если число членов чётно, то сумма будет равна 0; если же оно нечётно, то сумма будет равна 1.
II. 1 — 2 4-3 — 4 4~ • 4- х == т — (х + у') "1 ’ • -V -У 1
г,, , i
1аким образом, если число членов четно, то сумма будет равна —-г,,
1.1
при нечетном же числе членов она равна — ж4-у.
III. 1 - -2'4-3' — 434- . . . х' = 4~ 4 (х2 -гх).
Таким образом, для чётного числа членов сумма равна — *, х! — х,
22 Л. Эйлер
338 ГЛ- VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА (АММИРОВ\1Н1Я
для нечётного же она равна ~ х2 I- ' х.
IV. 1—2з ,-33-vj (у+ ;)-|-
,г .. 1 з
Таким образом, для четного числа членов сумма равна — --х~—~х~,
L 3 3 . 1
для нечетного же равна — х ^-х-—.
V. 1 - 2* + З4 - V - . . . Т *4 = + 2 С'-’4 : 2л3 - х).
Таким образом," для чётного числа сумма равна д’- - ./ 3-f- , х, для
1 . , з 1
нечетного равна -- х1 ~t~ х; — х и т. д.
185; Мы видим, что для чётных степенен постоянное слагаемое исчезает, и в этих случаях сумма чётного числа членов отличается от суммы нечётного числа лишь знаком. Если же j будет бесконечным числом, то так как оно не является ни чётным, ни нечётным, это различение должно терять силу, и следовательно, в сумме нужно будет отбросить члены, имеющие двойной знак. Отсюда следует, что сумма таких рядов, если их продолжить до бесконечности, выражается одним только постоянным количеством, подлежащим прибавлению.
Поэтому будем иметь — I 4- и т. д. до бесконечности =
1 - 2 i-3 \ -i- и т. д............=',J-
1 — 22 4 З3 - 4'3 + п т. д.........= о,
1 _2s-l3’-43 -j- и т. д........... - -
1 -2«4-:,‘-44-г и т. д.............. О,
1 — 25 4-35 — 45 у и т. д. ....... . =/.,
1 —2’4-3‘ — 4’ г и т. д.........=0,
1 — 27 + З7 -4’+ и т. д............- -
(2- 1)Д
1 2
/; _ (2‘
( 2В - I ) (S
--- Д’ ’ ’ ,
/> (2Ч -1)3
IG а
и т. д.
Эти же суммы находятся с помощью изложенного выше (§ 8) метода суммирования рядов с чередующимися знаками ; и
186. Если вместо п мы будем брать отрицательные числа, то выражение суммы станет бесконечным. Пусть п~ - 1: тогда будем нм< ть сумму ряда
2^3
И Т.
Const .
Так как в этом случае постоянную нельзя определить из случая ж--0, она должна быть найдена из другого случая. Положим х= 1.
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 339
Так как тогда сумма равна 1 и знак берётся пняшип. то будем иметь const. = 1- *(у — 4+ у— у т- и Т. д.) или 1 ! A’ С I)
const. = -г — -5— 4- и -Г. Д.
д К 1- Н>
Можно также положить х — 2; так как сумма теперь равна 4 и знак нужно взять нижний, то будем иметь
с 1 , 1 < 1 .1 , В с , А
const. = 2 + 2 2 — — + 4 -—t - 2,; + и т. д. J
или
, л , в С ,
const. = 4— 2,; + „ -Г. д.
Если же положить то будем иметь
, 17 .1 , В С Г)
const. =2, 4 42 + s-~4-!2-4,; О l(, И Т. Д.
Как бы мы ни определяли постоянное, всегда получится одно и то же значение, которое вместе с тем даст сумму ряда, продолженного до бесконечности.
187. С помощью зтих новых чисел А, Н. С, /). И и т. д. можно также удобно суммировать ряды обратных чётных пт пеней, в которые входят только нечётные числа. Действительно, ес/гп положить
,.1.1.1 1,1.
1 + 2апТ + 42К г 2»; + Рд/, 11 I. Д- =•'>’, то будем иметь
1 1 , 1 , +с=»+ И Д-
Если этот ряд отнять от предыдущего, то в остатке получим
А так как значения х для отдельных чисел и мы нашли ужо выше (§ 125), то будем иметь
1+V+ 1 +-4-3 И Т. д. _ .1 2 '4 ’
, t 1 1 В тт 1
1 + -у- ~ 5' + -I + И т. д. = 1 : 2 АГ 'г ’
. 1 . 1 1 с п,6
1 “г з6 + ~ -о + и т. д. = i • 2 . Г 7, т ’
. , 1 1 1 1) _
1 Д_ . 1 1 08 и о8 *Г + и т. д. ~ Г 2 < 1 \ ’
, 1 , 1 , 1 Е
1 г :щ т 5‘» ’ри ’ и Т. д. = Г- 2Гз . .. 1 о * Г
и т. д.
Если же будут входить все числа, но знаки будут чередоваться, то, так как
340 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
мы будем иметь
1 1 1 , 1 л - 231 7Т,- (2 - 1) 21 .
1 — 22 + 3? 42 T г,г и Т. д. 1-2 т - t . 2 Л ,
1 -1- 1 1 , 1 В — 223 тс4 (23 —1)5В 4
1 24"+ 34 + И т. Д. — 1 2 3 • 4 4 1 • 2 3 • 4 “ ’
1,1 1 , 1 С -2® «« (26-1)®
1 2v+ 3e ~ 45 + 5» “ и Т. Д. 1 • 2 ... 6 С _А 1 2 ... 5 • 6
1,1 1 , 1 D - 2® п8 (27-1)® .
1 03 I 38 “ S’"- И Т. д. 1 • 2 ... 8 4 1 2 ... 8 ’
1 4- 1 1 , 1 Я-2® я1» (29-1)® ,0
1 2Ы “Г дуг. 410 । 510 и т. Д. 1 2 . . . 10 Го “ 1 • 2 ... 10
и т. д.
188. Так же как до сих пор мы рассматривали ряды, члены которых суть произведения членов геометрической прогрессии р, р2, р3, р1 и т.?д. на члены какого-нибудь ряда a, b, с, d и т. д.. можем мы рассматривать и ряд, члены которого суть произведения членов каких-либо двух рядов, из которых один можно считать как бы известным. Пусть известный ряд есть
12 3 х
C4-...4-Z,
а другой, неизвестный, есть
CL -р Ъ ~|~ С . . i -J- Z,
и пусть ищется сумма ряда
А.а -р ВЪ -р Сс -р .,. -р Zz.
Положим сё равной Zs. Пусть предпоследний член известного ряда равен К; тогда, если положить х--1 вместо х, выражение суммы
•S' • Zz перейдёт в
,r Z ds d-s d'-s d*s \
1 V ~ 2^3“ ГЗР + 2ЙГ4- И T- Д-) •
Так как это выражение представляет сумму ряда Zs без его члена Zz, то будем иметь
последнего
Zs - Zz - У$ -
dx
i'd'-s Yd3s
2d x2 (dx3
+ И Т. Д.
Это уравнение содержит в себе соотношение, которым сумма Zs ставится в зависимость от У, Z и z.
189. Для того чтобы решить это уравнение, пренебрегаем сначала Zz членами, содержащими дифференциалы. Тогда будем иметь $ = /_,у • Обозначим это значение i^—v через Рт; тогда истинное значение $ =
Zj — 1
= Р1-Рр; подставив это значение в уравнение, получим
Yd?' , Yd2PT Ydp , Yd2p
(Z — У) p - -t- — и t. Д. dx + idxi
и т.
д.
d’p1 d2P1
Прибавим с обеих сторон YP}; так как Р1 — -р то значение количества Р1, которое получается, если вместо х
и т.
д. есть
подста-
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 341
вить х — 1, то положим это значение равным Р. Тогда будем иметь
+ + и т. д.
Пренебрегая здесь дифференциалами, будем иметь
Y (Р -Р1)
Y (Р — Р1)
Положим - = Q1 и пусть p = Q1 + q', тогда получим
(г_п,__£ЙЙ±Й+£1^*Й_ „ д.
Обозначив через Q значение количества Q1. которое; оно примет, если вместо х написать х— 1, будем иметь
= + И т. Д.
Пренебрегая здесь дифференциалами, получим E(Q-Q]) 1~ Z -~У •
Положим —у _у — R‘ и пусть истинное значение q = R1 4- г, подобным же образом найдём
_Y(R-R1) Г~~ Z - У~ • Продолжая поступать так же, найдём искомую сумму
Zs — Z (Р1 + Q14-R1 Д- и т. д.).
190. Итак, если предложен какой-либо ряд
Аа 4- Р&4- Сс + .. . 4- У?/4- Zz, то его сумму можно определить следующим образом: положим если подставить х — 1 вместо х
z-y = pi пусть Р1 перейдёт в Р,
у (Р-Р1) Z —У = <?т пусть Q1 перейдёт в Q,
YjQ-Q1) Z — Y = pi пусть IP перейдёт в R,
Y (R — R1) Z —У = £1 пусть S1 перейдёт в S
и т. д.
После того как эти значения найдены, сумма ряда будет равна
ZP14- ZQ14- ZIP 4- ZS14- и т. д.
4- постоянное, которое должно обратить сумму в нуль, если положить х=0, или, что то же, которое обеспечивало бы, чтобы удовлетворялось какое-либо условие.
342 ГЛ. VI!. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИЛИ!: МЕТОДА (А ММ! I РОНА 1111Я
191. Эта формула, которая не < <>лсjouin никаких дифференциалов, в очень многих случаях легко применяется и часто даёт истинную сумму. Так, пусть предложен ряд
/> + 'ч? + (ч" Э" -- . . . - х’ рх.
Здесь Z =//' и z = x2; мы будем V v 1 С“' Р ИМ'ТЬ I = Р . = - ' / -} р-1 }• и z-r -
= - Отсюда получим Р - 1
, , Р - ! [> _ Рх~. ~-1> г X-р Р " !
Qi =- -Рг + р * </’—!)- 0= -2/"'+:’/>. ' (7'-1Г
7?!= 2/> , (/'-<)• п = , (е-1Г
51 = ().
Все остальные исчезают; таким образом, сумма будет равна
х Г РЧх._1рх_-Р ; -Р .. -Р _
f \Р~1 (Р-1)’/ (Р-^)1 (р-1/
, т + 1 \ р(р+1)
-/? 1 (/> - l)^(p-iyj (р-1)3’
как выше (§ 176) уже было нами найдено.
192. Таким же способом, которым мы пришли к этому выражению суммы, мы можем найти другое выражение, если предложенный ряд не составлен из двух других. Это выражение можно будет употреблять преимущественно в тех случаях, когда в предыдущем выражении получаются исчезающие знаменатели. Итак, пусть предложен ряд
1 2 й 1 ... х
<7 4- b с 4~ <1 ... z;
так как, если положить х -него числа, то будем иметь
вместо х. сумма лишается своего нослед-
। r/4s
G-7.r' ' 2'«r/.rl
Ts
Id, -
И т. Д.
или
, d'->
Так как в эту сумму к не входит, то пренебрегаем высшими дифференциалами II получаем х — J* z <iположим §zdx. — Pl н путь Р1 переходит в Р, если вместо х нанимать х - 1.
Пусть истинная сумма v = Р1 /;. Тогда будем имг,ть
d Р1 Тс
и Т. ,7,.
то
Г.!. \ н. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ;:4.3
откуда
р — \ (z - - Р‘- Р) ch'.
Положим. далее, f (z Р1 -j- Р) dx = Q', и пусть это значение переходит в Q, когда х 1 подставляется вместо .т. Пусть
'у (г Р1 : Р О' 4-0) dx-R1 О'--- 5 (*?' Q>df-
Пусть. далее.
Я1- (Я1 — R)dx — S'
и т. д. Искомая сумма будет
s~- P} ; (Д 4-7?1 ;• 51 4* 11 т. Д- + const..
причём постоянное должно удовлетворять какому-нибудь условию.
193. Несколько изменив обозначения, мы представим это суммирование1 в следующем виде1. Если предложен подлежащий суммированию ряд
1 2 .') 4 х
х — а \-Ь р с 4- d . . . 4- z,
положим если подставить х—1 вместо х,
\ zdx 1 Р пусть P перейдёт в p,
Р- (P-l^dx^Q пусть Q перейдёт в у,
Q- f (Q-q) dx=--R пусть R перейдёт в г.
После1 того как эти значения найдены, сумма ряда будет равна Р 4- Q 4- Я 4- 5 4- и т. д.
Это выражение легко даст сумму, если можно будет выразить указанные выше интегралы. Чтобы пояснить примененье этой формулы, возьмём для примера z — xx ( х. Тогда
1 - , 1 . 1 3 1 , . I ,1
Р = - ,г 4- ( т . р = -- х — х- 4- . Р — р - х- --
п
(Я — р) (1х=- * х" —£ х\ Q - (1( х2 4- х, 1 . , 1 „ 1
<7= 2- ж — _ х, Q-q ж --.,-
и
(Q ~ ?) dx = I х — 1 х, R—~x, г—\х —* , Я - г у
и
\ (R — г) dx = -^-х;
."44 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
5 — 0 и остальные значения
исчезают. Поэтому искомая сумма будет
1 .. . 1
1
1
1
7
1
х ~~ "з
Таким же образом с помощью последовательных интегрирований можно найти суммы всех рядов, общие члены которых суть целые рациональные функции от х. Отсюда легко усмотреть, как широко простирается учение о рядах, и многих томов было бы недостаточно для того, чтобы охватить все методы, как уже имеющиеся, так и те, которые можно ещё придумать.
194. До сих пор мы искали сумму, начиная с первого члена и кончая тем, индекс которого ость х. Если такая сумма известна, то, положив х— со, можно узнать сумму ряда, продолженного до бесконечности. Часто, однако, предпочтительно искать не сумму членов от первого до члена с индексом х, а сумму всех членов от члена, индекс которого есть х, до бесконечности. В этом случае мы получаем более удобные окончательные выражения. Итак, пусть предложен ряд, общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен z; пусть следующий член, отвечающий индексу х + 1, равен z1; следующие же за ним пусть будут zn, zin и т. д., и пусть ищется сумма следующего бесконечного ряда
х х --j-1 x-f-2 хЧ-3 и т. д.
+z1! rZ:ll-{- и т. д. до бесконечности.
п T. д.,
Таким образом, сумма s будет функцией от z; если в пей положить х 4-1 вместо х, получится первоначальная сумма без первого члена z. Но так как при этой замене s переходит в
, ds , <Z2s 4’
то мы будем иметь
~, ds d2s t dss
* Z “ ' dx "T" 'ldxl ’ bdx2 ' 24<Zx4
d*s
или
0
ds d2s dss , dts
dx Zdx2 <.dx'3 ‘ Z'idx’- “f* И T>
195. Рассуждая, как раньше, найдём, пренебрегая высшими дифференциалами, что s — C—^zdx. Положим zdx — P и пусть истинное значение s — C — Р -j- Р', тогда
dP d2P dsP
dx Zdx2 (idx3
т. Д. +
dp d2p
dx 1 Zdx1
и T. Д.
и
dsP , 6dx3
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 345
Пусть Р переходит в Р1, если вместо х положить х—1. Тогда
0=г+Р_р1 + 2 + ±£+^+„ ,, л.
Отсюда, пренебрегая высшими дифференциалами, получаем
р = (/>i-Р) dx - Р.
Положим
(Р1 — P)dx -P^. -Q
и пусть р=— Q + Q', тогда
л , п пт dQ d"Q , ^7 > d-q I
0 = z + т. Д.+й^-21?4 и t. д.
Пусть Q переходит в Q1, если вместо x положить x-{1. Тогда
0 = г + Р-р.-.9-?. + £ + ±2 + „ т.
откуда следует, что q— (С?1 — Q} dx— Q. Поэтому, если цифра 1, поставленная при каждом количестве сверху, будет обозначать то значение, которое это количество принимает, когда вместо х мы полагаем х 4-1, и если положить
zdx -Р,
Р — (pi _ р) dx = Q,
Q-\(Ql-Q)dx = R, R—^ (Ri~R)dx = S и т. д_,
то предложенный ряд z 4- z1 4- z11 -j- z1114~zIV 4- и т. д. будет иметь сумму, равную С — Р — Q — R — S — и т. д., где постоянное С нужно определить таким образом, чтобы при а;=оо вся сумма исчезала. Так как приложение этого выражения требует выполнения интегрирований, то в данном месте мы не можем разъяснять, как пользоваться этим выражением.
196. Чтобы избежать интегральных формул, положим сумму ряда равной ys, где у есть некоторая известная функция от х. Тогда будут известны значения у1, у11 и т. д., которые эта функция принимает, если вместо х полагать а; 4-1, х-+~2 и т. д. Если положить х 4- 1 вместо х, получим прежний ряд без первого члена; сумма этого ряда, следовательно, будет
т f . ds , d2s . d3s , \
y\S + d^^+up+U Т-
ИЛИ
. у1 ds . ii^d-s .
z + + + + u t-
Пренебрегая здесь дифференциалами, получим s=——т Положим
у- У
34R J-I- VH. ДАЛЬНЕЙШЕЕ P ХЗВПГНЕ МЕТОДА (A'\i МИРОВ А НИ Я
-г^ =. р. У J и пусть истинное значение s = —Тогда ч'ЛР ъ'77> ] -'чу г- д- ! ,, I,. > (!/-у’)р. d.c У1х- ' Д- j
так что ’''dx + 'zdS ! Мт" т‘ л- = ?yl (Pi “/)) — 'уХ -W-
11 оложим (У-.кУ. 1, и пусть р = (> + '7‘ тогда у1 - >/ у'(О'-Q] + у1 Су,. СС + " г- д-)=-С7 -.7И-
Положим /? = ^^---и JIV< ть 7=— R + r.
У - у
Если мы будем итти дальше таким же ложеиного ряда ziz'-'-z11 "ш-}-z1'~ и т. образом. Взяв произвольно функцию от z. положим
образом, то сумма прсд-д. найдётся следующим которая пусть равна у,
0 _ ?/’ (Р1 - D у^Р и'-у
R = = Д(? + у/7,
// 1/ *\?/
oio' -к> ^'“ + аЛ
— У
и т. д.
Тогда искомая сумма будит равна
С — Ру-\ Qy— Ry 5//—п т. д..
еде за С nva.no принять такое постоянное количестве, при котором сумма исчезает, если положить т оо.
197. Возьмём у — , так как у1 — <'х *,то будем иметь у1 -у — ол' (к I).
о,куда
и т. д;
!'. I. VI!. ДА. 1Ы1ЕИ.1ПЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 347
Поэтому сумма предложенного ряда будет
: :!«?' -од'-,гм_
а — 1 («—[)- (« -!)’ (п— 1 )4 11 /1"
Такое же вы ражен не суммы ли>1 нашли уже- выше, в первой главе. Если давать количеству у другие значения, можно получить бесчисленные другие выражения, из которых можно выбирать такие, которые наплучшим образом подходят к тому или иному случаю.
ГЛАВА V1J1
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ОБРАЗОВАНИЮ РЯДОВ
198. Мы расскажем ещё об одном приме-нении дифференциального исчисления к учению о рядах, а именно, о применении ого к самому образованию рядов. Мы ужо упоминали об этом, когда речь шла о разложении в ряд дроби, знаменатель которой есть степень какой-либо функции. Этот метод сходен с тем, который мы уже применяли несколько раз, когда полагали функцию, разлагаемую в ряд, равной некоторому ряду, имеющему при отдельных членах неопределённые коэффициенты, которые затем должны быть определены из устанавливаемых равенств. Этот способ определения коэффициентов часто облегчается удивительным образом, если, прежде чем его применить, мы продифференцируем уравнение, введя первые, а иной раз и вторые дифференциалы. Так как этот метод имеет очень широкое применение в интегральном исчислении, то мы его изложим здесь обстоятельно.
199. Прежде всего повторим вкратце то, что ранее было сказано о разложении дробей в ряды без помощи дифференциального исчисления. Пусть предложена какая-нибудь дробь
А + Вх + Сх1 + Dx3 -ри т. д. _
а -р tks 4- ух2 + йг3 гх* Д- и т.д. ’
которую нужно представить в виде ряда, расположенного по степеням х. Представим себе, что s выражается неопределённым рядом s = ЭД + ЯЗз + Ез2 + + и т. д.
Так как, если с помощью умножения освободиться от дроби, мы будем иметь
А -р Вх -р- Сх2 ~р Dx3 -р Еа;4 ~р Fxh -р Gx* ~р и т. д. =
--$ (а$х-р\х2 + Zx3 + еа;4 -р г~,х3 -р -цх3 -р и т. д.), то, подставив вместо s предполагаемый ряд, получим уравнение:
А-тВх + Сх2 A-Dx3 + Exi 4-Fa;5 -р и т. д.
ЭДа -р 93аа; -р бЭ.а;2 -р ®аа;3 -ф ®аа;4 ~р [уаа;5 -р и т. д.
+ ЭДр -Р S3₽ +®р +®р -фи т. д.
+ ЭДу -Р 93 у + ©у + и т. д.
+ ЭДЗ +23S +®о -фи т. д.
л-ЭДе -рЗЗз +и т. д.
+эд: -г и Т. д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ 349
Приравняв друг другу отдельные члены, содержащие одну и ту же степень х, получим
®а-А = 0,
83а + ?1Р-Б = О,
3)а+ Kp4-23y-l-2l8-D = O,
®а + + Ку + 238 + — Е = О
и т. д.
Из этих уравнений определяются предположительно взятые коэффициенты, и таким образом находим бесконечный ряд
21 + 23^ + Ез2 + + и т. д.,
равный предложенной дроби s. Этим способом, если как числитель, так и знаменатель имеют конечное число членов, можно получить все рекуррентные ряды, о которых мы подробно говорили выше1).
200. Если же либо числитель, либо знаменатель, либо и тот и другой возводятся в какую-либо степень, то тогда этим способом ряд получить трудно, так как работа становится чрезвычайно утомительной, если только возводимая в степень функция не является биномом. С помощью же дифференциального исчисления этой работы можно избежать. Пусть сперва мы имеем один только числитель и пусть
s — (А-^-Вх -j- Со:2)”;
требуется найти ряд, расположенный по степеням х, равный этой степени трёхчлена; заранее, конечно, известно, что ряд будет конечным, если показатель -п будет целым положительным числом. Представим себе снова, что s выражается неопределённым рядом
s = 21 + 23^ + 4- и т. д.
Заранее известно, что первый член 21 этого ряда равен Ап, действительно, если положить х =Т), то из предложенной первоначальной формулы находим, что .« = Ап, а из предположительно взятого ряда s = 2l. Такой способ определения первого члена необходим по самой сути дела, если мы желаем перейти к дифференциалам, ибо, как сейчас станет ясным, из них первый член не определяется.
201. Так как .9 = (Л Т Вх -j- Сх'^п, то, логарифмируя, будем иметь
I .<? = п 1 (А 4- Вх + Сх1).
Отсюда, дифференцируя, получим
ds пВ dx а- 2пСх. dx . . „„ ds . . __ .
.- == л ; Rr . или Вх+СхА-^=т(В + 2Сх).
А из предположительно взятого ряда мы имеем ds
— 23 4" 2®;г4' 3®яг 4- 4®zs 4-5§z4 г и т. д.
) «Введеаие», ч. 1, гл. IX и XII.
350 ГЛ. \ III. О ПРИМЕНЕНИИ ДПФФЕР. НС.'ННЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
... ds
Если вместо подставить этот ряд, а вместо х подставить предположительно взятый ряд, получится следующее уравнение:
.423 т 2.1(£г - ТГТт3 -1 4.4 Gm3 . .5.1д-.г1и т. д.
/У23 4* 2//G-}- 3/>’Т- W7G+ и т. д.
- 693 — 2CG4- 3(’Т + п т. д.
= пВ$1 4- /гВ93 + пВ& + nBh-г w/?G 4- и т. д.
2«6'21 + 2нС93 + 2w.6'(i 4- 2tiCh -}- и т. д.
Приравнивая друг другу члены, имеющие одинаковые степени количества х, будем иметь
п /ЛЧ о - — -- ,
(/; — 1) В® 'ltd 21
С = 57] - .
(/(-2)J?eT(2a 1)О2<
J ' В. I
„ (» 2) ВЛ е(2" -2)(’Ц
С== 4.1
~ (»- 4)ВС г(2» -3)СТ
5.1
И Т. д.
Поскольку, как мы видели, 91=ЛП, будем иметь 93 = н.4п 'В. и отсюда последовательно определятся все остальные коэффициенты. Из этих формул очень легко виден закон, которому подчинены яти коэффициенты; он оставался бы очень тёмным, если бы мы пожелали непосредственно возводить трёхчлен в степень.
202. Тот же метод пригоден и в том случае, если требуется возвести какой угодно многочлен в какую угодно степень. Путь
х = (.4 4* Вх + Сх- 4- Dx3 + A’z4 4- и г. д.)": допустим, что
х = 21 4-23m 4-Gm3 4-'2)m34-G-r* 4- и д.
Тогда 21 = 71"; это значение мы получаем, положив ,-г = 0. Как мы делали это прежде, будем логарифмировать и .затем дифференцировать. Тогда мы найдём
ds пВ dx J- 2пСх dx --'inDx2 dx -1 'ntBx'dx и г. д s . 1 — Вх + Сх'1 Д-/Хгя г-Яи т. д.
ИЛИ
(А±Вх гСх- р Dx3 + Ex* -j- и т. д.) =
= s (пВ+ 2пСх 4- '.ytiDxx j 4nEm3-i- и т. д.).
Так как
(Ir ® + ‘^х + /j ^r' ' 'i~ 11 т- Д- >
г. 1. \Ш. О ПРИМЕНЕНИИ ДПФФЕР. ПС’ШСЛ. К ОВР Л.'ЮВ. РИДОВ зы
ds
о, подставляя эт и ряды вмести s и , будем НАНЯТЬ
.423 - 2А&х ЗЯ®+ v 4ЯБ+ -- 5.45+ + 11 Д
523 г 256+ ЗВЪ- 456-1 11 T. Д
... суц+ 2СА-С 35® 11 Т. д
5 + г 256 + и Т. Д
+ 523 3 и т. д
— tiB'A.f tiBSQ-r пВС, + ?/5® + ?/5® + и т. д
+ 2//С91+ 2//С23 + 2?/56-г 2т/5® + и г. д
+ 3//591 + 3nD4B + 3//56 + 11 т. д
+ +/E9t — 4//E23-! 11 '1'- д
+ 5E-M + и Т. д
Отсюда для определения коэффициентов получаем следующие формулы:
.123 = 7/591.
2.10 = (/г 1) ВЪ + 2//591.
3,1® =. (fl 2)В^ + (2п 1) С<& + Зп£В&,
1'16 = (н ВЪ + (2/i 2) 56 + (Зп - - 1) + 4?/E9t.
Г+17у = (дг - 4) 56 с (2и-3)5®у- (Зп-2) 56 1-0// 1J/+23 + 5//E91
и т. д.
Отсюда становится' совершенно очевидным, как связаны между собой предположительно взятые коэффициенты 91, 33, 6. ® и как их определить, исходя из равенства 91 = .4".
203. Если количество А + Вл + Сх~ — Dx2 -{- и т. д. имеет ыин'чноо число членов, a п есть целое положи тельное число, то любая степень также должна иметь конечное число членов. Ясно, что в этом случае только что найденные выражения должны в конце1 концов исчезать, а так как все члены должны быть налицо '), то, как только один впервые исчезнет, должны исчезать и все следующие. Положим, что предложенное выражение есть трёхчлен A -j- Bx -f Ст2 пишется его куб. так что // = 3. Тогда будем иметь
91 = .43, ,123 = 3591, 2.46 = 2523 + 6591, ЗЯ® = 156+ 5523. 'tA(S = 0^1C(£, 5Л^= - ВЪ-ЗСЪ, 6.4© = -2йН2Се, 7,4$ = --35@ + 15g 8.43= -4510 + 0,
так что
94 = Я“.
23 = ЗАВ,
6 = ЗАВ2 +I Г. ® = 53 + б АВС.
@=3525 3.1/ .
5 = 355*.
@ 53.
$ = 0,
3 = о-
Так как уже два коэффициента равны нулю, а каждый следующий зависит от двух предшествующих, то, очевидно, все следе ющие равным
1) Пилер, очевидно, хочет сказать, что в обшей формуле разложения ни один из коэффициентов низких степеней не может тождественно равняться нулю.
352 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
образом должны исчезать. Поэтому тем болео замечательным является найденный нами закон, которым связаны друг с другом эти коэффициенты.
204. Если п будет отрицательным числом, так что s будет равно дроби, то ряд станет бесконечным. Пусть
________________1______________
S (а fix ух2 + йх3 + ех4 + и т. д.)” ’
предположим, что его значение выражается рядом
s — 2( + и т. д.
Если в предыдущих формулах положить А = а, В — р, С = у и т. д. и вместе с тем п сделать отрицательным, то получим следующие формулы для определения коэффициентов 21, S3, К, ® и т. д.:
аяз+п[т=о,
2хК + (га + 1) + 2п у21 = 0,
3s.® + (и + 2) Р 6 + (2га + 1) YS3 + Зга32( = 0,
4А® + (га + 3) р® + (2га + 2) у® + (Зга + 1) о 23 + 4гаг21 = 0, 5Д5 4. (га + 4) р® + (2га + 3) у® + (Зга + 2) о® + (4га + 1) г23 + 5га',21 = 0
и т. д.
Эти формулы дают тот же закон зависимости между коэффициентами, который мы подметили уже прежде во «Введении»1 и справедливость которого теперь, наконец, можно было доказать строго.
205. Так обстоит дело, если числитель дроби ость единица или даже какая-либо степень количества х, скажем, хт‘, в самом деле, в последнем случае достаточно будет помножить найденный для первого случая ряд 21 -j- 23# + ®£2 + ®т:3 4- и т. д. на хт. Если же числитель имеет два пли большее число членов, тогда мы не будем наблюдать вышеустановлепного закона следования коэффициентов. Поэтому найдём его здесь с помощью дифференцирования. Пусть
_ /1 + Вх -j- Схг + 1>х3 + и т. д.
(* р fix ух2 р- вх3 р г.т4 И Т..(.)’1
и представим себе, что значение этой дроби выражается рядом
s- == 21 {- ‘fix 4- К .г2 4-®2'3 4- 6т4 + и т. д.
Чтобы определить первый его член, положим а; = 0; тогда из первого выражения будем иметь , а из предположенного ,s =2(; следователь-
А
но, необходимо, чтобы 2( = —. После того как этот член определён, остальные найдутся с помощью дифференцирования.
206. Логарифмируя, будем иметь
1 •$ =~ 1 (Л 4- Вх 4- Сх* 4- Dx3 4- и т. д) — и 1 (а 4-ра: 4-уя’4~ и т- Д-)-
’) «Введение», ч. 1, гл. IV.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ 353
Отсюда, дифференцируя, получим
ds В dx 4- 2Сх dx + '3Dx2 dx 4- и т. д. dx ‘In-^x dx Зп^х2 dxи т. д.
s А + Вх + Сх2 + Вх3 + и т. д. а + рх + ух2 + ох® + и т. Д.
Освободившись от дробей с помощью умножения, будем иметь
' Аа + ДРх + Дух3 + Лох® + и т. д. 1
А-Ва 4- 2?р+ Ву + и т. д. I d s __
+ Са + СР + и т. д. dx
4- Ра 4- и т. Д. )
Ва 4- В$х 4- Рух2 + Вьх3 4- и т. д. "I
4- 2Са 4- 2Ср + 2Су 4- и т. д. I
4- ЗРа 4- ЗРр 4- и т. д. S
I 4-4Еа4- и т. д.
ДР 4- 2Дух 4- ЗД8х® + 4Дех® + и т. д. 1
4- В?> 4- 2Ру 4- ЗРо 4- и т. д. I
I + Ср 4- 2Су+ и т. д. Hs’
I 4- Рр4- и т. д. )
А так как —= $8 4-2Ех + 3®х2 4- и т. д., то, выполнив подстановки, будем иметь
ДаЯЗ + тгДрЭД 1
-Ba® J ’
2а®Д4-(« + 1) ДР53 + 2тгДуЯ1 'j + ОРаЯЗ 4- (га - 1) ВР« > = 0;
- 2Са% J
ЗДа®4- («4-2) Др® 4- (2п4-1)ДуЯЗ+ ЗпА'М '
+ Ра® 4- гаРрЯ3 4-(2га — 1)Ру« I
- СаЯЗ + (га - 2) СРЯ1 ~ °’
— 3Da%
4Да® 4- (га 4- 3) Др® 4- (2ra 4- 2) Ду® 4- (Зга 4-1) Д8ЯЗ 4- 4гаДгЯ1
4- 2z?a®+ (ra+l)Pp®4- 2гаРуЯЗ + (Зга — 1) P89I 4- OCa® 4- (» - 1) CP53 4- (2ra - 2) СуЯ1 -РаЯЗ + (га-3) РрЯ1 — 4ЕаЯ1
= 0
и т. д.
Отсюда легко усмотреть закон составления этих формул. В самом деле, первая строка каждого уравнения составлена по тому же закону, который мы имели в § 204. Коэффициенты вторых строк получаются из коэффициентов первых строк вычитанием п 1; таким же образом, вычитая п 4- 1 из коэффициентов вторых строк, получаем коэффициенты третьих, точно так же получаются коэффициенты всех последующих строк из коэффициентов предшествующих. Что касается самих букв, из которых 'составляется какой-либо член, то их очень легко образовать, руководствуясь только наблюдением.
23 Л. Эйлер
354 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
207. Пусть теперь и числитель будет какой-либо степенью, т. е. пусть
(А 4- Вх -h Сх2 А 7)х3 + и т. д.)“
S (а 4 + ух2 + 6х3 + sx4 + и т. д.)н
Представим себе, что
,<? = 21 + 23# + Кх2 + ®z3 + ©ж4 + и т. д.
Лт
Тогда будем иметь 21 — ; остальные же коэффициенты определятся
следующих формул:
Ла23 + п Др 21 I — J ’
2Ла® + (п + 1) А^ + 2пЛ'(Ч1 ]
- («?-!) 5а23 + (п—пг) -- 0;
—2тС<?М J
3.4а® + (и + 2) Др 6 + (2n + 1) ДуЗЗ + ЗгаДВ?! I
—(ти—2) 2?а6 + (п — т 4-1) ВрЗЗ + (2п—т) I _
-(27И-1)С'а23 4-(л--2т)С^1 f “ ’
— 3mDa№ )
4 Лаб -|- (n-j- 3) Др® 4- (2лг 4- 2) Дуб 4- (Згг 4~ 1) ЛоЗЗ 4- 4ггЛг21 —(т—3) В а® 4- (п —т 4- 2) 2?Р(S 4- (2п—т 4- !) ВуЗЗ + (З/г —т) В№.
—(2т—2) Саб 4- (тг—2т 4-1) СрЗЗ 4- (2п — 2т) C'l'il
— (Зтп—1) ВаЗЗ + (Зп — т) .0(321
—4тиЕа2(
• = 0.
п т. д.
Закон, по которому эти формулы дальше следуют друг за другом, легче уяснить из наблюдения, чем описать словесно. По мере спуска коэффициенты уменьшаются на п 4- т; по мере же продвижения в горизонтальном направлении опи постоянно возрастают на п—1.
208. Вот каким образом мы расширили учение о рядах, пополнив вышеуказанный недостаток и определив закон образования коэффициентов не только для того случая, когда один знаменатель дроби является какой-либо степенью, но и для того случая, когда и числитель состоит из какого угодно числа членов; для того чтобы открыть этот закон, одной индукции оказалось недостаточно. Рекуррентные ряды, помимо тех применений, которые мы уже показали, приносят также очень большую пользу для приближённого нахождения сумм всевозможных рядов. Пример этого мы имели уже в главе первой настоящей
части, когда мы преобразовывали ряд подстановкой х = в Другой
ряд, который часто может содержать конечное число членов. Тот же метод можно было бы распространить шире, если подставлять вместо х другие функции. Так как, однако, закон последовательного составления тех рядов, которые следовало бы подставлять вместо степеней количества х, был тогда недостаточно явственным, то мы сочли нужным
отложить рассмотрение этого расширенного метода до настоящего момента, когда упомянутый закон был бы уже обнаружен. Однако, обдумав вопрос более внимательно, мы увидели, что при решении его
ГЛ. MIL О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ ; .55
можно обойтись без этого закона последовательного составления рядов, прибегнув лишь к помощи того самого метода, которым мы воспо пазовались для разыскания упомянутого закона.
209. Итак, пусть предложен какой-либо ряд
s' = А + Вх + Сх1 + Dx3 4- Ex1 + Fx“ 4- и т. д.
и требуется преобразовать его в другой ряд, члены которого суть дроби, знаменатели которых — степени следующего выражения:
а + Лх -|- ужг + ох3 + гх14- н т. д.
Чтобы начать с простейшего случая, положим, что 21 , 23х 642 , Фж3
а 4 [to ~ (а 4-(to)2 ' (а 4-|to)3 ' (а - (to)4 1 п
Приравняв этот ряд данному выражению, помножим с обеих сторон па аД'Ря; тогда получим
Ла4- Вч.х + Саая -\-Dxx3 4-и т. д. I ' ЗЗж , Ех2
4- Др Д- ВЛ 4 4 и т. д. } ' i.4|ix ^ (« + (to)2
Положим 21 = Да; тогда
Др + Во. = Д', Вр4-Са=В', СР + Dx = С’, ПР 4- Еа= D' и т. д.
Разделив на г, будем иметь
Д' 4- В'х Сх1 + D'x3 4- и т. д. =—+ —^4-r~Tw + и т. д.
' 1 1 и a-j-to 1 (a-j-fto)- 1 (а + jto)2
Снова помножим ня a-i-Рж; тогда, положив Д'р + В’а. —А", В'Л + С'а.-.В": C'UD'i = C"
И Т. д., будем име'1 к «х ФМ
А'7. + А"х + К"х3 + С"х3 + и т. д. = 83 + -^ 4-_^_4-п т. д.
Положим теперь 95 = Д'а и будем поступать, как раньше; если положить
Д"р4- 5"а= Д'"; Д'"р 4- В"'а. = А"", В’^ + С"а.= В'", В"'^ЕС"'х = В’'”, C”^ED"<x = C"’ C'"tt + D"’x = C""
И Т. Д., II Т. Д.,
то будем иметь 6 = Д"а, 2) = Д"'а, (£=Д""а и т. д. Следовательно, сумма предложенного ряда представится выражением
Да , Л'лх , Л "аж2 А"'ах3 , ч =-----_L-----------------1_______I-ИТ Д.
a , ‘ [toj- (а-U м)3 ’ (a + to)1
23*
356 ГЛ. VIII- О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
То же выражение мы получили бы, если бы применили подстановку х dy
——Г- = у или х = .
а + 1 — рг/
210. Это преобразование применяется с наибольшим успехом, если предложенный ряд Л + Вх 4- Сх1 4- и т. д. составлен таким образом, что он, в конце концов, совпадает с рекуррентным или, лучше, с гео-Р
метрическим рядом, получаемым из дроби я_|_ ’)• Действительно,
тогда значения Л', В', С и т. д. в конце концов исчезают, и тем более буквы Л", Л"', Л'"' и т. д. составляют очень быстро сходящийся ряд. Подобным же образом мы сможем воспользоваться трёхчленными и многочленными знаменателями, которые будут очень полезными, если предложенный ряд, в конце концов, будет совпадать с рекуррентным. Пусть предложен ряд
s = Л + Вх 4- Сх1 4- Dx3 + Ех* и т. д.
Положим
_ at ч- ЯЗд; 2Гх2 4- %'д3
S а -р р® + ух2 "Г (а-p рх-Рух2)2
+ агх5
(а -р Рх -р ух2)3
4,"ze + iB"'x7
(а -р рх + ух2)4 И Я’
Помножим с обеих сторон на а 4- рж 4" Y^2; положив
Лу 4- В8 4- Са = А'
В'{ + С?>-i-Dz = В', и 21 = Ла, Су4-Пр4-£а=С' ЯЗ = ЛР4-£?а и т. д.
получим после деления на х2 уравнение того же вида, что первое: А’+ В'хА О’х2 + D'x3-{ Е'х*-ртл т. д =
_ эд'-psB'x а"х2 + <в"хз Эд'"х4+jB,z/x5 *
а т рх-рух2 ~Г (а+р«Чух2)2 (а-р рх-р ух2)3 И Т’ Д’
Если теперь будем поступать, как раньше, полагая
Л'у4-Я'Р4-С'а = -А",
Z?'y4-C'p4-Z)'a = £?", и 2Г = Л'а,
С'у4-Г>'р4-£'а = С"^ ЙЗ' = Л'Р4-/?'а
и т. д.;
затем
Л''у4-^"Р4-С"а = Л"',
£?"у 4-С"р 4~ 21" = Л"а,
С"у4-£>"Р4-Е"а = С"' и S3" = Л"Р 4-£?"а
и т. д.
и дальше будем находить подобные выражения, то будем иметь
s =
Аа -р (Лр + В«) х [А'а-р (А'р-р В'а) х] х2 [Л"а -р (А"Р -р В"а} х] х4 .
а+рх-ррс2 1 (а -ррх + ух2) ' (7+ рх + ух2)3 ’ + И Т’ Я’
4)Как видно из последующего, это выражение не нужно понимать в том смысле,
что, начиная с некоторого члена данного ряда, он представляет собой в точности геометрическую прогрессию. Речь идёт о ряде, для которого отношение последу-
ющего коэффициента к предыдущему стремится (и притом быстро) к пределу,
равному—- . Тогда величины Ар -р5а = А', В$А-Са = В' и т. д. образуют последовательность, имеющую предел, равный нулю.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 357
211. Положим х=1, что нисколько не уменьшает общности, поскольку а, р, у могут быть взяты по произволу. Тогда
Если будем последовательно образовывать выражения Лу + £?рЧ-Са=Л', Д'у + £?'₽ + С'а = Д", B-{ + C^ + Dx = B', B^ + C'^ + D’a^B", Cx + D^ + Ea = C' C'f — Е'а = С" и т. д. и т. д.
а т. д.
и если, кроме того, для краткости положим а + Р + У = ™,
то сумма предложенного ряда выразится следующим образом:
, , D4 f А , А' , А" , А"' ,
(а + ₽) т3 + +
, / Б . В' , В" , В"’ , 4“ ( 2 3 Ь 4 Ч"
И Т. Д.^ + т. Д.^)
212. Подобным же образом можно взять знаменатели, состоящие из большего числа членов, и, так как из предыдущего легко понять ход решения, мы рассмотрим здесь только случай четырёхчленного знаменателя. Пусть
s = ^+64-C-TZ>-|-£ + E4-G4-ii т. д.
Ищем следующие значения;
До 4~ 2?у + С(3 Д- Da = A',
Z?3 + Cy + Z)p+£a = Z?', СЗ +Ду + Ер + Еа = С' и т. д.
Л'З + в'ч + С'Р + D 'а. = А", В’Ь + С'у + Z)'p + Е'а = В", С’В + Z)'y + Е'р + F'a. = С" и т. д.
А"Ъ + В"у + С'ф + Z)"a = А’", В"а + С" у + D"$ + £"a = В’", С"Ъ + Р"у + Е"р + F"a = С и т. д.
Пусть a + р + у-|-8 = гп’, тогда
z 1 о । х А А > А < А . А
(* + ₽ + !) <7г + -^ + ^ + -^ + и т‘
, , ox f 13 , в' I в" , В”' ,
S - \ (ос Р) (--1----7 Ч--7 ---7--Г~ И т.
| ' г/ \ т 1 пБ т3 т*
. f С . С. С" , С"’ .
+ a (-----И •—7Ч----т Ч----4- и т.
V \ т т2 1 т3 т1
д.)Г д-л
Отсюда вместе с тем становится совершенно ясно, как будут строиться последующие выражения, если в знаменателе мы будем брать большее число членов.
358 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
213. Вовсе нет необходимости в том, чтобы знаменатели дробей, через которые мы выражаем ряд, были степенями одного и того же выражения
а Д- (Зя; + у яг Д- и т. д.
Это выражение может меняться в отдельных членах. Для большей ясности возьмёгч сначала только два члена и представим себе, что ряд
s — А +Вх -\-Сх2 Д- Dx3 Д- Ex3 Д- Fx3 Д- и т. д.
обращается в следующий ряд дробей:
~ ссЧ- (a + (Jx)(a' + Р'х) (a + fix) (а' + Р'х) (а" + $"х) И Т' Д’ Помножим сначала с обеих сторон на аД-(Зя; и положим
А? + Вл = А',
В$ -\-Са. = В', и 21 = Аа.
C^+Da = C'
и т- Д-
Разделив на х, будем иметь
91' 9}"
А'+ В'х + Сх2 Д- D’x3 Д- и т. д. = — - + + и т. д.
Далее будем помножать таким же образом на а' Д- (З'я;, затем па а" Д- $"х и т. д. и будем полагать
А'(3' + В'а.' = А", А"(3" + В"а." = A'", A’"ft"' Д- В'"а.'" = А"",
В'$' Д-С'а' = Д". 5'ф" +С"а" = В'", В’"$”' +С"'а."’= В"",
С'Р' + Я'а' = С" С"^" + Е"а" = С'" С'"?"' Д- D"'a."’ = С""
и т. д., и т. д., и т. д.
Тогда будем иметь
91' = А'а', ?(" = А"а", $(."' = А"'а'" и т. д.,
и. значит, предложенный ряд обратится в ряд вида
.•la । Л'а'х . А"а"х3 . п
S а — рх ’’ (a + fix) (а' Ц- Дх) (а + Дт) (а'+ Дх) (а" + В"х) ~Г И ’’
где значения а, р, а', (3', а", (3", а'", и т. д. произвольны и в каждом случае могут быть выбраны так, чтобы новый ряд сходился очень быстро.
214. Применим этот же способ к трёхчленнььм множителям. Пусть предложен какой-либо ряд 5 = АД-/?Д-С-|-/)Д-1?Д-Р+и т. д.
Ау Д- 2?(3 Д- Са = А', 5у Д- СЗ Д- Dx — В', Cf Д- Dfi Д- Ел = С'
A'Y Д-5'Р' Д- С а =А", Н'т'д-С'Р'Д-7)'а' = /?", С'у'д-И'Р'Д-Е'а^С"
и т. д.
A'Y + В"^' + С" а” = А"’, By д- С"$" Д- Р"а" = В'", д_ 1)'ф" д. Е"а" = С"'
и т. д.
и Т. д.
4'"у"' А-В""$"' Д- С"'л'" = А"", В’"ч"’ +С"'Р"' + D"'a’" ^В"", С"'у'" _р ' Д- Е"'л"' — С""
и т. д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 359
Далее, положим для краткости
а + р 4- у = т, я' + Р' + г' = т’’ а." + Р" + Y" = т", а'"4- р'" 4.у'" = т'"
и т. д.
Тогда сумма предложенного ряда будет
„ а(ЛТВ) , а'М'Н В') , а"(И" + В") , а'"(Л"' + В'") , „ „ „ ,
S —--------»----------1-----—у,--------- 7 - ,7/ -- П- и Т. Д. -f-
т 1 тт тт т тттт
, , Р'Л' , ₽"А" , Р'"Л"' ,
' т тт тт’т" тт'т"т'"
215. Так как полученные результаты имеют столь общий характер, что применение их может оказаться недостаточно ясным,, то мы ограничим преобразование, данное в § 213. Мы положим х= — 1, так что будем иметь ряд
s = А — В 4- С — D--E — F -\-G — и т. д.
и положим
в~ А = А', В' -2А' = А”: В" - ЗА" = А"', В'" -4Л'" = 4"",
с- В = В', С' — 2В' = В", С" — ЗВ" = В"', С’" -45'" = В”",
D- С , D' - 2С = С", D” — ЗС" = С"', D'" -4С'" ^С"",
Е~ D — D' Е’ - 2D’ = D" Е" — 3D" = D"’ Е'" -4П'" = D"”
и т. д. и Т. Д. а т. д- и т. д.
После того как эти значения будут найдены, сумма предложенного ряда будет равна следующему ряду:
А А' , А" А'" , А""
S ~ 2 2 • 3 '* 2 • 3 ' 4 2.3-4-5~^2.3.4-5-6 ИТ. д.
Подобным же образом какой угодно предложенный ряд можно преобразовать в бесчисленные другие ряды, ему равные. Среди них, без сомнения, найдутся ряды, сходящиеся очень быстро, и с их помощью можно будет найти сумму с очень большой степенью точности.
216. Но вернёмся к разысканию рядов, закон составления которых раскрывает дифференциальное исчисление. Так как алгебраические количества мы уже рассмотрели, перейдём теперь к количествам трансцендентным. Пусть ищется ряд, равный следующему логарифму:
s = 1 (1 4- а.х 4- рт,-2 4- уа;34-^ж4 4- ехь 4- а. т. д).
Предположим, что условию удовлетворяет ряд
<? = 21а; 4- 23а:2 -f- (Sa;3 4- ®а;4 + (Sa:5 4- и т. д.
Так как дифференцирование этого уравнения даёт
ds а + 2^x4- Зуж2 4- \6х3 + беж4 Т и т. д.
dx 1 — хх + рх2 уж3-|- Sx4+ еж5 4- и т. д. ’
то будем иметь
ds
(1 + cur 4-(3ar '(x3 ' S^4 + и т. д.)-^ = a 4-2fia: 4-3y#2 + 4oa:3 4~ и т. д.
360 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
А так как из предположенного равенства мы имеем
— = ЭД 4-253а: +З6а:24-4®а:3 4-5®а:4 4-и т. д., то после этой подстановки мы получим следующее уравнение:
ЭД + 2$х4-ЗЕх2 + 4®х3 + 5(&44-и т. д.
4- ЭДа+ 253а4* 36а 4- 4©а+и т. д.
4- ЭДР4- 253Р4- 3(5р4-и Т. Д.
4- ЭДу 4- 253у 4- и т- д.
4- ЭД3 4~и т. д.
= а 4-2рх + Зух2 4-48a:3 4-5ех4 4-и т. д.
Из него получаем следующие формулы для определения коэффициентов: ЭД = а,
ЙЗ=-|ЭДа4-?,
6 = -4»a-4^4-y, ®= _2еа_|^_1эдт + 5.
6 = з ед 2 23у_1эда + е
О О О О
и т. д.
217. Пусть теперь предложено показательное количество s _ еах+^х^+1хз+Ьх^+ех5+и т. д.
где е есть число, гиперболический логарифм которого равен единице, и предположим, что искомый ряд есть
s= 1 4-ЭДх 4-53а:2 4-6ж34-®ж4 4-@я;5 4-и т. д.
Уже из случая х=0 ясно, что первый член должен быть единицей. Так как, логарифмируя, мы имеем
ls= аа:4-^а:2 4-уа:3 4-ад4.4-еа:5 4-Сге 4* и т- Д-, то, дифференцируя, будем иметь
s(a + 2ра: 4-Зуа:2 4-48а;3 4-5га:4-А в т. д.).
Но из предположенного равенства будем иметь
-^ = ЭД 4-253а: 4~ 36а;2 4-4®а4 4-5@а;4 4- и т. д.
= a 4-ЭДаа: + 53аа4 4-бяа:3 4* 4- и т. Д-
4-2(3 4-2ЭДр 4-253Р 4- 2®р 4- и т. д.
4-Зу 4-ЗЭДу 4-ЗЗЗу 4- и т- Д-4-48 4-4ЭД8 4- и т. д.
4* 5е 4* и т. д.,
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 361
откуда получаются следующие формулы для определения букв ЭД, S3, Е, © и т. д.:
ЭД = а,
ЯЗ = Р+4 ЭД, о о
® = з+4эдт + -|-^+т(£а’ ®=е+4- эдз+4- язт + 4е₽ +4- ®« □ Out)
и т. д.
218. Точно так же, если дуга, синус или косинус которой ищется, выражается биномом или полиномом, или даже бесконечным рядом, можно тем же способом выразить её синус или косинус бесконечным рядом. Но чтобы это сделать наиболее удобным образом, нужно не останавливаться на первых дифференциалах, а прибегнуть к помощи вторых дифференциалов. Пусть
s = sin (ах-}- (Зх2+ ‘{Х3 Д- 8а:44- ах5 4- и т. д.). Представим себе, что искомый ряд есть
s = ЭДх Д. $8х2 Д- Бх3 4- ©а:4 Д- Бх5 Д и т. д.
В самом деле, известно, что первый член исчезает. Но так как нам предстоит спуститься ко вторым дифференциалам, то нужно определить также и коэффициент ЭД. Для этого посмотрим, что произойдёт, если х положить бесконечно малым. Тогда дуга будет равна ах, а синус будет равен ей; следовательно, будем иметь ЭД = а. Положим теперь для краткости
z = а.х + (Зх2 + ух3 -р и т. д.,
так что s = sinz. Дифференцируя, будем иметь ds*=dzcos z и, снова дифференцируя, <Z2s = d2zcosz —-dz2sinz. Так как теперь мы имеем . ds
sm z = s и cos z = , то будем иметь
d2s = dstj 3 — s dz3 или dzd3s 4- s dz3 = ds d3z.
dz
219. Положим, что дуга z выражается только двучленом и что
z = a®4- $х3.
Тогда
dz= (a 4- 2₽х) dx и при постоянном dx
d3z — 28 dx*
и
dz3 = (a3 4- 6a2^x Д- 12a(32x2 Д- 8p3x3) dx3.
Далее, так как s = ЭДх Д- 23х2 4- Бх3 4- ®х4 4- и т. д., то
= ЭД+ 2 iBz Д-З Еж* Д-4 ©я3 Д- и т. д. и
4^ = 2 23 4- 6 БхД-12 ®х2 Д- и т. д.
ГЛ. МН. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 363
Таким образом, мы имеем
у 2 ув
cosx=l__+ —_ч 2 з ... , (. ; ! 2 -8-----------И Т. Д.,
что было уже подробно доказано выше *).
Первый же ряд, представляющий синус, при [3=0 л а=1 даст 'Г 7*® <т»&
Sinx= „____т + тТ2..з_4;5.^__77.+ и Т. д.
221. Из этих хорошо известных рядов для синуса и для косинуса выводятся ряды для тангенса, котангенса, секанса и косеканса какого угодно угла. Тангенс получается, если синус разделить на косинус, котангенс — если косинус разделить на синус, секанс—если радиус 1 разделить на косинус и косеканс — если радиус разделить на синус. Ряды, получающиеся от деления, кажутся весьма неправильными; однако, за исключением ряда, представляющего секанс, остальные можно с помощью определённых выше бернуллиевых чисел свести к простому закону последовательности членов. Действительно, так как выше (§ 127) мы нашли, что
’Ли1 2 ЭЗк4
1~2-г 1 • 2 • 3 4 "г 'Г-'гТщТ'.б
i , л и * t
+ — Го?..8 + 11 т- Д. =1 —-^-Ctg-y-n,
1
то, полагая и, = х, оудем иметь
, 1 2“Ш 24®г3 26ga;5 2«2:г7
etgx—— х . 2 ! . 2~. 3 . 1 • 2 • 3. ..6 1. 2 - 37..8 и^-Д->
1 -
если же положить — х вместо х, то будем иметь
, 1 ctg х =
_2 х
231г 25Вг3
1 • 2 — 1 • 2 • 3 • 4
2(S>s 2®х7
1 - 2 • 3 • 4 • 5 • 6 1Т27зГ.,8
и т. д.
222. Отсюда можно выразить рядом и тангенс какой-либо дуги следующим образом. 'Гак как
tg 2 х —
О fcr ,т
I — tg3 X ’
ТО
ctg2a; = yl—--^-= т etgx-^tgz,
и потому
А так как
tg х — ctg х — 2 ctg 2х.
ctg# — — 229U 24?_XL __ 2e?£ t-2-3-4 jb2..'.f> II Т- Д-,
1 • 2
2 ctg 2 х = 2431г 28ЭЗг3 2126> и т. Д.>
1 • 2 1 • 2 . 3 • 4 1 • 2. . .6
) «Введение», ч. I, гл. МП.
ГЛ. МП. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 363
Таким образом, мы имеем
-7*2 -у 4 *v»6 <v»8
СО8Ж-1~1-2+ 1.2.3.4^ ! .2.3- -2...8 - ” Т'
что было уже подробно доказало выше ’).
Первый же ряд, представляющий сипус, при р = () л а=1 даст
О* -7*3 zy-&
sinz = + —_+ и т. д.
221, Из этих хорошо известных рядов для синуса и для косинуса выводятся ряды для тангенса, котангенса, секанса и косеканса какого угодно угла. Тангенс получается, если синус разделить на косинус, котангенс — если косинус разделить на синус, секанс—если радиус 1 разделить на косинус и косеканс — если радиус разделить на синус. Ряды, получающиеся от деления, кажутся весьма неправильными; однако, за исключением ряда, представляющего секанс, остальные можно с помощью определённых выше бернуллиевых чисел свести к простому закону последовательности членов. Действительно, так как выше (§ 127) мы нашли, что
21а- 58w* 6а6
+ 1 . 2 • 3 •4‘г ТГУДЕТб
7/ 1
+ _Т7”2;..8 + и т- Д. =1 —-ч-ctg —и,
1
то, полагая — и = х, оудом иметь
, 1 2321х 2423 г3 26(£г5 28£А
Х — ~ 1ТА ГТГ-’з • 4 ГТ~2 . 3...G иа'-д-’
1
если же положить-- х вместо х, то оудем иметь
1 2 221г 258г2 2(£х5 2®х^
g ~2~ х~ ГТг~ 1 • 2 • з • 4 1 • 2 • з • СТ • б “ ГССз..,s
222. Отсюда можно выразить рядом и тангенс какой-либо дуги следующим образом. Так как
то
L О 1 1 ! 1 ,
ctg 23: = -^--V = — с^х-
- 1ь х х
и потому
А так как
tg х = ctg х — 2 ctg 2х.
t 1
ctg X =----
b x
222Ь
1 • 2
2W3
1 • 2-3 4
2eEx5
1 б
И т. д.,
2 ctg 2 х = —
2421х 2858ж3 212©6
1 • 2 — Г • 2 • 3 • 4 — 1 • 2. . .6
И Т. д.,
) «Введение», ч. I, гл. МП.
364 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
то, вычитая второй ряд из первого, будем иметь
22 (22 — 1)91х , 24 (24 — 1)5Вх» , 28(28- 1) 6 х5 ,
—------------1------------------------------ 4- и т л.
1 2 • 3 • 4 1 • 2. ..6 д
tgx
Если ввести иметь
числа А, В, С, D и т. д., найденные в § 182, то будем
tga:
2Ах 23Вх3 23 Сх5 27£>х7
1 • 2 ’’ 1 .~2Тз~ 4 + 1 • 2'.7.'б + 1 2...8
и т. д.
223. Косеканс же мы найдём следующим образом.
etg х = tgx + 2 etg 2х = 4- 2 etg 2х,
то будем иметь
Так как
ctg2x = 2 etg х etg 2х + 1.
Извлекая корень, получим
etg х = etg 2 х + cosec 2 х,
откуда
cosec 2х = etg х — etg 2х
и, положив х вместо 2х, будем иметь
1 cosec х = etg-^-х — etg х.
Так как мы уже имеем котангенс, именно
х 1 2 231х 2®х3 2Ех5
1 • 2
2231х
1 2 3 • 4
2433х3
1 • 2 1 • 2 • 3 • 4
1 • 2.. .6
28Ех5
1 • 2...6
т.
Д.,
т. д.,
то, вычитая второй ряд из первого, будем
t , 2 (2-1) Six , 2(23 — 1)53х3 cosec х~------——л—--------L - ----
£ 1-2
иметь
2(25 —1)(£х5
1 • 2...6
и т.
Д.
1 • 2
и
и
1 • 2 3 • 4
224. Секанс же нельзя выразить через эти бернуллиевы для этого требуются другие числа, а именно числа, которые в суммы нечётных обратных степеней. Именно, если
числа;
входят положить
л 1,1 1,1
1—3- + V-— +— - И
4_ 1 , _1___1_ , I__
З8 "Г' 53 93 и
4 JL_l_i___L • _
З6 ' 55 76 1 у6
» _J__L_1__1_ , _1_
1 3’ ] 5’ V (.l’
l-± + X__L+J__
З9 г 5« 79 99
1 —---------L । 2—
311 511 711 П 911
т.
т.
т.
т.
т.
2^’
Д- 1-2
Д-
1 • 2 • 3 • 4 S Д‘ — ~1 • 2...G
£ д> ~ ТТ 27778' '
Я"~ 1 • 2. . .10 ‘
2“
и
и
И
И
2е ’
2» ’
2К> ’
и т. д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 365
го будем иметь
а = 1, ?=1, у = 5, о = 61, е= 1385, С = 50521, т] = 2 702 765, 0 = 199 360981, 1 = 19 391512145, / = 2 404 879 661 671 ’) и т. д.
Из этих значений * 2) получим
8ест ==«4--^*2 +1.2.3.4^+ и т-д-
225. Чтобы доказать эту связь ряда, представляющего секанс, с числами а, р, у, 8 и т. д., рассмотрим ряд гс 1,1 1 1.1,1
_ . — г ------ I ---- —— ит д , . т----------------------------------------------т п—т п + т-2п— zn 1 2n4~zn ‘ Зп —тп
п sin — те п
с которым мы уже имели дело выше (§ 33). Положим тп — —п — к\ тогда будем иметь
_гс_____ 1 1 1__________1 1
. к п — 2к "* п~р2/с Зп — 2/с Зп-р 2й *” 5п — 27с ' И Д’ 2п cos — -тс п
Пусть = т. е. = тогда
те те , те те те
— sec X =---гс------г-гс---5-гс-------5-; „-р И Т. Д.,
2п пгс —2пх пгс-р2пх Зпгс —2пх Зпгс-;-2пх
ИЛИ
2,2 2 2,2,
зесж=---—4-------,----77——q--5——й—Р-н----тг’Н- и т- Д->
гс— 2х 1 гс-р-'х Згс — 2х Згс -р 2х 5гс— 2х 1 J
ИЛИ
4 гс 4 • Згс 4 • 5 гс 4 • 7 гс
SeC X —- о 7 7 " 2 7 > 4 г: 2 г " ' f <, 2 7 о [ и Т. Д.
гс2 — 4х2 9гс2 — 4х- 25гс2 —4х- 49гс“—4х“
Если теперь каждый член разложить в ряд, получим
8есж = - Q1-_ + t__+__ и т. д.J
, 24х2 /.11 1,1 А
гс3 V зз Г 53 73 93 И Т' Д’У
. 28х* /, 1.11,1 А
+ гс5 V З3+ 55 75"^ У5 И Т. Д. J
и т. д.
Если вместо этих рядов подставить введённые выше значения, то получится тот ряд для сёканса, который мы выше привели.
*) Истинное значение х есть 2 404 879 675 141. (Г. К.)
2) Числа а, р, у, 3, и т. д. называются теперь эйлеровыми числами. (Г. Л.)
366 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
226. Отсюда тотчас же обнаруживается закон, по которому следуют друг за другом числа а, р, у, 8 и т. д., участвующие в выражениях сумм нечётных обратных степенен. Действительно, так как
SeC Х = = а + Г 2 + Tvhr 4 Xi + 6 Xе + 11 Т- «• ’
то необходимо, чтобы этот ряд был равен дроби
I
приравняв их, получим
1 = а + t , у7 : j . ; -г8 + Л, s + и т. д.
; L • 2 • 3 • < 17. .СТ- 2 1. . .4 L.. .4^ и Т- Д>
+ -t уу s и т. д.,
откуда вытекают следующие уравнения: Х=1,
И Т. д.
Из этих формул памп и найдены те значения этих букв, которые приведены в § 224 и с помощью которых можно выразить суммы рядов,
имеющих вид
если и. есть нечётное число.
ГЛАВА IX
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИИ
227. Выше было уже достаточно выяснено, что понятие уравнения .можно свести к понятию функции1). В самом деле, пусть у есть какая-либо функция от х. Если мы положим у — 0, то эта формула будет охватывать всевозможные конечные уравнения, как алгебраические, так и трансцендентные. Говорят, что уравнение у = 0 решено, если найдено такое значение х, которое, будучи подставлено в функцию у, делает её на самом деле равной нулю. Часто существует несколько такого рода значений х. Они называются корнями уравнения у = 0. Итак, если положим, что числа /, g, h, i и т. д. суть корни уравнения у=0, то функция у составлена таким образом, что, если в неё вместо х подставить либо /, либо g, либо h и т. д_, получится на самом деле у = 0.
228. Так как функция у исчезает, если в неё вместо х подставить /, т. е. жф-(/ — х), где / есть корень уравнения у=0, то на основании того, что выше (§ 48) было доказано о функциях, мы будем иметь
У ' dx 2 dx2 6 dx3
Из этого уравнения значение / корпя у — 0 определяется так, что какое бы число мы пи подставили вместо х, мы всегда, подставив d>t d-u
соответствующие значения у, и т. д., получим уравнение,
дающее истинное значение /. Чтобы это было понятнее, положим, что у — х3 — 2х2 + Зх — 4;
тогда будем иметь
f = 3x3-4x + 3, ±L2 = 3x-2 и ^=1.
dx ' ’ 2 dx2 G dx3
Подставив эти значения, получим
(} = x3 — 2x2 + 3x~i+(f-x) (3x2-4x+3) + (f-x)2(3x — 2) + (j—x)3.
*) В оригинале: Constitution от aequatiorum ad functianum rationem reduci posse supra iam satis ostensum ost. Мио неясно, на какое место «Дифференциального исчисления» или «Введения в анализ» здесь ссылается Эйлер. Во всяком случае в следующих строках вопрос освещён с достаточной полнотой.
368 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
Или, выполнив умножения,
/3 — 2/3 4- 3/ —-4 = О,
т. е. мы получаем уравнение, сходное с предложенным; оно, следовательно, имеет те же корни.
229. Хотя таким образом мы не приходим к новому уравнению, из которого можно было бы легче определить значение корня /, однако отсюда можно вывести очень полезные вспомогательные приёмы для разыскания корней. Действительно, если мы примем за х значение, которое уже близко подходит к корню какого-либо уравнения, так что / — х есть очень малое количество, тогда члены уравнения
0 = v+(/-<№, (У и т д
U dx 2dx2 т 6da.3 и д.
образуют очень быстро сходящийся ряд. Поэтому мы не допустим большей погрешности, если отбросим все члены, кроме двух начальных. Итак, если за х принять значение, которое уже приближённо равно корню какого-либо уравнения у=0, то мы будем иметь приближённо
п . (/ — x'}dy . у dx
О = у + ИЛИ / = X — .
1 dx ' dy
Из этой формулы мы найдём, хотя и не точное, но ещё более близкое к истинному, значение корня /. Подставив его снова вместо х, мы получим гораздо более точное значение / и, продолжая поступать таким же образом, будем подходить к истинному значению корня.
230. Так можно находить прежде всего корни всех степеней из каких-либо чисел. Действительно, пусть предложено число ап + Ь, и требуется извлечь из него корень степени п. Положим хп — ап 4- Ь, т. е. хп — ап — Ь — 0, так что у = хп— ап — 6; тогда будем иметь
dy dx
= пхп~';
П-2
2 dx2 1-2 л
d3y __ га(га-1)(га-2)~п_3 „
C,dx3~ 1-2-3
Т. Д.
Следовательно, если искомый корень положим равным /, так что / = j/"a”4-6, то будем иметь
0 = хП — ап -j- b 4- п (j — х) хп~1 + (f — х)2 хп~2 + и т. д.
Если теперь мы возьмём вместо / число, которое приближённо равно искомому корню, что будет, когда мы положим х — а, если только Ь есть столь малое число, что а"4- Ъ < (а 4-1)", то будем иметь приближённо Ь = nan^3 (J — а), и потому
, , Ъ
f—a-\---j—;,
' nan 1
что даёт нам гораздо более точное значение корня. Если же мы пожелаем взять ещё и третий член, так что
b = па"-1 (f — a)+ п ап~2 (f — а)3,
то получим
(/ - а)3 = - — (/ - а) 4- . ^-з
' п — 1'1 ' 1 га (п — 1) ап ”
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. Д’ РЕШЕНИЮ УРАВН. 369
и. значит.
а Л а2 , 26
п — 1 ~~ Г (zi — I)2 "Т" п (п — 1)л'1 -
или
(п — 2) а 4- Г'я2 г 2 (п — 1) Ъ ; г>.ап~2 п — 1
Таким образом, с помощью извлечения квадратного корня мы найдём ещё более точное значение корня.
Пример
Найдём квадратный корень из какого-либо числа с, т. е. пусть х2-с = у.
Возьмём число, близкое к корню и равное а, и положим Ь = с — а2.
с ““ а
Так как а2-\-Ь=с, то, поскольку п=2, первая формула даёт f=a-]—2а~ =
с 4-я2
= —; вторая
как теперь мы то напишем это чей не корня /=
же даёт /=]/”с; это есть сам искомый корень. Так
, с 4- а2
имеем приолиженное значение корня, равное ———, значение вместо а и тогда получим более точное зна-с24-6а2с ‘-а* „ г „ Y
—;—-——. Пусть, например, с = 5; из первой формулы
будем иметь / = --_р“ . Положив а = 2, будем иметь /=2,25; теперь положим а =2,25; получим /= 2,236111; положим далее а = 2,236 111 1; тогда будем иметь /=2,236 067 9; это значение уже очень мало отли-
чается от ‘ИСТИННОГО.
231. Подобным же образом можно приближённо найти корень какого
угодно уравнения с помощью уравнения
, и dx
f — x—-fpj , приняв сначала
за х значение, мало отличающееся от какого-либо корня уравнения. А для того чтобы найти такое значение х, будем подставлять вместо х последовательно различные значения и из них выберем такое, которое даст функции наименьшее, т. е. наиболее близкое к нулю, значение. Так, пусть
Тогда
у = х3 — ‘2.x2 Н- Зж --4.
полагая получаем х = 0, у = — 4, х = \-, У^= - '2.
х =- 2, у — + 2,
откуда можно количества х.
видкть, что корень Так как теперь
содержится между значениями 1 и 2
мы имеем э- = Зх2 — 4х 4- 3, то для az
24 л« Эйлер
?,70 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
разыскания корня / уравнения х*— 2х--\-Зх— 4 = 0 мы получим следующее уравнение:
, у dx ./' — 2х2 -4- Зх — 4
/ = г — '^7- = а;-——у------7— .
1 ау Зх— 4х •- 3
2
Пусть х=1; тогда / = 1 + ^ = 2. Положим теперь г =2; тогда будем
. . Пусть, следовательно, х = у ; тогда / = -—уу — дальше, то будет лучше восполь-
иметь / =
= = 1,653. Если мы захотим иттп
1 /01
зеваться логарифмами.
Итак, положим л = 1,653; тогда
1 х = 0,218 272 9
I аг = 0,4365458
Ь3 = 0,654 818 4 х3 = 4,516673 Зя = 4,959 000
х* + Зх = 9,475 673 2^ + 4 = 9,464 818
числитель = 0,010 855 1 числ. = 8,035 629 8 1 знам. = 0,661 360 8
1 дроби = 7,374 269 О
х = 1,653 000 х3= 2,732 409 х3= 4,516673
Заг + 3 = 11,197 227 4я= 6,612 000
знам. = 4,585 227
х = 1,653 000
дробь = 0,002 367
Z= 1,650 633
Это значение уже очень близко к истинному.
232. Можно, однако, вывести из общего выражения более быстрые приближения. В самом деле, было найдено, что если корень какого-либо уравнения у = 0 есть x = f, то
0 = у + G --и + - у f + и т. д.
a dx Zdx1 бах3 м
Пусть , f — х -= z, так что корень есть /=. с + Z, и ПОЛОЖИМ
dy dx Р, dq di r- dr г = s и т. д. dx
Тогда + zp -4S. у -Г ~ + 123
В этом уравнении нужно, взяв за х какое-либо значение, которое вместе с тем определяет значения у, р, q, г, s и т. д., найти количество г. Если оно будет найдено, то мы будем иметь корень f = x-\-z предложенного уравнения у =- 0. Дело сводится, таким образом, к тому, чтобы найти отсюда наиболее удобным образом значение неизвестного z.
233. Вообразим, что z представлено таким сходящимся рядом z = .1 В . С Dр; ।. ц т. д.
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВП. 371
После подстановки будем иметь
У = У pz = Ар -\-Вр А Ср A Dp + В р + И Т. д-
1 2 2 <72 = ~ A3q + ABq 4 ACq + ADq -р II т. д.
+ 2 В'Ч + и т. д.
1 5 '6гг 1 1 4-4- .13г+рГЙг A-^Cr v и т. д.
a:\aba + и т. д.
F sz> = A-~A3Bs + и т. д.
— tzb = 120 tZ — A*t 4-120 И т. д.
Отсюда получаем следующие уравнения: р Р _ У2Ч В 2р3’ с — —у2^. 2р3 "Г 6р4 ’ Г} 5у*Ч3 I 5y4gr 8/?’ 1 12р« </4s
24p6
и т. д.
и, значит, будем иметь
_ _ У _ у3<? _ уА2 . у3г _ 5у‘ч3 , 5ylqt __ y*s р 2р3 '2рь 6/?4 8/?’ ~ 12/>8 21/ё
При мер
Пусть предложено уравнение х3 2х— 2 = 0. Мы будем, следовательно, иметь
у=х6 + ‘2х— 2, ?£ = р=эх*А-2, d£ = q = 20x3,
= =г = 60аг, ==№=120ж и т. д.
ах ’ах м
Положим теперь х — 1, ибо это значение мало отличается от корня. Будем иметь
у — 1, р — 1, q=2Q, г =60, №=120, откуда получаем
1 10 200 ,10 5 1000 500 5
Z= + -----Д---;Г+ 11 Т- Д-
ИЛИ
1 10 130 1745
z== — — — — ~ — И т. д.
Следовательно, будем иметь z=—0,18 и корень / = 0,82; если это значение снова подставить вместо х, то получится корень, чрезвычайно близкий к истинному.
372 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
234. Таким образом, мы нашли бесконечный ряд, который выражаем корень какого угодно уравнения; он имеет, однако, то неудобство что, с одной стороны, не виден закон его составления, с другой же стороны, он слишком сложен и недостаточно пригоден для пользования. Поэтому мы предпримем то же исследование другим способом и найдём более правильный ряд, выражающий корень какого угодно предложенного уравнения.
Пусть, как прежде, предложено уравнение у = 0, где у есть какая-либо функция от вопрос сводится к тому, чтобы определить значение количества х, которое, будучи подставлено вместо х, сделало бы функцию у равной нулю. Но так как у есть функция от х, то и обратно, можно рассматривать х как функцию от у, и с этой точки зрения разысканию подлежит то значение функции х, которое она получает, когда количество у исчезает. Таким образом, если положим, что / есть то значение количества х, которое является корном уравнения у = 0, то поскольку х переходит в /, если положить у = 0, мы будем иметь по доказанному выше (§ 67)
, dx , V3 d-x у3 d3x , у* dlx
f = X-ydy^~2d^-'^^'w~ И Т- Д‘
В этом уравнении дифференциал dy полагается постоянным. Если положить
dx dp da dr
~-г — Р> т — :г —г> j- = и т. д.,
dy г dy * dy dy ’
то, введя эти обозначения, чтобы не связывать себя выбором постоянного дифференциала, будем иметь
1111 + и т. д.
235. Если количеству х приписать какое-либо значение, то тем самым определятся и значения количеств р, q, г, s и т. д., а, найдя их, мы будем иметь бесконечный ряд, выражающий значение корпя /. Если же уравнение у=0 имеет несколько корней, то они получаются когда вместо х мы возьмём различные значения, а так как у может принимать одно и то же значение, когда х мы даём различные значения, то неудивительно, что один и тот же ряд часто может давать несколько значений. Для того чтобы в этих случаях устранить возможность сомнений, и в то же время чтобы сделать ряд сходящимся, нужно принимать за х такое значение, которое уже близко подходит к зна гению искомого корня. Тогда значение у станет весьма малым, и члены ряда будут быстро убывать, так что, взяв небольшое число членов, мы найдём для / значение, которое уже достаточно близко к истинному. Если теперь это значение снова подставить вместо х, то количество у станет ещё меньшим, ряд будет сходиться ещё быстрее, и таким образом мы теперь найдём корень / столь точно, что погрешность будет ничтожно малой.
236. Положим, что требуется извлечь корень степени п из какого-либо числа N. Если взять ближайшую n-ю степень, то предложенное число легко представляется в виде N = an-\-b. Таким образом, мы будем иметь
хп=ап + Ь и у — хп — ап—Ь,
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВ11. .' 7
откуда
dy — nx^dx
(п — 1) dx nxn
(n — 1) (2га — 1) dx n2xil1
(n — 1) (2n — 1) (Зга — 1) dx
dp =
dq =
п3х-
II
т.
dx I
dy Р
dp ______ п — 1
dy n-rd" '
d'i (п — II (2п — 1)
dy dr
-j— = S-dy Д.
теперь x — a\ тогда у— — b и искомый корень / ап-',~Ь
(га — 1) (2п — 1) (Зга— I)
(7 г : L?
И
и
и
и
Положим выразится следующим образом:
fl a
(n-t)ld (га - II (2n - 1) Id (n - l)(2ra - II (Зга — 1)M 4
n 2на-“'~1 ‘ n • 2n • 3ra«3”-1 n 2n • 3/1 • 4ra • ' tl T’
Таким образом, мы находим тот самый ряд, который обычно получается разложением бинома.
237. Выполняя извлечение корня, мы нашли приближённый корень а и вместе с тем остаток 6; теперь нужно, чтобы получить более точный корень, прибавить к корню а значение дроби При этом
так как N = att + b. Однако найденный таким образом корень больше истинного, так как нужно ещё отнять третий член. Поэтому, чтобы с помощью деления остатка b найти корень, ещё более близкий к истинному, нужно найти более удобный делитель; предположим, что он есть
па”"1 г y.b -р fib2 -р у63 + и т. д.
А так как должно быть ______________Ь________________ na'^L 4- а»1 --- йЪ-1 + у43 и т. д.
Ъ (п-1)&2 , (га — 1) (2га — t) ft» (га- 1)(2п - l)(3ra - I)»4 .
= лш'1-1 “г бп-’а3'1”1 24га‘|а4Г1-1 " "+'
то, выполнив умножение *на пап 1 , , (га — 1) Id , (п — 1) (2п — I) 63
Ь= 2пап
, ab2 г па11-1
4- -
оп~ — а'
_ (га - 1) ай3 2n-di"~'-
н/.з
I___и'
Г па11-'
-|- y.b + fib2 + 7/+ г и т. д., получим (га-1)(2га-1)(3п- 1) М и т> д.
Отсюда выводятся следующие
п-1 а = ——, 2а е(га-1)а (га —1)(2n—1)
(га-1) (2га-
2па“ _(п-1)^ 2пап
24га3а3”
(га - 1) (2га - 1) аб4 , г 6га3а'‘11"1
_ (га— 1)
in-a-'1-1
па'1 1 ’
уравнения, определяющие XjPff и т. д.
(re —1) (га+ 11 12raa,i+1 ’
1)<х (га - 1) (2га- 1) (Зга-1) __ (га-1)(га +_1) 6n2as" "г" 24п2я'-’'*1 З'ега2’1'1
‘ilk. ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
Таким образом, дробь, которую нужно прибавить к ранее найденному корню а, будет
Ъ
+ 2а 12nan*1 + 24гаа2П*1 Д‘
238. Таким образом, если нужно извлечь квадратный корень из числа N, и если уже найдено приближённое значение корня а, а также остаток Ь, то к найденному корню нужно добавить частное от деления остатка b на
о I Ь Ъ2 , Ь3
“a^"2a 8a3"’ 16a6 И Т’ Д‘
Если же нужно извлечь кубический корень, то остаток b нужно разделить на
о 2 , Ь 2Ьг , Ъ3
За + + №
Применение этих формул мы поясним на следующих примерах.
Пример 1
Пусть извлекается квадратный корень из числа 200.
Положим 7V = 200; так как ближайший квадрат есть 196, то будем иметь а = 14 и остаток 6 = 4; его нужно, следовательно, разделить па
2О , £__1 _ , 1
’’ 7 7 • 196 7 • 196 • 98 ’
так что делитель будет равен 28,142135. Если на него разделить 4, то получим десятичную дробь, которая должна быть прибавлена к 14 и которая будет верна в десятом знаке и в дальнейших.
Пример 2
Пусть извлекается кубический корень из числа TV =10.
Ближайший куб есть 8, и остаток равен 2, откуда имеем а = 2 и 6 = 2, делитель же равен 12 £ 1 — j g = 12,9444- Поэтому искомый кубический корень приближённо равен ,
9 2 _ 9 Ю ООО
“ 12 • 9414 ~ ~ бГ)'22 '
239. Ряд, найденный нами для корня, можно считать как бы рекуррентным, происшедшим из некоторой дроби; таким образом, большое число членов ряда можно заменить гораздо меньшим числом членов, составляющих числитель и знаменатель дроби. Зак, при некотором внимании можно заметить, что приближённо мы имеем
(« + Г = «Г1----
a----
а ещё более точно,
..+”4?л+е±Ч<^,,
(а -I- Ъ'\п = ап-------—---j—,-лт— •
а3 - '‘-f аЪ + (ге } Ъ3
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 375
Подобным образом, если ввести большее число членов, можно получить ещё более точные дроби, как, например,
„з . п + 3 „27, , 1- 3) + 2) т 2 , (га + 3) (п + 2) (п + Л
. , м„ п а Л ~Та + 10 аЬ : 120 '
дз » - 3 .ч. („ - з) (* - 2) (» - 3) (» - 2) (п -1) Т;
2 а + 10~ ” 120
Бо гее того, можно получить общую формулу подобного рода; для того чтобы представить её в удобном виде, положим
A m (,i q-m) 1 • 2m ’ 91 = . m (n — 1 • 2m ’
В _ (m — 1) (n + m - 1) . 2(2,71—1) ' ’ 93- (m — l)(z> — m + 1) 2(2m-l)
С _ (m - 2) (n л m - 2) ~ 3(2m —2) Ь’ e= (m j-2) (n-m J-_2)_ „ 3 (2m — 2) '° ’
D (m — 3)(n + m — 3) „ 4(2m —3) G И T. Д. (m — 3) ( n — m 4- 3) (j 4 (2m - 3) И T. Д.
После того как эти значения определены, будем иметь
I д Мп_ п ат +Ла’г-1Ь4-/?ат-2Ь2 + С«т-3Ь3 + и т. д. {а -0) (Z а,й _ y(a^'ib~+^am-2b^ + -|- и тГд.
240. Если подставить вместо п дробное число, то эти формулы будут весьма удобны для приближённого извлечения корня. Так, если нужно извлечь корень какой-либо степени из выражения ап 1 Ь, то мощно воспользоваться следующими формулами:
ian . м,7 = а (» + !)£
2пап + (п — 1) Ь ’
,_п , .Л = п ^а.2П + 6ге (2n + 1) Л + (2п + !)(» +1) Ь*
{ -t-oj « 12nWl + bn(2n-l)an1> Ь(2п - 1) (« - 1) &2
Ес щ же положить an-[-b = N, так что ап--N—Ь, то будем иметь (яп+6)^я ,
' 1 ' 2nN — (п + ^Ъ
,-п , /.vr „ 12n2-V3 - б» (2п - 1) АЬ + (2п - 1) (п - 1) 6-
' 1 12n2.V2-6n(2/i-!-l)A7> + (2/i+l)(n + l)i2 ’
241. Общая формула для разыскания корня какого-либо уравнения применяется к уравнениям, имеющим несколько членов, совершенно так же, как обычная формула бинома к решению чистых уравнений хп = с. Притом в этом случае общая формула 'переходит в формулу бинома. Но наше общее выражение с одинаковым успехом применяется и тогда, когда уравнение является многочленным ’), или даже трансцендентным, и даёт бесконечный ряд, который выражает значение корня. Так как именно в этих случаях и сказывается вся сила этой общей формулы, то мы покажем здесь несколько подробнее способ её применения. Пусть, например, предложено многочленное уравнение, состоящее из трёх членов:
хп сх = N,
х) В оригишле: si . . aequatio fuerit affecta.
376 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
где с и N суть какие-либо данные выражения. Положим хп + сх — N = y. тогда dy = (пхп~3 + с) dx, откуда р — g ; таким образом, мы имеем
, п (п — 1) хп~- dx — п (п — 1) хп 2
dp =------— — и q = —— , ——.
Г (ПХ11' 1 -г- с)- * (пхп~1-[ с)-
Так как s~dy 11 т" д’’ т0 П°Д°^НЫМ образом находим
п-(п - 1) (2/>. -1) ж2”-'- - п(п - 1) (п - 2) сх’-(пх“~1 с)5
s =
га3 (га - 1) (Зга - 1) (2га - 1) ж3”-8 I- 4га3 (га - 1) (га - 2) (2га - 1) ex3’1"5 (nx"'~l -с)7
га (га — 1) (га — 2) (га — 3) с2#71-1
(пх“~1 4- с)7
/ п* (п — 1) (2га — 1) (Зга — 1) (4га — 1) .г1'1’ 8 —
| _ п3 (га - 1) (га - 2) (2га - 1) (29га - 11) raiTi~7 - | 1 + га2 (га - 1)(га - 2) (2га- 1)(11га - 29) с2х2П~е - | ( — га (га — 1) (га — 2) (га ~ 3) (га — 4) с2г““5 ,1
(ПХп~1 4- с)9
И т. д.
После того как найдены эти значения, корень предложенного уравнения представится в виде
/ = ж-ру+ ~ ~~ ’11 т- д-
Какое бы число мы ни подставили вместо х, — после этого и буквы у, р, q. г, s и т. д. получат определённые значения,—сумма ряда будет равна значению одного из корней.
Пример 1
Пусть предложено уравнение х3 + 2х — 2 Здесь с = 2, N = 2, п — 3 и у3-]-2х -2.
Положим х — 1; тогда у=--1 и
1 6 78 И
р = И> У -у' г - S =
16 • 90
— И т. д.
Корень уравнения будет
/ = 1-1-4--^ - и т. д. = 0,771072 Ч. О и о
Положим теперь а: —0,77; так как у- х3г 2х — 2, то
7’=3^Г~Ъ- г = 90х3р3 - 12р5
и
s= - 2160 рЧ3 т гШр!х.
l\ D 8‘
') В нервом издании г—
14
55
60
д.= 0,770 751.
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 377
Логарифмируя, будем иметь:
1х = 9,886 490 7
1 х- = 9,772 981 4
1 я" = 9,659 4721
Следовательно.
1(—у) = 7,539 953 8
1 р = 9,422 657 5
1 (— ру) = 6,962 611 3
1 р3 = 8,267 972 5
1.г = 9,886 490 7
13 = 0,477 121 3
1 у1 5,079 907 6
1(--1Н/г) 3.711492 1
Следовательно, корень / = 0,770 может содержать ошибку.
х =0,77
X' = 0,592 9
.С — 0,456 533
‘lx. = 1.54___
х3 + 2а; = 1,996 533
у — —0,003 467
За:2+ 2 = 3,7787
1 (За:3 -1-2) = 0,577 342 4
— ру — 0,000917 511
_ J qy- = 0,000000514
997. что лишь в последнем знам<
П р и м е р 2
Пусть предломсено уравнение а:4 — 2а:3 + 4а: = 8. Положим y = xi — 2а:2 -р 4а: — 8; будем иметь dy~ddx(x3—x -М). —L— ;
Ж --- Д 1 J -4 ^Д —— Д *-t“ 1 I
следовательно, - За2 +1 dy 21х4 —12х3 - 6Ж _21х4-12х2-6х (-3
У ' 16 (ж3 — x-f-l)3 ’ dx 16 (ж3 —ж-pl)4 И Г 64 (ж3 — х ;-1)5
Отсюда будем иметь корень предложенного уравнения , у (Зх2 —Di/3 (7х4 — 4х2— 2x4 1)’/“
/ ;г Ж ~~ 4 х + 1) ~ за (.,;3 .t г i2rtu:‘-.c I)3 11
Теперь нужно дать количеству х удобное значение, чтобы наш ряд стал сходящимся. Прежде всего ясно, что если количеству дать такое значение, при котором х3—х -г 1 = 0, то все члены ряда, кроме первого, станут бесконечными, и значит, мы не сможем получить никакого результата. Следовательно, нужно дать количеству х такое значение, чтобы у оказалось малым, а х3 — x + i не слишком малым. Пусть х 1; тогда ?/= —5 и
25 125
И- -
и т. д.
,Р 5 25 , 125 ,
1ак как три члена образуют геометрическую прогрессию,
сумма которой есть, то приближённо будем иметь / = . Положим
378 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
поэтому х = -|-; будем иметь
23 з , , 23
и *~*+1 = Т’
откуда
, 3 , 1 I , 391 , _. ..
^"2 й'~64 256~529~— ” Т’ Д’ ~~
Положим теперь х = 1,61; тогда будем иметь
1 х = 0,206 825 9 х = 1,61 Пусть х3 — ,r-|-l=z
] х1 = 0,413 651 8 яг = 2,5021
1 ж3 = 0,620477 7 х3 = 4,173 281
1 а:4 = 0,827 303 6 ж4 = 6,718 983;
1(— у) = 8,401 6934 отсюда
lz=0,5518502 у = —0,025217
, ч----------------------- z = 3,563 281
1 Л = 7,849843 2
14 = 0,602 060 0
1-,-^ = 7,247 783 2 4z
1 (За:2— 1) = 0,8309926
1 у2 = 6,803 386 8
= 0,001 769 2 45
Здг1 = 6,7763
7,634 379 4 lz3 = 1,655 5506
5,978 828 8
132 = 1,505150 0 2 .. ,
------------ -121'1 = о,000 002 976.
4,473 678 8
Следовательно, /= 1,611 766 2 2).
242. Этот метод разыскания приближённых корней уравнения таким же образом применим и к трансцендентным количествам. Пусть, например, мы ищем число х, логарифм которого, взятый по какому-либо основанию, относится к самому числу, как 1 к п. Тогда мы получаем уравнение х — nlx=0. Пусть к есть модуль этих логарифмов, так что эти логарифмы можно получить умножением гиперболических логарифмов на к. Тогда будем иметь d\x = ^-^- . Положим, следовательно, х — п!х = у и пусть / есть искомое значение количества х, при котором х=п\х. Тогда будем иметь
кп dx dx (х — кп)
X X
а у = dx
3 1 1 '*07
И В первом издании f=-a-+-= — = + —г— — и т. л. = 1,61. Исправил
1 2 8 2 >о • о29
Г. Ковалевский.
2) В первом издании 1 32 = - = 0,000 005 952. (’ледова-
" 4,77 » 708 8 | 32zs
тельно, /--1,611763 2. {Г. К.}
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 379
л
dx х 1 кп dx
-- ~р —---откуда dp——-—;
dy ' х — кп - ' (х — кп.)-’
следовательно, dp _____________________ — кпх , ___2кпх dx м k3n-dx
dy (х — кп)3’ (x — kn)i ’
Поэтому мы получаем
. ху кпху- кпху3 (2х-Р кп)
/ * х — кп 2 (х—кп)3 (х — кп)3 А
Ниже (§ 272) мы покажем, что эта задача имеет решение лишь в том случае, если кп > е, где е есть число, гиперболический логарифм которого равен 1, т. е. должно быть кп > 2,718 281 8.
Пример
Пусть ищется число, неравное 10, табличный логарифм которого равен десятой части самого числа.
Так как в задаче речь идёт о табличных логарифмах, то будем иметь к = 0,434 294 481903 25 и, так как п = 10, будем иметь кп = 4,342944819 032 5. Положив теперь ж=1, будем иметь у = 1, и получим
, . , 1 . 2,171 472'.
^ 1 +3,3429 ~^ (3,3429)“ И Т’ Д‘
Таким образом, приближённо будем иметь /=1,37. Положим, следовательно, 2: = 1,37; будем иметь 1 ж = 0,136 720567 156406 и, так как y — x—\Q\x, будем иметь у = 0,00279432843594 и -- х + кп — = 2,972944 819 032 5.
Следовательно,
1 х = 0,136 7205
1 у = 7,446 277 3
7,582 997 8
1 (кп - х) = 0,473 186 6 _хи „
v 7_______’-------- —= 0.001 287 69.
7,109811 2 х~кп
Так как, далее, третий член есть цх'^п^2(х-М3 ' х-Гп ’ то будем иметь
1-—р-7= 7,109 811 2 х — кп
1 у = 7,446 27 7 3
1 кп = 0,637 784 2
’54938727
1 (кп — х)2 = 0,946 373 2 4^47499 5 12 = 0,301 0300
380 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВИ.
1 третьего члена = 3,946 469 5
I член х = 1,37
II член = 0,001 287 69
III член =0,000 00088 /=7^71288 57' 1 / = 0,137 128857.
243. Если уравнение будет показательным, его можно привести к логарифмическому; так, если ищется такое значение х, при котором Xх = а, то будем иметь xlx — la. Поэтому, положив у = х\х— получим
du = dxl х 4- dx и = п — -—;
J dy ' I -t-1 ar ’
далее , — dx dp _____ —1.
P x x)'- И dy x (1 4-1 x)3 ’
, dx , 3dx * dq 1 3
z2 (1-r J л )3 ’~ z2 (I-'1 .r )1 ’ TaK 410 dy Г ' z3(L 1 x)1'
Далее будем иметь
, — :ldx lOdz V' dx
(!r —-----------.------------------------ - .
x3(ie]x)‘ xs (I 4- 1 z)5 x3 (1 -p 1 z)6
Следовательно, _ -2 10 15
S~ (1 ! 1 •' > ’ ~ ж3 (1 4" Гж)*> x‘(lpU)’ И
6 . 40 , 105 105
Z — ж4 (14-17)®’ + rli)7' П' z4(l-' 1i)“ ;
_ - 24 196 700 12 .0 915
U z'(Lplz)7 z5(l{-lz)s ?(l-j-lx)J x5 (1 T- far)'" z® (1 + 1 z)u ‘
Таким образом, если истинное значение х равно /, так что f—a, то будем иметь
, . у у3 у3 Зу3 7у3
7 Х' 1 4- 1 х 2z (1 -- 1 z)3 2z2 (1 j- 1 x'y Sx3 (1 т-1 z)7 8z* (1 г 1 ®)®
7/3 5(;4 7?/5
Oz-(l-plz)4 12z-i(14-lz6 8z‘(14-Iz)8
?/д_________?/5
12zJ (I 4- 1 ху ~ Зх1 (1 -t- I z)7
________V5
2 Ох1 (14-1 x У
И т. д.
Это выражение, продолженное до бесконечности, какое бы значение х ни подставить в него, если взять у~х\х—\а, даст истинное значение /. Так, если положить х=1, то будем иметь у =—1а и
, , , , (1а)2 , 2(1а)3 9(1а)4 32(1а)3 625(1а)в
/ = 1 4- 1 а -г —у- - - 4 L 4-----------V-------y,-L - И т. д.
Следует иметь в виду, что здесь 1 а есть гиперболический логарифм а.
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 381
II р и м < р
будем иметь
иметь
' =0,097 879 7
1у2 =
31 (1 + 1 х) =
12^ = 17 = 0,845 098 0
6,783~571~8
0.000 607 5.
Пусть ищется такое число j. для которого /^=100.
Так как а = 100 и у -= х 1 х — I а х 1 х — 1100, то, поскольку оче-видно, что />3 л <4, положим х = , тогда
lz= 1,252 762 908 49 xlx-~ 4,384 670389 72 ’) 1100= 4,605 170185 99 у = -0^220499 796 27 х) Ц-1х = 2,252 762 968 49.
Пользуясь обыкновенными логарифмами, будем 1(-у) = 9,343 408 3 1 (1 + 1 х) = 0,352 715 6
8,990692 7 8,686 816 6 1,0581468
7,628 669 8 у2 2ж( 1 + I х)3
Следовательно, приближённо будем иметь f = 3,597 272 2. Если же сверх этого взять следующие члены, то будем иметь / = 3,597 285 2.
244. Дифференциальное исчисление приносит, кроме того, очень большую пользу при решении таких уравнений, для которых заранее известно некоторое соотношение между их корнями. Пусть предложено уравнение у = 0, в котором у есть некоторая функция от х. Если известно, например, что два корня этого уравнения разнятся друг от друга на данное количество а, то эти два корня легко находятся следующим образом. Пусть х есть мепыпий из этих корней; тогда больший будет равен х-\-а. Поскольку функция у исчезает, когда х есть один из корней уравнения у = 0, у будет также исчезать, если вместо х подставить х 4- а. Поэтому будем иметь
Так как у = (), то мы будем отсюда иметь также ___________________dy ad2y , a2 d2y , a3d*y , U ~ ~2dxr r 2WP" " 11 т- Д-
Эти два уравнения, взятые совместно, с помощью метода исключения дадут значение того корня х, который меньше другого на количество а.
*) В первом издании х I х = 4,384 670 349 72 .. . вил Г. К.
у--= - 0,220 499 836 27. Испра-
382 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ .УРАВН.
Пример
Пусть предложено уравнение х3— 24г3-}- 49г2— 36=0 и пусть откуда-либо известно, что оно имеет два корня, разнящихся на единицу.
Положив г/ = г5— 24г3 + 49г2— 36, будем иметь
j— 5г4 — 72г2 -4- 98г, ах '
. §-= Юг3-72г+ 49, Zdx2- *
рЕ- = Юг2 - 24,
+ г
,, , г = 5г, 24<Zx4
120dz5
Так как н = 1, то будем иметь
А .......5г4 + Юг3— 62г2 + 31г + 26 = 0.
Но мы имеем
В .......г5 — 24г3-j-49г2 — 36 = 0.
Помножим верхнее уравнение на г, а нижнее на 5 и вычтем одно из другого. В остатке получим
1Ог4 + 58г3 — 214г2 + 26г + 180 = 0
или
С .......5г4 + 29г3—107г2 Ч-13г + 90 = 0.
Вычитая отсюда первое уравнение А, получим в остатке
D.............. 19г3 — 45г2 — 18г + 64 = 0
D ох......... 95г4 — 225г3 — 90г2 +-320г = 0
А • 19.........95г4 + 190г3 — 1178г2 + 589г + 494 - О
Е..................415г3 - 1088г2 + 269г + 494 = 0
D • 415............. 7885г3- 18 675г2 —7470г+ 26 560 = 0
Е • 19 ............ 7885г3- 20 672г2+ 51 Иг+9386= 0
F.......................... 1997г2 — 12 581г + 17 174 = 0
Е> • 247 ............ 4693г3 — 11115г2 — 4446г + 15 808 — 0
Е-32 .............. 13 280г3 -34 816г2 + 8608г + 15 808 = 0
8587г3 - 23 701г2 + 13 054г = 0
G 8587г2 - 23 701г + 13 054 = 0
+ •8587 . . . 17 148 239г2 —108 033 047г+ 147 473 138 = 0 €7-1997 . . . 17 148 239г2— 47 330897г + 26 068838 = 0
60 702 150г-121 404 300 = 0
Из этого уравнения следует, что г = 2 и потому г = 3 также будет кормом уравнения. Оба эти значения удовлетворяют уравнению.
245. Эти действия можно выполнить и без помощи дифференциального исчисления, ибо то же самое уравнение, которое даёт дпфферен-
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 383
циальное исчисление, получается, если в самом предложенном уравнении положить х-{-а вместо х. Впрочем, этот метод исключения слишком утомителен, и если бы уравнение имело более высокую степень, то работа была бы совершенно непосильной; тем более этот метод может иметь место для трансцендентных уравнений. Но если мы положим, что два корня предложенного уравнения равны между собой, тогда, в силу а = 0, дифференциальное уравнение принимает вид — = 0. Таким образом, всякий раз, как уравнение у = 0 будет иметь два равных корня, мы будем иметь = 0, и эти два уравнения, совместно взятые, дадут то значение х, которому равны оба корпя. Отсюда, обратно, если два уравнения у — 0 и -^ = 0 имеют общий корень, то он будет двойным корнем уравнения у — 0. А это имеет место в том случае, если после того как количество х будет совершенно исключено из двух уравнений у = 0 и =0, мы придём к тождественному уравнению. Так, пусть предложено уравнение
х3 — 2х2 — 4а; 8 = 0.
Мы будем иметь также За;2 —4ж—4 = 0. Если второе уравнение удвоить и сложить с первым, то получится
а;3 + 4а;2— 12а; — 0 или х3 + 4а; — 1.2 = 0.
Утроив, находим
За;2 -j- 12а; — 36 = 0
вычтем
За;2 — 4а; — «4 = 0
16х — 32 = 0.
Гак как мы получаем х = 2, то подставим это значение в одно из предыдущих За;3 — ix — 4 = 0; получаем тождественное уравнение 12 — 8 — — 4 = 0. Отсюда заключаем, что предложенное уравнение х3 —2а;2 — — 4а; + 8 = 0 имеет два равных корня, каждый из которых равен 2.
246. Итак, если мы имеем алгебраическое уравнение скольких угодно измерений *)
хп + Аа;""1 + Вхп~~ + Сх"-3 -|- Dxn~3 + и т. д. = 0, которое имеет два равных между собой корня, то мы также будем иметь
па;""1 + (и - 1) Ах'1-1 + (п - 2) Вх"~3 + (п -3) Сх""4 + (п -4) Dx"-5 + + и т. д. = 0.
Иначе говоря, двойной корень первого уравнения будет в то же время корнем второго уравнения. Помножим первое уравнение на п, второе на х и вычтем из первого. Получим следующее новое уравнение:
Ах"-1 }- ЗСа;"'3 + 4£>х" 4 + и т. д. =0.
’) Т. какой угодно степени.
384 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВП.
Сложим теперь первое уравнение, умноженное на а. и последнее, умноженное на Ь. Будем иметь
ахп + (« + Ь) Ахп^ + (а 4- 26) Вх"~- д- (а д- 36) Схп~3 + и т. д. =0.
Это уравнение, взятое совместно с первым, обнаружит наличие равных корней, если предложенное уравнение имело их. Так как количества а, 6 можно взять по произволу, то коэффициенты а, а Д- 6, а Д- 26 и т. д. составляют произвольную арифметическую прогрессию. Поэтому, если предложенное уравнение имеет два равных корня, то они будут найдены, если отдельные члены уравнения помножить соответственно на члены какой-нибудь арифметической прогрессии; повое уравнение, полученное таким образом, будет также обладать тем же корнем, который является двойным корном предложенного уравнения. Так, уравнение
хп А-Ахп-г + Вхп-г + Схп~3 A-Dx11'1 + и т. д. =0, если его члены помножить на арифметическую прогрессию
а, а^-Ь, а + 2Ь, а-\-ЗЬ, аД-46 и т. д.,
даст новое уравнение
ахп Д- (а Д- 6) Эд'1'1 Д- (а Д- 26) Вх"~2 Д- С (а Д- 36) хп~3 Д- и т. д. = 0.
Это уравнение, взятое совместно с первым, обнаружит наличие равных корней. Это есть хорошее известное правило для разыскания равных корней какого-либо уравнения.
247. Если уравнение у = 0 имеет три равных корня, то будем dy n d2y
иметь не только ^-= 0, но также и = 0, если вместо х подставить значение того корня, который является для уравнения у = 0 тройным. Чтобы показать это, положим, что уравнение у — 0 имеет три корня х. х Д- а и х Д- 6, которые сначала пусть отстоят друг от друга на конечные интервалы а и 6. Так как у исчезает, если вместо х положить х-Ва или а:Д-6, то будем иметь
a dу , a'2d2у , , В d-y f aBBy м
У 4- dx ; -Idx2 1 (rfz3 ‘ 2,idxi 1 11
Ъ d v b'-d’-y , !Al- у
у+ dx 2dx2 <jdx3 ' 477-г4 + И T. Д. = ().
Если от каждого иметь из двух последних уравнений отпять первое, будем
d„ dx dy dx ad2y а-d3 у , a'-d'-y г. + + -от + тготг 4- и т. Д. = 0, 2dz2 1 бла:3 bd1)/ №d3y . 2;^+ I! т- Д- - °-
Вычтем одно из этих уравнений из другого и разделим на а — 6, тогда будем иметь
d2V , (а -'ГЪ} d3y , (а2 |- аЪ 4- Ь") ddy г
----с,/,--"--------44/Э-----+ " '• Д- !-
Положим теперь а = 0 и 6=0, так что теперь три корня равны между собой. Так как все члены, кроме первых, теперь исчезают, то будем иметь
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 385
248. Итан, всякий раз, как уравнение у = 0 имеет три равных корня, скажем, /, / и /, это количество будет также корнем не только уравнения •^—0, но и уравнения —0. Отсюда ясно, что, так как / есть общий корень уравнений = 0 и его дифференциального уравнения = 0, то на основании того, что выше было доказано о двойных равных корнях, f должно быть двойным корнем уравнения = 0. Поэтому, если уравнение
хп -j- Ах"1 + Вхп~~ + Сх""3 + Dxn~* 4- и т. д. =0
имеет три равных корня /, / и /, то, если члены его помножить на члены какой-либо арифметической прогрессии, получаемое в результате уравнение будет иметь два равных корня / и /; поэтому его можно снова помножить на какую-либо арифметическую прогрессию, и тогда получим уравнение, имеющее то же количество / простым корнем. Таким образом, получатся три уравнения, имеющие общий корень /. Комбинируя их, легко этот корень исключить. Если выбрать такие прогрессии, у которых либо первый, либо последний член равен нулю, тогда получим уравнение, степень которого на единицу ниже, и таким образом исключение можно будет выполнить легче.
249. Подобным образом можно показать, что если уравнение у = 0
имеет четыре равных корня, /, /, /, /, то положив x = j, мы будем
иметь не только у — 0, ~ = 0 и '“=0, по также Д-^-=0. Иными
а dx dx- J ахл
словами, если уравнение ?/=—0 имеет четырёхкратный корень х = /, rfy „ ДЧ/ „
то уравнение “-.— О имеет этот корень трижды, уравнение =0 —
дважды и уравнение = 0—однократно. Это легче усмотреть, если
обратить внимание на то, что функция у в этом случае должна иметь вид (x — fyX, где X есть некоторая функция от х. Если мы возьмём её в этом виде, то будем иметь
так что можно разделить на (я:—/)3. Далее таким же образом
будем иметь множитель (х — и —множитель х—/; из этого ясно, что если корень x — f входит в уравнение у = 0 четырежды, то он в уравнение — 0 должен входить трижды, в уравнение ^- = 0 — dX d Х“
d~'y п
дважды и в уравнение — однократно.
25 л. Эйлер
ГЛАВА X
О МАКСИМУМАХ И М1ШИМУМАХ
250. Если функция количества х составлена так, что при возрастании значения х она всё время возрастает или всё время убывает, то эта функция не имеет ни максимума, пи минимума. В самом дело, какое бы значение этой функции пи взять, последующие значения будут больше, а предшествующие меньше. Такой функцией является, например, функция х3 + х, значение которой при возрастании х возрастает, а при убывании х убывает; следовательно, эта функция может иметь максимум лишь в том случае, если задать количеству х максимальное, т. е. бесконечное значение. Подобным же образом она получит минимальное значение, если положить х=—со. Но за исключением этого случая, когда функция составлена так, что при возрастании х опа всё время возрастает или всё время убывает, она где-либо будет иметь максимальное или минимальное значение, т. е. такое значение, которое либо больше, либо меньше, чем предшествующие и последующие значения. Так, функция х2—2х-[-3 — 0 имеет минимальное значение, если положить x=i; действительно, какое бы другое значение мы ни дали количеству х, функция всегда будет иметь большее значение.
251. Чтобы яснее усмотреть свойство максимумов и минимумов, положим, что у есть такая функция от х, которая получает максимальное значение, если положить ж = /. Понятно, что если положить х большим или меньшим, чем /, то получаемое значение количества у будет меньше, чем то, которое оно принимает при x = f. Подобным образом, если при ж = / функция- у получает минимальное значение, необходимо, чтобы, положив х либо большим, либо меньшим, чем /, мы получали всегда большее значение количества у. Таково определение абсолютного максимума или минимума. Но кромо того, говорят, что функция у принимает максимальное значение, например, при x = f, если это значение функции больше, чем те последующие или предшествующие, которые получаются, если у положить лишь немного большими или немного меньшими, чем /, хотя бы при подстановке других значений х функция принимала гораздо большие значения. Подобным образом, говорят, что функция у принимает минимальное значение при x = f, если это значение функции меньше, чем те, которые она принимает, если вместо х подставлять либо ближайшие большие, либо ближайшие меньшие, чем /, значения. В этом втором смысле мы в дальнейшем и будем употреблять термины «максимум» и «минимум».
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
252. Прежде чем будет показано, как находить эти максимумы и минимумы, следует отметить, что это исследование имеет место собственно лишь по отношению к том функциям, которые мы выше назвали однозначными, и которые составлены таким образом, что ;-..я каждого значения х они принимают лишь одно значение. Двузначными же и многозначными функциями мы назвали такие функции, которые д. гя отдельных значений х имеют два или большее число значений; та.-ими функциями и являются, например, корпи квадратных уравнений и урас-П0Ш1Й большего числа измерении. Если у является такого рода д , v-значной или многозначной функцией от х, тогда, собственно, ке..ьзя сказать, что она принимает наибольшее пли наименьшее значение три ж=/. Действительно, при x—f она получает два или большее число значении одновременно, точно татх же и предшествующих и последующих значений она имеет несколько, и судить о максимуме или минимуме становится но так легко, разве что значения функции у, отвечающие отдельным значениям х, все, громе одного, являются мнимыми; в этом случае она имеет обманчивый вид однозначной функции. Итак, сначала мы рассмотрим однозначные функции и то функции, которые имеют обманчивый вид однозначных; потом только мы укажем, каким образом следует применить полученный критерий к многозначным функциям.
253. Итак, пусть у есть однозначная функция от ж; поэтому, какое бы значение ни подставить вместо х, она получает всегда тотько одно действительное значение; пусть х есть то значение, которое даёт функции у наибольшее или наименьшее значение. В нервом случае, если вместо х подставить либо х 4- а, либо х—а, значение у будет меньше, чем если положить а=0, во втором же случае—больше. Но так как, если подставить x-j-a вместо ж, функция у переходит в
У
ady a3 d2y а3 d3y dx 2с/ж3
И Т. д.,
а если положить ж — а вместо ж, функция у переходит в
а dy а3 d~y а3/!3 у
У dx ' 2dx3 (>dx3
то необходимо, чтобы в случае
н У - a dy *У dx +
В сл}чае ж е, если значение у
„ , ас1У , ‘
У < -У^' dx +
_ ady ,
У < -У- ^1х~ +
И т. д.,
максимума был< a2 d2y ] а3 d3y ( 3 и T. Д.
2dx2 1 1
а2 d2y a3 d3y (
2dx2 6<£r3 11 1 . Д.
есть минимум, будем иметь
i2 d2y ( ci3 tZ3?/ ( и т. д.,
2dx2 ' Mx-1
a.- d'-y a3 d3y , и т. д.
2dx3 Mx3
254. Так как это должно иметь место тогда, когда а есть очень малое количество, то положим а столь малым, чтобы можно было отбросить его высшие степени; тогда как для случая максимума, так и для случая минимума должно будет иметь место ^~==0. Таким
25*
388
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
r ady , -
ооразом, если по оудет равно пулю, то значение у не может быть нн максимумом, ни минимумом. Таким образом, мы получаем для нахождения как максимумов, так и минимумов такое общее правило. Нужно положить дифференциал предложенной функции у равным нулю, и тогда то значение х, которое даёт для функции максимальное или минимальное значение, будет корнем этого уравнения. Остаётся, однако, неизвестным, будет ли найденное значение у максимумом или минимумом; более того, может оказаться, что у не будет пи максимумом, ии минимумом. Ведь мы нашли только, что в том и другом , dy „ „ dy „
случае будет -j- = 0, но мы не утверждали, что всякий раз как -т- = О, ctj, а*--
у получает наибольшее или наименьшее значение.
255. Однако для разыскания тех случаев, когда значение у оказывается наибольшим или наименьшим, нужно прежде всего выполнить эту операцию, т. е. приравнять дифференциал предложенной функции нулю и найти все корни уравнения — Затем, когда корпи будут найдены, нужно будет посмотреть, какой из них даёт функции максимальное или минимальное значение, или никакой пе даёт пи максимума, ни минимума. Мы покажем, действительно, что возможны случаи, когда нет ни максимума, ни минимума, хотя и имеет место ^- = 0. Пусть f—то значение, или одно из тех значений, которое мы получаем из уравнения
г. d2y d"'y
Подставим это значение в выражения и т. д.. н пусть в ре-
зультате. этой подстановки d'hi d3y d4;/
~d^-P’ dr> =
Пусть функция у, если положить / вместо х, переходит в F; тогда, если вместо х положить /+?-, эта функция перейдёт в
F ~5.2/? г^а3а-1- и т. д.;
если же вместо х положить / — а, она перейдёт в
I о Т 3 . 1 Л
Г У бач+ Х Г - П т. д.
Отсюда ясне, что если р будет количеством положительным, то оба значения будут .меньше, чем F, по крайней мере, если а есть очень малое количество; поэтому значение F, которое функция принимает при x,-=f, будет минимумом. Если же р есть количество отрицательное, тогда при х --- f функция получает максимальное значение.
256. Если же р — О, тогда нужно посмотреть, каково значение количества д. Если оно по будет равно пулю, то значение у пе будет нн максимумом/ни минимумом; ибо, положив х — fж мы будем иметь
‘1 i
/’ 4- -a3n>F, а положив x — f — а, будем иметь F — ^a.sq<F. Если же и 7 = 0, то пужпо посмотреть, каково значение количества г; если оно будет положительным, то значение F, которое функция принимает при х =f, будет минимальным; если же г имеет отрицательное значе
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
389
ние, то F будет максимумом. Если же также и г исчезает, то ответ на вопрос нужно искать, рассматривая значение следующей буквы s, совершенно так же, как раньше мы делали это по отношению к букве q. Именно, если s пе будет равно нулю, то функция не будет пи максимумом, пи минимумом. Если же также и s--=(), то следующая буква t, если опа будет иметь положительное значение, укажет, что имеет место минимум; если же она будет иметь отрицательное значение, она укажет максимум. Если же и эта буква t исчезает, т о для решения вопроса нужно поступать совершенно так же, как мы делали в предыдущих случаях. Таким
_ d-y
образом, о каждом корне уравнения = U мы сможем сказать, дает ли он функции у максимальное или минимальное значение, или не даёт ни того, ни другого; и таким образом можно будет найти все максимумы и минимумы, которые может принимать функция у.
257. Если уравнение = 0 имеет два равных корпя, так что оно имеет множителем квадрат (ж — /)2, то, если положить x = f, одновременно исчезает и , и мы будем иметь р = 0, по q не будет равно нулю. Значит, в этом случае функция у не имеет ни максимума, пи минимума. Если же уравнение = 0 имеет три равных корня, т. е. имеет множителем куб (х— f)3, тогда, если положить ж = /,
d2y п d3y „ dly - „
получим ~1~2 =9 и -ч-j =0, но -,-4 пе будет равно нулю. Значит, если
значение этого члена будет положительным, будет иметь место минимум, если же отрицательным, то максимум. Таким образом, высказап-
„ dy
ный ранее признак сводится к тому, что, если выражение имеет множителем (ж — /)п, где п есть нечётное число, то функция у, если в ней положить х — f, примет максимальное или минимальное значение, если же число п будет чётным, тогда подстановка не даёт ни макси-
мума, ни минимума.
258. Разыскание максимума и минимума часто не мало облегчается следующими соображениями. В тех случаях, когда функция у имеет максимум или минимум, какое-либо сё кратное ау, если а есть поло-
жительное число, также одновременно имеет максимум или минимум. То же имеет место для у3, у5, у1 и т. д. и вообще для ауп, если п есть нечётное положительное число, ибо эти выражения составлены так, что они возрастают при возрастании у и убывают при убывании у. Далее, в тех случаях, когда у является максимумом или минимумом, — у, —ay, b—ау и вообще Ь — ауп, где п ость нечётное положительное число, будут, в обратном порядке, минимумом или максимумом. Подобным образом, в тех случаях, когда у есть максимум или мини-
а а - а ,
-5, и вообще т; -Ь о, где а есть положительное
у3 у3 у ~
мум, выражения -,
количество и п есть нечётное положительное число, дадут, в обратном
порядке, минимум или максимум. Если же а будет отрицательным
количеством, тогда эти формулы дадут максимальное значение, если у
ость максимум, или минимальное, если у есть минимум.
259. Эти заключения нельзя в неизменном виде перенести на чётные степени; действительно, если у принимает отрицательные значения, то его чётные степени получают положительные значения; поэтому
390
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
может случиться, что в то время, как у принимает минимальное значение, именно значение отрицательное, его чётные степени становятся максимумами. При этих обстоятельствах мы можем утверждать, что если у будет максимумом или минимумом, имея положительное значение, тогда и его чётные степени у\ у^ и т. д. будут также максимумами или минимумами, если же максимумом будет отрицательное значение у, тогда его квадрат у1 получит минимальное значение, и обратно, если отрицательное значение у будет минимумом, тогда у'2, у1 и т. д. будут максимумами. Если же показатели степени количества у будут отрицательны, тогда произойдёт обратное. Впрочем, то, что здесь было сказано о чётных и нечётных показателях, имеет место но только для целых чисел, но и для дробей, знаменатели кото-
-15 7 13 рых являются нечетными числами; в этом вопросе дроби -, -, - F о О и О О - - 2 4 2 4 6
и т. д. равносильны нечетным числам, дроби же -, 5, =, - ит. д,-
3 о о о 7
чё । ним.
260. Если же знаменатели будут чётными числами, тогда, поскольку, 1 з
когда у имеет отрицательное значение, ого степени у?, у± и т. д. будут мнимыми, — о них можно утверждать лишь следующее: если положительное значение количества у будет максимумом или минимумом, J ? 1
тогда также yz, у2, у и т. д. равным образом будут максимумами или минимумами; напротив, у 'z, у 2, у 4 и т. д. — минимумами или максимумами. По так как эти иррациональные количества имеют одновременно два значения, одно положительное, а другое — отрицательное, то для отрицательных значений нужно будет утверждать противоположное тому, ч то здесь было сказано о положительных. Если же отрицательное значение количества у даёт максимум или минимум, тогда, поскольку все рассматриваемые степени становятся мнимыми, их нельзя причислить ни к максимумам, пи к минимумам. G помощью вышеизложенных соображений становится часто очень лёгким разыскание максимума и минимума, которое иначе было бы чрезвычайно трудным.
261. 'Гак как вышесказанное в первую очередь относится к рациональным функциям, ибо только они одни являются однозначными ’), то прежде всего мы рассмотрим целые функции и отыщем их максимумы и минимумы. Так как такие функции можно привести к виду
+ Лх"~’ Вхп~'--[- Схп~3 и т. д.,
то прежде всего ясно, что их значение не может быть больше чем то, которое получится, если положить а:=оо; далее, если х-—со, то эта формула принимает значение, равное соп, если п есть чётное чисто, и —со'г, если п есть число нечётное; тогда последнее значение
Г. Ксвалавзний в примечании к этому месту замечает, что в S10 первой главы «Введения в анализ», а также в начале § 268 «Дифференциального исчисления» Эйл *р указыв io? па сущ'стновапис трансцендеитлых однозначных функций. Мае кажется, что данное место не противоречит этим высказываниям Эйлера. Говоря и тон, что рац ю.кльлые фупшии один только являются од коз начавши, Ойлер противопоставляет нх не трансцендентным, а «иррапнояальнми функциям,, которое <см. § 10 «Введения») но Эйлеру, «все являются многозначными, потому что зп-н-и радикалов обладают неопределенностью».
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
391
будет самым минимальным из всех. Кроме того, однако, часто существуют другие максимумы и минимумы в том смысле этих слов, который мы им приписали. Поясним это следующими примерами.
Пример 1
Найти значения х, при которых функция (х — а)п становится максимумом или минимумом.
Положив (х — а)п = у, будем иметь
2 +п(х-аГ\
Положив это равным нулю, получим х = а. А так как ~ имеет множителем (х— а)*1'1, то из § 257 ясно, что у может быть максимумом или минимумом лишь в том случае, если тг—1 есть нечётное число, т. е. п есть число чётное. Так как в этом случае мы имеем
dnu
d^==n(n~i^n — 2') ••• l>
т. е. у есть число положительное, то, следовательно, значение у при х--а будет минимальным. В этом легко убедиться, ибо при х — а мы имеем у = 0; если же х положить большим или меньшим, чем а, то так как п есть чётное число, то у получит положительное значение, т. е. значение, большее нуля; если же п есть нечётное число, то функция у = (х— а)н не имеет ни максимума, ни минимума. Далее, очевидно, что то же самое имеет , место, если п есть число дробное, чётное или нечётное, а именно, (а— а)^ становится минимумом при х = а, если и. есть число чётное, a v — нечётное; если же оба эти числа нечётные, то не будет пи максимума, ни минимума.
П р и м о р 2
Найти случаи, в которых значение формулы х2 ф-3а; + 2 становится максимальным или минимальным.
Положим -J- Ьх + 2 == у; тогда
^--=2х + 3, ах ’
Положим, следовательно, 2ж {-3 = 0; получим х~— |. Даёт ли этот случай максимум или минимум, мы должны узнать из значения — 1; так как оно положительно при любом х, то мы имеем минимум.
„ 3 1
Вели положить то получаем у = —если же количеству х
мы будем приписывать какие-либо другие значения, то будем всегда получать значения у, большие, чем —1ак же и из природы самой формулы ж3-г За; 4-2 ясно, что она должна иметь минимальнее значение; действительно, так как она возрастает до бесконечности как при х — со, так и при х ——со, то необходимо, чтобы некоторое значение количества х давало бы количеству у минимальное из всех значений.
392
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Пример 3
Найти случаи, в которых выражение Xs — ах~-\-Ьх — с получает максимальное или минимальное значение.
Положив у=-х3— ax'iJrbx—с, будем иметь
dii г. > г* । 7 d ч . 1 d V •
= = ox- — Лах + о и 7,, ?. = • х — а, 1.
dx 2dx2 6dx2
Положив = За2 — 2ах + b = 0, будем иметь
аЛ- l/ а2 — 3b Х= 3 ’
Отсюда ясно, что предложенная формула не будет иметь ни максимума, ни минимума, если только не будет а2 > 36. Если же а2 > 36, то в одном из случаев будет максимум, в другом — минимум. Действительно, мы имеем
>,=±/^=367 2аяг -1" *
з .,7 а+у/'а:2 — ЗЬ
откуда видно, что если не имеет места а = сб, то значение х —---
делает формулу у = х3— ах3-{-Ьх — с минимальной, а значение х = -=а—"-——максимальной. Найдём теперь, каковы будут эти значе-
2 1
ния количества у. Так как За;2—2аа;-|-6 = О, т. е. х3 — ^ах3 + ~^Ьх— О, то будем иметь
1 2
у — — ^az2+ г^Ъх — с;
1 , 2а2 , аЪ
а так как ------х -g > то
2/о, , ab 2а (а2 — 3&) _ 2 (а2 — 3&) j/а'2 — зб , аЪ
у=-{ЗЬ-а^х + - — с =--------27-----Т -------------- + Д “с
ИЛИ
3 2&3 Ц,1) — 2 . •> OL\9
У- + з-<^(«--36);,
где верхний знак нужно взять для минимума, а нижний — для максимума.
Остаётся ещё случай а2 = 36; так как в этом случае ^ = О, а еле-3
дующий член (^-3 = 1 не равен нулю, то, следовательно, в этом случае предложенная формула не будет принимать ни максимального, ни минимального значения.
Пример 4
Найти случаи, в которых функция х1— 8а;3 + 22а: — 24а; 4-12 количества х становится максимальной или минимальной.
Положив у = х1 — 8а4 + 22а;2 — 24а; + 12, будем иметь
= 4z3 — 24а;2 4~ 44z — 24, = 6а2 - 24а; + 22.
dx 1 ’ 2dx2 1
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 393
Теперь положим
= 4ж3 — 24ж2 + 44ж — 24 = 0 или xz — бж2 + Их — 6 = 0.
Мы получим для х три действительных значения
I. ж = 1, II. х = 2, III. ж = 3.
Из первого значения получаем =4; поэтому при х= 1 предложенная функция становится минимумом. Из второго значения х = 2 получаем
= — 2, поэтому предложенная функция имеет максимум. Из третьего
значения х—З получаем £^ = 4-4; ПОЭТОМУ предложенная функция сноваг имеет минимум.
Пример 5
Пусть предложена функция y — xz— 5х4 4- 5я3 + 1; спрашивается, в каких случаях она становится максимумом или минимумом.
Так как
= 5я4 — 20ж3 + 15ж2, ах 1
то составим уравнение а;4 — 4т3 4- Зж2 = 0; его корни суть
I и II. ж=0, III. ж=1, IV. х=3.
Так как первый и второй корни равны, то они не дают ни максимума, d4i
ни минимума; действительно, =0, по не исчезает. Третий же корень х— 1, так как = Ют3 — 30т2 + 15т даёт = — 5; следовательно, в этом случае функция становится максимумом. Из четвёртого корня х = 3 получаем =45, так что предложенная функция является минимумом.
Пример 6
Найти случаи, в которых формула у — 10т“ — 12тб 4- 15т4 — 20т3 + 20 становится максимумом или минимумом.
Мы будем иметь
= 60т5 - 60т4 Ь 60т3 - 60т2 и = 5т4 - 4т3 + Зж= - 2т. ах оиах
Составим уравнение х6 — xtJrxz— т2 = 0; так как, разложив его па множители, мы имеем х2 (х— 1) (х2 -f-1) = 0, то оно имеет два равных корня х = 0, затем корень х — 1 и сверх того два мнимых корня, получаемых из уравнения я2 4-1 = 0. Так как двойной корень т = 0 нс даёт ни максимума, ни минимума, то остаётся только рассмотреть корень х— 1, который даёт ~ это значение положительно, что указывает минимум.
262. Таким образом, определение максимумов и минимумов зависит от корней дифференциального уравнения =1=0; наивысшая степень
394
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
этого уравнения на единицу ниже, чем степень предложенной функции у, если, конечно, у есть целая рациональная функция. Ясно, что в общем случае, если предлагается функция
хп + Ах11~1 + Вхп~~ + Cxn~s Н Dxn~l 4- и т. д. =у.
го её максимумы и минимумы определяются корнями уравнения
тгжп''14-(и — 1) .4х'^2 4- (п — 2)Вхп-я-\-(п— 3)С'хп“4 + и т. д. =0.
Положим, что действительные корни а, р, у, о и т. д. этого уравнения расположены в порядке их величины, так что а есть наибольший корень, р а, у<р и т. д. Рассмотрим сначала случай, когда все эти корни не равны между собой; тогда каждый из них даст предложенной формуле у максимальное или минимальное значение и, следовательно, функция у будет иметь столько максимумов или минимумов, сколько действительных корней будет иметь уравнение ^=0. Если же два или большее число корней будут равны между собой, то дело будет обстоять так, цто два равных корня пе дадут ни максимума, ни минимума, тройные же корни будут равносильны одному; и вообще, если число равных корней будет чётным, то отсюда не получится ни максимума, ни минимума; если же это число будет нечётным, то отсюда получится либо один максимум, либо один минимум.
283. Какие корни дают максимум, а какие минимум — можно определить и без помощи вышеизложенного правила. Так как функция у при х = со становится также бесконечной и так как в границах между бесконечностью и а значения количества х не дают никакого максимума и никакого минимума, то очевидно, что значения функции у, когда вместо х последовательно подставляются значения от со до я, должны всё время убывать; поэтому значение х =d 4- «> даёт функции у большее значение, чем значение х = л. Отсюда следует, что так как х = а должно давать либо максимальное, либо минимальное значение, то необходимо, чтобы в этом случае функция у стала минимумом; значит, если х уменьшать дальше и положить — а», то значение количества у будет снова возрастать до тех пор, пока х
,, dy п
но станет рапным р, т. е. второму корню уравнения = 0, дающему максимум или минимум. Поэтому этот второй корень х---° даёт максимум, и при значении ж — w функция у будет оставаться меньшей, чем при х — [5, всё время, пока х не станет равным у. Следовательно, последнее значение снова даст минимум. Из этого рассуждения ясно, что первый, третий, пятый и т. д. корпи уравнения дают минимумы, второй же, четвёртый, шестой и т. д. — максимумы. В то я;о время отсюда ясно, что в случае двух равных корней максимум и минимум срастаются и, таким образом, пе имеет места ни максимум, ни минимум.
264. Таким образом, если в предложенной функции
у = хп 4- Ах”-1 4- Вх”~2 4- Схп~?> 4- и т. д.
наибольший показатель п будет чётным числом, то уравнение
= пх”-1 4-(п — 1) Ахп~2 4- (п — 2) 5х’,-34-и т. д. = 0
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
395
будет иметь нечётную степень и потому будет иметь либо один действительный корень, либо три, либо пять, либо иное нечётное их число. Если действительным будет один корень, то он даст минимум; если будут три действительных корпя, то наибольший даст минимум, средний— максимум, а наименьший — снова минимум. Если же действительных корней будет пять, то функция будет иметь три минимума и два максимума, и так далее.
Если же показатель п будет нечётным числом, то уравнение — О будет иметь чётную степень и потому либо совсем не будет иметь действительных корней, либо будет иметь их два, либо четыре, либо шесть и т. д. В первом случае функция у не будет иметь ни максимума, ни минимума, во втором же случае, если существуют два корня, то из них больший даст минимум, а меньший—максимум; если существуют четыре корпя, то первый (самый большой) и третий дадут минимум, второй же и четвёртый — максимум. И всегда, каково бы ни было число корней, максимумы и минимумы чередуются друг с другом.
265. Перейдем теперь к дробным рациональным функциям, составляющим другой вид однозначных функций. Пусть
где Р и Q суть какие-либо функции1) количества х; прежде всего ясно, что если количеству х дать такое значение, чтобы было Q = 0, то если только вместе с тем не исчезает Р, функция у становится бесконечной, и может показаться, что здесь мы имеем максимум. Однако этот случай нельзя считать за случай максимума; действительно, обратная , О ~
дробь ~ становится минимальном во всех тех случаях, когда предло-r Р - - Q
жеипая дробь - является максимальной; поэтому дрооь ~ должна была бы стать минимальной в случае, когда Q исчезает; это, однако, происходит не всегда, ибо она может принимать и ещё меньшие значения, а именно, отрицательные. Поело того как это сомнение устранено, мы ещё раз убеждаемся в справедливости данного выше правила, dy л ч-io максимумы и минимумы должны оыть получены из уравнения = О.
в предложенном случае должно быть
dy Q dP — Р dQ dx Q- dx
и, следовательно,
QdP — P dQ = O.
Корпи, этого уравнения и могут дать функции у максимальные или мпш.мальныо значения. Если же возникает сомнение, имеет ли место _ d-y
максимум или минимум, то нужно обратиться к значению , если оно положительно, будет иметь место минимум; если же отрицательно — максимум. Если же и это значение рр исчезает, что происходит
) Подразумевается, очевидно, «целые».
396
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
d у л „
в том случае, если уравнение = 0 имеет два или оолынее число равных корней, то всегда нужно помнить, что чётное число равных корней не даёт ни максимума, ни минимума.
Пример 1
Найти случаи, в которых функция ргр становится максимумом или минимумом..
Прежде всего ясно, что эта функция обращается в нуль в трёх случаях: х = со, х — 0, х~ —со; поэтому она имеет по крайней мере два максимума или минимума. Чтобы найти их, положим у — у* х-г тогда будем иметь dy 1 — х-’ d-y — 6х + 2х3 dx (14-х2)2 dx2 (14-х2)3
Положим теперь = 0; тогда 1 — хг = 0 и либо х = + 1, либо х = — 1.
В первом случае х= -р-1 мы имеем = и потому у имеет ма-1 d2v 4
ксимум, равный у ; во втором случае х =—1 мы имеем по-
.. 1 этому у имеет минимум, равный — --.
То же самое можно найти легче, если обратить предложенную дробь ж 2, положив у= ж- = х +— ; нужно только заметить, что максимум, который мы найдём, обратится в минимум, и наоборот. Мы будем иметь
<0/ = 1 — — и d-y — — dx х2 ’ dx2 х3
Таким образом, положив ^=0, будем иметь х2 — 1 = 0 и, следовательно, либо х = 4-1, либо х — —1, как и прежде. В случае , л d2y о
х~ 4-1 мы имеем поэтому у есть минимум, а предло-
женная формула — максимум. В случае же х — — 1 мы имеем d2 у г, 1
=—2, откуда у есть максимум, а —— минимум.
Пример 2
гг - 2 — 3x4- х2
Наити случаи, в которых формула , становится максиму-
2» <33? —j— 3?
мом или минимумом.
2 —- Зз* j хР
Положив у — ———, будем иметь
а 2 4 Зх4-х2 ’ J
dy _ 6х2 - 12 d2y _ — 12х34- 72х + 72
dx (х2 + Зх + 2)2 И dx2 (х2 + Зх + 2)3
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
397
Положим ^ = 0; тогда либо х — либо х — — j/TT В первом слу-
чае х = -{-1/2 будем иметь
d-y _ 48/2 + 72 е-з/2)3
Это значение положительно, так как числитель и знаменатель положительны; следовательно, минимальное значение у равно
— 3/.1 = 121/2 — 17 = -0,029 437 25.
4 + 3/2 1
Во втором случае х = — |/ 2 имеем
d-y __ - 48/2 72 _ 24 (3-2 /2)
(4 —3)/2)3 ~ (4-3/2)3
Это значение будет отрицательным, так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен; поэтому максимальное значение у будет равно
4±- = - 12 \/ 2 - 17 = - 33,970 562 74.
4 - 3 / 2
Хотя это значение меньнте, чем первое, минимальное, однако оно является максимумом, так как оно больше, чем ближайшие соседние значения, получаемые, если вместо х подставить значения либо не много большие, либо немного меньшие, чем—|/2. Так как ) 2 содср-4 3
жится между пределами — и —, то легко произвести проверку следующим образом:
если х — г. ТО У - -fj = —0,0285;
если х = /2, то у= 12 J/" 2— 17 =- —0,0294 минимум
если Х-- 3 о ’ то У -= — 0,0285;
если X = 4 то ?/= -35;
если X — -]/2, то у— —33,970 максимум;
если X = 3 ~ ~2 ’ то у= — 35.
II р и м с р
Найти, случаи, в которых формула Х-Л— у становится максимумом или минимумом.
Положим ?/=/-——Л тогда
J X- Н- X — 1 di; 2.г-— 4я d-ij — 4z3 12х2 - 4
dx I)2 Л (x2 + x — I)3
it dif /1 d <i
Положим = 0, тогда лиоо лиоо z — 2; в первом случае —т ’ CLX ci Л i
поэтому у будет иметь максимум, равный— 1. Во втором случае г —2
398
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
d2y 20 .. 3
мы имеем а = у , поэтому у имеет минимум, равный у, хотя тот максимум меньше, чем этот минимум. Это можно будет проверить, давая а. следующие значения:
1 13
если х = —.у , если х = 0, 1 если х = г --- , о 1 если х— £ —- у у- -Т1; то у—— 1 максимум; то ?/= —б ; 19 то у = л;
если х — 2, 3 то у— - минимум;
о 1 если ж = 2 1- -- 37 . ТО у = - . J 61
Из того, что если положить х = 1, будем иметь у=1 и, следовательно, у > — 1, мы заключаем, что между значениями 0 и 1 количества х содержится какое-то одно значение, при котором у = со.
Пример 4
Пусть ищутся случаи, в которых дробь кспмумом или минимумом.
Положив V == —Д—будем иметь
J х* — х- -г1 ’ 17
5—становится ма-х1 — х- + 1
dy _ — Xs — ix1 У 'tx2 +. 1 d2y 2х9 Д- 18z7—ЗОх5 — 16х3+ 12х *)
dx (xi — x2Jrl)2 И dx2 (z4 — x2I)3
Следовательно, мы будем иметь уравнение
Xе + 4х4 — 4,т3 — 1 = 0;
оно разлагается иа два уравнения:
х2 — 1 = 0 и х'1 + 5+ + 1 = 0.
из которых первое имеет корпи х= +1 и ж= — 1. а второе, будучи 5+С 21
разрешенным, дает х-—-------, из чего по получается никакого
действительного корня. Из двух найденных корней первый х- - +1
- ^'7 Л / г.
дает —14“), и потому у имеет максимум, равный 2; второй же . .. d2y . ....
корень х - — 1 дает j—, — + 14 поэтому у имеет минимум, равный - - 2.
.. d2y
’) В первом издании d“if
2) В первом издании^-
,, о ^’7
J) В первом издании
dx-
_ 2х9 + 18z7- 21z5- 16х3 12х
(х4 -- X- -г I)3
= -8. [Г. К.|
= Г 8. [Г. />+
[Г./Г.]
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
399-
Прим е р 5
✓рЗ — х
Найти случаи, в которых дробь ————- становится максимумом или минимумом.
Положив у = - ,-77X77 > будем иметь X — Х“ -f- 1
dy___ - xR + Zip х 2x3-l d-y _ 2z3-Gz7-lrfz5 + 20ж
dx (x1 - x1 + 1)- d.i- (л;4 — x- -i- I)3
Положив же 0, будем иметь
ж6 — 2,r4—2 ж 4-1=0;
разделив это на х'14-1, получим
х* — Зх3 4-1 = 0.
Это уравнение разлагается па
х” — х — 1 = 0 и ж -j- х — 1 = 0, откуда получаем следующие четыре действительных корня:
I. х = —2—, П. х =—Д,
III. х = , IV. х = - 13=^ .
Так как все эти корни содержатся в уравнении ж4 — Зж34-1=0, то, положив ж4 = 3^2 — 1, мы будем иметь для всех корней
d2y 2z(10 —20.Г-) 5(1-2.г2) 5(1—2ж3) ж2 —а; х2 — 1
dx2 8т6 2z5 2ж (3z2 —1) И У 2х- 2х
Для двух же первых- корней, получаемых из уравнения х1 ~х 4- П мы будем иметь d2y 5 (2а: 4-1) 5(2ж-|-1) _ 1
dx2 2а; (Зх 4-2) 2 (5х р 3) И 2/ 2
_ „ 14-/5
1аким образом, первый корень х=—~— дает
d2y 5 (2 4- /5)
~dx:2~ 114-5/5 ’
D „ 1-/5
и потому у есть максимум. Второй корень х =—2— дает
d2y _ 5(2-/5) _ 5(/5-2)
dx2~ 11-5/5 ~ 5/5 — 11 ’
и потому у =-- -5- также будет максимумом. Два остальных корня дают 1
значение у= — — , которое является минимумом.
2615. В этих примерах исследование того, какое из найденных значений даёт максимум, а какое минимум, можно было бы произвести тг dy п d-y
легче. Действительно, так как—- = 0, то значение члена , принимая u X* \L' vG
400
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
во внимание это уравнение, можно выразить проще. Пусть предложена Р
дробь у= Так как
dy = Q dp^ldQ и Q dP — PdQ = 0,
I и . d(QdP-PdQ) 2dQ(QdP-P dQ) a^y— qT~~ qs
Но так как Q dP — PdQ = 0, то второй член исчезает, и мы будем иметь
d(QdP-PdQ) _Qd-P — Pd-Q аУ~ ~ Q; - Q*
i ак как решение вопроса зависит от того, является ли значение этого члена положительным или отрицательным, а знаменатель ого Q- всегда положителен, то дело сводится к рассмотрению только числителя:
„ z', ,, г> г> 7 d (Q dP - Р dO)
всякий раз как Qd2P Pd“Q илм—^—------------— будет положительным,
мы можем сказать, что имеется минимум, если же это значение отрицательно, то максимум. Другими словами, после того как будет иаи-
du - Il dR
дено j- , которое будет иметь вид—,, нужно отыскать только — , несли (Z X \J “ (лХ
корень этого выражения даёт положительное значение, то из него получается минимум, если же отрицательное—то максимум.
267. Если знаменатель предложенной дроби будет квадратом или
какой-либо более высокой степенью, так что
у— — то получим
, QdP — nPdQ
,, Q dP — пР dQ г> ,
Положив ---- = jy. будем иметь
du___ R
dx Qn~i
и максимумы и минимумы определятся из Так как, далее,
корней уравнения R—0.
d-y__Q dR - (п -'г п у? dQ
dx
Q
го, поскольку /? = 0, будем иметь
d-y dR
dx Q^-i 1 ’
если это значение положительно, будем иметь минимум, а если отрицательно— максимум. Но ясно, что если п есть нечётное число, то поскольку 1 всегда положительно, заключение можно вывести, рассматривая только ; если же п есть чётное число, то нужно вос-QdR пользоваться выражением.
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
401
pm
Положим далее, что предлагается дробь— = у; тогда
{mQdP — пР dQ)Pm~l dy =
qn+i
... , mQdP — nPdQ п
1аким образом, если положить ----- -R, то корни уравнения
7? = 0 укажут случаи, в которых функция у становится максимумом или минимумом. Так как
dy _ pm-iR
dx~ Q1^ ’
то
d-y Рт-- R ((т — 1) Q dP - (n 4- j) p dQ) , Pm~> dR dx
и поскольку R = 0, получим
Pm-1 dR
dx2 Qn+1 dx
Это выражение можно сверх того разделить
Р'А*-
—. Кроме того, уравнение Р - 0 также даст
<?
на какой-либо квадрат максимум или минимум, если т будет чётным числом; таким же образом, если мы рассмотрим обратное выражение , то увидим, что максимум или минимум получится при (? = 0, если п будет числом чётным, как мы уже указывали выше (§ 257). Здесь, однако, мы не останавливаемся на тех максимумах или минимумах, которые проистекают отсюда, и для разъяснения метода исследуем лишь те, которые получаются из уравнения /? 0.
Пример 1 _l а-гЛ”»
; спрашивается, в каком случае минимумом,
всего ясно, что у = 0, если х =—
Предлагается функци-я гбх)' она становится максимумом или тт (а + fte)OT
Положим у = ( +^д)п ; прежде и у=со, если х =--—у.. Первый а второй — максимум, если тип будут чётными числами. Кроме того, будем иметь
из этих случаев даст минимум,
dy (а+ fix')™ 1 ,, \ о* о "х
и потому
R = (m — n) рбх тпВу — na8.
Положив R = 0, будем иметь
___na.8 — (m — n)
Далее, поскольку = (m— n)p8, нужно посмотреть, является ли
Pm^dR_mm^ pn+1 f'ai- dR
Qn^dx ~.nn*18m-i {т-nJ 'di'
26 л. Эйлер
402
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
положительным или отрицательным количеством. В первом случае предложенная формула будет минимумом, во втором — максимумом.
U + 3)3 Pm~1dR 9 _ (ж4-3)»
Так, если у = , то , и поэтому формула
будет минимумом, если положить х = 0.
Вели же у =;—; , то
и (х 4-1)п
Pm~'dR тт-‘ /'п-т \т-п-\2
—( —-— ) (т—п)
Qn*1 dx nn±l у 2 J ' 7
п J- т г,-, <
и х = -—. лай как т и п предполагаются положительными числами, то решение вопроса получается из формулы (п — т')п~т*2 (т — п) или (п — т)п~т (т— п). Если н>тп, то найденное значение х =
число т — п даст (я-1)3 л
(Д7 + ! 3 будет макси-
всегда даст максимум; если же п<т, то чётное минимум, нечётное же — максимум; так, например, G3 27 мумом при х= — 5; действительно, у
II р и м е р 2
Пусть предложена формула у = Мы будем иметь
(1 ++3
(1 + я2)2
dy (1 + х)2 . 2. Рт 1 dR (1 + г)2 ,о
—£/ = ^——+ (3— 4х— х ) и ---j-(2x4-4).
dx (1 + х2)3' 7 Qntl dx (14- a:2)3 ' 1 7
Так как здесь (1 + х)2 и (1 + х2)3 всегда имеют положительное значение, то решение вопроса сводится к рассмотрению формулы — х — 2; если она положительна — имеем минимум, если же отрицательна — максимум. Но из уравнения 3 — 4х — х2 — 0 следует, что либо
х— —2 + ]/7 либо х =— 2— ]/7.
В первом случае—х — 2=—J/ 7, так что предложенная дробь будет максимумом; во втором же случае — минимумом, так как—х—2 = + ]/7 . Если положить х— — 2 + 1/7, то будем иметь 1+х =— 1-f- J/ 7 и 1 + х2 = 12 — 4 ]/7, откуда
= Z-H-Kn (/7 - 1) = + = Ч+LC’= 2,220.
у 412-4/7/ Г 16 16
Если же положить х =— 2 — |/7, то будем иметь
у = I?-? /? = _ 0,0950.
3 1ь
S68. Существуют также иррациональные и трансцендентные функции, которые обладают свойством однозначных функций и потому для них максимумы и минимумы могут быть найдены тем же способом. Действительно, кубические корни и корни всех нечётных степеней являются на самом деле однозначными, так как они дают лишь одно действительное значение. Что же касается квадратных корней и корней всех чётных степеней, то хотя они на самом деле, если только являются действительными, имеют два значения — одно положительное, другое — отрицательное, однако каждый из этих корней может рас
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 403
сматриваться сам по себе, и в этом смысле можно искать максимум и минимум. Так, если у будет какой-либо функцией от х, то хотя корень из у имеет два значения, однако каждое из них можно рассматривать отдельно, а именно, +]/у будет иметь максимальное или минимальное значение, если у будет иметь таковое, и притом будет положительным, ибо в противном случае корень из у будет мнимым. Наоборот, —]/ у будет минимумом или максимумом в тех случаях, в которых -|- у у будет максимумом или минимумом. Что же касается т
какой-либо степени уи, то она будет максимумом или минимумом в тех же случаях, если п будет числом нечётным; если же п будет чётным числом, то нужно рассматривать лишь те случаи, в которых у получает положительное значение, в этих случаях одно из двух зна--чений даёт максимум, а другое минимум.
269. Так как дифференциальное уравнение, порождаемое степенью rfy
функции ут, есть " =0 и так как корни этого уравнения указы-
т
вают вместе с тем те случаи, в которых иррациональная степень у11 является максимумом или минимумом, то для определения максимума и минимума мы имеем два уравнения: одно ут~1 = 0 и другое ^ = 0. Первое из них переходит в у = 0 и даёт максимум или минимум лишь в том случае, если т — 1 есть нечётное число, т. е. если т есть число чётное. Причина этого была выяснена в § 257. Но если п есть нечётное число, то число т чётно. Поэтому, если мы будем обозначать чётные числа через 2р., а нечётные — через 2v — 1, то функция ^2p.:(zv-i) окажется максимумом или минимумом, когда количеству х мы будем давать те значения, которые оно получает как из уравнения у = 0, так и из уравнения ^ = 0. Если же т есть нечётное число, то функция у(2и_1) •’(2^-0 или становится максимумом или
минимумом лишь тогда, когда вместо х мы будем подставлять значения, удовлетворяющие уравнению ~ = 0. При этом во втором случае, т. е. в случае yfiv-i)--^ максимумы и минимумы получатся лишь тогда, когда получаемые из уравнения ^ = 0 значения х дают у положительные значения.
270. Так, выражение х3 становится минимумом, если положить х = 0, ибо в этом случае х2 становится минимумом. Но если выра-2_
жение х3 мы не приведём к виду х2, то вышеизложенный метод ничего не даст, ибо в случае х = 0 члены ряда
U> dy U>2 d2y u>3 d2y у “Г dx ф 1dx2 + 6dx3
которые должны давать критерий, /все, кроме первого, становятся
бесконечными. Действительно, положив у = х3, будем иметь
dy 2 dzy — 2 dzy 2 • 4
dx = T ’ d*2 = ~T ' dx2 = и T' д-
Зх 3 9x 3 27x a
26*
404
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Таким образом, ни уравнение =—- = 0 не да®т значения х = 0,
Зх~ ни следующие члены не дают признака максимума или минимума. Так как мы приняли, что ряд
। м dy o>2d-?/ о>М3у . _ d dx ' 2 dz- ' 6 dx‘ ‘ становится сходящимся, если <о положить очень малым, то естественно, что общему методу не подчиняются те случаи, в которых этот ряд является расходящимся, что и имеет место в приведённом здесь примере 2
у — хл, если положить х — 0. Поэтому в таких случаях необходимо прибегнутьк приведению, которым мы выше воспользовались, чтобы свести предложенное выражение к другому, которое не обладало бы этим недостатком. Это приходится делать, впрочем, в очень редких случаях, 2р
которые либо содержатся в формуле у2'^1, либо легко к ней приво-2р.
дятся. Так, если ищутся максимумы или минимумы выражения y2v-1 z, где есть какая-либо функция от х, то нужно исследовать выражение ибо оно становится максимумом или минимумом в тех
же случаях, что и предложенное.
271. За исключением этого случая, который теперь не представляет затруднений, функции, содержащие иррациональные количества, можно изучать так же, как рациональные, и их максимумы и минимумы можно находить таким же образом. Мы поясним это следующими примерами.
Пример 1
Пусть предложена формула |/«2 + х2 — х-, спрашивается, в каких случаях она становится максимумов или минимумом.
Положив у — j/a2 + х'1 — х, будем иметь
dy _ х________1 ст d-_y _ а2
dx у а2^хг dx2 •
(а2 х2) 2
Таким образом, положив ^ = 0, будем иметь х=]/ а'2-\-х'2 и, следовательно, £ = со. При этом ^ = 0. Подобным образом все следующие d3y d^ ..
члены ^-3 , и т. д. будут равны нулю; таким образом остается неизвестным, максимум это или минимум. Причина здесь в том, что на самом деле х может быть равный как —со, так и Ц-со. Между тем, полагая х~ 4- со, мы в силу
получаем у —0; это значение является наименьшим из всех.
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
405
Пример 2
Пусть ищутся случаи, в которых выражение |/а2 + 2Ьх + тх2 —пх становится максимумом или минимумом.
Положив у — |/а2 + 2-[-Ьхтх2— пх, будем иметь dy Ъ-\-тх
dx 4- 2Ьх 4- тх2
Приравняв это нулю, будем иметь
Ь2 + 2тЬх -[-т2х2 = п2а2 + 2п2Ьх + тп2х2 пли
3 2Ъх (п3 — т) 4- п2а2 — &3
Х т2 — тпг
Поэтому
__(п2 — т) b ± Утп2 (т — п2) а2 — п2 (т — п2) Ъ2
Х mtm — n2)
ИЛИ
Ъ , п , /та2 - Ъ2
Х =----± — 1/ ------j ,
т ту т — п2
откуда
, / 2—.—<sr-.----о Ъ + тх , _ /"та2 — Ь2
У а2 + 2Ьх + тх“=—— ± 1/ ------------ .
' п г т — п2
Но так как
d2y та2 — Ъ2
dx2 = 1 ’
(л3 4- 2??х 4" тх2У
то будем иметь
d2y та2—!/2 ___ (т—n2)l'Zm — п2
dx2 2 Ута2 — !/2
/'та2-!/2
“ X. т — п '2 )
т — п2 г
Следовательно, если —не будет положительным количеством, то ни максимума, ии минимума вовсе не будет. Если же оно будет положительным, то верхний знак даст минимум, если т > п2, и максимум. если т < п2.
Если взять нижний знак, будем иметь обратное. Так, если т — 2, п=1 и 6 = 0, то формула а2 + 2х2 — х становится минимумом при ж==+—|/ 2а2 = -== и максимумом при х= — —. Таким образом,
минимум будет равен а у 2—= 11 максимум будет равен
а у 2 + = .
Г Л/ Л 1/ о
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
40Д Пример 3
Пусть ищутся случаи, в которых выражение 1 4- тх* + nxi становится максимумом или минимумом. „ du тх3 пх3
I ак как г- , то
dx з £
(l + mxrf (1-nz4)4
3_ 3_
тх3 (1 — их1)4 = пх3 (1 + тиа;4)4 , так, что т* (1 — иа;4)3 = п* (1 тиа;4)3
или
и4 — ттг4 + отп (и3 4- т3) а:4 + 3/и2и2 (и2 — т2) х3 т3п3 (т Ц- п) а;12 = 0.
Таким образом, если это уравнение не имеет положительного корня для количества а:4, то вовсе нет ни максимума, ни минимума. Это уравнение неудобно решать в общем виде; так как один из корней есть
t 4
тп сГ"1+]Гп)
л__т — т2п + тп2 — п
то мы возьмём частный случай ти=8тг; тогда будем иметь
- 4095 + 24 • 513м4 - 3 • 63 • 64тг2а;5 * * 8 * * * + 9 • 512тЛ43 = 0
или
512n’x12 - 1344n4x8 + 1368м4 - 455 = 0.
Положим 8ra‘ = z; тогда будем иметь
z3-21z2-f-171z- 455 = 0.
Это уравнение имеет делитель z— 5; другой сомножитель будет z2 — 16z + 91 — 0; он имеет мнимые корни. Таким образом, мы имеем /5"
. Это значение делает выражение
|/(1-р8па;4) 4-j/l— пх* максимумом или минимумом. Чтобы узнать, какой из этих случаев имеет место, найдём
d2y__ Зтх2 Зпх2
dx2 *L
(1 + mi1)4 (1 - пж4)4
5
Так как ти=8тг, положим х* = = , тогда оП
d2y 3n \ „ 360 пх2
dx2— I ~i~ 1)х = ’
\64 (3:8)4 / б4
так что отрицательно. Следовательно, 1 + 8пх* 4-^1 — пх*
4 /*К
при х = »/ — становится максимумом. Этот максимум равен
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
407
V у — =—• Если вместо пх* положить и, то, очевидно, выражение |/1 8и + р7' 1—и становится максимумом при и = у, и это макси-
3 6
мальное значение будет равно —, =2,347 627. Следовательно, какое бы значение ни написать вместо у , паше выражение примет меньшее значение.
272. Подобным же образом будут определяться максимумы и минимумы, если в предложенное выражение будут входить также и трансцендентные количества. За исключением случая, когда предложенная функция будет многозначной и нужно будет несколько её значений рассматривать одновременно, корни дифференциального уравнения дадут максимумы или минимумы, если только не окажется, что имеются равные корни в чётном числе. Мы поясним это исследование на нескольких примерах.
Пример 1
Найти число, которое имеет минимальное отношение к своему логарифму.
Что такое минимальное отношение существует — ясно из того, что это отношение становится бесконечным как при х — 1, так и при
1 ж я=со. Следовательно, обратно, дробь — где-то имеет максимальное
значение, именно там, где становится минимумом. Чтобы найти
1 ж решение этого вопроса, положим у= — ; тогда
dy _ 1 1х
dx х2 х2
Положив его равным нулю, будем иметь 1х=1 и, так как здесь мы взяли гиперболический логарифм, то, если обозначить через е число, гиперболический логарифм которого равен 1, то будем иметь х = е. А так как всякие логарифмы находятся в постоянном отношении к гиперболическим, то и при любом основании логарифмов отношение ~ будет минимальным, т. е. отношение ——максимальным. Так как для таб-личных логарифмов 1 е = 0,434 294481 9, то дробь убудет всегда мень-
434 294 481 9 -
ше. чем V-, > т. е. приблизительно меньше, чем
2 /1 о2о 1о2 о 1 х
47
305 ’
и нет
такого числа, которое имело бы к своему логарифму отношение, меньшее, чем 305 к 47. Что в этом случае мы имеем максимум, ясно из того, что вследствие =1 ж мы будем иметь
d3y 1 2(1— 1 х) 1
dx3 х3 х3 х3 ’
ибо 1 — 1 х = 0; таким образом, отрицательно.
408
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Пример 2
2
Найти такое число х, чтобы степень Xх стала максимумом.
Что у этого выражения есть максимум видно из того, что, подставляя вместо х числа, мы имеем
2
I1 =1,000 000
2
22 = 1,414213
2
33 = 1,442250 1
4Г= 1,414 213
2
Положим Xх = у, тогда
dy ~ < 1 1 х >
dx х 4 х2 х2 J
Положив это значение равным нулю, будем иметь 1г=1 и х — е, где е = 2,718 281 828.
2 di/ хх
А так как ==(1 — 1х)-~^ ; то будем иметь
2 2 2
Й -= - -Ь (1 -1 х) • С = - ?з- *), а.т2 х3 ' ' ах х* х* ”
d2y •-
ибо 1 — 1х=0. Так как есть отрицательное количество, то Xх становится максимумом при х = е.-Но так как в = 2,718281 1828, то 2
находим, что е е = 1,444 667 861 009 764 7. Это значение легко получается из ряда
4. . , i , 1,1,1
- = 1 + • - 4- ~г =? + КГ~1 + И Т- Д. 1 е ie2 ‘ бе3 ’ 24е4 1
Этот пример легко также решить, основываясь на предыдущем. Дей-2
ствительно, если Xх есть максимум, то также и его логарифм, который 1 X
равен -- , должен быть максимумом; а для этого, как мы нашли, должно быть х = е.
ПримерЗ
Найти такую дугу х, чтобы её синус был максимумом или минимумом.
Положив sin х = у, будем иметь = cos х\ поэтому cos х = 0. Отсюда получаются следующие значения х: + " , ± 344 ± и т. д. Но
1 J. 1
d~"u хх х*£ хх ‘
1) В первом издании —--— ] х) d • — --------- .[Г. Л.]
ах* х* х2 х3
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
409
= — sin х. Так как эти значения, будучи подставлены вместо х, дают для количества =— sin х, либо —1, либо +1, то в первом случае будем иметь максимумы, а во втором — минимумы, как и известно.
Пример 4
Найти такую дугу х, чтобы прямоугольник х sin х стал максимальным.
Что максимум существует —ясно из того, что как в случае х = 0°, так и в случае х =180° предложенный прямоугольник исчезает. Положим у = хsinх; тогда
dy — sin х 4- х cos х. dx
Поэтому
tg X = — X.
Пусть я=90о4-гг; тогда tga:=—ctgw; следовательно, ctg« = 90° + w. Чтобы решить это уравнение по способу, изложенному выше (§ 234), положим z = 90° + w — etg и, и пусть / есть искомое значение дуги и. Так как dz = du 4- du, -, то
Sin2;z du,___ sin2u , 2 du sin и cos a
P ~ dz l-|-sin2u’ C P (1-j-sin u)-
Поэтому dp__ __2 sin3u cos и , _6 du siu2« cos2u — 2 du sin4 и 12 du sin4tz cos2u
dz ® (l + sin2u)3 ’ У *. (l + sin2u)3 (l-l-sin2!/)1
Следовательно,
dq___ 6 sin4u cos2 и — 2 siti1.2 sin6tz cos2u_6 sin4u — 14 sin6u + 4 sin’it
dz Г (1-f-siiru)1 (14 siii2ii)5 (l-*-sin2u)5
Отсюда будем иметь
/ = »- pz + -i-?z2-Arz3+ и т. д.
Положим, что после нескольких проб мы нашли для / приближённое значение и = 26° 15'; тогда 90° + и = 116° 15' и дуга, равная котангенсу, определится следующим образом. От
1 etg и = 10,307 025 0 отнимем
4,685 574 9
5,621 450 1
Следовательно, etg и = 418 263,7" или
etg и = 116° 11'3-^",
откуда
2 = 3'56 = 236,3".:
410
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Чтобы найти значение члена pz, выполним следующее вычисление:
1 sin и = 9,645 7058 1 sin2 и = 9,291 4116 l + sin2« = 1,195 61 1 (1 -J- sin2«) = 0,077 589 5 1 р = 9,213 822 1 lz = 2,373 463 7 1 pz ~ 1,587 2858
Следовательно, pz = 38,6621 секунды
ИЛИ /?z= 38" 39"'43""
отняв от и = 26°15'
получим / = 26° 14'21" 20'" 17""
и искомая дуга я =116° 14'21" 20"'17"".
т„ - „ 1 , sin’u cos и ,
Кроме того, нужно прибавить третий член у = (T+siiPu)2Z ‘
Для того чтобы найти его значение, нужно выразить z в частях радиуса следующим образом:
прибавим
прибавим
прибавим
lz — 2,373 463 7
4,685 574 9
7,059 038 6
. 4-^4- Z= 1,587 285 8
8,646 3244
1 sin « = 9,645 705 8
1 cos u = 9,952 730 8
8,244 7600
вычтем 1(1 + sin2w)2 = 0,155 179 0 1-Lgz2 = 8,089 5810
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
411
^Следовательно, -J- g-z2 = 0,012 291
млн у = 44"" 15""'.
Учтя и этот член, получим искомую дугу х =116’ 14'21" 21"'0"";
если же воспользоваться более точными логарифмами, найдём
х = 116° 14' 21" 20'" 35"" 47'"".
ГЛАВА XI
О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
273. Если у будет многозначной функцией от х, так что для каждого значения х она будет получать несколько действительных значений, то при изменении х эти несколько значений будут связаны друг с другом таким образом, что они представят несколько рядов значений. В самом деле, если у мы будем рассматривать как ординату кривой линии, а х — как абсциссу, то сколько у будет иметь различных действительных значений, столько различных ветвей одной и той же кривой будут отвечать одной и той же абсциссе; и те значения у, которые составляют одну и ту же ветвь, мы должны считать связанными друг с другом; значения же, относящиеся к различным ветвям, будут разъединёнными друг от друга. Итак, мы будем иметь столько рядов; взаимно связанных значений у, сколько различных действительных корней у принимает при каком-либо значении х. И в каждом из рядов значения у, когда х возрастает, либо возрастают, либо убывают, либо сначала возрастают, а потом убывают, либо наоборот. Отсюда ясно, что в каждом ряде взаимно связанных значений существуют максимумы и минимумы так же, как для функций однозначных.
274. Для разыскания этих максимумов и минимумов пригоден тот же метод, который был изложен в предыдущей главе для однозначных функций. Действительно, так как при возрастании переменного х на «j. функция у всегда принимает вид
, to du , to2 d2u , <«>3 d3u ,
y + ^- +^dj- + -bd^-+ 11 T- «•’
< < <0 du
то необходимо, чтобы для случая максимума или минимума член исчезал, т. е. чтобы^=0. Следовательно, корни уравнения = 0 укажут те значения х, которым в отдельных рядах взаимно связанных значений у соответствуют максимумы или минимумы. При этом не возникнет сомнений, в каком именно ряде взаимно связанных значений будет иметь место максимум или минимум. В самом деле, так как в уравнение ^=0 будут входить обе переменные х и у, то нельзя будет определить значения х иначе, как исключив переменное у с помощью уравнения, дающего отношение между х и у. Но прежде чем
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 413
•сделать это, мы придём к уравнению, которое представит значение у в виде рациональной или однозначной функции от х. Таким образом, найдя значения х, мы для каждого из них найдём и соответствующее значение у, которое будет максимумом или минимумом в том ряде последовательных взаимно связанных значений, которому оно принадлежит.
275. Признак же того, являются ли эти значения максимумами или минимумами, можно установить таким же образом, как это было указано раньше. Именно, нужно найти значение количества ~, выраженное в конечном виде, и в него вместо х подставить последовательно все найденные значения ж; в то же время вместо у нужно подставлять значения, соответствующие взятым значениям х. После этого нужно d-y
досмотреть, примет ли выражение положительное или отрицатель-ное значение. В первом случае будем иметь минимум, а во втором г-, d-y d'2y
максимум. Вели же и исчезает, тогда нужно взять выражение^ ; если оно в этом случае не исчезает, то мы не имеем ни максимума, dsy
ни минимума; если же и исчезает, то нужно исследовать выражение -d4y ~ d2y
таким же образом, как раньше мы исследовали ;если же в каком-d^y
либо случае и будет исчезать, нужно будет взять пятый дифферен-
ту ~
циал количества , и всегда, как бы далеке ни пришлось итти, заключение, к которому приводят дифференциалы нечётного порядка, -будет тем же, которое указано для выражения . Таким образом, в этих случаях нужно будет брать выражения и т. д., до
тех пор, пока не придём к такому, которое в предложенном случае не исчезает; если это будет дифференциальная формула нечётного порядка, то не будет ни максимума, ни минимума; если же чётного порядка, то положительное значение будет служить признаком минимума, а отрицательное—признаком максимума.
276. Положим, что функция у определяется через х каким-либо •уравнением; дифференцируя это уравнение, получим формулу вида Р dx 4- Q dy — 0. Следовательно, положив будем иметь ^=0
и, значит, либо Р = 0, либо Q=co. Последнее уравнение не может, однако, иметь места, если соотношение между х и у выражено целым рациональным уравнением, ибо либо х, либо у тогда должно было бы стать бесконечным. Поэтому исследованию подлежит только уравнение Р = 0; его корни, т. е. значения, которые х получает после того, как с помощью предложенного уравнения переменное у будет полностью исключено, укажут случаи, когда значения у становятся максимальными или минимальными. Для суждения же о том, получается ли ма-
d2n
ксимум или минимум, нужно рассмотреть формулу . Если дифференциальное уравнение Р dx -|- Q dy = 0, мы продифференцируем ещё раз и положим
dP = Rdx + S dy и dQ — Tdx + Vdy,
414 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
то при постоянном dx будем иметь
R dx2 4- S dx dy 4- Т dx dy 4- V dy2, 4- Q d2y = 0.
А так как мы уже имеем ^ = 0, то, разделив уравнение на dx2, полу
чим
г> , ^d2y _ d2y
R + Q -^ = 0, так что -7-4
1 х dx2 dx2
R
Q ’
Следовательно, в дифференциальном уравнении Р dx 4- Q dy = 0 нужно дифференцировать только количество Р, полагая у постоянным; тогда
мы получим R dx", затем найдём значение
Дроби $;
если оно будет
положительным, будем иметь минимум; если отрицательным — максимум..
277. Пусть у есть двузначная функция от х, определяемая уравнением у2 4* ру + q = 0, где р и q суть какие-либо однозначные функций от х. Дифференцируя, будем иметь 2у dy 4- pdy 4- у dp-\- dq=O и, следовательно, Р dx — y dp+ dq. Положив Р = 0, будем иметь у dp+ dq = 0
из
dq „ г
и получим у=—так что у представится однозначной функцией от х; таким образом, какое бы значение ни было найдено для х, него и из у будет найдено одно определённое значение этой функции. Исключение же у выполняется легко: если в предложенное уравнение у2 4- ру 4- q = 0 вместо у подставить значение то получим
dq2— pdp dq + qdp2 =0; если это уравнение разделить на dx2 и разрешить, то получим все значения х, которым соответствуют максимумы или минимумы; это будет ясное из следующих примеров.
Пример 1
Предложено уравнение у2-\-mxy-{-a2-{-bx-\-nx2 = Q.
Определить максимумы или минимумы функции у.
Продифференцировав уравнение, будем иметь
2у dy 4- тх dy 4- ту dx 4- b dx 4- *2пх dx — 0,
откуда
Р = ту 4- Ь 4- 2пх и Q = 2у 4- тх.
Положив Р = 0, получим у=—'1 это значение, будучи подставлено в самое уравнение, даёт
х14- х 4- — 2пх2 — Ьх 4- а2 4- пх2 4- Ьх = 0
т2 1 т2 1 т1 '
ИЛИ
2 in Ьх 4- Ъ2 + т2а2
Х т-п — in2 ’ откуда
2n& У m2nb2-\- т2п (т2 — 4п) а2
Х т2п — in2
ИЛИ
2пЬ 4г т пЬ2 п (т2 — 4п) а2 ____ — mb Т 2 У'пЬ2 4- п (т2 — in) а2
Ж n(m2 — in) И У т* ~ !in
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 415
Полагая теперь переменным только х, получаем dP = 2п dx, так что R = 2n. Но
по, , пЬ* 2 3 А-п (т2— in) а2
Q = 2у 4- тх = ± ---——,
откуда
R _± 2п2
Q Vnb~ + п (т2 — 4п) а2
Так как числитель 2п2 всегда положителен, то если взять верхний знак, получим для у максимальное значение, если же взять нижний знак — минимальное. Здесь нужно заметить следующее:
I. Если т = 0, то из уравнения Р=0 тотчас же следует х =— ~, так что нет нужды ни в каком исключении. Так как у— ± 27г1/Г\nb2— in2a2), то этому значению соответствуют два значения у, из которых положительное является максимумом, а отрицательное—минимумом.
II. Если га = 0, то получаем у= — — и х возрастает до бесконечности1), а у на бесконечном протяжении2) сохраняет одно и то же значение, так что нет ни максимума, ни минимума.
III. Если т~ = in, то будем иметь inbx-\- b2 -\-т2а2 = 0 или
—j ZZC. С* LZ [ ПС хл Щ и,
т 2т 2т 2тЪ 2т.Ъ
п т2а2 + &2
Следовательно, соответствующее этому значению х=---------—значе-
zzi Ъ
ние у ——=—— будет наибольшим или наименьшим. А так как, чтобы 3 2mb J ’
получилось это значение у, нужно в выражении — mb Ч- пЪ2 п (т2 — in) а2
У т2 — in
взять нижний знак, то значение у будет минимальным4).
х) В оригинале in infinitum excrescit. Это выражение у Эйлера обычно означает, что х принимает бесконечно большое значение. Смысл этой фразы можно понимать двояко. Если Эйлер хочет сказать, что у при всевозможных значениях х сохраняет одно и то же значение, то это, конечно, неверно. Но, невидимому, Эйлер хочет сказать, что при достаточно больших значениях х изменения у сколь угодно малы, т. е. что у асимптотически приближается к —— .
2) Per spatium infinitum. Если предыдущее толкование правильно, то здесь имеются в виду значения х, превосходящие некоторое достаточно большое число.
3) В первом издании в знаменателях нет множителя 2. Исправил Г. Ковалевский.
4) Чтобы получить у из этого выражения, в котором при m2 = in знаменатель обращается в нуль, Эйлер здесь должен был бы разложить числитель в ряд. Верхний знак даст бесконечное значение у, ему соответствует бесконечное значение х. Картина становится совершенно ясной, если прибегнуть к графическому изображению. Данное уравнение в рассматриваемом случае представляет параболу. Характерно, что Эйлер ни здесь, ни в других примерах не прибегает-к геометрической интерпретации, хотя он во второй части «Введения в анализ», дал все необходимые в данном случае сведения по аналитической геометрии.
416 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 2
Предложено уравнение у*—х2у-\-х— х3 - 0; определить максимальные или минимальные значения у.
Продифференцировав уравнение, получим
2ydy— х* dy — 2xydx-\-dx — 3x3dx-}-0. Следовательно,
Z*=l — Зге2 — 2xy и Q = 2y — x3.
| _ 3^2
Поэтому, положив P = 0, будем иметь у = —и, подставив это значение,
или
1 — 6ж2 -ф 2ж3 ф- 9ж4 ф 2ж5 = 0.
Один корень этого уравнения есть х =—1; ему соответствует у--1. Положив у постоянным, имеем 7? = — 6ж— 2у и, следовательно,
d2y 2у-\-Ъх dx2 2у — х- ’
это выражение при х= — 1 и у = 1 даёт — 4, так что значение у = 1 является максимумом. Значению х = — 1 соответствует ещё другое значение у, определяемое из уравнения у3 — у = 0- Оно равно нулю и не является ни максимумом, ни минимумом. Если найденное нами уравнение пятой степени разделить на ж-ф1, то получится уравнение, корни которого нельзя определить просто.
Пример 3
Пусть предложено уравнение у3 -{-2х3у -\-кх—3 = 0; из него требуется найти максимальные или минимальные значения у.
Дифференцирование даёт уравнение
2у dy + 2х3 dy -j- key dx ф 4Фж = 0.
Положив ^ = 0, будем иметь ху1 =0, откуда у= — ; это значе-
ние, будучи подставлено в предложенное уравнение, даёт уравнение \ - 2ж ф — 3 - 0 = 2ж3 — Зж2 ф 1, X2 ‘
корни которого суть х = 1, х —1 их —— -%. Так как теперь мы имеем
2ху 4- 2
У 4- х* ’
— 2у
------ , при этом мы считаем у
dy 4.ry4-4
dx 2y-\-2x2
то, дифференцируя, оудем иметь
постоянным (так как принимаем dy = O) и полагаем агу-ф 1 = 0. Итак, мы получаем следующие
значения:
х
У ~ 1 — 1
d2y dx2
1
1
1
У
2
16 ---— максимум.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 417
т d'2u
Так как для равных корней мы имеем ^х2=0О> то остается неизвестным, имеет ли здесь место максимум или минимум. А так как мы имеем вместе с тем у + а:2 = 0, то в этом случае даже не имеет места ^-=0, ибо в дроби мы имеем 7)=0и^ = 0. Поэтому, коль
CLX (LX (7
скоро не имеет места основное свойство максимума и минимума, здесь нет ни того, ни другого. Но мы имеем здесь признак того, что в случае = 1 оба значения у равны между собой1). Об этом свойстве мы будем говорить подробнее ниже, когда перейдём к приложению дифференциального исчисления к учению о кривых линиях. Правда, вопрос этот имеет отношение и к здесь рассматриваемому, но, чтобы не было необходимости касаться его дважды, мы целиком отложим его до последующего рассмотрения2).
278. Для многозначных уравнений существует сверх того другой вид максимумов и минимумов, которые не находятся по вышеизложенному методу. Их свойство можно легко объяснить на примере двузначных функций. Пусть у есть какая-либо двузначная функция от х, так что, какое бы значение ни дать количеству х, для у получатся два значения, которые либо оба действительные, либо оба мнимые. Положим, что эти значения у становятся мнимыми, если положить х > /, и действительными, если положить х < /. Тогда при x = f два значения у сливаются в одно; пусть оно равно g. Так как при х > / функция но имеет никакого действительного значения, то если окажется, что при х < / оба значения у либо больше, чем g, либо меньше, чем g, тогда в первом случае значение y — g будет минимальным, а во втором— максимальным, ибо в первом случае оно меньше, чем оба предшествующие, а во втором—больше. Такой максимум или минимум нельзя найти по вышеизложенному методу, так как здесь мы не имеем
0. Такие максимумы или минимумы бывают различных родов, ибо в иных случаях они являются максимумами и минимумами относительно предшествующих и последующих значений, взятых во взаимно связанных рядах, в иных же случаях — максимумами и минимумами относительно двух разделённых значений, либо только предшествующих, либо только последующих.
279. Такой случай имеет место, если предложенное уравнение будет иметь вид
У=Р± (f — x)yr(f — x)q,
где р п х суть функции от х, но делящиеся на / — х. Пусть q принимает положительное значение, если положить x = f, или немного большим, или немного меньшим. Пусть p = g при ж = /; очевидно, что при £ = / оба значения у сливаются в одно y = g, если же х > /, то оба значения у становятся мнимыми. Положим поэтому, что х несколько меньше, чем/, скажем, x--j— «>; тогда функция р переходит в
о» dp «>- d-р
Д-’
х) В данном случае одновременно удовлетворяются три уравнения / (ху) = 0, д1 = 0 и — = 0, т. е. для кривой f (х, «)=0 точка х = 1 является кратной.
dx dy
2) См. § 10 вводной статьи.
27 л. эвлер
418 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ
а функция q — в
<о dq u>2 d2q
4--dT+-2d^- ИТ- Д-
Таким образом, в этом случае будем иметь
а> dp u>2 d2p , _ f f a> dq . co2 d1/! \
y = S--d-+-u^- ит.д.±ш|/ <0^- —+^5-r_ .
Возьмём <o очень малым, так что по сравнению с ш высшие его степени исчезают; тогда будем иметь y — g — ш V"Эти значения количества у будут оба меньше, чем g, если будет положительным, и больше, если будет отрицательным. Следовательно, двойное значение y — g в первом случае будет максимумом, а во втором случае — минимумом.
280. Таким образом, эти максимумы и минимумы происходят оттого, что, во-первых, при х — f оба значения количества у становятся равными, при х > / — мнимыми, а ври х < / — действительными; во-вторых, оттого, что при ж = / — ш второй иррациональный член даёт более высокие степени ш, чем рациональный член. То же самое имеет место и в том случае, если y = p±(j — x)nV\f— х) q> причём п есть целое число, большее нуля. А так как не только квадратный корень, но и всякий другой корень четной степени даёт ту же неопределённость знака, то такой же случай будет иметь место, если будем иметь 2п+1
у — р (/ — x\im q, если только 2п + 1 > 2ти; тогда мы будем иметь (у— рУт — (J — ж)гп+1д2т или (у — рут — (f — x)in*1Q. Всякий раз как функция у выражается такого рода уравнением, причём 2п + 1 > 2/п, значение количества у при x = f будет максимумом или минимумом;
г dp
первое^имеет место, если — положительное количество, второе же — если — отрицательное количество при x—f. Если же в этом случае £ = 0, тогда будем иметь
, <оМ2р У = % + ± ш ~т
2а +1 . -
поэтому если только пе имеет места > 2, то мы не будем иметь
2п 4-1 . о -
ни максимума, ни минимума; если же —> 2, тогда y — g будет ма-ксимумом, если имеет отрицательное значение, и минимумом, если -** d-p
имеет положительное значение; если же и исчезает, то для рсше-dxi 1
ния вопроса нужно таким же образом поступать дальше.
281. Итак, если у будет такого рода функцией от х, то может случиться, что кроме максимумов и минимумов, которые даёт первый метод, будут существовать также максимумы и минимумы упомянутого второго рода; их можно будет исследовать изложенным здесь способом. Поясним это следующими примерами.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 419
Пример 1
Определить максимумы и минимумы функции у, которая определяется уравнением
у2 — 2ху - - 2х2 — 1 + Зх + х3 = 0.
Чтобы найти максимумы и минимумы первого рода, продифференцируем уравнение; мы будем иметь
2?/ dy — 2xdy — 2у dx — kx dx + 3dx + Зх2 dx — 0.
Положим = будем иметь
у= 2 -2х +--х".
Это значение, будучи подставлено в первое уравнение, даёт уравнение
9z4 — 32х3 4- 42а:2 — 24а: 4-5 = 0,
которое распадается на
9а:2 — 14а: + 5=0 и х2 — 2х + 1 = 0.
Второе уравнение даёт дважды ж=1, и тогда у=1; следовательно, в этом случае в дроби
dy 2у — 3 + 4х — Зх2 dx 2</ —-х
исчезает также знаменатель и, таким образом, здесь нет максимума или минимума первого рода; первое же уравнение даст ж=1 и z= — ; первое из этих значений порождает то же неудобство, что пре-„ 5 3 10 , 25 23
дыдущие. Положив же гс = — , мы имеем у—^—у'2'1 = 27‘ . dy 2у — Зд-4х — Зх3 d'2y 4 — 6х — Зх+2 , , г,
А так как ---, то ъ= -------------—> ибо dy = О
dx 2у — 2х ах3 2у—2х у — х
~ < dh) 9
и числитель равен нулю. Следовательно, будем иметь = так что
значение ж = у даёт минимум первого рода. Далее, так как (у — х)2 — = (1 — z)3, то будем иметь
у = х ± (1 —ж) /(1 — х),
и поэтому при х=1 мы имеем максимум второго рода. Действительно, положив х=1 — и), будем иметь у=1—«> +и)|Л<1>; оба эти значения меньше чем 1, если ш.взять очень малым.
Пример 2
Найти максимумы и минимумы функции у — 2х — х2 ± (1 — х)2[/ 1—х.
Для нахождения максимумов и минимумов первого рода продифференцируем уравнение; тогда будем иметь
J- = 2-2z + 4(1~z)/1^T.
420 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Эго значение, если х^=1, а так как
его положить равным нулю, даёт прежде всего
ах* 4 г ’
то у в этом случае будет максимумом первого рода, и будем иметь у --1. Разделив же уравнение= 0 па 1—х, будем иметь
4 4- 5 }/" 1 — х =0 или 16- ^25 — 25гс,
9 " — 2 3. Поэтому, если взять верхний знак, то
ЯД" ооло
же взять нижний
откуда х -тг и --> ’ 2869
оудем иметь минимальное значение у — : если
- 821
знак, то будем иметь у = -^г^> и может показаться. ; J J 3120 1
что это максимум;
па самом же деле может иметь место только верхний зпак, ибо 4 + 5J/1 — х может быть равным нулю лишь в том случае, если |/1 — х = +-у. Итак, мы нашли максимум первого рода в случае . . 9 2869
х = 1 и у =-1 и минимум первого рода в случае х = и У = 3125-Кроме того, мы получаем также максимум второго рода, если гс=1; в этом случае у~~{- Действительно, положив х=1 — <и, мы будем иметь, что у 1—<и3 Д; <о3 |/ о> в обоих случаях меньше чем единица. Итак, при ж-— 1 сливается два максимума, один первого, другой второго рода; они составляют как бы смешанный максимум.
282. Эти примеры не только уясняют природу этого второго вида максимумов и минимумов, но также позволяют образовать сколько угодно таких функций, которые обладают максимумами или минимумами второго рода. На вопрос же о том, каким образом, если предложена какая-либо функция, можно узнать, обладает ли она такого рода максимумами и минимумами или нет, мы дадим ответ в следующем разделе *), так как это исследование очень хорошо пояснит свойства кривых линий. Легко, впрочем, понять, что если у будет такой функцией от х, которая имеет максимум или минимум второго вида, то также и обратно, х будет такого же рода функцией от у. Ибо если в уравнении (у — гс)2=(1 — х)3, которое при х = 1 даёт у максимальное значение второго рода, поменять мостами переменные у и х, то уравнение (х— у)~ -(1—у)3 также даст для у такого рода функцию от х, которая будет иметь максимум второго рода. Действительно, положив ж = 1, мы будем иметь (1—у)3 = (1—у)3 и, следовательно, дважды будет у=1 и один раз —у = 0. Если же положить х — 1 -|-о>, то будем иметь — у)3=(1— у)?; значит, если мы положим у = 1-}-4, зю будем иметь (u> — 4)2 = (— <р)3 =—у3 и, следовательно, ф должно быть отрицательным. Пусть поэтому у=1— ф; тогда будем иметь («> 4-<р)3 = <р3. Так как если ф взять очень малым, <р3 исчезает по сравнению с <р2, то необходимо должно быть отрицательным; следовательно, значению ж = 1+<и не будут соответствовать никакие действительные значения количества у. Если же положить х — 1 —<о и у = 1 —<у, то вследствие (<р — <и)'2=<р3 будем иметь <р = ш + ш <и и, значит,
1)См. §10 вводной статьи.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 421
у=1 — <1)7рш[/<и, следовательно, оба значения у, отвечающие значению х=1 —<и, меньше, чем значение у—1, отвечающее значению х = 1. Следовательно, это значение у будет максимумом.
283. До сих пор мы рассматривали только двузначные функции; максимумы и минимумы их легко исследуются, так как два их значения легко могут быть выражены с помощью решения квадратного уравнения. Если же функция у выражается уравнением более высокой степени, то можно применить с тем же успехом рапсе изложенный метод, с помощью которого мы находили максимумы и минимумы первого рода. Разыскание же максимумов и минимумов второго рода мы откладываем до следующего раздела. Здесь мы приведём несколько примеров того, как нужно поступать с трёхзначнымп и многозначными функциями.
Прим ер 1
Пусть функция у, максимумы или минимумы которой ищутся, определена уравнением
у3 + х3 = Заху.
Дифференцируя это уравнение, получаем
Зу2 dy + Зх2 dx = Зах dy + Зау dx, так что dy ау — х2
dx у2 — ах
Максимум или минимум будет, следовательхо, иметь место, если ^2
ау = х3 или у = —; если подставить это значение в предложенное уравнение, получим
-|- х3 = Зх3 или х’ — 2а3 х3. а2
Таким образом, будем иметь трижды х = 0; в этом случае также X2
и знаменатель у2 — ах—0, ибо у— — = 0. Имеет ли место в этом
случае максимум или минимум, мы узнаем, если дадим количеству х значение, очень мало отличное от нуля. Таким образом, пусть x—w и у — ©; так как tp3 ~р а>3 = Зпоир, то либо <р = а |Л<и, либо <э = Вш2. В первом случае будем иметь а3 ш = Зааю |/"а> и, следовательно, а = ]/3<7. Таким образом, при х = ш будем иметь у = ± ^Заш. Следовательно, хотя ш не может быть отрицательным, однако из двух значений у одно больше чем нуль, а другое ‘меньше, и потому у = 0 не является ни максимумом ни минимумом. Если же положить <р = р<о2, то будем иметь ш3 = ЗаВш3 и, следовательно, р = -^-и <р = . Таким образом,
* АЛ АЛ
в этом случае взять ли х равным + <о или —ш, значение количества у будет больше нуля, так что в этом случае у=0 будет минимумом. Остаётся ещё рассмотреть третий случай из уравнения х3 = 2а3, которое даёт х = а 2 и y=a\f 4. Чтобы узнать максимум это или мини
„ .. dy ау — х2
мум, найдем из уравнения = а _
второй дифференциал; посколь-
422 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ку dy—O и ау — я2=0, мы будем иметь ; в рассматри-
(IX у~ —— CL X
2а #2 2
ваемом случае значение этого выражения есть----------------=-------:
2а-у2 — а'-у2 а
это указывает на то, что значение у является максимумом.
П р и м о р 2
Пусть функция у определяется уравнением г/4 4- я4 + ау3 4- ах* = — Ъ3х Ь3у, найти её максимальные или минимальные значения.
Так как с помощью дифференцирования мы получаем
4г/3 dy 4- 3ay- dy - - b3 dy = Ь3 dx — Зах2 dx — 4ж3 dx,
то будем иметь
dy Ъ3 — Зло*2 — 4ж3' dx к у3 За’/2 — b3 ’
так что нужно положить Ь3 — Зах2 4- 4х3. Вопрос, следовательно, сводится к тому, чтобы найти максимумы и минимумы однозначной функции Ь3 — ах3 — х4; они вместе с тем будут максимумами или минимумами функции у. Пусть а = 2 и 6=3, т. е. пусть предлагается уравнение г/4 4- х4 + 2г/3 4- 2х3 = 27х 4- 27г/; тогда
11 -!6а;3 ~ 27 °-а г. iy' б//- — 27
Разделив последние уравнения на 2х— 3 = 0, получим 2х2 4- 6х 4~ 9 = 0;
з так как корни этого второго уравнения мнимы, то оудем иметь х — -^-
п уравнение г/4 4- 2г/3— 27г/=отдельные корпи которого будут либо максимумами, либо минимумами. А так как
dy 27 — 6х2 — 4.г3 d-y — 12г —12хг
dx 4,7sбу2— 27 ’ Т° dxi 4у34-6у2— 27 ’
если это выражение прих= будет положительным, будем иметь минимум, в противоположном же случае — максимум.
Пример 3
Пусть ут + ахп — Ьур хг/; определить максимумы и минимумы количества у.
Дифференцируя, получаем
dy qliy? хУ-'1 — пахп~1 dx тут~1 — pby1'-"1 х^
Если приравнять это нулю, то будем иметь прежде всего х = 0, если только п и у будут больше единицы, и вместе с тем г/=0. Для того чтобы в этом случае решить, имеем ли мы максимум или минимум, нужно исследовать ближайшие значения, ибо знаменатель также становится равным нулю. Результат этого исследования будет зависеть в первую очередь от показателей. Кроме того, уравнение ^ = 0 даст
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 423
также yv = па, хп если это а qb ’
па
уравнение и положить ^-=g,
значение подставить в предложенное
то будем иметь
m rrrn-mq тп тп-тд—пр
g v х » + ахп = —- хп или g v х ? — ——£11?
° 7 д
откуда
/(n — o) а \р- (mn-mq—np) т : (mn-mq—mp)
и вместе с тем будет найдено значение количества у. Затем нужно посмотреть, получает ли дифферепцио-дифференциал 4)
d* 2y_д (д — 1) Ъур х1~- — п(п — 1) ахп~3
dx3 ту™"1 — pby?-1 х^
положительное или отрицательное значение; в первом, случае можно будет сказать, что мы имеем минимум, во втором же — максимум.
Пример 4
Пусть у* -f-х* = кху — 2; найти максимумы и минимумы функции у. Выполнив дифференцирование, получим
dx у — х3
dy у3 — х ’
отсюда у~х3. Следовательно, х12 = 32:4— 2 или х12— За:4 4-2=0; это уравнение распадается на уравнения я8 4* я4 — 2 = 0 и xi—1 = 0, а первое распадается на хг — 1 и я4 4-2 = 0. Отсюда будем иметь дважды либо х= 4-1, либо х— — 1; в обоих случаях исчезает также и знаменатель дроби . Поэтому, чтобы исследовать, имеет ли в этих случаях место максимум или минимум, положим х = 1 — <и и у~1 — <р ; будем иметь
1 -- 4<р 4- 6'р2 — 4'р*<у4 4- 1 — 4<i) 4- 6<d2—4ш3 4- ш4 = 4 — 4си — 4р 4- 4ш<р — 2;
поэтому
4<«4> = 6<р2 -f- 6ш2 — 4<р8 — 4<d3 4- <р4 4- ш4,
и так как ш и очень малы, то 4вкр = бу2 4- 6<м2. Следовательно, значение о будет мнимым, возьмём ли мы си положительным или отрицательным. Если у и х будут координатами кривой, то она при х = 1 и ?/=1 будет иметь изолированную точку2). Это значение, следовательно, нельзя считать ни максимумом, ни минимумом, ибо предшествующие и последующие значения, которые нужно было бы взять для сравнения, становятся мнимыми.
284. Если уравнение, выражающее соотношение между х и у, будет составлено так, что функция количества х будет приравнена к функции количёства х, скажем У — X, то для нахождения максимумов или минимумов следует положить dX = 0; у будет максимумом в тех случаях, в которых X будет максимумом или минимумом.
4) Т. е. второй дифференциал.
2) В оригинале punctum coniugatum.
1Х2& ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Подобным образом, если г рассматривать как функцию количества у, то х будет максимумом или минимумом, если dY~0, т. е. если Y будет максимумом или минимумом. Однако отсюда не следует, что у и х одновременно будут максимумами или минимумами. Так, если будем иметь уравнение 2ау— у* = 2Ъх—z2, то у будет максимумом или минимумом, если х = Ь, и тогда у = а ± у/н2 — Ь1. Количество же х становится максимумом или минимумом цри?/=а, и тогда ж = 6 ± —а2,
но у не будет максимумом или минимумом при х — Ъ±\/1г~ а1, хотя х в этом случае есть максимум или минимум. Впрочем, в этом случае, если у имеет максимальные или минимальные значения, то а:,этим свойством вовсе не будет обладать, ибо у пе может иметь максимум или минимум, если не имеет моста а > Ь, а в этом случае максимум или минимум количества х становится мнимым.
285. Может также случиться, что пе все корни уравнения dX — О дадут максимальные или минимальные значения у- действительно, если это уравнение будет иметь два равных корня, то мы пе получим ни максимума, ни минимума; то же самое случится, если несколько корней в чётном числе будут равны между собой. Так, если предлагается уравнение Ъ (у—а)2 = (х —- b)s + с3, то, дифференцируя его, получим' 2b dy(y — а) = 3dx (х— Ь)*, но функция у при х = Ъ не будет ни максимумом, ни минимумом, так как здесь мы имеем два равных корня. Если же х рассматривать как функцию от у, то эта функция становится максимумом или минимумом, если положить у=а, и тогда х=Ь— с будет минимумом. Наконец, так как в уравнении вида Y = X переменные х и у не смешиваются друг с другом, то если количеству х задать значение, которое являлось бы корнем уравнения dX = 0, то все значения количества у, если только они действительны, будут максимумами или минимумами; этого не будет, если в уравнении будут перемешаны оба переменных.
286. То, что остаётся ещё сказать о свойствах максимумов п минимумов, мы отложим до следующего раздела, так как это удобнее будет объяснить и изобразить на фигурах. Мы переходим поэтому к функциям, составленным из нескольких переменных и будем искать значения, которые нужно задать отдельным переменным так, чтобы сама функция получила максимальное или минимальное значение. Прежде всего, ясно, что если переменные не будут перемешаны между собой так, что предложенная функция будет иметь вид X-YY, где X есть функция переменного х, a Y есть функция переменного у, то предложенная функция X-YY будет максимумом, если одновременно X и Y будут максимумами, и минимумом, если одновременно X и Y будут минимумами. Следовательно, для разыскания максимума нужно найти те значения перемеиого х, при которых X становится максимумом, и точно так яге значения у, при которых Y становится максимумом, и эти значения, найденные для х и у, дадут функции X -ф Y максимальное значение; то же самое следует сделать для разыскания минимума. Нужно, таким образом, остерегаться, г»ак бы не оказались взятыми два значения х и у различной природы, т. е. такие, что первое делает X максимумом, а второе даёт Y минимальное значение, или наоборот. В самом деле, если это произойдёт, то функция X + Y не будет ни максимумом, пи минимумом. Функция же X—Y будет максимумом, если X будет максимумом и в то же время Y минимумом. Наоборот, X —Y будет минимумом, если X будет минимумом, a Y — мак
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 425
симумом. Если же обе функции X и Y будут либо максимумами, либо минимумами, то их разность X — У не будет ни максимумом, ни минимумом. Всё это ясно и понятно из свойств максимумов и минимумов, изложенных ранее.
287. Таким образом, если ищутся максимумы или минимумы функции двух переменных, то решение вопроса требует гораздо больше предосторожности, чем если бы переменное было одно. В самом деле, нужно не только тщательно различать для каждого из переменных случаи, в которых имеют место максимум и минимум, но также нужно соединять их попарно таким образом, чтобы предложенная функция была максимумом или минимумом; это станет более ясным из примеров.
Пример 1
Пусть предложена следующая функция двух переменных х и у: у* — 8у* + 18у2 — 8у-(- xs — Зх3 — Зх; требуется найти значения, которые нужно подставить вместо у и х, чтобы эта функция получила максимальное или минимальное значения.
Так как это выражение разлагается на две части вида У + Х, из которых одна есть функция переменного у, а вторая—функция переменного х, то нужно разыскать случаи, в которых каждая из этих частей является максимумом или минимумом. Так как
Y = у* — 8у318у3 ~ 8у, то
5=4У3-242/3 + 362/-8-
Если положить это выражение равным нулю, то, разделив на 4, будем иметь уравнение
у3 — бу2 -|- 9у — 2 = О,
корни которого суть у —2 и у = 2 ± }/"3. А так как
d*Y
idy-
Зу2 — 12у + 9,
то при у= 2 получится максимум. Для остальных же двух корней у = 2±/3, получаемых из уравнения у2 — 4у-р1=0, будем иметь d^Y
12dy2 ~ У2 — ^У + 3=2, так что оба корня дают минимум. Итак, в этих
случаях будем иметь:
у = 2
у = 2-/3
у = 2 + /3
У = 8
У= -1
У= -1
максимум, минимум, минимум.
Подобным же образом, так как
X = xs-3x3-3x,
то будем иметь
^ = 3я2-6я-3,
откуда получаем уравнение
х'1 — 2х + 1
426 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
и х = 1±]/2. Значит, — 1 = ±1^2. Следовательно, корень
ж=1 + |/2 даёт минимум, а именно, Х= — 5 — 4]/2, аж = 1— ]/2 даёт максимум, именно, Х =—5 + 4 ]/2. Вследствие этого предложенная формула
X + У = yi - 8у* + 18?/ - 8у + Xs - Зх2 - Зх становится максимумом, если положить у=2 и х~1— ]/2 и получается Х + У— 3-[-4 (/ 2. Эта же формула Х + У становится минимумом, если взять либо у = 2— |/ 3, либо у = 2 + и х — 1 + ]/2; в обоих случаях будем иметь Х + У=—6 —4|/^2.
Пример 2
Пусть предложена следующая функция двух переменных у* — 8у3 + + 18уа— 8у — Xs + Зх" + Зх-, требуется найти, в каких случаях она становится максимумом или минимумом.
При обозначениях предыдущего примера будем иметь
Г = у* — 8у3 + 18у3-8у и X = xs-3x2-3x.
Предложенная формула будет иметь вид У — X и поэтому будет максимумом, если У будет максимум, а X минимум. Так как эти случаи мы уже рассмотрели раньше, то ясно, что У — X получит максимальное значение при у~2 и ж=1-|-|/Л2, и будем иметь У —Х = = 13+4 У2. Минимальным же значение У — X будет в том случае, если У — минимум, а X — максимум, что имеет место при у = 2 + |/3 и х = 1— ]/2 и тогда У — Х = 4 — 4 |/2. Впрочем, в обоих примерах ясно, что те значения, которые мы нашли, не являются наибольшими или наименьшими из всех; ибо, если в том и другом случае положить, например, у = 100 и ж = 0, то, несомненно, получится значение большее, чем найденное нами; подобным же образом, если положить у = 0, а х=—100 или х — +100, то получится значение, меньшее чем те, которые мы нашли для случая минимума. Таким образом, нужно хорошо усвоитр то понятие о природе максимумов и минимумов, которое было дано выше, т. е. что максимальным называется такое значение, которое больше как предыдущих, так и последующих ближайших соседних значений, а минимальным — такое, которое меньше как предшествующих, так и последующих таких значений. Так, в нашем примере значение количества У — X, получающееся при у = 2их = 1 + |/г2 больше, чем значения, которые получаются, если положить у = 2 ± <о и х=1+|/г2 + ср, где за <и и © взяты достаточно малые количества.
288. После рассмотрения этих примеров нам легче будет найти пути для решения общего вопроса. Пусть V есть какая-либо функция двух переменных х и у и пусть требуется найти для х и у такие значения, которые дают функции V максимальное или минимальное значение. Так как для этого обоим переменным х и у нужно дать определённые значения, то положим, что одна из них у уже имоет то значение, которое требуется, чтобы сделать функцию V максимумом или минимумом. Тогда задача будет состоять только в том, чтобы и для другого переменного х найти подходящее значение. Это мы сделаем,
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 427
дифференцируя функцию V в предположении, что переменным является только х и полагая дифференциал равным нулю. Подобным же образом, если мы предположим, что переменное х уже имеет то значение, которое способно сделать функцию V максимумом или минимумом, то значение переменного у мы найдём, дифференцируя V в предположении, что только у является переменным и полагая этот дифференциал равным пулю. Таким образом, если дифференциал функции V будет равен Pdx-\-Qdy, то нужно будет, чтобы и —О и (? = 0; из этих двух уравнений молено будет найти значения обоих переменных х и у.
289. Поскольку, таким образом, мы находим значения х и у, не делая различия между случаями, в которых функция V становится максимумом или минимумом, нам необходимо теперь тщательно различить друг от друга случаи максимума и минимума. Для того чтобы функция V была максимумом, необходимо, чтобы оба переменных содействовали этому; ибо если одно даст максимум, а другое —минимум, то функция не станет пи максимумом, пи минимумом. Поэтому, найдя из уравнения Р = 0 и Q = 0 значения переменных х и у, нужно исследовать, дают ли они одновременно максимум или одновременно минимум функции V, и лишь тогда, когда будет установлено, что значения обоих переменных, полученные нами, дают максимум, мы сможем утверждать, что функция в этом случае получает максимальное значение. То же самое нужно сказать о минимуме, так что функция V не может принимать минимальное значение, если оба переменных х и у но дают минимума. Таким образом, нужно отбросить все те случаи, в которых одно переменное даёт максимум, а другое — минимум. Может случиться так, что значение одного из переменных, или даже значения обоих переменных, найденные из уравнений P — Q и Q — 0, не дают ни максимума, ни минимума. Эти случаи равным образом должны быть отброшены как вовсе негодные.
290. Вопрос о том, дают ли найденные значения хну максимум или минимум, нужно исследовать относительно каждого из них таким же образом, как делали мы это выше, когда имели только одно переменное. А именно, чтобы установить критерий относительно пере
менного х, нужно рассматривать другое переменное у как постоянное; пусть тогда dV — Pdx или ^ = Р- Дифференцируем Р ещё раз, счи-
d4r dP
тая у постоянным, так что получаем -у—3 = -г ; теперь нужно посмо-
Съ£* (Ij-
треть, положительным или отрицательным будет значение количества dP г
, после того как в пего будут подставлены вместо х и у ранее най-
денные значения. В первом случае будем иметь минимум, во вто-
ром же — максимум. Подобным же образом пусть при постоянном х
4- — <2; дифференцируем Q ещё раз, считая (ty
dQ
рассмотрим значение, которое получает
мы имеем dV = Q dy, т. е. переменным только у и
после подстановки вместо х и у значений, найденных из уравнений Р = 0 и <2 = 0. Если это значение положительно, то мы будем иметь минимум, если же отрицательно — максимум. Отсюда ясно, что если dp dQ
найденные значения хи у дают выражениям j— и - различные зна-
ки, т. е. одному — положительный, а другому—отрицательный, тогда функция V не может иметь ни максимума, ни минимума. Если же оба
428 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
dP dQ
выражения -ч- и положительны, то получи.м минимум; в противо-CL X СХ и
положном же случае, если оба будут отрицательными — максимум х). do
или оба исчезают, dy
значения, тогда нужно d-Q
, если они не исче-ау-
dP 291. Если же одно из выражений и когда вместо х и у подставляются найденные d2P перейти к следующим дифференциалам и зают, то не имеет места ни максимум, ни минимум; если же они исчезают, то нужно обратиться к следующим дифференциалам и посту-d,P пать таким же образом, как это мы делали с выражениями
и . Чтобы яснее было, в каких случаях с этим приходится дело, положим, что получается значение х = а; если оно делает dP dp
жение -г исчезающим, то -г- должно иметь множителем dx a х
если этот множитель является уединённым и не имеет соседнего ного себе, то не будет ни максимума, пи минимума. То же самое dP изойдёт, если будет иметь множителем (х— а)3 или (ж—а)5 и далее. Если же будем иметь множитель (х— а)2 или далее, то это будет служить указанием на максимум но, кроме того, нужно посмотреть, согласуется ли это указывает у.
292. В этих случаях, однако, можно удивительным виться от труда, связанного В самом деле, , о г, dP
аж-Рр = 0 и что выражение dP
-j— = (ax -|- $)~Т. Так как ax-|-P = 0, то
как 2a2 положительно, можно будет решить вопрос, личество У; если оно получит положительное значение, будем иметь минимум, в противоположном же случае — максимум. Этим же способом можно будет пользоваться и при нахождении максимума и минимума функции одного переменного, так что никогда пе будет надобности подниматься к более высоким дифференциалам. Более того, нет необходимости прибегать и ко вторым дифференциалам; в само.м деле, если из уравнения Р = 0 получаем ах 4-8 = 0, то необходимо, чтобы Р имела множителем ax-j-p. Пусть Р = (ух 4- (3) Т; так как
иметь
выра-
х — У.'
рав-про-
так
(х — а)4 и
или минимум; с тем, на что
так
ооразом изиа-
с переходом к высшим дифференциалам, положим для большей общности, что .мы нашли
имеет множителем
d3P „ = 27.-7 и, d:i:- ’
что мы
(az-j-p)2, так
следовательно,
рассматривая
ч то
так
ко-
^Р^7.7’+ (ах + р)~ ,
dx 1 v 1 г/ dx
Ц Здесь Эйлер допускает грубую ошибку; условия ^—> 0; $ > 0, конечно, CL X СХ lI
являются необходимыми, но они отнюдь пе являются достаточными. Удивительно, что Эйлер пе усмотрел этого хотя бы на
z — x2 — Зху-\-у3 при z = 0, д = 0 не имеет ни
вин =2>0, = 2 > 0 удовлетворены.
d X СХу
2 = 0, если изменять только х или только ?/, ции z отрицательное значение — со2. Достаточным условием (i2Z д2Х / O2Z как известно, положительность выражения —• —— ( т-—-
1 дх2 dy* \ Ox (J
простейших примерах. Так, функция максимума, пи минимума, хотя усло-Дейстиптельио, она имеет минимум по значения х — «>, у = ш дают фунь-экстремума является,.
ГЛ. XL О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 429
то, в силу атф^ = 0, будем иметь — хТ. Таким образом, этот множитель Т, смотря по тому, будет ли значение аУ положительным или отрицательным, сразу же укажет наличие минимума или максимума.
293- После всего сказанного будет уже нетрудно, если предложена какая-либо функция, содержащая два переменных, разыскать случаи, в которых эта функция становится максимумом или минимумом. Если понадобится сверх того сделать какие-либо замечания, то они будут подсказаны развитием самих примеров. Поэтому сейчас полезно будет пояснить данное правило несколькими примерами.
Пример 1
Пусть предложена следующая функция двух переменных V = x2-}--f-ху-f-у" — ах — by, требуется найти, в каких случаях она становится „максимумом или минимумом.
Так как dV = 2xdx-[- у dx ф xdy ф 2y dy— adx — bdx, то если сравнить это выражение с общим выражением dV-Pdx^-Qdy, будем иметь
Р — 2т ф у — а и Q = 2у ф х — Ь.
Отсюда получим уравнения
2т -р у — а — О и 2у ф х — Ъ~ 0.
Исключая из них у, получим х — b — kx — 2а и, следовательно,
А так как
<1Р ,, dQ 9
j— = 2 и — = 2, ах ау
то оба эти выражения указывают наличие минимума; отсюда мы заключаем, что формула
х2 ф ху фу2 — ах-— by
1а —Ъ 1Ъ — а
становится минимумом, если положить х=—-— и у=——. таким образом, получаем значение
г -а3фа?)-£2
V — - - ? 3 ,
гак как оно единственно, то оно является наименьшим из всех. Следовательно, единственным способом можно получить
, , , *> » ' а ф аЪ S 2
т - Ф ху ф у - — ах — by =-з-- ,
и так как меньше это выражение не может быть, то уравнение
X"Хуу2—ах — Ьу =-----------з------С
невозможно.
430 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ
Пример 2
Пусть предложена формула Т = ж’-|-у3— Заху, требуется найти случаи, в которых V получает максимальное или минимальное значение..
Так как dV = Зх2 dx-Ц-Зу2 dy—Зау dx — 3axdy, то
Р = Зх2 — Зау и Q = Зу2 — Зах,
откуда
ау—х2 и ах=у2.
Так как у2 — х4: а2 — ах. то х1— а3х = 0 и, значит, либо х — 0, либо х=а. В первом случае у = 0, во втором же у = а. Так как
dP Л d2P Л dQ г, d2Q г,
т—=Ьж,-,- = Ь и -i = bw и -у-ь=6, dx dx* dy * dy*
то в первом случае, когда х — 0 и у = 0, нет ни максимума, ни минимума. Во втором же случае, когда х—а и у = а, получается минимум, если а будет положительным количеством, и тогда V = —а3. Однако это значение меньше лишь по отношению к ближайшим предшествующим и последующим; ибо, конечно, V может принимать гораздо меньшие значения, если обоим переменным ж и у давать отрицательные значения.
Пример 3
Пусть предложена функция У = х3Ц-ау2— Ьху-Ц-сх', требуется-найти её максимальные или минимальные значения.
Так как dV = Зж2 dx-Ц- 2ау dy—bxdy—by dx-Ц- cdx, то
Р=3ж2 — by Ц-с и Q=2ay—Ьх.
Положив эти значения равными нулю, будем иметь у — и потому
о , Ь2х n .j 2&2z —4ас
Зж' — 4- с = 0 или х —----------->
2а 1 12а
откуда
Ь2 4- 1/”&4 — 48а2с ж = — —...------- .
12а
Таким образом, если не будет иметь места Ь4 —48а2с > 0, то не будет ни максимума, ни минимума. Положим Ь1—48а2с = b!f2, так чтс»
&2 /Ь2 _ /2)
с =—~ > тогда будем иметь
Ъ2 ± ъ/ х — —и д 2 а У b2(b±f) 24аа
Так как, далее, dP ~ = Х)Х и dx dQ dy = 2й,
то
dl> _ Ъ (Ъ 4- /) dx 2'1
Таким образом, если 2а и —пе являются количествами одного и того же знака, то пет. ни максимума, пи минимума. Если же оба
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 431 положительны, либо отрицательны, что имеет место, если произведение их Ь (Ь ± /) будет положительным, то функция V будет минимумом, если а — положительное количество, и максимумом, если а — количе-&1
ство отрицательное. Следовательно, если / = 0 или то так как
Ь1 есть положительное количество, функция V будет минимумом, если Ь2 Ь3
а есть количество положительное, тогда х = -г^- и у = -^—^‘, если же, 12а а 24а2’
напротив, а отрицательно, то эти значения дадут максимум. Если / < Ь, то в обоих случаях получается или максимум или минимум; если же , , ^b(b + f) ЪЦЪ + f)
f > Ь, тогда только случай х =— и у = —даст максимум или минимум, смотря по тому, будет ли а положительным или отрицательным. Пусть, например, а = 1, Ь — 3 и / = 1, так что имеем фор-з
мулу V — xa-J-y2— Зху+уж; так как а положительно, то оно стано-3 13
вится минимумом, если положить Х=1 И у = —, или X = — и у — .
1 5
В первом случае получаем V = , а во втором V= — . Однако ясно,
что, давая х отрицательные значения, можно получить много меньшие значения для V. Таким образол, нужно иметь в ниду, что значения 1 3
V = Y меньше, чем те, которые получаются приж = 14-а> и у= — + когда о> и ср — малые числа, положительные или отрицательные; пре-15 15
дел, которого а> не должно превзойти, равен — —, ибо при и < — ~ может случиться, что V будет меньше, чем ~ .
Пример 4
Найти максимумы или минимумы функции
V = х1 + у1 — ах2у — аху2 4- с2х' -J- сгу2.
Дифференцируя, будем иметь
P = kxa—2аху — ау2-^-2с2х и Q=£y3—ах2 — 2аху -f- 2с2у. Положив эти значения равными нулю и вычитая одно из другого, будем иметь
4х3 — 4ys -f- ах2 — ау2 -р 2с2х — 2с2у = 0.
Так как это делится на х — у, то будем иметь прежде всего у ----- х. и 4xs — Зах2 -|- 2с2х = 0, что даёт
А /го о > За ± /9а2 - 32с2
ж=0 и кх = Зах ~ 2с , или х =-------=-*•— ------ .
О
Если положить ж = 0, то будет также у=0 и так как = 12х2 — 2ау 4- 2с2 и ^=12у2 — 2ах-\-2с2, то функция V будет минимумом и будет равна нулю. Если же положим
432 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
За ± /9а2 - 32с2 .. - п 8 ,
£ = ?/= — 8------, причем должно быть 9а > 32с , то вследствие
4х'’ Зах— 2с2 будем иметь
dE = = 12а;2-2ах + 2с2 = lax-W = 2^-_32£!± .
dx dy 8 ’
так как при 32с2 < 9а2 это значение всегда положительно, то значение V и в этом случае является минимумом, и мы будем иметь
г = - 2И “•+я “v ~ I с‘ Т m <В 9“‘ ~32с’’ '
Теперь разделим уравнение 4z3— 4у3 + ах1 — ay1 4- 2с2х— 2с'!у на х — у; будем иметь 4z2 + ^ху + 4у! + йх + ау + 2с2 = 0. Из уравнения же Р = 0 4 2с2х
будем иметь у2 = — 2ху + — х3 -f- ; подставив это значение в преды-
дущее уравнение, получим
__ 16х3-(- 4аз2 + а2ж + 8с2ж+2ас2
У ках — а2
Но предыдущее уравнение само даёт
откуда
16z3 4- 8ах2 4- 8с2х + 2ас2 = (4,г—а)ках3 + а2х2 + 2ас2х 4). Освобождаясь от иррациональности, получим
256z’ -}- 192аж5 + 80а2ж4 ка3х3—а*х2—2а3с3х 4- 4а2с4 = 0;
4- 256с2 + 160ас2 4- 48а2с2 4- 32ас4
4- 64с4.
Действительные корни этого уравнения, если они имеются, укажут , Т7 dP dQ
максимумы или минимумы функции V, если количества -г- и CLX Q/1J
иметь один и тот же знак.
Пример 5
Найти максимумы или минимумы выражения
х14 тх2у3 + у14- а‘х2 4- па2ху 4- а2у2 = V.
Дифференцируя, будем иметь
Р = 4z3 4- 2тху3 4- 2а3х 4- па2у -= 0,
Q iys 4- 2тх2у 4- 2а~у 4- па2х = 0.
Сложив эти уравнения и вычтя их одно из другого, будем иметь (4х2 4“ 4жу 4- 4у2—2тху 4- 2а-2—па2) {х—у) = 0, (4z2—\ху 4- 4у2 4- 2тху 4- 2а24~па2) (х 4- у) — 0.
В первом издании вместо 8с2х стоит 4c2.z, а в следующем уравнении вместо
256с2, 160ас2, 64с4, 32ас4 поставлены неверные коэффициенты 128с2, 96ас2, 16с4, 16ас4.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 433
Разделив эти уравнения на х—у и х-t- у, затем снова выполнив сложение и вычитание, получим
4х34- ку2 + 2а2 = 0 и &ху—2тху—па'2 = 0.
па2
Второе из этих уравнении дает У= первое же не имеет дей-
ствительных корней. Итак, мы имеем три случая:
I. Пусть у = х", тогда 4х3 4- 2тх3 4- 2а2х4- па2х = 0, откуда имеем либо х = 0, либо 2 (2-|- т) х* 4- (2 + п) а2 — 0. Пусть х = 0; тогда также у = 0 и в силу
= 12х2 4- 2ту2 4- 2а2 и ^- = 12?/2 4- 2тх2-{-2а\
В этом случае V = 0 будет минимумом, если коэффициент а2 положи-tj 2 (п + 2) а2 „
телен. Во втором случае мы получаем х =—-т) ’ Действительное п -|- 2
решение имеет место лишь тогда, когда то 2 есть отрицательное число. Пусть 2к2 или п = —2к2т—кк2—2, тогда х— ± Ла и
у — ± ка. Но
= 12Л3а24- 2тк2а2 + 2а2 и j- = 12к2а2 4- 2тк?а2 4- 2а2. dx ' dy
Так как эти значения равны, то V будет максимумом или минимумом, смотря по тому, будут ли эти количества положительны или отрицательны.
II. Пусть у ——х; тогда 2 {т 4-2) х3 = (п—2) а3х и, следовательно, либо х = 0, либо х2 = 2)~' Первый корень х = 0 приводит нас
к предшествующему случаю. Второй же корень будет действительным, (п — 2) а2 ~ если будет положительным количеством, и, так как мы имеем
= даст либо максимум, либо минимум.
III. Пусть у = „ ,?а ч ; тогда 1 J 2 (2 —»i)x ’
, , тп2а> , „ , , п3а4 „ , . , .. .. , /г2а1
4х3 4- х-ть-ТГ~ 4- 2а ж -ц -= = 0 или 4х‘ 4- 2а‘х' 4- = 0.
1 2(2 — т)2 х ' 2(2 — т)х (2 — т)2
Это уравнение не имеет действительных корней, разве что а2 есть отрицательное количество.
Пример 6
Пусть предложена следующая определённая функция V = x* + у1-—х ху—у-, найти её максимальные или минимальные значения.
Так как здесь Р = 4ж3—2х 4- у = 0 и Q = 4у3 — 2у 4- х = 0, то из первого уравнения у = 2х—4х3; подставив это во второе, получим
256х’-384х’ + 192 х5-40х3 + Зх = 0.
Один корень этого уравнения есть х=0, откуда у = 0. Следовательно, в этом случае вследствие
~ = 12х2-2 и ^=12х2-2
dx dy
28 Л. Эйлер
434 гл. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
будет максимум Р = 0. Если же найденное уравнение разделить на х, будем иметь уравнение
256а:9—384#' + 192а:4—40г2 +3 = 0,
которое имеет множитель 4а:2— 1, откуда 4а:2 =1 и и
. 1 dP dQ . .
у— ± у ; тогда = =1; следовательно, в обоих случаях получаем
минимум V =—-g-. Разделим предыдущее уравнение на 4а:3— 1; тогда получим уравнение
64а:’ — 80а:4 + 28а:2— 3 = 0,
которое снова дважды содержит множитель 4 аг — 1 = 0, так что получим предыдущий случай. Кроме того, будем иметь 4а:2— 3 = 0 и х=±^-; этому значению соответствует значение у = 3 . Следовательно, будем
иметь ^ = ^2=7 и> значит, V будет минимумом и будет равно 9 п
— = . е)то значение есть наименьшее из всех, которые может иметь О
9
функция V, и поэтому уравнение У = — — —с2 всегда является невозможным. Из вышесказанного становится ясным также и метод разыскания максимумов и минимумов функций, содержащих три и большее число переменных.
ГЛАВА XII
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ К РАЗЫСКАНИЮ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
294. Основное свойство максимумов и минимумов даёт нам возможность узнать, являются ли действительными или мнимыми корни уравнения. Действительно, пусть предложено уравнение какой-либо степени
хп— Ах""1 + Вхп~3—Схп~3 + Вхп~1— и т. д. = О, корни которого пусть будут р, q, г, s, t и т. д. и притом р пусть будет наименьший корень, q — следующий по величине, а также остальные корни пусть располагаются в порядке их величины, т. е. <7 > р, г > q, s > г, t > s и т. д. Примем, что все корни уравнения действительны; тогда наибольший показатель п будет в то же время и числом корней р, q, г и т. д. Мы будем считать, что все эти корни не равны между собой; этим, однако, не исключается равенство корш й, так как неравные корни, если разность их становится бесконечно малой, делаются равными.
295. Предложенное выражение хА— Ахп~1-]- и т. д. лишь тогда становится равным нулю, когда вместо х подставляется одно из значений р, q, г и т. д., во всех же остальных случаях оно не исчезает. Положим
хп — Ахп~г + Вхп~3 — Схп~3 4-и т. д. — z,
так что z можно рассматривать как функцию от х. Представим себе теперь, что вместо х последовательно подставляются всевозможные значения, начиная с наименьшего х= — со и непрерывно увеличивающиеся; очевидно, что тогда z будет получать значения либо большие нуля, либо меньшие, и исчезнет не раньше, чем положим х — р. В этом случае будем иметь z=0. Будем увеличивать х, давая ему значения, большие р-, тогда значения z будут либо положительны, либо отрицательны, пока мы не придём к значению x — q’ в этом случае снова будем иметь z = 0. Поскольку, таким образом, значения z изменяются от нуля и снова до нуля, необходимо, чтобы где-то в промежутке z имело либо максимальное, либо минимальное значение: максимальное, если значения z, когда х изменяется между пределами р и q, будут положительны; минимальное — если они будут отрицательны. Подобным образом, когда х изменяется, увеличиваясь от q до г, функция z
28*
436 ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
должна достигать максимума или минимума, а именно, максимума, если раньше был минимум, и наоборот. В самом деле, мы видели выше (§ 263), что максимумы и минимумы чередуются друг с другом.
296. Так как между двумя какими-либо корнями количества х имеется значение, при котором функция z становится максимумом или минимумом, то число максимумов и минимумов, которые имеет функция z, на единицу меньше, чем число действительных корней, и они чередуются друг с другом так, что максимальные значения z положительны, а минимальные отрицательны. Наоборот, если функция z имеет положительный максимум или по крайней мере положительное значение при х - f и отрицательный минимум или по крайней мере отрицательное значение при ж — g, то, поскольку при переходе х от / к g функция z из положительной становится отрицательной, необходимо, чтобы в промежутке она прошла через нуль, и потому будет существовать корень количества х, заключённый между пределами / и g. Если же условие, чтобы максимальные и минимальные значения количества z поочерёдно были положительными и отрицательными, не выполняется, то такого заключения сделать нельзя. Действительно, если у функции z будут минимумы, которые также будут положительны, то может случиться, что значение количества z перейдёт от максимума к следующему минимуму, не исчезая в промежутке. Из сказанного, впрочем, ясно, что если у предложенного уравнения и не все корни действительны, всё же всегда между какими-либо двумя корнями имеется максимум или минимум. Обратное же предложение вообще несправедливо, т. е. между двумя какими-либо максимумами или минимумами может не содержаться действительный корень. Это заключение, однако, можно сделать, если добавлено условие, что одно из значений z будет положительным, а другое отрицательным.
297. Мы видели выше, что значения количества х, при которых функция
z ~-х"— Лх"-1 + Вхп~3— Cxn~3+Dxn~i—и т. д.
становится максимумом или минимумом, являются корнями дифференциального уравнения
J = пх^1 — (п -1) Ахп 2 4- (я - 2) Вхп -3—(тг—3) Схп~* + и т. д. = 0.
Поэтому очевидно, что если все корни уравнения z=0—их число равно тг —будут действительны, тогда и все корни уравнения ^=0 будут действительны. В самом деле, так как z имеет столько максимумов или минимумов, сколько единиц содержит число п—1, то необходимо, чтобы уравнение = 0 имело п—1 действительных корней1).
!) Со времени Жирара и Декарта, т. е. с тридцатых годов XVII века, пи у кого из математиков не было сомнения в правильности «основной теоремы» алгебры. гласящей, что уравнение п-й степени всегда имеет п корней. Однако доказать эту теорему сколько-нибудь строго до середины XVIII века никто не пытался. Эйлер в 1749 году опубликовал два доказательства, но оба они неудовлетворительны, причём одно из них исходит из утверждения, что уравнение любой степени должно быть разрешимым в радикалах. Эта же ложная идея появляется и в позднейших работах Эйлера. За три года до Эйлера Даламбер предложил доказательство, которое хотя и не было достаточным, содержало плодотворные идеи, использованные позднее Коши. Первое доказательство основной теоремы алгебры, основанное на верных, хотя и на ие доведённых до конца рассуждениях, было дано
ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 437
В то же время отсюда ясно, что функция ~ не может иметь максимумов или минимумов больше чем п—1. Итак, мы имеем следующее очень важное правило: если все корни уравнения z = 0 будут действительны, тогда и все корни уравнения ^=0 будут действительными. Отсюда следует, что если не все корни уравнения z=0 будут действи-dz -
тельными, то и не все корни уравнения будут действительными.
298. Так как между какими-либо двумя действительными корнями уравнения z = 0 существует одно значение, при котором функция z становится максимумом или минимумом, то отсюда следует, что если уравнение z = 0 имеет два действительных корня, один корень урай-dz
нения = 0 необходимо будет действительным. Таким же образом, если уравнение z=0 имеет три действительных корня, то уравнение
= 0 наверное будет иметь два действительных корня. И вообще, если уравнение z = 0 имеет т действительных корней, то уравнение dz
должно иметь по крайней мере т~ 1 действительных корней.
dz
Поэтому, если уравнение ^ = 0 имеет корней меньше, чем т — 1. то в свою очередь уравнение z=0 наверное будет иметь меньше чем гг: действительных корней. Следует, однако, остерегаться, чтобы не принять за истинное обратное предложение; в самом деле, если дифферен-dz
циальное уравнение j? = О имеет несколько действительных корней или даже все его корни действительны, то отсюда не следует, что хотя бы один корень уравнения z=0 действителен. Может случиться, что dz ...
все корни уравнения —0 действительны, но все корни уравнения Z —- 0 мнимые.
299. Однако, если присоединить вышеупомянутое условие, то можно будет высказать обратное предложение таким образом, что по числу
... dz -
действительных корней уравнения ^- = 0 можно будет наверное узнать, сколько действительных корней имеет уравнение z = 0. Действительно, положим, что а, р, у, 8 и т. д. суть действительные корни уравнения dz „
= U и что а есть наибольший из них, а остальные расположены в порядке их величины. Таким образом, если подставлять эти значения вместо х в функцию z, опа. будет принимать поочерёдно максимальные и минимальные значения. Так как функция z становится равной оо, если положить х=са, то её значения, очевидно, должны постоянно убывать, в то время как значения х убывают от оо до я. Поэтому при х = a z становится минимумом. Если при этом функция z при z=a получает отрицательное значение, то необходимо, чтобы где-то прежде опа была равной нулю, так что уравнение z=0 будет иметь действительный корень х > а. Если же при ж==а функция z всё ещё сохраняет положительное значение, то она не могла никогда прежд;
в 1799 г. Гауссом. См. Cantor, Vorlosungo'. fiber Gescli ids I о dcr Matin malik, том III. стр. 585 — 517, 601 —CO!; том IV, стр. 96 — 98, а также Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в 19 столетии, ч. 1. Русский перевод Б. Лившица и др.. 1937, стр. 8Г> и след.
438 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
быть меньше; в противном случае существовал бы ещё один минимум до того, как х, уменьшаясь, достигло бы а, а это противоречило бы сделанному предположению. Следовательно, уравнение z = 0 не может иметь ни одного действительного корпя, большего чем а. Итак, если положим, что z = 4l при х = а, то можно высказать следующее суждение: если ЭД будет количеством положительным, то уравнение не будет иметь ни одного действительного корня, большего чем а, если же ЭД будет количеством отрицательным, то уравнение всегда будет иметь действительный корень, больший чем а, и притом только один.
300. Чтобы такие суждения можно было высказать и дальше, положим, что
при мы имеем
х = а
ж = Р х = у х = 8
г = ЭД z=S3 z=® z = © Z = (g
и т. д. и т. д.
Тан как ЭД было минимумом, то 58 будет максимумом, и если'ЭД было положительным, то и 58 будет положительным, и тогда между пределами аир нс будет действительных корней уравнения z = 0. Поэтому, если это уравнение не имеет пи одного действительного корпя, большего чем а, то оно не будет также иметь ни одного корня, большего чем р. Если же ЭД будет количеством отрицательным, — в этом случае уравнение имеет один действительный корень х > а, — нужно посмотреть, положительно или отрицательно значение 58. В первом случае будет существовать корень х > р, во втором же между пределами аир пе будет ни одного корня. Подобным же образом, так как 58 было максимумом, то ® будет минимумом; поэтому, если 58 имело отрицательное значение, то тем более ® будет отрицательным, и в этом случае между пределами р и у не будет ни одного корня. Если же 58 будет положительно, то будет существовать один действительный корень между пределами р и у, если и ® отрицательно; если же и ® положительно, тогда между пределами их р и у не будет пи одного корпя; подобным же образом можно будет высказать и дальнейшие суждения.
301. Чтобы эти суждения легче было уяснить, я сопоставил их в следующей таблице.
Уравнение z = 0 будет иметь один действительный корень, заключённый между пределами
X = СО И х = а
X ~ ос и X — р
х р и х = у
и X = G
X ~ G и X = s
и. т. д.,
если будем иметь
ЭД= -
ЭД= - и 58= п-
58=4- и ®=-
® = — и © = -]-
© = + и (S = —
и т. д.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УВАВНЕНИЯ 439
Для этих предложений имеют место со всей строгостью также и обратные отрицательные, а именно:
уравнение z=0 не будет иметь ни одного действительного кор- если не будем иметь
ня, заключенного между пре-
делами X = оо И х = а 21= -
х = а и х = р 21= — и 23= 4-
х = р и х = у Я3= + и ®=-
х = у и х = о II к II +
х = 8 и и т. д X = е ) ® = 4- и @= — И Т. д.
С помощью этих правил, если будут известны корни уравнения ^ = 0, мы найдём не только число действительных корней уравнения z — 0, но также и пределы, между которыми будут содержаться отдельные корни.
Пример
Пусть предложено уравнение х* — 14ха 4- 24#— 12 = 0; спрашивается, имеет ли оно действительные корни и сколько их.
Дифференциальное уравнение будет 4z3—28а;Д-24— 0 или а;3—7х-{-4-6 = 0; корни его суть 1, 2 и — 3. Если расположить их в порядке величины, будем иметь
а — 2, ₽=1, т= -з,
откуда 31= -4, 53= -1, 6= -129.
Так как 21 отрицательно, то предложенное уравнение будет иметь действительный корень, больший чем 2, и так как S3 отрицательно, то ни между пределами 2 и 1, ни между пределами 1 и —3 действительных корней пе будет. А так как при х= —3 мы имеем z = (S = —129 и так как, положив х = — оо, будем иметь z— со, то необходимо, чтобы существовал действительный корень, заключённый между пределами — 3 и —оо. Итак, предложенное уравнение имеет два действительных корня, один из них больше чем 2, другой — меньше чем — 3. Следовательно, два корня будут мнимыми. Таким образом, из рассмотрения последнего максимума или минимума предложенного уравнения можно вывести такие же заключения, как из рассмотрения одного первого. А именно, если предложенное уравнение будет чётной степени,, то если последний максимум или минимум (а в этом случае он будет минимумом) будет отрицателен, мы будем иметь действительный корень, если же положительным, то мнимый.
302. Таким образом, правило, позволяющее судить о наличии действительных или мнимых корней, может быть высказано следующим образом. Пусть предложено какое-либо уравнение z = 0; рассмотрим его дифференциальное уравнение =. Пусть корни последнего,
440 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
расположенные в порядке их величины, будут а, (3, у, о и т. д. и пусть при
т —а, р, у, 3, s, С, и т. д.
имеем
г = ЭД, 5В, ®, ®, ®, %, и т. д.
Если знаки будут
---F — 4- — + и т. д.,
то уравнение z=0 будет иметь столько действительных корней, сколько есть букв а, р, у и т. д. и, сверх того, ещё один. Если же одна из больших букв не будет иметь поставленного внизу её знака, это будет признаком наличия пары мнимых корней. Так, если 521 будет иметь знак +, то между пределами со и р не будет ни одного действительного корня. Если 58 будет иметь знак —, то не будет ни одного корня между пределами аир, если же (5 будет иметь знак 4-, то не будет ни одного корня между пределами р и 3 и так далее. Вообще же сверх мнимых корней, обнаруживаемых таким образом, уравнение z = 0 будет м dz л
иметь столько мнимых корней, сколько их имеет уравнение = 0.
303. Если окажется, что какое-либо из значений ЭД, 58, Е, ® и т. д. исчезает, то в этом месте уравнение z=0 будет иметь два равных корня. Так, если ЭД = 0, то оно будет иметь два корня, равных а; если же 58 = 0, то будет два корня, равных рк Действительно, в этом случае уравнение z=0 будет иметь один корень, общий с дифференциальным уравнением ^=0; а выше мы доказали (§ 245), что это служит признаком наличия двух равных корней. Если же уравнение = 0 имеет два или большее число равных корней, то, если число их чётное, не будет ни максимума, ни минимума. Значит, для нашей цели равными корнями в чётном числе можно пренебрегать. Если же число равных корней уравнения ^=0 будет нечётным, то при установлении критерия можно отбросить все, кроме одного, если только случайно не окажется, что в этом случае исчезает также функция z. В самом дело, если это случится, то и уравнение z -0 будет иметь равные корни, и притом па один больше, чем уравнение ^| = 0. Так, если будем иметь — 0"/?, так что это уравнение будет иметь п корней, равных С, то если при х — Z также и z исчезает, уравнение z=0 будет иметь п 4- 1 корней, равных С.
304. Применим эти правила к простейшим уравнениям и начнём с квадратного уравнения. Пусть предложено уравнение
z х~ — Ах + В = 0:
его дифференциальное уравнение будет
= 2х — А. ах
Положив его равным нулю, будем иметь
1 1
х= --Л или а —-9-Л.
ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 441
Подставим это значение вместо х; тогда получим
z = — ±-А2 + В = %, 4
откуда заключаем, что если значение 21 отрицательно, т. е. если Л3 > кВ, то уравнение будет иметь два действительных корня, один —-больший чем у А, другой — меньший. Если же значение 21 будет положительно, т. е. если А2 < кВ, тогда оба корня предложенного уравнения будут мнимыми. Если же 21 = 0, т. е. A2=kB, тогда предложенное уравнение будет иметь два равных корня, и каждый из них будет равен у А. Так как всё это хорошо известно из свойств квадратных уравнений, то правильность наших принципов находит неплохое подтверждение, и в то же время обнаруживается их полезность в этом деле.
305. Перейдём теперь к кубическому уравнению и будем производить исследование тем же способом. Итак, пусть предложено уравнение
х3 — Ах2 -j- Вх — С = z = 0.
Его дифференциальное уравнение есть
Зх? — 2Ах + В = .
Если мы положим это равным нулю, получим уравнение
3 ЧАх — В X - 3
корни которого либо оба мнимые, либо равные, либо неравные действительные. Так как отсюда
_ А ± ]/
Х~ 3
то оба корня будут мнимые, если А2 < ЗВ; в этом случае кубическое уравнение будет иметь только один действительный корень, для которого нельзя установить никаких других границ, кроме 4- со и —оо. Пусть теперь оба корня равны между собой, т. е. А2 — ЗВ; тогда Л рр,
х —. 1аким образом, если только пе имеет места одновременно z=0, то эти два корня учитывать не нужно, и уравнение пспрсжвему будет иметь один действительный корень; если же при х~в то же время z =0, что будет иметь место, если будем иметь —2? ^3+~3 АВ—С—0 г 1 2 1 1
или с = -X- АВ — — А3, т. е. если и С = . Л3, то’ уравнение
будет иметь три равных корпя, каждый из которых равен * А. Рассмотрим теперь третий случай, когда два корня дифференциального уравнения действительны и не равны между собой, что имеет место, если
442 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
„ 1 1
А2 > ЗВ. Пусть, следовательно, AJ — 3B-f-f2 или В = — А2 д- /3; тогда эти два корня будут
г__Л ± /
х - “ 3- •
11 11
Мы получим, таким образом, а = уЛ-(-у/ и ₽ = у -4 — у /. Теперь нужно найти соответствующие значения z и количеств Ш. и S3; так как 2 1
оба эти значения удовлетворяют уравнению х'2 = — Ах—-В, то будем О О
иметь
1 9 2 12
z = ~^Ах2 + ~Вх~С = ~^-А2х + ~АВ + ^Вх~С. о о у у о
Итак, мы получаем отсюда
» 1А’ + 4АВ + Й A'f - и с = Й •4‘ -1 Л>‘ + ЙГ - С’
1 1
ибо В = -~ Л2—а/3. Значит, если ЭД будет количеством отрицательным, О О
112
что произойдёт, если С > — Л3 — у А]'—то уравнение z = О будет иметь один действительный корень, больший чем а, т. е. больший чем уЛ+у/. Положим, таким образом, что 11 2
С>Т1АЗ-^АГ~^3
или что
112 -Н/2-г,/3+^
Тогда, как мы видели, предложенное кубическое уравнение будет иметь
1 1
действительный корень, больший чем Л + /. Каковы же будут
О о
остальные корни, мы узнаем, рассмотрев количество 23. Но 23= ~ /3£3’: если оно положительно, то уравнение имеет ещё два действительных корня, один в границах между а и J3, т. е. между уЛ + у / и у Л-/,
а другой будет меньше, чем у А-Если же g2 > т- е> ес;ги
23 будет отрицательно, тогда уравнение будет иметь два мнимых корня.
4
Если же 23=0, т. е. если -2-/3 = g2, тогда будем иметь два равных корня, каждый из которых равен р = уЛ —у/. Наконец, если значение ЭД положительно, т. е. С < у Л3—~ Aj~ — у /3, то уравнение будет иметь два мнимых корпя, третий же будет действительным и будет
ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 443
1 1
меньше, чем 3 Л — 3 /. Если же значение 21 = 0, то два корня будут
11 равны а, а третий остается меньшим, чем — А-—f.
о 3
306. Итак, для того чтобы все три корня уравнения х3—Ах2 + Вх— —С = 0 были действительными, требуется выполнение трёх условий. Во-первых, должно быть
В<±А*. 3
Пусть поэтому 5 = -|-Ла—В. Во-вторых, необходимо, чтобы О 3
c>^A3-iAfs~^f3-
В-третьих, необходимо, чтобы
c<hA3~iAf3+if3-
Последние два условия сводятся к тому, что С должно содержаться между пределами
й43-4^-227/3 и ^A3-lAf+Ar,
или между пределами
А(Л + /)а(Л-2/) и -2г7(Л -/У (Л + 2/).
Если из этих условий не выполняется хотя бы одно, то уравнение будет иметь два мнимых корня. Так. если .4 = 3, В = 2, то -у/а = А'1—B=i
и /! = 3; так что все корни уравнения х3— Зх2 + 2х — С = 0 не могут быть действительными, если только С не содержится между пределами
2 V 3 2 3 2 3
- —-— и -|--—. Поэтому, если мы будем иметь либо С <----------— .
т. е. С < — 0,3849, либо С > + ——, т. е. С > 0,3849, или, выражая эти два условия совместно С2 > ~, то уравнение будет иметь только один действительный корень.
307. Так как в каждом уравнении можно освободиться от второго члена, то положим, что Л = 0, после чего будем иметь следующее куби-честое уравнение:
х3 4- Вх — С = 0.
Таким образом, для того чтобы все три корня этого уравнения были действительными, необходимо, чтобы, во-первых, было В < 0, т. е. В должно быть отрицательным количеством. Пусть В= — к\ тогда /: = ЗА2; кроме того, требуется, чтобы количество С было заключено между пределами — Д/а и Д/3, т. е. между-----к2 ]/Зк2 и + к‘ |/Зк2 .
i 2 ] J if
444 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Следовательно, будем иметь С3<^А’ или С3 < — т^В3. Таким образом, характерный признак кубических уравнений, имеющих три действительных корня, можно выразить единым условием, если сказать, что количество
4й3 + 27 С2
должно быть отрицательным. Действительно, этим уже потребовано, чтобы В было отрицательным количеством, так как в противном случае 4В3 + 27С3 не могло бы быть отрицательным. Поэтому мы можем вообще утверждать, что все три корня уравнения х3 + Вх Д: С = 0 будут действительными, если 4Z?3 + 27С"2 будет отрицательным количеством; если же это количество будет положительным, тогда только один корень будет действительным, остальные же два мнимыми; если же 4В3 + 27С3 = 0. то все корни будут действительными, но среди них будут два равных.
308. Перейдём теперь к биквадратным уравнениям и положим, что у них отсутствует второй член. Пусть, таким образом,
ж4 + Вх2 — Сх + D = 0.
Положим х — ^-; тогда будем иметь уравнение
1 4- Ви2 — Си3 + Du* = 0,
для которого дифференциальное уравнение есть
2Ви — ЗСи2 4- 4£>н3 = 0;
один его корень равен нулю; затем будем иметь
. ЬСи-ЬВ
и
_ ЗС ± V4C2-'A2BD и- .
Таким образом, для того чтобы все четыре корня были действительными, требуется прежде всего, чтобы 9(Т > 32BD. Положим поэтому
ЗС I 3(
9С2 =- 32BD + g2; тогда и = . Здесь количество С мы всегда можем
считать положительным; в самом деле, если бы этого не было, то если положить и = — v, это будет иметь место. Но мы вскоре докажем, что все корни могут быть действительными лишь в том случае, если Б есть количество отрицательное. Поэтому положим В —— g2, тогда будем иметь
9С3-9/3 — 32g2D и
1 U biJ
Теперь нужно рассмотреть два случая: первый, когда D ес:ь количество положительное, и второй, когда оно—отрицательное.
1. Пусть D есть положительное количество; тогда / > С, и три корня количества и, расположенные в порядке их величины, будут:
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 445
Уравнение же
“ - + ту ч - О,
если в него подставить вместо и эти значения, даст следующие три значения:
27(С+/)’(С-3/) ,1 „ 1 27(C-/V(C + 3/) 1
из которых первое и Третье должны быть отрицательными; так как С положительно и С < /, то как первое, так и третье значение меньше, чем ~ . Итак, нужно, чтобы
1 27(С + Л3(3/-С) 1 27(f-C)3(C+3f)
D 4096Р4 И D 4096Ы4
или
4096D3 < 27 (/+С)3 (3/ —С) и 40967)3 < 27 (/ - С)3 (С + 3/).
Но первое количество всегда гораздо больше, чем второе; поэтому 27
достаточно, если будем иметь D3 < (/ — С)3 (С+ 3/), и одновременно
5 = —322)— и j > С; тогда и D > 0. Итак, если D будет положительным количеством, С—положительным и В—отрицательным, так что / > С и °3 ~ т- е- < 115 (/— £) УС> тогда всс КОРНИ
уравнения будут действительными. Если же D > (/ — С) р^З/ + С,
2 3 ------
но р<гб(/ + С) у/ 3f-C, тогда два корня будут действительными и два мнимыми. Если же D > 3 (/ + С) у/~3f—С, то все четыре корпя будут мнимыми.
II. Пусть D есть отрицательное количество, положим его равным— F, причём С остаётся положительным, а В отрицательным, так как 9С’-9Д 9/3—9Са „ „ - ЗС±3/
ы ——— = - оог.— > то С > /. Таким образом, так как и= Qn =
30 -J- 3/
-------FF~ ’ т0 ТРИ значения количества и, расположенные в порядке их величины, будут
Л , п О ЗС-З/ „ ЗС-1 3/
1. и = 0, 2. -----3. и =------------
Они дадут следующие значения:
w_ 1 27 (С-/)3 (С + 3/) 1 к 27(С + /)’(С-3/)
F ’ 4096F F ’ V “ 4096F4
Так как ЭД есть отрицательное количество, то уравнение безусловно будет иметь один, а, значит, и два действительных корня. Для того же, чтобы все корни были действительными, нужно, чтобы 58 было положительным количеством, т. е. чтобы 27 (С —/)3 (С + 3/) > 4096F3; далее необходимо, чтобы ® было отрицательным количеством, т. е. чтобы
446 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕИ УРАВНЕНИЯ
27 (С + /)3 (С— 3/) < 4096F3. Поэтому, для того чтобы псе корни были действительными, необходимо, чтобы F3 содержалось между пределами
4»9«(С + /)’<С-ЗД " ет^-ЛТС + З/),
т. е. чтобы F содержалось между пределами
l(C + f)3/~C~3f и ^(С-Л^СТЗ/;
и если F не содержится между этими пределами, то два корня будут мнимыми.
III. Положим теперь, что В есть положительное количество и D — <С2—9/2 г „
также положительное; так как В =—уПГ~ ’ т0 будем иметь C>j, 30 ±3/
и так как и — , то корни, расположенные в порядке их величины,
будут
1- 2- 3- “=»•
откуда получаются следующие значения:
27 (С +/)3 (С — 3') 1 27(С-/)(С + 3/) , 1
4.J9C//4 + 1) ’ Я 409GZ>4 ' D ’ D '
Так как здесь S есть положительное количество, то два корня наверное будут мнимыми. Если при этом ЭД будет отрицательным, что произойдёт, если 4096D3 < 27 (С +/)3 (—С +3/), то два корпя будут действительными; если же 4096Z)4 > 27 (С + /)3 (3/ — С), тогда все четыре корня будут мнимыми.
IV. Пусть В остаётся положительным, a D пусть отрицательно 9^2______________________________ 0^2
и равно —Е; тогда, поскольку В~~~^F—’ будсм иметь / > С, и так ЗС I 3 f
как и=----gy—, то три нория количества и, расположенные в порядке-
их величины, будут
. 3(/-С) п ,л о „ 3(с г/)
L и== 8F ’ 2- м==0 ” °- u==-~-W~’
откуда получаем следующие значения:
27 (/ —С)3 (С Е 3/) 1 ™ 1 у 27 (С + /) (3/-С)_____1_
Д — 4(Ж6Е4 F ’ ~ F ’ 4.J96E* F '
Так каг; здесь ЭД и S отрицательны, то уравнение наверное имеет два действительных корня, а так как 33 отрицательно, то два корня будут мнимыми.
309. Пусть теперь буквы В, С, D обозначают положительные количества; тогда мы получаем четыре признака, которые вследствие /_= yf C2 — ~BD можно высказать следующим образом:
I. Пусть уравнение имеет вид xi— Вх2 + Сж-f- D — 0. Тогда все его корни будут действительными, если
D>rX/^+FBD-C')i/ 3/ C2+-IbD + C;
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 447
два корня будут действительными, а два мнимыми, если
° > й ( /^ + 32во-с) /3 /C‘ + ^BD + с и
D< р6(/С2 + ^В7) + С)|/3 /C^'^BD-C-, и, наконец, все корни будут мнимыми, если
C* + ^BD + C)\/'3 /C* + '^BD-C.
II. Пусть уравнение имеет вид ж4 — Вх2 + Сх — D = 0; тогда два корня всегда будут действительными; два остальных будут также действительными, если количество D будет содержаться между следующими пределами:
7)>Гб(/C’-^BD + C) ]/С-3 /C!~BD,
D<kCC~/ С+3 / C2-^BD-
если же D не будет содержаться между этими пределами, то два остальных корня будут мнимыми.
III. Пусть уравнение имеет вид я4 + Вх2 ± Сх + D = 0; тогда два корня всегда будут мнимыми. Два остальных будут действительными, если
D< Гб(/C'-^BD + C') j/”3 C*-^BD-C;
но эти два остальных корня будут также мнимыми, если
C2-^BD+c)~f/з/ C'-^BD-C.
IV. Пусть уравнение имеет вид я4 + Вх2 + Сх — D = 0; два корня этого уравнения всегда действительны, а два остальных — всегда мнимые.
Пример 1
Пусть предложено уравнение х4 — 2ж3 + За: + 4=0, спрашивается, каковы его корни, действительные они или мнимые.
Этот пример подходит под первый случай; здесь В —2, С = 3 и = 4, откуда
С2 + ^ВО = 9 + ^ = ^ и 1/С3 + -2ВО = ^-7,
V V if Т J О
следовательно, условия, чтобы все корни были действительными, суть 4< М/¥ + 3) V 337 - 3 = 1 (9 + /337 ) //з+Г—~3 ,
4< Я^-3) ^/337 + 3 = ^(/337-9)//337 + 3.
448 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, если воспользоваться приближёнными значениями, нужно исследовать, имеем ли мы 4 •< — и 4 < ^ . 1ак как имеет место лишь первое условие, то два корня уравнения действительные и два мнимые.
Пример 2
Пусть предложено уравнение х* — 9а;' + 12х— 4 = 0.
Так как оно подходит под второй случай, то оно будет иметь два. действительных корня. Исследуем природу остальных корней; так как здесь В = 9, С =12 и В = 4, то будем иметь
|/a— &BD = y 144-32 • 4 = 4.
Таким образом, нужно посмотреть, имеем ли мы
4 >^16^0, т. е. 4>0 и
4 <^8 ^24, т. е. 4<3j/3.
Так как выполняются и to и другое условия, то предложенное уравнение будет иметь четыре действительных корня.
Пример 3
Пусть предложено уравнение х* + х~ — 2х + 6 = 0.
Так как оно подходит под третий случай, то два корня наверное будут мнимыми. Далее мы имеем здесь В=1, (7=2 и В = 6 и, значит,
/ 49 / 64
В£ = у 4-^.
Так как это количество мнимое, то два остальных корня наверное будут мнимыми.
Пример 4
Пусть предложено уравнение х* — ^х3-\-8х" — 16ж + 20 = 0.
Избавимся сначала от второго члена; подставляя x=y-j-l, будем иметь:
ж4 = у* + 4у3 + 6у3+ 4у + 1
-4ж3 = — 4у3 —12у3 —12у —4
+ 8ж3= -f- 8у3 + 16у + 8
— 16а: = —16у—16
+ 20 = +20
Следовательно,
3/4 + 2у3 — 8у+9 = 0.
ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 449
Так как это уравнение подходит под третий случай, то оно будет иметь два мнимых корня. Так как здесь В— 2, С = 8, D = 9, то
j/ С3-^62) = /64-64=0.
Нужно, следовательно, сравнить 2) = 9 и ^8 |/ —8= — 3. Так как 2) = 9>— 3, то два остальных корня также будут мнимыми.
Пример 5
Пусть предложено уравнение х* — 4ж3 — 7х3 + 34ж — 24 = 0; известно, что его корни суть 1, 2, 4 и —3.
Применим теперь правила; уничтожим второй член, полагая х = г/+1; получим уравнение
/-13г/а + 12г/ + 0 = 0,
которое подходит под второй случай; мы имеем 2? =13, С =12 и .0 = 0. Следовательно, должно быть D > 24 I/ — 24 или 0> — 9 Г/ 3 и D < 0;
16 г
а так как D не является большим, чем 0, то уравнение будет иметь четыре действительных корня. Действительно, если 2) = 0, то второе уравнение принимает вид D < так что < Ц; /4(7
или 27С3 < 4В3; и в самом деле, мы имеем 27 • 144 < 4 • В3, т. е. I 6 • 27 < 133.
310. Если бы мы захотели перенести подобные признаки на уравнения более высоких степеней, то столкнулись бы с очень большими трудностями, так как корни дифференциальных уравнений по большей части не могли бы быть определены; но всякий раз, как эти корни представляется возможным указать, вышеизложенные правила позволят заключить, сколько действительных и сколько мнимых корней будет иметь предложенное уравнение. Поэтому, в случае уравнения, состоящего только из трёх членов, можно определить число его действительных и мнимых корней. Действительно, пусть предложено следующее общее уравнение:
жт+л + Лжп + 6 = 0 = 2.
Возьмём его дифференциальное уравнение
г? 7
= (ш + п) хт*п~1 + п.4хп~’.
Положив его равным нулю, мы будем иметь, прежде всего, жп-1 = 0, поэтому если п есть число нечётное, то не получается ни одного корня, дающего максимум или минимум; если же п есть число чётное, то один из корней, подлежащих учёту, будет х — 0. Затем мы будем иметь (т + п) хт -j- nA = 0; это уравнение, если т есть число чётное и А есть положительное количество, не имеет ни одного действительного корня. Поэтому подлежат рассмотрению следующие случаи.
I. Пусть т есть число чётное, п есть число нечётное; тогда корня х = 9 в расчёт принимать не нужно. Таким образом, если А есть положительное количество, то не будет ни одного корня, дающего макси-29 л. Эйлер
450 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
мум или минимум. А так как т-\-п есть нечётное число, то предложенное уравнение будет иметь единственный действительный корень. Если же А будет отрицательным количеством (положим А = —Е), будем иметь
Из этих значений получаем
а=(х"-£)»” + в=-^
4 7 ' т j-n \ni ±п J 1
и
8=+^pjLY”- + B.
т -f п X т 4- п J
Таким образом, если 31 есть отрицательное количество, т. е. если
то уравнение будет иметь один действительный корень, больший чем а. Если сверх того
т. е., соединяя оба условия в одно, если
(т -у-п)т*пВт < ттппЕт*п,
тогда уравнение будет иметь три действительных корня; если же это условие не имеет места, то уравнение будет иметь единственный действительный корень. Всё это справедливо для уравнения z"'+" — — Ez'1+.B = 0, если т есть число чётное, а и — нечётное. Если здесь Е будет числом отрицательным, то уравнение всегда будет иметь единственный действительный корень.
II. Пусть оба числа т и п будут нечётными, так что т + п есть число чётное, и корень ж = 0 не должен приниматься в расчёт. Так т
как (т + п) хт + п.4 -= 0, то х~— у т Если этот единственный корень обозначить через а, то будем иметь
т п т п \ т -г п у
Если это значение будет отрицательным, то предложенное уравнение будет иметь два действительных корпя, в противоположном же случае не будет иметь ни одного. Итак, предложенное уравнение xmta + Ахп + + В = 0 будет иметь два действительных корпя, если
mrr,nnAmtn > (т +ra)m+nZ?m;
если же
ттппАт+п < (т +п)т*пВт, то ни одного действительного корня не будет.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 451
III. Пусть оба числа т и п будут чётными; тогда и т+п будет чётным, и один корень х — 0 даст максимум или минимум. Этот корень будет единственным, если А есть положительное количество; полагая <х = О, будем иметь ЭД = 53. Поэтому, если также и В будет положительным количеством, то уравнение не будет иметь действительных корней. Если же В есть отрицательное количество, то будут существовать два действительных корпя, но не больше, если только А будет количеством положительным. Положим теперь, что А есть отри-цательное количество, т. е. А — — Е, тогда х = ± у ’ и мы будсм
иметь три максимума или минимума, а именно,
а
Р = 0,
га Z пЕ~
V т-Ап'
Им будут соответствовать следующие
значения количества
z = хт'п — Ехп + В:
53 = В, +
Таким образом, если В есть отрицательное количество, то, поскольку ЭД и 6 отрицательны, уравнение будет иметь только два действительных корня, ибо также 53 = 7? будет отрицательным. Если же В будет положительным количеством, то уравнение будет иметь четыре действительных корпя, если
(т + п)т*пВт < ттппЕт*п,
и ни одного действительного корпя, если
(т + п)тлпВт > ттппЕт 1".
IV. Пусть т будет нечётным числом, а п — чётным; тогда корень х = 0 даст максимум или минимум. Кроме того, будем иметь х = — • Таким образом, если А есть положительное число,
т / nA то будем иметь а=0 и — у - и, следовательно,
ЭД = В и 53 = -”“ (-^~\т + В. nt,п \т А-п J
Поэтому, если В есть количество отрицательное (положим В =— F) и сверх того
rnmnMm+n > <т A-n)m*nFm,
то уравнение будет иметь три действительных корпя; в противном же случае только один корень будет действительным. Если же А есть количество отрицательное, то, положив его равным А = — Е, будем
иметь х= + I/ —-— и
Г т 4- п
т f пЕ й п
а = I/ —— и р = 0.
V тАп г
29
452 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Этим значениям будут соответствовать значения:
Я = + B и зз = в
т^-п \jn-\-nJ
Поэтому уравнение будет иметь три действительных корня, если ‘В будет количеством положительным и
ттппЕт*п > (т + п)т*пВт-, если это свойство не имеет места, то уравнение будет иметь только один действительный корень.
311. Пусть все коэффициенты равны 1, а р. и v суть некоторые целые числа; тогда мы получим такие признаки для нижеследующих уравнений. Уравнение
ж2н+27-1+^-1±1 = 0
имеет единственный действительный корень. Уравнение
ж2ц+27-1 — ± 1 = 0
будет иметь три действительных корня, если
(2р. + 2v — 1)2H+2V-1 (2и)2и (2v — 1)^-’.
А так как этого никогда не может быть, то это уравнение будет иметь всегда только один действительный корень. Уравнение
ж2|1 + 2^ ж2-7-1 — 1 = 0
имеет два действительных корня. Уравнение ж2|1 + 2^ ж27-1 _|_ 1 = о
не имеет ни одного действительного корня. Уравнение ж2ц+2^ х2ч _|_ 1 = 0
не имеет ни одного действительного корня. Уравнение
ж2|1+2^ J- ж27 _ 1 = 0
имеет два действительных корня. Уравнение
ж2И+2^+1 1 = Q
имеет единственный действительный корень. Уравнение
a;2H.+2v+i _д;2^ i=o имеет единственный действительный корень.
Впрочем, так как в третьем случае оба показателя суть чётные числа, то, полагая = у, можно привести уравнение к более простому виду, и, таким образом, этот случай можно было бы опустить. Теперь можно утверждать, что никакое уравнение, состоящее из трёх членов, не может иметь более трёх действительных корней.
Пример
Найти случаи, в которых уравнение х* ± Ax’1 ± В = 0 имеет три действительных корня.
Так как это уравнение подходит под четвёртый случай, то ясно; что количества А и В должны иметь противоположные знаки. Если
ГЛ. ХП. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 453
оно не имеет такого вида, то будет иметь только один действительный корень. Если же предложенное уравнение имеет вид х3 ± Ах~ ЯР В— 0; то для того, чтобы оно имело три действительных корня, необходимо, 3195
чтобы 3322Л5 > 56В3, т. е. чтобы А3 > Б3. Таким образом, если
3125
/>‘1, то нужно, чтобы А3 > , т. е. чтобы 4 > 1,960132. Если же
А = 2, то уравнение будет иметь три действительных корня; так как один из них есть ж=1, то, следовательно, и биквадратное уравнение .г4 + ж3-р а;2—х—1=0 имеет два действительных корня. Впрочем, в этом можно убедиться как с помощью изложенных правил, так и на основании того, что было доказано в предшествующей книге '), где мы доказали, что каждое уравнение чётной степени, свободный член которого есть отрицательное число, всегда имеет два действительных корня.
312. Эти правила позволяют также иметь суждение об уравнениях, имеющих четыре члена, в тех случаях, когда корни дифференциального уравнения можно выразить удобно, что имеет место тогда, когда показатели степени неизвестного х в трёх первых или в трёх последних членах образуют геометрическую прогрессию. Так как это рассуждение, если его проводить в общем виде, привело бы к рассмотрению множества частных случаев, то мы проведём его только на нескольких примерах.
Пример 1
Пусть предложено уравнение х1 — 2х3 + х3 — а = 0.
Положив z = x7—2хР + х3—а, будем иметь
^ = 1х3 — 10ж4+Зж2. ах
Положив это значение равным пулю, получим прежде всего х2 = 0; этот двойной корень не нужно принимать ьо внимание. Далее будем g I о
иметь 7ж4=10а;2 — 3, откуда х3 = —’ и мы получаем четыре значения х, которые, если их расположить в порядке возрастания, дадут для г следующие значения:
Таким образом, если а есть число положительное, то будем иметь г 48 48 .
либо а > — - 1/ — , лиоо а < — I/ — ; в первом случае, поскольку все О1О г * old г J
числа ЭД, 23, (S, ® отрицательны, предложенное уравнение будет иметь
4) «Введение», ч. 1, глава П.
454 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
единственный действительный корень х^>1. Во втором случае, если а < 3^ у > уравнение будет иметь три действительных корня; пер-f у выи больше единицы, второй заклюй ён между пределами 1 и |/ -у и f IF
третий между пределами + у у и — у у .
Если же а ость количество отрицательное, то, полагая х =— у, мы приведём уравнение к предыдущему виду. Итак, для того чтобы предложенное уравнение имело три действительных корпя, необходимо, чтобы а < 0,0916 134 или а < .
Пример 2
Пусть предложено уравнение ах3 — Зх* + 10х3 — 12 = 0.
Так как здесь показатели трёх последних членов составляют ариф-1 -метическую прогрессию, то положим х = ~ 5 тогда уравнение преобра-
зуется I! ВИДУ
а — Зу2 + 10у5 — 12у8 = 0.
Поэтому положим
z — 12у8 — 10у5 + Зу5 — а = 0;
дифференцируя, будем иметь
g = 96y’-50y1 + 6y=0.
Из этого уравнения мы получаем прежде всего у = 0; далее будем иметь
и, следовательно, либо y—J/^—, либо У = Расположив эти три корня в порядке их величины, мы найдём следующие соответствующие значения количества г:
у = 0, (£=-а.
Таким образом, если а> у у, то предложенное уравнение будет иметь два действительных корня: один больший чем у - , другой— меньший чем 0. Кроме них, оно будет ещё иметь два действительных корпя, если одновременно $3 будет положительным количеством, т. е.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 455
99 3 /Г~^
если а < £56 |/ -ц. Поэтому предложенное уравнение будет иметь четыре действительных корня, если количество а будет содержаться 3/Т 99 3
между пределами у -- и у -г-; эти пределы приблизительно равны 0,480 75 и 0,506 74. Так, при а = у уравнение хв — 6хв + 20х3 — — 24 = 0 будет иметь четыре действительных корня между пределами оо, д6, }/'3, 0, —со; таким образом, три будут положительны и один отрицателен.
ГЛАВА XIII
О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕИ
313. В предыдущей главе мы изложили способ исследования природы корней какого угодно уравнения; с его помощью можно, если предложено какое-нибудь уравнение, найти, сколько оно имеет действительных и сколько мнимых корней. Однако большей частью проводить это исследование Оказывается очень трудно, когда дифференциальное уравнение составлено так, что найти его корни нельзя. Правда, в этих случаях можно применить тот же способ к самому дифференциальному уравнению, исследуя природу его корней по его дифференциальному уравнению, определяя, таким образом, приближённо его корни; однако чаще всего эта работа оказалась бы слишком тягостной. Поэтому часто оказывается достаточным знание таких признаков, наличие которых дало бы возможность с уверенностью заключить, что предложенное уравнение имеет мнимые корни, хотя бы даже отсутствие их и не позволяло бы заключить, что все корни действительны. Хотя такое знание и является несовершенным, однако часто оно не лишено пользы; поэтому изложению этих признаков мы и посвящаем настоящую главу.
314. В предыдущей главе мы видели, что если все корни како> о-либо уравнения
z — xn— Лхп~' 4- li'jf1'’ — Cx"~s -р Dx“~'— и т. д. =0
действительны, то и все корни его дифференциального уравнения будут действительны. Вместе с тем мы показали, что из того, что все корни дифференциального уравнения будут действительными, но следует, что все корни предложенного уравнения будут действительными. Однако если дифференциальное уравнение имеет мнимые корни, то всегда с полным правом мы можем заключить, что и предложенное уравнение должно иметь по крайней мере столько же мнимых корней. Я говорю «по крайней мере». В самом деле, может случиться, что самое уравнение будет иметь большее число мнимых корней. Таким образом, из дифференциального уравнения нельзя заключить большего, чем то, что если оно имеет мнимые корпи, то и само предложбпное уравнение должно иметь мнимые корни и притом по меньшей мере столько же.
315. Если предложенное уравнение помножить на какую-либо степень хт, где т есть целое положительное число, то все корни нового
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 457
уравнения будут действительны, если все корни предложенного уравнения были действительными; точно так же в этом случае будут действительными все корни дифференциального уравнения, после того как оно будет разделено на я"1-1. Таким образом, если все корни уравнения
жл— Лж""1 4- ВхР~3 — Схп~3 + Dxni— и т. д. =0
действительны, то также действительными будут все корни уравнения
(т + n) хп — (т + п — 1) .4жп-1 + (т + п — 2) Вхп~3— и т. д. =0.
По той же причине, если последнее уравнение помножить на хк и затем снова продифференцировать, то все корпи полученного уравнения
{т + п) (к 4- п) хп — (т 4- п — 1) (к + п — 1) АтА^1 4-
4- (т 4- п — 2) (к-\-п — 2) Вхп~3 — и т. д. =0
также будут действительными и таким же образом можно итти дальше сколько будет угодно. Если же обнаружится, что такого рода уравнение имеет мнимые корни, то тем самым будет известно, что само предложенное уравнение будет иметь по крайней мере столько же мнимых корней.
316. Если предложенное уравнение перед тем, как оно дифференцируется, не умножать ни на какую степень х, то такое же суждение можно высказать относительно уравнения на единицу низшей степени. Так, если все корни предложенного уравнения
хп — Ах',~1 + Вхп~3 — Схп~3+ и т. д. =0
действительны, то и все корни его дифференциальных уравнений всех порядков будут действительными. Поэтому действительными'будут все корни следующих уравнений:
пх”'1 — (п — 1) Ахп~2 4- (п — 2) Вхп~3 г— (п — 3) Схп'4 + и т. д. = 0, п (п — 1) хп~3 — (п — 1) (п — 2) Лхп~3+ (я — 2) {п — 3) Вхп~1 — ит. д. —
п [п — 1) (п — 2) хп~3 — (п — 1) (п — 2) (п —3) Ахп~* 4- и т. д. == 0,
п (п — 1) (п — 2) (п — 3) хп'1—(п—1) (п—2) (п—3) (п—4) Ахп~‘ 4- и т. д. = 0
и т. д.
Эти уравнения приводятся к виду
ж""1--— Аеп-2+(п~1)(п~2) Вхп-3-^^=^-А^1Схп^ + тл т. д. О, п n(n—1) п (и. — 1) (п — 2)
А п-з + (2Г_2)±Ц11) Дхп-4_ (» ~ 2) (п-3) (п - 4) СхП^ и т. ( п 1 п(п — 1) п (п— 1)(га — 2) м
Ах,^ (2Lz^£re^5xn-=_<n-3>(re-4)(n-5>Cx" »4-и. Т. Д.----0, п • п(п — I) n(rt — 1)(п — 2)
ж',-*-п-“-4Лжп-6-|- (П-5- т. д.-О
п п (п — 1) п (п — 1) (л — 2)
И Т. Д.
317. Таким образом, о корнях предложенного уравнения можно судить по уравнению низшей степени. Так, если т есть какое-либо число, меньшее чем п, и если все корни предложенного уравнения
458
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
действительны, то действительными будут и все корни следующего уравнения степени т:
хт — ~ Ах”1'1 + Вх”1'2 - —С*"1-8 + и т. д. = 0.
п п (п — 1) п (п — 1) (п — 2)
Если положить т - 2, получим уравнение
Его корни должны быть действительными, если все корни предложенного уравнения
х”—Ах”'1-1-Вх"'2— Сх”'3 + и т. д. =0
действительны. А так как это квадратное уравнение может иметь дей-А2 2 • 1
ствительные корни лишь' в том случае, если > ~п В, то, следовательно, все корни предложенного уравнения могут быть действи-2 п
тельными лишь в том случае, если А2 > - В. Поэтому, если
2л
А'2 < ——р В, то это будет верным признаком того, что предложенное уравнение имеет по крайней мере два мнимых корпя.
318. Таким образом, мы установили необходимое условие, которому должны быть подчинены коэффициенты трёх первых членов для того, чтобы все корни предложенного уравнения были действительными. Этот признак обладает тем свойством, о котором мы упомянули вначале, 2п
а именно, хотя в случае Аа > _ у Д нельзя ничего утверждать о дей-
ствительности корней, однако если А~ < -- _ у В, то по крайней мере два корня наверное являются мнимыми. Таким образом, если вместо п подставлять последовательно числа 2, 3, 4, 5 и т. д., то мы найдём
следующее: х2~ Ах + В = 0..............................• А2 >4В,
х3 — Ах- + Вх — С — 0........... . А2 > -6 В,
я4— Аа:3 + Вж2 — Cx -r D - • 0 . . . . • . А2 > 4- В,
х3 — Ах4 + Вх3-Сх2 + Вх-Е = 0 . . . А2 > В.
Следовательно, если второй член отсутствует, а третий коэффициент В является положительным, так что уравнение имеет вид
х” + Вх"'- — Схп~3 + Дхл-4 — и т. д. = 0,
то все его корни не могут быть действительными, но по крайней мере цва будут мнимыми.
319. Такого же рода признаки можно установить для коэффициентов следующих членов, если мы примем во внимание, что уравнение
1 — Ау + By2 — Су3 + Dy1 — и т. д. - 0
имеет столько же действительных и столько же мнимых корней, сколь-
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
459
ко само предложенное уравнение. В самом деле,
1
чается из предложенного, если положить х= —
это уравнение полу-так что, зная корни
одного уравнения, мы будем знать также корни другого. Поэтому, если все корни предложенного уравнения действительны, то и все
корни дифференциального уравнения
— А\2Ву— 3Cy3jriDy3— и т. д. =0, полученного из взаимного уравнения, будут действительными. Подста-1 -г
вим сюда снова ж вместо —. 1огда получится уравнение
Лхп-1 -j- 2Вхп~3 + ЗСхп~3— 4Dxn~4 + ^ т. д. = 0
и, следовательно, все его корпи будут действительными, если таковыми были корпи предложенного уравнения. Отсюда ясно, что если п = 3, то необходимо, чтобы В3 > ЗАС.
320. Будем дифференцировать это уравнение дальше. Мы получим
Лхп,2 и т. д. =о
п — 1 (п — 1)(га — 2) ” ’
Ахп~3 _ 2 (п - 3) ВхП_, ЗД -—4) Са_„_6 _ и = Q
га —1 (га — 1)(га — 2) ” ’
Ахп~* - 2-(,l-z14)b‘x''-<r 3--(—Схп-* - И Т. Д. =0 п— 1 (га —1) (га —2)
И Т. Д.
Вообще, если т есть число, меньшее чем п, то
. 2 гаг т, ... , , Згаг (гаг 1) ™ ,,, 2
Ахп‘--------- Вхт + ~ Сх — И Т. Д. — 0.
га —1 (га —1) (га —2)
Если теперь положить т = 2, то получим уравнение
Лж2------Вх 4- - С>/ *—ь\“ С = 0.
га —1 (га —1) (га —2)
Чтобы его корпи были
6/IC п > ,--------зг • Поэтому,
(«-1) (га-2) J
действительны, то будем
№ действительны, неооходимо, чтоиы у- _ 2 > (га 1)-
все корпи предложенного уравнения
если
иметь
В2
3 (ге 4Р
2(га-2)"ЛС‘
Если оудет В~ < 2 _ 2)
верный признак того, что предло-" . Таким
ЗАС; если п = 4, то
АС и так далее.
321. Чтобы перенести эти признаки на следующие коэффициенты, возьмём снова уравнение, найденное для определения у.
— А ±2Ву — 3Cy2+'d)y3 — 5Еу*+ и т. д. =0. Дифференцируя его ещё раз, получим
2В — GCy-r- 12Z)y2 — 20 Е у3 в т. д. = 0.
это
жениое уравнение имеет по крайней мере два мнимых корня, образом, если п — 3: то признак будет В2
В1 > 3 АС; если п = 5, то В2 > -|~
АС, то
460
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
Если в этом уравнении снова восстановить — вместо у, оно даст уравнение
Вхп~г — ЗСж”-3 + §Dxn~* — 10Ехп~& 4- и т. д. = 0, из которого при дальнейшем дифференцировании следует уравнение
Вхп~3 - Схп~* + 6,(гаDxn'a - и т. д. =0
п — 2 (п — 2) (п — 3)
и вообще
Вх™-----z™Cxm~l + 7"6W^ ~ А- - и т. д. =0.
п — 2 (п — 2)(п — 3)
Если положим т = 2, получится квадратное уравнение
6 • 2
Вх3 - Сх + ---------......3-- D = 0,
п — 2 1 (п — 2) (п-3)
6 2 • В • D корни которого действительны, если > (ге_ 2)(га—з) ’ т- °’
С2 > 3 (п — 3)
Поэтому, если все корпи предложенного уравнения действительны, будем иметь если же это условие не выполняется, то
уравнение наверное будет иметь по крайней мере два мнимых корня.
322. Если полученное выше уравнение 2В — ЪСуА- 12Dy3—и т. д. = 0 снова продифференцировать, получим
— 6С + 2£Dy — бОЕу3 + и т. д. =0 или
С — iDy-ylOEy3— 20Fy3+ и т. д. = 0. г j
Это уравнение, если восстановить х вместо — , перейдет в уравнение
Схп~3 — ЬВхп-* + 10Еяп-5 — 20Гжп-’ + и т. д. =0,
дальнейшее дифференцирование которого даст
с П-4 _ 4<п-4) Dxn^ + 10(гг- 4>(?-5) Ехп-, _ и т. = 0 п —3 ‘ (п —3)(п —4) ’
Схп-3 - ААг 5_>_ Dxn~e + 10/re4rS-(re~,?^^7 - и т. д. =0 п — 3 (п — 3) (п — t)
и вообще
Схт-----Dxm^ + ~^-^Exm-3 ~ и т. д. =0.
п — 3 (п —3)(п-4) м
Положим т — 2; тогда будем иметь
Сх2 - АА Dx + Е = 0.
п — 3 (п — 3) (п — 4)
Если корни этого уравнения действительны, то должно быть
АМА D’ > —А—-СЕ или J92>Are— V-CE. (n-зу (п — 3) (п — 4) 4(п —4)
323. Отсюда уже становится ясным, какие соотношения будут иметь место для всех коэффициентов. Если все корпи уравнения
хп — Ахп 1 + Вхп~- — Cxn~s ~уВхп~3—Ехп~ъА- и т- Д- =0
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
461
будут действительны, то будем иметь
л'>
» > -’тЙ;АС-С1 > 4г-^- ВГ>’ i(n — 3) 5 (га -3) р,, 4 (п-4)
Е2 Чп-4) DE Э (га — 5)
И Т. Д.
Если из этих условий ле выполняется хотя бы одно, то уравнение будет иметь по крайней мере два мнимых корня. И если эти условия независимы друг от друга, то легко видеть, что какое их число не выполняется, столько же пар мнимых корней будет существовать. Если же хотя бы все эти условия выполняются для какого-нибудь уравнения, то отсюда ещё не следует, что у него нет никаких мнимых корней; напротив, может случиться, что, несмотря на это, все его корни являются мнимыми. Итак, нужно остерегаться, чтобы этим признакам не придать большего значения, чем то, которым они обладают в силу начал, из которых они выведены.
324. Легко видеть, что невыполнение каждого признака в отдельности не может служить указанием наличия пары мнимых корней. Действительно, в уравнении степени п имеется п — 1 членов, и для каждого из них, кроме первого и последнего, можно получить по одному признаку. Таким образом, всего мы будем иметь п—1 признаков; но если все они не выполняются, то уравнение, конечно, не может иметь 2п —2 мнимых корней, так как оно имеет всего только п корней. Но один признак всегда обнаруживает наличие двух мнимых корней, а так как может случиться, что два признака не укажут большего числа мнимых корней, то нужно.посмотреть, являются ли эти признаки соседними или нет; в первом случае число мнимых корней не увеличится, во втором же случае, поскольку в признаки входят совершенно различные буквы, каждый из них укажет наличие пары мнимых корней *). Так, если будем иметь
Л 1 (п — 1) ° ° 2 (га-2)
Ч Рассуждение Эйлера, конечно, не доказывает правильности его утверждения, однако оно весьма любопытно для характеристики тех требований (вернее, той нетребовательности), которые предъявлялись к математическому доказательству в XVIII веке. Как указывает ниже сам Эйлер, приводимая здесь оценка числа мнимых корней была дана впервые Ньютоном (17 07 г.4 в его «Универсальной арифметике» («Arithmetica Universalis», 3-е издание, Leiden, 1732, стр. 184— 187), который высказал её без всякого доказательства. Английский математик Кемпбелл в статье, напечатанной в 35-м томе Philosophical Тга .sactions, датированном 1728 г., вывел приводимые Эйлером достаточные признаки тем самым способом, который излагается в тексте. Он доказал, таким образом, лишь то, что любой из признаков позволяет утверждать о наличии хотя бы одной пары мнимых корней. Что касается более сильного утверждения, высказанного Ньютоном в той форме, в какой мы его находим ниже в тексте, то Кемпбелл ограничивается утверждением: «из сказанного непосредственно выводится доказательство правила,
462
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
то отсюда не следует с необходимостью существование четырёх мнимых корней; может быть, что каждый из этих признаков указывает на наличие одной и той же пары. Если же будем иметь
/Г<
Чп
4 (га-2)
3 — 3)
BD,
В
и
причем В >--------y АС- т0 это служит указанием на наличие четы-
рёх мнимых корней.
325. Итак, два непосредственно следующие друг знака дают пе больше того, что можно заключить из
за другом при-одпого; если же
они идут друг за другом в прерывающемся порядке, так что между двумя какими-либо признаками располагается один или несколько противоположных признаков, тогда каждый позволяет заключить о наличии двух мнимых корней. Это рассуждение приводит пас к следующему правилу. Над всеми коэффициентами предложенного уравнения, кроме первого и последнего, следующим образом надпишем ранее найденные коэффициенты признаков:
2.ч 3(п — 1) 4 (га —2) 5 (га — 3)
Т^гаХНУ 2 (га - 2) “з (га - 3) ~4 (га - 4)
хп — Лг'1"1 4- Вхп~3 — Схп~3 -f- Dxn~* —
и т. д. = 0.
и т. д.
Затем возьмём квадрат каждого коэффициента и посмотрим, больше он или меньше, чем надписанная дробь, помноженная на произведение прилегающих коэффициентов; в первом случае под соответствующим членом поставим знак 4- > во втором же знак — . Под первым же и под последним членом будем всегда ставить знак 4-. Теперь нужно будет считать, что уравнение будет иметь по крайней мере столько же мнимых корней, сколько будет перемен в ряде подписанных знаков.
326. Это есть правило, найденное Ньютоном для определения числа мнимых корней какого-либо уравнения; относительно него нужно только хорошо помнить, что, как мы уже отмечали, уравнение часто может иметь большее число мнимых корней, чем то, i оторое указывается этим методом. Поэтому другие авторы прилагали старание к тому, чтобы найти другие подобные правила, которые давали бы более точно число мнимых норией, так чтобы истинное число мнимых корней! не так часто превосходило число, указываемое правилом. Из правил такого рода наибольшими преимуществами обладает правило Кемпбелла, данное им в депо шениях к «Универсальной арифметике» Ньютона. Поэтому следует здесь изложить это правило., .до.хя. лио и пе является совершенным. Оно основывается на следующей лемме. Пусть а, р, у, 6, г и т. д. суть какие-либо количества и пусть число, их есть т. Положим, что сумма этих количеств
а4-Р4-у4-24-е4- и т. д. =S, сумма их квадратов
а24-Р24-у24-о24- и т. д.
которое дат знаменитый Ныото.1 и которым определяется число невозможных к.,рлей в каком-либо ..а той уратнеичч». Доказательство теоремы Ньютона быль впертые да ю Си плтстром в 1871 г. (Tra saclions of the R. Irish Acad., t. 24). Ere можно найти в книге 11. Weber, Lehrbuch der Algebra, т. I.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
463
так что во всяком случае V > 0. Но так как сумма парных произведений
ар + ау + aS 4- Ру + Ро + и т. д. = —-—
то будем иметь (т — 1) V> S2 —V или mV > 52. Ибо если взять квадраты разностей между всеми парами количеств, то сумма их будет
= (a —p)2+(a —у)2Н-(а —о)2 + (Р —у)2+(р —3)2 + и т. д.
= (т — 1) (а2 + р2 + у2 + 82+ и т. д.) — 2 (ар + ау ао ру 4-и т. д.)
= (т - 1) V - 2^-?- = mV - S*.
А так как сумма квадратов действительных чисел всегда положительна, то
mV — S2 > 0, т. е. mV > 6"2.
327. Предпослав эту лемму, рассмотрим теперь уравнение
х" — Ах"-1 + Вх""2 — Сх"'3 + Dx""1 — Ex"'5 + Fx"-G — и т. д. =0.
Пусть все его корни, число которых есть п, действительны. Обозначив их через a, b, с, d, е и т. д., будем иметь, как известно из свойств, уравнений, число слагаемых
А = а 4- b + с -f- d + и т. д.
В - аЪ + ас + ad 4- be 4- bd 4- и т. д. —-—^-4
С — abc + abd + abe + acd -]-bcd -f- и т. д.--—------
„ , , , , , , п (п — 1) (п — 2) (п
D = abed -j- abce 4- abd е 4- и т. д. -------j—-—
Возьмём квадраты всех членов каждого ряда и положим
Р = а2 4- 6! + с2 d1 + и т. д.,
Q = a b- ; а2с'2 + a2d2 4- Ъ2с2 + и т, д.,
R = a2b”c2 + a262d2 -j- a2b2e2 + a'2c2d2 + и т. д.,
5 + a2b'c2d2 -f- а2Ь2с2е2 4- a2b2die2 -j- и т. д.,
и т. д.
Тогда, в силу свойств сочетаний, будем иметь
Р = А1-2В,
Q = B'-2AC + 2D,
R = C'1- 2BD 4- 2АЕ — 2F,
S = D2 — 2CE 4- 2BE - 2AG 4- 2/7
и т. д.
464
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
328. В силу предпосланной леммы будем иметь
пР > А\
n (П 1) Q Т)2
1-2 V )
П(п-1) (п-2) Д > £2
1-2-3
n(n-l)(n-2)(n-3) s
1-2-3-4
И т. д.
Если вместо Р, Q, R и т. д. подставить ранее найденные значения, получим следующие свойства действительных корней:
пА1 — 2пВ> А3 или А2 > - 2п, В,
п — 1
или
2n (п — 1)
B2>nl^-^C-DV
1-2 1
Подобным образом следующие уравнения дадут
2п(п —1) (п — 2)
С2 > —7---------------(BD-AE + F),
n(n —1)(п—2) 4 7
1-2-3 1
2n (п — 1) (п — 2) (п — 3)
D* >---7----------------(CE-BF + AG-H).
n(n — l)(n — 2)(n— 3) ' ’
1-2-3-4
Здесь, таким образом, квадрат каждого коэффициента сравнивается не только с произведением ближайших прилежащих коэффициентов, но также с парными произведениями равноотстоящих коэффициентов, однако так, что знаки этих произведений чередуются.
329. Таким образом, над всеми членами уравнения, кроме первого и последнего, нужно надписать дроби, числители которых суть удвоенные коэффициенты бинома, возведённого в ту же степень, а знаменатели суть эти же биномиальные коэффициенты, уменьшенные на единицу. Таким образом, рассматривая уравнения квадратные, кубические, биквадратные и т. д., мы будем иметь, если все их корни действительны,
х1— Ах ;-5 = 6; As > 4В.
Для кубического уравнения
6 6
2 2
х3 — Ах3 + Вх — С = О будем иметь
Л2 >35 и В3>ЗАС.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
465
Для биквадратного
8 12 8
3 5 3
х* - .4 z3 + Вх2 -Cx + D - О будем иметь
А2 > 4 В, В2 > 4 (АС - D), С2 > 4 BD. 3 3 3
Для уравнения пятой степени
10 20 20 Hi
'4 Т 9" Т
х*—Ах4 + Вх3 — Сх2 + Dx Е = 0 будем иметь
А2>™В, В2>™(АС -D), C2>^(BD~AE) и D2>~CE.
Для уравнения шестой степени
12 3J) 4 0 30 12
14 19 Т4 '5
- Ах3 р Вх4 - - Сх3 -! Dx2 — Ех 4- F ~ 0 будем иметь
Л‘>уВ; B2>'~(AC-D) , С1 >-^(BD-AE+F),
D2 > S (CF~bf), е2 >^-df
и т. д.
330. Если, таким образом, какой-либо из этих признаков не имеет места, то это служит указанием на то, что по крайней мере два корня предложенного уравнения являются мнимыми. Но так как, если не имеют места все эти признаки, уравнение не может иметь вдвое большего числа мнимых корней, то суждение о числе корней нужно высказать в данном случае так же, как раньше мы высказали его относительно правила Ньютона. А именно, если квадрат какого-либо члена будет больше, чем надписанная дробь, помноженная на произведения равноотстоящих членов, то мы подпишем под этим членом знак +, в противном же случае знак — ; под первым же и под последним членами будем всегда подписывать звак + . После этого будем наблюдать порядок этих подписанных знаков, и сколько раз будем иметь перемены знака, столько мнимых корней будет указано. Каждый раз, как это правило укажет большое число корней, чем правило Ньютона, оно даст результат, более близкий к истинному. Может, однако, случиться, что уравнение будет иметь больше мнимых корней, чем на то указывают оба эти правила.
331. Таким образом, мы ошиблись бы, если бы стали применять эти признаки как точные указания о числе действительных и мнимых корней, ибо может случиться, что уравнение может иметь больше мнимых корней, чем указывают эти признаки. При этом ошибка может стать том большей, чем выше степень уравнения. Действительно, для квадратного уравнения эти признаки дают всегда истинный результат, так что, если они не указывают ни одного мнимого корня, то уравнение никаких мнимых корней и но имеет. Кубическое же уравнение 30 Л. Эйлер
466
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
может иметь два мнимых корня, хотя бы ни одно из двух правил (оба они в данном случае совпадают) не указывало наличия мнимых корней. Найдём эти случаи. Пусть предложено общее кубическое уравнение
з з
ха—Ах2 + Вх,~С = 0.
Если в нём А2 > ЗВ и В3 > ЗАС, то ни одно из двух правил не указывает наличия мнимых корней. Однако выше мы видели, что для того чтобы мнимых корней не существовало, требуется, во-первых, 1
чтобы В < —- Л2; это условие требуется и обоими правилами; пусть.
1 1
таким образом, В = -- А2—тогда необходимо ещё, чтобы С содержалось между пределами
119 11 9
Однако оба правила требуют лишь того, чтобы было С <Z , т. е. чтобы
10 /4
c<iA3~^Af'- + ^A-
Это [условие может иметь место и в том случае, когда С не содержится между указанными пределами.
332. Действительно, пусть
с^АЧг1АГ + ^-^
тогда паши правила не укажут никаких мнимых корней. Между тем два мнимых корня будут существовать, если будем иметь либо
10 /4 110
1 + ^- g2 < f,
либо
J_ л3-A Af + - g2 > ± A2—i Af + f.
Таким образом, если будем иметь либо
то кубическое уравнение будет иметь два мнимых корпя, хотя ни одно из правил не укажет наличия мнимых корней. Мы считали здесь, что А положительно; если бы оно было отрицательным, то, полагая х=—у, мы преобразовали бы уравнение к такому виду, что А было бы положительно. Таким образом, можно образовать бесчисленные кубические уравнения, которые будут иметь два мнимых корня, тогда как оба
1 > (У2 + Л/)2
правила их не укажут. Действительно, пусть g2 — —-И тогДи
Или пусть У, где h2 < <Л/2^ ) ; тогда
4 1е) 11
C = ±A2-'-Af + ^f + h2 и B = ±A2-±f.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕИ
467
Таким образом в обоих случаях получается уравнение, имеющее два мнимых корня, не указываемых ни одним из обоих правил. Положим, например, Л = 4, тогда В = 5 и, поскольку g3 — +/е, будем
иметь
6 108 ~ 108 ~ I 27 ‘
Поэтому, если С < ~~ , то уравнение я3—4&2 + 5а:—С — 0 всегда будет иметь два мнимых корня. Если же взять g2 = — — /г3, то должно быть ,2 . 1 « <^ тх , ТЭК что мы получим 12 , J
C = ^~2+h^2 + fr.
Пусть Л2 = ; уравнение х3— 4ж2 + 5z—Ц!=0 будет иметь два мнимых корня, хотя ни одно из правил не укажет их наличия.
333. Более того, можно образовать такие общие уравнения, для которых ни то, ни другое правило не обнаружит мнимых корней и которые, однако, весьма часто будут их иметь два или большее число. Это происходит тогда, когда чередуются пары одинаковых знаков, как в уравнении
x,‘~Axri l~Bxn-- + Cxn s + Dxn-4~Exa-s~Fxn^+ и т. д. -О
или в уравнении
х" + Ах”-1— Вх'1-1 — Сх’^3 + Dxn~4 + Ехп-3~Fxn~° — и г. д. =-0.
В этом случае ни то, ни другое правило никогда не указывает ника ких мнимых корней. Но такие уравнения очень часто имеют мнимые корни, что можно видеть хотя бы на примере кубического уравнения х3—Ах' — Bx-F С = 0, которое всегда имеет два мнимых корня, если при /2=Л3 + 32? будем иметь либо
-С<Ал3-Лл/2-^л либо _с>Ал*-1.4Г + ёЛ
Однако и в таких случаях мнимые корни могут быть обнаружены с помощью наших правил, если уравнение подстановкой преобразовать к другому виду. Положим х — уА-к', тогда будем иметь
у3 + :ку* + 3к’у + к3 1
-- Ау3 — ЗАку —Ак‘ [
—Ву — Вк < + С J
Если к этому уравнению применить рассмотренные правила, то прежде всего сразу получаем
(ЗЛ-Л)2 > 3 (Зк2—2Ак—В),
а для того чтобы имело место соотношение
(3k'2—2Ak—B)s > З(.'Л-Л) (к3—Ак2--Вк + С},
зи*
468
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
которое составляет второй признак, необходимо, чтобы
В1 + ЗАС + (АВ—9С) А 4- (А2 4- ЗВ) к! > О
при любом значении к. Возьмём такое число к так, чтобы это выражение приняло минимальное значение, что будет, если положить к — 2^-г • Если и это выражение будет больше нуля, то будет
вероятным, что предложенное уравнение не будет вовсе иметь мнимых корней. Но мы получим
& 4- >АС _| (AB-JO)*
*” ' 2 (А2 4 ЗВ) ' 4 (. 12 + ЗВ)
ИЛИ
в- j 'иг >
В ] о АС > р .
1 1
А так как В~ — /2—-.-А2, то будем иметь <j о
-'</ (4 г-4 л’гг4 .<•+мс) > (4 л/>~4 л--9с)‘
или
4/*—8А2/4 * * * + 4А4/! + Ю8 ACf > A*f*-2 44 f1-54АСf + А’ + 54А’С + 729С2 или
4/’ > 9А2/4—6А4/2—162АС’/2 4-А* 4-54А8С-!- 729С3.
Разлагая на множители, получаем, что должно быть
(2/3 4-А3 —ЗА/2 4-27С) (2/3—А3 4-ЗА/2 —27С) > 0. Следовательно, наши правила укажут наличие мнимых корней, если будем иметь либо
14 9 1 4 О
С>-пЛ- + уЛ/-й/- и С>-Й4‘ + Т4Г + ВГ, либо
119 119
с<^а3+Ja/2-;7/3 и с<-217а3 + 4а/2 + ^/3.
Это—тс же условия, которые мы нашли выше. Таким образом, ясно, что с помощью удобного преобразования предложенного уравнения можно усовершенствовать правила, приведённые в этой главе, так, что они дадут истинные результаты и в том случае, если их обратить.
334. Из тех же начал можно вывести также правило Гарриота1), утверждающее, что какое-либо уравнение имеет столько положительных корней, сколько имеется в нём перемен знаков, или столько отрицательных корней, сколько в нём повторений знаков; это правило имеет силу только для уравнений, все корни которых действительны. Положим, что все горни уравнения
я" — Ах" 1-\-Вхп -2- С.Г; 4- Dx" 4 - и т. д. -О
1) Правило Гарриота (Harriot. 1560 — 1621) известно сейчас под названием
правила Декарта. Гарриет установил его раньше Декарта (работа Гарриота «Artis
ai.alyticae praxis» вышла после смерти автора в 1631 г.; работа Декарта — в 1637 г.),
исходя из тех же соображений, из которых получил его Декарт (см. Декарт.
Геометрия, перевод А. П. Юшкевича, ОНТИ, 1938, стр. 77). Весьма возможно,
чт > Декарт не знал работы Гарриота. См. примечания А. П. Юшкевича в упомя-
нутой книге, стр. 227.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
469
действительны и положительны; тогда корни его дифференциального уравнения
пхп 1—(п—1) Лхп 3-|-(п—2)Бж"'3— и т. д. =0
не только все действительны и положительны, но и дают пределы, между которыми содержатся корни первого уравнения. Кроме того.
1
если положить х = — , то п уравнение
1— Ау + By2 — Су2 4- Dif— и т. д. = 0
будет иметь все корни действительные и положительные, причём большие корни первого уравнения дают меньшие корни второго. Положим теперь, что предложенное уравнение последовательно подвергается дифференцированию до тех пор, пока не получится уравнение первого порядка, которое будет иметь вид х — — .4=0 (§ 317). И у этого уравнения корень будет положительным, так что коэффициент второго члена будет иметь знак—, как мы и приняли. Если же этот коэффициент имел бы знак +, тогда можно было бы наверное заключить, что не все корни предложенного уравнения положительны, но по крайней мере один является отрицательным, а именно тот, который соответствует установленным до этого пределам.
335. Если предложенное уравнение преобразовать в уравнение, взаимное с ним, затем это взаимное уравнение продифференцировать и, наконец, снова восстановить х, и если продолжать дифференцировать до тех пор, пока не придём к простому уравнению, которое, согласно § 320, будет иметь вид
Ах----В = 0,
п — 1 ’
то корень этого последнего уравнения должен быть положителен, если все корни предложенного уравнения были действительными положительными; следовательно, второй и третий члены будут иметь различные знаки. Таким образом, если два члена имеют одинаковые знаки, то это укажет на наличие одного отрицательного корня, соответствующего пределу, указываемому этим уравнением, который будет отличен от предела) указываемого предыдущим уравнением, ибо теперь мы один раз произвели обращение корней. Отсюда заключаем, что если три первых члена уравнения будут иметь одинаковые знаки, то это указывает на наличие двух отрицательных корней.
336. Подобным образом, если мы будем производить обращение и дифференцирование, как в § 321, и будем продолжать их до тех пор, пока не придём к простому уравнению
Вх----^<7=0,
п — 2
то и это уравнение должно будет иметь положительный корень, если все корни предложенного уравнения были положительны. Поэтому, если третий и четвёртый члены будут иметь одинаковые знаки, то это укажет на наличие одного отрицательного корня. Таким же образом постоянно, если какие-либо два соседних члена будут иметь одинаш -вые знаки, получится один отрицательный корень; поэтому предложен •
470 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
ное уравнение будет иметь по крайней мере столько же отрицательных корней, сколько раз одинаковые знаки следовали друг за другом, ибо каждый из этих признаков относился к различным пределам. Если же мы положим, что все корни предложенного уравнения отрицательны, то, поскольку корни всех выведенных из него дифференциальных уравнений также должны быть отрицательными, все члены должны будут иметь одинаковые знаки. Поэтому, если два соседних члена имеют различные знаки, то отсюда можно заключить, что имеется по крайней мере один действительный корень. Подобным же образом можно будет сказать, что уравнение имеет по крайней мере столько же положительных корней, сколько перемен знаков в нём имеется. А так как всякое уравнение имеет сколько же корней, сколько имеется парных сочетаний соседних знаков, и пе больше, то следовательно, каждое уравнение, все корни которого действительны, имеет столько же положительных корней, сколько в нём перемен знака, и столько отрицательных, сколько в нём повторений знака.
ГЛАВА XIV
О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИИ В НЕКОТОРЫХ ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ
337. Если у есть какая-либо функция от х и если это переменное количество х получает приращение ш, так что х переходит в ж + <и, то функция у получает значение
, wdu , o>2d2w о>3ddii , (»4dllv .
У + ~dx~+ 2dx* + 24dii + И T' Я’’
так что она принимает приращение
<о dy о>2 d2// ш3 d3y ш4 d*y
dx 2da:2 dxd '24 dx*' 0 T' Я' ’
как мы выше доказали (§ 48). Поэтому, если <o = dx, т. е. если х возрастает на свой дифференциал dx, то функция у получает приращение, равное
dy + 2 d'y + V d*V + + и т-
что и будет истинным дифференциалом количества у. Поскольку какой-либо член этого ряда имеет бесконечное отношение к следующим, то все члены исчезают по сравнению с первым, так что dy, взятое обычным образом, представляет истинный дифференциал количества у. Подобным же образом истинные вторые, третьи, четвёртые и т. д. диф-ф ренциалы количества у будут
d*.y=d'y+‘^ ЛЗУ + ^d'y + ^ЦЗ^У + ^^^у + и т. д., /S J3 , 6 ,74 , 23 ,7з । 90 „ , ’’301
d • У dУ + d у + у + 4^6^ У + 4~nrj d У + 0 Т- Д-’ d*.y-^diy+^d'‘y+3.(/’?/ + 5,6.-7d7y+ -rj-tiday+ и т. д., d-‘-y^d“y+ g с/’у + с-й’2/ + (,—й2у + б—__d9y+ и т. д„ d -y = d y+-d^y + ^y+ i--d^y^T^VQdMy+ и т. д.
Они получаются из выражений § 56, если вместо ш и т. д. положить dx. Таким образом, это будут полные дифференциалы количества у, ибо в них мы не пренебрегаем и теми членами, которые исчезают по
472 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
сравнению с первым. Эти члены можно найти, если последовательно дифференцировать функцию у, полагая dx постоянным. Так, если у-ах—х2Ь, то поскольку dy=adx—2xdx и d'Jy -= 2dx2, полные дифференциалы количества у будут
dy = a dx,--2x dx—dx2-, d2y ——2dx‘,
следующие же равны нулю.
338. Хотя в общем случае в этих выражениях последующие члены считаются нулями по сравнению с первыми, однако в особых случаях, когда исчезает сам первый член, основание для этого отпадает, и вторым членом пренебрегать уже нельзя. Так, в предшествующем примере, хотя дифференциал формулы у=ах—х‘ равен (а — 2х) dx и член— dx' отбрасывается, так как он бесконечно меньше, чем первый (а—2а")г?г, однако при этом, очевидно,, подразумевается условие, что первый член сам по себе не исчезает. Поэтому, если ищется дифференциал функции 2 1
у = ах—х в том случае', когда х = — а, то нужно сказать, что он равен —dx2- т. е. если переменное х возрастает на дифференциал dx. то приращение функции у в случае х—^а будет равно dx2. За исключением же этого единственного случая дифференциал функции у будет равен (а—2x)dx\ действительно, если не будем иметь = —и, то второй член -dx1 по сравнению с первым всегда может быть с полным правом отброшен. Правда, если пренебречь членом dx* даже в случае х=1-а, мы не впадём в ошибку; действительно, ведь первые дифференциалы обычно сравниваются между собой; и так как dy= -~dxi 1
в случае х~ а исчезает по сравнению с первым дифференциалом dx, то безразлично, будем ли мы в этом случае иметь = O или dy — —dx2.
339. Пусть у ость некоторая функция от х и пусть, последовательно дифференцируя, мы имеем
dy=pdx, dp = qdx, dq = rdx, dr — sdx и т. д.
Тогда полные дифференциалы количества у, в которых мы ничем не пренебрегаем, будут
dy — pdx 4 * q dx2 + -r dx3 + s dx* + t dx3 + и т. д.
d2 у — q dx2 4- r dx3 4- X + s dx* -f- -i t dx3 -f- и т. д.
ч ‘S
d3 y = г dx3 i -- s dx* 4- t dx3 f- и т. д.
d* • у = s dx* 4- 2t dx3 4- 0 т. д.
d3 • у — t dx3 4- и t. д.
и T. Д.
Если первые члены этих выражений не исчезают, то они одни дадут дифференциалы у; если же в каком-либо случае первый член будет
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 473
равен нулю, то следующий член выразит искомый дифференциал. Если же и второй член исчезает, тогда третий даст значение искомого дифференциала; если же и этот исчезнет, то четвёртый и т. д. Отсюда ясно, что ни для какой функции количества х первый дифференциал никогда не исчезает вполне; так, если бы даже мы имели р = 0, —в этом случае обычно считается, что dy исчезает, —то этот дифференциал выразится через более высокую степень количества dx, например через
1 1
-:,qdx2 или, если также <? = 0, через—~^rdxs и т. д.
340. Хотя в этих случаях дифференциалом количества у по отношению к другим первым дифференциалам, с которыми он сравнивается, мы законно пренебрегаем и считаем его за нуль, однако часто полезно знать истинное его выражение. Действительно, из полной формы дифференциала тотчас же можно видеть, в каких случаях данная функция становится максимумом или минимумом. В самом деле, если
1 1
d • у — р dx ,,q dx2 + — г dx‘ -f- и т. д.,
то для того чтобы у получило максимальное или минимальное значение, необходимо, чтобы р = 0. Следовательно, в этом случае мы имеем dy — 1 qdx" и функция у, если вместо х положить x±dx, перейдёт 9
в -,-qdx1 и, следовательно, будет минимумом, если q имеет положительное значение, и максимумом, если q имеет отрицательное зна-чоние. Если же вместе с тем <7 = 0, то dy = -^rdx3, и функция у, если положить х ± dx вместо х, перейдёт в -g-rdx*-, в этом случае не будет ни максимума, ни минимума; если же и г=0, то, если положить х + dx вместо х, функция станет равной у-}- sdx*, что даст максимум, если s будет отрицательным количеством, и минимумом, если ,s —количество положительное. Другие случаи, когда применяются выражения полных дифференциалов, встретятся нам ниже.
341. Положим, что р исчезает при х = а; это произойдёт, если р = (х—а)Р, а это будет, если
у = (х—а}3 Р + С,
где С означает какое-либо постоянное количество. Действительно, так как
pdx = (х—a)* dP4-2 (х—а)Р dx,
то при р — 0 мы действительно имеем х — а. Так как далее dpdx — q dx2 — (х—а)2 d2P + 4 (х—a) dP dx 4- 2Р dx2,
то при х — а получим q dx: = 2Р dx" и полный дифференциал в случае х= а будет
dy = Р dx2,
если только не исчезнет и Р при х=а\ этот случай я рассмотрю позднее.
Данный же случай можно следующим образом обобщить. Пусть z — (х—а)2 Р 4- С
Wk ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
и пусть у есть какая-либо функция от z, так что dy = Zdz, где Z есть какая-либо функция количества z — (х—а)3 Р 4- С. Тогда будем иметь
dz= (х—а)3 dP -f-2 (х—а) Р dx и
pdx = Z (х—a)"- dP + 2Z (х—а) Р dx.
Это выражение становится равным нулю, если х = а\ в этом случае, пренебрегая членами, содержащими множитель (х—а), будем также иметь qdx' — 2PZdx‘, так что в случае х = а имеем dy — PZdx3, где в выражение PZ повсюду вместо х положено а. Поэтому, если у будет какой-либо функцией количества z 4- (х—а)1 Р -|- С, так что dy = Zdz, то в случае х~а будем иметь
dy = PZdx3.
Следовательно, эта функция у даст максимум в случае х= а, если при этом PZ будет отрицательным количеством, и минимум, если PZ будет количеством положительным.
342. Если р—(х—а) Р, то при х — а исчезает также д; а подобное выражение для р получается, если
у — (х—а)3 Р + С.
Тогда будем иметь
pdx = (х—a)3dP + 3(x—a)3 Pdx,
q dx' — (х—a)3 d'P + 6 (х—а)3 dP dx -J- 6 (x—a) P dx3.
Оба эти выражения исчезают при х = а, следующее же будет
т dx3 = (х—a)3 d3P 4- 9 (х—а)3 d3Pdx 4-18 (х—a) dPdx3 4- QP dx3 = QP dx3
при x = a. Так как р и q исчезают при х=а, то
dy -- -i- г dx3 — Р dx3.
Подобным образом, если положить
z = (х — а)3 Р — С
и если у будет какой-либо функцией от z, так что dy=Zdz, то, поскольку
dz( = х — a)3 dP 4- 3 (х — а)'3 Р dx,
будем иметь также р = 0 и q = 0 и получим rdx =36PZdx3, откуда при х=а будем иметь
dy = PZ dx3.
Поэтому функция у, хотя при х—а мы и имеем р = 0, пе получает нц максимального, ни минимального значения.
343. Эти дифференциалы можно легче найти из основного свойства дифференциалов. В самом деле, дифференциал количества у получается, если у вычитается из ближайшего следующего значения, которое оно получает, если вместо х подставитА х \-dx. Возьмём сначала первый
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 475
из вышерассмотренных случаев, когда мы имели
у — {х — а)2 Р + С.
Положим здесь х -f- dx вместо х\ тогда будем иметь
у1 = (х — а + dx}2 Р1 + С, откуда
dy = (х — а + dx)2 Р1 — (х — а)2 Р;
следовательно, при х=а будем иметь dy = Pidx2, а так как отношение 7я к Р есть отношение равенства, то
dy — P dx2.
Подобным образом, если
z = (х — а)2 Р -j- С,
то dz = P dx2\ поэтому, если у есть какая-либо функция от z, причём d.y = Z dz, то будем иметь
dy = PZ dx2 при х = а.
Далее, пусть
z = (x-a)3P + C.
Тогда z1 — (x— а + dx)2 Р1 + С и поэтому при х — а
z1 — z—dz—P dx3.
Если, далее, у есть какая-либо функция от z и dy = Zdz, то при х — а будем иметь
dy = PZ dx3,
где в функциях Р и Z вместо х повсюду подставлено а. Так как в этом случае z = C и Z есть функция от z, то Z будет постоянным количеством, а именно, такой функцией количества С, какой прежде оно было от количества z.
344. Вообще, если
у—{х — а)п Р+ С, то так как
у1 = (х — а -|- dx)n Р1 + С, при х — а будем иметь
dy = P dxn-,
если п>1, то этот дифференциал исчезает по отношению к другим первым дифференциалам, которые однородны с dx. Из предыдущего ясно, что функция у в случае х = а будет максимумом или минимумом, если п будет числом чётным; действительно, если Р при х—а есть по южительное количество, то у будет минимумом; если же Р есть отрицательное количество, то у будет максимумом. Мы видим, что таким способом максимумы и минимумы находятся гораздо легче, чем вышеизложенным методом, ибо нет нужды переходить к высшим дифференциалам. Если же
z=(x — а)п Р ф С
и у есть какая-либо функция от z, так что dy = Zdz, то в случае х—а будем иметь
dy = PZdxn.
4J6 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Следует заметить, что здесь п есть положительное число, т. е. больше нуля; если бы п было числом отрицательным, тогда при х = 0 количество (х — а)п не исчезало бы, как мы принимали, но было бы бесконечно большим.
345. Теперь мы видим, что этим способом дифференциал находится гораздо легче, чем с помощью ряда, которым мы прежде выражали полный дифференциал; действительно, если п есть целое число, то нам пришлось бы рассмотреть столько членов этого ряда, сколько п содержит единиц. Если жо п есть число дробное, тогда этот ряд вообще никогда не даст истинного дифференциала. В самом деле, положим, что
з у — (х - н)2 a j/a.
Если мы рассмотрим ряд
111 dy =? р dx -- q dx1 + — г dx3 -f- — s dx* + и т. д..
то будем иметь
3 , г--- 3 - 3 9
Р = „ I/ж--а , 7=-—------------------; , S—---------— .
- 4 У х — a S (:с - - а) у X - - <1 16 (х — а)а ух - а
Поэтому, если положить х — а, то получим, правда, р ~ О, но все следующие члены будут бесконечными, поэтому дифференциал dy в этом случае вовсе нельзя будет определить. Метод же, основанный на свойствах дифференциалов, не оставит места никакому сомнению. Действительно, так как у=(х—a)3i2 + a\/~а, то положив x-1-dx вместо х, получим у1 = (х — a -f- dx)3!'2 -f- а |/ а и будем иметь при х=а dy~dx\( dx . Следовательно, этот дифференциал исчезает по сравнению с dx, вторые же дифференциалы, однородные к dx\ будут исчезать по сравнению с ним.
34S. Рассмотрим несколько подробнее тс случаи, когда показатель п есть число дробное; пусть
у = Р |Л(х — a) -f- С,
так как у1—Р1у^х— a-f-dx-f-C, то
dy — Р ]/" dx
при х = а. Следовательно, этот дифференциал будет иметь бесконечное отношение к dx и к дифференциалам, однородным с dx. Отсюда ясно, как будет в этом случае обстоять дело с максимумом и минимумом. Если положить a-ydx вместо х, то у перейдёт в
С + Р }fdx,
и вследствие двузначности ]/ dx функция у будет иметь два значения: одно большее, чем значение С, которое она получает при х~а, а другое меньшее; таким образом, в случае х~а не будет ни максимума, ни минимума. Кроме того, если dx взять отрицательным, то значение у будет мнимым. То же самое произойдёт, если будем иметь
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 477
z = P\f х — a -j- С и у будет какой-либо функцией от z, причём dy = Z dz. Действительно, тогда будем иметь dy = PZ dx при х = а.
347. Пусть предложена функция
у— (х — а)” Р Д С
и требуется найти её дифференциал при х — а-, из предшествующего ясно, что он будет равен
dy = Рdx" ;
поэтому, если т > п, то этот дифференциал исчезает относительно dx, если же т < п, то отношение будет бесконечно большим. Кроме того, если п есть чётное число, то дифференциал dy будет иметь два значения: одно положительное, а другое отрицательное; таким образом, функция у, которая при х = а становится равной С, будет иметь при x---a + dx два значения: одно большее, чем С, а другое меньшее. Если же положить х — a— dx, то у станет мнимым; поэтому в данном случае у не будет ни максимумом, ни минимумом. Положим теперь, что знаменатель п есть число нечётное. Числитель т будет либо чётным, либо нечётным. Пусть сперва т есть чётное число. Так как dy сохраняет одно и то же значение, возьмём ли мы dx положительным или отрицательным, то очевидно, функция у при х — а будет либо максимумом, либо минимумом, смотря по тому, будет ли Р отрицательным количеством или положительным. Если же и т и п будут нечётными, то дифференциал dy переменит знак на противоположный при отрицательном dx\ следовательно, в этом случае функция у при х = а не будет ни максимумом, ни минимумом.
348. Если функция у будет состоять из нескольких членов, каждый из которых делится на х — а, так что
у — (х — а)т Р + (х — а)" Q -|- С,
тогда при х — а её дифференциал будет
dy = Pdxm + Qdxn.
Если в этом выражении п > т, то второй член исчезает по сравнению с первым, так что получается только dy=-Pdxm. Если же п есть дробь с чётным знаменателем, то хотя Qdx'1 исчезает по сравнению с Pdx"', однако вовсе пренебречь им нельзя. Действительно, благодаря этому выражению становится ясным, что если dx взять отрицательным, то значение dy будет мнимым, чего но видно из первого члена Pdx'". Таким образом., поскольку если п есть дробь с чётным знаменателем, •:о нельзя взять dx отрицательным, а если его взять положительным, ю член Qdx" будет иметь два значения,—функция у--.(х— а)п‘Р
, (х — аУ QС, которая при х---- а становится равной С, будет при х a -j- dx равна
у С+ Pdxm ±Qdxn.
'Гак как оба эти значения либо больше, либо меньше чем С, смотря по тому, будет ли Р количеством положительным или отрицательным, то функция у при х—а будет минимумом пли максимумом второго рода (§ 278).
478 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
349. Таким образом, в этих случаях истинные дифференциалы функции нельзя найти по обычным правилам дифференцирования, ибо нислед-ние пригодны лишь в том случае, когда дифференциал функции однороден с dx. Если же в каком-либо исключительном случае дифференциал функции выражается через степень dxn, тогда правило даёт для этого дифференциала нуль, если п есть число, большее единицы; если же п есть число, меньшее единицы, то правило даёт бесконечно большой дифференциал. Так, если ищется дифференциал функции у = У а — х
. d-X ,
при х = а, то поскольку dy=------г-- - , мы получаем при х—а dy =
у а — х
dx
= — -Q . Если же мы хотим прибегнуть к помощи следующих дифференциалов, то все они обращаются в бесконечность, так как знаменатели их равны нулю, так что отсюда ничего заключить нельзя. Па самом же деле в этом случае, как мы видели, dy — |/" — dx, так что оп является мнимым. Если же вместо ж положить х — dx, то будем иметь dy—ydx, и этот дифференциал будет бесконечно больше, чем dx, так что dx будет исчезать по сравнению с dy. Таким образом, в этом случае обычное правило не приводит к ошибке, так как оно даёт для dy бесконечно большое значение.
350. Итак, от обычных правил дифференцирования приходится отступать всякий раз, как в ряде
1 1
pdx-\--qdx's + - rdxs+ и т. д.,
которым выражается полный дифференциал функции у, первый член р либо становится равным нулю, либо обращается в бесконечность; в этом случае дифференциал нужно находить, исходя из первых нача.ч. Итак, всякий раз, как ищется дифференциал функции у, отвечающей данному значению х, при котором буква р становится либо бесконечно малой, либо бесконечно большой, нужно прибегать к первоосновам дифференцирования. В остальных же случаях, когда пе имеет места ни р=0, ни р = ео, обычное правило будет давать истинное значение дифференциала. Впрочем, не нужно забывать о случае, упомянуто:»! ранее (§ 348), когда функция у содержит член вида (х — а)п Q, где п-есть дробь, имеющая чётный знаменатель; в самом деле, хотя в этом случае имеются дифференциалы более низкого порядка, чем Qdx", по сравнению с которыми Qdxn исчезает, однако, поскольку dxT‘ при отрицательном dx становится мнимым, этот член Qdxn обращает в мнимые все остальные, по сравнению с которыми он исчезает; как это происходит, лучше всего будет видно графически. Теперь я поясню промерами те особые случаи, в которых истинный дифференциал нельзя найти по обычному правилу.
Пример 1
Пусть ищется дифференциал функции
у =- а 4- х — V (х2, 4- ах — ж) у 2ах — х'1 при х-а.
Дифференцирование показывает, что дифференциал этой функции
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 479
при х = а нельзя найти по принятым правилам; действительно, мы имеем
— xdx —к- а dx 4- 57 dx lax — х2 + (ах dx — х1 dx) : j/ lax — х-dy=dx-\---------------- -..----............ •
у х2 + ах — х У lax — х2
Если положить х=а, то dy = dx — ^-^=0. Будем теперь отправляться от начальных основ дифференцирования; положив х-ydx вместо х, мы будем иметь
у1 = а + х + dx —
__х2 + 2х dx + tZx3 + ax-f- a dx—(х + dx) У 2ах—х2 + 2а dx—2x dx—dx-.
Если же положить х = а, то будем иметь
уг = 2а + dx — У 2а2 + 2а dx + dx2 — (а + dx) У а2 — dx2.
.» '—— dsc^
А так как у а3 — dx3 = а— — (следующими членами можно без опаски пренебречь, ибо не все члены низшего порядка уничтожаются, как вскоре будет ясно), то будем иметь -
а3 + 2а dx + -- dx2.
Далее, извлекая корень, получим
y1 = 2a + dx- ^a+dx + ^^ = а ;
но в случае х = а будем иметь у=а; и потому, поскольку у1 — у-\-dy, получим
Отсюда вместе с тем ясно, что предложенная функция стансшг,. максимумом при х = а.
Пример 2
Найти дифференциал функции у = 2ах — х3 + а У а2 — х2 при х—а. Если выполнить дифференцирование обычным способом, получаем
dy - 2а dx — 2х dx — .
d ^а2-х2
Это выражение при х—а становится бесконечным и, следовательно, таким способом дифференциал найти нельзя. Дифференциалы же следующих порядков равным образом становятся бесконечными, так чю ни из них, ни из ряда pdz + ~2 q dx2 4-— г dx3 + и т. д. нельзя найти истинное значение дифференциала. Положим поэтому x-\-dx вместо z; тогда будем иметь
у1 = 2ах — х3 4 2а dx — 2х dx — dx2 а У а2 — х3 — 2xdx — dx2
180 гл. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
и при х = а
у1 =. п2 — dx2 4- а ]/” — 2а dx — dx2.
В этом же случае у = а2, откуда dy — — dx2 + a j/ — 2а dx, а так как dx1 исчезает по сравнению с —2а dx, то
dy = а р/ — 2а dx .
Поэтому, если дифференциал dx берётся положительным, то dy будет мнимым, если же вместо х написать х — dx, то будем иметь
dy — а )/2а dx.
Гак как это выражение имеет два значения — одно положительное, другое—отрицательное, то функция у при х—а не будет ни максимумом, ни минимумом.
Пример 3
Найти дифференциал функции у — 3а2х — Зах2 -|- х3 + (а—х)2 |/ а3 — х3 при х—а.
Так как эта функция преобразуется к виду
2_____________
у = а2 — (а — х)3 Г (а — х)3 а3 + ах 4 х2,
то при х — а 4 dx мы имеем
7
у1 — a3 J- dx3 — dx3 у'"За2
7_
и в этом же случае у = «3. Таким образом, dy — dx2 -- dx3 у/За3, п так 7
как dx3 исчезает по сравнению с dx3 , то
7 dy =---- — dx3 За3;
таким образом, при х — а функция у пе является ни максимумом, ни минимумом.
П р и м с р 4
Найти дифференциал функции, у = I/' х -j- = (1 4- j/х)].Лх при
х — 0.
Так как предлагается случаи х—0 и так как в этом случае у —О, то вместо х напишем только dx и будем иметь
9 dy — dx* j- dx^ или dy- (1 -j- dx) i/ dx.
Отсюда прежде всего ясно, что dx нельзя взять отрицательным. Далее, хотя корень из ]/ dx сам по себе имеет два значения — одно положительное, другое отрицательное, однако в данном случае, когда в выражение входит ого корень ]/ dx, его можно брать только с положительным знаком. Ио у/ dx будет иметь оба знака, так что мы будем иметь
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 481
dy = У dx ± У dx и у1 = 0 + У dx ± |/ dx3, так как у = 0. Так как оба значения у1 больше, чем значение у, то, следовательно, при z = 0 у является минимумом. То обстоятельство, что в формуле, выражающей функцию у = ]/ х + Ух3, не содержится функция у = — ]/х+ р7 х3 обнаружится, когда мы ту и другую функцию приведём к рациональной форме. Действительно, если первую представить в виде у— У'с~ Ух* и возвести в квадрат, получим у3 — 2у |/Д -4- х = х ]/х или у''-\-х = = (х + 2у)]/х; снова возводя в квадрат, будем иметь уравнение
у4 — "2у3х — kx3ij + х3—х3 = 0.
Вторая же уЦ~Ух=Ух3 даст у3 + х=(х— 2у)]/х и далее
у4 — 2.у3х 4- кх3у + х3 — х3 = 0.
Это уравнение отлично от первого. Но другой член р х3 сохраняет двузначность. Нужно поэтому иметь в виду, что хотя вообще при знаке корня чётной степени мы имеем два знака, -f- и —, однако этой двузначности не будет, если в то же выражение входят корни высших чётных степеней того же количества; ибо они становятся мнимыми, если корень низшей степени получает отрицательный знак. Это служит причиной того, что появляются максимумы и минимумы второго рода в таких случаях, в которых они на первый взгляд не имеют места.
Пример 5
Найти дифференциал функции
У = а + |/х — / + (х — /) /х — / + (х — /)2 х — /
п ри X — f.
Положим х — / = £; так как y = a-}~yt+t У t + t3 У t, то ищется дифференциал этого выражения при £ = 0, ибо тогда у = а. Положим t + dt или 0+<Й вместо Z; получим
у1 --- у 4- dy — а 4- У dt 4- dt У dt+dt3 У dt, поэтому будем иметь
= У dt + dt У dt + dt3 |/ dt.
Отсюда прежде всего ясно, что дифференциал dt нельзя взять отрицательным, ибо тогда dy будет мнимым. Далее, не только Уdt, но и Уdt нельзя взять отрицательным, ибо в этом случае Уdt был бы мнимым; таким образом, дифференциал имеет лишь два значения:
dy — У dt + dt Уdt ± dt3 Уdt;
так как оба эти значения больше, чем нуль, то, следовательно, функция у является минимумом второго рода при t=0, т. е. при x = f. Итак, хотя в подобных случаях члены, какими здесь являются dt Уdt и dt^ydt, исчезают по сравнению с первым, однако их нужно, если принимается во внимание множественность значений, сохранять, чтобы избежать мнимостей.
31 л. Эйлер
482 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 6
Найти дифференциал функции у = ах + Ьхг (х— f)n + (х — f) при x = f.
Если положить х = /, будем иметь y = aj-Jrbf", если же вместо х положить x-{-dx, т. е. f-\-dx, то получим ближайшее значение
yi~af-\- bf* + a dx + 2bf dx + 6 dx1 + dxn + dx*** n , так что
dy = adx-[- 2bf dx -\-bdx~ + dxn + dxm j/'dx".
Таким образом, дифференциал dx можно брать отрицательным лишь в случае, если п есть число чётное. Последний член dxm ]/ dxn имеет два знака; поэтому у1 будет иметь два значения; оба они больше, чем значения у, если только а + 2bf будет количеством положительным и показатели п и т-}--^п будут больше единицы. Следовательно, значение функции у при х = / будет минимумом как в том случае, когда п есть число целое, так и тогда, когда оно есть дробное число, лишь бы только числитель во втором случае и самое число в первом случае не были чётными.
351. Этот метод непосредственного вывода дифференциалов из основных положений полезен главным образом для функций трансцендентных, ибо здесь в некоторых случаях дифференциал, найденный обычным способом, либо исчезает, либо представляется обращающимся в бесконечность. Здесь встречаются такие виды бесконечных и бесконечно малых количеств, с которыми никогда не приходится иметь дело при рассмотрении алгебраических выражений. Действительно, если i есть бесконечное число, то Ц является также бесконечным, однако имеет бесконечно малое отношение не только к самому числу i, но и к любой его степени in, сколь бы малым ни был показатель п. Таким образом, дробь будет бесконечно малой и станет конечной не раньше, чем показатель п станет бесконечно малым. Итак, И будет однороден с in, если показатель п будет бесконечно мал. Положим теперь i = ~> где <» есть бесконечно малое количество; тогда —1«>
, 1 -
будет однороден с если показатель п бесконечно мал, так что
1 1
— будет однородно с <un. Таким образом, —будет бесконечно малым по сравнению с dxn, где п есть бесконечно малая дробь. Таким j
образом, если будем иметь у—— —, то дифференциал функции у при «С —- О будет равен —^-^ = dxn, и потому dy будет иметь к dx и к какой-либо степени dx бесконечное отношение, и по сравнению с--------j-^-
будут исчезать все степени dx, сколь бы малыми ни были их показатели.
352. Далее, мы видели, что если а есть число, большее единицы, a i— бесконечное число, то а1 будет бесконечным количеством столь высокого порядка, что по сравнению с ним не только i, но и любая
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 483
степень in исчезает; и in станет однородным с а1 не раньше чем пока-затель п станет бесконечным. Положим теперь К- — , так что ш есть
бесконечно малое количество; тогда аш будет однородным а — , где л
1 -- 1
есть бесконечно большое число, и потому а ш, т. е.
будет бес-
конечно малым по сравнению с ш". Значит, —- будет бесконечно
малым количеством, которое исчезает по сравнению со всеми степенями dx, ибо оно однородно со степенью dxn, где п есть бесконечно большое число. Поэтому, если ищется дифференциал количества
1 1
у = при х = 0, то поскольку у = 0, будем иметь dy = — так а ' о. ‘
что dy будет бесконечно меньше, чем сколь угодно высокая степень dx.
353. Если же а сеть число, меньшее единицы, то так как Д будет больше единицы, вопрос сведётся к предыдущему. Именно, если будем 1
иметь выражение а*,
-- 1 в b ш , т. е. в ---,
Ь1:ш
то оно, если положить которое будет, так как
а = 1: Ь, преобразуется
b > 1, однородно с
где п есть бесконечно большое число. После этих замечаний мы сможем
решить следующие примеры.
Пример 1
1
Найти дифференциал функции У х2~'^~х пРи =
Так как при х—-0 и ?/ = 0, то, если положить хЦ-dx, т. е. 0-i-dx вместо х, получим
w1 = dy = dx*--.
j i dx
I
А так как------j-^- однородно c dxn, где n есть бесконечно малое
число, то по сравнению с ним dx* исчезает, и мы будем иметь
dy = —гД— = dx'1. v 1 dx
Так как логарифмы отрицательных чисел являются мнимыми, то dx нельзя взять отрицательным, и потому при ж=0 функция будет минимумом, но не принадлежащим пи к первому, пи ко второму роду. К первому роду она не принадлежит потому, что у не имеет ближайших предшествующих значений, а является меньшей лишь по сравнению с последующими значениями, которые получаются, если х взять большим пуля. Ко второму же роду она по принадлежит потому, что последующие значения, с которыми сравнивается значение у, нс являются двойными. Таким образом, мы приходим к третьему виду максимумов и минимумов, которые имеют место только для логарифмических и трансцендентных функций, для алгебраических же не
31*
484 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
встречаются никогда; об этом будет более подробно сказано в следу ющей части, трактующей о кривых линиях х).
Пример 2
Найти дифференциал функции у — (а — х)п — хп (1а — 1 х)п при х — а. Этот дифференциал, если п есть целое число, можно найти из общей формулы 1 1 dy= pdx + ~% qdx’i + rdx3 4- и т. д.
Действительно, мы будем иметь
pdx — — и (а — ж)'1'1 dx — пх*1'1 dx (la — 1 х)п + nxn~l (la — 1 x)n~l dx;
это значение при х — а исчезает, ибо даже при п = 1 будем иметь pdx= — dx + dx = 0.
Если теперь мы пойдём дальше, то получим
A qdx3 = (а - x)n~2dx3 - хп~2 dx3 (1 a - 1 х)п +
4-~ хп~2 dx2 (1 a - 1 ж)"’1 + хП~2 dx" U а - 1 а:)"’1 ~
- п (п- ^ х"~2 dx- (1 a - ] xjn~\
'j
Отсюда, если п—1, то будем иметь — = —при z = а. Подобным
образом, если п — 2, то нужно будет перейти к третьему члену и т. д. Поэтому легче будет воспользоваться основными положениями дифференцирования. Так как при я = амы имеем у = 0, то, если положить x-\-dx, т. е. a-\-dx вместо х, будем иметь
у1 = (— dx)n — (a-$-dx)n (1 а—1 (а 4- dx))n -- y~-dy=- dy, ибо у = 0. Но
1 • 2
1 • 2
откуда
dy=(—dx)n— ^ап -j-па"'1 dx 4"-у—ап~г dx? 4- и т. д.^)х
/ dx dx2 dx3 А" п , ,
х(-^ + 2^~^+ и т. д._) V
Таким образом, при х = а искомый дифференциал dy предложенной функции будет
если
dxP
dy = -^-> как ранее мы нашли,
, 2</х3
а la
dy = -д— ,
а 1а ’
, kdx3
dv=~^
и т. д.
п = 1,
если
если
если
п = 4,
п — 3
и т. д.
Если п будет числом нечётным, то функция у при х = а будет мипи-
*) См. § 10 вводной статьи.
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 485 мум, если же п — число чётное, то не будет ни максимума, ни минимума; то же самое будет справедливо, если п будет дробью с нечётным знаменателем. Если же п будет дробью с чётным знаменателем, тогда dx нужно считать отрицательным, чтобы не пслучилось мнимости и вследствие двузначности функция не будет иметь ни максимума, ии минимума.
Пример 3
Найти дифференциал функции у=х‘с при % = , где е есть число, гиперболический логарифм которого равен 1.
Так как в общем случае мы имеем dy — Xе dx (1 х + 1), то в случае х — -^, т. е. 1х= — 1 этот дифференциал исчезает. Сравним этот диф-ференциал с общим выражением pdx+ — qdx* + и т. д.; будем иметь
p = zx(lz + l) и 5 = Xх (1 х1)2 + хх~'.
Положив 1х= — 1 или х = —, будем иметь
Поэтому искомый дифференциал есть
dy~ ~ е(е-1):е dx*,
следовательно, функция у —Xх становится минимумом при z==-^-.
Пример 4
Найти дифференциал функции у = хп + е~1:х при х = 0-
Так как при х — 0 и у = 0, то, если положить х = 0-j- dx, Суд< м иметь
j:
Но, как мы видели, —однородно с бесконечной степенью количества dx, т. е. с dx'-, поэтому оно исчезает по сравнению с dxn, так что
dy = dxn.
354. Подобно тому как в некоторых случаях первые дифференциалы нельзя получить по обычным правилам дифференцирования, так и для дифференциалов второго, третьего и более высоких порядков бывают случаи, когда в полном выражении дифференциала
d • у== pdx + ^-q dx1+ rdxa+ sdxi+ и т. д.
некоторые из количеств q, г, s и т. д. либо исчезают, либо обращаются в бесконечность. А именно, так как (§ 339),
</а • у - q dx* + rdx3 4- ~ sdx* + и т.д.,
486 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
то, если в каком-либо случае q = 0, будем иметь d3y = rdx3, если же 7
в этом случае и г исчезает, тогда будем иметь = —scfz4 и т. д. Если же либо q, либо г, либо s и т. д. становится бесконечным, тогда из этого ряда вовсе нельзя найти второй дифференциал, а нужно будет прибегнуть к основному началу дифференциалов, т. е. нужно будет положить x-}-dx вместо х, отыскать значение у1, затем положить х + 2dx вместо х, отыскать значение у11, и тогда истинное значение второго дифференциала будет
d!y — dy1 — dy ~ dy11 — 2ух у.
Подобным образом, если потребуется найти третий дифференциал, то сверх того нужно будет в у вместо х написать x-[-3dx; тогда, найдя значение у111, будем иметь
^3У = УШ — Зу11 4-Зу1 — у
и т. д. Эти случаи мы поясним следующими примерами.
Пример 1
(1^ —— Х& Л
Найти второй дифференциал функции у= 2 2 при х=-~.
"1“ у
Найдём полный дифференциал у из выражения
1 <> 1 1
dy = pdx + — qdx' + гdx3 -|- s dx* + и т. д.;
для р, q, г, s и т. д. найдем следующие значения: 4а2х ~ — 4а4+12а2х2 „ _ 48а4х —48а2х3
Р (а2-{-х3)2’ (a2-j-х2)3 И Г (аР^-х2)11
Так как теперь d’y = г dx3 dx*и т. д.,
п а 27/5“
то, поскольку q=() при х = -^-=, и т= &ai- при том же значении q, искомый второй дифференциал будет ,, 27cZx2/?
d‘y = —Q-H . 3 8a3
•Пример 2
Найти третий дифференциал функции дём, как прежде, полный дифференциал
-- гр2
У ~ а2 4-х2 ПРи
х~а. Най-
dll
dy=^qdx3+ —rdx3+ dx* + и т. д.
'Гак как третий дифференциал есть d3y = r dx3 + ^-sdx* + и г. д. и так как
_ 48а4х— 48a2x3
Г = Да2 4-х2)4 ’
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 487
то будем иметь г = 0 при ж = а; поэтому нужно будет перейти к значению s, которое будет
48а4 — 144а3х3 8х (48а4х— 48а3х3)
5 (а3 4-х3)4 (а3 4-х2)5
Положив здесь х = а, будем иметь s=——fl > поэтому в данном случае будем иметь
9<7х4
Пример 3
Найти дифференциалы всех порядков функции у = ax’” + Ьх” при х = 0.
Если будем полагать последовательно x-^-dx, x-\-2dx, x-\-3dx и т. д. вместо х, то найдём следующие значения функции у.
уТ = а (х + dx)m + Ь (х 4- dx)n, у11 = а (х + 2dx)m 4- b (х 4- 2dx)”, ут -= а {х 4- 3dx)m 4- Ь (х 4- 3dx)n
и т. д.
Положим х — 0, тогда у —0, и его дифференциалы будут
dy=a dxm 4- b dx”,
d’y = (2m — 2) a dxm 4- (2n - 2) b dx”,
d3y = (3m — 3 • 2m 4- 3) a dxm 4- (3n — 3 • 2” 4- 3) b dx”,
<Z4j, = (4m —4-3m4-6-2m—4)adzm4-(4n —4.3"4-6-2n— Qbdx”
и T. Д.
Если показатель n будет больше, чем т, то вторые члены этих выражений будут исчезать по сравнению с первыми. Тем не менее нужно эти члены сохранить, если число п будет дробным, для того, чтобы можно было учесть случаи, когда эти дифференциалы становятся мнимыми или двузначными. Дальнейшее рассмотрение этих случаев уместно будет перенести в учение о кривых линиях1).
1) См. § 10 вводной статьи.
ГЛАВА XV
О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ, КОТОРЫЕ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ КАЖУТСЯ НЕОПРЕДЕЛЁННЫМИ
355. Если какая-либо функция у переменного х- будет дробью - , числитель и знаменатель которой при некотором значении х одновре-
- Р
менно исчезают, то в этом случае дробь — , выражающая значение функции у, становится равной . Так как это выражение может быть равным любому количеству—конечному, бесконечному или бесконечно
малому, то в этом случае из него вовсе нельзя найти значения у, и потому кажется, что это значение неопределённо. Легко, одвако, видеть, что так как, за исключением этого случая, функция у постоянно получает определённое значение, какое бы значение ни было Р
подставлено вместо х, то и в этом случае значение не может быть неопределённым. Это ясно хотя бы из следующего примера: если д2 ____ /р2 Q
У = а -д. , то при х — а мы получаем у = у. Однако так как, разделив
числитель на знаменатель, мы при х — а будем иметь у = 2а, сильна количеству 2а.
получаем у = а-}-х, то очевидно, что
так что в этом
- Р случае дрооь —
равно-
356. Поскольку выше мы показали, что между нулями может существовать какое угодно отношение, то в примерах подобного рода
нужно найти то отношение, которое числитель имеет к знаменателю. А так как для нулей, взятых абсолютно, нельзя усмотреть их взаимного отличия, то вместо них нужно ввести бесконечно малые количества. Хотя последние по их значению не отличаются от нуля, однако, так как функции, составляющие числитель и знаменатель, различны, то значение дроби тотчас же определяется. Так, если мы имеем дробь a dx
то хотя на самом деле числитель и знаменатель равны нулю, од-
нако очевидно, что значение этой дроби является определённым, а а у-, a dx2
именно, оно равно у. Если же мы имеем дробь , то значение ее будет равно нулю, тогда как значение дроби бесконечно большое. Таким образом, если вместо нулей, которые часто входят в исчи-
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 483
сление, мы введём бесконечно малые количества, то мы извлечём из этого ту выгоду, что мы сможем тотчас же узнать отношение их друг к другу, и, таким образом, не останется больше сомнения относительно значения таких выражений.
357. Чтобы всё это стало вполне ясным, положим, что у дроби р
y — Q как числитель, так и знаменатель исчезают при х—а. Чтобы избежать, однако, нулей, которые нельзя сравнивать между собой, положим х = a -j- dx-, вой х=а, так как в Р-р dP и Q + dQ. становке х = а, то Тогда функции Р вместо х положить
эта подстановка па самом деле совпадает с пер-dx = 0. При x=a-j-dx, функции Р и Q переходят Так как подстановка x=a-]-dx равносильна под-положим повсюду и Q по условию р а dx, то дробь q которая, следовательно, выражает значение функции А это выражение уже не может быть неопределённым, истинные дифференциалы функций Р и Q, о которых мы говорили в предыдущей главе. Действительно, при этом ни dP, ни dQ никогда не обратятся в нуль абсолютно и если не выразятся через дифференциал dx, то во всяком случае выразятся через его степени. Если мы найдём, таким образом, что dP = Rdxm
Р Z-
ции У — q в случае х= а
R нечным и равным у , если предложенной дроби будет ние будет бесконечным.
Р
358. Итак, всякий раз, как встретится дробь числитель и знаменатель которой в некотором случае, например в случае х — а, исчо зают одновременно, значение такой дроби в этом случае найдётся нс следующему правилу.
Ищутся дифференциалы количеств Р a Q при х = а\ они подставляются вместо самих количеств Р и Q, после чего дробь даст
в этих выражениях х = а. исчезают. Поэтому, если
преобразуется в
Q
r dP ДР°бв , при х = а. если взять
и dQ = S dxn, то значение функ-R dxm
будет равно ~^хп • Поэтому оно будет ко-
т = п\ если равно нулю,
т > п, то истинное значение если же т < п, то это значе-
искомое значение дроби — .
Если дифференциалы dP и dQ, найденные обычным способом, не становятся бесконечными и не исчезают при х = а, то можно их сохранить; если же они одновременно оба становятся равными нулю или оба равными бесконечности, то нужно найти полные дифференциалы по способу, изложенному в предыдущей главе. Часто вычисление чрезвычайно упрощается, если сначала положить х— a = t или x = a-\-f.
„ Р
мы получаем тогда дрооь числитель и знаменатель которой исче-аают при х=а, и дифференциалы dP и dQ получатся, если всюду подставить dt вместо t.
Пример 1
Ь _ / Ь2 — t*
Пусть ищется значение дроби -------- пРи t — Q.
Так как в этом случае 2 = 0, и как числитель, так и знаменатель исчезают, то нужно только вместо t написать dt, и искомое значение
490 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Z>_/ft2-dt2 . , г.---5^- ,
представится дробью --------. А так как \/ Ь' — at =Ь-------------то
, dt2 1 рт «г
)Та дробь переходит в дробь Поэтому предложенная дробь
Cz dv
.-еЛ^згт» 1
-----—3---- при / = 0 получает значение •
Пример 2
гт - , Va2 4-ах 4- х» — if а3 — ах -рх2 „
Пусть ищется значение дроби ----7=—~7------------- прих = 0.
у а -рх- у а — х
Здесь снова можно сразу же вместо х подставить dx\ после этого, поскольку
1/ а2 -р a dx + dx* = a + ^-dx + ,
' ' 2 На
/-------------------1 3dx2
1/ а* — adx + dx2, ~ а — — dx + -5—
2 od
и
1/ а + dx = 1/" а 4-- ,
1 г 2 /а
а — dx = 1/ а--
Г 2/а
числитель станет равным dx, а знаменатель равным -^=; отсюда на-V а _
ходим, что значение предложенной дроби будет равно а.
Пример 3
гт о х3 — 4ах2 4- 7а2х — 2а3 — 2а2 if Чах — а2
Пусть ищется значение дроби -----------------------------==--------
х2 — Чах — а2 -р 2а у Чах — х2 при х = а.
Если дифференцировать обычным образом и подставить дифференциалы вместо числителя и знаменателя, то получим дробь
Зх2 — Sax -р 7а2 — Ча3 : VЧах — а2
Чх — Ча Ча (а — х) : }/ Чах — х2
числитель и знаменатель которой снова исчезают при х=а. Поэтому снова подставляем вместо числителя и знаменателя их дифференциалы; получаем дробь
6х — 8а у 2а1: (2ах-а2)3/2
2 — Ча3: (Чах — а2)'^2
числитель и знаменатель которой снова исчезают при х = а. Поэтому опять подставим вместо числителя и знаменателя их дифференциалы; получим
6 — 6as : (Чах — a2)6^2 1 — а5 : (Чах — a2)f^2
ба3 (а — х) : (Чах — х2)^2 а3 (а — х) : (Чах — х2)°^2
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУ ЧАЯХ 491
11 снова при х = а как числитель, так и знаменатель исчезают. Поэтому снова подставляем вместо них дифференциалы; получаем
5а6: (2az— а2)'^2
— (5а5 — 8а1х Ц- 4а3х2) : (2ах — х2)7^2
Теперь, наконец, вместо х полагаем а и получаем определённую дробь — — —5a, которая даёт значение искомой дроби.
Если же прежде чем предпринимать это исследование, положить л: — а -р t, то предложенная дробь преобразуется к виду
2a3 J- 2a2t — at2 j- Z3 — 2a2 ]/a2 lat
— 2a2 + t2 + 2a у a2 - t2
Так как она принимает вид ~ при t — 0, то положим dt вместо Z; тогда будем иметь
2a3 р 2a2 dt — a dt2 (- dt3 — 2a2 }/a2 -f- 2a dt
— 2a2 T dt.2 + 2a a2 — dt2
Разложим теперь иррациональные выражения в ряды, которые будем продолжать до тех пор, пока члены не перестанут уничтожаться рациональными членами:
, /-—;-г,—у- , dt:2 , dt3 5dt*
у а* -у la dt — a -ydt — -г- + т-„ — ,
> 1 ‘2a 2a2 8a3 ’
«' — dt* -- a
dt.2 dt1
2a 8a3 ’
подставив эти значения, получаем дробь
5rZ t*: 4a
— dt11: 4a2
— 5a;
это есть ранее найденное значение предложенной дроби.
Пример 4
гт „ „ х а У У"2а'2 — 2ах — 1/~2ах — х2
Нашли значение дроби ------------------------при х — а.
г а-х ц у а2 — х2
Если вместо числителя и знаменателя подставим их дифференциалы, то получим дробь
— а : 1/‘2а2 — 2а.г — (а — ,г( : 2ах — х2
— 1 — х : У а2 — х'2
которая при х—а будет равна предложенной дроби. Числитель и знаменатель полученной дроби при х — а становятся бесконечными. Однако если числитель и знаменатель помножить на— ]/" a — х, то
492 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
получим дробь
а : - (а — х)8^2 : jZ'2ax — х2
V а
а :
которая при х = а даст определённое значение “' = 1, которое
а : у 2а
равно предложенной дроби при х = а.
р
359. Таким образом, если мы имеем дробь -, числитель и знаменатель которой исчезают при х = а, то её значение можно найти и по обычным правилам дифференцирования, и нет необходимости прибегать к тем дифференциалам, которые мы изучали в предыдущей главе. Дей р
ствительно, если предложенная дробь - при х—а будет равна такой
dP „
дроои числитель и знаменатель которой при х = а дадут конечные значения, то значение предложенной дроби окажется известным; если числитель будет равен нулю, а знаменатель будет конечным, то дробь будет равна нулю. Если же знаменатель будет равен нулю, а числитель конечен, то дробь будет равна бесконечности. Если либо числитель, либо знаменатель, либо оба они становятся равными бесконечности, что случается, если производится деление па количества, которые при х — а исчезают, тогда, помножая числитель и знаменатель па эти делители, мы освобождаемся от этого неудобства, как это было в последнем примере. Если же как числитель, так и знаменатель при х—а снова исчезают, сделали это сначала; тогда получим дробь
равна предложенной дроби при х = а\ а если снова о
дробью, что она будет равна , то вместо нее нужно
d3P .. г
d~ и т. д., пока мы не придем к такой дроби, которая определённое значение, будь то конечное, бесконечно бесконечно малое. Так, в d^P дроби прежде, чем мы дроби.
360. Польза этого метода найденных выше (§ 22 гл. II) х=1. Действительно, из того,
тогда нужно снова дифференцировать, как мы
- d2P к
~d2Q’ КОТ(’Рая также будет случится с этой взять дробь
будет иметь большое или третьем примере нам пришлось дойти до смогли найти значение предложенной
обнаруживается при определении сумм рядов, если в этих рядах положить что там было сказано, следует, что
х -у х1 4- х3 4- ... 4- хп
х 4- х3 4- ж5 4- ... 4- х;- п~1
1-х 1 — х2”*’1 1-х2~~
х 4- 2z3 4- Зх3 4- ... 4- пхп
х 4- Зх3 4- 5z5 4- ... 4- (2п — 1) xzn 1
х — vn 4-1) x’i+1 t-nx'l+2
x 4- x3 - (2n 4 1) x211-1 4- (2n - 1) x2”*3
(1 — X2)2
x 4- 4z: -J- 9ж3 4- ... 4- п3хц =
x J-x2 — (n 4-1)2 x’11"1 4- (2n2 J- 2n — 1) xn'2 — n2x’'
(1 —x)a
и T. Д.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 49
Но если бы мы пожелали определить суммы этих рядов для случая х=1, то в выражениях их как числитель, так и знаменатель оказались бы исчезающими. Таким образом, значения этих сумм при х = 1 можно будет найти изложенным здесь методом. А так как эти суммы известны из других соображений, то согласие результатов ещё лучше убедит нас в правильности этого метода.
П ри мер 1
Определить значение дроби ——при х—1; в этом случае она выражает сумму ряда 1-f-1 + 1 + ... 4* 1, состоящего из п членов, и, следовательно, будет равна п.
Так как в случае х=1 числитель и знаменатель исчезают, то вместо них подставляем их дифференциалы; получаем
1-(п + 1)жп
-1 ’
ч го при х=1 даёт для искомой суммы значение, равное п.
Пример 2
Найти значение дроби при х=1; в этом случае она вы-
ражает сумму ряда 14-14-14* ... 4-1, состоящего из п членов и, ледовательно, равна п.
Если взять дифференциалы, то предложенная дробь преобразует, в дробь
1-(2п !-1)т2П
значение которой при х=1 будет равно п.
Пример 3
ТТ ~ ах- х — (п + П я"*1 4- nxKk2 .
паити значение дроби ----2-------------- при х = 1; в этом слу-
чае она выражает сумму ряда 14-2 4-3-]- ... 4-п, которая, как из-
П2 4- п честно, равна —.
Взяв дифференциалы, получим дробь 1 — (п -|-1)2 хп -- п (п 4- 2) .rn + I
у которой как числитель, таки знаменатель при х—1 исчезают. Возьмём снова дифференциалы; получим дробь
—71 (71 + I)2 4- 71 (71 4- 1) (П + 2) Хп
2 ’
которая при х = 1 переходит в —> т- в сумму подложенного ряда.
494 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 4
и ~ as- х+х3—(2п 4-1) х2п+ 1 + (2п-1) х2”"1'3 .
Наиши значение дроби —5!------------------------ при х = 1;
в этом случае она выражает сумму ряда 1 4-3 4-5 4~ • • • 4~ (2п — 1), которая, как известно, равна п3.
Подставив вместо числителя и знаменателя их дифференциалы, получим дробь
1 + Зх2 -(2га + I)2 х2п + (2га - 1) (2га 4- 3) х2п + 2 .
-4х(1—х2) ’
< л О
так как и она имеет то неудобство, что при х= 1 обращается в — ,
то снова возьмём дифференциалы; получим дробь
бх—2п(2га + 1)2х2п-1 + (2/1-1) (2га + 2) (2n + 3)x2n+1
— 4 4- 12х2 ’
которая при х— 1 переходит в
6 —2n(2ra + I)2 + (2н-1)(2га+2)(2«+3) _ „
8 —П“-
Пример 5
Найти значение дроби х +х*—(п + хП+1 (2п- + 2п — 1)хп+2 — п2хп+“ (1 — х)3
при х = 1; в этом случае она выражает сумму ряда 1 4-4 + 9 + ... + л8,
111
которая, как известно, равна д- п’’ 4- у п" 4- п.
Взяв дифференциалы числителя и знаменателя, получим дробь.
1 4- 2х - (га + 1У хп + (« 4 2) (2га2 4 2/г — 1) хп+1 - га2 (п 4- 3) хп "2
— 3(1 — х)2 ’
числитель и знаменатель которой при х=1 снова исчезают. Возьмём поэтому, вторые дифференциалы; получим
2 — га (га 4- I)3 хп~1 4- (п 4 1) (га 4- 2) (2п2 4- 2п — 1)хп — п2 (га 4 2) (п 4- 3) х"+1 6(1-х) “ '
Так как попрежнему остаётся то же неудобство, перейдём к третьим дифференциалам; получим дробь
— га(га — 1) (га — I)3 хп~2 4- га (га 1) («4- 2) (2га2 |- 2/1—1) х’1-1 — га2 — (га 4 Г*(га + 2) (га 3) х”
которая, наконец, перейдёт при х — 1 в следующее определённое выражение
— га (га—1) (га 4 I)3 4- п (га 4- 1) (га 4 2)(п2 —га—1) и (га 4- 1) (2га 1)
_ — 6 —
1 ч , 1 2,1
= -3 П + 2П +6 П-
Это—то самое значение, которое, как было прежде найдено, выражает упомянутый ряд.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 49/
Пример 6
-х‘
1-х^
её значение
1-х”
:--- и так
1 - X?
хт__хт^п
Пусть предложена дробь X_xip' 5 требуется найти при х= 1.
Так ках! эта дробь есть произведение двух дробей . 1 как значение первого множителя при х = 1 равняется—, то остается наити 1 — х"
значение друхого сомножителя ; взяв дифференциалы, найдём, что пх"-1 п ,
это значение равно ; таким образом, значение предложенной
дроби при х — 1 будет равно То же значение мы получим, если непосредственно возьмём дифференциалы в предложенной дроби. Действительно, мы получим дробь
тх"1 1 — (т У- п) х’
они бу
значение которой при х—1 будет равно = как и прежде.
361. Тем же методом можно будет пользоваться и тогда, если либо р числитель, либо знаменатель предложенной дроби - , либо оба дут количествами трансцендентными. Для большей ясности мы полезным добавить следующие примеры.
считаем
Пример 1
Пусть предложена дробь ~ при х = а.
Взяв дифференциалы, мы тотчас же приходим к дроби
а пусть ищется её
значеии;
- ПХп ,
значение которой при х = а будет пап.
Пример 2
1X
Пусть предложена дробь и пусть ищется её. значение при х = 1.
Взяв дифференциалы числителя и знаменателя, получаем дробь
1: х
— 1:2)/
- 2 /1 - х
значение которой при х=1 равно нулю. Следовательно, дробь при х = 1 исчезает.
1 X /1-х
496 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 3
а — х — ala + alx
Пусть предложена дробь -------—== а пусть ищется её значе-
а у lax х
ние при х = а-, в этом случае её числитель и знаменатель исчезают. Дифференцируя, согласно правилу, числитель и знаменатель, будем иметь
— 1 + а : х (fl — х)1/Г2ах — х2
— (а — х): 2ах — х2 — х (а — х)
Хотя здесь числитель и знаменатель тоже исчезают при х==а, однако ~ . f ‘-О- — х
так как оба они делятся на а — х, то мы получим дрооь — у —-— , ’начение которой при х = а является определённым и равно—1. Итак предложенная дробь становится при х = а равной — 1.
Пример 4
ех — е~х
Пусть предложена дробь при х = 0.
Взяв дифференциалы, будем иметь функцию
и пусть ищется её значение
ех 4 е~х
1: (1 + х) ’
из которой находим, что искомое значение равно 2.
Пример 5
Найти значение дроби е-При x = Q.
Если вместо числителя и знаменателя подставить их дифференциалы, получим дробь
ех — 1: (1 -р х)
2х '
Так как она также переходит в , если положить а: = 0, то снова берём дифференциалы; получаем дробь
ех + 1 :(1 + х)2
2 ’
14-1
которая при х = 0 даёт —у— = 1. То же самое получим, если сразу подставить da: 4-О вместо х. Действительно, так как
= 1 4- dx + у dx3 и т. д. и 1 (1 Ь dx) = dx — у dx"1 + и т. д., то
еЛх — 1 — ] (1 4- dx)_dx2 .
dx2 dx2
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 497
Г!ример 6
Пусть ищется значение дроби - при х = со.
Для приведения дроби к такому виду, чтобы она переходила в при а;=оо; представим её следующим образом:
1:1 х
1 : хп
В самом деле, теперь при х=ас как числитель, так и знаменатель исчезают. Положим далее х — — , так что при х= со будем иметь у = 0; тогда предложенная дробь представится в виде
1 : I у Уп
и нужно будет определить её значение при у = 0.
тэ у х с- . г 1 : у (1 у)* 2 1 : (I у)2
Взяв дифференциалы, будем иметь дробь - ; так как
она при у = 0 переходит в , то возьмём снова дифференциалы; тогда
—2 : (1 у)3 _
оудем иметь - -; так как здесь снова налицо то же неудобство,
у г 6 : (1 у)4
то возьмем вновь дифференциалы; получится ^уп и> таким образом, сколько бы мы ни шли дальше, всегда будем встречаться с тем же неудобством. Чтобы, несмотря на это, получить искомое
г 1 : 1 I/ „
значим через s значение дроби ' при у = 0; так как
мы имеем также
значение, обо-
в этом случае
1 (I у)2
и так как из того уравнения х) мы имеем
1: (I у)2
- уй >
to, разделив на предыдущее уравнение, получим
___пуп__ п S== у™ ~ у" ‘
Отсюда видно, что при у—О количество s становится бесконечным.
Следовательно, значение дроби 1' \у- при х = 0 бесконечно и потому, j
если положить у — dx, то будет иметь к dxn бесконечное отношение, как мы уже заметили выше (§ 351).
, „ 1 :1 у
2) io-есть из уравнения s= — —й—
Л. Эйлер
498 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 7
хп
Пусть ищется значение дроби —при а: = 0; в этом случае как числитель, так и знаменатель исчезают.
хп
Пусть -1~д =si взяв дифференциалы, будем иметь также
лх"-1 _
е“1:х-.х2 е~1:х
Так как мы снова встречаемся с тем же неудобством и так как это будет повторяться всё время, до каких бы пор мы ни продолжали дифференцировать, то воспользуемся применённым прежде приёмом. Первое уравнение даёт
хп = e~i: xs и хп (п + *) = e“<n+1):х sn + 1;
второе уравнение даёт
хп~^1 = е~1 :х s :п,
откуда
a.n(n+l) = e-n:a:sn . Пп .
Если приравнять эти значения, получим
е-1: х snn = 1, так что при х=0 имеем 1
S —“ п. _т • а* - СО •
ппе 1 *х
Поэтому при х бесконечно малом dxn будет иметь к е-1:dx бесконечно большое отношение, какое бы конечное число мы ни взяли для га; отсюда следует, что е-1:йж есть бесконечно малое, однородное с dxm, если т есть бесконечно большое число.
Пример 8
ГГ п 1 — sin X + COS X Г.
Пнстъ ищется значение дроби ------------;-------- приа:=— , т. е.
j < 1 sin х4- cos х — 1 1 1
при х, равном дуге в 90°.
Взяв дифференциалы, получим дробь
— cos х — sin х cos х — sin x
Так как при х = у, sinx=l и cos х= 0, то эта дробь при х = ~у~ становится равной 1, так что единица есть значение предложенной дроби. Это ясно и без дифференцирования. Действительно, так как cos х = ]/\1 4-sina:) (1—sin х), то предложенная дробь преобразуется в дробь
Vl — sin х-i- V1 -|-sin х
V1 -|-sin х — / 1 — sin х
которая, очевидно, становится равной 1, если sina: = l.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 499
Пример 9
зс" х
Найти значение выражения j——пРи ^ = 1.
Если подставить вместо числителя и знаменателя их дифференциалы, то получим дробь
агЩ-р] X) - 1
- 1 + 1 • X
1ак как она при х=1 становится равной , то возьмем снова дифференциалы; получим дробь
хх (1 -j-1 х)2 4- хх : х
— 1 : х2 ’
которая при х=1 становится равной —2; это и есть значение пред-ложеннохт дроби при х=1.
362. Поскольку мы решили изучить здесь все выражения, значения которых в некоторых случаях кажутся неопределёнными, то мы
должны рассмотреть но только те дроби , числитель и знаменатель которых в некотором случае исчезают, но также и такие дроби, чи
слитель и знаменатель которых в некотором случае становятся бесконечными, ибо и их значения также кажутся неопределёнными. Пусть Р и Q будут такими функциями от х, что при некотором значении х = а
обе они становятся бесконечными, тогда дробь получает вид Ц , ибо и бесконечности, как и нули, могут иметь друг к другу некоторое отношение. Но отсюда нельзя найти истинное значение дроби. Однако ' Р этот случай можно свести к предыдущему, если преобразовать дробь -
к виду , ибо у этой дроби числитель и знаменатель исчезают
при х = а; поэтому значение её можно найти по ранее изложенному способу. Но можно так же найти искомое значение и без преобразования, если вместо х подставить не а, а а + dx\ тогда мы получим не абсолютные
1 А
бесконечности со, а выражения вида -г- или т—„ , хотя эти выражения ах ах
так же бесконечны, как со, по так хгак количество dx и его степени можно сравнивать друг с другом, то искомое значение легко найдётся.
363. К тому же классу принадлежат и произведения двух сомножителей, из которых один исчезает при некотором значении х = а, а другой обращается в бесконечность. Действительно, когда какое-либо количество может быть представленным в виде 0-со, его значение кажется неопределённым. Пусть PQ есть такое произведение, что если подставить х~а, будет Р = 0 и Q= со. Значение этого произведения
j
мы найдём по вышеизложенным правилам, если положим Q= . Дей-
р
ствительно, тогда произведение PQ преобразуется в дробь , числитель и знаменатель которой исчезают при х = а, тах? что значение её можно будет найти ранее изложенным методом.
32
500 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Так, пусть ищется значение произведения (1—£)tg~^ прих=1; в этом случае 1—х — 0 ntg-f-=oo. Обратим это произведение в дробь 1 — X х 1 '
Ctg — ТСХ
числитель и знаменатель которой исчезают при х=1. Так как дифференциал числителя 1 — х есть — dx, а дифференциал знаменателя ctg равен — ft rfx. _ , то значенио предложенной дроби при будет
(siny -kxJ
равно
2 . т.х . 2
— sm — - sin-- = — ,
7t 2 _ u
« A иоо sm — = 1.
364. Сюда же в первую очередь должны быть отнесены и такие выражения, которые, если задать х некоторое определённое значение, принимают вид со — оэ ; действительно, так как два бесконечных количества могут разниться друг от друга на конечную величину, то ясно, что в этом случае значение выражения нельзя определить иначе, как найдя разность между двумя бесконечностями. Подобный случай имеет место, если предлагается такая функция Р — Q, что при z=a в ней как Р = ос, так и Q— сю. В этом случао искомое значение не столь легко можно определить с помощью вышеизложенного правила. В самом деле, если положить в этом случае Р— Q = /, то будем иметь ер~® = е/, e~Q
так что =-—г,, то при х = а будет исчезать как числитель, так и л *
знаменатель, однако если применить данное выше правило, то получим
, , e~Q . do
е> = —ь— , откуда, так как & = —ъ , получим 1 = , так что искомое
e~PdP е~Р dP
значение / отсюда нельзя будет найти. Однако всякий раз как Р и Q суть алгебраические количества, поскольку они могут быть бесконечными лишь в том случао, когда представляют дроби, знаменатели которых исчезают, P — Q можно будет представить в виде единой дроби, знаменатель которой равным образом будет исчезать. Если при этом и числитель будет исчезать, то значение можно будет определить по вышеизложенному способу; если же числитель не исчезает, то истинное значение будет бесконечным.
Так, пусть требуется найти значение выражения
1 — х 1 —
при х=1. Так как оно переходит в выражение
- 1 -Г g
1 — х-
-1
1 4- ж ’
то ясно, что искомое значение равно
1
2’
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 501
365. Е ели же функции Р и Q будут трансцендентными, тогда такое преобразование привело бы к очень тягостному вычислению. В этих случаях па помощь может прийти прямой метод: вместо значения х--а, при котором оба количества Р и Q обращаются в бесконечность, можно положить j-o>, где <» есть бесконечно малое количество, за которое можно принять dx. Если после этой подстановки мы получим Р== - +В и Q— 4- С, то функция Р — Q, очевидно, перейдёт в В — С; ото значение будет ковочным. Поясним этот метод разыскания значений таких функции следующими примерами.
Пример 1
гр
Пусть ищется значение выражения при х = 1. Поскольку
как х_| , так и — становится бесконечным при х = 1, положим а," = 1 + «). Тогда предложенное выражение преобразуется в
А так как
1 Ь»____ 1
«> 1 (1 + о>) ”
. , . , , 1 .. 1 3
1(1 + «>) = «> у «>" + у I»
И Т. Д.
1
-со + _о)- — и т. д.
то будем иметь
Если теперь положить ш бесконечно малым, т. е. «> = 0, то ясно, что 1 искомое значение равно
Пример 2
Пусть е есть число, гиперболический логарифм которого равен 1, а тс есть полуокружность круга, радиус которого равен 1; найти значение ПХ ------------ 1 . К ,-4
выражения 2^2—Н- .^х —j при х~\).
Предложенное выражение представляет сумму ряда *)
1__1 1 1______________ , 1
1гхг‘ 4 + х2 + 9 х2 + 16 +хг 25 -~х2 + И Т’
Если положить здесь х = 0, то должна получиться сумма ряда
1,1,1, 1
1 + 4 + 9 + 16 и т- д’’
!) «Введение», т. I, гл. X.
502 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
которая, как известно, равна . Если же в предложенное выражение
пХ — 1 и
2*2 + ж(е2,с;,;-1)
подставить х=0, то значение этого выражения кажется в высшей степени неопределённым, ибо все его члены бесконечны. Положим х = ш, где (о есть бесконечно малое количество. Тогда первый член пх — 1 -
обращается в
Так как далее
е2тсш—1 = 2тс<1) + 2тг3о>2 Л--^3®3 + ц т. д. ,
то второй член —— обращается в
следовательно, второй член равей
1 к . 1 .>
2i’“ Й’Ъ’1 ~ 11 Т’ Д’
1
Если приоавить к ному первый член, получим ^гс2; это и есть искомое значение предложенного выражения при х = 0.
Тот же результат можно получить и с помощью метода, применяющегося к дробям, числитель и знаменатель которых в некотором случае исчезают; действительно, предложенное выражение преобразуется в дробь
nxe^x _ g2nz + 1
2х2е2кх - Чх2 ’
числитель и знаменатель которой исчезают при х = 0. Возьмём поэтому дифференциалы; тогда получим дробь
ъе'™ + Ч-Лсе'™ - 2ке2дх +
4же27СХ Ч- 4 тса:2е2тах — 4х или
к - ^х + 4r.2xeiT'x tt,xe^x + 4теа:2е2теа; — 4а: *
у которой при х = 0 числитель и знаменатель снова исчезают. Поэтому снова возьмём дифференциалы; будем иметь дробь
- 2д2е2дх + 2к2е2тсх Ч-4Д3хе271Х
4е2’сж 4- 8тс2ж2е2,'х — 4
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 503
ИЛИ _______________________________к’хе*™________ е2теж + Ьъхе2™ + 2A3?“ - 1 ’
ИЛИ
r.3z 1т4мт 2А2-е"2м’
числитель и зиамеиатель которой снова исчезают при х — 0. Поэтому снова возьмём дифференциалы, получим дробь
4я4-4Л + 2тое-2яж ’ •тс2
которая при х = 0 даёт у, как и раньше.
ПримерЗ
Сохраняя те же обозначения е и те, найти значение выражения К к
4а: 2х(ея:с-;-1)
при х = 0.
Это выражение преобразуется в дробь
4тетеж + 4а:
числитель и знаменатель которой при з = 0 исчезают. Положим х = ы, так как
1 1
е71" = 1 тгш 4~-те2ш3 + - те3о>3 и Т. Д.,
то предложенная формула преобразуется в выражение
1 1
™2и> + - г?®2 + - тс4®3 II т. д. 2 6
8со -7 4кн>2 2тх2о)3 4“ И Т. Д. 9
которое при бесконечно малом «> даёт сразу ^те2; это и есть искомое значение предложенного выражения при х = 0. Но предложенное выражение £ - ----- даёт сумму ряда 2)
-Я” \в 4 1}
1 , 1 , 1 , 1 ,
1-( z2 r94-z2 1 25-[-z2 ' 49 + т2 1 И Т’ Д<’
которая при 3 = 0 становится равной -те2. О
Пример 4
Пусть ищется значение выражения — при х = 0.
1 тс
Предложенная формула — — 2xig ТЛ выражает сумму бесконечного
О «Введение», т I, гл. X.
504 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
ряда
1 1 , 1__________________। 1
1 — z2 1 4 — х2 ~ ~ 9 — х2 ' 16 — хг 1 И Т’ Л'
Если положить х = 0, должна получиться сумма ряда
1+41 + | + 11б + 11 Т-
1 ., .г, . sin пх
которая равна -тт. 1ак как сич^.с' т0 пРеДлож&нное выражение
принимает вид
1 п cos пх sin пх — пх cos пх _
~lx’- 2х sio пх 2z3 sin пх ’
числитель и знаменатель этой дроби исчезают при х = 0. Поэтому положим х=w; так как
1 1
sin те® = то—-тс3а>3Ц- и т. д., C0S7T® —1—-т2а>2-|- и т. д.,
то предложенное выражение будет равно выражению
Г.<0 — - эт3<03 И Т. Д. — ЭТСО 4“ — ЭТ3С1>3 — И Т. Д. - Л3С1>3 — И т. д.
л 1 1 , S , 2ли>3 — и т. д.
4“ И Т. д.
3
которое вследствие бесконечной малости со даёт
6
Пример 5
Зная сумму бесконечного ряда
. 1
। । । । кSin 2
1 -X2 + 9 -Z2 + 25-х2 + 49 - X2 + и т- Д- = J ’
tX COS -пх
найти его сумму при ж=0.
Так как
. 1 1 1 , , 1 . 1 ,
sin-7t:r= -пх—х и т. д. и cos.-^x—l------------,-"Тт и т. д.,
— х- 4 О 2, Ь
то предложенное выражение будет равно выражению
4х — -те2Х3 И Т. Д. 4— - п2Х2 -'г и т. д.
1
значение которого при а: = 0, очевидно, равно -и3; это и есть сумма ряда
1+ l + i + 44+ И т- Д-
что выше было доказано различными способами. Если же за х взять, какое-либо чётное число, то сумма предложенного ряда всегда равна нулю.
) «Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 505
366. В тех рядах, которые мы рассматривали в последних двух примерах, и в иных рядах, содержащих переменную букву х, количеству х можно задавать такие значения, что некоторый член обратится в бесконечность; в этих случаях и сумма всего ряда будет бесконечной. Так, если в ряд
1 । 1 1_______1
1—х2 1 i — q 9— ' 16 — z3 ' И Г' Д’
вместо х подставить какое-либо целое число, то один из его членов станет бесконечным, ибо его знаменатель исчезает; поэтому сумма ряда становится бесконечной. Если же этот бесконечный член будет удалён из ряда, тогда остальная сумма, несомненно, будет конечной, так что сумма ряда, получаемого из данного после удаления его бесконечного члена, представится выражением вида оо — со; какое именно значение она будет иметь, можно будет найти по изложенному здесь способу. Это будет яснее видно из нижеприводимых примеров.
Пример 1
Найти при х = 1 сумму ряда
11,1,1
-1- +16^ + и т- Д’’
из которого изъят первый член, обращающийся в этом случае в бесконечность.
Так как сумма всего ряда в общем случае равна
1 тс
2z2 2z tg тех ’
то искомая сумма будет равна
J_________тс________1_
2z3 tg тсх 1 —
при х=1. Положим х = 1 + (в; тогда для искомой суммы получим выражение
_____1____________._____*________+
2 (1 2«) <о2) 2 (1 4-<о) tg (тесоте) 2<о >-<о-
Но
tg (~ -j- core) = 1 g СОЛ = 77(1) т;3со3 + и т. д.
Так как здесь первый член ; при х--1 имеет определённое 1 значение -, то нужно рассмотреть только два остальных члена
_____1______
to (2 4- (о)
(О (2-1 со)
при бесконечно малом со, а в этом случае можно будет пренебречь, также членом -тг2со2. Но при со = О мы будем иметь
(О
_____________________ _ 1
to (2 4" <о) (2 2со) 4 ’
506 РЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
и следовательно, сумма ряда
1 , 1 . 1 . 1 ,
3 + -8 + 15 + 2i+ И Т- Д-
113
равна что известно из других соображений.
Пример 2
Найти сумму ряда
1 , 1 , 1 , 1
1 -х~ 4 - х2^ 9 - .т2 16 - ж2 ' и т- Д-
в случае, когда х полагается равным какому-либо целому числу/ п, если я 4 ' '
из ряда устраняется член —2, который становится бесконечным*
Таким образом, искомая сумма представляется выражением
1 _ п_______ 1
2ж2 2х tg пх п- — х2 ’
I в которое нужно подставить х = п\ в этом случае первый член —j j
обращается в а два остальных становятся бесконечными. Положим x--n-\-w, так как
tg (~п га») •-= tg га» = -кы.
то, положив to бесконечно малым, будем иметь^ для искомой суммы выражение
1 л 1
------------------I-----------—
2 .П2, 2 (л- j-u>)7t,l) 2/ко 4~ (°2
ИЛИ
J____ 1 , 1_________I— 1_______
2п2 со (2п-р 2*<о) ‘ <»> (2а г (0) (2/i -р 2(t>) (2/г -со)
Если здесь положить о> = 0, получим, что искомая сумма равна
_ 1 1 _ 3
2,ч2 4м2 4п2
Поэтом у
3 _ 1 ;
4n2 1 — п2 "+’4-м2 п 9- п- 1 ’*
,______О ,___________-1____ 4 -|-
• • • С _ „2 ~Г (п „ JJ2 _ rt2 I _|_ 2)2 _ ,р “
и т. д. до бесконечности, т. е. сумма этого бесконечного ряда будет равна
1 I I _____—____ I и т и
(п4-1)2-п2 (п t-2)2- п2 -Г (п *-З)2 -Z12 -Г
= 2_ + _1_л_____?_+_Л_
4п2 ' п- — 1 1 п2 — 4 п2 — 9
1 п2-(п-1)2 •
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 507
Пример 3
Найти сумму ряда
1-г2 + 9-г2 ' 25—ж2 "J" 49-г2 + И Т. Д
при х=1, если изъять первый член — , который в, этом случае
становится бесконечным.
. 1
те Sin — тег
Так как сумма этого ряда в общем случае равна ------------------- ,
4г COS — тег
то искомая сумма будет равна значению
. 1
те Sin — тег
, 1 1—х-
Ьх cos тег
при х=1. Так как оба члена становятся бесконечными, то положим х=Л—и. Тогда, поскольку при бесконечно малом со
(1 1 \ 1 1
ТГ Г. — — Т.Ш } = cos — KU) = 1 —— 5tV
2 2 / 2 о
И
/1 1 А . 1 1
cos(^y к— y-0)j=sin-2 к<о = --к<о,
мы получим выражение
______j________t t
, 1 2со — со2 со (2 — 2со) со (2— о?) 3
(1 -о>) --- 7VD 7
которое становится равным у- при ш ~ 0. 1аким ооразом,
4 8 24 + 48 80 + 120 И Т' Д’
Пример 4
Найти сумму ряда 1 1 , 1 , 1
1 — г2 9 — х- 1 25 —г2 1 49 —г2
если положить х равным какому-либо нечётному числу 2п — 1 и если „ 1
изъять из ряда член ——, который в этом случае становится бесконечным.
Искомая сумма будет равна . 1 те Sin — тег
1
" Р (2ч - I)2 —г2
4г COS — тег
508 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
при х=2п—1. Положим х = 2п—1 — <о, где <о есть бесконечно малое количество; тогда
1 / 2п — 1
sin тс.г sin —-—
1
COS у ТСШ,
где верхний знак берётся, если п есть число нечётное, нижний же — если это число чётное. Подобным образом будем иметь
1 / 2п. - 1 IX , 1
cos — Т.х = cos -— тс — утсо> \ = -J-sm у тсш;
гак что будет ли п чётным или нечётным, получим
sin У 1 1
t — - t — •
COS у т.х. tg у -кх у теи>
Следовательно, искомая сумма представится выражением
1 _______ _____________1_______
2ш (2zi — 1 — да) «о (2 (2п — 1) — а>)
1
'* -1)3
и поэтому будет равна
Так, если п = 2, то
36 ' 8 + 16 + 40 ‘ 72 + 112 + и т’ Д'
Что результат этого суммирования верен — известно из других соображений.
•е
ГЛАВА XVI
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ
367. Непредставимыми функциями я называю здесь такие функции, которые нельзя выразить ни определёнными выражениями, ни корнями уравнений, так что пе только они пе являются алгебраическими, но по большей части неизвестно, к какому роду трансцендентных функций они принадлежат. Такого рода непредставимой функцией является, например, функция
которая, безусловно, зависит от х, по если только х пе является целым числом, никоим образом не может быть представлена. Подобным образом, выражение
1 • 2 3 • 4 ... х
будет непредставимой функцией от х, ибо, если х есть какое угодно число, то значение её нельзя выразить не только алгебраически, но и с помощью какого-либо определённого рода трансцендентных функций. Общее понятие о таких непредставимых функциях может нам дать рассмотрение рядов. В самом деле, пусть предложен какой-либо- ряд
1 2 3 4 х
A-'rB-rC + D+ ... +Х;
если его сумму А нельзя выразить конечной формулой, то опа будет непредставимой функцией от х, а именно,
S = А + В + С + D + . .. + X.
Подобным образом, произведение последовательных членов ряда, как, например,
Р = А • В С D ...X,
будет непредставимой функцией от х, но её можно привести к предыдущему виду с помощью логарифмов; действительно, будем иметь
1Р = 1Л + 1£ + 1С + 1Д+...+1Х.
510 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
368. В этой главе я хочу изложить метод разыскания дифференциалов таких непредставимых функций. Хотя может показаться, что этот вопрос относится к первой части этого сочинений, где излагались правила дифференциального исчисления, однако он требует более широких познаний в учении о бесконечных рядах, которые мо?кно было сообщить только во второй части, поэтому, будучи вынуждены отступить от естественного порядка, мы касаемся этого вопроса здесь. Так как это исследование является совершенно новым и никем до сих пор не производилось, то мы настолько ещё далеки от возможности исчерпать эту часть дифференциального исчисления, что попытаемся лишь наметить её основы. А затем я приведу несколько вопросов, разрешение которых требует дифференцирования такого рода функций, чтобы можно было тут же видеть пользу этого исследования. В будущем она, несомненно, станет гораздо большей.
369. Чтобы дифференцировать такого рода непредставимые функции, необходимо прежде всего найти те значения, которые они получают, если вместо х положить ж-pi. Пусть
1 2 3 4 ... х
S — А-\-ВСD+Х
и пусть S есть то значение количества S, которое оно -получает, если вместо х положить х -f- <о. Пусть Z есть член ряда, отвечающий индексу Члены, соответствующие индексам я;-j-1, x-f-2, x-f-З и т. д., мы обозначим через X', X", X'" и т. д., а член, отвечающий бесконечному индексу х -f- со, через X'11). Подобным образом, члены, соответствующие индексам х -f- о> +1, х -f- о> -f- 2, хЦ-юц-З и т. д., мы будем обозначать через Z', Z", Z'" и т. д.; пусть Z11:01 есть член, отвечающий индексу х <о -f- со. При этих обозначениях будем иметь
S' = s + X',
S'' = S + X' +ха,
S'" = S + X' + X" + X"',
S}a>, = S + X' + X" + X"’+ ...+х|а>|.
Подобным же образом, так как - последовательно возрастает на Z-'*Z" и т- Д-, будем иметь:
S' = 2 + Z',
S' = S + Z' + Z",
s"' = S + Z'-f-Z" + Z'", и т. д.
S1”11--v + Z' + Z" + Z"'+ ... +z,eo1.
Ц В этой главе Эйлер столь свободно обращается с бесконечностью, что его выводы могут показаться совершенно неосновательными. Между тем, по существу, рассуждения Эйлера являются совершенно законными; при некоторых, с точки зрения Эйлера само собой разумеющихся, ограничениях, накладываемых на рассматриваемые функции, их можно строго обосновать, полностью сохраняя иде-ю Эйлера.
ГЛ. Х\1. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 5Ц
Постановка задачи такова: пусть f (х) есть некоторая функция, определённая для всех вещественных значений аргумента х. Рассмотрим функцию F (х), определённую для целочисленных положительных значений х формулой
F (ж) = / (1) + f (2) + / (3) + ... + ] (х). (1)
Задача состоит в разыскании такой функции Ф (х), которая была бы определена для всех значений х и которая совпадала бы с F(x) при целочисленных значениях аргумента. Разумеется, функция Ф(х) должна быть аналитической и тогда производные «непредставимой» функции можно принять равными производным функции Ф (х) при соответствующих значениях аргумента. Решение Эйлера можно на современном языке изложить следующим образом. Пусть сначала х есть целое число. Тогда формулу (1) можно преобразовать так:
F (х) = [/ (1) - / (« +1)] + [/ V) - / (я + 2)] + ... [/ (у) - / (х И з/)) -Г
+ /(^ + у + 1) + /(^ + 3/т-)Ч- ••• -г / (2г -г У)- (2)
Здесь у есть любое целое число.
Если f (х)0‘прп х -» со, как это имеет место во всех трёх примерах § 371, то в формуле (2) сумма последних х слагаемых стремится к нулю при у -> со и при фиксированном х, и потому F (х) можно представить сходящимся рядом:
F(z)=[/(l)-/(z4-l)]+[/(2)-/(z4-2)] + [/(3)-/(z4-3)]-r ... (3)
Выражение (3) можно принять за определение функции F (х) при дробных значениях х. Для этого нужно, конечно, чтобы ряд (3) оставался сходящимся. Это обеспечивается, например, монотонностью функции f (х) (во всех примерах §371 функция / (х) монотонна). Тогда ряд (3) для дробного х мажорируется рядом такого же вида при целочисленном х.
Эйлер разлагает выражения f (а) — f (ха) в ряды по степеням х и собирает члены, содержащие одну и ту же степень х. Накладываемое этим на функцию / (г) ограничение молчаливо подразумевается Эйлером всегда. Здесь оно ещё ослабляется тем, что достаточно потребовать возможности разложения при 0 < х < 1, ибо’ интерполяцию можно начать не с первого члена, а с члена f (а), где а есть ближайшее к х целое число. Так Эйлер и поступает в § 373. Таким образом, получаются просты-; выражения для всех производных «непредставимой» функции. По существу же задача дифференцирования такой функции уже решена формулой (3), которую можно дифференцировать почленно вследствие предполагающейся аналитичности функции /(я).
Эйлер, однако, пе ограничивается рассмотрением простейшего случая, когда / (х) -* 0 при х -» со. (Эн рассматривает и случай, когда j (х) стремится к конечному или бесконечному пределу, по первая разность /(я 4-1) — / (z) стремится к нулю при х -»со. Рассматривается и более общий случай, когда к нулю стремится разность какого-либо высшего порядка, тогда как разности низшего порядка к нулю не стремятся.
Пусть первая разность стремится к нулю. Тогда последние х слагаемых формулы (2) можно представить в виде
/ (х + У + 2) = f (х 4- у 4-1) + Д/ (я 4- у 4- 1),
/ (X + У + 3) = / (х + У +1) + д/ (х + У + 1) + д/ (х 4- у 4- 2)
и т. д. Так как, по предположению, Д/ (х 4- у 4-1), Д/ (х 4- у 4- 21 и т. д. стремятся к нулю, при у -* оо и х есть фиксированное целое число, то сумма рассматриваемых членов может быть представлена в виде
Ви = ж/(ж 4-у 4-1) 4-е (у), (4)
где е (у) -» 0 при у —► со.
Преобразуем выражение (4) следующим образом:
Ry = х {/ ,1) 4- [/ (2) - / (1)] 4- [/(3) — / (2)] 4-... 4- [/ (у + 1) - / (у,]} 4-
4-Ж{[/(у+ 2) —/(у4-1)] 4-[/(у 4-3) —/(у4-2)] 4-... 4-[/(ж-|-у 4-1) —/(ж+у))}+г (у).
Так как при фиксированном целом х число слагаемых во второй фигурной скобко-постоянно, и первые разности при у -> со стремятся к нулю, то
Rv = x{f(l) -)-[/ (2)-/(1)] 4-[/(3)-/(2)] 4--.-4-[/(2/4-1)-/(2/)]+’1(2/) 4-е (2/)), где ,(j) -» 0 и е (у) -* 0 нри у -> со.
512 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
370. Теперь нужно исследовать, каким свойством обладает ряд S, S', S", S'" и т. д., продолженный до бесконечности. Если в бесконечности он совпадает с арифметической прогрессией, что имеет место, если члены ряда X, X', X", X'" и т. д. в бесконечном сходятся к равенству, так что в конце концов разности ряда S, S’, S" и т. д.
rrlcol г»!ооЧ-11 о1оэ4-2г становятся равными, то в этом случае количества о 6 , о
и т. д. будут составлять арифметическую прогрессию, и поскольку = ибо
-! <о| = 51«| +ш (51«,+ 1| _ w5|c^ II + (1 __ю) ^OOI.
будем иметь
Е1ет| = о>5|о°+11 + (1 -о>) 5
Но
51 "+11 + 51'л1+Х|со+11, откуда
V1”1 _ .у (>)Х1“+11.
Отсюда получим уравнение
£ + Z' + Z" 4- Z'" + ... + Z^ । =
= S 4- X' 4- X" + X'" 4- . .. 4- 4- о>Х'-+1',
из которого определяется искомое значение 2, которое принимает функция S, когда в неё вместо х мы подставляем ®4-o. Именно, мы получим
)2 = S 4- и)Х| с+11 4- X' 4- X" 4- X'" 4- и т. д. до бесконечности —
— Z' — Z" — Z’" — и т. д. до бесконечности.
Если бесконечно удалённые члены1) ряда А, В, С, D и т. д. исчезают, то член о>Х1'- +ч исчезает, и его можно опустить.
371. Итак, значение количества 2 выражается новым рядом; его можно получить, если известен общий член ряда А-^В-1-СА- и т. д.,
Поэтому при целом х функция F (х) представляется сходящимся рядом
F (х) = xf (1) 4- {[/(l)- /(z 4-1) 4-z [ '(2) - j (1Ц1 4-
-:-<[/ (2) - / (x + 21] 4- x \f (3) - f (2)]} 4- . •., (.>) который можно принять за определение функции F (х) при дробном х.
Разлагая разности / (а) — / (х 4- а) и бесконечные ряды, Уилер представляет ряд (5) в виде суммы двух рядов:
х {/ (1) 4- [/ (2) - j (1)] 4-[/ (31 - / (2)] 4- • • I (6)
и
4/(2) 4- • • ] 4--J [/"(1)4-/(2) 4-.--) 4--^ [/" (1)4-/'" (2) I-...).
Но из текста §§ 376 и 379 ясно, что Эйлер хорошо видит, что в рассматриваемом случае ряд (6) и ряд
X [f (1)4-/(2) 4- ...], взятые по отдельности, расходятся, однако «взятые вместе» дают сходящийся ряд.
В случае, когда первая разность к нулю не стремится, но вторая разность стремится, получается более сложное выражение (§ 378). Впрочем, после сделанных разъяснений эти и дальнейшие рассуждения Эйлера не представят трудности для читателя. [Прим, перев.)
х) В оригинале termini infinitesimi.
516 ГЛ- XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
37'2. Вышеизложенное позволит нам также интерполировать суммы, т. е. определять значение суммационного члена, когда число слагаемых не является целым. В самом деле, если положить х = 0, то будем иметь также 5 = 0, а - будет выражать сумму стольких членов, сколько единиц содержит число о», хотя бы ото число ш и не было целым. Так, в первом примере, если положить
будем иметь (О 10 , (О со
' __ ---------1--------Д----------L-------_4_ и лг г
1(1-1 - а>) т 2 (2 ж ш) т 3 (3 + ю) 1 4('и ш) ‘
ИЛИ
- = «’0+ \-+-J+^+i + ит- Д-)
- ш2 (1 + Тз- : • ;!ls + Д- + 5V + и Т. д?)
+ w3(l + 7Г + ;р + V ж -5-4- + и т. д.) И т. Д.
В третьем же примере будем иметь
S = 1 + + 1 + 1 -I- + ’
** х г 2't । з’г 1 r£n । • • • г a>n •
Значение количества S, будет ли т целым или дробным числом, выразится следующим образом:
2 - ««> (^1 Т у»1-? + жжт + жжт ж 11 т- Д-)
п (га + 1) „ Z. I 1 1 \
----ЦТ 2 ' W V +"Тжг+ З^Н-2 + 4П<-2 + И Т. Д.-J
И т. д.
373. Тот же метод можно применить и к общему случаю. Пусть мы имеем ряд
1 2 3 4 ... х
S = A+B-\-C + V>+ ... X.
Пусть X при подстановке х ж ш вместо х переходит в Z, а 5 в 2; тогда г, io dX . о»2 d-X «о3 d*X
Z А + ~dX~ + ГГ^ + ! . 2 . з^з Ж И т. д.,
а так как Z', Z", Z’" и т. д. подобным же образом выражаются через
X', X", X'" п т. д., то будем иметь
2 _ 5 + о>Х1 ж 11 — <1 (X' + X" Т Xж X"" ж- и т. д.)
~ 1 • чТ/х2-ж/ж X"' Ж Х"” л п т. д.) жДЦ‘Ж' + г-Г' + х"''+ т.
И т. д.
514 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Подставив dx вместо <о, получим полный дифференциал предложенной функции S'.
dS = dx +1)2 + + 2)2 -f- + 3)2 + (x + 4ji + и т. д?)
- dx ((x+1)3 "l” (я + 2)3 + (x + 3)3 + (x + 4)3 + и т- Д-)
+ dx* C (x + 1)1 + (x+2)« + (x-f-3)4 + (x + 4)4 + и т- Д-)
— dx* C(x + 1)5 (x4-2)3 + (x+3)6 + (x4-4)5 + и т- Д-)
И T. Д.
Пример 2
Найти дифференциал следующей непредставимой функции от х:
111 1
5 = 1+т+у+ -,-+••• +^Zi-
Так как общий член этого ряда есть Х=2 р то
X' 1 Z' - 1
Xя- 2х + 1 ’ _ 1 Z" - 2х+14-2® ’ 1
X"' 2x4-3 ’ _ 1 Z'" — 2х 4- 3 + 2® ’ 1
И 2х + 5 т. д. 2х 4- 5 4- 2® И т. д.
Так как бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают и являются равными, то значение S, если вместо х подставить x-j-w, становится равным
S = + 2х + 1 + 2x4-3 + 2x4-5 + и т- Д‘
_______1___________1 —_ _ И Т. д. 2х 4~ 1 4- 2ш 2х 4- 3 4- 2<о 2х 4- 5 4- 2®
или
V С । 2® I 2® ,
° + (2x4-1)(2x4-14-2о>) +(2x4-3)(2x4-34-2®) + И Т’ Д‘
Если расположить члены по степеням со, будем иметь
2 = 5 + 2® Q2a. + 1)2 + (2х+3)2 + (2х+5)2 + и т- Д-~4о)3 (j2x +1)3 + (2х + З)3 + (2х 4- 5)3 + И Т’ Д’} + 8‘°3 ((2х + 1)‘ + (2х + З)4 + (2х 4- 5)‘ И Т' Д‘) — 16<°4((2х + I)5 + (2х + З)6 + (2х 4- у? + И Т* Д’)
И т. д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 515
Положим теперь dx вместо <о; тогда получим полный дифференциал предложенной непредставимой функции
dS = 2dx Q2x-ri)2-l_(2x4 з/-^(2ж + 5)*-^ и т* д0
— bdx- ((2а.+ 1у, + (2х+3)3 + (2х 4- 5)3 + И т- Д-
+ 8с&3 ((2а. + 1)4 + (2x4- З)4 + (2x4-о)4 + И т- Д’)
— 16«Zx4((2а.+ 1)5 + (2а. + 3)5 + (2Х4-5)6 + И т. Д.
и т. д.
Пример 3
Найти полный дифференциал следующей непредставимой функции ст х:
с___л , । 4---
° — 1 т 2» ' 4» 1 • • • । хп *
j
Так как общий член этого ряда равен то бесконечно удалённые члены будут исчезать и будут равны между собой. Поэтому поскольку 7' ________________________________________________1______
(x-l-l 4-ш)п ’
1" =_____-______
(х-|-24-®)п ’
1 ~ (х-|-34-®)п
И Т. д.,
у' — (х4-1)« ’
1 у// А
Л ~(х-|-2)п ’ v'" _ -1
(х-ЬЗ)"
И Т. д.
будем иметь
, п® п(п4-1)и>3 п(п + 1)(п4-2)м3
Л (x4-l)n+1 2(х4-1)п+3 6(х-|-1)п+3 • д-’
Y" __ 7" — п<0 _ п(п-Ц)®3 n (n + 1) (п 4- 2) ®3 _
Л (x4-2)'i+1 2(х4-2)п*3 6(хД-2)п*3 ’
Отсюда находим
S — 5 = пш Q—_)П- -j- (a. + 2)„+x + (а. + 3)п+1 + и т. д.^)
ГПр ш“ + (Х4-2)П+3 + (х4-3)п-3 + 11 т' Д0
n(n+i)(n+2) 7 1 1 , 1 . т д >
1-2-3 \(х 4-1)п+3 (x4-2)’'l'h3 ~ (х-|-З)”1"3 ~ • м-у-
Поэтому, положив ® = dx, получим искомый полный дифференциал функции S.
dS = ndx ((ж + 1),^1 + (ж+2)й7'1 + (x4-3)nfi + и т- д<)
п (п + 1) , , / 1 , 1 , 1 . „ „ „ X
1Г2 С.(х-г1)'”з+(х4-2)'‘^ + (х4-3)'‘’-з+ И • Д’7
п(п+1)(п+2) Л 1 1 _____1___ , ит X
+ ' 1 • 2 • 3 йХ <(х-|-1)п+з+ (х4-2)'^з + (х4-‘3)п"з+
и т. д.
33*
516 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
372. Вышеизложенное позволит нам также интерполировать суммы, т. е. определить значение суммационного члена, когда число слагаемых не является целым. В самом деле, если положить # = О, то будем иметь также 5 = 0, a S будет выражать сумму стольких членов, сколько единиц содержит число <о, хотя бы это число ш и не было целым. Так, в первом примере, если положить
У =1+А + Аи. +-£,
будем иметь
„ <0 , ш , <0 , и>
У _--------------------------------и T. Д.
1(1уш) ' 9(9,.ш)п з(3 + <о)п 4(4уш) д-
или
2 = ®(1+4 + 4+^ + й+ и т- д0
— ®а (1 + ^'+-^- + ^- + -5г+ и т- д-)
+ <05(^1 + — + + 4Т+5Г+ . и т- Д-)
И Т. д.
В третьем же примере будем иметь
2=1+27‘+зп + 4«+ • •• + шп
Значение количества S, будет ли <о целым или дробным числом, выразится следующим образом:
2 = пш -f- утгтг + + и т- Д>)
п(п + 1) , 1 , 1 , 1 . X
---4 . 2 ш“ + ’2"+ -gii^ + 4п+2_+ и т. д.-J
, n(n + l)(n + 2) , 1 , 1 , 1 , X
Ч 4.2.3 0J \ + 2П+3 ~3”+3 + 4n<,s и т> Д’у
И Т. д.
373. Тот же метод можно применить и к общему случаю. Пусть мы имеем ряд
1 2 3 4 ... х
s=a+b+c+d 4- . .. + х.
Пусть X при подстановке х + ® вместо х переходит в Z, a S в 2; тогда „ v , , 0>2d-Ar , «>3й3Х
% ~ % + dx + 1 • 2 dx- + 1 2 • 3 dx3 + 11 Т> Д’ ’
а так как Z', Z", Z'" и т. д. подобным же образом выражаются через X', X", X'" и т. д., то будем иметь
2 = 5 + «)Х|етИ|
(Х' + Х" + Х"' + Х""+ и т. д.)
(л2
' + Х" + Х"’ + Х""+ и т. д.)
rT-W3^-(r + X" + X'" + X""+ п т. Д.)
И Т. д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 517
Если Х*'+)| не равно нулю, то, чтобы устранить из рассмотрения бесконечность, можно представить это количество следующим образом:
X' .th = А' + (X" - X') + (X'" - X") + (X"" - X'") + и т. д.). Таким образом, мы получим
Е = 5 4-“>Х'4-в) ((X"--X') 4* (X'" — X") 4-(X"" - - X'") 4- и т. д.)
-d~d-(X' + X" + X'" + X""+ И т. д.)
’ (XZ X" + X'" + X и т. д.)
-- da (х' + Х" ~г Х‘" + Х"" и т- д->
И Т. д.
Следовательно, если положить ш _ dx, получим для полного дифференциала количества
S = А + В -Н С + . - . -- X
следующее выражение:
dS X'dxA-dx^X" -Х') + (Х"’ ~Х") + (Х"" - Х'")Х и т. д.) - d (X' 4-Х" + Х"' 4-Х"" -г и т. д.)
— * d~ (Х' + Х" ЕХ"' + Х""+ и т. д.)
-Л/3-(Х'-гХ" -Х"' i-Х"" :- и т. д.)
И Т. д.
374. Положим, что х = 0; тогда
X'= .4, Х" = йит. д.,
так что X'+ X’" 4-X'" + и т. д. есть бесконечный ряд, общий член которого равен X. Образуем затем ряды из следующих общих членов:
dX d-X d*X dlX
- — .------. ---. ---- и т. д.
dx ’ ‘>dx2 ’ (idx-* ’ ‘I'ldst
Пусть суммы этих рядов, продолженных до бесконечности, будут
/ТО-»"’-»-
При х 0 также и У — 0, a Е будет суммой ряда
.4 + #J-С ...y~Z, содержащего ш членов; действительно, Z есть член, индекс которого есть <о, является ли ш целым числом или дробью. Поэтому будем иметь
Е .= Ш.4 -ь Ш ((В - .4) (С - В) -L (D - О 4- И т. д.) —
- - шЗЗ — — о>32) — от4©— и т. д.,
где первый ряд можно опустить, если члены предложенного ряда в конце концов исчезают.
375. Напишем теперь х вместо ш; тогда перейдёт г. У, так что
1 23 4 ... х
S = Л + В + С -ь D <- ... 4 х,
518 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
и теперь значение S выразится бесконечным рядом следующим образом:
S = Ах -|- х ((В — Л) 4- (С — В) 4- (D — С) 4- и т. д.) —
— $8х — Еж2 — S)x3 — (Sx4 — хух& — и т. д.
Так как значение этого ряда выражается одинаково, будет ли х целым числом или дробным, то дифференциалы всех порядков количества S отсюда легко определяются:
2= A + (B-A) + (C-B) + (D-C) + И т. д. —
— $8 — 2®х — Зфх2 — 4©х3 — и т. д.
= ® ~~ — 6©х2 — Ю^х3 — и т. д.
® — 108*2 - 20®х3 - и т. д.
-2^-4 — -- ® — 5gx— 15®х2 — ЗБ^х3— и т. д.
Так как полный дифференциал равен
dS 4- d2S 4- с?35 4- ~ d4S 4- и т. д.,
то полный дифференциал предложенной функции S будет
dS = Adx-\-(B — .4) dx 4- (С — В) dx 4- (D — С) dx-j-и т. д.
— S3 dx — © (2х dx 4- dx2) — © (Зх2 dx 4- Зх dx2 4- dx3)
— (S (4х3 dx 4- 6х2 dx2 4- 4х dx3 4- dx4) — и т. д.
376. Итак, этим способом можно выразить дифференциал какой-либо непредставимой функции S, если бесконечно удалённые члены ряда
А + В + С + D + и т. д.
либо исчезают, либо равны между собой. Если бесконечно удалённые члены этого ряда не будут равны нулю, то сумма ряда, образованного из общего члена , будет бесконечной, но в соединении с рядом
А 4- {В — Л) 4- (С — В) 4-(Z> — С) 4- и т. д.
даст конечную сумму. Но может случиться, что члены ряда Л4~-#4-4- С 4- D 4- и т. д. бесконечно возрастают таким образом, что не только сумма ряда $8, но также сумма ряда © становится бесконечно большой. В этом случае не достаточно прибавить сумму А + (В — А) 4- (С—В) и т. д. Так как в этом случае бесконечно удалённые значения, рассмотренные в § 370, а именно, 5 |оо1, 5 |о°+1!, 5|оо+21, уже больше не составляют арифметической прогрессии, как мы принимали раньше, то нужно знать закон составления этой прогрессии. Прежде мы принимали, что первые разности этих членов равны; теперь распространим этот метод на случай, когда лишь вторые разности или третьи, или более высокие полагаются постояппыми.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 519
377. Рассуждая так же, как в § 309, положим, что вторые разности упомянутых значений являются постоянными; мы имеем
5|оо|, 51оо+1|; 51,00 + 21.
Первые разности
Х1'ЛН11, х100421.
Вторые разности
Х1°°+21 — Х'“ + 11.
Отсюда будем иметь
у I”1 _ 5|оо+ш| _ Х|оо| шх|оо+11 + - ~ - (XI00+21 — X100+11) =
= 5|о°| __ ^^zi)x|co+1 | + :^-^-=^Х1°о+21, поэтому будем иметь уравнение
S4-Z' +Z" + Z'" + ... +Zi“l = 5 + X' +Х" + Х"'+ • • • + XI°=l — _ М0'>~3) у, 03+1) , <>(<> — !) х|+2| ю 1 • 2 ~ 1 • 2 '
из которого получаем
S = 5+ X' + X" + X'" + X"" + и т. д. до бесконечности — Z'— Z"—Z'" — Z"" — и т. д. до бесконечности + <оХ|“+11 +п>("\~1) (Хте+2 -Х“+1').
Но бесконечно удалённые члены можно представить так, что будем иметь:
S + X -j-X -}- X ' -}- X"' -j- и т. д.
-Z'-Z"-Z,"-Z
— И т. д.
[ +х" + х'" + Х"” + Х'"" + и т. Д.
+ <D +«Ц_Х, _ х„ _ И т. д.
И Т. Д.
и т. д. • и т. д.
Здесь в то же время ясен и закон, по которому будет составляться это выражение, если лишь третьи или лишь четвёртые или более высокие разности будут постоянными.
378. Как выше было доказано,
Ida: • 2dz2 1 • 2 3dx® И Т‘ Д
Если вместо Z', Z", Z"' и т. д. подставить получаемые отсюда значения, то мы получим следующее выражение для значения S после
520 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
подстановки в него zp1 вместо х:
, 1й (* - 1) Y” 1 1 2 Л Г -j- X А 4” А + Х""" 4- и т. д-j
]-2Х" -2Х'" -2Х"" -2Х'"" — п т. д.
<о (ш - 1) 1-2 А •4-Х' -X" 4-Х'" 4-Х"" 4- и т. д. j
-Хй.(х' + Х" + Х'"4-Х"" + и т. д.)
(Х'4-Х"4-Х"'4-Х""4- и т. д.)
d3 • (.V' -5 X" + X'" 4- X"" + и т. д.) f>dz3
и т. д.
Если вместо о> положить dx, то получим полный дифференциал предложенной непредставимой функции 5:
I + X" + X'" + X”" X"'" + п т. д. 1
dS = X' dx\- dx \ v,,, г
I X — А —X —X — и т. д.]
_ f + X'" 4-Х"" 4-Х""' +Х......... 4- и т. д.1
-d:r (1-^. _2Х" -2Х"' — 2Х"" — 2Х""' - иг. д. I
-ЬХ'-^-/^ 4-Х' 4-Х" 4-Х"' 4-Х"" 4-нт. д.}
,, dx (1 — dx) (2 — dz) f
--------------- i Ч- A
1 2 3 I
„ dx(\ — dx) (2 — dx) dx( \ — dz) (2 — dz) . — 3X
1.2.3 I 1 - 2 - . < j_ ;;A
dx(\ — dx) (2 — dx) I
(-V-
II T.
II T.
II T, и T.
Д.
- d (Х' + х" + У'" + л:'/', + л:"/"+ ит. д.)
-2.6Z3- (Х'4-Х" X'" 4-Х"" 4-Х'"" 4- пт. Д.) —J-d8 • (Х' + Х"4-Х"' 4Х""4-Х..+ ит. д.)
-~d* (Х' + Х" + Х'"^Х""4-Х""'-Н и т. д.) II Т. д.
Это выражение имеет общий характер и даёт искомый дифференциал, каков бы ни был порядок тех разностей, которые становятся постоянными. Эта формула приспособлена к постоянным разностям, причём видно, каков будет закон её составления, если для получения постоянных разностей придётся итти дальше.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 521
379. Если ряд A-J-В + С + п т. д., из которого образуется непредставимая функция
2
1
3 'к ... х
S==A + B + C + D+ ...+Х,
составлен таким образом, что его бесконечно удалённые члены исчезают, то, как мы уже отметили,
dS = -d (Х'-^Х" Х"' + Х'”' 4 и т. д.)
- ' d1 • (Х'-;-Х" + Х'".4-Х""4- п т. д.)
~~ds • (Г-Ы" tX"4X""-!- и т. д.)
— Д <Z4 • (X'4-X" 4-X'" 4-X"" 4- и т. д.)
II г. д.
Если бесконечно удалённые члены этого ряда не равны нулю, но, однако, имеют исчезающие разности, тогда к этому выражению нужно сверх того добавить
f ^1" + Г"4Г" i-X.......4- и г- Д.)
dx<X' '
( - X' -X" -X'" -X"" - п т. д.)
Если же лишь вторые разности бесконечно удалённых членов ряда
А 4- В 4- С -j-1) 4- и т. д. исчезают, тогда, кроме того, нужно добавить
f 4Г"4Х'"'тХ......... + и т. д.)
I 'х"
_2Х" — 2Х'" — 2Х"" -- п т. д. у
12 |~Х' |
( -^Х' -ГХ" 4-Х'" и т. д.]
Если лишь третьи разности упомянутых бесконечно удалённых членов будут исчезающими, то кроме уже использованных выражений нужно добавить ещё
f +Х"" d-X""’ 4-Х............... + п т. д.)
4-Х"'
— ЗХ'" —ЗХ"" —ЗХ'"" — и т. д.
dx^(d.r.- -2) j __9V"
i • ': з ~ з
4-ЗХ" Ч-ЗХ'" 4-ЗХ"" 4 и т. д.
X'
— X' —X" —X'" — и т. д.
У
7 акой же вид будут иметь и те выражения, которые нужно будет ещё добавить, если исчезающими будут лишь более высокие разности бесконечно удалённых членов ряда А 4-4-С + ^ + и т. Д. Таким образом,
522 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
какой бы ряд мы ни приняли, если только его бесконечно удалённые члены в конце концов приводятся к постоянным разностям, мы сможем определить дифференциал образованной им непредставимой функции.
380. Если положить х — 0, то будем иметьХ' = А, Х" — В, X'" = С и т. д. Так как А 4~ В 4- С 4-D 4- и т. д. есть ряд, общий член которого есть X, то, образовав из общих членов
dX d*X_ d3X dXX
die ’ 2d.e“ ’ (jdz3 ’ 2tdxi
подобным же способом бесконечные ряды и обозначив их суммы соответственно буквами $8, (S, ®, @ и т. д., мы выразим сумму ш членов ряда
А 4- В 4~ С 4~ D -|- и т. д.
таким образом, что будет безразлично, является ли ш целым числом или нет. Напишем х вместо ш, так что
1 2 3 4 ... х
5 = А4-54-С4-54~ • • • 4- -X.
Если бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают, то
S = — ‘iQx — (Sa;2 — ®а;3 — (Sa:1 — и т. д.
Если бесконечно удалённые члены имеют только постоянные первые разности, то к этому значению надо сверх того прибавить
Г 4~ В + С -]-5 + Е + и т. дЛ х < А >
[ —А — В — С — D— и т. д.]
Если же лишь вторые разности этих бесконечно удалённых членов исчезают, то, кроме того, нужно прибавить
J' 4-5 4- D 4- Е А~Е 4- и т. д.'j
| 4~ В |
-2Д-2С-2О-2Е- и т. д.^
' ~А I
4-А 4-5 4-5 +D 4- и т. д.]
Если исчезают лишь третьи ранности, то сверх того нужно прибавить •следующий бесконечный ряд:
4- D 4- Е 4- F 4- G 4- и т. д.'
4- С
— 3C — 3D — 3E — 3F — и т. д. — 25
4-35 4-354-35 4-35 4- и т. д.
4- А
— А —В —С —D — и т. д.
381. Распространим это на другой род непредставимых функций, которые представляют собой последовательные произведения несколь
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 523
ких членов предложенного ряда А В А С-i-D X ит. д. Пусть, таким образом,
1 2 3 4 ... х
S = А В С D . . . X,
и пусть ищется прежде всего значение Е, в которое преобразуется S, если вместо х написать + Положим, как и прежде, что Z здесь тот член ряда Т + 5+С + П-|- ит. д., индекс которого равен ж-}-®, и что X отвечает индексу х. Для того чтобы свести этот случай к предыдущему, возьмём логарифмы; тогда
15=1Д + 15 + 1С + 1П + ... +1Х.
Если бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают, то применив тот же метод, которым мы пользовались прежде, будем иметь:
1L = 15 + 1X' -j-1 X" +1Х"'+ и т. д.
-1Z'-1Z"- 1Z"' - и т. д.
Возвращаясь отсюда к числам, будем иметь
Это выражение пригодно, следовательно, в том случае, если бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D и т. д. равняются 1. Если же логарифмы бесконечно удалённых членов этого ряда не исчезают, но имеют исчезающие разности, то к ряду, который мы нашли для 12 нужно, кроме того, добавить ряд
® 1 X' + ® (1 + 1 + и т. д.^ .
Взяв числа, будем иметь
382. Если мы положим теперь х = 0 — в этом случае X = l, X’ = А, Х" — В, Х"' — С и т. д., то Сбудет обозначать произведение ш членов ряда А, В, С, D и т. д. Будем теперь вместо ® писать х, так что 2 получит то значение, которое раньше мы приписывали количеству S,
1 2 3 4 ... х
S=A- В • С • D . .. X.
Так как теперь Z', Z", Z'" и т. д. переходят в X', X", X"' и т. д., то если логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D и т. д. исчезают, S выразится следующим образом:
„ЛВС D
м — ’ VF777 * х-///
и т. д.
Если же исчезают лишь разности логарифмов бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D и т. д., то функция 5 выразится следующим образом:
лх вХ А> = Ах —
Сх Bi~x Dx Ci~‘x ExDi~x
vu * -rrrrr ’ ’ И T. Д.
524 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Если лишь вторые разности этих логарифмов исчезают, то из предшествующего легко видно, какие множители нужно сверх того добавить. Этот случай мы опустим, так как вряд ли он встретится. Впрочем, применение этих выражений в деле интерполяции будет показано в следующей главе.
383. Так как прежде всего нам нужно дифференцировать такого рода непредставимые функции, то здесь мы пайдём дифференциал функции
S = А- В С D ... X.
Для этого снова возьмём ранее найденное уравнение
1 Е = 1 5 г 1 -V'Д-1 X" 1 X'" + и т. д.
— 1 Z' —1Z" —1 Z'"— и т. д.
Так как 1Z получается из IX, если вместо х положить х-\~ю, то
1 Z - 1 .V + ~ d • 1 X + d1 ГХ + d3 1 X + и т. д. 1 dx 2dx- 1 brfz3 1 м
Подставив эти значения в 1Z', 1Z", 1Z"' и т. д., будем иметь
1 S = 1 5 - £ d • (1 X' + 1X" + 1X'" +1X"" - и т. д.)
.,hX: ’ О X'4-IX" + IX'" 4-IX"" 4 и т. д.)
— ^tZ3 • (1Х' +IX" 4-1 X"" 1 X"" 4-п т. д.)
и т. Д-
Положим теперь со = dx. Тогда 14—1 5 -j- d • 15 и поэтому
= -—(/•(! X' + 1 X" + 1 X'" + 1X"" 4- и т. д.)
-ь ’ (1Х'4-1Х''4-]Х"' + 1Х""+и т. д.)
- -J- d:s (IX' 4- LY" 4-1 X'" + 1 X"" 4 и т. д.)
и т. д.
Эта формула пригодна, если логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D и т. д. исчезают. Если же они не исчезают, но имеют исчезающие разности, то к предыдущему выражению полного дифференциала нужно ещё добавить ряд
1 X' Т dx (1 4-1 'У Т 1 *Z X и т. д.) ,
и тогда получится потный дифференциал.
384. 'Го же самое можно представить иначе. Положим .г = 0; тогда 15 перейдёт в О. Образуем теперь ряды, общие члены которых суть
Пусть суммы этих бесконечных рядов соответственно будут 91, SB, (У, 3) и т. д. Напишем х вместо <и, так что 4.-5; тогда
1 5= — — Ст? — Тх3 — ®.г4 — и т. д..
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ 525
если логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D и т. д., общин член которого есть X, исчезают. Если же лишь разности этих логарифмов исчезают, то
] X z_- х J. 1 4 х (j. 1 + 1 4-1 4 И т. д.^)
— &х2 — Хх2-&х4 - п т. д.
Таким образом, дифференциал количества 15 будет
-- dx 1Л 4 dx ( 1 ® 4-1 ~в -|- I ~ + 1+ и т. д.^)
— S3 dx — 2&r dx — 3®х3 dx — 4(£;r3 dx — и т. д.
Если же требуется найти полный дифференциал, то он будет
^ = fZxL4 + da:^l^-+l^ +1^-4-1^- + и т. д.^
— S3 dx — (X (2х dx 4- dx2) — ® (За;2 dx 4 Зх dx2 4 dxs) — и т. д.
Чтобы показать применение этих формул, мы прибавим следующие примеры, которые решим обоими способами.
Пример 1
Найти дифференциал непредставимой функции
,,13 5 7 2,г - 1
2 ' 4" '6 ’ 8 ’ ' 2х *
Здесь прежде всего следует заметить, что бесконечно удалённые члены этого произведения обращаются в единицу, и потому их логарифмы 2ж — 1
исчезают. Так как здесь Х =—— . то '1х
, ° Г 1 ч Г J- Ч , ,, • — 5 V 2, 2’ v' 2.' 4 V 2, С. 11 Т- -Ь
и вообще yiu + 2"г: ’ 2x4 2ч ’
откуда 1 Х’*1 = 1 (2х + 2п — 1) — 1(2х 4 2п), d . ] — ; 2х-,-2п—1 2x4 2ч d2 1X'"' = - > (2x4 2п — 1)“ (2х-2н)- d3 1 X’‘i - । . 2 2 i </.гз 2_’JLi4_^ ' (2x4 2ч-l)3 (2x-|-2n)3 ’ . j yixi _ L- 1j_44g dj:i , ‘-L2 4 6J'3-4 (2x4 2я — I)4 ’ (2x 42n)4
И Т. д.
526 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Следовательно, полный дифференциал будет:
dS __ 2x4-1 + 3 1 2х 4- 5 + И Т' Д‘
s — лах | _ 1 1 j
2x4-2 2x4-4 2x4-6 ~ И Т' Д‘
,4jJ (2х+ 1)2 + (2x4- З)2 + (2X4- 5)2 + Д
+ 2 | _ 1 1 1
’ (2х 4-2)2 (2x4-4)2 (2x4-б)2 и т> д
(2х 4- I)2 + (2х 4- З)3 + (2х 4- б)3 + И Т' Д
1 1 1 -----------------.------------И т п
(2х-|-2)2 (2х4-4)2 (2x4-6)2 м
Если же ищется только первый дифференциал, то он будет
s 2dx • (j2x4-i) (2x4-2) + (2x-j-3) (2х4-4)+(2х4-5) (2х ч-6) + И Т' Д
То же самое по другому методу, изложенному в § 394, мы найдём следующим образом. Так как
1Х = 1
2х— 1 2х
ТО
d IX _ 2 1 d2 1 X 2 ,1
dx ~~ 2х - 1 х ’ 2dxs ~ ~ (2х —I)2 + 2х2 ’
d3 • \ X 8 1
6dx2 — 3(2х—I)3 ~ Зх3 И Т' Д’
Поэтому
з1=14+1т+1г+1т+и т- Д‘ х Ч о о
С 2 2 2 2 2
„ J т+з+т + 7 + -<г + и т- д-
| 2 2 2 2 2
— 4" 6 — Т ю и т‘ д>
= 212,
Г 1 । 1 , 1 , 1 ,
I 1 + З2 + 53 + 72 + И Т‘ Д’
} 1 1 1 1
I 22 42 б2 82 и т- Д-
(1111
т+зг + бг + т? + и т‘ д-
1111 -------и т. п.
2< 44 64 8*
и т. д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 527
или
+4(1—4 +1 —г + и т- я') ’
е=-|(1-4+3^“^+й--и т- д-)’ ^+4(1-4+4-1+^и т. д.), ®= -тС1-^ +^“4^ + 5^-И Т- Д0 и Т- Д-Подставив найденные значения, будем иметь
^=~2^(1-2+-3-т+Т-и т.
+ 4^(1-4 +4“4++'-и т- д’)
-8z2dz (1_1 + 1_^ + ±_и т. д.)
+ 16ЛГя(1 —~ + 4> “4^ + 5^~и т- д’) и т> д’
Таким образом, если z = 0, — в этом случае 15 = 0 и 5=1, —то dS=—2dzl2.
Пример 2
Найти дифференциал непредставимой функции
5 = 1- 2.3-4. ..z.
Члены ряда 1, 2, 3, 4 и т. д. возрастают до бесконечности таким образом, что разности логарифмов исчезают; действительно,
1(оо+1)-1=о = 1(1+;1)-А_0.
Так как X—z, то
X'^z-j-1, X" = z + 2, X'" = z + 3 и т. д.
Далее, так как lX = lz, то
= di-lX = -^, </’-1Х=^, X ХЛ X*
следовательно, если бы последние логарифмы исчезали, то было бы
dS , < 1 , 1 , 1 , 1 X
Т=-^Ч^ + ^ + л-+зЪ-+4-гИ Т- *)
, dx3 /~ 1 11 , 1 । в
+ TV(i+l)2 +(х+2)а +(х+3)а + Т
dx3 / 1 1 . 11
3 <(х + 1)3 +(х + 2)3 ^'(х + 3)3 +(х + 4)3* + И Т'
д. )и т. д.
Но так как лишь разности логарифмов исчезают, то сверх того нужно добавить выражение
М1И)+Л(С>ф1^+|£+. Т. А.).
528 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ
Л так как
, т Ь 2 I 1___, 1 1
ж-t-l 'z-'l' Л/ D- + 3(х + 1):> 4(.г , 1)« ' 11 т- д”
, .> А 3 I 1,1 1
Й + Г.Н2 2Р 3(г • 2)^ Ы,- Л.» 11 Т- Д-
и т. д..
то истинный полный дифференциал будет
X = dx 1 Ь 1) - 4 {dx - dx*} + (--1-.2)2 + (z ' :1)е + и т. д.)
^(_^+(-ф7+(_ф^ + и т. д.) -l(dx-d^) Q_L-4-(_L—+ ^л_ + и т. д.) +(7^+и т- д0
и Т. д.
Если же мы хотим выразить этот дифференциал другим способом, то, поскольку
1V-1 1 -V I I 1 .V 1
У Х’ d.r, х ’ Zdx2 2z- : 6dx3 3x:i ’
d*j_.r
2'td.c1
<4 11 T- Д’’
мы будем иметь следующие ряды:
= 11 +1 2 + 1 3 + 14 -г 1 5 + и т. д.,
23 ---= 1 (1 + + J; + -J -г- -J + II Т. Д.) ,
6= -4 (i +4 +3‘ -i-4V+4+п т-д-) > *40+4+4+4‘-4--. д.у е = 4 (1 + 4+34-+4+4+и т- д0п т-д-
Так как 1А = 11=0, то из § 384 имеем
is = t (4 4+14 + 1у+1т+и т’ д0
- х (4 +4+4+4+и т- д-) +1^(1+л4.д+4+п т. д4
— 4 z3 (4 + 4+4+4+и т- д0
- :-4^4(i -г4+4+4+и т-д-)и т-д-
Хотя первые два ряда, на которые помножается х, каждый в отдельности имеют бесконечную сумму, однако вместе они дают конечную сумму. Действительно, если взять в каждом из этих рядов п членов, то получится
1(м i)-i_ j-4-4------
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 529
Но выше (§ 142а) мы нашли, что
. , 1 . 1 . I , , 1 . , , , 1 91 , ЭЗ
1 -t- -г + ТГ + 7 + • • — const. + In + 5 Т-.> + ! — ПТ. д., '234 п 1 1 2п 2п2 1 4nJ ’
причём это постоянное равно 0,577 215 664 901 532 5 *). Поэтому, если положить п = со, будем иметь
1+4+4+4 -------+ + == const. + loo.
Следовательно, значение этих двух рядов, продолженных до бесконечности, будет равно
1 (оо + 1) — const. — 1 ос = — const.
Отсюда будем иметь
1 5 = х 0,571 215 664901 5325
-++ + + + -+- ’ »•)
+ Т ( 1 + 4 4 + 4 + 4 п т- д-) и д-Отсюда легко найти дифференциалы любого порядка. Действительно, ~ = — dx • 0,577 215 664 901 5325
+ ^ dx (Ч +4 + 4 + 4 +4 +и т- д')
— х' dx (Ч + + jp- + ;-? +5Х + и т- Д-^
+xzdx (Ч+4+4+4 +4+п т- д0 и т‘д’
Если эти ряды собрать в один, будем иметь = - dx • 0,577 215 664 901 532 5 +
х dx , xdx , xdx ( xdx । „
r 1 (1 H- x) r 2 (2 4- z) + 3 (3 + x) + 4 (4 4- x) + И T’ Д> Поэтому, если x = 0, то
= ~dx • 0,577 215 664 901532 5.
Из первого же выражения мы будем в этом случае иметь ds I х С л ,1 , 1 , 1 , А
— = ~-£dx -г^+з? +р-ги т. д. J
+ 4</z(1+4+4+4 + 11 т‘ д‘)
-{dxС1 +4+4 +4 +и т-д-)
+|+г(Ч +4+4 +4 +и т-д-) и т-д-
J) В последнем знаке имеется погрешность; верная цифра будет 8. [Г. /А] л. Эйлер
530 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
385. Дифференциалы подобного рода непредставимых функций можно определять также и для особых случаев ’), поскольку здесь мы нашли полные дифференциалы. Поэтому если такие функции входят в выражения, которые кажутся неопределёнными — такие выражения мы рассматривали в предыдущей главе,—их значения можно определить тем же методом. Это уяснится на следующих примерах.
Пример 1
Определить значение выражения
11 1 1 + ~2~ + ~Г + --- + 'Г х (х — 1) 1 (ж — 1) (2ж - 1)
в случае, когда полагается rc=l.
Положим
1-ь-г+4+---+4=5-
З'огда, согласно § 372,
S = x (1 + -А- + А +J_+ и т. д.)
-®2(1 + + ’43-+ И Т-
+ ^3(1+т21г + -8!г + ^-+ и т. д.)
И т. д.
По мы имеем также
С ) л 1 I । I , I I I ,
5 = -|- 1 + —— -д- + —~~ + + И Т‘ Д"
11111 — --------------------------ИТ,
1-pz 2-j-z 3-(-z 4 -j-u: о+а
Если каждый член этого ряда сочетать с соответствующим членом предыдущего ряда, получится
С 4 । 1 I & ’ 1 . % 1 .
= + 2 а+жД + 3(2 + ж) + 4 (3 + ж) + 11 Т’ Д‘
Это выражение является более удобным, так как мы должны положить х = 1. Пусть z=l-{-<«; тогда будем иметь
о Л , (О со
*5= 1 + + 3(3^ +^4 (4 + т) + и т‘ д>
или
5= 1 +<» ЛЛ-4-+ + h т. д. +
А О -4 О J
-U)2(-J-+ зз + ~^ + ~^ + и т- Д.)~Е®2
+ “3 С 2‘" + -^ + 4‘" + 5*' + 11 Т- д- ) + ® “3
И Т. д.
х) Т. е. в случаях, рассматриваемых в гл. XIV.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ 531
Всё выражение при х = 1 + ш перейдёт в выражение
1 + — ©<о2 ®<о3 — и т. д. 1
ш ( 1 - со) со (1 + 2<о) ’
ИЛИ
со -'-33а> -1- 2®<о2 — ®со'2 — и Т. Д. 1 + 53 + 258ш — ©со — И т. д.
i(I-l-«>)(l + 2co) ~ (1 + <O) (1 -I- 2а>) '
Положим теперь <и = 0; тогда значение предложенного выражения при х = 1 будет равно
1 + S3 = 1 + + -V + ~ + и т. д.
1ак как этот ряд равен у г, .то, следовательно, искомое значение 1
равно — тс-.
Пример 2
Найти значение выражения
, , , (2л -1) f 1 + -1--± )
2х — X" 2 3 :с /
(х “ I)2 G^z — 1) х(х — I)2
в случае, когда полагается х=1. 11 1
Введём обозначение 1-|-у+ — +... + — $ и положим х = 1 + «);
тогда, как мы нашли в предыдущем примере
5=1 + $Вю — + и т. д.,
где ,, 1 i 1 1 1
Я = 22~ + -32 + -J + -5Г + И Т. Д. = у Г/ — 1, S=4- + ^’ + 7.V + -5V+ и д->
2 ) = -^г + -р-+71г + -г+ и т- Д-и т. д.
Если теперь положить £=1-р, то предложенное выражение примет вид
1 — <»2 (1 + S) (1 + ") (1 + 2а>) (1 4- ЯЗш — ®о>2 + ®<о3 — и т. д.)
О)2 ’ со (1 — со) со2
Если это выражение привести к одному знаменателю о)2 (! + «)), будем иметь
14- со — о»2 — и)3 4- 4" 2<о2 4* (°3 4- (14" 2о) 4~<1)2)
О)2 (1-4 со)
1 — 53со 4~©со2 — ®<о3 — 2со — 2ЯЗсо34“2©со3 — н т. д. со2 (1 4- (О) ’
а это выражение приводится к виду
СО2 4“ ©со2 4- ЗЗсо3 -4 2©о>3 — фсо3 4 и т. д.
(О3 (1 -4 со)
34*
532 ГЛ. XVI. 0 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ непредставимых функций
Пусть теперь «>=0; тогда получаем 1-j-(S. Поэтому значение предложенного выражения при х — 1 будет равно 1 + 6, и поэтому оно представится рядом
1111
1 + з- + “зз + дг + уг + и т- Д-'
сумма которого пе может быть выражена ни через логарифмы, ни через окружность круга, и до сих пор мы не можем представить искомое значение каким-либо другим образом в конечном виде. Из этих двух примеров достаточно ясно видно, какое применение может иметь дифференцирование непредставимых функций в учении о рядах.
386. Изложенный здесь метод дифференцирования непредставимых Функций основан на предположении, что бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D, Е и т. д. либо равны нулю, либо имеют исчезающие разности. Если ни то, ни другое не имеет места, то пользоваться этим методом нельзя. Поэтому я изложу здесь другой метод, не стесняемый этим условием; он основан на общем способе суммирования ряда, имеющего заданный общий член, который был подробно изложен выше (гл. V). Пусть ЭД, 35, (S, ®, (£ суть бернуллпевы числа, полученные в § 122, и пусть предложена следующая непредставимая функция:
X dx j--
5.
К d3X
этой функции. Дей-
1 Д .1 4 ... X
[ I! С t /)+... ф-Х. как выше (§ 130) мы показали, что ЪЛХ_ _ SdAT _________________________
1 • 2 dx 1 • 2 • 3• 4dxi ' 1 • 2 •
то отсюда легко будет определить дифференциал ствительио, мы будем иметь
, 1 JV , ^d-X ’&dlX , ____
dS — Xdx dX j 2dx £ . 2 . 3 • 4dx3 r 1 • 2 3 • 4 • 5 • G dx- ” И T‘ Д>
15 d3X
387. Если же предложенная прогрессия связана с геометрической— в этом случае бесконечно удалённые её члены никогда не приводятся к постоянным разностям, и потому первый метод не может быть применён никаким образом, —тогда будет полезен метод, изложенный в § 174. В самом деле, пусть предложена функция
5 = Ар I- Вр"~ + Ср* ф- Dp* ф- .. . ф- Хрх.
Будем искать такие значения букв а, [3, у, В и т. д., чтобы
Р-1 р — еи
Найдя эти значения, как мы это сделали и § 173, будем иметь
|JtT-I-"fn.3 + Su4 + г?Г-- и т. д.
р * dX . В d-X
= • рх (X —
р — I ' ' de dx-
у d3 X . <НАГ ,
Е-—- ---j-. и т. д.)
/У (уЗ • /7.г-1 '
постоянное. Это постоянное должно сделать сумму равной нулю при 2=0 или удовлетворить какому-либо другому условию. Если взять дифференциал, то это постоянное пропадет, и мы будем иметь
dS = ’’
р-
р: dxA j,{\
Zd2X yd3A dx- ~dx3 11 Т‘ Д‘
Р
Р~~1
• pr (dX -
d x 1 dx1
yd*X . ,
'./.ю 11 T-
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ 533
или
dS = утгр (X dx 1 р - (а 1 р-1) dX д_ $ 1 р - а)
— (YO-?)4Jr+ 11 т- д-)’
это и есть искомый дифференциал предложенной функции S.
388. Если предложенная непредставимая функция состоит из множителей, то независимо от того, имеют ли логарифмы бесконечно удалённых сомножителей постоянные разности или пет, всегда можно этим методом найти дифференциал функции. Действительно, пусть
1 2 3 4 ... х.
S=A- ВС- D...X.
Так как отсюда
1S = 1A+1B + 1C + 1ZH- . . . 411, то, обращаясь к помощи бернуллиевых чисел, мы чбудем по предыдущему методу иметь
т с С } т v . 1 . , 91 d - 1X S3d3 IX
15= \ dx 1 А + —-1 X 4- -----;;—- , , , -4- и т. д.
J 1 2 1 1 • 2 dz 1 • 2 • 3 4 dz3 1
Дифференцируя это выражение, получим
dS т v . < , т v , 21 d2 • 1 X ® d1 • 1 X , е d’ • 1X
5 - ах Л г 2 а ’ 1 Л + 4” 2 dz ' 1 : 2 • 3 • 4 dz« + 1 • 2 • 3 • 4 - 5 • 6d?
Э d8 • 1X
1 - 2 - 3 4 - 5 . 6 • - -8dz’ r И T’ Д‘
Если, например, будем иметь Х~х, так что
5=1 • 2 • 3 • 4. . .х,
то, прилагая эту. формулу, найдём выражение
dS , , dx '21 dx , $8 dx (£ dx ® dx
— = dX 1 x + -----—4- -----r=- 4- =-= и T. д.,
Л 1 2z 2z2 1 4z4 bze 1 8z8 M ’
которое, если x есть очень большое число, будет более удобным, чем найденное ранее.
ГЛАВА XVII
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
389. Говорят, что ряд интерполируется,- если указываются его члены, отвечающие дробным или даже иррациональным индексам. Таким образом, если известен общий член ряда, то интерполяция не представляет никаких затруднений, ибо какое бы число ни подставить вместо индекса х, это выражение даст соответствующий член. Если же ряд составлен так,’ что его общий член никаким образом не оказывается возможным определить, тогда интерполяция такого ряда весьма трудна, и по большей части члены, не отвечающие целым индексам, нельзя определить иначе, чем с помощью бесконечного ряда. В предыдущей главе мы определили отвечающие любым индексам значения таких выражений, которые обычными способами нельзя выразить в конечном виде. Это принесёт нам большую пользу при выполнении интерполяций. Поэтому здесь мы внимательнее рассмотрим, как в этом вопросе применяются результаты, полученные в предыдущей главе.
390. И усть предложен какой-либо ряд
1 234 ... х
A + B + C+D+ ...+Х,
общий член которого X известен, а суммационный член 5 неизвестен. Образуем другой ряд, общий член которого был бы равен суммацион-ному члену данного ряда. Этот новый ряд будет
А, (л + В), (Л + В-^-С), (Л -}-В А-С -\~D), (А + В + С + В+Е)и т. д. и его общий член, т. е. член, отвечающий индексу х, будет равен
А Н- В-\- с А £>+...+ х = S.
Так как явное его выражение неизвестно, то интерполяция этого нового ряда связана с трудностями, о которых мы ранее упоминали. Чтобы интерполировать этот ряд, нужно найти те значения количества S, которые последнее принимает, если вместо х подставлять какие-либо нецелые числа. В самом деле, когда х есть целое число, то соответствующее значение 5 находится без затруднений, а именно, нужно произвести сложение стольких членов, сколько х содержит единиц.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
535
391. Чтобы можно было использовать результаты предыдущей главы, положим, что х есть целое число, так что соответствующее ему значение S = А 4- В + С + .. . + X известно, и будем искать значение S, в которое преобразуется S, если вместо х подставить я4-®, где «> есть какая-либо дробь. Тогда Е будет тот член предложенного ряда, подлежащего интерполяции, который отвечает индексу Если
мы найдём его, то интерполяция предложенного ряда тем самым будет выполнена. Пусть Z есть тот член ряда А, В, С, D, Е и т. д., который отвечает индексу я-Ь®, и пусть Z', Z", Z’" и т. д. будут последовательные члены, имеющие индексы ^-(-«> + 1, + ш +
#4-“>4-3 и т. д. Предположим сначала, что бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D и т. д. исчезают. Итак, ряд
12 3 4
А, (А г В) (А + В + С), (А + В + С + В) и т. д.,
у которого член, отвечающий индексу х, есть 5 = Л + 5-|-С+...+^ будет интерполирован, если мы отыщем его член Е, который отвечает индексу arJ-w; но, как было найдено,
S S -J- X' 4- X" 4- X’" + X"" 4- и т. д.
— Z' — Z" — Z"’ — Z"" — и т. д.
Таким образом, мы будем иметь бесконечный ряд, равный искомому члену И. Так как
„ «dX , <o3d3X
z = А + 1 XidAA
<л3 d3X
1 • 2 • 3dz3
4- и т. д.,
то мы можем преобразовать этот ряд к виду
-=S-^-d.(X' + X" + X'" + X""+ ит. д.)
(X'4-X" 4-X'" 4-X"" 4- ит. д.)
(Х'4-Х" + Х"'4-Х""+ ит. д.)
И Т. д.
Из этих двух формул можно применить ту, которая в каком-либо случае окажется более удобной.
392. Возьмём в качестве ряда А, В, С, В и т. д. какой-либо гармонический ряд
а Н а + 26 + а Ц- 36 “ Т‘ Д’’
общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен ——~Следовательно, нужно образовать ряд
1 2 з
a i \ а 1 а 4- &} ’ \ а ' а-\-Ь' а J ’
1
(1 1 1 1 \
~ а 26 + а + 3&/ И Т* Д’’
536
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
общий член которого, отвечающий индексу х, будет
S = -- -4_— л______1______L 1________J____
а ' а b 1 а р 26 ' л 4- 36 ’ 1 а -- (х — 1) Ъ '
Если теперь £ есть член этого ряда, отвечающий индексу z-j-w, то, -7 1 г
поскольку Z-———-------m , будем иметь
Х' = ’ а 4- Ь х Z' 1 а Ьх bw '
Х" = —^ГГГ а Ь Ьх ' Z" 1_ a \-t> -- bx + bit. ’
X'". 1 Z’" 1
а 4-264-Ьх a -j- 26 4- bx ~ 610
и т. д. и T. Д.
Отсюда получим
S I —±_ д_ * j________________... _
"г" а Д- bx ’г a + b 4- bx ‘ a 4- ‘lb 4- bx
11 1 —-------------------------------и T Д
a-pbx-pbio 04-64-6x4-610 04-264-6x4-60 ‘
Другое же выражение будет иметь такой вид:
/11 1 \
Е = S + 6(0 + (в + 6 + 6х)3 + (ГГгбТб^ + 11 Т’ д’>
A2ox3 ( 1 ' 1 1 1 , __ _ 4
Ю \(о4-6х)3~^ (а-рб-рбх)3 ‘ (а 4- 26 Ьх)3 И Т‘ Д'У
,3 , f 1 1 1 \
+ Ь ш {(а + Ьх)* + (74-6 4-^/ + (а 4-26 4-Ьх)* + И Т’ Д>) и т. д. Пример 1
Пусть предложен ряд
!, О + у)’ (1 + 4 + 4)’ (1+ 2+4 + 1) и т’ д’’
требуется определить члены его, отвечающие дробным индексам.
Здесь а—1 и 6=1; поэтому, если член, отвечающий целому индексу х, положить равным
а член, отвечающий дробному индексу х-1-«>, обозначить через Б. то будем иметь
2 0,11,11.1.
= 5 + + + + + и т. д.
X Л/ у ‘х у Л. <J -, Д,
_ 1______1______1_____1 1
14*т® 24~я-г«> 3-f-x4-<o .i-px-p10 5-j-x4-<0 и ' Д'
Заметим, что если будет известен член, отвечающий дробному индексу ю — положим этот член равным Т, то из него легко можно будет найти
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
53 7
член с индексом # + «>; действительно, если Т', Т", Т"' суть члены, отвечающие индексам l-f-w, 2 + <о, 3-)-® и т. д. и т. д., то
7’"-2’+гЬ + гЬ-
, 111
т = --— ----—I—
* 1 -j- <i> 2 3 -г о>
И Т. д.,
так что достаточно найти лишь те члены, которые соответствуют индексам о>, меньшим единицы. G этой целью положим я = 0; тогда также 5 = 0, и член ряда Т, отвечающий дробному индексу «>, выразится следующим образом:
14 11
^’ = T + y+ j+ '4'i' ит-д‘
1111
------- И т. п. 1 4~ о* 2 4- <•> 3 4“ 4 -j-со
Если обратить эти дроби в бесконечные ряды, получится другое выражение
7= 4-ш + А + А +А 4--1 + и т. д.)
(1+4 + ^ + Б» + и т-д-)
Ч-ш3 (4 + у +“ + + 54+ И т. д.^
0)4(1 + 4 + ¥'++ и т- д )
и т. д.,
которое очень удобно для нахождения приближённого значения Т.
Так найдём тот член предложенного ряда, который отвечает 1
индексу —; полагая его равным Т, будем иметь
г=1-4+4
2 12 12
т + т — 7 + T~i+ и т- д-
или
И т. д.
Значение этого ряда равно 2 — 212, и, таким образом, член с индексом 2- может быть выражен в конечном виде. Следовательно, члены, 13 5 7
равны —, —, —, — и т. д., выразятся следующим
3 5 7
УТ Г
9 0 9 9 0 9
2+ ‘5’—212, 2 4- — + 4— 212, 2-|- —+ '5’ + 'т—212 о о О О’-»/
индексы, которых образом: Индексы у
Ч гены 2 — 212,
и т. д.
538
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Пример 2
Пусть предложен ряд
(1 + т)’ O + l+y)’ О + у + тЦ) и т- «•
требуется выразить его члены, отвечающие дробным индексам.
Здесь а=1, 6 = 2; поэтому, если член, отвечающий целому индексу х, положить равным
5=1 + 1+т+--- +1Г-1’
а член, отвечающий дробному индексу ж-|-о>, обозначить через В, то будем иметь
- = + 1 -г, 21 3 -г 2z + 5 2z + 7 (- 2z И Т‘ Д'
_____1 1 1_______________________________1_____
1 -2(х + <1>) 3 + 2(x-j-a>) 52 (zu>) 7-j-2 (яш) И 1 ‘ Д‘
Так как достаточно найти члены, индексы которых меньше единицы, то пусть х=0 и 5 = 0. Если член, соответствующий индексу!, положить равным Т, то будем иметь
4-14-1
1 +у + 7 + V + и т- Д-
1 г 1 1 1
Т+2“ 3~+2“ — 5 X55 “ 7 + 2со 9 -;-21 ~ И Т‘ Д‘
Если положить, что о> есть какое-либо число, то поскольку Т есть член, отвечающий индексу о>, Т будет общим членом предложенного ряда; он выразится также следующим образом:
„ 2и> 2<о 2ю 2о> .
Т — ...--------------------------------L И Т. И.
1(14-2») ‘ 3(3 + 2и>) т 5(5н-2«>)т 7(7 + 2и>)^ д
или так:
Т= 2ш (1+-*3- + ^+-^ ; > и т- «•)
- (Ч + А + ~ у А + £. + и т- Д-)
+ 8о? (1 у А + А ж 1 + А + и т. д.)
- 16с»1 (1 + ^5- 4- 4 4 4 F + нт. д.)
и т. д.
Положим, что о) =-- ; тогда член, отвечающий этому индексу, будет
r^l-A
и будем иметь:
тт 13
Индексы — -
, 1 1 , 1 , п
1-3-4 +Т- И Т‘ Д- =12
Члены 12, 4+12, лг + ^112, 4 +4 +1 А12 и т‘ д*
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
539
Если <» = --, то будем иметь
+4+4+4 ит-д-9 9 9 0
-у- 7~11-15- 11 Т- Д-
.ИЛИ
riy л Lil. 'L . 1 i I- т ci
> + ;; ,,;+ И *. Д’ ~ у 1 2 = у 1 2
393. Если теперь для ряда общего вида
1
ищется член, отвечающий индексу — , то нужно в выражениях преды-
дущего параграфа положить х = 0 и <о = —; тогда 5 = 0, и искомый
1 s
член, соответствующий индексу -7-, будет
12 12 1 2
а 2а Ъ 1 а [- ~Ь 2а г •+ а -р 2!> 2а 55
- 5
(2а+ 26) (2а+ 35)
2б2
млн, если преобразовать члены к более однородному виду
I v 1 1 , 1___i _д_____________
2 2а 2а -f- b ' 2а у 25 2а + 35 2а т 45 И Т’ Д'
Так как в этом ряде знаки и — чередуются, то если взять после-.довательные разности, значение уЪ выразится по методу, изложенному выше (§ 8), рядом, сходящимся быстрее.
Но ряд разностей будет
— 5 - Ъ
2а (2а b) ’ (2а -i 5) (2а 25) ’
253
2а (2а + 5) (2а j-25) ’ (2а Ь 5) (2а 25) (2а + 36) И *’ Д’’
- 65 3
--------------------------II т. л.
2а (2а + 5) (2а ~ 25) (2а 4- 35)
Отсюда заключаем, что
1 v 1 , 1 5 , 1 • 25’ , 1 • 2 353
— ;, —---1_______________!_______________L------------------------— и Т Л*
2 4а * <Ча (2а-|-5) 1 16а (2а6) (2а + 26) ‘ 32а (2а + 6) (2а26) (2а + 36)
Таким образом, получим
1, 1 2 12 3,,
. V ь “ • - ь- v у у“
4 ~ ~ ------------------1_~ ___________1-------------------------к и т. л.
2а ' 2а (2а-г и) 1 2а (2а -р Ь) (2а -г 2'>) ' 2а (2а -г Ь) (2а -г 2&) (2а -г 3^)
Этот ряд сходится очень быстро и даёт приближённое значение члена 12 без большого труда.
394. Вообще, если бесконечно удалённые члены ряда А, В. С, D, Е и т. д. исчезают, член, отвечающий индексу и>, будет равен Z, а следующие за ним члены, отвечающие индексам о>Д-1, <о + 2, и т. д., будут Z', Z", Z'", Z"" и т. д., то, положив в предыдущих формулах
540
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
(§ 391) х = 0, так что 5 = 0 и Х' = А, X" — В, Х"'~С и т. д., найдём, что если образовать ряд
12 3 4
А, (А + В), (А + В + С), (A + B + C + D) и т. д.
и положить член его, отвечающий индексу а>, равным 12, то
L = (A-Z') + (B-Z") + (C~Z"') + (D~Z"")+ и т. д.
Из этого выражения можно найти какие угодно промежуточные члены. Однако достаточно для выполнения интерполяции найти те члены, которые отвечают индексам а>, меньшим единицы. Если будет найден член S, отвечающий такому индексу а>, то, обозначив члены, отвечающие индексам ш +1, ® + 2, а> + 3 и т. д., через S", и т. д., будем иметь
12' = 12 + Z',
12" =12 + Z'+Z",
12'" = S + Z, + Z" + Z"'
и т. д.
Пример 1
Интерполировать ряд 12 з 4
0+4). 0+4+4). O+4+4+4) —
Пусть 12 есть член этого ряда, отвечающий индексу а>. Так как данный ряд образован суммированием ряда
i+ 4- + -9+16 + 25+ и т- д” 1 общий член которого, отвечающий индексу оз, равен то
2 = 1 +т(- -Eye + и т. д.
1_______1___£________£____
(1 + о>)2 + (3-^-ш)2 (4 + о>)2 ‘ Д‘
Таким образом, если ищется тот член предложенного ряда, который 1 1 отвечает индексу , то нужно положить а> = —, и тогда получим
S = l— —-кА. —A-j-A-A-t. ит д
9 1 4 25 * 9 49Т Д
ИЛИ 1 1,1 1,1 1, \
41 9 16 25 +36 49 И Т. Д.у.
Но так как . 1 , 1 1 , 1-Т+-9“2б+ И Т- Д- =12 ’
ТО
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОР
541
Это и сеть член, отвечающий индексу — . Следовательно,
13 5
индексам и т. д.
- ,1,4 .4 1,4,4,4 1,
оудут отвечать члены 4 —yiv, y-f-j—т +У+25^ У 71 1 ‘ л‘
Пример 2
Интерполировать ряд
12 3 4
+ (1 + v)’ (1+v + i)’ (? + э'+^ + гэ) и т- д-
Пусть X есть член, отвечающий какому-либо индексу о>; так как данный ряд образован суммированием ряда
Л 1 , 1 , 1 , I ,
1 'г У + 25 49 ' 31 И т‘ Л’’
Г, 1
оощий член которого, отвечающий индексу ш, ость дур , то
Z Z (2.о узр’ Z ~ (2<о i-5)“ П Т‘ Д;
Поэтому будем иметь
., Л , 1 , 1 , 1 , ~ 1 + У + 25 + 49 + И Т- Д-
1111
~ff+2u>)2 ~(3 + 2«>р~(5 + 2<о)2 (7 + 2®)»“ И Т' Д‘
Положим а> = — } чтобы найти член предложенного ряда, отвечающий индексу, равному у; этот член будет
...1,11,11, те2
~ + 4 + 9 16 + 25 36 + И Т‘ Д’ — if '
Из него следующим образом определятся члены, занимающие среднее положение между какими-либо двумя данными:
13 5 7
индексам —, —, у, v и т. д.
1 , те2 1 , 1 , г.2 1 , 1 , 1 , r.J
оудут отвечать члены -, у + ^ , т + 1б+П’ 4' + 1б + зб ' 12 И т' д‘
Пример 3
Интерполировать ряд
12 3 4
1, (l+y + i), (l-l-f + ?г + тг) » ’
542
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Пусть попрежнему 2 есть член, отвечающий индексу о>; будем -7 1
иметь Z = —п и
1 .1 .1
Z' = (1 гф)" ’ Z ' = (2 + <о)" ’ Z = (З г <о)п И Т- «•
Отсюда получим
- = 1 + yn + -jjn" + уг + и т. д.
1 1 1 1 — (1 4- ю)п (2 4- “ (3 «>)'*~~ (4+^~ и т‘ Д’
Если, следовательно, пожелаем определить члеп, отвечающий индексу -j , то он будет равен
2П j j 2П
+ + И Т. Д.
ИЛИ
— УрТ + ~- 5« + у? — + и т- Д-J •
Поэтому, если положить
11111
= 1 <у 4“ з»» 4“ 5П 6"" и Т. Д.,
1 г
то член предложенного ряда, отвечающий индексу —, будет равен? 2Л (1—JR); следовательно, индексам
13 5
2’ у, у ит. д..
будут соответство-оП С)П f)n
вать члены 2Л-2ЛЭТ, 2п+~-2лЭТ, 2Л + ~ - 2ЛЭ1 и т. д_.
G О О
Пример 4
Интерполировать ряд 12 3 4
1. (1+^0- (1+^+^г). (1 + 2г+А + .У) и т. д.
Пусть Е есть член, соответствующий какому-либо индексу ш; так как;
Z = > то будем иметь
(2о> — I)2
111
Z = (2<о + Пп ’ Z = (2«>4-3)п ’ Z = (2ю + 5)" И Т‘ Д’
и
111
+
5П + у;
1111
~(1 + &о)« (3 4-2<о)п (5 + 2а,)'1 (7 4-2(0)« И Т’ Д’
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РИДОВ
543
„ 1 „1
Положим ш = у ; тогда получим член, отвечающим индексу :
. 1 , 1 L , 1 1 , го
И Т‘ Д- = 9t
Из него найдутся далее остальные члены, лежащие посредине между данными
13 5
Индексы у у и т. Д-
Члены 91, Л+ 9?, Д + ^ + 91 и т. д.
395. Положим теперь, что бесконечно удалённые члены ряда А, В,. С, D, Е и т. д., из суммирования которого образуется ряд, подлежащий интерполяции, пе исчезают, но составлены так, что исчезают их разности, и пусть X есть член этого ряда, отвечающий индексу х, a Z есть член, отвечающий указателю х+ш- Пусть далее X', X", X'", X"" и т. д. суть члены, следующие за X, a Z', Z", Z'", Z"" и т. д. — члены, следующие за Z. При этих обозначениях пусть предложено интерполировать ряд
12 3 4
А, (А + В), (А + В + С), (A + B+C + D) и т. д.
Пусть его член, отвечающий индексу х, равен S, а член, отвечающий индексу х + ш, равен Тогда на основании того, что было сказано в предыдущей главе, будем иметь
S = 5 + X' + X" + -V"' + и т. д.
— Z' —Z" —Z"‘ — и т. д.
Здесь, как и раньше, достаточно найти члены, отвечающие ипдсгсам^ меньшим единицы. Положим х — 0, так что Д’ = (), Х'= [. \"' и т. д.; член, отвечающий индексу w, будет
— Z') + (B — Z") + (C - Z"') + (D - Z'A')+ и т. д.
+ ы-|-Л + <в ((5— Л) + {С—В) + (D— С)А~(Е — D) 4- и т. д.)
или, если обозначить разности принятым ранее способом, согласно, которому АА = В—А, А В = С — В и т. д., то будем иметь
S = (А - Z') + (В - Z") + (С - Z'") -н (D - Z"") + и т. д.
+ о> (А+Д.4 +Д2? +ДС +AZ) + и т. д.).
396. Если же бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D, Е и т. д., суммированием которого образуется ряд, подлежащий интерполяции, не исчезают сами и не исчезают также их первые разности, то для того, чтобы выразить значение S, нужно будет добавить ещё-несколько рядов, а именно, столько, чтобы прийти к исчезающим разностям бесконечно удалённых членов. Пусть попрежнему в ряде
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
А, В, С, D, Е и т. д. член, отвечающий индексу х, равен X, а следующие за ним— X', X", X"' и т. д.; индексу же^Д-oj пусть отвечает член Z, за которым следуют Z'. Z", Z'" и т. д., и пусть предложен ряд
12 3 4
-4, (.4 + 15), {А А-В + С), (.4 + В 4- С + D) и т. д.,
член которого, отвечающий индексу х. есть
S ~ А-г В А- С & -г ... гХ,
и индексу я-*-0’ отвечает член Е, так что
индексам отвечают члены
х +«> 1 Е' =E4-Z'
х 4- <и 4- Е" =E4-Z' 4- Z"
х л- ад 4- з Е'" Е Z' Z" Z
п т. д. и т. д.
Если теперь разности членов выразятся следующим образом:
ЛХ' = Х"-Х', ДХ" = Х""-Х", АХ"'=Х""-Г" ит. д.,
Д;Х' -ДХ"-ДХ', Д2Х" = ДХ"'-ДХ", Д2Х"' = ДХ""~ДХ'" и т. д.,
Д’Х'-АГХ” - л-Х', A3X" _V!X"'—-V’X" и т. д., то согласно § 377 член Е выразится так:
Е - 5 4-X'4-X" 4-X"'4-X"" + и т. д.
— Z'— Z" — Z'" — Z""— и т. д.
+ ш(Х' + ДХ' + ДХ" + ЛХ'"-г ДХ""+ и т. д.)
-! ^^-(ДХ' + Д2Х' + А3Д,,4-Д3Х'" + ДгХ'", + и т. Д.)
+ 0,<w~^'' -_2)(А2Х'4-Д3Х' + ДгХ" + Д,Х"Ч-Л3Х"" г и т. д.)
и т., д.
397. Как мы уже заметили, достаточно добавить столько рядов, чтобы дойти до постоянных разностей; если же мы пожелаем брать эти ряды до бесконечности или по крайней мере до тех пор, пока не исчезнут разности конечных членов, тогда, поскольку
Z =Х фшДХ ,2-- Д Х' + ’-Д—^—----------ДД3Х + и т. д.,
всё найденное выражение стягивается и принимает следующий вид:
£ А 4- «>Х' 4-‘°П ДХ' 4- -- Д3Х' + и т. д.
Это выражение представляет суммационный член .4 4- В 4- С А- & + и т- Д-; если же известен суммационный член, то интерполяция не представит никаких затруднений. Можно пользоваться также и этой формулой: всякий раз, когда опа обрывается, она представит любой интерполируемый член в конечном и алгебраическом виде; если же она продолжается до бесконечности, то лучше применять первую формулу, основанную на рассмотрении бесконечно удалённых членов
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
545
Последняя, если в ней положить х=0, так что £ будет обозначать член, отвечающий индексу <и, примет, поскольку S = 0, следующий вид:
Е= .4+Z2 + C + -D+ и т. д. — Z' — Z" —Z'" — Z""— и т. д.
+ <о (Я + Д-4 4-Д2? + ДС Д-AZ> + и т. д.)
+ (ДЛ + Д2.4 + Д25 + Д2С + Д2/)+ и т. д.)
+ ^-1Ж^1(Д=Л+ДЗ_4 + Д35 + дзс + дз/)+ и т< д)
И Т. д.
пли, если положить для краткости
w = а, (0 (о> — 1) D со (to — 1) (со — 2) —Д 7 8 — — = v и Т. Д 1-2 1-2-3 ' Д ’
будем иметь X = аА + рд.4 + уД2Л + 8ДМ + и т. д. + .4 Н-аД.4 + рД2Л + уД3Л + и т. д. — Z' -~-В 4-аД5 + рД25 + уД35+ и т. д. —Z" + С 4-аДС + ₽Д2С + уД3С4- и т. д. — Z" и т. д.
Число горизонтальных рядов является, правда, бесконечным, но каждый ряд состоит из конечного числа членов.
Пример
Интерполировать ряд
Пусть член втого ряда, отвечающий индексу и, равен Е. Так как он 12 3 4 „ 0>
получается суммированием ряда у, у, у и т. д., тол = ууу , и так как для бесконечно удалённых членов уже первые разности исчезают, то нужно взять только первые разности. Так как
. 1 о 2 г- 3 л 4
Л = Т’ В = ~3> С = Т’ D ~ 1) и Т- Д-’ то эти первые разности будут
1 11
АЛ=2ТЗ’ = АС = 4-5ит. д.
Отсюда будем иметь
V __ J-1-L 9 ‘ 9 1 9 f + 4*5' и т. д-
со СО
+ 2-3 J 3-4 Л. 5 + гё + и т. д-
о>-|-1 0> + 2 «> + 3 о> 4
W — 1 и т. ц
0) 4-2 to 4 3 co 4- 4 о> 4- 5
Л. Эйлер
546
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
или, поскольку
= О),
V , 1 , 2 , 3 , 4 , + +у+Т + У+ И Т- «•
будем иметь
<о 4-1 . (D 4- 2 о> 4- 3 о 4- 4 о>4-2 <*>4“3 <*>-l4 о>4“5
Таким будет
< 1
образом, если ищется член, отвечающий индексу у , то он
1.1 3,2 5 3
"з + г- 5 + 3 7 + 4
7,4 9 ,
V+Т~11 + и т- fl-
или
v 1 1 1 1 1 1 “ 2 2-5 3-7 4-9 5-11 6-13
так что
1 г... 1 1 1 1 1 1
2 г,~ 4 4-5 6-7~”8-9 10-11 12-13
или
1 v 1 1 11 1 1
2 4 4 6 8 10 12 А
, 1 , 1 , 1 , 1 . 1 ,
+ у + у4- у+й + гз+ и т‘ А-
А так как
1 “ т +у —т + т- г+ и т- А- ~12’ то будем иметь
1е = 12— 1+1-1 + 1 = 12 — - ,
2 г 2 3^4 12’
так что
Е = 212-
О
398. Перейдём теперь к интерполированию рядов, члены которых составлены из сомножителей. Пусть предложен ряд наиболее общего вида
1 2 3 4 5
А, АВ, ABC, ABCD, ABCDE и т. д.
и пусть его член, отвечающий индексу <и, равен S. Следовательно, 1Е будет членом, соответствующим индексу w в ряде
12 3 4
1А, (1А + 1 В), (1А + 15 + 1С), (1А+ 15 + 1 С + ID) и т. д.
Если мы предположим, что бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают и что член ряда А, В, С, D, Е и т. д., отвечающий индексу ш .
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
547
есть Z, а следующие члены, отвечающие индексам «> + 1, <“ + 2, <иД-3, о>+4 и т. д., суть Z', Z", Z"', Z"" и т. д., то по доказанному выше
1S = 1Л + 15 + 1С + 1Р+ и т. д.
— 1Z'-IZ"-1Z'"-1Z""- и т. д.
Переходя к числам, будем иметь
у, А В С D ~Z'’ Z"' Z"' ‘ Z777'
И Т; Д.
399. Если же логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D, Е и т. д. не исчезают, но имеют исчезающие разности, то, как мы видели,
1£ = 1.4+1Z?+1C+ и т. д.
— 1Z' — 1Z" — 1Z'" — и т. д.
4-Ш 1Л + Ш (ljf + lf-ч- И т. д.^).
Dl~ti>Ew
Переходя от логарифмов к числам, будем иметь
v _ лш в1~тсш
— А z, z,, - z>„
Если же лишь вторые разности логарифмов бесконечно удалённых членов исчезают, то будем иметь
1S = 1j4+15 + 1C + 1-O+ и т. д.
- 1Z'- 1Z" - 1Z'" - 1Z"" — и т. д.
I ( 1 л I 1й , 1С t 1 D I 1Е I X
+ —Г2~ 11^ + 1 c^ + lgv+I + и :. п.).
Из этих формул получим
(<О— 1)(<о — а) —1)
V В^-^С-ГТ-
X =А ~ • В 12-------------г-,---------х
(«0—1 )(<о —2) ш (<о - 1)
в 1-2 С">(2-<“)/) 1'2
И т. д.
Если ш < 1, то более удобно эта формула выразится следующим образом: <о(3-о>) (1 — <о)(2 —<о) (1-<о)(2-<о)
v А 1-2 .1 1-2 дш(2~о>) В 1-2 £Ш(2~Ш)
" <о(1-<о) <о(1—<о) ш(1 — и) ~ Т. Д.
В 1-2 С 1-2 Z' D 1,2 Z"
400. Применим эту интерполяцию к ряду
12 3 4
а а(а 'гс) а (а 4- с) (а + 2с) а (а -р с) (а + 2с) (а 4- Зс)
Ь ’ Ъ (Ь 4- с) ’ b (Ъ -j- с) (Ъ 4- 2с) ’ i(Z>4-c)(Z>4-2c)(Z>4-3c) И Т’
его сомножители образуют ряд
12 3 4
а а Ac a + ic а4-3с
Ъ ’ Ь ас ’ ( 4- 2с ’ Ъ 4- Зс
35'
548
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
у которого логарифмы бесконечно удалённых членов Следовательно, будем иметь
2__a — с 4-сю 2'___
равны нулю.
и т. д.
Если положить член этого ряда, отвечающий индексу то согласно § 398 будем иметь
ш, равным Е,
_а (Ъ + со») (а + с) (ft + с + ст) ~ft(a4-co>) (ft 4-с) (а 4- с с<л)
(а 4- 2с) (6 4- 2с 4- со») (6 + 2с) (а -4 2с 4- со»)
и j. д.
определить член, будем иметь
Если, например, мы пожелаем 1 1 индексу — , то, положив <и = —,
(а -|- с) (26 4- Зс) (а 4-2с) (26 4-5с)
(6 4- с) (2а + Зс) ‘ (6+ 2с) (2а 4- 5с) ‘ И Т'
отвечающий
а (26 4- с) 6 (2a 4-с)
Д.
Пример
Интерполировать ряд
1-3-5
2-4-6 ’
1 1-3
1-3-5-7-9
2-4-6-8-10 И Т’ Д‘
Так как здесь а = 1, 6=1 и с = 2, то если член, какому угодно индексу о>, положить равным Е, будем иметь
3(4 + 2a>)r_ 5(6 4-2<o) 7(8 4-2о>)
4(3 4-2») 6(5 4-2<о) ‘8(7 4-20») ' Д'
у, 1(2 4- 2а») — 2(1 4-2<о)
отвечающий
Если члены, отвечающие индексам «> + 1, ш + 2, ш -ф 3 и т. д., обозначить через 2', Е", S'" и т. д., то
v, 14-2(0 v
2 4- 2(о
1 "г ~
2 4-2<о
п,/. 14-2<о
2 4- 2<о
Q—1~ —--О у
4 4- 2(0 ’
3 4~ 2(о 5 4- 2(о у,
4 2а» 6 4~ 2(0
Таким образом, если 1
индексу у, то, положив
1-3
2-2
мы пожелаем определить член, отвечающий о)=у, будем иметь
9-11
10Л0 ’ и т’ д‘
5-7
6-6
7-9
8-8
Но раньше1) было показано, 9 2-2 тс==2‘ Гз
ЧТО
4-4
3-5
8-8
7~9‘ И Т- Д”
6J5 5-7
радиуса 1.
где тс есть полуокружность круга
Поэтому промежуточные члены, отвечающие индексам -у , у-, и т. д., можно выразить через полуокружность круга следующим
1
1) «Введение», т. I, гл. XI.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
549
2 £
2 ’ 2 ’ 2
2 2А 2 2'4'6 2
•л. ’ 3-5 -п 9 Я• 5-7 тс
образом:
Индексы: -у , 2 Q Члены: —, 7t О
Эту же интерполяцию нашёл Валлис в своей «Арифметике бесконечных» J).
401. Рассмотрим теперь ряд
12 3 4
a, a(a + b), a {a + b) (а + 2Ь), а (а + Ь) (а + 25) (а + 35) и т. д„ сомножители которого составляют арифметическую прогрессию
a, (a-]-b), (a-\-2b), (а+ 35), (а+ 45) и т. д.
Его бесконечно удалённые члены составлены таким образом, что разности их логарифмов исчезают. Так как Z — a— b-[-ba и
Z' ~a~j-bw, Z" = а + 5 + 5со, Z'" = a-j-2b 4-Ьш и т. д.,
то, если 2 есть тот член предложенного ряда, индекс которого равен ад, будем иметь
" = ж». "1 . (а--1:)^ю(а + -2ЪГ . (а j-25)1 ~'-\a 4-ЗЬ)“ .
а г Ьш a -j- & -j- Ъ<л а-‘ 2&-)-Ьо> • •
Найдя это значение, обозначим через ад какое-либо дробное число, меньшее единицы; тогда следующие члены, отвечающие индексам 1 + ui, 2 +о), 3 + « и т. д., определятся следующим образом:
Д' =(а + 5ш)Д,
X" = (« + 5о>) (а + 5 + 5ш) S,
Д'" = (« I- 5о>) (а + 5 + 5oj) (а + 25 + 5ад) S
и т. д.
Таким образом, если мы пожелаем определить член, отвечающий
1 1 -индексу , то, положив ш=—, будем иметь
1 .1 J. 12
v__ ~ а~(а -Ъ)~ (а + Г/)2(а
_ а . - .
а -У Ь а + — b
так что, возведя в квадрат, получим
v!= а(а+Ъ)
С“ Х* Ха + 1\
(а 4~~ 26) (а Ц- ЗЪ)_
(а+ Т&)(а+Х)
1 1
_ (а + 2Ь)+а + 3&)2 . и т «И
. (а !-5)(я + 2Ь)
Сан4б)(а+Х)
9 J. Wallis, Opera mathematica, т. 1, стр. 355. [Г. Я.)
550
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
402. Положим, что в рассмотренном выше ряде (§ 400)
12 3 3
2 /(/ + fe) /(/+Л)(/ + 2Д) f(f + h)(f+2h)(f + 3h)
g’ g(g + h)’ g(g + h)(g + 2hy gf(g + A)(g + 2A)(g + 3A)H T- Д член, отвечающий индексу —, равен 6; тогда
g ^(/ + 40 (f + h) h>) (/+ 26) (g + у h) g(j + ±h') (g + f>) Q + (£t2A) (y+-| zQ
Положим теперь j
/ = а, g = a-^- — b и h = b-, тогда будем иметь
0_____«(« + &)_(а + 5)(а + 25)
(а+4б)(а+т&) (а+4ь)(а+^6)
так что Е2 = а9 и Е = )Ла&. Поэтому, если положим, что в ряде
12 3 4
а, а(а + Ь), а (а + Ь) (а 4- 26), а (а + Ь) (а + 26) (а 4- 36) и т. д.,
1
член, отвечающий индексу у , равен Е, а в ряде
12 3
а а (а+ &) а (а 4- 5) (а 4- 25) т
аЦь’ (а+40(а+40’ (a+46)Ca+4&)Ca+2ь)
член, соответствующий индексу у , равен 6, то будем иметь Е = ]/'а6.
Так как здесь член ряда числителей, соответствующий индексу у, равен L, то, если положить, что член ряда знаменателей, отвеча-
1 S32
ющий индексу у, равен А, будем иметь 0=y ; но 6 = у, откуда Е = у, т. е. ЕА = а. Эти теоремы неплохо иллюстрируют интерполяцию такого рода рядов.
Пример 1
Пусть предложен следующий подлежащий интерполяции ряд".
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4 и т. д.
Так как здесь а = 1 и 6 = 1, то, если положить равным £ член, отвечающий индексу о>, будем иметь
jl—ш 2Ш 21— ш-з'° gl-“.4“ 41— “.5,л
14-“ 2 4-ш 3 4-“ 54-“ Д
Здесь всегда можно принять, что ш есть дробь, меньшая единицы;
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
551
и тем не менее интерполяция распространяется на весь ряд. Действительно, если обозначить через 2', 2", 2"' и т. д. члены, отвечающие индексам 1-£ш, 3 + <о и т. д., то будем иметь
2'= (! + «>) 2,
2«'=(1 + ш)(2 + ш) 2,
2'" = (1 +ш) (2 + ш) (3 + ш) 2] и т. д.
Таким образом, член предложенного ряда, отвечающий индексу t , будет
£ £ £ £ £ £ „ 12-22 22-32 32-42
— j— . —fl — • и т. д. I2” 22 З2*
ИЛИ Отсюда, так как будем иметь Следовательно, индексам р’ 2-4 4-6 6-8 8-10 2 =ГЗ Т5 Т7 ' 9Т • И Т* Д* о 2-2 4-4 6-6 ТС = 2'Гз'зГ5- 577'И Т- Д- V2 _ ” „ V _ Ь И " 2 • £ 2i £ 2 ’ 2*’ 2 ’ 7_ 2
будут отвечать члены ,
А 3~5 V* 3-5-7 _
2 2’2-2' 2 ’ 2-2-2 2
Пример 2
Пусть предложен следующий подлежащий интерполяции ряд
12 3 4
1, 1-3, 1-3-5, 1-3-5-7 и т. д.
Так как здесь а = 1, 6 = 2, то если положить равным 2 член, отвечающий индексу ш, будем иметь
_ 1 -ш-зш з,_ш-5ш
~ 1 + 2о> ' 3+2ш ‘ 5 + 2«> ‘ И Т’ Д’’
следующие же по порядку члены будут составлены так: 2' = (1+2ш)2, 2" = (1 + 2ш) (3 + 2ш) 2,
2'" = (1 + 2ш) (3 + 2ш) (5 + 2ш) 2
и т. д.
552
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Таким образом, если мы пожелаем определить член, отвечающий
1 индексу у, и обозначим этот член через 2, то будем иметь
v _/lJ3 2 У 3-5 2 /5-7 6 1/7-9 ИТ. д.
Следовательно,
va !-3 3-5 5.7 7-9 9
Е2 = — 2-2 ’ 4А ’ (Гб ’ 8-8 И Т. д. = — , тс
так что будем иметь L= S
1 3 5 7
индексам У ’ 2 1 У ’ "2 ’ И Т- Д
будут отвечать члены |/ 2- 1 тс у /- , 2 ТС а м to о а 11^|
Если же первый ряд и этот помножить друг на друга, так что будем иметь ряд
1 2 3 4 5
I2, 12-2-3, 1-2-32-5, Г.2-32-4-5-7, Г-2-3'-4-52-7-9 и т. д.,
1 . Уп , ZT 1
то его член, соответствующий индексу будет равен у —- = —;
” у/
в чём легко убедиться, если этому ряду придать вид
12 3 4
1-2 1-2-3-4 1.2-3-4-5-6 1-2-3-4-5-6•7•8
-- ------------------------------------- И т. л.
9 > 92 03 > 04 • •‘А*
Очевидно, что член этого ряда,
отвечающий
1 индексу — , равен
Пример 3
Пусть предложен следующий, подлежащий интерполяции ряд'.
12 3 4
п п (п — 1) п (п — 1) (гг — 2) п (п — 1) (п — 2) (п — 3)
Т ’ ~П2~ ’ ПГз ’ ПГзо 11 т- д-
Рассмотрим по отдельности числители и знаменатели этого ряда. Так как числители суть
12 3 4
га, га (га—1), га (га—1)(га—2), га (га— 1) (га —2) (га — 3) и т. д.,
то здесь а=п и b— —1, так что член этого ряда, отвечающий индексу о, равен
п1-ш(п — 1)ш (п-1)’-ш(п-2)“ (П-2)‘-ш(П-ЗГ
гаш- ---------— -——Г-----------— • - - - и т. д.
п — u> п — 1 — со п. -- 2 — со
Но это выражение не даёт ничего достоверного, так как множители его становятся отрицательными. Поэтому преобразуем предложенный ряд, полагая для краткости 1-2-3...n = N, в ряд
I 2 з
-v v ;v
t-1-2-3... (л — 1) ’ Ь2-1-2-3...(п -2) ’ 1-/ГзЛ”27з...(п-3) 11 т’
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
553
Знаменатели этого ряда состоят из двух групп сомножителей. Одна составляет ряд
12 3
1.2-3... (п-1), 1-2-3... (п —2), 1-2-3. . . (п-3) и т. д.,
член которого, отвечающий индексу со, совпадает с членом ряда
1 2 3 4 5
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4, 1-2-3-4-5 и т. д.,
отвечающим индексу п—со и равным
1 — 71 4 СО 9 71 — со
1 п — со
— п4 со . ^7* —
3 -|- Л — <0
2 • И п — о>
Пусть член этого ряда, отвечающий Тогда
4 СО 01— СО QtO qt — СО
(-( = щ .12---
2 — <0 3 — со
н так как индексам 1—ш, 2—со,
и т. д.
индексу 1—со, будет
3" .4f-“
---------и т. д.
4 — со
равен 0
и т. д.
отвечают члены 0, (2—«>) 0, (2—со) (3—«>) 0 и т. д.,
то индексу п—со будет отвечать член
(2—си) (3—<и) (4 —со). . . (и—о>) 0.
Вторая группа сомножителей, входящих в знаменатель, образует ряд
12 3 4
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4, 1-23-4-5 и т. д.
Если член его
отвечающий индексу со,
иметь
положить равным А, то будем
1 — Ц> з<0
3 -р- со
со
II т.
д-
После того как это найдено, положим, что член предложенного пяда 12 3 4
п п(п — 1) п(п — 1)(п — 2) п (п — 1) (?1 — 2) (п — 3) ¥’ ¥112 ’ ГБз ГбЕзД п т’ д’’ отвечающий индексу со, равен У; тогда будем иметь
с- =________________К_____________
.1 (2 — <о)(3 —«>)(4 - со)... (п - «.>)(->
Но
.V 2 3 4 п
(2 — со) (3 — со) (4 — со)...(/7 — <о) 2 — со 3 — со 4 — <о п — со
И
. н _ 1 -2 ______________2-3_ 3-4
1 (I -|-со) (2 — со) ’ (2 4- со) (3 — со) ' (3+ <о) (4 — со) Т’ Д
Отсюда находим, что искомый член, отвечающий индексу си, будет
5 — со
п
п — со
(1 J_(0)(2-<0)
Х 1-2
(2 4-<о) (3 — со) 2-3
(3 л со) (4 — со)
И Т. Д-.
554
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
1г-
•Следовательно, индексу у будет отвечать член
1.4 6 8 10 12 2га 3-3
T’T’y’V'Ti'’’ 2га - 1 ’ 2-4
который приводится к виду
4.6-8-10... 2га
з^Тэ'.ТДгга'-"!)
5-5 7-7 9-9
4-6 ' 6^8 ’ 800 и т> Д>’
4
т. е.
будет равен
Если
2 2-4-6-8-10... 2га
« ‘ 1-3-5-7-9 ... (2га—1) ’
положим п=2, получим такой подлежащий интерполяции ряд: О 1,
член
его, отвечающий
1 2 3 [4 5 6
2, 1,” 0, 0, 0, 0 и т. д.;
1 л 16
индексу у , будет равен —.
Пример 4
Пусть ищется член,
1,
отвечающий индексу у в ряде
4 1-1-3-5 2-4-6-8
14
9.4 ’
3
1-1-3
2-4-6 ’
и т. д.
о
1
1
У ’
Этот ряд
получается из
1 предыдущего, если положить п=у
Поэтому искомый член S будет равен
v _ _2 2-4-6-8 ... 2га
“ л 1 • 3-5 7... (2га — 1)
1 гг 1
при п — —. Положим, что при п = —
2-4-6-8...2га р
1ТЗ-5-7... (2га—ТГ ~
Тогда 0 будет членом, отвечающим индексу ~ н ряде
2 2-4 2-4-6
1 ’ 1 3 ’ 1-3-5
2 • 4 • 6 - 8
—3- 5-7 11 Т-
по предыдущему он будет равен —. Поэтому искомый член предложенного ряда, отвечающий индексу ~, будет равен 1. А так как, если член этого ряда, отвечающий какому-нибудь индексу о>, есть S, следующий за ющим образом
Индексы:
ним будет 2' =2-| 2<а’ т0 пРеДл0Женный РЯД следу-интерполируется членами, лежащими посредине:
£
2 ’
3
5
Члены:
О,
1,
1,
1,
3- 7
о- Т? о-
2,
, 0 и т. д.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
555
Пример 5
Пусть п будет каким-либо дробным числом. Найти член, отвечающий индексу со в ряде
0 12 з 4
. п п(п— 1) п(п — 1)(п — 2) п (п — 1) (п— 2)(п — 3) ' ’ Т ’ 1 • 2 ’ ' 1 2 • 3 ’ 1 2 • 3
Если выражение
2 3 4 п
2 — О) З—О) 4 — О) п — О)
сравнить с § 400, получим а = 1, с = 1, 6 = 1 — ы и, положив п вместо ш, будем иметь
1 2 3 п ___ 1(1 — о>4-п) 2(2 —а>4-п) m „
I — а> 2—а> 3—а> П — о> (1 — а>)(1-|-п) (2 —о>)(2+«> И Т’
так что искомый член, отвечающий индексу со, который мы положим равным S, будет
(1 — о>-|-г0 • 2
— (1 4-п) (2 - о>)
(2 —о> + п)3 (1 + ю) (2 — о>)
(2 + п)(3-ш) Д‘ 1-2
(2 + <») (3 — ®) 2^3
И Т. д.
и потому
„ (1+о>)(1 + п-ш) (2 4-О>)(2 4-п-о>) (3ч-<•>)(34-П-О>)
ГТ14-П) ’ 2-(24-п) ‘ 3-(34-га) И Т* Д‘
Таким образом, всякий раз как п — со будет целым числом, значение Z можно выразить рационально.
Так, если п = ш,
то S = 1,
если п=14-со, то
если п = 2 4- со, то
если п = 3 4- со, то
S = п,
П (п — 1)
п (п — 1) 'п — 2) 1-2-3
Если же со — п будет целым положительным числом, то всегда будем иметь S = 0.
ГЛАВА XVHI
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РАЗЛОЖЕНИЮ ДРОБЕЙ
403. М етод разлознепия какой угодно предложенной дроби на простейшие, который мы изложили во «Вводепии»’), хотя сам по себе достаточно прост, можно при помощи дифференциального исчисления упростить так, что во многих случаях применение ого потребует гораздо меньшего труда. Изложенный выше метод часто наталкивается, на довольно большие препятствия, когда вместо пен жесткого коли-
чества приходится подставлять значение, которое определяется из какого-либо множителя; особенно затруднительно это в тех случаях, когда знаменатель разлагаемой дроби имеет неопределённую степень. В этих случаях бывает прежде всего очень трудно выполнить деление знаменателя па найденный уже его множитель. Если же прибегнуть к помощи дифференциального исчисления, то можно обойтись без этого действия благодаря тому, что не нужно будет узнавать тот второй сомножитель знаменателя, который получается от сто деления на уже найденный множитель. Это преимущество достигается применением метода, с помощью которого определяется значение дроби, числитель и знаменатель которой в некотором случае вместе исчезают. В этой главе мы покажем, каким образом этот метод даёт возможность удобнее и проще производить разложение дробей, о котором выше уже говорилось, и на этом закончим настоящую книгу, в которой мы изла-
гали применение исчисления к анализу.
Р
404. Пусть предложена какая-либо дробь —, числитель и знаменатель которой суть целые рациональные функции количества х. Прежде всего нужно посмотреть, не имеет ли х в числителе Р той же степени, что в знаменателе или более высокой. Если этот
р
случай имеет место, то дробь — содержит 'в собе целую часть вида А + Вх ф- Сх" + и т. д., которую можно будет найти с помощью деления. Оставшаяся часть даст дробь, которая будет иметь тот же знаменатель, но её числитель будет некоторой функцией В, степень которой будет ниже, чем степень знаменателя Q, так что теперь нужно будет выполнить разложение дроби . Впрочем, нет необходимости
) <,Ввсденпе>>, т. I, гл. IJ. [Г. Л'.]
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 557
знать этот новый числитель R, ибо те же простые дроби, которые R
дала бы дробь —, можно найти и непосредственно из предложенной дроби, как мы отмечали уже раньше.
р
405. Итак, помимо целой части, если дрооь -- ее содержит, нужно найти простейшие дроби, знаменатели которых являются либо двучленами вида / + ga;, либо трёхчленами вида / + 2х cos <э • \/ fg + g£3, либо степенями таких выражений, вторыми, третьими или более высокими. Все эти знаменатели будут множителями знаменателя Q, так что каждый множитель количества Q даст простейшую дробь. Так, если знаменатель Q имеет множитель f-\-gx, то из него получится простейшая дробь вида
51 7+^
Если в знаменатель входит множитель (f + gx)2, получатся две дроби
51 53
(У 4 gx)2 ‘ / -г gx
Если же знаменатель содержит множитель третьей степени (/ + ух)3, то из этого множителя получатся три дроби
51 а S3 (£
(/ + рт)3 ‘ (/ + gx)2 ‘ J^-gx
и т. д. Если же знаменатель Q будет иметь трёхчленный множитель вида /3 — 2fgx cos <? +g2x'2. то из пего получится такого
простейшая дробь
вида:
;3 — 2/gx cos ? + g2x2 ’
в нём будут два равных множителя этого входит множитель (/2 — 2.fgsc cos у + g2x2)~, то
а если в него две дроби
вида, т. е. если отсюда возникнут
9( 4- ах , 53 4- Ъх
(ft - -fgx CHS ? -i- g2®3)3 У3 - 2/gx + g2-c3
Кубический множитель вида (/3— 2fgx-[- g3z3)3 даст три простейшие дроби и т. д.
р
406. Итак, разложение какой-либо дроби — производится следующим образом. Сначала ищутся все множители знаменателя Q, как простые, т. е. двучленные, так п трёхчленные. Если среди них будут равные, их нужно хорошо заметить и считать за один. Затем для каждого из этих множителей знаменателя нужно найти простейшую дробь либо тем способом, который был прежде изложен, либо тем, который мы сейчас будем излагать и которым можно по произволу пользоваться вместо первого. После этого сумма всех этих простейших
р
дробей вместе с целой частью, если предложенная дробь - - содержит таковую, исчерпает значение предложенной дроби. Разыскание множителей знаменателя Q мы здесь будем считать как бы известным, поскольку оно зависит от решения уравнения Q--0. Поэтому здесь мы
558 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
изложим метод, при посредстве которого для каждого данного мно
жителя знаменателя с помощью дифференциального исчисления можно определить происходящую из него простейшую дробь. А так как знаменатели этих простейших дробей уже имеются, то нам предстоит
показать, как находить числитель каждой дроби.
407. Итак, положим, что знаменатель Q дроби имеет множитель f-\-gx, так что Q = (f-{-gx)S, и что другой множитель S больше не содержит множителя f + gx. Пусть простейшая дробь, происходящая
31 V
от этого множителя, равна — t , а дополнение имеет вид-,, так что
ЭД F _ Р_
t + gx A’ — Q
Таким образом, будем иметь
Е Р ЭД________- p-^s
X ~ Q l + gx~ (f + gx)S ’
так что
f = -f+gx *
А так как V есть целая функция от х, то необходимо, чтобы Р—ЭД5 делилось на f-}~gx- поэтому, если положить f + gx = 0 или х = , то выра-
жение Р— ЭД5 будет исчезать. Пусть х— ? . Тогда, поскольку р £
Р — W.S — 0, будем иметь ЭД = — , как это было найдено ранее. Но так
как S = ——, то будем иметь f + gx ’ -
ад _ (f + gx)p Q
если всюду положить / + gx = 0 или х — . А так как в этом случае
как числитель, так и знаменатель Q исчезают, то на основании того, что ранее было сказано о разыскании значения таких дробей, будем иметь
ад _ </+ gx)dp + Pg dx dQ ~ ’
если здесь положить x = .Но, поскольку в этом случае (/ ф- gx) dP — 0;. будем иметь
Таким образом, значение ЭД числителя легко находится с помощью дифференцирования.
408. Итак, если знаменатель Q предложенной дроби имеет простой множитель f + gx, то от него происходит простейшая дробь
ЭД f + gx ’
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 559
еР dx
где 91=—^- после того, как сюда значение —из уравнения f-\-gx — O.
будет подставлено вместо х Таким образом, теперь нет
необходимости разыскивать, как это мы делали прежде, второй со
множитель 5 знаменателя Q, который получается от деления Q на f + gx. Значит, если Q не представлено в виде произведения множителей, то мы можем обойтись без этого деления, особенно тягостного,
если х в знаменателе Q имеет неопределённые показатели степени,
<ТР
ибо значение 91 получается из формулы Если же знаменатель Q
уже будет разложен на множители, так что значение S отсюда сей-
час же находится, тогда предпочтительно пользоваться другим выра-ш Р
жением, которое мы нашли, именно выражением VI = ---, в котором рав-
ным образом нужно положить х = —-
Таким образом, для разыскания
значения 91 в каждом случае можно применять ту формулу, которая представляется более удобной. Применение этой новой формулы мы
поясним несколькими примерами.
Пример 1
^*9
Пусть предложена дробь требуется определить простей-
шую дробь, происходящую от содержащегося в знаменателе множителя 1 -j- х.
Здесь (7=1 + х17, и, хотя известно, что знаменатель имеет множитель l+x, однако, если мы пожелали бы, как этого требует первый метод, разделить на него, мы получили бы
5 = 1 — х± х* — ж3 + • • • + х1в.
& р clyg Поэтому удобнее будет воспользоваться новой формулой 21 — ак
как здесь /=1, g—1 И Р~хя, то, поскольку dQ — 17ж1в dx, получим, что 91 = --= -ууу при х=— 1, откуда 91=--- и простейшая дробь, происходящая от входящего в знаменатель множителя 14- х, будет
-1 17(1-4-х) ’
Пример 2 хт
Пусть предложена дробь *—; определить простейшую дробь, происходящую от содержащегося в знаменателе множителя 1—х.
Так как предложенный множитель есть 1—а;, то /=1 и g = —1. Знаменатель (7 = 1 — х2П даёт dQ=—2nxzn~1dx, откуда, поскольку ________________________хт
Р — хт, получаем 91 — _ 2na.2n-i • А если положить из уравнения 1 —х = О ж = 1, то получим 91 = ^, так что простейшая дробь будет
1
Чп (1 — х)
560 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пример 3
Пусть предложена дробь J определить её простейшую
дробь, происходящую от входящего в знаменатель множителя 1 — х.
Здесь /=1, g= — 1, Р = хт, Q — 1 — ++ + Зхгг и
= —ikxi~1 4- ЗжсП1. dx 1
Следовательно, ---------------------------------- ад —______________________________~------
л - 4b*"14- 3nxn-i ’
и, положив х=1, будем иметь ЭД = _ Зга• • Итак, простейшая дробь,
происходящая от этого входящего в знаменатель множителя 1 — х, будет
_____I______
(4fc — Зп) (1 — х) ‘
409. Положим теперь, что дробь имеет в знаменателе Q множителем квадрат (f + gx)3; тогда происходящие от неё простейшие дроби суть
21 %
(/ + b)a+ f + gx
Пусть Q= (f + gx)3S, дополнение равно -у, так что
У _ Р _ 21_______ЭД__ „ _ Р -215-ЭД (/ + <?*) S
5 ~ Q (f+gx)'3 f+gx, И ~ (f + gx)3
Так как V есть целая функция, то необходимо, чтобы Р — ЭД5 —
— 56 (/ + gz) S делилось на (f + gx)3; а так как S больше не содержит мно-р
-жителя f + gx, то также и выражение —----ЭД — 33 (/ + gx) будет делиться
S
на (f + gx)3, так что при f\-gx =Q, т. е. при х = —— , не только само
S
р
оно, но и его дифференциал d--^------)8gdx будет исчезать. Положим
- f ,1f Р
поэтому х =—— ; тогда из первого уравнения оудем иметь 21=-у,
1 Р
а из второго 56 = d — ; найдя эти значения, получим искомые дроби
21 , ЭД
(/ + gx)'3 f + gx
Пример
Пусть предложена дробь -—> знаменатель которой имеет множитель (1 — х)3; найти простейшие дроби, происходящие от него.
Так как здесь /=1, g = — 1, Р = хт и <2 = 1 — 4а;3-' За;4, то будем иметь
Р хт J р тх™^1 dx - 2 (т — 1) х’“ d.c — 3 (т— 2) хт^ dx
~S~ ~ 1 -ь 2х + Зх* И а ' s ~ (I + 2х -L 3z2)2
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 561
Следовательно, положив
21 = — л 6
откуда получим искомые
ж=1, будем иметь
„х . 6m — 8 4 — 3m
И 33= -1 • -36- = ^8~
дроби 1
410. Если знаменатель дроби
если Q — (f + gx)3S, то пусть простейшие дроби, происходящие от этого кубического множителя (f + gx)3, суть
at ,____®+ а
(/ gx)3 "Г (/ + gx)2 ‘ f + gx’
а дополнение этих дробей до предложенной дроби тогда
, 4 — 3m
18(1 - х) ’
Р
- имеет три равных множителя, т. е.
Р е
- пусть будет
И .
А ’
на
p 9lA-835(/-rgx)-®(/4 gx)a (7 + ^)3 р
Поэтому выражение — 51 — 53 (/ + gx)— Б (/ + gx')2
(f + gx)3-, следовательно, если положить / + gz = O, т. только само это выражение, но также и его первый ренциалы становятся равными нулю. Таким образом, иметь:
будет делиться
е. х = —- , то g
и второй диффе-
при х = — будем ё
не
J- эз (/+ga;)_ е (/+gxr= о, d • ff+gdx- - 2®gda;(/ + ga;) = 0, = 0.
d? —2®g2d;r3
Из первого уравнения будем иметь
й = -
Из второго будем иметь
S3 - d ' dx
Наконец, из третьего получим
2g2 dj.2
Р
Р
Р
- имеет множитель (f+gx)",
411. Пусть вообще знаменатель Q дроби
так что Q = (f + gx)nS. Положим, что дроби, происходящие от этого множителя (/ + gx)", суть
si S3 ® ж е
(f+gXy + (f+gX)«-2 +(f + gxy^2^ Q + gxf-2 + (f+~gxr~i+ и • д-до тех пор, пока не придём к последней, знаменатель которой есть f + gx. Рассуждая, как прежде, найдём, что выражение
— 51—S3 (f + gx) — g(/ + gx)2 — ®(/ + gz)3-® (f + gx)*+ и т. д.
36 JI, Эйлер
562 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
должно делиться на (f + gz)'1; следовательно, как оно само, так и все его дифференциалы до порядка п — 1 должны исчезать при х = . Из
S
этого мы найдём, что
23 - <!
1 j dr.
Р
И т. д..
- / где всюду положено х = —— .
р
Следует помнить, что дифференциалы выражения — нужно брать раньше, чем вместо х подставлять ; действительно, в противном /’
случае количество —. перестанет оыть переменным.
412. Таким образом, этим способом числители 21, 33, К, 2) и т. д. выражаются проще, чем ио способу, изложенному во «Введении», и часто по этому новому способу также и значения их находятся легче. Для того чтобы это сравнение можно было произвести легче, определим значения букв 21,33,6,® и т. д. по первому способу.
Положив х = - -- ,
тогда
щ = -л ’
тогда
6=|.
тогда
тогда
6 = |.
Оставляя х переменным, положим:
Р - 915
ф - S5 _ , / -, gx ~ '
£. - ®5 (
/т?*
Ж - $5 _
/ -
И Т. д.
413.
Если же у знаменателя Q дроби
Р
не все простые множители
действительны, тогда нужно попарно соединить те множители, произведение , которых является действительным. Пусть, таким образом,
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 563
/! — 2/gz cos © + g2x2 есть множитель знаменателя Q. Если положить ого равным пулю, получим два мнимых корня
' , /
X — -- CCS © 4--=81П ©,
о ‘ g V - 1
откуда будем иметь
-,7 COS И© -ь -----—sin nz>.
" • g-‘ V -1 r
Положим, что <2- (/'- 2/gx cos ср Ц-g2x3) <S', и пусть S больше пе делится на /3 — 2fgxcos ? g2x2. Пусть дробь, происходящая от этого множи-
теля, есть
21 + ах
р — ijgx cos ср + g2x2 ’
а дополнение сё до предложенной дроби
Р V
равно -j;; тогда
V л
у _ р - 5
~ р - 2/gi cos ? + gW ’ р
откуда Р — (ЭД ах) S и потому — ЭД — ах также делятся па р
f2—2fgx cos yp-g2x2. Следовательно, — ЭД ах исчезнет, если положить
f - ‘Ifgx cos ср + g2x2 — 0, т. е. если положить либо
/ , /
х = -- cos © 4---------р=- sin
»' Г g / - 1
либо
х == — cos ср-sin ср,
S r gV-1 Y
414. Произведём в каждой из целых функций Р и S одну и ту же подстановку. Так как вместо каждой степени хп количества х нужно подставить бином
fn fn
хп = Ад COS пер 4-____sin пер,
ё gn/-l г
вместо хп\^пусть после нужно иметь в виду, что до этих вернуть функции Р и 8, так что, то после выполнения умножения
значения р, будут найдены, функция Р, если в
‘ / ~ Р
х— - cos ср ± —— , перейдёт, очевидно, в Ф _•,
и»
то сначала положим в ооеих функциях cos пер вместо хп\ пусть после этого Р перейдёт в ^5, а 5 в @. Далее, положим в обеих функциях этого Р перейдёт в р, a S в §; здесь подстановок нужно полностью развели бы они состояли из множителей, их не останется. После того как эти ней положить а функция S
ё г - 1
§
. Так как
ЭД — ах или Р—(ЭД + ах) S в случае должны исчезать, то будем иметь
том и другом
564 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Ввиду наличия двойного знака получаем два уравнения
СО CVC 1 ^© (1 §
Ц5 = VIS + — COS ©------------- Sin
, ас, «/§ , а/®
р = VI§ + COS © + -
Исключая из них VI, получаем
<п а/(©2-]-ё2) . Sp—§;р= а 7sin<p;
так что будем иметь
_ g (©t> — g'ff) a /(©--I- 32)sin ?
Исключая затем sin<^, будем иметь
+ §р = (S3 + §!) ( VI + CCS © ) .
Следовательно,
эд__©$ 4 §р _ (©р — ёф) cos о
©--rSi (S24§2) sin <р
415. Так как
5 =_________Q._ .. .
j'1 — 'ifgx cos у p g2z2
и так как в случае,
если
f2—2fgx cos <p + g!x3 = 0, как числитель, так и знаменатель исчезают, то в этом случае будем иметь
„ rfQ : dx. 2g2.T — 2 g cos <p
Положим теперь, что, когда повсюду будет сделана подстановка функция перейдёт в £t; если же подставить то она перейдёт в q. Тогда ясно, что если положить —----------------------si n у, то функция перейдет в ± : Сле
X — СО8П<р, X-n = sin n?,
X = у CCS © ±
довательно, функция S перейдёт в
± 2fg sin f : / - 1
± -4
Так как S—Q
то,
если вместо х положить то же значение,
будем иметь
q
Ь p^L - Sin <р- -2/gg sin <}.
Следовательно,
оудем иметь
® 2/gsins И 2/gsin?‘
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 565
Подставив эти значения, получим
и
ет = 2^g ~ sin ? _ 2/g(Ptl + ^G)cos?
+ O2 + q2
416. Таким образом, мы получаем удобный способ для определения простейшей дроби для какого-либо множителя второй степени; так как в этом способе при вычислении сохраняется знаменатель, то мы избегаем деления, с помощью которого нужно было бы определять значение буквы 3 и которое часто представляет немалые трудности. Итак, если знаменатель Q дроби -полагаем её
имеет множитель
то простейшая дробь, происходящая от этого равной
/2 — 2/gx cos <р + множителя, мы
определится
и вместо каж-
91 + пс /2 - ‘Ij'gx cos <р + g2z2 ’
следующим образом. Положим х = — cos® /п
хп переменного х напишем ~ncosn®. Пусть при этом Р
г» А. Чатом ттотгатапм там *НК’П о; gin Ср~
дой степени
перейдёт в 5Ц, а функция в D. Затем полагаем там же х fn •
тогда для какой-либо степени будем иметь хп = sin щр, и Р перейдёт в р, а в q. Когда, таким образом, найдены значения букв $£, П, р, q, количества 91 и а определятся следующим образом:
ет _ <4Sq - рО) sin (р 2/g ($£} + pci) cos ?
O2 + q2 Q2 ;-q2 ’
_ 2^(j8Q4-pq)
Н12
Таким образом, дробь, происходящая от множителя f — 2fgx cos <р + g2x* знаменателя Q, будет
2Л?(Ц$д -Р&) sin ? + 2gC$Q+pq)(?x-/cos ?)
(D2 + q2) (/2 — 4)gx cos f + gV)
Пример 1 xm
Пусть предложена дробь знаменатель которой a-f-bxn
имеет множитель f*— 2fgx cos ср 4- g2x3. Найти простейшую дробь, отвечающую этому множите ню.
Так как здесь Р = хт и Q—a-p-btf1. то
^3 = nbxP~l, ах ’
откуда
$-₽==^с08Щ®, p = ^sinz7??,
Q = cos(n-l) ср, q = ’^z-l-sin(n—1)?.
О t>
366 ГЛ. XVJJI. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Из этих уравнений „ 2 <”-6
ТО sin (п~ т 1) ?
и п7Лт + п-'1
W + pq = -^Ьд=г cos (« — W — 1) <p.
Поэтому искомая простейшая дробь есть
(/ sin if-sin (п — т — 1) ? + gz COS (га — т — 1) а — / cos a-cos (п — т — 1) а) nbpt-m-i (/2 — 2 jgx cos о Ч- Р
ИЛИ
2g”-M cos („ _ т . j, о _ у cos __
.^bpl-tn-l (j3 __ 2jgx C()S щ .L. g2j;2)
Прим e p 2
—, знаменатель которой пусть найти простейшую дробь, про-
то
Пусть предлткена дробь —г-=—
CC (u [ cAT имеет множитель f2—2fgx cos ? + g2x'2', исходящую от, него.
Так как Р = 1 и Q — ах™ + Ьхт*п,
— max'""1 -|- (т Д- п) Ьх"1*п 1,
fn
так что, положив хп = cos пу, мы, поскольку Р — х°, будем иметь (₽=1 и
_ та/”"1 . , (т + п) bfm^n~1 .
& = ~^=Г cos (« — !)? + 1-------------cos (т + п — 1) ®,
О О
уп
а положив хн = -* sin пъ, будем иметь £ = 0 и ь
mafm 1 • , .х (т + п) bfn*n~l . ..
а = Sin (те—1) 9 +-------------------------sin (те + п - 1) ?.
э t>
Следовательно,
Cj" 4" Q"
, 2m (m.3„W/2m:’l“2 , (m
—да)- -r----------------cos — •
» b Э
Поскольку. /" — 2jgx cos x Ц- g2x" есть делитель выражения a bxT), будем иметь
, l>fn b/n . „ , ba-pu
a + -n cos ny = 0 и -r? sin ny — О, откуда a =.
Следовательно, будем иметь
m : .. . (in n) b!mvn~l . , . <x
фс; - P3 = sin (те - 1) ? 4-------------------sin (те + n - 1) ? =
T> b
= ((rn + и) sin (m + «—1) y—m cos ny sin (те —1) y) = итгп-{
— (n cos n? - sin (те — 1) у + (те + n} sin ny- cos (те —1) у)
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 567
И
ffiB 4 pq = ((w + п) cos (т + п — 1) ? — т cos <'os (да — 1) <р).
Пли так как f2— 2f gx cos <p 4 g’x2 есть также делитель выражения ахт~' 4- bxm'л-1, то будем иметь
а{т~г ^fn+n-i
-ри cos (да — 1) ф 4 рплгц cos (да 4 re — 1) <р = О
И
frpn + n-i sin (да —1) ф 4 — sin (т 4- п—1) <? = О,
откуда
& = Jm.n-i cos (да 4- П— 1) ? и q = ~^=г sin (т + п~ Л ? о ь
ИЛИ
- —па/771'1 , , ч —па/™-1 . ,
&= .....-J-Т cos (w-i) <Р И q = - „,„.1- sm (да -1) ?.
о ь
Из этих значений получаем искомую дробь
2g”* (/ cos ma — gx cos (т — 1) (р) па/’""1 (у2 — 2/gx cos а 4 g2x2)
Эта формула вытекает из первого примера, если положить т отрицательным; тогда не было бы необходимости рассматривать данный случай особо.
Пример 3
хт
Пусть знаменатель дроби —r^-vr-—rn имеет множитель
bx'‘-j- С
fr—2fgx cos ф 4- g2x2-,
найти простейшую дробь, происходящую от этого множителя.
Если /'—2/ga: cos <р 4 g2x2 есть множитель знаменателя а 4 Ьх" -у сх~п. то, как было показано выше,
bfn ci2n Ь[н ci2n
а + < cos п? + cog 2ге? 0 и sin пу ф- sin 2иф = 0.
О Ь 5 &
Итак, Р = хт и Q = а Ц- Ьх'1 + сх'п; будем иметь
--Я — nbxn~' 2псх1п~1, ах 1
откуда находим:
= 7ЙГ cos да? и р = sin да<?, Ь & I
j-. nbf'l~l . .. 'Зле/2’1'1 ..
В = -^.— 008(11—1) ® + -^й=г-cos(2re—1)ф,
nbfn~l . . , 2ПСУ2”-1 . ..
q =-тгГ sin (re—1) ? 4- Sln (2n—1) ?•
& о
Поэтому будем иметь
, n2,2<!1-J> , 4&суп , 4с2у2П\
£>-... q- = —,--„.0, 4 cos дар 4 J
568 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Но из двух первых уравнений имеем
у2П
. 2bcfn , с2/2П\
( Ъ‘ 4- --7Г- cos п? + -г-л- ) = а , о г? ✓
так что
Vjcf* ‘2с-/-п
cos п? = —2Ь3—
о J Ь
Подставив это значение, будем иметь
г 3 , . n*f3n~3 ( ,, , 2с* 2П\
- +q - g2,^ ^-у2„ о + j
ИЛИ
, 2 n2(2a2g‘n-&2 2V'* + 2c2 4П)
U' + q =-----------jipir-2--------•
Далее, будем иметь
„7, /Ш+-П—1 О и z. /’МI-2П—1
^q-p£ = --^--r sin (n-/n-l) ? + sin (2n-m-l) <p,
О D
„Т, 9пл/тьзП-1
$D + pq= gm+n^ cos (n—m—1) о + —ld-i7^- CCS (2n—m — 1) <?.
После того как эти значения найдены, мы получаем искомую простейшую дробь
2/gr (Sgq — p£V> sin у Ч 2? ($0 + Dq) (gj — f cos у) (£H -j- q2) (;* - 2, gx cas ? 1- g-x3)
417. Эти дроби выразятся проще, если мы определим множители знаменателя. Итак, пусть знаменатель предложенной дроби есть
а -|- Ьхп.
Если представить его трёхчленный множитель в виде / — 2fgx ccs у + g3x\
то, как показано во «Введении», мы будем иметь
, &/п о ь/п л
а + - п cos п? — и и -~sinnp = O;
§ ь
так как sin пр = О, то будем иметд, либо п'р = (2к—1) тс, либо п^=2ктг. В первом случае ccsn®=—1, во втором случае cos пр = 1. Если а и Ь суть положительные количества, то имеет место первый случай, когда 5 п
а = . Поэтому
gn J
Л L
/ = а п и g ~Ьп .
Удержим вместо этих иррациональных количеств буквы /ng или, лучше сказать, положим a-—fn и b = gn, так что нужно определить множители функции
f + gV.
ГЛ (2^ — 1) те
Итак, мы имеем ------------—
г п
положительное число; но за большие тех, которые дают
, где к может обозначать любое целое к нет необходимости принимать числа, выражение меньшим единицы. Таким
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 569
образом, множители предложенного выражения fngnxn будут следующие:
/а—2fgx cos^ + g*x2,
/2—2/ga;cos^ + g2z2,
/3— 2/ga;cos^ + g2a;2 и т. д.,
причём нужно заметить, что если п есть нечётное число, то будет ещё один двучленный множитель
/ + gz, если же п ость число чётное, то не будет ни одного двучленного множителя.
Пример 1
сложить дроб
её простейшие дроби.
хт ъ /«+7Гп Так гкак все трёхчленные множители знаменателя содержатся в выражении
.о r\ f (2/с — II W 3 2
2/ga; cos >—+ g'x ,
то в примере 1 предыдущего параграфа нужно положить a=^fn; b = gn (2/с-1)те
и = —--------, откуда будем иметь
sin (п—т — 1) ср = Sln (т + 1) ® = зш--------
и
, ., z (zn +1) (2ft — 1) я
cos (п—т — 1) о == —cos (m + 1) ср = —cos---- .
Таким образом, от этого множителя произойдёт дробь
- А,й±йй=«>*_,и.&±«2й=Дг-".'Л
_ п ___________71 п к п )
п ^/2 - 2/gx cos + gw)
Поэтому предложенная дробь разложится на следующие простейшие дроби:
• (тЫ) те о (/П 4-1) те/" те \
2/sin - -sri'--------2 cos-— ( gx — /cos— )
_ a n n\ ___ n /
njn-m-igm Qo _ 2/^x cos-£ -j-g2^
. Зте . 3(/П-'г1)те 3 (in 1) те /" ЗтеА
2/ sri - si:i —------2 cos -— ---—— I gx — J cos — )
’ ,f n ii \. п у |
(j- — 2fgx cos + g3a:2^
. . 5(т + 1)тс 5 (m 4-1) те Z 5те\
2/sin — sin -x_- —<-2 cos —2 —I gx — i cos — )
, n ii n \ n J
^/2 _ 2/gx COS ^4-
и т. Д.
&70 ГЛ. ХА III. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Если п есть число чётное, то мы получим, таким образом, все простейшие дроби, если л-е п есть число нечётное, то вследствие наличия двучленного множителя f + gx к дробям, полученным этим способом, нужно, сверх того, добавить ещё дробь
______+ 1____ (у „х) >
где знак + берётся в том случае, когда т есть число чётное; в противном случае берётся знак —. Если т было бы числом, большим чем п, то к этим дробям присоединилась бы ещё целая часть вида
+ + и т. д.,
до тех пор пока показатели остаются целыми. При этом будем иметь:
Agn = 1, следовательно, А = 1 g” ’
Afn+Bgn = 0, В = а!П 9 &
Bf1 + Cgn = 0, С = аЗП ’ г?
C/'* + Pg" = 0 £> = уЗП г?
И Т. Д., и т . д.
Пример 2
1
X» (yn+ gnxny
Разложить дробь
на её простейшие
Что касается множителей выражения
дроби.
то от них
проис-
ходят те же дроби, которые мы получили в предыдущем примере: остаётся только определить те дроби, которые происходят от другого множителя хт знаменателя. Удобнее всего сделать это следующим образом. Положим предложенную дробь равной
21 Ч1хг-т хт + -}и~Г—пхп ;
тогда будем иметь
ЭД/П=1, следовательно, = -Д- ,
91g"+ 91 = 0, 91=-^ .
Если п—т будет ещё оставаться отрицательным числом, то нужно будет поступить подобным же образом. Таким образом, сколь бы пи было велико т, мы получим следующий ряд простейших дробей:
, JL , G ,
хт * j.m—п г * д/л-зп । Т. Д.,
и котором нужно взять столько членов, чтобы знаменатели оставались
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 571
положительными. Итак, будем иметь:
эд г = i, следовательно, ЭД = 1 7"’ ’ „<1
: зз/п = o, i8 = ft -yan
23g" + er = o, ® = "1” jз a ?
(Sg"- j-®/'1 = 0 </3U y-i/t
и т. Д.: и T. Д.
Следовательно, всё разложение предложенной дроби на простейшие будет таким:
1 аП „ЧП g'Hl
/пСт Jii гт-и Snlni^an зп 7~ '’• Д"
/Л- j Л> / >L f Л>
. (m — 1) тс „ т (тп — 1) тс Z тс X
2fsm sin — • sin------ Г 2gm cos---------— I gx — j cos — )
n n n \_ n J
‘ljgm sin — • sin
3(m — 1) тс 3 (m — 1) тс Z 3tc\
—1---------С 2gm COS —:------- ( gX — f COS — )
n ’ n v ' и J
И Т. Д.
Если it будет нечётным числом, то к этому выражению ввиду наличия в знаменателе множителя f gx нужно будет ещё добавить дробь
± ит
«Г*”'1 (f + gx) ’
где верхний знак нужно взять, если т есть число чётное, а нижний— если т есть число нечётное.
418. Рассмотрим тепе"рь выражение а-\-Ьх,п, в котором b есть число отрицательное. Таким образом, пусть предложена функция
fl—gnx".
Первый её множитель всегда есть f—gx, а, если п есть чётное число, то также и j gx будет её множителем. Остальные же множители будут трёхчленными. Если общий их вид есть
то будем иметь
или
/2 — 2fgxccs^> + g'2x2,
- /"cisnc ^0 и /"sin;t® = 0 sin пф = 0 и cosnip = 1.
572 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Чтобы эти уравнения удовлетворялись, должно быть n<p = 2к~, где п есть некоторое целое число; поэтому будем иметь <р = ~ . Следов а тсльно, общий вид множителя будет
/2—2/gcos^ +
Если брать вместо 2к все чётные числа, меньшие чем показатель п, получим все трёхчленные множители
f—2/gzcos 2-p + g'4'\
f—2fgx cos^ + g2z2,
f—2/gzcos^ + g4:2
и т. д.
Пример 1
хт
Разложить дробь -п^~пп на простейшие, дроби.
Так как знаменатель имеет множитель j—gx, то от него произой-дет дрооь вида ----- .
/ Sx и /"—gnxn=Q-, тогда
Чтобы определить её числитель, положим хт --Р
dQ = —ngnxn~1 dx,
и мы будем иметь
где нужно положить . Таким образом, ?! = й]п-т-^т > и происходящая от множителя /—gx дробь будет
1
njn-m-ig,n у _ gx) •
Если п есть чётное число, то, так как тогда знаменатель имеет ещё множитель j-\-gx, положим, что происходящая от него дробь равна 21 „
,у~- . 1огда будем иметь
* i Sx
Л — ngnxn^ ~ ngn-lxn~l ’
где нужно положить x = —Так как п—1 есть число нечётное, то gn'1a;n~1= — /п~1; но хт = , где верхний знак берется, если т есть
чётное число, а нижний,— если т есть число нечётное. Поэтому , а простейщая дробь от множителя j + gx будет
4,n-m-1g'n(/ + gz) "
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 573
Далее, так как общий вид трёхчленных множителей есть
2fgx cos^ + ^x3,
то, произведя сравнение с примером 1 § 416, будем иметь а = 2/с7Ь
6 — gn и ср = — , откуда
sin и® = О, cosn<p = l,
• / г, / , . 2й (тп 4-1) тс
sin (и — т — 1) ср = — sin \гп + 1) ср = — sin —--—
и
, Л\ 2к (пг +1) к
cos (п — т — 1) ср = cos (т + 1) <р = cos —---------------—
Следовательно, простейшая дробь, происходящая отсюда, будет
. 27стс , 274m 4-1) тс 27с (пг 4-1) тс/ 27стс\
2/ sin — • sin —---------2 cos ------— ( gx — / cos — )
n n n \ n J
. 2 'gx COS 4" glx^
Поэтому искомые простейшие дроби будут:
1
.„yn-m-i^n (у _ g.ry О
“If sin —
. 2тс . 2(и4'!)’: „ 2(ш-Ь1)тс/
2/sin— • sin —--------2 cos —-:---( gx— /cos
n n n \
njn_m_lgm (j2 — Ijgx C0S-^4- g2a:2^
. 4(mJ-1)K 4 (m 4-1) тс/ 4тс\
• sin —— -----2 COS —i-----I gx — / COS )
n n \ n J
п]Пгт-1.„т (j3 — 2/gZ C IS
6tc . 6 (m 4-1) w _ 6 (m 4-1) тс/ Стс\
— • sin -1—---------2 cos — —— ( gx - f cos — )
n n n \ n /
njn-m-igm (f— 2/gX COS^ 4* g2X2
И T. Д.
К ним, если n будет числом чётным, нужно, сверх того, добавить дробь
_____Т1_____
a7'1_,"-1g’n Sx)’ при которой верхний знак — нужно взять, если т есть число чётное, а нижний +, если оно нечётное. Кроме того, если in есть число, не меньшее чем п, нужно добавить целую часть
Лх'п-'л + 5а;т":п + Са:т^п + Ра:т''1"+ и т. д., пока показатели не станут отрицательными, причём мы будем иметь:
— Agn = 1, и: I и Л = — р ,
АГ-В§п = 0,
Bfn~Cgn = O, с--7-зЛ, /ЗП Cfn~Dgn = O
И Т. д.
И Т. д.
574 ГЛ, XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИИ
Пример 2
Разложить дробь т ,п—на её простейшие дроби.
Дроби, которые происходят от множителя fn — gnxn, будут те же, что раньше, только в прежних формулах нужно взять т отрицательным. Поэтому обратимся к другому множителю х"‘. Если положим, что от него происходят дроби
21 . 58 , @ ® ,
х1н с хт~а ' хт~2п ‘~хт~3>‘~ т"
ряд которых нужно продолжать до тех пор, пока показатели степени количества х не станут отрицательными, то будем иметь:
4ifn — 1, следовательно, 21 = -^, 23/,! — 2(g" = О, 58=^..
®f-Sgn = o, „ ^зп
®/"-®g" = 0
и 'Г. д., и т. д.
Следовательно, предложенная дробь разложится на следующие про. стейшие дроби:
Д’ узп^т-зп Д’ Т. Д. , ?”*____________
~г n/nTm-1(/_ga:)
, „ . . 2(ш-1)те 2(w-l)r. / , 2г. А
2lgm sin— • sin —-----—Ь 2g cos —------{ gx— f cos— I
n n n \. n J
nf^m-1 Qi _ 2jgx cos ~ + g'‘xQ
m '*те ft (m — 1) зс , „ m 4(zn — 1) к /" , 4 it-.
2jgm sin — - sin ------1- 2gm cos —5-— ( gx — f cos — 1
71 71 71 71 >7
nyn+m-l Q2 — 2fgX COS *— -4- gfxQ . 6 (zn — 1) r. 6(zn — 1)ге/ . 6re \
2fgm • sin — • sin —-----\-2gm COS —5--( gx — f cos — I
______ n n П V ri J
П/П^Л~1 Qi _ 2fgx cos 4-g2.C2^ И T. Д.,
к которым, если n есть число чётное, нужно, сверх того, добавить дробь
+ gm n/nr,n^y+g-} ,
её не будет, если п будет нечётным числом. Верхний знак — берётся, если т есть чётное число, а нижний -ф; если т есть число нечётное..
ГЛ. XVJI1. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 575
419. Таким способом можно разложить на простейшие и все тс дроби, знаменатели которых состоят из двух множителей вида а-\-Ьтп. Если же знаменатель будет содержать трёхчлен а 4- bxn J- cxin, то сначала нужно посмотреть, можно ли его разложить на два действительных множителя предыдущего вида. Если это оказывается возможным, то разложение на простейшие дроби можно производить по изложенному выше способу. Действительно, пусть предложена дробь
хт
(J'1 + gnxu) (fn -i- h"xn) '
Разложим её прежде всего на две дроби вида
ar™ j jz™
’jn + Snxn'r fn+hnxn’ тогда будем иметь
а/п 4’ = I и а^п 4- Pgn =
откуда
так что получим □ _ hn _ gn
jn\hn-gn) и я — 7'Чеп-кп)'
Если показатель т будет больше чем п, то будет более удобным преобразовать данную дробь в следующие:
ахт-п , 4- ’
при этом
а + р = О и -J.hn + Pg" = 1, так что
1 1 а = и Р = g*-hn '
Какое бы из двух этих преобразований мы ни применили, обе полученные таким образом дроби разложатся по вышеизложенному методу на свои простейшие дроби, которые, взятые все вместе, будут равны предложенной дроби.
420. Точно так же изложенный выше метод будет достаточным в том случае, когда знаменатель будет состоять из нескольких членов, имея вид
a -j- bxn + сх'п + dx3n + exin 4- и т. д.,
если его можно разложить на множители вида /" ± gr‘xn. В самом деле, положим, что нужно разложить на простейшие дроби следующую дробь:
(а — хп) {Ъ — х'1) (с — a;") (d — х11) и т. д. ‘
Сначала разложим её на дроби
Ахт , Вхт Схт 1> а—хп г Ъ — хп 1~с—х'13 d — хн
и т. д.;
576 гл. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
числители их определятся следующим образом:
1
(Ь— а) (с — a) (d. — а) и т. д. ’
в = __________1__________
{а — b)(c — b) (d — b) а т. д. ’
Q —___________1__________
(а — с) (Ь — с) (d — с) и т. д.
После этого подготовительного преобразования каждая из дробей разложится по вышеизложенному способу на её простейшие дроби и все-они должны быть собраны в единую сумму.
421. Если же не все множители знаменателя
а + Ьхп + сх"п + dx3n + и т. д.
будут действительными, то нужно будет попарно объединить мнимые-множители. Положим, что произведение двух таких множителей есть.
у2'1 — 2fngnxn cos ш -f- g2nx2n.
Так как это выражение не имеет никаких действительных простых корней, то мы можем положить, что трёхчленные множители имеют общий вид
У2 — 2fgx cos + g2z2.
4П
Число таких множителей будет равно п. Положив 2" = ^ cos о, получим уравнение
1 — 2 cos «> • cos пф + cos 2nsp = 0.
/п •
хп — sinzztp; тогда получим еще уравнение
&
— 2 cos u> • sin п<? + sin 2nz> = 0,
разделено на sinn<p, даёт cos ny = cos «>, так что. одно-
Положим затем
которое, будучи
временно удовлетворяет и первому уравнению. Итак, будем иметь п<р = 2Лге±и>, где к есть какое-либо целое число; поэтому будем иметь.
2Ztit 4- со
<р = —, и все множители будут иметь вид
f9 Г» t ~Г Ш , <> •>
У2 — 2/gz cos - - + g-x-,
так что мы будем иметь следующие множители:
/2 — 2fgx cos-— +g2z2,
/? — 2fgx cos
/2 — 2fgx cos
у2 — 2fgx cos + g2x2,
f2 — 2fgx cos + g2x2
и т. д.
Их нужно брать до тех пор, пока число их не станет равным п~
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 577
422. Итак, пусть требуется разложить дробь ж”1-!______________________________________
]-п — 2 jngnXn COS + g2nx2n на её простейшие дроби.
Так как каждый трёхчленный множитель знаменателя имеет вид /2 — 2-fgx cos <р + g2x", ikn 4» с-
где <р =—-, то рассмотрим дробь ___________________________________хт______ j'inX — 2/,1gnx,‘+1 COS о> + g2’ia;an+l >
равную ей, и положим, что числитель хт=Р, а знаменатель finX — 2jngnXn*X COS СО g2Пх2П+ 1 __ Q.
Тогда будем иметь
ddx = 1™ - {п + cos ш + (2л + U S2n^n.
Полагая
Хп = COS 71<р, будем иметь
m /”* т (2кп 4- «>) $ = cos т<? или $ = рй cos „
И
Q, = /2Л (1 — 2 (и + 1) cos ю • cos п<о + (2п + 1) cos 2п<р). Но так как cos и<р = cos со, то
cos 2п<р = 2 cos2 со — 1, так что
р = f-r‘ [ — 2п -f- 2п cos3 со) = — 2n/2" sin2 со.
Положим, далее?, хп = j^sin иср; ь
тогда получим
и
q = — /2п (2 (п + 1) cos со . sin пер — (2п + 1) sin 2пу).
Так как
sin 2п<р — 2 sin п<р • cos пф = 2 cos со • sin п<?,
то будем иметь
q = 2nfn cos со • sin n<p.
Но так как п<р = 2кп ± со, то sin и<р = ± sin со и
q = ± 2п/2п sin со • cos со.
Найдя это, будем иметь:
Q2 -j- q2 = 4п2/4П sin2 со,
„ _ 2ra/’M*2n , , . . . . ,
^J?q — pQ = —(± cos zn<p • sin co . cos co -|- sin m<f • sin co
&
37 Л. Эйлер
578 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
или
W4 2П
± — sin (о • cos(m® -- о>),
Л.’Ш
™ 2ni”‘*‘-n . 2ктп ± (т — п) ю
ЩЦ — V'-= ± ~ >„ sin<0 • *'(,s -----------------— 7
+ pq = (— ccs тъ sin21» 4- sinm<? cos <•> sin o>),
11
+ pq = ± - sin co • sin (m® T co),
или
m-. . 2nfm*-n . . 2km ~ -t (m — n) <.>
$£!>+ pq = ± sino> sm------------------------ .
Следовательно, от содержащегося в знаменателе множителя
л_> Г) / 2 Ji П -{- (О ц о
/ - Ifgx cos —-Г g'X'
произойдёт такая простейшая дробь:
, , . 2кп -+ т 2кттг-г (т — п) и> . 2кт~. -t- (т — п) <о / , 2/си-о>
- - /sin------— - cos------------------1- sm--------—------( sx — j cos--------=—
71 n n \ n
gjn u) ^/3 _ 2 /^x COS
ИЛИ
. -J'mr. J-(m-n) <» . 2k (m — 1)-re ± И - ™ — 1) (0
‘ ifz Sin----“ ’ -----+ / Sin----------------—------------
n -L- ' n
npn-mgm-l sjn (|) Л/2 _ 2/Д'Ж COS *^ТС =‘~“> _p g2x2
Пример
xm-i
Разложить дробь ra-ra----,--тй-9п «а
r fin — 2fngnxn cos <0 + ginx2n
Искомые простейшие дроби суть:
её простейшие дроби.
о» (т — п) <о . (т — п.) ш ш \
/ sm - • cos ----Ь sin- ( gx — f cos — )
n n n \ n J
n-igin <o Г /2 — 2 igx cos + g2x2 Л
. . 2тс — ™ 2ттс — (m — n) ш . 2т.те — (m — n) ш / 2тс—o>
/ sin —- — • cos-------------------'---1-sin----------1------ ( gx— cos--------------
________n____________ n n \ n
пр-Пг-т„т-1 sjn ш ^/2 _ 2!gX cos p g2X2^
. 2rc -i-<i> 2mt (m — n) <o . 2m-n. 4- (m — n) ш / ,
/sin-------- -cos-----------------— -i-sni-----------2--------—I gx-f cos-----------
n n n \ n
npn-mgm i sjft № ^/2 _ 2fgx COS P g2x2
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 579
, . 4те —а> 4тте — (т — п)ю . 4/пте — (т — п) ю < , 4те — о» \
f sin-------- cos------------------г sin - — gx — 1 cos )
n n n \ ' n J
npn-mgtn-l sjri u, /2 _ 2 « cos
4 те lun-n -C (m - n) m . 'ни те --(m — n't м f , 4 те -o>\
/sin------- - COS- -4-Sill - I gx — /cos-------------
, n n ii < n J
nj2n-m„m-l sjn (1) ya _ 2 jgx cos — ' -J- g^x-
И T. Д.
Ряд этих дробей нужно продолжать до тех пор, пока число их не станет равным п. Если т будет либо большим чем 'Ли—1, либо отрицательным числом, то нужно будет, сверх того, добавить: в первом случае члены, составляющие целую часть, во втором же дроби, которые легко находятся по способу, изложенному выше.
37
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр<
М. Я. Выгодский. Вступительное слово к «Дифференциальному исчислению» Л. Эйлера........................................................... 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предисловие...........................•................................. 37
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I. О конечных разностях............................... 47
Глава II. О применении разностей в учении о рядах........... 69
Глава III. О бесконечных и бесконечно малых......................’ 87
Глава IV. О природе дифференциалов любого порядка ........ 102
Глава V. О дифференцировании алгебраических функций, содержащих
одно переменное . ... i..............................115
Глава VI. О дифференцировании трансцендентных функций ...... 132
Глава VII. О дифференцировании функций, содержащих два или большее число переменных...............................................150
Глава VIII. О повторном дифференцировании дифференциальных выражений .............................................................166
Глава IX. О дифференциальных уравнениях............................187
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава I. О преобразовании рядов..................................211
Глава II. О разыскании суммирующих рядов..........................225
Глава III. О нахождении конечных разностей.........................241
Глава IV. О представлении функций рядами..........................255
Глава V. Разыскание суммы ряда по общему члену..................• 281
Глава VI. О суммировании прогрессий с помощью бесконечных рядов 302
Глава VII. Дальнейшее развитие вышеизложенного метода суммирования 326
Глава VIII. О применении дифференциального исчисления к образованию
рядов....................................................348
Глава IX. О применении дифференциального исчисления к решению
уравнений................................................367
Глава X. О максимумах и минимумах.......................................386
Глава XI. О максимумах и минимумах многозначных функций и функций многих переменных...............................................412
Глава XII. О применении дифференциалов к разысканию действительных корней уравнения................................................435
Гл ава XIII. О признаках мнимых корней..................................456
Глава XIV. О дифференциалах функций в некоторых особых случаях . 471
Глава XV. О значениях функций, которые в некоторых случаях кажутся неопределёнными....................................................488
Глава XVI. О дифференцировании непредставимых функций . • .... 509
Глава XVII. Об интерполировании рядов...................................534
Глава XVIII. О применении дифференциального исчисления к разложению дробей .........................................................• . 556
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка
11 97 111 111 140 151 188 234 479 479 21 сверху 6 снизу 1 снизу 7 снизу 19 снизу 14 сверху 3 сверху 7 сверху 17 снизу 23 снизу
Зап. 917.
Напечатано
(180 мм) окисляется
20 г
pH 6=7
1 -3% полуторная патогенных
кпая
I : i 2 0Э0 раство’р
Следует читать
(1(50 им) раскисляется 10 г
рЧ=7 3% ординарная, полуторная пепатогенных кран
1 :32 000 раствор NaCl 0,4J',